Anwendung der von K´arm´an’schen Plattentheorie
und der Hertz ’schen Pressung f¨
ur die
Spannungsanalyse zur Biegung von GaAs-Wafern
im modifizierten Doppelringtest
vorgelegt von
Dipl.-Ing. Frank Duderstadt
aus Halle (Saale)
Von der Fakult¨
at V – Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technische Universit¨
at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Heinz Mertens
Gutachter: Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Wolfgang Dreyer
Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. M¨
uller
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Brocks
wissenschaftliche Aussprache: am 27.11.2003 in Berlin
Berlin 2003
D 83
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 2002 und 2003 im
Anschluss an eine von der Firma Freiberger Compound Materials
(FCM ) an das Weierstraß-Institut f¨
ur Angewandte Analysis und
Stochastik (WIAS) in Auftrag gegebene Spannungsanalyse eines
Waferbiegetests.
Seitens der FCM wurde insbesondere die Ber¨
ucksichtigung des
anisotrop-elastischen Verhaltens des einkristallinen Wafer-Mate-
rials und des im Test auftretenden Kontaktproblems durch die
Theorie der Hertz’schen Pressung gew¨
unscht.
Die Implementation der Finite-Element-Diskretisierung des in
der hier vorliegenden Arbeit beschriebenen 2D-Plattenmodells,
welches die gew¨
unschten Effekte ber¨
ucksichtigt, in die WIAS-
Toolbox pdelib wurde bereits im Fr¨
uhjahr 2001 abgeschlossen.
Dazu habe ich zun¨
achst die WIAS-Toolbox pdelib um die hier
vorgestellten Plattenelemente erg¨
anzt. Anschließend habe ich das
vollst¨
andige Newton-Schema des diskretisierten nichtlinearen
Plattenproblems implementiert, so dass ich die in der Toolbox
pdelib enthaltenen, hoch effizienten, nichtlinearen und linearen
L¨
oser sowie die vorhandenen Gitterverwaltungs-Routinen ver-
wenden konnte.
In dieser Stelle danke ich zu allererst Herrn Priv.-Doz. Dr. Wolf-
gang Dreyer vom WIAS f¨
ur die Betreuung und Begutachtung
der hier vorgelegten Dissertation. Sein großes Interesse am Ge-
lingen dieser Arbeit war stets Motivation f¨
ur mich. Insbesondere
danke ich ihm f¨
ur die zahlreichen, kritischen und oft turbulenten
Diskussionen, die weit ¨
uber das hier vorgestellte Thema hinaus-
gingen. Dies resultiert vor allem daraus, dass er und ich noch wei-
tere Projekte in Kooperation mit FCM bearbeiten, die sich mit
verschiedenen thermo-dynamischen Aspekten bei der Gallium-
Arsenid-Herstellung befassen.
Mein besonderer Dank gilt aber auch den Professoren Wolfgang
H. M¨
uller und Wolfgang Brocks f¨
ur die ¨
Ubernahme der Begut-
achtung dieser Dissertation und f¨
ur ihre z¨
ugige Anfertigung der
Berichte zur vorliegenden Arbeit.
Die Herren Dr. Stefan Eichler und Herrn Dr. Manfred Jurisch
von FCM haben mir viele fruchtbare Hinweise gegeben. Ihr gro-
ßes Interesse, insbesondere auch an den mehr theoretischen As-
pekten dieser Arbeit, haben mir sehr geholfen. Wesentliche De-
tails der hier vorgestellten wissenschaftlichen Untersuchungen
haben ihren Ursprung in den ihnen formulierten industriellen
Fragestellungen.
i
Ich danke Herrn Dr. J¨
urgen Fuhrmann und Herrn Dr. Klaus
G¨
artner vom WIAS f¨
ur die kritischen Diskussionen zu numeri-
schen Fragestellungen und die jederzeit prompte Administration
der Toolbox pdelib.
Mein Dank gilt auch Herrn Dipl.-Math. Michael Herrmann, der
mir insbesondere bei mathematischen Fragestellungen ein stets
geduldiger Diskussionspartner war.
Ferner ich den Kollegen Prof. Krzysztof Wilma´nski, Prof. Diet-
mar H¨
omberg und Priv.-Doz. Dr. Wolf Weiss f¨
ur ihr Interesse
und f¨
ur die hilfreichen Kommentare zu verschiedenen Aspekten
der vorliegenden Arbeit.
Ich danke aber auch meinem Freund Prof. Thomas B¨
ohlke f¨
ur die
vielen kritischen und nicht nur f¨
ur diese Dissertation hilfreichen
Diskussionen w¨
ahrend der Entstehungszeit dieser Arbeit.
Mein allergr¨
oßter Dank geb¨
uhrt jedoch meiner Frau Beate, die
mich w¨
ahrend der gesamten Zeit mit viel Geduld, Verst¨
andnis
und Hilfsbereitschaft unterst¨
utzt hat. Ihr in mich gesetztes Ver-
trauen und unsere M¨
adchen Tilly und Pia waren mir stets An-
sporn am Zustandekommen dieser Arbeit.
Berlin, 04. Dezember 2003 Frank Duderstadt
ii
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ii
1 Einf¨
uhrung 1
1.1 Problemstellung und Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Kurzbeschreibung der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 ¨
Ubersicht ............................. 9
2 Bezeichnungen und Symbole 11
3 Modellierung des modifizierten Doppelring-Biegeversuchs 18
3.1 Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Modellannahmen......................... 19
3.3 Material- und Geometriedaten, Last- und Durchbiegebereich 20
3.4 Wichtige Schlussfolgerungen aus der konkreten Datenlage . . 22
4 Formulierung als nichtlineares 3D-Randwertproblem 25
4.1 Tensornotation im R3...................... 25
4.2 Exkurs ¨
uber Elastizit¨
atstheorie ................. 26
4.2.1 Lagebeschreibung, Verschiebungen und Verzerrungen . 26
4.2.2 Oberfl¨
achenelemente und Fl¨
achennormalen . . . . . . 32
4.2.3 Spannungen........................ 33
4.2.4 Mechanisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.5 Das Saint-Venant–Kirchhoff ’sche Materialgesetz . . . 35
4.3 Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Festlegung des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . 37
4.3.2 Zum Prinzip von Saint-Venant ............. 39
4.3.3 Die Verh¨
altnisse unter dem Kugelstempel . . . . . . . 40
4.3.4 Die Verh¨
altnisse am St¨
utzring.............. 44
4.3.5 Lastfreie R¨
ander und Starrk¨
orperfesseln . . . . . . . . 46
4.3.6 ¨
Ubergang zu normierten Gr¨
oßen ............ 48
5 D¨
unne Platten unter moderater Durchbiegung — ein 2D-
Modell nach von K´arm´an 49
5.1 Tensornotation im R2...................... 49
iii
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