Document [original]

Automatisierte Auswertung und Kalibrierung

von scannenden Messsystemen mit

tachymetrischem Messprinzip

vorgelegt von

Diplom-Ingenieur

Andreas Rietdorf

von der Fakult¨

at VI - Bauingenieurwesen und Angewandte Geowissenschaften

der Technischen Universit¨

at Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

– Dr.-Ing. –

genehmigte Dissertation

Gutachter:

Prof. Dr.-Ing. Lothar Gr¨

undig

Prof. Dr.-Ing. Otto Heunecke

Prof. Dr.-Ing. Olaf Hellwich

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 10. Dezember 2004

Berlin 2005

D 83

Kurzfassung

Das Aufgaben- und Anwendungsspektrum der geod¨

atischen Mess- und Auswertetechniken umfasst neben den

Bereichen Liegenschaftsvermessung, Erdmessung, Photogrammetrie und Fernerkundung auch den Bereich der

Ingenieurvermessung. Die Ingenieurvermessung setzt sich mit Fragestellungen auf den Gebieten der Aufnahme,

Absteckung und ¨

Uberwachung von Bauwerken und anderen Objekten auseinander, vgl. [DIN, 1998] und [M¨

ser u. a., 2000]. Die in dieser Arbeit angesprochenen und diskutierten Algorithmen und L¨

osungsans¨

atze sind

haupts¨

achlich im Aufgabenbereich der Aufnahme, d. h. der vermessungstechnischen Erfassung von geometri-

schen Gr¨

oßen des Ist-Zustandes eines Objektes [DIN, 1986], anzusiedeln. Zu den auf diesem Gebiet vorhande-

nen Kernkompetenzen geh¨

oren neben den Auswertetechniken auch der Einsatz und die Entwicklung moderner

Messverfahren.

Die in den letzten Jahren verst¨

arkt in die geod¨

atische Praxis eingef¨

uhrten scannenden Messsysteme mit pola-

rem Messprinzip, unter die im weitl¨

aufigen Sinne alle tachymetrischen Messger¨

ate, Laserradar und terrestrische

Laserscanner fallen, eignen sich im Gegensatz zu herk¨

ommlichen Aufnahmetechniken f¨

ur eine sehr schnelle Ver-

messung von einzelnen Objekten, Strukturen und ganzen Bauwerken. Bei der mitunter nur wenige Minuten

andauernden Datenerfassung m¨

ussen die aufzunehmenden Objekte, wie bei den photogrammetrischen Aufnah-

metechniken, nicht zug¨

anglich sein. Die scannenden Instrumente sind jedoch in der Lage, Datenerfassungsraten

von >1000 diskreten Punkten pro Sekunde zu gew¨

ahrleisten.

Neben der Einf¨

uhrung in die Technologie scannender polarer Messsysteme besch¨

aftigt sich die Arbeit mit der

Entwicklung geeigneter Algorithmen zur Beschleunigung des Mess- und Auswerteprozesses. Dabei werden spezi-

elle Aspekte in den Teilbereichen der strukturierten Geometriedatenerfassung und der Verkn¨

upfungsproblematik

einzelner Instrumentenstandpunkte im Kontext der Kalibrierung scannender polarer Messsysteme mit tachy-

metrischem Messprinzip behandelt.

Als ein zeitraubender Faktor bei der Auswertung von Daten scannender Messsysteme sind die Standpunkt-

verkn¨

upfungen anzusehen, die zur Vereinheitlichung der Messdaten verschiedener Instrumentenstandpunkte in

einem ¨

ubergeordneten System herangezogen werden. Bei Nutzung des in dieser Arbeit beschriebenen Verfah-

rens l¨

asst sich eine Reduktion der ben¨

otigten Auswertezeit erreichen. Durch eine automatisierte Extraktion

von Ebenen aus den Punktwolken und einer nachfolgenden Zuordnung der Identit¨

aten durch ein automatisches

Verfahren unter Nutzung der algebraischen projektiven Geometrie k¨

onnen die so bereitgestellten Ebenen zur

standpunktweisen verketteten Systemtransformation von verschiedenen Instrumentenstandpunkten herangezo-

gen werden. Eine zus¨

atzliche Markierung und nachfolgende Vermessung von Passpunkten kann somit entfallen.

Die Entwicklung eines geeigneten Kalibrierverfahrens f¨

ur scannende polare Messsysteme mit tachymetri-

schem Messprinzip ist ein zweiter zentraler Punkt dieser Arbeit. Der Bestimmung von systematischen Ab-

weichungen und von Genauigkeitsangaben f¨

ur die verschiedenen integrierten Sensoren ist ein Hauptaugenmerk

dieser Arbeit gewidmet. Dabei wird durch Erweiterung bestehender Kalibrierverfahren der Weg zu einer Sy-

stemkalibrierung eingeschlagen. Aufbauend auf die Algorithmen der Standpunktverkn¨

upfung wird ein Kali-

brierverfahren vorgestellt, welches identische Ebenen nutzt und unter Zuhilfenahme der Algorithmen der Aus-

gleichungsrechnung Kalibrierparameter und Absch¨

atzungen zur Genauigkeit der verwendeten Messinstrumente

liefert. Die Leistungsf¨

ahigkeit und die Grenzen des Kalibrieransatzes werden anhand von Messwerten zweier

verschiedener Laserscanner untersucht und abschließend bewertet.

Summary

The tasks and application range of geodetic surveying and evaluation techniques cover real estate property

surveying, earth measurement, photogrammetry and remote sensing, as well as the field of engineering surveying.

Engineering surveys are concerned with questions in the areas of the recording, mapping and monitoring of

buildings and other objects. In addition to the data evaluation techniques, the use and development of modern

measurement procedures for acquisition are also fundamental in this field.

Unlike conventional photo techniques, the scanning measuring systems based on polar measuring principles

introduced to geodetic surveying practice within the past few years are suitable for the very fast measurement

of individual objects, structures and whole buildings. The objects to be measured must not be accessible for

the few minutes of continuous data acquisition, as they should be in the case of photogrammetric recording

techniques. The scanning instruments are able, however, to ensure data acquisition rates of over 1000 discrete

points per second.

In addition to the introduction to the technology of scanning polar measuring systems, this work deals with

the development of suitable algorithms for the acceleration of the measurement and evaluation process. In the

context of the calibration of scanning polar measuring systems with tachymetric measuring principles, special

aspects are considered in the sub-field of structured geometry data acquisition, and the difficulties in combining

sets of data from individual instrument points of view.

The combination of the readings from different instrument points of view in a standard primary system

can be seen as a time-consuming factor in the evaluation of data from scanning measuring systems. Through

the use of the procedure described in this work a reduction of the required evaluation time can be reached.

By an automated extraction of iso-levels from the point clouds and a subsequent automatic assignment of the

identities using projective transformations, the resulting iso-levels can be inspected with respect to the linked

system instrument points of view. The additional marking and subsequent measurement of reference points can

therefore be avoided.

The development of an appropriate calibration method for scanning polar measuring systems based on

tachymetric measuring principles is a second central point of this work. Special attention is given in this

work to the regulation of systematic deviations and the precision details of the various integrated sensors.

A system calibration method based on an extension of existing calibration procedures is proposed. Building

on the point connection algorithms, a calibration method is introduced. This uses iso-levels and the help

of the adjustment algorithm to estimate calibration parameters, as well as the precision of the measuring

instruments. In conclusion, the efficiency and bounds of the calibration approach are examined and evaluated

using measurements from two different laser scanners.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 7

1.1 MotivationundZielsetzung ....................................... 7

1.2 GliederungderArbeit .......................................... 8

2 Scannende polare Messsysteme 11

2.1 Distanzmessung.............................................. 12

2.1.1 Impulslaufzeitverfahren ..................................... 12

2.1.2 Phasendifferenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Verfahren zur dreidimensionalen Erfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Winkeldefinitionen........................................ 14

2.2.2 R¨

aumliche Abtastung mittels tachymetrischem Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Alternative Abtastverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Laserscanner ............................................... 18

2.3.1 Messprinzip und Unterscheidungsmerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Charakteristische Kenngr¨

oßen.................................. 20

2.4 Entwicklung eines low cost – Laserscanners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Systembeschreibung ....................................... 23

2.4.2 Aufbau .............................................. 23

2.5 Diskussion................................................. 25

3 Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten 26

3.1 Einf¨

uhrung ................................................ 26

3.2 Triangulierung .............................................. 27

3.2.1 Delaunay-Triangulierung..................................... 28

3.2.2 Triangulierung polarer Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Segmentierung .............................................. 30

3.3.1 Allgemeines............................................ 30

3.3.2 Methoden zur automatischen Ebenendetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.3 Optimale Sch¨

atzungebenerRegionen ............................. 35

3.4 Zuordnung von homologen Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1 Manuelle Zuordnung der Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.2 AutomatischesVerfahren .................................... 40

3.5 Diskussion................................................. 46

4 Standpunktverkn¨

upfungen 47

4.1 MathematischeGrundlagen ....................................... 48

4.1.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.2 Translation ............................................ 48

4.1.3 Rotation.............................................. 48

4.2 Verfahren zur Standpunktverkn¨

upfung................................. 51

4.2.1 Orientierung ........................................... 51

4.2.2 Registrierung........................................... 52

4.3 Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Prinzip der verketteten Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2 Geometrische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.3 N¨

aherungswertbestimmung ................................... 55

4.3.4 Hauptausgleichung........................................ 57

4.3.5 Testdatens¨

atze .......................................... 61

4.3.6 Vergleich mit anderen Transformationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Diskussion................................................. 66

6 Inhaltsverzeichnis

5 Kalibrierstrategie 67

5.1 Ans¨

atze zur Bestimmung von Genauigkeiten und Instrumentenfehlern . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Abh¨

angigkeit vom Auftreffwinkel und Oberfl¨

achenbeschaffenheit . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.2 Vergleich mit Referenzstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 KalibrierungimTestfeld......................................... 70

5.2.1 Allgemeines Fehlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.2 Modellierung der Instrumentenfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Parametersch¨

atzung ........................................... 77

5.3.1 Modellbildung .......................................... 77

5.3.2 Datumsverf¨

ugung......................................... 79

5.3.3 Genauigkeit und Zuverl¨

assigkeit ................................ 79

5.3.4 Hypothesentests ......................................... 79

5.3.5 Varianzkomponentensch¨

atzung ................................. 80

5.4 Simulation von Instrumentenfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5 Testumgebung .............................................. 81

5.6 AblaufeinerKalibrierung ........................................ 84

5.7 Ergebnisse................................................. 86

5.8 Erweiterung der Kalibrierstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9 Diskussion................................................. 93

6 Zusammenfassung und Ausblick 94

Literaturverzeichnis 96

Abbildungsverzeichnis 103

Tabellenverzeichnis 105

Danksagung 106

Lebenslauf 107

1 Einleitung

1.1 Motivation und Zielsetzung

Die von Menschen geschaffenen und sie umgebenden Bauwerke verschiedenster Art, wie Geb¨

aude, Industriean-

lagen u. ¨

a., m¨

ussen aus den unterschiedlichsten Gr¨

unden im Bestand erfasst und dokumentiert werden. Dabei

muss die Vermessung in Abh¨

angigkeit des Verwendungszweckes der sp¨

ateren Produkte in verschiedenen Ab-

straktionsgraden vorgenommen werden. Bei Zunahme des Detaillierungsgrades der Bestandserfassung wird die

Aufnahme immer kostenintensiver [Bruhnke, 2003]. ¨

Uber die Bauabnahme im Zuge eines Neubaus und das

Aufmaß zu Dokumentationszwecken von historisch sowie kulturell wertvollen Geb¨

auden im Bereich der Denk-

malpflege hinaus, ist mitunter eine teils zeitkritische Dokumentation von Sch¨

aden an Bauwerken durch Unf¨

alle

oder Katastrophen gefordert.

Zus¨

atzlich zu diesen Aufgabenstellungen steigt der Bedarf an schnellen Nahbereichs-Messverfahren aufgrund

der st¨

andig steigenden Anforderungen an Qualit¨

ats¨

uberpr¨

ufungen und Qualit¨

atssicherungsmaßnahmen in allen

Bereichen der industriellen Produktion. Die dort eingesetzten Verfahren unterscheiden sich in Abh¨

angigkeit

vom Anwendungsspektrum hinsichtlich des Messaufwandes, des Messvolumens und der zu erreichenden Genau-

igkeitsanforderungen. Stellvertretend seien die Industriebranchen Automobilbau, Flugzeug- und Schiffbau sowie

der allgemeine Ingenieurbau genannt. Automatische und ber¨

uhrungslose 3D-Messverfahren sind aus diesen Be-

reichen der industriellen Fertigung nicht mehr wegzudenken, aber auch in den Bereichen Architektur, Medizin

und Forschung steigen die Anspr¨

uche an ein Qualit¨

atsmanagement auf Grundlage geometrischer Informationen

zusehends.

Neben diesen Anwendungen ist in den letzten Jahren verst¨

arkt die Einf¨

uhrung von Geb¨

aude-Management-

oder Facility-Management-Systemen diskutiert worden, die bis heute jedoch noch keine breite Akzeptanz in der

Wirtschaft gefunden haben [Kahlen, 2001]. Die Erfassung im Rahmen einer Bauaufnahme bzw. die Verarbei-

tung der Geometriedaten von Geb¨

auden, Geb¨

audeteilen oder Anlagen stellt unter dem Aspekt der Einf¨

uhrung

eines derartigen Informationssystems einen entscheidenen Beitrag zur Nutzung dieser Systeme dar, da durch

das Aufmaß ein Raumbezug zu den Attributen der Geb¨

audeteile hergestellt wird [Gielsdorf und Gr¨

undig, 2002].

Die Bereitstellung und Aufbereitung der Geometriedaten f¨

ur die oben genannten Anwendungen ist ein klassisches

Aufgaben- und Bet¨

atigungsfeld f¨

ur Vermessungsingenieure. Zur Datenerfassung sind seit einigen Jahren neben

den photogrammetrischen Verfahren die etablierten Totalstationen und reflektorlos messende Tachymeter am

Markt pr¨

asent. Diese Instrumente sind durch das Erfassen von diskreten Einzelpunkten gekennzeichnet, zu

denen der Beobachter manuell oder computerunterst¨

utzt die Auswahl, Anzielung und Messwertregistrierung

durchf¨

uhren muss.

Mit dem Auftauchen der ersten kommerziellen terrestrischen Laserscanner 1998 [Jacobs, 2004] sollte dieses

in der geod¨

atischen Praxis bew¨

ahrte Messkonzept ad acta gelegt und, glaubt man den Herstellern, eine neue ¨

Ara

der Datenerfassung eingeleitet werden. Unbestreitbar sind sicherlich die vielf¨

altigen Vorteile der scannenden

Messinstrumente: Neben der hohen Punktdichte bei der Messung ist diese Technologie durch eine hohe Datener-

fassungsrate gekennzeichnet. Die Erfassung erfolgt dabei fl¨

achenhaft, die Ergebnisse sind nahezu in Echtzeit in

drei Dimensionen verf¨

ugbar, und die Punktdichte ist so hoch, dass nicht selten ein photorealistischer Eindruck

bei Betrachtung der Messergebnisse entsteht.

Die Anspr¨

uche und die damit verbunden W¨

unsche der potentiellen Anwender an diese neuartige Technologie

sind seit dem Markteintritt der ersten terrestrischen Laserscanner sehr hoch gesteckt und sind es bis heute ge-

blieben. Dabei wird das Laserscanning manchmal als erneute Revolution auf dem Vermessungssektor betrachtet,

ahnlich den Errungenschaften, die GPS in den neunziger Jahren des letzten Jahrhunderts gebracht hat. Aller-

dings liegen f¨

ur kommerziell verf¨

ugbare Instrumente noch keinerlei Informationen und wenig Erfahrungen ¨

uber

Genauigkeiten und Leistungsf¨

ahigkeiten vor, die ¨

uber die Angaben der jeweiligen Hersteller hinausgehen. Aus

diesem Grund sind Verfahren zur ¨

Uberpr¨

ufung und Beurteilung der Messwerte zu entwickeln, um herstellerun-

abh¨

angige Aussagen ¨

uber die Messgenauigkeiten zu erhalten. Die Beschreibung methodischer Vorgehensweisen

und die Entwicklung von Ans¨

atzen zur Kalibrierung und Genauigkeitsuntersuchungen von scannenden Syste-

men sind deshalb zur Zeit Thema aktueller Forschungsvorhaben und wissenschaftlicher Arbeiten, und dies nicht

zuletzt, um die Akzeptanz dieser Technologie zu erh¨

ohen.

8 1. Einleitung

Anhand des in Abbildung 1.1 dargestellten Gartner’s Hype Cycle l¨

asst sich die zeitliche Abfolge von

der Einf¨

uhrung einer neuen Technologie bis hin zum produktiven Einsatz in f¨

unf Etappen beschreiben: Nach

Einf¨

uhrung einer neuen Technologie wird diese zun¨

achst verz¨

ogert wahrgenommen, die Erwartungen steigen ins

Unermessliche. Darauf folgt die Entt¨

auschung, die wiederum einen Aufschwung, diesmal langsamer und realisti-

scher, bis zur Akzeptanz und Produktivit¨

at nach sich zieht. Die Technologie des terrestrischen Laserscannings

befindet sich zur Zeit, nicht zuletzt auf Grund der hohen Investitionskosten, im Bereich der ¨

ubersteigerten

Erwartungen. Dies trifft gleichermaßen auch auf hybride Messsysteme zu, die verschiedenartige Sensoren verei-

nigen und gegebenenfalls sogar in einem Geh¨

ause integrieren. Derartige Systeme kombinieren unterschiedliche

Messverfahren, beispielsweise das Laserscanning mit der bildgebenden photogrammetrischen Aufnahme. Die

ber¨

uhrungslos messende Tachymetrie hingegen hat sich fest in der Praxis etabliert.

Übersteigerte

Erwartungen Tal der

Enttäuschung Aufschwung

Akzeptanz,

Produktivität

Zeit

Sicht Laserscanner,

Tachymeter

(berührungslos)

hybride

Systeme

Technologie

Neue

Abb. 1.1: Gartner’s Hype Cycle [Gartner, Inc., 2003] adaptiert auf scannende polare Messsysteme.

Neben den ¨

Uberpr¨

ufungen zur Messgenauigkeit und Ableitung von Kalibrierparametern ist der Grad der

Automatisierung ein zentraler Punkt bei der Datenerfassung sowie den anschließenden Datenaufbereitungen

und Modellierungen, da heutzutage die Effizienz eines Vermessungs- oder Auswerteverfahrens hieran gemes-

sen wird. Dies gewinnt bevorzugt an Bedeutung bei der Herstellung und ¨

Uberpr¨

ufung von Produktions-,

Industrie- und Konsumg¨

utern, aber auch bei der Geometrieaufnahme im Rahmen von Bauwerkserrichtungen

und -¨

uberwachungen. Aus diesem Grund m¨

ussen die Bestrebungen dahingehend intensiviert werden, die Auto-

matisierung der Prozesse von der Datenerfassung bis zur Modellierung voranzutreiben.

Die vorliegende Arbeit greift die genannten Gedanken wieder auf und soll somit einen Baustein zur Beschleu-

nigung, Vereinfachung und Transparenz der Auswerte- und Kalibrierprozesse bei der Nutzung von scannenden

Messsystemen liefern.

1.2 Gliederung der Arbeit

In Abbildung 1.2 wird der prinzipielle Aufbau dieser Arbeit aufgezeigt. Zun¨

achst wird in Kapitel 2 eine Ein-

f¨

uhrung zu scannenden polaren Messsystemen gegeben. Diese Instrumente sind durch eine Messdatenerfassung

gekennzeichnet, die durch die Erfassung zweier Richtungen bzw. Winkel zur Bestimmung der Raumrichtung

und einer Raumstrecke gekennzeichnet sind. Dabei k¨

onnen die Messsysteme an der Lotrichtung orientiert sein,

aber auch eine unabh¨

angig von der Lotrichtung gew¨

ahlte Orientierung der Messsysteme ist m¨

oglich. Zu diesen

Messinstrumenten geh¨

oren elektronische Tachymeter, Laserscanner und das Laserradar. Ebenfalls in diesem

Kapitel werden die Verfahren zur Bestimmung der r¨

aumlichen Distanz vorgestellt, und es wird ein ¨

Uberblick

uber den Stand der Technik der scannenden polaren Messsysteme gegeben.

Die Datenerfassung und die zur Auswertung verwendeten Methoden und Algorithmen unterscheiden sich

bei der Anwendung scannender Messverfahren grunds¨

atzlich von denen der konventionellen Messung mittels

tachymetrischer Verfahren. Bei der Nutzung von Tachymetern erfolgt die Modellbildung sozusagen im Kopf

des Beobachters vor oder w¨

ahrend der Messwerterfassung, da nur einige wenige und repr¨

asentative Punkte

1.2. Gliederung der Arbeit 9

ausgew¨

ahlt und erfasst werden. Im Gegensatz dazu f¨

uhrt der Einsatz von scannenden, automatisch messen-

den Systemen zu einer fl¨

achenorientierten Arbeitsweise, da das aufzunehmende Objekt mit einem regelm¨

aßigen

Raster nicht klassifizierter Punkte ¨

uberzogen wird. In Kapitel 3 werden die Grundlagen der Datenaufberei-

tung und Messdatenverarbeitung f¨

ur scannende Messverfahren vorgestellt und die automatische Ableitung von

strukturierten Geometriedaten am Beispiel von Ebenen gezeigt. Diese automatisch abgeleiteten Ebenen liegen

nach dem Modellierungsprozess in einem lokalen Instrumentenkoordinatensystem vor und verf¨

ugen ¨

uber einen

eindeutigen Identifikator, der sich aber nur auf das jeweilige lokale Standpunktkoordinatensystem bezieht. F¨

die Zuordnung identischer Ebenen auf den verschiedenen Instrumentenstandpunkten wird ein automatisches

Verfahren basierend auf Methoden der projektiven Geometrie und automatischer Suchstrategien vorgestellt und

anhand von Beispieldatens¨

atzen verifiziert.

Durch die automatisierte Zuordnung homologer Ebenen ist die M¨

oglichkeit gegeben, die zur vollst¨

andigen

Aufnahme und Modellierung ben¨

otigten Standpunktverkn¨

upfungen der einzelnen lokalen Instrumentenstand-

punkte durchzuf¨

uhren. Neben der Analyse der zurzeit in der Praxis ¨

ublichen Herangehensweise ¨

uber die Ablei-

tung von Passpunkten aus modellierten Kugelzentrumskoordinaten, Zielmarken oder reflektierenden Zielzeichen

wird in Kapitel 4 ein Verfahren zur Standpunkttransformation vorgestellt, das basierend auf einer verketteten

Systemtransformation mittels identischer Ebenen beliebig viele verschiedene lokale Instrumentenstandpunkte

bzw. -koordinatensysteme in ein gemeinsames System transformiert.

Auswertungen

(Verschneidung, Modellierung, ...)

automatische

geometrischer Primitive

Segmentierung / Detektierung

(Kapitel 3)

Messwerterfassung

Scannen (Kapitel 2)

(Kapitel 4)

(Kapitel 5)

Kalibrierung

- on the job oder

- regelmäßig

Standpunktverknüpfungen /

Transformationen

Abb. 1.2: Verarbeitungsschritte im Rahmen der Messwerterfassung, Auswertung und Kalibrierung.

Der ¨

Uberpr¨

ufung und Bewertung von Genauigkeitsangaben f¨

ur die in der Praxis eingesetzten Sensoren

kommt eine große Bedeutung zu. Regelm¨

aßige Ger¨

ateuntersuchungen und Instrumentenkalibrierungen sind

erforderlich, um die Genauigkeitsforderungen auch f¨

ur abgeleitete Produkte der scannenden Messverfahren ein-

halten zu k¨

onnen. In Kapitel 5 wird eine Kalibrierstrategie f¨

ur scannende Messverfahren mit tachymetrischem

Messprinzip vorgestellt, welche die typischen Instrumentenfehler (verschiedene Achsfehler, Nullpunktkorrektur

und zus¨

atzliche Kalibrierparameter) in einer gemeinsamen Systemkalibrierung bestimmt.

Generell muss zwischen zwei Kalibrierstrategien unterschieden werden – einer on the job Kalibrierung, bei der

die relevanten Instrumentenparameter im Zuge der Auswertung projektbezogen ermittelt werden, und einer ei-

genst¨

andigen Bestimmung von Kalibrierparametern, die idealerweise in regelm¨

aßigen Intervallen erfolgen sollte.

Das Hauptaugenmerk in dieser Arbeit liegt dabei auf der Entwicklung einer Kalibrierstrategie zur einmaligen

10 1. Einleitung

oder regelm¨

aßigen Bestimmung der Kalibrierparameter in einem geeigneten Testfeld f¨

ur terrestrische Laserscan-

ner, die nach dem tachymetrischen Messprinzip arbeiten. Andere scannende polare Messsysteme werden hier

nicht betrachtet, da auf Grund der unterschiedlichen Arten der Auslenkung des Messstrahls das funktionale

Modell der Kalibrierung je nach mechanischem Aufbau ver¨

andert werden muss.

Das Kapitel 6 schließlich enth¨

alt eine Zusammenfassung und Bewertung dieser Arbeit und gibt einen

Ausblick auf zuk¨

unftige Entwicklungen und weiterf¨

uhrende Forschungsans¨

atze.

Anmerkung

In dieser Arbeit werden die in der Geod¨

asie bevorzugt eingesetzten Linkssysteme als Koordinatensysteme ver-

wendet. Die mathematisch definierten Rechtssysteme hingegen lassen sich ebenfalls nutzen, nur muss dann im

Vorfeld der Anwendung eine Transformation erfolgen. Werden in dieser Arbeit Rechtssysteme benutzt, wird

explizit darauf verwiesen.

2 Scannende polare Messsysteme

Eine Vielzahl von geod¨

atischen Mess- und Auswerteverfahren beruhen auf dem Prinzip der polaren Messungs-

elemente. Zu den Messsystemen, die dem polaren Messprinzip zugeordnet sind, geh¨

oren die Instrumente, die

unter die Oberbegriffe elektronische Tachymeter, terrestrische Laserscanner und Lasertracker sowie Laserradar

fallen. Diese Messinstrumente sind durch eine Messung von zwei r¨

aumlichen Richtungen und einer Raumstrecke

zu einem Objektpunkt gekennzeichnet, vgl. zur Beschreibung und Darstellung auch Abbildung 2.1. Aus die-

sen Messungselementen sind unter Anwendung einfacher Transformationsvorschriften direkt dreidimensionale

kartesische Koordinaten der Objektpunkte ableitbar, die zun¨

achst in einem lokalen, frei orientierten Koordina-

tensystem vorliegen.

Qix

Abb. 2.1: Messprinzip eines polaren Messsystems: Zur Bestimmung der Koordinaten (x, y, z)ieines Objekt-

punktes Piim lokalen Instrumentenkoordinatensystem werden zwei Raumwinkel (φ, Θ)iund die

Schr¨

agstrecke Siben¨

otigt.

Die Messung der Distanz sollte aus praktischen Gr¨

unden reflektorlos erfolgen. Wenn im Folgenden der Begriff

der reflektorlosen Entfernungsmessungsmessung verwendet wird, ist damit die Streckenmessung auf nat¨

urliche

und k¨

unstliche, nicht spiegelnde Oberfl¨

achen ohne Zuhilfenahme von Reflexfolien, Reflektoren u. ¨

a. gemeint.

[Kern, 2003] w¨

ahlt in diesem Zusammenhang die Begriffe signalisierungsfrei oder auch ber¨

uhrungslos, und meint

damit, dass aufgrund der starken B¨

undelung des Laserlichts und der damit verbundenen starken Reflexion an der

Objektoberfl¨

ache eine besondere Signalisierung des Zielpunktes nicht vorgenommen werden muss. Der Begriff

reflektorlose Distanzmessung ist jedoch mittlerweile fest im Sprachgebrauch etabliert und soll im Weiteren

verwendet werden.

Wird die reflektorlose Distanzmessung nicht nur zu einem Objektpunkt durchgef¨

uhrt, sondern wird das

Messsystem in die Lage versetzt, eine automatisierte sowie fl¨

achenhafte und somit bildgebende Abtastung vor-

zunehmen, wird auch von Laserscanning oder Scanning gesprochen. Unter dem Begriff Laserscanner werden

im Weiteren diejenigen Instrumente verstanden, die f¨

ur eine automationsgest¨

utzte ber¨

uhrungslos abtastende

Messdatenerfassung von Oberfl¨

achen eingesetzt werden k¨

onnen. Ausgenommen davon sind Zeilenscanner und

die in unterschiedlichen Disziplinen eingesetzten flugzeug- oder satellitengest¨

utzten Laserscanner.

Im folgenden Kapitel werden die Grundprinzipien zur Messung mit polaren Messinstrumenten vorgestellt. Neben

der Erl¨

auterung der zur Verf¨

ugung stehenden Distanzmessprinzipien wird auf die unterschiedlichen M¨

oglichkei-

ten der r¨

aumlichen Erfassung bzw. r¨

aumlichen Auslenkung der Distanzmessung zur Erfassung der ben¨

otig-

ten Messungselemente eingegangen. Dabei konzentriert sich die Arbeit auf die Beschreibung von scannenden

Messsystemen. Die ebenfalls nach der polaren Messmethode arbeitenden Lasertracker und das Verfahren des

Laserradars werden nicht betrachtet.

12 2. Scannende polare Messsysteme

2.1 Distanzmessung

Das Grundprinzip der elektronischen Distanzmessung beruht auf der Aussendung einer sich mit konstanter

Geschwindigkeit fortpflanzenden Wellengruppe, die am Zielpunkt reflektiert und am Anfangspunkt wieder emp-

fangen wird. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit bekannt und die Signallaufzeit genau erfassbar, kann die

Strecke aus diesen bekannten Gr¨

oßen abgeleitet werden.

Die Grundlage f¨

ur eine elektronische Entfernungsmesser bildet ein Laser (Light Amplification by Stimulated

Emission of Radiation – Lichtverst¨

arkung durch stimulierte Emission von Strahlung), dessen Licht als Tr¨

ager-

welle genutzt und auf verschiedene Weise zur Aufpr¨

agung eines eindeutigen Signals moduliert wird. Ein Laser

ist eine Lichtquelle, die elektromagnetische Strahlung großer Intensit¨

at, scharf begrenzter Frequenz und hoher

Koh¨

arenz1auszusenden vermag.

Zur reflektorlosen Distanzmessung in den polaren Messsystemen Tachymeter und Laserscanner kommen haupt-

s¨

achlich zwei Verfahren zum Einsatz, um die Laufzeit des aufmodulierten Signals zu bestimmen. In moder-

nen Tachymetern findet sich als Distanzmessprinzip haupts¨

achlich das Phasendifferenzverfahren. Das zweite

Messverfahren beruht auf dem Prinzip des Impulslaufzeitverfahrens und wird aktuell von den meisten Lasers-

cannern als Distanzmessprinzip verwendet.

Die Grundlagen der elektrooptischen Distanzmessung sind z. B. detailiert in [R¨

ueger, 1996], [Joeckel und Sto-

ber, 1999], [Witte und Schmidt, 2000] und [Deumlich und Staiger, 2002] beschrieben. Zum besseren Verst¨

andnis

der eingesetzten Verfahren sollen hier dennoch die Grundprinzipien der elektrooptischen Distanzmessung kurz

angesprochen werden.

2.1.1 Impulslaufzeitverfahren

Beim Impulslaufzeitverfahren wird diejenige Zeit gemessen, die der ausgesandte Puls, vgl. Abbildung 2.2, vom

Verlassen der Sendediode ¨

uber die Reflexion am Objekt und zur¨

uck zur Empfangsdiode ben¨

otigt. Der Zeitpunkt

des Aussendens des Impulses und der Empfangszeitpunkt sind zu erfassen, um die Laufzeit

∆t=2s

c(2.1)

zu ermitteln. Mit der mittleren Ausbreitungsgeschwindigkeit centlang des Signalwegs l¨

asst sich die Entfernung

szwischen Sensor und Objekt ermitteln.

Impuls

Empfänger

Laufzeit-

messung

Sender

Abb. 2.2: Schematisches Prinzip Impulslaufzeitverfahren.

2.1.2 Phasendifferenzverfahren

Beim Phasendifferenz- oder Phasenvergleichsverfahren wird einer kontinuierlich ausgestrahlten Tr¨

agerwelle ein

sinusf¨

ormiges Signal mit der Messfrequenz fmaufmoduliert:

yS=ASsin(2π fmt).(2.2)

Die Modulation kann dabei durch eine Amplituden-, Phasen- oder Frequenzmodulation erfolgen. Die Wellen-

l¨

ange λmder Modulationswelle

λm=c0

n fm

(2.3)

1Als koh¨

arent werden zwei oder mehrere Wellenz¨

uge bezeichnet, wenn zwischen ihnen an einem beliebigen Raumpunkt eine

bestimmte zeitlich unver¨

anderliche Phasenbeziehung besteht [Lindner, 1993]

2.1. Distanzmessung 13

ist abh¨

angig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit c0des Laserlichts im d¨

ampfungsfreien Vakuum, dem mittle-

ren Brechungsindex nentlang der durchlaufenden Raumstrecke und der Frequenz fmder Messtr¨

agerwelle.

Empfänger

Phasen-

messung

Sender

∆φ

Abb. 2.3: Schematisches Prinzip Phasendifferenzverfahren.

In Abh¨

angigkeit von der L¨

ange des durchlaufenden Weges erf¨

ahrt das modulierte Signal eine Phasenverschiebung

∆φ, die als Unterschied der Phasenlage beim Verlassen des Senders ySund der Phasenlage beim Empfang

yE=AEsin(2π fmt+ 2πk + ∆φ) (2.4)

beschrieben werden kann, wobei kdie Anzahl der zun¨

achst unbekannten ganzzahligen Vielfachen der modu-

lierten Wellenl¨

ange λmbezeichnet. Da die Phasenmessung nur in einem Bereich von 0 bis 2πeindeutig ist, ist

die Distanz zwischen Entfernungsmesser und Zielpunkt nur eindeutig bestimmbar, wenn sie nicht gr¨

oßer als die

halbe Wellenl¨

ange ist. Da des Weiteren die Genauigkeit der Aufl¨

osung des Phasenrestst¨

uckes von der eingesetz-

ten Wellenl¨

ange abh¨

angig ist2und um das Problem der Mehrdeutigkeiten l¨

osen zu k¨

onnen, wird der Messvorgang

durch die Verwendung mehrerer aufeinander abgestimmter Frequenzen in Einzelmessungen unterteilt. Die Mes-

sung mit der kleinsten Wellenl¨

ange wird als Feinmessung bezeichnet, alle Weiteren als Grobmessungen [Kahmen,

1997].

Die ger¨

ateinternen elektrischen Schaltungen und Dioden sowie die Ungenauigkeiten in den verwendeten Bauele-

menten verursachen eine Phasendrift, die wiederum die Phasenverschiebung beeinflusst. Aus diesem Grund wird

von den Herstellern neben der Phasendifferenz auf dem externen Messweg auch abwechselnd oder gleichzeitig

die Phasendifferenz einer ger¨

ateinternen Messstrecke bestimmt. Durch Differenzbildung entfallen die durch die

oben genannten Einfl¨

usse bedingten Abweichungen.

Ein weiterer Fehlereinfluss bei der elektronischen Streckenmessung wird durch den Einfluss unterschiedlicher

atmosph¨

arischer Bedingungen w¨

ahrend der Messungen entlang des Messweges hervorgerufen. Der Brechungs-

index der Atmosph¨

are l¨

asst sich in seiner Wirkung mit einem Maßstabsfehler vergleichen und findet in der 1.

Geschwindigkeitskorrektur KnAnwendung f¨

ur die Berechnung eines Korrekturfaktors, der an die gemessene

Rohstrecke s0anzubringen ist:

Kn=s0n0−nL

.(2.5)

Zur Bestimmung des sich auf die tats¨

achlichen lokalen atmosph¨

arischen Bedingungen st¨

utzenden Brechungsindex

nLwird nach Barrell und Sears in der von Kohlrausch vereinfachten Form interpoliert

nL= 1 + 98,7·10−5·nGr −1

1 + α·t·p−4,1·10−8

1 + α·t·e , (2.6)

wobei die zur pr¨

azisen Bestimmung des tats¨

achlichen Brechungsindex ben¨

otigten Parameter Trockentemperatur

t, Luftdruck p, Ausdehnungskoeffizient der Luft αund Partialdruck des Wasserdampfes esorgf¨

altig zu ermitteln

sind. Der ebenfalls erforderliche Gruppenbrechungsindex nGr ist f¨

ur Normalverhaltnisse, d. h. trockene Luft bei

einer Lufttemperatur von 0◦C, 1013,25 hPa Luftdruck und 0,03% CO2-Gehalt, nach Barrell und Sears

(nGr −1) ·10−6= 287,604 + 3 ·1,6288

λ2+ 5 ·0,0136

λ4(2.7)

mit λals effektiver Wellenl¨

ange im Vakuum zu berechnen. Der f¨

ur die 1. Geschwindigkeitskorrektur nach

Gleichung 2.5 erforderliche Referenzwert n0wird vom Hersteller der Instrumente vorgegeben und l¨

asst sich zu

n0=c0

λmfm

(2.8)

2Mit digitaler Phasenmesstechnik kann die Phasendifferenz ∆φauf ca. 1/10000 der Wellenl¨

ange λmbestimmt werden [Deumlich

und Staiger, 2002]

14 2. Scannende polare Messsysteme

berechnen. Die Korrekturen werden ger¨

ateintern an die Rohwerte der Streckenmessung angebracht oder sind

vom Benutzer selbst zu berechnen oder geeigneten Diagrammen zu entnehmen und anzubringen.

Die Korrekturen der 1. Geschwindigkeitskorrektur sind f¨

ur Entfernungsmesser unter normalen Messbedin-

gungen im Nahbereich (bis 50 m) beim Einsatz in Laserscannern und Tachymetern selten gr¨

oßer als 10 ppm,

und somit unterhalb der Messgenauigkeit, die bei Laserscannern in der Gr¨

oßenordnung von >5 mm liegen.

[Kern, 2003] weißt jedoch darauf hin, dass bei der Nutzung von Laserscannern im Nahbereich, z. B. zu Zwecken

der Bauaufnahme in Dachst¨

uhlen oder Arbeiten in Industriehallen aufgrund der sprunghaft auftretenden großen

Temperaturdifferenzen die 1. Geschwindigkeitskorrektur nicht zu vernachl¨

assigen sei.

2.2 Verfahren zur dreidimensionalen Erfassung

Neben einer ber¨

uhrungslosen Distanzmessung sind polare, scannende Messsysteme dadurch gekennzeichnet, dass

mit ihnen Zielpunkte in unterschiedlichen Raumrichtungen angemessen werden k¨

onnen. Durch die Kombination

der Distanzmessung mit einer r¨

aumlichen Auslenkung des Messstrahls in meist festen Schrittweiten erfolgt der

Ubergang vom eindimensionalen Entfernungssignal zu einer dreidimensionalen r¨

aumlichen Erfassung. Dabei

m¨

ussen die entsprechenden Raumwinkel, mit denen die erfolgte Auslenkung erfasst und registriert wird, n¨

aher

definiert werden.

2.2.1 Winkeldefinitionen

Lassen sich polare Messinstrumente an der Lotrichtung orientieren, werden bei der Messung die Begriffe Hori-

zontalrichtung/Horizontalwinkel und Zenitdistanzen/Vertikalwinkel verwendet, vgl. Abbildung 2.4.

Ebene || Horizontalebene

P’

1oder Nullrichtung

P’

Hz12

Lotlinie

Abb. 2.4: Definition der gemessenen Richtungen beim tachymetrischen Messprinzip.

Horizontalwinkel Hz liegen in einer Horizontalebene. Die Schenkel der Horizontalwinkel sind die Projektionen

der Strahlen zum Zielpunkt und zur Nullrichtung oder zu einem zweiten Zielpunkt auf die durch den Standpunkt

Sgelegte, zur horizontalen Bezugsfl¨

ache parallele Ebene [Deumlich und Staiger, 2002]. Durch Differenzbildung

erh¨

alt man aus zwei Horizontalrichtungen den zwischen beiden Schenkeln aufgespannten Horizontalwinkel. Ver-

tikalwinkel Vliegen in einer Vertikalebene. Mit dem Strahl zum Zielpunkt und der durch den Standpunkt

gehenden Lotlinie ergeben sich Vertikalwinkel.

Anderseits ist eine verallgemeinerte Darstellung in Form von Kugelkoordinaten m¨

oglich. Durch diese Form

der Darstellung wird eine willk¨

urliche Aufstellung der Instrumente ausgedr¨

uckt, die nicht an der Lotrichtung

orientiert sein muss. Die Kugelkoordinaten φ, Θ und S[Bronstein und Semendjajew, 1985] gehen aus dem

Polarkoordinatensystem der Ebene hervor, vgl. Abbildung 2.5. Aus Konventionsgr¨

unden werden im Folgenden

trotz dieser Festlegung die Begriffe Horizontalwinkel und Vertikalwinkel verwendet.

2.2. Verfahren zur dreidimensionalen Erfassung 15

Abb. 2.5: Definition der gemessenen Richtungen in Kugelkoordinaten.

Die Auslenkung des Messstrahls erfolgt bei scannenden Messsystemen in festen Winkelschrittweiten ∆φund

∆Θ, wobei in der praktischen Anwendung meist ein gleicher numerischer Wert f¨

ur beide gew¨

ahlt wird. Die

Z¨

ahlung der Vertikalwinkel beginnt im Zenit, gleichzeitig erfolgt auf diese Weise die Festlegung der Lage der

z-Achse. Die Ausrichtung der Nullrichtung des Horizontalkreises φ0erfolgt (in der Geod¨

asie) ¨

ublicherweise in

einem Linkssystem an der x-Achse. Aufgrund dieser Festlegung wird eine Drehung, d. h. eine Z¨

ahlung der

Horizontalwinkel im Uhrzeigersinn erm¨

oglicht.

Aus den polaren Messelementen lassen sich unter Nutzung einfacher Transformationsvorschriften f¨

ur jeden

Punkt Pikartesische Koordinaten, hier in einem Linkssystem, als abgeleitete Gr¨

oßen

Pi=



zi

=PS+



Si·cos φi·sin Θi

Si·sin φi·sin Θi

Si·cos Θi

(2.9)

berechnen. Der Instrumentenstandpunkt PS= (xs, ys, zs)Tbzw. der Nullpunkt des instrumentenbezogenen

lokalen Koordinatensystems wird meist zu PS= (0,0,0)Tgew¨

ahlt.

Die auf der anderen Seite weit verbreitete Abbildung der Koordinaten in einem mathematischen Rechtssystem

wird insbesondere bei der Verarbeitung der Daten mit scannenden Systemen (Laserscanner) verwendet. Dabei

erfolgt die Ausrichtung der Horizontalkreisablesung an der y-Achse, die Winkel werden jedoch im positiven

Uhrzeigersinn gez¨

ahlt. Die vergleichbar mit der tachymetrischen Ablesung der Vertikalwinkel verlaufende Be-

stimmung der Zenitwinkel erfolgt hier ebenfalls durch Z¨

ahlung ab der Nullmarke, die jedoch im Nadir ihre

Nullstellung hat. Eine Transformation in das jeweilige andere Koordinatensystem ist ohne weiteres m¨

oglich,

muss jedoch bei der Auswertung, bei der qualitativen und quantitativen Analyse von Messdaten sowie bei der

visuellen Betrachtung von Ergebnissen ber¨

ucksichtigt werden.

Da nicht zwangsl¨

aufig davon auszugehen ist, dass die eingesetzten Instrumente an der Lotrichtung auszu-

richten sind und an einigen scannenden Messsystemen standardm¨

aßig keine M¨

oglichkeit einer Horizontierung

vorhanden ist, werden in diesen F¨

allen Winkel gemessen, die nicht an der Lotrichtung orientiert sind. Die

so gemessenen Winkel sind demzufolge zun¨

achst in einem ¨

ortlichen, nicht horizontierten Instrumentensystem

beschrieben.

2.2.2 R¨

aumliche Abtastung mittels tachymetrischem Messprinzip

Zur Auslenkung der punktuellen Distanzmessung in die unterschiedlichen Raumrichtungen der Zielpunkte sind

verschiedene Strahlablenkungseinheiten denkbar, die auf mechanischen Ablenkeinheiten beruhen. Eine M¨

og-

lichkeit ist die Strahlablenkung in vertikaler Richtung durch einen sich schnell drehenden oder oszillierenden

Polygonspiegel im Strahlengang des Laserstrahls in Verbindung mit einer langsamen Drehung um die vertikale

Ger¨

ateachse, die in vorgegebenen Winkelschrittweiten durch Schritt- oder Servomotoren durchgef¨

uhrt werden

16 2. Scannende polare Messsysteme

kann. Diese Form der Ablenkung f¨

uhrt zum tachymetrischen Messprinzip, bei dem das instrumenteneigene po-

lare Koordinatensystem durch eine vertikale Drehachse (Stehachse VV), eine horizontale Drehachse (Kippachse

HH) sowie durch den Laserstrahl (Zielachse ZZ) realisiert wird, vgl. auch Abbildung 2.6.

Qii

()V

Kippachse

Stehachse

Zielachse

Horizontalrichtung

Zenitwinkel

Schrägdistanz

Hz()

Abb. 2.6: Schematischer Aufbau und geometrische Bedingungen in einem Instrument mit tachymetrischem

Messprinzip.

Durch die beschriebene Ablenkung erf¨

ahrt der Laserstrahl zur Distanzmessung eine Auslenkung sowohl ¨

uber

den gesamten horizontalen Messbereich (Horizont) als auch ¨

uber den gesamten vertikalen Messbereich. Eine

Einschr¨

ankung des Messbereiches ist nur in vertikaler Richtung hinsichtlich der Aufstellung der Messger¨

ate

gegeben, da Stative, Plattformen u. ¨

a. den Messbereich begrenzen.

Der Abgriff der Winkelmessgr¨

oßen kann beispielsweise durch inkrementelle Winkelaufnehmer erfolgen. Durch

den Einsatz von Encodern auf den Antriebswellen lassen sich die jeweiligen Stellungen ∆φiund ∆Θigegen¨

uber

einer Nullstellung zum Zeitpunkt tierfassen.

Der Einsatz eines schnell rotierenden Spiegelpolygons, vgl. Abbildung 2.7, erm¨

oglicht sehr hohe Abtastgeschwin-

digkeiten bei gleichm¨

aßigen Drehbewegungen. Die maximalen Drehbewegungen des Spiegelpolygons erreichen

je nach Hersteller 2000 U/min. und mehr [Staiger und Ettel, 2003].

Distanzmessteil

langsame Rotation

schnelle Rotation

Abb. 2.7: Schematisches Prinzip der rotierenden Bewegung eines Spiegel zur bildgebenden Abtastung in einem

scannenden Instrument.

Durch diese sehr schnelle Drehung um die horizontale Polygonspiegelachse in Kombination mit der langsame-

ren Drehung um die Ger¨

ateachse kommt es bei der r¨

aumlichen Abtastung zu einem verzerrten Abtastmuster.

2.2. Verfahren zur dreidimensionalen Erfassung 17

Diese Abweichungen von einem idealen Aufnahmeraster, die sich durch die unterschiedlichen Drehbewegungen

zwangsl¨

aufig ergeben, sollten von den Herstellern in einem Kalibrierprozess bestimmt werden und im Messpro-

zess softwaretechnisch korrigiert werden.

Da durch den Einsatz eines Polygonspiegels an den Spiegelfacetten dieses optischen Bauteils eine systemati-

sche Ver¨

anderung der gemessenen Strecke in Abh¨

angigkeit von der Stellung des Polygonspiegels zu beobachten

ist, ist der gesonderten Bestimmung dieses Strahlverlaufes innerhalb des Messger¨

ates vom Hersteller durch eine

Kalibrierung Rechnung zu tragen [Fr¨

ohlich, 1996].

Wenn die kontinuierliche Drehung um die horizontale und vertikale Achse durch eine rotierende Bewegung in

festen Schrittweiten durch zwei unabh¨

angige Schritt- oder Servomotoren realisiert wird, dann hat dies ebenfalls

eine nach dem tachymetrischen Messprinzip aufgebaute Instrumentenkonstruktion zur Folge. Dabei kann die

Montage auf einem Drehtisch [Hovenbitzer, 2003] und [Pavelka und Dolansky, 2003] als auch in einem Rahmen

erfolgen, der ¨

uber Richtungsgeber die manuell erfolgte Zielpositionierung richtungsm¨

aßig erfasst [Buchmann,

1996] und [Breithaupt, 2002].

Zur Gruppe dieser Instrumente k¨

onnen auch die elektronischen, programmierbaren und motorisierten Ta-

chymeter oder Totalstationen mit reflektorloser Distanzmessung gerechnet werden, da durch die integrierte oder

extern bereitgestellte Software eine dreidimensionale, d. h. r¨

aumliche und fl¨

achenhafte Erfassung von ausgew¨

ahl-

ten Punkten m¨

oglich wird. Eine zeitlich nahezu aktuelle Aufstellung ¨

uber die am Markt befindlichen Tachymeter

findet sich in [Lemmens, 2002] sowie in [Meisenheimer, 2002] und den entsprechenden Aktualisierungen.

Die Bestimmung der Elemente f¨

ur Lage und H¨

ohe eines Punktes erfolgt bei unbewegten Objekten nahezu

zeitgleich. Die Effekte der nicht vollst¨

andigen zeitlichen Synchronisierung der einzelnen Messkomponenten mit

ihren systematischen Effekten [Stempfhuber u. a., 2000] spielen bei den typischen Messaufgaben motorisierter

Tachymeter bei der fl¨

achenhaften Erfassung keine Rolle, da sich die Objekte in Ruhe befinden.

Die oben erw¨

ahnten Tachymeter erreichen zur Zeit im Scan-Modus in praktischen Tests Datenerfassungsraten

von ca. 15 Messungen in der Minute, d. h. weniger als 1000 Punkte in der Stunde. Trotz dieser vergleichs-

weise geringen Datenerfassungsrate gegen¨

uber Laserscannern erreichen die motorisierten Tachymeter eine hohe

Genauigkeit in der punktuellen Erfassung von Objekten. Durch die Kombination von scannenden Tachyme-

tern mit bildgebenden CCD-Kameras lassen sich einerseits die Tachymeter interaktiv steuern [Juretzko, 2001],

andererseits k¨

onnen auf Grundlage der tachymetrisch bestimmten Punkte photogrammetrische Auswertungen,

insbesondere Entzerrungen durchgef¨

uhrt werden [Scherer, 2001a].

2.2.3 Alternative Abtastverfahren

Bei den nicht nach dem tachymetrischen Prinzip arbeitenden bildgebenden Systemen kommen wiederum ver-

schiedene Verfahren zum Einsatz.

Distanzmessteil

rotierender/oszillierender

Spiegel

rotierender/oszillierender

Spiegel

Abb. 2.8: Schematisches Prinzip der oszillierenden Bewegung zweier Spiegel zur bildgebenden Abtastung in

einem scannenden Instrument.

18 2. Scannende polare Messsysteme

Eine M¨

oglichkeit der Strahlablenkung kann durch eine oszillierende oder drehende Bewegung von Spiegeln im

Strahlengang des Laserstrahls durchgef¨

uhrt werden. Dieses in Abbildung 2.8 dargestellte Strahlablenkungsprin-

zip wird vornehmlich in Laserscannern eingesetzt, die eine Abtastung nur in einem begrenzten horizontalen

und vertikalen Ausschnitt vornehmen. In diesem Fall handelt es sich um sogenannte Kamerascanner, die in

Kapitel 2.3.1 n¨

aher erl¨

autert werden und in Abbildung 2.11 dargestellt sind. Die Ausrichtung dieser Senso-

ren zur Lotrichtung ist im Gegensatz zur tachymetrischen Vorgehensweise nicht unbedingt erforderlich, jedoch

w¨

unschenswert [Wunderlich , 2001]. Die Bestimmung der beiden r¨

aumlichen Richtungen bzw. bei Festlegung

entsprechender Nullrichtungen die Ermittlung von r¨

aumlichen Winkeln, erfolgt dann in einem Koordinatensy-

stem, welches beliebig im Raum orientiert sein kann. Die Kombination aus beiden mechanischen Ablenksystemen

ist eine weitere M¨

oglichkeit zur fl¨

achenhaften Ablenkung des Messstrahls.

