Convexité et equations de Cauchy-Riemann avec estimations Lp

Publicacions Matem`atiques, Vol. 44 (2000), 309–323 CONVEXIT´ E ET EQUATIONS DE CAUCHY-RIEMANN AVEC ESTIMATIONS Lp Corinne Jouenne Abstract We obtain a solution of the equation ∂u =fas an integral supported only on the bounded convex domain Dof Cn, without finite type assumption. We show that uis in Lp (0,q−1)(D)if f∈Lp (0,q)(D) and ∂ρ∧f (−ρ)1−ε∈Lp (0,q+1)(D) for some εdepending on pand q,0<ε≤1. Introduction Consid´erons dans Cn,n≥2, un domaine Dconvexe, born´e, de fronti`ere ∂D de classe C3et de fonction d´efinissante ρ,v´erifiant dρ =0 sur ∂D. Nous nous int´eressons `alar´esolution de l’´equation de CauchyRiemann dans un tel domaine, sans hypoth`ese suppl´ementaire de type fini. Parmi les r´esultats connus sur ce sujet, on peut citer les travaux de Chaumat et Chollet [C.C] qui construisent des noyaux int´egraux explicites pour r´esoudre l’´equation ∂u =fsur des convexes compacts K de Cn,A-normalis´es (i.e. inclus dans la boule unit´edeCnet contenant une boule ferm´ee de rayon A,A>0). Lorsque la donn´ee fest une (0,q)-forme ∂-ferm´ee et h¨olderienne sur K, ils obtiennent une solution uv´erifiant uCk,α(K)≤MfCk+n−q,α(K),o`uMest une constante d´ependant de k,n,Aet α. Dans D⊂C2, convexe `a fronti`ere C∞, Range [R1] construit un op´erateur int´egral T:C(0,1)(D)→C(D) solution pour ∂,v´erifiant (i) |Tf|Λα(D)≤Cα|f|Λα(D)pour toute ftelle que ∂f = 0 et pour tout α>0et (ii) TfBMO(D)≤CfL∞. 1991 Mathematics Subject Classification. 32F20, 32F15, 32A25. Key words. ∂-equation, convex domain. 310 C. Jouenne D’autre part, Polking [P]r´esout dans les convexes born´es Dde Cnde fonction d´efinissante ρde classe C∞,l’´equation ∂u =favec l’estimation |ρ|n−q−1−suLp(D)≤Cp[|ρ|1−sfLp(D)+|ρ|−s∂ρ ∧fLp(D)] pour 1 ≤q≤n−1, 1 <p<+∞et 0 ≤s≤n−q−1. En particulier, pour avoir une solution udans Lp(D), il faut choisir s=n−q−1, donc prendre une donn´ee ftelle que f (−ρ)n−q−2et f∧∂ρ (−ρ)n−q−1soient `a coefficients dans Lp(D). Ce r´esultat donne Lp→Lppour q=n−1, mais la perte grandit avec n−q. Nous nous sommes attach´es `aam´eliorer ce dernier r´esultat. Nous r´esolvons l’´equation ∂u =fsous forme d’int´egrale ne portant que sur le domaine Dd´efini au d´ebut de cette introduction. Pour une donn´ee satisfaisant une estimation Lpmais avec la contrainte d’une meilleure r´egularit´e pour la composante tangentielle, nous obtenons une solution v´erifiant une estimation Lp,1<p≤∞. 