Cancel·lacio i automillora

Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques Vol. 23, núm. 2, 2008. Pàg. 221–232. DOI: 10.2436/20.2002.01.16 Cancel.lació i automillora Artur Nicolau Resum Aquest article presenta dos problemes d’anàlisi clàssica: el creixement dels quocients incrementals de les funcions de Weierstrass i la regularitat de les mesures de Besicovitch. Aquests problemes s’estudien utilitzant tècniques de martingales diàdiques i s’obtenen diverses versions de la llei del logaritme iterat. Paraules clau: martingales diàdiques, llei del logaritme iterat. Classificació MSC2000: 60G46, 28A78, 28D20. 1 Introducció En moltes àrees de les matemàtiques s’estudien quantitats que evolucionen de manera que les seves variacions es compensen, és a dir, que es produeix una certa cancel.lació. Aleshores és habitual que, a llarg termini, aquestes quantitats prenguin valors notablement inferiors als seus valors màxims teòrics. Durant el segle xx, diversos autors han situat problemes importants en teoria geomètrica de funcions en aquest context. En aquesta àrea, moltes qüestions poden ser reduïdes a contexts discrets on les propietats de cancel.lació són més transparents i permeten obtenir millores sensibles de les estimacions òbvies. Aquest va ser el punt de vista que N. Makarov va adoptar a final dels anys vuitanta quan, en una sèrie de treballs profunds i influents, va resoldre diversos problemes importants sobre el comportament de la mesura harmònica a dominis plans ([12]). N. Makarov va traduir aquestes qüestions importants d’anàlisi clàssica a problemes sobre el comportament asimptòtic de certs tipus de martingales discretes. Des de llavors aquest punt de vista ha resultat molt fructífer. La intenció d’aquest article no és fer una presentació exhaustiva de resultats, sinó mostrar les idees i mètodes de l’àrea en dues situacions elementals. Aquest paràgraf està dedicat a explicar l’organització d’aquest article. A les dues properes seccions es presenten els dos exemples clàssics i elementals. Es tracta de l’estudi del creixement dels quocients incrementals de les funcions 222 Artur Nicolau contínues que no són derivables enlloc que va construir K. Weierstrass i de la mesura de A. Besicovitch associada al desenvolupament en base dos. Les seccions 4 i 5 es dediquen al passeig aleatori i a les martingales diàdiques. La darrera secció presenta la interacció entre la teoria de martingales i els dos exemples clàssics de les primeres seccions. 2 Funcions contínues no derivables Una funció f:R→Rés contínua al punt x0∈Rsi lim x→x0 f(x) =f(x0). La funció fés derivable al punt x0si existeix el límit dels quocients incrementals, és a dir, si lim h→0 f(x0+h) −f(x0) h existeix. Tots sabem que una funció derivable és forçosament contínua, però l’enunciat recíproc no és cert. Per veure-ho, únicament cal dibuixar una gràfica contínua sense recta tangent a un punt, com ara la gràfica de f(x) = |x−x0|. La construcció d’una funció contínua que no sigui derivable a cap punt no és tan simple. L’any 1872, K. Weierstrass va presentar a l’Acadèmia de Ciències de Berlín una funció amb aquestes propietats. Concretament, si λiµsón paràmetres que compleixen 0 <λ<1 i µ≥λ−1, llavors K. Weierstrass va provar que la funció fλ,µ(x) =∞ X n=1 λncos(µnx), x ∈R, és contínua a tots els punts però no és derivable enlloc. La condició 0 <λ<1 assegura la convergència uniforme de la sèrie i, per tant, la continuïtat de fλ,µ. El fet que fλ,µ no és derivable a cap punt és més delicat i va ser provat per K. Weierstrass sota la hipòtesi més restrictiva µ≥λ−1(1 +π/2). Quaranta anys més tard, G. Hardy va demostrar la no-derivabilitat en tot punt sota la hipòtesi òptima µ≥λ−1([6]). Convé assenyalar que abans de K. Weierstrass, B. Bolzano havia descobert exemples semblants, però el seu treball no va tenir difusió. Segons K. Weierstrass, B. Riemann també es va interessar en aquest tipus d’exemples i va suggerir que la funció g(x) =∞ X n=1 sin(2πn2x) n2 podia ser un exemple de funció contínua no derivable a cap punt. G. Hardy va confirmar parcialment la sospita de B. Riemann quan va provar que g(x) no és derivable a cap punt irracional ni tampoc a certs