Matematización : la necesidad "real" de la fluidez en las representaciones

DEBATES MATEMATIZACI~N: LA NECESIDAD «REAL» DE LA FLUIDEZ EN LAS REPRESENTACIONES LESH, R. Universidad de Massachusetts-Dartmouth. Este artículo se ha escrito como reacción al de Luis Rico y otros, acerca de los ((Sistemas de representación y aprendizaje de estructuras numéricas)). Mi artículo no puede considerarse una crítica, puesto que encuentro poco a criticar. En lugar de censurar, lo que me propongo hacer es destacar brevemente varios de los argumentos de Rico que considero de especial importancia y describir la otra cara de la moneda que no tuvo tiempo o espacio para desarrollar, pero que creo que es esencial en una discusión equilibrada acerca del papel que desempeñan las representaciones en el aprendizaje de las matemáticas y en la resolución de problemas. Los autores describen el núcleo central de su investigación diciendo: «Nuestro grupo de investigación está interesado en el estudio de las dificultades que los jóvenes encuentran en el manejo de las estructuras numéricas cuando se encuentran con nociones de matemática avanzada.)) Después continúa describiendo interesantes representaciones concretas o gráficas que resultan útiles para afrontar las anteriores dificultades. La investigación de Rico sigue estrechamente la tradición de otros estudiosos, incluido yo mismo, que han investigado los papeles que desempeñan las representaciones en el razonamiento matemático, centrándose en cómo los estudiantes dotan de sentido los problemas del mundo o los cálculos simbólicos. Pero, en este artículo, me gustaría centrarme en un tipo de actividad matemática que tiende a insistir casi exactamente en el tipo opuesto de procesos necesarios para dotar de sentido a la mayoría de los cálculos simbólicos o los problemas verbales (ejercicios) que aparecen en los libros de texto, exámenes y enseñanzas tradicionales. Estas actividades implican la matematización de situaciones de la vida real. En los problemas verbales (o en los ejercicios de cálculo) de los libros de texto tradicionales, los aspectos problemáticos tienden a incluir el esfuerzo para dar sentido a las preguntas planteadas simbólicamente; pero, cuando se intenta utilizar las matemáticas en situaciones de la vida real, los procesos necesarios subrayan, norEn las situaciones de la vida, real en las que se utilizan esquemas matemáticos, los estudiantes realizan descripciones matemáticas (simbólicas, gráficas) de situaciones que resultan significativas en sí mismas. L - En los problemas verbales tradicionales, los estudiantes intentan obtener significado de las descripciones simbólicas/gráficas. Mundo real Modelo del mundo BNSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3), 377-391 DEBATES malmente, la necesidad de hacer descripciones simbólicas de situaciones que ya tienen sentido. Por consiguiente, con el fin de centrarnos en aquellas actividades en las que las capacidades de representación son preponderantes, este capítulo se va a centrar en aquellas actividades en las que los resultados que obtienen los estudiantes consisten, en gran parte, en descripciones, interpretaciones, explicaciones, construcciones o predicciones justificadas. Y, puesto que los productos que se espera de los estudiantes incluyen directamente las representaciones, la fluidez en crear representaciones desempeña un papel central en la comprensión y en las capacidades necesarias para el éxito. UN BREVE REPASO A ALGUNOS DE LOS PUNTOS CENTRALES DE RICO Entre las muchas perspectivas importantes que se describen en el artículo de Rico, me gustaría destacar las siguientes. 1) Ante todo, las matemáticas son el estudio de las estructuras. Contrariamente a las conclusiones a las que la mayoría ha llegado sobre la base de las experiencias escolares, las matemáticas no consisten simplemente en hacer lo que se te manda hacer, y el conocimiento matemático no es una simple lista de reglas mecánicas de acción-condición (definiciones, hechos o destrezas) que hay que programar dentro de la cabeza de los estudiantes y que se ejecutan sin fallos. Las matemáticas consisten en ver, al nienos, tanto como en hacer. O, dicho de otro modo, hacer matemáticas implica más que la simple manipulación de símbolos matemáticos; implica interpretar situaciones matemáticamente; implica matematizar (o sea, cuantificar, visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes; implica utilizar un lenguaje especializado, símbolos, esquemas, gráficos, modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripciones matemáticas, o explicaciones, o construcciones que permitan plantear predicciones útiles acerca de tales sistemas. 2) Cuando se construyen o se exploran sistemas matemáticos (estructuras), lo que tiene interés son las propiedades estructiirales de esos sistemas, no los elementos aislados dentro del sistema, ni las reglas aisladas que sirven para actuar sobre tales elementos. En consecuencia, cuando se generan representaciones para tratar dichas estructuras, lo que debe destacarse son las pautas y las regularidades que subyacen. 3) El significado de las estructuras matemáticas tiende a distribuirse a través de varios sistemas de representación que interactúan unos con otros, cada uno de los cuales destaca especialmente o ensombrece, en algún modo, características diferentes de las estructuras que subyacen. Pues bien, en este artículo, me gustaría añadir el siguiente hecho a la lista anterior: los significados de las estructuras y de las representaciones matemáticas tienden a estar en interacción, a ser inestables y a evolucionar constantemente. Además, ilustraré por qué la interacción y la naturaleza inestable de las estructuras y representaciones matemáticas constituyen las fuerzas conductoras primarias que contribuyen a su evolución. Para alcanzar el mencionado anterior, me centraré en los episodios de resolución de problemas de 60 minutos, a las que llamamos actividades de obtención de estructuras, puesto que el objetivo no consiste simplemente en ofrecer breves respuestas a las preguntas de otro; por el contrario, el objetivo implica desarrollar construcciones, descripciones, explicaciones o justificaciones que revelen explícitamente cómo se ha interpretado la situación. Por otro lado, también llamamos a estos episodios de resolución de problemas sesiones de desarrollo conceptual local, puesto que, con frecuencia, los ciclos de desarrollo estructural por los que atraviesan los jóvenes para desarrollar sus respuestas resultan sorprendentemente semejantes a los estadios progresivos que los psicólogos del desarrollo han observado, a lo largo de periodos de varios años, para los sistemas conceptuales que subyacen tras estructuras matemáticas simples-pero-profundas, tales como las proporciones, las tasas de cambio, las fracciones o el razonamiento proporcional. LA MATEMATIZACI~N IMPLICA MODELOS Y MODELIZACION Para ilustrar la diferencia entre matematizar y calcular, y también para ilustrar cómo ambos, matematización y cálculo, implican modelos matemáticos y modelización matemática, hemos utilizado el siguiente problema de las notas de examen con el fin de ayudar a los profesores de las escuelas elementales a entender lo que significa el uso de las operaciones aritméticas como modelos para describir situaciones de la «vida real» (Lesh, Amit y Schorr, 1996). Cuando estudiantes o profesores trabajan sobre el problema de las notas de examen, una de las cosas que tienden a reconocer es que la clasificación cambia drásticamente según la operación que se aplique para combinar las notas (adición, sustracción, multiplicación, división, sumade vectores) o al aplicar algún otro procedimiento propuesto por los estudiantes (tal como las medias ponderadas). Por ejemplo, si se aplica la multiplicación, el orden de clasificación es: Ann, Bob, Dave, Carl, Gail, Emma, Fran, Herb e Ida (de menor a mayor). Pero si se aplica la división, el orden de clasificación pasa a ser: Carl, Bob, Fran, Ann, Emma, Ida, Herb, Dave y Gail. En otras palabras, cuando los estudiantes deciden qué operación(es) aplicar, están tomando automáticamente