La introducción de los conceptos relativos al azar y la probabilidad en libros de texto universitarios

241 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2), 241–256 LA INTRODUCCIÓN DE LOS CONCEPTOS RELATIVOS AL AZAR Y LA PROBABILIDAD EN LIBROS DE TEXTO UNIVERSITARIOS Barragués Fuentes, José Ignacio1 y Guisasola Aranzabal, Jenaro2 1 Universidad del País Vasco. Departamento de Matemática Aplicada [email protected] 2 Universidad del País Vasco. Departamento de Física Aplicada I [email protected] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En este trabajo presentamos un estudio sobre el modo en que se introducen los conceptos relativos al azar y la probabilidad en una muestra de 34 libros de texto universitarios. Nuestro enfoque se ha centrado en determinados componentes de tipo epistemológico y didáctico. Los resultados del estudio parecen indicar la ausencia en la mayoría de los textos de ciertos aspectos importantes del marco teórico de las matemáticas que podrían ser explotados para aproximarse al objetivo de lograr un aprendizaje signifi cativo por parte de los estudiantes. Palabras clave. Azar y probabilidad, revisión de libros de texto, aprendizaje con comprensión, epistemología, concepciones alternativas, heurística de accesibilidad, heurística de representatividad, sesgo de equiprobabilidad, sesgo determinista. Introducing concepts related to chance and probability in university textbooks Summary. In this work, we present a study on the way in which the concepts related to chance and probability are introduced in a sample of 34 university text books. The approach has been centered on certain epistemological and didactic components. The results of the study seem to indicate the absence, in the majority of texts, of certain important aspects of the theoretical frame of mathematics. Finally, these missing aspects might be exploited to come closer to the objective of achieving a signifi cant learning on the part of the students. Keywords. Chance and probability, textbooks review, meaningful learning, epistemology, misconceptions, availability heuristics, representativeness heuristics, equiprobability bias, deterministic bias. INTRODUCCIÓN El trabajo que aquí presentamos es parte de una investigación más general que hemos llevado a cabo acerca de la enseñanza y el aprendizaje de la teoría de la probabilidad en primer ciclo de universidad en escuelas de ingeniería técnica industrial (Barragués, 2002). Esta investigación general tuvo tres propósitos fundamentales: a) descubrir las principales difi cultades que tienen los alumnos a la hora de comprender los conceptos y procedimientos básicos relativos al azar y la probabilidad; b) estudiar si la enseñanza habitual de estos conceptos da lugar a un aprendizaje con comprensión; c) diseñar una enseñanza alternativa capaz de mejorar el aprendizaje. En nuestra opinión, el objetivo c es inviable mientras no conozcamos explicaciones de por qué los alumnos no logran un aprendizaje con comprensión. Por ello nos parece importante explicar los trabajos que hemos realizado en esa dirección. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 242 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) En trabajos anteriores hemos analizado algunos aspectos relativos al primer objetivo (Guisasola y Barragués, 2002a, 2002b). Para abordar el segundo objetivo fue necesario enumerar y analizar los diversos aspectos implicados en el proceso de E/A habitual de la teoría elemental de la probabilidad en primer ciclo de universidad y, puesto que el libro de texto es un elemento clave de la enseñanza, realizamos un análisis del modo en que se presenta en una muestra de libros de texto de nivel universitario. En este trabajo expondremos algunos de los aspectos más signifi cativos de nuestro análisis. La investigación didáctica ha señalado en repetidas ocasiones que el libro de texto es el más importante de los recursos que usan los profesores en sus clases (Otero, 1985; Izquierdo y Ribera, 1997). Del Carmen y Jiménez (1997) afi rman que los libros de texto han sido y continúan siendo el material curricular más utilizado para la enseñanza de las ciencias en todos los niveles educativos. Tanto es así, que en ocasiones se identifi ca material curricular con libros de texto. Ortiz (1999) y Ortiz y otros (1996) resaltan una faceta de los libros de texto que nos parece especialmente sensible. Si en un libro de texto, afi rma Ortiz, aparece un signifi cado sesgado, éste puede llegar a transmitirse a sus alumnos. Así pues, el profesor que lo usa debe mantener una permanente vigilancia epistemológica sobre el contenido de los libros de texto que recomienda. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Para analizar una propuesta de enseñanza, como es en este caso la de la organización y secuenciación de un curso de introducción a la teoría de la probabilidad en los libros de texto, nos parece necesario en primer lugar explicitar qué entendemos por comprender los objetos matemáticos en cuestión. Y para ello, como indica Godino (1996), deben estudiarse la estructura de tales objetos y las formas o modos posibles de comprenderlos, los aspectos o componentes que es posible y deseable que determinados estudiantes en determinadas circunstancias aprendan. En este mismo sentido, Espinoza y Azcárate (1998) apuntan que no puede abordarse un problema didáctico sin tener en cuenta el propio conocimiento matemático y la actividad matemática involucrados en el mismo. Todos los aspectos que han sido objeto de nuestro estudio epistemológico tienen cabida en el marco teórico fenomenológico (Freudenthal, 1983). Como indica Puig (1997), el análisis fenomenológico de una estructura matemática consiste en describir cuáles son los fenómenos para los que dicha estructura sirve como medio de organización y qué relación tiene con ellos. La descripción de esta relación ha de mostrar de qué manera la estructura matemática actúa sobre los fenómenos como medio de organización y de qué poder nos dota sobre ellos. Si bien esta descripción ha de tomar las matemáticas en su desarrollo y uso actuales, Freudenthal se refi ere también a una importante óptica de análisis: la fenomenología histórica. Se trata de la toma en consideración de los fenómenos para cuya organización históricamente se creó la estructura matemática y cómo esta organización se extendió a otros fenómenos. Así pues, por una parte fue necesario realizar un análisis de diversos aspectos epistemológicos de los