Las pruebas de matemáticas en los exámenes de acceso

r INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS LAS PRUEBAS DE MATEMATICAS EN LOS EXAMENES DE ACCESO I'ASTOR, J.(*) Catedrático I.B. Sorolla (Valencia) (*) Este trabajo se ha elaborado en base al material del proyecto «Las matemáticas en la formación del universitario actual: problemdtica del acceso y análisis documental de planes de estudio)), aprobado en el X Plan Nacional de Investigación Educativa, en cuya realización tomó parte el autor. SUMMARY First, we describe the organization p<culiarities of the final test papers for Secondary Schools in various countries with regards to mathematics. In the second part of our paper we consider some relevant cases including, of course, the Spanish one. Finally, we offe) different alternatives in order to improve the above mentioned test papers. - .C I 1. EL MARCO GENERAL Las pruebas de acceso tienen en los distintos paises europeos una doble función: por un lado setialan el final de una instrucción general para un colectivo, cada vez mayor, de la población; por otro, permiten el paso a una instrucción superior. Tales pruebas se conocen por Abitur en Alemania, BAC en Francia, Maturat en Suiza, Matura en Austria y GCE A-lévelen Inglaterra. En Estados Unidos no existe una prueba de acceso en el sentido anterior. La dificultad de tales pruebas consiste en evaluar, conjuntamente, las dos funciones a las que sirven. Dado que no nos ocuparemos de la selectividad en general, remitimos al lector a dos publicaciones relevantes por la cantidad de información que proporcionan: la de 1a.Oficina de Educación Iberoameriaca (1973) y la del Prof. R. Cid y colaboradores (1977) Si bien no hay tipificación, en las distintas discipiinas, respecto a lo que se entiende por conocimientos necesarios para acceder a los estudios superiores, sí que hay investigaciones empíricas y búsqueda de modelos en distintos paises relativos a esta cuestión. Tales investigaciones han permitido observar (véase Mitter, ed. (1979): 1.- Hay correlación significativa entre notas de la prueba de acceso Y éxito futuro en los estudios superiores. 2.- En un número creciente de paises se utilizan los tests de capacidad Y de rendimiento.para mejorar el pronóstico del éxito futuro en el estudio. 3.- En muchos paises se observa el requerimiento, para el acceso a la formación superior profesional, de un cierto número de anos de práctica. En lo que respecta al punto tercero, no deja de ser curiosa la mesa de trabajo organizada en Baviera por representantes del los ((Gymnasien)) (colegios superiores de ensefianza media; y del Consejo de Economía regional, cuyo objetivo era determinar la ((instruccitn general)) que deberían poseer los futuros estudiantes de economía. Entre los primeros resultados de la mesa está la sorprendente exigencia de los representantes económicos de que los alumnos reciban una cultura general más vasta (véase Schmid (1980)). Pasaremos revista, en primer lugar, a ciertos paises en los que el sistema de acceso está centralizado. 1.- Francia Francia es sin duda modelo de planificación estatal, organización y control de la educación. Las pruebas del BAC relativas a la asignatura de matemáticas estan entre las de mayor contenido de Europa, incluyendo las técnicas de cálculo más complicadas. Según la elección de materias hechas por el alumno, las pruebas de acceso contienen los siguientes posibles tópicos: teoría de números; cuerpo de los reales y de los complejos; análisis (funciones logantmicas, exponencia1 y trigonomktricas; ecuaciones y álgebra métrica) y teoría de la probabilidad. La peculiaridad del sistema francés consisteen la existencia de distintas opciones, según el tipo de estudios universitarios que el alumno desea realizar. Los programas de matemática vigentes fueron elaborados por la ((Comisión Lichnerowicz)), hace más de una dkda. En concreto, las opciones C. D y E del curso «TerENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1984, pp. 17-24 INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS minale), van dirigidas a carreras científicas. Como es temáticas, es prácticamente imposible analizar tanto los bien sabido, la posesibn del BAC no significa, de forc.iercicios propuestos como los resultados obtenidos. ma automhtica, el ingreso del alumno en las faculta- (Nota: hay que senalar que en Suiza se realiza la verdes 0 escuelas, poseyendo estos centros potestad para dadera a la entrada del bachillerato, donde organizar pruebas de acceso que, en ocasiones* exigen no más del 20% de los estudiantes coi,siguen llegar a él). a los alumnos dos y tres anos de dedicacibn, variando la dificultad según el prestigio del centro. Seilalemos, 4.- Austria a título de curiosidad la exigencia de dos ailos de expeEn Austria se hace necesario recurrir a una investigariencia laboral. además de una edad mínima, no infeción algo antigua, al no conocerse aún los resultados rior a 21 anos colno único requisito para el acceso a del nuevo plan de estudios, recientemente introducido. la Universidad de Vincennes. Tal sistema de acceso ha En 1978 se publicb un estudio conjunto del instituto repercutido en el desprestigio académico de dicha Pedagbgico y del Educacional de la Ciudad Universidad. de Viena, en el que se analizaba la evolucibn del nivel requerido, tanto en lo que se refiere a los temas como 2.- República Democrhtita Alemana y otros paises del Este. .. C Así. en la URSS. se ha~laii~dis~ensados de realizar las ros de vida y trigometría En su bgar aparepruebas de acceso 10s jóvenes que hayan destacado en cieron nuevos temas: dlculo vectonal, ariael trabajo Y hayan seguido un curso de adaptación. Iítica del espacio, clases residuales, de predicaOtro tanto ocurre en Bulgaria donde tambien existe la dos, lineal y tratamiento de Con por razones políticas. En ambos casos las la modernizacibn del programa de matemáticas, intropruebas de acceso corren a cargo de los centros. ducida a partir de 1945, se ha intentado disminuir las Volviendo a la R.D.A., en sus exámenes se exige, fundiferencias que separan la ensefianza media de las madamentalmente, el dominio de técnicas matemáticas patemáticas de «la ciencia matemática)). Se trata, sobre ra la resolución de problemas. Se encuentran tambien todo, de una renovacibn metodológica a travks de conejercicios de demostracibn y conceptuales. Anualmente ceptos de la teoría de conjuntos. se publican los ejercicios propuestos en la revista «MatEjercicios de geometna heimatik in der Schule~. De los informes se despreride tos extremos, cálculo integral y se enpor curvas etc.-- apenas presentan dificultades. bilidad calculistica. ximos apartados. 5.- Inglaterra En Suiza cada cantón organiza sus exámenes de «MaLa prueba de acceso a la Universidad en Inglaterra conturat)). Fundamentalmente cada profesor, de cada cosiste en la obtencibn de una modalidad del GCE (Gelegio, puede poner los ejercicios de matemiticas para neral Certificante of Education, Advenced level) que su clase. De esta forma, afios tras ano, se proponen se conoce, desde 1951, como el «A-level)). Este GCEmás de 100 series de ejercicios finales. Como comenexamen es un examen externo de carácter especial: Las tara la Asociaci6n Suiza de profesores de Física y Maexigencias del examen son impuestas desde fuera del ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS colegio; la corrección de los exámenes (Examyning otra parte, la asistencia masiva a la Universidad es ya Syllabiiscs), asi como los correspondientes exámenes, un hecho en Estados Unidos, accediendo a la misma corren a cargo siete centrales examinadoras (Boards). aproximadamente el 33% de los estiidiantes de enseEs iiotable constatar la uriificación que consiguen los ñanza media. Nornialniente, es la propia Universidad Syllabuscs (programas) a pesar de la ausencia de un la que decide, entre los solicitantes, cuáles deben inplan preestablecido de enseiianza. nresar. La selección se realiza a través de distintos tests A la edad de dieciseis años los aluinnos británicos pade capacitación y conocimientos, cuya perfección persan el ((0 levcl>) (Ordinary level) que es el equivalente mite, al menos inicialmente, ignorar el plan de estua la antigua rcválida de bachillerato. A partir de ella, dios seguido por cada estudiante. y durante dos años, se preparan para el examen del «A Veamos distintos métodos de evaluación vigentes en Esleveln. Dicho examen versará sobre, al menos. tres matados Unidos. icrias, siendo las matemáticas la única que goza del privilegio de ser considerada como materia doble: matemritica pura y matemática aplicada. Las siete centrales, totalmente independientes, encargadas de señalar el nivel requerido y de proponer los exámenes en Inglaterra, no establecen el número máximo de materias a elegir ni las posibles combinaciones de las mismas. Son las propias escuelas .las;que, de acuerdo con sus disponibilidades, ofertan dichas combinaciones. Estadisticamente, de los 200.000 alumnos mayores de 16 años que permanecieron en las escuelas inglesas durante 1978, aproximadamente dos tercios se preparan para el «A level)) y, entre ellos, alrededor de un tercio escogia matemáticas como, al nienos, una de sus materias. El sistema del «A level)), a pesar de haber sufrido insignificantes variaciones durante los últimos 30 años, ha merecido muchas críticas. La objeción más frecuente es que invita a la super-especialización: así, por ejemplo, un estudiante que elija como materias de examen matemáticas, física y química dedicará probablemente el 25% de su tiempo al resto de las materias, de las cuales no se tiene que examinar. La década de los 70 alumbró soluciones alternativas. Una de ellas proponir !a elección de cinco materias, bien a nivel elemental, bien a nivel avanzado, siendo asumida dicha propuesta por la ((Standing Conference on University Entrance')) (véase ((Standing...)) (1979)). A pesar de ello, en 1980, se tomó la decisión de mantener el sistema del (<A leveln como prueba de acceso. En cualquier caso, la posibilidad de introducir cambios en el ya viejo sistema sigue discutiéndose. La proposición mas relevante aboga por un programa unitario para el «A level)) en matemáticas. El sistema de acceso, que se acaba de describir, tiene excepciones. En efecto, contrariamente a la práctica de la mayor parte de los Centros Universitarios, la Open University no exige más condición a los aspirantes que la de haber cumplido 25 anos. 6.- Estados Unidos. , La diferencia fundamental entre las escuelas americanas y europeas radica en la mayor diversificación que impera, en las primeras, deqnas escuelas a otras (El status y el valor de los exám-es es muy distinto); por El «metodo Carnegie)), consistente en asignar un «grado~ o puntuación al final de cada tercio o mitad de año de trabajo en matemáticas, relegó a un segundo plano los exámenes finales, tanto pra extender un diploma de fín de ensefianza media, como para la selección de aspirantes a las Universidades. No hay ninguna prueba de acceso en USA que signifique el fin de la enseñanza secundaria y el acceso a la superior o a un trabajo. En su lugar, el sistema USA es una mezcla de sistemas dispares, ninguno de los cuales es enteramente satisfactorio pero que en su conjunto se revelan, al menos, eficientes. Daremos una panorámica (en el apartado «Modalidades de examen))) de la diversidad de tests utilizados en los Últimos afios de la escuela secundaria y en el acceso a la Universidad. Se agrupan en cuatro categonas, siguiendo a Kilpatrick (1981): (a), exámenes finales, (b) niveles mínimos, (c) test de admisión en las Universidades y (d) test de ubicación en las Universidades. 7.- España El caso español es un ejemplo típico de sistema centralizado, si bien el nuevo plan de 1978 (B.O.E. 17-3-1978), reestructuración del correspondiente a 1975 (B.O.E.. 10-1-1975), lo es menos que el de 1%3 (B.O.E. 28-8-1 963). En el nuevo plan se otorga autonomía para la elaboración de los exámenes a los Coordinadores de las distintas materias, propuestos por cada Universidad. A diferencia del modelo francés, con cuyo sistema educativo presenta el espanol notables similitudes, existe un programa Único para todos los alumnos de COU sin tener en cuenta su futuro tipo de estudios. La asignatura de matemáticas es obligatoria para todos los alumnos de la opción «Ciencias» y optativa para los restantes (Opción «Letras»). A diferencia del plan 1963, en el actual puede darse el caso de que los alumnos de Ciencias aprueben el examen de selectividad sin haber sido examinados de la asignatura de matemáticas. 