Sur une conjecture de ganea

SURUNE CONJECTUREDE GANEA (-) ------------------ (G . Mislin) Dansce e exposé nous oulons considé e un cas pa iculie d'un ésul a ob enu en collabo a ion a . ec P . Hil on e J . Roi be g [2] . Soi X un CW-complexe poin é e connexe . On di que X es un H'-espa .ce, s'il a.dme une applica ion c : X - .> X V X elque p i c - 1 X , oíl p i (i = 1,2) déno en les p ojec ions é iden es . Dans [1] Ga .nea a. ai conjec u é que ou H'-espace X adme (á une homo opie p és) une décomposi ion en Z B ou Z es 1-connexe e B un bouque de ce cles : B = S1 S 1 V . . .V S 1 . On peu acile men é i ie ce e conjec u e quand X es suspension . Rappelons qu'un ensemble M munid'une opé a ion binai e no ée " + " es une s uc u e de loop , si les équa ion . s a±x = b, y+a=b on des solu ions uniques x,y E M pou ou a,b E M ; e si de plus, il exis e 0 E M elque a + 0 = 0 + a = a pou ou a E M . Nous appelonsun H'-espace X (muni d'une comul iplica ion ixe c) un co-loop , si pou ou Y c~ l : [ X " Y ] X [X,Y] -, [X,Y] indui une s uc u ede loop dans 1'ensemble [X,Y] des classes d'homo opies poin ées de X dans Y . Pa exemple, on peu mon e [2] que pou un H'-espace X qui es 1-connexe, ou ecomul ipli (aF) Ce a icle ésume le con enu d'une con é ence que 1'au eu a p ononcé a . 1'U .A .B . 1e 18 .5 .77 ca ion c dé ini une s uc u e de co-loop dans X . D'o ú il es é iden que ou H'-espace de la o me Z V B, oú Z es 1-conne xe e B un bouque de ce cles, adme une s uc u e de co-loop . No e ésul a p incipal es 1e sui an . Théo éme : Si X adme une - s u u e de co-loop, alo s X _ Z V B a ec Z 1-connexe e B un bouque de ce cles . En pa iculie , ce héo émeimplique que la "conjec u e de Ganea" es équi alen e éla conjec u e sui an e : "Tou H'- espace adme une s uc u e de co-loop" Démons a ion du héo éme . D'ap és un héo éme classique, 1 X es un  g oupe lib e F . L'espace d'Eilenbe g-MacLane K(F,1) es donc un bouque de ce cles B . Considé ons 1',applica ion classi ian e : X-- .> B pou le e é emen uni e sel de X . Comme T 1 X  es lib e, on a une sec ion u : B ->  X . Il es acile de oi que B peu é e muni d'unes uc u e (unique) d'H'-espace elque e u soien des H'-applica ions (c .é .d . que pou ou Y,  u~` :  [ X, Y] ,  [ B, X]  e  * :  [B, Y]  -+  [ X, Y]  on  i e des homomo phismes) . Soi g : X -> C(u) 1'inclusion de X dans le cóne de 1'applica ion u . On peu dé ini , alo s, su C(u) une s uc u e d'H'-espace el que g soi une H'-a.pplica ion . Posóns C(u) = Z . E idemmen , Z es 1-connexe . Dans ce qui sui nous allons sou en iden i ie des applica ions a ec leu s classes .d'homo o- pies poin éesqu'elles ep ésen en . No ons qu'on a pa cons uc ion u = 1 B Comme X,X] es un loop, il exis e E [X,X] el que + u = 1X D'au e pa * : X,X] -, B,X] es un homomo phisme, d'oú ( +  u) = + u = +  =É " (1 X )  = .  On conclu que = 0 ca [B,X] es un loop . Puisque la sui e (i)  g + u (ii) u g 1 X 1 B 1 Z es exac e, il exis e E [z,X] el que = g . Pa conséquen on ob ien un diag amme u pou é abli la oisiémeégali é nous obse onsd'abo d que g * : Z,Z] -, [X,Z] es injec i e . Cela esul e du ai que pou un homomo phisme, don le domaine es un loop (CZ,X] es un loop puisque Z es 1-connexe), la x condic ion  (g')- 1 (0)  =0 implique que g  es injec i e . Considé onsalo s 1'équa ion g=g( g+ u) =g g+g u=g g . g é an injec i e l Z = g . Nous oulonsmon e main enan que , ) :  Z  B  -> X [X,X]  ` ,  [ B, X] es une équi alence d'homo opie, a ec in e se i Zg  +  i Bu  E  [X, Z  B] . On a d'unepa ( , )(i z g + i B u) = < , ) i Z g + ( , > i Bu = g + u = 1X e d'au e pa (i Zg +  i B u)( , ) =«i Z g  +  i B u) , (i Z g +  i B u) ) . Comme 1 Z B = (iZ,iB>, il es e a mon e que (i)  (i Zg+ i B u) = iZ : Z a Z V B (i i)  (i  g  +  i  u)  =  i  :  Z  -a  Z   B . Z B B Considé ons les équa ions i Zg + iBu = (i Z g+ i B u)( g + u) _ (i Zg + i B u) g + (i Z g + iBU) u _ (i Zg + i B u) g + (i Z g + iBu )u (i  a +  i  u) g  +  i Bu . Z' B Nousa onsu ilisé jusqu'ici ces ois condi ions : es une H'-applica ion, g = 0 e u = 1 B . Comme [X,Z B1 es un loop, on conclu que i Zg = (i Z g + i B u) g . Mais g E [Z,Z B] -> [X,Z B] é a .n injec i e i Z =(i Z g + iBu) , c'es á di que (i) es dé .mons é . L'équa ion (ii) es immédia e : comme es une H'-applica ion, nous concluons que , (iZ g +  i B u) =  i Z g +  i B u = 0 +  i B = iB . ce qui aché e la démons a ion du Théo éme . 76 BIBLIOGRAPHIE : [1] T . Ganea : Cog oups and suspensions, In . Ma h . 9(1970) 185-197 . [2] P . Hil on, G . Mislin a .nd Roi be g,J : On Co-H-spaces, Commen . Ma h . Hel .( o appea ) .