Sur le rang d'une extension pro-p-libre d'un corps de nombres

Publ. Mat. 46 (2002), 201–219 SUR LE RANG D’UNE EXTENSION PRO-p-LIBRE D’UN CORPS DE NOMBRES Arthur Lannuzel Abstract For an algebraic number field kand a prime number p(if p=2,we assume that µ4⊂k), we study the maximal rank ρkof a free prop-extension of k. We give various interpretations of 1+r2(k)−ρk. The first uses Iwasawa theory, the second uses the envelope of a module and the third is local-global. These expressions confirm that 1 + r2−ρkis related to the torsion of a certain Iwasawa module, hence to the dualizing module of a certain Galois group (under Leopoldt’s conjecture). Introduction Soit kun corps de nombres alg´ebriques (i.e. une extension finie de Q) et pun nombre premier fix´e (si p= 2, on impose de plus µ4⊂k). Soit Sun ensemble fini de places de kcontenant Sp, l’ensemble des places divisant p,etGS(k) le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale S-ramifi´ee kSde k(i.e. non-ramifi´ee en dehors des places de S). Les propri´et´es p-adiques de kse refl`etent dans la structure du groupe de Galois GS(k), qui peut ˆetre consid´er´e comme un analogue p-adique du groupe fondamental d’un courbe de genre g. Le cas le plus simple est celui de genre 0, dont l’analogue p-adique est fourni par les corps dits “p-rationnels” ([MN], [GJ]), i.e. ceux pour lesquels GSp(k) est un pro-p-groupe libre. L’´etape naturelle suivante est d’´etudier les quotients pro-p-libres d’un GSp(k). Convenons d’appeler Fd-extension de kune extension Ldde ktelle que Gal(Ld/k) soit un pro-p-groupe libre `a dg´en´erateurs (de fa¸con g´en´erale, Fdd´esignera toujours un pro-p-groupe libre `a dg´en´erateurs). Une telle extension sera dite pro-p-libre; on parlera aussi de pro-p-extension libre. 2000 Mathematics Subject Classification. 11R23, 11R32, 11R34. Mots-cl´es. Extensions pro-p-libres, pro-p-extensions libres, corps de nombres. 202 A. Lannuzel Comme une Fd-extension est Sp-ramifi´ee (cf. [Y1]), le probl`eme pr´ec´edent revient `a´etudier l’entier ρk= max{d∈Ntel que kadmette une Fd-extension}. L’invariant ρkad´ej`a´et´e´etudi´e par diff´erents auteurs, en particulier M. Yamagishi ([Y1], [Y2]), K. Wingberg ([W1]et[W2]), T. Nguyen Quang Do ([N1]). Il est reli´e`a certains probl`emes de structure galoisienne (cf. Sections 2 et 3). Dans la suite, on prˆetera une attention particuli`ere `a la diff´erence r2(k)+1−ρko`ur2(k)d´esigne le nombre de places complexes de k. En effet, si ˜ Kest la compos´ee de toutes les Zp-extensions de k, alors ˜ Γ := Gal( ˜ K/k)∼ =Zr2(k)+1+δp(k) p,o`uδp(k) est un entier naturel, conjecturalement nul (Leopoldt). On en d´eduit imm´ediatement que ρk≤r2(k) + 1 sous la conjecture de Leopoldt. La conjecture pr´ec´edente en pest ´equivalente `a supposer H2(Gal(kS/k),Qp/Zp) = 0. Elle est d´emontr´ee pour toute extension ab´elienne finie de Q, et si elle est vraie pour Len p, elle