Lemme de Fatou pour l'intégrale de Pettis

Publicacions Matem`atiques, Vol 42 (1998), 67–79. LEMME DE FATOU POUR L’INT´ EGRALE DE PETTIS Allal Amrani Abstract The purpose of this paper is to present Fatou type results for a sequence of Pettis integrable functions and multifunctions. We prove the non vacuity of the weak upper limit of a sequence of Pettis integrable functions taking their values in a locally convex space and we deduce a Fatou’s lemma for a sequence of convex weak compact valued Pettis integrable multifunctions. We prove as well a Lebesgue theorem for a sequence of Pettis integrable multifunctions with values in the space of convex compact sets of a separable Banach space. I. Introduction. Le lemme de Fatou formul´e en termes de fonctions univoques est connu pour son utilit´e dans les probl`emes variationnels, d’´economie math´ematique et de contrˆole optimal. Les premiers travaux dans cette direction remontent `a Aumann [Au] et Artstein [Ar]. Ilyaeuparlasuite un nombre consid´erable de travaux g´en´eralisant dans diverses directions les r´esultats pr´ec´edant, citons `a titre d’exemple Yannelis [Y], Hess [H], Castaing-Clauzure [CC] et plus particuli`erement Balder [B1]. Pour une ´etude englobant et g´en´eralisant la plupart des r´esultats pr´ec´edants, on pourra consulter l’article de Balder et Hess [BH]. Notre objectif est d’´etablir des r´esultats similaires aux pr´ec´edents pour les fonctions et multifonctions Pettis-int´egrables. Les d´emonstrations s’appuient sur des d´eveloppements r´ecents de la th´eorie de l’int´egrale de Pettis dˆus `a Musial [M], Geitz [Ge] et Huff [Hu]. Dans le paragraphe 2, on commence par d´emontrer la non vacuit´e de la limite sup´erieure faible d’une suite de fonctions Pettis-int´egrables puis l’on d´eduit le lemme Keywords. Multifunction, Pettis, Komlos, Lebesgue, Fatou. 1991 Mathematics subject classifications: 28B20, 26E25. 68 A. Amrani de Fatou pour des multifonctions Pettis-int´egrables `a valeurs dans les parties convexes faiblement compactes d’un espace localement convexe s´epar´e. Le paragraphe 3 est consacr´e aut th´eor`eme de Lebesgue pour des multifonctions `a valeurs convexe compactes d’un espaces de Banach s´eparable. II. Notations et D´efinitions. Soit (E,τ) un espace localement convexe s´epar´e, quasi-complet et E0 son dual topologique. On d´esigne par ck(E) (resp. cwk(E)), l’ensemble des parties convexes compactes (resp. faiblement compactes) de E.On note Al’adh´erence de A, co(A) l’enveloppe convexe de A, co(A) l’enveloppe convexe ferm´ee de A.Si(D n ) est une suite de parties de E, on notera Ls(Dn), l’ensemble ∩k≥1(∪n≥kDn). On obtient la limite sup´erieure faible, not´ee w-Ls(Dn), en prenant les adh´erences pour la topologie faible. Pour la topologie faible, il y a aussi la limite sup´erieure s´equentielle faible, not´ee seq-w-Ls(Dn), qui est l’ensemble des limites des suites faiblement convergentes (xk)k∈No´u(x k )∈D n k,(n k ) k∈N´etant une suite strictement croissante d’entiers. Soit (Ω,A,µ) un espace mesur´e