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[en] (orig)
Interferenz zwischen breiten Resonanzzust¨
anden und
direkten Reaktionsmechanismen bei Kernreaktionen
unterhalb der Coulomb-Schwelle
vorgelegt von
Diplom-Physiker
G¨
otz Ruprecht
aus Berlin
Von der Fakult¨
at II - Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universit¨
at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
- Dr. rer. nat. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. C. Thomsen
Berichter: Prof. Dr. P. Heide
Berichter: Prof. Dr. G. von Oppen
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 28.1.2002
Berlin, 2002
D 83
F¨
ur meine lieben Eltern,
. Walheid und Gert Ruprecht.
Kurzfassung
Eine breite, isolierte Resonanz in einer Kernreaktion kann unter bestimmten Umst¨
anden
zur Interferenz mit dem direkten, nur schwach energieabh¨
angigen Reaktionsanteil f¨
uhren.
Dieser selten auftretende Fall kann eine starke ¨
Anderung des differentiellen Wirkungs-
querschnitts zur Folge haben. F¨
ur die Berechnung derartiger Reaktionen m¨
ussen die zwei
wichtigsten Modelle, das der direkten Reaktionen (hier im Rahmen der N¨
aherung durch
gest¨
orte Wellen, DWBA) und das der Resonanzen (hier beschrieben durch die R-Matrix-
Parametrisierung) miteinander kombiniert werden.
Vorhergehende Messungen haben zu der Vermutung gef¨
uhrt, daß in der Reaktion
6Li(d,α)4He ein solcher Fall vorliegen k¨
onnte. Zur Vervollst¨
andigung der Meßdaten wur-
de die Reaktion 6Li(d,α)4He im Bereich um 100 keV Einschußenergie vermessen, wo
bereits von anderen Gruppen eine ungew¨
ohnliche Energieabh¨
angigkeit der Winkelvertei-
lung beobachtet worden ist. Bisherige Analysen waren nicht in der Lage, die Winkel-
verteilung dieser Reaktion im niederenergetischen Bereich (bis 2 MeV Einschußenergie)
auch nur ann¨
ahernd theoretisch wiederzugeben.
Neben den Messungen wurde in dieser Arbeit eine genaue, umfangreiche Analyse der
Reaktion 6Li(d,α)4He durchgef¨
uhrt. Dazu wurden zun¨
achst die beiden oben erw¨
ahnten
Reaktionsmodelle in einheitlicher Weise dargestellt und es wurde eine Methode gezeigt,
beide Modelle miteinander zu verkn¨
upfen. F¨
ur die konkrete Berechnung wurde ein Pro-
gramm entwickelt, das in allgemeiner Form eine Anregungskurve f¨
ur beliebige Reaktio-
nen berechnet. Es baut auf einem ¨
alteren Code zur DWBA-Analyse (DWUCK4) auf und
erg¨
anzt diesen um eine koh¨
arente Beimischung eines oder mehrerer Resonanzterme. Die
besondere Schwierigkeit derartiger Berechnungen besteht in der korrekten Beschreibung
der Phasenlage der ¨
Ubergangsmatrizen, die sonst bei Berechnungen nach nur einem Re-
aktionsmodell naturgem¨
aß keine Rolle spielt.
Die Anwendung der numerischen Berechnungen auf die Reaktion 6Li(d,α)4He f¨
uhrt zu
einer sehr guten Wiedergabe der Winkelverteilung ¨
uber einen weiten Energiebereich.
Durch die Ber¨
ucksichtigung des Interferenzeffekts sind die freien Parameter, der Null-
reichweitenparameter D2
0und das Produkt der reduzierten Partialbreiten der Resonanz
γαγβ, stark eingegrenzt worden.
Im Rahmen dieses Reaktionsmodells ist eine bessere Interpolation der Daten in den astro-
physikalisch relevanten Energiebereich m¨
oglich. Angewendet auf andere Reaktionen, die
eine gr¨
oßere Bedeutung beim Fusionsprozeß in Sternen haben und die schwer zu vermes-
sen sind, k¨
onnte dies zu einer Korrektur der Reaktionsraten f¨
uhren, sofern dort auch eine
Interferenz vorliegt. Es werden Kriterien f¨
ur das Auftreten von Interferenz diskutiert.
Abstract
A broad, isolated resonance in a nuclear reaction can lead under certain circumstances
to interference with the direct, only weakly energy dependent reaction contribution. This
rarely occurring case may result in a strong modification of the differential cross section.
For the calculation of such reactions the two most important models, that of the direct
reactions (here in the frame of the Distorted Wave Born Approximation, DWBA) and that
of the resonances (described here by R-matrix parametrization) have to be combined.
Preceding measurements led to the assumption that in the reaction 6Li(d,α)4He such a ca-
se might be present. For the completion of the experimental data the reaction 6Li(d,α)4He
was measured in a projectile energy range around 100 keV where an unusual energy de-
pendence of the angular distribution was already observed by other groups. Past analyses
were not nearly able to reproduce the angular distribution of this reaction within the low
energy range (up to 2 MeV projectile energy).
Apart from the measurements a precise, extensive analysis of the reaction 6Li(d,α)4He
was performed in this work. At first the two reaction models mentioned above were out-
lined in a uniform way and a method was presented to link both models together. For the
concretecalculationaprogramwasdevelopedwhichcalculatesanexcitation curveforany
reaction in a general form. It is based on an older code for DWBA analysis (DWUCK4)
and completes it with a coherent admixture of resonance terms. The special difficulty of
such calculations consists in the correct phase of the transition matrices which otherwise
does not play a role in calculations performed according to only one reaction model.
The application of the numerical calculations to the reaction 6Li(d,α)4He leads to a very
good description of the angular distribution for a large energy region. The free parameters,
the zero-range parameter D2
0and the product of the reduced partial widths of the resonance
γαγβ, were strongly limited by taking into account the interference effect.
In the framework of this reaction model a better interpolation of the data into theastrophy-
sically relevant energy region is possible. Applied to other reactions which are of more
importance for the fusion processes in stars and which can be measured only with great
difficulty, this could lead to a correction of the reaction rates, provided an interference is
present. Criteria for interference are discussed.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Astrophysikalische Bedeutung 3
3 Kernreaktionsmechanismen 5
3.1 Schnelle und zeitverz¨
ogerteReaktionen ......................... 5
3.1.1 IsolierteResonanz ................................ 6
3.1.2 Breit-Wigner-Form................................ 7
3.2 DasOptischePotential .................................. 8
3.3 Parametrisierung der Partialbreiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 N¨
aherung f¨
ur kleine Einschußenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 10
4.1 Definitionen........................................ 11
4.1.1 Kinematische Gr¨
oßen............................... 12
4.1.2 Zustandsvektoren und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.3 S-undT-Matrix.................................. 13
4.1.4 Wirkungsquerschnitt............................... 14
4.2 DWBA-Methode ..................................... 15
4.2.1 Cluster-N¨
aherung................................. 16
4.2.2 Transfergr¨
oßen.................................. 17
4.2.3 Partialwellenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.4 Zerlegung der Streuamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.5 Formfaktor, Isospin und Spektroskopische Amplitude . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.6 Nullreichweitenn¨
aherung............................. 21
4.2.7 Identische Nukleonen – Antisymmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.8 Identische Cluster – Symmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.9 Berechnung der radialen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Umordnung der Matrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Eigenschaften der Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Interferenz......................................... 27
5 Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen 28
5.1 Ionenquelle ........................................ 28
5.2 Beschleuniger....................................... 29
5.3 Strahlf¨
uhrung....................................... 30
5.4 Targetkammer....................................... 30
5.5 Targethalter........................................ 31
5.6 DasTarget......................................... 31
5.7 Detektoren und Meßelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Datenerfassung ...................................... 32
6 Auswertungsverfahren 34
6.1 Eingangskanal....................................... 35
6.1.1 Energieverlust und Yieldverh¨
altnisse....................... 35
6.1.2 EffektiveEnergie................................. 36
6.2 Ausgangskanal ...................................... 36
6.2.1 Winkel- und Raumwinkelbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.2 Ejektilenergie und Straggling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Automatisierung ..................................... 37
7 Numerische Berechnungen 38
7.1 Das Programm DWUCK4 ................................ 38
7.2 DasProgrammDiWaN.................................. 39
7.3 Eingabedaten ....................................... 40
7.3.1 Optische Potentiale f¨
ur 6Li+d-Reaktionen.................... 40
7.3.2 Spektroskopische Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3.3 Nullreichweitenparameter D2
0.......................... 42
7.3.4 Resonanzparameter................................ 43
7.4 Einige Beispiele f¨
urResonanzen............................. 43
8 Vergleich und Anpassung der Meßdaten 45
8.1 AuswahlderMeßdaten.................................. 45
8.2 S-Faktor.......................................... 46
8.3 Winkelverteilung ..................................... 47
8.4 Inkoh¨
arenteMischung .................................. 48
8.4.1 S-Faktor...................................... 48
8.4.2 Winkelverteilung................................. 48
8.5 Koh¨
arenteMischung ................................... 49
8.6 Andere Reaktionskan¨
ale ................................. 50
9 Zusammenfassung 52
A Einiges ¨
uber S- und T-Matrizen 54
A.1 Definitionen nach Fr¨
obrich/Lipperheide [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.2 Definitionen nach Satchler [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B Ionenquellen-Steuerung 56
C Kommunikationsprotokoll 57
C.1 Protokoll zur Meßdatenerfassung und ADC-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C.1.1 Starten und Beenden der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C.1.2 Parametersetzen ................................. 57
C.1.3 Parameterabfragen................................ 58
C.1.4 Meßdatenholen.................................. 58
C.1.5 SonstigeKommandos .............................. 58
D Die Potentialdatenbank 59
E Datenbank f¨
ur Spektroskopische Faktoren 60
Literatur 61
1Einleitung
1 Einleitung
Zur theoretischen Beschreibung von Kernreaktionen werden nur in seltenen F¨
allen einheitliche Theori-
en herangezogen. Der Grund liegt zum einen in der Komplexit¨
at eines Vielnukleonensystems, die einen
enormen Rechenaufwand erfordert, zum anderen liegen oft schon mehr oder weniger plausible Annah-
men ¨
uber m¨
ogliche Reaktionsmechanismen, Energieverh¨
altnisse und zeitliche Skalen vor, unter denen
eine bestimmte Reaktion stattfindet. Der Fehler, der durch derartige Vereinfachungen entsteht, ist dann
,,das kleinere ¨
Ubel” verglichen mit dem Aufwand, der f¨
ur eine im Endergebnis nicht viel genauere Be-
rechnung betrieben werden muß. Es kann aber notwendig sein, den Verlauf der Anregungskurve sehr
genau zu kennen. Gerade astrophysikalische Modellrechnungen reagieren sehr empfindlich auf klei-
ne ¨
Anderungen der Wirkungsquerschnitte. W¨
ahrend bei hohen Energien die meisten Reaktionen sehr
genau vermessen sind, wird es bei kleinen Energien immer schwieriger, Anregungskurven mit guter
Statistik zu messen – unterhalb der Coulombschwelle steigt der experimentelle Aufwand enorm an. Bei-
spielsweise hat man lange Zeit vermutet, daß die in der Sonne ablaufende Teilreaktion 3He(3He,2p)4He
mit zum Sonnenneutrinoproblem beitr¨
agt, da sich im schlecht vermessenen Gamow-Peak eine Reso-
nanz befinden k¨
onnte. Erst in einem Untergrundlabor (bei Gran Sasso, Italien) konnten die winzigen
Wirkungsquerschnitte in diesem Energiebereich ausgemessen und damit die Vermutung widerlegt wer-
den [1].
Eine Kenntnis der Wirkungsquerschnitte bei m¨
oglichst kleinen Energien ist also notwendig, aber ex-
perimentell schwierig zu erlangen. Es kommt hinzu, daß bei kleinen Energien der Electron-Screening-
Effekt [2, 3, 4] st¨
arker bemerkbar wird; gerade dieser Effekt ist aber noch nicht so gut verstanden und
der Einfluß st¨
arker als bisher vermutet (s.[5]). Experimentell bestimmt man die St¨
arke des Screenings,
indem man den astrophysikalischen S-Faktor bei etwas h¨
oheren Energien, wo der Effekt noch keine Rol-
le spielt, zu kleinen Energien hin extrapoliert und mit den Meßdaten vergleicht. Diese Extrapolation ist
aber wiederum nur m¨
oglich, wenn das Reaktionsmodell klar ist und keine noch unentdeckten Resonan-
zen vorliegen. Neue, indirekte Methoden, wie die Trojanisches-Pferd-Methode [6] oder die Methode der
asymtotischen Normierung ANC [7], umgehen den Screening-Effekt zwar, sind aber noch mit großen
Unsicherheiten behaftet.
Das Reaktionsmodell spielt also eine wichtige Rolle bei der Bestimmung von Wirkungsquerschnit-
ten im astrophysikalisch relevanten Energiebereich, auch wenn Meßdaten bereits vorliegen. Auch Jahr-
zehnte nach der Entwicklung der bekannten Theorien zur Beschreibung von Kernreaktionen (DWBA,
CCBA, R-Matrix, FKK) und Kernstruktur (Schalenmodell, offene Schalen, BCS) gibt es immer wieder
¨
uberraschende Meßergebnisse, die sich scheinbar nicht durch diese Modelle erkl¨
aren lassen. Bei ge-
nauerer Betrachtung reichen die Modelle aber aus, sofern man sie nur richtig anwendet.
In der Regel wird n¨
amlich nur ein Reaktionsmechanismus zur Analyse verwendet. Beispielsweise
vernachl¨
assigt man in der N¨
ahe einer Resonanz den direkten Anteil oder behandelt ihn nur als kon-
stanten Untergrund. Außerhalb des Resonanzgebietes ist es umgekehrt. Resonanzen werden meistens
im Rahmen des statistischen Modells berechnet, das von einem zuf¨
alligen Vorzeichen der Resonanz-
amplituden ausgeht und bei hoher Zustandsdichte des Compoundkerns anwendbar ist. Die Phase der
Resonanz spielt dann keine Rolle und der Resonanzwirkungsquerschnitt kann zu den ¨
ubrigen Anteilen
einfach addiert werden. Auch bei isolierten Resonanzen spielt die Phasenlage nur selten eine Rolle, da
Resonanz und Untergrund nur selten ¨
ahnlich stark sind.
In dieser Arbeit wird die M¨
oglichkeit diskutiert, Compoundkern- und direkten Reaktionsmecha-
nismus koh¨
arent zu mischen. Voraussetzung daf¨
ur ist, daß sich beide Mechanismen in vergleichbaren
Zeitr¨
aumen abspielen, bzw. daß die auftretenden Resonanzen sehr breit sind. Außerdem muß die St¨
arke
1
1Einleitung
beider Anteile vergleichbar sein. Es wird sich zeigen, daß die dabei auftretenden Interferenzeffekte sehr
stark sein k¨
onnen und in Energiebereichen weit außerhalb der Resonanzbreite noch Wirkung zeigen. Da
diese Situation einer Interferenz beider Anteile nur in speziellen Situationen auftritt, wurde sie zun¨
achst
nur an der Reaktion 6Li(d,α)4He, die eine knapp unterschwellige Resonanz1von 0.5-1 MeV Breite
aufweist, untersucht. Dazu wurde ein Programm geschrieben, das Streuamplituden f¨
ur den direkten An-
teil berechnet und nach Breite, St¨
arke und Energie parametrisierte Resonanzen koh¨
arent addieren kann.
Dieses Programm ist im Prinzip universell auf beliebige Reaktionen anwendbar, funktioniert aber mo-
mentan nur bei Teilchenreaktionen an leichten Kernen (bis 40Ca). Die Berechnung des direkten Anteils
basiert auf dem Quellcode des Programms DWUCK4 ([9, 10]). Es berechnet ¨
uber einen vorgegebenen
Energiebereich nicht nur S-Faktoren, sondern auch Legendre-Entwicklungskoeffizienten als Funktion
der Energie, so daß mit der kompletten experimentellen Winkelverteilung verglichen werden kann.
Quasi als Nebenprodukt l¨
aßt sich mit dieser neuen Methode der Nullreichweitenparameter D2
0f¨
ur
(d,α) bestimmen. Es ist allerdings schwierig, einen universellen Wert f¨
ur D2
0(d+d) anzugeben, da die
Clusterung in jeder Reaktion zu einem anderen Verhalten f¨
uhren kann.
Nicht zuletzt k¨
onnen durch die Interferenzmethode die Optischen Potentiale relativ eng eingegrenzt
werden, da schon geringe ¨
Anderungen zu starken Abweichungen in der Anregungskurve f¨
uhren. Beein-
druckend ist die ¨
Ubereinstimmung mit experimentellen Werten ¨
uber einen Bereich von mehreren MeV.
Gerade in der Winkelverteilung wird man sehen, daß ohne eine Interferenz der gemessene Verlauf des
Anisotropiekoeffizienten gar nicht zu erkl¨
aren ist. Zur Erg¨
anzung wurden eigene Messungen im unter-
sten Energiebereich durchgef¨
uhrt, damit ein vermuteter Vorzeichenwechsel der Winkelverteilung besser
erkannt werden kann. Es hat sich gezeigt, daß auch hier das Interferenzmodell diesen Effekt erkl¨
aren
kann.
In den ersten Kapiteln dieser Arbeit wird gezeigt, wie sich aus fundamentalen ¨
Uberlegungen zu
Kernreaktionen der direkte Anteil und der Compoundanteil nat¨
urlich entwickeln. Dabei wird versucht,
alle theoretischen ¨
Uberlegungen bis hin zur T-Matrix mit einheitlicher Nomenklatur knapp darzustellen
(die Monographien und Lehrb¨
ucher behandeln immer nur Teilaspekte mit unterschiedlichen Darstellun-
gen und Normierungen). Das Hauptproblem dabei ist die richtige relative Phasenlage beider Anteile.
Der anschließende experimentelle Teil beschreibt, wie die recht langwierigen Messungen am 200-kV-
Beschleuniger des IAPF durchgef¨
uhrt wurden. Die konkrete Berechnung von T-Matrizen und Wirkungs-
querschnitten wurde rein numerisch durchgef¨
uhrt. Details dazu werden in Kap. 7 erkl¨
art. Schließlich
werden f¨
ur unterschiedlichen Kan¨
ale, insbesondere aber f¨
ur den α-Kanal, Berechnungen und Meßwerte
verglichen.
1Vermutlich besteht sie sogar auszwei angeregten Zust¨
anden in 8Be, die sich aufgrund der Coulomb-Restwechselwirkung
mischen [8].
2
2Astrophysikalische Bedeutung
2 Astrophysikalische Bedeutung
Nukleosynthese-Netzwerk
Von dieser Gruppe
untersuchte Reaktionen
=
3He
2H
3H
4He
6Li
7Be
9Be
7Li
10Be
13N
17F
p
8B
10C
8Li
9Li
14O
n
12Be
9B
10B
11B
12B
13B
11C
12C
13C
14C
14N
15N
15O
16O
N
Z
(d,p)
(d,n)
(d,α)
(d,p)
(d,n)
(d,n)
(d,p)
(d,p)
(p,α)
(p,α)
(p,γ)
(p,γ)
(p,γ)
Abbildung 1: Nukleosynthese-Netzwerk. Der markierte Bereich kennzeichnet die im Rahmen dieser
Arbeit untersuchten Reaktionen.
Messungen bei kleinen Energien sind nicht nur von kernphysikalischem Interesse, sondern auch gerade
f¨
ur die Astrophysik wichtig. Betrachtet man das Plasma in einem Stern bei einer bestimmten Tempera-
tur, so gibt es wegen der Maxwell-Verteilung mit steigender Energie immer weniger Kerne. Andererseits
scheitern Teilchen mit sehr kleiner Energie an der Coulomb-Barriere. Es gibt somit nur einen schmalen
Energiebereich, den Gamow-Peak, der f¨
ur die Reaktionsraten eine Rolle spielt [11]. F¨
ur 6Li + d und ei-
ner Temperatur von T6= 15 (Sonnentemperatur) liegt der Gamow-Peak bei 18 keV und ist 11 keV breit.
Auch hier sieht man wieder, daß eine gute Extrapolation von hohen zu niedrigen Energien n¨
otig ist,
denn die bei diesen Energien extrem kleinen Wirkungsquerschnitte lassen sich nur schwer vermessen.
In diesem Plasma werden st¨
andig Elemente durch Kernreaktionen ab- und wieder aufgebaut. Es
stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Elemente in bestimmten H¨
aufigkeiten auftreten. Diese
H¨
aufigkeit ist die wesentliche Gr¨
oße, die aus astrophysikalischen Beobachtungen gewonnen werden
kann. Man hat somit eine gute M¨
oglichkeit, die Reaktionsmodelle zu ¨
uberpr¨
ufen.
Abbildung 1 zeigt (in vereinfachter Form) das Nukleosynthese-Netzwerk zusammen mit Reaktio-
nen, die von unserer Arbeitsgruppe untersucht wurden. Der Aufbau von Elementen h¨
oherer Ordnungs-
zahl l¨
auft Schritt f¨
ur Schritt ¨
uber solche Kernreaktionen ab. Es gibt zwei Ereignisse, bei denen Elemente
3
2Astrophysikalische Bedeutung
aufgebaut werden:
•Bei der primordialen Nukleosynthese. In einem schmalen Zeitfenster von 100-1000 Sekunden
nach dem Urknall konnten sich die Elemente niedrigster Ordnungszahlen aufbauen.
•W¨
ahrend der Brennphase von Sternen. Dabei wurden/werden schwerere Elemente gebildet.
Zur primordialen Nukleosynthese ist folgendes zu sagen: Der erste zusammengesetzte Kern ist das
Deuteron. Die Deuteronproduktion via n + p →d + γl¨
auft dabei in Konkurrenz zur Photodissoziation
γ+ d →n + p ab. Erst wenn die Temperatur Tunter T<Tdγ=0,1 MeV (t>tdγ=100 s) abgesun-
ken ist, bleiben Deuteronen dauerhaft ¨
ubrig, und der Aufbau der Elemente kann beginnen. Nach 1000
s schließlich endete die Elemente-Produktion abrupt, da die kinetische Energie unter die Coulomb-
Barriere gesunken war. In dieser Zeitspanne wurden vor allem 3H, 3He und 4He, in kleinen Mengen
auch Masse-7-Elemente ¨
uber 3H(α,γ)7Li und 3He(α,γ)7Be produziert. Masse-6-Elemente treten nur in
verschwindend geringer H¨
aufigkeit auf, so daß die hier diskutierte Reaktion 6Li+d f¨
ur die primordiale
Nukleosynthese praktisch keine Bedeutung hat [11, 12].
In Sternen hingegen werden die ”schweren” Elemente (schwer heißt A>6) aufgebaut. Auch hier
erwartet man eine relativ geringe Produktion von 6Li. Das beobachtete Verh¨
altnis 7Li/6Li betr¨
agt im
Sonnensystem 12. Nimmt man an, daß Lithium im interstellaren Gas produziert wurde, so erwartet man
etwa ein Verh¨
altnis von 1. Es muß also eine weitere 7Li-Quelle geben. Es wird angenommen, daß 7Li
haupts¨
achlich in PopII-Sternen produziert wird [12].
Da 6Li nur zu einem relativ geringen Bruchteil vorhanden ist, ist die Reaktion 6Li(d,α)4He nicht so
bedeutend f¨
ur die Astrophysik. Sie eignet sich aber gut zum Studium der Wechselwirkung von Resonan-
zen und direkten Reaktionsanteilen, da eine sehr breite isolierte Resonanz bei Ed≈0 keV vorliegt. Die
gleiche Resonanz kann auch (mit kleinerer Partialbreite) in den Kan¨
alen 6Li(d,p)7Li und 6Li(d,n)7Be
beobachtet werden. Die astrophysikalische Bedeutung besteht also indirekt darin, daß man die Reak-
tionsprozesse bei kleinen Energien besser versteht und somit bis hinunter zum Gamow-Peak besser
extrapolieren kann. Dadurch lassen sich in Netzwerkrechnungen die Elementeh¨
aufigkeiten besser be-
stimmen.
Das Hauptinteresse der Nuklearen Astrophysik gilt den H¨
aufigkeiten der Elemente – diese H¨
aufig-
keit ist letzlich die Gr¨
oße, die aus einer F¨
ulle von Beobachtungsdaten gewonnen werden kann. Man
kann sie mit Nukleosynthese-Rechnungen vergleichen und somit Modelle ¨
uberpr¨
ufen. Die sicher kos-
mologisch wichtigste Zahl, die aus derartigen Rechnungen abgeleitet werden kann, ist das Verh¨
altnis
der Anzahl der Baryonen NBzu der der Photonen Nγ:η=NB/Nγ. Durch Vergleich mit den Beobach-
tungen l¨
aßt sich dieses Verh¨
altnis stark einschr¨
anken. Man erh¨
alt damit schließlich den baryonischen
Beitrag zur kritischen Dichte ΩN=ρN/ρc, ab der das Universum geschlossen ist. Eine Sch¨
atzung f¨
uhrt
auf einen Wert von weniger als 12% — ein Wert, der immer noch etwa 3 mal so groß wie die durch Pho-
tonen verursachte Dichte ist. Da die meisten anderen astronomischen Beobachtungen darauf hindeuten,
daß das Universum flach ist (Ωtot ≈1), muß der gr¨
oßte Beitrag also von nichtbaryonischer dunkler
Materie herr¨
uhren.
4
3Kernreaktionsmechanismen
3 Kernreaktionsmechanismen
In diesem Kapitel soll der grundlegende Zusammenhang zwischen unterschiedlichen Reaktionstypen
dargestellt werden. Dabei zeigt sich, daß die ¨
Ubergangsamplitude aus einem direkten und einem re-
sonanten Anteil zusammengesetzt ist. Der direkte Anteil kann durch Einf¨
uhrung geeigneter Optischer
Potentiale (s. Gl.(8) und Kap.3.2) gen¨
ahert werden, die zun¨
achst als nichtlokale Operatoren beschrieben
werden m¨
ussen. Das eigentliche Optische Potential, das f¨
ur die Berechnung von direkten Reaktionen be-
nutzt wird, ergibt sich aus dem verallgemeinerten Potential durch Energiemittelung. Dieser Zusammen-
hang wurde 1958 erstmals von H. Feshbach [13, 14] aufgezeigt und soll hier in kurzer Form dargestellt
werden.
3.1 Schnelle und zeitverz¨
ogerte Reaktionen
Im Energieverlauf der Anregungskurve einer be-
A
B
F
E
C
D
P
Q
Abbildung 2: Direkte und Zwischenzustands-
reaktion
liebigen Reaktion erkennt man schmale Resonanzen
im keV-Bereich, ¨
uberlagert von einer sich nur lang-
sam (im MeV-Bereich und gr¨
oßer) ¨
andernden Funkti-
on. Dieser Energieverlauf zeigt, daß man grunds¨
atzlich
zwei Reaktionstypen zu unterscheiden hat, die sich auf
unterschiedlichenZeitskalenabspielen.DieGrenzezwi-
schen beiden Reaktionstypen ist nicht genau festgelegt
und kann je nach Bedarf angepaßt werden. Die schnel-
le Reaktionsamplitude wird dabei mit der Vorstellung
in Verbindung gebracht, daß der Eingangskanal direkt ohne Zwischenstufen an den Ausgangskanal kop-
pelt. Bei der langsamen Reaktionsamplitude nimmt man dagegen an, daß sich mindestens ein Zwischen-
zustand des Compoundkerns bildet. Die langsame Reaktionsamplitude hat im Falle einer isolierten Re-
sonanz in Abh¨
angigkeit von der Energie Edie Form einer Breit-Wigner-Funktion, wie sich zeigen wird.
Beide Reaktionsamplituden liegen aber niemals getrennt vor, sondern mischen sich stets zu einer direk-
ten und einer Resonanzamplitude.
Zur mathematischen Beschreibung dieser Verh¨
altnisse wird der Zustandsraum in die orthogonalen
Unterr¨
aume P und Q unterteilt. Pund Qsind Projektionsoperatoren, es gilt also
P=P+,P2=P,Q=Q+,Q2=Q,|a+i=P|a+i+Q|a+i,
wobei |a+ider Streuzustand, dargestellt durch die Koordinaten des Eingangskanals, ist (s.a. Kap. 4.1.2).
