LS-catégorie de CW-complexes à 3 cellules en théorie homotopique R-Locale

Publicacions Matem`atiques, Vol 41 (1997), 563–576. LS-CAT´ EGORIE DE CW-COMPLEXES ` A 3 CELLULES EN TH´ EORIE HOMOTOPIQUE R-LOCALE Hans Scheerer et Daniel Tanr´ e Abstract We study the Lusternik-Schnirelmann category of some CW-complexes with 3 cells, built on Y=S2n∪k[ι2n,ι2n]e4n. In particular, we prove that an R-local space, in the sense of D. Anick, of LS-category 3 and of the homotopy type of a CW-complex with 3R-cells, has a cup-product of length 3 in its algebra of cohomology. This result is no longer true in the framework of mild spaces. La LS-cat´egorie d’un espace X,cat X,a´et´ed´efinie par Lusternik et Schnirelmann, [10], en 1934, pour minorer le nombre de points critiques d’une vari´et´e compacte, sans bord. Elle s’est r´ev´el´ee ˆetre un invariant homotopique difficile `ad´eterminer et son comportement lors de l’attachement d’une cellule est un probl`eme ouvert. Dans [4], Berstein et Hilton caract´erisent les CW-complexes `a deux cellules de LS-cat´egorie 2. Nous nous int´eressons ici `a certains CW-complexes, de LS-cat´egorie 3, admettant une d´ecomposition en 3 cellules, (´eventuellement localis´ees). Des r´esultats existent d´ej`a dans cette direction, [14], [15]. Ils concernent les espaces s’´ecrivant comme espace total d’un fibr´e de base et fibre une sph`ere; notons que la dualit´e de Poincar´e s’y r´ev`ele une propri´et´e fondamentale pour l’argumentation utilis´ee. La situation envisag´ee dans ce travail est diff´erente; nous y ´etudions des CW-complexes, Y∪ep, obtenus en attachant une cellule `a Y=S2n∪k[ι2n,ι2n]e4n,(o`uιjd´enote l’application identit´edeSj et [ ,] le crochet de Whitehead). On remarque que Yest la cofibre, ψ:M∨S2n−→ Y, d’une application γ:S4n−1−→ M∨S2n,o`uM est l’espace de Moore M=S4n−1∪kι4n−1e4n. Dans un premier r´esultat, nous d´eterminons l’image de Ωψ: Keywords. Lusternik-Schnirelmann cathegory, CW-complex. 1991 Mathematics subject classifications: 55P50, 55P62. 564 H. Scheerer, D. Tanr´ e Th´eor`eme 1. Une fois localis´e en dehors de 2et de 3, l’espace des lacets ΩYadmet une d´ecomposition ΩY=S2n−1×ΩS6n−1×ΩY, telle que l’application Ωψsuivie de la projection ΩY→S2n−1×ΩYait un inverse `a droite. Ainsi, toute application f:Sp−1→Y, dont l’adjointe ˜ f:Sp−2→ΩY est `a valeurs dans S2n−1×ΩYse rel`eve `a travers ψ; i.e. il existe f: Sp−1→M∨S2ntel que f=ψ◦f. Dans ce cas, l’espace Y∪fepale type d’homotopie de (M∨S2n)∪γe4n∪fep; il est de longueur en cˆone et de LS-cat´egorie ≤2. Pour que l’application f:Sp−1→Ydonne naissance `a un espace Y∪f epde LS-cat´egorie 3, il faut donc que l’application induite en homotopie par ˜ fait une composante non nulle en π∗(ΩS6n−1) dans la d´ecomposition π∗(ΩY)=π∗(S2n−1)⊕π∗(ΩS6n−1)⊕π∗(ΩY). Pour les espaces R-locaux d’Anick, [2], [3], [5], [13], nous montrons que ceci implique l’existence d’un cup-produit de longueur 3 dans l’alg`ebre de