avec µσ-finie et Aµ-complete. Une application f:Ω→Eest scalairement mesurable (resp. scalairement int´egrable), si pour tout x0∈E0,hx0,fiest mesurable (resp. int´egrable). Une application scalairement int´egrable fest Pettis-int´egrable, si il existe une fonction d’ensemble νf:A→Etelle que pour tout x0∈E0et pour tout A∈A, on ait: ZA hx0,fidµ =hx0,ν f(A)i. ν f(A) est l’int´egrale de Pettis de fsur Aet sera not´ee dans la suite RAfdµ. Une multifunction Γ : Ω →cwk(E) est scalairement mesurable (resp. int´egrable) si pour tout x0∈E0,δ∗(x0,Γ(·)) est mesurable (resp. int´egrable). Une multifonction Γ scalairement int´egrable est faiblement Pettis-int´egrable (resp. fortement Pettis-int´egrable) si il existe une fonction d’ensemble K:A→cwk(E) (resp. ck(E)) telle que pour tout x0∈E0et pour tout A∈A, on ait: ZA δ∗(x0,Γ) dµ =δ∗(x0,K(A)). On note SΓl’ensemble des sections scalairement int´egrable de Γ. III. Lemme de Fatou pour l’int´egrale de Pettis. Le lemme technique suivant servira dans la d´emonstration du r´esultat principal de ce paragraphe. Lemme de Fatou pour l’int´ egrale de Pettis 69 Lemme 3.1. Soient Eun espace topologique s´epar´e, Kun compact de E. Soit (xn)n∈Nune suite dans K,x∈E,etx 0∈E 0 , alors: hx0,xi∈co Ls(hx0,x ni)⇒hx 0 ,xi≤δ ∗ (x 0 ;co Ls(xn)). D´emonstration: Comme la suite (xn)n∈Ndemeure dans le compact K, la suite (hx0,x ni) n∈Nest born´ee dans R, donc Ls(hx0,x ni) est compact. Il s’ensuit que co Ls(hx0,x ni)=coLs(hx 0 ,x ni). Donc hx0,xi=Pk i=1 λiziavec Pk i=1 λi=1etz i∈Ls(hx0,x ni). Comme la fonction d’appui est positivement homog`ene, le lemme sera d´emontr´e si l’on montre que pour tout z∈Ls(hx0,x ni), on a z≤δ∗(x0; co Ls(xn)). Si z∈Ls(hx0,x ni), alors z= lim k→+∞hx0,x n ki. Par compacit´edeK,la suite (xnk)k∈Nadmet une valeur d’adh`erence x∈K, on a alors z=hx0, xi≤δ ∗ (x 0 ;co Ls(xn)). Le th´eor`eme suivant est la cl´e des r´esultats de ce premier paragraphe. Il a ´et´e´etabli par Musial [M] et Geitz [Ge]. Nous donnons une d´emonstration plus courte bas´ee sur un r´esultat profond dˆu`a Grothendieck et sur le th´eor`eme de Komlos [Ko]. Th´eor`eme 3.2. Soient (fn)n∈Nune suite de fonctions Pettis-int´egrables et f:Ω→Eune application scalairement int´egrable telles que: (1) Pour toute partie ´equicontinue B⊂E0, l’ensemble {hx0,fi:x 0∈ B}est relativement σ(L1,L ∞)compact. (2) Pour tout x0∈E0,hx0,f niconverge vers hx0,fipour la topologie σ(L1,L ∞). Alors fest Pettis-int´egrable. D´emonstration: Grˆace a (2), pour tout x0∈E0et pour tout A∈A, on a: lim n→∞ ¿x0,ZA fndµÀ= lim n→∞ ZA hx0,f nidµ =ZA hx0,fidµ. Par cons´equent, il suffit de montrer que pour tout A∈A, la suite (RAfndµ)n∈Nest relativement faiblement compacte dans E. D’apr`es le th´eor`eme d’Eberlein-Smulyan-Grothendieck ([G1, Corollaire 1 of Th´eor`eme 7]) (voir aussi [K, Theorem p. 326]) il est ´equivalent de montrer: 70 A. Amrani pour toute partie ´equicontinue B⊂E0, pour toute suite (x0 k)k∈N⊂Bet pour toute sous-suite (fnm)m∈Nde (fn)n∈N,ona: (3.1.1) α:= lim k→∞ lim m→∞ ¿x0 k,ZA fnmdµÀ=β=: lim m→∞ lim