Parametrische Modellordnungsreduktion für hierarchische
selbstoptimierende Systeme
zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN (Dr.-Ing.)
der Fakultät Maschinenbau
der Universität Paderborn
genehmigte
DISSERTATION
von
Dipl.-Math. Martin Krüger
aus Bad Oeynhausen
Tag des Kolloquiums: 8. November 2013
Referent: Prof. Dr.-Ing. habil. Ansgar Trächtler
Korreferent: Prof. Dr. Michael Dellnitz
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird eine neuartige Methode zur parametrischen Modellord-
nungsreduktion paretooptimaler Systeme vorgestellt. Mit dieser Methode können
die komplexen Modelle, die im Rahmen selbstoptimierender Systeme auftreten,
gezielt vereinfacht werden. Das herausragende Merkmal der entwickelten Metho-
dik besteht in der engen Verzahnung der Verfahren der parametrischen Modell-
ordnungsreduktion mit der hierarchischen Optimierung auf der einen Seite und
dem Konzept der hierarchischen Strukturierung und Modellierung mechatroni-
scher Systeme auf der anderen Seite.
Es werden zwei Varianten der parametrischen Modellordnungsreduktion be-
trachtet. Die manuelle rationale Interpolation und die Matrix Interpolation in
Kombination mit der
H2
-optimalen tangentialen Interpolation. Beide protieren
erheblich von der neu entstandenen Methode zur Interpolation paretooptimaler
Systeme. Mit Hilfe geeigneter Parametrierungen und einer automatisiert durch-
führbaren Diskretisierung der Paretomenge werden die optimalen Systemkon-
gurationen zusammen mit dem zugehörigen System zu einer Einheit gekapselt.
Zudem verringert sich die Komplexität der parametrischen Reduktion, da die
Anzahl beizubehaltender Parameter nur von der Anzahl der Zielfunktionen ab-
hängt.
Am Beispiel des Feder-Neige-Prüfstands, einem Prüfstand für die aktive Fede-
rung des Schienenverkehrssystems RailCab, kann die hohe Approximationsgüte
der Reduktion nachgewiesen werden.
Abstract
Parametric model-order reduction for the reduction of Pareto optimal systems is
presented within this thesis. The developed method can be used to simplify com-
plex models which describe the dynamical behavior of self-optimizing systems.
The close interrelation of parametric model-order reduction with both hierarchi-
cal optimization as well as the structuring concept and hierarchical modeling of
mechatronic systems is an outstanding feature of the proposed method.
Two types of parametric model-order reduction are considered. A particular
Arnoldi algorithm for manual rational interpolation has been implemented on
the one hand. On the other hand, a combination of matrix interpolation and
H2
-
optimal tangential interpolation has been investigated. Both types considerably
benet from a method for interpolation of Pareto optimal systems which has been
developed within this thesis. Optimal system congurations and corresponding
dynamical systems are encapsulated by means of suitable parameterizations and
automatic discretization of the Pareto set. Additionally, the complexity of the
reduction problem itself is reduced as the number of parameters only depends on
the number of objective functions.
A test rig of an active suspension system representing the active suspension of
the RailCab serves as an application example. The reduced models computed by
means of the proposed method possess a very small reduction error.
Danksagung
Die hier vorliegende Arbeit ist im Rahmen meiner Tätigkeit als wissenschaftli-
cher Mitarbeiter der Fachgruppe Regelungstechnik und Mechatronik des Heinz
Nixdorf Instituts im Sonderforschungsbereich 614 Selbstoptimierende Systeme
des Maschinenbaus entstanden. In dieser Zeit wurde ich in verschiedenster Weise
unterstützt, was mich sehr dankbar macht.
Ich danke Herrn Prof. Dr.-Ing. Ansgar Trächtler für das mir entgegen gebrachte
Vertrauen und die Ermöglichung dieser Arbeit. Er lieÿ mir groÿe Freiheiten in
der wissenschaftlichen Ausarbeitung der Thematik, stand aber gleichzeitig stets
als Ansprechpartner zur Verfügung und gab immer wieder wichtige Impulse für
das Gelingen der Arbeit. Herr Prof. Dr. Michael Dellnitz legte bereits während
meines Studiums wichtige mathematische Grundlagen, die auch für die vorlie-
gende Arbeit sehr hilfreich waren. Umso mehr freut mich, dass er das Korreferat
übernommen hat und für beides danke ich ihm. Ich bedanke mich auch bei Herrn
Prof. Dr.-Ing. Eugeny Kenig und Prof. Dr.-Ing. Detmar Zimmer für ihr Mitwirken
in der Promotionskommission.
Auch den Mitgliedern meiner Promotionsrunde, Julia Timmermann, Peter Rei-
nold und Alexander Löer danke ich sehr herzlich für viele Stunden angeregter
Diskussion, unzählige Hinweise fachlicher und weniger fachlicher Art sowie das
sorgfältige Korrekturlesen der schriftlichen Arbeit. Ganz besonders bedanke ich
mich bei Julia, mit der ich über Jahre hinweg ein Büro geteilt habe, für die har-
monische, fruchtbare Zusammenarbeit und vielfältige Unterstützung. Dank ge-
bührt auch meinen SFB-Kollegen Kathrin Flaÿkamp, Katrin Witting, Christian
Hölscher und Jan Henning Keÿler, mit denen ich gerne zusammengearbeitet und
publiziert habe. Ich möchte mich auch bei meinen ehemaligen studentischen Hilfs-
kräften Tanja Schmüdderrich und Simon Olma bedanken für die Unterstützung
bei der Modellierung und Aufbereitung der Ergebnisse.
Zwei weitere Personen haben entscheidend zum erfolgreichen Entstehen dieser
Arbeit beigetragen. Zum einen ist dies meine Frau Silke, die mir immer den
Rücken frei gehalten hat, mich stets motiviert, bestärkt und begleitet hat. Zudem
ist auch meine Mutter Angelika zu nennen, die mir seit meiner Kindheit über
die gesamte Ausbildungszeit hinweg liebevoll zur Seite stand, mich gefördert,
beraten und auf vielfältigste Weise unterstützt hat. Beiden danke ich von ganzem
Herzen.
Altenbeken, im März 2014
Martin Krüger
Inhaltsverzeichnis i
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Selbstoptimierende mechatronische Systeme . . . . . . . . . . .
3
1.2.1 Grundlagen und Definition der Selbstoptimierung . . . . .
3
1.2.2 Strukturierung und hierarchisches Modell selbstoptimie-
renderSysteme .......................
6
1.3 Anwendungsbeispiel Feder-Neige-Prüfstand . . . . . . . . . . .
11
1.4 AufbauderArbeit...........................
15
2 Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungs-
funktion 17
2.1 Überblick und historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2 Ausgangspunkt, Reduktionsansatz und Bewertungskriterien . . .
20
2.3 Manuelle rationale Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.1 Impliziter Momentenabgleich . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.2 Arnoldi-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4 H2-optimale tangentiale Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.1 Tangentiale Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4.2 Theoretische Grundlagen der H2-optimalen Interpolation
32
2.4.3 Iterative Berechnung des reduzierten Modells . . . . . . .
34
2.5 Anwendung am Beispiel des Aktormoduls . . . . . . . . . . . . .
37
3 Parametrische Modellordnungsreduktion 45
3.1 Manuelle rationale Interpolation parametrischer Systeme . . . .
45
3.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.1.2 Rekursiver objektorientierter Arnoldi-Algorithmus . . . . .
51
3.2 Matrix Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4 Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 69
4.1 Grundlagen der Mehrzieloptimierung . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2 Hierarchische Mehrzieloptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.3 Optimierungsmodell für selbstoptimierende Systeme . . . . . . .
78
4.4 Anwendungen der Mehrzieloptimierung . . . . . . . . . . . . . .
81
4.4.1 Mehrzieloptimierung des Aktormoduls . . . . . . . . . . .
82
4.4.2 Mehrzieloptimierung des Feder-Neige-Prüfstands . . . .
86
ii Inhaltsverzeichnis
5 Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 91
5.1 Parametrisierung von Paretomengen . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2 Interpolation paretooptimaler Systeme . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.3 Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Sys-
teme..................................
104
5.4 Resultate am Feder-Neige-Prüfstand . . . . . . . . . . . . . . . .
108
5.4.1 PMOR des Aktormoduls des Feder-Neige-Prüfstands . .
109
5.4.2 PMOR des gesamten Feder-Neige-Prüfstands . . . . . .
110
5.5 Erweiterungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
5.5.1 Behandlung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . .
116
5.5.2 Interpolation höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . .
117
5.5.3 Behandlung von drei oder mehr Zielfunktionen . . . . . .
119
6 Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 121
6.1 Hierarchische Optimierung des Feder-Neige-Prüfstands . . . . .
121
6.2 Hierarchische Optimierung eines vernetzten Prüfstands . . . . .
124
6.2.1 Intelligentes Antriebsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
6.2.2 Vernetzter Prüfstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
6.2.3 Optimierungsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
6.3 Zielfunktionsbasierte Regelung selbstoptimierender Systeme . .
130
7 Resümee und Perspektiven 135
8 Literaturverzeichnis 137
Abkürzungsverzeichnis iii
Abkürzungsverzeichnis
AMS autonomes mechatronisches System
FNP Feder-Neige-Prüfstand
GAIO Global Analysis of Invariant Objects
GFK glasfaserverstärkter Kunststo
iAM intelligentes Antriebsmodul
IRKA Iterative Rational Krylov Algorithm
MFM mechatronisches Funktionsmodul
MOP Mehrzieloptimierungsproblem
MOR Modellordnungsreduktion
NBI Normal Boundary Intersection
OCM Operator-Controller-Modul
PMOR parametrische Modellordnungsreduktion
POD Proper Orthogonal Decomposition
SVD Singular Value Decomposition
VMS vernetztes mechatronisches System
Symbolverzeichnis v
Symbolverzeichnis
Ai
Systemmatrix zu
αi
∆Ai
Steigung der linearen Interpolation paretooptimaler
Systeme
α
Parametrierung der Paretomenge
αi
Stützstellen für die Interpolation paretooptimaler
Systeme
¯αi
Parametrierung relativ zur Stützstellenverteilung
˜
bi,˜ci
Tangentialvektoren der tangentialen Interpolation
D
Denitionsbereich eines MOP
∆
Kriterium zur Abschätzung des
Interpolationsfehlers der paretooptimalen Systeme
e
Reduktionsfehler, d.h. Ausgang des Fehlersystems
E, A, B, C, D
Matrizen der Zustandsdarstellung eines linearen
Systems
Er, Ar, Br, Cr, Dr
Matrizen der Zustandsdarstellung des reduzierten
Systems
εD
Deationsschranke Arnoldi-Algorithmus
εI
Abbruchschranke IRKA
εS
Abbruchschranke für Stützstellenverteilung
F(p)
Zielfunktionsvektor
fi(p)
Zielfunktion
G
Übertragungsfunktion
Gr
Übertragungsfunktion des reduzierten Systems
In
Einheitsmatrix der Dimension
n
K(·,·)
(Block-)Krylov-Unterraum
Kq(·,·)
(Block-)Krylov-Unterraum der Ordnung
q
Λ
Diagonalmatrix der Eigenwerte
λi
Eigenwert
Mk(s0)
Moment der Ordnung
k
der Übertragungsfunktion
Mr,k(s0)
Moment der Ordnung
k
der Übertragungsfunktion
des reduzierten Systems
mpp
(α)
stückweise lineare Interpolation der Systemmatrix
A(s(α))
Mi, Ti
Transformationsmatrizen der Matrix Interpolation
µi, σi
Interpolations- bzw. Entwicklungspunkte der
tangentialen Interpolation
vi Symbolverzeichnis
no
Anzahl Zielfunktionen
np
Anzahl System- / Optimierungsparameter
nS
Anzahl Stützstellen / Diskretisierungspunkte
nu
Anzahl Systemeingänge
nx
Dimension des Zustandsraums
ny
Anzahl Systemausgänge
ωi
Gewichtsfunktion für Matrix Interpolation
p
Vektor der Systemparameter
PF
Paretomenge eines MOP mit Zielfunktionsvektor
F
Ψ
Rechtseigenvektoren
p?
paretooptimaler Punkt
q
Ordnung des reduzierten Modells
R
Matrix für Projektion auf gemeinsamen Unterraum
s0, si
Entwicklungspunkt für Momentenabgleich
s(α)
Parametrierungsfunktion
u
Eingangsvektor
ur
Eingangsvektor des reduzierten Systems
Υ
Linkseigenvektoren
V, W
Projektionsmatrizen der Modellordnungsreduktion
x
Zustandsvektor
xr
Zustandsvektor des reduzierten Systems
y
Ausgangsvektor
yr
Ausgangsvektor des reduzierten Systems
Einleitung 1
1 Einleitung
Diese Arbeit ist im Rahmen des Sonderforschungsbereichs 614 Selbstoptimie-
rende Systeme des Maschinenbaus entstanden [sfb13]. Einer der wesentlichen
Unterschiede eines selbstoptimierenden Systems im Vergleich zu einem gewöhnli-
chen mechatronischen System besteht darin, dass alle zu erzielenden Eigenschaf-
ten des Systems in Form von Zielen ausgedrückt werden. Dies betrit sowohl die
für den Betrieb notwendigen Eigenschaften wie Stabilität oder Verlässlichkeit, als
auch wünschenswerte Eigenschaften wie etwa ein geringer Energieverbrauch oder
bei Fahrzeugen der komfortable Transport von Personen oder Gütern.
Die Grundidee der Selbstoptimierung besteht in der selbstständigen Anpassung
der zu verfolgenden Ziele während des Betriebs an veränderliche Umfeldeinüs-
se. Eine daraus resultierende zielkonforme Anpassung des Systemverhaltens wird
vom selbstoptimierenden System autonom vorgenommen. Zur Bestimmung op-
timaler Systemkongurationen spielen Mehrzieloptimierungsverfahren eine ent-
scheidende Rolle. Insbesondere die modellbasierte Mehrzieloptimierung, bei der
basierend auf Modellen des dynamischen Verhaltens Optimierungsprobleme de-
niert und gelöst werden, hat sich als Mittel der Wahl erwiesen, um selbstopti-
mierende Systeme auslegen zu können.
1.1 Motivation und Zielsetzung
Selbstoptimierende Systeme verfügen über eine hohe Komplexität. Sie bestehen
aus vielen verschiedenen Modulen und Teilsystemen, die sich oftmals selbst in
gewisser Weise intelligent verhalten. Eine modellbasierte Entwicklung selbstop-
timierender Systeme führt daher unweigerlich zu der Herausforderung, mit um-
fangreichen, komplexen Modellen umgehen zu können. Insbesondere Simulationen
des Systemverhaltens, die für eine modellbasierte Entwicklung unerlässlich sind,
erfordern sehr oft lange Berechnungszeiten.
Die im Rahmen selbstoptimierender Systeme auftretenden Mehrzieloptimierungs-
probleme sind oft ebenfalls komplex und können nur mit hohem Rechenaufwand
gelöst werden, vor allem wenn eine groÿe Zahl von Zielen und Optimierungspara-
metern berücksichtigt werden soll. Basiert die Mehrzieloptimierung zusätzlich auf
Simulationen komplexer Modelle, was oftmals unvermeidbar ist, so verstärkt sich
das Problem der Berechenbarkeit. Die Lösung des Mehrzieloptimierungsproblems,
d.h. die Bestimmung optimaler Systemkongurationen des selbstoptimierenden
Systems wird extrem zeitaufwändig.
2 Kapitel 1
Eine Reihe von Vorarbeiten, die nachfolgend beschrieben sind, haben sich bereits
mit dieser Problematik beschäftigt und dienen als Ausgangspunkt für die vor-
liegende Arbeit. Für einen korrekten und sicheren Betrieb des Gesamtsystems
müssen zum einen die Teilsysteme entsprechend ausgelegt sein, zum anderen
muss aber auch das Zusammenspiel koordiniert werden. Daher handelt es sich
bei selbstoptimierenden Systemen um verteilte Systeme, die sowohl informati-
onstechnisch als auch physikalisch miteinander verkoppelt sind.
Zur Entwicklung verteilter selbstoptimierender Systeme sind Strukturierungsver-
fahren und spezielle Architekturen innerhalb des Sonderforschungsbereichs ent-
standen [LHLH01, HO04, Hes06]. Die Strukturierung führt zu einer hierarchischen
Anordnung der Teilsysteme, auf deren Basis ein Ansatz zur hierarchischen Model-
lierung entwickelt wurde [MAK
+
08]. Mit dessen Hilfe können geeignete mathema-
tische Modelle des dynamischen Verhaltens der Hierarchie-Elemente aufgestellt
werden. In diesem Kontext fand bereits eine erste Anwendung von Verfahren der
Modellordnungsreduktion statt, um die Modellierungstiefe beim Übergang von
einer Hierarchieebene auf die nächste systematisch zu verringern.
Auf der Basis dieses hierarchischen Modells entstanden Verfahren zur hierarchi-
schen Optimierung selbstoptimierender Systeme [MAK
+
08, Mün12]. Es handelt
sich hierbei um eine verteilte Mehrzieloptimierung, die bottom-up durchgeführt
wird. Für jedes Hierarchieelement werden optimale Systemeinstellungen berech-
net. Durch diese hierarchische Optimierung wird die Komplexität der zu betrach-
tenden Mehrzieloptimierungsprobleme verringert. Wird die Optimierung überla-
gerter Hierarchieelemente auf die optimalen Kongurationen der unterlagerten
Elemente eingeschränkt, hat dies eine geringere Anzahl an Optimierungsparame-
tern zur Folge.
Das Ziel dieser Arbeit besteht in der Weiterentwicklung des hierarchischen Ansat-
zes. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf dem Einsatz der Modellordnungsreduktion.
Durch die Anpassung bestehender und Entwicklung neuer Methoden soll vor al-
lem eine stärkere Verzahnung von hierarchischer Modellierung und hierarchischer
Optimierung erreicht werden. Zur Lösung des hierarchischen Optimierungspro-
blems werden die zu den unterlagerten Systemen gehörenden Optimierungspa-
rameter vom Optimierungsalgorithmus permanent variiert. Momentan erfordert
dies bei einer Verwendung reduzierter Systeme die Durchführung einer Modell-
ordnungsreduktion in jedem Optimierungsschritt. Mit Hilfe der parametrischen
Modellordnungsreduktion soll zukünftig auf die Durchführung der Reduktion in-
nerhalb der Optimierung verzichtet werden. Stattdessen soll die Parameterabhän-
gigkeit des reduzierten Modells die für die Optimierung notwendige Variabilität
sicherstellen.
Neben einer Ezienzsteigerung der hierarchischen Optimierung ist die parame-
trische Modellordnungsreduktion auch für die hierarchische Modellierung im all-
Einleitung 3
gemeinen vorteilhaft. Durch die Modellordnungsreduktion entsteht eine Kapse-
lung der unterlagerten Systeme innerhalb des hierarchischen Modells. Bisher sind
die gekapselten Modelle jedoch nachträglich nicht mehr veränderbar, was durch
eine explizite Parameterabhängigkeit behoben werden kann. Zudem wird die Re-
duktion bisher manuell durchgeführt. Eine weitgehend automatisiert ablaufende
parametrische Modellordnungsreduktion ist wünschenswert und stellt daher eine
weitere Zielsetzung dieser Arbeit dar.
1.2 Selbstoptimierende mechatronische Systeme
Die Grundlagen selbstoptimierender Systeme sind in den beiden folgenden Ab-
schnitten 1.2.1 und 1.2.2 in Form eines kurzen Überblicks dargestellt. Insbeson-
dere das Konzept zur Strukturierung selbstoptimierender Systeme beschreibt den
Ausgangspunkt und den Rahmen für die in dieser Arbeit entstandene Methode.
1.2.1 Grundlagen und Definition der Selbstoptimierung
Das charakteristische Merkmal eines selbstoptimierenden Systems ist die Fähig-
keit, autonom auf sich verändernde Umweltbedingungen zu reagieren. Es han-
delt sich daher bei selbstoptimierenden Systemen um handlungsfähige Systeme,
die über ein gewisses Maÿ an inhärenter Intelligenz verfügen. Die Denition der
Selbstoptimierung ist in [ADG
+
08] zu nden und lautet:
Unter Selbstoptimierung eines technischen Systems wird die endo-
gene Anpassung der Ziele des Systems auf veränderte Einüsse und
die daraus resultierende zielkonforme autonome Anpassung der Para-
meter und ggf. der Struktur und somit des Verhaltens dieses Systems
verstanden. Damit geht Selbstoptimierung über die bekannten Regel-
und Adaptionsstrategien wesentlich hinaus; Selbstoptimierung ermög-
licht handlungsfähige Systeme mit inhärenter Intelligenz, die in der
Lage sind, selbstständig und exibel auf veränderte Betriebsbedin-
gungen zu reagieren.
Die wesentliche Erweiterung selbstoptimierender Systeme gegenüber klassischen
regelungstechnischen Systemen besteht in der Einführung des Zielgedankens.
Hiermit ist das Bestreben gemeint, sämtliche Anforderungen sowie die gewünsch-
ten und benötigten Systemeigenschaften als Ziele zu formulieren. Dies ermöglicht
eine sehr abstrakte, allgemein verständliche Beschreibung des Systems.
Es wird hierbei zwischen drei Klassen von Zielen unterschieden. Die
inhärenten
Ziele
sind durch den Zweck und die Funktionsweise des Systems vorgegeben. Bei-
spiele für inhärente Ziele sind die Stabilität des Systems oder die Verlässlichkeit
während des Betriebs.
4 Kapitel 1
Neben den inhärenten Zielen beschreiben die
externen Ziele
alle Anforderungen,
die von auÿen an das System herangetragen werden. Die externen Ziele sind so
vielfältig wie der Einsatzbereich selbstoptimierender Systeme. Sie reichen von
dem Wunsch das System energie- oder ressourcenezient zu betreiben bis hin zu
komfortablem oder zeitoptimalem Transport von Personen und Gütern. Verän-
derbare externe Ziele stellen zudem eine Eingrismöglichkeit des Benutzers auf
das Systemverhalten zur Laufzeit dar.
Aus der Gesamtmenge der Ziele, d.h. aus der Vereinigung von inhärenten und
externen Zielen, werden die
internen Ziele
bestimmt. Diese stellen eine Auswahl
der Ziele sowie eine Priorisierung für den momentanen Zeitpunkt dar. Ein selbst-
optimierendes System verfolgt zu jedem Zeitpunkt seine internen Ziele, die zum
sogenannten
Zielsystem
zusammengefasst werden. Durch eine Veränderung der
internen Ziele zur Laufzeit erhält man eine abstrakte, allgemein verständliche
Schnittstelle, um das Systemverhalten anpassen zu können. Diese Schnittstelle
exibel und robust zu gestalten, ist eine der Herausforderungen im Entwurf selbst-
optimierender Systeme. Insbesondere weil an dieser Schnittstelle eine Verbindung
zwischen der abstrakten, leicht vorstellbaren Welt der Ziele und den technischen
Eingrismöglichkeiten in einem komplexen mechatronischen System geschaen
werden muss. Beispielsweise weist ein Fahrgast das System an, im Folgenden ener-
giesparender zu fahren. Daraufhin muss das System unter Berücksichtigung der
aktuellen Situation und der erforderlichen Beschränkungen verschiedene Kompo-
nenten verstellen, vielleicht sogar gewisse Funktionen an- oder abschalten. Hierzu
ist es unerlässlich, die oftmals komplexen mathematischen Verfahren und Re-
gelstrategien so weit wie möglich zu automatisieren und die Entwurfsfreiheiten
sinnvoll, d.h. mit Bezug zu den Zielen, zu abstrahieren. Die in dieser Arbeit ent-
standene Methode zur parametrischen Modellordnungsreduktion paretooptimaler
Systeme trägt auch zu diesem Aspekt bei.
Bereits aus der Denition wird ersichtlich, dass Selbstoptimierung keine Methode
darstellt, die einmalig angewendet wird. Vielmehr vollzieht sich Selbstoptimierung
durch das wiederholte Ausführen des
Selbstoptimierungsprozesses
. Dieser besteht
aus den drei Teilen:
Analyse der Ist-Situation
,
Bestimmung der Systemziele
und
Anpassung des Systemverhaltens
. Während des ersten Schrittes, der Analyse der
Ist-Situation, wertet das System sein Umfeld möglichst umfassend aus. Hierzu ge-
hören die Erfassung und Auswertung von Sensorsignalen, die sowohl Informatio-
nen über den Systemzustand, als auch über die Umwelt liefern. Weiterhin kommen
modellbasierte Beobachter sowie oftmals zusätzliche Methoden zur Erfassung der
aktuellen Situation zum Einsatz, die über die Ansätze klassischer Regelungstech-
nik hinausgehen. Beispielsweise hat sich der Einsatz von Störgröÿenbeobachtern
in Kombination mit iterativen Lernverfahren sowohl im Kontext schienengebun-
dener Fahrzeuge [TMV06], als auch für Straÿenfahrzeuge [BKR
+
11] als geeigne-
Einleitung 5
te Methodik erwiesen. Sobald mehrere selbstoptimierende Systeme miteinander
agieren, können über Kommunikationsnetze weitere Daten zur Bestimmung der
Ist-Situation ausgetauscht werden. Ein Beispiel hierfür stellt die Konvoi-Fahrt der
nachfolgend noch genauer beschriebenen RailCabs dar [HTS
+
08]. Allgemein ist
es von Vorteil, eine möglichst breite und verlässliche Daten- bzw. Wissensbasis
für die nachfolgenden Schritte des Selbstoptimierungsprozesses zur Verfügung zu
haben.
Basierend auf den Daten des ersten Schrittes wird das aktuell gültige Zielsystem
erstellt. Formal unterliegt dieser Schritt keinerlei Restriktionen. Es ist prinzipiell
möglich, Ziele aus der Menge der inhärenten und externen Ziele neu aufzunehmen
oder gänzlich neue Ziele zu generieren. In vielen Fällen ist jedoch eine geänderte
Priorisierung der vorhandenen Ziele ausreichend. Planungsverfahren stellen hier-
für eine geeignete Methodik dar, die aktuellen Ziele unter Abschätzung der zu-
künftigen Einüsse festzulegen. Neben rein diskreten Planungsverfahren, mit de-
ren Hilfe beispielsweise die Route eines Fahrzeugs innerhalb eines bekannten Ver-
kehrsnetzes bestimmt werden kann [KSWRV09], können auch detailliertere Pla-
nungsverfahren, die sogenannte hybride Planung, eingesetzt werden. Diese nutzt
Simulationen vereinfachter Modelle, um das zukünftige Verhalten vorherzusagen
und auf diese Weise das aktuelle Zielsystem so festzulegen, dass beispielswei-
se vorgegebene Energieschranken eingehalten werden [MAK
+
08, AEH
+
11]. Eine
Anpassung der Priorisierung in Form von Zielgewichtungen lässt sich auch mit
regelungstechnischen Methoden erreichen. Der in Kapitel 6 beschriebene zielfunk-
tionsbasierte Regler ist ein Beispiel hierfür.
Der letzte Schritt des Selbstoptimierungsprozesses beschreibt die tatsächliche Än-
derung des Systemverhaltens. Hier sind alle Methoden zu nden, durch deren
Anwendung das Systemverhalten verändert wird. Hierbei kann es sich um eine
einfache Parameteranpassung handeln, wenn beispielsweise ein Reglerparameter
verändert wird. Auch die Parameter von Modellen, die in modellbasierten Beob-
achtern eingesetzt werden, können angepasst werden, wenn etwa als Resultat von
Identikationsverfahren aktuellere Parameterwerte vorliegen.
Neben Parameteranpassungen kann auch die Struktur des Systems angepasst wer-
den. Dies ist z.B. der Fall, wenn zwischen verschiedenen Reglern umgeschaltet
wird. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist die Umschaltung von einem Abstands-
auf einen Geschwindigkeitsregler im Kontext von Straÿenfahrzeugen. Es ist aber
auch möglich, verschiedene Anteile einer komplexen Regelung ein- und auszu-
schalten. Beispielsweise wird in [VT08] eine Störgröÿenkompensation situations-
abhängig genutzt oder abgeschaltet. In diesem Beispiel kann eine harte Umschal-
tung von einer Konguration zur anderen stattnden. In Fällen, in denen dies
nicht möglich ist, sind komplexere Umschaltstrategien notwendig. Die achheits-
basierte Umschaltung [OT08] stellt ein Beispiel hierfür dar. Eine weitere Art
6 Kapitel 1
der Strukturanpassung für den Fall eines Sensor- oder Aktorausfalls ist die Re-
konguration der Regelung [Ste05, BKLS06]. Hierbei wird durch das zusätzliche
Einfügen eines Rekongurationsblocks in die Regelungsstruktur das fehlerhafte
Systemverhalten ausgeglichen.
Es lieÿen sich noch weitere Anwendungsbeispiele und Ausprägungen des Selbstop-
timierungsprozesses anführen. Eine ausführliche Beschreibung verschiedener Um-
setzungen ist in [ADG
+
08] zu nden. All diese Anwendungsbeispiele besitzen die
Gemeinsamkeit, nur durch komplexe Modelle und eine umfangreiche Informati-
onsverarbeitung realisierbar zu sein. Dies ist ein weiteres Kennzeichen selbstop-
timierender Systeme und auch ein Nachteil, da sowohl die Entwickler, als auch
die Benutzer diese Komplexität beherrschen müssen. Das kann nur möglich sein,
wenn die Informationsverarbeitung in geeigneter Weise strukturiert ist und an
die Bedürfnisse der Selbstoptimierung angepasste Architekturen vorhanden sind.
Auf derartige Strukturierungsverfahren, die innerhalb des Sonderforschungsbe-
reichs entwickelt wurden, geht der folgende Abschnitt ein.
1.2.2 Strukturierung und hierarchisches Modell selbstoptimierender
Systeme
Die vielfältigen Anforderungen und Zielsetzungen an selbstoptimierende Systeme
resultieren in einer hohen Komplexität des Systems und vor allem der Infor-
mationsverarbeitung. Diese Komplexität wird durch aufwändige Methoden und
Verfahren weiter erhöht. Ein systematischer Entwurf selbstoptimierender Syste-
me ist daher nur möglich, wenn das komplexe Gesamtsystem sinnvoll strukturiert
ist.
In der Vergangenheit hat sich eine Strukturierung anhand der Funktionen des
Systems als sehr gut geeignet erwiesen. Der Begri der Funktion stammt aus der
Konstruktionslehre und beschreibt dort den
gewollten Zusammenhang zwischen
Eingang und Ausgang eines Systems mit dem Ziel, eine Aufgabe zu erfüllen
[PBFG05]. Diese Denition kann für selbstoptimierende Systeme übernommen
werden.
Die Funktionen eines Systems lassen sich stets in Teilfunktionen zerlegen und
in einer hierarchischen Funktionsstruktur anordnen. Diese wird bereits in den
frühen Phasen des Entwurfs selbstoptimierender Systeme aufgestellt und bildet
eines der insgesamt acht Partialmodelle der Prinziplösung selbstoptimierender
Systeme [GFDK08a, GFDK08b].
Den Elementen der Funktionshierarchie lassen sich bei mechatronischen Systemen
spezielle Strukturierungselemente zuordnen, die erstmals in [LHLH01] vorgestellt
wurden. Diese Strukturierung wird auch als Makrostruktur eines Systems bezeich-
net. Die Basis bildet das sogenannte
mechatronische Funktionsmodul (MFM)
. Es
Einleitung 7
besteht aus den vier Grundbausteinen mechanisches Grundsystem, Sensorik, Ak-
torik und Informationsverarbeitung. Nach [Hes06] realisiert ein MFM eine be-
stimmte Funktion der Funktionshierarchie.
Die MFM repräsentieren jeweils ein eigenes Aggregat des Gesamtsystems und
werden oftmals als Baugruppe realisiert. Dabei sind die MFM physikalisch mit-
einander verkoppelt, durch mechanische Kopplungen, Sto- und Energieüsse.
Auf der obersten Ebene der Funktionshierarchie bendet sich die Gesamtfunkti-
on des Systems. Das hierzu korrespondierende mechatronische Strukturelement
wird als
autonomes mechatronisches System (AMS)
bezeichnet. Es verfügt wie
ein MFM über ein mechanisches (physikalisches) Grundsystem, Sensorik und In-
formationsverarbeitung. Die Aktorik wird jedoch durch die unterlagerten MFM
realisiert. Das AMS kann autonom in seiner Umwelt agieren und ist nicht physi-
kalisch mit anderen Systemen verbunden.
Es ist jedoch möglich, mehrere AMS informationstechnisch zu verkoppeln. Die
AMS können dann ihr eigenes Verhalten an die übrigen Systeme anpassen und
z.B. ein gemeinsames Ziel oder eine übergeordnete Funktion erfüllen. Im Fall
solcher informationstechnisch verkoppelter AMS spricht man von einem
vernetz-
ten mechatronischen System (VMS)
, welches das dritte Strukturierungselement
darstellt. Ein VMS besteht nicht aus den vier Grundbausteinen. Es benötigt le-
diglich eine Informationsverarbeitung, die auch ohne eigene Hardware realisiert
werden kann, indem die Ressourcen der zugehörigen AMS verwendet werden.
Ein im Sonderforschungsbereich 614 intensiv studiertes VMS ist der Konvoi aus
mehreren RailCabs. Hier wird beispielsweise in der Informationsverarbeitung auf
VMS-Ebene eine Konvoi-Regelung implementiert [HTS
+
08].
Die Strukturierung verringert die Komplexität für jedes einzelne Element im Ver-
gleich zum Gesamtsystem, insbesondere im Bereich der Informationsverarbeitung.
Wird nun jedoch in jedem Strukturelement ein Selbstoptimierungsprozess imple-
mentiert, so ist eine weitere Strukturierung der Informationsverarbeitung notwen-
dig. Diese Strukturierung, mit deren Hilfe die Komplexität weiter reduziert wird,
wird auch als Mikrostruktur bezeichnet [ADG
+
08]. Das zentrale Element ist das
Operator-Controller-Modul (OCM)
[HO04], das aus den drei Schichten besteht,
die in Bild 1-1 dargestellt sind.
Auf der untersten Ebene bendet sich der
Controller
. In ihm sind die Elemente der
klassischen Regelungstechnik zu nden: ein oder mehrere Regler zur Berechnung
der Stellgröÿen für die Aktorik sowie einfache Signalverarbeitungsalgorithmen
zur Aufbereitung der Sensordaten. Einfache Modelle, enthalten beispielsweise in
Zustandsbeobachtern oder für dynamische Vorsteuerungen, sind ebenfalls denk-
bar. Das entscheidende Kennzeichen ist, dass der Controller die Sensordaten in
harter Echtzeit verarbeitet und entsprechende Stellsignale ebenfalls unter harten
8 Kapitel 1
Handlungsebene Planungsebene
Überwachung
Ablauf-
steuerung
C
B
A
Reflektorischer Operator
Controller
Operator-Controller-Modul (OCM)
...
Konfigurations-
steuerung
Notfall
Weiche Echtzeit
Harte Echtzeit
Strecke
Modellbasierte Selbstoptimierung
Verhaltensbasierte Selbstoptimierung
Kognitive Informationsverarbeitung
Kognitiver Operator
Kognitiver Kreis
Reflektorischer Kreis
Motorischer Kreis
Reflektorische
Informationsverarbeitung
Motorische Informationsverarbeitung
Konfigurationen
AC
B
Bild 1-1
:
Operator-Controller-Modul (OCM) zur Strukturierung der Informati-
onsverarbeitung selbstoptimierender Systeme [HO04]
Einleitung 9
Echtzeitanforderungen an die Aktorik ausgibt, um ein gewünschtes dynamisches
Verhalten des zugehörigen physikalischen Systems sicher zu stellen.
Der
Reektorische Operator
bildet die mittlere Schicht des OCM. Er hat keinen
direkten Zugri auf die Aktorik der Regelstrecke, sondern beeinusst das Sys-
temverhalten, indem er Änderungen am Controller vornimmt. Diese Änderungen
beinhalten sowohl Parameter-, als auch strukturelle Änderungen. Sie können einen
Umschaltvorgang zwischen verschiedenen Reglern darstellen oder auch das Hin-
zufügen oder Entfernen von Controller-Komponenten. Wie bereits erwähnt, kann
beispielsweise eine Vorsteuerung oder Störgröÿenkompensation hinzugenommen
oder abgeschaltet werden [VT08].
Die Anpassungen des Controllers können aus Adaptionsstrategien oder einer vor-
gegebenen Ablaufsteuerung resultieren. Ebenso sind im Reektorischen Operator
Sicherheits- und Notfallroutinen hinterlegt. Zur Umsetzung werden oftmals Zu-
standsautomaten mit einfachen Umschaltbedingungen oder auch mit zeitbehafte-
ten Umschaltprozessen verwendet. Insbesondere im Bereich von Sicherheitsmaÿ-
nahmen können Modelle in der Modellierungssprache MechatronicUML verwen-
det werden. Derartige Modelle besitzen den Vorteil, dass eine formale Verikation
möglich ist, siehe z.B. [HPB12, Pri09].
Da der Reektorische Operator den Controller konguriert, wird er ebenfalls unter
harten Echtzeitbedingungen ausgeführt. Er beinhaltet aber zusätzlich die Schnitt-
stellen zu den kognitiven Funktionen, die oftmals nicht echtzeitfähig sind. Die
ereignisgesteuerte Umsetzung von Vorgaben aus den kognitiven Funktionen muss
mit geeigneten Routinen im Reektorischen Operator erfolgen. Zudem werden die
Sensorsignale bei Bedarf im Reektorischen Operator zwischengespeichert und in
geeigneter Form an die überlagerte Ebene weitergegeben.
Alle Methoden und Verfahren des Selbstoptimierungsprozesses, die nicht in har-
ter Echtzeit ausführbar sind, werden auf der obersten Ebene des OCM im
Ko-
gnitiven Operator
implementiert. Die eingesetzten Methoden dienen dazu, Wis-
sen aufzubauen und zur Verbesserung des eigenen Verhaltens zu nutzen. Einen
groÿen Bereich stellen hier modellbasierte Verfahren dar. Die modellbasierte Op-
timierung nutzt spezielle Modelle des zugehörigen Systems und seiner Umwelt,
um optimale Systemkongurationen zu berechnen. Werden zukünftige Einüsse
wie etwa gelernte Anregungsprole für die Optimierung genutzt, ermöglicht dies
eine vorausschauende Anpassung des Systemverhaltens. Neben Optimierungsver-
fahren können an dieser Stelle auch Planungswerkzeuge zur Abschätzung und
Anpassung des zukünftigen Verhaltens Verwendung nden.
Die meisten der im Kognitiven Operator eingesetzten Verfahren sind zu rechen-
intensiv, um in harter Echtzeit ausgeführt zu werden. Dies liegt unter anderem
auch an den komplexen Modellen, die in den modellorientierten Verfahren ver-
wendet werden. Eine zeitliche Entkopplung von der harten Echtzeit wird durch
10 Kapitel 1
den Reektorischen Operator möglich. Jedoch ist zu beachten, dass die Ergebnisse
innerhalb gewisser Zeitschranken vorliegen müssen, da sonst keine selbstständi-
ge Anpassung des Systemverhaltens möglich wird. Daher spricht man an dieser
Stelle von weicher Echtzeit, der der Kognitive Operator unterliegt.
Die OCM-Struktur kann in vielfältiger Weise realisiert werden. Je nach betrachte-
tem System und gegebenen Anforderungen werden einzelne Aspekte ausgeprägter
vorhanden sein und andere wiederum vernachlässigt werden. Für eine Reihe von
Beispielen sei erneut auf [ADG
+
08] verwiesen.
Die Einführung der Makrostruktur wie auch der Mikrostruktur dienen der Ver-
ringerung der Komplexität selbstoptimierender Systeme. Sie strukturieren un-
terschiedliche Aspekte des Systems und können miteinander kombiniert werden.
Wird in jedem Strukturelement der Makrostruktur (MFM, AMS, VMS) die In-
formationsverarbeitung durch die OCM-Architektur dargestellt, so ergibt sich
eine OCM-Hierarchie, die weiterhin die Funktionsstruktur des Systems wider-
spiegelt.
Ausgehend von der OCM-Hierarchie wird in [MAK
+
08] und [Mün12] ein hier-
archisches Modell vorgestellt, das Teil einer dem Kognitiven Operator zuzuord-
nenden Wissensbasis ist und für modellbasierte Verfahren genutzt werden kann.
Die Grundidee dieses hierarchischen Modells besteht darin, auf einer bestimmten
Hierarchieebene ein detailliertes Modell des dynamischen Verhaltens des zugehö-
rigen Elements zu erstellen. Dieses Modell beinhaltet sowohl die Dynamik der
Regelstrecke, als auch den Regler selbst. Das Verhalten der unterlagerten Sys-
teme muss dabei berücksichtigt werden, da abgesehen von der obersten Hierar-
chieebene (VMS) die unterlagerten Systeme physikalisch mit dem betrachteten
System verkoppelt sind. Um die Komplexität des Modells zu verringern, werden
die unterlagerten Systeme jedoch nur in vereinfachter Form eingebunden. Die
Vereinfachung erfolgt durch die Anwendung von Verfahren der Modellordnungs-
reduktion, nachdem ggf. eine Linearisierung durchgeführt wurde. Dieses Prinzip
ist in Bild 1-2 dargestellt.
Das Konzept des hierarchischen Modells wird in dieser Arbeit beibehalten. Auf-
bauend hierauf wird die parametrische Modellordnungsreduktion zur Vereinfa-
chung der unterlagerten Systeme untersucht. Generell besteht der Vorteil der Re-
duktion der unterlagerten Systeme darin, dass diese in gekapselter Form, nämlich
als Zustandsdarstellung, zwischen den Hierarchieelementen ausgetauscht werden
können. Auf diese Weise können sie sehr einfach im Modell des überlagerten
Systems eingebunden werden. Ein Problem entsteht, wenn das Verhalten der un-
terlagerten Systeme variabel bleiben soll. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn
das hierarchische Modell im Rahmen der hierarchischen Optimierung verwendet
wird. In den bisherigen Arbeiten wurde diese Problematik dadurch gelöst, dass
bei jeder Verhaltensänderung das Reduktionsverfahren erneut angewendet wird.
Einleitung 11
Wissensbasis
Strecke
Regler
Umgebung
Referenz
Anregung Bewertung
Optimierungs-
modell
Kognitiver Operator
Strecke
Regler
MFM
Wissensbasis
Basismodell
Regler
Strecke
Wissensbasis
Regler
Strecke
Wissensbasis
Regler
Strecke
Wissensbasis
Modellreduktion
Modellreduktion
Modellreduktion
Modellreduktion
…
MFM
MFM
MFM MFM
Bild 1-2
:
Hierarchisches Modell als Teil der Wissensbasis im Kognitiven Operator
Durch den Einsatz der parametrischen Modellordnungsreduktion ist das nicht
mehr notwendig. Das parametrische reduzierte Modell kapselt das dynamische
Verhalten einschlieÿlich einer gewissen Variabilität in Form der Parameterab-
hängigkeit. Eine für selbstoptimierende Systeme besonders geeignete Darstellung
der Variabilität durch eine spezielle Parametrierung und Interpolation stellt ei-
nes der Hauptergebnisse dieser Arbeit dar, siehe hierzu Kapitel 5. Weitergehende
Informationen zum hierarchischen Modell, insbesondere welche Aspekte bei der
Modellierung zu beachten sind, sind ausführlich in [Mün12] dargestellt. Konkrete
Beispiele hierarchischer Modelle benden sich im nachfolgenden Abschnitt 1.3, in
dem das Hauptanwendungsbeispiel dieser Arbeit vorgestellt wird, sowie in Ab-
schnitt 6.2.
1.3 Anwendungsbeispiel Feder-Neige-Prüfstand
Zur Validierung der im Rahmen dieser Arbeit entstandenen Methode werden
verschiedene Anwendungsgebiete betrachtet. Zentral sind hierbei Modelle eines
Feder-Neige-Prüfstands für die aktive Federung sowie die Neigetechnik des Schie-
nenfahrzeugs RailCab. Sowohl das RailCab-System, als auch der Feder-Neige-
12 Kapitel 1
Bild 1-3
: links:
RailCab Versuchsfahrzeug
rechts:
Feder-Neige-Prüfstand
Prüfstand mit der in dieser Arbeit gewählten hierarchischen Modellierung werden
im Folgenden vorgestellt.
