Classes caractéristiques réelles de certains g-fibrés vectoriels et résidus

Publicacions Matem`atiques, Vol 42 (1998), 359–382. CLASSES CARACT´ ERISTIQUES R´ EELLES DE CERTAINS G-FIBR´ ES VECTORIELS ET R´ ESIDUS Abdelhak Abouqateb Abstract This work is a contribution to study residues of real characteristic classes of vector bundles on which act compact Lie groups. By using the ˇ Cech-De Rham complex, the realisation of the usuel Thom isomorphism’s permites us to illustrate localisation’s technics of some topological invariants. 1. Introduction Etant donn´e ξ=(Eπ →V) un fibr´e vectoriel sur lequel op`ere diff´erentiablement un groupe de Lie compact G, tel que l’action de Gsur V soit quasi-libre (c’est `a dire tous les groupes d’isotropie sont discrets) , il est bien connu que les classes caract´eristiques de dimension sup´erieure ou ´egale `a dim V−dim G+1 d’un tel fibr´e sont nulles; la raison g´eom´etrique en est l’existence d’une connexion sp´eciale de courbure Rbasique (c’est `a dire i(X)R= 0 pour tout champ de vecteurs fondamental X). Ce th´eor`eme d’annulation donnait naissance `a un probl`eme de r´esidus: “D´ecrire, quand l’action n’est plus quasi-libre, la localisation des classes caract´eristiques de dimension sup´erieure ou ´egale `a dim V−dim G+1 d’un G-fibr´e vectoriel, autour du lieu singulier PGqui est l’ensemble des points de Vo`u le groupe d’isotropie n’est pas discret.” Ce probl`eme a ´et´er´esolu par P. Baum-J. Cheeger lorsque G=S1 (cf. [5]) puis sous certaines conditions par F. G´omez lorsque Gest un tore (cf. [7]), et en suite par N. Alamo-F. G´omez dans une situation plus g´en´erale (cf. [2]). Keywords. Characteristic classes, residues, group action, Thom’s isomorphism, fiber integration. 360 A. Abouqateb Ce qu’on se propose de faire c’est d’´etudier la situation suivante: ξ=(Eπ →V) est un K×Tr-fibr´e vectoriel (o`u Kest compact connexe, et Tr=Rr/Zrle tore r´eel de dimension r) tel que: (i) Kop`ere quasi-librement sur V. (ii) Il existe un vecteur non nul h0∈Rr,(Rr= l’alg`ebre de Lie de Tr), dont le champ de vecteurs fondamental associ´e Xh0est transverse aux orbites de l’action de Ksur V−Z´ero(Xh0). Comme exemple d’une telle situation (voir 5.14). Le papier sera organis´edelafa¸con suivante: Le paragraphe 2 est consacr´e`alar´ealisation de l’isomorphisme de Thom dans le complexe de ˇ Cech-De Rham, et son application `a des probl`emes de r´esidus. Au paragraphe 3 nous faisons des rappels sur les actions diff´erentiables de groupes de Lie sur les fibr´es vectoriels, et nous d´emontrons un lemme technique sur l’existence d’une connexion sp´eciale. Au paragraphe 5 nous donnons une formule de r´esidus du type P. Baum-J. Cheeger et F. G´omez; le Th´eor`eme 5.15 en sera le r´esultat fondamental. Notations. L’alg`ebre diff´erentielle gradu´ee des formes diff´erentielles C∞sur une vari´et´e diff´erentiable Bsera not´eΩ ∗ (B). Un fibr´e localement trivial, C∞, orient´e, (Eπ →B), de fibre F, sera souvent d´esign´e par (E,π,B,F) un fibr´e vectoriel r´eel C∞.Ond´esignera alors par Ω∗ F(E) l’espace gradu´e des formes diff´erentielles `a support “compact dans la direction de la fibre” (cf. [8]). On note  RDr:Ω ∗ F (E)→Ω ∗−r(B), o`u r= dim F, l’op´erateur d’int´egration le long de la