k→∞ ¿x0 k,ZA fnmdµÀ si ces ces limites existent. Du fait de (2), on a: (3.1.2) lim m→∞ ¿x0 k,ZA fnmdµÀ= lim m→∞ ZA hx0 k,f n midµ =ZA hx0 k,fidµ. D’apr`es le th´eor`eme de Komlos [Ko], appliqu´e`a la suite (hx0 k,fi) k∈N il existe une suite (y0 n)n∈N∗avec y0 n=1 nPn i=1 x0 kiet une fonction r´eelle int´egrable htelle que hy0 n,ficonverge vers hpresque partout. Du fait (3.1.2) et (1) on a (3.1.3) α= lim k→∞ ZA hx0 k,fidµ = lim n→∞ ZA hy0 n,fidµ =ZA h dµ. Soit y0 0une valeur d’adh´erance faible ∗de (y0 n)n∈N∗, alors pour tout m∈N,ona (3.1.4) lim k→∞ ¿x0 k,ZA fnmdµÀ= lim n→∞ ¿y0 n,ZA fnmdµÀ =¿y0 0,ZA fnmdµÀ =ZA hy0 0,f n midµ. En prenant la limite quand m→∞dans la derni`ere int´egrale de (3.1.4) et en utilisant (2), on obtient (3.1.5) β= lim m→∞ ZA hy0 0,f n midµ =ZA hy0 o,fidµ. Comme hy0 n,ficonverge vers hpresque partout et que y0 0est une valeur d’adh´erance faible ∗de (y0 n)n∈N∗,h=hy0 0,fipresque partout. Du fait de (3.1.1) et en utilisant (3.1.3), (3.1.4), (3.1.5) on obtient α=β. Dans la proposition qui suit on suppose que (Ω,A,µ) est sans atomes. Lemme de Fatou pour l’int´ egrale de Pettis 71 Proposition 3.3. Soit Xune multiapplication `a valeurs dans les parties ferm´ees non vides de E. On suppose que Xadmet au moins une section Pettis-int´egrable; alors RΩX(ω)µ(dω)est convexe. D´emonstration: Il suffit de d´emontrer que pour toute suite finie {x0 1,... ,x 0 m}dans E0, l’ensemble A={(hx0 i,xi) m i=1,x∈RΩX(ω)µ(dω)} est convexe dans Rm.Siy∈A, alors y=(hx 0 i , R Ω f(ω)µ(dω)i)m i=1 = (RΩhx0 i,f(ω)iµ(dω))m i=1 ou fest une section Pettis-int´egrable de X. Donc la convexit´edeAd´ecoule du th´eor`eme de Ljapunov ([CV2, Theorem p. 118]). Dans le th´eor`eme qui suit, on suppose que Eest un espace localement convexe s´epar´e quasi-complet et qu’il existe une suite dans E0qui s´epare les points de E. Th´eor`eme 3.4. Soit X:Ω→cwk(E)une multifonction scalairement int´egrable et soit (fn)n∈Nune suite de sections Pettis-int´egrable de X. On suppose que pour toute partie ´equicontinue B⊂E0, l’ensemble {δ∗(x0,X):x 0∈B}est relativement σ(L1,L ∞)compact. Alors il existe une sous-suite (fnk)k∈Net une application fPettis-int´egrable telle que l’on ait pour tout A∈F et pour tout x0∈E0 ¿x0,ZA f(ω)µ(dω)À=*x0,lim m→∞ ZA 1 m m X k=1 ,f n k(ω)µ(dω)+. De plus on a: f(ω)∈co w -Ls(fn(ω)) p.p. Si on suppose de plus que (Ω,A,µ)est sans atomes et que Xest Pettis int´egrable, alors pour tout voisinage Vde RΩf(ω)µ(dω), il existe une application fV, Pettis-int´egrable, v´erifiant fV(ω)∈w-Ls(fn(ω)) p.p telle que RΩfV(ω)µ(dω)∈V. D´emonstration: Soit (e0 p)p∈Nune suite dense dans E0pour la topologie de Mackey ([CV2, Lemma III.32]). Comme pour tout x0∈E0et pour tout n∈Non a |hx0,f n(ω)i|≤|δ ∗ (x 0 ;X(ω))|+|δ∗(x0;−X(ω))|. Pour tout pfix´e, la suite (he0 p,f ni) n∈Nest born´ee dans L1 R(Ω,A,µ). Comme dans Balder [B2], par application du th´eor`eme de Komlos, il existe une application ϕp∈L1 R(Ω,A,µ), une sous-suite extraite de (he0 p,f ni) n∈Nque l’on notera (he0 p,f n ki) k∈Nque: lim k→∞ 1 k k X i=1 he0 p,f n k