conceptos básicos relativos al azar y la probabilidad, destinado a clarifi car el signifi cado y el uso de la teoría de la probabilidad: en qué tipo de problemas se hace necesario el enfoque probabilístico, en qué consisten las soluciones que aporta, cuáles son sus signifi cados, cuál es su alcance, qué metodologías se utilizan para obtenerlas. Y por otra parte, una revisión histórica del concepto de probabilidad nos reveló qué fenómenos trataron originariamente de analizarse con él, a qué fenómenos se extendió este análisis, qué difi cultades y obstáculos hubieron de superarse en el proceso de construcción de la teoría de la probabilidad como ciencia. Este análisis epistemológico e histórico nos permitió caracterizar qué concepción de la probabilidad debe enseñarse para aprovechar su potencial en la práctica de las disciplinas técnicas y, por tanto, qué aspectos clave debíamos examinar en los libros de texto. Seguidamente observaremos la teoría de la probabilidad desde tres puntos de vista diferentes. En primer lugar, la observaremos como marco teórico en la construcción de modelos matemáticos útiles para intervenir con éxito en la realidad; después, como una evidencia más de la naturaleza problemática del proceso de construcción del conocimiento científi co. Finalmente, su consideración histórica nos revelará los saltos cualitativos más importantes que tuvieron lugar. Evidentemente ninguno de estos puntos de vista es estanco ni independiente de los demás. 1. Modelos probabilísticos Si se adopta una conceptualización de las matemáticas según la cual sus contenidos, métodos y signifi cados tienen como objetivo estudiar fenómenos observables y predecir sus futuros estados, desde esa óptica se asigna un papel fundamental a la construcción de modelos capaces tanto de explicar la evidencia experimental como de predecir las propiedades adicionales de dichos fenómenos (Weller, 1995; Hennessy et al., 1995; Meyer, 1992). Se construyen modelos matemáticos que toman en consideración un subconjunto de factores manejable y a la vez responsable, en lo fundamental, del fenómeno bajo estudio. Es en esta tarea de selección de factores o emisión de hipótesis donde comienza la discusión acerca de qué modelos son apropiados para describir ciertos fenómenos. Existen muchos fenómenos observables interesantes para los cuales un modelo determinista puede ser sufi ciente. Ahora bien, existen otros muchos fenómenos que necesitan un modelo matemático cualitativamente diferente, el modelo probabilístico, para el cual las condiciones de partida no determinan un resultado único sino una distribución probabilística de los resultados observables. Además, la respuesta que la INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 243 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) teoría probabilística aporta ante problemas reales que se plantean no es una simple aceptación de la «insufi ciencia» de nuestros conocimientos para lograr soluciones «exactas», sino que el principio fundamental consiste en que, cuando deja de estudiarse el comportamiento de un individuo y pasa a estudiarse amplias poblaciones de ellos, pueden surgir nuevas regularidades de un género diferente (Gnedenko, 1995). La voluntad explícita de simplifi cación a que hemos hecho referencia constituye una característica esencial de la aproximación científi ca, lo cual introduce elementos de artifi cialidad que no deberían ser ocultados al alumno. A este respecto, Barnea (1996) observa que muchos profesores, además de emplear un único modelo para estudiar el fenómeno, no enfatizan en el hecho de que los sistemas reales no se comportan exactamente igual que ningún modelo. En consecuencia, las percepciones de los estudiantes pueden ser parciales y erróneas, alejadas de una concepción científi ca del trabajo. 2. La naturaleza problemática de la construcción del conocimiento científi co En el apartado anterior nos hemos referido a la utilidad de las matemáticas para estudiar fenómenos observables y, por tanto, para dar respuesta a problemas. Pues bien, en los últimos años cobra más y más interés la idea de que las matemáticas deben presentarse a los estudiantes desde una óptica social y cultural, en la que la controversia y el debate ganan terreno a la visión inmovilista de la elaboración del conocimiento matemático, en la que las teorías matemáticas aparecen como una actividad humana más, inmersa en las relaciones entre la ciencia, la técnica y la sociedad (CTS) (Kilpatrick, 1981; Waldegg, 1986; Gil y De Guzmán, 1993). Así pues, deben encontrarse medios para sugerir a los alumnos que las matemáticas cuentan con fuertes vinculaciones con los asuntos humanos. Estas referencias a implicaciones técnicas, sociales y científi cas ofrecerán una visión contextualizada de la construcción del conocimiento científi co y pueden ayudar a despertar el interés de los estudiantes hacia la metodología científi - ca y la actitud positiva hacia la ciencia y hacia la teoría de la probabilidad en particular. También hemos hablado del papel que la ciencia asigna a la construcción de modelos matemáticos. Pues bien, diversos trabajos teóricos han caracterizado el proceso de construcción de modelos como un proceso general de resolución de problemas y señalan la importancia que, para el aprendizaje, tiene esta tarea (NCTM, 1989). Así, por ejemplo, los Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) afi rman que los estudiantes aprenden matemáticas construyendo activamente nuevos conocimientos a partir de la experiencia y el conocimiento previo y, para facilitar esa construcción, recomiendan la realización de actividades destinadas a que los alumnos tomen conciencia de sus conocimientos y estrategias informales, concediendo especial importancia a la resolución de problemas, al desarrollo del razonamiento y la argumentación, huyendo del operativismo mecánico. Ciertamente existen diferentes concepciones de lo que signifi ca el término situación problemática. No obstante, tales concepciones son coincidentes en el hecho de considerar que una situación sólo puede ser califi cada como problema en la medida en que resulta desconocida y sus soluciones no son inmediatamente accesibles (Polya, 1945). Naturalmente, nos interesamos por aquellas situaciones problemáticas que son abordables mediante actividades de matematización. Estas actividades, según Freudenthal (1991), incluyen inventar simbologías adecuadas para representar el propio problema y las soluciones encontradas, justifi car tales soluciones y generalizarlas a otros contextos y otras situaciones problemáticas (Cobo y Batanero, 2004). Al planteamiento de situaciones problemáticas abiertas que justifi quen el nuevo concepto debe añadirse un acompañamiento metodológico que incluya tareas como las siguientes: – tratamiento cualitativo de las situaciones; – experimentación con una diversidad de modelos; – realización de experimentos; – emisión de hipótesis justifi cadas, toma de decisiones; – confrontación de las predicciones formuladas con los datos reales; a fi n de que el alumno profundice en el fenómeno objeto de estudio y en el signifi cado de los conceptos involucrados. La naturaleza problemática del proceso de construcción de la ciencia se hace muy visible en un análisis histórico de la construcción de la teoría de la probabilidad como ciencia. Consideraremos con mayor detalle la perspectiva histórica en el próximo apartado. Ahora queremos mostrar que la controversia ha acompañado a todos los conceptos importantes desde su génesis. Veamos algunos puntos especialmente confl ictivos, que aún hoy siguen siendo motivo de refl exión. a) La regla «favorables sobre posibles» Según la concepción clásica, la probabilidad de un suceso que puede ocurrir solamente en un número fi nito de modalidades es la proporción del número de casos favorables respecto al número de casos posibles, siempre que todos los resultados tengan «idéntica verosimilitud» o sea aplicable el «principio de indiferencia», que, en defi nitiva, no son otra cosa que la equiprobabilidad de todos los sucesos elementales. De acuerdo con esta defi nición, el cálculo de la probabilidad de los sucesos se reduciría a un simple problema de análisis combinatorio. No obstante, esta defi nición se encontró inadecuada incluso en su época. Veamos algunas de las difi cultades que conlleva. En primer lugar, la defi nición es circular (Díaz et al., 1996; Steinbring, 1991). La hipótesis de equiprobabilidad que Laplace enuncia como «resultados igualmente probables» exige una aplicación previa del concepto de probabilidad. Por tanto, se trata de una defi nición que hace uso del pro- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 244 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) pio concepto que se está tratando de defi nir. Merece la pena recordar al respecto que las defi niciones circulares han sido origen de diversas paradojas desde fi nales del siglo xix (Whitehead y Russel, 1910; Kline, 1980; De Lorenzo, 1974). La segunda de las difi cultades de la defi nición clásica de probabilidad es su limitado ámbito de aplicación. Se trata de una defi nición muy restrictiva, que exige el inventario previo de un conjunto de alternativas simétricas que garanticen la equiprobabilidad. b) Probabilidad frecuencial Richard Von Mises (1883-1953) fue uno de los pioneros (1919) en la búsqueda de una axiomatización para la teoría de la probabilidad, en este caso basada en la interpretación frecuencial y en el teorema de Bernoulli (ley de los grandes números). El planteamiento frecuencial es en general útil siempre que se manejan grandes cantidades de datos, pero tiene inconvenientes desde varios puntos de vista. En primer lugar, no es posible evaluar la probabilidad, sino dar una estimación de ella, puesto que el número de ensayos es fi nito. Además, existen situaciones en las que no es posible ejecutar el experimento indefi nidamente bajo las mismas condiciones. Finalmente, como indican Borovcnik y otros (1991), el concepto de convergencia que subyace a esta concepción de probabilidad no es el de una convergencia sucesional en sentido clásico de las frecuencias relativas, sino que se basa –aún peor– en el propio concepto de probabilidad. En efecto, siendo A un suceso de probabilidad p(A) y fn(A) su frecuencia relativa tras n ejecuciones independientes del experimento aleatorio, no converge hacia cero la sucesión Xn = |fn(A)-p(A)|, sino que converge hacia la unidad la sucesión de probabilidades Yn = p(|fn(A)-p(A)|<ε) para cada valor arbitrario ε > 0 que se fi je de antemano. Lo que converge es una sucesión de probabilidades, de modo que o bien se emplea el mismo concepto que se trata de defi nir, con lo cual se entra en una circularidad al igual que ocurría con la defi nición clásica, o bien se necesitaría clarifi car esta segunda acepción de la probabilidad. Los intentos de Von Mises para resolver el problema según ésta segunda vía han generado principios fi losófi camente tan oscuros como el esgrimido por Laplace para justifi car la equiprobabilidad. c) El punto de vista subjetivista Existen muchos fenómenos impredecibles que no se prestan a una repetición indefi nida, pero que también pueden requerir un análisis probabilístico. La asunción básica de los subjetivistas es que la probabilidad es un grado de creencia personal, un nivel de convicción acerca de una afi rmación determinada, un juicio personal acerca de un fenómeno que es impredecible bajo el conjunto de hipótesis establecido. Para un subjetivista existen dos categorías de información, una previa y una empírica. La información previa se encontraría en la mente del individuo y sería independiente de cualquier dato experimental. La información empírica se obtendría de las frecuencias observadas en una repetición de experimentos. Ambos tipos de información se combinan en la fórmula de Bayes para dar lugar a una nueva probabilidad del suceso en cuestión. Así pues, el valor de la probabilidad depende de sujeto que la calcula y, por tanto, diferentes personas pueden asignar probabilidades distintas para un mismo suceso. Este punto de vista, presentado por vez primera en 1926 por Frank Plumptom Ramsey (1903-1930), recibió un considerable empuje en la década de los cincuenta por parte de Leonard Jimmie Savage (1917-1971). d) El punto de vista estructuralista La probabilidad formal, normativa u objetiva (Díaz et al., 1996) sería un concepto implícitamente defi nido por un sistema de axiomas y el cuerpo de defi niciones y teoremas que se deriva de ellos. Los teoremas indican de qué modo una probabilidad se obtiene a partir de otras probabilidades, pero no ofrecen ninguna sugerencia acerca de cómo deben interpretarse los valores numéricos. El punto de vista estructuralista no clarifi ca la naturaleza de la probabilidad, pero al menos sirve como marco de trabajo para las restantes concepciones. 