2.- DESCRIPCION DE ALGUNOS MODELOS EXPERIMENTADOS 1.- El caso brit4nico Nos vamos a centrar en cuatro de los «Syilabus» vigentes, por ser los de mayor incidencia: AEB, JMBA, JMBB y SMP. Revisemos, inicialmente, el tiempo que presuponen los exámenes para cada pregunta, sobre ENSERANZA DE LAS CIENCIAS 19 INVESTIGACIiON Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS - una muestra de 1980. En un examen de la AEB correspondiente a matemáticas aplicadas se propusieron 10 preguntas, de las cuales debían resolverse 7 en un plazo de 3 horas: el tiempo disponible para cada pregunta, teniendo en cuenta que puntuaban por igual, era de alrededor de 25 minutos. Por contra, en un examen de matemáticas puras de la misma asociación se debla responder en el mismo periodo de tiempo justo al doble de preguntas (14). Por ello cada pregunta debía ser completada en 13 minutos. Lo habitual es quc los exámenes propongan preguntas largas y cortas. Este es el caso de la JMBA, constando su examen de matemática pura de 10 cuestiones tipo S y 4 tipos D. Sabiendo que las cuestiones tipo S puntuaban la mitad de las que tipo D. se pedía contestar el equivalente a 7 cuestiones tipo D. Para el caso de matemática aplicada y bajo el mismo esquema, se propusieron 4 cuestiones tipo S y 7 tipos D. El tiempo resultante para las preguntas largas y cortas es el mismo que el que les asigna 1a;g~J Los exámenes de la SMP conitan asímismo de cuestiones largas y cortas. Las instrucciones fueron: «Hay 22 preguntas. Las 12 de la sección A valen la mitad que las 10 de la sección B. Debes contestar tantas preguntas como puedas)). Para contestarlas todas, se disponía de 11 minutos para las de tipo B y de 5 para las de tipo A. Como, probablemente, no esperaban la contestación a las 22 cuestiones, las cuestiones del tipo B serían equiparables a las cortas propuestas por los exámenes anteriores, mientras que las de tipo A se pueden clasificar como supercortas. En el examen se encontraban cuestiones tanto puras como aplicadas. Otro tipo de examen de la SMP incluía 4 cuestiones del tip A y 8 tipo B, con esquema muy similar a la JMBA, si bien se requería la contestación de, tan solo, 5 preguntas del tipo B. En cuanto a la JMBB, propuso un examen con 17 cuestiones, de longitudes variables, oscilando sus puntuaciones de 2 a 7, para las cortas y 10, 12 6 14 para las largas, con un total de 118 puntos. La cuestión más corta tendría asignados 3,6 minutos y las más larga 25.2, minutos. Del análisis anterior se concluye el abandono del patrón de examen tradicional, consistente en 7 cuestiones de igual longitud a contestar en 3 horas, siendo sustituido por mayor número de preguntas más cortas y, en algunos casos, mucho más cortas. Observando el tipo de preguntas se concluye, asi mismo, que la mayoría de las cuestiones cortas y muy cortas se refieren a matemática pura (el 85%) mientras que las preguntas largas son, fundamentalmente, de matemática aplicada (el 70%) 2.- El caso de Alemania Federal. En la R.F.A., las pruebas están diversificadas según los diversos «Lands». En 1'977 elaboró Bauer un informe, en base a las pruebas de suficiencia de Baviera correspondientes al periodo 197 1-76, donde investigó cuáles eran los conocimientos intelectuales exigidos. Junto al hecho, fácilmente constatable, de que el contenido de los ejercicios se restringía al Análisis y a la Geometría analítica, obtuvo conclusiones interesantes: «en la mayoría de ocasiones la resolución de los problemas se obtiene a través de un procedimiento de cálculo conocido. Los problemas para los cuales hay que disefiar una nueva estrategia para su resolución son casi inexistentes. En la prueba de matemáticas se exige la ap!icación de algoritmo~ y la obtención de relaciones, bien sea clasificando, analizando, sintetizando, deduciendo o demostrando. Por contra, faltan contenidos donde poder desarrollar procesos de pensamiento heuristico, de ordenación lógica (orden parcial, axiomatizacibn), de definición, de abstracción, de concreci611, de generaliza- - ción y de especialización)). (Bauer (1978)). 1 3.- El caso de Estados Unidos = =, 1 De acuerdo con Kilpatrick (1981) hay que distinguir, en un análisis del sistema americano cuatro tipos de exámenes, según las finalidades perseguidas: (a) exámenes finales; (b) exámenes de niveles mínimos; (c) tests para la admisión en las Universidades y (d) tests para la ubicación en las Universidades. Veamos las particularidades de cada uno de dichos tipos. (a) Exámenes finales I Los requisitos para obtener el titulo de bachiller se basan en el número de aAos dedicados al estudio de cada materia. Cada estado de la Unión fija los mínimos. Así, los alumnos que sólo pretenden el titulo deben cursar, al menos, un aAo de matemáticas, mientras que los que pretenden acceder a la Universidad, al menos tres. Los profesores respectivos examinan a sus alumnos. Tales exámenes son preparados por el profesor en colaboración con otros profesores del mistno curso, versando el mismo sobre el contenido del curso impartido. En .. ocasiones se recurre a tests comercializados prepara- ' dos al efecto, cuya evolución es muy lenta respecto a . las innovaciones en los planes de estudio. Tales tests, construidos habitualmente con respuestas cortas o con respuestas de elección múltiple, tienen gran influencia sobre el tipo de exámenes finales que proponen los profesores, aún en los casos de no ser utilizados directamente. De hecho, las habilidades necesarias para elaborar demostraciones originales, para modelizar una situación o para resolver un problema complejo son - raramente examinadas. El hecho de que parte de los alumnos quieran pasar a la Universidad condiciona a los profesores, cuya labor docente tiene como último objetivo el Cxito del alumno en los tests para admisión a las Universidades. (b) Exámenes de niveles mínimos I Desde que se decidiera, al principio de este siglo, que todo ciudadano estadounidense tiene derecho a la a~ seC lid; P~C rer alu a a tin ii ie me Da a q los Ye' Ilo 0 P cic a c cil' tes da 10: ta5 sir? Lc ci( G I: tir (c! A di; m1 ha ce U ! da di. E in CI pi te tu CC A ac di bc m m di U i e: E al te P' fi nc 20 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS seiianza media, se vienen discutiendo distintas posibilidades, como son: que todo estudiante reciba un diploma al final de su estancia, que se extiendan diferentes diplomas segun el grado de madurez de cada alumno, y, finalmente, que no se entregue el diploma 3 aquellos que no acrediten un nivel mínimo. Esta última posibilidad es la que poco a poco se está impoiiiendo, teniendo en cuenta que cada vez un número mayor de estados distribuyen tests de niveles minimos. Dada la diversidad en la formación de alumnos -desde aquellos que sólo tomaron un afio de aritmética hasta los que prepararon 4 o 5 afios de matemáticas, incluyendo cálculotales tests son necesariamente sencillos. De hecho, exigen tan solo el conocimiento de las operaciones aritméticas elementales con enteros, fracciones y decimales (evaluando la capacidad de cálculo a una cierta velocidad y la resolución de problemas sencillos) y de conceptos geométricos elementales. Tales tests juzgan fundamentalmene la capacidad de recordar conceptos y de aplicarlos sin recurrir a razonamientos o juicios complicados, marcando con ello las paulas a seguir por los profesores correspondientes. Ello, sin duda, unifica las ensefianzas a este nivel. Los tests de ((niveles mínimos)) tienen una clara función selectiva: pretenden identificar al incompetente. Generalmente son tests con respuestas de elección multiple de forma que són fácilmente puntuables. (c) Tests para la admisión en las Universidades. A pesar de que los ((grados)) obtenidos por los estudiantes en su paso por la ensefianza media son, inicialmente, un buen indicador de la madurez alcanzada, se hace dificil comparar a estudiantes que provienen de centros distintos. Por ello, sin perjuicio de que cada Uiiiversidad estipule su examen de entrada, y en aras de la efectividad, se ha desarrollado un sistema, mediante el cual, agencias independientes suministran tests T. los colegios y Universidades. Las dos agencias