i(ω)i=ϕ p(ω) p.p pour tout p 72 A. Amrani o`u(f n k i) i∈Nest une suite quelconque extraite de (fnk)k∈Net l’ensemble n´egligeable d´epend de la sous-suite (fnki)i∈N. Prenons pour (fnki)i∈N la suite enti`ere (fnk)k∈Nde ce qui pr´ec´ede on obtient l’existence d’un n´egligeable Ntels que pour tout p∈Net pour tout ω∈Ω\N, on ait: lim m→∞ 1 m m X k=1 he0 p,f n k(ω)i=ϕ p(ω). Soit ω∈Ω\Nfix´e. Comme 1 mPm k=1 fnk(ω)∈Γ(ω) pour tout m∈N∗et que Γ(ω) est convexe faiblement compact, la suite ¡1 mPm k=1h·,f n k (ω)i ¢m≥1 est ´equicontinue pour la topologie de Mackey, il r´esulte donc du th´eor`eme d’Ascoli l’existence d’une application ftelle que pour tout ω∈Ω\Non ait: (∗∗)∀x0∈E0,lim m→∞ 1 m m X k=1 hx0,f n k(ω)i=hx 0,f(ω)i. Montrons que f(ω)∈co w-Ls(fn(ω)) p.p. Remarquons d’abord que si (a)n∈Nest une suite de r´eels telle que: lim n→∞ 1 n n X k=1 ai=a; alors pour tout k∈Non a lim n→∞ 1 n k+n X i=k ai=a. En effet on a: 1 n k+n X i=k ai=n+k nÃ1 n+k k+n X i=1 ai!−1 n k−1 X i=1 ai. Le r´esultat s’obtient par passage `a la limite sur n. D’o`u pour tout x0∈E0 et pour tout k∈N;ona: lim m→∞ *x0,1 m m+k X k=m fnk(ω)+=hx0,f(ω)ip.p. Par cons´equent on a: hx0,f(ω)i∈∩ k∈N co{hx0,f n(ω)i;k≥n}= co Ls(hx0,f n(ω)i). On d´eduit du Lemme 3.1 que: hx0,f(ω)i≤δ ∗ (x 0 ;co w - Ls(fn(ω)) p.p. Lemme de Fatou pour l’int´ egrale de Pettis 73 La relation ´etant vraie pour tout x0∈E0et pour tout ω∈Ω\N,ona: f(ω)∈co w - Ls(fn(ω)) p.p. Reste `a montrer que fest Pettis-int´egrable. Pour cela il suffit de montrer que fv´erifie les hypoth`eses du Th´eor`eme 3.2. L’hypoth`ese (2) d´ecoule de (∗∗)etduth´eor`eme de Lebesgue-Vitali. La majoration |hx0,f(ω)i|≤|δ ∗ (x 0 ,X(ω))|+|δ∗(x0,−X(ω))| entraine que pour toute partie ´equicontinue B⊂E0l’ensemble {(hx0,fi); x0∈B}est relativement faiblement compact ([DS, Theorem IV 8.9]). Le point (1) est ainsi verifi´e. Pour la deuxi`eme partie de l’´enonc´e, remarquons d’abord que la multifonction w-Ls(fn(ω)) est `a valeurs non vides et que, en vertu des hypoth`eses toutes ses sections sont Pettis-int´egrables. Donc il suffit de montrer que RΩf(ω)µ(dω)∈RΩw - Ls(fn(ω))µ(dω). Soit x0∈E0,ona grˆace au th´eor`eme de Strassen ([CV2, Theorem V.14]) ¿x0,ZΩ f(ω)µ(dω)À≤δ∗µx0,ZΩ co w - Ls(fn(ω))µ(dω)¶ =ZΩ δ∗(x0,co w - Ls(fn(ω))µ(dω)) =ZΩ δ∗(x0,w - Ls(fn(ω))µ(dω)) =δ∗µx0,ZΩ w - Ls(fn(ω))µ(dω)¶. Comme d’apr`es la Proposition 3.3, l’ensemble RΩw - Ls(fn(ω))µ(dω) est convexe l’assertion est d´emontr´ee. Th´eor`eme 3.5. Soient (Xn)n∈Net Ydes multifonctions `a valeurs dans cwk(E)scalairement int´egrables, on suppose que: (1) Pour tout n∈N;Xnest faiblement Pettis-int´egrable. (2) Pour tout n∈N;Xn(ω)⊂Y(ω)p.p. (3) Pour toute partie ´equicontinue B⊂E0, l’ensemble {δ∗(x0,Y): x 0∈B}est relativement σ(L1,L ∞)compact. On a alors w-seq -Ls ZΩ Xn(ω)µ(dω)⊂ZΩ co w -Ls Xn(ω)µ(dω). 74 A. Amrani D´emonstration: Si x∈w-seq-Ls RΩXn(ω)µ(dω), alors il existe une suite (xnk)k∈Navec xnk∈RΩXnk(ω)µ(dω) telle que pour tout x0∈E0, on ait hx0,xi= lim k→+∞hx0,x n ki.Pard´efinition, on a pour tout k,xnk= RΩfnk(ω)µ(dω)ouf n kest une section de Xnk. Il est clair que la suite (fnk)k∈Nv´erifie les hypoth`eses du Th´eor`eme 3.3, par cons´equent il existe une application fPettis-int´egrable verifiant f(ω)∈co w - Ls(fn(ω)) ⊂co w - Ls(Xn(ω)). L’existence d’une suite dans E0d’une suite s´eparant les points de Eentraine que la topologie faible est m´etrisable sur les compacts faibles, il r´esulte de Hess ([H, Proposition 3.10]) que la multifonction co wLs(Xn(·)) est scalairement mesurable et d’apr`es ce qui pr´ec´ede admet au moins une section Pettis-int´egrable; donc RΩco w-Ls Xn(ω)µ(dω)aun sens. Reste a montrer que x=RΩf(ω)µ(dω). D’apr`es le Th´eor`eme 3.3, on a: ¿x0,ZΩ f(ω)µ(dω)À= lim m→∞ *x0,ZΩ 1 m m X i=1 ,f n k i(ω)µ(dω)+ = lim m→∞ 1 m m X i=1 ¿x0,ZΩ fnki(ω)µ(dω)À = lim k→∞ ¿x0,ZΩ fnk(ω)µ(dω)À. Remarque. Si l’on suppose dans les ´enonc´es pr´ec´edent que la mesure µest finie, en vertu du th´eor`eme de Dunford Pettis, l’hypoth`ese de relative faible compacit´e peut ˆetre remplac´ee par l’uniforme int´egrabilit´e. IV. Th´eor`eme de Lebesgue pour des multifonctions fortement Pettis-int´egrable. Dans ce paragraphe, Eest un espace de Banach s´eparable et toutes les multifonctions consid´er´ees sont `a valeurs dans ck(E). L’espace ck(E) est classiquement muni de la distance de Hausdorff hd´efinie par: h(A, B) = max µsup x∈A d(x, B); sup x∈B d(x, A)¶ = sup x0∈BE0 |δ∗(x0;A)−δ∗(x0;B)|. Lemme de Fatou pour l’int´ egrale de Pettis 75 Lemme 4.1. Soit X:Ω→ck(E)une multifonction fortement Pettisint´egrable, alors l’ensemble C={δ∗(x0;X):x 0∈B E 0 }est σ(L1,L ∞) compact. D´emonstration: Par hypoth`ese pour tout A∈F, il existe un convexe compact K(A) tel que pour tout x0∈E0,ona: δ ∗ (x 0 ;K(A)) = ZA δ∗(x0;X(ω)µ(dω)). D’apr`es Eberlein-Smulyan, il suffit de montrer que Cest s´equentiellement faiblement compact. Soit (δ∗(x0 n;X))n∈Nune suite dans C. Comme E est s´eparable; il existe une sous suite (x0 nk)k∈Nqui converge faiblement vers x0 0. D’o`u en utilisant le fait que Xest fortement Pettis int´egrable et le th´eor`eme de Banach-Dieudonn´e([G2, p. 214]), on a pour tout A∈F, lim k→∞ ZA δ∗(x0 nk,X(ω)µ(dω)) = lim k→∞ δ∗(x0 nk,K(A)) =δ∗(x0 0,K(A)) =ZA δ∗(x0 0,X(ω)µ(dω)). Le th´eor`eme ci-dessus est le r´esultat principal de ce paragraphe. Th´eor`eme 4.2. Si Yest une multifonction fortement Pettis int´egrable, alors la multifonction Xd´efinie par X(ω)=co[Y(ω)∪(−Y(ω))] l’est aussi. D´emonstration: La multifonction Xest scalairement mesurable et scalairement int´egrable car pour tout ωet pour tout x0on a δ∗(x0,X(ω)) = max(δ∗(x0,Y(ω)); δ∗(x0,−Y(ω))). D’autre part, toute section scalairement int´egrable de Xest Pettisint´egrable. En effet pour toute f∈SX,ona: |hx0,f(ω)i|≤|δ ∗ (x 0 ,Y(ω)|+|δ∗(−x 0,Y(ω)|p.p. Ce qui entraine en vertu du lemme pr´ec´edent et de ([DS, Theorem IV 8.9]) que l’ensemble {hx0,fi:x 0∈B E0}est relativement σ(L1,L ∞) compact. Donc d’apr`es le Th´eor`eme 3.1, fest Pettis-int´egrable. Reste `a montrer que Xest fortement Pettis-int´egrable. D’apr`es la formule de Strassen ([CV2, Theorem V 14]), on a pour tout A∈A,