3. Consideración histórica de la teoría de la probabilidad a) La tardía conceptualización de la probabilidad En un largo primer estadio preteórico, existieron creencias y actitudes hacia el azar que difi cultaron que éste se planteara como problema abordable por el ser humano. Durante muchos siglos se considera que el resultado de tirar un dado expresa la opinión de los dioses sobre futuros acontecimientos, nada es aleatorio. Sólo a partir del siglo xvi se da un intento de abordar el problema del azar desde la perspectiva de lo humanamente realizable, de la mano de Cardano, Galileo, Pascal y Fermat, entre otros. El hecho de que las pruebas más antiguas de utilización de tabas para juegos de azar estén fechadas alrededor de 1800 años AC contrasta con el hecho de que hasta Gerolamo Cardano no se hiciera referencia alguna a la probabilidad (David, 1962). Y, sin embargo, una vez iniciada la teoría, sólo transcurrieron cien años entre el Ars Conjectandi (1713), de Jacob Bernoulli (1654-1705), y la Teoríe Analytique des Probabilités (1812), de Pierre Simon de Laplace (1749-1827). El primer texto contiene la primera formulación de la ley de los grandes números, mientras que la segunda obra es el primer intento de defi nir con rigor la noción de probabilidad (David, 1962), la que se conoce como defi nición clásica. Pero, como señalan Díaz y otros (1996), los resultados de este siglo de descubrimientos requirieron de varios miles de años de germinación. Así pues, aunque los juegos de azar existían desde mucho tiempo atrás, la teoría de la probabilidad, como una abstracción conceptual de las leyes del azar, no surgió hasta el siglo xvi, hecho sorprendente cuyo intento de explicación ha dado lugar a un buen número de teorías. David (1962) apunta dos posibles explicaciones. Por una parte, la imperfección de los dados utilizados, que serían necesarios para empezar a concebir las leyes de la probabilidad. Y por otra, barreras de tipo religioso y moral. Cualquier intento de prever el resultado del lanzamiento de los dados podría ser interpretado como una pretensión de adivinar la intención de los dioses. Sin embargo, desde muy antiguo los hombres aprendieron a cargar los dados, lo cual hace pensar al menos en una oscura intui- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 245 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) ción no formulada de la idea de equiprobabilidad, lo que en términos fenomenológicos podríamos llamar «objeto mental juego equitativo». Kendall (1978) rechaza las causas apuntadas por David y analiza otra razón que también ha sido propuesta: la ausencia de un álgebra combinatoria. Kendall cree que tampoco ésta puede ser causa de la lenta emergencia del concepto formal de probabilidad, puesto que no impidió los trabajos de Cardano y Galileo. Por ejemplo, Galileo enumeró las 216 maneras distintas con que pueden caer tres dados perfectos empleando sólo métodos aritméticos (Díaz et al., 1996, De Mora, 1989). Cardano carecía de una simbología adecuada y tenía que recurrir constantemente a ejemplos concretos, pero utilizaba (inconscientemente) los teoremas de la unión e intersección (De Mora, 1989). Más aún, Cardano demostró una extraordinaria perspicacia para los problemas fundamentales de la probabilidad. En su pequeño manual del jugador, Liber de Ludo Aleae, de 15 páginas, editado en 1663 (aunque escrito mucho antes), Cardano discute la equiprobabilidad, la esperanza matemática, el razonamiento de la media y las tablas de frecuencia para la probabilidad en el juego de los dados; hay incluso un esbozo de la ley de los grandes números, que sería formulada por Bernoulli mucho más tarde, en 1713 (Nagel, 1985). Haking (1978) sugiere que la obsesión por el determinismo habría hecho imposible cualquier pensamiento de aleatoriedad. Kendall también se inclina a buscar una explicación al retraso en esta actitud básica hacia el mundo fenomenológico. Pero resulta que en la Europa del siglo xviii se comenzaron a comprender los conceptos de aleatoriedad, azar, probabilidades, etc., precisamente en el momento en que cobraba auge la idea de que era posible prescindir de Dios a la hora de explicar el funcionamiento del mundo (Kline, 1980). La conceptualización del azar habría tenido lugar justo en el momento más desfavorable, cuando los modelos mecanicistas parecían ser capaces de explicar cualquier fenómeno. Sin embargo, esta visión determinista del mundo puede ser coherente con el intento de conceptualizar el azar, si se adopta una posición según la cual las relaciones causa-efecto resultan tan complejas que la alternativa más adecuada para el estudio del fenómeno en cuestión sea un modelo no causal. Lo interesante de esta idea, además de que es capaz de reconciliar una visión obstinadamente determinista del mundo con el esfuerzo para conceptualizar el azar, es que la encontramos en el propio Laplace. Considerado su Essai Philosophique sur les Probabilités de 1814 como «el más perfecto exponente de la interpretación determinista del universo, un símbolo de aquella época que suponía que el pasado podría descubrirse y el futuro predecirse basándose en una simple instantánea del presente» (Newman, 1985), resulta que también Laplace es el autor del primer intento de defi nir con rigor matemático la noción de probabilidad (Díaz et al., 1996). b) Formación de una teoría de la probabilidad Apenas echados los cimientos de la teoría de la probabilidad, comenzaron sus aplicaciones a la construcción de tablas de mortalidad, rentas vitalicias, etc. De este modo, tras las aplicaciones de la probabilidad a los juegos de azar, se van perfi lando nuevos objetivos de cara a prever el futuro de un fenómeno sobre la base de un conocimiento histórico del mismo. Como indican Borovcnik y otros (1991), el progreso conceptual comenzado por John Graunt en el siglo xvii consiste en enlazar las frecuencias relativas y las probabilidades, justifi cando de ese modo el uso de la probabilidad en contextos que van más allá de los juegos de azar. Como señala De Mora (1989), uno de los méritos de Graunt estriba en que se atreve por vez primera a medir fenómenos que eran privativos de la divinidad: el nacimiento, la enfermedad, la muerte. Se trata de una evidente novedad; sin embargo, este progreso no fue defi nitivamente establecido hasta que se dio a conocer en 1713 la ley de los grandes números, descubierta por Jacob Bernoulli tras veinte años de trabajo. Este teorema establecerá en qué sentido las frecuencias relativas de un suceso convergen hacia la pobabilidad del mismo. En el siglo xviii emerge el concepto de distribución continua de probabilidad. Abraham de Moivre (16671754), estudiando la desviación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad, halla la función de densidad que actualmente llamamos normal y deduce la aproximación de la distribución binomial mediante la distribución normal, lo que hoy se llama teorema central del límite. A partir de Thomas Simpson (1710-1761) se emplearán distribuciones continuas en diversos problemas; los trabajos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) estarán ya sumergidos en la teoría del error. El reverendo Thomas Bayes (1702-1761) desarrolla de forma completa la IV parte del Ars Conjectandi que Bernoulli dejó inacabada y obtiene su fórmula de la probabilidad inversa, conocida como teorema de Bayes, sobre cuyas premisas aún continúan las discusiones de orden lógico y fi losófi co. Por otra parte, una vez sistematizada la teoría combinatoria por parte de Leibniz, se facilita el recuento de casos, lo cual será eje fundamental en la defi nición clásica de probabilidad. De hecho, en este momento se defi ne por primera vez la probabilidad como número de casos favorables entre posibles, defi nición que será desarrollada por Laplace. c) Búsqueda de una axiomatización de la probabilidad Ya desde los trabajos de Gauss, Lobachevski y Bolyai sabemos que la geometría euclídea no es algo inherente al mundo físico. Prescindiendo de un axioma tan evidente como el de las paralelas, pueden construirse geometrías que describen las propiedades del espacio físico con tanta precisión como lo hace la propia geometría euclídea (Kline, 1980; Hernández, 1986). Pues bien, tampoco la probabilidad es una característica inherente a los objetos reales, algo que se pueda derivar de forma única, sino que es el resultado de nuestro esfuerzo para construir modelos con los que seamos capaces de formular predicciones en situaciones de incertidumbre. Es claro que cada una de estas situaciones puede exigir un modelo probabilístico construido expresamente para ella. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 246 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) Así, desde el Essai d’Aritmetique Morale, de 1733, donde Buffon da el primer ejemplo de probabilidades geométricas (el famoso problema de la aguja de Buffon), pasando, como ya hemos visto, por los trabajos de De Moivre, Simpson y Gauss, sumergidos en el uso de las distribuciones continuas en diversos problemas, hasta el Calcul des Probabilités, donde Poincaré aborda también la solución de problemas de probabilidades geométricas, se están, de hecho, construyendo modelos probabilísticos que necesitan una concepción de la probabilidad mucho más general que la clásica. Por tanto, parece natural que el siguiente paso fuera la búsqueda de una axiomatización para la probabilidad, esto es, de una defi nición abstracta de la probabilidad. Y, en efecto, fue éste uno de los veintitrés famosos programas de investigación matemática que David Hilbert propuso durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en el año 1900. Los trabajos en esta dirección han generado diversos puntos de vista acerca de la probabilidad, como ya hemos visto. Pero fue Andrey Nikolayevich Kolmogorov, en 1933, quien formuló en Foundations of the Theory of Probability un sistema de axiomas para la probabilidad, dentro del cual se derivan los teoremas usuales. En este punto de vista estructuralista, que fue adoptado de forma inmediata, los sucesos se representan por conjuntos y la probabilidad es una medida defi nida sobre esos conjuntos. Este desarrollo basado en la teoría de la medida proporcionó un fundamento lógico para el cálculo de probabilidades y lo conectó a la corriente principal de la matemática moderna de acuerdo con la cual el camino adecuado es considerar la matemática como una disciplina abstracta, simbólica y sin referencia a ninguna interpretación particular (Boyer, 1968; Kline, 1973). Según lo expuesto en este apartado, nuestro análisis epistemológico e histórico de libros de texto consistirá en examinar las cuatro cuestiones que aparecen en la red de análisis del cuadro 1. Cuestiones investigadas 1. En el capítulo introductorio se hace referencia a la problemática que se va a abordar 2. Se plantean situaciones problemáticas con objeto de hacer ver la necesidad de introducir los nuevos conceptos 3. Muestra diversas interpretaciones del signifi cado de la probabilidad, abordando la problemática que genera cada uno de ellas 4. Se incluyen consideraciones históricas sobre el desarrollo del concepto de probabilidad Por otra parte, deseábamos estudiar en qué medida los libros de texto de nuestra muestra tomaban en consideración los resultados de la investigación en didáctica de la probabilidad. Éste fue el aspecto didáctico de nuestro análisis, que complementa al epistemológico e histórico. Seguidamente mostraremos algunos de los resultados acerca de las difi cultades de aprendizaje de la probabilidad que más frecuentemente aparecen en la bibliografía. BREVE REVISIÓN DE LA INVESTIGACIÓN SOBRE LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LA PROBABILIDAD Las investigaciones acerca de la comprensión por parte de los estudiantes de los conceptos relativos al azar y la probabilidad son muy numerosas, centrándose la mayoría de ellas en los niveles de enseñanza secundaria (Batanero, 2000). Estas investigaciones evidencian el uso de diversas estrategias no probabilísticas por parte de las personas cuando deben emitir algún juicio acerca de situaciones no deterministas. Tales estrategias son adquiridas a través de las experiencias de la vida cotidiana y proporcionan argumentos para tomar decisiones y enjuiciar, de modo que cuentan con un valor práctico para el individuo (Muñoz, 1998; Sáenz, 1998; Serrano et al., 1996, 1998; Guisasola y Barragués, 2002a, 2002b). Las investigaciones que han estudiado con detalle estos mecanismos demuestran que los juicios probabilísticos que los individuos realizan están dirigidos por el uso sistemático de unos pocos patrones de inferencia o heurísticas (Kahneman y Tversky, 1972; Kahneman et al., 1982). Un marco teórico con el que analizar estos mecanismos decisorios, ampliamente utilizado en la bibliografía especializada, se conoce como paradigma de heurísticos y sesgos. Seguidamente explicaremos en qué consisten algunos de los patrones que más frecuentemente han sido observados en los estudiantes, pero no sin antes hacer notar que, dentro del marco general fenomenológico que hemos