Pwird mit dem schnellen (,,prompt”) Prozeß assoziiert und Qmit den zeitverz¨
ogerten Prozessen. Abb. 2
stellt schematisiert diese R¨
aume dar. Der urspr¨
ungliche Eingangskanal A kann direkt in den Ausgangs-
kanal F ¨
ubergehen. Er kann aber auch an einen Kanal B koppeln, der den Kern in komplexere Zust¨
ande
¨
uberf¨
uhrt, die schließlich wieder zum Ausgangskanal f¨
uhren. Dies ist der Raum Q der langsam ablau-
fenden Reaktionen. Eingesetzt in die Schr¨
odingergleichung
(E−H)|a+i=0
mit dem Gesamt-Hamiltonoperator Hergibt sich das folgende System von gekoppelten Differentialglei-
chungen:
(E−HPP)P|a+i=HPQQ|a+i(1)
(E−HQQ)Q|a+i=HQPP|a+i.(2)
HXY ist hierbei XHY. Bis zu diesem Punkt wurde noch keine spezielle Annahme ¨
uber die R¨
aume Pund
Qgemacht. Die Operatoren Pund Qgehen deshalb v¨
ollig symmetrisch in (1) und (2) ein.
5
3Kernreaktionsmechanismen 3.1 Schnelle und zeitverz¨
ogerte Reaktionen
Im n¨
achsten Schritt wird Gleichung (2) formal nach Q|a+iaufgel¨
ost:
Q|a+i=1
E+iη−HQQHQPP|a+i.
Die infinitesimale Verschiebung in imagin¨
are Richtung ±iη(s.
=
-iη
-iη
Abbildung 3: Integrationsweg
Abb. 3) soll andeuten, daß bei der Ausf¨
uhrung des Integrals un-
terhalb bzw. oberhalb der Polstelle integriert werden soll. Da-
durcherh¨
altmanaus-bzw.einlaufendeWellen bei der Lippmann-
Schwinger-Gleichung [15, 16]. Anschließend wird der Grenz¨
uber-
gang η→0 gebildet. F¨
ur den Realteil ergibt sich der Haupt-
wert des Integrals, w¨
ahrend der Imagin¨
arteil nach dem Residu-
ensatz aufgel¨
ost wird. Der Raum Qw¨
urde also hier nur aus gebundenen und auslaufenden Zust¨
anden
bestehen – Pund Qsind jetzt nicht mehr gleichberechtigt. Eingesetzt in (1) erh¨
alt man eine Schr¨
odin-
gergleichung f¨
ur |Pa+i:
(E−Heff)|Pa+i=0,wobei Heff =HPP +HPQ 1
E+iη−HQQHQP.(3)
Die beiden R¨
aume werden jetzt n¨
aher spezifiziert: Q soll alle
}
}
}
}
P
Q
direkter
Anteil
isolierte
Resonanz
Abbildung 4: Beitr¨
age der R¨
aume P
und Q zum Wirkungsquerschnitt.
Streuzust¨
ande enthalten, die aus mindestens einem Zwischenzu-
stand bestehen, w¨
ahrend P die direkten ¨
Uberg¨
ange bezeichnet. P
ist nicht zu verwechseln mit dem direkten Anteil des Wirkungs-
querschnitts, wie Abb. 4 klarmachen soll. Auch entfernte Reso-
nanzzust¨
ande fließen in den schwach energieabh¨
angigen Anteil
des Wirkungsquerschnitts mit ein. Dies wird im n¨
achsten Ab-
schnitt deutlich.
Das Spektrum von Qteilt man jetzt in diskrete Zust¨
ande |mi
mitdenEigenwertenεmundkontinuierlicheungebundeneZust¨
ande
|ε,τimit den Eigenwerten εein. Der Index τstellt eine m¨
ogliche
Entartung dar. F¨
ur Heff erh¨
alt man somit den Ausdruck
Heff =HPP +X
m
HPQ |mihm|HQP
E−εm+ZdτZdεHPQ |ε,τihε,τ|HQP
E+iη−ε.(4)
3.1.1 Isolierte Resonanz
In der N¨
ahe eines gebundenen Zustands |mi,E≈εm, wird der erste Term der Summe ¨
uber min Glei-
chung (4) die Energieabh¨
angigkeit bestimmen. F¨
ur Heff l¨
aßt sich dann vereinfacht schreiben:
Heff =˜
HPP +HPQ |mihm|HQP
E−εm.(5)
˜
HPP umfaßt alle nur schwach energieabh¨
angigen Terme. Die formale L¨
osung der Schr¨
odingergleichung
(3) ist dann
P|a+i=|a+
Di+1
E+iη−˜
HPP
HPQ |mihm|HQP |Pa+i
E−εm,
wobei |a+
Diund der unten verwendete Zustand |b−
Diden Gleichungen
(E−˜
HPP)|a+
Di=0 bzw. (E−˜
H†PP)|b−
Di=0 (6)
6
3.1 Schnelle und zeitverz¨
ogerte Reaktionen 3Kernreaktionsmechanismen
gen¨
ugt. Die kinetische Energie und die inneren Anteile werden zu ˜
HPP gerechnet, so daß sich folgende
Aufteilung (im Ausgangskanal) ergibt:
Heff =
˜
HPP
z }| {
Tβ+hβ
| {z }
H0
β
+Vβ
|{z}
V1
+HPQ |mihm|HQP
E−εm
| {z }
V2
Tβist der Operator der kinetischen Schwerpunktsenergie und hβder Hamiltonoperator der inneren
Zust¨
ande. Nach dem Zweipotential-Theorem (Gell-Mann-Goldberger-Transformation) [17] gilt f¨
ur die
T-Matrix eines zusammengesetzten PotentialsV1+V2
T=hb|V1+V2|Pa+i=hb−
D|V1|ai+hb−
D|V2|Pa+i,
wobei die Zustandsvektoren |biund |Pa+iden folgenden Gleichungen gen¨
ugen:
(E−H0
β)|bi=0,(E−H0
β−V1−V2)|Pa±i=0.
Dabei darf keine Umordnung der Nukleonen stattfinden – die Herleitung l¨
aßt sich aber auch auf Umord-
nungsreaktionen ¨
ubertragen. Daraus ergibt sich, daß sich die hier gesuchte Reaktionsamplitude Taus
einem direkten Anteil TD, der sich im Raum P und Teilen des Raums Q abspielt und einem resonanten
Anteil TRzusammmensetzt:
T=TD+TR,TD=hb−
D|Vα|ai,TR=hb−
D|HPQ |mihm|HQP |Pa+i
E−εm.(7)
Vαist hierbei das langsam ver¨
anderliche Potential, das durch ˜
HPP ohne den kinetischen und inneren
Anteil bestimmt ist. Man kann es zusammensetzen aus einem mittleren Anteil Uα, der nur von den
Schwerpunktskoordinaten der beiden Eingangsteilchen abh¨
angt, und einem Restwechselwirkungsanteil
Wα:Vα=Uα+Wα.(8)
Uαwird Optisches Potential genannt. In der hier dargestellten sehr allgemeinen Form ist es ein nicht-
lokaler, energieabh¨
angiger und komplexwertiger Operator. Zur praktischen Verwendung muß es noch
vereinfacht werden. Das Programm Dwuck [9, 10] z.B. kann nur lokale Potentiale verarbeiten und be-
schreibt nichtlokale Effekte durch einen Korrekturparameter.
3.1.2 Breit-Wigner-Form
Der letzte Term l¨
aßt sich (nach einigen Umformungen) in eine symmetrischere Form bringen (s. [18,
19]), die den Breit-Wigner-Charakter besser sichtbar werden l¨
aßt:
TR=hb−
D|HPQ |mihm|HQP |a+
Di
E−εm−hm|WQQ |mi,wobei WQQ =HQP 1
E+iη−˜
HPPHPQ.
Der Erwartungswert von WQQ im gebundenen Zustand enth¨
alt den Level-Shift ∆mals Real- und die
totale Breite Γmals Imagin¨
arteil. Da hier zun¨
achst nur eine isolierte Resonanz betrachtet wird, kann der
Index munterdr¨
uckt werden:
hm|WQQ |mi=∆(E)−i
2Γ(E).
Hierbei wird angenommen, daß die Energieabh¨
angigkeit von ∆und Γnur schwach ist, denn WQQ be-
sitzt in diesem Bereich keine Polstellen oder sonstige Singularit¨
aten. Da ferner die ¨
Ubergangsoperato-
ren HQP und HPQ enthalten sind, die außerhalb eines Resonanzgebietes nur klein sein sollten, d¨
urfte
7
3Kernreaktionsmechanismen 3.2 Das Optische Potential
∆(E)auch nicht sehr groß im Vergleich zu εmsein. Der Resonanzmittelpunkt erscheint dann leicht
verschoben bei ER=εm+∆m. Außerdem kann man die Partialbreiten Γλund Partialphasen ξλ
(λ=α,βoder andere Kan¨
ale) definieren, indem man dieses Matrixelement in Betrag und Phase zer-
legt:
hm|HPQ |λU+i=eiξλpΓλ,mit λ=α,β.
Γλist nichts anderes als die Zerfallswahrscheinlichkeit des gebundenen Resonanzzustandes |miin den
Kanal λoder, umgekehrt, die Wahrscheinlichkeit, daß der Zustand λU+einen Compoundkern formt. Im
Prinzip sollte sich diese Wahrscheinlichkeit aus dem Transmissionskoeffizienten berechnen lassen, der
wiederum durch die Absorption am Kernrand und durch die gest¨
orten Wellen χdort zu berechnen ist.
Mit diesen Definitionen erh¨
alt die T-Matrix f¨
ur die Resonanz folgende Gestalt:
TR=ei(ξα+ξβ)pΓαΓβ
E−ER+i
2Γ.
Ausgedr¨
uckt durch die Satchlersche ˜
T-Matrix [20] erh¨
alt man:
˜
TR=−ei(ξα+ξβ)pΓαΓβ
Γ/2+i(ER−E).(9)
Satchler selbst gibt hier einen zus¨
atzlichen Faktor 2 an. Ich nehme an, daß dies auf eine ¨
altere Defini-
tion der Partialbreiten zur¨
uckgeht oder schlicht ein Druckfehler ist. Der erhaltene Ausdruck f¨
ur TRist
zun¨
achst nur rein formal, d.h. man hat noch keine wirkliche Aussage ¨
uber die Energieabh¨
angigkeit der
einzelnen Gr¨
oßen. Es ist aber eine wesentliche Aussage der R-Matrix-Theorie (in der Darstellung von
Lane und Thomas [22]), daß diese Abh¨
angigkeit schon explizit ist, wenn man bestimmte Annahmen
¨
uber das Kernpotential macht (endliche Reichweite, scharfer Kernrand). Dabei ist allerdings noch die
Energieabh¨
angigkeit von ξλund Γλ(s. Kap.3.3) anzugeben. Eine gute Darstellung der R-Matrix-Theorie
findet man in [23].
3.2 Das Optische Potential
In den direkten Reaktionsanteil, der durch den Operator ˜
HPP und seine L¨
osungen Gl. (6) bestimmt
wird, fließen mehrere Anteile ein. Er enth¨
alt nat¨
urlich das Zweiteilchen-Potential im Eingangs- und
Ausgangskanal. Es spielen aber auch inelastische Kontinuumszust¨
ande und gebundene Zust¨
ande eine
Rolle. Das Optische Potential wird somit nichtlokal,energieabh¨
angig und komplex. Wird z.B. ein
innerer Freiheitsgrad des Kerns bei einer bestimmten Energie angeregt, so ¨
offnet sich oberhalb einer
entsprechenden Einschußenergie ein neuer inelastischer Kanal, was nat¨
urlich den Fluß im elastischen
Kanal reduziert. Das Optische Potential muß in der Lage sein, diesen Prozeß zu beschreiben.
Interessant ist, daß die Summe aller weit entfernten Resonanzen in das Optische Potential mit ein-
fließt. Das Optische Potential ist also mitnichten ,,resonanzfrei” sondern setzt sich zu einem Großteil
aus einer Unmenge von ¨
uberlagerten Resonanzen zusammen, die in der Summe einen kontinuierli-
chen, schwach energieabh¨
angigen Untergrund bilden. Der Grund daf¨
ur ist auch in einer Besonderheit
der Lorentz-Form zu sehen: In der N¨
ahe der Resonanzenergie ERwird die Energieabh¨
angigkeit ex-
trem stark, so daß die Reaktion eindeutig als mehrstufig anzusehen ist. Weit entfernt von der Resonanz
erh¨
alt man einen 1/E-Untergrund, der zwar immer schw¨
acher wird, aber nie ganz verschwindet. Die
Energieabh¨
angigkeit ist dann nur schwach und man wird diesen Anteil als direkten Reaktionsprozeß
bezeichnen.
Den Fall mehrerer isolierter Resonanzen kann man analog behandeln, sofern die Zahl nicht zu
groß ist und die Resonanzen sich nicht zu stark ¨
uberlappen. Man kann die S-Matrix in einen ,,glat-
ten” und einen fluktuierenden Anteil aufteilen. Im Wirkungsquerschnitt erh¨
alt man dann Interferenzen
zwischen beiden Anteilen, die zu Fluktuationen in der Anregungskurve (Ericson-Fluktuationen) f¨
uhren
8
3.3 Parametrisierung der Partialbreiten 3Kernreaktionsmechanismen
k¨
onnen. Etwas komplizierter wird es bei einer gr¨
oßeren Anzahl sich ¨
uberlappender Resonanzen in
Bereichen hoher Niveaudichte des Compoundkerns. Hier entsteht wieder das Problem, daß man ein
Optisches Potential nur definieren kann, wenn man eine schwach energieabh¨
angige Komponente ab-
trennen kann. Die Situation vereinfacht sich unter der Annahme der statistischen Hypothese, daß die
Phasen der einzelnen Resonanzen zuf¨
allig sind. Man kann dann eine Energiemittelung ¨
uber ein Inter-
vall Idurchf¨
uhren, das groß gegen¨
uber der Breite einzelner Resonanzen aber klein gegen¨
uber typischen
Einteilchenbreiten (MeV-Bereich) ist. Um diese Mittelung so allgemein wie m¨
oglich zu machen, f¨
uhrt
man eine Gewichtungsfunktion ρ(E,E0)ein, die nat¨
urlich normiert sein muß, Rρ(E,E0)dE0=1. Je
nach Wahl von ρergeben sich unterschiedliche Artefakte, die man beim Vergleich mit Meßdaten zu
ber¨
ucksichtigen hat. Am ,,gef¨
alligsten” verh¨
alt sich die Lorentz-Mittelung mit
ρ(E,E0) = 1
π
I
(E0−E)2+I2,
die, angewendet auf eine beliebige Funktion f(E),
f(E) = 1
πZ∞
−∞dE0I
(E0−E−iI)(E0−E+iI)=f(E+iI),
nur eine Verschiebung aller Resonanzen in Richtung negative Imagin¨
arachse darstellt, vorausgesetzt,
f(E)ist in der oberen komplexen Halbebene analytisch (Resonanzpole befinden sich immer in der
unteren Halbebene). Angewendet auf den Operator ˜
HPP (Gleichung 5) ergibt sich somit:
˜
HPP(E) = ˜
HPP(E+iI) = HPP +HPQ 1
E+iI−HQQHQP.
Dieser Ausdruck ist dann anstelle von ˜
HPP in Gleichung (6) zur Berechnung der gest¨
orten Wellen ein-
zusetzen. Da die Phasen der einzelnen Resonanzen zuf¨
allig verteilt sind (statistisches Modell, s.a. [24])
k¨
onnen beide Anteile inkoh¨
arent addiert werden. Das vereinfacht die Rechnungen erheblich, denn der
Betrag der Breit-Wigner-Amplitude ist leicht zu berechnen, die Phase hingegen nicht. Nach dieser Me-
thode, auch Hauser-Feshbach-Theorie [25] genannt, werden die Meßdaten ¨
ublicherweise analysiert.
3.3 Parametrisierung der Partialbreiten
Die Berechnung des Matrixelements hm|HPQ |λU+il¨
aßt sich noch vereinfachen. Dazu betrachtet man
die Partialbreite Γλ, welche ja gleich dem Betragsquadrat des Matrixelements ist. Da Γλals Bildungs-
wahrscheinlichkeit des Compoundzustands aus dem Kanalzustand λangesehen werden kann, muß sie
proportional zur Penetrationswahrscheinlichkeit Pλin den Kern sein:
Γλ=2Pλρλγ2
λ,wobei ρλ=kλRλ.(10)
Dabei ist γ2
λdie reduzierte Breite, die energieunabh¨
angig ist. Pλist die Wahrscheinlichkeit, daß das
TeilchendenCoulombwall durchtunnelt. Im Bild der auslaufenden Welleχ+istdas|χ+(∞)|2/|χ+(ρλ)|2=
1/|χ+
(ρλ)|2. Wegen der Anschlußbedingungen von Außen- und Innenbereich des Kerns kann hier auch
die bekannten L¨
osungen der Coulomb-DGL w(ρλ)am Kernrand benutzen. Zur Parametrisierung nimmt
man einen scharfen Kernrand an, d.h. man l¨
aßt im Innenraum r<Rλdas Kern- plus Coulombpotential
wirken, w¨
ahrend im Außenraum nur das Coulombpotential wirkt. Die L¨
osungen k¨
onnen dann durch
die regul¨
aren und irregul¨
aren Coulomb-Funktionen Fund Gam Kernrand hinreichend genau gen¨
ahert
werden. Man erh¨
alt also f¨
ur die Penetration
Pλ=1
|w+(ρλ)|2,(11)
wobei w±(L,η,ρ) = GF±(L,η,ρ)e∓σLλ,GF±=G±iF ein- bzw. auslaufende Coulomb-Wellen sind.
Eine gute Beschreibung der Coulomb-DGL mit L¨
osungsvorschl¨
agen findet man in [26].
9
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
3.3.1 N¨
aherung f¨
ur kleine Einschußenergien
Bei kleinen Einschußenergien weist die Eingangsbreite ein typisches Energieverhalten auf. Nur der
Drehimpuls Null ,,¨
uberlebt” den ¨
Ubergang und f¨
ur die Penetration folgt
Pα−→2πηαe−2πηα,wobei ηα=ZaZAe2mα
¯h2kα.
der Sommerfeldparameter ist, Zaund ZAProjektil- und Targetladung und mαdie reduzierte Masse im
Eingangskanal. Es folgt f¨
ur die Partialbreite
Γα−→ ZaZAe2mαRαγ2
α
¯h2e−2πηα
und somit f¨
ur den Wirkungsquerschnitt
σ∼|S|2=2ma
π¯h2e−2πηαSf(E),
wobei
Sf(E) = N
(E−ER)2+1
4Γ2mit N=πZaZAe2mαR2
αγ2
αΓβ
2maRβ
der astrophysikalische S-Faktor [27] ist, der den wesentlichen kernphysikalischen Anteil der Reaktion
enth¨
alt. Er wird oft, wie auch in dieser Arbeit, anstelle des Wirkungsquerschnitts angegeben. Wie man
sofort sieht, enth¨
alt er die wesentliche Resonanzinformation. Seine St¨
arke wird durch die reduzierte
Eingangs- und durch die Ausgangsbreite bestimmt, seine Energiebreite durch die totale Breite Γ.
4 Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
In Kapitel 3 wurden Kernreaktionen sehr allgemein betrachtet und gezeigt, daß in der N¨
ahe einer iso-
lierten Resonanz die T-Matrix in einen direkten und einen resonanten Anteil zerlegt werden muß (s.
Gleichung (7)). Beide Anteile m¨
ussen koh¨
arent addiert werden (nur im Falle einer Anh¨
aufung vieler
Resonanzen kann die Phase als zuf¨
allig betrachtet werden, so daß die Mischung inkoh¨
arent wird). F¨
ur
die Berechnung einer koh¨
arenten Mischung gibt es aber keinerlei Programme. Auch Ver¨
offentlichungen
zu diesem Thema sind wenig zu finden. Kelley et al. [67] und Wulf et al. [68] beobachten zwar einen
derartigen Interferenzeffekt, allerdings nicht bei reinen Teilchenreaktionen sondern mit beteiligten γ-
Quanten. Lediglich Rauscher und Reimann [69] f¨
uhren eine Berechnung f¨
ur Teilchenreaktionen durch
und beschreiben auch die Berechnungsmethode: Zum direkten S-Faktor werden ein Breit-Wigner- und
ein Interferenzterm addiert. Da die Resonanz immer noch relativ schmal ist, werden sowohl Streupha-
se als auch direkte Phase als konstant angenommen. Der Interferenzterm beschr¨
ankt sich dann auf die
Resonanzphase (s. Kap.4.4). Die komplizierten Drehimpulsumrechnungen, die Ber¨
ucksichtigung der
relativen Phasen und die Berechnung der Coulombfunktionen fallen dann weg. Vermutlich haben die
anderen Autoren [67, 68] die Interferenz ¨
ahnlich berechnet, da diese Methode h¨
aufiger verwendet wird.
Sie ist hier aber aus genannten Gr¨
unden nicht brauchbar, denn direkte und Resonanzphase haben eine
¨
ahnliche Energieabh¨
angigkeit. Der Fall einer koh¨
arenten Mischung tritt n¨
amlich ¨
außerst selten auf. In
der Regel ¨
uberwiegt einer der beiden Anteile. Sollte doch einmal Interferenz auftreten, so gen¨
ugt es oft,
den direkten Anteil als konstanten Untergrund zu behandeln. Genau dies reicht f¨
ur die hier betrachtete
Art Kernreaktion gerade nicht. Die Berechungen mußten also von Grund auf neu durchgef¨
uhrt werden,
was der Hauptbestandteil dieser Arbeit ist.
Wie sind die Anteile TDund TRim einzelnen zu berechnen? TRwird ¨
ublicherweise in der R-Matrix-
Parametrisierung [22] durchgef¨
uhrt, wobei im Falle einer koh¨
arenten Mischung die selten benutzte Pha-
se mitberechnet werden muß. Details werden in Kap. 4.4 erl¨
autert. Die Berechnung des direkten Anteils
10
4.1 Definitionen 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
stellt auch in DWBA-N¨
aherung noch einen erheblichen numerischen Aufwand dar. Auch hier muß die
selten benutzte Phase mitberechnet werden, was eine Modifikation bestehender Programme erforderlich
machte. In beiden Anteilen gibt es freie Parameter, die an die Meßdaten angepaßt werden m¨
ussen.
Im folgenden wird das Verfahren beschrieben, nach dem die Meßdaten angepaßt wurden. Es ist mit
der Zeit relativ komplex geworden und stellt im Prinzip eine numerische Anpassung von Gleichung
(7) an die Meßdaten f¨
ur alle gemessenen Energien gleichzeitig dar. W¨
ahrend die Berechnung des re-
sonanten Anteils relativ einfach durch hinreichend genaue Berechnung der Coulomb-Funktionen am
Kernrand zu bew¨
altigen ist, gestaltet sich die Berechnung des direkten Anteils weitaus komplizierter.
Die DWBA-Rechnung wurde in Nullreichweitenn¨
aherung (s. Kap.4.2.6) durchgef¨
uhrt, l¨
aßt sich aber
grunds¨
atzlich auf Finite-Range erweitern. Dabei wurde der in FORTRAN geschriebene Computer-Code
DWUCK4 von P.D.Kunz [9, 10] (urspr¨
unglich aus dem Jahre 1969, letzte Version von 1991) komplett in
die Programmiersprache C ¨
ubersetzt (s. dazu Kap. 7.1).
Auch die Kombination beider Anteile ist nicht trivial. Als gr¨
oßte Schwierigkeit hat sich die Umrech-
nung der Drehimpule erwiesen. W¨
ahrend in der Resonanztheorie ¨
ublicherweise nach Kanalspin Sund
Gesamtdrehimpuls Jparametrisiert wird (wegen der reinen Quantenzahlen des Resonanzzustandes, der
rotationssymmetrisch sein muß, s.a. Kap.4.4), verwendet man in der DWBA-Theorie Transfergr¨
oßen
(Bahndrehimpulstransfer, Spintransfer, s.a. Kap.4.2.2), die sich aber leider nur auf den Kernel (Gl.(17))
und nicht auf die Gesamtreaktion beziehen. Zur Kombination der beiden berechneten S-Matrizen in
Glng. (7) muß nat¨
urlich eine gemeinsame Darstellung gefunden werden. Wegen der einfacheren Be-
schreibung der Resonanz und wegen der gr¨
oßeren ,,N¨
ahe” zum Wirkungsquerschnitt wurde die LSJ-
Darstellung gew¨
ahlt. Außerdem mußte genau auf die Normierung geachtet werden. Die Lehrb¨
ucher
verwenden hierbei keineswegs einheitliche Darstellungen sowohl in der Normierung als auch in der
Phasenlage der S-Matrix.
Zuletzt mußte der Code optimiert werden, da die Berechnungen relativ zeitaufwendig sind. Dabei
wurde das Ziel, die komplette Winkelverteilung innerhalb eines beliebigen Energiebereiches direkt mit
den Meßdaten vergleichen zu k¨
onnen, in gewissem Sinne erreicht. Die Winkelverteilung wurde durch
Legendrepolynomkoeffizienten σ(ϑ,E) = PLBL(E)PL(ϑ)beschrieben. Der Rechenaufwand h¨
angt da-
bei stark vom Spin der Reaktionspartner ab, da mit gr¨
oßerem Spin mehr Reaktionspfade durchgerech-
net werden m¨
ussen. Mit gr¨
oßerer Energie kommen mehr Drehimpulse ¨
uber die Zentrifugalbarriere,
so daß der Rechenumfang weiter steigt. Je nachdem wird die Rechenzeit bis zu einem maximalen BL
noch ertr¨
aglich. Sind direkter und resonanter Reaktionsanteil erst einmal berechnet, so lassen sich die
jeweilige St¨
arke (Produkt der reduzierten Breiten und Nullreichweitenparameter, s. Kap.4.2.6) sowie
Resonanzposition und -breite auf einem handels¨
ublichen PC in Echtzeit, d.h. ohne merklichen Zeitauf-
wand, berechnen. Dies macht eine bequeme Anpassung m¨
oglich. Unbequem wird es allerdings bei einer
Ver¨
anderung der Optischen Potentiale, da dann der komplette direkte Anteil neu berechnet werden muß.
Im folgenden wird der komplette Rechenweg im einzelnen dargestellt. In modernen Lehrb¨
uchern
wie z.B. dem von Fr¨
obrich und Lipperheide [16] wird die DWBA-Theorie nicht sehr ausf¨
uhrlich behan-
delt. Andere Lehrb¨
ucher wie z.B. das von Satchler [20] verwenden eine nicht mehr ganz zeitgem¨
aße
Notation. In dieser Arbeit wird versucht, die DWBA-Theorie m¨
oglichst einheitlich und weitestgehend
in Bra- und Ket-Notation darzustellen. Diese Darstellung ist in der Literatur nicht zu finden, l¨
aßt die
komplexe DWBA-Theorie aber ¨
ubersichtlicher erscheinen und hebt die wesentlichen Schritte besser
hervor. Sie ist somit auch ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit.
4.1 Definitionen
Alle Gr¨
oßen im Eingangskanal sind mit dem ersten Buchstaben des Alphabets (a oder A oder α) als
Index versehen, die Gr¨
oßen im Ausgangskanal mit dem zweiten (b oder B oder β). Kleine Buchstaben
beziehen sich auf die leichten Teilchen (Projektil, Ejektil), große auf die schweren (Targetkern, R¨
uck-
stoßkern) und griechische auf Kanalgr¨
oßen. Kanalgr¨
oßen h¨
angen von den Eigenschaften beider Teil-
11
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.1 Definitionen
chen ab und ¨
andern sich i.d.R. nicht bei Vertauschung beider Teilchen (z.B. reduzierte Masse mα). Die
Buchstaben alleine bezeichnen die Teilchen selbst oder den Kanal selbst. Der Index CM kennzeichnet
eine Angabe im Schwerpunktsystem (Impulsschwerpunkt). Bei Eα,Eβ,kαund kβ, die im Laborsystem
ohnehin keine sinnvolle Definition haben, wurde der Index CM unterdr¨
uckt. Der Index λsteht f¨
ur α
oder β,xf¨
ur aoder bund Xf¨
ur Aoder B. F¨
ur akann auch xαgeschrieben werden usw.
4.1.1 Kinematische Gr¨
oßen
Wenn nicht anders angegeben, werden folgende Gr¨
oßen verwendet:
Ladungszahl Zx,ZX
Nukleonenzahl Nx,Nλ
Masse der Kerne mx,mX
Reduzierte Masse mλ
Kinetische Energie Ex
Gesamte kin. Energie im CM-System Eλ
Wellenzahl (Impuls) im CM-System kλ=√2mλEλ/¯h
Sommerfeldparameter ηλ=ZxλZXλαcpmλ/(2Eλ)
Kanalradius Rλ=1,3 fm·N1
3
λ
Teilchenspin Ix,IX
Teilchenspinprojektion Mx,MX
Bahndrehimpuls Lλ
Bahndrehimpulsprojektion Mλ
Kanalspin Sλ=Ix+IX
Kanalspinprojektion MS
λ
Gesamtdrehimpuls Jx=Lλ+Ix
Totaler Gesamtdrehimpuls J=Lλ+Sλ
Vektoren sind fett und rot gedruckt. Der Betrag von Vektorgr¨
oßen ist durch normalen Druck gekenn-
zeichnet. Ausnahme sind Spingr¨
oßen – bei ihnen ist mit Normaldruck die Spinquantenzahl in Einheiten
von ¯hgemeint. Ein Dach ¨
uber der Spingr¨
oße kennzeichnet die Wurzel aus der Spinmultiplizit¨
at z.B.
ˆ
Sα=√2Sα+1. Die Spinprojektionen werden ebenfalls in Einheiten von ¯hangegeben.
4.1.2 Zustandsvektoren und Operatoren
Der gesamte ungest¨
orte Zustand des Eingangs- bzw. Ausgangskanals wird durch den Zustandsvektor
|airesp. |bibezeichnet. Darin enthalten sind auch die Spinquantenzahlen und die inneren Zust¨
ande der
Teilchen. Z.B. gilt f¨
ur den Eingangskanal:
|ai=|kαi|qai|Ia,Mai|qAi|IA,MAi.
12
4.1 Definitionen 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
|qaiund |qAisind dabei die inneren (gebundenen) Zust¨
ande, definiert durch alle inneren Quantenzahlen,
ausgenommen den Spin. Da die inneren Zust¨
ande meistens nicht von Interesse sind, werden sie in den
entsprechenden Gleichungen unterdr¨
uckt bzw. als in den Zust¨
anden |IaMaiusw. enthalten betrachtet.
Streuzust¨
ande werden mit |a+ibzw. |a−i(ebenso f¨
ur den Ausgangskanal) bezeichnet, je nachdem
ob der Zustand eine ebene Welle war oder ob er eine sein wird.
Bei den Berechnungen werden die Ket- mit den Bra-Zust¨
anden oft nur teilweise zusammengezogen,
d.h. die Integration findet nur in einem Unterraum statt. Im Ergebnis bleibt dann ein Bra- oder Ket-
Zustand ¨
ubrig (s. z.B. Gl. (18)). Da hierf¨
ur nicht (wie es oft gemacht wird) runde Klammern verwendet
werden, sollte man sich nicht verwirren lassen.
4.1.3 S- und T-Matrix
Zur Beschreibung von Kernreaktionen paßt man sich der Kugelsymmetrie des Problems an und zerlegt
den gesamten Streuzustand in ein- und auslaufende Kugelwellen. Historisch betrachtet geht die S-Matrix
dann aus dem Problem hervor, die Modifikation der auslaufenden Partialwellen zu bescheiben, d.h. sie
beschreibt den (komplexen) Faktor, um den die auslaufende Partialwelle mit dem Drehimpuls lsich
ver¨
andert. Slist demnach ein Satz von dimensionslosen Zahlen, die einen Betrag ≤1 haben – ist Sl=1,
so findet keine Streuung statt.
Im Falle zus¨
atzlicher Coulombstreuung wird die S-Matrix dagegen von den Autoren unterschiedlich
definiert. Einige bleiben bei der urspr¨
unglichen Definition, andere wie z.B. Satchler [20] ziehen die Cou-
lombphase aus der Definition heraus, so daß der kernphysikalische Anteil deutlicher hervortritt, andere
wie z.B. Lane & Thomas [22] die S-Wellen-Coulomb-Phase. Orientiert man sich an der theoretischen
Definition der verallgemeinerten Streumatrix als ¨
Uberlapp des kompletten Streuzustands im Eingangs-
und Ausgangskanal, Sβα =hb−|a+i,
so wird klar, daß die Coulombphase als Bestandteil der Streumatrix aufgefaßt werden muß. Diese ab-
strakte Matrix Sβα h¨
angt mit der oben erw¨
ahnten dimensionslosen Streumatrix Sβα dann folgenderma-
ßen zusammen:
Sβα =¯h2
pmαmβkαkβδ(Eβ−Eα)Sβα,
d.h. Sβα wird (bis auf einen Vorfaktor) als abstrakte S-Matrix auf der Energieschale aufgefaßt.
Die T-Matrix hingegen orientiert sich mehr am Wirkungsquerschnitt und kann als theoretische
Verallgemeinerung der Streuamplitude angesehen werden. W¨
ahrend f¨
ur die S-Matrix praktisch nur
die Drehimpuls-Darstellung verwendet wird, ist die T-Matrix in unterschiedlichen Darstellungen sinn-
voll. Man definiert deshalb einen Operator, der in den unterschiedlichen Darstellungen genau zu der
gew¨
unschten Matrix f¨
uhhrt. Dieser abstrakte T-Matrix-Operator Tergibt sich zu
T(E) = Vβ+Vβ1
E−H+iεVα.
Vβist der Operator des Optischen Potentials im Ausgangskanal und Hder Hamiltonoperator. Eist
sozusagen die Schalenenergie, wobei man f¨
ur E=Eαzur Post-Darstellung und f¨
ur E=Eβzur Prior-
Darstellung gelangt. Hier soll ausschließlich die Post-Darstellung verwendet werden. Die T-Matrix in
der Post-Darstellung und ausgedr¨
uckt durch die Impulse und magnetischen Quantenzahlen ergibt sich
dann einfach zu
Tβα(Mb,MB,Ma,MA;Eα) = hMbMBkβ|T(Eα)|MaMAkαi=hb|Vβ|a+i.
Man gelangt jetzt einfach zu beliebigen anderen Darstellungen. Sok¨
onnen die Zust¨
ande |aiund |biauch
durch Kanalspin und Gesamtdrehimpuls ausgedr¨
uckt werden. Daraus ergibt sich sofort die T-Matrix in
13
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.1 Definitionen
LSJ-Darstellung,
TJ
LβSβLαSα=Tβα(LβSβLαSαJM;Eα) = hLβSβJM|T(Eα)|LαSαJMi,
und der Zusammenhang zur abstrakten S-Matrix:
Sβα =δβα −2πiδ(Eα−Eβ)TJ
LβSβLαSα.
In δβα ist auch δ(Ea−Eb)enthalten, so daß es ¨
ublich ist, diesen Term mitsamt einiger Vorfaktoren
auf der Energieschale auszuklammern. Die On-shell-S-Matrix Sβα =SJ
LβSβLαSαwie sie oben eingef¨
uhrt
wurde, ergibt sich dann aus der On-shell-T-Matrix durch
SJ
LβSβLαSα=δβαδ(Ωβ−Ωα)−iqmαmβkαkβ2π
¯h2TJ
LβSβLαSα.
In dieser Arbeit werden nur Reaktionskan¨
ale mit Umordnung betrachtet, so daß α6=β.S- und T-Matrix
unterscheiden sich dann nur um den Faktor −ipmαmβkαkβ2π
¯h2, auch in der LSJ-Darstellung.
Die o.g. Definitionen ergeben sich also auf nat¨
urliche Art und Weise. Dennoch existieren davon
abweichende Definitionen, die z.B. kinematische Faktoren wie (pmαmβkαkβ) aus der S-Matrix her-
ausziehen. Einige Autoren definieren die T-Matrix mit zus¨
atzlichen Phasenfaktoren wie z.B. iIa−Ib+Sβ.
Beim Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungen beispielsweise von {Ma,MA,Mb,MB}nach
{Lα,Sα,Lβ,Sβ}wird auch oft vom gleichen Autor eine andere Normierung verwendet.
Die S-Matrizen werden hier aber konkret f¨
ur numerische Berechnungen benutzt und m¨
ussen deshalb
eindeutig festgelegt sein. Wegen der Kopplung von S-Matrizen aus unterschiedlichen Modellen (DWBA
und R-Matrix) m¨
ussen sogar die Phasenbeziehungen eindeutig sein.
Aus Gr¨
unden der Kompatibilit¨
at wurde die T-Matrix-Definition von Satchler [20] verwendet, die mit
der oben angegebenen Drehimpulsdarstellung folgendermaßen zusammenh¨
angt:
˜
TJ
LβSβLαSα=iLα−Lβ+1(−)Ia+IA−Sα+Ib+IB−Sβqmαmβkαkβ2π
¯h2TJ
LβSβLαSα.
Der Phasenfaktor r¨
uhrt von unterschiedlichen Definitionen der Drehimpulseigenzust¨
ande her (s. An-
hang).
In der Impulsdarstellung ist der Zusammenhang einfacher,
˜
Tβα(kα,kβ)=(2π)3Tβα(kα,kβ),
wobei der Faktor (2π)3durch unterschiedliche Normierung der Wellenfunktionen zustandekommt (s.
Anhang).
4.1.4 Wirkungsquerschnitt
Verwendet man die obige Definition der T-Matrix in der Impulsdarstellung, so ergibt sich der differen-
tielle Wirkungsquerschnitt zu:
dσ
dΩpol =2π
¯h4mαmβkβ
kα|Tβα|2=1
2π¯h22mαmβkβ
kα|˜
Tβα|2.
Teilchenpolarisationen werden hier nicht in Betracht gezogen, so daß ¨
uber die Eingangsspins Iaund IA
gemittelt und ¨
uber die Ausgangsspins Ibund IBsummiert werden muß. Daraus ergibt sich der unpolari-
sierte differentielle Wirkungsquerschnitt:
dσ
dΩ=1
2π¯h22mαmβkβ
kα
1
ˆ
I2
aˆ
I2
AX
MaMAMbMB|˜
Tβα|2.
14
4.2 DWBA-Methode 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
Da gleichzeitig die Winkelverteilung ¨
uber weite Energiebereiche mit experimentellen Daten verglichen
werden soll, erweist es sich als zweckm¨
aßig, diese durch Legendrepolynom-Koeffizienten BLauszu-
dr¨
ucken: dσ
dΩ=X
L
BLPL(cosθ).
Die BL-Koeffizienten berechnen sich aus der ˜
T-Matrix in LS-Darstellung folgendermaßen:
BL=1
4k2
α
1
ˆ
I2
aˆ
I2
AX
SαSβ
(−)Sβ−SαX
JLαLβ¯
J¯
Lα¯
Lβ
˜
Z(LαJ¯
Lα¯
J,SαL)˜
Z(LβJ¯
Lβ¯
J,SβL)˜
TJ∗
βLβSβ,αLαSα˜
T¯
J
β¯
LβSβ,α¯
LαSα,(12)
wobei
˜
Z(LαJ¯
Lα¯
J,SαL) = ˆ
Lαˆ
Jˆ
¯
Lαˆ¯
JLα¯
LαL
0 0 0 W(LαJ¯
Lα¯
J,SαL).
Diese Beziehung wurde von [28] aufgestellt und ist auch in [16, 20] beschrieben. j1j2j
m1m2mist
ein Clebsch-Gordan-Koeffizient und Wein Wigner 6j-Symbol (vgl. [29] und [30]). Die Angaben von
[20] und [16] unterscheiden sich um einen Faktor iLβ−Lα+¯
Lα−¯
Lβin der Summe, wobei die Angabe von
[20] korrekt ist. F¨
ur die Evaluation der Summe gen¨
ugt es, die Realteile von ˜
TJ∗
β··· ˜
T¯
J
β··· zu nehmen, da die
Summe symmetrisch ist.
4.2 DWBA-Methode
˜
HPP aus Gl. (5) ist der Ausgangspunkt f¨
ur die Berechnung direkter Reaktionen, weshalb in den fol-
genden Berechungen ˜
HPP durch Hund der direkte Reaktionszustand |b−
Didurch |b−iersetzt wird. Die
direkte Reaktionsamplitude TDaus Gleichung (7) auf der Energieschale lautet dann
TD=hb−|Vα|ai=hb|Vβ|a+i.
Durch nochmalige Anwendung der Gell-Mann-Goldberger-Transformation [17] auf die Potentialauftei-
lung (8) erh¨
alt man nach kurzer Rechnung:
TD=hbU−|Uβ|aiδβα +hbU−|Wβ|a+i.
|bU−iund der unten verwendete Zustand |aU+isind Eigenzust¨
ande von Hohne W, d.h.
(HU
β
†−E)|bU−i=0 und (HU
α−E)|aU+i=0,
mit HU
λ=Tλ+hλ+Uλ. N¨
ahert man jetzt |a+idurch |aU+i, d.h. ersetzt man die exakte L¨
osung durch die
gest¨
orten Wellen, so erh¨
alt man eine N¨
aherungder ¨
Ubergangsamplitude mit gest¨
orten Wellen (Distorted
Wave Born Approximation) [21] TDWBA:
TDWBA =hbU−|Wβ|aU+i.(13)
Anders ausgedr¨
uckt heißt das: Statt wie in erster N¨
aherung (PWBA) die ¨
Ubergangsamplitude mit einfal-
lender und auslaufender ebener Welle zu betrachten, wird das Matrixelement hier zweistufig berechnet:
Sowohl die einlaufende als auch die auslaufende Welle werden zun¨
achst am Optischen Potential elas-
tisch gestreut. Diese gest¨
orten Wellen wiederum koppeln an das Restpotential Wβ. Die Behandlung des
Restpotentials ist nicht festgelegt, aber man wendet i.d.R. die sog. Cluster-N¨
aherung (s. Abschnitt 4.2.1)
an.
15
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.2 DWBA-Methode
Der Ansatz der DWBA-N¨
aherung ist also sehr einfach. Dennoch wird die Herleitung leicht un¨
uber-
sichtlich und komplex, da zwischen vielen verschiedenen Drehimpulsen der Clusterteilchen umgerech-
net werden muß. Die Komplexit¨
at kommt dabei durch die vielen unterschiedlichen Abh¨
angigkeiten und
Umrechnungen der Darstellungen zustande. Zur Erh¨
ohung der ¨
Ubersichtlichkeit sollte man deshalb so-
weit es geht darstellungsfrei rechnen bzw. nicht mehr als n¨
otig in eine konkrete Darstellung ¨
ubergehen.
Leider wird dies in keinem Lehrbuch konsequent durchgef¨
uhrt. Im Folgenden wird deshalb abwei-
chend von Lehrb¨
uchern genau dies versucht. Dabei kann es sein, daß einige Ausdr¨
ucke mathematisch
nicht v¨
ollig korrekt sind, zugunsten der ¨
Ubersichtlichkeit aber dennoch verwendet wurden. Die ”Unsau-
berkeit” besteht haupts¨
achlich in der gleichzeitigen Verwendung mehrerer Unterr¨
aume. Beispielsweise
kann man den optischen Streuzustand auch schreiben als
|aU+i=|IaMaIAMAi|kαU+i,(14)
wobei |IaMaIAMAidie inneren Zust¨
ande der Kerne sind. Projiziert man die Schwerpunktskoordinaten
rαaus, so erh¨
alt man folgende Zerlegung:
hrα|aU+i=|IaMaIAMAiχ(+)
α(kα,rα),
der verbliebene Ket h¨
angt also noch von den inneren (Cluster-)Koordinaten ab. χ(+)
α(kα,rα)ist die
gest¨
orte Welle im klassischen Sinne.
Neu ist auch die Verwendung von Ket-Vektoren als Drehimpulseigenzust¨
ande anstelle von Kugel-
fl¨
achenfunktionen (Details s. Anhang), wovon im n¨
achsten Abschnitt Gebrauch gemacht wird.
4.2.1 Cluster-N¨
aherung
Zur Ausf¨
uhrung des Integrals in Gl. (13) m¨
ußte ¨
uber die in-
rzA
rα
rβ
z
b
a
B
A
rzb
Abbildung 5: Koordinatenumrechnung
neren Koordinaten komplett integriert werden. Im Rahmen
der Cluster-N¨
aherung geht man von einem Transferkern z
aus und absorbiert alle ¨
ubrigen Ortsvektoren in rα,rβund
der Koordinate des Transferkerns rzA (s. Abb. 5). Da rzA
von den beiden anderen Vektoren abh¨
angt, kann die Inte-
gration ¨
uber d3rαund d3rβdurchgef¨
uhrt werden, wenn mit
der Jacobi-Determinante J=d3rzA/d3rαmultipliziert wird.
F¨
ur Jergibt sich
J=mamB
mamB−mbmA
und f¨
ur das Integral erh¨
alt man
TDWBA =JZd3rβZd3rαχ(−)∗
β(kβ,rβ)hIbMb|hIBMB|Wβ|IaMai|IAMAiχ(+)
α(kα,rα).
Die wesentliche Berechnung beschr¨
ankt sich jetzt auf den Kernel
ΓMaMAMbMB=JhIbMb|hIBMB|Wβ|IaMai|IAMAi(15)
(die Jacobi-Determinante wird ¨
ublicherweise in den Kernel mit hineingezogen). Wir schreiben f¨
ur dieses
Integral symbolisch:
TDWBA =JhkU−
β|hIbMb|hIBMB|Wβ|IaMai|IAMAi|kU+
αi=hkU−
β|ΓMaMAMbMB|kU+
αi(16)
16
4.2 DWBA-Methode 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
Man muß sich aber immer bewußt machen, ¨
uber welche Koordinaten zu integrieren ist, und zwar außen
¨
uber rαund rβ, w¨
ahrend der Kernel ein Integral ¨
uber die inneren Koordinaten enth¨
alt. Die inneren Ko-
ordinaten lassen sich in der Cluster-N¨
aherung aber durch rzA ausdr¨
ucken. Wir werden unten sehen, daß
sich der richtungsabh¨
angige Anteil von hkU−
β|und |kU+
αibereits mit dem richtungsabh¨
angigen Anteil
des Kernels zusammenfassen l¨
aßt.
4.2.2 Transfergr¨
oßen
F¨
ur weitere Berechnungen ist es g¨
unstiger, folgende Drehimpuls-Transfergr¨
oßen einzuf¨
uhren
Gesamtdrehimpulstransfer: j=IB−IA
Spintransfer: s=Ia−Ib
Bahndrehimpulstransfer: l=j−s=Lα−Lβ
Die Bezeichnung ”Gesamtdrehimpulstransfer“ ist etwas irref¨
uhrend, hat sich aber so eingeb¨
urgert. Wβ
h¨
angt von rαund rβund von weiteren inneren Koordinaten ab, ¨
andert sich aber nicht bei einer Drehung
dieserVektoren.Mankann deshalb den Kernel ΓMaMAMbMBin eine lsj-Darstellung transformieren. Dabei
werden als erstes IAund −IBzu -j gekoppelt, dann Iaund −Ibzu sund schließlich −jund szu −l:
ΓMaMAMbMB=X
lsj
i−l(−)Ib−Mbl s j
m msmj IaIbs
Ma−Mbms IAj IB
MAmjMBΓl(sj)m.(17)
¨
Ublich sind auch die Bezeichnungen Gm
lsj und ˜
Γl(sj)m, wobei
Γl(sj)m=ˆ
l
ˆ
IB(−)IA−IB+s−mil˜
Γl(sj)mGm
lsj = (−)IA−IB−Ia+Ib−m˜
Γl(sj)m.
4.2.3 Partialwellenzerlegung
Die Zerlegung der gest¨
orten Wellen in Eigenzust¨
ande des Bahndrehimpulses Lα
|kαU+i=X
LαMα|LαMαihLαMα|kαU+i
ist nicht immer sinnvoll, da das Optische Potential den Bahndrehimpuls auf Kosten des Spins ¨
andern
kann. Der Einfachheit halber wird zun¨
achst aber keine Spin-Bahn-Kopplung zugelassen. Wenn das Po-
tential den Drehimpuls nicht ¨
andern kann, ist der winkelabh¨
angige Anteil dem der einfallenden Welle
gleich, d.h. der Drehimpulsanteil l¨
aßt sich herausprojizieren:
hLαMα|kαU+i=hLαMα|ˆ
kαi|kU+
αiLα,(18)
wodurch sich der elastische Streuzustand folgendermaßen darstellen l¨
aßt:
|kαU+i=X
LαMα|LαMαihLαMα|ˆ
kαi|kU+
αiLα.
Geht man in die Ortsdarstellung mit den Eigenzust¨
anden |rαi=|ˆ
rαi|rαi¨
uber, so wird dieser Ausdruck
zu:
hrα|kU+
αi=X
LαMαhˆ
rα|LαMαihLαMα|ˆ
kαihrα|kU+
αiLα.
17
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.2 DWBA-Methode
Die beiden ersten Ausdr¨
ucke sind (s. auch Kap.A.2) die Kugelfl¨
achenfunktionen im Orts- bzw. Impuls-
raum, der dritte Term ist eine Funktion, die vom Kernabstand und ¨
uberdies vom Drehimpuls abh¨
angt.
Sie soll hier mit χLα(kα,rα)bezeichnet werden, genauer:
4π
kαrαχLα(kα,rα) = hrα|kU+
αiLα.
Jetzt wird der komplexere Fall einer Spin-Bahn-Kopplung betrachtet. Die Erhaltungsgr¨
oße der elas-
tischen Streuung ist nun der Gesamtdrehimpuls Ja=Lα+Ia, so daß es sich anbietet, den gesamten
Zustandsvektor in Eigenzust¨
ande von Jazu zerlegen. (Man nimmt i.d.R. an, daß die Spins der schweren
Kerne durch die Wechselwirkung nicht ge¨
andert werden.) Die Kopplung von Lαund Iaf¨
uhrt dann zum
Ausdruck:
|aU+i=|kαU+i|IAMAi|IaMai=X
JaLαMαLαIaJa
MαMaMJ
a|JaMJ
ai|IAMAihLαMα|kU+
αiLα,Ja.
Betrachtet man den einfachen Fall, daß das Potential zwar vom Drehimpuls abh¨
angig, nicht aber in der
Lage ist, diesen zu ¨
andern, so gilt Gleichung (18) nach wie vor:
hLαMα|kU+
αiLα,Ja=hLαMα|ˆ
kαi|kU+
αiLα,Ja.(19)
Der letzte (skalare) Ket h¨
angt jetzt nur zus¨
atzlich vom Gesamtdrehimpuls ab. Analog definiert man als
gest¨
orte Welle:
hrα|kU+
αiLα,Ja=4π
kαrαχJaLα(kα,rα).
Diese ergibt sich als L¨
osung folgender Differentialgleichung:
d2
dr2
α+k2
α−Lα(Lα+1)
r2
α−2mα
¯h2[U(rα)+Uc(rα)+ULαIa(rα)LαIa]χJaLα(kα,rα) = 0.
4.2.4 Zerlegung der Streuamplitude
Wendet man die Partialwellenzerlegung sowohl auf den Eingangs- als auch auf den Endzustand an, so
erh¨
alt man folgende Zerlegung der DWBA-T-Matrix:
TDWBA =JX
JaLαMαJbLβMβLαIaJa
MαMaMJ
a LβIbJb
MβMbMJ
b
hkU−
β|LβMβihIBMB|hJbMJ
b|Wβ|JaMJ
ai|IAMAihLαMα|kU+
αi.
Diese Zerlegung ist notwendig, um die gest¨
orten Wellen hLαMα|kU+
αiin der Ja-Darstellung, die nach
Gleichung(19)definiertsind,einsetzenzuk¨
onnen.DasinnereIntegral zusammen mit den Spinzust¨
anden
der schweren Kerne muß wieder zur¨
uckzerlegt werden, um wieder zu reinen lsj-Zust¨
anden koppeln zu
k¨
onnen:
hIBMB|hJbMJ
b|Wβ|JaMJ
ai|IAMAi=
X
MαMaMβMbLαIaJa
MαMaMJ
a LβIbJb
MβMbMJ
bhLβMβ|hIBMB|hIbMb|Wβ|IaMai|IAMAi
| {z }
ΓMaMAMbMB
|LαMαi.
Der innere Zustand ist wieder der Kernel, allerdings mit anderen Drehimpuls-Werten. (Mα,Mβ,Ma
und Mbsind andere Variablen als in der vorherigen Formel.) Dieser wird jetzt wiederum nach Glei-
chung (17) in seine Transferkomponenten zerlegt. Durch diese Zerlegung kann das Richtungsintegral
18
4.2 DWBA-Methode 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
am transformierten Kernel jetzt bereits durchgef¨
uhrt werden. Der Kernel ist n¨
amlich Eigenzustand von
lund l=Lα−Lβ, so daß das Integral folgendermaßen von den magnetischen Quantenzahlen abh¨
angen
muß:
hLβMβ|Γl(sj)m|LαMαi=LαLβl
MαMβmgLαLβ
l(sj).
Der reduzierte Kernel gLαLβ
l(sj)h¨
angt jetzt nicht mehr von den magnetischen Quantenzahlen ab. Man kann
somit schreiben
hIBMB|hJbMJ
b|Wβ|JaMJ
ai|IAMAi=
X
lsj IAj IB
MAmjMBgLαLβ
l(sj)X
MαMaMβMbl s j
m msmj LαIaJa
MαMaMJ
a LβIbJb
MβMbMJ
b
IaIbs
Ma−Mbmsi−l(−)Ib−MbLαLβl
MαMβm
und wegen der Unabh¨
angigkeit des reduzierten Kernels von den magnetischen Quantenzahlen die Sum-
me nach den Umformungsregeln f¨
ur Clebsch-Gordan-Koeffizienten in
hIBMB|hJbMJ
b|Wβ|JaMJ
ai|IAMAi=
X
lsj IAj IB
MAmjMB JaJbj
MJ
aMJ
bmj
j l s
JaLαIa
JbLβIb
i−l(−)Ib−MbgLαLβ
l(sj)
umformen. F¨
ur die T-Matrix folgt somit (s. Gleichung (19))
TDWBA =X
lsj IAj IB
MAmjMBX
JaLαMαJbLβMβLαIaJa
MαMaMJ
a LβIbJb
MβMbMJ
b
Jbj Ja
−MJ
bmjMJ
a
LβIbJb
l s j
LαIaJa
hkU−
β|Lβ,JbgLαLβ
l(sj)|kU+
αiLα,Jahˆ
kβ|LβMβihLαMα|ˆ
kαi.
Der letzte Ausdruck der ¨
Ubergangsamplitude enth¨
alt ein doppeltes Integral ¨
uber die Relativkoordinaten
rαund rβ:
hkU−
β|Lβ,JbgLαLβ
l(sj)|kU+
αiLα,Ja=4π
kαkβZrαdrαZrβdrβχ−
JbLβ(kβ,rβ)hrβ|gLαLβ
l(sj)|rαiχ+
JaLα(kα,rα)
In diesem sog. reduzierten Kernel steckt die wesentliche Information ¨
uber die Kernstruktur.
4.2.5 Formfaktor, Isospin und Spektroskopische Amplitude
Welche R¨
uckschl¨
usse kann man nun auf die inneren Wellenfunktionen ziehen? Es ist klar, daß der Ker-
nel Γdie wesentlichen Informationen ¨
uber den Kern enth¨
alt. Wie dieser im einzelnen berechnet wird,
ist modellabh¨
angig. Der gleiche Kernel kann z.B. auch f¨
ur CCBA-Rechnungen (Coupled Channel Born
Approximation, s.a. [16]) benutzt werden. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Reaktionen
mit schweren und leichten Kernen und wendet unterschiedliche Methoden zur Berechnung an. Wir be-
schr¨
anken uns hier auf leichte Kerne. Das Restpotential Wβwird folgendermaßen zerlegt:
Wβ=VbB −Uβ=Vbz +VbA −Uβ.
19
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.2 DWBA-Methode
Bei leichten Kernen nimmt man nun an, daßVbA ≈Uβ, so daß nur nochVbz ¨
ubrigbleibt. Außerdem wird
(wie bei solchen N¨
aherungen ¨
ublich) angenommen, daß das Restpotential Wβkeine inneren Freiheits-
grade anregt. Nat¨
urlich h¨
angen die Zust¨
ande |IaMaiusw. noch von inneren Koordinaten ab, davon sollen
hier aber nur der Isospin Tund seine Projektion Nexplizit notiert werden. sund tsind der Spin und Iso-
spin des Austauschteilchens z; µund ndie zugeh¨
origen Projektionen und ˆ
σzund ˆ
τzdie entsprechenden
Variablen im Spin-Isospinraum, von denen die Spinoren χabh¨
angen. F¨
ugt man so den Einsoperator
1=X
ˆ
σzµˆ
τzn
χ∗
sµtn(σz,τz)χsµtn(ˆ
σz,ˆ
τz)
vor Wβin Gl. (15) ein, so zerf¨
allt das Integral in eine Summe ¨
uber die Integrale
hIBMBχ∗
sµtn|IAMAiund hIbMbχsµtn|Vbz |IaMai.
F¨
ur die Berechung des Integrals hIbMbχsµtn|Vbz |IaMaiwendet man besondere Methoden an, weshalb
man eine eigene Bezeichnung D(rzb)daf¨
ur einf¨
uhrt:
hIbMbχsµ|Vbz |IaMai=Ibs Ia
Mbµ Ma Tbt Ta
Nbn NahIbTb,st|}IaTaiD(rzb).
In dieser Form wird das Integral zun¨
achst stehengelassen.