2.3 Laserscanner

Unter Laserscanning wird die (meist) dreidimensionale Erfassung einer Objektoberfl¨

ache durch eine Abtastung

mit einem Laserstrahl verstanden [Deumlich und Staiger, 2002]. Die Abtastung erfolgt dabei zeitlich und ¨

ort-

lich versetzt und erm¨

oglicht durch eine reflektorlose Distanzmessung mit gleichzeitiger Erfassung der beiden

r¨

aumlichen Drehwinkel ¨

uber polares Anh¨

angen eine Berechnung dreidimensionaler kartesischer Objektpunktko-

ordinaten, deren Zusammenfassung und Darstellung als Punktwolke bezeichnet wird. Die innere Genauigkeit

der Distanzmessung ist abh¨

angig vom verwendeten Distanzmessverfahren und erstreckt sich von Submillimetern

bis hin zu wenigen Zentimetern [Schulz und Ingensand, 2004a]. Wird zus¨

atzlich zur dreidimensionalen Erfassung

von Objekten zu jedem Objektpunkt die r¨

uckgestrahlte Intensit¨

at oder Reflektanz erfasst, wird auch der Begriff

4D-Laserscanner gebraucht.

Der Vorteil dieser Technologie ist die vergleichsweise schnelle und automatisierte, fl¨

achenhafte 3D-Erfassung

einer Objektoberfl¨

ache mit hoher Punktdichte, siehe auch Abbildung 2.9. Die Aufnahmezeiten f¨

ur einen voll-

st¨

andigen Scan in h¨

ochster Aufl¨

osung variieren in Abh¨

angigkeit vom jeweiligen Messprinzip der Laserscanner

zwischen wenigen Minuten und einigen Stunden. Nachteilig wirkt sich die zu speichernde Datenmenge bei

der Nutzung dieser Technologie aus. Bei der Datenerfassung fallen nicht selten f¨

ur die Aufnahme auf einem

Standpunkt Datenmengen in der Gr¨

oßenordnung von ca. 1 GB an, die gespeichert und verarbeitet werden

m¨

ussen.

Abb. 2.9: Beispiel einer Punktwolke bei der Datenerfassung mit einem scannenden Instrument (intensit¨

atsco-

diert, Cyclone 4.1 [Cyra, 2003]).

2.3.1 Messprinzip und Unterscheidungsmerkmale

Eine generelle Unterscheidung der verschiedenen Laserscannersysteme kann nach zwei verschiedenen Betrach-

tungsweisen durchgef¨

uhrt werden. Eine Unterscheidung ist durch die unterschiedlichen Messprinzipien der

2.3. Laserscanner 19

Systeme gegeben, zum Anderen lassen sich die Scanner in verschiedene Entfernungsmessbereiche einteilen, aus

denen somit auch unterschiedliche Einsatzgebiete und Anwendungen abgeleitet werden k¨

onnen. Wird die Klas-

sifizierung nach dem Entfernungsmessbereich (Einsatzbereich) vorgenommen, lassen sich die Scannersysteme in

die folgenden Bereiche einteilen:

•Nahbereich (close range): einige cm bis ca. 2 m Messbereich

•Mittlerer Entfernungsbereich (mid range): 2 m bis ca. 80 m Messbereich

•Weiter Bereich (long range): 80 m bis ≥2 km Messbereich

Die in dieser Unterteilung vorgenommenen Grenzen des Messbereiches verschwimmen in der Praxis abh¨

angig

vom eingesetzten Instrument mit dem jeweiligen sensortypischen Messbereich. Eng an diese Einteilung ist das

Konstruktionsprinzip, vgl. Abbildung 2.10, zur Ermittlung der dreidimensionalen Koordinaten bzw. das zur

Distanzbestimmung zwischen Sensor und Objekt eingesetzte Messverfahren gebunden. Unterschieden werden

muss hier in den Bereich der Triangulationsscanner, die vorwiegend im Nahbereich eingesetzt werden und in die

Sensoren, die ihre Streckenmessung nach dem Phasendifferenzverfahren oder nach dem Impulslaufzeitverfahren

ausf¨

uhren. F¨

ur letztere ist auch der Begriff time-of-flight – Messprinzip gebr¨

auchlich.

Basis Empfänger

Laser

Ablenkeinheit (vertikal)

Objekt Objekt

Empfänger

Laser /

Ablenkeinheit (vertikal)

Triangulationsprinzip time-of-flight - Messprinzip

Abb. 2.10: Unterscheidung der Laserscanner nach dem Messprinzip.

Bei den Sensoren, die nach dem Triangulationsmessprinzip arbeiten, wird ein kollimierter Laserstrahl auf das

Objekt projiziert und nach der Reflexion am Objekt in einer entsprechenden Optik wieder empfangen und auf

einer positionsempfindlichen Diode registriert. Da die Basis (definierter Abstand zwischen Sender und Emp-

f¨

anger) und der Abstrahlwinkel der Ablenkungseinheit bekannt sind, ist das Dreieck, gebildet aus Ablenk- und

Empfangseinheit sowie Objektpunkt vollst¨

andig berechenbar. ¨

Andert sich die Entfernung zum Zielpunkt wird

auf der positionsempfindlichen Diode eine Ablage des reflektierten Laserpunktes registriert. ¨

Uber diese Ablage

und die hoch genau bestimmte Basis l¨

asst sich die Entfernung berechnen. Die Ablenkeinheit (vertikal) sorgt

f¨

ur eine linienhafte Verteilung der Messpunkte am Objekt und durch eine Rotation um die Instrumentenachse

ist eine dreidimensionale Erfassung im Raum m¨

oglich. Die Instrumente, die nach dem Triangulationsprinzip

arbeiten, zeichnen sich durch eine sehr hohe Aufl¨

osung mit einer meist sehr hohen Genauigkeit im Nahbereich

aus [Scherer, 2001b].

Eine weitere Unterteilung der Scanner, die polare Messelemente nutzen, ist durch das dem Scanner zur Ver-

f¨

ugung stehende Gesichtsfeld (field of view) gegeben, das dem mit einer Aufstellung des Instrumentes maximal

zu erfassenden Messbereich entspricht. Nach [Runne u. a., 2001] wird generell eine Unterscheidung in Panorama-

und Kamerascanner vorgenommen, vgl. Abbildung 2.11.

Panoramascanner erfassen mit ihrem Gesichtsfeld von horizontal (meist) 360 Grad den gesamten Horizont,

d. h. sie in der Lage, ihren Messkopf vollst¨

andig um die Ger¨

ateachse zu drehen. Das vertikale Gesichtsfeld

reicht meist vom Zenit zum Nadir und wird nur durch die zur Aufstellung des Instrumentes ben¨

otigten Stative

mit ihren Stativbeinen eingegrenzt. Kamerascanner sind in ihrem Gesichtsfeld hingegen in horizontaler und

20 2. Scannende polare Messsysteme

vertikaler Richtung auf einen Ausschnitt begrenzt. Diese Scanner werden manuell auf das aufzunehmende Ob-

jekt ausgerichtet und lassen sich meist unabh¨

angig von der Lotrichtung frei im Raum orientieren. Die Vorteile

eines Kamerascanners gegen¨

uber den Vertretern der Panoramascanner liegen z. B. in der Erfassung von Fassa-

den und skulpturen¨

ahnlichen Strukturen begr¨

undet, da der Sensor direkt auf das Objekt ausgerichtet werden

kann und somit auch nur die wesentlichen Objektbereiche erfasst werden [Kern, 2003]. Demgegen¨

uber steht die

unter Umst¨

anden resultierende erh¨

ohte Anzahl an Pass- und Verkn¨

upfungspunkten zur Vereinigung mehrerer

Aufnahmen von unterschiedlichen Standpunkten.

Panorama - Scanner Kamera - Scanner

Abb. 2.11: Unterscheidung der Laserscanner nach dem Gesichtsfeld [Runne u. a., 2001].

Aus dem beschriebenen mechanischen Aufbau lassen sich typische Anwendungen der beiden verschiedenen

Bauarten ableiten. Panoramascanner eignen sich besonders f¨

ur die Aufnahme von z. B. Innenr¨

aumen in der

Bauwerkserfassung oder der Datenerfassung in langgestreckten Objekten (Tunnel, Kavernen). Hingegen sind

die Kamerascanner f¨

ur die Messdatenerfassung bei begrenzten Objektausdehnungen pr¨

adestiniert, z. B. f¨

ur die

Erfassung von Oberfl¨

achengeometrien im Bereich der Denkmalpflege und Arch¨

aologie.

2.3.2 Charakteristische Kenngr¨

oßen

Bei der Messdatenerfassung von Laserscannern ist auf eine sinnvolle Abstimmung der Strahldivergenz zur Win-

kelschrittweite zu achten, da mit diesen Gr¨

oßen direkt die Objektaufl¨

osung verbunden ist.

Öffnungswinkel

(Strahldivergenz)

Schrittweite

Objekt

Punktabstand

Laserspot

Verhältnis

Strahldivergenz / Schrittweite

nicht optimal

vermeiden

optimal

Abb. 2.12: Strahldivergenz und Aufl¨

osungsverm¨

ogen, nach [Schlemmer, 2004].

2.3. Laserscanner 21

Die Gr¨

oße des am Objekt auftreffenden Laserflecks (Laserspot) ist abh¨

angig von der Strahldivergenz, die so-

mit einen direkten Einfluss auf die G¨

ute der Distanzmessung nimmt, siehe Abbildung 2.12. Je kleiner die

Strahldivergenz technisch realisiert werden kann, desto zutreffender ist der Informationsgehalt f¨

ur den einzelnen

Objektpunkt, da systematische Verf¨

alschungen in der Distanzmessung auf diese Weise verringert werden. Der

Effekt dieser Systematiken tritt speziell an Ecken und Kanten auf und wird verursacht durch die ¨

Uberlagerung

und Mittelung verschiedener Entfernungsmesssignale [Kehne, 1989] und [Runne, 1993].

Die Abtastrate hingegen ist entscheidend f¨

ur die r¨

aumliche Aufl¨

osung am Objekt und somit auch f¨

ur den Grad

der Detaillierung des Objektes. Entscheidend f¨

ur die Aufl¨

osung auch kleiner Objektstrukturen ist in diesem Zu-

sammenhang die Nyquist-Frequenz. Diese Grenzfrequenz legt die theoretisch noch aufdeckbare Signalfrequenz

bei einer gew¨

ahlten Abtastrate fest (Abtasttheorem). In der Praxis der Messtechnik sollte die Abtastfrequenz

meist um den Faktor 5 bis 6 gr¨

oßer als die kleinste vorkommende Signalfrequenz sein [Welsch u. a., 2000].

Ubertragen auf scannende Messverfahren und die automatische Modellierung und Ableitung von strukturierten

Geometrieelementen aus dreidimensionalen Punktwolken sind Objektdetails durch mindestens 5×5 Messpunkte

zu erfassen [Kern, 2003]. Bei der semi-automatischen oder manuellen Modellierung von Objekten anhand von

Vorwissen, das durch den Bearbeiter in den Auswerteprozess einfließt, kann auf die oben formulierte Forderung

unter Umst¨

anden verzichtet werden. In diesem Fall legt der Nutzer durch Vorgabe von diskreten Punkten fest,

welches Objekt aus einem Ausschnitt der Punktwolke mit halbautomatischen Verfahren3modelliert werden soll.

Da die Messdatenerfassung mit festen Schrittweiten f¨

ur die beiden Raumwinkel erfolgt, ergibt sich kein regul¨

ares

Abtastmuster am Objekt. Vielmehr ist die Verteilung der Messpunkte abh¨

angig von der Entfernung Objekt-

Sensor und der Ausrichtung der Oberfl¨

ache gegen¨

uber dem Messinstrument, vgl. Abbildung 2.13. Am Objekt

ver¨

andert sich der Abstand zwischen zwei Messpunkten (diund dj) je nachdem, wie der Sensor auf das Objekt

ausgerichtet ist. Der Effekt verst¨

arkt sich um so mehr, je schleifender der Auftreffwinkel das Zielstrahls auf der

Objektoberfl¨

ache ist.

Instrumentenstandpunkt

Äqidistante Auslenkwinkel

Abb. 2.13: Abh¨

angigkeit des Abtastmusters von Entfernung und Ausrichtung des Objektes (Grundriss).

Daraus ergibt sich ein Abtastmuster, welches eine inhomogene r¨

aumliche Aufl¨

osung besitzt, vgl. dazu auch

[Kern, 2003]. Bei einer Innenraumaufnahme, bei der der Sensor typischerweise in der Mitte des Raumes auf-

gestellt wird, ergibt sich eine Verteilung der Messpunkte wie in Abbildung 2.14 dargestellt. Aufgrund der

Abtastung mit ¨

aquidistanten Schrittweiten f¨

ur die Raumwinkel werden z. B. die vertikalen Bereiche (Decken

und Fußb¨

oden) des Raumes h¨

oher aufgel¨

ost als horizontale W¨

ande und andere Objekte, die sich im Gesichtsfeld

des Sensors befinden. Dies wiederum hat einen entscheidenden Einfluss auf die Auswertestrategie, speziell bei

der Ableitung strukturierter Geometriedaten, auf die in Kapitel 3 detailliert eingegangen wird. Regul¨

are Ab-

tastmuster lassen sich n¨

aherungsweise durch eine iterative Verstellung der Winkelschrittweiten f¨

ur die beiden

Hauptdrehkreise in Abh¨

angigkeit von der vorher gemessenen Entfernung realisieren.

3In der kommerziellen Software Cyclone 4.1 [Cyra, 2003] wird zwischen den beiden Verfahren fit to cloud und region grow

unterschieden. Beim region grow w¨

achst durch Vorgabe von Parametern wie max. Abstand der Punkte und Gr¨

oße des Objektes

aus der Punktwolke ein Objekt. Hingegen werden beim fit to cloud Verfahren alle selektierten Punkte der Punktwolke zur

Modellierung eines vom Nutzer vorgegebenen Objektes herangezogen.

22 2. Scannende polare Messsysteme

-2

-1

-0 .5

0.5

1.5

Abb. 2.14: R¨

aumliche Verteilung der Messpunkte bei der Abtastung mit scannenden Messverfahren.

Anmerkung

Auf dem Markt der terrestrischen Laserscanner f¨

ur den mittleren und weiten Entfernungsbereich gibt es eine

Anzahl verschiedene Hersteller, die z. B in [Schl¨

uter, 2002] aufgelistet werden. Die Klassifizierung in Tabelle 2.1

soll dazu dienen, die oben getroffenen Aussagen zusammenzufassen.

Eine Aufz¨

ahlung, Beschreibung sowie Bewertung soll an dieser Stelle aufgrund des schnellen Wandels beim

Einsatz dieser Technologie nicht vertiefend vorgenommen werden. Eine Auswahl von kommerziellen Laserscan-

nern, die speziell f¨

ur das Anwendungsgebiet Bauaufnahme einsetzbar sind, gibt [Kern, 2003] an. Eine st¨

andig

aktualisierte und verlinkte Liste der zur Verf¨

ugung stehenden terrestrischen Laserscanner mit ihren favorisierten

Anwendungsgebieten findet sich z. B. auch bei [i3mainz, 2004].

Klassifizierung von Laserscannern

Distanzmess- Entfernungs- Genauigkeit der Abtast- Hersteller

prinzip messbereich Distanzmessung rate (Auswahl)

[m] [mm] [kHz]

Impulslaufzeit 2 bis ca. 2000 5 bis >10 1 bis 10 Leica,Mensi,Riegl,Callidus

Phasenvergleich <100 <10 >500 Zoller+Fr¨

ohlich,IQSun

Triangulation <0,2 bis ca. 10 <1 ca. 0,1 Mensi,Minolta

Tabelle 2.1: Klassifizierung von Laserscannern, nach [Staiger, 2003] und [Schulz und Ingensand, 2004b].

2.4 Entwicklung eines low cost – Laserscanners

Auf der Grundlage von einfachen und handels¨

ublichen Bauelementen wurde ein Prototyp konstruiert, der durch

die Erfassung polarer Messelemente gekennzeichnet ist, vgl. Abbildung 2.15, und nach dem tachymetrischen

Messprinzip arbeitet. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird dieses Messger¨

at mit PoMeS –Polares Mess

System bezeichnet. Da das Instrument innerhalb fester Winkelinkremente r¨

aumlich positionierbar ist, kann das

Messsystem prinzipiell als Scanner angesehen werden.

Der mechanische Aufbau ist bekannt, deshalb kann der Prototyp zur Entwicklung und ¨

Uberpr¨

ufung der ent-

wickelten Kalibrierstrategie herangezogen werden. Mit entsprechenden Hardwarekosten von ca. 1500,-

ist der

Prototyp ein preiswertes Messsystem und l¨

asst sich wirtschaftlich mit anderen Messverfahren, speziell den Ver-

2.4. Entwicklung eines low cost – Laserscanners 23

fahren des einfachen Handaufmaßes kombinieren [Rietdorf u. a., 2003]. Ein weiteres Anwendungsgebiet k¨

onnte

in sicherheitskritischen Bereichen zu sehen sein, da im Falle eines Unfalls die entstehenden Unkosten durch Hard-

waresch¨

aden vergleichbar gering w¨

aren. Denkbar sind hier z. B. Eins¨

atze bei Untersuchungen von Schalungs-

und Bewehrungskonstruktionen oder Standfestigkeitsuntersuchungen im direkten Arbeitsumfeld, beispielsweise

im Hoch- und Tunnelbau.

Abb. 2.15: Prototyp des Messsystems PoMeS.

2.4.1 Systembeschreibung

Der Prototyp basiert auf einem System zur lasergest¨

utzten Tunnelprofilaufnahme [Kr¨

uger u. a., 2000], jedoch

wurde eine vollst¨

andige Neukonstruktion auf Grundlage von zwei Schrittmotoren durchgef¨

uhrt. Der im System

zur lasergest¨

utzten Tunnelprofilaufnahme eingesetzte Handlaserentfernungsmesser Leica Disto Pro 2a wurde

aus Gewichtsersparnis durch ein von Leica weiterentwickeltes Modell Disto Pro 4a ersetzt, da es ca. 200

Gramm leichter ist. Die Gewichtsreduktion ist zum einen in technischen Weiterentwicklungen und somit in der

Verringerung der Dimensionen der verwendeten Bauteile zu suchen, andererseits kommt beim Disto Pro 4a auch

eine andere Stromversorgung (kleinere Batterien bzw. Akkus) zum Einsatz. Ein weiterer Vorteil ist die h¨

ohere

Streckenmessgenauigkeit des Disto Pro 4a gegen¨

uber seinem Vorg¨

angermodell.

Als Material f¨

ur den St¨

utzk¨

orper wurde Aluminium gew¨

ahlt, da es korrosionsarm und sehr leicht ist. F¨

die ¨

Ubersetzungen und Lagerung der Achsen wurden handels¨

ubliche Bauelemente genutzt, d. h. die Vertikal-

als auch die Kippachse sind in radialen Rillenkugellagern gelagert, die den reibungs- und spielarmen Lauf der

zwei Achsen erm¨

oglichen.

2.4.2 Aufbau

Laserentfernungsmesser

Der nach dem Prinzip des Phasenvergleichs arbeitende Handentfernungsmesser Disto Pro der Firma Leica

erf¨

ullt alle n¨

otigen Anforderungen f¨

ur die Verwendung im entwickelten PoMeS. Die Messungen k¨

onnen bis 100

m Zielweite ohne Reflektor durchgef¨

uhrt werden und haben laut Herstellerangaben eine Genauigkeit von 1,5 mm.

24 2. Scannende polare Messsysteme

Die Wellenl¨

ange der abgestrahlten Messwelle betr¨

agt 620 – 690 nm, die zur Amplitudenmodulation genutzten

Frequenz fGder Grobmessung betr¨

agt 1.042 MHz, dies entspricht einer Wellenl¨

ange λGvon ca. 140 m. Die

zuerst aufmodulierte Feinfrequenz fFzur Feinmessung betr¨

agt 50 MHz, daraus ergibt sich eine Wellenl¨

age λF

von 6 m.

Der an einem Messobjekt auftreffende Zielstrahl ist durch den Reflexionspunkt der Laserstrahlung gut sicht-

bar. Aufgrund der Transparenz der seriellen Schnittstelle und der Steuerungsbefehle ist es m¨

oglich, eine ange-

passte Ger¨

atesteuerung zu entwickeln.

Schrittmotoren

Schrittantriebe sind dadurch gekennzeichnet, dass der L¨

aufer des Schrittmotors in der Lage ist, definierte Schritte

mit einem bestimmten Schrittwinkel auszuf¨

uhren. Schrittmotoren funktionieren nach dem Prinzip von magneti-

scher Anziehung und Abstoßung. Sie wandeln elektrische Impulse in mechanische Achsrotation um. Der Dreh-

winkel ist proportional zur Anzahl der Eingangsimpulse und die Drehzahl ist abh¨

angig von der Impulsfrequenz.

Der Rotor eines Schrittmotors f¨

uhrt nicht, wie bei einem Gleichstrommotor, eine konstante Drehbewegung aus,

sondern vollf¨

uhrt bei jedem elektrischen Impuls einen kleinen Schritt vorw¨

arts.

Rotor

Stator

Abb. 2.16: Schematischer Aufbau eines Schrittmotors und Weiterschalten des Rotors, nach [Sch¨

orlin, 1995]

(W – Wicklung, N – Nordpol, S – S¨

udpol).

Ein Schrittmotor besitzt, je nach Typ, f¨

ur gew¨

ohnlich mindestens zwei Statorwicklungen und einen dauerma-

gnetischen Rotor [St¨

olting und Kallenbach, 2002]. Werden nun abwechslungsweise die beiden Wicklungen W1

und W2 von Strom durchflossen, f¨

uhrt der Rotor eine Drehbewegung aus, siehe auch Abbildung 2.16. Zus¨

atz-

lich muss ¨

uber ein Richtungssignal zur Steuerung des Rechts- bzw. Linkslaufes verf¨

ugt werden. Diese beiden

Eingangssignale werden ¨

uber eine Ansteuerelektronik verst¨

arkt und an die Motorstr¨

ange ¨

ubergeben. Nachfol-

gend wandelt der Schrittmotor die elektrische Energie in mechanische Energie um und der Schrittmotor f¨

uhrt

entsprechende Winkelschritte in die gew¨

unschte Richtung aus.

Beim Schrittmotor wird nur ein Drehmoment erzeugt. Um die Rotationsbewegung des Motors zu erzeugen,

muss der Strom kommutiert werden, d. h. eine Umkehrung der Richtung eines Stromflusses der elektromagne-

tischen Spule w¨

ahrend einer Motordrehung. Bei Hybridschrittmotoren sitzen normalerweise zwei Spulen auf

einem Statorpol, so dass der Pol je nach Stromrichtung als magnetischer Nord- oder S¨

udpol fungieren kann.

Typischerweise besitzen Schrittmotoren einen Permanentmagneten und/oder einen eisernen Rotor sowie einen

Stator. Das zur Drehung des Schrittmotors erforderliche Drehmoment wird ¨

uber eine Kommutierung erzeugt.

Zur Ansteuerung der Schrittmotoren wird ein Schrittmotortreiber ben¨

otigt, der in zwei verschieden Betriebsmodi

gefahren werden kann, die als Halb- und Vollschritt bezeichnet werden. Bei Ansteuerung im Halbschrittbetrieb

legt der Rotor des Schrittmotors jeweils den halben Weg zwischen zwei Haltepositionen zur¨

uck. Dadurch wird

die Aufl¨

osung erh¨

oht und die Bewegung ¨

uber den gesamten Drehzahlbereich gleichm¨

aßiger. Nach Abschalten

der Stromzufuhr dreht sich der Motor jeweils bis zur n¨

achsten Halteposition weiter. Bei Ansteuerung im

Vollschrittbetrieb wird der Schrittmotor jeweils von einer Halteposition in die n¨

achste Vollschrittposition bewegt.

Nach Abschalten der Stromzufuhr h¨

alt der Motor aufgrund seines starken Haltemoments seine Position.

2.5. Diskussion 25

Um das Messsystem PoMeS in der Horizontal- bzw. Vertikalebene zu drehen, wurden je ein Hybrid-

Schrittmotor eingesetzt. Ein Vollschritt f¨

uhrt zu einer Winkel¨

anderung der Antriebsachse von 2 gon (200 Schritte

pro Umdrehung), ein Halbschritt dementsprechend zu einer minimalen ¨

Anderung von 1 gon. Die praktischen

Tests zeigten, dass die Motoren im Halbschrittverfahren einen ruhigeren Lauf aufweisen. Die Schrittmotoren

bewegen sich weicher und sind weniger anf¨

allig f¨

ur Resonanzen, wenn sie im Halbschrittbetrieb laufen.

Durch den Einsatz eines Zahnriemengetriebes (Zugmittelgetriebe mit Formpaarung) an beiden Antriebsach-

sen mit einer ¨

Ubersetzung von 1:10 k¨

onnen so kleinste Schrittweiten von 0,1 gon realisiert werden. Die innere

Genauigkeit der Schrittmotoren wird von den Herstellern mit ca. 5 % angegeben. Dabei ist es vorteilhaft, dass

sich die Ungenauigkeiten in der Positionierung bei fortschreitender Bewegung nicht aufsummieren, da die rela-

tive Positionsgenauigkeit nahezu konstant bleibt [B¨

ungener, 1995]. Die aus dem angesprochenen Winkelfehler

resultierende Lageabweichung betr¨

agt bei einer Zielweite von 20 Metern 3 mm am Objekt.

Steuerung

Die Steuerung der Drehbewegungen des Prototypen, d. h. die Ansteuerung der Schrittmotoren erfolgt ¨

uber die

parallele Schnittstelle eines Notebooks. Der Laserhandentfernungsmesser verf¨

ugt ¨

uber einen seriellen Anschluss

und wird ¨

uber eine frei programmierbare Befehlssprache angesprochen. ¨

Uber verschiedene Unterprogramme,

die zentral von einem Hauptprogramm aufgerufen werden, gelingt die komplette Steuerung des Messger¨

ates von

einer Abfrage der Seriennummer, Hard- und Software des verwendeten Entfernungsmessger¨

ates, Ladezustand

der eingesetzten Akkus, ¨

uber die Horizontierung des Lasers bis zur Messung von vertikalen oder horizontalen

Profilen. Eine Messung von Einzelpunkten ist ebenfalls m¨

oglich. Das ”Scannen“ einer Oberfl¨

ache, z. B. die

Begrenzungsebenen eines Raumes, ist durch Auswahl eines horizontalen bzw. vertikalen Rasters ebenfalls in

der Software implementiert.

Die Horizontierung des PoMeS erfolgt ¨

uber eine R¨

ohrenlibelle, die eine Genauigkeit von 30” besitzt. Der

aufgesetzte Laserentfernungsmesser Disto Pro wird ¨

uber die Software horizontiert, indem mittels Bewegen der

Schrittmotoren die Dosenlibelle auf der Geh¨

auseoberseite eingespielt wird. Dabei sind die Schrittweiten frei

w¨

ahlbar, die kleinste m¨

ogliche Schrittweite betr¨

agt 0,1 gon. Nach Abschluss der Horizontierung werden dem

Prototypen jeweils 100 gon f¨

ur die Horizontal- und Vertikalrichtung vorgegeben und durch eine Auswahl des

Messmodus (Einzelpunktbestimmung, Messung von horizontalen und vertikalen Profilen) ist eine schnelle und

automatische Messung m¨

oglich. Dabei betr¨

agt die durchschnittliche Datenerfassungsrate mit diesem Messin-

trument ca. 5.000 Punkte/Std.

2.5 Diskussion

In diesem Kapitel wurden die grundlegenden Prinzipien der scannenden polaren Messverfahren unter spezieller

Ber¨

ucksichtigung des tachymetrischen Messprinzips eingef¨

uhrt. Zu diesem Messverfahren geh¨

oren die elektroni-

schen, reflektorlos messenden Tachymeter und einige Vertreter der unter dem Sammelbegriff zusammengefassten

Laserscanner, die teilweise unterschiedliche Messprinzipien f¨

ur die Distanzmessung, aber auch verschiedene Kon-

struktionsprinzipien zur Auslenkung des Messstrahls nutzen.

Mit diesen Instrumenten k¨

onnen in Abh¨

angigkeit vom eingesetzten Distanzmess- und Strahlauslenkungsprin-

zip zum Teil enorm hohe Abtastraten mit bis zu >500.000 diskreten Messpunkten pro Sekunde erreicht werden,

die in verschiedenen Schritten der Auswertung gespeichert und verarbeitet werden m¨

ussen. Auf der anderen

Seite k¨

onnen aber auch durch die Nutzung von preiswerten Komponenten in Kombination mit handels¨

ublichen

Steuerungs- und Regelungsbauteilen Messsysteme konzipiert werden, die einen Bruchteil der Herstellungskosten

aktueller Laserscanner kosten. Die anfallenden Datenmengen beim Einsatz dieser Systeme sind dann geringer

und die Anwendungsgebiete sind anderer Natur, jedoch k¨

onnen die Algorithmen der Auswertung, die Bestandteil

des n¨

achsten Kapitels sind, ¨

ubertragen werden.

3 Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

3.1 Einf¨

uhrung

Die tachymetrische Datengewinnung unterscheidet sich gegen¨

uber der abtastenden Erfassung bei der Laserscan-

neraufnahme hinsichtlich der Strategien bei der Datenaufnahme und der anschließenden Modellierung. Bei der

tachymetrischen Aufnahme erfolgt die Modellbildung vor oder w¨

ahrend des Messvorgangs, da der Beobachter

direkt vor Ort entscheidet, welche Punkte aufzunehmen sind. Die Auswahl der Messpunkte erfolgt gezielt durch

die Auswahl weniger, aber repr¨

asentativer Punkte am Objekt.

Hingegen wird bei scannenden Messverfahren die Objektoberfl¨

ache meist mit einem Raster an Messpunkten

uberzogen, vgl. auch Abbildung 3.1. Die f¨

ur die idealisierte Geometrie notwendigen diskreten Punkte werden

mit einem scannenden Messsystem nicht aufgenommen, vielmehr erfolgt die Modellbildung im Anschluss durch

interaktive Modellierung in einem zeitaufw¨

andigen Prozess. Dabei werden aus Teilen der Punktwolke durch

halbautomatische Verfahren geometrische Primitive, wie Ebenen, Kugeln und Zylinder abgeleitet. Durch an-

schließende Verschneidung und Aggregation dieser Regelk¨

orper werden Modelle der aufgenommenen Objekte

gebildet. Die f¨

ur diese Modellierung verwendeten Ans¨

atze der volumen- oder fl¨

achenbasierten Modelle sind nicht

Gegenstand dieser Arbeit, siehe dazu beispielsweise [Hoffmann, 1989] und [Foley u. a., 1995].

Scannende Messwerterfassung

Tachymetrische Datenaufnahme

Abb. 3.1: Tachymetrische Datenaufnahme versus scannende Messwerterfassung.

Kommerzielle Laserscanner stellen dem Anwender meist nur kartesische Koordinaten zur weiteren Bear-

beitung zur Verf¨

ugung. Nach instrumenteninterner Umwandlung der origin¨

aren Messdaten eines scannenden

Systems in kartesische Koordinaten liegen Punktwolken vor, die jedoch Bestandteil einer unklassifizierten und

ungeordneten Menge sind, d. h. es liegen keinerlei semantische Informationen und Hinweise ¨

uber logische Zuord-

nungen der Nachbarschaftsverh¨

altnisse vor. Zur geometrischen Beschreibung k¨

onnen daher nur Punktobjekte

durch Zuordnung der entsprechenden Koordinatentripel definiert werden.

Das Ziel der an den Aufnahmeprozess sich anschließenden Auswertungen ist zun¨

achst die Gewinnung von

strukturierten Geometrieinformationen, d. h. dass reale Objekte durch mathematische Modelle zu abstrahie-

ren sind. Diese strukturierten Geometriedaten sind wiederum Ausgangspunkt f¨

ur die weitere Bearbeitung im

Zuge der Auswertung. Zu diesem Zweck sind verschiedene Algorithmen erforderlich, die aus den Punktwolken

definierte Objekte in Form von geometrischen Primitiven abzuleiten in der Lage sind. Dazu ist neben der

bereitzustellenden Topologie eine Segmentierung der Punktwolke und eine anschließende Parametersch¨

atzung

durchzuf¨

uhren.

Das einfachste Geometrieelement, welches im Bereich der Einsatzgebiete scannender Messsysteme am meisten

vertreten ist und sich verh¨

altnism¨

aßig einfach modellieren l¨

asst, ist das geometrische Element Ebene. Am

Beispiel des Elementes Ebene wird im Folgenden beschrieben, wie die Ableitung strukturierter Geometriedaten

vorgenommen werden kann. Es ist jedoch ohne weiteres m¨

oglich, Fl¨

achen zweiter und h¨

oherer Ordnung zu

modellieren, auf die in dieser Arbeit jedoch nicht weiter eingegangen wird.

3.2. Triangulierung 27

Hinsichtlich des Segmentierungsprozesses und der damit verbundenen Homogenit¨

at ebener Fl¨

achen, die in-

tensiv in Kapitel 3.3 besprochen werden, sind die nachfolgenden Ausf¨

uhrungen zu treffen. Jede Ebene hat eine

gewisse Rauhigkeit, die unter Umst¨

anden nicht gleichm¨

aßig ist und in lokal unterschiedlichen Auspr¨

agungen

vorhanden sein kann. Als Beispiel f¨

ur die unterschiedlichen Rauhigkeiten kann der einfache Fall von W¨

an-

den in Geb¨

audeinnenr¨

aumen herangezogen werden. Mit Struktur- oder Raufasertapete versehene W¨

ande oder

Decken haben lokal betrachtet eine gr¨

oßere Rauhigkeit als vergleichbare untapezierte W¨

ande. Dabei soll der

Fall ausgeschlossen sein, dass durch die aufgebrachte Tapete L¨

ocher oder andere Fehlstellen verdeckt werden

und somit nicht in die Betrachtung mit eingehen. Die Erfassung bzw. die M¨

oglichkeiten zur Bestimmung dieser

Rauhigkeiten sind von der Aufl¨

osung und der Genauigkeit der zur Messung verwendeten Instrumente abh¨

angig.

Als Parameter zur Bestimmung und Modellierung der Rauhigkeit kann der Abstand von einer ausgeglichenen

Ebene angesehen werden, wobei an der Bestimmung der ausgeglichenen Ebene, siehe Kapitel 3.3.3, alle auf

dieser ebenen Fl¨

ache gemessenen Objektpunkte teilnehmen.

Des Weiteren k¨

onnen Ebenen W¨

olbungen konvexer oder konkaver Natur aufweisen, die so dimensioniert

sein k¨

onnen, dass sie nur mit Messverfahren einer um ein Vielfaches h¨

oheren Genauigkeit und anschließender

Ausgleichung der Messdaten aufzudecken sind. Diese Betrachtungsweise ist jedoch abh¨

angig von der Aufl¨

osung

und von den gegebenen Genauigkeitsforderungen in Relation zu den weiteren Aufgabenstellungen, zu der die

betrachteten Ebenen herangezogen werden sollen.

Jede Ebene kann außerdem in ihrer Ausdehnung Unstetigkeits- und St¨

orstellen aufweisen, die bei Modellie-

rung der Ebenen im Segmentierungsprozess zu finden und zu beseitigen sind. Dies k¨

onnen nicht modellierbare

(kleine) Vorspr¨

unge und Vertiefungen oder aber anderweitig verursachte Fehler in der Struktur der idealen

ebenen Fl¨

ache sein.

Als ideale Ebene wird eine ebene Fl¨

ache bezeichnet, die bei Nutzung eines bestimmten Messverfahrens einer

gegebenen Genauigkeit unter Vernachl¨

assigung des Messrauschens keine Abweichungen von der Sollgeometrie

der Formgleichung einer Ebene aufweist. Diese Idealvorstellung ist in der Praxis nat¨

urlich nicht zu realisieren,

da die Messinstrumente abh¨

angig von der Genauigkeitsforderung des Nutzers einem Messrauschen unterliegen

und die Ebenheit einer Objektoberfl¨

ache vom Bearbeitungszustand und der G¨

ute des verwendeten Materials

abh¨

angig ist. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird davon ausgegangen, dass die Genauigkeitsanforderungen

an die verwendeten Ebenen eher im Millimeterbereich anzusiedeln sind, als im Zentimeterbereich oder gar im

Mikrometerbereich. Eine Ebene mit Ausdehnungen von Unstetigkeits- oder St¨

orstellen kleiner als ≈1 Millimeter

wird daher als ideale Ebene behandelt. Eine Betrachtung bis hin zum mikroskopischen Bereich soll hier nicht

erfolgen.

3.2 Triangulierung

Zum ¨

Ubergang zwischen den punktf¨

ormigen Daten der aufgenommenen Messwerte zu linienhaften und fl¨

chenhaften Aussagen bieten sich zur Festlegung der Topologie die Algorithmen der Triangulierung (Dreiecks-

vermaschung) und der Nachbarschaftsgraphen [Bill, 1999] an. Wie bereits angesprochen, liegen nach einer

Datenerfassung mit einem Laserscanner in den allermeisten F¨

allen nur dreidimensionale kartesische Koordina-

ten vor. Zur Festlegung der Topologie m¨

usste in diesem Fall eine strenge 3D-Triangulation berechnet werden,

da die zu triangulierende Oberfl¨

ache durch Punkte Pi





z

i

=f(u, v) = 



fx(u, v)

fy(u, v)

fz(u, v)

i

(3.1)

mit (u, v)∈Bund der Funktion f¨

uber den Bereich B⊂R2beschrieben wird. Dies kann aufgrund gleicher

Koordinatenwerte f¨

ur verschiedene Punkte Pizu Mehrdeutigkeiten f¨

uhren. Durch eine Umparametrisierung der

kartesischen Koordinaten in polare Messungselemente und der Bestimmung der Topologie auf der Einheitskugel

wird die 3D Problematik auf ein 2,5D Problem reduziert. In diesem Fall ist die zu triangulierende Oberfl¨

ache

eine Menge an Punkten Pi= (φ, Θ, S)T

izu

Si=f(φ, Θ)i, ri= 1 (3.2)

mit der Funktion f¨

uber den Bereich B⊂R2beschrieben. Unter der Annahme einer konstruktionsbedingten

Zentralperspektive der scannenden Instrumente und bei Vorliegen von nur einem Instrumentenstandpunkt kann

in diesem Fall davon ausgegangen werden, dass es f¨

ur eine Kombination von φund Θ - Tupeln keine zwei

Distanzinformationen Sgibt. Aus diesem Grund kann zur Ableitung der Topologie auf eine zweidimensionale

28 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Dreiecksvermaschung zur¨

uckgegriffen werden. Diese Dreiecksstrukturen repr¨

asentieren geometrisch eine ebene

Fl¨

achenfunktion, mit denen sich elementare Fl¨

achenfunktionen wie z. B. Normalenberechnungen und Fl¨

achen-

schnitte berechnen lassen [Gr¨

undig, 1988].

Eine Triangulation einer Menge Mzweidimensionaler Punkte {Pi}, f¨

ur i= 1, . . . , n ist eine zusammengeh¨

orige

Menge an Dreiecken, so dass nach [Farin und Hansford, 1998] gilt:

1. Die Eckpunkte der Dreiecke werden gebildet aus den gegebenen Punkten Pi

2. Der Durchschnitt des Inneren zweier Dreiecke ist leer

3. Sind zwei Dreiecke nicht disjunkt, haben sie einen gemeinsamen Eckpunkt oder fallen in einer Kante

zusammen

4. Die Vereinigung aller Dreiecke ergibt die konvexe H¨

ulle der Punktmenge, die das umschreibende konvexe

Polygon von Mmit minimaler Fl¨

ache darstellt

Auf Grundlage der an die Triangulierung gestellten Anforderungen lassen sich unterschiedliche Vermaschungs-

methoden formulieren [Hoschek und Lasser, 1992]:

•Kriterium der k¨

urzeren Diagonale

•Max-Min-Winkelkriterium

•Min-Max-Winkelkriterium

•Minimierung der Summe der L¨

angen aller Dreieckskanten

•Kriterien auf Grundlage von Funktionswerten (Radius, Fl¨

ache) oder Attributen (H¨

ohenangaben)

3.2.1 Delaunay-Triangulierung

Die Forderung nach Erf¨

ullung des Umkreiskriteriums f¨

uhrt zur Delaunay-Triangulierung, siehe Abbildung 3.2,

die die Eigenschaft aufweist, dass der Umkreis jedes vermaschten Dreiecks keine anderen Punkte der Trian-

gulierung enth¨

alt [de Berg u. a., 2002] und sie zus¨

atzlich den minimalen Dreiecksinnenwinkel maximiert (Max-

Min-Winkelkriterium). Die Triangulation ist geometrisch eindeutig, wenn in der gesamten Punktmenge nicht

mehr als drei Punkte auf einem Kreis liegen. Zur Berechnung von Delaunay-Triangulationen sind verschiedene

Algorithmen entwickelt worden, die z. B. in [Lenk, 2001] einer eingehenden Untersuchung unterworfen werden.

P1P2

Umkreiskriterium erfüllt Umkreiskriterium nicht erfüllt

Abb. 3.2: Umkreiskriterium der Delaunay-Triangulation, nach [Hoschek und Lasser, 1992].

Die Delaunay-Triangulierung ist eine Methode, die wohlgeformte Dreiecke produziert, d. h. es wird angestrebt,

die Bildung von langen d¨

unnen Dreiecken zu vermeiden. Die resultierenden Dreiecke ¨

uberlappen sich nicht und

vermaschen eine beliebig große Punktmenge fl¨

achendeckend und eindeutig. Die Delaunay-Triangulierung ist

3.2. Triangulierung 29

die zum Voronoi-Diagramm, auch als Dirichlet-Tesselation (Parkettierung) bezeichnete, duale Struktur, vgl.

Abbildung 3.3. Die zu den Punkten Pizugeh¨

origen Fliesen Fider Dirichlet-Parkettierung sind definiert durch

Fi={x∈R2:a(x, Pi)≤a(x, Pj) f¨

ur alle i6=j}(3.3)

mit euklidischem Abstand a(x, Pk), d. h. Fiist ein Polygon und besteht aus den Punkten x∈R2, die von

Pieinen kleineren Abstand haben als zu allen anderen Pimit i6=j. Ein einzelnes Voronoi-Polygon ist

durch die Mittelsenkrechten der Verbindungsgeraden des Punktes Piund den jeweils benachbarten Punkten

definiert. Wird dies f¨

ur alle Punkte einer Region angewendet, so wird das gesamte Gebiet in nebeneinander

liegende Polygone aufgeteilt, die zusammen das Voronoi-Diagramm ergeben. Das Voronoi-Diagramm eines

Auschnittes einer Punktmenge beschreibt die Nachbarschaftsverh¨

altnisse einer Punktverteilung. Wenn man

von einem Voronoi-Diagramm als Basis ausgeht, so erh¨

alt man die Delaunay-Triangulation der Punkte Pi,

dargestellt in Abbildung 3.3 rechts, als duale Struktur der Dirichlet-Parkettierung, d. h. Punkte Piund Pj

werden miteinander verbunden, falls die Fliesen Fiund Fjder zugeh¨

origen Dirichlet-Parkettierung eine ge-

meinsame Kante besitzen [Hoschek und Lasser, 1992]. Angewendet auf alle Punkte der Menge erh¨

alt man ein

Netzwerk bestehend aus Dreiecken, das alle Punkte innerhalb der konvexen H¨

ulle miteinander verbindet.

Abb. 3.3: Voronoi-Diagramm (links) und Delaunay-Triangulation (rechts), nach [Hoschek und Lasser,

1992].

3.2.2 Triangulierung polarer Messdaten

Die origin¨

aren Messelemente, die mit polaren scannenden Messsystemen aufgenommen werden, sind aus der

Stellung der Schrittmotoren oder Winkelencoder abgeleitete unkorrigierte Horizontalrichtungen φiund Verti-

kalwinkel Θisowie die vom Entfernungsmessteil bestimmte Schr¨

agstrecke Si. Liegen hingegen die kartesischen

Koordinaten (meist bei der Aufnahme mittels Laserscanner) als Ergebnis einer Datenerfassung vor, lassen sich

die polaren Messelemente leicht aus den Koordinaten des Instrumentennullpunktes PS= (xs, ys, zs)Tund den

Objektpunkten Pi= (xi, yi, zi)Tdurch

Si=q(xi−xS)2+ (yi−yS)2+ (zi−zS)2

φi= arctan yi−yS

xi−xS

Θi= arccos zi−zS

(3.4)

berechnen. Der Instrumentennullpunkt PSist dabei definiert als der Schnittpunkt der Hauptachsen des polar

messenden Instruments, d. h. als Schnittpunkt der Rotationsachsen und der Zielachse des Entfernungsmessers.

Wie in Kapitel 5 dargelegt wird, ist die Annahme, die Hauptachsen des Instrumentes w¨

urden sich in einem

gemeinsamen Punkt schneiden, zu ¨

uberpr¨

ufen und bei Vorliegen von Exzentrizit¨

aten sind geeignete Korrek-

turmodelle aufzustellen. Sind eventuell auftretende Instrumentenfehler bekannt, werden die Messwerte mit

30 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

entsprechenden Korrekturformeln korrigiert. Die Umrechnung nach Gleichung 3.4 erfolgt rein kartesisch, wobei

die Konvergenz der Lotlinien und der Einfluss der Refraktion f¨

ur das Laserscanning (im Nahbereich) vernach-

l¨

assigbar sind und somit bei der Bestimmung der polaren Messelemente keine Rolle spielen.

Wie bereits beschrieben, werden zur Dreiecksvermaschung nur die polaren Messungselemente, hier Horizon-

talwinkel φisowie die Zenitdistanzen Θi, herangezogen und die Vermaschung findet auf einer Einheitskugel

statt, d. h. es handelt sich dabei um die Projektion in den R2oder Abwicklung der r¨

aumlichen Messgr¨

oßen

φiund Θiin die Ebene. F¨

ur jeden Messpunkt der Punktwolke Piwird deshalb ein einzelner Strahl, gebildet

aus dem jeweiligen Beobachtungen φiund Θi, mit der Einheitskugel geschnitten. Die Vermaschung auf einer

Einheitskugel, dargestellt in Abbildung 3.4 [Matlab, 2002]1, dient nur zur Bestimmung der Topologie der betei-

ligten Punkte, deshalb kann auf die Entfernungsinformation in diesem Schritt der Auswertung verzichtet werden.

Nachteilig wirkt sich dabei jedoch aus, dass aufgrund des Messprinzips polarer geod¨

atischer Instrumente die

Aufl¨

osung zu den Polen der Einheitskugel hin deutlich zunimmt, d. h. die Verteilung der Messpunkte am Objekt

sehr inhomogen ist.

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

-0 .5

0.5

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0.2

0.4

0.6

Abb. 3.4: Ausschnitt einer Delaunay-Triangulierung auf der Einheitskugel, d. h. die Beobachtungen Hziund

Viwerden in den R2abgewickelt, die Darstellung erfolgt dennoch r¨

aumlich.

Die entstehende Triangulation ist um verschiedene Fehlstellen zu bereinigen. Speziell beim Einsatz des

Prototypen PoMeS k¨

onnen sich in den Punktwolken aufgrund des Messprinzips der Streckenmessung L¨

ocher

in der Triangulierung ergeben. Diese Diskontinuit¨

aten entstehen immer dann, wenn zu einem Messpunkt auf-

grund ung¨

unstiger Reflexionseigenschaften der Oberfl¨

ache durch das Streckenmessteil keine Distanz gemessen

werden konnte. Der entsprechende Objektpunkt kann dann nicht f¨

ur die weiteren Auswerteschritte herange-

zogen werden. Ebenso kann die Streckenmessung durch ¨

außere Einfl¨

usse verf¨

alscht worden sein, so dass eine

falsche Distanz gemessen wurde. Der Grund f¨

ur derartige Effekte sind z. B. ung¨

unstige Reflexionseigenschaften

der Oberfl¨

achenstrukturen der angemessenen Objekte oder eine Mehrfachreflexion an Glas oder glas¨

ahnlichen

Strukturen.

3.3 Segmentierung

3.3.1 Allgemeines

Unter Segmentierung wird eine Zerlegung eines Bildes in semantische Einheiten, d. h. in Strukturen, denen

eine Bedeutung zugeordnet werden kann, verstanden. Dabei erfolgt die Zerlegung in sich nicht ¨

uberlappende

Regionen und dies derart, dass die einzelnen Regionen homogen sind und die Vereinigung zweier benachbarter

1Der in Matlab implementierte Algorithmus der Delaunay-Triangulation basiert auf qhull [Barber u. a., 1996].

3.3. Segmentierung 31

Regionen keine homogene Region ergibt. Unter Homogenit¨

at2wird die Unabh¨

angigkeit einer Eigenschaft vom

Ort bzw. allgemeiner formuliert, die Gleichheit einer Eigenschaft ¨

uber die gesamte Ausdehnung eines Systems

verstanden. Bei der betrachteten Eigenschaft kann es sich z. B. um ein mathematisches Attribut oder eine

physikalische Eigenschaft handeln. Die Zerlegung sollte ”zweckm¨

aßig hinsichtlich der entsprechenden Anwendung

sein“ [Haralick und Shapiro, 1993]. Im Hinblick auf die Auswertung der Daten von polaren Messsystemen

ist mit der Segmentierung ein Entscheidungsprozess verbunden, der es erlaubt, eine Trennung von Objekten

untereinander bzw. eine Trennung von Objekten, die einer weiteren Verarbeitung zugef¨

uhrt werden sollen, von

Objekten, die nicht ”interessant“ sind, zu erm¨

oglichen. Die Vorgehensweise bei der Segmentierung l¨

asst sich

vereinfacht folgendermaßen beschreiben:

1. Definition eines Kriteriums oder entsprechender Parameter, die aus der vorgegebenen Menge an Punkten

berechnet werden k¨

onnen oder aber bekannt sind

a) Finden von ¨

Anderungen

i. Verfolgung des Verlauf der Parameter ¨

uber Ort oder Zeit

ii. Annahme einer Segmentgrenze, wenn sich die Parameter gen¨

ugend stark ge¨

andert haben

b) Finden homogener Bereiche

i. Verfolgung des Verlauf der Parameter ¨

uber Ort oder Zeit

ii. Annahme eines homogenen Bereichs, wenn sich die Parameter innerhalb einer (definierten)

Grenze ¨

andern

2. Verbesserung bzw. Korrektur der Segmentierung (Eliminierung von st¨

orenden Objekten, Schließen von

L¨

ucken)

Die Segmentierungsverfahren, die ihren Ursprung in der digitalen Bildverarbeitung haben, k¨

onnen in ver-

schiedene Gruppen unterteilt werden. Die punktorientierten Verfahren haben die Extraktion von punktf¨

ormigen

Merkmalen zum Ziel, beispielsweise Ecken. Neben den kantenorientierten Verfahren, die linienhafte Strukturen

extrahieren, wird des Weiteren noch in fl¨

achenorientierte Verfahren unterschieden [J¨

ahne, 1993]. Im Gegensatz

zu punktorientierten Segmentierungsverfahren wird hier versucht, die lokalen Eigenschaften eines Objektes zu

ermitteln, um diese dann in der Objektidentifizierung einzusetzen. Unter Fl¨

achen sind Regionen zu verstehen,

die sich durch eine Homogenit¨

at auszeichnen und sich aus diesem Grund mit zwei verschiedenen Ans¨

atzen detek-

tieren lassen [Brenner, 2000]. Entweder wird der Fl¨

achenrand auf der Basis von Diskontinuit¨

aten detektiert und

nachfolgend die Fl¨

ache als Region innerhalb des Randes bestimmt. Oder aber die Fl¨

ache wird auf Grundlage

ihrer Homogenit¨

at ¨

uber ein regionenbasiertes Verfahren bestimmt. Die Fl¨

achenr¨

ander lassen sich anschließend

uber die Trennlinien der detektierten Fl¨

achen ableiten.