cohomologie: Soit Run sous-anneau de Qet soit run entier fix´e, r≥3, nous notons ¯ple plus petit entier non inversible dans Ret posons m:= r+2¯p−4. Rappelons qu’une sph`ere R-locale, Sn R,n≥1, est un CW-complexe n-r´eduit, ab´elien, v´erifiant Hi(Sn R)=0,i=0,net Hn(Sn R)∼ =R.Un CW-complexe R-local, r-r´eduit de R-dimension mest un complexe cellulaire construit `a partir d’un point par des attachements successifs de cˆones sur des sph`eres R-locales, Sn R,r−1≤n<m. Notons CWm rla cat´egorie des CW-complexes R-locaux, r-r´eduits et de R-dimension ≤m. Th´eor`eme 2. Si X∈CWm rest un CW-complexe de LS-cat´egorie 3, admettant une d´ecomposition en 3cellules R-locales, alors son alg`ebre de cohomologie admet un cup-produit de longueur 3. Le r´esultat ´enonc´e ci-dessus devient ´evidemment faux pour des espaces plus g´en´eraux que les espaces R-locaux, comme le montre l’exemple de Sp(2), [14]. Remarquons cependant que, si on localise Sp(2) en dehors de 2 et de 3, cadre du Th´eor`eme 1, alors l’espace obtenu a une LS-cat´egorie ´egale `a la longueur du cup-produit, `a savoir 2. Se pose donc la question de l’existence d’un contre-exemple au r´esultat du Th´eor`eme 2 faisant intervenir un espace localis´e en dehors de 2 et de 3. C’est l’objet de la derni`ere section; nous remarquerons ´egalement que cet exemple est un espace temp´er´e (mild space) au sens d’Anick, [2]. LS-cat´ egorie de CW-complexes ` a 3 cellules 565 1. LS-cat´egorie Les “espaces” consid´er´es dans cette section sont des espaces point´es ayant le type d’homotopie point´ee d’un CW-complexe connexe. Cette restriction, coh´erente avec la suite, simplifie la pr´esentation de la LS-cat´egorie. Pour tout compl´ement, nous renvoyons le lecteur aux deux articles de synth`ese, [7], [9]. Commen¸cons par rappeler la d´efinition de LS-cat´egorie sous une forme similaire `a celle utilis´ee par Lusternik et Schnirelmann dans [10]: D´efinition 3. La LS-cat´egorie,cat X, d’un espace Xest le plus petit entier k,k≥0, pour lequel Xpeut-ˆetre recouvert par (k+ 1) ouverts, contractiles dans X. Notons que les conventions diff`erent suivant les travaux. Ici, nous attribuons la valeur 0 `a la LS-cat´egorie d’un espace contractile, (dans de nombreux articles, [7], elle est ´egale `a 1). Ganea a montr´e que cette d´efinition ´equivaut `a l’existence de sections dans une suite de fibrations construites inductivement. Pour F0→E0(X)→X, on choisit la fibration universelle des chemins sur X, ΩX→PX→X. Ensuite, `a partir de la fibration Fn→En(X)pn −→ X, on construit En+1(X) comme la cofibre de Fn→En(X), En+1(X)= En(X)∪FnC(Fn). L’espace Fn+1 est la fibre homotopique de l’application pn+1 :En+1(X)→X, obtenue en envoyant le cˆone, C(Fn), sur le point de base de X. Proposition 4 [6].La LS-cat´egorie, cat X, d’un espace Xest le plus petit entier k,k≥0, pour lequel la fibration pk:Ek(X)→Xadmet une section homotopique, i.e. il existe σk:X→Ek(X), tel que pk◦σk≃idX. Rappelons ´egalement, [6], que la LS-cat´egorie est major´ee par la longueur en cˆone, Cat X, d’un espace: D´efinition 5. Soit Xun espace, on pose: -Cat X=0siXest contractile; -Cat X≤k+ 1 s’il existe une cofibration entre CW-complexes, A→B→C, telle que Bsoit connexe, Cat B≤ket Cdu type d’homotopie de X. Dans toute la suite, nous confondrons application et classe d’homotopie d’application. 