fibre (cf. [3], [8]), satisfaisant dans le cas o`u l’espace Eest sans bord `al’´egalit´e  RF◦d= (−1)rd◦ RF. 2. Isomorphisme de Thom 2.1. Cas d’un fibr´e vectoriel. Soit (M,π,W,Rr) un fibr´e vectoriel r´eel C∞orient´e. On consid`ere l’alg`ebre diff´erentielle gradu´ee (C∗(M,M −W),D)d´efinie par: C∗(M,M −W)=Ω ∗ (M) LΩ ∗−1(M−W)avecladiff´erentielle D(β,γ)=(dβ, −dγ +β) et le produit (β,γ)^(β0,γ0)=(β∧β 0 ,γ∧β0). (La base Wdu fibr´e´etant identifi´ee `a son image par la section nulle). La cohomologie de cette alg`ebre diff´erentielle s’identifie naturellement `a la cohomologie relative H∗(M,M −W, R), (cf. [12]). Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 361 Munissons le fibr´e vectoriel (M,π,W,Rr) d’une m´etrique riemannienne h.i, et posons pour tout ε>0: Mε={z∈M, hz,zi≤ε} ∂Mε={z∈M, hz,zi=ε} et ◦ Mε={z∈M, hz,zi<ε}. Ce sont les espaces totaux de fibr´es C∞localement triviaux, canoniquement orient´es, de fibres respectives Dε,∂Dεet ◦ Dε: (Mε,π,W,D ε),(∂Mε,π,W,∂D ε)et( ◦ M ε ,π,W, ◦ Dε). (D εd´esigne le disque ferm´edeR rcentr´eenz´ero, et de rayon √ε,∂Dε sa fronti`ere et ◦ Dεson int´erieur.) Pour ε=1,onpose DM =M1,SM=∂M1 Dr=D1et Sr−1=∂D1. Pour toute forme diff´erentielle homog`ene β∈Ωk(M), l’int´egrale le long de la fibre Drde la restriction de β`a DM est une forme diff´erentielle homog`ene sur W:  ZDr (β|DM )∈Ωk−r(W). De mˆeme si γ∈Ωk−r(M−W), on a  ZSr (γ|SM )∈Ωk−r(W). D´efinition 2.1. On d´efinit l’op´erateur “d’int´egration le long de la fibre”  Z:C∗(M,M −W)→Ω∗−r(W) en posant  Z(β,γ)=   ZD r β−   ZS r−1 γ c’est une application lin´eaire homog`ene de degr´e −r. 362 A. Abouqateb Lemme 2.2. L’op´erateur  Rsatisfait l’´egalit´e:  R◦D=(−1)rd◦ R, induit donc, en cohomologie une application lin´eaire H( R):H ∗ (M,M −W)→H∗−r(W), homog`ene de degr´e −r. Th´eor`eme 2.3 (Isomorphisme de Thom). H( R)est un isomorphisme d’espaces vectoriels gradu´es. D´emonstration: 1er cas: West un point. On a alors l’identification M=Rret W={0}. On sait que Hk(Rr,Rr−{0})=½0sik<r Rsi k=r et Hk({0})=½Rsi k=0 0 si non. De plus, il est facile de voir que dans ce cas, l’application Hk( R): H k (R r ,R r −{0})→H k−r ({0}) s’identifie `a l’application nulle, sauf pour k=r. On en d´eduit qu’il suffit de montrer que l’application Hr( R): H r (R r ,R r −{0})→Rest surjective. Or puisque (Rr−{0})ser´etracte par d´eformations sur la sph`ere unit´e Sr−1,onend´eduit l’existence d’une forme diff´erentielle γ∈Ωr−1(Rr −{0}) telle que  RSr−1γ=1. Autrement dit Hr( R) [(0,−γ)]=1. Ceci ach`evelad´emonstration du 1er cas. 2`eme cas: W=Rn. Le fibr´e(M,π,W,Rr) s’identifie alors au fibr´e trivial: (Rn×Rr,π,R n,R r )o`uπest la projection canonique. L’injection i=Rr→Rn×Rr,i(z)=(0,z), induit de fa¸con naturelle un homomorphisme diff´erentiel [i∗]:C∗(M,M−{0})→C∗(Rr,Rr−{0}), tel que le diagramme suivant commute: 0−−−−−→ Ω∗( M−{0})i −−−−−→ C∗( M,M −{0})p −−−−−→ Ω∗( M)−−−−−→ 0 yi ∗y[i ∗]yi ∗ 0−−−−−→ Ω∗( Rr−{0})−−−−−→ C∗( Rr,Rr−{0})−−−−−→ Ω∗( Rr)−−−−−→ 0 (avec: i(γ)=(0,γ)etp(β,γ)=β). Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 363 Les autres fl`eches sont d´efinies de mani`ere analogue. Le lemme des cinq permet d’en d´eduire que [i∗] induit un isomorphisme en cohomologie. D’autre part, on v´erifie aisement la commutativit´e du diagramme suivant: C∗(Rr,Rr−{0})[i ∗ ] ←−−−− C∗( M,M −{0})  R  y  y R Ω ∗−r({0})i∗ ←−−−− Ω ∗−r(Rn) le symbole  Rd´esigne “l’int´egration le long de la fibre” associ´e au fibr´e trivial Rr→{0}. On en d´eduit, d’apr`es le premier cas, que  Rinduit un isomorphisme en cohomologie. Ceci ach`eve l’´etude du 2`eme cas. Cas g´en´eral: Lemme 2.4. Soit {U, V }un recouvrement ouvert de W. La suite exacte de Mayer-Vietoris (cf. [8]): 0→Ω∗(M)→Ω∗(M|U)MΩ∗(M|V)→Ω∗(M|U∩V)→0 permet alors de construire une suite exacte courte: 0→C∗→C∗ UMC∗ V→C∗ U∩V→0 o`u: C∗=C∗(M,M −W),etC ∗ θ=C ∗ (M | θ,M | θ−W)pour tout ouvert θde W. De plus, on a un diagramme commutatif naturel: 0−−−−−→ C∗−−−−−→ C∗ ULC∗ V−−−−−→ C∗ U∩ V−−−−−→ 0 y Ry RL Ry R 0−−−−−→ Ω∗−r(W)−−−−−→ Ω∗−r(U)LΩ∗−r(V)−−−−−→ Ω∗−r(U∩V)−−−−−→ 0 Lemme 2.5. Supposons (Uα)αune partition par des ouverts de W: W=qαUα. Le diagramme suivant est alors commutatif: C∗(M,M −W)ϕ −−−−→ Π αC∗  RyyΠα R Ω∗−r(W)ψ −−−−→ Π αΩ∗−r(Uα) (ϕet ψ´etant les morphismes de restrictions). 364 A. Abouqateb La preuve des Lemmes 2.4 et 2.5 se d´eduit de la naturalit´edel’int´egration le long de la fibre. La d´emonstration du th´eor`eme se d´eduit de la mˆeme mani`ere que celle faite dans [8, p. 352 et p. 197]. Il nous reste `a montrer que l’isomorphisme pr´ec´edent co¨ıncide avec l’inverse de celui de Thom (voir Proposition 2.6). 2.2. Comparaison avec autre r´ealisation de l’isomorphisme de Thom. Soit (M,π,W,Rr) un fibr´e vectoriel r´eel C∞, orient´e, riemannien. On d´efinit l’alg`ebre diff´erentielle gradu´ee: C∗(M,M −M1/2)=Ω ∗ (M)MΩ ∗−1(M−M1/2) muni de la diff´erentielle D(β,γ)=(dβ, −dγ +β) et du produit (β,γ)^(β0,γ0)=(β∧β 0 ,γ∧β0). Il est facile de remarquer, puisque M−M1/2se r´etracte par d´eformations sur SM, que l’homomorphisme de restriction de C∗(M,M −W) vers C∗(M,M −M1/2) induit un isomorphisme d’alg`ebre en cohomologie. L’int´egration le long de la fibre du paragraphe 2.1 se prolonge trivialement au complexe C∗(M,M−M1/2). D’autre part, pour tout ε∈]0,1/2[ on a une injection naturelle dans ce complexe de l’alg`ebre diff´erentielle des formes diff´erentielles `a support “compact dans la direction de la fibre”: jε:Ω ∗ ◦ D ε (◦ M ε ),→C ∗ (M,M −M1/2), d´efinie par jε(β)=(β,0) le premier facteur d´esigne l’extension naturelle de βpar z´ero. On remarque que jε, commute aux diff´erentielles, et que le diagramme suivant commute: jεC∗(M,M −M1/2) Ω∗−r(W) −→−− −→−− −→−− Ω∗ ◦ Dε (◦ Mε)  R◦ Dε  R Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 365 On en d´eduit, en particulier, que l’application jεinduit un isomorphisme d’alg`ebres en cohomologie et qu’on a un diagramme commutatif: −→−− −→−− −→−− H∗H(j ε)H∗( M,M −W) H∗−r(W) ∼ = ∼ = H( R◦ Dε )H( R) ◦ Dε (◦ Mε) Soit maintenant Vune vari´et´e diff´erentiable, Wune sous-vari´et´e ferm´ee de V, dont le fibr´e normale (N(W),π,W,R r) est orientable (r= dim V−dim W). En utilisant l’existence d’un voisinage tubulaire de W,onend´eduit que H∗(C∗(N(W),N(W)−W)) s’identifie `a H∗(V,V −W;R), de telle fa¸con que l’inverse de l’isomorphisme de Thom: H∗(V,V −W;R)∼ = →H∗−r(W;R), est induit par l’application  R:(β,γ)7→  RDrβ− RSr−1γ. Soit donc (U, π, W ) un voisinage tubulaire de Wdans V(U´etant identifi´e`a l’espace total du fibr´e normal N(W), de telle fa¸con que l’injection