Jens Geisler
Selbstoptimierende Spurführung
für ein neuartiges Schienenfahrzeug
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Heinz Nixdorf Institut, Universität Paderborn – Paderborn – 2014
ISSN 2195-5239
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Selbstoptimierende Spurführung für ein
neuartiges Schienenfahrzeug
zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN (Dr.-Ing.)
der Fakultät für Maschinenbau
der Universität Paderborn
genehmigte
DISSERTATION
von
M.Sc. Jens Geisler
aus Salzkotten
Tag des Kolloquiums: 28. Oktober 2013
Referent: Prof. Dr.-Ing. habil. Ansgar Trächtler
Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird die Entwicklung von zwei selbstoptimierenden Reglern für
die aktive Spurführung eines neuartigen Schienenfahrzeugs vorgestellt. Mithil-
fe aktiv lenkbarer Achsen kann der mit einer passiven Spurführung verbundene
Kompromiss zwischen Verschleiß und Laufstabilität überwunden werden. Durch
die Selbstoptimierung wird der Regler zur Laufzeit so an die jeweilige Situation
angepasst, dass die Stellenergie und die Regelgüte unabhängig von der Amplitu-
de der Störungen sind und so z. B. auf bestimmte feste Werte eingestellt werden
können. Der erste Regleransatz basiert auf der Vorsteuerung von modellprädik-
tiv optimierten Trajektorien, die mit einem P-Regler stabilisiert werden. Bei der
zweiten Methode wird die Rückführungsmatrix eines vollständigen Zustandsreg-
lers situationsabhängig optimiert. Beiden Methoden gemeinsam ist das Konzept
der „Selbstoptimierung durch Mehrzieloptimierung“. Dabei wird zunächst für alle
Anforderungen ein separates Gütekriterium formuliert. Danach wird das Mehr-
zieloptimierungsproblem durch die mathematische Formulierung der gewünsch-
ten Relation zwischen den Anforderungen in ein skalares Optimierungsproblem
überführt. Diese Vorgehensweise ist sehr allgemein und lässt sich auf viele andere
Regelungsaufgaben übertragen. Die vorliegende Arbeit leistet daher über die vor-
gestellte konkrete Anwendung hinaus einen generellen Beitrag zur Entwicklung
selbstoptimierender Systeme.
Abstract
In this thesis, the development of two self-optimizing controllers for the active
guidance of an innovative rail vehicle is presented. Using actively steerable axles,
the compromise between abrasive wear and stability that is inherent to passive
guidance can be suspended. A self-optimization algorithm adjusts the controller
at runtime to the current situation such that the actuation energy and the con-
troller performance are no longer affected by disturbances. The first controller
concept comprises a feed forward control of model based optimized trajectories
that are stabilised by a proportional feedback controller. The second concept is
based on a linear state feedback controller where the feedback law is optimized at
runtime. Both methods share the concept of „self-optimization by multi-objective
optimization“. In multi-objective optimization, all requirements are formulated as
a separate criterion. Subsequently, a scalar optimization problem is derived by
mathematically defining the desired quantitative relation between the separate
objectives. This approach is not limited to any one controller design method.
Therefore, the contribution of this thesis is not only to the presented applications
but further to the general method of designing self-optimizing systems.
Inhaltsverzeichnis Seite 7
Inhaltsverzeichnis Seite
1 Einleitung.............................................................. 11
2 Grundlagen und Stand der Technik .................................. 17
2.1 Das System RailCab ................................................... 17
2.2 Spurführung von Schienenfahrzeugen ................................ 21
2.2.1 Kräfte zwischen Rad und Schiene ............................ 22
2.2.2 Verschleiß an Rad und Schiene ............................... 28
2.2.3 Entgleisung durch Aufklettern ................................. 29
2.2.4 Achskonzepte: Radsatz und Radpaar......................... 31
2.2.5 Aktueller Stand der Technik und Forschung .................. 33
2.3 Selbstoptimierende Systeme – der SFB 614 ......................... 36
2.3.1 Der Selbstoptimierungsprozess ............................... 37
2.3.2 Ziele und Zielsysteme .......................................... 38
2.3.3 Makrostruktur ................................................... 40
2.3.4 Mikrostruktur – das Operator-Controller-Modul (OCM) ...... 41
2.4 Modellbasierte Selbstoptimierung ..................................... 44
2.4.1 Modellprädiktive Regelung..................................... 45
2.4.2 Selbstoptimierung und Mehrzieloptimierung.................. 47
2.4.3 Grundlagen der Mehrzieloptimierung ......................... 48
2.4.4 Mehrzieloptimierung, aktueller Stand der Forschung ........ 49
2.4.5 Automatische Mehrzieloptimierung durch Skalarisierung ... 52
3 Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge .......... 61
3.1 Physikalischer Aufbau eines RailCabs ................................ 62
3.2 Sensoren und Aktoren ................................................. 64
3.2.1 Relative Querpositionssensoren............................... 66
3.2.2 Lenkzylinder .................................................... 68
3.3 Lineare Modelle......................................................... 71
3.4 Identifikation ............................................................ 78
3.5 Trassierung und Gleislagefehler ....................................... 81
3.5.1 Trassierung...................................................... 81
3.5.2 Gleislagefehler .................................................. 82
3.6 Detailliertes Simulationsmodell ........................................ 91
3.6.1 Aufbau des Modells ............................................ 92
3.6.2 Validierung des Simulationsmodells........................... 93
Seite 8
4 Selbstoptimierende Spurführungsregelung.......................... 95
4.1 Hierarchische Strukturierung .......................................... 95
4.2 Allgemeine Struktur des Spurführungsreglers........................ 98
4.2.1 Kurvenvorsteuerung ............................................ 100
4.2.2 Störgrößenaufschaltung........................................ 100
4.2.3 Regelung mit Vorsteuerung der Gleislagefehler.............. 101
4.2.4 Regelung bei unbekannten Gleislagefehlern ................. 101
4.2.5 Zustandsregler zur modellgestützten Vorsteuerung.......... 102
4.3 Ziele ..................................................................... 103
4.3.1 Inhärente Ziele.................................................. 103
4.3.2 Externe Ziele.................................................... 107
5 Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung ....................... 109
5.1 Modellprädiktive Planung und Interpolation der Trajektorien ........ 109
5.1.1 Proportionaler Störregler....................................... 110
5.1.2 Differenzielle Dynamische Programmierung.................. 110
5.1.3 Berücksichtigung von Beschränkungen....................... 111
5.2 Trajektoriengenerierung für die Spurführung ......................... 111
5.3 Ergebnisse und Validierung............................................ 115
5.3.1 Die Pareto-Front der optimalen Trajektorien .................. 115
5.3.2 Optimale Trajektorien........................................... 116
5.3.3 Testfahrten mit optimaler Trajektorienvorsteuerung .......... 116
6 Selbstoptimierende Riccati-Regler ................................... 125
6.1 Riccati-Regler mit mehreren Gütemaßen............................. 127
6.2 Iterative Optimierung der Gewichte ................................... 130
6.3 Algorithmus für einen Pareto-Regler .................................. 136
6.3.1 Quasikontinuierliche Regleranpassung ....................... 137
6.3.2 Der Algorithmus im Detail...................................... 142
6.4 Pareto-Regler mit dynamischen Führungsgrößen ................... 143
6.5 Pareto-Regler für die Spurführung .................................... 146
6.5.1 Zustandsrekonstruktion ........................................ 148
6.5.2 Wahl der Ziele .................................................. 149
6.5.3 Wahl des Pareto-Punktes ...................................... 151
6.6 Ergebnisse und Validierung............................................ 155
6.6.1 PaCo-Regelung für ein einfaches Beispiel.................... 155
6.6.2 Funktion der Spurführung mit PaCo-Regler .................. 158
6.6.3 Validierung der Funktion ....................................... 161
6.6.4 Fahrten bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten ........... 163
6.6.5 Fahrten mit unterschiedlichen Vorgaben...................... 165
Einleitung Seite 11
1 Einleitung
Das innovative Schienenfahrzeug RailCab1ist Teil eines neuartigen Transportsys-
tems, das den Komfort und die individuelle Mobilität von Straßenfahrzeugen mit
den Vorteilen des schienengebundenen Verkehrs vereint. Das Konzept sieht vor,
dass kleine, leichte und in kostengünstiger Massenproduktion gefertigte fahrerlose
Fahrzeuge auf bestehenden Bahntrassen verkehren, um Personen und Güter nach
Bedarf (und nicht nach Fahrplan) und ohne Umsteigen direkt an ihren Zielort
zu transportieren. Die Fahrzeuge werden von einem Logistiksystem koordiniert,
sind aber in der Lage, die ihnen zugewiesene Route autonom abzufahren. Durch
Kommunikation untereinander sind mehrere Fahrzeuge auf der gleichen Strecke
in der Lage, sich dezentral zu organisieren und zu Konvois zusammenzuschließen.
Obwohl sie dabei nicht mechanisch miteinander gekoppelt werden, kann dadurch
wie bei konventionellen Schienenfahrzeugen der Luftwiderstand reduziert und der
Streckendurchsatz erhöht werden.
Von den vielen Funktionen und technologischen Neuerungen der RailCabs wird in
dieser Arbeit die aktive Spurführung betrachtet. Die Aufgabe der aktiven Spur-
führung besteht darin, mit Hilfe von lenkbaren Achsen die Querlage des Fahr-
zeugs im Gleis zu regeln und so die Gefahr einer Entgleisung zu minimieren und
Spurkranzanläufe und damit Verschleiß zu vermeiden. Außerdem ist die Lenkung
die Voraussetzung dafür, dass die Fahrzeuge ihre Fahrtrichtung an neuartigen
passiven Weichen selbstständig bestimmen können. Neben den lenkbaren Achsen
liegt die Innovation des RailCab-Fahrwerks vor allem in der selbstoptimierenden
Regelung, deren Entwicklung im Zentrum dieser Arbeit steht.
Die hier vorgestellten Methoden zur Entwicklung selbstoptimierender Regelun-
gen wurden im Rahmen des Sonderforschungsbereichs 614 „Selbstoptimierende
Systeme des Maschinenbaus“ (SFB 614) an der Universität Paderborn erforscht
und entwickelt. Die Vision des SFB 614 ist eine neue Schule des Entwurfs von
intelligenten mechatronischen Systemen. Unter Selbstoptimierung wird die selbst-
ständige Anpassung der Ziele eines Systems auf veränderliche Einflüsse (Umwelt
und Benutzer) verstanden. Selbstoptimierung ermöglicht Systeme mit inhären-
ter „Intelligenz“, die in der Lage sind, selbstständig und flexibel auf veränder-
te Betriebsbedingungen zu reagieren. Der Entwurf selbstoptimierender Regelun-
gen spielt dabei eine zentrale Rolle, und der praktischen Erprobung, Validierung
und Demonstration wird eine große Bedeutung beigemessen. Neben verschiedenen
kleineren Demonstratoren werden an den zwei RailCab-Versuchsfahrzeugen außer
1Die Fahrzeuge und das Systemkonzept wurden im Projekt RailCab (ehemals Neue Bahntech-
nik Paderborn, NBP) an der Universität Paderborn entwickelt.
Seite 12 Kapitel 1
der selbstoptimierenden Spurführung auch eine aktive Federung, berührungslose
Konvoi-Fahrten und das Energiemanagement mit Batterien und Ultracaps er-
forscht.
Motivation
Wie auch bei konventionellen Schienenfahrzeugen haben die Räder der RailCabs
sogenannte Spurkränze, die es dem Fahrzeug (nahezu) unmöglich machen, die von
den Gleisen vorgegebene Spur zu verlassen. Diese Spurkränze stellen jedoch nur ei-
ne Rückfallebene dar und sollen im Normalfall keinen Kontakt mit dem Schienen-
kopf haben. Die Spurführung ohne Spurkranzanläufe wird durch das sogenannte
Spurspiel ermöglicht. Das Spurspiel ist ein Freiraum zwischen Spurkranz und
Schienenkopf, innerhalb dessen sich das Fahrzeug in Querrichtung frei bewegen
kann. Bei konventionellen Schienenfahrzeugen wird die Spurführung passiv durch
konisch profilierte Räder, die starr mit einer gemeinsamen Achse verbunden sind,
realisiert. Die kinematischen Eigenschaften dieser sogenannten Radsätze führen
zu dem sogenannten Sinuslauf, bei dem Querverschiebungen oder Anlaufwinkel in
Kurven durch eine oszillierende Bewegung abgebaut werden. Die Dämpfung die-
ser Schwingung nimmt mit der Geschwindigkeit ab. Um die kritische Geschwin-
digkeit, bei der der Sinuslauf instabil wird, nach oben zu verschieben, muss die
Achse mehr oder weniger starr an ein Drehgestell oder einen Wagenkasten gefes-
selt werden. Dadurch wird jedoch die Selbstzentrierung behindert und es muss ein
Kompromiss zwischen guten Führungseigenschaften und der Laufstabilität gefun-
den werden. Je stärker der Sinuslauf gedämpft wird, desto größerer Längsschlupf
tritt auf, und desto schlechter erfolgt die Radialstellung der Räder in Kurven, was
zu erhöhtem Querschlupf und einer größeren Spurkranzanlaufwahrscheinlichkeit
führt. Insgesamt ist der daraus resultierende Verschleiß an Rädern und Schienen
ein zentrales Problem der klassischen Spurführung. Die damit verbundenen In-
standhaltungskosten sind ein wesentlicher Grund dafür, dass der Schienenverkehr
nicht wirtschaftlicher betrieben werden kann.
Verschiedene Studien in der Vergangenheit haben immer wieder gezeigt, dass die
Notwendigkeit, einen Kompromiss bei der Auslegung von Eisenbahnfahrwerken
machen zu müssen, durch einen aktiven Eingriff in die Spurführung aufgehoben
werden kann. Es gibt viele theoretische und wenige praktische Untersuchungen
zur aktiven Spurführung. Das mag daran liegen, dass der Aufbau von Versuchs-
fahrzeugen eine erhebliche Investition darstellt und der Nutzen auf dem etablier-
ten Markt nur zögerlich anerkannt wird. Die RailCab-Versuchsfahrzeuge sind
kostengünstig in einem Maßstab von 1:2,5 aufgebaut und haben technologisch
einen experimentellen Charakter. Daher eignen sie sich in mehrfacher Hinsicht
zur Erprobung dieser neuen Technologie. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, ei-
ne selbstoptimierende Spurführungsregelung für die RailCabs zu entwickeln und
praktisch zu erproben.
Einleitung Seite 13
Neben den höheren Entwicklungs- und Investitionskosten für eine aktive Spur-
führung ist ihr Energiebedarf ein großes Gegenargument. Daher liegt ein Schwer-
punkt dieser Arbeit darauf, die neuen Möglichkeiten selbstoptimierender Regelun-
gen dazu zu nutzen, die Spurführungsregelung so zu gestalten, dass ein Optimum
an Verschleißminimierung und Energiebedarf erzielt wird.
Problemstellung
Die Aufgabe der Spurführungsregelung ist es, die Achsen so im Gleis zu füh-
ren, dass möglichst keine Spurkranzanläufe auftreten, da diese das Risiko einer
Entgleisung durch Aufklettern bergen und zu starkem Verschleiß führen. Gleich-
zeitig sollten die Lenkeingriffe (also das Bewegen der Achse) so gering wie mög-
lich sein, da sie Energie kosten und auch zu Verschleiß führen. Dabei besteht
die Herausforderung darin, dass die Gleise nicht mathematisch exakt als Gera-
den, Kreisbögen oder Übergangsbögen (Klothoiden) verlegt sind. Es treten mehr
oder minder starke Abweichungen von dem geplanten Idealverlauf auf, sogenannte
Gleislagefehler. Die Überlagerung aus Trassierung und Gleislagefehlern kann als
(teilweise bekannte) Störgröße der Spurführungsregelung aufgefasst werden. Das
Frequenzspektrum dieser Führungsgröße wird linear mit der Fahrzeuggeschwin-
digkeit gespreizt, sodass auch die Bandbreite des Reglers an die Geschwindigkeit
angepasst werden muss, um den Gleislagefehlern folgen zu können.
Zur Minimierung der Lenkbewegungen kann theoretisch so geregelt werden, dass
das gesamte Spurspiel ausgenutzt wird. Da die Gleislagefehler und andere Stö-
rungen jedoch oft nicht oder nur ungenau bekannt sind, kann der Regler sie nicht
exakt kompensieren. Es besteht also immer die Gefahr, dass es durch einen uner-
warteten Verlauf zu einem Spurkranzanlauf kommt. Um die Wahrscheinlichkeit
eines Anlaufs zu minimieren, ist es am sinnvollsten zu versuchen, entlang der Mit-
tellinie des Gleisverlaufs zu fahren. Dann kann jedoch nicht mehr das gesamte
Spurspiel genutzt werden, um möglichst glatte Trajektorien zu fahren. Es ergibt
sich also der folgende Zielkonflikt:
•Einerseits muss jede Achse dem Gleisverlauf folgen und einen „Sicherheitsab-
stand“ zum Rand des Spurkanals halten, um Spurkranzanläufe zu vermeiden.
•Andererseits sollen möglichst „glatte“ Bahnen gefahren werden, um Energie
zu sparen und um den Lenkverschleiß und Queranregungen, die den Fahr-
komfort beeinträchtigen, zu minimieren.
Beitrag und wesentliche Ergebnisse
Die Selbstoptimierung bietet eine Möglichkeit, die Kompromisslösung, die diese
Art von Zielkonflikt gewöhnlich erfordert, zu vermeiden: Anstatt das Verhält-
nis von Sicherheit zu Energieeffizienz fest in den Regler einzuprogrammieren,
werden die Ziele stets neu an die aktuelle Situation, also an Umwelteinflüsse,
Benutzeranforderungen und andere systeminterne Vorgaben, angepasst. In dieser
Seite 14 Kapitel 1
Arbeit werden zwei Konzepte für die selbstoptimierende Spurführungsregelung
vorgestellt, denen beiden gemeinsam ist, dass es sich um optimale Regelungs-
strategien handelt, die als Mehrzieloptimierungsproblem formuliert sind. Mehr-
zieloptimierungsprobleme haben zunächst unendlich viele Lösungsmöglichkeiten
und Eigenschaften. Diese können u. U. offline berechnet werden. Die konkrete
Ausprägung eines eindeutigen Ziels, nach dem der Regler ausgelegt wird, wird
jedoch erst zur Laufzeit, also online, bestimmt und fortwährend an die aktuellen
Umstände angepasst. Die beiden vorgestellten Konzepte unterscheiden sich in der
Art des Eingriffs der selbstoptimierenden Regelung:
Optimale Trajektorienvorsteuerung: Hierbei handelt es sich um eine Modellprä-
diktive Planung der Soll-Trajektorien für die Vorder- und Hinterachse. Die
Trajektorien werden anhand der aktuell bekannten Gleislagefehler so geplant,
dass sie innerhalb des Spurspiels liegen und mehr oder weniger stark von der
Mittellinie abweichen. Alle möglichen Trajektorien werden mit mehreren Kri-
terien bewertet und durch ein Optimierungsverfahren wird online diejenige
Trajektorie generiert, deren Kriterienwerte am besten zur Situation passen.
Mittels Modellinversion werden dann die Lenkbewegungen berechnet, die nö-
tig sind, um die Trajektorie abzufahren. Modellfehler und Störungen, auf die
diese Vorsteuerung nicht reagieren kann, werden mit einem P-Regler kom-
pensiert.
Selbstoptimierender Riccati-Regler: Bei unbekannten Gleislagefehlern oder ande-
ren Störeinflüssen können keine Trajektorien berechnet werden. Daher wird
ein zweites Konzept vorgestellt, bei dem der Regler direkt angepasst wird.
Das Konzept basiert auf der Mehrzielvariante des bekannten Riccati-Reglers.
Für die Selbstoptimierung wird eine Methode entwickelt, die es erlaubt, eine
beliebige Ausprägung der Zielfunktionswerte durch die Anpassung der Reg-
lermatrix zur Laufzeit einzuregeln. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei
auf der effizienten und ressourcensparenden Realisierung sowohl der Optimie-
rung als auch der fortwährenden Lösung der Riccati-Gleichung zur Bestim-
mung der Reglermatrix.
Die aktive Spurführung ist ein Beispiel für die Selbstoptimierung eines mecha-
tronischen Systems. Die hohen, z. T. gegensätzlichen Anforderungen (z. B. ge-
ringer Verschleiß und Energieeffizienz), sind mit herkömmlichen Methoden nur
schwer zu erfüllen. Der Einsatz einer Mehrzielformulierung zur gezielten Anpas-
sung des Systemverhaltens an veränderte Umweltbedingungen oder Benutzeran-
forderungen stellt eine Neuerung dar und ist ein vielversprechender Ansatz für die
Selbstoptimierung von Systemen mit modellierbarem Verhalten. Insbesondere der
Ansatz, eine Regelungsaufgabe als Mehrzieloptimierungsproblem zu formulieren,
ermöglicht es, die Ziele und ihre Wichtigkeit getrennt voneinander zu betrachten
Einleitung Seite 15
und damit die Bestimmung der konkreten Ausprägung des Regelungsziels in die
Betriebsphase zu verlegen.
Der Mehrwert der selbstoptimierenden Spurführung besteht in der Entkopplung
von Umwelteinflüssen und Leistungsbedarf sowie in der Möglichkeit, mit einem
übergeordneten Modul die Leistungszuteilung gegen die erwartete Spurkranzan-
laufrate (Spurkranzanläufe pro km) auszuhandeln. Bei konventionellen und auch
bei adaptiven Regelungen würden der Leistungsbedarf und die Häufigkeit von
Spurkranzanläufen stets durch die Amplitude der Gleislagefehler und durch die
stochastischen Störungen bestimmt (beide steigen mit der Amplitude der Stö-
rung, da der Regler einen bestimmten Kompromiss verfolgt). Die selbstoptimie-
rende Spurführung dagegen ist in der Lage, eine Leistungszuteilung unter allen
Bedingungen einzuhalten (Vorgabe für die Trajektorienvorsteuerung) oder alter-
nativ stets nur so viel Energie aufzunehmen, wie nötig ist, um Spurkranzanläufe
sicher zu vermeiden (Vorgabe für den Riccati-Regler). Bei einer selbstoptimieren-
den Regelung wird der Ziel-Kompromiss also gezielt an die Störungen angepasst.
Strukturierung der Arbeit
Der Hauptteil dieser Arbeit ist in fünf Kapitel untergliedert. Zunächst werden
im Kapitel 2 theoretische Grundlagen und der aktuelle Stand der Technik und
Forschung besprochen. Das Konzept RailCab und die RailCab-Versuchsfahrzeu-
ge werden im Detail vorgestellt und es werden die theoretischen Grundlagen so-
wohl der Spurführung von Schienenfahrzeugen als auch der Selbstoptimierung
dargelegt. Nach diesem allgemeinen Teil werden in den folgenden Kapiteln die
Ergebnisse dieser Arbeit beschrieben. In Kapitel 3 wird die Grundlage für die
Entwicklung der Spurführungsregelung geschaffen: Es werden der mechanische
Aufbau, die Funktion und die mathematische Modellierung des Spurführungsmo-
duls beschrieben.
Die Beschreibung der Regelung und ihre Erprobung und Validierung sind auf
die letzten drei Kapitel verteilt. Zunächst werden in Kapitel 4 die allgemeine
Struktur der Spurführungsregelung und die grundlegenden Entwurfsziele erläu-
tert. In Kapitel 5 werden dann die Regelung mit selbstoptimierender Trajekto-
rienvorsteuerung beschrieben und die Ergebnisse der Testfahrten vorgestellt. In
Kapitel 6 schließlich wird ein selbstoptimierender Riccati-Regler zunächst allge-
mein und dann für die Spurführungsregelung entwickelt. Auch hier erfolgt die
abschließende Vorstellung und Analyse der Ergebnisse anhand von ausgewählten
Testfahrten.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 17
2 Grundlagen und Stand der Technik
2.1 Das System RailCab
RailCab ist ein neuartiges schienengebundenes Verkehrssystem. Das Konzept um-
fasst die Technik der Fahrzeuge, die Logistik und den Vertrieb ([Trä06], [HRS+07]).
Das Ziel von RailCab ist es, die Anforderungen des Individualverkehrs mit den
Gegebenheiten eines schienengebundenen Verkehrsmittels zu vereinbaren. Das
Konzept basiert auf der Technologie von völlig neuartigen Bahnfahrzeugen, den
RailCabs (vgl. [LGH+08]). Die RailCabs sind aus wirtschaftlichen und logisti-
schen Gründen relativ kleine Fahrzeuge (ca. 10 m Länge, 10–20 Personen oder
ein 20-Fuß-Container), die mit einer hohen Standardisierung in großen Stückzah-
len gebaut werden sollen. Die wichtigste Eigenschaft ist, dass sie führerlos und
autonom mit inhärenter Teilintelligenz verkehren können. Dies ermöglicht einen
bedarfsgesteuerten, fahrplanungebundenen Betrieb. Ein Umsteigen oder Umla-
den ist so nicht mehr notwendig und keine oder wenige Zwischenstopps erhöhen
die Tür-zu-Tür-Geschwindigkeit bei einer moderaten Höchstgeschwindigkeit von
160 km/h.
Die in Bild 2-1 dargestellten Bilder von zwei Designstudien zeigen den Innen-
raum eines Personen-RailCabs (links) und das Verladen eines Containers auf ein
Güter-RailCab (rechts) jeweils als digitales Mock-up. Bei dem Personen-RailCab
ist das Fahrgastterminal zu erkennen, das die Wahl des Zielbahnhofs und weitere
Konfigurationsmöglichkeiten erlaubt. An dem Güter-RailCab ist die Außenhül-
le zu erkennen, die dem Fahrzeug sowohl bei Fahrten im Konvoi als auch bei
Individualfahrten eine aerodynamisch günstige Form verleiht.
Bild 2-1: Designstudie RailCab, links: Innenraum eines Personen-RailCabs,
rechts: Beladen eines Güter-RailCabs mit einem Container
Weiterhin soll durch die Vermeidung von Hochgeschwindigkeitsstrecken eine Mi-
schung von Personen- und Gütertransport ermöglicht werden, was wiederum eine
höhere Streckenauslastung ermöglicht. Durch den bedarfsgenauen Transport, bei
Seite 18 Kapitel 2
dem das Ziel zur gewünschten Ankunftszeit erreicht wird, kann der Teufelskreis
des fahrplangebundenen Verkehrs durchbrochen werden. Dort führt die niedrige
Taktrate zu einem niedrigeren Fahrgastaufkommen, was den Betrieb unrentabel
macht und oft zu einer weiteren Verringerung der Taktrate führt.
Das Fahrzeugkonzept ist zwischen PRT-Systemen (Personal Rapid Transit) und
GRT-Systemen (Group Rapid Transit) anzusiedeln1. Das Konzept geht jedoch in
vielen Punkten weit über die Eigenschaften bisher bekannter Systeme hinaus. Dies
gilt vor allem für die höhere Geschwindigkeit, die Reichweite und die Flexibilität,
die durch die Einbindung der Fahrzeuge in ein intelligentes Logistiknetzwerk mit
dezentraler Teilintelligenz erreicht wird („Internet auf Rädern“). Dadurch soll
auch die Trennung von Nah- und Fernverkehr überwunden werden, sodass nahezu
ein Tür-zu-Tür-Transport möglich wird, wie ihn heute nur das Auto bietet.
Die einzelnen RailCabs sind in ein Kommunikationsnetz eingebunden, über das
sie untereinander und mit Leitrechnern Informationen austauschen können. Dies
ermöglicht es, mehrere Fahrzeuge mit ähnlichem Ziel zu Konvois zusammenzu-
fassen und Fahrwege auf die gegenwärtige Netzauslastung hin zu optimieren. Die
wesentliche Technik der Fahrzeuge ist in der flach bauenden Bodengruppe un-
tergebracht, auf der die Nutzlastzellen für den Personen- und Gütertransport
aufsetzen. Diese Bodengruppe besteht aus drei Hauptmodulen: dem Antrieb, der
Spurführung und der aktiven Federung.
Antrieb
Da sich die RailCabs autonom auf der Schiene bewegen können sollen, muss
jedes RailCab über einen eigenen Antrieb verfügen. Der Antrieb erfolgt berüh-
rungslos mithilfe eines doppelt gespeisten Linearantriebs, dessen Stator zwischen
den Schienen verlegt ist und dessen Läufer sich unter den Fahrzeugen befindet
(vgl. [Pot06]). Im doppelt gespeisten Asynchronbetrieb können mehrere Fahr-
zeuge auf dem gleichen Statorabschnitt mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
verkehren und sich so z. B. zu Konvois zusammenschließen. Der doppelt gespeis-
te Motor ermöglicht außerdem die induktive Energieübertragung in das Fahrzeug
ohne Oberleitungen, Stromschienen oder separate berührungslose Abnehmer (vgl.
[SSH+09]).
1Die sogenannten Group Rapid Transit Systeme (GRT) mit einer Fahrzeugkapazität von ca.
10 bis 20 Personen werden eher nach Bedarf als nach Fahrplan betrieben. Die Fahrzeuge bie-
ten eine Auswahl an Fahrtrouten, wobei die Fahrgäste die jeweilige Fahrtroute bestimmen.
Zwischenstopps sind jedoch möglich. Personal Rapid Transit Systeme (PRT) dagegen beste-
hen aus kleineren Fahrzeugen mit einer Kapazität von 3 bis 6 Personen für den exklusiven
Transport von einzelnen Personen oder auch kleinen Gruppen, die auf Wunsch gemeinsam
befördert werden möchten. Die Fahrzeuge fahren nach Bedarf, nicht nach Fahrplan, indivi-
duell und ohne Zwischenstopp. Bei beiden Systemen beträgt die Höchstgeschwindigkeit ca.
40 km/h(vgl. [ATA03], [And78] und [IBO+87]).
Grundlagen und Stand der Technik Seite 19
Durch den Linearmotor wird eine der Hauptursachen für den Verschleiß an Rädern
und Schienen eliminiert, da der Rad-Schiene-Kontakt nur noch durch Gewichts-
kräfte und die wesentlich geringeren Spurführungskräfte belastet wird, jedoch
nicht mehr durch Längskräfte. Beim Linearmotor handelt es sich um einen nahe-
zu verschleißfreien Antrieb. Dadurch wird die Verfügbarkeit und Zuverlässigkeit
der Fahrzeuge erhöht.
Da Antriebs- und Bremskraft nicht vom Reibwert zwischen Rad und Schiene ab-
hängen, unterliegen sie keinen Witterungseinflüssen und die Steigfähigkeit des
Fahrzeugs ist nur durch die Antriebsleistung begrenzt. Herkömmliche Schienen-
fahrzeuge können in der Regel Steigungen von maximal 4 % befahren. Für die
RailCabs ergibt sich die deutlich höhere Obergrenze durch die den Passagieren
maximal zumutbare Steigung. Die erhöhte Steigfähigkeit des Systems ermöglicht
den weitgehenden Verzicht auf Tunnel, Brücken und Serpentinen bei Neubaustre-
cken.
Spurführung
Das Tragen und Führen der RailCabs erfolgt über den Rad-Schiene-Kontakt auf
Normalspurgleisen ([Ett99] und [EHO03]). Dadurch können bestehende Trassen
genutzt werden. Um Gewicht und Kosten gering zu halten, hat das Fahrzeug
zwei Einzelachsen. Die Achsen sind als Losradsätze mit zylindrischen Rädern
ausgeführt und in einem Drehschemel gelagert. Bei Losradsätzen tritt der für
konventionelle Schienenfahrzeuge typische Sinuslauf nicht auf, der bei höheren
Geschwindigkeiten zu einer instabilen Laufdynamik führt. Ohne einen aktiven
Eingriff treten bei Losradsätzen jedoch permanent Spurkranzanläufe auf. Zur
Zentrierung des Fahrwerks im Gleis und zur Radialstellung der Räder in Kurven
sind die Achsen daher über hydraulische Zylinder aktiv lenkbar. Die selbstop-
timierende Regelung dieser aktiven Spurführung ist das Thema dieser Arbeit.
Dabei wird das Ziel verfolgt, das Fahrzeug sicher im Gleis zu führen und gleich-
zeitig den Verschleiß an den Rädern und der Schiene zu minimieren. Weiterhin
ermöglicht es die aktive Lenkung, dass die Richtungswahl beim Überfahren von
speziellen Weichen vom Fahrzeug selbst umgesetzt wird.
Aktive Federung
Bei den RailCabs mit Einzelachsen und einer geringen Länge werden Anregun-
gen aus dem Gleis stärker in den Wagenkasten übertragen, als dies bei Drehge-
stellfahrwerken der Fall ist (vgl. [Sch06]). Aus diesem Grund und zur weiteren
Steigerung des Fahrkomforts sind die RailCabs mit einer aktiven Sekundärfe-
derung ausgestattet. Das dämpferlose aktive Federungssystem basiert auf einer
schwingungstechnischen Entkopplung des Wagenkastens vom Fahrwerk. Der Wa-
genkasten ist lediglich über vier Luftfedern mit dem Fahrwerk verbunden. Die
Luftfedern sind in allen drei Raumrichtungen elastisch. Es können also Anregun-
gen sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung abgefedert werden. Die
Dämpfung des Systems erfolgt aktiv über hydraulische Zylinder. Ein Neigen der
Seite 20 Kapitel 2
Fahrgastzelle in Kurven ist über diese Zylinder ebenfalls möglich, wodurch der
Fahrkomfort für die Passagiere weiter gesteigert wird und höhere Geschwindig-
keiten ermöglicht werden (Feder-/Neigetechnik, FNT).
Konvoibildung
Wenn Fahrzeuge sehr dicht hintereinander herfahren, sinkt der Windwiderstand
und damit der Energiebedarf einer solchen Kolonne drastisch. Das System Rail-
Cab mit seinen vielen kleinen Einheiten soll diesen Effekt nutzen. Sobald mehrere
Fahrzeuge auf einem Streckenabschnitt unterwegs sind, sollen sie sich zu soge-
nannten Konvois zusammenschließen und im Meterabstand hintereinander her-
fahren (vgl. [HFB06] und [HTS+08]). Die Verkopplung der Fahrzeuge in einem
Konvoi erfolgt dabei rein informationstechnisch, sodass ein RailCab einen Konvoi
an Weichen und selbsttätig verlassen oder sich einem anderen Konvoi anschließen
kann. Die Konvois sollen bei voller Reisegeschwindigkeit gebildet und dynamisch
durch dezentrale Kommunikation organisiert werden. Einzelne RailCabs fädeln
sich bei vollem Tempo über Weichen in den Konvoi ein oder aus. Diese Ein-
bzw. Ausfädelmanöver sind mit konventionellen Weichen nicht realisierbar, da
der Schaltvorgang einige Sekunden dauert, in denen es zu Entgleisungen kom-
men kann. Im Bereich konventioneller Weichen müssen Fahrzeuge daher einen
Sicherheitsabstand einhalten, der ein Auflösen des Konvois erfordern würde. Da-
her wurde eine spezielle passive Weiche ohne bewegliche Teile entwickelt.
Passive Weichen
Die neuen passiven Weichen, die ein Befahren mit minimalem Abstand zwischen
den Fahrzeugen ermöglichen, sind im Gegensatz zu konventionellen Weichen in
beide Richtungen (Stammgleis und Zweiggleis) gleichzeitig geöffnet ([SGM+08]).
Die Richtungswahl wird vom Fahrzeug umgesetzt, indem es an den entsprechen-
den Rand des Gleises lenkt, dem es folgen will. Am Rand treten die Spurkränze
in denjenigen Kanal ein, der das Fahrzeug dann auf das gewünschte Gleis führt.
In Bild 2-2 ist dieser Vorgang beispielhaft für ein Abbiegen auf das Zweiggleis
(links) dargestellt. Die aktive Spurführung ist also eine wichtige Voraussetzung
zum Befahren passiver Weichen, die wiederum die Voraussetzung für das Bil-
den von Konvois sind. Während der Weichenfahrt hat der Spurführungsregler
das Ziel, die Achsen sicher und möglichst ohne Spurkranzanläufe in den richtigen
Spurkanal zu lenken. Da der Spurkanal jedoch sehr viel enger ist, als das normale
Spurspiel, ist das Selbstoptimierungspotenzial hier gering.
Versuchsbetrieb
Zur Entwicklung und Erprobung der Technologien, die zur Realisierung des Rail-
Cab-Konzeptes benötigt werden, wurde am Campus der Universität Paderborn
eine Versuchsanlage im Maßstab 1:2,5 aufgebaut. Die Teststrecke mit Schmal-
spurgleisen (60 cm Spurweite), die in Bild 2-3 zu sehen ist, hat eine Gesamtlänge
Grundlagen und Stand der Technik Seite 21
Beide Spurkanäle sind offen
An den linken Rand gelenkt
biegt die Achse nach links ab
Zweiggleis Stammgleis
Im Notfall erzwingt die
mechanische Verriegelung
das Abbiegen
Bild 2-2: Das Konzept der passiven Weiche
von ca. 530 m und besteht aus einem Oval, einem Garagen-Zubringer und ei-
ner Weiche. Auf der Strecke kann ein Konvoi mit zwei Fahrzeugen demonstriert
werden. In Abschnitt 3.1 wird die Konstruktion der Fahrzeuge im Rahmen der
Modellierung der Spurführung genauer erläutert.
Bild 2-3: Die Teststrecke und die beiden RailCab-Versuchsfahrzeuge der Neuen
Bahntechnik Paderborn
2.2 Spurführung von Schienenfahrzeugen
Die Erforschung und Verbesserung der Spurführungsdynamik reicht bis in die
Anfänge der Eisenbahn im Jahre 1804 zurück. Dennoch sind viele fundamentale
Zusammenhänge erst in den letzten 50 Jahren und einige sogar erst im letzten
Jahrzehnt zufriedenstellend geklärt worden. Insbesondere die Vorgänge in der
Kontaktfläche zwischen Rad und Schiene sind so komplex, dass sie im mathe-
matisch mechanischen Sinne derzeit noch nicht vollständig zugänglich sind (vgl.
[Rie07]).
Seite 22 Kapitel 2
Viele Fortschritte haben die Eisenbahn zu einem der schnellsten, komfortabels-
ten und ökonomischsten Fortbewegungsmittel gemacht. Nicht zuletzt wegen der
hohen Investitionskosten sind große Innovationen jedoch eher selten. Insbeson-
dere das definierende Element der Eisenbahn, nämlich das Rad-Schiene-System,
hat sich in seiner Form kaum gewandelt. Nach der Besprechung der wichtigsten
Grundlagen werden im Folgenden Ansätze zur Überwindung der bestehenden
Probleme vorgestellt.
2.2.1 Kräfte zwischen Rad und Schiene
Schienenfahrzeuge sind dadurch definiert, dass sie auf Schienen fahren und geführt
werden. Dem System aus Rad und Schiene kommt daher eine besondere Bedeu-
tung zu. Das Rad-Schiene-System kann dabei bis zu drei verschiedene Funktionen
erfüllen (siehe [KS07]):
1) Rad und Schiene übernehmen stets die Tragfunktion und stützen das Ge-
wicht des bewegten Fahrzeugs am Boden ab.
2) Das Zusammenspiel von Rad und Schiene gewährleistet die Führungsfunk-
tion. Es stellt also sicher, dass das Fahrzeug dem Gleisverlauf mit geringen
Abweichungen folgt.
3) Optional kann das Rad-Schiene-System die Antriebs- und Bremsfunkti-
on übernehmen. In diesem Punkt unterscheidet sich das RailCab von den
meisten anderen Schienenfahrzeugen.
Da beim RailCab die Antriebskräfte entfallen, und die Tragkräfte für die Spur-
führung eine untergeordnete Rolle spielen, werden im folgenden Abschnitt nur
die Querkräfte im Rad-Schiene-Kontakt betrachtet.
Alle Kräfte am Rad treten in der Kontaktfläche zur Schiene auf, die bei konventio-
nellen Bahnen etwa 1,5 cm2groß ist (das ist ungefähr die Größe einer Centmünze).
Bei den folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, dass die Kontaktfläche
ausschließlich auf der Lauffläche des Rades liegt (Einpunktkontakt). Der Zwei-
punktkontakt bei Spurkranzanläufen und das sogenannte Aufklettern sind für die
aktive Spurführung unerheblich und werden nur kurz in Abschnitt 2.2.3 behan-
delt.
Es ist zweckmäßig, die Kräfte in einem kartesischen Koordinatensystem zu be-
trachten, dessen Achsen normal (Normalkraft N) und tangential zur Lauffläche
des Rades liegen (siehe Bild 2-4). In der Tangentialebene wird zwischen der Um-
fangsrichtung (Tx, längs) und der Richtung parallel zur Radachse (Ty, quer) un-
terschieden. Bei der Normalkraft handelt es sich um eine Zwangskraft. Die Kräfte
in der Tangentialebene am rollenden Rad sind sogenannte Schlupfkräfte, die aus
einer Relativbewegung zwischen Rad und Schiene resultieren. In vielen Fällen ist
Grundlagen und Stand der Technik Seite 23
die getrennte Behandlung von Normal- und Tangentialkontaktproblem möglich
(vgl. [Iwn06]).
N
Ty
Q
FS
Bild 2-4: Die Kräfte am Rad im Berührpunkt zwischen Rad und Schiene: die Nor-
malkraft Nkann in die Radstützkraft Qund die Profilseitenkraft FS
zerlegt werden, die Tangentialkraft Tyist eine Schlupfkraft
Zwangskräfte: Die senkrecht zur Kontaktfläche stehende Normalkraft Nkann
abhängig vom Sturzwinkel Γin die Radstützkraft Qund die Profilseitenkraft FS
aufgeteilt werden. Die Radstützkraft kompensiert den vom jeweiligen Rad in die
Schiene eingeleiteten Anteil der Gewichtskraft. Dabei wird in dieser Arbeit davon
ausgegangen, dass die Gewichtskraft stets gleichmäßig auf alle vier Räder verteilt
ist. Anteile von Trägheitskräften und externen Kräften (z. B. Windkräfte) an
der Normalkraft werden ebenfalls vernachlässigt. Bei nicht ausgelenktem Radsatz
(yR,rel = 0) treten die Profilseitenkräfte FS,r bzw. FS,l an den Rädern einer Achse
symmetrisch auf und kompensiert sich daher. Wird der Radsatz ausgelenkt, folgt
daraus eine Verdrehung um φFW (abhängig von yR,rel,Γund der Spurweite sw,
siehe Bild 2-5) und die resultierende Profilseitenkraft Frck hat eine rückstellende
Wirkung. Für kleine Winkel φFW kann diese Gravitationsrückstellkraft wie folgt
linearisiert werden:
Frck =FS,r −FS,l ≈ −2Q φFW ≈4 Γ Q
sw yR,rel
φFW ≈2 Γ
sw yR,rel
Q=m g
4
(2-1)
Schlupfkräfte: Die Kraftübertragung in der Tangentialebene wird durch Re-
lativbewegungen beim Abrollen ermöglicht, die normiert auf die Fahrzeuglängs-
geschwindigkeit vals Schlupf bezeichnet werden. Die Definition des Schlupfs,
insbesondere des Querschlupfs, ist nicht eindeutig festgelegt. Je nach Detaillie-
rungsgrad der Berechnung werden unterschiedliche Formeln eingesetzt. Lineari-
Seite 24 Kapitel 2
φFW
yrel
Γ
sw
Bild 2-5: Eine quer verschobene und dadurch gekippte Achse mit Sturz
siert und unter Vernachlässigung von Wankbewegungen lauten die Gleichungen
für den Längs-, Quer- und Bohrschlupf:
sx≈v±˙
ψFW +˙
δR·sw/2−ωR·rR,eff
v
sy≈˙yR,rel
v−δR
sψ≈−Γkon ·ωR+˙
δR+˙
ψFW
v
(2-2)
Dabei ist ˙
ψFW die Gierrate der Achse, δRder Lenkwinkel der Drehschemelach-
se, ωRdie Winkelgeschwindigkeit des Rades, rR,eff der Radius des Rades in der
Kontaktfläche, ˙yR,rel die Relativbewegung zwischen Rad und Schiene quer zum
Fahrzeug und Γkon das Steigungsverhältnis des konischen Rades2.
Der Bohrschlupf resultiert aus einer rotatorischen Relativbewegung zwischen Rad
und Schiene. Diese Relativbewegung kann ihre Ursache in einer Drehung des
Rades um seine Hochachse haben und sie kann durch ein konisches Radprofil
bedingt werden. Ein Konus oder Kegel rollt natürlicherweise im Kreis. Wird er
in eine andere (lineare) Bewegung gezwungen, so entspricht das einer ständigen
Rückdrehung, die zu Bohrschlupf führt.
Wenn zwischen zwei reibungsbehafteten Körpern beim Abrollen aufeinander eine
Relativbewegung bzw. Schlupf auftritt, so bilden sich in der Kontaktfläche, wie
in Bild 2-6 dargestellt, eine Haft- und eine Gleitzone aus. Die folgende Modell-
vorstellung beschreibt die Vorgänge, die zum Aufbau einer Schlupfkraft an einem
angetriebenen Rad führen: Ein Punkt auf der Oberfläche, der am Einlaufrand
in die Kontaktfläche eintritt, verschiebt sich zunächst nicht gegenüber dem an-
deren Körper (Haftzone). Wohl aber tritt eine elastische Deformation auf und
die Tangentialspannung nimmt kontinuierlich zu, bis die Grenze der Haftreibung
2Im Abschnitt 3.3 wird auf diese Größen genauer eingegangen.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 25
erreicht ist. Danach beginnt die Gleitzone, in der der Punkt gleichmäßig über
den anderen Körper gleitet, bis er am Auslaufrand die Kontaktfläche verlässt.
Mit steigendem Schlupf wird das Gleitgebiet immer größer, bis es die gesamte
Kontaktfläche einnimmt und reine Gleitreibung herrscht. Wird der Schlupf wie
in Gleichung (2-2) in drei Richtungen betrachtet, so kann grundsätzlich Schlupf
in jeder Richtung den Kraft- (T) bzw. Momentenaufbau (M) auch in den anderen
Richtungen beeinflussen:
Tx=Tx(sx, sy, sψ)
Ty=Ty(sx, sy, sψ)
Mψ=Mψ(sx, sy, sψ)
(2-3)
Rollrichtung (angetriebenes Rad) Haftzone
Gleitzone
Längs- und Querschlupf
HG
H
G
G
überwiegend Bohrschlupf
H
G
Quer- und Bohrschlupf Längs- und Bohrschlupf
H
G
G
allgemeiner Fall
H
G
reiner Bohrschlupf
H
G
Tx
Ty
Mψ
Bild 2-6: Verschiedene Konfigurationen von Haft- und Gleitzone in der Kontakt-
fläche (nach [Rie07]) und die resultierenden Längs-, Quer- und Bohr-
schlupfkräfte Tx,Tybzw. Mψ
Die genauen Vorgänge in der Kontaktfläche sind sehr viel komplexer, da hier me-
chanische, chemische und atomare Effekte zwischen den Körpern und den meist
vorhandenen Deck- und Zwischenschichten zusammenwirken. Die makroskopisch
beobachtbare Ausbildung der Schlupfkraft wird daher durch viele Faktoren be-
einflusst:
•Material von Rad und Schiene
•Beschaffenheit der Oberflächen (Rauheit, Körnung, Oxidation)
•Zustand der Oberflächen (Zwischenschichten): trocken, nass, sauber, ölig,
schmierig (bei Regenbeginn oder durch Laub)
•Fahrgeschwindigkeit
•Gleitgeschwindigkeit
•Dynamische Einflüsse (Normalkraftschwankungen, Schlupfdynamik, Starr-
körperschwingungen und elastische Schwingungen)
Seite 26 Kapitel 2
Mathematische Modelle, die versuchen, die genannten Effekte zu beschreiben,
sind seit über 100 Jahren Gegenstand der Forschung [Rie07]. Zwei mögliche An-
sätze sind hierbei zu unterscheiden. Zum einen analytische Ansätze, wie ihn zum
Beispiel Carter (1926), Fromm (1927) oder Kalker (1964) für ihre Kraftschlussmo-
delle verwendet haben, zum anderen heuristische, d. h. auf Experimenten beru-
hende Modelle wie die von Barwell oder Frederich. Analytische Ansätze haben den
Vorteil, dass die Modelle mithilfe physikalischer Größen und Parameter formuliert
sind und daher an viele Situationen angepasst werden können. Der realisierbare
Detaillierungsgrad ist jedoch begrenzt, sowohl was die analytische Zugänglich-
keit betrifft als auch im Hinblick auf die praktische Auswertung der Formeln im
Rahmen einer Simulation. Es müssen also Annahmen getroffen werden, die die
allgemeine Gültigkeit des Modells einschränken. Die Formeln heuristischer Mo-
delle dagegen werden aus Messdaten abgeleitet und so gewählt, dass sie die Daten
bei vertretbarem Fehler möglichst einfach beschreiben. Heuristische Modelle kön-
nen also für beliebige, messtechnisch zugängliche Konfigurationen erstellt werden.
Ihre Gültigkeit beschränkt sich dann aber auch meist auf den erfassten Fall.
Die analytische Kalker-Theorie stellt heute die Basis aller Berechnungen im Be-
reich der Eisenbahnfahrzeuge dar. Sie geht von elliptischen Kontaktflächen aus,
deren Form (Halbachsenverhältnis a/b) von den Krümmungsradien im Berühr-
punkt bestimmt wird und deren Größe von der Normalkraft N, dem Schubmodul
des Werkstoffes Gund der Poissonzahl νabhängt3. Die Theorie berücksichtigt
Längs-, Quer- und Bohrschlupf. Bei kleinem Schlupf wird häufig die lineare Theo-
rie nach Kalker verwendet, bei der die Kraftschlusskurve um null linearisiert wird:
Tx
Ty
Mψ
=G a b
C11 0 0
0C22 √a b C23
0−√a b C23 a b C33
·
sx
sy
sψ
(2-4)
Die Schlupfkoeffizienten Cij, die vom Halbachsverhältnis a/b und der Poisson-
zahl νabhängen, werden aus Tabellen abgelesen. Interessant ist, dass großer
Bohrschlupf, wie er beispielsweise beim Lenken auftritt, auch eine Querkraft her-
vorruft. Da in Kalkers Modell von trockener Reibung ohne Zwischenstoffe und
Feuchtigkeit und von glatten Laufflächen ausgegangen wird, was in der Realität
nur selten auftritt, sind die Werte als obere Grenze zu betrachten.
Da Modelle für die Reglerauslegung möglichst gut mit der Realität übereinstim-
men sollten, müssen sie gegebenenfalls zur Laufzeit angepasst werden. In diesem
Fall ist eine Online-Identifikation der Modellparameter nötig. Komplizierte Mo-
3Es wird meist vereinfachend davon ausgegangen, dass Rad und Schiene aus dem gleichen
Werkstoff bestehen.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 27
delle mit vielen Parametern sind dann eher von Nachteil. Daher wird im Folgenden
das heuristische Modell von Frederich vorgestellt, das mit zwei Parametern und
einer sehr einfachen Rechenvorschrift auskommt, ohne dass die Art der Defor-
mation der Kontaktfläche oder deren Größe berechnet werden muss. Das Modell
berücksichtigt nur die gegenseitige Beeinflussung der Längs- und Querrichtung.
Da die Losräder der RailCabs jedoch nicht angetrieben sind, kann der auftreten-
de Längsschlupf4vernachlässigt werden. Die Formeln zur Berechnung des Quer-
kraftschlussbeiwertes fy(auch Seitenkraftbeiwert genannt) und der Querschlupf-
kraft für ein durchschnittliches Normalspurschienenfahrzeug bei trockener und
schmutzfreier Fahrbahn nach Frederich lauten:
Ty=fy(sy)·N
fy=ay·1−e−by·|sy|·sgn (sy)
ay= 0,38
by= 576
(2-5)
Die Kurve des Seitenkraftbeiwerts ist zusammen mit der Linearisierung in Bild 2-7
dargestellt. Es ist gut zu erkennen, dass das Modell von Frederich die Sättigung
wiedergibt, die durch die Gleitgrenze aybestimmt wird. Die Steigung des linea-
risierten Seitenkraftbeiwerts multipliziert mit der Normalkraft ist die aus der
Fahrzeugtechnik bekannte Schräglaufsteifigkeit cα=aybyN(vgl. [PS93]). Bei
stationär nicht verschwindendem Querschlupf (bspw. bei der Kurvenfahrt) muss
um den mittleren Schlupf linearisiert werden, und die Schräglaufsteifigkeit fällt
geringer aus: cα=aybye−by·|sy|N. Die Parameterwerte von Frederich müssen
dabei natürlich für das RailCab angepasst werden.
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Querschlupf sy in %
Seitenkraftbeiwert fy
∂ fy
∂ sy
fy
linear
cα=N⋅∂ fy/∂ sy
Bild 2-7: Der Seitenkraftbeiwert fynach Frederich und ihre Ableitung um den
schlupffreien Zustand (sy= 0)
4Die Längsschlupfkräfte beschränken sich auf Abroll-, Lager- und Drehbeschleunigungskräfte.
Seite 28 Kapitel 2
2.2.2 Verschleiß an Rad und Schiene
Übliche Kriterien für den Verschleiß an der Lauffläche, am Spurkranz und an
den Schienen basieren auf der Reibarbeit im Gleitbereich der Kontaktfläche (vgl.
[Zob97], [Iwn03] oder [Pow98]). Es gibt zwei bis drei Bereiche (je nach Quelle), in
denen der Verschleiß jeweils proportional zur Reibarbeit ist: milden, heftigen und
extremen Verschleiß. Die Bereichsgrenzen und zugehörigen Proportionalitätsfak-
toren müssen durch Versuche ermittelt werden. Die Faktoren der Bereiche unter-
scheiden sich jeweils um etwa eine Größenordnung. Messen lässt sich Verschleiß
als der Materialabtrag (Massenstrom) über einen Versuchszeitraum:
˙m∝Preib =Freib ·vrel (2-6)
Dabei gibt es eine Vielzahl von Einflussfaktoren, die den Gültigkeitsbereich des
Versuchs festlegen:
•Grundkörper (Werkstoff, Form, Oberfläche)
•Zwischenstoff (Art, Teilchengröße u. A.)
•Gegenkörper (Werkstoff, Form, Oberfläche)
•Belastung (Größe, zeitlicher Verlauf)
•Art der Bewegung (gleitend, rollend, stoßend)
•umgebende Atmosphäre (z. B. Luft, Schutzgas, Vakuum)
•Temperatur (Höhe, zeitlicher Verlauf)
In der Realität lassen sich also nur situationsabhängige statistische Werte bestim-
men, die oft auf die gefahrene Strecke bezogen werden. In Simulationen lassen sich
diese Größen dann kontinuierlich aus den Schlupfkräften berechnen:
Wreib
l=Preib
v=Tx·sx+Ty·sy+Mψ·sψ(2-7)
Bei detaillierteren Betrachtungen, wie in [Mei99] muss weiterhin berücksichtigt
werden, wie sich der Verschleiß über die Kontaktfläche verteilt und ob er einer
Dynamik unterliegt. Es kann z. B. zu periodischem Verschleiß am Rad (Polygona-
lisierung) und an der Schiene (Riffelung, Wellenbildung) kommen. Auch können
Flachstellen (durch Blockieren beim Bremsen), Überwälzungen, Ausbröckelun-
gen (durch Materialermüdungen) oder Laufflächenrisse auftreten, die sich nur
sehr schlecht simulieren lassen.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 29
2.2.3 Entgleisung durch Aufklettern
Es gibt verschiedene Gründe für Entgleisungen. Ein hoher Anteil der Entglei-
sungen ist auf vorangegangene mutwillige Zerstörungen an Fahrzeug und Gleis
zurückzuführen ([Hai02]). Weitere Gründe sind Gleisdefekte (bspw. eine aufge-
weitete Spur, tordierte Schienen oder ein verschobenes Gleisbett) und instabile
Fahrzeugdynamik. Da der Zustand der Gleise nicht von der aktiven Spurführung
beeinflusst werden kann und instabiles Verhalten durch eine entsprechende Aus-
legung generell ausgeschlossen werden muss, wird an dieser Stelle nur auf das
Entgleisen durch Aufklettern eingegangen.
Ein Rad beginnt am Schienenkopf aufzuklettern, wenn hohe Querkräfte Yge-
meinsam mit reduzierter Vertikalkraft Q(z. B. bei starken Gleisverwindungen
oder starken vertikalen Schwingungen) auftreten (vgl. [SE97]). Hohe Querkräfte
resultieren meist aus der Querbeschleunigung in Kurven oder aus großen Anlauf-
winkeln und den damit einhergehenden Querschlupfkräften. Ein Anlaufwinkel
liegt vor, wenn die Laufrichtung des Rades nicht parallel zur Gleistangente ist.
Das Problem der Entgleisung durch Aufklettern beschäftigt die Forschung schon
seit über 100 Jahren. Eins der ersten Kriterien, das aufgrund seiner einfachen
Berechnung auch heute noch verbreitet ist (vgl. [DIN05] oder [IM99]), ist das
Kriterium von Nadal. Auch die meisten neuere Kriterien basieren auf Nadals
Kriterium. Nadals Theorie geht von der Annahme aus, dass zu Beginn des Auf-
kletterns Zweipunktkontakt (in der Lauffläche und am Spurkranz) herrscht, wobei
der Spurkranz die Schiene in Laufrichtung vor der Lauffläche berührt und sich
dort durch die größere Umfangsgeschwindigkeit an der Schiene abwärts bewegt
(siehe Bild 2-8. Die aus dieser Reibung resultierende Kraft kann das Rad anhe-
ben, bis es über die Schiene hinweg rutscht. Bei Radsätzen mit starr gekoppelten
Rädern findet die Abwärtsbewegung des Spurkranzes auch dann noch statt, wenn
die Lauffläche sich schon von der Schiene gelöst hat, da das gegenüberliegende
Rad diese Bewegung weiterhin antreibt. Ob es zum Aufklettern kommt, hängt
vom Reibkraftkoeffizienten µim Kontaktpunkt des Spurkranzes, vom Winkel der
Spurkranzflanke γSK und vom Verhältnis von Querkraft zu Radaufstandskraft
Y/Q ab:
Y
Q≤tan γSK −µ
1 + µ·tan γSK
(2-8)
Das kritische Verhältnis Y/Q ist in Bild 2-9 für verschiedene Spurkranzwinkel
γSK und Reibkoeffizienten dargestellt. Die Gefahr des Aufkletterns steigt bei
einem flachen Spurkranzwinkel (z. B. durch Verschleiß), und mit einem hohen
Reibkoeffizienten. Ein Anschmieren der Schienenflanken kann also Entgleisungen
vorbeugen. Diese Zusammenhänge wurden generell durch Experimente bestätigt.
Wenn die Bedingung eines großen Anlaufwinkels jedoch nicht erfüllt ist, kann
Seite 30 Kapitel 2
γSK
Berührpunkt
Spurkranz-
Schienenkopf
in Laufrichtung
vorn
Durch
Gleitreibung
wird die Kraft
nicht normal zur
Berührfläche
eingeleitet
Faufkletter
Faufkletter
Q
Y
Bild 2-8: Die Kräfte am Spurkranz beim Aufklettern
das Y/Q-Verhältnis erheblich höher sein, bevor es zur Entgleisung kommt. Das
Kriterium von Nadal ist also eher konservativ.
50 55 60 65 70 75 80
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Spurkranzwinkel γSK in °
Grenzwert Y/Q
µ= 0.1
µ= 0.2
µ= 0.3
µ= 0.5
µ= 1
RailCab
Bild 2-9: Das kritische Verhältnis von Quer- zu Normalkraft in Abhängigkeit von
Spurkranzwinkel γSK und Reibungskoeffizienten µ
Das Kriterium geht davon aus, dass unmittelbar nach Überschreiten der Grenze
die Entgleisung eintritt. Tatsächlich dauert es danach jedoch eine gewisse Zeit,
in der weiterhin eine Überschreitung vorliegen muss, bis das Rad so weit auf-
geklettert ist, dass es über die Schiene hinweg rutschen kann. Neuere Kriterien
berücksichtigen dies in Form einer minimalen Überschreitungsdauer oder einer
Wegstrecke, über die der Grenzwert überschritten wird (vgl. [ES97]).
Über das Aufklettern von Losradsätzen, bei denen sich beide Räder frei drehen
können, gibt es unterschiedliche Theorien: Da keine selbsttätige Radialstellung
in Kurven erfolgt, ist mit höheren Anlaufwinkeln zu rechnen, was die Entglei-
sungsgefahr erhöht. Fahrzeuge mit Losradsätzen müssen daher gesteuert oder
geregelt und sehr viel kritischer überwacht werden ([FLE95]). Andererseits sind
die Raddrehzahlen in Losradsätzen nicht gekoppelt. Sobald also der Kontakt in
der Lauffläche beim Aufklettern abreißt, findet kein weiterer Antrieb mehr statt
und die Abwärtsbewegung im Kontaktpunkt des Spurkranzes wird unterbrochen.
Das Aufklettern wird dann nicht mehr von der Reibkraft unterstützt und das
Grundlagen und Stand der Technik Seite 31
Y/Q-Verhältnis könnte theoretisch bis auf tan γSK ansteigen. Praktische Unter-
suchungen hier zu gibt es jedoch nicht.
2.2.4 Achskonzepte: Radsatz und Radpaar
Sind zwei Räder über eine Welle verdreh- und biegesteif miteinander verbun-
den, so spricht man von einem Radsatz. Im Gegensatz dazu sind beim Radpaar
(Losradsatz) die Räder einer Achse frei drehend bzw. nicht gekoppelt, die übri-
gen Relativbewegungen sind jedoch blockiert (oder in seltenen Fällen aktuierbar:
Sturz in [BTG09], Achsschenkellenkung in [MG00]).
Laufstabilität von Radsätzen
Über die Radsatzwelle haben beide Räder eines Radsatzes immer die gleiche
Winkelgeschwindigkeit. Im Zusammenspiel mit konischen Radprofilen ergibt sich
daraus eine kinematische Eigenschaft, auf der die Spurführung konventioneller
Bahnen basiert: Ein Radsatz mit konischem Profil vollführt die in Bild 2-10 dar-
gestellte sinusförmige Abrollbewegung. Startet der Zyklus beispielsweise in der
Mitte mit leicht um die Hochachse verdrehtem Radsatz (1), so sind in der Aus-
gangslage beide Rollradien gleich groß. Durch die Verdrehung gegenüber dem
Gleis (Anlaufwinkel) bewegt sich der Radsatz aus der Mittellage heraus (z. B.
nach links). Dabei wird der linke Rollradius größer, der rechte kleiner, das linke
Rad wird schneller, als das rechte und „holt auf“. Das setzt sich so lange fort,
bis die Radachse senkrecht zur Gleisrichtung steht (2). Der Radsatzschwerpunkt
ist nun im Scheitelpunkt maximal nach links verschoben. Danach überholt das
linke Rad das Rechte und die Achse rollt zurück in die Mittellage, bis wieder die
zentrische Stellung mit maximaler Verdrehung (diesmal in die entgegengesetzte
Richtung) erreicht ist (3). Bei kleinen Querbewegungen lässt sich die Bewegung
des Schwerpunktes in sehr guter Näherung durch eine Sinusfunktion beschreiben,
weshalb diese Abrollbewegung auch Sinuslauf genannt wird. Ungedämpft füh-
ren daher sowohl ein Querversatz als auch ein Anlaufwinkel zu einer zyklischen
Bewegung. Die Wellenlänge des Sinuslaufs in Abhängigkeit von den Einflusspara-
metern (nomineller Radradius r, Konussteigung des Rades λund Spurweite sw)
wurde zu erst 1883 von Klingel wie folgt beschrieben ([Kli83]):
y(x) = ymax ·sin
s2λ
r·sw ·x
(2-9)
Da reale Radprofile nicht ideal konisch und Schienen nicht linienförmig sind, wird
die Kinematik (und damit auch die Laufdynamik von Schienenfahrzeugen) stark
vom Rad- und Schienenprofil (Profilpaarung) bestimmt. Weitere Parameter sind
die Einbauneigung der Schienen, die Spurweite und der Verschleißzustand. Die
Lage der Kontaktpunkte und die Rollradiendifferenz müssen dann in Abhängig-
keit von der Relativverschiebung und der Wendebewegung berechnet werden. Zur
Seite 32 Kapitel 2
1 2 3
Rollradius
Bild 2-10: Der Sinuslauf eines konischen Radsatzes
Vereinfachung wird daher oft mit der sogenannten äquivalenten oder wirksamen
Konizität gerechnet. Diese wird durch harmonische oder stochastische Lineari-
sierung berechnet und gilt nur für eine bestimmte bzw. mittlere Amplitude der
Sinusbewegung.
Da ein Radsatz nicht alleine läuft, wird seine Bewegung mehr oder weniger steif
an ein Drehgestell oder an einen Wagen gefesselt (längs, quer und rotatorisch).
Bei Drehgestellfahrzeugen wird zusätzlich die Bewegung zwischen Drehgestell und
Wagenkasten mit sogenannten Schlingerdämpfern eingeschränkt. Im Zusammen-
spiel mit dem Schlupf wird dadurch der Sinuslauf gedämpft. Allerdings nimmt
diese Dämpfung mit steigenden Geschwindigkeiten ab, sodass es stets eine kriti-
sche Geschwindigkeit gibt, ab der die Laufdynamik instabil wird. Da zur Optimie-
rung der Laufdynamik oft nichtlineare Federn und Dämpfer oder Gummielemente
eingesetzt werden, gestaltet sich der Nachweis der Laufstabilität von Wagen und
Zügen sehr kompliziert.
Der Kompromiss bei der Fesselung von Radsätzen
Neben der Selbstzentrierung durch den Sinuslauf ergibt sich aus der Kinematik
des Radsatzes ein weiterer Vorteil: In Kurven wandert der Radsatz so weit aus der
Mitte, bis die Differenz der Rollradien den Laufwegunterschied zwischen kurven-
äußerer und kurveninnerer Schiene ausgleicht. Eine ungefesselte Achse stellt sich
also radial ein und läuft ohne Spurkranzanläufe im Bogen (siehe Bild 2-11). Durch
die Fesselung im Drehgestell wird dieses Verhalten jedoch zu mindest teilweise
unterbunden. Konventionelle Fahrzeuge fahren daher immer mit einem Anlauf-
winkel durch Kurven, der bei engen Radien sogar zu einem dauerhaften Spur-
kranzanlauf führt. Der größte Anteil des Verschleißes im gesamten Streckennetz
entfällt daher auf die Kurvenfahrt (vgl. [MD95] und [PBG02]). Damit liegt ein
klassischer Zielkonflikt vor: Parameteränderungen, die den Bogenlauf verbessern,
senken die kritische Geschwindigkeit und umgekehrt. Es werden große Anstren-
gungen unternommen, um diesen Zielkonflikt z. B. durch progressive Federn zu
umgehen. Ähnlich wie bei der Fahrzeugfederung haben rein mechanische Lösun-
gen jedoch klare Grenzen. Der aktuelle Stand aktiver Spurführungsansätze wird
in Abschnitt 2.2.5 vorgestellt.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 33
y
R,rel
Bild 2-11: Die durch die Querverschiebung bedingten unterschiedlichen Laufradi-
en einer ungefesselten Achse im Gleisbogen
Eigenschaften von Radpaaren
Obwohl die Nachteile von Radsätzen mit Sinuslauf seit Langem bekannt sind,
gibt es nur wenige Fahrzeuge mit alternativen Achskonzepten5. Ansätze, theore-
tische Untersuchungen und akademische Versuchsträger gibt es jedoch viele (siehe
z. B. [Sei83], [Har95], [FRE99], [GL00], [GK02], [PBG02], [BLM04], [Böc06] oder
[FD06]). Die wichtigste Alternative sind Losradsätze, bei denen sich beide Räder
frei drehen können, sodass kein Sinuslauf auftritt. Sind die Räder zylindrisch und
nicht gestürzt, treten außer den Schlupfkräften keine Querkräfte oder Giermo-
mente auf. Sind die Räder konisch oder gestürzt, ist der freie Radsatz instabil:
Da sich die Räder gegeneinander drehen können, kann sich die Achse frei um ihre
Hochachse drehen und wird über den Konus- oder Sturzwinkel wie eine Schraube
von der Schwerkraft aus dem Gleis gedreht. Die Achse ist jedoch stabil, wenn
die Drehung um die Hochachse durch eine Fesselung am Wagenkasten verhindert
wird. Dann führt die Profilseitenkraft zu einer asymptotischen Rückstellung bei
Querauslenkungen. Es gibt jedoch keinen Mechanismus, der einen Anlaufwinkel
(z. B. aufgrund von Einstell- oder Bautoleranzen) abbaut oder eine Radialstel-
lung in Kurven gleich der von Radsätzen bewirkt. Daher reichen schon kleine
Fehler aus, um den Radsatz anlaufen zu lassen. Ohne weitere Maßnahmen ist
das Losradkonzept also mit einem höheren Verschleiß verbunden. Möglichkeiten,
die Nachteile von Losradsätzen zu überwinden, um die Vorteile (kein Sinuslauf,
geringer Längsschlupf) auszunutzen, werden im nächsten Abschnitt besprochen.
2.2.5 Aktueller Stand der Technik und Forschung
Bei den Versuchen, die Spurführungsdynamik von Schienenfahrzeugen zu verbes-
sern, lassen sich passive und aktive Ansätze unterscheiden (vgl. [GM01], [GK02],
[MG03b] und [GBM06]). Der überwiegende Anteil der Verbesserungen, die prak-
tisch erprobt werden oder sogar im kommerziellen Einsatz sind, beruht auf pas-
siven oder semi-aktiven Ansätzen.
5Der spanische Hochgeschwindigkeitszug Talgo beispielsweise hat Einzelachsen mit konischen
Losrädern.
Seite 34 Kapitel 2
Zwar sind aktiv gelenkte Schienenfahrzeuge Gegenstand fortlaufender Forschun-
gen, jedoch konzentrieren sich diese Arbeiten hauptsächlich auf Drehgestellfahr-
zeuge (z. B. [GBM06]). Die Lenkstrategien beziehen sich vorrangig auf das Folgen
der Gleiskrümmung in Kurven und nicht auf das Ausregeln von lokalen Gleisla-
gefehlern (vgl. [Har95]). Es gibt jedoch auch Ansätze, höherfrequente Anregun-
gen mit einer aktiven Primärfederung (vgl. [HSE02]) oder Lenkeingriffen (z. B.
[WGL06]) auszuregeln. Wie auch in [MG01] verzichten die meisten der vorgestell-
ten Regelungen auf eine direkte Messung des Rad-Schiene-Abstands und verlassen
sich vollständig auf leichter zu erfassende Größen und die Zustandsrekonstruktion
mithilfe von Beobachtern.
Konzepte für Radsatzfahrzeuge
Radsatzfahrzeuge haben den Vorteil, dass sie die vorhandene Infrastruktur ohne
Modifikationen nutzen können und durch den Sinuslauf bis zu einer gewissen Ge-
schwindigkeit inhärent sicher sind. Die meisten Verbesserungen zielen darauf ab,
den Zielkonflikt zwischen Stabilität und freiem Kurvenlauf zu überwinden. Spe-
ziell bei Drehgestellfahrzeugen sind hier drei Ansätze zu unterscheiden: selbstlen-
kende Drehgestelle mit sich gegenseitig steuernden Achsen, kastenseitig gesteuerte
Achsen und aktiv gesteuerte oder geregelte Achsen.
Die einfachste Möglichkeit zur Verbesserung des Kurvenlaufs besteht in der ki-
nematischen Verkopplung der beiden Achsen eines Drehgestells, sodass gegen-
sinniges, nicht aber gleichsinniges Lenken ermöglicht wird. Diese Scheffel- oder
Kreuzanker-Drehgestell genannte Modifikation befindet sich bereits im kommer-
ziellen Einsatz. Durch den zusätzlichen Freiheitsgrad ergibt sich jedoch wieder ein
Problem mit der Laufstabilität. Die erzielbare Verbesserung ist daher gegenüber
dem erhöhten Aufwand nicht wirtschaftlich genug.
Eine signifikante Verbesserung besonders auf kurvenreichen Strecken, wie z. B.
in Süddeutschland oder der Schweiz, kann durch die kastenseitige Steuerung der
Achsen erreicht werden (vgl. [FD06]). Dabei wird die Verdrehung des Drehgestells
gegenüber dem Wagenkasten mechanisch auf die Achsen übertragen. Die Achsen
sind also weiterhin so starr gefesselt wie in einem konventionellen Drehgestell, in
Kurven wird ihnen jedoch eine kraftfreie Radialstellung ermöglicht.
Das größte Problem bei aktiven Spurführungen stellt die Ausfallsicherheit dar
(vgl. [HD07]). Da sowohl freilaufende Aktoren (Instabilität) als auch blockierte
Aktoren (Anlaufwinkel) zu Entgleisungen führen können, gestaltet sich die Ent-
wicklung von Rückfallebenen äußerst kompliziert. Dennoch ist es Bombardier mit
seinem Flexx-Tronic ARS6Drehgestell (das in [SH09] vorgestellt wird) gelungen,
die Zulassung für ein aktives Drehgestell zu bekommen. Das Konzept sieht eine
6Aktive Radialsteuerung mit Stabilisierung
Grundlagen und Stand der Technik Seite 35
komplett redundant ausgelegte Regelung und Steuerung beider Achsen vor (Sen-
sorik, Aktorik und Rechenhardware sind doppelt vorhanden). Die beiden iden-
tischen hochdynamischen hydraulischen Schwenkmotoren verschieben die Achse
über Lenker in Längsrichtung an beiden Seiten und stellen so einen Lenkwinkel
ein. Dabei ist ein Antrieb nur für die Kurvenvorsteuerung zuständig, während der
andere den Sinuslauf dämpft. Für den Fall, dass der vorsteuernde Aktor ausfällt,
kann der andere dessen Funktion übernehmen. Mit diesem System können höhe-
re Geschwindigkeiten bei gleicher oder sogar geringerer Gleisbelastung gefahren
werden.
Es gibt auch Ansätze, den Sinuslauf durch aktive Querkräfte, also eine aktive
Primärfederung zu dämpfen. Damit wird der Nachteil von Radsätzen jedoch nur
unterdrückt und nicht behoben. Solange aus dem Sinuslauf keine Spurkranzan-
läufe resultieren, führt seine Bedämpfung stets zu erhöhtem Schlupf und damit
zu größerem Verschleiß.
Konzepte für Losradfahrzeuge
Der Vorteil von Losradfahrzeugen ist, dass sie das Potenzial haben, verschleißär-
mer zu laufen (vgl. [DSO92]). Obwohl das Radpaar für sich allein instabil ist
und Anlaufwinkel nicht ausgleichen kann, gibt es Konzepte, die einen stabilen
Betrieb von Fahrzeugen mit Losrädern erlauben (vgl. [Fra04]). Eine Möglichkeit,
Anlaufwinkel auszugleichen, besteht darin, zwei Räder hintereinander in einem
Drehgestell zu koppeln. Im Verbund bewirkt die Querzentrierung dann ein Mo-
ment, das das Drehgestell radial einstellt. Ein anderes Konzept, das der kasten-
seitigen Steuerung von Radsätzen ähnelt, wird bei dem kommerziellen Zug Talgo
aus Spanien angewandt. Hier sind die Wagen so aneinander gekoppelt, dass der
führende Wagen die Achse des Folgenden steuert und so in Kurven radial stellt.
Da die Querzentrierung bei Radpaaren ausschließlich über die Gravitationsrück-
stellkraft erfolgt, ist generell eine größere Steigung der Laufflächen erforderlich.
Dafür wurde in [DF06] ein spezielles Radprofil für Losräder entwickelt, das einen
progressiven Steigungsverlauf aufweist. Dadurch bleiben die Querkräfte und der
Bohrschlupf bei Geradeausfahrt klein und in Kurven kann die Querbeschleuni-
gung aufgebaut werden, ohne dass es zu Spurkranzanläufen kommt. Mit dem
neuen Profil kann der Verschleiß signifikant reduziert werden. Die Steigung der
Laufflächen kann jedoch auch über den Sturz (also ohne Bohrschlupf) eingestellt
werden. Dieses Konzept wird in [Sei83] zunächst theoretisch untersucht und dann
mit einem Versuchsfahrzeug auf einer Normalspurstrecke validiert. Das Ergebnis
der Studie ist eindeutig: Gestürzte Losräder haben das Potenzial, Radsätze als
Spurführungskonzept abzulösen. Diese Aussage ist über 20 Jahre alt und es ist
nicht bekannt, ob sie seither bestätigt oder widerlegt wurde.
Neben diesen konstruktiven Ansätzen zur Verbesserung des Laufverhaltens eignen
sich Losradsätze besonders als Basis für vollaktive Spurführungen. Insbesondere
Seite 36 Kapitel 2
mit zylindrischen Laufflächen und ohne Sturz sind sie weder instabil noch selbst-
lenkend (Sinuslauf) und lassen sich somit leicht aktuieren. Für den aktiven Eingriff
gibt es mehrere Möglichkeiten: Lenkmomente und Koppelmomente zwischen den
Drehbewegungen der Räder. Sowohl Lenk- als auch Koppelmoment ermöglichen
einen aktiven Eingriff in den Anlaufwinkel und damit in die Laufrichtung. Ein
Koppelmoment, das die Achse über eine gezielte Drehzahldifferenz lenkt, ist eine
praktische Möglichkeit, angetriebene Achsen zu regeln. Dabei können die bei-
den Räder wie in [Böc06] über getrennte Motoren oder wie in [FRE99] über ein
Differenzialgetriebe mit variablem Moment angetrieben werden. Bei nicht ange-
triebenen Achsen ermöglicht eine variable Kupplung zwischen den Rädern, wie
sie z. B. in [KK91] vorgestellt wird, einen stufenlosen Übergang zwischen dem
Verhalten von Losrädern und dem von Radsätzen.
Bei Fahrzeugen mit höheren Geschwindigkeiten ist der Sicherheitsaspekt stets
das entscheidende Hindernis für aktive Spurführungen. Den Redundanzkonzepten
und Rückfallebenen kommt daher höchste Bedeutung zu. Zwar wird die Sicherheit
auch von aktiven Komponenten, z. B. in der Luftfahrtindustrie, seit Langem be-
herrscht, die nötigen Entwicklungsprozesse sind in der Bahntechnik jedoch noch
nicht etabliert. Auch sind die Erwartungen an die Kosten und die Sicherheits-
standards von Eisenbahnen nicht mit denen anderer Verkehrsmittel vergleichbar.
2.3 Selbstoptimierende Systeme – der SFB 614
Die Vision des Sonderforschungsbereichs 614 „Selbstoptimierende Systeme des
Maschinenbaus“ an der Universität Paderborn ist eine neue Schule des Entwurfs
von intelligenten mechatronischen Systemen. Diese neue Schule beruht auf einem
Instrumentarium, das aus Vorgehensmodellen, Entwurfsmethoden, Werkzeugen
und Praktiken besteht.
Aus der zunehmenden Durchdringung des Maschinenbaus mit Informationstech-
nik, also der Mechatronik, eröffnen sich erhebliche Nutzenpotenziale. Künftige
Systeme des Maschinenbaus werden aus Konfigurationen von Systemelementen
mit einer inhärenten Teilintelligenz bestehen. Das Verhalten des Gesamtsystems
wird durch die Kommunikation und Kooperation der intelligenten Systemelemen-
te geprägt sein. Daraus eröffnen sich faszinierende Möglichkeiten für die Gestal-
tung zukünftiger maschinenbaulicher Erzeugnisse. Der Begriff Selbstoptimierung
charakterisiert diese Perspektive:
Unter Selbstoptimierung eines technischen Systems wird die en-
dogene Änderung der Ziele des Systems auf veränderte Einflüsse
und die daraus resultierende zielkonforme autonome Anpassung
der Parameter und ggf. der Struktur und somit des Verhaltens
dieses Systems verstanden. Damit geht Selbstoptimierung über
Grundlagen und Stand der Technik Seite 37
die bekannten Regel- und Adaptionsstrategien wesentlich hinaus;
Selbstoptimierung ermöglicht handlungsfähige Systeme mit inhä-
renter „Intelligenz“, die in der Lage sind, selbstständig und fle-
xibel auf veränderte Betriebsbedingungen zu reagieren ([SFB08]).
Bei der Entwickelung konventioneller technischer Systeme für mehrere Anwen-
dungssituationen treten Konflikte zwischen den Anforderungen auf, sodass im
Entwicklungsprozess Kompromisse zwischen den Anforderungen gefunden und
ausgewählt werden müssen. Das bedeutet aber, dass das entstandene technische
System sich nur in den seltensten Fällen optimal für die aktuelle Anwendungssi-
tuation verhält. Einen Lösungsansatz zur Aufhebung der Anforderungskonflikte
im Entwurfsprozess stellen intelligente technische Systeme dar (vgl. [GFS+07]).
Intelligent bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Maschine ihre aktuel-
le Anwendungssituation erkennt, die richtige Gewichtung oder Priorisierung der
Anforderungen bestimmt und daraus die erforderlichen Verhaltensanpassungen
ableitet. Systeme, die diese Fähigkeiten besitzen, werden als selbstoptimierend be-
zeichnet. Selbstoptimierende Systeme reagieren autonom und flexibel auf sich än-
dernde Betriebsbedingungen. Eine gute Einführung in die Grundlagen der Selbst-
optimierung wird in [Mün12] gegeben.
2.3.1 Der Selbstoptimierungsprozess
Ein selbstoptimierendes System ist insbesondere dazu in der Lage, seine Ziele
selbstständig festzulegen und sein Verhalten entsprechend anzupassen. Diese An-
passung wird als Prozess definiert, der aus drei Aktionen besteht:
1. Analyse der Ist-Situation: Die betrachtete Ist-Situation umfasst den Zustand
des Systems selbst sowie alle möglichen Beobachtungen über seine Umge-
bung, also das Umfeld des Systems. Dabei können Beobachtungen auch in-
direkt durch Kommunikation mit anderen Systemen gewonnen werden. In
diesem ersten Schritt werden außerdem die externen Ziele ausgeprägt, die
sowohl auf den Benutzer als auch auf technische Systeme im Umfeld zurück-
gehen können. Der Zustand eines Systems beinhaltet aktuelle sowie eventu-
ell gespeicherte zurückliegende Beobachtungen. Ein wesentlicher Aspekt der
Analyse ist die Prüfung des Erfüllungsgrades der verfolgten Ziele. Es wird
festgestellt, ob die aktuell verfolgten Ziele für die gegenwärtige Situation an-
gebracht sind.
Einflüsse können von der Systemumgebung (dem Umfeld oder Benutzer) oder
von anderen technischen Systemen auf das System ausgehen. Dabei werden
Einflüsse, die den Zweck des Systems behindern oder verhindern, als Stör-
größe betrachtet. Diese sind meist nicht geplant, nicht vorhersehbar und un-
Seite 38 Kapitel 2
strukturiert. Vorgaben dagegen kommen geplant und haben einen gezielten
Einfluss auf das System.
2. Bestimmung der Systemziele: In der zweiten Aktion werden als Reaktion auf
veränderte Einflüsse die konkreten (aktuellen) Ziele des Systems durch Aus-
wahl oder Anpassung neu festgelegt (siehe auch Abschnitt 2.3.2). Unter Aus-
wahl wird die Selektion einer Alternative aus einer vorgegeben, diskreten,
endlichen Menge von möglichen Zielen verstanden. Eine Anpassung von Zie-
len beschreibt dagegen die graduelle Veränderung der Ausprägung oder Ge-
wichtung bestehender Ziele.
3. Anpassung des Systemverhaltens: Um die veränderten Ziele zu erreichen,
muss das Systemverhalten angepasst werden. In dieser dritten Aktion wird
also die abschließende Rückwirkung des Selbstoptimierungskreislaufes auf das
System vorgenommen. Die Verhaltensanpassung kann durch Parameter- oder
durch Strukturanpassungen erreicht werden. Unter einer Parameteranpas-
sung wird die Anpassung eines Systemparameters verstanden, z. B. die Än-
derung eines Regelparameters. Strukturanpassungen betreffen die Anordnung
und Beziehungen der Elemente eines Systems. Diese Änderungen erfolgen im
Regelungsgesetz oder auf der nächsttieferen Hierarchieebene des Systems.
Die konkrete Form der Anpassung kann je nachdem, auf welcher Ebene eines
mechatronischen Systems sie stattfindet, sehr unterschiedlich ausfallen.
Ein Selbstoptimierungsprozess findet in einem System genau dann statt, wenn
durch das Zusammenwirken der enthaltenen Elemente die genannten Aktionen
wiederkehrend ausgeführt werden. Der Selbstoptimierungsprozess kann reaktiv
(ausgelöst durch geänderte Betriebsbedingungen) und auch proaktiv (im Sinne
einer regelmäßigen Planung) arbeiten. Die entscheidende Voraussetzung, um von
einem selbstoptimierenden System sprechen zu können, ist die tatsächliche An-
passung der Ziele zur Laufzeit. Damit unterscheidet sich eine selbstoptimierende
Regelung von einer Adaptiven dadurch, dass nicht nur das innere Modell des Reg-
lers angepasst wird, sondern auch die Ziele, auf die hin der Regler optimiert wird
(vgl. [BSK+06]). Dieser zusätzliche Freiheitsgrad selbstoptimierender Systeme ist
in Bild 2-12 durch die äußere Rückführungsschleife dargestellt.
2.3.2 Ziele und Zielsysteme
Allgemein formulieren Ziele die geforderten, gewünschten oder zu vermeidenden
Eigenschaften eines Systems. Die Ziele werden bereits beim Entwurf des Systems
vorausgedacht, ihre gewünschten Ausprägungen allerdings erst zur Laufzeit des
Systems festgelegt. Ziele unterscheiden sich demnach dahin gehend von Anforde-
rungen, dass Anforderungen Systemeigenschaften betreffen, deren Ausprägungen
Grundlagen und Stand der Technik Seite 39
Klassische
Regelung
Adaptionsalgorithmus
Sollwert-
generator
Einflüsse
Strecke
Regler
idealisiertes System
optimales System
Einflüsse aus System
und Umfeld
selbstoptimierendes System
Adaptive
Regelung
Selbstoptimierende
Regelung
inhärente
Ziele
Abbildung
der Ziele
internes
Zielsystem
externe
Ziele
Bild 2-12: Die generelle Struktur einer selbstoptimierenden Regelung [BSK+06]
bereits während der Entwicklung festgelegt werden. Es wird zwischen externen,
inhärenten und internen Zielen unterschieden.
Inhärente Ziele spiegeln den Entwurfszweck des Systems wider. Sie sind Teil der
zu entwickelnden Funktionalität des Systems. Beispiele für inhärente Ziele
sind die Minimierung des Verschleißes oder die Maximierung der Ausfallsi-
cherheit eines Systems.
Externe Ziele beschreiben die von außen an das System herangetragenen Ziele.
Dies kann beispielsweise durch den Benutzer oder andere Systeme aus dem
Umfeld geschehen. Externe Ziele sind beispielsweise bei einem Fahrzeug der
vom Benutzer gewünschte Fahrkomfort oder bei einem Energieversorgungs-
system die von den Verbrauchern gewünschte zur Verfügung stehende Leis-
tung.
Interne Ziele sind diejenigen Ziele, die zu einem konkreten Zeitpunkt vom Sys-
tem verfolgt werden. Interne Ziele können durch Auswahl, Priorisierung, Ge-
wichtung usw. von inhärenten und externen Zielen festgelegt werden. Dies
unterliegt der Kontrolle des Systems.
Als Zielsystem wird ganz allgemein eine Menge von Zielen bezeichnet, die mitein-
ander in Beziehung stehen. Im einfachsten Fall kann dies ein Zielvektor sein, also
eine schlichte Menge von Zielen. Existieren darüber hinaus Ordnungsbeziehun-
gen zwischen den Zielen, beispielsweise durch eine Priorisierung oder durch die
Dekomposition von Zielen in Teilziele, wird von einer Zielhierarchie gesprochen.
Komplexere Zusammenhänge, wie wechselseitige Beziehungen zwischen Zielen,
lassen sich durch Zielgraphen abbilden (vgl. [SFB08]).
Seite 40 Kapitel 2
2.3.3 Makrostruktur
Um die Regelung komplexer mechatronischer Systeme beherrschbar zu ma-
chen, wird die Informationsverarbeitung modular hierarchisch strukturiert (vgl.
[EHL+01]). Die Unterteilung des Systems in einzelne Aggregate orientiert sich
dabei an der (Gebrauchs-)Funktionshierarchie. Bei mechatronischen Systemen
ist das meist die Hierarchie der Bewegungsfunktionen. Dazu werden, ausgehend
von den Anforderungen, die Hauptgebrauchsfunktionen des Systems identifiziert
und diese immer weiter in ihre Teilfunktionen zerlegt. Dies gewährleistet die in
der Mechatronik zentrale Einheit von physikalischen Bauelementen mit den sie
steuernden und regelnden Software-Modulen.
Jedes Informationsverarbeitungs-Modul besitzt die Mikrostruktur des Operator-
Controller-Moduls (OCM, siehe nächster Abschnitt). Jedes Systemelement erhält
also die gleichen Schnittstellen, die die Funktion des Moduls nach außen hin
kapseln7, und damit eine inhärente Teilintelligenz ermöglichen.
Bei der hierarchischen Modularisierung wird zwischen mechatronischen Funkti-
onsmodulen (MFM) und mechatronischen Funktionsgruppen (MFG) unterschie-
den. Sowohl die Module als auch die Gruppen können über eine eigene mecha-
nische Tragstruktur und eigene Sensoren verfügen. Beiden ist in allen Fällen ein
eigenes OCM zugeordnet. Die Unterscheidung ergibt sich dadurch, dass ein MFM
über eigene Aktorik, also eine physikalische Regelstrecke verfügt, während eine
MFG einen übergeordneten Regelkreis mit anderen MFG oder MFM als Strecke
bildet.
Eine Sonderrolle im Bezug auf die Informationsverarbeitung nimmt die obers-
te Hierarchieebene ein, da sie die ohnehin schon komplexen Funktionen aller
(Haupt-)Gruppen koordinieren muss und gleichzeitig für die Kommunikation mit
dem Benutzer zuständig ist. Diese beiden Aufgaben erfordern Algorithmen und
Strukturen, die bei anderen MFG eher selten auftreten. Daher wird die MFG
an der Wurzel des Hierarchiebaums auch Autonomes Mechatronisches System
(AMS) genannt.
Die Reglerstruktur, die sich aus einer derartigen Hierarchisierung und Unter-
teilung in einzelne OCM ergibt, wird nach [LHL01] verallgemeinerte Kaskade
genannt. In [LEH+02] wird dieses Prinzip auf die Strukturierung des RailCabs
angewandt. Wie bei der klassischen Kaskadenregelung werden die Regler von un-
ten nach oben ausgelegt, wobei die Abtastzeit meist nach oben hin abnimmt. Im
7Die Strukturierung weist viele Parallelen zur Objekt-Orientierten Programmierung auf. So
sind z. B. die Kapselung der Funktion und die Trennung von Klasse und Instanz von zentraler
Bedeutung. Beides sind zentrale Eigenschaften eines OCM, das eine logisch abgeschlossene
Einheit mit möglichst kompakten Schnittstellen darstellt.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 41
Gegensatz zur klassischen Kaskade kann eine höhere Ebene in der verallgemei-
nerten Kaskade mehrere Teilregler ansteuern. Die Stellgrößen der höhere Ebene
sind dabei meist die Führungsgrößen der unterlagerten Regler, es handelt sich
also um eine Steuerung. Eine Regelung im klassischen Sinne der Kaskade, bei der
die höhere Ebene eine Messung an unteren Ebenen vornimmt, sollte vermieden
werden. Die Kommunikation zwischen den Modulen erfolgt strikt entlang der
Kanten des Hierarchiebaums. Eine höhere Ebene kann also mehrere Teilregler
ansteuern, aber nicht mehrere höhere Ebenen dieselbe Subebene. Bei der Ausle-
gung unterscheiden sich die unterlagerten Regelkreise von den überlagerten: Bei
den physikalischen Regelstrecken handelt es sich oft um Eingrößensysteme mit
mehr oder weniger stark ausgeprägter Nichtlinearität. Mit jeder Hierarchieebe-
ne nehmen dann die Regelgrößen, Zustände und auch die Ziele zu, dafür kann
jedoch von einem weitestgehend linearen Verhalten der unterlagerten Regelkrei-
se ausgegangen werden. Entsprechend kommen auf unteren Ebenen Techniken
des Frequenzbereichs für Eingrößensysteme zum Einsatz, während auf den hohen
Ebenen vorwiegend Verfahren der Mehrgrößenregelung im Zeitbereich verwendet
werden.
2.3.4 Mikrostruktur – das Operator-Controller-Modul (OCM)
Die Informationsverarbeitung eines mechatronischen (Teil-) Systems bzw. Mo-
duls muss eine Vielzahl von Funktionen erfüllen: Ein quasi-kontinuierlich arbei-
tender Regelungscode regelt die Bewegungen der Strecke, Fehleranalyse-Software
überwacht die Strecke auf auftretende Fehlfunktionen, Adaptionsalgorithmen pas-
sen die Regelung an veränderte Umgebungseinflüsse an, unterschiedliche Systeme
werden vernetzt – um einige der Funktionen zu nennen.
Um die Übersichtlichkeit der Informationsverarbeitung zu gewährleisten, müs-
sen die Aufgaben sinnvoll strukturiert werden. Hierzu wurde das Konzept des
Operator-Controller-Moduls (OCM) eingeführt ([HSN+97]). Bild 2-13 zeigt diese
dreiteilige OCM-Struktur im Überblick, die als Mikrostruktur für die Informati-
onsverarbeitung selbstoptimierender Systeme genutzt wird. Der zentrale Gedanke
bei dieser Strukturierung ist die starke Kapselung der Aufgaben und der zu ihrer
Erfüllung notwendigen Ressourcen und Prozesse.
Die OCM-Struktur orientiert sich an der Art des Durchgriffs auf das technische
System:
Der Controller ist der Regler, der im direkten Wirkungskreis mit der Regelstrecke
steht. Er setzt das konfigurierte Regelgesetz um und hat keine Überwachungs-
oder Entscheidungsfunktion. Seine Aufgabe besteht darin, das dynamische
Verhalten des physikalischen Systems in gewünschter Weise zu beeinflus-
sen. Die Software-Verarbeitung auf dieser Ebene arbeitet quasi-kontinuierlich
Seite 42 Kapitel 2
Handlungsebene Planungsebene
Reflektorischer Operator
Controller
Operator-Controller-Modul (OCM)
Weiche Echtzeit
Harte Echtzeit
Verhaltensbasierte SelbstoptimierungVerhaltensbasierte Selbstoptimierung
Kognitiver Operator
Kognitiver Kreis
Reflektorischer Kreis
Motorischer Kreis
Verhaltensbasierte oder
Modellbasierte Selbstoptimierung
• Ablaufsteuerung
• Überwachung
• Verlässlichkeitskonzept
• Konfigurationssteuerung
• Parameteranpassung
• Steuerung
• Regelung
• Beobachter
Strecke
Zustandsautomat
PID
Ereignisgesteuert
Fuzzyregeln
Überblendung
...
Gain-Scheduling
Zustandsregler
...
Bild 2-13: Die dreiteilige OCM-Struktur
d. h., Messwerte werden kontinuierlich eingelesen, verarbeitet und in direk-
ter Wirkkette unter harten Echtzeitbedingungen wieder ausgegeben. Dabei
kann der Controller mehrere Regler enthalten, zwischen denen umgeschaltet
werden kann.
Der reflektorische Operator steuert das Verhalten, die Struktur und die Parame-
ter des Controllers und überwacht das Systemverhalten. Ein Großteil an Hilfs-
funktionen für die Automatisierung wie Ablaufsteuerung, Überwachungs- und
Notfallprozesse, aber auch Adaptionsroutinen zur Verbesserung des Control-
lerverhaltens sind hier angesiedelt. Der reflektorische Operator greift dabei
nicht direkt auf die Aktorik des Systems zu, sondern modifiziert den Con-
troller durch Parameter- oder Strukturanpassungen.
Die Konfigurationssteuerung definiert, bei welchem Systemzustand welche
Konfiguration gültig ist und wie und unter welchen Bedingungen (Reihen-
folge, Restriktionen, zeitlicher Ablauf) zwischen den Konfigurationen um-
Grundlagen und Stand der Technik Seite 43
geschaltet wird. Weiterhin koordiniert der reflektorische Operator die ver-
schiedenen Betriebszustände und Betriebsmodi. Jedes Modul hat mindestens
vier Betriebszustände: „Aus“ (nicht betriebsbereit), „An“ (betriebsbereit),
„Manuell“ (für den Testbetrieb) und „Fehler“ (gravierende Fehler, die ei-
ner Bedienerintervention bedürfen). In den unterschiedlichen Zuständen sind
verschiedene Modi möglich, z. B. entsprechend der Fehlerursache oder dem
gewünschten Testszenario.
Die Implementierung des reflektorischen Operators arbeitet überwiegend er-
eignisorientiert. Die enge Verknüpfung mit dem Controller und die sicher-
heitskritischen Funktionen erfordern eine Abarbeitung in harter Echtzeit. Der
reflektorische Operator ist weiterhin das Verbindungselement zur kognitiven
Ebene des OCM und vermittelt zwischen den nicht echtzeitfähigen bzw. mit
weicher Echtzeit arbeitenden Elementen und dem Controller. Er nimmt Er-
gebnisse des kognitiven Operators entgegen, filtert diese und bringt sie in die
unterlagerten Ebenen ein. Im Gegenzug werden Messwerte vom Controller
zwischengespeichert und an den kognitiven Operator übergeben.
Der kognitive Operator bildet die oberste Ebene des OCM. Auf dieser Ebene kann
das System durch Anwendung vielfältiger Methoden Wissen über sich und die
Umgebung zur Verbesserung des eigenen Verhaltens nutzen. Der Schwerpunkt
liegt hier auf den kognitiven Fähigkeiten zur Selbstoptimierung des Moduls.
Der kognitive Operator kann in weicher Echtzeit arbeiten.
Zusammenfassend lassen sich zwei Trennungsebenen erkennen: Zum einen glie-
dert sich die Informationsverarbeitung in einen direkt auf das System wirkenden
und in einen nur indirekt darauf wirkenden Kreis. Diese Einteilung entspricht der
Einteilung in Operator und Controller. Zum anderen lässt sich die Informations-
verarbeitung nach harter und weicher Echtzeitanforderung trennen. Diese Ein-
teilung führt zu einer Trennung zwischen kognitivem Operator einerseits und re-
flektorischem Operator und Controller andererseits. Diese beiden Trennungsebe-
nen der OCM-Architektur ermöglichen die benötigten Vorhersagen über kritische
Verhaltensaspekte (Stabilität, Zeitinkonsistenzen, Verklemmungen), wodurch ein
sicherer Betrieb des Systems gewährleistet werden kann.
Die drei Aktionen der Selbstoptimierung – Ist-Analyse, Zielbestimmung und Ver-
haltensanpassung – können mithilfe der OCM-Architektur auf vielfältige Art und
Weise durchgeführt werden. Muss die selbstoptimierende Anpassung Echtzeitan-
forderungen genügen, werden in einem individuell selbstoptimierenden System
alle drei Aktionen im reflektorischen Operator durchgeführt. Systeme, die die
Selbstoptimierung nicht in Echtzeit durchführen müssen, können aufwendigere
Verfahren einsetzen, die im kognitiven Operator angesiedelt werden. Die Verhal-
tensanpassung erfolgt in diesem Fall indirekt unter Vermittlung durch den reflek-
torischen Operator, der die Anweisungen zur Verhaltensanpassung auf geeignete
Seite 44 Kapitel 2
Weise mit dem Echtzeitablauf des Controllers synchronisiert. Die Informations-
verarbeitung eines OCM kann auf einer eigenen Rechenhardware ablaufen, sie
kann sich jedoch auch gemeinsam mit anderen OCM eine Recheneinheit teilen
oder sogar je nach Bedarf auf unterschiedlichen Rechenknoten ausgeführt werden.
Im SFB 614 werden die Sicherheitsfunktionen als Teil eines vierstufigen Verläss-
lichkeitskonzeptes betrachtet ([SGH+09]). Dabei wird der Systemzustand ständig
überwacht und bewertet. Anhand der vier Verlässlichkeitsbereiche, in denen sich
das System befinden kann, wird entschieden, ob und welche Maßnahmen zur
Steigerung und Wahrung der Sicherheit zu treffen sind. Auch können die Aspekte
Verfügbarkeit und Zuverlässigkeit berücksichtigt werden, wenn es die Situation
zulässt.
2.4 Modellbasierte Selbstoptimierung
Schon im Begriff „Selbstoptimierung“ kommt zum Ausdruck, dass die Optimie-
rung eine wesentliche Rolle beim Entwurf und im Betrieb selbstoptimierender
Systeme spielt. Die eingesetzten Verfahren hängen dabei von der Art des Einsat-
zes ab: ob geregelt, gesteuert oder geplant wird. Für die Regelung, die hier von
Interesse ist, kommen hauptsächlich Verfahren der mathematischen Optimierung
auf Basis von physikalischen Modellen zum Einsatz. Diese modellbasierten Me-
thoden werden von den verhaltensorientierten Methoden unterschieden, die auf
Blackbox-Modellen basieren und zu denen auf [ADG+08] verwiesen sei. Weiter-
hin wird zwischen diskreten und kontinuierlichen Optimierungsproblemen und
-Verfahren unterschieden. Dabei sind mit diskreten Problemen vor allem solche
mit diskreten Entscheidungsoptionen und groben Schrittweiten gemeint, wie sie
hauptsächlich bei langfristigen Planungen eingesetzt werden. Die hier eingesetzten
kontinuierlichen Methoden können durchaus auch auf diskretisierten Problemen
beruhen (meist nur zeitlich, manchmal aber auch im Zustandsraum). Entschei-
dend aus der Sicht der Regelungstechnik ist der Charakter des Eingriffs in das Sys-
tem. Das Ziel aller Selbstoptimierungsverfahren ist es, den Eingriff so festzulegen,
dass die Systemziele möglichst gut erreicht werden. Allgemeine Optimierungsver-
fahren, sowohl für statische Probleme als auch für optimale Kontroll-Probleme,
sind seit langem Gegenstand der Forschung. Auf die Grundlagen und konkreten
Implementierungstechniken soll daher hier nicht näher eingegangen werden, statt-
dessen sei auf [JS03], [Sch01] und [BV04] für statische Probleme bzw. [CB99] und
[BH75] für optimale Kontrolle und Regelung verwiesen.
Optimierung im engeren Sinne, also die explizite Anwendung eines Optimierungs-
algorithmus, kann im Selbstoptimierungsprozess in der zweiten Aktion (Bestim-
mung geeigneter Ziele), in der dritten (Systemanpassung) oder in beiden statt-
finden. Letzteres ist der Fall bei den im Rahmen dieser Arbeit vorgestellten Ver-
fahren. Beide Verfahren basieren auf einer Mehrzieloptimierung, bei der zunächst
Grundlagen und Stand der Technik Seite 45
die optimale Gewichtung der Ziele bestimmt wird. Mit dieser wird dann eine
optimale Vorsteuerung bzw. ein optimaler linearer Regler berechnet.
Für die Optimierung werden Algorithmen gewählt, die in jedem Iterationsschritt
ein gültiges und garantiert nicht schlechteres Regelgesetz als Zwischenlösung ha-
ben. Diese Algorithmen, die im Allgemeinen eine nicht vorhersehbare Laufzeit
haben, können also jederzeit unterbrochen werden und sind somit bedingt echt-
zeitfähig. Die Optimierung zur Anpassung des Reglers wird mit einem festen Takt
gestartet. Die Iterationsschritte werden jedoch in einem Task mit niedriger Prio-
rität ausgeführt. Wenn nötig wird alle verfügbare Rechenzeit genutzt, ohne dabei
wichtigere Funktionen zu blockieren.
2.4.1 Modellprädiktive Regelung
Die Theorie der Modellprädiktiven Regelung (MPC) ist ein sehr aktives For-
schungsgebiet (eine gute Einführung geben z. B. [Mor94] oder [CB04]). Modell-
prädiktive Regler sind optimale Regler, die viele Eigenschaften anderer Konzep-
te in sich vereinen ([GPM89] gibt eine Zusammenfassung der unterschiedlichen
Ansätze zur MPC). Zu den wichtigsten Eigenschaften zählen: die Möglichkeit,
auch nichtlineare Systeme und Zielfunktionen zu verwenden, die Möglichkeit,
Zustands- und Stellgrößenbeschränkungen zu berücksichtigen, die Möglichkeit,
robuste Regler auszulegen und die Möglichkeit, das Regelverhalten auf vielfälti-
ge Weise zur Laufzeit anzupassen. Diese Flexibilität wird dadurch erreicht, dass
das Regelgesetz als Lösung eines Optimierungsproblems zur Laufzeit periodisch
neu berechnet wird. Die Optimierung wählt das Regelungsgesetz so, dass es die
Zielfunktion minimiert und zwar über einen Zeitabschnitt in der Zukunft (Hori-
zont), der mithilfe des Systemmodells und unter Berücksichtigung des aktuellen
Zustands simuliert wird. Bild 2-14 zeigt den Optimierungshorizont, der immer in
der unmittelbaren Zukunft liegt und so vor der aktuellen Zeit her gleitet (engl.
receding horizon). Dabei ist die Zeit zwischen zwei Optimierungen sehr viel kür-
zer als der Optimierungshorizont. Entsprechend wird nur der erste kurze Teil
der Stellwerte zur Regelung verwendet, bis die nächste Optimierung aktuellere
Werte liefert. Diese Überlappung ist notwendig, um die Stabilität der MPC zu
garantieren. Eine hinreichende Bedingung für die Stabilität einer MPC lässt sich
nicht allgemeingültig formulieren. Oft sind jedoch eine besondere Gewichtung und
ggf. eine Beschränkung des Zustands am Ende des Horizonts ausreichend (vgl.
[MRR+00]).
Bei der Form, die das Regelungsgesetz hat, lassen sich prinzipiell drei Varianten
unterscheiden:
1) In der klassischen MPC wird eine (zeitdiskrete) Folge von Stellwerten be-
rechnet, von denen typischerweise nur der erste einer jeden Trajektorie zur
Seite 46 Kapitel 2
Vergangenheit Zukunft
Optimierungshorizont
(Prädiktionshorizont)
Zeit
nur dieser Teil der
neuen Stellwerte wird
implementiert werden
umgesetzte
Trajektorie
alte geplante Trajektorie
implementierte Stellwerte
verworfene Stellwerte
optimale Stellwerte
optimierte Trajektorie
Bild 2-14: Das Prinzip der Modellprädiktiven Regelung
Regelung verwendet wird. Da bei dieser Methode die Rückführung der Mess-
größen stets über die Optimierung führt, ist die Periodendauer der Optimie-
rung auch gleich der Abtastzeit der Regelung. Sie muss daher entsprechend
der Systemdynamik schnell genug gewählt werden.
2) Eine Weiterentwicklung der ersten Methode sieht die Stabilisierung des Sys-
tems durch ein statisches Rückführungsgesetz vor (vgl. [GKM06]). Die Op-
timierung bestimmt dann zusätzliche Stellwertanteile, die die Optimalität
herstellen und evtl. vor der Verletzung von Beschränkungen schützen. Diese
Online-Optimierung könnte damit auch langsamer sein, als es zur Stabilisie-
rung notwendig wäre. Mit sinkender Optimierungsrate gehen jedoch auch die
Vorteile verloren, insbesondere, wenn unbekannte Störungen auf das System
wirken.
3) Die dritte Variante, die z. B. in [LXZ09] vorgeschlagen wird, sieht die gleich-
zeitige Optimierung von Stellgrößentrajektorien und linearen Rückführungen
vor. Liegen stochastische oder beschränkte Störungen vor (siehe auch [Bat04]
oder [BSW02]), so kann mit dieser Methode ein verbessertes Regelverhalten
bei evtl. längeren Optimierungsintervallen erzielt werden. Die Anpassung des
Rückführungsgesetzes erhöht jedoch die Anzahl der Optimierungsvariablen
erheblich und führt somit zu einem höheren Rechenaufwand.
Allen Varianten gemeinsam ist der hohe Rechenaufwand, der sich aus der Online-
Optimierung ergibt, und der für die große Flexibilität der Modellprädiktiven Re-
gelung in Kauf genommen werden muss. Daher ist das klassische Einsatzgebiet der
MPC eher im Bereich der Prozessregelung, da hier mit größeren Abtastintervallen
gearbeitet werden kann. Für mechanische Systeme mit schneller Dynamik ist die
MPC erst in letzter Zeit durch die steigende Rechenleistung interessant geworden
(vgl. [RSF+01]). Dabei sind viele Ansätze entstanden, die mit unterschiedlichen
Mitteln versuchen, die Rechenlast zu reduzieren. Diese basieren zumeist auf dem
Grundlagen und Stand der Technik Seite 47
in dieser Arbeit gewählten Ansatz, die prädiktive Planung mit einem unterla-
gerten Regelkreis zu kombinieren (vgl. [MW08]) oder sie setzen eine bestimmte
Struktur der Systemdynamik, der Zielfunktion und der Nebenbedingungen voraus
(z. B. in [Gra12]).
Andere Methoden basieren auf der Offline-Optimierung von Kennfeldern, die
dann zur Laufzeit nur noch durchsucht werden müssen. Dabei geht jedoch die
Flexibilität von Online-Optimierungen verloren, die es ermöglichen, die Zielfunk-
tionen zur Laufzeit anzupassen (siehe z. B. [PAB+04], [KJM12]). Da allgemeine
Optimierungsalgorithmen schon seit langer Zeit perfektioniert werden, ist eine
effiziente und gleichzeitig in allen Aspekten flexible Lösung auch in Zukunft nicht
zu erwarten.
Die Forschung konzentriert sich daher vermehrt auf die implizite Berücksichtigung
von Störungen und die Robustheit gegenüber Unsicherheiten (vgl. [BM99] oder
[PB06]). Besonders im Bereich der echtzeitfähigen Regelung von Systemen mit
schneller Dynamik wurden einige Fortschritte erreicht. Die vorgestellten Metho-
den unterscheiden sich jedoch grundlegend von der Selbstoptimierung in sofern,
als dass die „Anpassung“ an eine störende Umwelt fest im Optimierungsalgorith-
mus eingebaut ist und nicht in Form von veränderten Zielen von außen vorgege-
ben werden kann. In einigen Arbeiten, wie z. B. in [MHJ+02] oder [BP09], wird
zwar vorgeschlagen, die Zielfunktion der Optimierung zur Laufzeit anzupassen,
es werden jedoch keine konkreten Vorschläge gemacht, nach welchen Kriterien die
Anpassung stattfinden soll. Es gibt zwar einige interessante Ansätze, die Mehr-
zahl der Arbeiten behandelt jedoch die theoretischen Grundlagen, die mit Simu-
lationsergebnissen von zumeist akademischen Beispielen verifiziert werden. Von
Selbstoptimierung mit Praxisbezug wird in den Arbeiten aus dem SFB berichtet,
z. B. in [HOG04], [TMV06], [MT06], [HMS04], [OHK+02], [OMH+08], [KRB+06]
oder [SFB04].
2.4.2 Selbstoptimierung und Mehrzieloptimierung
Für die Selbstoptimierung spielt die gleichzeitige Betrachtung mehrerer Zielfunk-
tionen eine wesentliche Rolle. Insbesondere für den Ingenieur ist die klassische,
skalare Optimierung unzureichend, da aus den Anforderungen an ein technisches
Produkt stets mehrere Ziele resultieren. Das Konzept der Mehrzieloptimierung
wird diesem Umstand gerecht. Dazu werden alle Anforderungen so detailliert wie
möglich und nötig in Form von sinnvoll formulierten, physikalisch oder ökono-
misch interpretierbaren Zielfunktionen beschrieben. Dabei gibt es grundsätzlich
zwei Arten von Anforderungen:
1) Kriterien, deren Wert von vornherein festgelegt oder festen Grenzen unter-
worfen ist (bspw. Stellwertbegrenzungen).
Seite 48 Kapitel 2
2) Kriterien, deren Wert möglichst klein sein soll. Bei mehreren zu minimieren-
den Kriterien ist weiterhin oft eine bestimme Priorisierung (vgl. [Ng08]) oder
ein gewünschtes Verhältnis zwischen den Werten bekannt.
Die Mehrzieloptimierung als Mittel zur Selbstoptimierung ist sehr transparent.
Einerseits wird der Entwickler dadurch angehalten, alle Anforderungen exakt
als mathematische Optimierungsziele zu definieren. Andererseits versetzt ihn die
Formulierung der Ziele in Form von mathematischen Funktionen in die Lage, das
gewünschte Systemverhalten präzise zu beeinflussen. In Kombination mit dem
modellbasierten Ansatz zur Selbstoptimierung haben auch die Einflussparame-
ter (Optimierungsvariablen) einen interpretierbaren Sachbezug. Insbesondere in
der Entwicklungsphase ist diese Zugänglichkeit der Optimierungsergebnisse sehr
hilfreich, z. B. bei der Fehlersuche, der Validierung oder dem Funktions- und Si-
cherheitsnachweis bis hin zur Zulassung. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass es
Methoden gibt, diesen Ansatz in einem effektiven Selbstoptimierungsverfahren
umzusetzen.
2.4.3 Grundlagen der Mehrzieloptimierung
Die Lösung eines Mehrzieloptimierungsproblems ist typischerweise nicht mehr
ein eindeutiges Optimum, sondern eine Menge optimaler Kompromisse – die so-
genannte Pareto-Menge. Mathematisch formuliert stellt sich ein Mehrzieloptimie-
rungsproblem wie folgt:
min
xJ(x)
J(x)=(J1(x), . . . , Jk(x))
J1, . . . , Jk:Rnopt →R
(2-10)
wobei Jals der Vektor der Zielfunktionen definiert ist und xder Vektor der
Optimierungsvariablen.
Da somit eine vektorwertige Funktion minimiert wird, muss die Bedeutung von
‘min’ genauer erläutert werden. Dazu wird die folgende Partialordnung ≤pauf Rk
definiert: Seien u,v∈Rk. Dann ist der Vektor ukleiner als v(also u≤pv), falls
ui≤vifür alle i∈ {1,··· , k}. Nun können die Lösungen von Gleichung (2-10)
definiert werden: Ein Punkt x?∈Rnheißt global pareto-optimal (oder ein globaler
Pareto-Punkt von (2-10)), falls kein xexistiert mit J(x)≤pJ(x?)und Jj(x)<
Jj(x?)für mindestens ein j∈ {1, . . . , k}(vgl. [Hil01]). Die Menge aller globalen
Pareto-Punkte heißt Pareto-Menge, die Menge der optimalen Zielfunktionswerte
heißt Pareto-Front. Die Punkte der Pareto-Front werden ambivalent ebenfalls
Pareto-Punkte genannt.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 49
Ein zentrales Ergebnis der Mehrzieloptimierung ist die Karush-Kuhn-Tucker-Be-
dingung (KKT). Sie ist eine notwendige und für konvexe Probleme auch eine
hinreichende Bedingung für Pareto-Optimalität, hier dargestellt für Mehrzielop-
timierungsprobleme ohne Nebenbedingungen (vgl. [Mie04]):
k
X
i=1
αi·∇Ji(x?) = 0
αi≥0
k
X
i=1
αi= 1
(2-11)
Damit kann gezeigt werden, dass sich die Pareto-Menge konvexer Probleme (mit
konvexen Zielfunktionen) als gewichtete Summe darstellen lässt:
J(x0) = J?
x0= arg min
x
k
X
i=1
αi·Ji(x0)
αi≥0
k
X
i=1
αi= 1
(2-12)
Aus dem Vektor der Gewichte αlässt sich ein Kompromiss-Verhältnis (engl.
trade-off rate) berechnen:
∂J?
i
∂J?
j
=−αj
αi(2-13)
Das Kompromiss-Verhältnis ist der lokale Gradient der Pareto-Front. Es gibt an,
wie sich leichte Änderungen einer Zielfunktion auf die Werte der anderen aus-
wirken. Wie in Bild 2-15 dargestellt, kennzeichnet eine sehr flache oder steile
Steigung der Pareto-Front (eine geeignete Skalierung der Zielfunktionswerte vor-
ausgesetzt) Bereiche, in denen sich eine Zielfunktion sehr stark verbessern lässt,
während die andere Zielfunktion ihren Funktionswert fast nicht verändert. Die-
se Bereiche sollten also bei der Auswahl gemieden werden, da sie ein schlechtes
„Kosten-Nutzen-Verhältnis“ aufweisen.
2.4.4 Mehrzieloptimierung, aktueller Stand der Forschung
Bei der praktischen Mehrzieloptimierung ergibt sich stets das Problem, dass die
Lösung eine Menge optimaler Kompromisse ist und kein konkretes eindeutiges
Ergebnis. Für die praktische Lösung von Mehrzieloptimierungsproblemen, also die
Bestimmung eines bestimmten Punktes mit wünschenswerten Eigenschaften, gibt
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50
Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
kleine Änderungen der einen Zielfunktion
haben einen großen Einfluss auf die andere
und umgekehrt
Bild 2-15: Bereiche mit großem Kompromiss-Verhältnis an einer zweidimensio-
nalen Pareto-Front
es viele verschiedene Ansätze. Sie lassen sich grob in drei Kategorien einordnen
(vgl. [CP07]):
•Interaktive Methoden
•Approximation der gesamten Pareto-Front
•Automatische Methoden
Bei den ersten beiden Methoden handelt es sich um Offline-Methoden, bei de-
nen das Mehrzieloptimierungsproblem bereits zur Entwicklungszeit teilweise oder
ganz gelöst wird, um mithilfe von Expertenwissen einen geeigneten Pareto-Punkt
auszuwählen. Bei der Selbstoptimierung muss die Wahl eines geeigneten Punktes
zur Laufzeit (also online) von einem autonomen Algorithmus getroffen werden.
Eine Interaktion mit einem Experten kann nicht stattfinden. Das Expertenwis-
sen muss komplett mathematisch bzw. algorithmisch formuliert werden. Aufgrund
der besonderen Bedeutung dieser Kategorie der automatischen Mehrzieloptimie-
rungsmethoden für die Selbstoptimierung wird sie in Abschnitt 2.4.5 eingehender
betrachtet.
Interaktive Methoden
Die bisher am meisten erforschte Kategorie ist die der interaktiven oder auch
manuellen Methoden ([MRW08] gibt einen umfassenden Überblick über die wich-
tigsten Methoden). Dabei werden „Kandidaten-Punkte“ im Wechselspiel mit ei-
nem Experten berechnet. Der Experte bewertet eine kleine Menge von Punkten.
Unter Berücksichtigung dieser Bewertung wird algorithmisch eine neue Menge
Grundlagen und Stand der Technik Seite 51
vorgeschlagen, bis keine Verbesserung mehr erzielt werden kann. Generell kann
zwischen Methoden unterschieden werden, die keine a priori Information benöti-
gen, und solchen, die bestimmte Formen von Wissen über die gewünschte Lösung
berücksichtigen.
•Wenn Wunschwerte für die Zielfunktionen bekannt sind, können z. B. soge-
nannte Referenzpunkt-Methoden oder das bekannte Goal-Programming (vgl.
[Wie80] und [CGG+98]) angewandt werden.
•Oft sind auch nur Grenzwerte gefordert, die einige oder alle Zielfunktionen
nicht überschreiten sollen. Dies führt zu sogenannten ε-Constraint-Methoden.
•Sind bestimmte Kompromiss-Verhältnisse gefordert, so führt dies auf eine
gewichtete Summe (vgl. den vorigen Abschnitt 2.4.3).
•Es gibt auch Methoden, die eine Ordnung oder Priorisierung der Ziele be-
rücksichtigen können (vgl. [Toi84]).
Oft sind diese a-priori-Methoden interaktiv und erlauben die gezielte Variation
der Präferenzen, da im Voraus meist nicht bekannt ist, welche Zielfunktionswerte
realisierbar sind und welche Kompromisse eingegangen werden müssen.