1. Notations et ´enonc´eduth´eor`eme Rappelons une construction de l’op´erateur solution de Henkin pour l’´equation de Cauchy-Riemann, voir par exemple le livre de Range [R2]. Nous consid´erons un domaine D={z∈Cn/ρ(z)<0},o`u la fonction d´efinissante ρest convexe, C3et v´erifie dρ = 0 sur ∂D. Nous notons Φ(ζ,z)=∂ρ(ζ),ζ −zla fonction support standard pour les domaines convexes. Comme Φ(ζ,z)= 0, pour ζ∈∂D et z∈D, nous pouvons d´efinir S(ζ,z)= ∂ρ(ζ) Φ(ζ,z). L’application s:∂D ×D→Cn, dont les composantes sont les coefficients de cette C1 (1,0)-forme, est une section du fibr´e de Cauchy-Leray au-dessus de ∂D ×Dqui v´erifie s(ζ,z),ζ−z=1. Pour β=ζ−z2,B=∂β βest la forme g´en´eratrice pour le noyau de Bochner-Martinelli-Koppelman, not´e K. D´efinissons aussi:  S(ζ, λ, z)=λS(ζ,z)+(1−λ)B(ζ,z) sur ∂D × [0,1]×D, puis la forme de Cauchy-Fantappi´e: Ω( S)= 1 (2iπ)n S∧(∂ζ,z  S+ dλ S)n−1. Pour un noyau L(ζ, λ, z)ouL(ζ,z), nous noterons Lqla composante de bidegr´e(0,q)enz. Rappelons que la solution de Henkin de l’´equation ∂u =f, pour f une (0,q)-forme ∂-ferm´ee dans D, est donn´ee pour 1 ≤q≤n−1 par l’op´erateur Hq:C1 (0,q)(D)−→ C 1 (0,q−1)(D), o`uHqest d´efini par Hqf:= ∂D×[0,1] f∧Ωq−1( S)−Df∧Kq−1. Convexit´ e et equations CR avec estimations Lp311 Dans la premi`ere int´egrale, nous int´egrons en λpuis nous appliquons le th´eor`eme de Stokes apr`es une modification du noyau que nous pr´eciserons dans la d´emonstration du th´eor`eme. Ceci nous permet d’obtenir un op´erateur Tqne faisant intervenir que des int´egrales sur D. Nous avons toutefois toujours: Tqf=Hqfet donc ∂(Tqf)=f, pour toute f∈C 1 (0,q)(D),f∂-ferm´ee. Pr´ecisons quelques notations que nous emploierons au cours des calculs: 1. ≃signifiera que l’´egalit´e est vraie “`a un coefficient multiplicatif pr`es”. 2. sera utilis´e pour indiquer que le terme de gauche d’une in´egalit´e est major´e`a une constante pr`es par celui de droite. Avec les notations pr´ec´edentes, nous avons le Th´eor`eme. Pour l’op´erateur Tq,d´efini ci-dessus, 1≤q≤n−1, nous avons: Si f∈C 1 (0,q)(D)et ∂f =0, alors ∂(Tqf)=fsur D. Pour 1≤q≤n−2, si de plus fet ∂ρ∧f (−ρ)1−εpour un εdonn´e, 0<ε≤1−1 p−θ n−q−1 p−θ o`uθ>0est arbitrairement petit, sont `a coefficients dans Lp(D), 1<p≤+∞, alors Tqfest `a coefficients dans Lp(D). Pour q=n−1, nous avons Tqf`a coefficients dans Lp (D)(resp. L∞ (D)) si fet ∂ρ ∧f(resp. fet ∂ρ∧f (−ρ)1−ε,0<ε<1) sont `a coefficients dans Lp(D),1<p<∞(resp. L∞(D)). Remarques. 1) L’op´erateur Tqne d´epend pas de ε. 2) Pour q=n−1et1<p<∞,ler´esultat vient du fait que l’on peut prendre ε= 1 dans tous les calculs. 3) La m´ethode que nous utilisons est responsable du fait que la borne pour ε, donc le r´esultat, d´epend de p, ce qui n’´etait pas le cas pour Chaumat et Chollet [C.C] et Polking [P]. C’est aussi cette raison technique qui explique que le r´esultat est meilleur lorsque p→+∞que lorsque p→1. Ceci ´etait a priori surprenant puisque l’on assiste en g´en´eral au ph´enom`ene contraire, comme dans les travaux de Fornæss et Sibony [F.S] qui obtiennent pour le ∂,si Ω⊂Cet 1 <p≤2, des estim´ees Lp`a poids e−ϕ, avec ϕsousharmonique; mais qui, pour p>2, construisent une fonction ϕ 312 C. Jouenne sous-harmonique dans le disque unit´e ∆ telle que, si p>2, l’image de l’op´erateur ∂:Lp(∆,e −ϕ)→Lp(∆,e −ϕ) n’est jamais ferm´ee. Ce th´eor`eme am´eliore pour n−q≥2ler´esultat de Polking [P] rappel´e dans l’introduction. 