naturelle de Wdans Us’identifie avec la section nulle du fibr´e vectoriel). On d´esigne par MV(U)∗le complexe de ˇ Cech-De Rham associ´eau recouvrement ouvert de V:U=©V−U1/2,Uª, MV(U)∗=Ω ∗ (V−U 1/2 )MΩ ∗ (U)MΩ ∗−1(U−U1/2) avec la diff´erentielle D(α, β, γ)=(dα, dβ, −dγ +β−α) et la structure d’alg`ebre (α, β, γ)^(α0,β0,γ0)=(α∧α 0 ,β∧β0,γ∧β0+(−1)|α|α∧γ0). On rappelle que l’injection canonique, δ0:Ω ∗ (V),→MV(U)∗, δ0Φ=(Φ | V−U 1/2,Φ | U,0), induit un isomorphisme d’alg`ebre en cohomologie, H∗(δ0):H ∗ (V)∼ = →H ∗ (MV(U)∗). Notons il’injection C∗(U, U −U1/2),→MV(U)∗,i(β,γ)=(0,β,γ). icommute aux diff´erentielles, et induit donc un homomorhisme d’alg`ebres en cohomologie, H∗(i):H ∗ (V,V −W;R)→H∗(MV(U)∗). On d´emontre alors facilement: 366 A. Abouqateb Proposition 2.6. Le diagramme suivant commute: HN−k ◦ Dε (◦ Uε)id −−−−→ HN− k ◦ Dε (◦ Uε)e −−−−→ HN− k( V) H( R◦ Dε )y∼ =yH∗( δ0) Hn − k( W)H( R) ←−−−− HN− k( V,V −W, R)H∗(i) −−−−→ HN− k( MV(U)∗) (ed´esigne l’extension naturelle, id = identit´e, N= dim V,n= dim W et ε∈¤0,1 2£). Corollarie 2.7. Si la classe de cohomologie [w]d’une forme diff´erentielle ferm´ee w∈Ω∗ DR(V),co¨ıncide avec la classe de cohomologie d’une hyperforme ferm´ee (0,β,γ)∈MV(U)∗. Alors: la classe de cohomologie [w]poss`ede un repr´esentant dans n’importe quel voisinage de Wdans V; autrement dit [w]poss`ede un r´esidu sur W, ou encore [w]se localise au voisinage de W. Commentaires. Etant donn´ee une sous-vari´et´e Wd’une vari´et´e diff´erentiable Vdont le fibr´e normal est orientable. Par composition de l’isomorphisme de Thom: H∗(W;R)∼ = →H∗+r(V,V −W;R), avec l’application naturelle: H∗+r(V,V −W;R)→H∗+r(V,R), on aura une fl`eche naturelle: H∗(W;R)→H∗+r(V,R). Dans certains probl`emes g´eom´etriques de type “r´esidus” (consistant par exemple `a localiser ou `a calculer certains invariants topologiques de la vari´et´e ambiante V), cette fl`eche est utilis´ee pour lire certaines formules o`u “le lieu singulier” est lisse. La proposition pr´ec´edente nous donne deux r´ealisation de cette fl´eche `a l’aide du complexe de Mayer-Vietoris. Ce qui donnera l’avantage d’´eviter le choix de partition de l’unit´e dans les calculs. 3. Rappels sur les actions diff´erentiables de groupes de Lie sur les fibr´es vectoriels 3.1. D´efinitions. Soit Gun groupe de Lie op´erant diff´erentiablement `a gauche sur un fibr´e vectoriel ξ=(Eπ →V). Un tel fibr´e s’appellera G-fibr´e vectoriel. On notera Γ(ξ)leC ∞ (V)-module des sections de ξ. Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 367 Pour g∈G,σ∈Γ(ξ), on d´efinit g.σ ∈Γ(ξ) en posant: (g.σ(x)=gσ(g−1x) pour x∈V. Pour tout h´el´ement de l’alg`ebre de Lie Gde G,ond´esignera par θξ h:Γ(ξ)→Γ(ξ), l’op´erateur d´efini par: (θξ hσ)(x)= d dt¯¯¯¯t=0 ((exp th).σ)(x),pour x∈V. S’il n’y a pas de confusion possible, cet op´erateur sera not´e θh. Le champ de vecteurs fondamental sur Vassoci´e`ah∈G, sera d´esign´e par −Xh, soit (Xh)x=−d dt¯¯¯¯t=0 (exp th)x, pour x∈V. L’action de Gsur Vsera dite quasi-libre si en tout point x∈V, le groupe d’isotropie Gx={g∈G/gx =x}est un sous-groupe discret de G. 3.2. Propri´et´es (rappels). 1. θh(fσ)=(X h f)σ+f(θ h σ), pour tout h∈G,σ∈Γ(ξ), et f∈C∞(V). 2. Pour tout h, k ∈Gon a: i) θ[h,k]=θh◦θk ii) X[h,k]=[X h ,X k]. 