Die generelle Formulierung einer regionenbasierten Segmentierung f¨

ur den Fall der Verarbeitung von Punkt-

wolken kann wie folgt beschrieben werden [Haralick und Shapiro, 1993]: Bei der Segmentierung einer Menge

von Punkten Pi, die eine Gesamtregion Rbilden und in fdisjunkte, nicht leere Teilregionen Rfzerlegt werden

sollen, gilt unter einem zu definierenden Einheitlichkeitskriterium E(fi) folgendes:

1. ∪f

i=1 fi=f

2. jedes fiist r¨

aumlich zusammenh¨

angend

3. Das Einheitlichkeitskriterium E(fi) ist erf¨

ullt f¨

ur jedes fi

4. F¨

ur jede Vereinigungsmenge zweier benachbarter fi, fjist E(fi∪fj) nicht erf¨

ullt

Das zu definierende Einheitlichkeitskriterium E(fi) ist im Kontext der Auswertung von polaren Messdaten z. B.

die Ebenheit von benachbarten Dreiecken der triangulierten Punktwolke, die als Schwellwert definiert wird. Sie

wird genutzt, um die Punkte regionenweise zu einem Objekt verschmelzen zu lassen. Die notwendige Initiali-

sierung, d. h. die Vorgabe eines Startpunktes, auch Saatpunkt genannt, kann im vorliegenden Fall willk¨

urlich

erfolgen, vgl. Abbildung 3.5 (a). Nach dieser Initialisierung werden die benachbarten Elemente gem¨

aß des vor-

definierten Homogenit¨

atskriteriums untersucht, ob sie mit den Merkmalen des Startelementes ¨

ubereinstimmen

(b). Ein Hinzuf¨

ugen der positiv getesteten Elemente zur Region ist mit einem iterativen Wachstum der Region

verbunden. Die Iteration wird abgebrochen, wenn kein benachbartes Element das Kriterium erf¨

ullt oder wenn

die Menge aller zu untersuchenden Elemente durchlaufen ist. In der Menge der verbliebenen Elemente findet

2griechisch: homogenos – von gleicher Art

32 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

anschließend eine weitere Initialisierung statt (c). Der beschriebene iterative Prozess beginnt von Neuem und

terminiert idealerweise, wenn alle Elemente, die das Homogenit¨

atskriterium erf¨

ullen, entsprechenden Regionen

zugeordnet sind (d).

(a)

(b)

Abb. 3.5: Schematische Darstellung zum Vorgehen bei der Segmentierung am Beispiel der Messdatenerfassung

zweier ebener Regionen.

Ublicherweise wird nach Auswahl eines Saatpunktes nach jedem Hinzuf¨

ugen eines benachbarten Elementes eine

erneute Parametersch¨

atzung durchgef¨

uhrt. Dabei ist das Ergebnis der Segmentierung abh¨

angig von der Wahl

des Saatpunktes. Eine Verlegung des Saatpunktes f¨

uhrt im Allgemeinen zu ver¨

anderten Ergebnissen. Bei dem

im n¨

achsten Abschnitt vorgestellten Segmentierungsverfahren hingegen findet eine optimale Parametersch¨

atzung

erst nach der Interpretation durch einen Segmentierungsalgorithmus statt.

3.3.2 Methoden zur automatischen Ebenendetektion

Nach der Triangulierung der Punktwolke folgt die vollautomatische Erkennung und Modellierung des geome-

trisch strukturierten Elementes Ebene, unter der Voraussetzung, dass in den aufgenommenen Daten ebene

Bereiche oder Teilbereiche vorhanden sind. Bei eingehender Betrachtung von Bauwerken, Maschinen, Anla-

gen oder auch Teilen derselben wird deutlich, dass die Ebene das (zumeist) vorherrschende Geometrieelement

darstellt. Bei der automatischen Ebenendetektion wird, aufbauend auf den topologischen Beziehungen aus der

Dreiecksvermaschung, anhand verschiedener Berechnungsschritte und dem Einsatz statistischer Testverfahren

eine Zuordnung der gemessenen Punkte zu im Raum verteilten Ebenen durchgef¨

uhrt. Nach einer Entscheidung,

ob benachbarte Dreiecke in einer Ebene liegen, m¨

ussen gleichartige Bereiche zu einer Region zusammengefasst

werden. Das hierzu eingesetzte Verfahren geh¨

ort dann zu den so genannten Bereichswachstumsverfahren (region

growing).

Spatprodukt als Homogenit¨

atskriterium

Ein Kriterium zur Entscheidung, ob Punkte einer Teilmenge der aufgenommenen Punktwolke in einer Ebene

liegen, ist die Berechnung und statistische Auswertung des Spatproduktes. Untersucht werden jeweils zwei

benachbarte Dreiecke (eine gemeinsame Kante) der gesamten Menge an Dreiecken aus der Triangulierung da-

hingehend, ob diese zwei Dreiecke innerhalb statistischer Grenzen hinreichend genau eine Ebene definieren. Zu

jeder Dreieckskante m¨

ussen zwei weitere Kanten gesucht werden, die einen Punkt mit der ersten Kante gemein-

sam haben. Somit liegen vier Punkte vor, die ein Parallelepiped aufspannen, vgl. Abbildung 3.6. Sind die drei

aus den vier Punkten abgeleiteten Vektoren linear abh¨

angig, ist das zugeh¨

orige Volumen Null und die Vektoren,

respektive die vier Punkte, liegen in einer Ebene.

Ein anderes Vorgehen wird in [Kern, 2003] vorgeschlagen. In diesem Ansatz der Segmentierung von ebenen

Bereichen wird der Winkel betrachtet, den die Normalenvektoren zweier angrenzender Dreiecksfl¨

achen bilden.

Dieser Winkel ist jedoch von der Gr¨

oße und Konfiguration der Dreiecke abh¨

angig. Eine korrekte L¨

osung wird

nur erhalten, wenn die Koordinaten der Dreiecke mit ihren stochastischen Informationen in die Berechnung des

Schnittwinkels eingehen. Das Verfahren ¨

uber die Einbeziehung des Spatproduktes mit gleichzeitiger strenger

Fehlerfortpflanzung ber¨

ucksichtigt die Gr¨

oße und Beschaffenheit (Ausdehnung) der Dreiecke.

Die Testgr¨

oße hizur Entscheidung, ob vier Punkte, die zwei benachbarte Dreiecke aufspannen, in einer

Ebenen liegen, ist der Quotient aus dem Betrag des Spatproduktes und der Standardabweichung dieses Spat-

3.3. Segmentierung 33

produktes:

hi=|Spati|

σSpati

.(3.5)

Das Spatprodukt dreier Vektoren <x1,x2,x3>ist eine reelle Zahl und definiert als eine Kombination aus

Skalar- und Vektorprodukt. Das Spatprodukt l¨

asst sich aus folgender Determinante berechnen:

<x1,x2,x3>=det (x1,x2,x3) = 

x1x2x3

y1y2y3

z1z2z3

.(3.6)

Die Vektoren x1,x2,x3sind jeweils als die Differenzvektoren, ausgehend von einem Startpunkt Pizu den drei

anderen beteiligten Punkten Pi+n, mit n= 1, . . . , 3 definiert. Da die in die Berechnung des Spatproduktes

eingehenden Punkte Pimit ihren dreidimensionalen Koordinaten (x, y, z)ibereits fehlerbehaftet sind, muss eine

strenge Fehlerfortpflanzung zur Berechnung der Standardabweichung σSpatides Spatproduktes durchgef¨

uhrt

werden, in der die Genauigkeiten der Strecken- und Richtungsmessungen des Messinstrumentes ber¨

ucksichtigt

werden.

(a) (b)

Abb. 3.6: Illustration zum Spatprodukt dreier Vektoren <x1,x2,x3>: Ist das Spatprodukt dreier, aus den

Koordinaten der vier beteiligten Punkte abgeleiteten Vektoren, die zwei benachbarte Dreiecke auf-

spannen, Null, liegen diese vier Punkte in einer Ebene (a). Ist das Spatprodukt hingegen ungleich

Null, muss diese These hinsichtlich statistischer Annahmen verworfen werden (b).

Die Varianz des Spatproduktes berechnet sich zu

σ2

Spati=F3F2F1Cll FT

1FT

2FT

3(3.7)

mit Fi, f¨

ur i= 1, . . . , 3 als die ben¨

otigten Funktionalmatrizen, die den oben beschriebenen mathematischen Zu-

sammenhang von den Messwerten ¨

uber die Bestimmung der dreidimensionalen Koordinaten bis zur Berechnung

des Spatproduktes widerspiegeln. Die Kovarianzmatrix der Beobachtungen Cll, ist abseits der Hauptdiagonalen

mit Null besetzt, da unterstellt wird, dass keine Korrelationen zwischen den Beobachtungen vorliegen.

Die Testgr¨

oße hifolgt der standardisierten Normalverteilung. Nach Festlegung der Nullhypothese sowie der

Alternativhypothese

H0:|Spati|= 0 HA:|Spati| 6= 0 (3.8)

und Wahl einer Irrtumswahrscheinlichkeit αbzw. Festlegung der Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 −αwird

die Pr¨

ufgr¨

oße mit einer Wahrscheinlichkeitsbeziehung den Regeln der mathematischen Statistik folgend, gegen

einen Schrankenwert getestet. Ist die Testgr¨

oße higr¨

oßer als der Schrankenwert, kann mit der entsprechenden

Sicherheitswahrscheinlichkeit, im Allgemeinen wird 95% angesetzt, davon ausgegangen werden, dass die vier

betrachteten Punkte keine gemeinsame Ebene aufspannen. Bleibt die Testgr¨

oße unter dem Schrankenwert, so

liegen die vier Punkte bzw. zwei angrenzende Dreiecke mit der besagten Sicherheitswahrscheinlichkeit in einer

Ebene.

In Abbildung 3.7 ist dieses Vorgehen f¨

ur eine Testdatensatz, der aus drei ebenen Teilbereichen besteht,

dargestellt. ¨

Uber die Steuerung bzw. Anpassung des Quotienten aus Spatprodukt und der Standardabwei-

chung des Spatproduktes ist direkt ein Aussage ¨

uber die Rauigkeit und eventuelle W¨

olbung der untersuchten

Ebene m¨

oglich. Durch empirische Untersuchungen in Abh¨

angigkeit vom Messrauschen w¨

are es so beispielsweise

f¨

ur den Prototypen PoMeS m¨

oglich, f¨

ur verschiedene Oberfl¨

achenmaterialien unterschiedliche Parameter zu

bestimmen, die jeweils die Rauhigkeit einer zu untersuchenden Ebene beschreiben. Durch eine Darstellung

gem¨

aß einer ”Ampeldarstellung“ lassen sich in Abh¨

angigkeit vom Schrankenwert dynamische Ver¨

anderung der

detektierten Bereiche erm¨

oglichen.

34 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Diskontinuitäten

Abb. 3.7: Visualisierung der untersuchten Dreieckskanten: Die Kanten zweier benachbarter Dreiecke, die keine

Ebene bilden, sind zur besseren Interpretation h¨

ohenversetzt. Die Darstellung l¨

asst sich zu einer

Farbdarstellung (”Ampeldarstellung“) erweitern, um in Abh¨

angigkeit vom Schrankenwert eine dy-

namische Ver¨

anderung der detektierten Bereiche zu erm¨

oglichen. Deutlich sichtbar heben sich in

diesem Beispiel die drei zusammenh¨

angenden Bereiche ab.

Suchalgorithmus

Die Aufgabe der Regionensuche besteht darin, aus den oben beschriebenen Kanten, f¨

ur die ermittelt wurde, dass

sie mit den zwei Nachbarpunkten eine Ebene bilden, geschlossene Bereiche zu lokalisieren. Abzufangen ist der

Fall, dass durch den Algorithmus Segmente detektiert werden, die keiner realen Fl¨

ache entsprechen. Dies ist im-

mer am ¨

Ubergang zwischen zwei real existierenden Ebenen der Fall, beispielsweise an der Schnittkante zwischen

zwei orthogonal zueinander ausgerichten Ebenen (Wand – Wand, Wand – Decke, ...), vgl. Abbildung 3.8.

Bei Anwendung der Ebenenerkennung mit Hilfe des Spatproduktes werden nur die Spatprodukte ungleich

Null, bei denen die beiden Punkte der betrachteten Kante auf ein und derselben Ebene liegen. Von den anderen

beiden benachbarten Punkten liegt dann ein Punkt in der n¨

achsten Ebene. F¨

ur den Fall, dass die beiden

Punkte der betrachteten Kante in zwei verschiedenen Ebenen liegen, wird das Spatprodukt trotzdem Null.

Deshalb werden alle Kanten, die an die Kanten angrenzen, f¨

ur die das Spatprodukt ungleich Null ist, aus der

weiteren Verarbeitung entfernt.

Die Kanten aus zwei benachbarten ebenen Dreiecken m¨

ussen nachfolgend zu einer oder mehreren ebenen und

geschlossenen Regionen zusammengefasst werden. Nach Bestimmung einer Startkante KSl¨

auft eine Schleife

uber alle anderen Kanten Ki, f¨

ur die das Spatprodukt ebenfalls gleich Null ist. Drei F¨

alle lassen sich in der

Bewertung der jeweilig zu untersuchenden Kanten unterscheiden [Lange, 2003]:

•Verbindung von Kanten innerhalb einer Region: In diesem Fall ist ein Punkt der Kante bereits Bestandteil

einer anderen Kante.

•Zusammenfassung von Regionen: Werden hingegen beide Punkte der zu untersuchenden Kante in zwei

verschiedenen Regionen gefunden, m¨

ussen die Regionen zusammengefasst werden, da die Kante beiden

Regionen angeh¨

ort.

•Neubildung von Regionen: Eine neue Region wird lokalisiert, wenn beide Punkte einer Kante zu keiner

bereits untersuchten Kante zugeh¨

orig sind.

Nach Durchlaufen der gesamten Schleife liegen geschlossene Regionen vor, die jeweils eine Ebene repr¨

asentieren.

Die einzelnen Regionen bzw. die in den Regionen enthaltenen Punkte mit ihren dreidimensionalen Koordinaten

werden nachfolgend an die Ebenenausgleichung weitergereicht. Die Ebenenausgleichung ist mit einer Grobfeh-

lersuche implementiert, um etwaige Ausreißer im Beobachtungsmaterial zu lokalisieren. Im folgenden Abschnitt

wird zun¨

achst die mathematische Beschreibung einer Ebene eingef¨

uhrt, anschließend wird auf das Prinzip der

ausgeglichenen Ebene n¨

aher eingegangen.

3.3. Segmentierung 35

Ebene 1 Ebene 2

Kante

fehlerhafte

Zuordnung

fehlerfreie

Spat = 0

Abb. 3.8: Fehlerfreie und fehlerhafte Zuordnung einer Kante.

3.3.3 Optimale Sch¨

atzung ebener Regionen

Nach der Segmentierung liegen f¨

ur die gesamte Punktwolke ebene Regionen mit den jeweils zugeh¨

origen Punk-

ten vor. Auf Grundlage dieser Information werden durch eine abschließende Sch¨

atzung die beschreibenden

Parameter f¨

ur jede Ebene abgeleitet. Die Parametersch¨

atzung kann dabei auf verschiedenen Wegen durchge-

f¨

uhrt werden, die nachfolgend beschrieben werden. Zuerst wird jedoch ein ¨

Uberblick ¨

uber die M¨

oglichkeiten der

mathematischen Beschreibung einer Ebene gegeben.

Mathematische Beschreibung Ebenen

Zur Beschreibung von Ebenen im Raum existieren verschiedene Formen der Darstellung. So ist eine Ebene E

eindeutig festgelegt durch

•drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen oder

•einen Punkt sowie zwei linear unabh¨

angige Vektoren oder

•einen Punkt sowie einen Normalenvektor.

Aufbauend auf diese Eigenschaften gibt es grunds¨

atzlich zwei M¨

oglichkeiten, eine Ebene mathematisch darzu-

stellen [Merzinger und Wirth, 1995]. Zum einen die Parameterdarstellung

E:x=a+r·b+s·c, r, s ∈R . (3.9)

Diese Darstellung kennzeichnet eine im Endpunkt von avon den beiden linear unabh¨

angigen Vektoren bund

caufgespannte Ebene. Neben der Parameterdarstellung durch drei Punkte oder der Beschreibung durch einen

Punkt und zwei linear unabh¨

angige Vektoren kommt der Koordinatendarstellung der Ebene eine zentrale Be-

deutung zu. In der Koordinatendarstellung kann folgende Gleichung formuliert werden:

E:n·x−d= 0 .(3.10)

Nach Umformung in die Hessesche Normalform (HNF) der Ebene, d. h. der Normalenvektor nist ein Einheits-

vektor, kann der Abstand eines beliebigen Punktes zu dieser Ebene bestimmt werden. Der Abstand vieines

36 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Punktes Pivon einer Ebene im Raum ist die L¨

ange des Lotes von Piauf die Ebene. Ist E:n·x=ddie

Hessesche Normalform der Ebene und PiEndpunkt des Vektors pi, so ist

vi=|n·p−d|,mit |n|= 1 (3.11)

der Abstand des Punktes Pizur Ebene E, mit dals Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung. Zur

Beschreibung einer Ebene im dreidimensionalen Raum werden, wie oben gezeigt, mindestens drei Punkte ben¨

tigt, die nicht auf einer Geraden liegen d¨

urfen. Sind mehr als die drei zur eindeutigen Bestimmung notwendigen

Messpunkte nvorhanden, kann mit der Methode der kleinsten Quadrate eine ausgleichende Ebene berechnet

werden.

Spektralzerlegung

Der hier beschriebene Ansatz der so genannten orthogonalen Regression geht auf [Linkwitz, 1976] zur¨

uck, wurde

von [Drixler, 1993] weiter ausgef¨

uhrt und entspricht einer spektralen Zerlegung einer reellwertigen symmetrischen

Matrix A. Zur L¨

osung dieses Ausgleichungsproblems, bei der die Summe der Quadrate der orthogonalen

Abst¨

ande zu den gegebenen Punkten minimal wird, sind keine N¨

aherungswerte n¨

otig und der Ansatz erm¨

oglicht

eine direkte Bestimmung der Ebenenparameter ohne Iteration, bietet jedoch keine M¨

oglichkeit, grobe Fehler im

Datenmaterial zu lokalisieren.

Die ausgeglichene Ebene ist neben dem orthogonalen Abstand zum Koordinatenursprung durch den Schwer-

punkt

ST= (xs, ys, zs),(3.12)

mit xs=1

i=1

xi, ys=1

i=1

yi, zs=1

i=1

zi(3.13)

aller beteiligten Messpunkte Pi= [xi, yi, zi] und den Normalenvektor

nT= (nx, ny, nz) (3.14)

der Ebene gekennzeichnet. Ist die Ebene durch die Hessesche Normalform nach Gleichung 3.10 beschrieben,

k¨

onnen die Abst¨

ande vialler Messpunkte zur ausgleichenden Ebene (Abbildung 3.9) im Sinne einer vermitteln-

den Ausgleichung als Verbesserungsgleichungen

vi=nxxi+nyyi+nzzi−d(3.15)

interpretiert werden. Um den Abstandsparameter dzu eliminieren, werden Koordinaten bezogen auf den

Schwerpunkt eingef¨

uhrt. Die Modalmatrix Aenth¨

alt f¨

ur alle beteiligten Punkte die schwerpunktbezogenen

Koordinaten

A=





xi−xsyi−yszi−zs

xi+1 −xsyi+1 −yszi+1 −zs

xn−xsyn−yszn−zs







.(3.16)

Die spektrale Zerlegung der symmetrischen Normalgleichungsmatrix

N=ATA(3.17)

f¨

uhrt zu den Eigenwerten λmin, λmid und λmax sowie zu den zugeh¨

origen Eigenvektoren umin,umid und umax

[Anderson u. a., 1999], [Matlab, 2002]. Der gesuchte Normalenvektor der Ebene ist parallel zum minimalen

Eigenvektor umin, die Eigenvektoren umid und umax dieser Hauptachsentransformation spannen die bestange-

passte Ebene durch alle Messpunkte auf [Heckel u. a., 2001].

Ebenenausgleichung

Die oben beschriebene Art der Bestimmung des Normalenvektors der ausgleichenden Ebene eignet sich zur

Bestimmung von N¨

aherungsparametern f¨

ur eine vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen zwischen den un-

bekannten Parametern zur Grobfehlersuche und Verifizierung der Kovarianzen zwischen den Komponenten des

Normalenvektors und des Abstandsparameters. Die N¨

aherungsparameter sind jedoch nicht zwingend notwen-

dig, da es sich bei der strengen Ebenenausgleichung um ein bilineares Ausgleichungsproblem handelt. Sind die

3.3. Segmentierung 37

Abb. 3.9: Ausgeglichene Ebene durch Punkte Pi.

N¨

aherungswerte bei solch einem Ausgleichungsansatz nicht hinreichend genug bestimmbar, werden nur entspre-

chend mehr Iterationen zur L¨

osung des Gleichungssystems ben¨

otigt. Auch bei diesem funktionalen Modell der

Ausgleichung wird die Summe der Quadrate der orthogonalen Abst¨

ande der ausgeglichenen Ebene zu den vor-

gegebenen Punkten minimiert. Abweichend zu den in [Kampmann und Renner, 2004] beschriebenen Verfahren

zur Ausgleichung einer Ebene wird hier ein modifiziertes Verfahren vorgeschlagen, das die gleichen numerischen

Ergebnisse wie die oben dargelegte Spektralzerlegung liefert.

R¨

aumliche Koordinaten zur Ebenenausgleichung

Pkt.-Nr. x y z

1 -10,0 -15,0 -20,0

2 -1,0 -0,5 -2,0

3 1,0 1,5 1,0

4 10,0 15,0 20,0

Tabelle 3.1: R¨

aumliche Koordinaten zur Bestimmung einer ausgeglichenen Ebene, aus [Kampmann und Ren-

ner, 2004].

Unter der Annahme, dass die orthogonalen Abst¨

ande liim Punkt Pizu Null beobachtet werden, l¨

asst sich aus

Gleichung 3.10 folgende Verbesserungsgleichung ableiten:

li+vi=nxxi+nyyi+nzzi−d . (3.18)

Die Designmatrix Aergibt sich zu:

A=





xiyizi−1

xi+1 yi+1 zi+1 −1

xnynzn−1







.(3.19)

Um die ¨

Uberparametrisierung des Gleichungssystems aufzuheben, muss die Normierung des Normalenvektors

nals Bedingung eingef¨

uhrt werden:

|n|= 1 ⇔n2

x+n2

y+n2

z−1 = 0 .(3.20)

Es wird das Ausgleichungsmodell

ATPA C

CT0 ∆x

k=ATPl

−c(3.21)

entwickelt, in dem die Normalgleichungsmatrix Nmit der Matrix C, welche die partiellen Ableitungen der

Bedingungsgleichungen enth¨

alt, ger¨

andert wird. Es ergibt sich die L¨

osung zu:

∆x =ATPA−1ATPl −Ck.(3.22)

38 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Mit den in Tabelle 3.1 aus [Kampmann und Renner, 2004] eingef¨

uhrten Koordinaten von 4 r¨

aumlichen Punkten

ergeben sich die in Tabelle 3.2 aufgef¨

uhrten Ergebnisse. Daraus wird ersichtlich, dass beide Ans¨

atze f¨

ur dieses

Beispiel numerisch gleichwertige Ergebnisse liefern.

Gegen¨

uberstellung Spektralzerlegung und Ausgleichung mit Bedingung

Parameter Spektralzerlegung AGL mit Bedingung

nx-0,9261 -0,9261

ny0,1682 0,1682

nz0,3378 0,3378

Abstand d[m] -0,042 -0,042

ˆσ2

00,134 0,134

Korrelationen 0,697 ≤ |ρ| ≤ 0,996 0,697 ≤ |ρ| ≤ 0,996

Tabelle 3.2: Vergleich der Ergebnisse aus der Spektralzerlegung mit den Ergebnisse aus der Ausgleichung mit

Bedingungen.

Aus dem vermittelnden Ausgleichungsansatz mit Bedingungen zwischen den Unbekannten lassen sich nun die

Genauigkeiten und die Korrelationen als obere Dreiecksmatrix der vollbesetzten 4×4 Kovarianzmatrix extra-

hieren, die sich als Produkt aus der Kofaktorenmatrix Qxx und dem Varianzfaktor ˆσ2

0zusammensetzt. Die

Kofaktorenmatrix Qxx ergibt sich nach [H¨

opcke, 1980] zu

Qxx =N−1−N−1CCTN−1C−1CTN−1.(3.23)

Da die Korrelationen zwischen den Parametern in den weiteren Auswerteschritten Verwendung finden sollen,

muss beachtet werden, dass die Kofaktorenmatrix Qxx unter dem Zwang der Bedingungsgleichung f¨

ur den

Normalenvektor entstanden sind und aus diesem Grund singul¨

ar ist. Zur Aufhebung der Singularit¨

at muss die

Kofaktorenmatrix Qxx mit den entsprechenden Zeilen der Bedingungsmatrix CTger¨

andert werden.

Die so berechneten Normalenvektoren stehen senkrecht auf der Ebene, sind in ihrer Richtung aber zuf¨

allig orien-

tiert. Deshalb ist es notwendig, sie nach einer gew¨

ahlten Konvention in eine einheitliche Richtung zu ¨

uberf¨

uhren.

(a) (b)

Abb. 3.10: Illustration zum Ebenenparameter Abstand d nach Hessescher Normalform (a) positiv und (b)

negativ definiert.

Die mathematische Konvention der Hesseschen Normalform einer Ebene nach Gleichung 3.10 sagt aus, dass

der Abstand dimmer positiv sein soll. Geometrisch gesehen bedeutet dies, dass der Normalenvektor immer vom

Betrachter im Instrumentenstandpunkt zur Ebene zeigt. Aus Gr¨

unden der Kompatibilit¨

at zu den entwickelten

Algorithmen wird nachfolgend festgelegt, dass der Abstand dimmer negativ definiert ist. Dies entspricht

geometrisch gesehen der Anschauung, dass der Normalenvektor immer zum Ursprung, d. h. auf das Instrument

oder den Betrachter zeigt, vergleiche auch Abbildung 3.10.

3.4. Zuordnung von homologen Ebenen 39

3.4 Zuordnung von homologen Ebenen

Aus den vorangegangenen Betrachtungen liegen nunmehr die beschreibenden Parameter (Normalenvektoren n

und Abstand zum Ursprung d) der aus der Punktwolke extrahierten Ebenen vor. Sollen in einem weiteren

Schritt der Auswertung die Punktwolken verschiedener Instrumentenstandpunkte in ein einheitliches Bezugs-

system ¨

uberf¨

uhrt werden, kann diese Transformation mittels identischer Ebenen vorgenommen werden (vgl.

Kapitel 4.3). Zur Durchf¨

uhrung dieser Transformation werden jedoch korrespondierende Fl¨

achen in den zu

verkn¨

upfenden Punktwolken ben¨

otigt. Der Anwender steht also vor dem Problem, korrespondierende Ebenen

in den aufgenommenen Szenerien zu finden. Der Nutzer muss sowohl eine Zuordnung identischer Ebenen auf

unterschiedlichen Aufnahmestandpunkten durchf¨

uhren, aber auch bei ¨

Anderung der Orientierung des Messin-

strumentes auf einem Standpunkt m¨

ussen die Identit¨

aten jeweils zwischen zwei Aufnahmen festgestellt werden.

Schwierigkeiten ergeben sich bei n¨

aherer Betrachtung in der Gestalt, dass die Korrespondenzen sich meist nicht

auf die gleichen Ausschnitte der Oberfl¨

ache einer ausgew¨

ahlten Fl¨

ache beziehen und deshalb die Zuordnung

nicht leicht zu treffen ist [Runne u. a., 2001].

3.4.1 Manuelle Zuordnung der Ebenen

Eine M¨

oglichkeit besteht darin, eine visuelle Kontrolle der extrahierten Ebenen auf Grundlage g¨

angiger 3D-

Grafik-Formate in einem Viewer vorzunehmen und anschließend die manuelle Zuordnung der Korrespondenzen

zu treffen. [Kern, 2003] nimmt die Zuordnung der identischen Ebenen manuell vor, ben¨

otigt daf¨

ur in seinem

Beispiel jedoch eine vergleichsweise lange Zeit.

Abb. 3.11: Visualisierung der extrahierten Ebenen f¨

ur zwei verschiedene Standpunkte mit dem VRML-Plugin

Cosmoplayer ( SGI) in einem Internetbrowser ( Microsoft Internet Explorer). Die Darstellung

bezieht sich wiederum auf den Datensatz aus Abbildung 3.7. Die in der Kantendarstellung bereits

sichtbaren Bereiche sind hier zu drei Ebenen extrahiert worden, der Ebenenidentifikator ist der

entsprechende Ebene zugeordnet.

Die Visualisierung kann z. B. mittels eines VRML-Plugins in einem Internetbrowser geschehen. In Abbil-

dung 3.11 sind die dargestellten Ebenen jeweils durch zwei Dreiecke mit ihren in der VRML-Welt gegebenen

3D-Koordinaten erzeugt worden. Zus¨

atzlich ist als attributive Erweiterung der aus der Regionensuche zuge-

wiesen Ebenenidentifikator an die betreffenden Ebenen ”geklebt“. So wird gew¨

ahrleistet, dass der aus der

40 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Ebenenerkennung gewonnene Identifikator der richtigen Ebene zugeordnet wird. Weiterf¨

uhrende Angaben zur

Erstellung von VRML-Anwendungen finden sich u. a. in [Matsuba und Roehl, 1996], [Schl¨

uter, 1998] sowie

[Pomaska, 2002].

3.4.2 Automatisches Verfahren

Um das Korrespondenzproblem (Zuordnungsproblem oder matching) bei der automatischen Zuordnung iden-

tischer Ebenen zu l¨

osen, k¨

onnen lediglich die beschreibenden Parameter der Ebenen herangezogen werden.

F¨

ur die Merkmalszuordnung eignen sich die standpunktweise jeweils in den Koordinatenursprung verschobe-

nen Normalenvektoren niund nj, mit ni∈ Mif¨

ur i= 1, . . . , n sowie nj∈ Mjf¨

ur j= 1, . . . , m. Diese

spannen im jeweiligen Ursprung ein Normalenvektorb¨

uschel auf, vgl. Abbildung 3.12, wobei die Reihenfolge

der Normalenvektoren unerheblich ist. Einschr¨

ankend muss angemerkt werden, dass die entworfene Strategie

nur f¨

ur unsymmetrische Verteilungen der Strahlenb¨

uschel erfolgreich ist. Bei einer symmetrischen Anordnung

der Normalenvektoren ist aufgrund der Mehrdeutigkeiten keine eindeutige Zuordnung m¨

oglich. Desweiteren ist

dieser Ansatz auf das Vorhandensein weniger Normalenvektoren ausgelegt. In praktischen Experimenten sind

aus den Punktwolken durchschnittlich zwischen 10 und 20 Ebenen extrahiert worden und es lagen nie mehr

als ca. 50 Normalenvektoren, respektive Ebenen vor. Auf Grundlage dieser maximalen Anzahl vorliegender

Ebenenparameter l¨

auft der Algorithmus in nahezu Echtzeit ab, ebenso treten keine Speicherprobleme auf.

Da die Normalenvektoren mit |ni|=|nj|= 1 bereits normiert sind, muss ein Schnitt mit dem Einheitskreis

r= 1 nicht mehr erfolgen. Der Schnittpunkt Pibzw. Pjergibt sich direkt aus den Normalenvektoren in den

jeweiligen Verteilungen. Eine Zuordnung findet nur zwischen zwei Normalenvektorb¨

uscheln statt. Sind Zuord-

nungen von identischen Ebenen f¨

ur mehr als zwei Standpunkte zu treffen, so ist die Verkn¨

upfung verschiedener

Standpunkte in mehreren Durchl¨

aufen erforderlich. Die Definition eines eindeutigen Merkmals νin der Menge

Mi, das in der zweiten Menge Mjan Normalenvektoren wieder gefunden werden soll, erfolgt ¨

uber die L¨

angen

der Differenzvektoren aller in der jeweiligen Verteilung befindlichen Normalenvektoren.

Das Ergebnis dieses ersten Schritts ist eine Liste mit (n−1) Vektordifferenzbetr¨

agen |di|der Menge Mi

sowie eine Liste mit (m−1) Vektordifferenzbetr¨

agen |dj|der Menge Mj, in der f¨

ur jeden Punkt Piund Pj

die L¨

angen der Differenzvektoren zu allen anderen Punkten aus der gleichen Verteilung, d. h. vom gleichen

Standpunkt aufgenommene Ebenen, enthalten sind. Die ¨

Ahnlichkeit von zwei Differenzvektoren ist durch

dminij =nmij =min |di| − | dj|falls mij <0,05

2,0 sonst (3.24)

definiert, wobei 0 die maximale ¨

Ubereinstimmung kennzeichnet. Von der k¨

urzeren Liste ausgehend (n≤m)

wird f¨

ur jeden Differenzvektor dider ¨

ahnlichste Kandidat djmit der kleinsten L¨

angendifferenz gesucht und

dabei ein maximaler Unterschied von f¨

unf Prozent toleriert. Der empirisch gefundene Schwellwert wurde dabei

aus unterschiedlichen Testdatens¨

atzen abgeleitet.

Schließlich werden zwei Normalenvektoren einander zugeordnet, wenn die Listen mit den Vektordifferenzbe-

tr¨

agen m¨

oglichst gut ¨

ubereinstimmen. Dazu kann das folgende G¨

utekriterium formuliert werden:

ε=

i,j=1

dminij .(3.25)

Der Algorithmus funktioniert bei den verwendeten Testdatens¨

atzen3besonders gut, wenn die gleiche Anzahl

an Ebenen verwendet werden und die Zuordnungen eindeutig sind. Allerdings reduziert sich die Erfolgsquote,

wenn in den eingehenden Vektorb¨

uscheln unterschiedlich viele Normalenvektoren vorhanden sind. Hier erfolgte

die Zuordnung mitunter falsch, d. h. in den untersuchten Datens¨

atzen wurden teilweise Normalenvektoren aus

der ersten Menge einem nicht korrespondierenden Normalenvektor der anderen Menge zugeordnet. Experi-

mentelle Untersuchungen mit den beschriebenen Datens¨

atzen haben ergeben, dass der Anteil dieser Ausreißer

zwischen 5 und 10% liegt.

Diese Erfolgsquote w¨

urde in den beschriebenen Datens¨

atzen ausreichen, eine Zuordnung und somit eine Ori-

entierung der beiden Normalenvektorenb¨

uschel vorzunehmen. Die Datens¨

atze in diesem Beispiel sind jedoch

sehr homogen, frei von groben Fehlern und die Parametersch¨

atzung f¨

ur die Ebenen erfolgte aus ca. 150 Punk-

ten. Unter realistischen Bedingungen kann aber der Fall eintreten, dass aufgrund von Abschattungen und

3Die Testdatens¨

atze bestehen aus 3 ×15 Ebenen und 1 ×14 Ebenen, die im Rahmen der in Kapitel 5.5 entwickelten Kalibrier-

strategie verwendet werden.

3.4. Zuordnung von homologen Ebenen 41

Einheitskugel, = 1r

d12

d13

d14

d15

Abb. 3.12: Beispiel eines B¨

uschels mit n= 5 Normalenvektoren. Dargestellt sind die Schnittpunkte Pider

Normalenvektoren mit der Einheitskugel und die Differenzvektoren d1izwischen den Normalenvek-

toren ausgehend von Punkt P1.

Teilverdeckungen in den Originaldaten oder aufgrund der Entfernung zum Objekt die Parameterbestimmung

homologer Ebenen mit einer geringeren Anzahl von Beobachtungen durchgef¨

uhrt werden muss. Desweiteren

k¨

onnen im Datenmaterial trotz Fehlereliminierung noch grobe Fehler enthalten sein oder Effekte – beispielsweise

aufgrund einer ungen¨

ugenden Bestimmung systematisch wirkender Fehleranteile – verf¨

alschen das Ergebnis zu-

s¨

atzlich. Aus diesem Grund k¨

onnte die oben beschriebene Methode als gen¨

aherte Zuordnungshypothese f¨

ur eine

nachgeschaltete Optimierung betrachtet werden.

Aufgrund der Struktur der Normalenvektoren ist eine Transformation in homogene Koordinaten sehr einfach

m¨

oglich, da sich Normalenvektoren im euklidischen Raum nur durch eine Skalierung von homogenen Koordinaten

in der projektiven Ebene unterscheiden und Vorteile bei der weiteren Berechnung bieten. Aus diesem Grund

werden zun¨

achst die Grundlagen der projektiven Geometrie und homogene Koordinaten eingef¨

uhrt.

Homogene Koordinaten

Durch den Einsatz von homogenen Koordinaten werden Darstellungen von r¨

aumlichen Beziehungen vereinfacht

und sie erm¨

oglichen eine einheitliche Behandlung der einzelnen Transformationsschritte Skalierung, Rotation und

Translation durch Matrizenoperationen. Homogene Koordinaten werden als Erweiterung der k-dimensionalen

euklidischen Koordinaten um einen homogenen Anteil verstanden [Faugeras und Luong, 2001]. Die homoge-

nen Koordinaten werden aus den euklidischen Koordinaten durch Hinzuf¨

ugen einer zus¨

atzlichen Komponente

und einem Skalierungsfaktor abgeleitet, der in seiner Wahl frei ist unter der Einschr¨

ankung λ6= 0. F¨

ur den

projektiven Raum Pkgilt

(x1, . . . , xk,1)T

homo =λ(x0

1, . . . , x0

k,1)T

homo ,f¨

ur alle λ6= 0,(3.26)

d. h. x= (x1, . . . , xk,1)T

homo und x0= (x0

1, . . . , x0

k,1)T

homo repr¨

asentieren das gleiche Objekt. Im Rkwerden

homogene Koordinaten korrespondierend zu den euklidische Koordinaten definiert:

(x1, . . . , xk)T

eukl →(x1, . . . , xk,1)T

homo .(3.27)

Die Transformation von homogenen Koordinaten zur¨

uck in euklidische Koordinaten l¨

asst sich durchf¨

uhren,

indem alle Elemente des Vektors durch die letzte Komponente geteilt werden:

(x1, . . . , xk, xk+1)T

homo →x1

xk+1

, . . . , xk

xk+1 T

eukl

,f¨

ur xk+1 6= 0 .(3.28)

42 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

Die homogene Repr¨

asentation eines euklidischen Bildpunktes (x, y)Tin der projektiven Ebene P2ist nach dem

oben eingef¨

uhrten k-dimensionalen Fall durch den 3-Vektor

x=λ(x, y, 1)T= (u, v, w)T(3.29)

gegeben, indem nicht alle Elemente 0 sein d¨

urfen. Das Element wwird als homogener Anteil bezeichnet. Die

Berechnung der euklidischen Koordinaten aus den homogenen Koordinaten ist folgendermaßen definiert:

x=u

wund y=v

wf¨

ur w6= 0 .(3.30)

Analog l¨

asst sich ein euklidischer Objektpunkt (x, y, z)Tin homogenen Koordinaten durch

x=λ(x, y, z, 1)T= (u, v, w, t)T(3.31)

darstellen. Die R¨

ucktransformation aus dem projektiven Raum P3l¨

asst sich mit

x=u

t, y =v

tund z=w

tf¨

ur t6= 0 (3.32)

realisieren.

Durch die Einf¨

uhrung von homogenen Koordinaten ist es nunmehr m¨

oglich, das wesentliche Konzept der pro-

jektiven Geometrie zu nutzen, Abbildungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten zu definieren. Die

allgemeine lineare Transformation homogener Koordinaten in der projektiven Ebene P2l¨

asst sich durch

x0=Mx (3.33)

formulieren, mit Mals Abbildungs- oder Transformationsmatrix. Der Aufbau und die Besetzung der Elemente

der Abbildungsmatrix Mist abh¨

angig von der Art der Transformation, f¨

ur die die Matrix Mbenutzt wird.

Eine Translation um die Koordinatenwerte txund tyerfolgt mit der Abbildungsmatrix

M1=



1 0 tx

0 1 ty

0 0 1 

.(3.34)

Eine Skalierung oder Spiegelung der Koordinaten mit den Faktoren sxund sywird durch die Abbildungsmatrix

M2=



sx0 0

0sy0

0 0 1 

(3.35)

herbeigef¨

uhrt und eine Rotation um den Winkel αerfolgt mit der Abbildung

M3=



cos αsin α0

−sin αcos α0

0 0 1 

.(3.36)

Eine Verkettung mehrerer Transformationen erfolgt unter Ber¨

ucksichtigung der Reihenfolge durch eine Links-

multiplikation mit den einzelnen Abbildungsmatrizen

x0=Mx =M3M2M1x.(3.37)

Eine R¨

ucktransformation ist m¨

oglich durch

x=M−1x0=M−1

1M−1

2M−1

3x0.(3.38)

Eine Verallgemeinerung der genannten Formeln auf den dreidimensionalen Fall ist durch einfaches Einf¨

uhren

einer vierten Komponente m¨

oglich. Die Formeln gelten dann auch im P3.

Projektive Transformationen lassen sich unter Anwendung der Direkten Linearen Transformation (DLT)

l¨

osen. Der Ansatz der DLT erm¨

oglicht die Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen (z. B. Bild-

und Objektkoordinatensystem) in einem linearen Gleichungssystem [Abdel-Aziz und Karara, 1971]. Die DLT

ben¨

otigt keine initialen Startwerte f¨

ur die Sch¨

atzung der Parameter und wird h¨

aufig bei der Kalibrierung von

Kameras oder der N¨

aherungswertbestimmung im Zuge einer B¨

undeltriangulation verwendet [Luhmann, 2003].

3.4. Zuordnung von homologen Ebenen 43

Abb. 3.13: Darstellung der Normalenvektoren in der projektiven Ebene P2(Ausschnitt) - es erscheint offen-

sichtlich, dass es sich bei der gesuchten Transformation um eine Rotation handelt. Auf die Angabe

der Skalierung wird verzichtet, da nur die Bedingung λ6= 0 gilt.

Homographie

Eine Homographie bezeichnet eine allgemeine projektive Transformation, die linear in homogenen Koordinaten

und zudem invertierbar ist [Forsyth und Ponce, 2003]. Im projektiven Raum Pkl¨

asst sich eine Homographie

durch eine (k+ 1) ×(k+ 1) homogene Matrix Hdarstellen, die bis auf einen Skalierungsfaktor vollst¨

andig

definiert ist, so dass x0=Hx gilt. Aus dem k-dimensionalen Fall l¨

asst sich die Homographie in der projektiven

Ebene P2und im projektiven Raum P3ohne weiteres ableiten. Zur Berechnung einer Homographie wird die in

[Hartley und Zisserman, 2001] beschriebene Vorgehensweise benutzt. Die 3 ×3 – Homographiematrix Hsoll

f¨

ur n≥4 homologe Bildpunkte xi↔x0

ibestimmt werden, so dass x0

i=Hxigilt. Um eine eindeutige L¨

osung

zu erhalten, d¨

urfen die Punkte jedoch nicht kolliniear sein. Die Bildpunkte werden in einem ersten Schritt in

homogene Koordinaten transformiert, vgl. auch Abbildung 3.13, und anschließend normiert. Die Normierung

xi→ˆ

xi, die zu numerisch stabileren Ergebnissen f¨

uhrt [Rodehorst, 2004], erfolgt durch eine Schwerpunktreduk-

tion und Skalierung dahingehend, dass der durchschnittliche Abstand vom Koordinatenursprung √2 betr¨

agt.

Die Normierung muss unabh¨

angig auch f¨

ur das zweite Bildpaar x0

i→ˆ

iberechnet werden. F¨

ur jedes normierte

Bildpunktpaar ˆ

xi↔ˆ

iwerden die beiden Zeilen der Teilmatrix

Ai=ˆw0

iˆ

i0−ˆx0

iˆ

0ˆw0

iˆ

i−ˆy0

iˆ

i(3.39)

aufgestellt und in einer gemeinsamen 2n×9 großen Designmatrix Azusammengef¨

ugt. Das lineare homogene

Gleichungssystem

A h =0mit h= (h1, . . . , h9)T(3.40)

l¨

asst sich f¨

ur n≥4 Korrespondenzen durch eine spektrale Zerlegung der Designmatrix Aund die anschließende

Bestimmung des Eigenvektors, der dem kleinsten Eigenwert entspricht, l¨

osen. Der L¨

osungsvektor henth¨

alt die

Elemente der Matrix

H=



h1h2h3

h4h5h6

h7h8h9

,(3.41)

bei der, um f¨

ur die urspr¨

unglichen Koordinaten eingesetzt werden zu k¨

onnen, die Normierung ˆ

H→Hwieder

r¨

uckg¨

angig gemacht werden muss.

Im vorliegenden Anwendungsbeispiel der Zuordnung von homologen Ebenen wird die Homographie mit der

eindeutigen, d. h. minimalen Anzahl an Beobachtungen (n= 4) eingesetzt, siehe auch Abbildung 3.14. Da

44 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

xx’

Abb. 3.14: Darstellung der Homographie in der projektiven Ebene P2.

jedoch in den allermeisten F¨

allen mehr als 4 Ebenen, respektive Normalenvektoren vorliegen, gibt es mehr M¨

og-

lichkeiten an Zuordnungen als die zur L¨

osung der Homographie ben¨

otigte Minimalanzahl. Um dem Verfahren

die n¨

otige Robustheit zu verleihen, trotz mehrerer Zuordnungsfehler die Identit¨

aten der Ebenen bereitzustellen,

eignen sich, in Verbindung mit der Berechnung der Homographie, automatische Suchstrategien. Dabei muss die

Identifizierung und Eliminierung von so genannten Hebelpunkten, d. h. von Beobachtungsgr¨

oßen, die deutlich

von der geometrischen Anordnung der anderen Beobachtungen entfernt liegen und einen erheblichen Einfluss

auf die Parametersch¨

atzung haben [Niemeier, 2002], m¨

oglich sein.

RANSAC

Bei der L¨

osung von Korrespondenzproblemen hat sich der Einsatz der RANSAC-Methode (RANdom SAmpling

Consensus) bew¨

ahrt. [Fischler und Bolles, 1981] zeigen in einem einfachen Beispiel, dass ein grober Fehler im

Beobachtungsmaterial die Parametersch¨

atzung derart verf¨

alscht, dass eine korrekte L¨

osung nicht gefunden wer-

den kann, wenn die Eliminierung von groben Fehlern allein auf der Basis von Verbesserungen stattfindet. Aus

diesem Grund wird im genannten Ansatz die initiale Parametersch¨

atzung nicht mit allen Beobachtungen durch-

gef¨

uhrt, sondern nur mit der kleinstm¨

oglichen Anzahl an Beobachtungen, die eine Sch¨

atzung der unbekannten

Parameter zul¨

asst. In einem zweiten Schritt wird die Anzahl der Beobachtungen ermittelt, die diese L¨

osung

best¨

atigen. Die Auswahl der Initialisierungsparameter und die Berechnung der gesuchten Parameter erfolgen

nach einem Zufallsprinzip und werden mehrmals wiederholt. Als die korrekte L¨

osung wird diejenige L¨

osung

akzeptiert, die die gr¨

oßtm¨

ogliche Anzahl vertr¨

aglicher Beobachtungen enth¨

alt. Das beschriebene Vorgehen ist

jedoch sehr rechenintensiv, da die maximale Anzahl der zu berechnenden Kombinationen f¨

ur nBeobachtungen

und uunbekannten Parametern sich durch

n

u=n!

(n−u)! u!(3.42)

ergibt, d. h. nur beim Durchlaufen aller M¨

oglichkeiten ist auch die korrekte L¨

osung in der L¨

osungsmenge

enthalten. Eine Optimierung des Verfahrens f¨

uhrt zum als GASAC bezeichneten Algorithmus.

GASAC

GASAC (Genetic Algorithm SAmpling Consensus) [Rodehorst, 2004] ist eine Modifizierung des RANSAC-

Algorithmus in der Art, dass nach einer willk¨

urlichen Initialisierungsauswahl und Sch¨

atzung der Parameter

mehrere Minimall¨

osungen berechnet und bewertet werden. Durch den Einsatz von genetischen Operatoren las-

sen sich bereits als gut detektierte L¨

osungen heranziehen, um aus diesen noch bessere L¨

osungen zu generieren.

Zu den eingesetzten genetischen Operatoren geh¨

oren ¨

Uberkreuzungen (cross-over), d. h. eine ver¨

anderte Kom-

bination von erfolgreichen Beobachtungen, und Mutationen, bei denen durch zuf¨

alliges Hinzuf¨

ugen von neuen

Beobachtungen die Gefahr des Verharrens in einem suboptimalen Minimum verhindert wird. Das zuf¨

allige Pro-

bieren des RANSAC-Algorithmus wird mit diesem Vorgehen durch ein weitestgehend systematisches Probieren

verbessert. [Rodehorst, 2004] zeigt, dass bei gleichem Ausgangsmaterial mit der GASAC-Methode schnellere

und effizientere Sch¨

atzungen berechnet werden.

Numerisches Beispiel

Um die Leistungsf¨

ahigkeit des vorgestellten Verfahrens zu veranschaulichen, wird ein numerisches Beispiel an-

hand zweier Datens¨

atze vorgestellt. Die Datens¨

atze enthalten die Normalenvektoren der extrahierten Ebenen

von zwei Instrumentenstandpunkten und bestehen aus 14 bzw. 8 Normalenvektoren.