F¨
ur Target- und R¨
uckstoßkern ist lediglich ein ¨
Uberlappintegral zu berechnen. Dazu muß |IBMBi
nach den |IAMAientwickelt werden:
|IBMBi=1
√NBX
l j IAj IB
MAm MB TAt TB
NAn NBBl j |l jmni|IAMAi
Der Proportionalit¨
atsfaktor ist die spektroskopische Amplitude, das Quadrat der spektroskopische Faktor
Sl j =B2
l j. Er gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨
ur an, den Kern B in Form zweier getrennter Kerne A und
z vorzufinden. Der Zustand |l jmnil¨
aßt sich nun wieder in seine Drehimpulsanteile zerlegen:
|l jmni=X
µl s j
m−µ µ m |uil jn |l,m−µi|sµi|tni.
Setzt man die Gleichungen ineinander ein und vergleicht mit (15), so erh¨
alt man f¨
ur den Kernel in der
Drehimpulsdarstellung (wie in Gl. (17) definiert):
Γl(sj)m=1
√NBJˆ
Ia
ˆsTbt Ta
Nbn NaBl j hIbTb,st|}IaTaiD(rzb)|uil jn hlm|.(20)
D(r)l¨
aßt sich am einfachsten unter der Annahme berechnen, daß sich das Projektil im inneren S-Zustand
befindet. Bei leichten Projektilen ist diese Annahme plausibel2. F¨
ur Deuteron-Stripping-Reaktionen hat
D(r)die einfache Form:
D(r) = ¯
Vzb(r)φa(r)≈−15,2e−1,232r/fm
r/fm MeVfm−3/2,(21)
wobei φa(r)der r¨
aumliche radiale Anteil der inneren Deuteron-Wellenfunktion und ¯
V(r)der Erwar-
tungswert des Proton-Neutron-Potentials im Spin-Isospin-Raum ist. In den weiteren Berechnungen muß
¨
uber r=rxb integriert werden. Deshalb sei hier bereits die Bezeichnung des Integrals
D0=4πZD(r)r2dr
2Die geringe D-Wellen-Beimischung des Deuterons f¨
allt in den Rahmen der Genauigkeit der DWBA-Methode insgesamt.
20
4.2 DWBA-Methode 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
eingef¨
uhrt. F¨
ur das Deuteron ergibt sich ein Wert von D2
0=1,58·104MeV2fm3. F¨
ur andere Kombinatio-
nen wie z.B. die hier verwendete Clusterung α= d + d, ist die Berechung von D(r)komplizierter, sollte
sich aber mit Hilfe der S-Wellen-Annahme immer noch durchf¨
uhren lassen. Leider sind Literaturwerte
f¨
ur D2
0(d,α) nicht zu finden, weshalb dieser Wert selbst aus den experimentellen Daten bestimmt werden
mußte.
4.2.6 Nullreichweitenn¨
aherung
Der Rechenaufwand kann erheblich reduziert werden, wenn es gelingt, eine Integrationsvariable zu eli-
minieren. Wird ein Einzelintegral z.B. durch 400 St¨
utzpunkte berechnet, so reduziert sich die Anzahl
der Summanden dadurch um einen Faktor 400 (von 4002auf 400). Dazu m¨
ussen die Vektoren rαund rβ
voneinander abh¨
angig sein. Dies kann man durch die vereinfachte Annahme erreichen, daß das Ejektil
am selben Punkt emittiert wird, an dem sich das Projektil auftrennt. Man kann auch sagen, daß das
Potential zwischen Ejektil und Transferteilchen deltaf¨
ormig ist, d.h. die Reichweite Null hat. Deshalb
nennt man diese N¨
aherung auch Nullreichweitenn¨
aherung. Die in Kapitel 4.2.5 eingef¨
uhrte ¨
Uberlapp-
funktion D(r)nimmt dann folgende Gestalt an:
D(rzb) = D0δ(rzb) = J−1δ(rβ−κrα),
mit κ=mβ/mα. Dies ist durch die S-Wellen-N¨
aherung auch gut begr¨
undet. Schließlich ist die S-Welle
stark um das Zentrum gepeakt (s. Gl. (21)), so daß die N¨
aherung durch eine Deltafunktion ganz gut sein
d¨
urfte. Wir nehmen bei den konkreten Berechnungen in Kap.7 an, daß dies auch f¨
ur das d+d-System
noch g¨
ultig ist. Durch die Deltafunktion werden die Integrationsvariablen voneinander abh¨
angig, und
aus dem Dreieck in Abb.5 wird eine gerade Linie:
rβ=mβ
mαrα=κrα.
Der Kernel (20) in der Ortsdarstellung wird damit zu
hrβ|Γl(sj)m|rαi=˜
flsj(rα)[ilYm
l(ˆrα)]∗δ(rβ−κrα),
und der reduzierte Kernel in der Ortsdarstellung l¨
aßt sich schreiben als:
hrβ|gLαLβ
l(sj)|rαi=iLα−Lβ−lˆ
Lβ
√4πLβl Lα
0 0 0 ˜
flsj(rα)δ(rβ−κrα)
κ2r2
α.
Im Falle der Nullreichweitenn¨
aherung erh¨
alt man f¨
ur ˜
flsj folgenden Ausdruck:
˜
flsj = (−)Ia−Ib+sˆ
IBˆ
Ia
√NBˆsˆ
lD0Bl juij(rα),
wobei uij(rα) = hrα|uil j.
W¨
ahlt man als Einfallsrichtung ˆ
kαdie z-Achse, so wird Mα=0. Man kann das Koordinatensystem
außerdem immer derart um die z-Achse drehen, so daß der ¨
ubliche Phasenfaktor e−Mβf¨
ur die auslau-
fenden Wellen verschwindet. F¨
ur die Kugelfunktionen kann man dann schreiben:
hˆ
kβ|LβMβihLαMα|ˆ
kαi=Y∗
LαMα(ˆ
kα)YLβMβ(ˆ
kβ) = ˆ
Lαˆ
Lβ
4πs(Lβ−Mβ)
(Lβ+Mβ)PLβ(cos(θ)).
21
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.2 DWBA-Methode
Mit Mβ=Ms−Mj=Ma−Mb−MB+MAist dann automatisch Mβfestgelegt. Die Summation ¨
uber Mβ
f¨
allt also ebenfalls weg. F¨
ur die T-Matrix erh¨
alt man schlußendlich:
TDWBA =√4π
kαkβX
lsj
Blsj ˆ
lIAj IB
MAmjMBX
Lβ
PMβ
Lβ(cos(θ)) X
JaLαJb
iLα−Lβ−lˆ
L2
βˆ
Iaˆ
jˆ
Jbˆ
Lα(22)
LαIaJa
0MaMJ
a LβIbJb
MβMbMJ
b Jbj Ja
−MJ
bmjMJ
aLβl Lα
0 0 0
LβIbJb
l s j
LαIaJa
Il j
JaLαJbLβ
Man hat jetzt nur noch ein einziges, eindimensionales Integral
Il j
JaLαJbLβ=1
κZdrαχ−
JbLβ(kβ,κrα)ul j(rα)χ+
JaLα(kα,rα)(23)
welches sich (relativ) leicht l¨
osen l¨
aßt.
4.2.7 Identische Nukleonen – Antisymmetrisierung
Alle bisherigen Berechnungen wurden f¨
ur exakt eine Konfiguration der Nukleonen durchgef¨
uhrt. Tat-
s¨
achlich handelt es sich bei den Nukleonen aber um nicht unterscheidbare, identische Teilchen. Die
T-Matrix (16) muß dann f¨
ur alle Permutationen πsowohl im Eingangs- wie auch im Ausgangskanal
berechnet werden. Nimmt man an, daß die inneren Zust¨
ande jedes Kerns bereits antisymmetrisiert sind,
so gibt es genau
nα=N
Nabzw. nβ=N
Nb
solcher Permutationen im Eingangs- bzw. Ausgangskanal. W¨
urden alle Integrale den gleichen Beitrag
zur T-Matrix liefern, so m¨
ußte der Wirkungsquerschnitt genau nαnβmal so groß sein. Daraus ergibt sich
der Normierungsfaktor 1/√nαnβ, und die antisymmetrisierte T-Matrix lautet folglich:
Tas
βα =1
√nαnβX
παπβ
sig(πα+πβ)PπαPπβTβα,
(Pπλist der Permutationsoperator.) Nicht alle Integrale mit permutierten Nukleonen liefern einen nen-
nenswerten Beitrag zu Tas
βα. Man unterscheidet zwischen direkten und Austauschtermen. Bei den direkten
Integralen besteht der Austauschkern z aus denselben Nukleonen, die auch im R¨
uckstoßkern B = a+z
zu finden sind. Davon gibt es offensichtlich zu jeder der nαPermutationen im Eingangskanal Na
Nz
M¨
oglichkeiten. Alle diese Integrale liefern den gleichen Beitrag Tβα. Bei den Austauschintegralen be-
findet sich mindestens ein Nukleon aus z in b, so daß dieses ¨
Uberlappintegral verschwindend gering
sein d¨
urfte. Somit unterscheidet sich die antisymmetrisierte T-Matrix nur um einen statistischen Faktor
von der urspr¨
unglichen:
Tas
βα =nαNa
Nz1
√nαnβTβα =sNa
NzNB
NzTβα.
Eine gute Erkl¨
arung der Antisymmetrisierung nebst weiteren Details ist zu finden bei [31].
22
4.2 DWBA-Methode 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
4.2.8 Identische Cluster – Symmetrisierung
Jede Regel hat eine Ausnahme, so auch die in Kap. 4.2.7 aufgestellte Behauptung, daß die Austauschter-
me vernachl¨
assigbar sind. Treten n¨
amlich im Eingangs- oder Ausgangskanal identische Clusterteilchen
auf, so gibt es keine experimentelle M¨
oglichkeit, den Term, bei dem beide Clusterteilchen komplett
vertauscht sind, vom urspr¨
unglichen zu unterscheiden. Es gibt nur ganz wenige solcher Reaktionen mit
leichten Kernen wie z.B. d+d. In der hier untersuchten Reaktion 6Li(d,α)4He hat man es mit zwei Alpha-
Teilchen im Ausgangskanal zu tun. Die T-Matrix in Richtung kβinterferiert dann mit der T-Matrix in
Richtung −kβ. Haben die Teilchen außerdem einen Spin, so sind nur die Terme mit vertauschtem Spin
ununterscheidbar. Allgemein kann man schreiben:
Ts
MaMAMbMB(kα,kβ) = TMaMAMbMB(kα,kβ)+εTMaMAMBMb(kα,−kβ),
wobei ε=1 f¨
ur Bosonen und ε=−1 f¨
ur Fermionen steht. Diesen Vorgang nenn man allgemein Symme-
trisierung der T-Matrix, obwohl im Falle der Fermionen eigentlich eine Antisymmetrisierung stattfindet.
Sind die Teilchen im Eingangskanal identisch, so gilt die Beziehung entsprechend f¨
ur kα,Maund MA.
Eine gute Beschreibung und weitere Details findet man in [20], Kap. 9.7.
Wie wirkt sich die Symmetrisierung auf die T-Matrix in der LSJ-Darstellung aus? Wegen der Sym-
metrie der Clebsch-Gordan-Koeffizienten bei der Kopplung von Ib,Mbund IB,MBzum Kanalspin Sβund
wegen der Symmetrieeigenschaften der Kugelfl¨
achenfunktionen ergibt sich vor jedem S-Matrixelement
f¨
ur den Ausgangskanal ein Faktor 1+(−)Lβ+Sβ.
In Worten: F¨
ur einen festen Kanalspin verschwindet jeder zweite Bahndrehimpulsterm, die anderen
Terme verdoppeln sich. F¨
ur den Eingangskanal gilt Analoges. Im Falle spinloser Bosonen wie bei
6Li(d,α)4He verschwinden die Terme mit ungeradem Bahndrehimpuls. Aus der Parit¨
atserhaltung oder
Gl. (12) folgt dann, daß auch nur jeder zweite Drehimpulsterm im Eingangskanal ¨
uberlebt. Dies f¨
uhrt
im Wirkungsquerschnitt zu einer Winkelverteilung, die in Vorw¨
arts- und R¨
uckw¨
artsrichtung gleich ist,
was aus Symmetriegr¨
unden auch so sein muß.
Das Programm DWUCK4 f¨
uhrt die Symmetrisierung f¨
alschlicherweise an den radialen Integralen
in Gl. (22) durch, indem es bei Bosonen die Terme mit geradem Bahndrehimpuls und bei Fermionen
die Terme mit ungeradem Bahndrehimpuls ausblendet und die ¨
ubrigen verst¨
arkt. Dabei wird aber
•der Kanalspin nicht ber¨
ucksichtigt
•die Tatsache ignoriert, daß durch eine Spin-Bahn-Kopplung die Spins umklappen k¨
onnen.
Die Symmetrisierung ist an der gesamten T-Matrix durchzuf¨
uhren, nicht an den radialen Integralen. Da
die Spin-Bahn-Kopplung aber oft gering ist und im Falle zweier α-Teilchen der Kanalspin nur Null sein
kann, wird in diesem Fall die Symmetrisierung fast richtig durchgef¨
uhrt. Durch die unten beschriebene
notwendige Umrechnung auf die LSJ-Darstellung (s. Kap. 4.3) konnte die Symmetrisierung aber korrekt
durchgef¨
uhrt werden. Die Korrektur betrug etwa 10% des differentiellen Wirkungsquerschnitts.
4.2.9 Berechnung der radialen Integrale
ul j in Gl. (23) wird interpretiert als Schalenmodellzustand des Austauschteilchens z im Orbit des Kerns
B. In der einfachsten Annahme kann ul j deshalb als harmonischer Oszilatorzustand mit den Quanten-
zahlen lf¨
ur Bahndrehimpuls und jf¨
ur den Gesamtdrehimpuls interpretiert werden. Das Computerpro-
gramm DWUCK4 geht zur Berechnung folgendermaßen vor: Es wird außerdem noch die Hauptquan-
tenzahl nund das Potential f¨
ur den gebundenen Zustand verlangt. Dieser harmonische Oszillatorzustand
wird nun lediglich als Ausgangspunkt genommen, um im eingegebenen Optischen Potential ¨
uber ein ite-
ratives Verfahren (Numerov-Fox-Goodwin-Milne Methode) den n¨
achstm¨
oglichen gebundenen Zustand
23
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.3 Umordnung der Matrixelemente
zu ermitteln. Dabei kann wahlweise die Bindungsenergie oder die Potentialtiefe angepaßt werden. In
der Regel wird man die Bindungsenergie nicht variieren, da diese genau bekannt ist. Vom Optischen
Potential darf nat¨
urlich nur der Realteil verwendet werden, da der Zustand gebunden sein soll.
Die Hauptquantenzahl kann nach der Knotenregel (s. [20], Kap. 16.4.2.1) aus den Quantenzahlen
der einzelnen Nukleonen des Austauschteilchens ermittelt werden. Diese wiederum erh¨
alt man aus der
BesetzungsreihenfolgeimSchalenmodell.ImFalle der Nullreichweitenn¨
aherunglautetdieKnotenregel:
Q=2(n−1)+l=X
i
2(ni−1)+li,
wobei niund lidie Quantenzahlen der einzelnen Nukleonen sind. Qist die Gesamtzahl der Quanten. Im
Falle der Reaktion 6Li(d,α)4He beispielsweise ist z = d und B = α. Zu betrachten ist also ein Deuteron
im Orbit eines α-Teilchens. F¨
ugt man die Nukleonen nacheinander an das α-Teilchens an, so l¨
age der
n¨
achste freie Zustand auf der 1p-Schale, d.h. n1=n2=1 und l1=l2=1. Folglich h¨
atte man es mit Q=2
harmonischen Oszillatorquanten zu tun. Die Beziehung zwischen nund lw¨
are damit festgelegt. Da man
laus den Transfergr¨
oßen (Kap. 4.2.2) bestimmen kann, sind damit alle Quantenzahlen festgelegt. Eine
konkrete Rechnung dazu speziell f¨
ur die Reaktion 6Li(d,α)4He findet man bei [32].
Diese ¨
Uberlegungen wurden in dem selbstgeschriebenen Programm DiWaN (s. Kap. 7.2) automa-
tisch durchgef¨
uhrt. Dazu wurden die niedrigsten Schalenmodellzust¨
ande bis 40Ca, also bis zu n=2
einprogrammiert. Da auch die Transfergr¨
oßen automatisch ermittelt werden, gen¨
ugt es, lediglich die
Reaktionsteilchen anzugeben. Die DWBA-Rechnung wird dann vollst¨
andig durchgef¨
uhrt.
4.3 Umordnung der Matrixelemente
Nach der Berechnung des direkten Reaktionsanteils muß der resonante Anteil nun hinzuaddiert werden.
Dabei stellt sich die Frage, in welcher Darstellung beide Anteile am besten zusammengef¨
ugt werden.
F¨
ur den resonanten Anteil ist die ”nat¨
urliche” die LSJ-Darstellung, f¨
ur den direkten die M-Darstellung.
Schließlich werden noch die Legendre-Koeffizienten BLund der Wirkungsquerschnitt ben¨
otigt.
Abbildung 6 zeigt zwei m¨
ogliche Rechenwege: Beim ersten werden die T-Matrizen in der LSJ-Dar-
stellung addiert, beim zweiten in der M-Darstellung. Von der gesamten T-Matrix kommt man in der LSJ-
Darstellung am schnellsten zu den BL-Koeffizienten und von diesen wieder zum Wirkungsquerschnitt.
Bei der M-Darstellung kommt man leicht zum Wirkungsquerschnitt, aber nur ¨
uber den Umweg der
LSJ-Darstellung zu den BL. Der erste Weg ist also eindeutig g¨
unstiger, auch wenn die radialen Integrale
zun¨
achst in eine T-Matrix der LSJ-Darstellung umgerechnet werden m¨
ussen. Gerade dieser Umweg l¨
aßt
sich aber einsparen, wie Satchler gezeigt hat (s. [20], Kap. 9). Der Weg soll hier kurz skizziert werden:
Gl. (22) gibt die DWBA-Amplitude in (MAMakαMBMbkβ)-Darstellung an. Diese wird wiederum
aus den radialen Integralen Ilsj
JaLαJbLβ, die von den Transfergr¨
oßen abh¨
angen, gebildet. Der umst¨
andliche
Rechenweg w¨
are also folgender:
Ilsj
JaLαJbLβ→TDWBA
MBMbMAMa(kβ,kα)→TD
LβSβLαSαJ
Es gibt aber auch einen direkten Weg, aus den radialen Integralen die S-Matrixelemente in der LSJ-
Darstellung auszurechnen,
Ilsj
JaLαJbLβ→TD
LβSβLαSαJ.
Dabei muß beachtet werden, daß sich die Transfergr¨
oßen auf den Kernel beziehen und nicht auf den
gesamten Reaktionsprozeß. Es kann n¨
amlich sein, daß bei der elastischen Streuung sowohl im Eingangs-
als auch im Ausgangskanal die Spins und Bahndrehimpulse durch die Optischen Potentiale ver¨
andert
werden. Folgende Formel wird von Satchler [20] vorgeschlagen:
˜
TD
LβSβLαSαJ=ipµαµβkαkβ
(2π¯h)2X
˜
l˜s˜
j
(−)J+˜
l−Sαˆ
Sαˆ
Sβˆ
˜sˆ˜
jˆ
˜
l2W(Lα,Lβ,Sα,Sβ;˜
lJ)
˜
l˜s˜
j
SβIbIB
SαIaIA
ELβLα
˜
l˜s˜
j.
24
4.3 Umordnung der Matrixelemente 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
Ilj
JЋLЋJЌLЌ
TDWBA
MBMbMAMa
TD
LЌSЌLЋSЋJ
TR
LЌSЌLЋSЋJ
TLЌSЌLЋSЋJ
BL
М
Ilj
JЋLЋJЌLЌ
TDWBA
MBMbMAMa
TR
LЌSЌLЋSЋJ
TLЌSЌLЋSЋJ
BL
М
TR
MBMbMAMa
TMBMbMAMa
Abbildung 6: Zwei m¨
ogliche Rechenwege
˜
l˜s˜
jsind hierbei die besagten, auf den Gesamtreaktionsprozeß bezogenen Gr¨
oßen. ELβLα
˜
l˜s˜
jhat ungef¨
ahr die
Bedeutung der radialen Integrale. Der Zusammenhang zu den vormals definierten Gr¨
oßen XL0
βLβJbL0
αLαJa
lsj
ist gegeben durch:
ELβLα
˜
l˜s˜
j=δ(j˜
j)X
lsLβJbL0
αJa
4π(−)Lβˆsˆ
˜sˆ
J2
bˆ
J2
aˆ
l2
˜
l˜s˜
j
LβIbJb
LαIaJa
l s j
L0
βIbJb
L0
αIaJa
XL0
βLβJbL0
αLαJa
lsj .
DWUCK ber¨
ucksichtigt nur Potentiale, die diagonal in Lλsind. In diesem Falle wird L0
β=LβL0
α=Lα
und die Formel vereinfacht sich entsprechend. F¨
ur diesen Fall und f¨
ur die Nullreichweitenn¨
aherung ist
der Zusammenhang zu den radialen Integralen gegeben durch:
XLβJbLαJa
lsj =iLα+Lβ−lˆ
Lαˆ
Lβ
ˆ
lLβLαl
0 0 0 4πB
kαkβA
ˆ
IBˆ
Ia
ˆsˆ
l√B(−)Ia−Ib+sBl jD0FIlsj
JaLαJbLβ.
Somit sind alle Voraussetzungen geschaffen, den direkten Anteil mit dem resonanten zu mischen. F¨
ur
die numerische Berechnung m¨
ussen also die radialen Integrale aus DWUCK extrahiert, in eine LSJ-T-
Matrix umgerechnet, mit dem resonanten Anteil gemischt und daraus schließlich die Legendreplynom-
Koeffizienten berechnet werden. Details des numerischen Verfahrens werden in Kap. 7 gezeigt. Einige
¨
Uberlegungen zum resonanten Anteil findet man im n¨
achsten Kapitel 4.4.
25
4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes 4.4 Eigenschaften der Resonanz
4.4 Eigenschaften der Resonanz
Gl.(12) (Kap.4.1.4) verr¨
at einiges ¨
uber die Eigenschaften einer Resonanz. Dabei ist davon auszuge-
hen, daß Lα,Sα,Lβ,Sβund J”gute“ Quantenzahlen sind, d.h., daß sich der Compoundkern in einem
Resonanzzustand mit nur genau einer solchen Kombination von Quantenzahlen befindet. Die Summe
verschwindet dann automatisch und es gilt Lα=¯
Lαusw. Die Winkelverteilung h¨
angt nur noch von den
Eigenschaften der Z-Koeffizienten ab. Wegen des darin enthaltenen Clebsch-Gordan-Koeffizienten, der
jetzt LαLαL
0 0 0
lautet, muß 2Lα+Lgerade sein, was nur m¨
oglich ist, wenn Lgerade ist. Alle BLmit ungeradem L
verschwinden also, oder anders ausgedr¨
uckt:
Die Winkelverteilung einer isolierten Resonanz ist immer symmetrisch zu 90◦.
In der Regel werden mehrere Kan¨
ale offen sein und zum gleichen Jπ-Resonanzzustand f¨
uhren. Ange-
nommen, eine bestimmte Lα-Sα-Kombination f¨
uhrt zum Jπ-Zustand; will man die gleiche Resonanz mit
h¨
oherem Bahndrehimpuls ansprechen, so k¨
ame wegen der Parit¨
atserhaltung als n¨
achstes nur Lα+2 in
Frage. Das gleiche gilt nat¨
urlich auch f¨
ur den Ausgangskanal. Daraus folgt:
F¨
ur einen Kanal sind entweder alle Bahndrehimpulse gerade oder ungerade.
In Abschnitt 4.5 wird außerdem folgende Behauptung bewiesen:
Verschiedene Resonanzen bzw. die Resonanzanteile in unterschiedlichen Kan¨
alen k¨
onnen nur mit-
einander interferieren, wenn alle Spinquantenzahlen gleich sind.
Umgekehrt ausgedr¨
uckt: Haben zwei Resonanzanteile unterschiedliche Spinquantenzahlen, so d¨
urfen
ihre Beitr¨
age zum Wirkungsquerschnitt einfach inkoh¨
arent addiert werden.
Die ˜
T-Matrix aus Gl. (9) kann noch vereinfacht werden, indem man (11) in (10) und (9) ineinander
einsetzt.
˜
TR=−ei(ξα+ξβ)pΓαΓβ
Γ/2+i(ER−E)=−ei(ξα+ξβ)√ραγα
|GFα|
√ρβγβ
|GFβ|
1
Γ/2+i(ER−E)
(Definitionen wie bei Gl. (11)). Die Streuphase ξλsetzt sich zusammen aus der Coulombphase σLλund
der Coulomb-Streuphase (Hardcore-Phase) φλ:
ξλ=σLλ−φλ, wobei σLλ=argΓ(1+Lλ+iηλ)und φλ=arg(GFλ)
ηλist der Sommerfeldparameter und Γ() die Gamma-Funktion3(nicht zu verwechseln mit der Reso-
nanzbreite). Gl. (9) vereinfacht sich damit zu
˜
TR=−eiσLα√ραγα
|GFα|eiφα
eiσLβ√ρβγβ
|GFβ|eiφβ
1
Γ/2+i(ER−E).
Mit |GFλ|eiarg(GFλ)=GFλerh¨
alt man dann die besonders symmetrische Form:
˜
TR=−γα
C(Lα,ηα,ρα)
γβ
C(Lβ,ηβ,ρβ)
1
Γ/2+i(ER−E),wobei C(L,η,ρ) = e−iσLGF(L,η,ρ)
√ρ=w+
√ρ.
Die komplizierten C()-Funktionen m¨
ussen f¨
ur jede Energie nur einmal berechnet werden, w¨
ahrend bei
einer ¨
Anderung der Resonanzbreite, St¨
arke und Position die Neuberechung der T-Matrix fast trivial ist.
Dadurch lassen sich die numerischen Berechnungen erheblich beschleunigen.
3Zur Berechnung der Gamma-Funktion s.a. [26].
26
4.5 Interferenz 4Theoretische Beschreibung des Interferenzeffektes
4.5 Interferenz
Zum Schluß des theoretischen Teils soll kurz noch dargestellt werden, wie die Addition beider T-
Matrizen konkret durchgef¨
uhrt wurde. Dabei gibt es nicht nur Vereinfachungen sondern auch prinzi-
pielle Zusammenh¨
ange, die deutlicher sichtbar werden.
Zum besseren Verst¨
andnis werden jetzt folgende Abk¨
urzungen eingef¨
uhrt:
s= (Sα,Sβ),q= (Lα,Lβ,J),zq¯qsL =˜
Z(LαJ¯
Lα¯
JSαL)·˜
Z(LβJ¯
Lβ¯
JSβL),ps= (−)Sα−Sβ,f1= (4k2
αˆ
I2
Aˆ
I2
a)−1
Gleichung (12) (Kap.4.1.4) nimmt damit folgende Form an:
BL=f1X
s
psX
q¯q
zq¯qsL ˜
Tsq ˜
T∗
s¯q(24)
DasT-Matrix-Elementf¨
ureinebestimmtesq-Kombination wird jetzt zusammengesetzt aus dem direkten
und resonanten Anteil: ˜
Tsq =˜
TD
sq +δssRδqqR˜
TR,
wobei sRund qRdie Quantenzahlen der Resonanz Rsind. Man kann hier auch mehrere Resonanzen
zulassen, bzw. die Resonanz in mehreren Kan¨
alen wirken lassen. Dann m¨
ussen diese Anteile summiert
werden: ˜
Tsq =˜
TD
sq +X
R
δssRδqqR˜
TR.
Gleichung (24) wird damit zu:
BL=BD
L+BR
L+BI
L
BD
L=f1X
s
psX
q¯q
zq¯qsL ˜
TD
sq ˜
TD∗
s¯q
BI
L=f1X
R
psRX
q
zqqRsRL2Re(˜
TR∗˜
TD
sRq)
BR
L=f1X
R˜
RsR=s˜
R
psRzqRq˜
RsRL˜
TR˜
T˜
R∗(25)
Hat man es nur mit Resonanzen zu tun, so verschwinden BD
Lund BI
L. Der letzte Ausdruck ist folgen-
dermaßen zu interpretieren: Hat man es mit beispielsweise 2 Resonanzen zu tun, die unterschiedliche
Spinquantenzahlen haben, Sα6=˜
Sαoder Sβ6=˜
Sβ, so tragen nur Terme zur Summe bei, f¨
ur die R=˜
Rist.
Es wird also inkoh¨
arent ¨
uber die Resonanzen summiert. Haben die beiden Resonanzen gleiche Spins,
Sα=˜
Sαund Sβ=˜
Sβ, so k¨
onnen sie miteinander interferieren, was die Behauptung in Kap. 4.4 be-
weist. Bei der Berechnung von BI
Lwurde davon Gebrauch gemacht, daß zq¯qsL =z¯qqsL. Bei inkoh¨
arenter
Mischung wird einfach BI
L=0 gesetzt.
27
5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen
5 Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen
Alle Messungen wurden am 200-kV-Linearbeschleuniger der Kernphysik-Arbeitsgruppe in den Kel-
lerr¨
aumen des Instituts f¨
ur Atomare und Analytische Physik (jetzt Institut f¨
ur Atomare Physik und
Fachdidaktik) der TU-Berlin durchgef¨
uhrt. Die tats¨
achliche maximale Hochspannung betr¨
agt ca. 170
kV und reicht somit f¨
ur den Anschluß an die Meßdaten der Reaktion 6Li(d,α)4He anderer Gruppen
aus. Dieser Beschleuniger liefert noch bei niedrigen Spannungen stabile und hohe Str¨
ome, so daß er f¨
ur
niederenergetische Sub-Coulombschwellen-Messungen gut geeignet ist. Seine Komponenten und der
Versuchsaufbau sollen hier kurz beschrieben werden.
5.1 Ionenquelle
HF-Quelle
Solenoid
Gaseinlaß
Ziehspannung
Ionenquelle-Wand
Zu Linse, Fokus und HV-Kaskade
Glaszylinder
Abbildung 7: Ionenquelle
Die Deuterium-Ionen werden in einer Hochfrequenzionenquelle erzeugt: ¨
Uber den Gaseinlaß ge-
langen die Atome (bzw. D2- und D3-Molek¨
ule) in die Glasr¨
ohre. Zwei Ringe koppeln das von einer
Hochfrequenzquelle (ca 70 MHz, also eigentlich RF) erzeugte Feld in die R¨
ohre ein. Bei ausreichend
hoher Sendeleistung wird das Gas ionisiert. Links befindet sich eine Metallkappe, an der eine positive
Spannung von einigen hundert Volt anliegt. Mit Hilfe dieser Anoden- oder Ziehspannung gelangen
die Ionen an den rechten Rand der R¨
ohre. Das rechte Ende der Ionisationsr¨
ohre ist noch von einer Spule
umschlossen, dem Solenoid. Er erzeugt ein Magnetfeld in Beschleunigungsrichtung und sorgt so daf¨
ur,
daß die effektive Wegl¨
ange der Elektronen erh¨
oht und somit das Gas besser ionisiert wird. Unmittelbar
hinter der Austrittsblende ist der Strahl stark divergent. Ein starkes elektrisches Feld in Strahlrichtung
(erzeugt von der sog. Linse) erh¨
oht zun¨
achst die longitudinale Impulskomonente. Eine elektrostatische
Einzellinse (hier Fokus genannt) fokussiert den Strahl anschließend.
Die sechs Parameter (Gaszufuhr, Solenoidst¨
arke, Linsenspannung, Fokusspannung, Anodenspan-
nung und Sendeleistung) lassen sich kontinuierlich einstellen. Da sich bei Betrieb die gesamte Ap-
paratur unter Hochspannung befindet, muß die Steuerung galvanisch entkoppelt sein. Beim 400-kV-
Beschleuniger wurde dies mit Glasfaserleitungen realisiert. Bei dem hier verwendeten ¨
alteren 200-kV-
Beschleuniger sind die Regler mechanisch angekoppelt. Dabei werden die Regler f¨
ur die Spannungstei-
ler und f¨
ur das Gasventil ¨
uber lange Plastikstangen aus der Hochspannung herausgef¨
uhrt. ¨
Uber außen
befindliche Steuermotoren k¨
onnen die Parameter eingestellt werden. Die Steuermotoren werden mit
110 Volt AC betrieben - einer f¨
ur Drehung im und einer f¨
ur Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Die
Stellung kann ¨
uber mitgedrehte Potentiometer herausgefunden werden. Die Ansteuerung erfolgt ¨
uber
ein Spezialger¨
at der Schweizer Firma Accelerator Physics.
28
5.2 Beschleuniger 5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen
W¨
ahrend des Langzeitbetriebs ist es notwendig, die Parameter etwas nachzuregeln. Beispielsweise
kann ein leichtes Absacken des Gasdrucks dazu f¨
uhren, daß der Plasmawiderstand steigt und somit die
effektive Anodenspannung sinkt. Dann m¨
ussen der Gasdruck oder die Anodenspannung nachgeregelt
werden. Langzeitmessungen sind also nur m¨
oglich, wenn diese Nachregelung automatisiert wird. Bei
der oben erw¨
ahnten Potentiometertechnik ist das etwas aufwendig, hat sich aber als lohnend erwiesen.
Mit Hilfe der selbstgebauten Fernsteuerung k¨
onnen die wichtigsten Parameter der Beschleunigeranla-
ge jederzeit nachgeregelt werden. Eine Schnittstelle zum Internet sorgt außerdem daf¨
ur, daß sich die
Quellparameter jederzeit von jedem Ort aus nachregeln und abfragen lassen (Details dazu im Anhang).
5.2 Beschleuniger
Ionenquelle
Ablenkmagnet
200-kV-Beschleuniger
Steerer
Targetkammer
elektr.
Quadrupole
Beschleunigungsstrecke
100 cm
Abbildung 8: 200-kV-Beschleuniger
Abbildung8 zeigt den komplettenAuf-
Öl
Primärseite
Sekundärseite
220 V ~
Zum
Beschleuniger
Heinzinger
+60 kV
Abbildung 9: Erzeugung der Hochspannung. Die Netzspan-
nung wird aufmoduliert.
baudesBeschleunigers.DieIonenquel-
le befindet sich in der bleiummantelten
Kammer links. Die sich anschließende
Beschleunigungskaskadebestehtaus20
Teilstrecken, die jeweils ¨
ubereinenWi-
derstand miteinander verbunden sind.
So entsteht ein m¨
oglichst homogenes
elektrisches Feld und ein gleichm¨
aßi-
ger Spannungsabfall. Die gesamte Io-
nenquellekannaufbiszu+160kVHoch-
spannung gelegt werden. Parallel zur
Kaskade befindet sich eine Kette von
202,5-GΩ-Pr¨
azisionswiderst¨
andenmit
einemkleinerenWiderstand am Erdungs-
ende, so daß die Hochspannung genau (ca. 0,5 % Fehler) im Verh¨
altnis 1/105geteilt wird und so ¨
uber
ein hochohmiges Pr¨
azisionsmeßger¨
at gemessen werden kann.
In der hochliegenden Ionenquelle (s. Kap. 5.1) befinden sich Steuerungskomponenten, die mit nor-
maler Netzspannung (220 V∼) betrieben werden. Diese wird der Ionenquelle ¨
uber die aus der Kammer
herausf¨
uhrenden Hochspannungsleitungen zugef¨
uhrt. Dabei wird ¨
uber einen hochspannungsfesten, in
29
5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen 5.3 Strahlf¨
uhrung
¨
Ol gelagerten Transformator der HV eine Wechselspannung von 220 V aufmoduliert. In dem gleichen
¨
Olbad befindet sich auch die Hochspannungskaskade mit Greinacher-Schaltung. Dies ist die Original-
konstruktion von Accelerator Physics. F¨
ur Langzeitmessungen bei kleinen Energien hat es sich aller-
dings als schwierig erwiesen, die Hochspannung und den Strahlstrom konstant zu halten. Aus diesem
Grunde wurde f¨
ur kleinere Energien ein hochstabilisiertes 60-kV-Ger¨
at der Firma Heinzinger anstelle
der Originalkaskade angeschlossen. Dazu muß die im ¨
Olbad befindliche Kaskade abgeklemmt und der
HV-Anschluß vom Heinzinger-Ger¨
at in das ¨
Ol hineingef¨
uhrt werden (s. Abb. 9).
5.3 Strahlf¨
uhrung
Elektrischer Quadrupol
Schieber
Steerer
Ablenkmagnet
Pumpsystem
Pumpsystem
Abbildung 10: Strahlf¨
uhrung
Hinter der Beschleunigungsstrecke befindet sich ein elektrischer Quadrupol zur Fokussierung. Darauf
folgt ein Separiermagnet zur Trennung der D+
2von der D+-Ionen und zum Herausfiltern von weiteren
Verunreinigungen (Restgase in der Gasampulle). Der Ionenstrahl hat an dieser Stelle einen Durchmes-
ser von einigen Zentimetern. Im Anschluß daran befinden sich zwei Pumpsysteme, um das Vakuum
gleichm¨
aßig konstant auf ca. 10−6mbar zu halten. Der folgende hochvakuumfeste Schieber kann das
gesamte System bis hierher abtrennen, so daß Ionenquelle und Targetkammer getrennt bel¨
uftet werden
k¨
onnen. Zwischen Schieber und Targetkammer befindet sich noch ein Steerer zum Herausfiltern von
Kohlenstoff (s. Abb. 10). Er wurde f¨
ur unsere Messungen aber nicht verwendet,
dadiekleineVerbesserungdesVakuumsnichtdenAuf-
Target
B1
B2
Zylinder
D1
D2
D3
D4
Abbildung 11: Targetkammer
wand rechtfertigt, die Targetkammer zu drehen. Meh-
rere Blenden im Strahlrohr sorgen f¨
ur ein gleichm¨
aßi-
ges,kreisf¨
ormigesStrahlprofil.DieStromst¨
arkebetr¨
agt
hier etwa 100 µA.
5.4 Targetkammer
An den Steerer schließt sich die Targetkammer an.
Durch zwei Blenden wird der Strahl auf einen Durch-
messer von erst 1 cm, dann 5 mm reduziert. Damit die
dadurch ausgel¨
osten Elektronen nicht auf die Detek-
toren treffen, wurde dazwischen ein geerdetes Schutz-
blech montiert (s. Abb. 11). Das Target ist von einem
Zylinder umgeben, der eine Eintritts¨
offnung f¨
ur den
Strahl und eine gemeinsame schlitzf¨
ormige ¨
Offnung
f¨
ur die vier Detektoren besitzt, die unter den Winkeln
158◦, 138◦, 116◦und 93◦standen. F¨
ur die Strommessung kann eine negative Gegenspannung zur
Sekund¨
arelektronenunterdr¨
uckung am Zylinder angelegt werden. Es ist aber auch m¨
oglich, Zylinder
und Target zu verbinden und so den Gesamtstrom zu messen, der in den Zylinder eintritt. F¨
ur 6Li+d–
Messungen kam es nur auf die Winkelverteilung und nicht auf den gesamten Wirkungsquerschnitt an.
Deshalb war hier die Strommessung nur zweitrangig.
30
5.5 Targethalter 5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen
5.5 Targethalter
Ziel der Messungen war es, eine m¨
oglichst genaue Winkelverteilung bei m¨
oglichst kleinen Energien zu
erhalten. F¨
ur eine gute Raumwinkelaufl¨
osung muß der Abstand Target-Detektor groß bzw. der Strahl-
fleck klein sein. Andererseits muß f¨
ur eine gute Z¨
ahlstatistik der Abstand klein bzw. der Strahlfleck groß
sein.
Grob gesch¨
atzt kann man sagen, daß eine Anisotropie von 5% eine Meßgenauigkeit des Raum-
winkels von ∆Ω/Ω≈5% voraussetzt. Die Entfernung Strahlfleck-Detektor darf somit wegen der √Ω-
Abh¨
angigkeit um h¨
ochstens 2,5% schwanken. Bei einer maximalen durch die Geometrie der Target-
kammer beschr¨
ankten Entfernung von 12 cm sind das maximal 3 mm. Zur Raumwinkeleichung muß
ein Eichpr¨
aparat auch an exakt der gleichen Stelle positioniert werden. Zu diesem Zweck wurde am
Targethalter eine Klappe mit einer ¨
Offnung in Strahlh¨
ohe montiert (Abb.12). Die kreisf¨
ormige ¨
Offnung
Sicht von der Seite
Sicht vom Strahl
... von oben
unten
Abbildung 12: Targethalter
hat einen etwas geringeren Durchmesser als der Strahl (ca.4 mm) und sorgt daf¨
ur, daß der Strahl immer
an (theoretisch) exakt der gleichen Position relativ zu den Detektoren aufs Target f¨
allt. Auch kann das
Pr¨
aparat nun m¨
uhelos an der Stelle des Strahlflecks positioniert werden. Ein weiterer Vorteil besteht in
der besseren Ausnutzung des Targets, das eine Gr¨
oße von ca 2 cm x 2 cm hat. Man muß es hinter der
Klappe nur verschieben und kann somit bis zu 8 Strahlflecken auf ihm unterbringen.
Der Targethalter wird an der Unterseite der Kammer an einer Messingstange aus dem Vakuum
gef¨
uhrt. An dieser Stange wird der Strom gemessen bzw. abgef¨
uhrt. Diese Konstruktion hat den gra-
vierenden Nachteil, daß zu viele bewegliche Teile das Target halten. Nach ¨
Offnen und Schließen der
Klappe kann das Loch m¨
oglicherweise um einen Millimeter verschoben sein. Die gesamte Stange kann
auch durch die Hebelwirkung den Halter um ein bis zwei Millimeter verschieben. Der systematische
Fehler der Raumwinkelmessungen wurde somit immer auf 6-7% gesch¨
atzt. Die Auswirkung auf die
Genauigkeit der Winkelverteilung ist allerdings nicht so groß, da sich dadurch die Z¨
ahlraten in allen
Detektoren in ¨
ahnlichem Verh¨
altnis ver¨
andern.
5.6 Das Target
F¨
ur die meisten Messungen wurden 10 µg/cm2dicke, 2 cm x 2 cm große 6LiF-Target auf 0,2 mm
Kupferbacking verwendet. Auch dicke Targets (2 mm) wurden verwendet, die sich allerdings wegen der
31
5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen 5.7 Detektoren und Meßelektronik
starken Oxidation als problematisch erwiesen (bei den d¨
unnen Targets ist Li an F gebunden). Hergestellt
wurden die Targets am HMI Berlin, leider mit großen Unsicherheiten in der Dicke (10%-20%) aber
totale Wirkungsquerschnitte waren zum Gl¨
uck nicht das prim¨
are Meßziel.
5.7 Detektoren und Meßelektronik
Die verwendeten Halbleiterdetektoren sind ausschließlich vom Typ Canberrra PD-100-13-100 (Partially
depleted, 100 mm2aktive Fl¨
ache, 13 keV α-Aufl¨
osung, 100 µm Dicke), hergestellt nach dem PIPS-
Verfahren (Passivated Implanted Planar Silicon). Die maximale Energie, bei der die Ejektile gestoppt
werden, betr¨
agt bei dieser Dicke f¨
ur α-Teilchen 15 MeV und f¨
ur Protonen 7 MeV, was bei den hier
erwarteten Energien von 11 MeV resp. 3 MeV ausreicht. Durch das PIPS-Herstellungsverfahren ist das
Eintrittsfenster vernachl¨
assigbar d¨
unn.
Bei niederenergetischen Messungen werden wegen der 1/E2-Abh¨
angigkeit des Rutherford-Wir-
kungsquerschnitts sehr viele Deuteronen elastisch gestreut (ca. 106-107pro Sekunde bei 10 µA Strahl-
strom verglichen mit nur wenigen α-Teilchen pro Minute), die sich nicht nur als Untergrund im Spek-
trum bemerkbar machen, sondern auch den Detektor zerst¨
oren k¨
onnen. Deshalb wurden Aluminium-
Schutzfolien mit einer Dicke von 300 µg/cm2vor den Detektoren platziert. Wegen der geringen Energie,
die ungef¨
ahr der Einschußenergie entspricht, reicht diese Foliendicke aus, die gestreuten Deuteronen
vollst¨
andig zu stoppen.
Die mit 40 Volt ,,Hochspannung” betriebenen Detektoren werden von Vorverst¨
arkern des Typs Ten-
nelec TC242 versorgt. Es schließen sich Hauptverst¨
arker vom Typ Tennelec TC242 und Canberra 2022
an. Der Strom wurde ¨
uber einen speziell vom HMI Berlin angefertigten Integrator gemessen, der ei-
ne zum Strom proportionale Impulsrate liefert. Die Impulse wurden in das VME-Modul (s. Kap. 5.8)
eingespeist, so daß die Ladung zusammen mit den Detektorsignalen verarbeitet werden konnte (s.u.).
5.8 Datenerfassung
Ver¨
anderungenamTarget w¨
ahrendderBe-
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Ladung in C
Ereignisse alpha-Kanal
Abbildung 13: Targetabnutzung, sichtbar gemacht durch
Online-Kontrolle. Die vier Farben stehen f¨
ur die vier Detek-
toren, die rote Linie f¨
ur die lineare Extrapolation von kleinen
Ladungen zu großen.
strahlunglassensichnichtvermeiden. Die
HaupteffektesinddabeiBeschichtungund
Abtragung. Der aus dem Pumpen¨
ol re-
sultierende, im Strahl mitgef¨
uhrte Koh-
lenstofflagertsichaufdemTarget ab. Schon
geringe Schichtdicken f¨
uhren zu einem
Energieverlust,der den Wirkungsquerschnitt
deutlichreduziert.St¨
arkerbei diesen Mes-
sungenwaraber der Abtragungseffekt, der
sich in einem pl¨
otzlichen Abknicken der
Z¨
ahlraten bemerkbar macht (s. Abb. 13).
Die Effekte lassen sich anhand der Ener-
gieabh¨
angigkeit unterscheiden (Gamow-
Faktor). Dazu ist eine Online-Kontrolle
der Messungen unbedingt erforderlich.
DiemeistenVielkanalsysteme bieten die-
se Funktionalit¨
at aus unverst¨
andlichen
Gr¨
unden nicht an. Es war deshalb n¨
otig,
ein eigenes Vielkanalsystem zu entwickeln. Eine Beschreibung des Kommunikationsprotokolls befindet
sich in Anhang C und mehr Details in [36]. Hier sind nur die wesentlichen Merkmale zusammengefaßt:
32
5.8 Datenerfassung 5Experiment zur Untersuchung der d+6Li-Reaktionen
•Gekapselter Ablauf der Messungen in eigenem VME4-Bus-System.
•Protokollierter Zugriff auf die Meßdaten ¨
uber einen selbst entwickelten TCP/IP5-Server unter dem
Betriebssystem FreeBSD, getrennt vom VME-System.
•Netzzugriff nicht nur auf die Meßdaten sondern auch auf die Parameter der ADCs (Aufl¨
osung,
LLD usw.).
•Steuerung und Messung von jedem netzf¨
ahigen Rechner aus, unter jedem Betriebssystem. Speziell
f¨
ur OpenStep/MacOS X wurden Tools mit eigener Benutzeroberfl¨
ache entwickelt.
Das bew¨
ahrte Prinzip der Kontrolle und Steuerung der Parameter ¨
uber TCP/IP-Server wurde sp¨
ater
auchaufdieBeschleunigersteuerungausgedehnt,sodaßsichvielesautomatisierenließundauchGr¨
oßen
wie Druck oder Hochspannung kontinuierlich protokolliert werden konnten. Details zu Ansteuerung der
Ionenquelle findet man in Anhang B.
W¨
ahrend der gesamten Messungen der letzten 3-4 Jahre gab es nur wenige Abst¨
urze des Servers
und keinen einzigen Ausfall des VME-Systems (Ausfall des Servers bedeutet keinen Verlust von Meß-
daten). Man kann also durchaus von einem stabilen System reden. Eine ¨
Ubersicht ¨
uber das komplette
Meßdatenerfassungssystem zeigt Abb. 14.
FreeBSD
Steuerungs- und
Meßrechner
Serielle
Schnittstelle
Ethernet
Serielle
Schnittstelle
A/D- Karte
HP 34401A
Hochpräzisions-
Multimeter
Druckmeßköpfe 1 & 2
Targetstrom
Beschleunigungs-
Hochspannung
VME-Rechner
Serielle
Schnittstelle
M68000
CAEN V419 ADC 0-3
VV
HV
VV
HV
VV
HV
VV
HV
Detektor 0
Detektor 1
Detektor 2
Detektor 3
Rechner
Rechner
Rechner
Rechner
Abbildung 14: Meßdatenerfassungssystem
4VME (VERSAmodule Eurocard) ist ein offener Industriestandard zur Ansteuerung von Computermodulen, ¨
ahnlich dem
PCI-Bus auf Home-Computern.
5TCP/IP ist der Standard, nach dem Datenpakete ¨
uber das Internet geschickt werden.
33
6Auswertungsverfahren
6 Auswertungsverfahren
Ein typisches Spektrum bei Elab
d=50 keV ist in
0 200 400 600 800
100
101
102
103
104
105
106
Kanal
Ereignisse
p0
p1
α
p (aus d+d)
Abbildung 15: Spektrum bei Elab
d=50 keV
Abb. 15 zu sehen. Alle in Frage kommenden Re-
aktionen und die Teilchenenergien f¨
ur Einschu-
ßenergie Null sind in Tabelle 1 zusammengefaßt.
Elastisch gestreute Deuteronen werden durch
Schutzfolien vom Detektor abgehalten.
W¨
ahrend des Deuteriumbeschusses werden
laufend Deuteronen bis zur S¨
attigung im Target
implantiert. Infolge der dadurch stattfindenden
d+d-Reaktionen enstehen Protonen, Tritonen und
3He. Wegen des sehr viel gr¨
oßeren Gamow-Fak-
tors (Verh¨
altnis exp(89/qElab
d[keV]) = 2,9·105
bei 50 keV) ist die Z¨
ahlrate trotz des kleinen S-
Faktors (Verh¨
altnisca.1/300beiElab
d=0)umeinen
Faktor 1500 h¨
oher. In linearer Darstellung w¨
aren
die Protonen- und α-Linien aus der 6Li+d-Reaktion nicht mehr zu erkennen.
DieBe-Kernewerden in der Schutzfolie knapp gestoppt, w¨
ahrendLi-Kernediese gerade noch durch-
dringen k¨
onnen. Allerdings ist die Schwerpunktsbewegung noch zu ber¨
ucksichtigen, so daß vermutlich
keine Restkerne in den Detektor gelangen. Deuteronen bis 120 keV werden vom Detektor abgehalten
(ensprechend 170 keV Einschußenergie bei elastischer Streuung an Fluor-Atomen bei 150◦Streuwin-
kel). Die Energieverluste der Protonen und der α-Teilchen sind hingegen vernachl¨
assigbar.
Reaktionen
Eingangskanal Endprodukte Q-Wert Teilchenenergie Energieverlust
3He 817 367
n3269 2452 0
D+d t 1008 102
p4033 3035 24
7Li 628 445
p5025 4397 19
7Li* 569 424
p14548 3980 21
6Li + d 7Be 423 gestoppt
n3381 2958 0
7Be* 369 gestoppt
n12952 2583 0
24He 22372 11186 1
Tabelle 1: Reaktionen und Teilchenenergien bei Einschußenergie 0. Alle Energien sind in keV angege-
ben. Außerdem wurde der Energieverlust in der 300 µg/cm2dicken Schutzfolie ausgerechnet.
34
6.1 Eingangskanal 6Auswertungsverfahren
6.1 Eingangskanal
6.1.1 Energieverlust und Yieldverh¨
altnisse
0 10 20 30 40 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Targettiefe [mg/cm2]
Relativer Yield [%]
Deuteronenenergie [keV]
Relativer
Wirkungsquerschnitt [%]
Abbildung 16: Energieverlust, Wirkungsquerscnitt und Yield bei 50 keV.
Beim Eindringen in das Target verlieren die Deuteronen nur wenig Energie. Schon dieser kleine Ener-
gieverlust f¨
uhrt aber zu einer radikalen Verringerung des Wirkungsquerschnitts. Nimmt man einen kon-
stanten S-Faktor an, so gilt n¨
aherungsweise f¨
ur den Wirkungsquerschnitt σ
σ(Ed)∼e−2πη(Ed)
Ed.(26)
Edist die Einschußenergie. Abbildung 16 zeigt eindrucksvoll, wie stark der Wirkungsquerschnitt (relativ
zu σ(50 keV)) infolge der Penetration abf¨
allt. Außerdem ist der Yield Y
Y(x) = Nb
Na=Zx
0σ(E(¯x))d¯x=σ(Ed)x
| {z }
f¨
ur sehr kleine x
(27)
relativ zum Dicktarget-Yield Y(R)(R=Reichweite) dargestellt, sowie die Projektilenergie
E(x) = Zx
0ε(E(¯x))d¯x.
xbzw. ¯xist die Targetdicke resp. -tiefe in Atomanzahl pro Fl¨
ache und εder Energieverlust pro An-
zahldicke (s. [33]). Der markierte Bereich stellt die Dicke des tats¨
achlich bei den meisten Messungen
35
6Auswertungsverfahren 6.2 Ausgangskanal
verwendeten Targets (10 µg/cm2auf Tantal-Blech) dar. Nach Durchlaufen dieser LiF-Schicht hat sich
der Wirkungsquerschnitt halbiert, w¨
ahrend die Energie nur um ca 8% abgesunken ist. Der Yieldbeitrag
ist bereits 50% des Dicktarget-Yields.
Bei 50 µg/cm2LiF sind bereits 99 % des Dicktarget-Yields erreicht, so daß man von einem dicken
Target sprechen kann.
6.1.2 Effektive Energie
Soll ein Target dieser Dicke noch als D¨
unntarget behandelt werden, so daß die rechte Seite von (27) ver-
wendet werden kann, so muß zumindest die Einschußenergie korrigiert werden, so daß Rx
0σ(E(x))dx =
σ(Eeff)xerf¨
ullt ist.
Unter Verwendung von (26) ergibt sich
0 50 100 150 200
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Ed [keV]
(Eeff/Ed-1) [%]
Abbildung 17: Effektive Energie
darausalsBestimmungsgleichungf¨
urdieef-
fektive Energie Eeff
Zx
0
e−2πη(E(x))
E(x)dx =e−2πη(Eeff(x,E))
Eeff(x,E)x,
oder noch einfacher, da ε(E(x)) in diesem
Bereich konstant ist
ZEd
Ed−∆E
e−2πη(E)
EdE =e−2πη(Eeff(x,E))
Eeff(x,E)∆E.
Die numerische L¨
osung ist in Abb. 17 f¨
ur
ein LiF-Target der Dicke 10 µg/cm2darge-
stellt. Man erkennt, daß die Einschußenergie
um maximal 10% (bei 20 keV) nach unten
korrigiert werden muß.
6.2 Ausgangskanal
6.2.1 Winkel- und Raumwinkelbeziehungen
F¨
ur die Ejektile ergibt sich auf Grund der Schwerpunktsbewegung eine nicht unwesentliche Korrektur
des Raumwinkels und damit des differentiellen Wirkungsquerschnitts. Nach [34] gilt f¨
ur den Streuwin-
kel ϑim Labor- und CM-System
tan(ϑlab)=(1−k)tan(ϑCM)+O(k2), mit k=smambEα
mAmBEβ
(Definitionen s. Kap.4.1). Der Faktor kist in dem hier betrachteten Energiebereich (Q-Werte im MeV-
Bereich, Einschußenergien im keV-Bereich und kleine Projektil- und Ejektilmassen) klein, so daß k2
vernachl¨
assigt werden kann. F¨
ur den Raumwinkel dΩgilt:
dΩCM
dΩlab =1+2kcos(ϑlab)+O(k2),
d.h. in Vorw¨
artsrichtung (ϑlab <90◦) ist dΩCM >dΩlab, in R¨
uckw¨
artsrichtung dΩCM <dΩlab. Ent-
sprechend umgekehrt verhalten sich die differentiellen Wirkungsquerschnitte, d.h. die Winkelverteilung
wird in Vorw¨
artsrichtung verzerrt, was wegen der Schwerpunktsbewegung auch plausibel ist.
36
6.3 Automatisierung 6Auswertungsverfahren
6.2.2 Ejektilenergie und Straggling
Durch die Schwerpunktsbewegung erscheinen die Ejektile im Detektor mit der Energie Eb, f¨
ur die gilt
[35]:
pEb=r±pr2+s
mit r=√mambEa
mB+mbcosϑlab und s=mBQ+Ea(mB−ma)
mB+mb.
Außerdem verlieren die Teilchen beim Austritt aus dem Target Energie. Bei der geringen Targetdicke
und der hohen Ejektilenergie ist dieser Energieverlust aber vernachl¨
assigbar. Die Ejektilenergie spielte
bei den Messungen auch keine Rolle und wird deshalb nicht weiter betrachtet.
Interessanter, wegen eines m¨
oglichen ¨
Uberlapps der Linien, sind Stragglingeffekte beim Austritt aus
dem Target und beim Durchlaufen der Schutzfolie. Wie in Tabelle 1 bereits gezeigt ist der Energieverlust
in der 300 µg/cm2dicken Alu-Schutzfolie wegen der hohen Ejektilenergie vernachl¨
assigbar, so daß
sowohl Energie- als auch Winkelstraggling noch keine Rolle spielt.
6.3 Automatisierung
Bei der F¨
ulle von Meßdaten wurden viele der Auswertungsstufen automatisiert. Die einzige ,,Handar-
beit” bestand noch in der Festlegung der Integrationsgrenzen der α- und Protonenlinien. Die nahezu
untergrundfreien α-Linien wurden lediglich integriert, w¨
ahrend die Protonenlinien durch eine Gauß-
funktion mit linearem Untergrund gefittet wurden. Die Untergrundfunktion wurde vom Integral abgezo-
gen. Auf die so erhaltenen Yields wurden nun die oben beschriebenen Auswertungsschritte angewendet
und die Winkelverteilung mit der Funktion
dσ
dΩ=B0+B2P2(cos(ϑCM)) f¨
ur α-Teilchen, bzw.
=B0+B1P1(cos(ϑCM)) f¨
ur Protonen
angepaßt.
Die Linienanpassung wurde von dem Programm ,,Integrator” [36] durchgef¨
uhrt. Jeder Schritt der
Anpassung bzw. Integration ist am Bildschirm sichtbar und kann so gut nachvollzogen werden. Der to-
tale Wirkungsquerschnitt ergibt sich dann zu 4πB0. Da Stromst¨
arke und Targetdicke nicht genau bekannt
sind, wird mit den Koeffizienten AL=BL/B0gerechnet und B0nicht direkt als Meßergebnis betrachtet,
sondern bei h¨
oherer Energie an die Daten anderer Gruppen ”justiert”. Die Winkelverteilung lautet dann:
dσ
dΩ=B0(1+A2P2(cos(ϑCM)) f¨
ur α-Teilchen, bzw.
=B0(1+A1P1(cos(ϑCM)) f¨
ur Protonen. (28)
A1bzw. A2, die im folgenden Anisotropiekoeffizienten genannt werden, enthalten die eigentliche phy-
sikalische Aussage der Experimente hinsichtlich einer m¨
oglichen Anisotropie der Winkelverteilung der
jeweiligen Ejektile. Weitere Details zur Auswertung finden sich in [36].
37
7Numerische Berechnungen
7 Numerische Berechnungen
7.1 Das Programm DWUCK4
Das Programm DWUCK4 von P. D. Kunz [9, 10] wurde erstmals 1969 ver¨
offentlicht und ist seitdem
mehrmals verbessert, optimiert und korrigiert worden. Der in FORTRAN geschriebene Quelltext ist
frei verf¨
ugbar. Das Programm f¨
uhrt eine DWBA-Rechnung in Nullreichweitenn¨
aherung f¨
ur beliebige
Reaktionen durch. Projektil und Targetkern d¨
urfen dabei einen Spin von 0, 1/2 oder 1 haben und die
Spin-Bahn-Kopplung muß diagonal im Bahndrehimpuls sein.
In seiner heutigen Version ist der Code hochoptimiert. Das urspr¨
ungliche Lochkartenformat f¨
ur die
Eingabe der Reaktionsdaten wurde in eine Eingabedatei umgewandelt. In dieser Form l¨
auft es unter fast
jedem Betriebssystem, sofern dort ein FORTRAN-Compiler vorliegt. Es gibt einige Ӭ
Außerlichkeiten”,
die die Benutzung erschweren. Dazu geh¨
ort das umst¨
andliche Format der Eingabedatei, das noch sehr
an Lochkarten erinnert. Auch das Ausgabeformat l¨
adt nicht gerade zur Weiterverarbeitung ein, da es f¨
ur
die sofortige Ausgabe auf Nadeldrucker gedacht ist. Andere Ausgaben sind nur marginal m¨
oglich.
Die Berechnung wird immer nur f¨
ur eine bestimmte Energie durchgef¨
uhrt – eine komplette Anre-
gungskurve kann nicht berechnet werden. Auch ist das Programm nur schwer erweiterbar, da es in sich
geschlossen ist – eine Berechnung in Form eines Funktionsaufrufs ist nicht m¨
oglich. Stattdessen liest
das Programm die Eingaben aus der Eingabedatei je nach Bedarf ein und verarbeitet sie. Um weiterhin
damals kostbaren Speicherplatz zu sparen, werden oft ”große” Datenmengen ”auf Band geschrieben”,
d.h. in der neueren Version in eine tempor¨
are Datei ausgelagert.
Schließlich ist die Programmiersprache FORTRAN nicht gerade mehr ”State of the Art” und bietet
außer der M¨
oglichkeit, mit komplexen Zahlen rechnen zu k¨
onnen, keine Vorteile. Ein Blick in den
Quelltext zeigt jedoch, daß Rechnungen mit komplexen Zahlen tats¨
achlich nur an sehr wenigen Stellen
vorkommen.
F¨
ur eine Integration in ein gr¨
oßeres Berechnungs-Netzwerk war eine ¨
Uberarbeitung des Codes un-
erl¨
aßlich. Es wurden deshalb im Rahmen dieser Arbeit folgende Ver¨
anderungen vorgenommen:
•Vollst¨
andige Umsetzung des Codes in die Programmiersprache C.
•Trennung von Einlesen der Reaktionsdaten, Berechnung und Ausgabe der Ergebnisse.
•Kapselung der Rechenschritte in Unterprogramme mit lokalen Variablen, soweit es m¨
oglich ist.
•Verwenden von RAM anstelle von Auslagerungsdateien.
•R¨
uckgabe der Daten in Form von Strukturen, so daß eine Weiterverarbeitung m¨
oglich ist.
Bei der Umsetzung dieser Ver¨
anderungen wurden außerdem einige Fehler entdeckt, die von P. D. Kunz
best¨
atigt wurden und in einer neueren Version nicht mehr enthalten sind. Auch die Anleitung enth¨
alt
einige wichtige Druckfehler. In der neuen, erst vor kurzem von Kunz ver¨
offentlichten Anleitung sind
leider wieder neue Druckfehler enthalten.
Zur leichteren Bedienung wurde ein Hilfsprogramm geschrieben, das die Eingabe unterst¨
utzt. Die
relativ komplexe Abh¨
angigkeit zwischen Anzahl der Drehimpulstransfers, Art der Berechnung und An-
zahl der Eingabezeilen wird von dem Programm automatisch ermittelt. Anschließend wird eine Datei
im DWUCK4-Eingabeformat erstellt.
Zur Vermeidung von Fehlern wurde die Ausgabe des Originalprogramms immer wieder mit der Aus-
gabe des ver¨
anderten Programms verglichen. Einige Ver¨
anderungen haben tats¨
achlich zu numerischen
Abweichungen von einigen Prozent gef¨
uhrt. Nach eingehender Pr¨
ufung scheint der Fehler aber bei dem
urspr¨
unglichen Programm zu liegen.
Alle Programme wurden unter dem Betriebssystem OPENSTEP implementiert , das in das heu-
tige MacOS X ¨
ubergegangen ist. Eine Anpassung an die objektorientierte Umgebung von MacOS X
38
7.2 Das Programm DiWaN 7Numerische Berechnungen
(Cocoa genannt) ist geplant und z.T. auch bereits duchgef¨
uhrt. Alle Dateien sind im Rechnercluster der
Arbeitsgruppe unter [37] zu finden.
7.2 Das Programm DiWaN
Abbildung 18: Parameterfenster von DiWan
Der neuimplementierte Code mit den in Kap. 7.1 beschriebenen Ver¨
anderungen wurde schließlich als
Ausgangspunkt f¨
ur ein neues, mit Benutzeroberfl¨
ache ausgestattetes Programm benutzt. Dabei wurde
zus¨
atzlich Gleichung (25) und die dazugeh¨
orige Umordnung der Matrixelemente (s. Kap. 4.3) imple-
mentiert, so daß Interferenzeffekte analysiert werden k¨
onnen. Die Eingaben wurden weitestgehend re-
duziert, wobei verschiedene Datenbanken zuhilfe genommen wurden. Im Einzelnen sind das:
•ENSDF (Evaluated Nuclear Structure Data File). Diese Datenbank liegt in Form von Dateien
mit definiertem Format (offensichtlich aus Fortran- und Lochkartenzeiten) vor. Sie enthalten die
Energieniveaus und Spinzust¨
ande aller Kerne sowie die Zerfallsmodi und weitere Kernstruktur-
daten. Verwaltet wird sie vom National Nuclear Data Center am Brookhaven National Laboratory
unter dem Dach der Internationalen Atomenergie-Beh¨
orde in Wien. Die Daten werden regelm¨
aßig
(ca. alle 6 Jahre) in Nuclear Physics und Nuclear Data Sheets ver¨
offentlicht. Alle Files findet man
unter [38].
•Zur Bestimmung der Kernmassen die als Einzeldatei mass_rmd.mas95 vorliegende Daten-
bank. Man erh¨
alt sie auf den Web-Seiten des Atomic Mass Data Center. Die vorliegende Evalua-
tion ist aus dem Jahre 1995 und wurde in [39] ver¨
offentlicht.
39
7Numerische Berechnungen 7.3 Eingabedaten
•Eigene Datenbank f¨
ur Optische Potentiale. Diese Datenbank [40] besteht aus Eintr¨
agen im sog.
”Property List”-Format. Da es oft mehrere m¨
ogliche Potentiale zwischen zwei Kernen gibt, sind
hier auch Mehrfacheintr¨
age m¨
oglich. Es handelt sich also um eine st¨
andig zu erg¨
anzende Samm-
lung von m¨
oglichen Optischen Potentialen. Die letzte Evaluation der Optischen Potentiale liegt
25 Jahre zur¨
uck (s. [41]).
•Ein kleineres File, das die spektroskopischen Faktoren sammelt, soweit sie einmal berechnet wur-
den. F¨
ur 1p-Nukleonen findet man Berechnungen bei [42]. F¨
ur den Transfer von zwei Nukleonen
wie bei 6Li(d,α) findet man die letzte Berechnung bei Kwa´
sniewicz und Kisiel aus dem Jahre
1987 [43]. Die Datei ist im Institutscluster abgelegt unter [44].
F¨
ur die Berechnung einer Reaktion ist also nur noch die Angabe der Reaktionspartner, der Anregungs-
stufen (z.B. ”6Li(d,p1)” mit 1 = 1.Anregungsstufe des Restkerns 7Li, der nicht angegeben werden muß)
und der gew¨
unschte Energiebereich n¨
otig. Sollen Resonanzen beigemischt werden, so ist zus¨
atzlich die
Eingabe der Resonanzparameter erforderlich. Das Programm wurde schließlich soweit optimiert, daß
eine ¨
Anderung der Resonanzparameter fließend m¨
oglich ist.
Zur Darstellung der berechneten Anregungskurven ist DiWan auf das Programm Abscissa [45]
angewiesen. Wenn in DiWan Parameter wie z.B. die Resonanzbreite mit einem Scrollbalken ver¨
andert
werden, so werden die neuberechneten Anregungskurven in Echtzeit an Abscissa ¨
ubermittelt und dort
fertig skaliert dargestellt. Dabei bietet DiWan verschiedene Darstellungsm¨
oglichkeiten:
•Als totaler Wirkungsquerschnitt. Diese Darstellung ist nur f¨
ur Energien oberhalb der Coulomb-
barriere sinnvoll. (Unterhalb der Coulomb-Barriere bestimmt die Penetration den Verlauf und der
kernphysikalische Anteil ist nicht mehr zu erkennen).
•Als astrophysikalischer S-Faktor f¨
ur kleine Energien.
•Als Legendrekoeffizienten BL. Mit dieser Darstellung wird die Winkel- und Energieabh¨
angigkeit
gleichzeitig sichtbar.
•Als Legendrekoeffizienten BL, multipliziert mit 4πEe2πη(E). Dadurch ist B0identisch mit dem
S-Faktor. Der starke Abfall der BLzu kleinen Energien wird weggerechnet.
•B0in S-Faktor-Form, alle ¨
ubrigen BLals Verh¨
altnis AL=BL/B0(s. Gl. (28)). Diese Darstellung
ist die eleganteste und ¨
ubersichtlichste, da sowohl der S-Faktor als auch die Winkelabh¨
angigkeit
gut zu erkennen sind.
Abb. 18 zeigt das Hauptfenster mit den Einstellm¨
oglichkeiten des Programms. F¨
ur jede Energie kann die
Winkelverteilung explizitausgegebenwerden.F¨
urMißtrauischeistesm¨
oglich,diekompletteDWUCK4-
Eingabedatei aus den vorhandenen Daten zu erzeugen, so daß die Ergebnisse jederzeit mit den Berech-
nungen des Originalprogramms verglichen werden k¨
onnen. Das ausf¨
uhrbare Programm ist im Insti-
tutscluster zu finden unter [46].
7.3 Eingabedaten
7.3.1 Optische Potentiale f¨
ur 6Li+d-Reaktionen
Optische Potentiale werden ¨
ublicherweise aus Daten f¨
ur die elastische Streuung bestimmt. Bei den
Reaktionen 6Li(d,p/n/α) werden somit folgende Potentiale ben¨
otigt:
•Im Eingangskanal d in 6Li.
•Im Ausgangskanal n in 7Be , p in 7Li und α-α.
40
7.3 Eingabedaten 7Numerische Berechnungen
•Im Zwischenzustand n in 6Li, p in 6Li und d in 4He.
Das 6Li+d-Potential wurde von mehreren Gruppen untersucht. Beachtlicherweise f¨
uhrt der Vorschlag
von Satchler [47], der aus der elastischen Streuung an 12C hergeleitet wurde, zu ¨
ahnlich guten Er-
gebnissen f¨
ur die elastische Streuung und sogar zu besseren f¨
ur die Reaktion, als der speziell f¨
ur 6Li+d
angepaßte von Powell [48] (s. Abb. 19). Dennoch wurde ein ”Finetuning” des Satchler-Potentials durch-
gef¨
uhrt, so daß die elastische Streuung bei hohen Energien besser wiedergegeben wurde. Da DiWan
(noch) keine Anpassung der Potentiale durchf¨
uhren kann, mußte dies umst¨
andlich von Hand und nach
Augenmaß durchgef¨
uhrt werden.
m
m
m
m
m
mmmmmmmm mmmm mmmmmmmm
mmm
0 30 60 90 120 150 180
1
10
100
qCM/°
s [mb/sr]
Experiment
Powell
Satchler
Diese Arbeit
Abbildung 19: Elastische Streuung von dan 6Li bei Elab
d=5 MeV. Der Fit von [48], von dem auch die
Meßdaten stammen, hat bei 90◦und 180◦viel zu niedrige Werte. Das Potential von [47] paßt besser,
hat aber bei 75◦einen ”Einbruch”, der bei kleiner Ver¨
anderung der Parameter aber verschwindet.
F¨
ur die Ausgangskan¨
ale 7Be+n und 7Li+p wurden die Werte von [49] ¨
ubernommen, die wiederum
aus Werten von [50] abgeleitet wurden, die einen globalen Fit f¨
ur alle Energien und alle Kerne darstellen.
Der hier besonders interessierende α-α-Kanal wird in der Literatur durch zwei Vorschl¨
age bedient: Von
[51] mit einem Imagin¨
arteil von [52] und von [53]. Wiederum wegen der besseren Beschreibung der
elastischen Streudaten f¨
allt die Entscheidung auf das Potential von [53].
F¨
ur die intermedi¨
aren Zust¨
ande 6Li+p und 6Li+n wurde das gleiche, nur reelle Potential wie oben
von [49] und [50] unver¨
andert verwendet. F¨
ur den 4He+d-Kanal wurde der Potentialvorschlag von [54]
benutzt, ebenfalls unver¨
andert. Die einzige Korrektur wurde somit im Eingangspotential vorgenommen.
Alle Potentialverl¨
aufe haben den r¨
aumlichen Verlauf eines Saxon-Woods-Potentials mit imagin¨
arem
Oberfl¨
achen-Saxon-Woods-Potential:
V(r) = Vrf(xr)+iVig(xi),wobei g(xn) = d f(xn)
dxn,f(xn) = 1
1+exnund xn=r−Rn(mA/AMU)1/3
an.
41
7Numerische Berechnungen 7.3 Eingabedaten
mAist die Targetmasse in AMU. Einige Potentiale haben auch einen reellen Spin-Orbit-Kopplungsterm,
der dann folgende Form hat:
VLS(r) = −Vr
r
d f(xr)
dr L·s.
In der Praxis hat es sich gezeigt, daß der Spin-Orbit-Term keinen nennenswerten Einfluß auf die Ergeb-
nisse hat. Ohne Spin-Orbit-Kopplung w¨
urde sich die Berechnung nochmals erheblich vereinfachen (s.
Kap. 4.3).
Alle verwendeten Potentialwerte sind in Tabelle 2 zusammengefaßt:
Potential Quelle Vr/MeV Rr/fm ar/fm Vi/MeV Ri/fm ai/fm
6Li+d [47] -107 0.85 0.85 55 2.6 0.35
7Be+n [50] + [49] -63.77 1.145 0.57 13.7 1.145 0.5
+ Spin-Orbit-Term -22 1.145 0.57
7Li+p [50] + [49] -63.13 1.145 0.57 17.3 1.145 0.5
+ Spin-Orbit-Term -22 1.145 0.57
4He+α[53] -117 1.14 0.6 -1 1.14 0.6
6Li+p/n [50] + [49] -50 1.25 0.65
+ Spin-Orbit-Term -16 1.25 0.65
4He+d [54] -70 1.25 0.592 -8.2 1.25 0.3
Tabelle 2: Verwendete Optische Potentiale
7.3.2 Spektroskopische Faktoren
Der spektroskopische Faktor gibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude an, einen bestimmten Kern in Form
von zwei getrennten Clustern in bestimmtem Orbitalzustand anzutreffen. Spektroskopische Amplituden
bzw. Faktoren sind i.d.R. nach Spin und Isospin von Mutter- und Tochterkern sowie nach Orbitalzustand
des Teilchens (nl j) und Anregungsenergie des Mutterkerns gruppiert. Tabelle 3 zeigt die hier verwen-
deten Faktoren zusammen mit den entsprechenden Spin-Isospin Zust¨
anden (I,T) der Kerne.
Tochterkern Mutterkern Energie nl j Snl j Quelle
6Li (1,0) 7Li, 7Be (3
2,1
2) Grundzustand 1p3
20.4313 [42]
1p1
20.2893
7Li∗,7Be∗(1
2,1
2) 1.068 MeV 1p3
20.8546
1p1
20.0386
4He (0,0) 6Li (1,0) Grundzustand 1s11.0318 [52]
1d10.0865
Tabelle 3: Spektroskopische Faktoren
7.3.3 Nullreichweitenparameter D2
0
F¨
ur den Nullreichweitenparameter D2
0des d+d-Clusters gibt es in der Literatur keinen festen experi-
mentellen Wert. Das liegt vermutlich an der Unterschiedlichkeit der Reaktionsmodelle. Berechnungen
f¨
uhren zu Diskrepanzen um bis zu einen Faktor 1000 (s. z.B bei [55] und auch bei [52]). Mit der hier vor-
gestellten Interferenzmethode wird D2
0experimentell jedoch ziemlich eng eingegrenzt, da dieser Faktor
42
7.4 Einige Beispiele f¨
ur Resonanzen 7Numerische Berechnungen
die St¨
arke des direkten Anteils festlegt. Nur in einem schmalen Bereich ist die Interferenz sp¨
urbar und
f¨
uhrt so zur Reproduktion der Meßergebnisse. Der somit bestimmte Wert betr¨
agt:
d+d: D2
0≈3,6·104MeV2fm3zum Vergleich: p+n: D2
0=1,55·104MeV2fm3.
Der Wert f¨
ur p+n wurde der DWUCK4-Anleitung [9, 10] entnommen und ist dem bei [20] von 1,58 104
MeV2fm3zitierten Wert sehr ¨
ahnlich.
Der Wert f¨
ur D2
0f¨
ur d+d sollte nur als Ausgangspunkt gesehen werden, da er sich im Programm als
freier Parameter leicht ver¨
andern l¨
aßt. Die beste Anpassung wurde aber mit dem o.a. Wert erzielt. Der
Fehler wird auf ±0,5·104MeV2fm3gesch¨
atzt. Er ist als Fitfehler an die Meßdaten anzusehen, obwohl
wegen einer noch fehlenden Anpassungsroutine in DiWaN nach Augenmaß angepaßt wurde.
7.3.4 Resonanzparameter
Die St¨
arke der Resonanz wird durch das Produkt der reduzierten Partialbreiten γαγβ(s. Kap. 3.3) be-
stimmt - eine Bestimmung der reduzierten Partialbreiten einzeln ist nicht m¨
oglich. Zusammen mit der
totalen Breite Γund der Resonanzposition bilden sie einen weiteren, frei einstellbaren Parametersatz.
Ausgangspunkt f¨
ur 6Li(d,α)4He war hierbei folgender Satz:
ER=−0.03 MeV,Γ=0.65 MeV,γαγβ=−0.15 MeV
Auch diese Parameter wurden st¨
andig variiert und sind deshalb nur als Anfangswerte aufzufassen. Man
beachte, daß γαγβauch negativ sein kann. Manchmal wurden auch zwei eng benachbarte Resonanzen
eingesetzt. Der Effekt ist aber gering, so daß i.d.R. nur mit einer Resonanz gearbeitet wurde.
7.4 Einige Beispiele f¨
ur Resonanzen
Abbildung 20 zeigt zwei dicht ne-
0,0 0,5 1,0 1,5
0
20
40
60
80
100
120
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
Abbildung 20: Zwei Resonanzen bei 650 und 850 keV CM-Energie.
Rot = konstruktiv (s1=s2); blau (unterbrochen) = destruktiv (s1=
−s2).
beneinanderliegende Resonanzen
derBreite100keV,einmalmitglei-
chem,einmalmitentgegengesetz-
tem Vorzeichen der St¨
arke
s=γαγβ(die erste, s1, positiv, die
zweite,s2,negativ). Die St¨
arkedes
direkten Anteils ist auf Null ge-
setzt. Zun¨
achst f¨
allt auf, daß die
St¨
arkenscheinbar nicht genau gleich
groß sind. Dies liegt daran, daß
dieResonanzenunterhalbderCou-
lombschwelle liegen und deshalb
nur als S-Faktor sichtbar sind. Die
Energieabh¨
angigkeitdes S-Faktors
gleichtn¨
amlichnurn¨
aherungswei-
sedereinerResonanz,weshalbdie
erste etwas st¨
arker erscheint. Zum
zweiten f¨
allt auf, daß sich die Re-
sonanzen im konstruktiven Fall nur am Rand verst¨
arken, w¨
ahrend sie sich in der Mitte ausl¨
oschen. Beim
destruktiven Fall ist es genau umgekehrt. Dies liegt an der zweifachen Phasendrehung um π/2 w¨
ahrend
des Durchlaufs durch eine der beiden Resonanzen. Wegen der geringen Einschußenergie ist außerdem
die Winkelverteilung (hier nicht abgebildet) isotrop.
43
7Numerische Berechnungen 7.4 Einige Beispiele f¨
ur Resonanzen
0,0 0,5 1,0 1,5
0
20
40
60
80
100
120
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
0,0 0,5 1,0 1,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
ECM [MeV]
A2
Abbildung 21: Der direkte Anteil wird zugemischt.
In der n¨
achsten Abbildung (21) wird der direkte Anteil, der schwach fallend verl¨
auft, ”dazugeschal-
tet”. Betrachten wir den niederenergetischen Bereich (<0,3 MeV), so erkennt man, daß das konstruk-
tive Interferenzpaar (s1=s2) jetzt kleinere Werte als das destruktive hat. Offensichtlich interferiert das
konstruktive Paar hier insgesamt destruktiv mit dem direkten Anteil. Bei hohen Energien verh¨
at es sich
genau umgekehrt, was sich ebenfalls wieder durch die Phasendrehung erkl¨
aren l¨
aßt. Außerdem f¨
allt auf,
daß das destruktive Resonanzgemisch in der Mitte st¨
arker ist als das konstruktive. Der A2-Verlauf ist hier
mit abgebildet, da der direkte Anteil nicht isotrop ist. Man sieht, daß die Resonanzen den A2-Verlauf
ver¨
andern.
In Abbildung 22 schließlich sind beide Resonanzen nur noch 40 keV voneinander entfernt. Erst jetzt
zeigt sich die volle Wirkung der Interferenz, denn die Unterschiede in den St¨
arken sind jetzt betr¨
achtlich.
Man beachte die andere Skalierung des S-Faktors.
Der interessante Aspekt hierbei ist, daß, obwohl im destruktiven Fall die Resonanzen im S-Faktor
kaumnochsichtbarsind,derA2-Anteildennochkaumverringert wird bzw. sogar (betragsm¨
aßig)verst¨
arkt
werden kann. Man betrachte hierzu die Verh¨
altnisse bei 0,75 MeV. Der S-Faktor ist im destruktiven Fall
nur 1/4 so groß wie im konstruktiven, A2hingegen 6 mal so groß (-0,6/-0,1) (s. Hilfslinien in Abb.22).
Zwei eng benachbarte Resonanzen mit unterschiedlichem Vorzeichen sollten sich somit vor allem in
Schwankungen der Winkelverteilung bemerkbar machen, weniger im S-Faktor-Verlauf. Dies zeigt, wie
wichtig eine Messung der Winkelverteilung sein kann.
0,0 0,5 1,0 1,5
0
50
100
150
200
250
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
0,0 0,5 1,0 1,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
ECM [MeV]
A2
Abbildung 22: Die Resonanzen sind nur noch 40 keV voneinander entfernt.
44
8Vergleich und Anpassung der Meßdaten
8 Vergleich und Anpassung der Meßdaten
8.1 Auswahl der Meßdaten
Die Messungen der 6Li+d-Reaktionen bei kleinen Energien wurden im Rahmen dieser Arbeit in zwei
großen Meßreihen in den Jahren 1998 und 2000 durchgef¨
uhrt. Hier sollen nur die Ergebnisse wieder-
gegeben werden – Details zur Datenanalyse sind in der Arbeit [36] zu finden. In Anbetracht der Daten
anderer Gruppen (s. Abb. 23) wurde bei den eigenen Messungen der Schwerpunkt sowohl im Expe-
riment als auch in der Auswertung auf die Winkelverteilung gelegt. Wegen Ver¨
anderungen am Target
waren viele Meßpunkte nicht auswertbar. Der Bestand hat sich somit auf nur 10 Meßpunkte reduziert,
die in der folgenden Tabelle zusammengefaßt sind.
Eeff
CM/keV A2∆A2Art
41,15 -0.015 0,015 100 µg/cm2, 1998
58,96 -0,045 0,010 100 µg/cm2, 1998
73,21 -0.057 0,008 100 µg/cm2, 1998
78,70 -0,040 0,010 100 µg/cm2, 1998
80,41 0,00 0,03 100 µg/cm2, 1998
Eeff
CM/keV A2∆A2Art
21,89 0,1 0,1 10 µg/cm2, 2000
25,60 -0,03 0,03 10 µg/cm2, 2000
29,31 -0,005 0,025 10 µg/cm2, 2000
33,02 0,020 0,025 10 µg/cm2, 2000
36,73 0,033 0,008 10 µg/cm2, 2000
Tabelle 4: Selbstbestimmte A2-Koeffizienten. Eeff
CM ist die effektive Energie, umgerechnet ins Schwer-
punktsystem (s.a. Kap. 6.1.2)
Neben eigenen Messungen der Reaktionen 6Li(d,p/n/α) wurden noch folgende Messungen anderer
Gruppen herangezogen:
•Die Messungen von [56] wurden bei effektiven Schwerpunktsenergien von 88,5 keV bis 731 keV
f¨
ur Protonen und α-Teilchen im Ausgangskanal sowie 153 keV bis 655 keV f¨
ur Neutronen durch-
gef¨
uhrt. Das Vertrauen in die Qualit¨
at dieser Messungen ist sehr hoch. Außerdem liefern die Au-
toren bereits eine Entwicklung in Legendrepolynom-Koeffizienten, was einen direkten Vergleich
mit den Berechnungen m¨
oglich macht.
•DieMessungenabsoluterWirkungsquerschnitte von [57, 58] wurden bei effektivenSchwerpunkts-
energien von 14 keV bis 1000 keV nur f¨
ur den α-Kanal durchgef¨
uhrt, und zwar in normaler und
inverser Kinematik (Gastarget). Winkelverteilungen wurden separat in einem Energiebereich von
38 keV bis 1500 keV in inverser Kinematik gemessen. Dar¨
uber hinaus wurden noch die Reak-
tionen 6Li(p,α) und 7Li(p,α) vermessen, um eine m¨
ogliche Isotopenabh¨
angigkeit des Elektron-
Screenings zu untersuchen.
Es gibt noch weitere, ¨
altere Untersuchungen zu dieser Reaktion. Die erste von Jeronymo et al. [59] aus
dem Jahre 1962 enth¨
alt Meßpunkte bei relativ hohen Energien, die von McClenahan et al. [60] wenige
Punkte im mittleren Energiebereich und die von Manalis et al. [61] Daten im unteren Bereich. Auch von
Golovkov et al. [62] gibt es Datenpunkte. Sie alle werden aber durch die viel genaueren Messungen von
[56] und [57, 58] ,,in den Schatten gestellt” und deshalb hier nicht mit dargestelt. Oft fehlt dort auch die
Angabe der Winkelverteilung.
45
8Vergleich und Anpassung der Meßdaten 8.2 S-Faktor
8.2 S-Faktor
Abbildung 23 zeigt den Verlauf des S-Faktors als Funktion der Schwerpunktsenergie f¨
ur die 6Li(d,α)-
Reaktion mit Daten von [56], [57, 58] und dieser Gruppe [32, 36]. Die Energie-Achse ist logarithmisch
dargestellt. da sich die Meßdaten zu kleinen Energien hin stark h¨
aufen. Man beachte die geringen Feh-
ler der Elwyn-Daten, die deshalb viel st¨
arker ins Gewicht fallen. Deutlich zu erkennen ist ein Anstieg
= Elwyn [56]
= Engstler [57,58]
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5
0
5
10
15
20
25
30
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
Abbildung 23: S-Faktor-Verlauf der Daten dieser und anderer Gruppen. Der Anstieg zu kleinen Energien
deutet auf die in der N¨
ahe des Energie-Nullpunkts liegende Resonanz hin.
zu kleinen Energien hin, was auf die besagte unterschwellige 2+-Resonanz hindeutet. In einer ersten
Auswertung [63] wurde die Position zu ER=−80 keV und die Breite zu 600 keV bestimmt. Engstler et
al. [57, 58] haben den Anstieg ausschließlich auf Electron-Screening zur¨
uckgef¨
uhrt, wodurch nat¨
urlich
¨
außerst große Werte f¨
ur das Screening-Potential zustandekommen. Die Resonanz ist aber schon lange
bekannt und findet sich im Ajzenberg-Selove [64] bzw. in der ENSDF-Datenbank [38]. Dort ist sie mit
einer Anregungsenergie von Ex= 22200 keV und einer Breite Γ=800 keV verzeichnet 6. (Die Separati-
onsenergie f¨
ur 8Be→d+6Li betr¨
agt 22280 keV.) Wie in [65] gezeigt, besteht diese Resonanz in Wirklich-
keit sogar aus zwei Resonanzzust¨
anden mit unterschiedlichem Isospin. Diese Isospin-T=1-Beimischung
zum T=0-Zustand kommt durch die Coulomb-Restwechselwirkung zustande. Dieser Mischungs-Effekt
6Ein Termschema wird hier aus zwei Gr¨
unden nicht angef¨
uhrt: Zum einen kommt wegen der Quantenzahlen im Bereich
mehrerer MeV nur diese eine Resonanz in Frage. Zum anderen ist im dort dargestellten Wirkungsquerschnitt ein Maximum
bei 800 keV als Resonanz markiert. Dieses Maximum ist aber nur ein Artefakt, das in der (dort nicht gezeigten) S-Faktor-
Darstellung verschwindet. Deshalb sorgt ein Termschema hier nur f¨
ur Verwirrung. Ohnehin reicht die Angabe von Position,
Breite und Quantenzahlen hier v¨
ollig aus.
46
8.3 Winkelverteilung 8Vergleich und Anpassung der Meßdaten
hat aber keinen Einfluß auf die hier durchgef¨
uhrte Analyse (Berechnungen mit zwei Resonanzen haben
keine neuen Ergebnisse erbracht), so daß nur ein Resonanzterm ber¨
ucksichtigt wurde. Dennoch: Alle
bisherigen Berechnungen gehen vom statistischen Modell einer inkoh¨
arenten Mischung von direktem
und Resonanzanteil aus. Dieses Modell ist jedoch nicht in der Lage, gleichzeitig mit dem S-Faktor-
Verlauf auch den Verlauf des Anisotropiekoeffizienten A2im oberen Energiebereich zu erkl¨
aren, wie
unten gezeigt wird (s. Kap. 8.4).
Wie man sieht, sind die selbst bestimmten S-Faktoren aus genannten Gr¨
unden (s. Kap.8.1) mit ver-
gleichsweise großen Fehlern behaftet. Zugunsten einer ¨
ubersichtlicheren Darstellung werden sie in den
folgenden S-Faktor-Diagrammen deshalb nicht mehr aufgef¨
uhrt.
8.3 Winkelverteilung
0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ECM [MeV]
A2
!
"
= Elwyn
= Engstler
#
= Diese Arbeit 1998
$
= Diese Arbeit 
Abbildung 24: A2-Verlauf
Abbildung 24 zeigt den Verlauf des Anisotropie-Koeffizienten A2wie in Kap. 6.3, Gl. (28), definiert
f¨
ur die 6Li(d,α)4He-Reaktion. Sie gehen aus den Meßdaten der 4 Detektoren durch Anpassung an eine
Cos2-Funktion hervor (Details s.[36]). Wegen der identischen Teilchen im Ausgangskanal verschwinden
die ungeraden Koeffizienten (s. Kap. 4.2.8). Unterhalb 100 keV scheint A2negativ zu werden und an-
schließend wieder positiv bzw Null. Den leichten Anstieg mit sinkender Energie unterhalb von 50 keV
kann man nicht als statistisch gesichert ansehen, w¨
ahrend die negativen Werte im Bereich zwischen 40
und 100 keV von allen Gruppen mit ausreichender Statistik gemessen wurden. Auch f¨
ur diesen Verlauf
gibt es keine Erkl¨
arung mit inkoh¨
arenten Mischungsmodellen. Alle Modelle sagen ein Absinken des
A2-Koeffizienten mit steigender Energie voraus. Die in [52] durchgef¨
uhrte Berechnung mit positivem
47
8Vergleich und Anpassung der Meßdaten 8.4 Inkoh¨
arente Mischung
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1
0
5
10
15
20
25
30
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
ECM [MeV]
A2
Abbildung 25: S-Faktor- und A2-Verlauf bei inkoh¨
arenter Mischung. Die rote (unterbrochene) Linie zeigt
den Verlauf bei nur direktem Anteil mit D2
0=10 MeV2fm3, die violette Linie den Verlauf bei hinzuaddierter
Resonanz, wobei der direkte Anteil wieder reduziert wurde (D2
0= 3,3 MeV2fm3).
Anstieg konnte mit den dort angegebenen Potentialen hier nicht nachvollzogen werden. Selbst wenn die
Rechnung korrekt sein sollte, so reproduziert sie nicht den Nulldurchgang bei 100 keV.
8.4 Inkoh¨
arente Mischung
8.4.1 S-Faktor
Der S-Faktor-Verlauf kann durch den direkten Anteil alleine nicht wiedergegeben werden. Zwar ist der
Verlauf in Richtung kleinerer Energien, wie Abb. 25 zeigt, leicht ansteigend, was auf eine Einteilchen-
resonanz hindeutet, bei geeigneter Skalierung auf hohe Energien (hier mit D2
0=10 MeV2fm3) ist der
Anteil bei niedrigen Energien aber viel zu klein.
Zus¨
atzlich zeigt das Diagramm den Verlauf bei hinzuaddiertem Resonanzanteil, wobei der direkte
Anteil wieder auf eine St¨
arke von D2
0=3,3 MeV2fm3verringert wurde, damit die Summe keine Werte
oberhalb der experimentellen Daten (bei ca 1 MeV) ergibt. Hier sieht man, daß der Verlauf sehr gut die
Meßdaten reproduziert. Unterhalb von 50 keV macht sich der Electron-Screening-Effekt bermerkbar,
der bei diesen Energien zu erwarten ist und der zu einer Erh¨
ohung der Meßwerte f¨
uhrt.
8.4.2 Winkelverteilung
Bei der Winkelverteilung hingegen passen Theorie und Experiment ¨
uberhaupt nicht zusammen. Der
Verlauf des nach dem inkoh¨
arenten Modell berechneten Anisotropiekoeffizienten A2sieht dem Verlauf
der Meßdaten nicht ann¨
ahernd ¨
ahnlich. Wegen Lα=0 kann die Resonanz alleine nur isotrop sein, d.h.
B2=0 nur f¨
ur den resonanten Anteil. Durch ¨
Andern der Resonanzst¨
arke im Verh¨
altnis zum direkten
Anteil kann trotzdem A2=B2/B0beeinflußt werden. Da A2f¨
ur den direkten Anteil alleine jedoch immer
negativ ist, kann A2, wie man sieht, bestenfalls etwas verringert, aber nicht zum Verschwinden gebracht
werden. Ein Vorzeichenwechsel ist demnach bei inkoh¨
arenter Mischung unm¨
oglich.
¨
Anderungen an den Optischen Potentialen f¨
uhren nicht zu entscheidenden ¨
Anderungen, vor allem
nicht zu einem positiven Vorzeichen, so daß man davon ausgehen muß, daß dieser A2-Verlauf im Rahmen
des statistischen Modells nicht erkl¨
art werden kann. Berechnungen von [52] zu dieser Reaktion mit
Hilfe von Doppelfaltungspotentialen f¨
uhren angeblich zu einem positiven, ansteigenden Verlauf. Diese
Berechnungen konnten hier jedoch nicht reproduziert werden: Bei Einsetzen ¨
aquivalenter Potentiale
ergibt sich mit DWUCK4 immer ein negativer Verlauf. Das bei Raimann verwendete Programm steht
leider nicht zur Verf¨
ugung. so daß keine M¨
oglichkeit zur ¨
Uberpr¨
ufung dieser Berechnungen besteht. In
48
8.5 Koh¨
arente Mischung 8Vergleich und Anpassung der Meßdaten
der Ver¨
offentlichung unserer Gruppe [63] wurde bedauerlicherweise ein fehlerhaftes Eingangspotential
benutzt, so daß dieser positive Verlauf (s. Fig.4 dort - die Winkelverteilung m¨
usste nach unten gew¨
olbt
sein) nicht korrekt ist.
8.5 Koh¨
arente Mischung
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1
0
5
10
15
20
25
30
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ECM [MeV]
A2
Abbildung 26: S-Faktor- und A2-Verlauf bei koh¨
arenter Mischung. Die Parameter sind wie in Kap. 7.3.4
angegeben. Die St¨
arke des Resonanzanteils ist γαγβ= - 0,15 MeV.
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2
0
5
10
15
20
25
30
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
ECM [MeV]
A2
Abbildung 27: Gleiche Parameter wie bei Abb. 26, nur mit γαγβ= + 0,15 MeV.
Ein anderes Bild ergibt sich bei koh¨
arenter Mischung beider Reaktionstypen. Abb.26 zeigt die Meß-
daten zusammen mit dem theoretischen Verlauf im Falle einer koh¨
arenten Mischung mit den Parametern
wie in Kap.7.3.4 angegeben. Hier spielt das Vorzeichen der Resonanzamplitude γαγβeinen wesentliche
Rolle, welches in Abb.26 negativ ist. Zum Vergleich wurde eine Berechnung mit positiver St¨
arke durch-
gef¨
uhrt (Abb.27), wobei die Parameter etwas korrigiert wurden (haupts¨
achlich etwas geringere Reso-
nanzbreite) um eine optimale Anpassung des S-Faktors zu bekommen. Man sieht, daß der S-Faktor-
Verlauf in Abb.27 sehr gut wiedergegeben wird, allerdings auf Kosten eines v¨
ollig falschen A2-Verlaufs,
der jetzt wieder komplett negativ ist. Offensichtlich sind jetzt direkter und resonanter Anteil gleichpha-
sig und der Effekt wird verst¨
arkt. Die S-Faktor-Anpassung ist hier auch gewissermaßen ”zu gut”, da
nicht gen¨
ugend Spielraum f¨
ur Elektronen-Screening bleibt.
Bei den zu Abb.26 geh¨
orenden Berechnungen sind direkter und resonanter Anteil also in Gegen-
phase, wobei der resonante Anteil bei h¨
oheren Energien eindeutig ¨
uberwiegt. Es ist bemerkenswert, daß
49
8Vergleich und Anpassung der Meßdaten 8.6 Andere Reaktionskan¨
ale
die Interferenz noch fernab der Resonanz bei Energien um fast 2 MeV nicht nur Einfluß hat, sondern
das Anisotropie-Verhalten komplett umkehrt. Der Grund ist einzusehen, wenn man nochmals den Ver-
lauf des direkten Anteils in Abbildung 25 betrachtet. Man hat hier die besondere und ungew¨
ohnliche
Situation, daß der direkte Anteil einen ¨
ahnlichen Verlauf wie der resonante Anteil hat, n¨
amlich mit stei-
gender Energie monoton fallend. Das Verh¨
altnis der St¨
arken bleibt deshalb ¨
uber weite Energiebereiche
konstant, wenn die St¨
arken einmal festegelegt sind. Der Phasenverlauf wird weitestgehend durch die
Coulombphase bestimmt, so daß f¨
ur die relative Phase ebenfalls keine ¨
Anderung zu erwarten ist. Die
Phase des direkten Anteils ¨
andert sich kaum mit der Energie. Die einzige qualitative ¨
Anderung, die jetzt
noch frei bleibt, ist das Vorzeichen der Resonanz. Man hat bei der Anpassung der Meßdaten qualitativ
nur die Wahl zwischen diesen beiden M¨
oglichkeiten. Bei einer anderen Phasenlage des direkten Anteils
w¨
are eine Anpassung vermutlich gar nicht m¨
oglich gewesen.
Insofern ist diese Berechnung auch eine Best¨
atigung des direkten Reaktionsmodells, insbesondere
der korrekten Phasenvorhersage.
Desweiteren wird deutlich, daß es Situationen gibt, in denen auch weit entfernte Resonanzen ¨
uber
Interferenzeffekte einen starken Einfluß auf eine Reaktion haben k¨
onnen. Die intuitive Vorstellung, daß
weit entfernte Resonanzen keinen nennenswerten Einfluß auf den differentiellen Wirkungsquerschnitt
haben, f¨
uhrt hier also stark in die Irre – auch weit außerhalb des Resonanzgebietes (3-4 fache Breite)
dominiert die Resonanz die Winkelverteilung.
8.6 Andere Reaktionskan¨
ale
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
nur direkter Anteil
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
ECM [MeV]
A1 und A2
A1
A2
Abbildung 28: S-Faktor-, A1- und A2-Verlauf f¨
ur den p0-Kanal.
Die Quantenzahlen f¨
ur den p- und den n-Kanal sind 1/2+f¨
ur das Ejektil und 3/2−f¨
ur den Restkern
im Grundzustand bzw. 1/2−im angeregten Zustand. Wegen der negativen Gesamtparit¨
at kommen nur
ungerade Bahndrehimpulse der T-Matrix im Ausgangskanal in Frage7. F¨
ur den Grundzustand sind so-
mit nur die Kombinationen {Lβ,Sβ}={1,1},{1,2},{3,1}und {3,2}in Betracht zu ziehen, f¨
ur den
angeregten Zustand sogar nur {1,1}und {3,1}, da nur diese Kombinationen zu Jπ=2+f¨
uhren k¨
onnen.
Interferenz zwischen zwei m¨
oglichen Resonanzen kann hier nicht auftreten, obwohl dies zun¨
achst f¨
ur
Anteile mit gleichem Spin denkbar w¨
are. Wegen der niedrigen Energien ist aber nur L=0 zul¨
assig, was
sich nur durch gleiche Bahndrehimpulse erreichen l¨
aßt (Lβ=¯
Lβ, s.a. Gleichung (12)).
Zum Vergleich mit den Meßdaten8von [56] wurden nur der S-Faktor, A1und A2herangezogen, f¨
ur
Terme mit h¨
oheren L-Werten ist das Interferenzmodell zu grob. Bei allen Kan¨
alen hat es sich ergeben,
7F¨
ur die AL-Koeffizienten gilt das nicht, da die T-Matrixelemente noch untereinander interferieren (s. Gl.(12)).
8Eigene Messungen hatten einen zu starken Untergrund (vgl. Abb.15), wodurch die Auswertung nicht sinnvoll m¨
oglich
war. Vergleiche auch [36]
50
8.6 Andere Reaktionskan¨
ale 8Vergleich und Anpassung der Meßdaten
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
nur direkter Anteil
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ECM [MeV]
A1 und A2
A1
A2
Abbildung 29: S-Faktor- A1- und A2-Verlauf f¨
ur den n0-Kanal.
daß Interferenzeffekte praktisch nicht zu sehen sind. Das Vorzeichen der Resonanz hat nur einen ge-
ringf¨
ugigen Einfluß auf den Verlauf von S-Faktor, A1und A2. Die Wirkung der Resonanzen mit Lβ=3
und Sβ=2 ist sehr gering, weshalb nur die {1,1}-Resonanz angepaßt wurde.
Im Rahmen der Genauigkeit der Meßdaten, war es nicht n¨
otig, Position und Breite der Resonanz
zu ver¨
andern. Die Position liegt konstant bei ER= -80 keV und die Breite bei Γ= 520 keV. Auch die
Potentiale wurden unver¨
andert ¨
ubernommen. F¨
ur den Eingangskanal wurde das gleiche Potential wie f¨
ur
die 6Li(d,α)4He-Reaktion eingesetzt. Die Abbildungen 28-31 zeigen die Ergebnisse f¨
ur die Reaktionen
6Li(d,p)7Li und 6Li(d,n)7Be sowohl f¨
ur den ¨
Ubergang in den Grundzustand wie in den ersten angeregten
Zustand der Restkerne. Durch das ver¨
anderte Eingangspotential verl¨
auft der direkte Anteil hier h¨
oher
als in fr¨
uheren Berechnungen z.B. bei [49]. Die Resonanzst¨
arke wird entsprechend etwas kleiner. Sehr
deutlich wird dies f¨
ur den angeregten Zustand, wo der direkte Anteil allein den Verlauf der Meßdaten
schon fast beschreibt. Der Resonanzanteil bringt hier aber in allen Verl¨
aufen nur noch eine geringe
Verbesserung.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
nur direkter Anteil
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ECM [MeV]
A1 und A2
A1
A2
Abbildung 30: S-Faktor- A1- und A2-Verlauf f¨
ur den p1-Kanal.
51
9Zusammenfassung
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
ECM [MeV]
S-Faktor [MeV b]
nur direkter Anteil
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
ECM [MeV]
A1 und A2
A1
A2
Abbildung 31: S-Faktor- A1- und A2-Verlauf f¨
ur den n1-Kanal.
9 Zusammenfassung
Die urspr¨
ungliche Vermutung, daß Interferenzeffekte zwischen verschiedenen Reaktionsmechanismen
sehr stark sein k¨
onnen, hat sich eindrucksvoll best¨
atigt, wie ein Vergleich zwischen Abb. 25 und Abb.
26 f¨
ur die 6Li(d,α)4He-Reaktion zeigt. Es ist aber auch zu sehen, daß ein derartiger Effekt nur selten
auftritt. Schon in einem anderen Kanal (Protonen und Neutronen) ist diese Interferenz kaum noch zu
beobachten. Eigene Messungen unterst¨
utzen die Vermutung, daß die Winkelverteilung bei ca. 100 keV
das Vorzeichen wechselt. Es stellt sich nat¨
urlich die Frage, wann man von einer starken Interferenz aus-
gehen kann.
Es ist klar, daß in Bereichen hoher Niveaudichte Interferenzeffekte nicht auftreten. Die Phasen der
Resonanzen mitteln sich weg, und als Netto-Effekt bleibt eine ”phasenlose” Resonanz, deren Beitrag
inkoh¨
arent zum direkten Anteil addiert werden kann (statistisches Modell, [25]). Es ist nun aber so, daß
auch bei einem einzelnen Niveau die Phase oft keine so große Rolle spielt. Das liegt daran, daß der
direkte Anteil alle m¨
oglichen Drehimpulsanteile (S-Matrixelemente) enth¨
alt, w¨
ahrend eine Resonanz
bei koh¨
arenter Mischung nur ein paar (meistens nur eines) dieser Matrixelemente modifiziert. Um sich
bemerkbar zu machen, muß die Resonanz soviel beitragen wie mehrere direkte Matrixelemente, muß
also erheblich gr¨
oßer sein als ein einzelnes direktes Matrixelement. In diesem Matrixelement ist dann
der Resonanzanteil jedoch sehr viel gr¨
oßer als der direkte Anteil, so daß die Phase keine so große Rolle
mehr spielt.
Wann also tritt Interferenz merkbar auf? Offensichtlich darf der direkte Anteil nur aus wenigen Ma-
trixelementen bestehen – dann modifiziert die beigemischte Resonanz einen Großteil des Wirkungsquer-
schnitts. Dennoch ist dies nicht das einzige Kriterium f¨
ur Interferenz. Damit diese ¨
uber weite Bereiche
anh¨
alt, muß der Energieverlauf beider Anteile ¨
ahnlich sein, d.h. die Resonanz muß sehr breit sein. Die
Phase ¨
andert sich dann ¨
ahnlich langsam wie die des direkten Anteils, so daß die relative Phasenlage
erhalten bleibt. Der Interferenzeffekt ist somit theoretisch ¨
uber beliebig große Energiebereiche noch zu
sehen. Tats¨
achlich wird er durch das Auftreten weiterer Resonanzen irgendwann wieder zerst¨
ort. Man
beachte auch, daß sich solche Interferenzeffekte vor allem in der Winkelverteilung bemerkbar machen.
Wie aus Gleichung (12), insbesondere dem in ˜
Zauftretenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten, hervor-
geht, tragen zu B0nur Terme mit Lα=Lα,Rund Lβ=Lβ,Rbei (man sieht dies auch gut an dem BI
L-Term
in Gl. (25)). F¨
ur L6=0 hingegen ist die Anzahl der Interferenzterme, die zu BLbeitragen, gr¨
oßer.
Offensichtlich sind bei der Reaktion 6Li(d,α)4He beide Kriterien erf¨
ullt - der Interferenz-Effekt
52
9Zusammenfassung
k¨
onnte kaum st¨
arker sein. Es wird auch klar, wie wichtig eine Analyse der Winkelverteilung ist, denn
am S-Faktor alleine h¨
atte man die Interferenz kaum bemerken k¨
onnen. Oft wird bei der S-Faktor-
Bestimmung nur ein einziger Winkel vermessen und eine bestimmte, meist isotrope Verteilung ange-
nommen. Diese Arbeit zeigt, daß man Winkelverteilungen nicht so einfach extrapolieren kann. Aber
auch die Extrapolation des S-Faktors selbst f¨
uhrt mit der Interferenzmethode zu anderen Werten bei
kleinen Energien. Es bleibt zu kl¨
aren, in welchen anderen Reaktionen, die eine gr¨
oßere Bedeutung z.B.
f¨
ur das Reaktionsnetzwerk in der Sonne haben, Interferenzeffekte bisher nicht gen¨
ugend ber¨
ucksich-
tigt wurden. Schließlich f¨
uhrt dies in der Auswertung zu abweichenden Extrapolationen in den Bereich
des Gamow-Peaks hinunter. Auch die Screening-Werte m¨
ussen in diesen F¨
allen vermutlich korrigiert
werden.
53
AEiniges ¨
uber S- und T-Matrizen
A Einiges ¨
uber S- und T-Matrizen
Definitionen f¨
ur die T- und S-Matrix sind in der Literatur keineswegs einheitlich. Je nach Normie-
rung der Wellenfunktion unterscheiden sich die Matrizen um einen konstanten Faktor. Zuweilen gibt es
auch unterschiedliche Phasenfaktoren. Die S-Matrix beinhaltet manchmal (wie heutzutage ¨
ublich) die
Coulombphase w¨
ahrend sie woanders nur den starken Wechselwirkungsanteil beschreibt. Lediglich die
Streuamplitude fβα(kα,kβ)ist immer gleich definiert.
Das Programm DiWaN arbeitet intern mit T-Matrizen nach der Definition von Satchler, die deshalb
auch sonst hier in dieser Arbeit benutzt wird. Der Zusammenhang mit anderen Definitionen sei hier kurz
dargestellt.
A.1 Definitionen nach Fr¨
obrich/Lipperheide [16]
k-Basis in der Ortsdarstellung:
hr|ki=1
(2π)3/2eik·r
T-Matrix in der k-Darstellung:
Tβα(kα,kβ) = hkβ|T|kαi=−¯h
2π2µ−1
βfβα(kα,kβ)
T ist der abstrakte T-Operator (s.[16], 5.64,5.65)
LM-Basis in ˆ
k-Darstellung:
hˆ
k|LMi=i−LYLM(ˆ
k)
LM-Basis in Ortsrichtungsdarstellung:
hˆ
r|LMi=YLM(ˆ
r)
Partialwellenzerlegung:
hr|ki=X
LM hr|kiLM hˆ
r|LMihLM|ˆ
ki=
X
LM r2
πjL(kr)YLM(ˆ
r)iLY∗
LM(ˆ
k)
Folglich ist:
|ki=X
LM |LMihLM|ki=X
LM
iLY∗
LM(ˆ
k)|LMki
Kanalspin-Darstellung:
|SαMs
αi=X
MaMAIaIASα
MaMAMs
α|IaMaIAMAi
Gesamtspin-Darstellung:
|LαSα,JM;kαi=X
MαMs
αLαSαJ
MαMs
αM|LαMαkαi|SαMs
αi
Wirkungsquerschnitt:
dσ
dΩ=2π
¯h4µαµβkβ
kα|Tβα|2
54
A.2 Definitionen nach Satchler [20] AEiniges ¨
uber S- und T-Matrizen
F¨
ur die LS-Darstellung verwendet [16] folgende Definition (5.109-5.111):
TβMbMB,αMaMA(kα,kβ) = X
SαSβLαLβJ
iLα−LβIaIASα
MaMAMS
α IbIBSβ
MbMBMS
β LαSαJ
MαMS
αM
LβSβJ
MβMS
βMTJ
βLβSβ,αLαSαY∗
LαMα(ˆ
kα)YLβMβ(ˆ
kβ)
S-Matrix (f¨
ur α6=β):
SJ
βLβSβ,αLαSα=−iqµαµβkαkβ2π
¯h2TJ
βLβSβ,αLαSα
A.2 Definitionen nach Satchler [20]
k-Basis in der Ortsdarstellung:
hr|˜
ki=eik·r
|˜
ki= (2π)3/2|ki
T-Matrix in der k-Darstellung:
˜
Tβα(kα,kβ) = h˜
kβ|T|˜
kαi= (2π)3Tβα(kα,kβ)
LM-Basis in ˆ
k-Darstellung:
hˆ
k|LMi˜=YLM(ˆ
k)
LM-Basis in Ortsrichtungsdarstellung:
hˆ
r|LMi˜=iLYLM(ˆ
r)
Kanalspin-Darstellung:
|SαMs
αi˜=X
MAMaIAIaSα
MAMaMs
α|IaMaIAMAi= (−)Ia+IA−Sα|SαMs
αi
Gesamtspin-Darstellung:
hˆ
r|LαSα,JMi˜=X
MαMs
αLαSαJ
MαMs
αMhˆ
r|LαMαi˜|SαMs
αi˜
T-Matrix in der LS-Darstellung:
˜
TJ
βLβSβ,αLαSα=iLα−Lβ+1(−)Ia+IA−Sα+Ib+IB−Sβ2π
¯h2qµαµβkαkβTJ
βLβSβ,αLαSα=
−iLα−Lβ(−)Ia+IA−Sα+Ib+IB−SβSJ
βLβSβ,αLαSα
Die T-Matrix von [20] entspricht also ungef¨
ahr dem, was man heute unter der S-Matrix versteht.
S-Matrix:
[20] verwendet S-Matrizen nur in der LS-Darstellung. F¨
ur α6=βgilt:
˜
SJ
βLβSβ,αLαSα=−e−i(σα,Lα+σβ,Lβ)˜
TJ
βLβSβ,αLαSα
Das heißt, [20] zieht die Coulombphase aus der T-Matrix raus. Das Besondere an der S-Matrix ist
f¨
ur [20] also, daß sie nur den Kernpotential-Anteil der Reaktion beschreibt. Diese Definition ist heute
absolut un¨
ublich und ist auch nirgendwo sonst zu finden. In dieser Arbeit werden deshalb Gleichungen
von [20], in denen die S-Matrix auftaucht, unmittelbar durch die ˜
T-Matrix ausgedr¨
uckt.
55
BIonenquellen-Steuerung
B Ionenquellen-Steuerung
Die Parameter der Ionenquelle werden ¨
uber 5 Potentiometer und 1 Ventil f¨
ur den Gaseinlaß gesteuert. Da
sich diese Regler im HV-Bereich befinden, erfolgt die Ankopplung mechanisch ¨
uber Plastikstangen, die
außerhalb des Geh¨
auses von Servomotoren gedreht werden. Diese (etwas veralteten) Motoren werden
mit 110 V ≈betrieben, jeweils f¨
ur eine Richtung, so daß pro Motor 2 Schalter ben¨
otigt werden.
Die manuelle Steuerung
ULN 2804 A
ULN 2804 A
1
2
3
4
5
6
7
8
14
15
16
17
18
19
20
21
9
GND
GND
+12 V
+12 V
110 V ~
UP
DOWN
POT
10
11
12
22
13
23
24
25
B250 C1500
4700µF, 35V
7812
Materialliste:
16 x Relais 50 39 83
16 x Relais-Fassung 50 35 76
1 x Platine 52 79 98
1 x Kühlkörper 18 89 13
Konrad-Elektronik
1 x 7812 Spannungsregler
1 x B250 C1500 Gleichrichter
2 x ULN 2804 A
2 x Sockel dazu
Segor-Elektronik
1 x 4700 µF, 35 V
1 x 25pol Sub-D, weibl.,Platinenst. 74 14 42
1 x 25pol Sub-D, männl. Stecker + Gehäuse
1 x 25adriges Kabel, 10m 60 22 48
Abbildung 32: Ionenquellensteuerung mit TTL-Pegeln
besteht entsprechend aus ei-
nem Modul, das einen Spe-
zialschalter f¨
ur die Auswahl
desMotorsundeinen”Hoch”-
und einen ”Runter”-Schalter
enth¨
alt.DieStellungdesMo-
tors wird außerdem ¨
uber ei-
ne Potentiometerschleife zu-
r¨
uckgemeldet.Dasnebenste-
hende Schaltbild ersetzt die-
seFunktionendurcheinenach-
tr¨
aglicheingebautePlatine.Die
Motorenwerdenjetzt ¨
uberTTL-
Pegel gesteuert und k¨
onnen
außerdemgleichzeitigbetrie-
ben werden. Manueller Be-
triebistjederzeitm¨
oglich,wenn
keineComputersteuerung statt-
findet.DieSteuerungseing¨
ange
und Spannungsausg¨
ange (0-
10V)werdenschließlich ¨
uber
einen 25-poligen Sub-D-Mi-
niaturstecker herausgef¨
uhrt.
Von dort gehen sie an eine
A/D-D/A-Wandlerkarte mit pro-
grammierbarenTTL-Ein-und
Ausg¨
angen, die auch schon
bei[66]verwendet wurde (Typ
Meilhaus PC30). Treiber zu
dieser Karte mußten eigens
entwickelt werden, und zwar
f¨
ur FreeBSD und OpenStep.
Ein selbst gebastelter Server
machte die Ansteuerung von jedem Netzknoten aus m¨
oglich (s.a. Abb.14). Abb.32 zeigt das Schaltbild
nebst Materialliste. Ein TTL-Pin w¨
ahlt die Richtung, ein zweiter schaltet den Motor ein. Bei Stromaus-
fall sind alle Relais ausgeschaltet, so daß keine unkontrollierte Regelung stattfindet.
56
CKommunikationsprotokoll
C Kommunikationsprotokoll
Es wurden mehrere gleichartige Server zur Ansteuerung bzw. ¨
Uberwachung der unterschiedlichen Be-
schleunigerkomponenten eingesetzt. Alle Server benutzen das TCP/IP-Protokoll. Die Server laufen auf
dem Host ”flavour.physik.TU-Berlin.DE” und ”warten” auf folgenden Ports:
•bsd_server auf Port 4711 zur Ansteuerung der ADCs und zur Meßdatenaufnahme.
•hp_server auf Port 4710 zur Ansteuerung des HP-Pr¨
azisionsmultimeters (HP 34401A). Hier-
mit wurde die geteilte Hochspannung an der Widerstandskette gemessen.
•pc30_server auf Port 4709 zur Ansteuerung der AD-DA-Wandlerkarte von Meilhaus. Hiermit
wurde die gesamte Ionenquelle gesteuert, aber auch die Druckmeßk¨
opfe und die Targetstromst¨
arke
¨
uberwacht. Außerdem wurden hiermit die Quadrupole gesteuert (2 12 Bit DA-Wandler).
•Ein Kernelserver auf OpenStep zur Ansteuerung der 16-Bit-DA-Karte DAC416 von Kolter. Hier-
mit wurde die Hochspannung geregelt. Die Anforderungen sind hier etwas h¨
oher, da z.B. Aus-
gangsspannung sehr stabil sein und außerdem gehalten werden muß, wenn der Rechner neu gest-
artet wird.
Verbindungen zu den Servern sind i.d.R. connectionless, d.h. es besteht keine dauerhafte Verbindung
in Form einer Session sondern die Verbindung wird nach einer Anfrage+Antwort wieder vom Server
getrennt.
C.1 Protokoll zur Meßdatenerfassung und ADC-Steuerung
List-Mode ist noch nicht implementiert.
Der Server gibt eine Statuszeile und danach die angeforderten Daten aus.
Anschließend wird die Verbindung vom Server getrennt.
Die Statuszeile besteht aus einem dreistelligen dezimalen Code und einer entsprechenden Textmeldung.
Fehlercodes: 200 = all right , 501 = Falsches Paßwort
Eine Statuszeile sieht z.B. folgendermaßen aus: 501 bad passwd
Host: flavour
Port: 4711
C.1.1 Starten und Beenden der Messung
•start <password>:Starten der Messung
•stop <password>:Beenden der Messung
•clear <password> <ADC-Nr>:L¨
oschen des Spektrums Nr <ADC-Nr>
•qclear <password>:L¨
oschen des Ladungsz¨
ahlers
C.1.2 Parameter setzen
set <password>...
•res<ADC-Nr.> <64|128|256|512|1024|2048|4096>:Aufl¨
osungdesSoftware-MCAin Kan¨
alen
•uld <ADC-Nr.> <0..255>:Upper level Diskriminator
57
CKommunikationsprotokoll C.1 Protokoll zur Meßdatenerfassung und ADC-Steuerung
•lld <ADC-Nr.> <0..255>:Low level Diskriminator
•rpt <ADC-Nr.> <0..15>:Rise Time Protection
•mode <list|spec>:Umschalten auf List-Mode bzw. Spektrum-Mode
•adc <ADC-Nr.> <on|off.>:ADC ein- oder ausschalten
•charge <unit>:Ladungseinheit in Mikrocoulomb f¨
ur das get Kommando
C.1.3 Parameter abfragen
•para: Ausgabe s¨
amtlicher Einstellungen. Die Einstellungen werden im gleichen Format wie bei
set ausgegeben, z.B.
lld 3 145
Die Angaben sind durch Newline getrennt. Eine laufende Messung wird durch das Wort running
angezeigt.
Auf das Schl¨
usselwort sversion folgt der Versionsstring des Servers.
Auf das Schl¨
usselwort kversion folgt der Versionsstring des Kernels.
C.1.4 Meßdaten holen
•get <ADC-Auswahl>:Ausgabe der Kanalinhalte der gew¨
unschten ADCs im ASCII-Format
durch Newlines getrennt. Vor jedem Spektrum wird folgendes ausgegeben:
–Anzahl der Kan¨
ale
–Absolute Unix-Zeit (Sekunden seit 1.1.1970)
–Lifetime in Millisekunden
–Deadtime in Mikrosekunden
–Ladung in Z¨
ahleinheiten (Einheit wird mit set eingestellt)
–Ladungseinheit in Mikrocoulomb (Einheit wird mit set eingestellt) (vorsicht, float !)
•time <ADC-Nr.>:Ausgabe der Startzeit in Sekunden seit 1970, der Lifetime und der Totzeit in
Mikrosekunden und der Ladung in Ladungseinheiten durch Newlines getrennt.
•list: Ausgabe der List-Mode-Daten. Die Daten kommen nacheinander in einem noch festzulegen-
den Format. Der Client muß die Verbindung schließen.
C.1.5 Sonstige Kommandos
•die <password>:Beenden des Servers
•kload <password>:Neuladen des Kernels.
58
DDie Potentialdatenbank
D Die Potentialdatenbank
Die genauen Daten zur Berechnung der Potentials wurden in einer Datei gesammelt, die im sog. ”Pro-
perty List”-Format angelegt wurde. Das Property-List-Format besteht im Wesentlichen aus Eintr¨
agen,
bei denen jeweils einem Schl¨
ussel (Key) genau ein Wert (Value) zugeordnet wird. Die Buchstaben
sind im ASCII-Format gespeichert, Schl¨
ussel und Wert sind durch ein Gleichheitszeichen getrennt, die
Schl¨
ussel-Wert-Paare durch Semikola. Eine Sammlung von Schl¨
ussel-Wert-Paaren nennt man ein Dic-
tionary. Neben Dictionaries sind auch Felder und Aufz¨
ahlungen m¨
oglich. Zur Unterscheidung werden
Dictionaries mit geschweiften Klammern umschlossen, Felder mit eckigen und Aufz¨
ahlungen mit run-
den Klammern. Als Werte kommen neben beliebigen Texten auch wiederum Dictionaries, Felder und
Aufz¨
ahlungen in Frage.
Die Grundstruktur der Potentialdatenbank besteht aus einem Dictionary. Die Schl¨
ussel sind kurze
Zeichenketten, die das Potential eindeutig identifizieren9. Jedem Schl¨
ussel wird dann ein Dictionary
zugeordnet. Die Schl¨
ussel haben dabei folgende Bedeutung:
•ref = Quellenangabe zum Potential.
•core = Der Tochterkern, in dessen Orbit sich das Teilchen bewegt, in der Form Massenzahl +
Elementname, z.B. ”6Li” oder auch ”p”, ”n” und ”d” f¨
ur die leichten Kerne.
•particle = Das Teilchen, das sich im Orbit des Tochterkerns bewegt, in der gleichen Form wie
bei core.
•pots = Aufz¨
ahlung von Schl¨
usseln weiterer Potentiale. Die Schl¨
ussel m¨
ussen durch runde Klam-
mern umschlossen und durch Kommata getrennt sein. Diese Potentiale werden dann einfach ad-
diert.
•opt = Art des Potentials, wie in der Anleitung zu DWUCK [9, 10] beschrieben.
•vr, r0r, ar, vi, r0i, ai, vsor, vsoi = Potentialparameter, wie bei DWUCK [9, 10] beschrieben.
Das folgende Beispiel zeigt den Eintrag f¨
ur das verwendete 4He+d-Potential:
4Hed = {
ref = "F.Hinterberger et al., Nuc.Phys.A 111(1968)265";
core = 4He; particle = d;
pots = (4Hed1,4Hed2)
};
4Hed1 = {
opt = 1;
vr = "-70"; r0r = 1.25; ar = 0.592; vsor=6;
};
4Hed2 = {
opt = 2;
vi = "-8.2"; r0i = 1.25; ai = 0.3;
};
Man vergleiche auch mit Tabelle 2. Das Programm sucht zun¨
achst nach der passenden core-particle-
Kombination. Wird diese gefunden, so sucht es nach dem pots-Eintrag und liest diese Einzelpotentiale
ein. Ist kein pots-Eintrag vorhanden, so werden die restlichen Parameter direkt aus dem Haupteintrag
gelesen.
9Im Grunde h¨
atte hier auch eine Aufz¨
ahlung gereicht. F¨
ur sp¨
atere Zwecke soll es aber m¨
oglich sein, zwischen verschie-
denen gleichartigen Potentialen w¨
ahlen zu k¨
onnen.
59
EDatenbank f¨
ur Spektroskopische Faktoren
E Datenbank f¨
ur Spektroskopische Faktoren
Spektroskopische Faktoren geben die Wahrscheinlichkeit daf¨
ur an, einen Kern Bin einem Zustand mit
der Anregungsenergie EBin die Bestandteile B=A+xzerlegt vorzufinden, mit der Anregungsenergie
EAf¨
ur A. Die Wahrscheinlichkeit kann dabei f¨
ur jeden Orbitalzustand von x angegeben werden, h¨
angt
also ¨
uberdies von der Hauptquantenzahl n, dem Bahndrehimpuls lund dem Gesamtdrehimpuls jvon x
ab. Die Kerne A,Bund xm¨
ussen nicht genau bekannt sein – es gen¨
ugt die Angabe der Nukleonenzahl
(hier mit A,Bund xbezeichnet), des Isospins Tx,TAbzw. TBund des Spins Jx,JAbzw. JB.
Quellen f¨
ur die einfachsten Zust¨
ande und Kerne sind [42] f¨
ur x= p oder n und [43] f¨
ur x= d.
Die Parameter werden hintereinander durch Tabulatoren getrennt in eine Datei geschrieben, wobei jede
Zeile einen Spektroskopischen Faktor beschreibt. Im Detail stehen hintereinander folgende Gr¨
oßen in
der Datei:
•x,Jx,Tx
•A,JA,TA,EA, wobei nur die Anregungsstufe angegeben wird.
•JB,TB,EB(das gleiche f¨
ur B)
•n,l,jOrbital von x, wobei mit nhier die Anzahl der Knoten in der Wellenfunktion gemeint ist.
Im Falle eines Harmonischen Oszillators w¨
are das die Hauptquantenzahl minus 1.
•Der Spektroskopische Faktor steht in der letzten Spalte.
Außerdem ist noch zu beachten, daß halbzahlige Spins mit 2 multipliziert werden. Kommentarzeilen
werden durch ein #eingeleitet. Auszug aus der Datei:
# B = A+x (stripping for A) , T = Isospin, J = Total spin, E = Excitation Level No.,
# n = Nodes without origin and infinity, l = orb. ang. mom., j = tot.ang.mom
# half spins are multiplied by 2
#
# x | A | B | Orb. |
# | | | |
# | | | |
# x Jx Tx A Ja Ta Ea Jb Tb Eb n l j Spec.Fac.
#11161003100130.4313
1 0.2893
1 1 1 0 1 3 0.8546
1 0.0386
80003100130.5800
93100100132.3565
21040001001011.0318
0 2 1 0.0865
73103100210.0320
2 0.0102
3 0.3114
1 1 1 1 0 1 0.0635
0 2 1 0.0303
0 2 2 0.1043
Man beachte auch, daß Eintr¨
age bei aufeinanderfolgenden Zeilen nicht wiederholt werden m¨
ussen, so-
fern sie am Anfang stehen.
60
LITERATUR
Literatur
[1] M. Junker + LUNA-Collaboration, Phys. Rev. C 57(1998)2700
[2] E. E. Salpeter, Aust. J. Phys. 7(1954)373
Erster Hinweis auf den Electron-Screening-Effekt.
[3] H. J. Assenbaum, K. Langanke und C. Rolfs, Z. Phys. A327(1987)461
Hier wird der Screening-Enhancement-Factor definiert.
[4] C. Rolfs und E. Somorjai, Nucl. Inst. Meth. B99(1995)297
Ein Status-Report zum Electron-Screening-Effekt
[5] K. Czerski, A. Huke, A. Biller, P. Heide, M. Hoeft und G. Ruprecht
Europhys. Lett. 54(2001)449
Hier wird festegestellt, daß die Screening-Energie in Metallen deutlich h¨
oher als erwartet ist.
[6] C. Spitaleri, S. Typel, R. G. Pizzone, M. Aliotta, S. Blagus, M. Bogovac, S. Cherubini, P. Figuera,
M. Lattuada, M. Milin, D. Miljani´
c, A. Musumarra, M. G. Pellegriti, D. Rendi´
c, C. Rolfs, S.
Romano, N. Soi´
c, A. Tumino, H. H. Wolter und M. Zadro
Phys. Rev. C 63(2001)055801
Die Trojanisches-Pferd-Methode, angewendet auf die Reaktion 2H(6Li,α)4He.
[7] A. M. Mukhamedzhanov, H. L. Clark, C. A. Gagliardi, Y.-W. Lui, L. Trache, R. E. Tribble, H. M.
Xu, X. G. Zhou, V. Burjan, J. Cejpek, V. Kroha und F. Carstoiu
Phys. Rev. C 56(1997)1302
Die ANC-Methode, angewendet auf 7Be(p,γ)8B.
[8] K. Czerski, G. Ruprecht, H. Bucka and P. Heide, Nucl. Phys. A621(1997)119c
Isospin-Mischung in 8Be.
[9] Peter D. Kunz, Programm DWUCK4, http://spot.colorado.edu/˜kunz
Geschrieben in Fortran, l¨
auft prim¨
ar auf VAX/VMS und PCs, l¨
aßt sich durch winzige ¨
Anderungen
aber auf praktisch jeder Plattform zum Laufen bringen.
[10] P. D. Kunz und E. Rost in
K. Langanke, S. E. Koonin und J. Maruhn: ,,Computational Nuclear Physics 2: Nuclear Reactions”
Springer-Verlag, Heidelberg 1993
[11] C. Rolfs und W. S. Rodney: ,,Cauldrons in the Cosmos”
University of Chicago Press, Chicago 1988
Das Standardwerk f¨
ur alle Fans der Nuklearen Astrophysik.
[12] G. Steigmann: ,,Primordial Nucleosynthesis: The next significant figure”
aus W. J. Thompson, B. W. Carney und H. J. Karwowski:
,,Workshop on Primordial Nucleosynthesis”
World Scietific 1989
[13] Herman Feshbach, Ann. Phys. 5(1958)357-390, ,,Unified Theory of Nuclear Reactions”.
Eine Kurz¨
ubersicht ¨
uber die von Feshbach entwickelte einheitliche Theorie der Kernreaktionen.
[14] Herman Feshbach, Ann. Rev. Nuc. Sci. 8(1958)49, ,,The Optical Model and its Justification”.
Die ausf¨
uhrliche Version.
61
LITERATUR
[15] B. A. Lippmann und J. Schwinger, Phys. Rev. 79(1950)469
[16] P. Fr¨
obrich, R. Lipperheide: ,,Theorie of Nuclear Reactions”
Clarendon Press Oxford, 1996
[17] M. Gell-Mann und M. L. Goldberger, Phys. Rev. 91(1953)398
[18] F. S. Levin und H. Feshbach: ,,Reaction Dynamics”
Gordon & Beach Science Publishers, 1973
[19] Herman Feshbach: ,,Theoretical Nuclear Physics: Nuclear Reactions”
John Wilney & Sons, Inc., 1991
[20] G. R. Satchler: ,,Direct Nuclear Reactions”
Clarendon Press Oxford, 1983
[21] G. R. Satchler, Nucl. Phys. 55(1964)1
Der erste ¨
Ubersichtsartikel ¨
uber Methoden der DWBA-Theorie. Die Beziehung zur Umrechnung
in die LSJ-Darstellung ist aber leider falsch.
[22] A. M. Lane und R. G. Thomas, Rev. Mod. Phys.30(1958)257
[23] A. G. Sitenko, ,,Theory of Nuclear Reactions”
World Scientific, Singapur 1990
[24] G. Musiol, J. Ranft, R. Reif und D. Seeliger: ,,Kern- und Elementarteilchenphysik”
VCH Verlagsgesellschaft 1988
[25] W. Hauser und H. Feshbach, Phys. Rev. 87(1952)366
[26] M. Abramowitz und I. A. Stegun, ,,Handbook of Mathematical Functions”
9. Auflage, Dover Publications, New York 1972
[27] C. Rolfs, H. P. Trautvetter, W. S. Rodney, Prep. Prog. Phys. 50(1987)233
Einf¨
uhrung und Definition des S-Faktors
[28] J. M. Blatt und L. C. Biedenharn, Rev. Mod. Phys. 24(1952)258
Einf¨
uhrung der Legendre-Koeffizienten zur Parametrisierung der Winkelverteilung
[29] A. R. Edmonds, ,,Angular momentum in quantum mechanics”
Princeton University Press, Princeton 1957
Das Standardwerk zur Drehimpulsalgebra
[30] A. Lindner, ,,Drehimpulse in der Quantenmechanik”
Teubner Verlag, Stuttgart 1984
Eine sehr gute Darstellung der Drehimpulsalgebra
[31] N. K. Glendenning: ,,Direct Nuclear Reactions”
Academic Press, New Yorck, 1983
[32] A. Huke, Diplomarbeit 1994 am IAAP der Technischen Universit¨
at Berlin.
[33] H. Anderson and J. F. Ziegler: ,,The Stopping and Ranges of Ions in Matter”
Pergamon Press, New Yorck, 1977, Vol. 3
62
LITERATUR
[34] P. Marmier: ,,Kernphysik”
Verlag der Fachvereine an der ETH, Z¨
urich
8.Aufl. 1975
[35] T. Mayer-Kuckuk: ,,Kernphysik” , Teubner-Verlag Stuttgart 1984
[36] D. Bemmerer, Diplomarbeit 1998 am IAPF der Technischen Universit¨
at Berlin.
Die Messungen wurden nach der gleichen Methode 2000 um Meßpunkte bei kleineren Energien
erg¨
anzt.
[37] Alle in C umgewandelten Dateien zusammen mit einem Makefile sind im Institutscluster zu finden
unter /usr/local/nuclear/src/dwba/dw4c/
[38] National Nuclear Data Center (NNDC): http://www.nndc.bnl.gov
[39] Schriftliche Ver¨
offentlichung der Massenevaluation: Nucl. Phys. A595(1995)409
Computerfiles sind zu finden beim Atomic Mass Data Center (AMDC):
http://www-csnsm.in2p3.fr/AMDC/web/amdcw en.html
[40] Die Optischen Potentiale befinden sich im Institutscluster unter:
/usr/local/nuclear/data/optpot.plist
[41] Eine ¨
Ubersicht ¨
uber Quellen und Paramter f¨
ur Optische Potentiale:
Perey and Perey, At. D. Nuc .D. Tab. 17(1976)1
[42] Spektroskopische Faktoren f¨
ur ein Nukleon auf der 1p-Schale
S. Cohen und D. Kurath, Nucl. Phys. A101(1967)1
[43] Kwa´
sniewicz und Kisiel, Acta Phys. Pol. B19(1988)141
[44] Spektroskopische Faktoren befinden sich im Institutscluster unter:
/usr/local/nuclear/data/spek
[45] Das urspr¨
unglich f¨
ur NeXTstep/OpenStep entwickelte Programm Abscissa von R. Bruehl l¨
auft
in der Cocoa-Umgebung von MacOS X. Die neueste Version findet man auf den Web-Seiten des
Autors unter http://homepage.mac.com/rbruehl.
[46] DiWan baut auf den urspr¨
unglichen Quelltexten von [9, 10] auf und stellt ein komfortables,
benutzeroberfl¨
achengesteuertes Programm dar. Es ist im Institutscluster zu finden unter /Net-
work/Applications/Kernphysik/DiWaN.app.
[47] G. R. Satchler, Nuc. Phys. 85(1966)273
Deuteron-Streuung an 12C wurde untersucht. Die Parameter lassen sich aber auch auf andere leich-
te Kerne anwenden.
[48] D. L. Powell, G. M. Crawley, B. V. N. Rao und B. A. Robson, Nuc. Phys. A147(1970)65
Hier wurden Deuteronen direkt an 6Li im Energiebereich 4,5 - 5,5 MeV gestreut. Das empfohlene
Optische Potential taugt aber kaum f¨
ur weitere Berechnungen.
[49] K. Czerski, Doktorarbeit 1993 am IAPF der Technischen Universit¨
at Berlin
[50] B. A. Watson et al,Phys. Rev. 182(1969)977
[51] L.Marquez, Phys. Rev. C 28(1983)2525
63
LITERATUR
[52] G. Raimann, Doktorarbeit 1991 am Fachbereich Physik der Westf¨
alischen Wilhelms-Universit¨
at
M¨
unster
[53] G.Igo, Phys. Rev. 117(1960)1079
Hier wurden Alpha-Teilchen an 4He-Kernen gestreut.
[54] F.Hinterberger, G.Mairle, U. Schmidt-Rohr, G.J. Wagner und P. Turek, Nuc. Phys. A111(1968)265
...und hier Deuteronen an 4He-Kernen und vielen anderen, jeweils bei 52 MeV.
[55] W. W. Daehnick, M. J. Spisak, J. R. Comfort, Phys. Rev. C 23(1981)1906
Hier wird der Nullreichweitenparameter f¨
ur d+d aus der Reaktion 208Pb(α,d)210Bi bei 33 und 48
MeV Einschußenergie ermittelt.
[56] R. J. Elwyn, R. E. Holland, C. N. Davids, L. Meyer-Schutzmeister, J. E. Monahan, F. P. Mooring
und W. Ray, Jr., Phys. Rev. C 16(1977)1744
[57] S. Engstler, G. Raimann, C. Angulo, U. Greife, C. Rolfs, U. Schr¨
oder, E. Somorjai, B. Kirch und
K. Langanke, Phys. Lett. B 279(1992)20
S-Faktoren f¨
ur 6Li(d,α) u.a. Reaktionen. Hier ist die Anisotropie erstmals sichtbar.
[58] S. Engstler, G. Raimann, C. Angulo, U. Greife, C. Rolfs, U. Schr¨
oder, E. Somorjai, B. Kirch und
K. Langanke, Z. Phys. A 342(1992)471
Die ausf¨
uhrliche Version.
[59] J. M. F. Jeronymo, G. S. Mani, F. Picard, A. Sadeghi, Nuc. Phys. 38(1962)11
Erste Messung der Reaktion 6Li(d,α)4He bei nur wenigen hohen Energien (ab 1 MeV).
[60] C. R. MacClenahan, R. R. Segel, Phys. Rev. C 11(1975)370
Wenige Meßpunkte der Reaktion 6Li(d,α)4He im mittleren Energiebereich.
[61] M. Manalis und J. E. Henkel, Phys. Rev. 136,6B(1964)B1741
Weitere Meßpunkte zur 6Li(d,α)4He-Reaktion.
[62] M. S. Golovkov, V. S. Kulikauskas, V. T. Voronchev, V. M. Krasnopol’skil, V. I. Kukulin,
Sov. J. Nuc. Phys. 34(1981)480
Meßpunkte zur 6Li(d,α)4He-Reaktion im niederenergetischen Bereich.
[63] K. Czerski, A. Huke, H. Bucka, P. Heide, G. Ruprecht und B. Unrau,
Phys. Rev C 55(1997)1517
[64] Ajzenberg-Selove, Nuc. Phys. A490(1988)1
Eine Sammlung der Energieniveaus leichter Kerne.
[65] K. Czerski, H. Bucka, P. Heide und T. Makubire, Phys.Lett. B307(1993)20
[66] F. Staufenbiel, Diplomarbeit 2000 am IAPF der Technischen Universit¨
at Berlin.
[67] J. H. Kelley, R. S. Canon, S. J. Gaff, R. M. Prior, B. J. Rice, E. C. Schreiber, M. Spraker, D. R.
Tilley, E. A. Wulf und H. R. Weller, Phys. Rev. C62(2000)025803
[68] E. A. Wulf, M. A. Godwin, J. F. Guillemette, C. M. Laymon, R. M. Prior, B. J. Rice, M. Spraker,
D. R. Tilley und H. R. Weller, Phys. Rev. C58(1998)517
[69] T. Rauscher und G. Raimann, Phys. Rev. C 53(1996)2496
64
Danksagung
Danksagung
Herrn Prof. Dr. P. Heide danke ich f¨
ur die Betreuung dieser Arbeit und f¨
ur die jahrelange gute Zu-
sammenarbeit im Team der Kernphysik-Arbeitsgruppe am Institut f¨
ur Atomare und Analytische Physik
(jetzt Institut f¨
ur Atomare Physik und Fachdidaktik) der Technischen Universit¨
at Berlin.
Der gesamnten Arbeitsgruppe Heide/Bucka danke ich f¨
ur die Unterst¨
utzung und tatkr¨
aftige Mitwir-
kung, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat.
Herrn Dr. K. Czerski m¨
ochte ich f¨
ur die Anregung zu diesem Thema und f¨
ur die vielen physikalischen
Diskussionen danken. Durch seinen unersch¨
utterlichen Glauben an die Richtigkeit der hier vorgestellten
Methode hat er mir den Mut gegeben, weiter daran zu arbeiten.
Herrn D. Bemmerer sei gedankt f¨
ur die hervorragende Zusammenarbeit bei den Messungen und f¨
ur
die gr¨
undliche Auswertung der Meßdaten. Auch bei der Entwicklung des Systems zur Erfassung der
Meßdaten hat Herr Bemmerer maßgeblich mitgewirkt.
Bei Herrn Dr. M. Hoeft bedanke ich mich f¨
ur seine unerm¨
udlichen Verbesserungen am 200-kV-Be-
schleuniger. Es gab kein Problem am Beschleuniger, das er nicht innerhalb k¨
urzester Zeit l¨
osen konnte.
Auch in Fragen der Theorie und der Astrophysik war er immer ein guter Ansprechpartner.
F¨
ur die Programmierung und Mitwirkung beim Meßdatenerfassungssystem sei Herrn A. Biller herz-
lich gedankt. Bei A. Huke bedanke ich mich f¨
ur die partnerschaftliche Zusammenarbeit.
Nicht zuletzt bedanke ich mich bei der Werkstatt und allen technischen Mitarbeitern (insbesondere
Herrn R. Kastl), die mit zum Gelingen der Messungen und zu einem reibungsfreien Betrieb der Ger¨
ate
beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt meinen Eltern und meiner Freundin Marion f¨
ur die Hilfsbereitschaft und
Unterst¨
utzung, insbesondere w¨
ahrend der Zeit der Niederschrift dieser Arbeit.
65