adoptado, nos proponemos ahora tomar en consideración tanto los fenómenos presentes en el mundo de los alumnos como los que se proponen en las secuencias de enseñanza. Así pues, estamos realizando una fenomenología didáctica. Heurística de accesibilidad Consiste en estimar la probabilidad de un suceso por la facilidad con que se recuerdan ejemplos en los que dicho suceso ocurrió o por la facilidad con que pueden generarse ejemplos en los que tal suceso ocurre (Sáenz, 1998; Scholz, 1991). Heurística de representatividad Sugiere estimar la probabilidad de un suceso de acuerdo con lo representativo de cierta población que parece ser dicho suceso. Esto es, se asigna una alta probabilidad a aquellos sucesos que parecen ser típicos de una población y baja probabilidad a los que parecen no serlo (Schoenfeld, 1987; Sáez, 1998; Serrano et al., 1996). Diversas concepciones erróneas surgen comúnmente de la heurística de representatividad. Dos de las más frecuentes son la llamada insensibilidad al tamaño de la muestra y diversas ideas erróneas acerca del modo Cuadro 1 Red de análisis de aspectos epistemológicos de los libros de texto. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 247 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) en que deben confi gurarse las secuencias aleatorias. La insensibilidad hacia el tamaño de la muestra conduce a pensar que cualquier muestra tomada de una población debe reproducir todas las características de dicha población, aunque se trate de una muestra de pequeño tamaño (Serrano et al.,1998; Schoenfeld, 1987). En cuanto a las ideas erróneas acerca de secuencias aleatorias, se refi eren a la creencia de que las secuencias de resultados que aparecen relativamente ordenadas o simétricas no pueden considerase aleatorias por no tener aspecto aleatorio (Muñoz, 1998; Green, 1982; Borovcnik y Bentz, 1991). Sesgo de equiprobabilidad Se refi ere a la creencia por parte de los sujetos en la equiprobabilidad de todos los sucesos asociados a cualquier experimento aleatorio, incluso en aquéllos en que no es aplicable el principio de la indiferencia (Lecoutre, 1985, 1992; Lecoutre y Durand, 1988; Lecoutre y Cordier, 1990). Enfoque del resultado aislado Consiste en interpretar el valor de la probabilidad de un suceso como la formulación de una predicción acerca de si tal suceso ocurrirá o no la próxima vez que se repita el experimento. Se tiende a buscar explicaciones causales a la variabilidad de las variables aleatorias (ver el siguiente apartado) y a considerar que cada una de las repeticiones de un experimento aleatorio no tiene por qué guardar relación con las anteriores o posteriores. En consecuencia, podrían existir difi cultades para comprender el enfoque frecuencial de la probabilidad (Konold, 1991; Serrano et al., 1998). Concepción determinista del azar Se refi ere a la búsqueda de explicaciones causales al azar. Los sujetos emplean esquemas causales ingenuos como mecanismos de enjuiciamiento en situaciones en las que interviene el azar. Así pues, no se aprecia el carácter aleatorio, bajo las hipótesis establecidas, de las variables que intervienen en el fenómeno (Borovcnik y Bentz, 1991; Borovcnik y Peard, 1996). Como indica Sáenz (1998), el sistema educativo tradicionalmente entrena el pensamiento causal, introduciendo desde los primeros años de escolarización una visión determinista del mundo (física newtoniana, variables funcionalmente ligadas por una relación determinista...) en forma de leyes de «obligado cumplimiento». De hecho, el cálculo infi nitesimal, muy presente en los programas, no es sino la herramienta matemática para tratar la complejidad del cambio y de la causalidad determinista (Gil y De Guzmán, 1993). A nuestro entender, la interpretación determinista del azar es una posible difi cultad de los alumnos a tomar muy en consideración. Recordemos que la misma actitud básica hacia el mundo fenomenológico puede explicar en buena medida la tardía conceptualización de la probabilidad, como ya indicamos en nuestras consideraciones históricas. Quizá buscar una explicación causal convincente a todo fenómeno observable sea un mecanismo inherentemente humano, largamente heredado, que surge para tratar de reducir o suprimir la incertidumbre en un entorno donde tan sujetos estamos a las contingencias de lo impredecible y donde tan codiciada resulta la capacidad de pronosticar certeramente. Sea cual fuere el origen de este mecanismo, existen evidencias sufi cientes de que puede difi cultar el desarrollo del pensamiento científi co sobre el azar y de que puede ser todavía reforzado por un sistema educativo que entrene en mayor medida el pensamiento causal y enseñe la probabilidad incorrecta y tardíamente. Parece razonable pensar que, como profesores, uno de nuestros objetivos debe ser mostrar a los alumnos que la ciencia se reconoce incapaz de explicar el mundo sólo en términos de necesidad, que el azar juega un importante papel, que el estudio del azar se encuentra razonablemente dentro de las posibilidades de la ciencia, y que en muchas ocasiones nuestra única herramienta de análisis científi co será precisamente la probabilidad formal, con la que investigar las posibles conexiones estadísticas entre las diversas variables del fenómeno bajo estudio. Como ya hemos indicado, las intuiciones de sentido común pueden entrar en confl icto con las concepciones formales acerca del azar y la probabilidad. Por ejemplo, desde el punto de vista del aprendizaje de la concepción frecuencial de la probabilidad, una insensibilidad al tamaño de la muestra puede hacer que los alumnos no tomen en consideración la importancia del número de ensayos en sus estimaciones frecuenciales de la probabilidad. Estos mecanismos de enjuiciamiento alternativos a los formales constituyen difi cultades que pueden impedir o sesgar la aplicación de los últimos. Además, las investigaciones muestran de forma repetida la escasa efectividad que puede tener una enseñanza de tipo convencional para que los alumnos superen sus difi cultades y logren un aprendizaje signifi cativo. Se viene demostrando que la instrucción convencional puede no producir ningún cambio conceptual, independientemente del nivel educativo, y se apunta la necesidad, como indica Shaughnessy (1992), de conocer más acerca de qué piensan los estudiantes sobre el azar y la probabilidad y de identifi - car métodos efectivos de instrucción que tomen en consideración sus ideas y sus difi cultades. Según lo apuntado, nuestro análisis de libros de texto ha incluido también criterios de tipo didáctico. En concreto, como puede verse en la red de análisis del cuadro 2, hemos estudiando si en el texto se toma en consideración la investigación en didáctica de la probabilidad, que conlleva tener en cuenta las ideas previas de los estudiantes sobre los conceptos y plantear actividades expresamente dirigidas a ayudarles a superar sus difi cultades. Cuestiones investigadas 5. Se tienen en consideración (a través de algún comentario de tipo declarativo) las ideas de los estudiantes acerca de los conceptos 6. Se consideran o al menos se sugieren estrategias para superar las difi cultades de los estudiantes Cuadro 2 Red de análisis de aspectos didácticos de los libros de texto. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 248 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) METODOLOGÍA Para llevar a cabo el estudio hemos seleccionado 34 libros de texto de nivel universitario de entre la amplia bibliografía existente sobre teoría de la probabilidad y estadística. La relación de libros analizados se presenta en el anexo. La selección se ha realizado atendiendo a dos criterios. En primer lugar entrevistamos a un grupo de profesores de diferentes escuelas de ingeniería de la Universidad del País Vasco, con gran experiencia docente en la asignatura Métodos estadísticos para la ingeniería, y tomamos aquellos textos que recomendaban a sus alumnos como bibliografía básica. Después, añadimos algunos otros libros de texto disponibles en las bibliotecas de los centros que, con mayor frecuencia, eran consultados por los alumnos. A continuación, las secuenciaciones propuestas por los libros de texto fueron analizadas empleando los criterios seleccionados en nuestro análisis de aspectos epistemológico e histórico (Cuadro 1) y didáctico (Cuadro 2). Seguidamente fueron realizadas varias lecturas minuciosas de los correspondientes capítulos por parte de los autores de la investigación, valorando en cada texto cada uno de los apartados, especifi cando si a juicio de cada investigador se discute la cuestión con detalle sufi ciente, si contiene alguna referencia a la cuestión pero insufi - cientemente detallada o si no aparece ninguna referencia de interés hacia la misma. Las discrepancias se resolvieron discutiendo hasta llegar a una posición compartida, y debe indicarse que existió un alto grado de acuerdo entre los investigadores. RESULTADOS La tabla 1 muestra los resultados del análisis de cada uno de los libros de texto y el modo de interpretarlos. Como puede verse en la leyenda, la categoría D indica que, a nuestro entender, en el texto se discute la cuestión con detalle sufi ciente; R indica que nos parece insufi cientemente detallada la referencia que aparece; y N signifi ca que el texto no contiene ninguna referencia de interés hacia la cuestión. Ahora bien, esta categorización no es valorativa. Por ejemplo, cuando asignamos D a un texto sobre una cuestión determinada, sólo queremos decir que a nuestro entender el texto muestra preocupación sufi - ciente hacia la misma, y sin embargo quizá nos parezca inadecuado el modo que utiliza para tratar la cuestión. En la discusión de los seis apartados que sigue explicamos por qué nos parece adecuado o inadecuado el tratamiento utilizado por algunos de los textos. Tampoco es nuestra intención seleccionar «el texto más adecuado». Si en la primera parte del trabajo establecemos un fundamento epistemológico, histórico y didáctico con el que analizar una determinada forma de presentar la teoría de la probabilidad, ahora discutiremos ejemplos concretos de presentación. Nuestro ánimo es que las ideas que desarrollamos ayuden al profesor a seleccionar «sus textos más adecuados». 1. Justifi cación de la necesidad de la teoría de la probabilidad Hemos estudiado si los textos analizados explicaban la problemática general de la que se ocupa la teoría de la probabilidad para hacer ver al alumno la necesidad de este marco teórico. Hemos encontrado en 27 de los textos analizados esta explicación con detalle sufi ciente, normalmente en su introducción. Pero algunos de ellos, a pesar de mostrar preocupación por esta cuestión, utilizan un enfoque que entendemos defi ciente. En 8 de estas explicaciones, que representan cerca de la cuarta parte de la muestra de textos, aparece una clasifi cación de los fenómenos naturales en «fenómenos deterministas» y «fenómenos aleatorios». Los primeros estarían determinados de forma única por una colección de factores conocidos, mientras que para los segundos no se dispone de tal ley determinista. Esta clasifi cación se ilustra en dichos textos con ejemplos como «el lanzamiento de una moneda» (fenómeno aleatorio) y el «tiempo que transcurre desde que se lanza un objeto hasta que llega al suelo» (fenómeno determinista). De ese modo, parecen mostrar al alumno que los fenómenos reales son intrínsecamente aleatorios o intrínsecamente deterministas y que en muy pocas ecuaciones pueden describir completamente algún fenómeno natural. En realidad, no son los fenómenos reales sino los modelos matemáticos, que se construyen bajo cierto conjunto de hipótesis, los que se clasifi can de ese modo. Esta necesaria precisión aparece, por ejemplo, en los textos [28] (pp. 1-4) o [7] (pp. 1-4), cuando hablan de los múltiples factores que intervienen en los procesos físicos reales. Además, esta clasifi cación fenómeno aleatorio/determinista, presentada sin una discusión detallada, parece sugerir que las descripciones probabilísticas de los fenómenos son soluciones de segundo nivel que se emplean a la espera de soluciones deterministas capaces de describir unívocamente el fenómeno observado. Sin embargo, ya hemos visto que, aunque el azar pueda relacionarse con la ignorancia acerca del fenómeno, ambos no son sinónimos; el estudio del azar no es una simple aceptación de la incapacidad de nuestros conocimientos. Esta postura queda puntualizada muy claramente en el texto [21], cuando sostiene que el principio fundamental consiste en que al estudiar el comportamiento de las poblaciones resulta innecesario tomar en consideración las propiedades de cada uno de sus elementos, y surgen nuevas regularidades que son de un género diferente. He aquí el fragmento de este texto donde se discute la cuestión. Ejemplo 1, texto [21] (p. 12) El nivel insufi ciente de nuestros conocimientos [...] no debe disminuir la efi - cacia de su aplicación. Los métodos de la teoría de las probabilidades satisfacen al máximo estos requisitos. Para que no se entienda de modo equivocado lo que acabamos de exponer, vamos a recalcar una vez más la circunstancia siguiente. Diciendo que el formalismo de la teoría de las probabilidades es el más adecuado para estudiar fenómenos moleculares [las regularidades que se observan en el movimiento de un gran número de moléculas es el ejemplo que está utilizando], no afi rmamos, ni mucho menos, que las premisas fi losófi cas de la aplicación de esta teoría a las ciencias naturales se derivan del nivel «insufi ciente» de nuestros conocimientos. El principio fundamental consiste en que cuando se estudian fenómenos en masa surgen nuevas regularidades sui géneris. [...] Cuando se estudia un fenómeno natural hay que hacer la abstracción de los detalles no esenciales; si se consideraran todos los detalles y relaciones existentes, incluyendo las que no son esenciales para el fenómeno dado, su estudio se complica. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 249 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) Relación de textos analizados Cuestiones Textos recomendados por los profesores 123456 1 Canavos (1992) D N R N N N 2 Cilleruelo y Aurtenetxe (1997) D N D R N N 3 Egusquiza (1998) DNNNNN 4 López (1990) DNDNNN 5 Mendenhall et al. (1986) DNDNNN 6 Mendenhall y Sincich (1997) D D R N N N 7 Miller y Freund (1995) D N N R N N 8 Quesada (1994) DNNNNN 9 Spiegel (1997) N N R N N N 10 Viedma (1990) N N R N N N 11 Walpole y Myers (1992) R NNNNN Textos adicionales consultados por los alumnos 12 Álvarez (2000) D N R N N N 13 Bajpai, Calus y Fairley (1981) D D R R R N 14 Benjamin (1981) DNDNNN 15 Castillo (1993) DNDNNN 16 De Groot (1988) R N D R N N 17 Devore (1988) R NDNNN 18 Feller (1983) D D D R R N 19 Fernández de Troconiz (1993) DNDNNN 20 Gmurman (1983) D N R R N N 21 Gnedenko (1995) DDDDNN 22 Hérault (1973) D N R N N N 23 Kalbfl eisch (1984) R N R N N N 24 Kreyszig (1991) R N R N N N 25 Lippman (1976) D N R N R N 26 Lipschutz y Schiller (2000) DNDNNN 27 Martín y Ruiz-Maya (1995) DDDDNN 28 Meyer (1992) DDDNNN 29 Mode (1970) D N N R N N 30 Montgomery y Runger (1996) D N R N N N 31 Obregón (1975) DNDNNN 32 Peña (1994) DNDDRN 33 Ríos (1970) D N R N R N 34 Viles (2001) D N D R N N Aspectos analizados Leyenda de la valoración 1) Referencia a la problemática general que será tratada. 2) Uso de situaciones problemáticas para introducir los nuevos conceptos. 3) Discusión de la problemática de los diversos enfoques de la probabilidad. 4) Incluye consideraciones históricas. 5) Considera las ideas previas de los estudiantes. 6) Considera o sugiere estrategias para superar las difi cultades de los estudiantes. D: Discute la cuestión con detalle sufi ciente. R: Contiene alguna referencia a la cuestión, pero insufi cientemente detallada. N: No aparece ninguna referencia de interés hacia la cuestión. Tabla 1 Resultados del análisis de libros de texto. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 256 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2006, 24(2) ANEXO Libros de texto analizados Libros de texto recomendados por los profesores [1]. CANAVOS, G. C. (1992). Probabilidad y estadística. México: McGrawHill [2]. CILLERUELO, E. y AURTENETXE, E. (1997). Métodos estadísticos en ingeniería. Bilbao: ETSII y de T [3]. EGUSQUIZA, J. M. (1998). Apuntes de métodos estadísticos de la ingeniería. Bilbao: Geneve. [4]. LÓPEZ CACHERO, M. (1990). Fundamentos y métodos de estadística. Madrid: Pirámide [5]. MENDENHALL, W., SCHEAFFER, R. L. y WACKERLY, D. (1986). Estadística matemática con aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamericana. [6]. MENDENHALL, W. y SINCICH, T. (1997). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: McGraw-Hill [7]. MILLER, I. y FREUND, J. E. (1995). Probabilidad y estadística para ingenieros. Barcelona: Reverté [8]. QUESADA, J. A., ISIDORO, A., y LÓPEZ, L. A. (1994). Curso y ejercicios de estadística. Madrid: Alhambra Universidad [9]. SPIEGEL, M. R. (1991). Estadística. Madrid: McGraw-Hill [10]. VIEDMA, J. A. (1990). Métodos estadísticos. Madrid: Ediciones del Castillo [11].WALPOLE, R. E. y MYERS, R. H. (1992). Probabilidad y estadística. México: McGrawHill Libros de texto adicionales consultados usualmente por los alumnos [12]. ÁLVAREZ, S. J. (2000). Estadística aplicada. Madrid: CLAG [13]. BAJPAI, A. C., CALUS, I. M. y FAIRLEY, J. A. (1981). Métodos estadísticos para estudiantes de ingeniería y ciencias. Mexico: Limusa. [14]. BENJAMÍN, J. R. (1981). Probabilidad y estadística en ingeniería civil. Colombia: McGrawHill [15]. CASTILLO, E. (1993). Introducción a la estadística aplicada con mathematica. Madrid: Díaz de Santos [16]. DE GROOT, M. H. (1988). Probabilidad y estadística. EEUU: Addison-Wesley Iberoamericana [17]. DEVORE, J. L. (1988). Probabilidad para ingeniería y ciencias. México: International Thomson Editores [18]. FELLER, W. (1983). Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Vol. I. México: Limusa [19]. FERNÁNDEZ DE TROCONIZ, A. (1993). Probabilidad, estadística, muestreo. Albacete: Tebar Flores [20]. GMURMAN, V. E. (1983). Teoría de las probabilidades y estadística matemática. Moscú: Mir [21]. GNEDENKO, B. (1995). Teoría de las probabilidades. Madrid: Rubiños [22]. HÉRAULT, D. (1973). Elementos de teoría de la probabilidad. Barcelona: Ediciones de Promoción Cultural [23]. KALBFLEISCH, J. G. (1984). Probabilidad e inferencia estadística, Vol 1. Madrid: AC [24]. KREYSZIG, E. (1991). Introducción a la estadística matemática. México: Limusa [25]. LIPPMAN, S. A. (1976). Elementos de probabilidades y estadística. Barcelona: Boixareu Editores [26]. LIPSCHUTZ, S. y SCHILLER, J. (2000). Introducción a la probabilidad y estadística. Madrid: McGrawHill [27]. MARTÍN, F. J. y RUIZ-MAYA, L. (1995). Estadística. Tomo I. Probabilidad. Madrid: AC [28]. MEYER, P. L. (1992). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. EEUU: Addison-Wesley Iberoamericana [29]. MODE, E. B. (1970). Elementos de probabilidad y estadística. México: Reverte [30]. MONTGOMERY, D. C. y RUNGER, G. C. (1996). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México: McGrawHill [31]. OBREGÓN, I. (1975). Teoría de la probabilidad. México: Limusa [32]. PEÑA, D. (1994). Estadística, modelos y métodos. Tomo 1. Fundamentos. Madrid: Alianza Universidad [33]. RÍOS, S. (1977). Métodos estadísticos. Madrid: Ediciones del Castillo [34]. VILES, E. (2001). Estadística básica para universitarios. Pamplona: Ediciones de la Universidad de Navarra