El nacimiento de la matemática en Grecia

En ahona 21, 1993 17-26 El nacimien o de la ma emá ica en G ecia Con ado Egge s Lan ABSTRACT (The bi h o ma hema ics in G eece) 1. Philosophy, science and ma hema ics in G eece Pla o and A is o le d ew he dis inc ion be ween p ima y and seconda y (o ne- cessa y) causes. Al hough dealing mainly wi h necessa y causes, G eek ma he- ma ics a e by no way emp y o philosphical in e es s. 2. The «scien $c», he «p e-scien $ic» and he «ex a-scien $c» Elemen s o knowledge appea ing in a pe iod p e ious o he shaping o he science can be designed «p e-scien i ic)), p o ided we gi e a cons i u i e, no empo al sense o his wo d. Some elemen s emain pe manen ly ou side he ange o cience (p. e. as ology); we could e m hem «ex ascien i ic». The c i- e ium o scien i ici y will be, beyond he somewha ambiguous cha ac e o sys- ema ici y, he his o ical ecundi y o a gi en elemen . 3. Demons a ion in G eek ma hema ics P ac ica1 ma hema ics we e widely employed be o e he G eks. A Mesopo amic able om he Yale collec ion shows a sys ema ic use o he heo em o Py ha- go as. Ne e heless, he no el y o he G eek ma ema icians was he demons- a ion o such p ac ical o mules. On he o he hand, i is no p o ed ha Tha- les was he i s hinke in p oposing a deduc i e me hod in geome y. 4. Demons a ion and deduc ion P o es by ule and compass and he equi alen me hod o epha inozein do no cons i u e scien i ic ma hema ics. In Euclides' Elemen s, such p o es a e ound up o 1 34. Bu a 1 35 appea s a heo em ha canno be p o ed by he p ac ical me hod, he e o e equi ing deduc i e demons a ion. Ma hema ical deduc ion can be adsc ibed i s o Theodo us o Ci ene. 5. Deduc ion and axioma ic ounda ion The es ablishmen o e iden p oposi ions (axioms) as basis o he necessi y o a deduc i e a gumen was a p ocedu e elabo a ed p obably in he Academy; i was exposed in A is o le's Analy ica Pos e io a 2 and 10. As o «his o ical ecundi yn, he me hod o deduc i e demons a ion appea s as he mos decisi e ins umen o scien i ic p og ess in ma hema ics. 1. Filoso ia, ciencia y ma emá ica en G ecia Cuando p e endemos as ea la his o ia de una ciencia en la an igüedad g iega se nos plan ea ineludiblemen e el p oblema que susci a la ci cuns ancia de necesi a abaja , al menos en p incipio, en dos ámbi os dis in os: el de la ciencia 8 1 En ahona 21. 1993 Con ado Egge s Lan de que se a e y el del mundo g iego an iguo con su peculia idad. Si se quisie a hace p e alece en la a ea un e ce ámbi o, el de la his o ia de la ciencia, se- mejan e ei indicación pod ía ale como especialidad uni e si a ia o edi o ial, pe o con mucha p obabilidad end ía que abdica , no sabemos si an e el ámbi o de cada ciencia o si an e cada época his ó ica, pe o segu amen e sí an e la ma emá- ica g iega. Cualquie his o iado de la ciencia en gene al y de la ma emá ica en pa icu- la sabe que hace his o ia de la ma emá ica no es hace ma emá ica -a di e en- cia del hace his o ia de la iloso ía, que implica siemp e hace iloso ía-, aun- que deba con a como mínimo con de e minada can idad y calidad de conocimien os ma emá icos p e ios a su a ea de his o iado . Lo que no siemp e cualquie his o iado de la ciencia en gene al y de la ma emá ica en pa icula sabe es que hace his o ia de la ma emá ica g iega equi ale a pene a en la his o ia del espí i u g iego, de la cual el pensamien o en gene al, na u almen e, y en pa icu- la el pensamien o ma emá ico son aspec os esenciales, y en la cual iloso ía y ma- emá icas se hallan signi ica i amen e in e pene adas. Cuando consul é -p ime o epis ola men e y luego de o ma pe sonal- a Ku on F i z sob e el ema, me espondió con es as palab as: «Si la e olución de la ma emá ica g iega an igua ha sido -po comple o o en o ma p edominan e- de índole excl~isi a nen e ma emá ica, o si han in luido en ellas ideas ilosó icas, es un iejo ema de discusiones. Pe sonalmen e me pa ece e iden e - al como us ed piensa- que dicha e olución ha ecibido, en dis in as épocas, ue es es í- mulos po pa e de ilóso os, aunque, de suyo, ambién ha habido siemp e ul e- io es desa ollos de indole excl~lsi amen e ma emá ica»'. En la aducción de es as pa a noso os impo an es líneas del dis inguido his- o iado ge mano de la ciencia g iega me he is o obligado a ecu i a una pe í- asis -que hemos sub ayado po nues a cuen a en el ex o- pa a e e al es- pañol un solo ocablo alemán po o a pa e cla e, inne ma hema isch, sin queda del odo con o mes con la co espondencia ob enida2. La duda que al espec o nos susci ó dicha espues a es: jexis e algo inne ma hema isch en la ma emá ica, o sea, algo pu amen e ma emá ico? Cabe en es e sen ido llama la a ención sob e el uso que de los ocablos pe - inen es han hecho los dos ilóso os g iegos que han acuñado la mayo pa e de la e minología básica de la iloso ía y de la ciencia que ha sob e i ido has a noso- os. En e ec o, en el Tee e o (143d) Pla ón habla «de la geome ía o de cualquie o o ipo de philosophía». Y A is ó eles, en su Me a isica (VI, 1, 1026a), dis in- gue « es philosophíai eó e icas: ma hema iké, ísica y eológica», en lo cual al- ema philosophía con epis éme (la eología es an o la «philosophía p ime a)) como la «epis éme p ime a))), y lo mismo cabe deci de Pla ón. La di e encia en- e el uso de uno y o o é mino pa ece esidi en que philosophía, como su oca- blo simple, sophía, designa más bien una ac i ud i al de amo a la e dad, en 1. Ca a echada en Munich el 23 de eb e o de 1977. 