3. Si h,iest une m´etrique riemannienne G-invariante sur ξ. Alors Xh.hσ, τi=hθhσ, τi+hσ, θhτi,pour tout σ, τ ∈Γ(ξ). 4. i) ∇est une connexion riemanienne si et seulement si X.hσ, τi=h∇Xσ, τi+hσ, ∇Xτi pour tout σ, τ ∈Γ(ξ), et X∈χ(V) = Γ(ΓV). ii) Si ∇est G-invariante, alors on a: θh◦∇Y−∇Y◦θ h=∇[X h,Y ]pour tout Y∈χ(V). 5. Pour tout ∇connexion lin´eaire sur ξ,eth∈G,ond´efinit l’op´erateur Sh=θh−∇X h, on a alors: i) Sh∈HomC∞(V)(Γ(ξ)), et par suite d´efinit une section du fibr´e des endomorphismes de ξ. Soit Sh∈Γ(End ξ). ii) Si la connexion ∇pr´eserve une m´etrique riemannienne Ginvariante h,i, alors Shest antisym´etrique. iii) Si ∇est G-invariante, de courbure R, alors ∇Sh=i(Xh)R. 374 A. Abouqateb Pour tout couple de connexions ©∇◦,∇1ª: ∇◦connexion riemannienne sur le fibr´e vectoriel riemannien ξ◦=(E | U ◦ π →U ◦ ). ∇ 1connexion riemannienne sur le fibr´e vectoriel riemannien ξ1=(E | U 1 π →U 1 ). On d´esignera par µw◦w1(ϕ)=(4 w ◦(ϕ),4 w 1(ϕ),4 w ◦ w 1(ϕ)) (o`u 4wαd´esigne l’homomorhisme de Chern-Weil usuel, (α=0,1). 4w◦w1c’est l’op´erateur diff´erence de Bott associ´e au couple de connexions ©∇◦,∇1ª; il satisfait l’´egalit´e d◦4w ◦ w 1=4w 1−4w ◦(cf. [3])). La classe de cohomologie [µw◦w1(ϕ)] ∈H2l(V) est ind´ependante du choix du couple (∇◦,∇1), et permet de d´efinir la classe caract´eristique ϕ(ξ)∈H2l(V) du fibr´e vectoriel ξassoci´ee au polynˆome ϕ. S’il est possible de choisir ∇◦comme ϕ-connexion (c’est `a dire 4w◦(ϕ) = 0), alors (cf. 2.2) on aura: ϕ(ξ)=X i∈I T∗ i·µ ZD2mi4w1(ϕ)− ZS2mi4w◦w1(ϕ¶¸, -(−T ∗ i:H ∗−2mi(Wi)→H∗(V) est la compos´ee de l’isomorphisme de Thom H∗−2mi(Wi)→H∗(V,V −Wi)etdelafl`eche naturelle H∗(V,V −Wi)→H∗(V). - RDmid´esigne l’op´erateur d’int´egration le long de la fibre associ´eau fibr´e en disques ferm´es du fibr´e vectoriel riemannien (Ui πi →Wi). - RSmi−1l’op´erateur associ´e au fibr´e en sph`eres du fibr´e vectoriel riemannien (Ui πi →Wi)). Ainsi pour r´esoudre la question c), il suffit de faire un choix judicieux des connexions ∇◦et ∇1de fa¸con que: 4w◦(ϕ)=0(∗) ·µ ZDmi4w1(ϕ)− ZSmi−14w◦w1(ϕ)¶¸="µϕh0(ξi) Xh0 mi(Ni)¶2l−2mi# (∗∗) pour tout i∈I, c’est ce qu’on va ´etablir. Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 375 Pour tout i∈I, on se donne d´esormais un isomorphisme G-´equivariant Φi=ξUi ∼ = →π1 i(ξi) (o`u ξUi=(E | U i π →U i )etξ i=ξ | W i), tel que par restriction des deux membres de l’isomorphisme `a ξion obtienne l’identit´e. Munissons ensuite le fibr´e vectoriel ξ=(Eπ →V) d’une m´etrique riemannienne G-invariante h,i, dont la restriction `a ξUico¨ıncide, via l’isomorphisme Φi, avec l’image r´eciproque par πide sa restriction `a ξi (ce qui est possible: un argument de partition G-invariante de l’unit´ele montre). Munissons ξd’une connexion riemannienne G-invariante ∇1, dont la restriction `a ξUico¨ıncide, via l’isomorphisme Φiavec l’image r´eciproque par πide sa restriction `a ξi, et telle que ∇1 Xk=θkpour tout k∈K. Choisissons d’autre part une m´etrique riemannienne G-invariante hh ,ii sur le fibr´e tangent `a U◦, telle que Xh0soit orthogonal `a Xk pour tout k∈K,etd´efinissons α∈Ω1(U◦) par: α(X)= hhX,Xh0ii hhXh0,X h 0ii pour X∈χ(U◦). D´esignons par ∇◦la connexion lin´eaire sur ξ◦=(E 0U ◦ π →U ◦ )d´efinie par: ∇◦=∇1+αOS1 h0 (o`u S1 h0=θh0−∇1 X h 0) (c’est `a dire pour X∈χ(U◦), et σ∈Γ(ξ◦)ona ∇ ◦ X σ=∇ 1 X σ+α(X)(θh0σ−∇1 X h 0σ)). -∇◦pr´eserve la m´etrique hi: pour X∈χ(U◦),σ,τ ∈Γ(ξ◦)ona l’´egalit´e X.hσ, τi=h∇◦ Xσ, τi+hσ, ∇◦ Xτi en effet, si Xest orthogonal `a Xh0alors ∇◦ X=∇1 Xet l’´egalit´e est v´erifi´ee puisque ∇1est riemannienne. Et pour X=Xh0,l’´egalit´e est encore satisfaite puisque ∇◦ Xh0=θh0et la m´etrique hiest G-invariante. -∇◦est G-invariante: pour h∈g,X∈χ(U◦)ona (ε)[θ h ,∇ ◦ X ]=∇ ◦ [X h ,X] en effet, si Xest orthogonal `a Xh0alors [Xh,X] l’est aussi puisque la m´etrique hiest G-invariante et [Xh,X h 0] est nul, d’o`u ∇◦ [Xh,X]= 376 A. Abouqateb ∇1 [Xh,X]et ∇◦ X=∇1 Xet par suite (ε)end´ecoule puisque ∇◦est G-invariante. Et pour X=Xh0,l’´egalit´e(ε) est encore satisfaite puisque h0appartient au centre de l’alg`ebre de Lie G. -∇◦est une ϕ-connexion: ∇◦´etant G-invariante, on en d´eduit que ∇◦(θh−∇◦ X h)=i(X h )R ◦pour tout h∈g(R◦d´esigne la courbure de ∇◦) d’o`u i(Xh0)R◦=0eti(X h )R ◦= 0 pour tout k∈K, ceci implique que i(Xh0)4w◦(ϕ)=0eti(X k )4 w ◦(ϕ) = 0 pour tout k∈K. On en d´eduit que 4w◦(ϕ) = 0 (puisque dim 4w◦(ϕ) = dim V−dim K). D’autre part, ´etant donn´ee la naturalit´e de l’homomorphisme de Chern-Weil, la restricton de la forme diff´erentielle 4w◦(ϕ)`aU i ,i∈I, co¨ıncide avec l’image r´eciproque par πide sa restriction `a Wi.Onen d´eduit que  RD2mi4w1(ϕ) = 0 pour tout i∈I. Ainsi le probl`eme revient `ad´emontrer: · ZS2mi−1 (−4w ◦ w 1(ϕ))¸="µϕh0(ξi) Xh0 mi(Ni)¶2l−2mi#, pour tout i∈I. Or l’op´erateur diff´erence de Bott est donn´e par: −4w ◦ w 1(ϕ)=   Z[0,1] ϕ(e R, e R,... , e R). e Rd´esignant la courbure de la connexion e ∇=t∇◦+(1−t)∇1d´efinie sur le fibr´e vectoriel ξ(Ui−Wi)×[0,1]=(E | (U i −W i )×[0,1] π×id →(Ui−Wi)×[0,1]); on a: e ∇=∇1+t(∇◦−∇1 )=∇ 1+tα OS1 h0, d’o`u e R=R1+d(tα)NS1 h0(car ∇1S1 h0=i(Xh0)R1=i(Xh0)π∗ iR1,o`u R 1d´esignant la courbure de la connexion ∇1= restriction de ∇1`a Wi, et par suite ∇1S1 h0= 0 puisque Xh0est projetable sur 0). Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 377 On en d´eduit:  Z[0,1] ϕ(e R, e R,... , e R) =  Z[0,1] (Pl j=0 Ci lϕ(R1,... ,R 1 |{z } j ,S1 h 0,... ,S1 h 0 |{z } l−j )∧(dt ∧α+t.dα)l−j) = Z[0,1] (Pl j=0 Ci lϕ(R1,... ,R 1 |{z } j ,S1 h 0,... ,S1 h 0 |{z } l−j )∧(l−j)dt ∧α∧(t.dα)l−j−1) = Z[0,1] (Pl j=0 Ci l(l−j)tl−j−1dt ∧(ϕ(R1,... ,R 1 |{z } j ,S1 h 0,... ,S1 h 0 |{z } l−j )) ∧α∧(dα)l−j−1) =Pl j=0 Ci lϕ(R1,... ,R 1 |{z } j ,S1 h 0,... ,S1 h 0 |{z } l−j )∧α∧(dα)l−j−1 autrement dit, −4 w ◦ w 1(ϕ) est la composante de degr´e(2l−1) de la forme diff´erentielle h´et´erog`ene ϕ(R1+S1 h0,... ,R 1+S1 h 0)∧µα 1−dα¶ c’est `a dire −4w ◦ w 1(ϕ)=µϕ(R 1+S 1 h 0)∧µα 1−dᶶ2l−1 . L’op´erateur S1 h0en tant que section du fibr´e vectoriel des endomorphismes de ξUico¨ıncide, via l’isomorphisme Φi, avec l’image r´eciproque par πide sa restriction S1 h0au fibr´e des endomorphismes de ξi, en effet: Les deux sections S1 h0et π∗S1 h0co¨ıncident en-dessus de Wi, de plus on a ∇1S1 h0=i(Xh0)R1= 0 sur Ui, et ∇1(π∗ iS1 h0)=π ∗ i∇ 1 .π∗ iS1 h0=π∗ i(∇1S1 h0)=π ∗ i(0)=0(∇ 1d´esignant la restriction de ∇1`a Wi). Le transport par parall´elisme induit par la connexion ∇1implique que les deux sections co¨ıncident partout. Finalement, on peut ´ecrire: (E)−4w ◦ w 1(ϕ)=µµ α 1−dα¶∧π∗ϕ(R1+S1 h0)¶2l−1 378 A. Abouqateb d’o`u · ZS2mi−1 (−4w ◦ w 1(ϕ)) ¸="µϕ(R1+S1 h0)∧µ ZS2mi−1 α 1−dᶶ2 l− 2m i# =µϕh 0( ξ i) .