est vraie pour toute sous-extension de Len p. Par extension, on appelle conjecture g´en´eralis´ee de Leopoldt pour une extension L/k infinie en p, l’hypoth`ese H2(Gal(kS/L),Qp/Zp) = 0. Si Lcontient la Zp-extension cyclotomique de k, la conjecture faible est vraie pour Len p. De plus, pour une tour d’extensions L/k/Qo`uL/Qest infinie et k/Qest finie, la conjecture forte pour ken pentraˆıne la conjecture faible pour Len p. Si kest totalement r´eel (r2= 0), il est clair que ρk= 1, mais, si kest imaginaire (r2= 0), le probl`eme est beaucoup plus compliqu´e et reli´e`a des propri´et´es arithm´etiques int´eressantes de k. Par ailleurs, on connaˆ it des exemples (cf. [Y1]) o`u ρk<r 2+ 1. La relation entre les hypoth`eses ‘ρk=r2+1’et‘kest un corps p-rationnel’ est ´etudi´ee dans [LN] en relation avec certaines conjectures dues `a Greenberg en th´eorie d’Iwasawa des Zp-extensions multiples. Dans cet article, guid´e par le cas local, nous allons mettre en place des bornes de la diff´erence r2(k)+1−ρk. La premi`ere borne provient de r´esultats de structure galoisienne d´emontr´es dans [LN] , la deuxi`eme de la th´eorie de l’enveloppe d’un module (cf. [J]et[GW]), la troisi`eme utilisera des m´ethodes locales-globales. Chacune de ces expressions nous donnera des conditions pour avoir l’´egalit´e ρk=r2(k) + 1. Ces expressions nous permettent de constater que la diff´erence 1 + r2−ρkest reli´e au foncteur TorZpXS(•)(cf. notations ci-dessous), donc au module dualisant sous la conjecture de Leopoldt. Rang d’une Extension Pro-p-Libre 203 Remerciements. Ce travail a ´et´er´ealis´e au Laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e de Besan¸con et au D´epartament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona. Je remercie ces deux institutions, ainsi que Thong Nguyen Quang Do dont les conseils et les suggestions m’ont permis de mener ce travail `a bien. Notations Pour un pro-p-groupe G, on notera d(G)etr(G) son nombre minimal de g´en´erateurs et de relations respectivement. On sait que d(G)= dimFpH1(G, Fp)etr(G) = dimFpH2(G, Fp). Avec l’hypoth`ese sur p, on sait que cd(GS)≤2etχ(GS(k)) := ∞ i=0(−1)i+1 dimFpHi(GS(k),Fp)=r2(k)o`uχ(·)d´esigne la caract´eristique d’Euler-Poincar´e (voir e.g. [Ha]). Pour une place vde k, on note Gv=Gv(k), le groupe de d´ecomposition de GS(k) pour une place choisie de kSau-dessus de vet Gvle pro-p-groupe de Galois absolue du localis´e kvde k. µpsavec s∈Nd´esigne l’ensemble des racines de l’unit´e d’ordre pset µp∞:= ∪n∈Nµps. (·)ab d´esigne l’ab´elianis´e si l’argument est un groupe, le corps fix´e par les commutateurs si l’argument est un corps. XS(k):=(GS(k))ab.Onr´eservera la notation X(k) au cas S=Sp. Une Zp-extension multiple de rang a(ou Za p-extension) de ksera not´ee K(a),Γ (a):= Gal(K(a)/k)∼ =Za p. Soit Λa=Zp[[Γ(a)]]. On sait que Λa∼ =Zp[[T1,...,T a]], l’alg`ebre commutative des s´eries formelles `a aind´etermin´ees. La notation Λ sera reserv´e au cas a=1. Pour une Za p-extension K(a) /k ,leΛ a-module XS(K(a) ):=Gal(kS/K (a) )ab sera not´e en abr´eg´e X(a) S(ou X(a)si S=Sp). Pour K(a)/k fix´ee, on prend une famille d’extensions finies (kn/k)n∈N telle que K(a)= lim −→ n knet donc X(a)= lim ←− n X(kn). On note Γnle groupe de Galois de K(a)/kn. Pour tout Ranneau commutatif int`egre, pour tout R-module M,on notera TorRMla R-torsion de Met frRMle quotient de Mpar sa R-torsion. 1. Rappels concernant le cas local Les r´esultats suivants montrent que le probl`eme est r´esolu dans le cas o`u kest un corps local (cf. [JW], [N1], [N4]). Nous rappelons ces r´esultats pour donner une id´ee du type de r´esultats recherch´es. 204 A. Lannuzel Th´eor`eme 1.1 ([N1]).Si k/Qpest irr´egulier (i.e. il existe s≥1tel que µps⊂k)etK/k est une extension galoisienne de groupe de Galois H, les assertions suivantes sont ´equivalentes: (i) K/k se plonge dans une Fd-extension, o`u Fdest le pro-p-groupe libre `a dg´en´erateurs. (ii) Tout probl`eme de plongement {1}→N→E→H→{1},o`uN est un p-groupe tel que d(E)=d(H), poss`ede une solution. (iii) X(K)∼ =Rab d(H)(H)×Zp[H]n+2−2d(H)−δ×MK,o`uMKest un Zp[H]-module cohomologiquement trivial et ind´ecomposable, δ=1 si µp∞(K)⊂NGal(K/k)(K∗)·K∗p,0sinon. Rab d(H)(H)d´esigne le module des relations de Hdans une pr´esentation libre de rang d(H) de H. Remarque 1.2 ([N1]).Puisque dans le cas r´egulier le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale est libre, on en d´eduit sans probl`eme que dans le cas local irr´egulier, ρk=[k:Qp] 2+ 1 et dans le cas local r´egulier, ρk=[k:Qp]+1. Question 1.3. Y a-t-il un analogue `aceth´eor`eme dans le cas global? Le module MKde (iii) est une enveloppe (cf. [N4]) de TorZpX(K)= µp∞(K)(i.e. on a une suite exacte {0}→TorZpX(K)→MK→N→ {0}avec MKcohomologiquement trivial et N Zp-libre). On peut en donner une description cohomologique. Le r´esultat suivant est d´emontr´e dans [N4] et utilise le fait que l’on connaisse la torsion TorZpX(K). Th´eor`eme 1.4 ([N4]).Soit K/k une extension de groupe de Galois H. Avec les notations du th´eor`eme pr´ec´edent, si K/k se plonge dans une Fd(H)-extension cyclotomique Ld(H)/k (i.e. µp∞⊂Ld(H)) alors MK∼ =H1(Gal(Ld(H)/K),Zp(1)). 2. Expression de (1 + r2)−ρ k comme rang d’un module d’Iwasawa On va maintenant s’int´eresser `a des probl`emes de structure galoisienne dans le cas global. Ces r´esultats sont d´emontr´es dans [LN]. Ils permettent de comprendre l’hypoth`ese ‘ρk=r2+ 1’. Soit L:= Lρune extension pro-p-libre de kde rang ρ. D’apr`es [Y1], on sait que l’extension L/k est non-ramifi´ee en dehors de p, donc L⊂kS. Rang d’une Extension Pro-p-Libre 205 Soit Kune pro-p-extension de kincluse dans L. Posons R:= Gal(L/K) et H:= Gal(K/k). On a la suite exacte {1}−→Gal(kS/L)−→ Gal(kS/K)−→ R−→ { 1}. La suite d’inflation-restriction nous donne alors la suite exacte {0}−→H1(R, Qp/Zp)−→ H1(Gal(kS/K),Qp/Zp) −→ H1(Gal(kS/L),Qp/Zp)R−→ { 0}, puisque Rest un pro-p-groupe libre en tant que sous-groupe ferm´e d’un pro-p-groupe libre. Ainsi, en dualisant (Pontrjagin), on obtient: {0}−→XS(L)R−→ XS(K)−→ Rab ρ(H)−→ { 0}(1) o`u l’on a pos´e Rab ρ(H):=Rab qui est le module des relations dans la pr´esentation libre de rang ρde Hdonn´ee par: {1}−→R−→ Gal(L/k)−→ H−→ { 1}. Rappelons que le “module des relations” Rab ρ(G) peut ˆetre d´efini pour n’importe quel pro-p-groupe Gqui est quotient du pro-p-groupe Fρ,et qu’il apparaˆıt dans la r´esolution de Lyndon (cf. e.g. [N1]), {0}−→Rab ρ(G)−→ Zp[[G]]ρ−→ Zp[[G]] −→ Zp−→ 0. Voici l’analogue global du Th´eor`eme 1.1(iii): Th´eor`eme 2.1. Soit Lρune pro-p-extension libre de kde rang ρ, contenant une sous-extension galoisienne K/k de groupe de Galois H. Posons R:= Gal(Lρ/K). Si toute sous-extension finie de K/k v´erifie la conjecture de Leopoldt en p, alors XS(Lρ)R⊕Zp[[H]]ρ−d(H)⊕Rab d(H)(H)∼ =XS(K). Remarque 2.2.XS(Lρ)Rest cohomologiquement trivial sous Leopoldt (voir par exemple la Proposition 3.4 ci-dessous), mais on n’en a pas de description analogue au Th´eor`eme 1.4. Voir cependant le paragraphe 3. Preuve du th´eor`eme: Cf. [LN]. Corollaire 2.3. Soit K/k une extension galoisienne finie de groupe de Galois H. On suppose que Kv´erifie la conjecture de Leopoldt en p. Si K/k se plonge dans une Fr2+1-extension, alors TorZpXS(K)est un Zp[H]-module cohomologiquement trivial. 206 A. Lannuzel Preuve: Dans cette situation, la proposition pr´ec´edente montre que l’on a l’isomorphisme XS(Lr2+1)Gal(Fr2+1/K)∼ =TorZpXS(K). Or XS(Lr2+1)Gal(Fr2+1/K)est cohomologiquement trivial sous Leopoldt. D’o`uler´esultat. Remarque 2.4.Les relations qui apparaissent avec le module TorZpXS(K) peuvent ˆetre vues comme relations avec le module dualisant, I2(GS(k)). En effet, on sait que, sous la conjecture de Leopoldt pour toute sousextension finie de kS, lim −→ n TorZpXS(kn)∼ =I2(GS(k)) avec ∪n∈Nkn=kS et TorZpXS(K)∼ =I2(GS(k))GS(K)(cf. [W1]). Si l’on applique ce qui pr´ec`ede au cas particulier des Zp-extensions multiples, on obtient le r´esultat suivant, d´emontr´e dans [LN]: Proposition 2.5. Soit Lρune pro-p-extension libre de kde rang ρ, contenant une Za p-extension K(a)(a≤ρ). On pose R:= Gal(Lρ/K(a)), Γ(a):= Gal(K(a)/k)et Λa:= Zp[[Γ(a)]]. Si K(a)v´erifie la conjecture de Leopoldt faible en p(i.e. H2(Gal(kS/K(a)),Qp/Zp)=0), le Λa-rang de XS(Lρ)Rest ´egal `a r2+ 1−ρ. En particulier ρ=r2+1si et seulement si XS(Lρ)Gal(Lρ/K(a)) est la Λa-torsion de XS(K(a)). Remarque 2.6.On retrouve le r´esultat connu suivant (cf. [Y1]): en supposant la conjecture faible de Leopoldt pour Lab ρ/k en p,onaρk≤r2+1. 3. (1 + r2)−ρ k et l’enveloppe de X S (K) On va maintenant s’int´eresser aux structures galoisiennes `a “homotopie pr`es” (i.e. `a un facteur direct projectif pr`es). Pour les g´en´eralit´es cf. [J]. Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres, de groupe de Galois H. Soit Met N, des Zp[[H]]-modules. On dira que Mest homotope `a N, not´e M∼N, si il existe a, b ∈Ntels que M×Zp[[H]]a∼ =N×Zp[[H]]b. On dira que g∈HomZp[[H]](M,N) est homotope `a 0, not´e g∼0, si g se factorise `a travers un Zp[[H]]-module projectif (donc libre car Zp[[H]] est local). On pose alors [M,N] := HomZp[[H]](M,N)/{g∼0}. Rang d’une Extension Pro-p-Libre 207 Consid´erons la suite exacte d’augmentation appliqu´ee `a GS(k): {0}−→I(GS(k)) −→ Zp[[GS(k)]] aug. −→ Zp−→ 0. Comme dans [N2], en appliquant l’homologie par rapport `a GS(K) et en posant YS(K/k):=I(GS(k))GS(K), on obtient la suite exacte: {0}−→XS(K)−→ Y S(K/k)−→ I(H)−→ { 0}, I(H)´etant l’id´eal d’augmentation de H. Le module YS(K/k) est appel´e l’enveloppe de XS(K), d´efini `a homotopie pr`es (cf. [GW]). Il est li´ede fa¸con ´etroite aux relations du groupe GS(K) par la matrice des d´eriv´ees de Fox (cf. e.g. [N2]). Il est cohomologiquement trivial si Kv´erifie Leopoldt. La suite exacte pr´ec´edente nous permet d’obtenir grˆace `alar´esolution de Lyndon (cf. [N1]) le diagramme commutatif (push-out) suivant: {0}−−−−→Rab d(H)(H)−−−−→Zp[[H]]d(H)−−−−→I(H)−−−−→{0}     φ   {0}−−−−→XS(K)−−−−→Y S(K/k)fK −−−−→I(H)−−−−→{0}, o`uφest la fl`eche naturelle induite par la fl`eche correspondante dans la r´esolution de Lyndon pour GS(k). On obtient ainsi de fa¸con purement alg´ebrique une suite exacte {0}−→Rab d(H)(H)−→ XS(K)⊕Zp[[H]]d(H)−→ Y S(K/k)−→ { 0}.(2) On a alors le th´eor`eme de caract´erisation (cf. [J]) de XS(K)`a homotopie pr`es: Th´eor`eme 3.1. Soit kun corps de nombres alg´ebriques, K/k une prop-extension de groupe de Galois H. A homotopie pr`es, XS(K)est uniquement d´etermin´e par les deux invariants suivants: (i) lim −→ n TorZpXS(kn)o`ulim −→ n kn=K,kn/k finie. (ii) La classe de fKdans [YS(K/k),I(H)]. Remarque 3.2.i) Il r´esulte directement de la d´efinition de l’homotopie et du module YS(K/k)(cf. [J]) que [YS(K/k),I(H)] ∼ = H2(H,lim −→ n TorZpXS(kn))∗. ii) De plus, dans le cas o`u Hest fini et toute extension finie de kv´erifie la conjecture de Leopoldt en p, la classe de fKdans [YS(K/k),I(H)] correspond par l’isomorphisme pr´ec´edent `a l’image par la fl`eche naturelle de l’´el´ement canonique IdI2(GS(k)) ∈HomGS(k)(I2(GS(k)),I 2(GS(k))) ∼ = H2(GS(k),I 2(GS(k)))∗dans H2(H,TorZpXS(K))∗(cf. [J, p. 190]). 208 A. Lannuzel Des cas particuliers int´eressants consistent `a´eliminer l’un des deux invariants qui apparaissent dans le Th´eor`eme 3.1. A priori, on ne sait pas s’ils sont ou non ind´ependants. L’´elimination de l’invariant (i) simplifie consid´erablement le probl`eme: c’est l’´etude de la p-rationalit´e qui est faite dans [LN]. La trivialit´e de l’invariant (ii) exprime un r´esultat de structure galoisienne: Th´eor`eme 3.3. Soit K/k une pro-p-extension de corps de nombres alg´ebriques de groupe de Galois H. Les propositions suivantes sont ´equivalentes: (i) fK∼0. (ii) La suite exacte (2) admet un rel`evement ( i.e. XS(K)∼Y S(K/k)⊕ Rab d(H)(H)). (iii) Tout probl`eme de plongement {1}→N→G→H→{1}(suite exacte de p-groupes) avec Nab´elien et d(G)=d(H)admet une solution. Preuve: (i)⇔(ii) d´ecoule de ce qui pr´ec`ede (cf. [J, p. 190]). (i)⇔(iii). En prenant la cohomologie de la suite exacte {0}−→TorZpXS(K)−→ Y S(K/k)−→ frZpYS(K/k)−→ { 0}, on voit que H2(H,TorZpXS(K)) ∼ =H1(H,frZpYS(K/k)). En prenant la cohomologie de la suite exacte {0}−→XS(K)−→ Y S(K/k)−→ I(H)−→ { 0}, on voit que H2(H,XS(K)) ∼ =H1(H,I(H)). Or H1(H,frZpYS(K/k)) ∼ =[I(H),frZpYS(K/k)] et H1(H, I(H)) ∼ = [I(H),I(H)] (cf. [GW]). On obtient donc le diagramme commutatif: H2(H,TorZpXS(K)) nat. −−−−→H2(H, XS(K))    ∼ =   ∼ = [I(H),frZpYS(K/k)] ˆ fK −−−−→[I(H),I(H)]. On en d´eduit alors le r´esultat. Si l’on applique ce qui pr´ec`ede au cas des Fd-extensions, en prenant K=Lρk, on obtient la suite exacte scind´ee: {0}−→XS(Lρk)−→ Y S(Lρk/k)−→ Zp[[Fρk]]ρk−→ { 0}, puisque I(Fρk) est un Zp[[Fρk]]-module libre de rang ρk(cf. [Br]ou directement `a partir de la r´esolution de Lyndon). Rang d’une Extension Pro-p-Libre 209 On en d´eduit alors en prenant les co-invariants: Proposition 3.4. Soit K/k une extension finie de corps de nombres alg´ebriques de groupe de Galois Htelle que K⊂Lρk. On suppose que K v´erifie la conjecture de Leopoldt en p. Alors fK∼0et on a: YS(K/k)∼ =Zp[H]ρk⊕XS(Lρk)Rρk(H). (Comparer `a 2.1 et au r´esultat local 1.1.) Th´eor`eme 3.5. i) Soit K/k une extension finie de corps de nombres alg´ebriques de groupe de Galois Htelle que K⊂Lρk. On suppose que Kv´erifie la conjecture de Leopoldt en p. On a: m(XS(K)) + dimFpH1(H,TorZpXS(K))[p]≥r2(k)+1−ρk ≥dimFpH1(H,TorZpXS(K))[p], o`um(XS(K)) est l’entier maximal mtel que XS(K)admette un facteur direct isomorphe `a Zp[H]m. ii) Dans le cas particulier o`u Kest tel que d(H)=ρk(par exemple si Kest le sous corps de Lρkfix´epar[Fρk,F ρk]Fp ρk), on a r2(k)+1−ρk= dimFpH1(H,TorZpXS(K))[p]+m(XS(K)). En vertu du lemme de Krull-Schmidt, tout Zp[G]-module Ade type fini, o`u Gest un p-groupe, se d´ecompose de fa¸con unique, `a l’ordre et l’isomorphisme pr`es des facteurs, en somme directe de sous-modules ind´ecomposables. Il existe donc un entier m(A) maximal tel que Aadmette un facteur direct isomorphe `a Zp[G]m(A). L’invariant m(A) est donn´e par le lemme alg´ebrique suivant (cf. par exemple [JW]). Lemme 3.6. Soit Gun p-groupe et Aun Zp[G]-module compact noetherien. Alors m(A) = dimFp(NG(frZpA/p frZpA)), o`uNGd´esigne la norme pour G. Preuve du Th´eor`eme 3.5: i) Montrons tout d’abord la seconde in´egalit´e. Notons pour cette d´emonstration Y=YS(K/k), X=XS(K), fr = frZp, tor = torZp. D’apr´es 3.4, ρkest major´e par m(Y) = dimFp(NH(fr Y/p fr Y)). Un calcul de m(Y) grˆace `a des m´ethodes cohomologiques (inspir´e de [N5]) va alors nous permettre de d´emontrer le r´esultat. 216 A. Lannuzel Corollaire 4.3. Avec les hypoth`eses sur kdu th´eor`eme, les assertions suivantes sont ´equivalentes: (i) ρk=r2(k)+1. (ii) ρv=nv 2+1pour tout v∈Spet H1(Fρk,W Lρk)=0. Preuve: En effet, on sait que ρv≤nv 2+1. Lien avec le module dualisant. L’expression pr´ec´edente fait apparaˆıtre un module WLρkqui est li´e au module dualisant de GS(k) par la suite exacte (L=Lρk) {0}−→WL−→ I2(GS(k))GS(L)−→ ker1 S(L, µp∞)−→ { 0}, o`uker 1 S(L, µp∞) est le noyau du morphisme naturel: H1(Gal(kS/L),µ p∞)−→  v∈S(L) H1(Gal(kv(p)/Lv),µ p∞) avec kv(p) la pro-p-extension absolue de kv, le compl´et´eenvde k. Ce dernier module admet une interpr´etation galoisienne, puisque, dans notre cas, il est isomorphe au dual de Kummer du conoyau de  v∈S(L) X(Lv)nat. −→ X(L) o`uX(Lv) est le groupe de Galois de la pro-p-extension ab´elienne maximale du compl´et´e Lv. On a donc les isomorphismes ker1 S(L, µp∞)∼ ={x∈L∗/x ∈L∗ v∀v∈S, x ∈U∗ v∀v∈ S} ∼ =HomFρk(X(Lρk),µ p∞) o`uUvd´esigne les unit´es de Lv,X(Lρk) := lim ←− n X(kn), avec X(kn)le groupe de Galois de la p-extension maximale non-ramifi´ee et p-d´ecompos´ee de kn,et∪n∈Nkn=Lρk. Ce lien nous permet d’obtenir le th´eor`eme suivant: Th´eor`eme 4.4. Soit kun corps de nombres alg´ebriques contenant µp. Soit Lρk/k,Fρk-extension cyclotomique (µp∞⊂Lρk) telle que toutes les sous-extensions finies de Lρk/k v´erifient la conjecture de Leopoldt en p, alors m(XSp(K))=  v∈Sp(k) nv 2+1−ρv−dimFpH1(Fρk,ker1 Sp(Lρk,µ p∞))[p], o`uKest tel que d(Gal(K/k)) = ρk. Rang d’une Extension Pro-p-Libre 217 Preuve: 1) Montrons tout d’abord que r2(k)+1−ρk= v∈Sp(k) nv 2+1−ρv+rangZp(H1(Fρk,I2(GSp(k))GSp(L)))∗ −rangZp(H1(Fρk,ker1 Sp(L, µp∞)))∗. La suite exacte {0}−→WL−→ I2(GS(k))GS(L)−→ ker1 S(L, µp∞)−→ { 0} nous donne la suite exacte longue de cohomologie ker1 S(L, µp∞)Fρk−→ H1(Fρk,W L)−→ H1(Fρk,I 2(GS(k))GS(L)) H1(Fρk,ker1 S(L, µp∞)) o`uL=Lρk. Pour avoir le r´esultat, il suffit donc de montrer que ker1 S(Lρk,µ p∞)Fρk est fini. Or le lemme du serpent nous donne le diagramme commutatif: {0}{0}{0}        {0}→Ker1 Sp(L, µp∞)F→H1 (GSp(L),µ p∞)F→ v∈Sp(k) H1 (Gal((kSp)v/Lv),µ p∞)Fv        {0}→ Ker1 Sp(k, µp∞)→H1 (GSp(k),µ p∞)→ v∈Sp(k) H1 (Gal((kSp)v/kv),µ p∞)        {0}→ WF L/Wk→H1 (F,µp∞)→ v∈Sp(k) H1 (Fv,µ p∞)→{0}        {0}{0}{0}, o`uF:= Fr2+1. D’o`uler´esultat. 2) Montrons le th´eor`eme. WLρkest divisible. On a donc la suite exacte {0}−→WLρk[p]−→ WLρk ×p −→ WLρk−→ { 0}, 218 A. Lannuzel ce qui implique par cohomologie H1(Fρk,W Lρk)H1(Fρk,W Lρk). Donc H1(Fρk,W Lρk) est divisible. La comparaison du th´eor`eme pr´ec´edent avec le Th´eor`eme 3.5 donne imm´ediatement le r´esultat. R´ef´erences [Br] A. Brumer, Pseudocompact algebras, profinite groups and class formations, J. Algebra 4(1966), 442–470. [GJ] G. Gras et J.