2. En sen ido es ic o, in ie sugie e «den o de», «en el ámbi o de». Vale deci , inilennn hema isch signi ica, li e almen e «in e io a la ma emá ica», lo cual equi ale a exclui lo ex e no a la ma e- má ica: sob e odo la iloso ía en el caso mencionado en la ca a. El nacimien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 21, 1993 19 an o que epis éme alude a la o ma de accede a esa e dad; una o ma que se dis- ingue de la «expe iencia» o empei ia en que con és a sólo se alcanza lo pa icu- la , mien as la epis éme llega al conocimien o uni e sal (A is ó eles, Me ., 1, 1, 981a-b; c . Pla ón, Rep., 111, 409b). Aunque, como emos, Pla ón y A is ó eles llama on an o philosophía como epis éme no sólo a lo que hoy denomina íamos « iloso ía» sino ambién a lo que damos el nomb e de «ciencia», la his o ia ha que ido que el p ime o de dichos é - minos g iegos queda a ese ado exclusi amen e pa a la « iloso ía», en an o el segundo pa a la «ciencia», si bien, po lo menos desde Kan , ha ido cob ando ue za en la mode nidad la endencia a asegu a un ca ác e «cien í ico» a la « i- loso ía», con la in ención de es a an asía a su uelo, y p es a le, en cambio, i- go . Pe o eso no ue nunca pensado así en G ecia. ¿Signi ica acaso lo dicho que no hubo en G ecia di e encia en e la iloso ía y la ciencia, o, al menos -en el caso que nos in e esa más acá- en e iloso ía y ma emá ica? Cie amen e la hubo, aunque no en cuan o a la ac i ud de desea co- noce , o espec o de la o ma de conoce ; y ampoco en lo que se e ie e al obje o. Po que si de la iloso ia pod ía deci se que aspi a a la o alidad3, no puede deci se que la ciencia busque siemp e «aspec os» o «pa es» de la misma; en pa icula , no pod ía a i ma se al cosa de la ma emá ica. Aquí una ez más Pla ón y A is ó eles, sin habe señalado di e encias en e « iloso ía» y «ciencia», nos dan una pis a: el ipo de causa buscada. Pla ón dis- ingue, en Timeo 46 d-e- en e «causas p ime as» o «de na u aleza in eligen e» (que en Fedón -99b- cons i uye la «causa» sin más) y «causas segundas», que «mue en po necesidad» (llamadas en Fd. -99b- «aquello sin lo cual jamás la causa se ía causa», es deci , la condi io sine qua non). Es o implica una dis inción en e la búsqueda de causas que si an de undamen o a lo que se a a de expli- ca y que sean de o a índole que es o4, o o gándole un sen ido que lo o nen com- p ensible, y la búsqueda de causas mecánicas, que Pla ón conside a «auxilia es», en cuan o pe mi en el cumplimien o de al sen ido: en el ejemplo del Fedón se ían los huesos y músculos del cue po de Sóc a es, sonidos, ai e, oídos, que posibli an el acciona de la (( e dade a causa», a sabe , la decisión de Sóc a es de no uga se de la cá cel sino agua da su mue e iloso ando con sus amigos. Po cie o que Pla ón, desde el momen o que iden i ica « iloso ía» y «ciencia», no dice que la p ime a se ocupe sólo de las causas p ime as y la o a se di ija a las causas se- gundas, sino que in eg a en la iloso ía = ciencia la búsqueda de ambos ipos, su- bo dinando las segundas a las p ime as; pe o la his o ia pos e io , como sabemos, desgajó de la iloso ía la ciencia y, con ello, sepa ó ambién las búsquedas, si bien jamás lo log ó del odo. El pensamien o de A is ó eles es simila , aunque nunca hable de «causas se- gundas» (sí de «causas p ime as», p. e. Me ., 1, 2, 982b2, b9; 3, 983a24-26, e c.), ya que su esquema causal es más complejo +uád uple, como es sabido-; pe o 3. C . H. -G. Gadame , Ve nu z im Zei al e de Wissenscha , F ank u : Suh kamp, 1976, p. 7. 4. Es a és, según Nikolai Ha mann, una ca ac e ís ica de los legí imos p incipios explica i os: «ex- plican los enómenos po medio de algo básicamen e dis in o de los enómenos» («Zu Leh e om Eidos bei Pla on und A is o eles~, 1941. en Kleine e Sch i en 11, Be lín, de Gmy e , 1957, p. 156) 10 1 En ahona 21, 1993 Con ado Egge s Lan en los Segundos A ialí icos -11, 11, 94a22-, a p opósi o de los p incipios de las ciencias apodíc icas (es deci , las que p oceden po demos ación deduc i a) iene en cuen a algo pa ecido al desc ibi la segunda de es as causas (en p ime luga menciona la esencial): «el exis i necesa iamen e a pa i de cie as cosas» o «lo que, dadas cie as cosas, se sigue necesa iamen e». Es in e esan e pa a nues o p opósi o obse a el ejemplo con que A is ó eles ilus a es e ipo de causa «necesa ia»: «¿Po qué el "ángulo insc ip o" en un se- micí culo es ec o? ¿Dadas qué cosas "se sigue necesa iamen e" que es ec o? Sea A un ángulo ec o, B la mi ad de dos ángulos ec os, C el "ángulo insc ip o" en el semicí culo. En onces B es la causa de la pe enencia de A, el ángulo ec o, a C, el "insc ip o" en el semicí culo». El ejemplo (que, según Hea h5, pa ece es a p e- sen e en Euclides -111, 3 1- como in e pelación) mues a cla amen e la «causaci6n necesa ia» como el nexo peculia de la deducción lógica, al como la hallamos a lo la go de los ece lib os de los Elemen os. De es e modo, lo que allí puede se conside ado inne nza lzema isclz -pa a emplea la e minología de on F i z- es no menos i~zne logisclz. Y es o es algo que, según e emos más abajo, nues os es- imonios ac edi an usado po p ime a ez po Pa ménides, quien no ue ma emá- ico sino ilosó o. Pe o el hecho que al comienzo de la ci ada ob a señala A is ó- eles que las ciencias demos a i as deben pa i de p incipios no-demos ables, no apa ece como es ic amen e inae ma hema isch ni inne logisch, y menos aún la ca ac e ización de la índole y p opiedades de ales p incipios: más bien se a a, como e emos, de exigencias epis emológicas nacidas en el seno de la Academia pla ónica y del Liceo a is o élico: es o es, de escuelas ilosó icas6. Lo dicho signi ica que, si bien podemos deci que en la iloso ía g iega p edo- mina la búsqueda de las causas p ime as y en la ma emá ica g iega se ecu e más a eso, an simila a las causas segundas pla ónicas, que en los Segundos A~zalí