566 H. Scheerer, D. Tanr´ e 2. D´emonstration du Th´eor`eme 1 Remarquons d’abord que Ys’obtient comme cofibre: S4n−1ϕ1−ϕ2 −→ M∨S2nψ −→ Y=S2n∪k[ι2n,ι2n]e4n, o`u: -Mest l’espace de Moore M=S4n−1∪kι4n−1e4n; -ϕ1:S4n−1→M→M∨S2nest la composition des injections canoniques; -ϕ2:S4n−1→S2n→M∨S2nest la composition de l’injection canonique avec le crochet de Whitehead [ι2n,ι 2n]:S4n−1→S2n; -ϕ1−ϕ2s’obtient `a partir de la structure usuelle de co-H espace de S4n−1. Proposition 6. Nous supposons les espaces localis´es en dehors de 2 et de 3. L’espace des lacets ΩYadmet une d´ecomposition ΩY=S2n−1×Ω(M∨S6n−1). Remarque. Avec une m´ethode l´eg`erement diff´erente, Neisendorfer et Selick, [12], ´etablissent cette d´ecomposition de ΩYpour les p-localis´es de Y,p>3. D´emonstration de la Proposition 6: La d´emonstration utilise le mod`ele introduit par Adams et Hilton pour “repr´esenter” l’espace des lacets d’un CW-complexe; nous renvoyons le lecteur `a[1]et[8] pour la justification des propri´et´es suivantes: -Lemod`ele d’Adams Hilton est une alg`ebre tensorielle diff´erentielle gradu´ee construite par induction suivant les attachements cellulaires. Si Z=Z∪fen, avec f:Sn−1→Z,lemod`ele (T(W),∂) de Zs’obtient `a partir du mod`ele (T(V),∂)deZ, en ajoutant `a V un g´en´erateur αde degr´e n−1 dont la diff´erentielle ∂α est un cycle de (T(V),∂) repr´esentant H∗(Ωf)(hn−2), o`u hn−2est l’image du g´en´erateur de Hn−2(Sn−2) par l’application Sn−2→ΩSn−1, adjointe de ιn−1. -Si(T(V),∂) est le mod`ele d’Adams Hilton de Z, l’application de complexes de chaˆınes, (T(V),∂)⊗(T(V),∂)→(T(V),∂), w1⊗w2→ w1w2, induit la structure d’alg`ebre de Pontrjagin de H∗(ΩZ). De mˆeme, le commutateur de H∗(ΩZ) est induit par l’application w1⊗w2→ w1w2−(−1)|w1||w2|w2w1. LS-cat´ egorie de CW-complexes ` a 3 cellules 567 (1): Mise en ´evidence de ˜ϕ:S6n−1→Y. Soit M=ΣM=ΣS4n−2∪kι4n−2e4n−1, nous notons: -j1:M→ΩΣM→ΩΣ(M∨S2n−1), -j2:S2n−1→ΩΣS2n−1→ΩΣ(M∨S2n−1), les fl`eches obtenues avec l’adjonction (Ω,Σ) et les injections canoniques. Le commutateur pour la loi de H-espace est not´e: ,:Ω(M∨S2n)×Ω(M∨S2n)→Ω(M∨S2n). L’application compos´ee M×S2n−1j1×j2 −→ Ω(M∨S2n)×Ω(M∨S2n), −→ Ω(M∨S2n) a une restriction `a M∨S2n−1homotopiquement triviale; elle induit donc une application j1,j 2:M∧S2n−1→Ω(M∨S2n). Le compos´e S4n−2∧S2n−1→M∧S2n−1j1,j2 −→ Ω(M∨S2n)Ωψ −→ ΩY s’´ecrit Ωψ˜ϕ1,j 2,o`u˜ϕ1est l’adjointe de ϕ1; il est ´egal `aΩψ˜ϕ2,j 2, car Ωψ(˜ϕ1−˜ϕ2) = 0. Remarquons que Ωψ˜ϕ2,j 2est le compos´ede l’adjoint de [ι2n,[ι2n,ι 2n]] suivi de ΩS2n−→ Ω(M∨S2n). L’entier 3 ´etant invers´e, le crochet de Whitehead it´er´e est homotopiquement trivial et l’application Ωψj1,j 2s’´etend `a la cofibre de S4n−2∧S2n−1→M∧ S2n−1en une application ϕ:S6n−2∼ =S4n−1∧S2n−1→ΩY. Un mod`ele d’Adams Hilton de M∧S2n−1est (T(˜α, α),∂), |α|= |˜α|+1=6n−2; ∂α =k˜α;unmod`ele de Yest donn´e par (T(a, b),∂); |a|=2n−1; |b|=4n−1; ∂b =k[a, a]. L’application (T(˜α, α),∂)→ (T(a, b),∂), qui correspond `a l’adjoint de Ωψj1,j 2, applique ˜αsur z´ero et αsur [a, b]. Par cons´equent, le mod`ele de l’adjoint ˜ϕ:S6n−1→Yde ϕest le suivant: A(˜ϕ):(T(α),0) →(T(a, b),∂); |α|=6n−2; A(˜ϕ)(α)=[a, b]. (2): ΩYa le type d’homotopie de S2n−1×Ω(M∨S6n−1). Notons: -g1:S2n−1→ΩY, l’adjointe de S2n→M∨S2nψ →Y; -g2=˜ϕ:S6n−1→Y, l’application construite dans (1); -g3:M→Y,´egale au compos´e M→M∨S2nψ −→ Y. 568 H. Scheerer, D. Tanr´ e Nous consid´erons maintenant le compos´e: ΩM∨S6n−1×S2n−1µ −→ ΩY×ΩYν −→ ΩY o`uνest la loi de H-espace de ΩYet µ=Ω(g3+g2)×g1. Pour justifier que ν◦µest une ´equivalence d’homotopie, nous en construisons un mod`ele dans la cat´egorie des complexes de chaˆınes: •g3+g2a pour mod`ele d’Adams-Hilton A(g3+g2):(T(β, ˆ β,α),∂)→(T(a, b),∂) |ˆ β|=4n−2; |β|=4n−1; |α|=6n−2; |a|=2n−1; ∂β =kˆ β; ∂α =∂a =0;∂b =k[a, a]; A(g3+g2)(β)=b;A(g3+g2)(ˆ β)= [a, a]; A(g3+g2)(α)=[a, b]. •νa pour mod`ele la multiplication T(a, b)⊗T(a, b)→T(a, b). •L’injection (Z[1/2,1/3] a, 0) →(T(a, b),∂) est un mod`ele de g1. Nous en d´eduisons le mod`ele de complexes de chaˆınes cherch´e: T(β, ˆ β,α),∂⊗(Z[1/2,1/3] a, 0) →(T(a, b),∂). Cette fl`eche est ´evidemment surjective. D´eterminons, [8], les s´eries de Poincar´e de la source et du but: P(T(a, b)) = 1 1−t2n−1−t4n−1; P(T(β, ˆ β,α)⊗Z[1/2,1/3] a)= 1 1−t4n−2−t4n−1−t6n−2·(1 + t2n−1). L’´egalit´e de ces deux s´eries implique que la fl`eche est un isomorphisme au niveau des complexes de chaˆınes, donc induit un isomorphisme en homologie. Exemple. Notons f:S10n−3→Yle crochet de Whitehead de S6n−1→Yet de ψ◦ϕ1:S4n−1→Y. La Proposition 6 implique en particulier que S2n∪k[ι2n,ι2n]e4n∪fe10n−2 est de longueur de cˆone (et de LS-cat´egorie) 2. D´emonstration du Th´eor`eme 1: Nous allons d´ecomposer cette preuve en 4 ´etapes qui reprennent un pas de la d´emonstration du Th´eor`eme LS-cat´ egorie de CW-complexes ` a 3 cellules 569 de Hilton-Milnor, telle qu’elle apparaˆıt dans [17]; nous effectuerons des rappels suffisants pour une lecture autonome du texte. Etape 1: Rappel d’une d´ecomposition utilis´ee dans la d´emonstration du Th´eor`eme de Hilton-Milnor, [17]. Si Aet Bsont des CW-complexes (point´es), on a une ´equivalence d’homotopie ΩΣ(A∨B)≃ΩΣA×ΩΣ ∞  i=0 B∧A(i) o`uA(i)d´esigne le smash-produit it´er´e i-fois, et B∧A(0) =Bpar convention. Cette ´equivalence est donn´ee par une suite d’applications: vn:B∧A(n)→ΩΣ(A∨B). Notons jA(resp. jB) l’injection A→A∨B(resp. B→A∨B). On d´efinit v0comme le compos´e de ΩΣ(jB) avec la counit´e de l’adjonction (Ω,Σ): v0:B→ΩΣB→ΩΣ(A∨B). Supposons avoir construit vn, l’application vn+1 :B∧A(n+1) ≃(B∧A(n))∧A→ΩΣ(A∨B) s’obtient en factorisant par le smash-produit l’application (B∧A(n))×Avn×w0 −→ ΩΣ(A∨B)×ΩΣ(A∨B), −→ ΩΣ(A∨B), o`uw0:A→ΩΣA→ΩΣ(A∨B) est d´efini de mani`ere analogue `a v0.Il reste ensuite `a prendre la “somme” de ces applications ˜v=+ ivi= ∞  i=0 B∧A(i)→ΩΣ(A∨B) `al’´etendre en une application de H-espaces v:ΩΣ∞  i=0 B∧A(i)→ΩΣ(A∨B) et `a composer avec la multiplication νde ΩΣ(A∨B): ΩΣA×ΩΣ ∞  i=0 B∧A(i)ΩΣjA×v −→ ΩΣ(A∨B)×ΩΣ(A∨B) ν −→ ΩΣ(A∨B). 570 H. Scheerer, D. Tanr´ e Le fait que ce compos´e induise une ´equivalence d’homotopie est le but du “Step IV page 527” de [17] dont ces lignes sont extraites. Etape 2: L’application ρ:S2n−1∧M∧M→S2n−1∧S4n−1∧M, induite par l’application de pincement M→S4n−1, admet une section homotopique. Soit M=S4n−2∪kι4n−2e4n−1, Neisendorfer a exhib´e une ´equivalence d’homotopie [11, Corollary 6.6 p. 36]: ∆+i:S8n−4∪kι8n−4e8n−3∨S8n−3∪kι8n−3e8n−2→M∧M. On en d´eduit que S8n−3∪kι8n−3e8n−2→M∧M→S4n−1∧M est une ´equivalence d’homotopie. Par cons´equent, M∧M→S4n−1∧M et ρ:S2n−1∧M∧M→S2n−1∧S4n−1∧Mont des sections homotopiques. Par it´eration de cet argument, on obtient, pour tout i≥2, une section homotopique `a S2n−1∧M(i)∧S2n−1∧M(j)→S6n−2∧M(i−1) ∧S6n−2(j). Etape 3: D´ecomposition de la source et du but de Ωψ: ΩΣ(M∨ S2n−1)→ΩY. En appliquant l’´etape 1, nous obtenons une ´equivalence d’homotopie: ΩΣ(M∨S2n−1)≃ΩΣM×ΩΣ ∞ i=0 S2n−1∧M(i) ≃ΩΣM×ΩΣS2n−1 ×ΩΣ ∞ i=1,j=0 S2n−1∧M(i)∧S2n−1(j). La Proposition 6 donne ΩY≃S2n−1×ΩΣ M∨S6n−2 ≃S2n−1×ΩΣM×ΩΣ ∞ i=0 S6n−2∧M(i) ≃S2n−1×ΩΣM×ΩΣS6n−2 ×ΩΣ ∞ i=1,j=0 S6n−2∧M(i)∧S6n−2)(j). LS-cat´ egorie de CW-complexes ` a 3 cellules 571 Pour comprendre comment Ωψse comporte relativement `a cette d´ecomposition, rappelons de la d´emonstration de la Proposition 6 que ΩΣM→Ω(M∨S2n)Ωψ −→ ΩY≃S2n−1×ΩΣ(M∨S6n−2) →ΩΣ(M∨S6n−2) est donn´e par l’injection M→M∨S6n−2. Enfin, le compos´edeΩψavec la projection sur S2n−1×ΩΣMayant un inverse `a droite, il nous suffit d’´etudier le compos´e, Ω(ψ),deΩψavec la projection canonique: Ω(ψ): ΩΣ(M∨S2n−1)Ωψ −→ ΩY →ΩΣ   ∞  i=1,j=0 S6n−2∧M(i)∧S6n−2)(j) . Etape 4: Construction d’une section homotopique: ΩΣ   ∞  i=1,j=0 S6n−2∧M(i)∧S6n−2(j)  →ΩΣ   ∞  i=1,j=0 S2n−1∧M(i)∧S2n−1(j) . Avant d’aborder cette derni`ere ´etape, rappelons quelques r´esultats d´ej`a obtenus: - L’application S2n−1∧M→ΩYfactorise par l’application de pincement S2n−1∧S4n−1→ΩY, qui d´efinit la classe d’homotopie construite dans la Proposition 6; i.e. S2n−1∧S4n−1→ΩΣ(M∨ S6n−2)≃Ω(M∨S6n−1) est donn´ee par l’injection S6n−1→M∨ S6n−1. - Sur les ´el´ements S2n−1∧M(i)∧S2n−1(j),i≥1, l’application, de but ΩΣ(M∨S6n−2) est d´etermin´ee par les crochets de Samelson (´etape 1). Pour d´emontrer l’´etape 4, commen¸cons par fixer iet j. AZ=S6n−2∧M(i)∧S6n−2(j), on associe Z1=S2n−1∧M(i+j+1) ∧ S2n−1(j). Posons Z2=S2n−1∧M∧Mi∧M∧S2n−1(j); l’associativit´e et la commutativit´e du smash-produit fournissent une ´equivalence