La construcción histórica del concepto de fuerza centrípeta en relación con las dificultades de su aprendizaje

HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSENANZA LA CONSTRUCCION HISTORICA DEL CONCEPTO DE FUERZA CENTRIPETA EN RELACION CON LAS DIFICULTADES DE SU APRENDIZAJE CASADELLA REIG, J y BIBILONI MATOS, L. E.U. de Fo mación de Maes os «San Cuga del Valles)) y Semina io de His o ia de las Ciencias. Uni e sidad Au ónoma de Ba celona. SUMMARY The concep ual e o s which appea in he p ocess o lea ning, keep some pa allellism wi h he his o ical p ocess o he building o science. As i migh be help ul o n a didac ic poin o iew, we y o go h ough he main his o ical pe iods which led o he consolida ion o he concep o cen ipe al o ce, also emphasizing he con ex in which i de eloped. 1. INTRODUCCION Nadie iene di icul ad en admi i que es posible hace con a es a con enien emen e los e ec os del peso. Sin gi a po encima de nues as cabezas un cubo con agua emba go es a opinión no es á de acue do con la mecá- sin que és a se ie a. Pe o a la ho a de in e p e a a- nica new oniana. les hechos a la luz de alguna eo ía su gi án, p obable- men e, di e encias de opinión. Una in e p e ación muy De hecho el concep o de (( ue za cen ípe a)) es de los co ien e a i ma ía que el agua al e se obligada a des- que peo se ap enden en los es udios de Física a ni e- c ibi una ayec o ia cu ada es ana suje a a una les elemen ales (EGB, BUP, e incluso p ime os cu sos (( ue za cen í uga)), que ende ía a apa a la del cen- de la Uni e sidad), quedando en es ado de con usión o de cu a u a, una de cuyas componen es pod ía pe manen e, en la mayona de los casos, al no habe ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1985, pp. 217-224 217 HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA ocasión de p o undiza en cues iones de Física a o os ni eles. Tal ez ambién sea de los concep os que peo se enseñan. Después de analiza di e en es lib os de ex- o de EGB y BUP, se puede ene la imp esión de que odos ellos ep oducen un mismo esquema, que pa e del es udio del mo imien o, abs acción hecha de sus causas y pe u baciones, las cuales se discu i án apa - e pos e io men e. Una ez se ha pues o de elie e el ca ác e ec o ial de las ue zas, así como del mo i- mien o, se es á en condiciones de so p ende a los es- udian es con una ex a agancia de la na u aleza: el mo- imien o ci cula uni o me es acele ado. La cele idad con que se mue e el mó il es cons an e y sin emba go se acele a. Ello es debido, se explica, al cambio pe - manen e de di ección del mo imien o, un e ec o que solo puede en ende se g acias al ca ác e ec o ial de la elocidad. Ra a ez se elaciona en los lib os de ex- o es e ipo de mo imien o con el Sis ema Sola y la G a i ación Uni e sal. En los eje cicios de aplicación, los es udian es pueden esconde sus con usiones en e- lación con la ue za ce ípe a, causa de la acele ación cen ípe a, de ás de desa ollos algeb aicos que con- ducen a esul ados o malmen e co ec os, o de alse- dad no con as able. Con a iamen e a la impo ancia pedagógica que se le con ie e, el concep o de-(( ue za (y acele ación) cen n- pe a» ha jugado his ó icamen e un papel c ucial en el es ablecimien o de lo que se ha enido a llama Mecá- nica Clásica. New on se apoyó en él pa a diseña una es a egia encaminada a descub i la ley de a iación, con la dis ancia al sol, de la ue za (cen al) que e e- nía a los plane as en sus ó bi as. Pe o an es la huma- nidad hubo de ence g andes di icul ades in elec ua- les. Ello da una idea de su di icul ad in ínseca. Siguien- do un pa alelismo en e el p oceso de ap endizaje y el p oceso his ó ico de cons ucción de las Teo ías cien- i icas (Piage 1970) las e apas eco idas has a la ad- quisición de una o mulación é il del concep o de ue za, suminis an un esquema de los posibles obs á- culos o e o es concep uales que hay que supe a , usan- do la e minología de Bachela d (1938), pa a que se p oduzca una e dade a asimilación del mismo. de que la mayona de las es ellas, incluso el sol, la lu- na y los plane as salen po el Es e desc ibiendo un a - co de ci cun e encia po encima del ho izon e hacia el Oes e. Sin emba go el sol, la luna y los plane as no apa- ecen sob e las mismas cons elaciones es ela es du an- e odo el año sino que anan su posición espec o de las cons elaciones