2. D´emonstration du th´eor`eme Nous commen¸cons avec l’op´erateur de Henkin rappel´e dans le paragraphe 1: Hqf:= ∂D×[0,1] f∧Ωq−1( S)−D f∧Kq−1=Jf +J0f. J0fest une int´egrale du type Bochner-Martinelli, donc clairement `a coefficients dans Lp(D) pour f`a coefficients dans Lp(D). Nous nous int´eressons donc uniquement au terme Jf =∂D×[0,1] f∧ Ωq−1( S) et nous commen¸cons par int´egrer en λ. En notant I=[0,1], nous avons: Jf =∂D×I f∧Ωq−1( S)≃∂D×I f∧ S∧(∂ζ S+dλ S)n−q∧(∂z S)q−1 ≃∂D×I f∧λ∂ρ Φ+(1−λ)B∧∂ζλ∂ρ Φ+(1−λ)Bn−q−1 ∧∂ρ Φ−B∧dλ ∧∂z[(1 −λ)B]q−1car ∂z∂ρ(ζ) Φ(ζ,z)=0 ≃∂D×I f∧B∧∂ρ Φ∧∂ζλ∂ρ Φ+(1−λ)Bn−q−1 ∧dλ ∧(1 −λ)q−1(∂zB)q−1 ≃ n−q−1  k=0 Ck∂D×I f∧B∧∂ρ Φ∧λk(1 −λ)n−q−1−k∂∂ρ Φ−∂Φ∧∂ρ Φ2k ∧(∂ζB)n−q−1−k∧dλ ∧(1 −λ)q−1(∂zB)q−1 ≃ n−q−1  k=0 C k∂D f∧B∧∂ρ Φ∧∂∂ρ Φk ∧(∂ζB)n−q−1−k∧(∂zB)q−1. Convexit´ e et equations CR avec estimations Lp313 Apr`es cette int´egration en λ, nous obtenons une somme de termes du type: ∂D (ζm1−zm1) ζ−z2(n−1−k)·Φ(ζ,z)k+1 ∂ρ ∂ζm2 (ζ)f(ζ)∧αM,k(ζ,z)∧ω(ζ), o`uM=(m1,... ,m n), mi∈{1,... ,n},mi=mjsi i=j,αM,k(ζ,z) est une forme de bidegr´e(0,q−1) en zet (0,n−q−1) en ζ,`a coefficients C1, 0≤k≤n−1, ω(ζ)=dζ1∧···∧dζn. Nous noterons pour ζ∈D,z∈D: ˜ Φγ,ε(ζ,z):=Φ(ζ,z)−2ρ(ζ)+[−ρ(ζ)+γ]εζ−z2,o`uγ>0, ˜ Φε(ζ,z) := lim γ→0 ˜ Φγ,ε(ζ,z)etτ(ζ,z):=ζ−z2+ρ(ζ)ρ(z). Remarquons que, pour ζ∈∂D, nous avons: ˜ Φε(ζ,z)=Φ(ζ,z)etτ(ζ,z)=ζ−z2. Dans la suite, nous aurons besoin des minorations suivantes: |Re(˜ Φε(ζ,z))|≥C1(−ρ(ζ)−ρ(z)+(−ρ(ζ))εζ−z2) et τ(ζ,z)≥C2(ζ−z2+ρ(ζ)2+ρ(z)2), o`uC1et C2sont deux constantes positives. La premi`ere de ces minorations vient de la d´efinition de Φ et du fait que ρest convexe, la seconde est imm´ediate, puisque |ρ(ζ)−ρ(z)|ζ−z. Nous notons Jγ,εf(resp. Jεf) l’int´egrale obtenue `a partir de Jf en rempla¸cant ζ−z2par τ(ζ,z), dans le d´enominateur de B, et Φ par ˜ Φγ,ε (resp. Φ par ˜ Φε). Apr`es l’int´egration en λ, nous appliquons le th´eor`eme de Stokes `a chacune des int´egrales qui composent Jγ,εf, en remarquant qu’il n’intervient que des d´erivations en ∂, puisque la forme diff´erentielle `a int´egrer est compl`ete en dζ, et en tenant compte du fait que fest ∂-ferm´ee. Nous faisons alors tendre γvers 0. (Jγ,εftend vers Jεflorsque γtend vers 0 par un argument de convergence domin´ee, en utilisant les minorations donn´ees ci-dessus.) 