Die RailCabs bilden den Kern der Neuen Bahntechnik Paderborn. Dabei handelt
es sich um ein an der Universität Paderborn entwickeltes, innovatives Verkehrs-
konzept, siehe [Trä06, NBP13]. Es vereint die Vorteile des Individualverkehrs mit
denen des Schienenverkehrs, indem die RailCabs autonom und fahrerlos auf den
bestehenden Trassen verkehren. Dadurch wird eine bedarfsgerechte, individuelle
Beförderung von Personen und Gütern ermöglicht. Durch den automatisierten
Fahrbetrieb können die RailCabs zielrein, d.h. ohne Zwischenhalte, ihr Ziel errei-
chen, was zu einer deutlichen Verkürzung der Fahrzeiten gegenüber dem konven-
tionellen Schienenverkehr führt. Eine selbstständige Konvoibildung der RailCabs
führt zudem zu einem energieezienten Betrieb [HTS
+
08].
Jedes RailCab verfügt über mehrere aktive Komponenten, die entsprechend der
Ausführungen des vorhergehenden Abschnitts funktionsorientiert zu Modulen zu-
sammengefasst werden. Der Antrieb erfolgt berührungslos durch einen doppelt
gespeisten Linearmotor. Analog zum Transrapid [Thy13] bendet sich der Sta-
tor in der Schiene und der Läufer im Fahrzeug. Weiterhin besitzt das RailCab
ein Spurführungsmodul, mit dem eine aktive Spurführung realisiert wird. Diese
ermöglicht einerseits eine komfortable Fahrt, u.a. durch eine Verringerung der
Spurkranzanläufe, andererseits den Einsatz passiver Weichen, die für die Konvoi-
bildung unerlässlich sind. Der Fahrkomfort wird zudem durch den Einsatz einer
aktiven Federung erhöht. Diese dient darüber hinaus einer aktiven Verstellung
der Seitenneigung während Kurvenfahrten.
Seit 2003 ist an der Universität Paderborn eine Versuchsstrecke mit einer Schie-
nenlänge von 600m in Betrieb. Zwei RailCab-Versuchsfahrzeuge im Maÿstab
1:2.5, siehe Bild 1-3 links, stehen zur Validierung der Technologie zur Verfü-
gung. Darüber hinaus existieren Prüfstände für einzelne Module des RailCabs.
Der Feder-Neige-Prüfstand, dessen Modelle in dieser Arbeit als Anwendungsbei-
Einleitung 13
spiele für die Modellordnungsreduktion dienen, stellt einen dieser Prüfstände dar,
siehe Bild 1-3 rechts. In Kapitel 6 wird darüber hinaus ein Prüfstand des intel-
ligenten Antriebsmoduls verwendet, mit dem der Luftspalt zwischen Stator und
Läufer im RailCab aktiv verändert werden kann. Weitere Details zu diesem Prüf-
stand sind in Kapitel 6 zu nden.
Mit dem Feder-Neige-Prüfstand können drei Freiheitsgrade des RailCabs unter-
sucht werden: die Hub- und die Wankbewegung sowie die Querbewegung der
Aufbaumasse. Der Prüfstand ist als Halbfahrzeugprüfstand realisiert und bildet
die vordere bzw. hintere Hälfte des Fahrzeugs nach. Neben einer Aufbaumasse
besteht er aus zwei Aktormodulen und einer Anregungseinheit. Im Gegensatz
zu der aktiven Federung des Versuchsfahrzeugs sind die Aktormodule geeignet,
in Unterurbauweise ins RailCab eingebaut zu werden, wodurch bei einer Reali-
sierung Bauraum gespart würde. Der Maÿstab des Prüfstands beträgt wie beim
Versuchsfahrzeug 1:2.5.
Jedes Aktormodul besteht aus drei waagerecht verbauten Hydraulikzylindern.
Diese sind an der einen Seite fest mit der Aufbaumasse verbunden. Die Zylin-
derkolben an der anderen Seite sind an einer Umlenkkinematik befestigt, an der
auch eine Feder aus glasfaserverstärktem Kunststo (GFK-Feder) angebracht ist.
Durch das Ein- und Ausfahren der Hydraulikzylinder kann auf diese Weise eine
Verschiebung des Federfuÿpunktes erzielt werden. Die andere Seite der GFK-
Feder ist mit der Anregungseinheit verbunden. Diese dient der Nachbildung von
Störungen in vertikaler und Fahrzeugquerrichtung, die in der Realität auf Gleisla-
gefehler zurückzuführen sind. Die Bewegung der Anregungseinheit wird mit Hilfe
von weiteren drei Hydraulikzylindern realisiert. Der Prüfstand wurde im Rahmen
der Arbeit [Sch06] entwickelt, der weitere Details zum Aufbau und zu den Kompo-
nenten entnommen werden können. Die implementierte Regelung zur Umsetzung
der aktiven Federung ist zudem in [VT08] beschrieben.
Eine funktionsorientierte Zerlegung des Feder-Neige-Prüfstands und ein hierar-
chisches Modell, wie sie in Abschnitt 1.2.2 beschrieben sind, werden in [MAK
+
08]
vorgestellt. Die Zerlegung besteht aus einer Hierarchie mit drei Ebenen und insge-
samt zehn verschiedenen Elementen. Weitere Details zur Modellierung sind zudem
in [Mün12] zu nden.
In dieser Arbeit wird eine hierarchische Zerlegung verwendet, die auf der beste-
henden Hierarchie basiert, allerdings nur aus den beiden oberen Ebenen besteht.
Wie Bild 1-4 zeigt, wird die untere Ebene von den beiden Aktormodulen gebildet.
Die dritte Ebene, die aus den sechs einzelnen Hydraulikzylindern besteht, wird
nicht betrachtet, da eine Modellordnungsreduktion der Hydraulikzylinder auf-
grund ihrer geringen Systemordnung nicht notwendig ist und die in dieser Arbeit
betrachteten Verfahren nicht sinnvoll eingesetzt werden können.
14 Kapitel 1
AMS
Prüfstand
Aktormodul links
MFM
Aktormodul rechts
MFM
Bild 1-4
:
Hierachische Zerlegung des Feder-Neige-Prüfstands mit Angabe der
Strukturelemente
Die obere Hierarchieebene wird von dem gesamten Prüfstand gebildet. Da keine
weiteren physikalischen Kopplungen zu anderen System existieren, handelt es sich
bei dem Prüfstand um ein AMS.
Im Rahmen der hierarchischen Modellierung werden zunächst die Aktormodu-
le separat betrachtet. Die Schnittstellen sind dabei wie in Bild 1-5 dargestellt
gewählt. Die Eingangsgröÿen werden von den drei Sollpositionen
zylsoll
der Hy-
draulikzylinder gebildet. Diese werden im Gesamtsystem aus den Sollvorgaben
für die in den GFK-Federn wirkenden Kräfte mit Hilfe einer inversen Kinematik
berechnet. Das Modell des Aktormoduls beinhaltet die Dynamik sowie die lokale
Regelung der Hydraulikzylinder. Als Ausgänge werden die Position
pGFK
und
die Geschwindigkeit
vGFK
des Federfuÿpunktes der GFK-Feder benötigt, um im
Gesamtsystem die wirkenden Kräfte zwischen Aufbaumasse und Anregungsein-
heit berechnen zu können. Hierbei sind die Komponenten in y- und z-Richtung,
d.h. horizontal und vertikal, ausreichend, da Bewegungen der Aufbaumasse und
der Anregungseinheit in x-Richtung am Prüfstand konstruktiv gesperrt sind. Für
die hierarchische Optimierung des Feder-Neige-Prüfstands, auf die in Abschnitt
zylsoll
pGFK
vGFK
vzyl
Aktormodul
Bild 1-5
:
Ein- und Ausgänge des Aktormoduls
Einleitung 15
6.1 eingegangen wird, ist als zusätzlicher Ausgang die Geschwindigkeit
vzyl
der
Hydraulikzylinder erforderlich.
Das Hierarchische Modell des Gesamtsystems beinhaltet die beiden Aktormodule
in linearisierter und ggf. reduzierter Form. Zudem enthält es die Dynamik der
Anregungseinheit und der Aufbaumasse sowie die Regelung des Prüfstands.
1.4 Aufbau der Arbeit
Kapitel 2 enthält eine generelle Einführung in die Modellordnungsreduktion und
eine kurze Übersicht über die historische Entwicklung. Des Weiteren werden die
beiden für diese Arbeit relevanten Verfahren der nichtparametrischen Modell-
ordnungsreduktion, die manuelle rationale Interpolation sowie die
H2
-optimale
tangentiale Interpolation, dargestellt.
Aufbauend auf den Grundlagen beschreibt Kapitel 3 die in dieser Arbeit verwen-
dete parametrische Modellordnungsreduktion. Dies ist zum einen die manuelle
rationale Interpolation parametrischer Systeme, die mittels eines im Rahmen die-
ser Arbeit entstandenen objektorientierten Arnoldi-Algorithmus umgesetzt wird.
Zum anderen wird die Matrix Interpolation als alternatives Verfahren zur para-
metrischem Modellordnungsreduktion vorgestellt.
Kapitel 4 widmet sich der Mehrzieloptimierung. Ausgehend von einigen Grund-
lagen und einer kurzen Übersicht über die verwendeten numerischen Verfahren,
wird auf die hierarchische Optimierung sowie auf die Anwendung von Mehrzielop-
timierungsverfahren auf selbstoptimierende Systeme eingegangen. Die am Ende
dieses Kapitels präsentierten numerischen Ergebnisse dienen als Grundlage für
die beiden folgenden Kapitel.
Der Kern der vorliegenden Arbeit, die parametrische Modellordnungsreduktion
paretooptimaler Systeme, wird in Kapitel 5 vorgestellt. Basierend auf den in den
vorhergehenden Kapiteln dargestellten Grundlagen wird eine neuartige Interpo-
lation der Paretomenge sowie der zugehörigen dynamischen Systeme vorgestellt,
die zu einer speziellen, für die parametrische Modellordnungsreduktion besonders
geeigneten Systemdarstellung führt. Anhand von zwei Anwendungsbeispielen aus
dem Kontext des Feder-Neige-Prüfstands wird die Methode veriziert.
Zwei Anwendungsgebiete für parametrische reduzierte Systeme werden in Ka-
pitel 6 erläutert. Dies ist zum einen die hierarchische Optimierung, auf die in
zwei verschiedenen Anwendungsbeispielen eingegangen wird. Zum anderen wird
der Einsatz des reduzierten Modells des Feder-Neige-Prüfstands im Rahmen der
Auslegung einer zielfunktionsbasierten Regelung vorgestellt.
Die Arbeit schlieÿt mit einer kurzen Zusammenfassung und einigen Perspektiven
für zukünftige Arbeiten in Kapitel 7.
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 17
2 Modellordnungsreduktion durch Interpolation
der Übertragungsfunktion
Dieses Kapitel gibt einen kurzen Überblick über die Entwicklung der Modellord-
nungsreduktion (MOR) und den aktuellen Stand der Forschung. Es dient dazu,
eine Einführung in die für die vorliegende Arbeit relevanten Verfahren zu geben.
Die Darstellung beschränkt sich auf die nicht-parametrische MOR. Die Erwei-
terungen auf parameterabhängige Systeme basieren auf den hier vorgestellten
Verfahren, werden jedoch separat in Kapitel 3 dargestellt.
Der erste der insgesamt fünf Abschnitte dieses Kapitels beschreibt die histori-
sche Entwicklung und ordnet die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten MOR-
Verfahren in den Stand der Forschung ein. Nachfolgend werden in Abschnitt 2.2
unabhängig von konkreten Verfahren die Grundlagen der MOR hergeleitet. An-
schlieÿend werden mit der manuellen rationalen Interpolation in Abschnitt 2.3
und der
H2
-optimalen Interpolation in Abschnitt 2.4 die beiden in dieser Arbeit
verwendeten Modellreduktionsverfahren eingeführt. Ein erstes Anwendungsbei-
spiel wird im letzten Abschnitt 2.5 zur Gegenüberstellung der Verfahren verwen-
det.
2.1 Überblick und historische Entwicklung
Verfahren zur Modellordnungsreduktion werden eingesetzt, um eine komplexe
mathematische Beschreibung eines dynamischen Systems durch eine einfache-
re Beschreibung zu ersetzen. Unter Komplexität ist in diesem Kontext die An-
zahl der Systemgleichungen zu verstehen. Insbesondere für lineare Systeme, die
noch immer das Hauptanwendungsgebiet der Modellordnungsreduktion darstel-
len, trägt die Systemordnung wesentlich zur Komplexität bei. Im Folgenden wird
ein kurzer Überblick über die Entstehung der Modellordnungsreduktion gege-
ben mit dem Ziel, die in dieser Arbeit verwendeten Verfahren einordnen zu kön-
nen. Als Grundlage hierfür dienten die Einführungen in das Themengebiet aus
[Ant05, Kub08, SVR08].
Erste Ansätze, die eine mathematische Funktion durch eine einfachere Funktion
ersetzen, sind wesentlich älter als das Forschungsgebiet der MOR. Beispielsweise
beschäftigte sich Fourier bereits 1807 mit der Annäherung einer komplizierten
Funkion durch trigonometrische Funktionen [Fou07]. Die auch im Kontext der
Modellordnungsreduktion verwendete Padé-Approximation aus dem Jahre 1892
ist ein weiteres Beispiel für die Approximation einer mathematischen Funktion,
in diesem Fall durch eine rationale Funktion [Pad92].
18 Kapitel 2
Überblick über MOR-Methoden
SVD Methoden Krylov Methoden
• Interpolation
• Lanczos
• Arnoldi
• IRKA
Lineare Systeme
• Balanciertes Abschneiden
• Hankel Approximation
Nichtlineare Systeme
• POD Methoden
Bild 2-1
:
Übersicht über die beiden Hauptzweige der MOR-Verfahren (angelehnt
an [Ant05])
Ein gegebenes lineares System durch ein System mit weniger Zustandsgleichungen
anzunähern, wurde vor fast 50 Jahren vorgeschlagen. In einer der ersten Arbeiten
konstruiert
Davison
im Jahr 1966 ein reduziertes System, das die wichtigsten
Eigenwerte des Originalsystems beibehält [Dav66]. Diese Idee, heute als modales
Abschneiden bezeichnet, wird seitdem kontinuierlich weiterentwickelt. Beispiels-
weise ist von Litz in [Lit79] ein spezielles Maÿ für die Dominanz der Eigenwerte
vorgestellt worden. In vielen Fällen ist das modale Abschneiden den modernen
Verfahren aus verschiedenen Gründen unterlegen und besitzt daher keine groÿe
Bedeutung mehr, siehe [BZS
+
09] für eine Gegenüberstellung der Methoden. Es
nden sich jedoch weiterhin aktuelle Arbeiten auf diesem Gebiet, beispielsweise
aus dem Bereich der Mechanik [TG11, SBS
+
09] sowie für nichtlineare Systeme
[BDG07].
Die Modellordnungsreduktion ist vor allem durch die Arbeit von
Moore
[Moo81]
populär geworden. Dort wird erstmals das balancierte Abschneiden vorgestellt,
das neben den in dieser Arbeit verwendeten interpolationsbasierten Verfahren das
zweite leistungsfähige und weit verbreitete Verfahren der MOR darstellt, siehe
Bild 2-1. Es basiert basiert auf einer Singulärwertzerlegung der Gram'schen Ma-
trizen, mit deren Hilfe der für das Ein-, Ausgangsverhalten wichtigste Systemteil
identiziert werden kann. Die Singulärwertzerlegung bildet die Grundlage für eine
Reihe weiterer Verfahren. Eng verwandt mit dem balancierten Abschneiden und
ebenfalls auf lineare Systeme zugeschnitten ist die Hankel Approximation, siehe
[Glo84]. Für nichtlineare Systeme ist vor allem die Proper Orthogonal Decom-
position (POD) weit verbreitet. In der vorliegenden Arbeit werden diese SVD
Methoden nicht näher betrachtet. Für eine Einführung sei auf [Ant05] sowie
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 19
[ASG01] verwiesen. Die SVD Methoden sind weiterhin Gegenstand zahlreicher
und intensiver Forschung, siehe z.B. [AHHS10, HRA11, BS11].
Die interpolationsbasierte MOR bildet den zweiten groÿen Forschungszweig im
Bereich linearer Systeme. Im Gegensatz zum modalen und balancierten Abschnei-
den steht hier die Übertragungsfunktion, d.h. das Ein-, Ausgangsverhalten des
Systems im Frequenzbereich, im Mittelpunkt. Die ersten Ideen in diesem Be-
reich bestanden darin, eine Übertragungsfunktion mit geringerer Ordnung, d.h.
mit kleinerem Zähler- und Nennergrad, aus einer gegebenen Übertragungsfunk-
tion hoher Ordnung zu berechnen. Das reduzierte System stellt dann eine Padé-
Approximation des Originalsystems dar. In ersten Arbeiten, z.B. [Kie86, KP88],
werden die Koezienten des Originalsystems und eine Menge an Stützstellen im
Frequenzbereich verwendet, um die Koezienten der reduzierten Übertragungs-
funktion explizit zu berechnen.
Ein ähnlicher Ansatz wird bei der sogenannten Asymptotic Waveform Evaluation
verfolgt [PR90]. Hier wird allerdings zunächst die originale Übertragungsfunktion
durch eine endliche Potenzreihe angenähert. Die Koezienten dieser Potenzrei-
he, die sogenannten Momente, werden explizit berechnet und über die Lösung
eines linearen Gleichungssystems erhält man das reduzierte Modell auch hier in
Form einer Padé-Approximation. All diese expliziten Verfahren führen jedoch zu
numerisch sehr schlecht konditionierten Problemen bei steigender Ordnung des
reduzierten Modells, siehe [SVR08] für weitere Details. Daher spielen derartige
explizite Ansätze in aktuellen Forschungsarbeiten keine Rolle mehr.
Der groÿe Durchbruch im Bereich der interpolationsbasierten MOR entstand
durch die Erforschung der Zusammenhänge zwischen Krylov-Unterräumen und
den Momenten eines linearen Systems. Auf der Basis des Lanczos-Algorithmus,
der bereits Jahrzehnte zuvor entwickelt wurde [Lan50, Lan52], entstand die soge-
nannte Padé-via-Lanczos-Methode [FF95], mit der eine Padé-Approximation be-
rechnet werden kann, ohne die Momente explizit auszurechnen. Diese Reduktions-
variante wurde kontinuierlich weiterentwickelt und ist insbesondere für symmetri-
sche Matrizen sehr gut geeignet. An dieser Stelle sei auf [Gri97] für eine Übersicht
über die historische Entwicklung der Lanczos-Methoden sowie auf [WSW06] als
eine beispielhafte Anwendung verwiesen.
Eine weitere Verbesserung, die u.a. für nicht-symmetrische Systeme die Passivität
garantieren kann, ergab sich durch die explizite Projektion auf die verwendeten
Krylov-Unterräume, die zuerst in den Arbeiten [Gri97] und [OC98] vorgeschlagen
wurde. Hier wird der ebenfalls schon lange vorher bekannte Arnoldi-Algorithmus
[Arn51] zur Berechnung der Krylov-Unterräume verwendet. Die in dieser Arbeit
eingesetzten Modellreduktionsverfahren basieren auf neuesten Entwicklungen aus
diesem Forschungszweig. In den letzten 10-15 Jahren sind sehr viele Veröent-
lichungen aus diesem Bereich entstanden, sodass eine umfassende Darstellung
20 Kapitel 2
unmöglich ist. Stellvertretend seien die Übersichtsartikel [ASG01], [Bai02] und
[Fre03] genannt, die jeweils einen Überblick über den damaligen Stand der Tech-
nik geben. Die aktuellen und für diese Arbeit besonders relevanten Veröentli-
chungen werden nachfolgend in den zugehörigen Abschnitten angegeben.
2.2 Ausgangspunkt, Reduktionsansatz und
Bewertungskriterien
Der folgende Abschnitt beschreibt die Grundlagen für die in diesem Kapitel vor-
gestellten Reduktionsverfahren. Weiterhin werden die Grundidee der Modellord-
nungsreduktion linearer Systeme sowie das grundlegende mathematische Vorge-
hen unabhängig von einem konkreten Reduktionsverfahren beschrieben. Auf die-
ser Basis werden dann eine Reihe von Bewertungskriterien zur Beurteilung der
Approximationsgüte eines reduzierten Modells eingeführt.
Die in diesem Kapitel beschriebenen Verfahren sind auf lineare dynamische Sys-
teme der Form
E˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t).
(2-1)
anwendbar. Hierbei stellt
x∈Rnx
den Zustandsvektor,
u∈Rnu
die Eingangs- und
y∈Rny
die Ausgangsgröÿen des Systems dar. Die Dynamik des Systems wird
über die Systemmatrizen
E, A ∈Rnx×nx
und die Eingangsmatrix
B∈Rnx×nu
bestimmt, die Ausgangsgleichung mit Hilfe der Ausgangsmatrix
C∈Rny×nx
und
der Durchgrismatrix
D∈Rny×nu
. Im Folgenden wird die Durchgrismatrix
D
vernachlässigt, da sie für die Modellordnungsreduktion nur eine untergeordnete
Rolle spielt und zumeist unverändert ins reduzierte System übernommen wird.
Weiterhin werden nur gewöhnliche Dierentialgleichungen betrachtet, bei denen
die Matrix
E
regulär ist.
Die Übertragungsfunktion
G(s) : Cnu→Cny
von (2-1) im Frequenzbereich lässt
sich über die Laplace-Transformation der Zustandsgleichungen
(sE −A)X(s) = BU(s),
(2-2)
Y(s) = CX(s),
mit
s∈C,
(2-3)
herleiten. Man erhält hieraus als Endergebnis
G(s) = C(sE −A)−1B.
(2-4)
Diese lässt sich in eine Reihendarstellung überführen. Dazu sei zunächst
s0∈C
ein beliebiger Entwicklungspunkt und
σs=s−s0
. Eingesetzt in (2-2) ergibt sich
(σsE−(A−s0E)) X(s) = B U(s).
(2-5)
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 21
Zur Vereinfachung der Schreibweise sei
˜
A(s0) := (A−s0E)
. Wird nun (2-5) von
links mit
˜
A−1(s0)
multipliziert und nach
X(s)
aufgelöst, so erhält man
X(s) = −Inx−σs˜
A−1(s0)E−1˜
A−1(s0)B U(s).
(2-6)
Mit Hilfe der Neumannschen Reihe [Wer05]
Inx−σs˜
A−1(s0)E−1=
∞
X
k=0 σs˜
A−1(s0)Ek
ergibt sich eine Reihendarstellung für die äuÿere inverse Matrix in (2-6). Setzt
man abschlieÿend diese Reihe in (2-6) und (2-3) ein, ist die gesamte Übertra-
gungsfunktion in die Reihendarstellung
G(s) =
∞
X
k=0
−C˜
A−1(s0)Ek˜
A−1(s0)B
| {z }
Mk(s0)
(s−s0)k=
∞
X
k=0
Mk(s0)(s−s0)k
(2-7)
überführt. Die Koezienten
Mk(s0)
werden als Momente bezeichnet und spielen
für die in dieser Arbeit verwendeten Reduktionsverfahren eine entscheidende Rol-
le. Für Eingröÿensysteme handelt es sich bei den Momenten um komplexwertige,
skalare Gröÿen. Bei Mehrgröÿensystemen sind die Momente rechteckige Matrizen
der Dimension
ny×nu
.
Alle in dieser Arbeit verwendeten Verfahren zur Modellreduktion basieren auf ei-
ner Projektion des Originalsystems (2-1) mit Hilfe von zwei rechteckigen Projek-
tionsmatrizen
V, W ∈Rnx×q
zur Erzeugung des reduzierten Systems des Ordnung
q
. Dazu ersetzt man den Zustandsvektor
x
durch die Projektion
x=V xr
mit dem reduzierten Zustandsvektor
xr∈Rq
. Eingesetzt in (2-1) ergibt sich
hieraus
EV ˙xr(t) = AV xr(t) + Bu(t),
yr(t) = CV xr(t).
Die Zustandsgleichung wird nachfolgend mittels
WT
projiziert, um erneut ein
quadratisches, eindeutig lösbares Dierentialgleichungssystem zu erhalten. Das
reduzierte System ergibt sich somit als
WTEV ˙xr(t) = WTAV xr(t) + WTBu(t),
yr(t) = CV xr(t).
(2-8)
22 Kapitel 2
Dieser Reduktionsansatz lässt sich auch geometrisch interpretieren. Die Zustands-
gleichung wird auf einen
q
-dimensionalen Unterraum aufgespannt von den Spal-
ten in
V
projiziert. Diese Projektion erfolgt entlang des orthogonalen Komple-
ments des von den Spalten von
W
aufgepannten Unterraumes (siehe [PMEL10]
für weitere Details zu dieser geometrischen Interpretation).
Zur Abkürzung werden die Matrizen
Er:= WTEV, Ar:= WTAV,
Br:= WTB, Cr:= CV
deniert, unter der Annahme, dass
WTEV
invertierbar ist. Die Übertragungs-
funktion des reduzierten Systems ist hiermit analog zu (2-4) gegeben durch
Gr(s) = Cr(sEr−Ar)−1Br.
Auch sie lässt sich um jeden Entwicklungspunkt
s0∈C
in eine Reihe
Gr(s) =
∞
X
k=0
−Cr˜
Ar
−1(s0)Erk˜
Ar
−1(s0)Br(s−s0)k=
∞
X
k=0
Mr,k(s0)(s−s0)k
(2-9)
entwickeln. Die Momente des reduzierten Systems
Mr,k
besitzen die gleiche Di-
mension wie die Momente des Originalsystems (2-1), weshalb sie sich als Kenn-
gröÿen für die Reduktion eignen. Dies wird im weiteren Verlauf dieser Arbeit bei
der Herleitung der Reduktionsverfahren näher erläutert.
Nach der Anwendung von Modellreduktionsverfahren stellt sich stets die Frage
nach der Beurteilung des Reduktionsergebnisses. Das generelle Ziel besteht darin,
den Ausgang
y
des Originalsystems möglichst exakt durch den Ausgang
yr
des re-
duzierten Systems zu approximieren. Dabei sollen die Abweichungen nicht nur für
bestimmte Eingangsfunktionen, sondern allgemein für möglichst viele Eingangs-
signale gering sein. In dieser Arbeit werden verschiedene Kriterien zur Bewertung
des Reduktionsfehlers verwendet und im Folgenden kurz eingeführt.
Zur Klassizierung linearer Systeme werden die
H2
und die
H∞
Norm verwendet,
die beide weit verbreitet sind. An dieser Stelle beschränkt sich die Darstellung
auf die Angabe der Denitionen. Eine ausführliche Herleitung ist zum Beispiel
in [Ant05] zu nden. Eine kürzere Zusammenfassung kann [Kub08] entnommen
werden. Dort bendet sich auch eine Erweiterung der
H2
-Norm auf instabile Sys-
teme. Alle im Folgenden genannten Denitionen und Abschätzungen entstammen
[ABG10].
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 23
Der Reduktionsfehler
e(t) = y(t)−yr(t)
kann mittels des sogenannten Fehlersys-
tems
x
xr•
=A0
0Arx
xr+B
Bru,
e=y−yr=C−Crx
xr
(2-10)
abgeschätzt werden. Im Folgenden ist unter
kG−Grk
die Norm des obigen Feh-
lersystems (2-10) gemeint.
Die
H∞
-Norm eines stabilen Systems mit der Übertragungsfunktion
G
aus (2-4)
ist deniert als
kGkH∞= max
ω∈RkG(jω)k2= max
ω∈Rσmax (G(jω)) ,
wobei
σmax
den gröÿten Singulärwert bezeichnet. Die
H∞
-Norm beschreibt den
durchschnittlichen Fehler von
y(t)−yr(t)
im Zeitbereich, da gezeigt werden kann,
dass
Z∞
0
ky(t)−yr(t)k2
2dt ≤ kG−Grk2
H∞
für alle Eingangsfunktionen mit
R∞
0ku(t)k2
2dt ≤1
gilt.
Ist man statt der durchschnittlichen Abweichung daran interessiert, dass der Feh-
ler
y(t)−yr(t)
zu jedem Zeitpunkt
t
möglichst klein ist, so ist die
H2
-Norm
geeignet. Sie ist deniert als
kGkH2=1
2πZ∞
−∞
kG(jω)k2
Fdω1/2
.
Hierbei bezeichnet
k·kF
die Frobenius-Norm, die ihrerseits deniert ist als
kG(s)k2
F=
min(ny,nu)
X
k=1
σ2
k(G(s)) =
spur
(G∗(s)G(s)) = X
i,j
|Gij(s)|2,
wobei mit
G∗
die adjungierte Matrix und mit
σk
erneut die Singulärwerte der
Übertragungsmatrix
G
bezeichnet sind. Analog zur
H∞
-Norm lässt sich eine Feh-
lerabschätzung angeben:
max
t>0ky(t)−yr(t)k∞≤ kG−GrkH2.
Neben dem absoluten Fehler ist oftmals der relative Fehler
Erel =kG−Grk
kGk
24 Kapitel 2
aussagekräftiger, da er die Abweichungen aus dem Fehlersystem auf die Norm
des Originalsystems bezieht. Insbesondere für algorithmische Umsetzungen, die
unabhängig von konkreten Systemen sein sollen, ist stets eine relative Betrachtung
erforderlich.
Diese beiden auf dem Frequenzbereich basierenden Normen zusammen mit den
angeführten Abschätzungen stellen leistungsfähige und ezient umsetzbare Kri-
terien dar. In manchen Fällen wird es aber darüber hinaus notwendig sein, die
Approximationsgüte des reduzierten Systems auch explizit im Zeitbereich zu un-
tersuchen. Hierzu sind einerseits Sprung- und Impulsanregungen geeignet, da sie
die gesamte Systemdynamik anregen und beispielsweise den stationären Fehler
aufzeigen. Auf diese Weise können oft über eine grasche Auswertung Schwä-
chen des reduzierten Systems erkannt werden, die beispielsweise aus unterschied-
lich skalierten Ein- und Ausgängen resultieren. Andererseits werden gelegentlich
auch komplexere Simulationen zur Bewertung des reduzierten Modells genutzt.
Beispielsweise wurde in [KWTD11] das reduzierte System in einem hierarchi-
schen Modell eingebunden und eine stochastische Anregung des resultierenden
Gesamtsystems simuliert und bewertet.
2.3 Manuelle rationale Interpolation
Bei der manuellen rationalen Interpolation wird das reduzierte System, wie im
vorhergehenden Abschnitt beschrieben, über eine Projektion gebildet. Die ratio-
nale Interpolation stellt diesbezüglich eine Möglichkeit zur Berechnung der Pro-
jektionsmatrizen dar. Als Kenngröÿen für die Reduktion werden die Momente
aus (2-7) bzw. (2-9) verwendet. Die Idee besteht darin, möglichst viele der Mo-
mente des Originalsystems durch das reduzierte System abzugleichen. Dazu wird
im Rahmen dieses Abschnitts der bereits in der Einführung erwähnte Arnoldi-
Algorithmus vorgestellt. Obwohl dieser in seiner Grundform, siehe [Arn51], bereits
seit mehr als 60 Jahren bekannt ist, wird er für die Modellordnungsreduktion erst
seit etwa 20 Jahren eingesetzt.
Im Bereich der Regelungstechnik wurde der Arnoldi-Algorithmus zunächst, etwa
seit den 1980er Jahren, zur Untersuchung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
verwendet, z.B. in [BG84] zur Berechnung des steuerbaren Unterraumes. Bis in die
1990er Jahre blieb dies der Fall. In Arbeiten zur MOR wird er zwar gelegentlich
erwähnt, beispielsweise in [Doo92], aber der Fokus liegt hier auf dem ähnlichen
und bereits in der Kapiteleinführung erwähnten Lanczos-Algorithmus.
Eine erste Anwendung zur Modellordnungsreduktion ndet sich in [SKW96], al-
lerdings wird in dieser Arbeit noch keine explizite Projektion zur Berechnung
des reduzierten Systems durchgeführt. Diese explizite Projektion auf geeignete
Krylov-Unterräume, um einen Abgleich der Momente zu erzielen, wird in [Gri97]
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 25
vorgestellt. Hier wird zudem bereits die Verwendung mehrerer Entwicklungspunk-
te beschrieben, die im Folgenden noch näher erläutert wird. Diese Dissertation
stellt eine wichtige Grundlage für die in dieser Arbeit behandelten theoretischen
Zusammenhänge dar. Seit dieser Zeit hat sich der Arnoldi-Algorithmus zu einem
weit verbreiteten und etablierten Hilfsmittel für die Modellordnungsreduktion
entwickelt.
Die Variante des in dieser Arbeit weiterentwickelten Arnoldi-Algorithmus für pa-
rametrische Systeme, ausführlich beschrieben in Kapitel 3, basiert wesentlich auf
dem Übersichtsartikel [LS04]. Weiterhin sind vor allem die Abbruch- und Aus-
wahlkriterien aus [SLBK05] in die vorliegende Arbeit eingeossen. Zusammen mit
den beiden Dissertationen [Sal05] und [Eid09] bilden sie das Grundgerüst, das zur
parametrischen MOR erweitert wird. Die wesentlichen theoretischen Grundlagen
und einige Details zum Arnoldi-Algorithmus werden innerhalb dieses Abschnitts
hergeleitet.
2.3.1 Impliziter Momentenabgleich
Den Kern des Momentenabgleichs, d.h. der Berechnung eines reduzierten Sys-
tems, dessen Momente denen des Originalsystems entsprechen, bilden die Krylov-
Unterräume. Allgemein ist ein Krylov-Unterraum deniert als
K(AK, bK) =
span
bK, AKbK, A2
KbK, . . .
mit einer konstanten Matrix
AK∈Rn1×n1
und einem konstanten Vektor
bK∈Rn1
.
Anstelle dieses Vektors, der auch Startvektor genannt wird, kann auch eine Matrix
BK∈Rn1×n2
verwendet werden. Dann wird
K(AK, BK) =
span
BK, AKBK, A2
KBK, . . .
als Block-Krylov-Unterraum bezeichnet. Für die MOR wird zusätzlich eine posi-
tive Zahl
q∈N
genutzt und die Sequenz
Ai
KBK
bei
q−1
abgebrochen. Hiermit
erhält man den
q
-ten Krylov-Unterraum
Kq(AK, BK) =
span
BK, AKBK, A2
KBK, . . . , Aq−1
KBK.
(2-11)
Eine Verknüpfung der Krylov-Unterräume mit den Momenten einer Übertra-
gungsfunktion ergibt sich durch die folgenden Aussagen.
Stellen die Spalten der für die Reduktion verwendeten Projektionsmatrix
V
eine
Basis des sogenannten eingangsseitigen Krylov-Unterraumes
Kq(˜
A−1(s0)E, ˜
A−1(s0)B)
26 Kapitel 2
dar, so stimmen die ersten
q
Momente zwischen Originalsystem und reduziertem
System am Entwicklungspunkt
s0
überein, d.h.
Mj(s0) = Mr,j(s0),0≤j≤q−1,
in der Notation des vorherigen Abschnitts. Die andere Projektionsmatrix
W
kann
für die Reduktion beliebig gewählt werden mit der Einschränkung, dass
WTEV
regulär sein muss. Im Fall eines Eingröÿensystems besitzt dann auch das redu-
zierte System die Ordnung
q
. Andernfalls entspricht die Ordnung der Anzahl der
Basisvektoren, die zur Aufspannung des eingangsseitigen Krylov-Unterraumes be-
nötigt werden.
Bilden umgekehrt die Spalten der Projektionsmatrix
W
eine Basis des ausgangs-
seitigen Krylov-Unterraumes
Kq(˜
A−T(s0)ET,˜
A−T(s0)C),
so stimmen ebenfalls die ersten
q
Momente überein. Analog zum ersten Fall kann
die zweite Projektionsmatrix
V
beliebig sein, solange die Regularität von
WTEV
sichergestellt ist.
Sind beide Bedingungen erfüllt, d.h.
V
ist Basis von
Kq1(˜
A−1(s0)E, ˜
A−1(s0)B)
und
W
ist Basis von
Kq2(˜
A−T(s0)ET,˜
A−T(s0)C)
, so addieren sich die überein-
stimmenden Momente. Es werden dann insgesamt
q1+q2
Momente abgeglichen,
d.h.
Mj=Mr,j
für
0≤j≤q1+q2−1
. In diesem Fall spricht man von einem
zweiseitigen Verfahren. Die beiden vorhergehenden Fälle werden entsprechend als
einseitige Verfahren bezeichnet. Formale Beweise zur Gültigkeit des Momenten-
abgleichs sind beispielsweise in [Sal05] zu nden.
Wird nur ein Entwicklungspunkt
s0
betrachtet, so entsteht eine Art Padé-Appro-
ximation des Originalsystems, da die Übertragungsfunktion und ihre Ableitungen
an dem festgelegten Punkt
s0
mit dem reduzierten System übereinstimmen.
Es ist ohne weiteres möglich, mehrere Entwicklungspunkte zu verwenden. Bilden
die Matrizen
V1, . . . , Vk
jeweils eine Basis der eingangsseitigen Krylov-Unterräume
zu den Entwicklungspunkten
s1, . . . , sk
und
W1, . . . , Wk
entsprechend eine Basis
der ausgangsseitigen Krylov-Unterräume, so stimmt die jeweilige Anzahl der Mo-
mente an jedem Entwicklungspunkt überein. Die einzige Voraussetzung besteht
darin, dass die Gesamtprojektionsmatrizen
V
und
W
alle Basisvektoren beinhal-
ten, d.h.
V=
span
{V1, . . . , Vk}, W =
span
{W1, . . . , Wk}.
Die Verwendung von Entwicklungspunkten
s06= 0
sowie von mehreren Entwick-
lungspunkten bei der MOR wird als rationale Interpolation bezeichnet und stellt
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 27
die allgemeinste Form der MOR auf Basis eines impliziten Momentenabgleichs
dar.
Die wesentliche Stärke der hier vorgestellten Reduktion ist darin begründet, dass
die Momente mit jeder beliebigen Basis der entsprechenden Krylov-Unterräume
abgeglichen werden. Insbesondere ist eine explizite Berechnung der Momente zur
Bestimmung von
V
und
W
nicht erforderlich. Dies ist bedeutsam, da die Berech-
nung der Momente ein numerisch schlecht-konditioniertes Problem darstellt und
frühere auf den Momenten basierende Methoden an dieser Problematik scheiter-
ten.
Die Ordnung des reduzierten Modells folgt direkt aus der Anzahl der abgegliche-
nen Momente bzw. der Anzahl der verwendeten Basisvektoren. Bei Mehrgröÿen-
systemen werden mehrere Basisvektoren benötigt, um ein Moment abzugleichen.
Für den eingangsseitigen Krylov-Unterraum entspricht diese Anzahl der Zahl der
Eingänge, für den ausgangsseitigen Krylov-Unterraum ist die Anzahl der Ausgän-
ge maÿgebend. Für die praktische Umsetzung spielt dies jedoch eine untergeord-
nete Rolle. Es ist ohne Probleme möglich, einzelne Basisvektoren zu ergänzen, so-
dass beliebige Ordnungen des reduzierten Modells entstehen. Dies entspricht dem
Abgleich einzelner Spalten (für den eingangsseitigen Krylov-Unterraum) bzw. ein-
zelner Zeilen (für den ausgangsseitigen Krylov-Unterraum) der Momente. Eine
Alternative hierzu, die sogenannte tangentiale Interpolation, wird im nächsten
Abschnitt 2.4 näher betrachtet.
2.3.2 Arnoldi-Algorithmus
Die Basisvektoren werden im Rahmen dieser Arbeit mit dem Arnoldi-Algorithmus
berechnet. Der grundlegende Ablauf für den Fall eines Krylov-Unterraums (2-11)
mit einem einzelnen Vektor
bK
als Startvektor ist in Algorithmus 1 dargestellt.
Aus dem Algorithmus wird bereits deutlich, dass die Vorgabe der gewünschten
Ordnung des reduzierten Modells einen wesentlichen Steuerungsparameter dar-
stellt. Besondere Aufmerksamkeit erfordert aber auch die Bedingung
kvik>0
in Schritt 4. Diese gibt an, ob der neue Basisvektor linear unabhängig zu den
bisherigen Basisvektoren ist. Bei der numerischen Umsetzung wird an dieser Stel-
le eine Schranke
εD
verwendet. Ist das Residuum
kvik
der Orthogonalisierung,
d.h. der Anteil neuer Informationen für die Basis, kleiner als die Schranke, wird
der Kandidat verworfen und die Iteration beendet. Somit ergibt sich über die
Wahl von
εD
eine weitere Steuerungsmöglichkeit für den Algorithmus, mit der
die maximale Ordnung des reduzierten Systems beeinusst werden kann. Die
durch den Algorithmus berechneten Basisvektoren bilden eine Orthonormalba-
sis des Krylov-Unterraums. Dies trägt wesentlich zum gutmütigen numerischen
Verhalten der MOR auf Basis des Arnoldi-Algorithmus bei.
28 Kapitel 2
Algorithmus 1
Arnoldi-Algorithmus (Grundform mit einzelnem Startvektor,
[LS04])
Input:
Startvektor
bK
, quadratische Matrix
AK
und Ordnung
q
1:
Initialisierung:
2:
v1=bK
kbKk
3:
V=v1
4:
i= 2
5:
while
i≤q
do
6:
vi=AKvi−1
(nächster Basisvektor)
7:
vi=vi−V V Tvi
(Orthogonalisierung)
8:
if
kvik>0
then
9:
vi=vi
kvik
(Normalisierung)
10:
V= [V, vi]
11:
else
12:
STOP
13:
end if
14:
i=i+1
15:
end while
Output:
Orthonormalbasis
V
des Krylov-Unterraums (2-11)
Die drei Grundbestandteile des Arnoldi-Algorithmus
rekursive Berechnung des
nächsten Basisvektors mittels einer Matrix-Vektor-Multiplikation
,
Orthogonali-
sierung
sowie
Normalisierung
bleiben auch bei der Reduktion von Mehrgröÿen-
systemen erhalten. Anstelle des Startvektors
bK
steht nun eine Matrix
BK
zur
Verfügung, deren Spalten einzeln verwendet werden. Durch die Reihenfolge der
Verwendung ergibt sich eine weitere Freiheit des Algorithmus. Im Rahmen die-
ser Arbeit werden die Startvektoren in der Reihenfolge ihrer Anordnung in
BK
verwendet. Eine aufwändigere Selektion über ein zusätzliches Dominanzmaÿ ist
in [SLBK05] zu nden. Die Abbruchschranke
εD
wird auch im Mehrgröÿenfall
verwendet. Ist ein Residuum kleiner als
εD
, wird der jeweilige Kandidat aus der
Iteration entfernt. Der Algorithmus wird mit den übrigen Basisvektoren fortge-
setzt. Dieses Verwerfen einzelner Vektoren während der Iteration wird auch als
Deation bezeichnet. Die Deation trägt zur numerischen Robustheit sowie zu
einer höheren Approximationsgüte des reduzierten Modells bei.
Mit dem Arnoldi-Algorithmus lassen sich beide Projektionsmatrizen
V
und
W
gleich ezient berechnen. Für eine zweiseitige MOR braucht der Algorithmus
daher lediglich zweimal, für
V
und für
W
, nacheinander ausgeführt werden. Als
einzige Bedingung müssen die Dimensionen, d.h. die Anzahl der Basisvektoren,
übereinstimmen. Dies stellt jedoch keine groÿe Einschränkung bei der praktischen
Realisierung dar. Sollte aufgrund der Deation eine der beiden Projektionsma-
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 29
trizen weniger Spalten enthalten als die andere, so kann von der gröÿeren Matrix
die entsprechende Dierenzanzahl vernachlässigt werden.
Bei den in dieser Arbeit untersuchten Anwendungsfällen hat die Abbruchschranke
εD
, für deren Wahl es keinerlei Kriterien gibt, nur eine untergeordnete Rolle
gespielt. Für die Approximationsgüte des reduzierten Modells war die Vorgabe
der Ordnung fast immer erforderlich und hatte generell eine gröÿere Auswirkung
auf das Reduktionsergebnis.
Bei der rationalen Interpolation werden wie bereits dargestellt mehrere Entwick-
lungspunkte verwendet. Auch dies lässt sich durch eine mehrfache Anwendung des
Arnoldi-Algorithmus realisieren. Zu jedem Entwicklungspunkt
si
wird zunächst
die zugehörige Basis
Vi
bzw.