3.4. Zuordnung von homologen Ebenen 45

→Koordinaten der Normalenvektoren:

Datensatz A (n = 8): Datensatz B (m = 14):

Nr. x y z Nr. x y z

01 0.637219 0.265086 -0.723658 01 0.305102 0.618729 -0.723938

02 0.928176 0.372040 0.008711 02 0.327211 0.643650 0.691844

03 0.250540 -0.624884 -0.739425 03 0.455403 0.890255 0.007328

04 0.378366 -0.925645 0.004540 04 0.947520 0.275417 -0.162333

05 -0.645287 -0.259852 -0.718388 05 0.601416 -0.307266 -0.737486

06 -0.374459 0.927243 0.001188 06 0.639334 -0.329550 0.694729

07 -0.166914 0.448232 -0.878196 07 0.892513 -0.450994 0.005040

08 -0.000505 -0.030368 -0.999539 08 -0.332289 -0.641962 0.690991

09 -0.318505 -0.621475 -0.715768

10 -0.454026 -0.890980 0.003977

11 -0.374111 0.177445 -0.910250

12 -0.421463 0.230289 -0.877118

13 0.000271 -0.002596 0.999997

14 0.020395 -0.022319 -0.999543

→Listen der Differenzvektoren (Betr¨age, nach L¨ange sortiert):

Datensatz A:

01: 1.420 1.410 1.386 0.970 0.839 0.795 0.755

02: 1.845 1.429 1.419 1.416 1.411 1.409 0.795

03: 1.830 1.419 1.160 0.970 0.968 0.813 0.696

04: 2.000 1.722 1.420 1.419 1.409 1.398 0.813

05: 1.845 1.419 1.414 1.386 0.968 0.869 0.740

06: 2.000 1.830 1.435 1.416 1.414 1.410 1.023

07: 1.722 1.411 1.160 1.023 0.869 0.839 0.521

08: 1.435 1.429 1.398 0.755 0.740 0.696 0.521

Datensatz B:

01: 1.999 1.858 1.840 1.739 1.422 1.416 1.388 0.972 0.920 0.838 0.831 0.794 0.754

02: 2.000 1.854 1.843 1.810 1.787 1.739 1.445 1.416 1.411 1.118 1.022 0.787 0.739

03: 2.000 1.854 1.846 1.428 1.427 1.418 1.412 1.411 1.411 1.410 0.806 0.794 0.739

04: 1.831 1.791 1.647 1.545 1.525 1.522 1.284 1.118 1.093 0.920 0.889 0.806 0.747

05: 1.864 1.739 1.739 1.433 1.418 1.416 1.164 1.103 0.972 0.972 0.889 0.810 0.698

06: 1.977 1.965 1.830 1.739 1.730 1.433 1.412 1.410 1.093 1.022 1.021 0.780 0.745

07: 1.723 1.684 1.422 1.420 1.417 1.417 1.411 1.411 1.410 1.398 0.810 0.747 0.745

08: 1.999 1.854 1.835 1.799 1.797 1.791 1.739 1.445 1.417 1.407 1.021 0.784 0.741

09: 2.000 1.852 1.846 1.730 1.647 1.420 1.407 1.388 0.972 0.873 0.824 0.780 0.745

10: 2.000 1.854 1.840 1.831 1.426 1.417 1.416 1.410 1.410 1.410 1.408 0.780 0.741

11: 1.965 1.955 1.810 1.799 1.684 1.522 1.428 1.408 1.103 0.831 0.824 0.451 0.078

12: 1.977 1.938 1.797 1.787 1.723 1.545 1.426 1.410 1.164 0.873 0.838 0.523 0.078

13: 2.000 1.955 1.938 1.864 1.858 1.852 1.525 1.411 1.410 1.410 0.787 0.784 0.780

14: 2.000 1.843 1.835 1.830 1.427 1.410 1.398 1.284 0.754 0.745 0.698 0.523 0.451

→Zuordnungshypothesen:

A 01: 1.420 1.410 1.386 0.970 0.839 0.795 0.755

B 01: 1.422 1.416 1.388 0.972 0.838 0.794 0.754

dmin: 0.002 2.000 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 = 2.010 (richtig)

A 02: 1.845 1.429 1.419 1.416 1.411 1.409 0.795

B 03: 1.846 1.428 1.418 1.418 1.411 1.410 0.794

dmin: 0.001 0.001 0.001 0.002 0.000 0.001 0.001 = 0.006 (richtig)

A 03: 1.830 1.419 1.160 0.970 0.968 0.813 0.696

B 05: 1.864 1.418 1.164 0.972 0.972 0.810 0.698

dmin: 2.000 0.001 0.004 0.002 0.004 0.003 0.002 = 2.016 (richtig)

A 04: 2.000 1.722 1.420 1.419 1.409 1.398 0.813

B 07: 1.723 1.723 1.420 1.420 1.410 1.398 0.810

dmin: 2.000 0.001 0.000 0.001 0.000 0.000 0.002 = 2.004 (richtig)

A 05: 1.845 1.419 1.414 1.386 0.968 0.869 0.740

B 09: 1.846 1.420 1.420 1.388 0.972 0.873 0.745

dmin: 0.001 0.001 2.000 0.002 0.005 0.004 0.005 = 2.017 (richtig)

A 06: 2.000 1.830 1.435 1.416 1.414 1.410 1.023

B 06: 1.977 1.830 1.433 1.412 1.412 1.410 1.022

dmin: 2.000 0.000 0.002 0.004 0.002 0.000 0.001 = 2.009 (falsch)

46 3. Messdatenverarbeitung und Ableitung strukturierter Geometriedaten

A 07: 1.722 1.411 1.160 1.023 0.869 0.839 0.521

B 12: 1.723 1.410 1.164 1.164 0.873 0.838 0.523

dmin: 0.001 0.002 0.004 2.000 0.004 0.001 0.002 = 2.014 (richtig)

A 08: 1.435 1.429 1.398 0.755 0.740 0.696 0.521

B 14: 1.427 1.427 1.398 0.754 0.745 0.698 0.523

dmin: 2.000 0.002 0.000 0.001 0.005 0.002 0.002 = 2.013 (richtig)

→Berechnung der projektiven Transformation in der Ebene:

Homographie aus allen Zuordnungen:

| 1.54234 -1.28541 0.35100 |

H = | 1.39346 1.54552 0.14501 |

| 0.01055 -0.00056 1.00000 |

Geometrischer Fehler: d(x’, H x)^2 + d(x, H^-1 x’)^2:

Min: 0.000022 Max: 4.140988 Sum: 10.877793 Ave: 1.359724

(mit d als euklidischer Abstand in der projektiven Ebene)

Robuste Homographie mit GASAC:

| 0.75523 -0.65818 0.00076 |

H = | 0.65716 0.75720 -0.00028 |

| 0.00002 -0.00001 1.00000 |

Geometrischer Fehler: d(x’, H x)^2 + d(x, H^-1 x’)^2:

Min: 0.000000 Max: 0.000014 Sum: 0.000040 Ave: 0.000006

(mit d als euklidischer Abstand in der projektiven Ebene)

3.5 Diskussion

In diesem Kapitel wurde der automatisierte Ablauf bei der Auswertung von Datens¨

atzen scannender Messinstru-

mente gezeigt. Aufgrund der Datenmengen bei der Messdatenerfassung mit scannenden Systemen kommt diesem

Schritt der Parametrisierung ein hoher Stellenwert zu. Die automatische Ableitung von geometrischen Primiti-

ven aus Punktwolken als erste Schritt der Auswertung wurde am Beispiel von Ebenen erfolgreich umgesetzt und

die beschreibenden Parameter des strukturierten Geometrieelements werden f¨

ur anschließende Bearbeitungen

aufbereitet.

Des Weiteren wurde ein Verfahrensvorschlag unterbreitet, die bisher manuell vorgenommene Zuordnung von

identischen Ebenen auf unterschiedlichen Instrumentenstandpunkten in einem automatischen Prozess ablaufen

zu lassen. Dabei wurde ein robustes Verfahren entwickelt, das unempfindlich gegen Ausreißer im Datenma-

terial ist und mit den vorliegenden Daten sehr gute Ergebnisse liefert. Sollten die Zuordnungsprobleme an

Komplexit¨

at gewinnen, k¨

onnen die Suchstrategien mit verschiedenen Ans¨

atzen aus dem Bereich der K¨

unstliche

Intelligenz optimiert werden [Russell und Norvig, 2003]. Die sehr aufw¨

andig zu implementierenden Verfahren,

wie Suchb¨

aume und Graphenmatching in Kombination mit heuristischen Verfahren sind jedoch zur Zeit si-

cherlich ¨

uberdimensioniert zur L¨

osung des einfachen Zuordnungsproblems homologer Ebenen. Das vorgestellte

Verfahren liefert f¨

ur die typischen Datens¨

atze hinreichend gute Ergebnisse. Aufgrund der Automatisierung des

Arbeitsablaufes in diesem Teil der Auswertung scannender Messverfahren kann der zeitliche Aufwand verringert

werden und eventuelle Fehler bei der manuellen Zuordnung durch den menschlichen Bearbeiter lassen sich auf

ein Minimum reduzieren.

Trotz alledem empfiehlt sich die visuelle Kontrolle der extrahierten geometrischen Primitiven, besonders

unter der Maßgabe, dass diese attributierten Objekte in einem weiteren Auswerteschritt ben¨

otigt werden. Die

Nutzung der in diesem Kapitel bereitgestellten Informationen ¨

uber die Identit¨

aten von Ebenen lassen sich im

weiteren Bearbeitungsablauf dazu verwenden, die ben¨

otigten Transformationen auch zwischen mehr als zwei

verschiedenen Aufnahmestandpunkten durchzuf¨

uhren.

4 Standpunktverkn¨

upfungen

Die origin¨

aren Messelemente Horizontalrichtung φ, Zenitdistanz Θ und die Schr¨

agstrecke Seines polar messen-

den Instrumentes, aber auch die abgeleiteten Gr¨

oßen (meist dreidimensionale kartesische Koordinaten) liegen in

lokalen Koordinatensystemen vor, dessen Nullpunkte jeweils im Instrumentenzentrum der verwendeten polaren

Messsysteme liegen. Wie bereits in Kapitel 2 beschrieben, ist der Nullpunkt im Schnittpunkt der drei Haupt-

achsen des Instrumentes definiert. Diese Festlegung trifft generell f¨

ur alle polaren Messinstrumente zu bzw. ist

durch geeignete Kalibrieranordnungen zu ¨

uberpr¨

ufen. Bei Nichteinhaltung dieser Bedingung sind die Messwerte,

in Abh¨

angigkeit von der Gr¨

oßenordnung der Instrumentenfehler und vom angestrebten Genauigkeitsniveau f¨

die Auswertungen der Messdaten, um die Kalibrierwerte rechnerisch zu korrigieren.

Zur Auswertung der aufgenommenen Daten ist es erforderlich, die lokalen Standpunktsysteme zu verein-

heitlichen, was im Folgenden als Standpunktverkn¨

upfung1bezeichnet werden soll. Das Zusammenf¨

uhren ver-

schiedener Instrumentenstandpunkte (Aufnahmestandpunkte) wird n¨

otig, wenn von einem Standpunkt nicht

die gesamte Szenerie erfasst werden konnte, die bei der Modellierung auch komplexerer Objektstrukturen von

Interesse ist. Der Grund f¨

ur diesen Informationsverlust k¨

onnen Hindernisse, Objektverschneidungen aber auch

Schattenwurf oder Verdeckungen durch andere Objekte oder Objektteile sein. Deshalb werden komplexe Ob-

jekte analog zum Vorgehen bei der photogrammetrischen Aufnahme eines Rundum-Verbandes von mehreren

Standpunkten aus aufgenommen.

Xglo

Aufnahmebereich (Grundriss)

Yglo

Zglo

Abb. 4.1: Informationsverluste durch Abschattungen und Hinterschneidungen bei der Datenaufnahme im je-

weiligen lokalen Instrumentenkoordinatensystem (Grundriss).

Um die erforderlichen Standpunktverkn¨

upfungen durchf¨

uhren zu k¨

onnen, sind die relativen Beziehungen

der lokalen Systeme zueinander zu bestimmen. Die Transformation, abh¨

angig von der jeweiligen Aufgabenstel-

lung, kann in ein einheitliches lokales Koordinatensystem, aber auch in ein Weltkoordinatensystem2erfolgen.

Die Festlegung eines lokalen Anwendungskoordinatensystems obliegt dem Nutzer, der z. B. definiert, dass alle

lokalen Instrumentenstandpunkte auf einen frei w¨

ahlbaren, jedoch gemeinsamen Instrumentenstandpunkt be-

zogen werden. Eine nachtr¨

agliche Transformation des einheitlichen lokalen Anwenderkoordinatensystems in ein

ubergeordnetes Koordinatensystem ist dann leicht m¨

oglich.

In diesem Kapitel werden zun¨

achst die mathematischen Grundlagen von Transformationen eingef¨

uhrt, auf

deren Prinzip die herk¨

ommlichen Transformationsvorschriften beruhen. Neben der Vorstellung der in der Praxis

1In der englischsprachigen Literatur wird der Begriff registration verwendet.

2Wird auf Koordinaten transformiert, die in einem Koordinatensystem vorliegen, das ¨

uber r¨

aumliche Referenzinformationen

verf¨

ugt, spricht man auch von Georeferenzierung.

48 4. Standpunktverkn¨

upfungen

weit verbreiteten Verfahren zur ¨

Uberf¨

uhrung von lokalen Koordinatensystemen in ein globales Koordinatensys-

tem wird ein Verfahren vorgeschlagen, welches sich identischer Ebenen bedient und in der Lage ist, beliebig

viele lokale Koordinatensysteme simultan in ein ¨

ubergeordnetes Koordinatensystem zu transformieren.

4.1 Mathematische Grundlagen

4.1.1 Koordinatentransformation

Unter einer Koordinatentransformation versteht man die Abbildung zweier ebener (2D) bzw. r¨

aumlicher (3D)

Koordinatensysteme aufeinander. Der am weitesten verbreitete Ansatz zur Transformation im dreidimensiona-

len Raum ist die r¨

aumliche ¨

Ahnlichkeitstransformation, auch 3D-Helmert-Transformation genannt. Bei dieser

formtreuen Abbildung eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems in ein entsprechendes Zielsy-

stem k¨

onnen beide Systeme beliebig im Raum verschoben sowie gegeneinander gedreht sein und sich durch einen

Skalierungsfaktor unterscheiden. Folgende Transformationsvorschrift kommt zur Anwendung [Luhmann, 2003]:

X=XS+m·R·x.(4.1)

Umgeformt in Matrizenschreibweise ergibt sich:





Z

=



ZS

+m



r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33 





z

.(4.2)

In Gleichung 4.1 werden die globalen Koordinaten (Zielsystem) durch Xbeschrieben, xkennzeichnet die lokalen

Koordinaten (Ausgangssystem), Rist die (meist orthonormale) Rotationsmatrix, mder optionale Skalierungs-

faktor und XSder Translationsvektor. Die r¨

aumliche ¨

Ahnlichkeitstransformation wird somit durch sieben Pa-

rameter beschrieben. Um das System eindeutig l¨

osen zu k¨

onnen, sind somit sieben Beobachtungen notwendig,

die unter Nutzung von identischen Punkten aus den Koordinaten von mindestens drei r¨

aumlich verteilten Pass-

punkten entnommen werden. Die Berechnung der Transformationsparameter erfolgt durch eine Ausgleichung

im linearisierten Gauß-Markov-Modell, wobei hinreichend genaue N¨

aherungsparameter bestimmt werden

m¨

ussen. Wie sp¨

ater noch gezeigt wird, gelingt dies auf elegante Weise durch die Einf¨

uhrung von Quaternionen.

4.1.2 Translation

Die Translation ist die am einfachsten ersichtliche Art unter den Transformationen. Ein Punkt im Raum wird

von einer Position zu einer anderen bewegt. Ist P∈R3beschrieben durch pT= [px, py, pz], mit x, y, z ∈R

und ein Translationsvektor tgegeben durch tT= [tx, ty, tz], so wird die neue Position P0durch eine einfache

Addition bestimmt: P0=p+t. Diese Definition ist eindeutig, d. h. es existiert nur ein Translationsvektor, der

Pin P0transformiert.

4.1.3 Rotation

Unter einer Rotation versteht man allgemein die Drehbewegung eines Objektes um die Achsen eines Koordina-

tensystems, wobei die Rotationen um genau eine der Achsen im Allgemeinen als elementare Drehbewegungen

bezeichnet werden. Rotationen in 3D sind wesentlich komplexer als Translationen und setzen sich aus meh-

reren hintereinander geschalteten Elementardrehungen zusammen. Dies entspricht der Verkn¨

upfung mehrerer

Abbildungen und wird durch eine Multiplikation der jeweiligen Drehmatrizen erreicht.

Rotation mit Euler-Winkeln

Rotationen mittels Euler-Winkeln sind durch eine Rotation um jede der drei Koordinatenachsen gekenn-

zeichnet. Um diesen Rotationen Eindeutigkeit zu verleihen, ist es notwendig, die Reihenfolge der Rotationen

festzulegen. Eine Rotation in der Reihenfolge um die x-Achse mit dem Winkel α, um die y-Achse mit dem

Winkel β, gefolgt von einer Rotation um die z-Achse mit dem Winkel γl¨

asst sich in Matrizenschreibweise

4.1. Mathematische Grundlagen 49

folgendermaßen anschreiben [Weisstein, 1999]:

R(α, β, γ) = Rz(γ)Ry(β)Rx(α)

=



cos γ−sin γ0

sin γcos γ0

0 0 1 





cos β0 sin β

0 1 0

−sin β0 cos β





1 0 0

0 cos α−sin α

0 sin αcos α

(4.3)

=



cos βcos γsin αsin βcos γ−cos αsin γcos αsin βcos γ+ sin αsin γ

cos βsin γcos αcos γ+ sin αsin βsin γcos αsin βsin γ−sin αcos γ

−sin βsin αcos βcos αcos β

.

Bei der Nutzung von Euler-Winkeln treten mehrere Probleme auf. Neben dem so genannten ”Gimbal-

Lock“3treten Mehrdeutigkeiten4auf und die Reihenfolge der Einzelrotationen ist nicht beliebig. Desweiteren

sind die in der Matrix Renthaltenen Informationen redundant, d. h. es werden 9 Elemente zu Beschreibung von

3 Freiheitsgraden ben¨

otigt und die Orthogonalit¨

at muss durch 6 Bedingungen ¨

uberpr¨

uft werden [Kraus, 1994].

Rotation mit Quaternionen

Quaternionenrotationen stellen eine alternative Form f¨

ur Rotationsoperatoren dar und unterscheiden sich we-

sentlich von den bekannten Rotationen mittels Rotationsmatrizen [Kuipers, 2002]. Quaternionen stellen eine

Erweiterung der komplexen Zahlen dar und werden als komplexe Zahl mit einem Realteil q0und drei Imagin¨

ar-

teilen qx,qyund qzzu

q=q0+iqx+jqy+kqz(4.4)

oder als ein vierdimensionaler Vektor mit den Komponenten q0, qx, qyund qzdefiniert. ¨

Ublich ist auch die

Schreibweise

q=

q0,



qz



= [s, v],f¨

ur s∈R,v∈R3(4.5)

mit einem Skalarteil sund dem dreidimensionalen Vektor v. Quaternionen werden im weiteren Verlauf der

Arbeit analog zu Vektoren bezeichnet, eine Abgrenzung zu Vektoren ergibt sich aus dem Kontext.

Die geometrische Verdeutlichung eines Rotationsquaternions ist durch Abbildung 4.2 gegeben. Die Re-

chenregeln f¨

ur Quaternionen sind sehr ¨

ahnlich zu denen der komplexen Zahlen. Besonderheiten ergeben sich

hinsichtlich der Kommutativit¨

at und der Verrechnung der Imagin¨

arteile untereinander. F¨

ur weitergehende In-

formationen siehe [Dam u. a., 1998] und [Mikhail u. a., 2001]. An dieser Stelle sollen nur die Regeln aufgef¨

uhrt

werden, die im Rahmen dieser Arbeit ben¨

otigt werden.

Abb. 4.2: Geometrische Anschauung Quaternion.

Das innere Produkt und die Norm von Quaternionen sind definiert als

q1·q2=s1s2+v1·v2und

kqk=√q·q=qq2

0+q2

x+q2

y+q2

z.(4.6)

3Verlust eines Freiheitsgrades der Matrix Rdurch gegenseitige Beeinflussung der Euler-Winkel.

4Verschiedene Rotationen beschreiben dieselbe Orientierung.

50 4. Standpunktverkn¨

upfungen

Die Multiplikation von Quaternionen ist beschrieben durch:

q1q2= [s1s2−v1v2,[v1×v2+s1v2+s2v1]]T.(4.7)

Die Konjugierte q∗eines Quaternions qist folgendermaßen definiert:

q∗= [s, −v]∗= [s, −v].(4.8)

Die Inverse eines Quaternions berechnet sich zu:

q−1=q∗

kqk2.(4.9)

Daraus wird ersichtlich, dass die Inverse des Einheitsquaternions gleich der Konjugierten des Quaternions ist.

Die Rotation eines beliebigen Vektors x= (x, y, z)Tum eine Achse vmit dem Winkel ω, wie in Abbil-

dung 4.2 dargestellt, kann mit Hilfe eines Einheitsquaternions

q=hcos ω

2, sin ω

2vi(4.10)

beschrieben werden durch eine zweimalige nicht-kommutative Quaternionenmultiplikation

x0=q x q−1=q











q−1=QTQx,(4.11)

wobei der Vektor xum die skalare Komponente zu einem Quaternion erweitert wird und Qsowie Qdie zu q

korrespondierenden 4 ×4 Matrizen darstellen. Mit

QTQ=





q·q000

0q2

0+q2

x−q2

y−q2

z2(qxqy−qzq0) 2(qxqz+qyq0)

0 2(qxqy+qzq0)q2

0−q2

x+q2

y−q2

z2(qyqz−qxq0)

0 2(qxqz−qyq0) 2(qyqz+qxq0)q2

0−q2

x−q2

y+q2







(4.12)

l¨

asst sich nach [Horn, 1987] aus den Gleichungen (4.11) und (4.12) die korrespondierende orthonormale Rotati-

onsmatrix eines Einheitsquaternions ableiten. Unter der Annahme, dass qEinheitsquaternion sei, ist auch die

3×3 Submatrix R(q)orthonormal und ergibt sich folgendermaßen:

R(q)=



0+q2

x−q2

y−q2

z2(qxqy−qzq0) 2(qxqz+qyq0)

2(qxqy+qzq0)q2

0−q2

x+q2

y−q2

z2(qyqz−qxq0)

2(qxqz−qyq0) 2(qyqz+qxq0)q2

0−q2

x−q2

y+q2



.(4.13)

Auch der inverse Weg der Ableitung der Komponenten des Einheitsquaternions aus der Rotationsmatrix R(q)

ist auf dem Weg des Komponentenvergleichs der Elemente der Rotationsmatrix m¨

oglich [Horn, 1987].

Die Verwendung von Quaternionen f¨

ur die Beschreibung von Rotationen bietet gegen¨

uber herk¨

ommlichen Ro-

tationsmatrizen entscheidende Vorteile. Ein Vorzug ist die Verminderung der Anzahl der nichtlinearen Bedin-

gungsgleichungen. Bei der Rotation mit Quaternionen wird, im Gegensatz zu den sechs Bedingungsgleichungen

der Rotationsmatrix mittels Euler-Winkeln, nur die Bedingung gefordert, dass das Quaternion ein Einheits-

quaternion sein muss. So kann eine Rotation durch nur 4 Parameter beschrieben werden. Es verbleibt lediglich

ein Freiheitsgrad, der durch die Normierung des Quaternions beseitigt wird. Die resultierenden Bedingungs-

gleichungen sind bilinear, daher lassen sich die ausgeglichenen Parameter ohne Kenntnis von N¨

aherungswerten

berechnen. Erfahrungsgem¨

aß gen¨

ugt es, als Startwert ein Einheitsquaternion der folgenden Struktur vorzugeben:

q0=

qo,



qz



=

0,5,



0,5

0,5



.(4.14)

Ein weiterer Vorteil ist die effizientere Konkatenation (Verkettung) bei der Quaternionenrepr¨

asentation, was

beim Einsatz eines entsprechenden Algorithmus [Bobick, 1998] zu einer Ersparnis der entsprechenden Rechen-

operationen um den Faktor drei f¨

uhrt.

4.2. Verfahren zur Standpunktverkn¨

upfung 51

4.2 Verfahren zur Standpunktverkn¨

upfung

Zur L¨

osung des Verkn¨

upfungsproblems sind in der Literatur verschiedene Ans¨

atze diskutiert worden. Bei einigen

dieser Ans¨

atze besteht zur Zeit noch erheblicher Forschungsbedarf hinsichtlich Robustheit der Ans¨

atze und

Automatisierbarkeit in der Anwendung. In der Praxis haben sich einige Ans¨

atze etabliert, die abh¨

angig sind

vom jeweilig verwendeten Messinstrument und somit auch vom Hersteller der verwendeten Sensoren. Einen

generellen ¨

Uberblick ¨

uber die eingesetzten Verfahren gibt Abbildung 4.3.

Eine Unterteilung der Verfahren in die Begriffe Orientierung und Registrierung nehmen [Wendt und Weisen-

see, 2003] vor. Dabei unterscheiden sie einerseits die Verfahren, die aus den Daten Merkmale extrahieren und

diese Merkmale zur Transformation nutzen (Orientierung) und andererseits in die Verfahren, die ¨

uberlappende,

fl¨

achenhafte Bereiche der gesamten Datenmenge nutzen, um die relativen Beziehungen zwischen den Instrumen-

tenstandpunkten festzulegen (Registrierung).

Geodätische Einmes-

sung (Netzmessung)

Zwangszentrierung +

Orientierung

mittels

- Tachymeter

...

Zielmarken in der

Punktwolke

- Passkugeln

- retrorefl. Zieltafeln

- abgeleitete Merk-

male (Ebenen-

schnittpunkte)

...

Gesamte Oberfläche

selbst

- iterative closest

point (ICP) -

Verfahren

- abgeleitete

Verfahren

...

Merkmale in der

Punktwolke

- Ebenen

- Punkte (synthetisch

oder natürlich)

- Linien

-Regionen

...

Orientierung Registrierung

Abb. 4.3: Verfahren zur Verkn¨

upfung verschiedener Instrumentenstandpunkte, nach [Wendt und Weisensee,

2003] adaptiert.

4.2.1 Orientierung

Werden die Koordinaten des Instrumentes unter Nutzung von Reflektoren mit einem geod¨

atischen Verfahren,

z. B. durch Nutzung eines Tachymeters gemessen und gelingt es, das polar messende Instrument in Richtung ei-

nes Fernzieles auszurichten, so kann auf einfache Weise eine Transformation in das Anwenderkoordinatensystem

vorgenommen werden [Niemeier u. a., 2002]. Untersuchungen in [Buhrow, 2002] belegen f¨

ur das untersuchte

Messsystem I-Site5jedoch, dass durch eine mechanisch bedingte unzureichende Ausrichtung des ben¨

otigten

Zielfernrohres systematische Abweichungen in den Richtungswinkeln auftreten k¨

onnen und sich die ¨

außere Rich-

tungsgenauigkeit erheblich verschlechtert. Abh¨

angig von der gew¨

ahlten Aufgabenstellung und der damit ver-

bundenen Genauigkeitsanforderungen f¨

ur die abgeleiteten Zielgr¨

oßen ist das Verfahren der Verkn¨

upfung mittels

Zielfernrohr durch eines der nachfolgend genannten und genaueren Verfahren zu ersetzen.

Eine r¨

aumliche ¨

Ahnlichkeitstransformation (Helmert-Transformation) auf Grundlage von retroreflektieren-

den Zielmarken (tie points) zur Transformation von Messungen mehrerer Standpunkte wird u. a. in [Pfeifer u. a.,

2000] vorgestellt. Die Genauigkeit dieser Transformation ist abh¨

angig von der Detektierbarkeit und somit auch

von der Gr¨

oße der verwendeten Zielmarken, die jedoch in Bezug auf minimale Winkelaufl¨

osung, Laserstrahldi-

vergenz und der Entfernung des Sensors vom Zielzeichen wiederum abh¨

angt vom eingesetzten Instrument. Bei

diesem Verfahren ist die Genauigkeit der Transformation ebenfalls mit der Anzahl und der r¨

aumlichen Vertei-

lung der verwendeten Zielzeichen korreliert. Mehr als die drei zur eindeutigen Festlegung ben¨

otigten identischen

Punkte erh¨

ohen die Genauigkeit und Zuverl¨

assigkeit der Transformation, wobei analog zur Passpunktverteilung

in der Photogrammetrie eine ausgewogene, d. h. gleichm¨

aßige Verteilung der Zielzeichen im Messvolumen ge-

w¨

ahlt werden sollte. Durch Bildverarbeitungsoperationen (Ellipsenoperator) lassen sich die Mittelpunkte, der

durch eine partiell h¨

ohere Aufl¨

osung erfassten Zielzeichen, bestimmen. Nachteilig wirkt sich bei diesem Ver-

fahren jedoch aus, dass derzeit noch keine Aussage ¨

uber die Identit¨

at der Zielmarken getroffen werden kann,

5Das System der Firma I-Site basierte im Jahre 2002 auf einem Riegl LMS – Z210 Sensor mit aufgesetztem Zielfernrohr.

52 4. Standpunktverkn¨

upfungen

da nur die Lage der Zielzeichen automatisch detektiert werden kann. Eine Einmessung mit gleichzeitiger Be-

stimmung der Identit¨

at der Zielzeichen kann jedoch mit einem anderen geod¨

atischen Verfahren durchgef¨

uhrt

werden. Denkbar w¨

aren in diesem Zusammenhang beispielsweise die Tachymetrie oder die Kombination von

tachymetrischen Verfahren und, wenn m¨

oglich, differentiellem GPS [Riegl u. a., 2003].

Abb. 4.4: Unterschiedlich ausgebildete Zielzeichen zur Registrierung von Punktwolken und Markierung

von identischen Punkten: Targets (Durchmesser 15,2 cm und 7,6 cm ×7,6 cm) der Firma

Cyra/Leica Geosystems [Leica Geosystems, 2003] (links), Zielzeichen 11 cm ×16 cm der Firma

Zoller+Fr¨

ohlich (Mitte), sowie weiß lackierte Holzkugeln mit einem Durchmesser von 15,1 cm

(rechts) [Schulz und Ingensand, 2004a].

[Hovenbitzer, 2003] gelingt die Transformation bei einer Innenraumaufnahme ¨

uber identische Punkte, die

aus dem Schnitt von Ebenen abgeleitet wurden. Zur Bestimmung der Transformationsparameter zwischen zwei

Systemen wurden unter Nutzung von in der ¨

Ortlichkeit vorhandenen Objekten (Pfeiler, S¨

aulen und Tische) aus

den Messdaten Ebenen extrahiert. Der Schnitt dreier Ebenen liefert dann jeweils einen Passpunkt, wobei die

Korrespondenzen zwischen den Passpunkten in den verschiedenen Aufnahmen wieder manuell herzustellen sind.

Einen anderen Weg beschreitet [Kern, 2003], indem Polystyrol-Kugeln mit großem Durchmesser zur Verkn¨

up-

fung der Messdaten Verwendung finden. Die Passkugeln werden vollst¨

andig automatisiert aus den Punktwolken

der Laserscannerdaten extrahiert. Anschließend werden in einem gemeinsamen Ausgleichungsansatz, an dem

alle Kugeloberfl¨

achenpunkte teilnehmen, die Parameter der Passkugeln (Mittelpunkt und Radius) neben den

Transformationsparametern mitgesch¨

atzt. Vorteilhaft l¨

asst sich bei diesem Verfahren der Durchmesser der Ku-

geln variieren, mit der bei geeigneter Parametersch¨

atzung ¨

uber die Identit¨

aten der Verkn¨

upfungskugeln zwischen

den zu transformierenden Szenen verf¨

ugt werden kann. Als Nachteil wird dort festgehalten, dass die Kugeln sehr

groß und somit sehr unhandlich f¨

ur den praktischen Einsatz sind. Trotzdem hat sich das Verfahren der Orientie-

rung ¨

uber identische Kugeln und deren Mittelpunktskoordinaten als der zur Zeit ¨

ubliche Transformationsansatz

bei der praktischen Anwendung herauskristallisiert.

Eine weitere M¨

oglichkeit wird in [Kern, 2003] durch die Nutzung von Passebenen beschrieben, indem zu jeder

benutzten Passebene eine parallel verlaufende Ebene beschrieben durch den Abstand gesucht wird und sich im

Schnittpunkt dieser Ebenen der Standpunkt des Instrumentes im lokalen System befindet. Die Orientierung der

Systeme wird dann ¨

uber den Schnittwinkel der Normalenvektoren berechnet.

4.2.2 Registrierung

Neben diesen Verfahren, die sich auf (platzierte oder nat¨

urliche) Merkmale in der Punktwolke beziehen, exi-

stieren diejenigen Verfahren, die sich aus dem so genannten iterative closest point-Verfahren [Besl und McKay,

1992] ableiten. F¨

ur diese Verfahren, die ihre spezielle Anwendung meist in der Bestimmung von Freiformfl¨

achen

haben, haben sich die aus dem Bereich Computer Vision entnommenen Begriffe Datenfusion oder Registrie-

rung etabliert. Dabei werden die (zwei) zu transformierenden lokalen Koordinatensysteme so orientiert, dass

die Quadrate der Abst¨

ande zwischen korrespondierenden Punktepaaren minimiert werden. F¨

ur diese iterativen

Verfahren ben¨

otigt man jedoch mehr oder weniger gute Startwerte, deren Bereitstellung auf Merkmalsextraktion

beruhen [Schuster und F¨

orstner, 2003]. Des Weiteren m¨

ussen signifikante ¨

Uberlappungsbereiche mit einer aus-

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 53

reichender geometrischen Struktur existieren [Wendt und Weisensee, 2003]. Außerdem muss die Bereitstellung

entsprechender Korrespondenzen in den Szenen gew¨

ahrleistet werden.

4.3 Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen

Eine Standpunktverkn¨

upfung auf Grundlage von identischen Passfl¨

achen wurde bereits in [Niemeier und Wild,

1995] und [Runne u. a., 2001] vorgeschlagen, jedoch nicht einer detaillierteren Betrachtung und Erl¨

auterung

unterzogen.

Abb. 4.5: Verkn¨

upfung von verschiedenen Aufnahmen eines scannenden Messsystems mittels korrespondieren-

der Fl¨

achen, vorgeschlagen in [Runne u. a., 2001].

In der kommerziellen Auswertesoftware Cyclone 4.1 [Cyra, 2003] der Firma Leica Geosystems ist die M¨

og-

lichkeit der Transformation mittels identischer Ebenen als einfachste Form der Passfl¨

achen verwirklicht. Nach

Modellierung der Ebenen aus den Punktwolken im ModelSpace und Vergabe eines eindeutigen Identifikators

werden in der so genannten Constraint List die Identit¨

aten zur Bestimmung der Transformationsparameter

bereitgestellt. Die Transformation erfolgt im Anschluss im Registration Modul, wobei der in dieser Software

implementierte Ansatz nicht dokumentiert ist. ¨

Ahnliches gilt f¨

ur den in [Alkis u. a., 2003] angedeuteten Ansatz

der Blockausgleichung mit Fl¨

achensegmenten.

Wie bereits in Kapitel 3.3 eingef¨

uhrt, ist eine Ebene durch den Normalenvektor nund den Abstand d

im dreidimensionalen Raum eindeutig gekennzeichnet. Aus diesem Grunde liegt es nahe, zur Transformation

verschiedener Standpunktsysteme in ein ¨

ubergeordnetes und/oder gemeinsames Koordinatensystem diese Para-

meter standpunktweise in einen funktionalen Zusammenhang zu bringen und die beschreibenden Parameter der

Ebenen zur Transformation zwischen verschiedenen Standpunktsystemen zu nutzen. In diesem Abschnitt wird,

im Sinne einer photogrammetrischen Blockausgleichung, ein Ansatz zur verketteten Transformation mehrerer

Instrumentenstandpunkte mittels identischer Ebenen in einem Ausgleichungsschritt vorgestellt, der aufgrund

seiner Bilinearit¨

at keine N¨

aherungswerte ben¨

otigt, stabile numerische Resultate in 3D liefert und ¨

uber ¨

uber eine

Grobfehlersuchstrategie zur Erh¨

ohung der Zuverl¨

assigkeit und Steigerung der Genauigkeit verf¨

ugt. Durch die

Grobfehlersuche werden u. a. auch Identit¨

atsfehler bei der Zuordnung korrespondierender Fl¨

achen aufgedeckt,

was aufgrund der Komplexit¨

at des Korrespondenzproblems mitunter notwendig ist. Neben der Berechnung

der Transformationsparameter zwischen beliebig vielen Systemen besteht die M¨

oglichkeit, die Parameter der

Ebenen im Ausgleichungsmodell mit zu sch¨

atzen.

Ein ¨

ahnlicher mathematischer Ansatz findet sich in [Dijkmann und van den Heuvel, 2002], der neben der

Nutzung von Ebenenparametern auch die Einbeziehung von Zylindern zur Generierung von korrespondierenden

Objekten vorsieht, sich jedoch auf die Transformation von zwei Szenen ineinander beschr¨

ankt und auf eine

Grobfehlersuche verzichtet.

54 4. Standpunktverkn¨

upfungen

4.3.1 Prinzip der verketteten Transformation

Zur Durchf¨

uhrung einer Koordinatentransformation m¨

ussen neben einer eindeutigen Transformationsvorschrift

auch entsprechende Transformationparameter vorhanden sein oder aber berechnet werden. Bei der Bestimmung

der Transformationsparameter lassen sich zwei generelle Vorgehensweisen unterschieden: die einfache und die

verkettete Transformation, vgl. dazu [Gielsdorf, 1998].

Einfache Transformation: Bei der einfachen Transformation ergibt sich die Problemstellung, entsprechende

Parameterwerte, meist Koordinaten von diskreten Punkten eines Ausgangssystems in ein Zielsystem zu trans-

formieren. Unter Nutzung identischer Punkte, die im Ausgangs- und im Zielsystem vorliegen, werden die un-

bekannten Transformationsparameter und die Koordinaten aller Punkte im Zielsystem im Ausgleichungsmodell

berechnet. Anzustreben ist, dass bei der Bestimmung der Koordinaten im Zielsystem alle zu transformierenden

Neupunkte in einem Gebiet liegen, welches von Passpunkten umschlossen ist. Bei einer Transformation außer-

halb dieses G¨

ultigkeitsbereiches ist damit zu rechnen, dass Extrapolationsfehler auftreten.

Verkettete Transformation: Die verkettete Transformation verwendet neben den identischen Punkten auch

so genannte Verkn¨

upfungspunkte in den ¨

uberlappenden Bereichen mehrerer Ausgangssysteme. Mit diesem

Vorgehen wird gew¨

ahrleistet, dass der G¨

ultigkeitsbereich der Transformationsparameter ausgedehnt wird und

die Minimierung der Restklaffen erfolgt in den identischen Punkten sowie in den Verkn¨

upfungspunkten. Die

Ausgleichung erfolgt gleichzeitig unter Beachtung der geometrischen Bedingungen in einem Guss. Dazu ist es

notwendig, die Koordinaten aller Punkte und die Kovarianzen mitzuf¨

uhren. Durch die verkettete Transformation

ist die M¨

oglichkeit gegeben, Identit¨

atsfehler und grobe Fehler im Beobachtungsmaterial aufzudecken. Eine

Adaption dieses Vorgehens auf andere Arten von Parameterwerten (identische Ebenen statt identischer Punkte)

ist jederzeit m¨

oglich bzw. es gelten die getroffenen Ausf¨

uhrungen.

4.3.2 Geometrische Beschreibung

Zur geometrischen Anschauung der Grundlagen dieser Transformation wird im Folgenden auf die Bezeichnun-

gen der Abbildung 4.6 Bezug genommen. In dieser Abbildung ist eine identische Ebene dargestellt, die zur

Transformation zwischen dem globalen Xglo und lokalen xlok Koordinatensystem ben¨

otigt wird.

dlok

nlok

tlok

dglo

Ebene

ylok

xlok

nglo

Xglo

Yglo

Abb. 4.6: Geometrischer Zusammenhang der Systemtransformation mittels identischer Ebenen in 2D zwischen

dem globalen (Xglo) und lokalen (xlok) Koordinatensystem am Beispiel einer identischen Ebene.

Neben der Darlegung der Koordinatensysteme sind die beschreibenden Ebenenparameter Normalenvektor n

und Abstand zum Ursprung djeweils im lokalen und globalen Koordinatensystem dargestellt und beziehen

sich dabei auf die bereits in Kapitel 3 eingef¨

uhrten Bezeichnungen. Die Benennung global bezieht sich im

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 55

Folgenden auf das im Zuge der Transformation genutzte ¨

ubergeordnete Referenz- oder Zielsystem, hingegen

werden die verschiedenen zur Verkettung herangezogenen Koordinatensysteme als lokal bezeichnet. Der Vektor

des Rotationsquaternions steht senkrecht zur Papierebene und ist somit in der Skizze nicht sichtbar. Die

Darstellung beschr¨

ankt sich aus ¨

Ubersichtlichkeitsgr¨

unden auf den zweidimensionalen Fall, l¨

asst sich jedoch

ohne weiteres um die dritte Dimension erweitern.

Die Transformation gliedert sich in eine N¨

aherungswertbestimmung f¨

ur die gesuchten Parameter und eine

kombinierte Ausgleichung der Rotation und Translation in einem sich anschließenden Schritt, vgl. Abbildung 4.7.

Näherungswertberechnung:

Verkettete Translation

Ebenenparameter in beliebig

vielen lokalen Systemen

(nlok,dlok)j

Lokale

Translationsvektoren

tlok sowie dglo

Normalenvektoren nglo

und

Rotationsquaternionen qj

Näherungswertberechnung:

Verkettete Rotation mit

Quaternionen

Näherungswertberechnung:

Transformation

Hauptausgleichung

Globale

Translationsvektoren tglo

Ebenenparameter

im globalen System nglo,dglo

Quaternionen qjund globale

Translationsvektoren tglo

Abb. 4.7: Ablauf der Transformation mittels identischer Ebenen.

Dieses Vorgehen der Zerlegung in eine N¨

aherungswertbestimmung und eine Hauptausgleichung l¨

asst sich als

Siebkette zur Grobfehlersuche verstehen. Dabei werden die Maschen der Siebkette von Schritt zu Schritt kleiner

und filtern somit die groben Fehler bereits im Prozess der N¨

aherungswertbestimmung zur Hauptausgleichung

heraus. Bei dem hier vorgestellten Ansatz handelt es sich um eine verkettete Systemtransformation, was zur

Folge hat, dass alle Ebenenparameter mit ihren Kovarianzen im gesamten Ausgleichungsprozess mitgef¨

uhrt

werden m¨

ussen.

4.3.3 N¨

aherungswertbestimmung

Wie bereits erw¨

ahnt, eignet sich die Strategie der N¨

aherungswertbestimmung im Sinne einer Siebkette zur

Detektion und Eliminierung von groben Fehlern im Beobachtungsmaterial. Außerdem werden in diesen Berech-

nungsschritten die N¨

aherungswerte f¨

ur die Hauptausgleichung bereitgestellt. Im Folgenden wird detailliert auf

die N¨

aherungswertbestimmung eingegangen, die sich in die Berechnungsschritte verkettete Translation, verket-

tete Rotation und Transformation unterteilt.

56 4. Standpunktverkn¨

upfungen

Translation

F¨

ur den globalen Abstandsparameter dgloider Ebene Eiergibt sich aus Abbildung 4.6 unmittelbar der Zusam-

menhang

dgloi=dloki,j −tlokjnloki,j (4.15)

mit i= 1,2, . . . , n beobachteten Ebenen je j= 1,2, . . . , m lokalen 3D-Systemen. Diese Gleichung l¨

asst sich nach

Umstellung im Sinne einer Verbesserungsgleichung f¨

ur eine Ebene iim lokalen System jaus ¨

Ubersichtlichkeits-

gr¨

unden unter Vernachl¨

assigung der Indizes interpretieren

dlok +v=nlok tlok +dglo = Φi,j =nlokxtlokx+nlokytloky+nlokztlokz+dglo (4.16)

und im Gauß-Markov-Modell mit der Designmatrix A, die die partiellen Ableitungen der Funktion Φi,j nach

den unbekannten Parametern tlokjund dgloian den N¨

aherungsstellen enth¨

alt, l¨

osen. Die Untermatrizen [AI]j

enthalten die Ableitungen nach den unbekannten Parametern tlokj, hingegen sind in den Untermatrizen [AII ]i

die partiellen Ableitungen nach dgloienthalten:

A=





[AI]10··· 0[AII ]1

0[AI]2··· 0[AII ]2

.....

0 0 ··· [AI]j[AII ]i

0 0 ··· 0[AD]kk







.(4.17)

Aufgrund der bis hierhin fehlenden Datumsverf¨

ugung ist die Normalgleichungsmatrix des Ausgleichungspro-

blems singul¨

ar. Durch Einf¨

uhren einer zur Zahl der in den Normalgleichungen auftretenden Rangdefekten

aquivalenten Anzahl von datumsgebenden Parametern wird dieser Defekt behoben, vgl. [Welsch u. a., 2000].

Die Datumsfestlegung geschieht in der Gestalt, dass die frei w¨

ahlbaren Datumsparameter Abstand zum Ursprung

der Anzahl kals Beobachtungen6

d∗

glo +vd∗

glo =dglo (4.18)

eingef¨

uhrt werden, was zur Erweiterung der Designmatrix Aum die datumsgebende Teilmatrix [AD]kk f¨

uhrt.

Das Ergebnis dieser Ausgleichung

x=ATPA−1ATPl

=N−1n(4.19)

sind N¨

aherungswerte f¨

ur die lokalen Translationsvektoren tlokjund die globalen Abstandsparameter dgloi. Bei

der N¨

aherungswertbestimmung wird angenommen, dass die Beobachtungen der lokalen Ebenenparameter gleich-

genau und unkorreliert sind, somit handelt es sich bei der Gewichtsmatrix Pum eine Diagonalmatrix.

Rotation

Im folgenden Schritt, der verketteten Rotation, werden die N¨

aherungswerte f¨

ur die Rotationsquaternionen qj

der lokalen Systeme und die globalen Normalenvektoren ngloibereit gestellt. Aus dem Zusammenhang

nloki,j =qjngloiq−1

j(4.20)

l¨

asst sich im Sinne einer Verbesserungsgleichung bei Einf¨

uhrung der Quaternionenmultiplikation nach Glei-

chung (4.11) ein bilinearer Zusammenhang der folgenden Gestalt formulieren:

0 + vi,j =qjngloi−nloki,j qj= Φi,j .(4.21)

Analog zum vorhergehenden Schritt der N¨

aherungswertbestimmung in der Translation ergibt sich der Aufbau

und die Struktur der Designmatrix Awie in (4.17). Die Untermatrizen [AI]jenthalten die Ableitungen nach den

Komponenten der Rotationsquaternionen qjund die Untermatrizen [AII]ienthalten die partiellen Ableitungen

nach ngloi. Die Datumsverf¨

ugung geschieht analog zum Schritt der bereits beschriebenen Translation, hingegen

werden hier die Normalenvektoren der Anzahl kder datumsgebenden Ebenen als Beobachtungen eingef¨

uhrt

n∗

glo +vn∗

glo =nglo ,(4.22)

6Erforderlich sind als Minimalanforderung k= 3 Abst¨

ande d∗

glo von nicht koplanaren Ebenen zur ¨

Uberwindung des Datumsde-

fektes.

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 57

was ebenfalls zur Erweiterung der Designmatrix Aum die Teilmatrix ADf¨

uhrt. Bei diesem Ausgleichungsan-

satz handelt es sich um eine Erweiterung des Gauß-Markov-Modells, d. h. es werden zus¨

atzlich Restriktionen

zwischen den unbekannten Parametern eingef¨

uhrt. Aufgrund der Restriktion kqjk= 1 lassen sich unter Verein-

fachungen, die im Rahmen der Genauigkeit zul¨

assig sind, folgende Bedingungsgleichungen aufstellen:

Φ(qj)=0=q2

0j+q2

zj+q2

yj+q2

zj−1 f¨

ur j= 1, . . . , m . (4.23)

Die Normierung der Quaternionen ist notwendig, um durch eine Behebung der ¨

Uberparametrisierung der Quater-

nionen Rotationen im R3durchzuf¨

uhren und um die Berechnung der Inversen des Quaternions zu vereinfachen.

Es ergibt sich die Matrix der Bedingungen CT, in der die partiellen Ableitungen der Bedingungsgleichungen ab-

geleitet nach den Unbekannten enthalten sind. Die L¨

osung wird nunmehr im vermittelnden Ausgleichungsansatz

mit Bedingungen zwischen den zu sch¨

atzenden Parametern erhalten. Werden die Normalgleichungen

ATPA C

CT0 ∆x

k=ATPl

−c(4.24)

nach ∆x aufgel¨

ost, ergibt sich die L¨

osung f¨

ur die Rotationsquaternionen qjder lokalen Systeme und die globalen

Normalenvektoren ngloi.

Transformation

Die mit Hilfe der Translation gewonnen lokalen Translationsvektoren tlokjwerden mit den bei der Rotation

berechneten Quaternionen qjzu globalen Translationsvektoren tglojtransformiert:

tgloj=q−1

jtlokjqj.(4.25)

Die Transformation ist der letzte Schritt der Bereitstellung der N¨

aherungswerte f¨

ur die anschließende Haupt-

ausgleichung, in der alle Systeme simultan in ein globales System ¨

uberf¨

uhrt werden.

4.3.4 Hauptausgleichung

Der abschließende Schritt der Hauptausgleichung greift auf die in den N¨

aherungswertberechnungen der vorigen

Abschnitte bereitgestellten N¨

aherungswerte f¨

ur die unbekannten Parameter zu.

Funktionales Modell

Das funktionale Modell der Hauptausgleichung l¨

asst sich als Funktion der Beobachtungen in den unbekannten

Parametern folgendermaßen anschreiben:

nloki,j =qjngloiq−1

j=R(q)jngloi,

dloki,j =dgloi−tglojngloi.(4.26)

Aus diesem funktionalen Zusammenhang lassen sich Verbesserungsgleichungen aufstellen:

nloki,j +vi,j =qjngloiq−1

j=R(q)jngloi,

dloki,j +vi,j =dgloi−tglojngloi.(4.27)

Das zus¨

atzliche Einf¨

uhren von kDatumsparametern als Beobachtungen in der Form

n∗

x+vn∗

x=nx

n∗

y+vn∗

y=ny

n∗

z+vn∗

z=nz

d∗+v∗=d

(4.28)

f¨

uhrt zu einer Erweiterung der Modalmatrix in Abh¨

angigkeit von der Anzahl der Datumsparameter. Die De-

signmatrix Aergibt sich somit zu einer Blockstruktur:

58 4. Standpunktverkn¨

upfungen







[AI]10 0

0...0

0 0 [AI]j

[AIII]1

[AIII]j

[AII]10 0

0...0

0 0 [AII]j

[AIV ]1

[AIV ]j

0 0 0 [ADII ]

0 0 [ADI]0







.(4.29)

Die mit ihren Dimensionen gekennzeichneten Teilmatrizen [AI]j

i×4,[AII ]j

i×3,[AIII ]j

3i×3iund [AIV ]j

3i×ienthalten in dieser

Reihenfolge die Koeffizienten einer Jakobi-Matrix, d. h. die Ableitungen der Funktionen nach den unbekannten

Parametern qj,tgloj,ngloiund dgloi. Die Submatrizen [ADI ]j

3k×3kund [ADII ]j

k×kzur ¨

Uberwindung des Datumsdefektes

ergeben sich aus (4.28). Die Datumsverf¨

ugung kann ¨

uber in einem globalen Referenzrahmen bestimmte Ebenen

festgelegt werden, z. B. durch Beobachtung von mindestens drei datumsgebenden Ebenen mit einem alternativen

Messsystem am Rand des Objektes, oder aber die Datumsfestlegung geschieht ¨

uber die Auswahl von geeigneten

Ebenen auf einem beliebigen Standpunkt. Dabei ist die Anzahl der datumsbestimmenden Ebenen frei w¨

ahlbar

unter der Einschr¨

ankung, dass die Mindestforderung von drei nicht koplanaren Ebenen in der Datumsverf¨

ugung

erf¨

ullt sein muss.

Stochastisches Modell

Zur Bereitstellung der stochastischen Information f¨

ur dieses Ausgleichungsmodell werden die aus der struk-

turierten Geometriedatenableitung (siehe Kapitel 3) gewonnenen Ebenenparameter und ihre entsprechenden

Varianz-Kovarianzmatrizen ¨

ubergeben. Die beobachteten Parameter sind ebenenweise stark miteinander kor-

reliert und unter Umst¨

anden nicht gleichgenau. Es entsteht nach Invertierung der Kofaktorenmatrix Qll eine

Gewichtsmatrix, die nur in der Diagonalen vollbesetzte 4 ×4 Untermatrizen Pi,j enth¨

alt. Die Untermatrizen

Pi,j sind in den Diagonalen mit den Varianzen der Ebenenparameter belegt und dazu symmetrisch mit den

Kovarianzen der aus den Ebenenausgleichungen gewonnenen Ebenenparametern:

Pi,j =Qll

−1

i,j =





σ2

nxcov(nx, ny)cov(nx, nz)cov(nx, d)

cov(ny, nx)σ2

nycov(ny, nz)cov(ny, d)

cov(nz, nx)cov(nz, ny)σ2

nzcov(nz, d)

cov(d, nx)cov(d, ny)cov(d, nz)σ2







−1

i,j

.(4.30)

Parametersch¨

atzung

Bei dem oben eingef¨

uhrten Ausgleichungsansatz handelt es sich wiederum um eine Erweiterung des Gauß-

Markov-Modells, d. h. es werden ebenfalls Bedingungen zwischen den unbekannten Parametern formuliert.

Zus¨

atzlich zur Normierung der Rotationsquaternionen nach (4.23) sollen auch die globalen Normalenvektoren

der Ebenen normiert werden (kngloik= 1), was zur Folge hat, dass das funktionale Modell um Bedingungsglei-

chungen der Form

Φ(ngloi)=0=n2

gloxi+n2

gloyi+n2

glozi−1 f¨

ur i= 1, . . . , n

erweitert wird. Die Matrix CT, in der die partiellen Ableitungen der Bedingungsgleichungen abgeleitet nach

den Unbekannten enthalten sind, wird somit ebenfalls erweitert. Die unbekannten Parameter, d. h. die globalen

Ebenenparameter nglojund dgloj, die Rotationsquaternionen qjsowie die Translationsvektoren tgloj, ergeben

sich aus den Normalgleichungen

ATPA C

CT0 ∆x

k=ATPl

−c(4.31)

unter Ber¨

ucksichtigung der Langrangeschen Multiplikatoren oder Korrelaten kzu

∆x =ATPA−1ATPl −Ck.(4.32)

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 59

Genauigkeitsaussagen f¨

ur die unbekannten Parameter lassen sich aus den durch die Invertierung erhaltenden Ko-

faktorenmatrizen unter Ber¨

ucksichtigung des erwartungstreuen Sch¨

atzers s2

0f¨

ur den unbekannten Varianzfaktor

σ2

0gewinnen:

ATPA C

CT0−1

=Qxx Qxk

Qkx Qkk .(4.33)

Unter Verwendung des erwartungstreuen Sch¨

atzers s2

s02=vTPv

n−u+r(4.34)

mit nBeobachtungen, uzu sch¨

atzenden Parametern und rBedingungen ergeben sich die Varianzen der gesuchten

Sch¨

atzwerte als Diagonalelemente der Kovarianzmatrix Cxx der Parameter, vgl. [Welsch u. a., 2000], zu

si2= (Cxx)ii mit Cxx =s02Qxx .(4.35)

Da die Darstellungen der Quaternionen mit ihren Genauigkeiten als Rotationsparameter schwer zu interpretieren

sind, kann eine Umrechnung in metrische Maße und eine Genauigkeitsabsch¨

atzung per Fehlerfortpflanzung

berechnet werden. Aus der allgemeinen Darstellung eines Rotationsquaternions

q=hcos ω

2, sin ω

2vi,(4.36)

siehe auch Gleichung 4.10, lassen sich die Komponenten des Vektors vund des Drehwinkel ωberechnen. Der

Drehwinkel ωkann dabei als Orientierungsunbekannte interpretiert werden. Die Komponenten des Vektors v

lassen sich darstellen zu

vT=vxvyvzT=qx

p1−q02

p1−q02T

,(4.37)

und die Orientierungsunbekannte l¨

asst sich anschreiben zu

ω= 2 arccos q0.(4.38)

Durch eine Fehlerfortpflanzung bez¨

uglich q0, qx, qyund qz, die gekennzeichnet ist durch

σi2=F·Cll ·FT,(4.39)

lassen sich Aussagen zu den Genauigkeiten der Unbekannten treffen. Die Funktionalmatrix enth¨

alt die partiellen

Ableitungen der Zielfunktionen aus Gleichung (4.37) und (4.38) nach den Unbekannten. Die Kovarianzmatrix

Cll der Beobachtungen ist aufgrund von Korrelationen vollbesetzt. Die Funktionalmatrix Fif¨

ur ein Rotations-

quaternion qiergibt sich zu

Fi=







qxq0

q(1 −q02)3

p1−q020 0

qyq0

q(1 −q02)3

p1−q020 0

qzq0

q(1 −q02)3

p1−q020 0

−2

p1−q020 0 0







.(4.40)

Aspekte der Zuverl¨

assigkeit

In allen zuvor beschriebenen Schritten der N¨

aherungswertbereitstellung und im Zuge der Hauptausgleichung

lassen sich nach erfolgter iterativer L¨

osung des jeweiligen Gleichungssystems Aussagen zur Zuverl¨

assigkeit ablei-

ten. Tr¨

ager zur Bestimmung von Zuverl¨

assigkeitskriterien ist die Kofaktorenmatrix Qvv, die sich folgendermaßen

ableiten l¨

asst:

Qvv =P−1−AATPA−1AT.(4.41)

Zuverl¨

assigkeitsmaße geben Auskunft ¨

uber den Schutz vor groben Fehlern. Zur ¨

Uberpr¨

ufung der Beobach-

tungen und zur Ableitung von Teststrategien auf grobe Beobachtungsfehler sollten allein die Verbesserungen

60 4. Standpunktverkn¨

upfungen

oder aus den Verbesserungen abgeleitete Funktionen Verwendung finden [F¨

orstner, 1981]. Dabei l¨

asst sich auf-

bauend auf die Kovarianzmatrizen der ausgeglichenen Gr¨

oßen folgende Teststrategie zur Eliminierung grober

Fehler anwenden. Nach [Niemeier, 2002] lassen sich standardisierte (normierte) Verbesserungen

NVi=vi

σvi

=vi

σ0p(qvv)ii ∼N(0,1) (4.42)

einf¨

uhren, wobei mit (qvv)ii das i-te Diagonalelement von Qvv bezeichnet wird. Die normierten Verbesserungen

folgen bei korrektem Ausgleichungsmodell der Standard-Normalverteilung und es kann die folgende Wahrschein-

lichkeitsaussage f¨

ur einen Einzeltest abgeleitet werden:

P(NVi=|vi|

σ0p(qvv)ii

> y1−α/2|H0)= 1 −α(4.43)

Ein grober Fehler im Beobachtungsmaterial liegt nunmehr dann vor, wenn eine Testgr¨

oße NVigr¨

oßer ist, als ein

aus der Normalverteilung abzuleitender Grenzwert y1−α. Dem Test liegt die Nullhypothese, die Beobachtung

sei fehlerfrei, zugrunde. Bei der Berechnung der normierten Verbesserungen ist der Fall abzufangen, bei dem

der Ausdruck im Nenner der Gleichung (4.42) zu Null wird. Dies ist der Fall, wenn ¨

uber das Datum nur in

der minimal m¨

oglichen Anzahl der Datumsparameter verf¨

ugt wird und somit die Verbesserungen vkan den

Datumspunkten zu Null werden7.

Auf diese Weise ist im Ausgleichungsprozess eine Grobfehlersuche im Beobachtungsmaterial m¨

oglich und

eventuell auftretende Fehler in den Beobachtungen k¨

onnen iterativ eliminiert werden. Das praktische Vorgehen

der Eliminierung grober Fehler ist durch die sukzessive Eliminierung der Beobachtung mit der jeweils gr¨

oßten

normierten Verbesserung mit anschließender Wiederholung der Ausgleichung gekennzeichnet. Zu diesen groben

Beobachtungsfehlern k¨

onnen beispielsweise falsche Ebenenidentifikationen aus Kapitel 3.4 gez¨

ahlt werden. Diese

falschen Zuordnungen lassen sich durch die Bestimmung und Bewertung der normierten Verbesserungen und

anschließende Aufhebung der Identit¨

aten beheben.

Konfiguration

Wie bei den Transformationsans¨

atzen, die durch eine 3D-Helmert-Transformation nach Gleichung 4.1 ge-

kennzeichnet sind, ist auch bei der Nutzung identischer Ebenen zur standpunktweisen Verkn¨

upfung auf eine

ausgewogene Verteilung der Ebenen zu achten, um eine bestm¨

ogliche Sch¨

atzung der Rotations- und Translati-

onsparameter zu gew¨

ahrleisten. Dabei sollten die zur Transformation herangezogenen Ebenen, soweit m¨

oglich,

gleichm¨

aßig im Messvolumen verteilt sein. Es ist die Minimalanzahl von drei identischen Ebenen zur Verkn¨

up-

fung von jeweils zwei Instrumentenstandpunkten bereitzustellen. Jede weitere in den Transformationsprozess

einfließende Ebene erh¨

oht die Genauigkeit und erm¨

oglicht Aussagen zur Zuverl¨

assigkeit. Die nach der automa-

tischen Extraktion aus den Punktwolken eines Standpunktes zu selektierenden Ebenen m¨

ussen des Weiteren

derart ausgew¨

ahlt werden, dass sie eine Bestimmung der Transformationsparameter in allen drei Dimensio-

nen zulassen. Beispielsweise sollten zur sicheren Ableitung der H¨

ohenkomponenten der Translationsparameter

Ebenen in die Transformation einfließen, die aus Bereichen der Decke oder des Bodens gebildet werden.

Die Gr¨

oße bzw. der sicht- und messbare Bereich der Ebenen hat auf die Bestimmung der Transformationspa-

rameter einen direkten Einfluss. Wichtig in diesem Zusammenhang ist die Bestimmung der Ebenenparameter,

da der Abstandsparameter dund der Normalenvektor nals Orientierung direkt in die Transformation mit ein-

gehen. Je gr¨

oßer der sichtbare Teil und somit auch der zu Messungen von Objektpunkten auf der Oberfl¨

ache zur

Verf¨

ugung stehende Bereich einer ebenen Fl¨

ache ist, um so genauer approximiert die Parametersch¨

atzung die

tats¨

achliche (ideale) Gestalt und somit auch die Orientierung f¨

ur die jeweils betrachtete Ebene. Eine Erh¨

ohung

der Anzahl an gemessenen Objektpunkten durch ein engeres Raster und somit eine Erh¨

ohung der Beobachtun-

gen zur Ebenenausgleichung bringt in diesem Zusammenhang keine Verbesserung der Parametersch¨

atzung f¨

die Registrierung. Aus diesem Grund sollte darauf geachtet werden, wenn m¨

oglich Verdeckungen zu meiden,

sowie die vollst¨

andige Ausdehnung der ebenen Fl¨

achen messtechnisch zu erfassen und aus diesen Objektpunkten

die beschreibenden Parameter der Ebenen abzuleiten.

F¨

ur die Genauigkeit der Transformationsparameter ist es weiterhin entscheidend, wie die Wahl der da-

tumsgebenden Ebenenparameter ausf¨

allt. Hier sollte darauf geachtet werden, dass die zur ¨

Uberwindung des

Datumsdefektes mindestens ben¨

otigten drei Ebenen paarweise koplanar sind, d. h. ideal ist die Festlegung der

datumsgebenden Ebenen durch diejenigen Ebenen, die beispielsweise eine Raum- oder Geb¨

audeecke bilden, vgl.

auch Abbildung 4.8. Jede davon abweichende Konfiguration dieser drei Ebenen f¨

uhrt zu einer Verschlechterung

der Genauigkeiten der Transformationsparameter.

7Analog zur Berechnung eines polar angehangenen Punktes, dort sind die Verbesserungen ebenfalls Null.

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 61

Abb. 4.8: Schematische Darstellung der verketteten 3D-Ebenentransformation.

4.3.5 Testdatens¨

atze

Zur praktischen ¨

Uberpr¨

ufung der Leistungsf¨

ahigkeit des Transformationsalgorithmus werden verschiedene Test-

datens¨

atze herangezogen, die mit einem Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003 Sensor aufgenommen wurden. Dazu

wurden Messungen in einem Labor an der Technischen Universit¨

at Berlin durchgef¨

uhrt. Das Testobjekt besteht

aus 15 ebenen Platten8, die, wie in Abbildung 4.9 dargestellt, im Laborraum angebracht wurden.

Die unterschiedliche Darstellung der Ebenen in dieser Abbildung kennzeichnet gleichzeitig die Anbringung

bzw. die Lage der Ebenen im Raum. Aufgrund der baulichen Beschr¨

ankungen befinden sich an der Decke

und auf dem Fußboden jeweils nur eine Ebene, hingegen sind an den W¨

anden des Labors neben horizontal

angebrachten Platten auch Ebenen montiert, die sich schr¨

ag im Raum befinden.

Der Datensatz des Laserscanners besteht aus vier Punktwolken, die, aufgenommen auf den Sensorstandpunk-

ten, wesentlich mehr Informationen enthalten, als f¨

ur diese Transformation ben¨

otigt werden. Aus diesem Grund

wurden aus den Punktwolken unter Zuhilfenahme der kommerziellen Software RealWorks Survey 4.1 der Firma

Mensi die Messpunkte aller Ebenen extrahiert. Nach einer Ausd¨

unnung der Punktmenge wurden die Punkte

ebenenweise einer seperaten Ebenenausgleichung nach Kapitel 3.3.3 zugef¨

uhrt. Durch diese Verarbeitung ist f¨

den Transformationsprozess gew¨

ahrleistet, dass die, mit einem eindeutigen Identifikator versehenen, identischen

Ebenen vorliegen.

Datensatz 1

Bei der Auswertung des ersten Datensatzes wurden alle gemessenen Ebenen in die Auswertung einbezogen.

Die Datumsverf¨

ugung f¨

ur diese Transformation wurde erreicht, indem alle Instrumentenstandpunkte auf den

Instrumentenstandpunkt 1 bezogen wurden, d. h. alle beobachteten Ebenen des Standpunktes 1 wurden als

globale Ebenen zur Datumsfestlegung benutzt.

Die Redundanz des Ausgleichungsproblems betr¨

agt f= 231 und die Beurteilung der normierten Verbes-

serungen (NV) schließt grobe Fehler im Datenmaterial aus, da bei dieser Transformation der max. NV-Wert

bei 2,3 und somit unterhalb der kritischen Grenze zur Anzeige eines groben Fehlers liegt. Die Bestimmung der

Translationsparameter gelingt mit einer Genauigkeit zwischen 0,7 und 1,9 mm. Bei Betrachtung der Ergebnisse

8Weitere Ausf¨

uhrungen zur Gr¨

oße und Anbringung der Platten siehe Kapitel 5.5.

62 4. Standpunktverkn¨

upfungen

Fenster

Maßstab

Abb. 4.9: Darstellung der Instrumentenstandpunkte und Ebenen zur Transformation mittels identischer Ebenen

[Rietdorf u. a., 2004].

der Parametersch¨

atzung f¨

allt auf, dass die Bestimmung der H¨

ohenkomponente der Translationsparameter etwas

schlechter ausf¨

allt als f¨

ur die Lagekomponenten. Dieser Umstand ist sicherlich in der etwas ung¨

unstigen Kon-

figuration zur Bestimmung der H¨

ohenkomponente zu suchen, da die Ebenen an der Decke und am Boden nur

eine Ausdehnung von ca. 1 m2haben und die Ebenenparameter aus Punkten unter schleifendem Auftreffwinkel

abgeleitet wurden.

Hauptausgleichung – Rotationsparameter (Datensatz 1)

Stpkt.-Nr. q0sq0qxsqxqysqyqzsqz

1 1,000000 0,0000 0,000001 0,0003 -0,000003 0,0003 0,000021 0,0002

2 0,583957 0,0002 0,000078 0,0002 -0,000519 0,0003 -0,811784 0,0001

3 0,521045 0,0002 0,000058 0,0003 -0,000149 0,0002 0,853529 0,0001

4 0,395830 0,0002 -0,000121 0,0003 0,000916 0,0003 0,918323 0,0001

Tabelle 4.1: Ergebnisse der Transformation mit identischen Ebenen – ausgeglichene Rotationsparameter des

Datensatzes 1.

Hauptausgleichung – Translationsparameter (Datensatz 1)

Stpkt.-Nr. txstxtystytzstzBetrag

[m] [mm] [m] [mm] [m] [mm] [m]

1 0,0000 0,8 0,0000 0,8 0,0000 0,7 -

2 0,4366 1,5 4,0829 0,9 -0,0979 1,7 4,1073

3 -2,3170 1,6 4,7357 1,3 0,5422 1,9 5,2999

4 -2,7227 1,0 1,9363 1,3 -0,0890 1,4 3,3422

Tabelle 4.2: Ergebnisse der Transformation mit identischen Ebenen – ausgeglichene Translationsparameter des

Datensatzes 1.

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 63

Datensatz 2

Im Gegensatz zum Datensatz 1 wurde in Datensatz 2 eine f¨

ur praktische Messungen realit¨

atsn¨

ahere Aufnah-

mesituation simuliert. Durch Ausd¨

unnung der Anzahl der beobachteten Ebenen pro Standpunkt wurde eine

Aufnahme im Sinne einer Verkettung von unterschiedlichen Standpunkten simuliert, vgl. Abbildung 4.8, die

aufgrund von Abschattungen und Hinterschneidungen mit einer geringen Anzahl von Verkn¨

upfungsebenen aus-

kommen muss. In Tabelle 4.3 sind die beobachteten Ebenen standpunktweise aufgef¨

uhrt, dabei beziehen sich die

Bezeichnungen der beobachteten Ebenen auf Abbildung 4.9. Die Datumsfestlegung bei dieser Auswertung wurde

uber drei im ¨

ubergeordneten Koordinatensystem bekannte Ebenen definiert. Die datumsgebenden Ebenen 3, 7,

14 stehen dabei ann¨

ahernd rechtwinklig zueinander.

Anzahl Ebenen pro Standpunkt (Datensatz 2)

Stpkt.-Nr. Anzahl Ebenen Nr. der beobachteten Ebenen

1 8 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14

2 7 1, 2, 11, 12, 13, 14, 15

3 6 9, 10, 11, 12, 13, 15

4 5 7, 8, 9, 10, 12

Tabelle 4.3: Anzahl der Ebenen je Standpunkt im simulierten Datensatz 2.

In Tabelle 4.4 sind die Ergebnisse der Parametersch¨

atzung aus den Ausgleichungen der Datens¨

atze 1 und

2 gegen¨

ubergestellt. Zus¨

atzlich sind in der letzten Spalte der Tabelle die Differenzen zwischen den beiden

unterschiedlichen Parametersch¨

atzungen f¨

ur den globalen Abstandsparameter dglo aufgef¨

uhrt.

Sch¨

atzwerte des Ebenenparameters dglo und sdglo

Ebenen Datensatz 1 Datensatz 2 Differenz

Nr. dglo1sdglo dglo2sdglo dglo1/dglo2

[m] [mm] [m] [mm] [mm]

1 -1,265 0,8 -1,258 2,6 -7

2 -1,562 0,8 -1,560 0,6 -2

3 -1,396 0,8 -1,396 0,4 0

4 -1,225 0,8 -1,225 0,6 0

5 -1,377 0,9 -1,378 0,6 1

6 -1,845 0,8 -1,845 0,6 0

7 -1,782 0,8 -1,781 0,4 -1

8 -4,355 0,8 -4,355 0,6 0

9 -4,169 0,8 -4,166 3,2 -3

10 -5,267 0,8 -5,270 2,4 3

11 -7,547 0,8 -7,544 4,0 -3

12 -3,374 0,8 -3,375 2,1 1

13 -3,688 0,8 -3,680 2,5 -8

14 -1,541 0,8 -1,542 0,4 1

15 -0,973 0,8 -0,964 1,8 -9

Tabelle 4.4: Vergleich des Ebenenparameters dglo zwischen den Parametersch¨

atzungen der Datens¨

atze 1 (Ideale

Konfiguration) und 2 (Simulation).

Die h¨

oheren Differenzen im Vergleich zum Datensatz 1 f¨

ur den Ebenenparameter dglo an den Ebenen 1, 13 und

15 sind darauf zur¨

uckzuf¨

uhren, dass diese Ebenen nur von einem Standpunkt aus aufgenommen wurden, d. h.

diese Ebenen tragen zur Sch¨

atzung der Transformationsparameter als polar angehangene Ebenen nicht bei. Des

Weiteren ist, wie zu erwarten, eine Abh¨

angigkeit von der Datumsfestlegung durch die datumsgebenden Ebenen

3, 7 und 14 erkennbar. Die Ebenen, die am weitesten von den datumsgebenden Ebenen entfernt sind, weisen

neben den Ebenen, die nur einmal angemessen wurden, die gr¨

oßte Differenz zur idealen Konfiguration auf, wobei

als ideale Konfiguration zu Vergleichszwecken die Bestimmung des Abstandsparameters dglo aus Datensatz 1

angesetzt wurde. Gleiches gilt f¨

ur die Standardabweichung des Abstandsparameters sdglo . Auch hier ist f¨

ur die

64 4. Standpunktverkn¨

upfungen

Genauigkeit die Entfernung zu den Datumsebenen ausschlaggebend. Ebenfalls liegt die Standardabweichung

der polar angehangenen Ebenen um den Faktor zwei h¨

oher, als bei den Ebenen, die an der Transformation

beteiligt sind.

4.3.6 Vergleich mit anderen Transformationsverfahren

Als Vergleich zur Transformation mit identischen Ebenen wurde eine tachymetrische Netzmessung und anschlie-

ßende Netzausgleichung durchgef¨

uhrt, vgl. auch Abbildung 4.10. Die Netzmessung selber erfolgte auf den vier

Instrumentenstandpunkten und wurde realisiert mit einem Pr¨

azisionstachymeter Leica TCA 2003 sowie einer

zus¨

atzlichen Streckenmessung mit einer kalibrierten 2 m – Basislatte zur hochgenauen Streckenmessung im Nah-

bereich. Die Netzausgleichung [Neptan/GPS, 2002] des Tachymeternetzes liefert Koordinaten in einem lokalen,

frei ausgeglichenen Netz mit einem mittleren Punktfehler von 0,1 mm.

0,2 mm

(Netz)

(Ellipsen)

Abb. 4.10: Netzaufbau der tachymetrischen Vergleichsmessung.

Durch eine r¨

aumliche ¨

Ahnlichkeitstransformation (3D-Helmert-Transformation) auf Grundlage der in Ta-

belle 4.2 und Tabelle 4.5 dargestellten Komponenten der Translationsvektoren lassen sich die Restklaffen an den

Instrumentenstandpunkten zwischen den transformierten Systemen berechnen. Dabei wird das Tachymeternetz

als Referenz betrachtet, da es mit ¨

ubergeordneter Genauigkeit, ca. um den Faktor zehn besser, bestimmt wurde.

Der Unterschied in den Betr¨

agen der Translationsvektoren ist auf die unterschiedlichen Instrumentenbezugs-

punkte f¨

ur die H¨

ohenkomponente zur¨

uckzuf¨

uhren.

Koordinaten Instrumentenstandpunkte (alternative Transformationen)

Netzausgleichung Tachymeternetz:

Stpkt.-Nr. x y z Betrag

[m] [m] [m] [m]

1 100,0003 100,0007 100,0027 -

2 100,0004 104,1077 99,9973 4,1070

3 102,8115 104,4632 100,0116 5,2742

4 102,9125 101,6373 100,0094 3,3406

Tabelle 4.5: Koordinaten (Linkssystem) aus alternativen Transformationen: Tachymeternetz ( Leica TCA

2003 + Basislattenmessung).

4.3. Verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen 65

Die Originaldaten, die zur Auswertung f¨

ur die obigen Ergebnisse nach dem Ansatz der Transformation mittels

identischer Ebenen herangezogen wurden, enthielten auch in den Szenen platzierte Kugeln mit einem Durch-

messer von 15,1 cm. Als Beispiel dient die in Abbildung 4.4 dargestellte Holzkugel, die durch eine mechanische

Vorrichtung in einer Zwangszentrierung befestigt werden kann. Durch Modellierung der Mittelpunktkoordina-

ten der Kugeln in der kommerziellen Software Cyclone 4.1 [Cyra, 2003] und Nutzung dieser Informationen zur

Registrierung der Standpunkte, ist ein Vergleich der unterschiedlichen Transformationsans¨

atze m¨

oglich. Dabei

wurden die Kugeln aus Punktwolken modelliert, die mit der h¨

ochsten Aufl¨

osung des Scanners erfasst wurden.

Bei der als Super High bezeichneten Aufl¨

osung, vgl. auch Kapitel 5.7, ergibt sich in 10 Metern Entfernung

ein Punktabstand zwischen benachbarten Punkten am Objekt von ca. 3 mm. Bei den hier in diesem Beispiel

vorliegenden Zielweiten hat diese Aufl¨

osung zur Folge, dass die Kugeln abh¨

angig von der Entfernung Sensor -

Zielkugel aus ca. 2300 bis maximal ca. 15500 diskreten Messpunkten modelliert wurden. Die Bestimmung der

Kugelzentrumkoordinaten aus diesen Messpunkten gelang dabei im Schnitt mit einer Genauigkeit von ca. 2 mm

bei maximalen Abweichungen einzelner Messpunkte von der Kugeloberfl¨

ache zwischen 1 cm und ca. 5 cm.

Koordinaten Instrumentenstandpunkte (alternative Transformationen)

Transformation mit Cyclone 4.1:

Stpkt.-Nr. x y z Betrag

[m] [m] [m] [m]

1 0,000 0,000 0,000 -

2 4,080 0,438 -0,094 4,1045

3 4,731 -2,318 0,547 5,2967

4 1,936 -2,719 -0,095 3,3392

Tabelle 4.6: Koordinaten aus alternativen Transformationen: Transformation mit identischen Punkten (abge-

leitete Kugelmittelpunkte) mittels ’Cyclone 4.1’ (Rechtssystem).

Als ein Defizit der Auswertesoftware Cyclone 4.1 stellen sich die nach fehlertheoretischen Gesichtspunkten

fehlenden Aussagen zu Genauigkeiten und zur Zuverl¨

assigkeit der Transformationsparameter dar. Es erfolgt in

den Protokollen nur die Ausgabe eines Fehlervektors, der die Restklaffen an den zur Transformation herange-

zogenen identischen Punkten angibt. Genauigkeitsangaben zu den Transformationsparametern und somit die

M¨

oglichkeit einer Interpretation der Transformation fehlen hingegen. Analog zum oben beschriebenen Vorgehen

ist jedoch auch hier ein Vergleich der Restklaffen nach erfolgter r¨

aumlicher ¨

Ahnlichkeitstransformation mit dem

ubergeordneten Tachymeternetz m¨

oglich.

100

101

102

103

104

100

101

102

103

104

98.5

99.5

100

100.5

101

100

101

102

103

104

100

101

102

103

104

98.5

99.5

100

Restklaffen an transformierten Punkten

Identische Ebenen Identische Punkte (Kugelzentren)

1mm

Maßstab

Abb. 4.11: Darstellung der Restklaffen nach erfolgter Transformation in das als Referenz angenommene Tachy-

meternetz an den vier Instrumentenstandpunkten der unterschiedlichen Transformationsans¨

atze:

Standpunktverkn¨

upfung mit identischen Ebenen (links) und unter Nutzung von identischen Punk-

ten, die als Kugelmittelpunkte aus einer Vielzahl von Objektpunkten abgeleitet wurden (rechts).

66 4. Standpunktverkn¨

upfungen

Die in Abbildung 4.11 auf der rechten Seite dargestellten Restklaffen haben eine maximalen Wert von 2 mm,

wobei die H¨

ohenkomponente bei der Transformation mit identischen Punkten (Kugelzentren) etwas gr¨

oßer

ausf¨

allt als bei der Nutzung von identischen Ebenen zur Registrierung. Dieser Fakt ist in der ung¨

unstigeren

r¨

aumlichen Verteilung der Passkugeln gegen¨

uber den Passebenen begr¨

undet, da sich in diesem Beispiel alle

Passkugeln aufgrund der baulichen Gegebenheiten auf einem ¨

ahnlichen H¨

ohenniveau befunden haben.

4.4 Diskussion

Die Standpunktverkn¨

upfung mit dem vorgestellten Ansatz der identischen Ebenen liefert numerisch vergleich-

bare Ergebnisse wie die alternativen Transformationsergebnisse ¨

uber identische Punkte. Die erzielbaren Ge-

nauigkeiten liegen bei Betrachtung der Restklaffen in der gleichen Gr¨

oßenordnung. ¨

Uber die vorgeschalteten

Module der N¨

aherungswertberechnung konnte gezeigt werden, dass schon im Vorfeld der Hauptausgleichung

eine Detektion und Eliminierung grober Beobachtungsfehler m¨

oglich ist und die Transformation dabei verkettet

in einem Schritt erfolgt.

Durch die Erkennung der groben Fehler lassen sich im Auswerteprozess auch die in der Vorverarbeitung

eventuell nicht korrekt zugeordneten Identit¨

aten der Ebenen wieder aufl¨

osen. Die Parameter der entsprechen-

den Ebenen werden im anschließenden Ausgleichungsprozess neu bestimmt. Somit ist es z. B. m¨

oglich, bei einer

Geb¨

audeinnenaufnahme mit scannenden Messverfahren einen ¨

außeren Referenzrahmen in Form von mindestens

drei in einem ¨

ubergeordneten Koordinatensystem bestimmten Ebenen zu definieren, die sich in einer Geb¨

au-

deecke befinden. Durch die verkettete Transformation k¨

onnen anschließend alle Ebenen sowie auch Fl¨

achen

h¨

oherer Ordnung in diesen vorgegebenen Referenzrahmen eingepasst werden.

Der vorgestellte Ansatz der verketteteten Standpunkttransformation mittels identischer Ebenen l¨

asst sich

durch eine Erweiterung des funktionalen Modells um instrumentenabh¨

angige Parameter zum Aufbau einer

Kalibrierstrategie nutzen. Das allgemeine Prinzip der Zerlegung der Transformation in eine Folge von Rotationen

und Translationen l¨

asst sich dabei prinzipiell f¨

ur jedes Instrument anwenden. Die parametrische Erweiterung

des Ansatzes und die daraus resultierende Modellierung der Instrumentfehler in einem Ausgleichungsmodell

f¨

ur Sensoren, die nach dem tachymetrischen Messprinzip arbeiten, sind integraler Bestandteil des folgenden

Kapitels.

5 Kalibrierstrategie

Das Anwendungsgebiet von polaren, scannenden Messverfahren ist breit gef¨

achert und ber¨

uhrt die verschieden-

sten Sektoren in der Industrie, Medizin und Forschung. Als einige repr¨

asentative Beispiele dienen die as-built

Dokumentationen1von Maschinen- und Anlagenteilen, Stadtplanungen und 3D-Stadtmodelle, Anwendungen in

der Bauaufnahme und Facility-Management-Geometriedatenerfassung, ¨

Uberwachung (monitoring) des Bewe-

gungsverhaltens einzelner Objekte oder von Objektteilen sowie die Dokumentationen historischer Bausubstanz.

Die Qualit¨

at der abgeleiteten Produkte aus den dreidimensionalen Messungen, wie 3D-Modelle, Parameter

von extrahierten Fl¨

achen oder Fl¨

achenteilen, aber auch von sehr kleinen bis hin zu großr¨

aumigen Objekten

oder Objektteilen ist entscheidend von der Genauigkeit und Pr¨

azision der verwendeten Instrumente abh¨

angig.

Eventuell vorhandene Instrumentenfehler gehen direkt als systematische Abweichungen in die Bestimmung aller

abgeleiteten Informationen (meist 3D-Koordinaten (x, y, z)ider Punkte Pider Punktwolke) ein [Ivarone und

Martin, 2003].

Aus diesem Grund ist es von entscheidender Wichtigkeit, dass der Nutzer der scannenden Messverfahren ¨

uber

die m¨

oglichen auftretenden Instrumentenfehler informiert ist und Aussagen ¨

uber die Gr¨

oßenordnung der Instru-

mentenfehler der verwendeten Messger¨

ate treffen kann. Zu diesem Zweck sind in einem Kalibrierungsprozess

mit geeigneten Untersuchungsmethoden die Instrumentenfehler zu bestimmen und auf die origin¨

aren Messwerte

im Zuge der Auswertung als Korrekturen anzubringen. Ein weiterer Gedanke bei der Beurteilung der entspre-

chenden Kalibrierverfahren ist der zeitliche Aspekt der Ger¨

ateuntersuchungen. Aufgrund von Ver¨

anderungen

der optischen und mechanischen Bauteile durch Alterung und Verschleiß sind die Kalibrierparameter nicht lang-

zeitstabil. Aus diesem Grund sind entsprechende Folgeuntersuchungen durchzuf¨

uhren und die Bestimmung der

Instrumentenfehler ist in regelm¨

aßigen Zeitabst¨

anden zu wiederholen [Schwarz, 2001].

5.1 Ans¨

atze zur Bestimmung von Genauigkeiten und Instrumentenfehlern

In der Literatur sind verschiedene Verfahren zur Bestimmung von Genauigkeiten und zur Kalibrierung von

scannenden Messverfahren sowie der jeweils verwendeten Instrumenten diskutiert worden. [Riegl u. a., 2003]

vertreten die Auffassung, dass der Lasersensor selbst durch den Benutzer nicht zu kalibrieren sei, da der Sensor

alle geometrischen Informationen genau misst, und der Hersteller bereits alle Korrekturen im Zuge der Mes-

sung intern an die Messwerte angebracht hat. Da dieses ”Black-Box“ Denken [Staiger, 2001] jedoch nicht der

geod¨

atischen Sichtweise entspricht bzw. nicht entsprechen sollte, wurden verschiedene Untersuchungsmethoden

zur Bestimmung der Genauigkeiten der einzelnen Streckenmessung (range precision) und zur Bestimmung der

3D-Objektpunktgenauigkeit (in-plane precision) entwickelt. Des Weiteren werden zum jetzigen Zeitpunkt ver-

schiedene Kalibriermethoden f¨

ur scannende Messverfahren, speziell f¨

ur Laserscanner, entwickelt und diskutiert.

5.1.1 Abh¨

angigkeit vom Auftreffwinkel und Oberfl¨

achenbeschaffenheit

Bei der signalisierungsfreien Distanzmessung auf nat¨

urliche oder k¨

unstliche Objekte bzw. Oberfl¨

achen ohne

Reflektoren oder retroreflektierende Zielzeichen sind neben der Entfernung vor allem der Auftreffwinkel und

die Oberfl¨

achenbeschaffenheit am Objekt f¨

ur die G¨

ute der Distanzmessung verantwortlich, da diese Parameter

direkt die Intensit¨

at des zur¨

uckgestreuten Messsignals beeinflussen [Schulz und Ingensand, 2004a]. Dabei ist die

Intensit¨

at oder Beleuchtungsst¨

arke indirekt proportional zum Quadrat der Entfernung [Lindner, 1993].

Die Abh¨

angigkeit der Genauigkeit der Streckenmessung eines Laserscanners von der Oberfl¨

achenfarbe und

Oberfl¨

achenbeschaffenheit der untersuchten Materialien sowie vom Entfernungsbereich des Instrumentes zum

Objekt ist u. a. in [Cheok u. a., 2002] beschrieben, wobei dort keine expliziten Aussagen zum untersuchten

Sensortyp gemacht werden. Aufgrund der Divergenz des Laserstrahls nimmt die Spotgr¨

oße des Lasers mit zu-

nehmender Entfernung zum Objekt stark zu. Da weiterhin auch eine Abh¨

angigkeit der Streckenmessgenauigkeit

vom Auftreffwinkel des Laserstrahls auf die Objektoberfl¨

ache festzustellen ist, ¨

uberlagern sich beide Effekte und

1As-built Erfassung: 3D-Erfassung und Dokumentation von (vorwiegend) Industrieanlagen, in dem Zustand, wie sie erbaut wurden.

Die as-built Dokumentation gewinnt zunehmend an Interesse, z. B. bei der Neuplanung von Rohrleitungen in einem Altbestand.

Dabei kann es zu Kollisionen des vorhandenen Bestandes mit den geplanten Anlagenteilen kommen, die es gilt, im Vorfeld der

Baumaßnahme auszuschließen.

68 5. Kalibrierstrategie

f¨

uhren zu einer Verschlechterung der Streckenmessgenauigkeit mit zunehmender Entfernung und mit zuneh-

mendem Auftreffwinkel auf der Oberfl¨

ache des Messobjektes gegen¨

uber den Referenzstrecken, die mit einem

Interferometer gemessen wurden.

Instrument Instrument Instrument

0° 10° 80°

Abb. 5.1: Versuchsaufbau Streckenmessgenauigkeit, Oberfl¨

achenbeschaffenheit und Auftreffwinkel.

Aus den oben getroffenen Schlussfolgerungen k¨

onnen Untersuchungen zum Einfluss unterschiedlicher Materia-

lien auf die Distanzmessung und Genauigkeitsuntersuchungen bei Messungen auf unterschiedliche Oberfl¨

achen

mit unterschiedlichen Auftreffwinkeln des Laserstrahls f¨

ur den Prototypen PoMeS abgeleitet werden, vgl. Ab-

bildung 5.1.

Untersuchte Oberfl¨

achenmaterialien

Material Oberfl¨

ache Struktur Gr¨

oße Anwendungen

1 Raufasertapete (weiß) sehr grob 20 ×20 cm W¨

ande

2 Spanplatte unbeschichtet leicht rau 20 ×20 cm Tische

3 Kork (dunkel) rau 20 ×17 cm W¨

ande, Verkleidung

4 Presspappe rau 20 ×20 cm Pinwand

5 Presspappe glatt 20 ×20 cm T¨

uren

6 Keramik (weiß) sehr glatt 20 ×20 cm W¨

ande, Boden

7 Spanplatte glatt 20 ×20 cm K¨

ucheneinrichtung

8 Pressspanplatte (grau) strukturiert 10 ×20 cm Arbeitsplatten

9 Pressspanplatte (Eiche) strukturiert 20 ×20 cm Schr¨

anke

10 Holz sehr glatt 10 ×14 cm Mobiliar

11 Metall (silbergrau) glatt 40 ×20 cm Herde

12 Papier (weiß) glatt 40 ×20 cm Poster, Bilder

Tabelle 5.1: Untersuchte Oberfl¨

achenmaterialien von Objekten im Wohn- und Arbeitsumfeld, nach [Richter,

2004].

Zur Untersuchung des Einflusses der Oberfl¨

achenbeschaffenheit auf die Streckenmessung wurden verschiedene

Materialien getestet, die vorzugsweise im menschlichen Wohn- und Arbeitsumfeld auftreten, vgl. Tabelle 5.1.

Die Bestimmung des Einflusses der Oberfl¨

achenbeschaffenheit (Struktur, Material) erfolgte indirekt ¨

uber die

Ableitung der Nullpunktkorrektur2k0und der ermittelten Standardabweichung mit f¨

unf Instrumentenaufstel-

lungen auf zwangszentrierten Stativen mit einer Gesamtdistanz von ca. 60 m. Durch eine Ausgleichung im

Gauß-Markov-Modell ist eine Sch¨

atzung der Nullpunktkorrektur f¨

ur die jeweils zu untersuchenden Oberfl¨

chenmaterialien m¨

oglich. Bei der Auswertung der unterschiedlichen Messreihen kann im Falle des Prototypen

PoMeS aufgrund der hohen Streckenmessgenauigkeit von unter 1 mm im Entfernungsmessbereich bis 100 m

keine Abh¨

angigkeit der Nullpunktkorrektur vom verwendeten reflektiven Medium festgestellt werden. Im Mittel

ergibt sich eine konstruktionsbedingt große Nullpunktkorrektur von k0= 71,3 mm mit einer Standardabwei-

chung von sK0= 0,3 mm. Daraus ergibt sich f¨

ur die in obiger Tabelle aufgef¨

uhrten Materialien kein signifikanter

Einfluss auf die Distanzmessung. ¨

Ahnliche Untersuchungen werden in [Kogoj, 2001] und [Kern, 2003] durchge-

f¨

uhrt. Dort wird bei Objektoberfl¨

achen mit extrem rauher Oberfl¨

ache (Teppich und Styropor) eine deutliche

2Unter Nullpunktkorrektur k0wird der anzubringende systematische Anteil an der durch den Lasersensor gemessenen Distanz

verstanden, der sich aus der Kombination Entfernungsmessteil – Reflexionsmedium ergibt., vgl. auch Seite 73.

5.1. Ans¨

atze zur Bestimmung von Genauigkeiten und Instrumentenfehlern 69

Zunahme von Messabweichungen bei der reflektorlosen Distanzmessung festgestellt, da der Messstrahl teilweise

in die Objektoberfl¨

ache eindringt und so die Distanzmessung verf¨

alscht.

Im Gegensatz zu diesen Untersuchungen ist jedoch eine Abh¨

angigkeit der Streckenmessgenauigkeit vom Auf-

treffwinkel des Lasermessstrahls zu beobachten. Bei den verwendeten Oberfl¨

achenmaterialien aus Tabelle 5.1 ist

wiederum im Falle des PoMeS eine signifikante Verschlechterung der Streckenmessgenauigkeit bei einem Auf-

treffwinkel des Laserstrahls gr¨

oßer 60 gon zu beobachten. Diese Aussage wird durch [Runne, 1993] best¨

atigt,

der f¨

ur derartige Untersuchungen ebenfalls einen Wert f¨

ur die maximale Horizontaldrehung der Zielfl¨

ache ohne

Beeintr¨

achtigung der Messwerte von ca. 65 gon angibt. Bei einigen Materialien (Metall, Keramik) ist hingegen

eine Messung von Distanzen mit einem gr¨

oßeren Auftreffwinkel als 60 gon aufgrund der starken Spiegeleffekte

nicht m¨

oglich. Als Konsequenz aus diesen Untersuchungen muss festgestellt werden, dass schleifende Schnitte

im Auftreffwinkel des Lasermessstrahls bei der Messung mit diesen Instrumenten bei einer hohen Genauig-

keitsanforderung wenn m¨

oglich vermieden werden sollten, der Einfluss unterschiedlicher Materialien hingegen

vernachl¨

assigbar klein ist.

Des Weiteren ist in einem praktischen Einsatz auf eine ungest¨

orte Sichtfreiheit des Messstrahlb¨

undels zu

achten. [Br´ys und ´

Cmielewski, 2004] weisen nach, dass der Einfluss einer Teilverdeckung des Messstrahlb¨

undels

zu einer Genauigkeitseinbuße bei der Distanzmessung f¨

uhrt. Dieser Effekt tritt besonders stark an Ecken und

Kanten auf und ist schwer einzugrenzen, d. h. eine Zuordnung der Distanzmessung zur korrekten Entfernung

zwischen Sensor und betreffendem Objektteil ist in diesen F¨

allen nicht oder nur schwer m¨

oglich, vgl. Abbil-

dung 5.2. Der Effekt der ungenauen Streckenmessung wird umso gr¨

oßer, je schleifender der Auftreffwinkel des

Lasermessstrahles auf dem im Vordergrund platzierten Objekt oder Objektteil ist.

InstrumentInstrument

Abb. 5.2: Teilverdeckung des Messstrahlb¨

undels bei der Distanzmessung an zwei hintereinander liegenden Ob-

jektteilen – kritisch ist zu entscheiden, an welchem Objektteil die Streckenmessung erfolgte.

5.1.2 Vergleich mit Referenzstrecken

Ein in der Geod¨

asie, speziell im Bereich der Ingenieurvermessung ¨

ubliches Verfahren zur ¨

Uberpr¨

ufung von

Messger¨

aten ist der Vergleich von Messgr¨

oßen des zu untersuchenden Instrumentes mit den Messgr¨

oßen eines

unabh¨

angigen und mit ¨

ubergeordneter Genauigkeit bekannten Messverfahrens. Durch den Vergleich der Mess-

gr¨

oßen bzw. durch Gegen¨

uberstellung der aus den Messgr¨

oßen abgeleiteten Vergleichsmerkmale sind Aussagen

zur Genauigkeit und bei entsprechenden Messkonfigurationen und Auswertemodellen auch die Ableitung von

Korrektur- und Kalibrierparametern m¨

oglich. [Ivarone und Martin, 2003] fordern in diesem Zusammenhang

ein geeignetes Testfeld mit hochpr¨

azis bestimmten, gut verteilten und sicher identifizierbaren Kontrollpunkten,

welches eine Bestimmung der Instrumentenfehler gew¨

ahrleistet.

[Staiger und Ettel, 2003] vergleichen die mit einem Laserscanner gewonnenen Strecken bei Messungen

auf Holzkugeln mit Referenzstrecken, die mit einem kalibrierten Tachymeter gemessen wurden und leiten

aus den Streckendifferenzen Genauigkeitsaussagen f¨

ur den untersuchten Sensor Imager 5003 der Firma Zol-

ler+Fr¨

ohlich ab. [Santala und Joala, 2003] vergleichen ebenfalls die Ergebnisse aus einer Aufnahme, die mit

dem Cyrax 2500 Scanner der Firma Cyra entstanden sind, mit einer Referenzmessung eines Theodolitmesssy-

stems (bestehend aus 2 Wild T2000) auf 9 Zielzeichen und leiten neben 3D-Genauigkeitsmaßen f¨

ur diskrete

Punkte noch einen Maßstab auf Grundlage einer 7-Parameter Helmert-Transformation zwischen beiden Syste-

men ab. ¨

Ahnliche Untersuchungen wurden f¨

ur den Cyrax 2500 Scanner durchgef¨

uhrt, indem wiederum bekannte

Punkte, ausgebildet als Zielmarken [Staiger, 2002], [Gordon u. a., 2001] und/oder als nat¨

urliche Punkte [Balzani

u. a., 2001], mit diesem Laserscanner angemessen wurden. Eine Aussage zu Genauigkeiten des Sensors wurde im

Nachhinein aus den Differenzen zu den bekannten Koordinaten ermittelt. In [Lichti u. a., 2000] wird ¨

uber den

Vergleich der Messungen eines I-Site3– Laserscanners mit bekannten Strecken einer EDM-Vergleichsstrecke

3Das System der Firma I-Site basierte im Jahre 2000 auf einem Riegl LMS – Z210 Sensor, vgl. Seite 51.

70 5. Kalibrierstrategie

berichtet, vgl. Abbildung 5.3. [Johansson, 2002] f¨

uhrt derartige Untersuchungen zur Ableitung der Strecken-

messgenauigkeit f¨

ur drei verschiedene Laserscanner aus.

Abb. 5.3: Aufbau und Messungen auf einer EDM-Vergleichsstrecke (ohne Maßstabsangabe).

Alle vorgestellten Ans¨

atze treffen nur Aussagen ¨

uber die Genauigkeiten der untersuchten Messger¨

ate, indem

unterschiedlich definierte Zielzeichen (direkte Bestimmung des Zentrums der Zielmarke m¨

oglich) oder Zielk¨

or-

per (Kugeln, Tafeln) angemessen werden. Anschließend erfolgt ein Vergleich mit den Ergebnissen aus einem

Messverfahren h¨

oherer Genauigkeit bzw. den Messwerten eines kalibrierten Referenzger¨

ates, beispielsweise eines

Pr¨

azisionstachymeters. Alle erw¨

ahnten Literaturstellen bestimmen jedoch außer der Additionskonstanten keine

weiteren Instrumentenfehler, sondern zeigen nur den Einfluss der Instrumentenfehler auf die Messungen unter

praktischen Bedingungen [Boehler u. a., 2003].

[Ingensand u. a., 2003] bestimmen f¨

ur den Imager 5003 der Firma Zoller+Fr¨

ohlich neben Untersu-

chungen zur Genauigkeit der Streckenmessung einen Parametersatz von Instrumentenfehlern, bestehend aus

Kippachsfehler und Exzentrizit¨

at der Zielachse. Auf die Bestimmung eines Taumelfehlers, der seine Ursache in

einer Bewegung der momentane Drehachse gegen¨

uber der idealen Drehachse (Stehachse) hat, wird in [Schulz und

Ingensand, 2004a] eingegangen. Dabei beschr¨

anken sich beide Literaturstellen auf eine Komponentenkalibrie-

rung, d. h. bei diesem Kalibrierverfahren erfolgt eine einzelne und getrennte Bestimmung der Instrumentenfehler

des untersuchten Messger¨

ates.

5.2 Kalibrierung im Testfeld

Unter Nutzung der in Kapitel 3 beschriebenen automatischen Verfahren zur Extraktion von Ebenen als Vorstufe

der Bearbeitung von Punktwolken und der verketteten dreidimensionalen Ebenentransformation aus Kapitel 4.3,

ist es nunmehr m¨

oglich, einen Algorithmus zur Kalibrierung von polar messenden (geod¨

atischen) Instrumenten

auf Basis von identischen Ebenen und Verzicht auf Markierungen durch identische Punkte zu entwickeln. Als

Vorteil wird bei diesem Ansatz der Kalibrierung die hohe Punktdichte eines Laserscanners ausgenutzt. Bei den

verfahren mit identischen Punkten kann dies ohne großen Aufwand nicht gew¨

ahrleistet werden. Die Bestimmung

der relevanten Kalibrierparameter erfolgt in einem Ausgleichungsprozess, gleichzeitig werden Genauigkeitsan-

gaben f¨

ur die einzelnen Richtungs- und Streckenbeobachtungen abgeleitet.

5.2.1 Allgemeines Fehlermodell

Die bereits oben angesprochenen, als systematische Abweichungen einzusch¨

atzenden Instrumentenfehler ent-

stehen dadurch, dass abweichend zur gedachten, ideal-geometrischen Konstruktion die Bauteile mathematisch

nicht exakt zusammengesetzt werden k¨

onnen oder die Bauteile w¨

ahrend des Gebrauchs ihre Soll-Lage ver¨

andern

[Deumlich und Staiger, 2002]. Aus diesem Grund ist ein geeignet parametrisiertes Modell des entsprechenden

Instrumentes aufzustellen, mit dem die auftretenden Instrumentenfehler geeignet beschrieben und modelliert

werden k¨

onnen. Dem nachstehenden geometrischen Modell der Kalibrierung liegt die Annahme zugrunde, dass

die auftretenden Instrumentenfehler denen einer geod¨

atischen Totalstation entsprechen, wobei f¨

ur die Winkel-

fehler das Modell eines Theodoliten herangezogen wird.

Ublicherweise werden die Achsenfehler von Theodoliten und Tachymetern bestimmt, indem diskrete Punkte

in zwei Fernrohrlagen angezielt werden. Dabei erfolgt die Ermittlung der Achsenfehler zeitlich voneinander

getrennt. Die Bestimmung des Zielachsenfehlers cmuss bei horizontaler Visur durch Anzielung eines Zielpunktes

in beiden Fernrohrlagen erfolgen

c=HzII

i−200 gon −HzI

2(5.1)

und kann z. B. f¨

ur eine Korrektion kc in der ersten Fernrohrlage

kcI=c

sin Vi

(5.2)

5.2. Kalibrierung im Testfeld 71

genutzt werden. Der Kippachsenfehler iwird nach Beseitigung des Zielachsenfehlers derart bestimmt, dass ein

Zielpunkt, wenn m¨

oglich unter steiler Visur, in zwei Fernrohrlagen angezielt wird

i=HzII

i−200 gon −HzI

2−c

sin Vitan Vi,(5.3)

und kann wiederum zur Korrektion ki

kiI=icot Vi(5.4)

verwendet werden. Die Verarbeitung der Messungen und die Berechnung der Achsenfehler cund ierfolgt bei

elektronischen Tachymetern meist in der ger¨

ateinternen Software oder wird vom Anwender nach oben genannten

Formeln berechnet. Bei Polaraufnahmen und der damit verbundenen Messung in einer Fernrohrlage m¨

ussen

die Instrumentenfehler als Korrektur angebracht werden. Wird mit einem Instrument hingegen in zwei Lagen

gemessen, so ist die gemittelte Ablesung der Horizontalrichtung und Zenitdistanz frei vom Einfluss eventueller

Kipp- und Zielachsenfehler [Deumlich und Staiger, 2002].

F¨

ur hochgenaue Anwendungen in der Ingenieurvermessung, z. B. in der Industrievermessung mit sehr steilen

Visuren weist [Stahlberg, 1997] jedoch daraufhin, dass die Mittelung der Zenitwinkelablesung den Einfluss der

Achsfehler nicht beseitigt. Desweiteren wird dort nachgewiesen, dass der gemeinsame Einfluss der Achsfehler

auf die Horizontal- und Zenitwinkelmessung nicht vernachl¨

assigt werden darf. Um diesem Einfluss ¨

uber den

gesamten Messungsbereich der polaren Instrumente Rechnung zu tragen, werden folgende Formeln zum Ein-

fluss beider Fehlergr¨

oßen auf die Winkelmessung herangezogen. Abgeleitet wurden diese Korrekturformeln aus

der vektoriellen Betrachtung der beiden Fehlergr¨

oßen [Stahlberg, 1997], da die Korrekturen Funktionen des

Kippachsenfehlers iund des Zielachsenfehlers csind, sich jedoch gegenseitig beeinflussen. Die Korrektur die

Horizontalwinkelmessung l¨

asst sich darstellen zu:

Hzkorri=Hzi+ ∆Hzi=Hzi+ arctan cos itan c

sin Vi

+sin i

tan Vi.(5.5)

Der Vertikalwinkel muss ebenfalls vom Einfluss des Kipp- und Zielachsenfehlers bereinigt werden:

Vkorri= arccos (cos icos ccos Vi−sin isin c).(5.6)

Die oben beschriebene Messungsanordnung der Messung in zwei Fernrohrlagen zur Bestimmung der Ach-

senfehler ist jedoch f¨

ur Laserscanner nicht realisierbar, da sich diskrete Punktpositionen des Laserstrahls aus

konstruktiven Gr¨

unden nicht reproduzieren lassen. Um dennoch aus den origin¨

aren Messwerten systemati-

sche Instrumentenfehler bestimmen und Genauigkeitsaussagen treffen zu k¨

onnen, greift man im Allgemeinen

auf Zielkugeln und Zielmarken zur¨

uck, deren Zentren wiederum diskrete Punkte repr¨

asentieren. Durch Ablei-

tung der Kugelmittelpunktskoordinaten aus einer Vielzahl von einzelnen Messpunkten werden diese diskreten

Punkte erhalten, aus denen durch geeignet parametrisierte Modelle die oben genannten Instrumentenfehler und

Genauigkeitsangaben f¨

ur die einzelnen Komponenten ableitbar sind.

Die beschriebene L¨

osung kann aber durch das ung¨

unstige Reflektionsverhalten am Rand der Kugeln zu

Modellierungsproblemen der Mittelpunktskoordinaten f¨

uhren, die nur durch ein interaktives Eingreifen in den

Modellierungsprozess beseitigt werden k¨

onnen. Dieser Effekt des ¨

Uberstrahlens an den R¨

ander einer Kugel

oder Zieltafel und somit die Messung nicht zum Zielzeichen geh¨

orender Punkte (Mischpixel) wird in diesem

Zusammenhang auch Kometenschweif genannt [Staiger, 2003].

Als weiteres Manko dieses Ansatzes ist zu nennen, dass die hohe Punktdichte des Laserscanners bei der Be-

stimmung von Kalibrierwerten nicht ausgenutzt wird. Im nachfolgend beschriebenen Verfahren wird daher eine

andere Messungsanordnung genutzt. Anstatt identischer Punkte werden identische Ebenen von unterschied-

lichen Laserscannerstandpunkten aus angemessen. Aus der großen Menge der Beobachtungswerte lassen sich

mit Hilfe einer Ausgleichung Ebenen-, Standpunkt- und Instrumentenparameter sch¨

atzen und auf Signifikanz

untersuchen.

Herleitung der Winkelfehler

Bei Messungen mit einem scannenden Messinstrument werden – durch die Schrittmotoren oder durch die ent-

sprechenden Inkremente der Encoder beim Abgriff der Positionen der rotierenden Elemente im Sinne einer

”Teilkreisablesung“ – vorgegebenen Kugelkoordinaten die zugeh¨

origen Raumpunkte zugeordnet. Im Gegensatz

dazu erfolgt die Zuordnung bei der Messung mit einer Totalstation umgekehrt. Die Definitionen von Horizontal-

und Vertikalwinkeln erfolgt bei den scannenden Instrumenten dennoch analog zu den Bezeichnungen eines Theo-

doliten.

72 5. Kalibrierstrategie

Bei der Winkelmessung werden Kugelkoordinaten φund Θ bez¨

uglich einer lokalen Basis bestimmt, die

nachstehende Eigenschaften besitzt, vergleiche dazu auch Abbildung 5.4 (a). Der Ursprung des lokalen Koor-

dinatensystems befindet sich im Schnittpunkt der Achsen, die Hauptrichtung e3des orthonormalen Dreibeins

entspricht der Drehachse, die Nebenrichtung e1wird durch die Richtung vom Mittelpunkt des Drehkreises zu

seiner Nullmarke festgelegt und die Nebenrichtung e2steht rechtwinklig auf beiden, so dass sich ein Linkssystem

ergibt [Stahlberg, 1997].

e2e1

(Drehachse)

Drehachse

reale Zielachse

korrigierte Zielachse

100 gon

(a) (b)

(Richtung

Nullmarke)

Kippachse

reale

korrigierte

Abb. 5.4: Winkeldefinitionen zur Bestimmung der Kugelkoordinaten φund Θ(a) sowie Darstellung Zielach-

senfehler cund Kippachsenfehler i(b), nach [Stahlberg, 1997].

Aufbauend auf diese Definitionen lassen sich die Achsfehler eines polar messenden Instrumentes folgendermaßen

beschreiben. Als Zielachsenfehler cwird der Winkel zwischen Zielachse und der Normalen zur Kippachse,

gemessen in der Ebene aufgespannt durch Kippachse und Zielachse, bezeichnet. Der Kippachsenfehler iist

dann folgerichtig der Winkel zwischen Kippachse und der Normalen zur Drehachse, gemessen in der durch

Drehachse und Kippachse aufgespannten Ebene [Stahlberg, 1997]. Der H¨

ohenindexfehler hwird als konstanter

Offset auf die Ablesungen der Vertikalwinkel (Zenitwinkel) verstanden und im funktionalen Modell entsprechend

mitgesch¨

atzt.

Aufgrund der mechanischen Konstruktion des Prototypen PoMeS m¨

ussen zus¨

atzlich zu den oben beschrie-

benen Achsfehlern noch drei weitere Instrumentenfehler eingef¨

uhrt werden. Bei diesen drei Parametern handelt

es sich um Achsexzentrizit¨

aten zwischen den Hauptachsen des Messsystems, wie in Abbildung 5.5 dargestellt.

Mit der Modellierung dieser zus¨

atzlichen Parameter f¨

ur die orthogonalen Achsabst¨

ande wird die These ¨

uber-

pr¨

uft, ob sich die drei Ger¨

ateachsen in einem gemeinsamen Punkt treffen. Die Instrumentenfehler evh, evz und

ehz bezeichnen in gleicher Reihenfolge die orthogonalen Abst¨

ande zwischen Steh- und Kippachse, zwischen Steh-

und Zielachse und zwischen Kipp- und Zielachse.

Zusammenfassend wird das instrumenteneigene polare Koordinatensystem durch eine vertikale Drehachse

(Stehachse), eine horizontale Drehachse (Kippachse) sowie durch den Laserstrahl (Zielachse) realisiert. Die

gegenseitige Lage dieser drei Achsen im Raum l¨

asst sich durch 6 Parameter – drei Translationen und drei Ro-

tationen – beschreiben. Die Winkel werden in einer Projektionsebene gemessen, die zu den jeweils betrachteten

Achsen parallel ist. Die Translationen sind definiert zu:

evh : Orthogonaler Abstand Stehachse - Kippachse

evz : Orthogonaler Abstand Stehachse - Zielachse

ehz : Orthogonaler Abstand Kippachse - Zielachse

und die Rotationen beschreiben folgende Winkel:

αvh : Winkel zwischen Stehachse und Kippachse

αvz : Winkel zwischen Stehachse und Zielachse

αhz : Winkel zwischen Kippachse und Zielachse .

5.2. Kalibrierung im Testfeld 73

Folgende Beziehungen gelten f¨

ur die Winkel:

αvh +i= 100 gon (5.7)

αvz = Θ + h(5.8)

αhz +c= 100 gon (5.9)

mit

i: Kippachsenfehler

h: H¨

ohenindexfehler

Θ : gemessener Zenitwinkel

c: Zielachsenfehler .

Die Komponenten des Stehachsenfehlers ξund η, d. h. die Abweichung der Stehachse des Instrumentes aus

der Lotrechten, werden im vorliegenden Modell nicht als instrumentenspezifische Fehler betrachtet, sondern

vielmehr als standpunktspezifische Orientierungsparameter. Sie k¨

onnen als rotatorische Transformationspara-

meter des lokalen Koordinatensystems in das ¨

außere globale Referenzkoordinatensystem interpretiert werden.

Sie werden daher f¨

ur jede Aufstellung separat bestimmt und durch die Einf¨

uhrung von Rotationsquaternionen

modelliert. Auf Grundlage dessen ist die Orientierung des zu untersuchenden Instrumentes beliebig w¨

ahlbar.

Stehachse Phasenzentrum Zielachse

Kippachse

evh

evz

ehz

korr.

Abb. 5.5: Nullpunktkorrektur und Achsexzentrizit¨

aten, am Beispiel des PoMeS.

Streckenmessfehler

Die Streckenmessfehler k¨

onnen in einen konstanten und in einen streckenproportionalen Anteil zerlegt werden.

Bei dem konstanten Anteil handelt es sich um die Nullpunktkorrektur k0, unter der in diesem Zusammenhang der

anzubringende systematische Anteil an der durch den Lasersensor gemessenen Distanz verstanden wird, der sich

aus dem Zusammenspiel Entfernungsmessteil – Reflexionsmedium ergibt. Die Korrektion ist bedingt durch eine

starke Abh¨

angigkeit von den Materialeigenschaften der einzelnen Bauteile als eine Distanzmesser-Reflexmedium-

Kombination zu bestimmen [Joeckel und Stober, 1999]. Sie ist des Weiteren von den Materialeigenschaften, wie

z. B. der Struktur und der Oberfl¨

achenrauhigkeit des aufzunehmenden Objektes abh¨

angig.

Der lineare Anteil des Streckenmessfehlers wird im folgenden als Maßstabsfehler mbezeichnet. Die Schr¨

ag-

strecke Sist somit gegeben zu:

S=k0+Sgem ·m(5.10)

mit

S: Schr¨

agstrecke

k0: Nullpunktkorrektur

Sgem : gemessene Schr¨

agstrecke

m: Maßstab .

74 5. Kalibrierstrategie

Auf die Bestimmung des linearen Anteils am Streckenmessfehler wird im Folgenden nicht explizit eingegan-

gen, da die M¨

oglichkeiten zur differenzierteren Betrachtung mittels Vergleichsmessungen auf einer interferome-

trischen Messstrecke nicht gegeben sind und somit die Berechnung eines Maßstabsfaktors mittels Helmert-

Transformation nach Gleichung 4.1 nicht sinnvoll erscheint. Auf die Bestimmung eines Maßstabsfehlers wird

dennoch kurz eingegangen, da durch eine geeignete Messanordnung mittels Zwangszentrierung auf bekannten

Punkten auch dieser Einfluss modelliert werden kann.

5.2.2 Modellierung der Instrumentenfehler

Die im vorangegangenen Abschnitt eingef¨

uhrten Instrumentenfehler m¨

ussen in einem n¨

achsten Schritt in einen

funktionalen Zusammenhang mit den urspr¨

unglichen Beobachtungen gebracht werden. Aus diesem Grund

werden die kartesischen Koordinaten als Funktion der Beobachtungen und der auftretenden Instrumentenfehler

formuliert. Die Aufstellung der Gleichungen

Xi=



z

i

=f(φ, Θ, Sgem, c, i, h, k0, m, evh, evz, ehz) (5.11)

mit

φ: Kugelkoordinate, erster Raumwinkel, entspricht Horizontalkreisablesung [gon]

Θ : Kugelkoordinate, zweiter Raumwinkel, entspricht Vertikalkreisablesung [gon]

Sgem : gemessene Schr¨

agstrecke [m]

c: Zielachsenfehler [gon]

i: Kippachsenfehler [gon]

h: H¨

ohenindexfehler [gon]

k0: Nullpunktkorrektur des Entfernungsmessteils [m]

m: Maßstab

evh, evz, ehz : Achsexzentrizit¨

aten [gon]

zur Bestimmung der kartesischen Koordinaten besitzen den Vorteil, dass sie als Bedingungsgleichungen im

Ausgleichungsprozess formuliert werden k¨

onnen.

Systemtransformationen

Die Modellierung der Instrumentenfehler wird ¨

uber die sukzessive Einf¨

uhrung von Instrumentenparametern und

deren Beschreibung in verschiedenen Systemtransformationen erreicht, siehe Abbildung 5.6.

e2=Y(glo)

e1=X(glo)

Instrumentensystem:

unkorrigierte Achsen, mit

systematischen Fehlern behaftet

Lokales (globales) System:

Korrigierte Achsen, von (modellierten)

systematischen Fehlern befreit

Sukzessives Einführen von

Instrumentenfehlern in den

Transformationsprozess:

(, ,S)

e3=Z(glo)

Abb. 5.6: Illustration zur Modellierung der Instrumentenfehler: Durch sukzessives Einf¨

uhren der Instrumen-

tenfehler in den Transformationsprozess erfolgt eine ¨

Uberf¨

uhrung des lokalen unkorrigierten Instru-

mentensystems in das ¨

ubergeordnete, um alle systematischen Effekte bereinigte Koordinatensystem.

5.2. Kalibrierung im Testfeld 75

Dabei wird der Weg von den Beobachtungen zu den kartesischen Koordinaten eines lokalen Systems, bei ent-

sprechender Transformation auch eines globalen Systems, unter Ber¨

ucksichtigung der systematischen Instru-

mentenfehler dargestellt.

System 1 (Ausgangssystem): Im Ausgangssystem der verschiedenen nacheinander auszuf¨

uhrenden Trans-

formationen ist nur die Streckenbeobachtung ber¨

ucksichtigt. Daraus ergibt sich f¨

ur das beschreibende orthonor-

male Dreibein bez¨

uglich der lokalen Basis [e1, e2, e3] folgende Konfiguration: e1entspricht der unkorrigierten

Zielachse, e2steht senkrecht auf der unkorrigierten Zielachse und e3steht senkrecht auf e1und e2. Unter

Verwendung der Quaternionenschreibweise stellt sich ein Ortsvektor Xiim System 1 wie folgt dar:

i=

0,



k0+Sgem ·m

0



.(5.12)

System 2: Die folgende Transformation l¨

asst den Zielachsenfehler cin das funktionale Modell mit einfließen,

d. h. es wird eine Rotation mit dem Zielachsenfehler um e3durchgef¨

uhrt, da dieser in einer Normalebene zu e3

liegt. Die Rotation

i=q1·X1

i·q∗

1mit q1=



cos c

2,





sin c

2







(5.13)

f¨

uhrt dazu, dass e1der korrigierten Zielachse entspricht, e2senkrecht auf der Zielachse steht und mit dieser

eine Ebene aufspannt, die eine Parallelebene hat, in der die unkorrigierte Kippachse liegt. e3steht wiederum

senkrecht auf e1und e2.

System 3: Da zus¨

atzlich zu den auf die Winkel- und Streckenmessungen systematisch wirkenden Instrumen-

tenfehlern die in Abbildung 5.5 eingef¨

uhrten Achsexzentrizit¨

aten4in die funktionale Beschreibung eingef¨

uhrt

werden m¨

ussen, wird zum ¨

Ubergang in das dritte System eine Translation mit dem orthogonalen Achsabstand

ehz zwischen der Ziel- und Kippachse angesetzt. Nach erfolgter Transformation stellt der Basisvektor e1die

Zielachse dar, e2entspricht der unkorrigierten Kippachse und analog zu den vorangegangenen Systemen steht

e3senkrecht auf e1und e2. Die Translation um ehz in Richtung von e3liefert:

i=X2

i+q2mit q2=

0,



ehz



.(5.14)

System 4: Das System 4 ist durch die Einf¨

uhrung der Vertikalkreisablesung Θ und des H¨

ohenindexfehlers h

gekennzeichnet. Die Einf¨

uhrung eines H¨

ohenindexfehlers hinsichtlich seiner Art und Wirkungsweise ist jedoch

vom zu untersuchenden Instrument abh¨

angig. Bei der Kalibrierung des PoMeS muss der H¨

ohenindexfehler in

zwei separate Komponenten haund hmzerlegt werden:

1. ha: beschreibt die konstruktionsbedingte Abweichung der Libellenachse aus der Horizontalen, die als

Aufstellungsfehler modelliert wird und

2. hm: dr¨

uckt die ungen¨

ugende Realisierung der Parallelit¨

at zwischen Libellenachse und Zielachse aus, die

mechanisch bedingt ist und als konstant angesehen werden kann.

In der Transformation kann die Summe aus beiden Einflussgr¨

oßen gebildet werden, da beide Einfl¨

usse in die

gleiche Richtung wirken. Die Rotation um e2mit der Summe aus dem Vertikalwinkel Θ und dem Nullpunktfehler

h=ha+hmist gekennzeichnet durch

i=q3·X3

i·q∗

3mit q3=





cos Θ+h

2,





sin Θ + h

2











.(5.15)

4Wie bereits auf Seite 72 erl¨

autert, handelt es sich bei diesen zus¨

atzlichen Instrumentenfehlern um flexibel anzusetzende syste-

matischen Fehler, die von der mechanischen Konstruktion des jeweils zu kalibrierenden Instrumentes abh¨

angen. Im Fall des

PoMeS sind diese anzusetzen.

76 5. Kalibrierstrategie

Nach der Transformation entspricht der Basisvektor e1der Projektion der Zielachse in die Normalebene der

(schiefen) Stehachse, die unkorrigierte Kippachse entspricht e2und e3ist orthogonal zu e1und e2.

System 5: Der ¨

Ubergang in das System 5 vollzieht sich durch die Einf¨

uhrung des Kippachsenfehlers i, indem

um den Basisvektor e1rotiert wird:

i=q4·X4

i·q∗

4mit q4=





cos i

2,





sin i

2











.(5.16)

Anschließend liegt folgendes System vor: e1entspricht der Projektion der Zielachse in die Normalebene der un-

korrigierten Stehachse, die Kippachse entspricht e2und e3ist eine Parallelversetzte zur unkorrigierten Stehachse.

Der Abstand zwischen der unkorrigierten Stehachse und der zu ihr Parallelen ist durch die Achsexzentrizit¨

aten

evh und evz begr¨

undet.

System 6: Die Translationen mit den orthogonalen Achsabst¨

anden zwischen der Steh- und Kippachse evh und

zwischen der Steh- und Zielachse evz f¨

uhren zur Verschiebung des Systems 6 in die unkorrigierte Stehachse:

i=X5

i+q5mit q5=

0,



evh

evz

0



.(5.17)

System 7: Die Ber¨

ucksichtigung der Instrumentenfehler im vorangegangenen Transformationsschritt haben

dazu gef¨

uhrt, dass die Basisvektoren e1der Zielachse, e2der Kippachse und e3der unkorrigierten Stehachse

entsprechen. Durch eine Rotation um die Drehachse e3mit dem Horizontalwinkel φ

i=q6·X6

i·q∗

6mit q6=





cos φ

2,





sin φ

2









(5.18)

wird das lokale System so gedreht, dass der Basisvektor e1der Nullrichtung des Instrumentensystems entspricht.

Die Nebenrichtung e2ist orthogonal zu e1und e3ausgerichtet und e3verk¨

orpert die unkorrigierte Stehachse.

Im nun vorliegenden System sind alle Instrumentenfehler modelliert. Die weiteren Transformationen dienen

zur Orientierung des Messsystems in einem ¨

außeren Rahmen, d. h. zur globalen Orientierung in einem ¨

uberge-

ordneten Koordinatensystem.

System 8: Durch eine Rotation mit der Orientierungsunbekannten ωund den Komponenten der Stehachsschiefe

ξund ηwerden die Orientierungsunbekannte und die Stehachsschiefe eliminiert. Eine gesonderte Bestimmung

dieser Aufstellungsunsicherheiten wird hier nicht weiter verfolgt, da sie f¨

ur die Bestimmung der Instrumenten-

fehler nicht von Interesse sind. Die Transformation

i=q7·X7

i·q∗

7mit q7=

q0,



qz



(5.19)

f¨

uhrt dazu, dass der Basisvektor e1parallel zur Nullrichtung des lokalen Koordinatensystems ausgerichtet wird,

e2ist orthogonal zu e1sowie zu e3und der Basisvektor e3entspricht der korrigierten Stehachse, d. h. der lokalen

Lotrichtung.

System 9 (Zielsystem): Durch den letzten Transformationsschritt wird der ¨

Ubergang vom lokalen Instru-

mentensystem in ein ¨

ubergeordnetes Koordinatensystem vollzogen und wird durch drei Translationen tx,tyund

tzausgef¨

uhrt:

i=X8

i+q8mit q8=

0,



tz



.(5.20)

Nach erfolgter Transformation entsprechen die Basisvektoren e1,e2und e3den drei Koordinatenachsen des

ubergeordneten Koordinatensystems.

5.3. Parametersch¨

atzung 77

Transformationsvorschrift

Die Zusammenfassung der einzelnen Transformationen f¨

uhrt zu

i=q7·q6·q4·q3·q1·X1

i·q0

1+q2·q0

3·q0

4+q0

5·q0

6·q0

7+q0

8.(5.21)

Durch Aufl¨

osen der obigen Gleichung und Formulierung von Ersatzparametern in der Form

q9=q7·q6

q10 =q9·q4·q3

q11 =q10 ·q1

ergibt sich die endg¨

ultige Transformationsvorschrift zu

i=q11 ·X1

i·q0

11 +q10 ·q2·q0

10 +q9+q5·q0

9+q8,(5.22)

die eingesetzt in die Ebenengleichung nach Gleichung 3.10 einer Bedingungsgleichung als Funktion von Beob-

achtungen und Unbekannten entspricht:

E:n·X9

i−d= 0 .(5.23)

5.3 Parametersch¨

atzung

Bei der Formulierung eines funktionalen Modells zur Kalibrierung von polaren Messsystemen muss ein Zusam-

menhang zwischen den Beobachtungen liund den unbekannten, in einem Ausgleichungsprozess zu bestimmenden

Kalibrier- und Transformationsparametern xihergestellt werden. Unter Kenntnis des mechanischen und op-

tischen Aufbaus des zu untersuchenden Sensors lassen sich die zu erwartenden Instrumentenfehler aufstellen.

Der elektronische Aufbau der Sensoren kann sich ebenfalls in verschiedenen Fehlern niederschlagen, wird im

Weiteren aber nicht untersucht.

5.3.1 Modellbildung

Im als Gauß-Helmert-Modell bezeichneten Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung ergibt sich folgende

implizite, nichtlineare funktionale Beziehung:

f(li,xi) = 0.(5.24)

Dabei sind die Beobachtungen lizur Bestimmung der dreidimensionalen Koordinaten (x, y, z)ides Punktes

Piam Objekt die Horizontalrichtung Hzi, der Vertikalwinkel Viund die gemessene Schr¨

agstrecke Si. Das

stochastische Modell der Beobachtungen ist gegeben durch Σll =σ2

0Qll,P=Q−1

ll . Zus¨

atzlich zu den Be-

dingungsgleichungen mit Unbekannten nach Gleichung 5.24 unterliegen die unbekannten Parameter xinoch

Bedingungen g(xi), die in ihrer allgemeinen, nichtlinearen Form formuliert werden k¨

onnen zu:

g(x) = 0 .(5.25)

Dem obigen Ansatz hinzugef¨

ugt, erh¨

alt man das erweiterte Gauß-Helmert-Modell, d. h. eine bedingte Aus-

gleichung mit Unbekannten und Bedingungen zwischen den Unbekannten. Unter diesen Randbedingungen l¨

asst

sich, nach einer Linearisierung mittels Taylor-Reihenentwicklung bis zur ersten Ordnung, folgendes differenti-

elles Gleichungssystem anschreiben

BTv+A∆x+w1= 0

CT∆x+w2= 0 ,(5.26)

das aufgrund der realen Beobachtungen und der N¨

aherungswerte der unbekannten Parameter mit Widerspr¨

uchen

behaftet ist.

Bei der Ableitung der Normalgleichungen nach der Methode der kleinsten Quadrate zur Sch¨

atzung der

unbekannten Parameter und den Beobachtungsverbesserungen sind neben der Minimierungsbedingung f¨

ur die

Beobachtungsverbesserungen und der Bedingungsgleichung zwischen den Beobachtungen noch die Bedingungs-

gleichungen zwischen den Parametern in der Lagrangeschen Funktion zu ber¨

ucksichtigen. Die Lagrange-

Funktion als Verfahren der mathematischen Optimierung liefert die L¨

osung dieser Minimierungsaufgabe mit

Nebenbedingungen, d. h. ∆xund vsind so zu bestimmen, dass die Hauptbedingung vTPv unter Erf¨

ullung der

Nebenbedingung (5.26) ein Minimum wird. Die Lagrange-Funktion

Ω = vTPv −2kT

1BTv+A∆x+w1−2kT

2CT∆x+w2(5.27)

78 5. Kalibrierstrategie

liefert f¨

ur ihr Minimum die Gleichungen

∂Ω

∂v= 2vTP−2kT

1BT

∂Ω

∂x=−2kT

1A−2kT

2CT

(5.28)

bzw. −Pv +Bk1= 0

ATk1+Ck2= 0 .(5.29)

Durch Zusammenf¨

uhren von (5.26) und (5.29) ergibt sich das Normalgleichungssystem wie folgt:







−P B 0 0

BT0 A 0

0 AT0 C

0 0 CT0











∆x







+











= 0 .(5.30)

Die Gewichtsmatrix Penth¨

alt die Gewichte der Beobachtungen und ist nur auf der Hauptdiagonalen besetzt.

Die in den Koeffizientenmatrizen Bund Aenthaltenen partiellen Ableitungen der Bedingungsgleichung (5.24)

nach den Beobachtungen und den unbekannten Parametern werden zum Aufbau des Normalgleichungssystems

ebenso ben¨

otigt, wie die Koeffizientenmatrix C, die die partiellen Ableitungen der Bedingungsgleichungen nach

den unbekannten Parametern enth¨

alt. Aufgrund der Komplexit¨

at der Gleichungen (5.24), die zum Besetzen der

Matrizen Bund Aben¨

otigt werden, erfolgt die Ableitung der Bedingungsgleichung numerisch [Alder, 2003].

Der Vektor venth¨

alt die Verbesserungen der Beobachtungen und ∆xist der Vektor der unbekannte Parame-

terzuschl¨

age. Die Gr¨

oßen k1und k2stellen die beiden Korrelatenvektoren der Lagrangeschen Funktion dar

und w1sowie w2bedeuten die Vektoren der Widerspr¨

uche.

Durch Einsetzen von v=QBk1aus (5.29) in (5.26) mit Q=P−1ergibt sich

BTQBk1+A∆x+w1= 0 ,(5.31)

und das verbleibende Gleichungssystem entspricht





BTQB A 0

AT0 C

0 CT0





∆x

k2

+



w2

= 0 .(5.32)

Aus der ersten Gleichung nach k1entwickelt liefert

k1=−(BTQB)−1(A∆x+w1),(5.33)

und durch Einsetzen in die zweite Gleichung folgt daraus:

−ATBTQB−1A∆x+Ck2−ATBTQB−1w1= 0 .(5.34)

Das zweimal reduzierte System ergibt sich demnach zu:

"−ATBTQB−1A C

CT0#∆x

k2+"−ATBTQB−1w1

w2#= 0 .(5.35)

Unter Verk¨

urzung der Formeln nach [H¨

opcke, 1980]

BTQB =M,ATM−1A=Nund CTN−1C=S,(5.36)

liefert die Aufl¨

osung dieses Systems die L¨

osungen:

k2=S−1[(N−1C)T(M−1A)Tw1−w2] (5.37)

∆x=N−1[Ck2−(M−1A)Tw1] (5.38)

k1=−M−1(A∆x+w1) (5.39)

v=QBk1.(5.40)

5.3. Parametersch¨

atzung 79

5.3.2 Datumsverf¨

ugung

Das Normalgleichungssystem dieser Ausgleichungsaufgabe ist aufgrund der fehlenden Datumsverf¨

ugung eben-

falls singul¨

ar, vgl. auch Kapitel 4.3.3. Auch hier wird durch Einf¨

uhrung einer zur Zahl der in den Normal-

gleichungen auftretenden Rangdefekten ¨

aquivalenten Anzahl von datumsgebenden Parametern dieser Defekt

behoben [Welsch u. a., 2000]. Dies gelingt durch die Definition der Translationen und Rotationen bez¨

uglich der

drei Koordinatenachsen (eines Standpunktes), indem die Translationskomponenten und drei der vier Kompo-

nenten des Rotationsquaternions festgehalten werden.

Eine andere Vorgehensweise der Datumsverf¨

ugung ist durch das Einf¨

uhren von direkt beobachteten Ebe-

nenparametern gegeben. Neben der ¨

Uberwindung des Rangdefektes bietet diese Art der Datumsfestlegung die

M¨

oglichkeit, bekannte Ebenenparameter mit ihren Kovarianzmatrizen als stochastische Vorinformation in den

Ausgleichungsprozess zu integrieren. Die Lagerung des Netzes erfolgt auf den entsprechenden Datumsebenen

ihrem Genauigkeitspotential entsprechend ”weich“.

5.3.3 Genauigkeit und Zuverl¨

assigkeit

Unter der Annahme, dass die funktionalen Beziehungen zwischen Messgr¨

oßen und unbekannten Parametern

korrekt modelliert wurden und die a-priori Annahmen ¨

uber Standardabweichungen und Korrelationen zutreffen,

liefert die Kofaktorenmatrix Qxx und der Sch¨

atzwert f¨

ur den Varianzfaktor s2

0eine Aussage zur Genauigkeit

der Parametersch¨

atzung. Die Kofaktorenmatrix, vgl. [H¨

opcke, 1980], ergibt sich zu

Qxx =N−1−N−1CS−1CTN−1,(5.41)

und der Sch¨

atzwert f¨

ur den Varianzfaktor

0=vTPv

r(5.42)

mit der Redundanz r. Diese ist, wie [Ackermann, 1981] zeigt, identisch mit der Spur von QvvP. Die Redun-

danzanteile

i=1

rimit ri= (QvvP)ii (5.43)

besagen, welchen Anteil eine Beobachtung ian der Gesamtredundanz liefert. Die Kofaktorenmatrix Qvv ist

Tr¨

ager zur Bestimmung von Zuverl¨

assigkeitskriterien

Qvv =QBQk1k1BTQmit Qk1k1=M−1−M−1AQxxATM−1.(5.44)

Analog zu den Ausf¨

uhrungen in Kapitel 4.3.4 lassen sich zum Schutz vor groben Fehlern Zuverl¨

assigkeitsmaße

ableiten. Die nach Gleichung 4.42 eingef¨

uhrten normierten Verbesserungen stellen das zum Auffinden und

zur anschließenden Bewertung von groben Beobachtungsfehlern n¨

otige Werkzeug dar. Durch die sukzessive

Eliminierung der Beobachtung mit der jeweils gr¨

oßten normierten Verbesserung bis hin zu einem Grenzwert, und

anschließender Wiederholung der Ausgleichung, ist das praktische Vorgehen der Grobfehlersuche gekennzeichnet.

5.3.4 Hypothesentests

Im vorliegenden funktionalen Ausgleichungsmodell werden in Abh¨

angigkeit des zu untersuchenden Instrumentes

eine in quantitativer Hinsicht verschiedene Anzahl von Instrumentenfehlern angesetzt. Da sich die Auspr¨

agung

bzw. das Auftreten der Instrumentenfehler von Ger¨

at zu Ger¨

at unterscheiden k¨

onnen, m¨

ussen die im Ausglei-

chungsprozess gesch¨

atzten Parameter auf Signifikanz getestet werden. Dies geschieht durch die Einf¨

uhrung von

Signifikanz- oder Hypothesentests auf Basis der Fischer- und Student-Verteilung.

Globaltest

Ein erster Indikator im Sinne eines Globaltestes ist der Vergleich der Verbesserungsquadratsummen vTPv

zwischen zwei Parametersch¨

atzungen SIund SII, wobei in der Parametersch¨

atzung SIalle Instrumentenfehler

frei gegeben werden und in der Parametersch¨

atzung SII ein Zwang im Ausgleichungsprozess in der Gestalt

ausge¨

ubt wird, dass alle Instrumentenfehler zu Null gesetzt werden. Es wird somit die Hypothese aufgestellt,

dass keine Instrumentenfehler vorliegen. Da die Varianzfaktoren sI

0und sII

0nicht voneinander unabh¨

angig sind,

erfolgt der ¨

Ubergang zur Testgr¨

oße

F=(vTPv)II −(vTPv)I

∆r(5.45)

80 5. Kalibrierstrategie

mit ∆rals Differenz der aus den Teilausgleichungen erhaltenen Einzelredundanzen, vergleiche dazu [Wolf, 1980].

Die f¨

ur die Durchf¨

uhrung des Test g¨

ultige Wahrscheinlichkeitsbeziehung lautet analog zu 4.43

P{F > Ff1,f2,1−α|H0}=α(5.46)

mit FfII ,fI,1−αals Quantil der F-Verteilung mit fII und fIals Anzahl der Freiheitsgrade der Einzelausgleichun-

gen. Bei der praktischen Anwendung dieses Tests kann mit dem Signifikanzniveau 1 −αbeim ¨

Uberschreiten

des zugeh¨

origen Grenzwertes der F-Verteilung durch die Testgr¨

oße festgestellt werden, dass die Einf¨

uhrung

von Kalibrierparametern eine signifikante ¨

Anderung der Ausgleichungsergebnisse bewirkt, d. h. die Einf¨

uhrung

von Kalibrierparametern f¨

uhrt zu einer Verbesserung der Ausgleichungsergebnisse. Im Falle von bereits vom

Hersteller kalibrierten Instrumenten ist somit einerseits eine Aussage zur korrekten Kalibrierung der Sensoren

m¨

oglich. Andererseits wird die Richtigkeit der angesetzten Kalibrierparameter ¨

uberpr¨

uft.

Lokaltest

Zum Testen der einzelnen Kalibrierparameter auf Signifikanz kommt ein t-Test zur Anwendung, bei dem die

Hypothese untersucht wird, ob sich der jeweilige zu testende Parameter signifikant vom Erwartungswert ξgleich

Null unterscheidet. Durch die Einf¨

uhrung der Nullhypothese H0:xi= 0 ergibt sich explizit die Alternativhy-

pothese HA:xi6= 0, die zu einem zweiseitigen Test f¨

uhrt. Die Pr¨

ufgr¨

oße tergibt sich zu

t=xi−ξ

sxi

(5.47)

und wird gegen den Schrankenwert tS, der eine Funktion der Redundanz rund der Sicherheitswahrscheinlichkeit

Sist, verglichen. Ist die Pr¨

ufgr¨

oße tkleiner als der Schrankenwert tS, kann mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

auf das Zutreffen der Nullhypothese geschlossen werden, d. h. im konkreten Fall ist der betreffende Kalibrierpa-

rameter als nicht signifikant anzunehmen und aus der Liste der zu sch¨

atzenden Instrumenten-Kalibrierparamter

zu entfernen. Aufgrund der Korrelation zwischen den Parametern ist jedoch nur derjenige Parameter zu entfer-

nen, der die kleinste Pr¨

ufgr¨

oße aufweist. Anschließend ist die Parametersch¨

atzung zu wiederholen.

5.3.5 Varianzkomponentensch¨

atzung

Sind die Genauigkeitsniveaus der Beobachtungsgruppen nicht hinreichend genau bekannt, lassen sich die Be-

obachtungen und Verbesserungen der Zerlegung der Kovarianzmatrix entsprechend in Beobachtungsgruppen

unterteilen. Auf diese Weise l¨

asst sich eine Varianzkomponentensch¨

atzung durchf¨

uhren, die h¨

aufig zur Verbes-

serung der Parametersch¨

atzung beitr¨

agt. F¨

ur die einzelnen Beobachtungsgruppen ilassen sich eigene Varianz-

faktoren σ2

0ieinf¨

uhren, die als Varianzkomponenten bezeichnet werden, vgl. [Niemeier, 2002] sowie [Welsch

u. a., 2000] und f¨

ur deren Berechnung ein iteratives Vorgehen n¨

otig ist. Nach Aufstellung einer Startl¨

osung f¨

das stochastische Modell (m2

0i) wird die Ausgleichung nach dem oben eingef¨

uhrten Modell berechnet. F¨

ur die

Sch¨

atzung der Varianzkomponenten einer Beobachtungsgruppe igilt

0i=vT

iPiivi

sp (QvvPii),(5.48)

die benutzt werden, um die Startwerte m2

0izu verbessern. Die iterative Berechnung wird durchgef¨

uhrt, bis f¨

alle neu gesch¨

atzten Varianzkomponenten das Konvergenzziel s2

0i= 1,0 erreicht ist. Die Analyse der Varianz-

komponenten setzt voraus, dass keine Modellfehler vorliegen und dass das Beobachtungsmaterial frei von groben

Fehlern ist. Die Eliminierung von groben Fehlern ist im Zuge der Parametersch¨

atzung im eingef¨

uhrten Modell

nach Gleichung (4.42) m¨

oglich und ist vor der Varianzkomponentensch¨

atzung entsprechend durchzuf¨

uhren.

5.4 Simulation von Instrumentenfehlern

Um die entwickelte Kalibrierstrategie auf ihre Leistungsf¨

ahigkeit zu testen, wurde ein synthetischer Simulati-

onsdatensatz bestehend aus 14 Ebenen erzeugt, vgl. Abbildung 5.7. Zu diesen Ebenen wurden fiktive Beobach-

tungen aus den Koordinaten der jeweiligen Objektpunkte auf der Oberfl¨

ache der Ebenen berechnet und um die

in Tabelle 5.2 aufgef¨

uhrten Instrumentenfehler verf¨

alscht. Der H¨

oheninexfehler wurde als standpunktabh¨

angig

eingef¨

uhrt und nur auf einem der vier simulierten Instrumentenstandpunkte ber¨

ucksichtigt.

Eine erste Simulation mit 9 Beobachtungen pro Standpunkt ergab hinsichtlich der ben¨

otigten Anzahl an

Beobachtungen, dass f¨

ur eine ausreichend genaue und sinnvolle Bestimmung der Instrumentenfehler die aus

5.5. Testumgebung 81

der Anzahl an Beobachtungen und der zu sch¨

atzenden unbekannten Parameter resultierende Redundanz nicht

ausreicht. Durch eine Erh¨

ohung der Anzahl an Beobachtungen pro Ebene auf 25 wird die Zuverl¨

assigkeit in

der Bestimmung erh¨

oht. Ebenfalls f¨

uhrt eine Erh¨

ohung der Anzahl an Instrumentenstandpunkten zu einer

verbesserten Sch¨

atzung der unbekannten Parameter. Im praktischen Einsatz der Kalibrierstrategie gilt es aus

diesem Grund, eine sinnvolle Absch¨

atzung zwischen der Anzahl an Instrumentenstandpunkten und somit dem

Messaufwand und der Bestimmungsgenauigkeit der unbekannten Parameter zu treffen. Eine Steigerung der

Anzahl an Beobachtungen ist einer Erh¨

ohung der Anzahl an Standpunkten sicherlich vorzuziehen, da der Auf-

wand wesentlich geringer ist, aus den vergleichsweise großen Datenmengen, die beim Scannen ohnehin anfallen,

Beobachtungen zu extrahieren, als zus¨

atzliche Messungen auf einem weiteren Standpunkt vorzunehmen.

Instrumentenstandpunkte

Abb. 5.7: Simulierte Ebenen zur Erzeugung fiktiver Beobachtungen.

Bei Ansicht der Ergebnisse der simulierten Parametersch¨

atzungen l¨

asst sich feststellen, dass der vorgestellte

Kalibrieransatz eine vollst¨

andige und genaue Bestimmung der Instrumentenfehler zul¨

asst. Auf der anderen

Seite muss festgestellt werden, dass die Parametersch¨

atzung versagt, wenn die Instrumentenfehler Kippachsen-

fehler, Zielachsenfehler und H¨

ohenindexfehler in der gleichen Gr¨

oßenordnung wie die Messgenauigkeit des zu

untersuchenden Instrumentes vorliegen.

Simulationberechnungen, 14 Ebenen, 25 Beobachtungen/Ebene

Simulierte Parametersch¨

atzung bei simulierten Messgenauigkeiten

Instrumentenfehler σφ,Θ= 0 mgon σφ,Θ= 1 mgon σφ,Θ= 3 mgon σφ,Θ= 1 cgon

σS= 0 mm σS= 1 mm σS= 3 mm σS= 1 cm

Kippachsenfehler 20,0 mgon 20,0 mgon 21,7 mgon 26,1 mgon -

Zielachsenfehler 20,0 mgon 20,0 mgon 20,0 mgon 16,9 mgon 37,7 mgon

H¨

ohenindexfehler 20,0 mgon520,0 mgon 15,9 mgon 20,0 mgon -

Nullpunktkorrektur -5,0 mm -5,0 mm -4,9 mm -5,6 mm -5,3 mm6

Tabelle 5.2: Parametersch¨

atzung bei der Simulation von Instrumentenfehlern, aufgef¨

uhrt sind nur die aus der

Ausgleichung erhaltenen signifikanten Parameter.

5.5 Testumgebung

Zum Zwecke einer Machbarkeitsstudie wurde an der Technischen Universit¨

at Berlin in einem Laborraum ein

Kalibrierfeld installiert. Aufgrund baulicher Gegebenheiten besteht dieses aus 15 Ebenen, vgl. Abbildung 5.8.

5Der H¨

ohenindexfehler wurde nur auf Standpunkt vier als standpunktabh¨

angiger Instrumentenfehler eingef¨

uhrt.

6Die Parametersch¨

atzung f¨

ur die Nullpunktkorrektur ist an der Nachweisgrenze des statistischen Tests.

82 5. Kalibrierstrategie

Die Ebenen sind, damit der gesamte Instrumentenhorizont abgedeckt werden kann, gleichm¨

aßig im Raum ver-

teilt und als Platten an Decke, Fußboden und den W¨

anden ausgebildet. Zus¨

atzlich wurden mehrere schr¨

angebrachte Platten montiert. Dadurch wird gew¨

ahrleistet, dass wesentlich mehr und mit anderen Orientie-

rungsparametern versehene Ebenen als die in einem normalen Raum zur Verf¨

ugung stehenden Ebenen in den

Kalibrierprozess eingebracht werden. Die Wahl von ebenen Platten gegen¨

uber der Nutzung der W¨

ande und

Decken hat zudem noch den Vorteil, dass eventuelle nat¨

urliche St¨

oreffekte der vorhanden Bausubstanz, bei-

spielsweise konvexe oder konkave W¨

olbungen und Unstetigkeitsstellen der Ebenen, nicht in den Kalibrierprozess

einfließen und diesen st¨

oren.

Als Kalibrierplatten wurden handels¨

ubliche beschichtete Spanplatten mit den ungef¨

ahren Abmessungen von

1.0 m ×1.3 m verwendet. Getestet wurden im Vorfeld die Reflexionseigenschaften unterschiedlicher Beschich-

tungsmaterialien. Ausgew¨

ahlt wurden zum Einbau in den Kalibrierraum die Spanplatten mit einer heliograuen

Beschichtung, die ¨

uber die besten Reflexionseigenschaften verf¨

ugt. Die Kalibrierplatten wurden unter einer

Dreipunktlagerung an die betreffenden Ausschnitte des Kalibrierraumes angeschraubt, um keinen Zwang in der

Befestigung auf die Platten auszu¨

uben, falls die W¨

ande oder der Boden nicht eben sind.

Abb. 5.8: Realisierung eines Testfeldes mit Kalibrierplatten (Ausschnitt). Zur Darstellung des Grundrisses

siehe auch Abbildung 4.9.

Eine wichtige Forderung im Rahmen der Kalibrierstrategie ist, dass die angemessenen Objektpunkte pro Test-

feldplatte in die Formgleichung der Ebene gezwungen werden. Aus diesem Grund ist es wichtig, die verwendeten

Kalibrierplatten auf Ebenheit zu ¨

uberpr¨

ufen. Dazu wurden beispielhaft zwei dieser Kalibrierplatten (vertikal an

einer Wand im Kalibrierraum angebracht und eine schr¨

ag abgeh¨

angte Kalibrierplatte) mit einem Messverfah-

ren h¨

oherer Genauigkeit vermessen. Ein Messverfahren h¨

oherer Genauigkeit gegen¨

uber dem Laserscanning ist

beispielsweise die photogrammetrische Auswertung mehrerer Bilder in einer gemeinsamen B¨

undelblockausglei-

chung. Zum Zweck der ¨

Uberpr¨

ufung auf Ebenheit wurde ein Raster von Markierungen auf die Kalibrierplatten

aufprojiziert, wobei f¨

ur die Zeit, die zur Aufnahme von 5 Bilder ben¨

otigt wurde, die Stabilit¨

at des verwendeten

Beamers in Bezug auf die optischen Eigenschaften (thermische Effekte) vorausgesetzt wurde. In Abbildung 5.9

sind die ca. 1500 projizierten Zielzeichen (ausgebildet als Kreuze) auf der Oberfl¨

ache einer der untersuchten

Kalibrierplatten dargestellt, die zweite untersuchte Platte wurde aus Platzgr¨

unden mit einer geringeren Anzahl

von Targets (ca. 800) versehen. Die zur B¨

undelausgleichung ben¨

otigten Koordinaten von ausgew¨

ahlten Pass-

und Verkn¨

upfungspunkten wurde im Vorfeld unter Einsatz eines Pr¨

azisions-Tachymeters (Leica TCA 2003)

bestimmt, die Maßstabs¨

ubertragung wurde ¨

uber eine in die Szenen eingef¨

ugte 2 m-Basislatte realisiert.

5.5. Testumgebung 83

Abb. 5.9: Projizierte Targets auf der Oberfl¨

ache einer Testfeld-Kalibrierplatte (Messbild).

Die photogrammetrischen Aufnahmen wurden mit einer Teilmesskamera Rollei 6006 metric und 50 mm Ob-

jektiv durchgef¨

uhrt. Dabei wurden 4 bzw. 5 Bilder der entsprechenden Kalibrierplatten gewonnen. Vor der

Verarbeitung in der B¨

undelblockausgleichung wurden die analogen Aufnahmen digitalisiert. Nach einer R´eseau-

messungen zur Bestimmung der inneren Orientierung der Einzelbilder wurden die Bildkoordinaten der proji-

zierten Zielmarken mittels Bildzuordnungsalgorithmen (Matching) automatisch gemessen, anschließend erfolgte

die Berechnung aller Unbekannten (Objektkoordinaten aller Messpunkte, ¨

außere Orientierung der Messkamera)

in einer B¨

undelblockausgleichung. In der B¨

undelblockausgleichung mit Pictran [Pictran, 2002] wurden Stan-

dardabweichungen der Objektpunktkoordinaten von ca. 0,2 mm - 0,5 mm berechnet.

Größenordnung und Häufigkeit der Abweichung

von ausgeglichener Ebene

0216

148

220 225

208

181

126

101

10 32

100

150

200

250

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1

Abweichungen [mm]

Anzahl

Abb. 5.10: H¨

aufigkeit der Abweichungen von der ausgeglichener Ebene der schr¨

ag angebrachten Kalibrierplatte

(Nummer 9) – Angabe in [mm].

Die anschließende Ebenenausgleichung aller Objektpunkte einer Testfeldkalibrierplatte erlaubt eine statistische

Absch¨

atzung der Ebenheit der Platten, dargestellt in Abbildung 5.10 und aufgelistet in Tabelle 5.3. Bei beiden

untersuchten Platten betr¨

agt die maximale Abweichung der beteiligten Objektpunkte von der ausgeglichenen

Ebene ca. 1 mm. Bei der Kalibrierplatte mit der (internen) Nummer 3 mussten aufgrund von Punktverwech-

84 5. Kalibrierstrategie

Statistik zur Ebenenausgleichung zweier Testfeld-Kalibrierplatten

Plattennummer 3 9

Anbringung vertikal schr¨

Anzahl Targets 771 1481

eliminierte Beobachtungen 3 -

max. Abstand von ausgeglichener Ebene 1,1 mm 1,0 mm

Tabelle 5.3: Untersuchungen zur Ebenheit ausgew¨

ahlter Testfeld-Kalibrierplatten.

selungen in der B¨

undelausgleichung im Zuge der dreidimensionalen Ebenenausgleichung drei Punkte eliminiert

werden, hingegen nahmen f¨

ur die Bestimmung der Parameter der ausgeglichenen Ebene f¨

ur die Platte mit der

(internen) Nummer 9 alle Punkte an der Ausgleichung teil.

Um eine eventuelle Aufw¨

olbung oder Durchbiegung der Platten zu erfassen, wurden in einer sich anschlie-

ßenden Untersuchung H¨

ohenlinien auf den Platten abgeleitet. Diese H¨

ohenlinien, dargestellt in Abbildung 5.11,

lassen f¨

ur die Platte mit der Nummer 9 jedoch keine Aufw¨

olbungen oder Durchbiegungen erkennen. Bei Betrach-

tung der H¨

ohenlinien der Platte 3 l¨

asst sich hingegen eine kleine Aufw¨

olbung7zur Plattenmitte hin feststellen.

Da der Betrag dieser Aufw¨

olbung aber nur ca. 1 mm betr¨

agt, wird diese Kalibrierplatte im Kalibrierprozesses

weiter verwendet.

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

341

342

343

345

346

401

402

403

404

405

406

407

408

409

410

411

412

413

414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

435

436

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

501

502

503

504

505

506

507

508

509

510

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

521

522

523

524

525

526

527

528

529

530

531

532

533

534

535

536

537

538

539

540

541

542

543

544

545

546

601

602

603

604

605

606

607

608

609

610

611

612

613

614

615

616

617

618

619

630

631

632

633

634

635

636

637

638

639

640

641

642

643

644

645

646

701

702

703

704

705

706

707

708

709

710

711

712

713

714

715

716

717

718

719

720

721

722

723

724

725

726

727

728

729

730

731

732

733

734

735

736

737

738

739

740

741

742

743

744

745

746

801

802

803

804

805

806

807

808

809

810

811

812

813

814

815

816

817

818

819

820

821

822

823

824

825

826

827

828

829

840

841

842

843

844

845

846

901

902

903

904

905

906

907

908

909

910

911

912

913

914

915

916

917

918

919

920

921

922

923

924

925

926

927

928

929

930

931

932

933

934

935

936

937

938

939

940

941

942

943

944

945

946

1001

1002

1003

1004

1005

1006

1007

1008

1009

1010

1011

1012

1013

1014

1015

1016

1017

1018

1019

1022

1030

1031

1032

1033

1034

1035

1036

1037

1038

1039

1040

1041

1042

1043

1044

1045

1046

1101

1102

1103

1104

1105

1106

1107

1108

1109

1110

1111

1112

1113

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

1121

1122

1123

1124

1125

1126

1127

1128

1129

1130

1131

1132

1133

1134

1135

1136

1137

1138

1139

1140

1141

1142

1143

1144

1145

1146

1201

1202

1203

1204

1205

1206

1207

1208

1209

1210

1211

1212

1213

1214

1215

1216

1217

1218

1219

1220

1221

1222

1223

1224

1226

1227

1228

1229

1240

1241

1242

1243

1244

1245

1246

1301

1302

1303

1304

1305

1306

1307

1308

1309

1310

1311

1312

1313

1314

1315

1316

1317

1318

1319

1320

1321

1322

1323

1324

1325

1326

1327

1328

1329

1330

1331

1332

1333

1334

1335

1337

1338

1339

1340

1341

1342

1343

1344

1345

1346

1401

1402

1403

1405

1406

1407

1408

1409

1410

1411

1412

1413

1414

1415

1416

1417

1418

1419

1430

1431

1432

1433

1434

1435

1436

1437

1438

1439

1440

1441

1442

1443

1444

1445

1446

1501

1502

1503

1504

1505

1506

1507

1508

1509

1510

1511

1512

1513

1514

1515

1516

1517

1518

1519

1520

1521

1522

1523

1524

1525

1526

1527

1528

1529

1530

1531

1532

1533

1534

1535

1536

1537

1538

1539

1540

1541

1542

1543

1544

1545

1546

1601

1602

1603

1604

1605

1606

1607

1608

1609

1620

1621

1622

1623

1624

1625

1626

1627

1628

1629

1630

1631

1632

1633

1634

1635

1636

1637

1638

1639

1640

1641

1642

1643

1644

1645

1646

1701

1702

1703

1704

1705

1706

1707

1708

1709

1710

1711

1712

1713

1714

1715

1716

1717

1718

1719

1720

1721

1722

1723

1724

1725

1726

1727

1728

1729

1730

1731

1732

1733

1734

1735

1736

1737

1738

1739

1740

1741

1742

1743

1744

1745

1746

1801

1802

1803

1804

1805

1806

1807

1808

1809

1810

1811

1812

1813

1814

1815

1816

1817

1818

1819

1830

1831

1832

1833

1834

1835

1836

1837

1838

1839

1840

1841

1842

1843

1844

1845

1846

1901

1902

1903

1904

1905

1906

1907

1908

1909

1910

1911

1912

1913

1914

1915

1916

1917

1918

1919

1920

1922

1923

1924

1925

1926

1927

1928

1929

1930

1931

1932

1933

1934

1935

1936

1937

1938

1939

1940

1941

1942

1943

1944

1945

1946

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2020

2021

2022

2023

2024

2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

2032

2033

2034

2035

2036

2037

2038

2039

2040

2041

2042

2043

2044

2045

2046

2101

2102

2103

2104

2105

2106

2107

2108

2109

2110

2111

2112

2113

2114

2115

2116

2117

2118

2119

2120

2121

2122

2123

2124

2125

2126

2127

2128

2129

2130

2131

2132

2133

2134

2135

2136

2137

2138

2139

2140

2141

2142

2143

2144

2145

2146

2201

2202

2203

2204

2205

2206

2207

2208

2209

2210

2211

2212

2213

2214

2215

2216

2217

2218

2219

2232

2233

2234

2235

2236

2237

2238

2239

2240

2241

2242

2243

2244

2245

2246

2301

2302

2303

2304

2305

2306

2307

2308

2309

2310

2311

2312

2313

2314

2315

2316

2317

2318

2319

2320

2321

2322

2323

2324

2325

2326

2327

2328

2329

2330

2331

2332

2333

2334

2335

2336

2337

2338

2339

2340

2341

2342

2343

2344

2345

2346

2401

2402

2403

2404

2405

2406

2407

2408

2409

2410

2411

2412

2413

2414

2415

2416

2417

2418

2419

2420

2421

2422

2423

2424

2425

2426

2427

2428

2429

2440

2441

2442

2443

2444

2445

2446

2501

2502

2503

2504

2505

2506

2507

2508

2509

2510

2511

2512

2513

2514

2515

2516

2517

2518

2519

2520

2521

2522

2523

2524

2525

2526

2527

2528

2529

2530

2531

2532

2533

2534

2535

2536

2537

2538

2539

2540

2542

2543

2544

2545

2546

2601

2602

2603

2604

2605

2606

2607

2608

2609

2610

2611

2612

2613

2614

2615

2616

2617

2618

2619

2630

2631

2632

2633

2634

2635

2636

2637

2638

2639

2640

2641

2642

2643

2644

2645

2646

2701

2702

2703

2704

2705

2706

2707

2708

2709

2710

2711

2712

2713

2714

2715

2716

2717

2718

2719

2720

2721

2722

2723

2724

2725

2726

2727

2728

2729

2730

2731

2732

2733

2734

2735

2736

2737

2738

2739

2740

2741

2742

2743

2744

2745

2746

2801

2802

2803

2804

2805

2806

2807

2808

2809

2810

2811

2812

2813

2814

2815

2816

2817

2818

2819

2820

2821

2822

2823

2824

2825

2826

2827

2828

2829

2840

2841

2842

2843

2844

2845

2846

2901

2902

2903

2904

2905

2906

2907

2908

2909

2910

2911

2912

2913

2914

2915

2916

2917

2918

2919

2920

2921

2922

2923

2924

2925

2926

2927

2928

2929

2930

2931

2932

2933

2934

2935

2936

2937

2938

2939

2940

2941

2942

2943

2944

2945

2946

3001

3002

3003

3004

3005

3006

3007

3008

3009

3010

3011

3012

3013

3014

3015

3016

3017

3018

3019

3030

3031

3032

3033

3034

3035

3036

3037

3038

3039

3040

3041

3042

3043

3044

3045

3046

3101

3102

3103

3104

3105

3106

3107

3108

3109

3110

3111

3112

3113

3114

3115

3116

3117

3118

3119

3120

3121

3122

3123

3124

3125

3126

3127

3128

3129

3130

3131

3132

3133

3134

3135

3136

3137

3138

3139

3140

3141

3142

3143

3144

3145

3146

3201

3202

3203

3204

3205

3206

3207

3208

3209

3210

3211

3212

3213

3214

3215

3216

3217

3218

3219

3220

3221

3222

3223

3224

3225

3226

3227

3228

3229

3230

3231

3232

3233

3234

3235

3236

3237

3238

3239

3240

3241

3242

3243

3244

3245

3246

3301

3302

3303

3304

3305

3306

3307

3308

3309

3310

3311

3313

3314

3315

3316

3317

3318

3319

3320

3321

3322

3323

3324

3325

3326

3327

3328

3329

3330

3331

3332

3333

3335

3336

3337

3338

3339

3340

3341

3342

3343

3344

3345

3346

3401

3402

3403

3404

3405

3406

3407

3408

3409

3410

3411

3412

3413

3414

3415

3416

3417

3418

3419

3420

3421

3422

3423

3424

3425

3426

3427

3428

3429

3430

3431

3432

3433

3434

3435

3436

3437

3438

3439

3440

3441

3442

3443

3444

3445

344

1225

1336

1404

1921

2230

2231

2541

3312

3334

3446

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

410

411

412

413

414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

510

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

521

522

523

524

525

526

527

528

529

530

531

532

533

610

611

612

613

614

615

616

617

618

619

620

621

622

623

624

625

626

627

628

629

630

631

632

633

634

710

711

712

713

714

715

716

717

718

719

720

721

722

723

724

725

726

727

728

729

730

731

732

733

734

810

811

812

813

814

815

816

817

818

819

820

821

822

823

824

825

826

827

828

829

830

831

832

833

834

910

912

913

914

915

916

917

918

919

920

921

922

923

924

925

926

927

928

929

930

931

932

933

934

1010

1011

1012

1013

1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

1021

1022

1023

1024

1025

1026

1027

1028

1029

1030

1031

1032

1033

1034

1110

1111

1112

1113

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

1121

1122

1123

1125

1126

1127

1128

1129

1130

1131

1132

1133

1134

1210

1211

1212

1213

1214

1215

1216

1217

1218

1219

1220

1221

1222

1223

1224

1225

1226

1227

1228

1229

1230

1231

1232

1233

1234

1310

1311

1312

1313

1314

1315

1316

1317

1318

1319

1320

1321

1322

1323

1324

1325

1326

1327

1328

1329

1330

1331

1332

1333

1334

1410

1411

1412

1413

1414

1415

1416

1417

1418

1419

1420

1421

1422

1423

1424

1425

1426

1427

1428

1429

1430

1431

1432

1433

1434

1510

1511

1512

1513

1514

1515

1516

1517

1518

1519

1520

1521

1522

1523

1524

1525

1526

1527

1528

1529

1530

1531

1533

1534

1610

1611

1612

1613

1614

1615

1616

1617

1618

1619

1620

1621

1622

1623

1624

1625

1626

1627

1628

1629

1630

1631

1632

1633

1634

1710

1711

1712

1713

1714

1715

1716

1717

1718

1719

1720

1721

1722

1723

1724

1725

1726

1727

1728

1729

1730

1731

1732

1733

1734

1810

1811

1812

1813

1814

1815

1816

1817

1818

1819

1820

1821

1822

1823

1824

1825

1826

1827

1828

1829

1830

1831

1832

1833

1834

1910

1911

1912

1913

1914

1915

1916

1917

1918

1919

1920

1921

1922

1923

1924

1925

1926

1927

1928

1929

1930

1931

1932

1933

1934

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

2032

2033

2034

2110

2111

2112

2113

2114

2115

2116

2117

2118

2119

2120

2121

2122

2123

2124

2125

2126

2127

2128

2129

2130

2131

2133

2134

2210

2211

2212

2213

2214

2215

2216

2217

2218

2219

2220

2221

2222

2223

2225

2226

2227

2228

2229

2230

2231

2232

2233

2234

2310

2311

2312

2313

2314

2315

2316

2317

2318

2319

2320

2321

2322

2323

2324

2325

2326

2327

2328

2329

2330

2331

2332

2333

2334

2410

2411

2412

2413

2414

2415

2416

2417

2418

2419

2420

2421

2422

2423

2424

2425

2426

2427

2428

2429

2430

2431

2432

2433

2434

2510

2511

2512

2513

2514

2515

2516

2517

2518

2519

2520

2521

2522

2523

2524

2525

2526

2527

2528

2529

2530

2531

2532

2533

2534

2610

2611

2612

2613

2614

2615

2616

2617

2618

2619

2620

2621

2622

2623

2624

2625

2626

2627

2628

2629

2630

2631

2632

2633

2634

2710

2711

2712

2713

2714

2715

2716

2717

2718

2719

2720

2721

2722

2723

2724

2725

2726

2727

2728

2729

2730

2731

2732

2733

2734

2810

2811

2812

2813

2814

2815

2816

2817

2818

2819

2820

2821

2822

2823

2824

2825

2826

2827

2828

2829

2830

2831

2832

2833

2834

2910

2911

2912

2913

2914

2915

2916

2917

2918

2919

2920

2921

2922

2923

2924

2925

2926

2927

2928

2929

2930

2931

2932

2933

2934

3010

3011

3012

3013

3014

3015

3016

3017

3018

3019

3020

3021

3022

3023

3024

3025

3026

3027

3028

3029

3030

3031

3032

3033

134

911

1124

1532

2132

2224

3034

Abb. 5.11: H¨

ohenlinienmodell der vertikal angebrachten Kalibrierplatte Nr. 3 (oben) und H¨

ohenlinienmodell

der schr¨

ag angebrachten Kalibrierplatte Nr. 9 (unten) – der Abstand der H¨

ohenlinien betr¨

agt in

beiden Modellen 0,5 mm.

5.6 Ablauf einer Kalibrierung

Die Messwerterfassung erfolgt mit dem zu untersuchenden Instrument vor Ort im Testfeld. Erste Untersuchun-

gen in [Alder, 2003] haben ergeben, dass eine optimale und wirtschaftlich sinnvolle Bestimmung der Instru-

mentenfehler mit vier unterschiedlichen Instrumentenstandpunkten (Aufstellungen) im beschriebenen Testfeld

durchzuf¨

uhren ist. Diese Angabe wird durch die Ergebnisse der Simaulationsberechnungen nach Kapitel 5.4

7Die Gr¨

oßenordnung dieser Aufw¨

olbung ist auch mit ”bloßem Auge“ bei Ansicht der Kalibrierplatte durch den Betrachter zu

erfassen.

5.6. Ablauf einer Kalibrierung 85

best¨

atigt. Die Kalibrierstandpunkte m¨

ussen gleichm¨

aßig verteilt werden, wobei die H¨

ohe der verschiedenen

Aufnahmestandpunkte im Testfeld variiert werden sollte, um auch an den horizontal angebrachten Kalibrier-

platten unterschiedliche Auftreffwinkel des Messstrahles zu gew¨

ahrleisten. Des Weiteren wird auf diese Weise

versucht, den Einfluss von schleifenden Schnitten auf der Oberfl¨

ache der Kalibrierplatten bei kurzen Zielweiten

zu minimieren. Sicherlich ist hier ein Kompromiss zwischen baulichen Gegebenheiten hinsichtlich Raumh¨

ohe

und Aufstellm¨

oglichkeiten mittels Stativen oder Zwangszentrierung auf Pfeilern zu finden.

Nach dem Scannen der Kalibrierplatten und/oder der gesamten Szenerie von unterschiedlichen Standpunk-

ten, liegen die origin¨

aren Beobachtungsdaten eines Scans vor. Dies sind dreidimensionale polare Koordinaten -

Richtungen φ, Θ und Schr¨

agstrecken S. Das lokale Koordinatensystem des jeweiligen Standpunktes ist hierbei

durch die tempor¨

are Position und die Orientierung des Messinstrumentes definiert.

Lassen sich hingegen nur die kartesischen Koordinaten der Objektpunkte aus den zu untersuchenden Instru-

menten abspeichern und somit einer Weiterverarbeitung zuf¨

uhren, so m¨

ussen diese in Polarkoordinaten nach

Gleichung 3.4 umgewandelt werden, da nur diese Messwerte in den Kalibrierprozess einfließen. Dieser Auswerte-

schritt ist zul¨

assig, da in Abschnitt 5.4 nachgewiesen wurde, dass aus den kartesischen Koordinaten die polaren

Beobachtungsgr¨

oßen abgeleitet werden k¨

onnen, ohne die G¨

ultigkeit des Kalibrieransatzes zu verletzen. Somit

ist auch eine Kalibrierung von Instrumenten m¨

oglich, die dem Nutzer keine Originalmesswerte zur Verf¨

ugung

stellen.

Messwerterfassung

(Scannen)

Segmentierung

von Ebenen

Zuordnung

identischer Ebenen

Standpunkt-

Transformation unter

Nutzung identischer

Ebenen

Bestimmung der

Genauigkeiten und

Korrekturparameter durch

Kalibrierung

(x, y, z)i

Datenübergabe

Lokale Ebenenparameter

Identitäten der

Ebenen

Ebenenparameter

im übergeordneten Referenzsystem

sowie Translationen und Rotationen

nx,n

y,n

z,d

Abb. 5.12: Ablaufplan einer Kalibrierung von der origin¨

aren Messwerterfassung bis zur Bestimmung der In-

strumentenfehler [Rietdorf u. a., 2004].

Nach der ¨

Ubergabe der origin¨

aren, oder bereits gewandelter Messdaten an die Auswertesoftware werden in einem

Prozess der Segmentierung die in den aufgenommenen Szenerien enthaltenen Ebenen automatisch extrahiert8

und einer Ebenenausgleichung zugef¨

uhrt, bei der eventuelle Ausreißer im Beobachtungsmaterial entfernt werden.

Dieser Verarbeitungsschritt erfolgt standpunktweise, d. h. als Ergebnis dieses Verarbeitungsschrittes liegen die

beschreibenden lokalen Ebenenparameter Normalenvektor n= (nx, ny, nz)Tund dals orthogonaler Abstand

zum Koordinatenursprung vor.

In einem sich daran anschließenden automatischen Prozess der Zuordnung von homologen Ebenen werden

die Identit¨

aten der Ebenen auf unterschiedlichen Standpunkten festgestellt. Die so gefundenen identischen Ebe-

nen werden in einem n¨

achsten Schritt zur Transformation der lokalen Standpunktsysteme in ein ¨

ubergeordnetes

8Teilweise ist es g¨

unstiger, die vom jeweiligen Hersteller zu den Laserscannern vertriebene Software f¨

ur diesen Prozess zu nutzen,

da dort die M¨

oglichkeit der Zuschneidung der Punktwolke gegeben ist. Anschließend k¨

onnen beim Vorliegen eines Ascii-

Exportfilters o. ¨

a. die betreffenden Messwerte gespeichert und der weiteren Verarbeitungskette zugef¨

uhrt werden.

86 5. Kalibrierstrategie

und/oder gemeinsames Koordinatensystem benutzt. Dabei wird unter Verzicht auf identische Passpunkte eine

verkettete Systemtransformation mittels identischer Ebenen durchgef¨

uhrt, in der beliebig viele lokale Stand-

punktsysteme simultan in ein ¨

ubergeordnetes Referenzsystem ¨

uberf¨

uhrt werden k¨

onnen. Die Orientierungspa-

rameter der verschiedenen Standpunktsysteme (Translationen und Rotationen) gehen dabei als N¨

aherungswerte

in die eigentliche Bestimmung der Kalibrierparameter ein.

Der zeitliche Bedarf f¨

ur eine Kalibrierung ist zum einen abh¨

angig von der Messgeschwindigkeit des zu unter-

suchenden Instrumentes, und zum anderen von der eingesetzten Strategie zur Vorverarbeitung der Messwerte

(Ausd¨

unnung der Messwert, Selektion der Ebenen, usw.) bzw. dem zur Verf¨

ugung stehenden Automatisierungs-

grad. Dabei spielt der zeitliche Aufwand der Messdatenerfassung im Kalibrierfeld im Gegensatz zur Auswertung

eine untergeordnete Rolle. Das f¨

ur Messaufgaben mit Laserscannern verbundene typische Verh¨

altnis des zeitli-

chen Bedarfs an Erfassungs- zu Auswerteaufwand von 1:3 bis 1:5 trifft generell f¨

ur eine Kalibrierung im oben

beschriebenen Testfeld und die Auswertung auch hier zu.

5.7 Ergebnisse

Als beispielhafte Auswertungen sollen hier die Ergebnisse f¨

ur Kalibrierungen ausgew¨

ahlter Instrumente pr¨

sentiert werden. Als Beispiel f¨

ur einen Sensor mit vergleichsweise großen Instrumentenfehlern dient der in

Kapitel 2.4 beschriebene Prototyp PoMeS, der aufgrund seiner mechanischen Eigenschaften alle beschriebenen

Instrumentenfehler aufweist. Als Beispiel f¨

ur die Kalibrierung eines aktuellen Laserscanners dient der Imager

5003 Sensor der Firma Zoller+Fr¨

ohlich.

Prototyp PoMeS

Der Prototyp des polaren Messsystems PoMeS wurde im Testfeld unter Nutzung von vier Instrumentenstand-

punkten kalibriert. Da die Messung von einem Standpunkt auf eine Kalibrierplatte aufgrund einer Verdeckung

nicht m¨

oglich war, gehen in die Parametersch¨

atzung nur 59 Ebenen ein. Aufgrund der hohen Redundanz spielt

dies jedoch zur Bestimmung der Kalibrierparameter eine untergeordnete Rolle. Eine Reduktion der Messdaten

auf eine sinnvolle, d. h. programmmtechnisch beherrschbare Anzahl von Beobachtungen wurde bei diesem In-

strument nicht durchgef¨

uhrt, da bei der Messdatenerfassung bereits darauf geachtet wurde, die zur Kalibrierung

heran zu ziehende Datenmenge zu begrenzen. Somit ergibt sich eine Statistik der Parametersch¨

atzung, die in

Tabelle 5.4 dargestellt ist.

Ergebnisse der Kalibrierung PoMeS

Ausgleichungsstatistik

Beobachtungen 6323

Unbekannte 98

(Bedingungen) 25

Redundanz 6250

Genauigkeit der Beobachtungsgruppen

Horizontalrichtungen sφ0,0090 gon

Zenitdistanzen sΘ0,0103 gon

Raumstrecken sS0,00082 m

Tabelle 5.4: Statistik der Parametersch¨

atzung zur Kalibrierung des polaren Messsystems PoMeS.

Aufgrund der Beobachtungsanzahl von 6323 und der Anzahl der unbekannten Parameter ergibt sich ein Redun-

danz der Ausgleichung von 6250 und ein mittlerer Redundanzanteil von 0,98, was sich wiederum in einer hohen

Bestimmungsdichte9ausdr¨

uckt.

In Tabelle 5.5 sind die Ergebnisse der Parametersch¨

atzung aufgef¨

uhrt, wobei im Falle des untersuchten Po-

MeS der H¨

ohenindexfehler nicht als Instrumentenfehler in die Parametersch¨

atzung eingef¨

uhrt wurde, sondern

als Aufstellungsfehler f¨

ur jeden Standpunkt berechnet wurde. Dies ist zul¨

assig, da aufgrund der mechanischen

Konstruktion die Horizontierung nur durch Einspielen der Alhidadenlibelle in einer fest vorgegebenen Schritt-

weite von 0,1 gon erfolgen kann und sich auch in den in Tabelle 5.6 dargestellten Ergebnissen widerspiegelt.

9Die Bestimmungsdichte ist eine Angabe ¨

uber das relative Verh¨

altnis der Anzahl an Beobachtungen gegen¨

uber der Anzahl an zu

sch¨

atzenden Parametern [Niemeier, 2002]; bei einer unendlichen Anzahl an Beobachtungen wird die Bestimmungsdichte eins.

5.7. Ergebnisse 87

Ergebnisse der Kalibrierung PoMeS

Kalibrierparameter

Kalibrierparameter Wert Standardabweichung Pr¨

ufgr¨

oße des t-Tests

Zielachsenfehler -305,88 mgon 14,16 mgon 21.609

Kippachsenfehler -35,10 mgon 2,66 mgon 13.193

H¨

ohenindexfehler - - -

Nullpunktkorrektur 72,61 mm 0,13 mm 547.818

Maßstab 1,00 - -

Achsexzentrizit¨

at evh -0,52 mm 0,15 mm 3.551

Achsexzentrizit¨

at evz 1,12 mm 0,08 mm 13.964

Achsexzentrizit¨

at ehz -0,48 mm 0,22 mm 2.189

Tabelle 5.5: Ausgeglichene Parameter der Kalibrierung des polaren Messsystems PoMeS.

Die Bestimmung der Nullpunktkorrektur k0erfolgte mit einem numerischen Wert von 72,6 mm. Dieser Sch¨

atz-

wert stimmt mit der Parametersch¨

atzung im Gauß-Markov-Modell, erhalten aus den Messungen auf einer

Kalibrierstrecke bestehend aus 5 in einer r¨

aumlichen Flucht stehenden Stative, auf einen Millimeter ¨

uberein.

Rechnerisch ergab sich dort eine Nullpunktkorrektur von 71,6 mm. Die verbliebene Abweichung zwischen diesen

beiden Sch¨

atzwerten l¨

asst sich durch den hohen Korrelationskoeffizienten von -0,63 zwischen den Sch¨

atzungen

der Nullpunktkorrektur k0und der Achsexzentrizit¨

at evh erkl¨

aren, da die Achsexzentrizit¨

at evh im vorliegenden

Fall mit einem halben Millimeter signifikant bestimmt wurde und sich die Effekte addieren.

Ergebnisse der Kalibrierung PoMeS

Standpunktabh¨

angiger H¨

ohenindexfehler

Standpunkt h(ha+hm)sh

[gon] [gon]

1 0,1192 0,007

2 0,1259 0,008

3 0,1145 0,006

4 0,0423 0,006

Tabelle 5.6: Standpunktabh¨

angiger H¨

ohenindexfehler bei der Kalibrierung des polaren Messsystems PoMeS.

Ergebnisse der Kalibrierung PoMeS

Genauigkeit der Ebenenparameter nx,ny,nz,d

Standardabweichung minimal maximal Mittelwert

der Ebenenparameter [mm] [mm] [mm]

snx0,028 0,264 0,193

sny0,155 0,262 0,188

snz0,002 0,237 0,137

sd0,274 1,318 0,752

Tabelle 5.7: Genauigkeit der Ebenenparameter nx, ny, nzund dbei der Kalibrierung des polaren Messsystems

PoMeS.

Auf die Bestimmung eines Maßstabes wurde verzichtet, da eine Aussage ¨

uber die Maßstabsinformation im hier

vorgestellten Testfeld nur aus relativ kurzen Strecken ableitbar w¨

are. Aufgrund der maximalen Zielweite von

ca. 8 Metern sollte die Maßstabsinformation nicht auf l¨

angere Strecken als die im Kalibrierfeld zur Verf¨

ugung

stehenden extrapoliert werden. Aus diesem Grund wird der Maßstab nicht mitbestimmt, k¨

onnte aber durch

das Freigeben der Normierung des Quaternions, welches die Stehachsschiefe und die Orientierung repr¨

asentiert,

bestimmt werden. Eine anderes Vorgehen ist durch das in Kapitel 4.3.5 beschriebene Vorgehen m¨

oglich. Durch

Nutzung einer Zwangszentrierung und Bestimmung von Vergleichskoordinaten mit einem Messverfahren h¨

oherer

88 5. Kalibrierstrategie

Genauigkeit (Tachymeternetz) ist eine Ableitung des Maßstabes ¨

uber den Vergleich der Translationsbetr¨

age in

einer 3D-Helmert-Transformation durchf¨

uhrbar.

Neben den eigentlichen Kalibrierparametern ist eine Angabe der Standpunktparameter (Translationen und

Rotationen) zur ¨

Uberpr¨

ufung der Kalibrierergebnisse m¨

oglich. Eine Betrachtung der Ebenenparameter, vgl.

Tabelle 5.7, gibt Auskunft ¨

uber die G¨

ute der Ebenheit der Kalibrierplatten. Die Bestimmung der Komponenten

der Normalenvektoren der an der Kalibrierung beteiligten Ebenen gelingt im Schnitt mit einer Genauigkeit von

snx=sny=snz≈0,2 mm und der Ebenenparameter dwird mit einer Genauigkeit im Mittel von sd≈0,7 mm

ermittelt.

Laserscanner Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003

Um den vorgestellten Ansatz der Kalibrierung auf Tauglichkeit hinsichtlich eines Einsatzes zur Kalibrierung von

aktuellen Laserscannern beurteilen zu k¨

onnen, wurde ein Imager 5003 Sensor der Firma Zoller+Fr¨

ohlich

im Testfeld einer Kalibrierung unterzogen.

Abb. 5.13: Laserscanner Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003.

Der Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003, dargestellt in Abbildung 5.13, verf¨

ugt ¨

uber die Option, die Distanzbe-

stimmung in zwei unterschiedlichen Eindeutigkeitsbereichen vorzunehmen, die als close (Eindeutigkeitsbereich

25,2 m) und far (Eindeutigkeitsbereich 53,3 m) bezeichnet werden. Dieser Laserscanner geht auf Arbeiten von

[Fr¨

ohlich, 1996] zur¨

uck und beruht auf einem zweifrequenten Phasendifferenzverfahren, d. h. einer gleichzeitigen

Intensit¨

atsmodulation des ausgesandten Tr¨

agersignals mit zwei Sinussignalen verschiedener Frequenzen. Die

Komponente zur Bestimmung einer eindeutigen Grobentfernung hat je nach Ausf¨

uhrung eine Frequenz von

f1(25,2m)= 5,5 Mhz bzw. f1(53,5m)= 2,8 Mhz. Die zur pr¨

azisen Bestimmung verwendete Feinkomponente

weißt eine Frequenz von f2= 44,8 Mhz auf. Das zur¨

uckgestreute und detektierte Signal beinhaltet die Phasen-

verschiebung beider Modulationsfrequenzen. Durch frequenzselektive Verrechnung der Phasendifferenzen ergibt

sich eine absolute (f1) und pr¨

azise (f2) Distanzmessung [Fr¨

ohlich, 1996].

Zus¨

atzlich zur Distanzmessung werden Reflektivit¨

atswerte gemessen, die den Amplitudenwerten der zu-

r¨

uckgeworfenen Messsignale entsprechen. Somit ist bei diesem System eine gleichzeitige Streckenmessung und

5.7. Ergebnisse 89

Reflektivit¨

atsbestimmung zu einem Messpunkt im Raum direkt m¨

oglich. Der Scanner geh¨

ort zur Gruppe der

Panoramascanner und verf¨

ugt ¨

uber einen horizontalen Messbereich von 360◦und einen vertikalen Messbereich

von 310◦. Zur ¨

Uberlappung der horizontalen Seitenr¨

ander des Gesichtsfeldes wird bei einem Rundum-Scan ein

2◦breiter Streifen doppelt aufgenommen.

Die prim¨

are Rotation um die horizontale Achse wird durch ein schnell rotierendes Prisma vorgenommen.

Die Drehung um die vertikale Achse erfolgt auf Grundlage von Servomotoren. Der Abgriff der Teilkreise zur

Winkelmessung erfolgt inkrementell. Der Encoder f¨

ur den Abgriff des Horizontalkreises weißt 36.000 Teilungen

auf. Hingegen ist der Abgriff f¨

ur die schnelle rotatorische Komponente des sich mit 25 Hz drehenden Prismas

durch einen Encoder mit 20.000 Teilungen realisiert. Beide Encoder sind ohne Zwischenkupplungen direkt auf

der Welle montiert und besitzen somit kein Spiel.

Die Datenerfassungsrate liegt aufgrund des Phasenmessprinzips bei bis zu 625.000 Punkte/sec., die typische

Datenerfassungsrate wird mit 125.000 Punkten/sec. angegeben [Zoller+Fr¨

ohlich, 2004]. Der Scanner verf¨

ugt

uber eine zus¨

atzlich montierte Alhidadenlibelle. Somit besteht die M¨

oglichkeit, den Sensor an der Lotrichtung

auszurichten. Der Scanner, der die Datenerfassung in drei verschieden Aufl¨

osungsstufen vornehmen kann, wurde

lt. Firmenangabe im Februar 2004 kalibriert.

Ergebnisse der Kalibrierung Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003

Ausgleichungsstatistik, Aufl¨

osung: High

Beobachtungen 7606

Unbekannte 92

(Bedingungen) 25

Redundanz 7539

Genauigkeit der Beobachtungsgruppen

Horizontalrichtungen sφ0,0122 gon

Zenitdistanzen sΘ0,0235 gon

Raumstrecken sS0,0024 m

Tabelle 5.8: Statistik der Parametersch¨

atzung zur Kalibrierung des Laserscanners Zoller+Fr¨

ohlich Imager

5003, am Beispiel der Aufl¨

osung ”High“.

Im Testfeld wurden mit allen drei Aufl¨

osungen (Super High,High und Middle) Testdatens¨

atze erzeugt und

dem oben beschriebenen Auswerteprozess zugef¨

uhrt. Im Rahmen dieses Auswerteprozesses wurden in einem

Vorverarbeitungsschritt die Daten so ausged¨

unnt, dass ca. 120 Punkte pro beobachtete Testfeldplatte in den

Kalibrierprozess eingeflossen sind.

Ergebnisse der Kalibrierung Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003

Ausgleichungsstatistik, Aufl¨

osung: High

Kalibrierparameter Wert Standardabweichung Pr¨

ufgr¨

oße des t-Tests

Zielachsenfehler 0,00 mgon 0,00 mgon -

Kippachsenfehler 0,00 mgon 0,00 mgon -

H¨

ohenindexfehler 0,00 mgon 0,00 mgon -

Nullpunktkorrektur 0,73 mm 0,36 mm 2,031

Maßstab 1,00 0,00 -

Achsexzentrizit¨

at evh -1,68 mm 0,48 mm 3,463

Achsexzentrizit¨

at evz 0,54 mm 0,19 mm 2,809

Achsexzentrizit¨

at ehz 1,50 mm 0,30 mm 5,062

Tabelle 5.9: Ausgeglichene Parameter der Kalibrierung des Laserscanners Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003,

am Beispiel der Aufl¨

osung ”High“.

In einem ersten Schritt der Kalibrierung wurde eine ¨

Uberpr¨

ufung vorgenommen, ob ein signifikantes Anwachsen

des Sch¨

atzwertes der empirischen Standardabweichung der Gewichtseinheit s0– a posteriori (Varianzfaktor)

auftritt, wenn die Kalibrierparameter im Ausgleichungsprozess auf Null gezwungen werden. Dazu wurden die

Verbesserungsquadratsummen nach Gleichung 5.42 der Einzelausgleichungen (Kalibrierparameter frei und ge-

90 5. Kalibrierstrategie

zwungen) einem Globaltest unterzogen, der anzeigt, dass beim Freigeben der Kalibrierparamter ein optimales

Kalibrierergebnis erhalten wird. Bei Betrachtung der Ergebnisse der Sch¨

atzung der Kalibrierparameter, vgl.

Tabelle 5.9, ist festzustellen, dass bei dem untersuchten Sensor keine Achsenfehler auftreten und sich die Bestim-

mung der Nullpunktkorrektur aufgrund der Korrelation der Achsexzentrizit¨

at evh mit der Nullpunktkorrektur

nicht eindeutig festlegen l¨

asst. Des Weiteren befindet sich die Pr¨

ufgr¨

oße der Nullpunktkorrektur zur Durch-

f¨

uhrung des Signifikanztests unmittelbar an der Nachweisgrenze, ist also ebenfalls hinsichtlich einer Signifikanz

kritisch zu beurteilen.

Die Angabe eines Maßstabsfaktors ist mit dem in Kapitel 4.3.6 beschriebenen Vorgehen m¨

oglich, obgleich das

im vorangegangenen Abschnitt bei der Auswertung der Daten des PoMeS kritisch zu betrachtende Vorgehen

der Maßstabsbestimmung mit kurzen Strecken hier ebenfalls zutrifft. Dennoch ergibt sich ein Maßstab f¨

ur die

Aufl¨

osung High von 0,999919 ∼80 ppm, d. h. ca. 0,1 mm/m.

Bei der Auswertung der Ergebnisse der anderen Aufl¨

osungen Middle und Super High lassen sich Ergebnisse

f¨

ur die Beobachtungsgruppen in der gleichen Gr¨

oßenordnung feststellen. Die aus den Parametersch¨

atzungen

ermittelten Genauigkeiten der Beobachtungsgruppen nehmen jedoch leicht von der Aufl¨

osung Middle bis zur

Aufl¨

osung Super High zu. Diese Feststellung deckt sich nicht mit den in [Staiger und Ettel, 2003] dargestellten

Ergebnissen, die besagen, dass die Streckenmessgenauigkeit der Aufl¨

osungsstufe Middle wesentlich schlechter

ist als die h¨

oher aufgel¨

osten Datenerfassungsraten. Die Herstellerangaben [Zoller+Fr¨

ohlich, 2004] gehen von

einer Streckenmessgenauigkeit von 3 mm (bei einem Eindeutigkeitsbereich von 25,2 m) sowie einer horizon-

talen und vertikalen Winkelgenauigkeit von 0,02◦rms10 aus. Die aus den Parametersch¨

atzungen erhaltenden

Genauigkeitsangaben f¨

ur die Beobachtungsgruppen werden f¨

ur die Streckenmessgenauigkeit und die vertikale

Winkelmessgenauigkeit best¨

atigt. Hingegen ist die horizontale Winkelmessgenauigkeit um den Faktor zwei

genauer als die vertikale Winkelmessgenauigkeit.

Zusammenfassung

Das oben beschriebene Vorgehen zur Kalibrierung von polaren Messsystemen mit tachymetrischem Messprinzip

ist besonders geeignet zur Bestimmung von Instrumentenfehlern, die die Richtungsmess- oder Richtungsabgriff-

komponenten der Sensoren betreffen. Des Weiteren ist es mit der so vorgenommen Parametrisierung m¨

oglich,

die Nullpunktkorrektur zu bestimmen und Aussagen zur Streckenmessgenauigkeit zu treffen. Neben der Ablei-

tung von Kalibrierparametern ist ein Vergleich mit den Genauigkeitsangaben der Hersteller f¨

ur die Richtungs-

und Streckenmessung in einem Auswerteprozess m¨

oglich. Dabei wird diese Kalibrierstrategie als ein Verfahren

zur ¨

Uberpr¨

ufung der Messinstrumente vor der eigentlichen Nutzung des Messinstrumentes angesehen. Eine

regelm¨

aßige Folgeuntersuchung ist jedoch genauso m¨

oglich wie eine Neubestimmungen oder ¨

Uberpr¨

ufung der

Kalibrierparameter nach einem außergew¨

ohnlichen Ereignis, beispielsweise l¨

angere Eins¨

atze unter klimatisch

extremen Bedingungen oder beim Verdacht auf Transportsch¨

aden.

Auf die Bestimmung von Aufl¨

osungsverm¨

ogen, Rauschen sowie Reichweite und Einfl¨

ussen hervorgerufen von

unterschiedlichen Materialien und Auftreffwinkel des Messstrahls verbunden mit Untersuchungen zum Verhalten

der Messungen an Kanten wird in diesem Ansatz der Kalibrierung nicht eingegangen. Derartige Untersuchungen

f¨

uhrt z. B. [i3mainz, 2004] f¨

ur (fast) alle auf dem aktuellen Markt befindlichen Laserscanner durch.

5.8 Erweiterung der Kalibrierstrategie

Zur Kombination von mit Laserscannern aufgenommenen Informationen – in der Regel x, y, z - Koordinaten

und Intensit¨

atswerte diskreter Punkte von Objekten oder Objektausschnitten – mit photogrammetrisch aufge-

nommenen Bildern werden haupts¨

achlich CCD-Kameras eingesetzt. Die Hersteller der Laserscanning-Hardware

reagieren auf derartige Entwicklungen zur zus¨

atzlichen Informationsgewinnung mit der Kombination der Vorteile

der beiden Technologien Laserscanning und Photogrammetrie durch die direkte Einbindung von Digitalkameras

in die Scannerhardware (beispielsweise Leica HDS 3000 [Leica Geosystems, 2004] und Callidus [Kern, 2003])

sowie durch die M¨

oglichkeit, auf dem Geh¨

ause des Laserscanners eine Digitalkamera zu montieren [Ullrich u. a.,

2003]. Die Auswertung der verschiedenen Daten erfolgt dann meist in einer gemeinsamen Stationsausgleichung,

die es erm¨

oglicht, die detailreicheren Digitalbilder im Nahbereich mit den Laserscannerdaten zu koppeln.

Diese Digitalkameras sind hinsichtlich der verf¨

ugbaren Aufl¨

osung und aufgrund ihrer nicht-stabilen Aufnah-

megeometrie meist nicht f¨

ur die Anforderungen konzipiert, die an photogrammetrische Messkameras gestellt

10Die Formeln zur Berechnung der Standardabweichung bzw. eines RMS (root mean square) – Wertes unterscheiden sich. Bei einer

gen¨

ugend hohen Anzahl an Beobachtungen n→ ∞ entspricht der RMS – Wert jedoch der empirischen Standardabweichung.

5.8. Erweiterung der Kalibrierstrategie 91

werden. Die Hauptforderung f¨

ur eine photogrammetrische Objektrekonstruktion ist die Einhaltung der zen-

tralperspektivischen Abbildung, jedoch ist die Abweichung von einer idealen Kamera aufgrund verschiedener

Einfl¨

usse immer gegeben. Das Bestreben ist nunmehr, durch geeignete Maßnahmen diesen Idealfall der Loch-

kamera wieder herzustellen. Dies gelingt bei einer Aufnahmekamera durch die Bestimmung der Parameter

der inneren Orientierung, d. h. durch die Beschreibung der Lage des Projektionszentrums im kamerafesten

Bildkoordinatensystem sowie durch die Modellierung der Abweichungen vom mathematischen Modell der Zen-

tralperspektive, vgl. Abbildung 5.14. Die innere Geometrie der oben beschriebenen Kameras ist meist nicht

bekannt und kann sich durch Fokussieren ver¨

andern. Hinzu kommen die Verzeichnung der Optiken und Effekte

des CCD-Sensors [Maas, 1997] sowie Ver¨

anderungen der Bauteile im meist geringwertigen Geh¨

ause.

p’

Dxp

Hx,y- Bildhauptpunkt ( )

c- Kamerakonstante

DDDrxy- Einfluss der Verzeichnung ( , )

p xyz- fehlerfreier Punkt im Bildraum

P- Punkt im ObjektraumXYZ

O- Projektionszentrum

p’ x’ , y’- gemessene Bildkoordinaten ( )

Abb. 5.14: Parameter der inneren Orientierung, nach [Luhmann, 2003].

Allgemeine Ans¨

atze zur Kalibrierung von Digitalkameras

Zur Kalibrierung von photogrammetrischen Aufnahmesystemen sind verschiedene Methoden entwickelt worden,

die sich nach [Luhmann, 2003] in drei Hauptverfahren, je nach Art des Testk¨

orpers und der zur Anwendung

kommenden Messmethode, unterscheiden lassen:

•Laborkalibrierung: Laborkalibrierungen werden nur bei Messkameras mittels eines optischen Goniome-

ters [Kraus, 1994] oder eines Kollimators unter definierten Bedingungen hinsichtlich der Temperatur und

des Luftdruckes in einem Pr¨

uflabor vorgenommen.

•Testfeldkalibrierung: Hierbei wird ein Objektpunktfeld, welches ¨

uber eine m¨

oglichst große Anzahl si-

gnalisierter Messpunkte verf¨

ugt, formatf¨

ullend und von mehreren Kamerastandorten aufgenommen. Dabei

k¨

onnen die Messpunkte mit bekannten Koordinaten versehen sein oder es k¨

onnen in der Auswerteprozess

geeignete Zusatzinformationen, beispielsweise mit h¨

oherer Genauigkeit bestimmte Strecken integriert wer-

den.

Einen Zwischenschritt zwischen der Testfeldkalibrierung und der Simultankalibrierung stellt die on-the-

job Kalibrierung dar. Bei dieser Methode wird die eigentliche Objektaufnahme mit der Testfeldkali-

brierung verbunden, indem ein geeignetes Kalibrierobjekt mit in die Objektaufnahme eingebracht wird.

Dies ist der Fall, wenn das eigentliche Messobjekt nicht ¨

uber derartige Strukturen verf¨

ugt, die eine Selbst-

kalibrierung erm¨

oglichen.

•Simultankalibrierung: Die Simultankalibrierung ist eine Erweiterung der oben beschriebenen Verfahren

in der Art, dass die Kalibrierung der verwendeten Messkamera mit den Aufnahmen durchgef¨

uhrt wird, die

zur Objektauswertung angefertigt werden. Dabei muss auf eine gute Schnittgeometrie der Strahlenb¨

uschel,

92 5. Kalibrierstrategie

auf eine Kantung der Kamera zwischen den verschieden Aufnahmen und auf eine r¨

aumliche Tiefeninforma-

tion des zu untersuchenden Objektes geachtet werden. Die innere Orientierung wird nunmehr allein durch

die Erfassung der Objektform bestimmt, da f¨

ur diesen Ansatz keine Informationen ¨

uber die Koordinaten

von Passpunkten bekannt sein m¨

ussen. Die Bestimmung der Parameter der inneren Orientierung erfolgt

im Zuge der Auswertung durch eine B¨

undelausgleichung und die Sch¨

atzung der zu bestimmenden Parame-

ter im Modell selbst. Eine Schwierigkeit bei der Anwendung dieser Kalibrierstrategie ist die Bereitstellung

geeigneter Strukturen am Objekt zur genauen Messung der Bildkoordinaten.

In den letzten Jahren sind verschiedene mathematische Ans¨

atze zur Kamerakalibrierung in der Literatur dis-

kutiert worden, siehe z. B. [Tsai, 1986], [Fraser, 1997], [Gruen und Beyer, 2001], [Hastedt u. a., 2002] und

[Rodehorst, 2004]. Die am h¨

aufigsten angewendete und f¨

ur hochgenaue Aufgabenstellungen am Besten geeig-

nete Strategie ist die Testfeldkalibrierung im Vorfeld der Messungen, vgl. Abbildung 5.15 und [VDI/VDE, 2002],

oder als Simultankalibrierung im eigentlichen Messprozess integriert [Peipe und Yu, 2003].

Die rechnerische Bestimmung der Parameter der inneren Orientierung beruht auf dem Aufbau eines Glei-

chungssystems mit den Objektkoordinaten aller Punkte und den Daten der inneren und ¨

außeren Orientierung

als Unbekannte. Die Bildkoordinaten und meist auch die Objektkoordinaten der Passpunkte werden als Be-

obachtungen eingef¨

uhrt, das Gleichungssystem wird linearisiert und in einem iterativen Ausgleichungsprozess

nach der Methode der kleinsten Quadrate gel¨

ost.

Abb. 5.15: Anordnung der Messbilder ¨

uber einem dreidimensionalen Testfeld zur Kalibrierung von Kameras

(links) und Ausschnitt eines Testfelds (rechts).

Kameras mit Zoom-Objektiven lassen sich in der Gestalt kalibrieren, dass f¨

ur verschiedene Zoom- und Fo-

kusstellungen der Objektive eine Standardkalibrierung nach oben beschriebenen Verfahren durchgef¨

uhrt wird.

Anschließend lassen sich die Parameter zum sp¨

ateren Feldgebrauch in einer lookup table speichern und/oder

durch eine Polynomapproximation kann jeder Parameter als eine Funktion der Brennweite dargestellt werden

[Mikhail u. a., 2001]. Bei Nutzung eines photogrammetrischen Auswerteprogramms lassen sich die kameraspe-

zifischen Parameter in einer Datenbank ablegen und werden automatisch im Auswerteprozess ber¨

ucksichtigt.

Werden die Parameter der inneren Orientierung exakt bestimmt und ist die ¨

außere Orientierung, d. h. die

Lage des Projektionszentrums der Kamera im Koordinatensystem der Laserscanneraufnahmen bekannt, so lassen

sich die Vorteile der schnellen Geometriedatenerfassung der scannenden Systeme mit der bildhaften Erfassung

auf Grundlage der Kamerabilder kombinieren und z. B. f¨

ur die Erstellung von differentiellen Entzerrungen hoher

Qualit¨

at nutzbringend anwenden.

5.9. Diskussion 93

5.9 Diskussion

In diesem Kapitel ist ein Verfahren zur Kalibrierung f¨

ur scannende Instrumente, die nach dem tachymetri-

schen Messprinzip arbeiten, vorgestellt und anhand zweier Beispiele getestet worden. Neben der Ableitung von

instrumentenspezifischen Parametern ist eine Bestimmung der Messgenauigkeiten f¨

ur die einzelnen Komponen-

ten dieser Instrumente m¨

oglich. Wie gezeigt, gelingt die Bestimmung der Instrumentenfehler in den Grenzen

der Messgenauigkeit des Instrumentes selber. Als schwierig gestaltet sich hingegen aufgrund der r¨

aumlichen

Einschr¨

ankung in der Gr¨

oße des Kalibrierraumes die Bestimmung eines Maßstabsfaktors. Hier gilt es, die Un-

tersuchungen auszuweiten und gegebenenfalls die Abmessungen des Kalibrierraumes zu erweitern. Des Weiteren

sollten Kalibrierplatten eingesetzt werden, bei denen die Ebenheit ¨

uber die gesamte Ausdehnung der Fl¨

ache ga-

rantiert ist. Diese mit einem Verfahren h¨

ochster Genauigkeit (Lasertracker, u. ¨

a.) erfassten Fl¨

achen, w¨

urden als

Referenzebenen in den Kalibrierprozess eingef¨

uhrt, eine sinnvolle Bestimmung des Maßstabes erm¨

oglichen.

Des Weiteren wurde aufgezeigt, dass bei der Kombination von scannenden Instrumenten mit hochaufl¨

osenden

CCD-Kameras zur Aussch¨

opfung des vollen Genauigkeitspotentials auch diese CCD-Kameras einem regelm¨

aßi-

gen Kalibrierungsprozess zu unterziehen sind. Denkbar w¨

are hier ein kombiniertes Testfeld zur gleichzeitigen

Kalibrierung von scannenden Instrumenten und CCD-Kameras, wobei die Parameter in einem kombinierten

Ausgleichungsmodell bestimmt werden k¨

onnten.

6 Zusammenfassung und Ausblick

Die vorliegende Arbeit verfolgt prim¨

ar zwei Ziele. Zum einen sollte eine Strategie zur Systemkalibrierung scan-

nender polarer Messinstrumente entwickelt werden und auf Tauglichkeit hinsichtlich des Einsatzes bei der Ge-

r¨

ateuntersuchung aktueller Laserscanner bewertet werden. Des Weiteren sollten die zur Auswertung ben¨

otigten

Algorithmen mit einem h¨

oheren Automationsgrad versehen werden.

Aufgrund der unterschiedlichen Konstruktionsprinzipien der Messstrahlablenkungseinheiten wurde eine Ka-

librierstrategie exemplarisch f¨

ur die nach dem tachymetrischen Messprinzip arbeitenden scannenden Messin-

strumente entwickelt. Es wurde gezeigt, dass eine Kalibrierung mit identischen Ebenen in einem Kalibrierfeld

grunds¨

atzlich m¨

oglich ist und – die Kenntnis des mechanischen und elektrischen Aufbaus vorausgesetzt – die

Modellierung und Bestimmung der entsprechenden Korrekturwerte f¨

ur die Instrumentenfehler abgeleitet werden

k¨

onnen. Außerdem lassen sich im Rahmen der Kalibrierstrategie Genauigkeitsangaben f¨

ur die einzelnen Kom-

ponenten der Richtungs- und Streckenmessung f¨

ur scannende Instrumente bestimmen, die dem Nutzer eine von

den Herstellerangaben unabh¨

angige Beurteilung der potentiellen Genauigkeiten dieser Technologie erlauben.

In dieser Arbeit wird ein Testfeld beschrieben, welches aufgrund der baulichen Einschr¨

ankungen die Instru-

mentenfehler nur in einem kleinr¨

aumigen Kalibrierfeld bestimmt und deshalb auf eine Extrapolation ¨

uber den

gesamten Messbereich angewiesen ist. Die Bestimmung eines Maßstabsfaktors erscheint in diesem Zusammen-

hang nicht sinnvoll und sollte ¨

uber die bekannten Verfahren, wie Kalibrierstrecken und Systemtransformationen

uber identische Punkte, durchgef¨

uhrt werden. Um Absch¨

atzungen f¨

ur die Genauigkeiten und die Korrektur-

parameter auf den gesamten Messbereich auszudehnen, w¨

aren Testfelder n¨

otig, die in ihren Abmessungen um

mehrere Gr¨

oßenordnungen ausgedehnt werden m¨

ussten. Hier ist sicherlich ein Kompromiss zwischen sicherer

Bestimmung der Instrumentenfehler und der Anlage bzw. Ausdehnung eines derartigen Testfeldes zu finden.

Die zur Umsetzung der Kalibrierung ben¨

otigten Platten m¨

ussen nicht die in der Arbeit vorgestellten Ab-

messungen aufweisen. Denkbar w¨

are hier auch der Einsatz von W¨

urfeln, die frei im Raum zu platzieren sind.

Die freie Anordnung ist jedoch dahingehend einzuschr¨

anken, dass auch Zielungen zu Objektpunkten mit stei-

len Visuren durchgef¨

uhrt werden k¨

onnen. Auf diese Weise w¨

are eine Schnellkalibrierung m¨

oglich, ¨

ahnlich den

schnellen Feldverfahren zur ¨

Uberpr¨

ufung der Nullpunktkorrektur bei Tachymetern. Dabei w¨

are zu beachten,

dass die Bestimmung des Maßstabes auf die gezeigte Weise nicht m¨

oglich ist. Um eine sichere Bestimmung

des Maßstabsfaktor zu erhalten, sollte alternativ ¨

uber den Einsatz von kohlefaser-verst¨

arktem Kunststoff als

Material f¨

ur die Kalibrierfl¨

achen nachgedacht werden. Dieses Material verf¨

ugt zum einen ¨

uber ein geringes

Gewicht, andererseits ist es auch fertigungstechnisch in der Art zu bearbeiten, dass die Oberfl¨

achen absolut

plan hergestellt werden k¨

onnen. Die auf diese Weise geschaffenen Kalibrierelemente m¨

ussten dann mit einem

Messverfahren h¨

ochster Genauigkeit aufgenommen werden, anschließend modelliert und als Referenzebenen in

den Kalibrierprozess eingef¨

uhrt werden. Die mit ihren Kovarianzen vorliegenden Kalibrierebenen w¨

urden dann

bei entsprechender Gr¨

oße des Testfeldes auch die Bestimmung eines Maßstabsfaktors erlauben. Zur Aufnahme

dieser Referenzebenen bieten sich bei entsprechender Signalisierung die Verfahren der Nahbereichsphotogram-

metrie an, aber auch der Einsatz eines Lasertrackers w¨

are denkbar.

Die im Rahmen dieser Arbeit nicht geleisteten Optimierungsuntersuchungen zur korrekten und sinnvollen

Auswahl der Gr¨

oße der Kalibrierplatten sowie entsprechende Untersuchungen zur Konfigurationsoptimierung

sind noch durchzuf¨

uhren. Ebenso wird eine prinzipiell denkbare Erweiterung zur Kalibrierung von hochpr¨

azi-

sen Messsystemen, wie z. B. f¨

ur die nach dem interferometrischen Messprinzip arbeitenden Lasertracker, erst

m¨

oglich werden, wenn die Kalibrierplatten nach den oben beschriebenen Vorgaben modifiziert wurden. Die

Untersuchungen sollten aufgrund der Genauigkeitsunterschiede hinsichtlich der Distanzmessung und der damit

verbundenen hochpr¨

azisen Bestimmung der Richtungskomponenten gegen¨

uber den Laserscannern nachfolgenden

wissenschaftlichen Arbeiten vorbehalten bleiben. Eine Erweiterung des funktionalen Modells durch Aufnahme

zus¨

atzlicher Parameter in den Kalibrierprozess unter Kenntnis des mechanischen Aufbaus erscheint zum jetzigen

Zeitpunkt jedoch ohne weiteres m¨

oglich. Zur L¨

osung dieser Fragestellungen ist man jedoch auf die Kooperation

mit den Herstellern der scannenden Instrumente angewiesen, die den mechanischen und elektronischen Aufbau

ihrer Instrumente zu diesem Zweck offen legen m¨

ussten.

Die Vorteile der scannenden Messverfahren und der photogrammetrischen Erfassung werden zunehmend

kombiniert. Dies geschieht zum einen durch die Instrumentenhersteller selbst, die ihre Messger¨

ate mit Sensoren

zur bildhaften Erfassung (CCD-Kameras) ausstatten. Zum anderen kann diese Kombination durch hybride

Messsystem geschehen, die ebenfalls durch das Zusammenspiel einer fl¨

achenhaften Erfassung durch ein polares

Messsytem und der bildhaften Auswertung die Vorteile beider Verfahren kombinieren. Um f¨

ur die photogram-

metrische Auswertung der eingesetzten Digitalkameras die erforderlichen Genauigkeiten einzuhalten, m¨

ussen

diese ebenfalls einem Kalibrierprozess unterzogen werden. F¨

ur diese Aufgabenstellung gibt es Standardverfah-

ren, mit denen eine Kalibrierung, d. h. eine Bestimmung der inneren Orientierung der CCD-Kamera sicher und

zuverl¨

assig vorgenommen werden kann. Die Kombination dieser Verfahren zur Bestimmung der inneren Ori-

entierung mit der vorgeschlagenen Methode der Instrumentenkalibrierung im Testfeld ist anzustreben und auf

eine vollst¨

andige Systemkalibrierung zu erweitern. Dabei m¨

ussen Anstrengungen unternommen werden, diese

Kalibrierstrategie hin zu einer on-the-job Kalibrierung weiter zu entwickeln. Ebenso ist eine Verifizierung mit

geeignetem Datenmaterial vorzunehmen.

Des Weiteren wurden in dieser Arbeit Wege zur Automatisierung der Auswertealgorithmen aufgezeigt, um den

zeitlichen Aufwand der Auswertungen außerhalb der Messzeiten zu verk¨

urzen. Die reinen Messzeiten vor Ort,

die f¨

ur die Datenerfassung ben¨

otigt werden, sind aufgrund der zur Verf¨

ugung stehenden Scanner-Hardware

schon so weit optimiert, dass der Nutzer den Großteil der Zeit bei der Auswertung der Daten verbringen oder

f¨

ur vorbereitende bzw. messungsbegleitende Maßnahmen aufwenden muss.

Ublicherweise werden zur Standpunktverkn¨

upfung Reflektoren, Passkugeln oder Objektecken benutzt, die

f¨

ur eine anschließende punktweise Transformation herangezogen werden. Diese Zielzeichen k¨

onnen jedoch entwe-

der verdeckt oder teilverdeckt sein oder sind durch einen erheblichen Best¨

uckungsaufwand vor der Anwendung

gekennzeichnet. Bei einigen Anwendungen m¨

ussen diese Zielzeichen sogar mit einem geod¨

atischen Verfahren

(Netzmessung) eingemessen werden. Effizientere Methoden, die mit weniger logistischem Aufwand einhergehen,

sind die fl¨

achenhaften Transformationsverfahren, bei denen im Vorfeld keine Signalisierung in Form von Ziel-

marken oder -zeichen zu erfolgen braucht. Bei ausreichender Gr¨

oße im Falle der Wahl von einfachen Ebenen

gibt es keine oder nur geringe Verdeckungen. Bei Betrachtung von Punktwolken, wie sie bei Aufnahme von Ob-

jekten entstehen, f¨

allt auf, dass in den meisten der aufgemessenen Szenen ohnehin viele Ebenen enthalten sind,

die zur Transformation beliebig vieler Standpunktkoordinatensysteme herangezogen werden k¨

onnen. Durch

den vorgestellten Prozessablauf, der durchgehend mit einer implementierten Grobfehlersuche im Beobachtungs-

material ausgestattet ist, wird eine Automatisierung des Auswerteprozesses erreicht. Die Segmentierung und

Modellierung von Ebenen erfolgt dabei automatisch aus den Messdaten. Durch das ebenfalls automatisch ablau-

fende Verfahren der Zuordnung von homologen Ebenen und der darauf aufbauenden Transformation entf¨

allt das

zeitaufw¨

andige Verfahren der manuellen Bewertung und Zuordnung. Eine Erweiterung dieser automatischen

Auswertestrategien auf K¨

orper und Fl¨

achen mit anderen Regelgeometrien zur Standpunktverkn¨

upfung sollte

jedoch noch vorgenommen werden, entsprechende Algorithmen zur Detektion dieser Passk¨

orper sind dement-

sprechend noch bereitzustellen.

Die derzeitigen methodischen Entwicklungen auf den Gebieten der Auswertung und Genauigkeitsanalyse scan-

nender Messverfahren und die Entwicklungen geeigneter Kalibrierstrategien, zu denen auch die vorliegende

Arbeit beitragen soll, werden die Akzeptanz der Technologie des Laserscanning noch erh¨

ohen und das Anwen-

dungsspektrum sinnvoll erweitern. Die Idealvorstellung bei der Aufnahme und Auswertung von Laserscanner-

daten ist sicherlich ein vollautomatisch messendes Instrument, welches in Abh¨

angigkeit von der angestrebten

Genauigkeit und des aufzunehmenden Detailreichtums selbstst¨

andig die Aufl¨

osung ver¨

andert, im Messvolumen

platzierte statische oder dynamische Objekte automatisch erkennt, modelliert und auf Grundlage dieser Mo-

dellierung eine Selbstkalibrierung unter der Maßgabe einer aktiven Qualit¨

atskontrolle vornimmt. Die T¨

ur zum

Erreichen dieser Idealvorstellung ist durch die vorliegende Arbeit sicherlich erst einen kleinen Spalt ge¨

offnet,

aber frei nach dem chinesischen Philosophen Konfuzius (551 – 479 v. Chr.) gilt: ”

Wer bei Kleinigkeiten keine

Geduld hat, dem misslingt der große Plan.“ 1

1Entnommen aus [Rodehorst, 2004].

Literaturverzeichnis

[Abdel-Aziz und Karara 1971] Abdel-Aziz, Y.F.;

Karara, N.M.: Direct linear transformation from

comparator coordinates into object coordinates in

close-range photogrammetry. In: Proc. ASP Sympo-

sium on Close-range Photogrammetry. Illinois, 1971,

S. 1 – 18.

[Ackermann 1981] Ackermann, F.: Grundlagen

und Verfahren zur Erkennung grober Datenfehler.

In: Schriftenreihe Institut f¨

ur Photogrammetrie der

Universit¨

at Stuttgart, Heft 7: Vortr¨

age des Lehr-

gangs Numerische Photogrammetrie (IV) an der

Universit¨

at Stuttgart ¨

uber grobe Datenfehler und die

photogrammetrische Punktbestimmung. Stuttgart,

Institut f¨

ur Photogrammetrie der Universit¨

at Stutt-

gart, 1981, S. 7 – 24

[Alder 2003] Alder, J.: Betrachtungen zur Kali-

brierung polarer Messsysteme. Diplomarbeit, Tech-

nische Universit¨

at Berlin, 2003 (unver¨

offentlicht)

[Alkis u. a. 2003] Alkis, A.; Arun, G.; Demi-

rel, H.; D¨

uppe, R.-D.; Hovenbitzer, M.: Die

Kleine Hagia Sophia Moschee in Istanbul, Objek-

terfassung zur Dokumentation des Baues sowie sei-

ner Sch¨

aden. In: Allgemeine Vermessungsnachrich-

ten (AVN). Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 110. Jahrgang, Heft 1,

2004, S. 2 – 8

[Anderson u. a. 1999] Anderson, E.; Bai, Z.; Bi-

schof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Don-

garra, J.; Croz, J. D.; Greenbaum, A.; Ham-

marling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D.:

LAPACK User’s Guide. 3. Auflage. Philadel-

phia, SIAM, 1999. URL http://www.netlib.org/

lapack/lug/ (recherchiert 10/2001)

[Balzani u. a. 2001] Balzani, M.; Pellegrinelli,

A.; Perfetti, N.; Uccelli, F.: A terrestrial 3D

laser scanner: accuracy tests. In: Proc. CIPA 2001

XVIIIth International Symposium. Potsdam, 2001,

S. 445 – 453

[Barber u. a. 1996] Barber, C. B.; Dobkin, D. P.;

Huhdanpaa, H.: The Quickhull Algorithm for Con-

vex Hulls. In: ACM Transactions on Mathematical

Software. Volume 22, Number 4, 1996, S. 469 – 483

[de Berg u. a. 2002] de Berg, M.; van Kreveld,

M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O.: Computa-

tional Geometry - Algorithms and Applications. 2.,

rev. ed. Berlin, New York, Springer, 2002

[Besl und McKay 1992] Besl, P. J.; McKay, N. D.:

A Method for Registration of 3-D Shapes. In: IEEE

Transactions on Pattern Analysis and Machine In-

telligence. Volume 14, Number 2, 1992, S. 239–256

[Bill 1999] Bill, R.: Grundlagen der Geo-

Informationsysteme, Band 1 und 2. 2., v¨

ollig neu-

bearbeitete und erw. Auflage. Heidelberg, Herbert

Wichmann Verlag, 1999

[Bobick 1998] Bobick, N.: Rotating Objects Using

Quaternions. In: Game Developer. Game Developer

Media Group, 1998, http://www.gamasutra.com

(recherchiert 2003)

[Boehler u. a. 2003] Boehler, W.; Bordas Vi-

cent, M.; Marbs, A.: Investigation Laser Scanner

Accuracy. In: Proc. CIPA 2003 XIXth International

Symposium. Antalya (Turkey), 2003, S. 474 – 479

[Breithaupt 2003] F. W. Breithaupt & Sohn

GmbH & Co. KG:Elektronisches Winkelmeßsy-

stem.http://www.breithaupt.de (Stand 10/2002)

[Brenner 2000] Brenner, C.: Dreidimensionale Ge-

b¨

auderekonstruktion aus digitalen Oberfl¨

achenmo-

dellen und Grundrissen. M¨

unchen, DGK Reihe C,

Heft Nr. 530, Dissertation, 2000

[Bronstein und Semendjajew 1985] Bronstein,

I.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Ma-

thematik. 22., Auflage. Leipzig, BSB B.G. Teubner

Verlagsgesellschaft, 1985

[Br´ys und ´

Cmielewski 2004] Br´

ys, H.; ´

Cmielewski,

K.: Einfluss der Teilverdeckung des Messstrahlb¨

un-

dels auf die elektrooptische Distanzmessung in ge-

schlossenen R¨

aumen In: Allgemeine Vermessungs-

nachrichten (AVN). Heidelberg, Herbert Wichmann

Verlag, H¨

uthig GmbH & Co. KG, 111. Jahrgang,

Heft 1, 2004, S. 12 – 19

[Bruhnke 2003] Bruhnke, K.-H.: Analyse der Da-

tenerfassung f¨

ur eine ganzheitliche Immobilienbeur-

teilung. Wirtschaftswissenschaftliche Fakult¨

at Uni-

versit¨

at Leipzig, Institut f¨

ur Baubetriebswesen und

Bauwirtschaft, 1996

[Buchmann 1996] Buchmann, P.: Entwicklung ei-

nes Meßsystems zur automatischen polaren Objek-

terfassung am Beispiel der Bauaufnahme. M¨

unchen,

DGK Reihe C, Heft Nr. 456, Dissertation, 1996

Literaturverzeichnis 97

[Buhrow 2002] Buhrow, T.: Genauigkeitsunter-

suchungen von Laserscannermessungen am Beispiel

des I-SiTE 3D Laser Imaging Systems. Diplomar-

beit, Technische Universit¨

at Berlin, 2002 (unver¨

of-

fentlicht)

[B¨

ungener 1995] B¨

ungener, W.: Pr¨

ufung und

Beurteilung der Positions- und Schrittwinkelabwei-

chungen von Hybrid-Schrittmotoren. Kaiserslautern,

Universit¨

at Kaiserslautern, Dissertation, 1995

[Cheok u. a. 2002] Cheok, G.; Leigh, S.; Rukhin,

A.: Calibration Experiments of a Laser Scanner.

Technical Report NISTIR 6922, U. S. Department

of Commerce Technology Administration (Building

and Fire Research Laboratory), National Institute

of Standards and Technology, 2002

[Cyra Technologies, Inc. 2003] Cyra Technolo-

gies, Inc.:Cyclone. Version 4.1, http://www.

cyra.com (recherchiert 09/2003)

[Dam u. a. 1998] Dam, E. B.; Koch, M.; Lillholm,

M.: Quaternions, Interpretation and Animation.

Department of Computer Science, University of Co-

penhagen, 1998, Technical Report DIKU-TR-98/5

[Deumlich und Staiger 2002] Deumlich, F.; Stai-

ger, R.: Instrumentenkunde der Vermessungstech-

nik. 9., v¨

ollig neubearbeitete und erweiterte Auf-

lage. Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag, H¨

uthig

GmbH & Co. KG, 2002

[Dijkmann und van den Heuvel 2002] Dijkmann,

S. T.; van den Heuvel, F. A.: Semi Automa-

tic Registration of Laser Scanner Data. In: ISPRS

- Congress, Commission V, Close-Range Imaging,

Long-Range Vision. Corfu (Greece), 2002, S. 12 –

[DIN 1986] DIN 18709-2:Begriffe, Kurzzeichen

und Formelzeichen im Vermessungswesen – Teil 2:

Ingenieurvermessung. Berlin, Deutsches Institut f¨

Normung e.V., 1986

[DIN 1998] DIN 18710-1:Ingenieurvermessung,

Teil 1: Allgemeine Anforderungen (Entwurf Okto-

ber 1998). Berlin, Deutsches Institut f¨

ur Normung

e.V., 1998

[Drixler 1993] Drixler, E.: Analyse der Form und

Lage von Objekten im Raum. M¨

unchen, DGK Reihe

C, Heft Nr. 409, Dissertation, 1993

[Faugeras und Luong 2001] Faugeras, O.; Luong,

Q.-T.: The Geometry of Multiple Images. Cam-

bridge, London, The MIT Press, 2001

[Farin und Hansford 1998] Farin, G. E.; Hansford,

D.: The Geometry Toolbox for Graphics and Mode-

ling. Natick, Massachusetts, A K Peters, 1998

[Fischler und Bolles 1981] Fischler, M. A.; Bol-

les, R. C.: Random Sample Consensus: A Para-

digm for Model Fitting with Applications to Image

Analysis and Automated Cartography. In: Commu-

nications of the ACM, 1981, Volume 24, Number 6,

S. 381 – 395

[Foley u. a. 1995] Foley, J. D.; van Dam, A.; Fei-

ner, S. K.; Hughes, J. F.: Computer graphics:

principles and practice. 2nd ed. in C, Boston,

Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 1995

[Forsyth und Ponce 2003] Forsyth, D. A.; Ponce,

J.: Computer Vision, A Modern Approach. Upper

Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, 2003

[F¨

orstner 1981] F¨

orstner, W.: Statistische Grund-

lagen f¨

ur die Zuverl¨

assigkeit von Ausgleichungser-

gebnissen. In: Schriftenreihe Institut f¨

ur Photo-

grammetrie der Universit¨

at Stuttgart, Heft 7: Vor-

tr¨

age des Lehrgangs Numerische Photogrammetrie

(IV) an der Universit¨

at Stuttgart ¨

uber grobe Da-

tenfehler und die photogrammetrische Punktbestim-

mung. Stuttgart, Institut f¨

ur Photogrammetrie der

Universit¨

at Stuttgart, 1981, S. 25 – 39

[Fraser 1997] Fraser, C. S.: Digital camera self-

calibration. In: ISPRS Journal of Photogrammetry

and Remote Sensing. Volume 52, Number 4, 1997,

S. 149 – 159

[Fr¨

ohlich 1996] Fr¨

ohlich, C. L.: Aktive Erzeugung

korrespondierender Tiefen- und Reflektivit¨

atsbilder

und ihre Nutzung zur Umgebungserfassung. Techni-

sche Universit¨

at M¨

unchen, Dissertation, 1996

[Gartner, Inc. 2003] Gartner, Inc.:Gartner’s

Hype Cycle. Stamford, CT, http://www.gartner.

com (recherchiert 03/2004)

[Gielsdorf 1998] Gielsdorf, F.: Datenmodellie-

rung f¨

ur Gleisnetze und Schaffung eines einheitli-

chen Raumbezugssystems. M¨

unchen, DGK Reihe C,

Heft Nr. 491, Dissertation, 1998

[Gielsdorf und Gr¨

undig 2002] Gielsdorf, F.;

Gr¨

undig, L.: Geometrical Modeling for Facility

Management Systems Applying Surface Parameters.

In: Proc. XXIIth FIG International Congress. Ses-

sion 27, published on CD, Washington DC, 2002

[Gordon u. a. 2001] Gordon, S.; Lichti, D.; Ste-

wart, M.; Tsakiri, M.: Metric performances of a

high-resolution lasers scanner. In: Videometrics and

Optical Methods for 3D Measurement. Proc of SPIE

Volume 4309, San Jose, 2001, S. 174 – 184

[Gr¨

undig 1988] Gr¨

undig, L.: Datenverwaltungs-

konzepte f¨

ur typische Aufgaben aus der Ingenieur-

geod¨

asie. M¨

unchen, DGK Reihe C, Heft Nr. 336,

Dissertation, 1988

98 Literaturverzeichnis

[Gruen und Beyer 2001] Gruen, A. ; Beyer, H. A.:

System Calibration Through Self-Calibration. In:

Gruen, A. (Hrsg.); Huang, T. S. (Hrsg.): Calibra-

tion and Orientation of Cameras in Computer Vi-

sion. Berlin, New York, Springer, 2001, S. 163 –

194

[Haralick und Shapiro 1993] Haralick, R. M.; Sha-

piro, L. G.: Computer and Robot Vision. Boston,

Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 1992

[Hartley und Zisserman 2001] Hartley, R.; Zisser-

man, A.: Multiple view geometry in computer vision.

reprinted (with corr.), Cambridge, Cambridge Univ.

Press, 2001

[Hastedt u. a. 2002] Hastedt, H.; Luhmann, T.;

Tecklenburg, W.: Image-Variant Interior Orien-

tation ans Sensor Modelling of High-Quality Digi-

tal Camera. In: ISPRS - Congress, Commission

V, Close-Range Imaging, Long-Range Vision. Corfu

(Greece), 2002, S. 27 – 32

[Heckel u. a. 2001] Heckel, B.; Uva, A. E.; Ha-

mann, B.; Joy, K. I.: Surface Reconstruction Using

Adaptive Clustering Methods. In: Brunnett, G.

(Hrsg.); Bieri, H. (Hrsg.); Farin, G. (Hrsg.): Geo-

metric Modeling. Wien, New York, Springer, 2001,

S. 199 – 218

[Hoffmann 1989] Hoffmann, C. M.: Geometric and

solid modeling: an introduction. San Mateo, Morgan

Kaufmann Publisher, Inc., 1989

[Horn 1987] Horn, B. K. P.: Closed-form solution of

absolute orientation using unit quaternions. In: Op-

tical Society of America A: Optics, Image Science,

and Vision. Bd. 4. Washington, D.C., OSOA, 1987,

S. 629 – 642

[Hoschek und Lasser 1992] Hoschek, J.; Lasser,

D.: Grundlagen der geometrischen Datenverarbei-

tung. Stuttgart, Teubner, 1992

[Hovenbitzer 2003] Hovenbitzer, M.: Zur Au-

tomation ber¨

uhrungsloser 3D-Objekterfassung im

Nahbereich. M¨

unchen, DGK Reihe C, Heft Nr. 556,

Dissertation, 2003

[H¨

opcke 1980] H¨

opcke, W.: Fehlerlehre und Aus-

gleichungsrechnung. Berlin, New York, Walter de

Gruyter, 1980

[i3mainz 2004] i3mainz, Fachhochschule Mainz:

Testprogramm f¨

ur terr. Laserscanner. Institut

f¨

ur Raumbezogene Informations- und Messtech-

nik, Fachhochschule Mainz, http://www.scanning.

fh-mainz.de (recherchiert 04/2004)

[Ingensand u. a. 2003] Ingensand, H.; Ryf, A.;

Schulz, T.: Performances and experiences in ter-

restrial laserscanning. In: Proc. Optical 3D Measu-

rement Techniques VI. Z¨

urich, 2003, S. 236 – 243

[Ivarone und Martin 2003] Ivarone, A.; Martin,

E.: Calibration verification facilities for long-range

laser scanners. In: Proc. Optical 3D Measurement

Techniques VI. Z¨

urich, 2003, S. 268 – 278

[Jacobs 2004] Jacobs, G.: 3D Laser Scanning: An

Ultra-fast, High-Definition, Reflectorless Topogra-

phic Survey. In: Professional Surveyor. Frederick,

Professional Surveyors Publishing Co., Inc., Volume

24, Number 5, May 2004, S. 38 – 43

[J¨

ahne 1993] J¨

ahne, B.: Digitale Bildverarbeitung.

Berlin, New York, Springer Verlag, 1993

[Joeckel und Stober 1999] Joeckel, R.; Stober,

M.: Elektronische Entfernungs- und Richtungsmes-

sung. Stuttgart, Verlag Konrad Wittwer, 4., neube-

arbeitete und erweiterte Auflage, 1999

[Johansson 2002] Johansson, M.: Explorations into

the Behaviour of Three Different High-Resolution

Ground-Based Laser Scanners in the Built Environ-

ment. In: Proc. of the CIPA WG 6 International

Workshop on Scanning for Cultural Heritage Recor-

ding. Corfu (Greece), 2002, S. 33 – 38

[Juretzko 2001] Juretzko, M.: The System Total

for reording the geometry an image data of histo-

ric buildings and monuments. In: Proc. CIPA 2001

XVIIIth International Symposium. Potsdam, 2001,

S. 611 – 613

[Kahlen 2001] Kahlen, H.: Facility Management

- Bd. 1: Entstehung, Konzeptionen, Perspektiven.

Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2001

[Kahmen 1997] Kahmen, H.: Vermessungskunde.

19., ¨

uberarbeitete Auflage, Berlin, New York, Wal-

ter de Gruyter, 1997

[Kampmann und Renner 2004] Kampmann, G.;

Renner, B.: Vergleich verschiedener Methoden

zur Bestimmung ausgleichender Ebenen und Ge-

raden. In: Allgemeine Vermessungsnachrichten

(AVN). Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 111. Jahrgang, Heft 2,

2004 S. 65 – 67

[Kehne 1989] Kehne, G.: Beitr¨

age zum Einsatz

tachymetrischer Verfahren bei der Bauaufnahme.

Braunschweig, Geod¨

atische Schriftenreihe der Tech-

nischen Universit¨

at Braunschweig, Nr. 9, Disserta-

tion, 1989

Literaturverzeichnis 99

[Kern 2003] Kern, F.: Automatisierte Mo-

dellierung von Bauwerksgeometrien aus 3D-

Laserscannerdaten. Braunschweig, Geod¨

atische

Schriftenreihe der Technischen Universit¨

at Braun-

schweig, Nr. 19, Dissertation, 2003

[Kogoj 2001] Kogoj, D.: Reflektorlose Distanz-

messung. In: Allgemeine Vermessungsnachrich-

ten (AVN). Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 108. Jahrgang, Heft 5,

202, S. 186 – 190

[Kraus 1994] Kraus, K.: Photogrammetrie, Band

1: Grundlagen und Standardverfahren. Bonn, Ferd.

D¨

ummler Verlag, 1994

[Kr¨

uger u. a. 2000] Kr¨

uger, T.; Milev, I.; Gr¨

un-

dig, L.: Ein automatisiertes System zur laserge-

st¨

utzten Tunnelprofilaufnahme. In: Zeitschrift f¨

Vermessungswesen (ZfV). Stuttgart, Verlag Konrad

Wittwer, 125. Jahrgang, Heft 11, 2000, S. 387 – 390

[Kuipers 2002] Kuipers, J. B.: Quaternions and

Rotation Sequences - A Primer with Applications to

Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton

and Oxford, Princeton University Press, 2002

[Lange 2003] Lange, A.: Entwicklung eines Algo-

rithmus zur strukturierten Verarbeitung von Daten

polarer Messsysteme. Diplomarbeit, Technische Uni-

versit¨

at Berlin, 2003 (unver¨

offentlicht)

[Leica Geosystems 2003] Leica Geosystems:

Disto – Produktvorstellung.http://www.

leica-geosystems.com (recherchiert 01/2003)

[Leica Geosystems 2004] Leica Geosystems:

3D Laser Scanner (HDS).http://www.

leica-geosystems.com (recherchiert 02/2004)

[Lemmens 2002] lemmens, M.: Product Survey on

High-end Total Stations. In: GIM International. AC

Lemmer, GITC bv. Volume 16, Number 10, 2002,

S. 68 – 73

[Lenk 2001] Lenk, U.: 2.5D-GIS und Geobasisdaten

– Integration von H¨

oheninformationen und Digita-

len Stadtmodellen. M¨

unchen, DGK Reihe C, Heft

Nr. 546, Dissertation, 2001

[Lichti u. a. 2000] Lichti, D. D.; Stewart, M. P.;

Tsakiri, M.; Snow, A. J.: Calibration and Testing

of a Terrestrial Laser Scanner. In: International Ar-

chives of Photogrammetrie and Remote Sensing. Vo-

lume XXXIII, Part B5, Amsterdam, 2000, S. 485 –

492

[Lindner 19933] Lindner, H.: Physik f¨

ur Inge-

nieure. 14. Auflage. Leipzig, K¨

oln, Fachbuchverlag

GmbH, 1993

[Linkwitz 1976] Linkwitz, K.: ¨

Uber einige

Ausgleichungsprobleme und ihre L¨

osung mit Hilfe

von Matrizen-Eigenwerten. In: Ackermann, F.

(Hrsg.): Wissenschaftliche Beitr¨

age aus dem Kreise

der Sch¨

uler von Ernst Gotthardt anl¨

aßlich seiner

Emeritierung am 31. M¨

arz 1976. M¨

unchen, DGK

Reihe B, Heft Nr. 216, 1976, S. 111 – 126

[Luhmann 2003] Luhmann, T.: Nahbereichsphoto-

grammetrie. 2., ¨

uberarbeitet Auflage. Heidelberg,

Herbert Wichmann Verlag, H¨

uthig GmbH & Co.

KG, 2003

[Maas 1997] Maas, H.-G.: Mehrbildtechniken in

der digitalen Photogrammetrie. Institut f¨

ur Geo-

d¨

asie und Photogrammetrie an der Eidgen¨

ossischen

Technischen Hochschule Z¨

urich, Habilitationsschrift,

ETH Z¨

urich, 1997

[Matlab 2002] The MathWorks, Inc.: Matlab (Re-

lease 12) – Programmbeschreibung. Version 6, 2002

[Matsuba und Roehl 1996] Matsuba, S.; Roehl,

B.: Using VRML : [the most complete reference] /

written by Stephen Matsuba and Bernie Roehl. In-

dianapolis, Que Publishing, 1996

[Meisenheimer 2002] Meisenheimer, H.-D.: Ver-

messungsinstrumente aktuell. Stuttgart, Verlag

Konrad Wittwer, auktualisierte Auflage, 2002

[Merzinger und Wirth 1995] Merzinger, G.;

Wirth, T.: Repetitorium der H¨

oheren Mathema-

tik. 3. Auflage. Springe, Binomi Verlag, 1995

[Mikhail u. a. 2001] Mikhail, E. M.; Bethel, J. S.;

McGlone, J. C.: Introduction to Modern Photo-

grammetry. New York, John Wiley & Sons, Inc.,

2001

[M¨

oser u. a. 2000] M¨

oser, M. u.a.: Grundlagen. In:

M¨

oser, M. (Hrsg.); M¨

uller, G. (Hrsg.); Schlem-

mer, H. (Hrsg.); Werner, H. (Hrsg.): Handbuch

Ingenieurgeod¨

asie. 3., v¨

ollig neubearbeitete und er-

weiterte Auflage. Heidelberg, Herbert Wichmann

Verlag, H¨

uthig GmbH, 2000

[Neptan/GPS 2002] Technet GmbH:Neptan/GPS

– dreidimsionale Netzausgleichung. Release 3, Ver-

sion 3.7, Berlin, 2002

[Niemeier und Wild 1995] Niemeier, W.; Wild,

P.: Einsatz von Laserscanner f¨

ur die Erfassung von

Geb¨

audegeometrien. In: Schrader, B. (Redak-

tion): Geb¨

audeinformationssysteme. Stuttgart, Ver-

lag Konrad Wittwer GmbH, DVW-Schriftenreihe 19

/ 1995, S. 155 – 168

[Niemeier 2002] Niemeier, W.: Ausgleichungsrech-

nung. Berlin, New York, Walter de Gruyter, 2002

100 Literaturverzeichnis

[Niemeier u. a. 2002] Niemeier, W.; Thomsen, S.;

Sch¨

afer, M.: 3-D-Geometrieerfassung mit terre-

strischen Laserscanner. In: Luhmann, T. (Hrsg.):

Photogrammetrie und Laserscanning - Anwendun-

gen f¨

ur As-Built-Dokumentation und Facility Ma-

nagement. Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2002, S. 15 – 26

[Pavelka und Dolansky 2003] Pavelka, K.; Do-

lansky, T.: Using of Non-Expensive 3D Scanning

Instruments for Cultural Heritage Documentation.

In: Proc. CIPA 2003 XIXth International Sympo-

sium. Antalya (Turkey), 2003, S. 534 – 536

[Peipe und Yu 2003] Peipe, J.; Yu, Q.: Untersu-

chungen zur Stabilit¨

at und metrischen Qualit¨

at ei-

ner digitalen 5 Megapixel Messkamera. In: Luh-

mann, T. (Hrsg.): Photogrammetrie Laserscanning

Optische 3D-Messtechnik - Beitr¨

age der Oldenbur-

ger 3D-Tage 2003. Heidelberg, Herbert Wichmann

Verlag, H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2003, S. 51 – 56

[Pfeifer u. a. 2000] Pfeifer, N.; Kraus, K.;

Schwarz, R.; Ullrich, A.: Nahbereichs-Laser-

Scanner f¨

ur die Innenraum-Aufnahme. In: Schn¨

delbach, K. (Hrsg.); Schilcher, M. (Hrsg.): In-

genieurvermessung 2000. Stuttgart, Verlag Konrad

Wittwer, 2000, S. 114 – 121

[Pictran 2002] Technet GmbH:Pictran – Pro-

grammbeschreibung. Release 4, Berlin, 2002

[Pomaska 2002] Pomaska, G.: Internet-

Pr¨

asentation von Bauprojekten. Berlin, Bauwerk

Verlag GmbH, 2002

[Richter 2004] Richter, A.: Genauigkeitsunter-

suchungen zur Streckenmessung auf verschiedene

Oberfl¨

achen mit dem Laserscanner der Technischen

Universit¨

at Berlin (LATUB). Seminararbeit, Tech-

nische Universit¨

at Berlin, 2004 (unver¨

offentlicht)

[Riegl u. a. 2003] Riegl, J.; Studnicka, N.; Ull-

rich, A.: Merging and processing of laser scan data

and high-resolution digital images aquired with a hy-

brid 3D laser sensor. In: Proc. CIPA 2003 XIXth

International Symposium. Antalya (Turkey), 2003,

S. 511 – 516

[Rietdorf u. a. 2003] Rietdorf, A.; Gielsdorf, F.;

Gr¨

undig, L.: Combination of hand measuring me-

thods and scanning techniques for CAFM - data ac-

quisition. In: Proc. FIG Working Week 2003. Tech-

nical Session 26.2, published on CD, Paris, 2003

[Rietdorf u. a. 2004] Rietdorf, A.; Gielsdorf,

F.; Alder, J.: Konzept zur Kalibrierung von

scannenden Messinstrumenten. In: Luhmann, T.

(Hrsg.): Photogrammetrie Laserscanning Optische

3D-Messtechnik - Beitr¨

age der Oldenburger 3D-

Tage 2004. Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2004, S. 64 – 71

[Rodehorst 2004] Rodehorst, V.: Photogramme-

trische 3D-Rekonstruktion im Nahbereich durch Au-

tokalibrierung mit projektiver Geometrie. Berlin,

Wissenschaftlicher Verlag Berlin, Dissertation, 2004

[Rousseeuw und Leroy 1987] Rousseeuw, P. J.;

Leroy, A. M.: Robust Regression and Outlier De-

tection. New York, John Wiley & Sons, 1987

[R¨

ueger 1996] R¨

ueger, J. M.: Electronic distance

measurement: an introduction. Berlin, Springer Ver-

lag, 1996

[Runne 1993] Runne, H.: Geod¨

atische Datenge-

winnung f¨

ur Geb¨

audeinformationssysteme unter An-

wendung reflektorloser tachymetrischer Verfahren.

Braunschweig, Geod¨

atische Schriftenreihe der Tech-

nischen Universit¨

at Braunschweig, Nr. 11, Disserta-

tion, 1993

[Runne u. a. 2001] Runne, H.; Niemeier, W.;

Kern, F.: Application of Laser Scanners to De-

termine the Geometry of Buildings. In: Gr¨

un, Ar-

min (Hrsg.); Kahmen, Heribert (Hrsg.): Optical 3D

Measurement Techniques V. Wien, 2001, S. 41 – 48

[Russell und Norvig 2003] Russell, S.; Norvig, P.:

Artificial Intelligence, A Modern Approach. 2nd ed.,

Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, 2003

[Santala und Joala 2003] Santala, J.; Joala, V.:

On the Calibration of a Ground-based Laser Scan-

ner. In: Proc. FIG Working Week 2003. Technical

Session 12.4, published on CD, Paris, 2003

[Scherer 2001a] Scherer, M.: Ein System zur be-

r¨

uhrungslosen Erfassung geometrischer und bildhaf-

ter Bauwerksdaten. In: Weferling, U. (Hrsg.);

Heine, K. (Hrsg.); Wulf, U. (Hrsg.): Von Hand-

aufmass bis High-Tech - Aufnahmeverfahren in der

historischen Bauforschung. Mainz, Verlag Philipp

von Zabern, 2001, S. 88 – 94

[Scherer 2001b] Scherer, M.: About the synthesis

of different methods in surveying. In: Proc. CIPA

2001 XVIIIth International Symposium. Potsdam,

2001, S. 423 – 429

[Schlemmer 2004] Schlemmer, H.: Einf¨

uhrung in

die Technologie des Laserscannings. In: Ingenieur-

vermessung 2004, 14th International Conference on

Engineering Surveying: Tutorial Laserscanning. Z¨

rich, 2004

Literaturverzeichnis 101

[Schl¨

uter 2002] Schl¨

uter, M.: Trackingsysteme f¨

handgef¨

uhrte 3D-Scanner – mechanisch, optisch, in-

terferometrisch. In: Seyfert, E. (Hrsg.): Publika-

tionen der Deutschen Gesellschaft f¨

ur Photogram-

metrie und Fernerkundung (DGPF), Beitr¨

age zur

22. Wissenschaftlich-Technischen Jahrestagung der

DGPF. M¨

unster, 2002, S. 187 – 194

[Schl¨

uter 1998] Schl¨

uter, O.: VRML: Sprach-

merkmale, Anwendungen, Perspektiven. Cambridge

[u.a.], O’Reilly, 1998

[Sch¨

orlin 1995] Sch¨

orlin, F.: Mit Schrittmotoren

steuern, regeln und antreiben. Poing, Franzis-Verlag

GmbH, 1995

[Schulz und Ingensand 2004a] Schulz, T.; In-

gensand, H.: Laserscanning – Genauigkeitsbe-

trachtungen und Anwendungen. In: Luhmann,

T. (Hrsg.): Photogrammetrie Laserscanning Opti-

sche 3D-Messtechnik - Beitr¨

age der Oldenburger 3D-

Tage 2004. Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2004, S. 90 – 97

[Schulz und Ingensand 2004b] Schulz, T.; Ingen-

sand, H.: Terrestrial Laser Scanning – Investigati-

ons and Applications for High Precision Scanning.

In: Proc. FIG Working Week 2004. Technical Ses-

sion 26.1, published on CD, Athens, 2004

[Schuster und F¨

orstner 2003] Schuster, H.-F.;

F¨

orstner, W.: Segmentierung, Rekonstruktion

und Datenfusion bei der Objekterfassung mit Ent-

fernungsdaten - ein ¨

Uberblick. In: Luhmann,

T. (Hrsg.): Photogrammetrie Laserscanning Opti-

sche 3D-Messtechnik - Beitr¨

age der Oldenburger 3D-

Tage 2003. Heidelberg, Herbert Wichmann Verlag,

H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2003, S. 3 – 10

[Schwarz 2001] Schwarz, W.: Geod¨

atische La-

borkalibrierung. In: Heister, H.; Staiger, R.

(Redaktion): Qualit¨

atsmanagement in der geod¨

ati-

schen Messtechnik. Stuttgart, Verlag Konrad Witt-

wer GmbH, DVW-Schriftenreihe 42 / 2001, S. 44 –

[Stahlberg 1997] Stahlberg, C.: Eine vektorielle

Darstellung des Einflusses von Ziel- und Kippachs-

fehler auf die Winkelmessung. In: Zeitschrift f¨

Vermessungswesen (ZfV). Stuttgart, Verlag Konrad

Wittwer, 122. Jahrgang, Heft 5, 1997, S. 225 – 235

[Staiger 2001] Staiger, R.: Motivation und Strate-

gie zur Pr¨

ufung Geod¨

atischer Instrumente. In: Hei-

ster, H. (Redaktion); Staiger, R. (Redaktion):

Qualit¨

atsmanagement in der geod¨

atischen Messtech-

nik. Stuttgart, Verlag Konrad Wittwer GmbH,

DVW-Schriftenreihe 42 / 2001, S. 8 – 23

[Staiger 2002] Staiger, R.: Laser Scanning in an

Industrial Environment. In: Proc. XXIIth FIG In-

ternational Congress. Technical Session 6.6, publis-

hed on CD, Washington DC, 2002

[Staiger 2003] Staiger, R.: Terrestrial Laser Scan-

ning - Technology, Systems and Applications. In:

Proc. 2nd FIG Regional Conference. Technical Ses-

sion 12, Marrakech (Morocco), 2003

[Staiger und Ettel 2003] Staiger, R.; Ettel, M.:

Untersuchungen des Laserscanners IMAGER 5003

von Zoller & Fr¨

ohlich. In: Seyfert, E. (Hrsg.):

Publikationen der Deutschen Gesellschaft f¨

ur Pho-

togrammetrie und Fernerkundung (DGPF). Band

12, M¨

unster, 2003, S. 293 – 300

[Stempfhuber u. a. 2000] Stempfhuber, W.;

Schn¨

adelbach, K.; Maurer, W.: Genaue Posi-

tionierung von bewegten Objekten mit zielverfolgen-

den Tachymeter. In: Schn¨

adelbach, K. (Hrsg.);

Schilcher, M. (Hrsg.): Ingenieurvermessung 2000.

Stuttgart, Verlag Konrad Wittwer, 2000, S. 144 –

154

[St¨

olting und Kallenbach 2002] St¨

olting, H.-D.;

Kallenbach, E.: Handbuch Elektrische Kleinan-

triebe. 2. Auflage. M¨

unchen, Wien, Carl Hanser

Verlag, 2002

[Thienelt 2003] Thienelt, M.: Entwick-

lung eines Algorithmus zur verketteten 3D-

Systemtransformation mittels identischer Ebenen.

Diplomarbeit, Technische Universit¨

at Berlin, 2003

(unver¨

offentlicht)

[Tsai 1986] Tsai, R. Y.: An Efficient and Accurate

Camera Calibration Technique for 3D Machine Vi-

sion. In: Proceedings of IEEE Conference on Com-

puter Vision and Pattern Recognition, 1986, S. 364

– 374

[Ullrich u. a. 2001] Ullrich, A.; Reichert, R.;

Schwarz, R.; Riegl, J.: Time-of-flight-based 3D

imaging sensor with true-color channel for automa-

ted texturing. In: Gr¨

un, A. (Hrsg.); Kahmen,

H. (Hrsg.): Optical 3D Measurement Techniques V.

Wien, 2001, S. 2 – 9

[Ullrich u. a. 2003] Ullrich, A.; Schwarz, R.; Ka-

ger, H.: Using hybrid multi-station adjustment

for an integrated camera lasers-scanner system. In:

Gr¨

un, A. (Hrsg.); Kahmen, H. (Hrsg.): Optical 3D

Measurement Techniques VI. Z¨

urich, 2003, S. 298 –

305

[VDI/VDE 2002] VDI/VDE:VDI/VDE-Richtlinie

2634: Optische 3D-Messsysteme, Bildgebende Sy-

steme mit fl¨

achenhafter Antastung. Berlin, Beuth

Verlag GmbH, 2002

102 Literaturverzeichnis

[Weisstein 1999] Weisstein, E. W.: The CRC

Concise Encyclopedia of Mathematics. Boca Raton,

Chapman & Hall / CRC, 1999

[Welsch u. a. 2000] Welsch, W.; Heunecke, O.;

Kuhlmann, H.: Auswertung geod¨

atischer Uberwa-

chungsmessungen. In: M¨

oser, M. (Hrsg.); M¨

ul-

ler, G. (Hrsg.); Schlemmer, H. (Hrsg.); Wer-

ner, H. (Hrsg.): Handbuch Ingenieurgeod¨

asie. Hei-

delberg, Herbert Wichmann Verlag, H¨

uthig GmbH,

2000

[Wendt und Weisensee 2003] Wendt, A.; Weisen-

see, M.: Registrierung und Integrierung von Punkt-

wolken. In: Luhmann, T. (Hrsg.): Photogrammetrie

Laserscanning Optische 3D-Messtechnik - Beitr¨

age

der Oldenburger 3D-Tage 2003. Heidelberg, Herbert

Wichmann Verlag, H¨

uthig GmbH & Co. KG, 2003,

S. 133 – 142

[Witte und Schmidt 2000] Witte, B.; Schmidt, H.:

Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik f¨

das Bauwesen. Stuttgart, Verlag Konrad Wittwer,

4., neubearbeitete Auflage, 2000

[Wolf 1980] Wolf, H.: Hypothesentest im Gauß-

Helmert-Modell. In: Allgemeine Vermessungsnach-

richten (AVN). Karlsruhe, Herbert Wichmann Ver-

lag GmbH, 87. Jahrgang, Heft 7, 1980, S. 277 –

284

[Wunderlich 2001] Wunderlich, T. A.: Opera-

tional and Economic Prospects of Terrestrial La-

ser Scanning. In: Gr¨

un, A. (Hrsg.); Kahmen,

H. (Hrsg.): Optical 3D Measurement Techniques V.

Wien, 2001, S. 18 – 25

[Zoller+Fr¨

ohlich 2004] Zoller+Fr¨

ohlich GmbH:

Technische Daten IMAGER.http://www.

zf-laser.com (recherchiert 05/2004)

Abbildungsverzeichnis

1.1 Gartner’s Hype Cycle [Gartner, Inc., 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Verarbeitungsschritte im Rahmen der Messwerterfassung, Auswertung und Kalibrierung . . . . . 9

2.1 Messprinzip eines polaren Messsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Schematisches Prinzip Impulslaufzeitverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Schematisches Prinzip Phasendifferenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Definition der gemessenen Richtungen beim tachymetrischen Messprinzip . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Definition der gemessenen Richtungen in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Schematischer Aufbau und geometrische Bedingungen des tachymetrischen Messprinzips . . . . . 16

2.7 Rotierende Bewegung eines Spiegel zur bildgebenden Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Oszillierende Bewegung zweier Spiegel zur bildgebenden Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Punktwolke bei der Datenerfassung mit einem scannenden Instrument . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10 Unterscheidung der Laserscanner nach dem Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.11 Unterscheidung der Laserscanner nach dem Gesichtsfeld [Runne u. a., 2001] . . . . . . . . . . . . 20

2.12 Strahldivergenz und Aufl¨

osungsverm¨

ogen, nach [Schlemmer, 2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.13 Abh¨

angigkeit des Abtastmusters von Entfernung und Ausrichtung des Objektes . . . . . . . . . . 21

2.14 R¨

aumliche Verteilung der Messpunkte bei der Abtastung mit scannenden Messverfahren . . . . . 22

2.15 Prototyp des Messsystems PoMeS ................................... 23

2.16 Schematischer Aufbau eines Schrittmotors, nach [Sch¨

orlin,1995] .................. 24

3.1 Tachymetrische Datenaufnahme versus scannende Messwerterfassung . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Umkreiskriterium der Delaunay-Triangulation, nach [Hoschek und Lasser, 1992] . . . . . . . . . 28

3.3 Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation.......................... 29

3.4 Ausschnitt einer Delaunay-Triangulierung auf der Einheitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Schematische Darstellung zum Vorgehen bei der Segmentierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 SpatproduktdreierVektoren ...................................... 33

3.7 Visualisierung der Dreieckskanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.8 Fehlerfreie und fehlerhafte Zuordnung einer Kante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.9 Ausgeglichene Ebene durch Punkte Pi................................. 37

3.10 Ebenenparameter Abstand nach HessescherNormalform ...................... 38

3.11 Visualisierung mittel VRML-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.12 Schnittpunkte der Normalenvektoren mit der Einheitskugel und Differenzvektoren . . . . . . . . 41

3.13 Darstellung der Normalenvektoren in der projektiven Ebene P2................... 43

3.14 Darstellung der Homographie in der projektiven Ebene P2...................... 44

4.1 Informationsverluste durch Abschattungen und Hinterschneidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Geometrische Anschauung Quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Verfahren zur Verkn¨

upfung verschiedener Instrumentenstandpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Zielzeichen bei der Nutzung von Laserscannern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Verkn¨

upfung mittels korrespondierender Fl¨

achen, nach [Runne u. a., 2001] . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Geometrischer Zusammenhang Systemtransformation (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7 Ablauf der Transformation mittels identischer Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8 Schematische Darstellung der verketteten 3D-Ebenentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.9 Instrumentenstandpunkte und Ebenen zur Transformation mittels identischer Ebenen . . . . . . 62

4.10 Netzaufbau der tachymetrischen Vergleichsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11 Darstellung der Restklaffen nach erfolgter Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1 Versuchsaufbau Streckenmessgenauigkeit, Oberfl¨

achenbeschaffenheit und Auftreffwinkel . . . . . 68

5.2 Teilverdeckung des Messstrahlb¨

undels bei der Distanzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Aufbau und Messungen auf einer EDM-Vergleichsstrecke (ohne Maßstabsangabe) . . . . . . . . . 70

103

104 Abbildungsverzeichnis

5.4 Winkeldefinitionen und Achsfehler, nach [Stahlberg, 1997] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Nullpunktkorrektur und Achsexzentrizit¨

aten, am Beispiel des PoMeS ............... 73

5.6 Modellierung der Instrumentenfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.7 Simulierte Ebenen zur Erzeugung fiktiver Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.8 Realisierung eines Testfeldes mit Kalibrierplatten (Ausschnitt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.9 Projizierte Targets auf der Oberfl¨

ache einer Testfeld-Kalibrierplatte (Messbild) . . . . . . . . . . 83

5.10 Abweichungen von der ausgeglichenen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.11 H¨

ohenlinienmodell zweier Kalibrierplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.12 Ablaufplan einer Kalibrierung, nach [Rietdorf u. a., 2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.13 Laserscanner Zoller+Fr¨

ohlich Imager5003 ............................ 88

5.14 Parameter der inneren Orientierung, nach [Luhmann, 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.15 Anordnung der Messbilder zur Kalibrierung von Kameras und Testfeld . . . . . . . . . . . . . . . 92

Tabellenverzeichnis

2.1 Klassifizierung von Laserscannern, nach [Staiger, 2003] und [Schulz und Ingensand, 2004b] . . . . 22

3.1 R¨

aumliche Koordinaten zur Bestimmung einer ausgeglichenen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Ergebnisse Spektralzerlegung und Ausgleichung mit Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Transformationsergebnisse – Rotationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Transformationsergebnisse – Translationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 AnzahlEbenenDatensatz2....................................... 63

4.4 Vergleich des Ebenenparameters dglo .................................. 63

4.5 Ergebnisse alternativer Transformationsverfahren I – ”Tachymeter“ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6 Ergebnisse alternativer Transformationsverfahren II – ”Kugeln“................... 65

5.1 Oberfl¨

achenmaterialien von Objekten im Wohn- und Arbeitsumfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Parametersch¨

atzung bei der Simulation von Instrumentenfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 Untersuchungen zur Ebenheit ausgew¨

ahlter Testfeld-Kalibrierplatten . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Statistik Parametersch¨

atzung Kalibrierung PoMeS .......................... 86

5.5 Ausgeglichene Parameter der Kalibrierung des polaren Messsystems PoMeS ........... 87

5.6 Standpunktabh¨

angiger H¨

ohenindexfehler bei der Kalibrierung des PoMeS ............. 87

5.7 Genauigkeit der Ebenenparameter bei der Kalibrierung des polaren Messsystems PoMeS . . . . 87

5.8 Statistik Parametersch¨

atzung Kalibrierung Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003 ........... 89

5.9 Ausgeglichene Parameter Kalibrierung Zoller+Fr¨

ohlich Imager 5003 ............. 89

105

Danksagung

Diese Arbeit entstand w¨

ahrend meiner T¨

atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Geod¨

asie und

Ausgleichungsrechnung des Institutes f¨

ur Geod¨

asie und Geoinformationstechnik der Fakult¨

at Bauingenieurwesen

und Angewandte Geowissenschaften der Technischen Universit¨

at Berlin. Dem Leiter des Fachgebietes, meinem

Doktorvater Prof. Dr.-Ing. Lothar Gr¨

undig, gilt mein ganz besonderer Dank. Er hat diese Arbeit von Anfang an

unterst¨

utzt, fachlich begleitet und immer gef¨

ordert. Weiterhin m¨

ochte ich mich bei Prof. Dr.-Ing. Otto Heunecke

f¨

ur die ¨

Ubernahme des Koreferates und f¨

ur die Unterst¨

utzung anl¨

asslich meines Forschungsaufenthaltes an der

Universit¨

at der Bundeswehr in Neubiberg bedanken. Ebenfalls bedanken m¨

ochte ich mich bei Prof. Dr.-Ing.

Olaf Hellwich f¨

ur die ¨

Ubernahme seiner Gutachtert¨

atigkeit. Prof. Dr.-Ing. Dieter Lelgemann danke ich als

Vorsitzendem des Promotionsausschusses.

Ebenfalls gilt mein Dank allen ehemaligen Kollegen am Institut f¨

ur Geod¨

asie und Geoinformationstechnik

der Technischen Universit¨

at Berlin. In vielen Gespr¨

achen und Diskussionen, im Besonderen mit Dr.-Ing. Frank

Gielsdorf und Dr.-Ing. Volker Rodehorst, sind viele Ideen geboren worden, sind Anregungen zu dieser Arbeit

entstanden und haben damit ein fruchtbares und gewinnbringendes Arbeitsklima in den letzten Jahren entstehen

lassen. Dieser Dank gilt ebenso Dipl.-Ing. Bj¨

orn Beckert als meinem langj¨

ahrigen direkten Zimmernachbarn

sowie Dr.-Ing. Kerstin Groth f¨

ur ihren unersch¨

utterlichen Optimismus und ihre Ratschl¨

age.

Weiterhin gilt mein Dank allen Studenten und Studentinnen, die im Rahmen von Studien- und Diplomar-

beiten ihren Teil zur Entstehung dieser Arbeit beigetragen haben, sowie Herrn Rainer Eichenberg, technischer

Mitarbeiter und Werkstattmeister des Institutes f¨

ur Geod¨

asie und Geoinformationstechnik, der immer und so-

fort seine goldenen H¨

andchen beim Bau von Ger¨

aten und Hilfsmitteln eingesetzt hat und somit ebenfalls seinen

Beitrag zur vorliegenden Arbeit lieferte. Bei Dipl.-Ing. Thorsten Schulz bedanke ich mich f¨

ur seine Mithilfe bei

diversen Messungen und f¨

ur den einhergehenden Gedankenaustausch. Dipl.-Ing. Carsten Hatger danke ich f¨

das Korrekturlesen einiger Passagen und den damit verbundenen Diskussionen.

Nicht vergessen m¨

ochte ich an dieser Stelle, allen Entwicklern der freien Software MikT

EX 2.1 und der

diversen ebenfalls frei verf¨

ugbaren Zusatzpakete meine Hochachtung auszusprechen, ohne deren T¨

atigkeit diese

Arbeit nicht in dieser Form zustande gekommen w¨

are.

Besonders bedanken m¨

ochte ich mich bei meinen Eltern, die mir im Laufe meiner Ausbildung immer Unter-

st¨

utzung gew¨

ahrt haben, und nat¨

urlich bei meiner lieben Frau Anette, die es in zahlreiche Perioden verstanden

hat, mich zu motivieren, und mir die n¨

otige famili¨

are Unterst¨

utzung gegeben hat, diese Arbeit zu Ende zu

bringen.

106

Lebenslauf

Andreas Rietdorf

Geboren 7. November 1971 in Magdeburg

Familienstand verheiratet mit Anette Rietdorf

Schulbildung 09/1978 – 06/1988:

Polytechnische Oberschule ”Salvador Allende“, Magdeburg

09/1988 – 07/1991:

Abitur

Berufsausbildung 09/1988 – 07/1991:

Ausbildung zum Maschinenschlosser mit gleichzeitigem Erwerb des Abiturs

in der SKET Schwermaschinenbau Magdeburg GmbH als Rechtsnachfolger

des VEB Schwermaschinenbau ”Ernst Th¨

almann“, Magdeburg

Wehrdienst 07/1991 – 06/1992:

Grundwehrdienst

Studium 10/1992 – 10/1994:

Studium des Vermessungswesens an der Technischen Universit¨

at Braun-

schweig mit Ablegung des Vordiploms

10/1994 – 08/1998:

Hauptstudium an der Universit¨

at Hannover im Studiengang Vermessungs-

wesen mit dem Erlangen des Diplom-Ingenieur Vermessungswesen

Berufst¨

atigkeit 11/1998 – 03/2004:

Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Geod¨

asie und Ausgleichungs-

rechnung am Institut f¨

ur Geod¨

asie und Geoinformationstechnik der TU Ber-

lin

09/2004:

Gr¨

undung der SOLVing3D GmbH als Ingenieurb¨

uro in Hannover gemein-

sam mit Dr.-Ing. Bernd-Michael Wolf als gesch¨

aftsf¨

uhrende Gesellschafter

107