icos po- d íamos denomina «causa necesa ia» (que A is ó eles da a en ende que no puede ope a plenamen e en el mundo ísico, cuando obse a, pocas líneas más abajo del pasaje aducido, que «la na u aleza a eces ob a con un p opósi o, a eces po ne- cesidad))), el nacimien o de la ma emá ica g iega nos mues a a és a an pene ada de iloso ía, que esul a di ícil de admi i que con u ie a elemen os de índole exclusi- amen e ma emá ica, al menos de ele ancia his ó ica: lo cual no implica po cie o ehusa se a e el hecho de que la mode na his o ia de la ma emá ica exhiba al ipo de desa ollos (que inclusi e han in adido con ecuencia a la iloso ía). Es o nos lle a á a a a de de e mina el momen o en que nace la ma emá ica g iega, pa a desc ibi sus asgos peculia es. Toda ciencia! an es de cons i ui se como al, a a iesa un pe íodo más o me- nos ex enso en el cual suAlen apa ece muchos elemen os o emas que luego in e- 5. ~Ma hema ics in A is o le. Ox o d 1949, p. 72 6. C . mi abajo «La in luencia de Pla ón y A is ó eles en la axiomá ica euclideana)), No a Tellus, 2, 1984, p. 27-66. El naciniien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 21, 1993 1 11 g a án el cue po -o alguna pa e de és e- de la ciencia. Po ejemplo: el homb e lle a a cabo los más di e sos ipos de a amien os de en e medades. incluso con éxi o, y es capaz de disce ni no sólo las pa es más isibles del cue po humano sino ambién muchos ó ganos in e nos, sin que quepa habla de «medicina» en sen ido cien í ico. Así ambién, el homb e puede no sólo dis ingui el sol, la luna y los as os que pueblan el i mamen o noc u no, sino ambién ad e i muchos de sus mo i- mien os y llega a calcula los, y pe manece , sin emba go, en un ámbi o ajeno a la ciencia de la as onomía en sen ido es ic o. Análogamen e, el homb e cuen a -p. e. o ejas, u as, pied as-, las suma y es a, mul iplica y di ide, y además e ec úa esos cálculos y o os más complica- dos sin ene en is a ales obje os, y no necesa iamen e po eso es a á haciendo a i mé ica cien í ica. Y del mismo modo aza las más di e sas y di íciles igu as, desde el ián- gulo, el cuad ado y el cí culo has a los polígonos de mayo núme o de lados - a- b icando incluso cue pos pi amidales y balones o mados po pen ágonos egula- es de cue o unidos de mane a al que puedan cons i ui una es e a-, pe o eso no bas a á pa a que pensemos que es á cul i ando la geome ía como ciencia. Se hace necesa io, pues, de e mina cuál es el c i e io que nos guía pa a a i - ma que en un momen o dado un conjun o de conocimien os con igu a una cien- cia. An es de in en a ija dicho c i e io, empe o. con iene hace no a que, aun cuando hemos hablado de un «pe íodo» p e io a la cons i ución de una ciencia como al, y a g andes asgos lo hemos ejempli icado, los ejemplos que hemos dado de elemen os o emas que «luego» in eg an el cue po de la ciencia pueden segui apa eciendo en la o ma an e io al ma gen de la cons ucción de dicha ciencia. En e ec o, un indi iduo -y sus suceso es y coé aneos- puede con inua du- an e un iempo inde inido a ando en e mos, sin que ese a amien o llegue jamás a se cien í ico; o calculando el núme o de lunas -la can idad de eces que la luna cumple las cua o ases de su ciclo- que al an pa a la cosecha o pa a el pa o, sin accede nunca a la as onomía cien í ica; o bien haciendo los cálculos más complicados o azando las igu as más di íciles en o ma a moniosa, sin a i- ba en momen o alguno a islumb a siquie a la ciencia de la a i mé ica y de la geome na. Es o puede acaece le a un pueblo en e o, a una sociedad ín eg a, a oda una ci ilización; pe o ambién puede acon ece a indi iduos o g upos +ul os o no- en el seno de una sociedad que ha alcanzado el conocimien o de la ciencia espec i a, en la medida que es e conocimien o sea pa imonio de indi iduos o g upos dis in os a aquéllos y que -po azones que pueden se muy di e sas- no se haya p oducido en e ellos una in e comunicación de dicho conocimien o. Vale deci , los elemen os y emas que apa ecen en un «pe íodo» p e io al es- ablecimien o de la ciencia misma, sólo pueden exis i en un «pe íodo p e io» a la ciencia, ya que su exis encia no desemboca necesa iamen e en la ciencia. En o as palab as: el conocimien o humano no e oluciona en o ma unidi eccional; ni siquie a e oluciona necesa iamen e, y, si e oluciona, puede hace lo en mul i- ples di ecciones, algunas de las cuales conducen a la ciencia y o as no. 12 1 En ahona 21, 1993 Con ado Egge s Lan De acue do con lo dicho, los elemen os y emas que apa ecen en un «pe íodo» p e io a la o mación de la ciencia pueden se cali icados de p e-cien i$cos. Y es a denominación les co esponde aún en los casos en que no desemboquen nunca en ciencia -o que con inúen desen ol iéndose al ma gen de la ciencia-, ya que el hecho de que his ó icamen e apa ezcan alguna ez p ecediendo a una ciencia que los in eg e en sí misma pe mi e conside a los, incluso en o as oca- siones, ubicados en un es adio que puede se supe ado po el de la ciencia. Pe o en el mismo «campo» -po así llama lo- en que apa ecen los ele- men os y emas «p e-cien í icos» hallamos elemen os y emas que nunca emos, en el cu so de la his o ia, ing esa en el cue po de la ciencia. Tal el caso, po ejem- plo, de la in luencia del cu so de los as os en el des ino de los indi iduos, o del pode de los núme os o de cie as igu as en la ida de los homb es. Es os ele- men os y emas pueden mezcla se con los «p e-cien í ícow, pe o, en la medida que nunca se inco po en a la ciencia como al, los denomina emos ex a-cien i$- cos. Su ma ginación de la ciencia es o al a lo la go de la his o ia, no ci cuns an- cial, como hemos is o que acon ece con los «p e-cien