·  ZS2 m i− 1 α 1−dα¸¶2l−2mi . Remarque 5.16. La forme diff´erentielle  RS2mi−1α 1−dα est ferm´ee, en effet i(Xh0)dα = 0 car αest G-invariante et i(Xh0)α= 1, d’o`u  RS2mi−1α 1−dα = 0 puisque le champ de vecteur Xh0est tangent aux fibres de (Ui πi →Wi), et partout non nul sur Ui−Wi. Lemme 5.17. · ZS2mi−1 α 1−dα¸=1 χmi(RNi+θNi h0). RNid´esignant la courbure d’une connexion riemannienne G-invariante sur Ni=fibr´e normale `a Widans V.(θ N i h 0est section du fibr´e des endomorphismes antisym´etriques de Ni, puisque le tore engendr´eparh 0 op`ere trivialement sur Wi.) D´emonstration du lemme: F. G´omez avait donn´e une d´emonstration de ce lemme en utilisant la partition de l’unit´e, le th´eor`eme de Stokes et la d´emonstration du th´eor`eme de Gauss-Bonnet-Chern. Nous montrons en fait, sans partition de l’unit´e, qu’en utilisant l’op´erateur diff´erence de Bott que ce lemme se d´eduit du th´eor`eme de Gauss-Bonnet-Chern. Il s’agit d’´etablir l’´egalit´e suivante: · ZS2mi−1µα 1−dα ∧π∗ iχmi(RNi+θNi h0)¶¸=1 ou encore les 2 identit´es suivantes: i) · RS2mi−1³α 1−dα ∧π∗ iχmi(RNi+θNi h0)´2mi−1¸=1, ii) · RS2mi−1³α 1−dα ∧π∗ iχmi(RNi+θNi h0)´2j+1¸= 0, pour tout j≥mi. D´esignons par ηila restriction `a Ui−Widu fibr´e tangent vertical Ker(dπi). Il s’identifie canoniquement au fibr´e image r´eciproque de Ni par l’application ◦ πi=πi|(Ui−Wi). Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 379 Le G-fibr´e vectoriel ηiposs´ede Zi(= champ de vecteurs transversal) comme section partout non nulle et G´equivariante, (cf. 4.11). Apr`es avoir muni ce G-fibr´e vectoriel de la m´etrique riemannienne image r´eciproque de celle existante sur Ni, on peut le munir de 3 connexions riemanniennes G-invariante: (∗)∇i=◦ πi∇Ni, connexion image r´eciproque d’une connexion riemannienne G-invariante ∇Nichoisie sur Ni, (∗∗)∇i◦=∇i+αNSi h0, avec Si h0=θηi h0−∇i X h 0, (∗∗∗)∇Zi, connexion riemannienne G-invariante pr´eservant le champ de vecteurs transversal normalis´e Zi |Zi|, telle que ∇Zi Xh0=θηi h0, (ce dernier choix est possible car K0op`ere quasi-librement sur Ui−Wi, cf. Lemme 4.8). En d´esignant par 4wiwi◦(resp. 4wi◦wZiet 4wZiwi) l’op´erateur diff´erence de Bott associ´e au couple de connexions ©∇i,∇i◦ª (resp. ©∇i◦,∇Ziªet ©∇Zi,∇iª), on a: 4wiwi◦(χmi)+4w i◦ w Z i(χ m i)+ 4w Z iw i(χ m i) est un cobord, d’o`u · ZS2mi−1 (4wiwi◦(χmi)+4w i◦ w Z i(χ m i)+4w Z iw i(χ m i) ¸=0, or d’apr`es le th´eor`eme de Gauss-Bonnet-Chern ([9]) on a:  ZS2mi−14wiwZi(χmi)=1. D’autre part, le mˆeme calcul qui nous a permis de d´eduire la formule (E), nous permet d’affirmer que: 4wiwi◦(χmi)=µα 1−dα ∧π∗ iχmi(RNi+θNi h0)¶2j−1 . Pour ´etablir i), il suffit donc de montrer que:  ZS2mi−14wi◦wZi(χmi)=0, en effet 4wi◦wZi(χmi)=   Z[0,1] χmi((mie R,... , e R |{z }). e Rd´esignant la courbure de la connexion e ∇=t∇i◦+(1−t)∇Zid´efinie sur le fibr´e vectoriel p−1(ηi) = fibr´e image r´eciproque de ηipar la projection naturelle p:(U i−W i )×[0,1] →Ui−Wi. 380 A. Abouqateb En munissant la vari´et´e(U i−W i )×[0,1] de l’action g.(x, t)=(g.x, t) pour g∈G,x∈(Ui−Wi), et t∈[0,1], et le fibr´e p−1(ηi) de l’action image r´eciproque; on en d´eduit que la projection pdevient G-´equivariante et la connexion e ∇devient G-invariante et pr´eservant la m´etrique image r´eciproque. De plus, on a: e ∇Xh0=θ(h0) car ∇i◦ Xh0=θh0et ∇Zi Xh0=θh0, d’o`u i(Xh0)e R= 0 et par suite i(Xh0)χmi(e R)=0eti(X h 0 )4 w i◦ w Z i (χ m i ) = 0 (car i(Xh0)◦ R[0,1] = R[0,1] ◦i(Xh0)). Le champ de vecteurs Xh0´etant tangent aux fibres de la fibration (Ui−Wi)πi →Wi, partout non nul sur Ui−Wi,onend´eduit que  ZS2mi−14wi◦wZi(χmi)=0. Il reste `av´erifier ii). La courbure Ri◦de la connexion ∇i◦est donn´ee par: Ri◦=Ri+dα OSi h0 d’o`u χmi(Ri◦)=χ m i(R i+S i h 0)∧³1 1−dα ´2mi et par suite χmi(Ri◦)∧α 1−dα =X j≥miµα 1−dα ∧π∗ iχmi(RNi+θNi h0)¶2j+1 ainsi ii) est ´equivalente `a · ZS2mi−1µ4wi◦(χmi)∧α 1−dα¶¸=0 or 4wi◦(χmi)=d4 w i◦ w Z i(χ m i) d’o`u · ZS2mi−1µ4wi◦(χmi)∧α 1−dα¶¸=· ZS2mi−1µ4wi◦wzi(χmi)∧dα 1−dα¶¸, d’autre part, puisque i(Xh0)4wi◦wzi(χmi)=0eti(X h 0)dα =0,onen d´eduit que le second membre de l’´egalit´e ci-dessus est nul. Ceci ach`evelad´emonstration du lemme. Classes caract´ eristiques de G-fibr´ es 381 Remerciements. Je tiens `a exprimer ici ma reconnaissance au Professeur D. Lehmann, pour avoir suivi la progression de ce travail. Mes remerciements vont aussi au Professeur F. G´omez pour les remarques int´eressantes qu’il m’a faites sur le manuscrit. R´ef´erences 1. A. Abouqateb, Isomorphisme de Thom et Th´eor`eme de De Rham sur les vari´et´es stratifi´ees, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I Math. 313 (1991), 611–614. 2. N. Alamo et F. G´ omez, Smooth toral actions on principal bundles and characteristic classes, in “Differential Geometry,” (Proceedings, Pe˜n´ıscola, 1988), Lecture Notes in Math. 1410, 1989, pp. 1–26. 3. R. Bott,“Lectures on characteristic classes and foliations,” Notes by Laurence Conlon, Springer, Lecture Notes in Math. 279, 1972. 4. G. E. Bredon,“Introduction to compact transformation Groups,” Academic Press, New York, 1972. 5. P. Baum et J. Cheeger, Infinitesimal isometries and Pontryagin numbers, Topology 8(1969), 173–193. 6. R. Bott et LW. Tu,“Differential forms in algebraic topology,” Graduate texts in Mathematics, Springer, 1982. 7. F. G´ omez, A residue formula for characteristic classes, Topology 21(I) (1982), 101–124. 8. W. Greub, S. Halperin et R. Vanstone,“Connections, curvature, and cohomology,” Vol. I, Academic Press, 1972. 9. W. Greub, S. Halperin et R. Vanstone,“Connections, curvature, and cohomology,” Vol. II, Academic Press, 1973. 10. G. Hochschild,“The structure of Lie groups,” Holden-Day, San Francisco, London, Amsterdam, 1965. 11. D. Lehmann, Classes caract´eristiques r´esiduelles. Differential Geometry and its applications, Proc. Conf. August 27-September 2, 1989, Brno, Czechoslovakia, World Scientific, Singapore, 1990, pp. 85–108. 12. D. Lehmann, Vari´et´es stratifi´ees C∞, Int´egration de ˇ Cech-De Rham et th´eorie de Chern-Weil. Geometry and Topology of submanifolds, II. Poc. Conf., 30 May-3 June, 1988, Avignon, France, World Scientific, 1990. 382 A. Abouqateb 13. E. H. Spanier,“Algebraic topology,” McGraw Hill, 1966. D´epartement de Math´ematiques Facult´e des Sciences et Techniques B.P. 618 Gueliz Marrakech MAROC e-mail: [email protected] (subject: Abouqateb) Primera versi´o rebuda el 10 d’abril de 1997, darrera versi´o rebuda el 12 de juny de 1997