decisiones que tienen muchas más implicaciones. Tanto si se dan cuenta como si no, implícita o explícitamente, al decidir la operación a aplicar, automáticamente, tamENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) DEBATES El Problema de las notas de examen Lea el artículo de prensa siguiente. A continuación, escriba una carta al comité nombrado por el superintendente. Describa un procedimiento que usted les recomiende usar para resolver su problema. Utilice los datos de la tabla adjunta para demostrar cómo se puede utilizar su procedimiento para clasificar a los estudiantes, y explique por qué su procedimiento es mejor que otras ideas que se hayan podido proponer. Nombre Calidad Cantidad Ann 8 8 ~ob 8 9 CarI 8 1 0 Dave 9 8 Emma 9 9 Fran 9 10 Gail 1 O 8 Herb 1 O 9 Ida 1 O 1 O bién tratan pares de notas completamente diferentes como si fueran equivalentes. Por consiguiente, para destacar de qué forma distintas operaciones se relacionan con distintas relaciones de equivalencia, la siguiente actividad resulta útil como continuación del problema de las notas de examen. Si estadísticos profesionales trabajasen sobre elproblema de las notas de examen, se referirían a las ecuaciones que plantearían en tanto que modelos matemáticos de la situación. Se utiliza el término modelo debido a que las ecuaciones se basan en sistemas (o modelos) descriptivos de tipos diferentes que implican diferentes clases de cantidades y diferentes presunciones acerca de las relaciones que subyacen entre esas cantidades. Por ejemplo, el diagrama titulado clases de equivalencia para cinco operaciones básicas muestra resultados de la actividad de clases de equivalencia; y el diagrama titulado la equivalencia depende de las operaciones muestra cómo un estudiante S es equivalente a: a) el estudiante D si se aplica la división para combinar las notas; b) el estudiante M si se utiliza la multiplicación para combinar las notas; c) al estudiante A si se utiliza la adición para ¡El comité escolar debate un sistema imparcial para combinar notas de examen! Anoche, en la reunión mensual del comité escolar de nuestra ciudad, se suscitó una discusión acerca de cómo se debía clasificar la calidad del trabajo de arte de los estudiantes. El departamento de arte no utiliza tests de respuestas breves para evaluar a los estudiantes. Por el contrario, cada estudiante realiza diez proyectos complejos a lo largo del año y se les dan dos notas por el conjunto de los proyectos. Fred Wright, el director del departamento de arte, explicó el sistema: «La notade cantldad contempla los "objetivos de producto". Contamos cuántos proyectos ha terminado el estudiante satisfactoriamente. La nota de calzdad contempla los "objetivos de proceso" Contamos la cantidad de herramientas y técnicas diferentes que ha utilizado el estudiante » Las discusiones empezaron cuando la administración intentó clasificar a los estudiantes según una escala única, del más bajo al más alto, de forma que se pudiera conceder premios especiales a los mejores estudiantes y los menos productivos se quedaran sin nominación. El problema era que los participantes en la reunión no podían ponerse de acuerdo en cómo debían combinarse las dos notas. Se propusieron cinco procedimientos distintos, y, al aplicar según qué procedimiento, los estudiantes aparecían clasificados más altos o más bajos. a) Calidad +cantidad: Elplanonginalconsistía simplemente en sumar las dos notas, puesto que. «¡Eso es lo que se suele hacer con dos notas!» b) Calidad - cantidad: En esta situación, la entrenadora de tenis d~jo: «Cuando el tanteo de tenis es la suma, no nos importa cuántos puntos se han registrado para llegar a ese punto.» Entonces propuso que podía ser lógico calcular la diferencia entre las dos notas, y dijo «La calidad es lo que más nos debería importar. Por tanto, deberíamos restar para eliminar la calificación respecto a la cantidad.» c) Calidad x cantidad: A continuación, un hombre de negocios local sugirió que se podían multiplicar las dos notas para obtener una nota que signifique «calidad total» Pero, un profesor de física dijo que también sería lógico dividir las notas para obtener una nota de calidad por unidad de cantidad (calidadlcantidad). d) dcalidad2+ cantidad2: Finalmente, un profesor de matemáticas arguyó que calidady cantidad representan dos dimensiones completamente distintas. Por tanto, se debería aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del vector suma. e) El especialista en exámenes de la escuela del distnto murmuró «¿A quién le importa cómo combinemos las dos notas mientras los resultados sean significativos en el nivel 0,5?» Para cerrar la reunión de forma provechosa, el superintendente constituyó un comité que debía presentar una recomendación acerca de cómo clasificar a los estudiantes mediante las notas disponibles. ' combinarlas notas; d) el estudiante Vsi se utilizala suma Cuando los estudiantes o los profesores trabajan con el vectorial para combinar las notas; o e) otros estudiantes problema de las notas de examen y, después, en la si se constituyen otros tipos de clases de equivalencia actividad de las clases de equivalencia, los gráficos (que pueden no basarse en los resultados de una operatienden a poner en evidencia que, cuando quienes resuelción con números). No obstante, los estudiantes D, M, A ven los problemas deciden combinar las notas de exay V se ordenan por sus resultados, de peor a mejor, men aplicando alguna operación de cálculo (adición, dependiendo de qué operación se aplique. sustracción, multiplicación o división): a) no están simENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) 379 DEBATES Actividad sobre «Clases de equivalencia* 1 (para realizarse después del problema de «Las notas de examen*) I 1. En el problema «Las notas de examen», un estudiante cuyas -..(--,--+-C-..-+-I.I-C-.--.) notas de calidad y cantidad fueran 4 y 3 podría representarse I gráficamente mediante la coordenada (4,3), en una gráfica como la que aquí se muestra. i". . * e.. . . ; I ' Entre las posibles respuestas encontramos: 4,7, 3,8, 8,3, 9,2 o cualesquiera otros puntos que estén en la diagonal que pasa por *e estos puntos. 8 • 5 • • .11 I * ..... a) Representar otros puntos en los que la suma de las dos notas sea equivalente a la suma de (4,3). b) Utilizando los resultados de la O(dS8) plemente eliigiendo un procedimiento para procesar los datos, sino que están adoptando también distintos sistemas descriptivos para describir la situación; b) estos sistemas descriptivos implican presunciones acerca de las relaciones y clases de equivalencia, así como procedimientos para operar con los datos; y c) estas presunciones, generalmente tácitas, tienen unas implicaciones enormemente importantes. parte a, tiazar una línea (curva o recta, según convenga) que conecte los pares de puntos que tengan la misma suma 1. c) Repetir los pasos (4 y b para otros puntos tales como: (6,6) y (63). LA MODELIZACI~N JMPLICA HACER PROPOSICIONES SIMBOLICAS ACERCA DE SITUACIONES SIGNIFICATIVAS I *,,..*.*O* & I En la sección anterior, los problemas eran distintos a los problemas estereotipados verbales de los libros de texto; pero seguían implicando darles un significado a situaciones planteadas simbólicamente (más que insistir en las actividades que plantean mayores exigencias acerca de las capacidades de representación). Por consiguiente, esta sección va a derivar su atención hacia problemas 5(... .*. 2. Repetir el problema 1 para cada una de las siguientes operacio- (!hel. !, nes: sustracción, multiplicación, división y suma vectorial. 8 b y e........? que impliquen directamente el desarrollo de descripciones matemáticas de situaciones significativas por sí mismas. En el problema del avión de papel mostrado en la página siguiente, interviene la cuantificación en varios niveles. Primeramente, en un verdadero certamen entre aviones, cuando los estudiantes deciden cómo medir ciertas características, tales como el vuelo acrobático, el tiempo de planeo, la precisión, la durabilidad, e incluso la velocidad, lrt cuantificación de cierta información cualitativa es un factor que tiende a intervenir intensamente. En segundo lugar, incluso después de alcanzar un consenso acerca de cómo medir las anteriores características, se hacen necesarias las combinaciones de tales medidas con el fin de definir estructuras de orden superior, tales como «la calidad de conjunto», o «el más versátil». En tercer lugar, cuando están implicadas varias cantidades, la calificación «bien» puede ser, para unos, una calificación alta, pero, para otros, «bien» puede ser una calificación baja; por tanto, los estudiantes pueden necesitar manejar cantidades con signo (+/-) o cantidades direccionales; o, si las cantidades pueden no considerarse como equivalentemente importantes, se necesitará algún tipo de sumas ponderadas o de medias ponderadas. En este capítulo, resulta conveniente abordar problemas como el problema del avión de papel por una serie de diferentes razones: lo) Puesto que hacen hincapié en el proceso de matematización de situaciones significativas en sí mismas. esos roblem mas subravan las caoacidades de representáción &e tienden a ob;iarse en 18s problemas estereotipados verbales de los libros de texto. 2") En los casos en ks que es posible hacer que los estudiantes detecten la necesidad de una estructura como objetivo, los estudiantes, frecuentemente, la inventan (Lesh, Hoover y Kelly, 1993). Por consiguiente, este tipo de problemas permite a los investigadores ir más allá de las descripciones de estados estáticos de desarrollo para centrarse en los mecanismos que contribuyen al proceso de paso de un estado a otro. 3") Cuando los estudiantes desarrollan las anteriores estructuras, a menudo lo hacen utilizando un valioso conjunto de representaciones inte3 80 ENSEÑAWZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) DEBATES ~ La equivalencia depende de las operaciones Si S = 1,9; A = 53; D = 0,l; M = 3,3; y V = 7,7 Se tiene que: S = A aplicando la adición, puesto que 1+9=5+5 S = M aplicando la multiplicación, puesto que lx9=3x3 S = D aplicando la división, puesto que 119 = 011 S = M aplicando la suma vectrorial, puesto que 12+92 = 72x72 Nota: El símbolo = significa: «Aproximadamente equivalente*. Clases de equivalencia para cinco operaciones básicas Clases de equivalencia para la adición Clases de equivalencia para la sustracción I ractuantes, muchas de las cuales tienden a implicar diagramas idiosincrásicos y sistemas de notación que los propios estudiantes han introducido. Además, a menudo, entre los estudiantes que son capaces de inventar estructuras potentes, los hay que han sido catalogados como poseedores de una «capacidad por debajo de la media», debido a su rendimiento en situaciones en las que intervienen exámenes, libros de texto y una enseñanENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) 381 DEBATES 7 Clases de equivalencia para la multiplicación Clases de equivalencia para la divisiOn ii...... 'i..... 'm... l 1 Clases de equivalencia para la suma vectorial I e.... i'... Clases de equivalencia sin operación alguna l za tradicionales, en las que se insiste solamente en una gama estrecha y poco profunda de capacidades matemáticas (Lesh, Hoover y Kelly, 1993). 4") Experiencias como la del problema del avión de papel proporcionan «relatos» (o experiencias) que, a menudo, funcionan de forma simbólica. Es decir, que los estudiantes utilizan estas experiencias como prototipos para pensar acerca de otras situaciones similares de resolución de problemas (Schank, 1990). Uno de los puntos en los que el problema del avión de papel permite insistir es en que el tipo de cantidades, de relaciones y de operaciones necesarias en situaciones cotidianas comprende mucho más que las simples cuentas, medidas y formas que ocupan un alto porcentaje del currículo de matemáticas desde la escuela infantil hasta COU en los Estados Unidos. Los estudiantes necesitan también: clasificaciones, coordenadas, cantidades direccionales y con signo, información cualitativa cuanENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) El problema dei avión de papel 1 Para el contexto del avión de papel descrito a continuación, escriba una carta a los jueces en la que se describa cómo deben utilizarse las calificaciones para calcular el ganador de cada prueba. Después, describa cómo especificar un ganador general para ambas pruebas juntas. Nota: Para garantizar que este problema implica la matematización de una situación significativa, resulta útil basar el problema en un verdadero certamen de aviones que lleven a cabo los estudiantes, en lugar de basarlo en una narración acerca de un certamen de aviones, como hacemos en la descripción del problema dada a continuación. 1El gran certamen de aviones de papel 1 Como parte de la feria científica de este año, los estudiantes de Para la prueba de tiempo de vuelo y precisión, los estudiantes tenían ¡ séptimo grado de la Escuela Jefferson realizaron un certamen de que lanzar sus aviones desde el punto de partida hasta un punto que I aviones de papel. Para preparar el campeonato, los estudiantes estaba señalado en el suelo a treinta pies de distancia. El objetivo realizaron experimentos de tal modo que independientemente de los consistía en acercarse lo más posible a la diana y en mantenerse en diferentes propósitos que se plantearon, e independientemente del vuelo el mayor tiempo posible. de papel que se les proporcionó, podían diseñar un Prueba de velocidad avión con las siguientes características: * capacidad para aterrizar cerca de una diana concreta (precisión) * capacidad para mantenerse en vuelo (volar despacio) frente a la capacidad de volar rápido * capacidad para volar lejos * capacidad para volar acrobáticamente (con muchos giros, vueltas Punto de partida l y espirales) 1 * capacidad para realizar varios vuelos sin necesidad de reparaciones Para la prueba de velocidad y precisión, los estudiantes tenían que o reconstrucciones (durabilidad) lanzar sus aviones desde el punto de partida, doblando una esquina, hasta un punto que estaba señalado en el suelo a treinta pies de distancia. De nuevo, el objetivo consistía en acercarse lo más posible Eldíadelcertamen, acacia equipo Sele~ro~orcionóunahoJade~a~el a la diana, pero el avión debía llegar lo más rápidamente posible. de máquina de escribir. A continuación, sin permitírseles ninguna prueba previa, los estudiantes diseñaron sus aviones y los lanzaron desde un punto de partida señalado en el suelo del gimnasio, Se La tabla siguiente muestra los resultados de ambas pmebas. Las realizaron dos pruebas, Una centrada en el tiempo de vuelo y calificaciones de «tiempo» muestran el tiempo que el avión perma- / precisión, y la otra en la velocidad y precisión. neció en el aire: 1 unidad, 2 unidades y 3 unidades. «Distancia» registra lo cerca que aterrizó cada avión de la diana: 1 metro, 2 metros o 3 metros. Prueba del tiempo de vuelo , Punto de partida I Tiempo de vuelo y precisión Velocidad y precisión Tiempo Distancia Tiempo Distancia 3 segundos 1 metro 3 segundos 1 metro 4 segundos l metro 4 segundos l metro 5 segundos l metro 5 segundos l metro D 3 segundos l metro 3 segundos l metro 4 segundos 2 metros 4 segundos 2 metros F 5 segundos 2 metros 5 segundos 2 metros 3 segundos 3 metros 3 segundos 3 metros 4 segundos 3 metros 4 segundos 3 metros 5 segundos 3 metros 5 segundos 3 metros DEBATES tificada, cantidades acumulativas, cantidades en constante cambio, transformaciones, pautas o características de conjuntos de datos (más que porciones aisladas de datos), u otros tipos de sistemas para cuya descripción son útiles las estructuras matemáticas elementales. En cambio, en los Estados Unidos, cuando la mayoría de los estudiantes acaban el bachillerato de matemáticas, incluso los que lo hacen con los mejores resultados, muy pocas veces se han visto estimulados a desarrollar más allá de una exigua colección de modelos y representaciones que sirven para dotar de sentido a los sistemas en los que los «objetos» tienden a quedar restringidos a simples cuentas, medidas y formas, a los que se añade una estrecha y corta colección de razones y tasas o proporciones. REPRESENTACI~N: SIMPLIFICACIQN DE SISTE,MAS EXTERNOS O EXTERNALIZACION DE SISTEMAS INTERNOS En las anteriores secciones, se han tratado las representaciones como si fueran fundamentalmente externalizaciones de sistemas internos de pensamiento. Pero, cuando los estudiantes utilizan representaciones para matematizar situaciones de resolución de problemas, las representaciones matemáticas funcionan como simplificaciones de sistemas externos, al menos tanto como externalizaciones de sistemas internos. Para ver un ejemplo en el que se tiende a destacar esta última función, consideremos el problema de los empleos veraniegos, dado en la página siguiente (Katims, Lesh et al., 1994). Tanto el problema de los empleos veraniegos como el problema del avión de papel son actividades de obtención de estructuras. En cada uno de ellos, el objetivo consiste en generar una definición operativa que estipule el concepto que tiene el resolutor del problema de cómo medir una distribución (tal como la «productividad» de los empleo!; veraniegos, o la {(capacidad de planear» de los aviones de papel). Por tanto, las descripciones, las explicaciones y las justificaciones no son simples comparsas de las respuestas aplicables, son el núcleo de dichas respuestas aplicables. Además, puesto que se pretende que el problema de los empleos veraniegos sea abordado por equipos de tres estudiantes de enseñanza media con una capacidad normal, tiende a plantear fuertes exigencias en cuanto a la capacidad de comunicación y fluidez en la representación, con los siguientes objetivos: a) analizar problemas y planificar soluciones que impliquen múltiples pasos y múltiples recursos y restricciones; b) justificar y explicar las acciones propuestas, y predecir sus consecuencias; c) gestionar y evaluar el proceso; d) integrar y comunicar los resultados de fornna que resulten útiles a los demás. El problema de los empleos veraniegos está pensado para que se le dediquen, al menos, una o dos clases completas (suponiendo que se han planteado cuestiones preparatorias y que se cuenta con los elementos adecuados como calculadoras y papel milimetrado). Por consiguiente, puesto que el desarrollo de estructuras es de lo que se trata exclusivamente en las soluciones de este tipo de problemas, y puesto que esta evolución tiende a implicar una serie de ciclos de modelización en los que se introducen, se comprueban y se afinan representaciones y modos de pensamiento cada vez más sutiles, el objetivo de las representaciones no consiste simplemente en que los estudiantes se comuniquen entre sí, sino que los estudiantes se comuniquen consigo mismos y que externalicen sus propios modos de pensamiento de forma que puedan ser examinados y mejorados. Por lo tanto, los significados y funciones de las representaciones que aplican los estudiantes no son estáticos y están continuamente evolucionando; y es cierto también para las estructuras subyacentes implicadas, así como para los sistemas externos que describen. Pondremos algunos ejemplos: Algunas características de las primeras interpretaciones de los estudiantes Las primeras interpretaciones consisten frecuentemente en un «batiburrillo» de diversos modos de pensamiento desorganizado y, a veces, inconsistente, acerca de los datos, de los objetivos y de los pasos hacia una posible solución. Pongamos por caso, si trabajan tres personas en grupo, a menudo no consiguen darse cuenta de que cada uno está: a) pensando acerca de la cuestión de forma diferente, b) centrándose en informaciones y relaciones distintas, c) apuntando a objetivos, en cierto modo, diferentes, y d) considerando distintos procedimientos para alcanzar aquellos objetivos. De hecho, incluso para un solo individuo, el estudiante puede no conseguir mantener una interpretación consistente y saltará, inconscientemente, de uno a otro modo de pensar sin darse cuenta del cambio que ha hecho. Puesto que los problemas como el problema de los empleos veraniegos frecuentemente contienen tanto «demasiada» como «insuficiente» información, las primeras representaciones y modos de pensamiento de los estudiantes suelen centrarse solamente en un subconjunto de dicha información y suelen tender a preocuparse de encontrar formas de simplificar o de añadir (suma, media) toda la información disponible. Por ejemplo, en su primera interpretación del problema de los empleos veraniegos, con frecuencia, los estudiantes se centran en las recaudaciones, descuidando los horarios de trabajo; o se centran en los periodos de ventas fáciles, ignorando los periodos bajos o normales; o fijan su atención solamente en un mes, dejando de lado los otros dos meses. Sin embargo, al mismo tiempo que los estudiantes se preocupan por encontrar modos de simplificación o de reducción de la información, pueden también expresar su inquietud acerca del hecho de no contar con ciertas informaciones adicionales que creen pertinentes. Supongamos que en el problema de los empleos veraniegos, tales informaciones pueden consistir en hechos acerca de las necesidades, flexibilidad o amistad de los posibles empleados, o de su deseo de trabajar. Pero, a pesar incluso de que no se disponga de esta información, tiende a resultar evidente que a la cliente del problema no le resultará de ninguna utilidad que los estudiantes decidan no responder a su petición de ayuda por la simple razón de ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) DEBATES El problema de los empleos veraniegos El verano pasado, Maya inició un negocio de concesión en el Parque de Recreo Wild Days. Sus vendedores ofrecen palomitas y bebidas por el parque, vendiendo en cualquier lugar donde puedan encontrar clientes. Maya necesita ayuda para decidir qué trabajadores va a volver a contratar el verano próximo. El año pasado Maya contó con nueve vendedores. Este verano, solamente puede contar con seis -tres a tiempo completo y tres a mediajornada. Lo que pretende es volver a contratar a los vendedores que recauden más dinero, pero no sabe cómo compararles, puesto que trabajan un número diferente de horas. Además, los periodos en los que trabajan implican grandes diferencias. No en vano resulta más fácil vender en una noche del viernes con mucha gente que en una tarde lluviosa. Maya repasó sus datos del año pasado. Para cada vendedor, calculó el número total de horas trabajadas y el dinero recolectado -cuando el negocio en el parque era alto (mucha gente), normal, y bajo (poca gente). (Véase la tabla.) Por favor, evalúe la efectividad en el negocio de cada vendedor del año pasado y decida qué tres vendedores debería volver a contratar Maya a jornada completa y qué tres vendedores debería contratar a tiempo parcial. Escriba una carta a Maya con sus resultados. En dicha carta debe describir cómo ha evaluado a los vendedores. Incluya los detalles para que Maya pueda comprobar su trabajo y dé una explicación clara a fin de que pueda decidir si su método es bueno para que ella lo aplique. Horas trabajadas el verano pasado Dinero recaudado el verano pasado (en dólares) Junio Las cifras se dan para periodos en los que en el parque había mucha gente (lleno), había una concurrencia media (normal) y había poca gente (bajo). ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1997, 15 (3) Julio Agosto 1 Lleno Junio Normal 15 22 17 30,5 26 4,5 433 16 3 Lleno 10 533 20 20 36 33,5 67 16 38 - MARIA KIM -- TERRY - JOSE CHAD CHERI ROBIN TONY FLLY Julio I Agosto Bajo 9 15,5 14,5 34 O 12 27 25 4s , Normal 14 40 25 3 1 15,5 373 26 45,5 17,5 Bajo 17,5 15,5 21,5 14 27 65 3 5 1 39 12,5 53 12 19,5 ' 19,5 13 26,5 7,5 O Lleno 699 4612 1389 1584 2477 2972 4470 1296 3073 Lleno MARIA , 690 Normal 780 874 667 1188 1172 278 1702 903 125 KIM TERRY JOSE LCHAD CHERI ROBIN TONY WILLY Bajo 452 406 284 765 O 574 610 928 64 474 1047 1263 1264 11 15 2253 550 O Bajo 3s 23,5 24,5 36 4s 16,5 5,5 84 12 Lleno 12,5 50 19,5 22 30 16 41,5 7,5 37 Normal 758 2032 ' 804 1668 68 1 2399 993 2360 767 Normal 333 14 203 19,5 24 24 58 42 22 Bajo 835 477 450 449 548 23 1 75 2610 768 Bajo 1462 491 712 1 1358 89 577 87 2518 253 Lleno ' Normal 788 4500 1062 1822 1923 1322 2754 615 3005 1732 834 806 1276 1130 1594 2327 2184 1253