í icos». Cie amen e, el hecho de que no eamos nunca a esos elemen os y emas in- eg a se en la ciencia no signi ica, e minan emen e, que no puedan nunca in e- g a se en ella. Si el heliocen ismo de A is a co de Samos a dó diecioc%o siglos en adqui i ca ego ía cien í ica -con Copémico-, los mencionados elemen os y emas «ex a-cien í icos» deben goza cuando menos *uizá no odos ni su ma- yo pa e- del bene icio de la duda en cuan o a la posibilidad de al in eg ación. Pe o en an o no se e i ique és a, y los encon emos esis en es a some e se a las pau as de la ciencia, los conside a emos «ex a-cien í icos)). Y es a dis inción con lo «p e-cien í ico» es de suma ele ancia pa a la mejo comp ensión de la ciencia g iega, donde suele apa ece an poco cla a y an ácil de igno a po el ob- se ado mode no. Las úl imas ases nos hacen ol e a la cues ión, que aho a se oma más ap e- mian e, del c i e io con el cual decidimos que cabe habla de ciencia en sen ido es- ic o. Una mi ada a la his o ia de las ciencias en gene al y de la ma emá ica en pa - icula , así como a las discusiones que en cada ámbi o se p omue en ace ca del momen o cien í ico -en sen ido es ic o- inicial y de los c i e ios pa a ija lo, nos lle a a desca a concepciones demasiado agas o insu icien es como la de que ciencia sea un ((sabe cie o» o al menos « e i icable» o una «o ganización sis emá ica de conocimien os», que pueden ale acaso como ca ac e izaciones gene ales -en el úl imo caso- pe o no pe mi en una aplicación a los hechos que posibili e es ablece con algún g ado de ap oximación cuando nace una ciencia. Dicha mi ada susci a una obse ación que es sin duda ob ia, y po eso, pa a- dójicamen e, al ez poco enida en cuen a en ales discusiones: hay ins ancias del pensamien o humano que mues an a lo la go de siglos -o milenios- una cui- dadosa o ganización que puede se cali icada de sis emá ica, pe o sin que se p o- duzcan modi icaciones impo an es que pe mi an deci al his o iado que inagu- an una nue a e apa en la ida de ese núcleo de pensamien os. Hay o as, en cambio, en que, a pesa de momen os de es ancamien o o de c isis, globalmen e El nacimien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 21, 1993 1 13 exhiben una e olución que incluso puede p ecisa se en dis in as e apas que im- plican o os an os a ances. Po consiguien e, c eemos noso os, el momen o en que el pensamien o deja de se «p e-cien í ico)), en el sen ido an es señalado, pa a con e i se en «cien í- ico» se p oduce debido a la in oducción de elemen os que sien en algunas bases pa a un desa ollo ul e io , en el cual pod án su gi o os elemen os que a su ez posibili en nue os a ances. Es o es: el c i e io a que ecu imos pa a decidi que hay ciencia en sen ido es ic o es el de ecundidad his ó ica. La as ología como al no ac edi a cambios sus anciales desde los caldeos has a noso os; es o no im- pide, cie amen e, que con enga elemen os que, en algunos casos, han in luido en la ciencia as onómica, y, en o os, p o ienen de és a. Pe o p ecisamen e en unos y o os casos dichos elemen os se han desa ollado en la as onomía y no en la as- ología. De ahí que, po ejemplo, a pesa de la an igua sabiduna as ológica de los babilonios, su as onomía, como ha mos ado O o Neugebaue , no alcanzó una e olución no able has a después de habe ecibido la in luencia de la as onomía g iega p olemaica7. La as ología, como la nume ología, in e esan sin duda en la his o ia de la ciencia y de la iloso ía an iguas (g iegas en especial, sob e odo po el papel que han podido desempeña en algunos g upos o comen es de pensa- mien o, como an e odo cons i uyó el pi ago ismo), pe o co esponde ían, den o del esquema concep ual que hemos p opues o más a iba, al ámbi o «ex a-cien- í ico» y no al «cien í ico». En ese sen ido, si se a a de de e mina , de acue do con el c i e io de ecun- didad his ó ica, cuál es el elemen o que pe mi e da el paso desde el momen o «p e-cien í ico» al «cien í ico», dice Cha les Khan que «en la as onomía g iega la idea de un modelo geomé ico pa a la ie a y los cielos desempeñó el mismo papel e oluciona io que la idea de p ueba en ma emá ica^^. Wal e Bu ke , po su pa e, menciona «la exigencia de una p ueba igu osa en la geome ía g iega» y la de <<una edi icación axiomá ico-deduc i an, mien as que en la as onomía «la cons ucción de un modelo uni e sal.. ., en el cual a di e en es dis ancias, gi an los plane as en omo a la ie a es é ican9, lo cual es -palab a más , palab a menos- algo ya casi unánimemen e acep ado, po que se discu e sólo el momen o exac o en que se puede deci que se p oducen. cosa que discu i emos más abajo en el caso de las ma emá icas. Po nues a pa e, y espec o de la medicina, hemos c eído en- con a en la in oducción del concep o de «causa» -en el a ado pseudo-hipo- c á ico De Ve e e Medicina- el elemen o que pe mi e a la medicina una e olu- ción cien í ica, simila al de la p ueba deduc i a en geome ía y al modelo ma emá ico del mundo en as onomíalo. 7. Neugebaue , A His o o Ancien Ma hema ical As onomy. Be lin-Heidelbe g-New Yo k, Sp inge , 1975, Pa C. p. 541 SS. 8. Kahn, «On Ea ly G eek As onomyn, The Joumal o Hellenic S udies, 90 (1970). p. 110. 9. W. Bu ke , Weishei und Wissenscha , E langen-Nü nbe g. 1962, p. 379 y 278 espec i amen e (c . la aducción inglesa de E. L. Mina , Lo e and Science, Camb idge Mass, 1972, p. 401 y 299). 10. [Hipóc a es], De la medicina an igua, (In oducción, ex o c i ico: aducción y no as de C. Egge s Lan), México, U.N.A.M., 1987, pp. XXXIII-XXXIX. 