Document [original]

Quantifizierung von Fehlstellen in

teiltransparenten Festkörpern mittels der

Impulsthermografie

vorgelegt von

M.Sc.

Raphael Kim Bernegger

von der Fakultät III - Prozesswissenschaften

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

-Dr.-Ing.-

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss

Vorsitzender: Prof. Dr. Aleksander Gurlo

Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Walter Reimers

Gutachterin: Prof. Dr.-Ing. Birgit Skrotzki

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 24. März 2021

Berlin 2021

Zusammenfassung

Die Impulsthermografie (PT) gehört zu den zerstörungsfreien Prüfverfahren und wird für die

Detektion und Quantifizierung von verdeckten Fehlstellen in einem Bauteil eingesetzt. Bei Mate-

rialien, die im Wellenlängenbereich der optischen Anregungsquelle und der Infrarot(IR)-Kamera

teiltransparent sind, z.B. glasfaserverstärkter Kunststoff (GFK), können die bestehenden Aus-

wertemethoden der PT nicht angewendet werden, da diese auf mathematischen Modellen ba-

sieren, die opake Materialien beschreiben. Somit muss derzeit für die Quantifizierung der Tiefe

von Fehlstellen in teiltransparenten Prüfobjekten die Prüfobjektoberfläche schwarz beschichtet

werden. Da dies im realen Anwendungsfall oft unerwünscht ist, ist das Ziel dieser Arbeit, neue

thermografische Auswertungstechniken zu entwickeln, mit denen die Quantifizierung von Fehl-

stellen in teiltransparenten Festkörpern ohne eine Oberflächenschwärzung erfolgen kann. Hier-

für werden bereits bekannte mathematische Modelle zur Beschreibung von PT-Experimenten

erweitert und auf teiltransparente Materialien mit Fehlstellen angepasst, sodass durch eine Re-

konstruktion der Messdaten mit Hilfe dieser neuen Modelle die Tiefe von realen Delaminationen

in GFK bestimmt werden kann, ohne dabei die Bauteiloberflächen zu beschichten.

Bei thermografischen Messungen an teiltransparenten Materialien empfängt eine IR-Kamera

Strahlung nicht nur von der Materialoberfläche, wie bei opaken Materialien, sondern zusätzlich

aus dem Volumen. Für die Rekonstruktion von PT-Experimenten an teiltransparenten Materia-

lien wird für die mathematische Modellierung der IR-Kamera nur das Temperaturfeld und nicht

das Strahlungsfeld berücksichtigt. Durch einen Vergleich zwischen der bisher üblichen mathema-

tischen Modellierung und der neu entwickelten Modellierung der IR-Kamera, die das Strahlungs-

feld berücksichtigt, konnte gezeigt werden, dass bei Vernachlässigung des Strahlungsfeldes die

Modellparameter (absorbierte Energie und die Absorptionskoeffizienten) bei der Rekonstruktion

beeinflusst werden können, welche die Heizphase eines PT-Experiments bestimmen. Dies zeigt,

dass die übliche Modellierung im betrachteten Anwendungsfall zwar unter Verwendung effekti-

ver Modellparameter eingesetzt werden kann, die zugrundeliegende Physik aber unzureichend

abbildet. Ein weiterer wichtiger Faktor für die vollständige Modellierung einer IR-Kamera ist die

spektrale Empfindlichkeit des IR-Kamerasystems. Da diese im Allgemeinen nicht bekannt ist,

wurde unter Verwendung von Bandpassfiltern, einem Schwarzkörperstrahler und einem mathe-

matischen Modell ein neues praxisnahes Verfahren entwickelt, mit welchem die spektrale Emp-

findlichkeit von beliebig komplexen IR-Kamera-Gesamtsystemen charakterisiert werden kann.

In dieser Arbeit konnte durch die Rekonstruktion der Messdaten von PT-Experimenten mit mo-

nochromatischer Anregungsquelle an teiltransparenten Probekörpern mithilfe mathematischer

Modelle gezeigt werden, dass die verwendeten 1D-Modelle, die bisher nur für homogene Mate-

rialien verwendet wurden, auch für heterogene Materialien wie z.B. GFK geeignet sind. Dazu

muss jedoch die Modellierung der Absorption über zwei effektive Absorptionskoeffizienten (für

verschiedene Materialanteile) erfolgen. So konnten die Diffusivität und die Absorptionskoeffi-

zienten in verschiedenen Messkonfigurationen mit den jeweils geeigneten Modellen bestimmt

werden. Mit den hier entwickelten numerischen Modellen konnte nachgewiesen werden, dass die

Quantifizierung der Breite und Tiefe von künstlichen (Nuten) und realen (Delaminationen) Fehl-

stellen in teiltransparenten Materialien auch ohne zusätzliche Beschichtungen bestimmt werden

kann.

III

Abstract

Pulsed thermography (PT) is one of the non-destructive testing methods and is used for the

detection and quantification of hidden defects in a component. For materials that are semi-

transparent in the wavelength range of the optical excitation source and the infrared (IR) cam-

era, e.g. glass fiber reinforced plastic (GFRP), the existing PT evaluation methods cannot be

applied, as these are based on mathematical models describing opaque materials. Thus, to cur-

rently quantify the depth of defects in semi-transparent specimens, the specimen surface has

to be coated black. Since this is often undesirable in real applications, the aim of this work

is to develop a new thermographic evaluation technique that can be used to quantify defects

in semi-transparent specimens without surface blackening. For this purpose, already known

mathematical models for the description of PT experiments are extended and adapted to semi-

transparent materials with defects so that the depth of real delaminations in GFRP can be

determined by reconstructing the measured data with these new models and without coating

the specimen surfaces.

For thermographic measurements on semi-transparent materials, an IR camera receives radia-

tion not only from the material surface, as with opaque materials, but also from the volume. For

the reconstruction of PT experiments on semi-transparent materials, only the temperature field

and not the radiation field is considered for the mathematical modeling of the IR camera. By

comparing the previously used mathematical modeling with a newly developed model of the IR

camera, which takes the radiation field into account, it could be shown that when the radiation

field is neglected, the model parameters (absorbed energy and the absorption coefficients), which

determine the heating phase of a PT experiment, can be influenced during the reconstruction.

This shows that the usual modeling using effective model parameters can be applied in the con-

sidered application, but it inadequately represents the underlying physics. Another important

factor for the complete modeling of an IR camera is the spectral sensitivity of the IR camera

system. Since this is generally unknown, a new practical method was developed using bandpass

filters, a blackbody radiator, and a mathematical model to characterize the spectral response

for arbitrarily complex IR camera systems.

In this work, by reconstructing measured data from PT experiments with a monochromatic

excitation source on semi-transparent specimens by means of mathematical models, it was shown

that the 1D models used so far only for homogeneous materials are also suitable for heterogeneous

materials such as GFRP. However, this requires modeling the absorption using two effective

absorption coefficients (different material portions). In this way, the thermal diffusivity and

absorption coefficients could be determined in different measurement configurations using the

appropriate models in each case. By using the numerical models developed in this study, it

demonstrates that the quantification of the width and depth of simulated (notch) and real

(delaminations) defects in semi-transparent materials can be determined even without additional

surface coatings.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation 3

2.1 Grundlagen des Wärmetransports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Wärmestrahlung nach Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Instationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Konvektiver Wärmeübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Impulsthermografie............................. 9

2.2.2 Thermografie an teiltransparenten Materialien . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Stand der Technik zur quantitativen Charakterisierung von teiltransparenten

Materialien ..................................... 16

2.3.1 Quantifizierung der thermischen und optischen Materialeigenschaften . 16

2.3.2 Quantifizierung von Fehlstellen und Materialschichtdicken . . . . . . . 18

3 Ziel der Arbeit 21

4 Methoden und mathematische Modelle 23

4.1 Inverses Problem - Vorgehen der Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Untersuchte Probekörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedin-

gungen........................................ 28

4.3.1 Randbedingungen ............................. 28

4.3.2 IR-Kamera ................................. 29

4.3.3 Anregungsquelle .............................. 30

4.3.4 Prüfkörper ................................. 33

4.3.5 Umgebung ................................. 37

4.3.6 Konfigurationen und Bezeichnung der Modelle . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Analytische und semi-analytische Lösung (1D) . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Beispielrechnung für das 1L1α1β-Modell................. 41

4.4.3 Numerische Lösung mittels FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4.4 Einfluss der Modell-Parameter auf den Temperaturverlauf . . . . . . . 44

4.4.5 Sensitivitätsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Rekonstruktion von experimentellen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.1 Messdaten aufbereiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.2 Rekonstruktionsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Validierung der mathematischen Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6.1 Überprüfung des Ausgangsmodells an ND-Filtern . . . . . . . . . . . . 53

4.6.2 Überprüfung der numerischen 1D- und 2D-Modelle . . . . . . . . . . . 54

VII

Inhaltsverzeichnis

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und Fehlstellen . . . . . 56

4.7.1 Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen Konfigura-

tionen.................................... 57

4.7.2 Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7.3 Quantifizierung von realen Fehlstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Charakterisierung einer IR-Kamera 65

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Strahlungsbilanz .............................. 65

5.1.2 IR-Kamera-Kalibrierung/Justage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.3 Einfluss bei teiltransparentem Material . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1 Vorgehensweise zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit . . . 75

5.2.2 Auswahl und Beschreibung der optischen Elemente . . . . . . . . . . . 76

5.2.3 Einfluss der Umgebungsluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.4 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.5 Ergebnisse des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.6 Überprüfung und Validierung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Ergebnisse und Diskussion 89

6.1 Ergebnisse — Validierung der mathematischen Modelle . . . . . . . . . . . . 89

6.1.1 Überprüfung des Ausgangsmodells an ND-Filtern . . . . . . . . . . . . 89

6.1.2 Überprüfung der numerischen 1D- und 2D-Modelle . . . . . . . . . . . 91

6.2 Ergebnisse — Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen Mess-

konfigurationen................................... 94

6.2.1 Probekörper mit vorderseitiger Beschichtung . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2 Unbeschichteter Probekörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.3 Probekörper mit rückseitiger Beschichtung . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2.4 Zusammenfassung ............................. 100

6.3 Ergebnisse — Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen . . . . . . . . . . . 101

6.4 Ergebnisse — Quantifizierung von realen Fehlstellen . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.1 Auswertung mit einem 1-Schicht-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.2 Auswertung mit einem 2-Schicht-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.3 Vergleich zwischen synthetischen und den realen PT-Experimenten . . 108

6.5 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Zusammenfassung und Ausblick 111

Literaturverzeichnis 115

Abbildungsverzeichnis 129

Tabellenverzeichnis 137

VIII

Symbolverzeichnis

Lateinische Symbole

Symbol Einheit Beschreibung

Am2Fläche

˜a— Absorptionsgrad

˜aλ— gerichteter spektraler Absorptionsgrad

z— Flächenabsorptionskoeffizienten

R— thermischer Kontrast

cms−1Lichtgeschwindigkeit

cpJkg−1K−1spezifische Wärmekapazität

Dm2s−1thermische Diffusivität

dm Restwanddicke

EWm−2Bestrahlungsstärke

EλWm−2µm−1spezifische Bestrahlungsstärke

e— Schwellwert

f— Gewichtungsfaktor

Fβ— Gewichtungsfunktion

fcam Hz Kamerafrequenz

˙qWm−2Wärmestromdichte

gWm−3interne Wärmequelle

gu— Gesamtunsicherheit

hKon WK−1m−2Wärmeübergangskoeffizient

hPl Js Plancksches Wirkungsquantum

hRa µm Oberflächenrauigkeit

K— Konstante

kWm−1K−1Wärmeleitfähigkeit

Lateinische Symbole

Symbol Einheit Beschreibung

kBJK−1Boltzmann-Konstante

Lm Materialdicke/Schichtdicke

L1m Tiefe der Fehlstelle

LλWm−2µm−1sr−1spektrale Strahldichte

MWm−2spezifische Ausstrahlung

Mλ,BB Wm−2µm−1spektrale spezifische Ausstrahlung eines BB

MλWm−2µm−1spektrale spezifische Ausstrahlung

m— Steigung

ni— Framenummer

Pts−1zeitliche Form der Anregungsquelle

p— Fitparameter

QJm−2Energie pro Fläche

RKm2W−1thermischen Übergangswiderstand

˜r— Reflexionsgrad

˜rλ— gerichteter spektraler Reflexionsgrad

Sout DV Ausgangssignal

SDVm2W−1s−1spektrale Empfindlichkeit

TK Temperatur

TK scheinbare Temperatur

ts Zeit

tint s Integrationszeit

V— Volumenanteil

Wm Weglänge

wm Nutbreite

xm Ortskoordinate

ym Ortskoordinate

zm Ortskoordinate

Indizes

Griechische Symbole

Symbol Einheit Beschreibung

αm−1Absorptionskoeffizient (Anregungsquelle)

βm−1Absorptionskoeffizient (IR-Kamera)

γ◦Azimutwinkel

ϕ◦Polarwinkel

δ— Delta-Funktion

ˆ— Residuen

ε— Gesamt-Emissionsgrad

ελ— gerichteter spektraler Emissionsgrad

ζ2— Anpassungsgüte — goodness of fit

λ µm Wellenlänge

ΦW Strahlungsfluss

φWm−2Wärmestromdichte

ρkgm−3Dichte

σWm−2K−4Stefan-Boltzmann-Konstante

˜τ— Transmissionsgrad

˜τλ— gerichteter spektraler Transmissionsgrad

χ2— Abweichung

Indizes

Symbol Beschreibung

AAtmosphäre

BBlitz

exp experimentell

IR −KIR-Kamera

KKonvektion

La Laser

lin linear

log logarithmisch

Abkürzungen

Symbol Beschreibung

OObjekt

oOben

SStrahlung

sim simuliert

λspektral

UUmgebung

uUnten

Abkürzungen

AR Aspektverhältnis

BB Schwarzkörperstrahler (black body)

BP Bandpass

CFK Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff

CWL central wavelength

DV Digitalwert (digital value)

FEM Finite-Elementen-Methode

FF Full Frame

FWHM full width at half maximum

GFK Glasfaserverstärkter Kunststoff

GUI grafische Benutzerschnittstelle

InSb Indium-Antimonied

IR Infrarot

LSF Least Square Fitting

LWIR langwelliges Infrarot

MCT Quecksilber-Kadmium-Tellurid

MM mathematische Modelle

MWIR mittelwelliges Infrarot

ND Neutraldichte

NETD noise equivalent differential temperature

XII

Abkürzungen

PDG partielle Differentialgleichung

PEEK Polyetheretherketon

PPT Puls-Phasen-Thermografie

PT Impulsthermografie

PVC Polyvinylchlorid

R Reflexion

RB Rückseite beschichtet

ROI Region of Interest

SWIR nahes Infrarot

T Transmission

TSR Thermal Signal Reconstruction

TT thermal testing

UB unbeschichtet

VATh Bundesverband für Angewandte Thermografie

VB Vorderseite beschichtet

WLG Wärmeleitungsgleichung

ZfP zerstörungsfreie Werkstoffprüfung

XIII

1 Einleitung

In vielen Industriesektoren, z.B. der Luft- und Raumfahrt, der Automobil- oder Energie-

branche, werden Faserverbundwerkstoffe wie glas- oder kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff

aufgrund ihrer hervorragenden mechanischen Eigenschaften bei gleichzeitig geringem Gewicht

in sicherheitsrelevanten Bereichen eingesetzt [1]. Durch Fehlstellen wie Delaminationen oder

Matrix- und Faserrisse im Material können die mechanischen Eigenschaften beeinträchtigt

werden. Diese Fehlstellen können mit Methoden der zerstörungsfreien Werkstoffprüfung (ZfP)

detektiert und charakterisiert werden. Dabei hat sich die aktive Thermografie als geeignete

ZfP-Methode zur Detektierung und Charakterisierung von Fehlstellen in Faserverbundwerk-

stoffen herausgestellt [1–3].

Thermografie basiert auf der Messung von Wärmestrahlung eines Prüfobjekts mittels ei-

ner Infrarot(IR)-Kamera, die diese in ein visuelles Temperaturbild, das sog. Thermogramm,

umwandelt [4]. Bei der aktiven Thermografie wird dem Prüfobjekt meist mit einer optischen

Wärmequelle Energie hinzugefügt, woraufhin instationäre Wärmeflüsse im Prüfobjekt entste-

hen, die durch die thermischen Materialeigenschaften bestimmt werden. Weist das Prüfobjekt

innere Fehlstellen auf wie z.B. Einschlüsse, Risse, Poren, Lunker oder Delaminationen, wird

sich der Wärmefluss aufgrund der Fehlstelle verändern, da sich die thermischen Eigenschaf-

ten der Fehlstelle von denen des Prüfobjekts unterscheiden. Der Wärmefluss wird indirekt als

Thermogramm zeit- und ortsaufgelöst gemessen. Aus den Messdaten kann nicht direkt auf

die Fehlstellengeometrie geschlossen werden, daher stellt die Charakterisierung einer Fehl-

stelle ein inverses Problem dar. Es wurden verschiedene Auswertemethoden entwickelt, um

die Geometrie der Fehlstellen zu quantifizieren.

Die bestehenden Auswertemethoden basieren auf Modellen, welche die Wärmeausbreitung

in opaken Materialen beschreiben. Die Energie der Wärmequelle wird dabei an der Prüf-

objektoberfläche absorbiert, die von der IR-Kamera empfangene Wärmestrahlung resultiert

von der Prüfobjektoberfläche. Doch bei Materialien, die im Wellenlängenbereich der Anre-

gungsquelle und der IR-Kamera teiltransparent sind, wie z.B. Keramiken, Polymere oder

glasfaserverstärkter Kunststoff (GFK), können die bestehenden Auswertemethoden für opa-

ke Materialien nicht angewendet werden, da bei teiltransparenten Materialien die Absorption

im Prüfobjektvolumen erfolgt. Dadurch empfängt die IR-Kamera Wärmestrahlung nicht nur

von der Prüfobjektoberfläche, sondern zusätzlich Strahlung aus dem Prüfobjektinneren. Nach

der Norm DIN 54184 für die Impulsthermografie [5] muss für die Quantifizierung von Fehlstel-

len in teiltransparenten Prüfobjekten die Prüfobjektoberfläche schwarz beschichtet werden,

damit das Prüfobjekt opake optische Eigenschaften aufweist. Diese zusätzlichen Beschich-

tungen erhöhen zum einen den Prüfaufwand und können in den meisten Anwendungsfällen

nicht vollständig entfernt werden. Zum anderen gibt es Fälle, bei denen keine zusätzlichen

1 Einleitung

Beschichtungen möglich sind. Daher sind die Möglichkeiten zur quantitativen Defektbewer-

tung bei teiltransparenten Materialien sehr eingeschränkt und Objekt aktueller Forschung.

Die Literatur [6–8] zeigt, dass die Bestimmung der thermischen und optischen Materialpara-

meter von teiltransparenten Materialien mit der Thermografie ohne Beschichtungen möglich

ist. Untersucht wurden homogene Materialien, wie z.B. optische Neutraldichtefilter. Dafür

werden Impulsthermografie(PT)-Messdaten mit mathematischen Modellen rekonstruiert, um

so die Materialparameter zu bestimmen. Die mathematische Modellierung erfolgt dabei mit

vereinfachten Randbedingungen, z.B. wird nur das Temperaturfeld in Betracht gezogen, nicht

aber das Strahlungsfeld im Prüfkörper. Des Weiteren wird die spektrale Empfindlichkeit des

Gesamtsystems im spektralen Bereich der IR-Kamera als konstant betrachtet, da diese für

die meisten IR-Kameras nicht bekannt ist.

Damit die quantitative Defektbewertung für teiltransparente Materialien ohne zusätzliche

Beschichtungen erfolgen kann, müssen die Auswertemethoden der Thermografie für teil-

transparente Materialien erweitert werden. Basierend auf den vorhandenen Modellen, wird in

der vorliegenden Arbeit die mathematische Modellierung der Wärmeausbreitung durch PT-

Experimente an teiltransparenten Prüfkörpern mit Fehlstellen erweitert. Mit den entwickelten

semi-analytischen und numerischen Modellen werden Messdaten von PT-Experimenten an

teiltransparenten Materialien in verschiedenen Messkonfigurationen ohne zusätzliche Ober-

flächenbeschichtungen rekonstruiert, um die thermischen und optischen Materialeigenschaften

sowie die Geometrie von künstlichen Fehlstellen in Polyvinylchlorid und die Tiefe von realen

Delaminatioen in GFK quantitativ zu bestimmen.

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

In diesem Kapitel werden die für diese Arbeit relevanten theoretischen Grundlagen vorgestellt.

Zuerst werden die drei grundlegenden Arten des Wärmetransportes beschrieben. Anschlie-

ßend erfolgt eine kurze Einführung in die Grundlagen der aktiven Thermografie und welche

Schwierigkeiten bei thermografischen Messungen an teiltransparenten Materialien entstehen.

Anschließend wird auf den Stand der Technik zur quantitativen Material-Charakterisierung

an teiltransparenten Materialien eingegangen.

2.1 Grundlagen des Wärmetransports

In der Thermodynamik bezeichnet man Energie, welche die Grenze eines Systems überschrei-

tet, dann als Wärme, wenn der Energietransport allein durch einen Temperaturunterschied

zwischen dem System und seiner Umgebung bewirkt wird [9]. Dabei unterscheidet man bei der

Wärmeübertragung drei Arten des Wärmetransports: Wärmestrahlung, Wärmeleitung und

konvektiven Wärmeübergang. Diese drei Wärmetransportarten müssen bei Untersuchungen

mit thermografischen Verfahren berücksichtigt werden.

2.1.1 Wärmestrahlung nach Planck

Jeder Körper gibt Energie durch elektromagnetische Wellen an seine Umgebung ab. Diese Art

der Energieabgabe wird Temperaturstrahlung, thermische Strahlung oder Wärmestrahlung

genant [9]. Der von einem Körper abgestrahlte Wärmestrom Φ(Strahlungsfluss) in W bezogen

auf eine Fläche A(des emittierenden Körpers) wird als Wärmestromdichte oder als spezifische

Ausstrahlung Φ

A=M(T) = Z∞

Mλ(λ,T)dλ(2.1)

in Wm−2bezeichnet, welche eine Funktion der spektralen spezifischen Ausstrahlung Mλ(λ,T)

ist, die wiederum von der Temperatur Tund der Wellenlänge λabhängt. Die spektrale

spezifische Ausstrahlung

Mλ(λ,T) =

2π

ϕ=0

π/2

γ=0

Lλ(λ,T,ϕ,γ) cos γsin γdγdϕ(2.2)

berechnet sich aus der spektralen Strahldichte Lλdurch deren Integration über alle Raum-

winkel (Azimutwinkel γund Polarwinkel ϕ). Ein Körper, welcher auftreffende Strahlung

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

komplett absorbiert (idealer Absorber) und dessen spektrale Strahldichte Lλunabhängig von

den Winkelkoordinaten (diffuser Strahler) ist, wird als schwarzer Strahler oder black body

(BB) bezeichnet. Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines BB kann nach M. Planck [10]

wie folgt berechnet werden:

Mλ,BB(λ,T) = πLλ,BB(λ,T) = 2πhPl c2

λ5

exp(hc0

TλkB)(2.3)

mit der Lichtgeschwindigkeit c= 2,998 ·108ms−1im Vakuum, der Planck-Konstante hPl =

6,626 ·10−34 Js und der Boltzmann-Konstante kB= 1,381 ·10−23 JK−1. Abbildung 2.1 zeigt

den Verlauf der spektralen spezifischen Ausstrahlung für verschiedene Temperaturen. Diese

haben bei λ= 0 eine waagerechte Tangente. Bei kleinen Wellenlängen ist die Ausstrahlung

sehr gering, steigt aber mit wachsendem λsehr steil an, durchläuft ein Maximum und fällt

anschließend wieder ab. Es ergibt sich bei λ=∞ein Grenzwert von Mλ,BB = 0. Mit dem

Wienschen Verschiebungsgesetz [11]:

λmax(T) = 2897,8µmK

T(2.4)

kann die Wellenlänge des Strahlungsmaximums λmax für die spektrale spezifische Ausstrah-

lung eines schwarzen Körpers mit der Temperatur Tbestimmt werden.

1000

800

600

400

200

02468 10 12 14 16

Wellenlänge /µm

Mλ,BB(λ,T)/Wm−2µm−1

600K

500K

400K

300K

Abbildung 2.1: Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ,BB(λ,T)eines BB für verschiedene

Temperaturen, berechnet nach Gleichung 2.3. Die gestrichelte Linie zeigt das Wiensche Ver-

schiebungsgesetz.

Die spektrale Ausstrahlung eines BB ist proportional zur 4. Potenz der Oberflächentempera-

tur:

MBB(T) = Z∞

Mλ,BB(λ,T)dλ=σT4.(2.5)

Dabei beschreibt σdie Stefan-Boltzmann-Konstante σ= 5,67 ·10−8W/m−2K−4.

In der Realität gibt es keine schwarzen Strahler. Reale Objekte strahlen im Vergleich zu einem

schwarzen Strahler bei gleicher Temperatur immer weniger Strahlung ab. Der Korrekturfaktor

2.1 Grundlagen des Wärmetransports

wird Emissionsgrad genannt. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad ελ(λ,T,ϕ,γ)≤1eines

Objekts ist definiert durch das Verhältnis der spektralen Strahldichte eines realen Objekts

zur spektralen Strahldichte eines BB bei gleicher Temperatur

ελ(λ,T,ϕ,γ) = Lλ(λ,T,ϕ,γ)

Lλ,BB(λ,T,ϕ,γ).(2.6)

Sonderfälle sind dabei graue (unabhängig von der Wellenlänge) und diffuse (unabhängig von

der Richtung) Strahler. Des weiteren entspricht der gerichtete spektrale Emissionsgrad im

thermischen Gleichgewicht dem gerichteten spektralen Absorptionsgrad

λ(λ,T,ϕ,γ) = ˜aλ(λ,T,ϕ,γ)(2.7)

was als Kirchhoffsches Strahlungsgesetz bekannt ist. Der gerichtete spektrale Absorptionsgrad

beschreibt das Verhältnis der von einem Objekt absorbierten elektromagnetischen Strahlung

zur gesamten auftreffenden Strahlung. Für ein opakes Material gilt

˜aλ(λ,T,ϕ,γ)=1−˜rλ(λ,T,ϕ,γ),(2.8)

wobei ˜rλ(λ,T,ϕ,γ)der gerichtete spektrale Reflexionsgrad ist.

Die Wärmestromdichte beim Strahlungsaustausch von einem grauen Körper in einer schwar-

zen Umgebung, d.h. die komplette Strahlung wird absorbiert, beträgt

˙qS=εσ T4−T4

U(2.9)

mit der Temperatur der Umgebung TU, der Temperatur des Körpers Tund dem konstanten

hemisphärischen Gesamt-Emissionsgrad ε.

Der Strahlungsfluss bezogen auf eine bestrahlte Fläche Awird als Bestrahlungsstärke Ein

Wm−2bezeichnet und ist eine Funktion der spezifischen Bestrahlungsstärke Eλ:

A=E=Z∞

Eλ(λ)dλ. (2.10)

Die spektrale Bestrahlungsstärke beschreibt die Wellenlängenverteilung des aus dem ganzen

Halbraum eingestrahlten Strahlungsflusses.

2.1.2 Instationäre Wärmeleitung

Die Wärmeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molekülen aufgrund ei-

nes im Material vorhandenen Temperaturgradienten [9]. Die Wärmeleitungsgleichung (WLG)

oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung (PDG), welche den instatio-

nären Wärmetransport in einem Festkörper oder ruhender Flüssigkeit beschreibt. Für einen

homogenen, isotropen Körper ergibt sich die Wärmeleitungsgleichung nach [9,12,13]

D(T)

∂T(t,x,y,z)

∂t= ∂2T(t,x,y,z)

∂x2+∂2T(t,x,y,z)

∂y2+∂2T(t,x,y,z)

∂z2!+g(t,x,y,z)

k(T)(2.11)

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

mit der Temperatur Tin K, der Zeit tin s, der internen Wärmequelle gin Wm−3, den Orts-

koordinaten x,yund zin m, der thermischen Diffusivität Din m2s−1und der Wärmeleit-

fähigkeit kin Wm−1K−1. Die thermische Diffusivität, auch Temperaturleitfähigkeit genannt,

beschreibt die zeitliche und räumliche Ausbreitung der thermischen Energie im Material. Sie

ist definiert mit

D(T) = k(T)

ρ(T)cp(T).(2.12)

Dabei beschreibt kdie Wärmeleitfähigkeit, ρdie Dichte in kgm−3und cpdie spezifische

Wärmekapazität in Jkg−1K−1. Diese drei Materialeigenschaften definieren das thermische

Verhalten eines Materials und sind alle temperaturabhängig.

Gleichung 2.11 kann für verschiedene Randbedingungen analytisch, semi-analytisch oder nu-

merisch gelöst werden (siehe Kapitel 4.4).

2.1.3 Konvektiver Wärmeübergang

In einem strömenden Fluid wird Energie nicht nur durch Wärmeleitung, sondern auch durch

die makroskopische Bewegung des Fluids transportiert. Für diesen Fall spricht man vom kon-

vektiven Wärmeübergang, welcher z.B. an der Oberfläche eines Objekts entsteht, wenn an

dieser Luft vorbei strömt. Unterschieden wird zwischen erzwungener Konvektion (die Luft-

strömung wird durch z.B. einen Ventilator erzwungen) und freier Konvektion (die Luftströ-

mung entsteht durch Dichteunterschiede innerhalb der Luft). Die Wärmeübertagung durch

Konvektion an einer Wand berechnet sich aus einem Wärmeübergangskoeffizient und der

Temperaturdifferenz zwischen der Wandtemperatur TWund Fluidtemperatur TF, dabei be-

trägt die Wärmestromdichte

˙qK=hK(TW−TF).(2.13)

Der Wärmeübergangskoeffizient hKon in WK−1m−2ist eine Funktion der Oberflächenbeschaf-

fenheit der Wand, den Materialeigenschaften der Wand und des Fluids sowie dem Temperatur-

und Geschwindigkeitsfeld im Fluid. Für sehr einfache Geometrien kann der Wärmeübergangs-

koeffizient mathematisch berechnet werden. Beispiele sind in [9,14] zu finden.

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

Die Thermografie (thermal testing, TT) gehört zu den Verfahren der zerstörungsfreien Prü-

fung (ZfP). Ziel der ZfP ist es, ein Material oder Prüfkörper auf Fehlstellen wie z.B. Ein-

schlüsse, Risse, Poren, Lunker oder Delaminationen zu prüfen, ohne das Material irreversi-

bel zu verändern. In den verschiedenen ZfP-Verfahren wie z.B. Durchstrahlungsprüfung, Ul-

traschallprüfung, Eindringprüfung, magnetische Streuflussprüfung (Magnetpulverprüfung),

Wirbelstromprüfung, Sichtprüfung oder TT werden unterschiedliche physikalische Phänome-

ne ausgenutzt, wobei man die Verfahren nach ihrem Anwendungsbereich in Volumen- und

Oberflächenverfahren einteilt [4,15]. Neben der ZfP können viele dieser Verfahren auch zur

Materialcharakterisierung eingesetzt werden. Die Thermografie wird als Oberflächenverfahren

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

klassifiziert. Doch diese Zuteilung ist nicht streng zu verstehen, denn mittels der Thermo-

grafie können nicht nur oberflächennahe Fehler, z.B. Risse [16], sondern auch Fehlstellen in

Tiefen von mehreren Zentimeter [17] detektiert werden.

Die Thermografie ist ein berührungsloses bildgebendes Verfahren, welches Wärmestrahlung

(Infrarot(IR)-Strahlung) mittels einer IR-Kamera in ein visuelles Temperaturbild (Thermo-

gramm) umwandelt. Die Thermografie kann dabei in passive Thermografie und aktive Ther-

mografie eingeteilt werden. Bei der passiven Thermografie wird die Temperaturverteilung

eines Objekts zeit- und ortsaufgelöst gemessen, ohne dieses mit einer externen Wärmequelle

zu erwärmen. So werden z.B. die Wärmedämmung eines Hauses [18] oder elektrische Anla-

gen [19] untersucht. Bei der aktiven Thermografie wird das zu untersuchende Objekt aktiv

mit einer beliebigen Wärmequelle (z. B. mit einem Blitz, Laser, Induktion, mechanischen

Schwingungen oder Heißluft) erwärmt und die Temperaturverteilung des Objekts zeit- und

ortsaufgelöst gemessen. Durch die aktive Erwärmung stellt sich im Material ein Wärmefluss

ein, auf welchen durch die Messung der Wärmestrahlung schließen lässt [20].

Die aktive und passive Thermografie konnte sich in der Industrie etablieren, dies zeigt auch

die Entwicklung verschiedener Richtlinien, Normen und Standards für die Thermografie (sie-

he Tabelle 2.1). Abbildung 2.2 zeigt, nach welchen Kriterien die Richtlinien, Normen und

Standards eingeteilt werden können. Die Nummerierung kennzeichnet die entsprechenden

Richtlinien, Normen und Standards in Tabelle 2.1, welche dabei in Art der Wärmequelle

(z.B. Blitz, Laser oder induktiv), Art der zeitlichen Anregung (z.B. impulsförmig oder mo-

duliert), Art des Prüfproblems (aktiv: z.B. Detektion von Fehlstellen oder Bestimmung der

Materialeigenschaften, passiv: z.B. Prüfung von elektrischen Anlagen oder von Gebäudeau-

ßenhüllen) oder der Kalibrierung der IR-Kameras eingeordnet werden.

Wärmequelle Detektion

induktiv

Blitz Laser

aktiv

passiv

ITS-90

zeitlich

Anregung

räumlich

15 16

Prüfproblem

Abbildung 2.2: Schematische Einordnung der Richtlinien, Normen und Standards für die

Thermografie nach [21]. Die Nummerierung entspricht der entsprechenden Norm in Tabelle

2.1.

Die aktive Thermografie wird vor allem für die Detektion von Fehlstellen [37, 38], zur Be-

stimmung der thermischen Materialeigenschaften [39–41] oder zur Schichtdickenbestimmung

[37, 42] eingesetzt. Für eine erfolgreiche Detektion eines Defekts in einem Prüfkörper muss

zum einen der Defekt unterschiedliche thermische Eigenschaften zum Grundmaterial (dem

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

Tabelle 2.1: Aktueller Stand der Richtlinien, Normen und Standards in der Thermografie

(nach [21]). Die Nummern sind in Abbildung 2.2 zu finden. *Bundesverband für Angewandte

Thermografie (VATh)

Nr. Standard Inhalt Status

1 DIN EN

16714

Zerstörungsfreie Prüfung – Qualifizierung und Zertifizierung

von Personal für die thermografische Prüfung – Allgemeine

und spezielle Grundlagen für Stufe 1, 2 und 3 [20,22,23]

Veröff.

11/2016

2 ISO

10878

Zerstörungsfreie Prüfung – Infrarotthermografie – Termino-

logie [24]

Veröff.

10/2013

3 ISO

10880

Zerstörungsfreie Prüfung – Infrarotthermografische Prüfung

– Allgemeine Grundlagen [25]

Veröff.

02/2017

4 ISO

18251

Zerstörungsfreie Prüfung - Infrarotthermografische Prüfung –

System und Prüfausrüstung – Beschreibung der technischen

Eigenschaften [26]

Veröff.

02/2017

5 DIN EN

17119

Zerstörungsfreie Prüfung – Thermografische Prüfung - Aktive

Thermografie: Überarbeitung [27]

Veröff.

10/2018

6 DIN

54184

Zerstörungsfreie Prüfung – Impulsthermografie mit optischer

Anregung [5]

Veröff.

10/2017

7 DIN

54183

Zerstörungsfreie Prüfung – Induktiv angeregte Thermografie

[28]

Veröff.

02/2018

8 DIN EN

54185

Zerstörungsfreie Prüfung – Lockin-Thermografie mit opti-

scher Anregung [29]

Entwurf

10/2018

9 DIN EN

17501

Zerstörungsfreie Prüfung – Laserthermografie [30] Entwurf

05/2020

10 DIN

54191

Thermografische Prüfung elektrischer Anlagen [19] Veröff.

10/2017

11 DIN

19277

Zustandsüberwachung und -diagnostik von Maschinen –

Thermografie – Allgemeine Methoden [31]

Veröff.

10/2017

12 VATh* Richtlinie zur Bauthermografie [32] Veröff.

06/2016

13 VATh* Richtlinie zur Elektrothermografie, Hochspannung [33] Veröff.

02/2016

14 VATh* Richtlinie zur Elektrothermografie, Niederspannung [34] Veröff.

09/2018

15 VDI/VDE

5585

Blatt 1

Messtechnische Charakterisierung von Thermografiekameras

für die technische Temperaturmessung [35]

Veröff.

03/2018

16 VDI/VDE

5585

Blatt 2

Technische Temperaturmessung - Temperaturmessung mit

Thermografiekameras - Kalibrierung [36]

Entwurf

2020

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

Prüfkörper) aufweisen und zum anderen sollte die Orientierung des Defekts im Körper ortho-

gonal zum Wärmefluss, welcher durch die aktive Erwärmung der Anregungsquelle entsteht,

ausgerichtet sein. Abbildung 2.3 zeigt verschiedene mögliche Fehlstellen in einem Körper,

welche mit der aktiven Thermografie detektiert werden können [37].

Delamination

interne Risse

Oberflächenrisse

interne Einschlüsse

Schichtdicken-

variation

Abbildung 2.3: Typische Fehlstellen in einem Körper, welche mit der aktiven Thermografie

detektiert werden können.

Risse in Stahl oder Delaminationen in GFK weisen starke unterschiedliche thermische Ei-

genschaften zum Grundmaterial auf und können daher gut detektiert werden. Senkrecht zur

Oberfläche liegende Fehlstellen wie z.B. Oberflächenrisse können mit der Laserthermogra-

fie über die Flying-Spot-Methode [16,43] oder mit der Induktionsthermografie [44] detektiert

werden. Für parallel zur Oberfläche liegende Fehlstellen wird die Lockin-Thermografie [29,45]

oder die Impulsthermografie [5] angewendet.

Die Arbeiten von Maierhofer et al. [2,3] zeigen, dass die Impulsthermografie zur Charakte-

risierung von Fehlstellen in Faserverbundwerkstoffen sehr gut geeignet ist. In Faserverbund-

werkstoffen können aufgrund der laminaren Struktur sowohl in der Fertigung als auch bei zu

hohen Belastungen in der Nutzung parallel zu den Einzellagen verlaufende Ablösungen bzw.

Delaminationen auftreten. Doch bei PT-Experimenten an Verbundwerkstoffen wie z.B. GFK,

welche im Wellenlängenbereich der Anregungsquelle oder der IR-Kamera teiltransparent sein

können, muss nach der aktuellen Norm [5] die Oberfläche des Prüfkörpers schwarz beschichtet

werden, da die quantitative Auswertung der PT-Messdaten auf opaken Modellen basiert.

Im folgenden Abschnitt wird die Impulsthermografie an opaken Materialien vorgestellt und

erläutert, welche Herausforderungen bei thermografischen Messungen an teiltransparenten

Materialien entstehen.

2.2.1 Impulsthermografie

Die Impulsthermografie ist durch eine impulsartige Zeitfunktion der Wärmequelle (oder An-

regungsquelle) definiert. Die Energie wird durch einen impulsartigen Vorgang der Dauer τ

im Prüfobjekt eingebracht. Die Dauer des Impulses ist dabei so kurz, dass die für die Prü-

fung nötigen Diffusionsvorgänge erst nach Ende der Anregung zu Bildkontrasten führen [19].

Als Anregungsquellen werden in der Regel Blitzlampen oder Laser eingesetzt, welche wenn

möglich die komplette Oberfläche des Prüfbereiches beleuchten. Durch die kurzzeitige Erwär-

mung der Prüfobjektoberfläche, erfolgt eine Wärmediffusion in das Innere des Prüfobjektes

hinein. Die Wärmeausbreitung findet dabei im Wesentlichen senkrecht zur Oberfläche statt

und kann durch Fehlstellen verlangsamt oder beschleunigt werden. Somit lassen sich am bes-

ten Fehlstellen nachweisen, welche parallel zur Oberfläche orientiert sind (z.B. Einschlüsse,

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

laterale Risse, Delamination, Poren oder variierende Materialschichtdicken). Die IR-Kamera

beobachtet während des Versuches das Prüfobjekt oder den ausgewählten Prüfbereich. Wenn

die IR-Kamera und die Wärmequelle auf der gleichen Seite positioniert sind, wird dies als

Reflexionskonfiguration (R-Konfiguration) bezeichnet (siehe Abbildung 2.4 (a)). Die Trans-

missionskonfiguration (T-Konfiguration) beschreibt die Konfiguration, wenn die Probe zwi-

schen der Anregungsquelle und der IR-Kamera positioniert ist (siehe Abbildung 2.4 (b)).

Reflexionskonfiguration Transmissionskonfiguration

IR-Kamera

Anregunsquelle

(a) (b)

Fehlstelle

Abbildung 2.4: (a) R-Konfiguration, die Anregungsquelle und die IR-Kamera sind auf dersel-

ben Seite positioniert. (b) T-Konfiguration, die Probe ist zwischen Anregungsquelle und der

IR-Kamera positioniert.

Abbildung 2.5 (a) und (b) zeigt die Temperaturerhöhungen an der Vorderseite (in R-Konfigu-

ration, doppelt logarithmische Achsenskalierung) und an der Rückseite (in T-Konfiguration)

für ein opaken Probekörper mit der Schichtdicke Lund einer Dirac-Puls-förmigen Anregung,

wie sie z.B. mit einer Blitzlampe realisiert werden kann. Die Temperaturerhöhung wurde

mit einem 1D-Modell berechnet (vergleiche auch Kapitel 4.4). Die komplette Energie der

Anregungsquelle wird bei z= 0 absorbiert. Bei t<0befindet sich der Körper im thermi-

schen Gleichgewicht mit der Umgebungstemperatur TU(T(t≤0,z) = TU). Somit werden

die Temperaturerhöhungen ∆T(t,z) = T(t,z)−TUdurch das PT-Experiment verursacht.

Die durchgezogene Linie entspricht der Oberflächentemperatur im Bereich ohne Fehlstelle

(Position A und C), die gestrichelte Linie im Bereich mit Fehlstelle (Position B und D). Die

Fehlstelle, z.B. eine Delamination, ist hier durch einen thermischen Übergangswiderstand mit

R= 0,01 Km2W−1in einer Tiefe von L1=1mm modelliert worden, welche die Wärmediffu-

sion im Inneren des Körpers verlangsamt.

Die gestrichelte Linie zeigt die Temperaturentwicklung für ein halbunendlichen Körper (L=

∞) bei z= 0. Nach Calsaw et al. [12] gilt

∆T(t,z) = 1

√t

Q0√D

k√πexp −z2

4Dt !(2.14)

mit der Ortskoordinate z, der thermischen Diffusivität D, der Wärmeleitfähigkeit k, der Ener-

gie pro Fläche Q0und der Zeit t. Der zeitliche Verlauf der Temperaturerhörung für z= 0,

Temperatur an der Oberfläche, ist proportional zu 1/√tund somit unabhängig von den

Materialeigenschaften. In der doppelt logarithmischen Achsenskalierung entspricht dies einer

Steigung von m=−0,5.

Im Vergleich zu einem endlichen Körper, wird der Temperaturverlauf von dem 1/√tVer-

halten nach einer gewissen Zeit abweichen, welches eine Funktion der Materialeigenschaften

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

0 50 100 150 200

Zeit /s

-0.5

0.5

1.5

2.5

Thermischer Kontrast /K

0 50 100 150 200

Zeit /s

0.5

1.5

Temperaturdifferenz /K

Zeit /s

L= 5 mm

L= 5 mm, Fehl.

L=∞

T(0,t)~1/p(t)

(a) (b)

(c)

m=−0,5

Reflexion

Transmission

Reflexion Transmission

L= 5 mm

L= 5 mm, Fehl.

110 100

0,1

Abbildung 2.5: Verlauf der Temperaturerhöhung an der Vorderseite (a) und an der Rückseite

(b) einer 5mm dicken Probe, welche sich bei einem PT-Experiment einstellt. Die durchgezo-

gene Line entspricht der Oberflächentemperatur im Bereich ohne Fehlstelle (Position A und

C in Abbildung 2.4), die gestrichelte Linie im Bereich mit Fehlstelle (Position B und D in Ab-

bildung 2.4). Die Temperaturdifferenzen wurden mit einem 1D-Modell berechnet (vergleiche

Kapitel 4.4). Die Strich-Punkt-Linie zeigt die Temperaturerhöhung für einen halbunendli-

chen Körper, nach Gleichung 2.14. Die Materialparameter sind in Tabelle 4.14 aufgelistet mit

L1=1mm und R= 0,01 Km2W−1. (c) zeigt den thermischen Kontrast.

und der Probendicke ist. Bei adiabatischen Randbedingungen (keine thermischen Verluste)

wird sich eine konstante Temperatur einstellen. Diese konstante Temperatur lässt sich in T-

Konfiguration sehr gut bestimmen. Aufgrund der Wärmediffusion von der Vorderseite bis zur

Rückseite erfolgt ein langsamer Temperaturanstieg an der Rückseite des Materials. Abbildung

2.5 (c) zeigt den thermischen Kontrast, welcher die Differenz zwischen der Temperaturdiffe-

renz im ungestörten Bereich und im Bereich einer Fehlstelle beschreibt. Dieser ist von der Art

der Fehlstelle, der Tiefe der Fehlstelle, der Abweichung der thermischen Eigenschaften der

Fehlstelle gegenüber dem umgebenden Material, der Energie und Dauer der Anregungsquelle

und der Nachweisempfindlichkeit der IR-Kamera abhängig. In Kapitel 4.3 und 4.4 werden die

Gleichungen und Randbedingungen zur Berechnung der Temperaturverläufe genauer unter-

sucht und beschrieben.

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

2.2.2 Thermografie an teiltransparenten Materialien

In der Thermografie werden optische Anregungsquellen zur Erwärmung eines Messobjekts

eingesetzt, die Temperaturmessung erfolgt dabei mit einer IR-Kamera, welche die Wärme-

strahlung eines Messobjekts misst. Bei teiltransparenten Materialien erfolgt die Absorption

der Strahlung nicht nur an der Oberfläche (wie bei opakem Material), sondern auch im Vo-

lumen, und die empfangene Wärmestrahlung vom Messobjekt resultiert nicht nur von der

Messobjektoberfläche (wie bei einem opaken Material), sondern zusätzlich aus dem Volumen.

Dadurch stellen teiltransparente Materialien eine große Herausforderung für die Thermogra-

fie dar. Nach der Norm [5] sollen für PT-Messungen an teiltransparenten Materialien die

Objektoberflächen schwarz beschichtet werden. Durch die Beschichtung verhalten sich teil-

transparente Materialien wie opake Materialien.

Absorption in teiltransparenten Materialien

Trifft elektromagnetische Strahlung auf einen Körper, so wird diese vom Körper reflektiert,

absorbiert oder durchgelassen. Definiert wird dies durch den Reflexionsgrad ˜r, den Absorp-

tionsgrad ˜aund den Transmissionsgrad ˜τ[13]. Es gilt für gerichtete spektrale Größen:

˜rλ(λ,T,ϕ,γ) + ˜aλ(λ,T,ϕ,γ) + ˜τλ(λ,T,ϕ,γ)=1.(2.15)

Im Gegensatz zu opaken Materialien absorbieren teiltransparente Materialien Strahlung nicht

nur an der Oberfläche, sondern auch im Volumen. Abbildung 2.6 zeigt einen Lichtstrahl durch

ein teiltransparentes Material. Trifft elektromagnetische Strahlung auf eine Grenzfläche zwei-

er teiltransparenter Stoffe mit unterschiedlichen optischen Eigenschaften, ändert dieser seine

Richtung. Dabei wird ein Teil der Strahlung an der Grenzfläche reflektiert. Die Änderung der

Richtung ist durch das Snelliussches Brechungsgesetz definiert.

Brechung

Streuung

Absorption

Transmission

Reflexion Diffuse Reflexion

Streuung

Absorption

Reflexion

Mehrfachreflexion

(a) (b) (c)

hRa

Abbildung 2.6: (a) Ein Lichtstahl durch ein teiltransparentes Material. Dabei kann der Licht-

strahl im Volumen absorbiert oder gestreut werden. (b) Mehrfachreflexion an den Grenzflä-

chen. (c) Optisch raue Grenzfläche, die Strahlung wird an der Grenzfläche diffus reflektiert

und transmittiert.

An Grenzflächen wird ein Teil der Strahlung reflektiert. Die Art der Reflexion (gerichtet

oder diffus) ist von der Grenzflächenrauigkeit, der Wellenlänge der Strahlung und dem Ein-

fallswinkel der Strahlung orientiert zur Grenzfläche abhängig. Dabei wird zwischen optisch

glatten (Abbildung 2.6 (a) und (b)) und optisch rauen (Abbildung 2.6 (c)) Grenzflächen

unterschieden. Die Strahlung wird an einer rauen Grenzfläche diffus reflektiert und diffus

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

transmittiert (gestreut). Darüber hinaus erfolgt durch die Streuung eine erhöhte Absorption

an der Grenzfläche. Eine optisch glatte Oberfläche ist nach dem Rayleigh-Kriterium gege-

ben [46–48], wenn

hRa <λ

8 sin(γ)(2.16)

gilt, mit der Oberflächenrauigkeit ˜

hRa, dem Einfallswinkel γ(bezogen auf die Grenzflächen-

normale) und der Wellenlänge λder elektromagnetischen Strahlung.

Für ein homogenes, nicht streuendes Material erfolgt die Absorption nach dem Lambert-

Beer’schen Gesetz [49]. Die Strahlung mit der Bestrahlungsstärke E0(λ)nimmt mit der Tiefe

zexponentiell ab. Für einen orthogonal zur Oberfläche einfallenden Lichtstahl in einem halb-

unendlichen Körper gilt:

Ez(λ) = E0(λ)(1 −˜r(λ))e−α(λ)z.(2.17)

Für sehr stark reflektierende und nicht streuende teiltransparente Materialien sollte die Mehr-

fachreflexion im Material mit

Ez(λ) = E0(λ)(1 −˜r(λ))(e−α(λ)z+ ˜r(λ)e2α(λ)Leα(λ)z)

1−˜r(λ)2e2α(λ)L(2.18)

berücksichtigt werden [40,41] (vergleiche Abbildung 2.6 (b)). Die Absorption wird durch den

Absorptionskoeffizienten α(λ)in m−1bestimmt, welcher für ein nicht streuendes Material

aus dem Reflexionsgrad, dem Transmissionsgrad und der Materialdicke Lberechnet werden

kann:

˜τ(λ) = (1 −˜r(λ))e−α(λ)L→α(λ) = −

log ˜τ(λ)

1−˜r(λ)

L.(2.19)

Diese Gleichung berücksichtigt nur die Reflexion an der Vorderseite. Für stark reflektierende

und sehr transparente Materialien muss mit Gleichung 2.18 der Absorptionskoeffizient itera-

tiv bestimmt werden. Für leicht streuende Materialien, wie z.B. Polyetheretherketon (PEEK)

oder farbige Pappe, wird der Absorptionskoeffizient als effektiver Wert betrachtet, welcher

die Absorption und die Streuung zusammen fasst [6–8,50]. Für stark streuende teiltranspa-

rente Materialien, z.B. menschliches Gewebe, nimmt die Abnahme die Bestrahlungsstärke im

Material nicht exponentiell ab. Modelle für stark streuende Materialien sind in [51–54] zu

finden.

Der absorbierte Strahlungsanteil erhöht die Temperatur des Materials. Die Umrechnung der

absorbierten Bestrahlungsstärke, welche in der Tiefe zdes Materials eine Wärmequelle dar-

stellt, erfolgt durch die Ableitung der Bestrahlungsstärke Enach z[55]:

g(t,z) = −dE(z,t)

dz .(2.20)

Ob ein Material als opak oder teiltransparent betrachtet wird, hängt von der Materialdicke

und der Wellenlänge bzw. dem Absorptionskoeffizienten ab. Z.B. kann eine 1nm dicke Kupfer-

schicht teiltransparent und eine 1km dicke Glasscheibe opak sein. Fuente et al. [8] betrachtet

die Multiplikation des Absorptionskoeffizienten mit der Materialdicke αLund teilt so ein

Material in transparent (αL<0,8), teiltransparent (0,8< αL<30) oder opak (αL>30)

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

ein, siehe Abbildung 2.7. Bei transparenten Materialien wird der größte Teil der Strahlung

transmittiert.

transparent

αL= 0,8

teiltransparent

opak

αL= 30

αL= 10

101102103104105106

10−1

100

101

L/ mm

α/m−1

Abbildung 2.7: Nach Fuente et al. [8] kann

ein Material in transparent, teiltransparent

und opak eingeteilt werden. Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Custo-

mer Service Centre GmbH: Springer Nature

International Journal of Thermophysics [8]

©(2014).

Temperaturmessung an teiltransparenten Materialien

Die Temperaturmessung in der Thermografie erfolgt mit IR-Kameras. Diese fungieren als

Wandler, welche elektromagnetische Strahlung in elektrische Signale umwandeln. Diese wer-

den wiederum mit Hilfe von Kalibrierkurven in Temperaturen umgerechnet [36] (siehe Ab-

bildung 2.8 (a) und Kapitel 5.1.2). Eine IR-Kamera ist immer in einem definierten Wellen-

längenbereich sensitiv. Eingeteilt werden IR-Kameras in drei Wellenlängenbereiche [20]:

•nahes Infrarot (SWIR: 0,8µm - 2µm )

•mittelwelliges Infrarot (MWIR: 2µm - 5,5µm )

•langwelliges Infrarot (LWIR: 8µm - 14 µm)

Dabei ist die genaue spektrale Empfindlichkeit einer IR-Kamera meist nicht bekannt. Oft

wurde die spektrale Empfindlichkeit des Detektors vermessen, nicht jedoch die des Gesamt-

systems mit den verwendeten Optiken. Der Grund dafür ist, dass die Kalibrierung und Justage

einer IR-Kamera für jedes Objektiv und jede Filterkombination (falls erforderlich) an opaken

Materialien (i.d.R. an einem Schwarzkörperstrahler) erfolgt. Sind diese Kalibrierkurven vor-

handen, so ist für die Temperaturmessung mittels IR-Kamera die spektrale Empfindlichkeit

nicht zwingend relevant (siehe Kapitel 5.1.2). Bei Materialien, die im Wellenlängenbereich

einer IR-Kamera teiltransparent sind, wird die spektrale Empfindlichkeit einer IR-Kamera

jedoch für die mathematische Modellierung wie nachfolgend beschrieben benötigt.

Bei einem opaken Material ist das gemessene Ausgangssignal Sout einer IR-Kamera propor-

tional zur spezifischen Ausstrahlung der Oberflächentemperatur bei z= 0:

Sout,opak(TOberfläche)~Zλ

Mλ(T(z= 0),λ)dλ(2.21)

Für ein Prüfobjekt, das im Wellenlängenbereich einer IR-Kamera teiltransparent ist, emp-

fängt die IR-Kamera nicht nur Strahlung von der Oberfläche, sondern auch zusätzlich aus

dem Volumen. Wenn das Prüfobjekt im Inneren Temperaturdifferenzen aufweist, dann muss

2.2 Aktive Thermografie in der zerstörungsfreien Prüfung

die spektrale Empfindlichkeit der IR-Kamera b

Sberücksichtigt werden, da die spektrale Aus-

strahlung eine Funktion der Temperatur und der Wellenlänge ist (siehe Kapitel 2.1.1). Das

Ausgangssignal einer IR-Kamera für ein teiltransparentes Material ist wie folgt proportio-

nal:

Sout,teiltrans(TVolumen)~ZλZzb

S(λ)ε(λ,T)Mλ(T(z),λ)Fβ(z,λ)dzdλ(2.22)

Dabei beschreibt Fβ(z,λ)eine Gewichtungsfunktion, welche die Teiltransparenz des Prüfob-

jektes im Wellenlängenbereich einer IR-Kamera definiert, z.B. nach dem Lambert-Beer’schen

Gesetz.

Abbildung 2.8 (b) zeigt bildhaft einen Teil der Gleichung 2.22, wobei Fβ(z,λ)und ε(λ,T)

nicht dargestellt sind. Ein Prüfobjekt mit der Temperaturverteilung T(z)besteht aus einem

Material, welches teiltransparent im Wellenlängenbereich der IR-Kamera ist (siehe Abbildung

2.8 (b) unten rechts). Beispielhaft sind für zwei verschiedene Temperaturen T1und T2die

spektralen spezifischen Ausstrahlungen, welche für beide Temperaturen unterschiedlich sind

(siehe Abbildung 2.8 (b) oben rechts), und die spektrale Empfindlichkeit der IR-Kamera dar-

gestellt (siehe Abbildung 2.8 (b) oben links). Das Ausgangssignal einer IR-Kamera setzt sich

aus verschiedenen Strahlungsanteilen des teiltransparenten Materials, abhängig von T(z),

zusammen. Über die Kalibrierkurve wird das Ausgangssignal in eine Temperatur umgerech-

net. Da aber die IR-Kamera Strahlung aus dem Volumen empfängt, wird nur eine scheinbare

Temperatur ˇ

Tgemessen.

spektrale spezifische

Mλ(λ,T2)

Mλ(λ,T1)

spektrale Empfindlichkeit

Wellenlänge

IR-Kamera

Objekt

Tiefe

Wellenlänge

T(z)

Sout

S(λ)

der IR-Kamera

(b)

Ausstrahlung

(a)

Sout

Temperatur

Ausgangssignal

der IR-Kamera

Mλ(λ,T2)Mλ(λ,T2)

Abbildung 2.8: (a) Die Umrechnung des Ausgangssignals in eine Temperatur erfolgt mit

einer Kalibrierkurve. Für einen teiltransparenten Körper wird nur eine scheinbare Temperatur

gemessen. (b) Eine IR-Kamera empfängt bei teiltransparenten Körpern Strahlung aus dem

Volumen. Diese Abbildung veranschaulicht Gleichung 2.22.

Für die mathematische Modellierung von PT-Experimenten an teiltransparenten Prüfkörpern

wird bisher die IR-Kamera (Gleichung 2.22) vereinfacht modelliert (siehe Kapitel 2.3). Dabei

wird angenommen, dass die IR-Kamera eine konstante spektrale Empfindlichkeit aufweist

(dies ist nicht der Fall, siehe Kapitel 5.2), dass der Emissionsgrad konstant ist, dass die

spektrale Ausstrahlung M(T+∆T)proportional zur Temperatur T+∆Tist (näherungsweise

gilt dies nur für sehr kleine Temperaturdifferenzen mit ∆TT[56, 57]) und dass die

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

Gewichtungsfunktion bzw. die Teiltransparenz unabhängig von der Wellenlänge ist. So kann

mit Gleichung 2.22 direkt die scheinbare Temperatur nach [56] berechnet werden:

Tβ(t) = KZz

T(t,z)βexp(−zβ)dz.(2.23)

Die Vereinfachungen werden in einer Konstante Kzusammengefasst. Für die Modellierung

der IR-Kamera muss somit nur noch der Absorptionskoeffizient im Wellenlängenbereich der

IR-Kamera βund das Temperaturfeld bekannt sein.

Für eine vollständige Modellierung der IR-Kamera muss die spektralen Empfindlichkeit be-

kannt sein. Auf dem Markt sind Prüfstände zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit

einer IR-Kamera erhältlich [58], welche jedoch mit hohen Kosten verbunden sind. In die-

ser Arbeit wird gezeigt, wie die spektrale Empfindlichkeit einer IR-Kamera kostengünstig

experimentell bestimmt werden kann, siehe Kapitel 5.2.

2.3 Stand der Technik zur quantitativen Charakterisierung

von teiltransparenten Materialien

Im folgenden Abschnitt wird der aktuelle Kenntnisstand zur quantitativen Charakterisie-

rung von teiltransparenten Materialien mittels der Impulsthermografie erläutert. Die Cha-

rakterisierung bezieht sich zum einen auf die Bestimmung der thermischen und optischen

Eigenschaften, zum anderen auf die Bestimmung der Materialschichtdicken.

2.3.1 Quantifizierung der thermischen und optischen

Materialeigenschaften

Bei einem PT-Experiment mit optischer Anregungsquelle wird die Wärmeausbreitung in opa-

ken Materialien nur durch die thermischen Eigenschaften bestimmt (Diffusivität und Wärme-

leitfähigkeit, vergleiche Gleichung 2.14). Bei teiltransparenten Materialien müssen zusätzlich

auch noch die optischen Eigenschaften berücksichtigt werden. Mittels PT-Experimenten kön-

nen diese Eigenschaften bestimmt werden.

Als Standardmethode zur Bestimmung der Diffusivität mittels der aktiven Thermografie hat

sich die Flash-Methode bzw. Parker-Methode [39] für opake Materialien durchgesetzt. Die

Vorderseite einer Probe, mit der Schichtdicke L, wird mit einer Lichtquelle kurzzeitig er-

wärmt. Als Anregungsquelle werden Laser oder Blitzlampen verwendet. In T-Konfiguration

wird die Oberflächentemperatur der Rückseite gemessen. Anhand des zeitlichen Temperatur-

verlaufes kann die Diffusivität über die folgende Gleichung bestimmt werden:

D=1,38L2

π2t1/2

.(2.24)

Die Diffusivität ergibt sich aus der Probendicke Lund dem Zeitpunkt t1/2, welcher den

Zeitpunkt beschreibt, bei der die Rückseite die Hälfte der maximalen Temperaturerhöhung

2.3 Stand der Technik zur quantitativen Charakterisierung von teiltransparenten

Materialien

erreicht hat (siehe Abbildung 2.9).

t1/225 50 75 100

Zeit /s

0.2

0.4

0.6

0.8

T/max(T)

Abbildung 2.9: Normierter Temperatur-

verlauf (vergleiche Abbildung 2.5 (b)) zur

Bestimmung der Diffusivität mittels der

Flash-Methode nach Parker et al. [39]. Bei

T/max(T) = 0,5 beträgt t1/2= 17,37 s.

Mit Gleichung 2.24 beträgt hier die ther-

mische Diffusivität D= 2,012·10−7m2s−1

(berechnet wurde die Temperaturdifferenz

mit D= 2 ·10−7m2s−1)

Vernachlässigt werden dabei die thermischen Verluste durch Konvektion und Strahlung an

den Oberflächen des Prüfkörpers und die impulsartige Zeitfunktion der Anregungsquelle, die

von einem idealen Dirac-Impuls abweicht. Die Genauigkeit dieser Methode beträgt ±10 % und

eignet sich bei Materialien mit hohen thermischen Diffusivitäten wie z.B. Aluminium, Kupfer

oder Stahl. Eine Erweiterung der Flash-Methode liefern Clark et. al [59] (Berücksichtigung

der thermischen Verluste) und Tischler et. al [60] (Berücksichtigung der Teiltransparenz des

Prüfkörpers im Wellenlängenbereich der Anregungsquelle). Diese Erweiterungen vernachläs-

sigen weiterhin, dass die Anregungsquelle nicht einem idealen Dirac-Impuls entspricht.

Die Arbeitsgruppe um Salazar et al. [6–8,40,41] erweiterte die Flash-Methode für verschiedene

Randbedingungen zur gleichzeitigen Bestimmung der Diffusivität und der Absorptionskoeffi-

zienten eines Materials im Wellenlängenbereich der IR-Kamera und der Anregungsquelle. Mit-

tels eines semi-analytischen 1D-Modells kann die Temperaturverteilung in R-Konfiguration

oder in T-Konfiguration berechnet werden. Die Modelle beschreiben ein homogenes, teiltrans-

parentes und nicht streuendes Material. Berücksichtigt werden im Modell das Anregungsprofil

der Anregungsquelle (50W Laser) als Rechteckprofil, die Mehrfachreflexion des Laserstrahls

an den Oberflächen der Probe, die thermischen Verluste durch Konvektion und Strahlung

(linear betrachtet) und die Transparenz der Probe im Wellenlängenbereich der IR-Kamera

und der Anregungsquelle. Die Transparenz im Wellenlängenbereich der IR-Kamera und der

Anregungsquelle werden nach dem Lambert-Beer’schen Gesetz berücksichtigt. Dabei wird für

die Modellierung der IR-Kamera das Temperaturfeld und nicht das Strahlungsfeld modelliert

(vergleiche Gleichung 2.23). Die analytischen Modelle werden mit einem Rekonstruktionsal-

gorithmus gekoppelt, um so die Diffusivität und den Absorptionskoeffizienten im Wellenlän-

genbereich des Lasers und der IR-Kamera zu bestimmen. Die Abweichungen betragen weniger

als 6 %.

Prahl et al. [51] entwickelt ein mathematisches Modell zur Berechnung des IR-Signales der

IR-Kamera für eine PT-Messung an einem streuenden Material im Wellenlängenbereich der

Laseranregung. Das Team um Majaron et al. [50, 61–66] erweiterten dies mathematische

Modell und entwickelten einen Rekonstruktionalgorithmus zur numerischen Berechnung der

Strahlungsabnahme bzw. Absorption eines Laserstrahls für menschliches Gewebe mittels PT-

Messungen. Die IR-Kamera wird auch hier mit Gleichung 2.23 berücksichtigt.

2 Kenntnisstand und Ausgangssituation

Die Literatur zeigt, dass für die Rekonstruktion von PT-Messdaten angenommen wird, dass

die Temperaturerhörung ∆Tsehr viel kleiner als Tist. So kann die Modellierung der IR-

Kamera nach Gleichung 2.23 erfolgen, da angenommen wird, dass die spezifische Ausstrahlung

proportional zur Temperatur ist. Dabei wurde noch nicht untersucht, welche Modellparameter

bei der Rekonstruktion von PT-Messdaten beeinflusst werden, wenn ∆TTnicht mehr

zutrifft.

2.3.2 Quantifizierung von Fehlstellen und Materialschichtdicken

Die PT eignet sich hervorragend für die Detektion von oberflächennahen Fehlstellen (verglei-

che Kapitel 2.2.1). Der thermische Kontrast wird vor allem durch die laterale Fehlstellengrö-

ße und die thermischen Eigenschaften der Fehlstelle dominiert. Das Verhältnis zwischen der

Breite zur Tiefe der Fehlstelle wird als Aspektverhältnis (AR) bezeichnet [5]. Eine grobe Dau-

menregel besagt, dass ein AR>1 vorliegen sollte, damit die Fehlstelle noch detektiert werden

kann [5,67,68]. Der thermische Kontrast an der Oberfläche nimmt bei einer festen Fehlstellen-

überdeckung mit abnehmender Fehlstellengröße aufgrund von lateraler Wärmeleitung ab. Für

die quantitative Bestimmung der Fehlstellentiefe mit einem 1D-Modell muss nach Beemer et

al. [67] ein AR>9 vorliegen, damit die Wärmeausbreitung oberhalb der Fehlstelle eindimen-

sional betrachtet werden kann. Bei kleineren AR sollte die Auswertung der experimentellen

PT-Messdaten mit einem 2D- oder 3D-Modell erfolgen. Für opake Materialien gibt es analy-

tische und numerische Modelle, welche zur Quantifizierung der Geoemetrie von Fehlstellen,

wie z.B. Delaminationen in CFK (opakes Material), verwendet werden [37,69–73].

Die verschiedenen Methoden zur Quantifizierung der Fehlstellentiefe in opaken Probekörpern

basieren auf 1D-Modellen für opake Materialien. Die bekanntesten Methoden zur quantitati-

ven Tiefenbestimmung von Defekten sind die Thermal Signal Reconstruction (TSR) [74–76],

und die Puls-Phasen-Thermografie (PPT) [38,77]. Mit beiden Methoden können Temperatur-

differenzen, welche in R-Konfiguration bestimmt wurden, ausgewertet werden, um die Über-

deckung einer Fehlstelle zu quantifizieren. Bei der TSR Methode wird ein Polynom niedriger

Ordnung an die Messdaten in doppeltlogarithmischer Darstellung gefittet. Aus den Maxima

der zweiten Ableitung des Polynoms kann der Zeitpunkt des Abknickens (Abweichung des

Temperaturverlaufs von dem 1/√tVerhalten, vergleiche Abbildung 2.5) der ursprünglichen

Funktion bestimmt werden, aus welchem sich die Fehlstellentiefe berechnen lässt. Bei der PPT

werden die Messdaten mittels der Fourier-Transformation im Frequenzbereich ausgewertet.

Dafür werden Amplituden- und Phasenbilder für verschiedene Frequenzen dargestellt. Mit

den Phasenkontrasten können die Tiefen der Fehlstellen bestimmt werden. Da diese Metho-

den auf Modellen basieren, welche die Teiltransparenz eines Materials nicht berücksichtigen,

können nur Messdaten von PT-Experimenten an opaken Materialen ausgewertet werden (wie

auch Moskovchenko et. al [78] zeigen).

Die quantitative Bestimmung der Fehlstellentiefe in teiltransparenten Materialien mittels PT

ist bisher noch eine große Herausforderung. Wie bereits in [5] erwähnt, müssen teiltranspa-

rente Materialien bei PT-Experimenten schwarz beschichtet sein. Somit gibt es bisher noch

2.3 Stand der Technik zur quantitativen Charakterisierung von teiltransparenten

Materialien

keine Auswertungsmethoden zur quantitativen Bestimmung der Fehlstellentiefe in teiltrans-

parenten Materialien, wie z.B. Delaminationen in GFK.

Die Quantifizierung von semitransparenten Schichtdicken untersuchte Altenburg et al. [79,80],

dabei wurde mittels PT die Schichtdicke von teiltransparenten Polymerbeschichtungen auf

Beton bestimmt. Die Schichtdicken betrugen 0,5mm-2,5 mm. Ein analytisches Modell zur

Beschreibung der Wärmeausbreitung für ein 2-Schichtsystem (Polymer-Beton) wurde ent-

wickelt, welches sich an dem Modell von Salazar et al. [6] orientiert. Die Polymerbeschich-

tung ist teiltransparent im Wellenlängenbereich der Anregungsquelle. Die Schichtdicke der

Polymerbeschichtung konnte mit dem mathematischen Modell und experimentellen Daten

rekonstruiert werden. Das Verfahren beruht auf der Least Square Fitting (LSF)-Methode

nach Sun et al. [81]. Simulierte Temperaturverläufe werden an thermografische Messdaten

gefittet, wobei ein oder mehrere Fitparameter definiert werden. Die Fitparameter werden im

mathematischen Modell variiert, bis die simulierten Temperaturverläufe mit experimentellen

Messdaten übereinstimmen. Altenburg definiert dabei die Schichtdicke der Polymerbeschich-

tung als Fitparameter, er konnte diese mit einer Genauigkeit <3% bestimmen.

3 Ziel der Arbeit

Die zerstörungsfreie quantitative Charakterisierung von Fehlstellen und Defekten mit ak-

tiven Thermografieverfahren und mathematischen Modellen ist bisher nur für Materialien

möglich, die über das gesamte elektromagnetische Spektrum der optischen Anregung und des

Nachweises mit der Infrarot-Kamera opak sind. Viele Werkstoffe, darunter zahlreiche Kunst-

stoffe, glasfaserverstärkte Kunststoffe und Keramiken, erfüllen diese Anforderungen jedoch

nicht. Um Fehlstellen in diesen Materialien quantitativ zu charakterisieren, muss die Prüfteil-

oberfläche geschwärzt werden, was jedoch den Prüfaufwand erhöht und nicht in allen Fällen

möglich ist.

Ziel dieser Arbeit ist es, die vorhandenen mathematischen Modelle zur Beschreibung der Im-

pulsthermografie (PT) für teiltransparente Materialien zu erweitern. Über Rekonstruktions-

verfahren ist es möglich, aus Messdaten der aktiven Thermografie die Materialeigenschaften

und Fehlstellen oder Defekte quantitativ zu beschreiben. Eine Schwärzung der Prüfoberflä-

chen ist dabei nicht mehr erforderlich.

Zu diesem Zweck sollen zunächst die Grundlagen zur mathematischen Beschreibung der

PT-Experimente für verschiedene Randbedingungen an teiltransparenten Materialien ent-

wickelt werden. Mit PT-Experimenten an teiltransparenten GFK-Probekörpern in verschie-

denen Konfigurationen soll überprüft werden, ob mit den entwickelten mathematischen Mo-

dellen aus den experimentellen Daten die thermischen und optischen Materialeigenschaften

von GFK bestimmt werden können. Künstliche Defekte, z.B. eine Nut, und reale Defekte,

z.B. eine Delamination, sollen mathematisch modelliert werden, damit an teiltransparenten

Probekörpern mit Fehlstellen die Fehlstellengeometrien rekonstruiert werden können, um so

die Breite und Tiefe der Fehlstellen quantitativ zu bestimmen.

Bei thermografischen Messungen an teiltransparenten Materialien empfängt eine IR-Kamera

Strahlung nicht nur von der Materialoberfläche, wie bei opakem Material, sondern zusätz-

lich aus dem Volumen. Für die Rekonstruktion von PT-Experimenten an teiltransparenten

Materialien wird für die Modellierung der IR-Kamera nur das Temperaturfeld und nicht das

Strahlungsfeld berücksichtigt. Daher soll überprüft werden, welche Modellparameter durch

die Vernachlässigung des Strahlungsfeldes bei der Rekonstruktion beeinflusst werden können.

Wenn die Strahlung mathematisch berücksichtigt werden soll, muss die spektrale Empfind-

lichkeit der IR-Kameras bekannt sind. Da diese für die meisten IR-Kameras nicht bekannt ist,

soll ein kostengünstiges Verfahren zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit entwickelt

werden.

4 Methoden und mathematische Modelle

In diesem Kapitel erfolgt die Beschreibung von PT-Experimenten an teiltransparenten Ma-

terialien und deren mathematische Modellierung. Dabei werden die Randbedingungen der

einzelnen Komponenten eines PT-Experiments mathematisch beschrieben. Es wird erläutert,

wie die Rekonstruktion von experimentellen Messdaten mit mathematischen Modellen erfolgt,

um Materialparameter oder Fehlstellen eines teiltransparneten Materials zu quantifizieren.

4.1 Inverses Problem - Vorgehen der Rekonstruktion

Ein inverses Problem beschreibt das Schließen auf eine Ursache, deren Wirkung beobachtet

wurde [82]. In dieser Arbeit ist die Ursache das PT-Experiment an einem Prüfkörper mit

einer bestimmten Geometrie und bestimmten Materialeigenschaften, die Wirkung sind die

thermografischen Messdaten. Aus den Messdaten kann nicht direkt auf z.B. die Geometrie

des Prüfkörpers geschlossen werden. Um dieses inverse Problem zu lösen, wird das kom-

plette PT-Experiment mathematisch modelliert, um so die Messdaten durch Variation der

Modellparameter mit einem mathematischen Modell iterativ zu rekonstruieren; dies ist als

LSF-Methode bekannt [81].

Abbildung 4.1 zeigt den Ablauf der Rekonstruktion. Die Durchführung eines PT-Experimentes

liefert experimentelle Messdaten. Anschließend wird das PT-Experiment mathematisch ana-

lytisch oder numerisch modelliert, wobei z.B. auch Annahmen über die Geometrie der Fehl-

stellen getroffen werden. Das Lösen des mathematischen Modells, die Simulation, ermöglicht

den Vergleich zwischen den thermografischen Messdaten als Temperaturverteilung und der

simulierten Temperaturverteilung. Ist die Differenz zwischen Experiment und Simulation zu

groß, werden die Parameter (Fitparameter) im mathematischen Modell variiert und es er-

folgt eine erneute Simulation. Die Fitparameter können z.B. die Tiefe einer Delamination im

Prüfkörper oder die thermischen Materialeigenschaften sein. Dieser Vorgang wird so häufig

wiederholt, bis die Differenz zwischen dem Experiment und der Simulation klein genug ist.

Anhand der Ergebnisse für die Fitparameter kann eine Aussage z.B. über die Tiefe der De-

lamination getroffen werden.

Die simulierte Temperaturverteilung ist eine Funktion der genauen mathematischen Beschrei-

bung der Randbedingungen des PT-Experiments. Somit ist es sehr wichtig zu erkennen, wel-

che Randbedingungen für welchen experimentellen Aufbau bzw. welches Material modelliert

werden müssen. In der Literatur ist die Modellierung opaker Materialien sehr gut beschrieben,

doch bei der Modellierung von teiltransparenten Materialien werden oft Randbedingungen

irrtümlicherweise vernachlässigt oder nicht erkannt.

4 Methoden und mathematische Modelle

Messdaten erzeugen

PT-Experiment

Mathematische Modellierung

PT-Experiment

Simulation

Mathematisches Model

Vergleich zwischen

Experiment und Simulation Fitparameter variieren

Differenz

klein

genug?

Ende

Ergebnis der Fitpa-

rameter analysieren

Nein

Abbildung 4.1: Ablauf der Rekonstruktion von experimentellen Daten.

4.2 Untersuchte Probekörper

In der vorliegenden Arbeit wurden PT-Experimente an verschiedenen Probekörpern durch-

geführt. Die Probekörper unterschieden sich in ihrer Geometrie und in den Materialeigen-

schaften. Folgende Probekörper wurden untersucht:

Neutraldichte Filter

Die Validierung der mathematischen 1D-Modelle (Kapitel 4.6.1) erfolgt an Neutraldichte-

filtern (ND-Filter) der Firma Schott vom Typ KG2 [83] und KG3 [84], welche sich in der

Teiltransparenz unterscheiden. Für jeden Typ wurden zwei Filter mit unterschiedlichen Di-

cken untersucht (siehe Tabelle 4.1). Der Durchmesser der ND-Filter beträgt 25mm. Die ND-

Filter besitzen eine sehr glatte Oberfläche und weisen isotrope Materialeigenschaften auf. Die

thermischen und optischen Materialeigenschaften variieren von Charge zu Charge aufgrund

von unterschiedlichen Glasschmelzen und sind somit nicht exakt bekannt1. Schott [83–85]

gibt folgende Werte für die Wärmeleitfähigkeit k= (1 ±0,1) Wm−1K−1, die Wärmekapazi-

tät cp= 790 Jkg−1K−1und die Dichte ρ= 2520 kgm−2an. Mit diesen Werten ergibt sich

1persönliche Kommunikation mit Schott, E-Mail vom 05.02.2020

4.2 Untersuchte Probekörper

eine Diffusivität von D= (5,0±0,5)10−7m2s−1. Der Absorptionskoeffizient α935 nm wurde

mit Gleichung 2.19 bestimmt, da die ND-Filter nahezu keine Streueffekte aufweisen. Der

hierfür benötigte Reflexionsgrad und der Transmissionsgrad wurde für jeden ND-Filter ein-

zeln gemessen (siehe Tabelle 4.1). Die Messungen erfolgten an einem Spektrometer [86] bei

λ= 935 µm. Der Transmissionsgrad wurde orthogonal zur Oberfläche und der Reflexionsgrad

unter einem Winkel von 11◦zur Orthogonalen der Materialoberfläche gemessen.

Tabelle 4.1: Untersuchte ND-Filter der Firma Schott [83,84]. *Bezeichnung von Thorlabs [87].

Filtername*Typ L/mm ˜r935 nm ˜τ935 nm α935 nm/m−1

NENIR20A KG3 1,24 0,003 0,042 2744

NENIR13A KG3 0,77 0,111 0,048 2800

NENIR06A KG2 0,86 0,363 0,043 1122

NENIR04A KG2 0,60 0,491 0,052 1100

Unlegierter Baustahl

Die Validierung einer 2D-Simulation (Kapitel 4.6.1) erfolgt an einer unlegierten Flachstahl-

probe (S235JR 1.0037) mit den Abmaßen 50mm ×60mm ×9,9mm (siehe Abbildung 4.2).

Die Probe besitzt mittig eine Nut. Die Nutbreite wbeträgt 10 mm mit der Restwanddicke

d= 3,14 mm. Die Oberflächen der Probe sind sandgestrahlt, um eine homogene Absorption

des Laserstrahls und eine zu allen Seiten gleichmäßige Emission thermischer Strahlung zu er-

möglichen. Die Wärmeleitfähigkeit der Stahlsorte beträgt 54Wm−1K−1[88]. Die Diffusivität

wurde mittels einer Kalibriermessung an einer Probe mit den selben Abmaßen (ohne Nut)

nach [89] bestimmt und beträgt (1,45 ±0,1)10−5m2s−1.

(a) (b)

9,9

3,14

Abbildung 4.2: (a) Unlegierte Flachstahlprobe mit Nut (Stahlprobe). (b) Skizze der Stahl-

probe, alle Angaben in Millimeter.

GFK-Nanolam 140

Zur Validierung der mathematischen Modelle werden PT-Experimente an einem Epoxid-

Glasfaserlaminat (Nanolam 140 Laminat [90]) mit weißen Pigmenten durchgeführt (Ka-

pitel 4.7.1). Die Abmaße der Probe sind 150mm ×115mm mit einer Materialdicke von

4 Methoden und mathematische Modelle

L= (3,12 ±0,02) mm. Die Probe weist eine bidirektionale Faserorientierung mit 0◦(60%-

70%)/90◦(30%-40%) auf und hat einen mittleren Faservolumenanteil von 50% [90]. Spektrale

Transmissionsmessungen haben gezeigt, dass die Probe für den Wellenlängenbereich zwischen

8µm und 9,4µm opak ist (Wellenlängenbereich einer LWIR-Kamera). Die Wärmeleitfähigkeit

beträgt k= 0,2Wm−1K−1[90]. Die Diffusivität Dund der effektive Absorptionskoeffizient

α935 nm wird in dieser Arbeit bestimmt (Kapitel 4.7.1). Ein Foto der Probe ist in Abbildung

4.3 dargestellt. Die Fasern sind in der Epoxidmatrix gleichmäßig als Faserbündel verteilt,

wobei die Faserbündel in 0°-Richtung breiter als in 90°-Richtung sind.

2 mm

50 mm

(b)(a)

Abbildung 4.3: (a) Foto der unbeschichteten Probe und (b) mikroskopische Aufnahme der

Probe (schwarzes Rechteck in (a)). Die Textur des Materials ist deutlich sichtbar. Die hel-

len Bereiche werden von den Faserbündeln dominiert. Reproduziert mit Genehmigung von

Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of

Thermophysics [89] ©(2018).

Schwarzes PVC

Untersucht werden drei schwarze Hart-Polyvinylchlorid-(PVC)-Proben mit den Grundma-

ßen 48mm ×24mm ×7,8mm (siehe Abbildung 4.4). In der Mitte der Proben wurden Nuten

mit unterschiedlichen Breiten wgefräst. Die Proben weisen unterschiedliche Aspektverhält-

nisse (AR) zwischen der Nutbreite wund der Restwanddicke dauf (AR =w/d) (siehe

Tabelle 4.2). Die thermischen Materialeigenschaften wurden in [91] mit k= 0,2Wm−1K−1

und D= (1,4±0,03)10−7m2s−1bestimmt. Das Material ist im Wellenlängenbereich bei

λ= 935 nm opak und im Wellenlängenbereich einer MWIR-Kamera teiltransparent. Der

effektive Absorptionskoeffizient α935 nm beträgt βMWIR = 6500 m−1, welcher mit einer Kali-

briermessung nach [7] an einer Probe aus dem selben Material ohne Nut bestimmt wurde.

(a) (b) (c)

7,8

Abbildung 4.4: (a) Foto der PVC Probe 3. (b) Foto der PVC-Probe 1. (c) Skizze der PVC-

Proben, alle Angaben in Millimeter. Die Nutbreite wund Restwanddicke dfür die PVC-

Proben zeigt Tabelle 4.2. (a) und (b) reproduziert aus [92], mit Genehmigung von AIP Pu-

blishing.

4.2 Untersuchte Probekörper

Tabelle 4.2: Nutgeometrie der PVC-Proben. Die Grundmaße für alle drei Proben betragen

48 mm×24mm ×7,8 mm.

Name w/mm d/mm AR/-

PVC 1 2,1 1,8 1,17

PVC 2 4,1 2,1 1,95

PVC 3 6,3 2,1 3

GFK mit Delamination

Die untersuchte Probe wurde im Rahmen eines Projektes der European Association of Na-

tional Metrology Institutes [93] hergestellt und analysiert. Die Abmessung der Probe beträgt

240mm ×50 mm ×(5±0,1)mm und sie besteht aus 16 unidirektionalen Lagen von Glasfa-

sern, die in einer quasi-isotropen Anordnung (45◦, 0◦, -45◦, 90◦) in einer Matrix aus thermo-

plastischem Polyamid PA 12 CF 60 gestapelt wurden. In die Probe wurde mittig eine 5mm

breite Nut eingefräst und mittig in der Nut eine Bohrung mit dem Durchmesser von 8mm

eingebracht. Die Restwanddicke beträgt über der Nut L1=3,3mm. Ein konventioneller Zug-

versuch mit einer Last von bis zu 100 kN [94] erzeugte eine Delamination in der Tiefe der Nut.

Abbildung 4.5 zeigt ein Foto der Rückseite und der Kante der Probe. Die Dicke Lder Probe

wurde an mehreren von der Delamination entfernten Stellen gemessen mit L= (5 ±0,1) mm.

Die Diffusivität mit D= (2,25 ±0,1)10−7m2s−1und die effektiven Absorptionskoeffizienten

mit α935 = 650 m−1und βMWIR = 3500 m−1wurden in [95] bestimmt.

Abbildung 4.5: (a) Rückseite der GFK Probe mit Delamination. (b) Seitenansicht der Probe.

Eine Skizze der Probe mit den Abmaßen zeigt Abbildung 4.20. Reproduziert mit Genehmigung

von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal

of Thermophysics [95] ©(2020).

Graphitlack

Mit einer dünnen Graphitschicht auf einem teiltransparenten Material kann dieses als opak

betrachtet werden. Elektromagnetische Strahlung wird an der Oberfläche absorbiert. In die-

ser Arbeit wird der Graphitlack Graphit 33 der Firma Kontakt Chemie [96] verwendet.

Die thermischen Eigenschaften wurden mit einer Kalibrierungsmessung bestimmt mit D=

1,8×10−5m2und k= 69 Wm−1K−1[89].

4 Methoden und mathematische Modelle

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende

mathematische Randbedingungen

In diesem Kapitel werden der experimentelle Aufbau zur Durchführung von PT-Experimenten

und die sich daraus ableitenden mathematischen Randbedingungen beschrieben. Dabei wer-

den die wichtigsten Komponenten für ein PT-Experiment näher betrachtet, da diese ma-

thematisch modelliert werden sollen. Abbildung 4.6 zeigt ein klassisches Setup für ein PT-

Experiment in Reflexionsanordnung mit den wichtigsten Komponenten: die Anregungsquelle,

die IR-Kamera, der Probekörper und die Umgebung.

Anregungsquelle

Probekörper IR-Kamera

Umgebung Abbildung 4.6: Experimenteller Auf-

bau eines PT-Experiments in Reflexi-

onsanordnung bestehend aus der An-

regungsquelle, der IR-Kamera, dem

Material und der Umgebung. Repro-

duziert mit Genehmigung von Sprin-

ger Nature Customer Service Cen-

tre GmbH: Springer Nature Interna-

tional Journal of Thermophysics [89]

©(2018).

Ziel ist es, in den nächsten Kapiteln die Einflüsse der einzelnen Komponenten eindeutig zu

formulieren, um daraus die mathematischen Randbedingungen abzuleiten, mit welchen die

WLG analytisch oder numerisch nach Gleichung 2.11 gelöst werden kann.

In Kapitel 4.4.1 wird gezeigt, wie die WLG analytisch gelöst werden kann. Dafür müssen die

Randbedingungen Laplace transformiert werden. Daher werden in den folgenden Kapiteln

die Randbedingungen der einzelnen Komponenten eines PT-Experimentes mathematisch im

Zeit- und Laplace-Raum modelliert.

4.3.1 Randbedingungen

Damit das Temperaturfeld im Inneren eines Körpers berechnet werden kann, müssen mehrere

Grenzbedingungen gestellt werden, welche von der WLG erfüllt werden. Diese Grenzbedin-

gungen enthalten örtliche Randbedingungen und zeitliche Anfangsbedingungen, die an den

Rändern (den Oberflächen) des Körpers vorgegeben sind. Erst durch die WLG und die Rand-

bedingungen kann das Temperaturfeld vollständig gelöst werden [9].

Die Anfangsbedingung schreibt zu einem bestimmten Zeitpunkt an jeder Stelle des Körpers

eine Temperatur vor. In dieser Arbeit wird bei t= 0 die Temperatur des Körpers Tim

Gleichgewicht mit der Umgebungstemperatur TUvorgegeben:

T(t= 0,x,y,z) = TU(4.1)

Das mathematische Modell berechnet somit die Temperaturänderung ∆T=T−TU(Tem-

peraturdifferenz) aufgrund des PT-Experiments.

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedingungen

Die Randbedingungen hingegen können in drei Arten aufgeteilt werden:

1. An der Oberfläche wird eine Temperatur als Funktion des Ortes und der Zeit vorgegeben

(Dirichlet-Randbedingung).

2. An der Oberfläche wird eine Wärmestromdichte als Funktion des Ortes und der Zeit

vorgegeben (Neumann-Randbedingung).

3. Die Oberfläche berührt ein anderes Medium, z.B. die Umgebungsluft.

Für Randbedingungen der 2. und 3. Art gilt, dass für die Wärmestromdichte an jeder Stelle

der Oberfläche die Bedingung

φ=−k∂T

∂n(4.2)

erfüllt sein muss, wobei ndie Flächennormale (im 1D-Fall ist es die Ortskoordinate z) und k

die Wärmeleitfähigkeit des Materials sind.

4.3.2 IR-Kamera

Ein IR-Kamerasystem detektiert Wärmestrahlung und rechnet diese in eine Temperatur um.

Somit ist der Hauptzweck einer IR-Kamera die Umwandlung von IR-Strahlung in ein visu-

elles Temperaturbild (Thermogramm). Dieses visuelle Bild ist eine zweidimensionale Vertei-

lung der von einem Objekt oder einer Szene ausgesandten IR-Strahlung, umgerechnet in ein

Temperaturfeld. Aufgrund der Komplexität einer IR-Kamera befasst sich das Kapitel 5 aus-

schließlich mit der Funktionsweise, der genauen mathematischen Modellierung sowie der Cha-

rakterisierung einer IR-Kamera. In diesem Abschnitt werden die verwendeten IR-Kameras

vorgestellt und wie diese bei PT-Experimenten an teiltransparenten Materialien im Wellen-

längenbereich der IR-Kamera einfach mathematisch modelliert werden können.

In der vorliegenden Arbeit wurden zwei MWIR-Kameras (Detektormaterial: Indium-Anti-

monied (InSb)) und eine LWIR-Kamera (Detektormaterial: Quecksilber-Kadmium-Tellurid

(MCT)) der Firma InfraTec [97] verwendet. Deren Spezifikationen sind in Tabelle 4.3 aufge-

listet.

Die IR-Kameras werden mit der Software Irbis 3 Professional [98] während eines Messvorgangs

gesteuert. Die aufgenommenen Messdaten werden als .irb-Files (Fileformat des Herstellers)

gespeichert. Ein gespeicherter Datensatz besteht aus einem Header und einem Datenblock.

In dem Header sind alle Informationen zur IR-Kamera inklusive der Kalibrierkurven gespei-

chert. Der Datenblock besteht aus der Ausgangssignalsequenz Sout(x,y,ti)(den RAW-Daten,

Einheit DV) der IR-Kamera, welche im Weiteren als Film bezeichnet wird. Der Film beinhal-

tet somit die RAW-Daten bzw. die Temperaturdaten (siehe Kapitel 5) als Matrix T(x,y,ti)

zum Zeitpunkt ti= 1/fcam ·ni. Hierbei sind xund ydie Ortskoordinaten des Detektors, ni

die Framenummer und fcam die IR-Kamerafrequenz (Framerate).

Die örtliche Auflösung eines Thermogrammes px/mm wird durch den Abstand der IR-

Kamera zum Messobjekt und dem verwendeten Objektiv definiert.

4 Methoden und mathematische Modelle

Tabelle 4.3: Eigenschaften der verwendeten IR-Kameras.

Spezifikationen ImageIR®8300 hp ImageIR®9300 ImageIR®8800

Spektralbereich 2µm−5,7µm3µm−5µm8µm−9,4µm

Detektortyp InSb InSb MCT

Detektorformat (IR-Pixel) 640 px ×512px 1.280px ×1.024px 640 px ×512px

Kamerafrequenz2300Hz 100Hz 100Hz

NETD3bei 30◦C0,025 K0,030 K0,060 K

Messgenauigkeit ±1◦C oder ±1 % ±2◦C oder ±2 % ±1◦C oder ±1 %

Objektivbrennweite 25 mm/100mm 50 mm 100 mm

Für opake Materialien misst die IR-Kamera unter Berücksichtigung der Emissivität (verglei-

che Kapitel 2.1.1) die Oberflächentemperatur des Materials. Bei teiltransparenten Materiali-

en im Wellenlängenbereich der IR-Kamera empfängt die IR-Kamera zusätzlich Strahlung aus

dem Volumen und misst somit nur eine scheinbare Temperatur ˇ

Wie bereits in Kapitel 2.2.2 beschrieben, wird für die Rekonstruktion von PT-Messdaten die

IR-Kamera vereinfacht modelliert (siehe Gleichung 2.23). Die scheinbare Temperatur kann

nach [56] für die R-Konfiguration mit

Tβ,R(t) = K

T(t,z)βexp(−zβ)dz (4.3)

und für die T-Konfiguration mit

Tβ,T(t) = K

T(t,z)βexp(−(L−z)β)dz (4.4)

berechnet werden. Dabei beschreibt Ldie Probendicke. In dieser Arbeit wird immer K= 1

verwendet, da Knur die Amplitude und nicht den zeitlichen Verlauf der Temperatur be-

einflusst (genau wie die Energie pro Fläche Q, siehe Kapitel 4.4.4). In Kapitel 5.1.3 wird

diese vereinfachte Modellierung mit einer vollständigen mathematischen Modellierung der

IR-Kamera verglichen.