Wi
berechnet. Anschlieÿend werden die Gesamtpro-
jektionsmatrizen mit Hilfe einer Orthonormalisierung,
V=
orth
(V1, . . . , Vk), W =
orth
(W1, . . . , Wk),
bestimmt. Die Dimension des reduzierten Systems ergibt sich als Summe der
Spalten der
Vi
bzw.
Wi
unter der Annahme, dass diese linear unabhängig sind.
Auch wenn sich bei der numerischen Umsetzung der rationalen Interpolation we-
nig prinzipielle Schwierigkeiten ergeben, so ist vor allem die hohe Zahl der die
Reduktion beeinussenden Parameter von groÿem Nachteil. Es existieren keine
allgemeingültigen Heuristiken oder Verfahren, um die Anzahl sowie die optimalen
Werte der Entwicklungspunkte festzulegen. Die Tatsache, dass auch nicht reelle
Entwicklungspunkte in Form konjugiert komplexer Paare genutzt werden kön-
nen, erschwert die Festlegung zusätzlich. Neben der Lage und der Anzahl der
Entwicklungspunkte ist zusätzlich noch die Anzahl der Basisvektoren nahezu frei
vorgebbar, wodurch sich selbst bei einer festgesetzten Ordnung des reduzierten
Modells eine unüberschaubare Menge von Kombinationsmöglichkeiten ergibt.
Eine Methode zur Festlegung eines optimalen Entwicklungspunktes wurde in
[Eid09] auf der Basis von Laguerre-Funktionen entwickelt. Für Eingröÿensyste-
me konnte eine explizite Berechnungsvorschrift angegeben werden. Eine Verallge-
meinerung auf Mehrgröÿensysteme existiert jedoch nicht, weshalb die optimalen
Entwicklungspunkte nach
Eid
insgesamt für diese Arbeit keine Rolle spielen.
Trotz der Problematik, die aus den vielen Freiheitsgraden resultiert, konnten mit
der manuellen rationalen Interpolation gute Ergebnisse erzielt werden. Eine we-
sentliche Verbesserung, insbesondere in der Automatisierbarkeit stellt jedoch die
im nächsten Abschnitt beschriebene
H2
-optimale Interpolation dar.
2.4 H2-optimale tangentiale Interpolation
In diesem Kapitel wird mit der
H2
-optimalen Interpolation eine der neuesten
Methoden aus dem Bereich der interpolationsbasierten MOR vorgestellt. Der we-
sentliche Vorteil gegenüber der manuellen rationalen Interpolation besteht zum
30 Kapitel 2
einen darin, dass notwendige Bedingungen für ein optimales reduziertes System
angegeben werden können. Zum anderen ist in den letzten Jahren ein robuster ite-
rativer Algorithmus, der
Iterative Rational Krylov Algorithm (IRKA)
, entwickelt
worden. Dieser dient zur iterativen Berechnung der Projektionsmatrizen und führt
oftmals zu reduzierten Systemen mit sehr hoher Approximationsgüte. Beides, die
Optimalitätsbedingungen und der IRKA sind in [GAB08] zu nden. In [BG09]
sind Verallgemeinerungen zur Erhaltung struktureller Eigenschaften im reduzier-
ten System beschrieben. Beispielsweise wird die Reduktion von Systemen zweiter
Ordnung behandelt. Derartige Aspekte spielen für die vorliegende Arbeit keine
Rolle. Eine Einführung in den aktuellen Stand der Forschung zur
H2
-optimalen
Interpolation gibt [ABG10]. Dieses Buchkapitel dient auch als Grundlage für die
Ausführungen in den folgenden Abschnitten.
Die
H2
-optimale tangentiale Interpolation basiert auf der tangentialen Interpola-
tion (siehe [GVD04]), die aus diesem Grund zunächst in Abschnitt 2.4.1 erläutert
wird. Anschlieÿend widmet sich Abschnitt 2.4.2 den theoretischen Grundlagen
der
H2
-optimalen Interpolation und Abschnitt 2.4.3 beschreibt abschlieÿend den
IRKA. In neuesten Arbeiten nden sich Alternativen zum IRKA. Beispielswei-
se beschreibt [XZ11] einen ähnlichen Algorithmus, der jedoch auf der Lösung
bestimmter Sylvestergleichungen basiert und daher aufwändiger ist. Einen Al-
gorithmus, der die Entwicklungspunkte bei der rationalen Interpolation adaptiv
wählt, wird in [DS11] vorgestellt. Allerdings handelt es sich hierbei um die Berech-
nung einseitiger Projektionen, die zudem nur auf Eingröÿensysteme angewendet
werden kann. Daher ist auch diese Variante nicht geeignet für die vorliegende
Arbeit.
2.4.1 Tangentiale Interpolation
Die tangentiale Interpolation basiert wie die in Abschnitt 2.3 beschriebene ma-
nuelle rationale Interpolation auf der Interpolation der Übertragungsfunktion des
Originalsystems. Die Zielsetzungen beider Varianten unterscheiden sich jedoch.
Bei der manuellen rationalen Interpolation werden zu Beginn ein bzw. einige Ent-
wicklungspunkte für den Momentenabgleich ausgewählt. Dann wird die Anzahl
der abzugleichenden Momente erhöht bis eine zufriedenstellende Approximati-
on durch das reduzierte System erzielt wird. Bei der tangentialen Interpolation
sucht man eine Sequenz von Entwicklungspunkten, an denen üblicherweise nur
die nullten Momente, d.h. die Werte der Übertragungsfunktionen selbst, abgegli-
chen werden. Die Ordnung des reduzierten Modells korrespondiert daher mit der
Anzahl der Entwicklungspunkte innerhalb der Sequenz.
Bei diesem Ansatz besteht zunächst erneut das Problem, dass im Falle eines Mehr-
gröÿensystems die Momente Matrizen darstellen und somit mehrere Projektions-
vektoren erforderlich sind, um einen Abgleich zu gewährleisten. Die Lösungsidee
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 31
bei der tangentialen Interpolation besteht nun darin, statt der gesamten Mo-
mente lediglich eine bestimmte Richtung anzugeben, in der die Momente über-
einstimmen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass Paare
[σ1, . . . , σq]
,
h˜
b1,...,˜
bqi
bzw.
[µ1, . . . , µq]
,
[˜c1,...,˜cq]
aus jeweils einer Sequenz von Entwick-
lungspunkten
σi, µi∈C
mit zugehörigen Tangentialvektoren
˜
bi∈Cnu
,
˜ci∈Cny
gebildet werden. Für die Übertragungsfunktionen wird dann gefordert, dass
G(σi)˜
bi=Gr(σi)˜
bi
und
˜cT
iG(µi) = ˜cT
iGr(µi),1≤i≤q
gilt. Da
G(µi) = M0(µi)
und
Gr(µi) = Mr,0(µi)
gilt, lässt sich diese Bedingung
auch über die Momente ausdrücken:
M0(σi)˜
bi=Mr,0(σi)˜
bi
und
˜cT
iM0(µi) = ˜cT
iMr,0(µi),1≤i≤q.
Die tangentiale Interpolation kann ebenfalls mit Hilfe geeigneter Projektionsma-
trizen erreicht werden. Das Hauptresultat besteht aus den folgenden drei Aussa-
gen.
(I) Falls
(σE −A)−1B˜
b∈
span
(V)
, dann gilt
M0(σ)˜
b=Mr,0(σ)˜
b.
(II) Falls
˜cTC(µE −A)−1T∈
span
(W)
, dann gilt
˜cTM0(µ) = ˜cTMr,0(µ).
(III) Falls (I) und (II) gelten und
σ=µ
gewählt ist, so gilt zusätzlich für die
Ableitungen der Übertragungsfunktionen
˜cTG0(σ)˜
b= ˜cTM1(σ)˜
b= ˜cTMr,1(σ)˜
b= ˜cTG0
r(σ)˜
b.
Ein Beweis ist beispielsweise in [ABG10] nachzulesen. Erneut bezeichnen
σ, µ ∈C
zwei Entwicklungs- bzw. Interpolationspunkte und
˜
b∈Cnu
sowie
˜c∈Cny
die
zugehörigen Tangentialvektoren. Mit
V
und
W
sind analog zum vorhergehenden
Unterkapitel die Projektionsmatrizen gemeint.
Die letzte Aussage überträgt das Resultat, dass sich die abgeglichenen Momente
bei zweiseitigen Verfahren addieren, auf die tangentiale Interpolation. Aus (I) und
(II) ergeben sich auch direkt die Berechnungsvorschriften für die Projektionsma-
trizen. Sind die Interpolationspunkte
{σi}q
i=1
und
{µi}q
i=1
sowie die zugehörigen
Tangentialvektoren
n˜
bioq
i=1
und
{˜ci}q
i=1
gegeben, so ergeben sich
V
und
W
als
V=(σ1E−A)−1B˜
b1, . . . , (σqE−A)−1B˜
bq, W =
˜c1TC(µ1E−A)−1
.
.
.
˜cqTC(µqE−A)−1
.
Auch hier ist, wie bei der manuellen rationalen Interpolation, keine explizite Be-
rechnung der abzugleichenden Gröÿen erforderlich, die ebenfalls schlecht kondi-
tioniert wäre. Weiterhin spielt die Anzahl der Ein- und Ausgänge nur noch eine
32 Kapitel 2
untergeordnete Rolle für die Dimension des reduzierten Systems. Dies ist ein
wesentlicher Unterschied zu der manuellen rationalen Interpolation, bei der mit
steigender Zahl der Ein- bzw. Ausgänge, die Ordnung des reduzierten Modells
ebenfalls anstieg, um beispielsweise die Momente erster Ordnung abzugleichen.
Ungelöst ist an dieser Stelle allerdings noch, wie die Interpolationspunkte und
die Tangentialvektoren zu wählen sind. Generell sind auch komplexe Vektoren
zulässig. Man ist zwar an reellen reduzierten Systemen interessiert, diese lassen
sich aber erzeugen, falls die Interpolationspunkte und Tangentialvektoren bzgl.
der komplexen Konjugation abgeschlossen
1
sind, siehe z.B. [Gri97] für weitere
Details.
2.4.2 Theoretische Grundlagen der H2-optimalen Interpolation
Das Ziel der
H2
-optimalen Interpolation besteht darin, reduzierte Systeme zu
berechnen, die optimal im Sinne der in Abschnitt 2.2 denierten
H2
-Norm sind.
Gesucht ist also ein reduziertes System, sodass für eine festgelegte Ordnung
q
kG−GrkH2= min
˜
Gr
G−˜
Gr
H2
dim
(˜
Gr) = q, ˜
Gr
ist stabil
(2-12)
erfüllt ist. Es handelt sich hierbei um ein nichtkonvexes Optimierungsproblem,
dessen Lösung im Allgemeinen nicht geschlossen angegeben werden kann. Es kann
aber eine notwendige Bedingung für die Lösung dieses Optimierungsproblems
hergeleitet werden, was wesentlich zur Leistungsfähigkeit der
H2
-optimalen In-
terpolation beiträgt.
Im Folgenden wird eine weitere Reihenentwicklung der Übertragungsfunktion ba-
sierend auf der Modalform benötigt. Ist ein lineares System (2-1) mit einfachen
Eigenwerten
λ1, . . . , λnx
gegeben, so lassen sich die Systemmatrizen
E
und
A
diagonalisieren. Dazu löst man das verallgemeinerte Eigenwertproblem
Ax =λEx
und bestimmt hieraus die Eigenwerte sowie die Linkseigenvektoren
Υ∗
mit
Υ∗A=
λ1
...
λnx
Υ∗E= ΛΥ∗E
und die Rechtseigenvektoren
Ψ
mit
AΨ = EΨΛ.
1Eine Menge Mvon Vektoren ist abgeschlossen bzgl. der komplexen Konjugation, wenn für
jeden Vektor m∈Mauch der konjugiert komplexe Vektor ¯m∈Mliegt.
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 33
Mit Hilfe der Eigenvektoren lässt sich unter Berücksichtigung einer entsprechen-
den Normierung, das System nun auf Modal- bzw. Diagonalform transformieren,
denn es gilt
Υ∗AΨ = Λ
und
Υ∗EΨ = Inx.
Das System besitzt dann die Zustandsdarstellung
˙z= Λz+ˆ
Bu,
y=ˆ
Cz
und die Übertragungsfunktion
G(s) =
nx
X
i=1
ˆciˆ
bT
i
s−λi
.
Dabei bezeichnen
ˆci
die Spalten von
ˆ
C=CΨ
und
ˆ
bT
i
die Zeilen von
ˆ
B= Υ∗B
.
Die notwendige Bedingung für eine
H2
-optimale Interpolation lautet nun folgen-
dermaÿen:
G
sei die Übertragungsfunktion eines stabilen Systems und
Gr
sei
eine Übertragungsfunktion, die (2-12) erfüllt. Weiterhin seien mit
λ1, . . . , λq
die
Pole des reduzierten Systems bezeichnet und
Gr
sei durch die Summe
Gr(s) =
Pq
k=1
ˆckˆ
bT
k
s−λk
gegeben. Dann sind die folgenden drei Gleichungen erfüllt:
(I)
M0(−λk)ˆ
bk=Mr,0(−λk)ˆ
bk
(II)
ˆcT
kM0(−λk) = ˆcT
kMr,0(−λk)
(III)
ˆcT
kM1(−λk)ˆ
bk= ˆcT
kMr,1(−λk)ˆ
bk
Das bedeutet, die notwendigen Bedingungen für ein
H2
-optimales reduziertes Sys-
tem führen auf eine spezielle tangentiale Interpolation. Als Entwicklungs- bzw.
Interpolationspunkte sind die an der imaginären Achse gespiegelten Eigenwerte
des reduzierten Systems zu wählen und als Tangentialvektoren die Eingangs- bzw.
Ausgangsvektoren
ˆck
bzw.
ˆ
bk
aus der Modalform des reduzierten Systems. Der Be-
weis der notwendigen Bedingungen folgt aus funktionalanalytischen Eigenschaf-
ten der
H2
-Norm bzw. des zugehörigen Hilbertraumes und diversen Resultaten
aus der Funktionentheorie, insbesondere einer Anwendung des Residuensatzes.
Eine detaillierte Darstellung ist in [ABG10] zu nden.
Die notwendigen Bedingungen sind für die praktische Berechnung von Projek-
tionsmatrizen zunächst wenig nützlich, da sowohl die Eigenwerte als auch die
Tangentialvektoren erst durch das reduzierte System selbst, also nach der Berech-
nung der Projektionsmatrizen bekannt sind. Optimale reduzierte Systeme bzw.
Kandidaten für optimale reduzierte Systeme lassen sich demnach nicht direkt aus
34 Kapitel 2
den notwendigen Bedingungen berechnen. Diese Problematik wird im nächsten
Abschnitt noch genauer behandelt.
Zuvor sei zu den notwendigen Bedingungen noch angemerkt, dass diese im All-
gemeinen nicht hinreichend sind. Da das eingangs formulierte Ziel (2-12) zu ei-
nem nichtkonvexen Optimierungsproblem führt, ist es ohne weiteres möglich, dass
mehrere stabile reduzierte Systeme einer festen Ordnung
q
die notwendigen Be-
dingungen erfüllen, ohne das globale Minimum gemäÿ (2-12) zu sein. Es handelt
sich dann um lokale Minima, die die
H2
-Norm lediglich innerhalb einer gewissen
Umgebung minimieren.
2.4.3 Iterative Berechnung des reduzierten Modells
Die notwendigen Bedingungen (2-12) für ein
H2
-optimales reduziertes System
lassen sich wie im letzten Abschnitt dargestellt mittels tangentialer Interpolati-
on erreichen. Da die Interpolationspunkte die gespiegelten Eigenwerte und die
Tangentialvektoren die Residuen der Übertragungsfunktion des reduzierten Sys-
tems sind, können sie nicht direkt berechnet werden. Die Grundidee des in diesem
Abschnitt vorgestellten
Iterative Rational Krylov Algorithm (IRKA)
besteht dar-
in, die Interpolationspunkte und Tangentialvektoren iterativ anzupassen, bis die
Optimalitätsbedingungen erfüllt sind.
Algorithmus 2 beschreibt den Ablauf des IRKA. Ausgehend von initialen Interpo-
lationspunkten und Tangentialvektoren wird ein temporäres reduziertes System
berechnet. Dessen Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Konstruktion der
neuen Interpolationspunkte und Tangentialvektoren genutzt. Dies wird solange
wiederholt, bis sich die Interpolationspunkte im Vergleich zur vorhergehenden Ite-
ration nicht mehr verändern, d.h. der Algorithmus ist konvergiert. Hierfür wird
erneut eine Abbruchschranke
εI
verwendet (siehe Zeile 6).
Es ist für den IRKA von essentieller Bedeutung, dass sowohl die Interpolations-
punkte, als auch die Tangentialvektoren komplexe Werte annehmen können. Dies
führt dazu, dass die temporären reduzierten Systeme (Zeile 7) ebenfalls komplex-
wertige Systemmatrizen besitzen. Da diese jedoch nur für die Berechnung der
Eigenwerte und Eigenvektoren genutzt werden, bringt dies keine Probleme mit
sich. Solange die initialen Interpolationspunkte abgeschlossen bzgl. der komplexen
Konjugation sind, bleibt dies auch während der Iteration erhalten. Es lässt sich
dann am Ende stets ein reelles reduziertes System berechnen, indem die Real- und
Imaginärteile der Spalten von
V
und
W
als Projektionsvektoren verwendet wer-
den. Dies lässt sich beispielsweise unter Verwendung einer Singulärwertzerlegung
implementieren.
Der IRKA hängt, ähnlich wie der Arnoldi-Algorithmus, von einer recht hohen
Zahl von Parametern ab. Neben der Ordnung
q
des reduzierten Modells, die
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 35
Algorithmus 2
IRKA Iterative Rational Krylov Algorithm [ABG10]
Input:
Interpolationspunkte
σ= [σ1, . . . , σq]
und Tangentialvektoren
ˆ
bi∈Cnu
und
ˆci∈Cny
jeweils für
1≤i≤q
, die abgeschlossen bzgl. Konjugation sind.
1:
Initialisierung:
2:
V= [(σ1E−A)−1Bˆ
b1, . . . , (σ1E−A)−1Bˆ
bq]
3:
W= [(σ1E−A)−TCTˆc1, . . . , (σ1E−A)−TCTˆcq]
4:
σold = 0 ·σ
5:
Iteration:
6:
while
dist
(σold, σ)> εI
do
7:
Er=WTEV
,
Ar=WTAV
,
Br=WTB
,
Cr=CV
8:
Λ =
diag
(λi) =
eig
(Er, Ar)
9:
Linkseigenvektoren
Υ
mit
Υ∗Ar= ΛΥ∗Er
10:
Rechtseigenvektoren
Ψ
mit
ArΨ = ErΨΛ
11:
normiere, sodass
Υ∗ArΨ =
diag
(λi)
und
Υ∗ErΨ = Ir
12:
σold =σ
13:
setze
σi=−λi
,
ˆ
bT
i=eT
iΥ∗Br
und
ˆci=CrΨei
14:
V= [(σ1E−A)−1Bˆ
b1, . . . , (σ1E−A)−1Bˆ
bq]
15:
W= [(σ1E−A)−TCTˆc1, . . . , (σ1E−A)−TCTˆcq]
16:
end while
Output:
V, W
bzw.
Er=WTEV
,
Ar=WTAV
,
Br=WTB
,
Cr=CV
vorher festgelegt werden muss, beeinussen die Abbruchschranke
ε
sowie die An-
fangswerte der Interpolationspunkte und Tangentialvektoren das Verhalten des
Algorithmus. Ein groÿer Teil kann jedoch automatisiert bestimmt werden. Zudem
besitzt der IRKA aufgrund der Iteration eine hohe numerische Robustheit und
liefert bei plausiblen Eingabedaten gute Ergebnisse. Eine Konvergenz konnte bis-
lang für den speziellen Fall der Reduktion von state-space symmetric systems
2
bewiesen werden, siehe [FBG12]. Es sind auch Einzelfälle dokumentiert, bei denen
der IRKA nicht konvergiert, siehe z.B. [GAB08]. Generell zeigen die vielen sehr
guten Reduktionsergebnisse an unterschiedlichen Anwendungsbeispielen die Leis-
tungsfähigkeit des IRKA und lassen weitere Konvergenzbeweise für die Zukunft
vermuten.
In dieser Arbeit werden zwei verschiedene Verfahren zur automatisierten Berech-
nung der Startwerte verwendet: eine am System orientierte zufällige Wahl und
eine auf den dominanten Eigenwerten des Originalsystems basierende Wahl. Bei-
de Varianten beruhen auf Ausführungen in [GAB08] für Eingröÿensysteme und
wurden ausdetailliert und auf den Mehrgröÿenfall erweitert. Im Folgenden werden
beide Varianten kurz beschrieben.
2Es handelt sich hierbei um lineare Eingrößensysteme mit A=ATund B=C.
36 Kapitel 2
Für die zufällige Auswahl nutzt man aus, dass die Interpolationspunkte im ge-
spiegelten Spektrum des reduzierten Systems liegen müssen, damit die Optimali-
tätsbedingungen erfüllt sind. Es ist zudem zu erwarten, dass sich die Eigenwerte
des reduzierten Systems einem Teil der Eigenwerte des Originalsystems annä-
hern. Unter dieser Annahme liegen die Interpolationspunkte auch im gespiegelten
Spektrum des Originalsystems. Die Idee zur Bestimmung der Startwerte besteht
daher darin, die konvexe Hülle des Spektrums zu bestimmen und die Interpolati-
onspunkte zufällig innerhalb dieses Bereichs zu platzieren. In den in dieser Arbeit
betrachteten Anwendungen kann das gesamte Spektrum des Originalsystems be-
rechnet werden, worauf die folgenden Ausführungen beruhen. Bei Systemen mit
einer extrem hohen Ordnung ist dies nicht mehr möglich. Für derartige Systeme
existieren aber Algorithmen, mit denen das Spektrum abgeschätzt werden kann,
indem beispielsweise nur die gröÿten Eigenwerte berechnet werden, siehe erneut
[GAB08].
Zur Platzierung der Interpolationspunkte wird zunächst die konvexe Hülle der Ei-
genwerte
{λi}nx
i=1
des Originalsystems innerhalb der komplexen Ebene bestimmt.
Diese stellt eine Teilmenge
K={λKj}h
j=1 ⊆ {λi}nx
i=1
der Eigenwerte des Systems dar, bestehend aus
h
paarweise verschiedenen Eigen-
werten. Nun wird
ξ∈[0,1]h
zufällig gewählt und mit Hilfe der Normierung
ξ=1
Pjξj
·ξ
sichergestellt, dass
Pξj= 1
gilt. Der Interpolationspunkt
ip
ergibt sich dann als
Linearkombination der Eigenwerte aus
K
zu
ip =ξT·[λK1, . . . , λKh].
Auf diese Weise bestimmt man die Hälfte der gewünschten Interpolationspunkte
und fügt anschlieÿend die konjugiert komplexen Punkte
¯
ip
hinzu. Im Fall einer
ungeraden Ordnung
q
des reduzierten Modells wird abschlieÿend ein reeller In-
terpolationspunkt
ip =ξT· <([λK1, . . . , λKh]).
hinzugefügt. Die Tangentialvektoren
ˆci
und
ˆ
bT
i
werden vollständig durch Zufalls-
zahlen festgelegt. Eine beispielhafte Anwendung dieser Variante zur Bestimmung
der Startwerte für den IRKA bendet sich im nachfolgenden Abschnitt 2.5.
Die zweite im Rahmen dieser Arbeit implementierte Methode zur Generierung
von Startwerten basiert auf dem modalen Abschneiden, einem Verfahren zur
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 37
MOR, bei dem bestimmte Eigenwerte des Originalsystems beibehalten und die
übrigen abgeschnitten werden. Dies wird erreicht, indem die Links- und Rechts-
eigenvektoren der zu behaltenden Eigenwerte als Projektionsmatrizen verwendet
werden, siehe z.B. [SVR08]. Das reduzierte System liegt dann in Diagonalform
Iq
|{z}
WTEV
˙xr=
λ1
...
λq
| {z }
WTAV
xr+ˆ
B
|{z}
WTB
u,
y=ˆ
C
|{z}
CV
xr
vor. Für den IRKA ist die Form der Übertragungsfunktion von entscheidender
Bedeutung. Sie lässt sich ausdrücken als
Gr(s) =
q
X
i=1
ˆciˆ
bT
i
s−λi
und besitzt damit die in (2-12) verwendete Darstellung. Es kann zwar keines-
wegs garantiert werden, dass das mittels des modalen Abschneidens berechnete
reduzierte System bereits optimal im Sinne der
H2
-Norm ist. Es ist aber den-
noch sinnvoll die dominanten Eigenwerte
λi
gespiegelt an der imaginären Achse
als Interpolationspunkte zu verwenden. Darüber hinaus hat man zusätzlich mit
ˆci
und
ˆ
bT
i
zum System passende Tangentialvektoren zur Verfügung. Basierend
hierauf ist es naheliegend, ein verbessertes Konvergenzverhalten des IRKA durch
diese Wahl der Anfangswerte zu vermuten. Das im nächsten Abschnitt behandel-
te Beispiel bestätigt dies jedoch nur zum Teil. Zur Bestimmung der dominanten
Eigenwerte wird das sogenannte Litzsche Dominanzmaÿ verwendet, das z.B. in
[Föl08] oder [Lit79] beschrieben ist.
Zusammengefasst hängt der IRKA unter Berücksichtigung dieser beiden Varian-
ten der Startwertberechnung nur noch von zwei Steuerungsparametern ab: der
Schranke
ε
und der Ordnung
q
des reduzierten Modells. Erstere besitzt kei-
nen groÿen Einuss auf die Approximationsgüte, solange sie moderate Werte
annimmt. Daher ist die MOR mit dem IRKA fast vollständig automatisierbar,
beispielsweise indem die Ordnung
q
sukzessive erhöht wird bis eine vorgegebene
Abweichung im Sinne der
H2
- oder
H∞
-Norm unterschritten wird.
2.5 Anwendung am Beispiel des Aktormoduls
In diesem Abschnitt werden einige Ergebnisse der innerhalb dieses Kapitels vor-
gestellten Algorithmen dargestellt. Als Anwendungsbeispiel dient das linke Ak-
tormodul des Feder-Neige-Prüfstands, siehe Abschnitt 1.3. Mit dem Aktormodul
38 Kapitel 2
zylsoll
pGFK
vGFK
vzyl
Aktormodul
Bild 2-2
:
Blockbild des Aktormoduls mit den verwendeten Ein- und Ausgängen
wird durch eine aktive Verstellung des Federfuÿpunktes eine Kraft auf den Aufbau
erzeugt. Es lässt sich im Rahmen der hierarchischen Modellierung als unterlager-
tes System separat vom Gesamtsystem betrachten.
Es handelt sich bei dem betrachteten Modell, dargestellt in Bild 2-2, um ein li-
neares Modell der Ordnung 18 mit drei Eingängen und sieben Ausgängen. Die
Eingänge stellen die drei Sollwerte der Zylinderpositionen
zylsoll
dar, die inner-
halb des Gesamtsystems über eine inverse Kinematik vorgegeben werden. Die
Ausgänge werden zum einen von den drei Zylindergeschwindigkeiten
vzyl
gebildet,
die zur Abschätzung der hydraulischen Leistung verwendet werden können. Zum
anderen werden die Positionen
pGFK
und Geschwindigkeiten
vGFK
des Federfuÿ-
punktes, jeweils in vertikaler und horizontaler Richtung, benötigt, um innerhalb
des Gesamtsystems die in der GFK-Feder wirkende Kraft zu berechnen. Die Rück-
wirkung der Kraft auf das Aktormodul selbst kann aufgrund der unterlagerten
Zylinderregler vernachlässigt werden.
Das Modell des Aktormoduls wird zunächst auf Ordnung 9 reduziert. Dazu wer-
den sowohl die manuelle rationale Interpolation aus Abschnitt 2.3, als auch der
IRKA mit den beiden Startwertvarianten aus Abschnitt 2.4 verwendet.
Die manuelle rationale Interpolation führt zu guten Ergebnissen, wenn die drei
Entwicklungspunkte
{−10,−20,−100}
verwendet werden. Zu jedem Entwick-
lungspunkt werden drei Basisvektoren der zugehörigen Krylov-Unterräume be-
rechnet. Diese Auswahl wurde empirisch getroen und gestaltete sich relativ
schwierig, da selbst sehr ähnliche Kombinationen von Entwicklungspunkten und
Basisvektoren zu instabilen reduzierten Systemen führen.
Für den IRKA wurden, wie bereits erwähnt, beide Startwertvarianten genutzt. In
Bild 2-3 sind die Interpolationspunkte dargestellt. Die konvexe Hülle des Spek-
trums des Aktormoduls wurde an der imaginären Achse gespiegelt und ist in
blau eingezeichnet. Die zufällig ausgewählten Interpolationspunkte benden sich
in etwa mittig innerhalb des gespiegelten Spektrums. Die modalen Interpolati-
onspunkte benden sich am linken Rand. Es handelt sich bei ihnen um die 9
Eigenwerte mit dem gröÿten Dominanzmaÿ. In beiden Fällen ist der IRKA gegen
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 39
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
−5000
−4000
−3000
−2000
−1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Realteil
Imaginärteil
Interpolationspunkte
gespiegelte Konv. Hülle
zufällige Intepolationsp.
modale Interpolationsp.
konvergierte Interpolationsp.
Bild 2-3
:
Interpolationspunkte für die Tangentiale Interpolation vor bzw. nach der
Anwendung des IRKA
die gleichen Interpolationspunkte konvergiert und lieferte ein stabiles reduziertes
System. Die konvergierten Interpolationspunkte sind ebenfalls in Bild 2-3 zu n-
den. Sie unterscheiden sich für diesen konkreten Fall nur unwesentlich von den
modalen Startwerten. Dies spiegelt sich auch in der Anzahl der Iterationen wie-
der. Bei der Verwendung der modalen Startwerte konvergierte der IRKA bereits
nach 3 Schritten. Bei den zufälligen Startwerten wurden 21 Iterationen benötigt.
Diese Zahl variierte zudem stark bei einer mehrfachen Ausführung mit jeweils
anderen zufällig gewählten Werten.
In Bild 2-4 ist beispielhaft die Sprungantwort vom Eingang
zyl1,soll
zum Ausgang
yGFK
für alle drei reduzierten Systeme, sowie die des Originalsystems dargestellt.
Die hohe Approximationsgüte aller reduzierten Modelle wird deutlich. Optisch
sind in der gewählten Darstellung keinerlei Unterschiede erkennbar. Die übrigen
Ein- / Ausgangskombinationen weisen ein vergleichbar gutes Ergebnis auf und
werden daher an dieser Stelle nicht näher betrachtet.
Unterschiede zwischen der manuellen rationalen Interpolation und der tangentia-
len Interpolation mittels des IRKA werden über die Reduktionsfehler deutlich. In
Tabelle 2-1 sind die relativen Abweichungen zwischen dem Originalsystem und
den jeweiligen reduzierten Systemen eingetragen. Da der IRKA für beide Initia-
40 Kapitel 2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0
0.5
1
1.5
2
Zeit [s]
Position Fußpunkt [skaliert]
Sprungantworten zyl1,soll → yGFK
Originalmodell
zufällige Startwerte
modale Startwerte
Arnoldi Algorithmus
Bild 2-4
:
Vergleich der Sprungantworten des Aktormoduls nach einer Reduktion
mit dem Arnoldi-Algorithmus und den beiden IRKA-Varianten
lisierungsvarianten zu identischen Interpolationspunkten konvergiert ist, unter-
scheiden sich diese Varianten nicht. Es ist jedoch zu erkennen, dass sowohl bzgl.
der
H2
- als auch der
H∞
-Norm die Abweichungen bei der manuellen rationalen
Interpolation mit dem Arnoldi-Algorithmus gröÿer sind.
Interessant ist an dieser Stelle, dass die stationäre Abweichung zwischen Original-
und reduziertem System jedoch bei der manuellen rationalen Interpolation deut-
lich geringer ist. Dies ist auf die Lage der Entwicklungspunkte zurückzuführen.
Die manuell gewählten Entwicklungspunkte liegen deutlich näher am Ursprung,
als die Interpolationspunkte beim IRKA. Da ein Momentenabgleich an der Fre-
quenz
s= 0
die stationäre Genauigkeit sicherstellt, ist für Entwicklungspunkte
in der Nähe des Ursprungs ebenfalls ein kleiner stationärer Fehler zu erwarten.
Aus dem hier vorgestellten Anwendungsbeispiel wird deutlich, dass beide Algo-
rithmen zu guten Ergebnissen führen können. Das Beispiel der stationären Abwei-
chung unterstreicht den Vorteil der manuellen Interpolation, bestimmte Aspekte
des Originalsystems im reduzierten System besser berücksichtigen zu können. Al-
lerdings besitzt die manuelle Interpolation den groÿen Nachteil, dass die Suche
Tabelle 2-1
:
Relative Fehler bei der Reduktion des Aktormoduls
IRKA (zufällig) IRKA (modal) Arnoldi
H2
-Fehler
5,7017 ·10−25,7017 ·10−26,1311 ·10−2
H∞
-Fehler
2,2799 ·10−22,2799 ·10−22,4845 ·10−2
stat. Fehler
1,241 ·10−11,241 ·10−11,0783 ·10−5
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 41
2 4 6 8 10 12 14 16
10−3
10−2
10−1
100
H2 − Fehler
Ordnung reduziertes System
zufällige Startwerte
modale Startwerte
Bild 2-5
:
Relativer
H2
-Fehler für unterschiedliche Ordnungen der reduzieren Sys-
teme
2 4 6 8 10 12 14 16
0
20
40
60
80
100
Ordnung reduziertes System
Anzahl Iterationen
zufällige Startwerte
modale Startwerte
Bild 2-6
:
Benötigte Iterationen innerhalb des IRKA bis zur Konvergenz
nach geeigneten Entwicklungspunkten aufwändig sein kann. Der IRKA liefert hin-
gegen eine sehr gute Approximation der reduzierten Modelle selbst bei zufällig
festgelegten Startwerten.
Dieser Vorteil der leichteren Automatisierbarkeit wird besonders deutlich, wenn
man reduzierte Systeme unterschiedlicher Ordnungen miteinander vergleichen
möchte. Für das Aktormodul war es insbesondere für kleine Ordnungen nicht
möglich mit vertretbarem Aufwand stabile reduzierte Systeme bei einer manuel-
len Interpolation zu nden. Für den IRKA war dies problemlos möglich.
In Bild 2-5 sind die relativen Fehler bzgl. der
H2
-Norm für unterschiedliche Ord-
nungen aufgetragen. Bild 2-6 zeigt die zugehörigen Iterationen bis die Interpo-
42 Kapitel 2
Tabelle 2-2
:
Innerhalb dieser Arbeit verwendete Verfahren der MOR
Rationale Interpolation der Übertragungsfunktion
Statisches Originalsystem
manuelle Interpolation
H2
-optimale tangentiale Inter-
polation
Algorithmus:
Arnoldi-Algorithmus Iterative Rational Krylov Algo-
rithm (IRKA)
Parameter:
Deationsschranke
εD
Abbruchschranke
εI
Entwicklungspunkte
si
Init. Entwicklungspunkte
σi
Anzahl Basisvektoren
qi
Init. Tangentialvektoren
ˆ
bi,ˆci
Eigenschaften:
4
Einuss auf Approxima-
tionseigenschaften (z.B.
stat. Genauigkeit)
8
aufwändige manuelle
Auswahl von
si
und
qi
4
notwendige Bedingung für
Optimalität im Konvergenzfall
4
Initialisierung
automatisierbar
8
zumeist keine stationäre
Genauigkeit des reduzierten
Modells
lationspunkte konvergiert sind. Es wurden erneut beide Startwertvarianten, die
zufälligen und die modalen Startwerte, genutzt.
Auällig ist hier, dass besonders bei den modalen Anfangswerten die Anzahl der
Iterationen sehr stark variiert. Für die Ordnung 10 konnte keine Konvergenz er-
zielt werden. Das zugehörige red. System, basierend auf den Interpolationspunk-
ten im letzten Iterationsschritt, ist sogar instabil, weshalb an dieser Stelle kein
endlicher
H2
-Fehler vorliegt.
Es ist dann umso interessanter, dass dennoch für die Ordnung 10 ein brauch-
bares reduziertes System basierend auf zufälligen Startwerten berechnet werden
kann und der IRKA sogar nur 7 Iterationen benötigt. Allerdings ist auch hier
anzumerken, dass insbesondere die Anzahl der Iterationen, aber auch der relative
H2
-Fehler von der konkreten Lage der initialen Interpolationspunkte abhängen.
Es traten hier durchaus auch bei zufälligen Interpolationspunkten instabile Sys-
teme sowie Konvergenzprobleme auf.
Zusammengefasst sprechen die Ergebnisse des Anwendungsbeispiels dafür, dass
sowohl die manuelle rationale Interpolation, als auch die
H2
-optimale Interpolati-
on für mechatronische Systeme gut geeignet sind. In Tabelle 2-2 sind die wichtigs-
Modellordnungsreduktion durch Interpolation der Übertragungsfunktion 43
ten Eigenschaften einander gegenüber gestellt. Hinsichtlich der Automatisierbar-
keit ist ganz klar der IRKA als Algorithmus zu bevorzugen. Allerdings muss auch
dann das Reduktionsergebnis überprüft werden, da Konvergenzprobleme und in-
stabile Systeme möglich sind. Eine einfache pragmatische Lösung besteht, neben
einer Erhöhung der Ordnung, jedoch meist in der wiederholten Ausführung mit
zufälligen Startwerten bis brauchbare reduzierte Systeme vorliegen. Die manuel-
le rationale Interpolation führt zu einer vergleichbaren Approximationsgüte mit
dem Vorteil, dass je nach gegebenen Anforderungen auch spezielle Eigenschaften
wie die stationäre Genauigkeit beeinusst werden können. Die Auswahl geeigne-
ter Parameter für den Arnoldi-Algorithmus ist jedoch oftmals zeitaufwändig und
kaum automatisierbar.
Parametrische Modellordnungsreduktion 45
3 Parametrische Modellordnungsreduktion
Ausgehend von den Verfahren zur Modellordnungsreduktion, die innerhalb des
vorhergehenden Kapitels vorgestellt wurden, beschäftigt sich dieses Kapitel mit
den im Rahmen dieser Arbeit eingesetzten Methoden der parametrischen Modell-
ordnungsreduktion (PMOR). Es werden zwei unterschiedliche Verfahren zunächst
allgemein beschrieben. Eine Anwendung der Verfahren im Kontext selbstoptimie-
render Systeme erfolgt im Rahmen von Kapitel 5.
Bei den Verfahren handelt es sich zum einen um die manuelle rationale Interpo-
lation parametrischer Systeme in Abschnitt 3.1 und zum anderen um die Matrix
Interpolation in Abschnitt 3.2. Für das erste Verfahren wurde innerhalb dieser
Arbeit ein objektorienterter Arnoldi-Algorithmus entwickelt. Daher besteht dieser
Abschnitt aus zwei Teilen. Zuerst werden die theoretischen Grundlagen behandelt
und nachfolgend wird der neuartige Arnoldi-Algorithmus beschrieben. Die zweite
Methode basiert auf einer geschickten Kombination der Modellordnungsreduk-
tion nichtparametrischer Systeme und benötigt keinen speziellen Algorithmus.
Die Darstellung in Abschnitt 3.2 beschränkt sich daher auf die mathematischen
Zusammenhänge.
3.1 Manuelle rationale Interpolation parametrischer
Systeme
Das in diesem Abschnitt vorgestellte Verfahren zur parametrischen MOR stellt
eine direkte Erweiterung der manuellen rationalen Interpolation aus Abschnitt
2.3 dar. Das Ziel, die Momente der Übertragungsfunktion abzugleichen, wird auf
Systeme erweitert, die von zusätzlichen Parametern abhängen. Diese Parameter-
abhängigkeit soll auch im reduzierten System erhalten bleiben. In ersten Arbei-
ten hierzu wurde zunächst ein einziger zusätzlicher Parameter betrachtet und nur
einseitige Projektionen berechnet, siehe [WMGG99] und [WM01]. Die grundle-
genden theoretischen Resultate für eine beliebige Anzahl an Parametern gehen
auf [DSC
+
04] zurück. Der dort beschriebene Momentenabgleich ist auf Syste-
me anwendbar, die eine an-lineare Parameterabhängigkeit besitzen. Allerdings
werden bereits Strategien präsentiert, wie über die Einführung zusätzlicher Para-
meter auch allgemeine, nichtlineare Parameterabhängigkeiten behandelt werden
können. Der Artikel [Fen05] gibt einen Überblick über verschiedene Ausprägungen
des mehrdimensionalen Momentenabgleichs und enthält Vergleiche hinsichtlich
der algorithmischen Komplexität der unterschiedlichen Varianten.
46 Kapitel 3
In der darauolgenden Zeit entstanden eine Reihe von Publikationen mit An-
wendungen des mehrdimensionalen Momentenabgleichs. Beispielsweise werden in
[FHIDE06] Finite-Elemente Modelle mit polynomieller Parametrierung behan-
delt oder in [RMG
+
06] Modelle von Schaltkreises unter Beibehaltung bestimm-
ter Entwurfsparameter reduziert. Auch mechanische Systeme, beschrieben durch
DGL-Systeme 2. Ordnung, wurden untersucht, siehe [ESL
+
06].
Der rekursive Ansatz, der innerhalb dieser Arbeit verfolgt und implementiert
wird, basiert auf Resultaten aus [FB07], die wesentlich zur Vereinfachung der
theoretischen Zusammenhänge beigetragen haben. Ähnliche Beobachtungen, al-
lerdings beschränkt auf Eingröÿensysteme, werden in [LBS09] ausgenutzt. Das
Ergebnis ist ein spezieller Arnoldi-Algorithmus mit variierenden Krylov-Unterräu-
men, bezeichnet als two-directional Arnoldi Process.
Es lassen sich nur noch wenige neue Publikationen aus dem Bereich des mehr-
dimensionalen Momentenabgleichs nden. Dies liegt sicherlich zum Teil an den
Nachteilen dieses Ansatzes. Die Freiheitsgrade zur Berechnung des reduzierten
Systems müssen aufwändig manuell festgelegt werden und bei einer gröÿeren An-
zahl zu erhaltender Parameter steigt tendenziell die Ordnung der reduzierten Sys-
teme an. Weitere Details hierzu sind am Ende dieses Abschnitts zu nden. Einer
der Vorteile des mehrdimensionalen Momentenabgleichs besteht darin, dass auch
Ableitungen nach den Parametern intuitiv berücksichtigt werden können. Die Ar-
beit [YM12] greift dies auf und nutzt die Ableitungen nach den Parametern, um
die Optimierung mit Hilfe von Quasi-Newton Verfahren zu beschleunigen. Die
Suchrichtung innerhalb der Optimierung wird hierbei als Reduktionsparameter
der Systeme verwendet. Durch die enge Verzahnung eines Optimierungsverfah-
rens mit der PMOR entsteht eine gewisse Ähnlichkeit mit der im Rahmen der
vorliegenden Arbeit durchgeführten hierarchischen Optimierung basierend auf pa-
rametrischen reduzierten Systemen.
Der Rest dieses Abschnittes ist in zwei Teile unterteilt. Zunächst erfolgt eine
Darstellung der theoretischen Grundlagen des mehrdimensionalen Momentenab-
gleichs im Unterabschnitt 3.1.1. Anschlieÿend wird in 3.1.2 der im Rahmen dieser
Arbeit entwickelte Algorithmus zur Berechnung der Projektionsmatrizen vorge-
stellt.
3.1.1 Theoretische Grundlagen
Es handelt sich bei der manuellen rationalen Interpolation parametrischer Syste-
me um eine Verallgemeinerung der manuellen rationalen Interpolation auf para-
meterabhängige Systeme der Form
˙x=A(p)x+Bu,
y=Cx
(3-1)
Parametrische Modellordnungsreduktion 47
mit dem Parametervektor
p=p1. . . pnpT∈Rnp
. Prinzipiell ist es ebenfalls
möglich, parameterabhängige Eingangs- bzw. Ausgangsmatrizen zu verwenden,
die folgenden Herleitungen werden dadurch aber deutlich umfangreicher. Da zu-
dem bei den in dieser Arbeit betrachteten Anwendungsfällen nur konstante Ein-
und Ausgangsmatrizen vorliegen, werden an dieser Stelle nur Systeme der obigen
Form behandelt. Eine weitere Einschränkung ist an die Art der Parameterab-
hängigkeit von
A
zu stellen. Für die Gültigkeit der folgenden Ausführungen ist es
erforderlich, dass die Systemmatrix über eine an-lineare Parameterabhängigkeit
verfügt, d.h.