racionals ([6]). L’any 1970, és a dir, cent anys després del suggeriment de B. Riemann, J. Gerrer va trobar Cancel.lació i automillora 223 punts racionals on g(x) és derivable. De fet, resulta que g(x) és derivable exactament als punts xde la forma x=a/q on a,qsón enters coprimers i q−2 és un múltiple de 4. Vegeu [4] i [5]. Les funcions fλ,µ de K. Weierstrass i posteriors exemples de funcions patològiques van tenir un fort impacte en la comunitat matemàtica de l’època. Probablement van tenir un paper important en l’establiment de les definicions correctes i de les bases sòlides de l’anàlisi. No obstant això, convé assenyalar que aquestes funcions patològiques van generar polèmica entre els matemàtics de l’època, com mostra la citació següent: En els darrers anys hem estat observant una massa de funcions estranyes, creades per assemblar-se el mínim possible a les funcions honestes que serveixen per a alguna cosa [. . . ]. Abans les funcions s’inventaven amb algun propòsit. Avui dia, les funcions s’inventen per mostrar els errors en els raonaments dels nostres pares [. . . ] [H. Poincaré, L’Enseignement Mathématique, 1899] Centrem la nostra discussió en el cas extrem µ=λ−1, on 0 <λ<1, i en la funció f(x) =fλ(x) =∞ X n=1 λncos(λ−nx). A la figura 1 es reprodueix la gràfica de la suma parcial fins al terme 14 amb paràmetre λ=1/2. Figura 1 Com ja hem indicat, f(x) no és derivable a cap punt. De fet, a gairebé tot 224 Artur Nicolau punt x∈Res compleix que lim sup h→0|∆f (x, h)|=∞ on ∆f (x, h) =f(x +h) −f(x) h denota el quocient incremental a escala hal punt x. Per tant, és molt natural preguntar-se pel creixement de |∆f (x, h)|. Es pot comprovar que existeix una constant C > 0 de manera que |∆f (x, 2h) −∆f(x, h)| ≤ C per tot x, h ∈R. Utilitzant aquesta desigualtat log21/|h|vegades, fins a arribar a escala 1, s’obté la següent Estimació òbvia |∆f (x, h)| ≤ Clog 1/|h|, per tot x∈R,|h|<1/2. A més, aquesta desigualtat puntual és immillorable, en el sentit que hi ha punts x∈Ri escales harbitràriament petites per a les quals |∆f(x, h)| ≥ ˜ Clog 1/|h|on ˜ Cés una altra constant absoluta. No obstant això, com veurem més endavant, els quocients incrementals tenen una certa propietat de cancellació, que permet obtenir millors estimacions a gairebé tot punt. De fet, resulta que a gairebé tot punt x∈Res té que 0<lim sup |h|→0 |∆f (x, h)| plog 1/|h|log log log 1/|h|<∞.(1) Per tant, a gairebé tot punt x∈R, el creixement de |∆f (x, h)|no és logarítmic com indica l’estimació òbvia, sinó exactament com qlog 1/|h|log log log 1/|h|. Discutirem aquest fet amb més detall a la secció 6. Convé mencionar que el conjunt Eon els quocients incrementals es mantenen acotats E=(x∈R: lim sup |h|→0|∆f (x, h)|<∞) és de longitud zero, però és encara un conjunt gran en el sentit que la dimensió de Hausdorff de Eés 1. 3 Freqüència dels dígits en desenvolupaments binaris Sigui I=[0,1)l’interval unitat que dividim en dos parts [0,1/2)i[1/2,1). De manera inductiva quan tenim un interval Iel dividim en dos intervals Cancel.lació i automillora 225 disjunts d’igual longitud que anomenarem I+iI−. Per tant, després de netapes, es té la família D(n) dels 2nintervals diàdics de generació nque són [k2−n, (k +1)2−n),k=0,...,2n−1. Així, doncs, cada interval de D(n) està contingut en un únic interval de D(n −1)i és la unió de dos intervals de D(n +1). Denominarem In(x) l’interval diàdic de generació nque conté el punt x. La descomposició en intervals diàdics és equivalent al desenvolupament d’un nombre x∈[0,1)en base 2 que denotem per x1x2. . . xn. . . De fet, si x∈J∈ D(n −1), llavors xn=0 si xestà a la meitat esquerra de Jixn=1 en cas contrari. És molt natural preguntar-se per la freqüència amb què el dígit 0 (o equivalentment el dígit 1) apareix en els desenvolupaments binaris. Resulta que, a gairebé tot punt x∈[0,1), la freqüència dels dígits 0 o 1 és la mateixa (i, per tant, igual a 1/2), és a dir, lim n→∞ 1 n#{k∈[1, n] :xk=0} = 1 2g.p.t. x∈R. Siguem ara una mica recalcitrants i donat 0 ≤p≤1 considerem el conjunt E(p) de punts x∈[0,1)per als quals el dígit 0 apareix amb freqüència p, és a dir, lim n→∞ 1 n#{k∈[1, n] :xk=0} = p. Si p6= 1/2, el conjunt E(p) té longitud zero però té encara una mida notable. 1 Teorema (A. Besicovitch, 1935) La dimensió de Hausdorff de E(p) és h(p) =plog2 1 p+(1−p) log2 1 1−p. De fet, A. Besicovitch va provar un resultat més general en el qual considerava la freqüència d’una sèrie prefixada de dígits. El problema anàleg per a desenvolupaments en altres bases va ser tractat a [3]. Figura 2 226 Artur Nicolau La prova del teorema d’A. Besicovitch es basa en construir una mesura de probabilitat µsuportada en el conjunt E(p) amb un cert creixement. Per definir la mesura és suficient especificar la seva massa als intervals diàdics. Podem suposar que p > 1/2. Prenem µ[0,1)=1 i suposem inductivament que µ(I) ha estat definit on Iés un interval diàdic de generació n. Siguin I−,I+ les meitats esquerra i dreta de I. Definim µ(I−)=pµ(I) iµ(I+)=(1−p)µ(I). D’aquesta manera, privilegiem la meitat esquerra que correspon als punts que, desenvolupats en base 2, tenen el dígit que ocupa el lloc n+1 igual a 0. Vegeu la figura 2. Així, entre els intervals de generació n-èsima, l’extrem esquerre [0,2−n)és el que té massa màxima, concretament, pn. D’aquesta manera es té: Estimació òbvia µ(In(x)) ≤pn,x∈[0,1). Aquesta estimació és immillorable, ja que µ[0,2−n)=pn. No obstant això, la situació presenta certes propietats de cancel.lació que permeten obtenir estimacions millors a gairebé tot punt. Més concretament, resulta que per µ-gairebé per tot xes té que µ(In(x)) ≤ |In(x)|h(p)(1+o(1)),(2) si n≥n0(x). Aquesta és l’estimació que permet provar el teorema de Besicovitch i es dedueix, per exemple, del teorema ergòdic quan s’observa que l’operador shift al desenvolupament en base dos és ergòdic respecte a la mesura µ. L’estimació anterior pot encara refinar-se i es pot provar que µ-g.p.t. x∈[0,1) es té que µ(In(x)) ≤ |In(x)|h(p)(1+o(1)√log log n/n) (3) si n≥n0(x). Això dóna lloc a refinaments del teorema de Besicovitch, en què la dimensió és reemplaçada per la mesura de Hausdorff Λϕassociada a la funció ϕ(t) =th(p) exp(cqlog 1/t log log log 1/t). Veurem aquests fets amb més detall a la secció 6. 4 Passeig aleatori Considerem el joc de tirar una moneda i guanyar 1 esi surt cara, o bé perdre 1esi surt creu. Considerem Snel guany acumulat a la partida n-èsima. Així, Sn= n X k=1 Xk on {Xk}són variables aleatòries independents que prenen els valors 1 i −1 amb probabilitat 1/2. Una altra manera de formular aquest exemple és pensar en un caminant aleatori que surt de l’origen i es mou, a cada etapa, una unitat a l’esquerra o a la dreta amb probabilitat 1/2. D’aquesta manera, Snseria la Cancel.lació i automillora 227 posició del caminant aleatori després de netapes. És obvi que −n≤Sn≤n i aquesta estimació és immillorable, perquè, encara que improbable, és ben possible que el resultat dels primers njocs siguin ncares consecutives. Aquesta és la situació en què s’acostuma a dir que el jugador és un amo. No obstant això, aquesta estimació òbvia pot millorar-se a gairebé tots els punts, com mostra el resultat següent: Llei del Logaritme Iterat (Khintchine, 1924) lim sup n→∞ Sn pnlog log n=√2,g.p.t. lim inf n→∞ Sn pnlog log n= −√2,g.p.t. La llei del logaritme iterat dóna una estimació molt precisa del creixement de Sn. Observem que en el model del joc cara-creu té conseqüències inquietants per als jugadors. Efectivament, a llarg termini, el jugador passa per moments de gran eufòria en què guanya p2nlog log neuros, sent nel nombre de partides jugades. Però també passa per moments de gran depressió en què perd p2nlog log neuros. A més, aquests canvis d’estat eufòria/depressió succeeixen infinites vegades. És ben clar que les matemàtiques modelitzen la vida humana! 5 Martingales diàdiques Les martingales són una noció central en la teoria dels processos estocàstics. El nom sembla provenir de la població francesa de Martingale, on s’utilitzava el sistema d’apostes següent: apostar el doble de la pèrdua. Per exemple, imaginem jugar a vermell/negre en una ruleta. La primera aposta és 1e. Si es guanya s’abandona la partida. Si es perd es fa una aposta de 2e. Així continuem inductivament. Certament es tracta d’un sistema d’apostes arriscat que necessita un bon finançament. La meva amiga em va prometre que apostaríem junts a la ruleta. Vam agafar tot l’or que vam trobar a casa seva i vam jugar doblant les apostes amb el sistema conegut com a Martingala[...] [Casanova, Història de la meva vida, 1754] En la present discussió es necessita únicament el concepte més simple de martingala diàdica. Una martingala diàdica (a [0,1)) és una successió de funcions esglaonades {Sn}definides a [0,1)tal que 1. Snés constant a cada interval diàdic de generació n,n=1,2, . . . , que denotem per Sn(I),I∈ D(n). 2. Si Iés un interval de generació namb I=I+∪I−on I+, I−∈ D(n +1), aleshores Sn(I) =1 2(Sn+1(I+)+Sn+1(I−)). 228 Artur Nicolau La propietat 2 és la responsable dels fenòmens de cancel.lació que presentarem a continuació. De fet, aquesta propietat expressa que la mitjana dels valors de Sn+1(i també de Sn+2,Sn+3,. . . ) en un interval de generació n-èsima és precisament el valor de Sn. Vegeu la figura 3. Aquest fet pot ser entès com una versió discreta de la propietat de la mitjana per a funcions harmòniques i és responsable de l’analogia entre les funcions harmòniques i les martingales. Figura 3 Ens interessa entendre el comportament asimptòtic de Sn, és a dir, com evoluciona Sn(x) quan nés gran. Resulta que l’evolució de Snés governada per la mida de la variació quadràtica que és una successió creixent de funcions positives definides com hSi2 n(x) = n X k=1 (Sk(x) −Sk−1(x))2. Convé assenyalar que la compensació és inherent al concepte de martingala. En canvi, la variació quadràtica únicament involucra quantitats positives i, per tant, no incorpora cancel.lacions. Per això és tan notable que la variació quadràtica governi el comportament asimptòtic de la martingala, com mostra el resultat següent: 2 Teorema Sigui {Sn}una martingala diàdica a [0,1]. (a) (Doob) Aleshores {x∈[0,1]: lim n→∞Sn(x) existeix }g.p.t. = {x∈[0,1]:hSi∞(x) < ∞}. (b) (Stout, 1970) Sigui E= {x:hSi∞(x) = ∞}. Suposem que lim n→∞ |Sn+1(x) −Sn(x)| hSin(x) =0g.p.t. x∈E. Cancel.lació i automillora 229 Aleshores 0<lim sup n→∞ |Sn(x)| qhSi2 n(x) log loghSi2 n(x) <∞g.p.t. x∈E. La notació g.p.t. =significa que els dos conjunts coincideixen tret d’un conjunt de longitud zero. Així, doncs, la martingala té límit a gairebé tot punt on la variació quadràtica convergeix i, a gairebé tot punt del conjunt on no té límit, el seu creixement màxim ve controlat per la variació quadràtica. Hi ha també estimacions Lpentre la funció maximal sup n|Sn(x)|i la variació quadràtica hSi∞. Vegeu [1]. Observem que quan els salts són sempre d’una unitat, com al passeig aleatori, l’enunciat (b) recupera la llei del logaritme iterat de Khintchine. També convé assenyalar que hi ha resultats anàlegs en el context de funcions harmòniques en què la variació quadràtica és substituïda per la funció d’àrea de Lusin. L’anàleg de l’enunciat (a) és un resultat clàssic d’A. Calderón, E. Stein i A. Zygmund ([13]). L’anàleg de la part (b) va ser provat a final dels anys vuitanta per R. Bañuelos, I. Klemes i C. Moore ([1]). 6 Martingales, funcions i mesures A final dels anys vuitanta, N. Makarov va provar una sèrie de resultats profunds sobre la mesura harmònica en conjunts planars i el comportament asimptòtic de funcions holomorfes. La idea central va ser relacionar aquests temes amb el comportament de certs tipus de martingales diàdiques a l’interval unitat. Vegeu [12]. En aquesta secció, s’adoptarà aquest punt de vista. A la secció 2 s’ha considerat el comportament dels quocients incrementals de la funció de Weierstrass. Donada una funció f:[0,1]→Rés natural construir la martingala {Sn}donada per Sn(I) =f(b) −f (a) b−a, I =(a, b) ∈ D(n). És a dir, Snpren els valors donats pels quocients incrementals de la funció f(x) sobre els intervals diàdics de generació n. A la secció 4 hem vist que el comportament asimptòtic de {Sn}pot ser descrit per la mida de la variació quadràtica hSi2(x) =∞ X n=1 (Sn(In(x)) −Sn(I0 n(x)))2, on I0 n(x) és interval diàdic de generació ntal que In(x)∪I0 n(x) ∈D(n −1). Per tant, cada terme de la suma anterior és una diferència de quocients incrementals. L’anàleg en el context continu són les segones diferències ∆2f (x, h) =f(x +h) −f(x) h−f(x) −f(x −h) h