4.3.3 Anregungsquelle

Die in dem Abschnitt beschriebene mathematische Modellierung wurde bereits in [99] veröf-

fentlicht und wird hier größtenteils wie in [99] besprochen wiedergegeben.

Die Anregungsquelle dient zur Erwärmung des zu untersuchenden Materials. In dieser Arbeit

wurde für alle PT-Experimente ein Diodenlasersystem eingesetzt (monochromatische Quelle).

Doch da in der Praxis die Blitzthermografie sehr weit verbreitet ist, wird hier auch kurz

2Fullframe-Modus (FF), werden weniger Pixel verwendet, können höhere max. Bildraten erreicht werden.

3Temperaturauflösung: noise equivalent differential temperature (NETD) [35].

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedingungen

auf die Modellierung einer Blitzlampe (polychromatische Lichtquelle) eingegangen. Bei der

Modellierung der Anregungsquelle wird die Bestrahlungsstärke modelliert, d. h. die Leistung

pro Fläche, die auf das zu untersuchende Bauteil auftrifft und noch nicht absorbiert wurde.

Polychromatische Anregungsquelle

Blitzlampen werden in der PT als eine schnelle und energiereiche impulsartige Anregungs-

quelle verwendet. Die normierte spektrale Ausstrahlung einer Blitzlampe zum Zeitpunkt des

Blitzes zeigt Abbildung 4.7 (a) [91]. Stark vereinfacht entspricht der Verlauf einem emittieren-

den Körper mit einer Temperatur von 5800 K [91]. Die zeitliche Form der Bestrahlungsstärke,

gemessen mit einer PDA36A Photodiode und dann auf das Maximum normiert, zeigt Abbil-

dung 4.7 (b) [100].

Wellenlänge /nm

norm. spektrale Bestrahlung /-

0.2

0.4

0.6

0.8

0500 1000 1500

Blitz

Laser

(a)

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Zeit /ms

norm. Signal Amplitude /-

Photodiode

Fit Modell

(b)

Abbildung 4.7: (a) Normierte Spektren der emittierten Strahlung eines Blitzes [91] und eines

Lasers. (b) Die zeitliche Form der Bestrahlungsstärke, gemessen mit einer PDA36A Pho-

todiode und dann auf das Maximum normiert [100]. Mit Gleichung 4.7 kann der Verlauf

mathematisch modelliert werden. Reproduziert aus [100], mit Genehmigung von Taylor &

Francis.

Die spektrale Bestrahlungsstärke Eλ(λ,t)in Wm−2m−1ist eine Funktion der Wellenlänge

und der Zeit. Die Integration über alle Wellenlängen ergibt die Bestrahlungsstärke der An-

regungsquelle:

E(t) = Z∞

Eλ(λ,t)dλ. (4.5)

Für eine Blitzlampe hängt die spektrale Zusammensetzung des Lichts von der Lampentem-

peratur und von der Zeit twährend und nach der Entladung ab. Da die emittierte Leistung

jedoch von der 4. Potenz der Temperatur abhängt, hat der größte Teil der emittierten Ener-

gie die spektrale Zusammensetzung der maximalen Temperatur der Lampe. Somit kann die

spektrale Zusammensetzung als zeitlich konstant betrachtet werden. In diesem Fall kann die

Zeitabhängigkeit getrennt werden:

E0,λ(λ,t) = Q0Pt(t)Mλ(λ)(4.6)

mit der gesamten Bestrahlungsenergie pro Fläche Q0in Jm−2, der normierten zeitlichen Form

Pt(t)(in s−1,R∞

0Pt(t)dt = 1) und der normierten spektralen spezifischen Ausstrahlung des

Anregungsquelle (in m−1,R∞

0Mλ(λ)dλ= 1). Altenburg et al. [100] zeigen, wie das zeitliche

4 Methoden und mathematische Modelle

Verhalten einer Blitzlampe modelliert werden kann. Dabei wird folgende phänomenologische

Gleichung zur Annäherung des zeitlichen Verhaltens der Intensität (normiert in s−1) verwen-

det, welche durch zwei e-Funktionen bestimmt wird:

Pt,B(t) = N tf(1 −a)e−t/τ1+a e−t/τ2mit N= Γ(1 + f)(1 −a)τ1+f

1+aτ1+f

2−1(4.7)

mit der Zeit t, zwei Zeitkonstanten τ1und τ2, zwei Gewichtungsfaktoren aund f, der Gamma-

Funktion Γund dem Normalisierungsfaktor N(R∞

−∞ Pt,B(t)dt = 1). Diese Gleichung kann

sehr einfach in den Laplace-Bereich transformiert werden:

Pt,B(s) = N

Γ(1 + f) (1 −a)s+1

τ1−(1+f)

+as+1

τ2−(1+f)!(4.8)

mit der Laplace-Transformierten s. Die Parameter hängen von den Eigenschaften einer Blitz-

lampe ab, welche mit einem Fit von Gleichung 4.7 an die gemessene zeitliche Form der

Bestrahlungsstärke bestimmt werden können.

Monochromatische Anregungsquelle

In dieser Arbeit wird ein Diodenlasersystem als Anregungsquelle verwendet. Der Laser (La-

serLine Diodenlasersystem LDM 500-20) arbeitet bei einer Wellenlänge von (935±5) nm und

hat eine Ausgangsleistung Pvon max. 500 W[101]. Mittels einer 2-Zoll-Homogenisieroptik

mit Strahlaufweitung kann der Laser auf eine Fläche Avon z.B. A19 = 19 mm ×19mm (Ho-

mogenisieroptik Typ LL-line 2.35 [102]), A39 = 39 mm ×39mm (Homogenisieroptik Typ LL-

line 2.35 [102]) oder auf A68 = 68 mm ×68mm (Homogenisieroptik Typ LL-line 2.20 [102])

aufgeweitet werden. Eine Probe kann durch die Aufweitung des Laserstrahles sehr homogen

erwärmt werden. Abbildung 4.8 (a) zeigt die räumliche Verteilung des Strahles für eine Auf-

weitung von A19. Der Laser wird mittels der Software SAMLight der Firma SCAPS GmbH

gesteuert [103]. Dabei können die Ausgangsleistung und die Pulslänge τfrei gewählt wer-

den. Die Pulslänge wurde mit einer Fotodiode (Thorlabs PDA36A, Spektralbereich: 350 nm -

1100nm) gemessen. Das zeitliche Verhalten entspricht einem Rechteckpuls (siehe Abbildung

4.8 (b)) mit der Pulslänge τund kann mathematisch mit zwei Heaviside-Funktionen Θmo-

delliert werden:

Pt,La(t) = Θ(t)−Θ(t−τ).(4.9)

Im Laplace-Bereich, normiert auf (R∞

∞Pt,La(t)dt = 1), entspricht dies:

Pt,La(s) = 1−e−τs

τs.(4.10)

Die Bestrahlungsstärke für eine monochromatische Anregungsquelle berechnet sich ebenfalls

aus Gleichung 4.5. Da die Bestrahlungsstärke für den Laser zeitlich konstant ist, vereinfacht

sich Gleichung 4.5 zu

E(t) = Q0Pt,La(t)mit :Q0=P

Aτ, (4.11)

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedingungen

0,5

(a)

10mm

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Zeit /s

0.2

0.4

0.6

0.8

Signal Amplidude /-

Daten

Modell

(b)

Abbildung 4.8: (a) Normiertes Thermogramm zum Zeitpunkt der Erwärmung einer Probe

mit dem LDM 500 Laser und 2-Zoll-Homogenisieroptik Typ LL-line 2.35 [102] (Quadrat

19mm ×19 mm). (b) Die zeitliche Form der Bestrahlungsstärke des LDM 500 Lasers für

einen Rechteckpuls, gemessen mit einer PDA36A Photodiode und dann auf das Maximum

normiert. Die Länge des Laserpules wird in der Software SAMLight [103] festgelegt. Mit

Gleichung 4.9 kann das zeitliche Verhalten mathematisch modelliert werden.

mit der Leistung Pdes Lasers in W, der Fläche A(der Laserstrahl wird aufgeweitet), der

Pulslänge τund dem normierten zeitlichen Verlauf des Lasers (Rechteckpuls) Pt,La(t)(in s−1,

R∞

∞Pt,La(t)dt = 1).

4.3.4 Prüfkörper

Bei teiltransparenten Materialen wird die Strahlungsintensität der optischen Anregungsquelle

im Volumen und gegebenfalls zusätzlich an einer oder mehreren Grenzschichten absorbiert.

Die in dem Abschnitt beschriebene mathematische Modellierung der Absorption mit zwei Ab-

sorptionskoeffizienten wurde bereits in [89, 99] veröffentlicht und wird hier größtenteils wie

in [89,99] besprochen wiedergegeben.

Absorption im Volumen

Trifft Strahlung auf ein teiltransparentes Material, dann nimmt die spektrale Bestrahlungs-

stärke E0,λ(λ,t)im Material in Abhängigkeit von der Tiefe zab. Die Abnahme der Bestrah-

lungsstärke kann durch ein Transmissionsprofil Fτ(z,λ)mathematisch beschrieben werden.

Die spektrale Bestrahlungsstärke in der Tiefe zberechnet sich mit

Ez,λ(z,λ,t) = (1 −˜r(λ))E0,λ(λ,t)Fτ(λ,z).(4.12)

Ein Teil der Strahlung wird an die Oberfläche reflektiert (Reflexionsgrad an der Oberfläche

˜r(λ)) und gelangt nicht ins Innere des Materials. Für die Rekonstruktion experimenteller

Daten ist der absolute Wert der Bestrahlungsstärke für die Auswertung nicht relevant (siehe

Kapitel 5.1.1). Somit werden für alle Auswertungen in dieser Arbeit ˜r(λ)unabhängig der

Wellenlänge und gleich Null gesetzt.

4 Methoden und mathematische Modelle

Für ein teiltransparentes, homogenes und nicht streuendes Material nimmt die anfängliche

spektrale Bestrahlungsstärke E0,λ(λ,t)der Anregungsquelle nach dem Lambert-Beer’schen

Gesetz mit der Tiefe zab. Die spektrale Bestrahlungsstärke in der Tiefe zzum Zeitpunkt t

berechnet sich mit Gleichung 2.17 und 4.12 zu

Ez,λ(z,λ,t) = (1 −˜r)E0,λ(λ,t)e−α(λ)z(4.13)

mit dem Transmissionsprofil Fτ(z,λ) = e−α(λ)zund dem Absorptionskoeffizienten α(λ). Mit

der Annahme, dass die spektrale Bestrahlungsstärke unabhängig vom zeitlichen Verhalten

der Anregungsquelle ist, kann mit Gleichung 4.6 und der Integration über alle Wellenlängen

die Bestrahlungsstärke in der Tiefe zbestimmt werden:

Ez(z,t) = (1 −˜r)Q0Pt(t)

∞

Mλ(λ)e−α(λ)zdλ(4.14)

mit der Energie pro Fläche Q0in Jm−2, der normierten zeitlichen Form der Anregungs-

quelle Pt(t)und der normierten spektralen spezifischen Ausstrahlung des Lichtes (in m−1,

R∞

0Mλ(λ)dλ= 1) (vergleiche Gleichung 4.6).

Im Material erfolgt eine Umwandlung der Strahlungsenergie in Wärmeenergie, welche ma-

thematisch mit der Ableitung von Ez(z,t)nach dem Ort zbeschrieben werden kann, womit

die interne Wärmequelle gaus Gleichung 2.11 definiert wird:

g(t,z) = −dEz(z,t)

dz = (1 −˜r)Q0Pt(t)

∞

E(λ)α(λ)e−α(λ)zdλ. (4.15)

Aufgrund der Normierung gilt R∞

0R∞

0g(t,z)dtdλ= (1 −˜r)Q0. Wenn der Absorptionskoeffizi-

ent αunabhängig von der Wellenlänge (α(λn) = αn) oder die Anregungsquelle monochroma-

tisch (z.B. ein Laser) ist (Eλ(λn) = δ(λ−λn)Delta-Funktion δ) vereinfacht sich Gleichung

4.15 zu:

gn(t,z) = (1 −˜r)Q0Pt(t)αne−αnz.(4.16)

Altenburg et al. [99] diskretisierten Gleichung 4.15 mit Berücksichtigung von zwei Wellen-

längen bzw. zwei Absorptionskoeffizienten und zeigten, dass die Absorption einer polychro-

matischen Anregungsquelle, wie z.B. einer Blitzlampe, in einem homogenen Material durch

zwei Absorptionskoeffizienten für viele Fälle ausreichend gut beschrieben wird. Die interne

Wärmequelle ergibt sich dann zu

g2α(t,z) = gα1(t,z) + gα2(t,z) = Q1Pt(t)α1e−α1z+Q2Pt(t)α2e−α2z.(4.17)

Die Absorptionskoeffizienten beschreiben z.B. die Absorption für den kurzwelligen und den

langwelligen spektralen Anteil der Ausstrahlung eines Blitzes. Die unterschiedlich großen

Pfeile in Abbildung 4.9 (a) veranschaulichen den kurzwelligen und langwelligen Anteil einer

polychromatischen Anregungsquelle.

Die Gesamtenergie Q0ergibt sich dabei aus Q1+Q2, welche z.B. die Energieanteile der

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedingungen

(b)

Material 2

Material 1

α2

α1

λ1

λ2

λ1

(a)

Material

Homogenes

monochromatisch

polychromatisch

Material

Heterogenes

Material

Abbildung 4.9: (a) Polychromatische Strahlung (λ1und λ2) trifft auf ein homogenes Ma-

terial. Der Strahlungsanteil mit der Wellenlänge λ2wird im Material komplett absorbiert,

wohingegen die Strahlung mit der Wellenlänge λ1nicht komplett absorbiert wird. (b) Mono-

chromatische Strahlung trifft auf ein heterogenes Material (Material 1 und Material 2). Die

Materialanteile 1 und 2 sind zur einfallenden Strahlung parallel ausgerichtet und absorbieren

unterschiedlich stark die monochromatische Strahlung (α16=α2).

kurzwelligen bzw. der langwelligen Strahlung beschreiben. Die Energieanteile berechnen sich

aus der Gesamtenergie und einem Gewichtungsfaktor:

Q0=Q1+Q2=f1Q0+f2Q0mit f2= 1 −f1.(4.18)

Damit ergibt sich die interne Wärmequelle mit Berücksichtigung von zwei Absorptionskoef-

fizienten zu

g2α(t,z) = (1 −˜r)Q0Pt(t)f1α1e−α1z+ (1 −f1)α2e−α2z.(4.19)

Mit dieser Gleichung kann somit die Absorption einer monochromatischen Anregungsquel-

le in einem heterogenen Material beschrieben werden, wenn dabei das heterogene Material,

bestehend aus zwei Anteilen, Material 1 und Material 2, zur einfallenden Strahlung parallel

ausgerichtet ist. Die Materialanteile 1 und 2 weisen unterschiedliche Absorptionskoeffizienten

auf (siehe Abbildung 4.9 (b)). Es wird dabei angenommen, dass die Breite der homogenen

Bereiche (Material 1 und 2) sehr viel kleiner ist als die Gesamtbreite, da sonst laterale Wär-

meflüsse im Material aufgrund der unterschiedlichen Absorption entstehen.

Absorption an Grenzflächen

Die Absorption von elektromagnetischer Strahlung an Grenzflächen, z.B. bei Oberflächen ei-

nes Materials, Flächen zwischen zwei Festkörpern oder Flächen an einer Fehlstelle, ist eine

Funktion der optischen Eigenschaften des Materials (oder der Materialien an einer Grenz-

fläche), der Rauigkeit der Grenzfläche bzw. Oberfläche und der Wellenlänge der Strahlung.

Bei optisch rauen Grenzflächen wird ein Teil der Strahlung gestreut und somit erhöht sich

die Absorption der Strahlung an der Grenzfläche. Bei optisch glatten Grenzflächen hinge-

gen kann die Absorption an der Grenzfläche vernachlässigt werden (vergleiche Gleichung

2.16). Bei rauen Oberflächen wird der Lichtstrahl gestreut und aufgrund der vergrößerten

Oberfläche erhöht sich die Absorption. Mathematisch kann die Absorption an Grenzflächen

mit einem Flächenabsorptionskoeffizienten a0

zmodelliert werden. Eine Oberflächenabsorpti-

on kann nach [104–106] für die Vorderseite einer Probe bei z= 0 (orientiert zur Lichtquelle)

4 Methoden und mathematische Modelle

mit

−kdT

dz |z=0 =a0

0(1 −˜r)Q0Pt(t)(4.20)

und für die Rückseite bei z=Lmit

−kdT

dz |z=L=a0

L(1 −a0

0)(1 −˜r)QLPt(t)(4.21)

modelliert werden. Dabei wird die Gesamtenergie Q0, die Restenergie QLbei z=L, der Refle-

xionsgrad ˜rund der normierte Zeitverlauf der Anregungsquelle Pt(t)berücksichtigt. Erfolgt

die Absorption im Material nach dem Lambert-Beer’schen Gesetz, ergibt sich die Restenergie

QL=Q0e(−αnL). Für a0

0= 1 wird die gesamte Energie an der Oberfläche absorbiert, welches

einem opaken Material entspricht. Dies kann durch Oberflächenbeschichtungen, wie z.B. einer

dünnen Graphitschicht, realisiert werden.

Grenzflächen im Volumen, z.B. durch eine Delamination in einem GFK-Material oder einem

Mehrschichtsystem aus einem Materialverbund, können analog zur Oberflächenabsorption

modelliert werden. Eine Flächenabsorption im Material an der Stelle zaergibt die Randbe-

dingung

−kdT

dz |z=za=a0

zQzaPt(t).(4.22)

Die Energiemenge an der Stelle zabeschreibt Qza.

Räumliche Orientierung des Materials zur Anregungsquelle

Die Anregungsquelle sollte bei einem PT-Experiment an teiltransparenten Materialien or-

thogonal zur Materialoberfläche orientiert sein. Wenn die Ausstrahlung der Anregungsquelle

unter einen Winkel γ > 0(bezogen auf die Oberflächennormale) ins Material eindringt, wird

sich die Weglänge des Lichtstrahles im Material erhöhen. Abbildung 4.10 skizziert dies bei-

spielhaft für einen Lichtstrahl, welcher durch ein teiltransparentes Material fällt (die Skizze

berücksichtigt nicht das Brechungsgesetz). Die Weglänge des Lichtstrahls L0ändert sich mit

L/cos(γ). Dies bedeutet, dass sich die Weglänge des Lichtstrahls vergrößert. Berücksichtigt

wird dies im Transmissionsprofil mit

Fτ(λ,z,γ) = e−αλ(λ)z/cos(γ).(4.23)

Abbildung 4.10 (b) zeigt verschiedene Transmissionsprofile für ein teiltransparentes Material

mit α= 1000 m−1, berechnet nach Gleichung 4.23. Mit steigendem Winkel γverringert sich

die Transmission bzw. erhöht sich die Absorption im Material.

Thermischer Übergangswiderstand

Fehlstellen in einem Material, welche die Wärmediffusion im Material beeinflussen, können

mit einem thermischen Übergangswiderstand Rmodelliert werden [73,104,107–112]. Die Fehl-

stellen können u.a. Delaminationen, Lufteinschlüsse in Materialien oder poröse Materialstellen

im Volumen sein. Auch in Mehrschichtsystemen können sehr dünne Schichten als thermischer

Übergangswiderstand vereinfacht modelliert werden, mit Ri=Li/ki. Dabei beschriebt Lidie

Materialstärke und kidie Wärmeleitfähigkeit der dünnen Schicht [104,113,114].

4.3 Experimenteller Aufbau und daraus resultierende mathematische Randbedingungen

Transmission /%

Tiefe z/mm

L0=L

cos(γ)

˜r

α= 1000 m−1, γ = 0◦

α= 1000 m−1, γ = 20◦

α= 1000 m−1, γ = 40◦

(a) (b)

Abbildung 4.10: (a) Skizziert wird ein Lichtstrahl durch ein teiltransparentes Material. Die

Weglänge des Lichtstrahles ändert sich mit dem Einfallwinkel γ. (b) Verschiedene Transmis-

sionsprofile für ein teiltransparentes Material in Abhängigkeit des Einfallwinkels des Licht-

strahls.

4.3.5 Umgebung

Die Umgebungstemperatur sowie die Oberflächen der Umgebung sollten sich während der

thermografischen Messung nicht ändern, damit die Wärmestrahlung der Umgebung konstant

bleibt und somit keinen Einfluss auf die Änderung der Wärmestrahlung des untersuchten

Probekörpers hat (siehe Gleichung 5.2).

Bei einem PT-Experiment wird zunächst ein Objekt erwärmt. An den Oberflächen des Ob-

jekts entstehen thermische Verluste durch Konvektion und Strahlung. Der Verlustwärmestrom

an der Oberfläche errechnet sich aus der Summe von Gleichung 2.13 und 2.9:

˙qges = ˙qK+ ˙qS=hKon (T−TU) + εσ T4−T4

U.(4.24)

Die 1D-WLG kann analytisch oder semi-analytisch gelöst werden, wenn der Verlustwärme-

strom linearisiert wird. Somit wird ein effektiver Wärmeübergangskoeffizient h, welcher Kon-

vektion und Strahlung berücksichtigt, definiert [6,104,115,116]. Die Linearisierung der Wär-

mestrahlung ist nur bei kleinen Temperaturdifferenzen gerechtfertigt, welches bei ZfP-üblichen

PT-Experimenten der Fall ist. Die Randbedingungen der thermischen Verluste an der Vorder-

und Rückseite ergeben sich zu

−kdT

dz |z=i=φi=h(T(t,z=i)−TU)mit i= 0,L.(4.25)

4.3.6 Konfigurationen und Bezeichnung der Modelle

PT-Experimente können in R-Konfiguration oder T-Konfiguration durchgeführt werden (ver-

gleiche Kapitel 2.2.1). Teiltransparente Materialien werden dabei teilweise beschichtet, damit

die Energie der Anregungsquelle vollständig an der Probenoberfläche absorbiert wird oder da-

mit die IR-Kamera ausschließlich Wärmestrahlung von der Oberfläche empfängt. Somit kann

eine einseitig beschichte Probe in T- und R-Konfiguration verschieden orientiert werden. Ab-

bildung 4.11 zeigt die möglichen Konfigurationen für eine Probe mit und ohne Beschichtung.

4 Methoden und mathematische Modelle

Die Vorderseite einer Probe wird als die der Anregungsquelle zugewandte Seite definiert. Vor-

derseitig beschichtete Proben werden mit VB abgekürzt. Die Anregungsenergie wird an der

vorderen Oberfläche vollständig absorbiert, es dringt keine Strahlung in das Material ein. Bei

unbeschichteten Proben UB muss die Teiltransparenz des Materials für die Anregungsquelle

und gegebenenfalls für die IR-Kamera berücksichtigt werden. Wenn eine Probe im Wellenlän-

genbereich der Anregungsquelle teiltransparent ist, wird ein Teil der Strahlungsenergie nicht

nur an der Oberfläche, sondern auch innerhalb des Volumens absorbiert. Bei der Konfigurati-

on mit einer schwarzen Beschichtung auf der Rückseite (RB) wird die Strahlung teilweise im

Material absorbiert, die restliche (sonst durchgelassene) Strahlung wird an der Beschichtung

auf der Rückseite absorbiert.

Vorderseite beschichtet Rückseite beschichtet

Unbeschichtet

TRB

TUB

TVB

RUB RRB

Reflexion, RTransmission, T

RVB

Abbildung 4.11: Unterschiedliche Konfigurationen in Reflexions- (obere Reihe) und Transmis-

sionskonfiguration (untere Reihe). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Cu-

stomer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics [89]

©(2018).

Für die verschiedenen Konfigurationen müssen die mathematischen Modelle (MM) angepasst

werden. Dabei wird eine Syntax für die verwendeten Modelle eingeführt. Aus dem Modellna-

men soll ersichtlich werden, wie viele Schichten, Absorptionskoeffizienten, thermische Über-

gangswiderstände und Graphitschichten berücksichtigt werden. Wenn ein Modellname mit

einem “O” beginnt (oder endet), ist die vordere (oder hintere) Oberfläche undurchsichtig

(Graphit beschichtet). Die Zahl n in “nL” oder “nα” gibt an, wie viele Schichten (L) oder

effektive Absorptionskoeffizienten (αbzw. β) im Modell berücksichtigt werden. Modelle mit

einem “R” berücksichtigen einen thermischen Übergangswiderstand zwischen den Schichten.

Modelle ohne Transparenz (opak) mit einer (O1L) oder zwei Schichten plus thermischem

Übergangswiderstand (O2LR) werden für VB-Proben verwendet. Für UB-Proben werden ei-

ne Schicht und ein (1L1α) oder zwei (1L2α) effektive Absorptionskoeffizienten berücksichtigt.

Wenn das Material im Wellenlängenbereich der IR-Kamera teiltransparent ist, wird zusätz-

lich ein βhinzugefügt (z.B. 1L1α1β). Für RB-Proben kann die Temperaturverteilung mit

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

drei verschiedenen Modellen berechnet werden. Das erste Modell berücksichtigt nur einen

(1L1αO), die anderen zwei effektive Absorptionskoeffizienten. Diese beiden Modelle berück-

sichtigen eine Schicht (1L2αO) oder zwei Schichten mit einem thermischen Übergangswider-

stand (2L2αOR).

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die WLG für verschiedene Randbedingungen analytisch,

semi-analytisch oder numerisch gelöst werden kann. Zusätzlich wird eine Sensitivitätsstudie

der einzelnen Parameter der mathematischen Modelle durchgeführt, um eventuelle Korrela-

tionen zwischen den Parametern zu erkennen.

4.4.1 Analytische und semi-analytische Lösung (1D)

Damit eine geschlossene Lösung für Gleichung 2.11 gefunden werden kann, müssen folgende

Annahmen gelten:

1. Die thermischen Materialeigenschaften sind unabhängig vom Ort, der Temperatur und

der Zeit.

2. Die interne Wärmequelle ist unabhängig von der Temperatur des Materials.

3. Es wird der eindimensionale (1D) Fall betrachtet. Die Wärmeausbreitung erfolgt nur

in die Tiefe zdes Materials.

Die allgemeine Gleichung 2.11 der WLG vereinfacht sich in diesem Fall zu

∂T(t,z)2

∂z2−1

∂T(t,z)

∂t=g(t,z)

k(4.26)

mit nur noch einer Ortskoordinate z. Das Lösen dieser Gleichung kann auf verschiedenen

Wegen erfolgen. Die gängigsten Varianten sind mittels Greenschen Funktionen [117] oder

über die Laplace-Transformation [118]. In dieser Arbeit wird die Laplace-Transformation

verwendet.

Das Lösen der WLG mit Hilfe der Laplace-Transformation erfolgt in drei Schritten:

1. Transformation der WLG in den Laplace-Raum:

T(t,z)→T(s,z),t→s,g(t,z)→g(s,z).(4.27)

2. Lösen der transformierten WLG für die Laplace-transformierte Temperatur T(s,z).

3. Rücktransformation (Inverse der Laplace-Transformation) in den Zeitbereich

T(s,z)→T(t,z),s→t.(4.28)

4 Methoden und mathematische Modelle

Durch die Laplace-Transformation wird Gleichung 4.26 im Laplace-Raum zu einer gewöhnli-

chen linearen Differentialgleichung

∂T2(s,z)

∂z2=q2T(s,z) + g(s,z)

k,mit q2=s

D,(4.29)

der Laplace-Transformierten Temperatur T, der Laplace-transformierten Zeit sund der

Laplace-transformierten internen Wärmequelle g. Die Lösung kann wie folgt ausgedrückt

werden:

T(s,z) =

homogene Lösung

z}| {

K1sinh(qz) + K2cosh(qz) +y(s,z)(4.30)

mit der partikulären Lösung y(s,z)der Gleichung 4.29, welche eine Funktion der internen

Wärmequelle ist, und den Unbekannten K1und K2, welche aus den Anfangs- und Rand-

bedingungen berechnet werden. Die Lösung der Gleichung 4.29 kann mit der Ansatzfunk-

tion 4.30 für verschiedene Randbedingungen exakt gelöst werden. Mittels der Quadrupole-

Methode [104] ist es möglich, den homogenen und den partikulären Lösungsanteil aus Glei-

chung 4.29 in Matrixschreibweise zu formulieren. Für ein Material mit interner Wärmequelle

gilt: 

Tin

φin 

=M

Tout

φout 

−H.(4.31)

Das Gleichungssystem berücksichtigt die Laplace-transformierten Temperaturen Tund die

Laplace-transformierten Wärmeströme φan der Vorderseite (Index in) und Rückseite (Index

out) eines Materials (siehe Abbildung 4.12). Die Matrix Mbeschreibt die homogene und Hdie

partikuläre Lösung der Gleichung 4.29. Für ein Einschichtsystem (i= 1) mit der Schichtdicke

Li=Lgilt

M=

AiBi

CiDi

und H=

Xi

Yi

.(4.32)

Die Parameter Ai,Bi,Ciund Dihängen von der Laplace-transformierten s, der Diffusivität

Dund der Schichtdicke Ldes Materials ab (Herleitung in [104]):

Ai=Di= cosh (qiLi) ; Bi=1

kiqi

sinh (qiLi) ; Ci=kiqsinh (qiLi).(4.33)

Die Parameter Xiund Yibeschreiben die partikuläre Lösung mit (Herleitung in [104]):

Xi=y(s,Li)cosh(qiLi)−y(s,0) −y0(Li)sinh(qiLi)

Yi=ki(y(s,Li)qisinh(qiLi) + y0(s,0) −y0(s,Li)cosh(qiLi).

(4.34)

Dabei gilt:

y0(s,z) = ∂y(s,z)

∂z.(4.35)

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

Die Quadrupole-Methode eignet sich hervorragend für Mehrschichtsysteme [104,115,119]. M

und Herrechnen sich für ein Zweischichtsystem mit einem thermischen Übergangswiderstand

zwischen der 1. Schicht (i= 1) und der 2. Schicht (i= 2) wie folgt:

M=

A1B1

C1Di



1R

0 1



A2B2

C2D2



H=

X1

Y1

+

A1B1

C1D1



X2

Y2

.

(4.36)

Abbildung 4.12 (b) skizziert den Aufbau des 2L-Modells.

1-Schichtsystem z

Tin,φin

D,k,α,β

Tout,φout

QPt(t)

2-Schichtsystem

D1,k1

Tin,φin

α1,β1

QPt(t)

D2,k2

α2,β2

(a) (b)

Tout,φout

Abbildung 4.12: (a) Einschicht- und (b) Zweischicht-Modell. Der thermische Übergangswi-

derstand Rrepräsentiert eine Delamination zwischen den zwei Schichten.

Wenn die interne Wärmequelle, die Anfangs- und Randbedingungen bekannt sind, kann

die Gleichung 4.30 im Laplace-Bereich analytisch gelöst werden. Die analytische Lösung

im Laplace-Bereich wird durch die Inverse der Laplace-Transformation in den Zeitbereich

transformiert. Dies kann analytisch für halbunendliche Körper (L=∞)4, meist über bereits

bestehende Tabellen [9,12], oder numerisch erfolgen. Geeignete Algorithmen für die numeri-

sche inverse Laplace-Transformation sind der Stehfest- [120] und der Euler-Algorithmus [121].

Einen Vergleich verschiedener Algorithmen für die inverse Laplace-Transformation bietet die

Literatur [122,123]. In dieser Arbeit erfolgen die numerischen Rücktransformationen mit dem

Euler-Algorithmus.

4.4.2 Beispielrechnung für das 1L1α1β-Modell

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die WLG mit den vorgestellten Randbedingungen

gelöst werden kann. Als Beispiel soll hier ein PT-Experiment an einem homogenen teiltrans-

parenten Material (für die Anregungsquelle und die IR-Kamera) mit isotropen thermischen

Eigenschaften, welches durch ein Laser erwärmt wird (Rechteckpuls), mathematisch model-

liert werden. Die absorbierte Energie pro Fläche Qist definiert mit Q= (1 −˜r)Q0. Dieses

Modell entspricht somit einem 1L1α1βModell. An den Oberflächen werden thermische Ver-

luste an die Umgebung berücksichtigt. Die Anfangsbedingungen werden mit ∆T(0,z) = 0

definiert.

4Modelle, welche einen halbunendlichen Körper beschreiben (L=∞mit T(L=∞) = 0). Für Modelle, welche

einen endlichen Körper (L<∞) beschreiben, erfolgt die inverse der Laplace-Transformation numerisch.

4 Methoden und mathematische Modelle

Die interne Wärmequelle gkann mit der Gleichung 4.16 beschrieben werden. Das Zeitverhal-

ten der Anregungsquelle im Laplace-Raum wird mit Gleichung 4.10 beschrieben. Die parti-

kuläre Lösung berechnet sich zu

y(s,z) = αQPt,La(s)

k(q2−α2)exp(−αz).(4.37)

Der Wärmestrom an den Oberflächen wird mit den thermischen Verlusten an die Umgebung

modelliert (Gleichung 4.25):

φin =−k∂T(s,z)

∂z|z=0 =−hTin

φout =−k∂T(s,z)

∂z|z=L=hTout.

(4.38)

Nun kann mit 4.33, 4.34 und 4.35 das Gleichungssystem 4.31 gelöst werden. Das Lösen des

Gleichungssystems erfolgt mit Mathematica [124]. Für die Oberflächentemperatur an der

Vorderseite ergibt sich

Tin =Q

kPt,La

αe−αLeαLsinh(Lq)αh

k−q2+qα−h

kcosh(Lq)+qh

k−α)

(α2−q2) h2

k2+q2!sinh(Lq)+2h

kqcosh(Lq)!(4.39)

und für die Rückseite

Tout =Q

kPt,La −αe−αLsinh(Lq)αh

k+q2+q−eαLα+h

k+qα+h

kcosh(Lq)

(α2−q2) h2

k2+q2!sinh(Lq)+2h

kqcosh(Lq)!.

(4.40)

Mit der Anfangsbedingung und den Randbedingungen können K1und K2aus Gleichung 4.30

bestimmt werden:

K1=hTin

−kq −y0(s,0)

K2=Tin −y(s,0)

(4.41)

Die Temperaturverteilung im Material T(s,z)ergibt sich aus Gleichung 4.30. Die scheinbar

gemessene Temperatur mit einer IR-Kamera an einem teiltransparenten Material wird mit

Gleichung 4.3 und 4.4 berücksichtigt. Für die R-Konfiguration ergibt die scheinbar gemessene

Temperatur

Tβ,R(t) = F

T(s,z)βexp(−zβ)dz (4.42)

und für die T-Konfiguration

Tβ,T(t) = F

T(s,z)βexp(−(L−z)β)dz.(4.43)

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

Die Inverse der Laplace-Transformation dieser Gleichungen erfolgt numerisch mit dem Euler-

Algorithmus [121].

Mit den Gleichungen aus Kapitel 4.4.1 kann jedes verwendete mathematische Modell nach

dem hier beschriebenen Schema gelöst werden.

4.4.3 Numerische Lösung mittels FEM

Aufgrund der numerischen Inversion der Laplace-Transformation können 1D-Mehrschicht-

Modelle oder mehrdimensionale Modelle, welche ein teiltransparentes Material beschreiben,

nicht ausreichend genau semi-analytisch gelöst werden. Nur durch eine enorme Erhöhung der

Präzision können Rundungsfehler in der Berechnung der inversen Laplace-Transformation

für das 1D-Modell, welche die Ursache für die ungenaue Lösung ist, verhindert werden. Doch

durch die Erhörung der Präzision erhöht sich auch die Berechnungszeit. Somit wird für die

Berechnung einer semi-analytischen Simulation im Vergleich zu einer kompletten numerischen

Simulation mittels der Finite-Elemente-Methode (FEM) mehr Zeit benötigt. Daher werden

1D-Mehrschicht-Modelle, welche ein teiltransparentes Material beschreiben, mit der FEM be-

rechnet. Dabei wurde die FE-Software Comsol Multiphysics 5.3.0 [125] und das dazugehörige

Heat Transfer Modul [126] verwendet.

1D-Modell

Eindimensionale Wärmediffusionsprozesse wurden mit einem Stab-Modell modelliert (siehe

Abbildung 4.13). Die Parameterbezeichnung im numerischen Modell entspricht den Parame-

tern aus dem analytischen Modell. Die thermischen Verluste werden linear betrachtet und

entsprechen demnach der Gleichung 4.25. Die Teiltransparenz des Materials wurde in Anleh-

nung an [127] mit der internen Wärmequelle nach Gleichung 4.16 modelliert. Eine Delamina-

tion wird wie im semi-analytischen Modell mit einem thermischen Übergangswiederstand R

berücksichtigt. Die Teiltransparenz im Wellenlängenbereich einer IR-Kamera wurde, wie im

analytischen Modell, mit Gleichung 4.3 bzw. 4.4 berücksichtigt. Diese Berechnung kann in

Comsol sehr einfach als Postprocessing durchgeführt werden. Das Stab-Modell wurde mit 51

Knotenpunkten diskretisiert. Eine feinere Vernetzung der Geometrie lieferte keine Verbesse-

rung der Simulation (Rechenzeit vs Genauigkeit).

2D-Modell

Das numerische Modell soll einen Probekörper mit einer Nut, z.B. den PVC-Probekörper

aus Kapitel 4.3.4, beschreiben. Aufgrund der einfachen Geometrie wird diese auf zwei Di-

mensionen (x,z) reduziert. Um den Rechenaufwand zu minimieren, wurde die Geometrie

unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften nur zur Hälfte modelliert. An der Oberfläche

erfolgt der Energieeintrag nach Gleichung 4.20 mit a0

0= 1. An allen Seitenflächen werden

thermische Verluste an die Umgebung nach Gleichung 4.25 festgelegt. Die Berücksichtigung

der Teiltransparenz im Wellenlängenbereich einer IR-Kamera erfolgt analog zum numeri-

schen 1D-Modell. Abbildung 4.13 (b) zeigt die Vernetzung der 2D-Geometrie mit den wich-

tigsten Randbedingungen. Die Diskretisierung des Modells erfolgte mit Rechteckelementen

4 Methoden und mathematische Modelle

(Lagrange-Interpolation). Die Geometrie ist oberhalb der Nut feiner diskretisiert, da die Tem-

peraturgradienten im Körper zur Oberfläche hin am größten sein werden. Die Geometrie be-

steht aus ca. 1500 Elementen. Da die Größe der Nut während der Rekonstruktion variiert

wird, kann sich die Vernetzung leicht ändern.

(b)

5mm

(a)

x24mm (PVC)

7,8mm (PVC)

w/2

Abbildung 4.13: (a) Stab-Modell zur Beschreibung von eindimensionaler Wärmeleitung. (b)

Vernetzung des 2D-Modells. Zu sehen ist die Geometrie der PVC-Probe 2.

Die Berechnung in Comsol erfolgte mit dem BDF (implicit Backward Differentiation Formu-

la) Solver. Die Rechenzeit einer Simulation für das 1D-Modell betrug ca. 2,5s und für das

2D-Modell 20s, bei einer Rechenleistung von 128 GB RAM und 2×(2.67 GHz, 6-core X5650

CPU).

Für thermische Simulationen mit Comsol werden die thermischen Materialparameter k, ρ

und cpzwingend benötigt. Mittels der Diffusivität D=k/(ρcp)können ρund cpbestimmt

werden:

ρ=cp=sk

D,(4.44)

da für die Berechnung der Wärmediffusion im Material nur Dund kbzw. nur das Produkt

von ρund cprelevant ist (siehe Gleichung 2.11).

4.4.4 Einfluss der Modell-Parameter auf den Temperaturverlauf

In diesem Abschnitt werden die Einflüsse der verschiedenen Parameter des mathematischen

Modells auf die Temperaturentwicklung bei PT-Experimenten an teiltransparenten Materia-

lien beschrieben.

Nach Gleichung 4.39 hängt die Temperaturentwicklung für ein homogenes teiltransparentes

Material (Einschichtsystem) von folgenden Parametern ab: L, β, α, k,D,Q,h, und Pt(sie-

he auch Tabelle 4.5). Für teiltransparente eindimensionale Einschichtsysteme wurden bereits

Sensitivitätstudien durchgeführt [7,40]. Eine Beschreibung des Einflusses der Parameter auf

die Temperaturentwicklung ist in Tabelle 4.5 zusammengefasst. Zur Orientierung ist die Tem-

peraturentwicklung für ein opakes (1L-Modell, ohne thermische Verluste mit h= 0) und ein

teiltransparentes Material (1L1α1βModell, mit thermischen Verlusten h= 12 Wm−2K−1) in

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

Abbildung 4.14 zu sehen. Die verwendeten Parameter sind in Tabelle 4.4 aufgelistet.

0.4 1 10 100

Zeit /s

Temperaturdiffernez /K

opak - h= 0

teiltransparent

Heizphase

thermische Verluste

Wärmediffusion

durch die Probe

thermisches

Gleichgewicht

1. Phase 2. Phase 3. Phase

(a) 0 20 40 60 80 100

Zeit /s

0.5

1.5

Temperaturdiffernez /K

Heizphase

1. Phase 2. Phase 3. Phase

thermisches

thermische Verluste

Gleichgewicht

opak - h= 0

teiltransparent

Wärmediffusion

durch die Probe

Abbildung 4.14: Temperaturentwicklung in R-Konfiguration (a) und in T-Konfiguration (b)

für opakes und für teiltransparentes Material. Die verwendeten Parameter zeigt Tabelle 4.4.

Tabelle 4.4: Parameter des semi-analytischen und numerischen 1D-Modells. Die Werte ent-

sprechen einem GFK-Material

Parameter Bedeutung Wert Einheit

LDicke der Probe 5 mm

DDiffusivität der Probe 2E-7 m2s−1

kWärmeleitfähigkeit der Probe 0,4 Wm−1K−1

αAbsorptionskoeffizient Laser 650 m−1

βAbsorptionskoeffizient IR-Kamera 3500 m−1

QEnergie pro Fläche 15000 Jm−2

hWärmeverlust-Parameter 12 Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge 0,4 s

PtPulsform Rechteck

Der Kurvenverlauf der Temperaturentwicklung in T-Konfiguration und R-Konfiguration kann

in drei Phasen eingeteilt werden:

Die 1. Phase ist die Heizphase. Die Anregungsquelle erwärmt kurzzeitig das Material. PT-

Messdaten aus R-Konfigurationen werden häufig in doppelt logarithmischer Achsenskalierung

dargestellt, damit die Heizphase im Plot zu erkennen ist. Der Temperaturverlauf in Reflexions-

anordnung verhält sich während der Heizphase bei doppelt logarithmischer Achsenskalierung

linear. Dies gilt für opake oder teiltransparente Materialen, wobei der Temperaturanstieg

bei einem opaken Material höher ist als bei einem teiltransparenten Material, bei gleichen

thermischen Eigenschaften. Im Gegensatz hierzu zeigt sich in T-Konfiguration bei einem

opaken Material quasi kein Temperaturanstieg während der Anregung (abhängig von der

Anregungsdauer und der Dicke des Materials). Die Wärme benötigt etwas Zeit, bis sie zur

Rückseite diffundiert ist. Wohingegen bei einem teiltransparenten Material der Temperatur-

4 Methoden und mathematische Modelle

Tabelle 4.5: Einflüsse der Modell-Parameter auf die Temperaturentwicklung für die eindimen-

sionale Wärmediffusion.

Parameter Einfluss

LDie Dicke der Probe definiert in R-Konfiguration den Zeitpunkt, wenn

der Temperaturverlauf bei der Abkühlung von 1/√tabweicht und in

Transmission den Zeitpunkt der maximalen Temperaturerhöhung. Je

dicker eine Probe ist, desto weiter verschiebt sich der Zeitpunkt nach

hinten. Lkorreliert mit D.

DDie Diffusivität korreliert mit L. Der Zeitpunkt der maximalen Tempe-

ratur in T-Konfiguration bzw. wenn der Temperaturverlauf von 1/√tin

R-Konfiguration abweicht, verschiebt sich mit kleiner werdendem Dzu

größeren Zeiten. Zusätzlich ändert sich die Amplitude der Temperaturer-

höhung. Bei geringem Derhöht sich die Temperatur in R-Konfiguration,

da die Wärme nur langsam durch das Material diffundiert und somit nur

langsam von der Oberfläche ins Materialinnere abgeführt werden kann.

QDie Energie pro Fläche beeinflusst ausschließlich die Amplitude der

Temperaturerhöhung. Dies gilt für die T- und R-Konfiguration. Die

Energie hat keinen Einfluss auf die Form des Temperaturverlaufes. Im

Plot verschiebt sich die Kurve nach unten (geringes Q) oder nach oben

(großes Q). Aus Gleichung 4.39 ist ersichtlich, dass Qmit kkorreliert.

Es wird der Quotient zwischen Qund kberücksichtigt. Je größer kist,

desto geringer ist die Temperaturerhöhung.

kDie Wärmeleitfähigkeit korreliert mit Q(siehe Text bei Q). Aus Glei-

chung 4.39 ist zu sehen, dass kim Quotienten h/ksteht. Somit ändert

sich nicht nur die Amplitude, sondern auch die 3. Phase der Tempera-

turentwicklung. Ein hoher Wert verringert somit den Einfluss der ther-

mischen Verluste.

hDie thermischen Verluste fallen bei größeren Zeiten immer stärker

ins Gewicht. Mit steigendem hknickt der Kurvenverlauf in der 3. Phase

stärker ab. Ohne Berücksichtigung von thermischen Verlusten stellt sich

ein thermisches Gleichgewicht ein.

αDer Absorptionskoeffizient im Wellenlängenbereich der An-

regungsquelle beeinflusst vor allem die 1. Phase. Bei gleichbleiben-

der Anregungsquelle wird sich bei großem αbzw. kleinem αeine

hohe bzw. niedrige Oberflächentemperatur einstellen. Die 2. Phase

wird bei teiltransparenten Materialien ebenfalls stark beeinflusst. In R-

Konfiguration wird der Temperaturverlauf kein 1/√tVerhalten aufwei-

sen, die Abweichung steigt mit sinkendem α. In T-Konfiguration wird,

abhängig von der Materialdicke und dem Absorptionskoeffizienten, die

Rückseite direkt erwärmt.

βAbsorptionskoeffizient im Wellenlängenbereich der IR-

Kamera: gleiches Verhalten wie bei α. Mathematisch sind αund β

gleich bzw. können ausgetauscht werden (gilt nur für eindimensionale

Wärmeleitung). Bei sehr teiltransparenten Materialien im Wellen-

längenbereich der IR-Kamera (kleines β) empfängt die IR-Kamera

viel Strahlung aus dem Volumen (aus dem Materialinneren). In T-

Konfiguration bedeutet dies, dass die IR-Kamera Strahlung auch von

der Vorderseite empfängt.

PtDas zeitliche Verhalten der Anregungsquelle beeinflusst vor allem

die 1. Phase.

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

verlauf während der Heizphase sprunghaft ansteigt (abhängig vom Absorptionskoeffizienten).

Das Material wird im Volumen während der Heizphase erwärmt, und wenn das Material teil-

transparent im Wellenlängenbereich der IR-Kamera ist, empfängt diese Strahlung aus dem

Volumen und misst somit eine nur scheinbare Temperatur.

Die 2. Phase wird dominiert durch die Wärmediffusion durch die Probe. In R-Konfiguration

sinkt die Temperatur des Materials. Für ein opakes Material erfolgt dies mit 1/√t. Bei ei-

nem teiltransparenten Material erwärmt sich das Material während der Anregung auch im

Volumen. Somit fällt der Temperaturabfall im Vergleich zu einem opaken Material deutlich

schwächer aus und es ergibt sich kein lineares Verhalten in doppelt logarithmischer Darstel-

lung. In T-Konfiguration verursacht die Wärmediffusion von der Vorderseite zur Rückseite

einen langsamen Temperaturanstieg an der Rückseite des Materials. Bei einem teiltranspa-

renten Material hat der Temperaturanstieg eine geringere Steigung als bei einem opaken

Material.

Die 3. Phase beschreibt das Abkühlen der Probe durch thermische Verluste an die Um-

gebung. Der Beginn der 3. Phase ist abhängig von der Probendicke und der thermischen

Diffusivität. In T-Konfiguration und R-Konfiguration knickt der Temperaturverlauf nach un-

ten ab. Ohne Berücksichtigung der thermischen Verlusten, adiabatischen Randbedingungen,

stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein.

Altenburg et al. [42] zeigen, dass der thermische Verlustparameter hleichte laterale Wär-

meleitung in einem Material kompensieren kann, auch wenn dies phänomenologisch ist. Der

Wert von hsteigt bei leichten lateralen Wärmeflüssen deutlich an und weicht von realistischen

Werten um 10 Wm−2K ab. Die laterale Wärmeleitung kann z.B. durch eine räumlich stark

variierende Anregung oder räumlich variierende Schichtdicken erfolgen. Dieser Effekt wird in

dieser Arbeit untersucht (Kapitel 6.4).

Wie bereits in Kapitel 4.3.4 erläutert, können Delaminationen in z.B. GFK-Probekörpern

durch einen thermischen Übergangswiderstand modelliert werden. Hierfür werden für opa-

ke Materialien 2LR-Modelle, für teiltransparente Materialien z.B. 2L1α1βR verwendet. Die

Tiefe der Delamination wird mit L1beschrieben (vergleiche Abbildung 4.12).

Der Einfluss von thermischen Übergangswiderständen auf den Temperaturverlauf ist bisher

nur für opake Materialien diskutiert worden [73,128,129]. In Abbildung 4.15 sind Tempera-

turverläufe für ein teiltransparentes Material mit und ohne Delamination zu sehen, welche

mit einem 2L1α1βR-Modell numerisch berechnet wurden. Die verwendeten Materialparame-

ter entsprechen den Werten aus Tabelle 4.4. Die Gesamtdicke Lsetzt sich aus L1(1. Schicht)

und L2(2. Schicht) zusammen, zwischen den Schichten befindet sich der Übergangswider-

stand R.

Die Abbildungen 4.15 (a) und (c) zeigen Temperaturverläufe bei variierenden Rund konstan-

tem L1 = 3 mm. Für die Berechnung der Temperaturverläufe in Abbildung 4.15 (c) wurden

thermische Verluste an die Umgebung berücksichtigt. Durch den thermischen Übergangswi-

derstand wird die Wärmediffusion im Material verlangsamt, dies führt zu einem Wärmestau

und einem langsameren Temperaturabfall. Dadurch wird die Temperaturkurve durch den

thermischen Übergangswiderstand nach oben gedrückt. Dieser Effekt steigt mit R.

4 Methoden und mathematische Modelle

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

(a)

R= 0

R= 0,005

R= 0,01

R= 0,02 L1=3

h= 0

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

R= 0

R= 0,005

R= 0,01

R= 0,02 L1=3

(c)

h= 12

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

L1=1

L1=2

L1=3

L1=4

L1 = L

Temperaturdifferenz /K

R= 0,01

(b)

h= 0

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

L1=1

L1=2

L1=3

L1=4

L1 = L

Temperaturdifferenz /K

R= 0,01

(d)

h= 12

Abbildung 4.15: Temperaturdifferenzen berechnet mit einem 2L1α1βR-Modell. Der ther-

mische Übergangswiderstand Rund die Tiefe der Delamination L1variieren. (a) und (c)

L1=3mm und Rvariiert. (b) und (d) R= 0,01 Km2W−1und L1variiert. In (a) und (b)

werden keine thermischen Verluste berücksichtigt (h= 0). Die verwendeten Parameter sind in

Tabelle 4.4 zu sehen. Rin Km2W−1,Lin mm und hin Wm−2K−1.Reproduziert mit Geneh-

migung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International

Journal of Thermophysics [95] ©(2020).

Die Abbildungen 4.15 (b) und (d) zeigen die Temperaturentwicklungen bei variierenden L1

und konstantem R= 0,01 Km2W−1. Für die Berechnung der Temperaturverläufe in Abbil-

dung 4.15 (d) wurden thermische Verluste an die Umgebung berücksichtigt. Die graue Linie

zeigt den Temperaturverlauf ohne thermischen Übergangswiderstand. Je kleiner L1(Ober-

flächen nahe Delamination) wird, desto früher tritt der Wärmestau im Material auf und der

Temperaturverlauf wird immer stärker nach oben gedrückt. Aus Abbildung 4.15 (d) ist zu

erkennen, dass die Kombination aus thermischem Übergangswiderstand, endlicher Bauteildi-

cke und thermischen Verlusten zu komplexen Temperaturverläufen führt, welche nicht leicht

zu interpretieren sind.

4.4 Lösen der Wärmeleitungsgleichung

4.4.5 Sensitivitätsstudie

Die in diesem Abschnitt gezeigten Ergebnisse wurden bereits in [95] veröffentlicht und werden

hier größtenteils wie in [95] besprochen wiedergegeben.

Um die Tiefe einer Delamination zu rekonstruieren, müssen L1und Rals Fitparameter defi-

niert werden. Dies kann nur erfolgen, wenn diese Parameter nicht korrelieren. Eine Sensitivi-

tätsstudie von Rund L1wird in Anlehnung an [7,40] durchgeführt. Die Sensitivität Sxder

normierten Temperaturdifferenz ∆Tn= ∆T/max(∆T)für einen Parameter xist definiert

mit

Sx=x

∆Tn

∂∆Tn

∂x.(4.45)

Abbildung 4.16 zeigt die Sensitivitäten SL1,SRund Shfür die normierte Temperaturdifferenz.

Die verwendeten Parameter für die Berechnung sind in Tabelle 4.4 aufgelistet, mit L1=3mm

und R= 0,01 Km2W−1.

Die Extrema von SL1und SRzeigen, zu welchen Zeitpunkten die Parameter L1und Rden

größten Einfluss auf den Temperaturverlauf haben. Für SL1erscheint das Extremum früher

als für SR.SRund SL1haben zwar einen zeitlichen Überlapp, da dieser aber nicht komplett

ist, können L1und Rals nicht korrelierend betrachtet werden. Der Verlauf von Shzeigt, dass

die thermischen Verluste den Temperaturverlauf bei späten Zeiten beeinflussen, wie bereits

im vorherigen Kapitel erklärt.

0.01 0.1 0.4 1 10 200

Zeit /s

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

Sensitivität /-

0.1

0.3

0.5

Temperaturdifferenz normiert /-

SL1

(a) 0.1 0.4 1 10 200

Zeit /s

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

Sensitivität /-

0.2

0.3

0.5

Temperaturdifferenz normiert /-

SL1

(b)

Abbildung 4.16: Empfindlichkeit Sxund die normierte Temperaturdifferenz ∆Tn((a) opakes

und (b) teiltransparentes Material). Die verwendeten Parameter sind in Tabelle 4.4 aufge-

listet. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH:

Springer Nature International Journal of Thermophysics [95] ©(2020).

Die absolute Empfindlichkeit von SRsteigt mit steigendem Wert von R, und wenn L1vari-

iert wird, verschiebt sich das Extrema von SL1auf der Zeitachse. Abbildung 4.17 zeigt die

Zeitpunkte des Auftretens der Extremwerte von SRund SL1d.h. (t(max(Sx)) für ein opakes

und ein teiltransparentes Material. Für beide Materialien kreuzen sich die Kurven nicht, was

bedeutet, dass es keinen Parametersatz gibt, bei dem Rund L1stark korrelieren. Es hat sich

gezeigt, dass wenn die Delamination sehr tief liegt (große Werte für L1), die Empfindlichkei-

ten SRund SL1aufgrund der thermischen Verluste abnehmen.

4 Methoden und mathematische Modelle

1 2 3 4

Tiefe der Delamination /mm

Zeit /s

t(max(SL1))

t(max(SR))

(a)

opak

1 2 3 4

Tiefe der Delamination /mm

Zeit /s

t(max(SL1))

t(max(SR))

(b)

teiltransparent

Abbildung 4.17: Zeitpunkt des Auftretens der Extrema von Sxin Abhängigkeit von L1. (a)

Opak und (b) teiltransparentes Material. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature

Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics

[95] ©(2020).

Die Sensitivitätsstudie zeigt, dass L1und Raus PT-Messdaten mit dem gleichen Datensatz

prinzipiell gefittet werden können, wenn die Messdaten ausreichend genau sind.

4.5 Rekonstruktion von experimentellen Daten

4.5.1 Messdaten aufbereiten

Nachdem ein PT-Experiment durchgeführt wurde und die Randbedingungen bzw. die mathe-

matischen Modelle bekannt sind, müssen die Messdaten für die Rekonstruktion aufbereitet

werden. Die Rekonstruktion der experimentellen Messdaten erfolgt mit dem Programm MAT-

LAB [130].

Experimentelle Messdaten

Die Messdaten als .irb-Files können mit einem Importfilter des Kameraherstellers in MAT-

LAB importiert werden. Die Messdaten werden für die Rekonstruktionen mit 1D-Modellen

wie folgt aufbereitet:

1. Startpunkt wählen: Das Thermogramm vor dem Auslösen der Anregungsquelle wird als

t0= 0 definiert.

2. Temperaturdifferenz ermitteln. Der Mittelwert wird für jeden Pixel aus den Thermo-

grammen für t<t0gebildet und vom Film subtrahiert. Somit wird nur die Tempera-

turerhöhung bestimmt.

3. Räumliche Mittelung. Um das Rauschen zu reduzieren, erfolgt eine räumliche Mittelung

für den zu untersuchenden Bereich, dem sog. ROI (region of interest). Über wie viele

Pixel gemittelt wird, hängt zum einen von der räumlichen Auflösung und zum anderen

von der Geometrie des untersuchten Körpers ab. Es sollten nur Bereiche auf der Probe

berücksichtigt werden, wo der Wärmefluss eindimensional verläuft.

4.5 Rekonstruktion von experimentellen Daten

Erfolgt die Rekonstruktion mit 2D-Modellen, müssen die Koordinaten des Modells und die

Koordinaten des Experiments übereinstimmen (px/mm muss bekannt sein) und gegebenen-

falls mittels einer Koordinatentransformation angepasst werden. In dieser Arbeit wird immer

x= 0 genau mittig der Nut definiert.

Für die Rekonstruktion wird aus dem Film der Temperaturverlauf (T(t,ymitte,x)) extrahiert,

wobei ymitte die Probenmitte beschreibt (in y-Richtung), welche mit dem numerischen 2D-

Modell verglichen werden soll.

Simulierte Messdaten

Berechnungen mit einem semi-analytischen Modell erfolgen direkt in MATLAB. Die nume-

rischen Simulationen erfolgen mit Comsol. Mit dem Modul LiveLinkTM for MATLAB®[131]

von Comsol kann die komplette Simulation aus MATLAB gesteuert und auf die Ergebnis-

se zugegriffen werden. Der Zeitvektor der experimentellen Daten wird für die Simulation

verwendet.

4.5.2 Rekonstruktionsalgorithmus

Abbildung 4.18 zeigt den Ablauf des Rekontruktionsalgoritmus. Mit dem mathematischen

Modell MM(pj)und den Fitparametern pj(pbeschreibt einen Vektor mit den Fitparametern

und jden Iterationsschritt) kann die Temperaturverteilung Tsim berechnet werden. Für die

erste Berechnung der Temperaturverteilung werden dem Modell Startwerte p0vorgegeben.

Diese werden zu Beginn grob abgeschätzt. Danach wird die Abweichung χ2zwischen den

Messdaten und den simulierten Daten berechnet. Für Modelle, welche eine R-Konfiguration

beschreiben, erfolgt die Berechnung der Abweichung logarithmisch mit

χ2

log =

n=1 "N

i=1 (log (Texp(ti,xn)) −log (Tsim(ti,xn)))21/N#,(4.46)

für Modelle, welche eine T-Konfiguration beschreiben, linear mit

χ2

lin =

n=1 "N

i=1 (Texp(ti)−Tsim(ti))21/N#.(4.47)

Dabei beschreibt Texp(ti,xx)die experimentellen Messdaten, Tsim(ti,xn)die simulierten Da-

ten, Ndie Länge des Zeitvektors bzw. die Anzahl der Frames und Fdie Anzahl der x-

Koordinaten (für die Rekonstruktion mit einem 1D-Modell gilt F= 1). Anschließend wird

überprüft, ob die Abweichung χ2kleiner ist als ein vorgegebener Schwellenwert e. Wenn dies

nicht der Fall ist, dann werden die Fitparameter angepasst. Die Anpassung der Fitparameter

erfolgt mit der internen Matlab-Funktion fminsearch, welche auf der Nelder-Mead Methode

basiert (beschrieben in [132]). Die Funktion fminsearch entscheidet, in welche Richtung und

wie groß die Änderung der Fitparameter ∆pjgewählt werden soll. Zudem können in dieser

Funktion weitere Abbruchkriterien gewählt werden, wie z.B. die maximale Anzahl an Iteratio-

nen oder wenn die Änderung der Abweichungen ∆χ2=|χ2

j−χ2

j−1|unter einen Toleranzwert

echi fällt. Die angepassten Fitparameter werden dem Modell Fübergeben und es erfolgt eine

4 Methoden und mathematische Modelle

weitere Iteration. Dieser Vorgang wird so häufig wiederholt, bis ein Abbruchkriterium erfüllt

ist.

Startwerte p0Modell MM(pj)

Simulation Tsim

Berechnung χ2

Messdaten Texp

Abbruch?

χ2

j<e

fminsearch

∆pj

Abbruch?

∆χ2<echi

pj+1 =pj+ ∆pj

j=j+ 1

Ende

Ergebnis pj

Ende

Ergebnis pj

Nein

Ja Ja

Abbildung 4.18: Ablauf der Rekonstruktion von experimentellen Daten

Die Anpassungsgüte (goodness of fit) zwischen dem Ergebnis eines 1D-Modells und den ex-

perimentellen Messdaten wird mit dem Parameter

ζ2=

i=1 (Texp(ti)−Tsim(ti))2

σ2

i!1/N(4.48)

beschrieben, wobei σidie Standardabweichung der räumlich gemittelten, experimentell ge-

messenen Temperatur einer ROI entspricht. Nist die Anzahl der Frames. Je geringer der

Wert von ζ2ist, desto besser kann ein Modell die experimentellen Daten beschreiben.

Ein Vergleich zwischen den experimentellen und den simulierten Temperaturen kann mittels

der Residuen ˆberechnet werden:

ˆ=|Texp

Tsim −1|.(4.49)

4.6 Validierung der mathematischen Modelle

Die semi-analytischen Modelle werden an ND-Filtern, die numerischen Modelle an analyti-

schen und experimentellen Daten validiert.

Die in dem Abschnitt 6.1.2 beschriebene Methode (Überprüfung des 2D-Modells) wurde bereits

in [92] veröffentlicht und wird hier größtenteils wie in [92] besprochen wiedergegeben.

4.6 Validierung der mathematischen Modelle

4.6.1 Überprüfung des Ausgangsmodells an ND-Filtern

Die Validierung des semi-analytischen 1L1α1β-Modells (Kapitel 4.4.2) erfolgt an vier verschie-

denen ND-Filtern (siehe Kapitel 4.3.4). ND-Filter eignen sich hervorragend zur Validierung

der mathematischen Modelle [7, 40], da die Filter eine optisch glatte Oberfläche und keine

Streueigenschaften aufweisen und zudem sehr homogen sind.

Mit dem mathematischen Modell wurden die Materialeigenschaften mittels der Rekonstruk-

tion von experimentellen Daten bestimmt. Hierfür wurden PT-Experimente in T- und R-

Konfiguration (TUB und RUB, die Filter sind nicht beschichtet) durchgeführt. Das ver-

wendete Setup ist in Tabelle 4.6 aufgelistet. Die PT-Experimente wurden mit einer LWIR

(ImageIR®8800) Kamera durchgeführt. Für die PT-Experimente an der NINIR20A-Probe

wurde zusätzlich die MWIR (ImageIR®8300 hp) Kamera eingesetzt.

Tabelle 4.6: Verwendetes Setup für die PT-Experimente an ND-Filtern und deren Einstellun-

gen.

Setup Eigenschaft Wert Einheit

Anregungsquelle LDM 500 Laser

Ausgangsleistung 50 W

Pulsdauer τ0,075 s

Beleuchtungsfläche 19×19 mm×mm

IR-Kamera ImageIR®8300 hp

Wellenlänge 2−5,7(MWIR) µm

Framerate 350 Hz

Auflösung 320 ×256 px×px

Objektiv 100 mm

Kalibrierung -10 - 30 ◦C

Abstand in Trans. IR-Kamera - Probe 0,90 m

Abstand in Refl. IR-Kamera - Probe 0,90 m

IR-Kamera ImageIR®8800

Wellenlänge 8−9,4(LWIR) µm

Framerate 350 Hz

Auflösung 320 ×256 px×px

Objektiv 25 mm

Kalibrierung 0 - 60 ◦C

Abstand in Trans. IR-Kamera - Probe 0,60 m

Abstand in Refl. IR-Kamera - Probe 0,60 m

Proben ND-Filter

KG2/NINIR04A ∅×L25×0,598 ±0,002 mm×mm

KG2/NINIR06A ∅×L25×0,863 ±0,002 mm×mm

KG3/NINIR13A ∅×L25×0,768 ±0,002 mm×mm

KG3/NINIR20A ∅×L25×1,238 ±0,002 mm×mm

4 Methoden und mathematische Modelle

Die experimentellen Daten wurden mit dem 1L1α1β-Modell rekonstruiert (siehe Kapitel

4.5.2). Dabei wurden die Diffusivität und die Absorptionskoeffizienten bestimmt, welche mit

den bekannten Werten verglichen wurden. Die Parameter des 1L1α1β-Modells sind in Tabelle

4.7 aufgelistet.

Tabelle 4.7: Verwendete Parameter zur Validierung des 1L1α1β-Modells.

Parameter Bedeutung Wert Einheit

LDicke der Probe Siehe Tab. 4.6 mm

DDiffusivität der Probe Fitparameter m2s−1

kWärmeleitfähigkeit der Probe 1 Wm−1K−1

αAbsorptionskoeffizient - Laser Fitparameter m−1

βAbsorptionskoeffizient - IR-Kamera Fitparameter m−1

QEnergie pro Fläche Fitparameter Jm−2

hthermischer Verlustparameter Fitparameter Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge 0,075 s

4.6.2 Überprüfung der numerischen 1D- und 2D-Modelle

Mit der Validierung der numerischen Modelle wird sicherstellt, dass die FE-Simulationen der

PT-Experimente in Comsol valide Ergebnisse liefern.

1D-Modell

Das numerische 1D-Modell wird an dem semi-analytischen 1L1α1β-Modell (siehe Kapitel

4.4.2) in R-Konfiguration validiert. Dafür wurden die berechneten Temperaturverläufe von

beiden Modellen verglichen. Die thermischen und optischen Eigenschaften entsprechen einem

GFK-Material. Das Modell berücksichtigt die Teiltransparenz im Wellenlängenbereich einer

IR-Kamera (MWIR), zum einen mit β= 3500 m−1und zum anderen mit β=∞(opak). Als

Anregung wird ein Rechteckpuls vorgegeben. In Tabelle 4.8 sind alle Parameter zusammen-

gefasst.

Die Simulation des numerischen 1D-Modells erfolgt in Comsol und ist in Kapitel 4.4.3 be-

schrieben.

2D-Modell

Das 2D-Modell aus Kapitel 4.4.3 wird an experimentellen Daten überprüft. Damit die Rand-

bedingungen des numerischen Modells möglichst einfach gehalten werden können, erfolgt die

Validierung an experimentellen Daten einer Stahlprobe (opakes Material mit isotropen ther-

mischen Eigenschaften). Die experimentellen Daten stammen von einem PT-Experiment an

einer Stahlprobe mit integrierter Nut (siehe Kapitel 4.3.4). Tabelle 4.9 beschreibt das Setup

des PT-Experiments und die verwendeten Einstellungen.

Für die Rekonstruktion wurde eine Pixellinie des Detektors, welche die Temperaturerhöhung

Texp(t,x)der Oberfläche über der Nut detektiert, berücksichtigt. Der Koordinatenvektor x

4.6 Validierung der mathematischen Modelle

Tabelle 4.8: Parameter des semi-analytischen und numerischen 1D-Modells zur Validierung

des numerischen Modells. Die Parameter entsprechen einem GFK-Material.

Parameter Bedeutung Wert Einheit

LDicke der Probe 5 mm

DDiffusivität der Probe 2,2E-7 m2s−1

kWärmeleitfähigkeit der Probe 0,4 Wm−1K−1

αAbsorptionskoeffizient - Laser 650 m−1

βAbsorptionskoeffizient - IR-Kamera 3500,∞m−1

QEnergie pro Fläche 10000 Jm−2

hWärmeverlust-Parameter 12 Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge 0,4 s

P0Pulsform Rechteck

Tabelle 4.9: Verwendetes Setup für das PT-Experimente und deren Einstellungen zur Vali-

dierung des numerischen 2D-Modells

Setup Eigenschaft Wert Einheit

Anregungsquelle LDM 500 Laser

Ausgangsleistung 300 W

Pulsdauer τ0,21 s

Beleuchtungsfläche 68×68 mm×mm

Bestrahlungsenergie Q013625 Jm−2

IR-Kamera ImageIR®8300 hp

Wellenlänge 2-5,7 (MWIR) µm

Framerate 450 Hz

Auflösung 640 ×300 px×px

Objektive 100 mm

Kalibrierung -10 - 40 ◦C

Probe Stahl (1.0037)

Geometrie der Probe 50×60×9,9 mm×mm×mm

Abstand in Refl. IR-Kamera - Probe 0,90 m

Geometrische Auflösung 0,13 mmpx−1

entspricht der Detektorpixelline mit einer geometrischen Auflösung von 0,13 mmpx−1. Die

Mitte der Nut wird mit x= 0 definiert.

Die numerische Simulation des PT-Experiments ist in Kapitel 4.4.3 beschrieben. Durch die

symmetrische Geometrie der Probe und zur Reduzierung der Rechenzeit wird zum einen nur

eine Hälfte der Nut modelliert und zum anderen das thermische Verhalten in y-Richtung

vernachlässigt. Somit kann ein 2D-Modell verwendet werden. Die experimentellen Daten

Texp(t,x)geben den x-Koordinatenvektor vor, welcher auch für die simulierte Temperatur

Tsim(t,x)verwendet wird, damit die Temperaturen im Rekonstruktionsalgorithmus vergli-

chen werden können (siehe Kapitel 4.5.2).

4 Methoden und mathematische Modelle

Die thermischen Eigenschaften, die Geometrie und die thermischen Verluste werden als feste

Parameter definiert. Der effektive Verlustparameter hbeträgt 10 Wm−2K−1(typischer Wert

für Stahlproben [133]). Aufgrund des hohen thermischen Diffusionsvermögens von Stahl ha-

ben die thermischen Verluste nur einen sehr geringen Einfluss auf den Temperaturverlauf,

d.h. hmuss nicht exakt bekannt sein. Häufig werden die thermischen Verluste vernachlässigt

(vergleiche z.B. [67,112,134]). Somit ist nur die Energie Qein Fitparameter. Zur Vollstän-

digkeit sind in Tabelle 4.10 alle Parameter des numerischen 2D-Modells aufgelistet.

Tabelle 4.10: Parameter zur Validierung des numerischen 2D-Modells

Parameter Bedeutung Wert Einheit

BBreite der Probe 60 mm

LDicke der Probe 9,9 mm

wBreite der Nut 5 mm

dRestwanddicke 3,12 mm

DDiffusivität der Probe 1,4×10−5m2s−1

QGesamtenergie pro Fläche Fitparameter Jm−2

kWärmeleitfähigkeit der Probe 50 Wm−1K−1

hWärmeverlust Parameter 10 Wm−2K−1

τLaser Pulslänge 0,21 s

Die Ergebnisse der Validierung der mathematischen Modelle sind in Kapitel 6.1 beschrie-

ben.

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und

Fehlstellen

In diesem Kapitel erfolgt die Versuchsbeschreibung und Durchführung verschiedener PT-

Experimente an verschiedenen Prüfkörpern. Ziel ist es, die Geometrie von Fehlstellen in

teiltransparenten Materialien mittels PT-Experimenten und mathematischen Modellen zu

quantifizieren. Dabei werden 1D- und 2D-Modelle verwendet. Zuerst wird das 1D-Modell

an einem GFK-Prüfkörper ohne Fehlstelle überprüft, ob dieses auch heterogene Materialien

beschreiben kann. Anschließend wird mittels 2D-Modellen die Geometrie künstlicher Fehl-

stellen in Form von Nuten in teiltransparentem PVC quantifiziert. Abschließend wird die

Durchführung zur Quantifizierung der Tiefe einer Delaminationen in einem GFK-Prüfkörper

beschrieben.

Die in den Abschnitten 4.7.1 bis 4.7.3 beschriebenen Methoden wurden bereits in [89,92,95]

veröffentlicht und werden hier größtenteils wie in [89,92,95] besprochen wiedergegeben.

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und Fehlstellen

4.7.1 Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen

Konfigurationen

Die Bestimmung der Materialparameter (Diffusivität und Absorptionskoeffizienten im Wel-

lenlängenbereich der Anregungsquelle) in verschiedenen Konfigurationen erfolgt an der GFK-

Nanolam-Probe (siehe Kapitel 4.2). Es wurden PT-Experimente in T- und R-Konfiguration

durchgeführt, dabei wurde die Probe unbeschichtet und mit einer Graphit-Beschichtung un-

tersucht. Die Beschichtung erfolgte einmal an der Vorderseite (orientiert zur Anregungsquelle)

und einmal an der Rückseite. Die Schichtdicke der Graphitschicht betrug 20 µm. Somit erga-

ben sich sechs verschiedene Messkonfigurationen (RVB, TVB, RUB, TUB, RRB und TRB)

(vergleiche Abbildung 4.11). Für diese sechs Konfigurationen wurden die Diffusivität und die

Absorptionskoeffizienten im Wellenlängenbereich der Anregungsquelle bestimmt und unter-

einander verglichen. Tabelle 4.11 listet das verwendete Setup und deren Einstellung auf.

Tabelle 4.11: Verwendetes Setup für die PT-Experimente an GFK-Nanolam-Proben und deren

Einstellungen.

Setup Eigenschaft Wert Einheit

Anregungsquelle LDM 500 Laser

Ausgangsleistung 300 W

Pulsdauer τ0,14 s

Beleuchtungsfläche 68×68 mm×mm

IR-Kamera ImageIR®8800

Wellenlänge 8-9,4 (LWIR) µm

Framerate 200 Hz

Auflösung 160 ×128 px×px

Objektive 100 mm

Kalibrierung 0 - 60 ◦C

Probe GFK mit weißen Pigmenten

Geometrie der Probe 150×115×3,12 mm×mm×mm

Beschichtung Graphit

Abstand in Trans. IR-Kamera - Probe 0,95 m

Geometrische Auflösung In Transmission 1,4 pxmm−1

Abstand in Refl. IR-Kamera - Probe 1,42 m

Geometrische Auflösung In Reflexion 1,0 pxmm−1

Die Modellierung der semi-analytischen Modelle erfolgt mit der Quadrupole-Methode (siehe

Kapitel 4.4.1 bzw. 4.4.2). Das Modell kann in seiner Komplexität an die unterschiedlichen

Randbedingungen angepasst werden. Tabelle 4.12 zeigt die spezifischen Randbedingungen so-

wie die Eigenschaften der verwendeten mathematischen Modelle für die Rekonstruktion der

experimentellen Daten. Für alle Modelle werden an der Vorder- und Rückseite thermische

Verluste modelliert (siehe Gleichung 4.25).

4 Methoden und mathematische Modelle

Tabelle 4.12: Semi-analytische Modelle zur Beschreibung von PT-Experimenten in verschie-

denen Konfigurationen.

Eigenschaft O1L O2LR 1L1α1L2α1L1αO 1L1αO 2L2αOR

Probenorientierung VB VB UB UB RB RB RB

Schichten 1 2 1 1 1 1 2

Absorptionskoeffizient - - 1 2 1 2 2

Absorption an der Vorderseite x x - - - - -

Absorption an der Rückseite - - - - x x x

Randbedingungen54.20 4.20 4.16 4.19 4.16, 4.21 4.19, 4.21 4.19, 4.21

Freier Parameter D,Q,h D,Q,hD,Q,h

D,Q,h

α1,α2,f1

D,Q,h

α1,α1,f1

D,Q,h

Fester Parameter L,k,τ L,k,τ,R

Dg,Lg,kg

L,k,τ L,k,τ L,k,τ L,k,τ L,k,τ,R

Dg,Lg,kg

Tabelle 4.13 fasst alle Parameter der mathematischen Modelle zusammen. Für jedes Modell

werden die absorbierte Energie Q, die thermischen Verluste h, die Diffusivität Dund, falls die

Transparenz der Probe berücksichtigt werden muss, die Absorptionskoeffizienten (αoder α1,

α2und f1) berücksichtigt. Für alle Modelle sind die Schichtdicken L, die Wärmeleitfähigkeit

kund die Dauer des Anregungsimpulses τfeste Parameter.

Tabelle 4.13: Parameter der mathematischen Modelle.

Parameter Bedeutung Wert Einheit

LSchichtdicke der Probe 3,14±0,02 mm

LgSchichtdicke von Graphit 20 µm

DDiffusivität von Probe Fitparameter m2s−1

DgDiffusivität von Graphit 8×10−5m2s−1

αiEffektiver Absorptionskoeffizient Fitparameter m−1

faGewichtungsfaktor Fitparameter -

QGesamtenergie pro Fläche Fitparameter Jm−2

kWärmeleitfähigkeit der Probe 0,3Wm−1K−1

kgWärmeleitfähigkeit von Graphit 68 Wm−1K−1

hWärmeverlust-Parameter Fitparameter Wm−2K−1

RThermischer Übergangswiderstand 6×10−5Km2W−1

τLaser-Pulslänge 0,14 s

Die Ergebnisse der Quantifizierung von Materialeigenschaften sind in Kapitel 6.2 beschrie-

ben.

4.7.2 Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen

Ziel ist es, die Nut-Breite wund die Restwanddicke dzu bestimmen. Aufgrund von lateralen

Wärmeflüssen im Material wird ein 2D-Modell verwendet.

5Gleichungen zur Berücksichtigung der Teiltransparenz

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und Fehlstellen

An drei verschiedenen PVC-Proben (siehe Kapitel 4.2) wurden PT-Experimente in R-Konfi-

guration durchgeführt. Die Probe PVC 3 wurde mit und ohne Graphitbeschichtung unter-

sucht. Die PT-Experimente an den Proben PVC 2 und PVC 1 erfolgten ohne Beschichtung.

Die Graphitbeschichtung an Probe 3 verhindert, dass die IR-Kamera Strahlung aus dem Inne-

ren des Materials empfängt. Somit muss für die Simulation nur ein opaker Körper modelliert

werden. Für die unbeschichteten Proben wird die Teiltransparenz im Wellenlängenbereich der

IR-Kamera berücksichtigt.

Die Durchführung der PT-Experimente erfolgt wie in Kapitel 6.1.2 beschrieben. Dabei wird

die Leistung des Lasers variiert und beträgt für die unbeschichteten Proben 250 W und für

die beschichtete Probe 170W. Das numerische 2D-Modell entspricht dem Modell aus Kapitel

6.1.2.

Die Aufbereitung der experimentellen und simulierten Daten für den Rekonstruktionsalgo-

rithmus erfolgt wie in Kapitel 6.1.2 (2D-Modell). Tabelle 4.14 fasst alle Parameter des nume-

rischen Modells zusammen.

Tabelle 4.14: Parameter der numerischen 2D-Modelle für die PT-Experimente an PVC-

Proben.

Parameter Bedeutung Wert Einheit

BBreite der Probe 48 mm

LDicke der Probe 7,8 mm

wBreite der Nut Fitparameter mm

dRestwanddicke Fitparameter mm

DDiffusivität der Probe 1,4×10−7m2s−1

QEnergie pro Fläche Fitparameter Jm−2

kWärmeleitfähigkeit der Probe 0,2Wm−1K−1

βEffektiver Absorptionskoeffizient 6500 m−1

hWärmeverlust-Parameter Fitparameter Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge 0,21 s

Das Modell erfordert Startwerte für dund w. Die unbekannten Werte (Fitparameter) wurden

zunächst geschätzt. Es stellte sich heraus, dass die Anfangswerte erheblich von den realen

Werten abweichen können und der Rekonstruktionsalgorithmus trotzdem zu den richtigen

Werten konvergiert.

Die Ergebnisse der Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen sind in Kapitel 6.3 beschrie-

ben.

4.7.3 Quantifizierung von realen Fehlstellen

An der GFK-Probe mit Delamination, vergleiche Kapitel 4.2, soll die Tiefe der Delamination

quantifiziert werden. Ein PT-Experiment wurde an dieser Probe in R-Konfiguration (RUC)

durchgeführt. Die Probe ist für die eingesetzte MWIR-Kamera und Anregungsquelle (Laser)

teiltransparent. Das verwendete Setup und deren Einstellungen für das PT-Experiment ist in

4 Methoden und mathematische Modelle

Tabelle 4.15 aufgelistet. Eine Skizze des Versuchsaufbaus ist in Abbildung 4.19 dargestellt.

Der aufgeweitete Laserstrahl mit der Fläche A68 wurde so ausgerichtet, dass Bereiche mit

und ohne Delamination in der Probe, beleuchtet wurden.

IR-Kamera

GFK Probekörper

Laser

Delamination

Abbildung 4.19: Skizze des Versuchsaufbaus. Der Laser ist mittig zur Delamination ausge-

richtet.Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH:

Springer Nature International Journal of Thermophysics [95] ©(2020).

Tabelle 4.15: Verwendete Setup für das PT-Experiment an der GFK-Probe mit Delamination

und deren Einstellungen

Setup Eigenschaft Wert Einheit

Anregungsquelle LDM 500 Laser

Ausgangsleistung 300 W

Pulsdauer τ0,375 s

Beleuchtungsfläche 68 ×68 mm×mm

IR-Kamera ImageIR®9300

Wellenlänge 3-5 (MWIR) µm

Framerate 20 Hz

Auflösung 640 ×512 px×px

Objektiv 50 mm

Kalibrierung 0 - 60 ◦C

Probe GFK mit Delamination

Geometrie der Probe 250×50×5 mm×mm×mm

Beschichtung Graphit

Geometrische Auflösung In Reflexion 7,5 pxmm−1

Abbildung 4.20 zeigt eine Skizze der GFK-Probe. Der schraffierte Bereich zeigt den Be-

reich der Delamination in der Probe. Das Quadrat mit der gestrichelten Linie beschreibt den

Bereich der Datenauswertung, jenes mit der Strich-Punkt-Line die Beleuchtungsfläche des

aufgeweiteten Lasers. Die Punkte A und B sowie der Schnitt C-C dienen zur Orientierung

für die Ergebnisse, welche in Kapitel 6.4 beschrieben sind.

Anstelle einer 3D- oder 2D-Rekonstruktion der Delaminationsgeometrie wurden die expe-

rimentellen Daten mit einem 1D-Modell ausgewertet, um die Komplexität und die Berech-

nungszeit zu reduzieren. Der aufgezeichnete Film mit 3640 Thermogrammen wurde auf 233

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und Fehlstellen

Thermogramme reduziert, um die Auswertung der experimentellen Daten weiter zu beschleu-

nigen. Dies entspricht 100 Thermogrammen pro Zeitdekade und einem äquidistanten Zeit-

schritt auf der logarithmischen Zeitskala. Das Rauschen des thermografischen Signals wurde

durch räumliche Mittelung reduziert. Der Bereich der Datenauswertung wurde in 27 ×24

Regions of Interest (ROI) unterteilt. Die Größe einer ROI beträgt 15px ×15 px (2mm ×

2mm).

C-C

Laser: A68×68

Datenauswertung 27 ×24 ROIs

Bereich der Delamination

x /mm

C240 mm x 50mm x 5 mm

48 82 116

Nut

Abbildung 4.20: Skizze der GFK-Probe mit Delamination. Ein Foto der Probe ist in Abbil-

dung 4.5 zu sehen. Die Strich-Punkt-Linie zeigt den Beleuchtungsbereich des aufgeweiteten

Lasers, die gestrichelte Linie den Bereich der Datenauswertung (entspricht 27 ×24 ROI). Der

schraffierte Bereich zeigt, in welchem Bereich der Probe eine Delamination vorliegt. Die Posi-

tionen A (x= 68 mm | y= 26 mm) und B (x= 90 mm | y= 26 mm) dienen zur Orientierung

und werden für die Datenauswertung benötigt (siehe Kapitel 6.4). Reproduziert mit Geneh-

migung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International

Journal of Thermophysics [95] ©(2020).

Die Datenauswertung der Messdaten beschreibt das folgende Diagramm (Abbildung 4.21).

Zuerst wurden für alle ROIs die experimentellen Daten mit einem 1-Schicht-Modell rekon-

struiert, um zu überprüfen, ob an der Position eines ROI eine Delamination vorliegt oder

nicht. Dies erfolgte indem die Dicke des Materials Lfür jedes ROI gefittet wurde. Wenn

die Ergebnisse des 1-Schicht-Modells (semi-analytisches 1L1α1β-Modell) zu stark von den

experimentellen Daten abweichen, z.B. ζ > 0,3(Gleichung 4.48), ist eine Delamination in-

nerhalb des Probekörpers sehr wahrscheinlich. In diesem Fall werden die Daten mit einem

2-Schicht-Modell (numerisches 2L1α1βR-Modell) analysiert, um die Tiefe der Delamination

zu bestimmen. Dafür wurde die Tiefe der Delamination L1und der thermische Übergangs-

widerstand Rgefittet. Die Gesamtdicke der Probe L= 5 mm wurde als fester Parameter

definiert. Für ζ > 0,3reicht das 1D-Modell zur Beschreibung der experimentellen Daten

nicht mehr aus. Dies zeigte die Auswertung der 1D-Modelle, beschrieben in Kapitel 6.4.

Das 1L1α1β-Modell entspricht exakt dem 1L1α1β-Modell, welches in Tabelle 4.13 beschrie-

ben wird, das numerische 2L1α1βR-Modell entspricht dem Modell für die Sensitivitätsstudie

in Kapitel 4.4.5. Für beide Modelle werden die optischen und thermischen Parameter als

4 Methoden und mathematische Modelle

Messdaten mit dem 1L1α1β-

Modell rekonstruieren

ζ2<0,3?

Messdaten mit dem 2L1α1βR-

Modell rekonstruieren

ζ2<0,3?

Keine Delamina-

tion vorhanden

Tiefe der De-

lamination L1

Ein komplexeres Mo-

dell wird benötigt

Nein

Abbildung 4.21: Diagramm zum Ablauf der Datenauswertung. Reproduziert mit Genehmigung

von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal

of Thermophysics [95] ©(2020).

feste Parameter und die Energie und der thermische Verlustparameter als freie Parameter

definiert. Tabelle 4.16 fasst alle Parameter der beiden mathematischen Modelle zusammen.

Tabelle 4.16: Parameter der 1D-Modelle zur Auswertung der PT-Messdaten. Die Parameter

Rund L1werden nur im 2-Schicht-Modell verwendet. *Startwerte. **Freier Parameter für

das 1-Schicht-Modell und fester Parameter für das 2-Schicht-Modell.

Symbol Bedeutung Fit Wert Einheit

LDicke der Probe Fest/Frei** 5** mm

L1Tiefe der Delamination Frei 2* mm

RÜbergangswiderstand Frei 0,001* s

D,k,α,β Materialparameter Fest Kapitel 4.2 -

QEnergie pro Fläche Frei 150000* Jm−2

hWärmeverlust-Parameter Frei 13* Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge Fest 0,375 s

Für den Rekonstruktionsalgorithmus werden alle Datenpunkte für t>5s berücksichtigt.

Somit reduziert sich noch einmal die Rechenzeit der mathematischen Modelle. Dies ist ge-

rechtfertigt, da der Temperaturverlauf bei kleinen Zeiten vor allem durch die optischen Ein-

genschaften des Materials bestimmt wird und nicht durch die Tiefe der Delaminantion (siehe

Kapitel 4.4.4).

4.7 Quantitative Bestimmung von Materialeigenschaften und Fehlstellen

Synthetische PT-Daten

Zur Überprüfung der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit einem 1D-Modell wer-

den synthetische experimentelle Daten mit einem 2D-Modell erzeugt, um diese ebenfalls mit

einem 1D-Modell zu rekonstruieren. Das 2D-Modell beschreibt das reale Experiment. Der

Vorteil von synthetischen experimentellen Daten ist, dass alle Parameter bekannt sind, vor

allem L1,Rund h, welche sonst nicht exakt bekannt sind. Zudem können die Randbedin-

gungen einfach verändert werden, wie z.B. die Größe der Anregungsfläche Ai.

Mit einem numerischen 2D-Modell (x-z-Richtung) in Comsol wurden zwei verschiedene syn-

thetische experimentelle Datensätze (synthPTi) erzeugt. Die Geometrie des Modells ent-

spricht dem Schnitt C - C aus Abbildung 4.20, dabei wird die komplette Probe modelliert

(von x= 0 mm bis x= 240 mm). Die Nut wurde dabei vernachlässigt, um das Modell zu

vereinfachen und da dieser Bereich der Probe nicht ausgewertet wird. Es wurden dieselben

Randbedingungen wie für das eindimensionale 2Lα1βR-Modell berücksichtigt. Die Delamina-

tion wurde über einen thermischen Übergangswiderstand mit R= 0,01 Km2W−1in der Tiefe

z= 3,3mm und von x= 82 mm bis x= 240 mm modelliert. In der ersten 2D-Simulation

wurde nur ein Teil der Probe beleuchtet von x= 48 mm bis x= 116 mm, genau wie im

PT-Experiment mit der Laseraufweitung A68. Das Ergebnis ist der Datensatz synthPTA68.

In der zweiten 2D-Simulation wurde die gesamte Probe beleuchtet. Dieses Ergebnis wird mit

dem Datensatz synthPTA240 bezeichnet. Die Auswertung der synthetischen Datensätze er-

folgt analog zur Auswertung der experimentellen PT-Messdaten. Die verwendeten Parameter

für die zwei 2D-Simulationen zeigt Tabelle 4.17.

Mit den Ergebnissen der beiden Datensätze kann der Einfluss der lateralen Wärmeleitung

auf die Parameter der mathematischen Modelle verglichen werden. Denn aufgrund der be-

grenzten Anregungsfläche A68 wird sich schon von Beginn an ein lateraler Wärmefluss im

Material, vor allem zu den Rändern der Anregungsfläche hin, einstellen.

Tabelle 4.17: Parameter für das numerische 2D-Modell zur Berechnung der synthetischen PT-

Daten. *Die Anregungsfläche entspricht bei einer 2D-Simulation einer Anregungslinie. **Die

Anregungslinie beginnt bei x= 48 mm und endet bis x= 116 mm.

Symbol Bedeutung Wert Einheit

LDicke der Probe 5 mm

L1Tiefe der Delamination 3,3 mm

RÜbergangswiderstand 0,01* Km2W−1

D,k,α,β Materialparameter Kapitel 4.2 -

QEnergie pro Fläche 150000 Jm−2

hWärmeverlust-Parameter 13 Wm−2K−1

τLaser-Pulslänge 0,4 s

A68/240 Anregungsfläche* 68**/240 mm

Die Ergebnisse der Quantifizierung der Delamination sind in Kapitel 6.4 beschrieben.

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

In Kapitel 4.3.2 wurde erläutert, dass die mathematische Modellierung einer IR-Kamera für

die Rekonstruktion von PT-Messdaten nur das Temperaturfeld berücksichtigt. Die Annah-

me, dass die spektrale Ausstrahlung proportional zur Temperatur ist, gilt nur für sehr kleine

Temperaturdifferenzen (∆TT). Somit wird in diesem Kapitel untersucht, welche Parame-

ter des mathematischen Modells, welches die Temperaturverteilung in einem Material durch

ein PT-Experiment beschreibt, durch diese Vereinfachung beeinflusst werden können. Des

Weiteren wird für die Modellierung eine konstante spektrale Empfindlichkeit der IR-Kamera

angenommen, was aber bei den verwendeten IR-Kameras nicht zutrifft. Daher werden in den

folgenden Abschnitten zwei Fragen thematisiert und beantwortet:

1. Wie erfolgt die mathematische Modellierung einer IR-Kamera, wenn diese Strahlung

aus dem Volumen empfängt? Und unter welchen Randbedingungen sollte Gleichung

4.3 (berücksichtigt keine Strahlungstherme) nicht mehr verwendet werden, wenn expe-

rimentelle Daten einer IR-Kamera rekonstruiert werden sollen?

2. Wie kann die spektrale Empfindlichkeit einer IR-Kamera, d. h. des gesamten Messsys-

tems einschließlich Optiken und internen Filtern, bestimmt werden?

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras

In Kapitel 2.2.2 wurde die Funktionsweise einer IR-Kamera nur in wenigen Sätzen beschrie-

ben. In diesem Abschnitt erfolgt eine detaillierte Beschreibung der Funktionsweise einer IR-

Kamera. Dabei wird erläutert, wie das Ausgangssignal der IR-Kamera, bevor eine Tempera-

tur berechnet wird, mathematisch modelliert werden kann. Dafür wird zunächst beschrieben,

welche Strahlungstherme eine IR-Kamera empfängt und wie die Umrechnung zwischen Aus-

gangssignal der IR-Kamera und der dazugehörigen Temperatur erfolgt. Danach wird unter-

sucht, welchen Einfluss die Temperaturmessung bzw. die scheinbare Temperaturmessung bei

teiltransparenten Materialien auf die Temperaturentwicklung hat. Somit wird in den folgen-

den Abschnitten die erste Fragestellung thematisiert und beantwortet.

5.1.1 Strahlungsbilanz

Bei einem PT-Experiment detektiert die IR-Kamera Wärmestrahlung vom untersuchten Ob-

jekt, von der Umgebung und von der Atmosphäre (siehe Abbildung 5.1).

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

ΦU

ΦA

TOεOΦBB

OΦBB

(1 −εO)ΦU˜τA(1 −εO)ΦU

˜τAεOΦBB

(1 −˜τA)ΦA

Umgebung

Objekt Atmosphäre IR-Kamera

Abbildung 5.1: Strahlungsbilanz - Eine IR-Kamera empfängt Strahlung von dem Prüfobjekt,

der Umgebung und der Atmosphäre.

Zur Vereinfachung wird ein opaker, diffuser, grauer Körper (Emissionsgrad ε(λ)und Refle-

xionsgrad ˜r(λ)sind unabhängig von der Wellenlänge) betrachtet. Die Wärmestrahlung des

Körpers ΦO(TO)berechnet sich aus der Wärmestrahlung eines idealen Schwarzkörperstrah-

lers (BB) mit Objekttemperatur TOund dem Emissionsgrad εO(ΦO(TO) = εOΦBB

O(TO)).

Die Wärmestrahlung der Umgebung ΦU(TU)— betrachtet wird ein geschlossener Raum,

welcher gleichmäßig temperiert ist — wird auf der Oberfläche des Körpers mit ˜r= 1 −εO

reflektiert. Die Atmosphäre absorbiert einen Teil der Wärmestrahlung, welcher durch den

Transmissionsgrad ˜τAder Atmosphäre beschrieben wird. Mit der Annahme, dass die Trans-

mission der Atmosphäre durch Absorption dominiert wird (Streuung wird vernachlässigt),

emittiert die Atmosphäre Wärmestrahlung mit (1 −˜τA)ΦA(TA)[114]. Die empfangene Wär-

mestrahlung der IR-Kamera berechnet sich aus der Summe der Wärmestrahlungsanteile wie

folgt:

ΦIR−K= ˜τAεOΦBB

O(TO) + ˜τA(1 −εO)ΦU(TU) + (1 −˜τA)Φ(TA).(5.1)

Bei einem PT-Experiment wird das zeitliche Temperaturverhalten des Materials mit der IR-

Kamera detektiert. Vor Beginn der Experimente t<t0ist der Probekörper im thermischen

Gleichgewicht mit der Umgebung, damit nur das thermische Verhalten des Materials auf-

grund der aktiven Anregung untersucht werden kann. Zu einem späteren Zeitpunkt tinach

der Anregung ist somit nur die Temperaturänderung von Interesse. Wenn sich die Umge-

bungstemperatur nicht ändert, dann ist die Wärmestrahlungsdifferenz zum Zeitpunkt tinur

noch vom Emissionsgrad, dem Transmissionsgrad und der Objekttemperatur abhängig:

∆Φi,IR−K= ΦIR−K(ti)−ΦIR−K(t0) = εO˜τAΦBB

O(TO(ti)) −ΦBB

O(TO(t0)).(5.2)

Wenn der Transmissionsgrad der Atmosphäre und der Emissionsgrad des Objektes tempera-

turunabhängig sind, dann ist die detektierte Wärmestrahlungsdifferenz direkt proportional

zur Wärmestrahlungsänderung des Objekts, d.h. das empfangene Nettosignal der IR-Kamera

hängt linear mit dem Emissionsgrad zusammen. Dies ist der Grund, warum für die Rekon-

struktion von experimentellen Daten die Energie pro Fläche Qimmer ein Fitparameter sein

muss, wenn der Emissionsgrad nicht bekannt ist. Der Emissionsgrad verändert nur die Am-

plitude des gemessenen Signals, genau wie die Energie pro Fläche (siehe Kapitel 4.4.4). Für

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras

die Berechnung von Absoluttemperaturen ist der Emissionsgrad zwingend notwendig. Bei

kleinen Temperaturänderungen ist der Transmissionsgrad der Atmosphäre und der Emis-

sionsgrad des Objekts temperaturabhängig. Die Umwandlung der Wärmestrahlung in eine

Temperatur wird im nächsten Abschnitt erläutert.

5.1.2 IR-Kamera-Kalibrierung/Justage

IR-Kameras fungieren als Wandler, welche elektromagnetische Strahlung in elektrische Si-

gnale umwandeln. Diese werden wiederum mit Kalibrierkurven in Temperaturen umgerech-

net. Die Kalibrierkurven werden mittels Kalibrierstrahlern bzw. Schwarzkörperstrahlern bei

verschiedenen Temperaturen erstellt. Es werden Schwarzkörperstrahler verwendet, da zum

einen ihre radiometrischen Größen, wie z.B. die spektrale Ausstrahlung, eindeutig definiert

sind und zum anderen der Emissionsgrad sehr nah bei 1 liegt. Eigenschaften von Kalibrier-

strahlern sind ausführlicher in der VDI/VDE 3511 [135] aufgeführt. Es wird für verschiedene

Temperaturen das Ausgangssignal Sout der IR-Kamera (als Digitalwert DV) bestimmt, um

eine Kalibrierkurve zu erstellen, welche als Lookup-Tabelle dient. Das genaue Kalibrierver-

fahren für Thermografiekameras wird in VDI/VDE 5585 Blatt 2 [36] beschrieben.

Für die Berechnung des Ausgangssignals Sout muss zunächst der grobe Aufbau einer IR-

Kamera bekannt sein. Die Hauptkomponenten einer IR-Kamera sind die Optik, der Detek-

tor, die Kühlung bzw. Temperaturstabilisierung des Detektors, die Elektronik für Signal- und

Bildverarbeitung sowie der grafische Benutzerschnittstelle (GUI) (siehe Abbildung 5.2).

IR-Optik

Filter Elektronik/

Detektor

GUI

Sensoren

Strahlung

Software

Abbildung 5.2: Relevante Komponenten einer IR-Kamera.

Aus der einfallenden Strahlung wird mittels der IR-Optik und eventuell zusätzlich einge-

bauter Filter die IR-Strahlung herausgefiltert, welche anschließend auf den Detektor fällt.

Die spektrale Empfindlichkeit des Detektors wird durch das verwendete Detektormaterial

vorgegeben. Bei zu hohen Intensitäten wird die IR-Strahlung mittels internen Filtern (z.B.

Bandpass, Langpass, Kurzpass oder Neutraldichtefilter) reduziert. Der Detektor integriert

über eine bestimmte Zeitspanne (sog. Integrationszeit tint ) die empfangene IR-Strahlung auf

und wandelt diese in elektrische Signale (sog. Ausgangssignal) um. Für die Wärmestrahlungs-

differenz (Gleichung 5.2, die Umgebungsstrahlung muss nicht berücksichtigt werden) hängt

das Ausgangssignal somit von folgenden Faktoren ab [114,136]:

•Temperatur bzw. spezifische Ausstrahlung Mλdes Schwarzkörperstrahlers

•Spektrale Empfindlichkeit des Detektors

•Bildwiederholrate (Integrationszeit)

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

•Bildmodus (Full Frame (FF), Half Frame oder Quarter Frame (oder beliebiger Aus-

schnitt)

•Spektrale Abhängigkeit des Transmissions- und Reflexionsgrades der Optik

•Geometrie der Optik

•Spektrale Abhängigkeit des Transmissions- und Reflexionsgrades interner Filter

•Spektrale Abhängigkeit des Transmissionsgrades der Umgebungsatmosphäre ˜τA.

Die Beschreibung des Funktionsprinzips von IR-Detektoren (thermische Detektoren, Quan-

tendetektoren) und der Anordnung von Detektoren (Einzelelementdetektor, mit 2D-Abtastung,

Zeilendetektor oder Detektormatrix) erfolgt in dieser Arbeit nicht, da dies für die Modellie-

rung hier nicht relevant ist. Die verschiedenen Detektoren werden in [22] klassifiziert und

in [114] erläutert.

Für eine IR-Kamera, welche im Wellenlängenbereich von λubis λosensitiv ist, kann das

Ausgangssignal nach Gleichung 5.1 berechnet werden:

Sout,opak =

tint

λo

λub

S(λ) [˜τAεOMλ(TO,λ) + ˜τA(1 −εO)Mλ(TU,λ) + (1 −˜τA)Mλ(TA,λ)] dλdt.

(5.3)

Die spektrale spezifische Ausstrahlung Mλfür die verschiedenen Temperaturen TO,TUund

TAwird zwischen λubis λound von 0 bis tint integriert. Dabei werden der Emissionsgrad

εO, der Transmissionsgrad ˜τAund die spektrale Empfindlichkeit des IR-Kamerasystems b

S(λ)

in DVm2W−1s−1berücksichtigt. Die spektrale Empfindlichkeit des IR-Kamerasystems be-

schreibt die Eigenschaften der Optik, der Filter und des Detektors und ist somit für jedes

Objektiv oder jeden internen Filter spezifisch, d.h. für jede Kombination von Objektiven und

internen Filtern muss b

S(λ)neu berechnet werden. Abbildung 5.3 zeigt verschiedene Kali-

brierkurven der IR-Kamera ImageIR®8300 hp bei FF und mit Verwendung eines 25 mm

Objektivs. Die Integrationszeit definiert dabei die Kalibrierbereiche.

-100

2.5

3.5

Ausgangssignal /DV

104

0 100 200

Temperatur /◦C

Abbildung 5.3: (a) Kalibrierkurven für drei

verschiedene Integrationszeiten bzw. Kalibrier-

bereiche der IR-Kamera (ImageIR®8300 hp)

in FF und bei 23◦CUmgebungstemperatur.

Messpunkte außerhalb des Kalibrierbereichs

sind nicht gültig.

Für die IR-Kamera ImageIR®8300 hp liegt der theoretische Aussteuerungsbereich des Detek-

tors im Digitalisierungsbereich von 16384 DV bis 32768 DV [136]. Es wird nur ein begrenzter

Bereich von min. 19000 DV bis max. 28500 DV für die Kalibrierung verwendet, da der Detek-

tor zum einen ein sog. Dunkelsignal besitzt, welches abhängig von der Kameratemperatur und

der Integrationszeit ist, und zum anderen auf keinen Fall die Sättigungsgrenze erreicht werden

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras

darf. D.h. für Datenpunkte außerhalb dieses Bereiches ist die Kalibrierung nicht gültig. Des

Weiteren kann im gültigen Bereich die Kennlinie des Detektors linear zur Integrationszeit

betrachtet werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die IR-Kamera Strahlung empfängt, welche in einen

Digitalwert umgewandelt wird. Dieser wird anschließend mittels einer Kalibrierkurve in eine

Temperatur umgerechnet. Die Kalibrierkurven gelten ausschließlich für konstante Tempera-

turen, d.h. während der Integration der Strahlung ändert sich die Temperatur (die spezifische

Ausstrahlung) nicht. Wie bereits in Kapitel 2.2.2 erläutert, empfängt die IR-Kamera bei teil-

transparenten Materialien im Wellenlängenbereich der IR-Kamera Strahlung nicht nur von

der Oberfläche, sondern auch aus dem Volumen. Dies bedeutet, dass die IR-Kamera bei einem

Temperaturgradienten im Material Strahlung aus dem Volumen von verschiedenen Tempe-

raturen empfängt. Die hinterlegten Kalibrierkurven berücksichtigen dies aber nicht. Im fol-

gendem Kapitel wird diese Problematik aufgegriffen, um den Einfluss bei teiltransparentem

Material zu untersuchen.

5.1.3 Einfluss bei teiltransparentem Material

In Kapitel 4.3.2 wurde beschrieben, wie die Teiltransparenz eines Materials im Wellenlängen-

bereich einer IR-Kamera mathematisch modelliert werden kann. Die Temperaturverteilung im

Volumen wird mit einer Gewichtungsfunktion nach dem Lambert-Beer’schen Gesetz gewichtet

(siehe Gleichung 4.3). In dieser Gleichung werden grundsätzlich nur Temperaturen berück-

sichtigt. Da die IR-Kamera aber Strahlung empfängt, muss nicht die Temperatur, sondern

die Strahlung mit dem Lambert-Beer’schen Gesetz gewichtet werden. Das Ausgangssignal

einer IR-Kamera berechnet sich somit mit Gleichung 5.3 und 2.17 (ohne Berücksichtigung

der Wärmestrahlung der Umgebung und der Atmosphäre):

Sout,β =

∞

tint

λo

λu

Mλ(T(t,z),λ)ε(λ)b

S(λ)˜τA(λ)β(λ)exp(−zβ(λ))dλdt dz.(5.4)

Der Absorptionskoeffizient β(λ)wird durch das untersuchte teiltransparente Material vorge-

geben.

Im Folgenden wird der Unterschied zwischen den Temperaturverläufen für ein teiltransparen-

tes Material im Wellenlängenbereich der IR-Kamera bei PT untersucht, wenn die Temperatur-

verteilung im Material zum einen als Strahlung und zum anderen als Temperatur betrachtet

wird. Es werden zwei Berechnungsmethoden verglichen. Rechenweg 1 erfolgt ohne Berech-

nung des Strahlungsfeldes nach Gleichung 4.3. Dies entspricht einer virtuellen IR-Kamera,

welche nur Temperaturen betrachtet (T-IR-Kamera). Rechenweg 2 hingegen entspricht einer

virtuellen IR-Kamera, welche das Strahlungsfeld berücksichtigt (M-IR-Kamera). Abbildung

5.4 zeigt den Ablauf für die zwei verschiedenen Rechenwege zur Berücksichtigung der Teil-

transparenz eines Materials.

Für einen homogenen, nicht streuenden, halbunendlichen Körper wird eine Temperaturver-

teilung T(t,z)im Material vorgegeben. Das Material ist im Wellenlängenbereich der IR-

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

Temperaturverteilung berechnen

T(t,z), Gl. 5.5 und 5.6

T-IR-Kamera

M-IR-Kamera

M(t,z)→Sout,β(t), Gl. 5.9

Gewichtung der Strahlung mit

dem Lambert-Beer’schen Gesetz

Sout,β(t)→ˇ

TSout,β (t), Abb. 5.6

Strahlung in Temperatur umrechnen

Vergleich: ˇ

TSout,β (t)mit ˇ

Tβ(t)

T(t,z)→ˇ

Tβ(t), Gl. 4.3

Gewichtung der Temperatur mit

dem Lambert-Beer’schen Gesetz

T(t,z)→M(t,z), Gl. 2.3 und 5.8

Temperatur in Strahlung umrechnen

Abbildung 5.4: Unterschiedliche Modellierung einer IR-Kamera für teiltransparente Materia-

lien im Wellenlängenbereich der IR-Kamera.

Kamera teiltransparent und für die Anregungsquelle opak. Der Energieeintrag erfolgt somit

an der Oberfläche, zum einen als Dirac-Delta-Puls und zum anderen als Rechteckpuls mit

endlicher Länge. Die relevanten Parameter und die Materialeigenschaften sind in Tabelle 5.1

aufgelistet. Gewählt wurden Materialeigenschaften, welche ungefähr den Eigenschaften von

Polymerwerkstoffen entsprechen. Mit den vorgegebenen Randbedingungen kann die Tempe-

raturverteilung analytisch (berechnet über den Laplace-Bereich) für eine Dirac-Puls-förmige

Anregung (entspricht Gleichung 2.14)

TDirac(t,z) = Q

√D

√πtexp −z2

4Dt !+TU(5.5)

und semi-analytisch für eine Anregung mit Rechteckpuls

L{TPuls(t,z,τ)}=Q

(1 −e−sτ)e−z√s

sτqs

+TU(5.6)

mit der Laplace-Variable s, der Pulsdauer τund der Umgebungstemperatur TUberechnet

werden. Die inverse Laplace-Transformation erfolgt nach [121]. Die Umgebungstemperatur

muss berücksichtigt werden, da später die spezifische Ausstrahlung berechnet wird und somit

die Absoluttemperaturen relevant sind. Diese Gleichungen berücksichtigen keine Teiltranspa-

renz im Wellenlängenbereich der IR-Kamera. Diese wird, wie in Abbildung 5.4 beschrieben,

berücksichtigt.

Abbildungen 5.5 (a) und (b) zeigen die Temperaturverteilung im Material während des PT-

Experiments für drei verschiedene Zeiten. Die drei Kreuze dienen zur Orientierung für Ab-

bildung 5.6. Das PT-Experiment beginnt bei t= 0.

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras

Tabelle 5.1: Randbedingungen und Materialeigenschaften zur Berechnung der Temperatur-

verteilung. *Gilt für den Wellenlängenbereich der IR-Kamera.

Beschreibung Wert Einheit

Wärmeleitfähigkeit k0,5WK−1m−2

Diffusivität D2,0E−7s2m−1

Absorptionskoeffizient β2500* m−1

Emissionsgrad ε1 -

Pulsdauer τ0,2s

Energie pro Fläche Q5000,50000 Jm−2

Anregungsform (δ,τ) Dirac- und Rechteck-Puls -

Sensitivität der IR-Kamera 2 bis 5,7 µm

Umgebungstemperatur TU295 K

t= 0,02 s

t= 0,2s

t= 2 s

Tiefe /mm

Temperatur /K

(a)

t= 0,02 s

t= 0,2s

t= 2 s

Tiefe /mm

Temperatur /K

(b)

Abbildung 5.5: Temperaturverteilung im Material bei Dirac-Impuls (a) und bei Anregung

mit Rechteckpuls (b) für drei verschiedene Zeiten. Die Anregung beginnt bei t= 0 . Die drei

Kreuze in (a) dienen zur Orientierung für Abbildung 5.6.

Die T-IR-Kamera berücksichtigt die Teiltransparenz nach Gleichung 4.3. Das Ausgangssignal

der M-IR-Kamera wird mit Gleichung 5.4 berechnet. Zur Vereinfachung wird angenommen,

dass die Sensitivität der virtuellen M-IR-Kamera im Wellenlängenbereich zwischen λuund

λokonstant ist mit b

S= 1, die Transmission der Atmosphäre ebenfalls τA= 1 beträgt, dass

der Absorptionskoeffizient wellenlängenunabhängig ist und dass der Detektor der virtuellen

M-IR-Kamera eine lineare Kennlinie besitzt (die Integrationszeit ist proportional zum Aus-

gangssignal). Das Integral der Integrationszeit muss somit nicht berücksichtigt werden. Die

Gleichung 5.4 vereinfacht sich zu

Sout,β(t) =

∞

Moder Sout,opak

z}| {

λo

λu

Mλ(T(t,z),λ)dλ βexp(−zβ)dz.(5.7)

Die Temperaturverteilung T(t,z)muss zuerst in die spektrale spezifische Ausstrahlung

Mλ(T,t,z)mit Gleichung 2.3 umgerechnet werden. Abbildung 5.6 (a) zeigt Mλfür drei ver-

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

schiedene Temperaturen.

Für reale IR-Kameras gelten die hinterlegten Kalibrierkurven nur für opake Materialien. So-

mit wird für die virtuelle M-IR-Kamera ebenfalls eine Kalibrierkurve für ein opakes Material

nach Gleichung 5.3 berechnet. Diese wird später für die Umrechnung von Sout,β(t)in eine

Temperatur benötigt. Die virtuelle M-IR-Kamera ist im Wellenlängenbereich von 2 µmbis

5,7µmsensitiv, was der IR-Kamera ImageIR®8300 hp (siehe Kapitel 4.3.2) entspricht. Die

Umrechnung von Temperatur in Strahlung ergibt sich mit den oben beschriebenen Vereinfa-

chungen zu

Sout,opak(T) = M(T) =

5,7µm

2µm

Mλ(λ,T)dλ(5.8)

was der spezifischen Ausstrahlung entspricht. Abbildung 5.6 (b) zeigt Sout,opak für Tempera-

turen von 290K bis 600 K. Die drei Kreuze auf der Kurve entsprechen den Temperaturen aus

Abbildung 5.5 (a), die dort ebenfalls mit einem Kreuz markiert sind.

T= 300 s

T= 320 s

T= 340 s

Wellenlänge /µm

Mλ/(T,λ)/Wm−2µm−1

(a) Temperatur /K

spezifische Ausstrahlung /Wm−2

(b)

Abbildung 5.6: (a) Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ(T,λ)für drei verschiedene Tempe-

raturen (die Kreuze in Abbildung 5.5 (a)). (b) Dazugehörige spezifische Ausstrahlung M(T)

bzw. Sout,opak berechnet nach Gleichung 5.8. Berücksichtigt wird der Wellenlängenbereich von

2µmbis 5,7µm. Diese Kurve entspricht der Kalibrierungskurve der virtuellen M-IR-Kamera.

Abbildung 5.7 zeigt die spezifische Ausstrahlung M(T,z,t)für die Temperaturverteilungen

aus Abbildung 5.5.

Da das Material im Wellenlängenbereich der Kamera teiltransparent ist, wird nun die Strah-

lungsverteilung mit dem Lambert-Beer’schen Gesetz gewichtet, das Ausgangssignal der M-

IR-Kamera ergibt sich mit Gleichung 5.7 zu

Sout,β(t) =

∞

M(T,z,t)βexp(−zβ)dz.(5.9)

Die Umrechnung von Sout,β(t)in eine scheinbare Temperatur ˇ

TSout,β(t)erfolgt über die Ka-

librierkurve der virtuellen M-IR-Kamera (Gleichung 5.8 oder Abbildung 5.6 (b)). Die Er-

gebnisse von ˇ

Tβ(t)und ˇ

TSout,β (t)sind in Abbildung 5.8 dargestellt. Die Umgebungstempe-

ratur TU= 295 K wurde subtrahiert. Zur Orientierung sind auch Temperaturverläufe oh-

ne Berücksichtigung der Teiltransparenz im Wellenlängenbereich der IR-Kamera dargestellt

5.1 Temperaturmessung mit IR-Kameras

t= 0,02 s

t= 0,2s

t= 2 s

Tiefe /mm

spezifische Ausstrahlung /Wm−2

(a)

t= 0,02 s

t= 0,2s

t= 2 s

Tiefe /mm

spezifische Ausstrahlung /Wm−2

(b)

Abbildung 5.7: (a) Spezifische Ausstrahlung M(T,z,t)im Material. Dirac-Impuls und (b)

Anregung mit Rechteckpuls (vergleiche Abbildung 5.5).

(TDirac(t,z= 0) bzw. TPuls(t,z= 0), gepunktete Linien).

100

300

Q= 5000 Jm−2

Q= 50000 Jm−2

0.01 0.1 1 10 100

T-IR-Kamera

M-IR-Kamera

Opak

Zeit /s

Temperaturerhöhung /K

(a) Zeit /s

100

300

Temperaturerhöhung /K

Q= 5000 Jm−2

Q= 50000 Jm−2

0.01 0.1 1 10 100

T-IR-Kamera

M-IR-Kamera

Opak

(b)

Abbildung 5.8: (a) Temperaturerhöhung durch eine Dirac-Impuls-Anregung und eine An-

regung mit Rechteckpuls (b) für ein teiltransparentes Material im Wellenlängenbereich von

2µm bis 5,7µm mit einem konstanten Absorptionskoeffizienten von 2500 m−1. Die Energie Q

pro Fläche beträgt dabei 5000Jm−2bzw. 50000Jm−2. Weitere Parameter sind in Tabelle 5.1

aufgelistet. Die gestrichelte Linie zeigt das Ergebnis für ˇ

Tβ(t)(T-IR-Kamera), die durchgezo-

gene Linie für ˇ

TSout,β (t)(M-IR-Kamera, wie eine vom Hersteller am BB kalibrierte Kamera).

Die gepunktete Linie dient hier zur Orientierung und beschreibt den Temperaturverlauf für

ein opakes Material (Oberflächentemperatur).

Wenn das Strahlungsfeld nicht berücksichtigt wird, dann verhält sich die Energie zur Tempe-

ratur proportional (Linearität der Diffusionsgleichung). Somit verschiebt sich die Tempera-

turkurve bei unterschiedlichen Energien linear zur Temperaturachse (gepunktete und gestri-

chelte Linie), unabhängig von der Anregungsform. Aus Abbildung 5.8 ist zu erkennen, dass

der Temperaturverlauf mit Berücksichtigung des Strahlungsfeldes ˇ

TSout,β (t)(durchgezogene

Linie) bei kleinen Zeiten von ˇ

Tβabweicht. Die Abweichung nimmt mit steigender Energie Q

zu (vergleiche Q= 5000 Jm−2mit Q= 50000 Jm−2). Weiter ist zu sehen, dass der Tempe-

raturverlauf für ˇ

TSout,β (t)bei unterschiedlichen Qsich nicht linear verschiebt. Die Erhöhung

von Qauf 50000Jm−2dient hier nur als Beispiel und soll zeigen, wie sich der Temperatur-

verlauf bei sehr hohen Temperaturen verhalten würde. Bei PT-Experimenten an Polymeren

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

werden in der Regel Temperaturerhöhungen an der Oberfläche auf ca. 40K begrenzt, damit

das Material nicht beschädigt wird.

Die Abweichung resultiert aus der Tatsache, dass sich die spektrale Ausstrahlung M(T)nicht

proportional zur Temperatur verhält (vergleiche Abbildung 5.6 (b) oder Kapitel 2.1.1). Dies

bedeutet; Wenn große Temperaturdifferenzen im Material vorliegen, weicht ˇ

TSout,β (t)von

Tβ(t)ab. Dabei steigt die Abweichung mit steigenden Temperaturen und Temperaturdiffe-

renzen.

Welche Schlussfolgerungen können nun gezogen werden, wenn für die Rekonstruktion von

experimentellen Daten die Gleichung 4.3 ( ˇ

Tβ) verwendet wird? Da die Abweichungen nur

bei kleinen Zeiten (Phase 1 bzw. Heizphase) auftreten, werden die Parameter im Modell ab-

weichen, die den Temperaturverlauf der Heizphase stark beeinflussen (vergleiche Abschnitt

4.4.4). In diesem Fall sind es die Parameter Qund β. Dies zeigt auch die Rekonstruktion

des Temperaturverlaufes ˇ

TSout,β (t)mit Gleichung 4.3 ( ˇ

Tβ). Beide Parameter weichen leicht

(<5%) von den vorgegebenen Parametern aus Tabelle 5.1 ab. Doch da bei der Rekonstruktion

von experimentellen Daten Qimmer ein Fitparameter ist und βals effektiver Absorptions-

koeffizient betrachtet wird, sind die Abweichungen hier vernachlässigbar.

Die vollständige Modellierung der IR-Kamera wird benötigt, wenn die Parameter Doder L

den Temperaturverlauf der Heizphase beeinflussen, die 1. und 2. Phase also nicht mehr aus-

einander gehalten werden können. Dies kann bei sehr dünnen Proben der Fall sein. In dieser

Arbeit ist dies nicht der Fall. Die untersuchten Polymere sind mehrere Millimeter dick, somit

kann Gleichung 4.3 verwendet werden.

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

In diesem Kapitel wird die spektrale Empfindlichkeit (Sensitivität) einer IR-Kamera be-

stimmt. Es wird die zweite Fragestellung aus Kapitel 5 beantwortet. Zum jetzigem Stand

(2019) ist es nicht einfach, ein komplettes IR-System spektral vermessen zu lassen. Oft wird

dem Kunden vereinzelt die spektrale Empfindlichkeit des Detektors bzw. der Optiken beim

Kauf einer IR-Kamera zur Verfügung gestellt, das komplette Kamerasystem wird dabei je-

doch nicht vermessen. Für die verwendeten IR-Kameras in dieser Arbeit gibt es keine Daten

zur spektralen Empfindlichkeit des Detektors bzw. der Optiken. Dem Hersteller (InfraTec

GmbH) ist die Weitergabe dieser Daten durch den Detektorhersteller untersagt6. Doch für

die richtige mathematische Modellierung des Ausgangssignals der IR-Kamera bei teiltranspa-

renten Materialien ist die spektrale Empfindlichkeit der IR-Kamera relevant, siehe Gleichung

5.4.

6Aussage von InfraTec GmbH Infrarotsensorik und Messtechnik, Kontakt mit Herrn Rost im Jahr 2019

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

5.2.1 Vorgehensweise zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit

Das Ausgangssignal für eine IR-Kamera kann mit Gleichung 5.3 für ein opakes Material be-

stimmt werden. Die Idee zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit des IR-Systems

S(λ)beruht auf einer Diskretisierung mit schmalbandigen Bandpassfiltern (BP-Filter). Die

IR-Kamera wird vor einen BB mit konstanter Temperatur gestellt, anschließend werden zwi-

schen der IR-Kamera und dem BB verschiedene BP-Filter positioniert, sodass nur noch die

Strahlung innerhalb des BP-Spektrums durchgelassen wird. Das Ausgangssignal wird dem-

nach reduziert. Wenn der spektrale Transmissionsgrad des BP-Filters ˜τbekannt ist, kann

durch die Messung der Änderung des Ausgangssignals bei verschiedenen BP-Filtern die spek-

trale Empfindlichkeit der IR-Kamera berechnet werden. Abbildung 5.9 skizziert den experi-

mentellen Aufbau.

BP-Filter

IR-Kamera

Abbildung 5.9: Skizze für den experimentellen

Aufbau zur Bestimmung der Sensitivität einer

IR-Kamera.

Unter der Annahme, dass der Detektor der IR-Kamera eine lineare Kennlinie besitzt, ist die

Integrationszeit proportional zum Detektorsignal (diese Annahme wird in Kapitel 5.2.6 be-

stätigt). Somit wird in Gleichung 5.3 aus dem Integral der Zeit eine Multiplikation mit der

Integrationszeit. Die Strahlung bei konstanter Temperatur wird über einen BB realisiert. Dies

bedeutet, dass der Emissionsgrad unabhängig von der Wellenlänge betrachtet werden kann.

Weiter wird angenommen, dass die Temperatur der Atmosphäre der Umgebungstemperatur

entspricht. Damit vereinfacht sich Gleichung 5.3 zu

Sout,opak ≈tint Zλb

S(λ) [˜τAεOMλ(TO,λ) + (1 −˜τAεO)Mλ(TU,λ)] dλ(5.10)

Gesucht ist die Empfindlichkeit des IR-Systems b

S(λ). Dafür wird die Gleichung 5.10 mittels i

BP-Filtern diskretisiert. Die Filter lassen nur zwischen λi1und λi2Strahlung des BB durch.

Im Wellenlängenbereich der jeweiligen BP-Filter wird die spektrale Empfindlichkeit b

Sials

konstant betrachtet und kann somit aus dem Integral gezogen werden:

Sout,BB,i(˜τi)≈tint Zλo

λu

(1 −˜τi(λ))b

S(λ) [˜τAεFilter Mλ(TFilter ,λ) + (1 −˜τAεFilter )Mλ(TU,λ)] dλ

+tint b

SiZλi2

λi1

˜τi(λ) [˜τAεBB Mλ(TBB,λ) + (1 −˜τAεBB)Mλ(TU,λ)] dλ.

(5.11)

Wenn der Filter im thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung ist (TFilter =TU), verein-

facht sich Gleichung 5.11 und kann nun nach b

Siumgestellt werden:

Si(˜τi)≈

Sout,BB,i(˜τi)−

Kann vernachlässigt werden, wenn TBBTFilter

z}| {

tint Zλo

λu

(1 −˜τi(λ))b

S(λ)Mλ(TFilter ,λ)dλ

tint Rλi2

λi1˜τi(λ) [˜τAεBB Mλ(TBB,λ) + (1 −˜τAεBB)Mλ(TFilter ,λ)] dλ(5.12)

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

Abbildung 5.10 veranschaulicht, wie sich das Gesamtsignal aufteilt. Im Wellenlängenbereich

von λubis λi1und von λi2bis λomuss die Temperatur des Filters (der Emissionsgrad des

Filters kürzt sich raus) berücksichtigt werden. Dahingegen müssen im Wellenlängenbereich

des Filters (λi1bis λi2) die Temperatur und der Emissionsgrad εBB des Schwarzkörperstrah-

lers berücksichtigt werden.

TFilter TFilter

TBB

λuλo

λi1λi2

Signal des BB

Signal des Filters

Gesamtsignal Abbildung 5.10: Das Gesamtsignal setzt sich

aus zwei verschiedenen Bereichen bzw. Tem-

peraturen zusammen. Im Wellenlängenbereich

des Filters (zwischen λi1und λi2mit z.B.

˜τi= 1 empfängt die IR-Kamera Strahlung vom

BB und im restlichen Wellenlängenbereich

Strahlung des Filters.

Für die Berechnung der spektralen Empfindlichkeit im Wellenlängenbereich eines Filters b

muss nach Gleichung 5.12 die spektrale Empfindlichkeit b

S(λ)bekannt sein, die für die Berech-

nung des Strahlungsanteils des Filters benötigt wird. Wenn die Temperatur des BB sehr viel

höher ist als die Temperatur des Filters (TBB TFilter ) und der Filter nicht zu schmalbandig

ist, wird das Signal des BB sehr viel größer als das Signal des Filters, sodass das Signal des

Filters vernachlässigt werden kann. Demnach vereinfacht sich Gleichung 5.12 zu:

Si,TBB>>TFilter (˜τi)≈Sout,BB,i(TBB,˜τi)

εBB tint Rλi2

λi1˜τi(λ)Mλ(TBB,λ)dλ.(5.13)

Die spektrale Empfindlichkeit des IR-Kamerasystems b

S(λ)ergibt sich aus der Interpolation

von b

Si,TBBTFilter (˜τi)für alle verwendeten Filter im Wellenlängenbereich der verwendeten

IR-Kamera (siehe nächsten Abschnitt).

Wenn die Strahlung der Filter berücksichtigt werden soll, muss zur Berechnung der spektralen

Empfindlichkeit iterativ vorgegangen werden. Abbildung 5.11 zeigt den Ablauf zur Berech-

nung von b

S(λ). Zuerst wird mit Gleichung 5.13 für alle Filter b

Si,TBB>>TFilter (˜τi)bestimmt, um

mittels linearer Interpolation b

Sj=1(λ)(jAnzahl der Iterationen) zu berechnen. Anschließend

wird mit b

Sj=1(λ)in Gleichung 5.12 b

Si,j+1(˜τi)berechnet, um mittels linearer Interpolation

Sj+1(λ)zu bestimmen. Dieser Iterationsschritt wird nun so häufig wiederholt, bis die Ände-

rung der spektralen Empfindlichkeit ∆b

S=|b

Sj+1(λ)−b

Sj(λ)|unter einen Toleranzwert ebSfällt

(∆b

S<ebS).

5.2.2 Auswahl und Beschreibung der optischen Elemente

Für die Auswahl der BP-Filter muss zunächst der Spektralbereich der zu charakterisieren-

den IR-Kamera bekannt sein. In dieser Arbeit wird die ImageIR®8300 hp mit einem 25mm

Objektiv charakterisiert, die im Wellenlängenbereich von λu= 2 µm bis λo= 5,7µm sensitiv

ist. Wenn sich nun ein BP-Filter zwischen einem BB und der IR-Kamera befindet, empfängt

die IR-Kamera Strahlung vom Filter (Eigentemperatur des Filters) und Strahlung vom BB,

die durch den Filter transmittiert wird. Gesucht sind die Bandbreite eines Filters bzw. die

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

Messdaten erzeugen

Sout

Sj=1(λ)mit b

Si,TBBTFilter (˜τi)

bestimmen (Gleichung 5.13)

Sj+1(λ)mit b

Si,j(˜τi)be-

stimmen (Gleichung 5.12)

∆b

S<ebS?j=j+ 1

Ende

Nein

Abbildung 5.11: Ablauf zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit b

S(λ).

Grenzen λi1und λi2(vergleiche Abbildung 5.10).

Wenn die Bandbreite sehr schmal gewählt wird, kann die spektrale Empfindlichkeit der IR-

Kamera mit vielen Stützstellen charakterisiert werden. Der Nachteil ist dabei jedoch, dass

das Signal des BB sehr klein wird und Gleichung 5.13 nicht verwendet werden kann. Dagegen

kann bei einer breiten Bandbreite die spektrale Empfindlichkeit nur über sehr wenige Stütz-

stellen bestimmt werden.

Für die Auslegung der BP-Filter muss ein Kompromiss zwischen der Anzahl an BP-Filtern

(Anzahl der Stützstellen) und dem Einfluss der Eigenstrahlung des Filters gewählt werden.

Als Vorgabe wird definiert, dass das Signal, das aus der Eigenstrahlung des Filters resultiert,

weniger als 5% des durch die Strahlung des BBs verursachten Signals betragen soll. Für die

Berechnung der spektralen Empfindlichkeit wird in Gleichung 5.12 die Temperatur des Filters

berücksichtigt. Somit werden die 5% nur für die Auslegung der BP-Filter benötigt.

Für die Berechnung der prozentualen Eigenstrahlung und der Auslegung der BP-Filter wird

zunächst eine konstante Sensitivität von b

S= 1, eine Transmission der Umgebungsluft von

˜τA(λ)=1und eine Integrationszeit von tint = 1 s definiert. Der BP-Filter wird als Rechteck-

funktion modelliert. In der Bandbreite von λi1bis λi2beträgt der mittlere Transmissionsgrad

von üblichen auf dem Markt verfügbaren BP-Filtern ˜τi(λ) = 0,8. Gleichung 5.11 vereinfacht

sich zu

Sout(TBB,TFilter ,˜τi) =

λ1i

λu

Mλ(TFilter ,λ)dλ+ 0,8

λ2i

λ1i

Mλ(TBB,λ)dλ+

λo

λ2i

Mλ(TFilter ,λ)dλ.

(5.14)

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

Die prozentuale Eigenstrahlung berechnet sich somit mit folgender Gleichung:

Prozentuale Eigenstrahlung =0,8Rλ2i

λ1iMλ(TBB,λ)dλ

Rλ1i

λuMλ(TFilter ,λ)dλ+Rλo

λ2iMλ(TFilter ,λ)dλ·100%.(5.15)

Abbildung 5.12 zeigt die prozentuale Eigenstrahlung für sechs verschiedene Filter. Dabei

unterscheiden sich die Filter in der Breite der Bandbreite (50nm und 100 nm) und in der

Wellenlänge (3000 nm, 4000 nm und 5000nm).

τλ= 100 nm

τλ= 50 nm

Eigenstrahlung /%

Temperatur /◦C

Filter4000 nm

Filter5000 nm

Filter3000 nm

Abbildung 5.12: Prozentuale Eigenstrahlung

des Filters. Bedingung ist kleiner 5 %.

Bei einer Bandbreite von 50nm liegt die prozentuale Eigenstrahlung <5 % für alle Filter ab

ca. TBB >450◦C, bei einer Bandbreite von 100nm bei ca. TBB >550◦C. Da die Preise für nur

einen BP-Filter im Wellenlängenbereich der IR-Kamera zwischen 300 eund 600ebetragen

und es sehr wenige Anbieter gibt, wird festgelegt, dass die BP-Filter eine Bandbreite von ca.

100nm aufweisen sollen (die Bandbreite variiert bei jedem BP-Filter). Gewählt wurden 15

verschiedene 1-Zoll BP-Filter der Firma Spectrogon, welche in Tabelle 5.2 zusammengefasst

sind. Die prozentuale Eigenstrahlung wird somit bei z.B. TBB = 600◦Cdeutlich unter 5 %

liegen. Die Transmissionsgrade der 15 BP-Filter sind in Abbildung 5.13 dargestellt.

Abbildung 5.13: Transmissiosgrad der ausgewählten BP-Filter. Der Transmissionsgrad wurde

von Spectrogon für jeden BP-Filter einzeln gemessen.

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

Tabelle 5.2: 1-Zoll BP-Filter der Firma Spectrogon. Der genaue Verlauf des Transmissi-

onsgrads ˜τi(λ)dieser Filter ist in Abbildung 5.13 zu sehen. *central wavelength (mittlere

Wellenlänge). **full width at half maximum (Breite bei halber maximaler Transmission).

***durchschnittlicher Transmissionsgrad.

Nr.CWL* /nm FWHM* /nm ˜τavg*** /%

1 1962 111 65,9

2 2429 113 75,85

3 2723 130 77,25

4 3051 58 82,87

5 3255 96 80,4

6 3483 102 78,57

7 3706 94 81,55

8 4039 74 87,74

9 4250 92 73,45

10 4500 98 76,49

11 4751 96 80,21

12 5081 99 74,63

13 5246 108 68,47

14 5438 118 62,1

15 5757 100 63,0

5.2.3 Einfluss der Umgebungsluft

Im Wellenlängenbereich von IR-Kameras wird elektromagnetische Strahlung durch die Umge-

bungsluft teils absorbiert. Das in der Luft enthaltene Kohlendioxid (CO2) und Wasser (H2O)

sind dabei die dominierenden absorbierenden Stoffe (S) [9,114,137]. Entscheidend für die Ab-

sorption der Strahlung in der Luft sind der Volumenanteil VSund der Absorptionskoeffizient

αS(λ)dieser Stoffe. Der Transmissionsgrad ˜τAergibt sich aus der Multiplikation der einzelnen

Transmissionsgrade der jeweiligen Stoffe ˜τS, der sich nach dem Lambert-Beer’schen-Gesetz

mit folgender Gleichung berechnen lässt:

˜τA(λ) =

Yexp (−WSαS(λ)) mit WS=W·VS.(5.16)

Dabei beschreibt Wdie Weglänge (z.B. Abstand IR-Kamera zum beobachten Objekt) und

nsdie Anzahl der verschiedenen Stoffe.

Der Volumenanteil von CO2in der Luft bei 1bar Umgebungsdruck beträgt VCO2= 0,0004

[137]. Der auf die Masse bezogene H2O-Gehalt mWin Luft ist von der relativen Feuch-

tigkeit, der Umgebungstemperatur und dem Umgebungsdruck abhängig. Z.B. beträgt der

Wassergehalt in einem Kubikmeter Luft bei 1 bar Umgebungsdruck, 23◦C Umgebungstempe-

ratur und 45%relativer Feuchtigkeit mW= 8 g(berechnet nach [138]). Bei einer Dichte von

Wasser ρW= 998 m3kg−1(23◦C) beträgt dann der Volumenanteil von Wasser in der Luft

VH2O= 0,00001.

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

Die Abhängigkeit der Absorptionskoeffizienten für CO2und H2O von der Wellenlänge ist in

Abbildung 5.14 zu sehen. Diese Daten stammen aus der Datenbank HITRAN (high-resolution

transmission molecular absorption database) [139]. Die charakteristischen Absorptionsmerk-

male im Wellenlängenbereich von MWIR-Kameras (2000nm-5700nm) liegen um 2,7 µm (CO2

und H2O), 4,2µm (CO2) und zwischen 5,5 µm und 7 µm (H2O).

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

100

200

300

400

Absorptionskoeffizient /cm−1

CO2

(a)

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

Absorptionskoeffizient /cm−1

H2O

(b)

Abbildung 5.14: Absorptionskoeffizienten von CO2und H2O [139] für den Wellenlängenbe-

reich MWIR-Kameras (2000nm-5700 nm).

Abbildung 5.15 zeigt die Transmisionsgrade für CO2und H2O (W= 0,5m,VH2O= 0,00001

und VCO2= 0,0004). Der Transmissionsgrad von H2O ist im Vergleich zu CO2deutlich klei-

ner. Aufgrund der hohen Absorption von CO2im Wellenlängenbereich um 4,3 µm wird das

Ausgangssignal der IR-Kamera stark reduziert.

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

0.2

0.4

0.6

0.8

Transmissionsgrad /-

CO2

(a)

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

0.98

0.985

0.99

0.995

Transmissionsgrad /-

H2O

(b)

Abbildung 5.15: Transmissionsgrade von CO2und H2O für eine Weglänge von W= 0,5m

bei 23◦C Umgebungstemperatur und 45% relativer Luftfeuchtigkeit. Die Volumenanteile be-

tragen dabei VCO2= 0,0004 und VH2O= 0,00001.

Für die Auslegung der BP-Filter wurde ˜τA= 1 angenommen, doch die hier gezeigten Trans-

missionsgrade weisen eindeutig darauf hin, dass für die Berechnung der spektralen Emp-

findlichkeit (Gleichung 5.13) die Transmission der Atmosphäre ˜τA(λ)berücksichtigt werden

muss.

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

5.2.4 Experimenteller Aufbau

Abbildung 5.16 (a) zeigt den experimentellen Aufbau zur Bestimmung der spektralen Emp-

findlichkeit der IR-Kamera. Als BB wird der Kalibrier- und Prüfstrahler PYROTHERM

CS 1200 von der Firma DIAS Infrared GmbH verwendet. Der BB ist ein Hohlraumstrahler

mit einem Durchmesser von 38mm, einem Temperaturbereich von 300 ◦C bis 1200◦C und

weist eine Messunsicherheit von 2K + 0,0025 T(Tin ◦C) auf. Der Emissionsgrad beträgt

0,99±0,005 [140]. Abbildung 5.16 (b) zeigt den BB mit einer Halterung für die BP-Filter.

Die BP-Filter aus Abschnitt 5.2.2 werden mittels einer selbst konstruierten Vorrichtung in

den Strahlengang geschoben. Die Vorrichtung besteht aus einem 3mm dicken Aluminium

Shutter (1. Shutter), der von Hand betätigt wird, und einem Lamellen-Shutter (2. Shutter)

von Thorlabs [141], der elektronisch angesteuert wird. Die Halterung für die 1-Zoll-Filter sind

Normbauteile von Thorlabs [142]. Mit diesen kann eine Kette gebildet werden, welche von

Hand durch die Halterung bewegt wird.

(a)

2. Shutter 1. Shutter

Halterung

der Filter

(b)

Abbildung 5.16: (a) Experimenteller Aufbau. (b) Positionierung der Filter vor dem BB.

Charakterisiert wird die IR-Kamera ImageIR®8300 hp mit einem 25mm Objektiv. Durch die

BP-Filter wird das Signal so stark reduziert, dass der Kalibrierbereich von 60◦Cbis 200◦C

mit einer Integrationszeit von tint = 89 µs gewählt wird. Der Abstand zwischen dem BB (In-

nenseite des Hohlraumstrahlers) und der IR-Kamera (Vorderkante Objektiv) beträgt 0,5m.

Bei einer BB-Temperatur von 873,15K (600◦C) wird der erste Shutter geöffnet. Anschließend

werden die Filter von Hand nach und nach durch die Halterung geschoben, dabei öffnet sich

der zweite Shutter für 0,1s. Durch das kurze Öffnen des zweiten Shutters wird verhindert,

dass sich der Filter erwärmt.

Das Experiment wird in einem Labor mit einer Umgebungstemperatur von 23◦C und einer

relativen Luftfeuchtigkeit von 45 %durchgeführt.

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

5.2.5 Ergebnisse des Experiments

Abbildung 5.17 zeigt das Ausgangssignal der IR-Kamera für die 15 verschiedenen Filter. Um

die Messunsicherheit des Ausgangssignals zu reduzieren, wurde über 28px ×28px räum-

lich gemittelt. Das Ausgangssignal der Umgebung wurde dabei abgezogen. Das Signal der

Umgebung entspricht dem Signal des Filters, wenn beide Shutter geschlossen sind. Die Sen-

sitivitätsgrenzen der IR-Kamera sind sehr gut zu erkennen. Im Wellenlängenbereich 1950 nm

(Filter 1) und 5757nm (Filter 15) empfängt die IR-Kamera fast keine Strahlung vom BB

mehr. Das Ausgangssignal steigt mit der Wellenlänge der Filter an und fällt ab 4750 nm (Fil-

ter 11) wieder ab. Die Ausnahme sind Filter 3 (3051nm) und 9 (4250 nm).

Abbildung 5.17: Ausgangssignal

Sout,BB,i(TBB,τi)bei einer BB-

Temperatur von 600◦C. Die

Strahlung der Umgebung wurde

subtrahiert.

Der Transmissionsgrad für die 15 Filter ˜τi(vergleiche Abbildung 5.13) multipliziert mit dem

Transmissionsgrad der Luft ˜τA(Abbildung 5.15) ist in Abbildung 5.18 zu sehen. Da die spek-

ohne ˜τA

Abbildung 5.18: Transmission der Filter mit Berücksichtigung der Transmission der Umge-

bungsluft (˜τi(λ)·˜τA(λ)).

tralen Transmissionsgrade ˜τAund ˜τibekannt sind, werden die Intervallgrenzen des Integrals

aus Gleichung 5.13 auf λi1= 1800 nm und λi2= 6000 nm festgelegt. Die spektrale Empfind-

lichkeit wurde mit Gleichung 5.12 und 5.13 iterativ bestimmt (vergleiche Abbildung 5.11).

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

Dabei wurden zehn Iterationen durchgeführt. Abbildung 5.19 zeigt das Ergebnis des Inte-

grals aus Gleichung 5.13 (Rλi2

λi1˜τi(λ)Mλ(TBB,λ)dλ) für jeden BP-Filter. Die graue Linie zeigt

dabei das Ergebnis, wenn der Transmissionsgrad ˜τAnicht berücksichtigt wird. Ein deutlicher

Unterschied ist bei BP-Filter 9 (4250nm) zu sehen. Dieser BP-Filter liegt exakt im Wellen-

längenbereich des Absorptionsbandes von CO2. Der starke Unterschied des Ausgangssignals

von BP-Filter 3 und 4 resultiert aus den unterschiedlichen Bandpassbreiten.

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

200

300

400

500

600

700

Spezifische Ausstrahlung /Wm−2

ohne ˜τA(λ)Abbildung 5.19: Ergebnis des Inte-

grals aus Gleichung 5.13: M(600◦C) =

R6000 nm

1800 nm Mλ(600◦C,λ)˜τA(λ)˜τi(λ)dλ. Die graue

Linie zeigt das Ergebnis, wenn ˜τA(λ)nicht

berücksichtigt wird.

Abbildung 5.20 zeigt das Ergebnis der spektralen Empfindlichkeit b

S(λ)des IR-Kamerasystems

(Gleichung 5.12) mit und ohne Berücksichtigung von ˜τA(λ). Die spektrale Empfindlichkeit

steigt kontinuierlich von 2000nm bis 4750 nm an und fällt anschließend wieder ab. Wird die

Umgebungsluft nicht berücksichtigt, reduziert sich die spektrale Empfindlichkeit im Wellen-

längenbereich bei 4250nm (BP-Filter 9) um ca. 35%. Genau dort liegt das Absorptionsband

von CO2. Das Ergebnis zeigt eindeutig, dass sogar im Labor und auf sehr kurzen Entfernun-

gen der Transmissionsgrad ˜τAzur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit berücksichtigt

werden muss.

2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

S(λ)/DVm2W−1s−1

ohne ˜τA(λ)

Abbildung 5.20: Berechnete spektrale Emp-

findlichkeit b

S(λ)der ImageIR®8300 hp nach

Gleichung 5.12. Die graue Linie zeigt das Er-

gebnis, wenn ˜τA(λ)nicht berücksichtigt wird.

Zur Bestimmung der Messunsicherheit werden die fehlerbehafteten Größen y(z.B. b

S), welche

mit den Parametern fibestimmt werden, untersucht. Die Gesamtunsicherheit guerrechnet

sich aus der Fortpflanzung der Unsicherheiten der einzelnen Parameter. Für die Unsicherhei-

ten der einzelnen Parameter u(fi)sind nur die obere fi+und untere fi−Grenze bekannt. Dies

entspricht einer sog. Rechteckverteilung und daher muss die Gesamtunsicherheit durch √3

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

geteilt werden [143]:

ug(y) = r1

tn=1

i∂y

∂fi

u(fi)2

≈r1

tn=1

[y(fi+u(fi)/2) −y(fi−u(fi)/2)]2(5.17)

Als Näherung der Ableitung ∂y/∂fiwird der Differenzenquotient verwendet:

∂y

∂fi≈y(fi+u(fi)/2) −y(fi−u(fi)/2)

u(fi).(5.18)

In Tabelle 5.3 sind die Unsicherheiten der einzelnen Parameter aufgelistet. Die Gesamtunsi-

cherheit wird für die jeweiligen fehlerbehafteten Größen mit einem Fehlerbalken (siehe Ab-

bildungen 5.19, 5.20 und 5.22 (b)) dargestellt.

Tabelle 5.3: Unsicherheiten der einzelnen Parameter

Parameter fiUnsicherheit u(fi)

Temperatur des BB (600 ◦C) +3,5K

Emissionsgrad des BB ±0,005

Transmission der Filter ±2 %τi

Umgebungstemperatur +2 K

CO2-Gehalt ±2 %

H2O-Gehalt ±2 %

5.2.6 Überprüfung und Validierung der Ergebnisse

Ein Vergleich mit Daten aus der Literatur zeigt, dass die Ergebnisse für die spektrale Emp-

findlichkeit plausibel sind. Abbildung 5.21 (a) zeigt die relative Empfindlichkeit für einen

InSb-Detektor [114], den Transmissionsgrad einer IR-Optik [144] und den Transmissionsgrad

eines 5mm dicken Germanium(Ge)-Fensters [145].

Die Multiplikation des Transmissionsgrads der IR-Optik und der relativen Empfindlichkeit

des InSb-Detektors normiert auf das Maximum kann mit der berechneten Empfindlichkeit

aus dem vorherigen Abschnitt verglichen werden. Der Vergleich ist in Abbildung 5.21 (b) zu

sehen. Die relativen spektralen Empfindlichkeiten stimmen sehr gut überein. Eine perfekte

Übereinstimmung darf nicht erwartet werden, da jedes IR-Kamerasystem eine eigene spek-

trale Empfindlichkeit besitzt (vergleiche Abschnitt 5.1.2).

Das verwendete IR-Objektiv besteht aus einer Kombination aus Germanium und Silizium,

welche die untere Grenze der spektralen Empfindlichkeit einer IR-Kamera definiert. Der

Transmissionsgrad von Ge zeigt deutlich, dass Ge erst ab ca. 1900 nm IR-Strahlung durchlässt.

Die obere Grenze wird vor allem durch das Detektormaterial InSb bestimmt. Die spektrale

Empfindlichkeit von InSb ist eine Funktion der Temperatur. Der Detektor der verwendeten

IR-Kamera arbeitet bei 77K (-196,15◦C). In der Literatur wird die obere Grenze von InSb

bei 80K 5,5 µm angegeben [146]. Die obere und untere Grenze der berechneten spektralen

5.2 Spektrale Empfindlichkeit des IR-Systems

1000 2000 3000 4000 5000 6000

Wellenlänge /nm

0.2

0.4

0.6

0.8

relative spektrale Empfindlichkeit

0.4

0.6

0.8

Transmissionsgrad

IR-Optik

InSb

0.2

(a)

relative spektrale Empfindlichkeit

(b)

Abbildung 5.21: (a) Relative spektrale Empfindlichkeit eines InSB-Detektors [114], der

Transmissionsgrad einer IR-Optik [144] und der Transmissionsgrad von einem 5mm dicken

Germanium(Ge)-Fenster mit Antireflexbeschichtung [145]. (b) Vergleich der relativen spek-

tralen Empfindlichkeiten zwischen ImageIR®8300 hp und der Literatur (Detektor + Optik).

Empfindlichkeit b

S(λ)passen daher sehr gut zu den Angaben aus der Literatur.

Mit Gleichung 5.10 kann nun das Ausgangssignal für eine vorgegebene Integrationszeit und

eine Temperatur berechnet werden. Somit ist es möglich, die hinterlegten Kalibrierkurven

der IR-Kamera zu berechnen. Es wird überprüft, wie groß die Unterschiede zwischen der

berechneten Kalibrierkurve nach Gleichung 5.10 und den hinterlegten Kalibrierkurven der

IR-Kamera ImageIR®8300 hp (siehe Abbildung 5.3) sind.

Abbildung 5.22 (a) zeigt die berechneten und die hinterlegten Kalibrierkurven für verschiede-

ne Integrationszeiten. Für die Berechnung wurden die Temperaturen berücksichtigt, in denen

die hinterlegten Kalibrierkurven gültig sind (vergleiche Abbildung 5.3).

-100 -50 0 50 100 150 200

Temperatur /◦C

2.5

3.5

Ausgangssignal /DV

104

ImageIR®8300 hp

Kalibrierkurve berechnet

−10◦C−40◦C

30◦C−150◦C

10◦C−100◦C

(a)

0 50 100 150

Temperatur /◦C

-1.5

-1

-0.5

0.5

Abweichung /%

1997 µs, −10 ◦C−40 ◦C

468 µs, 10 ◦C−100 ◦C

186 µs, 30 ◦C−150 ◦C

(b)

Abbildung 5.22: (a) Vergleich zwischen berechneten Kalibrierkurven nach Gleichung 5.10

und den hinterlegten Kalibrierkurven der IR-Kamera ImageIR®8300 hp. (b) Prozentuale

Abweichung zwischen den berechneten und den hinterlegten Kalibrierkurven.

Abbildung 5.22 (b) zeigt die prozentuale Abweichung zwischen einer vorgegeben Temperatur

Tvor und der berechneten Temperatur Tcal mittels der hinterlegten Kalibrierkurven. Dafür

wird wie folgt vorgegangen:

1. Eine Temperatur Tvor wird vorgegebenen (aus dem Temperaturbereich, in dem die

hinterlegten Kalibrierkurven der IR-Kamera ImageIR®8300 hp gültig sind).

5 Charakterisierung einer IR-Kamera

2. Das Ausgangssignal Sout(Tvor )wird mit Gleichung 5.10 berechnet. b

S(λ)entspricht der

Interpolation von b

S1,2,...15. Für alle Wellenlängen kleiner 1962nm (Filter 1) und größer

5757nm (Filter 12) gilt b

S(λ)=0.

3. Mit der hinterlegten Kalibrierkurve der IR-Kamera ImageIR®8300 hp wird Tcal(Sout (Tvor ))

bestimmt.

4. Die prozentuale Abweichung zwischen Tvor und Tcal wird mit bestimmt.

Für alle drei Kalibrierkurven beträgt die Abweichung ca. ±1%, somit liegt die Abweichung

vom mathematischen Modell der Kalibrierkurve im Toleranzbereich der IR-Kamera (±1%,

siehe Abschnitt IR-Kamera). Aufgrund der geringen Abweichung ist auch eindeutig gezeigt,

dass der Detektor eine lineare Kennlinie besitzt (Vereinfachung von Gleichung 5.3 zu Glei-

chung 5.10).

5.3 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

In Kapitel 5 wurde gezeigt, wie eine IR-Kamera für die Messung der Temperaturverteilung

von teiltransparenten Materialien mathematisch modelliert und quantitativ charakterisiert

werden kann. Es wurden zwei Fragestellungen, die zu Beginn des 5. Kapitels gestellt wurden,

beantwortet.

Die erste Frage bezieht sich auf die mathematische Modellierung von IR-Kameras und wurde

in Kapitel 5.1 behandelt. Zunächst wurde erläutert, wie eine IR-Kamera aus der empfange-

nen Strahlung mittels Kalibrierkurven eine Temperatur bestimmt und wie die Kalibrierkur-

ven mathematisch berechnet werden können. Mit einem virtuellen PT-Experiment an einem

teiltransparenten Material im Wellenlängenbereich der IR-Kamera wurden zwei Varianten

der mathematischen Modellierung von IR-Kameras verglichen. Variante 1 berücksichtigt aus-

schließlich das Temperaturfeld und vernachlässigt, dass eine IR-Kamera eigentlich Strahlung

misst. Variante 2 berücksichtigt das Strahlungsfeld. Der Vergleich beider Varianten zeigt,

dass große Temperaturdifferenzen im Material zu deutlichen Abweichungen der berechneten

scheinbaren Temperatur führen. Die Abweichungen steigen mit höheren Temperaturen und

Temperaturdifferenzen im Material an. Dabei ergibt sich eine höhere scheinbare Tempera-

tur, wenn diese nach Variante 2 berechnet wird. Bei PT-Experimenten treten die größten

Temperaturdifferenzen im Material während der Anregung bzw. der Heizphase auf. Dies be-

deutet für die Rekonstruktion von PT-Messdaten mit Variante 1 (vereinfachte Modellierung),

dass alle Modellparameter, welche die Heizphase besonders stark beeinflussen, von den realen

Werten abweichen können. Diese sind vor allem die absorbierte Energie Qund die Absorp-

tionskoeffizienten αund β. Ausnahmen sind sehr dünne Proben mit verhältnismäßig langer

Heizphase, bei denen während der Erwärmung wesentliche Wärmetransportprozesse im Ma-

terial stattfinden. Hier wird der Temperaturverlauf der scheinbaren Temperatur während der

Heizphase zusätzlich von der thermischen Diffusivität und der Tiefe der Fehlstellen beein-

flusst. Wenn dies der Fall ist, dann sollte die mathematische Modellierung der IR-Kamera

das Strahlungsfeld berücksichtigen. In dieser Arbeit erfolgt die mathematische Modellierung

der IR-Kamera nach Variante 1, da zum einen während der Heizphase keine wesentlichen

5.3 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Wärmetransportprozesse im Material auftreten und zum anderen bei der Rekonstruktion die

Energie Qimmer ein Fitparameter und die Absorptionskoeffizienten αund βals effekti-

ve Absorptionskoeffizienten betrachtet werden. Somit können mögliche Abweichungen dieser

Parameter vernachlässigt werden.

Kapitel 5.2 beantwortet die zweite Frage. Die spektrale Empfindlichkeit der in dieser Ar-

beit eingesetzten IR-Kamera bzw. die Berechnung der hinterlegten Kalibrierkurven der IR-

Kamera waren bisher nicht bekannt und wurden daher experimentell bestimmt. Dafür wurde

die IR-Kamera vor einen Schwarzkörperstrahler positioniert. In den Strahlengang wurden ver-

schiedene BP-Filter (unterschiedliche Wellenlängenbereiche) gehalten. So konnte die spektrale

Empfindlichkeit der IR-Kamera mit 15 Stützstellen über ein mathematisches Modell, welches

das Experiment beschreibt, ermittelt werden. Mit der Gleichung zur mathematischen Be-

rechnung der Kalibrierkurven 5.3 wurden die hinterlegten Kalibrierkurven der verwendeten

IR-Kamera berechnet und anschließend die Abweichung zueinander bestimmt. Die Abwei-

chungen betragen weniger als 1%, was im Toleranzbereich der verwendten IR-Kamera liegt

(Messgenauigkeit ±1 %).

6 Ergebnisse und Diskussion

6.1 Ergebnisse — Validierung der mathematischen Modelle

In diesem Kapitel wird die Validierung der semi-analytischen und numerischen Modelle darge-

stellt und diskutiert. Hierfür werden mittels der 1D-semi-analytischen Modelle die optischen

Eigenschaften von Neutraldichtefiltern (ND-Filtern) bestimmt und mit spektroskopisch ge-

messenen Werten verglichen. Die numerischen Modelle werden an simulierten und experi-

mentellen PT-Messdaten validiert. Der Ablauf der Versuchsdurchführung ist in Kapitel 4.6

beschrieben.

Die in den Abschnitt 6.1.2 gezeigten Ergebnisse (Überprüfung des 2D-Modells) wurden bereits

in [92] veröffentlicht und werden hier größtenteils wie in [92] besprochen wiedergegeben.

6.1.1 Überprüfung des Ausgangsmodells an ND-Filtern

Abbildung 6.1 zeigt die experimentellen Messdaten der MWIR- und der LWIR-Kamera von

den PT-Experimenten an der NINIR20A-Probe in T-Konfiguration (TUB) und die simulier-

ten Daten des 1L1α1β-Modells. Die simulierten Daten weisen eine sehr gute Übereinstimmung

mit den experimentellen Daten auf, dabei betragen die Residuen weniger als 2% (berechnet

nach Gleichung 4.49). Die gemessenen Temperaturdifferenzen weisen einen deutlichen Unter-

schied zwischen der MWIR-Kamera und der LWIR-Kamera auf, wobei die MWIR-Kamera

höhere Messwerte verzeichnet. Dieser Unterschied ist auf einen unterschiedlichen Emissions-

grad für den MWIR- und den LWIR-Bereich zurückzuführen. Die Messdaten zeigen, dass

für dieses Material der Emissionsgrad im MWIR-Bereich höher liegt als im LWIR-Bereich.

Aus Abbildung 6.1 (b) ist zu erkennen, dass dieses Material teiltransparent ist, da die Tem-

peraturerhörung sofort bei t>0beginnt (vergleiche Kapitel 4.4.4). Die experimentellen

PT-Messdaten in R-Konfiguration zeigen ebenfalls, dass die MWIR-Kamera eine höhere Tem-

peraturdifferenz im Vergleich zur LWIR-Kamera misst (siehe Abbildung 6.2). Während die

Temperaturdifferenzen der MWIR- und LWIR-Kamera in der T-Konfiguration den gleichen

Kurvenverlauf zeigen, unterscheiden sich die Verläufe in der R-Konfiguration. Nach dem Ab-

schalten des Lasers, t>0,075 s, knicken die Kurven unterschiedlich stark ab. Der Kurvenver-

lauf der MWIR-Daten knickt weniger stark ab und eine leichte Rundung im Bereich zwischen

t= 0,08 s und t= 0,3s ist zu erkennen. Dies deutet darauf hin, dass das Material für die

MWIR-Kamera teiltransparenter als für die LWIR-Kamera ist.

Die Ergebnisse der angepassten optischen und thermischen Parameter (Ergebnisse der Fits)

6 Ergebnisse und Diskussion

0123456

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

exp. Daten

Modell

Residuum

MWIR

LWIR

(a)

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Zeit /s

0.5

1.5

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

exp. Daten

Modell

Residuum

LWIR

MWIR

(b)

Abbildung 6.1: (a) zeigt experimentelle Daten von PT-Experimenten an der NINIR20A-

Probe in T-Konfiguration. (b) zeigt eine Detailansicht aus (a). Die gestrichelte Linie zeigt das

Ergebnis des angepassten 1L1α1β-Modells. Tabelle 6.1 zeigt die Ergebnisse der Fitparameter.

sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. Der effektive Absorptionskoeffizient βTrans/Refl zeigt, dass das

Material für die MWIR-Kamera deutlich teiltransparenter ist, da βfür die MWIR-Kamera

deutlich kleiner ist als für die LWIR-Kamera. Für die LWIR-Kamera beträgt β > 40000 m−1.

Dies bedeutet, dass das Material als opak im LWIR-Bereich angenommen werden kann

(β×L>30, siehe Abbildung 2.7), somit können die LWIR-Messdaten auch mit einem

1L1α-Modell ausgewertet werden (βwird nicht berücksichtigt). Für die MWIR-Daten muss

βberücksichtigt werden (β×L≈8). Ein Vergleich zwischen den angepassten αTrans/Refl und

den gemessenen αSpekt Absorptionskoeffizienten zeigt, dass das 1L1α1β-Modell zur Bestim-

mung der optischen Eigenschaften geeignet ist, da die Abweichungen kleiner als 5% sind. Die

Diffusivität für die einzelnen Materialien können in T- und in R-Konfiguration sehr genau

bestimmt werden, wobei die Abweichung zwischen DTrans und DRefl kleiner 3 % beträgt. Ein

Vergleich mit den Angaben des Herstellers [83–85] (D= (5,0±0,5)10−7m2s−1) zeigt, dass

die Diffusivitäten im Toleranzbereich liegen.

0.08 1 6

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

MWIR

LWIR

exp. Daten

Modell

Residuum Abbildung 6.2: Experimentelle Daten

von PT-Experimenten an der NINIR20A-

Probe in R-Konfiguration. Die gestrichel-

te Linie zeigt das Ergebnis des 1L1α1β-

Modells. Die angepassten Parameter sind

in Tabelle 6.1 aufgelistet.

Insgesamt zeigt die Auswertung der PT-Messdaten an den ND-Filtern, dass das 1D-Modell

hervorragend geeignet ist, optische und thermische Materialparameter in Transmission und

in Reflexion zu bestimmen.

6.1 Ergebnisse — Validierung der mathematischen Modelle

Tabelle 6.1: Ergebnisse für vier verschiedene ND-Filter vom Typ KG2 und KG3. Der Ab-

sorptionskoeffizient αSpekt.gilt für den Wellenlängenbereich des Lasers λ= 935 nm. *Die

Absorptionskoeffizienten βRefl und βTrans können bei der Auswertung der LWIR-Daten stark

schwanken und haben nahezu keinen Einfluss auf α. Für die Auswertung von MWIR-Daten

muss βberücksichtigt werden. Die Ungenauigkeit für αRefl,Trans beträgt ±30 m−1und für

DRefl,Trans ±0.02 m2s−1. **Ungenauigkeit ±200 m−1

Kamera Filter αSpekt.

m−1

αTrans

m−1

αRefl

m−1

βTrans

m−1

βRefl

m−1

DTrans

m2s−1

DRefl

m2s−1

MWIR IR20A 2745 2721 2694 6520** 6950** 4,66E-7 4,71E-7

LWIR IR20A 2745 2655 2674 >40000* >40000* 4,65E-7 4,68E-7

LWIR IR13A 2801 2714 2715 >40000* >40000* 4,60E-7 4,61E-7

LWIR IR06A 1122 1034 1056 >40000* >40000* 4,75E-7 4,73E-7

LWIR IR04A 1100 1091 1090 >40000* >40000* 5,19E-7 5,20E-7

6.1.2 Überprüfung der numerischen 1D- und 2D-Modelle

Um sicher zu stellen, dass das numerische Modell zur Rekonstruktion von experimentellen

Daten verwendet werden kann, werden im folgenden Kapitel die numerischen Modelle aus

Kapitel 4.4.3 validiert. Das numerische 1D-Modell wird dabei an dem semi-analytischen 1D-

1L1α1β-Modell überprüft, während das 2D-Modell an experimentellen Daten validiert wird.

Das verwendete Setup und die Art der Datenauswertung sind in Kapitel 4.6 beschrieben.

1D-Modell

Abbildung 6.3 (a) zeigt die Temperaturdifferenz für das semi-analytische (Punkte) und das

numerische Modell (Linie) jeweils mit β= 3500 m−1und β=∞. Aus dieser Abbildung

ist kein Unterschied zwischen den Modellen ersichtlich. Abbildung 6.3 (b) stellt die prozen-

tuale Abweichung zwischen dem analytischen und dem numerischen Modell dar. Die Abwei-

chung beträgt über die komplette Zeitachse weniger als 0.5 %. Die Schwingungen zwischen

0.4s<t<2s resultieren aus der numerischen inversen Laplace-Transformation. Diese sind

somit von dem Algorithmus der numerischen inversen Laplace-Transformation abhängig und

nicht durch die numerische Simulation bedingt.

2D-Modell Abbildung 6.4 (a) zeigt ein gemessenes Thermogramm (Stahlprobe, siehe Abbil-

dung 4.2) 2s nach dem Start der Anregung (t= 2 s), Abbildung 6.4 (b) zeigt das Ergebnis der

Rekonstruktion der experimentellen PT-Daten mit dem 2D-Modell (T(y,x,z= 0) = T(x,z=

0)) zum Zeitpunkt t= 2 s (simuliertes Thermogramm). Die Starttemperatur der Stahl-Probe

wurde subtrahiert (die Stahl-Probe befand sich im thermischen Gleichgewicht mit der Um-

gebung). Ein inhomogener Temperaturanstieg ist zu erkennen, der durch einen Wärmestau

oberhalb der Nut verursacht wird. Da in der Simulation kein Rauschen berücksichtigt wird,

verlaufen die Temperaturdifferenzen glatt. Die drei im Thermogramm dargestellten Punkte

dienen zur Orientierung:

6 Ergebnisse und Diskussion

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

analytisch

numerisch

β=∞

β= 3500 m−1

(a)

0.1 0.4 1 10 100

Zeit /s

0.2

0.4

0.6

0.8

Residuum /%

β=∞

β= 3500 m−1

(b)

Abbildung 6.3: (a) Temperaturdifferenzen, berechnet nach mit semi-analytischen und mit

dem numerischen 1L1α1β-Modell. (b) Residuen zwischen dem numerischen und dem semi-

analytischen Modell nach Gleichung 4.49.

•Blauer Kreis: Koordinate über dem Mittelpunkt der Nut

•Rotes Quadrat: Koordinate über dem Rand der Nut

•Grünes Dreieck: Koordinate bei x=w, hier w= 10 mm)

Die Orientierungspunkte werden in diesem Abschnitt sowie in Kapitel 6.3 berücksichtigt.

x-Koordinate /mm x-Koordinate /mm

y-Koordinate /mm

Temperaturdifferenz /K

(a) (b)

Abbildung 6.4: Thermogramm bei 2s nach Beginn der Anregung, (a) experimentelle Daten,

(b) numerische Daten. Der blaue Kreis, das rote Quadrat und das grüne Dreieck dienen zur

Orientierung. Die Farbskala gilt für beide Thermogramme. Ein Foto der ist in Abbildung 4.2

zu sehen. Reproduziert von [92], mit Genehmigung von AIP Publishing.

Aus der Seitenansicht der simulierten Daten (Abbildung 6.5 (a)) ist zu erkennen, dass das

Material oberhalb der Nut komplett durchgewärmt ist, somit wird die Wärme in der Nähe

der Nut durch Wärmeleitung zur Seite hin abgeleitet. Abbildung 6.5 (b) zeigt den Vergleich

zwischen den experimentellen und den simulierten Daten (t= 2 s) für die x-Koordinaten bei

y= 25 mm (Mitte der Probe). Die experimentellen Daten stammen von nur einer Pixelline

des Detektors. Da der Temperaturanstieg sehr gering ist (<300 mK), fällt das Rauschen der

Kamera (NETD = 20mK) deutlich auf. Das numerische Modell beschreibt das Experiment

innerhalb dieses Zeitschrittes sehr genau.

Als nächstes wird die zeitliche Entwicklung der Temperatur verglichen. In Abbildung 6.6 ist

die Temperaturentwicklung für die drei Orientierungspunkte aus Abbildung 6.4 dargestellt.

6.1 Ergebnisse — Validierung der mathematischen Modelle

(a) (b)

Abbildung 6.5: (a) Seitenansicht der simulierten Daten (Temperaturverteilung) bei t= 2 s, die

Farbskala entspricht der Skala aus Abbildung 6.4. (b) zeigt den direkter Vergleich zwischen

den experimentellen und den numerischen Daten für die x-Koordinaten bei y= 25 mm. Der

blaue Kreis, das rote Quadrat und das grüne Dreieck dienen zur Orientierung. Reproduziert

von [92], mit Genehmigung von AIP Publishing.

Die Zeit- und die Temperaturdifferenzachse entsprechen einer logarithmischen Skala. Die

grauen Punkte beschreiben die experimentellen Daten eines einzelnen Pixels der IR-Kamera.

exp. Daten

sim. Daten

Zeit /t x-Koordinate /mm

Temperaturdifferenz /K

Abbildung 6.6: Temperaturentwicklung für die drei verschiedenen Orientierungspunkte. Die

grauen Punkte (jeweils nur ein Pixel) sind die experimentellen Daten, die durchgezogenen

Linien entsprechen den numerischen Daten. Reproduziert von [92], mit Genehmigung von

AIP Publishing.

Während der Anregung steigt die Temperatur der Probe mit 1/√tan, was einem linearen

Anstieg in der doppelt logarithmischen Skala entspricht. Danach sinkt die Temperaturdiffe-

renz. Der Temperaturverlauf für den Punkt über der Mitte der Nut (blaue Linie) weist eine

Biegung nach einigen Zehntelsekunden auf, welche durch die langsamere Abkühlung (Wär-

6 Ergebnisse und Diskussion

mestau) des Materials verursacht wird. Diese Biegung ist für die rote Linie (Rand der Nut)

noch leicht sichtbar, jedoch nicht mehr für die grüne Linie (Punkt im ungestörten Bereich).

Ab ca. t= 5 s ist die Probe durchgewärmt und die thermischen Verluste bestimmen den

weiteren Temperaturverlauf. Die simulierten Temperaturen stimmen mit den experimentell

gemessenen Temperaturen äußerst präzise (Residuen<2 %) überein.

Abbildung 6.7 (a) zeigt den thermischen Kontrast

C(x) = T(t,x)−T(t= 0,x)

Tsound(t)−Tsound (t= 0) (6.1)

direkt über der Nut bei x= 0 für die experimentellen und die simulierten Daten. Tsound

beschreibt die Temperatur im ungestörten Bereich (ohne Fehlstelle) bei x= 20 mm.

Abbildung 6.7 (a) zeigt den thermischen Kontrast für die experimentellen und die simulierten

Daten. Die absolute Differenz zwischen dem experimentellen und dem simulierten thermischen

Kontrast beträgt <0,003 K und wird in Abbildung 6.7(b) dargestellt. Die absolute Differenz

liegt für jeden Zeitpunkt unterhalb der NEDT der IR-Kamera.

(a) (b)

Abbildung 6.7: (a) Der thermische Kontrast Ci, berechnet aus den experimentellen Daten

(i=exp) und den simulierten Daten (i=sim), die gestrichelte Linie zeigt das NETD der

IR-Kamera. (b) Die absolute Differenz des experimentellen und des numerischen thermischen

Kontrastes. Reproduziert von [92], mit Genehmigung von AIP Publishing.

Auch hier zeigt die gute Übereinstimmung zwischen dem experimentellen und dem simulier-

ten thermischen Kontrast deutlich, dass das numerische Modell das PT-Experiment sehr gut

beschreibt.

6.2 Ergebnisse — Quantifizierung von Materialeigenschaften

in verschiedenen Messkonfigurationen

Im vorherigen Kapitel wurde das 1D-Modell an ND-Filtern erfolgreich validiert. Nun werden

1D-Modelle an teiltransparentem GFK (heterogenes Material) getestet, um zu überprüfen,

wie gut Messdaten von PT-Experimenten an teiltransparenten GFK-Proben mit 1D-Modellen

rekonstruiert werden können. Dafür werden mit 1D-Modellen die Materialparameter der

6.2 Ergebnisse — Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen

Messkonfigurationen

GFK-Nanolam-Probe in verschiedenen PT-Konfigurationen bestimmt. Die Versuchsdurch-

führung ist in Kapitel 4.7.1 beschrieben.

Die in den Abschnitten 6.2.1 bis 6.2.4 gezeigten Ergebnisse wurden bereits in [89] veröffent-

licht und werden hier größtenteils wie in [89] besprochen wiedergegeben.

6.2.1 Probekörper mit vorderseitiger Beschichtung

Abbildung 6.8 zeigt die experimentellen Daten für die RVB- und TVB-Konfigurationen, sowie

das Ergebnis der Modelle, welche die experimentellen Daten am besten rekonstruiert haben

und die jeweiligen Residuen. Das O2LR-Modell wurde für die RVB-Konfiguration, das O1L-

Modell für die TVB-Konfiguration verwendet. In der R-Konfiguration steigt die Temperatur

auf der Vorderseite während der Erwärmung linear in der doppelt-logarithmischen Darstel-

lung an (siehe Abbildung 6.8 (a)). Nach dem Abschalten des Lasers fällt die Temperatur

zunächst sehr schnell ab, gefolgt von einem linearen Temperaturabfall (t= 0,5s bis t= 10 s)

mit 1/√t. Der Zeitpunkt, an dem das lineare Abklingen aufhört, wird durch die Probendicke

beeinflusst. In T-Konfiguration steigt die Oberflächentemperatur nach dem Aufheizen ver-

gleichsweise langsam an und entspricht dem klassischen Temperaturanstieg, wie er aus der

Parker-Methode [39] bekannt ist, mit Ausnahme des Temperaturabfalls durch die thermi-

schen Verluste, die dort vernachlässigt werden. Die Zeitskala des Temperaturanstiegs hängt

von der Probendicke und deren Temperaturleitfähigkeit ab.

0.14 1 10 60

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

exp. Daten

O2LR-Modell

Residuum

RVB

(a) Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

exp. Daten

O1L-Modell

Residuum

TVB

(b)

Abbildung 6.8: Experimentell bestimmte Oberflächentemperaturerhöhung für den VR-

Probekörper in Reflexions- (a) und Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die ge-

strichelten Linien zeigen die Anpassungsergebnisse unter Verwendung des OL2R-Modells (a)

und des O1L-Modells (b). Die schwarzen Punkte zeigen die Residuen zwischen den expe-

rimentellen Daten und den Ergebnissen der semi-analytischen Modelle (ab t= 4 s ist nur

noch jeder zehnte Punkt gezeigt). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Cu-

stomer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics [89]

©(2018).

Für beide Konfigurationen passen die Ergebnisse der analytischen Modelle sehr gut zu den

experimentellen Daten. Für die TVB-Konfiguration ist ein Unterschied zwischen dem O2LR-

Modell und dem O1L-Modell nicht erkennbar; doch für die RVB-Konfiguration ergeben sich

6 Ergebnisse und Diskussion

mit dem O2LR-Modell bessere Übereinstimmungen mit den experimentellen Daten. Abbil-

dung 6.9 zeigt eine vergrößerte Ansicht der Heizphase aus Abbildung 6.8 (a). Zusätzlich ist das

Ergebnis des O1L-Modells zu sehen, das nicht optimal zu den experimentellen Daten während

der Heizphase passt. Die ermittelte Diffusivität beträgt DO1L= (1,92±0,03)10−7m2s−1. Das

Ergebnis des komplexeren O2LR-Modells hat eine deutlich bessere Übereinstimmung mit den

experimentellen Daten. Die ermittelte Diffusivität beträgt DO2LR = (1,73±0,03)10−7m2s−1.

Dies lässt darauf schließen, dass die Graphitschicht im Modell nicht vernachlässigt werden

darf.

Die fehlenden Datenpunkte in Abbildung 6.8 (b) um t= 20 s resultieren aus einem Da-

tenübertragungsfehler von IR-Kamera zum Computer, was jedoch keinen Einfluss auf das

Datenauswerteverfahren hat.

Wie bereits oben erwähnt, sind die Residuen zwischen dem semi-analytischen 1D-Modell und

den experimentellen Daten ebenfalls in Abbildung 6.8 dargestellt. Die kleinen Schwingungen

der semi-analytischen Lösung zu Beginn des Temperaturabfalls in Abbildung 6.8 (a) sind

durch die numerische inverse Laplace-Transformation bedingt. Für beide Konfigurationen

liegen die Residuen für t>5s deutlich unter 2 %.

0.01 0.05 0.1

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

O2LR-Modell

exp. Daten

O1L-Modell

Abbildung 6.9: Detailansicht der experimen-

tellen Daten aus Abbildung 6.8. Reproduziert

mit Genehmigung von Springer Nature Cu-

stomer Service Centre GmbH: Springer Na-

ture International Journal of Thermophysics

[89] ©(2018).

Die Auswertung der O1L- und O2LR-Modelle in TVB-Konfiguration zeigt, dass der Einfluss

der Graphitschicht in TVB-Konfiguration in den experimentellen Daten nicht erkennbar ist.

Die Ergebnisse der Diffusivitäten sind für beide Modelle gleich. Tabelle 6.2 fasst die Fit-

Ergebnisse für die Diffusivität in den VB-Proben zusammen. Die angegebenen Fehler stehen

im Zusammenhang mit der Ungenauigkeit der Dickenmessung der Probe.

Tabelle 6.2: Gefittete Diffusivitäten mit verschiedenen semi-analytischen Modellen für den

VB-Probekörper

Modell Konfiguration D/10−7m2s−1

O1L RVB 1,92 ±0,03

O2LO RVB 1,73 ±0,03

O1L TVB 1,82 ±0,03

O2LO TVB 1,82 ±0,03

6.2 Ergebnisse — Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen

Messkonfigurationen

6.2.2 Unbeschichteter Probekörper

Die Temperaturentwicklungen für den UB-Probekörper sind in Abbildung 6.10 zusammen mit

den besten Fit-Ergebnissen des 1L1α-Modells und den Residuen dargestellt. Die Temperatur-

entwicklung zeigt deutlich, dass diese Probe für die Wellenlänge des Lasers semitransparent

ist. In der RUB-Konfiguration ist der Temperaturabfall nach der Erwärmung (in doppel-

logarithmischer Darstellung) nicht mehr linear. In der TUB-Konfiguration erwärmt sich die

Oberfläche sofort mit Beginn der Anregung. Diese beiden Effekte werden durch die direkte

Erwärmung des Volumens des Probenmaterials während der Anregung verursacht.

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

Residuum /%

exp. Daten

1L1α-Modell

Residuum

(a)

RUB

TUB

exp. Daten

1L1α-Modell

Residuum

Residuum /%

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

(b)

Abbildung 6.10: Experimentelle Daten der PT-Experimente an UB-Probe in Reflexions- (a)

und in Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die gestrichelten Linien zeigen die Fit-

Ergebnisse unter Verwendung des 1L1α-Modells (a) und des 1L1α-Modells (b). Die schwarzen

Punkte zeigen die Residuen zwischen den experimentellen Daten und den Ergebnissen der

semi-analytischen Modelle (ab t= 4 s ist nur noch jeder zehnte Punkt gezeigt). Reproduziert

mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature

In beiden Konfigurationen stimmen die Ergebnisse des analytischen Modells sehr gut mit den

experimentellen Daten überein. Die resultierenden Fitparameter sind in Tabelle 6.3 zusam-

mengestellt. Die Verwendung des 1L2α-Modells (zwei Absorptionskoeffizienten) verbessert

die Ergebnisse für beide Konfigurationen nicht. Der zweite Absorptionskoeffizient konvergiert

zu α2= 0 m−1und der Gewichtungsfaktor zu f1= 1, während α1auf den gleichen Wert

wie für das 1L1α-Modell konvergiert. Dies deutet darauf hin, dass die Absorption der mo-

nochromatischen Anregungsquelle (Laser) durch einen einzigen Absorptionsparameter gut

beschrieben werden kann.

Tabelle 6.3: Gefittete Diffusivitäten und effektive Absorptionskoeffizienten mit verschiedenen

semi-analytischen Modellen für den UB-Probekörper

Modell Konfiguration D/10−7m2s−1α1/m−1α2/m−1f1/m−1

1L1αRUB 1,73 ±0,03 1020 ±10 - -

1L2αRUB 1,73 ±0,03 1020 ±10 0 1

1L1αTUB 1,80 ±0,03 1032 ±13 - -

1L2αTUB 1,80 ±0,03 1032 ±13 0 1

6 Ergebnisse und Diskussion

6.2.3 Probekörper mit rückseitiger Beschichtung

Abbildung 6.11 zeigt die Temperaturentwicklungen für den RB-Probekörper, sie stellt die

experimentellen Daten zusammen mit den Ergebnissen des analytischen Modells 1L2αO (a),

2L2αOR (b) und den Residuen dar. In der RRB-Konfiguration (a) erscheint die Temperatur-

entwicklung wie in der RUB-Konfiguration und es gibt keinen offensichtlichen qualitativen

Hinweis auf die Beschichtung der Rückseite. In der TRB-Konfiguration ist der Einfluss der

Beschichtung jedoch eindeutig erkennbar. Die Temperatur der Rückseite steigt während der

Heizphase rasch an, verursacht durch die direkte Absorption des durchgelassenen Lichts an

der beschichteten Oberfläche. Nach Abschalten des Lasers sinkt die Temperatur aufgrund der

Diffusion der Wärme im Material schnell ab. Der anschließende erneute Temperaturanstieg

nach der Temperaturabsenkung resultiert aus der Diffusion der Wärme, welche von der Vor-

derseite kommt.

RRB

TRB

Abbildung 6.11: Experimentelle Daten der PT-Experimente an dem RB-Probekörper in

Reflexions- (a) und in Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die gestrichelten Li-

nien zeigen die Anpassungsergebnisse unter Verwendung des 1L2αO-Modells (a) und des

2L2αOR-Modells (b). Die schwarzen Punkte zeigen die Residuen zwischen den experimentel-

len Daten und den Ergebnissen der semi-analytischen Modelle (ab t= 4 s ist nur noch jeder

zehnte Punkt gezeigt). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service

Bevor die Fit-Ergebnisse diskutiert werden, muss die Wärmeverteilung des Materials auf der

beschichteten Rückseite der Probe näher betrachtet werden. Abbildung 6.12 (a) zeigt eine

Nahaufnahme der Probe. Dabei ist die Probe teilweise mit Graphit beschichtet. Abbildung

6.12 (b) und (c) zeigen Thermogramme, die während der Erwärmung (0,1s nach Beginn der

Heizphase) in TRB-Konfiguration aufgezeichnet wurden. Das linke Thermogramm (b) ist so

skaliert, dass der Kontrast im unbeschichteten Bereich zu erkennen ist. Die Temperatur ist

gleichmäßig verteilt, was für ein homogenes Material spricht. Das rechte Thermogramm ist

so skaliert, dass es den Kontrast im beschichteten Bereich zeigt. Eine Art Wabenstruktur

ist nun sichtbar. Die Form der wärmeren Bereiche lässt vermuten, dass es sich dabei um die

Bereiche handelt, in denen sich die Glasfasern befinden. Durch diese Bereiche gelangt mehr

Strahlung durch die Probe und erwärmt direkt die Beschichtung auf der Rückseite.

Abbildung 6.13 zeigt die experimentellen Ergebnisse der TRB-Konfiguration zusammen mit

den angepassten Ergebnissen verschiedener analytischer Modelle. Mit dem einfacheren 1L1αO-

6.2 Ergebnisse — Quantifizierung von Materialeigenschaften in verschiedenen

Messkonfigurationen

0,8

0,6

0,4

0,2

0,15

0,2

0,1

0,05

4 mm 4 mm 4 mm

(a) (b) (c)

∆T∆T

Abbildung 6.12: (a) Foto der beschichteten Probe. Die schwarze Fläche ist eine dünne Gra-

phitschicht. (b) zeigt ein Thermogramm, das während der Erwärmung (0,1 s nach Beginn

des Heizphase) in TRB-Konfiguration aufgenommen wurde. (c) dasselbe Thermogramm wie

(b), nun so skaliert, dass der Kontrast im beschichteten Bereich zu sehen ist. Reproduziert

mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature

Modell ist es nicht möglich, die Temperaturentwicklung richtig zu beschreiben (gestrichelte

Linie in Abbildung 6.13). Die resultierende Diffusivität von D1L1αO= 1,13 ×10−7m2s−1

weicht signifikant von den Ergebnissen der anderen Konfigurationen ab. Die Verwendung

des komplexeren 2L1αOR-Modells verbessert das Ergebnis nicht (hier nicht gezeigt), und

auch bei dem 1L2αO-Modell stimmt die resultierende Temperaturentwicklung nicht mit den

experimentellen Daten überein (hier nicht gezeigt). Wird hingegen das 2L2αOR-Modell ver-

wendet, können die experimentellen Daten rekonstruiert werden. Dies ist plausibel, da das

Thermogramm in Abbildung 6.12 (c) zeigt, dass das Material unterschiedlich stark absorbiert.

Es ist zu beachten, dass die genauen Werte für α1,α2und f1in gewissem Umfang von den

Startwerten abhängen. Daher wurden Startwerte verwendet, welche nahe an den Ergebnissen

der unbeschichteten Probe liegen (αA= 1000 m−1,αB= 0 m−1,fα= 1). Die Ergebnisse der

verschiedenen Modelle sind in Tabelle 6.4 zusammengestellt.

Für die RRB-Konfiguration können die experimentellen Daten mit dem 1L1αO-Modell rekon-

struiert werden, jedoch weicht die ermittelte Diffusivität D1L1αO= 1,25 ×10−7m2s−1stark

von den zuvor ermittelten Werten ab (siehe Tabelle 6.4). Dies ergibt Sinn, da die Auswertung

der TRB-Messdaten gezeigt hat, dass die Absorption aufgrund der Wabenstruktur nicht mit

einem αbeschrieben werden kann. Wenn das 2L2αOR-Modell verwendet wird, das für die

Auswertung der TRB-Messdaten verwendet wurde, kann die Diffusivität bestimmt werden

(siehe Tabelle 6.4). Es hat sich herausgestellt, dass die Diffusivität auch mit einem 1L2αO-

Modell für die RRB-Konfiguration bestimmt werden kann. Dies bedeutet, dass die Model-

lierung der Beschichtung und der thermische Übergangswiderstand vernachlässigt werden

können. Wie bei der TVB-Konfiguration befindet sich die Beschichtung auf der gegenüber-

liegenden Seite der Temperaturmessung. Der Einfluss der Beschichtung und des thermischen

Übergangswiderstands sind aus den Messdaten nicht zu erkennen.

6 Ergebnisse und Diskussion

TRB

Abbildung 6.13: Detailansicht der experimentellen Daten aus Abbildung 6.11 (b), des Fit-

Ergebnisses des 1L1αO-Modells (gestrichelte Linie) und des 2L2αOR-Modells (durchgezogene

Linie). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH:

Tabelle 6.4: Gefittete Diffusivitäten und effektive Absorptionskoeffizienten mit verschiedenen

semi-analytischen Modellen für den RB-Probekörper.∗Diese Werte hängen von den Startwer-

ten der jeweiligen Parameter ab.

Modell Konfiguration D/10−7m2s−1α1/m−1α1/m−1f1/m−1

1L1αO RRB 1,25 ±0,14 895 ±70 - -

1L2αO RRB 1,85 ±0,04 1056 ±12 ∗0∗0,95∗

2L2αOR RRB 1,84 ±0,04 1099 ±12 ∗0∗0,94∗

1L1αO TRB 1,13 ±0,14 800 ±80 - -

1L2αO TRB 1,88 ±0,04 1054 ±10 ∗0∗0,95∗

2L2αOR TRB 1,81 ±0,03 1089 ±21 ∗0∗0,94∗

6.2.4 Zusammenfassung

Tabelle 6.5 fasst die Fit-Ergebnisse der angewandten Modelle für alle Konfigurationen zu-

sammen. Dabei werden hier nur die Modelle berücksichtigt, welche die experimentellen Da-

ten am besten beschreiben. Die ermittelten Diffusivitäten liegen für alle T-Konfigurationen

um DT= 1,82 ×10−7m2s−1, während die Diffusivitäten in der R-Konfiguration für RVB

und RUB etwas geringer (D= 1,73 ×10−7m2s−1) sind als für RRB (D= 1,84 ×10−7

m2s−1). Die Unterschiede liegen jedoch unter 10%. Vergleicht man die Diffusivitäten in T-

und in R-Konfiguration so ist, mit Ausnahme des RRB, die Diffusivität in T-Konfiguration

etwa 0,1×10−7m2s−1größer als in R-Konfiguration. Dies entspricht einer systematischen

Abweichung von 6%. Der Grund für diese Abweichung ist noch nicht bekannt und muss in

zukünftigen Arbeiten untersucht werden.

Das auf den ersten Blick überraschende Ergebnis α2= 0 lässt sich wie folgt erklären. Das Ma-

terial ist hochtransparent (keine Absorption) für den Laserstrahl in Bereichen, in denen die

Glasfasern im Material vorherrschen. In diesen Bereichen wird der Laserstrahl durch den Pro-

bekörper transmittiert und lagert nur sehr wenig Energie in der Probenmasse ab, so dass die

100

6.3 Ergebnisse — Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen

Tabelle 6.5: Zusammenfassung der angepassten thermischen und optischen Materialparameter

für die verwendeten Modelle, welche die experimentellen Daten am besten beschreiben. ∗Diese

Werte hängen von den Startwerten der jeweiligen Parameter ab.

Modell Konfiguration D/10−7m2s−1α1/m−1α2/m−1f1/m−1

O2LRαRVB 1,73 ±0,03 - - -

1L2αTVB 1,82 ±0,03 - - -

1L1αRUB 1,73 ±0,03 1020 ±10 0 1

1L1αTUB 1,80 ±0,04 1032 ±13 0 1

2L2αOR RRB 1,84 ±0,04 1099 ±12 ∗0∗0,94∗

2L2αOR TRB 1,81 ±0,03 1089 ±21 ∗0∗0,94∗

Temperaturentwicklung durch das 1L1α-Modell für den UB-Probekörper beschrieben werden

kann. Bei dem RB-Probekörper hingegen erwärmt die durchgelassene Strahlung die Beschich-

tung auf der Rückseite des Probekörpers und verändert so die Temperaturentwicklung. Dies

erklärt auch, dass der Wert für α1sowohl für den UB- als auch für den BR-Probekörper

stets im gleichen Bereich liegt. Hinsichtlich der erforderlichen Komplexität des Modells kann

Folgendes feststellt werden: Für Konfigurationen, bei denen die IR-Kamera die Temperatur

der beschichteten Oberfläche erfasst (RVB und TRB), sind die 2-L-R-Modelle mit thermi-

schem Übergangswiderstand erforderlich, da der Einfluss der begrenzten thermischen Kopp-

lung zwischen Beschichtung und Probe auf die Temperatur der dünnen Beschichtung, die

in diesem Fall gemessen wird, groß ist. Für die anderen Konfigurationen mit Beschichtung

(TVB und RRB) sind die 1-L-Modelle ausreichend und liefern die gleichen Ergebnisse wie

die 2-L-Modelle. Die 2-α-Modelle sind nur für die Auswertung der PT-Experimente an dem,

RB-Probekörper relevant.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Temperaturverläufe aller Konfigurationen mit

einem geeignetem Modell beschrieben werden können und sich einheitliche Ergebnisse für die

Diffusivität und den Absorptionskoeffizienten ergeben. Somit können die 1D-Modelle auch

für GFK (heterogene Materialien) verwendet werden.

6.3 Ergebnisse — Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen

In diesem Kapitel werden Nuten in PVC-Proben mittels PT-Experimenten und numerischen

Modellen quantifiziert. Ziel ist es, die Nutbreite wund die Restwandstärke dzu bestimmen.

Aufgrund von lateralen Wärmeflüssen im Material müssen 2D-Modelle verwendet werden.

Die Versuchsdurchführung und das Vorgehen der Datenauswertung ist in Kapitel 4.7.2 be-

schrieben.

Ein Teil der Ergebnisse in diesem Kapitel wurde bereits in [92] publiziert.

Abbildung 6.14 zeigt die Temperaturverteilung für die Probe PVC 3 mit Beschichtung (a)

und ohne Beschichtung (b) für die x-Koordinaten x= 0 mm (direkt über der Nutmitte),

x= 3 mm (direkt über der Nutkante) und bei x= 6 mm (abseits der Nut). Trotz höherer

101

6 Ergebnisse und Diskussion

Ausgangsleistung des Lasers bei dem PT-Experiment mit der PVC-Probe ohne Beschich-

tung (ca. 50% mehr Leistung) erwärmt sich die Probe während der Anregung nicht ganz

so stark, wie die Probe mit Beschichtung bei geringerer Leistung. Ein Unterschied zwischen

den Temperaturverläufen ist bei t= 0,2s zu sehen. Wenn die Probe beschichtet ist, fällt

die Temperatur kurzzeitig deutlich schneller ab im Vergleich zur unbeschichteten Probe (zwi-

schen t= 0,2s bis t= 0,4s). Die Unterschiede zwischen der Temperaturentwicklung oberhalb

der Nut (blaue Linie) und im ungestörten Bereich (grüne Linie) sind eindeutig zu erkennen.

Aufgrund des Wärmestaus durch die Nut kühlt sich das Material oberhalb der Nut nicht so

schnell ab. Der Temperaturverlauf weist somit eine Biegung bei t= 10 s auf.

(a) (b)

Abbildung 6.14: Temperaturdifferenz der Proben PVC 3 (a) beschichtet (PLaser = 170 W)

und (b) unbeschichtet (PLaser = 250 W). Die grauen Punkte (ein Detektorpixel) sind die

experimentellen Daten, die Linien die numerischen Daten für die drei Orientierungspunkte

auf der Probe. (a) reproduziert von [92], mit Genehmigung von AIP Publishing.

Die Ergebnisse für die Probe PVC 2 sind hier nicht abgebildet, da sie sehr stark Abbildung

6.14 (b) ähneln, nur dass die Biegung des Temperaturverlaufes um t= 10 s nicht mehr so

deutlich zu erkennen ist. Für die Probe PVC 1 ist der Unterschied zwischen der Temperatur-

entwicklung oberhalb der Nut und abseits der Nut in solch einer Darstellung nicht mehr zu

erkennen. Daher wird für die Probe PVC 1 der thermische Kontrast untersucht. Abbildung

6.15 zeigt den thermischen Kontrast, berechnet nach Gleichung 6.1, für die experimentellen

und für simulierte PT-Daten.

Es ist zu erkennen, dass der Kontrast mit <350mK nur sehr schwach ausgeprägt ist. Doch

trotz dieses geringen Kontrasts kann die Nut sehr gut rekonstruiert werden. Für alle nume-

rischen Modelle ohne Teiltransparenz und mit Teiltransparenz passen die simulierten Daten

sehr gut mit den experimentellen Daten überein. Die Ergebnisse der Rekonstruktion von w

und dsind in Tabelle 6.6 zusammengefasst. Die Restwanddicke kann mit einer Genauigkeit

von 0,1mm und der Nutbreite von 0,2 mm bestimmt werden. Die Ergebnisse für PVC 1

zeigen, dass der Algorithmus auch für kleine AR sehr gut funktioniert.

Abbildung 6.16 verdeutlicht, welchen Einfluss die thermischen Verluste auf die Temperatur-

entwicklung haben und wie wichtig die Berücksichtigung der thermischen Verluste im nume-

rischen Modell ist, um die experimentellen Daten beschreiben zu können. Zu sehen ist die

Temperaturerhöhung der beschichteten Probe PVC 3 genau oberhalb der Nut. Die grauen

Punkte zeigen die experimentellen Daten, die gestrichelte Linie beschreibt das numerische

102

6.3 Ergebnisse — Quantifizierung von künstlichen Fehlstellen

(a) (b)

Abbildung 6.15: Thermischer Kontrast Cfür die Probe PVC 1, (a) experimentelle Daten, (b)

simulierte Daten.

Restwanddicke d/mm Nutbreite w/mm

Probekörper AR real fit real fit

PVC 1 1,17 1,8 1,9 2,1 2,0

PVC 2 1,95 2,1 2,0 4,1 4.3

PVC 3 3 2,1 2,1 6,3 6.4

PVC 3 beschichtet 3 2,1 2,0 6,4 4.3

Tabelle 6.6: Ergebnisse der PVC-Proben. Die Genauigkeit der Anpassungsparameter beträgt

< 5 %.

Modell mit h= 14 Wm−2K−1, die durchgezogene Linie zeigt das gleiche numerische Modell

ohne thermische Verluste (h= 0). Die thermischen Verluste haben bei PVC-Proben so einen

großen Einfluss, da PVC eine sehr geringe thermische Diffusivität aufweist und somit das

PT-Experiment deutlich länger dauert als z.B. an Stahlproben (vergleiche Abbildung 6.6),

wodurch die thermischen Verluste immer stärker den Temperaturverlauf beeinflussen.

0.1 1 10 100

Zeit /s

Temperaturdifferenz /K

0.5

exp. Daten

Simulation h= 14

Simulation h= 0

Abbildung 6.16: Temperaturanstieg oberhalb der Nut für die Probe PVC 3. Die durchgezogene

Linie zeigt die Ergebnisse des Modells für die Temperaturentwicklung ohne Berücksichtigung

der Wärmeverluste (h= 0). Reproduziert von [92], mit Genehmigung von AIP Publishing.

103

6 Ergebnisse und Diskussion

6.4 Ergebnisse — Quantifizierung von realen Fehlstellen

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse zur Quantifizierung der Tiefe einer Delamination in

einer unbeschichteten GFK-Probe vorgestellt und diskutiert. Der Ablauf und die Versuchs-

durchführung ist in Kapitel 4.7.3 beschrieben.

Die nachfolgend gezeigten Ergebnisse der Abschnitte 6.4.1 bis 6.4.3 wurden bereits in [95]

veröffentlicht und werden hier größtenteils wie in [95] besprochen wiedergegeben.

6.4.1 Auswertung mit einem 1-Schicht-Modell

Zuerst wurden die experimentellen Daten (27 x 24 ROIs) mit dem 1-Schicht-Modell (1L1α1β)

ausgewertet. Abbildung 6.17 (a) und (b) zeigen die experimentellen Daten (graue Punkte)

für den defektfreien Bereich ROI-Position: A, und für den Bereich, wo eine Delamination vor-

liegt, ROI-Position: B (siehe Abbildung 4.20). Die gestrichelten Linien zeigen das Ergebnis

für das 1L1α1β-Modell. Es ist zu sehen, dass das Modell die experimentellen Daten sehr gut

für die Position A mit ζ2= 0,08 und weniger gut für die Position B mit ζ2= 2,71 beschreibt.

Abbildung 6.18 (a) zeigt den Goodness-of-Fit für alle ROIs. Das 1-Schicht-Modell beschreibt

(a) (b)

Abbildung 6.17: (a) Experimentelle Daten und das Ergebnis des angepassten 1L1α1β-Modells

für den defektfreien Bereich (ROI-Position A). (b) Experimentelle Daten und das Ergebnis

des angepassten 1L1α1β-Modells für den Bereich mit Delamination (ROI-Position B). Re-

produziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

die experimentellen Daten bis x= 82 mm sehr genau. Dieser Bereich weist keine Delamination

innerhalb des Materials auf. Bis x= 82 mm liegt ζ2bei maximal 0,24. Daher wird der Schwell-

wert für ζ2auf 0,3 gesetzt (vergleiche den Ablauf der Datenauswertung in Abbildung 4.21).

Alle Bereiche für ζ2>0,3 müssen mit einem 2-Schicht-Modell ausgewertet werden.

104

6.4 Ergebnisse — Quantifizierung von realen Fehlstellen

Die absolute Abweichung ∆L=|Lfit −Lreal |von der ermittelten Dicke Lfit und der Referenz-

dicke Lreal ist für alle ROIs mit ζ2<0,3in Abbildung 6.18 (b) dargestellt. Die Abweichungen

liegen unter 0,5mm.

(a)

(b) (c)

Abbildung 6.18: Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 1-Schicht-

Modell. (a) Goodness-of-Fit, (b) die absolute Differenz der ermittelten Dicke Lfit mit der

Referenzdicke Lreal = 5 mm für alle ROIs mit ζ2<0,3und (c) der Wärmeverlustparameter

hfür alle ROIs mit ζ2<0,3.Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer

Abbildung 6.18 (c) zeigt die Ergebnisse von hfür alle ROIs mit ζ2<0,3. Der Wert von h

nimmt zu den Rändern des beleuchteten Bereichs hin deutlich zu, welches mit einem erhöhten

Einfluss der lateralen Wärmeströme in diesen Bereichen übereinstimmt, da die thermischen

Verluste an den Seitenflächen der Probe, bei y= 0 mm und y= 50 mm, die lateralen Wär-

meströme in der Probe erhöhen.

6.4.2 Auswertung mit einem 2-Schicht-Modell

Die experimentellen Daten für die Position B und der Temperaturverlauf, berechnet mit dem

2L1α1βR-Modell, sind in Abbildung 6.19 dargestellt. Im Vergleich zum 1-Schicht-Modell

(siehe Abbildung 6.17 (b)) beschreibt das 2-Schicht-Modell die experimentellen Daten mit

ζ2= 0,07 signifikant besser. Das Ergebnis der Rekonstruktion ist für die Tiefe der Delami-

nation L1=3,3mm, was der realen Tiefe der Delamination entspricht.

Abbildung 6.20 zeigt die Ergebnis für die Tiefe der Delamination L1, den thermischen Kon-

taktwiderstand R, die thermischen Verluste hund den Goodness-of-Fit für die ROI-Linie bei

y= 26 mm und x>82 mm (siehe Schnitt C-C aus Abbildung 4.20). Der thermische Kon-

taktwiderstand (graue Linie) in Abbildung 6.20 (a) steigt bei x= 82 mm bis x= 102 mm

105

6 Ergebnisse und Diskussion

Abbildung 6.19: Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 2-Schicht-

Modell für die Position B. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer

(a)

(b) (c)

Abbildung 6.20: Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 2-Schicht-

Modell für die ROIs bei y= 26 mm und x>82 mm. (a) Tiefe der Delamination L1und des

thermischen Übergangswiderstandes R, (b) thermischen Verluste hund (c) Goodness-of-Fit

für das 1- und das 2-Schicht-Modell. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature

Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics

[95] ©(2018).

von Null auf ca. 0,01 Km2W−1an. Die berechnete Tiefe der Delamination liegt in diesem

Bereich nahe der Referenztiefe von 3,3mm (Strich-Punktlinie). Ab x= 102 mm nehmen die

106

6.4 Ergebnisse — Quantifizierung von realen Fehlstellen

Parameter Rund L1kontinuierlich ab, während hschnell ansteigt (siehe Abbildung 6.20

(b)). Abbildung 6.20 (c) zeigt den Goodness-of-Fit für das 1- und das 2-Schicht-Modell. Das

2-Schicht-Modell kann im Gegensatz zum 1-Schicht-Modell für alle ROIs mit x>82 mm die

experimentelle Daten mit ζ2<0,3beschreiben.

Damit die Ergebnisse besser eingeordnet werden können, werden die synthetischen Datensätze

synthPTA68 und synthPTA240 ebenfalls mit dem 2-Schicht-Modell analysiert. Die Ergebnisse

für L1,Rund hsind in Abbildung 6.21 dargestellt. Wenn die gesamte Oberfläche beleuchtet

wird (Datensatz synthPTA240), können L1(für x>85 mm), R(für x>95 mm) und hgut

rekonstruiert werden. In dem Bereich, wo die Delamination anfängt (x= 82 mm), weichen

die rekonstruierten Parameter von den vorgegebenen Parametern leicht ab. In diesem Bereich

werden sich laterale Wärmeflüsse einstellen, die die rekonstruierten Parameter beeinflussen.

Die Auswertung der synthPTA68-Daten, bei denen wie im PT-Experiment nur ein Teil der

Oberfläche beleuchtet wurde, zeigt, dass L1und Rbis x= 106 mm den Ergebnissen der

synthPTA240 entsprechen. Insbesondere die Ergebnisse für L1liegen nahe an den modellier-

ten Werten. Ab x>106 mm weichen jedoch L1und Rvon den modellierten Parametern ab.

synthPTA240

synthPTA68

vorgebene Werte für Rund L1

(a)

synthPTA240

synthPTA68

(b)

Abbildung 6.21: Auswertung der synthetischen PT-Daten. (a) Ergebnis der Delaminierungs-

tiefe L1, des thermischen Widerstandes Rund (b) die thermischen Verluste h.Reproduziert

mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature

Der Vergleich von synthPTA68 und synthPTA240 zeigt, dass für x>106 mm die lateralen

Wärmeströme innerhalb des Materials der Grund für die Abweichungen von L1und Rsind.

Die lateralen Wärmeströme werden durch die begrenzte Beleuchtungsfläche A68 verursacht.

Der Wärmeverlustparameter nimmt für synthPTA68 ab x>90 mm kontinuierlich zu, wo-

hingegen für synthPTA240 der Wert konstant bleibt. Durch die begrenzte Beleuchtungsfläche

wird die Wärme aus dem Bereich der Probe, der beleuchtet wird, in den Bereich diffundieren,

der nicht beleuchtet wird. Dies zeigt eindeutig, dass der Wärmeverlust-Parameter hauch Ver-

luste durch laterale Wärmeleitung kompensieren kann, da die Tiefe der Delamination auch

noch bei x= 104 mm sehr genau bestimmt werden kann.

107

6 Ergebnisse und Diskussion

6.4.3 Vergleich zwischen synthetischen und den realen PT-Experimenten

Der Vergleich zwischen der Auswertung der experimentellen Daten (Abbildung 6.20) und den

synthetischen Daten synthPTA68 (Abbildung 6.21) mit kleiner Beleuchtungsfläche zeigt, dass

der Verlauf der rekonstruierten Parameter R,L1und hsehr ähnlich sind. Für die Tiefe der De-

lamination stellt sich ein Plateau in beiden Fällen bis zu x= 104 mm ein. Der Unterschied zur

gemessenen Tiefe der Delamination beträgt weniger als 5%. Die synthetischen Daten zeigen

deutlich, dass der laterale Wärmefluss die Ergebnisse für den thermischen Übergangswider-

stand, die Tiefe der Delamination und die thermischen Verluste beeinflusst. Insbesondere die

Ergebnisse für Rund hwerden durch den lateralen Wärmefluss stark beeinflusst. Diese beiden

Parameter können im 1D-Modell verwendet werden, um einen schwachen lateralen Wärme-

fluss innerhalb des Materials zu kompensieren, denn die experimentellen Daten konnten mit

dem 2-Schicht-Modell gut rekonstruiert werden. Folglich können zwar gute Fits hergestellt

werden, aber starke laterale Wärmeströme können zu falschen Werten der Fit-Parametern

führen. Um laterale Wärmeflüsse zu vermeiden, sollte eine möglichst große Beleuchtungsfläche

verwendet werden.

6.5 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Die Validierung der 1D-1L1α1β-Modelle an den ND-Filtern hat gezeigt, dass die thermische

Diffusivität und die Absorptionskoeffizienten der ND-Filter mittels der Rekonstruktion von

PT-Messdaten quantitativ bestimmt werden können. Dies bedeutet auch, dass das Setup der

PT-Experimente korrekt modelliert wurde. Die Absorption der Laserstrahlung im Volumen

der ND-Filter kann mit einem Absorptionskoeffizienten modelliert werden; dies ist plausibel,

da die Filter homogen sind und keine Streueigenschaften aufweisen.

Die mathematische Modellierung der Absorption der Laserstrahlung in GFK (heterogenes

Material) kann bei einer unbeschichteten Probe mit einem effektiven Absorptionskoeffizien-

ten modelliert werden, der die Streuung und die Absorption berücksichtigt. Die Ergebnisse

aus Kapitel 6.2 zeigen, dass für unterschiedliche Messkonfigurationen der Impulsthermografie

mit unbeschichteten und einseitig beschichteten GFK-Probekörpern die Temperaturverläufe

für alle untersuchten Konfigurationen mit einem geeigneten Modell beschrieben werden kön-

nen.

Durch diese Überprüfung des mathematischen Modells wurde sichergestellt, dass dieses Mess-

daten von GFK-Probekörpern (heterogenes Material) beschreiben kann. Somit wurde für

einen GFK-Probekörper mit realer Delamination die Tiefe der Delamination quantitativ be-

stimmt. Das mathematische Modell muss dafür mit einem thermischen Übergangswiderstand

R, der die Delamination beschreibt, und mit einer zweiten Schicht (Tiefe der Delaminati-

on L1) erweitert werden. Mit den Erkenntnissen der Sensitivitätsstudie aus Kapitel 4.4.5

(es besteht keine direkte Korrelation zwischen L1und R) wurden für die Rekonstruktion

der PT-Messdaten die Tiefe der Delamination und der thermische Übergangswiderstand als

Fitparameter definiert. Dabei hat sich gezeigt, dass der thermische Verlustparameter hals

Fitparameter definiert werden sollte, da dieser laterale Wärmeflüsse kompensieren kann. D.

108

6.5 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

h. obwohl der Wärmefluss im Material nicht eindimensional verläuft, kann dennoch das 1D-

Modell den Temperaturverlauf beschreiben, und somit kann die Tiefe der Delamination be-

stimmt werden. Es muss angemerkt werden, dass wenn die lateralen Wärmeflüsse im Material

dominieren, diese nicht über den thermischen Verlustparameter kompensiert werden können.

Da dieser Effekt nicht nur für teiltransparente Materialien gilt, wurde dieser in dieser Arbeit

nicht quantifiziert.

Mit dem beschriebenen Ablauf zur Bestimmung der Tiefe einer Delamination können auch

Bauteile untersucht werden, die nur von einer Seite zugänglich sind, wenn dabei angenommen

werden kann, dass das untermischte Prüfobjekt eine konstante Bauteildicke aufweist. Denn

mit einem 1-Schicht-Modell kann zuerst die Dicke des Prüfobjektes bestimmt werden, um

anschließend diese als Gesamtdicke im 2-Schicht-Modell zu verwenden.

Überwiegen die lateralen Wärmeflüsse in einem Prüfobjekt, z.B. bedingt durch die Geome-

trie, müssen 2D/3D-Modelle zur Beschreibung der Temperaturverteilung verwendet werden.

Mittels der FEM kann die mehrdimensionale Diffusionsgleichung, mit Berücksichtigung der

Teiltransparenz eines Materials, gelöst werden. Die Ergebnisse aus Kapitel 6.3 zeigten, dass

künstliche Fehlstellen, in Form einer Nut, mit numerischen 2D-Modellen und PT-Messdaten

rekonstruiert werden können. Das 2D-Modell ist dabei nicht auf die Beschreibung von Prüf-

objekten mit Nuten beschränkt, sondern kann beliebig erweitert werden. Z.B. können Prüf-

objekte mit Flachlochbohrungen untersucht werden. Dafür muss das 2D-Modell nur durch

eine Rotationssymmetrie erweitert werden. Prüfobjekte mit Flachlochbohrungen sind in der

Thermografie weit verbreitet, da diese eine Delamination simulieren können.

Die Ergebnisse des Kapitels zeigen, dass die Geometrie von Defekten in teiltransparen-

ten Materialien, auch ohne die sonst zwingend benötigten Oberflächenbeschichtungen nach

DIN 54184 [5] quantitativ bestimmt werden können. Somit können Zeit und Kosten bei der

Vor- und Nachbereitung der Probekörper für die PT-Experimente eingespart werden.

109

7 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurden Experimente mittels Impulsthermografie (PT) an Prüfkörpern durch-

geführt, deren Materialien sowohl im Wellenlängenbereich der verwendeten Anregungsquelle

als auch der eingesetzten IR-Kamera teiltransparent sind. Die durchgeführten PT-Experimente

wurden mathematisch modelliert, damit der gemessene Temperaturverlauf mit diesen itera-

tiv rekonstruiert werden konnte, um so die Materialeigenschaften der Prüfkörper oder die

Geometrien ihrer Fehlstellen zu bestimmen. Nach der Norm DIN 54184 für die Impulsther-

mografie [5] sind für teiltransparente Materialien Oberflächenbeschichtungen vorgeschrieben.

Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass die Quantifizierung der Geometrien von realen

Fehlstellen in Prüfkörpern aus teiltransparenten Materialien auch ohne zusätzliche Beschich-

tungen erfolgen kann.

Hierfür wurden zunächst ausführlich die Grundlagen zur mathematischen Beschreibung der

PT-Experimente an teiltransparenten Prüfkörpern für jede einzelne Komponente eines PT-

Experiments beschrieben und modelliert, bestehend aus der IR-Kamera, der Anregungsquel-

le, dem Prüfkörper und der Umgebung. Die mathematische Modellierung einer IR-Kamera

wurde in dieser Arbeit genauer untersucht. Bei teiltransparenten Materialien empfängt die

IR-Kamera Strahlung auch aus dem Volumen und misst daher eine scheinbare Tempera-

tur und nicht wie bei opaken Materialien nur die Oberflächentemperatur, dennoch wird in

herkömmlichen Modellierungen [56] nur das Temperaturfeld, nicht jedoch das Strahlungsfeld

berücksichtigt. Dabei wird angenommen, dass bei kleinen Temperaturdifferenzen im Material

sich die spektrale Ausstrahlung proportional zur Temperatur verhält. Unbekannt ist jedoch,

welche Modellparameter bei der Rekonstruktion durch diese Vereinfachung beeinflusst wer-

den können. Daher wurde ein Vergleich zwischen der bisher üblichen mathematischen Mo-

dellierung mit einer neu entwickelten Modellierung der IR-Kamera unter Berücksichtigung

des Strahlungsfelds durchgeführt. Somit konnte untersucht werden, welche Unterschiede im

Temperaturverlauf der scheinbaren Temperatur auftreten und welche Modellparameter bei

der Rekonstruktion von PT-Messdaten beeinflusst werden. Folgende Erkenntnisse haben sich

ergeben:

•Bei großen Temperaturdifferenzen in T(z)(es gilt nicht mehr ∆TT) weichen die Er-

gebnisse der beiden Rechenwege (Temperatur vs Strahlung) stark voneinander ab. Die

scheinbare Temperatur, ohne Berücksichtigung des Strahlungsfeldes, ist dabei geringer.

Die Abweichung tritt während der aktiven Anregung bzw. der Heizphase (1. Phase im

Temperaturverlauf) auf, da während der Heizphase die größten Temperaturdifferenzen

im Material vorhanden sind.

111

7 Zusammenfassung und Ausblick

•Für die Rekonstruktion von PT-Messdaten mit der vereinfachten Modellierung der IR-

Kamera, bedeutet dies, dass alle Modellparameter, welche die Heizphase besonders

stark beeinflussen, von den realen Werten abweichen können. Dies sind vor allem die

absorbierte Energie Q und die Absorptionskoeffizienten αund β.

•Die Diffusivität und die Tiefe von Fehlstellen werden dabei üblicherweise nicht beein-

trächtigt, da diese die 2. Phase prägen (Wärmediffusion durch den Körper). Ausnahmen

sind sehr dünne Proben mit verhältnismäßig langer Heizphase, wo während der Er-

wärmung wesentliche Wärmetransportprozesse im Material stattfinden. In diesem Fall

kann der Temperaturverlauf der scheinbaren Temperatur während der Heizphase von

der Diffusivität und der Tiefe der Fehlstelle beeinflusst werden.

•Bei ZfP-üblichen PT-Experimenten an GFK oder anderen Polymeren, wie die in dieser

Arbeit beschriebenen Experimente, sind die Temperaturdifferenzen gering und es finden

während der Erwärmung keine wesentlichen Wärmetransportprozesse im Material statt.

Des Weiteren ist für die Rekonstruktion die Energie Qimmer ein Fitparameter und α

und βwerden als effektive Absorptionskoeffizienten betrachtet, daher können eventuelle

Abweichungen dieser Parameter vernachlässigt werden.

Wenn das Strahlungsfeld für die Modellierung einer IR-Kamera berücksichtigt werden soll,

dann muss die spektrale Empfindlichkeit des IR-Kamera-Gesamtsystems bestehend aus De-

tektor, Filter, Objektiven und Atmosphäre bekannt sein. Die spektrale Empfindlichkeit ist

jedoch meistens nicht bekannt, da sie bei opaken Materialien nur sehr selten benötigt wird. In

dieser Arbeit wurde daher eine auf die Laborpraxis von IR-Thermografielaboren zugeschnit-

tene Methode zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit über 15 Stützstellen vorge-

stellt und durchgeführt. Benötigt wird dafür ein Bandpassfilterset im Wellenlängenbereich

der IR-Kamera, ein Schwarzkörperstrahler, das IR-Kamerasystem und ein mathematisches

Modell, welches das Experiment beschreibt. Validiert wurde die spektrale Empfindlichkeit

durch einen Vergleich zwischen berechneten Kalibrierkurven und den hinterlegten Kalibrier-

kurven der IR-Kamera. Die Abweichungen betragen weniger als 1%, was im Toleranzbereich

der verwendeten IR-Kamera liegt (Messgenauigkeit ±1 %). Durch diese Methode kann die

spektrale Empfindlichkeit beliebig komplexer IR-Gesamtsysteme kostengünstig und schnell

bestimmt werden.

Durch die Bestimmung der Materialparameter (Diffusivität und Absorptionskoeffizient im

Wellenlängenbereich der Anregungsquelle) an einem heterogenen Material (GFK mit wei-

ßen Pigmenten) in verschiedenen Messkonfigurationen mittels der Rekonstruktion der expe-

rimentellen Daten mit einem Modell, wurde untersucht, welche Modellkomplexität für die

unterschiedlichen experimentellen Messkonfigurationen benötigt werden. Die Probe wurde

unbeschichtet und einseitig beschichtet untersucht. Folgende Ergebnisse lassen sich zusam-

menfassen:

•Die gemessenen Temperaturverläufe konnten für alle Messkonfigurationen mit einem

geeigneten semi-analytischen 1D-Modell rekonstruiert werden. Dabei konnten die ther-

mische Diffusivität und die effektiven Absorptionskoeffizienten der Probe in allen Konfi-

gurationen einheitlich bestimmt werden. Dies bedeutet, dass das 1D-Modell, das eigent-

112

lich homogene Materialien beschreibt, auch für heterogenes Material (GFK) verwendet

werden kann. Die Absorption der monochromatischen Anregungsquelle (Laser) konnte

dabei mit effektiven Absorptionskoeffizienten, welche Streuung und Absorption zusam-

menfassen, beschrieben werden.

•Hinsichtlich der erforderlichen Komplexität des Modells konnte festgestellt werden, dass

für Konfigurationen, bei denen die IR-Kamera die Temperatur der beschichteten Ober-

fläche erfasst, die 2-Schicht-Modelle mit thermischem Übergangswiderstand erforder-

lich sind. Denn hier ist der Einfluss der begrenzten thermischen Kopplung zwischen

Beschichtung und Probe auf die Temperatur der dünnen Beschichtung, die in diesem

Fall gemessen wird, groß. Für die anderen Konfigurationen mit Beschichtung (die Ka-

mera beobachtet die unbeschichtete Oberfläche der Probe) sind die 1-Schicht-Modelle

ausreichend und liefern die gleichen Ergebnisse wie die 2-Schicht-Modelle.

•Für Messkonfiguration, bei der die unbeschichtete Seite zur Anregungsquelle orientiert

ist, kann die Absorption der monochromatischen Anregungsquelle nicht mehr mit einem

effektiven Absorptionskoeffizienten beschrieben werden. Daher wurde das 1D-Modell

durch einen zweiten Absorptionskoeffizienten und einen Gewichtungsfaktor erweitert.

So konnte mathematisch die Absorption der Laserstrahlung in der GFK-Probe, die

eine zur einfallenden Laserstrahlung parallele Materialstruktur aufweist, beschrieben

werden.

Die Quantifizierung der Geometrie von künstlichen Fehlstellen (in Form von Nuten) erfolgte

an PVC-Prüfkörpern, die teiltransparent im Wellenlängenbereich der verwendeten MWIR-

Kamera sind. Die Geometrie, Nutbreite und Restwanddicke mit bis zu einem Aspektverhältnis

von eins konnte mit PT-Experimenten durch Rekonstruktion der PT-Messdaten mit einem

numerischen 2D-Modell, das die Teiltransparenz berücksichtigt, rekonstruiert werden. Die

Abweichungen zu den realen Werten beträgt weniger als 5%. Die Quantifizierung von rea-

len Fehlstellen erfolgte an einer GFK-Probe mit realer Delamination, die teiltransparent im

Wellenlängenbereich der Anregungsquelle und der IR-Kamera ist. Die PT-Messdaten wurden

zunächst systematisch mit einem 1D-1-Schicht-Modell ausgewertet, um den Bereich der Pro-

be zu identifizieren, in dem sich die Delamination befindet. Anschließend wurde mit einem

2-Schicht-Modell die Tiefe der Delamination bestimmt. Zusätzlich wurden synthetische PT-

Messdaten, die mit einem numerischen 2D-Modell erzeugt wurden, mit demselben 2-Schicht-

Modell ausgewertet. So konnte der Einfluss der unbekannten Parameter (die thermischen

Verluste und der thermische Übergangswiderstand sind im realen Experiment nicht bekannt)

untersucht werden. Folgende Erkenntnisse haben sich ergeben:

•Mit dem 1-Schicht-Modell konnte der Bereich der Probe, der eine Delamination auf-

weist, eindeutig bestimmt werden.

•Zur Bestimmung der Tiefe der Delamination L1müssen der thermische Übergangswi-

derstand R, der die Delamination beschreibt, und die Tiefe der Delamination gleichzei-

tig als Fitparamater definiert sein. Die Tiefe der Delamination kann in Bereichen, wo

die Wärmediffusion im Material annähernd eindimensional verläuft, sehr gut bestimmt

werden.

113

7 Zusammenfassung und Ausblick

•Die Auswertung der synthetischen PT-Messdaten (alle Modellparameter sind bekannt)

mit einem 1D-Modell hat gezeigt, dass die Auswertungen der realen PT-Messdaten

plausibel sind. Weiter zeigten die Auswertungen der synthetischen PT-Daten, dass

der thermische Verlustparameter als Fitparameter für die Bestimmung der Tiefe der

Delamination definiert werden sollte. Für Bereiche der Probe, in denen 2D- oder 3D-

Wärmetransport im Material vorliegt (wie z.B. zum Rand der Beleuchtungsfläche, da im

PT-Experiment nicht die komplette Probe beleuchtete wurde), können diese im Modell

über den thermischen Verlustparameter teils kompensiert werden.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass PT-

Experimente an teiltransparenten Prüfkörpern im Wellenlängenbereich der IR-Kamera und

der Anregungsquelle mit geeigneten mathematischen Modellen beschrieben werden können.

Somit ist die Quantifizierung der Tiefe von realen Fehlstellen in teiltransparentem GFK

auch ohne Oberflächenbeschichtungen möglich. Da solche Hilfsbeschichtungen im Allgemei-

nen nicht vollständig entfernt werden können, kann die aktive Thermografie an teiltransparen-

ten Prüfkörpern mithilfe der Erkenntnisse dieser Arbeit wieder als wirkliche ZfP verstanden

werden. Zusätzlich werden Zeit und Kosten bei der Vor- und Nachbereitung der Prüfobjekte

für die PT-Experimente eingespart.

Der nächste Schritt wäre eine Erweiterung der numerischen 2D-Modelle (Ort x, Tiefe z) mit

einem thermischen Übergangswiderstand R(x), der vom Ort xabhängig ist. So könnten auch

Fehlstellen mit einem kleinen Aspektverhältnis, bei dem der Wärmefluss im Material nicht

eindimensional ist, untersucht werden. Die Funktion R(x)wird dabei als Gerade oder als ein

Polynom angenähert. Durch diese Erweiterung könnten die PT-Messdaten der GFK-Probe

mit Delamination aus Kapitel 6.4 ausgewertet und mit den Ergebnissen aus dieser Arbeit

verglichen werden.

Um das hier beschriebene Auswerteverfahren, basierend auf den 1D-Modellen, zu etablieren,

müssen weitere teiltransparente Prüfkörper mit realen Fehlstellen untersucht werden. Dafür

sollte man sich zunächst auf eine Materialsorte konzentrieren, bei der die Absorptionskoeffizi-

enten im Wellenlängenbereich der Anregungsquelle und der IR-Kamera bekannt sind. Es hat

sich gezeigt, dass sich die Teiltransparenz von GFK von Materialcharge zu Materialcharge

ändern kann. Bei bekanntem Material können somit die unterschiedlichen Fehlstellen (z.B.

Delaminationen, Einschlüsse oder Risse) untereinander verglichen werden. Bei einer erfolg-

reichen Validierung des Auswerteverfahrens könnte die PT-Norm DIN 54184 [5] mit der in

dieser Arbeit beschriebenen Methode erweitert werden.

114

Literaturverzeichnis

[1] R. Oster. Herausforderungen an die ZfP bei ihrer Anwendung an Faserverbundbautei-

len. Proceedings of the DACH-Jahrestagung, 2012.

[2] C. Maierhofer, P. Myrach, M. Reischel, H. Steinfurth, M. Röllig, and M. Kunert. Cha-

racterizing damage in CFRP structures using flash thermography in reflection and

transmission configurations. Composites Part B: Engineering, 57:35–46, 2014.

[3] C. Maierhofer, M. Röllig, K. Ehrig, D. Meinel, and G. Céspedes-Gonzales. Validation

of flash thermography using computed tomography for characterizing inhomogeneities

and defects in CFRP structures. Composites Part B: Engineering, 64:175–186, 2014.

[4] DIN EN ISO 9712:2012-12. Zerstörungsfreie Prüfung - Qualifizierung und Zertifizierung

von Personal der zerstörungsfreien Prüfung, 2012.

[5] DIN 54184:2017-10. Zerstörungsfreie Prüfung - Impulsthermografie mit optischer An-

regung, 2017.

[6] A. Salazar, A. Mendioroz, E. Apiñaniz, C-Pradere, F. Noël, and J.-C. Batsale. Ex-

tending the flash method to measure the thermal diffusivity of semitransparent solids.

Measurement Science and Technology, 25(3):035604, 2014.

[7] N. W. Pech-May, Á. Cifuentes, A. Mendioroz, A. Oleaga, and A. Salazar. Simultaneous

measurement of thermal diffusivity and effusivity of solids using the flash technique in

the front-face configuration. Measurement Science and Technology, 26(8):085017, 2015.

[8] R. Fuente, E. Apinaniz, A. Mendioroz, and A. Salazar. Simultaneous measurement of

thermal diffusivity and optical absorption coefficient using photothermal radiometry. i.

homogeneous solids. Journal of Applied Physics, 110(3):033515, 2011.

[9] H. D. Baehr and K. Stephan. Wärme-und Stoffübertragung, volume 7. Springer, Berlin,

Heidelberg, 2010.

[10] M. Planck. Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Annalen der

Physik, 309(3):553–563, 1901.

[11] W. Wien. Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers.

Annalen der Physik, 294(8):662–669, 1896.

[12] J. C. Jaeger and H. S. Carslaw. Conduction of heat in solids. Clarendon Press, 1959.

115

Literaturverzeichnis

[13] J. M. Dowden. The Mathematics of Thermal Modeling: An Introduction to the Theory

of Laser Material Processing. CRC Press, 2001.

[14] VDI. VDI Wärmeatlas, volume 11 of VDI-Buch. Springer Berlin Heidelberg, 2013.

[15] J. Prasad and C. G. Krishnadas Nair. Non-Destructive Test and Evaluation of Mate-

rials. Tata McGraw-Hill, New Deli, 2008.

[16] T. Li, D. P. Almond, and D. A. S. Rees. Crack imaging by scanning laser-line thermogra-

phy and laser-spot thermography. Measurement Science and Technology, 22(3):035701,

2011.

[17] C. Maierhofer, R. Arndt, M. Röllig, C. Rieck, A. Walther, H. Scheel, and B. Hillemei-

er. Application of impulse-thermography for non-destructive assessment of concrete

structures. Cement and Concrete Composites, 28(4):393 – 401, 2006. Non-Destructive

Testing.

[18] N. A. Fouad and T. Richter. Leitfaden Thermografie im Bauwesen: Theorie, Anwen-

dungsgebiete, praktische Umsetzung. Fraunhofer IRB Verlag, 2007.

[19] DIN 54191:2017-10. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung elektrischer

Anlagen, 2017.

[20] DIN EN 16714-1:2016-11. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung - Teil

1: Allgemeine Grundlagen, 2016.

[21] C. Maierhofer und M. Ziegler. Neue Normen und Richtlinien für die Thermografie in

der zerstörungsfreien Prüfung. https://www.ndt.net/search/docs.php3?showForm=

off&id=22488. Eingesehen am 17.02.2020.

[22] DIN EN 16714-2:2016-11. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung - Teil

2: Geräte, 2016.

[23] DIN EN 16714-3:2016-11. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung - Teil

3: Begriffe, 2016.

[24] ISO 10878:2013-10. Zerstörungsfreie Prüfung - Infrarotthermografie - Terminologie,

2013.

[25] ISO 10880:2017-02. Zerstörungsfreie Prüfung - Infrarotthermografische Prüfung - All-

gemeine Grundlagen, 2017.

[26] ISO 18251-1:2017-02. Zerstörungsfreie Prüfung - Infrarotthermografische Prüfung -

System und Prüfausrüstung - Teil 1: Beschreibung der technischen Eigenschaften, 2017.

[27] DIN EN 17119:2018-10. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung - Aktive

Thermografie, 2018.

[28] DIN 54183:2018-02. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung - Induktiv

angeregte Thermografie, 2018.

116

Literaturverzeichnis

[29] DIN 54185:2018-10 Entwurf. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung -

Lock-in-Thermografie mit optischer Anregung, 2018.

[30] DIN EN 17501:2020-05 Entwurf. Zerstörungsfreie Prüfung - Thermografische Prüfung

- Aktive Thermografie mit Laser-Anregung, 2020.

[31] DIN 19277:2015-12. Zustandsüberwachung und -diagnostik von Maschinen - Thermo-

grafie - Allgemeine Methoden, 2015.

[32] Bundesverband für Angewandte Thermografie e.V. . VATh-Richtlinie: Bauthermogra-

fie, 2016.

[33] Bundesverband für Angewandte Thermografie e.V. . Richtlinie zur Elektrothermografie,

Hochspannung, 2016.

[34] Bundesverband für Angewandte Thermografie e.V. . Richtlinie zur Elektrothermografie,

Niederspannung, 2018.

[35] VDI/VDE 5585 Blatt 1. Technische Temperaturmessung - Temperaturmessung mit

Thermografiekameras - Messtechnische Charakterisierung, 2018.

[36] VDI/VDE 5585 Blatt 2. Technische Temperaturmessung - Temperaturmessung mit

Thermografiekameras - Kalibrierung, 2020.

[37] D. P. Almond and P. M. Patel. Photothermal Science and Techniques, volume 10 of

Physics and its applications. Chapman & Hall, London, 1996.

[38] X. Maldague. Theory and practice of infrared technology for nondestructive testing.

Wiley Interscience, 2001.

[39] W. J. Parker, R. J. Jenkins, C. P. Butler, and G. L. Abbott. Flash method of deter-

mining thermal diffusivity, heat capacity, and thermal conductivity. Journal of Applied

Physics, 32(9):1679–1684, 1961.

[40] N. W. Pech-May, A. Mendioroz, and A. Salazar. Generalizing the flash technique in

the front-face configuration to measure the thermal diffusivity of semitransparent solids.

Review of Scientific Instruments, 85(10):104902, 2014.

[41] A. Salazar, R. Fuente, E. Apiñaniz, A. Mendioroz, and R. Celorrio. Simultaneous mea-

surement of thermal diffusivity and optical absorption coefficient using photothermal

radiometry. II Multilayered solids. Journal of Applied Physics, 110(3):033516, 2011.

[42] S. J. Altenburg, M. Chien, F. Bavendiek, and R. Krankenhagen. Thickness determi-

nation of surface protection systems for concrete by means of impulse thermography.

Materials Testing, 60(7-8):759–764, 2018.

117

Literaturverzeichnis

[43] M. Ziegler, J. Schlichting, M. Kreutzbruck, and C. Maierhofer. Vorrichtung zur thermo-

grafischen Prüfung auf Defekte insbesondere auf Risse in Oberflächen und Hohlräumen.

Patentschrift: DE 102012101467B4. Inhaber: Bundesanstalt für Materialforschung und

-prüfung (BAM), Anmeldung: 22.03.2012.

[44] J. Vrana, M. Goldammer, J. Baumann, M. Rothenfusser, and W. Arnold. Mechanisms

and models for crack detection with induction thermography. In AIP conference Pro-

ceedings, volume 975, pages 475–482. American Institute of Physics, 2008.

[45] D. Wu and G. Busse. Lock-in thermography for nondestructive evaluation of materials.

Revue générale de thermique, 37(8):693–703, 1998.

[46] W. Rupprecht and K.D. Becker. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen: Eine Einfüh-

rung in die Theorie. Springer Berlin Heidelberg, 2013.

[47] A. Ishimaru. Wave propagation and scattering in random media and rough surfaces.

Proceedings of the IEEE, 79(10):1359–1366, 1991.

[48] A. Ishimaru. Wave propagation and scattering in random media, volume 2. Academic

press New York, 1978.

[49] J. H. Lambert. Photometria sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae.

Klett, 1760.

[50] B. Majaron, W. Verkruysse, B. S. Tanenbaum, T. E. Milner, and J. S. Nelson. Spec-

tral variation of the infrared absorption coefficient in pulsed photothermal profiling of

biological samples. Physics in Medicine and Biology, 47(11):1929–1946, 2002.

[51] S. A. Prahl, I. A. Vitkin, U. Bruggemann, B. C. Wilson, and R. R. Anderson. Deter-

mination of optical properties of turbid media using pulsed photothermal radiometry.

Physics in medicine and biology, 37(6):1203, 1992.

[52] I. A. Vitkin, B. C. Wilson, and R. R. Anderson. Analysis of layered scattering mate-

rials by pulsed photothermal radiometry: application to photon propagation in tissue.

Applied optics, 34(16):2973–2982, 1995.

[53] A. J. Welch, M. J. Van Gemert, et al. Optical-thermal response of laser-irradiated

tissue, volume 2. Springer, 2011.

[54] A. Matvienko, A. Mandelis, R. J. Jeon, and S. H. Abrams. Theoretical analysis of cou-

pled diffuse-photon-density and thermal-wave field depth profiles photothermally gene-

rated in layered turbid dental structures. Journal of Applied Physics, 105(10):102022,

2009.

[55] J. R. Howell, M. P. Menguc, and R. Siegel. Thermal Radiation Heat Transfer, 5th

Edition. Taylor & Francis, 2010.

118

Literaturverzeichnis

[56] H. G. Walther, U. Seidel, W. Karpen, and G. Busse. Application of modulated photo-

thermal radiometry to infrared transparent samples. Review of Scientific Instruments,

63(11):5479–5480, 1992.

[57] A. Kim and B. C. Wilson. Measurement of Ex Vivo and In Vivo Tissue Optical Pro-

perties: Methods and Theories. Springer Netherlands, Dordrecht, 2011.

[58] HGH Infrared Systems. BIRD 210 - universal electro-optic test bench for ir de-

tectors. https://www.hgh-infrared.com/content/download/2796/33902/version/

14/file/BIRD-HGH_LR.pdf. Eingesehen am 17.09.2020.

[59] L. M. Clark III and R. E. Taylor. Radiation loss in the flash method for thermal

diffusivity. Journal of Applied Physics, 46(2):714–719, 1975.

[60] M. Tischler, J. J. Kohanoff, G. A. Rangugni, and G. Ondracek. Pulse method of

measuring thermal diffusivity and optical absorption depth for partially transparent

materials. Journal of Applied Physics, 63(5):1259–1264, 1988.

[61] B. Majaron, W. Verkruysse, B. S. Tanenbaum, T.E. Milner, S. A. Telenkov, D. M.

Goodman, and N. J. Stuart. Combining two excitation wavelengths for pulsed pho-

tothermal profiling of hypervascular lesions in human skin. Physics in Medicine &

Biology, 45(7):1913, 2000.

[62] B. Majaron and M. Milanič. Re-evaluation of pulsed photothermal radiometric profiling

in samples with spectrally varied infrared absorption coefficient. Physics in Medicine

and Biology, 52(4):1089–1101, 2007.

[63] A. Marin, N. Verdel, M. Milanič, and B. Majaron. Influence of healthy skin baseline on

bruise dynamics parameters as assessed by optical methods. In European Conference

on Biomedical Optics, page 11075_58. Optical Society of America, 2019.

[64] M. Milanic, A. Cenian, N. Verdel, W. Cenian, J. Stergar, and B. Majaron. Temperature

depth profiles induced in human skin in vivo using pulsed 975 nm irradiation. Lasers

in Surgery and Medicine, 51(9):774–784, 2019.

[65] N. Verdel, A. Marin, M. Milanič, and B. Majaron. Physiological and structural charac-

terization of human skin in vivo using combined photothermal radiometry and diffuse

reflectance spectroscopy. Biomedical optics express, 10(2):944–960, 2019.

[66] L. Vidovič, M. Milanič, L. L. Randeberg, and B. Majaron. Quantitative characteri-

zation of traumatic bruises by combined pulsed photothermal radiometry and diffuse

reflectance spectroscopy. In Photonic Therapeutics and Diagnostics XI, volume 9303,

pages 24 – 37, 2015.

[67] M. F. Beemer and S. M. Shepard. Aspect ratio considerations for flat bottom hole

defects in active thermography. Quantitative InfraRed Thermography Journal, 15(1):1–

16, 2018.

119

Literaturverzeichnis

[68] D. P. Almond and S. G. Pickering. An analytical study of the pulsed thermography

defect detection limit. Journal of Applied Physics, 111(9):093510, 2012.

[69] W. P. Winfree, K. E. Cramer, J. N. Zalameda, and P. A. Howell. Numerical simulations

of thermographic responses in composites. Report 20160006465, NASA, 2015.

[70] W. P. Winfree and J. N. Zalameda. Thermographic determination of delamination

depth in composites. In K. Elliott Cramer and Xavier P. Maldague, editors, Thermo-

sense XXV, volume 5073, pages 363 – 373, 2003.

[71] W. P. Winfree, J. N. Zalameda, P. A. Howell, and K. E. Cramer. Simulation of ther-

mographic responses of delaminations in composites with quadrupole method. volume

9861, pages 98610N–98610N–14.

[72] W. P. Winfree, K. E. Cramer, J. N. Zalameda, and P. A. Howell. Numerical simula-

tions of thermographic responses in composites. In 42nd Annual Review of Progress

in Quantitative Nondestructive Evaluation: Incorporating the 6th European-American

Workshop on Reliability of Nde, volume 1706, 2016.

[73] A. Bendada, F. Erchiqui, and M. Lamontagne. Pulsed thermography in the evaluation

of an aircraft composite using 3d thermal quadrupoles and mathematical perturbations.

Inverse Problems, 21(3):857, 2005.

[74] S. M. Shepard. Method of interpreting thermographic data for non-destructive eva-

luation. Patentschrift: US 5631465A. Inhaber: Thermal Wave Imaging, Anmeldung:

29.02.1996.

[75] S. M. Shepard. Temporal noise reduction, compression and analysis of thermographic

image data sequences. Patentschrift: US 6516084. Inhaber: Thermal Wave Imaging,

Anmeldung: 4. 12. 2000.

[76] D. L. Balageas. Thickness or diffusivity measurements from front-face flash experiments

using the tsr (thermographic signal reconstruction) approach. In Proceedings of 10th

Quantitative InfraRed Thermography conference, paper QIRT2010-011, 2010.

[77] X. Maldague and S. Marinetti. Pulse phase infrared thermography. Journal of Applied

Physics, 79(5):2694–2698, 1996.

[78] A. I. Moskovchenko, V. P. Vavilov, R. Bernegger, C. Maierhofer, and A. O. Chulkov.

Detecting delaminations in semitransparent glass fiber composite by using pulsed in-

frared thermography. Journal of Nondestructive Evaluation, 39(3):1–10, 2020.

[79] S. J. Altenburg, R. Krankenhagen, and F. Bavendiek. Thickness determination of

polymeric multilayer surface protection systems for concrete by means of pulse ther-

mography. AIP Conf Proc, 1806(1):100004, 2017.

120

Literaturverzeichnis

[80] S. J. Altenburg, H. Weber, and R. Krankenhagen. Thickness determination of semi-

transparent solids using flash thermography and an analytical model. QIRT, 0(0,0):1–

11, 2017.

[81] J. G. Sun. Analysis of pulsed thermography methods for defect depth prediction.

Journal of Heat Transfer, 128(4):329–338, 2005.

[82] A. Rieder. Keine Probleme mit Inversen Problemen: Eine Einführung in ihre stabile

Lösung. Springer-Verlag, 2013.

[83] Schott AG. Datenblatt Schott KG2. https://www.schott.com/d/advanced_optics/

a8c53ebb-23fa-41c7-8ebd-fabf6203fa56/1.10/schott-shortpass-kg2-may-

2019-de.pdf. Eingesehen am 17.02.2020.

[84] Schott AG. Datenblatt Schott KG3. https://www.schott.com/d/advanced_optics/

8c568719-c307-4c00-982d-c1278c501c43/1.10/schott-shortpass-kg3-may-

2019-de.pdf. Eingesehen am 17.02.2020.

[85] Schott AG. Mechanical and thermal properties of optical glass. https://www.schott.

com/d/advanced_optics/d08c2fb9-c2f2-4861-a57b-18495ef5a4fd/1.4/schott_

tie-31_mechanical_and_thermal_properties_of_optical_eng.pdf. Eingesehen

am 17.02.2020.

[86] PerkinElmer Inc. Lambda 800/900 user’s guide. Report B Jan 2003, 2003.

[87] Thorlabs Inc. ND-Filter Thorlabs. https://www.thorlabs.com/newgrouppage9.cfm?

objectgroup_id=6732. Eingesehen am 07.12.2019.

[88] Thyssen Krupp Materials International GmbH. Warmgewalzter unlegierter Baustahl

- Werkstoffdatenbank S235JR, S235JRC, S235J2, S235J2C. Report Werkstoffblatt

S235Jxx 01/2011, 2016.

[89] R. Bernegger, S. J. Altenburg, M. Röllig, and C. Maierhofer. Applicability of a 1d

analytical model for pulse thermography of laterally heterogeneous semitransparent

materials. International Journal of Thermophysics, 39(3):39, 2018.

[90] Nanolam 140 Laminat. http://www.carbonscout-shop.de/img/Nanolam_140_

Laminat_03.02.2015.pdf. Eingesehen am 10.10.2017.

[91] R. Richter. Numerisches Verfahren für die aktive Thermografie zur Untersuchung

von Rückwandgeometrien (Dissertation). Dissertation, Technische Universität Braun-

schweig, 2013.

[92] R. Bernegger, S. J. Altenburg, and C. Maierhofer. Iterative numerical 2D-modelling for

quantification of material defects by pulsed thermography. AIP Conference Proceedings,

2102(1):020015, 2019.

121

Literaturverzeichnis

[93] M. Gower. Final Publishable Report Validated inspection techniques for com-

posites in energy applications (ENG57). https://www.euramet.org/research-

innovation/search-research-projects/details/?eurametCtcp_project_show%

5Bproject%5D=1266, 2018. Eingesehen am 07.06.2020.

[94] C. Maierhofer, R. Krankenhagen, M. Röllig, B. Rehmer, M. Gower, G. Baker, M. Lo-

deiro, A. Aktas, C. Monte, A. Adibekyan, and B. Gutschwager. Defect characterisation

of tensile loaded CFRP and GFRP laminates used in energy applications by means of

infrared thermography. Quantitative Infrared Thermography Journal (QIRT), 15(1):17–

36, 2017.

[95] R. Bernegger, S. J. Altenburg, and C. Maierhofer. Quantification of delaminations

in semitransparent solids using pulsed thermography and mathematical 1d models.

International Journal of Thermophysics, 41(5):67, 2020.

[96] CRC Industries Europe BVBA. Datenblatt Graphit 33. https://docs.rs-online.

com/c39a/0900766b8159beb7.pdf. Eingesehen am 17.02.2020.

[97] InfraTec GmbH. Infrarot-Thermografiekamera, ImageIR®- Bedienhandbuch. Report,

2013.

[98] InfraTec GmbH. Irbis®3 - infrared thermographic software - user manual. Report

2012.

[99] S. J. Altenburg, R. Bernegger, and R. Krankenhagen. Absorption coefficient dispersion

in flash thermography of semitransparent solids. International Journal of Thermophy-

sics, 40(1):13, 2018.

[100] S. J. Altenburg and R. Krankenhagen. Continuous and laplace transformable approxi-

mation for the temporal pulse shape of xe-flash lamps for flash thermography. Quanti-

tative InfraRed Thermography Journal, 15(1):121–131, 2018.

[101] Laserline GmbH. Handbuch Diodenlasersystem, LDM 100-20. Report 01-01-01, 2010.

[102] Laserline GmbH. Homogenisieroptiken. https://www.laserline.com/de-int/

homogenisierungsoptik/. Eingesehen am 17.04.2020.

[103] SCAPS GmbH. SAMLight, Version 9. https://www.scaps.com/index.php?id=10.

Deisenhofen, 2014.

[104] D. Maillet. Thermal quadrupoles: solving the heat equation through integral transforms.

John Wiley & Sons Inc, 2000.

[105] B. Mongeau, G. Rousset, and L. Bertrand. Separation of surface and volume absorption

in photothermal spectroscopy. Canadian Journal of Physics, 64(9):1056–1058, 1986.

[106] H. S. Bennett and R. A. Forman. Photoacoustic methods for measuring surface and

bulk absorption coefficients in highly transparent materials: theory of a gas cell. Applied

optics, 15(10):2405–2413, 1976.

122

Literaturverzeichnis

[107] C. Fieberg and R. Kneer. Determination of thermal contact resistance from transient

temperature measurements. International Journal of Heat and Mass Transfer, 51(5-

6):1017–1023, 2008.

[108] J. P. Müller, G. Dell’Avvocato, and R. Krankenhagen. Assessing overload-induced

delaminations in glass fiber reinforced polymers by its geometry and thermal resistance.

NDT & E International, page 102309, 2020.

[109] D. L. Balageas, J.-C. Krapez, and P Cielo. Pulsed photothermal modeling of layered

materials. Journal of Applied Physics, 59(2):348–357, 1986.

[110] A. Degiovanni, A. Bendada, J.-C. Batsale, and D. Maillet. Analytical simulation of a

multidimensional temperature field produced by planar defects of any shape; application

to nondestructive testing. Proc. of QIRT, pages 253–259, 1994.

[111] V. Feuillet, L. Ibos, M. Fois, J. Dumoulin, and Y. Candau. Defect detection and

characterization in composite materials using square pulse thermography coupled with

singular value decomposition analysis and thermal quadrupole modeling. NDT & E

International, 51(Supplement C):58–67, 2012.

[112] S. L. Angioni, F. Ciampa, F. Pinto, G. Scarselli, D. P. Almond, and M. Meo. An

analytical model for defect depth estimation using pulsed thermography. Experimental

Mechanics, 56(6):1111–1122, 2016.

[113] A. Salazar, R. Fuente, A. Mendioroz, E. Apiñaniz, and R. Celorrio. Application of

the thermal quadrupoles method to semitransparent solids. International Journal of

Thermophysics, 33(10):1887–1891, 2012.

[114] M. Vollmer and K.-P. Möllmann. Infrared thermal imaging: fundamentals, research and

applications. John Wiley &Sons, 2017.

[115] A. Salazar, R. Fuente, A. Mendioroz, E. Apiñaniz, and R. Celorrio. Application of

the thermal quadrupoles method to semitransparent solids. International Journal of

Thermophysics, 33(10):1887–1891, 2012.

[116] A. Salazar, A. Mendioroz, E. Apiñaniz, C. Pradere, F. Noël, and J.-C. Batsale. Ex-

tending the flash method to measure the thermal diffusivity of semitransparent solids.

Meas. Sci. Technol., 25(3):035604, 2014.

[117] A. Mandelis. Diffusion Wave Fields: Green Functions and Mathematical Methods.

Springer-Verlag Berlin, 2001.

[118] H. D. Baehr. Die Lösung nichtstationärer Wärmeleitungsprobleme mit Hilfe der

Laplace-Transformation. Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A, 21(2):33–

40, 1955.

123

Literaturverzeichnis

[119] A. Salazar and R. Celorrio. Application of the thermal quadrupole method to the

propagation of thermal waves in multilayered cylinders. Journal of Applied Physics,

100(11):113535, 2006.

[120] H. Stehfest. Algorithm 368 numerical inversion of laplace transforms [d5]. Communi-

cations of the ACM, 13(1):47–49, 1970.

[121] J. Abate and W. Whitt. A unified framework for numerically inverting laplace trans-

forms. INFORMS J Comput, 18(4):408–421, 2006.

[122] Q. Wang and H. Zhan. On different numerical inverse laplace methods for solute

transport problems. Advances in Water Resources, 75:80–92, 2015.

[123] H. Hassanzadeh and M. Pooladi-Darvish. Comparison of different numerical laplace

inversion methods for engineering applications. Applied Mathematics and Computation,

189(2):1966–1981, 2007.

[124] Wolfram Research Inc. Mathematica, Version 12.1. https://www.wolfram.com/

mathematica. Champaign, IL, 2020.

[125] Comsol Inc. Comsol multiphysics programming reference manual - comsol 5.3. Report

COMSOL 5.3, 2017.

[126] Comsol Inc. Heat transfer module user’s guide - comsol 5.3. Report COMSOL 5.3,

2017.

[127] W. Frei. Modeling Laser-Material Interactions with the Beer-Lambert Law.

https://www.comsol.com/blogs/modeling-laser-material-interactions-with-

the-beer-lambert-law/. Eingesehen am 17.02.2018.

[128] A. Bendada. Approximate solutions to three-dimensional unsteady heat conduction

through plane flaws within anisotropic media using a perturbation method. Modelling

and Simulation in Materials Science and Engineering, 10(6):673, 2002.

[129] W. P. Winfree, J. N. Zalameda, P. A. Howell, and K. E. Cramer. Simulation of thermo-

graphic responses of delaminations in composites with quadrupole method. In Ther-

mosense: Thermal Infrared Applications XXXVIII, 2016.

[130] The MathWorks Inc. Software matlab 2018b. Report 2018b, 2018.

[131] Comsol Inc. LiveLin(TM) for Matlab(R) User’s Guide - Comsol 5.3. Report COMSOL

5.3, 2017.

[132] J. C. Lagarias, J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. E. Wright. Convergence properties

of the nelder–mead simplex method in low dimensions. SIAM J Optim, 9(1):112–147,

1998.

[133] E. Thiel. Thermische Wellenformung für interferenzbasierte thermografische Defektde-

tektion. Dissertation, Universität Stuttgart, 2019.

124

Literaturverzeichnis

[134] M. Krishnapillai, R. Jones, I. H. Marshall, M. Bannister, and N. Rajic. NDTE using

pulse thermography: Numerical modeling of composite subsurface defects. Composite

Structures, 75(1):241–249, 2006.

[135] VDI/VDE 3511 Part 4. Technische Temperaturmessung - Strahlungsthermometrie,

2011.

[136] InfraTec GmbH. Temperaturkalibrierung des Thermografiesystems ImageIR(a) durch

den Anwender, 2017.

[137] M AK-BHD. WMO GREENHOUSE GAS BULLETIN - The State of Greenhouse

Gases in the Atmosphere. 15, 2019.

[138] H. Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau.-17., neu-bearb. Aufl.-Berlin; Dubbel.

W. Beitz und K.-H. Küttner. Springer Verlag, Heidelberg, 1990.

[139] R. V. Kochanov, I. E. Gordon, L. S. Rothman, P. Wcisło, C. Hill, and J. S. Wilzewski.

Hitran application programming interface (hapi): A comprehensive approach to working

with spectroscopic data. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,

177:15–30, 2016.

[140] DIAS Infrared GmbH. Kalibrier- und Prüfstrahler Calibration Source PYROTHERM

CS 1200 Bedienungsanleitung. 2019.

[141] Inc. Thorlabs. Diaphragm Shutters with Controller. https://www.thorlabs.

com/newgrouppage9.cfm?objectgroup_id=6619&pn=SHB1#7096. Eingesehen am

07.02.2012.

[142] Inc. Thorlabs. Filter Mount with Sliding Modular Inserts. https://www.

thorlabs.com/newgrouppage9.cfm?objectgroup_id=10262&pn=CFS1. Eingesehen

am 07.02.2012.

[143] European Accreditation (EA) Laboratory Committee. Ermittlung der Messun-

sicherheit bei Kalibrierungen (Deutsche Übersetzung) . https://www.dakks.

de/sites/default/files/dokumente/ea-4-02_m_2013_uebersetzung_angabe_

messunsicherheit_k-laboratorien_20190801_v1.1.pdf, 2013. Eingesehen am

17.09.2020.

[144] IRCAM GmbH. User manual - velox 327k sm, 2018.

[145] Inc. Thorlabs. Total Transmission of 5 mm Thick AR Coated GE Window. https:

//www.thorlabs.com/newgrouppage9.cfm?objectgroup_id=3980. Eingesehen am

17.02.2020.

[146] A. Rogalski. Progress in focal plane array technologies. Progress in Quantum Electro-

nics, 36(2-3):342–473, 2012.

125

Abbildungsverzeichnis

2.1 Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ,BB(λ,T)eines BB für verschiedene Tem-

peraturen, berechnet nach Gleichung 2.3. Die gestrichelte Linie zeigt das Wien-

sche Verschiebungsgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Schematische Einordnung der Richtlinien, Normen und Standards für die Ther-

mografie nach [21]. Die Nummerierung entspricht der entsprechenden Norm in

Tabelle2.1. ..................................... 7

2.3 Typische Fehlstellen in einem Körper, welche mit der aktiven Thermografie

detektiertwerdenkönnen.............................. 9

2.4 (a) R-Konfiguration, die Anregungsquelle und die IR-Kamera sind auf dersel-

ben Seite positioniert. (b) T-Konfiguration, die Probe ist zwischen Anregungs-

quelle und der IR-Kamera positioniert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Verlauf der Temperaturerhöhung an der Vorderseite (a) und an der Rückseite

(b) einer 5mm dicken Probe, welche sich bei einem PT-Experiment einstellt.

Die durchgezogene Line entspricht der Oberflächentemperatur im Bereich ohne

Fehlstelle (Position A und C in Abbildung 2.4), die gestrichelte Linie im Bereich

mit Fehlstelle (Position B und D in Abbildung 2.4). Die Temperaturdifferenzen

wurden mit einem 1D-Modell berechnet (vergleiche Kapitel 4.4). Die Strich-

Punkt-Linie zeigt die Temperaturerhöhung für einen halbunendlichen Körper,

nach Gleichung 2.14. Die Materialparameter sind in Tabelle 4.14 aufgelistet

mit L1=1mm und R= 0,01 Km2W−1. (c) zeigt den thermischen Kontrast. 11

2.6 (a) Ein Lichtstahl durch ein teiltransparentes Material. Dabei kann der Licht-

strahl im Volumen absorbiert oder gestreut werden. (b) Mehrfachreflexion an

den Grenzflächen. (c) Optisch raue Grenzfläche, die Strahlung wird an der

Grenzfläche diffus reflektiert und transmittiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Nach Fuente et al. [8] kann ein Material in transparent, teiltransparent und

opak eingeteilt werden. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature

Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of

2.8 (a) Die Umrechnung des Ausgangssignals in eine Temperatur erfolgt mit einer

Kalibrierkurve. Für einen teiltransparenten Körper wird nur eine scheinba-

re Temperatur gemessen. (b) Eine IR-Kamera empfängt bei teiltransparenten

Körpern Strahlung aus dem Volumen. Diese Abbildung veranschaulicht Glei-

chung2.22. ..................................... 15

127

Abbildungsverzeichnis

2.9 Normierter Temperaturverlauf (vergleiche Abbildung 2.5 (b)) zur Bestimmung

der Diffusivität mittels der Flash-Methode nach Parker et al. [39]. Bei T/max(T) =

0,5 beträgt t1/2= 17,37s. Mit Gleichung 2.24 beträgt hier die thermische Dif-

fusivität D= 2,012·10−7m2s−1(berechnet wurde die Temperaturdifferenz mit

D= 2 ·10−7m2s−1) ................................ 17

4.1 Ablauf der Rekonstruktion von experimentellen Daten. . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 (a) Unlegierte Flachstahlprobe mit Nut (Stahlprobe). (b) Skizze der Stahlpro-

be, alle Angaben in Millimeter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 (a) Foto der unbeschichteten Probe und (b) mikroskopische Aufnahme der Pro-

be (schwarzes Rechteck in (a)). Die Textur des Materials ist deutlich sichtbar.

Die hellen Bereiche werden von den Faserbündeln dominiert. Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

4.4 (a) Foto der PVC Probe 3. (b) Foto der PVC-Probe 1. (c) Skizze der PVC-

Proben, alle Angaben in Millimeter. Die Nutbreite wund Restwanddicke d

für die PVC-Proben zeigt Tabelle 4.2. (a) und (b) reproduziert aus [92], mit

Genehmigung von AIP Publishing. ........................ 26

4.5 (a) Rückseite der GFK Probe mit Delamination. (b) Seitenansicht der Probe.

Eine Skizze der Probe mit den Abmaßen zeigt Abbildung 4.20. Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

4.6 Experimenteller Aufbau eines PT-Experiments in Reflexionsanordnung beste-

hend aus der Anregungsquelle, der IR-Kamera, dem Material und der Umge-

bung. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service

Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics [89]

4.7 (a) Normierte Spektren der emittierten Strahlung eines Blitzes [91] und ei-

nes Lasers. (b) Die zeitliche Form der Bestrahlungsstärke, gemessen mit ei-

ner PDA36A Photodiode und dann auf das Maximum normiert [100]. Mit

Gleichung 4.7 kann der Verlauf mathematisch modelliert werden. Reproduziert

aus [100], mit Genehmigung von Taylor & Francis. .............. 31

4.8 (a) Normiertes Thermogramm zum Zeitpunkt der Erwärmung einer Probe

mit dem LDM 500 Laser und 2-Zoll-Homogenisieroptik Typ LL-line 2.35 [102]

(Quadrat 19mm ×19 mm). (b) Die zeitliche Form der Bestrahlungsstärke des

LDM 500 Lasers für einen Rechteckpuls, gemessen mit einer PDA36A Photo-

diode und dann auf das Maximum normiert. Die Länge des Laserpules wird in

der Software SAMLight [103] festgelegt. Mit Gleichung 4.9 kann das zeitliche

Verhalten mathematisch modelliert werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

128

Abbildungsverzeichnis

4.9 (a) Polychromatische Strahlung (λ1und λ2) trifft auf ein homogenes Mate-

rial. Der Strahlungsanteil mit der Wellenlänge λ2wird im Material komplett

absorbiert, wohingegen die Strahlung mit der Wellenlänge λ1nicht komplett

absorbiert wird. (b) Monochromatische Strahlung trifft auf ein heterogenes

Material (Material 1 und Material 2). Die Materialanteile 1 und 2 sind zur ein-

fallenden Strahlung parallel ausgerichtet und absorbieren unterschiedlich stark

die monochromatische Strahlung (α16=α2).................... 35

4.10 (a) Skizziert wird ein Lichtstrahl durch ein teiltransparentes Material. Die

Weglänge des Lichtstrahles ändert sich mit dem Einfallwinkel γ. (b) Verschie-

dene Transmissionsprofile für ein teiltransparentes Material in Abhängigkeit

des Einfallwinkels des Lichtstrahls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.11 Unterschiedliche Konfigurationen in Reflexions- (obere Reihe) und Transmissi-

onskonfiguration (untere Reihe). Reproduziert mit Genehmigung von Springer

Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Jour-

4.12 (a) Einschicht- und (b) Zweischicht-Modell. Der thermische Übergangswider-

stand Rrepräsentiert eine Delamination zwischen den zwei Schichten. . . . . 41

4.13 (a) Stab-Modell zur Beschreibung von eindimensionaler Wärmeleitung. (b)

Vernetzung des 2D-Modells. Zu sehen ist die Geometrie der PVC-Probe 2. . . 44

4.14 Temperaturentwicklung in R-Konfiguration (a) und in T-Konfiguration (b) für

opakes und für teiltransparentes Material. Die verwendeten Parameter zeigt

Tabelle4.4. ..................................... 45

4.15 Temperaturdifferenzen berechnet mit einem 2L1α1βR-Modell. Der thermische

Übergangswiderstand Rund die Tiefe der Delamination L1variieren. (a) und

iert. In (a) und (b) werden keine thermischen Verluste berücksichtigt (h= 0).

Die verwendeten Parameter sind in Tabelle 4.4 zu sehen. Rin Km2W−1,L

in mm und hin Wm−2K−1.Reproduziert mit Genehmigung von Springer Na-

ture Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal

4.16 Empfindlichkeit Sxund die normierte Temperaturdifferenz ∆Tn((a) opakes

und (b) teiltransparentes Material). Die verwendeten Parameter sind in Tabelle

4.4 aufgelistet. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer

Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophy-

4.17 Zeitpunkt des Auftretens der Extrema von Sxin Abhängigkeit von L1. (a)

Opak und (b) teiltransparentes Material. Reproduziert mit Genehmigung von

Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature Internatio-

4.18 Ablauf der Rekonstruktion von experimentellen Daten . . . . . . . . . . . . . 52

129

Abbildungsverzeichnis

4.19 Skizze des Versuchsaufbaus. Der Laser ist mittig zur Delamination ausge-

richtet.Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service

Centre GmbH: Springer Nature International Journal of Thermophysics [95]

4.20 Skizze der GFK-Probe mit Delamination. Ein Foto der Probe ist in Abbil-

dung 4.5 zu sehen. Die Strich-Punkt-Linie zeigt den Beleuchtungsbereich des

aufgeweiteten Lasers, die gestrichelte Linie den Bereich der Datenauswertung

(entspricht 27 ×24 ROI). Der schraffierte Bereich zeigt, in welchem Bereich der

Probe eine Delamination vorliegt. Die Positionen A (x= 68 mm | y= 26 mm)

und B (x= 90 mm | y= 26 mm) dienen zur Orientierung und werden für

die Datenauswertung benötigt (siehe Kapitel 6.4). Reproduziert mit Genehmi-

gung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature

4.21 Diagramm zum Ablauf der Datenauswertung. Reproduziert mit Genehmigung

von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature Inter-

5.1 Strahlungsbilanz - Eine IR-Kamera empfängt Strahlung von dem Prüfobjekt,

der Umgebung und der Atmosphäre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Relevante Komponenten einer IR-Kamera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 (a) Kalibrierkurven für drei verschiedene Integrationszeiten bzw. Kalibrierbe-

reiche der IR-Kamera (ImageIR®8300 hp) in FF und bei 23◦CUmgebung-

stemperatur. Messpunkte außerhalb des Kalibrierbereichs sind nicht gültig. . 68

5.4 Unterschiedliche Modellierung einer IR-Kamera für teiltransparente Materia-

lien im Wellenlängenbereich der IR-Kamera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5 Temperaturverteilung im Material bei Dirac-Impuls (a) und bei Anregung mit

Rechteckpuls (b) für drei verschiedene Zeiten. Die Anregung beginnt bei t= 0 .

Die drei Kreuze in (a) dienen zur Orientierung für Abbildung 5.6. . . . . . . 71

5.6 (a) Spektrale spezifische Ausstrahlung Mλ(T,λ)für drei verschiedene Tempe-

raturen (die Kreuze in Abbildung 5.5 (a)). (b) Dazugehörige spezifische Aus-

strahlung M(T)bzw. Sout,opak berechnet nach Gleichung 5.8. Berücksichtigt

wird der Wellenlängenbereich von 2 µmbis 5,7 µm. Diese Kurve entspricht der

Kalibrierungskurve der virtuellen M-IR-Kamera. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.7 (a) Spezifische Ausstrahlung M(T,z,t)im Material. Dirac-Impuls und (b) An-

regung mit Rechteckpuls (vergleiche Abbildung 5.5). . . . . . . . . . . . . . . 73

130

Abbildungsverzeichnis

5.8 (a) Temperaturerhöhung durch eine Dirac-Impuls-Anregung und eine Anre-

gung mit Rechteckpuls (b) für ein teiltransparentes Material im Wellenlän-

genbereich von 2µm bis 5,7µm mit einem konstanten Absorptionskoeffizien-

ten von 2500m−1. Die Energie Qpro Fläche beträgt dabei 5000 Jm−2bzw.

50000Jm−2. Weitere Parameter sind in Tabelle 5.1 aufgelistet. Die gestrichel-

te Linie zeigt das Ergebnis für ˇ

Tβ(t)(T-IR-Kamera), die durchgezogene Linie

für ˇ

TSout,β (t)(M-IR-Kamera, wie eine vom Hersteller am BB kalibrierte Ka-

mera). Die gepunktete Linie dient hier zur Orientierung und beschreibt den

Temperaturverlauf für ein opakes Material (Oberflächentemperatur). . . . . . 73

5.9 Skizze für den experimentellen Aufbau zur Bestimmung der Sensitivität einer

IR-Kamera...................................... 75

5.10 Das Gesamtsignal setzt sich aus zwei verschiedenen Bereichen bzw. Tempera-

turen zusammen. Im Wellenlängenbereich des Filters (zwischen λi1und λi2

mit z.B. ˜τi= 1 empfängt die IR-Kamera Strahlung vom BB und im restlichen

Wellenlängenbereich Strahlung des Filters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.11 Ablauf zur Bestimmung der spektralen Empfindlichkeit b

S(λ). ......... 77

5.12 Prozentuale Eigenstrahlung des Filters. Bedingung ist kleiner 5 %. ...... 78

5.13 Transmissiosgrad der ausgewählten BP-Filter. Der Transmissionsgrad wurde

von Spectrogon für jeden BP-Filter einzeln gemessen. . . . . . . . . . . . . . 78

5.14 Absorptionskoeffizienten von CO2und H2O [139] für den Wellenlängenbereich

MWIR-Kameras (2000nm-5700 nm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.15 Transmissionsgrade von CO2und H2O für eine Weglänge von W= 0,5m bei

23◦C Umgebungstemperatur und 45% relativer Luftfeuchtigkeit. Die Volumen-

anteile betragen dabei VCO2= 0,0004 und VH2O= 0,00001. .......... 80

5.16 (a) Experimenteller Aufbau. (b) Positionierung der Filter vor dem BB. . . . . 81

5.17 Ausgangssignal Sout,BB,i(TBB,τi)bei einer BB-Temperatur von 600◦C. Die

Strahlung der Umgebung wurde subtrahiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.18 Transmission der Filter mit Berücksichtigung der Transmission der Umge-

bungsluft (˜τi(λ)·˜τA(λ))............................... 82

5.19 Ergebnis des Integrals aus Gleichung 5.13: M(600◦C) = R6000 nm

1800 nm Mλ(600◦C,λ)˜τA(λ)˜τi(λ)dλ.

Die graue Linie zeigt das Ergebnis, wenn ˜τA(λ)nicht berücksichtigt wird. . . 83

5.20 Berechnete spektrale Empfindlichkeit b

S(λ)der ImageIR®8300 hp nach Glei-

chung 5.12. Die graue Linie zeigt das Ergebnis, wenn ˜τA(λ)nicht berücksichtigt

wird.......................................... 83

5.21 (a) Relative spektrale Empfindlichkeit eines InSB-Detektors [114], der Trans-

missionsgrad einer IR-Optik [144] und der Transmissionsgrad von einem 5mm

dicken Germanium(Ge)-Fenster mit Antireflexbeschichtung [145]. (b) Vergleich

der relativen spektralen Empfindlichkeiten zwischen ImageIR®8300 hp und der

Literatur (Detektor + Optik). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

131

Abbildungsverzeichnis

5.22 (a) Vergleich zwischen berechneten Kalibrierkurven nach Gleichung 5.10 und

den hinterlegten Kalibrierkurven der IR-Kamera ImageIR®8300 hp. (b) Pro-

zentuale Abweichung zwischen den berechneten und den hinterlegten Kalibrier-

kurven. ....................................... 85

6.1 (a) zeigt experimentelle Daten von PT-Experimenten an der NINIR20A-Probe

in T-Konfiguration. (b) zeigt eine Detailansicht aus (a). Die gestrichelte Linie

zeigt das Ergebnis des angepassten 1L1α1β-Modells. Tabelle 6.1 zeigt die Er-

gebnisse der Fitparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2 Experimentelle Daten von PT-Experimenten an der NINIR20A-Probe in R-

Konfiguration. Die gestrichelte Linie zeigt das Ergebnis des 1L1α1β-Modells.

Die angepassten Parameter sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. . . . . . . . . . . . 90

6.3 (a) Temperaturdifferenzen, berechnet nach mit semi-analytischen und mit dem

numerischen 1L1α1β-Modell. (b) Residuen zwischen dem numerischen und

dem semi-analytischen Modell nach Gleichung 4.49. . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4 Thermogramm bei 2s nach Beginn der Anregung, (a) experimentelle Daten,

(b) numerische Daten. Der blaue Kreis, das rote Quadrat und das grüne Drei-

eck dienen zur Orientierung. Die Farbskala gilt für beide Thermogramme. Ein

Foto der ist in Abbildung 4.2 zu sehen. Reproduziert von [92], mit Genehmi-

gung von AIP Publishing. ............................. 92

6.5 (a) Seitenansicht der simulierten Daten (Temperaturverteilung) bei t= 2 s,

die Farbskala entspricht der Skala aus Abbildung 6.4. (b) zeigt den direkter

Vergleich zwischen den experimentellen und den numerischen Daten für die x-

Koordinaten bei y= 25 mm. Der blaue Kreis, das rote Quadrat und das grüne

Dreieck dienen zur Orientierung. Reproduziert von [92], mit Genehmigung von

AIP Publishing.................................... 93

6.6 Temperaturentwicklung für die drei verschiedenen Orientierungspunkte. Die

grauen Punkte (jeweils nur ein Pixel) sind die experimentellen Daten, die

durchgezogenen Linien entsprechen den numerischen Daten. Reproduziert von

[92], mit Genehmigung von AIP Publishing.................... 93

6.7 (a) Der thermische Kontrast Ci, berechnet aus den experimentellen Daten

(i=exp) und den simulierten Daten (i=sim), die gestrichelte Linie zeigt das

NETD der IR-Kamera. (b) Die absolute Differenz des experimentellen und des

numerischen thermischen Kontrastes. Reproduziert von [92], mit Genehmigung

von AIP Publishing. ................................ 94

6.8 Experimentell bestimmte Oberflächentemperaturerhöhung für den VR-Probekörper

in Reflexions- (a) und Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die

gestrichelten Linien zeigen die Anpassungsergebnisse unter Verwendung des

OL2R-Modells (a) und des O1L-Modells (b). Die schwarzen Punkte zeigen die

Residuen zwischen den experimentellen Daten und den Ergebnissen der semi-

analytischen Modelle (ab t= 4 s ist nur noch jeder zehnte Punkt gezeigt).

Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre

132

Abbildungsverzeichnis

6.9 Detailansicht der experimentellen Daten aus Abbildung 6.8. Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

6.10 Experimentelle Daten der PT-Experimente an UB-Probe in Reflexions- (a)

und in Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die gestrichelten Lini-

en zeigen die Fit-Ergebnisse unter Verwendung des 1L1α-Modells (a) und des

1L1α-Modells (b). Die schwarzen Punkte zeigen die Residuen zwischen den ex-

perimentellen Daten und den Ergebnissen der semi-analytischen Modelle (ab

t= 4 s ist nur noch jeder zehnte Punkt gezeigt). Reproduziert mit Genehmi-

gung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature

6.11 Experimentelle Daten der PT-Experimente an dem RB-Probekörper in Reflexions-

(a) und in Transmissionskonfiguration (b) (graue Punkte). Die gestrichelten Li-

nien zeigen die Anpassungsergebnisse unter Verwendung des 1L2αO-Modells

(a) und des 2L2αOR-Modells (b). Die schwarzen Punkte zeigen die Resi-

duen zwischen den experimentellen Daten und den Ergebnissen der semi-

analytischen Modelle (ab t= 4 s ist nur noch jeder zehnte Punkt gezeigt).

Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre

6.12 (a) Foto der beschichteten Probe. Die schwarze Fläche ist eine dünne Gra-

phitschicht. (b) zeigt ein Thermogramm, das während der Erwärmung (0,1 s

nach Beginn des Heizphase) in TRB-Konfiguration aufgenommen wurde. (c)

dasselbe Thermogramm wie (b), nun so skaliert, dass der Kontrast im be-

schichteten Bereich zu sehen ist. Reproduziert mit Genehmigung von Springer

Nature Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Jour-

6.13 Detailansicht der experimentellen Daten aus Abbildung 6.11 (b), des Fit-

Ergebnisses des 1L1αO-Modells (gestrichelte Linie) und des 2L2αOR-Modells

(durchgezogene Linie). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature

Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal of

6.14 Temperaturdifferenz der Proben PVC 3 (a) beschichtet (PLaser = 170 W) und

(b) unbeschichtet (PLaser = 250 W). Die grauen Punkte (ein Detektorpixel)

sind die experimentellen Daten, die Linien die numerischen Daten für die drei

Orientierungspunkte auf der Probe. (a) reproduziert von [92], mit Genehmi-

gung von AIP Publishing. ............................. 102

6.15 Thermischer Kontrast Cfür die Probe PVC 1, (a) experimentelle Daten, (b)

simulierteDaten................................... 103

6.16 Temperaturanstieg oberhalb der Nut für die Probe PVC 3. Die durchgezo-

gene Linie zeigt die Ergebnisse des Modells für die Temperaturentwicklung

ohne Berücksichtigung der Wärmeverluste (h= 0). Reproduziert von [92], mit

Genehmigung von AIP Publishing. ........................ 103

133

Abbildungsverzeichnis

6.17 (a) Experimentelle Daten und das Ergebnis des angepassten 1L1α1β-Modells

für den defektfreien Bereich (ROI-Position A). (b) Experimentelle Daten und

das Ergebnis des angepassten 1L1α1β-Modells für den Bereich mit Delami-

nation (ROI-Position B). Reproduziert mit Genehmigung von Springer Na-

ture Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal

6.18 Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 1-Schicht-

Modell. (a) Goodness-of-Fit, (b) die absolute Differenz der ermittelten Dicke

Lfit mit der Referenzdicke Lreal = 5 mm für alle ROIs mit ζ2<0,3und (c)

der Wärmeverlustparameter hfür alle ROIs mit ζ2<0,3.Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

6.19 Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 2-Schicht-

Modell für die Position B. Reproduziert mit Genehmigung von Springer Na-

ture Customer Service Centre GmbH: Springer Nature International Journal

6.20 Ergebnisse der Rekonstruktion der experimentellen Daten mit dem 2-Schicht-

Modell für die ROIs bei y= 26 mm und x>82 mm. (a) Tiefe der Delamination

L1und des thermischen Übergangswiderstandes R, (b) thermischen Verluste h

und (c) Goodness-of-Fit für das 1- und das 2-Schicht-Modell. Reproduziert mit

Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre GmbH: Springer

6.21 Auswertung der synthetischen PT-Daten. (a) Ergebnis der Delaminierungstie-

fe L1, des thermischen Widerstandes Rund (b) die thermischen Verluste h.

Reproduziert mit Genehmigung von Springer Nature Customer Service Centre

134

Tabellenverzeichnis

2.1 Aktueller Stand der Richtlinien, Normen und Standards in der Thermografie

(nach [21]). Die Nummern sind in Abbildung 2.2 zu finden. *Bundesverband

für Angewandte Thermografie (VATh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Untersuchte ND-Filter der Firma Schott [83,84]. *Bezeichnung von Thorlabs [87]. 25

4.2 Nutgeometrie der PVC-Proben. Die Grundmaße für alle drei Proben betragen

48 mm×24mm ×7,8mm. ............................ 27

4.3 Eigenschaften der verwendeten IR-Kameras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Parameter des semi-analytischen und numerischen 1D-Modells. Die Werte ent-

sprechen einem GFK-Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Einflüsse der Modell-Parameter auf die Temperaturentwicklung für die eindi-

mensionale Wärmediffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6 Verwendetes Setup für die PT-Experimente an ND-Filtern und deren Einstel-

lungen......................................... 53

4.7 Verwendete Parameter zur Validierung des 1L1α1β-Modells. . . . . . . . . . . 54

4.8 Parameter des semi-analytischen und numerischen 1D-Modells zur Validierung

des numerischen Modells. Die Parameter entsprechen einem GFK-Material. . 55

4.9 Verwendetes Setup für das PT-Experimente und deren Einstellungen zur Va-

lidierung des numerischen 2D-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.10 Parameter zur Validierung des numerischen 2D-Modells . . . . . . . . . . . . 56

4.11 Verwendetes Setup für die PT-Experimente an GFK-Nanolam-Proben und de-

renEinstellungen. ................................. 57

4.12 Semi-analytische Modelle zur Beschreibung von PT-Experimenten in verschie-

denenKonfigurationen................................ 58

4.13 Parameter der mathematischen Modelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.14 Parameter der numerischen 2D-Modelle für die PT-Experimente an PVC-Proben. 59

4.15 Verwendete Setup für das PT-Experiment an der GFK-Probe mit Delamina-

tion und deren Einstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.16 Parameter der 1D-Modelle zur Auswertung der PT-Messdaten. Die Parameter

Rund L1werden nur im 2-Schicht-Modell verwendet. *Startwerte. **Freier

Parameter für das 1-Schicht-Modell und fester Parameter für das 2-Schicht-

Modell. ....................................... 62

135

Tabellenverzeichnis

4.17 Parameter für das numerische 2D-Modell zur Berechnung der synthetischen

PT-Daten. *Die Anregungsfläche entspricht bei einer 2D-Simulation einer An-

regungslinie. **Die Anregungslinie beginnt bei x= 48 mm und endet bis

x= 116 mm. .................................... 63

5.1 Randbedingungen und Materialeigenschaften zur Berechnung der Temperatur-

verteilung. *Gilt für den Wellenlängenbereich der IR-Kamera. . . . . . . . . . 71

5.2 1-Zoll BP-Filter der Firma Spectrogon. Der genaue Verlauf des Transmissions-

grads ˜τi(λ)dieser Filter ist in Abbildung 5.13 zu sehen. *central wavelength

(mittlere Wellenlänge). **full width at half maximum (Breite bei halber ma-

ximaler Transmission). ***durchschnittlicher Transmissionsgrad. . . . . . . . 79

5.3 Unsicherheiten der einzelnen Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1 Ergebnisse für vier verschiedene ND-Filter vom Typ KG2 und KG3. Der Ab-

sorptionskoeffizient αSpekt.gilt für den Wellenlängenbereich des Lasers λ=

935 nm. *Die Absorptionskoeffizienten βRefl und βTrans können bei der Auswer-

tung der LWIR-Daten stark schwanken und haben nahezu keinen Einfluss auf

α. Für die Auswertung von MWIR-Daten muss βberücksichtigt werden. Die

Ungenauigkeit für αRefl,Trans beträgt ±30 m−1und für DRefl,Trans ±0.02 m2s−1.

**Ungenauigkeit ±200 m−1............................ 91

6.2 Gefittete Diffusivitäten mit verschiedenen semi-analytischen Modellen für den

VB-Probekörper .................................. 96

6.3 Gefittete Diffusivitäten und effektive Absorptionskoeffizienten mit verschiede-

nen semi-analytischen Modellen für den UB-Probekörper . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Gefittete Diffusivitäten und effektive Absorptionskoeffizienten mit verschiede-

nen semi-analytischen Modellen für den RB-Probekörper.∗Diese Werte hängen

von den Startwerten der jeweiligen Parameter ab. . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5 Zusammenfassung der angepassten thermischen und optischen Materialpara-

meter für die verwendeten Modelle, welche die experimentellen Daten am bes-

ten beschreiben. ∗Diese Werte hängen von den Startwerten der jeweiligen Pa-

rameterab. ..................................... 101

6.6 Ergebnisse der PVC-Proben. Die Genauigkeit der Anpassungsparameter be-

trägt<5%. .................................... 103

136

Danksagung

Die vorliegende Arbeit entstand als externe Promotion an der Bundesanstalt für Materialfor-

schung und -prüfung (BAM) mit Betreuung durch das Institut für Werkstoffwissenschaften

und -technologien der Technischen Universität Berlin. Ich möchte allen, die mich während

dieser Zeit begleitet haben, danken.

Herrn Prof. Dr. rer. nat. Walter Reimers von der Technischen Universität Berlin sowie Frau

Prof. Dr.-Ing. Birgit Skrotzki von der BAM - 5.2 danke ich für die Übernahme der Begut-

achtung, für das Interesse an meiner wissenschaftlichen Arbeit und für die konstruktiven

Diskussionen.

Ich möchte mich bei dem Fachbereich „Thermografische Methoden“ an der BAM für das

außerordentlich gute Arbeitsumfeld bedanken. Ein besonderer Dank gilt Frau Dr. Maierhofer

und Herrn Dr. Altenburg für die Betreuung meiner Dissertation. Es war für mich immer eine

Freude, mit euch über die Themen meiner Arbeit und über die Thermografie im Allgemeinen

zu diskutieren. Weiter möchte ich mich für die konstruktive Kritik meiner wissenschaftlichen

Arbeiten sowie dieser Dissertation bedanken. Mein Dank gilt natürlich auch der Arbeitsgrup-

pe des Fachbereichs (Florian, Mathias R., Mathias Z., Samim, Rainer, Simon A., Simon O.,

Jan, Jens, Julien, Christian, Philipp) für die wissenschaftlichen und außerwissenschaftlichen

Gespräche.

Liebe BAM-Superfastrunners (Erik, Mathias, Tobi, Samim, Rainer), vielen Dank für die

gemeinsam gelaufenen Kilometer. Es hat bei jedem Wetter Spaß gemacht.

Onkel Holger, vielen lieben Dank für die Übernahme des Korrektorats. Es ist einfach klasse,

dass wir uns auf diesem Wege wiedertreffen.

Zu guter Letzt möchte ich meiner Familie für die Unterstützung danken. Ohne euch wäre

diese Arbeit nicht möglich gewesen.

137

Selbständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, die vorliegende Dissertation selbständig und nur unter Verwendung der

angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt zu haben.

Raphael Bernegger, Berlin, 24.03.2021

139