A(p) = A0+p1A1+p2A2+. . . +pnpAnp.
Im Allgemeinen wird diese Form nicht gegeben sein. Die Parameterabhängigkeit
kann sogar unbekannt sein, falls das Modell mit Hilfe von rechnergestützten Mo-
dellierungswerkzeugen erstellt wurde. In derartigen Fällen kann die parametrische
Reduktion angewendet werden, indem die an-lineare Darstellung mittels einer
Taylorentwicklung der Systemmatrix nach den Parametern erzeugt wird. Man
erhält dann allerdings nur eine lokale Näherung, deren Gültigkeitsbereich für den
konkreten Anwendungsfall untersucht werden muss. Weitere Details hierzu sowie
die Erweiterung auf polynomielle Parameterabhängigkeiten sind in [DSC
+
04] zu
nden.
Die Übertragungsfunktion von (3-1) ist neben der Laplace-Variablen
s
nun eben-
falls von den Parametern
p
abhängig und besitzt die Form
G(s, p) = Y(s)
U(s)=CsI −A0−p1A1−p2A2−. . . −pnpAnp−1B.
Führt man nun analog zu den nichtparametrischen Betrachtungen des vorherge-
henden Kapitels den Entwicklungspunkt
s0
und die Hilfsvariable
σ:= s−s0
ein,
so erhält man
G(σ, p) = C−(A0−s0I) + σI −p1A1−. . . −pnpAnp−1B.
Um die Momente zu erhalten, wird die Übertragungsfunktion erneut in eine Rei-
hendarstellung überführt. Zur Vereinfachung der Notation werden die nachfol-
gend denierten Abkürzungen
M0, . . . , Mnp
verwendet. Zudem werden sämtliche
Parameter in einem Vektor
˜p=p0p1p2. . . pnpT:= σ p1p2. . . pnpT∈Rnp+1
48 Kapitel 3
zusammengefasst. Man erhält dann zunächst
G(p) = C
I−((A0−s0I)−1
| {z }
M0
σ
|{z}
p0
−(A0−s0I)−1A1
| {z }
M1
p1−. . .
−(A0−s0I)−1Anp
| {z }
Mnp
pnp)
−1
(−(A0−s0I)−1B
| {z }
BM
).
(3-2)
Nimmt man erneut an, dass die Neumannsche Reihe
∞
X
j=0
(M0p0+M1p1+. . . +Mnppnp)j
existiert und somit
(I−(M0p0+M1p1+. . . +Mnppnp))−1=
∞
X
j=0
(M0p0+M1p1+. . . +Mnppnp)j
gilt, so lässt sich die Übertragungsfunktion als unendliche Summe schreiben:
G(p) = C
∞
X
j=0
(M0p0+M1p1+. . . +Mnppnp)jBM.
(3-3)
Analog zu den Betrachtungen in Kapitel 2 werden die Koezienten dieser Reihe
als Momente bezeichnet. Aufgrund der Abhängigkeit von
(np+ 1)
Parametern
statt eines einzigen, existieren nun jedoch
(np+ 1)k
Momente der Ordnung
k
(siehe auch Bild 3-1):
0. Ordnung:
CBM
1. Ordnung:
CMiBMi= 0, . . . , np
2. Ordnung:
CMi1Mi2BM, i1, i2= 0, . . . , np
.
.
.
k. Ordnung:
CMi1. . . MikBM, i1, . . . , ik= 0, . . . , np
Die Reduktion selbst wird wie im nichtparametrischen Fall durch die Projek-
tion mit den beiden Projektionsmatrizen
V
und
W
durchgeführt. Wählt man
Parametrische Modellordnungsreduktion 49
CBM
CM0BM... CMnpBM
CM2
0BM... CMnpM0BMCM0MnpBM... CM2
npBM
0.Ord.
1.Ord.
2.Ord.
Bild 3-1
:
Momente der Übertragungsfunktion eines parametrischen Systems
die Projektionsmatrix
V
als Basis des parametrischen, eingangsseitigen Krylov-
Unterraums
K([M0, . . . , Mnp], BM) = BM, M0BM, . . . , MnpBM,
M2
0BM, M0M1BM, . . .,
(3-4)
so stimmen abhängig von der Anzahl der Basisvektoren die ersten Momente über-
ein. Das reduzierte Modell ist dabei gegeben durch
Er˙xr=Ar(p)x+Bru,
yr=Crxr
(3-5)
mit
Ar(p) = A0r+p1A1r+. . . +pnpAnpr
=WTA(˜p)V=WTA0V+p1WTA1V+. . . +pnpWTAnpV,
Er=WTV, Br=WTB
und
Cr=CV.
Die zweite Projektionsmatrix
W
ist bei einseitigen Verfahren beliebig wählbar,
mit der aus der nichtparametrischen Reduktion bekannten Einschränkung, dass
WTV
invertierbar sein muss.
In [FB07] wird zur stabilen numerischen Berechnung der Basis
V
eine rekursive
Formulierung des Unterraumes (3-4) eingeführt, die sich aus der Reihendarstel-
lung (3-3) ergibt. Die Matrix
V
kann demnach alternativ zu (3-4) als Basis des
Unterraumes
[R0, R1, R2, . . .]
50 Kapitel 3
mit
R0=BM∈Rn×p,
R1=M0R0, M1R0, . . . , MnpR0∈Rn×(np+1)p,
R2=M0R1, M1R1, . . . , MnpR1∈Rn×(np+1)2p,
.
.
.
Rk=M0Rk−1, M1Rk−1, . . . , MnpRk−1∈Rn×(np+1)kp,
gewählt werden.
Auch beim mehrdimensionalen Momentenabgleich kann das einseitige Verfahren
auf ein zweiseitiges erweitert werden, um die Anzahl der abgeglichenen Momente
zu erhöhen. Zur Berechnung der zweiten Projektionsmatrix
W
wird diese, eben-
falls analog zu den Überlegungen in Kapitel 2, als Basis eines weiteren Krylov-
Unterraumes gewählt, der im Folgenden hergeleitet wird.
Den Ausgangspunkt bildet erneut die in eine Reihe entwickelte Übertragungs-
funktion
G(p) = C
∞
X
j=0
(M0p0+M1p1+. . . +Mnppnp)j(−(A0−s0I)−1B).
Deniert man nun zunächst
CM:= A−T
0CT,
so lässt sich analog zum Unterraum (3-4) ein Unterraum für die ausgangsseitigen
Beziehungen aufstellen. Dazu sei zur weiteren Vereinfachung der Notation die fol-
gende Schreibweise deniert: Sind
Ai∈Rn×n, i = 1, . . . , m
beliebige quadratische
Matrizen, so bezeichnet
(A1A2·. . . · Am)τ:= AT
1· AT
2·. . . · AT
m
das einzelne Transponieren der Matrizen, ohne die Reihenfolge der Multiplikation
zu vertauschen. Mit dieser Notation ist der ausgangsseitige parametrische Krylov-
Unterraum gegeben als:
K([Mτ
0, . . . , Mτ
np], CM) = hCM, Mτ
0CM, . . . , Mτ
npCM,
(Mτ
0)2CM, Mτ
0Mτ
1CM, . . ..
(3-6)
Auch hier lässt sich eine rekursive Darstellung
K([Mτ
0, . . . , Mτ
np], CM)=[R0, R1, R2, . . .]
Parametrische Modellordnungsreduktion 51
gewinnen, indem man folgende Denitionen trit (siehe erneut [FB07]):
R0=CM∈Rn×p,
R1=hMτ
0R0, Mτ
1R0, . . . , Mτ
npR0i∈Rn×(np+1)p,
R2=hMτ
0R1, Mτ
1R1, . . . , Mτ
npR1i∈Rn×(np+1)2p,
.
.
.
Rk=hMτ
0Rk−1, Mτ
1Rk−1, . . . , Mτ
npRk−1i∈Rn×(np+1)kp.
Wird nun
W
als Basis von
K([Mτ
0, . . . , Mτ
np], CM)
gewählt, so lässt sich zeigen,
dass abhängig von der Dimension von
W
ebenfalls die ersten Momente abgegli-
chen werden. Bei der Verwendung beider Krylov-Unterräume addiert sich auch
für parametrische Systeme die Anzahl der abgeglichenen Momente.
Die eziente und stabile numerische Berechnung geeigneter Basen der hier vor-
gestellten Krylov-Unterräume stellt eine Herausforderung an eine algorithmische
Umsetzung dar. Neben der im letzten Kapitel geschilderten Problematik mehrere
Ein- und Ausgänge zu behandeln, tritt nun noch eine variable Anzahl von Para-
metern auf, die zu zusätzlichen Momenten führen. Dies stellt einen bedeutenden
Nachteil des mehrdimensionalen Momentenabgleichs dar. Je mehr Parameter in
der Reduktion erhalten werden sollen, desto mehr Basisvektoren sind erforderlich,
um beispielsweise alle Momente 1. Ordnung abzugleichen. Dies hat zur Folge, dass
die Ordnung des reduzierten Modells mit der Anzahl der Parameter ansteigt. Dies
ist ein Eekt, der manchmal als curse of dimensionality (Fluch der Dimensio-
nalität) bezeichnet wird.
Im folgenden Unterabschnitt wird zunächst ein ezienter Algorithmus zur Be-
rechnung von
V
und
W
vorgestellt. Die Vermeidung des zuletzt geschilderten
curse of dimensionality durch eine spezielle Form der Interpolation selbstop-
timierender Systeme wird in Kapitel 5 beschrieben und stellt ein wesentliches
Resultat dieser Arbeit dar.
3.1.2 Rekursiver objektorientierter Arnoldi-Algorithmus
In diesem Unterabschnitt wird eine neuartige Variante des Arnoldi-Algorithmus
vorgestellt, mit der Projektionsmatrizen für die Reduktion parametrischer Syste-
me berechnet werden können. Die Projektionsmatrizen werden erneut aus Basis-
vektoren der im letzten Unterabschnitt angegebenen Krylov-Unterräume gebildet.
Die Zielsetzung des Algorithmus besteht aus der numerisch stabilen Berechnung
dieser Basisvektoren. Dabei müssen eine Reihe von Anforderungen erfüllt sein.
Die Anzahl der Basisvektoren muss frei vorgebbar sein, damit reduzierte Systeme
beliebiger Ordnung erstellt werden können. Da die Krylov-Unterräume (3-4) und
52 Kapitel 3
Algorithmus 3
Objekt-orientierter Arnoldi-Algorithmus für die PMOR
Input:
Systemmatrizen
Aj, j = 0, . . . , np, B, C, D
; Ordnung
q
; Deationsschran-
ke
εD
; Entwicklungspunkt
s0
1:
Baumstruktur der Klasse
projTree
initialisieren für V (treeV)
2:
Baumstruktur der Klasse
projTree
initialisieren für W (treeW)
3:
for
i = 1 :
q
do
4:
treeV.addNodeToTree
5:
treeW.addNodeToTree
6:
end for
7:
V = treeV.V
8:
W = treeW.V
Output:
Projektionsmatrizen
V
und
W
(3-6) von dem gewählten Entwicklungspunkt
s0
abhängen, muss dieser ebenfalls
vom Benutzer festzulegen sein. Insbesondere aufgrund der hohen Anzahl der Mo-
mente durch die zusätzlichen Parameter muss die Möglichkeit der Deation, d.h.
des Aussortierens linear abhängiger Basisvektoren, gegeben sein.
Grundsätzlich kann weiterhin ein Arnoldi-Algorithmus verwendet werden. Im
nichtparametrischen Fall werden während der Iteration die vorhandenen Basis-
vektoren mit der quadratischen Matrix
AK
multipliziert und daraus neue Basis-
vektoren berechnet (siehe Algorithmus 1). Im parametrischen Fall sind nun, ab-
hängig von der Anzahl der Parameter, mehrere Matrizen, nämlich
M0, . . . , Mnp
,
zu verwenden, wie aus der Baumdarstellung in Bild 3-1 deutlich wird.
In [Sch09], [Krü09] sowie in [KST10] wurde ein zweiseitiger Arnoldi-Algorithmus
für den mehrdimensionalen Momentenabgleich entwickelt. Die Implementierung
orientiert sich sehr eng an der Arnoldi-Grundform und bildet den Ausgangspunkt
für den im Folgenden beschriebenen objektorientierten Algorithmus.
Aufgrund der rekursiven Abhängigkeit der Momente voneinander wie sie in Bild
3-1 gezeigt ist, bietet es sich an, die Basisvektoren mit Hilfe objektorientierter
Programmierung auf der Grundlage dynamischer Datenstrukturen zu realisieren.
Eine derartige Herangehensweise an den mehrdimensionalen Momentenabgleich
wurde erstmals im Rahmen der vorliegenden Arbeit umgesetzt.
Den Kern bilden die beiden Klassen
projTree
und
projVector
, siehe Tabelle 3-1
und 3-2. Jede Instanz der Klasse
projTree
repräsentiert eine Projektionsmatrix
inklusive aller zur Berechnung erforderlichen Daten. Die einzelnen Komponenten
und ihr Zusammenspiel werden nachfolgend erläutert. Zunächst sei aber auf den
vom Benutzer zur Reduktion auszuführenden Algorithmus 3 hingewiesen. Die-
ser ist sehr übersichtlich und verfügt über eine einfache Struktur, was einen der
Vorteile der objektorientierten Herangehensweise ausmacht. Nach der Erzeugung
Parametrische Modellordnungsreduktion 53
Tabelle 3-1
:
Beschreibung der Klasse projTree
Klasse projTree
Attribut Typ Beschreibung
Root projVector Initialer Knoten
NoParams integer Anzahl Parameter
ParamMatrices cell Matrizen für die Rekursion
MatrixAnnot cell Beschriftungen für grafische Ausgabe
MaxDepth integer Maximale Tiefe des Baumes
L, U, P, P w double Matrizen aus LU-Zerlegung
Vdouble Projektionsmatrix
εDdouble Abbruchschranke für Deflation
Methoden Beschreibung
projTree(Root,NoParams) Konstruktor
AddNodeToTree Äußere Funktion zum Hinzufügen eines neuen
Blattes, interner Aufruf von AddNode
AddNode Hinzufügen eines neuen Blattes
orthNode Orthogonalisierung der Projektionsvektoren
plotTree Grafische Ausgabe der Projektionsvektoren
und Initialisierung von zwei Instanzen der Klasse
projTree
wird lediglich eine von
der gewünschten Anzahl der Basisvektoren
q
abhängende for-Schleife ausgeführt.
Innerhalb dieser ruft jede Instanz von
projTree
ihre Methode
addNodeToTree
auf,
um einen weiteren Projektionsvektor zur Basis hinzuzufügen. Die Projektionsma-
trizen selbst stellen ein öentliches, von auÿen zugängliches Attribut der Klasse
dar und können daher am Ende direkt ausgelesen werden.
Der Aufbau und die Methoden der beiden Klassen orientieren sich eng an der
rekursiven Abhängigkeit der Momente. Das Grundprinzip beruht auf der Beob-
achtung, dass jeder neue Basisvektor nur von seinem direkten Vorgänger innerhalb
der Baumstruktur abhängt und über eine Matrix-Vektor Multiplikation mit den
Koezientenmatrizen
Mi
aus (3-3) berechnet wird.
Dies wird durch die Klasse
projVector
(Tabelle 3-2) realisiert. In jeder Instanz
werden neben dem Basisvektor selbst, abgelegt im Attribut
VectData
, die Matri-
zen
Mi
als cell-array
1
in
ParamMatrices
gespeichert. Die unterlagerten, neu zu
erzeugenden Projektionsvektoren sind ebenfalls Elemente der Klasse
projVector
.
Auf sie kann zugegrien werden, indem ihre Adressierungen als Zeiger im Attri-
1Ein „cell-array“ ist ein spezieller Matlab Datentyp. Die Elemente eines „cell-array“ können
aus beliebigen anderen Datentypen, z.B. Matrizen, Text oder Datenstrukturen, bestehen.
54 Kapitel 3
Tabelle 3-2
:
Beschreibung der Klasse projVector
Klasse projVector
Attribut Typ Beschreibung
Vectdata double Numerische Daten des Projektionsvektors
Children handle Zeiger auf zugehörige Blätter
MaxChildren integer Maximale Anzahl zugehöriger Blätter
NoChildren integer Momentane Anzahl zugehöriger Blätter
ParamMatrices cell Matrizen zur Erzeugung der Blätter
MatrixAnnot cell Beschriftung für grafische Ausgabe
Annotation char Eigene Beschriftung
Methoden Beschreibung
projVector(MaxChildren,VectData) Konstruktor
addChild Blatt hinzufügen
deleteChild Blatt löschen
destroyChild Blatt-Typ entfernen
but
Children
hinterlegt werden. Auf diese Weise entsteht die gewünschte Baum-
struktur, siehe Bild 3-2.
Neben dem Konstruktor enthält die Klasse
projVector
drei weitere, einfache Me-
thoden. Mit
addChild
wird ein neues Blatt erzeugt, mit
deleteChild
wird ein
vorhandenes Blatt und mit
destroyChild
ein Blatttyp entfernt. Die letztgenannte
Methode wird zur Realisierung der Deation benötigt. Ist eine unterlagerte In-
stanz, z.B. der Vektor
M2v
in der Notation von Bild 3-2, linear abhängig von
den übrigen Basisvektoren, so wird der zugehörige Knoten und auch die korre-
spondierende Matrix, hier im Beispiel die Matrix
M2
, im überlagerten Knoten
entfernt. Auf diese Weise ist gewährleistet, dass im Rahmen der Deation stets
der gesamte Teilbaum, d.h. auch alle unterlagerten Knoten, entfernt wird.
Die Entscheidung, ob ein Projektionsvektor linear abhängig ist, kann jedoch nicht
allein auf Basis der Klasse
projVector
getroen werden, da hierzu die gesamte
Baumstruktur berücksichtigt werden muss. Aus diesem Grund wurde die zweite
Klasse
projTree
deniert. Sie enthält als Attribute den Zeiger auf das oberste Ele-
ment, die Wurzel, des
projVector
-Baumes und ebenfalls die allgemeinen Systemin-
formationen über die Anzahl der Parameter und die zugehörigen Systemmatrizen.
Zur Erhöhung der numerischen Robustheit werden statt einer Multiplikation mit
˜
A−1
0(s0) := (A0−s0I)−1
entsprechende Gleichungssysteme gelöst. Hierfür wird
eine LU-Zerlegung (siehe z.B. [Wer92])
˜
A0(s0) = P·L·U
Parametrische Modellordnungsreduktion 55
pro jVetor
VectData:
v
ParamMatrices:
{M0,...,Mnp}
pro jVetor
VectData:
M0v
ParamMatrices:
{M0,...,Mnp}
pro jVetor
VectData:
M1v
ParamMatrices:
{M0,...,Mnp}
...
pro jVetor
VectData:
Mnpv
ParamMatrices:
{M0,...,Mnp}
Bild 3-2
:
Verknüpfung von Projektionsvektoren innerhalb des objektorientierten
Arnoldi-Algorithmus
der Matrix
˜
A0(s0)
verwendet. Alle innerhalb der Baumstruktur erzeugten Pro-
jektionsvektoren werden orthogonalisiert und in der Variablen V abgelegt.
Für die Erstellung der Baumstruktur ist es wichtig, dass zuerst alle Blätter einer
bestimmten Rekursionstiefe erzeugt werden, bevor das erste Element der nächst-
höheren Ebene erstellt wird. Dies entspricht einer sukzessiven Erhöhung der Ord-
nung der übereinstimmenden Momente bei der MOR. Die Realisierung erfolgt
über die Variable
MaxDepth
und das Zusammenspiel der beiden Methoden
Add-
Node
und
AddNodeToTree
. Wie bereits dargestellt, wird von Algorithmus 3 die
Methode
AddNodeToTree
aufgerufen. Diese führt ihrerseits
AddNode
aus, wo-
durch der nächste Knoten erstellt wird. Liefert
AddNode
keinen neuen Knoten
zurück, wird die maximale Rekursionstiefe erhöht und erneut
AddNode
gestar-
tet.
Das Hinzufügen eines Knotens basiert auf einer einfachen Fallunterscheidung. Ist
die maximale Anzahl Blätter eines Knotens noch nicht erreicht, wird ein neues
Blatt erzeugt. Andernfalls wird an den vorhandenen Blättern versucht, ein Blatt
zu erzeugen. Dabei gilt die Einschränkung, dass die maximale Rekursionstiefe
noch nicht erreicht sein darf.
Nachdem ein neuer Knoten erzeugt wurde, wird der Projektionsvektor mittels
der Methode
OrthNode
orthogonalisiert und mit Hilfe der Deationsschranke
ε
wird geprüft, ob er als neuer Basisvektor in die Projektionsmatrix
V
übernommen
wird. Liegt eine lineare Abhängigkeit vor, wird der zugehörige Knoten entfernt
und der nächste Knoten erzeugt.
56 Kapitel 3
pro jVetor
VectData:
1
ParamMatrices:
{BM(:,1),...,BM(:, nu)}
pro jVetor
VectData:
BM(:,1) ·1
ParamMatrices:
{M1,...,Mnp}
pro jVetor
VectData:
BM(:,2) ·1
ParamMatrices:
{M1,...,Mnp}
...
pro jVetor
VectData:
BM(:, nu)·1
ParamMatrices:
{M1,...,Mnp}
Bild 3-3
:
Wurzel der eingangsseitigen Baumstruktur
Die Methode
AddNode
ist vollständig rekursiv implementiert, weshalb sie ohne
globale Überwachungs- und Steuerungsindizes auskommt. Im Vergleich zu einer
Realisierung mit ineinander verschachtelten for-Schleifen ist diese Implementie-
rung wesentlich überschaubarer.
Damit im Rahmen der MOR beliebige Ordnungen des reduzierten Systems mög-
lich sind, dürfen nur Vektoren als
VectData
in der Klasse
projVector
verwendet
werden. Bei mehreren Ein- und Ausgängen bestehen die Momente jedoch aus
Matrizen, siehe erneut Bild 3-1. Dies hat zur Folge, dass für jede Spalte in
BM
und jede Zeile in
CM
ein eigener vektorieller Rekursionsbaum erzeugt werden
muss. Mit Hilfe der hier vorgestellten dynamischen Datenstrukturen können die-
se jedoch zu einer einzigen Baumstruktur zusammengefasst werden. Dazu muss
lediglich der initiale Knoten, die Wurzel des Baumes, gesondert parametriert wer-
den. Im Gegensatz zu dem allgemeinen Aufbau, der in Bild 3-2 dargestellt ist,
werden für den initialen Knoten statt der Koezientenmatrizen
Mi
die Spalten
von
BM
bzw. die Zeilen von
CM
verwendet. Der Unterschied ist in Bild 3-3 für
BM
verdeutlicht. Indem man die Variable
VectData
auf
1
setzt, bleiben sämtliche
Methoden und Bestandteile der Rekursion, sowohl von
projVector
, als auch von
projTree
, unberührt. Diese einfache Behandlung von parametrischen Mehrgröÿen-
systemen stellt einen weiteren Vorteil des objektorientierten Arnoldi-Algorithmus
dar.
Eine grasche Ausgabe der Baumstruktur wurde durch die Methode
plotTree
implementiert. Sie ist insbesondere bei der Analyse des Reduktionsergebnisses
hilfreich, da auf einfache Weise geprüft werden kann, welche Teile der Momente
Parametrische Modellordnungsreduktion 57
V
b1
M1
M1
M2 M3 M4
b2
M1
b3
M1
b4
M1
W
c1
M1
M1
M2 M3 M4
c2
M1
c3
M1
c4 c5
Bild 3-4
:
Grasche Ausgabe der verwendeten Basisvektoren innerhalb des objekt-
orientierten Arnoldi-Algorithmus
als Basisvektoren verwendet wurden und welche Vektoren linear abhängig waren.
Hieraus wird auch ersichtlich, bis zu welcher Ordnung die Momente abgeglichen
werden. Eine beispielhafte Ausgabe ist in Bild 3-4 zu nden. Sie beruht erneut
auf einer Reduktion des Aktormoduls, das bereits in Abschnitt 2.5 als Anwen-
dungsbeispiel genutzt wurde. In diesem Fall liegt jedoch ein von drei Parametern
abhängiges System vor.
Zur Illustration der graschen Ausgabe wurde eine Reduktion mit einem Entwick-
lungspunkt
s0= 0
auf die Ordnung 12 durchgeführt. Oben in Bild 3-4 bendet
sich die Baumstruktur für den eingangsseitigen Krylov-Unterraum (Projektions-
matrix
V
), unten für den ausgangsseitigen (Projektionsmatrix
W
). Zunächst ist
anhand der Darstellung erkennbar, dass für beide Projektionsmatrizen die Rekur-
sionstiefe drei erreicht wird bzw. erforderlich ist. Da das betrachtete System über
sechs Eingänge und fünf Ausgänge verfügt, ist dies bemerkenswert, denn bei drei
Parametern stehen insgesamt 30 (eingangsseitig) bzw. 25 (ausgangsseitig) poten-
tielle Projektionsvektoren bis zur Rekursionstiefe 2 zur Verfügung. Daraus lässt
58 Kapitel 3
sich zum einen erkennen, dass eine Reihe von Projektionsvektoren linear abhängig
sind. Im eingangsseitigen Fall werden bereits auf der ersten Ebene von den sechs
Spalten von
BM
nur vier verwendet. Beim ausgangsseitigen Unterraum werden
jedoch alle zu den fünf Ausgängen gehörenden Spalten verwendet. Zum anderen
folgt aus der linearen Abhängigkeit auch, dass mit dem vorliegenden reduzierten
System alle Momente sowohl die zur Laplace-Variablen
s
, als auch zu den zu-
sätzlichen Parametern gehörenden mindestens bis zur Ordnung drei abgeglichen
werden. Dies resultiert daraus, dass beide Projektionsmatrizen einzeln betrachtet
die Momente der Ordnung 0 und 1 abgleichen und sich bei einem zweiseitigen
Reduktionsverfahren die abgeglichenen Momente addieren.
Auällig ist für beide Projektionsmatrizen, dass die zu den Parametern gehö-
renden Koezientenmatrizen
M2, M3, M4
nur jeweils einmal verwendet werden.
Die Übrigen mit ihnen erzeugten Basisvektoren sind linear abhängig zu der vor-
handenen Basis. Dieser Eekt konnte bei den meisten im Rahmen dieser Arbeit
betrachteten Systemen beobachtet werden. Er ist wahrscheinlich darauf zurück-
zuführen, dass die Parameter in den hier betrachteten Anwendungen nur auf
wenige Komponenten der gesamten Systemmatrix einen Einuss besitzen. Da-
her sind in den Matrizen
Ai(i≥1)
nur wenige Einträge ungleich Null. Bei der
Matrix-Vektor Multiplikation im Rahmen der Erstellung der Baumstruktur führt
dies anscheinend oftmals zur linearen Abhängigkeit.
Der hier vorgestellte objektorientierte Arnoldi-Algorithmus stellt ein numerisch
robustes Verfahren zur Berechnung von Projektionsmatrizen für die Modellord-
nungsreduktion parametrischer Systeme dar und erfüllt die eingangs erwähnten
Anforderungen. Der Entwicklungspunkt
s0
, von dem die Krylov-Unterräume (3-4)
und (3-6) abhängen, kann frei vorgegeben werden. Es können beliebige Ordnun-
gen des reduzierten Systems realisiert werden, da die Basisvektoren einzeln zu
den Projektionsmatrizen hinzugefügt werden. Auch die Deation wird durch den
rekursiven Aufbau und die Verwendung einer Baumstruktur für die Projektions-
matrizen realisiert. Mehrere Entwicklungspunkte können durch eine mehrfache
Ausführung des objektorientierten Arnoldi-Algorithmus verwendet werden. Die
separat berechneten Projektionsmatrizen werden - analog zum nichtparametri-
schen Fall - abschlieÿend durch eine Orthonormalisierung zusammengefasst. Ein
Nachteil des hier präsentierten Ansatzes besteht darin, dass sämtliche Parameter
des Algorithmus wie die Ordnung des reduzierten Systems oder die Entwick-
lungspunkte manuell vorgegeben werden müssen. In Abhängigkeit von dem zu
reduzierenden System, kann dies erheblichen Aufwand verursachen.
3.2 Matrix Interpolation
Die Matrix Interpolation stellt den zweiten innerhalb dieser Arbeit verwendeten
Ansatz zur MOR parametrischer Systeme dar. Im Gegensatz zu der im vorher-
Parametrische Modellordnungsreduktion 59
gehenden Abschnitt vorgestellten manuellen rationalen Interpolation parametri-
scher Systeme handelt es sich bei der Matrix Interpolation nicht um eine Wei-
terentwicklung eines bestimmten nichtparametrischen Reduktionsverfahrens. Die
Matrix Interpolation basiert zwar auf Reduktionsverfahren für nichtparametrische
Systeme, allerdings können alle auf Projektionsmatrizen basierenden Verfahren
eingesetzt werden.
Entstanden ist die Matrix Interpolation durch die Übertragung eines Reduktions-
ansatzes für nichtlineare Systeme, der sogenannten TPWL (Trajectory Piecewise
Linear), auf parametrische Systeme. Die TPWL, erstmals beschrieben in [RW03],
verfolgt den Ansatz, eine festgelegte Trajektorie, die Trainings-Trajektorie, zu de-
nieren und entlang dieser Trajektorie an vordenierten Punkten im Zustands-
raum lineare Systeme zu berechnen. Diese werden nachfolgend separat mit den
Methoden der MOR für lineare Systeme reduziert, siehe [VRW03] für den bei-
spielhaften Einsatz des balancierten Abschneidens und [BSMM08] für eine An-
wendung der Proper Orthogonal Decomposition (POD). Zur beschleunigten Si-
mulation des nichtlinearen Systems werden die reduzierten Systeme zeit- oder zu-
standsabhängig mit Hilfe von Gewichtsfunktionen überlagert. Dieser Ansatz ist
weiterhin Gegenstand der Forschung. Beispielsweise wird versucht, die Approxi-
mationsgüte durch geeignete Gewichtsfunktionen und gut platzierte Stützstellen
zu verbessern, siehe z.B. [AF10].
In [LK05] sowie [LLL
+
05] wird diese Idee auf parametrische Systeme übertragen.
Statt Punkte im Zustandsraum auszuwählen, werden Parameterstützstellen fest-
gelegt, an denen reduzierte Systeme berechnet werden. Um ein parametrisches re-
duziertes System zu erhalten, werden die einzelnen Projektionsmatrizen mit Hilfe
einer Singulärwertzerlegung zu einem gemeinsamen Paar von Projektionsmatri-
zen zusammengefasst. Tendenziell führt dies zu einem parametrischen reduzierten
System mit geringerer Systemordnung, verglichen mit der manuellen rationalen
Interpolation parametrischer Systeme, da die Momente bzgl. der Parameter für
den Reduktionsprozess keine Rolle spielen. Genau wie die manuelle rationale In-
terpolation erfordert dieser Ansatz eine an-lineare oder zumindest polynomielle
Parameterabhängigkeit. Systeme mit anderen Parameterabhängigkeiten können
unter Umständen nicht reduziert werden. Auch diese Herangehensweise wird wei-
terhin verfolgt, so ist beispielsweise in [BBBG11] dieser Ansatz in Verbindung
mit der
H2
-optimalen Interpolation zu nden.
Die in dieser Arbeit eingesetzte Variante der Matrix Interpolation ist noch en-
ger mit der TPWL verbunden. Statt eine gemeinsame Projektionsmatrix für das
parametrische reduzierte System zu berechnen, werden an den Stützstellen se-
parat reduzierte Systeme aufgestellt. Diese werden dann nachfolgend überlagert,
d.h. interpoliert, um ein parametrisches reduziertes System zu erhalten. Die-
ser Ansatzes ist in [PMEL10] zu nden. Die folgenden Ausführungen orientieren
60 Kapitel 3
sich ebenfalls an diesem Artikel. Eine Art Vorläufer dieser Variante der Matrix
Interpolation bildet der Artikel [BB09], in dem die Übertragungsfunktionen zu
verschiedenen Parameterwerten mit Hilfe von Lagrange-Polynomen interpoliert
werden. Aussagen über die Systeme im Zeitbereich werden jedoch nicht getrof-
fen. Der Schwerpunkt liegt stattdessen auf der Verwendung dünner Gitter zur
Diskretisierung des Parameterraums.
Neuere Arbeiten greifen die hier verwendete Form der Matrix Interpolation auf,
beispielsweise im Kontext mechanischer Systeme in [GPS11]. Es ist zudem eine
stabilitätserhaltende Methode entstanden, die allerdings auf einseitigen Projek-
tionen basiert und somit die einsetzbaren Verfahren der MOR stark einschränkt,
siehe [ECSP
+
11]. Da die Stabilität der reduzierten Systeme im Rahmen dieser
Arbeit kein Problem darstellte, wird diese Modikation nicht näher betrachtet,
insbesondere weil hiermit auch der Einsatz der
H2
-optimalen Interpolation im
Rahmen der PMOR nicht mehr möglich ist.
Als Ausgangspunkt für die im Folgenden beschriebene Matrix Interpolation dient
das wesentlich allgemeinere parametrische lineare System
E˙x=A(p)x+B(p)u,
y=C(p)x,
mit dem Parametervektor
p∈Rnp
. Die Art der Parameterabhängigkeit muss nicht
näher bekannt sein, was insbesondere bei der Verwendung von CAE-Tools zur
Erstellung des Modells von Vorteil ist. Stattdessen müssen, wie bereits erwähnt,
Parameterstützstellen
pi∈Rnp,1≤i≤nS
deniert werden, mit den zugehörigen
Systemen
Ei˙x=Aix+Biu,
y=Cix.
(3-7)
Diese Systeme werden zunächst unabhängig voneinander reduziert, und zwar auf
die selbe Ordnung
q
. Wie in Abschnitt 2.2 beschrieben, geschieht dies durch die
Projektion mit den beiden Projektionsmatrizen
Vi∈Rn,q
und
Wi∈Rn,q
. Das
eingesetzte Verfahren zur Berechnung von
Vi
und
Wi
spielt hierbei keine Rolle.
Es sind sowohl die manuelle rationale Interpolation aus Abschnitt 2.3, die
H2
-
optimale Interpolation und prinzipiell auch weitere MOR Verfahren einsetzbar.
Das Reduktionsverfahren kann zudem an allen Diskretisierungspunkten unabhän-
gig voneinander gewählt werden. Analog zu Gleichung (2-8) erhält man die auf
Ordnung
q
reduzierten Systeme
WT
iEiVi
| {z }
Er,i
˙xr(t) = WT
iAiVi
| {z }
Ar,i
xr(t) + WT
iBi
|{z}
Br,i
u(t),
yr(t) = CiVi
|{z}
Cr,i
xr(t).
(3-8)
Parametrische Modellordnungsreduktion 61
Die Parameterabhängigkeit wird nun im reduzierten Fall über eine Interpolation
der reduzierten Systemmatrizen hergestellt. Hierzu sind Gewichtsfunktionen
ωi:Rnp→[0,1] , p 7→ ωi(p),1≤i≤nS
zu denieren mit
PnS
i=1 ωi(p) = 1
und
ωi(pi)=1
. Die parametrischen reduzierten
Systemmatrizen ergeben sich dann als
Er(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)Er,i, Ar(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)Ar,i,
Br(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)Br,i, Cr(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)Cr,i.
(3-9)
Die Beschaenheit der Funktionen
ωi
stellt einen Freiheitsgrad des Reduktions-
verfahrens dar und kann nicht allgemeingültig angegeben werden. Für diese Arbeit
ergeben sich die Gewichtsfunktionen als Nebenprodukt der in Kapitel 5 vorge-
stellten Interpolation von Paretomengen, basierend auf einer Spline-Interpolation.
Daher wird auf die Wahl von
ωi
an dieser Stelle nicht näher eingegangen.
Die Interpolation (3-9) von Systemmatrizen wird im Allgemeinen nicht zu zufrie-
denstellenden Ergebnissen führen. Bereits durch eine Vertauschung der Reihen-
folge der Zustandsgleichungen für verschiedene Parameterstützstellen entstehen
auÿerhalb der Stützstellen Systeme mit vollkommen anderem Systemverhalten,
auch wenn die einzelnen Systeme das Ausgangssystem sehr gut approximieren.
Weitere Ausführungen hierzu sowie ein einfaches, anschauliches Beispiel mit zwei
Zuständen sind in [PMEL10] zu nden.
Für die Ausgangssysteme (3-7) lieÿe sich voraussetzen, dass die Zustandsvariablen
die gleiche physikalische Bedeutung besitzen und identisch angeordnet sind. Aber
selbst in diesem Fall lässt sich über die Anordnung und Bedeutung der Zustände
nach der Reduktion keine Aussage mehr treen.
Abhilfe schat hier die im Folgenden vorgestellte Methode, mit der die unter-
schiedlichen reduzierten Systeme kompatibel zueinander gemacht werden, in
dem Sinn, dass die Interpolation der reduzierten Systeme (3-9) möglich wird.
Dafür werden für jedes reduzierte System zwei reguläre Matrizen
Ti∈Rq,q
und
Mi∈Rq,q
berechnet und die reduzierten Systeme (3-8) modiziert zu
MiEr,iT−1
i˙x∗
r,i =MiAr,iT−1
ix∗
r,i +MiBr,iu,
y=Cr,iT−1
ix∗
r,i.
(3-10)
Dies entspricht einer Zustandstransformation
x∗
r,i =Tixr,i
und einer nachfolgen-
den Multiplikation der Zustandsgleichung von links mit
Mi
. Festzuhalten ist an
62 Kapitel 3
x∗
r
xr,1=T−1
1x∗
rxr,2=T−1
2x∗
r
T1T2
ˆx1=V1xr,1=V1T−1
1x∗
rˆx2=V2xr,2=V2T−1
2x∗
r
RTˆx1=RTV1T−1
1x∗
rRTˆx2=RTV2T−1
2x∗
r
RTRT
6=
∈Rn
=
∈Rq
Bild 3-5
:
Übersicht über Zustandstransformation, Projektion und Rückprojektion,
vgl. [PMEL10]
dieser Stelle, dass das Übertragungsverhalten und die dynamischen Eigenschaften
der reduzierten Systeme unverändert bleiben.
Das mit Hilfe der Matrizen
Ti
zu erreichende Ziel besteht darin, den Zustandsvek-
toren eine gemeinsame Bedeutung zu geben. Mathematisch bedeutet dies, dass
Zustandstransformationen
Ti
gesucht sind, die die Zustandsvektoren der redu-
zierten Systeme bzgl. einer gemeinsamen Basis
x∗
r,1=x∗
r,2=. . . =x∗
r,nS=: x∗
r
ausdrücken. Für die Interpolation der Systemmatrizen ist entscheidend, dass die
Zustandsvektoren im ursprünglichen Zustandsraum
Rn
eine gemeinsame Bedeu-
tung haben. Da jedoch für jedes reduzierte System die Projektion
ˆxi=Vixr,i ∈Rn
verwendet wird, benden sich die Zustände im jeweiligen Unterraum, der von den
Spalten von
Vi
aufgespannt wird, unabhängig von der gewählten Transformation
Ti
. Dies hat zur Folge, dass eine gemeinsame Bedeutung im
Rn
nicht hergestellt
werden kann, da die Vektoren
Vix∗
r
stets in verschiedenen Unterräumen liegen. Es
ist allerdings möglich, die Zustandsvektoren bzgl. eines weiteren Unterraums, auf-
gespannt von den Spalten einer Matrix
R∈Rn,q
vergleichbar zu machen, indem
eine Rückprojektion mit
RT
vorgenommen wird. Bild 3-5 veranschaulicht diesen
Zusammenhang. Ausgehend von einem Zustandsvektor
x∗
r
wird die Transforma-
Parametrische Modellordnungsreduktion 63
tion in das lokale Koordinatensystem
xr,i =T−1
ix∗
r
durchgeführt. Das Ergebnis
wird mittels
Vi
in den Zustandsraum des Ausgangssystems überführt:
ˆxi=Vixr,i =ViT−1
ix∗
r.
Die resultierenden Vektoren werden im Allgemeinen voneinander verschieden sein.
Multipliziert man jetzt jedoch
ˆxi
mit
RT
, woraus sich
RTˆxi=RTVixr,i =RTViT−1
ix∗
r
ergibt, so sind diese Vektoren identisch im
Rq
, falls als Transformation
Ti=RTVi
(3-11)
verwendet wird. Die Zustandsräume der reduzierten Systeme
x∗
r,i
heiÿen dann
kompatibel zueinander bzgl. der Matrix
R∈Rn,q
, siehe [PMEL10]. Die gemein-
samen Zustände sind entsprechend
x∗
r=Tixr,i =RTVixr,i,(1 ≤i≤nS).
Zur Festlegung der Matrix
R
können die Projektionsmatrizen
Vi
verwendet wer-
den. Sie repräsentieren jeweils die für die Systemdynamik relevantesten Unter-
räume an den zugehörigen Parameterstützstellen
pi
. Es ist nun von Vorteil, wenn
als Unterraum, bzgl. dessen die reduzierten Systeme kompatibel sind, die für al-
le Stützstellen insgesamt relevantesten Richtungen zu verwenden. Dies lässt sich
über eine Singulärwertzerlegung der Matrix
Vall =V1, V2, . . . , VnS,
die von allen Projektionsmatrizen gebildet wird, erreichen. Die
q
Spalten der
Matrix
USV D
, die zu den gröÿten Singulärwerten der Singulärwertzerlegung
Vall =USV DΣSV DVSV D
gehören, werden als Matrix
R
genutzt.
Die zweite Matrix
Mi
in (3-10) wird gemäÿ [PMEL10] ebenfalls mit Hilfe der
Matrix
R
berechnet als
Mi=WT
iR−1.
(3-12)
Die Begründung für diese Wahl benötigt einige Vorbetrachtungen, die eine andere
Sichtweise auf die MOR darstellen, als sie bisher verwendet wurde.
64 Kapitel 3
Wie bereits mehrfach erwähnt besteht der erste Schritt der Reduktion darin, den
hochdimensionalen Zustandsvektor
x
durch die Projektion
x=V xr
zu ersetzen.
Eingesetzt in die Zustandsgleichung des Ausgangssystems ergibt sich
EV ˙xr(t) = AV xr(t) + Bu(t) + ε(t)
mit einem Residuum
ε(t)
, da es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem
handelt, das im Allgemeinen nicht lösbar ist. Durch die anschlieÿende Multipli-
kation mit der zweiten Projektionsmatrix
WT
erhält man das eindeutig lösbare
System
WTEV ˙xr(t) = WTAV xr(t) + WTBu(t).
(3-13)
Dies bedeutet für das Residuum, dass
WTε(t)=0
gelten muss. Das Residuum
bendet sich demnach immer im orthogonalen Komplement
W⊥
von
W
. Dies
veranschaulicht auch den Einuss von
W
auf die Approximationsgüte des redu-
zierten Systems.
Fügt man nun in Gleichung (3-13) die Identität
WTS(WTS)−1=I
ein, mit einer
ebenfalls rechteckigen Matrix
S∈Rn,q
, so erhält man
WTS(WTS)−1WT
| {z }
PS
EV ˙xr(t) = WTS(WTS)−1WT
| {z }
PS
AV xr(t)+
WTS(WTS)−1WT
| {z }
PS
Bu(t).
(3-14)
Die Matrix
S
kann beliebig gewählt werden, solange das Produkt
WTS
invertier-
bar ist. In der nun vorliegenden Gleichung taucht an drei Stellen eine besondere
Art der Projektion in Form der Abbildung
PS:Rn→Rn, x 7→ S(WTS)−1WTx=PSx
auf. Es handelt sich hierbei um die Projektion in den von den Spalten von
S
aufgespannten Unterraum entlang des orthogonalen Komplements
W⊥
des von
W
aufgespannten Unterraums. Dies bedeutet zum einen, dass
PSx∈S
sowie
(PSx−x)∈W⊥
gelten. Ersteres lässt sich sehr leicht einsehen, da
PSx=S(WTS)−1WTx=Sy =
q
X
i=1
yisi,
also
PSx
als Linearkombination der Spalten
si
von
S
darstellbar ist. Für die
zweite Aussage ist nachzuweisen, dass jeder Vektor aus
W
orthogonal zu
PSx−x
Parametrische Modellordnungsreduktion 65
ist. Dies ist erfüllt, wenn sämtliche Basisvektoren
wi
, d.h. die Spalten von
W
,
orthogonal zu
PSx−x
sind und folgt aus
wT
i(PSx−x) = wT
iPSx−wT
ix=wT
iS(WTS)−1
| {z }
eT
i
WTx−wT
ix=wT
ix−wT
ix= 0.
Für das reduzierte System (3-14) ergibt sich nun die folgende Interpretation. Der
Zustandsvektor des reduzierten Systems sowie dessen Ableitung werden mittels
V
in den Zustandsraum des Ausgangssystems projiziert und anschlieÿend mit
E
bzw.
A
abgebildet. Das Ergebnis dieser Abbildungen sowie der Systemeingang
Bu
werden nun orthogonal zu
W
in den Unterraum
S
projiziert. Abschlieÿend sorgt
die erneute Multiplikation mit
WT
in (3-14) für die Eindeutigkeit des reduzierten
Systems. Wird nun in diesem letzten Schritt statt
WT
die Matrix
ST
verwendet
und setzt man zusätzlich voraus, dass die Spalten von
S
orthogonal zueinander
sind (d.h.
STS=I
), so entsteht das reduzierte System
(WTS)−1WTEV ˙xr= (WTS)−1WTAV xr+ (WTS)−1WTBu
Hiermit liegt nun die gewünschte Form des reduzierten Systems aus (3-10) vor, in
der die Zustandsgleichung des reduzierten Systems von links mit einer quadrati-
schen Matrix, hier
(WTS)−1
, multipliziert wird. Die Bedeutung dieser Multiplika-
tion stellt, wie bereits dargelegt, eine Projektion der Zustandsgleichungen in den
Unterraum
S
dar. Dies lässt sich separat für jedes reduzierte System (3-8) durch-
führen. Anschlieÿend werden alle reduzierten Systeme in den gleichen Unterraum
S
projiziert. Da in der Matrix
R
die relevantesten Richtungen der Systemdynamik
des Ausgangssystems enthalten sind und
R
zudem aus zueinander orthonorma-
len Spalten besteht, ist naheliegend
S=R
zu wählen, womit sich die bereits
angegebene Matrix
Mi
ergibt.
Zusammengefasst erhält man als Endergebnis das parametrische reduzierte Sys-
tem
Er(p) ˙xr=Ar(p)xr+Br(p)u,
y=Cr(p)x
mit
Er(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)MiEr,iT−1
i, Ar(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)MiAr,iT−1
i,
Br(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)MiBr,i, Cr(p) =
nS
X
i=1
ωi(p)Cr,iT−1
i,
(3-15)
66 Kapitel 3
wobei
Er,i, Ar,i, Br,i, Cr,i
gemäÿ (3-8) durch separate MOR berechnet werden und
Ti
und
Mi
nach (3-11) bzw. (3-12) gewählt werden.
Die Approximationsgüte dieses parametrischen reduzierten Systems lässt sich nur
schwer allgemein beschreiben. An den Parameterstützstellen selbst entspricht die
Approximationsgüte der Güte der einzelnen reduzierten Systeme. Von Vorteil
ist hier insbesondere im Vergleich zu der parametrischen manuellen rationalen
Interpolation, dass die Anzahl der Parameter keinen Einuss auf die Ordnung
der reduzierten Systeme besitzt, was tendenziell zu parametrischen reduzierten
Systemen mit geringerer Systemordnung führt.
Auÿerhalb der Stützstellen lässt sich die Approximationsgüte nicht vorhersagen.
Sie hängt von der Lage der Stützstellen sowie von den Funktionen
ωi
ab. Es ist
lediglich zu erwarten, dass aus Stetigkeitsgründen in der Nähe einer Parameter-
stützstelle eine höhere Güte vorliegt, als bei gröÿerem Abstand. Dies bestätigt
sich auch weitgehend bei den im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Rechnun-
gen.
In Tabelle 3-3 sind die beiden innerhalb dieser Arbeit verwendeten Ansätze zur
parametrischen Modellordnungsreduktion, die manuelle rationale Interpolation
parametrischer Systeme sowie die Matrix Interpolation, noch einmal zusammen-
gefasst. Die manuelle rationale Interpolation parametrischer Systeme besitzt die
gleichen Eigenschaften und Parameter wie im nichtparametrischen Fall. Zusätz-
lich zu beachten ist, dass nur Systeme mit einer an-linearen Parameterabhän-
gigkeit reduziert werden können. Die Matrix Interpolation besitzt demgegenüber
den Vorteil, wesentlich allgemeiner anwendbar zu sein. Zum einen können Systeme
mit beliebigen Parameterabhängigkeiten reduziert werden. Zum anderen kann die
Matrix Interpolation mit beliebigen Reduktionsverfahren für nichtparametrische
Systeme kombiniert werden, solange diese auf einer Projektion mit Hilfe der Ma-
trizen
V
und
W
beruhen. Da zudem die Ordnung des parametrischen reduzierten
Systems, insbesondere bei einer Abhängigkeit von mehreren Parametern, geringer
ist als bei der manuellen rationalen Interpolation, führt die Matrix Interpolation
zu besseren Reduktionsergebnissen. Allerdings nur unter der Voraussetzung, dass
die zusätzlichen Freiheitsgrade, die Anzahl und Lage der Parameterstützstellen
sowie die Gewichtsfunktionen
ωi
, in geeigneter Weise bestimmt werden können.
Die Matrix Interpolation wird im Rahmen dieser Arbeit ausschlieÿlich mit dem
IRKA eingesetzt. Dies ermöglicht eine weitgehend automatisierte Berechnung der
reduzierten Systeme an den Parameterstützstellen. Die zusätzlichen Freiheitsgra-
de, d.h. die Anzahl und Lage der Parameterstützstellen sowie die Gewichtsfunk-
tionen entstehen als Nebenprodukt der in Kapitel 5 beschriebenen Interpolation
von Paretomengen. Das dort beschriebene Vorgehen führt zu parametrischen Sys-
temen, die auch über eine an-lineare Parameterabhängigkeit verfügen, sodass
Parametrische Modellordnungsreduktion 67
auch die manuelle rationale Interpolation parametrischer Systeme eingesetzt wer-
den kann. Konkrete Resultate für beide Ansätze sind in Abschnitt 5.4 zu nden.
Tabelle 3-3
:
Innerhalb dieser Arbeit verwendete Verfahren der PMOR
Rationale Interpolation der Übertragungsfunktion
Parametrisches Originalsystem
manuelle Interpolation Matrix Interpolation
Algorithmus:
objektorientierter Arnoldi-Al-
gorithmus beliebiger Algorithmus (z.B.
IRKA) + anschlieÿende Inter-
polation der reduzierten Sys-
teme
Parameter:
Deationsschranke
ε
Parameter des
Reduktionsverfahrens
Entwicklungspunkte
si
Anzahl
nS
der reduzierten
Systeme
Anzahl Basisvektoren
qi
zugehörige Parameter-
stützstellen
pi
,
1≤i≤nS
Gewichtsfunktionen
ωi
,
1≤i≤nS
Eigenschaften:
4
Einuss auf Approxima-
tionseigenschaften (z.B.
stat. Genauigkeit)
4
Ableitungen nach den
Parametern können einfach
berücksichtigt werden
8
aufwändige manuelle
Auswahl von
si
und
qi
8
nur bei an-linearer
Parameterabhängigkeit
anwendbar
8
Ordnung des reduzierten
Systems erhöht sich bei
steigender Zahl von
Parametern
4
mit beliebigen nichtpara-
metrischen Reduktions-
verfahren kombinierbar
4
Art der Parameterab-
hängigkeit ist beliebig
4
geringere Ordnung des
reduzierten Systems bei
vielen Parametern
8
Anzahl und Lage der
Stützstellen muss manuell
gewählt werden
8
Bestimmung geeigneter
Gewichtsfunktionen bei
vielen Parametern
aufwändig
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 69
4 Mehrzieloptimierung selbstoptimierender
Systeme
In diesem Kapitel werden die Zusammenhänge vorgestellt, die für eine Verknüp-
fung der Mehrzieloptimierung mit der in den beiden vorhergehenden Kapiteln
beschriebenen PMOR notwendig sind. Dazu gehört ein kurzer Überblick über die
Grundlagen der Mehrzieloptimierung in Abschnitt 4.1 sowie eine Darstellung der
hierarchischen Optimierung in Abschnitt 4.2 in der in dieser Arbeit verwendeten
Form. Für die Verzahnung der hierarchischen Optimierung mit der PMOR sind
die in der Optimierung verwendeten Modelle von entscheidender Bedeutung. Da-
her wird eine allgemeine Modellstruktur für die auf Simulationen basierte Mehr-
zieloptimierung selbstoptimierender Systeme in Abschnitt 4.3 dargestellt. Im letz-
ten Abschnitt dieses Kapitels werden zwei Mehrzieloptimierungsprobleme und ih-
re Lösungsmengen aus dem Kontext des Feder-Neige-Prüfstands präsentiert. Die
vorgestellten Ergebnisse bilden die Grundlage für die Anwendungsbeispiele in den
weiteren Kapiteln.
4.1 Grundlagen der Mehrzieloptimierung
Die Mehrzieloptimierung ist seit langem Gegenstand intensiver Forschung. Erste
Ansätze gehen bereits auf das 18. Jahrhundert zurück. Seitdem sind zahlreiche
Anwendungsbeispiele, Beiträge zur Theorie und algorithmische Weiterentwicklun-
gen entstanden. Eine Übersicht über den aktuellen Stand der Technik würde den
Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen. Einen guten Überblick über etablierte
Methoden sowie fast 700 Verweise auf weiterführende Literatur sind in [Mie99]
zu nden. Die Darstellung innerhalb dieses Abschnitts beschränkt sich auf die
Einführung der für das Verständnis dieser Arbeit notwendigen Zusammenhänge.
Zudem werden die verwendeten Algorithmen kurz präsentiert.
Das Ziel der Mehrzieloptimierung besteht aus der gleichzeitigen Minimierung
(oder Maximierung) mehrerer Zielfunktionen
fi:Rnp→R, p 7→ fi(p),1≤i≤no
die im Zielfunktionsvektor
F(p)=[f1(p), . . . , fno(p)]
,
(no≥2)
zusammenge-
fasst werden. Für alle folgenden Betrachtungen wird angenommen, dass die Ziel-
funktionen zweimal stetig dierenzierbar sind. Zum Vergleich von zwei Vektoren
u, v ∈Rno
wird die folgende Ordnungsrelation eingeführt. Der Vektor
u
ist kleiner
oder gleich
v
, d.h.
u≤v
, falls
ui≤vi,1≤i≤no
70 Kapitel 4
gilt. Mit Bezug zu dieser Ordnungsrelation ist ein Mehrzieloptimierungsproblem
(MOP) deniert als
min
p{F(p) : p∈ D ⊆ Rnp}.
(4-1)
Der Denitionsbereich
D
ist innerhalb dieser Arbeit ausschlieÿlich durch obere
und untere Schranken,
pi,
min
≤pi≤pi,
max
,1≤i≤np
festgelegt. Die Lösung des MOP (4-1) ist durch die sogenannten nichtdominierten
bzw. paretooptimalen Punkte
p?∈ D
gegeben. Ein Vektor
u
dominiert hierbei
einen Vektor
v
, falls
u≤v
und
ui< vi
für mindestens ein
i∈ {1, . . . , np}.
Alle nichtdominierten Punkte zusammen bilden die Paretomenge
PF={p?∈ D :@p∈ D
mit
F(p)
dominiert
F(p?)}.
Gerade bei der praktischen Berechnung von Paretopunkten werden oftmals nur
lokale Paretopunkte als Ergebnis zurückgegeben. Diese unterscheiden sich von
den bisher denierten globalen Paretopunkten in der Hinsicht, dass nur inner-
halb einer Umgebung
U ⊆ D
, mit
p?∈ U
, der Paretopunkt
p?
ein nichtdomi-
nierter Punkt ist. Jeder globale Paretopunkt ist natürlicherweise auch ein lokaler
Paretopunkt. Die Umkehrung gilt, falls die Zielfunktionen
fi
sowie der Deni-
tionsbereich
D
konvex sind. Eine Funktion
fi
ist hierbei konvex, falls für zwei
beliebige Vektoren
p1, p2∈Rnp
und
0≤β≤1
die Ungleichung
fi(βp1+ (1 −β)p2)≤βfi(p1) + (1 −β)fi(p2)
erfüllt ist.
Jeder (lokale und globale) Paretopunkt erfüllt die sogenannte Karush-Kuhn-
Tucker Bedingung (KKT-Bedingung), siehe [Kar39] und [KT51]. Diese stellt eine
notwendige jedoch nicht hinreichende Bedingung der Paretooptimalität dar. Die
KKT-Bedingung sagt aus, dass es für jeden paretooptimalen Punkt
p?∈PF
eines
MOP (4-1) ohne Nebenbedingungen einen Vektor
γ∈Rno
gibt mit
γi≥0,(1 ≤i≤no)
und
no
X
i=1
γi= 1,
sodass
no
X
i=1
γi∇fi(p?) = 0
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 71
F(D)
F(PF)
γ
F(p?)
γTF(p?) = c
f1
f2
Bild 4-1
:
Paretofront für zwei Zielfunktionen und geometrische Bedeutung von
γ
gilt. Für MOP mit Nebenbedingungen sind zusätzlich die Lagrange-Multiplika-
toren und Ableitungen nach den aktiven Nebenbedingungen zu betrachten. Da
im Rahmen dieser Arbeit jedoch nur MOP ohne zusätzliche Nebenbedingungen
betrachtet werden, wird an dieser Stelle auf eine explizite Angabe der erweiterten
KKT-Bedingung verzichtet. Weiterführende Details sind beispielsweise in [Hil01]
zu nden. Die KKT-Bedingung besagt, dass die Gradienten der Zielfunktionen
für jeden paretooptimalen Punkt
p?
linear abhängig sind.
Mit Hilfe der KKT-Bedingung und Resultaten aus der Dierentialgeometrie lässt
sich zeigen, dass die paretooptimalen Punkte unter gewissen Voraussetzungen,
z.B.
no≥np
, eine
(no−1)
-dimensionale, dierenzierbare Mannigfaltigkeit bil-
den. Der Beweis sowie die dafür notwendigen Grundlagen der Dierentialgeome-
trie sind ebenfalls in [Hil01] nachzulesen. Eine wichtige Folgerung hieraus besteht
darin, dass Paretopunkte nicht isoliert vorkommen können, sondern stets eine (zu-
mindest lokal) zusammenhängende Lösungskurve bilden. Dies ist eine wesentliche
Voraussetzung für die im Rahmen dieser Arbeit entwickelte parametrische Mo-
dellordnungsreduktion. Weiterhin ist beachtenswert, dass die Dimension
(no−1)
der Paretomenge nur von der Anzahl
no
der Zielfunktionen, aber nicht von der
Anzahl
np
der Optimierungsparameter abhängt.
Die typische Form einer Paretomenge im Bildraum (für ein MOP mit zwei Ziel-
funktionen), d.h. das Resultat
F(PF)
der Anwendung von
F
auf die Paretomenge
PF
, ist in Bild 4-1 zu nden. Im Folgenden wird die Paretomenge im Bildraum zur
besseren Unterscheidung als Paretofront bezeichnet. In Bild 4-1 ist ebenfalls die
geometrische Bedeutung des Vektors
γ
angedeutet. Dieser steht immer senkrecht
72 Kapitel 4
auf der Tangentialebene im zugehörigen Paretopunkt
F(p?)
. Dies folgt aus der
Betrachtung der skalaren Funktion
gγ(p) =
no
X
i=1
γifi(p) = γTF(p),
mit
γi≥0,(1 ≤i≤no).
Die notwendige Bedingung für ein Minimum von
gγ(p)
führt direkt auf die KKT-
Bedingung, falls
γ
entsprechend normiert ist. Zudem wird durch
γTF(p) = c
eine Ebene im Bildraum beschrieben, zu der
γ
orthogonal ist. Die Minimierung
von
gγ
entspricht geometrisch einer Verschiebung dieser Ebene in Richtung des
Koordinatenursprungs. Das Minimum ergibt sich für den Paretopunkt, an dem
die Ebene tangential an der Paretomenge liegt.
Zur Berechnung der Paretomenge wird das MOP (4-1) oftmals in verschiedene
skalare Optimierungsprobleme umgewandelt, die in geeigneter Weise durch einen
Satz von Parametern beschrieben sind. Durch die Lösung der skalaren Optimie-
rungsprobleme werden einzelne Paretopunkte bestimmt. Über Variationen der
Parametrierung kann eine Approximation der gesamten Paretomenge erzielt wer-
den. Der Vorteil dieser Herangehensweise liegt darin, dass die Algorithmen und
theoretischen Resultate, wie beispielsweise notwendige und hinreichende Optima-
litätsbedingungen, aus der skalaren Optimierung genutzt werden können.
Ein Beispiel für die Umwandlung eines MOP in mehrere skalare Optimierungs-
probleme ist die bereits erwähnte Funktion
gγ(p)
. Mit diesem Ansatz, bekannt als
gewichtete Summe, können durch eine Variation der Parametrierung
γ
verschie-
dene Paretopunkte berechnet werden.
Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte
ε
-Constraint Methode. Hier wird nur ei-
ne einzelne Zielfunktion minimiert. Für die übrigen Zielfunktionen werden obere
Schranken festgelegt, die in Form von Gleichheits- oder Ungleichheitsnebenbedin-
gungen in das skalare Optimierungsproblem einieÿen. Die Parametrierung wird
bei diesem Verfahren von den oberen Schranken gebildet.
Als letztes Beispiel sei noch die NBI Methode (Normal Boundary Intersection Me-
thod) genannt, bei der ein geometrischer Ansatz verfolgt wird. Zu Beginn werden
die Minima der einzelnen Zielfunktionen berechnet. Anschlieÿend wird zwischen
diesen Punkten im Bildraum ein Simplex deniert. Ausgehend von Punkten auf
diesem Simplex werden in orthogonaler Richtung Schnittpunkte mit der Pareto-
front durch die Lösung eines speziellen Optimierungsproblems berechnet. Weitere
Details zu den drei erwähnten Beispielen sind z.B. in [Hil01] beschrieben.
Die Umwandlung eines MOP in mehrere skalare Optimierungsprobleme hat zwei
Nachteile. Zum einen ist nicht gesichert, dass die berechneten Lösungen wirklich
paretooptimale Punkte des MOP sind. Oftmals werden lokale Minima berech-
net, die von den tatsächlichen Paretopunkten dominiert werden. Zum anderen ist
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 73
gerade aus Sicht des Anwenders eine gleichmäÿige Verteilung der Paretopunkte
erwünscht. Diese lässt sich aber a priori meist nicht vorhersehen und daher oft-
mals nur iterativ herstellen. Betrachtungen zu dieser Problematik sind u.a. in
[Mün12] zu nden.
Als Alternative zu den Skalarisierungstechniken können Verfahren eingesetzt wer-
den, mit denen die gesamte Paretomenge approximiert wird. Weit verbreitet ist
auf diesem Gebiet der Einsatz stochastischer Methoden. Ein Beispiel stellen die
evolutionären Algorithmen dar, die durch eine stetige Verbesserung einer Popula-
tion, d.h. einer Menge von Vektoren im Parameterraum, die Paretomenge iterativ
approximieren, siehe z.B. [Deb99].
In der vorliegenden Arbeit wird eine weitere Variante, ein mengenorientierter
Ansatz, verwendet, um Paretomengen zu berechnen. Im Folgenden wird ein kur-
zer Überblick über die Grundlagen dieses Optimierungsansatzes gegeben. Die
Grundidee besteht darin, eine denierte Anfangsmenge, beschrieben durch ein
mehrdimensionales Rechteck im
Rnp
, bezeichnet als eine Box
B0
, sukzessive zu
unterteilen und nur die Boxen zu behalten, in denen Teile der Paretomenge liegen.
Die hierfür verwendeten Algorithmen wurden ursprünglich zur Berechnung relati-
ver, globaler Attraktoren dynamischer Systeme entwickelt [DH97]. Implementiert
sind sie in dem Softwaretool GAIO [DFJ00], dessen spezielle Erweiterungen auf
MOP innerhalb der vorliegenden Arbeit genutzt werden. Eine Übertragung der
Methodik aus dem Bereich der dynamischen Systeme auf die Mehrzieloptimierung
ist möglich, da die zu berechnenden Paretomengen relative, globale Attraktoren
spezieller dynamischer Systeme darstellen, was im Weiteren noch gezeigt wird.
Ein globaler Attraktor eines dynamischen Systems stellt eine attraktive, inva-
riante Teilmenge des Zustandsraums dar. Dies bedeutet, dass sich Trajektorien
mit beliebigen Anfangswerten an den Attraktor annähern. Ein relativer globaler
Attraktor erweitert den Begri des Attraktors in der Hinsicht, dass man zunächst
eine kompakte Teilmenge
Q
des Zustandsraums deniert und untersucht, ob es
für alle Punkte aus
Q
eine attraktive Teilmenge in
Q
gibt. Ist das dynamische
System in diskreter Form beschrieben durch
xk+1 =F(xk)
mit
k∈N0,
so ist der relative globale Attraktor gegeben als
AQ=\
k≥0
Fk(Q).
Ein relativer, globaler Attraktor entspricht im Allgemeinen nicht dem Anteil des
globalen Attraktors an der Ausgangsmenge
Q
. Umgekehrt ist der relative, globale
Attraktor jedoch stets eine Teilmenge des globalen Attraktors.
74 Kapitel 4
Der Unterteilungsalgorithmus zur Approximation eines relativen, globalen At-
traktors besteht aus der wiederholten Ausführung der folgenden beiden Schrit-
te, ausgehend von einer Startbox
B0=Q
mit einem bestimmten Durchmesser
diam
(B0)
.
(i) Erzeuge eine feinere Boxüberdeckung
ˆ
Bk
mit
[
B∈ˆ
Bk
B=[
B∈Bk−1
B
und diam
(ˆ
Bk) = θk
diam
(Bk−1)
mit
0< θk<1.
(ii) Bestimme die neue Boxüberdeckung als
Bk=nB∈ˆ
Bk:∃ˆ
B∈ˆ
Bk
mit
F−1(B)∩ˆ
B6=∅o,
d.h. es werden nur diejenigen Boxen behalten, in die Trajektorien hinein-
laufen.
Falls die Funktion
F
des untersuchten dynamischen Systems ein Dieomorphis-
mus ist, d.h. eine stetig dierenzierbare und bijektive Abbildung, so konvergiert
die Boxüberdeckung
Bk
für
k→ ∞
gegen den relativen, globalen Attraktor, siehe
[DH97]. Bei der numerischen Umsetzung wird dabei die Auswahl in Schritt (ii)
durch eine endliche Zahl von Testpunkten realisiert.
Ein Zusammenhang mit der Mehrzieloptimierung kann hergestellt werden, indem
erneut die KKT-Bedingung benutzt wird. Dazu betrachtet man die Funktion
κ:Rnp→Rno, κ(p) =
no
X
i=1
ˆγi∇fi(p),
wobei
ˆγ
für jedes feste
p∈Rnp
eine Lösung des quadratischen Minimierungspro-
blems
min
γ∈Rno
no
X
i=1
γi∇fi(p)
2
2
;γi≥0, i = 1, . . . , no,
no
X
i=1
γi= 1
ist. Die Paretopunkte des MOP bilden Nullstellen von
κ
, da in den Nullstellen die
KKT-Bedingung erfüllt ist. Darüber hinaus stellt
κ(p)
auÿerhalb der Nullstellen
stets eine Abstiegsrichtung des MOP dar. Durch eine geeignete Formulierung
diskreter dynamischer Systeme der Form
pk+1 =pk+hkκ(pk),
(4-2)
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 75
mit einer Schrittweite
hk
, lässt sich zeigen, dass sämtliche Trajektorien gegen die
Nullstellenmenge von
κ
konvergieren, die somit den globalen Attraktor bildet.
Der mathematische Beweis sowie eine ausführliche Beschreibung dieses mengen-
orientierten Ansatzes sind in [Sch04] zu nden.
Bei der praktischen Anwendung hängen die Konvergenz und die Konvergenzge-
schwindigkeit stark von dem gegebenen Optimierungsproblem ab. Insbesondere
die Anzahl der verwendeten Testpunkte innerhalb der Boxstruktur hat einen ent-
scheidenden Einuss sowohl auf die Laufzeit als auch auf die Güte der Approxi-
mation der Paretomenge. In ungünstigen Fällen, z.B. bei langsamer Konvergenz
oder hochdimensionalen Parameterräumen, kann die Anzahl der Boxen stark an-
steigen, was wiederum zu langen und speicheraufwändigen Berechnungen führt.
Abhilfe können hier Varianten des mengenorientierten Ansatzes schaen, die eine
Boxüberdeckung der Paretofront im Bildraum bestimmen, siehe [Del08].
Eine andere Alternative zur Lösung des letztgenannten Problems besteht in dem
Einsatz eines Unterteilungsalgorithmus, der keine Ableitungen benötigt. Eine der-
artige Variante, bezeichnet als
sampling
-Algorithmus, ist ebenfalls in GAIO ver-
fügbar und wurde erfolgreich im Rahmen dieser Arbeit eingesetzt. Beim
sampling
-
Algorithmus wird der zweite Schritt des Unterteilungsalgorithmus durch einen
Nichtdominanztest ersetzt. Dies bedeutet, dass erneut in jeder Box Testpunkte
generiert werden. Aber statt für jeden dieser Testpunkte eine Trajektorie für das
System (4-2) bzgl.
κ
zu berechnen, wird jeder Punkt in den Bildraum unter An-
wendung von
F
abgebildet. Aus den resultierenden Punkten im Bildraum werden
die nichtdominierten Punkte bestimmt. In der Boxüberdeckung werden darauf-
hin alle Boxen entfernt, die keine nichtdominierten Punkte enthalten. Zusätzlich
werden in einem Archiv alle nichtdominierten Punkte abgelegt, sodass während
der Unterteilungsschritte keine bereits bestimmten Punkte verloren gehen.
Der klare Vorteil des mengenorientierten Ansatzes liegt in seiner Globalität. Ins-
besondere beim
sampling
-Algorithmus erhält der Anwender als Ergebnis eine
Menge nichtdominierter Punkte, die aus zufällig gewählten und über den gesam-
ten Parameterraum verteilten Testpunkten generiert wurde, sodass lokale Minima
vermieden werden. Ein weiterer Vorteil ist die gleichmäÿige Verteilung der berech-
neten Paretopunkte bei dem mengenorientierten Ansatz. Diese ergibt sich direkt
aus der Verfeinerung der Boxen, da jede Box mindestens einen der berechneten
Paretopunkte enthält.
4.2 Hierarchische Mehrzieloptimierung
Die hierarchische Optimierung dient dazu, mehrere voneinander abhängige MOP
ezient zu lösen. Die beteiligten MOP sind nicht gleichberechtigt, sondern bilden
eine hierarchische Struktur. Solch eine Struktur ergibt sich etwa aus der in Kapitel
76 Kapitel 4
...
Bild 4-2
:
Schematische Darstellung der hierarchischen Optimierung für zwei
Hierarchieebenen
1 beschriebenen hierarchischen Modellierung selbstoptimierender Systeme, indem
für jedes Teilsystem eigene Zielfunktionen und Optimierungsparameter deniert
werden. Die Gesamtheit der Optimierungsprobleme besitzt dann die gleiche hier-
archische Struktur wie das selbstoptimierende System.
In [Del08] werden sogenannte Bi-Level MOP betrachtet, die für den Spezialfall
einer Hierarchie aus zwei Ebenen mit genau einem unterlagerten und einem über-
lagerten MOP entwickelt wurden. Für diese spezielle Art der hierarchischen Opti-
mierung werden in [Del08] sowohl theoretische Optimalitätsbedingungen, als auch
auf die Lösung von Bi-Level MOPs zugeschnittene Algorithmen vorgestellt.
Innerhalb dieser Arbeit wird ein allgemeinerer Ansatz verfolgt, der mehrere un-
terlagerte MOP und eine beliebige Anzahl von Hierarchieebenen zulässt. Als
Voraussetzung müssen jedoch die Optimierungsparameter der MOP auf gleicher
Hierarchieebene disjunkt zueinander sein. Stammt die Hierarchie aus der System-
struktur des selbstoptimierenden Systems, wird dies oftmals der Fall sein. Das im
folgenden beschriebene Verfahren wurde bereits mehrfach im Kontext selbstop-
timierender Systeme eingesetzt, siehe [MAK
+
08, KWTD11, HKK
+
12, Mün12].
Die prinzipielle Funktionsweise der hierarchischen Optimierung ist in Bild 4-2
dargestellt. Betrachtet werden auf einer nicht näher bestimmten Hierarchieebene
die unterlagerten MOPs
min
p(i)f(i)(p(i)) : p(i)∈ D(i)⊆Rnp,i
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 77
mit den Zielfunktionen
f(i):Rnp,i →Rno,i (1 ≤i≤l)
, wobei innerhalb dieser
Arbeit einfachheitshalber nur unterlagerte MOP mit zwei Zielfunktionen (
no,i =
2
) betrachtet werden. Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Zielfunktionen ist
jedoch möglich, siehe Abschnitt 5.5.3. Die zugehörigen Paretomengen seien mit
Pf(i)⊆Rnp,i
bezeichnet. Das überlagerte MOP, das auch von den Parametern
der unterlagerten MOP abhängt, wird nun in der Weise eingeschränkt, dass nur
paretooptimale Kongurationen der unterlagerten MOP verwendet werden. Somit
ergibt sich für das überlagerte MOP
min
p,p(1),...,p(l)F(p, p(1), . . . , p(l)) : p∈ D, p(i)∈Pf(i).
Die Lösung des hierarchischen Optimierungsproblems erfolgt nun bottom-up
in mehreren Schritten. Zunächst werden die unterlagerten MOP gelöst und die
zugehörigen Paretomengen
Pf(i)
berechnet. Unter der Annahme, dass diese MOP
hinreichend glatt sind, stellen die Paretomengen eindimensionale Kurven (Man-
nigfaltigkeiten) im jeweiligen Parameterraum dar. Daher kann eine Parametrisie-
rung über skalare Parameter
αi
mittels der Funktionen
si: [0, αi,max]→Pf(i), si(αi) = p?(i),(1 ≤i≤l)
berechnet werden. Konkrete Varianten derartiger Parametrierungen werden aus-
führlich in Kapitel 5 behandelt. Das überlagerte Optimierungsproblem kann nun
bezüglich
αi
ausgedrückt werden als
min
p,α1,...,αl
{F(p, s1(α1), . . . , sl(αl)) : p∈ D,0≤αi≤αi,max}
und mit den in Abschnitt 4.1 beschriebenen Verfahren der Mehrzieloptimierung
gelöst werden. Es unterscheidet sich qualitativ nicht mehr von den unterlagerten
MOP und kann daher auch selbst wieder ein unterlagertes MOP bilden.
Die hierarchische Optimierung besitzt zwei Vorteile verglichen mit der Lösung
eines gesamten MOP, in dem sämtliche Zielfunktionen der gesamten Hierarchie
unter Variation aller Optimierungsparameter berücksichtigt werden. Zum einen
lassen sich die Teilprobleme wesentlich schneller lösen, da sowohl weniger Ziel-
funktionen als auch weniger Optimierungsparameter in jedem Teilproblem be-
rücksichtigt werden müssen. Zum anderen ist eine hochdimensionale Paretofront
aus technischer Sicht nur sehr schwer analysierbar und interpretierbar. Geeignete
Parameterwerte für konkrete Aufgabenstellungen lassen sich nur schlecht bestim-
men. Dem gegenüber sichert der hierarchische Ansatz ab, dass alle Parameter der
unterlagerten Teilprobleme optimal bezüglich der dort genutzten Ziele sind und
dennoch eine gewisse Variabilität aufweisen, um das Verhalten des Gesamtsys-
tems zu optimieren.
78 Kapitel 4
Durch die Einschränkung der unterlagerten MOP kann jedoch die Paretoopti-
malität bezüglich eines nicht beschränkten Gesamtproblems verloren gehen. Die
mit der hierarchischen Optimierung berechneten Paretomengen können besten-
falls gleiche Zielfunktionswerte aufweisen, werden im Allgemeinen aber aufgrund
der Parameterbeschränkung von den theoretisch erzielbaren Ergebnissen abwei-
chen, siehe auch [MAK
+
08] für einen Vergleich der beiden Ansätze. Dies stellt
einen Nachteil der hierarchischen Optimierung dar. Zudem müssen, wie bereits
erwähnt, die unterlagerten MOP stets unabhängig voneinander formuliert werden
können, damit der hier aufgezeigte Lösungsansatz angewendet werden kann.
4.3 Optimierungsmodell für selbstoptimierende Systeme
Die in den vorhergehenden Abschnitten beschriebenen Verfahren der Mehrziel-
optimierung werden im Rahmen selbstoptimierender Systeme zur Berechnung
optimaler Systemkongurationen eingesetzt. Die Anwendung von Mehrzielopti-
mierung besitzt hier entscheidende Vorteile. Zum einen können mehrere innerhalb
des Entwurfsprozesses denierte Ziele gleichzeitig betrachtet werden. Zum ande-
ren steht mit der Paretomenge als Ergebnis eine Menge optimaler Kompromisse
zur Verfügung. Werden die zulässigen Systemkongurationen auf die Paretomen-
ge beschränkt, so agiert das System, zumindest der Theorie nach, stets optimal.
Die für die Realisierung der Selbstoptimierung notwendige Anpassungsfähigkeit
des Systems bleibt erhalten, indem das System zur Laufzeit den am besten ge-
eigneten Punkt auf der Paretomenge auswählt.
Die Optimierungsprobleme im Kontext selbstoptimierender Systeme zielen stets
auf eine Verbesserung des dynamischen Verhaltens ab. Da sich das selbstoptimie-
rende System während des Betriebs an veränderliche Situationen anpassen soll,
handelt es sich nicht um eine Optimierung der Komponenten, z.B. hinsichtlich
ihrer Geometrie oder Dimensionierung. Derartige Systemparameter müssen vor
der Fertigung des Systems in geeigneter Weise ausgelegt werden (vgl. [VDI04b])
und können zur Laufzeit nur noch in sehr eingeschränkter Weise oder gar nicht
mehr variiert werden.
Im Gegensatz hierzu lässt sich die Informationsverarbeitung des Systems auch
zur Laufzeit noch adaptieren. Hier hat die implementierte Regelung den entschei-
denden Einuss auf das dynamische Verhalten. Aus diesem Grund stellen die
Parameter der Regelung in den auf selbstoptimierende Systeme zugeschnittenen
Optimierungsproblemen die Optimierungsparameter dar. Die Art der Parameter
der Regelung ist hierbei nicht näher eingeschränkt. Neben Verstärkungsfakto-
ren aus klassischen Reglern für Eingröÿensysteme sind auch Gewichtungen z.B.
aus dem Riccati-Entwurf oder andere abstrakte Parameter vorstellbar, die bei-
spielsweise eine Störgröÿenkompensation beschreiben. Aus diesem Grund handelt
es sich um eine Verallgemeinerung optimaler Regelungen, wie der LQ-Regelung
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 79
Anregung Bewertung
Strecke
p
Regelung
Auswertung
y(t)
Bild 4-3
:
Optimierungsmodell für die simulationsbasierte Mehrzieloptimierung
selbstoptimierender Systeme
[AM71] oder auch der modellprädiktiven Regelung [GP11, Gra12], die zumindest
in ihrer ursprünglichen Form feste Ziele und bestimmte Optimierungsparameter
vorgeben.
Eine Optimierung des dynamischen Verhaltens in der geschilderten allgemeinen
Form kann nur mit Hilfe eines geeigneten Modells des selbstoptimierenden Sys-
tems durchgeführt werden. Die Erstellung eines verizierten und validierten Mo-
dells der Regelstrecke stellt selbst ein komplexes Problem mit vielen unterschied-
lichen Facetten dar, auf das an dieser Stelle nicht näher eingegangen wird. In der
Literatur ndet sich eine groÿe Anzahl von Arbeiten, die sich mit der Modell-
bildung beschäftigen. Beispielhaft sei auf [Ise08, SW10, HPZA10, Jan10] verwie-
sen.
Innerhalb dieses Abschnitts wird auch keine Unterscheidung getroen, ob das
Modell der geregelten Strecke direkt aus physikalischen Gesetzen abgeleitet wur-
de oder Teil des in Kapitel 1 beschriebenen hierarchischen Modells ist und somit
wiederum separat geregelte und optimierte Teilsysteme enthält. Für die folgenden
Ausführungen wird davon ausgegangen, dass sowohl die Regelstrecke, als auch die
Regelung in geeigneter Weise durch ein Modell gegeben sind. Es ist an dieser Stelle
ebenfalls nicht erheblich, ob die Modelle linear oder nichtlinear sind. Die Mehr-
zieloptimierung kann ohne Weiteres auch auf nichtlineare Systeme angewandt
werden. Ausgehend von dem vorhandenen Modell der geregelten Strecke wird im
Folgenden dargestellt, wie ein Optimierungsmodell für die Mehrzieloptimierung
selbstoptimierender Systeme aufgebaut werden kann.
Die Zielgröÿen, bzgl. der das System optimiert werden soll, sind im Allgemeinen
nicht direkt aus dem Modell ablesbar. Die Ausnahme bilden sehr einfache Zie-
le wie beispielsweise die Dämpfung bestimmter Eigenfrequenzen, die mit Hilfe
von Bode-Diagrammen analysiert werden kann. Allgemein ist es notwendig, be-
stimmte, auf die Zielfunktionen abgestimmte Simulationen des geregelten Systems
durchzuführen. Abgesehen von dem Fall, dass das Systemverhalten für speziel-
le und vorher bekannte Situationen optimiert werden soll, führt man zumeist
möglichst allgemeingültige Referenzsimulationen aus. In diesen müssen sich alle
relevanten dynamischen Eigenschaften des Systems abzeichnen. Für solch eine
80 Kapitel 4
Simulation wird ein erweitertes Modell, dargestellt in Bild 4-3, verwendet. Dieses
enthält neben der Regelstrecke und der Regelung die Auswertung der eigentlichen
Zielfunktionen sowie ein Anregungs- und ein Bewertungsmodell, mit deren Hilfe
das Optimierungsproblem speziziert wird.
Der Regelungsblock in Bild 4-3 ist hier sehr allgemein zu verstehen und nicht auf
klassische Rückführungen begrenzt. Es können prinzipiell auch Regelkonzepte auf
Basis der sogenannten Zwei-Freiheitsgrade-Struktur [Rop09] zum Einsatz kom-
men, die neben einer Rückführung auch Anteile zur Steuerung enthalten. Ebenso
sind auch Zustands- oder Störgröÿenbeobachter sowie eine Störgröÿenaufschal-
tung denkbar und mit den Methoden der Mehrzieloptimierung behandelbar. Die
einzige Voraussetzung besteht darin, dass eine feste Anzahl kontinuierlicher Para-
meter, im Weiteren bezeichnet durch den Vektor
p∈Rnp
, deniert werden kann.
Diese Parameter müssen die gewünschten Freiheitsgrade des Regelungsentwurfs
widerspiegeln.
Im Anregungsmodell werden die Störgröÿen und falls erforderlich auch die Füh-
rungsgröÿen berechnet. Hierdurch wird die Situation bzw. das Szenario deniert
bzgl. dessen das dynamische Verhalten optimiert werden soll. Als Führungsgrö-
ÿen sind generische Signale wie beispielsweise Sprung- oder Rampenfunktionen
oder auch Steuertrajektorien für das System denkbar. Die Störgröÿen werden oft-
mals durch stochastische Signale nachgebildet. Im Rahmen der in dieser Arbeit
durchgeführten Optimierungen wird zum Beispiel ein Gauÿ'sches weiÿes Rauschen
verwendet. In besonderen Fällen sind die Anregungsdaten genauer bekannt. Bei-
spielsweise wurden bei der aktiven Spurführung des RailCab die Anregungen mit
Hilfe iterativer Lernverfahren bestimmt und anschlieÿend eine Mehrzieloptimie-
rung durchgeführt [GWTD08]. Allgemein betrachtet wirken die Störgröÿen direkt
auf die Regelstrecke, während die Führungsgröÿen einen Eingang der Regelung
darstellen. Eine Ausnahme bildet hier die Störgröÿenaufschaltung, bei der die
messbaren Störgröÿen auf den Regelungsblock wirken.
Das Bewertungsmodell deniert zusammen mit dem Auswertungsblock die ei-
gentlichen Ziele bzgl. der das System optimiert werden soll. In vorhergehenden,
verwandten Arbeiten, z.B. [Mün12], [Kas85], wurden diese beiden Teile als Ein-
heit betrachtet. Zusammen dienen sie der Aufbereitung der Systemausgänge und
der Berechnung des Zielfunktionswertes. Innerhalb dieser Arbeit beinhaltet das
Bewertungsmodell alle Komponenten dieser Aufbereitung, die über eine eigene
Dynamik verfügen. Hierunter sind u.a. Frequenzgewichtungen zu verstehen wie
sie etwa in der VDI-Norm [VDI04a] zur Beschreibung der Auswirkungen von
Schwingungen auf das menschliche Empnden angegeben sind. In das Bewer-
tungsmodell können neben bestimmten Ausgängen der Regelstrecke, die nicht
unbedingt den Messgröÿen entsprechen müssen, auch Signale aus der Regelung
oder dem Anregungsmodell einieÿen. Das Anregungsmodell spielt beispielswei-
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 81
se eine Rolle, wenn zur Auswertung der Zielfunktionen ein Soll-Istwert Vergleich
zwischen Führungs- und Regelgröÿe notwendig ist. Ein Ausgang der Regelung
kann etwa zur Bestimmung des Regelaufwands ähnlich wie beim Riccati-Entwurf
genutzt werden.
Der Auswertungsblock beschreibt die eigentliche Berechnung des numerischen
Zielfunktionswertes aus den Zeitsignalen des Simulationsmodells. Hier können
sehr unterschiedliche Funktionen verwendet werden, beispielsweise Mittelwerte,
allgemeine Integrale von Zeitsignalen oder auch einzelne Werte zu bestimmten
Zeiten wie das Maximum oder Minimum eines gewissen Signals. Eine Übersicht
über mögliche Varianten für den Einsatz im Rahmen selbstoptimierender Systeme
ist in [Mün12] zu nden. Im Hinblick auf die in Abschnitt 4.1 beschriebenen
Eigenschaften von MOP lassen sich einige generelle Anforderungen ableiten.
Nach Möglichkeit sollten die Zielfunktionen zweimal stetig dierenzierbar sein.
Damit dies erfüllt ist, müssen nicht nur die Funktionen im Block Auswertung, son-
dern auch der Ausgang
y(t)
des Bewertungsblocks hinreichend glatt sein. Hierbei
ist mitunter die Kombination beider Anteile des Optimierungsmodells von Bedeu-
tung. So ist es beispielsweise ausreichend, wenn
y
einmal stetig dierenzierbar ist,
falls zur Auswertung das Integral
Ry
verwendet wird. Bei der Denition des Op-
timierungsproblems sollten daher sprunghafte Änderungen des Systemverhaltens
in der Nähe des Ausgangs
y
bei Variation der Parameter
p
vermieden werden.
Zur Vermeidung numerischer Probleme bei der Lösung des MOP ist zudem auf
eine angemessene Skalierung der Zielfunktionen zu achten, sodass die Werteberei-
che aller Zielfunktionen in der gleichen Gröÿenordnung liegen. Generelle Hinweise
hierzu sind bspw. in [Mie99] zu nden.
Um sicherzustellen, dass alle berechneten Paretopunkte globale und nicht etwa
lokale Paretopunkte darstellen, ist ein konvexes MOP hinreichend. Die Konvexi-
tät der gesamten Zielfunktion ist bei der simulationsbasierten Mehrzieloptimie-
rung nur schwer zu prüfen, da in vielen Fällen keine analytische Beschreibung
der Zielfunktionen vorliegt. Umgekehrt lässt sich aber schlieÿen, dass das ge-
samte MOP nicht konvex sein kann, wenn im Auswertungsblock nichtkonvexe
Funktionen verwendet werden. Die Konvexität geht zudem verloren, wenn einzel-
ne Optimierungsparameter keinerlei Einuss auf eine der Zielfunktionen haben.
Diese beiden Aspekte sind daher nach Möglichkeit bei der Denition des MOP
zu vermeiden.
4.4 Anwendungen der Mehrzieloptimierung
Der folgende Abschnitt veranschaulicht die beschriebenen Konzepte und Metho-
den der Mehrzieloptimierung. Dazu werden zwei verschiedene Mehrzieloptimie-
rungsprobleme deniert und die zugehörigen Lösungen präsentiert. Beide Anwen-
82 Kapitel 4
Anregung
Bewertung Auswertung
Strecke
Regelung
Bild 4-4
:
Optimierungsmodell des Aktormoduls
dungsbeispiele beschäftigen sich mit dem Feder-Neige-Prüfstand. In Abschnitt
4.4.1 wird die Regelung eines einzelnen Aktormoduls betrachtet und optimiert.
Anschlieÿend wird in Abschnitt 4.4.2 der gesamte Feder-Neige-Prüfstand behan-
delt. Beide Systeme wurden bereits in Abschnitt 1.3 vorgestellt. Die hier gezeig-
ten Ergebnisse dienen darüber hinaus als Anwendungsbeispiel für die im nächsten
Kapitel vorgestellte Variante der parametrischen Modellordnungsreduktion.
4.4.1 Mehrzieloptimierung des Aktormoduls
Die Funktion der Aktormodule besteht darin, die Federfuÿpunkte der GFK-
Federn in geeigneter Weise zu verstellen, sodass eine vorgegebene Kraft zwischen
der Aufbaumasse und der Anregungseinheit vorliegt. Dazu werden über eine in-
verse Kinematik aus den von der Aufbauregelung vorgegebenen Sollkräften die
benötigten Sollpositionen der drei Hydraulikzylinder berechnet.
Jeder der drei Hydraulikzylinder verfügt über eine eigene Positionsregelung des
Zylinderkolbens, die durch einen PD-Regler mit der Übertragungsfunktion
GR,zyl,i(s) = Kp,i +Kds
Tds+ 1
realisiert wird. In den Vorarbeiten [Krü09] und [Sch09] hat sich gezeigt, dass der
Einuss von
Kd
und
Td
auf das dynamische Verhalten des Gesamtsystems gering
ist. Daher wird für diese beiden Faktoren im Folgenden ein konstanter Wert ver-
wendet. Der wesentliche Einuss auf das dynamische Verhalten der Aktormodule
geht von den proportionalen Anteilen, beschrieben durch die drei Verstärkungs-
faktoren
Kp,1
,
Kp,2
und
Kp,3
, aus. Diese stellen daher die Optimierungsparameter
p
der innerhalb dieses Abschnitts beschriebenen Mehrzieloptimierung dar. Das
zugehörige Optimierungsmodell ist in Bild 4-4 dargestellt und wird im Folgenden
näher beschrieben.
Die erste betrachtete Zielgröÿe stellt gemittelte Leistung dar, die bei der Verstel-
lung der Hydraulikzylinder anfällt. Die hydraulische Leistung, die während des
Betriebs zur Verfügung gestellt werden muss, ergibt sich als Produkt
Phyd =psup ·Qsup(t),
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 83
wobei
psup
den als konstant angenommenen Versorgungsdruck und
Qsup(t)
den
aus der Versorgungseinheit kommenden Volumenstrom darstellen. In dem be-
trachteten Optimierungsmodell wird der Volumenstrom über die momentane Ge-
schwindigkeit
vzyl(t)
des Zylinderkolbens multipliziert mit der Kolbenäche an-
genähert. Da es sich bei den Hydraulikzylindern um Dierentialzylinder handelt,
müssen die beiden unterschiedlichen Kolbenächen
A1
und
A2
der beiden Zylin-
derkammern berücksichtigt werden. Daraus ergibt sich die vom Vorzeichen der
Zylindergeschwindigkeit abhängige Näherung für die hydraulische Leistung
Pzyl,i(t) = (A1psupvzyl,i(t)
für
vzyl,i(t)>0,
A2psupvzyl,i(t)
für
vzyl,i(t)<0,
wobei das Vorzeichen angibt, in welche Kammer der Volumenstrom gerichtet ist.
Weitere Details zu dieser Näherung sind in [Mün12] zu nden.
Als Zielfunktion werden die Leistungen der drei Hydraulikzylinder summiert und
über die Zeit mit Hilfe eines Integrals gemittelt, woraus sich die Funktion
f1(p) = 1
TZT
0
3
X
i=1
|Pzyl,i(t)|
dt (4-3)
ergibt. Die Zeit
T
gibt die Simulationszeit des Modells an und bleibt konstant
während der gesamten Optimierung.
Das zweite Ziel stellt die Regelgüte dar. Diese kann mathematisch durch die
Abweichung der Ist-Kraft
Fist(t)
in der GFK-Feder von der Soll-Vorgabe
Fsoll(t)
beschrieben werden. Hierbei wird die durchschnittliche quadratische Abweichung
f2(p) = s1
TZT
0
(Fsoll(t)−Fist(t))2
dt (4-4)
betrachtet.
Das Modell der Regelstrecke innerhalb des Optimierungsmodells besteht aus ei-
nem nichtlinearen Modell des Aktormoduls. Dieses beinhaltet ein nichtlineares
MKS-Modell der Lenkerplatte sowie nichtlineare Modelle der Hydraulikzylinder.
Das Aktormodul sowie der nicht mit diesem verbundene zweite Ankoppelpunkt
der GFK-Feder werden fest mit dem Inertialsystem verbunden
Als Anregungsmodell wird ein stochastisches Signal verwendet. Es handelt sich
um ein bandbegrenztes weiÿes Rauschen, das mit Hilfe eines PT1-Glieds geglättet
wird. Ein spezielles Bewertungsmodell wird für das Aktormodul nicht benötigt.
Die Ausgänge des Streckenmodells werden ohne zusätzliche Dynamik über die
Zielfunktionen (4-3) und (4-4) ausgewertet.
84 Kapitel 4
0 1000 2000 3000 4000
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Gemittelte Leistung [W]
Regelgüte [N]
Bild 4-5
:
Paretofront des Aktormoduls
Das resultierende MOP mit den Optimierungsparametern
p= [Kp,1, Kp,2, Kp,3]
ergibt sich als
min
p[f1(p), f2(p)] : p∈ S ⊆ R3.
Als Denitionsbereich
D
werden für die drei Verstärkungsfaktoren
pi,
min
= 0
und
pi,
max
= 3000
als untere bzw. obere Schranke deniert. Das MOP wird mit den
Unterteilungsalgorithmen aus Abschnitt 4.1 gelöst. Die resultierende Paretofront
ist in Bild 4-5 zu nden. Es ist deutlich zu erkennen, dass es sich um gegenläuge
Zielfunktionen handelt, die kein gemeinsames Minimum besitzen. Dies entspricht
auch der physikalischen Anschauung, da eine höhere Regelgüte mehr Energieauf-
wand erfordert.
Die Paretomenge im Urbildraum ist Bild 4-6 zu entnehmen. Der rechte Teil zeigt
die Boxüberdeckung, die mit GAIO berechnet wurde, der linke Teil die nichtdomi-
nierten Testpunkte, die sich ausschlieÿlich innerhalb der Boxen benden. Obwohl
es sich noch um ein dreidimensionales Objekt handelt, stellt es doch eine gute
Annäherung an die theoretisch zu erwartende, eindimensionale Paretomenge dar.
Im Rahmen der Optimierung wurden insgesamt 17 Unterteilungsschritte durchge-
führt, in denen alle Boxen in wechselnden Dimensionen halbiert wurden. Weitere
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 85
0
1000
2000
3000
0
1000
2000
0
500
1000
1500
2000
2500
Kp,1
Kp,2
Kp,3
0
1000
2000
3000
0
1000
2000
0
500
1000
1500
2000
2500
Kp,1
Kp,2
Kp,3
Bild 4-6
:
Paretomenge und Boxüberdeckung des Aktormoduls
Unterteilungen könnten prinzipell zu einer weiteren Annäherung an die theoreti-
sche Paretomenge führen. Allerdings ist die Approximationsgüte beschränkt, da
aufgrund der ausgeführten Simulation numerische Integrationsfehler in der Aus-
wertung der Zielfunktion vorhanden sind. Diese führen zu einer Art numerischem
Rauschen und beschränken die Berechnungsgenauigkeit der Zielfunktionswerte.
Die berechnete Paretomenge entspricht ebenfalls den zu erwartenden Ergebnissen.
Eine geringere Leistung entspricht kleineren Werten der Verstärkungsfaktoren.
Da kleinere Reglerverstärkungen zu einem langsameren Reaktionsverhalten der
Zylinder führen, entspricht dies den Erwartungen. Die Verstärkungen sind nach
oben begrenzt und nehmen nicht die maximal möglichen Werte an, da das System
bei zu groÿer Verstärkung instabil wird. Für instabile Systeme nehmen sowohl
der Energieverbrauch als auch die Abweichungen der Ist- von der Sollkraft zu.
Derartige Kongurationen können daher nicht paretooptimal sein.
Bemerkenswert an der Paretomenge ist, dass die Parameterwerte nicht gleichmä-
ÿig ansteigen, d.h. auf einer Geraden liegen. Hier kommt die bauliche Anordnung
der Hydraulikzylinder und der daraus resultierende variierende Einuss auf die
beiden Zielgröÿen zur Geltung. Für kleine Verstärkungen ist deutlich zu erkennen,
dass vor allem durch eine Erhöhung von
Kp,3
die Regelgüte verbessert wird. Ei-
ne Vergröÿerung der anderen Faktoren trägt ohne Zweifel auch zur Verbesserung
der Regelgüte bei. Allerdings wird hierfür so die Interpretation des Optimie-
rungsergebnisses deutlich mehr Energie für die gleiche Erhöhung der Regelgüte
benötigt. Mit anderen Worten wäre eine derartige Konguration nicht pareto-
optimal. Dies verdeutlicht einen der Vorteile der Mehrzieloptimierung. Derartige
Einüsse lassen sich durch eine manuelle Analyse des Systemverhaltens nicht oder
nur mit sehr groÿem Aufwand erkennen.
86 Kapitel 4
4.4.2 Mehrzieloptimierung des Feder-Neige-Prüfstands
Als zweites Anwendungsbeispiel einer einfachen, nicht hierarchischen Mehrziel-
optimierung wird die Regelung des gesamten Feder-Neige-Prüfstands optimiert.
Modelle der beiden Aktormodule aus dem vorhergehenden Abschnitt werden in
linearer Form berücksichtigt. Im Gegensatz zu dem hierarchischen Optimierungs-
ansatz, der in Abschnitt 6.1 behandelt wird, wird innerhalb dieses Abschnitts eine
feste Konguration für beide Aktormodule verwendet. Dazu wird ein fester Punkt
aus der Paretomenge der Aktormodule mit moderatem dynamischem Verhalten
gewählt.
Die gesamte Aufbauregelung des Feder-Neige-Prüfstands besteht aus einer relati-
ven Federung und Dämpfung sowie einem Sky-Hook Anteil, siehe [VT08] für wei-
tere Details zur Regelungsstrategie. Zur Vereinfachung wird im Folgenden nur die
Sky-Hook Regelung betrachtet. Dabei werden aus den gemessenen Beschleunigun-
gen der Aufbaumasse die von den Aktormodulen zu stellenden Kräfte berechnet.
Die Beschleunigungen werden mit Hilfe geeigneter Hochpass- und Tiefpasslter
modiziert, sodass für die Regelung Approximationen der absoluten Geschwin-
digkeiten der drei Freiheitsgrade des Aufbaus zur Verfügung stehen. Proportional
zu diesen Geschwindigkeiten wird die zu stellende Kraft über drei Faktoren
dz
,
dy
und
dϕ
berechnet und mittels kinematischer Umformungen in Sollkräfte der Ak-
tormodule umgerechnet.
Für die Mehrzieloptimierung werden erneut zwei Zielgröÿen deniert. Die erste
Zielfunktion stellt den Regelungsaufwand als Maÿ für den Energieverbrauch dar.
Er kann durch die zu realisierenden Sollkräfte angenähert werden, ähnlich wie
dies auch im Rahmen der Linear-Quadratischen-Regelungen geschieht.
Die zweite Zielfunktion beschreibt den durch die aktive Federung erzielten Kom-
fort. Diese Zielgröÿe setzt sich zusammen aus den Aufbaubeschleunigungen, die
im realen Fahrzeug auf die Insassen wirken würden. Untersuchungen zur Auswir-
kungen von Schwingungen auf das menschliche Wohlbenden folgend, werden die
Beschleunigungen frequenzabhängig gewichtet. Hierfür werden die in [VDI04a]
beschriebenen Bandpasslter eingesetzt. Der Komfort kann dann durch den zeit-
lichen Mittelwert der gewichteten Aufbaubeschleunigungen berechnet werden.
Als Zielfunktionen werden sowohl für den Energieverbrauch als auch für den Kom-
fort quadratische, zeitliche Mittelwerte
f1,2:R3→R, p 7→ f1,2(p) = 1
TZT
0
y(t)TQ1,2y(t)
d
t
(4-5)
verwendet. Der Vektor
y
beschreibt hierbei den Ausgang aus dem Bewertungs-
modell, der die Sollkräfte und die gewichteten Beschleunigungen enthält. Die
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 87
Bewertung
Strecke
p
Regelung
Auswertung
Anregung
Bild 4-7
:
Optimierungsmodell des gesamten Feder-Neige-Prüfstands
Matrizen
Q1
und
Q2
stellen Diagonalmatrizen dar und dienen neben der Aus-
wahl der jeweiligen Komponenten aus
y
noch der Skalierung der Zielfunktionen.
Die Skalierung basiert auf Untersuchungen am Optimierungsmodell und ist so
gewählt, dass die Zielgröÿen in einem annähernd gleichen Wertebereich liegen.
Das Optimierungsmodell ist in Bild 4-7 dargestellt und wird nachfolgend kurz
erläutert. Das Bewertungsmodell enthält, wie bereits erwähnt, die Frequenzge-
wichtung der Aufbaubeschleunigungen.
Als Streckenmodell wird ein lineares Modell des Feder-Neige-Prüfstands verwen-
det. Die Aktormodule werden zuvor separat linearisiert und dann in linearisierter
Form in das Gesamtmodell eingebunden. Als Anregung wird erneut ein bandbe-
grenztes, Gauÿ'sches weiÿes Rauschen verwendet, allerdings nicht so hochfrequent
wie bei der Optimierung des Aktormoduls. Aufgrund der gröÿeren Trägheiten im
Streckenmodell hätte eine höherfrequente Anregung kaum Auswirkungen auf das
Ergebnis. Das Anregungssignal nähert die Störungen des Schienenverlaufs an. Es
besteht im Optimierungsmodell aus den Sollvorgaben, die von der Anregungs-
einheit umgesetzt werden. Da die Störungen keinen direkten Einuss auf die
Zielfunktionen haben, besteht keine direkte Verbindung der Anregung mit der
Bewertung, anders als im Optimierungsmodell des Aktormoduls. Die Regelung
besteht aus der Signalverarbeitung der Messgröÿen sowie der Sky-Hook Rege-
lung.
Analog zur Mehrzieloptimierung des Aktormoduls wird eine Simulation mit fest
vorgegebener Simulationszeit
T
durchgeführt. Das Anregungssignal ist in jeder
Simulation gleich. Lediglich die Optimierungsparameter, d.h. die Sky-Hook Para-
meter
p= [dz, dy, dϕ]
, werden variiert. Das resultierende Mehrzieloptimierungs-
problem
min
p[f1(p), f2(p)] : p∈ D ⊆ R3.
wird erneut mit den Unterteilungsalgorithmen aus Abschnitt 4.1 gelöst. Die Reg-
lerparameter beschreiben die Dämpfung der Aufbaumasse und sind daher stets
positiv. Zusätzlich werden obere Schranken für die Parameter festgelegt, für die
88 Kapitel 4
0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
10
12
Komfort
Energieverbrauch
Bild 4-8
:
Paretofront des Feder-Neige-Prüfstands
Hubbewegung auf
28 kNs
m
, für die Querbewegung auf
6kNs
m
und für die Wankbe-
wegung auf
6kNs
rad
.
Die resultierende Paretofront ist in Bild 4-8 zu nden. Sie weist wieder die gleiche
typische Form auf, die auch bei der Optimierung des Aktormoduls zu beobachten
war. Auch hier wird deutlich, dass die beiden Zielgröÿen gegenläug sind und kein
gemeinsames Minimum besitzen, was erneut mit der physikalischen Anschauung
übereinstimmt.
Die Paretomenge im Urbildraum und die zugehörige Boxüberdeckung nach 23 Un-
terteilungsschritten sind in Bild 4-9 dargestellt. Trotz der relativ hohen Streuung
der berechneten Paretopunkte ist gut zu erkennen, dass es sich um eine zusam-
menhängende, eindimensionale Paretomenge handelt. Sie erstreckt sich über den
gesamten Denitionsbereich von
dz
und
dφ
, die Veränderungen des verbleibenden
Parameters
dy
sind deutlich kleiner. Dies kann in der Weise interpretiert werden,
dass der Komfort in y-Richtung schlechter beeinusst werden kann.
Die Paretomenge beginnt eigentlich im Ursprung des Parameterraumes. Dies ist
zu erwarten gewesen, da im Nullpunkt die Sollkräfte die gesamte Simulationszeit
über verschwinden und somit die Energie-Zielfunktion ihr Minimum annimmt.
Allerdings ändert sich an diesem Punkt die Systemdynamik grundlegend, da im
Nullpunkt ein passives System vorliegt. Dies führt bei der anschlieÿenden Mo-
dellordnungsreduktion zu Problemen, die auf diese Strukturänderung des Mo-
dells zurückzuführen sind und eine weitergehende Untersuchung erfordern, die
den Rahmen der vorliegenden Arbeit übersteigen würde, siehe [KT12] für einige
Beobachtungen zu dieser Thematik. Da die hier vorgestellten Optimierungsergeb-
Mehrzieloptimierung selbstoptimierender Systeme 89
nisse in den nachfolgenden Kapiteln aufgegrien werden, wird die Paretomenge
nachträglich ein wenig verkürzt.
510 15 20 25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
5
dz
dy
dφ
Bild 4-9
:
Paretomenge des Feder-Neige-Prüfstands
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 91
5 Parametrische Modellordnungsreduktion
paretooptimaler Systeme
Die im vorhergehenden Kapitel vorgestellte Mehrzieloptimierung eignet sich dazu,
optimale Systemkongurationen für selbstoptimierende Systeme zu berechnen.
Die zuvor in Kapitel 3 beschriebenen Verfahren der parametrischen Modellord-
nungsreduktion (PMOR) dienen dazu, lineare dynamische Systeme zu verein-
fachen und die Abhängigkeit von bestimmten Parametern auch im reduzierten
System zu erhalten. In diesem Kapitel wird ein neuartiger Weg vorgestellt, beide
Methoden, die Mehrzieloptimierung und die PMOR, miteinander zu verknüp-
fen.
Mit der im Folgenden dargestellten Vorgehensweise ist es möglich, reduzierte
Systeme zu erzeugen, die direkt von Zielvorgaben abhängen. Dies ist besonders
im Kontext hierarchischer selbstoptimierender Systeme von Vorteil. Unterlagerte
Teilsysteme können so einerseits reduziert werden, was die Komplexität des Sys-
tems verringert, bleiben aber andererseits in gewissem Maÿ variabel bzgl. Parame-
teränderungen. Dies ist beispielsweise für eine Optimierung des Gesamtsystems
vorteilhaft. Die Kombination von Mehrzieloptimierung mit PMOR ermöglicht die
Verwendung abstrakter Zielvorgaben an Stelle von physikalischen Parametern.
Im Hinblick auf die multidisziplinäre Entwicklung selbstoptimierender Systeme
ist dieser Aspekt vorteilhaft. Das reduzierte Teilsystem kann in gekapselter Form
an Dritte weitergegeben werden. Für die Parametervariation selbst ist nur we-
nig Wissen über das System erforderlich. Die Verhaltensanpassung kann durch
abstrakte Zielvorgaben, beispielsweise den Energieverbrauch zu verringern, um-
gesetzt werden.
Die in dieser Arbeit entstandene Methode besteht aus drei wesentlichen Schritten.
Als Ausgangspunkt dient die Paretomenge, d.h. die durch ein Optimierungsver-
fahren berechneten optimalen Kompromisse mit den zugehörigen Systemkon-
gurationen. Als erstes ist eine geeignete Parametrisierung dieser Paretomenge
zu denieren, mit der Zielvorgaben in Systemkongurationen umgerechnet wer-
den können. Dies ist in Abschnitt 5.1 ausführlich dargestellt. Der zweite Schritt,
beschrieben in Abschnitt 5.2, besteht aus einer Aufbereitung der zu den optima-
len Kongurationen gehörenden Systeme mit Hilfe von Interpolationsverfahren.
Hierdurch wird eine eziente PMOR ermöglicht. Als letzter Schritt werden in Ab-
schnitt 5.3 Verfahren der PMOR auf die interpolierten Systeme angewendet.
Zwei Voraussetzungen müssen für die Anwendbarkeit dieser Methode erfüllt sein.
Zum einen kann die PMOR, wie sie in dieser Arbeit betrachtet wird, nur auf li-
92 Kapitel 5
Anregung Bewertung
Strecke
+
Regelung
p
Auswertung
y(t)u(t)
lineares System
Bild 5-1
:
Lineares Optimierungsmodell für die simulationsbasierte Mehrzielopti-
mierung selbstoptimierender Systeme
neare Systeme angewendet werden. Je nach Einsatzgebiet des reduzierten Modells
wird es sich hierbei um ein Modell der geregelten Strecke mit gewissen physika-
lischen Ein- und Ausgängen handeln. Dies ist insbesondere der Fall, wenn das
reduzierte System ein physikalisch gekoppeltes Teilsystem darstellt. Das Aktor-
modul des Feder-Neige-Prüfstands, betrachtet in Abschnitt 5.4.1, ist ein Beispiel
hierfür.
Auf höheren Hierarchieebenen können die Ein- und Ausgänge des zu reduzie-
renden Systems aber auch denen des Optimierungsmodells aus Abschnitt 4.3
entsprechen. Dann werden mit dem reduzierten System direkt die Zielgröÿen be-
rechnet. Der Feder-Neige-Prüfstand im Kontext des vernetzten Prüfstands aus
Abschnitt 6.2 ist ein Beispiel hierfür. Numerische Ergebnisse der Reduktion sind
in Abschnitt 5.4.2 zu nden. Auf die weitere Verwendung der parametrischen
reduzierten Systeme, sowohl für den Feder-Neige-Prüfstand, als auch für das Ak-
tormodul, wird ausführlich in Kapitel 6 eingegangen.
Für die weiteren Betrachtungen werden, falls erforderlich, alle dynamischen An-
teile des Optimierungsmodells wie in Bild 5-1 dargestellt zu einem linearen Sys-
tem zusammengefasst. Da die Optimierungsparameter der Regelung entstammen,
wird weiterhin angenommen, dass die Eingangs- und Ausgangsmatrix nicht von
den Parametern abhängen. Man erhält dann das lineare, parameterabhängige
System
˙x(t) = A(p)x(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t).
(5-1)
Die Art der Parameterabhängigkeit ist hierbei beliebig, solange die Systemma-
trix stetig bzgl. der Parameter ist. Ein Durchgri vom Systemeingang
u
auf den
Systemausgang
y
wird vernachlässigt. Dieser spielt für die Modellordnungsreduk-
tion keine Rolle und kann, falls er in einem konkreten System vorhanden ist,
unverändert ins reduzierte System übernommen werden.
Als zweite wesentliche Voraussetzung werden nur Mehrzieloptimierungsprobleme
mit zwei Zielfunktionen betrachtet, die über eine eindimensionale, zusammenhän-
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 93
gende Paretomenge verfügen. Für die in dieser Arbeit betrachteten Anwendungs-
beispiele sind diese Voraussetzungen erfüllt. Auf mögliche Erweiterungen der in
diesem Kapitel vorgestellten Methode wird in Abschnitt 5.5 eingegangen.
5.1 Parametrisierung von Paretomengen
Bei Mehrzieloptimierungsproblemen mit zwei Zielfunktionen stellt die Pareto-
menge unter gewissen Voraussetzungen an die Zielfunktionen eine eindimensio-
nale Mannigfaltigkeit dar, siehe hierzu auch Kapitel 4. Dies bedeutet unter ande-
rem, dass die Paretomenge durch einen skalaren Parameter parametrisiert werden
kann. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Erstellung derartiger Parametri-
sierungen.
Als Ausgangspunkt wird angenommen, dass zu einem gegebenen Mehrzielopti-
mierungsproblem (4-1) bereits eine Approximation
PF
der Paretomenge vorliegt,
berechnet beispielsweise durch die Anwendung der mengenorientierten Verfah-
ren, die in Abschnitt 4.1 beschrieben sind. Die numerische Approximation der
Paretomenge besteht aus einer endlichen Anzahl
NPF
nichtdominierter Punkte,
d.h.
PF=p?
j∈Rnp,1≤j≤NPF.
Das Ziel besteht nun darin, eine Funktion
s: [0, αmax]→Rnp, α 7→ s(α)
zu denieren, die nur von dem skalaren Parameter
α
abhängt und die Pareto-
menge
PF
möglichst gut annähert.
Über die Lage der Paretomenge im Urbild- bzw. Parameterraum kann keine allge-
meine Aussage getroen werden. Wie bereits erwähnt, wird an dieser Stelle ledig-
lich angenommen, dass es sich um eine zusammenhängende Menge handelt. Bei
stetigen, gegenläugen Zielfunktionen liegt dann im Bildraum die bereits mehr-
fach dargestellte hyperbelartige Form vor. Zudem besteht für die Anwendung eine
Anforderung darin, Zielvorgaben mit Hilfe des Parameters
α
auszudrücken. Diese
Zielvorgaben beziehen sich ebenfalls auf den Bildraum. Beides spricht dafür, die
Paretofront, d.h. das Bild
F(PF)
als Ausgangspunkt für die Parametrisierung zu
verwenden.
Eine wichtige Rolle spielen im Folgenden die Endpunkte der Paretofront, die von
den Minima der einzelnen Zielfunktionen
pI=
arg
min
p∈D f1(p),
pII =
arg
min
p∈D f2(p),
94 Kapitel 5
Bild 5-2
:
Parametrisierungsmöglichkeiten der Paretofront;
links:
Winkel
θ
des
Zielfunktionsvektors;
rechts:
orthogonale Projektion auf den Simplex
S
mit den zugehörigen Punkten im Bildraum
FI:= F(pI) = f1(pI)f2(pI)T,
FII := F(pII) = f1(pII)f2(pII)T,
gebildet werden.
Es sind viele Ansätze zur Parametrisierung denkbar, von denen in dieser Arbeit
zwei verschiedene verwendet werden. Zum einen wird der Winkel der Zielfunk-
tionsvektoren zur Beschreibung genutzt. Zum anderen werden die Paretopunkte
mit Hilfe eines Simplex zwischen den beiden Minima
FI
und
FII
parametrisiert.
Beide Varianten sind in Bild 5-2 dargestellt und werden im Folgenden detailliert
beschrieben.
Der Winkel
θ
eines Zielfunktionsvektors
F(p?)
zu einem gegebenen Paretopunkt
p?∈PF
ist gegeben als
θ(p?) =
atan
f2(p?)
f1(p?).
Alle Punkte der Paretofront können auf diese Weise eindeutig beschrieben wer-
den. Betrachtet man eine äquidistante Diskretisierung der Winkel, so führt dies
zu einer dichteren Punkteverteilung in der Mitte der Paretofront und gröÿeren
Abständen in den Randbereichen für den Fall, dass die Paretofront eine relativ ho-
he Krümmung aufweist. Dies kann bei der weiteren Verwendung der Paretofront
ein Nachteil sein, wenn eine gleichmäÿige Diskretisierung im Bildraum gewünscht
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 95
ist. Beispielsweise ist dies bei der hybriden Planung auf Basis von Paretomen-
gen, siehe [MAK
+
08], der Fall. Für die hier vorgestellte Methode der parame-
trischen Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme ist dies jedoch nicht
von Bedeutung. Vorteilhaft bei der Verwendung des Winkels
θ
ist die leichtere
geometrische Interpretation der Parametrisierung, die u.a. bei der Umsetzung
der zielfunktionsbasierten Regelung in Abschnitt 6.3 zum Tragen kommt.
Für die weitere Verwendung wird der relative Winkel bezogen auf die Endpunkte
der Paretofront betrachtet. Zusätzlich kann die Parametrisierung über den Faktor
αmax
auf ein gewünschtes Intervall
[0, αmax]
skaliert werden, woraus sich zu jedem
Paretopunkt
p?
als Parametrisierung
α(p?) = α
max
·θ(p?)−θ(pII)
θ(pI)−θ(pII)
(5-2)
ergibt.
Die zweite Variante zur Parametrisierung verwendet einen Simplex
S=FI−FII
,
der von den beiden Randpunkten
FI
und
FII
der Paretofront gebildet wird. Ei-
ne Parametrisierung aller Paretopunkte kann, in Anlehnung an die NBI-Methode
zur Mehrzieloptimierung aus Kapitel 4, durch eine orthogonale Projektion auf den
Simplex erfolgen. Dies führt tendenziell zu einer gleichmäÿigeren Punktevertei-
lung bei einer äquidistanten Diskretisierung bzgl. der Parametrierung als bei der
Verwendung des Winkels der Paretopunkte. Eine direkter Bezug zur Gewichtung
der Zielfunktionen geht jedoch verloren.
Zu einem gegebenen Paretopunkt
p?
berechnet sich der zugehörige Parameterwert
als
α(p?) = αmax ·ST(F(p?)−FII)
kSk2
2
.
(5-3)
Auch diese Parametrierung kann durch Anpassung des Faktors
αmax
auf ein ge-
wünschtes Intervall
[0, αmax]
skaliert werden.
Statt einer orthogonalen Projektion auf den Simplex kann alternativ ein zusätzli-
cher Punkt
Q
in Kombination mit dem Simplex verwendet werden. Als Parametri-
sierung
α
eines Paretopunktes
p?
wird dann der Schnittpunkt der Geraden durch
die beiden Punkte
Q
und
F(p?)
mit dem Simplex
S
verwendet. Diese Art der
Parametrierung wurde in [Mün12] für die Mehrzieloptimierung sowie die zielfunk-
tionsbasierte Regelung verwendet. Mit ihrer Hilfe kann die Verteilung der Punkte
bei äquidistanten
α
-Werten zusätzlich beeinusst werden. Insbesondere dichter
werdende Punkte in den Randgebieten der Paretofront sind auf diese Weise mög-
lich, wenn der Punkt
Q
oberhalb der Paretofront, z.B. durch
Q=FII FI
,
deniert wird. Da von dieser speziellen Parametrisierungsvariante jedoch kein
96 Kapitel 5
Mehrwert für die in dieser Arbeit beschriebene Methodik zu erwarten ist, wird
sie nicht verwendet.
Bei Verwendung des mengenorientierten Ansatzes zur Berechnung der Pareto-
front, wie er im vorhergehenden Kapitel 4 beschrieben ist, erhält man als Ergeb-
nis eine Approximation der Paretomenge, bei der die berechneten Paretopunkte
eine relativ hohe Streuung aufweisen. Die dargestellten Optimierungsergebnisse
in Abschnitt 4.4 verdeutlichen dies. Nach einer ersten Parametrisierung, d.h. der
Berechnung von
˜αj,1≤j≤NPF
für alle Paretopunkte
p?
j
gemäÿ (5-2) oder
(5-3), wird daher eine Ausgleichskurve berechnet. Diese ermöglicht eine glatte
eindimensionale Approximation der Paretomenge.
Hierfür wird ein sogenannter
smoothing spline
g:R→Rnp,˜α7→ g(˜α)
benutzt.
Dieser stellt einen kubischen Spline dar, der das Minimierungsproblem
min
g
γ
NPF
X
j=1
wj
p?
j−g(αj)
2+ (1 −γ)Zλ(α)
∂2g
∂α2
2
d
α
(5-4)
löst. Das Minimierungsproblem besteht aus zwei wesentlichen Bestandteilen. Ei-
nerseits wird die quadratische Abweichung der Paretopunkte von den Werten des
Splines, andererseits die Krümmung des Splines minimiert. Durch eine manuelle
Variation der Gewichtung
γ
kann eine glatte Ausgleichskurve durch die gestreu-
ten Paretopunkte erzeugt werden. Die Berechnung des
smoothing spline
erfolgte
durch die
Curve Fitting Toolbox
in Matlab [Mat11]. Für die beiden zusätzlichen
Parameter
wj
und
λ
wurden die von Matlab vordenierten Standardwerte be-
nutzt, da mit ihnen ausreichend gute Ergebnisse erzielt werden konnten.
Das Resultat ist ein kubischer Spline
g(˜α)
mit den Stützstellen
˜αj
, der die Pare-
tomenge approximiert. Allerdings ist die ursprüngliche Bedeutung von
˜α
durch
die Berechnung des Ausgleichssplines verloren gegangen. Daher wird als letzter
Schritt die Parametrisierung auf Basis der Punkte
F(g(˜αj))
erneut durchgeführt,
wodurch die nalen Parameterwerte
αj
entstehen. Die Parametrisierungsfunkti-
on
s
, die für das weitere Vorgehen verwendet wird, ist dann erneut ein kubischer
Spline, basierend auf den Paaren
[αj, g(˜αj)]
. Die ursprüngliche Approximation der
Paretomenge besteht oftmals aus einer sehr hohen Zahl nichtdominierter Punk-
te. Für den endgültigen kubischen Spline können weniger Stützstellen verwendet
werden. Eine Vorgabe der gewünschten Anzahl ist in der Standardfunktionali-
tät der
Curve Fitting Toolbox
enthalten, die im Rahmen dieser Arbeit hierfür
verwendet wurde.
Zusammengefasst sind zur Parametrisierung einer Paretomenge die folgenden vier
Schritte auszuführen.
(i) Parametrisierung der nichtdominierten Punkte
p?
j∈PF
mit Hilfe von (5-2)
oder (5-3)
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 97
(ii) Berechnung eines
smoothing spline
g(˜αj)
zur Glättung der nichtdominierten
Punkte
(iii) erneute Parametrisierung der geglätteten Paretopunkte
F(g(˜αj))
(iv) Berechnung eines kubischen Splines
s:R→Rnp, α 7→ s(α)
mit
s(αj) =
g(˜αj)
und evtl. Verringerung der Anzahl der Stützstellen
5.2 Interpolation paretooptimaler Systeme
Mit Hilfe der im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Parametrisierung der
Paretomenge kann diese durch einen skalaren Parameter
α
beschrieben werden.
Setzt man diese Parametrisierung in die Systembeschreibung (5-1) ein, so ergibt
sich
˙x(t) = A(s(α))x(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t), α ∈[0, αmax].
(5-5)
Der Vorteil liegt darin, dass auch die dynamischen Systeme, die zu den pareto-
optimalen Kongurationen gehören, mit Hilfe des skalaren Parameters
α
ausge-
drückt werden können. Diese linearen, parametrischen Systeme werden dement-
sprechend als
paretooptimale Systeme
bezeichnet. Das Ziel der in diesem Kapitel
beschriebenen Methode besteht darin, die paretooptimalen Systeme mit Hilfe der
parametrischen Modellordnungsreduktion zu reduzieren. Hierfür ist es für alle im
Rahmen dieser Arbeit betrachteten Verfahren von Vorteil, wenn die Systeme von
wenigen Parametern abhängen. Bei der manuellen rationalen Interpolation, siehe
Abschnitt 3.1, erhöht sich tendenziell die Ordnung der reduzierten Systeme, bei
der Matrix Interpolation aus Abschnitt 3.2 steigt die Komplexität des Verfah-
rens, da mehr Diskretisierungspunkte im Parameterraum benötigt werden und
insbesondere die Bestimmung geeigneter Gewichtsfunktionen zur Interpolation
der Systeme deutlich aufwändiger ist. Da die Parametrisierung
s(α)
nur von der
Anzahl der Zielfunktionen, nicht jedoch von der Anzahl der Optimierungsparame-
ter
p
abhängt, führt eine Verwendung von
α
als Reduktionsparameter besonders
für Systeme mit einer hohen Anzahl
np
von Optimierungsparametern zu einer
erheblichen Vereinfachung.
Beide Reduktionsverfahren können jedoch nicht direkt auf die paretooptimalen
Systeme (5-5) angewendet werden. Für die manuelle rationale Interpolation ist
eine an-lineare Parameterabhängigkeit notwendig, die für
A(s(α))
nicht voraus-
gesetzt werden kann. Die Matrix Interpolation erfordert die Denition geeigneter
Diskretisierungspunkte im Parameterraum sowie passende Gewichtsfunktionen
für die Interpolation der Matrizen. Der im Folgenden beschriebene Ansatz zur
Interpolation paretooptimaler Systeme ist für beide Varianten gleichermaÿen ge-
eignet und stellt sicher, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind.
98 Kapitel 5
Basierend auf der Parametrisierung
α
wird eine Diskretisierung bestehend aus
einer endlichen Zahl
nS
von Stützstellen
0 = α1< α2< . . . < αnS=αmax
deniert. Mit Hilfe dieser Diskretisierung wird eine weitere Interpolation vorge-
nommen, allerdings nicht der Paretopunkte
s(α)
im Parameterraum, sondern der
paretooptimalen Systeme (5-5). Da die Ein- und Ausgangsmatrizen nicht von dem
Parameter
α
abhängen, wird zunächst nur die Systemmatrix
A(s(α))
betrach-
tet. Unter Verwendung der Stützstellen
αi
lässt sich eine lineare Interpolation
mpp
:R→Rnx×nx, α 7→
mpp
(α)
mit
mpp
(α) = A(s(αi))
| {z }
Ai
+α−αi
αi+1 −αi
| {z }
¯αi
[A(s(αi+1)) −A(s(αi))]
| {z }
∆Ai
,
(5-6)
für
α∈[αi, αi+1)
erstellen. Diese Interpolation ist stetig bzgl.
α
, was eine grund-
legende Anforderung für die weitere Verwendung der reduzierten Systeme bei-
spielsweise im Rahmen der hierarchischen Optimierung darstellt. Darüber hinaus
ist die Interpolation eindeutig durch die Systemmatrizen an den Stützstellen
Ai
deniert. Dies ist insbesondere bei komplexen Systemen von Vorteil, bei denen die
Berechnung der Systemmatrix zu gegebenen Parametern oftmals aufwändig ist.
Analog zur linearen Interpolation der Systemmatrizen sind auch Interpolationen
höherer Ordnung denkbar. Hierauf wird in Abschnitt 5.5 eingegangen.
Die Voraussetzungen an die Reduktionsverfahren sind durch die lineare Interpo-
lation erfüllt. Für jedes Intervall liegt nun eine an-lineare Parameterabhängig-
keit
A(α) = Ai+ ¯αi∆Ai
vor, sodass die manuelle rationale Interpolation intervallweise angewendet werden
kann.
Als Stützstellen für die Matrix Interpolation werden die Systemmatrizen an den
Diskretisierungspunkten
Ai
verwendet. Betrachtet man jedes Intervall separat, so
ergibt sich durch Umstellen von (5-6) eine Interpolation von
Ai
und
Ai+1
in der
für die Matrix Interpolation geforderten Form:
A(α) = (1 −¯αi)Ai+ ¯αiAi+1.
Erweitert auf die gesamten paretooptimalen Systeme sind die Gewichtsfunktio-
nen
ωi
, die in (3-9) für die parametrischen reduzierten Systeme benötigt werden,
gegeben als
ωi(α) =
α−αi−1
αi−αi−1
für
α∈[αi−1, αi)
αi+1−α
αi+1−αi
für
α∈[αi, αi+1)
0
sonst
(5-7)
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 99
Die Wahl der Diskretisierungspunkte
αi
hat einen erheblichen Einuss auf das
Reduktionsergebnis. Hierbei stehen zwei gegensätzliche Ziele einander gegenüber.
Zum einen ist es vorteilhaft, möglichst wenige Diskretisierungspunkte zu benut-
zen, da der Aufwand zur Berechnung des parametrischen reduzierten Systems bei
beiden Reduktionsverfahren mit der Anzahl der Diskretisierungspunkte steigt.
Zum anderen soll eine möglichst hohe Approximationsgüte der reduzierten Syste-
me verglichen mit den ursprünglichen paretooptimalen Systemen erreicht werden.
Diese nimmt mit wachsender Stützstellenzahl zu. Im Rahmen dieser Arbeit ist
daher ein Algorithmus entstanden, der die Diskretisierungspunkte automatisiert
und ezient bestimmt und dabei versucht, mit möglichst wenig Stützstellen eine
hohe Approximationsgüte zu erzielen.
Der Algorithmus besteht aus zwei wesentlichen Teilen, einer Neuverteilung der
bestehenden Stützstellen und dem Hinzufügen weiterer Stützstellen. Die Neuver-
teilung der Stützstellen basiert auf dem
newnot
-Algorithmus, der zu den etablier-
ten Verfahren aus dem Bereich der Spline-Interpolation zählt. Die grundsätzliche
Funktionsweise ist nachfolgend kurz für die lineare Spline-Interpolation umrissen.
Eine ausführliche Herleitung für den allgemeinen Fall ist in [Boo01] zu nden.
Den Ausgangspunkt bildet die allgemeine Fehlerabschätzung eines linearen Spli-
nes
l
bezogen auf ein bestimmtes Intervall
[αi, αi+1]
kg−lk[αi,αi+1]≤C·(αi+1 −αi)2kD2gk[αi,αi+1],
wobei
g:R→R
die zu interpolierende Funktion,
C∈R
eine positive Konstante
und
D
den Dierentialoperator darstellen. Die hier verwendete Norm
k·k[αi,αi+1]
bezeichnet die Maximumnorm
k·k∞
einer Funktion eingeschränkt auf das angege-
bene Intervall
[αi, αi+1]
. Aus der Fehlerabschätzung geht hervor, dass die Approxi-
mationsgüte des linearen Splines
l
abnimmt, wenn die zu interpolierende Funktion
eine groÿe Krümmung aufweist. Da auch die Intervalllänge in die Abschätzung
eingeht, ist ein Ansatz zur Verbesserung der Interpolation, die Stützstellen so zu
wählen, dass kleinere Intervalle in Bereichen mit groÿer Krümmung vorliegen.
Betrachtet man nun alle Intervalle gleichzeitig, so ergibt sich unter zusätzlichen
Vereinfachungen für eine optimale Stützstellenverteilung das Ziel, die Funktion
max
i
D2g
[αi,αi+1](αi+1 −αi)2
zu minimieren. Das Minimum dieser Funktion wird dann erreicht, wenn die Inter-
vallgrenzen so gewählt sind, dass
kD2gk[αi,αi+1](αi+1 −αi)2
konstant ist für alle
Intervalle. Äquivalent hierzu müssen die Stützstellen so gewählt werden, dass
Zαi+1
αi
|D2g(τ)|1/2
d
τ=1
nS−1Zαmax
0
|D2g(τ)|1/2
d
τ
100 Kapitel 5
h(α)
α1α2α3α4α1α2α3α4
H(z)
H(α4)
3
H(α4)
3
H(α4)
3
Bild 5-3
:
Prinzipielle Funktionsweise des
newnot
-Algorithmus
links:
stückweise
konstante Approximation der Krümmung basierend auf den bisherigen
Stützstellen
rechts:
Bestimmung der verbesserten Stützstellen durch eine
äquidistante Aufteilung des Integrals
H
für
i= 1, . . . , nS−1
erfüllt ist.
Um eine explizite Berechnung der Krümmung
|D2g|
von
g
zu vermeiden, nutzt
der
newnot
-Algorithmus eine stückweise konstante Approximation
h≈ |D2g|,
die ausschlieÿlich mit Hilfe des linearen Splines
l
berechnet werden kann. Die ge-
naue Denition der Approximation
h
ist in [Boo01] nachzulesen. Ist diese Funk-
tion bekannt, lässt sich die stetige und monoton wachsende Funktion
H(z) = Zz
0
(h(τ))1/2
d
τ
(5-8)
denieren. Da
G
monoton wachsend ist, kann die verbesserte Verteilung der Stütz-
stellen mittels der Umkehrfunktion
H−1
berechnet werden. Hierzu werden die
nS−2
äquidistanten Punkte
i·H(αmax)/(nS−1)
verwendet, d.h.
αi+1 =H−1(i·H(αmax)/(nS−1)) , i = 1, . . . , nS−2.
(5-9)
Bild 5-3 veranschaulicht diese Vorgehensweise für ein sehr einfaches Beispiel mit
insgesamt vier Stützstellen, von denen die beiden inneren neu berechnet wer-
den.
Die Neuverteilung bestehender Knoten für die skalare Spline-Interpolation lässt
sich leicht auf die für diese Arbeit erforderliche matrixwertige Interpolation ge-
mäÿ Gleichung (5-6) erweitern. Die Approximation der Krümmung erfolgt dazu
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 101
PF(α)s3(α)
mpp
(α)
αi−1αiαi+1 αi+2
Bild 5-4
:
Schematische Darstellung der Berechnung von
∆
zur Bestimmung der
Approximationsgüte von mpp
(α)
komponentenweise durch die Funktionen
hi,j
,
1≤i, j ≤nx
. In der Funktion
H
wird dann die maximale Krümmung aller Komponenten verwendet, d.h.
H(z) = Zz
0
(max
i,j hi,j(τ))1/2
d
τ, 1≤i, j ≤nx.
Hierdurch wird gewährleistet, dass die Stützstellen dichter platziert werden, so-
bald in mindestens einer Komponente des linearen Splines mpp eine hohe Krüm-
mung vorliegt.
Die Konvergenz des
newnot
-Algorithmus kann nicht garantiert werden. Aufgrund
der Annahmen und Vereinfachungen existieren sogar Beispiele, bei denen die Neu-
verteilung der Stützstellen zu einer Verschlechterung der Approximation führt,
siehe [Boo01] für weitere Ausführungen zu dieser Problematik. Für eine automa-
tisierte Festlegung der Stützstellen zur Interpolation der paretooptimalen Syste-
me ist daher die hier vorgestellte Variante des
newnot
-Algorithmus allein nicht
ausreichend. Es wird ergänzend ein weiteres Kriterium zur Bestimmung der Ap-
proximationsgüte der linearen Interpolation verwendet.
Um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten, wird die lineare Spline-
Interpolation der paretooptimalen Systeme mit einer kubischen, ebenfalls matrix-
wertigen Spline-Interpolation
s3: [0, αmax]→Rnx×nx, α 7→ s3(α)
verglichen. Die kubische Spline-Interpolation beruht dabei auf denselben Stütz-
stellen, sodass keine zusätzlichen Auswertungen der Systemmatrizen durchgeführt
werden müssen. Als Kriterium wird die relative quadratische Fehleräche zwi-
102 Kapitel 5
initiale
Verteilung
α1,...,αnS
∆old = ∆
i= 1
b erehne
neue
Verteilung
(newnot)
b erehne
∆∆old = ∆
∆<∆old
?
∆< εS
?
i < 3
?
i+ +
nS++
Finale
Verteilung
α1,...,αnS
ja
nein
ja
nein
nein
Bild 5-5
:
Aktivitätsdiagramm des Algorithmus zur automatisierten Diskretisie-
rung der paretooptimalen Systeme
schen den beiden Splines betrachtet, die in Bild 5-4 schematisch dargestellt ist.
Dazu wird zunächst komponentenweise die
L2
-Norm
Li,j :=
(
mpp
(α)−s3(α))i,j
L2
=Zαmax
0
(
mpp
(α)−s3(α))2
i,j
d
α1/2
,1≤i, j ≤nx,
berechnet. Die resultierenden Ergebnisse
Li,j
können in einer
nx×nx
-Matrix
L
zusammengefasst werden. Um einen skalaren Wert der Abweichung zwischen
mpp und
s3
zu erhalten, wird die 1-Norm von L bestimmt. Beide Schritte, die
komponentenweise
L2
-Norm sowie die Matrix 1-Norm, werden im Folgenden mit
k·k1◦L2
bezeichnet. Als endgültiges Kriterium wird die relative Abweichung
∆ := k(
mpp
(α)−s3(α))k1◦L2
k(
mpp
(α))k1◦L2
(5-10)
verwendet. Da es sich bei den Splines um stückweise denierte Polynome han-
delt, kann die Fehleräche algorithmisch mit geringem Rechenaufwand bestimmt
werden.
Der vollständige Algorithmus für die automatisierte Knotenverteilung ist in Bild
5-5 dargestellt. Als Eingangsdaten sind eine initiale Verteilung
α1, . . . , αnS
, die
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 103
beispielsweise einer äquidistanten Zerlegung entsprechen kann, und die zugehö-
rige Fehleräche
∆old
, berechnet gemäÿ (5-10), erforderlich. Weiterhin muss eine
Abbruchschranke
εS
vorgegeben werden. Zu Beginn werden dann mit Hilfe des
beschriebenen
newnot
-Algorithmus eine neue Verteilung der Stützstellen und die
resultierende Fehleräche
∆
bestimmt. Ist die neue Fehleräche kleiner als bis-
her, liegt also eine verbesserte Approximation vor, so wird die neue Verteilung
übernommen und geprüft, ob die vorgegebene Fehlerschranke
εS
unterschritten
wurde. Ist dies nicht der Fall, wird erneut eine neue Verteilung mit gleicher Stütz-
stellenzahl berechnet. Dies geschieht bis zu drei Mal hintereinander.
Ist die Abbruchschranke dann nicht erreicht oder wurde eine Knotenverteilung
bestimmt, die zu einer schlechteren Approximationsgüte
∆
führt, so wird die An-
zahl der Stützstellen
nS
erhöht. Dies ist sehr einfach in Kombination mit dem
newnot
-Algorithmus zu implementieren, da lediglich Gleichung (5-9) mit der er-
höhten Stützstellenzahl
nS+ 1
auszuwerten ist.
Die Konvergenz des hier vorgestellten Algorithmus ist gesichert unter der Annah-
me, dass die zu interpolierenden paretooptimalen Systeme
A(s(α))
eine hinrei-
chend glatte Funktion darstellen. Alle Komponenten sowohl der linearen Inter-
polation mpp als auch der kubischen Interpolation
s3
konvergieren gleichmäÿig
gegen die zu approximierende Funktion, falls die folgenden Bedingungen erfüllt
sind. Zum einen muss die zu approximierende Funktion entsprechend oft stetig
dierenzierbar sein. Zum anderen muss die Feinheit
1
der Stützstellenverteilung
mit zunehmender Stützstellenzahl abnehmen, siehe z.B. [Boo01] oder [Wer92] für
entsprechende Fehlerabschätzungen. Sind diese Bedingungen für alle Komponen-
ten der matrix-wertigen Interpolation erfüllt, konvergiert auch das Approximati-
onsmaÿ
∆
aus (5-10) gegen Null.
Allerdings ist durch die Verwendung des
newnot
-Algorithmus zur Platzierung der
Stützstellen nicht gewährleistet, dass die Feinheit der Zerlegung mit steigender
Stützstellenzahl abnimmt. In Bereichen, in denen die zu interpolierende Funktion
einen linearen Verlauf aufweist, nimmt die Approximation
h
der Krümmung, die
in (5-8) verwendet wird, den Wert null an. Dies führt dazu, dass
H
nicht mehr
streng monoton wachsend, sondern stückweise konstant ist. Die Umkehrfunktion
H−1
ist streng genommen an diesen Punkten nicht deniert. Bei der numerischen
Umsetzung werden derartige Fälle gesondert abgefangen. Eine Verfeinerung der
Zerlegung ndet in diesen Bereichen jedoch ggf. nicht statt. Bild 5-6 zeigt die-
sen Sonderfall für eine speziell konstruierte Testfunktion, die zwischen
π
und
2π
konstant ist. Ausgehend von 5 äquidistanten Stützstellen, zu nden im linken
Teil von Bild 5-6, wird die Anzahl sukzessive unter Verwendung des
newnot
-
Algorithmus erhöht. Im rechten Teil von Bild 5-6 ist die Verteilung bei 23 Stütz-
1Die Feinheit δeiner Zerlegung des Intervalls [a, b]mit a=α1< α2< . . . < αnS=bist
gegeben als δ= max1≤i<nS(αi+1 −αi).
104 Kapitel 5
0 2 4 6 8 10
−0.5
0
0.5
1
5 Stützstellen
0 2 4 6 8 10
−0.5
0
0.5
1
23 Stützstellen
Testfunktion lineare Interpolation kubische Interpolation
Bild 5-6
:
Einfaches Beispiel zur Illustration der Stützstellenverteilung nach wie-
derholter Ausführung des
newnot
-Algorithmus
stellen dargestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Feinheit der Zerlegung
nicht abgenommen hat. Allerdings stimmen gerade in Bereichen, in denen die
zu interpolierende Funktion einen konstanten oder linearen Verlauf aufweist, die
lineare und kubische Interpolation ohnehin überein, sodass die Konvergenz des
Kriteriums
∆
trotzdem gewährleistet ist.
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass nach der Anwendung der vorgestell-
ten Interpolation Systeme mit abschnittsweise denierten Dynamikmatrizen vor-
liegen, die über eine an-lineare Parameterabhängigkeit verfügen. Eine Anwen-
dung der parametrischen Modellordnungsreduktion ist somit möglich. Die Inter-
polation erfolgt weitgehend automatisiert durch den vorgestellten Algorithmus.
Lediglich eine initiale Stützstellenverteilung muss erstellt werden. Zudem muss
die Fehlerschranke
εS
systemabhängig angepasst werden.
5.3 Parametrische Modellordnungsreduktion
paretooptimaler Systeme
Durch die Parametrierung und die anschlieÿende Interpolation der paretooptima-
len Systeme sind die Voraussetzungen erfüllt, um die parametrische Modellord-
nugnsreduktion anwenden zu können. Nach der Durchführung der in den beiden
vorhergehenden Abschnitten beschriebenen Schritte sind die zur Paretomenge
gehörenden dynamischen Systeme gegeben als
˙x(t) =
mpp
(α)x(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t),
(5-11)
mit der matrixwertigen und stückweise linearen Funktion mpp aus (5-6).
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 105
Die Modellordnungsreduktion kann nun sowohl mit der manuellen rationalen In-
terpolation, als auch mit der Matrix Interpolation erfolgen. Bei der manuellen
rationalen Interpolation muss jeder Abschnitt von (5-11) separat betrachtet wer-
den. Das zugehörige parametrische System
˙x(t)=(Ai+ ¯αi∆Ai)x(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t), i = 1, . . . , nS−1,
verfügt über die erforderliche an-lineare Parameterabhängigkeit der Dynamik-
matrix. Mit Hilfe des in Abschnitt 3.1.2 beschriebenen objektorientierten Arnoldi-
Algorithmus können daher die beiden Projektionsmatrizen
Vi
und
Wi
bestimmt
werden. Das reduzierte System eines Abschnitts ist dann gemäÿ (3-5) gegeben
als
WT
iVi˙xr(t) = WT
iAiVi+ ¯αiWT
i∆AiVixr(t) + WT
iBu(t),
yr(t) = CVixr(t).
Jedes reduzierte System für sich betrachtet ist stetig bzgl.
α
, die Stetigkeit geht
jedoch an den Intervallgrenzen verloren. Für eine beliebige Stützstelle
αi+1
gilt
¯αi= 1
und
¯αi+1 = 0
. Die zugehörigen reduzierten Dynamikmatrizen der beiden
Abschnitte sind demnach an der Stützstelle
αi+1
gegeben als
WT
i(Ai+ 1 ·∆Ai)Vi=WT
iAi+1Vi
für Abschnitt
i
und
WT
i+1(Ai+1 + 0 ·∆Ai+1)Vi+1 =WT
i+1Ai+1Vi+1
für den angrenzenden Abschnitt
i+ 1
. Diese beiden Matrizen werden im allge-
meinen voneinander verschieden sein. Da es sich bei der manuellen rationalen
Interpolation generell um ein lokales Verfahren handelt, bei dem nur ein spezi-
elles parametrisches System berücksichtigt werden kann, besteht keine Möglich-
keit, die aufgezeigte Problematik zu beheben. Eine Anwendung der manuellen
rationalen Interpolation ist dennoch möglich, da zumindest bei den untersuchten
Anwendungsfällen die Abweichungen zwischen den unterschiedlichen reduzierten
Systemen keinen signikanten Einuss auf die weitere Verwendung des parame-
trischen reduzierten Systems hatten.
Zur Anwendung der Matrix Interpolation werden die zu den Stützstellen
αi
ge-
hörenden Systeme
˙x(t) = Aix(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t),
106 Kapitel 5
separat reduziert. Die dafür erforderlichen Projektionsmatrizen
Vi
und
Wi
kön-
nen prinzipiell mit einem beliebigen Reduktionsverfahren bestimmt werden. Im
Rahmen dieser Arbeit wird dazu stets die
H2
-optimale Interpolation, eingeführt
in Abschnitt 2.4, benutzt.
Die Interpolation der resultierenden reduzierten Systeme
WT
i˙xr(t) = WT
iAiVixr(t) + WT
iBu(t),
yr(t) = CVix(t),
erfolgt gemäÿ der Interpolationsvorschrift aus (3-15) unter Verwendung der Ge-
wichtsfunktionen
ωi
wie sie im vorhergehenden Abschnitt in (5-7) deniert wur-
den. Die hierfür notwendigen Matrizen
Mi
und
Ti
für die Rückprojektion auf einen
gemeinsamen Unterraum, siehe (3-11) und (3-12) in Abschnitt 3.2, können dabei
auf zwei Wegen bestimmt werden. Einerseits kann, analog zur manuellen rationa-
len Interpolation, jeder Abschnitt für sich betrachtet werden. Die zur Berechnung
von
Mi
und
Ti
benötigte Matrix
R
wird dann aus der Singulärwertzerlegung der
Matrix
Vall,i = [Vi, Vi+1], i = 1, . . . , nS−1,
(5-12)
berechnet. Diese abschnittsweise Interpolation führt jedoch ebenfalls zu einem
Verlust der Stetigkeit an den Intervallgrenzen.
Andererseits kann die Matrix
R
auch basierend auf allen Projektionsmatrizen,
d.h. mit Hilfe von
Vall = [V1, . . . , VnS],
bestimmt werden. In diesem Fall ndet eine Rückprojektion aller reduzierten
Systeme auf einen einzigen gemeinsamen Unterraum statt. Ein stetiger Über-
gang zwischen den Intervallen ist dann gewährleistet, weshalb diese Variante der
Matrix Interpolation zu bevorzugen ist. Eine Voraussetzung hierfür ist allerdings,
dass alle reduzierten Systeme die gleiche Systemordnung
q
aufweisen. Zudem kön-
nen Probleme auftreten, wenn sich die einzelnen Unterräume, aufgespannt von
den Matrizen
Vi
, stark unterscheiden. Dann führt eine Rückprojektion auf den
gemeinsamen Unterraum eventuell zu einer deutlichen Verschlechterung der Ap-
proximationsgüte. Wie stark die einzelnen Unterräume voneinander abweichen
lässt sich aus der Singulärwertzerlegung von
Vall
schlieÿen. Ähneln die Unter-
räume einander, so ist ein deutlicher Abfall zwischen den Singulärwerten an den
Stellen
q
und
q+ 1
erkennbar.
Die Stabilität der reduzierten Systeme stellt neben der Stetigkeit eine weitere
wichtige Eigenschaft dar, die erfüllt sein muss. Hier besteht das Hauptproblem
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 107
darin, dass für Verfahren der Modellordnungsreduktion, die auf einer Interpolati-
on der Übertragungsfunktion basieren, in den meisten Fällen kein Erhalt der Sta-
bilität garantiert werden kann. Sowohl bei der manuellen rationalen Interpolation,
als auch bei der
H2
-optimalen Interpolation können prinzipiell instabile reduzierte
Systeme berechnet werden. Es existieren Ansätze, mit denen die Stabilität garan-
tiert werden kann, indem beispielsweise zusätzliche lineare Matrixungleichungen
(LMI) gelöst werden, siehe [BD08]. Dieser Ansatz wurde im Rahmen der vorlie-
genden Arbeit untersucht, erwies sich aber für die betrachteten Anwendungsfälle
als unbrauchbar. Die LMI lieÿen sich entweder mit den angegebenen Algorithmen
nicht lösen oder die berechneten Lösungen führten nicht zu einer Stabilisierung
des reduzierten Systems. Andere Ansätze wie z.B. der bereits erwähnte Arti-
kel [ECSP
+
11], verwenden einseitige Projektionen an Stelle zweiseitiger, um die
Stabilität zu garantieren. Dies führt zu einer Verschlechterung der Approximati-
onsgüte bei gleicher Ordnung
q
des reduzierten Modells. Innerhalb dieser Arbeit
wird daher die Stabilität manuell überprüft und gegebenenfalls Anpassungen an
den Algorithmus-Parametern der Reduktionsverfahren vorgenommen, um stabile
reduzierte Systeme zu erhalten.
Bei der Matrix Interpolation entsteht durch die Interpolation der Systemmatrizen
eine zusätzliche Problematik hinsichtlich der Stabilität. Selbst bei stabilen redu-
zierten Systemen an den Stützstellen, ist nicht garantiert, dass die gewichtete
Summe der Systemmatrizen in jedem Fall zu stabilen Systemen führt. Allerdings
trat diese Problematik bei den betrachteten Anwendungsbeispielen nicht auf. Un-
ter Umständen ist dies auf den speziellen Einsatzfall der Interpolation paretoop-
timaler Systeme zurückzuführen. Die paretooptimalen Systeme selbst sind stabil,
da sie andernfalls nicht paretooptimal wären. Die in den durchgeführten Optimie-
rungen beobachtete Streuung der Paretopunkte im Urbildraum veranschaulicht,
dass die Systeme auch bei kleineren Abweichungen der Parameter stabil bleiben.
Da die lineare Interpolation der paretooptimalen Systeme eine komponenten-
weise Näherung dieser Parameterabhängigkeit darstellt, sind dies Indizien dafür,
dass stets stabile Systeme zu erwarten sind. In Ergänzung zu dem hier vorge-
stellten Ansatz könnte zukünftig mit Hilfe gemeinsamer Lyapunov-Funktionen,
siehe [Wul04], die Stabilität der interpolierten Systeme nachgewiesen werden. Mit
diesem Ansatz wurde beispielsweise in [KDL08, KPL09] die Stabilität einer ad-
aptiven LQ-Regelung gezeigt.
Die reduzierten paretooptimalen Systeme, die das Resultat der parametrischen
Modellordnungsreduktion bilden, sind in Tabelle 5-1 einander gegenübergestellt.
Bei der manuellen rationalen Interpolation bleibt die Struktur des Systems (5-11),
bestehend aus einer parameterabhängigen Dynamikmatrix und konstanten Ein-
und Ausgangsmatrizen, erhalten. Die Matrix Interpolation führt demgegenüber
zu einer Parameterabhängigkeit aller Matrizen.
108 Kapitel 5
Tabelle 5-1
:
Endergebnis der parametrischen Modellordnungsreduktion paretoop-
timaler Systeme
Reduzierte paretooptimale Systeme
manuelle Interpolation Matrix Interpolation
Er,i ˙xr=Ar,i(α)xr+Br,iu
yr=Cr,ixr, α ∈[αi, αi+1)
Er(α) ˙xr=Ar(α)xr+Br(α)u
yr=Cr(α)xr
Er,i =WT
iVi,Er(α) =
nS
X
i=1
ωi(α)MiEr,iT−1
i
Ar,i(α) = WT
i(Ai+ ¯αi∆Ai)ViAr(α) =
nS
X
i=1
ωi(α)MiAr,iT−1
i
Br,i =WT
iBBr(α) =
nS
X
i=1
ωi(α)MiBr,i
Cr,i =CViCr(α) =
nS
X
i=1
ωi(α)Cr,iT−1
i
Für die weitere Verwendung der reduzierten paretooptimalen Systeme ist bei bei-
den Verfahren von Vorteil, dass eine aufwändige Erzeugung des Systems bei Para-
meteränderungen, z.B. durch die Linearisierung eines Simulinkmodells, entfällt.
Es ist lediglich erforderlich, die Systemmatrizen der reduzierten Systeme sowie
die Knotenpunkte
αi
rechnerintern abzulegen und mit Hilfe geeigneter Funktionen
auszuwerten. Insbesondere im Kontext der hierarchischen Strukturierung bleibt
so die Kapselung unterlagerter Systeme erhalten und es ist kein spezielles System-
wissen erforderlich, um eine Parameteränderung vorzunehmen. Durch die an den
Zielfunktionen orientierte Parametrierung ist eine abstrakte und domänenunab-
hängige Variation der Systemparameter möglich. Die Parametrierung ist darüber
hinaus für die hierarchische Optimierung und selbstoptimierende Regelungen ge-
eignet, was die Anwendungen in Kapitel 6 verdeutlichen.
5.4 Resultate am Feder-Neige-Prüfstand
Basierend auf den Ergebnissen der Mehrzieloptimierung aus Abschnitt 4.4 wird in
diesem Abschnitt die PMOR paretooptimaler Systeme an zwei Anwendungsbei-
spielen demonstriert. Beide Anwendungen gehören zum Feder-Neige-Prüfstand.
Zum einen wird in Abschnitt 5.4.1 das Aktormodul als Teilsystem des Prüfstands
reduziert. Zum anderen wird in Abschnitt 5.4.2 der gesamte Prüfstand betrach-
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 109
0
1000
2000
3000
0
1000
2000
0
500
1000
1500
2000
2500
Kp,1
Kp,2
Kp,3
berechnete Paretomenge
geglättete Paretomenge
0
1000
2000
3000
0
1000
2000
0
500
1000
1500
2000
2500
Kp,1
Kp,2
Kp,3
geglättete Paretomenge
Startknoten
Finale Knoten
Bild 5-7
: links:
Mit GAIO berechnete Paretomenge des Aktormoduls und zugehö-
riger Ausgleichsspline;
rechts:
äquidistante Stützstellen als Startwerte
der Knotenverteilung und resultierende Stützstellen für die PMOR
tet. Für die Reduktion kommen sowohl die manuelle rationale Interpolation als
auch die Matrix Interpolation zum Einsatz.
5.4.1 PMOR des Aktormoduls des Feder-Neige-Prüfstands
Die PMOR des Aktormoduls basiert auf den Ergebnissen der Mehrzieloptimie-
rung, die im vorangegangenen Kapitel beschrieben sind. Das reduzierte Modell
wird im nächsten Kapitel zur hierarchischen Optimierung des Feder-Neige-Prüf-
stands verwendet. Die Grundlage hierfür bildet das hierarchische Modell, auf
dessen Struktur in Abschnitt 1.3 eingegangen wird. Zur Reduktion wird daher
nicht das Optimierungsmodell des Aktormoduls, sondern ein lineares Modell ver-
wendet, dass das dynamische Verhalten des geregelten Systems abbildet.
Die in Bild 4-6 abgebildete Paretomenge stellt das Ergebnis der Mehrzielopti-
mierung des Aktormoduls dar und bildet die Grundlage für die PMOR. Da die
Paretopunkte eine erhebliche Streuung aufweisen wird als erster Schritt ein ku-
bischer
smoothing spline
zur Glättung der Paretomenge gemäÿ (5-4) berechnet.
Dieser ist in Bild 5-7 links zusammen mit den berechneten Paretopunkten dar-
gestellt. Als Parametrisierung für die PMOR des Aktormoduls wird der von den
Minima der beiden Zielfunktionen gebildete Simplex gewählt, siehe (5-3). Als
Maximalwert wird
αmax = 1000
gesetzt.
Für die Interpolation der paretooptimalen Systeme wird der in Bild 5-5 darge-
stellte Algorithmus genutzt. Initial werden dazu fünf äquidistante Stützstellen
αi, i = 1,...,5
, sowie eine Abbruchschranke
εS= 10−10
gewählt. Die initiale
110 Kapitel 5
Stützstellenverteilung ist in Bild 5-7 rechts zu nden. Es ist deutlich zu erkennen,
dass die äquidistante Verteilung bzgl.
α
nicht zu einer äquidistanten Verteilung
im Urbild- bzw. Parameterraum führt. Als Ergebnis der automatisierten Interpo-
lation der paretooptimalen Systeme erhält man sieben Stützstellen, die ebenfalls
in Bild 5-7 rechts eingetragen sind. Die neue Verteilung besitzt dabei deutlich
gleichmäÿigere Abstände im Urbildraum.
Nachfolgend werden die durch
α
parametrierten paretooptimalen Systeme des
Aktormoduls durch Anwendung der manuellen rationalen Interpolation (siehe
Abschnitt 3.1) reduziert. Die Reduktion erfolgt auf eine Systemordnung von
q= 9
, ausgehend von der ursprünglichen Systemordnung 18. Jeder der sechs
Abschnitte
[αi, αi+1]
wird separat betrachtet. Für den objektorientierten Arnoldi-
Algorithmus werden jeweils die drei Entwicklungspunkte
s0∈ {0,90,250}
mit je
drei korrespondierenden Basisvektoren verwendet. Die Schranke für die Deation
beträgt
εD= 10−4
. Die Deation kommt für den konkreten Anwendungsfall mit
dieser Wahl nicht zum Tragen; die drei berechneten Projektionsvektoren sind je-
weils linear unabhängig. Auch die gesamten Projektionsmatrizen
V= [V1, V2, V3]
und
W= [W1, W2, W3]
, die aus den zu den drei Entwicklungspunkten gehören-
den Projektionsmatrizen gebildet werden, haben in diesem Fall vollen Rang.
Der resultierende Reduktionsfehler für den gesamten Parameterbereich
[0, αmax]
ist in Bild 5-8 aufgetragen. Die bei der Interpolation der paretooptimalen Sys-
teme bestimmten Stützstellen sind besonders hervorgehoben. Zur Bewertung der
Approximationsgüte werden die relativen Fehler bzgl. der
H2
sowie der
H∞
-Norm
herangezogen (siehe Abschnitt 2.2). Dabei werden die parametrischen reduzier-
ten Systeme mit den ursprünglichen linearen Systemen verglichen, d.h. zu einem
gegebenen Wert von
α
werden die zugehörigen Reglerparameter berechnet und
daraus das jeweilige lineare System bestimmt.
Die Abweichungen liegen in fast allen Bereichen deutlich unterhalb von 10%, was
ein sehr gutes Reduktionsergebnis darstellt. Der Approximationsfehler steigt mit
wachsendem
α
an. Steigende Werte von
α
entsprechen dabei Systemkongura-
tionen, die zu weniger Energieverbrauch und einer langsameren Systemdynamik
führen. Dies wirkt sich anscheinend negativ auf den Reduktionsfehler aus, wo-
bei die genaue Ursache nicht angegeben werden kann. Durch die abschnittsweise
Berechnung der reduzierten Systeme entstehen die Sprünge im Reduktionsfehler
an den Stützstellen. Dies veranschaulicht die fehlende Stetigkeit der reduzierten
Systeme bzgl.
α
.
5.4.2 PMOR des gesamten Feder-Neige-Prüfstands
Als zweites Anwendungsbeispiel der Reduktion paretooptimaler Systeme wird
der gesamte Feder-Neige-Prüfstand betrachtet. Analog zum Aktormodul dient
auch für den Feder-Neige-Prüfstand die im vorhergehenden Kapitel beschriebene
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 111
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
10−2
10−1
100
Parameter α
H2−Norm
H
∞
−Norm
Stützstellen
Bild 5-8
:
Relative Fehler der PMOR des Aktormoduls für den gesamten Parame-
terbereich
Mehrzieloptimierung als Grundlage für die PMOR. Im Unterschied zum Aktor-
modul wird beim Feder-Neige-Prüfstand kein gesondertes Modell, sondern direkt
der lineare Teil des Optimierungsmodells, vgl. Bild 5-1, reduziert.
Als erster Schritt wird die Paretomenge parametrisiert. Hierzu werden beide vor-
gestellten Varianten verwendet, der Simplex zwischen den Minima der beiden
Zielfunktionen (5-3) sowie der Winkel des Zielfunktionsvektors (5-2). Da auch
beim Feder-Neige-Prüfstand die vom Optimierungsalgorithmus berechneten Pa-
retopunkte eine relativ hohe Streuung aufweisen, wird im Weiteren ein
smoothing
spline
an Stelle der ursprünglichen Paretopunkte genutzt.
Für die Interpolation der paretooptimalen Systeme mit dem Algorithmus aus
Bild 5-5 werden initial für beide Parametrisierungen 10 äquidistante Stützstellen
gewählt und die Abbruchschranke
εS= 10−6
verwendet. Die resultierenden Stütz-
stellenverteilungen sind in Bild 5-9 zu nden. Für die Parametrisierung mit dem
Simplex werden vom Algorithmus 26 Stützstellen berechnet, bei der Verwendung
des Winkels sind es 29.
Die Matrix Interpolation (siehe Abschnitt 3.2) wird zur PMOR der paretooptima-
len Systeme genutzt. Dazu werden die Systeme an den Stützstellen mit Hilfe der
H2
-optimalen Interpolation aus Abschnitt 2.4 reduziert. Die Reduktion erfolgt
automatisiert, indem der IRKA mit zufälligen initialen Interpolationspunkten an
jeder Stützstelle solange wiederholt wird bis die resultierende Abweichung zwi-
schen reduziertem und nicht reduziertem System bzgl. der
H2
-Norm kleiner als
0.03
ist. Die nicht reduzierten, paretooptimalen Systeme besitzen die Systemord-
nung 98 und werden alle auf Ordnung
q= 20
reduziert.
112 Kapitel 5
010 20 30
0
1
2
0
1
2
3
4
5
dz
Simplex
dy
dφ
010 20 30
0
1
2
0
1
2
3
4
5
dz
Winkel
dy
dφ
Paretomenge initiale Verteilung finale Verteilung
Bild 5-9
:
Stützstellenverteilung der Interpolation paretooptimaler Systeme für den
Feder-Neige-Prüfstand
Der Reduktionsfehler für den gesamten Parameterbereich ist in Bild 5-10 darge-
stellt. Generell liegt ein sehr gutes Reduktionsergebnis vor. Der Fehler liegt sowohl
bzgl. der
H2
-Norm, als auch bzgl. der
H∞
-Norm in fast allen Bereichen deutlich
unter 10%. Dabei ist die
H2
-Norm stets kleiner als die
H∞
-Norm. Für beide Pa-
rametrierungen ist zu beobachten, dass der Reduktionsfehler an den Stützstellen
mit wachsendem
α
ansteigt. Ansteigende
α
-Werte entsprechen hierbei einer an-
steigenden Dämpfung durch die aktive Federung. An den Stützstellen
αi
gleicht
der Reduktionsfehler der Matrix-Interpolation dem Fehler der nichtparametri-
schen Reduktion. Dies folgt direkt aus der Wahl der Gewichtsfunktionen
ωi
in
(5-7).
Der Reduktionsfehler zwischen zwei Stützstellen unterscheidet sich im vorderen
Bereich qualitativ vom Reduktionsfehler im hinteren Bereich. Dies gilt für beide
Parametrisierungen gleichermaÿen. Für kleine
α
-Werte steigt der Reduktions-
fehler zur Intervallmitte hin stark an, während er bei gröÿeren
α
-Werten über
das gesamte Intervall hinweg in etwa gleich bleibt. Diese beiden Varianten gehen
schlagartig ineinander über. Beim Simplex ist der Übergang etwa bei
α= 550
zu
erkennen. Bei der Parametrierung mit dem Winkel liegt der Übergang bei etwa
α= 140
. Die zugehörigen Systeme sind jedoch fast identisch. Dies zeigt Bild 5-11,
in dem die Stützstellen der kritischen Intervalle auf der Paretomenge eingezeich-
net sind. Als kritisches Interval ist hier der Bereich
[αi, αi+1]
gemeint, in dem
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 113
10−3
10−2
10−1
100
Simplex, 26 Stützstellen
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
10−3
10−2
10−1
100
Parameter α
Winkel, 29 Stützstellen
H2−Norm H∞−Norm nichtparam. Reduktion (IRKA)
Bild 5-10
:
Relative Fehler der PMOR des Feder-Neige-Prüfstands für den gesam-
ten Parameterbereich und beide Parametrierungsvarianten
der Übergang liegt. Die unterschiedlichen Werte für
α
sind auf die geometrischen
Eigenschaften der Parametrierung zurückzuführen und nicht durch die PMOR
bedingt.
Insbesondere bei der Parametrierung mit dem Winkel wird deutlich, dass der
stark unterschiedliche Reduktionsfehler nicht mit der Intervalllänge zwischen zwei
Stützstellen zusammenhängt. Die schlechtere Approximation im Anfangsbereich
ist vielmehr auf die Rückprojektion auf den gemeinsamen Unterraum mittels der
Matrix
R
zurückzuführen, siehe (3-11) und (3-12). Die dort benötigte Matrix
R
wird abschnittsweise aus einer Singulärwertzerlegung von
Vall,i = [Vi, Vi+1]
bestimmt, vgl. auch (5-12).
Einige der Singulärwerte dieser Zerlegung sind exemplarisch für drei Intervalle
der Simplex-Parametrierung in Bild 5-12 dargestellt. Das erste Intervall
[α7, α8]
repräsentiert hierbei ein Intervall mit stark anwachsendem Reduktionsfehler. Das
114 Kapitel 5
0510 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
0
2
4
6
dz
dy
dφ
geglättete Paretomenge
krit. Intervall Winkel
krit. Intervall Simplex
Bild 5-11
:
Lage der kritischen Intervalle im Urbildraum für beide Parametrierun-
gen
zweite Intervall
[α8, α9]
ist das kritische Intervall und das dritte hier dargestellte
Intervall
[α9, α10]
steht stellvertretend für die Intervalle mit kaum ansteigendem
Reduktionsfehler.
Bei dem letztgenannten ist ein sehr deutlicher Abfall der Singulärwerte zwischen
dem 20. und 21. Singulärwert zu erkennen. Dies zeigt, dass die von den Matri-
zen
V9
und
V10
aufgespannten Unterräume sehr ähnlich sind. Daraus wiederum
folgt, dass die Rückprojektion auf den gemeinsamen Unterraum sehr gute Er-
gebnisse liefert. Anders sieht dies bei den beiden übrigen Intervallen aus. Dort
ist der Abfall der Singulärwerte deutlich langsamer. Insbesondere bei dem kri-
tischen Intervall sind der 20. und 21. Singulärwert annähernd gleich groÿ. Für
die Rückprojektion mit der Matrix
R
wird jedoch nur einer der beiden Singu-
lärwerte berücksichtigt. Hierauf ist der gröÿere Reduktionsfehler bei der Matrix
Interpolation zurückzuführen, der trotz einer sehr guten Approximation der nicht-
parametrischen Reduktion an den Stützstellen auftritt. Da auf die Spalten der
Matrix
V
bei Verwendung des IRKA keinerlei Einuss genommen werden kann,
lässt sich diese Problematik mit den in dieser Arbeit behandelten Methoden nicht
beheben.
Die Berechnung einer gemeinsamen Matrix
R
für alle Intervalle ist ebenfalls un-
tersucht worden, führt aber zu einem parametrischem reduzierten Modell mit
einer sehr schlechten Approximationsgüte. Dies bedeutet für das konkrete An-
wendungsbeispiel, dass auch bei der Matrix Interpolation keine Stetigkeit bzgl.
α
über die Intervallgrenzen hinaus hergestellt werden kann.
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 115
18 19 20 21 22 23 24
0
0.5
1
1.5
Singulärwert
[α7,α8]
[α8,α9]
[α9,α10]
Bild 5-12
:
Singulärwerte aus der Singulärwertzerlegung von
[Vi, Vi+1]
für drei In-
tervalle
Abschlieÿend sei noch angemerkt, dass auch die manuelle rationale Interpola-
tion für die Reduktion des gesamten Feder-Neige-Prüfstands untersucht wurde.
Es konnten allerdings keine geeigneten Parameter (Ordnung des reduzierten Sys-
tems, Entwicklungspunte, etc.) gefunden werden, die zu einem zufriedenstellenden
Reduktionsergebnis führen.
5.5 Erweiterungsmöglichkeiten
Die in diesem Kapitel beschriebene Methode zur PMOR paretooptimaler Sys-
teme konnte erfolgreich an den im vorhergehenden Abschnitt 5.4 dargestellten
Anwendungsbeispielen angewendet werden. Die resultierenden reduzierten Mo-
delle können erheblich zur Verkürzung der Rechenzeit bei der Lösung hierarchi-
scher Optimierungsprobleme beitragen. Zudem eignen sie sich für die Auslegung
spezieller selbstoptimierender Regelungen. Beide Anwendungsgebiete werden in
Kapitel 6 ausführlich behandelt. Die vorgestellte Methode unterliegt jedoch den
folgenden drei Voraussetzungen:
Bei den zu reduzierenden Systemen muss es sich um lineare Systeme mit
beliebiger Parameterabhängigkeit handeln.
Es erfolgt eine lineare Interpolation bzgl. der Parametrisierung
α
der pare-
tooptimalen Systeme.
Es können nur eindimensionale Paretomengen, d.h. Optimierungsprobleme
mit zwei Zielfunktionen behandelt werden.
In den folgenden drei Abschnitten wird auf diese drei Beschränkungen einge-
gangen. Dabei wird ein Ausblick auf zukünftige Erweiterungsmöglichkeiten der
Methode gegeben, indem erste Ideen für eine Aufhebung oder Abschwächung der
Beschränkungen vorgestellt werden.
116 Kapitel 5
5.5.1 Behandlung nichtlinearer Systeme
Mechatronische und insbesondere selbstoptimierende Systeme zeigen sehr oft
nichtlineares Systemverhalten. In vielen Fällen, wie beispielsweise bei dem in die-
ser Arbeit betrachteten Feder-Neige-Prüfstand, kann das Systemverhalten hinrei-
chend genau unter Verwendung linearer Systeme beschrieben werden. Für andere
Systeme wird dies nicht der Fall sein. Da eine Mehrzieloptimierung ohne Wei-
teres auch basierend auf einem nichtlinearen Optimierungsmodell durchgeführt
werden kann, wäre eine nachfolgende MOR der nichtlinearen paretooptimalen
Systeme wünschenswert und würde den Anwendungsbereich der in dieser Arbeit
vorgestellten Methode deutlich ausweiten.
Unabhängig von der hier betrachteten, speziellen Aufgabenstellung der Reduk-
tion paretooptimaler Systeme, stellt die MOR nichtlinearer Systeme selbst noch
eine Herausforderung dar. Bestehende Verfahren wie die POD (Proper Ortho-
gonal Decomposition, siehe [Ant05] für eine Einführung) oder auch die bereits
in Abschnitt 3.2 erwähnte TPWL (Trajectory-Piecewise-Linear) benötigen feste
Trajektorien oder Trainingsdaten, die zur Konstruktion des reduzierten Modells
verwendet werden. Eine Berücksichtigung zusätzlicher Parameter wird hierdurch
erschwert und wurde soweit bekannt noch nicht vorgenommen.
Ein anderer, sehr neuer Ansatz zur Modellordnungsreduktion nichtlinearer Sys-
teme ist die Reduktion bilinearer Systeme. Dies sind Systeme der Form
˙x(t) = Ax(t) +
m
X
i=1
Njx(t)uj(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t),
(5-13)
die ebenfalls mit Hilfe von Krylov-Unterräumen reduziert werden können, sie-
he z.B. [BD10]. In [Gu11] wird darüber hinaus ein Verfahren beschrieben, mit
dem eine Reihe von nichtlinearen Systemen als sogenannte
quadratische bilineare
Systeme
ausgedrückt werden können. Im Unterschied zu bisherigen Arbeiten, die
allgemeine nichtlineare Systeme beispielsweise mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung
durch bilineare Systeme approximieren, handelt es sich hierbei nicht um eine Ap-
proximation, sondern eine äquivalente Darstellung des Systems. Ein quadratisches
bilineares System enthält zusätzlich zu (5-13) einen Ausdruck, der quadratisch
von dem Zustand
x
abhängt. Das quadratische bilineare System ist dann gege-
ben als
˙x(t) = A1x(t) + A2(x(t)⊗x(t)) +
m
X
i=1
Njx(t)uj(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t),
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 117
wobei
⊗
das Tensorprodukt darstellt und dementsprechend
A2∈Rnx×n2
x
gilt.
Der auch im Rahmen dieser Arbeit eingesetzte IRKA (Algorithmus 2 in Abschnitt
2.4) wurde in [BB12] sowohl auf bilineare, als auch auf quadratische bilineare
Systeme erweitert. Darüber hinaus werden in [BB11] Systeme mit an-linearen
Parameterabhängigkeiten als bilineare Systeme formuliert und mit Hilfe des mo-
dizierten IRKA reduziert. Über die Darstellung als bilineares System könnte
sich daher zukünftig ein Ansatz ergeben, parametrische nichtlineare Systeme zu
reduzieren.
5.5.2 Interpolation höherer Ordnung
Die Interpolation der paretooptimalen Systeme erfolgt in dieser Arbeit durch li-
neare, matrixwertige Splinefunktionen. Um eine bessere Approximation der pare-
tooptimalen Systeme mit weniger Stützstellen zu erzielen, wäre eine Interpolation
höherer Ordnung, z.B. mit Hilfe kubischer Splines, von Vorteil. Zudem wären die
interpolierten Systeme nicht nur stetig, sondern (mehrfach) stetig dierenzierbar.
Dies könnte besonders bei der Anwendung der Methode auf mehreren Ebenen
der Systemhierarchie von Vorteil sein. In diesem Fall werden die parametrischen
reduzierten Systeme selbst als Teilsysteme der nächsthöheren Hierarchieebene für
die Parametrisierung und Interpolation verwendet.
Eine komponentenweise Spline-Interpolation höherer Ordnung auf Basis der Pa-
rametrisierung
α
ist zunächst ohne weiteres möglich. Anstatt einer stückweise
linearen, matrixwertigen Funktion, erhält man eine stückweise polynomielle Funk-
tion
A(α) = Aj,0+Aj,1α+Aj,2α2+. . . , j = 1, . . . , nS
der Dynamikmatrizen. Ein derartiger kubischer Spline ist beispielsweise die Funk-
tion
s3
, die bereits bei der Bestimmung der Stützstellen für die Interpolation in
Abschnitt 5.2 verwendet wurde.
Die manuelle rationale Interpolation kann auch bei polynomiellen statt an-
linearen Parameterabhängigkeiten genutzt werden. In [DSC
+
04] geschieht dies
durch die Einführung zusätzlicher Parameter für die höheren Potenzen. Als al-
ternativer Weg werden in [FHIDE06] spezielle Krylov-Unterräume konstruiert,
sodass polynomielle Parameterabhängigkeiten berücksichtigt werden können. Da
die manuelle rationale Interpolation allerdings nur lokal auf jeden Abschnitt ein-
zeln angewendet werden kann, entstehen an den Stützstellen stets Unstetigkeiten
bei der Reduktion sowohl in den Systemmatrizen selbst, als auch in den Ablei-
tungen bzgl.
α
.
Dies lieÿe sich vermeiden, wenn die Spline Struktur auch in den reduzierten Syste-
men erhalten bleiben könnte, wie das bei der linearen Interpolation in Kombina-
tion mit der Matrix Interpolation möglich ist. Die Darstellung beliebiger Splines
118 Kapitel 5
als B-Splines weist gewisse Ähnlichkeiten mit der für die Matrix Interpolation
geforderten Struktur (3-15) auf. Für eine allgemeine Einführung der B-Splines
sei auf [Wer92] oder [Boo01] verwiesen. Bezeichnet man mit
Bi,k
den B-Spline
der Ordnung
k
zum Knotenpunkt
i
, so ist ein beliebiger Spline
sp
darstellbar als
Summe
sp(α) =
nK
X
i=0
aiBi,k,
wobei
nK
die Anzahl der Knoten bezeichnet, die für Interpolationen höherer Ord-
nung nicht der Anzahl der zu interpolierenden Funktionswerte entspricht. Die
Koezienten
ai
können ezient durch die Lösung linearer Gleichungssysteme
bestimmt werden.
Im Falle einer matrixwertigen Interpolation ergibt sich
A(α) =
nK
X
i=0
AiBi,k
mit
Ai∈Rnx×nx.
Für die lineare Interpolation erhält man daraus das auch in dieser Arbeit genutzte
Resultat
A(αi) = Ai,
das eine separate Reduktion der Systeme an den Stützstellen
αi
mit einer an-
schlieÿenden Interpolation ermöglicht. Für Interpolationen höherer Ordnung gilt
dieser Zusammenhang jedoch nicht mehr, da der Träger von
Bi,k
immer aus
k+1
Knotenpunkte besteht. Es gilt dann lediglich
A(αj) =
j+k
X
i=j
AiBi,k,
woraus sich ein Problem für die MOR ergibt. Die B-Splines selbst bilden zwar
auch für höhere Ordnungen eine
Zerlegung der Eins
, d.h.
1≡
nK
X
i=0
Bi,k(α),∀α,
weshalb sie als Gewichtsfunktionen für die Matrix Interpolation geeignet wä-
ren. Allerdings besitzen die Koezienten
Aj
keine systemtheoretische Bedeutung
mehr. Eine MOR mit diesen Koezientenmatrizen als Dynamikmatrizen ist frag-
lich und bedarf weiteren Untersuchungen. Es ist zudem oen, ob und auf welche
Weise sich die notwendigen Rückprojektionen auf einen gemeinsamen Unterraum
für Interpolationen höherer Ordnung anwenden lassen.
Parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme 119
5.5.3 Behandlung von drei oder mehr Zielfunktionen
Die Paretomenge eines Mehrzieloptimierungsproblems stellt unter gewissen An-
nahmen an die Zielfunktionen ein
(k−1)
-dimensionales Objekt dar, wobei
k
die
Anzahl der Zielfunktionen angibt. Eine Parametrisierung muss aus einer der Di-
mension entsprechenden Anzahl von Parametern bestehen. Bei drei oder mehr
Zielfunktionen ist daher zunächst eine geeignete Parametrisierung zu wählen.
Eine orthogonale Projektion auf einen Simplex, der von den Minima der einzelnen
Zielfunktionen aufgespannt wird, ist nur für den Fall von zwei Zielfunktionen
geeignet. Bei drei oder mehr Zielfunktionen können projizierte Punkte auÿerhalb
des Simplex liegen, siehe [Hil01] für ein einfaches Beispiel. Eine Parametrisierung
ist noch möglich, wenn statt des Simplex die gesamte Ebene verwendet wird, was
lediglich zur Folge hat, dass die Parameterwerte auÿerhalb des Intervalls
[0,1]
liegen.
Die Paretopunkte können ebenfalls mit Hilfe von zwei Winkeln beschrieben wer-
den. Kombinationen aus einem Zielfunktionswert und einem Winkel, der das Ver-
hältnis der beiden anderen Zielfunktionen beschreibt, sind ebenfalls denkbar.
Eine Interpolation der paretooptimalen Systeme kann auch in Abhängigkeit von
zwei (oder mehr) Parametern durchgeführt werden. Hierfür sind z.B. bilineare
Tensorsplines geeignet wie sie in [SK11] eingeführt werden. Diese stellen ein Pro-
dukt aus eindimensionalen Interpolationen mit linearen B-Splines dar. Verwendet
man nur lineare Interpolationen, so können sowohl die manuelle rationale Inter-
polation, als auch die Matrix Interpolation zur Reduktion verwendet werden. Die
manuelle rationale Interpolation wird erneut für jedes Segment separat angewen-
det. Die Anzahl der zu berücksichtigenden Parameter entspricht der Dimension
der Paretomenge. Bei der Matrix Interpolation werden reduzierte Systeme an den
Stützstellen berechnet. Diese können dann wie im eindimensionalen Fall linear in-
terpoliert werden.
Zu erweitern ist der Algorithmus zur Bestimmung der Anzahl und der Lage der
Stützstellen. Die hier verwendete Funktion
newnot
kann nur auf Splines ange-
wendet werden, die von einem einzigen Parameter abhängen. Für einen ersten
Ansatz ist auch eine äquidistante Verteilung denkbar. Diese wird beispielsweise
in [BDD12] für die Parametrisierung von Paretomengen mit drei Zielfunktionen
verwendet. Die Grundlage der Parametrisierung ist dort eine Interpolation mit
Hilfe von B-Splines.
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 121
6 Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter
Modelle
Dieses Kapitel zeigt Anwendungsmöglichkeiten der parametrischen reduzierten
Systeme auf. Zum einen wird der Einsatz der reduzierten Modelle im Bereich
der hierarchischen Optimierung illustriert. Als Anwendungsbeispiele dienen eine
erneute Optimierung des Feder-Neige-Prüfstands mit reduzierten Modellen der
beiden Aktormodule in Abschnitt 6.1 sowie die Optimierung eines vernetzten
Prüfstands in Abschnitt 6.2. In diesem zweiten Anwendungsbeispiel wird das pa-
rametrische reduzierte Modell des gesamten Feder-Neige-Prüfstands eingesetzt.
Zum anderen wird in Abschnitt 6.3 mit der zielfunktionsbasierten Regelung ein
Konzept zur Umsetzung der Selbstoptimierung kurz vorgestellt, in dem die para-
metrischen reduzierten Modelle ebenfalls eingesetzt werden können. Neben einer
Darstellung der Einsatzmöglichkeiten der parametrischen reduzierten Modelle un-
terstreichen die in diesem Kapitel präsentierten Ergebnisse noch einmal die hohe
Approximationsgüte, die mit der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Methodik
erreicht werden kann.
6.1 Hierarchische Optimierung des Feder-Neige-Prüfstands
Die hierarchische Optimierung des Feder-Neige-Prüfstands basiert auf dem hier-
archischen Modell, das in Abschnitt 1.3 vorgestellt wird. Bei der hierarchischen
Optimierung werden voneinander abhängige, hierarchisch angeordnete Mehrziel-
optimierungsprobleme (MOP) betrachtet, siehe Abschnitt 4.2 für eine ausführli-
che Darstellung.
Im Fall des Feder-Neige-Prüfstands bilden die beiden Aktormodule die untere
Hierarchieebene. Eine Mehrzieloptimierung eines einzelnen Aktormoduls ist in
Abschnitt 4.4.1 beschrieben. Die im Folgenden dargestellten Ergebnisse verwen-
den die dort gezeigte Paretofront bzw. Paretomenge.
Im Unterschied zu der bisher betrachteten Optimierung des Feder-Neige-Prüf-
stands (siehe Abschnitt 4.4.2) wird in diesem Abschnitt das hierarchische Modell
im Optimierungsmodell genutzt. Die Aktormodule sind daher nun variabel kon-
gurierbar, wobei die zulässigen Kongurationen auf die mittels der Optimierung
bestimmten optimalen Systemeinstellungen beschränkt werden. Die Zielfunktio-
nen sind identisch zu der bereits beschriebenen Optimierung und bewerten den
Komfort sowie den Energieverbrauch des Systems, siehe (4-5). Die optimalen Sys-
temkongurationen der Aktormodule sind durch die Parametrierung
α
gegeben.
122 Kapitel 6
0 5 10 15 20 25
0
2
4
6
8
10
12
14
Komfort
Energieverbrauch
Originalsystem
reduzierte Aktormodule
Bild 6-1
:
Vergleich der Paretofronten der hierarchischen Optimierung des Feder-
Neige-Prüfstands mit reduzierten und nicht reduzierten Aktormodulen
Im Folgenden werden zur Vereinfachung die beiden Aktormodule durch dieselbe
Variable parametriert, verhalten sich also stets identisch.
Wie in Abschnitt 4.2 dargestellt, wird
α
neben den Optimierungsparametern der
oberen Ebene als zusätzliche Optimierungsvariable verwendet. Insgesamt ergibt
sich hieraus für die obere Ebene das MOP
min
p,α [f1(p, α), f2(p, α)] : p∈ D ⊆ R3,0≤α≤αmax,
mit den Zielfunktionen
f1
und
f2
aus (4-5) und dem in Abschnitt 4.4.2 beschrie-
benen Optimierungsmodell.
Bei der Implementierung werden zur Umsetzung einer Funktionsauswertung zu
einem gegebenen
α
die zugehörigen Zustandsdarstellungen der Aktormodule be-
rechnet und in das hierarchische Modell eingebunden. An dieser Stelle kann das
parametrische reduzierte Modell der Aktormodule aus Abschnitt 5.4.1 eingesetzt
werden. Die parametrisch reduzierten Aktormodule hängen direkt von der Op-
timierungsvariable
α
ab und können daher bei der Implementierung besonders
schnell und einfach variiert werden. Zudem sind keine Detailkenntnisse mehr über
das System und seine ursprünglichen Parameter notwendig. Ein weiterer Vorteil
der reduzierten Modelle liegt darin, dass die in jeder Funktionsauswertung aus-
geführte Simulation des Optimierungsmodells durch die Verwendung eines redu-
zierten Modells beschleunigt wird.
In den Bildern 6-1 und 6-2 sind die Ergebnisse der hierarchischen Optimierung
sowohl unter Verwendung der reduzierten, als auch der nicht reduzierten Aktor-
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 123
0
10
20
0123456
0
2
4
6
8
10
dz
dφ
α
Originalsystem
reduzierte Aktormodule
Bild 6-2
:
Vergleich der Paretomengen der hierarchischen Optimierung des Feder-
Neige-Prüfstands mit reduzierten und nicht reduzierten Aktormodulen
module einander gegenüber gestellt. Die berechneten Paretofronten und Pareto-
mengen stimmen sehr gut überein. Im Bildraum, der die Zielfunktionswerte in
skalierter Form wiedergibt, ist optisch kaum ein Unterschied zwischen den beiden
Paretofronten zu erkennen. Da für die Optimierung der
sampling
-Algorithmus
benutzt wurde, sind im Urbildraum aufgrund der zufälligen Wahl der Testpunkte
andere Paretopunkte berechnet worden. Die Paretomengen stimmen aber quali-
tativ sehr gut überein.
Ein Vergleich der Ausführungszeiten für eine Funktionsauswertung ist in Tabel-
le 6-1 dargestellt. Insgesamt kann die Rechenzeit für eine vollständige Funktions-
auswertung durch das parametrische reduzierte Modell um ca. 33% verringert
Tabelle 6-1
:
Vergleich der durchschnittlichen Ausführungszeiten
original reduziert Ersparnis
Funktionsauswertung 4,64s 3,098s 33%
Simulation 3,165s 3,067s 3%
Initialisierung 1,475s 0,031s 98%
124 Kapitel 6
werden. Auällig ist hier allerdings, dass die eigentliche Simulation des Optimie-
rungsmodells nur geringfügig, um 3%, schneller ausgeführt wird. Die hauptsäch-
liche Ersparnis resultiert aus einer signikanten Verkürzung der Initialisierung
des Modells. Bei nicht reduzierten Aktormodulen wird zu einem gegebenem Wert
von
α
zunächst die Paretomenge interpoliert, um die Systemparameter zu er-
halten. Anschlieÿend werden für das linke und das rechte Aktormodul jeweils
ein Simulinkmodell linearisiert, um automatisiert eine Zustandsdarstellung der
Aktormodule zu erhalten, die dann eingebunden werden kann. Dieses Vorgehen
ist durchaus typisch, wenn die zu optimierenden Modelle unter Simulink erstellt
wurden und eine analytische Beschreibung nicht vorliegt. Beide Schritte wer-
den beim reduzierten System ersetzt durch eine einfache Auswertung der an-
linearen Abhängigkeit der reduzierten Systeme von
α
, d.h. durch die Berechnung
A(α) = Ar,i + ¯α∆Ar,i
. Durch diese signikante Vereinfachung der Initialisierung
ist die erhebliche Verringerung der Rechenzeit zu erklären. Dies unterstreicht den
Vorteil der gekapselten, abstrakten Form der reduzierten Systeme.
6.2 Hierarchische Optimierung eines vernetzten Prüfstands
In diesem Abschnitt dient ein weiteres hierarchisches Optimierungsproblem als
Anwendungsbeispiel. Eingesetzt wird dabei das parametrische reduzierte System
des gesamten Feder-Neige-Prüfstands, das in Abschnitt 5.4.2 ausführlich beschrie-
ben ist. Optimiert wird ein vernetzter Prüfstand, der neben dem Feder-Neige-
Prüfstand aus einem weiteren Prüfstand aus dem Kontext des RailCab, dem
intelligenten Antriebsmodul, besteht.
Im folgenden Abschnitt 6.2.1 wird zunächst der Prüfstand des intelligenten An-
triebsmoduls beschrieben. Anschlieÿend wird in Abschnitt 6.2.2 das hierarchische
Modell des vernetzten Prüfstands vorgestellt. In Abschnitt 6.2.3 wird dann auf
die hierarchische Optimierung eingegangen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem
Vergleich zwischen der Optimierung mit nicht reduziertem und mit reduziertem
Modell des Feder-Neige Prüfstands.
6.2.1 Intelligentes Antriebsmodul
Das RailCab wird durch einen doppelt gespeisten Linearmotor angetrieben, wie
in Abschnitt 1.3 bereits kurz erwähnt. Dieser wird durch einen in der Gleismitte
xierten Stator und in das RailCab eingebaute Läufer realisiert. Die Kraftüber-
tragung erfolgt berührungslos, sodass zwischen Stator und Läufer ein Luftspalt
vorhanden ist. Die Gröÿe dieses Luftspalts hat einen erheblichen Einuss auf die
elektrischen Verluste und somit auf den Wirkungsgrad des RailCabs. Dabei führt
ein geringerer Luftspalt zu geringeren Verlusten.
Aufgrund baulicher Ungenauigkeiten, durch Setzungs- und Alterungsprozesse so-
wie Radverschleiÿ variiert der Luftspalt während der Fahrt in Abhängigkeit von
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 125
Schubkraft-
aufnehmer
Läufer
Federpaket
Verstellaktorik
Normalkraft-
aufnehmer
Querkraft-
aufnehmer
Hallsensoren
Stator
Bild 6-3
: links:
Prüfstand für das intelligente Antriebsmodul;
rechts:
Aktormodul
für die aktive Luftspaltverstellung [HHKS08]
der momentan befahrenen Strecke. Aus diesem Grund ist ein intelligentes An-
triebsmodul entwickelt worden [SZ05, HHKS08], mit dem eine aktive Verstellung
des Luftspalts möglich ist. Auf diese Weise ist es möglich, die Energieverluste zu
verringern. In diesem Abschnitt wird der Prüfstand dieses intelligenten Antriebs-
moduls betrachtet.
Der Prüfstand, abgebildet in Bild 6-3 links, besteht aus einem Rondell, das den
Stator repräsentiert, und zwei Aktormodulen, die jeweils einen Läufer des Rail-
Cabs mit aktiver Luftspaltverstellung nachbilden. Durch die Realisierung des
Stators als geschlossener Kreis ist eine Untersuchung beliebig langer Strecken-
abschnitte möglich. Die Fahrgeschwindigkeit des Fahrzeugs kann durch Varia-
tionen der Drehgeschwindigkeit des Rondells berücksichtigt werden. Der Stator
stellt im Gegensatz zum RailCab aus Kostengründen keinen doppelt gespeisten
Asynchronlinearmotor, sondern einen Permanentmagnet erregten Synchronlinear-
motor dar. Die vertikale Position der einzelnen Permanentmagnete kann manuell
verändert werden. Auf diese Weise können unterschiedliche Störungen der Strecke
nachgebildet werden.
Der Aufbau der beiden Aktormodule ist in Bild 6-3 rechts dargestellt. Sie be-
stehen aus einem Läufer, der Verstellaktorik und einer Reihe von Kraftsensoren
(Schubkraft-, Normalkraft- und Querkraftaufnehmer). Zudem wird der Läufer
von einer passiven Feder gehalten, die bewirkt, dass die Verstellaktorik nicht die
gesamten auftretenden Normalkräfte zwischen Läufer und Stator aufbringen muss
und somit die elektrischen Verluste verringert werden. Des Weiteren stellen die
Federn eine mechanische Notfallebene dar, um bei einem Ausfall des Verstell-
aktors den Linearmotorläufer in seine Endlage zu ziehen. Hallsensoren sind am
Läufer befestigt und werden u.a. dazu genutzt, den momentanen Luftspalt sowie
die Rondellgeschwindigkeit zu messen.
126 Kapitel 6
In [HKK
+
12] ist ein nichtlineares Modell des Prüfstands beschrieben, das auch
in dieser Arbeit verwendet wird. Es bildet das dynamische Verhalten hinreichend
genau nach. In dem Modell enthalten sind u.a. die nichtlinearen Charakteristiken
der Magnetkräfte. Einüsse von Reibung und Luftwiderstand werden ebenfalls
simuliert.
Auf Basis des nichtlinearen Modells wird ein Optimierungsmodell für das intel-
ligente Antriebsmodul erstellt und eine Mehrzieloptimierung durchgeführt, siehe
erneut [HKK
+
12]. Für die Mehrzieloptimierung des Prüfstands werden zwei Ziele
deniert. Zum einen sind dies die Energieverluste der Verstellaktorik und zum
anderen die Energieverluste des Linearantriebs. Diese beiden Ziele sind gegenläu-
g. Bei langsamen Geschwindigkeiten wird wenig Energie für den Linearantrieb
aufgewendet. Die benötigte Energie für die Verstellaktorik steigt jedoch, da ein
kleinerer Luftspalt realisiert werden kann. Umgekehrt vergröÿert sich aus Sicher-
heitsgründen der Luftspalt bei hohen Geschwindigkeiten. Dies hat zur Folge, dass
weniger Energie für die Verstellaktorik aber aufgrund der gestiegenen Geschwin-
digkeit mehr Energie für den Linearantrieb aufgebracht werden muss.
Es werden drei Optimierungsparameter gewählt. Dies sind zum einen Verstär-
kungsfaktoren
Kp,up
und
Kp,down
aus der Regelung der Verstellaktorik. Sie beein-
ussen vor allem die Schnelligkeit, mit der die Verstellaktorik auf einen wechseln-
den Luftspalt reagiert. Dabei wird zwischen einer Aufwärts- und einer Abwärts-
bewegung (up/down) unterschieden. Als dritter Optimierungsparameter wird die
Geschwindigkeit
vtrack
des Rondells betrachtet.
In Bild 6-4 sind die Ergebnisse der Mehrzieloptimierung dargestellt. Im linken
Teil ist die Paretofront, im rechten Teil die zugehörige Paretomenge zu nden.
Für die Mehrzieloptimierung wurde erneut der
sampling
-Algorithmus eingesetzt,
siehe Kapitel 4. Die hier dargestellte Paretomenge wird als Grundlage für die
hierarchische Optimierung des im nächsten Abschnitt beschriebenen vernetzten
Prüfstands genutzt. Eine weitergehende Analyse der Optimierungsergebnisse ist
in [HKK
+
12] zu nden.
6.2.2 Vernetzter Prüfstand
Die beiden Prüfstände, der Feder-Neige-Prüfstand und das intelligente Antriebs-
modul, sind bisher getrennt voneinander betrachtet worden. Eine Mehrzielopti-
mierung bzgl. der jeweiligen Ziele ist im vorhergehenden Abschnitt für das in-
telligente Antriebsmodul und in Abschnitt 4.4 für den Feder-Neige-Prüfstand
beschrieben worden.
In der Realität, d.h. im RailCab, werden beide Systeme zusammen eingesetzt,
wodurch Wechselwirkungen auftreten. Im Fall dieser beiden Systeme resultieren
die Wechselwirkungen vor allem aus Geschwindigkeitsänderungen. Diese verän-
dern zum einen die Frequenz, mit der Störungen auftreten, die von der aktiven
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 127
0 200 400 600
0
20
40
60
80
100
120
Energieverlust Linearantrieb [J]
Energieverlust Luftspaltverstellung [J]
0
10
20
0
20
40
60
5
10
15
20
Kp,up
Kp,down
vtrack
Bild 6-4
:
Paretofront (links) und Paretomenge (rechts) des intelligenten Antriebs-
moduls
Federung gedämpft werden. Zum anderen verändern sich die Energieverluste für
Antrieb und Aktorik der Luftspaltverstellung bei wechselnden Geschwindigkei-
ten.
Um diese Wechelwirkungen bereits im Vorfeld untersuchen zu können, ist die
Idee eines vernetzten Prüfstands entstanden. Als eine Art Vorstufe von Tests
am gesamten RailCab werden die Prüfstände so miteinander verkoppelt, dass
zumindest die wesentlichen gegenseitigen Einüsse untersucht werden können.
Bei den beiden Prüfständen handelt es sich um autonome mechatronische Syste-
me (AMS), sodass eine Kopplung nur über die Informationsverarbeitung erfolgen
kann. Das resultierende Gesamtsystem, der vernetzte Prüfstand, ist dann selbst
ein vernetztes mechatronisches System (VMS). Im ersten Schritt der Vernetzung
wird ein gemeinsames Simulationsmodell erstellt, mit dem die Wechselwirkungen
nachgebildet werden können. Die Kopplung wird hier konkret über ein gemein-
sames Streckenprol realisiert. Dazu werden für einen ktiven Streckenabschnitt
Störungen durch Gleislagefehler in vertikaler und horizontaler Richtung sowie
Abweichungen in der vertikalen Position der Statoren deniert. Die Geschwindig-
keit, mit der das Streckenprol für die Simulation abgetastet wird, ist variabel. Sie
stellt, wie bereits erwähnt, einen Parameter des intelligenten Antriebsmoduls dar.
Das Simulationsmodell ist ein hierarchisches Modell, das in Bild 6-5 angedeutet
ist.
Auf Basis der Optimierungsergebnisse der beiden einzelnen Module wird eine
hierarchische Optimierung des vernetzten Systems durchgeführt. Dazu werden
128 Kapitel 6
VMS
vernetzter Prüfstand
Feder-Neige
Prüfstand
AMS
intelligentes
Antriebsmodul
AMS
Bild 6-5
:
Hierachische Zerlegung des vernetzten Prüfstands mit Angabe der Struk-
turelemente
die Paretomengen jeweils mit einem skalaren Parameter parametriert. Verwendet
wird für beide Systeme der Simplex der Minima der einzelnen Zielfunktionen,
siehe (5-3), mit
αmax = 1
. Im gemeinsamen Simulationsmodell kann für den
Feder-Neige-Prüfstand das parametrische reduzierte System aus Abschnitt 5.4.2
genutzt werden. Bei dem Modell des intelligenten Antriebsmoduls handelt es sich
um ein nichtlineares Modell, in dem eine Reihe von Kennlinien enthalten sind.
Aus diesem Grund lässt sich die in dieser Arbeit entwickelte PMOR nicht auf das
intelligente Antriebsmodul anwenden. Im folgenden Abschnitt werden die Er-
gebnisse der hierarchischen Optimierung mit reduziertem und nicht reduziertem
Modell des Feder-Neige-Prüfstands einander gegenüber gestellt.
6.2.3 Optimierungsergebnisse
Für den vernetzten Prüfstand wird in dieser Arbeit ein Mehrzieloptimierungspro-
blem mit zwei Zielfunktionen betrachtet. Die Zielfunktionen stellen eine Kombi-
nation der Zielfunktionen der unterlagerten Systeme dar. Dies ist eine von vielen
denkbaren Möglichkeiten zur Denition von Zielfunktionen, beispielsweise wird in
[HKK
+
12] eine hierarchische Optimierung dieses vernetzten Prüfstands mit drei
Zielfunktionen durchgeführt. Eine PMOR wird dort allerdings nicht eingesetzt.
Die erste Zielfunktion besteht aus dem gesamten Energieverbrauch, der an den
beiden Prüfständen vorliegt. Beim intelligenten Antriebsmodul wird die gesamte
Leistung, d.h. die Summe aus Leistung für die Verstellaktorik und den Linearan-
trieb, gebildet und integriert. Die Leistung des Feder-Neige-Prüfstands wird wie
bisher über die Sollkräfte der aktiven Federung angenähert. Beide Anteile sind für
die Optimierung so gewichtet, dass sie in der gleichen Gröÿenordnung liegen.
Als zweite Zielfunktion wird eine gewichtete Summe aus Fahrzeit für den Stre-
ckenabschnitt und gemessenem Komfort deniert. Im Folgenden wird diese Ziel-
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 129
funktion als Zeit/Komfort-Mix bezeichnet. Die Gewichte sind so gewählt, dass
beide Anteile, die Fahrzeit und der Komfort, in etwa gleichwertig in die Ziel-
funktion eingehen. Der Komfort basiert dabei wie bei der Betrachtung des Feder-
Neige-Prüfstands auf einem frequenzgewichteten und skalierten Mittelwert der
Aufbaubeschleunigungen.
Die Optimierungsparameter des vernetzten Prüfstands bestehen nur aus den bei-
den Parametern
αiAM
und
αFNP
, die aus der Parametrierung der jeweiligen Pa-
retomengen der Prüfstände stammen.
Das Mehrzieloptimierungsproblem wird erneut mit dem
sampling
-Algorithmus
gelöst. In Bild 6-6 sind die Optimierungsergebnisse sowohl für das System mit
reduziertem Feder-Neige-Prüfstand als auch für das Originalsystem mit nicht re-
duziertem Feder-Neige-Prüfstand dargestellt.
Im Bildraum ergibt sich eine Paretofront mit der üblichen hyperbelartigen Form.
Die Angabe der Zielfunktionswerte wird an dieser Stelle vernachlässigt, da sie
durch die Skalierung keine physikalische Bedeutung mehr besitzen und im Weite-
ren keine Rolle spielen. Im Urbildraum erhält man eine eindimensionale Pareto-
menge. Diese beginnt im Punkt
[1,0]
für minimalen Zeit/Komfort-Mix und endet
im Punkt
[0,1]
für minimalen Energieverbrauch. Der Punkt
[1,0]
entspricht hier-
bei der komfortoptimalen Parametrierung des Feder-Neige-Prüfstands zusammen
mit der Einstellung für minimale Verluste für die Luftspaltverstellung. Da die-
ser Punkt auch der maximalen Geschwindigkeit entspricht, ist eine Minimierung
der Zeit/Komfort Zielfunktion plausibel. Am anderen Ende der Paretomenge im
Punkt
[0,1]
wird der energieoptimale Punkt des Feder-Neige-Prüfstands zusam-
men mit dem minimalen Verlust aus dem Linearantrieb verwendet, der auch der
geringsten Geschwindigkeit entspricht.
Die Ergebnisse für das reduzierte und das nicht reduzierte Modell des Feder-
Neige-Prüfstands stimmen sehr gut überein. Im Bildraum sind Unterschiede in
der gewählten Darstellung kaum erkennbar. Im Urbildraum gibt es kleinere Ab-
weichungen. Die Charakteristik der Paretomenge sowie die Anfangs- und End-
punkte gleichen einander. Ein Einsatz des parametrischen reduzierten Systems
ist ohne weiteres möglich. Die Zeitersparnis für eine Funktionsauswertung ist
für den vernetzten Prüfstand jedoch minimal und beträgt lediglich 3.5%. Dies
liegt daran, dass das Modell des intelligenten Antriebsmoduls wesentlich aufwän-
diger zu simulieren ist und der Feder-Neige-Prüfstand im Vergleich dazu kaum
ins Gewicht fällt. Da für den Feder-Neige-Prüfstand im Rahmen dieser Arbeit
zudem eine analytische Darstellung der Systemmatrizen erarbeitet wurde, liegt
im Gegensatz zu dem Modell aus dem vorhergehenden Abschnitt 6.1 auch keine
Zeitersparnis bei der Initialisierung vor.
130 Kapitel 6
Energieverbrauch
Zeit/Komfort−Mix
Originalsystem
red. FNP
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
αFNP
αiAM
Originalsystem
red. FNP
Bild 6-6
:
Paretofront (links) und Paretomenge (rechts) der hierarchischen Opti-
mierung des vernetzten Prüfstands
6.3 Zielfunktionsbasierte Regelung selbstoptimierender
Systeme
Die zielfunktionsbasierte Regelung adressiert die Umsetzung der Selbstoptimie-
rung, nachdem eine Mehrzieloptimierung durchgeführt wurde. Während des Be-
triebs muss ein Punkt auf der berechneten Paretomenge ausgewählt werden. Die-
ser Vorgang, auch bezeichnet als
decision making
, stellt eine eigene Herausfor-
derung dar. In [Mie99] sind Hinweise und weiterführende Literatur zu diesem
Themengebiet zu nden.
In bisherigen Arbeiten zu selbstoptimierenden Systemen wird zum Teil der An-
satz verfolgt, Daten über zukünftige Situationen des Systems zu sammeln und für
eine Planung zu nutzen. Das iterative Lernen von Störgröÿenprolen im RailCab-
Kontext und eine hierauf basierende hybride Planung stellt ein Beispiel hier-
für dar. Bei der hybriden Planung werden Simulationen mit paretooptimalen
Kongurationen für zukünftige Situationen, z.B. zukünftige Streckenabschnitte,
durchgeführt. Auf Basis der Simulationsdaten wird dann die am besten passende
Konguration ausgewählt, die z.B. vorgegebene Beschränkungen einhält, siehe
[MAK
+
08] oder [AEH
+
11] für weitere Details. Ein wesentlicher Nachteil der hy-
briden Planung besteht darin, dass die zukünftigen Situationen des Systems, d.h.
auch wesentliche Störgröÿen und deren Verlauf, hinreichend genau bekannt sein
müssen.
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 131
Anregung Bewertung
Strecke
+
Regelung
Auswertung
lineares System
Zielfunktions-
basierter
Regler
u(t)
p?
s s−1
αsoll
αist
αstell
y(t)
Bild 6-7
:
Struktur der zielfunktionsbasierten Regelung
In [GT09] wird als Alternative die Optimierung situationsabhängig zur Laufzeit
durchgeführt. Allerdings liegen auch hier gewisse Beschränkungen vor. So muss
das System über linear-quadratische Regelungen verfügen und der zu verwen-
dende Paretopunkt muss darüber hinaus durch die Gewichte einer gewichteten
Summe vorgegeben werden. Alternative Parametrierungen, wie sie in dieser Ar-
beit verwendet werden, sind nicht möglich. Der Ansatz besitzt allerdings den
Vorteil, dass auch mehr als zwei Zielfunktionen verwendet werden können.
Der im Weiteren genauer vorgestellte Ansatz der zielfunktionsbasierten Regelung
weist gewisse Ähnlichkeiten zu [GT09] auf in der Hinsicht, dass ebenfalls online bei
unbekannten Störungen optimale Systemkongurationen autonom vom System
gewählt werden. Die Grundidee geht auf [Mün12] zurück. Die hier präsentierte
Form basiert auf [KRKT13], wo auch eine praktische Realisierung vorgestellt
wird.
An Stelle einer Optimierung, die online durchgeführt wird, werden (wie bei der
hybriden Planung) die oine berechneten Paretomengen genutzt. Hierdurch ist
der Ansatz exibler in Bezug auf die Zielfunktionen und die implementierte Re-
gelung des Systems. Die Punktauswahl zur Laufzeit geschieht über eine spezielle
zusätzliche Regelung. Hierbei handelt es sich um einen überlagerten Regelkreis,
dessen Regelgröÿe die Parametrierung der Paretomenge darstellt. Zur Auslegung
dieses überlagerten Reglers kann ein parametrisches reduziertes Modell eingesetzt
werden, wodurch die Analyse der Regelung erheblich beschleunigt werden kann.
Hierauf liegt im Folgenden der Schwerpunkt der Ausführungen.
Die Struktur der zielfunktionsbasierten Regelung ist in Bild 6-7 dargestellt. Sie
ist eng verbunden mit der Struktur des Optimierungsmodells, siehe Bild 5-1, das
132 Kapitel 6
+
+
+
-
-
System
+
1
z
1
z1
D(z)
GR(z)
αsoll ∆ααstell
αist
Bild 6-8
:
Abstraktes Modell für den Entwurf der zielfunktionsbasierten Regelung
für die Mehrzieloptimierung verwendet wird. Das grundsätzliche Ziel der überla-
gerten Regelung besteht darin, einen vorgegebenen Wert
αsoll
der Parametrierung
der Paretomenge einzuregeln. Dieser repräsentiert beispielsweise ein gewisses Ver-
hältnis der Zielfunktionen zueinander, wenn der Winkel des Zielfunktionsvektors
als Parametrierung genutzt wird.
Die momentanen Zielfunktionswerte des Systems werden anhand der Messgrö-
ÿen bestimmt. Mit Hilfe der Parametrierung, gegeben durch die Funktion
s:
[0, αmax]→Rno
(vgl. Abschnitt 5.1), kann hieraus der aktuelle Wert
αist
berech-
net werden. Der zielfuktionsbasierte Regler bestimmt auf Grundlage dieser beiden
Gröÿen die neue Stellgröÿe
αstell
, die erneut durch die Parametrierung
s
in die
zugehörige optimale Systemkonguration
p?
umgerechnet wird. Diese wird von
nun an vom System verwendet, wodurch der Regelkreis geschlossen ist.
In der hier dargestellten Form handelt es sich bei der zielfunktionsbasierten Re-
gelung um eine diskrete Regelung mit einer relativ hohen Abtastzeit. Dies ist
aufgrund der Auswertung der Zielfunktionen erforderlich. Da zumeist Durch-
schnittswerte bestimmter Gröÿen berechnet werden, ist nach einer Anpassung
der Systemkongurationen eine gewisse Zeit erforderlich bis die Zielfunktionen
eingeschwungen sind.
Zur Auslegung der zielfunktionsbasierten Regelung kann ein sehr einfaches, ab-
straktes Modell verwendet werden, das in Bild 6-8 dargestellt ist. Grundlage dieses
abstrakten Modells ist die Annahme, dass eine Änderung der unterlagerten Re-
gelung ohne Verzögerungen, wie z.B. Umschaltvorgänge, vorgenommen werden
kann. Ist dies der Fall, besitzt das System keine Dynamik bezogen auf die Re-
gelgröÿe
α
. Änderungen von
α
machen sich augenblicklich am Systemausgang
y
bemerkbar.
Die einzige Dynamik der abstrakten Regelstrecke resultiert aus der Auswertung
der Zielfunktionen, die eine gewisse Zeit, nämlich genau eine Abtastperiode, be-
nötigt. Im diskreten Bereich lässt sich dies durch die Übertragungsfunktion
1
z
be-
Anwendungsgebiete parametrischer reduzierter Modelle 133
rücksichtigen. Darüber hinaus wirken nicht näher bekannte Störungen
D(z)
auf
die Werte der Zielfunktionen ein. Sie resultieren aus den im Betrieb unbekann-
ten Anregungen
u(t)
auf das System. Hierbei ist für die Gröÿe der Störung bzgl.
α
die Abweichung von der für die Optimierung verwendeten Anregung entschei-
dend. Sollte während des Betriebs genau die Störung aus der Mehrzieloptimierung
auftreten, wäre
D(z)=0
.
Als Regelung wird ein klassischer Eingröÿenregler mit der diskreten Übertra-
gungsfunktion
GR(z)
ergänzt um eine Vorsteuerung des gewünschten Wertes
αsoll
gewählt. Die Störübertragungsfunktion lässt sich leicht berechnen als
∆α(z)
D(z)=−1
z−Gc
.
Hieraus folgt mit Hilfe des Endwertsatzes, dass ein PI-Regler ausreicht, um kon-
stante Störungen stationär genau auszuregeln. Daher wird der diskrete PI Reg-
ler
GR=Kp(z−1) + TKiz
z−1
mit den beiden Verstärkungen
Kp
und
Ki
gewählt. Die Funktionsfähigkeit dieses
Reglers wurde bereits in [KRKT13] für den Feder-Neige-Prüfstand gezeigt. Da-
her wird im Folgenden nur auf die Verwendung des parametrischen reduzierten
Modells eingegangen.
Für die Analyse der zielfunktionsbasierten Regelung sind Simulationen des Ge-
samtsystems erforderlich. Das System muss dabei aufgrund der groÿen Abtastzeit
der überlagerten Regelung über einen längeren Zeitraum simuliert werden. Dies
erfordert für komplexe Systeme wie den Feder-Neige-Prüfstand zeitintensive Be-
rechnungen. Ein reduziertes System an Stelle des komplexen Gesamtsystems zu
verwenden, kann die Rechenzeit signikant verringern. Zu berücksichtigen ist da-
bei, dass sich das System in Abhängigkeit von
αstell
in jedem diskreten Zeitschritt
des zielfunktionsbasierten Reglers ändert. Da die mit der Methodik dieser Arbeit
erstellten reduzierten Modelle explizit von der Parametrierung
α
abhängen, sind
sie besonders geeignet für die Analyse der zielfunktionsbasierten Regelung.
Die Ein- und Ausgangsgröÿen
u(t)
bzw.
y(t)
des unterlagerten Systems gleichen
denen des Optimierungsmodells. Im Fall des Feder-Neige-Prüfstands wurden diese
auch für das reduzierte Modell gewählt. Daher kann das parametrische reduzierte
Modell ohne weitere Anpassungen auch für die Untersuchung der zielfunktions-
basierten Regelung verwendet werden. Nachfolgend wird ein Vergleich zwischen
reduziertem Modell und nicht reduziertem Modell vorgenommen.
Für die zielfunktionsbasierte Regelung wird die in Kapitel 4 beschriebene Pare-
tomenge verwendet. Als Parametrierung
α
wird der Winkel des Zielfunktions-
vektors, siehe (5-2), mit
αmax = 1000
genutzt. Die Verstärkungsfaktoren des
134 Kapitel 6
10 20 30 40 50 60 70 80
0
200
400
600
800
1000
Zeit [s]
α
αsoll
αist reduziertes Modell
αist nicht red. Modell
v = 4 m/s v = 7 m/s
Bild 6-9
:
Vergleich des reduzierten mit dem nicht reduzierten Modell des Feder-
Neige-Prüfstands
PI-Reglers sind auf
Kp= 0.3
und
Ki= 0.1
gesetzt. Simuliert wird mit einer mo-
deraten Anregung, die ein für den Prüfstand realistisches Streckenprol darstellt.
Das Prol wird in den ersten
60s
der Simulation mit einer virtuellen Geschwin-
digkeit von
4m/s
abgetastet. Anschlieÿend wird die Geschwindigkeit auf
7m/s
angehoben, was zu einer Änderung der Anregungsfrequenz für den Prüfstand
führt. Die Abtastrate für die überlagerte zielfunktionsbasierte Regelung beträgt
T= 3.5s
.
Die Simulationsergebnisse für das vollständige lineare Modell sowie für das para-
metrisch reduzierte Modell, das in Abschnitt 5.4.2 beschrieben ist, sind in Bild 6-9
zu nden. Neben der bereits beschriebenen Geschwindigkeitsänderung wird nach
28 s
der Wert von
αsoll
von
500
auf
650
angehoben. Die Funktionsfähigkeit des
zielfunktionsbasierten Reglers ist deutlich zu erkennen. Beide Sollwerte werden
gut eingeregelt. Die vorhandenen Abweichungen sind auf die stetig variierende
Anregung zurückzuführen. Das reduzierte Modell stimmt zudem sehr gut mit
dem nicht reduzierten System überein. In der gewählten Darstellung sind kaum
Unterschiede erkennbar. Dies bestätigt, dass das parametrische reduzierte Modell
an Stelle des Originalmodells verwendet werden kann. Ein Vergleich der reinen
Simulationszeiten des reduzierten mit dem nicht reduzierten Modell für das kon-
krete Anregungsprol zeigt, dass die Simulationszeit mit dem reduzierten Modell
signikant um ca. 93% gesenkt werden konnte. Diese hohe Verringerung ist darauf
zurück zu führen, dass im Gegensatz zu den vorhergehenden Anwendungsfällen in
diesem Fall nicht ein hierarchisches Modell mit dem reduzierten System auf der
unterlagerten Ebene simuliert wird, sondern der Feder-Neige-Prüfstand das Ge-
samtsystem darstellt. Auf diese Weise wird die durch die Modellordnungreduktion
erzielbare Beschleunigung von Simulationen besonders deutlich.
Resümee und Perspektiven 135
7 Resümee und Perspektiven
In dieser Arbeit wird eine neuartige Methode zur parametrischen Modellord-
nungsreduktion paretooptimaler Systeme vorgestellt. Mit dieser Methode können
die komplexen Modelle, die im Rahmen selbstoptimierender Systeme auftreten,
gezielt vereinfacht werden. Das herausragende Merkmal der entwickelten Metho-
dik besteht in der engen Verzahnung der Verfahren der parametrischen Modell-
ordnungsreduktion mit der hierarchischen Optimierung auf der einen Seite und
dem Konzept der hierarchischen Strukturierung und Modellierung mechatroni-
scher Systeme auf der anderen Seite.
Es werden zwei Varianten der parametrischen Modellordnungsreduktion betrach-
tet. Die manuelle rationale Interpolation, angewendet durch einen im Rahmen
dieser Arbeit entstandenen objektorientierten Arnoldi-Algorithmus einerseits und
die Matrix Interpolation in Kombination mit der
H2
-optimalen tangentialen In-
terpolation andererseits.
Beide Ansätze zur Modellordnungsreduktion protieren erheblich von der neu ent-
standenen Methode zur Interpolation paretooptimaler Systeme. Mit Hilfe geeig-
neter Parametrierungen und einer automatisiert durchführbaren Diskretisierung
der Paretomenge werden zum einen die optimalen Systemkongurationen zusam-
men mit dem zugehörigen dynamischen System zu einer Einheit gekapselt. Zum
anderen verringert sich die Komplexität der parametrischen Reduktion, da die
Anzahl beizubehaltender Parameter nur noch von der Anzahl der Zielfunktionen
abhängt. Insbesondere durch die Kombination der Interpolation paretooptimaler
Systeme zusammen mit der Matrix Interpolation ist eine weitgehend automati-
sierte Erstellung parametrischer reduzierter Systeme möglich.
Am Beispiel des Feder-Neige-Prüfstands, einem Prüfstand für die aktive Federung
des Schienenverkehrssystems RailCab, kann die hohe Approximationsgüte der Re-
duktion nachgewiesen werden. Anhand von zwei Anwendungsfällen der hierarchi-
schen Optimierung wird der Einsatz der parametrischen Modelle demonstriert.
Darüber hinaus ist mit der zielfunktionsbasierten Regelung selbstoptimierender
Systeme ein weiteres Anwendungsgebiet der parametrischen reduzierten Modelle
identiziert und erste Untersuchungen erfolgreich durchgeführt worden.
Die parametrische Modellordnungsreduktion paretooptimaler Systeme unterliegt
in der hier vorgestellten Form einer Reihe von Voraussetzungen. Auf einige Erwei-
terungsmöglichkeiten ist bereits ausführlich in Abschnitt 5.5 eingegangen worden.
Die dort geschilderten Ansätze zielen darauf ab, die Methode grundlegend zu er-
weitern und den Anwendungsbereich zu vergröÿern. Darüber hinaus gibt es noch
136 Kapitel 7
eine Reihe von Aspekten, die zur weiteren Verbesserung der vorgestellten Metho-
dik zukünftig angegangen werden können.
Als Anwendungsbeispiele dienen in dieser Arbeit ausschlieÿlich hierarchische Sys-
teme mit zwei Hierarchieebenen. Die Anwendbarkeit der Methode auf Systeme
mit mehr als zwei Hierarchieebenen ist prinzipiell gegeben, aber in Zukunft noch
zu validieren. An dieser Stelle ist vor allem der Einuss der Unstetigkeiten der pa-
rametrischen reduzierten Modelle bzgl. des Reduktionsparameters zu untersuchen
und ggf. durch geeignete Mittel zu verringern.
Die Implementierung des parametrischen reduzierten Modells, insbesondere im
Kontext der zielfunktionsbasierten Regelung ist momentan relativ aufwändig.
Hier könnte zukünftig etwa spezieller Code generiert werden, mit dem das re-
duzierte Modell beispielsweise unter Matlab/Simulink eingebunden werden könn-
te. Dies würde die Kapselung und einfache Weiterverwendung des reduzierten
Modells ergänzen.
Neben der hierarchischen Optimierung könnte eine weitere Verknüpfungsmög-
lichkeit von Modellierung und Mehrzieloptimierung untersucht werden. Bisher
wird die Modellordnungsreduktion nur auf unterlagerte Teilsysteme angewendet.
Stattdessen ist es auch denkbar, eine schnell zu berechnende Approximation der
Paretomenge mit Hilfe stark reduzierter Modelle zu realisieren und dann zur wei-
teren Verfeinerung der Optimierungsergebnisse die Modellierungstiefe sukzessive
zu erhöhen. Ob und in welcher Form Verfahren der parametrischen Modellord-
nungsreduktion hierfür eingesetzt werden können, ist zukünftig zu untersuchen.
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