más importantes son la ((College Board)) y la ((American College.Testing Program)). Ofertan tests que los propios estudiantes pueden efectuar por su cuenta durante los dos Últimos anos de ensefianza media. Las puntuaciones de los tests son entregadas al alumno, a su colegio y a las universidades donde se ha preinscrito. A pesar de que tales test no son el único criterio para admitir o rechazar a un estudiante, informan al estudiante de cuales son las Universidades a las que no deberá acudir. Tales tests se componen de preguntas multi-respuesta. cuya respuesta requiere, fundamentalmente, razonamientos lógicos. Hacen un uso modesto de conocimientos algebraicos y geométricos, y algunas universidades ofrecen cursos de reciclaje para aquellos estudiantes que no los superaron, En general, el riesgo de que se den aciertos por azar al responder a las preguntas multi-respuesta es evidente, pues siempre es posible elegir la pregunta certera por eliminación de las restantes (por razonamientos gráficos, de tanteo, etc.1. Ello influye poco en los test que nos ocupan, dado que su interés primordial, consistente en verificar la capacidad de razonamiento lógico, se pone también de manifiesto en la elaboración de estas tácticas. De los tests de admisión no se espera que contribuyan a la educación general; más bien son indicadores de tal educación. Pero todos los instrumentos de evaluación cumplen alguna función educativa. De hecho, los cursos ofrecidos por los colegios o por firmas comerciales para la preparación de tales tests se dedican primordialmente a familiarizar al alumno con las estrategias de los mismos y a reducir su ansiedad respecto a los exámenes. No obstante, los cursos mejores sirven fines educacionales más interesantes, al ensefiar habilidades tanto matemáticas como verbales que, aun en el caso de haberse desarrollado con anterioridad, podrían estar atrofiadas. (d) Tests para la ubicación en las universidades. Las agencias independientes distribuyen otro tipo de test cuya finalidad es la ubicación de cada estudiante en el curso de matemáticas apropiado a su nivel.. . Al final de la década de los 60, y coincidiendo con la declaración del congreso norteamericano en el sentido de que todos los ciudadanos tienen derecho al acceso a la Universidad, la mayoría de las Universidades exigían a sus aspirantes el haber completado dos años de matemáticas (álgebra y geometría) en la ensefianza media. En la década de los 70 tales exigencias fueron reducidas o eliminadas, comenzando la Universidad a crear nuevos cursos de matemáticas destinados a la masa de estudiantes que llegaban con una preparación minima. De hecho se exigió a tales alumnos que hicieran un test en ((aritmttica y álgebra elemental)). Habitualmente, tales tests eran construidos por los departamentos de matemáticas de cada Universidad. Los que no aprobaban eran obligados a tomar un curso de areciclaje en matemáticas)). Ultimamente las Universidades vuelven a exigir que sus aspirantes tengan a su ilegada, al menos, un curso de álgebra, intentándose con ello restaurar los niveles de calidad deseables. Los test de ubicación son, quizás, los que mayores variaciones han sufrido en los últimos años. Los estudiantes que llegan hoy en dia a las Universidades han cursado previamente un amplio abanico de cursos de matemáticas. Por ello, los tests de ubicación han tenido que ser remodelados, incluyendo un espectro mayor de geometría sólida y de geometría analítica, mayor atención a las funciones elementales e incorporación de preguntas sobre propiedades de los sistemas numtricos. Los tests de ubicación ejercen una gran influencia sobre los objetivos de la instrucción matemática en la ensefianza secundaria, conscientes alumnos y profesores de que el fracaso puede suponer la repetición de algún curso. Sin duda, dichos tests son el elemento unificador más poderoso de la ensefianza de las matemáticas para el acceso de la Universidad. Siguiendo la norma general, los tests de ubci6n son del tipo multi-respuesta. Las centrales que distribuyen ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS .. 21 INVESTIGA<:ION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 1 P - los tests han llevado a cabo investigaciones tendentes El análisis de los modelos de pruebas de acceso sólo a demostrar que los tests multi-respuesta se pueden es posible situándose en el marco de una clasificación construir de forma que midan, con igual efectividad, de objetivos educacionales. En torno a este tema existanto los conocimientos del alumno como su habilidad te abundante bibliografía, tanto general como partipara resolver problemas complejos o desarrollar una cularmente referida a matemáticas. Desde el primer cuestión de ensayo. Esta tesis ha sido refutada por Silpunto de vista la toxonomia de Bloom (vkase Bloom ver y Waits (1973), en un trabajo experimental. (1956)) constituye obligado punto de referencia, mientras que la taxonomía especifica más influyente en los 4.- El caso espaíiol. últimos tiempos es, probablemente, la debida a la bricorno es bien sabido, la pnieba de acceso en Matemátánica Mathematical Association (1976). Otros puntos ticas presenta dos opciones, debiendo el alumno elegir de pueden encontrarse en Avital y Shettleworth la que juzgue más conveniente. Cada opción consta de (1968) Y en Jansson Y Heimer (1973). En 'aldivia et dos cuestiones y un problema, que, habitualmente, se al. (1982) pueden encontrarse desarrolladas las dos ~ride varios apartados. tiempo disponible por meras taxonomíás, así como ejemplos ilustrativos de parte del alumno es de 45 minutos. H~ venido siendo las habilidades requeridas para la resolución de difenorma consuetudinaria que cada una de las opciones 'entes tipos de problemas y una de la cohaga referencia a un solo capítulo del programa, es debertura de tales objetivos en las pruebas de distintos cir, que se refieren en su integridad a álgebra (inclupaises. yendo la geometría) o cálculo y, en raras ocasiones, a Es un hecho constatado que los exámenes propuestos la teoría de la probabilidati-cvéase la tabla 1). Esta cospara el acceso a la Universidad en los diversos paises tumbre, afortunadamente aljandonada, generó una pievalúan, tan sólo, el conocimiento y la comprensión caresca basada en la preparacibn concienzuda de tan de los contenidos y, frecuentemente, la aplicación. solo una de las dos partes fundamentales de la asignatura. Quizás ello demuestre, bien a las claras, la neceha estudiado, desde punto de sidad de que sean propuestos exámenes que cubran vista de la evaluación de objetivos por Bauer (1978). cuadamente todos los objetivos, tanto de antenido coLOS exámenes en Estados Unidos, de tipo multim. metodol~gicos. Podemos comentar, más en prorespuesta, hacen casi imposible la evaluación del anáfundidad, el contenido de las pruebas de los últimos lisis y de la síntesis, a pesar de lo cual las centrales exaanos. ~~d~ que no existe una publicación oficial que minadoras siguen siendo partidarias de tal modelo de recoja anualmente las pruebas propuestas en 10s disexamen, por obvias razones de economía y tiempo. En tintos distritos, y ante el silencio de los coordinadoValdivia et al. (1982) se describe una experiencia brires, cuya colaboración se solicitó a través de los restánica tendente a evaluar las habilidades superiores y pectivos rectorados, nos basaremos en la publicación que* por su de exigencia, prosperó. de Hernández, L,orenzo y Martinez (1 982). Consideremos, por ultimo, el caso español. En una Comenzaremos con las cuestiones teóricas. En la simuestra elegida al azar de cien problemas propuestos guiente tabla de frecuencias se aprecia el predominio en exámenes de Selectividad, tan solo dos de ellos exigían «síntesis»; catorce requerían «análisis» (si bien de casi de las preguntas para cuya rapuesta hasforma incipiente: la mayor pafie de el]os consjstian en ta con el estricto conocimiento de los contenidos (tipo aplicaciones del Teorema de RouchbFrobenius, que A). Tah preguntas piden una definición, la demosexigen una dUcusi6n segln los valores de los tración de las propiedades inmediatas de un concepto tras) y ninguno ambas habilidades a la ver. En otras a la prueba de un teorema enunciado explícitamente en el programa. L.a otra clase de preguntas (tipo B) inpalabras: el 84Vo de los problemas eran meros ejercicluirían contra-ejemplos, correccibn de errores en decios de rutina, aunque puedan exigir cálculos mastraciones incorrectas, completación de una pruedificultosos. ba, matematización de una situación del mundo físico 3, RECOMENDACIONES o del entorno económico, etc. 1. Sobre la organización del sistema de acceso. Tabla 1 a) Los exámenes de las diversas materias deberían Ser independientes. . Tipo A Tipo B b) Los centros Universitarios deberían poseer la facultad para dictar las normas de aceptación de alumnos, exigiendo una nota minima en cada una de las Cbilculo diferencial materias que se juzguen básicas para la formación Cíílculo integral de los candidatos. La administración podría dictar Teona de la probabilidad una normativa previa, indicando el numero dematerias exigibles, como mínimo, así como la calific9TOTALES 74 2 ción mínima correspondiente a las mismas. C) La disparidad de criterios e intereses de los centrrrs ENSEFIANZA DE LAS CIENCIAS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 2. Sobre el modelo de examen. El examen de matemáticas podría constar de dos parguiente método, que consta de dos pasos: 1 o sutes, que llamaremos A y E, evaluando la parte A los mar -A a los dos miembros. Se obtiene objetivos de conocimiento y comprensión y, la parte BX= C-A B los objetivos de síntesis y analisis. 2O multiplicar a la izquierda por la inversa de B ainbos miembros. El resultado es: El examen A podría ser, para facilitar la corrección, X = B-I(C - A). de tipo multi-respuesta, mientras que el examen B de- ~1 método propuesto, es válido beria consistir en la resolución de un conjunto de.(al - menos dos) problemas adecuados. - ¿sólo algunas veces? Aunque la administración podria dictar una normati- - ¿nunca? va general para la ponderación de ambas partes, Po2.- (Ejercicio de aplicación). Del SMP, Book 1, dría atribuirse a los centros universitarios tal facultad, 1979). teniendo en cuenta el interés variable de las habilidaUna viga de 3 mts. de longitud se apoya en uno des matemiticas superiores, según la Indole del centro. de sus extremos, A, y en un punto B que dista Aportamos a continuación una muestra de preguntas 1 mt. de A. El momento de flexión, M, en un punaclaratoria de la prueba de acceso ,que proponemos. to que dista x mts. de A, viene dado por: M = 2x2 - 3x, sí x/< 2;y por 2(3 - xjZ, si x ) 2- - Encontrar el punto donde es más fácil que se rompa la viga que corresponde al punto donde M es mayor. 1 .- Dadas las ecuaciones (x,y,z) = a(1,2,3) + b(-2,-4,-a6) Y (x,Y,z) = (0,l.O) + a(l,-1.0) + 4. CONCLUSIONES b(0,1,1), decir si corresponden a: - dos planos distintos del espacio afin De la revisión de modelos realizada, y a pesar de la di- - un plano y una recta versidad de los mismos, se puede deducir las siguien- - dos rectas distintas tes conclusiones: - un plano por el origen y una recta. 1. Las pruebas de acceso en la asignatura de matemá- (Sehilese lo que proceda) ticas tienden a evaluar, de forma casi exclusiva, el 2.- Muchos autores expresan el hecho de que la recconocimiento y la comprensión de los son ten id os^ ta tangente este por debajo de una curva en un 2. No obstante, las habilidades superiores de aplicapunto diciendo que la curva es «convexa» en dicibn, análisis y síntesis son requeridas por las Universidades más prestigiosas que, normalmente, someten a los estudiantes a una segunda prueba. (2,3), decir si es: 3. En general las pruebas de acceso son representativas de toda la materia objeto de examen, siendo por - creciente y convexa - creciente y cóncava ello su longitud considerablemente superior al caso - decreciente y convexa español. - decreciente y cóncava. Todo ello aconseja una revisión del sistema español actual. REFERENCLAS BIBLIOGRAFICAS CID, R. et al 1977, Rasgos de madurez y éxito en las pmeAVITAL. S.M., SHETTLEWORTH, S.J., 1968, Objectives bas de acceso a la Universidad. Memoria realizada denfor Mathematics. Learning. Ontario Inst. for Studies in tro del V Plan Nacional de Investigaciones de la red Education, Toronto Bulletin no 3. INCIE-ICES. 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