314 C. Jouenne Nous devons maintenant estimer des termes des types suivants: A1(k)=D |f(ζ)| |˜ Φε|k+1τ(ζ,z)n−1−kdλ(ζ) A2(k)=D |f(ζ)|ζ−z2 |˜ Φε|k+2τ(ζ,z)n−1−kdλ(ζ) A3(k)=D |f(ζ)∧∂ρ(ζ)|ζ−z3 (−ρ(ζ))1−ε|˜ Φε|k+2τ(ζ,z)n−1−kdλ(ζ) A4(k)=D |f(ζ)∧∂ρ(ζ)|ζ−z |˜ Φε|k+2τ(ζ,z)n−1−kdλ(ζ) o`u0≤k≤n−q−1, les autres termes obtenus ´etant plus r´eguliers. Pour simplifier les notations, nous omettrons le εen indice dans la suite du texte. Rappelons qu’il suffit de s’assurer des bonnes estimations pour les cas estrˆemes k=0etk=n−q−1, d’apr`es un r´esultat d’analyse r´eelle d´emontr´e dans un article de Krantz [K,Th´eor`eme 4.6, p. 239] de 1976. •Nous utilisons pour cela, lorsque 1 <p<+∞, comme Polking [P], un lemme de type Shur. Rappelons la version de Foreli-Rudin [F.R]: Lemme 1 ([F.R]).Soit µune mesure positive sur un espace mesurable X. Soient Q:X×X→[0,+∞)mesurable, 1<p<+∞,1 p+1 p=1. Supposons qu’il existe une fonction mesurable g:X→(0,+∞)et des constantes aet bpour lesquelles on a les estimations: X Q(x, y)g(y)pdµ(y)≤[ag(x)]p(x∈X) et X Q(x, y)g(x)pdµ(x)≤[bg(y)]p(y∈X). Alors l’´equation (Tf)(x)=XQ(x, y)f(y)dµ(y)d´efinit un op´erateur born´e Tsur Lp(µ), avec T≤ab. Remarque. Ceci n’est pas la version la plus g´en´erale du Lemme de Shur, mais une ´etude calculatoire permet de voir que c’est dans le cas particulier que nous avons rappel´e que l’on obtient les meilleures bornes pour ε. Convexit´ e et equations CR avec estimations Lp315 Nous partageons dans toutes les int´egrales le domaine Den un domaine ˜ Dz={ζ∈D, |˜ Φ(ζ,z)|+ζ−z<θ 0},o`u0<θ 01 et un domaine sur lequel le noyau est int´egrable en ζ, et ce uniform´ement en z. Nous appliquons le lemme pour le terme A1(0) avec Q(ζ,z)= 1 τ(ζ,z)n−1·|˜ Φ(ζ,z)|et g≡1 sur D. Dans toutes les autres int´egrales, nous employons le Lemme 1 avec la fonction gd´efinie sur Dpar g(ζ)= 1 (−ρ(ζ)) 1 pp . Nous ´etudions uniquement l’int´egrale sur ˜ Det introduisons pour plus de clarit´e I(a,b,c,d)=˜ D g(ζ)pζ−za(−ρ(ζ))b τ(ζ,z)c·|˜ Φ(ζ,z)|ddλ(ζ) et L(a,b,c,d)=˜ D g(z)pζ−za(−ρ(ζ))b τ(ζ,z)c·|˜ Φ(ζ,z)|ddλ(z). Nous appliquons alors le Lemme 1 avec Q(ζ,z)= 1 τ(ζ,z)q·|˜ Φ(ζ,z)|n−qpour le terme A1(n−q−1), ce qui revient `a´etudier les int´egrales I(0,0,q,n−q) et L(0,0,q,n−q)que l’on trouvera dans le Lemme 4, pour 1 ≤q≤n−2. Le cas q=n−1 peut se traiter en prenant g≡1 sur Det on obtient alors les mˆemes int´egrales que pour A1(0). Pour l’int´egrale A2(0), nous avons I(2,0,n−1,2) et L(2,0,n−1,2),int´egrales respectivement contrˆol´ees par I(1,0,n−1,2) et L(1,0,n−1,2) qui sont estim´ees dans le Lemme 5, et pour A2(n−q−1), les int´egrales obtenues I(2,0,q,n−q+1) et L(2,0,q,n−q+1) sont major´ees dans le Lemme 3. Sous l’hypoth`ese que f∧∂ρ (−ρ)1−εest `a coefficients dans Lp(D), les termes A3(0) et A3(n−q−1) sont plus r´eguliers que ceux obtenus pour A2(0) et A2(n−q−1). Enfin, pour A4(0), nous ´etudions les int´egrales I(1,0,n−1,2) et L(1,0,n−1,2) dans le Lemme 5 (apr`es avoir remarqu´e que I(1,1−ε,n−1,2)  I(1,0,n−1,2) et L(1,1−ε,n−1,2) L(1,0,n−1,2)). Le terme A4(n−q−1) se traite de fa¸con similaire. Il apparaˆıt au cours des calculs que, pour 1 <p<∞,εdoit ˆetre choisi tel que 0<ε≤1−1 p−θ n−q−1 p−θ, o`uθ>0 est arbitrairement petit. 