14 1 En ahona 21, 1993 Con ado Egge s Lan 3. La demos ación en la ma emá ica g iega Neugebaue ha expues o con incen emen e la esis de la an igüedad del lla- mado « eo ema de Pi ágo as», que se emon a ía al pe iodo Babilónico An iguo1 l. Así, po ejemplo, en una able a de la colección Yale (N0 7289), e nos insc i o un cuad ado con sus dos diagonales. Sob e un lado del cuad ado es á esc i o el núme o 30, sob e una de las diagonales leemos la ci a 1; 24, 51, 10, y debajo de la misma la ci a 42; 25, 35, odas en sis ema sexagesimal, sis ema que en e los babilonios cuen a con los llamados «núme os ecíp ocos», que indican la can idad de eces que un núme o cabe exac amen e en el 60 (así 2 y 30 son ecíp ocos en e so. Pa a simpli ica la explicación de Neugebaue , eco demos que, según el eo ema de Pi- ágo as, si un iángulo ec ángulo (isósceles en es e caso, ya que es la mi ad de un cuad ado) iene 1 de lado, pa a da con el alo de la hipo enusa x, debe emos ex- ae la aíz cuad ada de 2, ya que l2 + l2 = x2, o sea, 1 + 1 = x2. Aho a bien, en a- lo es decimales enemos que q= l, 414214, lo cual ep esen a, en alo es sexa- gesimales (con una ap oximación de 22/60), la ci a 1 ; 24, 51, 10, que es una de las que hallamos sob e la diagonal (la hipo enusa) en la able a Yale. Pe o dado que el lado (el ca e o) iene alo 30, hab á que mul iplica po 30. Y si mul iplicamos po 30 la ci a mencionada (lo que se hace ácilmen e di idiéndola po 2, ya que 2 y 30 son ecíp ocos) el esul ado es la o a ci a que da la able a: 42; 25, 35. Es o implica que el alo de la diagonal del cuad ado ha sido ob enido a pa i de su lado, lo cual, apun a Neugebaue , «es p ueba su icien e de que el eo ema de "Pi- ágo as" e a conocido más de mil años an es de Pi ágo as.. . En o as palab as, a a és del anscu so ín eg o de la ma emá ica babilónica e a conocido que la suma de los cuad ados de las longi udes de los lados de un iángulo ec ángulo es igual al cuad ado de la longi ud de la hipo enusa»12. Cie amen e, la palab a « eo ema» puede se usada en dos sen idos: uno es el e e ido a una de e niinada p oposición, como la ya mencionada de que el cua- d ado de la hipo enusa, en un iángulo ec ángulo, es igual a la suma de los cua- d ados de los ca e os. Pe o el « eo ema» que en sen ido es ic o se in eg a en el cue po de la geome na cien í ica (en es e caso, los Elemeii os de Euclides, ya sea como 1 47 o como VI 3 1) con iene la demos ación de dicha p oposición (la cual es en onces sólo la «p ó asis» del eo ema). Cuando Neugebaue dice que los ba- bilonios conocían el eo ema que lle a el nomb e de Pi ágo as diez siglos an es que és e i ie a, se e ie e sólo al p ime sen ido. Po que, en lo que hace al se- gundo, es con oda p obabilidad más de un siglo pos e io a Pi ágo as, e implica un in en o de supe a la di icul a que p o ocó el ad e i que la diagonal del cua- d ado e a inconmensu able con su lado13. Según Ku on F i z, «cuando los g iegos comenza on po ez p ime a a em- plea mé odos ma emá icos más complicados, se ie on en en ados a los mé odos 11. The E,xac Sciences in An iqui~, 2a. ed. (lige amen e co egida de la la. de la B own Uni . P ess, 1957). New Yo k, 1969, p. 35 ss. 12. Op. ci ., p. 36. 13. C . nues a discusión de es e pun o en «El pi ago ismo y el descub imien o de lo i acional», en Mé hexis, 2 (1988), pp. 17-32. El nacimien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 71. 1993 1 15 más desa ollados de sus ecinos o ien ales, en cuya aplicación no se podía dis- ingui en e soluciones ap oximadas y exac as, po que cada mé odo había sido desa ollado den o de un ámbi o especial de aplicaciones p ác icas, pa a las cua- les bas aban las ap oximaciones alcanzadas en cada opo unidad. Es o, na u al- men e, debía conduci po en onces a di icul ades y di e gencias cuando los mé- odos como ales e an sepa ados de la inalidad o igina ia de su aplicación y asladados a o o ámbi o. Dada es a si uación, e a muy na u al que se quisiese sa- be con mayo exac i ud y que se in en a a da a las p oposiciones y mé odos ma- emá icos una undamen ación más p ecisa y segu a»14. En ese sen ido piensa on F i z que «ha habido, al comienzo de la ma emá ica demos a i a de los g iegos, un es adio en el cual.. . se ha c eído pode y debe demos a odo»15. En dicho es- adio ubica Ku on F i z a Tales de Mile o, aunque empleando el p ocedimien o del epha mózein o supe posición, en el cual bas auna egla y un compás pa a de- mos a empí icamen e, po ejemplo, que dos iángulos son iguales en e sí, o que el cí culo es di idido en dos pa es iguales po el diáme o (es e úl imo caso, con la a ibución a Tales de dicho p ocedimien o po pa e de P oclo, In P iinuni ELL- clides Elem. Comm. p. 157, 10-168-2 F iedlein, es ci ado exp esamen e po . F i z)I6. Es impo an e de enemos en es e pun o, pues el ex o de ma as es la base de la a i mación de que Tales ue el p ime geóme a cien í ico (o sea, a comienzos del siglo VI aC), hecha po di e sos es udiosos, en e los cuales p obablemen e la au o idad más impo an e de la ac ualidad es el holandés Ba el L. an de Wae - den". El meollo del pasaje de P oclo (p. 157, 10-13) dice: «En cuan o a que el cí - culo es di idido po el diáme o en dos pa es iguales, dicen que Tales ue el p i- me o en demos a lo (apodeixaiphasiiz)». Van de Wae den comen a así: «P oclo ( ale deci , Eudemo) dice exp esamen e que Tales ha deinos ado que el diáme- o di ide al cí culo en dos mi ades iguales.. . En mi opinión, se ía idículo co- egi a Eudemo a gumen ando que noso os conocemos la geome ía de Tales mejo que él. Eudemo debe habe enido a mano algún esc i o de Tales, pues sa- bía incluso con qué palab a designaba és e el concep o de igualdad de ángulos. Si en onces Eudemo nos dice que Tales ha demos ado al eo ema, noso os, igno- an es, no podemos hace nada mejo que c ee le»18. Acla emos que la e e encia 14. Ku on F i z, Pla on, Theae ei und die a l ike Ma he na ik. ii4i einenz il'ach ag :um Neild uck. Da ms ad . Wissenscha ilche Bughcesellscha , 1969, Nach ag pp. 69-70. 15. Op. ci .. p. 71. 16. Op. ci .. pp. 70-71., C . «Die APXAI in de g iechischen Ma hema ikn. A cili ii Beg i sges- chich e 1 (1955) p. 79, e incluido ambién en G u idp oble ne de Geschich e de an ike ~ IVis- senscha . Be lin-New Yo k. W. de G uy e . 1971, p. 403. Sob e el mismo ema del epha mózei z y en el úl imo olumen ci ado, se ex iende on F i z en el a ículo de 1959 (publicado o igina ia- men e en el N" 4 de la ci ada e is a A chi ) «Gleichchei , Kong uenz und Aehnlichkei in de an- iken Ma hema ik bis au Euklidn. p. 430 ss. 17. B. L. an de Wae den, En ache ~de Wisseizscha ( aducción alemana de H. Habi ch ), Ba- sel-S u ga d, Bi khause . 1956, pp. 145-148. y «Die Beweis üh ung in den klassischen Vis- senscha en des Al e ums>>. a ículo de 1957 incluido en Um die Beg ~ sswel de Vo sok a ike , h sg. . H. -G. Gadame , Da ms ad , Wiss. Buchg., 1968, pp. 43-48. 18. A ículo «Die Beweis üh ung» p. 46 y 47 (sub ayado del au o ). C . E ?~.acl~s. I'Viss., 146. pies "de supe icie" cuan o del de cinco pies, hizo e que no son conmesu ables en longi ud con el pie "como unidad de medida", y así omó sepa adamen e cada uno has a llega al de diecisie e pies "de supe icieny allí de algún modo se de u o». Dejamos los p oblemas e e en es a po qué Teodo o empezó po el de es pies y se de u o en el de diecisie e. T a emos de e qué es lo que pudo hace cuando «mos ó g á icamen e)) lo que se nos dice que mos ó. El ex o con inúa así (148a6): «cuan as líneas o man un cuad ado de núme o plano y equilá e o las de inimos como dkos y cuan as " o man un cuad ado de núme o" oblongo "las de inimos" dynámeis». En igo , «equilá e o» signi ica allí «"p oduc oH de ac o es iguales» y «oblongo» «"p oduc on de ac o es desiguales». Los ejemplos numé icos pues os son cla os: ni 3 ni 5 ni 17 pueden p oduci se con dos ac o es iguales (como 4 = 2 x 2 o 9 = 3 x 3) sino sólo con dos ac o es desiguales (3 = 3 x 1, e c.). En é minos de «mos a g á icamen e» es o signi ica que, pa a cons ui un cuad ado de es pies, hay que cons ui un ec ángulo de esa supe - icie y luego ans o ma lo en cuad ado. Pa a hace lo hallamos en Euclides dos p ocedimien os: el más clásico (VI, 13) es el único que hallamos en A is ó eles (De Anima 413a), y consis e en halla una «media p opo cional)) en e las dos ec- as del ec ángulo; pe o dado que es o supone la eo ía de las p opo ciones de Eu- doxo, es más azonable pensa que Teodo o usó 11, 14 ípico eo ema de «aplica- ción de supe icies», po el cual, dado un ec ángulo, se puede cons ui un cuad ado de la misma á ea. En cualquie a de los dos casos sólo se puede p ocede deduc i amen e, ya que como dijimos an es, si se a a de igu as dis in as no puede aplica se el epha mó~ein~~. En lo conce nien e a Hipóc a es de Quíos, si bien la e e encia más an igua -la de A is ó eles- es más escue a y aga que la de Pla ón ace ca de Teodo o (Soph. Elench., 171b: «la cuad a u a "del cí culo" de Hipóc a es po medio de 1ú- nulas»), enemos en compensación una ex ensa desc ipción de Simplicio del p o- cedimien o que, según Eudemo, usó pa a eso Hipóc a es; aunque Simplicio encuen a que el de Eudemo es un « esumen conciso, según la cos umb e an i- gua», y a isa que ha de «añadi unas pocas cosas a pa i de los Ele ne z os de Eu- clidesn, de modo que, independien emen e de la con ianza que nos me ezca el es- imonio de Eudemo ( . 140 Weh li = Simpl., In Phys., 60, 22-68, 32), la euclideanización del ela o impide oma lo como idedigno, especialmen e cuando implica nada menos que XII 2, es o es, el denominado ((mé odo de exhauciónn, que A químedes a ibuye a E~doxo~~. Tal ez sea co ec a la suge encia de Hea h de que, más modes amen e, Hipóc a es pudo habe p ocedido en o ma simila a la a ibuida al so is a An i one, «cub iendo» g adualmen e los cí culos con polí- gonos, y «llegando al lími e»35. En cualquie caso, los es imonios indican, con Szabó decía en la e sión alemana (~zeichne e uns» y pasa, en la aducción inglesa, a «was d a- wing.. . o demons a e o usx. 33. En es a econs ucción del p ocedimien o de Teodo o nos inspi amos en Szabó (A i hnge pp. 43-79), con algunas di e encias que no hacen a la o ma de aduci dy zúmeis (c . no a 31), en lo cual c eenos que la e sión que adop an~os noso os se ajus a más incluso a al econs ucción. 34. C . Eudoxo . 59a, b y c en F. Lasse e, Die F~ag nenie des Eudoxos oiz Kizidos (Be lín 1966, pp. 30-31). 35. Hea h, A His o y, 1. p. 328. El nacimien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 21. 1993 123 al o g ado de p obabilidad, un empleo de azonamien o deduc i o y ambién, como en el caso de Teodo o, una cie a amilia idad con p oblemas elacionados con la i acionalidad de de e minadas líneas, como la diagonal del cuad ado o la ci cu e encia, incluyendo segu amen e un manejo deduc i o del « eo ema de Pi- ágo asn. Es o, como decimos, en el e ce e cio del siglo V aC. 5. Deducción y undamen ación axiomá ica Cie amen e: el uso de la a gumen ación deduc i a exige no sólo que se aya a pa a a la conclusión de una mane a necesa ia, sino ambién que el pun o de pa - ida apa ezca po sí mismo necesa io. Po que, aunque la deducción en sí misma consis a sólo en el «se sigue necesa iamen e», pa a que enga ue za lógica eal lo que se sigue debe segui se de algo cuya acep ación sea ambién necesa ia. Si no ue a así hab ía enido que se demos ado p e iamen e, y en ese caso segui se a su ez de o a cosa de acep ación necesa ia. En el caso de Pa ménides, hay algo cuya acep ación con ca ác e de necesa io pa ece eque i se pa a e ec ua odo el azonamien o: «es o no es» ( . 8, 16. c . 8, 1 l), o sea, lo que mode namen e se llama «p incipio del e ce o excluido»: p inci- pio complemen a io del de «no con adicción», al que A is ó eles no sólo incluye en e los p ime os axióma a de la ciencia (Me ., IV 34) sino que cali ica como « e dad úl ima a la que se emi en odos los que demues an, pues es po na u aleza un p incipio, inclusi e de odos los demás axiomas» (ib, 1005b32-34). Y es inne- gable que ambién es e p incipio es á implíci o en el poema de Pa ménides, subya- cen e al del e ce o excluido. Cla o que la acep ación plena de sus azonamien os pa- ece ía ene que inclui una de inición del concep o de «se », y en ese sen ido no queda cla o si és a eme ge de las ca ac e ís icas (einengend adon, «impe ecede o», e c.) que se demues an po « educción a lo inlposible)) o si se halla ímplici a p e- iamen e a ales demos aciones. Es indudable, en odo caso, que dicha de inición eque i ía una complicada elabo ación que debió espe a has a Pla ón y A is ó eles, quienes en endie on que la alidez de los azonamien os pa menídeos se limi aba a una de inicón del «se » como absolu o, mas no a cualquie ipo de «se ». Lo que de cualquie mane a se hace mani ies o es que el mismo Pa ménides enlazó sus azonamien os deduc i os con una p emisa inicial cuya e dad, pa a él an necesa ia como la que p esidía la conca enación a gumen al, se debie a a una e elación de una diosa o al ca ác e de e iden e que sin ió en ella. En ese sen ido, esul a al amen e p obable que an o Teodo o como Hipóc a- es: si e ec i amen e emplea on el azonamien o deduc i o en ma emá icas, hayan pa ido de p emisas que pudie an con a po sí mismas con acep ación, po esul- a e iden es. Pe o es o no puede pasa de se una conje u a, ya que nues os es- imonios sob e los p ocedimien os de ambos geóme as son demasiado p eca ios como pa a conclui o a cosa que la me a posibilidad y la me a p obabilidad de un uso de la deducción, a pa i de p emisas que ellos pueden habe acep ado, pe o cuyo g ado de e idencia, po en onces. desconocemos. Exis en azones. con odo, pa a sospecha que no hubo, an e io men e a Pla- ón y A is ó eles, una conciencia de la necesidad de pa i de p emisas e iden es 24 1 En ahona 21. 1993 Con ado Egge s Lan (es deci , de la necesidad de axioma ización), que conduje a a una cie a « egla- men ación» de es as p emisas y de allí, p og esi amen e, a su sis ema ización. La p ime a es, a nues o juicio, el conocido despliegue de una a gumen a- ción e ís ica, po pa e de muchos o algunos de los so is as, que no sólo adolecía a menudo de allas en el mecanismo de conca enación a gumen a1 sino que ambién solía ca ac e iza se po pa i de p emisas e óneas (y que, al de- ci de A is ó eles, pa ecían p obables sin se lo). Es e hecho, es imoniado jun- amen e con la ba e ía desplegada po Pla ón y sob e odo po A is ó eles pa a con a es a lo, ac edi a que, al menos has a los albo es del siglo IV aC, el uso igu oso de la deducción se hallaba en pañales y más aún su undamen ación axiomá ica. P ecisamen e la undación de la Academia pla ónica pa ece ha- be se di igido p imo dialmen e a sus ae la discusión ilosó ica y cien í ica a la ino gánica dispu a del ágo a, en la que los incau os quedaban a me ced de los e ís icos, y aslada la a un ámbi o en que pudie a o na se en diálogo se io y pau ado. La igencia de eglas de juego, que es algo común a los concep os de «dialéc ica» an di e en es que maneja on Pla ón y A is ó eles (de las cuales hay una básica, que se ad ie e ya en los diálogos soc á icos de Pla ón: la de no a anza en la discusión si no se cuen a con el acue do del in e locu o ), ha in- luido sin duda en los jó enes ma emá icos que ing esa on en la Academia pa a pone en p ác ica en su ámbi o especí ico simila es pau as o ganiza i as (lo cual p odujo inclusi e una ans e encia e minológica desde la dialéc ica de los ilóso os a las ma emá ica^)^^. Aunque no les bas ó ya pa a ello la aquies- cencia del in e locu o en la acep ación de las p emisas, sino que se equi ie on o as condiciones, como las que apa ecen enume adas po p ime a ez en los Segundos Analí icos (1, 2). La segunda azón es la de que no pa ece posible que haya habido una axio- ma ización mínimamen e o gánica an es de que se maneja an los axiomas euclí- deos de igualdad (especialmen e las Nociones Comunes 1 a 3), y és os, si se ex- cep úa la empí ica N. C. 7 que imos undamen a al epha mózein, con ienen una concepción de igualdad abs ac a que no hallamos es imoniada an es del Fedón 74a-c. Allí Pla ón habla de lo «Igual en sí» (o «las Cosas Iguales en sí», ya que habla de igualdad exige po lo menos dos cosas), que no es ap ehensible senso- ialmen e, a di e encia de las cosas isibles que decimos «iguales», como dos le- ños o dos pied as. Nó ese que el mismo Pla ón, en el ju enil diálogo Eu i on, da una de inición de «pa » e «impa » como si ue a ya conocida ( o sea, como ci - culan e en las ma emá icas de ese momen o), según la cual el p ime o es «un nú- me o isósceles» y el segundo «escaleno» (12d); y es o implica una concepción ge- omé ica empí ica dis an e aún de Euclides VII, de . 