-F. Jaulent, Sur les corps de nombres r´eguliers, Math. Z. 202(3) (1989), 343–365. [GW] K. W. Gruenberg et A. Weiss, Galois invariants for units, Proc. London Math. Soc. (3) 70(2) (1995), 264–284. [Ha] K. Haberland,“Galois cohomology of algebraic number fields”, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978. [I] K. Iwasawa,OnZl-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. (2) 98 (1973), 246–326. [J] U. Jannsen, Iwasawa modules up to isomorphism, in: “Algebraic number theory”, Adv. Stud. Pure Math. 17, Academic Press, Boston, MA, 1989, pp. 171–207. [JW] U. Jannsen et K. Wingberg, Die p-vervollst¨andigung der multiplikativen gruppe einer p-erweiterung eines irregul¨aren p-adischen zahlk¨orpers, J. Reine angew. Math. 307/308 (1979), 399–410. [LN] A. Lannuzel et T. Nguyen Quang Do, Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres, Manuscripta Math. 102(2) (2000), 187–209. [MN] A. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do, Sur l’arithm´etique des corps de nombres p-rationnels, in: “S´eminaire de Th´eorie des Nombres” (Paris 1987–88), Progr. Math. 81, Birkh¨auser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 155–200. [NSW] J. Neukirch, A. Schmidt et K. Wingberg,“Cohomology of number fields”, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Springer-Verlag, Berlin, 2000. [N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la structure galoisienne des corps locaux et la th´eorie d’Iwasawa, Compositio Math. 46(1) (1982), 85–119. [N2] T. Nguyen Quang Do, Formations de classes et modules d’Iwasawa, in: “Number theory” (Noordwijkerhout, 1983), Lecture Notes in Math. 1068, Springer, Berlin, 1984, pp. 167–185. Rang d’une Extension Pro-p-Libre 219 [N3] T. Nguyen Quang Do, Sur la Zp-torsion de certains modules galoisiens, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 36(2) (1986), 27–46. [N4] T. Nguyen Quang Do, Sur la structure Galoisienne des corps locaux et la th´eorie d’Iwasawa. II, J. Reine angew. Math. 333 (1982), 133–143. [N5] T. Nguyen Quang Do, Sur la cohomologie de certains modules galoisiens p-ramifi´es, in: “Th´eorie des nombres” (Quebec, PQ, 1987), de Gruyter, Berlin, 1989, pp. 740–754. [W1] K. Wingberg, On Galois groups of p-closed algebraic number fields with restricted ramification, J. Reine angew. Math. 400 (1989), 185–202. [W2] K. Wingberg, On Galois groups of p-closed algebraic number fields with restricted ramification. II, J. Reine angew. Math. 416 (1991), 187–194. [W3] K. Wingberg, Galois groups of local and global type, J. Reine angew. Math. 517 (1999), 223–239. [Y1] M. Yamagishi, A note on free pro-p-extensions of algebraic number fields, J. Th´eor. Nombres Bordeaux 5(1) (1993), 165–178. [Y2] M. Yamagishi, A note on free pro-p-extensions of algebraic number fields. II, Manuscripta Math. 91(2) (1996), 231–233. Laboratoire de Math´ematiques (CNRS) Universit´e de Franche-Comt´e (Besan¸con) 25030 Besan¸con France E-mail address:[email protected] Primera versi´o rebuda el 13 de juny de 2001, darrera versi´o rebuda el 5 de desembre de 2001.