siguiendo ciclos egula es. Razón po la cual no podían es a con enidos en la misma es e a que las es ellas. Cada uno gi aba a su ez, con eloci- dades di e en es. Du an e la ci ilización g iega se pos- ula on dis in os modelos as onómicos de en e los cuales des acan los debidos a A is aco, A is o eles y P olomeo. A is ó eles (s. IV a. de C.), segun Fa ing- on (1969), pos uló 55 es e as, pa a explica los mo i- mien os de la luna, el sol y los plane as. A is aco de Samos (s. 111 a. de C.) pos uló un sis ema p ecu so del de Copé nico, heliocén ico y con la Tie a en o- ación sob e su eje además del de aslación ci cula al ededo del Sol. Po úl imo Claudio P olomeo con- eccionó un modelo geocén ico con los plane as mo- iéndose en epiciclos (Hol on-B ush 1976). Lo que in e esa des aca aquí, es que ningún ilóso o g iego puso jamás en duda que los mo imien os as o- nómico~, uesen o ci cula es, o combinaciones de mo- imien os ci cula es. Dejando a un lado los mo imien os epicíclicos de la as onomía p olemaica, Copé nico (1543) es au ó las es e as que con enían a los plane as es a ez con cen- o en el Sol. O a inno ación cope nicana impo an e consis e en es ablece una je a quía de elocidades de las es e as en o den dec ecien e a medida que aumen- aban de diáme o. Así pues la que con enía las es e- llas pe manecía en eposo con a iamen e a la opinión de A is ó eles que conside aba en ella el p incipio del mo imien o. Pa a Copé nico el «cen o» del mo imien- o adicaba en el Sol. Es a idea ue desa ollada p o- piamen e po Keple , quien supuso que el Sol en iaba al espacio una especie de p incipios mo ices, que al se abso bidos po los plane as los impulsaba de ma- ne a que su elocidad e a p opo cional a la can idad abso bida. No cues a comp oba que la can idad de p incipios mo ices que se pueden encon a en una e- gión del espacio debe se p opo cional al in e so del Cuad o de ia dis ancia. ~s e esul ado da una idea de 2' DEL Mo lMIENTo 'IRCULAR DE LAS la ue za y pe sis encia his ó ica de las conje u as de ESTRELLAS A LA LEY DE INERCIA Keple , más allá de su e acidad y igencia. Segun Koy- Pa a los ilóso os g iegos el mo imien o ci cula e a el más na u al y pe ec o de los posibles. En una p i- me a in e p e ación de los mo imien os celes es, las es- ellas es aban con enidas en una es e a mó il en cuyo cen o se encon aba la Tie a, es é ica a su ez. Pues- o que en es e modelo (Kunh 1978), la es e a de las es- ellas daba una uel a en o no a un eje pola cada é (1950), además, Keple suponía, e óneamen e, que los plane as se mo ían con una elocidad in e samen- e p opo cional a la dis ancia al Sol. Así que supuso al Sol un mecanismo de aho o, que hacía que és e só- lo adia a mo imien o en el plano de la Eclip ica, donde se encon aban los plane as, y no al espacio acío donde se despe diciana inú ilmen e. 23 h 56 m, cada es ella, en es e mismo iempo, debia Keple concebia a los cue pos, incluidos los plane as, desc ibi una ci cun e encia. El sen ido de gi o de la como do ados de la p opiedad de esis i a mo e se. supues a es e a debia se dex ogi o (el de las agujas A es a p opiedad la llamó ine cia (Koy é, A. 1950), y del eloj) con emplada la es e a desde el polo no e de el Sol debía impulsa los con inuamen e pa a que pu- la misma. Tal idea es compa ible con la obse ación die an ence dicha esis encia. HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSENANZA Un cambio adical del plan eamien o lo in odujo Ga- lileo Galilei (Galileo Galilei, 1638). Después de es u- dia el mo imien o de los cue pos en planos de di e - sa inclinación llega a la siguien e conclusión (Disco si, escolio del p oblema IX, p oposición XXIII): «Ade más, se puede supone con azón que, sea el que ue e el g ado de elocidad que se dé a un mó il, queda po na u aleza indeleblemen e imp eso en él con al de que no in e engan causas ex e nas que lo acele en o e a - den; al es ado cons an e solo ocu e en el plano ho i- zon al». Sin emba go Galileo no acla a lo que ocu e en aquellas si uaciones en que el plano del ho izon e se sepa a signi ica i amen e de la supe icie es é ica de la ie a, a la que es angen e. 3. DE LA FUERZA CENTRIFUGA A IdA FUERZA CENTRIPETA Pa a que un cue po abandone el es ado de mo imien- o ec ilíneo y uni o me necesi a de una ue za p oce- den e del ex e io . ¿Pe o qué ocu e cuando un cue - po gi a en una ó bi a ci cula ? Desca es opinaba que apa ecía en él una endencia a aleja se del cen o, que debía compensa se pa a que el cue po gi ase equilib a- damen e en un cí culo. Si, po ejemplo, se hace gi a una pied a en una honda obligándola a desc ibi un cíx- culo FAB ( ig. 1) de cen o en E, su na u al endencia, una ez adqui ida cie a elocidad en A, se ía segui en mo imien o ec ilíneo has a C, siguiendo la angen e en el pun o A. Pues o que la honda la obliga a gi a hacia B, la pied a esponde con una « endencia» a apa - a se de E segun la di ección adial EBC. El in e és de los cien í icos en cla i ica el mo imien o cu ilíneo se debía, na u almen e, a la necesidad de comp ende el mo imien o plane a io a pa i de sus causas, según p oponía Keple . El pun o de is a de Desca es y de Huygens e a que la ue za «cen í uga» ( é mino acu- iado po Huygens en su a ado Ho ologium Oscilla- o ium, publicado en 1673), o iginada po el mo imien- o cu iííneo de los plane as los aleja ía a menos que el Sol los e u ie a po alguna o a ue za. Huygens (1673) calculó además que la ue za cen í uga ci cu- la e a p opo cional al cuad o de la elocidad e in e - samen e p opo cional al adio del ci culo. De hecho, un plane a suje o a un equilib io al de ue - zas, una cen í uga y o a hacia el cen o, a la luz de la eo ía New oniana, desena segui una ayec o ia ec ilínea, si e a co ec a la ley de ine cia de Desca - es. Según a i ma Cohen, (Cohen I.B., 1981) el p ime- o que dio un paso adelan e en el análisis del mo imien- o de los plane as ue Hooke, que gene alizó el mé o- do de análisis u ilizado po Galileo (Galileo 1638) en el caso de los p oyec iles que, segun demos ó, desc i- ben ayec o ias pa abólicas. La esencia del mé odo consis e en conside a que el mo imien o obse ado en cada pun o es la esul an e según la ley del pa aleló- g amo, de la composición de dos mo imien os; uno a lo la go de la angen e a la ayec o ia e i icando la ley de ine cia, y o o que i a de los plane as hacía el Sol apa ándolos con inuamen e de la angen e. Hoo- ke e eló es e mé odo de análisis a New on en e 1679 y 1680 (Cohen 1981), (New on llamó a es a ue za « en- ípe a)) en hono a Huygens) al iempo que le pedía que es udia a las p opiedades de la cu a desc i a po un cue po some ido a un pode a ac i o cen al que lo des ia a de su mo imien o ine cia1 a lo la go de la angen e, cuando la in ensidad de la ue za a iaba en p opo ción in e sa al cuad ado de las dis ancias. Hoo- ke u o que ecu i a New on po que ca ecía de la ca- pacidad y los conocimien os ma emá icos que ca ac e- izan a New on. Pa a ilus a las di icul ades supóngase una ó bi a elíp- ica. Po hipó esis, el Sol colocado en un oco de la elipse eje ce ía, sob e el plane a, una ue za a ac i a in e samen e p opo cional al cuad ado de la dis ancia a que encuen a el plane a del Sol. (Fig. 2). Hooke su- ponía que en un pun o cualquie a de la ó bi a, P po ejemplo, el plane a iene una cie a elocidad que lo lle- a ía a R después de un cie o iempo . Sin emba go, anscu ido es e iempo el plane a se encuen a en Q. Fig. 2 Fig. 1 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA Es como si se hubie a desplazado de R a Q median e siemp e ini as. P ocede de la siguien e o ma: P olón- un mo imien o acele ado que se inició en P sin eloci- guese la ec a AD has a el pun o emo o d- ijo y áce- dad en la di ección RQ. Sin emba go la ue za que i- se la ec a dR pa alela a la di ección BD dada; a con i- a del plane a hacia S es dis in a en Q que en P, an o nuación pa a cada posición de B p olónguese AB has- en in ensidad como en di ección, ya que P y Q se en- a b y cons úyase el a co Acb homo é ico al ACB se- cuen an a di e en e dis ancia de S y además las ec as gún la azón 1(B) = AD: Ad = AB: Ab (igualdad que SQ y Sp no son pa alelas. Po si ue a poco, el seg- debe e i ica se po la semejanza de los iángulos ABD men o RQ iene una di ección in e media en e SP y SQ; y Abd). Se e i ica á po an o: 1 (B) = AB:Ab = es o es, no coincide con ninguna. AD:Ad = ACB:Acb en consecuencia: AB:ACB = Ab:Acb ; AB:AD = Ab:Ad pa a cualquie posi- El p oblema es de una di icul ad o midable cuando ción de se man end á la igualdad de las azones que no se dispone del complejo apa a o ma emá ico pa a no el alo de las mismas. Mien as el pun o se ap o- su adecuado a amien o. No es de ex a ia que Hoo- xima al A, el pun o se ap oxima al y el a co Acb ke se sin ie a impo en e pa a esol e lo dado que no queda aplas ado en e las ec as Ad y Ab, in ui i amen- dis~Onia de las he amien as necesa ias pa a su a a- e, es ue emen e e iden e que las longi udes Ad, Acb New Oni aunque hacía silos que es aba en Po- y Ab, ienden a coincidi y que en consecuencia la a- sesión de su Calculo de Fuxiones, no lo u ilizó pa a el zón Ab: Acb y Ab:Ad ienden a la AB:CB a amien o de es e p oblema y dando una ez más y AB:AD ienden ambién a la mues a de su aila genial c eó un nue o mé odo de aná- lisis ma emá icos que él conside ó idóneo pa a el a- Hoy en día es a demos ación dis a mucho de alcan- amien o de los p oblemas de la dinámica, y que u ili- za los cánones de igo exigidos po la o odoxia es- zó casi de o ma exclusi a en los P incipia (Whi eside, ablecida a lo la go de muchos siglos de i ubeo y di i- 1970). cul ades pe o des ila una i alidad y con icción di ici- les de encon a en los lib os de ex o ac uales. A í ulo de ejemplo del es ilo new oniano de análisis en los P incipia, se p opone la siguien e discusidn o- mada del lema VII. Se a a de demos a que dado el 4- LAS FUERZAS CI3NTRIPETAS Y LA LEY a co de cu a ABC (Fig. 3) sub endido po su cue da DE LAS AREAS AB si en pun o A se aza la angen e AD po New on, en los P incipia, u iliza el a caico lenguaje de ijada una di ección a bi a ia se ialada po la ec a BD las p opo c~ones~ Es o le pe mi e, una ez o mulada cuando el pun o se hace ende al A, las longi udes su segunda ley al p incipio de 10s mismos, u iliza el de las cue das AB, los ACB, y los de concep o de ue za y acele ación indis in amen e, aun- angen e AD ienden a la azón de igualdad. De o ma que acos umb a a u iliza el p ime o. Ambos son p o- más p ecisa esc ibi íamos que: po cionales y la cons an e de p opo cionalidad es la ma- AB , lim AB - 1 lim - B-A ACB B-A AD sa o can idad de ma e ia, según la llamaba el p opio New on. En el lenguaje new oniano (L.. a i mo que las azones p ocedió New on pa a halla la un- úl imas la cue da, y la cada una de ípe a de los plane as? Lo p ime o edujo un p oble- ellas a cualquie a de las o as, es la azón de igualdad)). ma en el que una magni ud ísica, al como Pa a su demos ación u iliza una écnica new oniana el iempo, a un p oblema de geome ía pu a, median- básica en el cálculo de lími es de magni udes geomé- e la llamada «ley de las á eas». Es a ley, es ablece que icas e anescen es, que consis e en cons ui igu as el á ea «ba ida» po el segmen o que une un plane a semejan es a las «in ini esimales» que se man engan al Sol es di ec amen e p opo cional al iempo in e i- do en el eco ido. Supongamos (Fig. 4) que en un de- ¿ e minado iempo- eco e un a co de elipse PQ. El iángulo cu ilíneo SPQ delimi a un á ea que es p o- po cional a . En el lenguaje de las p opo ciones, u ili- za el iempo es equi alen e a u iliza el á ea ((ba i- da» en el anscu so de es e mismo iempo. Después de que Keple enuncia a esa ley de las á eas pa a los plane as, quedó casi en el ol ido. No e a ácil usa la, y no se ap eciaba adecuadamen e su alo an- es de que New on descub ie a y e ela a su pode . E a la pied a de oque que educía los p oblemas dinámi- cos a p oblemas de geome ía, pues o que la ley de las á eas es equi alen e a la exis encia misma de una ue - a za cen npe a di igida hacia un pun o del espacio, es- pec o del cual se e i ica la ley, incluso de e minable si no ue a conocido. Cualquie ue za cen ípe a im- 220 ENSEGANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSENANZA plicaba inexo ablemen e la ley de las á eas y ice e - sa, al como New on demos ó. Siguiendo un azonamien o pa ecido al de New on, en p ime luga considé ese un cue po mo iéndose sin que en él ac úe ue za alguna. Resul a que se cumple la «ley de las á eas)) desde cualquie pun o del espacio que se conside e. Supongamos, (Fig. 5) que el cue po a da el mismo iempo en i de A a B que en i de B a C. En onces los segmen os AB y BC se án iguales, po se el mo imien o uni o me. Los iángulos SAB y SBC end án á eas iguales sea cual sea el pun o S que se con,- side e. Así pues se e i ica á la ci ada ley de las á eas Fig. 5 espec o del pun o en cues ión. En segundo luga , su- pongamos que en B el cue po es impulsado hacia S, adqui iendo una cie a can idad de mo imien o que ins- an áneamen e lo des iana de la di ección ec ilínea obligándole a i a C' en luga de C siendo CC' un seg- men o pa alelo a SB. Los iángulos SBC y SBC' ie- nen un lado común que se puede conside a como ba- se de los iángulos con espec o a la cual los é ices C y C' es án a idén ica dis ancia (al u a). Po consi- guien e ienen la misma á ea. Y de un modo pa ecido sucede ía si el cue po ue a ecibiendo impulsos ins- an áneos (y can idades de mo imien o) sea cual ue e su in ensidad, al inal de in e alos iguales de iempo. En e ce luga queda deja que los iempos que sepa- an las posiciones A-B, B-c', e c. se uel an in ini esi- males y hace que en luga de impulsos disc e os apli- cados en pun os sepa ados, en di ección a un cen o ijo, ac úe una ue za cen npe a con inuamen e en ca- da pun o de la ayec o ia. New on demues a a con i- nuación P op 11 - Teo ema 11, el eo ema ecíp oco. «Si un cue po desc ibe una ó bi a cualquie a que e i- ica la ley de las á eas espec o de un cie o pun o S en el plano de la misma, su mo imien o es debido a una ue za cen npe a di igida hacia dicho pun o. Es impo an e se iala aquí que el ca ác e ec o ial de las ue zas y elocidades es á cla amen e es ablecido y es esencial en oda la demos ación. G acias a Keple se sabía que los plane as desc ibían ó bi as elíp icas en uno de cuyos ocos es aba el Sol. A su ez los adios ec o es que unían al Sol y a un plane a pa icula desc ibían á eas p opo cionales a los iempos. Po consiguien e debía exis i una ue za di- igida pe manen emen e hacia el Sol, que los sos u ie- a en sus ó bi as. Es ecuen e en la ac ualidad enun- l cia la ley de las á eas de Keple a pa i de la llamada elocidad a eola , que se puede de ini como el cocien e en e el á ea ba ida y el iempo empleado en ba e la. En p esencia de una ue za cen ípe a el á ea ba ida con elación a ese cen o es p opo cional al iempo. Es- o es equi alen e a a i ma que la elocidad a eola es cons an e (p ecisamen e la de p opo cionalidad). En al caso, es o conlle a una ley de a iación de la eloci- dad a lo la go de la ayec o ia. La elocidad de un cue po some ido a una ue za cen- npe a y que desc ibe una ayec o ia cu a al ededo de es e cen o, es in e samen e p opo cional a la dis- ancia exis en e en e el cen o, hacia el que se di igen las ue zas, y la angen e a la ayec o ia que pasa po el cue po en un momen o dado. Supongamos que el cue po es á en P en un momen o dado, a lo la go de una ayec o ia cu a. T anscu i- do un in e alo de iempo muy peque io el cue po es- a á en P'. El á ea implicada en es e desplazamien o se á la del iangulo cu ilíneo SPP'. Tomando como base del mismo PP' - ecué dese que ya se demos ó que en el lími e el a co, la cue da y la angen e ienen la azón de igualdad- y como al u a el segmen o de ENSERANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA 1 pe pendicula a la angen e SY, la elocidad a eola , que debe se una cons an e que llama emos K, se ex- p esa á como. K= 1/2 SY . PP' = ' SY . PP' 2 El módulo de la elocidad cuando se haga ende el iempo a ce o se á pp': . Llamando d al ángulo o - mado po la angen e a la ó bi a en P y el adio ec o posición SP, ob enemos SY = SP. Sen d , esul ando 2K = . SP sen d , exp esión equi alen e a la an e- io . Hoy en día es a exp esión se conoce como la ley de conse ación del momen o angula en un campo cen al. En e ec o, mul iplicando la igualdad an e io po la masa de cue po se ob iene. m . SP sen o< = L siendo L el módulo del ec o momen o angula que esul a se el duplo de la masa po la elocidad a eola . Es a elación se exp esana esc ibiendo lim - = 1 -o i/Z ac 2 .. ..- (obsé ese que llamando a, la acele ación, 1/2 de a, 2 se á el á ea del iángulo ec ilíneo DAC); pues o que a, es ini o y no in e iene en el cálculo del lími e po- demos esc ibi 2X F, cC a, = lim - -o 2 elación analí ica equi alen e al enunciado an e io . 4 Fig. 7 5. DE LAS ORBITAS ELIPTICAS DE LOS PLANETAS A LA LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL Después de analiza la elación exis en e en e las ue - zas cen ípe as y la ley de las á eas de Keple y usando como he amien as básicas los eo emas que conc e- an es a elación jun amen e con la in uición dinámica undamen al que se explici a en su segunda ley del mo- imien o, New on desa olló un mé odo pa a calcula a pa i de ó bi as dadas que e i iquen la ley de las á eas espec o de un pun o S, la ley de la ue za cen n- pe a que las de e mina. Ab e iando se podna deci , que el mé odo es una ge- ne alización de la ley de caída lib e de Galileo Galilei. U ilizando la misma écnica que en el lema de las lon- gi udes de la cue da, el a co, y la angen e y los mis- mos s anda ds de igo , demues a (P incipia lemas IX y X) que en el momen o de inicia se el mo imien o de un cue po en la di ección de la ue za que lo impulsa, los desplazamien os que el cue po e ec úa en es a di- ección son p opo cionales a la ue za y al cuad ado del iempo in e ido en eco e los. Dejando de lado la idelidad al ex o o iginal y u ilizando el lenguaje ac- ual podemos esumi lo diciendo que si el g á ico (Fig. 7) o las o denadas ep esen an elocidades y las abci- sas iempos, el á ea bajo la cu a ep esen a á el des- plazamien o en la di ección que ac úa la ue za, mien- as que la pendien e de la ec a angen e a la cu a en el o igen, ep esen a a la acele ación (p opo cional a la ue za eje cida) en el pun o de la ó bi a conside a- do y en la di ección de ac uación de la misma. Se a- a ía simplemen e de demos a que en el lími e, cuan- do el iempo iende a O, la azón del á ea cu ilinea DAB al á ea ec ilínea DAC es la unidad. Llamando x al desplazamien o (en o ación mode na x ( ) = ( ) d .). iempo Podemos pasa aho a al análisis en el caso bidimen- sional. Supongamos que un cue po es á some ido a la acción de una ue za cen al di igida hacia el pun o S (Fig. 8) que le obliga a desc ibi la ó bi a cu ilínea APQ, y que en el pun o P la magni ud de esa ue za es igual a Fc. El esquema básico de análisis New onia- no, supone que si no ac ua a ue za alguna, en un iem- po , el cue po se desplaza ía has a R cumpliendo la ley de ine cia, pe o que, debido a la acción con inua de la ue za di igida hacia S, al cabo de es e mismo iempo se encuen a en Q. En es as condiciones QR e- p esen a á el desplazamien o p oducido (caída desde la angen e) po acción de la ue za en la di ección que ac úa. Es amos en el inicio mismo del mo imien o en esa di ección. Cuando los iempos implicados son in- ini esimales, el a co PQ se con unde con la cue da que lo sub iende y con la angen e. Teniendo en cuen a el Fig. 8 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSENANZA lema an e io men e ci ado, la ley de las á eas, y u ili- zando el lenguaje de los lími es, más p óximo a nues- a ac ual o ma de hace , podemos esc ibi . lim á ea SPQ = c e. y po lo an o -o RQ ~~a( lim d lim - - 1 RQ - - lim - -0 2 Q-p (SP* QT)2 SP2 Q-P QT2 (obsé ese que 1/2 SP. QT = á eas SPQ, si se iene en cuen a que los iempos son in ini esimales). El mé odo básico New oniano pa a calcula la ley de la magni ud de la ue za cen al que de e mina una ó - bi a dada, consis e pues, en calcula pa a dicha ó bi a el lími e: cuando el pun o Q se ap oxima inde inidamen e al pun- o P. Cómpu o que en gene al dis a mucho de se elemen al. Hooke pidió a New on que esol ie a el p oblema in- e so en un caso pa icula , es deci : conocida la ley de ue za - in e samen e p opo cional al cuad ado de la dis ancia - compu a la ó bi a. A pa i de la e ce a ley de Keple e a ácil deduci que la ley de ue - zas pa a el mo imien o ci cula (elíp ico) debía se i i- e samen e p opo cional al cuad ado de las dis ancias. New on u ilizando las he amien as explici adas an e- io men e empieza demos ando que si la ó bi a es una de las secciones cónicas la ley debe se cuad á ico in- e sa si se e i ica la ley de las á eas espec o de uno de sus ocos. Pa a ello le bas a demos a que, pa a las es secciones cónicas elipse (ci cun e encia), pa á- bola e hipé bola, el lími e RQ/QP2 cuando el iempo iende a ce o es cons an e pa a cualquie pun o P de la cónica. Pues o que en onces la ue za debe ía se p opo cional a l/SP2 como se sigue de las an e io es ó mulas. En e ec o, en los p oblemas VI, VI1 y VI11 del lib o 1 de los P incipia, demues a que pa a las cónicas RQ lim -= 2~ Q-P QT2 siendo 2p el lado ec o p incipal. Dando po sen ado (sin demos ación) que ijadas las condiciones iniciales de posición y elocidad (módulo y di ección) el mo imien o queda de e minado, a í - ma la alidez del eo ema ecíp oco expiíci amen e (exis en en e algunos expe os ue es con o e sias so- b e la alidez de las demos aciones que da New on al espec o - e Weins ock 1982-). Aquí es p ecisamen e donde empieza, y no donde e - mia, la imp esionan e a en u a in elec ual de los P in- cipia. Al es udia los es ácil comp ende la a i mación de Cohen de que «es di ícil encon a o o lib o cien í- ico en oda la his o ia que en añe un cambio an com- plejo en el es ado del conocimien o ela i o a la ísica celes e y e es e. mado ma emá ico que cons uye, que New on llega a la in uición undamen al de la Teo ía de la G a i ación Uni e sal (Cohen 1981). La p opiedad de a ae a los cue pos as onómicos no es exclusi a del Sol. La ie a a ae a la Luna, Jupi e a sus sa éli es y además las ma eas ponen de elie e que ambién la Luna a ae a las aguas oceánicas. El peso mismo de los cue pos no es más que el esul ado de la a acción que eje ce la Tie a sob e ellos. De odo ello New on concluyó que la ue za de a acción de los g a es se ex iende a odo el uni e so, y se eje ce a mo- do de in e acción en e oda la ma e ia. CONCLUSIONES l 1.- Los p oblemas que in e esan a la his o ia de la ísica, se plan ean y esuel en en un con ex o comple- jo, o mado po una acumulación de conocimien os empí icos, de conje u as, de eo ías, e c. in e accionan- do en e sí, con ecuencia con adic o iamen e. El éxi- o en la e olución de la ísica suele eni co onado po la concu encia de una o midable capacidad ma emá- ica, jun o con la adopción de concep os y p incipios ísicos cla os. Con ecuencia una eo ía es uc u ada ma emá icamen e cons i uye una epopeya del pensa- mien o y de la ci ilización, compa able a una ca ed al gó ica. Puede que sea un monumen o con más o me- nos igencia, pe o en odo caso p oduce una sensación de g andeza, de belleza y de a monía g a a a los sen i- dos. El sis ema del mundo al como queda desc i o en los P incipia de New on es un p o o ipo singula de a- les edi icios in elec uales. Po consiguien e es digno y posi i o que la enseñanza de la ísica p es e g an a en- ción a la mecánica, llamada ac ualmen e, clásica. 2.- La mayona de los lib os de ex o u ilizados en la enseñanza de la ísica a ni eles elemen ales (EGB, BUP, COU) adolecen de un mismo de ec o undamen al con dos ca as. Po un lado desapa ece el con ex o en el cual su gie on his ó icamen e los concep os y p incipios i- sicos, las e apas que se hubo de ence . Es e hecho se da de la mano con una p esen ación i ializada y es- quemá ica de los mismos, que en nada con ibuye a su- pe a las di icd ades psicológicas, és o es, los p econ- cep os e óneos que in a iablemen e se p esen an en el p oceso de ap endizaje (Bache la d 1938). Po o o lado la pé dida de la a ención que se debe a los con- cep os ísicos, se compensa con un exage ado én asis pues o en la mecánica de cálculo con que se p esen a el desa ollo eó ico de los emas. Se induce a pensa a los es udian es que han comp endido, únicamen e, si pe ciben la co ección o mal del desa ollo ma emá ico. Esa de o mación pedagógica ae consigo la pé dida de la imaginación c ea i a y de la capacidad c í ica, al iempo que omen a la alsa opinión de que el p oceso cien í ico, o el p oceso de in es igación en ísica, se e ec úa sólo a base de azonamien os ma emá icos, asen ados sob e la base de p incipios i iales e Es a pa i de la con as ación que le pe mi e el en a- inamo ibles. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA 3.- La apa ición his ó ica del concep o de ue za cen- ípe a ue un hecho de singula impo ancia, que se p odujo in oluc ando la cla i icación de di e en es as- pec os del concep o de ue za en gene al, ales como su ca ác e ec o ial, los e ec os dinámicos que una ue za p oduce sob e un cue po en mo imien o, así ce mo la mane a de compone y descompone ales e ec- os. Aunque New on no cali icaba de ec o es a las ue zas, es e iden e que enía en cuen a el ca ác e di- eccional de su ac uación. Pa a él una ue za aplicada sob e un cue po le añadía mo imien o con inuamen e en la di ección y sen ido pa icula es en la linea de ac- uación de dicha ue za. Es e mo imien o se debía com- pone con el p opio del cue po (el que és e poseía y que man enía de acue do con la ley de ine cia). El mo i- mien o esul an e e a la diagonal del pa alelog a no o - mado a pa i de ambos mo imien os. Da se cuen a de és o compo a un ni el de comp ensión supe io a la composición de ue zas aplicadas sob e sis emas en equilib io, o es á icos, mien as que aiiade un nue o sen ido a la ley de ine cia. Llama la a ención el hecho his ó ico de que