Afectos y demostraciones geométricas en la formación inicial docente

371 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3), 371–386 AFECTOS Y DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS EN LA FORMACIÓN INICIAL DOCENTE Araujo, Jacqueline1, Giménez Rodríguez, Joaquim2 y Rosich Sala, Núria2 1 Departamento de Matemática. Universidad de Goiania. Campus de Jataí (Brasil) 2 Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y la Matemática. Universidad de Barcelona (España) [email protected] jgimé[email protected] [email protected] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. Se estudia el desarrollo de problemas de demostración geométrica en un curso de formación inicial de profesores de matemáticas, examinando si se manifi esta la dimensión afectiva y de qué modo. Se presenta el caso de una estudiante y su comportamiento frente a dos problemas de demostración. Se analizan las difi cultades, esquemas de demostración y elementos de lenguaje asociados con las creencias y las actitudes acerca de la demostración geométrica de los estudiantes. También se reconoce el perfi l evolutivo de su desarrollo y el análisis de las emociones en distintos momentos de la demostración; ello permite establecer asociaciones entre el dominio afectivo y las actividades de demostración. Palabras clave. Emociones, afectos, desarrollo profesional en matemáticas, formación inicial, demostración geométrica. Affects and geometrical proof for initial teacher training Summary. Geometrical proving problems are studied during a fi rst mathematics training course, analysing if and in which way affective dimension is manifested. A case of a student is presented observing her behaviour during two proof solving activities. The diffi culties, proof schemes and language aspects were analyzed and associated with beliefs and attitudes towards geometrical students’ proof. A development profi le and analysis of emotions in separated moments during the proof is recognized. It gives the opportunity to establish relations among affective domain and proof activities. Keywords. Emotions, affective domain, profesional development in mathematics, initial training, geometrical proof. 1. INTRODUCCIÓN La investigación reciente evidencia las difi cultades en asumir competencias en la resolución de problemas de demostración geométrica en la formación inicial docente (Jones, 2000 y Jones y Fujita, 2002) y también nos muestra la necesidad de analizar los factores que puedan explicarlas. Es, a la vez, un problema cognitivo, afectivo y de desarrollo profesional. El tema de la demostración es uno de los más estudiados en la educación matemática en la etapa preuniversitaria (Thurston, 1994). Sabemos cómo se enfrentan los estudiantes ante tipos de prueba (Balacheff, 2000) y cómo dan argumentos de inferencia fi gurativa (Richard, 1999). La mayoría de estos estudios usan situaciones de geometría euclidiana. En efecto, la geometría euclidiana es una disciplina que durante cierto tiempo, y para algunas culturas, ha sido el paradigma para mostrar estos procesos de forma solvente, puesto que casi no se ha fomentado una cultura argumentativa fuera de la demostración clásica que estableciese conclusiones a partir de premisas y INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 372 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) defi niciones anteriormente reconocidas. Y aunque es un factor de fracaso para muchos alumnos, su aprendizaje aparece como uno de los más difíciles y menos coronados por el éxito, tanto de los resultados escolares generales como en el sentido de la noción que los alumnos obtienen de su enseñanza (Arsac, 1988; Bates, 1996). Por otra parte, el rigor de la demostración deductiva tiene un rol central en la enseñanza de la matemática y se asocia tanto a las frágiles cadenas de razonamiento que se privilegian en la matemática, como a la búsqueda de lo general dentro del discurso matemático (Noss, 1994). Hay pocos trabajos que analicen las concepciones de los futuros profesores ante la demostración (Jones 1997, 2000, 2004 y Jones y Fujita, 2002). Los que citamos se han realizado en contextos más amplios que los de un curso específi co de geometría euclidiana. En otros casos, el objetivo ha sido más bien el uso de mediadores, que propiamente el análisis del curso. En otras investigaciones sobre demostración y formación de profesores se han estudiado elementos de lenguaje demostrativo, como indicadores semióticos (Martínez Recio, 1999), o el uso de paradojas (Movshovitz-Hadar y Hadass, 1988) o de elementos históricos, etc., pero en ninguno de ellos se observan elementos afectivos. ¿Qué sucederá en una realidad como la brasileña, donde se mantiene un curso de geometría euclidiana al inicio de la formación docente? ¿Cuál puede ser la infl uencia de los factores afectivos cuando sabemos que la actitud ante el trabajo matemático geométrico es negativa (Dias, 2001)? No es fácil que los futuros docentes sean conscientes del valor de las demostraciones geométricas. Realizar actividades para aprender el valor de la demostración y pasar el límite de la argumentación para aprender a enseñar a demostrar es complejo y arduo (Jones, 2004). Es lógico que nos preguntemos si podemos incidir positivamente en el desarrollo profesional docente integrando el sistema de afectos y emociones de los sujetos (Gómez-Chacón, 2000) con el desarrollo de actividades de demostración de manera que podamos incidir en el futuro docente, de forma que se integre una componente cognitiva con la afectiva. Por todo ello, en este artículo, presentamos un estudio de caso, en el que nos proponemos identifi car algunos elementos de la dimensión afectiva que pueden observarse en el desarrollo de situaciones de demostración realizadas en un curso de formación docente. Pretendemos reconocer algunos elementos del llamado «dominio afectivo», es decir, creencias, sentimientos, emociones y actitudes que se mantienen o cambian en el proceso de resolución de tareas de demostración geométrica. En el caso que analizamos se constatan algunas concepciones iniciales y se analiza cómo evolucionan, junto con sus esquemas de prueba, interpretación, argumentación, y estilo de lenguaje en relación con el sistema de afectos del estudiante. En particular, nos proponemos realizar un estudio cualitativo de la evolución de los comportamientos individuales a largo plazo de un grupo de estudiantes en situación de prueba-demostración, entendida como un componente discursivo importante de la comunicación dentro de la comunidad matemática. 2. CUADRO TEÓRICO Tratar distintos aspectos importantes de la formación en un mismo estudio pide una aclaración sobre los diversos términos usados, así como el signifi cado que les otorgamos en este estudio. Así, se explicará a continuación: el marco de desarrollo profesional en el que nos movemos, el signifi cado de formación geométrica que se da, el sentido de la demostración y su alcance, así como el signifi cado que otorgamos al componente dimensión afectiva que se desarrolla y a los términos que van a ser usados. La docente, a su vez investigadora, asume en todo momento este marco teórico. Sobre el desarrollo profesional Entendemos el desarrollo profesional como un proceso sistemático y refl exivo que busca la mejora de la práctica, consideramos las creencias y los conocimientos profesionales con tres componentes principales: epistemológicomatemático, estratégico-didáctico y profesional-afectivo entrelazados (Bairral, 2002). En ese marco, trabajar la demostración signifi ca reconocerla como un procedimiento de validación (Maher y Martino, 1996) que caracteriza la matemática respecto de las ciencias experimentales y así ocupa un lugar central desde el punto de vista epistemológico en esta disciplina. A pesar de valorar la importancia del componente estratégico-didáctico, en este trabajo acentuamos la refl exión sobre la actividad matemática de la demostración y de la prueba. Ello pasa por aceptar la reconceptualización de las infl uencias del afecto junto al pensamiento matemático que supere el simple hecho de desarrollar instrumentos para medir lo afectivo en un contexto social en que surge el aprender a aprender. El curso de geometría euclidiana es un entorno clásico de trabajo en el que se desarrollan actividades de demostración constantes, pero que se transforma para dar cabida a actividades de apreciación didáctica sobre la demostración en secundaria (Araujo, 2004). El estilo de trabajo permite que los estudiantes discutan sobre las demostraciones, su valor y su relación con los principios clásicos de la geometría euclidiana, en un ambiente de fomentar conjeturas, pruebas y refutaciones. Asimismo, se incluyen procesos de desarrollo mediante las TIC. Sobre la demostración como actividad de formación Consideramos la actividad de demostración como un experimento de pensamiento (en el sentido de Lakatos, 1976) desde diversos aspectos: verifi cación o justifi cación, iluminación o insight acerca de proposiciones, y organización de resultados en un sistema deductivo (Coe y Ruthven, 1994). Sabemos que los estudiantes tienen un concepto débil del signifi cado de demostración, y un objetivo clave del curso es convencerlos de que puede desarrollarse en todos los niveles de la educación secundaria. No es aquí el lugar de hacer una relación exhaustiva de cómo se desarrollan dichos aspectos, pero digamos INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 373 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) que el curso propone situaciones clásicas en las que se muestran esos tres aspectos. Se pretende que los futuros docentes reconozcan la demostración como una construcción social. Así, se hacen demostraciones por pares y con toda la clase. En este artículo, nos centramos en ejemplos de las elaboraciones personales, en cuanto nos permiten reconocer aspectos de la construcción personal relacionados con las muestras afectivas y también personales de los sujetos observados. Aun siendo personales, las demostraciones euclidianas son una construcción social en la cual los estudiantes se enfrentan con la historia y explicitan negociaciones de signifi cado (Restivo, 1994) que comparten en el grupo. Sobre el dominio afectivo La construcción del dominio afectivo como algo separado de lo cognitivo se explica mediante taxonomías que se inician con la mera conciencia, y sigue con respuesta, valoración, organización y caracterización valorada (Kratwohl, Bloom, Masia, 1964, revisado por Kratwohl y Anderson, 2001; Atherton, 2005). Posteriormente, se conecta con experiencias de sentimiento positivo o negativo, así como la conciencia de placer o de disgusto (Beatty et al., 1991) causadas por percepciones relacionadas con la motivación y la emoción. Algo más adelante, aparece la consideración de las emociones como parte del dominio afectivo (Anderson 1981 citado por Anderson y Krathwohl, 2001). Diversos autores han aproximado lo afectivo con lo cognitivo (Mandler 1975 y 1989) hasta que McLeod (1989) incluye en el componente afectivo las creencias junto con las actitudes y las emociones. Un poco más tarde, Taylor (1989) y Evans (2001) consideraron de utilidad las aproximaciones psicoanalíticas y las ideas postestructuralistas como marco de interpretación de las reacciones afectivas de los estudiantes y de los profesores. De todos modos, se vio enseguida que su forma de ver psicoanalítica debía complementarse con aproximaciones discursivas, para reconocer las infl uencias del grupo social, ya que (Nimier, 1977; Buxton 1981) habían señalado que se hace matemáticas y se aprende a enseñar matemáticas en una cultura determinada (Walkerdine, 1988). Pero sólo recientemente, autores como Evans (2005) enfatizan el dominio afectivo como un fenómeno discursivo socialmente organizado por sistemas de signos que subyacen en lo que signifi ca hablar de emociones positivas y negativas (Hall, 1997). Gómez-Chacón (2001) introduce las apreciaciones necesarias que son consideradas en este estudio. En nuestro trabajo con futuros docentes, entendemos por dimensión o dominio afectivo un amplio conjunto de aspectos del desarrollo relacionados con las emociones que incluyen los sentimientos, los estados de ánimo, así como las creencias, las actitudes, los valores y las apreciaciones que se expresan mediante procesos discursivos del futuro docente respecto a las matemáticas, su enseñanza-aprendizaje y las prácticas asociadas. En nuestro caso, nos van a interesar especialmente cómo infl uyen en las actividades de demostración en un curso de geometría euclidiana. Y consideramos la educación emocional como un proceso educativo de formación y actuación sobre las emociones, que involucra algunos aspectos como permanencia, continuidad y prevención (GómezChacón, 2001). La preocupación no es ya taxonómica, sino interpretativa, y enmarcada en la naturaleza situada del conocimiento. Entendemos por emoción un estado complejo del organismo caracterizado por una excitación o perturbación que predispone a una respuesta organizada (siguiendo a Gómez-Chacón, 2003). Por tanto, entendemos que incluye respuestas organizadas más allá de la frontera de los sistemas psicológicos, con aspectos fi siológicos, cognitivos y de motivación. Las emociones suelen ser generadas como respuesta a acontecimientos externos (resultado del aprendizaje, infl uencia social, infl uencia cultural, conocimientos previos, etc.) e internos (interpretación de una situación, valoración personal de un hecho o evento como relevante de un objetivo personal (Gómez-Chacón, 2000 y Bisquerra, 2000), refl ejados en estados emocionales acompañados de reacciones involuntarias de cambios fi siológicos (como son temblores, taquicardia, sudores, etc.) y reacciones voluntarias (expresiones faciales y verbales, comportamientos, acciones, tono de voz, volumen). Buscar emociones no es el resultado de encontrar respuestas automáticas, sino un resultado del complejo entramado de aprendizaje, interpretaciones e infl uencias sociales. La identidad social es el principio organizador que moviliza la totalidad de las respuestas emocionales de cada individuo frente a la actividad matemática y su aprendizaje. Queremos mostrar cuáles son las emociones ante las actividades de demostración, que no las entendemos sólo como gestos que hace el sujeto para sí mismo sino como formas de relación con el docente y con el grupo. Son pocas las investigaciones que estudian las reacciones afectivas en situaciones en que los estudiantes desarrollan la actividad matemática junto con otros. Así, aunque nuestro estudio no analiza una construcción colectiva de demostración, las acciones de los estudiantes por separado se analizan en el interior del grupo clase. Es importante analizar el nivel de consideración y control de las emociones, porque éstas pueden infl uenciar el proceso del resolutor (Gómez-Chacón, 2000) y se relacionan con las distintas fases del proceso. Pero sabemos muy poco de cómo se producen los estados-reacciones emocionales perceptibles en el desarrollo de demostraciones geométricas y qué infl uencia puede tener el tipo de situación y la actuación formadora en el caso de futuros docentes. Por otra parte, consideramos el afecto en sus dos formas: individual y compartido (Damasio, 2001), llamados local o global por Gómez-Chacón (1997). El afecto local es el que está relacionado con los cambios de sentimientos o reacciones emocionales durante una tarea matemática. Mientras el afecto global involucra escenarios más complejos y permite contextualizar las reacciones emocionales en la realidad en que las produce. En nuestro estudio identifi camos los estados de ánimo, emocionales o de humor como un estado emocional de INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 374 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) mayor duración y de menor intensidad que las emociones agudas y dependen más de las valoraciones globales del mundo que nos rodea que de un objeto específi co (Bisquerra, 2000: p. 67). Éstos se caracterizan por una magnitud o intensidad, dirección, control, a nivel de conciencia en cuanto que las emociones pueden infl uir en el proceso de resolución de un problema o, en nuestro caso, en una situación del proceso de demostración y estructura. Así, en nuestro estudio se han considerado como dirección positiva los siguientes: euforia-excitación y satisfacción. En el caso de las emociones ambiguas se ha tenido en cuenta la indiferencia como un estado neutral. Y en el caso de dirección negativa se han considerado: inquietud, abatimiento, preocupación, cólera, rabia y tensión. Mediante el análisis de estos aspectos tratamos de reconocer cómo se refuerzan las estructuras de creencia. Consideramos los sentimientos como aquellas actitudes originadas a partir de una emoción, pero que perduran más allá del estímulo que lo origina, siendo por tanto, más duraderos y estables que la emoción y generalmente asociados con la voluntad. Y llamamos metaafecto (tomado de Gómez-Chacón, 2003) a la toma de conciencia del estado emocional, así como a sus causas, perjuicios y posibles respuestas para confrontar los problemas ocasionados por las emociones negativas y que generan perjuicio al desarrollo del proceso cognitivo. En la dimensión afectiva, entendemos las concepciones de los futuros docentes como organizadores implícitos de los conceptos de naturaleza esencialmente cognitiva y que incluyen creencias, signifi cados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias, etc., que infl uyen en lo que se percibe y en los procesos de razonamiento que se realizan (Moreno y Azcárate, 2003). Para reconocer las creencias, asumimos que se trata de conocimientos subjetivos, poco elaborados, generados a nivel particular por cada individuo para explicarse y justifi car muchas de las decisiones y actuaciones personales y profesionales vividas (Llinares, 1991). Por último digamos que los modelos adoptados para identifi car a los estudiantes respecto de lo que piensan de la geometría y la demostración son: constructivismo, platonismo, instrumentalismo y formalismo (Ernest, 1989). En ese marco de referencia se desarrolla un estudio empírico, que describimos a continuación, para la constatación de algunas relaciones entre esos cuadros teóricos expuestos para tratar de mostrar cómo se pueden vencer algunas resistencias clásicas (Evans y Wedge, 2004) del futuro docente. 3. DESARROLLO Y MÉTODO DE ANÁLISIS Para detectar algunas de las relaciones entre cogniciónafecto se desarrolla un proceso de investigación-acción mediante situaciones de demostración con un grupo clase de 32 alumnos, de los cuales 20 eran chicas y 12 chicos, con edades comprendidas entre los 17 y 36 años de edad en un curso de geometría euclidiana, que se imparte en el primer año en la formación de futuros profesores en la Universidad de Jataí, en el interior de Brasil. La investigadora principal es a la vez la profesora del curso. A partir de observaciones y cuestionarios iniciales sabemos que los conocimientos que tienen los estudiantes sobre geometría y demostraciones son escasos. Un 91% decía no haber tenido ninguna formación geométrica previa digna de mención, y sólo un 3% tienen conocimiento geométrico. Éstos provenían de escuelas privadas en las que se ha trabajado bastante geometría. Un 63% manifestaron que en sus estudios anteriores nunca habían tratado las demostraciones geométricas en la escuela y sólo el 6% decían que se les enseñaba regularmente las mismas, recordando el teorema de Pitágoras como ejemplo. Del 13% de los estudiantes que habían dado clases en secundaria o estaban dando clase1, sólo el 6 % que daba clases regularmente afi rmaba enseñar a demostrar a sus alumnos. Para la investigación se decidió escoger un subgrupo heterogéneo de seis estudiantes (caracterizado en la fi gura 1) con el fi n de realizar un estudio pormenorizado de sus producciones y afectos (Araujo, 2004), del cual consideramos a Tereza como caso paradigmático en el grupo; en este artículo, será el foco de ejemplifi cación del análisis. Mostramos, a continuación, cinco bloques de instrumentos usados para la detección de las concepciones de los futuros docentes, descripción del proceso y observación de elementos de la dimensión afectiva. a) Para conocer las concepciones iniciales de los estudiantes sobre la geometría, la demostración geométrica, el proceso de enseñanza y aprendizaje de los estudiantes y los sentimientos desarrollados en tareas de demostración geométrica, se realizan entrevistas semiestructuradas y se usa una carta de posicionamiento. En ella escriben a su mejor amigo explicando cómo era el curso de geometría, así como sus intereses y motivaciones, procurando describir los sentimientos desarrollados a lo largo del curso. b) Se toman registros del proceso en audio y video, así como el portafolio de actividades de clase y diarios de la profesora, con informes personales de los hechos ocurridos, sentimientos y refl exiones sobre los mismos. c) Para el seguimiento específi co de lo afectivo, se usan cuatro instrumentos concretos: mapas de humor, gráfi cos motivacionales, etiquetas emocionales y observación in situ. En los mapas de humor los alumnos han de elegir, de entre varios rostros, el que mejor expresa su sentimiento hacia la geometría, también se usan para saber acerca de los métodos de enseñanza y del interés por su aprendizaje. Para el análisis, se toman las categorías que surgen del trabajo de Knapp (2001) que permiten detectar cinco de las seis emociones llamadas básicas: miedo, cólera, disgusto, alegría y tristeza. En los gráfi cos motivacionales se pide a los alumnos que realicen un gráfi co de puntuaciones motivacionales que se otorgan de cero hasta el diez a lo largo del desarrollo del curso. Las etiquetas emocionales son gráfi cos que se usan para poder obtener información sobre las emociones que experimentaban los sujetos durante el proceso de demostración. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 375 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) d) Mediante la observación in situ, los alumnos señalan el icono que mejor representa su estado de ánimo en fases del proceso de resolución. Los iconos sobre las reacciones emocionales muestran diferentes estados de ánimo, que cada estudiante debía comentar. Esta técnica se aplicó dos veces y permitía contrastar las observaciones faciales de los videos, con los estados que ellos señalaban. Para analizar las reacciones utilizamos como categorías las de Weil y Tompakow (2002), que permiten identifi car aspectos de las emociones como son: nerviosismo, tensión, tranquilidad, alegría, miedo, cólera, disgusto y tristeza. e) Los datos empíricos de las demostraciones se toman a partir de las transcripciones grabadas de seis tareas de los alumnos a lo largo del curso, registradas junto con la fase en que se encontraban en una fi cha destinada a esta fi nalidad. Reducción de datos y proceso de investigaciónacción Los datos se tomaron en tres fases sucesivas, contrastándolos con los investigadores externos y, en algunos casos, con los propios estudiantes. En la fi gura 3 mostramos Figura 1 Características del alumnado que participa en el estudio general. Sujeto Percepción sobre conocimientos geométricos previos Concepciones acerca de la geometría Experiencia docente Utilidad de las demostraciones geométricas Carácter Tereza Geometría plana y espacial: áreas y volúmenes. Herramienta que sirve básicamente para aplicar fórmulas. No impartió clases de matemáticas. Las demostraciones facilitan el aprendizaje geométrico, porque evitan la memorización. Abierta y comunicativa. David Geometría espacial (poliedros y cuerpos redondos) y de geometría plana, estudió áreas y defi niciones generales. Materia que permite conocer y comprender el espacio, así como interrelacionarlo con otras partes de la matemática. Nunca en geometría euclidiana, pero sí de matemáticas. Las demostraciones geométricas son algo complicado, se sentía inseguro cuando empezaba una demostración y feliz cuando las concluía. Abierto y comunicativo. Eliana Geometría espacial, construcción de maquetas y de geometría plana, recordaba haber trabajado con áreas en papel milimetrado. La geometría es lógica y según ella esta concepción fue reforzada en la universidad. No había impartido clases de matemáticas. Creía que era importante enseñar demostraciones en la universidad, porque era un medio de dar seguridad a los futuros profesores. Bastante reservada. Helio Se acordaba de haber estudiado los ángulos, y los cálculos de los elementos notables de un triángulo. Veía la geometría como búsqueda de características de las fi guras y las formas. Sin experiencia docente. Dijo no haber realizado nunca ninguna demostración. Muy reservado. Rosa Nociones elementales de los poliedros y cuerpos redondos. Ante alumnos con difi cultades de aprendizaje, estudió por su cuenta el reconocimiento y las construcciones de polígonos, poliedros y cuerpos redondos. La geometría ayuda a comprender el entorno y el espacio. Tres años. Las demostraciones ayudaban a tener seguridad, aunque durante las mismas se sentía nerviosa y preocupada por mejorar sus resultados. Abierta y comunicativa. Sonia Triángulos, áreas de fi guras geométricas y en relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. La geometría es necesaria para el aprendizaje matemático y ayuda a comprender el entorno y el espacio. Experiencias puntuales en álgebra y geometría en general. Son necesarias. Se manifestaron en la universidad bloqueos importantes durante situaciones de pruebas, debidos a sucesivas frustraciones vividas en las diferentes asignaturas. Reservada y sensible. Figura 2 Muestra de iconos usados como etiquetas emocionales. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 376 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) cómo se conjugan los métodos de acción y validación en el desarrollo de la investigación. En el primer ciclo de investigación-acción, se diseña un nuevo programa para la asignatura de geometría euclidiana, que aporta cambios importantes sobre la propuesta de nuevas tareas de demostración geométrica y sobre cómo los futuros han de afrontar este reto en la clase de secundaria. En esta primera fase, se reconocen las producciones de los futuros docentes. Para cada situación y para cada sujeto construimos un esquema de la evolución de las reacciones emocionales y a partir de estos datos realizamos los análisis y mostramos los resultados. Se caracterizaron esquemas de prueba (Martínez Recio, 1999), y se observa si muestra coherencia o no con el sistema de creencias sobre la geometría evidenciado por los sujetos. En la segunda fase, se asocian a estos resultados las actitudes de los estudiantes para poder identifi car las posibles relaciones, así como los cambios de las reacciones emocionales. Las grabaciones en video actúan como contraste. A partir de las soluciones de los alumnos se determinan las estructuras de prueba más fi nas (Harel y Sowder, 1998). Y para el análisis de los procesos argumentativos se sigue la caracterización y se asignan categorías de interpretación de los esquemas personales asociados a los tipos de demostración y elementos de lenguaje (Ibañes y Ortega, 2001). Para el análisis del nivel de prueba se usan árboles de demostración y la asignación de tres niveles (siguiendo la idea de Fortuny y Giménez, 2001). Un ejemplo de su uso se verá en las fi guras 4, 5 y 6. En todo momento la docente-investigadora está acompañada de dos investigadores externos que son los coautores de este artículo. En la tercera fase, se realiza el análisis más detallado de contraste con lo que muestran los sujetos, y se triangula mediante las entrevistas, diarios e investigadores externos la co-construcción del proceso. Sobre las situaciones de demostración A continuación se analizan con detalle las observaciones de una alumna ante dos situaciones, llamadas S4 y S6, entre un total de seis que se estudiaron en la investigación más amplia que incluye una descripción detallada del curso (Araujo, 2004). Estas dos situaciones se eligen para mostrar explícitamente cambios emocionales, en un caso en que se considera de nivel simple S4, y otra que se considera intermedia-avanzada S6. Además, también consideramos que estas demostraciones en dos momentos del proceso indican un cambio entre dos momentos: uno más al inicio y la otra demostración en momentos cuando más adelantados del proceso, la alumna ya ha realizado diversas situaciones de demostración por su parte. Estas seis situaciones a las que nos referiremos aquí son elaboradas totalmente por los propios estudiantes individualmente, a diferencia de otras que son mucho más guiadas por la formadora o bien otras en las que se desarrolla un trabajo grupal. Debemos de considerar que los alumnos previamente a la resolución de las demostraciones ya habían trabajado con anterioridad todos los conceptos implicados, así como las relaciones correspondientes. A partir de los textos de las producciones de los alumnos en el primer año. Se observa su solución a los problemas de la demostración. Asignamos categorías. Se toman observaciones in loco. Constatamos los elementos del lenguaje asociados a las demostraciones. Se identifi ca la estructura correspondiente, contrastando con las entrevistas las actitudes de los sujetos. Repetimos la experiencia en un segundo año. Asociamos los constructos base del esquema personal de demostración y asociamos algunos elementos emocionales. Se muestran los módulos interpretativos de la realidad escolar añadidos a las situaciones de demostración. Se contrasta de nuevo con lo manifestado en las entrevistas (creencias). Se contrasta de nuevo con las actitudes, emociones y sentimientos de cada sujeto. Fase 1. Toma de datos inicial 1 Fase 2. Contraste Fase 3. Ajuste emocional Figura 3 Esquema de desarrollo del proceso de selección y análisis de datos. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 377 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) La primera situación que analizamos (S4) se presenta a mediados del curso, y pide que se muestre que las diagonales de un rectángulo son congruentes. Se considera de grado intermedio y aunque sea de tipo bastante lineal se plantea de forma abierta, permitiendo que el problema sea demostrado de varias maneras. Este tipo de demostración suele ser un resultado observable en cursos de educación secundaria pero ahora tiene un valor diferente, puesto que se requiere que el estudiante busque en los referenciales teóricos los presupuestos que son relevantes en la deducción a partir del conocimiento de elementos defi nitorios. Se acompaña de una fi gura que quizás pueda ser un distractor, según como se interprete. La segunda situación que analizamos (S6) se muestra unas semanas más adelante: «Muestre que la medida del ángulo con vértice P cuyos lados son tangentes a una circunferencia en los puntos A y B es igual a 180º menos la medida del arco menor AB y que PA = PB.» La clasifi camos como de nivel intermedio avanzado, ya que no se trata de un proceso inmediato y el alumno debe tener en cuenta diversos contenidos (concepto de tangente, arco, radio, etc.), así como la relación existente entre tangente y radio; nociones conceptuales previas respecto circunferencias; relación entre ángulo central y arco, entre otras. El detalle de la participación del alumnado en el curso y la interacción con el profesor y los compañeros se encuentra en Araujo (2004). 4. RESULTADOS Para identifi car los resultados del proceso decidimos mostrar aquí, como ejemplo, las respuestas de Tereza. Su posición inicial negativa y de carácter abierto nos parecen importantes para considerarla como caso paradigmático y normal en las universidades brasileñas, ya que cuando la observamos era la segunda vez que hacía la asignatura porque había tenido que abandonar el curso anterior por cuestiones personales. Concepciones y afectos iniciales A partir de los registros obtenidos, identifi camos que la mayoría de los estudiantes mostraron concepciones formalistas-técnicas al inicio. Tereza, en particular, nos mostró la geometría como una herramienta que sirve básicamente para aplicar fórmulas. «Porque pensamos que vamos a estudiar de la misma forma, sólo fórmulas y aplicar fórmulas. El año pasado, yo estudié más o menos así. […] La geometría que estoy estudiando hoy la encuentro mucho mejor, porque estamos yendo más allá de la defi nición. Aprendemos mejor así, sabemos de lo que se trata sin tener que decorar.» (Entrevista con Tereza, E1: 21-24) Muchos estudiantes, como Tereza, creen inicialmente que las demostraciones son un medio importante de aprehensión del conocimiento geométrico sin tener que memorizar los conceptos. Piensan que las demostraciones dan seguridad a las personas que las saben realizar y también llevan a un aprendizaje más permanente. Consideran que el aprendizaje de la geometría y sus demostraciones hacen que las matemáticas se vuelvan más agradables. Identifi can la demostración como un instrumento de validación de una proposición matemática, pero afi rman que el trabajo realizado no les proporcionó el signifi cado exacto del papel de la demostración en el aprendizaje. A pesar de que la estudiante ya había realizado demostraciones geométricas durante cuatro meses, aproximadamente, en la universidad mantuvo, a lo largo de la primera fase de trabajo, una concepción de la geometría y la demostración como contenidos que debían ser memorizados con la fi nalidad de sacar buenas notas en las pruebas. A partir de éstas y otras observaciones constatamos que las creencias sobre la demostración están directamente relacionadas con las experiencias previas del alumnado (McLeod, 1989). Concepciones, reacciones emocionales y afectos en la situación S4 Ante la primera demostración, la estudiante justifi ca lógicamente la validez de la proposición de forma parcialmente correcta (Figura 4) a través de una argumentación simbólica que resulta incompleta, y un árbol de proceso que se muestra como lineal. Su idea de demostrar parece, pues, que coincide con la de cadena de argumentos. A pesar de la omisión de algunos argumentos, consideramos que la estudiante tiene un esquema de prueba casi deductivo, y bastante estructurado, ajustado a su idea previa sobre lo que ocurre cuando sabes demostrar. Dicho esquema de prueba coincide bastante con reacciones emocionales positivas y concepciones formalistas-técnicas explicitadas. Tereza dice sentirse eufórica durante toda la demostración, lo que contrasta con su postura corporal y análisis facial, ya que presentaba rasgos de atención con momentos de inquietud. Ahora bien, pensamos que la muestra de inquietud fue debida al hecho de que quisiera concluir con éxito y de forma rápida la demostración, porque estos rasgos no interfi rieron en el estado eufórico (rictus serio, pero no apesadumbrado) que sintió durante todo el proceso ya que se sentía segura de las respuestas que daba. En el momento en que Tereza se enfrenta ante la segunda situación analizada (S6), que hemos categorizado de rango intermedio avanzado, afi rma que las demostraciones son un medio importante para la adquisición del conocimiento geométrico, ya que nos permiten trabajar los conceptos sin tenerlos que memorizar, dan seguridad a las personas que las saben hacer y facilitan un aprendizaje más permanente. Dice que el aprendizaje de la geometría y sus demostraciones hacen que las matemáticas sean más agradables. Tereza presenta ahora una respuesta parcialmente correcta y su esquema de prueba, que lo hemos caracterizado de deductivo informal. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 378 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) Figura 4 Respuesta y árbol de prueba de Tereza en la situación ( S4). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 379 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) Los errores cometidos por esta estudiante en esta demostración quizás se deban (según manifestó en la entrevista fi nal) a la decisión que tomó de dedicar menos tiempo al estudio de la geometría para poder dedicar más tiempo a otras asignaturas. Este hecho se tradujo en inquietud ante la realización de tareas de demostración, que registramos repetidamente en los diarios. Podemos ver cómo empieza por la segunda parte, presenta por primera vez argumentos informales y sus conexiones están poco estructuradas. Su esquema de prueba es deductivo informal. Realiza razonamientos deductivos no aplicados y en cuanto al lenguaje usa inferencias argumentativas, con conexiones débiles. Su estilo es ahora informalsemi-estructurado. Muestra difi cultades en reconocer y defi nir las propiedades esenciales de los conceptos en cuestión y establecer conclusiones coherentes mediante argumentos deductivos (síntesis de las ideas). En cuanto a la primera parte de la demostración que trata de hacer a continuación (Figura 6), sigue una estructura semejante al caso anterior. Los argumentos en este momento son aún más débiles, ya que la estudiante no logró establecer las conexiones apropiadas entre ellos. Emocionalmente Tereza se muestra tensa en casi todo el desarrollo de la demostración. Al inicio de la demostración, quizás sea debido a que tenía dudas de cómo proponer un plan de solución para el teorema. Después sigue sintiéndose insegura porque no sabía cómo deducir el resultado y, de acuerdo con lo que estábamos observando en el papel, en este momento presentaba deducciones equivocadas en su respuesta, que después modifi ca y no entrega. Seguramente el motivo de la tensión que experimentaba se debiera a su inseguridad y dudas acerca de la solución. Al fi nal ella se siente satisfecha porque piensa que la primera parte de la demostración estaba correcta y creía que la segunda también podría estar correcta. Observamos, a partir de las grabaciones de vídeo, que las posturas corporales evidenciaban una atención con estados de tensión de diferentes intensidades durante los cuatro primeros momentos del proceso de resolución de la demostración, mientras que en el último momento la postura corporal de la estudiante nos muestra una posición de atención sin evidentes rasgos de euforia. Figura 5 Demostración de Tereza en la parte 2 de la actividad. Figura 6 Estructura de árbol de la respuesta de Tereza en la situación (parte 1). Dibuja la circunferencia de centro O; A y B puntos de tangencia P está situado fuera de la circunferencia Las rectas que pasan por A y B son tangentes; OB y OA son radios de la circunferencia ∴ OÂP = OBP = 90º Se tiene triángulo equiláteros con hipotenusa OA = OB (radios) ∴ AP = BP Traza la recta OP ∆ AOB y ∆ AOC son isósceles y sus ángulos son iguales OAPB es un cuadrilátero con ángulos rectos y su suma es 180º y para completar los 360º (ángulos internos del cuadrilátero) se tiene BÔA + BPA P es 180º menos BÔA A partir del trazado de la recta por A y B se tiene INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 386 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(3) MAHER, C. y MARTINO, A. (1996). The Development of the Idea of Mathematical Proof: A 5-year Case Study. Journal for Research in Mathematics Education, 27(2), pp. 194-214. McLEOD, D. (1992). Research on affect in mathematics education: A reconceptualisation, en Grouws, D.A. (eds.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, pp. 575-596. 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