6 («pa es un núme o di isible en dos "pa es igualesH»), que más a de demos a á conoce Pla ón, en Leyes, X, 895e. A nues o juicio, es o signi ica que: sólo a pa i de la madu ez de Pla ón, y de la undación de la Academia du an e és a: enemos documen ados a ances en la axioma ización de las ma emá icas, incluyendo un concep o sup a- empí ico de igualdad que la sus en a a. 36. Hemos desa ollado es e ema en el a ículo ci ado en no a 6, especialmen e p. 42 SS. El nacimien o de la ma emá ica en G ecia En ahona 21, 1993 125 Cla o es á que, si se acep a nues o an e io in en o de econs ucción del p o- cedimien o de Teodo o de Ci ene pa a demos a la inconmensu abilidad de las 1í- neas -con la unidad de medida- con que se cons uyen los cuad ados «oblon- gos», se debe aplica el eo ema 11 14, que, como odas las p oposiciones que hallamos en Euclides a pa i de 1 35, no pueden demos a se con egla y compás (po a a se de compa ación de igu as dis in as), sino deduc i amen e. Y es o su- pone que se maneja un concep o de igualdad menos empí ico que el implicado en la N. C. 7. Aquí, más del p oblema de lo conje u al de nues a econs ucción y de que engamos que manejamos más con supues os p obables que con hechos e- i icados, debemos señala que no c eemos que Pla ón haya in en ado el concep o de igualdad que o mula en el Fedón, sino que lo oma p ecisamen e de la ma e- má ica de su iempo. Si es cie o lo que se ecoge (¿de He modo o?) Diógenes La- e cio -III,6- en el sen ido de que, después de la mue e de Sóc a es y an es de i a I alia, Pla ón isi ó a Teodo o en Ci enne, no se ía ex año que le hubiese lla- mado la a ención el uso de p ocedimien os que no sólo se a enían con el ipo de azonamien o que la iloso ía conocía desde Pa ménides sino con la endencia so- c á ico-pla ónica a ele a se po encima de lo sensible. Y que en Teodo o, o poco más ade en A qui as, hubiese de ec ado un concep o de igualdad que se compa- ginaba al máximo con su búsqueda de la pe ección que iba a consolida se ilo- só icamen e con la eo ía de las Ideas. Pe o no sólo es en él donde hallamos po p ime a ez es imoniado ese concep o de igualdad, sino que, aunque haya sido empleado po los ma emá icos an es que él habla a del mismo su explici ación ha sido al espec o an decisi a como lo ue, en lo conce nien e a la mencionada « e- glamen ación)) de los p incipios axiomá icos, la explici ación de A is ó eles en los capí ulos 2 y 10 del p ime lib o de los Segundos Anali icos. Al espec o, la in- o mación de P oclo sob e los a ances ma emá icos ealizados en el ma co de la Academia, en pa icula las compilaciones de elemen os com la de León y sob e odo la de Teudio de Magnesio (In Eucl., 66, 14-68, 20, si es co ec a, se condice muy bien con lo que sos enemos. ¿Cuando comenzó en onces la ma emá ica cien í ica? ¿Con el uso de la de- mos ación empí ica como la cabe a ibui a Tales? ¿Con el ecu so pos -pa me- nídeo a la deducción, al ez con Teodo o de Ci ene e Hipóc a es de Quíos? ¿O con és os, en la medida que han podido pa i , en sus azonamien os, de p incipios axiomá icos? ¿O sólo a pa i del momen o en que, en base a la búsqueda de pau- as pa a la a gumen ación en la Academia pla ónica, se sis ema iza la undamen- ación axiomá ica de los azonamien os ma emá icos? De acue do con lo dicho hacia el comienzo de es e a ículo, si el c i e io que empleamos es el de « ecundidad» cien í ica, debemos concede azón a quienes pos ulan la p ueba deduc i a como la ins ancia cuyo su gimien o es decisi o pa a el a ance de la ma emá ica. Sin duda que ambién es de suma impo ancia pa a el es ablecimien o de la ma emá ica como ciencia la sis ema ización axiomá ica. pe o esa impo ancia sólo es decisi a si se p io iza el c i e io de «o ganización» (o el de « igo ») de los conocimien os sob e el mencionado de « ecundidad». Pe o ales o os c i e ios, como hemos is o, no son su icien es pa a di e encia lo «cien í ico» de lo «ex a-cien í ico» y «p e-cien í ico» y explica el desa ollo e olu i o del p ime o de ales ámbi os. 26 i En ahona 21, 1993 Consado Egge s Lan De es e modo, no es la e ección de un sis ema axiomá ico-deduc i o (e ec- ción, po lo demás, en e olución casi cons an e, ya que ni Euclides la in en ó de golpe, sino que más bien ecopiló lo que e a p oduc o de más de un siglo de es- ue zos, ni la hizo pa a oda la e e nidad, aunque haya a dado unos cuan os siglos en admi i co ecciones o al e na i as) el hi o que sepa a la ma emá ica cien í ica de la p e-cien í ica. Y ampoco lo es el supues o in en o de Tales de demos a - odo lo que se le ocu ie a- empí icamen e, ya que los alcances del epha mó- zein son cla amen e limi ados y además obligadamen e aislados. Sí lo es, en cam- bio, la aplicación de la p ueba deduc i a a las ma emá icas, en algún momen o en- e el poema de Pa ménides (4901480 aC) y el Menón de Pla ón (3901380 aC.), que muy bien puede habe sido en e los años 430 y 400, con los abajos de Teodo o de Ci enne e Hipoc á es de Quíos. Cie amen e que, como hemos dicho, pa a que nues a p esunción de que en es os abajos se halle una e dade a p ueba deduc- i a, p esuponen algunos p incipios axiomá icos de igualdad abs ac a, como las Nociones Comunes de Euclides 1 a 3 (la úl ima de las cuales -que implica las o as dos- es ya ci ada po A is ó eles, p. e. Seg. Anal., 1, 10: 76a41, ((cuando se sus aen cosas iguales a cosas iguales, las cosas es an es son iguales))). Pe o no p esuponen una o ganización sis emá ica de es os p incipios, aunque P oclo e- coge la e sión de que Hipóc a es « ue el p ime o de quien se iene mención que haya compues o un lib o de elemen os» (In Eucl. 66, 7-8). Tal ez no haya exis- ido una o ganización sis emá ica has a Tee e o y Eudoxo, con los abajos del p i- me o sob e las líneas i acionales y del segundo con su eona de la p opo ción, que pe mi ie on domeña ma emá icamen e el ámbi o de la i a~ionalidad~~. 37. Es e abajo ha sido edac ado en base a las no as de clase de un cu sillo dado en el Depa amen o de Filoso ía de la Facul ad de Le as de la Uni e sidad Au ónoma de Ba celona, en e ene o y ma zo de 1988, en el ma co del p og ama de sabá icos del Minis e io de Educación y Ciencia de España.