316 C. Jouenne Remarquons que εd´epend de pet q. Pour toutes les estimations, le r´esultat d´ecoule du Lemme 1, avec le changement de variables (t1,t 2,... ,t 2n), o`u nous noterons t=(t3,... ,t 2n)etavect1=−ρ(ζ) (resp. −ρ(z)) et t2= Im Φ dans les int´egrales en ζ(resp. en z). Ce changement de variables est valide grˆace `a la convexit´edeD, comme le montre le Lemme 2 dˆu`a Polking [P]. Lemme 2 ([P]).La fonction Φ:D×D→Ca les propri´et´es suivantes: 1) Φ ∈C ∞(D×D)et Φ(ζ,.)∈O(D)pour tout ζ∈D. 2) 2 Re Φ(ζ,z)≥−ρ(ζ)−ρ(z)pour tous ζ,z ∈D. 3) Supposons que Φ(ζ0,z 0)=0,(ζ0,z 0)∈D×D. Alors ζ0,z 0∈∂D et il existe des champs de vecteurs Xζen ζet Yzen ztangents `a ∂D en ζ0et z0respectivement tels que (XζIm Φ)(ζ0,z 0)=0et (YzIm Φ)(ζ0,z 0)=0. La propri´et´e 3) de ce lemme vient du fait que Φ est une fonction support pour Det utilise la convexit´e du domaine. Ceci nous permet de prendre ρet Im Φ comme variables r´eelles ind´ependantes pr`es des points o`u Φ s’annule. •Traitons maintenant le cas p=+∞. Nous adapterons la notation K(a,b,c,d)=K(a,b,c,d)(z)=˜ D ζ−za(−ρ(ζ))b τ(ζ,z)c·|˜ Φ(ζ,z)|ddλ(ζ),o`u˜ D=˜ Dz. Consid´erons d’abord les termes A1et A2, avec la condition que fest `a coefficients dans L∞(D). Pour A1(0) ∀z∈D, ˜ D |f(ζ)|dλ(ζ) τ(ζ,z)n−1·|˜ Φ(ζ,z)|f∞·K(0,0,n−1,1) f∞. De mˆeme, nous avons pour A1(n−q−1): ∀z∈D, ˜ D |f(ζ)|dλ(ζ) τ(ζ,z)q·|˜ Φ(ζ,z)|n−qf∞·K(0,0,q,n−q)f∞, d’apr`es le Lemme 7 pour 1 ≤q≤n−2etdefa¸con claire pour q=n−1. Pour A2(0) ˜ D |f(ζ)|ζ−z2dλ(ζ) τ(ζ,z)n−1·|˜ Φ(ζ,z)|2f∞·K(2,0,n−1,2). Convexit´ e et equations CR avec estimations Lp317 Et pour A2(n−q−1) ˜ D |f(ζ)|ζ−z2dλ(ζ) τ(ζ,z)q·|˜ Φ(ζ,z)|n−q+1 f∞·K(2,0,q,n−q+1). Les deux int´egrales des membres de droite sont major´ees dans le Lemme 6, en choisissant 0 <ε< 1 n−q. Remarque. En particulier pour q=n−1, ceci nous donne 0 <ε<1 et c’est la raison pour laquelle, mˆeme dans ce cas, nous n’obtenons pas la r´esolution de l’´equation ∂u =favec une solution dans L∞(D), pour une donn´ee dans L∞(D). Avec la condition que f∧∂ρ (−ρ)1−εest `a coefficients dans L∞(D), on ´etudierait de mˆeme les termes A3et A4. 3. Lemmes techniques Nous donnons dans ce paragraphe les d´etails techniques qui justifient les r´esultats pr´ec´edents. Nous noterons: η=1 p,γ=1 p,avec1 p+1 p=1. Donnons maintenant les estimations des int´egrales qui apparaissent dans la d´emonstration pour le cas Lp,1<p<∞. Nous ´enon¸cons tout d’abord celles pour lesquelles nous obtenons les bornes de εdonn´ees dans le th´eor`eme et qui proviennent du terme A2(n−q−1). Lemme 3. Pour 1≤q≤n−1, il existe C1et C2des constantes positives telles que I(2,0,q,n−q+1) ≤C1 (−ρ(z))ηpour tout z∈D(a) et L(2,0,q,n−q+1) ≤C2 (−ρ(ζ))γpour tout ζ∈D,(b) pour 0<ε< 1−η n−q−ηsi 1≤q≤n−2 et pour 0<ε≤1si q=n−1. D´emonstration: Le cas q=n−1 est une cons´equence du Lemme 5. Nous avons ainsi les bonnes estimations pour tout ε,0<ε≤1. Il nous reste donc `a consid´erer le cas 1 ≤q≤n−2: