Enseñanza de la Geometría y didáctica genética

ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA Y DIDACTICA GENETICA NUREZ ESPALLARGAS, J. M'. Escue a Uni e si a is de Magis e i0 de Ba ceIona. SUMMARY In his a icle, a e discussing basic di cc ions o he so-caIled genelica1 didac ics, we speak in a ou o a I y pe o ele nen a y geome y eaching which can balance s ic Iy o mal equi emen s wi h psychopedagogicai ones. The i npo lan con ibu ions which gene ical didaclics may o e o ha eaching, whene e applied in a c i ica1 eaIis ic way. a e also ou lined. Es in e esan e se iala el hecho de que Jean Piage , CC- nocido en gene al po sus doies de polig a o y en pa - icula po sus abajos sob e psicologia in an il, ha de- dicado eia i amen e poc0 espacio i np eso a expIici- a sus ideas pedagbgicas (1). Pe o de sus concienzu- dos es udios sob e el desa o 10 del pensamien o in an il se pueden deduci , y asi Io han hecho di e sos au o es mas o menos p bximos a su b bi a, nume osas e in e- esan es implicaciones de ca ac e pedagógico (2). Es- as apo aciones a la ob a piage iana, po es a basa- das en Ia psicoIogia del nil o, han llegado a cons i ui una au in ica doc ina de c diddc ica psicolbgicabb, que es ecuen emen e denominada diduc~ica genHica, pu - que ccno se [imi a a es udia las eacciones en un peno- do aidado de la in ancia, sino que analiza, desde su nacimien o, la o macibn de Ios concep os y Ias ope aciones en la men e dei ni io>> (3). Pa a cen a la cues ion y si i p e ende una desc ip cibn de allada de 10s a gumen os esg imides po la di- dac ica ged ica, se iala emos en las lineas siguien es sus asgos mas ca ac en's icos. ' El p ime aspec o des acable de una didhc ica basada en las eon'as e olu i as de Piage es el cons an e e- cu so a la accibn como engend ado a de pensa nien o. En e ec o, eco demos que pa a Piage la men e no es ecep Ac lo pasi o, sino un sis ema ac i o, o ganiza i- o y dinimico. Cada sis ema de es i nulos que nos lle- ga del ex e io debe pasa po el il o de unas es uc- u as exis en es, y al mismo iempo ese paso modi ica es as es uau as haclndo as m8s es ables en i ud de ios p ocesos de asimilacibn y de aco nodacion. Las ac- ciones que en el nüio meno de dos allos son exclusi- amen e ex e io izadas, pos e io men e a es a edad, se in e io izan, p ime o como ep esen aciones de obje- os y hechos conc e os, y mal nen e, se o ganizan dan- do luga al en amado Ibgico que ca ac e iza el pensa- mien o del adul o (4). Aho a bien, Ias acciones engend ado as de conocimien- os no se p oducen ai aza , sino que gene ahen e es- las acciones es an di igidas y ienen un p ophi o u ob- je o. Como es ldgico, cuan as mis ideas iene el ni io a su disposicibn, mhs p egun as se puede plan ea y, en uI ima ins ancia, mas elaciones puede es ablece . Es unda nen a , po an o, que el niilo no s610 pueda manipula ísica y men ahen e 10s obje os de su en- o no. sino que el educado Ie ponga en con ac o con el mayo nume o de ellos, pa a es imula su cu iosi- dad e inc emen a asi sus ideas. , ,, Seg in la diddc ica gene ica la labo del naes o debe- l i mbs aIlP que e1 simple deja al ni io en libe ad pa a explo a y manipula y el o ece y p esen a nue- os elemen os de es imulo o de juego. Reco demos en es e sen ido que, pa a Piage . cada encuen o con el nundo ea1 modi ica de aIguna mane a la es uc u a cognosci i a. Es os ca nbios es uau ales pa ecen de- pende de la cieacidn de un es ado en eI niilo, que Phi- LUps llama de c con l ic o cognosci i o~~ (S). y ambien de 10s es ue zos del nino pa a esol e es e con iic o y es ablece de nue o el equilib io. Es impo an e ob- i I:.NSSE&ANZA DE LAS CIENCIAS. 1985. pp. 131-135 OTROS TRABAJOS se a que es e con lic o cognosci i o debe o ece una disc epancia óp ima en e los es ímulos ambien ales y las es uc u as cognosci i as exis en es, pues si la con- g uencia es o al en e es ímulo y'es uc u a en onces no se p oduce 1s acomodación deseada y si, po el con- a io, no encaja en absolu o el es ímulo en la es uc- u a, en onces no se asimila. Encon a las cues iones que plan een el con lic o cognosci i o adecuado a la p epa ación y al ni el e olu i o del niiio es la di icul- ad máxima a la que, desde el en oque de la didác ica aené ica. se han de en en a los enseiian es. - A eces se ha que ido esumi el mensaje de la peda- gogía gené ica con la máxima: «el ecu so a la acción» pe o, como ácilmen e se in ie e de lo expues o has a aquí, es a ase no ecoge la complejidad que encie a su e dade a pues a en p ác ica en las aulas. Segun pa- lab as del p opio Piage , (( ecu i a la acción, no con- duce del odo a un simple empi ismo, p epa a la de- ducción o mal ul e io , con al que se enga p esen e que la acción, bien conducida, puede se ope a o ia, y que la o malización más adelan ada lo es ambién)) ,.. (bl. Con iene igualmen e seilala , que algunos au o es han in e p e ado mal el alcance de es a me odología y la han adsc i o undamen almen e a los p ime os ailos de la ida del niiio; pues, si bien es cie o que es en el lla- mado pe íodo sensomo o donde las apo aciones de Piage son más inno ado as, el (( ecu so a la acción)) no debe en ende se li e almen e como una cons icción a la manipulación ísica de los obje os pa a así pode cap a sus elaciones, sino que es a acción debe á en- de g adualmen e a se men al, buscando en onces las elaciones, en el pe íodo de las ope aciones conc e as, a a és p e e en emen e de la manipulación sob e e- p esen aciones de obje os y, en la e apa de las ope a- ciones o males, en la manipulación ya exclusi amen- e men al sob e ep esen aciones de obje os y sob e las p opias elaciones. No sena mínimamen e comple a es a b e e desc ipción, si no hicié amos alusión a que, jun o al g upo de en u- sias as di ulgado es de la didác ica gené ica, hay am- bién un nu ido g upo de au o es que man ienen una ac i ud c i ica. Es as ese as p o ienen de sec o es di- e en es (7), pe o aquí nos limi a emos sólo a mencio- na la c i ica más di undida y que a aiie al'ámbi o de es a me odología, es deci , a la insu iciencia pa a com- p ende el desa ollo de los aspec os no cognosci i os del niiio y, especialmen e, los aspec os socioemocionales. 2. GEOMETRIA ((MODERNA)) VERSUS GEO- METRIA ((CLASICA)) Pa a comp ende la si uación ac ual de la enseiíanza de la geome ia con iene que con emplemos la cues- ión desde sus an eceden es his ó icos (8). En la época clásica, es deci , en la an igua G ecia, la geome ía se apoyaba o almen e en los ecu sos que se de i aban de la in uición espacial; sus mas impo - an es log os se alcanza on al ma gen de la a i mk ica empleando ins umen os elemen ales de dibujo ( un- damen almen e la egla y el compás). A pesa de lo li- mi ado de es os medios la geome na g iega se ele ó a un g ado de desa ollo no ablemen e supe io al de cualquie o a ciencia de su época. Es ableció un com- ple o sis ema de conocimien os basado en unas pocas a i maciones ap ions icas (axiomas y pos ulados) de las que po pu o azonamien o lógico se deducían odas las demás ( eo emas). Es a cons ucción ecogida en el siglo 111 an es de J.C. po Euclides en sus amosos «Ele men as)) cons i uyó p ác icamen e odo el bagaje geo- mé ico disponible po la humanidad has a el siglo XVII. En es e siglo, g acias a la in oducción de los sis emas de e e encia y a la u ilización del Ageb a, apa- ece la llamda geome na anaií ica, que pe mi ió la apli- cación de las écnicas geomé icas en la esolución de múl iples p oblemas an o en el campo de la ciencia co- mo en el de la écnica. De al modo ue uc í e o el ma idaje en e la geome ia y el álgeb a, que a pa i de es e momen o no a a cesa de ac ecen a se el in e- és po el empleo de mé odos es ic amen e algeb ai- cos en la in e p e ación de cues iones y p oblemas geo- mé icos. Jun o a es e p oceso de ((algeb ización)) de la geome na apa ecen o os hechos que an a con i- bui , si no a un echazo o al po pa e de los ma emá- icos de la an igua geome na g iega, sí a su p og esi a ma ginacion, a inconándola en los es udios p ima ios y p o esionales. En e los hechos que p o ocan es e cambio de ac i ud debemos seíiala el descub imien o de «nue as)> geome nas. Es e p oceso si bien se inició ambién en el siglo XVII con los abajos de Desa gues sob e geome na p oyec i a, alcanza su culminación a lo la go del XIX con los es udios de Bolyai, Lo a- che sky y Riemann sob e las geome ías no euclídeas, los de Moebius y del mismo Riemann sob e opología y con la gene alización de los esul ados ob enidos en el espacio o dina io de es dimensiones que lle a a Cay- ley y a G assmann a la cons ucción de espacios mul i- dimensionales. Es a eclosión de la pano ámica geomé- ica ajo consigo una p eocupación, compa ida po las es an es amas de la ma emá ica, po halla una sólida undamen ación eó ica y una es uc u ación que in eg a a odos es os a ances. Po impulso esencial- men e de Hilbe se some ió a un igu oso análisis o - mal los cimien os del edi icio geomé ico pa a adecua - lo a las exigencias con empo áneas de o malización. Y se encon ó en la eona de conjun os desa ollada po Can o a ines del pasado siglo una doc ina que pe mi ía asen a sólidamen e el as o edi icio ma emá- ico, así como el elemen o uni icado que pe mi ía e- laciona amas an dispa es como la es adís ica, la geo- me na, el álgeb a y el análisis. Es a labo de es uc u- ación ue lle ada a cabo undamen almen e po Bou baki. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS l OTROS TRABAJOS Po las implicaciones didác icas que ha enido debe- mos sciiala aquí el modelo alebo ado po Klein en 1872 pa a elaciona las dis in as geome ías. Segiin es e mo- delo las geome ías se pueden clasi ica a pa i de los g upos de ans o maciones, en endiendo po ans o - mación a oda aplicación biyec i a de los pun os de un espacio en si mismo. Asl una geome na es básicamen- e un conjun o de pun os de un espacio y un g upo de ans o maciones de inido sob e él. En el espacio o - dina io de es dimensiones se conside an no malmen- e las geome ías siguien es: euciídea, equi o me, a ín, p oyec i a y opológica. Po encima de las di e en es p opiedades que ca ac e izan a cada una de es as geo- me nas exis e un nexo que pe mi e elaciona las, ya que el g upo de ans o maciones euclideo es á con enido como subg upo en el eqlii o me, és e en el a ín, és e en el p oyec i o y és e en el opológico, siguiendo es e o den de inclusión ap oximadamen e el o den his ó i- co en que hicie on su apa ición las ci adas geome ías (9). ;Cómo se e leja odo es e cúmulo de acon ecimien- os en la ense ianza de la geome na elemen al? Has a ap oximadamen e mediados del p esen e siglo los con- enidos geomé icos que apa ecen en los p og amas educa i os apenas han su ido modi icaciones sus an- ciales siguiendo aun casi li e almen e a los ((Elemen- os~ de Euclides. Además, la ense ianza de la geome- ia y de la a i mé ica se con emplan po sepa ado. En la década de los 50 y po dis in as azones, se le- an a on oces pidiendo una p o unda e isión de la ense ianza de la ma emá ica pa a adap a la a los espec- acula es p og esos que hemos comen ado (10). Se acu- só a la geome ia clásica de se excesi amen e desc ip- i a y de ca ece del necesa io igo sus demos acio- nes, así como. de apoya se desmesu adamen e en la in- uición isual. Pa a la eno ación se p opugnó una o ien ación que u ie a en cuen a los abajos lle ad.os a cabo po los bou bakis as. Es a o ien ación, bajo el epíg a e de ma emá ica ((mode na)), insis e más en los aspec os o males y es uc u ales que en los me amen- e in ui i os y p ác icos. La eo ía de conjun os se in- oduce en la escuela como lenguaje básico y uni ica- d6 de la a i mé ica y de la geome ía. En nues o pais es e mo imien o de e o ma no ha lle- gado a impone se o almen e, bien po la al a de com- p ensión po pa e de los enseñan es de las azones que lo mo i a on, bien po la escasa..adap ación a la eali- dad escola o bien po la simple ine cia del sis ema edu- ca i o. No obs an e, hoy en día, que ya pueden con- as a se las expe iencias lle adas a cabo en los paises o en los cen os impulso es de la ma emá ica mode - na. iende a ex ende se la opinión de que hay muchas cues iones que equie en una e isión. En lo que se e ie e a la ense ianza de la geome ía en las escuelas p ima ias las c i icas que la ma emá ica mo- de na hacía de la geome ia clásica deben ma iza se. Es o almen e cie o que las exigencias de igo en la ma emá ica ac ual son mucho más es ic as que lo ue- on en el mundo g iego. Pe o, ambién es e dad, que la misma noción de igo es ela i a o, como sellala Re- né Thom; «el igo es una p opiedad local del azona- mien o)) (1 1). En cuan o al exceso de in uición espa- cial que ca ac e iza a la geome na clásica hay que e- conoce que el me o ecu so a la in uición puede indu- ci a e o es que una cons uccibn axiomá ica elimina o almen e. Pe o eco demos, que, po una pa e, sin esa ((in uición)) di ícilmen e se hubie an eaiiz;ido no- ables descub imien os ma emá icos (12) y, po o a, que. según ha demos ado ampliamen e la psicopeda- gogía, el azonamien o del niiio no es el del adul o y que an es de basa se en ope aciones con elaciones el nao maneja ep esen aciones de los obje os y, aún an- es, la in eligencia sensomo o a se cons uye manipu- lando los obje os. Po lo an o, el ni io debe pasa ne- cesa iamen e una e apa en la cual, no sólo es necesa- io el ecu so a la in uición espacial pa a comp ende las elaciones de los obje os, sino que ambién es im- p escindible esa e apa pa a pe mi i desa olla más adelan e la in eligencia p opiamen e ope a o ia. 3. LA DIDACTICA CENETICA Y LA ENSE- ÑANZA DE LA GEOMETRIA An e es a polémica, ¿qué pos u a de iende la didác i- ca gené ica? Si nos ijamos en Piage , enemos p ue- bas de que no duda en decan a se hacia los pos ulados p econizados po la ma emá ica mode na: ((Resul a o- almen e posible y deseable la ealización de una p o- unda e o ma de la enseñanza en la didác ica de la ma- emá ica en la di ección de las ma emá icas mode nas)) (13). Las azones de es a ac i ud deben busca se en la e iden e in luencia que los bou bakis as u ie on so- b e las eo ías piage ianas (14). El mismo Piage eco- noce «que exis e un cie o pa en esco en e las es es- uc u as undamen ales o 'es uc u as mad es' dc Bou baki y las es uc u as más elemen ales que se ela- bo an en el cu so del desa ollo de las ope aciones lógico-ma emá icas en el niiio» (15). Ciñéndonos más a la geome ia, podemos cons a a que Piage conoce la clasi icación de Klein y. no sólo la acep a en su o alidad (16). sino que descub e al es u- dia el desa ollo cognosci i o del ni io que la e olu- ción de su pensamien o espacial eco e una ayec o- ia semejan e en cuan o a la c eacibn de los di e sos espacios geomé icos: «Si es udiamos la geome ía es- pon ánea del niAo nos damos cuen a de que la o ma- ción de las in uiciones y de las ope aciones no sigue en absolu o el o den his ó ico (mé ica euclídea, seguida de los espacios p oyec i os y, inalmen e, las es uc u- as opológias), sino que es á mucho más ce ca del o - den eó ico: Las p ime as in uiciones ienen un ca ác- e opológico pa a, sólo más a de, cons i ui se con- jun amen e y apoyándose mu uamen e las es uc u as p oyec i as y la mé ica euclidea del espacio)) (17). ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS Es os es udios de Piage impulsa on la c eación de una didác ica de la geome ía basada en los g upos de ans- o maciones (1 8). Pe o es a didá ica, a pesa de sus un- damen os psicológicos, iene algunos incon enien es que sus p opagado es no han de ec ado, lle ados qui- zás, po el en usiasmo que de i a de la indudable be- lleza y simplicidad del modelo kleiniano. Esencialmen e se iala emos la di ícil ba e a que hay que supe a , si as los juegos y eje cicios iniciales con ans o macio- nes opológicas, a ines y p oyec i as, se p e ende se- gui con una cons ucción geome ica que pueda enla- za de un modo na u al con los con enidos de la ense- ianza secunda ia, cen ados cla amen e en la geome- ía analí ica. La p e e encia de Piage , que hemos comen ado, po la me odología p econizada po el mo imien o de la ma emá ica mode na pa ece poco consecuen e con sus eo ías psicológicas, ya que, en el caso de la ense ianza de la geome ía elemen al, se encuen a más p óxima a su doc ina e olu i a una me odología didac ica em- pi ica y c ea i a con una apoya u a inicial en la in ui- ción espacial, que no una didac ica con un pun o de mi a excesi amen e ijado en los aspec os o males y es uc u ales, que deben cons i ui p ecisamen e el ul- imo eslabón del p oceso e olu i o seguido po el pen- samien o del ni io. Es de espe a que los abajos de la didác ica gené ica sepan adap a de un modo más c í ico y ealis a las eonas e olu i as de Piage a la en- se íanza de la geome ía que equie e nues a sociedad. Y especialmen e aho a, que son muchos los au o es que piden ol e a la inclusión de los con enidos de la geo- me ía clásica en los p og amas de la enseñanza p i- ma ia: ((Así pues la endencia ac ual de sus i uu la geo- me ía po el hlgeb a es o almen e ne as a desde un pun o de is a pedagógico, y debe ía se in e ida» (19). Aunque es o no implica que debe ense ia se la geome- ía con mé odos clásicos, es deci , p esen ando al ni- io una lis a de pos ulados y eo emas con sus espec i- as demos aciones pa a que los memo ice. Se a a de hace una ense ianza de la geome ía menos memo ís- ica y más c ea i a, en oncada con p oblemas ce ca- nos al en o no del nao, o, haciendo una pa á asis del í ulo de un conocido a iculo de F euden hal, hace una ((ense ianza mode na de la geome ía an es que una ense ianza de la geome ía mode na)) (20). Y en es a o ien ación, las apo aciones me odológicas de la di- dác ica gené ica ienen su e dade o campo de aplica- ción, pues las posibilidades po pa e del niño de ma- nipula an o ísica como men almen e las igu as geo- mé icas y sus p opiedades son p ác icamen e ilimi a- das, igual que los g ados de di icul ad con los que pue- den plan ea se p oblemas y ac i idades (21). De acue - do con los descub imien os de la psicología e olu i a en los p ime os allos de escola idad, al p edomina la cons ucción del espacio sensomo o , las ac i idades que se p opongan al ni ío deben ene en cuen a es e hecho e insis i an es en cues iones de ca ác e opoló- gico y p oyec i o que en las p opiamen e euciídeas. Pe- o cuando el nao en e en la e apa de las ope aciones conc e as las posibilidades que o ecen los con enidos son ex ao dina ias y cons i uyen, además, el puen e imp escindible pa a la in oducción en la ense ianza se- cunda ia de la geome ía analí ica. (1) Jun o a una se ie de a iculos dispe sos la ob a en la que (3) AEBLI, H.: 06. ci . Phg. 4. . . expone quizás más ex ensamen e Sus ideas pedagbgicas (4) bse PIAGET, J.: ,n oducc;ón a la ep&lemologío ge- es PIAGET, J. Educación e ins ucción. Buenos Ai es, né ica. 1 El pensamien o ma~emá ico. Buenos Ai es, Pai- P o eo, 1968. (2) Véase AEBLI. H.: Una didaclica undada en la psico- dos, 1975 logia de Jean Piage . Buenos Ai es, Kapelusz, 1973 (88 (5) PHILLIPS, J.L.: LOS o ígenes del in elec o según Pis- imn.): FURTH. H.G.: Lm ideas de Piane . Su aolica- gel. Ba celona, Fon anella, 1977, Phg. 145. ci& en el aula. Buenos Ai es, ~a~elusz. 7974 (2' '¡mp.) (6) Ci ado po CASTELNUOVO, E.: Didác ica de la ma- y FURTH, H.G. - WACHS, H.: La eo ía de Piage emá ica mode na. México, T illas. 1979 (4' imp.). P~B. en la p ac ica. Buenos Ai es, Kapelusz, 1978. 28. 134 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS OTROS TRABAJOS (7) VQse un anhlisis c í ico desde un en oque ilosó ico en PALO P, P. Epislemología genhica y iloso h. Ba co lona, A iel, 1981 y unas in e esan es aco aciones a la me odología expe imen al en LOVELL, K.: Desu ollo de los concep os búsicos maiemáiicos y cien ~cos en el ni lo. Mad id, Mo a a, 1977. Phg. 122. (8) Véase la an ologia de ex os seleccionada po NEW- MANN, J.R.: Sigma. El mundo de las ma emb icas. Vol. 1. Ba celona, G ijalbo. 1976. (9) Véase una desc ipción elemen al de la clasi icación de Klein en ESTEVE, F.: «Sob e I'ensenyamen de la ge? me ia)). Pe spec i a Escola . Ba celona. No 14. Págs. 9-15 y en LOVELL, K.: 06. ci . Phgs. 116 y SS.. (10) Algunas de es as azones se analizan en KLINE, M.: El acaso de la maiemá ica mode na. Mad id, Siglo XXl, 1976. (1 1) THOM, R.: «¿Son las ma emá icas «mode nas» un e o pedagógico y ilosó ico?)). La ense ionza de las ma- ema icas mode nas. Mad id. Alianza Edi o ial, 1978. Pág. 122. (12) Véase LAKATOS, 1.: P uebas y e ulaciones. La Iógi- co del desc ub imien o ma emálico. Mad id, Alianza Edi o ial, 1978. (13) P1AGET.J.: «La iniciación ma emá ica. las ma e na i- cas mode nas y la psicología del ni ion. La enseiianza de la malemó ica mode na. Mad id. Alianza Edi o ial, 1978. Phg. 184. (14) Va ios de los miemb os de Bou baki ue on ín imos +ni- gas de Piage . especialmen e Dieudonné, uno de los un- dado es del g upo. (15) PLAGET, J. y o os: Psicología. Iogica y comunicación. Buenos Ai es, Nue a Visión, 1970. Pág. 64. (16) Una buena guía de las ideas geomk icas de Piage es HOLLOWAY, G.: Concepción de la geome ía en el ni- i o segun Piage . Buenos Ai es, Paidos, 1969. (17) PIAGET, J.: A l. cil. Págs. 183 y s.. (18) Véase DIENES, Z.P. - GOLDING, E.: La geome ia p oyecli a y a ín. Vol. 2: Geome ia euclidia ia. Vol. 3: G upos y coo denadas. Ba celona, Teide, 1976 (3'.). (19) El a iculo al que se hace e e encia es FRELJDENT- HAL, H.: «¿Ense ianza de las ma emá icas mode nas o ense ianza mode na de las ma emá icas)). La ense ionza de las ma en á icas mode nas. Mad id, Alianza Edi o- ial, 1978. Phgs. 159-173. (21) Una excelen e ob a que incide en es a di ección es CAS- TELNUOVO, E.: Lo ma!ema ica. La geomel ia. Ba - celona, Ke es, 1981.