Approximation der Pareto-Front
Eine besondere Stellung nehmen Methoden ein, die auf der Approximation der
gesamten Pareto-Front basieren. Ist die Gestalt der gesamten Pareto-Front be-
kannt, kann eine konkrete Lösung direkt ausgewählt werden. Dieser Prozess wird
als Decision Making bezeichnet und wird vor allem im Bereich des Operations-
Management schon seit Längerem erforscht. Im Unterschied zu den beiden zu-
vor genannten Methoden kann hier die Auswahl sowohl von einem Experten, als
auch algorithmisch getroffen werden. Wird ein Punkt automatisch bestimmt, so
erlaubt die Kenntnis der gesamten Pareto-Front ein ganz anderes Vorgehen, als
wenn nur die gewünschten Eigenschaften des Punktes formuliert werden können,
ohne die Alternativen zu kennen. Der Nachteil dieser Methode zur automatischen
Mehrzieloptimierung liegt in dem hohen Rechenaufwand, der zur Approximation
der Pareto-Front erforderlich ist. Ist die Gestalt der Pareto-Front von Parametern
oder Störungen abhängig, die sich zur Laufzeit ändern können, so lässt sich die
Pareto-Front meist nicht mehr im Voraus berechnen. Je nachdem, wie schnell sich
die Einflussfaktoren ändern, ist eine Online-Berechnung auch in weicher Echtzeit
nicht durchführbar.
Eine mögliche Vorgehensweise zur Approximation der Pareto-Front ist es, durch
geeignete Variation der Gewichtung in Gleichung (2-12) eine gute Überdeckung
zu erzielen (vgl. [ELS+08]). Hierbei stellt sich allerdings das Problem, dass ei-
ne gleichmäßige Schrittweite in den Gewichten nicht notwendigerweise zu einer
Seite 52 Kapitel 2
äquidistanten Aufteilung der Pareto-Punkte führt. Besser eignen sich mengen-
orientierte Methoden, wie sie z. B. im Softwarepaket GAIO (Global Analysis of
Invariant Objects) implementiert sind, das an der Universität Paderborn ent-
wickelt wird ([Del06]). Diese Algorithmen können in zwei wesentliche Klassen
aufgeteilt werden: die Unterteilungstechniken und die Recoveringtechniken. Die
Unterteilungstechniken sind globaler Natur und eignen sich u. a. auch für Mehr-
zieloptimierungsprobleme, bei denen keine Ableitungen zur Verfügung stehen,
sind aber auf moderate Dimensionen beschränkt. Die Recoveringtechniken sind
hingegen lokaler Natur, lassen sich aber (vor allem bei glatten, d.h. hinreichend
oft differenzierbaren Problemen) bei höheren Dimensionen sowohl im Urbildraum
(nopt ≈1000 und höher) als auch im Bildraum (typischerweise 2≤k≤5) anwen-
den. Mengenorientierte Methoden liefern eine feine Überdeckung der (globalen)
Pareto-Front in vergleichsweise kurzer Rechenzeit.
2.4.5 Automatische Mehrzieloptimierung durch Skalarisierung
Nach der Formulierung der einzelnen Ziele muss für die automatische Mehrzielop-
timierung eine eindeutige Regel zur Bestimmung eines konkreten Pareto-Punktes
definiert werden. Hierbei helfen die aus den Anforderungen bekannten Grenz-
werte, Prioritäten und Wunschverhältnisse. Die Auswahlregel muss so formuliert
werden, dass das Mehrzieloptimierungsproblem auf ein Einzielproblem reduziert
wird, da nur ein solches zu einer eindeutigen Lösung führen kann. Diese Umwand-
lung in ein Einzielproblem wird meist als Skalarisierung bezeichnet. Die Funktion,
die die unterschiedlichen Ziele zu einem Ziel zusammenfasst, wird verschiedentlich
als Skalarisierungs-, Synthese-, Wert- oder Utility-Funktion bezeichnet.
Die in dieser Arbeit angewandte Methodik zum Entwurf eines selbstoptimieren-
den Reglers besteht darin, die Reglerauslegung als Mehrzieloptimierungsproblem
(J(x)) zu formulieren, und den Zielkonflikt online durch die Minimierung einer
Skalarisierungsfunktion szu lösen, um so zu einem eindeutigen Regelgesetz xzu
gelangen8:
min
xs(J(x)) (2-14)
8Wenn letzten Endes doch wieder ein Einzielproblem gelöst wird, so stellt sich die Frage, ob
es sich dann überhaupt um eine Mehrzieloptimierung handelt. Aus Sicht des Ingenieurs muss
diese Frage im Kontext der Methodik beantwortet werden: Die Formulierung getrennter Ziele
und die evtl. viel später stattfindende Skalarisierung ermöglichen die Anwendung von Me-
thoden und Erkenntnissen der Mehrzieloptimierung. So können z. B. in der Entwurfsphase
Entscheidungen anhand einer Approximation der Pareto-Front getroffen werden. Das be-
schriebene Vorgehen ist also eine Mehrziel-Methodik, auch wenn es sich im mathematischen
Sinne nicht mehr um eine Mehrzieloptimierung handelt.
Grundlagen und Stand der Technik Seite 53
Diese Optimierung wird zyklisch wiederholt. Durch die Berücksichtigung von Stö-
rungen (Umwelteinflüsse) und Parametern in der Skalarisierungsfunktion (Benut-
zeranforderungen) wird so implizit in jedem Anpassungszyklus ein neuer Pareto-
Punkt ausgewählt, der nach den Maßgaben der Skalarisierungsfunktion optimal
zu der jeweiligen Situation passt.
Formulierung der Skalarisierungsfunktion
Der Formulierung der Skalarisierungsfunktion kommt eine besondere Bedeutung
zu, da in ihr das gesamte Expertenwissen in einer mathematischen Formulierung
kondensiert werden muss, das bei den Offline-Methoden zur Auswahl des Pare-
to-Punktes nötig ist. Die Skalarisierungsfunktion vereint alle Zielfunktionen zu
einem reellwertigen Skalar, sodass das Problem auf eine Einzieloptimierung redu-
ziert wird. Neben den Zielfunktionen kann die Skalarisierungsfunktion auch von
weiteren Parametern abhängen, mit denen die Eigenschaften des resultierenden
Pareto-Punktes beeinflusst werden können.
Die Konturlinien von s(·)heißen Indifferenzkurven oder Konturlinien. Entlang
einer Indifferenzkurve werden alle Jals gleichwertig betrachtet. Wenn s(JA)<
s(JB)ist, wird JAbesser bewertet bzw. bei der Auswahl bevorzugt. Damit das
Minimum der Skalarisierungsfunktion auch pareto-optimal ist, muss sie mono-
ton steigend sein. Dies ist gegeben, wenn kein Punkt einer Indifferenzkurve im
negativen Orthanten um einen beliebigen anderen Punkt derselben Indifferenz-
kurve liegt. Weiterhin sollte s(·)konvex sein, damit immer eine eindeutige Lösung
existiert. Bei der Minimierung der Skalarisierungsfunktion wird derjenige Pareto-
Punkt gewählt, in dem die Indifferenzkurven mit dem kleinsten Wert die gegebene
Pareto-Front gerade noch berührt. Dies ist anschaulich in Bild 2-16 dargestellt,
das die Konturlinien einer beispielhaften Skalarisierungsfunktion und drei un-
terschiedliche Pareto-Fronten zeigt. Die unterschiedlichen Pareto-Fronten können
bei einer selbstoptimierenden Regelung z. B. daher rühren, dass das System durch
eine Störung mit variierender Amplitude angeregt wird. In der Praxis treten da-
her meist sogar von mehreren Parametern abhängige Pareto-Front-Scharen auf,
deren Form im Voraus nur schlecht oder gar nicht bestimmt werden kann.
Aus der Vielzahl von Möglichkeiten, die Skalarisierungsfunktion zu konstruieren,
sollen hier einige anschauliche Beispiele vorgestellt werden, um einen Eindruck
davon zu vermitteln, wie das Expertenwissen mathematisch formuliert werden
kann.
Eine vielseitige und verbreitete Klasse von Funktionen hat die Minimierung des
Abstands zu einem utopischen Wunschpunkt Jref zum Ziel (auch „Goal-Program-
ming“ genannt). Die Forderung, dass der Wunschpunkt nicht in der Bildmenge
der vektorwertigen Zielfunktion enthalten sein darf, garantiert, dass die Minimie-
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8
JB
JA
Konturlinien der
Skalarisierungsfunktion
Pareto−Front 1
Pareto−Front 2
Pareto−Front 3
gewählter Pareto−Punkt
Bild 2-16: Die Konturlinien einer Skalarisierungsfunktion und drei Pareto-Fron-
ten mit den jeweils ausgewählten Pareto-Punkten
rung der Skalarisierungsfunktion zu einem Pareto-Punkt führt9. Als utopischer
Punkt wird häufig der Ursprung des Bildraums gewählt. Der Abstand zwischen
dem Wunschpunkt und dem Pareto-Punkt kann durch jede beliebige Vektornorm
definiert werden. Dabei sind die 1-, 2- und die ∞-Norm die Bekanntesten. Um
die Eigenschaften des Pareto-Punktes genauer zu beeinflussen, werden oft auch
gewichtete Normen mit den Gewichtungen βiverwendet:
sp(J(x)) = k
X
i=1
βi·|Ji−Ji,ref |p!
1
p(2-15)
In Bild 2-17 ist der Einfluss der gewählten Norm auf die Lage des resultierenden
Pareto-Punktes dargestellt. Die Eigenschaften der drei Metriken können folgen-
dermaßen charakterisiert werden:
1-Norm Die Gewichte βidefinieren die Normale der Tangentialebene (Indifferenz-
fläche), auf der der Pareto-Punkt liegt. Dies entspricht der gewichteten Sum-
me (Gleichung (2-12)) mit βi=αi. Die Lage des Wunschpunktes und die
Betragsbildung haben hier keinen Einfluss. Die Gewichte bestimmen das be-
reits besprochene Kompromiss-Verhältnis.
2-Norm Die euklidische Norm ist wohl die bekannteste Norm. Als Skalarisierungs-
funktion führt es zum kürzesten Abstand zwischen Wunsch- und Pareto-
9Andernfalls, wenn also der Wunschpunkt im Bildbereich liegt, kann der Abstand auf null
minimiert werden. Die erreichten Zielfunktionswerte gleichen dann dem Wunschpunkt, sind
aber nicht pareto-optimal (es sei denn, der Wunschpunkt liegt genau auf der Pareto-Front).
Grundlagen und Stand der Technik Seite 55
Punkt im euklidischen Raum. Die Gewichte können dazu verwendet werden,
die Zielfunktionen in geeigneter Weise zu skalieren. Die Indifferenzflächen
sind Ellipsoide.
∞-Norm Die auch Tschebyschow- oder Maximums-Norm genannte ∞-Norm hat
die Eigenschaft, dass immer nur das jeweils größte Element des Zielfunktions-
vektors minimiert wird. Eine Optimierung, bei der mithilfe der ∞-Norm ska-
larisiert wird, heißt daher auch min-max-Optimierung. Sie wird auch in der in-
teraktiven Mehrzieloptimierungsmethodik nach Kreisselmeier und Steinhau-
ser verwendet, bei der die Gewichte in mehreren Iterationsschritten angepasst
werden ([KS83] und [KS79]). Für eine nicht-interaktive, autonome Mehrzie-
loptimierung müssen die Gewichte im Voraus festgelegt werden. Hierfür ist
es hilfreich, ihren Einfluss anhand von Bild 2-18, genauer zu studieren. Dar-
aus geht hervor, dass alle Pareto-Punkte auf einer Geraden liegen, die durch
den utopischen Punkt geht und deren Richtung durch den Vektor der ele-
mentweisen Kehrwerte der Gewichte bestimmt wird. Da die ∞-Norm nicht
stetig ist, bietet es sich an, sie mit der von Kreisselmeier und Steinhauser
vorgeschlagenen Formel zu approximieren:
max (x)≈ˆm(x, ρ) = 1
ρ·log Xeρ·xi(2-16)
Dabei ist ρein Glättungsfaktor, mit dem die Approximationsgüte festgelegt
werden kann: je größer ρgewählt wird, desto besser wird das wahre Maximum
angenähert.
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Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
Pareto-Front
1-Norm
2-Norm
∞-Norm
Bild 2-17: Die drei als Skalarisierungsfunktion verwendeten Normen und ihr Ein-
fluss auf den gewählten Pareto-Punkt
Seite 56 Kapitel 2
Pareto-Fronten
arg min(max(w1J1, w2J2))
alle min-max-Pareto-Punkte
liegen auf einer Geraden
max(w1J1, w2J2)= konst
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Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
Bild 2-18: Die Gütevektoroptimierung nach Kreisselmeier und ihre Äquivalenz
mit einer linearen Gleichungsbedingung
Zwei interessante Kombinationen der 1-Norm und der ∞-Norm helfen, die Wir-
kung einer beliebigen Skalarisierungsfunktion besser zu verstehen: die erweiterte
Tschebyschow-Norm
smax+Σ (J) = max (βi·|Ji−Ji,ref |) + Xα·Ji(2-17)
und die gewichtete Summe von zwei Tschebyschow-Normen
sΣmax (J) = αβ·max (βi·|Ji−Ji,ref |) + αγ·max (γi·|Ji−Ji,ref |)(2-18)
Die Konturlinien dieser beiden Skalarisierungsfunktionen sind in Bild 2-19 darge-
stellt. Die erweiterte Tschebyschow-Norm hat die Eigenschaft, dass, wie bei der
Tschebyschow-Norm, Pareto-Punkte gewählt werden, die auf einer Geraden lie-
gen, aber nur, wenn ihr Kompromiss-Verhältnis nicht zu groß oder zu klein ist.
Die erweiterte Tschebyschow-Norm enthält also eine Sicherung gegen die Wahl
von unökonomischen Punkten (vgl. Abschnitt 2.4.3). Die gewichtete Summe von
zwei Tschebyschow-Normen führt zu der Wahl eines Pareto-Punktes auf einer der
beiden Geraden, die den beiden Tschebyschow-Normen zugeordnet sind oder auf
einer Linie dazwischen. Die Wahl richtet sich nach dem Kompromiss-Verhältnis:
Kann auf der unteren Geraden eine Verbesserung des einen Ziels durch entspre-
chend kleine Änderungen des anderen Ziels bewirkt werden, so wandert der Punkt
auf die obere Gerade und umgekehrt. Auch hier findet also primär eine Zuweisung
der Verhältnisse zwischen den absoluten Zielfunktionswerten statt, aber mit zwei
Alternativen und einem ökonomischen Auswahlkriterium.
Im Zusammenhang mit der Festlegung der Pareto-Punkte auf eine Linie mithilfe
der ∞-Norm ist in der Praxis die (·)+-Funktion von besonderem Interesse:
(x)+= max {0, x},(2-19)
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Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
Bei kleinen
Austauschraten
wird ein günstigerer
Punkt gewählt
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Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
Alle gewählten
Pareto-Punkte
liegen im grauen
Kegel
smax+Σ(J)
sΣmax(J)
Bild 2-19: Links: die Konturlinien der erweiterten Tschebyschow Skalarisierung,
rechts: die gewichtete Summe von zwei Tschebyschow-Normen, beide
nach [Mie04]
bzw. ihre glatte Approximation nach [CM96] mit dem Glättungsfaktor ρ, der die
Approximationsgüte festgelegt (je größer ρgewählt wird, desto besser wird (·)+
angenähert):
(x)+≈ˆp(x, ρ) = x+1
ρ·log 1+e−ρ·x(2-20)
Mithilfe der (·)+-Funktion lassen sich Kurven definieren, die aus Linienzügen
mit abschnittsweise unterschiedlichen Steigungen zusammengesetzt sind. Um die
praktische Relevanz dieser Vorgehensweise zu veranschaulichen, soll folgendes
Beispiel betrachtet werden. Für eine SISO-Regelstrecke, auf die Störungen mit
variierender Amplitude einwirken, werden die Ziele „Regelgüte“ Jyund „Stell-
leistung“ Judefiniert und es soll gelten: Die Regelgüte soll ca. 1 betragen, aber
ab einer Stellleistung von 4 darf diese nicht viel weiter steigen. Weiterhin sollen
für Stellleistungen unter 1 die Regelgüte und die Stellleistungen proportional zu-
einander sein. Wird nun die Stellleistungen auf die Abszisse und die Regelgüte
auf die Ordinate eines Graphen gelegt, so lassen sich die Anforderungen mit dem
in Bild 2-20 links dargestellten Linienzug formulieren. Dabei wird werden die un-
scharfen Formulierungen „Regelgüte ca. 1“ und „Stellleistung darf 4 nicht viel
übersteigen“ als Geraden mit der Steigung 0,25 bzw. 10 interpretiert. Mathema-
tisch ist dieser Linienzug wie folgt formuliert:
Jy, soll (Ju) = (1 ·Ju) +
(0,25 −1) ·(Ju−1)++
(10 −(0,25 −1)) ·(Ju−4)+
(2-21)
Seite 58 Kapitel 2
Wird hierin nun die geglättete (·)+-Funktion (2-20) mit ρ= 5 eingeführt
(Jy, soll (Ju)wird zu ˆ
Jy, soll (Ju)), so lässt sich mithilfe der geglätteten ∞-Norm
(2-16) ebenfalls mit ρ= 5 die folgende Skalierungsfunktion für das formulierte
Problem aufstellen, deren Konturlinien in Bild 2-20 rechts dargestellt sind:
spolyline (Ju, Jy) = ˆmhJy,ˆ
Jy, soll (Ju)i,5(2-22)
Ein ähnliches Beispiel wird in Abschnitt 6.6.1 im Detail betrachtet.
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Jy
Ju
Linienzug der
Pareto−Punkte
geglätteter Linienzug
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0
2
4
6
8
Ju
Jy
Konturlinien der
Skalarisierungsfunktion
geglätteter Linienzug
Bild 2-20: Links der Linienzug, auf dem die gewünschten Pareto-Punkte liegen
sollen, rechts die Konturlinien der zugehörigen Skalarisierungsfunktion
Minimierung der Skalierungsfunktion mit Nebenbedingungen
Die Auswahl eines Pareto-Punktes durch Optimierung einer Skalierungsfunktion
kann auch durch Nebenbedingungen beeinflusst werden. Dabei können die Funk-
tion der Gleichungsnebenbedingungen und die Funktion der Ungleichungsneben-
bedingungen vektorwertig sein. Die Bedingungen gelten dann elementweise. Um
die Separation von Mehrzieloptimierungsproblem und Pareto-Punkt-Auswahl zu
wahren, sind auch die Nebenbedingungen nicht direkt von den Optimierungsva-
riablen abhängig, sondern nur von dem Vektor der Zielfunktionen:
min
xs(J(x))
u.d.N. F(J(x)) = 0,G(J(x)) ≤0(2-23)
Mithilfe von Gleichungsbedingungen kann das Verhältnis zwischen Zielfunktions-
werten festgelegt werden. Mit Gleichungsnebenbedingungen festgelegte Pareto-
Punkte liegen stets aus der durch die Gleichung beschriebenen Kurve bzw. Flä-
che. Darin ist die Wirkung Gleichungsnebenbedingungen sehr ähnlich der der
∞-Norm in der Skalierungsfunktion. Im Gegensatz zur ∞-Norm, die unstetig
ist, und für die meisten Anwendungen nach Gleichung (2-16) geglättet werden
muss, kann die Festlegung mithilfe von Gleichungsbedingungen exakt erfolgen,
Grundlagen und Stand der Technik Seite 59
da es viele effiziente Methoden gibt, Gleichungsbedingungen bei der Optimierung
zu berücksichtigen. Die Platzierung von Pareto-Punkten auf festgelegten Linien
ist oft intuitiver und in seiner Wirkung vorhersehbarer, als der Zugang über die
Konturlinien der Skalierungsfunktion. In der Praxis lassen sich viele Anforderun-
gen in Form solcher Linie beschreiben. Ein Hinweis für diese Art von Regel sind
Sätze wie etwa: „Die Regelgüte in x-Richtung soll doppelt so gut sein wie in y-
Richtung“ (Ursprungsgerade mit Steigung 2) oder: „Der Regelfehler soll 3 mm
betragen“ (achsparallele Gerade bzw. Fläche).
Häufig sind physikalische oder ökonomische Begrenzungen Bestandteil der Anfor-
derungen an einen Regler. Sie lassen sich leicht als Ungleichungsnebenbedingun-
gen formulieren. Eine spezielle Mehrzieloptimierungsmethode in diesem Zusam-
menhang ist die sogenannte ε-Constraint-Methode. Dabei werden alle Zielfunk-
tionen bis auf eine als Nebenbedingungen der Form Ji≤εiaufgefasst und nur
die verbleibende Zielfunktion in einer Einzieloptimierung minimiert.
Bei der Formulierung der Ungleichungen ist unbedingt darauf zu achten, dass
alle Bedingungen stets erfüllt werden können, da der autonome Algorithmus zur
Bestimmung des Wunsch-Pareto-Punktes sonst ohne Ergebnis terminieren muss.
Weil dies oft nicht sicher zu gewährleisten ist, ist es ratsam, zusätzliche Schlupf-
oder Fehlervariablen zu den Bedingungen zu addieren. Diese Variablen werden
dem Minimierungskriterium in geeigneter Weise angehängt und sind null, solange
die Ungleichungen erfüllt werden können.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 61
3 Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge
Für den Reglerentwurf im mechatronischen Entwicklungsprozess [Hes06] und die
modellbasierte Selbstoptimierung werden Modelle des Spurführungsmoduls und
seiner Umgebung mit unterschiedlichem Detaillierungsgrad benötigt. In diesem
Kapitel werden dazu die im Rahmen dieser Arbeit erstellten Modelle beschrieben,
die die Grundlage für die in den folgenden Kapiteln vorgestellten Regler sind.
Die Einflüsse und Wechselwirkungen werden in dem, im SFB entwickelten, Par-
tialmodell Umfeld in Bild 3-1 dargestellt (vgl. [SFB08]). Die für die Funktion rele-
vante Umgebung umfasst das gesamte Fahrzeug und den Gleiskörper, mit denen
die Spurführung eine dynamisch verkoppelte Einheit bildet. Für die Selbstopti-
mierung sind weiterhin die Vorgaben des Benutzers und Informationen über die
aktuell befahren Strecke relevant. Der Einfluss der Temperatur auf das Verhal-
ten wird in dieser Arbeit nicht berücksichtigt. Störungen durch Wind werden als
allgemeine, unbekannte Störungen behandelt.
Zur Modellierung wird zunächst, ausgehend von der physikalischen Struktur des
Fahrzeugs, ein Mehrkörpersystem (MKS) mit Kräften und Momenten abgeleitet.
Dieses wird dann um die Modelle der externen Kräfte und der Aktoren und
Sensoren ergänzt. Schließlich wird die Geometrie der Gleise modelliert, die im
detaillierten Simulationsmodell zur Berechnung der Spurkranzanläufe dient und
aus regelungstechnischer Sicht die Störgröße darstellt.
Strecke
Benutzer
Spurführung
FN-Modul
F
quer
Komfort
Verschleiß
Umwelt
Umwelt
Routen-
planung
Antriebs-/
Bremsmodul
Energie-
management
Energie-
vorgabe
Abbiege-
richtung
Strecken-
verlauf
Temp.
Wind
F
n o rm a l
Informationsfluss
Systemelement
Energiefluss
Legende
Einfluss
Störgröße
Störgrößenfluss
Ziel
F
quer
Bild 3-1: Das Partialmodell Umfeld für ein RailCab
Seite 62 Kapitel 3
3.1 Physikalischer Aufbau eines RailCabs
Die RailCab-Versuchsfahrzeuge (kurz RailCabs) haben die in Bild 3-2 dargestell-
te modulare Architektur, die im SFB mithilfe des Partialmodells Wirkstruktur
abstrahiert wird (Bild 3-3).
Achse mit
Querzylinder
Achsmodul
Verbindung
der Läufer
Achsrahmen
Fahrwerks-
rahmen
Läufer
Gelenklenker
Rad
Luftfedern
FNT Rahmen
Längszylinder
Gelenklenker
Aufbau
Vertikalzylinder
Nutzlastmodul
Feder-Neigemodul
Bild 3-2: Der modulare Aufbau eines RailCabs in Explosionsansicht
Das Spurführungsmodul besteht aus zwei identischen Achsmodulen, die je ein
Läuferelement des Antriebsmoduls tragen. Die Läuferelemente sind miteinan-
der verbunden, sodass die Achsrahmen zusammen mit den Läufern einen star-
ren Fahrwerksrahmen bilden. Die Achsrahmen sind über je vier Gelenklenker an
den Achsen aufgehängt, sodass die Achsen eine Lenkbewegung, also eine Drehung
um die Hochachse vollführen können und auch in Quer- und Längsrichtung frei
beweglich sind. Zur Einschränkung dieser translatorischen Freiheitsgrade (DOF)
sind die Achsen zusätzlich über einen senkrechten Zapfen und einen Querzylin-
der mit dem Achsrahmen verbunden. Der Querzylinder, der ursprünglich für eine
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 63
RailCab
Spurführung
Lenkmodul
Rahmen
Achswippe
Lenk-
regelung
Drehschemel Zylinder Ventil Pumpe
Ventil-
regelung
Lenkwinkel
Gierrate
Querbeschl.
Relativlage
Rad rechtsRad links
Strecke
Schiene
FQuer
FLenk
Zylinder-
länge
Stellung
Relativlage
Achse
F
FQuer,
FTrag,
FLängs
FQuer,AW
FSchlupf, FSpurkranz
Legende
Systemelement
Logische Gruppe
Wertermittlung
Stofffluss
Informationsfluss
Energiefluss
FLenk
FQuer,
FTrag,
FLängs
Bild 3-3: Das Partialmodell Wirkstruktur eines RailCabs
aktive Querfederung vorgesehen war, ist durch Hartgummieinlagen in den Zy-
linderkammern arretiert. Damit ist die Achse in Querrichtung sehr steif an den
Fahrwerksrahmen angekoppelt. Die Lenkbewegung wird durch einen positionsge-
regelten Differenzialzylinder zwischen Achse und Achsrahmen aktuiert. An den
Achsen sind die freidrehenden zylindrischen Räder mit einem Sturz von 1:40 (ca.
1,5◦) montiert.
Der Aufbau, also das Nutzlastmodul zusammen mit dem Feder-/Neigemodul, ist
über vier Faltenbalg-Luftfedern (Kissenform) mit dem Fahrwerksrahmen verbun-
den, sodass der Aufbau sechs DOF gegenüber dem Fahrwerksrahmen hat. Die
Luftfedern sind mit 2,5 bar vorgespannt. Durch die Bauform bedingt und auf-
grund der unterschiedlichen Volumenänderung haben Luftfedern in horizontaler
und vertikaler Richtung eine unterschiedliche Federsteifigkeit. Da der hohl ausge-
führte Achsrahmen als gemeinsames Zusatzvolumen für die beiden Federn einer
Achse dient, kommt es bei gegensinniger Anregung zu einem Luftaustausch. Eine
Seite 64 Kapitel 3
Volumen- und Druckänderung findet nur durch gleichsinnige Anregung statt. Das
Luftfedersystem der RailCabs hat daher in Wankrichtung eine andere Steifigkeit
als beim Huben.
Am Achsrahmen sind auch die Notbremsen und die mechanische Rückfallebene
für die Weichenfahrt, auch Achswippe oder Weichenwippe genannt, befestigt (sie-
he [SGH+09]). Diese werden nicht modelliert, da die Notfallsituationen, für die
diese Vorrichtungen vorgesehen sind, im Rahmen dieser Arbeit nicht betrachtet
werden.
Das Feder-/Neigemodul besteht aus zwei identischen Rahmen, die auf den Luft-
federn aufliegen. Zwischen jeder Feder und den Rahmen befinden sich Längszy-
linder, die eine Verschiebung und Verdrehung jedes Rahmens ermöglichen. Das
Nutzlastmodul ist über Gelenklenker und insgesamt sechs Zylinder so mit den Fe-
der-/Neigerahmen verbunden, dass es in allen DOF außer in x-Richtung bewegt
werden kann. Somit kann das Nutzlastmodul in allen sechs DOF manipuliert
werden1. Da in dieser Arbeit die Entwicklung der aktiven Spurführung im Vor-
dergrund steht, und ein aktiver Eingriff durch die Feder-/Neigetechnik speziell
berücksichtigt werden müsste, sind alle zehn Feder-/Neigezylinder in Ruhelage
blockiert, sodass der Aufbau als starre Masse betrachtet werden kann.
Die wichtigsten externen Kräfte, die auf das Fahrzeug wirken, sind: die Radkräf-
te, wie sie in Abschnitt 2.2.1 besprochen werden, die Längskraft im Luftspalt des
Linearmotors und die Schwerkraft. Neben der Längskraft entfaltet der Linear-
motor auch eine ca. viermal größere Normalkraft, die von den Rädern getragen
wird und somit die Schupf- und Reibkräfte beeinflusst. Sind die Läufer gegen-
über dem Stator verschoben oder verdreht, wirkt auch eine Rückstellkraft bzw.
ein -Moment. Diese wurden an einem Prüfstand vermessen (siehe auch [SFB08]).
Die Rückstellkraft ist so gering, dass sie bei der Modellierung vernachlässigt wer-
den. Weiterhin werden auch Kräfte vernachlässigt, die aus der Windlast und dem
Fahrwiderstand resultieren. Sie finden lediglich Eingang in das lineare Modell als
stochastische Störungen.
3.2 Sensoren und Aktoren
Zur aktiven Spurführung wird eine Vielzahl an Messgrößen benötigt: teils als
Ausgänge des Modells zur Zustandsrekonstruktion, teils als langsam veränderli-
1Da hierfür zehn Zylinder zur Verfügung stehen, verbleiben vier weitere DOF. Zwei davon füh-
ren zu einer Verspannung (in x-Richtung) bzw. Torsion (um die Längsachse). Die restlichen
zwei waren ursprünglich zum Lenken der nicht verbundenen Achsmodule mit Linearmotor
vorgesehen. Durch die Verbindung der Linearmotoren kommt es jedoch auch hier zu einer
Verspannung.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 65
che Parameter des Modells oder als Führungsgröße. Eine Übersicht aller verwen-
deten Signale ist in Tabelle 3-1 aufgelistet (eine Beschreibung der Messprinzipien
findet sich in [Log08]). Die Messgrößen in den ersten drei Zeilen von Tabelle 3-1
können einfach durch eine affine Transformation aus den Spannungssignalen ge-
wonnen werden, die die integrierten Messverstärker der Sensoren liefern. Die an-
deren Größen stehen auch als verstärkte Signale zur Verfügung, weisen jedoch
unterschiedliche Arten von Nichtlinearität auf und müssen daher noch weiter
verarbeitet werden.
Tabelle 3-1: Überblick über die Sensoren der Spurführung.
Messgröße Beschreibung Anz. Anordnung Messprinzip
˙
ψF W Gierrate 1Fahrwerk Kapazitiv
aF W,v, aF W,h Querbeschleunigung 2Fahrwerk Kapazitiv
aA,ψ, aA,o, aA,u Gier- und Querbeschl. 4Aufbau Kapazitiv
δRv, δRh Lenkwinkel 2FW-Achse LVDT
yRv,rel, yRh,rel relative Querposition 8Achse Wirbelstrom (WS)
vLängsgeschwindigkeit 4Rad Inkremental
sP os Streckenposition 1Fahrwerk WS schaltend
Der Lenkwinkel wird nicht direkt gemessen, sondern aus der Position des
Lenkzylinders ermittelt. Der Zusammenhang zwischen Zylinderposition und
Lenkwinkel lässt sich theoretisch aus der Kinematik bestimmen2. Dazu wäre je-
doch eine im Achsrahmen absolut referenzierte Position nötig, die sich nur schlecht
vermessen lässt. Die Aufzeichnung einer Kennlinie mithilfe eines temporär mon-
tierten Winkelgebers erweist sich als schwierig. Daher wird die Kennlinie aus
Messungen mit einem speziell zur Vermessung auf der Achse montierten Drehra-
tensensor berechnet. Der bei der Integration der Drehrate unbekannte Nullpunkt
des Lenkwinkels wird so bestimmt, dass die Achse nach Augenmaß geradeaus
lenkt. Die Feinjustierung des Nullpunktes erfolgt mithilfe des I-Anteils der Len-
kregelung bei Geradeausfahrt.
Die Querposition des Achsmittelpunktes zur Mittellinie der idealen Trassie-
rung wird für die Folgeregelung benötigt, die die Achsen entlang der Gleislage-
fehler führt. Gemessen werden kann jedoch nur die Querposition relativ zur Mit-
tellinie des tatsächlichen Gleisverlaufs (yRv,rel, yRh,rel). Die benötigte Querablage
zur Trassierung yRkann nur unter Kenntnis der momentanen Gleisabweichung
von der Ideallinie yGl bestimmt werden (siehe auch Abschnitt 3.5):
yR=yGl +yR,rel (3-1)
2Aufgrund der kleinen Lenkwinkel (±2,5◦) wäre auch eine Linearisierung denkbar. Dies wird
jedoch zugunsten einer höheren Genauigkeit verworfen.
Seite 66 Kapitel 3
Dieser Zusammenhang ist in Bild 3-4 dargestellt. Die Berechnung der relativen
Querposition erfordert eine detailliertere Betrachtung und wird daher in Ab-
schnitt 3.2.1 erläutert.
ideale
Trassierung=
absolute
Referenz
Gleis-
mittellinie
y
R,rel
y
R
y
Gl
Bild 3-4: Die Zusammensetzung der modellierten Absolutlage aus der messbaren
Relativlage und den geschätzten Gleislagefehlern
Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs ist ein Parameter des Einspurmodells.
Sie wird über die Geschwindigkeit der vier Räder bestimmt. Dazu wird die Rad-
drehzahl mit hochauflösenden Inkrementalgebern gemessen. Um den Einfluss der
Lenkbewegung und der Gierrate in den Radaufstandspunkten zu eliminieren, wird
die Fahrzeuglängsgeschwindigkeit durch den Mittelwert der vier Raddrehzahlen
bestimmt.
Die Streckenposition wird benötigt, um positionsbezogene Daten, wie bspw.
die Gleislagefehler oder die Kurvenkrümmung, aus den gespeicherten Tabellen zu
ermitteln. Ferner ist die Streckenposition von entscheidender Bedeutung, wenn
passive Weichen befahren werden sollen, um rechtzeitig in den gewünschten Spur-
kanal einzulenken. Die Position wird durch Aufintegrieren der Geschwindigkeit
berechnet. Um die dabei unvermeidlich auftretende Drift zu korrigieren, wer-
den Positionsmarken verwendet, die in einem Abstand von ca. 15 m zwischen den
Gleisen in der Gleisebene angebracht sind. Die Lage dieser Positionsmarken ist
bekannt und wird in einer Tabelle abgelegt. Beim Überfahren wird die Marke
von einem induktiven Näherungsschalter erkannt und die Position auf den ge-
speicherten Wert korrigiert. Da die Marken selbst jedoch keine Information über
ihre Lage vermitteln können, ist auch keine absolute Referenzierung möglich. Da-
her ist geplant, in Zukunft mit einem GPS-gestützten System zu arbeiten.
3.2.1 Relative Querpositionssensoren
Da die Querablage der Achsen (Räder) die Regelgröße der Spurführung ist,
muss sie möglichst akkurat gemessen werden. Die Messung erfolgt relativ zwi-
schen einem bewegten und einem stehenden Objekt, wobei die Bewegungsfreiheit
in Längsrichtung quasi unbeschränkt ist. Messprinzipien, die eine mechanische
Kopplung erfordern, sind also ausgeschlossen. Weiterhin ist der Ort, an dem die
Messung erfolgen muss, im ungeschützten Außenbereich mit starker Schutzbelas-
tung. Unter diesen Voraussetzungen wird in der Dissertation [Kra98] untersucht,
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 67
welches die optimale Methode ist, die relative Querablage von Schienenfahrzeu-
gen zu messen. Das Ergebnis ist eindeutig: Es kommt nur das Prinzip der Wir-
belstrommessungin Frage, da es als Einziges robust genug ist und unabhängig
von Verschmutzungen arbeiten kann3(für eine nähere Beschreibung des Prinzips
siehe [Ric04]). Allerdings ergeben sich auch hierbei einige Probleme: Das Profil
des Schienenkopfes, gegen das gemessen wird, bietet keine eindeutige Referenzflä-
che und ist durch Abnutzung stark variabel. Weiterhin bedingt der Verschleiß am
Rad (über die gesamte Lebensdauer einige cm im Radius), dass sich das gesamte
Fahrzeug und damit auch die Position des Sensors gegenüber der Schiene absenkt.
Es müssen also theoretisch zwei Sensoren im Verbund eingesetzt werden: einer in
horizontaler und einer in vertikaler Richtung, um die Querlage dann aus einem
zuvor vermessenen zweidimensionalen Kennfeld zu ermitteln.
Die Architektur der RailCabs (nicht angetriebene Losräder mit aktiver Spurfüh-
rung) hat u. A. einen möglichst verschleißarmen Lauf der Räder zum Ziel. Die
angesprochene Höhenänderung des Sensors gegenüber dem Gleis kann also (zu-
mal im Prototypenbetrieb mit geringer Laufleistung) vernachlässigt werden. Es
besteht jedoch weiterhin das Problem, dass der Sensor nicht in idealer Weise ho-
rizontal auf die Seite des Schienenkopfes messen kann. Dazu müsste er unterhalb
der Gleisebene montiert sein, wo die Gefahr besteht, dass er durch Teile der Wei-
che, Unebenheiten im Unterbau oder die Positionsmarken beschädigt wird. Es
kommt also nur eine Anbringung unter einem flachen Winkel in Frage, wie sie
in Bild 3-5 rechts dargestellt ist. Der Winkel und die Position sind so gewählt,
dass sie trotz des knappen Bauraums eine gute Ausnutzung des Messbereichs
gewährleisten.
WSS
Bild 3-5: Die Anordnung der Wirbelstromsensoren (WSS) im Fahrzeug und ihr
Messfeld
3In [LMP+02], [MGL99] und [MG03a] wird eine Methode beschrieben, bei der die Querposition
über die Drehzahldifferenz konischer Räder geschätzt wird. Da die Drehzahldifferenz jedoch
noch von anderen Faktoren beeinflusst wird und sich die Konizität durch Verschleiß ständig
ändert, handelt es sich hierbei wohl eher um eine akademische Methode.
Das Patent [HF98] beschreibt eine Methode zur Ermittlung der Querposition anhand von
Momentenmessung an den Radachsen (um die Längsrichtung). Eine Momentenmessung ist
jedoch meist stark verrauscht und mit anderen Einflüssen überlagert. Ein Rückschluss auf
die Querposition ist aufgrund der geringen Änderung des Hebelarms allenfalls als grobe
Abschätzung möglich.
Seite 68 Kapitel 3
Gemessen werden soll der Abstand zwischen Spurkranz und Schienenkopf in der
Ebene des Radaufstandspunktes. Da dies nicht möglich ist, sind zwei Sensoren
mit kleinstem Abstand zu beiden Seiten des Rades montiert (siehe Bild 3-5 links).
Die zwei Sensoren sind nötig, da der gemessene Abstand durch die außermittige
Lage der Sensoren auch vom Winkel zwischen Achse und Schiene abhängt. Der
Abstand in der Mitte ergibt sich näherungsweise aus dem Mittelwert:
yl= 0,5 (yl,v +yl,h)
yr= 0,5 (yr,v +yr,h)(3-2)
Aus dem Abstand zwischen Rad und Schiene an beiden Seiten, ylund yr, wird der
Abstand zwischen der Achse und der Mittellinie der Schienen sowie das Spurspiel
Gberechnet4:
yR,rel = 0,5 (yr−yl)
G=yr+yl
(3-3)
Die Abbildung des gemessenen Abstands zur Sensorspannung ist nicht linear (sie-
he Bild 3-6). Dies ist vor allem auf das Schienenprofil und die Messanordnung
zurückzuführen (der Messkegel erfasst sowohl die Flanke der Schiene als auch
Teile der Lauffläche). Da die Kennlinie auch vom Winkel und von der Höhe über
der Schiene abhängt, und diese beim Einbau im RailCab nicht genau bekannt
sind, wird die Identifikation „in situ“ vorgenommen. Dazu wird die Achse im
Stillstand in verschiedene Querpositionen (inklusive der Anschlagposition links
und rechts) gebracht und der Abstand zu einer festen Referenz gemessen. In je-
der Position werden die Sensorsignale aufgezeichnet, wobei die Achse gleichzeitig
eine Lenkbewegung ausführt. Für jeden Sensor wird eine eigene Kennlinie mit
zehn Stützpunkten und linearer Interpolation angenommen. Damit ist es mög-
lich, für jedes Messtupel (Sensorspannungen, Querposition und Lenkwinkel) vier
lineare Gleichungen (3-3) bzw. (3-2) aufzustellen. Alle Messungen zusammen er-
geben dann ein überbestimmtes Gleichungssystem, das mithilfe der Methode der
kleinsten Quadrate nach den Stützstellenwerten aufgelöst werden kann.
3.2.2 Lenkzylinder
Die Lenkbewegung der Achsen wird mit hydraulischen Differenzialzylindern ak-
tuiert (vgl. [Koh08]). Der Ölvolumenstrom in die Zylinderkammern wird über
ein 4-3-Wege Ventil beeinflusst. An der Druckseite ist das Ventil an die zentrale
4Zur Berechnung der relativen Querposition reicht auch ein kreuzweises Sensorpaar aus. Zwei
Paare ermöglichen die redundante Berechnung und verbessern die Messgüte. Die kreuzweise
Auswertung ist in [Möh07] näher beschrieben.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 69
−10 −5 0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
10
Schienenkopf
Messspannung in V
Querversatz Sensor−Schiene in mm
VVL
VHL
VVR
VHR
HVL
HHL
HVR
HHR
Bild 3-6: Die vermessenen Kennlinien der Wirbelstromsensoren
Versorgungsleitung des RailCabs angeschlossen. Diese wird von einer druckgere-
gelten Pumpe (Zweipunkt-Regelung) und einem Druckspeicher gespeist, sodass
die Versorgung als Konstantdruckquelle aufgefasst werden kann. Die Position des
Zylinders wird über ein induktives Messsystem erfasst.
Die Durchflusskennlinie des Ventils ist nur bei nominalem Druckabfall
(∆pN= 35 bar) linear. Der Druckabfall hängt – bei konstanter Versorgung –
vom Druck in den Zylinderkammern ab, welcher bei konstanter Geschwindig-
keit vorwiegend von der nichtlinearen Reibkraft bestimmt wird. Daraus resultiert
eine nichtlineare Durchfluss- bzw. Geschwindigkeitskennlinie des Ventils. Inkom-
pressibles Öl vorausgesetzt, ist die Geschwindigkeit konstant proportional zum
Durchfluss. Daher wird angenommen, dass sich bei einer konstanten Ventilöff-
nung eine konstante Lenkwinkelrate einstellt. Diese Kennlinie wird vermessen,
indem über die Steuerspannung UV ent eine konstante Ventilschieberstellung vor-
gegeben wird. Zu jeder Schieberstellung wird dann aus der gemessenen Zylinder-
position die Lenkwinkelrate berechnet, die sich nach Abklingen der Transitionsdy-
namik einstellt (siehe Bild 3-7). Der elektromagnetisch verstellte Ventilschieber
mit integrierter Lageregelung hat eine Bandbreite von 60 Hz. Daher wird das
Ventil im relevanten Frequenzbereich (bis ca. 10 Hz) vereinfachend als Kennli-
nienglied betrachtet. Dieses Verhalten wird im Regler durch die entsprechende
inverse Kennlinie kompensiert. Vor der Kompensation kann im Regler also mit
der Lenkwinkelrate ˙
δRgerechnet werden.
Bei einer dynamischen Betrachtung kann nicht vernachlässigt werden, dass
das Öl und die Schläuche elastisch sind. Bei der einfachsten Modellierung bil-
den die Leitungen, die Zylinderkammern und die beschleunigte Achsmasse ein
schwingfähiges System zweiter Ordnung mit konjungiert komplexer Nullstelle.
Die Koeffizienten dieser Übertragungsfunktion werden ohne physikalische Mo-
dellierung direkt aus Messungen identifiziert. Dafür wird das in Abschnitt 3.4
Seite 70 Kapitel 3
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−30
−20
−10
0
10
20
30
Lenkwinkelrate δ′R
in °/s
Ventilspannung Uvent in V
Identifiziert
Approximation
Bild 3-7: Die statisch vermessene Geschwindigkeitskennlinie (U-v) der Lenkzylin-
der
beschriebene Frequenzbereichsverfahren angewandt. Im Bild 3-8 ist neben dem
verwendeten Modell auch ein Modell höherer Ordnung dargestellt, das den gemes-
senen Verlauf besser nachbildet. Dieses Modell weist zwei zusätzliche Pole auf, die
dem Ventil und den Hydraulikschläuchen zugeordnet werden können. Es ist je-
doch zu erkennen, dass die Dynamik im relevanten Frequenzbereich bis 10 Hz von
dem Modell zweiter Ordnung gut abgebildet wird. Da das Übertragungsverhalten
die Differenzordnung null hat und die Nullstelle stabil ist, lässt es sich invertieren
und zur Kompensation im Regler verwenden (lead-lag-Glied). Da diese Dynamik
dem hydraulischen System hinter dem Ventil zugeordnet wird, ist das entspre-
chende Kompensationsglied im Regler vor der Ventilkennlinie angeordnet. Dabei
wird ignoriert, dass die Nichtlinearität nicht allein auf das Ventil konzentriert ist.
In der Praxis werden mit dieser Vereinfachung jedoch gute Ergebnisse erzielt.
Der Zylinderregler ist ein PI-Regler mit Vorsteuerung. Durch die beiden
Kompensationsglieder lässt sich die Zylindergeschwindigkeit nahezu perfekt steu-
ern, was auch die Annahme im linearen Modell für den Zustandsregler aus Ab-
schnitt 3.3 ist. Die in Abschnitt 4.2 vorgestellte Struktur mit zwei Freiheitsgraden
erfordert es, dass der Lenkwinkel nicht allein vom Zustandsregler vorgegeben wird
– dieser muss sich die Lenkung mit der Kurvenvorsteuerung quasi teilen. Da für
die Kurvenvorsteuerung nicht die Ableitung, sondern der Lenkwinkel selbst ent-
scheidend ist, kann nicht einfach die Lenkwinkelgeschwindigkeit der beiden Regler
addiert werden. Stattdessen wird die Lenkwinkelgeschwindigkeit als Vorsteuer-
wert betrachtet, und beide Regler geben zusätzlich den von ihnen geforderten
Lenkwinkelanteil vor. Die Summe der beiden Anteile ist die Führungsgröße des
PI-Reglers. Diese Struktur einer modellbasierten Vorsteuerung mit zwei Freiheits-
graden ist in Bild 3-9 dargestellt. Der I-Anteil hat eine große Zeitkonstante und
dient lediglich der Kompensation der geringen Drift der Ventilschiebernulllage.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 71
−5
0
5
10
Betrag in dB
vernachlässigter Pol des Ventils
vernachlässigter Pol
100101102
−300
−200
−100
0
Phase in °
Frequenz in Hz
δ′stell(s)/δ′ist(s) aus FFT
Modell höherer Ordnung
inverses Kompensationsglied
Bild 3-8: Der gemessene und der identifizierte Amplitudengang der Lenkzylinder
(˙
δstell zu ˙
δist)
Ohne Vorsteuerung ergibt die Rückkopplung der kompensierten Zylinderdyna-
mik über das P-Glied ein PT1-Verhalten, das auf eine Eckfrequenz von 7 Hz
eingestellt ist. Dies ist die Dynamik des Fehlers, der bei der Vorsteuerung der
Lenkwinkelrate aufgrund von Störungen und Modellierungsfehlern auftritt.
PI
w
w
.
PI
limit w limit w
.
limit w
.
lead-lag UVent
δ
Strecke
y=
δist
u
e
-
+
.
δstell
.
P T
Regler
annäherndes
I-Verhalten
Bild 3-9: Das Diagramm der Zylinderregelung mit Vorsteuerung, Kompensation
der Rohrleitungsdynamik und Geschwindigkeitskennlinie
3.3 Lineare Modelle
Die Fahrzeugdynamik wird zunächst mithilfe linearisierter Gleichungen model-
liert. Die Identifikation erfolgt dann anhand der linearen Übertragungsfunktio-
nen. Das lineare Modell 16. Ordnung ist die Grundlage der selbstoptimierenden
Zustandsregelung in Kapitel 6. Ein vereinfachtes Modell 6. Ordnung wird zur
Herleitung der inversen Fahrzeugdynamik benötigt, mit deren Hilfe die Trajekto-
rienvorsteuerung realisiert wird.
Seite 72 Kapitel 3
Dem detaillierten Simulationsmodell, das in Abschnitt 3.6 beschrieben wird, lie-
gen die nichtlinearen Differenzialgleichungen des Mehrkörpersystems zugrunde
und es wird z. T. mit nichtlinearen Bauteilkennlinien gerechnet. Dabei werden
die identifizierten linearen Parameter zugrunde gelegt und die zusätzlichen Para-
meter teils separat vermessen und teils aus der Literatur übernommen.
Für die linearen Modelle werden die Annahmen für ein Einspurmodell zugrunde
gelegt ([PS93]):
•Die Fahrgeschwindigkeit vist konstant.
•Das Fahrwerk hat zwei Freiheitsgrade: Gierbewegung und Schwimmbewe-
gung.
•Hub-, Nick- und Wankbewegung haben keine Radlastdifferenz zur Folge.
•Die Radaufstandspunkte, an denen die Seitenkräfte angreifen, werden achs-
weise in der Fahrzeugmitte zusammengefasst.
•Kleine Lenk- und Schräglaufwinkel und kleine Querbeschleunigungen ermög-
lichen es, mit einer linearisierten Seitenkraftkennlinie zu rechnen.
•Die Seitenkräfte werden momentan aufgebaut und unterliegen keiner verzö-
gernden Dynamik.
•Es liegen keine Umfangskräfte an den Rädern vor (die Räder haben kein
Trägheitsmoment).
Die Bewegung in Längsrichtung wird also nicht explizit betrachtet, stattdessen
ist die Fahrzeuglängsgeschwindigkeit (v) ein Parameter der Querdynamik. Dieses
Vorgehen bedingt, dass das Modell nur für positive Geschwindigkeiten gültig ist.
Es müsste daher korrekterweise von der führenden, statt von der vorderen, und
von der folgenden, statt der hinteren Achse gesprochen werden. Die Indizes vund
hsind jedoch kürzer. Da das Fahrzeug symmetrisch ist, werden im Regler, abhän-
gig vom Vorzeichen der Geschwindigkeit, alle Größen, die einer Achse zugeordnet
sind, vertauscht und das Vorzeichen aller Größen in Querrichtung geändert, be-
vor die Stellgrößen berechnet werden. Die Lenkwinkel werden dann entsprechend
zurückgetauscht.
Modell 16. Ordnung
Für das detaillierte Modell 16. Ordnung wird von vier Starrkörpern mit insgesamt
sieben DOF und vollkommen symmetrischer Anordnung ausgegangen (siehe auch
[Mey08]): das Fahrwerk (Achsrahmen und Linearmotor), der Aufbau (Nutzlast-
modul, Feder-/Neigerahmen und -Zylinder) und zwei Achsen (mit Rädern). Die
Starrkörper, ihre DOF und die Koppelelemente sind in Bild 3-10 dargestellt. Das
Fahrwerk (mFW ,ΘFW ) bewegt sich in einer Ebene quer zur Fahrtrichtung (yF W )
und um die Hochachse (Gieren, ψFW ). Der Aufbau (mA,ΘA,z,ΘA,x) bewegt sich
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 73
quer (yA), gierend (ψA) und wankend (um die Längsachse, φA). Sein Schwerpunkt
liegt lzüber dem Fahrwerk. Die Bewegungen Längs, Nicken und Huben werden
nicht betrachtet, da sie keinen Einfluss auf die Querdynamik haben. Aufgrund der
angenommenen Symmetrie ist die Gierbewegung des Aufbaus von den Bewegun-
gen in Querrichtung entkoppelt. Die Achsen (mR) mit Achsstand lRbewegen sich
in Querrichtung (yRv und yRh), ihr Schwerpunkt liegt in der Ebene des Fahrwerks.
Die Lenkbewegung (δRv und δRh) wird nicht als Freiheitsgrad modelliert. Es wird
davon ausgegangen, dass eine Lenkwinkelrate vorgegeben werden kann, und dass
die Lenkwinkel dieser Vorgabe mit perfektem I-Verhalten folgen5. Dieses Verhal-
ten kann durch eine entsprechende Regelung (siehe Abschnitt 3.2.2) der hydrau-
lischen Lenkzylinder erreicht werden.
mRv
mRh
mFW
θFW
yRh
yRv
yFW
ψFW
ψA
θA,z
Draufsicht
yRv
Frontansicht
yFW
yA
φA
mA
θA,x
Fahrtrichtung
yRh yRv
yFW
yA
ψFW
ψA
φA
Bild 3-10: Die vier Starrkörper und die Feder-/Dämpferelemente des linearen
Modells
Die Wirkung der vier Luftfedern wird in den betrachteten Bewegungsrichtungen
abstrahiert. Zwischen Fahrwerk und Aufbau wirken daher die Kräfte bzw. Mo-
mente von drei Feder-/Dämpferelementen: eine Kraft in Querrichtung (FF W,A),
ein Moment um die Längsachse (MF W,A,x) und ein Moment um die Hochach-
se (MFW,A,z). Zwischen dem Fahrwerk und den Achsen wirken die Kräfte von
Feder-/Dämpferelementen in Querrichtung (FRv,F W ,FRh,FW ).
5Die Berücksichtigung der Lenkwinkelrate hat zwei Gründe: Erstens kann die Dynamik der
Lenkwinkelregelung durch die Vorsteuerung der Lenkwinkelrate verbessert werden. Zweitens
ist die Lenkwinkelrate eine Zielgröße der in Kapitel 6 vorgestellten optimalen Regelung und
muss dafür im Regler bekannt sein.
Seite 74 Kapitel 3
Die Kräfte der Koppelelemente sind:
FRv,F W =cR,F W yFW +ψFW
lR
2−yRv!
+dR,F W ˙yFW +˙
ψFW
lR
2−˙yRv!
FRh,F W =cR,FW yFW −ψF W
lR
2−yRh!
+dR,F W ˙yFW −˙
ψFW
lR
2−˙yRh!
FFW,A =cFW,A (yF W −yA−φAlz) + dFW,A ˙yFW −˙yA−˙
φAlz
MFW,A,z =cψ(ψFW −ψA) + dψ˙
ψFW −˙
ψA
MFW,A,x =cφφA+dφ˙
φA+mAg(yFW −yA−lzφA)
(3-4)
Die externen Kräfte sind die Kräfte an den Rädern und die Schwerkraft. An den
Rädern wirken die geometrischen und die Schlupfkräfte (vgl. Abschnitt 2.2.1).
Aufgrund des geringen Sturzes und der zylindrischen Räder können die geome-
trischen Kräfte vernachlässigt werden6. Die Schlupfkräfte in Querrichtung resul-
tieren aus einem Quer- und einem Bohrschlupfanteil mit den Schupfkraftkoeffizi-
enten cαund cζ:
Fschl,v =cαδRv −˙yRv
v+yRv −yRh
lR+cζ
˙
δRv +˙
ψA
v
Fschl,h =cαδRh −˙yRv
v+yRv −yRh
lR+cζ
˙
δRh +˙
ψA
v
(3-5)
Die Schwerkraft hat einen Einfluss auf die Querdynamik, wenn die Fahrzeughoch-
achse – bedingt durch eine Gleisüberhöhung φGl7– nicht parallel zur Richtung
der Erdbeschleunigung ist. Bei der Berücksichtigung von Überhöhungen müsste
das Fahrwerk korrekterweise auch einen Wankfreiheitsgrad haben. Es wird jedoch
davon ausgegangen, dass sich die Überhöhung nur langsam, also quasi stationär
6Nach Gleichung (2-1) ist die Rückstellsteifigkeit crck ca. 2000 N m−1. Die DGL der Fahrzeug-
querbewegung kann vereinfacht als m·¨y=−2crck ·y−2cα/v ·˙yangeschrieben werden. Mit
einer Schräglaufsteifigkeit von 200 kN hat dieses System eine langsame Zeitkonstante von
ca. 100 m/v. Allein durch die Gravitationsrückstellkraft ist eine Anfangsauslenkung also erst
nach 100 m zu 63,2 % abgebaut.
7Eine Gleisüberhöhung ist ein Höhenunterschied zwischen den Schienen. Eine planmäßige
Überhöhung in Radien reduziert die Querkräfte auf den Gleiskörper. Gleisüberhöhungen
können jedoch auch die Folge von Gleislagefehlern sein.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 75
ändert, sodass sie durch eine „Einblendung“ der Scherkraft hinreichend genau
modelliert wird. Damit ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen:
mR¨yRv =Fschl,v +FRv,F W −mRg φGl
mR¨yRh =Fschl,h +FRh,F W −mRg φGl
mFW ¨yFW =−FRv,F W −FRh,FW −FFW,A −mFW g φGl
ΘFW ¨
ψFW =lR
2(FRh,F W −FRv,F W )−MFW,A,z
mA¨yA=FF W,A −mAg φGl
ΘA,x ¨
φA=−MFW,A,x +FFW,A lz
ΘA,z ¨
ψA=MFW,A,z
(3-6)
Aus den Bewegungsgleichungen lassen sich direkt die Dynamik- und die Eingangs-
matrix für die Zustandsraumdarstellung ableiten. Es ergeben sich 16 Zustände:
die sieben Bewegungskoordinaten und ihre Ableitungen sowie je ein Zustand für
die Dynamik der Lenkzylinder. Die Stelleingänge sind die Ableitungen der Lenk-
winkel vorn und hinten. Bild 3-11 zeigt die Struktur des Modells 16. Ordnung,
wie es für die Auslegung des Zustandsreglers in Abschnitt 6.5 verwendet wird.
Dort ist ebenfalls das stochastische Modell der Gleislagefehler dargestellt, das in
Abschnitt 3.5 beschrieben wird.
Fahrzeug-
dynamik
relativ zur
Trassierung
δRv,rel
δRv,rel
.
yRv
δRh,rel
δRh,rel
.
φGl
-
-
Lenkwinkel zur
Vorsteuerung der
Trassierung
δkurve
yRv,rel
yRh
Stochastisches
Gleislagefehler-
modell
-
yGl,v Padé-
Glied
yGl,h
-yRh,rel
v
(Parameter)
Bild 3-11: Struktur des Modells 16. Ordnung mit den Stell- und Regelgrößen und
dem Modell der Störgröße
Modell zur Zustandsschätzung und zur Vorsteuerung
Da den Gleichungen (3-4) die Annahme kleiner Gierwinkel ψF W zugrunde liegt,
kann das Modell 16. Ordnung keine Kurvenfahrten abbilden. Abhilfe schafft eine
Transformation des Zustandsvektors:
Seite 76 Kapitel 3
•Die Geschwindigkeit der Achsen wird relativ zum Fahrwerk betrachtet:
˙yRv,rel = ˙yRv −˙yF W −lR/2˙
ψFW und ˙yRh,rel entsprechend.
•Die Verschiebung und Verdrehung des Fahrwerks wird relativ zu den Achsen
betrachtet: yF W,rel =yF W −yRv+yRh
2und ψFW,rel =ψF W −yRv−yRh
lR.
•Die Bewegung des Aufbaus wird relativ zum Fahrwerk betrachtet:
yA,rel =yA−yF W und ψA,rel =ψA−ψFW (Ableitungen entsprechend).
•Zur besseren Vergleichbarkeit mit dem klassischen Einspurmodell wird die
Quergeschwindigkeit als Schwimmwinkel dargestellt: β=˙yF W
v−ψFW .
Diese Transformationen bewirken, dass alle Lagekoordinaten relativ zueinander
sind. Die Absolutlage der Achsen (yRv und yRh) und insbesondere der Gierwinkel
haben keinen Einfluss auf die anderen Zustände und können daher entfallen.
Dadurch sind dann alle Zustände auch bei Kurvenfahrt gültig, ohne dass die für
die Linearisierung gemachte Annahme kleiner Gierwinkel verletzt wird:
xabs =hyFW,rel, ψF W,rel,˙
ψFW , β, ˙yRv,rel,˙yRh,rel
ψA,rel, yA,rel, φA,˙
ψA,rel,˙yA,rel,˙
φAi(3-7)
Dieses Modell 12. Ordnung ist die Grundlage des in Abschnitt 6.5.1 beschrie-
benen Kalman-Filters und wird zur Berechnung der Vorsteuerungszustände in
Abschnitt 4.2 verwendet. Die sehr genau gemessenen bzw. zur Vorsteuerung be-
rechneten Lenkwinkel werden hierbei nicht mehr als Zustand aufgefasst, sondern
direkt als Eingang aufgeschaltet. Zu den Lenkwinkeln, die die Stelleingänge der
Regelung sind, kommt beim Beobachter die Gleisüberhöhung8als weiterer Ein-
gang hinzu. Die Struktur des Modells mit den Eingängen und Messgrößen ist in
Bild 3-12 dargestellt.
Fahrzeug-
dynamik
in Absolut-
koordinaten
δRv .
ψFW
δRh
φGl
aFW,v,aFW,h
aA,v,aA,h,aA,ψ
v
(Parameter)
Bild 3-12: Struktur des Modells 12. Ordnung mit den Stell- und Messgrößen
8Die Gleisüberhöhung wird positionsabhängig aus einer zuvor vermessenen Karte ermittelt.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 77
Zur Auslegung des Zustandsschätzers, der als Kalman-Filter implementiert wird,
müssen die Störungen bekannt sein, die das Modell anregen und die den Messgrö-
ßen überlagert sind. Da die Modellierung der physikalischen Ursachen der Störun-
gen zu aufwendig ist, wird ersatzweise angenommen, dass die Aufbaubeschleuni-
gungen und die Lenkwinkel stochastischen Störungen unterliegen. Dazu werden
entsprechende Störeingänge definiert, deren Identifikation in Abschnitt 3.4 be-
schrieben wird.
Messgrößen
Zur Zustandsrekonstruktion werden die folgenden Größen gemessen:
•die Gierrate des Fahrwerks ˙
ψFW
•die Querbeschleunigung des Fahrwerks über der Vorder- und Hinterachse
(aFW,v und aFW,h)
•die Querbeschleunigung des Aufbaus senkrecht über und unter dem Schwer-
punkt (aA,o und aA,u)
•die Gierbeschleunigung des Aufbaus aA,ψ
Damit ergeben sich die folgenden Ausgangsgleichungen:
aFW,v = ¨yF W +lR
2¨
ψFW +g φGl
aFW,h = ¨yF W −lR
2¨
ψFW +g φGl
aA,o = ¨yA−lA,o ¨
φA+g φA+g φGl
aA,u = ¨yA−lA,u ¨
φA+g φA+g φGl
aA,ψ =¨
ψA
(3-8)
Flachheitsbasiertes Modell
Ein vereinfachtes Modell mit nur sechs Zuständen resultiert, wenn die Dynamik
der Achsen und des Aufbaus vernachlässigt wird. Alle Massen und Massenträg-
heiten werden dann zu einem Gesamtfahrzeug-Starrkörper zusammengefasst. Die
Vernachlässigung der Aufbaudynamik stellt eine starke Vereinfachung dar, da die
Massen von Aufbau und Fahrwerk annähernd gleich sind und der Aufbau somit
eine Tilgerwirkung im Frequenzbereich zwischen 2 Hz und 6 Hz hat (abhängig von
der Bewegungsform und der Geschwindigkeit).
Das Modell 6. Ordnung hat die Eigenschaft, dass die Absolutlage der Achsen, also
die Regelgröße, ein flacher Ausgang ist. Obwohl alle steuerbaren, linearen Sys-
teme die Eigenschaft der Flachheit haben, können nicht immer flache Ausgänge
mit physikalischer Bedeutung gefunden werden (siehe z. B. [FLM+99]). Für den
Seite 78 Kapitel 3
flachen Ausgang gilt, dass alle Zustände und Eingänge des Systems aus dem Aus-
gang und einer endlichen Anzahl seiner Ableitungen rekonstruiert werden können
([LN03]). Für die Regelung bedeutet dies, dass Systeme, deren Regelgröße ein fla-
cher Ausgang ist, unter drei Bedingungen perfekt gesteuert werden können, ohne
dass hierfür Differenzialgleichungen gelöst werden müssen9:
1) Das Modell bildet die Strecke exakt nach.
2) Es liegen keine Störungen der Strecke vor, und der Anfangszustand ist exakt
bekannt.
3) Die Führungstrajektorie ist mit der entsprechenden Anzahl der Ableitungen
bekannt und ist mit den Anfangszuständen konsistent.
Diese Bedingungen lassen sich bei realen Systemen nicht vollkommen erfüllen.
Gleichwohl kann mit einer flachheitsbasierten Vorsteuerung in vielen Fällen eine
Verbesserung des Führungsverhaltens – insbesondere bei dynamischen Führungs-
größen – erzielt werden. Für die in Abschnitt 5 vorgestellte Trajektorienvorsteue-
rung wird daher aus dem Modell 6. Ordnung die flachheitsbasierte Stellwertbe-
rechnung abgeleitet:
δRv =yRh −yRv
lR
+˙yRv
v
+¨yRv (l2
RmFZ −4 ΘFZ)
4cαl2
R
+¨yRh (l2
RmFZ + 4 ΘFZ)
4cαl2
R
δRh =yRh −yRv
lR
+˙yRh
v
+¨yRv (l2
RmFZ + 4 ΘFZ)
4cαl2
R
+¨yRh (l2
RmFZ −4 ΘFZ)
4cαl2
R
(3-9)
3.4 Identifikation
Die Parameter des linearen Modells werden mit drei unterschiedlichen Metho-
den identifiziert (die Parameter, ihr Wert und die Methode sind in Tabelle 3-2
aufgelistet):
Konst: Der Achsstand kann direkt aus den Konstruktionsdaten abgelesen werden.
9Die Ausnutzung der Flachheit ist besonders dann sinnvoll, wenn der Verlauf der (dynami-
schen) Führungsgröße mit der benötigten Anzahl der Ableitungen bekannt ist. Ist die Dif-
ferenzenordnung der Ausgänge größer null, müssten andernfalls die Ableitungen z. B. durch
eine entsprechende Filterung berechnet werden, was indirekt auch bei einer modellbasierten
Vorsteuerung mit vollständiger Entkopplung geschieht.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 79
Schätz: Die Massen der vier Starrkörper können näherungsweise aus den Kon-
struktionsdaten ermittelt werden. Der Aufbau wurde zusätzlich gewogen. Das
Gewicht der Linearmotoren ist sehr genau aus Herstellerdaten bekannt.
Opt: Die restlichen Parameter werden mit der folgend beschriebenen Methode
identifiziert.
Tabelle 3-2: Parameters des linearen Modells und die Methode, mit der sie iden-
tifiziert werden.
Parameter Wert Einheit Methode Beschreibung
mR40 kg Schätz Masse Achse
mF W 500 kg Schätz Masse Fahrwerk
mA600 kg Schätz Masse Aufbau
ΘF W 307 kg m2Opt Trägheitsmoment Fahrwerk
ΘA,z 255 kg m2Opt z-Trägheitsmoment Aufbau
ΘA,x 256 kg m2Opt x-Trägheitsmoment Aufbau
lR1,7 m Konst Achsstand
lz0,44 m Opt Schwerpunktlage Aufbau
cα269 820 N Opt Schräglaufsteifigkeit
cα(n=6) 162 303 N Opt Schräglaufsteifigkeit
cζ19 N m−1Opt Bohrschlupfbeiwert
cR,F W 1 866 300 N m−1Opt Federsteifigkeit Achse-Fahrwerk
dR,F W 73 N s m−1Opt Dämpfung Achse-Fahrwerk
cF W,A 297 270 N m−1Opt Federsteifigkeit Fahrwerk-Aufbau
dF W,A 2227 N s m−1Opt Dämpfung Fahrwerk-Aufbau
cφ31 245 N Opt Drehsteifigkeit Fahrwerk-Aufbau um x
dφ1018 N s Opt Drehdämpfung Fahrwerk-Aufbau um x
cψ183 630 N Opt Drehsteifigkeit Fahrwerk-Aufbau um z
dψ735 N s Opt Drehdämpfung Fahrwerk-Aufbau um z
Die Identifikation der Parameter, die nicht direkt ermittelt oder gemessen wer-
den können, erfolgt im Frequenzbereich mithilfe einer Standardroutine zur ab-
leitungsfreien Minimierung einer nichtlinearen Kostenfunktion (MATLAB-Funk-
tion fminsearch). Die Kostenfunktion bewertet die Abweichung zwischen den
Übertragungsfunktionen eines Modells und denen des realen Systems. Die Über-
tragungsfunktionen werden an Stützstellen zwischen 0 Hz und 30 Hz vergli-
chen. Bewertet wird die Summe der Beträge der Differenzen. Es werden alle
Übertragungsfunktionen zwischen den Eingängen h˙
δRv,˙
δRhiund den Ausgängen
h˙
ψFW , aFW,v, aF W,h, aA,ψ, aA,o, aA,uibetrachtet. Die Übertragungsfunktionswer-
te des realen Systems in den Frequenzstützstellen fiwerden wie folgt aus Mess-
daten berechnet (MATLAB-Funktion tfestimate):
Tuy (fi) = Suy (fi)
Suu (fi)=U∗(fi)·Y(fi)
U∗(fi)·U(fi)(3-10)
Dabei ist Suy das Kreuzleistungsdichtespektrum von Eingangs- und Ausgangssi-
gnal und Suu das Autoleistungsdichtespektrum des Eingangs (U(fi)und Y(fi)
Seite 80 Kapitel 3
sind die diskret Fouriertransformierten des Ein- bzw. Ausgangs). Die Messdaten
werden mit aktiver Spurführung bei verschiedenen Geschwindigkeiten aufgezeich-
net. Die Identifikation wird für jeden Datensatz getrennt durchgeführt und die
ermittelten Parameter gemittelt.
Die so ermittelten Parameter bilden das System im relevanten Frequenzbereich
und bei den betrachteten Anregungen ab. Die große Datenbasis sorgt für eine aus-
reichende Mittelung der Nichtlinearitäten, insbesondere der Luftfedern und der
Schlupfkräfte. Die ermittelten Werte für die Trägheitsmomente und die Schwer-
punktlage des Aufbaus stimmen gut mit denen aus den Konstruktionsdaten über-
ein. Auch die die Feder- und Dämpferkonstanten des Aufbaus entsprechen in etwa
den in [Hes05] identifizierten, und die Federsteifigkeit der Achse ist erwartungs-
gemäß sehr hoch. Lediglich die Schräglaufsteifigkeit scheint sehr gering zu sein10,
zumal die Normalkraft des Antriebs zu einem im Mittel höheren Wert führen
sollte.
Entscheidend ist jedoch die gute Abbildung der Dynamik, und in [Wan09] konn-
te gezeigt werden, dass die Sensibilität gegenüber dem Parameter cαgering ist
(für Parameterwerte im Bereich zwischen 20 000 N und 500 000 N ändert sich das
Übertragungsverhalten nur unwesentlich). Die Schräglaufsteifigkeit für das Mo-
dell 6. Ordnung, cα,6, hat einen geringeren Wert, da im Gegensatz zum Modell 16.
das Tilgungsverhalten der Achse fehlt und die Radkräfte direkt auf das Fahrwerk
wirken.
Die Standardabweichungen des Eingangs- und Messrauschens zur Ausle-
gung des Kalman-Filters werden in zwei Schritten bestimmt (die identifizierten
Werte sind Tabelle 3-3 zusammengefasst). Zunächst wird das Ruherauschen (also
das Rauschen im Stillstand) der Sensoren gemessen und daraus das Messrauschen
abgeleitet. Da die Beschleunigungssensoren auch Strukturschwingungen aufneh-
men, die nicht modelliert wurden, wird hier zu der Standardabweichung des Ru-
herauschens noch 0,1 m s−2addiert. Das Eingangsrauschen wird so bestimmt, dass
es die Unsicherheiten in der Modellierung (Lose in der Lenkung, Nichtlinearität
der Luftfedern) abbildet und gleichzeitig das resultierende Kalman-Filter ein ak-
zeptables Vorhersageverhalten aufweist11 (dieses wird visuell bewertet).
10 Nach Frederich (Gleichung (2-5)) sollte bei einem Fahrzeuggewicht von 600 kg pro Achse und
einem Schlupf von 0–3,1860 ·10−4eine Schräglaufsteifigkeit zwischen 1295 kN und 1078 kN
zu erwarten sein.
11 Die Eingangs- und Messkovarianzen haben eine ähnliche Funktion wie die Gewichtungsma-
trizen beim Riccati-Regler. Daher sind nicht ihre absoluten Werte von Bedeutung, sondern
ihr Verhältnis zueinander. Bei gegebener Standardabweichung des Messrauschens kann also
über das Eingangs- oder Systemrauschen festgelegt werden, ob sich die Schätzung mehr an
den Messungen orientiert (große Werte), oder ob das Filter mehr dem Modell „vertraut“
(kleine Werte).
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 81
Tabelle 3-3: Die Standardabweichungen des Eingangs- und Messrauschens zur
Auslegung des Kalman-Filters.
Ausgang Wert Einheit Beschreibung
˙
ψF W 0,03 rad s−1Drehrate Fahrwerk
aF W,v, aF W,h 0,25 m s−2Querbeschleunigung Fahrwerk
aA,ψ 0,75 m s−2Gierbeschleunigung Aufbau
aA,o, aA,u 0,35 rad s−2Querbeschleunigung Aufbau
Eingang
δRv, δRh 0,4 mrad Lenkwinkel
¨
ψA0,1 rad s−2Gierbeschleunigung Aufbau
¨yA0,1 m s−2Querbeschleunigung Aufbau
¨
φA0,1 rad s−2Wankbeschleunigung Aufbau
3.5 Trassierung und Gleislagefehler
Das Schienenpaar des Gleises begrenzt den Fahrweg, in dem sich das Schienen-
fahrzeug bewegen kann, und gibt damit den Verlauf des Fahrwegs vor. Bei der Pla-
nung eines Fahrwegs geht man von einer idealen Linienführung, der sogenannten
Trassierung aus, die sich aus den Trassierungselementen zusammensetzt ([Fen07]).
Diese Teilstücke können Geraden, Kreisbögen oder Übergangsbögen sein. Die
Übergangsbögen sind meist Klothoiden, im Bahnbau auch kubische Parabeln.
Sie dienen einer stetigen Krümmungsänderung und damit einem sprungfreien
Verlauf der Querbeschleunigung zwischen geraden und kreisförmigen Stücken der
Trasse. Die Trassierung ist die Mittellinie, um die die Schienen mit einem festen
Abstand, der sogenannten Spurweite, verlegt werden. Bedingt durch die endli-
che Genauigkeit beim Verlegen der Schienen, durch thermische und mechanische
Verformung und durch Verschleiß weicht der tatsächliche Schienenverlauf von der
idealen Trassierung ab. Diese Abweichungen werden als Gleislagefehler bezeich-
net (vgl. [DIN09]). Es werden Quer- und Höhenlagefehler unterschieden, wobei
Letztere nur einen indirekten Einfluss auf die Spurführung haben (Anregungen in
vertikaler Richtung können zu einer Verminderung der Querstabilität führen). Da
die Lagefehler der rechten und linken Schiene größten Teils unabhängig vonein-
ander auftreten, können sie in Summe sowohl zu einer Änderung der Spurweite,
als auch zu einer Verschiebung der Mittellinie relativ zur Trassierung führen.
3.5.1 Trassierung
Die Versuchsstrecke der NBP besteht aus einem Oval (454,66 m) mit einer Weiche,
die in einem Zubringer abzweigt. Der Zubringer (69,76 m ohne Garage) bildet
die Zufahrt zur Fahrzeuggarage. Für die Erprobung der aktiven Spurführung
wird im Folgenden nur noch das Oval betrachtet. Das doppelt achssymmetrische
Oval setzt sich aus zwei Geraden (50 m), zwei Kreisbögen (40 m Radius, 77,27 m
Länge) und den Übergangsbögen dazwischen, die als Klothoiden (50 m Länge)
ausgeführt sind, zusammen. Das Oval ist teilweise aufgeständert, wodurch ein
Seite 82 Kapitel 3
Höhenunterschied von ca. 4,5 m erzielt wird. Dieser in Bild 3-13 dargestellte Berg
hat an der einen Seite eine Steigung von 5,3 % und an der anderen von 2,5 %. Der
Einfluss der Steigung auf die Spurführung wird jedoch vernachlässigt.
0 NW W SW S SO O NO N
0
1
2
3
4
5
Streckenmarken
Höhenprofil in m
Bild 3-13: Das Höhenprofil des Ovals, aufgetragen gegen den Uhrzeigersinn
In Bild 3-14 sind die Endpunkte der Trassierungselemente entsprechend den Rich-
tungen einer Windrose mit 8-Strich-Teilung gekennzeichnet. Dies dient später der
einfachen Kennzeichnung in ortsabhängigen Graphen.
Klothoiden sind Kurven mit einer sehr einfachen mathematischen Beschreibung:
Ihre Krümmung κändert sich linear mit der Bogenlänge sP os:
κKlothoide =κstart + (κende −κstart)sP os −sstart
sende −sstart
(3-11)
Trotz dieser einfachen Beschreibung lässt sich der Funktionsgraph einer Klothoi-
den nicht analytisch angeben, er kann nur durch numerische Integration angenä-
hert werden. Für die Regelung ist dies jedoch nicht von Belang, da die Ortskurve
der Trassierung und auch ihre Tangente hierfür nicht benötigt werden. In die Kur-
venvorsteuerung gehen lediglich der Verlauf der Krümmung, wie er in Bild 3-15
dargestellt ist, und die Geschwindigkeit ein.
3.5.2 Gleislagefehler
Die Gleislagefehler auf der Versuchsstrecke sind überwiegend auf schlecht verlegte
Schienen zurückzuführen. In diesem Abschnitt sollen vornehmlich die sogenann-
ten Quer- oder Richtungslagefehler betrachtet werden. Die Querhöhenlagefehler
bzw. die Überhöhung werden für den Beobachter benötigt und dafür mit einer
Wasserwaage vermessen (siehe Bild 3-16). Die Spurweitenfehler bzw. das Spur-
spiel werden für die Trajektorienplanung benötigt und lassen sich einfach mithilfe
der Wirbelstromsensoren vermessen. Auf die Dynamik haben sie keinen Einfluss.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 83
S2
S3
S4
Schwerpunktstation S1
(Umrichter) Garage &
Leitwarte
Schuppen
Laterne
Universität (W Gebäude)
Mersinweg
Südring
Radius 40 m
Zubringer
s= 274 m
s= 224 m
s= 47 m
s= 451 m
Weiche
(0 m)
s= 401 m
s= 324 m
s= 97 m
s= 174 m
W
SW
S
SO
ONO
N
NW
K
r
e
i
s
b
o
g
e
n
(
7
7
m
)
Gerad
e
(50 m)
K
l
o
t
h
o
ide (50
m)
Au
f
ständ
e
rung
S
t
e
i
g
u
n
g
5
,
3
%
Steigun
g
2,5 %
N
O
S
W
SO
SW
NO
NW
NNW
NNO
ONO
OSO
SSO
SSW
WSW
WNW
Bild 3-14: Die Karte des Vermessungsamtes des Gleisovals und des Zubringers
der Versuchsstrecke sowie die Endpunkte der Trassierungselemente
Seite 84 Kapitel 3
0 NW W SW S SO O NO N
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Streckenmarken
Krümmung κ in 1/m
Bild 3-15: Der Krümmungsverlauf des Ovals
Die Längshöhenlagefehler werden vernachlässigt, da sie hauptsächlich Einfluss auf
die Hubanregung des Fahrzeugs haben.
0 NW W SW S SO O NO N
−1
−0.5
0
0.5
Streckenmarken
Überhöhung in °
Bild 3-16: Die Überhöhung im Oval, vermessen in 15 m Abständen mit einer Was-
serwaage
Die Schienen sind aus 10 m Stücken zusammengeschweißt und wurden bei Frost
verlegt. Daher herrscht fast ständig eine positive Temperaturdifferenz zum Ver-
legzustand, die zu großen Druckspannungen führt. Durch diese thermischen Span-
nungen und die schlechte Ausrichtung an den Schweißstellen wellen sich die Schie-
nen in Querrichtung. Hinzu kommt, dass in den Übergangsbögen nicht der vor-
gesehene Klothoidenverlauf eingehalten wurde, sondern stattdessen Stücke mit
konstantem Radius verlegt wurden, die nur in den Endpunkten in der Lage und
Richtung korrekt sind. Da der genaue Verlauf der verbauten Bögen nicht bekannt
ist und die sprunghafte Änderung der Krümmung ohnehin zu nicht differenzierba-
ren Lenkwinkelverläufen führen würde, muss diese Abweichung als Gleislagefehler
betrachtet werden.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 85
Modellierung mit Splines
Eine flachheitsbasierte Vorsteuerung der Gleislagefehler setzt einen mindestens
dreifach stetig differenzierbaren Verlauf (yGl (sPos)∈C3) voraus, da Gleichung
(3-9) für die Vorsteuerung der Lenkwinkelgeschwindigkeit ein weiteres Mal dif-
ferenziert werden muss. Im Hinblick auf die begrenzten Ressourcen der Echt-
zeitumgebung sollten die Rechenzeit und der Speicherbedarf für die Auswertung
der Funktionswerte möglichst gering sein. Unter diesen Bedingungen bieten sich
kubische Splines für die Darstellung der Verlaufsfunktion an.
Ein Spline n-ten Grades ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen Si(x)mit
maximalem Grad n zusammengesetzt ist. Dabei wird gefordert, dass der Spline
an den Knotenpunkten, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen, (n−1)
mal stetig differenzierbar ist.
Kubische Splines sind durch eine Reihe von mStützpunkten (xi, yi), auch Knoten
genannt, und zwei Endpunktbedingungen definiert (vgl. [PTV+07]). Die Stütz-
punktwerte yikönnen einem äquidistanten oder einem beliebigen Raster xivor-
liegen und werden von dem Spline exakt interpoliert. Der Spline ist nur in den
offenen Intervallen zwischen je zwei benachbarten Knoten definiert.
Als Randbedingung wird meist der sogenannte freie Rand oder natürliche Spline
gewählt. Hierbei wird gefordert, dass die zweite Ableitung an den Randknoten
gleich null ist (y00 = 0). Aus den Definitionsdaten lassen sich die zweiten Ableitun-
gen des Splines in den Stützpunkten y00
idurch eine Matrixoperation berechnen.
Ein Funktionswert (und die ersten drei Ableitungen) des Splines wird dann mit-
Seite 86 Kapitel 3
hilfe der Stützpunktwerte und den zweiten Ableitungen der beiden benachbarten
Knoten berechnet:
x∈[xi, xi+1]
hi= (xi+1 −xi)
a(x) = x−xi
hi
b(x) = 1 −a
c(x) = h2
i
6a3−a
d(x) = h2
i
6b3−b
y(x) = a(x)yi+b(x)yi+1 +c(x)y00
i+d(x)y00
i+1
y0(x) = yi+1 −yi
hi
+hia(x)b(x)
2y00
i−y00
i+1
y00 (x) = a(x)y00
i+b(x)y00
i+1
y000 (x) = y00
i+1 −y00
i
hi
(3-12)
Da die zweiten Ableitungen vorab berechnet werden, reduziert sich der Rechen-
aufwand zur Laufzeit auf ein Minimum.
Für die Darstellung der Gleislagefehler wird ein äquidistantes Raster mit einer
Stützstellenweite von 0,85 m gewählt. Das entspricht dem halben Achsstand. Die
Vorder- und die Hinterachse befinden sich also immer an der gleichen Stelle (a(x))
in zwei aufeinanderfolgenden Intervallen. Die Stützstellenweite ist so gewählt, dass
der Spline die identifizierten Gleislagefehler mit geringen Abweichungen annähert
und gleichzeitig mit einer geringen Anzahl von 535 Stützstellen auskommt.
Da die identifizierten Gleislagefehler zunächst in einem viel engeren Raster vorlie-
gen, werden die Stützstellenwerte mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
als Koeffizienten eines überbestimmten Gleichungssystems berechnet.
Identifikation aus Messdaten
Bei der Vermessung bzw. Identifikation der Gleislagefehler ergibt sich die Schwie-
rigkeit, dass das Referenzsystem, in dem die Abweichungen gemessen werden
sollen, also die Trassierungslinie, auf der Strecke nicht zur Verfügung steht. Eine
absolute Vermessung des Gleisverlaufs in geodätischen Koordinaten, beispielswei-
se mithilfe eines differenziellen GPS-Systems, scheidet aufgrund der hohen Kosten
und der geforderten Genauigkeit von ±0,5 mm ebenfalls aus.
Damit verbleibt nur noch die Möglichkeit, die Identifikation auf der Grundlage
der Bewegungsgrößen und der relativen Messungen aus Tabelle 3-1 durchzufüh-
ren (lediglich die Streckenposition sP os, steht mit ausreichender Genauigkeit als
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 87
absoluter Wert zur Verfügung). Die Idee dabei ist es, die absolute Bahn, auf der
sich das Fahrzeug bei der Messung bewegt hat, durch (doppelte) Integration der
geschätzten Bewegungsgrößen des Fahrwerks ( ˙
ψFW ,βund v) zu rekonstruieren.
Die dabei unvermeidlich auftretende Drift muss mithilfe von Randbedingungen
korrigiert werden.
Im ersten Schritt werden der Winkel der Abweichung der Fahrzeugachse zur Tras-
sentangente ψrel und die relative Richtung des Geschwindigkeitsvektors φrel be-
stimmt:
ψrel(t) = Z˙
ψFW (t)−v(t)κ(sPos(t)) −Cdt
φrel(t) = ψrel +β
(3-13)
Dabei wird Cso gewählt, dass der Integrand mittelwertfrei ist. Die Trassenkrüm-
mung ist entsprechend Bild 3-15. Die Abweichung des Fahrzeugschwerpunkts von
der Trassierungslinie ergibt sich dann durch nochmalige Integration:
yFW (t) = Zv(t)φrel(t) dt(3-14)
Die Abweichung des Fahrzeugschwerpunkts wird nun zunächst auf die Basis der
Streckenposition umgerechnet (yF W (sPos)usw.). Bei der Berechnung der Quer-
abweichungen der Achsen wird ihre Verschiebung relativ zum Fahrwerk vernach-
lässigt (sie ist kleiner als 0,1 mm):
yRv(sP os +lR
2) = yFW (sP os) + ψrel(sP os)lR
2
yRh(sPos −lR
2) = yFW (sPos)−ψrel(sP os)lR
2
(3-15)
Die gesuchte Abweichung des Gleisverlaufs gemessen an der Vorder- und Hinter-
achse ergibt sich schließlich gemäß Gleichung (3-1). Aus den beiden Schätzungen
wird der Mittelwert gebildet und dieser mit einem phasenfreien Hochpass gefiltert
(die MATLAB-Funktion filtfilt wendet ein zeitdiskretes Filter erst vorwärts
und dann rückwärts auf die Daten an). Das Ergebnis ist in Bild 3-17 dargestellt.
Dort ist gut zu erkennen, dass die Amplitude der Gleislagefehler im Bereich der
Geraden (S-SO) sehr viel kleiner ist als in den Kurven. Dies ist auf die schlech-
ten Toleranzen und die kurzen Teilstücke der gebogenen Schienen in den Kurven
zurückzuführen.
Optische Identifikation
Zur Verifikation der dynamisch identifizierten Gleislagefehler werden Messungen
mit absoluter Referenz benötigt. Diese Referenz ist in den Kurven nicht darstell-
bar. Daher wird die Verifikation exemplarisch im Abschnitt der Geraden S-SO
durchgeführt. Um Aufwand und Kosten gering zu halten, wird die Vermessung
optisch, mithilfe handelsüblicher Web-Cams (Auflösung 800×600 pixel) durch-
geführt. Als Referenz wird ein sehr dünnes Kabel verwendet, das in der Mitte
Seite 88 Kapitel 3
SW S SO O
−20
−10
0
10
20
Gl.lagefehler in cm
SO O NO N
−20
−10
0
10
20
Gl.lagefehler in cm
Streckenmarke
NW W SW S
−20
−10
0
10
20
Gl.lagefehler in cm
10 m
Bild 3-17: Die Stützpunkte und die Spline-Interpolation der dynamisch identifi-
zierten Gleislagefehler in den drei wichtigen Abschnitten des Ovals (mit
Überlappung: Westkurve, Südgerade und Ostkurve)
zwischen den Schienen gespannt ist. Um eine möglichst hohe Auflösung zu er-
halten, werden drei Web-Cams verwendet, eine zur Aufnahme des Kabels und
je eine für die rechte und linke Schiene. Die Kameras werden so niedrig geführt,
dass sie einen Ausschnitt von ca. 6 cm Breite aufnehmen. Zur Aufnahme einer
überlappenden Bilderserie sind die Kameras an einem speziellen Messfahrzeug
montiert (siehe Bild 3-18). Der Abstand zwischen rechter und linker Schiene und
der Referenz wird durch einen modifizierten Standardalgorithmus zur Kantener-
kennung berechnet. Da die drei Kanten in unterschiedlichen Bildern aufgenommen
werden, müssen die Kameras zuvor mit einem gemeinsamen Schachbrettmuster
kalibriert werden. Die Längsposition der Bilder wird durch Interpolation zwischen
den Statorlücken bestimmt, die auf den Bildern des Kabels erkannt werden. Der
genaue Ablauf der Bildaquisition, Kantenerkennung und Messauswertung ist in
[Bie09] beschrieben. Das Ergebnis der optischen Vermessung wird gemäß Glei-
chung (3-3) in die Querabweichung der Gleismittellinie und das Spurspiel um-
gerechnet. Bild 3-19 zeigt die gute Übereinstimmung der Identifikation auf der
Grundlage der Bewegungsgrößen mit den optisch vermessenen Gleislagefehlern.
Dabei ist sogar der Einfluss der Schweißnähte auf den Verlauf zu erkennen.
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 89
Schienenkopf
Schienenkopf
Lokales
Koordinaten-
system der
Kamera
Richtschnur
Messfahrzeug
Fremdlichtgeschützte Kameras
Schienen
Stator
Richtschnur als feste Referenz
Bild 3-18: Der Messaufbau für die optische Vermessung (oben) und ein zusam-
mengesetztes Bild der drei Kameras mit überlagerten lokalen Koordi-
natensystemen (unten)
S SO
−10
−5
0
5
10
Gl.lagefehler in mm
Streckenmarke
10 m
optisch
dynamisch
Schweißnaht
Bild 3-19: Die Überlagerung der optisch und dynamisch identifizierten Gleislage-
fehler
Spurspiel
Da das Spurspiel eine relative Größe ohne absoluten Bezugspunkt ist, kann es
ohne großen Aufwand direkt von den Wirbelstromsensoren gemessen werden. Die
unabhängigen Messungen an der Vorder- und der Hinterachse ermöglichen dabei
eine gegenseitige Überprüfung der Messgüte. In Bild 3-20 ist zu erkennen, dass
das Spurspiel, gemessen an den beiden Achsen, sehr gut übereinstimmt und zwi-
schen 4 mm und 12 mm schwankt. Ebenfalls dargestellt ist das Spurspiel aus der
optischen Vermessung wird mit den Werten der Wirbelstromsensoren verglichen
und validiert somit die Güte der Wirbelstromsensoren.
Mehrere Messungen über einen größeren Zeitraum zeigen auch eine große Wie-
derholgenauigkeit, sodass sogar eine Positionsbestimmung anhand der Spurspiel-
Seite 90 Kapitel 3
signatur über einen kurzen Messabschnitt denkbar ist. Ein ähnlicher Ansatz auf
Basis der Signatur von Weichen wird in [EML00] vorgeschlagen.
S SO
0
2
4
6
8
10
12
Spurspiel in mm
Streckenmarke
10 m WSS vorn
WSS hinten
optisch
Bild 3-20: Das Spurspiel in der Südgeraden, gemessen an der Vorder- und Hin-
terachse und durch optische Vermessung
Stochastische Modelle
Neben der Beschreibung konkret vermessener Gleislagefehler wird auch eine all-
gemeine Beschreibung der stochastischen und spektralen Eigenschaften benötigt.
Bei dieser Art der Modellierung wird davon ausgegangen, dass Gleislagefehler das
Ergebnis eines stationären stochastischen Prozesses sind. Es wird allgemein von
gefiltertem weißen Rauschen ausgegangen (vgl. [PD06] oder [Gol03]), das durch
seine spektrale Leistungsdichte charakterisiert ist. Eine typische Verteilung der
Gleislagefehler über das örtliche Spektrum ist in Bild 3-21 dargestellt. Diesem
Frequenzgang liegt die folgende Übertragungsfunktion (im zeitlichen Frequenz-
bereich von der Fahrzeuggeschwindigkeit vabhängig) mit den Parametern aus
Tabelle 3-4 zugrunde:
Y(s) = k(T1s+ 1) (T2
2s2+ 2 D2T2+ 1)
(T2
3s2+ 2 D3T3+ 1)2(T4s+ 1) (T2
5s2+ 2 D5T5+ 1)2W(S)
w(t)∼ N(0,1)
(3-16)
Tabelle 3-4: Parameter des Filters zur Erzeugung von Gleislagefehlern.
Parameter Wert Einheit
k6,85 ·10−6−
T11/(2π1/500) m−1
T21/(2π1/500) m−1
T31/(2π1/50) m−1
T41/(2π1/5) m−1
T51/(2π1/5) m−1
D20,5−
D30,5−
D50,5−
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 91
Die einfache Form dieser Modellierung ermöglicht ihre Verwendung in der sto-
chastischen linearen Systemtheorie also in Kalman-Filtern und Riccati-Reglern.
In beiden Fällen wird das Modell des Fahrzeugs um das Modell bzw. Filter der
Gleislagefehler an der Vorder- und Hinterachse erweitert. Das Kalman-Filter er-
möglicht dann die Schätzung der Gleislagefehler yGl aus den gemessenen Ausgän-
gen, insbesondere der Relativlage der Achsen yR,rel entsprechend der Ausgangs-
gleichung (3-1). Die Anwendung dieser Methode zur Gleislagefehleridentifikation
in [WLG+07] zeigt gute Ergebnisse. In der vorliegenden Arbeit kommt diese Me-
thode jedoch nicht zum Einsatz, da sie gegenüber einer fest einprogrammierten
Gleislagefehlerkurve eine größere Fehleranfälligkeit hat.
1000 100 10 0
−140
−120
−100
−80
−60
−40
Wellenlänge in m
20⋅log10(Lagefehler/1 m)
Spektrum nach [Gol03]
Verwendetes Spektrum
Bild 3-21: Das Spektrum der Quergleislagefehler nach [Gol03] und das zur Rege-
lung verwendete Spektrum
Für den Riccati-Regler hat es sich als ausreichend erwiesen, ein Modell dritter
Ordnung zu verwenden. Der Amplitudengang des verwendeten Filters ist ebenfalls
in Bild 3-21 dargestellt.
Da die Hinterachse die gleichen Gleislagefehler passiert, über die zuvor schon die
Vorderachse gefahren ist, liegt es nahe, dieses geschwindigkeitsabhängige Totzeit-
verhalten mit zu modellieren. Hierzu wird ein modifiziertes Padé-Glied dritter
Ordnung nach [Föl05] verwendet. Der Eingang des Padé-Glieds ist der Gleisla-
gefehler an der Vorderachse. Zusammen ergibt sich ein Modell sechster Ordnung
mit einer skalaren stochastischen Anregung und zwei Ausgängen für die Gleisla-
gefehler an den Achsen.
3.6 Detailliertes Simulationsmodell
Das Modell für die simulationsgestützte Entwicklung und Erprobung der Spur-
führungsregler ist so aufgebaut, dass der Simulink-Block der Regelung sowohl
in der Simulationsumgebung als auch in der Gesamtstruktur der realen Rail-
Cab-Regelung eingesetzt werden kann, ohne dafür modifiziert werden zu müssen.
Seite 92 Kapitel 3
Dazu ist die Simulationsumgebung mit speziellen Adapterböcken so aufgebaut,
dass auch die Messwerterfassung und die Bedingungen der Übergabe von der
Echtzeitumgebung modelliert werden. Diese hat den Vorteil, dass der Regler nur
in einer Ausprägung existiert und damit Übertragungsfehler vermieden werden.
Auch wird damit garantiert, dass der Regler mit allen Sicherheits- und Sonder-
funktionen, die im realen Betrieb erforderlich sind, getestet wird.
3.6.1 Aufbau des Modells
Das Simulationsmodell basiert auf dem linearen Modell aus Abschnitt 3.3 mit
vier Starrkörpern, die sich in der Ebene bewegen. Die Mechanik ist jedoch als
MKS mit reduzierten Koordinaten modelliert, dessen Kräfte und Massenmatrix
in einer s-Funktion berechnet werden. Weiterhin weist das Simulationsmodell die
folgenden Unterschiede auf:
•Die Fahrwerksmasse kann sich frei in der Ebene bewegen und erfährt eine
Antriebskraft.
•Der Linearmotor wird samt Geschwindigkeitsregelung als PT1-Glied betrach-
tet.
•Die Luftfedern werden als lineare Feder-Dämpferelemente in den drei Raum-
richtungen dargestellt.
•Der Lenkzylinder wird (wie in Abschnitt 3.2.2 beschrieben) als I-Glied mit
Rohrleitungsdynamik, begrenzter Geschwindigkeitskennlinie und Beschleuni-
gungsbegrenzung dargestellt. Das Trägheitsmoment der Achen wird jedoch
weiterhin vernachlässigt.
•Die Schlupfkräfte wirken stets in Richtung der Achse. Eine Verschiebung des
Kraftangriffspunktes, wie in [Mün03] beschreiben, wird jedoch nicht berück-
sichtigt.
•Die Schlupfkräfte werden anhand der Kurve nach Frederich (Abschnitt 2.2.1)
berechnet und zusammen in der Achsmitte eingeleitet. Eine Beeinflussung der
Querkräfte durch dynamische Aufstandskräfte wird also nicht berücksichtigt.
•Auch die geometrischen Radkräfte, die aus dem Sturz der Räder und aus
Spurkranzanläufen resultieren, wirken auf die Achsmitte.
•Die Streckenposition des Fahrzeugs wird aus seiner kartesischen Absolutposi-
tion berechnet. Die Streckenposition ist die Bogenlänge der Trassierung vom
Ursprung bis zu dem Trassenpunkt mit minimalem Abstand zum Fahrzeug-
schwerpunkt. Da das Oval wegen der Klothoiden nicht analytisch beschrie-
ben werden kann, wird eine kubische Interpolation mit 1 m Stützstellenweite
verwendet. Die Bestimmung der projizierten Fahrzeuglage ist unter diesen
Das Spurführungsmodul der RailCab-Versuchsfahrzeuge Seite 93
Bedingungen sehr rechenintensiv. Daher wird mit einer iterativen Approxi-
mation gearbeitet, wie sie in [Ett99] beschrieben wird. Prinzipiell handelt es
sich dabei um ein Prädiktor-Korrektor-Verfahren, für das neben den Stre-
ckenkoordinaten auch die Tangentialrichtung und die Krümmung benötigt
werden. Ausgehend von der Streckenposition im letzten Abtastschritt wird
die neue Position auf der Tangente bestimmt und mithilfe der Krümmung
korrigiert. Dieses Verfahren ist konvergent.
•Die relative Achslage (bzw. die Lage der Wirbelstromsensoren) wird mithil-
fe der Streckenposition als kürzester Abstand zwischen Achse und Strecke
bestimmt. Zu dieser Abweichung von der Idealtrasse wird noch der Gleisla-
gefehler addiert.
•Der Abstand zwischen Wirbelstromsensor und Schiene wird über die inverse
Kennlinie (Bild 3-6) in eine Spannung umgerechnet.
•Auch alle anderen analogen Messsignale werden durch die inverse Messtrans-
formation (vgl. Abschnitt 3.2) in Spannungswerte umgerechnet.
3.6.2 Validierung des Simulationsmodells
Das Simulationsmodell ist mit den Werten parametriert, deren Identifikation in
Abschnitt 3.4 beschrieben wurde. Lediglich die Federsteifigkeit und Dämpfungs-
rate der Luftfedern ist [Hes06] entnommen und die Parametrierung der Schlupf-
kraftbeiwerte nach Gleichung (2-5) erfolgt durch Abgleich der Simulationsergeb-
nisse mit Messungen vor allem aus Kurvenfahrten. Neben der Dynamik wird die
Güte des Simulationsmodells, d. h. die Genauigkeit, mit der die Realität abgebil-
det wird, vor allem durch die Gleislagefehler bestimmt. Zur Validierung wird eine
simulierte Fahrt mit den Messwerten einer realen Fahrt unter gleichen Rand-
bedingungen (gleiche Geschwindigkeit, gleiche Regelungsstrategie usw.) visuell
verglichen. In Bild 3-22 ist ein repräsentativer Ausschnitt aus diesem Vergleich
dargestellt (gegen den Uhrzeigersinn: die Klothoide hinter der Weiche NW-W, die
Westkurve W-SW und die anschließende Klothoide SW-S). In den drei Graphen
sind die drei wichtigsten und genauesten Messgrößen über der Streckenposition
aufgetragen: die relative Querablage der Achen vorn und hinten und die Gierrate
des Fahrwerks. Es ist zu erkennen, wie der Verlauf der simulierten Größen sehr
gut mit den Messwerten übereinstimmt. Daraus lässt sich insbesondere die gute
Identifikation der Gleislagefehler ableiten. Über die Verkopplung der Zustände
wirkt sich jedoch auch die gesamte Fahrzeugdynamik auf die gezeigten Größen
aus, womit diese indirekt auch auf eine gute dynamische Identifikation schließen
lassen.
Seite 94 Kapitel 3
−4
−2
0
2
4
Ablage vorn
in mm
−4
−2
0
2
4
Ablage hinten
in mm
Messung
Simulation
NW W SW S
−50
0
50
Gierrate in rad/s
Streckenmarke
Bild 3-22: Der Vergleich der Messdaten einer Testfahrt mit dem Simulationsmo-
dell (P-Regler, keine Vorsteuerung)
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 95
4 Selbstoptimierende Spurführungsregelung
In diesem Kapitel werden zunächst in Abschnitt 4.1 die allgemeine Struktur und
der reflektorische Operator der selbstoptimierenden Spurführungsregelung be-
schrieben. Darauf folgt in Abschnitt 4.2 die Beschreibung der Reglerstruktur mit
zwei Freiheitsgraden, die den beiden in dieser Arbeit vorgestellten Selbstoptimie-
rungskonzepten gemeinsam ist, und die die getrennte Auslegung der Vorsteuerung
und der Regelung ermöglicht. Das Kapitel endet mit der Beschreibung der Ziele,
die die selbstoptimierende Regelung verfolgen soll.
Im Anschluss an dieses Kapitel werden die zwei unterschiedlichen Regler zur
selbstoptimierenden Spurführungsregelung vorgestellt, die den Kern dieser Ar-
beit bilden. Die vorgestellten Selbstoptimierungsverfahren sind für die Fahrt auf
freier Strecke ausgelegt, da das Durchfahren der passiven Weichen ein sicherheits-
kritischer Vorgang ist, der keinen Spielraum für Anpassungen zulässt. Das Führen
der Spurkränze in den richtigen Spurkanal erfordert höchste Präzision, da nur we-
nige Millimeter Spiel bestehen. Alle anderen Anforderungen an die Spurführung
treten in dieser Situation zurück.
4.1 Hierarchische Strukturierung
Die Regelung der RailCabs ist gemäß den mechatronischen Funktionen modular
hierarchisch strukturiert. Der Hierarchiebaum der Spurführung, ausgehend vom
Gesamtfahrzeug, ist in Bild 4-1 dargestellt. Darin werden die Funktionsgruppen
Antriebs-/Bremsmodul und Feder-/Neigetechnik aus Platzgründen nicht im De-
tail gezeigt.
Die Umsetzung der beschriebenen OCM-Struktur für die gesamte RailCab-Steue-
rung und -Reglung ist in Simulink realisiert, wobei zeitkritische Komponenten als
C-Subroutinen implementiert sind. Dies erlaubt die Verwendung der gleichen Co-
de-Basis sowohl für den Test an Simulationsmodellen als auch zur Regelung der
realen Fahrzeuge. Das Echtzeitprogramm wird dabei nach dem Prinzip des Ra-
pid-Controller-Prototyping (RCP) automatisch aus dem Simulink-Modell erstellt.
Eine aufwendige Neuprogrammierung und die damit einhergehende Fehlersuche
und Validierung entfallen dadurch.
Jede Gruppe und jedes Modul hat zwei Betriebsmodi: „Aus“ und „An“. Im Mo-
dus „An“ kann zwischen automatischem und manuellem Betrieb gewechselt wer-
den. Hinzukommen spezielle Modi, beispielsweise zur Inbetriebnahme, Wartung
oder Diagnose, und Submodi, die eine feingranulare Einstellung der gewünsch-
ten Systemeigenschaften ermöglichen. Der Wechsel zwischen Betriebsmodi erfolgt
Seite 96 Kapitel 4
AMS
RailCab
MFM
Spur-
verriegelung
MFM
Lenkung
vorn
MFM
Lenkung
hinten
MFG
Spurführung
MFG
Richtungs-
wahl
MFG
FNT
MFG
Antrieb/
Bremsen
VG
Versorgung
VM
Luftdruck
VM
Hydraulik
MFM
Notbremse
Bild 4-1: Die OCM-Struktur eines RailCabs
gesteuert nach einem vorprogrammierten Ablaufplan, der beispielsweise die Rei-
henfolge beim Anschalten der Aggregate und Funktionsmodule sicherstellt. Zum
Teil werden Sollwerte für die Regler generiert, die das System in den betriebsbe-
reiten Zustand überführen, bevor die Kontrolle an die übergeordnete Ebene der
Reglerkaskade übergeben wird.
Richtungswahl und Spurverriegelung
Die oberste Hierarchieebene unter dem Fahrzeug bildet die MFG Richtungs-
wahl. Sie steuert das Funktionsmodul Spurverriegelung und die Funktionsgruppe
der Spurführung. Die Hauptaufgabe des OCM Richtungswahl besteht darin, das
Verhalten beim Durchfahren von passiven Weichen und beim Fahren auf freier
Strecke zu bestimmen. Beim Durchfahren der Weichen muss der Richtungswunsch
des Benutzers sicher umgesetzt werden. Dazu gehört es, dass das Fahrzeug in ei-
nigem Abstand vor der Weiche an den entsprechenden Rand gelenkt wird, um
an der Verzweigungsstelle in den richtigen Spurkanal einzutreten. Gleichzeitig
muss die Spurverriegelung so eingestellt werden, dass die Richtungswahl auch
bei einem Versagen der Spurführung an beiden Achsen sicher erzwungen wird.
Ab dem Moment, ab dem dieser Prozess eingeleitet wird, darf die Richtungswahl
nicht mehr geändert werden. Sollte die Spurverriegelung nicht korrekt reagieren,
muss eine Notbremsung ausgelöst werden. Nachdem die Weiche passiert wurde,
wird der Spurführung wieder die Freiheit überlassen, ihr Verhalten und die Tra-
jektorie der Achsen selbst zu bestimmen. Daneben werden vom reflektorischen
Operator Warnungen und Fehlermeldungen protokolliert und dem Benutzer in
zusammengefasster Form dargestellt.
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 97
Die Spurverriegelung ist ein Funktionsmodul, da sie die pneumatischen Zylinder
kontrolliert, die die Verriegelung bewegen. Der Controller beschränkt sich dar-
auf, das bistabile Ventil zu bestromen, bis die Endlageschalter der Verriegelung
die richtige Position melden. Der reflektorische Operator überwacht die Endlage-
schalter und die Dauer der Schaltvorgänge und meldet jedes Fehlverhalten dem
übergeordneten Operator.
Spurführung
Die Funktionsgruppe Spurführung ist für die Führung der Achsen im Gleis zu-
ständig. Dies wird durch Einstellen entsprechender Lenkwinkel über die MFM
Lenkung der Vorder- und der Hinterachse realisiert. Durch diese Trennung wird
das nichtlineare Verhalten der Zylinder gekapselt und der Spurführung ein Ak-
tor mit annähernd idealem I-Verhalten bereitgestellt. Neben der Möglichkeit der
schrittweisen Inbetriebnahme und der separaten Überwachung wird damit die
Komplexität der Regelung erheblich reduziert. (Die gleiche Strukturierung und
Kapselung der Funktionen findet auch bei der aktiven Federung in [Hes06] An-
wendung.) Im OCM der Spurführung finden die Auswertung der vielen Sensoren
und die Weiterverarbeitung der Daten statt (Kalman-Filter, Achslageberechnung
usw.). Der Controller ist strukturvariabel und ermöglicht die Umschaltung zwi-
schen verschiedenen Regel- und Vorsteueralgorithmen. Die Stellwerte sind die
Lenkwinkel und die Lenkwinkelraten, die als Sollwerte für die unterlagerten Con-
troller der MFM Lenkung dienen. Der reflektorische Operator steuert die Reg-
lerkonfiguration in Abhängigkeit von den Benutzerwünschen, dem Zustand der
Sensorik und der Richtungsvorgabe von der höheren Ebene. Neben der direkten
Reaktion auf Fehler in den Sensoren und den unterlagerten MFM werden die Feh-
ler ausgewertet und in kumulierter Form an die höhere Ebene weitergeleitet. Bei
einem Fehler in einer Achse wird die Spurführungsregelung deaktiviert und beide
Achsen (sofern noch möglich) in Geradeausstellung gebracht. Bei Sensorfehlern
wird auf einen Regler umgeschaltet, der ohne die ausgefallenen Sensoren arbeiten
kann (siehe auch [SGH+09]). In der Hochlaufphase koordiniert das OCM Spur-
führung die unterlagerten Module und gibt die Regelung erst frei, wenn beide
Achsen bereit sind.
Lenkung
Das Funktionsmodul Lenkung, das einen Lenkzylinder regelt, ist ein sehr einfa-
ches OCM, dessen reflektorischer Operator den Sensor und den Aktor überwacht.
Außerdem wird ein manueller Betrieb ermöglicht, der zur Vorführung der Lenk-
bewegung oder zur Vermessung der Dynamik dient. Die Funktion des Controllers
ist abhängig von dem Betriebsmodus (Lenken oder Manuell). Im automatischen
Lenk-Modus hat der Regler die in Abschnitt 3.2.2 beschriebene Struktur.
Seite 98 Kapitel 4
Energieversorgung
Die Voraussetzung für die Betriebsfähigkeit der Funktionsmodule (und auch
der Rechenhardware) ist die korrekte Energieversorgung. Für die Richtungs-
wahl/Spurführung muss hydraulische, pneumatische und elektrische Energie vor-
handen sein. Die Regelung dieser Energiequellen ist teilweise in Hardwarekom-
ponenten integriert (elektrische Umrichter), und teilweise durch eigene Informa-
tionsverarbeitung realisiert. Aufgrund der fundamentalen Bedeutung der Ener-
gieversorgung für die Funktion des Systems findet eine ständige Überwachung
aller beteiligten Prozesse statt. Die enge Verknüpfung zwischen den Aktoren und
der Energieversorgung bedingt den besonderen Status der Versorgungsmodule.
Um direkt mit den betroffenen MFM kommunizieren zu können, sind sie in einer
Querschnitts- oder Matrixstruktur angeordnet. Diese durchbricht die normaler-
weise streng eingehaltene hierarchische Struktur. Das wird damit gerechtfertigt,
dass der Informationsfluss andernfalls immer hinauf über das AMS und dann
wieder hinab durch alle MFG verlaufen würde. Zur Ablaufsteuerung beim Ein-
und Ausschalten sowie zur allgemeinen Kontrolle ist die Energieversorgung jedoch
dem AMS unterstellt.
4.2 Allgemeine Struktur des Spurführungsreglers
Der Controller der Spurführung ist in Anlehnung an einen Regler mit zwei Frei-
heitsgraden strukturiert (siehe auch [GWT+08b]). Dadurch wird die Vorsteuerung
der gewünschten Fahrzeugbewegung von der Ausregelung von Fehlern entkoppelt.
Der Vorsteuerungsstellwert setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, die in unter-
schiedlichen Frequenzbereichen aktiv sind. Zum einen wird der globale Verlauf der
Trassierung vorgesteuert, um das Fahrzeug auf die ideale Trajektorie von Gera-
den und Kurven zu lenken (δkurve). Ist der Verlauf der Gleislagefehler bekannt, so
kann zusätzlich auch ein Lenkwinkel vorgesteuert werden, der das Fahrzeug einer
entsprechenden Trajektorie folgen lässt (δtraj). Die Lenkwinkel zur Kurvenvor-
steuerung werden gemäß Gleichung (4-3) aus der Krümmung der Trasse und der
Geschwindigkeit des Fahrzeugs berechnet. Die Lenkwinkel zur Trajektorienvor-
steuerung werden mithilfe des inversen Fahrzeugmodells Gleichung (3-9) aus dem
Verlauf der gewünschten Trajektorie und den zeitlichen Ableitungen berechnet.
Um eine Verwechselung mit der Vorsteuerung der Lenkwinkeländerungsrate
(˙
δR,ref ) zu vermeiden, soll diese Vorsteuerung Fahrzeugvorsteuerung (δvor =
δkurve +δtraj) genannt werden. Die in Bild 4-2 dargestellte Struktur zeigt neben
der Regelung mit zwei Freiheitsgraden auch das Prinzip der verallgemeinerten
Kaskade, bei dem die Stellgröße der Spurführungsregelung der Sollwert der unter-
lagerten Lenkwinkelregler ist (vgl. Abschnitt 2.3.3). Die beiden Lenkwinkelregler
sind im Detail in Bild 3-9 dargestellt.
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 99
Lenkwinkel
vorn
Lenkwinkel
hinten
Fahrzeug
UVent
UVent
δist
δsoll
δsoll
.
Beobachter
x
yR,rel
.
Gleislagefehler-
karte
ŷGl
Lenkwinkel-
vorsteuerung
Modell
Spurführungs-
regler
-
Trajektorien-
generierung
ytra
Krümmungs-
karte
κ
ŷGl
δvor=
δKurve+ δtraj
ψ, aFW, aAufbau
xabs
^
xvor
sPos
-
sPos
v
v
v
v, sPos
Bild 4-2: Die Struktur der Spurführungsregelung mit zwei Freiheitsgraden
Bei der Beschreibung des linearen Modells in Abschnitt 3.3 wird außer Acht
gelassen, dass das Modell nur für kleine Gierwinkel gültig ist und daher keine
Kurvenfahrten wiedergeben kann. Dieses Problem lässt sich jedoch durch eine
geeignete Lenkwinkelvorsteuerung für die Kurvenfahrt beheben. Dazu muss bei
den Zuständen für die Regelung unterschieden werden zwischen den Achslagen
und den anderen Zuständen, die auch in Kurven durch ein lineares Modell be-
schrieben werden können.
Die Achslagen des linearen Modells sind nur gültig, wenn der Gierwinkel klein
bleibt. Dazu müssen die Zustände in einem Koordinatensystem relativ zur Tras-
sierung betrachtet werden, was durch die beschriebene Kurvenvorsteuerung in der
Reglerstruktur mit zwei Freiheitsgraden erreicht wird. In dem lokalen Koordina-
tensystem ist die Achslage die Querabweichung von der Trasse und wird aus der
gemessenen Relativlage der Achsen im Gleis und den zuvor vermessenen Gleisla-
gefehlern berechnet: yR=yGl +yR,rel. Wird zusätzlich zur Trassierung auch eine
Trajektorie vorgesteuert, so muss diese im Rahmen der Reglerstruktur mit zwei
Freiheitsgraden natürlich wieder abgezogen werden.
Im Gegensatz zu den Achslagen werden die linear gültigen Zustände geschätzt
und liegen im inertialen Koordinatensystem vor (xabs). Gemäß dem Prinzip der
Regelung mit zwei Freiheitsgraden muss von diesen Zuständen der Verlauf der
Zustände abgezogen werden, der sich durch die Fahrzeugvorsteuerung (δvor) des
idealen Systems ergibt (xvor). Dieser Verlauf wird aus den Vorsteuerungsstellwer-
ten δvor mithilfe des Modells ohne Achsablage aus Abschnitt 3.3 berechnet. Dies
ist möglich, da das Modell stabil ist. Die Simulation wird zeitdiskret mit exakter
Diskretisierung durchgeführt.
Seite 100 Kapitel 4
4.2.1 Kurvenvorsteuerung
Die Lenkwinkel δkurve, die zur Steuerung des Fahrzeugs in der Kurve notwendig
sind, werden aus den Zustandsgleichungen von Gierrate ˙
ψFW und Schwimmwinkel
βdes Modells ohne Aufbau- und Achsdynamik aus Abschnitt 3.3 gewonnen:
¨
ψFW =−cαl2
R
2v(ΘFW + ΘA,z)˙
ψFW +cαlR
2 (ΘFW + ΘA,z)(δRv −δRh)
˙
β=−˙
ψFW −2cα
v(mFW +mA)β+cα
v(mFW +mA)(δRv +δRh)
(4-1)
Bei der Kurvenfahrt soll der Schwimmwinkel konstant null sein und die Gierrate
der der Trassierung entsprechen:
˙
ψFW =κ v
¨
ψFW =κ0(sPos)v2+κ˙v
β= 0
˙
β= 0
(4-2)
Durch Einsetzen von (4-2) in (4-1) und Auflösen nach δRv und δRv ergibt sich die
Kurvenvorsteuerung zu:
δkurve,v =κlR
2+κ v2mF W +mA
2cα
+κ0(sPos)v2+κ˙vΘFW + ΘA,z
lRcα
δkurve,h =−κlR
2+κ v2mF W +mA
2cα−κ0(sPos)v2+κ˙vΘFW + ΘA,z
lRcα
(4-3)
Diese setzt sich aus drei Termen zusammen: Der erste Term ist für die Radialstel-
lung der Achsen zuständig (Ausrichtung hin zum Momentanpol). Der zweite Term
dient dem Aufbau der Zentripetalbeschleunigung. Der dritte Term tritt nur bei
nicht stationärer Kreisfahrt auf und sorgt für die Gierbeschleunigung wenn sich
die Fahrzeuglängsgeschwindigkeit oder die Trassenkrümmung ändert. Die Ablei-
tungen der Kurvenvorsteuerung ˙
δkurve, die zur Vorsteuerung im Lenkwinkelregler
benötigt werden, werden numerisch berechnet.
4.2.2 Störgrößenaufschaltung
In der Praxis lässt sich die Geradeausstellung der Achsen nur schwer vermessen.
Auch kann der Lenkwinkel für die Querbeschleunigung in Kurven nicht exakt
berechnet werden, da die Schräglaufsteifigkeit und die Fahrzeugmasse nur nähe-
rungsweise bekannt sind. Um den Einfluss dieser Ungenauigkeiten stationär aus-
gleichen zu können, wird die Fahrzeugvorsteuerung um einen I-Anteil erweitert:
δvor =δkurve +δtraj +δI(siehe Bild 4-3).
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 101
Lenkwinkel
vorn
Lenkwinkel
hinten
UVent
UVent
δist
δsoll
δI,h
.
Beobachter
x
yR,rel
.
ŷGl
Lenkwinkel-
vorsteuerung
Modell
Spurführungs-
regler
-
ytra
κ
δvor=
δKurve+ δtraj
ψ, aFW, aAufbau
-
ey,v ey,h
δI,v
δvor,v
δvor,h
δsoll
Bild 4-3: Detail der Spurführungsregelung: der I-Anteil im Lenkwinkel
Trotz der Rückführung des Regelfehlers der Achslage handelt es sich dabei kon-
zeptionell nicht um eine Reglung. Der I-Anteil muss vielmehr als Störgrößenauf-
schaltung (Störung des Lenkwinkels) mit Störgrößenschätzer (Integrator) aufge-
fasst werden. Daher darf der Stellwert des I-Anteils auch nicht in die Berechnung
der Vorsteuerungszustandswerte xvor eingehen. Er kompensiert ja Abweichungen
der Regelstrecke von den gemachten Annahmen und stellt damit modellkonfor-
me Verhältnisse her. Da es sich um den Ausgleich quasi konstanter Störungen
handelt, ist die Zeitkonstante dieses I-Anteils sehr langsam gewählt.
4.2.3 Regelung mit Vorsteuerung der Gleislagefehler
Ist der Verlauf der Gleislagefehler bekannt, kann er entweder direkt vorgesteu-
ert oder, wie in Bild 4-2 dargestellt, zur Berechnung einer optimalen Trajektorie
verwendet werden. Die Lenkwinkel δtraj zur Vorsteuerung der Gleislagefehler Tra-
jektorie werden mithilfe der flachheitsbasierten Inversion (Gleichung (3-9)) aus
der Trajektorie und ihren Ableitungen berechnet. Diese Berechnung vernachläs-
sigt die Dynamik des Aufbaus und der Achsen und ist damit nicht exakt. Es
werden jedoch gute Ergebnisse damit erzielt (vgl. Abschnitt 5.3.3). Die Fehler,
die durch die Vereinfachung gemacht werden und die sonstigen Störungen werden
von dem Regler kompensiert, der dann als Störregler arbeitet.
4.2.4 Regelung bei unbekannten Gleislagefehlern
Ist der Verlauf der Gleislagefehler unbekannt, so können die absoluten Achslagen
yRin (3-1) nicht berechnet werden. Es stehen dann nur die gemessenen relativen
Achslagen yR,rel zur Verfügung. Bild 4-4 zeigt, dass diese fehlende Information
als Störung interpretierbar ist. Im Modell des Fahrzeugs können Störeingänge
eingefügt werden, sodass ein Übertragungspfad zu den Ausgängen der Achslagen
Seite 102 Kapitel 4
existiert, nicht aber zu den anderen Messgrößen. Dies ist möglich, da die Achs-
lagen keine Rückwirkung auf das restliche System haben. Für diese Störeingänge
gibt es mit Sicherheit Störungen zGl, die an den Ausgängen der Achslagen den
Verlauf der Gleislagefehler hervorrufen (vorausgesetzt, diese sind hinreichend oft
differenzierbar). Damit lässt sich die fehlende Korrektur (Addition der Gleislage-
fehler) der gemessenen Relativlage als Störung auffassen.
Die Forderung, dass die Achsen auf der Mittellinie zwischen den Gleisen geführt
werden, entspricht einem Sollwert gleich null für die relative Achslage. Bei unbe-
kannten Gleislagefehlern kann der Regler also als Störregler aufgefasst werden, der
die Aufgabe hat, die Ausgänge yRv,rel und yRh,rel des gestörten Systems auf null
zu regeln. Eine Selbstoptimierung ist dann jedoch nur mit dem in Abschnitt 6.5
vorgestellten Regler möglich, der auch als Störregler eingesetzt werden kann.
Fahrzeug yR
yGl
-yR,rel
δ
Modell
Gzy(s)
Gzy
-1(s) zGl
yGl
(Messwert)
Gleislagefehler-
karte
ŷGl
Regler
w (=ŷGl)
ŷR,abs
Fahrzeug yR,rel
zGl
δ
Regler
Gleislagefehler
unbekannt
ŷGl
= 0w= ŷGl
= 0
ŷR= yR,rel
Bild 4-4: Die Wirkung der Gleislagefehler als Störgröße
4.2.5 Zustandsregler zur modellgestützten Vorsteuerung
Die Lenkwinkel sind zwar Zustände des Modells 16. Ordnung, sie werden jedoch
von den beiden unterlagerten MFM Lenkung geregelt und sollen nur vorgesteuert
werden. Ihre Rückführung in den überlagerten Regelkreis der Spurführung wür-
de in die Dynamik der Lenkregelung aus Abschnitt 3.2.2 eingreifen. Stattdessen
werden die Lenkwinkel durch ein Modell (einen Integrator) aus den Lenkwin-
keländerungsraten berechnet. Es handelt sich hierbei um eine modifizierte Form
der modellgestützten Vorsteuerung, welche in Bild 4-5 in der verallgemeinerten
Kaskade zu sehen ist.
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 103
Lenkwinkel
vorn
Lenkwinkel
hinten
Fahrzeug
UVent
UVent
δist
δsoll
δsoll
.
x
Zustands-
regler
Spurführung
δvor
Beobachter
yR,rel
.
ŷGl
-ψ, aFW, aAufbau
xabs
^
xvor
-
-
ytra
Bild 4-5: Die Vorgabe der Lenkwinkel und der Lenkwinkeländerungsrate durch den
Regler und die Vorsteuerung
4.3 Ziele
Bevor eine Selbstoptimierungsstrategie gefunden werden kann, muss zunächst ge-
klärt werden, welche Aufgaben und Ziele das System (gemeint sind sowohl das
Gesamtsystem als auch einzelne Module) hat. Sollen, wie im vorliegenden Fall,
mathematische Optimierungsmethoden zum Einsatz kommen, so müssen diese
Ziele auch quantifizierbar und im Betrieb messbar sein. Bei der Anforderungs-
analyse wird zwischen inhärenten und externen Zielen unterschieden.
4.3.1 Inhärente Ziele
Die inhärenten Ziele sind die Aufgaben, die das System zur Erfüllung seiner
Grundfunktionalität verfolgt. Sie leiten sich aus dem Entwurfszweck ab und um-
fassen sowohl die Hauptgebrauchsfunktionen als auch allgemeinere Anforderun-
gen. Aus der Anforderungsanalyse der RailCabs ergeben sich für die Spurführung
die folgenden inhärenten Ziele:
1) Entgleisungssicherheit (Sicherheit)
2) Geringer Verschleiß an: a) Rad und Schiene, b) Aktor und Lagern, c) Spur-
kranz und Schienenkopf (Verschleiß)
3) Robustheit
4) Geringe Bauteil- und Strukturbelastung (Belastung)
Der Schutz vor Entgleisung, also das garantierte Führen des Fahrzeugs in
dem von den Gleisen vorgegebenen Spurkanal ist die Grundfunktion der Spur-
führung. Es gibt verschiedene Kriterien, mit denen sich die Entgleisungssicherheit
quantifizieren lässt. Für den Fall, dass Spurkranzanläufe unvermeidbar sind, lässt
sich ein Sicherheitsfaktor gegen Aufklettern berechnen (vgl. Abschnitt 2.2.3).
Seite 104 Kapitel 4
Im Hinblick auf das zweite Ziel ist es jedoch wünschenswert, dass es gar nicht
erst zu Spurkranzanläufen kommt. Unter dieser Bedingung kann auch die Spur-
kranzanlaufrate (SAR) als Maß für die Entgleisungssicherheit dienen, auch wenn
sie sehr viel konservativer ist. Die Spurkranzanlaufrate sei definiert als der An-
teil pro Zeiteinheit (SARt) bzw. pro Wegstrecke (SARs), die sich ein Spurkranz
im Kontakt mit dem Schienenkopf befindet (bei konstanter Geschwindigkeit ist
SARs=SARt):
SARt=P |yR,rel(t)| ≥ G(t)
2!=1
T
T
Z
0|yR,rel(t)| ≥ G(t)
2dt(4-4)
Die Relation wird dabei als Funktion mit der Wertemenge {0,1}verstanden. Sie
ist größer-gleich, da sich die Achsquerposition tatsächlich jenseits des Spurkanals
befinden kann, wenn nämlich der Spurkranz (zunächst mit dem Übergangsradius)
beginnt, an der Schiene aufzulaufen. Unter der Annahme, dass die Systemdyna-
mik linear ist und von weißem Rauschen angeregt wird, sind alle Systemgrößen
normalverteilt, und die Wahrscheinlichkeiten (4-4) lassen sich mithilfe der Stan-
dardabweichung berechnen:
yR,rel ∼ N 0, σyR,rel
SARt= 2 −2 Φ G
2σyR,rel !(4-5)
Hierbei ist Φdie Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Die Annahme, dass es sich bei yR,rel um einen linearen stochastischen Prozess
handelt, ist mit Sicherheit verletzt, wenn es zu Spurkranzanläufen kommt, da die
dabei auftretenden Kräfte nichtlinear sind. Da der Träger der Normalverteilung
unendlich ist, bleibt nach diesem Modell immer ein Restrisiko für das Auftreten
von Spurkranzanläufen. Damit ist die Annahme normalverteilter yR,rel jedoch
selbst dann verletzt, wenn das Systemverhalten mit Ausnahme der Spurkranz-
anläufe tatsächlich linear wäre. Wenn jedoch durch entsprechende Maßnahmen
die Standardabweichung von yR,rel so klein gemacht wird, dass Spurkranzanläufe
praktisch ausgeschlossen sind, wird auch der Fehler bei der Berechnung der SAR
mithilfe von (4-5) vernachlässigbar klein1. Daher wird im Folgenden Gleichung
(4-5) immer dann verwendet, wenn keine Messwerte vorliegen, um die tatsäch-
liche SAR zu berechnen. Dies ist immer der Fall, wenn eine Prognose für die
vorausschauende Anpassung der Regelung, also die Selbstoptimierung, benötigt
1Dabei wird die Linearität der Systemdynamik als vereinfachende Annahme vorausgesetzt.
Wie bereits in Abschnitt 3.3 gezeigt wurde, lässt sich die Systemdynamik relativ genau
durch ein lineares Modell abbilden.
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 105
wird. Speziell die mathematische Zielformulierung nimmt die Form einer proba-
bilistischen Nebenbedingung an:
σyR,rel ≤G
2 Φ−11−SARsoll
2(4-6)
Soll die Wahrscheinlichkeit von Spurkranzanläufen z. B. kleiner 0,27 % (also 2,7 m
gesamte Kontaktlänge pro km Strecke) sein, so muss σyR,rel kleiner-gleich G/6sein.
Dieser Ansatz wird als Wahrscheinlichkeitsrestriktion (engl. chance constraint)
bezeichnet (vgl. [SN99]).
Der Verschleiß, der durch die Spurführung verursacht wird, tritt an drei Stel-
len auf: im Rad-Schiene-Kontakt, im Aktor und in den Lagern der Achse. Weiter-
hin kann beim Verschleiß an Rad und Schiene unterschieden werden, ob er in der
Lauffläche oder bei Spurkranzanläufen auftritt. Bei der Quantifizierung müssen
die verschiedenen Verschleißformen sehr unterschiedlich bewertet werden. Hier
spielen vor allem wirtschaftliche Faktoren eine wichtige Rolle. Der Verschleiß im
Aktor und in den Lagern wird im Wesentlichen von der Frequenz und Amplitude
der Lenkbewegungen beeinflusst. Durch gute Schmierung und aufgrund der guten
Wartbarkeit ist der wirtschaftliche Schaden mit Sicherheit um Größenordnungen
geringer als der an Rad und Schiene. Daher wird er nicht weiter betrachtet.
Der Verschleiß in der Lauffläche ist bedingt durch den Schlupf, der die Voraus-
setzung für die Übertragung von Querkräften ist. Die Verschleißleistung ist in
erster Näherung proportional zum Betrag der Querkraft (vgl. Abschnitt 2.2.2)
und damit auch der Querbeschleunigung. Da die aktive Führung des Fahrzeugs
mithilfe der schlupfbedingten Querkräfte realisiert wird, und insbesondere auch
die Zentripetalkraft kraftschlüssig aufgebaut wird, lässt sich der Verschleiß nur
schwer vermeide. Da sich die Querbeschleunigung in Kurven nicht vermeiden
lässt, kann der Verschleiß nur durch möglichst geringe dynamische Kräfte mini-
miert werden2. Ein Optimierungsziel müsste also die Minimierung der dynami-
schen Querbeschleunigung sein. Weniger exakt, aber fast genauso wirkungsvoll
(siehe Abschnitt 5.3.1) ist es, die Eingriffe der aktiven Spurführung auf die Ver-
meidung von Spurkranzanläufen zu beschränken (und dabei das volle Spurspiel
auszunutzen).
Der Verschleiß, der bei einem Spurkranzanlauf verursacht wird, entsteht durch
Gleitreibung unter meist großen Normalkräften. Er ist damit sehr viel größer
als der Verschleiß in den Laufflächen. Die großen Normalkräfte resultieren aus
der hohen Steifigkeit des Systems aus Achslager, Spurkranz, Schiene und Unter-
2Da sich Querkräfte nicht vermeiden lassen, wäre es sehr viel sinnvoller, diese Kräfte form-
schlüssig aufzubringen, beispielsweise durch gestürzte oder konische Räder. Insbesondere der
große Verschleiß in Kurven ließe sich so ganz vermeiden.
Seite 106 Kapitel 4
bau. Durch die größere Umfangsgeschwindigkeit des Spurkranzes kommt es zu
einer Differenzgeschwindigkeit im Kontaktpunkt, sodass bei einem Spurkranzan-
lauf Gleitreibung auftritt. Zusammen mit dem ersten inhärenten Ziel ergibt sich
daher die Forderung, Spurkranzanläufe möglichst ganz zu vermeiden. Dies steht
im Widerspruch zum Ziel 2a), das die Ausnutzung des Spurspiels bis an die Gren-
zen fordert. Damit liegt bei der Spurführung ein Mehrzieloptimierungsproblem
vor.
Mit Robustheit ist die Eigenschaft gemeint, dass die Spurführung auch dann
ihren Entwurfszweck erfüllt, wenn große Unsicherheiten in Bezug auf die Umge-
bungsbedingungen herrschen. Dies können schlecht identifizierbare Systempara-
meter (bspw. die Schräglaufsteifigkeit cα) sein oder unbekannte Gleislagefehler.
Parameterunsicherheiten können durch entsprechende regelungstechnische Ent-
wurfsmethoden berücksichtigt werden. Eine robuste Regelung ist auch dann noch
stabil, wenn die unsicheren Parameter die ungünstigste Kombination ihrer Werte
annehmen.
Die Gleislagefehler sind keine Parameter, sondern stellen eine Anregung des Sys-
tems dar. Sind die Gleislagefehler unbekannt, muss der Regler so eingestellt sein,
dass keine Spurkranzanläufe auftreten. Dies bedeutet, dass ein fest eingestellter
Regler in Abschnitten mit geringen Gleislagefehlern viel zu konservativ ist und
daher mehr Energie benötigt als nötig wäre. In Abschnitten mit besonders großen
Fehlern wäre er eventuell trotzdem nicht schnell genug, um Spurkranzanläufe zu
vermeiden.
Robustheit ist also eine antizipatorische Kompromisslösung, die ein definiertes
Verhalten im Angesicht eines bestimmten Intervalls von Unwägbarkeiten garan-
tiert. Dafür muss ein im Durchschnitt suboptimales Verhalten (meist höherer
Energieverbrauch) in Kauf genommen werden. Selbstoptimierende Regler (und
auch adaptive Reglungen) dagegen können also als inhärent robust bezeichnet
werden, da sie das Regelverhalten zur Laufzeit an die Einflüsse anpassen, die
sonst eine Kompromisseinstellung erfordern würden.
Die Strukturbelastung ist ein wichtiger Einflussfaktor auf die Verfügbarkeit
des Systems ([DHK+08]). Durch die explizite Berücksichtigung dieses Ziels kann
die Selbstoptimierung noch einen Schritt über das heutzutage übliche Condition-
Monitoring hinausgehen und die Lebensdauer der Komponenten aktiv verlängern.
Die Lebensdauer von Bauteilen wird hauptsächlich durch dynamische Lasten be-
einflusst (Extremlasten innerhalb der vorgesehenen Grenzen vorausgesetzt). Da
diese dynamischen Lasten prinzipiell durch die gleichen Kräfte bedingt sind, wie
sie im Rad-Schiene-Kontakt zum Verschleiß führen, gilt das dort Gesagte auch
für die Strukturbelastung. Sie wird daher nicht gesondert betrachtet.
Selbstoptimierende Spurführungsregelung Seite 107
4.3.2 Externe Ziele
Die externen Ziele eines Systems sind dadurch gekennzeichnet, dass sie von außen
durch den Menschen, die Umwelt oder andere technische Systeme an das System
herangetragen werden. Bei der Spurführung kommen zwei Ziele in Betracht, die
vom Menschen bzw. von anderen Teilsystemen des RailCabs vorgegeben werden:
1) Energieeffizienz bzw. Leistungsaufnahme (Energie)
2) Geringe Anregung des Aufbaus (Komfort)
Energieeffizienz ist die Forderung nach geringem Energieverbrauch bzw. ge-
ringer Leistungsaufnahme. Der Energieverbrauch ist das Integral der Leistungs-
aufnahme und bezieht sich also auf einen längeren Zeitraum. Der Energiever-
brauch trägt zu den wirtschaftlichen Kosten bspw. einer bestimmten Wegstrecke
bei. Der Leistungsbedarf dagegen ist ein Momentanwert, der im Augenblick nichts
über die Wirtschaftlichkeit des Systems aussagt. Gleichwohl unterliegt die Leis-
tungsaufnahme meist festen Grenzen, die nicht überschritten werden dürfen. Auch
führt die Minimierung des Verlaufs der Leistungsaufnahme zu energieoptimalem
Verhalten. Prinzipiell muss zur Optimierung des Energieverbrauchs immer ein
gewisser Horizont betrachtet, also eine Planung durchgeführt werden. Die Leis-
tungsaufnahme dagegen kann im Verlauf von Moment zu Moment neu optimiert
werden.
Der Leistungsbedarf der Spurführung wird primär durch die Lenkzylinder be-
stimmt (die elektrische Leistungsaufnahme der Ventilregelung und Sensoren wird
vernachlässigt). Die hydraulische Leistung Phyd ist das Produkt aus Versorgungs-
druck pSund Volumenstrom ˙q:
Phyd(t) = pS(t) ˙q(t)(4-7)
Der Volumenstrom wird hauptsächlich durch die Volumenänderung der Zylinder-
kammern beim Ein- und Ausfahren des Kolbens bestimmt. Da die Kolbenflächen
in den beiden Zylinderkammern unterschiedlich groß sind (AAgroß, ABklein),
müsste theoretisch nach dem Vorzeichen der Kolbengeschwindigkeit unterschie-
den werden, ob der Zylinder ein- (Öl fließt in die kleine Kammer) oder ausfährt
(Öl fließt in die große Kammer). Da der Zylinder jedoch bei fast konstantem
Druck im Mittel genau so lange Wege ein wie ausfährt, und die hydraulische
Leistung dem Bordnetz gegenüber durch den Druckspeicher geglättet wird, kann
auch mit einer mittleren Kolbenfläche gerechnet werden. Die Leistungsaufnahme
einer Achse ist dann proportional zur Kolbengeschwindigkeit des Lenkzylinders
bzw. der Lenkwinkeländerungsrate (diese ist annähernd proportional zur Kolben-
geschwindigkeit):
Phyd ˙
δR(t)=pS
AA+AB
2vzyl ˙
δR(t)≈cP,hyd ˙
δR(t)(4-8)
Seite 108 Kapitel 4
Der Fahrkomfort wird primär durch die aktive Federung und die Neigetechnik
beeinflusst. Dennoch ist es denkbar, dass die Spurführung die aktive Federung bei
ihrer Aufgabe unterstützt, oder dass beide sogar gemeinsam geregelt werden, da
sie ja mechanisch eng verkoppelt sind. Für den Fall, dass beide getrennt arbeiten
oder die Feder-/Neigetechnik inaktiv ist, kann die Spurführung die komfortrele-
vante Anregung, die sie in den Aufbau einleitet, minimieren. Der Fahrgastkomfort
ist nach [Hes06] das Quadrat der frequenzbewerteten Beschleunigungen. Unter
Vernachlässigung des Bewertungsfilters ist der Fahrkomfort also äquivalent zum
inhärenten Ziel 2a) (Verschleiß an Rad und Schiene), jedoch mit einer anderen,
evtl. situations- und kundenabhängigen, wirtschaftlichen Gewichtung.
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 109
5 Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung
Der erste Ansatz für den Entwurf einer selbstoptimierenden Spurführungsrege-
lung basiert auf dem Konzept der Modellprädiktiven Regelung, da es sehr flexibel
ist und die Möglichkeit bietet, die komplexen Anforderungen transparent und
intuitiv verständlich umzusetzen.
5.1 Modellprädiktive Planung und Interpolation der Trajektorien
Die Spurführung der RailCabs hat Anteile mit sehr schneller Dynamik, und die
Rechenkapazität für die Regelung ist begrenzt (die Regelung wird zusammen
mit allen anderen Modulen der Fahrzeugsteuerung und -Regelung auf einem Pro-
zessor ausgeführt). Daher ist eine Modellprädiktive Regelung nicht umsetzbar.
Stattdessen wird ein Ansatz nach [MMM00] und [MFM02] verfolgt, der auf ei-
nem Regelgesetz der zweiten Variante in Abschnitt 2.4.1 beruht: die Stabilisie-
rung des Systems wird durch ein statisches Rückführungsgesetz garantiert, und
die Optimierung bestimmt die Trajektorie eines zusätzlichen Stellwertanteiles.
Die optimierte Stellwerttrajektorie wird jedoch als reine Vorsteuerung ohne die
Rückführung der Systemzustände berechnet. Es handelt sich daher um eine Mo-
dellprädiktive Trajektorienplanung (ein ähnlicher Ansatz für die Spurführung des
RailCabs findet sich auch in [HMO04]). Das Stützstellenintervall der Trajekto-
rie ist sehr groß gewählt. Dafür wird die Trajektorie jedoch zwischen den An-
passungen dreifach stetig differenzierbar interpoliert, und jede Trajektorie ist so
berechnet, dass sie sich glatt an die Vorhergehende anschließt.
Die Prädiktion basiert auf dem Modell 6. Ordnung aus Abschnitt 3.3. Nach der in
[PMM01] vorgeschlagenen Methode werden nicht die Trajektorien der Stellwerte
optimiert, sondern die Trajektorien der Achslagen. Die Zustände und Stellwerte
werden dann mithilfe der flachheitsbasierten Modellinversion Gleichung (3-9) re-
konstruiert (vgl. [NM98]). Die Achstrajektorien sind örtlich diskretisiert mit einer
Stützstellenweite von 0,85 m (das entspricht dem halben Achsstand). Die Opti-
mierung der örtlich diskretisierten Achstrajektorien hat den Vorteil, dass sie auch
noch bei einer Geschwindigkeitsänderung verwendet werden können. Weiterhin
sind die Trajektorienstützpunkte so gewählt, dass sie mit denen der Gleislagefeh-
ler zusammenfallen. Dies ermöglicht es, die Stützstellenwerte der Gleislagefehler
ohne eine Interpolation direkt in der Optimierung zu verwenden.
Eine Trajektorie mit wanderndem Horizont ist theoretisch nur dann optimal,
wenn sie unendlich weit in die Zukunft optimiert wird [QB97]. Bei der Spurfüh-
rung reicht jedoch ein Horizont von ca. 15 m aus. Wenn es die Bedingungen zulas-
sen, wird die Optimierung alle 0,85 m wiederholt. Sollte dies nicht möglich sein,
können auch ein oder mehrere Zyklen übersprungen werden. In diesem Fall steht
Seite 110 Kapitel 5
die optimale Trajektorie noch maximal für die Länge des Optimierungshorizonts
zur Verfügung, bevor der reflektorische Operator in einen Modus ohne optimierte
Trajektorienvorsteuerung umschalten muss. Unter normalen Bedingungen ist die
Rechenkapazität so gewählt, dass dieser Fall nicht eintritt.
5.1.1 Proportionaler Störregler
Da es sich bei der optimalen Trajektorie um eine reine Vorsteuerung handelt,
muss ein unterlagerter Regler die Störungen und Modellabweichungen ausglei-
chen. Hierzu wird ein P-Regler eingesetzt, der (unabhängig von der Geschwin-
digkeit) den Lenkwinkel proportional zur Abweichung zwischen Soll- und Ist-
Querlage einstellt. Dieser Regler ist sehr robust, da er mit der minimalen Menge
an Messgrößen arbeitet und auf keinen Zustandsschätzer angewiesen ist. Da er
nicht modellbasiert ist, können auch keine Probleme mit Modellungenauigkeiten
auftreten. In der Praxis ist die Regelgüte auch bei höheren Geschwindigkeiten mit
der von Zustandsreglern vergleichbar. Der einzige Nachteil ist die schlechte An-
passbarkeit der Regelgüte und der Stellleistung. Dazu müsste die Pareto-Front
dieser beiden Zielgrößen bekannt sein. Da die Gestalt der Pareto-Front jedoch
maßgeblich von den vielfältigen Störungen beeinflusst wird (vgl. [GWT+08a]),
ist eine Berechnung der Pareto-Front nicht möglich.
5.1.2 Differenzielle Dynamische Programmierung
Da die Trajektorienoptimierung online geschehen muss, wird die Differenzielle
Dynamische Programmierung (DDP) verwendet, die sehr effizient arbeitet und
gute Konvergenzeigenschaften hat (vgl. [LA91], [CCF+90] oder [DB89]). Der Al-
gorithmus ist eine spezielle Form der Sequenziellen Quadratischen Programmie-
rung (SQP, siehe [JS03]) für nichtlineare optimale Kontroll-Probleme. Ausgehend
von einer Starttrajektorie werden iterativ quadratisch Ersatzprobleme gelöst, wo-
bei das Systemmodell und die Zielfunktion durch eine Taylorreihenentwicklung
zweiter Ordnung um die aktuelle Trajektorie approximiert werden. Die Lösung
dieser Ersatzprobleme entspricht dem Vorgehen zur Berechnung von zeitdiskreten
Riccati-Reglern mit endlichem Horizont (vgl. [FR94]). Wie jedes Newton-Verfah-
ren weist auch die DDP nahe der Lösung eine quadratische Konvergenzrate auf.
Im Gegensatz zu vielen anderen Methoden (vgl. [Bet98]) hat der Algorithmus die
Eigenschaft, Trajektorien zu generieren, die stets realisierbar sind (Beschränkun-
gen werden eingehalten) und deren Zielfunktionswert mit jeder Iteration kleiner
wird oder zumindest gleich bleibt. Damit ist der Algorithmus bedingt echtzeitfä-
hig, da die Optimierung mit jedem Zwischenergebnis abgebrochen werden kann.
Aufgrund des Prinzips des gleitenden Horizonts kann ein großer Teil der Tra-
jektorie als Startwert für die folgende Optimierung übernommen werden. Somit
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 111
können die Trajektorien auch über mehrere Zyklen konvergieren, wenn nicht in
jedem Zyklus genug Rechenzeit zur Verfügung steht. Die Verwendung der verscho-
benen Trajektorie aus dem vorherigen Zeitschritt als Startwert und der frühzeitige
Abbruch der Optimierungsiterationen werden auch in [WB10] als Methode zur
schnellen Berechnung eines MPC-Reglers vorgeschlagen.
5.1.3 Berücksichtigung von Beschränkungen
Die Soll-Trajektorie der Achslagen unterliegt der harten Begrenzung des Spur-
spiels. Damit diese Begrenzung in jedem Iterationsschritt eingehalten wird,
kommt ein Inneres-Punkt-Verfahren mit logarithmischer Barriere-Funktion zum
Einsatz (siehe [WH04]). Eine logarithmische Barriere-Funktion ist ein Straf-
term φ(x)(berechnet für die Optimierungsvariablen x), der die Ungleichungs-
nebenbedingung gi(x)>0schon vor der Verletzung bestraft und in Richtung
der Grenze gegen unendlich strebt; jenseits der Grenze ist er nicht definiert:
φµ(x) = −µ·log (gi(x)). Der Strafterm „drückt“ die Lösung von der Grenze
weg. Über den Straffaktor µkann das Übergangsverhalten bestimmt werden. Für
µ→0nähert sich die Lösung der Optimierung mit Strafterm der Lösung des
restringierten Problems an. Da das Problem dabei zunehmend schlechter kondi-
tioniert ist, muss die Optimierung in mehreren Iterationsschritten mit zunehmend
kleinerem µdurchgeführt werden. Durch die Umwandlung der Nebenbedingung
in einen Strafterm kann der DDP-Algorithmus einfach in einer äußeren Schleife
eingebettet werden, die den Straffaktor anpasst, bis die gewünschte Genauigkeit
erreicht ist. Dieses Vorgehen erleichtert die Implementation und die Fehlersuche.
Die äußere Schleife hat eine lineare Konvergenzrate. Dadurch, dass der Strafterm
außerhalb der Grenze nicht definiert ist, wird die generierte Trajektorie zu keinem
Zeitpunkt das Spurspiel verlassen und die Echtzeiteigenschaft des DDP Algorith-
mus (in dem Sinne, dass stets mit einer Zwischenlösung abgebrochen werden
kann) bleibt erhalten. Diese Eigenschaft ist nicht selbstverständlich: Andere mo-
derne Methoden mit ähnlicher Effizienz (wie z. B. in [Wri93] beschrieben) müssen
erst vollständig konvergieren, um sinnvolle Ergebnisse zu liefern.
5.2 Trajektoriengenerierung für die Spurführung
Die selbstoptimierende Trajektoriengenerierung basiert auf der Berücksichtigung
von zwei Zielen (vgl. Abschnitt 4.3):
1. Entgleisungssicherheit: Die Trajektorie der Achslagen soll möglichst in der
Mitte verlaufen:
JSicher =RThor
0(yRv(t)−yRv,Gl(t))2+ (yRh(t)−yRh,Gl(t))2dt
Seite 112 Kapitel 5
2. Energieeffizienz: Der mittlere Leistungsbedarf für die Lenkbewegungen soll
über den Optimierungshorizont möglichst klein sein:
JEnergie =cP,hyd ·RThor
0˙
δRv(t)+˙
δRh(t)dt
Zur Auflösung des Zielkonfliktes der Mehrzieloptimierung muss zur Laufzeit ein
Pareto-Punkt ausgewählt werden. Dazu wird zunächst offline eine Approximati-
on der Pareto-Front mithilfe des Programmpakets GAIO (siehe Abschnitt 2.4.4)
berechnet. Bei dieser Berechnung wird als weiteres Ziel die Querbeschleunigung
am Fahrwerk berücksichtigt:
3. Komfort: Die Querbeschleunigung des Fahrwerks über den Achsen soll klein
sein:
JKomfort =RThor
0˙yFWv(t)2+ ˙yF Wh(t)2dt
Die berechnete Pareto-Menge für das ganze Oval wird in Abschnitt 5.3.1 vorge-
stellt.
Da die Werte der Zielfunktionen vom Verlauf der Gleislagefehler und der Fahr-
zeuggeschwindigkeit abhängen, werden die Gleislagefehler in Abschnitte von 15 m
Länge unterteilt und für jeden Abschnitt und für mehrere Geschwindigkeiten ei-
ne eigene Pareto-Front berechnet. Die Abschnitte werden anhand der Rauigkeit
klassifiziert. Die Rauigkeit ist definiert als der quadratische Mittelwert (RMS)
der zweiten Ableitung des Verlaufs der Gleislagefehler. Daraus ergibt sich eine
Schar von Pareto-Fronten, die zur Laufzeit durch die Geschwindigkeit und die
Rauigkeit der künftigen Gleislagefehler indiziert werden kann. Durch die Klassifi-
zierung geht zwar die eindeutige Beziehung zwischen Gleislagefehlern und Pareto-
Front verloren, es wird jedoch Speicherplatz gespart und die Möglichkeit gewon-
nen, auch für nicht explizit berechnete aber ähnliche Gleislagefehler eine passende
Pareto-Front zu finden.
Ein ähnliches Vorgehen wird auch in [Mün12] beschrieben. Dort wird vorgeschla-
gen, die vorab berechneten Pareto-Fronten für verschiedene Umweltbedingungen
zusammen mit den dazugehörigen Reglerparametern in einer „Wissensbasis“ zu
speichern, was jedoch im Fall von Trajektorienverläufen zu einer sehr großen
Datenmenge führen würde. Daher wird in dieser Arbeit zusammen mit jedem
Pareto-Punkt der Gewichtungsvektor gespeichert, mit dem sich dieser Punkt re-
konstruieren lässt. Der eindeutige Zusammenhang zwischen Pareto-Punkt und
Gewichtungsvektor existiert, weil das Problem konvex ist (vgl. [Eic09]). Um die
enorme Datenmenge zu reduzieren, werden die Pareto-Fronten und die zugehöri-
gen Gewichtungen durch mehrdimensionale Polynome approximiert.
Zur Auflösung des Zielkonfliktes bei der Trajektoriengenerierung zur Laufzeit wer-
den die beiden Zielfunktionen mit einer gewichteten Summe skalarisiert. Die Ge-
wichtung wird durch ein Auswahlverfahren aus den gespeicherten Pareto-Fronten
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 113
bestimmt. Die Online-Optimierung kann daher als Rekonstruktion der Trajekto-
rie aufgefasst werden, die schon einmal zur Berechnung der Pareto-Fronten bzw.
-Mengen bekannt war, jedoch aus Platzgründen nicht gespeichert wurde. Durch
die Klassifizierung der Gleislagefehler können jedoch auch Trajektorien für Ab-
schnitte berechnet werden, die bei der Berechnung der Pareto-Fronten noch nicht
bekannt waren, die aber bekannten Abschnitten ähneln.
Die Auswahl des Pareto-Punktes ist in Bild 5-1 dargestellt. Sie verfolgt das Ziel,
die Trajektorie so sicher wie möglich zu planen und dabei eine externe Leistungs-
vorgabe (die im Gesamtfahrzeug später vom Energie-Management vorgegeben
wird) einzuhalten. Es wird also der Pareto-Punkt gewählt, dessen Leistungswert
gerade noch die Anforderung erfüllt und dessen Abweichung von der Mittellinie
minimal ist. Dabei muss der Leistungsbedarf des P-Reglers mit berücksichtigt
werden, da dieser nicht beeinflusst werden kann. Da die Trajektoriengenerierung
in die Zukunft plant, wird als Vorhersage für den Bedarf des P-Reglers ein Mit-
telwert aus der unmittelbaren Vergangenheit verwendet. Da nur der Bedarf der
Trajektorienvorsteuerung angepasst werden kann, muss sie mit der Leistung aus-
kommen, die der P-Regler von der Vorgabe „übrig“ lässt. Ist dieser Rest negativ,
kann die Vorgabe nicht eingehalten werden. Es wird dann der Pareto-Punkt mit
dem kleinsten Leistungsbedarf gewählt.
0 10 20 30 40 50 60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
RMS Abweichung von Mittellinie in mm
(Sicherheit)
Lenkleistung in W
Pareto−Fronten
für v= 5 m/s
Leistungsvorgabe: 32 W
Vorgabe:
Rauigkeit= 0.007 m−1
Gewichtung:
w= [0.991 0.009]
RMS Gleislagekrümmung in 1/m
(Rauigkeit)
2
3
4
5
6
7
8
x 10−3
Bild 5-1: Bestimmung des gewünschten Pareto-Punktes. Die Pareto-Fronten
überschneiden sich zum Teil, da sie aus einer endlichen Anzahl von
Beispieltrajektorien berechnet und heuristisch nach ihrer Rauigkeit klas-
sifiziert wurden.
Seite 114 Kapitel 5
Der gesamte Ablauf der selbstoptimierenden Spurführung mit Trajektorienvor-
steuerung ist in Bild 5-2 dargestellt. Ausgehend von der Vorgabe der Stellwerte
umfasst dieser Prozess die folgenden sechs Schritte:
1) Der unterlagerte P-Regler stabilisiert die Achslagen entlang der Soll-Trajek-
torien und gleicht Störungen und Abweichungen aus.
2) Die Vorsteuerung wird durch die flachheitsbasierte Modellinversion aus den
Soll-Trajektorien der Achslagen berechnet.
3) Die Trajektorien der Achslagen vorn und hinten werden zwischen den Stütz-
stellen der optimierten Trajektorie interpoliert.
4) Die Optimierung generiert die Stützstellen der Trajektorien, die die gewich-
tete Summe der Zielfunktionen für die aktuellen Gleislagefehler minimieren.
5) Die Gewichtung wird aus einer gespeicherten Approximation der Pareto-
Front bestimmt, die zur aktuellen Geschwindigkeit und der Rauigkeit der
Gleislagefehler im bevorstehenden Horizont passt.
6) Der gewünschte Pareto-Punkte wird so bestimmt, dass der Leistungsbedarf
für die Vorsteuerung zusammen mit dem aktuellen Bedarf des P-Reglers die
Leistungsvorgabe einhält.
yR,rel
zGl
Fahrzeug
& Lenkwinkel
δ
P-Regler
Gleislagefehler-
karte
ŷGl
δvor
Vorsteuerung
ysoll -
Interpolation
-
Trajektorien-
generierung
ysoll(k)
ysoll(t)
ŷGl,Horizont
wi
Gewichtungs-
wahl
Leistungs-
vorgabe
Pareto-
Karte
Kennwerte/
Rauigkeit
Pareto-
Front
Lenkleistung
Trajektorie
Lenkleistung
P-Regler
Bild 5-2: Das Blockschaltbild der selbstoptimierenden Trajektorienvorsteuerung
mit Vorsteuerung und Regelung
Bei dieser Auswahl des Pareto-Punktes wird nicht berücksichtigt, dass die ge-
plante Trajektorie nicht perfekt umgesetzt werden kann. Es können also auch
Trajektorien generiert werden, die gerade noch im Spurspiel liegen. Durch die
Abweichungen bei der Umsetzung der Trajektorie kommt es dann zwangsläufig
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 115
zu Spurkranzanläufen. Dies sinnvoll zu vermeiden, ist nicht einfach. Natürlich
könnte der Kanal, in dem die Trajektorie verlaufen darf, so weit eingeengt wer-
den, dass es auch bei den momentanen Abweichungen der Ist-Trajektorie nicht
zu Anläufen kommt. Dafür müsste jedoch ein erhöhter Leistungsbedarf in Kauf
genommen werden, der dann die Vorgabe evtl. überschreiten würde.
Es gibt auch es Situationen, in denen es trotz der sichersten Trajektorie zu Spur-
kranzanläufen kommt. Hier müsste der unterlagerte Regler angepasst werden.
Wird jedoch eine gleichzeitige Anpassung des Reglers in Betracht gezogen, stellt
sich in jeder Situation erneut die Frage, ob es sinnvoller ist, mit einer sicheren Tra-
jektorie und einem schwachen Regler oder mit einer sparsamen Trajektorie und
einem „straffen“ Regler zu fahren. Der Schwachpunkt der vorgestellten Methode
ist also die Trennung von Regelung und Trajektoriengenerierung.
5.3 Ergebnisse und Validierung
Für die Spurführung mittels selbstoptimierender Trajektorienplanung werden die
folgenden Ergebnisse dargestellt: In Abschnitt 5.3.1 wird zunächst die Pareto-
Front des Optimierungsproblems besprochen. In Abschnitt 5.3.2 werden dann
zwei repräsentative Trajektorienverläufe vorgestellt. In Abschnitt 5.3.3 schließ-
lich wird die Funktion der selbstoptimierenden Trajektorienplanung anhand der
Ergebnisse von Messfahrten erläutert. Dabei wird auch der Mehrwert der Selbst-
optimierung gegenüber Fahrten mit fest vorgegebener Zielgewichtung validiert.
5.3.1 Die Pareto-Front der optimalen Trajektorien
In Bild 5-3 sind die zweidimensionalen Projektionen der Pareto-Front des Tra-
jektorienoptimierungsproblems dargestellt, wie sie mithilfe von GAIO berechnet
wurden. Die Fronten sind als Wolke von Pareto-Punkten approximiert, wobei
die Punkte von mehreren Streckenabschnitten übereinander abgebildet sind. Alle
Punkte gelten für eine Fahrtgeschwindigkeit von 5 m s−1.
Im linken Graphen sind die Werte der Zielfunktion „Komfort“ über den kor-
respondierenden Werten der Zielfunktion „Energie“ aufgetragen. Es ist gut zu
erkennen, dass die beiden Zielfunktionen miteinander korrelieren: Bei schlechtem
Komfort ist auch der Leistungsbedarf hoch und umgekehrt. Dies kann damit er-
klärt werden, dass „heftige“ Lenkbewegungen eine erhöhte Stellleistung erfordern
und gleichzeitig auch zu einer starken Anregung von Querbeschleunigungen füh-
ren. Die Korrelation ist der Grund dafür, dass in den folgenden Untersuchungen
und bei der Implementierung am Fahrzeug das Ziel „Komfort“ nicht explizit be-
rücksichtigt wird, da ein fehlender Zielkonflikt auch keine Kompromissfindung
erfordert.
Seite 116 Kapitel 5
Im rechten Graphen sind die Werte der Zielfunktion „Spurkranzanlauf vermei-
den“ über den korrespondierenden Werten der Zielfunktion „Energie“ aufgetra-
gen. Hier ist deutlich der Zielkonflikt erkennbar: „sichere“ Trajektorien erfordern
das Fahren nahe der Gleismittellinie und damit (bei variierenden Gleislagefehlern
mit großer Amplitude) auch eine erhöhte Lenkaktivität. Soll Lenkleistung gespart
werden, so müssen „glattere“ Trajektorien gefahren werden, die eine größere Ge-
fahr von Spurkranzanläufen aufweisen.
0 10 20 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Ziel "Energie" in W
Ziel "Komfort" in m/s2
(RMS Querbeschleunigung)
0 10 20 30
0
0.5
1
1.5
2
Ziel "Energie" in W
Ziel "Anlaufrisiko" in mm
(RMS Abweichung von der Mittellinie)
Bild 5-3: Die Pareto-Front (berechnet mit GAIO bei 5 m s−1) in zweidimensiona-
len Projektionen, links die Ziele „Komfort“ und „Leistung“, rechts die
Ziele „Spurkranzanlauf vermeiden“ und „Leistung“
5.3.2 Optimale Trajektorien
In Bild 5-4 sind im oberen Graphen die Verläufe von zwei Trajektorien für die
Vorderachse dargestellt. Der unter Graph zeigt die zur Umsetzung der Trajek-
torien nötigen Verläufe der Änderungsrate des Lenkwinkels (die Lenkwinkelrate
ist proportional zum Leistungsbedarf). Die schwarze, „sichere“ Trajektorie ver-
läuft fast auf der Mittellinie der Gleislagefehler. Die graue, „energieeffiziente“
Trajektorie nutzt das vorhandene Spurspiel aus und „scheidet die Kurven“ um
die Krümmung der Gleislagefehler möglichst zu glätten. Es ist zu erkennen, dass
die „sichere“ Trajektorie besonders im Bereich der stärker gekrümmten Gleisla-
gefehler im Abschnitt SO-O deutlich mehr Lenkleistung benötigt, als die „Ener-
gieeffiziente“.
5.3.3 Testfahrten mit optimaler Trajektorienvorsteuerung
Zur Validierung des Selbstoptimierungspotenzials wurden umfassende Simula-
tionen und Messfahrten durchgeführt, bei denen unterschiedliche Szenarien mit
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 117
−60
−40
−20
0
20
40
Trajektorie in mm
Spurspiel
Soll−Trajektorie "sicher"
Soll−Trajektorie "effizient"
S SO O
−10
−5
0
5
10
Lenkrate in mrad/s
Streckenmarke
Bild 5-4: Trajektorien der Vorderachse und der Lenkwinkeländerungsrate für un-
terschiedliche Zielgewichtungen
verschiedenen Umweltbedingungen betrachtet wurden. Beispielhaft sollen ein Ver-
gleich zwischen einer Fahrt ohne Vorsteuerung und zwei Fahrten mit bzw. ohne
selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung vorgestellt werden.
In den folgenden vier Bildern ist der Ausschnitt der Westkurve (W-S), der Süd-
geraden (S-SO) und der Ostkurve (SO-NO) aus den Ovalfahrten gezeigt. Dieser
Ausschnitt wurde gewählt, da in ihm ein Übergang von stärkeren zu geringen
und dann wieder zu stärkeren Gleislagefehlern auftritt. In den drei Bildern der
einzelnen Fahrten ist im oberen Graphen der Verlauf der Soll-Trajektorie der Vor-
derachse dargestellt mit dem Spurspiel als Begrenzung aller möglichen Verläufe.
Darunter ist die Abweichung der tatsächlich gefahrenen Trajektorie der Vorder-
und der Hinterachse von der Gleismittellinie zu sehen; ebenfalls begrenzt vom
Spurspiel.
Im dritten Graphen ist die mittlere gesamte Lenkleistung der beiden Achsen
(Pges.) aufgetragen, zusammen mit der Vorgabe für die Gewichtungsauswahl
(Pref ). Weiterhin ist gestrichelt der Anteil des Störreglers an der gesamten Lenk-
leistung (Pstoer) dargestellt. Bei der Fahrt mit Selbstoptimierung ist im unteren
Graphen der Verlauf der Gewichtung für das Ziel „Energie sparen“ dargestellt. Die
Gewichtung ist auf eins normiert. Die Gewichtung für das Ziel „Spurkranzanläufe
vermeiden“ ist gleich der Differenz zwischen eins und dem Energie-Gewicht.
In Bild 5-5 ist eine Fahrt mit 5 m s−1ohne Vorsteuerung dargestellt. Wie auch
bei den Fahrten mit Vorsteuerung werden Störungen durch einen P-Regler aus-
geregelt. Das Ergebnis dieser Fahrt soll als Referenz dienen. Es ist zu erkennen,
Seite 118 Kapitel 5
dass der P-Regler die Achsen größtenteils mit einem guten Sicherheitsabstand
entlang der Gleismittellinie führen kann. Die gesamte Lenkleistung wird durch
den P-Regler verursacht. Sie korreliert mit der Krümmung der Gleislagefehler
und liegt größtenteils über der Vorgabe von 15 W, die für die Selbstoptimierung
gilt und nur zum Vergleich eingezeichnet ist.
In Bild 5-6 ist das Ergebnis einer Fahrt mit Trajektorienvorsteuerung dargestellt.
Die Trajektorien sind mit fester Gewichtung auf minimale Spurkranzanlaufrate
optimiert, was zu einer Soll-Trajektorie entlang der Gleismittellinie führt. Bild 5-8
zeigt den Vergleich der drei vorgestellten Testfahrten. Im oberen Graphen sind die
laufenden quadratischen Mittelwerte (RMS-Werte, Zeitkonstante TT P = 0,5 s) der
Abweichung der Achstrajektorien von der Gleismittellinie (quadratische Summe
beider Achsen) normiert auf das Spurspiel über der Position aufgetragen. Werte
nahe oder über eins zeigen einen Spurkranzanlauf einer oder beider Achsen an.
Im unteren Graphen sind die Lenkleistungen aufgetragen, wie sie auch in den
Einzeldarstellungen gezeigt werden.
Es ist zu erkennen, dass die Trajektorienvorsteuerung die Spurkranzanlaufwahr-
scheinlichkeit größtenteils reduziert, jedoch dafür z. T. auch erheblich mehr Leis-
tung benötigt. Ein großer Teil der zusätzlich benötigten Leistung wird von der
Vorsteuerung beansprucht, der P-Regler benötigt durchschnittlich weniger Leis-
tung als ohne Vorsteuerung.
Im Bild 5-7 schließlich ist die Testfahrt mit selbstoptimierender Trajektorienvor-
steuerung dargestellt. Die Selbstoptimierung hat die Vorgabe, dass Vorsteuerung
und P-Regler zusammen eine Lenkleistung von 15 W verbrauchen. Es ist zu er-
kennen, wie der Selbstoptimierungsalgorithmus an Stellen, wo die Krümmung der
Gleislagefehler groß ist, die Gewichtung des Ziels „Energie sparen“ erhöht (vierter
Graph). Dadurch wird eine Soll-Trajektorie generiert, die glatter verläuft, aber
dafür näher an die Grenzen des Spurspiels führt. Durch die glatteren Trajektorien
verbrauchen sowohl die Vorsteuerung als auch der P-Regler weniger Leistung. Da-
durch kann die Vorgabe sehr gut eingehalten werden. An den Stellen, an denen die
Leistungsvorgabe nicht eingehalten werden kann, ist dies darauf zurückzuführen,
dass der P-Regler allein schon mehr als die Vorgabe benötigt.
Im Vergleich mit den anderen beiden Fahrten in Bild 5-8 fällt vor allem auf, dass
die selbstoptimierende Spurführung mit der eingestellten Leistungsvorgabe zu
sehr vielen Spurkranzanläufen führt. Dies ist beabsichtigt, da ja die strikte Ein-
haltung der Leistungsvorgabe höchste Priorität hat. Fahrten mit einer höheren
Vorgabe wurden durchgeführt und wiesen erwartungsgemäß weniger Spurkranz-
anläufe auf. Die Einhaltung der Vorgabe konnte hierbei jedoch nicht so eindrucks-
voll demonstriert werden, da die höhere Vorgabe über große Strecken auch von
der nicht selbstoptimierenden Regelung eingehalten werden kann. Es muss auch
beachtet werden, dass die Spurkranzanläufe, die die selbstoptimierende Regelung
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 119
−40
−20
0
20
40
Trajektorie in mm
Spurspiel
Soll−Traj.
−8
−4
0
4
8
Trajektorie in mm
Abw. Ist v
Abw. Ist h
Spurspiel
W SW S SO O NO
0
20
40
60
80
Leistung in W
Streckenmarke
Pges.
Pstör
(Pref.)
Bild 5-5: Referenztestfahrt ohne Trajektorienvorsteuerung
Seite 120 Kapitel 5
−40
−20
0
20
40
Trajektorie in mm
Spurspiel
vorgest. Traj.
−8
−4
0
4
8
Trajektorie in mm
Abw. Ist v
Abw. Ist h
Spurspiel
W SW S SO O NO
0
20
40
60
80
Leistung in W
Streckenmarke
Pges.
Pstör
(Pref.)
Bild 5-6: Testfahrt mit Trajektorienvorsteuerung und fester Gewichtung für wenige Spurkranzanläufe
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 121
−40
−20
0
20
40
Trajektorie in mm
Spurspiel
vorgest. Traj.
−8
−4
0
4
8
Trajektorie in mm
Abw. Ist v
Abw. Ist h
Spurspiel
0
20
40
60
80
Leistung in W
Pges.
Pstör
Pref.
W SW S SO O NO
0
0.5
1
Energiegewichtung
Streckenmarke
Bild 5-7: Testfahrt mit aktiver Selbstoptimierung zur Einhaltung des Energiekontingents
Seite 122 Kapitel 5
„verursacht“, geplant sind und somit nicht mit denen verglichen werden können,
die bei unkontrolliertem Schlingern auftreten. Ganz im Gegenteil wird das Rad
durch die Soll-Trajektorie in einem flachen Winkel „sanft“ an den Schienenkopf
geführt. Es ist auch zu beachten, dass die Selbstoptimierung in den Bereichen,
in denen die Gleislagefehler eine geringe Krümmung aufweisen, die zugeteilte
Leistung zur sicheren Vermeidung von Spurkranzanläufen nutzt. Dies steht im
Gegensatz zu konventionellen Regelungen, bei denen die Stellwertamplitude mit
der Amplitude der Störung steigt und fällt.
Selbstoptimierende Trajektorienvorsteuerung Seite 123
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
RMS Abw./Spurspiel
ohne Vorst.
mit Vorst.
SO
W SW S SO O NO
0
20
40
60
80
Leistung in W
Streckenmarke
ohne Vorst.
mit Vorst.
SO
Pref.
Bild 5-8: Vergleich der drei Testfahrten ohne Vorsteuerung, mit Vorsteuerung und mit Selbstoptimierung
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 125
6 Selbstoptimierende Riccati-Regler
Die Minimierung eines quadratischen Gütemaßes ist eine der bekanntesten und
in unzähligen Varianten erforschten Methoden zur Reglerauslegung für lineare
Mehrgrößensysteme. Die Methode kann sowohl für deterministische als auch für
stochastische Systeme angewandt werden und hat in beiden Fällen die gleiche,
geschlossen darstellbare Lösung (vgl. [KS72]). Betrachtet wird das stochastische
System mit dem Zustandsvektor x∈Rn, dem Eingang u∈Rpund dem n-
dimensionalen weißen Prozessrauschen wmit Kovarianzmatrix W1:
˙x(t) = A x(t) + B u(t) + w(t)
w(t)∼ N (0,W)(6-1)
Das lineare Regelungsgesetz2und die Dynamikmatrix des geregelten Systems lau-
ten:
u(t) = −R x(t)(6-2)
AR=A−B R
Die skalare Zielfunktion mit den Gewichtungsmatrizen Q,Sund Nlautet:
J=J(R)
= lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
x(t)TQ x(t) + u(t)TS u(t)+2x(t)TNu(t) dt
(6-3)
Der Regler, der Jminimiert, wird (unabhängig von W) mithilfe der Lösung der
Algebraischen Riccati-Gleichung (kurz ARG) berechnet:
R=R?= arg min
R
J(R) = S−1·BTP+NT
ATP+P A −(P B +N)S−1(P B +N)T+Q= 0 (6-4)
Oder äquivalent:
˜
ATP+P˜
A−(P B +N)S−1(P B +N)T+˜
Q= 0
˜
A=A−B S−1NT
˜
Q=Q−N S−1NT
(6-5)
1∼ N (·,·)steht für eine unabhängige Realisierung einer normalverteilten Zufallsgröße
2Alle Ergebnisse dieses Abschnitts sind auch noch gültig, wenn der Stellwert mithilfe ei-
nes geschätzten Zustandsvektors ˆxberechnet wird ([BH75]). Dies wird ausführlicher in Ab-
schnitt 6.5.1 erläutert.
Seite 126 Kapitel 6
Der über (6-4) geschlossene Regelkreis ohne Störeingänge ist genau dann global
asymptotisch stabil, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind ([AL84]):
1) (A,B)ist stabilisierbar.
2) S03.
3) ˜
Q0.
4) ˜
Q,Aoder auch ˜
Q−1/2,Ahat keine unbeobachtbaren Eigenwerte auf der
imaginären Achse.
Wird das System mit dem optimalen Regler R?geregelt, nimmt die Zielfunktion
den folgenden, von der Lösung der ARG Pund der Störkovarianz Wabhängigen
Wert an:
J?= min
RJ(R) = J(R?) = spur (P W )(6-6)
Riccati-Regler zeichnen sich durch ihre Robustheit aus, die auf der unendlichen
Amplitudenreserve und der garantierten Phasenreserve von mindestens 60◦be-
ruht (vgl. [JMP+80]). Die optimale Ausregelung von Anfangsauslenkungen, bzw.
im stochastischen Fall die Minimierung der Zielfunktion, prädestiniert den Regler
für den Einsatz zur Störunterdrückung, beispielsweise mit vorgesteuertem Füh-
rungsverhalten. Bei den hier betrachteten quasi-stationären stochastischen Sys-
temen mit unendlichem Optimierungshorizont hat der Regler die herausragende
Eigenschaft, dass die Optimalität unabhängig von der Art der Störung (Kovarianz
W) ist.
Trotz der einfachen Herleitung, der hervorragenden numerischen Lösbarkeit, und
den genannten positiven Eigenschaften des Reglers hat die Methode einen ent-
scheidenden Nachteil: Bei der praktischen Anwendung stellt sich stets die Frage
nach der konkreten Wahl der Gewichtungsmatrizen Q,Sund N, die die freien
Auslegungsparameter darstellen. Insbesondere die Einschränkung auf eine einzel-
ne Zielfunktion ist in der Praxis oft nicht hinzunehmen, da ein technisches Sys-
tem meist mehrere widersprüchliche Anforderungen zu erfüllen hat. Oft wird diese
Einschränkung dadurch umgangen, dass zunächst mehrere quadratische Zielfunk-
tionen aufgestellt werden (bspw. ein Verlaufs- und ein Verbrauchskriterium), und
diese dann durch eine gewichtete Summe zusammengefasst werden, wie es z. B.
in [TM89], [KR91] oder [KL86] vorgeschlagen wird. Es gibt jedoch keine physi-
kalischen Anhaltspunkte, die zu einer geeigneten Wahl dieser Gewichtung führen
(vgl. Abschnitt 2.4.5). Daher wird in [Li93b] der Ansatz verfolgt, die gewichte-
te Summe nur als Zwischenschritt zu betrachten, und die Gewichtung dann mit
3Die Matrix Aist positiv definit: A0bzw. positiv semidefinit: A0.
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 127
einem iterativen Verfahren so zu bestimmen, dass eine beliebige Skalarisierungs-
funktion minimiert wird (in [Li90] wird mit diesem Ansatz beispielsweise ein Min-
Max-Problem gelöst). In beiden Publikationen wird das Optimierungsverfahren
jedoch nur schematisch umrissen und die Zielfunktionen sind über einen endlichen
Horizont definiert. Optimale Regler mit einem endlichen Horizont haben aber den
Nachteil, dass sie durch Integration der Riccati-Differenzialgleichung gelöst wer-
den müssen und ein geeignetes Endpunktkriterium erforderlich ist ([DAC00]). Der
Grenzübergang zu einem unendlichen Horizont in (6-3) dagegen lässt sich mithilfe
der Algebraischen Riccati-Gleichung (6-4) lösen.
In den folgenden zwei Abschnitten wird daher ein neues Verfahren zur optimalen
Berechnung der Gewichtung vorgestellt. Dazu wird zunächst die Lösung der Ric-
cati-Gleichung mit fester Gewichtung besprochen. Darauf aufbauend wird dann
ein Newton-Verfahren entwickelt, mit dem die Gewichtung, ausgehend von belie-
bigen Startwerten, iterativ optimiert wird. Die hierfür erforderlichen Ableitungen
und ihre effiziente Berechnung werden ebenfalls angegeben. Im darauf folgenden
Abschnitt wird der vorgestellte Algorithmus so erweitert, dass die Gewichtung bei
veränderlichen Umweltbedingungen (Störungen) kontinuierlich an die Situation
anpasst wird, wodurch ein selbstoptimierender Regler entsteht. Für den Einsatz
als Spurführungsregler wird dieser Algorithmus schließlich so angepasst, dass er
der Vorgabe der bekannten Gleislagefehler optimal folgt.
6.1 Riccati-Regler mit mehreren Gütemaßen
Wird die Zielfunktion in Gleichung (6-3) des Riccati-Problems (6-1), (6-2) durch
einen Vektor Jmit kgleichzeitig zu minimierenden und (teilweise) widersprüch-
lichen Zielfunktionen Jiersetzt4, so resultiert ein Mehrzieloptimierungsproblem:
min J∈Rk= [J1, . . . , Jk]T(6-7)
Ji= lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
x
u
T
QiNi
NiTSi
x
u
dt
4Die Zeitabhängigkeit von Zustand, Eingang, Störung und allen abgeleiteten Größen wird im
Folgenden nicht mehr explizit angegeben.
Seite 128 Kapitel 6
Die Gewichtungsmatrizen Qi,Siund Nider Zielfunktionen können dabei über
den Ausgang einer zu minimierenden Größe definiert werden:
Ji= lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
ziT·zidt
(6-8)
zi=Ci·x+Di·u
Qi=CiTCi
Si=DiTDi
Ni=CiTDi
Die Zielfunktion Jibewertet also den erwarteten Mittelwert des quadratischen
Verlaufs des Ausgangs zi, oder, bei mehrdimensionalen Ausgängen, den Mit-
telwert der Summe der quadratischen Verläufe. Die Zielfunktion kann also als
die Kovarianz des Ausgangs betrachtet werden oder auch als (verallgemeiner-
ter) Energiewert. Die Definition ist auch äquivalent mit dem Quadrat des in der
Elektrotechnik gebräuchlichen Effektivwertes bzw. dem quadratischen Mittelwert
(RMS).
Darstellung der Pareto-Menge
Da die Menge der Lösungen (Pareto-Menge) R?des Mehrziel-Riccati-Problems
konvex ist, lässt sie sich mithilfe einer gewichteten Summe der Zielfunktionen Jα
definieren ([Mak89]):
R?= arg min
R
J(6-9)
=nR∈Rp×n|
R= arg min
R
Jα(α),α∈Rk, αi>0,
k
X
i=1
αi= 1)
Jα(α) =
k
X
i=1
αi·Ji
Die Gewichtung unterliegt dabei einer Gleichungsbedingung, sodass Jα(k−1)
Freiheitsgrade hat und somit die Pareto-Menge eine (k−1)-fache Mannigfaltig-
keit ist. Weiterhin unterliegt die gewichtete Summe den nicht explizit angegebe-
nen Bedingungen, die für alle Riccati-Regler gelten (siehe Seite 126). Um diese
Bedingungen, die sich auf die Gewichtungsmatrizen des Einzielproblems bezie-
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 129
hen, überprüfen zu können, kann die gewichtete Summe auch folgendermaßen
formuliert werden:
Jα= lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
xTQ(α)x+uTS(α)u+ 2 xTN(α)udt
Q(α) =
k
X
i=1
αi·Qi
S(α) =
k
X
i=1
αi·Si
N(α) =
k
X
i=1
αi·Ni
(6-10)
Da das Optimierungsproblem konvex ist, besteht für normierte αi:Pαi= 1 ei-
ne eindeutige Zuordnung α↔ {R,J}. Damit lassen sich die Pareto-Menge und
die Pareto-Front eindeutig durch die Gewichtung parametrieren. Die Gewichtung
dient also als Index, dessen Wert keine physikalische oder wirtschaftliche Bedeu-
tung hat.
Darstellung der Pareto-Front
Für eine feste Gewichtung αhat der Mehrziel-Riccati-Regler die gleiche, auf der
ARG basierende Lösung (6-4) wie das Einzielproblem. Der Wert der optimalen
gewichteten Summe der Zielfunktionen (J?
α) lässt sich nach Gleichung (6-9) aus
den einzelnen Zielfunktionswerten oder nach Gleichung (6-6) aus der Lösung der
ARG P(α)anschreiben (wobei Qdurch Q(α)ersetzt wird, usw.):
J?
α(α) = min
RJα(α) =
k
X
i=1
αi·J?
i= spur (P(α)·W)(6-11)
Ist R?bekannt, so lässt sich P(α)auch durch die Lösung von kLjapunow-
Gleichungen berechnen:
P(α) =
k
X
i=1
αi·Pi
Pi(R?(α)) = L−1
(AR?)TQi+R?(α)TSiR?(α)−2NiR?(α)
(6-12)
Wobei Lder Ljapunow-Operator ist:
LA(P) = −A P −P AT=Q
L−1
A(Q) = P=
∞
Z
0
eAtQeATtdt (6-13)
Seite 130 Kapitel 6
Damit ist auch der Wert der einzelnen Zielfunktionen analog zu Gleichung (6-6)
abhängig von der Störung W:
J?
i(α) = spur (Pi(α)W)(6-14)
Mit diesen Ergebnissen lässt sich schließlich auch die Pareto-Front J?des Mehr-
ziel-Riccati-Problems mithilfe der gewichteten Summe definieren (dabei ist die
Abhängigkeit der Pareto-Front von der Störkovarianz besonders hervorgehoben):
J?(W) = nJ∈Rk|J=J?(α) = [spur (Pi(R?(α)) ·W)]T,
R?(α) = arg min
R
Jα(α),α∈Rk, αi>0,
k
X
i=1
αi= 1)(6-15)
6.2 Iterative Optimierung der Gewichte
Bei der modellbasierten Selbstoptimierung durch Mehrzieloptimierung wird zur
Laufzeit wiederkehrend ein Pareto-Punkt bestimmt, der das Ziel für die Ausle-
gung des Reglers darstellt, mit dem das System dann bis zur nächsten Anpassung
geregelt wird. Sind Pareto-Menge und Pareto-Front nicht im Voraus bekannt, kön-
nen die Zielbestimmung und die Reglerauslegung auch in einem Schritt durchge-
führt werden, indem die Verkettung von Skalarisierungsfunktion und Zielfunkti-
onsvektor direkt über der Reglermatrix minimiert wird:
Rs= arg min
R
s(J(R)) (6-16)
Dies hat jedoch den Nachteil, dass es sich dabei um ein nichtlineares Optimie-
rungsproblem mit u. U. sehr vielen Optimierungsvariablen handelt. Für den Fall,
dass ein Riccati-Regler ausgelegt werden soll, ist es daher sinnvoll, die Mehrzie-
loptimierung in zwei Schritten durchzuführen (vgl. [Li93a]). Zunächst wird die
Skalarisierungsfunktion über der Pareto-Front minimiert, wobei die Pareto-Front
nach (6-15) durch den Zielgewichtungsvektor αparametriert ist5:
αs= arg min
α
s(J?(α)) (6-17)
Mit dem so bestimmten Zielgewichtungsvektor wird dann der Vektor der Ziel-
funktionen des Mehrziel-Riccati-Problems (6-7) skalarisiert. Daraus resultiert ein
herkömmliches Riccati-Problem, das mit bekannten, effizienten Verfahren gelöst
werden kann. Dies hat den Vorteil, dass in vielen Fällen αsehr viel weniger Ele-
5Ein ähnliches Verfahren wird auch in [Hil01] vorgeschlagen; dort wird jedoch die Pareto-
Menge im Urbildraum mithilfe der Optimierungsvariablen lokal linear approximiert.
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 131
mente hat, als Rund damit das Optimierungsproblem (6-17) stark vereinfacht
wird.
Das hier vorgestellte Verfahren zur Selbstoptimierung mit Skalarisierungsfunkti-
on sieht die Optimierung von Gleichung (6-17) mithilfe eines Newton-Verfahrens
vor. Dazu werden in jedem Optimierungsschritt der Gradient und die Hessematrix
der Skalarisierungsfunktion benötigt, welche über die Kettenregel auch die Diffe-
renzierung der mit dem Gewichtungsvektor parametrierten Pareto-Front J?(α)
erfordern. Im Folgenden werden daher die Jacobimatrix und die zweiten Ablei-
tungen der Pareto-Front nach dem Gewichtungsvektor hergeleitet. Dabei wird
deutlich, dass die Ableitungen in jedem Pareto-Punkt von der zugehörigen Reg-
lermatrix abhängen. Es muss also in jeder Newton-Iteration eine Riccatigleichung
gelöst werden. Wird die Optimierung jedoch im Rahmen einer Selbstoptimierung
quasi kontinuierlich durchgeführt, so ist zu erwarten, dass sich der Pareto-Punkt
jedes Mal nur leicht ändert und die Optimierungen daher relativ schnell konver-
gieren.
Jacobimatrix des Pareto-Punktes J?(α)
Die Ableitung der optimalen Zielfunktionen J?
ibezüglich der Gewichte αjerfolgt
in zwei Schritten: aus der Ableitung der Zielfunktion nach der Reglermatrix und
aus der Ableitung der Reglermatrix nach den Gewichten:
∂J?
i
∂αj
=
p
X
k=1
n
X
l=1
∂J?
i
∂rk,l · ∂R
∂αj!k,l
= spur
∂R
∂αj· ∂J?
i
∂R!T
(6-18)
Dabei ist [A]k,l das Element in der k-ten Zeile und der l-ten Spalte von A.
Die Ableitung von J?nach der Reglermatrix wird in Anlehnung an das in
[BG71] angegebene Verfahren durchgeführt. Dazu wird die Ljapunow-Gleichung
für Pi(6-12) um kleine Änderungen ∆Rund ∆Pierweitert. Nach der Subtrakti-
on der ursprünglichen Gleichung und unter Vernachlässigung von Termen zweiter
Ordnung ergibt sich:
(A−B R)T∆Pi+ ∆Pi(A−B R) +
RTSi−PiB∆R+ ∆RTSiR−BTPi−2Ni∆R= 0 (6-19)
Daraus lässt sich ablesen, dass ∆Piwiederum die Lösung einer Ljapunow-
Gleichung ist:
∆Pi=L−1
ART(∆Pi, L)
∆Pi, L=SiR−BTPiT∆R+ ∆RTSiR−BTPi−2Ni∆R
(6-20)
Nach Gleichung (6-14) ist dann eine kleine Änderung des Zielfunktionswertes:
∆J?
i= spur (∆Pi·W) = spur L−1
ART(∆Pi, L)·W(6-21)
Seite 132 Kapitel 6
Auf diesen Ausdruck wird der folgende Satz zur Umformung von Ljapunow-
Gleichungen angewandt. Für C0gilt:
spur A·L−1
B(C)·D= spur L−1
BTAT·DTC(6-22)
Gleichung (6-21) ist dann:
∆J?
i= spur (X·∆Pi, L)(6-23)
X=L−1
AR(W)
Darin ist Xdie Zustandskovarianz (vgl. [BH75]); eine Größe also, die zur Laufzeit
(theoretisch nach unendlicher Zeit) direkt aus den bekannten Zuständen berech-
net werden kann:
X= lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
x xTdt
(6-24)
Wird nun ∆J?
inach ∆Rabgeleitet, so folgt direkt die gesuchte Ableitung6:
∂J?
i
∂R=∂∆J?
i
∂∆R= 2 SiR−BTPi−NT
i·X(6-25)
= 2 (SiR−S Ri)·X
Ri=S−1BTPi+NT
i(6-26)
Die Ableitung der Reglermatrix nach den Gewichten lässt sich mithilfe
der folgenden Beziehungen:
∂P
∂αi
=Pi(6-27a)
∂S−1
∂αi
=−S−1SiS−1(6-27b)
und unter Anwendung der Produktregel für Matrizen direkt angeben:
∂R
∂αj
=−S−1SjR−BTPj−NT
j
−S−1(SjR−S Rj)
(6-28)
6Bei der Ableitung der Spur nach einer Matrix gilt folgende Regel: ∂
∂Xspur (A·X·B) =
AT·BT(siehe [GT09]).
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 133
Die Jacobimatrix ergibt sich schließlich aus den Gleichungen (6-25) und
(6-28) wie folgt:
∂J?
i
∂αj
=−2 spur S−1(SjR−S Rj)·X·(SiR−S Ri)T(6-29)
Die Taylorreihenentwicklung erster Ordnung von J?(α)stellt die Tangential-
Hyperebene dar, deren Normalenvektor der Gewichtungsvektor αist ([Hil01]).
Erwartungsgemäß hat die Jacobimatrix einen Eigenwert in null mit Eigenvektor
α. Da sie sich Summe von Matrixprodukten A·ATdarstellen lässt7, ist die Jaco-
bimatrix symmetrisch und negativ semidefinit. Wird also ein Gewichtungsfaktor
erhöht, kann der zugehörige Zielfunktionswert dadurch nur kleiner werden oder
gleich bleiben (ein Verhalten, das auch intuitiv zu erwarten ist). Aufgrund der
Symmetrie müssen nur k·(k+ 1) /2Elemente der Jacobimatrix explizit berechnet
werden.
Zweite Ableitung des Pareto-Punktes J?(α)
Die zweite Ableitung eines Pareto-Punktes ∂2J?
h
∂αi∂αjwird durch erneute Differen-
ziation der Jacobimatrix berechnet8. Da diese Hypermatrix ebenfalls symmetrisch
ist, müssen nur 1/6·k·(k+ 1) ·(k+ 2) spezifische Elemente berechnet werden.
Aufgrund der Beziehung ∂spur (Y) = spur (∂Y)treten dabei Matrizenprodukte
mit überwiegend bekannten Faktoren auf. Die Ableitung von X(nach der De-
finition in Gleichung (6-23)) wird analog zu der von Pinach Gleichung (6-19)
durchgeführt. Dadurch fallen kweitere Auswertungen des inversen Ljapunow-
Operators L−1
(AR?)an, die nach der im übernächsten Abschnitt vorgestellten Me-
thode effizient berechnet werden können.
Da die Reihenfolge der Matrizen in der Spur beliebig ist, kann die Rechenzeit
durch geschickte Anordnung minimiert werden. Durch die Anwendung der Ket-
tenregel beim Differenzieren fallen große Teile der Berechnung schon als Zwi-
schenergebnis der Jacobimatrix an. Der Programm-Code für die Berechnungen
wird automatisch aus der Problemdefinition erstellt, sodass Produkte mit Null-
matrizen (viele Sisind null, da die zugehörigen Zielfunktionen den Stellwert nicht
enthalten) gar nicht erst berechnet werden. Der gesamte Rechenaufwand steigt
7∂J?
i
∂αj=Pn
l=1 hX1/2(SjR−S Rj)TS−1/2il·hX1/2(SjR−S Rj)TS−1/2ilT
∂J?
∂α=Pn
l=1 YlYT
l, Yl=
hX1/2(S1R−S R1)TS−1/2il
.
.
.
hX1/2(SnR−S Rn)TS−1/2il
8Aus Platzgründen wird auf die Herleitung und die explizite Angabe verzichtet.
Seite 134 Kapitel 6
kubisch mit der Anzahl der Zielfunktionen, quadratisch mit der Anzahl der Zu-
stände und kubisch mit den Eingängen (der Rechenaufwand zur Inversion von S
ist kubisch in p).
Effiziente Lösung der ARG mit dem Kleinmann-Algorithmus
Um die Rechenzeit für einen Online-Algorithmus zur kontinuierlichen Anpassung
der Zielgewichtung zu minimieren, könnten die vom Gewichtungsvektor abhän-
gigen Größen (der Regler R, die Jacobimatrix und die zweiten Ableitungen) als
Kennlinien gespeichert und geeignet interpoliert werden. Dem steht jedoch der
hohe Speicherbedarf schon bei einer moderaten Anzahl von Zielfunktionen ent-
gegen. Sollen diese Größen hingegen bei jeder Anpassung neu berechnet werden,
so müssten dazu eine Riccati-Gleichung und zahlreiche Ljapunow-Gleichungen
gelöst werden. Zur Berechnung der Lösung der ARG (6-5) gibt es viele Möglich-
keiten (verbreitet ist z B. der in [AL84] beschriebene Algorithmus). Es erscheint
jedoch sinnvoll, einen Algorithmus zu verwenden, der die besonderen Umstände
effizient ausnutzt.
Der Algorithmus nach Kleinmann, der in [Kle68] beschrieben wird, ist ein New-
ton-Verfahren zur iterativen Berechnung der Lösung der ARG. Ausgehend von
einem beliebigen, das System stabilisierenden Regler Rk, wird in jedem Iterati-
onsschritt die Lösung einer Ljapunow-Gleichung Pk+1 berechnet, die die Lösung
der ARG approximiert9:
A−B RkTPk+1 +Pk+1 A−B Rk
+RkTSαk
ref Rk+Qαk
ref = 0
Rk+1 =Sαk
ref −1BTPk+1
(6-30)
Der Zielfunktionswert dieser Näherungslösung ist in jedem Schritt garantiert klei-
ner als im Vorhergehenden und der resultierende Regler ist immer stabilisierend.
Nahe der Lösung weist das Verfahren, wie jedes Newton-Verfahren, eine quadra-
tische Konvergenzrate auf. Geht man von kleinen Änderungen im Gewichtungs-
vektor aus, so reicht oft schon eine Iteration aus, um den neuen optimalen Regler
mit hinreichender Genauigkeit zu erhalten. Die iterative Lösung der ARG ist
damit meist weniger rechenaufwendig als ein Verfahren ohne Startwert. Da der
berechnete Regler in jedem Iterationsschritt stabilisierend (und „besser“ als der
Vorhergehende) ist, kann das Verfahren auch frühzeitig abgebrochen und für eine
9Die Iterationsschritte des Kleinmann-Algorithmus sind durch hochgestellte Indices markiert:
(·)ksteht für Größen, die im aktuellen Iterationsschritt aus dem vorhergehenden Schritt
bekannt sind, (·)k+1 steht für Größen, die im aktuellen Iterationsschritt neu berechnet werden
und (·)k−1ist eine Größe, die schon im vorhergehenden Schritt bekannt war.
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 135
kurze Zeit suboptimal geregelt werden (in der Hoffnung, dass das Verfahren bei
der nächsten Anpassung schneller konvergiert).
In Kombination mit dem folgend beschrieben Verfahren zur Lösung der Ljapu-
now-Gleichung, die in jedem Iterationsschritt gelöst werden muss, ergeben sich
weitere Vorteile des Kleinmann-Algorithmus gegenüber den Standardverfahren
für Offline-Anwendungen. Weiterhin wird in [Kat06] eine Version des Kleinmann-
Algorithmus vorgestellt, die sich besonders gut für die Implementierung auf FPGA
eignet. Zusammen mit den zahlreichen Matrizenmultiplikationen, die bei der Be-
rechnung der Ableitungen anfallen, ergibt sich damit eine Möglichkeit, auch sehr
große Systeme (mit vielen Zielfunktionen) mit vertretbarem Hardware-Einsatz zu
regeln.
Effiziente Lösung der Ljapunow-Gleichung nach Bartels und Stewart
Es gibt viele Möglichkeiten zur Berechnung der Lösung der symmetrischen Lja-
punow-Gleichung ATP+P A +Q= 0, bzw. des inversen Ljapunow-Operators
L−1
(AT)(Q)(vgl. [Sor03]). Eine sehr effiziente und weitverbreitete Methode ist die
nach Bartels und Stewart, die in [BS72] beschrieben wird. Bei dieser Methode wird
zunächst die Matrix Amit dem QR-Algorithmus auf die untere reelle Schur-Form
˜
A(Block-Dreiecks-Form) gebracht. Dies entspricht einer orthogonalen Ähnlich-
keitstransformation mit U, die auch auf Qangewandt wird:
˜
A=UTA U
˜
Q=UTQ U
(6-31)
Daraus lässt sich die transformierte Lösung ˜
Peffizient durch rekursive Lösung
der Diagonalblöcke von ˜
A(maximale Dimension (2×2)) berechnen. Die gesuchte
Lösung ergibt sich dann durch Rücktransformation:
P=U˜
P UT(6-32)
Dieses Verfahren ist besonders effizient, wenn der gleiche inverse Ljapunow-Ope-
rator auf verschiedene Qangewandt wird, da die aufwendige QR-Zerlegung nur
einmal durchgeführt werden muss. Dies ist der Fall bei der Berechnung der Piund
der Ableitung ∂X
∂α, die für die zweiten Ableitungen der Zielfunktionen benötigt
wird. Weiterhin kann im Kleinmann-Algorithmus, Gleichung (6-30), ausgenutzt
werden, dass der (inverse) Ljapunow-Operator linear ist. Die Näherungslösung
der ARG Pk+1 ist dann einfach die gewichtete Summe der Pk+1
i(siehe (6-12)).
Für die zweiten Ableitungen muss der inverse Ljapunow-Operator mit nicht
transponiertem ARberechnet werden. Nach [KR78] kann hierfür die vorhandene
QR-Zerlegung von AT
Rverwendet werden.
Die im Abschnitt 6.4 vorgestellte Variante des selbstoptimierenden Riccati-Reg-
lers für dynamische Führungsgrößen erfordert die Lösung von Sylvester-Gleichun-
Seite 136 Kapitel 6
gen ATP+P B +C= 0. Auch diese können nach der Methode von Bartels
und Stewart berechnet werden, wobei ebenfalls die oben genannten Eigenschaften
ausgenutzt werden können.
6.3 Algorithmus für einen Pareto-Regler
Bei stochastischen Systemen oder Systemen mit veränderlichen Parametern hängt
die konkrete Gestalt der Pareto-Front von den Störungen (charakterisiert durch
die Kovarianz W) bzw. bei parametervarianten Systemen auch von den Parame-
terwerten ab. Damit sind auch der Pareto-Punkt, der durch die Minimierung der
Skalarisierungsfunktion ausgewählt wird, und der zugehörige Gewichtungsvektor
veränderlich. Sie müssen dann zur Laufzeit anhand der identifizierten Störungen
und Parameter berechnet werden. Verfahren, bei denen ein Pareto-Punkt aus
einer Approximation der Pareto-Front mithilfe von Expertenwissen ausgewählt
wird (ein Beispiel hierfür findet sich in [WSD+08]), können hier nicht eingesetzt
werden, da die Neuberechnung der Approximation der Pareto-Front zur Laufzeit
zu zeitaufwendig wäre. Daher wird hier eine Methode vorgestellt, die ohne die ex-
plizite Berechnung der Pareto-Front (weder zur Laufzeit, noch offline) auskommt.
Das Verfahren basiert auf dem im vorigen Abschnitt vorgestellten Newton-Verfah-
ren zur Minimierung einer Skalarisierungsfunktion mit quadratischen Gütemaßen
und linearem Regelungsgesetz. Die Idee ist es, die Regleroptimierung zur Lauf-
zeit periodisch neu durchzuführen und zwar unter Berücksichtigung der aktuellen
Störkovarianz und Parameterwerte. Der prinzipielle Ablauf des Algorithmus (Pa-
reto-Controller) ist in Bild 6-1 dargestellt:
1) Zunächst wird das System für die Zeit einer Anpassungsperiode t∈
[t0, t1=t0+ ∆tA)mit einem gegebenen Regler geregelt.
2) Während dieser Zeit werden die Zustände gemessen und in der nächsten An-
passungsperiode t∈[t1, t2)wird daraus der aktuelle Wert der Zielfunktionen,
die Jacobimatrix und die zweiten Ableitungen berechnet.
3) Mit diesen Größen wird durch Minimierung der Skalarisierungsfunktion ein
neuer Gewichtungsvektor berechnet (auch in der Periode [t1, t2)).
4) Für den neuen Gewichtungsvektor wird ein neuer Regler berechnet (auch in
der Periode [t1, t2)), mit dem dann während der übernächsten Anpassungs-
periode t∈[t2, t3)geregelt wird (die Periodendauer ∆tAmuss lang genug
sein, um alle Berechnungen durchführen zu können).
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 137
Strecke mit
Regler
RZielfunktion
Jacobimatrix
xOptmierung der
Skalarisierungsfunktion
J, δJ/δα
1) [t0, t1) 2) [t1, t2) 3) [t1, t2)
αRiccati-
Gleichung
R
4) [t1, t2)
Beeinflussung der
Wahl des
Pareto-Punktes
über Parameter
Bild 6-1: Ablaufdiagramm des PaCo-Verfahrens
6.3.1 Quasikontinuierliche Regleranpassung
Aus Bild 6-1 ist der Kreislauf des Verfahrens zu erkennen, bei dem, ausgehend
von Messungen, Werte berechnet werden, mit denen dann ein Eingriff in die
Systemdynamik vorgenommen wird. Dies entspricht dem Schema einer Regelung.
Da u. A. der Wert des Zielfunktionsvektors gemessen wird, und der Eingriff das
Ziel hat, dass die Werte der Zielfunktionen stets einen Pareto-Punkt darstellen,
soll das Verfahren PaCo (engl. pareto-controller) genannt werden. Das Verfahren
aus Abschnitt 6.2 muss dazu in drei Punkten modifiziert werden:
1) Da bisher immer über einen unendlichen Zeithorizont mit quasi stationärer
Systemdynamik optimiert wurde, muss für eine Anpassung nach endlicher
Zeit mit einer Approximation des Erwartungswerts der relevanten System-
größen gerechnet werden.
2) Bei der Anpassung des Reglers muss sichergestellt werden, dass dadurch die
Systemstabilität nicht gefährdet wird.
3) Zur Verringerung der Rechenzeit wird bei den Newton-Schritten während
einer Anpassung auf die Aktualisierung der Jacobimatrix und der zweiten
Ableitungen verzichtet. Die Pareto-Front wird also durch die Taylorreihen-
approximation zweiter Ordnung mit konstantem Entwicklungspunkt darge-
stellt. Die Ableitungen der Skalarisierungsfunktion dagegen werden in jedem
Iterationsschritt neu berechnet.
Da sich das System durch die regelmäßige Änderung des Reglers und die ange-
nommene Änderung der Störkovarianz nicht in einem stationären Zustand befin-
det, ist streng genommen eine der Grundannahmen des stochastischen Riccati-
Reglers verletzt. Die praktische Erprobung zeigt jedoch, dass das Verfahren sehr
wohl mit guten Ergebnissen eingesetzt werden kann, wenn berücksichtigt wird,
dass sich der Regler nicht zu schnell ändert. Dabei muss einerseits berücksichtigt
werden, dass das System durch die Änderung des Reglers nicht instabil wird, und
dass andererseits immer wieder Phasen mit quasi stationärer Dynamik auftreten,
in denen dann die Optimalitätsbedingungen (fast) erfüllt sind. Die kontinuierli-
che Regleranpassung mit Hilfe von Riccati-Gleichungen wir auch bei der Rege-
Seite 138 Kapitel 6
lung von nichtlinearen Systemen erfolgreich eingesetzt (State-Dependent Riccati
Equation-Based Control, SDRE, vgl. [IT98]), obwohl hier Stationarität und Op-
timalitätsbedingungen durch die Linearisierung noch schlechter erfüllt sind.
Erwartungswertbildung und Einfluss der Systemdynamik
Sowohl der Wert des Zielfunktionsvektors, als auch die Zustandskovarianz (die
zur Berechnung der Jacobimatrix und der zweiten Ableitungen benötigt wird)
sind Erwartungswerte, die so in der Praxis nicht berechnet werden können. Als
einfache und ressourcensparende Approximation bietet sich die Tiefpassfilterung
der entsprechenden Größen an:
lim
T→∞ E
1
T
T
Z
0
f(t) dt
∼1
TTP,J ·
t
Z
−∞
e(τ−t)/TT P,J ·f(τ) dτ(6-33)
Die Approximation der Zustandskovarianz ist dann beispielsweise (mit der La-
place-Transformation L):
ˆ
X(t) = L−1 1
TTP,J s+ 1 ·Lx(t)·x(t)T!(6-34)
Bei der Wahl der Zeitkonstante TT P,J ist die Systemdynamik zu berücksichtigen
(die sich mit der Wahl des Reglers ändern kann). Um eine einigermaßen realisti-
sche Annäherung an den Erwartungswert zu erhalten, sollte über einen Zeitraum
„gemittelt“ werden, der um ein Vielfaches länger ist, als die größte Systemzeit-
konstante bzw. Periodendauer.
Weiterhin muss auch berücksichtigt werden, dass das System nicht stationär ist,
da der Regler ständig geändert wird. Zur Abschätzung der Dynamik der Zustands-
kovarianz, die aus der Anpassung des Reglers resultiert, soll das Transitionsver-
halten der (Ljapunow-) Differenzialgleichung der Kovarianzmatrix bei Störungen
mit konstanter Kovarianz betrachtet werden:
˙
X(t)=ARX(t) + X(t)AT
R+W(6-35)
Diese DGL lässt sich mithilfe des Vektor-Operators und dem Kronecker-Produkt
wie folgt ausdrücken (vgl. [PP06]):
vec ˙
X(t)=I⊗AR+AT
R⊗Ivec (X(t)) + vec (Q)(6-36)
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 139
Die Transition der Systemdynamik soll zum Zeitpunkt t0= 0 stattfinden, da-
nach ist die Systemdynamik gleichbleibend. Die Lösung der Kovarianz-DGL lau-
tet dann:
vec (X(t))=e(I⊗AR+AT
R⊗I)t·vec (X0)
+e(I⊗AR+AT
R⊗I)t−II⊗AR+AT
R⊗I−1vec (Q)
= e(I⊗AR+AT
R⊗I)t·vec (X0)
+I−e(I⊗AR+AT
R⊗I)t·vec (X∞),
(6-37)
wobei X∞die Lösung der Ljapunow-Gleichung, also der Endwert, für die Zu-
standskovarianz mit der neuen Systemdynamik ist. Für die Eigenwerte der Dy-
namikmatrix der Kovarianz-DGL gilt (vgl. [Lau04]):
λI⊗AR+AT
R⊗I= vec λ(I)·λ(AR)T+λ(AR)·λ(I)T
λI⊗AR+AT
R⊗I= 2 ·λ(AR)
λI⊗AR+AT
R⊗I= 2 ·λ(AR)
(6-38)
Hierin ist λ(·)der Vektor der Eigenwerte und λbzw. λder kleinste bzw. größ-
te Eigenwert. Das Spektrum der Eigenwerte der Zustandskovarianz liegt also in
einem Intervall, dessen Grenzen doppelt „schnell“ sind, wie die des Intervalls der
Systemeigenwerte.
Approximation der aktuellen Gewichtung
Nach der Aufschaltung eines neuen Reglers für eine gewünschte Zielgewichtung
αakt dauert es eine Weile, bis das System wieder stationär ist und die Zielfunk-
tionswerte der gewünschten Gewichtung entsprechen. Bei geeigneter Einstellung
sollte diese Verzögerung durch die Zeitkonstante des Tiefpassfilters dominiert wer-
den. Es erscheint daher sinnvoll, weitere Berechnung nicht mit der aktuellen (zum
Regler gehörigen) Gewichtung αakt, sondern mit tiefpassgefilterten Werten αist
vorzunehmen. Für dieses Tiefpassfilter sollte die gleiche Zeitkonstante gewählt
werden, wie für die Zielfunktionswerte. Die Gewichtung αist hat dann ungefähr
die gleiche Transitionszeit, wie die zugehörigen Zielfunktionswerte.
Stabilität
Durch die periodische Änderung des Reglers entsteht ein schaltendes System.
Die Stabilität solcher Systeme kann mithilfe der direkten Methode von Ljapunow
garantiert werden (siehe [Wul05]). Da im vorliegenden Fall die Regleranpassung
quasi kontinuierlich stattfindet, wird die Methode von Ljapunow in der Vari-
ante für lineare zeitvariante Systeme angewandt. Danach ist ein System dann
Seite 140 Kapitel 6
asymptotisch stabil, wenn eine sogenannte Ljapunow-Funktion mit den folgen-
den Eigenschaften existiert10:
V(x) = x(t)T·P(t)·x(t)>0
˙
V(x)≤0(6-39)
Für Riccati-Regler ist Pgenau die Lösung der ARG und in der Ableitung tritt
die Zustandsgewichtungsmatrix Qauf, die per Definition positiv semidefinit ist:
d
dtV(x(t)) = x(t)T−Q+˙
P(t)x(t)(6-40)
Wird nun davon ausgegangen, dass der Regler während einer Anpassungsperiode
kontinuierlich übergeblendet wird11, kann mit dem Differenzenquotienten von P
gerechnet werden:
˙
V≈x(t)T−Q+1
∆tA
∆P(t)x(t)(6-41)
Der Differenzenquotient von Pkann direkt aus dem Kleinmann-Algorithmus ge-
wonnen werden:
∆P=Pk+1 −Pk(6-42)
Wenn sich der Gewichtungsvektor von einer Anpassungsperiode zur nächsten
nicht ändert (αk
ref =αk−1
ref ), dann garantiert der Kleinmann-Algorithmus, dass
∆P0ist. Daher ist es naheliegend, die Linearität des inversen Ljapunow-Ope-
rators auszunutzen, und Pals Summe aus zwei Termen auszurechnen, einen für
eine unveränderte Gewichtung und einen nur für die Änderung der Gewichtung.
Die Differenz zwischen zwei Anpassungsschritten ∆Pist dann die Summe aus
einem Term ∆klP, der garantiert negativ semidefinit ist und einem Term P∆α,
der für die Änderung der Gewichtung steht:
∆P= ∆klP+P∆α=Pk+1 αk
ref −Pkαk−1
ref
αk
ref =αk−1
ref + ∆α
Pk+1 αk
ref =Pk+1 αk−1
ref +Pk+1 (∆α)
Pk+1 αk−1
ref −Pkαk−1
ref = ∆klP0
Pk+1 (∆α) = P∆α
(6-43)
10 Das System ist dann asymptotisch stabil, wenn ˙
Vstrikt kleiner null ist.
11 Dies wäre durchaus möglich, da eine Linearkombination aus zwei auf einander folgenden
Lösungen des Kleinmann-Algorithmus immer stabilisierend ist.
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 141
Die Frage nach der Stabilität lässt sich dann so formulieren, dass der größte
Faktor ρ≤1gesucht wird, sodass Q−∆klP−ρP∆αnoch positiv definit ist:
ρP∆αQ−∆klP(6-44)
Der Faktor ρist also eine Skalierung der gewünschten Änderung der Gewichtung,
die sicherstellt, dass das System durch die Änderung des Reglers nicht instabil
wird. Für den Online-Algorithmus wird die sehr konservative Prüfung auf positive
Definitheit durch den folgenden Test ersetzt:
ρ= min
t∈[t0, t0+∆tA) x(t)T·P∆α·x(t)
x(t)T·(Q−∆klP)·x(t)!(6-45)
Es wir also eine Anpassungsperiode lang getestet, zu welchem Anteil die neue
Gewichtung übernommen werden kann, ohne dass das System bei den getesteten
Zuständen instabil wird. Dieser momentane Test ist weniger konservativ als die
Forderung, dass die Gewichtungsänderung für alle möglichen xzulässig ist (Glei-
chung (6-44)). Die praktische Erprobung zeigt sogar, dass ρin vielen Fällen auch
von Gleichung (6-45) noch zu klein gewählt wird und daher nach unten begrenzt
werden kann.
Durch den Stabilitätstest ergibt sich eine Unterscheidung zwischen gewünschter
Gewichtung αref und tatsächlich umgesetzter Gewichtung αakt =ρ·αref .
Vereinfachte Optimierung der Skalarisierungsfunktion
Bei der Optimierung der Skalarisierungsfunktion nach Gleichung (6-17) mit dem
Newton-Verfahren müsste die Taylorreihenentwicklung der Pareto-Front theore-
tisch bei jeder Newton-Iteration neu berechnet werden. Da das System nie mit
den Gewichtungen, die in den Newton-Iterationen berechnet werden, geregelt
wird, stehen für diese Zwischenschritte auch keine Messwerte zur Verfügung. Da
die Taylorreihenentwicklung der Pareto-Front jedoch auf Messwerten beruht, gibt
es zwei Alternativen: Entweder wird in jeder Anpassungsperiode nur eine New-
ton-Iteration durchgeführt, oder die Optimierung wird bis zur Konvergenz mit
einer quadratischen Approximation der Pareto-Front durchgeführt, (die um den
Startwert der Optimierung entwickelten Taylorreihe). Bei beiden Ansätzen ist die
resultierende Gewichtung zwar nur suboptimal in Bezug auf die Skalarisierungs-
funktion, der resultierende Regler ist jedoch weiterhin pareto-optimal. Weiterhin
kann davon ausgegangen werden, dass sich die Systemdynamik bis zum nächs-
ten Anpassungszeitpunkt nur ein Stück weit auf die neue Gewichtung zubewegt
(eine ausreichend kurze Anpassungsperiode vorausgesetzt). Bei der nächsten An-
passung kann dann eine „Kurskorrektur“ vorgenommen werden. Der Vorteil der
vollständigen Optimierung mit einer Approximation der Pareto-Front gegenüber
der Variante mit einem Iterationsschritt ist, dass bei der Optimierung alle zur
Verfügung stehenden Informationen, nämlich die über die Skalarisierungsfunkti-
on, vollständig ausnutzt werden.
Seite 142 Kapitel 6
Durch diese vereinfachte Optimierung geht die garantierte Konvergenz im Konver-
genzbereich des Newton-Verfahrens verloren. Durch die falsche Wahl der Anpas-
sungsperiodendauer und der Filterzeitkonstanten kann das Verfahren in Schwin-
gung geraten. Die Optimierung liefert dann abwechselnd zu große und zu kleine
Gewichtungswerte. Es sollte jedoch möglich sein, diese Anpassung so langsam
vorzunehmen, dass das Verfahren mit Sicherheit stabil ist. In der Praxis zeigt
sich, dass sogar sehr kleine Zeitkonstanten in Bezug auf die Systemeigenwerte
möglich sind.
Weitere Aspekte
Bei der Optimierung muss darauf geachtet werden, dass die Bedingungen für die
Gewichtung (0< αi≤1,Pα= 1) und gegebenenfalls für den Riccati-Regler
(siehe Seite 126) eingehalten werden. Dies wird in der vorliegenden Arbeit mit-
hilfe der sogenannten erweiterten Lagrange-Funktion (siehe [ACP91]) erreicht.
Bei diesem Verfahren wird die Zielfunktion um Strafterme für die Nebenbedin-
gungen erweitert. Diese erweiterte Zielfunktion wird mit dem Newton-Verfahren
minimiert. Die Straffaktoren und die Multiplikatoren der Strafterme werden dann
in einer äußeren Schleife mit mindestens linearer Konvergenzrate angepasst. Der
Vorteil dieser Methode ist die leichte Implementierbarkeit, die einfache Fehlersu-
che und die gute Eignung für die automatische Generierung des problemspezifi-
schen Programm-Codes bei gleichzeitig guten Laufzeiteigenschaften und einfacher
Parametriebarkeit.
6.3.2 Der Algorithmus im Detail
Aus den besprochenen Änderungen, die zur Umsetzung einer quasi kontinuierli-
chen Anpassung notwendig sind, ergibt sich das in Bild 6-2 dargestellte detaillierte
Ablaufdiagramm des PaCo-Verfahrens:
1) Zunächst wird das System für die Zeit einer Anpassungsperiode ∆tAmit
einem gegebenen Regler (aus 9)) geregelt. Während dieser Zeit werden die
Zustände gemessen (Anpassungsperiode [t0, t1)).
2) Aus den gemessenen Zuständen aus 1) wird durch ein Tiefpassfilter eine Ap-
proximation der Zustandskovarianz und der Zielfunktionswerte be-
rechnet (Anpassungsperiode [t0, t1)).
3) Aus der zum aktuellen Regler gehörigen Gewichtung aus 9) wird mit einem
Tiefpassfilter die tatsächliche Gewichtung αist berechnet (auch Anpas-
sungsperiode [t0, t1)).
4) Aus der geschätzten Zustandskovarianz aus 2) und der tatsächlichen Gewich-
tung aus 3) werden die Zielfunktionswerte, die Jacobimatrix und die
zweiten Ableitungen berechnet (Anpassungsperiode [t1, t2)).
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 143
5) Mithilfe der tatsächlichen Gewichtung aus 3), den Zielfunktionswerten und
der Jacobimatrix aus 4) wird auch in der Anpassungsperiode [t1, t2)die Opti-
mierung der Skalarisierungsfunktion durchgeführt, um den gewünschten
Gewichtungsvektor αref für den nächsten Regler zu bestimmen.
6) Weiter wird in der Anpassungsperiode [t1, t2)für die gewünschte Gewichtung
aus 5) ein neuer Reglerkandidat berechnet.
7) Parallel zu den Berechnungen in der Anpassungsperiode [t1, t2)wird das Sys-
tem mit dem nächsten Regler geregelt und die Zustände dabei gemessen.
8) In der Anpassungsperiode [t2, t3)wird mit den gemessenen Zuständen aus 7)
und den Riccati-Matrizen des neuen Reglerkandidaten aus 6) der Anpas-
sungsfaktor ρ(Gleichung (6-45)) bestimmt.
9) Mit dem Anpassungsfaktor aus 8) wird schließlich in der Anpassungsperiode
[t3, t4)der nächste Regler zusammen mit der zugehörigen Gewichtung αakt
berechnet.
Dadurch, dass jeder neue Regler vor der Aufschaltung erst validiert werden muss,
um die Stabilität zu gewährleisten, vergehen zwischen dem Ende der Messung
(Ende Periode 0) und der Aufschaltung des neuen Reglers (Anfang Periode 4) 3
Anpassungsperioden.
6.4 Pareto-Regler mit dynamischen Führungsgrößen
Der bisher besprochene PaCo-Algorithmus basiert auf einem Riccati-Regler, der
sich zur Kompensation von allgemeinen Störungen in Form von weißem Rauschen
eignet. Für die Spurführungsregelung soll das Konzept daher speziell als Folge-
regler modifiziert werden. Dazu wird der Ansatz nach [KS72] gewählt, bei dem
das Systemmodell (Index sy) um das Modell einer dynamischen Führungsgröße
(Index re) erweitert wird, sodass eine Zielfunktion, die sich auf das Folgeverhalten
bezieht (Ausgang zflg, i), explizit die Abweichung zwischen Soll- und Ist-Verlauf
bewerten kann. Im Modell wird hierbei die Dynamik des Führungsgrößenmodells
durch keinen externen Eingang, sondern durch weißes Rauschen angeregt:
˙xsy
˙xre
=
Asy 0
0Are
xsy
xre
+
Bsy
0
usy +
wsy
wre
usy =−hRsy Rrei·
xsy
xre
zflg, i =hCsy, i −Cre, ii
xsy
xre
+Dsy, i usy
(6-46)
Seite 144 Kapitel 6
Strecke2mit
Regler
R
x
JG2δJ6δα
Optmierung2der
Skalarisierungsfunktion
Zielfunktion
Jacobimatrix
4A2[t8G2t9A
5A2[t8G2t9A
αref
Reglerw
kandidat
X
^
X
^
xhxT
zA2[t7G2t8A
Anpassungsw
faktor
ΔKlPG2PΔα
ρ
Reglerw
interpolation
Gewichtungsw
interpolation
αist
6A2[t8G2t9A
9A2[t7G2t8A
αakt
Δα
8A2[t7G2t8A
7A2[t8G2t9A
8A2[t9G2tzA
9A2[tzG2t4A
Δα, αKl zw8
Abtastzeit
der2
Regelung
Abtastzeit
der2
Regelung
Abtastzeit
ΔtA
Bild 6-2: Ablaufdiagramm des PaCo-Verfahrens im Detail
Entsprechend der Struktur der erweiterten Systemmatrix wird auch die Lösung
der Riccati-Gleichung als Blockmatrix angeschrieben mit den Teilmatrizen für
das System (Index s, s), das Führungsmodell (Index r, r) und die Koppelmatrizen
(Index s, r):
P=Pflg =
Ps,s Ps,r
(Ps,r)TPr,r
(6-47)
Durch Einsetzen und Ausmultiplizieren des derart erweiterten Systems in die
Gleichung für den Kleinmann-Algorithmus kann die spezielle Systemstruktur aus-
genutzt werden. Es stellt sich heraus, dass der Regler aus zwei Anteilen besteht:
dem ursprünglichen Kompensationsregler und einem Führungsanteil:
Rk+1 =S−1(Bsy)ThPk+1
s,s Pk+1
s,r i(6-48)
Ist der Zustand des Führungsmodells konstant gleich null, so ergibt sich die glei-
che Regelungsdynamik wie ohne Führungsmodell. Der ursprüngliche Kompen-
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 145
sationsregler wird auch weiterhin auf die gleiche Weise berechnet wie ohne die
Systemerweiterung:
ARk
syT·Pk+1
s,s +Pk+1
s,s ·ARk
sy
+Rk
syT·S·Rk
sy +Qs,s = 0
(6-49)
Dabei ist ARk
sy =Asy −Bsy Rk
sy die Dynamikmatrix des geregelten Systems. Eine
Änderung der Führungsdynamik hat keinen Einfluss auf diesen Regleranteil. Der
Folgeregleranteil wird durch eine Sylvester-Gleichung bestimmt:
(Are)T·Pk+1
s,r +Pk+1
s,r ·ARk
sy
+Rk
reT·S·Rk
sy −Rk+1
sy −Qr,s = 0
(6-50)
Obwohl sie für den Regler nicht benötigt wird, muss zur Berechnung des Anpas-
sungsfaktors ρnoch der reine Führungsanteil der Riccati-Matrix Pr,r angegeben
werden:
ARk
syT·Pk+1
r,r +Pk+1
r,r ·ARk
sy
−2Rk
reT·S·Rk+1
re +Rk
re ·S·Rk
re +Qr,r = 0
(6-51)
Berechnung der Zustände des Führungsmodells
Da die Anregung des Führungsgrößenmodells bei dieser Form der Modellierung
unbekannt ist, müsste der Zustand geschätzt werden, z. B. indem ein Beobach-
ter mit der gleichen Systemerweiterung aufgebaut wird. Im vorliegenden Fall mit
zunächst unbekannten Gleislagefehlern wäre dies durchaus eine brauchbare Vor-
gehensweise. Generell scheint es jedoch widersinnig zu sein, Führungsgrößen zu
schätzen, da diese ja im Voraus bekannt sein sollten. Auch die Gleislagefehler
lassen sich vorab identifizieren und stehen dann als gespeicherte Trajektorie zur
Verfügung. Daher soll hier beschrieben werden, wie die Zustände des Führungs-
modells direkt berechnet werden.
Jedes lineare dynamische System mit maximaler Differenzordnung hat die Eigen-
schaft der Flachheit. Die Zustände (und ggf. die Eingänge) lassen sich also aus
den Ausgängen und ihren Ableitungen berechnen. Dazu muss eine reguläre Ma-
trix Qflach aus Zeilen der kalmanschen Beobachtbarkeitsmatrix QBgebildet und
invertiert werden. Oft sind schon die ersten nZeilen von QBregulär. Die Inverse
von Qflach wird dann von rechts mit einem Vektor multipliziert, der die Ausgänge
Seite 146 Kapitel 6
und die Ableitungen der Ausgänge y(jh)
ihder entsprechenden Zeile Cih·Ajhvon
QBenthält:
x=hCih·Ajhi−1·hy(jh)
ihi
ih∈ {1, . . . , q}, jh∈ {0, . . . , n −1}, h = 1, . . . , n
det hCih·Ajhi6= 0
(6-52)
Die Einschränkung, dass das Modell der Führungsgrößen maximale Differenzord-
nung haben muss, hat sich in der Praxis als nicht zu restriktiv erwiesen, da die
Nullstellen in den Übertragungsfunktionen entfernt werden können, ohne dass
sich die Reglerdynamik dadurch stark ändert. Die Einschränkung gilt natürlich
nicht, wenn die Führungsgrößen geschätzt werden. In diesem Fall haben die Null-
stellen selbstverständlich auch einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf die
Dynamik. Die Spurführungsregelung wird jedoch mit vorab bekannten Führungs-
größen betrieben.
6.5 Pareto-Regler für die Spurführung
Die selbstoptimierende Regelung für die Spurführung der RailCabs wird nach dem
Schema des PaCo-Reglers aus Abschnitt 6.4 implementiert. Sie ist eingebunden
in die in Abschnitt 4.1 beschriebene Gesamtstruktur der RailCab-Regelung. Die
freien Parameter der PaCo-Methode sind die einzelnen Zielfunktionen und die
Skalarisierungsfunktion.
Weiterhin muss noch die Zeitkonstante für das Tiefpassfilter bestimmt werden,
mit dem der Erwartungswert approximiert wird. Die Zeitkonstante wird umge-
kehrt-proportional zur Geschwindigkeit so eingestellt, dass sie bei 5 m s−12 s be-
trägt. Theoretisch besser wäre es, sie in Abhängigkeit von den Regelungseigen-
werten festzulegen. Dies würde jedoch eine Rückführung mit potenziell unvor-
hergesehenen Effekten bedeuten. Die geschwindigkeitsabhängige Einstellung ist
durch die entsprechende Eigenschaft des Einspurmodells begründet. In der Pra-
xis hat sich herausgestellt, dass der Betrag des kleinsten Eigenwerts bei 5 m s−1
stets nahe 1liegt. Das Filter ist nach den in Abschnitt 6.3.1 genannten Krite-
rien also sehr schnell eingestellt. Wie bei einer klassischen Regelung stellt dies
einen Kompromiss zwischen Schnelligkeit und Dämpfung dar. Da die Störungen
jedoch sehr abrupte Amplitudensprünge aufweisen, ist eine schnelle Anpassung
gewünscht. Die Einstellung TT P,J = 2 s ist ein praktisch ermittelter Kompromiss.
Bei schnelleren Werten wäre die Anpassung zu unruhig.
Die Dauer der Anpassungsperiode beträgt 80 ms. Alle Berechnungen benötigen
im Schnitt ca. 25 ms. Damit steht eine ausreichende Reserve für außergewöhnliche
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 147
Systembelastungen zur Verfügung (der PaCo-Regler wird zusammen mit der ge-
samten RailCab-Regelung und -Steuerung auf einem Prozessor ausgeführt). Der
Regler selbst wird mit 2 ms Abtastzeit ausgeführt. Da es sich um einen digitalen
Regler handelt, ist die Modellannahme eines komplett kontinuierlichen Systems
verletzt. Die Abtastzeit ist jedoch klein genug, um vernachlässigt zu werden. Tat-
sächlich sind die Abweichungen zwischen dem kontinuierlichen und dem diskreten
Riccati-Regler sehr gering, und der kontinuierliche Regler erfüllt auch im Zusam-
menspiel mit dem diskretisierten System die Stabilitätsbedingung:
|λ(Ad−Bd·R)|<1
Ad= eA·∆t
Bd=
T
Z
τ=0
eA·τdτ
·B
(6-53)
Diese Bedingung ist für alle getesteten Gewichtungen und Geschwindigkeiten er-
füllt. Der Grund, warum der Regler nicht direkt für das diskretisierte System
berechnet wird, ist die Abhängigkeit der Dynamikmatrix von der Geschwindig-
keit. Bei einer diskreten Reglerauslegung müsste die Diskretisierung bei jeder
Geschwindigkeitsänderung neu durchgeführt werden, was sehr rechenaufwendig
wäre. Ferner liegt die Herleitung des PaCo-Algorithmus derzeit nur in der zeit-
kontinuierlichen Variante vor.
Die unterlagerten Lenkwinkelregler werden mit 1 ms Abtastzeit ausgeführt, um
eine möglichst präzise Umsetzung des Sollwertes zu gewährleisten (der Spurfüh-
rungsregler arbeitet ja mit der Annahme, dass der Lenkwinkel ideal eingestellt
wird).
Zu Beginn der Regelung wird der Kleinmann-Algorithmus mit einem offline be-
rechneten Regler initialisiert. Die Initialisierung wird erneut durchgeführt, wenn
eine Berechnung zu ungültigen Werten führt. Dies ist insbesondere dann der Fall,
wenn die Dynamikmatrix des geregelten Systems nicht negative Eigenwerte be-
kommt. Ein solcher instabiler Regler kann leicht erkannt werden, da die Rege-
lungseigenwerte auf der Diagonalen QR-Zerlegung ˜
Avon ARstehen ( ˜
Awird zur
Lösung der Ljapunow-Gleichung benötigt). Neben nummerischen Fehlern kann
ein solcher Fall auch auftreten, weil die Systemmatrix von der Geschwindigkeit
abhängt und in jeder Anpassungsperiode neu berechnet wird. Zur Reinitialisie-
rung nach einer Fehlberechnung wird der neue Regler aus einem Kennfeld passend
zur aktuellen Geschwindigkeit bestimmt. Durch den Kleinmann-Algorithmus fin-
det also nicht nur die Anpassung des Reglers an die neue Gewichtung statt,
sondern auch eine Anpassung an die veränderliche Fahrzeuggeschwindigkeit.
Seite 148 Kapitel 6
6.5.1 Zustandsrekonstruktion
Der PaCo-Algorithmus basiert auf einer vollständigen Zustandsrückführung. Es
sind jedoch nicht alle Zustände durch Messungen verfügbar. Zur Schätzung der
Zustände wird daher ein zeitdiskretes Kalman-Filter verwendet. Ein Kalman-Fil-
ter ist von der Struktur her ein Luenberger-Beobachter (siehe [Sim06]), also ein
modellbasierter Schätzer. Das dem Filter zugrundeliegende Modell ist das in Ab-
schnitt 3.3 beschriebene Modell der Spurführung ohne Absolutlage. Die Absolut-
lage wird direkt aus Messungen und den gespeicherten Gleislagefehlern bestimmt
(siehe auch Bild 4-2). Bei einem Kalman-Filter wird von einem stochastisch an-
geregten System und stochastisch gestörten Messungen ausgegangen (bei einem
zeitdiskreten Kalman-Filter gelten analog die diskretisierten Gleichungen):
˙x=A·x+B·u
ymess =C·x+v
v∼ N (0,V),w∼ N (0,W)
(6-54)
Der geschätzte Zustand ˆxwird aus der DGL des Systems erweitert um einen
Korrekturterm berechnet. Der Korrekturterm wird mithilfe des Schätzfehlers e
berechnet:
˙
ˆx=A·ˆx+B·u+L·l
l=ymess −C·ˆx=C·e+v
e=x−ˆx
(6-55)
Die Beobachterrückführung Lwird dual zum Riccati-Regler so ausgelegt, dass
der erwartete Schätzfehler minimal wird. Im Gegensatz zum Riccati-Regler ist die
Gewichtung der Schätzfehler nicht frei wählbar. Ausgehend von der Forderung, die
Summe der quadratischen Schätzfehler zu minimieren, ergibt sich die Gewichtung
aus den Kovarianzen des System- und Messrauschens. Es gibt zwar Methoden,
die Rückführung ohne explizite Identifikation der Kovarianzen zur Laufzeit zu
berechnen (siehe z. B. [Meh70]), der Einfachheit halber wird jedoch mit den in
Abschnitt 3.3 identifizierten Werten gearbeitet.
Das Filter wird für ein quasi-stationäres System (Dynamik und Kovarianzen än-
dern sich nicht) ausgelegt. Die Rückführung List dann konstant. Zur Berück-
sichtigung der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Dynamikmatrix werden die dis-
kretisierten Systemmatrizen und die passende Rückführung offline berechnet und
in einem Kennfeld mit 8Stützstellen abgelegt. Zur Laufzeit werden die Matrizen
bei jeder Änderung linear aus dem Kennfeld interpoliert. Die Filtergleichungen
werden damit dann wie für ein konstantes System berechnet.
Da bei der Herleitung des PaCo-Algorithmus von einem Modell mit bekannten
Zuständen ausgegangen wird (Gleichung (6-1)), muss die Auswirkung einer Rege-
lung mit geschätzten Zuständen überprüft werden. Aus [BH75] ist bekannt, dass
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 149
sich die Kovarianz der tatsächlichen Zustände aus der Kovarianz der geschätzten
Zustände ˆ
Xund der Schätzfehlerkovarianz Kzusammensetzt (alle Matrizen in
den folgenden Gleichungen können zeitabhängig sein):
X=ˆ
X+K(6-56)
˙
K=A·K+K·AT−L·V·LT+W
˙
ˆ
X=AR·ˆ
X+ˆ
X·AT
R+L·V·LT
Wird davon ausgegangen, dass die Kovarianz des Messrauschens klein gegenüber
der Störkovarianz ist, so ist auch die Schätzfehlerkovarianz klein12. Die Annahme
geringen Messrauschens ist mit Sicherheit für alle Systemgrößen erfüllt, die in
die Zielfunktionen einfließen (es wäre nicht sinnvoll, ein Ziel zu definieren, des-
sen Erfüllung nicht hinreichend genau gemessen werden kann). Wenn also die
wichtigsten Zustände gut bekannt sind und da die Stellgrößen ohnehin aus dem
geschätzten Zustand berechnet werden, liegt es nahe, die Schätzfehlerkovarianz
in Gleichung (6-56) zu vernachlässigen. Dann kann die Systemgleichung (6-1), die
der Herleitung des PaCo-Algorithmus zugrunde liegt, durch die Gleichung (6-55)
der geschätzten Zustände ersetzt werden. Der einzige Unterschied besteht dann
darin, dass das Systemrauschen wdurch L·(v−C·e)ersetzt wird (Wwird
dann gegen L·V·LT≈Wersetzt)13. Alle anderen Gleichungen des PaCo-
Algorithmus gelten ohne Änderungen.
6.5.2 Wahl der Ziele
Das Vorgehen bei der Wahl des Pareto-Punktes für den PaCo-Regler der Spur-
führung lässt sich wie folgt in Worten formulieren: Minimiere die Lenkleistung,
aber nur soweit, dass mit hoher Wahrscheinlichkeit keine Spurkranzanläufe auf-
treten. Ein ähnliches Ziel wird auch in [CM04] oder [CKN09] verfolgt: den Regler
so einzustellen, dass die Grenzen des Prozesses möglichst gut ausgenutzt werden.
In beiden Quellen wird die Störung jedoch als bekannter stationärer Prozess an-
genommen. Natürlich ließen sich noch komplexere Regeln definieren, wie sie in
Abschnitt 2.4.5 besprochen werden, oder es könnte eine Aushandlung der Spur-
12 L·V·LTstrebt gegen den Wert der Störkovarianz W, da die Rückführung Lbeim Kal-
man-Filter invers von der Kovarianz des Messrauschens abhängt und proportional von der
Kovarianz des Schätzfehlers K(L=K·CT·V−1), welche bei kleinem Vebenfalls klein
wird.
13 EnL·(v−C·e)·(v−C·e)T·LTo=
L V LT+L C K CTLT−EnL·v·eT·CT·LTo−EnL·v·eT·CT·LToT,
wobei L C K CTLT≈0und EnL·v·eT·CT·LTo= 0 sind.
Seite 150 Kapitel 6
kranzanlaufrate mit dem Energie-Management stattfinden. Für die Demonstrati-
on des PaCo-Algorithmus und die praktischen Belange der Spurführung ist diese
einfache Formulierung jedoch ausreichend. Alles andere würde die Verständlich-
keit der Wirkungsweise erschweren.
Aus dieser generellen Zielformulierung müssen zunächst die einzelnen Ziele für den
Mehrziel-Riccati-Regler abgeleitet werden. Diese müssen nach Gleichung (6-8) als
Quadrat der 2-Norm14 (k·k2
2) bzw. als Varianz eines Systemausgangs formuliert
werden. Dies scheint zunächst eine große Einschränkung zu sein, da ja sehr viele
andere Funktionsnormen existieren, die evtl. besser zur Problemstellung passen.
Die Lenkleistung beispielsweise müsste definitionsgemäß mit der 1-Norm berech-
net werden. Andere Normen kommen jedoch nicht in Frage, da k·k2
2die Einzige ist,
die durch lineare Regler minimiert werden kann15. Die Minimierung der 1-Norm
beispielsweise führt nach [VM06] zu einem schaltenden Regler. Andererseits kön-
nen, analog zum Vorgehen bei der Differentiellen Dynamischen Programmierung,
alle zweifach differenzierbaren Normen entlang einer lokalen Trajektorie durch
k·k2
2approximiert werden. Dazu muss dann der Wert von k·k2
2in der nichtlinea-
ren Skalarisierungsfunktion entsprechend bewertet werden. Da gerade die beiden
sehr interessanten Normen k·k1und k·k∞nicht zweifach differenzierbar sind, muss
hier ein anderer Ansatz gewählt werden.
Die 1-Norm ist der Betragsmittelwert. Für eine normalverteilte stochastische Va-
riable Xgilt daher:
kXk1=E{|X|} =s2
πσX
X∼ N 0, σ2
X
(6-57)
Dieses Ergebnis ergibt sich aus dem vollständigen Integral des Betrags über die
Leistungsdichtefunktion der Normalverteilung. Wird nun der Wert der Zielfunk-
tion als Varianz σ2verstanden, so ist der folgende Ausdruck ein Ersatz für die
1-Norm des i-ten Zielfunktionsausgangs:
kzik1=√2
πqJi(6-58)
14 Alle p-Normen werden hier nach [KJ08] als Norm von Leistungssignalen verstanden, also als
Zeitmittelwert: limT→∞ 1
TR∞
0|s(t)|pdt
1
p.
15 Obwohl der Name zunächst anderes vermuten lässt, sind auch die bekannten H∞-Regler auf
k·k2
2zurückzuführen. Die H∞-Reglerauslegung kann als Minimierung der Störverstärkung
γ2≥R∞
0
zT·zdt
R∞
0
dT·ddtaufgefasst werden, wobei deine beliebige, energiebegrenzte, nicht stochasti-
sche Störung ist (siehe [GLX+07]). Derart formuliert lässt sich das H∞-Problem durch eine
Folge von Riccati-Gleichungen mit speziellen Gewichtungsmatrizen lösen (vgl. [BH89]).
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 151
Diese „Umdeutung“, die in der Skalarisierungsfunktion vorgenommen werden
muss, ändert zwar nichts an dem Ergebnis des Riccati-Reglers, in der Skalari-
sierung wird dieses Ziel jedoch anders bewertet. Ein Beispiel für diese Vorgehens-
weise ist die Lenkleistung, die im nächsten Abschnitt aus den beiden Lenkwinke-
länderungsraten berechnet wird.
Die ∞-Norm ist der maximale Betragswert des Signals. Dieser ist bei normalver-
teilten Signalen jedoch stets unendlich. Daher muss entsprechend der Diskussion
in Abschnitt 4.3 mit einem probabilistischen Maximum gerechnet werden.
Aus diesen Betrachtungen ergibt sich, dass zum Teil für ein Ziel zunächst mehre-
re Riccati-Gütemaße definiert werden müssen. So auch im vorliegenden Fall der
Lenkleistung und der Spurkranzanlaufrate: Sie müssen getrennt für jede Achse
definiert werden. Die Lenkleistung an der Vorder- und an der Hinterachse wird,
wie in Abschnitt 4.3 besprochen, aus den Lenkwinkeländerungsraten (˙
δRv und
˙
δRh), also aus den Stellwerten berechnet. Die Spurkranzanlaufrate wird aus den
relativen Achslagen (yRv,rel und yRh,rel), also aus den Absolutlagen minus den
Gleislagefehlern berechnet (vgl. Bild 3-4). Damit werden die folgenden vier Ein-
zelziele definiert:
1. Achsabweichung vorn:
JyRv,rel = limT→∞ En1
TRT
0yRv,rel(t)2dto=σ(yRv,rel(t))2
2. Achsabweichung hinten:
JyRh,rel = limT→∞ En1
TRT
0yRh,rel(t)2dto=σ(yRh,rel(t))2
3. Lenkwinkeländerungsrate vorn:
Ju,v = limT→∞ En1
TRT
0˙
δRv(t)2dto=σ˙
δ2
Rv
4. Lenkwinkeländerungsrate hinten:
Ju,h = limT→∞ En1
TRT
0˙
δRv(t)2dto=σ˙
δ2
Rh
6.5.3 Wahl des Pareto-Punktes
Die mathematische Interpretation der Zielformulierung „Minimiere ... aber nur
soweit, [dass eine Begrenzung eingehalten wird]“ führt zu einer ε-Constraint Ska-
larisierung mit dem Ziel, die Lenkleistung zu minimieren. Die Lenkleistung ist die
Summe der Leistung an der Vorder- und Hinterachse. Die Leistung an den Achsen
wird nach der Diskussion im vorigen Abschnitt und in Abschnitt 4.3 proportional
zur Wurzel der Riccati-Zielfunktionen definiert:
JP,hyd =cP,hyd ·s2
π·qJu,v +qJu,h(6-59)
Dabei ist cP,hyd der hydraulische Leistungsfaktor aus Gleichung (4-8). Bei der
Optimierung ist es wichtig, dass das Argument der Quadratwurzel nicht negativ
Seite 152 Kapitel 6
werden darf. Dies ist zwar in der Realität nicht möglich, kann durch die Ap-
proximation der Pareto-Front während der Optimierung jedoch eintreten. Daher
wird nach [CM96] die differenzierbare Plus-Funktion pdefiniert, die sich für
große Werte dem Argument annähert und für kleine Werte gegen null strebt. Das
Übergangsverhalten kann durch den Parameter bestimmt werden:
p(x) = 1
2x+√x2+(6-60)
Die mathematisch sichere Form der Leistungs-Zielfunktion lautet dann:
JP,hyd =cP,hyd ·s2
π·qp(Ju,v) + qp(Ju,h)(6-61)
Der Einfluss der Wurzel in der Definition der Leistung kann anhand der Höhen-
linien in Bild 6-3 beschrieben werden. Auf den Konturlinien hat die Skalarisie-
rungsfunktion einen konstanten Wert. Pareto-Punkte auf der gleichen Höhenlinie
werden also gleich bewertet. Das Konturlinien-Diagramm einer Skalarisierungs-
funktion ist also ein Hilfsmittel zum Verständnis des „Auswahlverhaltens“ der
Funktion.
Die Konturlinien von JP,hyd zeigen, dass diese Funktion nicht konvex ist und
damit nicht immer ein eindeutiges Minimum existiert. Ob ein eindeutiges Mi-
nimum existiert oder nicht, hängt von der Krümmung der Pareto-Front ab. In
Bild 6-3 sind drei in Simulationen aufgetretene Pareto-Fronten dargestellt, für die
ein Minimum existiert. Es ist zu erkennen, wie die Skalarisierungsfunktion dazu
tendiert, Pareto-Punkte zu wählen, bei denen der Wert der Zielfunktion der Hin-
terachse sehr viel kleiner ist als der der Vorderachse. Dies ist damit zu erklären,
dass die Wurzel in der Zielfunktion die Wirkung des Quadrats in den einzelnen
Zielfunktionen aufhebt: Bei quadratischen Zielfunktionen werden große Werte
überproportional und kleine Werte unterproportional bewertet. Angestrebt wird
aber ein linearer Zusammenhang zwischen Zielfunktionswert und Bewertung (Be-
tragsfunktion). Daher muss die Wurzel kleine Werte überproportional bewerten,
also noch kleiner machen.
Die Minimierung der Lenkleistung ist der Beschränkung unterworfen, dass die
Trajektorie der Achse im Spurkanal verläuft. Dabei werden die Zielfunktionswerte
JyRv,rel , JyRh,rel als Varianz σ2verstanden, und entsprechend Gleichung (4-6) wird
gefordert, dass diese Varianz kleiner als ein bestimmter Wert bleibt. Hier muss
nicht mit der Standardabweichung gerechnet werden (was die Radizierung der
Zielfunktion erfordern würde), da (4-6) auf beiden Seiten quadriert werden kann:
JSKA,v/h =JyR,rel,v/h
(G/2)2−1
Φ−11−SARsoll
22≤0(6-62)
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 153
0 200 400 600 800
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Ju,v in W2
Ju,h in W2
Höhenlinien
Pareto−Front
gewählter Punkt
Bild 6-3: Konturlinien der Skalarisierungsfunktion für die Lenkleistungen der
Vorder- und Hinterachse
Aufgrund der oft abrupten Sprünge in der Amplitude der Gleislagefehler wird
nicht auf das volle Spurspiel begrenzt, sondern mit einem Sicherheitsabstand ge-
rechnet. Die Trajektorie soll in einem Kanal ±2 mm um die Mittellinie liegen:
G/2 = 2 mm. In diesem Kanal soll sich die Trajektorie mit einer Wahrscheinlich-
keit von 99,9973 % aufhalten: Φ−11−SARsoll
2= 3.
Aus Gründen der Recheneffizienz soll die Beschränkung nicht als explizite Neben-
bedingung bei der Minimierung der Skalarisierungsfunktion auftreten. Stattdes-
sen wird ein Ansatz nach [Ber96] verfolgt, der die Erweiterung der Zielfunktion
mit einem Strafterm vorsieht. Dabei wird die Überschreitung des Grenzwerts
stark gewichtet (bestraft). Die Verletzung der Spurkanal-Bedingung kann mit
der Plus-Funktion wie folgt definiert werden:
JSpur =p(JSKA,v) + p(JSKA,h)(6-63)
Diese ist (fast) null, solange die Trajektorie erlaubt ist, und steigt linear mit der
Verletzung der Bedingung. Um die Verletzung effektiv zu unterdrücken, wird sie
der eigentlichen Zielfunktion mit einer hohen Gewichtung wSpur angehängt:
Jskalar =JP,hyd +wSpur ·JSpur (6-64)
Je größer die Gewichtung des Strafterms ist, desto geringer fällt die Verletzung
der Nebenbedingung aus. Eine zu große Wahl führt jedoch zu einem zunehmend
schlechter konditionierten Optimierungsproblem (vgl. [JS03]). Praktische Versu-
che ergeben einen guten Kompromiss mit wSpur = 50. In allen Plus-Funktionen
wird = 1×10−4gewählt. Auch hier gilt es, einen Kompromiss zwischen Genau-
igkeit und Konditionierung zu finden.
Seite 154 Kapitel 6
Einen Eindruck von der Wirkung des Strafterms vermitteln die Konturlinien der
Skalarisierungsfunktion in Bild 6-4. Der enge Verlauf der Höhenlinien ab dem
Grenzwert zeigt, dass ab dort hauptsächlich die Abweichung der Achslage mini-
miert wird.
0 2 4 6 8
0
20
40
60
80
100
JyR rel,v in mm2
JP,hyd
in W
Höhenlinien
Pareto−Front
gewählter Punkt
Bild 6-4: Konturlinien der Skalarisierungsfunktion für Lenkleistung und relative
Achslage
Bei der Optimierung müssen weiterhin die Bedingungen für die Gewichtung ein-
gehalten werden:
αi> αmin
Xαi= 1 (6-65)
Die letzte Bedingung wird erfüllt, indem nur (k−1) Gewichte als Optimierungs-
variablen betrachtet werden. Die Ungleichungsbedingungen werden mithilfe der
Methode der erweiterten Lagrange-Funktion nach [Ber76] erfüllt. Der Wahl von
αmin liegt die Überlegung zugrunde, dass das Verhältnis der Gewichtungen dem
Kompromiss-Verhältnis (siehe Abschnitt 2.4.5) entspricht. Bei gut skalierten Ziel-
funktionen ist ein Kompromiss-Verhältnis jenseits von 50 sicher nicht mehr sinn-
voll (eine Verbesserung in einem Zielfunktionswert um eine Einheit durch die
Verschlechterung eines anderen um 50 Einheiten zu „erkaufen“ ist in den meisten
Situationen unverhältnismäßig). Wird von dem Extremfall ausgegangen, dass ein
Gewicht groß ist und alle anderen minimal, so ergibt sich für ein Kompromiss-Ver-
hältnis ∂αmax die folgende Beziehung: αmin =1
∂αmax+k−1. Natürlich könnte auch
αmin = 0 gewählt und die einzelnen Kompromiss-Verhältnisse explizit durch wei-
tere Nebenbedingungen formuliert werden. Da die Rechenzeit für die Optimierung
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 155
jedoch stark mit Anzahl der Nebenbedingungen steigt, wird die einfache Variante
mit αmin >0verwendet.
6.6 Ergebnisse und Validierung
Die Funktion des vorgestellten PaCo-Reglers wird zunächst an einem einfachen
Beispiel verdeutlicht und validiert. Danach folgt die Präsentation der Ergebnisse
für die Spurführungsregelung.
6.6.1 PaCo-Regelung für ein einfaches Beispiel
Als anschauliches Beispiel wird das einfache Modell eines doppelten Integrators
gewählt, der beispielsweise die eindimensionale Lagerregelung eines Massepunktes
darstellen könnte:
A=
0 1
0 0
,B=
0
1
(6-66)
Die beiden Zielfunktionen ergeben sich nach Gleichung (6-8) aus den Ausgängen
z1(Lagezustand) und z2(Stellkraft):
z1=h1 0i·x+h0i·u,
z2=h2 0i,·x+h1i·u
(6-67)
Für das Tiefpassfilter zur Approximation des Erwartungswertes wird die Zeitkon-
stante TT P,J = 20 s gewählt. Als Skalarisierung wird eine ∞-Norm gewählt, die so
gewichtete ist, dass für die ersten 200 s die Bedingung J2= 4 J1vorgegeben wird.
Danach wird die Vorgabe geändert und es wird J2=J1gefordert. Das System
wird die ersten 100 s von einer Störung mit der Kovarianz W1angeregt. Danach
wird eine Störung mit der Kovarianz W2aufgeschaltet.
W1=
0.5 0.5
0.5 3
,W2=
0.5 1
1 9
(6-68)
Insgesamt werden 300 s simuliert. Nach 100 s ändert sich die Störung (Umweltein-
fluss) und es wird demonstriert, wie der PaCo-Algorithmus darauf reagiert und
für die Einhaltung der Vorgabe sorgt. Nach 200 s ändert sich die Vorgabe, wo-
mit demonstriert wird, dass der Algorithmus auch zur Umsetzung von variablen
Benutzeranforderungen eingesetzt werden kann.
In Bild 6-5 ist der Verlauf des Pareto-Punktes in der Bildebene (Zielfunktions-
raum) dargestellt. Zur Orientierung sind auch die Pareto-Fronten gezeichnet, die
im stationären Fall mit den Störungen W1und W2erreicht werden können. Die
Seite 156 Kapitel 6
beiden Geraden, die die vorgegebenen Gleichungsbedingungen beschreiben, sind
ebenfalls dargestellt. Idealerweise sollte sich die Trajektorie des Zielfunktionsvek-
tors jeweils im Schnittpunkt von Vorgabe und Pareto-Front aufhalten: startend
unten links auf der Pareto-Front von W1(Phase 1), dann entlang der Vorgabe
J2= 4 J1wandernd, in den Schnittpunkt mit der Pareto-Front von W2(Phase
2), um schließlich auf die Vorgabe J2=J1zu wechseln (Phase 3).
Es ist gut zu erkennen, wie das System nach den Änderungen bei 100 s und 200 s
auf den gewünschten Pareto-Punkt eingeregelt wird. Bei der Vorgabe J2=J1
weicht der Pareto-Punkt allerdings stärker von der vorhergesagten Lage auf der
Pareto-Front von W2ab. Dies ist auf eine zu kleine Zeitkonstante der Erwartungs-
wertbildung zurückzuführen. Das stärker minimierte Energiekriterium J2führt zu
langsameren Systemeigenwerten, sodass die kurzeitig gemittelten Zielfunktions-
werte größeren Schwankungen unterliegen.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
Zielfunktion J1
Zielfunktion J2
α1=0.14, α2=0.86
α1=0.99, α2=0.01 J2=4⋅J1
J2=J1
Pareto−Front W1
Pareto−Front W2
Simulation t<100 s
Simulation 100 s<t<200 s
Simulation t>200 s
Phase 2
Phase 1
Phase 3
Bild 6-5: Verlauf des geregelten Pareto-Punktes im Bildbereich während der drei
unterschiedlichen Phasen
In Bild 6-6 sind der Zeitverlauf der Zielfunktionswerte und ihr Quotient darge-
stellt. Auch hier ist die gute Einregelung der Vorgabe zu erkennen, aber auch
die starken Schwankungen der Zielfunktionswerte. Es ist besonders zu beachten,
dass die gewählte Skalarisierung die Schwankung der Zielfunktionswerte unter
dem Einfluss der Störung zulässt, ihren Quotienten jedoch auf einen vorgegebe-
nen Wert einstellt. Der Verlauf der vom PaCo-Algorithmus bestimmten Gewich-
tung entspricht sehr gut den Werten, die im stationären Fall nötig wären, um die
entsprechenden Vorgaben einzuhalten.
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 157
0
10
20
J1
Störung W1Störung W2
Phase 1 Phase 2 Phase 3
0
10
20
J2
0
2
4
6
J2 / J1
J2=4⋅J1
J2=J1
0 50 100 150 200 250 300
0
1
2
3
Zeit in s
α1 / α2
stationär
Bild 6-6: Zeitverlauf der Zielfunktionswerte, ihres Quotienten und des Quotienten
der Gewichte
Seite 158 Kapitel 6
6.6.2 Funktion der selbstoptimierenden Spurführung mit PaCo-Regler
Zur Demonstration der mit dem PaCo-Algorithmus umgesetzten selbstoptimie-
renden Spurführung werden die Ergebnisse von Testfahrten mit verschiedenen
(jeweils konstanten) Geschwindigkeiten und verschiedenen Vorgaben vorgestellt.
Ferner wird demonstriert, wie die vorgestellte Reglerstruktur zur Folgeregelung
in der Lage ist, sowohl bei bekannten als auch bei unbekannten Gleislagefeh-
lern zu arbeiten. Bei unbekannten Gleislagefehlern wird einfach ein gerader Ver-
lauf (gespeicherte Gleislagefehler gleich null) vorgegeben, sodass der Regler aus
Abschnitt 6.4 effektiv wie der Störregler aus Abschnitt 6.3 arbeitet. Der über-
lagerte PaCo-Regelkreis bleibt von dieser Änderung unbeeinflusst. Das Fehlen
der Information über die Gleislagefehler stellt sich hier lediglich als veränder-
ter Umfeldeinfluss dar, der über die approximierten Zielfunktionswerte und die
Zustandskovarianz Eingang in die Anpassung der Gewichte findet.
In den folgenden Bildern ist der Ausschnitt der Westkurve (W-S), der Südgera-
den (S-SO) und der Ostkurve (SO-NO) aus den Ovalfahrten gezeigt. Im oberen
Graphen ist die Rauheit der Gleislagefehler, dargestellt. Die Rauheit ist definiert
als der quadratische Mittelwert (RMS) der Krümmung, also die zweite Ablei-
tung der Lagefehler nach der Streckenposition. Die Rauheit dient als Referenz
zur Beurteilung der Anforderung an die Spurführung: Raue Abschnitte erfordern
stärkere Lenkeingriffe.
In Bild 6-7 und Bild 6-8 sind zwei Fahrten jeweils mit 5 m s−1, einmal mit und
einmal ohne Kenntnis der Gleislagefehler dargestellt. Bei beiden ist die Selbst-
optimierung aktiv. Bei diesen Bildern ist im zweiten Graphen die Abweichung
der tatsächlich gefahrenen Trajektorie der Vorder- und der Hinterachse von der
Gleismittellinie zu sehen. Ebenfalls ist die Begrenzung durch das Spurspiel einge-
zeichnet, sowie gestrichelt die dreifache laufende Standardabweichung (Tiefpass-
filter mit T0= 5 s) oben für die Vorderachse und unten für die Hinterachse. Dieser
Wert ist das Maß für die Spurkranzanlaufrate, die durch die Regelung auf eine
bestimmte Vorgabe begrenzt werden soll.
Im dritten Graphen sind die gesamte Lenkleistung und die der beiden Achsen
aufgetragen. Im untersten Graphen ist der Verlauf der vier Gewichtungen dar-
gestellt. Die Summe der Gewichtungen ist auf eins normiert. Die Kurven sind
übereinandergestapelt, die einzelnen Gewichtungswerte entsprechen der vertika-
len Ausdehnung der eingefärbten Flächen.
Es ist zu erkennen, wie der PaCo-Regler in der Lage ist, die Vorgabe von 2 mm
Abweichung von der Mittellinie in beiden Fällen gut einzuhalten. Dazu wird bei
Kenntnis der Gleislagefehler jedoch viel weniger Lenkleistung benötigt, da die
Vorsteuerung eine vorausschauende Reaktion ermöglicht. Es ist zu sehen, wie die
Vorgabe dadurch eingehalten wird, dass die Gewichtung für die Abweichung von
der Mittellinie (αy,v/h) bei fehlender Kenntnis der Gleislagefehler und in Bereichen
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Rauheit in 100/m
−8
−4
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Trajektorie in mm
yrel, v
yrel, h
3⋅σ(yrel, v)
3⋅σ(yrel, h)
Spurspiel
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40
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Lenkleistung in W
Gesamt
Vorn
Hinten
Gewichtung
Streckenmarke
W SW S SO O NO
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1α Ph
α Pv
α yh
α yv
Bild 6-7: Testfahrt mit unbekannten Gleislagefehlern bei 5 m s−1und einer Vorgabe von 2 mm Abweichung
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Rauheit in 100/m
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Trajektorie in mm
yrel, v
yrel, h
3⋅σ(yrel, v)
3⋅σ(yrel, h)
Spurspiel
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Lenkleistung in W
Gesamt
Vorn
Hinten
Gewichtung
Streckenmarke
W SW S SO O NO
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0.2
0.4
0.6
0.8
1α Ph
α Pv
α yh
α yv
Bild 6-8: Testfahrt mit bekannten Gleislagefehlern 5 m s−1und einer Vorgabe von 2 mm Abweichung
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 161
großer Rauigkeit angehoben wird. Ebenfalls wird deutlich, dass die Gewichtung
für die Vorderachse meist größer ist als die für die Hinterachse. Das ist damit zu
erklären, dass die Vorderachse instabil ist und die Hinterachse ihr stabil folgt.
6.6.3 Validierung der Funktion durch Vergleich mit fester Gewichtung
In den folgenden drei Vergleichsbildern ist im zweiten und dritten Graphen die
bereits bei den Einzelfahrten dargestellte dreifache laufende Standardabweichung
der Achsabweichung aufgetragen. Ebenfalls ist gestrichelt das halbe Spurspiel ein-
gezeichnet, sowie mit Strichpunkten die vorgegebene Begrenzung für die dreifache
Standardabweichung. Im unteren Graphen ist die Lenkleistung aufgetragen, wie
sie bei den Einzeldarstellungen im dritten Graphen gezeigt ist.
In Bild 6-9 werden die Funktion und der Mehrwert der Selbstoptimierung vali-
diert. Dazu werden die beiden Fahrten mit selbstoptimierender Gewichtungsan-
passung aus Bild 6-7 und Bild 6-8 und zwei Fahrten mit fester Zielgewichtung
miteinander verglichen. Die beiden Fahrten wurden ebenfalls mit 5 m s−1und ein-
mal mit und einmal ohne Kenntnis der Gleislagefehler durchgeführt. Wie bereits
beobachtet, ist zu erkennen, dass die beiden selbstoptimierten Fahrten die Vorga-
be gut einhalten. Die feste Gewichtung dagegen führt dazu, dass es bei fehlender
Kenntnis der Gleislagefehler vermehrt zu Spurkranzanläufen kommt, dafür aber
die Lenkleistung gering bleibt. Bei bekannten Gleislagefehlern führt die feste Ge-
wichtung dazu, dass die Abweichung der Achstrajektorien von der Mittellinie in
Bereichen großer Gleislagerauheit über der Vorgabe liegt und auf der Südgeraden
(S-SO), wo die Gleislagefehler eine geringe Amplitude haben, darunter fällt. Da-
mit ist gezeigt, dass die Anpassung der Zielgewichtung in der Tat die gewünschte
Wirkung zeigt.
Zur Validierung gehört auch, zu prüfen, ob die Begrenzung für die Trajektorie
der Achsen eingehalten wird. In den Bildern 6-9, 6-10 und 6-11 ist zu erkennen,
dass dies nicht immer gelingt. Der Grund dafür ist die Funktionsweise des PaCo-
Algorithmus, der von einem stochastisch gestörten System mit relativ langsamer
Änderung der Störkovarianz ausgeht. Die Störkovarianz wird jedoch maßgeblich
von den Gleislagefehlern beeinflusst, und diese ändern sich oft abrupt. Es ist gut
zu erkennen, dass jede Verletzung der Begrenzung von einem plötzlichen Anstieg
der Gleislagefehlerrauigkeit hervorgerufen wird. Die Geschwindigkeit, mit der der
Regler an diese neue Situation angepasst wird, ist jedoch durch die Funktionsweise
des PaCo-Algorithmus begrenzt und wird primär durch die Zeitkonstante TTP,J
des Tiefpassfilters zur Approximation der Erwartungswerte bestimmt.
Seite 162 Kapitel 6
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Rauheit in 100/m
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3⋅σ(yrel, h) in mm
W SW S SO O NO
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Lenkleistung in W
Streckenmarke
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3⋅σ(yrel, v) in mm
PaCo, Vorst.
fix, Vorst.
PaCo
fix
Spurspiel
Vorgabe
Bild 6-9: Testfahrten mit 5 m s−1mit Selbstoptimierung und mit festen Gewichten bei bekannten und bei unbekannten Gleislagefehlern
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 163
6.6.4 Fahrten bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten
Bild 6-10 ist genauso aufgebaut, wie das Vergleichsbild aus dem vorigen Ab-
schnitt. Hier soll die Wirkung der Fahrtgeschwindigkeit gezeigt werden. Diese
kann als Umfeldeinfluss für den Regler aufgefasst werden, da sie die Systemdyna-
mik beeinflusst und die Frequenz vorgibt, mit der die Gleislagefehler das Fahrzeug
anregen. Dabei gilt generell, dass höherfrequente Anregungen mehr Leistung zur
Kompensation erfordern. Dies ist auch gut im dargestellten Vergleich zu erken-
nen. Der PaCo-Algorithmus ist also in der Lage, den Regler so anzupassen, dass
die vorgegebenen Ziele bei unterschiedlichen Anregungen und veränderlichen Sy-
stemparametern erfüllt werden können.
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Rauheit in 100/m
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3⋅σ(yrel, h) in mm
W SW S SO O NO
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Lenkleistung in W
Streckenmarke
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3⋅σ(yrel, v) in mm
3 m/s
5 m/s
6 m/s
7 m/s
Spurspiel
Vorgabe
Bild 6-10: Testfahrten mit 3 m s−1,5 m s−1,6 m s−1und 7 m s−1und einer Vorgabe von 2 mm Abweichung
Selbstoptimierende Riccati-Regler Seite 165
6.6.5 Fahrten mit unterschiedlichen Vorgaben
Das letzte Vergleichsbild 6-11 zeigt, dass der PaCo-Regler auch eine flexible Pa-
rametrierung der Zielvorgabe ermöglicht: Es wird die bereits in der Einzeldar-
stellung Bild 6-8 gezeigte Fahrt mit einer Testfahrt verglichen, bei der die Ab-
weichungsvorgabe auf 3 mm erhöht wurde. Es ist zu sehen, wie der Regler die
Vorgabe umsetzt und erwartungsgemäß für die „lockerere“ Führung weniger Leis-
tung benötigt. Dabei fällt auf, dass die Einhaltung der Vorgabe einer größeren
Schwankung unterliegt. Dies ist, wie auch schon im Beispiel aus Abschnitt 6.6.1,
darauf zurückzuführen, dass die „weichere“ Reglereinstellung auch nur langsa-
mer auf Änderungen in der Anregung reagieren kann. Ebenfalls fällt auf, dass
die Abweichung der Hinterachse im Bereich der Südgeraden unter die Vorgabe
fällt. Dies lässt sich durch die Begrenzung der möglichen Gewichtungsverhältnisse
(Kompromiss-Verhältnis) erklären: Die Leistungsreduzierung, die durch eine wei-
tere Anhebung der Abweichung der Hinterachse erzielt werden kann, ist unver-
hältnismäßig klein. Evtl. ist es sogar unmöglich, die Abweichung der Hinterachse
anzuheben, ohne sie aktiv anzuregen, da die Hinterachse ja stabil der Vorderachse
folgt.
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Rauheit in 100/m
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3⋅σ(yrel, h) in mm
W SW S SO O NO
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Streckenmarke
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3⋅σ(yrel, v) in mm
5 m/s
5 m/s
Spurspiel
Vorgabe
Bild 6-11: Testfahrten mit 5 m s−1und einer Vorgabe von 2 mm bzw. 3 mm Abweichung
Ausblick Seite 167
7 Ausblick
In den letzten beiden Kapiteln wurden zwei Ansätze zur selbstoptimierenden
Spurführungsregelung für das innovative Schienenfahrzeug RailCab vorgestellt.
Die erste Methode basiert auf der Generierung von optimalen Trajektorien, die
vorgesteuert und mit einem konstanten Regler stabilisiert werden. Bei der zwei-
ten Methode wird die Rückführungsmatrix eines vollständigen Zustandsreglers
situationsabhängig optimiert. Bei beiden Methoden werden die Zielfunktionen zu-
nächst mit einer gewichteten Summe skalarisiert. Da die Optimierungsprobleme
konvex sind, lässt sich die gesamte Pareto-Front bzw. -Menge über die Gewich-
tung eindeutig parametrisieren. In einem zweiten Schritt wird die Gewichtung
dann so bestimmt, dass eine beliebige Skalarisierungsfunktion optimiert wird. Da
diese Skalarisierungsfunktion über die aktuellen Zielfunktionswerte von dem Zu-
stand des Systems abhängt, findet eine situationsabhängige Optimierung, also
Selbstoptimierung statt.
Da nach Abschnitt 5.1.2 die Optimierung der Trajektorien mit einem Algorithmus
zur nichtlinearen Optimierung erfolgt, wäre es nicht nötig, die Zielfunktionen mit
einer gewichteten Summe zu skalarisieren. Statt dessen wäre es möglich gewesen,
direkt eine Skalarisierungsfunktion zu formulieren, die die Einhaltung der An-
forderungen (Energievorgabe) gewährleistet. Dieser Ansatz wurde nicht verfolgt,
um eine Anwendung für das Mehrzieloptimierungsprogramm GAIO zu schaffen.
Der große Nachteil bei der Optimierung der Vorsteuerung ist die fehlende Kon-
trolle über die Eigenschaften der Regelung, die die Werte der Zielfunktionen mit
beeinflusst. Wie bereits in Abschnitt 5.1 diskutiert, ist die gemeinsame Optimie-
rung von Trajektorien und Rückführungsgesetzen zwar möglich, jedoch enorm
rechenintensiv (siehe auch [WK06]). Eine spezielle Form der gemeinsamen Opti-
mierung, die darüber hinaus auch Störungen berücksichtigt, ist die nichtlineare
stochastische optimale Regelung. Ähnlich der MPC wird dabei modellbasiert und
unter Berücksichtigung eines gewählten Regelungsgesetzes die Distribution der
Zustände vorhergesagt und daraus dann der Erwartungswert der Zielfunktionen
berechnet (vgl. [KD92] oder [TL05]). Durch einen geeigneten Algorithmus wer-
den dann das Regelungsgesetz und die Vorsteuerungstrajektorien iterativ opti-
miert. Bei nichtlinearen Modellen, Zielfunktionen und Störungen mit beliebigen
Distributionen ist die Prädiktion nicht exakt möglich. Zur Lösung muss der Zu-
standsraum diskretisiert werden. Daher ist auch dieses Verfahren sehr rechenauf-
wendig und speicherintensiv. Mit der in Zukunft zu erwartenden Steigerung der
Leistungsfähigkeit von Digitalrechnern werden auch zunehmend derart komplexe
Verfahren Anwendung finden, da sie eine bessere Vorhersage und damit bessere
Regelungsergebnisse ermöglichen.
Seite 168 Kapitel 7
Die Optimierung linearer Zustandsrückführungen ist seit langem Gegenstand der
Forschung. Daher existiert eine Vielzahl von Abwandlungen des Riccati-Reglers,
der die Grundlage der vorgestellten PaCo-Regelung ist. Viele dieser Varianten
lassen sich daher auch auf den selbstoptimierenden Regler übertragen:
Dynamische Regler: Durch Zustandserweiterung lässt sich ein dynamischer Reg-
ler beliebiger Ordnung realisieren. Dazu kann die Dynamikmatrix mit einer
Null-Matrix der gewünschten Ordnung blockdiagonal erweitert werden, und
die Eingangsmatrix mit einer entsprechenden Einheitsmatrix (vgl. [KS72]).
Die konkrete Reglerdynamik wird dann durch die Optimierung bestimmt.
Natürlich können auch Zustandserweiterungen mit vorgegebener Dynamik
durchgeführt werden. Die wichtigsten Möglichkeiten, die hier zu nennen sind,
sind: Zustands-PI-Regler (vgl. [Föl05]), Eingangsfilter und dynamisch gewich-
tete Zielfunktionen (vgl. [Lev96]).
Ausgangsrückführung: Es gibt eine Vielzahl von Arbeiten, die den Entwurf von
optimalen Reglern mit Ausgangsrückführung betrachten (siehe z. B. [GSS98],
[KS74] oder [LA70]). Wenn das System über einen gewählten Ausgang sta-
bilisierbar ist (Kriterien dafür werden in [OG97] oder [SAD94] angegeben),
so gibt es verschiedene Möglichkeiten, die optimale Ausgangsrückführung zu
berechnen. Dabei ist insbesondere die in [Yu04] beschriebene Methode von
Interesse, da sie auf dem Kleinmann-Algorithmus basiert und sich somit leicht
in den PaCo-Algorithmus integrieren lässt. Weitere interessante Möglichkei-
ten ergeben sich durch die Kombination einer Ausgangsrückführung mit einer
Zustandserweiterung.
Allgemeine Strukturbeschränkung: In [MC85] wird eine Methode beschrieben,
die es erlaubt, beliebige Strukturbeschränkungen mithilfe des Kleinmann-Al-
gorithmus zu realisieren. Damit ist es denkbar, ausgehend von einer vollstän-
digen Zustandsrückführung, zur Laufzeit bestimmte Ein- oder Ausgangspfade
zu unterdrücken, z. B. bei Aktor- oder Sensorausfällen.
H∞:In [LFA+08] oder [MA71] wird gezeigt, dass sich der bekannte H∞-Regler
durch eine Folge von Riccati-Gleichungen lösen lässt. Wird nicht die maxi-
mal mögliche Robustheit gefordert, sondern nur eine bestimmte Dämpfung
der Störung, so genügt sogar die Lösung einer einzigen Riccati-Gleichung
(vorausgesetzt, die gewünschte Dämpfung ist kleiner als die maximal Mög-
liche). Damit sind auch suboptimale H∞-Regler mit dem PaCo-Algorithmus
realisierbar. Für optimale H∞-Regler müsste eine iterative Anpassung der
gewünschten Dämpfung vorgenommen werden, bis das Optimum erreicht ist.
Adaptive Regelung: In [VPA+09] wird eine Methode beschrieben, mit der Ricca-
ti-Regler auch für Strecken berechnet werden können, deren Dynamikmatrix
nicht bekannt ist. Dabei wird der Regler iterativ angepasst, ohne eine ex-
plizite Identifikation vorzunehmen. Es handelt sich also um eine implizite
Ausblick Seite 169
adaptive Regelung. Das Vorgehen bei dieser Methode eignet sich zur Inte-
gration in den PaCo-Algorithmus. Ein derartiger Regler hätte adaptive und
selbstoptimierende Eigenschaften und wäre nahezu universell einsetzbar. Ein
ähnliches Verfahren wird auch in [LC02] vorgeschlagen. Leider existieren keine
Angaben zur praktischen Realisierbarkeit der vorgeschlagenen Algorithmen.
Es wurde bereits angesprochen, dass bei dem PaCo-Verfahren die Annahme ei-
nes stationären Reglers verletzt wird. Daraus resultiert, dass die Erwartungs-
wertbildung durch ein Tiefpassfilter ersetzt werden muss. Weiterhin wird auch
vernachlässigt, dass der Erwartungswert aufgrund des zeitvarianten Reglers nicht
stationär ist. Daraus ergibt sich die Frage, unter welchen Bedingungen die An-
passung der Zielgewichtung konvergiert. Die Stabilität der äußeren Schleife des
PaCo-Reglers wird in der vorliegenden Arbeit nicht bewiesen. Es werden zwar An-
haltspunkte für die Wahl der Zeitkonstanten gegeben und es wird auch gezeigt,
dass die Stabilität in der Praxis nicht gefährdet ist, dennoch ist eine weitere
Erforschung dieser Zusammenhänge zu empfehlen.
Bei vielen regelungstechnischen Problemen sind Informationen über den Sollgrö-
ßenverlauf bekannt. Überall dort, wo dies der Fall ist, ist auch eine Trajektorien-
generierung sinnvoll; getreu dem Motto: Steuern, was steuerbar ist, und nur das
regeln, was stabilisiert werden muss. Die Infrastruktur für dieses Vorgehen stellt
die Struktur mit zwei Freiheitsgraden bereit, die damit den Kern einer jeden
komplexeren Regelung bilden sollte.
Ein Nachteil der PaCo-Methode ist die fehlende Berücksichtigung von Informa-
tionen über den zukünftigen Führungsgrößen-Verlauf. Zwar ist es über das Dy-
namikmodell der Führungsgrößen möglich, Informationen über die Ableitungen
der Führungsgrößen in die Regelung einfließen zu lassen, eine Trajektorienpla-
nung findet jedoch nicht statt. Es liegt daher nahe, den PaCo-Regler zur Störun-
terdrückung zu verwenden und gemeinsam mit einer Trajektorie zu optimieren.
Für diese „hybride“ Optimierung wäre jedoch weder der Kleinmann-Algorithmus
noch die DDP geeignet. Daher ist davon auszugehen, dass ein allgemeinerer Opti-
mierungsalgorithmus mit deutlich höherer Rechenzeit eingesetzt werden müsste.
Auch müsste zur Prädiktion der Zustandskovarianz unter einem beliebigen Regler
die Kovarianz des Prozessrauschens identifiziert werden, was den Aufwand weiter
erhöht.
Die beiden vorgestellten Selbstoptimierungsmethoden lassen sich auf viele rege-
lungstechnische Problemstellungen übertragen. Insbesondere die PaCo-Methode
ist sehr flexibel und überall dort einsetzbar, wo auch klassische Zustandsregler
Anwendung finden. Die Methode kann sowohl zur Folgeregelung als auch zur Stör-
unterdrückung, z. B. bei der Regelung einer aktiven Federung, eingesetzt werden.
Seite 170 Kapitel 7
Die Grundlage der beiden vorgestellten Methoden ist das in Abschnitt 2.4.5 be-
schriebene Konzept der Selbstoptimierung durch Mehrzieloptimierung. Das Kon-
zept ist:
intuitiv: Alle Anforderungen (regelungstechnische, ökonomische und sonstige)
können zunächst in natürlicher Sprache formuliert werden. Sofern es sich
dabei um technisch sinnvolle Anforderungen handelt, sollte es dann möglich
sein, diese Anforderungen mathematisch als Gleichung, Ungleichung oder Mi-
nimalitätsbedingung zu formulieren und sodann mithilfe von Messgrößen zu
quantifizieren. Die Skalarisierung erfolgt nach dem gleichen Schema und bie-
tet durch eine beliebige Parametrierung die Möglichkeit, den Einfluss der Ziele
situationsabhängig zu festzulegen. Es ist sogar denkbar, situationsabhängig
eine von mehreren Skalarisierungsfunktionen zu wählen.
transparent: Der technische oder ökonomische Bezug der Zielfunktionswerte geht
im Lauf der Entwicklung nicht verloren und bleibt auch noch bei der num-
merischen Optimierung erhalten. Damit ist das Systemverhalten leicht nach-
zuvollziehen, Fehler können leicht entdeckt und aufgespürt werden und die
Leistungsfähigkeit ist einfach zu validieren. In interdisziplinären Arbeitsgrup-
pen wird die Kommunikation durch die Anschaulichkeit der physikalisch mo-
tivierten Größen erleichtert.
flexibel: Das Konzept ist sehr allgemein und beschränkt sich nicht auf ein be-
stimmtes regelungstechnisches Verfahren (Vorsteuerung, Zustandsregelung,
flachheitsbasierte nichtlineare Regelung o. a.). Auch die Art der Optimierung
ist nicht festgelegt (Wahl der Optimierungsvariablen, Optimierungsalgorith-
mus). Das Verfahren beschreibt lediglich das generelle Vorgehen beim Ent-
wurf einer mehrzielbasierten selbstoptimierenden Regelung. Damit sind viele
verschiedene Ausprägungen und eine Anpassung an nahezu jede Problemstel-
lung möglich.
Mit dem Konzept der Selbstoptimierung durch Mehrzieloptimierung steht eine
Vorgehensweise zur Verfügung, die sich auch auf viele andere Regelungskonzepte
übertragen lässt. Durch die klare Trennung von Zielformulierung, Skalarisierung,
Optimierungsmodell (Regler, Strecke und Optimierungsvariablen) und Optimie-
rungsalgorithmus ist auch eine Arbeitsteilung möglich, wie sie in größeren Pro-
jekten meist vorzufinden ist. Wird diese Trennung auch bei der Umsetzung des
Projektes eingehalten, so ist eine schnelle Änderung einzelner Aspekte (z. B. einer
Zielfunktion) möglich und jede Entwicklungsiteration kann auf der Vorhergehen-
den aufbauen. Im Hinblick auf die Integration ist jedoch stets zu beachten, dass
das resultierende Optimierungsproblem auch in der vorgegebenen Zeit lösbar ist.
Die vorgestellten Methoden erzielen die (weiche) Echtzeitfähigkeit dadurch, dass
ein Optimierungsalgorithmus gewählt wird, der iterativ die Lösung verbessert,
Ausblick Seite 171
und zwar so, dass jede, wenn auch suboptimale, Zwischenlösung zur Regelung
verwendet werden kann.
Die noch junge Disziplin des Entwurfs selbstoptimierender Reglungen ist eine kon-
sequente Weiterentwicklung adaptiver Regelungen. Sie wird durch die fortschrei-
tende Verbreitung von preiswerter und leistungsfähiger Mikroelektronik (Prozes-
soren, Multiprozessorsysteme, FPGA, usw.) getragen. Selbstoptimierung ist die
Übertragung des allgegenwärtigen Paradigmas der Optimalität auf das Verhalten
von Maschinen. Die vorliegende Arbeit soll – über die konkrete Anwendung in
der Spurführung der RailCabs hinaus – einen Beitrag zur Entwicklung solcher
Systeme leisten.
Verwendete Formelzeichen Seite 173
Verwendete Formelzeichen
Darstellung von Skalaren, Vektoren und Matrizen
Skalare: normale Buchstaben, groß und klein (x,X)
Vektoren: fette Kleinbuchstaben (x)
Matrizen: fette Großbuchstaben (X)
Skalare Größen
Zeichen Beschreibung Einheit
aBeschleunigung m s−2
AFläche m2
cFedersteifigkeit N m−1
cαSchräglaufsteifigkeit N
cζBohrschlupfbeiwert N
dDämpferkonstante N s m−1
fSchlupfkraftbeiwert −
FKraft N
GSpurspiel m
JZielfunktionswert
kAnzahl der Ziele −
lLänge, Abstand m
mMasse kg
MMoment N m
nAnzahl der Zustände −
nopt Anzahl der Optimierungsvariablen −
pAnzahl der Eingänge −
pSVersorgungsdruck N m−2
Phyd Hydraulische Leistung W
Preib Reibleistung W
˙qVolumenstrom m3s−1
QRadaufstandskraft N
sSchlupf −
sPos Position entlang des Gleisverlaufs m
Seite 174
Skalare Größen (fortgesetzt)
Zeichen Beschreibung Einheit
TTangentialkraft N
TZeitkonstante s
Wreib Reibarbeit J
yQuerposition Achse oder Gleis m
YQuerkraft N
αGewichtungfaktor −
βSchwimmwinkel rad
γSK Spurkranzwinkel rad
δLenkwinkel rad
ΘMassenträgheitsmoment kg m2
κKrümmung, inverser Radius m−1
µReibkoeffizient −
φWinkel um die x-Achse rad
ψGierwinkel rad
Vektoren und Matrizen
Zeichen Beschreibung
ASystemmatrix
BEingangsmatrix
CAusgangsmatix
DDurchgriff
IEinheitsmatrix
JZielfunktionsvektor
NKreuzgewichtungsmatrix Zustand-Eingang
PLösung der algebraischen Riccati-Gleichung
QZustandsgewichtungsmatrix
RReglermatrix
SEingangsgewichtungsmatrix
uEingangsvektor
WStörkovarianzmatrix
xZustandsvektor
xVektor der Optimierungsvariablen
XZustandskovarianzmatrix
z, z Störgröße
αGewichtungsvektor
Verwendete Formelzeichen Seite 175
Operatoren und Funktionen
Zeichen Beschreibung
EErwartungswert
λEigenwert
JPareto-Front
LLjapunow-Operator
LLaplace-Operator
RPareto-Menge
sSkalarisierungsfunktion
NRealisierung einer normalverteilten Zufalls-
größe
Seite 176
Indizes
Index Bedeutung
abs Größe im inertialen Koordinatensystem
akt Aktuelle Größe
AAufbaugröße bzw. große Zylinderkammer
BKleine Zylinderkammer
flg Zur Folgeregelung verwendet
FZ Fahrzeuggröße
FW Fahrwerkgröße
Gl Gleisgröße
hHinterachse bzw. folgende Achse
iZielfunktionsindex
ist Istwert, tatsächliche Größe
kurve Zur Kurven-Vorsteuerung verwendet
lin Linearisiert
oOben
ref, re, r Vorgabe, Sollgröße
reg Zur Regelung verwendet
rel Relativ zur Gleismittellinie
RRad- bzw. Achsgröße
RAuf das geregelte System bezogen
schl Schlupfgröße
sys, sy, s Systemgröße
traj Zur Trajektorien-Vorsteuerung verwendet
uUnten oder Stellwert (Lenkwinkelrate)
vVorderachse bzw. führende Achse
vor Zur Vorsteuerung verwendet
Indizes (fortgesetzt)
Index Bedeutung
xIn x-Richtung (längs)
yIn y-Richtung (quer)
zIn z-Richtung (senkrecht)
zyl Zylindergröße
ψUm die Hochachse
Literaturverzeichnis Seite 177
Hochgestellte Indizes
Index Bedeutung
TTransponiert
?Optimaler Wert
Literaturverzeichnis Seite 179
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Das Heinz Nixdorf Institut –
Interdisziplinäres Forschungszentrum
für Informatik und Technik
Das Heinz Nixdorf Institut ist ein Forschungszentrum der Universität Pader-
born. Es entstand 1987 aus der Initiative und mit Förderung von Heinz
Nixdorf. Damit wollte er Ingenieurwissenschaften und Informatik zusammen-
führen, um wesentliche Impulse für neue Produkte und Dienstleistungen zu
erzeugen. Dies schließt auch die Wechselwirkungen mit dem gesellschaftli-
chen Umfeld ein.
Die Forschungsarbeit orientiert sich an dem Programm „Dynamik, Mobilität,
Vernetzung: Eine neue Schule des Entwurfs der technischen Systeme von
morgen“. In der Lehre engagiert sich das Heinz Nixdorf Institut in Studiengän-
gen der Informatik, der Ingenieurwissenschaften und der Wirtschaftswissen-
schaften.
Heute wirken am Heinz Nixdorf Institut acht Professoren mit insgesamt 200
Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern. Etwa ein Viertel der Forschungsprojekte der
Universität Paderborn entfallen auf das Heinz Nixdorf Institut und pro Jahr
promovieren hier etwa 30 Nachwuchswissenschaftlerinnen und Nachwuchs-
wissenschaftler.
Heinz Nixdorf Institute –
Interdisciplinary Research Centre
for Computer Science and Technology
The Heinz Nixdorf Institute is a research centre within the University of Pader-
born. It was founded in 1987 initiated and supported by Heinz Nixdorf. By do-
ing so he wanted to create a symbiosis of computer science and engineering
in order to provide critical impetus for new products and services. This in-
cludes interactions with the social environment.
Our research is aligned with the program “Dynamics, Mobility, Integration: En-
route to the technical systems of tomorrow.” In training and education the
Heinz Nixdorf Institute is involved in many programs of study at the University
of Paderborn. The superior goal in education and training is to communicate
competencies that are critical in tomorrows economy.
Today eight Professors and 200 researchers work at the Heinz Nixdorf Insti-
tute. The Heinz Nixdorf Institute accounts for approximately a quarter of the
research projects of the University of Paderborn and per year approximately
30 young researchers receive a doctorate.
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 1 FAHRWINKEL, U.: Methoden zur Model-
lierung und Analyse von Geschäfts-
prozessen zur Unterstützung des
Business Process Reengineering.
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 1,
Paderborn, 1995 – ISBN 3-931466-00-0
Bd. 2 HORNBOSTEL, D.: Methode zur Model-
lierung der Informationsverarbeitung in
Industrieunternehmen. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 2, Paderborn, 1995
– ISBN 3-931466-01-9
Bd. 3 STEMANN, V.: Contention Resolution in
Hashing Based Shared Memory Simu-
lations. Dissertation, Fachbereich für
Informatik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 3,
Paderborn, 1995 – ISBN 3-931466-02-7
Bd. 4 KETTERER, N.: Beschreibung von Daten-
austausch eines verteilten Fertigungs-
steuerungssystems. Dissertation, Fach-
bereich für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 4, Paderborn, 1995
– ISBN 3-931466-03-5
Bd. 5 HARTMANN, T.: Spezifikation und Klassifi-
kation von Methoden zur Definition
hierarchischer Abläufe. Dissertation,
Fachbereich für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 5,
Paderborn, 1995 – ISBN 3-931466-04-3
Bd. 6 WACHSMANN, A.: Eine Bibliothek von
Basisdiensten für Parallelrechner:
Routing, Synchronisation, gemeinsamer
Speicher. Dissertation, Fachbereich für
Informatik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Paderborn, Band
6, Paderborn, 1995 – ISBN 3-931466-05-
1
Bd. 7 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Die Szenario-
Technik – Werkzeug für den Umgang mit
einer multiplen Zukunft. 1. Paderborner
Szenario-Workshop, 14. November 1995,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 7,
Paderborn, 1995 – ISBN 3-931466-06-X
Bd. 8 CZUMAJ, A.: Parallel Algorithmic Tech-
niques: PRAM Algorithms and PRAM
Simulations. Dissertation, Fachbereich
für Informatik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 8,
Paderborn, 1995 – ISBN 3- 931466-07-8
Bd. 9 HUMPERT, A.: Methodische Anforderungs-
verarbeitung auf Basis eines objektorien-
tierten Anforderungsmodells. Disserta-
tion, Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 9, Paderborn, 1995 –
ISBN 3-931466-08-6
Bd. 10 AMEUR, F.: Space-Bounded Learning
Algorithms. Dissertation, Fachbereich für
Informatik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Paderborn, Band
10, Paderborn, 1995 –ISBN 3-931466-
09-4
Bd. 11 PAUL, M.: Szenariobasiertes Konzipieren
neuer Produkte des Maschinenbaus auf
Grundlage möglicher zukünftiger Techno-
logieentwicklungen. Dissertation, Fach-
bereich für Maschinentechnik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 11, Paderborn, 1996 – ISBN 3-
931466-10-8
Bd. 12 HOLL, F.: Ordnungsmäßigkeit von Infor-
mations- und Kommunikationssystemen.
Dissertation, Fachbereich für Informatik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Paderborn, Band 12,
Paderborn, 1996 – ISBN 3-931466-11-6
Bd. 13 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): First European
Workshop on Global Engineering Net-
working - organized by GLENnet e.V.,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 13,
Paderborn, 1996 – ISBN 3-931466-12-4
Bd. 14 PETRI, K.: Vergleichende Untersuchung
von Berechnungsmodellen zur Simulation
der Dynamik von Fahrleitung-
Stromabnehmer-Systemen. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 14, Paderborn, 1996
– ISBN 3-931466-13-2
Bd. 15 LESCHKA, S.: Fallbasiertes Störungs-
management in flexiblen Fertigungs-
systemen. Dissertation, Fachbereich für
Maschinentechnik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
15, Paderborn, 1996 – ISBN 3-931466-
14-0
Bd. 16 SCHNEIDER, U.: Ein formales Modell und
eine Klassifikation für die Fertigungs-
steuerung - Ein Beitrag zur Systematisie-
rung der Fertigungssteuerung.
Dissertation, Fachbereich für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 16, Paderborn, 1996 – ISBN 3-
931466-15-9
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Bd. 17 FELSER, W.: Eine Methode zur Erstellung
von Fertigungssteuerungsverfahren aus
Bausteinen. Dissertation, Fachbereich für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 17, Paderborn, 1996 – ISBN 3-
931466-16-7
Bd. 18 GAUSEMEIER, J.; ALEXANDER FINK, A.: Neue
Wege zur Produktentwicklung – Erfolgs-
potentiale der Zukunft. HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 18, Paderborn, 1996–
ISBN 3-931466-17-5
Bd. 19 DANGELMAIER, W.; GAUSEMEIER, J.:
Fortgeschrittene Informationstechnologie
in der Produktentwicklung und Fertigung.
2. Internationales Heinz Nixdorf Sympo-
sium, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
19, Paderborn, 1996 – ISBN 3-931466-
18-3
Bd. 20 HÜLLERMEIER, E.: Reasoning about Sys-
tems based on Incomplete and Uncertain
Models. Dissertation, Fachbereich für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 20, Paderborn, 1997 – ISBN 3-
931466- 19-1
Bd. 21 GAUSEMEIER, J.: International Symposium
on Global Engineering Network - Ant-
werb, Belgium, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 21, Paderborn, 1997 – ISBN
3- 931466-20-5
Bd. 22 BURGER, A.: Methode zum Nachweis der
Wirtschaftlichkeit von Investitionen in die
Rechnerintegrierte Produktion. Disserta-
tion, Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 22, Paderborn, 1997
– ISBN 3-931466-21-3
Bd. 23 GAUSEMEIER, J.: Entwicklung und Trans-
fer von Entwicklungssystemen der
Mechatronik - Paderborner Workshop
TransMechatronik. HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 23, Paderborn, 1997 – ISBN
3- 931466-22-1
Bd. 24 GERDES, K.-H.: Architekturkonzeption für
Fertigungsleitsysteme der flexiblen auto-
matischen Fertigung. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 24, Paderborn, 1997
– ISBN 3-931466-23-X
Bd. 25 EBBESMEYER, P.: Dynamische Texturwän-
de - Ein Verfahren zur echtzeitorientier-
ten Bildgenerierung für Virtuelle Umge-
bungen technischer Objekte. Disserta-
tion, Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 25, Paderborn, 1997
– ISBN 3-931466-24-8
Bd. 26 FRANK, G.: Ein digitales Hardwaresystem
zur echtzeitfähigen Simulation biologie-
naher neuronaler Netze. Dissertation,
Fachbereich für Elektrotechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 26, Paderborn, 1997
– ISBN 3-931466-25-6
Bd. 27 DITTRICH, W.: Communication and I/O
Efficient Parallel Data Structures.
Dissertation, Fachbereich für Informatik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 27, Paderborn, 1997 –
ISBN 3-931466-26-4
Bd. 28 BÄUMKER, A.: Communication Efficient
Parallel Searching. Dissertation, Fach-
bereich für Informatik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 28
Paderborn, 1997 – ISBN 3- 931466-27-2
Bd. 29 PINTASKE, C.: System- und Schaltungs-
technik neuronaler Assoziativspeicher.
Dissertation, Fachbereich für Elektro-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 29,
Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-28-0
Bd. 30 HENKEL, S.: Ein System von Software-
Entwurfsmustern für die Propagation von
Ereignissen in Werkzeugen zur koopera-
tiven Fabrikmodellierung. Dissertation,
Fachbereich für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 30,
Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-29-9
Bd. 31 DANGELMAIER, W.: Vision Logistik – Logis-
tik wandelbarer Produktionsnetze. HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 31,
Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-30-2
Bd. 32 BREXEL, D.: Methodische Strukturmodel-
lierung komplexer und variantenreicher
Produkte des integrativen Maschinen-
baus. Dissertation, Fachbereich für Ma-
schinentechnik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 32,
Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-31-0
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bd. 33 HAHN, A.: Integrationsumgebung für
verteilte objektorientierte Ingenieursys-
teme. Dissertation, Fachbereich für Ma-
schinentechnik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 33,
Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-32-9
Bd. 34 SABIN, A.: Semantisches Modell zum Auf-
bau von Hilfsorientierungsdiensten in
einem globalen Engineering Netzwerk.
Dissertation, Fachbereich für Maschi-
nentechnik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 34, Pader-
born, 1997 – ISBN 3-931466-33-7
Bd. 35 STROTHMANN, W.-B.: Bounded Degree
Spanning Trees. Dissertation, Fachbe-
reich für Informatik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
35, Paderborn, 1997 – ISBN 3-931466-
34-5
Bd. 36 MÜLLER, W.; RAMMIG, F.-J.: Methoden und
Beschreibungssprachen zur Modellierung
und Verifikation von Schaltungen und
Systemen. HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 36, Paderborn, 1998 – ISBN 3-
931466- 35-3
Bd. 37 SCHNEIDER, W.: Anwenderorientierte
Integration von CAE-Systemen. Ein Ver-
fahren zur Realisierung eines durch-
gehenden Informationsflusses entlang
des Produktentwicklungsprozesses. Dis-
sertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-Ver-
lagsschriftenreihe, Band 37, Paderborn,
1998 – ISBN 3-931466-36-1
Bd. 38 DEMEL, W.; SCHMITZ, G. (Hrsg.): Entwick-
lung und Transfer von Entwicklungssys-
temen der Mechatronik. Aachener Work-
shop TransMechatronik, 26. Juni 1998,
Technologiezentrum am Europaplatz
Aachen, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
38, Paderborn, 1998 – ISBN 3-931466-
37-X
Bd. 39 GROBBEL, R.; LANGEMANN, T.: Leitfaden
PPS-Systeme: Auswahl und Einführung
in der Möbelindustrie. HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 39, Paderborn, 1998 –
ISBN 3-931466-38-8
Bd. 40 REHBEIN, P.: Tribologische Untersuchung
von hochfrequent schwingenden Gleit-
kontakten für den Einsatz in Reibkraft-
schlüssigen Antrieben. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 40, Paderborn, 1998
– ISBN 3-931466-39-6
Bd. 41 DANGELMAIER, W.: KOMNET – Kommuni-
kationsplattform für KMU-Netzwerke.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 41,
Paderborn, 1998 – ISBN 3-931466-40-X
Bd. 42 KALLMEYER, F.: Eine Methode zur Model-
lierung prinzipieller Lösungen mechatro-
nischer Systeme. Dissertation, Fachbe-
reich für Maschinentechnik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 42, Paderborn, 1998 – ISBN 3-
931466-41-8
Bd. 43 TRAPP, R.: Stereoskopische Korrespon-
denzbestimmung mit impliziter Detektion
von Okklusionen. Dissertation, Fachbe-
reich für Elektrotechnik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 43, Paderborn, 1998 – ISBN 3-
931466-42-6
Bd. 44 GAUSEMEIER, J.; FINK, A; SCHLAKE, O.:
Grenzen überwinden - Zukünfte gestal-
ten. 2. Paderborner Konferenz für Sze-
nario-Management, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 44, Paderborn, 1998 –
ISBN 3-931466-43-4
Bd. 45 nicht erschienen!
Bd. 46 VÖCKING, B.: Static and Dynamic Data
Management in Networks. Dissertation,
Fachbereich für Informatik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 46, Paderborn, 1998 – ISBN 3-
931466-45-0
Bd. 47 SCHEKELMANN, A.: Materialflußsteuerung
auf der Basis des Wissens mehrerer
Experten. Dissertation, Fachbereich für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 47, Paderborn, 1999 – ISBN 3-
931466-46-9
Bd. 48 GECK-MÜGGE, K.: Herleitung und Spezi-
fikation generischer Bausteine zur ein-
heitlichen Modellierung von Fertigungs-
informationen für die Fertigungssteue-
rung. Dissertation, Fachbereich für Wirt-
schaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 48, Paderborn, 1999 – ISBN 3-
931466-47-7
Bd. 49 WALLASCHEK, J.; LÜCKEL, J.; LITTMANN, W.:
Heinz Nixdorf Symposium on Mechatro-
nics and Advanced Motion Control. 3.
Internationales Heinz Nixdorf Symposi-
um, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 49,
Paderborn, 1999 – ISBN 3-931466-48-5
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Bd. 50 FINK, A.: Szenariogestützte Führung
industrieller Produktionsunternehmen.
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 50, Pader-
born, 1999 – ISBN 3-931466-49-3
Bd. 51 HOLTKAMP, R.: Ein objektorientiertes
Rahmenwerk zur Erstellung individueller,
verteilter Fertigungslenkungssysteme.
Dissertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 51,
Paderborn, 1999 – ISBN 3-931466-50-7
Bd. 52 KUHN, A.: Referenzmodelle für Pro-
duktionsprozesse zur Untersuchung und
Gestaltung von PPS-Aufgaben. Disserta-
tion, Fachbereich für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 52, Pader-
born, 1999 – ISBN 3-931466-51-5
Bd. 53 SIEBE, A.: Systematik der Umsetzung von
IT-orientierten Veränderungsprojekten in
dynamischen Umfeldern. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 53, Paderborn, 1999
– ISBN 3-931466-52-3
Bd. 54 KLAHOLD, R. F.: Dimensionierung kom-
plexer Produktionsnetzwerke. Disserta-
tion, Fachbereich für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 54, Pader-
born, 1999 – ISBN 3-931466-53-1
Bd. 55 SCHÜRHOLZ, A.: Synthese eines Modells
zur simulationsgestützten Potentialana-
lyse der Distribution. Dissertation, Fach-
bereich für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 55, Paderborn, 1999
– ISBN 3-931466-54-X
Bd. 56 GEHNEN, G.: Integriertes Netzwerk zur
Fertigungssteuerung und –automatisie-
rung. Dissertation, Fachbereich für Ma-
schinentechnik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 56,
Paderborn, 1999 – ISBN 3-931466-55-8
Bd. 57 KRESS, S.: Architektur eines workflow-
basierten Planungsinstruments für die
technische Auftragsbearbeitung unter
besonderer Berücksichtigung des Einsat-
zes der Telearbeit. Dissertation, Fach-
bereich für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 57, Paderborn, 1999 –
ISBN 3-931466-56-6
Bd. 58 THIELEMANN, F.: Integrierte Methodik zur
Gestaltung von Leistungserstellungspro-
zessen mittels Workflowmanagement.
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 58, Pader-
born, 1999 – ISBN 3-931466-57-4
Bd. 59 KROME, J.: Modelle zur Untersuchung des
Schwingungsverhaltens von Statoren für
piezoelektrische Ultraschall-Wanderwel-
len-Motoren. Dissertation, Fachbereich
für Maschinentechnik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
59, Paderborn, 1999 – ISBN 3-931466-
58-2
Bd. 60 DEMEL, W.; SCHMITZ , G. (Hrsg.): Entwick-
lung und Transfer von Entwicklungssys-
temen der Mechatronik. Krefelder Work-
shop TransMechatronik, 24. August 1999
Fachhochschule Niederrhein, HNI-Ver-
lagsschriftenreihe, Band 60, Paderborn,
1999 – ISBN 3-931466-59-0
Bd. 61 LANGEMANN, T.: Modellierung als Kern-
funktion einer systemorientierten Analyse
und Bewertung der diskreten Produktion.
Dissertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 61,
Paderborn, 1999 – ISBN 3-931466-60-4
Bd. 62 KÜMMEL, M.: Integration von Methoden
und Werkzeugen zur Entwicklung von
mechatronischen Systemen. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 62, Paderborn, 1999 –
ISBN 3-931466-61-2
Bd. 63 LUKOVSZKI, T.: New Results on Geometric
Spanners and Their Applications. Disser-
tation, Fachbereich für Informatik, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 63, Paderborn, 1999 –
ISBN 3-931466-62-0
Bd. 64 LÖFFLER, A.; MONDADA, F.; RÜCKERT, U.
(Hrsg.): Experiments with the Mini-Robot
Khepera, Proceedings of the 1st Interna-
tional Khepera Workshop. HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 64, Paderborn, 1999
– ISBN 3-931466-63-9
Bd. 65 SCHÄFERMEIER, U.; BISCHOFF, C.: KMUnet
- Ein Konzept zur ablauforganisatori-
schen Gestaltung der Lieferanteneinbin-
dung. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
65, Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-
64-7
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Bd. 66 HOLTHÖFER, N.: Regeln in einer Mengen-
planung unter Ausbringungsgrenzen. Dis-
sertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 66,
Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-69-8
Bd. 67 SCHLAKE, O.: Verfahren zur kooperativen
Szenario-Erstellung in Industrieunter-
nehmen. Dissertation, Fachbereich für
Maschinentechnik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, 67,
Paderborn, Band 2000 – ISBN 3-931466-
66- 3
Bd. 68 LEWANDOWSKI, A.: Methode zur Gestal-
tung von Leistungserstellungsprozessen
in Industrieunternehmen. Dissertation,
Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 68, Paderborn, 2000
– ISBN 3-931466-67-1
Bd. 69 SCHMIDTMANN, A.: Eine Spezifikations-
sprache für die Fertigungslenkung.
Dissertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 69,
Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-68-X
Bd. 70 GROBBEL, R.: Eine Referenzarchitektur für
Kooperationsbörsen. Dissertation, Fach-
bereich für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 70, Paderborn, 2000
– ISBN 3-931466-69-8
Bd. 71 WESSEL, R.: Modelocked Waveguide
Lasers in Lithium Niobate. Dissertation,
Fachbereich für Physik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 71, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931466-70-1
Bd. 72 LÖFFLER, A.: Energetische Modellierung
neuronaler Signalverarbeitung. Disserta-
tion, Fachbereich für Informatik, Universi-
tät Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 72, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931433-71-X
Bd. 73 LUDWIG, L. A.: Computational Intelligence
in der Produktionswirtschaft. Dissertation,
Fachbereich für Wirtschaftswissenschaf-
ten, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 73, Paderborn, 2000
– ISBN 3-931466-72-8
Bd. 74 WENSKI, R.: Eine objektorientierte
Systemkomponente zur Workflow-Model-
lierung und -Ausführung unter beson-
derer Berücksichtigung der Telekoopera-
tion. Dissertation, Fachbereich für Wirt-
schaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 74, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931466-73-6
Bd. 75 GRASMANN, M.: Produktkonfiguration auf
Basis von Engineering Data Manage-
ment-Systemen. Dissertation, Fach-
bereich für Maschinentechnik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 75, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931466-74-4
Bd. 76 DITZE, C.: Towards Operating System
Synthesis. Dissertation, Fachbereich für
Informatik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 76, Pader-
born, 2000 – ISBN 3-931466-75-2
Bd. 77 KÖRNER, T.: Analog VLSI Implementation
of a Local Cluster Neural Network. Dis-
sertation, Fachbereich für Elektrotechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 77, Paderborn, 2000 –
ISBN 3-931466-76-0
Bd. 78 SCHEIDELER, C.: Probabilistic Methods for
Coordination Problems. Dissertation,
Fachbereich für Informatik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 78, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931466-77-9
Bd. 79 GAUSEMEIER, J.; LINDEMANN, U.; REINHART,
G.; WIENDAHL, H.-P.: Kooperatives Pro-
duktengineering - Ein neues Selbstver-
ständnis des ingenieurmäßigen Wirkens.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 79,
Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-78-7
Bd. 80 GAUSEMEIER, J.; LÜCKEL, J.: Entwicklungs-
umgebungen Mechatronik - Methoden
und Werkzeuge zur Entwicklung mecha-
tronischer Systeme. HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 80, Paderborn, 2000 –
ISBN 3-931466-79-5
Bd. 81 RIEPING, I.: Communication in Parallel
Systems-Models, Algorithms and Imple-
mentations. Dissertation, Fachbereich für
Informatik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 81, Pader-
born, 2000 – ISBN 3-931466-80-9
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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33102 Paderborn
Bd. 82 GAUSEMEIER, J; LÜCKEL, J.: Auf dem Weg
zu den Produkten für die Märkte von mor-
gen. 4. Internationales Heinz Nixdorf
Symposium, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 82, Paderborn, 2000 – ISBN 3-
931466-81-7
Bd. 83 DEL CASTILLO, G.: The ASM Workbench -
A Tool Environment for Computer-Aided
Analysis and Validation of Abstract State
Machine Models. Dissertation, Fach-
bereich für Informatik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
83, Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-
82-5
Bd. 84 SCHÄFERMEIER, U.: Eine Methode zur
systemorientierten organisatorischen
Gestaltung der Zweckaufgabenverrich-
tung in kooperativen Verbünden; Klassifi-
kation, Aufgabenzuordnung. Dissertation,
Fachbereich für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 84, Pader-
born, 2000 – ISBN 3-931466-83-3
Bd. 85 KRÜGER, J.: Ganzheitliche Beherrschung
von Abläufen in und zwischen soziotech-
nischen Systemen: Ein Beitrag zur
Modellbildung und zum paradigmatischen
Verständnis von Industrieunternehmen
zur Integration von Mensch und
Maschine; Prozess und Struktur.
Dissertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 85,
Paderborn, 2000 – ISBN 3-931466-84-1
Bd. 86 BARTSCHER, T.: Methoden des Inte-
grierten Workflowmanagements (IWFM).
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 86, Pader-
born, 2000 – ISBN 3-931466-85-X
Bd. 87 QUINTANILLA, J.: Ein Verifikationsansatz
für eine netzbasierte Modellierungsme-
thode für Fertigungssteuerungssysteme.
Dissertation, Fachbereich für Informatik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 87, Paderborn, 2000
– ISBN 3-931466-86-8
Bd. 88 PREIS, R.: Analyses and Design of
Efficient Graph Partitioning Methods.
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 88, Pader-
born, 2001 – ISBN 3-931466-87-6
Bd. 89 nicht erschienen!
Bd. 90 WESTERMANN, M.: Caching in Networks:
Non-Uniform Algorithms and Memory
Capacity Constraints. Dissertation, Fach-
bereich für Informatik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
90, Paderborn, 2001 – ISBN 3-931466-
89-2
Bd. 91 LEMKE, J.: Nutzenorientierte Planung des
Einsatzes von CAD- / CAE-Systemen.
Dissertation, Fachbereich für Maschinen-
technik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 91, Pader-
born, 2001 – ISBN 3-935433-00-X
Bd. 92 VON BOHUSZEWICZ, O.: Eine Methode zur
Visualisierung von Geschäftsprozessen
in einer virtuellen Umgebung. Disserta-
tion, Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 92, Paderborn, 2001 –
ISBN 3-935433-01-8
Bd. 93 BÖRNCHEN, T.: Zur Entwicklung dyna-
mischer Komponenten für variables
Kraftfahrzeug-Scheinwerferlicht. Disser-
tation, Fachbereich für Maschinentech-
nik, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 93, Paderborn, 2001
– ISBN 3-935433-02-6
Bd. 94 WINDELER, I.: Auswahl von Restrukturie-
rungsprojekten in Forschungs- und Ent-
wicklungsorganisationen der Automobil-
industrie. Dissertation, Fachbereich für
Maschinentechnik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
94, Paderborn, 2001 – ISBN 3-935433-
03-4
Bd. 95 WOLFF, C.: Parallele Simulation großer
pulscodierter neuronaler Netze. Disserta-
tion, Fachbereich für Elektrotechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 95, Paderborn, 2001 –
ISBN 3-935433-04-2
Bd. 96 HENKE, A.: Modellierung, Simulation und
Optimierung piezoelektrischer Stellsys-
teme. Dissertation, Fachbereich für Ma-
schinentechnik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 96,
Paderborn, 2001 – ISBN 3-935433-05-0
Bd. 97 RÜCKERT, U.; SITTE, J.; WITKOWSKI, U.
(Hrsg.): Autonomous Minirobots for
Research and Edutainment AMiRE2001.
5. Internationales Heinz Nixdorf Symposi-
um, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 97,
Paderborn, 2001 – ISBN 3-935433-06-9
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Heinz Nixdorf Institut
Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 98 LI, P.: Datenkonversion für den Daten-
austausch in verteilten Fertigungs-
Lenkungssystemen. Dissertation, Fach-
bereich für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 98, Paderborn, 2001
– ISBN 9-935433-07-7
Bd. 99 BRANDT, C.: Eine modellbasierte Methode
zum strukturierten Entwurf virtueller
Umgebungen. Dissertation, Fachbereich
für Maschinentechnik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
99, Paderborn, 2001 – ISBN 9-935433-
08-5
Bd. 100 WLEKLINSKI, C.: Methode zur Effektivitäts-
und Effizienzbewertung der Entwicklung
maschinenbaulicher Anlagen. Disserta-
tion, Fachbereich für Maschinentechnik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 100, Paderborn,
2001 – ISBN-3-935433-09-3
Bd. 101 HEMSEL, T.: Untersuchung und Weiterent-
wicklung linearer piezoelektrischer
Schwingungsantriebe. Dissertation, Fach-
bereich für Maschinentechnik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 101, Paderborn, 2001 – ISBN 3-
935433-10-7
Bd. 102 MAUERMANN, H.: Leitfaden zur Erhöhung
der Logistikqualität durch Analyse und
Neugestaltung der Versorgungsketten.
Dissertation, Fachbereich für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 102,
Paderborn, 2001 – ISBN 3-935433-11-5
Bd. 103 WAGENBLAßT, D.: Eine Analysemethode
zur Beurteilung der Funktionssicherheit
von gemischt analog-digitalen Schal-
tungen. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 103, Pader-
born, 2002 – ISBN 3-935433-12-3
Bd. 104 PORRMANN, M.: Leistungsbewertung ein-
gebetteter Neurocomputersysteme.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 104, Paderborn, 2002 – ISBN 3-
935433-13-1
Bd. 105 SEIFERT, L.: Methodik zum Aufbau von
Informationsmodellen für Electronic
Business in der Produktentwicklung.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 105, Paderborn,
2002 – ISBN 3-935433-14-X
Bd. 106 SOETEBEER, M.: Methode zur Model-
lierung, Kontrolle und Steuerung von Pro-
duktstrategien. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 106,
Paderborn, 2002 – ISBN 3-935433-15-8
Bd. 107 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
1. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 107,
Paderborn, 2002 – ISBN 3-935433-16-6
Bd. 108 FLATH, M.: Methode zur Konzipierung
mechatronischer Produkte. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 108, Paderborn, 2002 – ISBN 3-
935433-17-4
Bd. 109 AVENARIUS, J.: Methoden zur Suche und
Informationsbereitstellung von Lösungs-
elementen für die Entwicklung mechatro-
nischer Systeme. Dissertation, Fakultät
für Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 109,
Paderborn, 2002 – ISBN 3-935433-18-2
Bd. 110 HELMKE, S.: Eine simulationsgegestützte
Methode für Budgetentscheidungen im
Kundenbindungsmanagement. Disserta-
tion, Fakultät für Wirtschaftswissenschaf-
ten, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 110, Paderborn,
2002 – ISBN 3-935433-19-0
Bd. 111 CZUBAYKO, R.: Rechnerinterne Repräsen-
tation von informationsverarbeitenden
Lösungselementen für die verteilte
kooperative Produktentwicklung in der
Mechatronik. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 111,
Paderborn, 2002 – ISBN 3-935433-20-4
Bd. 112 GOLDSCHMIDT, S.: Anwendung mengen-
orientierter numerischer Methoden zur
Analyse nichtlinearer dynamischer Sys-
teme am Beispiel der Spurführungsdyna-
mik von Schienenfahrzeugen. Disserta-
tion, Fakultät für Maschinenbau, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 112, Paderborn, 2002 – ISBN
3-935433-21-2
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bezugsadresse:
Heinz Nixdorf Institut
Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 113 LEHMANN, T.: Towards Device Driver
Synthesis. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 113, Pader-
born, 2002 – ISBN 3-935433-22-0
Bd. 114 HÄRTEL, W.: Issueorientierte Frühaufklä-
rung. Dissertation, Fakultät für Maschi-
nenbau, Universität Paderborn, HNI-Ver-
lagsschriftenreihe, Band 114, Paderborn,
2002 – ISBN 3-935433-23-9
Bd. 115 ZIEGLER, M.: Zur Berechenbarkeit reeller
geometrischer Probleme. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 115, Pader-
born, 2002 – ISBN 3-935433-24-7
Bd. 116 SCHMIDT, M.: Neuronale Assoziativspei-
cher im Information Retrieval. Disserta-
tion, Fakultät für Elektrotechnik, Infor-
matik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
116, Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-
25-5
Bd. 117 EL-KEBBE, D. A.: Towards the MaSHReC
Manufacturing System under Real-Time
Constraints. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 117, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-26-3
Bd. 118 PUSCH, R.: Personalplanung und -ent-
wicklung in einem integrierten Vorge-
hensmodell zur Einführung von PDM-
Systemen. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 118,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-27-1
Bd. 119 SOHLER, C.: Property Testing and
Geometry. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 119, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-28-X
Bd. 120 KESPOHL, H.: Dynamisches Matching –
Ein agentenbasiertes Verfahren zur
Unterstützung des Kooperativen Produkt-
engineering durch Wissens- und Techno-
logietransfer. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 120,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-29-8
Bd. 121 MOLT, T.: Eine domänenübergreifende
Softwarespezifikationstechnik für auto-
matisierte Fertigungsanlagen. Disserta-
tion, Fakultät für Maschinenbau, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 121, Paderborn, 2003 – ISBN
3-935433-30-1
Bd. 122 GAUSEMEIER, J.; LÜCKEL, J.; WALLASCHEK,
J. (Hrsg.): 1. Paderborner Workshop
Intelligente mechatronische Systeme.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 122,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-31-X
Bd. 123 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
2. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 123,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-32-8
Bd. 124 LITTMANN, W.: Piezoelektrische resonant
betriebene Ultraschall-Leistungswandler
mit nichtlinearen mechanischen Randbe-
dingungen. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 124,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-33-6
Bd. 125 WICKORD, W.: Zur Anwendung probabi-
listischer Methoden in den frühen Phasen
des Systementwurfs. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 125, Paderborn, 2003 – ISBN 3-
935433-34-4
Bd. 126 HEITTMANN, A.: Ressourceneffiziente
Architekturen neuronaler Assoziativ-
speicher. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 126, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-35-2
Bd. 127 WITKOWSKI, U.: Einbettung selbst-
organisierender Karten in autonome
Miniroboter. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 127, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-36-0
Bd. 128 BOBDA, C.: Synthesis of Dataflow Graphs
for Reconfigurable Systems using
Temporal Partitioning and Temporal
Placement. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 128, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-37-9
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bezugsadresse:
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Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 129 HELLER, F.: Wissensbasiertes Online-
Störungsmanagement flexibler, hoch
automatisierter Montagesysteme. Disser-
tation, Fakultät für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 129, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-38-7
Bd. 130 KÜHN, A.: Systematik des Ideenmanage-
ments im Produktentstehungsprozess.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 130, Paderborn,
2003 – ISBN 3-935433-39-5
Bd. 131 KEIL-SLAWIK, R.; BRENNECKE, A.; HOHEN-
HAUS, M.: ISIS -Installationshandbuch für
lernförderliche Infrastrukturen. HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 131,
Paderborn, 2003 – ISBN 3-935433-40-9
Bd. 132 OULD HAMADY, M.: Ein Ansatz zur Gestal-
tung des operativen Fertigungsmanage-
ments innerhalb der Lieferkette. Disserta-
tion, Fakultät für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 132, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-41-7
Bd. 133 HOLTZ, C.: Theoretical Analysis of
Unsupervised On-line Learning through
Soft Competition. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 133, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-42-5
Bd. 134 UEBEL, M.: Ein Modell zur Steuerung der
Kundenbearbeitung im Rahmen des
Vertriebsmanagements. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 134, Paderborn,
2003 – ISBN 3-935433-43-3
Bd. 135 BRINKMANN, A.: Verteilte Algorithmen zur
Datenplazierung und zum Routing in
gegnerischen Netzwerken. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 135, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-44-1
Bd. 136 FRÜND, E.: Aktive Kompensation von pe-
riodischen Schwingungen an rotierenden
Walzen. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 136, Pader-
born, 2003 – ISBN 3-935433-45-X
Bd. 137 KEIL-SLAWIK, R. (Hrsg.): Digitale Medien
in der Hochschule: Infrastrukturen im
Wandel. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
137, Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-
46-8
Bd. 138 STORCK, H.: Optimierung der Kontaktvor-
gänge bei Wanderwellenmotoren. Disser-
tation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 138, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-47-6
Bd. 139 KALTE, H.: Einbettung dynamisch rekon-
figurierbarer Hardwarearchitekturen in
eine Universalprozessorumgebung. Dis-
sertation, Fakultät für Elektrotechnik, In-
formatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 139, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-48-4
Bd. 140 ISKE, B.: Modellierung und effiziente
Nutzung aktiver Infrarotsensorik in auto-
nomen Systemen. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 140, Pader-
born, 2004 – ISBN 3-935433-49-2
Bd. 141 BÄTZEL, D.: Methode zur Ermittlung und
Bewertung von Strategiealternativen im
Kontext Fertigungstechnik. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 141, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-50-6
Bd. 142 BÖKE, C.: Automatic Configuration of
Real-Time Operating Systems and Real-
Time Communication Systems for Distri-
buted Embedded Applications. Disserta-
tion, Fakultät für Elektrotechnik, Informa-
tik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
142, Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-
51-4
Bd. 143 KÖCKERLING, M.: Methodische Entwick-
lung und Optimierung der Wirkstruktur
mechatronischer Produkte. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 143, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-52-2
Bd. 144 HENZLER, S: Methodik zur Konzeption der
Struktur und der Regelung leistungs-
verzweigter Getriebe mit Toroidvariator.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 144, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-53-0
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bezugsadresse:
Heinz Nixdorf Institut
Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 145 GAUSEMEIER, J.; LÜCKEL, J.; WALLASCHEK,
J. (Hrsg.): 2. Paderborner Workshop
Intelligente mechatronische Systeme.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 145,
Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-54-9
Bd. 146 LESSING, H.: Prozess zur multivariaten
Prognose von Produktionsprogrammen
für eine effiziente Kapazitätsplanung bei
typisierten Dienstleistungen. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 146, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-55-7
Bd. 147 HAMOUDIA, H.: Planerische Ablaufgestal-
tung bei prozessorientierten Dienst-
leistungen. Dissertation, Fakultät für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 147, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-56-5
Bd. 148 BUSCH, A.: Kollaborative Änderungspla-
nung in Unternehmensnetzwerken der
Serienfertigung – ein verhandlungsba-
sierter Ansatz zur interorganisationalen
Koordination bei Störungen. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 148, Paderborn, 2004 –
ISBN 3-935433-57-3
Bd. 149 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
3. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 149,
Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-58-1
Bd.150 MEYER, B.: Value-Adding Logistics for a
World Assembly Line. Dissertation, Fa-
kultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 150, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-59-X
Bd. 151 GRIENITZ, V.: Methodik zur Erstellung von
Technologieszenarien für die strate-
gische Technologieplanung. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 151, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
9354 33-60-3
Bd. 152 FRANKE, H.: Eine Methode zur unterneh-
mensübergreifenden Transportdisposition
durch synchron und asynchron
kommunizierende Agenten. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 152, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-61-1
Bd. 153 SALZWEDEL, K. A.: Data Distribution
Algorithms for Storage Networks. Disser-
tation, Fakultät für Elektrotechnik, Infor-
matik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
153, Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-
62-X
Bd. 154 RÄCKE, H.: Data Management and
Routing in General Networks. Disserta-
tion, Fakultät für Elektrotechnik, Informa-
tik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
154, Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-
63-8
Bd. 155 FRANK, U.; GIESE, H.; KLEIN, F.;
OBERSCHELP, O.; SCHMIDT, A.; SCHULZ, B.;
VÖCKING, H.; WITTING, K.; GAUSEMEIER, J.
(Hrsg.): Selbstoptimierende Systeme des
Maschinenbaus – Definitionen und Kon-
zepte. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
155, Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-
64-6
Bd. 156 MÖHRINGER, S.: Entwicklungsmethodik für
mechatronische Systeme. Habilitation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 156, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-65-4
Bd. 157 FAHRENTHOLZ, M.: Konzeption eines Be-
triebskonzepts für ein bedarfsgesteuertes
schienengebundenes Shuttle-System.
Dissertation, Fakultät für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 157,
Paderborn, 2004 – ISBN 3-935433-66-2
Bd. 158 GAJEWSKI, T.: Referenzmodell zur Be-
schreibung der Geschäftsprozesse von
After-Sales-Dienstleistungen unter be-
sonderer Berücksichtigung des Mobile
Business. Dissertation Fakultät für Wirt-
schaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 158, Paderborn, 2004 – ISBN 3-
935433-67-0
Bd. 159 RÜTHER, M.: Ein Beitrag zur klassifizie-
renden Modularisierung von Verfahren
für die Produktionsplanung. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 159, Paderborn,
2004 – ISBN 3-935433-68-9
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bezugsadresse:
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Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 160 MUECK, B.: Eine Methode zur benutzersti-
mulierten detaillierungsvarianten Berech-
nung von diskreten Simulationen von
Materialflüssen. Dissertation, Fakultät für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe, ,
Band 160, Paderborn 2004 – ISBN 3-
935433-69-7
Bd. 161 LANGEN, D.: Abschätzung des Ressour-
cenbedarfs von hochintegrierten mikro-
elektronischen Systemen. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 161, Pader-
born, 2005 – ISBN 3-935433-70-0
Bd. 162 ORLIK, L.: Wissensbasierte Entschei-
dungshilfe für die strategische Produkt-
planung. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 162, Pader-
born, 2005 – ISBN 3-935433-71-9
Bd. 163 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
WALLASCHEK, J. (Hrsg.): 3. Paderborner
Workshop Intelligente mechatronische
Systeme. HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 163, Paderborn, 2005 – ISBN 3-
935433-72-7
Bd. 164 FISCHER, M.: Design, Analysis, and Eval-
uation of a Data Structure for Distributed
Virtual Environments. Dissertation, Fakul-
tät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 164, Pader-
born, 2005 – ISBN 3-935433-73-5
Bd. 165 MATYSCZOK, C.: Dynamische Kantenext-
raktion - Ein Verfahren zur Generierung
von Tracking-Informationen für Augmen-
ted Reality-Anwendungen auf Basis von
3D-Referenzmodellen. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 165, Paderborn, 2005 – ISBN 3-
935433-74-3
Bd. 166 JANIA, T.: Änderungsmanagement auf
Basis eines integrierten Prozess- und
Produktdatenmodells mit dem Ziel einer
durchgängigen Komplexitätsbewertung.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 166, Paderborn,
2005 – ISBN 3-935433-75-1
Bd. 167 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
4. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 167,
Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-76-X
Bd. 168 VOLBERT, K.: Geometric Spanners for
Topology Control in Wireless Networks.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 168, Paderborn, 2005 – ISBN 3-
935433-77-8
Bd. 169 ROSLAK, J.: Entwicklung eines aktiven
Scheinwerfersystems zur blendungs-
freien Ausleuchtung des Verkehrs-
raumes. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 167,
Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-78-6
Bd. 170 EMMRICH, A.: Ein Beitrag zur systemati-
schen Entwicklung produktorientierter
Dienstleistungen. Dissertation, Fakultät
für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 170, Paderborn,
2005 – ISBN 3-935433-79-4
Bd. 171 NOWACZYK, O.: Explorationen: Ein Ansatz
zur Entwicklung hochgradig interaktiver
Lernbausteine. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 171, Pader-
born, 2005 – ISBN 3-935433-80-8
Bd. 172 MAHMOUD, K.: Theoretical and experimen-
tal investigations on a new adaptive duo
servo drum brake with high and constant
brake shoe factor. Dissertation, Fakultät
für Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 172,
Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-81-6
Bd. 173 KLIEWER, G.: Optimierung in der Flug-
planung: Netzwerkentwurf und Flotten-
zuweisung. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 173,
Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-82-4
Bd. 174 BALÁŽOVÁ, M.: Methode zur Leistungs-
bewertung und Leistungssteigerung der
Mechatronikentwicklung. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 174, Paderborn, 2005 – ISBN 3-
935433-83-2
Bd. 175 FRANK, U.: Spezifikationstechnik zur
Beschreibung der Prinziplösung selbst-
optimierender Systeme. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 175, Paderborn, 2005 – ISBN 3-
935433-84-0
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Heinz Nixdorf Institut
Universität Paderborn
Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 176 BERGER, T.: Methode zur Entwicklung
und Bewertung innovativer Technologie-
strategien. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 176,
Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-85-9
Bd. 177 BERSSENBRÜGGE, J.: Virtual Nightdrive -
Ein Verfahren zur Darstellung der kom-
plexen Lichtverteilungen moderner
Scheinwerfersysteme im Rahmen einer
virtuellen Nachtfahrt. Dissertation, Fakul-
tät für Maschinenbau, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
177, Paderborn, 2005 – ISBN 3-935433-
86-7
Bd. 178 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 1. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung
Heinz Nixdorf Institut, 3. und 4. Novem-
ber 2005, Schloß Neuhardenberg, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 178, Pader-
born, 2005 – ISBN 3-935433-87-5
Bd. 179 FU, B.: Piezoelectric actuator design via
multiobjective optimization methods. Dis-
sertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 179, Paderborn,
2005 – ISBN 3-935433-88-3
Bd. 180 WALLASCHEK, J.; HEMSEL, T.; MRACEK, M.:
Proceedings of the 2nd International
Workshop on Piezoelectric Materials and
Applications in Actuators. HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 180, Paderborn,
2005 – ISBN 3-935433-89-1
Bd. 181 MEYER AUF DER HEIDE, F.; MONIEN, B.
(Hrsg.): New Trends in Parallel & Dis-
tributed Computing. 6. Internationales
Heinz Nixdorf Symposium, 17. und 18.
Januar 2006, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 181, Paderborn, 2006 – ISBN 3-
939350-00-1
Bd. 182 HEIDENREICH, J.: Adaptierbare Ände-
rungsplanung der Mengen und Kapazitä-
ten in Produktionsnetzwerken der Se-
rienfertigung. Dissertation, Fakultät für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 182, Paderborn, 2006 – ISBN 3-
939350-01-X
Bd. 183 PAPE, U.: Umsetzung eines SCM-Kon-
zeptes zum Liefermanagement in Liefer-
netzwerken der Serienfertigung. Disser-
tation, Fakultät für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 183, Pader-
born, 2006 – ISBN 3-939350-02-8
Bd. 184 BINGER, V.: Konzeption eines wissensba-
sierten Instruments für die strategische
Vorausschau im Kontext der Szenario-
technik. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 184, Pader-
born, 2006 – ISBN 3-939350-03-6
Bd. 185 KRIESEL, C.: Szenarioorientierte Unter-
nehmensstrukturoptimierung – Strategi-
sche Standort- und Produktionsplanung.
Dissertation, Fakultät für Wirtschaftswis-
senschaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 185, Pader-
born, 2006 – ISBN 3-939350-04-4
Bd. 186 KLEIN, J.: Efficient collision detection for
point and polygon based models. Disser-
tation, Fakultät für Elektrotechnik, Infor-
matik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
186, Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-
05-2
Bd. 187 WORTMANN, R.: Methodische Entwicklung
von Echtzeit 3D-Anwendungen für
Schulung und Präsentation. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 187, Paderborn, 2006 – ISBN 3-
939350-06-0
Bd. 188 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
5. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 188,
Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-07-9
Bd. 189 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A.; WALLASCHEK, J. (Hrsg.): 4.
Paderborner Workshop Entwurf mecha-
tronischer Systeme. HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 189, Paderborn, 2006 –
ISBN 3-939350-08-7
Bd. 190 DAMEROW, V.: Average and Smoothed
Complexity of Geometric Structures.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 190, Paderborn, 2006 – ISBN 3-
939350-09-5
Bd. 191 GIESE, H.; NIGGEMANN, O. (Hrsg.):
Postworkshop Proceedings of the 3rd
Workshop on Object-oriented Modeling of
Embedded Real-Time Systems (OMER
3), HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 191,
Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-10-9
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bd. 192 RADKOWSKI, R.: Anwendung evolutionärer
Algorithmen zur Unterstützung des
Entwurfs selbstoptimierender Systeme.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 192, Paderborn,
2006 – ISBN 3-939350-11-7
Bd. 193 SHEN, Q.: A Method for Composing
Virtual Prototypes of Mechatronic
Systems in Virtual Environments.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 193, Paderborn,
2006 – ISBN 3-939350-12-5
Bd. 194 REDENIUS, A.: Verfahren zur Planung von
Entwicklungsprozessen für
fortgeschrittene mechatronische
Systeme. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 194,
Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-13-3
Bd. 195 KUHL, P.: Anpassung der Lichtverteilung
des Abblendlichtes an den vertikalen
Straßenverlauf. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 195,
Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-14-1
Bd. 196 MICHELS, J. S.: Integrative Spezifikation
von Produkt- und Produktionssystem-
konzeptionen. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 196,
Paderborn, 2006 – ISBN 3-939350-15-X
Bd. 197 RIPS, S.: Adaptive Steuerung der Lastver-
teilung datenparalleler Anwendungen in
Grid-Umgebungen. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 197, Pader-
born, 2006 – ISBN 3-939350-16-8
Bd. 198 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 2. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung
Heinz Nixdorf Institut, 9. und 10. Novem-
ber 2006, Schloß Neuhardenberg, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 198, Pader-
born, 2006 – ISBN 3-939350-17-6
Bd. 199 FRANKE, W.: Wiederverwendungsorien-
tierte Herleitung von Inter-Fachkompo-
nentenkonzepten für Lagerverwaltungs-
softwaresysteme. Dissertation, Fakultät
für Wirtschaftswissenschaften, Universi-
tät Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 199, Paderborn, 2006 – ISBN 978-
3-939350-18-7
Bd. 200 SCHEIDELER, P.: Ein Beitrag zur
erfahrungsbasierten Selbstoptimierung
einer Menge technisch homogener
fahrerloser Fahrzeuge. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 200, Paderborn,
2006 – ISBN 978-3-939350-19-4
Bd. 201 KÖSTERS, C.: Ein ontologiebasiertes
Modell zur Beschreibung der Abläufe in
einem Produktionssystem unter beson-
derer Berücksichtigung einer diskreten
Produktion. Dissertation, Fakultät für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 201, Paderborn, 2006 – ISBN 978-
3-939350-20-0
Bd. 202 HALFMEIER, S.: Modellierung und
Regelung von Halbtoroidvariationen in
leistungsverzweigten Getriebestrukturen.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 202, Paderborn,
2006 – ISBN 978-3-939350-21-7
Bd. 203 RÜHRUP, S.: Position-based Routing
Strategies. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 203, Pader-
born, 2006 – ISBN 978-3-939350-22-4
Bd. 204 SCHMIDT, A.: Wirkmuster zur Selbstop-
timierung – Konstrukte für den Entwurf
selbstoptimierender Systeme. Disser-
tation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 204, Paderborn,
2006 – ISBN 978-3-939350-23-1
Bd. 205 IHMOR, S.: Modeling and Automated
Synthesis of Reconfigurable Interfaces.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 205, Paderborn, 2006 – ISBN 978-
3-939350-24-8
Bd. 206 ECKES, R.: Augmented Reality – basiertes
Verfahren zur Unterstützung des
Anlaufprozesses von automatisierten
Fertigungssystemen. Dissertation, Fakul-
tät für Maschinenbau, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
206, Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-
939350-25-5
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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33102 Paderborn
Bd. 207 STEFFEN, D.: Ein Verfahren zur Produkt-
strukturierung für fortgeschrittene
mechatronische Systeme. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 207, Paderborn, 2007 – ISBN 978-
3-939350-26-2
Bd. 208 LAROQUE, C.: Ein mehrbenutzerfähiges
Werkzeug zur Modellierung und rich-
tungsoffenen Simulation von wahlweise
objekt- und funktionsorientiert geglieder-
ten Fertigungssystemen. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 208, Paderborn,
2007 – ISBN 978-3-939350-27-9
Bd. 209 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
6. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 209,
Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-939350-
28-6
Bd. 210 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A.; WALLASCHEK, J. (Hrsg.): 5.
Paderborner Workshop Entwurf mecha-
tronischer Systeme. HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 210, Paderborn, 2007 –
ISBN 978-3-939350-29-3
Bd. 211 KAUSCHKE, R.: Systematik zur licht-
technischen Gestaltung von aktiven
Scheinwerfern. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 211,
Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-939350-
30-9
Bd. 212 DU, J.: Zellen-basierte Dienst-Entdeck-
ung für Roboternetzwerke. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 212, Pader-
born, 2007 – ISBN 978-3-939350-31-6
Bd. 213 DANNE, K.: Real-Time Multitasking in
Embedded Systems Based on Recon-
figurable Hardware. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 213, Pader-
born, 2007 – ISBN 978-3-939350-32-3
Bd. 214 EICKHOFF, R.: Fehlertolerante neuronale
Netze zur Approximation von Funktionen.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 214, Paderborn, 2007 – ISBN 978-
3-939350-33-0
Bd. 215 KÖSTER, M.: Analyse und Entwurf von
Methoden zur Ressourcenverwaltung
partiell rekonfigurierbarer Architekturen.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 215, Paderborn, 2007 – ISBN 978-
3-939350-34-7
Bd. 216 RÜCKERT, U.; SITTE, J.; WITKOWSKI, U.:
Proceedings of the 4th International
Symposium on Autonomous Minirobots
for Research and Edutainment –
AMiRE2007. Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 216, Paderborn, 2007 – ISBN 978-
3-939350-35-4
Bd. 217 PHAM VAN, T.: Proactive Ad Hoc Devices
for Relaying Real-Time Video Packets.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 217, Paderborn, 2007 – ISBN 978-
3-939350-36-1
Bd. 218 VIENENKÖTTER, A.: Methodik zur Entwick-
lung von Innovations- und Technologie-
Roadmaps. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 218,
Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-939350-
37-8
Bd. 219 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 3. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung
Heinz Nixdorf Institut, 29. und 30. No-
vember 2007, Miele & Cie. KG Gütersloh,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 219,
Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-939350-
38-5
Bd. 220 FRÜND, J.: Eine Architekurkonzeption für
eine skalierbare mobile Augmented
Reality Anwendung für die Produkt-
präsentation. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 220,
Paderborn, 2007 – ISBN 978-3-939350-
39-2
Bd. 221 PEITZ, T.: Methodik zur Produktoptimie-
rung mechanisch elektronischer Bau-
gruppen durch die Technologie MID
(Molded Interconnect Devices). Disser-
tation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 221, Paderborn,
2007 – ISBN 978-3-939350-40-8
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 222 MEYER AUF DER HEIDE, F. (Hrsg.): The
European Integrated Project “Dyna-
mically Evolving, Large Scale Information
Systems (DELIS)”, Proceedings of the
Final Workshop, Barcelona, February 27-
28, 2008, Fakultät für Elektrotechnik, In-
formatik und Mathematik, Universität Pa-
derborn, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
222, Paderborn, 2008 – ISBN 978-3-
939350-41-5
Bd. 223 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.
(Hrsg.): Self-optimizing Mechatronic
Systems: Design the Future. 7. Inter-
nationales Heinz Nixdorf Symposium, 20.
und 21. Februar 2008, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 223, Paderborn,
2008 – ISBN 978-3-939350-42-2
Bd. 224 RATH, M.: Methode zur Entwicklung hyb-
rider Technologie- und Innovationsstrate-
gien – am Beispiel des Automobils.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 224, Paderborn,
2008 – ISBN 978-3-939350-43-9
Bd. 225 GRÜNEWALD, M.: Protokollverarbeitung mit
integrierten Multiprozessoren in
drahtlosen Ad-hoc-Netzwerken.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 225, Paderborn, 2008 – ISBN 978-
3-939350-44-6
Bd. 226 STRAUSS, S.: Theoretische und experi-
mentelle Untersuchungen zum Einsatz
gepulster Halbleiterlichtquellen in der
Kraftfahrzeugbeleuchtung. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 226, Paderborn, 2008 – ISBN 978-
3-939350-45-3
Bd. 227 ZEIDLER, C.: Systematik der Materialfluss-
planung in der frühen Phase der Produk-
tionssystementwicklung. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 227, Paderborn, 2008 – ISBN 978-
3-939350-46-0
Bd. 228 PARISI, S.: A Method for the intelligent
Authoring of 3D Animations for Training
and Maintenance. Dissertation, Fakultät
für Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 228,
Paderborn, 2008 – ISBN 978-3-939350-
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Bd. 229 DITTMANN, F.: Methods to Exploit Recon-
figurable Fabrics. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 229, Pader-
born, 2008 – ISBN 978-3-939350-48-4
Bd. 230 TONIGOLD, C.: Programm-, Ressourcen-
und Prozessoptimierung als Bestandteile
der Anpassungsplanung von spanenden
Fertigungssystemen in der Fließfertigung
von Aggregaten. Dissertation, Fakultät für
Wirtschaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 230, Paderborn, 2008– ISBN 978-
3-939350-49-1
Bd. 231 BRANDT, T.: A Predictive Potential Field
Concept for Shared Vehicle Guidance.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 231, Paderborn,
2008 – ISBN 978-3-939350-50-7
Bd. 232 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
7. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 232,
Paderborn, 2008 – ISBN 978-3-939350-
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Bd. 233 CHANG, H.: A Methodology for the Iden-
tification of Technology Indicators.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 233, Paderborn,
2008 – ISBN 978-3-939350-52-1
Bd. 234 ADELT, P.; DONOTH, J.; GAUSEMEIER, J.;
GEISLER, J.; HENKLER, S.; KAHL, S.; KLÖP-
PER, B.; KRUPP, A.; MÜNCH, E.; OBERTHÜR,
S.; PAIZ, C.; PORRMANN, M.; RADKOWSKI,
R.; ROMAUS, C.; SCHMIDT, A.; SCHULZ, B.;
TSCHEUSCHNER, T.; VÖCKING, H.; WITKOWS-
KI, U.; WITTING, K.; ZNAMENSHCHYKOV, O.:
Selbstoptimierende Systeme des Ma-
schinenbaus – Definitionen, Anwendung-
en, Konzepte. HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 234, Paderborn, 2009 – ISBN 978-
3-939350-53-8
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Bd. 235 DELL’AERE, A.; HIRSCH, M.; KLÖPPER, B.;
KOESTER, M.; KRÜGER, M.; KRUPP, A.;
MÜLLER, T.; OBERTHÜR, S.; POOK, S.;
PRIESTERJAHN, C.; ROMAUS, C.; SCHMIDT,
A.; SONDERMANN-WÖLKE, C.; TICHY, M.;
VÖCKING, H.; ZIMMER, D.: Verlässlichkeit
selbstoptimierender Systeme – Poten-
ziale nutzen und Risiken vermeiden. HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 235, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-54-5
Bd. 236 GEHRKE, M.; GIESE, H.; STROOP J.:
Proceedings of the 4th Workshop on
Object-oriented Modeling of Embedded
Real-Time Systems (OMER4), Universi-
tät Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 236, Paderborn, 2008 – ISBN 978-
3-939350-55-2
Bd. 237 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 4. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung
Heinz Nixdorf Institut, 30. und 31. Okto-
ber 2008, Brandenburgische Akademie
der Wissenschaften, Berlin, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 237, Paderborn,
2008 – ISBN 978-3-939350-56-9
Bd. 238 BRÖKELMANN, M.: Entwicklung einer
Methodik zur Online-Qualitätsüberwach-
ung des Ultraschall-Drahtbondprozesses
mittels integrierter Mikrosensorik. Disser-
tation, Fakultät für Maschinenbau, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 238, Paderborn, 2008 –
ISBN 978-3-939350-57-6
Bd. 239 KETTELHOIT, B.: Architektur und Entwurf
dynamisch rekonfigurierbarer FPGA-
Systeme. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 239, Pader-
born, 2008 – ISBN 978-3-939350-58-3
Bd. 240 ZAMBALDI, M.: Concepts for the develop-
ment of a generic Multi-Level Test Bench
covering different areas of applications.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 240, Paderborn, 2008 – ISBN 978-
3-939350-59-0
Bd. 241 OBERSCHELP, O.: Strukturierter Entwurf
selbstoptimierender mechatronischer
Systeme. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 241,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
60-6
Bd. 242 STOLLT, G.: Verfahren zur strukturierten
Vorausschau in globalen Umfeldern pro-
duzierender Unternehmen. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 242, Paderborn, 2009 – ISBN 978-
3-939350-61-3
Bd. 243 WENZELMANN, C.: Methode zur zukunfts-
orientierten Entwicklung und Umsetzung
von Strategieoptionen unter Berücksich-
tigung des antizipierten Wettbewerbsver-
haltens. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 243, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-62-0
Bd. 244 BRÜSEKE, U.: Einsatz der Bibliometrie für
das Technologiemanagement. Disserta-
tion, Fakultät für Maschinenbau, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 244, Paderborn, 2009 –
ISBN 978-3-939350-63-7
Bd. 245 TIMM, T.: Ein Verfahren zur hierarchisch-
en Struktur-, Dimensions- und Material-
bedarfsplanung von Fertigungssystemen.
Dissertation, Fakultät für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 245,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
64-4
Bd. 246 GRIESE, B.: Adaptive Echtzeitkommuni-
kationsnetze. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 246, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-65-1
Bd. 247 NIEMANN, J.-C.: Ressourceneffiziente
Schaltungstechnik eingebetteter Parallel-
rechner. Dissertation, Fakultät für Elek -
trotechnik, Informatik und Mathematik,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 247, Paderborn,
2009 – ISBN 978-3-939350-66-8
Bd. 248 KAISER, I.: Systematik zur Entwicklung
mechatronischer Systeme in der Tech-
nologie MID. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 248,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
67-5
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Fürstenallee 11
33102 Paderborn
Bd. 249 GANS, J. E.: Neu- und Anpassungspla-
nung der Struktur von getakteten Fließ-
produktionssystemen für variantenreiche
Serienprodukte in der Montage. Disser-
tation, Fakultät für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 249, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-68-2
Bd. 250 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A. (Hrsg.): 6. Paderborner
Workshop Entwurf mechatronischer Sys-
teme. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
250, Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-
939350-69-9
Bd. 251 LESSMANN, J.: Protocols for Telephone
Communications in Wireless Multi-Hop
Ad Hoc Networks. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Mathe-
matik, Universität Paderborn, HNI-Ver-
lagsschriftenreihe, Band 251, Paderborn,
2009 – ISBN 978-3-939350-70-5
Bd. 252 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
8. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 252,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
71-2
Bd. 253 KLÖPPER, B.: Ein Beitrag zur Verhaltens-
planung für interagierende intelligente
mechatronische Systeme in nicht-deter-
ministischen Umgebungen. Dissertation,
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 253, Paderborn,
2009 – ISBN 978-3-939350-72-9
Bd. 254 LOW, C. Y.: A Methodology to Manage the
Transition from the Principle Solution to-
wards the Controller Design of Advanced
Mechatronic Systems. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 254, Paderborn, 2009 – ISBN 978-
3-939350-73-6
Bd. 255 XU, F.: Resource-Efficient Multi-Antenna
Designs for Mobile Ad Hoc Networks.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 255, Paderborn, 2009 – ISBN 978-
3-939350-74-3
Bd. 256 MÜLLER, T.: Integration von Verlässlich-
keitsanalysen und -konzepten innerhalb
der Entwicklungsmethodik mechatro-
nischer Systeme. Dissertation, Fakultät
für Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 256,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
75-0
Bd. 257 BONORDEN, O.: Versatility of Bulk Syn-
chronous Parallel Computing: From the
Heterogeneous Cluster to the System on
Chip. Dissertation, Fakultät für Elektro-
technik, Informatik und Mathematik, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 257, Paderborn, 2009 –
ISBN 978-3-939350-76-7
Bd. 258 KORTENJAN, M.: Size Equivalent Cluster
Trees - Rendering CAD Models in Indus-
trial Scenes. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathema-
tik, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 258, Paderborn,
2009 – ISBN 978-3-939350-77-4
Bd. 259 SCHOMAKER, G.: Distributed Resource
Allocation and Management in Hetero-
geneous Networks. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 259, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-78-1
Bd. 260 MENSE, M.: On Fault-Tolerant Data Place-
ment in Storage Networks. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 260, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-79-8
Bd. 261 LÜRWER-BRÜGGEMEIER, K.: Mächtigkeit
und Komplexität von Berechnungen mit
der ganzzahligen Division. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 261, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-80-4
Bd. 262 ALTEMEIER, S.: Kostenoptimale Kapazi-
tätsabstimmung in einer getakteten
Variantenfließlinie unter expliziter Be-
rücksichtigung des Unterstützereinsatzes
und unterschiedlicher Planungszeit-
räume. Dissertation, Fakultät für Wirt-
schaftswissenschaften, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 262, Paderborn, 2009 – ISBN 978-
3-939350-81-1
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bd. 263 MAHAJAN, K.: A combined simulation and
optimization based method for predictive-
reactive scheduling of flexible production
systems subject to execution exceptions.
Dissertation, Fakultät für Wirtschafts-
wissenschaften, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 263,
Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-939350-
82-8
Bd. 264 CHRISTIANSEN, S. K.: Methode zur Klassi-
fikation und Entwicklung reifegradbasier-
ter Leistungsbewertungs- und Leistungs-
steigerungsmodelle. Dissertation, Fakul-
tät für Maschinenbau, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
264, Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-
939350-83-5
Bd. 265 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 5. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung,
Heinz Nixdorf Institut, 19. und 20. No-
vember 2009, Brandenburgische Aka-
demie der Wissenschaften, Berlin, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 265, Pader-
born, 2009 – ISBN 978-3-939350-84-2
Bd. 266 KAULMANN,T.: Ressourceneffiziente
Realisierung Pulscodierter Neuronaler
Netze. Dissertation, Fakultät für Elektro-
technik, Informatik und Mathematik, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 266, Paderborn, 2009 –
ISBN 978-3-939350-85-9
Bd. 267 WEHRMEISTER, M. A.: An Aspect-Oriented
Model-Driven Engineering Approach for
Distributed Embedded Real-Time Sys-
tems. Dissertation, Fakultät für Elektro-
technik, Informatik und Mathematik, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 267, Paderborn, 2009 –
ISBN 978-3-939350-86-6
Bd. 268 DANNE, C.: Assessing the Cost of Assort-
ment Complexity in Consumer Goods
Supply Chains by Reconfiguration of
Inventory and Production Planning
Parameters in Response to Assortment
Changes. Dissertation, Fakultät für Wirt-
schaftswissenschaften, Universität Pa-
derborn, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
268, Paderborn, 2009 – ISBN 978-3-
939350-87-3
Bd. 269 AUFENANGER, M.: Situativ trainierte
Regeln zur Ablaufsteuerung in Ferti-
gungssystemen und ihre Integration in
Simulationssysteme. Dissertation, Fakul-
tät für Wirtschaftswissenschaften, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 269, Paderborn, 2009 –
ISBN 978-3-939350-88-0
Bd. 270 STOLL, K.: Planung und Konzipierung von
Marktleistungen. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 270,
Paderborn, 2010 – ISBN 978-3-939350-
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Bd. 271 IHMELS, S.: Verfahren zur integrierten
informationstechnischen Unterstützung
des Innovationsmanagements. Disserta-
tion, Fakultät für Maschinenbau, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 271, Paderborn, 2010 –
ISBN 978-3-939350-90-3
Bd. 272 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A. (Hrsg.): 7. Paderborner
Workshop Entwurf mechatronischer Sys-
teme. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
272, Paderborn, 2010 – ISBN 978-3-
939350-91-0
Bd. 273 PURNAPRAJNA,M.: Run-time Reconfigu-
rable Multiprocessors. Dissertation, Fa-
kultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 273, Pader-
born, 2010 – ISBN 978-3-939350-92-7
Bd. 274 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M. (Hrsg.):
9. Paderborner Workshop Augmented &
Virtual Reality in der Produktentstehung.
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 274,
Paderborn, 2010 – ISBN 978-3-939350-
93-4
Bd. 275 WEDMAN, S.: Lebensdauerüberwachung
in mechatronischen Systemen. Disserta-
tion, Fakultät für Maschinenbau, Univer-
sität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 275, Paderborn, 2010 –
ISBN 978-3-939350-94-1
Bd. 276 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 6. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung,
Heinz Nixdorf Institut, 28. und 29. Okto-
ber 2010, Brandenburgische Akademie
der Wissenschaften, Berlin, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 276, Paderborn,
2010 – ISBN 978-3-939350-95-8
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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Bd. 277 HUBER, D.: Geregelte Vereinfachung
hierarchischer Partitionen von Modellen
in der Materialflusssimulation. Disserta-
tion, Fakultät für Wirtschaftswissenschaf-
ten, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 277, Paderborn,
2010 – ISBN 978-3-939350-96-5
Bd. 278 DEGENER, B.: Local, distributed approxi-
mation algorithms for geometric assign-
ment problems. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathema-
tik, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 278, Paderborn,
2010 – ISBN 978-3-939350-97-2
Bd. 279 WARKENTIN, A.: Systematik zur funktions-
orientierten Modellierung von Elektrik/
Elektronik-Systemen über den Produkt-
lebenszyklus. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 279,
Paderborn, 2010 – ISBN 978-3-939350-
98-9
Bd. 280 BRINK, V.: Verfahren zur Entwicklung
konsistenter Produkt- und Technologie-
strategien. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 280,
Paderborn, 2010 – ISBN 978-3-939350-
99-6
Bd. 281 SAMARA, S.: Adaptable OS Services for
Distributed Reconfigurable Systems on
Chip. Dissertation, Fakultät für Elektro-
technik, Informatik und Mathematik, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 281, Paderborn, 2010 –
ISBN 978-3-942647-00-7
Bd. 282 BIENKOWSKI, M.: Page migration in dyna-
mic networks. Dissertation, Fakultät für
Elektrotechnik, Informatik und Mathema-
tik, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 282, Paderborn,
2010 – ISBN 978-3-942647-01-4
Bd. 283 MAHLMANN, P.: Peer-to-peer networks
based on random graphs. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 283, Pader-
born, 2010 – ISBN 978-3-942647-02-1
Bd. 284 DYNIA, M.: Collective graph exploration.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 284, Paderborn, 2010 – ISBN 978-
3-942647-03-8
Bd. 285 POHL,C.: Konfigurierbare Hardwarebe-
schleuniger für selbst-organisierende
Karten. Dissertation, Fakultät für Elektro-
technik, Informatik und Mathematik, Uni-
versität Paderborn, HNI-Verlagsschriften-
reihe, Band 285, Paderborn, 2011 –
ISBN 978-3-942647-04-5
Bd. 286 DUMITRESCU, R.: Entwicklungssystematik
zur Integration kognitiver Funktionen in
fortgeschrittene mechatronische Syste-
me. Dissertation, Fakultät für Maschinen-
bau, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 286, Paderborn,
2011 – ISBN 978-3-942647-05-2
Bd. 287 MEHLER, J.: Power-Aware Online File
Allocation in Dynamic Networks. Disser-
tation, Fakultät für Elektrotechnik, Infor-
matik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
287, Paderborn, 2011 – ISBN 978-3-
942647-06-9
Bd. 288 HARCHENKO, J.: Mechatronischer Entwurf
eines neuartigen aktiven Fahrzeugfede-
rungssystems für PKW unter Verwen-
dung einer reversierbaren Flügelzellen-
pumpe. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 288, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-07-6
Bd. 289 KORZENIOWSKI, M.: Dynamic Load Balanc-
ing in Peer-to-Peer Networks. Dissertati-
on, Fakultät für Elektrotechnik, Informatik
und Mathematik, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 289,
Paderborn, 2011 – ISBN 978-3-942647-
08-3
Bd. 290 FRAHLING, G.: Algorithms for Dynamic
Geometric Data Streams. Dissertation,
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und
Mathematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 290, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-09-0
Bd. 291 REYES PÉREZ, M.: A Specification Tech-
nique for the Conceptual Design of
Manufacturing Systems. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 291, Paderborn, 2011 – ISBN 978-
3-942647-10-6
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33102 Paderborn
Bd. 292 STEHR,J.: On the design and implemen-
tation of reliable and economical telema-
tics software architectures for embedded
systems: a domain-specific framework.
Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 292, Paderborn, 2011 – ISBN 978-
3-942647-11-3
Bd. 293 KRÓL,R.: Eine Reduktionsmethode zur
Ableitung elektromechanischer Ersatz-
modelle für piezoelektrische Wandler
unter Verwendung der Finite-Elemente-
Methode (FEM). Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 293,
Paderborn, 2011 – ISBN 978-3-942647-
12-0
Bd. 294 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A. (Hrsg.): 8. Paderborner
Workshop Entwurf mechatronischer Sys-
teme. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
294, Paderborn, 2011 – ISBN 978-3-
942647-13-7
Bd. 295 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M.; MEYER AUF
DER HEIDE, F. (Hrsg.): 10. Paderborner
Workshop Augmented & Virtual Reality in
der Produktentstehung. HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 295, Paderborn,
2011 – ISBN 978-3-942647-14-4
Bd. 296 POOK, S.: Eine Methode zum Entwurf von
Zielsystemen selbstoptimierender
mechatronischer Systeme. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 296, Paderborn, 2011 – ISBN 978-
3-942647-15-1
Bd. 297 MRACEK,M.: Untersuchung des dyna-
mischen Verhaltens gekoppelter piezo-
elektrischer Ultraschallmotoren mit Stoß-
kontakt. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 297, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-16-8
Bd. 298 GEHWEILER, J.: Peer-to-Peer Based Paral-
lel Web Computing. Dissertation, Fakultät
für Elektrotechnik, Informatik und Ma-
thematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 298, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-17-5
Bd. 299 BRUNS, T.: Trajektorienplanung mittels
Diskretisierung und kombinatorischer
Optimierung am Beispiel des autono-
men Kreuzungsmanagements für Kraft-
fahrzeuge. Dissertation, Fakultät für Ma-
schinenbau, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 299, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-18-2
Bd. 300 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 7. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung,
Heinz Nixdorf Institut, 24. und 25. No-
vember 2011, Brandenburgische Aka-
demie der Wissenschaften, Berlin, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 300, Pader-
born, 2011 – ISBN 978-3-942647-19-9
Bd. 301 SALFELD, M.: Konzeption eines Regel-
ungssystems zur gezielten Beeinflussung
der Fahrdynamik in Unfallsituationen.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 301, Paderborn,
2012 – ISBN 978-3-942647-20-5
Bd. 302 KEMPKES, B.: Local Strategies for Robot
Formation Problems. Dissertation, Fakul-
tät für Elektrotechnik, Informatik und Ma-
thematik, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 302, Pader-
born, 2012 – ISBN 978-3-942647-21-2
Bd. 303 DELIUS, R.: Sicherstellen der Abrufe bei
Automotive-Zulieferern mit minimalen
Kosten unter besonderer Berücksichti-
gung von Liquiditäts-, Beschäftigungs-,
Knowhow- und IT-Restriktionen. Disser-
tation, Fakultät für Wirtschaftswissen-
schaften, Universität Paderborn, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Band 303, Pader-
born, 2012 – ISBN 978-3-942647-22-9
Bd. 304 NORDSIEK, D.: Systematik zur Konzipier-
ung von Produktionssystemen auf Basis
der Prinziplösung mechatronischer Sys-
teme. Dissertation, Fakultät für Maschi-
nenbau, Universität Paderborn, HNI-Ver-
lagsschriftenreihe, Band 304, Paderborn,
2012 – ISBN 978-3-942647-23-6
Bd. 305 KREFT, S.: Systematik zur effizienten Bil-
dung geospezifischer Umgebungsmo-
delle für Fahrsimulationen. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 305, Paderborn, 2012 – ISBN 978-
3-942647-24-3
Bände der HNI-Verlagsschriftenreihe
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33102 Paderborn
Bd. 306 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 8. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung,
Heinz Nixdorf Institut, 6. und 7. Dezem-
ber 2012, Brandenburgische Akademie
der Wissenschaften, Berlin, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 306, Paderborn,
2012 – ISBN 978-3-942647-25-0
Bd. 307 REYMANN, F.: Verfahren zur Strategieent-
wicklung und -umsetzung auf Basis einer
Retropolation von Zukunftsszenarien.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
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schriftenreihe, Band 307, Paderborn,
2013 – ISBN 978-3-942647-26-7
Bd. 308 KAHL, S.: Rahmenwerk für einen selbst-
optimierenden Entwicklungsprozess
fortschrittlicher mechatronischer Syste-
me. Dissertation, Fakultät für Maschinen-
bau, Universität Paderborn, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 308, Paderborn,
2013 – ISBN 978-3-942647-27-4
Bd. 309 WASSMANN, H.: Systematik zur Entwick-
lung von Visualisierungstechniken für die
visuelle Analyse fortgeschrittener mecha-
tronischer Systeme in VR-Anwendungen.
Dissertation, Fakultät für Maschinenbau,
Universität Paderborn, HNI-Verlagsschrif-
tenreihe, Band 309, Paderborn, 2013 –
ISBN 978-3-942647-28-1
Bd. 310 GAUSEMEIER, J.; RAMMIG, F.; SCHÄFER, W.;
TRÄCHTLER, A. (Hrsg.): 9. Paderborner
Workshop Entwurf mechatronischer Sys-
teme. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
310, Paderborn, 2013 – ISBN 978-3-
942647-29-8
Bd. 311 GAUSEMEIER, J.; GRAFE, M.; MEYER AUF
DER HEIDE, F. (Hrsg.): 11. Paderborner
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2013 – ISBN 978-3-942647-30-4
Bd. 312 BENSIEK, T.: Systematik zur reifegrad-
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Mittelstand. Dissertation, Fakultät für
Maschinenbau, Universität Paderborn,
HNI-Verlagsschriftenreihe, Band 312,
Paderborn, 2013 – ISBN 978-3-942647-
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Bd. 313 KOKOSCHKA, M.: Verfahren zur Konzi-
pierung imitationsgeschützter Produkte
und Produktionssysteme. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 313, Paderborn, 2013 – ISBN 978-
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Bd. 314 VON DETTEN, M.: Reengineering of
Component-Based Software Systems in
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Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 314, Paderborn, 2013 – ISBN 978-
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Bd. 315 MONTEALEGRE AGRAMONT, N. A.: Immun-
orepairing of Hardware Systems. Disser-
tation, Fakultät für Elektrotechnik, Infor-
matik und Mathematik, Universität Pader-
born, HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
315, Paderborn, 2013 – ISBN 978-3-
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Bd. 316 DANGELMAIER, W.; KLAAS, A.; LAROQUE, C.:
Simulation in Produktion und Logistik
2013. HNI-Verlagsschriftenreihe, Band
316, Paderborn, 2013 – ISBN 978-3-
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Bd. 317 PRIESTERJAHN, C.: Analyzing Self-healing
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Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 317, Paderborn, 2013 – ISBN 978-
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Bd. 318 GAUSEMEIER, J. (Hrsg.): Vorausschau und
Technologieplanung. 9. Symposium für
Vorausschau und Technologieplanung,
Heinz Nixdorf Institut, 5. und 6. Dezember
2013, Berlin-Brandenburgische Akademie
der Wissenschaften, Berlin, HNI-Verlags-
schriftenreihe, Band 318, Paderborn, 2013
– ISBN 978-3-942647-37-3
Bd. 319 GAUSEMEIER, S.: Ein Fahrerassistenz-
system zur prädiktiven Planung energie-
und zeitoptimaler Geschwindigkeitsprofile
mittels Mehrzieloptimierung. Dissertation,
Fakultät für Maschinenbau, Universität
Paderborn, HNI-Verlagsschriftenreihe,
Band 319, Paderborn, 2013 – ISBN 978-
3-942647-38-0