Desca es, que an co ec amen e ha- bía enunciado la ley de ine cia, no eía cla o que de de, del momen o angula y de su conse ación en cam- pos de ue zas cen ales. Nunca se es ablece un nexo en e la conse ación del momen o angula y la ley de las á eas. Es o se debe a que, gene almen e, las no as his ó icas se u ilizan únicamen e como complemen o a la in o mación cul u al (cabe menciona algunas ex- cepciones como es el caso de Hol on y B ush). Recu i a la his o ia puede se un elemen o i aliza- do del ap endizaje si el alumno pa icipa ac i amen e en la dialéc ica del desa ollo concep ual en si uacio- nes de edescub imien o di igido. (Gil 1983). 5.- Po úl imo cabe insis i en el aspec o in e disci- plina de la ísica y las ma emá icas. En conc e o la his- o ia del las ue zas cen ípe as o ece la posibilidad de abaja el concep o de lími e elacionado con as- pec o básicos de la ísica. Las posibilidades que o ece en es e sen ido la geome ía del mo imien o son dig- nas de conside ación, pues o que posiblemen e no se p oduzca una up u a an b usca con la in uición co- mo en el caso, más abs ac o, de las sucesiones de núme os. se exis en e en el mo imien o ci cula una ue za cen- endencia de los lib os de ísica es la de u iliza las í uga en equilib io con o a cen ípe a, ambas apli- Ccnicas del cálculo e in eg acibn) an p on- cadas sob e un único cue po que es á gi ando, és e de- o como sea posible, sin epa a en que omen an el be ía segui un mo imien o ec ilíneo y no ci cula . ap endizaje de los aspec os mecánicos del cálculo úni- 4.- Con ecuencia en los lib os de ex o de ísica ge- &men e, és o es, a expensas de la comp ensión del sig- ne al se habla de las leyes de Keple y luego, más a - ni icado ma emá ico de las ope aciones que se e ec úan. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS BACHELARD, G., 1938, La o ma ion de I'esp i scien i i- que. (J. V in. Pa is). T aducción espaíiola: La o mación del espí i u cien í ico. (A gos, Buenos Ai es 1948. Siglo XXI 1972). COHEN I.B., 1980, La e olución new oniana y la ans o - mación de las ideas cien i icas. (Camb igde Uni e si y P ess 1980. Alianza Edi o ial 1983. COHEN, I.B., 1981, El descub imien o new oniano de la G a i ación. Zn es igacidn y Ciencia. Mayo 1981. COPERNICO NICOLAS, 1543, De e olu ionibus o bium coeles ium. (Johan Pe eius Nonmbe gae). T aducción es- pa iola: Sob e las e oluciones de los o bes celes es. T ad. a ca go de Ca los Minguez y Me cedes Tes al (Edi o a Na- cional 1982). DESCARTES, 1644, P incipia philoso iae. (Paul Tanne y. Pa is). FARRINGTON BENJAMIN, 1971, Science in An iqui y. (Ox o d Uni e si y P ess). T ad. espaíiola: Ciencia y i- loso ia en la an igüedad (A iel 1971). GALILEO, GALILEI, 1638, Conside aciones y demos a- ciones ma emá icas sob e dos nue as ciencias. Ed. de C. Solis y J. Sadaba. Edi o a Nacional 1981). GIL, T es pa adigmas básicos en la enseñanza de las cien- cias. Enseñanza de las ciencia. Vol. 1, no 1, 1983 pp. 26-33. HERIVEL, J., 1960, New on Disco e y o he Law o Cen- i ugal Fo ce. (ISIS Vol. 51 pp 546-553). HOLTON G. y BRUSH, S., 1976, In oducción a los con- cep os y eo ias de las ciencias ísicas. (Ed. Re e é). JAMMER, M. 1957, Concep s o o ce. A s udy in he un- da ion o Dinamycs. (Ha a d Uni e si y P ess. Camb id- ge, Massachusse s). KUHN T.S., 1957, The cope nican e o u ion. (P esiden and Fellows o Ha a d College). T ad. española: La e olu- ción cope nicana. (A iel 1978-1 98 1). KUHN, T.S., 1962, The S uc u e o Scien i ic Re olu ions. (Uni e si y o Chicago P ess). T ad. espa iola: La es uc- u a de las e oluciones cien í icas. (Fondo de cul u a eco- nómica. México 1975). KOYRÉ, A., 1950, La g a i a ión uni e salle de Keple a New on, (Ac as del VI Cong es In e na ionale d'His oi- e des Sciences. Ams e dam. 1950 Vol. 1 pp. 196). NEWTON, I., 1687, Philosophiae Na u alis P incipia Ma - hema ica. T ad. espaíiola: P incipios ma emá icos de i- loso ía na u al. (An onio Escohoda o. E.N. 1982). PIAGET, J., 1970, La epis emología gené ica, (A. Redondo). WINSTOCK, R., 1982, Disman ling a cen u ies-old my h: New on's P incipia and in e se- squa e o bi s. Am. J. Phys. 50 (7). Jul. 1982). WHITESIDE D.T., 1970, The Ma hema ical P inciples Un- de lyng New on's P incipia. Jou nal o he His o y o As onomy. 1970. pp. 116-138. 224 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS