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Entwicklung eines numerischen Modells

zur Beschreibung von Gasfolienlagern unter

Berücksichtigung der Temperatur

vorgelegt von

M. Sc.

Hanns Michel

an der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

- Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Henning Meyer

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Robert Liebich

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Dr. Techn. livre-docente Ilmar Santos

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 26. November 2020

Berlin 2020

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird ein numerisches Modell zur Beschreibung von Eigenschaften radi-

aler Gasfolienlager unter Berücksichtigung der Temperatur entwickelt. Dazu wird die

Gleichgewichtslage, in der sich die äußere Belastung und die aus dem Druckfeld resultie-

renden auf den Rotor wirkende Kraft gerade kompensieren, bei konstanter Last und

Drehzahl bestimmt. Aus den Ergebnissen dieser Gleichgewichtslage werden die lineari-

sierten dynamischen Lagerparameter als Reaktion auf angenommene Störungen in den

die Gleichgewichtslage bestimmenden Größen berechnet. Mit diesen lässt sich das Stabi-

litätsverhalten charakterisieren und die Einsatzdrehzahlen von Instabilität ermitteln.

Die Temperatur nimmt auf diese Größen direkten Einfluss, da sie als Variable, in die

zur Bestimmung des Druckfelds verwendete Reynolds-Gleichung eingeht und indirek-

ten Einfluss, da auch die ebenfalls enthaltene Viskosität des Schmiermediums üblicher-

weise temperaturabhängig ist. Darüber hinaus wird in dieser Arbeit festgestellt, dass das

Verhältnis zwischen thermischer Aufweitung des Rotors und der Lagerschale ebenfalls

einen erheblichen Einfluss hat. Um die Einflüsse verschiedener Annahmen zu Geome-

trieparametern und Teilmodellen sowie Randbedingungen darstellen zu können, ist das

Gesamtmodell modular entwickelt und bietet die Möglichkeit viele Varianten miteinan-

der zu vergleichen. Dies wird im Zuge des Vergleichs mit Datensätzen aus der Literatur

und eigenen Messwerten durch die detaillierte Analyse der Auswirkungen von zwei

Strukturmodellen (simple elastic foundation model und link-spring-Modell) für die bump

foil und zwei Wärmetransportmodellen für die Lagerschale (Wärmewiderstandsmodell

und FVM-Modell) demonstriert.

Die Auswirkung der Temperatur auf die linearisierten Lagerparameter und auf die für

Gasfolienlager wichtigen Größen Stabilität und Tragfähigkeit werden an verschiedenen

Lagerkonfigurationen untersucht. Während sich bei der Stabilität keine eindeutigen Un-

terschiede ergeben, ist der Einfluss auf die Tragfähigkeit durch die Aufweitung der La-

gerkomponenten sehr deutlich.

Der Umfang dieser Vergleiche wird durch den hohen Automatisierungsgrad bei den

Abläufen zur Berechnung und den sehr robusten Nelder-Mead-Minimierungsalgorith-

mus sowie der Beschleunigung durch Ausnutzung von Symmetrie, nicht äquidistantem

Netz und Umsetzung zeitkritischer Funktionen in C-Code ermöglicht. Durch diese Um-

setzung ließe sich der Code während eines Auslegungsprozesses zu Voruntersuchungen

und Ermittlung einer Lagerkonfiguration für den Prototypenbau in einer möglichen An-

wendung nutzen.

iii

Abstract

In this dissertation a numerical model describing the properties of radial gas foil bear-

ings under consideration of temperature is developed. For this purpose, the equilibrium

position in which the external load and the force acting on the rotor resulting from the

pressure field compensate each other is determined at constant load and speed. The re-

sults are utilized in combination with a perturbation approach to deduce the linearized

dynamic bearing parameters. These allow the assessment of the stability behavior and

the calculation of the onset speed of instability.

Temperature has a direct influence on these parameters, as it is a quantity in the

Reynolds equation used to determine the pressure field, and an indirect influence, as the

viscosity of the lubricant, which is also included, is (usually) temperature-dependent. In

addition, this work shows that the relationship between thermal expansion of the rotor

and the bearing housing also has a considerable influence. In order to be able to repre-

sent the influences of different assumptions on geometry parameters and sub models as

well as boundary conditions, the overall model is developed in a modular way and offers

the possibility to compare many variants with each other by simply changing the set-

tings. This is demonstrated in the course of the comparison with data sets from the liter-

ature and own measurements by the detailed analysis of the effects of two structural

models (simple elastic foundation model and link-spring model) for the bump foil and

two heat transport models for the bearing housing (thermal resistance model and FVM

model).

The effect of temperature on the linearized bearing parameters and on the stability as

well as the load carrying capacity, which are important for gas foil bearings, are investi-

gated on different bearing configurations. While there are no clear differences in the sta-

bility, the influence on the load carrying capacity is very noticeable due to the expansion

of the bearing components.

The scope of these comparisons is made possible by the high degree of automation in

the calculation processes and the very robust Nelder-Mead minimization algorithm as

well as the acceleration by exploiting symmetry, non-equidistant mesh and the conver-

sion of time-critical functions into C code. Through this implementation the code could

be used during a design process for preliminary investigations and determination of a

bearing configuration as prototypes in a possible application.

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Entwicklung eines numerischen Modells zur Beschreibung von Gasfolienlagern 
unter Berücksichtigung der Temperatur...................................................................
Kurzfassung.............................................................................................................iii
Abstract.....................................................................................................................v
Inhaltsverzeichnis....................................................................................................vi
Nomenklatur............................................................................................................ix
Abbildungsverzeichnis..........................................................................................xiii
Tabellenverzeichnis...............................................................................................xix
1  Einleitung................................................................................................................21
1.1  Motivation...................................................................................................................23
1.2  Zielsetzung...................................................................................................................24
2  Stand der Technik...................................................................................................27
2.1  Geschichte und Bauformen von Gaslagern............................................................27
2.2  Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL................31
2.2.1  Strukturmodelle zur Beschreibung der bump foil......................................31
2.2.2  Lagerparameter und Stabilitätsbetrachtung................................................34
2.3  Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-
Eigenschaften..............................................................................................................35
2.4  Numerische Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-
Eigenschaften..............................................................................................................39
3  Thermo-hydrodynamische Modellierung.............................................................45
3.1  Druckfeld und Schmierfilm......................................................................................45
3.2  Strukturmodelle für die bump foil...........................................................................51
3.2.1  SEFM nach Heshmat et al. 1983...................................................................51
3.2.2  SEFM nach Iordanoff 1999............................................................................52
3.2.3  Link-Spring-Modell nach Le Lez 2007........................................................54
3.3  Störansatz nach Lund 1968.......................................................................................56
3.3.1  Berechnung der linearisierten Lagerparameter..........................................56
3.3.2  Bewegungsdifferentialgleichung zur Stabilitätsberechnung.....................59
3.4  Betriebsbedingte Einflüsse auf die Schmierfilmhöhe...........................................60
vi

Inhaltsverzeichnis
5  Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld.............................................63
5.1  Druckfeldrandbedingungen..........................................................................63
5.2  Temperaturrandbedingungen.......................................................................65
5.3  Mixing-Zone....................................................................................................67
6  Temperaturabhängige physikalische Eigenschaften..............................................68
7  Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten..............................71
7.1  Fluidfilm...........................................................................................................72
7.2  Welle..................................................................................................................73
7.3  Lagerschale mit top und bump foil................................................................77
7.4  Axiale Durchströmung...................................................................................81
Numerische Lösung der thermo-hydrodynamischen Modells.............................83
1  Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und 
Schmierfilmhöhe........................................................................................................85
2  Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur.............................90
2.1  Linearisierung und weitere Behandlung des Quellterms..........................95
2.2  Berechnung FVM-Zellgeometrie..................................................................98
3  Bestimmung der Gleichgewichtslage....................................................................100
3.1  Simpson-Regel zur Integration des Druckfelds........................................101
3.2  Nelder-Mead-Algorithmus zur Ermittlung der 
kräftegleichgewichterfüllenden Exzentrizität...........................................103
4  Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter 
und Stabilitätsgrenzdrehzahl..................................................................................112
4.1  Berechnung der linearisierten Lagerparameter........................................112
4.2  Lösung des Eigenwertproblems und Ablauf zur Bestimmung der 
Stabilitätsgrenzdrehzahl...............................................................................112
Validierung des Wärmemodells...........................................................................117
1  Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse.............................................................118
2  Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004..................................................122
3  Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012............................................130
4  Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978.....................................135
5  Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten.....................142
6  Zwischenfazit Temperaturvalidierung..................................................................148
Berechnung temperaturabhängiger Lagereigenschaften....................................151
1  Berechnung der temperaturabhängigen Lagerparameter und Vergleich mit 
Larsen et al. 2013......................................................................................................152
vii

Inhaltsverzeichnis
6.2  Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Lagerparametern...........155
6.3  Stabilitätsanalyse.......................................................................................................157
6.3.1  Stabilitätsanalyse an einer Lagerkonfiguration nach Radil et al. 2004..157
6.3.2  Stabilitätsanalyse an einer Lagerkonfiguration nach Ruscitto et al. 1978
..........................................................................................................................162
6.4  Tragfähigkeit.............................................................................................................168
6.5  Variation der bump foil-Dicke zur Beeinflussung der Nachgiebigkeit.............176
7  Benutzeroberfläche...............................................................................................179
8  Zusammenfassung, Kritik, Fazit und Ausblick...................................................183
8.1  Zusammenfassung....................................................................................................183
8.2  Kritische Betrachtung..............................................................................................191
8.3  Fazit und Ausblick....................................................................................................194
Literaturverzeichnis.............................................................................................199
Anhang..................................................................................................................213
A  Parametrische Erstellung des Verlaufs des nominalen Spalts bei Verwendung 
von shims...............................................................................................................215
B  Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich mit Kapitel 5.2..........................217
C  Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.3.............................................221
D  Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.4.............................................225
E  Weitere Abbildung in Ergänzung zu Kapitel 5.5.................................................229
F  Beschreibung des GFL-Prüfstands am Fachgebiet.............................................231
G  Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse................................................235
H  Übersicht der Einstellungsoptionen im entwickelten numerischen Modell.....241
viii

Nomenklatur

Abkürzungen

Abkürzung Bedeutung

CProgrammiersprache C

FDM Finite-Differenzen-Methode

FE Finite-Elemente

FEM Finite-Elemente-Methode

FVM Finite-Volumen-Methode

GFL Gasfolienlager

GUI graphical user interface

LAPACK Linear Algebra Package, Programm-

bibliothek

LU Zerlegung in eine untere (lower) und

obere (upper) Dreiecksmatrix

NMA Nelder-Mead-Algorithmus

Q1 FVM-Wärmetransportmodell der

Lagerschale

Q2 Wärmewiderstandsmodell der La-

gerschale

S2 Strukturmodell nach Iordanoff [49]

S3 Strukturmodell nach LeLez [52]

SEFM simple elastic foundation model, ein-

faches elastisches Bettungsmodell

TVD total variation diminishing

VDI Verein Deutscher Ingenieure

Dimensionslose Kennzahlen

Bezeichnung Bedeutung

Ec Eckert-Zahl

Gr Grashof-Zahl

Kn Knudsen-Zahl

Nu Nusselt-Zahl

Pe Péclet-Zahl

Pr Prandtl-Zahl

Prtturbulente Prandtl-Zahl

Ra Rayleigh-Zahl

Re Reynolds-Zahl

St Stanton-Zahl

Mathematische Notation

Notation Bedeutung

partielle Ableitung von nach

zweifache partielle Ableitung von

nach

totale Ableitung von nach

Funktion von ( )

Nabla-Operator

Maximum aus und

ausgewertet an bei

Ableitung nach der Zeit

Normierte Größe

Abrunden (zur nächste ganzen Zahl)

Oberflächenintegral

Volumenintegral,

Fette Buchstaben bezeichnen Vekto-

ren und Matrizen

∆( ) Differenz

| | Absolutwert, Betrag

A( ) Diskretisierungsmethode nach [118]

e Eulersche Zahl

e Exponentialdarstellung

i Imaginäre Zahl i =

Im( ) Imaginärteil

Re( ) Realteil

Begriffe

Begriff Bedeutung

isotherm ohne Berücksichtigung d. Temperatur

anisotherm unter Berücksichtigung d. Temperatur

Englische Be-

griffe

In der GFL-Forschung etablierte eng-

lische Fachbegriffe sind kursiv gesetzt

Nomenklatur

Lateinische Buchstaben

Symbol Einheit Bedeutung

Am2Fläche

AFVM FVM-Matrix

a1, a2Interpolationsfaktoren zur Li-

nearisierung der Viskosität

bmbump-Bogenlänge

c0μm nominale Spalthöhe

C1...4 Integrationskonstanten

cf-Fanning-Reibungsfaktor

cpJ(kg∙K)-1 spez. isobare Wärmekapazität

cθμm nominale Spalthöhe bei verän-

derlichem Spalt in θ-Richtung

Dm Durchmesser

D(--) N/m Dämpfungsparameter

D(-) W(K)-1 Diffusionskoeffizienten

eμm Auslenkung bzw. Exzentrizität

EN(m)-2 Elastizitätsmodul, E-Modul

FN Kraft

F(-) W(K)-1 Konvektionskoeffizienten

FBN Reaktionskraft Druckfeld

feig,1 Hz erste Eigenfrequenz

gm(s)-2 Erdbeschleunigung

GN res. Kraft Gleichgewichtslage

hμm Schmierfilmhöhe

hW(m2∙K)-1 Wärmeübergangskoeffizienten

hmIntervallbreite (Simpson-Inte-

gration)

ħJ(kg)-1 spezifische Enthalpie

hBmbump-Höhe

hcμm nachgiebiger Anteil Filmhöhe

hop μm fliehkraft- und temperatur-

bedingter Anteil Filmhöhe

hrμm starrer Anteil Filmhöhe

JJacobi-Matrix

J(-) W Gesamtwärmeströme

kZählindex

K(--) N/m Steifigkeitsparameter

KBN(m)-3 Steifigkeitskoeffizient bump foil

KfN(m)-3 Steifigkeitskoeffizient (je nach

gewähltem Strukturmodell)

Kfix N(m)-3 Steifigkeitskoeffizient fixierter

bump

Kfree N(m)-3 Steifigkeitskoeffizient frei ver-

schiebbarer bump

Symbol Einheit Bedeutung

Lm Länge bzw. Breite des GFL

l0m halbe bump-Länge

mkg Masse

MLkg(mol)-1 molare Masse Luft

mrkg Rotormasse

nmin-1 Drehzahl

N- Knotenanzahl

pPa Druckfeld

paPa Umgebungsdruck

QJ Wärme

rmZylinderkoord. radiale Rich-

tung

Rm Radius

RK(W)-1 Wärmewiderstand

RBmbump-Radius

RgJ(mol∙K)-1 universelle Gaskonstante

RLJ(kg∙K)-1 spezifische Gaskonstante Luft

sm Ausdehnung bzw. Aufweitung

Sm3(N)-1 Nachgiebigkeitskoeffizient

S(-) W(m)-3 Quellterm

s0m Abstand zwischen den bumps

tm Dicke

ts Zeit

TK Temperaturfeld, dreidim.

TaK Umgebungstemperatur

TfK Temperaturfeld, zweidim.

Tol % o. abs. Toleranz prozentual o. absolut

u ( vr)m(s)-1 Strömungsgeschwindigkeit in x

Uvm(s)-1 Umfangsgeschwindigkeit Welle

v ( vθ)m(s)-1 Strömungsgeschwindigkeit in y

Vm3Volumen

v(-) m(s)-1 Strömungsgeschwindigkeit

w ( vz)m(s)-1 Strömungsgeschwindigkeit in z

WN externe Belastung

W[lf;lr] mLänge freie Wellenoberfläche,

Vorne: lf, Hinten: lr

xm kartesische Koord. x-Richtung

ym kartesische Koord. y-Richtung

zm kartesische Koord. z-Richtung

zm Zylinderkoord. axiale Richtung

z(--) modale Impedanz

Nomenklatur

Griechische Buchstaben

Symbol Einheit Bedeutung

α- Reflexionskoeffizienten (NMA)

αK-1 Wärmeausdehnungskoeffizient

β- Kontraktionskoeffizient (NMA)

β° Auslenkungswinkel

βK-1 isobarer thermischer Ausdeh-

nungskoeffizient Gas

γ- Expansionskoeffizient (NMA)

γ-äquivalenter Strukturverlustfak-

tor

Γallgemeiner Diffusionskoeffizi-

ent

δ-Verkleinerungskoeffizient

(NMA)

ε-normierte Auslenkung bzw. Ex-

zentrizität

ζ- Unterrelaxationsfaktor

η-Störfrequenzverhältnis bzw.

Anregungsfrequenzverhältnis

θ-Zylinderkoord. Umfangsrich-

tung

θB° halber bump-Winkel

Symbol Einheit Bedeutung

θW° Kraftangriffswinkel

λW(m∙K)-1 Wärmeleitfähigkeit

λEigenwert

Λ-bearing speed number

λsuc -Mischungsparameter mixing-

Zone

μPa∙s dynamische Viskosität

μaPa∙s Viskosität der Luft bei Umge-

bungstemperatur Ta

μB- Reibungskoeffizient bump foil

ν- Querkontraktionszahl

νm2(s)-1 kinematische Viskosität

ρkg(m)-3 Dichte

σ-squeeze film number

τ- dimensionslose Zeit

τN(m)-2 Scherspannung

ϕ- allgemeine Transportgröße

ωs-1 Kreisfrequenz

Ωs-1 Drehkreisfrequenz des Rotors

Ω- Ordnung

Nomenklatur

Indizes

xii

Index Bedeutung

0 nominal

0 Größen in der Gleichgewichtslage

aaußen

a, ∞ ambient, Umgebungsgrößen

ax axial

B bump(s)

Bf bump foil

cfliehkraftbedingt

cnachgiebig

cont Kontakt

conv konvektiv

crit kritisch

eExpansion

eff effektiv

Err (verbleibender) Fehler

Ff Fluidfilm

GKräftegleichgewicht

hm half mesh, halbes Netz (in z-Richtung)

iinnen

iZählindex

in einströmend

jZählindex

kon Kontraktion

LLuft

Ls Lagerschale

mgemittelt

max maximal

min minimal

nIterationsschritt

op im Betrieb

out ausströmend

pDruck

Pbetrachteter Punkt

rKoordinate radiale Richtung

rReflexion

ref Referenz

refine feiner zu vernetzen

res resultierend

rlx relaxiert

rot rotierend

sStörung

SVerkleinerung

suc einziehend

tthermisch

TTemperatur

Tf top foil

WWelle

xKoordinate x-Richtung

yKoordinate y-Richtung

zKoordinate z-Richtung (axial)

ζIndizes (mehrere Raumrichtungen)

θKoordinate Umfangsrichtung

ξIndizes (mehrere Raumrichtungen)

Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abb. 2.1: Darstellung der Bauformen in Anlehnung an [36]. Die bump foil-Unterteilun-
gen sind im abgewickelten Zustand dargestellt..............................................................29
Abb. 3.1: Skizze des Wirkungsprinzips von GFL (FB und θW s. Kap. 4.3, β s. Kap. 5.4) 
([69], bearbeitet).................................................................................................................46
Abb. 3.2: Geometrie der bump foil und angedeutete Belastung. Die Parameter hB, l0, s0, tTf 
und tBf müssen dem Programmcode vorgegeben werden............................................51
Abb. 3.3: Vereinfachte Annahme der bumps als individuelle Federn. Mit KB nach Hesh-
mat et al. [42] bzw. Kfix und Kfrei nach Iordanoff [49].....................................................52
Abb. 3.4: Ersatzfederschaltung für die bump foil-Struktur nach [52]..................................54
Abb. 3.5: Vergleich der fliehkraftbedingten und thermischen Aufweitung mit den Ergeb-
nissen eines FEM-Programms..........................................................................................61
Abb. 3.6: Auswirkung von fliehkraftbedingter und thermischer Aufweitung auf den No-
minalspalt.............................................................................................................................63
Abb. 3.7: Darstellung von Druckfelder für die implementierten Randbedingungsoptio-
nen.........................................................................................................................................64
Abb. 3.8: Darstellung der aus dem Druckfeld und darüber vorgegebenen Strömungsge-
schwindigkeiten folgenden Randbedingungen für das Temperaturfeld an den axia-
len Rändern und der mixing-Zone..................................................................................66
Abb. 3.9: Die Tabellenwerte für trockene Luft aus [103] werden durch Polynome interpo-
liert........................................................................................................................................69
Abb. 3.10: Temperaturabhängigkeit der physikalischen Eigenschaften der metallischen 
Werkstoffe der Lagerkomponenten. Datenblätter: Inconel 718 [140], Inconel X750 
[142], Acidur X5CrNi18-10 [143], 42CrMo4 [141], Incoloy A-286 [139], S235J [144]
...............................................................................................................................................70
Abb. 3.11: Wärmeübergänge des Wärmewiderstandsmodells (Q2) an einer Skizze der 
später verwendeten Geometrie.........................................................................................78
Abb. 3.12: Wärmewiderstand der bump foil-Struktur. Vergleich zwischen Messwerten 
und Modellen [93]..............................................................................................................78
Abb. 3.13: Berücksichtigte Wärmeströme im FVM-Wärmetransportmodell (Q1)...........79
Abb. 3.14: Anordnung der Wärmeübergange zwischen den einzelnen finiten Volumen 
des FVM-Wärmetransportmodells der Lagerschale. Die vergrößerten Ausschnitte 
verdeutlichen die Komplexität der Anordnung.............................................................80
Abb. 3.15: Vergleich der Temperaturen mit und ohne axiale Durchströmung der bump 
foil vax und der Hohlwelle vWax und den beiden Wärmetransportmodellen der La-
gerschale, Wärmewiderstandsmodell (Q2) und FVM-Wärmemodell (Q1).............82
xiii

Abbildungsverzeichnis
Abb. 4.1: Ablaufplan zur Darstellung der Interaktion der Programmmodule. Der Ablauf 
ist durch die Schleifen weitestgehend automatisiert und erlaubt damit die unbeauf-
sichtigte Berechnung vieler Varianten. Soll eine automatisierte Suche der Stabili-
tätsgrenzdrehzahl oder der Tragfähigkeit durchgeführt werden, so greifen diese 
Module in den Ablauf ein und steuern durch Drehzahl- bzw. Belastungsvorschläge.
...............................................................................................................................................84
Abb. 4.2: Auswirkungen der Anpassung der Durchsenkung an den axialen Randknoten. 
Ebenfalls dargestellt ist, mit den fett gedruckten Knotennummern, der Bereich der 
Netzverfeinerung................................................................................................................88
Abb. 4.3: Skizze zu den FVM-Flächen und den zur Berechnung notwendigen Abmaßen 
in allen drei Raumrichtungen. Erkennbar ist auch die Zusammensetzung aus Tra-
pezen.....................................................................................................................................99
Abb. 4.4: Die Simpson-Regel in C benötigt die geringste Zeit und liefert die gleichen bzw. 
bessere Ergebnisse als die Alternativen.........................................................................103
Abb. 4.5: Darstellung des Dreiecks des ersten Simplex für die empfohlene Startexzentri-
zität ε1..................................................................................................................................104
Abb. 4.6: Mögliche Aktionen des Nelder-Mead-Algorithmus zur Manipulation der Sim-
plexform.............................................................................................................................105
Abb. 4.7: Beispielhafter Verlauf des Simplex in der ε-Ebene und Konvergenz des Kräfte-
gleichgewichts. Startsimplex ist mit dicken Linien markiert (rechts oben). Das Mi-
nimum εmin ist mit Werten angegeben...........................................................................107
Abb. 4.8: Ablaufplan für den Nelder-Mead-Algorithmus. Klassischer Ablaufplan mit 
durchgezogenen Verbindungen, Ergänzung zur Vermeidung negativer Schmier-
filmhöhen mit gestrichelten Linien. Die Anpassungen aus [122] sind gegenüber 
dem originalen Ablaufplan aus [121] ebenfalls berücksichtigt. Die Darstellung ba-
siert auf [121, 147]............................................................................................................108
Abb. 5.1: Entwicklung der mittleren Fluidfilmtemperatur zur Beurteilung der Konver-
genz bei Erhöhung der Knoten in den verschiedenen Richtungen und bei Verwen-
dung eines nicht äquidistanten Netzes oder symmetrischem Netz in z-Richtung.121
Abb. 5.2: Messpositionen für [78], L = 41mm......................................................................122
Abb. 5.3: Vergleich der Temperaturen für alle Lastfälle und an allen Messpositionen (s. 
Abb. 5.2) zwischen Berechnungsergebnissen und den Messwerten aus [78] für das 
SEFM nach Iordanoff (S2)...............................................................................................126
Abb. 5.4: Vergleich der Temperaturen für alle Lastfälle und an allen Messpositionen (s. 
Abb. 5.2) zwischen Berechnungsergebnissen und den Messwerten aus [78] für das 
LeLez-Strukturmodell (S3)............................................................................................127
Abb. 5.5: Position der Gleichgewichtslage (links) und der Unterschied in den minimalen 
Schmierfilmhöhen (rechts) im Vergleich zwischen den Strukturmodellen nach Ior-
danoff (S2) und Le Lez (S3) für eine Auswahl an Lastfällen......................................128
xiv

Abbildungsverzeichnis
Abb. 5.6: Sensitivität der Temperatur an Messposition 4 auf die Variation der Parameter 
Innendurchmesser RW,i, Nominalspalt c0 und Wärmeausdehnungskoeffizient αLs der 
Lagerschale. Die Angaben zu letztem ist als Offset gegenüber dem temperaturab-
hängigen Verlauf des Wärmeausdehnungskoeffizienten von Acidur X5CrNi18-10 zu 
verstehen............................................................................................................................129
Abb. 5.7: Vergleich der aktuellen Berechnungsergebnisse mit den Ergebnissen aus San 
Andrés et al. [23] und Feng et al. [24] an Messposition 4 für beide Strukturmodelle 
S2 und S3. Die Messwerte aller Lastfälle aus [78] sind ebenfalls aufgetragen (graue 
Linie mit Fehlertoleranzen)............................................................................................130
Abb. 5.8: Vergleich der Lagerschalentemperatur über den Umfang in der Mittelebene mit 
den Messergebnissen von Kim et al. [79]. Oben für c0 = 40μm unten für c0 = 70μm. 
Links das FVM- (Q1), rechts das Wärmewiderstandsmodell (Q2) der Lagerschale. 
Berechnet mit dem LeLez-Strukturmodell (S3)..........................................................132
Abb. 5.9: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den vor dem 
vorderen Rand des GFL an der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Um zu 
verdeutlichen, dass die Temperaturen auf der Rückseite (hinterer Rand) zwischen 
GFL und Lagerbock auf der Welle als feste Randbedingung gesetzt sind, ist Bereich 
in der gesamten simulierten Länge darstellt.................................................................134
Abb. 5.10: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0=31,8μm für beide Strukturmodelle 
und beide Wärmetransportmodelle bei Umgebungstemperatur Ta=17,5°C........138
Abb. 5.11: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0=57μm für beide Strukturmodelle 
und beide Wärmetransportmodelle bei Umgebungstemperatur Ta=17,5°C........139
Abb. 5.12: Berechnete Auslenkungswinkel im Vergleich mit den Messwerten von [51]141
Abb. 5.13: Messpositionen der Thermoelemente unter der bump foil am Fachgebiets-GFL
.............................................................................................................................................143
Abb. 5.14: Temperaturprofile der am Fachgebietsprüfstand untersuchten Lastfälle durch 
Darstellung aller Messpositionen über den Umfang. Berechnet mit dem LeLez-
Strukturmodell (S3) und dem FVM-Wärmetransportmodell (Q1).........................144
Abb. 5.15: Temperaturprofile der am Fachgebietsprüfstand untersuchten Lastfälle durch 
Darstellung aller Messpositionen über den Umfang. Berechnet mit dem LeLez-
Strukturmodell (S3) und dem Wärmewiderstandsmodell (Q2)...............................145
Abb. 6.1: Numerisch berechnete lineare Lagerparameter im Vergleich mit [17]............153
Abb. 6.2: Vergleich zwischen berechneten und am Fachgebietsprüfstand gemessenen La-
gerparametern. Links die Steifigkeiten, rechts die Dämpfungen. Da alle Messwerte 
für Störfrequenzen von 80–640Hz aufgenommenen sind, ist dies die Hauptbe-
schriftung (in schwarz) der x-Achse. Zusätzlich sind die entsprechenden Störfre-
quenzverhältnisse angegeben..........................................................................................156
xv

Abbildungsverzeichnis
Abb. 6.3: Einsatzdrehzahl der Instabilität bzw. Grenzdrehzahl aufgetragen über der Be-
lastung an einer Lagerkonfiguration nach [78] im Vergleich zwischen einer isother-
men und anisothermen Berechnung sowie einer Berechnung mit nur einem bump-
Streifen und fünf bump-Streifen. Ebenfalls dargestellt ist der verbleibende Spalt mit 
einer möglichen Korrelation zum Verlauf der Einsatzdrehzahlen...........................158
Abb. 6.4: Verlauf der linearisierten Steifigkeiten für verschiedene Lastfälle anisotherm 
berechnet............................................................................................................................160
Abb. 6.5: Verlauf der linearisierten Steifigkeitswerte für verschiedene Lastfälle isotherm 
berechnet............................................................................................................................160
Abb. 6.6: Verlauf des nominalen Spalts über den Umfang bei Verwendung von shims. 162
Abb. 6.7: Einsatzdrehzahl der Instabilität bzw. Grenzdrehzahl aufgetragen über der Be-
lastung bei einem GFL nach [51] im Vergleich zwischen einer Berechnung mit und 
ohne Berücksichtigung der Temperatur. Zusätzlich wird auch der Vergleich mit ei-
nem GFL mit shims gezogen. Ebenfalls dargestellt ist der verbleibende Spalt mit ei-
ner möglichen Korrelation zum Verlauf der Einsatzdrehzahlen...............................163
Abb. 6.8: Linearisierte Steifigkeitswerte bei verschiedenen Lastfällen mit shims und unter 
Berücksichtigung der Temperatur berechnet...............................................................165
Abb. 6.9: Linearisierte Steifigkeitswerte bei verschiedenen Lastfällen ohne shims und un-
ter Berücksichtigung der Temperatur berechnet.........................................................165
Abb. 6.10: Linearisierte Dämpfungswerte bei verschiedenen Lastfällen ohne shims und 
unter Berücksichtigung der Temperatur berechnet....................................................166
Abb. 6.11: Linearisierte Dämpfungswerte bei verschiedenen Lastfällen mit shims und un-
ter Berücksichtigung der Temperatur berechnet.........................................................166
Abb. 6.12: Darstellung des Druckfelds, Filmhöhe und Temperaturfelds bei Verwendung 
von shims............................................................................................................................168
Abb. 6.13: Gerade noch getragene Belastung ohne Unterschreitung einer Filmhöhe von 
hmin=5µm über die Drehzahl aufgetragen (linke y-Achse) und der minimal ver-
bleibende Spalt (rechte y-Achse). Die Verläufe der isothermen und anisothermen 
Berechnung schneiden sich jeweils zwischen 40000min-1 und 50000min-1...........170
Abb. 6.14: Die gerade noch getragene Belastung der GFL mit nominalem Spalt von 
31,8µm und 57µm ohne Unterschreitung der Filmhöhe von hmin = 5µm mit dem 
LeLez-Strukturmodell berechnet (linke y-Achse). Zusätzlich ist der minimale ver-
bleibende Spalt, und dort bei den entsprechenden Punkten die jeweils erreichte 
mittlere Filmtemperatur, auf der rechten y-Achse aufgetragen. Die Ergebnisse wer-
den mit [51] verglichen....................................................................................................172
Abb. 6.15: Maximale Tragfähigkeit über Drehzahl mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) 
ohne Druckmittelung.......................................................................................................174
Abb. 6.16: Maximale Tragfähigkeit über Drehzahl mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) 
mit Druckmittelung..........................................................................................................175
xvi

Abbildungsverzeichnis
Abb. 6.17: Darstellung der Tragfähigkeit und Stabilität bei einer Variation der Nachgie-
bigkeit der bump-Struktur durch Anpassung der bump foil-Dicke..........................176
Abb. 7.1: Screenshot einer Einstellungsseite der Benutzeroberfläche (Beispiel)..............180
Abb. 7.2: Darstellung der vorgefertigten Grafiken zur Darstellung und Auswertung der 
Ergebnisse..........................................................................................................................181
Abb. A.1: Variation der shim-Parameter und die Auswirkungen auf den Verlauf des no-
minalen Spalts cθ(θ)..........................................................................................................216
Abb. B.1: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit anderer Temperaturrand-
bedingungen an den axialen Rändern des GFL. Die Filmhöhe ist mit dem SEFM 
nach Iordanoff (S2) berechnet........................................................................................217
Abb. B.2: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit Befestigung von top und bump foil 
am Ende des GFL. Die Filmhöhe ist mit dem Le Lez-Strukturmodell (S3) berech-
net........................................................................................................................................218
Abb. B.3: Links: Steifigkeitsverteilung für das SEFM nach Iordanoff (S2) mit fünf bump-
Streifen. Die erhöhte Steifigkeit des ersten bumps ist deutlich erkennbar. Rechts: 
Axialer Schnitt durch eine mit dem LeLez-Strukturmodell berechnete Filmhöhe, 
ebenfalls fünf bump-Streifen. Einmal mit Berücksichtigung der temperatur- und 
fliehkraftbedingten Spaltanpassungen an die Betriebsbedingungen (runde Marker) 
und einmal ohne, also reine Durchsenkung der bump foil (eckige Marker)...........219
Abb. B.4: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit fünf bump-Streifen variierender Stei-
figkeit berechnet mit dem SEFM nach Iordanoff (S2)................................................219
Abb. B.5: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit fünf bump-Streifen variierender Stei-
figkeit berechnet mit dem LeLez-Strukturmodell (S3)..............................................220
Abb. C.1: Vergleich der Lagerschalentemperatur über den Umfang in der Mittelebene 
mit den Messergebnissen von Kim et al. [79]. Oben für c0 = 40μm, unten für c0 = 
70μm. Links das FVM- (Q1), rechts das Wärmewiderstandsmodell (Q2) der Lager-
schale. Berechnet mit dem SEFM nach Iordanoff (S2)...............................................221
Abb. C.2: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der 
Frontseite des Lagers an der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete 
Berechnungsmodelle im Titel.........................................................................................222
Abb. C.3: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der 
Frontseite des Lagers an der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete 
Berechnungsmodelle im Titel.........................................................................................222
Abb. C.4: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der 
Frontseite des Lagers an der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete 
Berechnungsmodelle im Titel.........................................................................................223
Abb. D.1: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0 = 31,8μm für beide Struktur- und 
Wärmetransportmodelle bei Ta = 15°C........................................................................225
xvii

Abbildungsverzeichnis
Abb. D.2: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0 = 57μm für beide Struktur- und Wär-
metransportmodelle bei Ta = 15°C................................................................................226
Abb. D.3: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0 = 31,8μm für beide Struktur- und 
Wärmetransportmodelle bei Ta = 20°C........................................................................227
Abb. D.4: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle 
Lastfälle aus [51] für den nominalen Spalt c0 = 57μm für beide Struktur- und Wär-
metransportmodelle bei Ta = 20°C................................................................................228
Abb. E.1: Gemessene Temperaturprofile am Fachgebietsprüfstand im Vergleich mit Be-
rechnungsergebnissen mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) und dem FVM-Wärme-
modell (Q1).......................................................................................................................229
Abb. E.2: Gemessene Temperaturprofile am Fachgebietsprüfstand im Vergleich mit Be-
rechnungsergebnissen mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) und dem Wärmewider-
standsmodell (Q2)............................................................................................................230
Abb. F.1: Prinzipskizze des Prüfstandsaufbaus am Fachgebiet (nicht maßstäblich).......231
 Abb. F.2: Foto des Fachgebietsprüfstands. Gut erkennbar, sind die vielen braunen Ther-
moelemente mit den ockerfarbenen Wimpeln [129]..................................................232
Abb. G.1: Grenzdrehzahlen für ein GFL nach [78] mit dem mittleren verbleibenden 
Spalt....................................................................................................................................235
Abb. G.2: Grenzdrehzahlen für ein GFL nach [51] mit dem mittleren verbleibenden 
Spalt....................................................................................................................................235
Abb. G.3: Linearisierte Dämpfungswerte für verschiedenen Lastfälle aus [78] im Ver-
gleich zwischen einer isothermen und anisothermen Berechnung..........................236
Abb. G.4: Linearisierte Steifigkeitswerte an der Geometrie aus [51] mit shims und iso-
therm berechnet................................................................................................................237
Abb. G.5: Linearisierte Steifigkeitswerte an der Geometrie aus [51] ohne shims und iso-
therm berechnet................................................................................................................237
Abb. G.6: Linearisierte Dämpfungswerte an der Geometrie aus [51] ohne shims und iso-
therm berechnet................................................................................................................238
Abb. G.7: Linearisierte Dämpfungswerte an der Geometrie aus [51] mit shims und iso-
therm berechnet................................................................................................................238
Abb. G.8: Stabilitätskarten in Ergänzung zu den in Kapitel 6.3.1 berechneten Werten. La-
gerkonf. nach [78].............................................................................................................239
Abb. G.9: Stabilitätskarten in Ergänzung zu den in Kapitel 6.3.2 berechneten Werten. La-
gerkonf. nach [51].............................................................................................................239
xviii

Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Tab. 4.1: Bezeichnung der Nachbarpunkte für FVM..............................................................91
Tab. 4.2: Diskretisierungsmethoden für die FVM..................................................................94
Tab. 5.1: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [78] beschriebenen La-
gers.......................................................................................................................................123
Tab. 5.2: Angaben zum temperaturabhängigen Wärmeausdehnungskoeffizienten von 
42CrMo4.............................................................................................................................129
Tab. 5.3: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [79] beschriebenen La-
gers.......................................................................................................................................131
Tab. 5.4: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [51] beschriebenen La-
gers.......................................................................................................................................136
Tab. 5.5: Lastfälle mit den Belastungen (alle in N) für die beiden nominalen Spalte aus 
[51]. Die Drehzahl 55500min-1 gehört zu c0=31,8μm, 60000min-1 gehört zu 
c0=57μm............................................................................................................................137
Tab. 5.6: Die Geometrie des am Fachgebiet untersuchten GFL gleichen denen aus Tab. 
5.4. Es sind nur abweichenden Werte aufgelistet..........................................................142
Tab. H.1: Tabellarische Übersicht und Erklärungen zu den Einstellungsoptionen des Pro-
grammcodes.......................................................................................................................241
xix

1 Einleitung

Gaslager sind Gleitlager, bei denen Rotor und Stator im Betrieb durch einen dünnen

gasförmigen Schmierfilm vollständig voneinander getrennt werden. Als Maschinenele-

ment eignen sie sich insbesondere zur Lagerung schnelllaufender Rotoren und finden

damit vor allem im Bereich des Turbomaschinenbaus Anwendung. Bei Turbomaschi-

nen lassen sich durch höhere Betriebsdrehzahlen im Allgemeinen Wirkungsgradsteige-

rungen erreichen. Dies wird durch den nahezu reibungsfreien Lauf von Gaslagern im

Vergleich zu einer konventionellen Lagerung unterstützt.

Bei Gaslagern wird zwischen aerostatischem und aerodynamischem Wirkprinzip un-

terschieden. Aerostatische Lager benötigen eine externe Druckversorgung. Der Rotor

wird durch Einblasen des bereits unter Druck stehenden Schmiermediums aus zumeist

über den Umfang verteilten Düsen im Gleichgewicht gehalten. Es ergeben sich Vorteile

für den Verschleiß während des Anlaufens und der maximalen Tragfähigkeit. Nachteilig

ist die zu betreibende externe Druckversorgung und der dafür notwendige konstruktive

Aufwand und Bauraum sowie der dafür benötigte Energiebedarf, der den Gesamtwir-

kungsgrad wiederum verringern kann.

Bei aerodynamischen Lagern kann auf eine externe Druckluftversorgung verzichtet

werden. Vergleichbar mit klassischen hydrodynamischen Öl-Gleitlagern wird durch den

sich drehenden, ausgelenkten Rotor im konvergierenden Spalt zwischen Rotor und La-

gerschale eine Spaltströmung induziert. Der dabei entstehende Druck im Schmiermedi-

um trägt den Rotor. Gegenüber den aerostatischen Lagern weisen sie eine verminderte

maximal Tragfähigkeit auf. Der beim Anfahren vorhandene Verschleiß vor Abheben des

Rotors ist größer, kann aber durch geeignete Beschichtungen vermindert werden [1, 2].

Die folgenden Vorteile gelten teilweise beiden Lagertypen, insbesondere aber für die ae-

rodynamischen, da für sie keine weiteren externen Systeme benötigt werden.

Gaslager sind nicht auf den Betrieb mit Luft als Schmiermedium beschränkt; auch

andere Industriegase sind prinzipiell geeignet [3]. Wenn das Prozessgas selbst die

Schmierfunktion erfüllt, kann auf ein externes Schmiersystem verzichtet werden und

der Aufwand der Abdichtung dieses Gases gegenüber einem Schmierölkreislauf, wie er

für konventionelle Wälzlager benötigt wird, entfällt. Eine Verunreinigung des Prozess-

gases durch Ölpartikel wird damit vermieden1. Wenn es nicht um die Verarbeitung ei-

nes speziellen Prozessgases geht, ist dies auch bei Luft, als wohl gängigstes Schmierme-

1 Bei aerostatischen Lagern könnte prinzipiell die Gefahr bestehen, dass die Druckluft bereits im exter-

nen Druckversorgungssystem durch dort verbaute Komponenten mit ölbasierten Schmiermitteln in

Kontakt kommt.

1 Einleitung

dium, von Vorteil, wenn dadurch nachfolgende Prozessschritte, bspw. in der Lebensmit-

telindustrie, nicht durch Schmiermittel verunreinigt werden dürfen. Auch für die Zu-

kunftstechnologie Brennstoffzelle könnte dieser Punkt von entscheidender Bedeutung

sein, da eine mit Öl verunreinigte Luftzufuhr zur Brennstoffzelle die Leistungsfähigkeit

und Lebensdauer stark einschränken kann [4]. Neben dem Vorteil kein Schmiersystem

konstruieren und vorsehen zu müssen, entfällt damit auch der Aufwand der regelmäßi-

gen Schmierstoffversorgung. Dadurch und durch den prinzipiell reibungsfreien Betrieb

können Wartungsintervalle verlängert werden [5].

Während ölbasierte Schmiermittel nur in einem begrenzten Temperaturbereich die

gewünschten Eigenschaften aufweisen, steht Luft als Schmiermedium üblicherweise

über einen weiten Temperaturbereich ohne weiteren Aufwand unbegrenzt zur Verfü-

gung. Gaslager eignen sich damit prinzipiell für Tieftemperaturanwendungen in der

Kryotechnik bis hin zu hohen Temperaturen bei Turboanwendungen [6].

Um diese Vorteile ausspielen zu können, müssen Gaslager für einen konkreten An-

wendungsfall ausgelegt und implementiert werden. Denn neben ihren Vorteilen haben

sowohl aerostatische als auch aerodynamische Gaslager auch Nachteile, die ihren brei-

ten Einsatz erschweren. Dazu zählen die erforderlichen geringen Fertigungstoleranzen,

selbsterregte Schwingungen und, im Verhältnis zu Wälz- oder Öllagern, begrenzte Trag-

fähigkeit. Die prinzipielle Eignung des über einen weiten Temperaturbereich gasförmi-

gen Schmiermediums, wird durch die erforderlichen dünnen Schmierspalte einge-

schränkt. Die fliehkraftbedingte und thermische Aufweitung des Rotors kann im Be-

trieb ansteigen, bis der ursprünglich im Stillstand vorhandene nominale Schmierspalt

verbraucht ist.

Während in den vorangegangenen Absätzen Gaslager allgemein beschrieben werden,

wird sich im Folgenden auf aerodynamisch Gaslager konzentriert und dabei zusätzlich

zwischen aerodynamisch Gaslagern mit starrer und nachgiebiger Lagerschale unter-

schieden. Bei der konstruktiven Umsetzung einer solchen nachgiebigen Lagerschale

werden häufig dünne Metallfolien verwendet. Daher der Name Gasfolienlager und die

Abkürzung GFL. Konkrete Bauformen werden im folgenden Kapitel 2.1 beschrieben.

Die daraus resultierenden Eigenschaften eignen sich, um einige der genannten Nachteile

abzumildern. Zwar werden immer noch feine Toleranzen in der Fertigung benötigt,

aber durch die Nachgiebigkeit ist das Lager im Stande auf die konkrete Druckverteilung

durch Verformung zu reagieren und so über einen weiteren Betriebsbereich einen

Schmierfilm mit entsprechender Tragfähigkeit beizubehalten Die maximale Tragfähig-

keit kann durch weitere Modifikationen und Anpassungen der lokalen Steifigkeit weiter

1 Einleitung

gesteigert werden [7]. Darüber hinaus wird über die Verformung und Reibung zusätzli-

che Dämpfung bereitgestellt, wodurch die Stabilität verbessert wird [8].

Im Betrieb von Gaslagern nehmen verschiedenste Faktoren Einfluss auf das Tempera-

turverhalten. Zum einen spielt die Umgebungstemperatur bzw. die Temperatur des ein-

gebrachten Schmiermediums selbst eine Rolle. Zum anderen kommt es durch die visko-

sen Dissipationsprozesse während des Betriebs zu einer Eigenerwärmung im Schmier-

film. Die entstandene Wärme wird über diverse Wärmepfade durch die umliegenden

Lagerkomponenten an die Umgebung abgeführt. Die nachgiebige Lagerwand ist in der

Lage Veränderungen in der Bauteilgeometrie durch die temperatur- und fliehkraftbe-

dingte Aufweitung in gewissem Maße auszugleichen. Dennoch stellt die verbleibende

nominale Spalthöhe eine Limitierung für den Betrieb von GFL dar.

In dieser Arbeit wird deshalb ein Modell zur Beschreibung der Wärmeentstehung,

Wärmeströme und die damit verbundene Erwärmung und Geometrieveränderung der

Bauteile erstellt und die damit erzielten Ergebnisse präsentiert.

1.1 Motivation

Ein Hindernis auf dem Weg zu einer breiten industriellen Anwendung von GFL ist der

immer noch komplexe Auslegungsprozess gegenüber konventionellen Lagerungen. Die

Erforschung und Entwicklung von GFL bzgl. entscheidender Größen wie der Tragfähig-

keit und der Stabilität (und den dafür benötigten Lagerparametern) wurden zwar durch

umfangreiche experimentelle Studien (teilweise auch unter Berücksichtigung der Tem-

peratur) vorangetrieben [8–13]. In den für einen effizienten Auslegungsprozesse not-

wendigen numerischen Modellen, wird die Temperatur bei der Berechnung dieser wich-

tigen Kenngrößen allerdings noch selten berücksichtigt [14–19]. Viele ältere numeri-

sche Modelle zur Berechnung Wärmeentstehung in GFL beschränken sich auf die Vor-

hersage der Temperatur und Vergleich mit Temperaturmesswerten aus Experimenten,

ohne Einfluss daraus auf weitere Lagereigenschaften zu untersuchen [20–23].

Wenn Aussagen zum Einfluss auf die Tragfähigkeit getroffen werden, so wird häufig

die in [10] auf Basis von Experimenten aufgestellte Vermutung eines sinkenden E-Mo-

duls (und damit Steifigkeit) des Folienwerkstoffs bzw. die steigende Viskosität der Luft

für die Ab- bzw. Zunahme der Tragfähigkeit bei steigender Temperatur zitiert. Erst in

[24] wird stattdessen postuliert, dass die fliehkraftbedingte und thermische Aufweitung

der Lagerkomponenten über den dadurch im Betrieb verbleibenden nominalen Spalt

den deutlicheren Einfluss auf die Tragfähigkeit hat. Über den ebenfalls temperaturab-

hängigen Wärmeausdehnungskoeffizient der Lagerkomponenten entsteht damit eine

1.1 Motivation

komplexe Rückkopplung auf den für die Wärmeentstehung maßgeblichen Parameter

der Filmhöhe im Betrieb. Diese wird sowohl in den älteren Modellen als auch in neue-

ren, sehr detaillierten Modellen [25] nicht abgebildet.

Natürlich sind diese Angaben nicht absolut zu verstehen und es existieren auch Ver-

öffentlichungen zu numerischen Modellen, in denen Einflüsse der Temperatur disku-

tiert werden. Einige davon werden im folgenden Kapitel zum Stand der Technik ge-

nannt. Dennoch wird der Einfluss der Temperatur in der Literatur überwiegend auf Ba-

sis experimenteller Werte erfasst und diskutiert. Dies ist insofern nicht verwunderlich,

da dort ein isothermes Verhalten ohnehin nicht einfach vorausgesetzt werden kann. Auf

der numerischen Seite wird, aufgrund des deutlich einfacheren Gesamtlagermodells,

dagegen gerne von isothermem Verhalten ausgegangen, wenn es um die Beschreibung

von komplizierteren Eigenschaften (wie Tragfähigkeit und Stabilität) geht.

Dies mag für einzelne Parameter und Eigenschaften ausreichend sein, da sie sich ggf.

ihr prinzipielles Verhalten, auch ohne den Einfluss der Temperatur genau zu kennen,

ableiten lässt und auch in Experimenten erkennbar ist. Es kann aber nicht vorausgesetzt

werden für jeden Anwendungsfall mit spezifischen Einbau- und Betriebsbedingungen

vergleichbare und damit übertragbare Ergebnisse in der Literatur zu finden. Ausle-

gungsprozesse für GFL sind deshalb immer noch häufig von einem zeit- und kostenin-

tensiven Prototypenbau und daran durchgeführten Experimenten zur Ermittlung der

passenden Lagergeometrien geprägt. Eine numerische Berechnung, welche die für den

Auslegungsprozess relevanten Größen ebenfalls abbilden kann, könnte an dieser Stelle

wichtige Anhaltspunkte zur Vorauswahl von zu bauenden Prototypen liefern. Stellt sich

dabei heraus, dass eine Größe tatsächlich kaum von der Temperatur beeinflusst wird, so

ist dies immer noch ein Erkenntnisgewinn und trägt dazu bei Unsicherheiten im Zuge

der Auslegung zu vermindern und das Verständnis über den Betrieb von GFL zu erwei-

tern.

Einen Beitrag zur Vereinfachung dieses Auslegungsprozesses zu leisten motiviert die

im folgenden Kapitel beschriebene Zielsetzung der Entwicklung eines numerischen Mo-

dells zur Beschreibung der Temperaturentwicklung und Einflüsse dieser auf die weite-

ren Lagereigenschaften.

1.2 Zielsetzung

Die Zielsetzung wird als Folgerung aus den in der Motivation genannten Punkten for-

muliert. Zur Unterstützung eines potenziellen Auslegungsprozess soll ein numerisches

Modell zur Berechnung von Lagereigenschaften unter Berücksichtigung der Temperatur

1.2 Zielsetzung

entwickelt werden. Dies umfasst die Berechnung der Gleichgewichtslagen, in denen der

Rotor im Kräftegleichgewicht einer konstanten Belastung und den Reaktionskräften aus

dem Druck im Schmierfilm bei einer stationären Drehzahl läuft. Sie bilden die Grundla-

ge zur weiteren Analyse der Lagereigenschaften. Die maximale Tragfähigkeit lässt sich

bereits durch die Beobachtung der Existenz von Gleichgewichtslagen bestimmen. Ist

keine Gleichgewichtslage bestimmbar, weil bspw. eine kritische Filmhöhe unterschritten

wird, so ist das Lager nicht im Stande die aufgebrachte Belastung zu tragen. Aus der

Gleichgewichtslage heraus werden auch durch angenommene Störungen die linearisier-

ten Lagerparameter bestimmt, welche die Grundlage für die Stabilitätsanalyse bilden.

Für die Gleichgewichtslage bedeutet dies, dass die Temperatur in den ihr zugrunde lie-

genden Gleichungen nicht vernachlässigt wird und somit Druckaufbau und sich einstel-

lende Filmhöhe in Abhängigkeit der Temperatur bestimmt werden. Die Temperaturbe-

stimmung im Schmierfilm basiert teilweise selbst auf den Größen wie Druck und

Schmierfilmhöhe der Gleichgewichtslage. Darüber hinaus kommt es vor allem auf den

Wärmetransport durch die umliegenden Lagerstrukturen an die Umgebung an.

Insgesamt sollen damit die sich gegenseitig beeinflussenden Größen Schmierfilmhöhe

und Temperatur erfasst werden. Die Berücksichtigung der relevanten ebenfalls tempera-

turabhängigen Werkstoffkennwerte soll den beschreibbaren Temperaturbereich erwei-

tern und die allgemeine Güte des Modells verbessern.

Da das Temperaturniveau auch stark von der Geometrie der Lagerkomponenten und

den angenommen Randbedingungen abhängig ist, soll diese parametrisiert erstellt wer-

den. Dies betrifft bspw. den Überstand der Welle zu beiden Seiten des Lagers, die Mög-

lichkeit mit Voll- und Hohlwellen rechnen zu können und Annahmen zu thermischen

Randbedingungen an den Systemgrenzen.

Im Hinblick auf einen Auslegungsprozess sollen mehrere Lastfälle, d.h. viele Kombi-

nationen aus Belastung und Drehzahl, automatisiert berechnet werden. Eine Möglich-

keit zur automatisierten Variation von für das numerische Modelle getroffenen Annah-

men bzw. zwischen einzelnen Teilmodellen würde den einfachen Vergleich zwischen

diesen ermöglichen. Das gleiche gilt für eine Variation von Geometrieparametern des

Lagers, am besten als zusätzliche Option.

Um dies zu ermöglichen, muss zwischen den verschiedenen Teilmodellen und An-

nahmen größtmögliche Kompatibilität hergestellt bzw. an allen relevanten Stellen Rück-

sicht auf mögliche spezifische Eigenheiten der Teilmodelle genommen werden. Das nu-

merische Modell soll damit in der Lage sein einen Auslegungsprozess durch eine An-

passung an die spezifische Geometrie und Randbedingungen sowie durch automatisier-

te Berechnungen über einen weiten Betriebsbereich zu unterstützen.

2 Stand der Technik

Einige Vor- und Nachteile der verschiedenen Bauformen für unterschiedliche Anwen-

dungsfälle werden bereits in der Einleitung genannt. In diesem Kapitel wird genauer auf

die Geschichte der Entwicklung und daraus entstandenen Bauformen sowie der Stand

der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften und zur Beschreibung dieser, ver-

wendeten Modelle bei GFL eingegangen.

Die Forschungsergebnisse unter Einbezug der Temperatur werden unterteilt in ein

Kapitel mit Veröffentlichungen zu experimentell ermittelten Ergebnissen und Veröffent-

lichungen von numerischen Modellen zur Beschreibung der Temperatur und/oder ihrer

Einflüsse. Enthält eine Veröffentlichung experimentelle und numerische Ergebnisse

wird versucht nach dem größeren Anteil zu entscheiden oder wird ggf. in beiden Kapi-

teln zumindest kurz erwähnt.

2.1 Geschichte und Bauformen von Gaslagern

Von Chandra et al. [26] werden 1982 die Meilensteine aus den bis dahin erschienenen

früheren Veröffentlichungen zur theoretischen Forschung an Gaslagern zusammenge-

fasst. Demzufolge entwickelten Harrison [27] aus einer Variationsrechnung bzw. Katto

und Sado [28] durch eine Transformation bereits im Jahr 1913 bzw. 1952 Lösungen für

die nichtlineare kompressible Reynolds-Gleichung für Gaslager mit angenommener un-

endlicher Breite. Diese Annahme wird von Ausman 1957 [29] durch die Berechnung

von Lösungen mit Hilfe einer Störungsrechnung für Lager von endlicher Breite fallen

gelassen und 1961 noch weiter verbessert. Im gleichen Zeitraum erarbeiten Sternlicht

und Elwell [30] sowie Raimondi [31] einem FEM-Ansatz folgend Lösungen für einen

weiten Betriebsbereich von Gaslagern mit endlicher Breite2.

Stabilitätsprobleme im Betrieb erfordern die Beschäftigung mit Methoden zur Be-

schreibung und Analyse dieser. Cheng und Trumpler [32] entwickeln dafür 1963 einen

Satz von Gleichungen zur Beschreibung der Stabilität im stationären Zustand, um diese

in der folgenden Veröffentlichung (Cheng und Pan [33]) mit Hilfe eines Galerkin-An-

satzes zu lösen. Die darin abgeleiteten Erkenntnisse zur Existenz einer Grenzdrehzahl in

Abhängigkeit von der Belastung ist heute noch gültig. Für den nominalen Lagerspalt

2 Nicht alle Schriften lagen im Original vor, weshalb hier nur die Angaben aus Chandra et al. [26] wie-

dergeben werden können.

2.1 Geschichte und Bauformen von Gaslagern

wird festgestellt, dass keine einfachen Ableitungen zu den Auswirkungen auf die Stabili-

tät getroffen werden können.

Pan [34] wiederum formuliert 1964 das Kriterium für die Stabilität in Form der kriti-

schen Masse (im Sinne einer Belastung) bei einer konstanten Drehzahl, welche zur Ver-

meidung eines Übergangs in den instabilen Bereich nicht unterschritten werden darf.

In einer verhältnismäßig anschaulichen Veröffentlichung greift Lund 1968 [35] dieses

Kriterium auf und verbindet es mit der von ihm entwickelten Störungsrechnung zur Er-

mittlung der linearisierten Lagerparameter und Stabilitätsgrenze. Es ist weiterhin das

Standardverfahren bei stationären Berechnungen.

Die bisher beschriebenen Veröffentlichungen beschäftigen sich noch mit radialen

Gaslagern mit starrer Lagerwand. Sie stellen die einfachste Bauart dar und werden in

Form von bspw. Spiralrillenlagern und Rayleigh-Stufenlagern gefertigt. Sie finden breite

Anwendung bei niedriger Belastung und wenn es auf hohe Präzision bei der Führung

ankommt. Die dabei verwendeten sehr schmalen Spalte im Verhältnis zum Durchmes-

ser, werden auf den Betrieb bei einer Drehzahl und Temperatur optimiert. Durch flieh-

kraftbedingte und thermische Aufweitung sind diese Lager empfindlich in Bezug auf

eine Veränderung des nominalen Spalts. Da bei auftretenden Schwingungen die Dämp-

fung allein aus dem Gasfilm kommen muss, steht bei diesen Lagern kaum Dämpfung

zur Verfügung, um whirl-Instabilitäten, wie sie auch an bei Öl-Gleitlagern auftreten

können, im Betriebsbereich zu vermeiden.

Um die auftretenden Beschränkungen zu überwinden, wurden mit der Entwicklung

von Gasfolienlager mit nachgiebiger Lagerschale begonnen. Durch die Nachgiebigkeit

dieser Folienstruktur können diese auf Ausrichtungsfehler und Fertigungstoleranzen re-

agieren, indem sich die Lagerwand unter der Druckbelastung verformt. In gewissen

Grenzen gilt dies auch für Spaltveränderungen durch Fliehkraft und Temperatur im Be-

trieb. Gleichzeitig stellt die Verformung der Folien und die Reibung zwischen ihnen

eine Quelle zusätzlicher Dämpfung zur Verbesserung der Stabilität im Betrieb dar. Die

Modelle zur mathematischen Beschreibung werden entsprechend komplexer, da nun

eine gegenseitige Beeinflussung zwischen dem Druckaufbau im Schmierfilm und der

Geometrieänderung des Schmierfilms aufgrund der Verformung der nachgiebigen Foli-

enstruktur vorliegt.

Eine ausführliche Darstellung der Geschichte der Entwicklung von GFL findet sich in

[36] und noch ausführlicher im dazugehörigen Vortrag [37]. Dort wird angegeben, dass

die erste Erwähnung tragfähiger Gasfilme und Entwicklung vermutlich Ende der

1950er-Jahre und Anfang der 1960er-Jahre in den Laboren von IBM stattfand. Es wer-

2.1 Geschichte und Bauformen von Gaslagern

den die Namen Baumeister als Namensgeber und Gross als Entwickler erster mathema-

tischer Modelle und Autor des Buchs „Gas Film Lubrication“ genannt.

Konstruktiv wurde die nachgiebige Lagerstruktur zunächst durch mehrere über den

Umfang verteilte, auf Zug belastete Metallbänder umgesetzt. Diese wurden bei Lagern

des leaf-spring-Typs und des bump foil-Typs schnell durch auf Biegung belastete Ele-

mente ersetzt [36]. Daneben existieren auch noch exotischere Bauformen mit Metall-

schwämmen als nachgiebige Struktur [38, 39]. Eine Übersicht zu den Bauformen wird

in Abb. 2.1 gegeben.

Lager des leaf-spring-Typs wurden Mitte der 1960er-Jahre von Garrett AiResearch bis

zur Praxisreife für den Einsatz in Kühlturbinen bei Luftfahrtanwendungen entwickelt,

wo sie weite Verbreitung fanden und sich bewährten [5, 6]. Fortan bilden aber Lager des

bumpfoil-Typs den Schwerpunkt der Forschung und Entwicklung. Bei Lagern dieses

Typs wird die nachgiebige Struktur aus einer gewellten Metallfolie (engl. bump foil),

welche von einer glatten Folie (engl. top foil) abgedeckt wird, gebildet3. Die geometri-

3 Da Veröffentlichungen zum Thema Gasfolienlager (fast) ausschließlich in Englisch verfasst werden

und keine äquivalenten anerkannten Begriffe in der deutschen Sprache bekannt sind, werden im weite-

ren Verlauf der Arbeit die englischen Begriffe top foil und bump foil sowie bump für die einzelnen Bö-

gen der bump foil verwendet.

Abb. 2.1: Darstellung der Bauformen in Anlehnung an [36]. Die bump foil-Unterteilungen sind im abgewi-

ckelten Zustand dargestellt.

leaf-spring

Bauformen

Generation 1 Generation 2 und 3

bump foil(s)

Befestigung

top foil

Lagerschale

Rotor

mixing

leafs

metal mesh

Metall-

schwamm

bump foil

-Typ

-Zone

in axialer Richtung

-Unterteilung bump foil

in axialer und Umfangsrichtung

-Unterteilung

2.1 Geschichte und Bauformen von Gaslagern

schen Eigenschaften der bump foil bestimmen im Wesentlichen die Höhe der Nachgie-

bigkeit. Die top foil bildet eine glatte, runde Oberfläche und verteilt den im Schmierfilm

herrschenden Druck auf die darunter liegenden bumps. Zur Verbesserung des Anlauf-

verhaltens und der Langlebigkeit sind diese häufig beschichtet [1, 2].

Um eine weitere Steigerung der Tragfähigkeit zu erreichen, wurden diverse Modifika-

tionen zur Veränderung der lokalen Steifigkeit entwickelt und auf die Geometrie der

bump foil angewendet. In [36] werden die Lager in Generationen, basierend darauf in

wie vielen Richtungen die Steifigkeit der bump foil durch Anpassung der Geometrie va-

riiert wird, unterteilt. GFL der ersten Generation weisen eine in axialer und Umfangs-

richtung gleichbleibende Steifigkeit auf. Für GFL der zweiten Generation wird die Stei-

figkeit entweder in axialer oder Umfangsrichtung angepasst. In axialer Richtung kann

die bump foil dazu bspw. in mehrere Streifen mit unterschiedlichen Abständen zwischen

den Bögen der bumps unterteilt werden. Auch in Umfangsrichtung ist eine Unterteilung

in einzelne pads möglich. Alternativ kann der bump-Radius auch kontinuierlich entlang

des Umfangs variiert werden [8, 40]. Die dritte Generation umfasst GFL bei denen eine

Kombination dieser Möglichkeiten vorliegt, also die Steifigkeit sowohl in axialer als

auch in Umfangsrichtung variiert wird. Daneben gibt es noch weitere, weniger verbrei-

tete Bauweisen, wie bspw. übereinander gestapelte bump foils [41] oder eine versetzte

Anordnung von Unterteilungen. Bei der Verwendung mehrere Streifen und/oder pads

könnten prinzipiell noch weitere grundlegende Maße, wie die foil-Dicke oder sogar der

Werkstoff geändert werden. Durch die Kombinationsmöglichkeiten dieser Modifikatio-

nen steht damit eine fast unbegrenzte Anzahl an Optionen zur Beeinflussung der loka-

len Steifigkeit zur Auswahl.

Da radiale GFL keine axialen Kräfte aufnehmen können, wurde bereits früh auch mit

der Forschung an axialen GFL, als weitere Bauform, begonnen. Garrett AiResearch ent-

wickelte ab Mitte der 1960-Jahre für die angesprochenen Luftfahrtanwendungen auch

ein axiales GFL [3]. Bereits 1983 wird in [42] ein numerisches Modell für ein axiales

GFL entwickelt und analysiert. Obwohl die Forschung an den beiden Lagerarten teilwei-

se parallel betrieben wurden, bleibt der Forschungsstand zu axialen Gasfolienlagern

noch hinter dem der radialen zurück. Für weiterführende Details zur Geschichte, dem

Stand der Forschung und den Eigenschaften von axialen GFL, wird auf die Dissertation

von Lehn [43] und die Dissertation von Pronobis [44] verwiesen.

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden

Eigenschaften der GFL

Einige der wegweisenden Veröffentlichung sind bereits in den Absätzen zur Geschichte

der technischen Entwicklung von GFL erwähnt. In diesem Unterkapitel werden allge-

meine Forschungsergebnisse ohne konkrete Berücksichtigung der Temperatur, grob un-

terteilt in mathematische Modelle zur Beschreibung der nachgiebigen Lagerstruktur

und den dazu durch geführten Messungen, sowie Berechnungsmethoden zur Bestim-

mung der Lagerparameter und dazu durchgeführten Experimenten, dargestellt. In eini-

gen Fällen können Überschneidungen vorliegen, wenn bspw. ein Strukturmodell auch

zur Berechnung von Lagerparametern verwendet wird.

2.2.1 Strukturmodelle zur Beschreibung der bump foil

Ein Teilbereich der Forschung beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung

der nachgiebigen bump-Struktur. In den beiden Veröffentlichungen zu radialen und axi-

alen GFL von 1983 [8] wird die auf Energiemethoden basierende analytische Beschrei-

bung eines einzelnen bumps von [45] verwendet, um die bump-Struktur als elastische

Bettung mit einer uniformen, verteilten, linearen Steifigkeit abzubilden. Dieses Modell

bildet die Grundlage für Modelle aus der Kategorie der elastischen Bettung (engl. simple

elastic foundation model, SEFM). Trotz der Vernachlässigung einiger Effekte, wie der

Reibung und der Interaktion zwischen bumps sowie den Verzicht auf eine detaillierte

Modellierung der top foil (es wird angenommen, dass diese permanent aufliegt und der

Verformung der bumps folgt), kann das grundsätzliche Verhalten der bump foil damit

beschrieben werden. Es werden Formeln zur Berechnung von Lagerparametern angege-

ben und die Auswirkungen eines solchen SEFM auf den Verlauf und Lage der minima-

len Filmhöhe gezeigt. Im Gegensatz zu starren Gaslagern mit einer klar definierten und

über die Breite konstanten minimalen Filmhöhe, liegt bei GFL mit nachgiebiger Lager-

struktur die minimale Filmhöhe, da sie sich der Druckverteilung anpasst, zumeist am

Rand vor.

In einer weiterführenden Arbeit [40] wird das Modell um Reibungseffekte erweitert.

Es werden die Auswirkungen von theoretischen Einheitsbelastungen auf die Verschie-

bungen von isoliert betrachteten bump-Streifen bei Variation des Reibungskoeffizienten

und weiteren Geometrieparametern gezeigt. Ergänzend dazu werden in [46] statische

Belastungsmessungen an einzelnen bump-Streifen durchgeführt und die Ergebnisse für

die dabei ermittelte Steifigkeit mit guter Übereinstimmung mit den theoretischen Be-

rechnungen verglichen. Als Grund für das nichtlineare Steifigkeitsverhalten bei niedri-

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL

gen Belastungen, wird der dabei unzureichende Kontakt zwischen einzelnen bumps und

top foil und Lagerschale identifiziert.

Die in [47] vorgeschlagene zusätzliche Berücksichtigung der Membranspannung hat

sich nicht durchgesetzt. Es wird ihr allerdings die Verhinderung der axialen Variation

der Durchsenkung zugeschrieben. In vielen späteren Veröffentlichung wird deshalb in

guter Näherung von einer in axialer Richtung konstanten Filmhöhe ausgegangen.

Zur Bestimmung von anregungsfrequenzabhängigen Lagerparametern wird der Stei-

figkeits- bzw. Nachgiebigkeitskoeffizient des SEFM nach [42] von [48] um einen Struk-

turverlustfaktor erweitert. Die Auswirkungen wurden in Darstellungen der Lagerpara-

meter über der Anregungsfrequenz bei variiertem Strukturverlustfaktor gezeigt.

In [49] werden ebenfalls Reibungseffekte zwischen den bumps und der top foil sowie

der Lagerschale berücksichtigt. Zusätzlich wird zwischen einseitig fixierten bumps (wie

sie an der Befestigung vorkommen) und beidseitig frei verschiebbaren bumps unter-

schieden. Es wird vorgeschlagen zwischen den sich daraus ergebenden unterschiedli-

chen Steifigkeiten zu interpolieren. Ein Vergleich mit Steifigkeitswerten aus statischen

Lastmessungen ergibt erst bei höheren Lasten gute Übereinstimmung. Die Abweichun-

gen bei niedrigen Lasten werden ebenfalls durch den bereits genannten Grund des un-

zureichenden Kontakts begründet.

Zur Reduktion der SEFM-Annahmen wird in [50] die top foil durch eine FE-Model-

lierung in zwei Varianten, 1D-Balkenelemente und 2D-Schalenelemente, abgebildet.

Damit ist prinzipiell eine Durchsenkung in den bump-Zwischenräumen möglich. Die

Verwendung in dieser Form hat sich nicht durchgesetzt. Vermutlich, weil im Vergleich

mit Messwerten zur minimalen Filmhöhe aus [51], die 1D-Balkenelemente nur eine

sehr geringe Änderung ergeben und sich für die Ergebnisse der 2D-Schalenelemente

kein eindeutiges Verhalten in Bezug auf eine Verbesserung feststellen lassen4. Außerdem

macht der Einbau des FE-Modells den größten Vorteil der SEFM, die schnelle kurze Be-

rechnungsdauer, zunichte.

Allen bisher besprochenen SEFM (außer bei Integration einer FE-top foil) ist gemein,

dass sie sich sehr schnell berechnen lassen. Der Verzicht auf eine Berücksichtigung der

Interaktion zwischen den bumps ermöglicht es alle Eigenschaften in einem die verteilte

Nachgiebigkeit darstellenden Koeffizienten zu erfassen. Die Verformung berechnet sich

dann durch eine einfache Multiplikation dieses Koeffizienten mit der lokalen Druckdif-

ferenz. Dies ist deutlich schneller als die Lösung eines weiteren Gleichungssystems. Ins-

besondere für die schnelle Berechnung von statischen Ruhelagen, in denen davon aus-

4 Es wurde außerdem ein anderer als in [51] angegebener nominaler Spalt von 20µm (statt 31,8µm)

verwendet.

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL

gegangen wird, dass keine (oder nur noch geringe) bump-Interaktionen stattfindet, eig-

nen sich SEFM auch weiterhin.

Komplexere Strukturmodelle aus der Kategorie der link-spring-Modelle bilden die

bump-Struktur durch eine Federschaltung ab. Die top foil wird auch bei diesen Model-

len als der bump-Verformung folgend angenommen. Die bump foil wird dazu in einzel-

ne Federn unterteilt, deren Steifigkeitskoeffizienten durch eine energetische Betrachtung

für verschiedene Einspannungsbedingungen bestimmt werden. Um zu prüfen welche

Einspannungsbedingung vorliegt, werden die Reibungskräfte an den bump-Füßen und

am Übergang zur top foil iterativ bestimmt und so der Verschiebungszustand ermittelt.

In [52] wird ein solches Modell mit drei Federn und sechs Freiheitsgraden pro bump

präsentiert und das Modell in einer nachfolgenden Veröffentlichung um dynamische Ei-

genschaften [53] erweitert. Das Modell in [54] verwendet eine reduzierte Beschreibung

mit nur noch einer Feder pro bump, ist aber nicht minder komplex. In Vergleichsrech-

nungen zeigen beide Modelle gute Übereinstimmung miteinander als auch im Vergleich

mit den Messergebnissen zur minimalen Filmhöhe aus [51].

Das Modell in [52] wird in einer recht aktuellen Veröffentlichung [55] von 2019 um

die Möglichkeit zur Berücksichtigung von nicht geschlossenen Kontakten zwischen

bump foil und top foil und Lagerschale erweitert. Ein Abheben der Bauteile voneinander

wird damit erlaubt und die Analyse von Fertigungsfehlern bei der bump-Höhe wird er-

möglicht. In einem Vergleich mit den Messergebnissen zur minimalen Filmhöhe aus

[51] wird gute Übereinstimmung erreicht, aber keine klare Verbesserung gegenüber be-

reits bestehenden Modellen [56]. Gerade bei niedrigen Belastungen ergeben sich sogar

höhere Abweichungen.

Die nächste Stufe bei der Steigerung des Detailgrads in der Abbildung der bump foil

stellen FE-basierte Strukturmodelle dar. Die Modelle gehen zunächst auch von einer in

permanentem Kontakt mit der bump foil stehenden top foil und einer konstanten Ver-

formung in axialer Richtung aus. In [57] werden FE-Stab- und Balkenelemente für die

bump foil verwendet und damit stationäre und transiente Orbits für unwuchtige Roto-

ren berechnet. In [58] wird die bump foil als ein zweidimensionales FE-Modell aus Plat-

tenelementen zusammengesetzt und damit Hysteresekurven der Verformung bei dyna-

mischer Belastung berechnet. Diese werden mit guter Übereinstimmung mit den eben-

falls durchgeführten Messungen verglichen. In [59] werden dicke Schalenelemente ver-

wendet und dadurch auf die Annahme der konstanten Verformung in axialer Richtung

verzichten werden5.

5 In der genannten Veröffentlichung geht es um axiale GFL. Dort ist es die radiale Richtung.

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL

Während die Verformungen eines einzelnen bumps bei den FEM-Modellen immer noch

ähnlich zum analytischen Ansatz aus [45] ist, sind insbesondere die Ansätze zur Be-

rücksichtigung von stick-slip-Effekten bei den Reibungskräfte (und damit der Dämp-

fung) interessant. In [57] wird ein eigener iterativer Algorithmus verwendet. In [58]

wird ein nichtlineares Federelement mit von der Dehnung abhängiger Steifigkeit formu-

liert. In [59] wird eine penalty-Methode verwendet.

In einer aktuellen Entwicklungen wird in [60] ein neuer Ansatz zur Beschreibung der

bump foil gezeigt. Durch eine modale Entkopplung werden die Eigenformen extrahiert.

Diese müssen dazu allerdings zunächst durch ein FEM-Programm berechnet werden.

Liegen sie für eine konkrete bump foil-Geometrie berechnet vor, so kann die Gesamt-

verformungsantwort auf eine Kraft(-anregung) durch die Überlagerung der Eigenfor-

men ermittelt werden. Bei der Berechnung der minimalen Filmhöhe zeigt das Modell

vergleichbare Übereinstimmung mit den Messergebnissen aus [51], wie die anderen be-

reits besprochenen Strukturmodelle. Obwohl noch mit einer äquivalenten viskosen Rei-

bung gerechnet wird, werden Andeutungen zu Integrationsmöglichkeiten von Cou-

lombscher Reibung gemacht.

2.2.2 Lagerparameter und Stabilitätsbetrachtung

Als Lagerparameter werden die Steifigkeits- und Dämpfungswerte eines Lagers in Reak-

tion auf eine (periodische) Belastung bezeichnet. Sie werden verwendet, um im Rahmen

einer rotordynamischen Betrachtung eine Aussage zur Stabilität machen zu können. Die

experimentelle Ermittlung und theoretische Berechnung rückten dementsprechend

früh in den Fokus der Forschung zu GFL.

Die an starren Gaslagern entwickelten mathematischen Modelle zur Ermittlung der

Lagerparameter und Stabilitätsgrenze werden bereits in Kapitel 2.1 zur Geschichte kurz

angerissen. Aus diesen sticht insbesondere die Veröffentlichung von Lund [35] heraus.

Mit diesem, oder sehr vergleichbaren Ansätzen, werden in [47, 61–63] linearisierte, von

der Belastung, Drehzahl und Anregungsfrequenz abhängige Steifigkeits- und Dämp-

fungsparameter ermittelt.

Auf experimenteller Seite wird in [64–66] eine Messmethode zur Identifikation der

Lagerparameter an einer nicht rotierenden Welle entwickelt und eine Amplituden- und

Frequenzabhängigkeit der Parameter festgestellt.

In [19] wird der Lundsche Ansatz ebenfalls verwendet und auch die Einsatzdrehzah-

len der Instabilität berechnet. Die Ergebnisse werden mit denen aus transienten Berech-

nungen verglichen. Dabei zeigt sich, dass die mittels des linearen Ansatzes berechneten

Eigenfrequenzen des Rotor-Lager-Systems gute Übereinstimmung zeigen, die Einsatz-

2.2 Stand der Forschung zu den grundlegenden Eigenschaften der GFL

drehzahl der Instabilität hingegen jedoch nicht. In [67, 68] wird wiederum gute Über-

einstimmung von mit linearisierten Lagerparametern berechneten mit gemessenen Ein-

satzdrehzahlen bei leicht belasteten GFL festgestellt. Diese Diskrepanz in den Aussagen

und die auftretenden Abweichungen führten zu weiteren Untersuchungen in diesem

Bereich. In [69] wird ebenfalls ein Vergleich zwischen linearisiert und transient berech-

neten Einsatzdrehzahlen mit weitestgehend guter Übereinstimmung durchgeführt. Grö-

ßere Abweichungen liegen bei hochbelasteten Lagern vor. Eine ergänzende experimen-

telle Ermittlung bestätigte die Einsatzdrehzahl [70].

In [71] wird dies ebenfalls zum Anlass genommen den Unterschieden im Detail auf

den Grund zu gehen. In einem akribischen Vergleich konnten, auch für den Autor über-

raschend, signifikante Unterschiede zwischen dem auf linearisierten Lagerparametern

basierenden und dem transienten Verfahren identifiziert werden. Da die größten Ab-

weichungen zumeist bei hohen Belastungen zu Tage treten, wird die Vermutung aufge-

stellt, dass die Unterschiede aus der Vernachlässigung der Auswirkungen der Struktur-

verformung auf den Stördruck stammen.

In einer sehr aufwendigen Erweiterung der (ohnehin schon komplexen) Lundschen

Störungsansätze werden diese in [72] entsprechend erweitert und dadurch die genannte

Vermutung überprüft. Während sich für quasi starre Lager, wie erwartet, fast keine Un-

terschiede ergeben, zeigt sich für relativ weiche Lager eine deutliche Reduktion der Ab-

weichungen zwischen linearisiertem und transientem Verfahren.

In [73] werden die Unterschiede hingegen auf eine formal unterschiedliche Formulie-

rung der Dämpfung zwischen den beiden Ansätzen zurückgeführt. Durch eine Modifi-

kation des üblicherweise verwendeten Nachgiebigkeitskoeffizienten, gelingt es die Ab-

weichungen zwischen den linear und transient berechneten Einsatzdrehzahlen deutlich

zu verringern. Bei hohen Belastungen und weicher bump-Struktur, also hohen Durch-

senkungen, verbleiben allerdings weiterhin die größten Abweichungen.

Durch eine Kombination der beiden zuletzt genannten Verfahren in [74] können

auch diese Abweichungen eliminiert werden.

2.3 Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und

ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur von GFL laufen in den meisten Fällen

nach einem ähnlichen (Referenz-)Schema ab: Belastung und Drehzahl werden variiert

und dabei die Temperatur (und ggf. weitere Messwerte von Interesse) an einer oder

2.3 Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

mehrere Stellen im oder am GFL aufgezeichnet. Einzelne Untersuchungen arbeiten zu-

sätzlich mit eingeleiteter Kühlluft oder variierenden Umgebungstemperaturen.

In einer wegweisenden Messkampagnen nach diesem Schema werden bereits 1978 in

[51] Messungen an Lagern mit zwei verschiedenen nominalen Spalten durchgeführt.

Bei den Messungen zur Ermittlung der Tragfähigkeit durch Steigerung der Belastung

bei konstanten Drehzahlen wurden nicht nur die Temperaturen aufgezeichnet, sondern

auch, in einer (nach Kenntnisstand des Autors) von anderen Wissenschaftlern nie mehr

wiederholten Messung, die Filmhöhe über den Umfang an zwei Positionen im Betrieb

gemessen und daraus die minimalen Filmhöhen extrahiert. Die Daten bieten die einma-

lige Möglichkeit gleichzeitig mit den beiden sich gegenseitig stark beeinflussenden Grö-

ßen minimale Filmhöhe und Temperatur zu vergleichen (und das für zwei nominale

Spalte). Darüber hinaus wird die Tragfähigkeit bei erhöhter Umgebungstemperatur und

Verwendung von Kühlluft untersucht. Die in dieser Arbeit verwendete Lager- und

bump foil-Geometrie sowie der Vergleich mit den ermittelten Daten haben sich zu einer

Referenz im Bereich der GFL-Forschung entwickelt. Auch in der vorliegenden Disserta-

tionsschrift wird mit den Daten aus [51] verglichen.

Während eine höhere Tragfähigkeit von GFL bei Steigerung der Drehzahl logisch er-

scheint, lieferte die Untersuchung in [10] kein eindeutiges Ergebnis. Es wird das Ver-

lustmoment und die Tragfähigkeit zwischen Umgebungstemperaturen von 20°C bis

70°C bei Drehzahlen bis zu 70000min-1 untersucht. Dabei wird zunächst eine steigende

Tragfähigkeit bei höheren Umgebungstemperaturen festgestellt, was durch die ebenfalls

gestiegene Viskosität der Luft begründet wird. Allerdings nimmt die Tragfähigkeit bei

weiterer Erhöhung der Umgebungstemperatur nicht mehr zu, sondern ab. Als Begrün-

dung wird die Abnahme des E-Moduls des bump foil-Werkstoffs angegeben. Beide Be-

gründungen werden in späteren Veröffentlichungen teilweise zitiert.

In [75] werden für zwei recht große Lager mit unterschiedlichem nominalen Spalt

Belastungen zwischen 355N und 1800N und Drehzahlen bis 30000min-1 untersucht.

Während den Temperaturmessungen wird das Lager von axial eingeleiteter Kühlluft

durchströmt. Im Vergleich mit einem ebenfalls entwickelten Berechnungsmodells erge-

ben sich Abweichungen zwischen rund 8% und 20%.

Bei Untersuchungen zu den Auswirkungen des nominalen Spalts auf die Tragfähig-

keit wird in [76] bereits festgestellt, dass es bei GFL mit kleinem nominalen Spalt zum

Versagen aufgrund der thermischen Aufweitung des Rotors kommen kann. Ab einer ge-

wissen Temperatur bzw. Schmierfilmhöhe nimmt der Mechanismus einen sich selbst

verstärkenden Charakter an: Die geringe Schmierfilmhöhe ist die Ursache für die Wär-

meproduktion im Schmierspalt, welcher durch die Aufweitung der Welle weiter verrin-

2.3 Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

gert wird, was zu einer Steigerung der Temperatur führt. Die steigende Viskosität von

Gasen bei höheren Temperaturen verstärkt den Effekt. Obwohl keine klassische Instabi-

lität im rotordynamischen Sinne, ist dies ein Anzeichen, dass die Temperatur bei der

Auslegung von GFL nicht vernachlässigt werden kann, wenn aus welchen Gründen

auch immer ein erhöhtes Temperaturniveau zu erwarten ist.

Nachdem ein solches Versagen bei Untersuchungen in [76] auftrat, wird es in [77] im

Detail untersucht. Als Gründe für das Versagen wird der Betrieb eines ungeeigneten

GFL-Designs in einem extremen Belastungszustand identifiziert: Es wurde eine sehr

dünnwandige Hohlwelle verwendet, was zum einen zu einer hohen Fliehkraftaufwei-

tung und zum anderen für einen schlechten Wärmeabtransport in axialer Richtung

sorgte6. Diese Kombination führte zu hohen Temperaturgradienten in axialer Richtung

und einer axial sehr ungleichmäßigen thermischen Aufweitung der Welle. In Konse-

quenz dieser Erkenntnisse lautet die Schlussfolgerung, dass die Berücksichtigung der

Temperatur, speziell bei Leichtbaukonstruktionen mit Hohlwellen, eine entscheidende

Rolle für den sicheren Betrieb von GFL spielt.

Eine weitere häufig zitierte Quelle von Messwerten sind die Untersuchungen in [78].

Nach dem angesprochenen Referenzschema werden die Belastungen über einen beson-

ders weiten Bereich von Belastungen (9N–222N) und Drehzahlen (20000min-1 –

50000min-1) variiert. Eine Besonderheit stellt die Anzahl der Messpositionen dar. Es

wurden neun Thermoelemente axial und entlang des Umfangs im Bereich der höchsten

Belastung verteilt. Damit lässt sich nicht nur eine mittlere Temperatur für das Lager,

sondern auch eine Temperaturprofil im gemessenen Bereich angeben. Eine externe Er-

wärmung oder Kühlung des Rotors oder der Umgebungstemperatur fand nicht statt.

Die Temperaturentwicklung im Schmierfilm ergab sich rein aus der Eigenerwärmung

durch die viskose Dissipation.

In [79] werden die Temperatur für zwei GFL mit unterschiedlichen nominalen Spal-

ten für jeweils drei Belastungen (58,9N, 78,5N, 98,1N) und Drehzahlen (5000min-1,

10000min-1, 15000min-1) gemessen. Sie wird für vier über den Umfang verteilten Mess-

positionen (45–315°) auf der Außenseite der Lagerschale erfasst. Obwohl die Messpo-

sitionen damit etwas weiter vom Schmierfilm entfernt sind, lässt sich eine Variation der

Temperatur über den Umfang mit einem Maximum im hochbelasteten Bereich feststel-

len. Auch die Temperatur auf der Wellenoberfläche vor und hinter dem Lager wird

durch Infrarotthermometer gemessen.

6 Im konkret beschriebenen Versagensfall führte eine zum Auswuchten eingebrachte Schraube zu einer

zusätzlichen lokalen Fliehkrafterhöhung, sodass es zu einem lokalen (statt eines über den gesamten

Umfang verlaufenden) Kontakt zwischen Welle und top foil kam. Der Schaden bestand letztlich in ei-

nem an dieser Stelle eingebrannten Loch in der Welle.

2.3 Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

Neben den Messkampagnen zur Tragfähigkeit und der Temperaturentwicklung werden

auch Experimente zur Ermittlung der Steifigkeits- und Dämpfungsparameter unter Be-

rücksichtigung der Temperatur durchgeführt. Dabei ist zum einen zwischen Messungen

mit statischer oder dynamischer Belastung (Anregung) und zum anderen auch zwi-

schen Messungen an isoliert betrachteten bump-Streifen und stillstehenden sowie rotie-

renden Rotoren unterschieden worden. Entsprechend werden statische oder dynami-

sche Parameter ermittelt.

In [13] werden die statische Steifigkeit in vertikaler Richtung bei verschiedenen Dreh-

zahlen und Umgebungstemperaturen bis 550°C ermittelt. Koppelsteifigkeiten und -

dämpfungen werden nicht gemessen. In einer ergänzenden Veröffentlichung [80] wer-

den auch Messergebnisse für die dynamische Steifigkeit und Dämpfung in vertikaler

Richtung angegeben. Es wird eine sinkende Steifigkeit mit zunehmender Temperatur

festgestellt. Während die Steifigkeiten mit guter Genauigkeit erfasst werden, weisen die

Dämpfungen recht große Messfehlertoleranzen auf.

In [81] werden die an einem isolierten bump-Streifen gemessenen Steifigkeits- und

Dämpfungswerte über eine Temperaturbereich von 20°C bis 500°C mit guter Überein-

stimmungen mit einer entsprechenden FEM-Berechnung (mit Berücksichtigung der

temperaturabhängigen Werkstoffwerte) verglichen. Für beide wird ein deutlicher Abfall

bei steigender Temperatur festgestellt.

In [11] werden Messungen zur Ermittlung der statischen und dynamischen Steifigkeit

an einem stillstehenden, aber beheizbaren Rotor durchgeführt. Bei Fremderwärmung

des Rotors wird eine sinkende statische Steifigkeit festgestellt. Während bei der dynami-

schen Steifigkeit zunächst ein Anstieg vorliegt, sinkt sie wiederum bei steigender Tem-

peratur. Beides wird mit der überproportionalen thermischen Aufweitung der Lager-

schale gegenüber dem Rotor begründet. Die äquivalente viskose Dämpfung sinkt mit

steigender Temperatur.

Für einen Lastfall von 30N bei 12000min-1 werden in [82] die dynamischen Lagerpa-

rameter für Anregungsfrequenzen von 120Hz bis 180Hz und einer Wellentemperatur

(beheizt) von rund 50–190°C ermittelt. Bei Steigerung der Temperatur wird für die

Hauptsteifigkeit Kxx ein Anstieg, für Kyy keine Veränderung festgestellt. Bei die Dämp-

fungen Dxx und Dyy zeigt sich eine deutliche Verringerung. Für die Koppelsteifigkeiten

und -dämpfungen lässt sich kein klares Muster erkennen.

Um eine Abhilfe gegen auftretende axiale Temperaturgradienten zu finden, werden in

verschiedenen Veröffentlichungen Methoden zur Kühlung mittels eingeleiteter Kühlluft

untersucht. In [83] werden drei Einbringungsarten der Kühlluft verglichen. Zwei der

Methoden kühlen über eine direkte oder indirekte Einleitung in die Hohlwelle. Die drit-

2.3 Experimentelle Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

te, welcher die beste Reduktion der axialen Gradienten attestiert wird, durch eine direk-

te Durchströmung der bump foil (und damit vermutlich zum Teil auch den Schmier-

film).

Statt einer axialen Einbringung, wird in [84] die Einleitung der Kühlluft durch eine

radiale Bohrung im Bereich der top und bump foil-Befestigung untersucht. Die Tempe-

raturen werden für die Kombinationen aus drei Drehzahlen und Mengen an einge-

brachter Kühlluft an drei Messpositionen in axialer Richtung gemessen. Aus den Mess-

werten wird direkt der damit erreichte maximale Temperaturgradient berechnet. Wie

erwartet, lässt er sich durch den höchsten Kühlstrom auf den niedrigsten Wert senken.

In [85] wird die Welle extern beheizt und eine begrenzte Wirksamkeit der GFL-Küh-

lung bei niedrigen Wellentemperaturen, aber eine effektive bei hohen Wellentemperatu-

ren festgestellt.

Generell kann aus allen Veröffentlichungen mit Durchströmung geschlossen werden,

dass eine Kühlung mittels eingebrachter Luft möglich und dem Abbau axialer Gradien-

ten förderlich ist, woraus sich eine gleichmäßigere thermische Ausdehnung ergibt. Da-

bei ist aber zu bedenken, dass je nach konkretem Anwendungsfall möglicherweise keine

ausreichend kalte Luft zur Verfügung steht bzw. deren Entnahme aus einem Turbopro-

zess den Wirkungsgrad dieses Prozesses verschlechtern kann. Werden externe System

zur Bereitstellung von Kühlluft benötigt, entfällt einer der möglichen Vorteile von GFL

prinzipiell ohne externe Systeme betrieben werden zu können.

Im in dieser Arbeit entwickelten numerischen Modell wird zwar die Möglichkeit ei-

ner axialen Durchströmung (sowohl der bump foil als auch einer möglichen Hohlwelle)

vorgesehen und auch die notwendigen Wärmeübergangskoeffizienten aus geeigneten

empirischen Modellen ermittelt, letztendlich wird sich aber auf die Validierung und Un-

tersuchung eines Modells ohne Durchströmung konzentriert7.

2.4 Numerische Untersuchungen zur Temperatur und

ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

Bei numerischen Berechnungen besteht die Schwierigkeit in der Kopplung der sowohl

druck- als auch temperaturabhängigen Reynolds-Gleichung (Gl. 3.9) mit der Energie-

gleichung, welche den Energietransport und damit die Temperaturverteilung im Fluid-

film des Lagers beschreibt. Das Standardvorgehen zur Kopplung von Reynolds-Glei-

chung und Energietransportgleichung ist eine iterative Lösung der jeweiligen Gleichung

7 Bei der Vorstellung der numerischen Modelle zur Beschreibung der Wärmeströme wird die Imple-

mentierung einer axialen Durchströmung dennoch in einem kurzen Vergleich demonstriert.

2.4 Numerische Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

unter Verwendung der Ergebnisse aus dem letzten Berechnungsschritt der jeweils ande-

ren, bis eine Fehlergrenze unterschritten ist.

In [86] wird 1960 für ein unendlich breit angenommenes Lager bei gleicher Tempera-

tur für Rotor und Lagerschale gezeigt, dass kein Temperaturgradient in axialer und radi-

aler Richtung vorliegt. Darauf basierend, wird bei vielen numerischen Berechnungen

immer noch von isothermem Verhalten ausgegangen. Beide Voraussetzung bedeuten al-

lerdings eine starke Einschränkung der Gültigkeit und wie die im vorangegangenen Ka-

pitel 2.3 beschriebenen Experiment und Messergebnisse gezeigt haben, können bei GFL

durchaus hohe Temperaturen (bis zum Versagen) auftreten.

Durch eine adiabat betrachtete Reynolds-Gleichung, mit Berücksichtigung einer vari-

ablen Viskosität, und einer davon entkoppelt gelösten Energietransportgleichung, ge-

lingt es in [87] dimensionslose Temperaturanstiege, unabhängig vom verwendeten

Schmierstoff, für Axiallager zu berechnen. Die Entkopplung geschieht über die Ver-

nachlässigung der Druckgradienten in der Schmierströmung, welche dadurch zu einer

Couette-Strömung wird8.

In [75] wird diese, nun Couette-Approximation genannte, Methode verwendet, um

den Temperaturverlauf über den Umfang eines GFL zu berechnen. Dazu wird eine

Energiebilanz über die ein- und ausströmenden Wärmeströme für den Schmierfilm auf-

gestellt. Als Voraussetzung für die Bilanz wird angegeben, dass der Wärmeabtransport

an den Randbedingungen nur linear verteilt erfolgen darf und die Wärmeleitung im

Schmierfilm vernachlässigbar ist. Die damit ermittelten maximalen Temperaturen (in

der Lagermitte) werden mit den bereits beschriebenen Messwerten aus [20] verglichen.

Mit der Methode aus [75] wird in [21] die Temperaturverteilung über den Umfang in

der Lagermitte berechnet, um diese, wie bereits in [75] vorgeschlagen, in axialer Rich-

tung zu erweitern. Als Randbedingung für die Energietransportgleichung in axialer

Richtung wird davon ausgegangen, dass das Lager im Bereich subambienten Drucks an

den Rändern Luft mit Umgebungstemperatur einzieht. Damit werden die Abweichun-

gen zwischen der Berechnung und den experimentellen Daten aus [20] verringert. In

hohen Drehzahlbereichen wird eine gesteigerte Tragfähigkeit bei Berücksichtigung der

Temperatur gegenüber einem isotherm berechneten GFL festgestellt.

In [88] wird ein dreidimensionales Modell zur Berechnung der Temperaturverteilung

im Fluidfilm entwickelt. Als Neuerung wird das Konzept einer mixing-Zone im Bereich

der Befestigung von top und bump foil aus [89] aufgegriffen und eingeführt. In dieser

vermischt sich die rezirkulierende Luft mit seitlich einströmender Umgebungsluft. Über

8 Sowohl der Druckgradient in axialer als auch Umfangsrichtung wird bei der Couette-Strömung ver-

nachlässigt.

2.4 Numerische Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

eine Massenstrombilanz wird die Temperatur für die Randbedingung am Einlass der

top foil bestimmt. Die Randbedingungen in radialer Richtung werden nicht mehr als

Temperatur gesetzt, sondern werden durch die Wärmeströme durch die Welle und die

Lagerschale und erst von dort an die Umgebung gebildet. Die fliehkraftbedingte und

thermischen Aufweitung wird ebenfalls berücksichtigt. Abschließend werden Auswir-

kungen der Temperatur auf die linearisierten Lagerparameter untersucht und ein An-

stieg von Steifigkeit und Dämpfung bei Berücksichtigung der Temperatur und hohen

Drehzahlen dokumentiert.

In [90] wird das Konzept der mixing-Zone von [88] mit einem Modell sehr ähnlich

dem aus [21] kombiniert. Die Berechnung der Temperatur erfolgt getrennt in radialer,

axialer und umlaufender Richtung und wird erst durch ein iteratives Vorgehen ins

Gleichgewicht gebracht. Der Übergang zum Rotor wird adiabat angenommen. Obwohl

von einer (sehr) guten Übereinstimmung mit den Messwerten von [78] gesprochen

wird, lässt die dargestellte Abbildung Zweifel aufkommen, da die eingetragenen Mess-

werte nicht zur Achsenbeschriftung passen und auch diese selbst nicht bis zur maxima-

len in [78] verwendeten Belastung reicht.

In [23] wird eine konstante Temperatur über die Filmhöhe angenommen und ent-

sprechend eine zweidimensionale Temperatur in Axial- und Umfangsrichtung berech-

net. Es wird eine Schaltung aus Wärmewiderständen zur Beschreibung der Wärmflüsse

durch die komplexe Struktur der bump foil und der Lagerschale entwickelt. Auch die

Welle, welche dadurch prinzipbedingt nur eine Hohlwelle sein kann, wird als Wärmewi-

derstand abgebildet. Eine Beschränkung des Modells ist der rein in radialer Richtung er-

folgende Wärmetransport. Die benötigten Wärmeübergangskoeffizienten werden aus

empirischen Formeln entsprechender Geometrien aus der Literatur berechnet. Statt ei-

ner Massenstrombilanz zur Bestimmung der Temperaturrandbedingung in der mixing-

Zone, wird ein empirisch ermittelter Faktor eingesetzt. Fliehkraftbedingte und thermi-

sche Aufweitungen werden ebenfalls berücksichtigt9. Der Vergleich mit den Messergeb-

nissen von [78] ergibt eine akzeptable Übereinstimmung. In zwei folgenden Veröffentli-

chungen [85, 91] wird ein Vergleich mit guter Übereinstimmung zwischen berechneten

und gemessenen Werten gezeigt und im Weiteren die Berechnung unter Berücksichti-

gung der Temperatur zur Auslenkung, minimale Filmhöhe sowie Steifigkeits- und

Dämpfungsparameter dargestellt.

In [22] wird ein recht komplexes Modell zur Beschreibung der Wärmeflüsse durch

die bump foil, bei dem alle Wärmeübergänge zwischen der top und bump foil und den

9 Die thermische Aufweitung von Hohlwelle und Lagerschale wird allerdings mit einer falschen Formel

unter Einbezug des Innenradius bzw. Außenradius berechnet (s. Kapitel 3.4).

2.4 Numerische Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

durch die bump foil gebildeten Kanälen und der Lagerschale erfasst werden, verwendet.

Für die Wärmeübergangskoeffizienten werden Formeln aus der Literatur angegeben.

Der Kontaktwärmewiderstand wird in einer eigenen Messung in Abhängigkeit vom

Druck ermittelt. Für die Hohlwelle wird unabhängig voneinander eindimensionaler ra-

dialer und axialer Wärmetransport angenommen. Die Wärmebilanz zwischen den

Komponenten muss iterativ ermittelt werden. Der Bedeutung der axialen Temperatur-

verteilung und daraus folgende ungleichmäßige Ausdehnung der Welle wird durch eine

Abbildung Rechnung getragen. Für die mixing-Zone wird das bereits in [88] beschriebe-

ne Modell verwendet. Das Modell macht einen sehr ausgereiften Eindruck und liefert in

einem Vergleich mit den Messwerten aus [78] in einem einzigen dargestellten Lastfall

rechte gute Übereinstimmung, sowohl für die Lagermitte als auch an einem der Ränder.

Wie die Übereinstimmung am anderen Rand und den weiteren Lastfällen wäre, bleibt

unklar. Eine Variation des nominalen Spalts zeigt eine deutliche Korrelation mit der

Temperatur, je kleiner der nominale Spalt, desto höher die erreichten Temperaturen.

Zusätzlich wird der Effekt einer Kühlströmung untersucht und eine absinkende Effekti-

vität bei immer weiterer Erhöhung dieser festgestellt.

In einer folgenden Veröffentlichung [92] wird ein transientes Modell der Wärmeströ-

me entwickelt. Die iterative Kopplung mit der Reynolds-Gleichung kann bestehen blei-

ben, da der transiente Temperaturanteil darin als vernachlässigbar angesehen wird, so-

bald eine Gleichgewichtslage gefunden ist. Mit diesem Modell wird es möglich Tempe-

raturverläufe über die Zeit zu berechnen. Diese zeigen im Vergleich mit Messwerten

gute Übereinstimmung in mehreren Testszenarien.

Durch eine Kombination eines Wärmewiderstandsmodells (vergleichbar mit dem aus

[23]) mit dem Strukturmodell aus [54] werden in [24] die Ergebnisse aus der früheren

Veröffentlichung beim Vergleich mit den Messwerten von [78] verbessert. Bemerkens-

wert ist vor allem die detaillierte Analyse zum Einfluss der Temperatur auf die minimale

Filmhöhe über Faktoren wie den Wärmeausdehnungskoeffizient der verwendeten

Werkstoffe.

In [25] wird ein im Aufbau mit dem aus [22] vergleichbares, sehr detailliertes Modell

entwickelt. Statt auf die etablierte mixing-Zone zurückzugreifen, wird ein alternatives

Modell auf Basis von CFD-Rechnungen abgeleitet. Aus einer Massenstrombilanz wird

ein Mischungsparameter aufgestellt und über einen durch diesen bestimmten Bereich

zwischen der Umgebungstemperatur am Rand und der Temperatur im Inneren in axia-

ler Richtung linear interpoliert. Es ergibt sich eine, im Vergleich mit der älteren Tempe-

raturrandbedingungssetzung über die gesamte Lagerbreite, realistischere Temperatur-

verteilung. Obwohl der berechnete Kontaktwärmewiderstand nicht zu den Messwerten

2.4 Numerische Untersuchungen zur Temperatur und ihres Einflusses auf GFL-Eigenschaften

von [22] passt, ergibt sich aus seiner Verwendung gegenüber der Vernachlässigung beim

Vergleich mit den Messwerten von [79] eine bessere Übereinstimmung also ohne.10

In einer umfangreichen Analyse werden in [94] für drei Lagerschalenformen (rund,

elliptisch, polygonal) Ergebnisse einer isothermen und anisothermen Berechnung zu

den Exzentrizitäten und allen Lagerparametern im Detail verglichen. Im Vergleich der

Temperaturen mit Messergebnissen aus [95] bzw. der Lagerparameter aus [96] zeigt sich

gute Übereinstimmung. Es wird vermutet, dass die thermische Aufweitung eine ent-

scheidende Rolle spielen könnte und es wird darauf hingewiesen, dass diese für eine

eventuell eingespannte Lagerschale schwer zu erfassen sein wird. Für die Lagerparame-

ter wird nur eine schwache Abhängigkeit von der Temperatur festgestellt, was auf eine

Kombination aus Effekten zurückgeführt wird. Zwar ändert sich mit der Temperatur die

Exzentrizität, gleichzeitig aber auch das Druckprofil. Da alle Effekte in die Berechnung

der Lagerparameter eingehen, scheint eine gewisse Kompensation stattzufinden.

In [43] werden einige der in den zuvor genannten Quellen beschriebenen, komplexen

Modellierungen aufgegriffen, für axiale GFL adaptiert und weiterentwickelt. Dennoch

gelingt eine Rückführung auf ein Wärmewiderstandsmodell mit schneller Berechnungs-

zeit. Bemerkenswert ist vor allem die detaillierte Berechnung der Kontaktwärmewider-

stände, welche mit guter Übereinstimmung mit den Messwerten aus [57] verglichen

werden.

10 Der Wärmewiderstand passt ebenfalls nicht zu den später in [93] mit einem dort entwickelten Kon-

taktwärmewiderstandsmodell berechneten Werten (s. Kapitel 3.7.3).

3 Thermo-hydrodynamische Modellierung

Die Vorhersage des Lagerverhaltens auf Basis von numerischen Berechnungen erfordert

die Beschreibung der im GFL stattfindenden physikalischen Vorgänge durch ein mathe-

matisches Modell. Im Betrieb eines GFL sind eine Vielzahl an Effekten beteiligt. Die In-

teraktion von Druckfeld und Schmierfilmhöhe bei einer bestimmten Drehzahl wird

durch die Reynolds-Gleichung 3.9 beschrieben. Charakteristisch für ein GFL ist die

elastische Lagerwandstruktur. Der Einfluss des Drucks auf die Verformung der bump

foil und die dadurch veränderliche Schmierfilmhöhe wird durch eine Schmierfilmfunk-

tion (Gl. 3.12) erfasst. Über die ideale Gasgleichung findet auch die Temperatur Eingang

in die Reynolds-Gleichung. Darüber hinaus ist die ebenfalls beteiligte Viskosität bei Ga-

sen (in dieser Arbeit wird von trockener Luft ausgegangen) auch temperaturabhängig.

In den folgenden Unterkapiteln, werden die zur Modellierung der genannten Effekte

verwendeten Gleichungen und die dazwischen bestehenden Zusammenhänge im Detail

erläutert.

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

Durch die Viskosität des Gases, wird dieses bei drehendem Rotor in den Spalt zwischen

Rotor und Lagerschale gezogen. Der sich bildende Schmierfilmkeil in der Engstelle steht

unter Druck und trägt den Rotor. Der Vorgang wird durch die Skizze in Abb. 3.1 be-

schrieben. Aus der eine Strömung eines linear-viskosen Fluids beschreibenden Navier-

Stokes-Gleichung wird über vereinfachende Annahmen die Reynolds-Gleichung abge-

leitet. Diese von Osborne Reynolds 1886 aufgestellte Gleichung ist die Grundgleichung

der Schmierfilmtheorie. Durch die Erweiterung von Harrison (1913) auf kompressible

Fluide lässt sie sich auch für Gase einsetzen. Die vollständige Herleitung und Darstel-

lung der Navier-Stokes-Gleichung sowie eine detaillierte Besprechung der Annahmen

ist in [97] beschrieben. Hier wird lediglich die Herleitung in einem zunächst kartesi-

schen Koordinatensystem ab dem in [97] gewählten Ausgangspunkt wiedergegeben.

Durch die speziellen Strömungsverhältnisse und die Geometrie eines sehr dünnen

Schmierspalts c0 gegenüber den Lagerabmessungen Radius R0 und Breite L werden auf

dem Weg zum Ausgangspunkt Terme der Navier-Stokes-Gleichung mit der Größenord-

nung , und höher vernachlässigt. Damit fallen die Einflüsse aus einem äußeren

Kraftfeld (bspw. Gravitation) und die Trägheitsterme, sowie alle Viskositätsterme ohne

Gradienten über die Spalthöhe weg. Die Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Ko-

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

ordinaten11 mit einer entlang der y-Richtung angenommen Strömung im Spalt verein-

facht sich dadurch deutlich [97]. In einem stationären Zustand reduzieren sich die Glei-

chungen auf zwei Dimensionen; der Druck ist konstant über die Spalthöhe (Gl. 3.1).

(3.1)

Durch die Reduktion auf ein zweidimensionales Problem wird auch die Temperatur Tf

und die Viskosität μ(Tf) als konstant über die Spalthöhe angesehen. Die hier noch expli-

zit angegeben Abhängigkeit der Viskosität von der Temperatur wird in den folgenden

Gleichungen teilweise weggelassen. Die ersten beiden Gleichungen aus Gl. 3.1 können

dann direkt zweifach integriert werden, um Ausdrücke für die Geschwindigkeitskompo-

nenten v und w zu finden.

11 Das hier gedachte kartesische Koordinatensystem entspricht nicht dem Rotorkoordinatensystem aus

Abb. 3.1, sondern wird nur (kurz) für die Aufstellung der Strömungsgeschwindigkeit verwendet. Im

Weiteren werden die Bezeichnungen eines Zylinderkoordinatensystems verwendet, welches durch die

Vernachlässigung der Krümmung einem kartesischen Koordinatensystem entspricht, s. Gl. 3.4.

Abb. 3.1: Skizze des Wirkungsprinzips von GFL (FB und θW s. Kap. 4.3, β s. Kap. 5.4) ([69], bearbeitet)

(

)

(

)

(

)

Lagerschale

bump foil

top foil

Rotor

primärer

Kühlkanal

sekundärer

Kühlkanal

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

(3.2)

Mit den Randbedingungen:

(3.3)

lassen sich die Integrationskonstanten C1...4 bestimmen und folgende Geschwindigkeiten

angeben (Gl. 3.4).

(3.4)

Die Wahl der Randbedingungen mit der drehenden Welle mit Umfangsgeschwindigkeit

Uv =ΩR0 bei x=0 und der stehenden top foil bei x=0 entspricht der späteren Konfigu-

ration im Lager. Lagerschale und Welle bewegen sich in axialer Richtung nicht zueinan-

der. Die so berechneten Geschwindigkeiten können deshalb bei der Lösung der Ener-

gietransportgleichung in gleicher Form zur Berechnung des konvektiven Wärmetrans-

ports und der Quellterme verwendet werden (s. 4.2.1). Die dort verwendeten Bezeich-

nungen vz(r) und vθ(r) sind zusätzlich angegeben. Die Geschwindigkeit vr(r) ist gegen-

über den anderen beiden vernachlässigbar [23].

Die Geschwindigkeiten werden in die allgemeine Kontinuitätsgleichung in integraler

Form eingesetzt.

(3.5)

Die Reihenfolge von Integration und Differentiation wird getauscht und die Dichte ρ

wird als Mittelwert über die Spalthöhe angenommen. Für die Geschwindigkeiten gelten

die bereits genannten Randbedingungen aus Gl. 3.3. Zusätzlich begrenzen Welle und

top foil die Geschwindigkeit u(x=0, y, z)=0 und u(x=h, y, z)=0.

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

(3.6)

Das Ergebnis der Integration wird zusammengefasst und durch Sortierung in die be-

kannte Form der Reynolds-Gleichung gebracht.

(3.7)

In dieser Form stehen auf der linken Seite die Poiseuille-Terme, die den Strömungsan-

teil aufgrund der Druckgradienten in den beiden verbleibenden Richtungen beschrei-

ben. Der erste Term auf der rechten Seite wird Couette-Term genannt und beschreibt

den Strömungsanteil aufgrund des aufgeprägten Geschwindigkeitsprofil aus der Bewe-

gung der Oberflächen. Der zweite Term auf der rechten Seite stellt den instationären

Anteil dar, entsprechend entfällt er für stationäre Probleme. Alle Terme enthalten die

Dichte ρ. Unter Voraussetzung der Annahme, dass sich das im Lager befindliche Gas

wie ein ideales Gas verhält, kann die Dichte ρ durch die Beziehung der idealen Gasglei-

chung (Gl. 3.8)ersetzt werden.

(3.8)

Für viele Gase und auch für trockene Luft ist diese Annahme gerechtfertigt. Am Beispiel

für Luft ist RL darin die spezifische Gaskonstante für Luft bzw. ML die molare Masse für

Luft und Rg die allgemeine Gaskonstante. Durch Einsetzen der Beziehung 3.8 in die

Reynolds-Gleichung kann nun der Temperatureinfluss erfasst werden. Zur Erinnerung

an die Temperaturabhängigkeit der Viskosität ist diese in der folgenden Gleichung 3.9

nochmals explizit angegeben.

(3.9)

Gl. 3.9 ist im Zylinderkoordinatensystem angegeben. Die axiale Richtung bleibt mit dem

Buchstaben z bezeichnet, die y-Richtung wird mit y=R0θ und zur Umfangs-

richtung. Durch Normierung mit den folgenden Größen:

(3.10)

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

lassen sich alle dimensionsbehafteten Größen in zwei Kennzahlen zusammenfassen. Die

normierenden Größen sind der Lagerradius R0, der nominelle Lagerspalt c0, die Stör-

kreisfrequenz ωs (auch Anregungskreisfrequenz), der Umgebungsdruck pa, die Umge-

bungstemperatur Ta und Umgebungsviskosität μa.

(3.11)

Gl. 3.11 ist die normierte Reynolds-Gleichung mit der bearing speed number genannten

Kennzahlen und der squeeze film number genannten Kennzahl .

Für die Bestimmung der stationären Gleichgewichtslage spielt der instationäre Term

und damit auch die squeeze film number keine Rolle. Er wird aber in Kapitel 3.3.1 bei

Aufstellung der Gleichung 1.-Ordnung benötigt und die squeeze film number findet dar-

über Eingang in diese Gleichung. Die Reynolds-Gleichung 3.11 ist damit in der Form,

wie sie auch im Programmcode verwendet wird. Als nichtlineare partielle Differential-

gleichung wird sie numerisch gelöst, um das Druckfeld p(z,θ) zu bestimmen.

Allerdings hängt die darin enthaltene Schmierfilmhöhe (z,θ) durch die Nachgiebig-

keit der Lagerstruktur bei GFL vom Druck ab und muss deshalb für jede Iteration mit

dem aktuellen Druck neu bestimmt werden. Dafür wird die Schmierfilmfunktion aufge-

stellt.

(3.12)

Die Schmierfilmfunktion wird aus dem starren Anteil (θ), dem Anteil aus der Lager-

strukturverformung (z,θ) und der Spaltverformung durch Einflüsse während des Be-

triebs (z,θ) gebildet. In dieser Funktion ist die Definition des nominalen Lagerspalts

c0 gut erkennbar. Er stellt den Abstand zwischen Welle und top foil bei einer Auslenkung

von ex=ey=0 dar, wenn keine Strukturverformung und keine sonstigen Einflüsse aus

dem Betrieb hc =hop=0 vorliegen. In die Schmierfilmfunktion wird er als Quotient aus

dem nominalen Lagerspalt c0 und der Funktion cθ(θ) eingeführt. Für eine konventionel-

le Lagerkonfiguration entspricht cθ(θ)=c0, d.h. dem auf eins normierten Lagerspalt. Für

cθ(θ) kann aber auch eine beliebige Funktion zur Modifikation der Verteilung des nomi-

nalen Lagerspalts über den Umfang vorgegeben werden. Die parametrisierte Erstellung

einer nominalen Spaltfunktion unter Berücksichtigung von shims wird im Anhang A

ausführlich beschrieben. Der Einfluss von shims auf das Stabilitätsverhalten wird in Ka-

pitel 6.3.2 untersucht.

3.1 Druckfeld und Schmierfilm

Die Anteile mit den normierten Exzentrizitäten:

(3.13)

werden durch die durch die Multiplikation mit den trigonometrischen Funktion cos(θ)

und sin(θ) auf die Raumrichtungen verteilt. Die Anteile beschreiben die lokale Verände-

rung der Spaltgeometrie durch die Auslenkung der Welle in der Lagerschale. Der nach-

giebige Anteil (z,θ) erfasst die druckabhängige Verformung der bump foil und darüber

liegenden top foil. Das gewählte Strukturmodell beschreibt die Berechnung der Verfor-

mung aus dem lokal herrschenden Druck. Je nach Strukturmodell und/oder Annahme

zur axialen Druckmittelung kann die Verformung der bump-Struktur nur von θ abhän-

gen oder in beiden Richtungen variabel sein (s. Kap. 3.2). Der letzte Anteil fast die Ein-

flüsse auf die Spaltverformung während des Betriebs zusammen. Darin enthalten ist die

zentrifugale Aufweitung der Welle und die thermische Aufweitung von Welle, top foil,

bump foil und Lagerschale. Diese Effekte spielen bei Berücksichtigung der Temperatur

eine relative große Rolle, speziell bei der Ermittlung der maximalen Tragfähigkeit. Sie

werden in Kapitel 3.4 ausführlicher beschrieben.

Ein wichtiger Aspekt dieser Arbeit ist die Berücksichtigung der Temperatur und ihrer

Auswirkungen auf die Komponenten und das Verhalten des Lagers. Der Gesamteinfluss

ist sehr komplex, da die Temperatur bspw. über die gerade beschrieben thermische Auf-

weitung der Komponenten die Filmhöhe und damit die viskose Dissipation aus der

Scherung als ihren Entstehungsprozess selbst maßgeblich beeinflusst. Zur Berechnung

der Temperaturverteilung muss die Energietransportgleichung (Gl. 3.14) für den

Schmierfilm gelöst werden [98].

(3.14)

Volumenarbeit und viskose Dissipation fungieren als Quellterme und sind damit für die

Wärmeentstehung im Lager verantwortlich. Die konvektiven und diffusiven Wärmeflüs-

se beschreiben die Wärmeflüsse und damit die Temperaturverteilung. Beeinflusst wer-

den die Wärmeflüsse durch die angenommen Randbedingungen am Schmierfilm. Eine

detailliertere Beschreibung der Terme und das Vorgehen zur Diskretisierung und Lö-

sung der Energietransportgleichung erfolgt im Kapitel 4.2.

3.2 Strukturmodelle für die bump foil

Es existieren diverse Modelle unterschiedlicher Komplexität zur Beschreibung des nach-

giebigen Strukturverhaltens der bump foil. In dieser Arbeit kommen hauptsächlich zwei

Strukturmodelle zur Anwendung. Ein einfaches Strukturmodell nach Iordanoff aus der

Kategorie der simple elastic foundation-Modelle (SEFM) und ein Modell nach LeLez aus

der Link-Spring-Kategorie mit einer Modellierung der bump foil aus miteinander ver-

bundenen Federelementen [49, 52]. Neben diesen beiden Modellen ist der Programm-

code auch in der Lage starre Gasfolienlager und ein weiteres SEFM nach Heshmat et al.

zu berechnen [9, 40, 42]. Die Art der Im-

plementierung erlaubt den einfachen

Wechsel zwischen den Strukturmodellen.

Die zur Beschreibung der bump foil-Geo-

metrie notwendigen Parameter sind in

Abb. 3.2 abgebildet (Parameter in Fett,

müssen dem Programmcode als Eingabe-

werte vorliegen). Im Folgenden werden die Strukturmodelle mit ihren wesentlichen An-

nahmen und Eigenschaften detaillierter beschrieben. Für die Gesamtheit der Annah-

men und Einschränkungen wird auf die entsprechende Literatur verwiesen. Wenn Aus-

sagen zum Steifigkeitsverhalten getroffen werden, sind diese allgemein zu verstehen,

auch wenn bei der analytischen Ableitung, oder bei der späteren Implementierung in

den Berechnungscode, teilweise die Nachgiebigkeit als Kehrwert der Steifigkeit verwen-

det wird.

3.2.1 SEFM nach Heshmat et al. 1983

Das SEFM nach Heshmat et al. [9, 40, 42] bricht die komplexe bump-Struktur herunter,

indem die Steifigkeit eines einzelnen bumps berechnet wird und diese Steifigkeit bzw.

Nachgiebigkeit im Sinne einer elastischen Bettung über den Lagerbereich verteilt wird

(s. Abb. 3.4) Die Durchsenkung der bump foil lässt sich somit einfach aus der Multipli-

kation der auf die Fläche bezogenen Nachgiebigkeit S und dem darauf wirkenden Über-

druck Δp berechnen.

(3.15)

Bei der Berechnung der Einzelsteifigkeit werden folgende Annahmen getroffen:

•Die bump-Steifigkeit ist linear und unabhängig von der Durchsenkung

Abb. 3.2: Geometrie der bump foil und angedeutete

Belastung. Die Parameter hB, l0, s0, tTf und tBf

müssen dem Programmcode vorgegeben werden.

3.2 Strukturmodelle für die bump foil

•Reibungseffekte zwischen top foil, bump foil und Lagerschale werden bei Berech-

nung der bump-Steifigkeit vernachlässigt

•Die top foil senkt sich zwischen den bumps nicht durch und folgt diesen in ihrer

Bewegung

•Die Durchsenkung an einer Stelle hängt nur von der lokalen Belastung ab, d.h.

es gibt keine Interaktion zwischen benachbarten bumps

Unter diesen Annahmen berechnet sich die auf die Fläche bezogene Steifigkeit bzw.

Nachgiebigkeit zu:

(3.16)

Das Modell zeichnet sich vor allem durch seine einfache Implementierung in den Be-

rechnungscode und zeiteffiziente Lösung während des Programmablaufs aus. Durch die

Addition einer den Reibungseffekten in-

nerhalb der bump foil äquivalenten visko-

sen Dämpfung lässt sich die Dämpfung

innerhalb des Lagers abbilden. Dies ist

insbesondere bei der Berechnung der li-

nearen Lagerparameter mit Hilfe des Stö-

rungsansatzes von Lund relevant (s. Kap.

3.3.1). Auch die Berechnung eines Lagers mit in Längs- und Umfangsrichtung unterteil-

ter bump foil ist mit verhältnismäßig geringem Aufwand möglich, da prinzipiell jedem

Berechnungsknoten eine individuelle Steifigkeit vorgegeben werden kann.

3.2.2 SEFM nach Iordanoff 1999

Iordanoff geht grundsätzlich einen ähnlichen Weg wie das SEFM nach Heshmat et al., in

dem die bump-Struktur als elastische Bettung modelliert wird [49]. Allerdings wird bei

der analytischen Ableitung der bump-Steifigkeit zwischen beidseitig frei verschiebbaren

und einseitig fixierten bumps, wie sie an der Befestigung des ersten bumps vorliegen, un-

terschieden. Der Einfluss des Reibungskoeffizienten zwischen bump foil und Lagerschale

wird ebenfalls erfasst. Im Vergleich mit dem SEFM nach Heshmat et al. ergeben sich

durch die Berücksichtigung dieser Effekte für den ersten bump (mit einem einseitig ein-

gespannten bump-Fuß) eine etwa verdoppelte Steifigkeit Kfix und im Weiteren für die

frei-frei gelagerten bumps eine bei üblichen Reibungskoeffizienten (bspw. μB=0,1) leicht

erhöhte Steifigkeit Kfrei. (Gl. 3.17).

Abb. 3.3: Vereinfachte Annahme der bumps als indivi-

duelle Federn. Mit KB nach Heshmat et al. [42]

bzw. Kfix und Kfrei nach Iordanoff [49].

fix

frei

p p

3.2 Strukturmodelle für die bump foil

(3.17)

Darin enthalten sind die Faktoren:

(3.18)

Die damit berechnete Steifigkeit wird bei der Implementierung erneut im Sinne einer

elastischen Bettung als verteilte Steifigkeit den Berechnungsknoten zugeordnet. In [49]

wird auf Basis von [40, 46] vorgeschlagen linear über die bumps zu interpolieren. In ei-

ner späteren Veröffentlichung [18] wird ohne Interpolation für alle bumps mit der Stei-

figkeit Kfrei eines freien bumps gearbeitet und damit gute Ergebnisse präsentiert. Ob eine

Interpolation, und falls ja in welcher Art und Weise, am besten ist, ist deshalb nicht ein-

deutig zu sagen. In dieser Arbeit wird die erhöhte Steifigkeit Kfix des befestigten bumps

auch nur für diesen verwendet, allen folgenden freien bumps wird die niedrigere Steifig-

keit Kfrei zugeordnet. In Abb. B.3 im Anhang B findet sich eine Darstellung des dann ent-

stehenden Steifigkeitsfelds (der dargestellte Fall zeigt ein Feld mit fünf bump-Streifen).

In den vielen Vergleichen in den späteren Kapiteln zwischen mit dem Iordanoff- und

dem LeLez-Strukturmodell berechneten Ergebnissen zeigen sich häufig vernachlässig-

bare oder keine Unterschiede. Falls Unterschiede festgestellt werden, lassen diese sich

häufig auf ein etwas weicheres Verhalten des Iordanoff- gegenüber dem LeLez-Struk-

turmodell zurückführen. Eine Interpolation würde das Iordanoff-Strukturmodell etwas

steifer und damit noch ähnlicher zum LeLez-Strukturmodell machen.

Da das SEFM nach Iordanoff weiterhin keine Interaktion zwischen den bumps be-

rücksichtigt erhöht sich der zeitliche Berechnungsaufwand gegenüber dem SEFM nach

Heshmat et al. nicht. Durch das üblicherweise etwas steifere Verhalten dauert die Suche

nach der Gleichgewichtslage trotzdem meist minimal länger. Zur Berechnung der linea-

ren Lagerparameter nach Lund wird die Strukturdämpfung über eine äquivalente visko-

se Dämpfung beschrieben (s. Kap. 3.3.1).

3.2 Strukturmodelle für die bump foil

3.2.3 Link-Spring-Modell nach Le Lez 2007

Das Strukturmodell von LeLez zählt zu den Link-Spring-Modellen [52]. Es bildet die

bump-Struktur ab, in dem es diese durch eine äquivalente Federschaltung ersetzt (s.

Abb. 3.4). Die Verbindungspunkte an den Federenden stellen die Freiheitsgrade der Fe-

derschaltung dar. An ihnen greifen die

Reibungskräfte und Kräfte aus dem

Druck im Schmierfilm an und für sie

werden die Verschiebungen in vertikaler

(v) und horizontaler Richtung (u) (bzw.

radialer und Umfangsrichtung) be-

stimmt. Die Steifigkeit der beteiligten

Einzelfedern wird je nach Randbedin-

gung analytisch bestimmt und zur Stei-

figkeitsmatrix zusammengesetzt. Der Schmierfilm muss nicht notwendigerweise mit ei-

ner zur Anzahl der Freiheitsgrade in der Federschaltung passenden Feinheit vernetzt

sein, bzw. kann auch deutlich feiner vernetzt werden. In diesem Fall wird die auf den in-

dividuellen bump wirkende Kraft durch Interpolation und Integration des Drucks über

die entsprechende Fläche bestimmt (vergleichbar mit der Darstellung in Abb. 3.2). Da

das Strukturmodell ein zweidimensionales Modell mit Freiheitsgraden in radialer und

Umfangsrichtung ist und nicht mehr von einer flächenbezogenen verteilten Steifigkeit

ausgegangen wird, sind die Verschiebungen in axialer Richtung konstant. Entsprechend

muss der Druck zur Bestimmung der wirkenden bump-Kraft über die axiale Richtung

gemittelt (bzw. bei nicht-äquidistanten Netz integriert) werden. Die Interaktion der

bumps untereinander wird über die Verbindung der Federn an ihren Enden sicherge-

stellt. Damit beeinflusst das Verschiebungsverhalten eines bumps das seiner Nachbarn.

Zur Bestimmung eines Verschiebungszustands wird das Gleichungssystem aus Steifig-

keitsmatrix und den externen Kräften aus Reibung und Druckfeld gelöst. Entscheidend

dabei ist das iterative Vorgehen, da im Voraus nicht gesagt werden kann, welche bumps

sich unter der Belastung bewegen (und falls ja in welche Richtung) und welche nicht,

und dieses Verhalten aufgrund der angesprochenen Interaktion Auswirkungen auf die

umliegenden Nachbarn hat. Der Algorithmus beginnt mit der Annahme, dass sich alle

bumps in positiver horizontaler Richtung (Umfangsrichtung) bewegen. Wird nach Lö-

sung des Gleichungssystems festgestellt, dass negative Verschiebungen in den horizonta-

len Freiheitsgraden vorliegen, so wird das Vorzeichen der entsprechenden Reibungs-

kräfte negiert und das Gleichungssystem erneut gelöst. Ergeben sich kein Vorzeichen-

wechsel mehr, so ist ein Verschiebungszustand im Gleichgewicht gefunden und der Al-

Abb. 3.4: Ersatzfederschaltung für die bump foil-

Struktur nach [52]

(

)

3.2 Strukturmodelle für die bump foil

gorithmus bricht ab. Wechselt ein horizontaler Freiheitsgrad während den Durchläufen

zweimal hintereinander seine Richtung, so wird angenommen, dass die Reibungskräfte

ausreichend hoch sind, um den Knoten zu fixieren. Der entsprechende Freiheitsgrad

wird gesperrt. Der Algorithmus wird mit dem um einen Freiheitsgrad reduzierten Glei-

chungssystem fortgesetzt. Da nun ein zur Bestimmung der Durchsenkung bei der Er-

mittlung der Schmierfilmhöhe iterativ ein weiteres (wenn auch kleines) Gleichungssys-

tem gelöst werden muss, verlängert sich die Berechnungszeit gegenüber den beiden ein-

facheren SEFM.

Die sich bei LeLezs Modell ergebende Steifigkeit liegt üblicherweise höher als bei den

anderen beiden beschriebenen Modellen. Bedingt wird dies durch die detaillierte Abbil-

dung der Reibungseffekte und die Interaktion der bumps untereinander. Während sein

Strukturmodell im Vergleich mit dem SEFM nach Iordanoff (wie LeLez selbst be-

schreibt) nur geringen Einfluss auf die minimale Filmhöhe unter variierender Belastung

hat, unterscheiden sich die Exzentrizitäten von Gleichgewichtslagen deutlich. Die wei-

cheren SEFM lassen deutlich größere Exzentrizitäten zu als das LeLez-Modell.

Der Ansatz von Lund zur Ermittlung der Lagerparameter erfordert eine einfache An-

gabe der Steifigkeit (verteilte Steifigkeit) wie sie die SEFM liefern. Der Einbau der sich

während der Berechnung ständig veränderten Steifigkeitsmatrix des LeLez-Modells ist

nicht ohne Weiteres möglich. Für die Reaktion auf die Störungen wird also immer von

einer verteilten Steifigkeit nach dem SEFM von Iordanoff ausgegangen. Dies bedeutet

allerdings nicht, dass das LeLez-Modell keinen Einfluss auf die Lagerparameter hat. Da

der Ansatz von Lund auf der Annahme von kleinen Auslenkungen um die Gleichge-

wichtsgewichtslage herum basiert, nimmt das LeLez-Modell über die Lösung der Glei-

chung 0.-Ordnung zur Bestimmung der Gleichgewichtsexzentrizitäten Einfluss. Zusätz-

lich ist im Programmcode eine Funktionalität vorgesehen, um nach Bestimmung der

Gleichgewichtslage aus der wirkenden Belastung und der zugehörigen Verschiebung

eine äquivalente, verteilte Steifigkeit für das LeLez-Modell zu berechnen. Wegen der da-

für notwendigen Interpolationen und Annahmen sowie der generell geringeren Erfah-

rung mit diesem Vorgehen, wurde dieser Ansatz nicht weiterverfolgt. Für den Ansatz

von Lund zur Bestimmung der Lagerparameter wird daher die verteilte Steifigkeit des

SEFM nach Iordanoff verwendet. Die zugrunde liegende Gleichgewichtslage kann ent-

weder mit dem SEFM nach Iordanoff oder mit dem LeLez-Modell berechnet werden.

Für den letzteren Fall enthalten die Lagerparameter dann Einflüsse aus einer Kombina-

tion der beiden Strukturmodelle.

3.3 Störansatz nach Lund 1968
3.3 Störansatz nach Lund 1968
Bei der Vorstellung des Standes der Technik wird der Störansatz nach Lund als wegwei-
sende Veröffentlichung [35] hervorgehoben, da er weiterhin das Standardverfahren zur 
Berechnung der linearisierten Lagerparameter und der darauf basierenden linearen Sta-
bilitätsanalyse ist. In den folgenden beiden Unterkapiteln 3.3.1 und 3.3.2 wird der theo-
retische Hintergrund dargestellt, während die Lösung im Unterkapitel 4.4 besprochen 
wird.
3.3.1 Berechnung der linearisierten Lagerparameter
Unter dem Begriff Lagerparameter werden die Haupt- und Koppelsteifigkeiten, sowie 
entsprechend  Dämpfungen,  zusammengefasst.  Sie  beeinflussen  den  Orbit  und  das 
Schwingungsverhalten des Lagers. In einem nachfolgenden Schritt dienen sie darüber 
hinaus zur Bestimmung der Stabilitätsgrenze. Bestimmt werden sie über das Verfahren 
von Lund [35]. Das Verfahren nimmt an, dass sich unter einem konstanten Lastfall, als 
Kombination aus einer konstanten Belastung und Drehzahl, eine stationäre Gleichge-
wichtslage mit entsprechend konstanter Auslenkung einstellt. Die Größen der Gleichge-
wichtslage werden in den folgenden Gleichungen 3.19–3.28 durch den Index 0 gekenn-
zeichnet. Zur Beschreibung einer dynamischen Bewegung um diese Gleichgewichtslage 
(εx,0, εy,0) werden die Auslenkungen durch harmonische Störungen (Δεxeiτ, Δεyeiτ) überla-
gert (Gl. 3.19).
(3.19)
Dabei wird angenommen, dass die Amplituden der Auslenkung wesentlich kleiner sind 
als der nominelle Spalt bzw. generell klein gegenüber der Auslenkung sind (Gl. 3.20).
(3.20)
Die Frequenzabhängigkeit der Lagerparameter steckt in der Vorgabe der Kreisfrequenz 
der Störung  ωS. Die Auswirkungen der Störungsamplituden auf den Druck und die 
Filmhöhe sowie die Strukturverformung werden in den Gl. 3.21, 3.22 und 3.23 darge-
stellt.
(3.21)
56

3.3 Störansatz nach Lund 1968

(3.22)

(3.23)

Darin enthalten ist die normierte Nachgiebigkeit welche unter Berücksichtigung eines

Strukturverlustfaktors γ von den SEFM übernommen wird.

(3.24)

Der Strukturverlustfaktor stellt eine äquivalente viskose Dämpfung für einen angenom-

men Einmassenschwinger (mit Steifigkeit Kf,1 und Dämpfung Df,1) als bump foil dar. In

[99] wird auf Basis von experimentellen Daten ein Bereich von γ=0,06–0,2 ermittelt,

gleichzeitig aber auch auf [100] mit einer Bereichsangabe von γ=0,2–0,6 verwiesen.

In [101] wird für eine numerischen Rechnungen γ=0,25 verwendet. Für die in Kapitel

3.3.1 vorgestellten Lagerparameter wird der Strukturverlustfaktor γ über den gesamten

Bereich von γ=0,05–0,6 variiert. Dabei zeigt sich ein verhältnismäßig geringer Ein-

fluss des Strukturverlustfaktors γ auf die Lagerparameter. Die beste Übereinstimmung

liegt dort bei γ=0,2 vor, weshalb dieser Wert für die sich anschließenden Stabilitätsbe-

rechnungen verwendet wird. Aus der Gl. 3.23 ergibt sich zusätzlich eine wichtige Ein-

schränkung für die möglichen Strukturmodelle, da hier zur Berechnung nur ein linearer

Zusammenhang, wie sie die SEFM liefern, verwendet werden kann. Die ebenfalls zur

Berechnung der Lagerparameter benötigte Lösung der stationären Gleichgewichtslage

kann dennoch mit einem komplexeren nichtlinearen Strukturmodell, wie dem LeLez-

Modell, berechnet werden, und nimmt dann darüber Einfluss auf die Lagerparameter.

Der Ansatz von Lund wurde ursprünglich aus einer isothermen Betrachtung des GFL

entwickelt. Zur Berücksichtigung der Temperatur und Viskosität müsste eigentlich auch

die Auswirkung der Störung auf diese erfasst werden. Da die Störauslenkungen die

Temperatur allerdings nur indirekt über die Kopplung der Reynolds- mit der Energie-

transportgleichung beeinflussen, wird davon ausgegangen, dass diese vernachlässigt

werden können. Ebenfalls nicht berücksichtigt wird eine eventuelle Rückkopplung der

Strukturstörung auf den Druck, wie sie in [71, 72] untersucht wird.

3.3 Störansatz nach Lund 1968

Auch der gestörte Druck und die Filmhöhe, sowie die Strukturverformung müssen die

Reynolds-Gleichung erfüllen. Beim Einsetzen des gestörten Drucks und der Filmhöhe

in die Reynolds-Gleichung werden, aufgrund der Annahme kleiner Störamplituden Ter-

me höherer Ordnung O(Δx²) vernachlässigt und die Gleichungen damit linearisiert.

Daraus leitet sich auch die Bezeichnung „linearisierte Lagerparameter“ ab. Sie sind da-

mit nominell nur in einem kleinen Bereich um die Ruhelage herum gültig. Nach dem

Einsetzen lässt sich die Reynolds-Gleichung in die Gleichung 0.-Ordnung (Gl. 3.25) und

1.-Ordnung (Gl. 3.26) aufteilen.

(3.25)

Die dargestellte Gleichung 3.25 0.-Ordnung enthält nur die Terme ohne Störanteil und

entspricht der bereits in Kapitel 3.1 gezeigten zur Bestimmung der Gleichgewichtslage

verwendeten Gl. 3.9. Nach Berechnung einer Gleichgewichtslage sind die darin enthal-

ten Größen und sowie und somit bekannt.

(3.26)

Gleichung 3.26 ist die Gleichung 1.-Ordnung und enthält alle Terme, welche durch ei-

nen Störanteil beeinflusst werden. Unter Voraussetzung einer beliebigen harmonischen

Störung lässt sich Gleichung 3.26 in die beiden Richtungen x und y aufteilen. Zusam-

mengefasst lässt sich die Aufteilung durch die Verwendung der Abkürzung und

= cos(θ) + , = sin(θ) + dennoch kompakt darstellen [18].

(3.27)

3.3 Störansatz nach Lund 1968

Neben Störanteilen enthält die Gleichung 1.-Ordnung auch die bereits bekannten Grö-

ßen aus der Gleichgewichtslage. Damit verbleibt der (komplexe) Stördruck Δpξ selbst

und in Form seiner Ableitungen nach den beiden Richtungen z und θ als unbekannte

Größe erhalten. Die Gleichung(en) 3.27 sind damit eine lineare partielle Differential-

gleichung in Δpξ und wird entsprechend für beide Raumrichtung x und y gelöst.

Gemäß Lunds Ansatz werden die linearisierten Lagerparameter über eine Betrach-

tung des Kräftegleichgewichts in und um die stationäre Ruhelage herum bestimmt.

(3.28)

Die Kräfte der Ruhelage werden analog dem später in Kapitel 4.3.1 beschriebenen Vor-

gehen bestimmt und die linearisierten Lagerparameter aus den durch die Störungen

verursachten Reaktionskräften abgeleitet.

(3.29)

Die Reaktionskräfte auf die Störung wiederum berechnen sich aus den Stördruckantei-

len in den jeweiligen Richtungen, die ebenso über die Lageroberfläche integriert wer-

den.

(3.30)

Über eine Zuordnung der Real- und Imaginärteilen beiderseits des Gleichheitszeichens

ergeben sich die linearisierten Lagerparameter in Abhängigkeit der Drehfrequenz Ω

und der Störfrequenz ωS. Der erste Index bezeichnet dabei die Reaktion auf eine Stö-

rung aus der Richtung des zweiten Index.

3.3.2 Bewegungsdifferentialgleichung zur

Stabilitätsberechnung

Durch eine Stabilitätsanalyse wird untersucht, ob ein bestimmtes GFL unter der gewähl-

ten Belastung ab einer bestimmten Drehzahl zu instabilem Verhalten durch selbsterreg-

te Schwingungen neigt. Sie ist eine Fortführung des Ansatzes von Lund und schließt

sich an die Bestimmung der linearisierten Lagerparameter an, indem diese in die Bewe-

gungsdifferentialgleichung eines symmetrischen Rotors eingesetzt werden.

3.3 Störansatz nach Lund 1968

(3.31)

Da die Gleichgewichtslage durch die Lösung der Gleichung 0.-Ordnung bereits erfüllt

ist, verschwinden darin alle zeitunabhängigen Größen. Aus den verbleibenden Größen

werden die zeitabhängigen Kräfte durch die linearisierten Lagerparameter ersetzt.

(3.32)

Zur Bestimmung der Stabilität dieser Bewegungsdifferentialgleichung ist das Eigenwert-

problem zu lösen. Die Alternativen bei den Lösungsmethoden und das Vorgehen zur

automatisierten Bestimmung werden im entsprechenden Kapitel 4.4.2 erläutert.

Die Aussage des Verfahrens zur Bestimmung der Stabilitätsgrenze ist beschränkt auf

kleine harmonische Störungen um die Gleichgewichtslage herum. Außerdem lässt sich

aus dem Verfahren keine Aussage über das Verhalten des Rotors bei Überschreiten der

Stabilitätsgrenze ableiten. Der Rotor könnte nach einer Phase der Instabilität in einen

wiederum stabilen Grenzzustand mit erhöhtem Niveau der Schwingungsamplituden

übergehen oder auch Aufschwingen, bis es zu einem Kontakt zwischen Welle und La-

gerwand und damit vermutlich zur Zerstörung des Lagers kommt.

3.4 Betriebsbedingte Einflüsse auf die Schmierfilmhöhe

In der Schmierfilmfunktion fasst die Variable hop die thermischen und fliehkraftbeding-

ten Einflüssen auf die Schmierfilmhöhe zusammen. Diesen Einflüssen wird häufig nur

geringe Bedeutung beigemessen, wenn bspw. die Fliehkraftaufweitung nicht angespro-

chen oder von isothermen Verhalten für das gesamte Lager ausgegangen wird. Bei den

für GFL üblicherweise hohen Drehzahlen kann die Fliehkraftaufweitung der Welle aller-

dings bereits mehrere Mikrometer betragen und damit eine relevante Größe im Verhält-

nis zu den ebenfalls nur Mikrometer hohen nominalen Schmierspalten annehmen. Ins-

besondere falls es sich um eine Hohlwelle handelt. Die Aufweitung lässt sich durch eine

analytische Formel (Gl. 3.33) für Scheiben relativ einfach und schnell berechnen [102].

Für Innenradius RW,i =0 wird eine Vollwelle berechnet, für RW,i>0 eine Hohlwelle.

(3.33)

3.4 Betriebsbedingte Einflüsse auf die Schmierfilmhöhe

Darin ist RW,a der Außenradius, ρW die

Dichte, νW die Poisson-Zahl und EW das

E-Modul des Wellenwerkstoffs. Ein Ver-

gleich der Ergebnisse mit in einem FEM-

Programm durchgeführten Berechnun-

gen zeigt im dargestellten Beispiel in

Abb. 3.5 gute Übereinstimmung. Aller-

dings muss erwähnt werden, dass die

Formel nur die freie Aufweitung einer

Scheibe beschreibt. Es können keine wei-

teren Randbedingungen oder ein kom-

plexere Geometrie, wie bspw. eine nur

teilweise vorliegende Hohlwelle berück-

sichtigt werden.

Der Einfluss der Temperatur ist deut-

lich komplexer, da eine Interaktion mehrerer Effekte vorliegt. Durch Erwärmung des

Lagers im Betrieb unterliegen alle Komponenten einer thermischen Aufweitung. Im

Programmcode wird die linear-elastische Aufweitung gemäß des Wärmeausdehnungs-

koeffizienten der Bauteilwerkstoffe berechnet. Sofern verfügbar, wird auch die Tempera-

turabhängigkeit der Wärmeausdehnungskoeffizienten berücksichtigt (in den folgenden

Gleichungen wird dies explizit angegeben α(T)).

Während die Aufweitungen der top und bump foil sehr gering ausfallen, kann die In-

teraktion zwischen der Wellen- und Lagerschalenaufweitung die Schmierfilmfunktion

in relevantem Maße beeinflussen.

Die Interaktion ist deshalb so komplex, weil sich Welle und Lagerschale im Werkstoff

(und damit temperaturabhängigem Wärmeausdehnungskoeffizient) und Temperatur (je

nach Geometrie und Randbedingungen) deutlich unterscheiden können, und dies die

Schmierfilmhöhe als maßgebliche Größe für die Wärmeentstehung direkt beeinflusst. In

den folgenden Gleichungen wird die Temperaturabhängigkeit der Wärmeausdehnungs-

koeffizienten α(-)(T(-)) deshalb jeweils explizit angegeben.

Zur Berechnung der Aufweitung der top foil-Dicke tTf wird die Temperaturdifferenz

zwischen Umgebungstemperatur Ta und mittlerer top foil-Temperatur TTf,m verwendet

(Gl. 3.34).

(3.34)

Abb. 3.5: Vergleich der fliehkraftbedingten und ther-

mischen Aufweitung mit den Ergebnissen eines

FEM-Programms

3.4 Betriebsbedingte Einflüsse auf die Schmierfilmhöhe

Für die bump foil wird angenommen, dass sich ihre Höhe hB mit der mittleren bump

foil-Temperatur aufweitet.

(3.35)

Der Außenradius der Welle RW,a weitet sich mit der Temperaturdifferenz zwischen der

radial gemittelten Temperatur TW,m im Bereich des Lagers und der Umgebungstempera-

tur auf. Da für die Welle auch angenommen wird, dass sie sich aufgrund der hohen

Drehzahl in Umfangsrichtung gleichmäßig erwärmt und deshalb nur zweidimensional

modelliert wird, liegt indirekt auch eine Mittelung in Umfangsrichtung vor.

(3.36)

Die angegebene Formel ist sowohl für Voll- als auch für Hohlwellen gültig, da die Auf-

weitung des Außenradius unabhängig vom Innenradius RW,i ist. Die Aufweitung der La-

gerschale berechnet sich analog.

(3.37)

Die Vergrößerung des Innenradius der Lagerschale RLs,i ist ebenfalls unabhängig vom

Außenradius RLs,a. Zur Bestimmung der Temperaturdifferenz zur Umgebungstempera-

tur, wird die in radialer und axialer Richtung gemittelte Lagerschalentemperatur ver-

wendet. In axialer Richtung müsste nicht gemittelt werden. Aber in der Auswertung des

FVM-Wärmemodells der Lagerschale mit einer detaillierten Modellierung der axialen

Temperaturgradienten zeigt sich, dass diese vernachlässigbar sind.

Bei Temperaturen, die bei hohen Drehzahlen im GFL auftreten, kann die thermische

Aufweitung der Bauteile zum limitierenden Faktor für den Betrieb eines GFL werden.

Dem kann entgegengewirkt werden, wenn bei der Auslegung von GFL folgende Fakto-

ren beachtet werden:

•Der Wärmeausdehnungskoeffizient des Lagerschalenwerkstoffs sollte größer

sein als der des Wellenwerkstoffs.

•Zusätzlicher Wärmeeintrag in die Welle durch weitere Einflüsse ist zu vermei-

den, bzw. ausreichende Wärmeabfuhr aus der Welle durch freie Oberflächen.

•Die Lagerschale sollte sich frei ausdehnen können, um der Welle Raum zu ge-

ben.

•Bei ähnlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten sollte durch geeignete Steuerung

der Wärmeflüsse eine ähnliche Temperatur in Welle und Lagerschale angestrebt

werden.

Bei grober Missachtung der genannten Faktoren, kann es durch die verhältnismäßig

große Aufweitung der Welle gegenüber der Lagerschale zu einer Verringerung der mini-

3.4 Betriebsbedingte Einflüsse auf die Schmierfilmhöhe

malen Schmierfilmhöhe bis zum Verlust

der Tragfähigkeit des Lagers kommen.

Dann droht ein Anstreifen der Welle an

der top foil bei hohen Drehzahlen und in-

folgedessen eine Zerstörung des Lagers.

Ein weiterer Faktor ist der axiale Tempe-

raturgradient in der Welle zwischen dem

Lagermittelpunkt und den Rändern.

Liegt dort, bspw. durch die Wärmeabfuhr

über die freie Oberfläche der Welle ein

hoher Gradient vor, kommt es zu einer ungleichmäßigen Aufweitung in radialer über

die axiale Richtung in der Welle, welche zu einem nicht tragfähigen Schmierfilm führen

kann. Für einen beispielhaften gewählten Lastfall ist die Auswirkung von hop auf den ur-

sprünglichen Nominalspalt in Abb. 3.6 dargestellt. In der Abb. 3.6 sind auch die Größen

verbleibender nominaler Spalt im Betrieb cop(z), mittlerer verbleibender nominaler Spalt

cop,m und minimaler verbleibender Spalt cop,min dargestellt. Diese spielen bei der späteren

Analyse und Interpretation der Ergebnisse zur Stabilität und Tragfähigkeit eine Rolle

(s.Kap. 6.3 und 6.4).

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

Alle in dieser Arbeit verwendeten mathematischen Modelle, zur Beschreibung der phy-

sikalischen Vorgänge, erfordern Annahmen und Randbedingungen an den Grenzen des

beschriebenen Gebiets. In diesem Kapitel werden die üblicherweise zur Berechnung von

GFL verwendeten Randbedingungen für das Druck- und Temperaturfeld erläutert.

Wenn für bestimmte Berechnungen zum Vergleich mit experimentellen Daten spezielle

Randbedingungen verwendet werden, sind diese im entsprechenden Kapitel beschrie-

ben.

3.5.1 Druckfeldrandbedingungen

Als Standard wird für das Druckfeld, sowohl an den axialen Rändern als auch an den

Rändern zur mixing-Zone, Umgebungsdruck pa angenommen. Als mixing-Zone wird

der Bereich zwischen dem Ende der top foil und bump foil (θ=θTf) und der Befestigung

(θ=0°) dieser an der Lagerschale bezeichnet. Die Größe der mixing-Zone kann im Pro-

grammcode durch die Angabe des Winkels vom Umfang, den sie einnehmen soll, ange-

passt werden. In diesem Bereich ist der Spalt zwischen Welle und Lagerschale wesent-

Abb. 3.6: Auswirkung von fliehkraftbedingter und

thermischer Aufweitung auf den Nominalspalt.

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

lich größer als der nominale Spalt zwischen Welle und top foil, was die Annahme von

Umgebungsdruck pa rechtfertigt.

(3.38)

Da bei den SEFM die Auslenkung von der lokalen Druckdifferenz zwischen Überdruck

und Umgebungsdruck (Δp = p(z,θ) – pa) abhängt, ergibt sich aus dieser Randbedingung

direkt eine Auslenkung von null an den axialen Lagerrändern. Dieses Verhalten ist auf-

grund der top foil-Steifigkeit nicht realistisch, weshalb bei der Beschreibung der Berech-

nung der Durchsenkung in Kapitel 4.1 Möglichkeiten zum Umgang damit gezeigt wer-

den.

Bei der Berechnung der aus dem Druckfeld resultierenden Kraft auf den Rotor (s.

Kap. 4.3.1), wird die sogenannte Gümbel-Randbedingung angewendet (s. [71, 97]). Sie

basiert auf der Annahme, dass der subambiente Druck durch ein Abheben der top foil

ausgeglichen wird und deshalb keine Zugkräfte übertragen werden. Sie kommt auch bei

der Berechnung der Kräfte im Zuge der Bestimmung der linearisierten Lagerparameter

zur Anwendung.

Neben der oben beschrieben Standardrandbedingung sind weitere Optionen für

Randbedingung vollständig implementiert, d.h. es durch eine einfache Änderung in

Abb. 3.7: Darstellung von Druckfelder für die implementierten Randbedingungsoptionen

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

den solver-Einstellungen zwischen ihnen gewechselt werden12. Beispielhafte Darstellun-

gen von Druckfeldern aller Randbedingungsoptionen sind in Abb. 3.7 dargestellt.

Die Gümbel-Randbedingung kann über eine separate solver-Einstellung auch bereits

während den Iterationen zur Bestimmung des Drucks gesetzt werden. Dies ist keine

gängige Annahme und wurde nur der Vollständigkeit halber implementiert. Aber selbst

bei Verwendung dieser Randbedingung, wird das Druckfeld mit den subambienten Be-

reichen zur Lösung der Temperatur übergeben, da die Bereiche zur Setzung der Tempe-

raturrandbedingungen an den Rändern erforderlich sind.

Statt mit Umgebungsdruck, kann im Bereich der top und bump foil-Befestigung mit

einer zyklischen Randbedingung gerechnet werden, falls dort keine (ausgeprägte) mi-

xing-Zone vorliegt. Diese Option wurde ursprünglich implementiert, da für Messungen

am Fachgebiet ein GFL mit einem über der Befestigung der top foil aufliegenden Ende

der top foil durchzuführen. Letztlich kam diese Randbedingung nicht zum Einsatz, da

die Lager doch mit einem Abstand zwischen top foil-Befestigung und freiem Ende ge-

baut wurden.

Als weitere Option, kann für das Ende der top foil (θ=θTf) eine Neumann-Randbe-

dingung, also ein konstanter Druckgradient vorgegeben werden. Auch diese

Option kam bei den Berechnungen in dieser Arbeit nicht zum Einsatz, bietet aber die

Möglichkeit damit in zukünftige Berechnungen zu experimentieren.

3.5.2 Temperaturrandbedingungen

Die Temperaturrandbedingungen für den Fluidfilm sind schwieriger festzulegen als die

Randbedingungen für das Druckfeld. In radialer Richtung wird der Fluidfilm durch die

Welle und die top foil begrenzt. Die Randbedingungen an diesen Stellen wird durch

Temperatur dieser Komponenten und die jeweiligen Wärmeübergangskoeffizient be-

stimmt (s. Kapitel 3.7). An den axialen Rändern wird in Abhängigkeit des vorliegenden

axialen Druckgradienten entschieden, ob Luft einströmt und somit Umgebungstempe-

ratur als Randbedingung gesetzt wird, oder nicht.

(3.39)

Liegt eine mixing-Zone vor, so wird die dort angenommene Vermischung der rezirku-

lierenden Luft mit angesaugter Frischluft und das sich darauf einstellende Temperatur-

12 Eine einfache Änderung bedeutet die Änderung einer Zahl, meist 0 oder 1. Alles Weitere wird durch

entsprechende Fallunterscheidungen an den relevanten Stellen berücksichtigt.

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

profil im Folgenden, eigenständigen Unterkapitel 3.5.3 beschrieben. Wird für das

Druckfeld mit einer zyklischen Randbedingung gerechnet, weil bspw. Eine durchgängi-

ge top foil ohne mixing-Zone vorliegt, so wird diese zyklische Randbedingung auch auf

die Berechnung der Temperatur im Fluidfilm übertragen. Das Vorgehen wird durch

Abb. 3.8 erläutert, in der ein Druckfeld, die zugehörigen Geschwindigkeitsfelder und die

darüber begründeten Randbedingungen für das ebenfalls gezeigte Temperaturfeld, dar-

gestellt sind.

Die Auswahl der Systemgrenze für die weiteren Komponenten des Lagers ist nicht tri-

vial zu beantworten, muss aber getroffen werden, um die Wärmeströme im Fluidfilm

und durch die Lagerkomponenten definieren zu können. Die Frage, die sich dabei stellt,

ist ab wann Umgebungstemperatur oder eine andere vorzugebende Temperatur ange-

nommen werden kann. Für den typischen Aufbau eines GFL-Prüfstands mit einer aus

einem Lagerbock überkragenden Welle und darauf laufendem Test-GFL, wird für die

Kontaktflächen zwischen top und bump foil sowie Lagerschale und Wellenaußenoberflä-

che mit der umgebenden Luft Umgebungstemperatur Ta angenommen. Während dies

für die Lagerschale und Welle bei freier Positionierung des Prüfstands in einem ausrei-

chend großen und belüfteten Raum sicherlich eine geeignete Annahme ist, lässt sich die

Frage, ob es in den Kanälen um die bump-Struktur herum nicht zu einem Wärmestau

Abb. 3.8: Darstellung der aus dem Druckfeld und darüber vorgegebenen Strömungsgeschwindigkeiten folgen-

den Randbedingungen für das Temperaturfeld an den axialen Rändern und der mixing-Zone

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

kaum sehr schwer beantworten, sodass diese Annahme diskutierbar ist und bleibt.

Ebenfalls schwierig zu erfassen ist ein möglicherweise vorhandener Wärmestrom inner-

halb der Welle in Richtung des Lagerbocks. Dies wird zusätzlich erschwert, falls die

Wärmeproduktion und Temperaturverteilung im Lagerbock, bspw. durch Wälzlager mit

entsprechender Schmierung (und damit Kühlung), unbekannt ist. Der Programmcode

enthält dafür die Möglichkeit eine feste Temperatur, bspw. aus Messungen mit Pyrome-

tern, auf der Wellenaußenoberfläche zu setzen und/oder mit adiabaten Randbedingun-

gen zu arbeiten.

Das Problem der Systemgrenze wird umso schwieriger, je komplexer der Aufbau des

Prüfstands ist und das GFL tief in der Konstruktion eingebettet ist. Dies trifft auch auf

mögliche konkrete Anwendungsfälle in Maschinen zu, wo häufig weitere Wärmequellen

und -pfade vorliegen dürften.

3.5.3 Mixing-Zone

Die mixing-Zone ist der Bereich zwischen dem Ende der top foil (θ=θTf) und ihrer Be-

festigung (θ=0). In [78] wird auf Basis der dort gemessenen Temperaturverteilung von

einem Luftstrom in der Mitte des Lagers ausgegangen, der das Lager nicht verlässt, son-

dern vollständig rezirkuliert. Ein in [25] vorgeschlagenes mixing-Zone-Modell berück-

sichtigt dies, indem nur am axialen Rand der mixing-Zone ein Temperaturverlauf aus

einer Betrachtung der Massenströme angenommen wird, statt, wie es in vielen älteren

Veröffentlichungen gemacht wird [22–24, 88], eine gemittelte mixing-Temperatur über

den gesamten Spaltquerschnitt zu setzen. Die Massenströme und der daraus berechnete

mixing-Parameter λsuc werden in [25] durch CFD-Simulationen bestimmt. In dieser Ar-

beit werden sie direkt aus den Strömungsgeschwindigkeiten im Querschnitt der top foil-

Befestigung und -ende berechnet, ohne dass auf ein externes CFD-Programm zurückge-

griffen werden muss (Gl. 3.40).

(3.40)

Um die Massenerhaltung zu erfüllen, muss ein Unterschied zwischen den Massenströ-

men und durch einen einströmenden Massenstrom an beiden Seiten des

Lagers ausgeglichen werden (deshalb der Faktor 0,5 in der folgenden Gleichung)13.

13 Für sehr asymmetrische Lastfälle mit stark variierender Spalthöhe (was aber vermutlich ohnehin ein

Problem darstellt), wäre es ggf. besser schon den ein- und ausströmenden Massenstrom für beide La-

gerhälften getrennt zu berechnen und anschließend auch zwei getrennte mixing-Parameter λsuc,1,2 zu

definieren. Dies gilt auch, falls mit einer axialen Durchströmung oder Druckdifferenz über die beiden

Lagerseiten gerechnet wird. In diesen Fällen besteht noch Verbesserungspotential für das Modell.

3.5 Randbedingungen für Druck- und Temperaturfeld

(3.41)

Der mixing-Parameter λsuc wird aus dem Verhältnis des einströmenden Massenstroms

und dem Massenstrom am Einlass des Lagers berechnet.

(3.42)

Aus ihm wird die Länge des Mischbereichs berechnet über den ein linearer Anstieg der

Temperatur von der Umgebungstemperatur am Rand zur rezirkulierenden Temperatur,

welche an der Abströmkante der top foil abgegriffen wird, angenommen. Diese Methode

erlaubt eine angemessene Kühlung des Luftstroms, und damit des Lagers mit einem rea-

listisch erscheinenden Temperaturprofil, ohne eine konstante Mischtemperatur im ge-

samten Eintrittsquerschnitt des Lagers setzen zu müssen. Die Auswirkungen des Vorge-

hens sind in der bereits zuvor gezeigten Abb. 3.8 ebenfalls eingetragen. In der Darstel-

lung der Strömungsgeschwindigkeit vθ sind die Querschnitte der Massenströme gezeigt

und in der Darstellung des Temperaturfelds und dem noch mal vergrößerten Bereich ist

der Verlauf der Temperatur in axialer Richtung erkennbar.

3.6 Temperaturabhängige physikalische Eigenschaften

In dieser Arbeit wird großer Wert auf die Abbildung der Temperaturabhängigkeit der

relevanten physikalisch Eigenschaften gelegt. Fast alle physikalischen Eigenschaften der

beteiligten Materialien und Medien sind mehr oder weniger temperaturabhängig. Dies

umfasst sowohl die Eigenschaften des gasförmigen Schmiermediums, in dieser Arbeit

wird für alle Berechnungen trockene Luft verwendet, als auch die metallischen Materia-

lien der Lagerbauteile. Für die Dichte und den Ausdehnungskoeffizienten wird ange-

nommen, dass sich die Luft wie ein ideales Gas verhält. Dann kann die Dichte ρ nach

der idealen Gasgleichung (Gl. 3.43) aus Druck und Temperatur berechnet werden.

(3.43)

Darin ist RL=287,12 die spezifische Gaskonstante für trockene Luft. Der Ausdeh-

nungskoeffizient β ist bei einem idealen Gas der Kehrwert aus der Temperatur (in Kel-

vin) (Gl. 3.44) [103].

(3.44)

3.6 Temperaturabhängige physikalische Eigenschaften

Für die weiteren Werte Wärmeleitfähigkeit λ, dynamische Viskosität μ, Wärmekapazität

cp und Prandtl-Zahl Pr wird die Tabelle aus dem VDI-Wärmeatlas für trockene Luft ver-

wendet [103]. Um zu jedem Zeitpunkt der Berechnung den aktuellen Wert der physika-

lisch Eigenschaft in Abhängigkeit der Temperatur ermitteln zu können, werden die Ta-

bellenwerte durch Polynome mit Hilfe der Matlab-Funktion polyfit.m, welche die ent-

sprechenden Koeffizienten berechnet, interpoliert (s. Abb. 3.9). Die Matlab-Funktion

polyval.m berechnet daraus (im Programmcode dann polyval_q.m genannt) bei Vorgabe

einer Temperatur wieder die entsprechende physikalische Eigenschaft. Im Programmco-

de wird eine, dann polyval_q.m genannte, durch den Verzicht auf nicht relevante Sicher-

heitsabfragen, modifizierte und damit schnellere Variante von polyval.m verwendet. Die

Funktion polyval_q.m arbeitet punktweise, d.h. es kann ihr eine skalare Temperatur

oder ein ganzes Temperaturfeld übergeben und die physikalischen Eigenschaften in al-

len Punkten berechnet werden.

Auf ähnliche Weise wird auch mit den physikalischen Eigenschaften der metallischen

Lagerbauteilen verfahren. Die relevanten Eigenschaften sind hier das E-Modul E, Wär-

meleitfähigkeit λ und der Wärmeausdehnungskoeffizient α. Dabei wird das E-Modul

nur für Wellenwerkstoffe (fliehkraftbedingte Aufweitung) und für den Werkstoff der top

und bump foil (Steifigkeit für die Strukturmodelle) benötigt. Thermospannungen in der

Abb. 3.9: Die Tabellenwerte für trockene Luft aus [103] werden durch Polynome interpoliert

3.6 Temperaturabhängige physikalische Eigenschaften

Lagerschale werden nicht berechnet, weshalb dort kein E-Modul angeben werden muss.

Speziell der Wärmeausdehnungskoeffizient α spielt bei der Berechnung der Temperatur

im Lager eine große Rolle, da hier die Kombination des Wellen- und Lagerwerkstoffs

zum Tragen kommt. Beide Bauteile werden von der im Fluidfilm entstehenden Wärme

durchströmt und heizen sich auf. Von positiven Wärmeausdehnungskoeffizienten aus-

gehend, beginnt sich die Welle in den Fluidfilm hinein auszudehnen. Die Lagerschale

erwärmt sich ebenfalls und dehnt sich aus, vergrößert damit den Fluidfilm14. Die Kom-

plexität erwächst dabei aus der Tatsache, dass die Filmhöhe selbst der Haupteinflussfak-

tor für die entstehende Wärme und damit das Temperaturniveau ist, sowie den tempe-

raturabhängigen Wärmeausdehnungskoeffizienten. Neben dem Standardwerkstoff Inco-

nelX750 für die top und bump foil sind in Abb. 3.10 auch die Verläufe dieser Eigen-

schaften für die Werkstoffe Inconel718 und Acidur X5CrNi18-10 dargestellt, welche ver-

mutlich (oder ähnliche) von [78] für Welle und Lagerschale verwendet werden. Interes-

sant an dieser Werkstoffkombination ist der bis ca. 200°C relativ konstante Wärmeaus-

dehnungskoeffizient von Inconel718 im Zusammenspiel mit dem recht hohen Wärme-

ausdehnungskoeffizient von Acidur X5CrNi18-10. Erst diese Kombination ermöglicht es

14 Die Ausdehnung von top und bump foil wird auch berücksichtigt, ist aber durch die dünne Geometrie

im Verhältnis so klein, dass auf diese bei den Erläuterungen dazu nicht weiter eingegangen wird.

Abb. 3.10: Temperaturabhängigkeit der physikalischen Eigenschaften der metallischen Werkstoffe der Lager-

komponenten. Datenblätter: Inconel 718 [140], Inconel X750 [142], Acidur X5CrNi18-10 [143], 42Cr-

Mo4 [141], Incoloy A-286 [139], S235J [144]

3.6 Temperaturabhängige physikalische Eigenschaften

(u.a.) über den weiten Last- und Drehzahlbereich aus [78] akzeptable Niveaus und An-

stiege für die Temperatur zu berechnen und verdeutlicht die Bedeutung des (tempera-

turabhängigen) Wärmeausdehnungskoeffizienten. Zusätzliche Details und Erläuterun-

gen sowie die für eine konkrete Berechnung tatsächlich verwendeten Werkstoffe werden

in dem entsprechenden Kapitel genannt.

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den

Lagerkomponenten

Die üblicherweise hohen Drehzahlen verursachen durch die kleinen Schmierspalte ei-

nen starken Geschwindigkeitsgradienten und hohe Scherung in radialer Richtung im

Fluid. Zusätzlich wird das Fluid durch die Spaltgeometrie speziell im Bereich der Belas-

tungsrichtung komprimiert. Die Terme der Volumenarbeit und viskose Dissipation Gl.

3.14 erfassen diese Effekte. Beides sorgt für eine Wärmeproduktion im Fluidfilm und

damit eine Erhöhung der Temperatur. Es wird angenommen, dass ein Fluid- und damit

Wärmeaustausch an den axialen Lagerrändern und im Besonderen in der mixing-Zone

stattfindet. Des Weiteren fließen Wärmeströme über die Lagerkomponenten Welle und

durch die top und bump foil sowie Lagerschale in Richtung der mit Umgebungstempera-

tur angenommenen Umgebung. Die Erfassung dieser Wärmeströme erfordert eine Viel-

zahl an Modellen und Annahmen zu den Wärmeübergängen zwischen den Einzelkom-

ponenten und speziell im Bereich der top und bump foil. Der Wärmepfad durch die La-

gerschale wird deshalb durch zwei Modelle mit unterschiedlichem Detailgrad und sehr

unterschiedlicher Berechnungszeit abgebildet. Das einfache Modell ist ein Widerstands-

modell, bei dem die Wärmewiderstände der beteiligten Komponente in einer Schaltung

zusammengefasst werden. Das detaillierte Modell bildet die verschachtelte Struktur aus

top und bump foil im Verbund mit der Lagerschale in vollständig durch Finite-Volumen

ab. Auch für die Welle gibt es ein Widerstands- und Finite-Volumen-Modell. Allerdings

ist hier das detaillierte Finite-Volumen-Modell als Standard zu betrachten, da es durch

die Reduktion auf zwei Dimensionen relativ schnell zu lösen und damit gegenüber dem

Widerstandsmodell kaum im Nachteil ist.

Allgemein lässt sich ein Wärmestrom durch folgende Gl. 3.45 beschreiben:

(3.45)

Die Wärmestrombilanz muss an jeder Übergangsfläche A(-) zwischen den Komponenten

im Gleichgewicht sein. Die Schwierigkeit liegt in der Ermittlung eines geeigneten Wär-

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

meübergangskoeffizienten, die üblicherweise aus experimentell ermittelten Nusselt-

Zahlen Nu(-) abgeleitet werden. Der Wärmeübergangskoeffizient wird anschließend aus

der Wärmeleitfähigkeit und einer Referenzlänge der gegebenen Geometrie berechnet.

Am Übergang werden die physikalischen Eigenschaften der Luft mit der mittleren Tem-

peratur des Übergangspaars bestimmt. In den der Notation der Gleichungen in den fol-

genden Kapiteln werden die physikalischen Eigenschaften der Luft ohne kennzeichnen-

den Index verwendet.

3.7.1 Fluidfilm

Im Fluidfilm gibt es einen Wärmeübergang vom Fluid auf die Welle und die top foil. Der

dafür verwendete Wärmeübergangskoeffizient wird aus der Reynolds-Colburn-Analo-

gie zwischen Fluidreibung und Wärmeübertragung abgeleitet (vgl. [23]). Dabei wird

dem Vorgehen aus [104] gefolgt und die dort angegebenen Gleichungen 3.46–3.49 ver-

wendet.

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

In [104] wird auch gezeigt, dass , falls , was in einem GFL mit den

sehr dünnen Schmierspalten erfüllt ist. Durch Einsetzen der Gl. 3.46–3.49 ineinander

und Umstellen, werden die Wärmeübergangskoeffizienten zwischen Fluidfilm und Wel-

le hFf,W,a und zwischen Fluidfilm und top foil hFf,Tf bestimmt (Gl. 3.50).

(3.50)

Die Koeffizienten ähneln sehr dem Ausdruck für einfache Wärmeleitung , was

realistisch ist, wenn die in [105] gegebene Erklärung beachtet wird, dass die Konvektion

keinen Effekt auf die Wärmeübertragung in einer Taylor-Couette-Strömung mit kon-

stantem Schmierspalt und Strömungsgeschwindigkeit hat. Anschaulich folgt die Erklä-

rung aus der Vorstellung, dass ein beliebig gewähltes Kontrollvolumen von einem kon-

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

stanten konvektiven Wärmestrom durchströmt wird. Also der gleiche Wärmestrom in

das Kontrollvolumen ein- wie ausströmt. Das im nicht konstanten Spalt vorliegende

nicht konstante Geschwindigkeitsprofil wird durch den normierten Geschwindigkeits-

gradienten berücksichtigt.

Mit diesen Koeffizienten werden die Wärmeströme an den radialen Rändern des Flu-

idfilm berechnet.

(3.51)

(3.52)

Der Wärmestrom wird in dieser Form nur für das FVM-Wärmemodell der La-

gerschale verwendet. Für das Wärmewiderstandsmodell wird der Wärmeübergangsko-

effizient hFf,Tf zusammen mit den der anderen Komponenten (top und bump foil sowie

Lagerschale) zu einem äquivalenten Gesamtwärmewiderstand (bzw. Gesamtübertra-

gungsfaktor) zusammengefasst.

3.7.2 Welle

Wärmewiderstandsmodell der Welle

Das Wärmewiderstandsmodell kann lediglich einen radialen Wärmestrom zu einer vor-

zugebenden Randbedingung im Inneren berücksichtigen. Für die Geometrie der Welle

bedeutet dies, dass lediglich eine Hohlwelle im Lagerbereich abgebildet werden kann.

Die Hohlwelle ist erforderlich, weil für das Widerstandsmodell eine Randbedingung an-

gegeben werden muss. Eine axiale Ausdehnung der Welle über das Lager hinaus ergibt

wenig Sinn, da die axialen Wärmeströme nicht abgebildet werden und deshalb keine

Wärme über eventuell vorhandene, freie Wellenoberflächen in diesem Bereich abgege-

ben werden kann. Die Wärmeleitfähigkeit der Welle wird in den Wärmeübertragungs-

koeffizient durch eine zylindrische Wand umgerechnet.

(3.53)

Mit den Wärmeübergängen vom Fluidfilm auf die Wellenaußenoberfläche hFf,W,a und

von der Welleninnenoberfläche an die Umgebung hW,i,∞ lässt sich der Gesamtwärmewi-

derstand als Reihenschaltung der Einzelwärmewiderstände aufschreiben.

(3.54)

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

Darin ist AW,a die Oberfläche an der Außenseite der Welle innerhalb des Lagers die ge-

wählte Bezugsfläche. Als Randbedingung für den Fluidfilm wird der Gesamtwärmewi-

derstand in Form des Gesamtwärmeübergangskoeffizienten benötigt.

(3.55)

Der so ermittelte Wärmeübergangskoeffizient wird bei Berechnung der Temperaturver-

teilung im Fluidfilm mittels der FVM als Randbedingung angebracht.

FVM-Modell der Welle

Das FVM-Modell wird entwickelt, um die größten Nachteile des Wärmewiderstands-

modells zu kompensieren: Berücksichtigung der axialen Wärmeleitung und die Mög-

lichkeit zur Berechnung von Vollwellen. Dazu wird die Welle in radialer und axialer

Richtung durch Finite Volumen diskretisiert. Die Netzerstellung erfolgt voll automati-

siert und orientiert sich dabei an der Vernetzung des Fluidfilms innerhalb des Lagers.

Auch zum Außenradius hin kann zusätzlich ein nicht äquidistantes Netz erstellt werden.

Der Überstand der Welle zu beiden Seiten des Lagers kann parametrisiert vorgegeben

werden. Die Umfangsrichtung wird nicht vernetzt, da wegen der hohen Drehzahl eine

homogene Temperaturverteilung in dieser Richtung angenommen wird. Da für die Wel-

le Rotationssymmetrie vorausgesetzt werden kann, genügt es außerdem eine Hälfte der

Welle zu berechnen. Durch die Ausnutzung dieser Voraussetzungen bleibt das zu lösen-

de Gleichungssystem relativ übersichtlich und die Berechnungszeit im Rahmen. Die

axialen Wärmeleitung ermöglicht die Berücksichtigung von konvektiven Randbedin-

gungen an der aus dem Lager herausragenden freien Wellenaußenoberfläche und, falls

vorhanden, an einer Wellenstirnfläche. Der Wärmeübertragungskoeffizient für die ro-

tierende Wellenaußenoberfläche wird nach [106] mit den folgenden Gleichungen 3.56–

3.58 berechnet.

(3.56)

Darin ist Prt die turbulente Prandtl-Zahl und Ec die Eckert-Zahl. Die Reynolds-Zahl

ReD,W,a wird mit dem Wellenaußendurchmesser DW,a als Bezugsdurchmesser berechnet.

Der Reibungsfaktor cf durch ein Newton-Verfahren iterativ aus der Gl. 3.57, nach [107]

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

und basierend auf einem durch [108] gefundenen empirischen Zusammenhang be-

stimmt.

(3.57)

Der Wärmeübergangskoeffizient hW,a,∞ berechnet sich aus der Nusselt-Zahl NuW,a und

Wärmeleitfähigkeit λW der Welle und dem Wellenaußendurchmesser DW,a mit Gl. 3.58.

(3.58)

Die in Gl. 3.56 mit einem negativen Vorzeichen eingehende Eckert-Zahl Ec sorgt bei

hohen Reynolds-Zahlen für einen Abfall der Nusselt-Zahl und damit des Wärmeüber-

gangskoeffizienten. Auch wird die Nusselt-Zahl durch die Eckert-Zahl abhängig von der

vorliegenden Temperaturdifferenz zwischen Welle TW,a und Ta, weshalb sich keine allge-

meinen Grenzen der Reynolds-Zahl für die Gültigkeit der Gl. 3.56 angeben lassen. Die

Erklärung für den Wechsel im Verhalten ist die bei hohen Reynolds-Zahlen auftretende

viskose Dissipation in der Grenzschicht. Anschaulich gesprochen ist eine beheizte, dre-

hende Welle dann nicht mehr in der Lage ihre Wärme an die Umgebung abzugeben,

sondern wird durch die in der Grenzschicht entstehende Wärme zusätzlich aufgeheizt.

Der Effekt ist in [106] erstmals erfasst und wird in [109–111] weiter untersucht, ergänzt

und bestätigt. Durch die Implementierung der oben genannten Formel, käme der Effekt

auch in dieser Arbeit zur Anwendung. Allerdings befindet sich, nach bestem Wissen,

keine der durchgeführten Berechnungen bei gefundener Gleichgewichtslage in diesem

Grenzbereich. Lediglich bei der Initialisierung, wenn keine Temperaturdifferenz vor-

liegt, würde die dann gegen unendlich gehende Eckert-Zahl eine negativen Wärmeüber-

tragungskoeffizienten ergeben. Dies wird durch die Forderung:

(3.59)

verhindert. Darüber hinaus wird in den genannten Quellen [109–111] zwar der Abfall

des Wärmeübergangskoeffizienten diskutiert und auch der Übergang zu negativen Nus-

selt-Zahlen vorhergesagt. Allerdings bleibt dieser letzte Punkt deutlich schwieriger zu

erfassen und wird nur mit sehr spärlichen experimentellen Daten untermauert. Eine all-

gemeine Anwendbarkeit bleibt deshalb fraglich und wird im Rahmen dieser Arbeit

durch die genannte Forderung 3.59 auch während den Iterationen nicht zugelassen. Im

Zweifelsfall muss dies für zukünftige Berechnungen beachtet und ggf. für jeden Einzel-

fall beurteilt und im Programmcode angepasst werden.

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

Für die Wärmeabgabe über eine möglicherweise vorhandene Stirnfläche der Welle wird

die Nusselt-Zahl gemäß Gl. 3.60 nach [112] bestimmt.

(3.60)

Daraus folgt der Wärmeübergangskoeffizient hW.F,∞ mit der Wärmeleitfähigkeit der Welle

und λW dem Wellenaußenradius RW,a.

(3.61)

Bei Vorliegen einer Hohlwelle kann auch durch den Welleninnenradius RW,i Wärme an

die Umgebung abgegeben werden. In [113] wird dafür die folgende Gl. angegeben.

(3.62)

Darin wird auch eine axiale Durchströmung berücksichtigt, welche aber in dieser Arbeit

nicht validiert wird. Die axiale Reynolds-Zahl Reax,D,W,i beträgt deshalb in allen diesbe-

züglichen Rechnungen immer null und die Nusselt-Zahl wird lediglich mit rotatori-

schen Reynolds-Zahl Rerot,D,W,i berechnet. Der Wärmeübergangskoeffizient hW.i,∞ wird er-

neut aus der Wärmeleitfähigkeit und dem Welleninnendurchmesser DW,i berechnet.

(3.63)

Damit liegen Gleichungen zur Bestimmung des konvektiven Wärmeübergangs für alle

freien Oberflächen der Welle vor. Der Wärmeübergang von einem ausschließlich durch

GFL gelagerter, einfachen Rotor, wie er in Prüfständen verwendet wird, lässt sich durch

eine Kombination dieser Formeln beschrieben. Komplizierte Geometrien wie Absätze,

Sicherungselement oder auch Laufräder werden nicht erfasst und würden zusätzliche,

vermutlich deutlich kompliziertere, Modelle erfordern. Viele GFL-Prüfstände zur Er-

mittlung experimenteller Daten sind außerdem in Form eines Lagerbocks mit konventi-

onellen Wälzlagern zur Lagerung einer Welle und darauf laufendem Test-GFL aufge-

baut. In einem solchen Fall ist die Erfassung des durch die Welle axial Richtung Lager-

bock transportierten Wärmestroms schwierig, da üblicherweise der Wärmeeintrag auch

innerhalb des Lagerbocks unbekannt ist. Um mit einer solchen Situation umzugehen,

kann die Temperatur zwischen dem zu vermessenden GFL und dem Lagerbock (mit

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

vertretbarem Aufwand allerdings nur an der Wellenoberfläche) gemessen werden. Im

numerischen Modell kann eine so gemessene Temperatur als feste Randbedingung an

der entsprechenden Stelle gesetzt werden.

3.7.3 Lagerschale mit top und bump foil

Wärmewiderstandsmodell der Lagerschale

Das Wärmewiderstandsmodell fasst die Komponenten top foil, bump foil und Lager-

schale in einer Kombination aus Reihen- und Parallelschaltung von Wärmewiderstän-

den zusammen [23]. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird es (teilweise) mit Q2 als Ab-

kürzung bezeichnet. Der Wärmeübergang durch die top foil wird mit der Wärmeleitfä-

higkeit des top foil-Werkstoffs λTf als Wärmeleitung durch eine dünne Platte mit der Di-

cke tTf modelliert (Gl. 3.64).

(3.64)

Der Wärmeübergang durch die komplexe Struktur der bump foil wird in [93] ausführ-

lich analysiert. Dort wird vorgeschlagen die bump foil selbst auch als Reihenschaltung

von Wärmewiderständen zu modellieren. Im Gegensatz zu [25], wo ausschließlich die

metallischen Mikrokontakte berücksichtigt werden, wird in [93] festgestellt, dass diese

Mikrokontakte nahezu vernachlässigbar sind gegenüber dem Wärmeübergang durch

die Luft im Bereich der Kontakte (RTf,L, Rbf,L). Der Wärmewiderstand für einen halben

bump-Bogen wird deshalb durch die folgende Reihenschaltung abgebildet15.

(3.65)

Ein Vergleich mit von [22] gemessenen Wärmewiderständen zeigt eine deutlich bessere

Übereinstimmung, als mit den Werten aus [25] (s. Abb. 3.12, die Werte von [25] sind

mit 10-1 multipliziert, um in das Diagramm zu passen). Die Methode zur Bestimmung

des Wärmewiderstands führt zu einem konstanten Verlauf des Wärmewiderstands. Um

die Druckabhängigkeit zu erhalten, werden die experimentellen von [22] ermittelten

Daten durch eine Hyperbel interpoliert. Die Asymptote der Hyperbel wird durch die

Methode nach [93] bestimmt. Das Wärmewiderstandsmodell der Lagerschale ist nicht

in der Lage diskrete Kontakte abzubilden. Der Wärmewiderstand der bump foil muss

deshalb über die Fläche verteilt werden, um einen äquivalenten Wärmeübergangskoeffi-

zienten zu erhalten.

15 Die Länge RBθB in Gl. 3.65 entspricht der Länge eines halben bump-Bogens.

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

(3.66)

Die Fläche Aeff ist der Querschnitt eines bump-Bogens multipliziert mit der doppelten

Anzahl der bumps, da jeder bump aus zwei Bögen besteht. Dieses Vorgehen verteilt den

Wärmeübergang über die gesamte Lagerfläche, anstatt diskreter Kontaktstellen.

In der als Kreisring angenommenen Lagerschale wird nur radiale Wärmeleitung be-

rücksichtigt.

(3.67)

Der konvektive Wärmeübergang von der top (Tf,a) und bump foil (Bf,i) an die Kanäle um

die bump foil wird, wie auch der Übergang von der Lagerschalenaußenmantelfläche

(Ls,a), vereinfacht durch den konvektiven Wärmeübergang eines horizontalen Zylinders

abgebildet (Gl. 3.68). In den Klammern des letzten Satzes sind die Indizes für die mit

dem Index i gekennzeichneten Größen den folgenden Gl. 3.68–3.70 angegeben.

(3.68)

Darin ist Pri die Prandtl-Zahl der Luft und Gri die durch Gl. 3.69 angegebene Grashof-

Zahl.

Abb. 3.11: Wärmeübergänge des Wärmewiderstands-

modells (Q2) an einer Skizze der später verwen-

deten Geometrie

Welle

Lagerschale

Vorne Hinten

top foil

Ff,W,a

Ff,Tf

W,a,∞

W, F ,∞

W,a,∞

W,i,∞

Bf,eff

Bf,i

Tf,a

Ls,a

Q1:

Konvektion

ggf. adiabat

oder Rand-

bedingung

W,i

Ls,a

pλ

bump foil

Q2:

adiabat

Abb. 3.12: Wärmewiderstand der bump foil-Struktur.

Vergleich zwischen Messwerten und Modellen

[93]

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

(3.69)

Der Wärmeübergangskoeffizient für alle gerade genannten Fälle wird dann durch Gl.

3.70 angegeben.

(3.70)

Alle der zuvor genannten Wärmeübergangskoeffizienten werden mit ihren jeweiligen

Radien im Verhältnis zur Bezugsoberfläche Aref=2πR0L skaliert und in der folgenden

Reihen- und Parallelschaltung angeordnet.

(3.71)

Der so berechnete Wärmewiderstand Reff, bzw. der daraus berechnete Wärmeübergangs-

koeffizient heff bildet den gesamten Wärmestrom durch die top und bump foil sowie die

Lagerschale bis zur Umgebungstemperatur ab.

(3.72)

Die Wärmeübergänge für dieses Modell sind an einer allgemeinen, aber mit den später

verwendeten Geometriegrößen, beschrifteten Skizze in Abb. 3.11 zu sehen.

FVM-Wärmetransportmodell für die Lagerschale

Das in dieser Arbeit entwickelte, detaillierte Wärmetransportmodell (im Folgenden

auch mit Q1 abgekürzt bezeichnet) geht bei der Abbildung der Wärmeübertragungspro-

zesse rund um die bump foil viel tiefer ins Detail und beschreibt zusätzlich den Wärme-

transport ohne Einschränkung der Rich-

tung. Dies wird durch eine vollständige

Anwendung der FVM auf jeden kleinen

Abschnitt und Bereich der bump foil er-

reicht. Alle in Abb. 3.13 gezeigten Wär-

meübergange werden individuell berück-

sichtigt. Das Vorgehen ist ähnlich zu dem

in [25] gezeigten, umfasst allerdings

mehr Wärmepfade, speziell von und zu den Luftkanälen unter der bump foil. Die Wär-

meübertragung in Abb. 3.13 werden aus ihrer Wärmeleitfähigkeit bzw. Konvektion,

Übertragungslänge und Übertragungsquerschnitt berechnet. Alle konvektiven Wärme-

Abb. 3.13: Berücksichtigte Wärmeströme im FVM-

Wärmetransportmodell (Q1)

hconv,3

λLs

λTf

λBf,1

λBf,2

hconv,1

hconv,2

hconv,5

hconv,6

hconv,4

Lagerschale RBf,cont

RTf,cont top foil

bump foil

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

übertragungskoeffizient hconv,j werden aus der Gl. 3.73 für die Nusselt-Zahl von beliebig

geformten Flächen und Orientierung in Kombination mit ihren jeweiligen Übertra-

gungsflächen Aj berechnet [114].

(3.73)

Der Kontaktwiderstand RBf,eff aus der Hyperbel-Interpolation durch die Messwerte von

[22] mit der Asymptote nach [93] wird entsprechend der Anteile nach [93] aufgeteilt,

um separate Werte für RTf,L und RBf,L zu erhalten. Sie entsprechen im FVM-Wärmetrans-

portmodell den Kontaktwärmewiderständen RTf,cont und Rbf,cont.

Abb. 3.14: Anordnung der Wärmeübergange zwischen den einzelnen finiten Volumen des FVM-Wärme-

transportmodells der Lagerschale. Die vergrößerten Ausschnitte verdeutlichen die Komplexität der An-

ordnung.

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

Die Anordnung der Freiheitsgrade in Form eines Gleichungssystems ist für eine allge-

meine Knoten- und bump-Anzahl in allen Richtungen und unter Beachtung der Rand-

bedingungen außerordentlich komplex. Insbesondere die Verknüpfung der Kontaktstel-

len mit der Lagerschale. Um davon eine Vorstellung zu ermöglichen, ist in Abb. 3.14 das

Gleichungssystem für ein Beispiel mit 26 bumps und sieben Knoten in radialer Richtung

der Lagerschale dargestellt. Die Vergrößerungen zeigen die in der Gesamtabbildung

nicht erkennbare Anordnung im Detail. Aus dieser Abb. 3.14 ist bereits zu erahnen, dass

sich der Zeitaufwand zur Berechnung von Gleichgewichtslagen unter Berücksichtigung

der Temperatur stark erhöht. Nicht nur muss ein weiteres Gleichungssystem mit vielen

Freiheitsgraden gelöst während den Iterationen gelöst werden, sondern es wurde auch

beobachtet, dass sich das Temperaturgleichgewicht langsamer einstellt als beim Wärme-

widerstandsmodell der Lagerschale. In Anbetracht der häufig geringen Unterschiede

zwischen den Wärmetransportmodellen bei der späteren Präsentation der Ergebnisse,

ist es fraglich, ob der hohe Entwicklungsaufwand gerechtfertigt war. Auf der anderen

Seite bestätigt das FVM-Wärmemodell die Ergebnisse des Wärmewiderstandsmodell,

da sich die Berechnungsmethoden sehr stark unterscheiden und dennoch vergleichbare

Ergebnisse erbringen.

3.7.4 Axiale Durchströmung

Wie bereits angesprochen, konzentriert sich diese Arbeit auf die Validierung des Tem-

peraturmodells mit Messwerten ohne axiale Durchströmung. Dennoch ist diese im ent-

wickelten Modell weitestgehend implementiert. Um dies zu demonstrieren, wird hier

ein als Beispiel zu verstehender Vergleich zwischen Berechnungen mit und ohne axiale

Durchströmung von bump foil bzw. Hohlwelle und beiden Wärmetransportmodellen

der Lagerschale gezeigt. Die Vorstellung erfolgt hier im Kapitel der Wärmetransportmo-

delle, da sie nicht im direkten Vergleich mit Messwerten stehen. Die Lagergeometrie

entspricht der später in Kapitel 5.4 verwendeten. Dargestellt sind die Lastfälle von 5N

bis 50N für die drei Drehzahlen 20000min-1, 50000min-1 und 80000min-1 berechnet

bei einer Umgebungstemperatur von Ta=20°C. Zunächst wird festgestellt, dass beide

Wärmetransportmodelle der Lagerschale trotz ihrer deutlichen Unterschiede in der Mo-

dellierung weitestgehend gleiche Temperaturen für alle Lastfälle liefern. Zur Berech-

nung der Wärmeübergangskoeffizienten wird für die axiale Durchströmung eine Strö-

mungsgeschwindigkeit von vax = vW,ax = 10ms-1 angenommen. Die Abweichungen betra-

gen höchstens rund 2K. Bei Betrachtung der Ergebnisse mit axialer Durchströmung

wird der kühlende Einfluss sofort erkennbar. Die Ergebnisse beider Wärmetransport-

modell bleiben vergleichbar, gehen aber speziell bei der höchsten Drehzahl etwas aus-

3.7 Modellierung der Wärmeströme in den Lagerkomponenten

einander. Die Durchströmung der bump foil scheint effektiver zu sein als die der Hohl-

welle. Hierzu muss allerdings bemerkt werden, dass durch die Vorgabe der Strömungs-

geschwindigkeiten nicht notwendigerweise von einer äquivalenten Kühlung auszugehen

ist. Massenströme würden eine bessere Vergleichbarkeit herstellen. Allerdings ist die Be-

rechnung der Strömungsgeschwindigkeit in den bump-Kanälen unter Beachtung der

Wandreibung und einem möglichen Wechseln zwischen laminarer und turbulenter

Strömung nicht trivial und wurde nicht weiterverfolgt. In einer experimentellen Unter-

suchung zur Effektivität von Kühlungsmethoden in [83] wird allerdings ebenfalls festge-

stellt, dass die Durchströmung der bump foil effektiver ist als eine indirekte Kühlung

über die Welle.

Abb. 3.15: Vergleich der Temperaturen mit und ohne axiale Durchströmung der bump foil vax und der Hohl-

welle vWax und den beiden Wärmetransportmodellen der Lagerschale, Wärmewiderstandsmodell (Q2)

und FVM-Wärmemodell (Q1).

4 Numerische Lösung der thermo-hydrodynamischen Modells

4 Numerische Lösung der thermo-hydro-

dynamischen Modells

Die im vorangegangenen Kapitel beschriebenen Modelle erfordern aufgrund der vorlie-

genden Nichtlinearitäten und der komplexen Interaktion zwischen ihnen numerisches,

iteratives Lösungsverfahren. Reynolds- und Energietransportgleichung sind nichtlineare

partielle Differentialgleichungen und werden üblicherweise numerisch gelöst. In dieser

Arbeit wird die Finite-Differenzen-Methode für die Reynolds-Gleichung und die Finite-

Volumen-Methode zur Diskretisierung und damit Linearisierung der auftretenden Gra-

dienten verwendet. Bei der Lösung der Reynolds-Gleichung ist zu beachten, dass die

darin enthaltene und vom Druck beeinflusste Schmierfilmhöhe ein iteratives Vorgehen

erfordert. Zusätzlich muss ein gefundenes Druckfeld (und zugehörige Schmierfilmhö-

he) das Kräftegleichgewicht zwischen äußerer Belastung und aus der Druckverteilung

auf den Rotor wirkenden Kräften erfüllen. Dazu wird die Exzentrizität, welche ebenfalls

in die Schmierfilmfunktion eingeht, durch den Nelder-Mead-Algorithmus variiert. Die

Bestimmung einer solchen Gleichgewichtslage erfolgt zunächst bei einer angenomme-

nen konstanten Temperatur (und damit Viskosität). Erst im Anschluss wird mit dem

Druckfeld, Schmierfilmhöhe und Geschwindigkeitsverteilung der Wärmetransport und

damit die Temperaturverteilung im Schmierfilm mit Hilfe der Energietransportglei-

chung bestimmt. Die Temperatur im Schmierfilm breitet sich durch die umliegenden

Lagerkomponenten bis zur gewählten Systemgrenze, mit teilweise von der Temperatur

abhängigen Randbedingungen, aus, sodass durch einen iterativen Prozess ein Tempera-

turgleichgewicht gefunden werden muss. Erst wenn ein solches Temperaturgleichge-

wicht gefunden wurde, wird die Reynolds-Gleichung erneut mit der nun gefunden

Schmierfilmtemperatur gelöst. Der Ablauf wird vorgesetzt bis die Änderungen in

Druck- und Temperaturfeld unter ihre vorgegebene Toleranzen TolpT gefallen sind Gl.

4.1.

(4.1)

Durch diesen Ablauf wird eine Gleichgewichtslage für einen bestimmten Lastfall, unter

Berücksichtigung der Temperatur im Schmierfilm und den umliegenden Lagerkompo-

nenten ermittelt.

An die Bestimmung der Gleichgewichtslage schließt sich die Bestimmung der lineari-

sierten Lagerparameter gemäß dem Ansatz von Lund angenommene Störungen um die

4 Numerische Lösung der thermo-hydrodynamischen Modells

Abb. 4.1: Ablaufplan zur Darstellung der Interaktion der Programmmodule. Der Ablauf ist durch die Schlei-

fen weitestgehend automatisiert und erlaubt damit die unbeaufsichtigte Berechnung vieler Varianten.

Soll eine automatisierte Suche der Stabilitätsgrenzdrehzahl oder der Tragfähigkeit durchgeführt wer-

den, so greifen diese Module in den Ablauf ein und steuern durch Drehzahl- bzw. Belastungsvorschläge.

phy. Gaseigenschaften aktualisieren

Fluidgeschwindigkeiten bestimmen

Temperatur: Welle und Lagerschale

Temperatur: Schmierfilm

Vorgaben und Einstellungen

Solver-Einstellungen definieren

Geometrie- und Materialparameter definieren

Lastfälle: Belastung und Drehzahl vorgeben

Temperaturlösung

Beginn: Variation

Solver-Einstellung Beginn: Variation

Geometrie Parameter

Beginn:

Drehzahlschleife

Netz

erstellen

Beginn:

Belastungsschleife

Anpassung an Betriebsbedingungen

temperaturabhängige Materialkennwerte

Spaltanpassung: Fliehkraft & Temperatur

Nelder-Mead-Alg.

Der NMA variiert die Exzen-

trizität zur Ermittlung des

Kräftegleichgewichts.

p ≤ Tol

Kräftegleichgewicht berechnen

G ≤ Tol

nein ja

nein

Reynoldsgleichung lösen

Schmierfilmhöhe bestimmen

nein

Ende: Variation

Geometrie Parameter Ende: Variation

Solver-Einstellung

Ende:

Drehzahlschleife Ende:

Belastungsschleife

Linearisierte Lagerparameter

Stabilitätsbestimmung

Daten

abspeichern

nein

≤

Tol

≤

Tol

≤

Tol

≤

Tol

≤

Tol

≤

Tol

Err

res

2,Err

W,Err

Ls,Err

1,Err T

pT,Err pT

pTf,Err

Drucklösung

4 Numerische Lösung der thermo-hydrodynamischen Modells

Gleichgewichtslage herum an. Die Lagerparameter sind sowohl durch die Gleichge-

wichtslage als auch durch die mit Störungen überlagerte Reynolds-Gleichung (1.-Ord-

nung) von der Temperatur abhängig.

In einer Fortführung des Ansatzes von Lund kann auf Basis der linearisierten Lager-

parameter bestimmt werden, ob sich das Lager stabil oder instabil verhält. Da die

Gleichgewichtslage für eine bestimmte Belastung und Drehzahl berechnet wird, gilt die

Aussage zur Stabilität auch nur für diesen Lastfall. Um für eine konkrete Belastung die

Einsatzdrehzahl der Instabilität zu finden, muss die Drehzahl so lange variiert werden,

bis innerhalb einer vorzugebenden Toleranz sowohl eine stabile und als auch eine insta-

bile Drehzahl gefunden ist. Da für jede Kombination aus Belastung und Drehzahl der

vollständige Ablauf aus Bestimmung der Gleichgewichtslage (unter Temperaturberück-

sichtigung), linearisierte Lagerparameter und iterative Berechnung der Grenzdrehzahl

der Stabilität durchlaufen werden muss, sind Berechnungen für einen großen Parame-

tersatz zeitaufwendig. Die Variation der Drehzahl erfolgt deshalb nicht nur für eine Be-

lastung, sondern für eine alle vorgegebenen Belastungen automatisiert. Darüber hinaus

ist eine automatisierte Variation einer solver-Einstellung und eines geometrischen Para-

meters (auch in Kombination) möglich. Ein Ablaufplan zur Darstellung der Interaktion

zwischen den Programmmodulen und der Reihenfolge der Schleifen ist in Abb. 4.1 dar-

gestellt. Zur Beschleunigung der Konvergenz eines Lastfalls, wird bei Berechnung meh-

rerer Lastfälle, auf den ähnlichsten zuvor bereits berechneten Lastfall zurückgegriffen

und dessen Ergebnisse zur Initialisierung verwendet. Bei der Verwendung der Exzentri-

zität muss allerdings aufgepasst werden, dass nicht zu große Exzentrizität vorgeben wer-

den, die den zur Suche nach der Exzentrizität verwendeten Nelder-Mead-Algorithmus

scheitern lassen, weil bereits eine Durchdringung vorliegt. Eine solche Situation wird

durch mehrere Abfangmechanismen versucht zu vermeiden, zuletzt indem ggf. doch

aus der ursprünglich, bei Berechnungsstart vorgegebenen Startexzentrizität begonnen

wird. Sollte auch das nicht zur Konvergenz führen, muss sich der Berechnungsverlauf

im Detail angeschaut werden.

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der

Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

Die Reynolds-Gleichung, eine nichtlineare partielle Differentialgleichung, wird zur Lö-

sung durch Diskretisierung in ein lineares Gleichungssystem überführt. Aufgrund des

strukturierten Netzes bietet sich die dafür relativ einfach zu implementierende Finite-

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

Differenzen-Methode an. Allerdings ist dabei zu beachten, dass zumindest in z-Rich-

tung ein nicht äquidistantes Netz empfehlenswert und in θ-Richtung möglich ist (s. Kap.

5.1). Die Diskretisierung wird allgemein an der stellvertretenden Variablen x dargestellt.

Der Differentialquotient wird durch eine Taylor-Reihenentwicklung mit Vernachlässi-

gung von Termen höherer Ordnung O(Δx²) gebildet. Bei Verwendung zentraler Diffe-

renzen ergibt sich die erste Ableitung (Gl. 4.2) zu:

(4.2)

Bereits bei der ersten Ableitung werden Halbschritte verwendet, damit die folgende

zweite Ableitung (Gl. 4.3) mit ebenfalls zentralen Differenzen nicht von den direkten

Nachbarknoten entkoppelt wird.

(4.3)

Die Herleitung der allgemeinen Diskretisierungsvorschrift folgt der Darstellung in

[115]. In dieser Quelle wird ebenfalls ausgeführt, dass die Anwendung der Diskretisie-

rungsvorschrift auf ein nicht äquidistantes Netz nicht zu einem formalen Verlust bei der

Fehlerordnung führt, wenn das Netz systematisch verfeinert wird. Eine solche systema-

tische Verfeinerung erfolgt im Bereich hoher Druckgradienten an den axialen Rändern

des Lagers. Über eine solver-Einstellung (z.B. z_refine für die z-Richtung) kann einge-

stellt werden wie viele Randknoten der lokalen Verfeinerung unterliegen. An den äu-

ßersten Randknoten x1 und xN können die zentralen Differenzen nicht angewendet wer-

den, weil die Punkte xi-1 bzw. xi+1 nicht existieren. Für diese Randknoten werden deshalb

Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferenzen verwendet (Gl. 4.4 und 4.5).

(4.4)

(4.5)

Die Diskretisierungsvorschrift wird auf die stationäre Reynolds-Gleichung (Gl. 3.9) in

den beiden Koordinatenrichtung z und θ angewendet. Wie gerade beschrieben, kom-

men zentrale Differenzen für und und Vorwärts- bzw.

Rückwärtsdifferenzen für i = 1, j = 1 bzw. i=Nz, j=Nθ zur Anwendung. Für den Knoten

i,j ergibt sich damit:

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

(4.6)

Obwohl eigentlich sowohl der Druck p als auch die Schmierfilmhöhe unbekannt sind,

wird zunächst nur der Druck p als Unbekannte betrachtet und durch ein Newton-Ver-

fahren linearisiert und in ein Gleichungssystem überführt. In Gl. 4.6 stehen bereits alle

Terme der diskretisierten stationären Reynolds-Gleichung auf der rechten Seite des

Gleichheitszeichens. Zur Lösung der Gleichung ist die Größe fi,j auf der linken Seite des

Gleichheitszeichens zu minimieren. Dazu wird fi,j in jedem Knoten i,j als Funktion von

den Nachbarknoten aufgefasst.

(4.7)

Der Wert für den nächsten Iterationsschritt n+1 lässt sich dann gemäß des Newton-Ver-

fahrens aus den partiellen Ableitungen und den Druckdifferenzen zwischen Nachbar-

punkten darstellen.

(4.8)

Zur Lösung des Gleichungssystems werden die partiellen Ableitungen in der Jacobi-Ma-

trix Jn zusammengefasst und die Druckdifferenzen in einem Differenzdruckvektor Δpn.

(4.9)

Der backslash-Operator in Matlab ist die Standardmethode zur Lösung von linearen

Gleichungssystem. Der Operator fasst eine Vielzahl an Lösungsalgorithmen zusammen

und entscheidet auf Basis einer Analyse der übergebenen Matrix, welcher davon zur

Anwendung kommt. Sowohl die Auswahl als auch die zur Anwendung kommenden Lö-

sungsalgorithmen sind sehr effizient und sehr schnell. Trotzdem erfordert der back-

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

slash-Operator (auch durch die häufigen Aufrufe) einen erheblichen Anteil an der Be-

rechnungszeit einer typischen Berechnung. Die Verwendung von einer dünn besetzten

Matrix für Jn sorgt für eine erhebliche Beschleunigung. Zur Definition der dünn besetz-

ten Matrix wird die in C geschriebene Funktion fsparse.c über die MEX-Schnittstelle

eingebunden [116]. Diese ist deutlich schneller als die native Matlab-Funktion zur Er-

stellung von dünn besetzten Matrizen spdiags.m. Im Falle des Gleichungssystems aus Gl.

4.9 entscheidet sich der backslash-Operator für eine LU-Zerlegung. Eine weitere, wenn

auch nur noch geringe, Zeitersparnis ergibt sich damit aus der Durchführung einer LU-

Zerlegung vor Anwendung des backslash-Operators.

Das Ergebnis des Gleichungssystems ist die Druckdifferenz Δpn, welche zur Berech-

nung der Druckverteilung für den nächsten Iterationsschritt n+1 benötigt wird.

(4.10)

Mit der nun bekannten Druckverteilung wird die Strukturverformung gemäß

dem gewählten Strukturmodell berechnet (s. Kap. 3.2). Für die axialen Rändern muss

kein Druck berechnet werden, da die Randbedingungen (s. Kap. 3.5.1) dort Umge-

bungsdruck vorgeben. Bei Verwendung der SEFM ergibt sich daraus das Problem, dass

die Durchsenkung an den Rändern immer Null beträgt. Selbst bei einer sehr weich an-

genommen top foil ist dieses Verhalten nicht realistisch, da diese immer für eine Vertei-

lung der Druckbelastung sorgen wird. Die Durchsenkung der äußersten Randknoten

i=[1,Nz] muss deshalb angepasst werden, da die weitere Lösung eine vorhandene

Schmierfilmhöhe erfordert. Eine Möglichkeit ist es den äußersten Randknoten die

Durchsenkung ihrer axialen, inneren Nachbarknoten zuzuweisen. Am Rand entsteht

dadurch ein markanter Knick, weshalb die Durchsenkung unter Verwendung der Funk-

tion smooth2a.m [117] mit einer gleiten-

den Durchschnittsbildung geglättet wird.

Über die Anzahl der zur Durchschnitts-

bildung einzubeziehenden Knoten kann

so eingestellt werden, wie steif sich die

top foil verhalten soll, ohne dies konkret

zu simulieren. Die Auswirkungen der

Maßnahmen zur Anpassung der Rand-

knotendurchsenkung sind für einen Bei-

spielfall in Abb. 4.2 dargestellt. Während

für die Berechnungen mit dem LeLez-

Strukturmodell prinzipbedingt immer

Abb. 4.2: Auswirkungen der Anpassung der Durch-

senkung an den axialen Randknoten. Ebenfalls

dargestellt ist, mit den fett gedruckten Knoten-

nummern, der Bereich der Netzverfeinerung.

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

axial gemittelt wird (s. Kap. 3.2.3), wird für Berechnungen mit den SEFM entweder

ebenfalls axial gemittelt, um mit dem LeLez-Strukturmodell vergleichen zu können

oder mit einer Glättung über drei Knoten gerechnet. Die Wahl der Mittelung über drei

Knoten wird nicht durch die tatsächliche Steifigkeit der top foil begründet, sondern

durch die in Abb. 4.2 darstellten Verläufe. Eine Glättung über zwei Knoten verringert

die Durchsenkung am Randknoten wieder minimal unter die zuvor auf den Nachbar-

knoten gleichgesetzte Durchsenkung. Ab einer Glättung über drei Knoten passiert dies

nicht mehr. Der entstehende Knick am Knoten 4 bei Glättung über drei Knoten wird als

vernachlässigbar angesehen. Eine Glättung über vier Knoten verstärkt und verschiebt

diesen Knick zu Knoten 5. Zur Mitte des Lagers hin unterscheiden sich die Glättungen

nicht mehr voneinander. Eine Glättung über drei Knoten scheint damit die beste Wahl,

um die Eigenschaft der SEFM eine axial variierende Durchsenkung abbilden zu können,

zu erhalten16. Mit der so bestimmten Strukturverformung wird mit Hilfe der

Schmierfilmfunktion (Gl. 3.12) die neue Schmierfilmhöhe ausgerechnet, welche für

die nächste Diskretisierung der Reynolds-Gleichung benötigt wird.

Die Iteration wird fortgesetzt, bis die Abweichung zwischen zwei Iterationsschritten

in allen Knoten unter eine Toleranz von Tolp=1e-6 gefallen ist. Formal lässt sich das

Konvergenzkriterium wie folgt aufschreiben:

(4.11)

Um einen konvergierenden Iterationsfortschritt zu erreichen, ist es notwendig mit einer

Unterrelaxation für die Filmhöhe zu arbeiten. Dabei wird zwischen zwei Iterations-

schritten nur ein gewisser Anteil der neu berechneten Schmierfilmhöhe übernom-

men.

(4.12)

Die Wahl des Unterrelaxationsfaktor muss auf Basis von Erfahrung getroffen

werden. Bei einem Unterrelaxationsfaktor nahe Null, wird nur ein geringer Teil des neu-

en Ergebnisses übernommen und die Berechnungszeit verlängert sich. Bei einem Un-

terrelaxationsfaktor nahe Eins kommt es (eigentlich immer) zu Konvergenzproblemen.

Als Anhaltspunkt kann die geschätzte Auslastung der Tragfähigkeit verwendet werden.

Für hochbelastete Lager wird während der Entwicklung des Programmcodes und der

16 Darüber hinaus ist im Programmcode ein Verfahren implementiert, um die Durchsenkung am axialen

Rand durch eine Extrapolation des Gradienten im Inneren zu berechnen. Es kann gewählt werden

zwischen welchen Knoten der Gradient abgegriffen werden soll. Da das Verfahren ist von der Imple-

mentierung deutlich komplizierter und ebenso willkürlich ist wie die Glättung per gleitendem Durch-

schnitt, kam es nicht zum Einsatz.

4.1 Lösung der Reynolds-Gleichung zur Bestimmung der Druckverteilung und Schmierfilmhöhe

Berechnung der Ergebnisse dieser Arbeit ein Unterrelaxationsfaktor von ζh =0,05 ver-

wendet. Aber selbst leicht belastete Lager benötigen normalerweise noch ζh =0,5. Eine

Unterrelaxation für den Druck ist zwar implementiert, kommt aber nicht zur Anwen-

dung, da sie sich nicht als notwendig erwies. Möglicherweise ließe sich durch eine opti-

mierte Kombination aus Druck- und Schmierfilmunterrelaxation das Konvergenzver-

halten noch beschleunigen. Allerdings hängt dies immer vom konkreten Lager und Be-

lastungsfall ab und ist deshalb schwer allgemein zu beantworten.

Die Konvergenz der Iteration hängt auch von den gewählten Startwerten ab. Falls

noch kein vergleichbarer Lastfall berechnet wurde, wird zu Beginn einer neuen Berech-

nung der Druck in jedem Berechnungsknoten pi,j=1 gesetzt. Die initiale Schmierfilm-

höhe berechnet sich aus dieser Anfangsdruckverteilung, der betriebsbedingten Spaltan-

passung und der gewählten Startexzentrizität. Eine Empfehlung für die Startexzen-

trizität wird im Kapitel 4.3.2 gegeben. Für alle weiteren Berechnung werden konvergier-

te Druckfelder und Schmierfilmhöhen von zuvor berechneten Iterationen als Startwerte

verwendet. Auch bei der Berechnung mehrere Lastfälle werden automatisch die vermut-

lich besten Startwerte (auch für die Startexzentrizität) aus den bereits berechneten Last-

fällen ausgewählt. Bei der Beschreibung des Vorgehens zur Ermittlung der Druckvertei-

lung muss beachtet werden, dass eine konvergierte Druckverteilung (mit zugehöriger

Schmierfilmhöhe) noch nicht bedeutet, dass diese das Kräftegleichgewicht erfüllen

muss, weil sie bei konstanter Exzentrizität berechnet wird. Erst die iterative Variation er-

mittelt die zum Kräftegleichgewicht passende Exzentrizität (s. Kap. 4.3)

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der

Temperatur

Die allgemeine Transportdifferentialgleichung Gl. 4.13 lässt sich zur Beschreibung einer

Vielzahl physikalischer Transportvorgänge verwenden, indem die Transportgröße ϕ

und der zugehörige Diffusionskoeffizient Γ an das spezifische Problem angepasst wer-

den.

(4.13)

Um eine Temperaturverteilung für den Fluidfilm zu erhalten, muss der Energietrans-

port in Form der Enthalpie innerhalb des Fluidfilms betrachtet werden (Gl. 4.14). Unter

Voraussetzung eines idealen Gases, wird die Enthalpie zur Transportgröße ϕ=ħ und

der Quotient aus der Wärmeleitfähigkeit und der isobaren Wärmekapazität zum Diffu-

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

sionskoeffizient . Der instationäre Anteil fällt weg, da nur stationäre Zustände

berechnet werden.

(4.14)

Wird nun zusätzlich eine konstante Wärmekapazität cp vorausgesetzt, so gilt ħ=cpT

und es kann ebenso gut die Temperatur als unabhängige Größe verwendet werden.

(4.15)

In der so erhaltenen Gl. 4.15 beschreiben die Anteile Konvektion und Diffusion die Art

des Energietransports, während der Quellterm alle Arten der Wärmeerzeugung für die

jeweilige Transportgröße erfasst. Die Behandlung des Quellterms wird ausführlich in

Kapitel 4.2.1 beschrieben.

Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, wird die in der Strömungsmecha-

nik bewährte Finite-Volumen-Methode (FVM) angewendet. Das Vorgehen und die No-

tation orientieren sich an der Darstellung in [118]. Unter Verwendung des Gaußschen

Integralsatzes lässt sich das Integral über die Divergenz eines Vektorfelds in ein Integral

über die Flüsse durch die Oberfläche überführen.

(4.16)

Für die Reynolds-Gleichung wird die Temperatur in den Knotenpunkten des bereits be-

rechneten Drucks (und der Filmhöhe) benötigt. Um diese Knotenpunkte herum wird

das Berechnungsgebiet in die namensgebenden finiten Volumen (oder Zellen) unter-

teilt. Zur Berechnung der Integrale über alle Volumen wird ein linearer Verlauf der

Temperatur zwischen den im Mittelpunkt der Volumen liegenden Knotenpunkten ange-

nommen. Um bündig mit dem Berech-

nungsgebiet abzuschließen, werden die

Volumen an den Rändern bzw. Ecken des

Berechnungsgebiet als Halbvolumen bzw.

Viertelvolumen ausgeführt. Die so dis-

kretisierten Gleichungen erfüllen das Er-

haltungsprinzip für jedes einzelne Volumen und damit auch bei beliebiger Netzfeinheit

(also auch bei groben Netzen) für das gesamte Berechnungsgebiet. Im Folgenden wer-

den die Bezeichnungen für ein Zylinderkoordinatensystem verwendet, obwohl Energie-

transportgleichung des Fluidfilms im Programmcode aufgrund des geringen Spalts und

Tab. 4.1: Bezeichnung der Nachbarpunkte für FVM

Negative Richtung Positive Richtung

z-Richtung West (W) Ost (O bzw. East E)

θ-Richtung Nord (N) Süd (S)

r-Richtung Bottom (B) Top (T)

Die Kontrollvolumenseitenflächen werden mit den

entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur
der deshalb vernachlässigbaren Krümmung in kartesischen Koordinaten berechnet 
wird. Die Bezeichnung der Nachbarpunkte folgt einer Kompass-Notation aus Tab. 4.1. 
Die stationäre Transportgleichung lässt sich auf Basis der Gesamtströme notieren, in-
dem der diffusive Wärmetransport von der rechten auf die linke Seite gebracht und der 
Quellterm damit isoliert wird:
(4.17)
mit den Gesamtwärmeströmen 4.18:
(4.18)
Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes (Gl. 4.16)auf Gl. 4.17 ergibt:
(4.19)
Darin bezeichnen die Größen Je , Jw , Jn , Js , Jt und Jb den jeweiligen Gesamtwärmefluss in-
tegriert über die entsprechende Volumenseitenfläche (bspw.  )17. 
Da im stationären Zustand auch die Kontinuitätsgleichung erfüllt sein muss, wird diese 
bei der Diskretisierung ebenfalls berücksichtigt.  Sie wird auf gleiche Weise integriert 
(Gl. 4.20):
(4.20)
Für die darin enthaltenen, konvektiv transportierten Energie:
(4.21)
wird angenommen, dass der Strom (ρvcP) jeweils über der gesamten zugehörigen Volu-
menseitenfläche vorliegt. Aus der Multiplikation der Kontinuitätsgleichung mit TP und 
Subtraktion von der Energietransportgleichung ergibt sich die folgende Darstellung (Gl. 
4.22):
(4.22)
Die dabei zusätzlich erfolgte Aufspaltung des Quellterms in einen temperaturabhängi-
gen und -unabhängigen Anteil, wird im folgenden Unterkapitel 4.2.1 erklärt. In dieser 
17 Die Volumenseitenflächen werden in dieser Ableitung der Diskretisierungskoeffizienten als Produkt 
aus den beiden jeweiligen Strecken dargestellt. Für die Berechnung der Volumenseitenflächen muss 
beachtet werde, dass die Spalthöhe axial und in Umfangsrichtung nicht konstant ist. Für die Program-
mierung bietet es sich an die Volumenseitenflächen zusammenzufassen, s. Kap. 4.2.2.
92

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

Darstellung lassen sich die Koeffizienten, bei Annahme eines linearen Verlaufs der Tem-

peratur zwischen den Knotenpunkten, wiederum zusammenfassen. Die Gesamtener-

gieflüsse durch die einzelnen Volumenseitenflächen ergeben sich zu:

(4.23)

worin

(4.24)

Mit der Notation wird das Maximum aus den beiden Argumenten ausgewählt.

Die Koeffizienten De , Dw , Dn , Ds , Dt und Db beschreiben die Wärmeleitung (Diffusion)

durch die jeweilige Volumenseitenfläche.

(4.25)

Mit den so gefunden Koeffizienten lautet die abschließende Diskretisierung:

(4.26)

mit

(4.27)

Wenn SP=0, ergibt in dieser Notation die Summe der Nachbarkoeffizienten ae , aw , an ,

as , at und ab gerade den Wert aP innerhalb einer Zelle (Gl. 4.27). Im vorliegenden An-

wendungsfall ist zwar SP≠0, dennoch hilft diese Forderung, von [118] als „Regel 4“ be-

zeichnet, bei der Programmierung. So kann relativ einfach die Besetzung der für das

Gleichungssystem benötigten Matrix überprüft werden, bevor der Quelltermanteil SP

addiert wird. Die verwendete Notation aus Gl. 4.23–4.27 erlaubt außerdem durch die

Verwendung der Funktion die kompakte Darstellung verschiedener Diskretisie-

rungsmethoden, welche in Tab. 4.2 aufgeführt sind. Neben den häufig verwendeten

Aufwind- und Zentrale-Differenzen-Diskretisierungsverfahren und dem Exponential-

Verfahren, welches die exakte Lösung für den eindimensionalen Fall abbildet, sind dar-

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

über auch das Hybrid-Verfahren und das

Powerlaw-Verfahren definierbar. Die bei-

den zuletzt genannten Verfahren greifen

dabei das Aufwind- und Zentrale-Diffe-

renzen-Verfahren auf, indem sie durch

Fallunterscheidungen auf Basis der

Péclet-Zahl Pe zwischen den beiden Verfahren interpoliert und sich so dem Exponenti-

al-Verfahren bei geringerem Berechnungsaufwand annähern. Die Péclet-Zahl be-

schreibt das Verhältnis zwischen konvektivem und diffusivem Wärmetransport. Das

Hybrid-Verfahren geht davon aus, dass sich der diffusive Wärmetransport (Wärmelei-

tung) ab einer Péclet-Zahl größer als |2| nicht gegen die Strömungsrichtung durchsetzt,

also vernachlässigt werden kann. D.h. ab einer Péclet-Zahl größer als |2| wechselt das

Hybrid-Verfahren vom Zentrale-Differenzen-Verfahren auf das Aufwind-Verfahren.

Statt einem harten Wechsel zwischen den beiden Verfahren beschreibt das Powerlaw-

Verfahren eine Annäherung an das Exponential-Verfahren bis zu Péclet-Zahl von |10|.

Über einer Péclet-Zahl von |10| wird ausschließlich konvektiver Wärmetransport be-

rücksichtigt. Die für das in dieser Arbeit verwendete Powerlaw-Verfahren notwendigen

Fallunterscheidungen sind am Beispiel des Koeffizienten aE in Gl. 4.28 bzw. in Tab. 4.2

allgemein in kompakter Form angegeben.

(4.28)

Die bei GFL üblicherweise vorliegenden hohen Drehzahlen sorgen für hohe Strömungs-

geschwindigkeiten in weiten Bereichen des Lagers, was einen Einsatz des Aufwind-Ver-

fahrens erlauben würde18. Speziell an den Rändern und/oder an den Übergängen zur

mixing-Zone kann allerdings nicht ausgeschlossen werden, dass aufgrund der Randbe-

dingungen geringere Strömungsgeschwindigkeiten vorliegen. Zur Berücksichtigung des

diffusiven Wärmetransports in diesen Bereichen geringer Strömungsgeschwindigkeit,

kommt in dieser Arbeit Powerlaw-Verfahren zur Anwendung19.

18 Testweise durchgeführte Berechnungen mit dem Aufwind-Verfahren ergaben in den untersuchten Fäl-

len vernachlässigbare Unterschiede in den festgestellten Temperaturen.

19 Die testweise Implementierung eines total variation diminishing-Verfahrens (TVD), welches durch die

Wahl einer geeigneten Interpolationsfunktion zu einem Verfahren zweiter Ordnung wird, zeigt keine

grundsätzlich anderen Ergebnisse in Temperaturniveau und -verteilung. Deshalb und aufgrund der ge-

ringeren Erfahrung mit dem Verfahren wird auf eine weitere Verfolgung dieser Methode verzichtet.

Eine Beschreibung des Verfahrens findet sich bspw. in [119].

Tab. 4.2: Diskretisierungsmethoden für die FVM

Verfahren Formel für

Zentrale-Differenzen

Aufwind-Differenzen 1

Hybrid

Power law

Exponential

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

Wird die dargestellte Diskretisierung in die Koeffizienten aus Gl. 4.26 und 4.27 auf alle

Zellen im gesamte Berechnungsgebiet des Fluidfilms angewendet, können die Koeffizi-

enten in Form eines linearen Gleichungssystems mit der gesuchten Temperatur T als

Unbekannte überführt werden.

(4.29)

Der Einbau von Randbedingungen erfolgt am Übergang zur Welle bzw. zur top foil und

Lagerschale über die Quellterme, indem dort der entsprechende Wärmestrom addiert

wird. Eine feste Temperatur als Randbedingung an den Seitenrändern wird gesetzt, in-

dem diese an den entsprechenden Positionen (s. Kap. 3.5.2) direkt in den Quelltermvek-

tor SC auf der rechten Seite eingetragen wird. In der Hauptdiagonalen der Koeffizienten-

matrix AFVM wird in der zugehörigen Zeile eine 1 eingetragen. Alle anderen Einträge der

Zeile mit den Einflüssen der Nachbarzellen auf diese Zelle werden auf 0 gesetzt. Bei der

Lösung des Gleichungssystem mit Hilfe des backslash-Operator in Matlab ergibt sich so

gerade die gesetzte Randbedingungstemperatur.

Die hier gewählte Darstellung orientiert sich sehr eng an der von [118]. Zum einen,

weil diese zu den besten Darstellungen gehört, zum anderen, weil auch der Programm-

code diesem Vorgehen sehr eng folgt. Eine weitere gute Darstellung, unter anderem

auch mit mehr Beispielen, findet sich in [119] und auch [115].

Das beschriebene Verfahren wird analog auch auf die weiteren durch die FVM dis-

kretisierten Lagerkomponenten angewendet. Beide Iterationsschleifen, die zur Berech-

nung des Temperaturgleichgewichts zwischen den Lagerkomponenten (T2,Err) und die

zur Aktualisierung der temperaturabhängigen physikalischen Eigenschaften der Luft

(T1,Err), werden fortgesetzt, bis die Ergebnisse unter die vorgegebene Toleranz TolT =

0,01K fallen Gl. 4.30.

(4.30)

4.2.1 Linearisierung und weitere Behandlung des Quellterms

Der im Rahmen der FVM eingeführte Quellterm ST ist von zentraler Bedeutung für alle

in dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen. In ihm werden die Wärmeentste-

hungsprozesse während des Betriebs erfasst und bildet damit den Ausgangspunkt für

die Betrachtung der Wärmeströme durch die Lagerkomponenten. Die Wärmeentste-

hung wird als Mittelwert im Mittelpunkt einer Berechnungszelle aufgefasst und durch

eine Multiplikation mit dem jeweiligen finiten Volumen näherungsweise integriert Gl.

4.31 (für einen linearen und/oder konstanten Verlauf wäre die Integration exakt).

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

(4.31)

Zwei Wärmeentstehungsprozesse, die Volumenarbeit und die viskose Dissipation, bil-

den den Quellenterm.

(4.32)

Ein positiver Druckgradient sorgt für eine Erwärmung des Fluids durch Kompression.

Ein negativer Druckgradient entzieht dem Fluid Wärme durch Expansion. Im Verlauf

der mittleren Fluidfilmtemperatur ist dies am Anstieg der Temperatur bis zur Stelle mi-

nimaler Filmhöhe in Umfangsrichtung und dem anschließenden Abfall im divergieren-

den Spalt durch Entspannung erkennbar (s. Abb. 3.8). Der folgende erneute Anstieg bis

zur mixing-Zone lässt sich durch die Kompressionsarbeit gegen den dort angenomme-

nen Umgebungsdruck erklären. Da der Druck über die Spalthöhe als konstant ange-

nommen wird, liegt in dieser Richtung kein Druckgradient vor.

Der zweite Wärmeentstehungsprozess ist die viskose Dissipation. Die Kombination

aus hohen Drehzahlen (hoher Strömungsgeschwindigkeit) und dünnem Schmierspalt

verursacht in GFL hohe Geschwindigkeitsgradienten radialer Richtung. Über die Multi-

plikation mit der Viskosität wird daraus die Schubspannung (Reibung) für die beiden

Geschwindigkeitskomponenten entlang des Umfangs und in axialer Richtung berech-

net. Die Geschwindigkeitskomponente in radialer Richtung vr ist gegenüber den ande-

ren beiden Komponenten vernachlässigbar gering, wodurch alle Geschwindigkeitsgra-

dienten mit Beteiligung dieser wegfallen . Ebenfalls vernachlässigbar

gering sind die Geschwindigkeitsgradienten in axialer und Umfangsrichtung

[21]. Dies sind auch in der weiteren Literatur gängige Annahmen

[22, 25, 90]. In dieser Arbeit lassen sie sich ohne erkennbaren Einfluss auf die Ergebnis-

se verwenden.

Durch die nichtlineare Temperaturabhängigkeit der Viskosität μ(T), liegt formell ein

nichtlinearer Quellterm vor, der für das lineare FVM-Gleichungssystem linearisiert wer-

den muss. Prinzipiell sind viele Arten der Linearisierung möglich, bei der die Viskosität

in einen konstanten und einen linear von der Temperatur abhängigen Anteil aufgeteilt

wird.

(4.33)

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

Der nicht abhängige Anteil a2 bildet zusammen mit der ebenfalls nicht von der Tempe-

ratur abhängigen Volumenarbeit den konstanten Quelltermanteil SC (Gl. 4.34). Bei der

Lösung des Gleichungssystems 4.29 steht dieser Anteil auf der rechten Seite.

(4.34)

Der temperaturabhängige Anteil SP (Gl. 4.35) muss formell auf der linken Seite des Glei-

chungssystems berücksichtigt werden.

(4.35)

Wie in Gl. 4.27 dargestellt, wird er von den Koeffizienten aP subtrahiert, welche auf die

Hauptdiagonale des Gleichungssystems geschrieben werden. Allerdings ist dabei zu

beachten, dass eine starke positive Abhängigkeit mit großen Werten für SP dazu führen

könnten, dass diese gegenüber den weiteren Summanden der Nachbarzellen dominie-

ren, und dadurch die Einträge für aP negativ werden. Sollte eine solche Situation eintre-

ten, kann es zu einer divergierenden Lösung kommen. Um dies zu verhindern, wird bei

der Linearisierung für SP ein negatives Vorzeichen gefordert [118].

Aus den in [103] tabellierten Werte für die Viskosität in Abhängigkeit von der Tem-

peratur ist ersichtlich, dass ein positiver Zusammenhang zwischen Viskosität und Tem-

peratur vorliegt (s. Abb. 3.9). Sie bilden die Grundlage für eine Interpolation zur Ermitt-

lung der Koeffizienten a1 und a2. Auf Basis der Temperatur aus dem letzten Iterations-

schritt, wird zwischen den beiden nächstgelegenen in der Tabelle angegeben Daten-

punkten linear interpoliert. Damit ergibt sich eine abschnittsweise lineare Interpolation

der Viskosität über den gesamten, tabellierten Temperaturbereich. Durch die positive

Abhängigkeit der Viskosität der Luft (bzw. allgemein von Gasen) wird der Koeffizient a1

und damit SP positiv. Anschaulich gesprochen liegt hier ein sich selbst verstärkender Zu-

sammenhang vor, da es durch den Anstieg der Temperatur zu einem Anstieg der Visko-

sität und damit zu einem weiteren Anstieg der Wärmeerzeugung und damit Temperatur

kommt. Trotzdem muss es dadurch nicht zwingend zur Divergenz der Lösung kommen.

Solange zwischen den Iterationsschritten nur kleine Temperaturunterschiede auftreten,

weil bspw. ein ausreichender Wärmeabtransport stattfindet, kann diese unter Umstän-

den weiterhin konvergieren.

In [118] wird für eine positive Abhängigkeit als bewährtes Vorgehen vorgeschlagen

den temperaturabhängigen Anteil, statt in der Koeffizientenmatrix auf der linken Seite,

zusammen mit dem temperaturabhängigen Anteil auf der rechten Seite zu berücksichti-

gen. Dazu wird er mit der Temperatur aus dem letzten Iterationsschritts multipliziert

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

und addiert. Da bei Konvergenz der iterativen Lösungsfindung der Unterschied zwi-

schen den berechneten Temperaturen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Iterations-

schritten immer kleiner wird, wird auch der Fehler, der durch die Berechnung der Vis-

kosität mit den Werten aus dem vorangegangenen Schritt gemacht wird, immer kleiner

und letztlich vernachlässigbar. Im Programmcode kann mit der solver-Einstellung stabi-

lize_LGS zwischen der möglicherweise divergierenden Linearisierungsmethode und der

Empfehlung aus [118] gewechselt werden. In den, während der Implementierung des

bewährten Vorgehens zur Vermeidung von positivem SP, durchgeführten Testrechnun-

gen, ergaben sich maximale Unterschiede von 0,01K an einzelnen Berechnungsknoten.

Das bewährte Vorgehen zur Stabilisierung ist deshalb bei allen weiteren Berechnungen

als Standard aktiviert.

4.2.2 Berechnung FVM-Zellgeometrie

Durch die Annahme, dass die bei der FVM betrachteten konvektiven und diffusiven

Flüsse auf der gesamten Fläche ihrer zugehörigen Volumenseite anliegen, können diese

bei Anwendung des Gaußschen Integralsatzes einfach miteinander multipliziert werden.

Daraus ergeben sich die in Kapitel 4.2 beschrieben und zur Darstellung der finalen Dis-

kretisierungsvorschrift verwendeten Koeffizienten Fξ und Dξ mit ξ [e, w, n, s, t, b]. In

der dort verwendeten Kompassnotation sind die Flächen den Richtungen wie folgt zu-

geordnet:

•Ost (East, e), West (w):

•Nord (n), Süd (s):

•Top (t), Bottom (b): .

Bei der Berechnung der Flächen ist zu beachten, dass die Spalthöhe axial und in Um-

fangsrichtung nicht konstant ist. In diesen beiden Richtungen (Aθ,r, Az,r) werden die je-

weiligen Seitenflächen deshalb aus zwei Trapezen zusammengesetzt. Dies ist beispielhaft

in Gl. 4.36 und 4.37 am Beispiel der z,r- und θ,r-Ebene für die Flächen As und Ae darge-

stellt. Die Abb. 4.3 enthält eine Skizze der Flächen in allen drei Richtung.

(4.36)

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

(4.37)

Die Flächen werden auch im Programmcode zunächst mit der jeweiligen gesamten

Spalthöhe berechnet und erst anschließend durch die Multiplikation mit den Abständen

der Zellenseitenflächen in r-Richtung auf die Zellen aufgeteilt. Die in den Gl. 4.36 und

4.37 dargestellten Höhen entsprechenden dann (beispielsweise):

(4.38)

Für die zur r-Richtung senkrechten Flächen Az,θ ist es nicht erforderlich mit Trapezen zu

rechnen. Hier genügen einfache Rechtecke. Durch die Lage der Zellenseitenflächen zwi-

schen den Knotenkoordinaten müssen die Flächen dennoch aus zwei Rechtecken (bzw.

sogar vier, bei ungleichmäßigem Netz in θ-Richtung) zusammengesetzt werden (Gl.

4.39).

(4.39)

Mit der Annahme, dass die Zellen näherungsweise einem Quader entsprechen, werden

die Flächen Az,θ auch zur Berechnung des Volumens der einzelnen Zellen verwendet.

Dazu werden sie mit den Zellhöhen im Zellknoten multipliziert.

Abb. 4.3: Skizze zu den FVM-Flächen und den zur Berechnung notwendigen Abmaßen in allen drei Raum-

richtungen. Erkennbar ist auch die Zusammensetzung aus Trapezen.

zi-1 zi-0,5 zizi+0,5 zi+1

Pi,j

hi,j-0,5

hi-0,5,j-0,5 hi+0,5,j-0,5

θj-0,5

θj

θj+0,5

Aθ,r,2

Aθ,r,1

Az,r,1 Az,r,2

Az,θ,3

zi - zi-0,5

zi-0,5 - zi-1

R0(θj - θj-0,5)

R0(θj+0,5 - θj)

hi+0,5,j

hi+0,5,j+0,5

zi - zi-1 zi+1 - zi

zi+0,5 - zi

Az,θ,1 Az,θ,2

Az,θ,4

hi-1,j-0,5

4.2 Lösung der FVM-Modelle zur Bestimmung der Temperatur

(4.40)

Die so berechneten Volumen entsprechen damit nicht genau der Geometrie, da der

Spalt in Umfangsrichtung (und je nach Strukturmodell und getroffenen Annahmen

auch in axialer Richtung) variiert und das Volumen deshalb streng genommen kein ex-

akter Quader ist. Bei feinem Netz ist dieser Fehler vernachlässigbar, da die Variation der

Spalthöhe dann relativ sanft erfolgt. Das Gesamtvolumen des Spalts bleibt davon unbe-

rührt und wird richtig berechnet. Darüber hinaus ist die Methode der Integration der

Quellterme ebenfalls nur eine näherungsweise Approximation über die Mittelpunktsre-

gel, da die Größe der Quellterme im Rest des Volumens nicht bekannt ist. Die Genauig-

keit der Volumenberechnung wird deshalb als ausreichend erachtet.

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Für den sicheren Betrieb eines GFL ist entscheidend wie sich ein GFL unter den Anfor-

derungen eines Lastfalls verhält. Als Lastfall wird hier die Kombination aus einer statio-

nären Drehzahl und einer Belastung bezeichnet, wobei die Belastung aus dem Rotorei-

gengewicht mr und weiteren externen Kräften zusammengesetzt sein kann. Damit sich

eine Druckverteilung und damit tragfähiger Schmierfilm bildet, ist ein exzentrischer

Lauf des Rotors im Lager erforderlich.

Eines der grundlegenden Ziele des entwickelten Berechnungscodes ist deshalb die

Bestimmung der Exzentrizität, bei der sich ein Kräftegleichgewicht zwischen den aus

der Druckverteilung auf den Rotor wirkenden Kräften Fx, Fy und der Belastung Wx, Wy

einstellt. Dazu wird die zunächst zur Berechnung eines Druckfeld in Kapitel 4.1 als kon-

stant angenommene Exzentrizität variiert.

(4.41)

Für einen Standardfall mit nur in x-Richtung wirkendem Rotoreigengewicht mr wird

Wx = mrg und Wy = 0 gesetzt. Dabei ist g die Erdbeschleunigung. Alternativ kann das

Koordinatensystem über den Kraftangriffswinkel θW gedreht werden. Die aus der

Druckverteilung auf den Rotor wirkenden Kräfte werden durch eine Integration be-

stimmt (Gl. 4.42).

(4.42)

100

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Da die Integration der Druckverteilung aufgrund des ungleichmäßigen Netzes nicht tri-

vial ist, wird die dafür implementierte Simpson-Regel in einem eigenen Unterkapitel

4.3.1 beschrieben. Der Einfluss der Exzentrizität steckt in der Druckverteilung p(z,θ)

und ihrer zugehörigen Schmierfilmhöhe h(z,θ), welche direkt durch die Exzentrizitäts-

anteile εx und εy beeinflusst werden (Gl. 3.12). Steht die Berechnungsvorschrift zur Be-

stimmung von Druckverteilung und den daraus folgenden Kräften fest, so kann die Su-

che nach der passenden Exzentrizität als Minimierungsproblem aufgefasst werden (Gl.

4.41). Die Beschreibung der zur Lösung des Minimierungsproblems verwendeten Nel-

der-Mead-Algorithmus erfolgt in Kapitel 4.3.2.

4.3.1 Simpson-Regel zur Integration des Druckfelds

Als Lösung der Reynolds-Gleichung liegt die Druckverteilung in Form diskreter Druck-

werte in den Berechnungsknoten vor. Um daraus die auf den Rotor wirkende Kraft

(bzw. Kräfte in x- und y-Richtung) zu ermitteln, muss diese mit einem geeigneten Ver-

fahren numerisch integriert werden. Die durch die Wahl des Netzes bereits festgelegten

Knoten werden als Stützstellen bzw. Intervalle für eine Integration durch die Simpson-

Regel verwendet. Gegenüber der einfacheren Trapezregel, welche nur lineare Funktio-

nen exakt integrieren kann, bietet die Simpson-Regel den Vorteil Polynome bis zum

dritten Grad exakt integrieren zu können. Hohe Gradienten (wie sie insbesondere an

den Rändern vorkommen) lassen sich damit bei gegebenem Netz besser abbilden. Aller-

dings ergeben sich aus der Simpson-Regel zwei Schwierigkeiten. Zum einen wird sie

häufig nur in ihrer kompakten Form für äquidistante Stützstellen angegeben und zum

anderen nur für eine ungerade Anzahl Stützstellen (bzw. gerade Anzahl Intervalle). Da

im Berechnungscode an den Rändern eine lokale Verfeinerung des Netzes eingestellt

werden kann und auch für die Anzahl der Berechnungsknoten, außer einer Mindestan-

zahl von mehr als vier Knoten (in z- und θ-Richtung) keine Vorgaben gemacht wird,

muss die Aufstellung der Simpson-Regel diese Besonderheiten berücksichtigen.

Über die File-Exchange-Plattform Matlab Central lässt sich die Funktion simps.m be-

ziehen, welche diese Anforderung erfüllt [120]. Sie ist allerdings verhältnismäßig zeit-

aufwendig, was durch die sehr häufigen Aufrufe20 auch im Rahmen der Gesamtberech-

nungszeit ins Gewicht fällt. Die Implementierung der Simpson-Regel in C (mxSimps.m)

und Einbindung über die Matlab-MEX-Schnittstelle bringt eine deutliche Zeitersparnis.

20 Zur Berechnung der auf den Rotor wirkenden resultierende Kraft muss das Druckfeld über die z- und

θ-Richtung integriert werden. Dies geschieht getrennt in den beiden Richtungen (x und y) des Rotor-

koordinatensystems. Insgesamt kommt die Integrationsfunktion zur Berechnung für einen Exzentrizi-

tätspunkt vier Mal zur Anwendung. Wie im Folgenden noch beschrieben wird, müssen zur Bestim-

mung der Gleichgewichtslage viele Exzentrizitätspunkte iterativ abgesucht werden.

101

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Bei einer ungeraden Anzahl an Stützstellen x (gerade Anzahl an Intervallen N) wird in

der kompakten Darstellung der Simpson-Regel nach Gl. 4.43 vorgegangen. Dabei sind

die Intervallbreiten mit hi bezeichnet.

(4.43)

Liegt eine gerade Anzahl an Stützstellen (ungerade Anzahl an Intervallen) vor, so wird

bis zum vorletzten Intervall die gleiche Vorschrift (Gl. 4.43) verwendet (deshalb das Ab-

runden N/2 über dem Summenzeichen). Das letzte Intervall wird durch eine weitere

quadratische Interpolation durch die letzten drei Stützstellen (xN-1, xN, xN+1) erfasst und

addiert. Dazu wird das Gleichungssystem 4.44 gelöst.

(4.44)

Die Funktion simps.m löst dies elegant durch die Verwendung des backslash-Operators

in Matlab. Um einen vergleichbaren Lösungsalgorithmus zu erhalten, müssten bei der

C-Codegenerierung weitere Bestandteile der Programmbibliothek LAPACK eingebun-

den werden. Es lässt sich aber auch eine analytische Lösung (Gl. 4.45) ermitteln und

wird somit im Programmcode verwendet.

(4.45)

Im Vergleich der Ergebnisse der Integrationsfunktionen simps.m und mxSimps.m in

Abb. 4.4 ist zusätzlich auch die nativ in Matlab vorhandene Funktion trapz.m zur nume-

rischen Integration mit Hilfe der Trapezregel aufgeführt. Während die Ergebnisse der

beiden auf der Simpson-Regel basierenden Funktionen nicht unterscheidbar sind, nä-

102

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

hern sich die Ergebnisse der Trapezregel

erst bei feinerem Netz den anderen an.

Die Berechnungszeit für jeweils 10000

Aufrufe der Funktionen ist auf der zwei-

ten y-Achse aufgeführt. Zur besseren

Vergleichbarkeit ist in den Balken der

prozentuale Anteil der Berechnungszeit

gegenüber der Funktion simps.m (Funk-

tion mit der längsten Berechnungszeit)

dargestellt. Je nach Netzgröße, wird im

Durchschnitt für einen Aufruf von mx-

Simps.m nur noch rund 5% – 10% der Zeit von simps.m benötigt, was einer Beschleu-

nigung um den Faktor 10–20 entspricht. Damit ist die MEX-Funktion auch schneller

gegenüber der einfacheren und ungenaueren trapz.m. Die Darstellung der Berech-

nungszeiten soll auch für die anderen, im Zuge dieser Arbeit durch die MEX-Schnitt-

stelle in C umgesetzte Funktionen, einen Eindruck über die dabei erzielbaren Zeitge-

winne vermitteln.

4.3.2 Nelder-Mead-Algorithmus zur Ermittlung der

kräftegleichgewichterfüllenden Exzentrizität

Der Nelder-Mead-Algorithmus (NMA), auch Downhill-Simplex-Verfahren (DHS) ge-

nannt, ist ein iteratives Verfahren zur unbeschränkten Minimierung n-dimensionaler

nichtlinearer Funktionen [121]. Die Kräfte Fx und Fy aus Gl. 4.41, 4.42 und damit das

Kräftegleichgewicht Gx und Gy müssen numerisch bestimmt werden. Das häufig zur Mi-

nimierung verwendete Newton-Raphson-Verfahren benötigt die aus den partiellen Ab-

leitungen gebildete Jacobi-Matrix zur Berechnung des nächsten Iterationsschritts (ver-

gleichbar mit dem Vorgehen aus Gl. 4.9). Da keine explizite Abhängigkeit zwischen dem

Kräftegleichgewicht Gx und Gy und den Exzentrizitäten εx und εy angegeben werden

kann, muss die Jacobi-Matrix numerisch bestimmt werden. Bei einer angenommen Dis-

kretisierung zweiter Ordnung der partiellen Ableitungen müssten zur Bestimmung der

Jacobi-Matrix vier Druckverteilung nach dem in Kapitel 4.1 beschrieben Vorgehen be-

rechnet. Zwar muss die Jacobi-Matrix nicht notwendigerweise für jeden Iterationsschritt

neu berechnet werden, aber das Newton-Raphson-Verfahren bleibt trotzdem sehr zeit-

aufwendig. Besonders falls noch höhere Diskretisierungsordnungen erforderlich sind,

um eine stabile Konvergenz zu erreichen.

103

Abb. 4.4: Die Simpson-Regel in C benötigt die gerings-

te Zeit und liefert die gleichen bzw. bessere Er-

gebnisse als die Alternativen

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Der NMA bietet gegenüber dem Newton-Raphson-Verfahren den großen Vorteil ohne

(numerische) Ableitung auszukommen. Stattdessen wird sich dem Optimum über einen

Vergleich von berechneten Funktionswerten genähert. Er ist außerdem relativ robust

gegenüber schlecht gewählten Startwerten. Der folgende Ablauf basiert auf [122], wor-

auf auch die Implementierung der Matlab-Funktion fminsearch.m, welche ebenfalls ei-

nen Nelder-Mead-Algorithmus enthält, beruht.

Zur Bestimmung der Gleichgewichtslage muss die Differenz zwischen der Belastung

und der Kraft aus dem Druckfeld minimiert werden.

(4.46)

Die Startexzentrizität εx und εy ist aufgeteilt in die Anteile in x- und y-Richtung. Es liegt

deshalb ein zweidimensionales Minimierungsproblem (n=2) vor. Zur Initialisierung

wird aus der Startexzentrizität das erste Simplex mit n+1 Punkten konstruiert. Dazu

werden die Werte der Startexzentrizität nacheinander um 5% reduziert (bei εx ≠0,

εy≠021). Bei einer, wie im vorliegen Fall von εx, εy, Minimierung eines zweidimensiona-

len Problems, ist die Figur ein Dreieck in der Ebene (s. Abb. 4.5). Bei drei Parametern

entspricht sie einem Tetraeder im Raum. Bei mehr als vier Parametern ist die Figur

nicht mehr auf einfache Weise anschaulich zu beschreiben. Die Wahl der Größe der Va-

riation von 5% ist dabei zunächst beliebig, hat sich aber in den durchgeführten Berech-

nungen als geeignet erwiesen. Ein kleinerer Wert macht selten Probleme, verlängert al-

lerdings unter Umständen die Berechnungszeit, da der Algorithmus länger braucht, um

den Bereich um die Startexzentrizität zu

verlassen. Von entscheidender Bedeu-

tung bei der Initialisierung ist, dass die

beiden aus der Startexzentrizität berech-

neten, weiteren Exzentrizitäten ε1, ε2 klei-

ner sind, da zu große Exzentrizitäten be-

reits hier zu negative Schmierfilmhöhen

führen können, die als Lösung nicht zu-

lässig sind. Dies wird insbesondere wich-

tig, wenn der NMA nach dem ersten

Durchlauf der Druck-Temperatur-Iterati-

21 Ist einer der Werte gleich null, wird 0,00025 addiert. Da dieser Wert allerdings sehr klein ist, benötigt

der Algorithmus meist etwas länger, um die Startwerte zu verlassen. Es wird deshalb empfohlen mit

kleinen Werten, aber ungleich null zu starten. Zusätzlich kann die erwartete Auslenkungsrichtung auf-

grund der Belastung und Drehrichtung berücksichtigt werden. Eine konkrete Empfehlung für den an-

genommen Standardfall mit Belastung in positiver x-Richtung und positiver Drehrichtung um die z-

Achse lautet εx = 0,2, εy = 0,1.

104

Abb. 4.5: Darstellung des Dreiecks des ersten Simplex

für die empfohlene Startexzentrizität ε1

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

on erneut mit den nun berechneten Temperaturen aufgerufen wird. Da die Temperatur

üblicherweise zu einer Verringerung der Schmierfilmhöhe führt (s. Kap. 3.4) und die

Gleichgewichtsexzentrizität der letzten Druck-Temperatur-Iteration als Startpunkt für

das erste Simplex der zweiten Druckiteration verwendet wird, könnte ein Aufspannen

des Simplex in Richtung größerer Exzentrizitäten zu negativen Schmierfilmhöhen füh-

ren. Darüber hinaus wird für jedes erste Simplex im Ablauf des NMA der Wert der Ex-

zentrizitäten begrenzt, in dem die diese im Zweifelsfall so lange radial in Richtung der

Lagermitte geschoben werden, bis für alle drei Punkte eine positive Filmhöhe vorliegt.

Dabei wird schrittweise vorgegangen und nur soweit wie nötig aber in zunehmend grö-

ßeren Schritten Richtung Lagermittelpunkt verschoben. Reichen 100 Schritte nicht aus,

wird zuletzt versucht aus dem Lagermittelpunkt mit εx =0, εy=0 zu starten. Wird auch

damit kein Punkt mit positiver Filmhöhe gefunden, liegt meistens ein Fall vor bei dem

sich die Welle soweit ausgedehnt hat, dass sie nicht mehr ins Lager passt. Gegenüber

dem klassischen Ablauf ist diese Anpassung im Ablaufplan mit gestrichelten Linien er-

gänzt Abb. 4.8. Daraus ist auch ersichtlich, dass sie nur bei der Erstellung des ersten

Startsimplex zu Beginn einer Druckfeldberechnung greifen. Weitere Maßnahmen und

Anpassungen am Algorithmus, um diverse Konvergenzprobleme zu verhindern, werden

im weiteren Verlauf beschrieben.

Nach der Erstellung des Startsimplex und Berechnung der zugehörigen Funktions-

werte, werden die das Startsimplex bildenden Punkte in der Reihenfolge ihrer Funkti-

onswerte von klein nach groß sortiert. Anschließend entscheidet der NMA auf Basis

von Funktionswertvergleichen zwischen verschiedenen Aktionen zur Manipulation der

Form des Simplex. Die möglichen Aktionen zur Manipulation des Simplex sind in Abb.

4.6 dargestellt. Anschaulich gesprochen verschiebt der NMA das Dreieck bzw. zieht es

zusammen, indem der Punkt mit dem höchsten (schlechtesten) Funktionswert durch

einen Punkt mit einem niedrigeren (besseren) Funktionswert ersetzt wird (Reflexion,

105

Abb. 4.6: Mögliche Aktionen des Nelder-Mead-Algorithmus zur Manipulation der Simplexform

max

ε ε ε ε

max

Kon,a

Kon,i

S,1

S,2

a) Reflexion b) Expansion c) äußere

Kontraktion

d) innere

Kontraktion e) Verkleinerung

min

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Expansion, innere und äußere Kontraktion). Nur falls dabei kein kleinerer Funktions-

wert gefunden wird, wird eine Verkleinerung durchgeführt, bei der der Punkt mit dem

kleinsten Funktionswert behalten und alle anderen Punkte zu diesem hingezogen wer-

den. Dies geschieht so lange bis die vorgegebene Fehlertoleranz TolG unterschritten wird.

Die Fallunterscheidungen zur Entscheidung welcher Schritt durchgeführt wird, sind im

Ablaufplan in Abb. 4.8 dargestellt. Der erste Schritt nach Aufstellung und Berechnung

des Startsimplex ist die Reflexion. In der Erwartung eines besseren Funktionswerts wird

der schlechteste Punkt εmax am Mittelpunkt zwischen den anderen Punkten

mit Hilfe des Reflexionskoeffizienten α gespiegelt.

(4.47)

Ist der Funktionswerte Gr am reflektierten Punkt εr kleiner als das der bisher kleinste

Funktionswert des Simplex Gmin, scheint die Richtung zu stimmen und es wird eine Ex-

pansion berechnet. Der schlechteste Punkt εmax wird wiederum durch den Mittelpunkt

der anderen Punkte (über den reflektierten Punkt hinaus) mit Hilfe des Expansionsko-

effizienten γ expandiert.

(4.48)

Ist der Funktionswert des expandierten Punkts Ge kleiner als der bisher kleinste Funkti-

onswert des Simplex Gmin, wird der Punkt εmax mit dem bisher höchsten Funktionswert

Gmax durch den expandierten Punkt εe ersetzt. Andernfalls wird durch den reflektierten

Punkt εr ersetzt. Anschließend wird überprüft, ob ein akzeptables Minimum erreicht ist.

Falls nicht, ist damit ein Durchlauf des NMA beendet (linker Arm im Ablaufplan 4.8)

und es wird ein neuer Durchlauf mit dem aktualisierten Simplex gestartet.

Ist der Funktionswerte Gr des reflektierten Punkts größer (oder gleich) als der bisher

kleinste Funktionswert Gmin, aber kleiner als der höchste Funktionswerte Gmax des Sim-

plex, wird der reflektierte Punkt εr, ebenfalls als Ersatz für den schlechtesten εmax akzep-

tiert. Anschließend wird überprüft, ob die Toleranz erfüllt ist und andernfalls die nächs-

te Iteration mit dem aktualisierten Simplex gestartet (mittlerer Arm im Ablaufdia-

gramm 4.8).

Ist der Funktionswert Gr des reflektierten Punkts εr größer als (oder gleich) alle Funk-

tionswerte Gi außer dem größten (schlechtesten) des aktuellen Simplex, wird eine Kon-

traktion durchgeführt (rechter Arm im Ablaufplan 4.8). Innerhalb der Kontraktion

wird weiter unterschieden, aber beide Varianten (s. Abb. 4.6 c) und d)) münden, wenn

sie nicht erfolgreich sind, ein einer Verkleinerung. Ist der Funktionswert Gr des reflek-

tierten Punkts εr kleiner als der höchste Funktionswert des Simplex Gmax wird eine äuße-

re Kontraktion mit Hilfe des Kontraktionskoeffizienten β durchgeführt.

106

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

(4.49)

Ist der Funktionswert Gkon,a des durch äußere Kontraktion berechneten Punkts εkon,a klei-

ner (oder gleich) als der Funktionswert Gr des reflektierten Punkts εr wird dieser akzep-

tiert, überprüft, ob ein Minimum vorliegt und ggf. eine neue Iteration gestartet. An-

dernfalls kommt es zu einer Verkleinerung.

Eine innere Kontraktion wird durchgeführt, wenn der Funktionswert Gr des reflek-

tierten Punkts εr größer (oder gleich) als der höchste Funktionswert Gmax des aktuellen

Simplex ist. Es wird ebenfalls der Kontraktionskoeffizient β verwendet.

(4.50)

Akzeptiert wird der durch innere Kontraktion gefundene Punkt εkon,i, wenn sein Funkti-

onswert Gkon,i kleiner ist als der bisher höchste Funktionswert Gmax. Andernfalls wird

ebenfalls eine Verkleinerung durchgeführt.

Für die Verkleinerung bleibt der Punkt εmin mit dem niedrigsten Funktionswert Gmin

erhalten. Alle anderen werden um den Verkleinerungskoeffizienten δ in Richtung des

besten Punkts εmin verschoben.

(4.51)

Anschließend wird überprüft, ob ein Minimum vorliegt und ggf. eine neue Iteration mit

dem aktualisierten Simplex gestartet. Ein beispielhafter Verlauf der Bewegung des Sim-

plex (das Dreieck) und das dabei konver-

gierende Kräftegleichgewicht ist in Abb.

4.7 dargestellt. Gut erkennbar ist in die-

ser Abb. 4.7 auch das mit dickeren Linien

markierte Startsimplex und das letztend-

lich gefundene Minimum εmin, um das

sich das Simplex zusammenzieht.

Wie bereits erwähnt, folgt der ausge-

führte Ablauf dem Vorgehen aus [122]

und übernimmt somit auch die dort er-

wähnte Änderung gegenüber dem origi-

nalen NMA aus [121] von 1965. So ak-

zeptiert der originale NMA den während

des Expansionsschritts berechneten

Punkt εe, wenn sein Funktionswert Ge

kleiner ist als der niedrigste Funktions-

107

Abb. 4.7: Beispielhafter Verlauf des Simplex in der ε-

Ebene und Konvergenz des Kräftegleichgewichts.

Startsimplex ist mit dicken Linien markiert

(rechts oben). Das Minimum εmin ist mit Werten

angegeben.

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

wert Gmin des aktuellen Simplex. Stattdessen wird im beschriebenen Ablauf der bessere

der beiden Punkte aus Reflexion εr oder Expansion εe akzeptiert, falls beide einen nied-

rigeren Funktionswert, als den des aktuellen besten Punktes aufweisen. Dies ist eine

gängige Anpassung in neueren Veröffentlichungen zum NMA [123–125].

Bereits in der Veröffentlichung von Nelder und Mead wird die Größe der Koeffizien-

ten (α, β, γ, δ) zur Steuerung der Reflexion, Expansion, Kontraktion und der Verkleine-

rung variiert und diskutiert. Letztlich wird dort eine Empfehlung von α=1, β=0,5,

γ=2, δ=0,5 für die Koeffizienten gegeben. Diesem Vorschlag wird in dieser Arbeit

und auch in anderer Literatur gefolgt [123–125]. Die Verwendung von den in [126] für

zweidimensionale Probleme berechneten Koeffizienten brachte keine eindeutige Verbes-

serung für die durchgeführten Berechnungen und diese werden deshalb nicht weiter be-

rücksichtigt. Prinzipiell können die Koeffizienten variiert werden, falls Konvergenzpro-

bleme auftreten. Eine Lösung für alle Konvergenzprobleme sind sie allerdings nicht und

meistens sind diese an anderen Stellen, wie bspw. ungünstigen Startbedingungen, un-

günstige Kombination aus Drehzahl und Belastung oder nicht ausreichender Wärmeab-

transport zu suchen.

108

Abb. 4.8: Ablaufplan für den Nelder-Mead-Algorithmus. Klassischer Ablaufplan mit durchgezogenen Verbin-

dungen, Ergänzung zur Vermeidung negativer Schmierfilmhöhen mit gestrichelten Linien. Die Anpas-

sungen aus [122] sind gegenüber dem originalen Ablaufplan aus [121] ebenfalls berücksichtigt. Die

Darstellung basiert auf [121, 147].

Berechne Punkte εi und

Funktionswerte Gi(εi)

Berechne Reflexion:

εr = (1+α)ε - αεmax

Gr(ε)= f(εr)

Gr < Gmin

Berechne Expansion:

εe = (1+γ)εr - γε

Ge(ε) = f(εe)

Ge < Gr

Akzeptiere Expansion:

Ersetze εmax durch εe

Gleichgewichtslage

gefunden

Gibt es ein

εi ≠ εmax, so dass

Gr < Gi

Gr < Gmax Ersetze εmax, Gmax

(temporär) durch εr, Gr

Berechne Kontraktion:

εkon = βεmax + (1 + β)ε

Gkon(ε) = f(εkon)

Akzeptiere Reflexion:

Ersetze εmax durch εr

Akzeptiere Kontraktion:

Ersetze εmax durch εkon

Komprimiere Simplex:

Ersetze εi durch

εS,i = δ(εi + εmin)

Gkon < Gmax

Gmin < TolG

nein

janein

nein (innere Kontraktion)

nein

Sortiere Gmin ≤ Gi ≤ Gmax

und entspr. εmin ≤ εi ≤ εmax

hi > 0 Verringere εi in radialer

Richtung bis hi > 0

nein

äußere Kontraktion

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Grundsätzlich ist die Eigenschaft der Unbeschränktheit des NMA bei der Suche nach

dem Kräftegleichgewicht von Vorteil. Zwar sind die Exzentrizitäten durch die Lagerab-

messungen begrenzt, durch die nachgiebige bump-Struktur sind diese Grenzen aller-

dings nicht im Voraus bekannt. Speziell bei hoch belasteten Lagern an der Grenze ihrer

Tragfähigkeit spielt dies eine große Rolle, da die dabei auftretenden Strukturverformun-

gen die Grenzen (der Exzentrizitäten) maßgeblich verschieben. Für das Zusammenspiel

zwischen der zu minimierenden Funktion und dem Ablauf des NMA werden deshalb

drei Maßnahmen implementiert, um zu große Exzentrizitäten, die zu einem Zusam-

menbruch des Schmierfilms und Druckfelds führen, zu verhindern. Als wichtigste Maß-

nahme hat sich erwiesen bei jeder Iteration zur Berechnung des Druckfelds drei Bedin-

gungen zu überprüfen.

Die Schmierfilmhöhe darf nicht unter null fallen. Dies kann passieren, falls vom

NMA ein Punkt mit (zu) großer Exzentrizität vorgeschlagen wird. Der Unterrelaxati-

onsparameter ζh bei der Aktualisierung der Schmierfilmhöhe während der iterativen Be-

stimmung des Druckfelds spielt dann eine wichtige Rolle, da durch ihn starke Änderun-

gen in der Schmierfilmhöhe abgemildert werden (s. Kap. 4.1 und die folgenden Absät-

ze). Ist es trotzdem nicht möglich positive Schmierfilmhöhe zu erreichen, wird der Ex-

zentrizitätspunkt verworfen.

Für die zweite Bedingungen wird überprüft, ob eine unzulässig hohe Strukturverfor-

mung hc vorliegt. Bei starken Druckgradienten, wie sie insbesondere bei Lagern an ihrer

Belastungsgrenze vorkommen, kann es unter Umständen, bedingt durch die Diskreti-

sierung, zu extremen und völlig unrealistischen Druckspitzen kommen. Solche Druck-

spitzen lassen sich am einfachsten über ihre Auswirkung auf die Strukturverformung er-

kennen, da entsprechend extreme Strukturverformungen auftreten. Offensichtlich ist

diese in der Praxis selbst im Extremfall durch die Lagerschale begrenzt. Falls eine höhe-

re Strukturverformung hc als die bump-Höhe hB auftritt, wird die Druckiteration abge-

brochen und der Exzentrizitätspunkt verworfen.

Die dritte Bedingung ist eine Erweiterung der zweiten Bedingung. Neben unrealis-

tisch hohen positiven Druckspitze können auch negative Druckspitzen auftreten. Da der

Druck auf Umgebungsdruck normiert ist, sind Werte kleiner als Null nicht realistisch.

Tritt eine der Bedingungen ein, wird die Druckiteration abgebrochen und das Druck-

und Schmierfilmfeld auf die Werte der letzten vollständig konvergierten Berechnung

zurückgesetzt. Das Ergebnis des Kräftegleichgewichts für diesen Exzentrizitätspunkt

wird auf Gres=Wres +1 gesetzt. Damit wird dem unzulässig hohen Exzentrizitätspunkt

ein Funktionswerte höher als die Belastung selbst zugewiesen. Da der NMA durch sei-

nen Ablauf versucht hohe Funktionswerte zu ersetzen, wird dadurch automatisch eine

109

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

andere Richtung für die weitere Suche eingeschlagen. Problematisch wird es allerdings,

wenn mehr als ein Punkt des aktuellen Simplex durch die oben beschriebenen Maßnah-

men verworfen wird. Dann haben zwei Punkte den exakt gleichen Funktionswert und

der Algorithmus tendiert dazu sich festzufahren. Versuche dem Funktionswert einen

um eine Zufallszahl modifizierten Wert zuzuweisen, um die eindeutige Sortierung der

Funktionswerte zu erhalten, haben sich nicht als zuverlässig erwiesen. Stattdessen wer-

den nach einem Durchlauf des NMA zwei Bedingungen überprüft. Zum einen, ob

(mindestens) zwei identische Funktionswerte vorliegen. Zum anderen, ob zwei identi-

sche Exzentrizitätspunkte vorliegen. Zwei identische Funktionswerte entstehen vor al-

lem, wenn durch die oben beschriebenen Maßnahmen dem Ergebnis des Kräftegleich-

gewichts der gleiche Wert zugewiesen wird. In diesem Fall ist es einfach zwei identische

Werte zu finden, weil diese voneinander abgezogen auch numerisch exakt null ergeben.

In seltenen Fällen konvergierte der NMA gegen einen Wert (interessanterweise dann

häufig gegen 0,00105N) knapp oberhalb der (üblicherweise) gesetzten Fehlertoleranz

von TolG=0,001N. Es konnte nicht ermittelt werden, ob diese Nähe zufällig entsteht

oder einen tieferen Hintergrund hat. Natürlich wäre es möglich in diesem Fall die will-

kürlich gewählte Fehlertoleranz TolG minimal anzuheben. Der Grund für die in diesem

Fall ausbleibende Konvergenz liegt in den zu ähnlichen Exzentrizitätspunkten. Die Ent-

scheidung ab wann zwei Punkte als gleich anzusehen sind, ist allerdings nicht so einfach

zu treffen wie bei den Funktionswerten. Numerisch wird zwischen den Punkten prak-

tisch immer eine minimale Differenz vorliegen. Außerdem ist der Ablauf des NMA ge-

rade darauf ausgelegt, dass sich alle drei Punkte des Simplex auf einen Punkt zusam-

menziehen. Zwei Punkte dürfen also weder zu früh (da sonst der Ablauf des NMA ge-

stört wird) noch zu spät (da sonst das Konvergenzproblem nicht behoben wird) als

gleich angesehen werden. Eine Rundung auf die neunte Nachkommastelle hat sich als

guter Kompromiss für Gleichheit von zwei Punkten erwiesen. Der Rundungsparameter

kann in den solver-Einstellungen angepasst werden, falls zukünftige Berechnungen Än-

derungen erforderlich machen.

Tritt eine der beiden Bedingungen ein, wird für den nächsten Durchlauf des NMA,

ausgehend vom aktuell besten Punkt, ein neues zufallsbestimmtes Simplex initialisiert

(im Zweifelsfall bis die Obergrenze an zulässigen NMA-Iterationen erreicht ist), in der

Hoffnung dabei wieder ein Simplex mit zulässigen Exzentrizitäten zu finden. Damit

wird dem Algorithmus die Möglichkeit gegeben sich dem Minimum nochmals auf ei-

nem anderen Weg zu nähern und möglicherweise doch eine Konvergenz zu erreichen.

Gelingt dies nicht, müssen die Ursachen (bspw. ungünstiger Lastfall mit zu geringem

Wärmeabtransport und starker thermischer Aufweitung) im Detail betrachtet werden.

110

4.3 Bestimmung der Gleichgewichtslage

Erst durch das Zusammenspiel der beschriebenen Maßnahmen zur Verbesserung der

Robustheit, wird für die in dieser Arbeit durchgeführten Berechnungen Konvergenz er-

reicht. Dies gilt insbesondere für die Berechnungen bei hohen Belastungen und Dreh-

zahlen, und dann auch hohen Temperaturen, bei denen, bedingt durch alle drei Fakto-

ren, kleine Schmierfilmhöhen auftreten.

Als weitere Möglichkeit zur Beschränkung wird in [123] vorgeschlagen durch den

Reflexions- oder Expansionsschritt berechnete Punkte, die außerhalb der zulässigen

Grenzen liegen, auf den zulässigen Grenzwert zurückzusetzen. Für das Minimierungs-

problem des Kräftegleichgewichts liegen aufgrund der nachgiebigen bump-Struktur kei-

ne im Voraus bekannten zulässigen Grenzen vor, sondern diese ergeben sich erst dyna-

misch während den Iterationen aus der berechneten Strukturverformung. Auf Basis ei-

nes bereits berechneten Druckfelds aus der letzten Iteration kann mit Hilfe der zugehö-

rigen Strukturverformung abgeschätzt werden, ob ein durch Reflexion oder Expansion

vorgeschlagener Punkt zu einer negativen Schmierfilmhöhe führen wird. Sollte dies ein-

treten, werden die Koordinaten des ursprünglich vorgeschlagen Punktes radial in Rich-

tung Ursprung verschoben, bis wieder eine positive Schmierfilmhöhe vorliegt. Aller-

dings wird durch die Abschätzung auf Basis einer alten Strukturverformung gleichzeitig

der Suchbereich künstlich beschränkt. Denn die eigentliche Exzentrizitätsgrenze für den

vorgeschlagenen Punkt, könnte sich während der Druckfeld- und Schmierfilm-Iteration

durch die Anpassung der Strukturverformung noch ändern. So kann es bei Verwen-

dung dieser zweiten Maßnahme in Grenzfällen passieren, dass keine Gleichgewichtslage

gefunden werden kann, obwohl ohne diese künstliche Beschränkung (nur durch die ers-

te, vorher beschriebene, Maßnahme beschränkt) eine Gleichgewichtslage gefunden

wird. Obwohl diese zweite Maßnahme damit schlechter funktioniert als die erste, ver-

bleibt die Implementierung im Code, denn sie eignet sich zur Suche nach einer Gleich-

gewichtslage unter konkreter Vorgabe einer minimal zulässigen Schmierfilmhöhe. Über

einen Kontrollparameter in den solver-Einstellungen ist sie zu- oder abschaltbar. Die

erste Maßnahme bleibt dauerhaft aktiv, weil eine negative Schmierfilmhöhe während

der Berechnungen in jedem Fall verhindert werden muss.

Die Maßnahmen und Anpassungen zur Verbesserung der Robustheit und des Kon-

vergenzverhaltens sind notwendig für die Berechnung von hoch belasteten Lagern an

der Grenze ihrer Tragfähigkeit, und allgemein bei auch für GFL relativ niedrigen ver-

bleibenden nominalen Spalten (ggf. bedingt durch den Fliehkraft- oder Temperaturein-

fluss, s. 3.4). Für Berechnungen, die sich nicht in diesem Bereich erfolgen, werden die

Maßnahmen nicht aktiv und der NMA läuft ohne weitere Einschränkungen bis zur Er-

füllung der Toleranz TolG durch seinen Ablaufplan 4.8.

111

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter und

Stabilitätsgrenzdrehzahl

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung

der lin. Lagerparameter und Stabilitätsgrenzdrehzahl

Die Bestimmung der Stabilitätsgrenze für einen Lastfall teilt sich auf in die Berechnung

der linearisierten Lagerparameter und die Verwendung dieser zur Lösung des Eigen-

wertproblems und Ermittlung der Stabilität.

4.4.1 Berechnung der linearisierten Lagerparameter

Die Berechnung der Lagerparameter erfolgt nach dem in Kapitel 3.3 beschriebenen Vor-

gehen. Nach Aufteilung der mit Störgrößen überlagerten Reynolds-Gleichung in eine

Gleichung 0.- und 1.-Ordnung, muss die Gleichung 1.-Ordnung gelöst werden. Voraus-

setzung dafür ist die Kenntnisse der die Gleichung 0.-Ordnung erfüllenden, bei der Be-

stimmung der Gleichgewichtslage bestimmten Größen Druckfeld , Schmierfilmhöhe

, Temperaturfeld und Viskosität . Zu Lösen bleibt die Gleichung 1.-Ordnung.

Diese Differentialgleichung in Δpξ lässt sie sich in der diskretisierten Form aus Gl. 3.27

als lineares Gleichungssystem für beide Raumrichtungen x und y durch den backslash-

Operator in Matlab lösen. Das Ergebnis sind die Stördrücke in den beiden Raumrich-

tungen Δpx und Δpy. Diese werden entsprechend der Gl. 3.28–3.30 verwendet, um über

ein Kräftegleichgewicht die linearisierten Lagerparameter zu bestimmen.

Da die linearisierten Lagerparameter von der Störfrequenz abhängig sind wird dieses

Vorgehen für alle vorgegeben Störfrequenzen bzw. Störfrequenzverhältnis durchgeführt.

Die Berechnung eines Bereichs von Störfrequenzen ist notwendig, um in der sich an-

schließenden Stabilitätsberechnung nach einer Übereinstimmung mit der Eigenfre-

quenz zu suchen.

4.4.2 Lösung des Eigenwertproblems und Ablauf zur Bestimmung

der Stabilitätsgrenzdrehzahl

Die Bestimmung der Stabilitätsgrenzdrehzahl erfordert die Lösung des Eigenwertpro-

blems der Bewegungsdifferentialgleichung 3.30 aus Kapitel 3.3.1. Hierzu werden zwei

Lösungsansätze verfolgt. Das allgemeine Eigenwertproblem lässt sich mit Hilfe der Mat-

lab-Funktion polyeig.m effizient lösen. Im Falle der hier betrachteten Selbstanregung ist

nicht nur das Vorzeichen des Realteils von Bedeutung, sondern auch die Übereinstim-

mung zwischen Störfrequenz und berechneter Eigenfrequenz. Der Schnittpunkt muss

112

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter und

Stabilitätsgrenzdrehzahl

grafisch ermittelt werden. Die Verwendung und den Einsatz dieser Methode in dieser

Arbeit wird weiter unten beim Vorgehen zur Suche der Stabilitätsgrenze beschrieben.

Lund [35] verfolgt einen etwas anderen Ansatz und verwendet die Bedingung der

übereinstimmenden Eigenfrequenz und Störfrequenz bereits bei der Berechnung der

Eigenwerte. Daraus ergibt sich, ob eine berechnete Drehzahl im Rahmen des Verfahrens

stabil oder instabil ist. Das Vorgehen nach Lund wird im Folgenden beschrieben.

Um die Bewegungsdifferentialgleichung 3.32 in der Form eines Eigenwertproblems

zu bringen, werden die harmonischen Störansätze , einge-

führt und die linearisierten Lagerparameter zu modalen Impedanzen zξζ =Kξζ + iωSDξζ

mit und zusammengefasst.

(4.52)

Unter Voraussetzung einer nicht-trivialen Lösung (also Δex ≠ 0, Δey ≠ 0) befindet sich

das Lager an der Grenze zur Instabilität, wenn die Determinante der Matrix in Gl. 4.52

verschwindet. Dazu wird die Größe mωS2=λ gesetzt und das charakteristische Polynom

gelöst.

(4.53)

Da das charakteristische Polynom ein Polynom zweiten Grades ist, liegen die Lösungen

für λ paarweise vor. Sie stellen den Gleich- und Gegenlaufanteil der Störung bezogen

auf die Rotordrehrichtung dar. Laut [35] spielt für eine Stabilitätsbetrachtung nur der

Gleichlaufanteil (Minuszeichen) eine Rolle. Der Argumentation von [35] folgend, muss

an der Grenze zur Instabilität λ=mωS2 vorliegen, also real sein. Somit muss der Imagi-

närteil für diesen Fall verschwinden. Durch die Variation der Störkreisfrequenz ωS wird

die kritische Störkreisfrequenz ωcrit ermittelt, bei der dieser Fall eintritt.

(4.54)

Entsprechend werden die zugehörige Steifigkeit bzw. Masse als kritische Steifigkeit Kcrit

bzw. kritische Masse mcrit bezeichnet (Gl. 4.55).

(4.55)

113

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter und

Stabilitätsgrenzdrehzahl

Da die Steifigkeit und Dämpfung, wie in der Beschreibung zur Ermittlung der lineari-

sierten Lagerparameter in Gl. 3.30 gezeigt, selbst von der Drehzahl und Störkreisfre-

quenz abhängig sind, muss iterativ vorgegangen werden, um die Stabilitätsgrenzdreh-

zahl für eine bestimmte Belastung zu finden. Zunächst wird für eine bestimmten Dreh-

kreisfrequenz Ω (Ω=2πn) und Belastung die Gleichgewichtslage und damit die Lösun-

gen zur Gleichung 0.-Ordnung ermittelt. Diese wird benötigt, um die linearisierten La-

gerparameter für einen vorzugebenden Bereich von Störkreisfrequenzen ωS zu bestim-

men. Alternativ kann auch ein Störfrequenzverhältnis vorgegeben werden, um

für verschieden Drehzahlen die gleichen Verhältnisse beizubehalten. Daraus folgend,

lassen sich die Eigenwerte (für das grafische Verfahren) und die modale Impedanz (für

das Verfahren nach Lund) berechnen.

Um an der Grenze zur Instabilität feststellen zu können, ob ein Übergang von stabil

zu instabil oder instabil zu stabil vorliegt, wird in [34] in Ergänzung zum Verfahren von

Lund eine Variationsrechnung durchgeführt. Als Ergebnis zeigt sich, dass bei Vorliegen

eines positiven Gradienten der modalen Dämpfung eine infinitesimale Erhöhung der

Lagerbelastung (also der Rotormasse) zu einer Instabilität führt. Bei Vorliegen eines ne-

gativen Gradienten führt eine infinitesimale Verringerung der Lagerbelastung zu einer

Instabilität.

Für das Verfahren nach Lund wird somit die Störkreisfrequenz gesucht, bei der ein

Übergang von negativer zu positiver modaler Dämpfung vorliegt und diese gerade ver-

schwindet. Da der Verlauf nur in der für die Störkreisfrequenz (bzw. für das Störfre-

quenzverhältnis) vorgegebenen Schrittweite vorliegt, wird zur genaueren Bestimmung

deutlich feiner interpoliert (Matlab-Funktion makima.m mit 10000 Stützstellen [101]).

Eine so gefundene Störkreisfrequenz (bzw. Störfrequenzverhältnis) wird zur Bestim-

mung der kritischen Steifigkeit und der zur Beurteilung der Stabilität verwendeten kriti-

schen Masse verwendet. Wird keine kritische Störkreisfrequenz (bzw. Störfrequenzver-

hältnis) gefunden, liegt auch keine kritische Masse vor und die betrachtete Drehzahl

wird als stabil angesehen.

Zusammenfassend lässt sich auf Basis der nach Lund bestimmten kritischen Masse

beurteilen, ob sich ein Rotor in einem gegebenen Lastfall stabil oder instabil verhält.

Umgekehrt lässt sich bei gegebener Rotormasse (bzw. Lagerbelastung) die Grenzdreh-

zahl zur Instabilität ermitteln.

Die Ermittlung einer konkreten Stabilitätsgrenze bei Vorgabe einer Belastung ist rela-

tiv aufwendig. Zwar geht die sukzessive Berechnung der linearisierten Lagerparameter

und die Berechnungen zur Entscheidung, ob das Lager bei dieser Belastung und Dreh-

114

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter und

Stabilitätsgrenzdrehzahl

zahl stabil oder instabil ist relativ schnell, aber die Bestimmung der Gleichgewichtslage

für jede Belastungs-Drehzahl-Kombination ist dagegen zeitintensiv. Um eine konkrete

Stabilitätsgrenzdrehzahl für eine Belastung zu finden, muss die Drehzahl auf Basis der

Information über das Stabilitätsverhalten bereits berechneter Drehzahl variiert werden,

bis zwischen einer gerade noch stabilen und einer gerade instabilen Drehzahl nur noch

eine vorzugebende Abweichung vorliegt. Um diese Suche nicht manuell durchführen zu

müssen, wird in dieser Arbeit ein Ablauf entwickelt, um nach Abschluss einer Stabili-

tätsbetrachtung automatisiert die nächste, zu berechnende Drehzahl vorzuschlagen. Die

Suche kann über die Vorgabe einer oder mehrerer Drehzahlen gestartet werden. Der Al-

gorithmus wählt anschließend die Suchrichtung und/oder Suchbereich aus. Es können

auch mehrere Belastungen vorgeben werden. Dann erfolgt die Suche nach der jeweili-

gen Stabilitätsgrenze in einer Schleife über alle Belastungen. Wird zunächst nur eine

Startdrehzahl vorgegeben, wird je nachdem, ob für diese stabiles oder instabiles Verhal-

ten auf Basis der kritischen Masse festgestellt wird, höher bzw. tiefer gesucht. Liegen

mindestens zwei berechnete Drehzahlen vor, können drei Fälle eintreten:

•Alle Drehzahlen sind stabil, es muss eine höhere Drehzahl berechnet werden.

•Die vorletzte Drehzahl ist stabil, die zuletzt berechnet Drehzahl ist instabil, bzw.

die vorletzte ist instabil und die zuletzt berechnete Drehzahl ist stabil, es muss

bei einer Drehzahl zwischen diesen beiden gesucht werden.

•Alle Drehzahlen sind instabil, es muss bei einer niedrigeren Drehzahl gesucht

werden.

Die Eingrenzung des Suchintervalls erfolgt über die bisher gefundene höchste stabile

und niedrigste instabile Drehzahl. Zusätzlich wird der Ablauf durch eine vorzugebende

minimale und maximale Drehzahl begrenzt, um sicherzustellen, dass nur in einem phy-

sikalisch sinnvollen Bereich gesucht wird und es nicht durch Lastfälle ohne Konvergenz

bei der Suche nach der Gleichgewichtslage zum Abbruch des Ablaufs kommt.

Durch die wenigen Fallunterscheidungen und schlichte Halbierung des Intervalls zur

Ermittlung der nächsten Drehzahl, ist der Ablauf bewusst einfach gestaltet, da er sich

damit als wesentlich robuster in den in dieser Arbeit betrachteten Anwendungsfällen

erwies. Eine ursprünglich verwendete Inter- bzw. Extrapolation der nächsten Drehzahl

über die bereits bestimmten kritischen Massen funktioniert erst, wenn bereits Drehzah-

len nahe der Grenzdrehzahl untersucht wurden. Liegen die bisher untersuchten Dreh-

zahlen noch weit von der Grenzdrehzahl entfernt, ergeben sich durch den nichtlinearen

Verlauf der kritischen Masse schlechte Schätzungen für die nächste Drehzahl. Insbeson-

dere unterhalb der Grenzdrehzahl liegt unter Umständen keine kritische Masse vor und

115

4.4 Lösung des Störansatzes von Lund zur Bestimmung der lin. Lagerparameter und

Stabilitätsgrenzdrehzahl

damit auch keine Möglichkeit für eine Verwendung zur Interpolation. Das Inter- und

Extrapolations-Verfahren ist damit nicht allgemein robust und wurde deshalb verwor-

fen.

Als weitere Idee zur Beschleunigung der Suche, bietet sich die Schätzung der nächs-

ten, zu berechnenden Drehzahl mit Hilfe eines grafischen Verfahrens an. Dazu wird mit

Hilfe der Matlab-Funktion polyeig.m das Eigenwertproblem gelöst und die Eigenwerte

für alle Störkreisfrequenzen (bzw. Störfrequenzverhältnisse) bestimmt. Die Funktion

verwendet den Standard-Exponentialansatz . Bei Verwendung dieses

Ansatzes werden zur Beurteilung der Stabilität die Realteile der Eigenwerte betrachtet.

Ist ein Realteil negativ klingen auftretende Schwingungen ab, ist er positiv klingen sie

auf. Bei Selbstanregung in GFL tritt die Instabilität allerdings nicht beim Eigenwert mit

niedrigster Schwingfrequenz und positivem Realteil auf, sondern nur, wenn die durch

den Imaginärteil angegebene Schwingfrequenz auch mit der Störfrequenz überein-

stimmt. Dazu werden die Realteile über der Drehzahl und Störfrequenz in einem Kon-

turplot zusammen mit den von der Drehzahl und Störfrequenz abhängigen Eigenfre-

quenz dargestellt. Der Schnittpunkt zwischen dem Eigenfrequenzverlauf und der Gren-

ze zum Bereich mit Realteilen größer Null markiert den Punkt des Einsatzes der Insta-

bilität. Prinzipiell steht damit die Grenzdrehzahl direkt fest. Eine so gefundene Drehzahl

ist aber immer abhängig von den zuvor berechneten und zur Erstellung des Konturplot

verwendeten Drehzahlen. Für Bereiche zwischen den berechneten Drehzahlen wird bei

der Erstellung des Konturplots interpoliert. Das grafische Verfahren liefert also schnell

eine gute Schätzung, um damit aber ein belastbares Ergebnis zu erhalten, muss mit ent-

sprechend feiner Schrittweite und ggf. über einen weiten Drehzahlbereich gerechnet

werden. Entsprechend zeitaufwendig ist das Verfahren, speziell wenn nacheinander vie-

le Belastungen berechnet werden sollen.

Da das Verfahren bei fehlender Eigenfrequenz oder irregulär geformten Bereichen

mit positivem Realteil teilweise keine oder nur schlechte Vorschläge liefert, kann vor

dem Start einer Stabilitätssuche ausgewählt werden, wie oft das grafische Verfahren ei-

nen Vorschlag machen darf, bevor das robuste Verfahren auf Basis der kritischen Mas-

sen nach Lund übernimmt. Bei den in dieser Arbeit dargestellten Ergebnissen zur Stabi-

lität, werden die mit dem grafischen Verfahren erstellten Stabilitätskarten nur zur Ver-

anschaulichung des Verhaltens und Überprüfung der gefundenen Grenzdrehzahlen dar-

gestellt (s. Anhang G, Abb. G.8–G.9).

116

5 Validierung des Wärmemodells

Als Validierung eines Programmcodes wird der Vergleich von damit berechneten Er-

gebnissen mit Messergebnissen aus einem Experiment an einem GFL-Prüfstand be-

zeichnet. Bietet der Programmcode eine gewisse Flexibilität bzgl. der Einstellungen zu

Annahmen und Randbedingungen lassen sich die realen Verhältnisse an verschiedenen

Prüfständen abbilden. Trotzdem liegt gerade in der korrekten Abbildung dieser Verhält-

nisse die Schwierigkeit bei der Übertragung in ein numerisches Model. Häufig sind die

numerischen Modelle mit Annahmen behaftet, gelten nur in einem begrenzten Werte-

bereich oder sind nur an grundsätzlich ähnlichen, aber nicht den exakten, Geometrien

aufgestellt worden. Die Übertragbarkeit muss für jedes einzelne Modell durchdacht wer-

den. Insbesondere bei den Wärmetransportmodellen bleibt sie dennoch teilweise frag-

lich, muss aber akzeptiert werden, da keine besseren Alternativen bekannt sind. Auch

auf Seite der Messung ist nicht immer klar, ob den Ergebnissen getraut werden kann.

Dies beginnt bei der Messgenauigkeit der verwendeten Sensoren innerhalb ihres Mess-

bereichs und allen weiteren in der Messkette beteiligten (elektronischen) Komponenten

und setzt sich fort bis zu systematischen Fehlern, wie bspw. nicht beachteten (oder er-

fassten) Einflüssen. Dies gilt insbesondere für Messdaten aus der Literatur mit fehlen-

den Angaben zu relevanten Eigenschaften, zur generellen Prüfstandskonstruktion oder

auch Messposition. Gerade letztere ist allerdings bei GFL teilweise schwer zu ermitteln.

Auch wenn die Messposition makroskopisch bekannt ist (bspw. durch Angabe des Um-

fangswinkels und der Einschubtiefe unter die bump foil), ist der mikroskopische Kon-

taktstatus zwischen den zumeist verwendeten Thermoelementen und der bump foil auf-

grund schwierigen Zugangs bei den kleinen Geometriedimensionen nicht überprüfbar.

Natürlich könnte eine Thermoelementspitze verklebt werden, was aber möglicherweise

zu einer unerwünschten Beeinflussung der lokalen Steifigkeit führt und auch nicht ga-

rantieren würde, dass sich die Verklebung wegen den auftretenden Vibrationen im Be-

trieb löst. Nur weil gemessen wurde, bedeutet das nicht, dass damit auch die Werte er-

mittelt sind, welche beabsichtigt waren.

Der entwickelte Programmcode soll in der Lage sein die Wärmeströme und damit

Temperaturverhältnisse in einem GFL zu beschreiben. Da er eine relative flexible Defi-

nition der Einstellungen, Randbedingungen und Geometrien erlaubt, ist es möglich mit

den Messergebnissen aus drei Literaturquellen [51, 78, 79] und denen an einem am

Fachgebiet vorhandenen Prüfstand ermittelten Messergebnissen zu vergleichen. Die

grundlegenden Modelle, wie bspw. die der Wärmeübertragung, bleiben dabei unverän-

117

5 Validierung des Wärmemodells

dert und müssen deshalb in der Lage sein alle Prüfstände nur durch die Anpassung der

Randbedingungen und Geometrie abzubilden. Besonderer Wert wird in dieser Arbeit

auf den Vergleich mit allen in den genannten Quellen dokumentierten Konfigurationen

und Lastfällen gelegt, d.h. es werden auch die Fälle gezeigt, bei denen nur eine mäßige

Übereinstimmung vorliegt. Damit soll der Eindruck vermieden werden, dass bewusst

die Konfigurationen und Lastfälle mit der besten Übereinstimmung für eine Darstellung

selektiert werden und zeigt damit auch die Grenzen und möglicherweise bei zukünfti-

gen Anwendungen erwartbaren Abweichungen auf. Trotz der weiter oben angesproche-

nen Unsicherheiten und den, bei den Vergleichen dokumentierten, Abweichungen wird

die Temperatur, als zentrale Größe dieser Arbeit, damit auf eine breite Basis gestellt.

Alle weiteren Lagerparameter von Interesse (auch über die in dieser Arbeit gezeigten

hinaus) können somit im Anschluss unter der Berücksichtigung der Temperatur ermit-

telt werden. Teilweise enthalten die folgenden Kapitel zur Validierung bereits wichtige

Erkenntnisse zur Anwendbarkeit der Struktur- und Wärmetransportmodelle der Lager-

schale sowie der Sensitivität einzelner Parameter, da diese sich gut im Vergleich mit

Messwerten diskutieren lassen. Diese Erkenntnisse lassen sich bereits zu den wichtigen

Ergebnissen dieser Arbeit zählen. Ebenso werden bei Vorstellung weiterer Ergebnisse in

Kapitel 6 in einigen Fällen weitere Vergleiche mit Messwerten oder berechneten Werten

aus Literaturquellen gezogen. Im folgenden Kapitel wird zunächst überprüft, wie sich

die Vernetzung auf die Temperatur im Fluidfilm auswirkt.

5.1 Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse

Bei der Beschreibung der Gleichungen in Kapitel 4.1 und 4.2 wird bereits auf die zur Li-

nearisierung (und damit zur Lösung) notwendige und verwendete Diskretisierung ein-

gegangen. Grundsätzlich muss bei der Vernetzung des Berechnungsgebiets ein Kompro-

miss zwischen Genauigkeit und Berechnungsdauer gefunden werden. Eine feinere Ver-

netzung (geringere Abstände zwischen Berechnungsknoten) ist in der Lage auch hohe

Gradienten trotz der Linearisierung akkurat abzubilden. Gleichzeitig stellt jeder zusätz-

liche Knoten einen weiteren Freiheitsgrad dar und vergrößert damit das zu lösende

Gleichungssystem. Während die einmalige Lösung eines Gleichungssystems auch mit

verhältnismäßig feiner Vernetzung mit üblichen PCs nur wenige Millisekunden benö-

tigt, summieren sich diese, durch die vielen Gleichungssysteme für die verschiedenen

Komponenten und vor allem durch die notwendige iterative Berechnung, schnell zu ei-

ner hohen Gesamtdauer auf. Insbesondere wenn mehrere Lastfälle und Varianten ge-

rechnet werden. Ab einer gewissen Knotenanzahl ergibt eine weitere Verfeinerung kei-

118

5.1 Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse

nen Sinn mehr, da die Erhöhung der Berechnungsdauer nicht mehr im Verhältnis zur

damit erzielten Änderung der Ergebnisse steht. Zur Ermittlung einer ausreichenden

Netzfeinheit wird üblicherweise eine Konvergenzanalyse durchgeführt, bei der die Kno-

tenanzahl (in den verschiedenen Raumrichtungen) schrittweise erhöht und der Einfluss

auf das Berechnungsergebnis und die -dauer betrachtet wird.

In den meisten Lehrbüchern werden die Diskretisierungsmethoden nur anhand einer

äquidistanten Vernetzung mit gleichen Abständen zwischen den Knoten beschrieben.

Dies hat den Vorteil, dass sich Formeln in einer kompakten Schreibweise notieren las-

sen, weil sich bspw. Knotenabstände als konstante Faktoren ausklammern lassen, statt

diese jeder Diskretisierungseinheit individuell zuordnen zu müssen. Die Aufteilung des

Berechnungsgebiets und die Umsetzung der Gleichungen in einen Programmcode ist

durch die deutlich bessere Verfügbarkeit von auf einem äquidistantem Netz basierenden

Formeln in der Literatur und die generell kompaktere Form wesentlich einfacher. Eine

Idee zur Verbesserung der Abbildung hoher Gradienten ohne die Knotenanzahl dabei

unnötig zu erhöhen ist es, das Netz nur in den Bereichen zu verfeinern, in denen diese

hohen Gradienten erwartet werden. Üblicherweise liegen diese im Bereich von Randbe-

dingungen bzw. Übergangsbedingungen zu benachbarten Bauteilen vor. In dieser Arbeit

wird dieses Konzept über alle Bereiche der Berechnung umgesetzt. Dadurch ergibt sich

ein nicht zu unterschätzender Mehraufwand in der Programmierung und Validierung.

Dies beginnt bei der Aufteilung des Berechnungsgebiets auf Basis der vorzugebenden

Parameter Knotenanzahl und Anzahl der Knoten im feiner zu vernetzenden Randbe-

reich. Dabei werden nicht einfach zwei konstante Abstände, ein kleinerer für den Rand-

bereich und ein größerer für den inneren Bereich des Lagers verwendet, sondern der

Knotenabstand wird vom Rand zum Inneren hin graduell vergrößert. Diese graduelle

Vergrößerung verteilt einen entstehende Diskretisierungsfehler, statt einen scharfen

Übergang zu verursachen. Die Umsetzung dieser graduellen Vergrößerung unter Be-

rücksichtigung der weiteren einstellbaren Optionen, wie die Verwendung einer Symme-

trierandbedingung in axialer Richtung und einer in Axial- und Umfangsrichtung unter-

teilten bump foil (mehrere bump-Streifen und -abschnitte) ist nicht trivial. Konkret wird

am Beispiel der axialen Richtung zunächst immer die Knotenanzahl eines Lager mit axi-

aler Symmetrie Nz,hm vorgegeben (der Index hm soll dabei an half mesh erinnern). Der

Abstand zwischen Randknoten und seinem inneren Nachbarn wird auf

gesetzt. Jeder folgende Abstand wird doppelt so groß, bis alle feiner zu vernetzenden

Randknoten Nz,refine gesetzt sind. Die verbleibende Lagerbreite bis zur Mitte des Lagers

wird gleichmäßig auf die verbleibenden Knoten (Nz,hm-Nz,refine) aufgeteilt. Ist Nz,refine=0

gesetzt, wird automatisch ein äquidistantes Netz erzeugt. Soll ein asymmetrischer Last-

119

5.1 Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse

fall gerechnet werden, wird die Verteilung anschließend an der Mittellinie gespiegelt.

Durch diese Vorgehensweise ist garantiert, dass, unabhängig von der gewählten Knoten-

anzahl und Optionen, die Mittellinie des Lagers mit Knoten belegt ist. Ein Lager mit

asymmetrischem Lastfall erhält damit Nz=(2Nz,hm-1) Knoten auf der Gesamtbreite L

des Lagers.

Abb. 5.1 zeigt die Ergebnisse der Konvergenzanalyse für den Lastfall 133N,

40000min-1. Der Lastfall stammt aus den im folgenden Kapitel 5.2 verwendeten Lastfäl-

len aus [78]. Ausgehend von einer Referenzvernetzung mit Nz,hm =16(4) (bzw.

Nz=31(4)), Nθ=72(12), Nr=12(4) und Nrw =9(3) wird die Variation der Knotenanzahl

in jeder Richtung gezeigt. Die in Klammern angegebenen Zahlen bezeichnen die in der

jeweiligen Richtung feiner vernetzten Randknoten. Auf der x-Achse ist die Knotenan-

zahl aufgetragen. Auf der linken y-Achse die mittlere Fluidfilmtemperatur und auf der

rechten y-Achse die Berechnungsdauer22. Sowohl für äquidistantes als auch nicht äqui-

distantes Netz ist für die Knotenanzahlen Nz, Nr, Nrw ein Verlauf gegen einen Grenzwert

erkennbar. Dabei zeigen sich die Vorteile der Umsetzung eines nicht äquidistanten Net-

zes. Für alle gerade genannten Knotenbezeichnungen beginnen die Ergebnisse mit nicht

äquidistantem Netz bereits näher am späteren Endwert und laufen im Weiteren deutlich

schneller gegen diesen. Besonders deutlich wird dies bei Nr, wo bereits für die Konfigu-

ration Nr=9(3) nahezu der Endwert eines doppelt so feinen Netzes erreicht wird. Die

Berechnungsdauer (in Abb. 5.1 in gestrichelten grauen Linien auf den rechten y-Achsen

eingetragen) erhöht sich durch die Verwendung des nicht äquidistanten Netzes nicht.

Die verbleibenden marginalen Unterschiede in den Berechnungsdauern lassen sich

durch die zur Konvergenz benötigten Iterationsschritte, welche zwischen den beiden

Netzen minimal unterschiedlich sein können, erklären. Außerdem spielt dabei die Ge-

samtauslastung des Rechners eine Rolle, da ggf. parallele Rechnungen in anderen Mat-

lab-Instanzen und Hintergrundprozesse die Berechnungsdauer beeinflusst haben kön-

nen.

Der Verlauf für die Knotenanzahl Nθ verlangt eine eigene Betrachtung. Zwar unter-

scheiden sich die mittleren Fluidfilmtemperaturen für feinere Netze nur noch um weni-

ge Zehntel Grad, aber trotz deutlicher Verfeinerung, stellt sich kein Verlauf gegen einen

22 Die in [78] berechneten Lastfälle konvergieren aufgrund der hohen Belastung und der dabei auftreten-

den Temperatur teilweise nur schlecht. Zusätzlich provoziert die weite Variation der Knotenanzahlen

ungünstige Vernetzung, die die Konvergenz weiter verschlechtern. Damit alle Knotenanzahlvariatio-

nen durchlaufen, sind die Berechnungen mit einer Unterrelaxation von ζpT,p = 0,49 für das Druckfeld

und ζpT,T = 0,1 für das Temperaturfeld gerechnet. Diese relativ niedrigen Unterrelaxationsfaktoren ver-

längern die Berechnungsdauer erheblich. Da sie aber für alle Berechnungen konstant gehalten werden,

ist dennoch ein Vergleich der Berechnungsdauern möglich. Für gut konvergierende Lastfälle ohne

Notwendigkeit der Unterrelaxation darf eine deutliche verkürzte Berechnungsdauer erwartet werden.

120

5.1 Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse

eindeutig erkennbaren Endwert ein. Eine Erklärung ist vermutlich die spezielle Setzung

der Randbedingung in Abhängigkeit der Druckgradienten am axialen Rand (s. Kap.

3.5.2). Ein Knoten mehr oder weniger für den Umgebungstemperatur gesetzt wird, be-

einflusst deshalb, insbesondere bei einer geringen Knotenanzahl in dieser Richtung, die

mittlere Fluidfilmtemperatur noch verhältnismäßig stark. Vorteile einer nicht äquidi-

stant Vernetzung lassen sich aus den Verläufen für Nθ ebenfalls nicht eindeutig ableiten,

sodass hierfür keine Empfehlung ausgesprochen wird.

Für die z-Richtung sind in der Abb. 5.1 mit kleineren Markern und auf der oberen x-

Achse zusätzlich die Ergebnisse und Berechnungsdauern (strichpunktierte graue Linie)

für einen mit halbem Netz und symmetrisch angelegtem Lastfall dargestellt. Dazu wird

auf beiden Seiten ein symmetrischer Überstand für die Welle gesetzt (Wlf = Wlr =

3,5mm statt Wlf=1,5mm, Wlr=3,5mm) und der Wärmestrom durch beide Wellen-

stirnseiten unterbunden (statt des konvektiven Wärmeabtransports an der Frontseite).

Leider kann damit für die Temperaturergebnisse keine Übereinstimmung mit den zuvor

berechneten Lastfällen erwartet werden. Die Ergebnisse zeigen aber, dass die aufwendi-

ge Implementierung der Symmetrierandbedingung in allen Bereichen des Programm-

codes eine deutliche Verringerung der Berechnungsdauer bewirkt. An der strichpunk-

121

Abb. 5.1: Entwicklung der mittleren Fluidfilmtemperatur zur Beurteilung der Konvergenz bei Erhöhung der

Knoten in den verschiedenen Richtungen und bei Verwendung eines nicht äquidistanten Netzes oder

symmetrischem Netz in z-Richtung

5.1 Vernetzung und Netzkonvergenzanalyse

tierten Linie ist zusätzlich das Verhältnis der Berechnungsdauern gegenüber den Rech-

nungen mit vollem Netz notiert. Bei der kleinsten Knotenanzahl ist die Berechnungs-

dauer, wie zu erwarten nur rund halb so lang (52% bei Nz,hm=8 zu Nz =15). Bei höhe-

ren Knotenanzahlen benötigen die Berechnungen mit halbem Netz nur bis zu rund ei-

nem Viertel der Zeit (24% bei Nz,hm ≥ 28 zu Nz ≥ 55). Erlaubt ein Lastfall also die Aus-

nutzung der Symmetrie und damit die Berechnung mit halbiertem Netz, wird empfoh-

len diese Möglichkeit zu nutzen.

Die an diesem Lastfall dargestellte Konvergenzanalyse erforderte insgesamt 54 Rech-

nungen mit vollem Netz und zusätzlich zwölf Rechnungen für das halbe Netz mit Sym-

metrie. Aufgrund des Umfangs steht diese Konvergenzanalyse stellvertretend für alle

anderen durchgeführten Berechnungen. Sollten spätere Anwender des Programmcodes

Zweifel an der Netzkonvergenz für ihren spezifischen Anwendungsfall haben, ist eine

Netzkonvergenzanalyse, ggf. für die Ergebnis von besonderem Interesse, durchzufüh-

ren. Durch die automatisierte, parametrische Netzerstellung bei Vorgabe der Knotenan-

zahlen ist dies leicht durchführen. Aktuell müssen die Knotenanzahlen dafür noch ma-

nuell angegeben werden. Eine Erweiterung um eine auch dahingehend automatisierte

Netzkonvergenzanalyse, durch in Schleifen vorgegebene Knotenanzahlen, wäre aber

denkbar.

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

In [78] werden Temperaturen über einen weiten Last- und Drehzahlbereich gemessen.

Die Daten eignen sich damit zur Auslotung der Gültigkeit des numerischen Modells in

Extrembereichen. Die Ausschnitte der Daten werden deshalb auch in anderen Veröf-

fentlichungen gerne zur Validierung verwendet [18, 24]. Eine weitere Besonderheit ist

die Anzahl von neun im hochbelasteten Bereich und über die Breite verteilten Messpo-

sitionen. Somit kann in diesem Bereich nicht nur das Temperaturniveau, sondern auch

das konkrete Temperaturprofil, insbeson-

dere auch an den axialen Rändern, beur-

teilt werden. Leider liegen neben den

grundsätzlichen Abmessungen wie

Durchmesser und Länge bzw. Breite kei-

ne Angaben zu der Geometrie der bump

foil oder den verwendeten Werkstoffen vor. Deshalb werden sie durch Angaben aus an-

deren Veröffentlichungen des Forschungsinstituts von [78] und/oder gängigen Geome-

trien wie sie auch in anderen Veröffentlichungen verwendet werden ergänzt. Die ver-

122

Abb. 5.2: Messpositionen für [78], L = 41mm

219°

189°

121°

Pos. 1

Pos. 2

Pos. 3Pos. 6Pos. 9

Pos. 7

Pos. 8 Pos. 5

Pos. 4

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

wendeten Geometrien sind in Tab. 5.1 zusammengefasst. Als Lastfälle werden die Kom-

binationen aus den Belastungen 9N, 44N, 89N, 133N, 178N, 222N und Drehzahlen

10000min-1, 20000min-1, 30000min-1, 40000min-1, 50000 min-1 betrachtet.

In [78] wird das verwendete Lager lediglich als Lager der dritten Generation mit einer

Unterteilung der bump foil in Axial- und Umfangsrichtung beschrieben. Allerdings

ohne nähere Angaben zur konkreten Geometrie der Unterteilungen oder zu den bumps

zu machen. Üblicherweise soll durch eine Unterteilung der bump foil eine Anpassung

der Steifigkeitsverteilung an das erwartete Druckfeld erreicht werden. Für die Steifig-

keitsverteilung und -charakteristik wird deshalb angenommen, dass sie so konfiguriert

ist, dass sich eine konstante Durchsenkung in axialer Richtung ergibt. Um dies zu errei-

chen, wird bei Berechnung der Durchsenkung der Druck in axialer Richtung gemittelt.

Alternativ kann diese Annahme, zumindest teilweise, durch die Steifigkeit der top foil

begründet werden, die die Druckbelastung auf alle bump foil Abschnitte verteilt. Die

Annahme der axialen Druckmittelung ist auch in anderen Veröffentlichungen eine häu-

fig getroffene Annahme [14, 18, 50, 52, 127]. Der nominale Spalt ist eine entscheidende

Kenngröße eines GFL23. Leider wird zum nominalen Spalt des verwendeten Lagers le-

23 In den folgenden Unterkapiteln 5.3 und 5.4 werden dazu jeweils zwei Lager mit gleichen nominalen

Durchmessern und Breiten, aber unterschiedlichen nominalen Spalten untersucht. Der große Einfluss

des nominalen Spalts auf die Temperatur wird aus den dort dargestellten Ergebnissen ersichtlich.

123

Tab. 5.1: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [78] beschriebenen Lagers

Geometrie Variable Wert Einheit Quelle

nominaler Radius R025 mm [78]

Lagerbreite L41 mm

nominaler Spalt c015 μm -

Welleninnenradius RW,i 10 mm -

Wellenaußenradius RW,a = R0 - c0mm

freie überstehende Welle, Vorne Wlf 1,5 mm -

freie überstehende Welle, Hinten Wlr 3,5 mm -

Lagerschalenaußenradius RLs,a 50 mm -

bump-Abstand s04,064 mm [23, 24, 51]

halbe bump-Länge l01,778 mm

bump-Höhe hB0,508 mm [51]

top und bump foil-Dicke tTf, tBf 126 μm [23, 24, 51]

Umgebungstemperatur Ta20 °C [78]

Umgebungsdruck pa101325 Pa -

Werkstoffe Temperaturabhängigkeit der Werkstoffeigenschaften in Abb. 3.10

Welle Inconel 718 [77]

Lagerschale Acidur X5CrNi18-10 -

top und bump foil Inconel X750 [77]

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

diglich gesagt, dass das Lager vorgespannt sei. Es wird nicht erklärt, was Vorspannung

für dieses Lager bedeutet. Üblicherweise wird darunter entweder ein Übermaß der Wel-

le gegenüber dem nominalen Durchmesser bis zur top foil vorliegt, oder zumindest in

Teilen des Lagers durch den Einschub von dünnen Metallplättchen unter die bump foil

ein lokales Übermaß erzeugt wird. Erst im Betrieb stellt sich dann durch die Druckbe-

lastung und daraus folgender Verformung der bump foil ein durchgängiger Schmier-

filmspalt ein. Ein Hersteller von kommerziell vertriebenen GFL empfiehlt die Verwen-

dung von vorgespannten Lagern für vertikal gelagerte Rotoren, bei denen die Schwer-

kraft nicht für eine bevorzugte Belastungsrichtung sorgt [128]. Der Grund für die Ver-

wendung eines vorgespannten Lagers für diese Testreihe bleibt unklar. Da der Pro-

grammcode nicht für Berechnungen mit erst im Betrieb vorhandenem Schmierspalt

ausgelegt ist, wird der nominelle Spalt so niedrig wie möglich angenommen, wie eine

Berechnung aller Lastfälle, im Zusammenspiel mit den restlichen Geometrie- und

Werkstoffparametern, gerade noch möglich ist. Dies wird mit einem nominalen Spalt

von c0=15μm erreicht. Geringere nominale Spalte führen im Betrieb zu so geringen

Filmhöhen, dass kein tragfähiger Schmierfilm mehr vorliegt.

Die bump foil-Geometrie wird analog zu [23] und [24] gewählt, allerdings unter Be-

rücksichtigung der in der ursprünglichen Quelle [51] gegebenen bump-Höhe von hB =

0,508mm, anstatt 0,58mm. Durch die hohe Konvektion hat die freie Oberfläche der

Welle einen großen Einfluss auf die Ergebnisse. Da die Überstände der Welle aus dem

Lager heraus (vorne und hinten) in der Quelle nicht angegeben sind, können diese nur

von der dort vorhandenen Abbildung (Fig.5 in [78]) abgeleitet werden. Allerdings ist

auch bei dieser Abbildung fraglich, ob sie dem konkret verwendeten Prüfstandsaufbau

entspricht, da sie ohne Änderungen, aber unter Angabe anderer Geometriedaten, auch

in weiteren Veröffentlichungen des Forschungsinstituts verwendet wird [10, 13]. Eine

Welle mit zumindest passendem Außendurchmesser ist wiederum in [77] (der Autor

gehört zum selben Forschungsinstitut) abgebildet. Allerdings ebenfalls ohne daraus er-

mittelbare freie Wellenoberfläche.

Die Wahl von Wlf = 1,5mm und Wlr = 3,5mm scheint nach Fig.5 aus [78] realistisch

und ergibt im Zusammenspiel mit den weiteren Annahmen zu Geometrie- und Werk-

stoffparametern gute Übereinstimmung mit den Messergebnissen (auch und insbeson-

dere für das axiale Temperaturprofil). Aus [77] wird auch abgeleitet, dass die Welle ver-

mutlich aus dem Werkstoff Inconel 718 gefertigt ist. Dieser Werkstoff wäre auch eine ge-

eignete Annahme für das Lagergehäuse, allerdings muss in Rechnungen unter Verwen-

dung dieses Werkstoffs der nominale Spalt deutlich erhöht werden, damit das Lager bei

hohen Drehzahlen und Lasten in Folge der zu geringen thermischen Aufweitung der

124

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

Lagerschale (durch die dort niedrigeren Temperaturen) nicht blockiert. Eine Vorausset-

zung, um alle Lastfälle berechnen zu können, ist also ein Lagerschalenwerkstoff mit re-

lativ hohem Wärmeausdehnungskoeffizient, wie sie bspw. Edelstähle besitzen. Konkret

wird für diese Berechnung der Edelstahl Acidur X5CrNi18-10 gewählt (in [24] wird

ebenfalls ein nicht näher beschriebener Edelstahl verwendet). Damit wird eine gute

Übereinstimmung, insbesondere bzgl. des Anstiegs der Temperatur über die Belastung,

erreicht. Auch weitere Werkstoffpaarungen für Welle und Lagerschale wurden unter-

sucht, aber letztlich wird nur mit der bereits genannten Kombination aus Inconel 718 für

die Welle und Acidur X5CrNi18-10 das Temperaturniveau und -anstieg bei höheren Las-

ten abgebildet24. Des Weiteren werden in [78] keine Angaben zur Temperatur der Welle

zwischen Testlager und dem eigentlichen Lagerbock für die Welle mit seinen wasserge-

kühlten Keramikwälzlagern gemacht. Es ist somit unklar, ob ein positiver oder negativer

Wärmestrom in dieser Richtung vorliegt. Für diesen Übergang wird deshalb angenom-

men, dass er sich adiabat verhält.

Die Abb. 5.3 und 5.4 enthalten die Ergebnisse für alle Drehzahlen, Belastungen und

an allen mit Thermoelementen versehenen Messpositionen, berechnet mit den Struk-

turmodellen nach Iordanoff (S2) und nach LeLez (S3) und dem Wärmewiderstandsmo-

dell für die Lagerschale (Q2). Die beiden Strukturmodelle unterscheiden sich bzgl. der

Temperatur kaum voneinander. Beide sind grundsätzlich in der Lage das Niveau und

den Anstieg der Temperatur über alle Drehzahlen und Lasten abzubilden. Obwohl sie

zu sehr unterschiedlichen Auslenkungen führen, bleibt der Unterschied in der minima-

len Filmhöhe unter 1μm, wie in Abb. 5.5 zusehen ist (s. auch [52]).

Da die viskose Wärmeproduktion maßgeblich vom Gradienten der Geschwindigkeit

über die Filmhöhe abhängig ist, ist darin der Grund für die ähnlichen Temperaturen zu

finden.

Im groben Überblick unterschätzen beide Strukturmodelle die Temperaturen bei den

niedrigeren Drehzahlen 20000min-1, 30000min-1 und überschätzen sie für die höchste

Drehzahl 50000min-1. Die beste Übereinstimmung wird für die meisten Thermoele-

menten bei einer Drehzahl 40000min-1 erreicht. An Thermoelementen, wo gute Über-

einstimmung für die Drehzahl 30000min-1 erzielt wird, liegen dafür größere Abwei-

chungen bei den höheren Drehzahlen 40000min-1 und 50000min-1 vor. Im Zuge der

Validierungen werden diverse weitere Varianten, Konfigurationen, Annahmen und sol-

ver-Einstellungen getestet. Die dabei erzielten Ergebnisse unterscheiden sich entweder

24 In [23] wird zwar Inconel 718 für Welle und Lagerschale verwendet, die Berechnung aller Lastfälle, ist

dort aber vermutlich nur deshalb möglich, weil die Aufweitung der Lagerschale mit einer fehlerhaften

Formel ( sondern ) be-

rechnet wird.

125

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

nicht wesentlich von den hier bereits dargestellten oder sorgen nur für manche Lastfälle

für eine Verbesserung in anderen für eine Verschlechterung. Als Auswahl aus diesen zu-

sätzlichen Varianten sind im Anhang B eine Konfiguration mit in fünf bump-Streifen

unterteilter bump foil, eine mit Befestigung der top und bump foil am Ende der Lagers

und eine mit Annahme einer mittleren Temperatur aus Umgebungs- und Wellentempe-

ratur an den axialen Rändern dargestellt.

Für die verbleibenden Abweichungen in den Abb. 5.4 und Abb. 5.3 kommen durch

die fehlende Angabe vieler Geometriegrößen und nicht abschließend ermittelbarer

Randbedingungen eine Vielzahl von Erklärungen in Frage. Wie bereits erwähnt, hat die

Schmierfilmhöhe einen entscheidenden Einfluss auf die Temperaturen. Somit haben

auch alle im Betrieb die Schmierfilmhöhe beeinflussenden Faktoren einen entsprechen-

den Einfluss. Allerdings sind die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen diesen Fakto-

ren schwer zu erfassen. Das verwendete Lager dritter Generation könnte eine speziell

angepasste und anders als angenommene Steifigkeitsverteilung in axialer und Umfangs-

richtung mit entsprechend großem Einfluss auf die lokale Schmierfilmhöhe im Betrieb

haben. Die höheren Temperaturen in der Messung bei geringeren Drehzahlen könnten

durch Festkörperreibung erklärt werden, da dann noch kein ausreichender Druck vor-

126

Abb. 5.3: Vergleich der Temperaturen für alle Lastfälle und an allen Messpositionen (s. Abb. 5.2) zwischen

Berechnungsergebnissen und den Messwerten aus [78] für das SEFM nach Iordanoff (S2)

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

handen ist, um die Vorspannung des Lagers zu überwinden. Viele der verwendeten

Wärmeübergangskoeffizienten zeigen eine nichtlineare Abhängigkeit von der Drehzahl.

Zwar werden die Wärmeübergangskoeffizienten mit Hilfe von dimensionslosen Kenn-

zahlen ausgedrückt und berechnet, allerdings bleibt trotzdem fraglich, ob diese teilweise

an wesentlich größeren Geometrien empirisch ermittelten Zusammenhänge auf die re-

lativ kleinen Geometriegrößen bei GFL übertragbar sind.

Der konkrete Einfluss des (unbekannten) Innendurchmessers auf die Temperatur ist

schwer vorhersagbar, da er auf verschiedene Arten Einfluss nimmt. Auf der einen Seite

vergrößerte sich mit steigendem Durchmesser die Konvektionsoberfläche im Inneren

der Welle, was zu niedrigeren Temperaturen führt. Auf der anderen Seite erhöht sich

dadurch die fliehkraftbedingte Aufweitung und es verringert sich die Konvektionsober-

fläche an der Stirnseite der Welle, was zu höheren Temperaturen führt. In der vorliegen-

den Konfiguration nach [78] führt eine Vergrößerung des Innendurchmessers zu nied-

rigeren Temperaturen, wie in Abb. 5.6 zu sehen ist. Dabei zeigt sich auch die hohe Sensi-

tivität der Temperaturen bzgl. dieses Parameters. Die aus dem Lager herausragende freie

Oberfläche am Außenradius der Welle hat ebenfalls einen großen Einfluss, speziell auf

die Temperaturen an den axialen Rändern.

127

Abb. 5.4: Vergleich der Temperaturen für alle Lastfälle und an allen Messpositionen (s. Abb. 5.2) zwischen

Berechnungsergebnissen und den Messwerten aus [78] für das LeLez-Strukturmodell (S3)

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

Obwohl von einem vorgespannten Lager gesprochen wird, ist für die numerische Be-

rechnung ein nominaler Spalt erforderlich und muss dementsprechend abgeschätzt wer-

den. Der verwendete Wert von c0=15μm stellt dabei einen verhältnismäßig kleinen no-

minellen Spalt dar. Ohnehin ist der nominale Spalt ein schwer zu erfassender Parameter.

Zur Messung wird üblicherweise die zur Auslenkung der Welle gegen die bump-Struk-

tur benötigte Kraft in einem Diagramm dargestellt. Als nominaler Spalt wird die Aus-

lenkung bezeichnet, bei der sich ein markanter Anstieg der benötigten Kraft zeigt. Da

dafür interpretiert werden muss ab wann ein solcher Anstieg markant ist, lässt sich da-

mit kein exakter Wert feststellen. Wie in Abb. 5.6 zu sehen, haben bereits kleine Ände-

rungen (gegenüber dem ursprünglich verwendeten Wert von c0=15μm) einen verhält-

nismäßig großen Einfluss und größere Änderungen (Nominale Spalte von c0=10μm

und c0=20μm) verändern das Niveau und den Anstieg der Temperatur vollständig.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient des Wellen- und Lagerschalenwerkstoffs ist eben-

falls sehr sensitiv. Um dies zu zeigen, wird der Wärmeausdehnungskoeffizient der La-

gerschale αLs variiert, indem ein Offset (-5e-6–+2e-6K-1) zum eigentlichen Verlauf (s.

Acidur X5CrNi18-10 in Abb. 3.10) addiert wird. Die Ergebnisse sind in Abb. 5.6 darge-

stellt. Dabei ist zu beachten, dass -2e-6K-1 der erste Werte ist für den das GFL nicht blo-

ckiert. Zuvor scheint das GFL durch die starke Aufweitung der Welle gegenüber der La-

gerschale zu blockieren. Da der Spalt in diesem Fall sehr klein ist, werden sehr hohe

Temperaturen erreicht. Für einen positiven Offset von +2e-6K-1 ändert den Tempera-

turverlauf zwar nicht auf so extreme Art wie der negative Offset, trotzdem bleibt die

Temperatur deutlich niedriger, da sich die Lagerschale stärker aufweitet und damit die

128

Abb. 5.5: Position der Gleichgewichtslage (links) und der Unterschied in den minimalen Schmierfilmhöhen

(rechts) im Vergleich zwischen den Strukturmodellen nach Iordanoff (S2) und Le Lez (S3) für eine Aus-

wahl an Lastfällen

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

Schmierfilmhöhe vergrößert. Aus der

Abb. 5.6 und dieser Betrachtung wird da-

mit auch die sehr komplexe Interaktion

zwischen der thermischen Ausdehnung

der Welle und Lagerschale erkennbar, da

diese direkt auf die Schmierfilmhöhe als

Haupteinflussfaktor für das Temperatur-

niveau wirken. Die Temperaturabhängig-

keit der Wärmeausdehnungskoeffizienten

selbst trägt zusätzlich zur Komplexität

bei. Darüber hinaus sind Angaben zum

Wärmeausdehnungskoeffizient (insbe-

sondere über größere Temperaturberei-

che) für wenig verwendete Werkstoff teil-

weise schwer zu finden. Für den in Tab.

5.2 beispielhaft beschriebenen häufig ver-

wendeten Werkstoff 42CrMo4 wiederum

gibt es teilweise abweichende Angaben

von bis zu Δ1e-6K-1 von verschiedenen

Herstellern.

Die Annahme einer adiabaten Rand-

bedingung in der Welle am Übergang

zum Lagerbock ist fraglich. Da dort keine

Temperaturen erfasst wurden, ist es prin-

zipiell vorstellbar, dass es in Abhängigkeit

von der Drehzahl zu einem Wärmefluss

in Richtung des GFL oder von diesem

weg in Richtung des Lagerbocks kommt, je nachdem wie viel Wärme in den Wälzlagern

im Lagerbock produziert und wie diese abtransportiert wird.

Die Quellen [23] und [24] beschränken sich auf die Darstellung der Ergebnisse für

das zentrale Thermoelement an Position 4, kommen aber generell zu ähnlichen Ergeb-

nissen, wie in dieser Arbeit präsentiert. Im detaillierten Vergleich mit den dort präsen-

tierten Ergebnissen in Abb. 5.7 zeigt sich eine schlechtere Übereinstimmung bei den

niedrigen Drehzahlen, aber eine bessere bei den höheren. Die Anstiege sind vergleich-

bar mit denen aus [24], was vermutlich an der ähnlichen Werkstoffkombination liegt.

Die Anstiege aus [23] passen schlechter zu den Messergebnissen. Die Ermittlung von

129

Abb. 5.6: Sensitivität der Temperatur an Messposition

4 auf die Variation der Parameter Innendurch-

messer RW,i, Nominalspalt c0 und Wärmeausdeh-

nungskoeffizient αLs der Lagerschale. Die Anga-

ben zu letztem ist als Offset gegenüber dem tem-

peraturabhängigen Verlauf des Wärmeausdeh-

nungskoeffizienten von Acidur X5CrNi18-10 zu

verstehen.

Tab. 5.2: Angaben zum temperaturabhängigen Wär-

meausdehnungskoeffizienten von 42CrMo4.

Hersteller 20–100°C 20–200°C 20–300°C 20–400°C

[146] 11,1 12,1 12,9 13,5

[145] 12,1 12,7 13,2 13,6

5.2 Vergleich mit den Messwerten Radil et al. 2004

geeigneten Einstellungen und Parameterkombination, um nicht nur an Position 4, son-

dern an allen Messpositionen, akzeptable Überstimmung mit den Messwerten zu errei-

chen ist deutlich schwieriger. Dies gilt besonders für die Lagerränder. Für den entwi-

ckelten Programmcode wird dies mit den gezeigten Einstellungen erreicht. Somit wird

für diesen Programmcode gezeigt, dass er nicht nur für die zentrale Messposition 4 mit

den Messwerten und Berechnungsergebnissen aus der Literatur vergleichbare Ergebnis-

se erzielt, sondern darüber hinaus auch die Temperaturverteilung in weiteren Bereichen

des Lagers abbilden kann.

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

In der Veröffentlichung von Kim et al. [79] werden Messwerte für eine Kombination aus

drei Belastungen (58,9N, 78,5N, 98,1N) und Drehzahlen (5000min-1, 10000min-1,

15000min-1) sowie für zwei Lager mit einem nominellen Spalt von 40μm und 70μm.

Damit umfassen die Lastfälle einen deutlich kleineren Betriebsbereich als in [78], spezi-

ell die Drehzahlen sind deutlich niedriger und liegen näher beieinander. Die Tempera-

130

Abb. 5.7: Vergleich der aktuellen Berechnungsergebnisse mit den Ergebnissen aus San Andrés et al. [23] und

Feng et al. [24] an Messposition 4 für beide Strukturmodelle S2 und S3. Die Messwerte aller Lastfälle

aus [78] sind ebenfalls aufgetragen (graue Linie mit Fehlertoleranzen).

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

turen werden an der Außenseite der Lagerschale an den Rändern und in der Mitte, so-

wie an vier Position entlang des Umfangs gemessen. Durch die Auswahl der Lastfälle

und die Messung der Temperatur an der Lagerschalenaußenseite, sowie auch die gene-

rell andere Lagergeometrie mit deutlich größeren nominalen Spalten unterscheiden sich

die hier dokumentierten Temperaturen deutlich von denen in [78]. Nur die Temperatu-

ren für die Messpositionen in der Mitte der Lagerschale werden tabelliert angegeben,

aus den Abbildungen ist aber erkennbar, dass sich die Temperaturen an den Rändern

kaum davon unterscheiden. Die Temperaturen auf der Oberfläche der Welle zwischen

Test-GFL und Lagerbock werden durch ein Infrarotthermometer gemessen. Da diese

Temperaturen also aus der Messung bekannt sind, werden sie in der numerischen Be-

rechnung als Randbedingung gesetzt. Auf der aus der Front des Lagers herausragenden

Welle wird die Temperatur ebenfalls mit einem Infrarotthermometer gemessen. Diese

Temperatur wird zum Vergleich mit Berechnungsergebnissen verwendet. Im Inneren

der Hohlwelle wird nur der Wärmestrom durch den Innenradius abgebildet, die freie

Stirnfläche im Inneren der Hohlwelle wird adiabat angenommen. Alle weiteren verwen-

deten Geometrien und Eigenschaften sind in Tab. 5.3 aufgelistet.

Auch diese Berechnungen werden mit beiden Strukturmodellen (Iordanoff, Abkür-

zung S2 und LeLez, Abkürzung S3) durchgeführt. Da die mit den beiden Strukturmo-

131

Tab. 5.3: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [79] beschriebenen Lagers

Geometrie Variable Wert Einheit Quelle

nominaler Radius R0 = RW,a + c0mm

[79]

Lagerbreite L45 mm

nominaler Spalt c0[40, 70] μm

Welleninnenradius RW,i 10 mm

Wellenaußenradius RW,a 30 mm

freie überstehende Welle, Vorne Wlf 14,5 mm

freie überstehende Welle, Hinten Wlr 35 mm

Lagerschalenaußenradius RLs,a 50 mm

bump-Abstand s04,3 mm

halbe bump-Länge l02,3 mm

bump-Höhe hB0,4 mm

top und bump foil-Dicke tTf, tBf 120 μm

Umgebungstemperatur Ta30 °C

Umgebungsdruck pa101325 Pa -

Werkstoffe Temperaturabhängigkeit der Werkstoffeigenschaften in Abb. 3.10

Welle Inconel 718

[79]

Lagerschale Inconel 718

top und bump foil Inconel X750

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

132

Abb. 5.8: Vergleich der Lagerschalentemperatur über den Umfang in der Mittelebene mit den Messergebnis-

sen von Kim et al. [79]. Oben für c0 = 40μm unten für c0 = 70μm. Links das FVM- (Q1), rechts das

Wärmewiderstandsmodell (Q2) der Lagerschale. Berechnet mit dem LeLez-Strukturmodell (S3).

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

dellen erzielten Temperaturen nicht voneinander unterscheidbar sind, werden hier nur

die Ergebnisse für das LeLez-Strukturmodell dargestellt (Abb. 5.8). Die Abbildungen

mit den Ergebnissen für das SEFM nach Iordanoff befinden sich im Anhang 2.2.2. Die

Abb. 5.8 enthält auch die Ergebnisse für beide untersuchten nominalen Spalte und für

beide Wärmetransportmodelle der Lagerschale. Das Wärmewiderstandsmodell (Q2)

und das FVM-Wärmemodell (Q1) der Lagerschale liefern grundsätzlich ähnliche Tem-

peraturniveaus für alle Lastfälle. Allerdings unterscheiden sie sich deutlich im Tempera-

turverlauf entlang des Umfangs. Dies wird durch die Vernachlässigung der Wärmelei-

tung in Umfangsrichtung der Lagerschale beim Wärmewiderstandsmodell erklärt. Beim

FVM-Wärmemodell sorgt diese Wärmeleitung für eine Glättung des Temperaturver-

laufs.

Wie bereits im Vergleich mit [78], liegen die berechneten Temperaturen etwas zu

niedrig für niedrige und etwas zu hoch für hohe Drehzahlen, aber im Allgemeinen

stimmen die Temperaturniveaus für beide nominalen Spalte. Die beste Übereinstim-

mung wird bei c0= 40μm für 10000min-1 erreicht, bzw. bei c0=70μm für 10000min-1

und 15000min-1. Zwei der Autoren von [79] zeigen in [25] ebenfalls genau diese Lastfäl-

le mit guter Übereinstimmung. Die verbleibenden Lastfälle (c0= 40μm bei 5000min-1

und 15000min-1, sowie c0=70μm bei 5000min-1), für die in der dieser Arbeit eine we-

niger gute Übereinstimmung vorliegt, werden dort nicht dokumentiert. Interessanter-

weise zeigen Ergebnisse in [10] eine deutlich breitere Auffächerung der Temperaturni-

veaus für die Belastungen und passen damit etwas besser zu den gemessenen Werten.

Die Auffächerung wird auf das Kontaktmodell zurückgeführt, welches allerdings bei se-

parater Betrachtung und Vergleich mit gemessen Wärmewiderständen keine gute Über-

einstimmung liefert, wie von [93] gezeigt (s. Abb. 3.12). Die Verwendung eines von [93]

entwickelten Wärmekontaktmodell verbessert die Temperaturniveaus auch für das Wär-

mewiderstandsmodell der Lagerschale, kann allerdings dennoch nicht die Auffächerung

der Temperaturen abbilden. Warum das bei separater Betrachtung schlechtere Wärme-

kontaktmodell von [25] im Gegensatz zum verbesserten Modell von [93] eine bessere

passende Auffächerung für das Gesamtmodell liefert, kann abschließend nicht mit Si-

cherheit begründet werden. Ein Grund ist vermutlich die deutlich ausgeprägtere Druck-

abhängigkeit des Wärmekontaktmodells, was nicht nur zur stärkeren Auffächerung,

sondern auch die größere Variation entlang des Umfangs erklärt. Trotz dieser Unstim-

migkeit sind beide Wärmeleistungsmodelle in der Lage das generelle Temperaturniveau

der Messungen aus [79] abzubilden. Eine Erklärung für die höheren Temperaturen in

der Messung bei der sehr niedrigen Drehzahl von 5000min-1, könnte erneut eine Fest-

körperreibung sein. Die auf der Welle vor dem Lager gemessenen Temperaturen sind

133

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

für beide nominalen Spalte c0= 40μm und c0= 70μm in Abb. 5.9 dargestellt. Da das

Wärmetransportmodell der Lagerschale nur vernachlässigbar geringen Einfluss auf die

Wellentemperatur hat, wird die entsprechende Abbildung in den Anhang C verschoben.

Für den nominalen Spalt von c0= 70μm ergibt sich eine etwas bessere Übereinstim-

mung mit den gemessenen Werten aus [25], als für den nominalen Spalt von c0= 40μm.

Die Übereinstimmung ist vergleichbar mit der in [25] für c0= 70μm ermittelten, Werte

für c0= 40μm werden dort nicht gezeigt.

Der Vergleich mit den Messwerten am gut dokumentierten Prüfstand aus [25] zeigt

für die meisten Lastfälle gute Übereinstimmung für das Temperaturniveau für die bei-

den implementierten Wärmetransportmodelle der Lagerschale. Auch die Anwendbar-

keit des Wärmetransportmodell der Welle wird nicht nur indirekt durch seine Auswir-

kungen auf die Temperaturen im Fluidfilm, sondern direkt durch den Vergleich mit auf

der Welle gemessenen Temperaturen bestätigt. Von besonderer Bedeutung ist, dass die

gute Übereinstimmung für viele Lastfälle für zwei Konfigurationen des nominalen

Spalts, ein sehr sensibler Parameter, erreicht wird. Verbleibende Abweichungen könnten

möglicherweise dennoch, wie bereits beim Vergleich in Kapitel 5.2 angesprochen, auf

134

Abb. 5.9: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den vor dem vorderen Rand des

GFL an der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Um zu verdeutlichen, dass die Temperaturen auf

der Rückseite (hinterer Rand) zwischen GFL und Lagerbock auf der Welle als feste Randbedingung ge-

setzt sind, ist Bereich in der gesamten simulierten Länge darstellt.

5.3 Vergleich mit den Messwerten von Kim et al. 2012

Unsicherheiten bei der Bestimmung des nominalen Spalts zurückführen, da dieser

messtechnisch relativ schwer zu erfassen ist. Für die beiden Strukturmodelle nach Ior-

danoff (S2) und LeLez (S3) wird erneut bestätigt, dass beide, aufgrund der vergleichba-

ren Filmhöhen, sehr ähnliche Temperaturen ergeben. In diesem Fall sind die damit be-

rechneten Temperaturen quasi ununterscheidbar voneinander.

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

Bereits 1978 wurden in [51] umfangreiche Messungen an einem GFL durchgeführt. Die

dabei verwendeten Geometrieparameter haben sich seitdem teilweise zum Standard für

Testlager in der Forschung entwickelt. Besondere Bedeutung bekommt dieser Bericht,

da er vermutlich der einzige mit direkt im Betrieb gemessenen minimalen Filmhöhen

ist. Erreicht wurde dies über zwei in der drehenden Welle verbauten kapazitive Ab-

standssensoren mit einer Datenübertragung über Schleifringe. Während der Messungen

bei Umgebungstemperatur von verschiedenen Lastfällen zur Ermittlung der minimalen

Filmhöhe, wurden auch die Temperatur im Lager gemessen. Eine Skizze im Bericht

deutet an, dass die Thermoelemente axial unter die bump foil geschoben wurden. Die

exakte Messposition lässt sich daraus allerdings nicht ableiten, deshalb wird zum Ver-

gleich mit den Messergebnissen die mittlere Fluidfilmtemperatur herangezogen.

Ein GFL in der Konfiguration nach Tab. 5.4 wird auf einer überkragenden Welle, wel-

che in einem Lagerbock durch Wälzlager gelagert wird, vermessen. Die Wälzlager wer-

den durch Öl geschmiert und somit auch gekühlt. Die Definition einer klaren System-

grenze und Randbedingung, ist deshalb ähnlich schwierig, wie bereits bei [78] begrün-

det. In diesem Fall wird auf Basis von Testrechnungen entschieden die Umgebungstem-

peratur in einem Abstand von 30mm zum Lager auf der Wellenoberfläche als Randbe-

dingung zu setzen. Der Abstand von 30mm wird anhand einer Skizze im Bericht ge-

wählt25. Aus der gleichen Skizze wird das freie Wellenstück an der Vorderseite zu 5mm

und der Innenradius zu 10mm festgelegt. Auch die Positionen für die Messung der mi-

nimalen Filmhöhe geht aus dieser Skizze hervor: In der Mitte und in einem Abstand

von 6,5mm vom vorderen Außenrand des Lagers. Die weiteren Geometriedaten wer-

den im Bericht explizit angegeben. Nur für den Außenradius der Lagerschale muss noch

ein Wert angenommen werden. Der Wellenwerkstoff wird im Bericht selbst nicht er-

wähnt, aber aus einem unter Beteiligung des Autors von [51] zwei Monate später erstell-

ten Bericht [1] als Edelstahl A-286 abgeleitet. Auffällig ist der für Stahl relativ hohe

25 Die Skizze befindet sich auf Seite 58 der PDF-Version des Berichts [51]. Wegen der schlechten Scan-

qualität ist auf dieser Seite weder die Beschriftungsnummer noch die Seitenzahl lesbar.

135

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

Wärmeausdehnungskoeffizient. Der Werkstoff der Lagerschale ist in [51] ebenfalls nicht

genannt. Es wird deshalb der gängige Baustahl S235J mit relativ geringem Wärmeaus-

dehnungskoeffizient angenommen. Die Verläufe der temperaturabhängigen Werkstoff-

eigenschaften sind in Abb. 3.10 dargestellt. Die Bedeutung der Wärmeausdehnungsko-

effizienten wird bereits beim Vergleich mit den Messwerten von [78] detailliert bespro-

chen. Die Umgebungstemperatur ist leider nur mit diesem Begriff, aber nicht mit einem

konkreten Zahlenwert angegeben. Anzunehmen wären vermutlich 20°C. Mit dieser

Annahme wird für das FVM-Wärmemodell der Lagerschale (Q1) eine gute bis sehr gute

Übereinstimmung erreicht. Für das Wärmewiderstandsmodell der Lagerschale (Q2) er-

geben sich damit allerdings tendenziell zu hohe Temperaturen. Es wurden deshalb ver-

suchsweise Berechnungsergebnisse mit einer Umgebungstemperatur von Ta =15°C

durchgeführt. Als Raumtemperatur ist dies vermutlich zu niedrig, aber die damit erziel-

ten Ergebnisse mit dem Wärmewiderstandsmodell (Q2) zeigen eine sehr gute Überein-

stimmung, speziell bei den Drehzahlen 30000min-1 und 45000min-1 für das Lager mit

nominalem Spalt von c0=31,8μm26. Im Folgenden werden die Ergebnisse für eine ange-

nommene Umgebungstemperatur von Ta =17,5°C als Kompromiss für beide nomina-

26 Der Bericht ist im April 1978 erschienen. Davon ausgehend, dass die dafür durchgeführten Messungen

in den Monaten zuvor in Latham, New York, USA durchgeführt wurden, sind eher kältere Umge-

bungstemperaturen nicht unwahrscheinlich.

136

Tab. 5.4: Geometrie- und Werkstoffdaten zur Simulation des in [51] beschriebenen Lagers

Geometrie Variable Wert Einheit Quelle

nominaler Radius R019,05 mm

[51]

Lagerbreite L38,1 mm

nominaler Spalt c031,8 und 57 μm

Welleninnenradius RW,i 10 mm

Wellenaußenradius RW,a = R0 - c0mm

freie überstehende Welle, Vorne Wlf 5 mm

freie überstehende Welle, Hinten Wlr 30 mm

Lagerschalenaußenradius RLs,a 50 mm

bump-Abstand s04,572 mm

halbe bump-Länge l01,778 mm

bump-Höhe hB0,508 mm

top und bump foil-Dicke tTf, tBf 101,6 μm

Umgebungstemperatur Ta17,5 °C -

Umgebungsdruck pa101325 Pa -

Werkstoffe Temperaturabhängigkeit der Werkstoffeigenschaften in Kap. 3.6

Welle A286 [1]

Lagerschale S235 -

top und bump foil Inconel X750 [51]

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

len Spalte, Wärmetransportmodelle und Lastfälle mäßige bis sehr gute Übereinstim-

mung ermittelt wird. Die weiteren vollständigen Ergebnisse für Ta =15°C und

Ta =20°C befinden sich im Anhang D.

In [51] werden untersuchte zwei Lager mit einem nominalen Spalt von c0=31,8μm

und c0=57μm bei jeweils drei Drehzahlen und einer variierenden Anzahl von Belas-

tungen zwischen rund 4–200N vermessen (s. Tab. 5.5).

Zunächst werden die berechneten Filmhöhen mit den Messergebnissen verglichen. Da

sich die berechneten Filmhöhen für beide Strukturmodelle und für beide nominalen

Spalte (c0=31,8μm und c0=57μm) grundsätzlich ähnlich verhalten, lassen sich die

Verläufe gemeinsam betrachten. Auf die Besonderheiten und Gründe für Unterschiede

zwischen den Strukturmodellen wird im Anschluss im Detail eingegangen. Die Verläufe

sind in Abb. 5.10 für c0=31,8μm und in Abb. 5.11 für c0=57μm dargestellt. In den Ab-

bildungen beinhalten die Diagramme auf der linken Seite die Ergebnisse für das SEFM

nach Iordanoff (S2), auf der rechten Seite die für das LeLez-Strukturmodell. Im oberen

Teil sind die Ergebnisse für das FVM-Wärmemodell der Lagerschale (Q1) dargestellt,

im unteren Teil die für das Wärmewiderstandsmodell (Q2).

Für niedrige Lasten (den ersten beiden Belastungsschritten) und bei den ersten bei-

den Drehzahlen liegen hohe Abweichungen zwischen Rechnung und Messung vor. Ab

dem dritten Belastungsschritt (Wres > 18,9N) passen die berechneten Filmhöhen für alle

Drehzahlen und beide nominalen Spalte gut bis sehr gut zu den Messwerten. Bei einzel-

nen Lastfällen bildet das etwas steifere LeLez-Strukturmodell mit den etwas geringeren

berechneten Filmhöhen die Messergebnisse etwas besser ab. Die Messergebnisse für die

minimale Filmhöhe an den beiden Messpositionen (vorderer Rand und Mitte des La-

gers) unterscheiden sich bei den niedrigeren beiden Drehzahlen meist nur um wenige

Mikrometer. Erst bei der höchsten Drehzahl liegen sie etwas weiter auseinander. Für alle

Drehzahlen ist erkennbar, dass sich der Unterschied zwischen den Messpositionen bei

höheren Lasten verringert. Die Berechnungsergebnisse zeigen ein ähnliches Bild, aber

einen noch geringeren Unterschied zwischen den beiden Messpositionen. Der Unter-

schied der Filmhöhen an den beiden Positionen wird in den Berechnungsergebnissen

137

Tab. 5.5: Lastfälle mit den Belastungen (alle in N) für die beiden nominalen Spalte aus [51]. Die Drehzahl

55500min-1 gehört zu c0=31,8μm, 60000min-1 gehört zu c0=57μm.

30000min-1 45000min-1 55500min-1 | 60000min-1

31,8μm 4,4; 18,9; 41,4; 63,4; 76,7; 90,1;

103,4; 116,8; 130,1; 143,5

4,4; 18,9; 41,4; 66,0; 86,5; 108,8;

122,1; 135,4; 148,8; 163,0; 178,2;

191,5; 200,4

18,9; 57,2; 79,4; 106,9; 129,2;

142,5; 155,9; 169,3; 185,2; 198,6

57μm 4,4; 18,9; 41,4; 63,4; 72,3; 81,2;

90,1; 99,0; 107,8

4,4; 18,9; 41,4; 54,0; 76,2; 111,8;

125,1; 142,3; 155,7; 169,0; 182,4;

194,0; 203,8

18,9; 41,1; 67,2; 93,2; 123,7;

145,9; 159,2; 174,3

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

138

Abb. 5.10: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0=31,8μm für beide Strukturmodelle und beide Wärmetransportmodelle bei

Umgebungstemperatur Ta=17,5°C

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

139

Abb. 5.11: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0=57μm für beide Strukturmodelle und beide Wärmetransportmodelle bei Um-

gebungstemperatur Ta=17,5°C

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

vor allem durch die für das jeweilige Strukturmodell getroffenen Annahmen beeinflusst.

Die Durchsenkung an den axialen Randknoten wird im SEFM nach Iordanoff auf die

Werte des innen liegenden Nachbarknotens gesetzt. Anschließend wird die Durchsen-

kung, zur Simulation einer biegesteifen top foil, durch eine gleitende axiale Mittelung

über drei Knoten geglättet. Das LeLez-Strukturmodell verlangt prinzipbedingt eine axi-

ale Druckmittelung und resultiert deshalb immer in einer axial konstanten Durchsen-

kung (s. Kap. 3.2.3). Die auch für dieses Modell erkennbaren Unterschiede zwischen

den beiden Positionen stammen aus der axial ungleichmäßigen Erwärmung und damit

Ausdehnung der Welle. Da diese in der Mitte wärmer wird als weiter außen, ist dort die

minimale Filmhöhe für das LeLez-Strukturmodell geringer. Dies steht im Widerspruch

zu den Messwerten, was aber erst bei der höchsten Drehzahl und hohen Lasten deutlich

er zu erkennen ist. Da dort das SEFM nach Iordanoff die Unterschiede zwischen vorde-

rer Messposition und Mitte allerdings auch besser abbilden kann und das Niveau der

minimalen Filmhöhe für das LeLez-Strukturmodell generell besser übereinstimmt wird

dieser Nachteil nicht als signifikant erachtet. Für das Lager mit dem kleineren nomina-

len Spalt ist in der Quelle auch der Auslenkungswinkel β für eine Auswahl an Lastfällen

dokumentiert. Der Vollständigkeit halber, wird dieser hier deshalb ebenfalls unter Ver-

wendung des Wärmewiderstandsmodells (Q2) und des LeLez-Strukturmodell (S3) ge-

zeigt. Ebenso wie bei den Filmhöhen wird bei den niedrigen Belastungen eine hohe Ab-

weichung festgestellt. Erst ab etwas höheren Belastungen stimmen die berechneten Aus-

lenkungswinkel besser mit den Messwerten überein (s. Abb. 5.12).

Während sich die beiden Lager mit nominalem Spalt von c0=31,8μm und c0=57μm

beim Vergleich der minimalen Filmhöhen recht ähnlich verhalten, muss für den Tem-

peraturvergleich zwischen ihnen unterschieden werden. Die Temperaturen sind eben-

falls in Abb. 5.10 und Abb. 5.11 auf der rechten y-Achse dargestellt27. Für den nominalen

Spalt von c0=31,8μm zeigen beide Wärmetransportmodelle der Lagerschale (Q1, Q2)

für die Drehzahlen 30000min-1 und 45000min-1 über den gesamten Lastbereich gute

Übereinstimmung zwischen den gemessenen und berechneten Temperaturen. Speziell

die mit dem FVM-Wärmemodell (Q1) berechneten Werte stimmen sehr gut überein

und das sogar für beide Strukturmodelle. Berechnungen mit dem Wärmewiderstands-

modell ergeben etwas höhere Temperaturen. Trotzdem liegen die Abweichungen zu-

meist noch deutlich unter 5K. Bei der höchsten Drehzahl von 55500min-1 zeigen beide

Modelle eine deutlich höhere Abweichung im Niveau der Temperaturen, bilden aber

dennoch den Anstieg sehr gut ab. Das Lager mit nominalem Spalt von c0=57μm zeigt

27 Die Skalierung der Temperaturachse ist an das jeweilige Temperaturniveau angepasst. Bei der opti-

schen Beurteilung der Abweichungen zwischen verschieden Diagrammen ist deshalb immer auf die

Skalierung zu achten.

140

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

hingegen gerade für die höchste Dreh-

zahl (von 60000min-1) eine sehr gute

Übereinstimmung zwischen Temperatur-

messung und -berechnung. Für die bei-

den niedrigeren Drehzahlen zeigt hier

das Wärmewiderstandsmodell die etwas

bessere Übereinstimmung. Aber auch

beim FVM-Wärmemodell betragen die

Abweichungen nur rund 5K. Die Anstie-

ge der Temperatur werden weiterhin sehr

gut abgebildet, lediglich das Niveau ist

verschoben. Für die niedrigste Belastung

bei der höchsten Drehzahl, kann mit

dem FVM-Wärmemodell kein Ergebnis

berechnet werden. Das Wärmekontaktmodell des FVM-Wärmemodells ist stärker vom

Druck abhängig. Bei so niedriger Last in Kombination mit der hohen Drehzahl ist der

Anpressdruck nicht hoch genug, um eine ausreichende Wärmeabfuhr für eine Konver-

genz der Berechnung zu erreichen.

Für den gestrichelten Bereich im Temperaturverlauf für 45000min-1 am Lager mit

nominalem Spalt von c0=57μm funktionierte, laut [51], das Messequipment nicht,

weshalb keine Daten vorliegen.

Die Betrachtung der Berechnungs- und Messergebnisse verdeutlicht den Zusammen-

hang zwischen minimaler Filmhöhe und der Temperatur. Bei kleinerer Filmhöhe sorgt

die dann höhere Scherung im Fluid für eine höhere viskose Dissipation und damit hö-

heres Temperaturniveau. Der Vergleich der Berechnungsergebnisse mit den Messwerten

von [51] ist deshalb besonders wertvoll, da sie nicht nur die jeweiligen Verläufe der mi-

nimalen Filmhöhen und Temperaturen, sondern auch den Zusammenhang zwischen

den beiden Größen mit guter bis sehr guter Übereinstimmung für zwei nominale Spalte

abbilden. Dies gelingt für beide Struktur- und Wärmetransportmodelle. Die Steigerung

der Temperatur hin zu höheren Lasten wird, auch wenn Abweichungen im Temperatur-

niveau bei einzelnen Konfigurationen vorliegen, korrekt wiedergegeben. Da die Umge-

bungstemperaturen in [51] weder getrennt für die Lastfälle noch allgemein angegeben

sind, kann nicht ausgeschlossen werden, dass während der Messungen unterschiedliche

Umgebungstemperaturen vorlagen. Wie bereits bei der Argumentation für die Präsenta-

tion der Ergebnisse bei Ta = 17,5°C besprochen, führt eine Variation der Umgebungs-

temperatur von ±2,5K zu einer Parallelverschiebung des berechneten Temperaturver-

141

Abb. 5.12: Berechnete Auslenkungswinkel im Ver-

gleich mit den Messwerten von [51]

5.4 Vergleich mit den Messwerten von Ruscitto et al. 1978

laufs. Bei der großen Anzahl an Lastfällen und den beiden untersuchten Lagern ist es

wahrscheinlich das für die Messungen mehr als ein Tag benötigt wurde. Eine Variation

der Umgebungstemperatur von ±2,5K ist selbst innerhalb eines Tages nicht ungewöhn-

lich. Es ist also gut möglich, dass dies die Erklärung für die verbleibenden Abweichun-

gen in den Temperaturniveaus ist.

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten

Messwerten

An einem ursprünglich zur Parameteridentifikation eingerichteten zum Fachgebiet ge-

hörenden Prüfstand werden Thermoelemente angebracht, um einen weiteren Datensatz

zum Vergleich mit Ergebnissen des numerischen Modells zu erhalten28. Die Lagergeo-

metrie entspricht weitestgehend der von [51], abweichende Größen sind in Tab. 5.6 zu-

sammengefasst. Untersucht werden die Drehzahlen 15000min-1, 20000min-1,

25000min-1 und 30000min-1 bei einer Belastung von 3N, 6N und 9N. Sowohl Dreh-

zahl als auch Belastung unterliegen Beschränkungen. Während die Drehzahl über einen

relativ weiten Bereich variiert werden kann, ist für die Belastungen bereits im Voraus

festzustellen, dass diese insgesamt zu niedrig und zu wenig variiert sind, um daraus auf

den konkreten Einfluss der Belastung zu

schließen. Die Drehzahlen werden durch

den die Welle tragenden Lagerbock be-

schränkt. Für die Temperaturmessungen

muss gewartet werden bis sich bei statio-

närem Betrieb eine stationäre Tempera-

tur an den Messstellen unter der top foil

einstellt. Bei höheren Drehzahlen besteht

die Gefahr, dass die Temperatur an den

Wälzlagern im Lagerbock trotz Öl-Luft-

Schmierung über den für sie zulässigen

Wert steigt, bevor sich am GFL eine stationäre Temperatur einstellt. Für das untersuchte

am Fachgebiet gefertigte GFL wird die statische Belastung auf Empfehlung des den

Prüfstand betreuenden Kollegen auf 9N begrenzt, da sonst die Gefahr besteht, dass das

Lager sperrt und dabei zerstört wird. Dies konnte nicht riskiert werden, da das Lager

von ihm für weitere Untersuchungen benötigt wird. Trotzdem lassen sich an den aufge-

28 Eine kurze Beschreibung des Prüfstands befindet sich im Anhang F. Für eine ausführliche Beschrei-

bung wird auf [129] verwiesen.

142

Tab. 5.6: Die Geometrie des am Fachgebiet untersuch-

ten GFL gleichen denen aus Tab. 5.4. Es sind nur

abweichenden Werte aufgelistet.

Geometrie Variable Wert Einheit

Welleninnenradius RW,i 12,5 mm

Freie überstehende

Welle, vorne

Wlf=Wlr=0 wegen der

Verwendung der

Pyrometermesswerte als

Randbedingung

Freie überstehende

Welle, hinten

Umgebungstemperatur Ta22,5 mm

Werkstoffe Phys. Eigenschaften

s. Abb. 3.6

Welle 42CrMo4

Lagerschale S235JR

top und bump foil InconelX750

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

nommenen Messwerten weitere Erkennt-

nisse gewinnen, unter anderem weil sehr

viele Messpositionen erfasst werden. Die

Messpositionen sind in Abb. 5.13 darge-

stellt.

Die Thermoelemente mit des Typs T

sind mit einem Drahtdurchmesser von 0,08mm sind trotz Isolierung dünn genug, um

in die Zwischenräume unter top und bump foil geschoben zu werden. Auf diese Weise

werden sieben Thermoelemente entlang des Umfangs (alle 45° von 45° bis 315°) in die

Mittelebene des Lagers geschoben. Die Welle dreht in positiver θ-Richtung, wodurch

das Druck- und Temperaturmaximum im Bereich der Positionen 180°, 225° und 270°

erwartet wird. An diesen Positionen werden in einem Abstand von etwa 1,5mm vom

jeweiligen Rand weitere Thermoelemente platziert. Idealerweise würden die Thermo-

elementspitzen in direktem Kontakt mit der top bzw. bump foil stehen. Aufgrund der

sehr kleinen geometrischen Abmessungen lässt sich der konkrete Kontaktzustand nach

der Platzierung nicht mehr kontrollieren. Um den Wärmeübergang ohne direkten Kon-

takt zu verbessern, werden die Thermoelementspitzen mit einem Tropfen Wärmeleit-

paste versehen, bevor sie platziert werden.

Die Temperatur der Welle wird zu beiden Seiten des GFL durch ein Pyrometer er-

fasst. Die Wellentemperaturen werden, analog zum Vorgehen beim Vergleich mit [25],

als Randbedingung für die zu vergleichende Berechnung verwendet. Die Temperaturen

werden mit beiden Struktur- und Wärmetransportmodellen berechnet. Das GFL läuft

auf einer Nabe, die über einen Ringfederverband auf der durch den Lagerbock getrage-

nen Welle angebracht ist. Da die komplexe Geometrie des Ringfederverbands nicht

durch den Berechnungscode abgebildet werden kann, wird die Nabe als Hohlwelle mo-

delliert, um die fliehkraftbedingte Aufweitung adäquat zu berücksichtigen. Am Innen-

durchmesser dieser angenommenen Hohlwelle wird der konvektive Wärmeübergang

deaktiviert. Die Ergebnisse der Messungen im Vergleich mit berechneten Werten wer-

den in der folgenden Abb. 5.13 und Abb. 5.14 für das Widerstands- und das FVM-Wär-

metransportmodell unter Verwendung des LeLez-Strukturmodell dargestellt. Im Ver-

gleich mit unter Verwendung des SEFM nach Iordanoff berechneten Ergebnissen zeigen

sich für die Interpretation vernachlässigbare Unterschiede (s. Anhang E).

143

Abb. 5.13: Messpositionen der Thermoelemente unter

der bump foil am Fachgebiets-GFL

45°

Vorne

90° 135° 180° 225° 270° 315°

Mitte

Hinten

L - 3 mm

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

144

Abb. 5.14: Temperaturprofile der am Fachgebietsprüfstand untersuchten Lastfälle durch Darstellung aller

Messpositionen über den Umfang. Berechnet mit dem LeLez-Strukturmodell (S3) und dem FVM-Wär-

metransportmodell (Q1)

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

145

Abb. 5.15: Temperaturprofile der am Fachgebietsprüfstand untersuchten Lastfälle durch Darstellung aller

Messpositionen über den Umfang. Berechnet mit dem LeLez-Strukturmodell (S3) und dem Wärmewi-

derstandsmodell (Q2)

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

Die Messtoleranz der verwendeten Thermoelemente beträgt ±0,5K und wird in den

Abbildungen nur für die Temperaturen in der Mittelebene dargestellt, um diese im

hochbelasteten Bereich übersichtlich zu halten. Die Umgebungstemperatur während der

Messung wurde ebenfalls gemessen und beträgt für alle Messungen Ta=22,5°C und

wird so im Berechnungscode verwendet. Beide Wärmetransportmodell für die Lager-

schale zeigen ein ähnliches Verhalten bei fast identischen Temperaturniveaus. Beim

Wärmewiderstandsmodell ist die Variation der Temperatur über den Umfang zwischen

den Messpositionen stärker ausgeprägt als beim FVM-Wärmemodell, da die im FVM-

Wärmemodell berücksichtigte Wärmeleitfähigkeit in Umfangsrichtung der Lagerschale

für eine Glättung sorgt. Am leicht gezackten Temperaturverlauf des FVM-Wärmemo-

dells zeigt sich die detaillierte Abbildung der bump-Kontaktstellen. Zwischen 225° und

270° fallen die Temperaturen an den Rändern deutlich ab, da ab hier in der Modellie-

rung durch den Druckabfall Umgebungsluft (mit Umgebungstemperatur) angesogen

wird.

Die gemessenen Temperaturen verändern sich sowohl über die Belastung als auch

über die Drehzahl nur in geringem Maße. Bei den Belastungen wird dies durch die be-

reits angesprochene zu geringe Variation der Belastung erklärt. Darüber hinaus werden

die Temperaturen am GFL durch die auf der Welle als Randbedingungen angebrachten

Messwerte der Pyrometer beeinflusst. Da diese Pyrometermesswerte über die Drehzahl

ebenfalls nur gering steigen, überträgt sich dieses Verhalten auch auf das GFL. Eine Er-

klärung könnte sein, dass die mit zunehmender Drehzahl steigende Konvektion auf der

freien Wellenoberfläche die Wellentemperatur weitestgehend konstant hält. In diesem

Zusammenhang spielt sicherlich auch die Öl-Luft-Minimalmengenschmierung und da-

für notwendige auf die Welle treffende Sperrluft im Lagerbock eine schwer zu erfassen-

de Rolle.

Auch entlang des Umfangs variieren die Temperaturen in der Mittelebene nur in ge-

ringem Maße. Für die meisten Lastfälle steigt die Temperatur in der Mittelebene bis zur

Position 180° an, fällt dann im Bereich der Positionen 225° und 270° etwas ab, um an-

schließend zur letzten Position 315° nochmals anzusteigen. Im Vergleich mit den be-

rechneten Temperaturergebnissen lässt sich dieses Verhalten auch dort erkennen. Mit

steigender Belastung und Drehzahl prägt sich dieser Verlauf zunehmend stärker aus.

Beim Wärmewiderstandsmodell ist dies deutlicher erkennbar als beim FVM-Wärme-

modell. Erklärt wird der Verlauf durch den Druckanstieg und die damit verbundene Er-

wärmung bis etwa 180°, dem Beginn des Bereichs mit dem höchsten Druck. Um diesen

Bereich zu verdeutlichen, ist der Kraftangriffswinkel in den Abb. 5.14 und Abb. 5.15

durch ein auf der Spitze stehendes Dreieck (Fres) gekennzeichnet. Zusätzlich ist der nor-

146

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

mierte Druckverlauf (in grau) in der Mitte der Lagerschale in den Diagrammen für

20000min-1 beispielhaft dargestellt. Da anschließend der Druck abfällt, sinkt die Tem-

peratur etwas. Der wiederum folgende Anstieg der berechneten Temperatur in der Mit-

telebene wird durch die Verdichtung gegen den (und damit Erwärmung) in der mixing-

Zone angenommene Umgebungsdruck erklärt. Bei Position 315° erreichen sie bereits

wieder die zuvor erreichte Temperatur im Bereich des Kraftangriffs und steigen an-

schließend noch weiter an. Im Gegensatz dazu liegen die gemessenen Temperaturen in

der Mittelebene an Position 315° dort bereits geringfügig höher als im Bereich des

Kraftangriffs. Welcher der Punkte der höhere ist, ist aufgrund der Messtoleranz nicht

eindeutig bestimmbar. Interessant ist, dass hohe Temperaturen somit nicht nur, wie ur-

sprünglich vermutet, im Bereich des Kraftangriffs zu finden sind.

Wie erwartet, liegen die Temperaturen am Lagerrand sowohl in der Messung als auch

in der Berechnung zumeist niedriger als die Temperaturen in der Mittelebene (zumin-

dest für die Positionen 180° und 215°). In der Messung ist dies für die Temperaturen am

hinteren Rand recht eindeutig, während die Temperaturen am vorderen Rand teilweise

auf dem Niveau der Mittelebene verbleiben. Die beide berechneten Randtemperaturen

liegen je nach Drehzahl etwa 1–2K niedriger als die Temperaturen in der Mittelebene.

Auch in den Fällen, in denen das Temperaturniveau der Berechnungen nicht mit den

Messungen übereinstimmt, findet sich dieser Abstand von 1–2K zwischen der Tempe-

ratur in der Mittelebene und dem hinteren Rand zumeist wieder. Der anschließende

Anstieg der Temperatur an beiden Rändern an der Position 270° wird von den Berech-

nungsergebnissen, die an den Rändern ihr Maximum kurz vor 270° haben, zumindest

nachgebildet, allerdings nicht in mit den Messergebnissen vergleichbarer Höhe. Als Er-

klärung für diesen Anstieg der Randtemperaturen wird das Ausströmen der zuvor in

der Mitte des Lagers im Bereich des Kraftangriffs erwärmten Fluids angesehen. Ein Ar-

gument für diese Erklärung ist die für viele Lastfälle vergleichbare Temperatur (im Rah-

men der Messtoleranz) in der Mitte des Lagers an Position 180° und den Randtempera-

turen an Position 270°. Warum der Anstieg in den gemessenen Temperaturen in man-

chen Lastfällen so markante und auch deutlich ausgeprägter auftritt als in den berechne-

ten Temperaturen kann, außer möglicherweise durch die Messtoleranz, nicht erklärt

werden. Es kann aber festgestellt werden, dass das Verhalten in sich konsistent ist, da

der Anstieg sowohl am vorderen als auch hinteren Rand beobachtet wird.

Trotz dieser detaillierten Analyse sei darauf hingewiesen, dass die Beobachtungen

und Schlüsse auf einem bei den Belastungen eingeschränkten Bereich und teilweise

auch nur auf Basis von wenigen Zehntel Grad Celsius getroffen werden. Die umfangrei-

che Erfassung der Temperatur an vielen Messpositionen erlaubt die Abbildung des Tem-

147

5.5 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Messwerten

peraturprofils über weite Teile des Lagers. Auch wenn das Temperaturniveau nicht für

alle Lastfälle gute Übereinstimmung zeigt, wird doch der Verlauf der Messung durch die

Berechnung weitestgehend gut getroffen. Besonders interessant ist, dass der in den Be-

rechnungen auftretende Temperaturanstieg im Bereich der Verdichtung gegen die mi-

xing-Zone auch in den Messwerten auftritt.

5.6 Zwischenfazit Temperaturvalidierung

Die Validierung der Temperaturberechnung wird drei Messkampagnen aus der Litera-

tur und einer eigenen, an einem am Fachgebiet stehenden Prüfstand durchgeführt.

Im Vergleich mit den Messergebnissen von [78] wird das prinzipielle Verhalten und

teilweise auch Temperaturniveau für die meisten Messpositionen gut abgebildet. Um

eine solche Übereinstimmung zu erreichen, müssen allerdings viele nicht angegeben Pa-

rameter entsprechend geschätzt bzw. gewählt werden. Die Annahme dieser Parameter

führt zu ähnlichen Ergebnissen wie die Validierungsversuche in anderen Veröffentli-

chungen [23, 24]. Für niedrige Drehzahlen wird die Temperatur unterschätzt, für hohe

überschätzt.

Im Vergleich mit den Messergebnissen von [79] zeigt sich das gleiche Verhalten.

Leichte Unterschätzung für die niedrige Drehzahl, leicht Überschätzung für die hohe

Drehzahl. Die mittlere Drehzahl wird durch die Berechnungsergebnisse gut abgebildet.

Bei dieser Messung wird an der Außenseite der Lagerschale, statt direkt im Bereich der

top bzw. bump foil gemessen. Der Einfluss der Belastung auf die Temperatur ist wenig

ausgeprägt. Außerdem bildet das Wärmewiderstandsmodell der Lagerschale unter Ver-

nachlässigung der Wärmeleitung in Umfangsrichtung den Temperaturverlauf in Um-

fangsrichtung besser ab als das FVM-Wärmemodell. Der axiale Temperaturverlauf in

der Welle wird nur durch einen Messwert vor dem Lager validiert, da der zweite Mess-

wert hinter dem Lager als Randbedingung verwendet wird. Die Übereinstimmung wird

als ausreichend erachtet. Für die Validierung von Vorteil ist, dass die Parameter und

Randbedingungen gut dokumentiert sind, sodass die Übereinstimmung mit wenigen

Annahmen erreicht wird. Festzustellen ist dabei, dass dies für zwei Lager mit unter-

schiedlichem nominalem Spalt, mit seinem großen Einfluss auf fast alle Lagereigen-

schaften, gelingt.

Der Messdatensatz aus [51] ist von besonderem Wert für die Validierung in dieser

Arbeit. Zum einen definierte [51] mit der verwendeten Lagergeometrie und dem nomi-

nalen Spalt von c0 = 31,8μm die häufig verwendete Standardgeometrie in der GFL-For-

schung. Zum anderen wird neben der Temperatur auch die minimale Filmhöhe wäh-

148

5.6 Zwischenfazit Temperaturvalidierung

rend des Betriebs für zwei Lager mit unterschiedlichem nominalen Spalt und für eine

große Anzahl von Lastfällen gemessen. Durch den engen Zusammenhang zwischen mi-

nimaler Filmhöhe und Temperatur ist die gute bis sehr gute Übereinstimmung zwi-

schen Messung und Berechnung für beide Strukturmodelle und Wärmetransportmo-

delle der Lagerschale ein starker Beleg für die Tauglichkeit des entwickelten Tempera-

turmodells. Passt das Temperaturniveau der Berechnung weniger gut zu dem der Mes-

sung wird dennoch weiterhin der Anstieg der Temperatur sehr gut abgebildet. Als

Grund für die Niveauabweichungen werden durch weitere Berechnungen möglicher-

weise unterschiedliche Umgebungstemperaturen identifiziert.

Durch die Verwendung von 13 axial und über den Umfang verteilten Messpositionen

am Fachgebietsprüfstand, gelingt es das Temperaturprofil über einen weiten Bereich des

Lagers abzubilden. Die Belastungen werden leider nur auf einem niedrigen Niveau und

wenig variiert. Auch für diese Messkampagne stimmen Messung und Berechnung erst

für höhere Drehzahlen gut überein. Mit wenigen Ausnahmen wird das Temperaturprofil

über den Umfang aber für alle Drehzahlen und für beide Wärmetransportmodelle der

Lagerschale befriedigend abgebildet. Die Verläufe lassen sich durch die Lage des

Kraftangriffs und den Druckverlauf erklären. Für die in den Messungen höheren Tem-

peraturen bei niedrigen Drehzahlen gegenüber den Berechnungsergebnissen werden

Festkörperreibungseffekte vermutet.

Trotz der angesprochenen Einschränkungen und Annahmen wird das Temperatur-

modell durch die Breite der zur Validierung verwendeten Messwerte, Lastfälle und La-

gerkonfigurationen als ausreichend validiert betrachtet, um damit die weiteren Analy-

sen durchzuführen.

149

6 Berechnung temperaturabhängiger Lagereigenschaften

6 Berechnung temperaturabhängiger

Lagereigenschaften

Während das letzte Kapitel 5 beim Vergleich von berechneten Temperaturergebnissen

mit Messwerten die Hintergründe zur und Einflüsse auf die Temperaturentwicklung in

GFL beschreibt, wird es im folgenden Kapitel um die Auswirkung der Temperatur auf

weitere Lagereigenschaften gehen.

Ob ein GFL die Belastung bei einer bestimmten Drehzahl tragen kann, hängt davon

ab, ob eine ausreichend hohe Filmhöhe vorliegt oder der Fluidfilm unter der Belastung

zusammenbricht. Durch den Einfluss der Temperatur auf den nominalen Spalt im Be-

trieb durch die Interaktion der Aufweitung von Welle und Lagerschale ergeben sich

deutliche Unterschiede zwischen einer Betrachtung ohne und mit Berücksichtigung der

Temperatur.

Unter dem Oberbegriff Lagerparameter werden die Haupt- und Koppelsteifigkeiten

sowie -dämpfungen zusammengefasst. Sie beschreiben die Reaktion des GFL auf eine

Anregung und sind selbst aber wiederum von der Anregungsfrequenz abhängig. Nume-

risch werden sie durch den Ansatz von Lund (s. Kap. 3.3) durch angenommen Störun-

gen um die Gleichgewichtslage herum bestimmt. Da die Position der Gleichgewichtsla-

ge wiederum von der Temperatur beeinflusst wird, hängen die Lagerparameter indirekt

ebenfalls von der Temperatur ab.

Die Lagerparameter bilden die Grundlage für eine Stabilitätsbetrachtung. Durch die

gerade erwähnte Abhängigkeit der Lagerparameter von der Temperatur überträgt sich

diese Abhängigkeit somit auch auf die Stabilitätsbetrachtung. Für ausgewählte Lager

wird deshalb die Grenzdrehzahl des Einsatzes subharmonischer Schwingungen nach

der linearen Theorie von Lund in Berechnungen mit und ohne Berücksichtigung der

Temperatur vergleichen. Darüber hinaus wird der Einfluss von dünnen Metallstreifen

(engl. shims), welche zur lokalen Verringerung des nominalen Spalts unter die bump foil

geschoben werden, auf die Stabilität untersucht.

Die im Folgenden vorgestellten Ergebnisse werden in Fällen, wo dies möglich ist,

durch weitere Ergebnisse aus der Literatur oder aus durch Messungen am Fachgebiet er-

mittelten Ergebnissen ergänzt. Damit wird an die Validierung aus dem letzten Kapitel 5

angeschlossen und die Möglichkeit zur Einordnung der Ergebnisse in einen größeren

Kontext erreicht werden.

151

6.1 Berechnung der temperaturabhängigen Lagerparameter und Vergleich mit Larsen et al. 2013

6.1 Berechnung der temperaturabhängigen

Lagerparameter und Vergleich mit Larsen et al. 2013

Zur Validierung der Implementierung des Ansatzes von Lund zur Berechnung der La-

gerparameter wird mit den Ergebnissen von [17] verglichen. Da in [17] wiederum mit

sehr guter Übereinstimmung mit den Ergebnissen aus [18] vergleicht, wird indirekt

auch mit dieser Veröffentlichung verglichen. Entsprechend der Annahme in diesen Ver-

öffentlichungen wird der Vergleich bei isothermen Bedingungen gezogen. D.h. der Flu-

idfilm und das GFL erwärmen sich während des Betriebs nicht. Im Anschluss an diesen

Vergleich wird darüber hinaus der Einfluss der Temperatur auf die Lagerparameter ge-

zeigt. Dazu werden zwei Sätze von Randbedingungen gesetzt, die zu einem moderaten

bzw. starken Temperaturanstieg im GFL führen. Die Annahmen im Bereich des axialen

Randes (ein- oder ausströmende Luft) und der mixing-Zone bleiben unverändert. Um

den moderaten Temperaturanstieg zu erreichen, wird angenommen, dass die Vollwelle

zu beiden Seiten 5mm aus dem Lager herausragt. Neben der Wärmeabfuhr durch die

Lagerschale wird damit auch über die Welle und die freie Fläche am Außenradius Wär-

me an die Umgebung abgeführt. Um die Lagerparameter bei hoher Lagertemperatur

darzustellen, wird angenommen, dass sich die Welle adiabat verhält. D.h. keine Wärme

in Richtung der Welle abfließt. Auch wenn diese Annahme an dieser Stelle nur zur Pro-

vokation einer hohen Temperatur dient, ist der Betrieb eines GFL bei hoher Temperatur

nicht unrealistisch. Bspw. könnte die Welle eines Turboladers bereits selbst eine höhere

Temperatur aufweisen und den Fluidfilm dadurch zusätzlich erwärmen. Ein Wärmeab-

transport aus dem GFL durch die Welle wäre dann nicht möglich und die Annahme ei-

ner adiabaten Welle wäre dann sogar als optimistisch zu werten.

In [17] und [18] wird der Lastfall 30N bei 40000min-1 berechnet29. Die Ergebnisse

im Vergleich mit den beschriebenen Randbedingungen sind in der Abb. 6.1 untereinan-

der dargestellt. Auf der linken Seite sind die Steifigkeiten, auf der rechten Seite die

Dämpfungen dargestellt. Die Legende gibt die entsprechenden Indizes der Lagerpara-

meter an (s. Kapitel 3.3.1) und gilt entsprechend für die gesamte Abbildung. Der direkte

Vergleich ist zwischen [17] und den isotherm berechneten Ergebnissen in den Diagram-

men der zweiten Zeile zu ziehen. Sowohl die Verläufe als auch Eckwerte aller Lagerpara-

meter stimmen weitestgehend sehr gut überein. Kleine Abweichungen liegen bei der

Hauptsteifigkeit Kxx vor, die bei niedrigem Störfrequenzverhältnis etwas höher liegt. Die

29 In [17] wird eine Drehzahl von 30000min-1 angegeben. Dabei handelt es sich aller Wahrscheinlichkeit

nach um einen Tippfehler, da in der ursprünglichen Quelle [18] und auch beim erneuten Abdruck in

der Dissertation [130] des Autors von [17] 40000min-1 angegeben wird.

152

6.1 Berechnung der temperaturabhängigen Lagerparameter und Vergleich mit Larsen et al. 2013

Hauptsteifigkeit Kyy liegt bei hohem Störfrequenzverhältnis etwas höher. Bei den Dämp-

fungen ist der Verlauf der Hauptsteifigkeit Dyy etwas anders. Im Bereich des Störfre-

quenzverhältnis η=0,2–1 prägt sich in den hier berechneten Ergebnissen ein etwas

stärkere Anstieg gegenüber den Ergebnissen von [17] aus. Ein ähnliches Verhalten ist in

den Ergebnissen von [17] im Verlauf für die Dämpfung Dyx im Bereich η=0,2–0,7 zu

erkennen. Als Ursache für die Abweichungen wird die Verwendung eines unterschiedli-

chen Strukturmodells gesehen. Während [17] ein einfaches SEFM verwendet (ohne die

Erweiterungen nach Iordanoff), werden alle hier dargestellten Lagerparameter auf Basis

einer mit dem LeLez-Strukturmodell ermittelten Gleichgewichtslage bestimmt. Die Ab-

weichungen in den Dämpfungen werden zusätzlich durch die Annahme des Struktur-

verlustfaktors mit γ=0,2 erklärt, für den sich in [17] keine Angabe findet. In der zwei-

ten Quelle [18] wird auf die Angabe eines Bereichs von γ=0,2–0,6 in [131] verwiesen.

Zur Überprüfung, ob die Wahl einer anderen Annahme bessere Übereinstimmung lie-

fert, wird der Strukturverlustfaktor zwischen γ=0,05–0,6 variiert. Mit γ=0,2 wird die

beste Übereinstimmung erreicht, weshalb auf die Darstellung der anderen Werte ver-

zichtet wird. Durch die gute Übereinstimmung mit [17] (und damit auch [18]) wird

davon ausgegangen, dass der Ansatz von Lund zur Bestimmung der linearen Lagerpara-

meter grundlegend korrekt implementiert ist.

153

Abb. 6.1: Numerisch berechnete lineare Lagerparameter im Vergleich mit [17]

6.1 Berechnung der temperaturabhängigen Lagerparameter und Vergleich mit Larsen et al. 2013

Im Fall der isotherm berechneten Ergebnisse findet keine Erwärmung (und damit auch

keine Auswirkungen der Erwärmung, wie bspw. die Aufweitung von Komponenten)

statt. Die Angabe der mittleren Temperatur von TFf,m =20°C entspricht damit der Um-

gebungstemperatur und dient nur der Vergleichbarkeit mit den im Folgenden bespro-

chenen Fällen unter Berücksichtigung der Temperatur. Die Annahme des Wärmetrans-

ports durch die Welle und durch die freie aus dem Lager herausragende Wellenoberflä-

che in die Umgebung führt auf eine mittlere Fluidfilmtemperatur von TFf,m =53°C. Die-

ser moderate Temperaturanstieg zeigt nur minimale Änderungen in den Verläufen der

Lagerparameter. Bspw. steigt die Dämpfung Dyx im Bereich der Störfrequenzverhältnisse

von η=0,2–0,5 minimal an. Erst bei Annahme einer adiabaten Welle und einem da-

mit verbundenen deutlichen Temperaturanstieg auf TFf,m =190°C zeigen sich sowohl in

den Steifigkeiten als auch in den Dämpfungen deutlichere Unterschiede. Das Niveau der

Hauptsteifigkeiten Kxx und Kyy steigt speziell im Bereich der niedrigen Störfrequenzver-

hältnisse von 2N(μm)-1 auf 3N(μm)-1 an und liegt auch bei hohen Störfrequenzverhält-

nissen höher. Die Koppelsteifigkeit Kyx sinkt bei niedrigem Störfrequenzverhältnis etwas

ab, Kxy bleibt weitestgehend unbeeinflusst. Bei den Dämpfungen ist vor allem der An-

stieg von Dyx im Bereich η=0,1–0,9 markant. Auch der Verlauf der beiden Dämpfun-

gen Dxx und Dyy ändert sich in diesem Bereich. Insbesondere sinkt die Dämpfung Dxx im

Bereich η=0,2–0,3 auf einen Wert nahe Null ab.

Für Störfrequenzverhältnisse größer als Eins laufen alle Dämpfungen und beide Kop-

pelsteifigkeiten Kxy und Kyx gegen Null. Nur die beiden Hauptsteifigkeiten Kxx und Kyy

behalten einen steigenden Verlauf bei.

Zum Einfluss der Temperatur wird festgestellt, dass ein moderater Temperaturanstieg

zu keiner wesentlichen Veränderung der Verläufe der Lagerparameter führt. Erst ein

deutlicher Temperaturanstieg führt zu einem erkennbaren Einfluss auf die Verläufe. Bei

Angabe von Lagerparametern ist es deshalb angebracht auch die entsprechenden Rand-

bedingungen und das dabei erreichte Temperaturniveau zu nennen. Der exakte Grund,

warum sich die Verläufe der Lagerparameter auf die dargestellte Art und Weise ändern,

lässt sich aus dieser Betrachtung nicht ableiten, da die Temperatur auf vielfältige Weise

Eingang in die Lagerparameterberechnung findet. Sie geht wie in Kapitel 3.3.1 gezeigt,

direkt als Parameter in die Störungsgleichung 1.-Ordnung ein. Zusätzlich ist die darin

enthaltene Viskosität abhängig von der Temperatur. Mit steigender Temperatur nimmt

diese zu und könnte damit ein Grund für die Veränderung der Steifigkeits- und Dämp-

fungsparameter sein. Zuvor finden die Temperatur und Viskosität bereits Eingang in die

zur Bestimmung der Gleichgewichtslage gelösten Gleichung 0.-Ordnung. Über diese

154

6.1 Berechnung der temperaturabhängigen Lagerparameter und Vergleich mit Larsen et al. 2013

Gleichung kommen somit potenziell auch alle anderen indirekte Einflüsse, wie bspw.

Die Aufweitung der Lagerkomponenten zum Tragen.

6.2 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten

Lagerparametern

Der implementiert und durch den Vergleich mit Ergebnissen aus [17] abgesicherte An-

satz von Lund wird verwendet, um die Lagerparameter für ein am Fachgebiet vermesse-

nes GFL zu berechnen. Die Messkampagne zur Bestimmung der Lagerparameter wird

von Djoko Kayo an einem GFL-Prüfstand am Fachgebiet durchgeführt. Ein Überblick

über den Aufbau des Prüfstands wird im Anhang F gegeben. Für eine genauere Be-

schreibung des Prüfstands und der Vorgehensweise zur experimentellen Ermittlung der

Lagerparameter wird auf die Dissertation von Djoko Kayo verwiesen [129].

Die Lagerparameter werden bei einer statischen Belastung von 10N über eine Dreh-

zahlspanne von 10000min-1 bis 30000min-1 gemessen. In Abb. 6.2 werden auf der lin-

ken Seite die Steifigkeiten, auf der rechten Seite die Dämpfungen dargestellt. Die Dreh-

zahlspanne ist in Schritten von 5000min-1 unterteilt die untereinander dargestellt sind.

Bei der Messung der Lagerparameter wird für alle Drehzahlen mit einer Störfrequenz in

Schritten von 20Hz in einem Bereich zwischen 80–640Hz angeregt. Über diesen Be-

reich werden die Lagerparameter aufgetragen. Zusätzlich ist in klein grauen Zahlen das

entsprechende Störfrequenzverhältnis angegeben. Dargestellt sind die Ergebnisse, die

mit einem Strukturverlustfaktor von γ=0,2 berechnet sind. Eine Parametervariation

des Strukturverlustfaktors zwischen γ=0,05–0,6 erbringt keine wesentlich verbesserte

Übereinstimmung.

Zunächst lässt sich feststellen, dass sich die Verläufe der Steifigkeiten weder in der

Messung noch in den berechneten Werten durch den Anstieg der Drehzahl grundle-

gend verändern. Bei höheren Störfrequenzen ab etwa 480Hz ist in den Hauptsteifigkei-

ten Kxx und Kyy ein Absinken zu erkennen. Im Bereich niedriger Störfrequenzen bis etwa

320Hz überschätzen die berechneten Hauptsteifigkeiten die gemessenen etwas. Für den

Bereich zwischen 320–480Hz besteht zumeist die geringste Abweichung zwischen be-

rechneten und gemessenen Werten. Die gemessene Koppelsteifigkeiten liegen über wei-

te Bereiche nahe Null. Nur im Bereich zwischen 480–560Hz treten auffällige Ausschlä-

ge auf. Da die berechneten Koppelsteifigkeiten von ihren Anfangswerten bei niedrigen

Störfrequenzen gegen Null bei höheren Störfrequenzen laufen, wird, je nach Drehzahl,

155

6.2 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Lagerparametern

156

Abb. 6.2: Vergleich zwischen berechneten und am Fachgebietsprüfstand gemessenen Lagerparametern. Links

die Steifigkeiten, rechts die Dämpfungen. Da alle Messwerte für Störfrequenzen von 80–640Hz aufge-

nommenen sind, ist dies die Hauptbeschriftung (in schwarz) der x-Achse. Zusätzlich sind die entspre-

chenden Störfrequenzverhältnisse angegeben.

6.2 Vergleich mit am Fachgebietsprüfstand ermittelten Lagerparametern

erst ab einer höheren Störfrequenz Übereinstimmung mit den gemessenen erreicht. Je

höher die Drehzahl ist, desto langsamer streben die Koppelsteifigkeiten gegen Null.

Auf der Seite der Dämpfungen wird nur eine schlechte Übereinstimmung zwischen

berechneten und gemessenen Werten erreicht. Dämpfungen sind messtechnische noto-

risch schwierig zu erfassen. Auch die hier dargestellten Werte zeigen keine klar erkenn-

baren Verläufe. Sie verbleiben meistens über den gesamten Störfrequenzbereich in der

Nähe von Null und zeigen nur vereinzelte Ausschläge. Mit viel Fantasie kann für die

Hauptdämpfung Dxx eine Ähnlichkeit der Verläufe, aber auf sehr unterschiedlichem Ni-

veau festgestellt werden. Da alle berechneten Dämpfungen für hohe Störfrequenzen ge-

gen Null streben, näheren sich dort die Verläufe den gemessenen Werten an. Eine ab-

schließende Bewertung bzgl. der Qualität des rechnerischen Ansatzes und der Messme-

thodik bzw. Rückführung der Abweichungen auf konkrete Größen oder Ursachen ist

aufgrund der vielfältigen Einflüsse sowohl in der Berechnung als auch in der Messung

schwierig und wird hier nicht weiter durchgeführt oder untersucht.

6.3 Stabilitätsanalyse

Die Auswirkung der Temperatur auf die Stabilität wird an zwei GFL und zwei Bedin-

gungen numerisch untersucht. Da die Lagerbelastung ein einflussreicher Parameter bei

der Stabilitätsuntersuchung ist, bietet sich die Lagerkonfiguration aus [78] an, da hier

ein sehr weiter Bereich von Lagerbelastungen untersucht wurde. Außerdem wird durch

die Randbedingungen, wie bei der Temperaturbetrachtung in Kapitel 5.2 gezeigt, bei

den verschiedenen Drehzahlen eine weite Spanne an Temperaturen erreicht. Als zweites

wird mit einem zu dem in [51] verwendeten, ähnlichen GFL verglichen, da die dort ver-

wendete Lagergeometrie sich als Standardgeometrie in der GFL-Forschung etabliert hat

und auch mit dem am Fachgebiet gefertigten Lager vergleichbar ist. An diesem Lager

wird darüber hinaus der Einfluss von zur lokalen Versteifung unter die bump foil ge-

schobenen Metallplättchen (shims) untersucht.

6.3.1 Stabilitätsanalyse an einer Lagerkonfiguration nach Radil et

al. 2004

Der Verlauf der Grenzdrehzahlen ist in der folgenden Abb. 6.3 auf der linken y-Achse

über die Belastungen auf der x-Achse dargestellt. Die Ergebnisse basieren auf einer Be-

rechnung mit dem LeLez-Strukturmodell (S3) bei einer Umgebungstemperatur von

Ta =20°C. Zunächst wird die bereits in Kapitel 5.2 untersuchte Konfiguration mit ei-

157

6.3 Stabilitätsanalyse

nem bump-Streifen beschrieben. Wie erwartet, steigt die Einsatzdrehzahl mit zuneh-

mender Belastung an. Während der Anstieg im isothermen Fall nur schwach nichtlinear

verläuft, ergibt sich für den anisothermen Fall ein deutlich nichtlinearer Anstieg. Bis zur

Belastung mit 133N liegen die Einsatzdrehzahlen auf vergleichbarem Niveau. Erst bei

178N und bei der höchsten Belastung mit 222N liegen die Einsatzdrehzahlen im aniso-

thermen Fall deutlich über denen im isothermen Fall. Um einen zusätzlichen Eindruck

über die im anisothermen Fall erreichten Temperaturen zu geben, ist die gemittelte

Filmtemperatur neben der, bei der jeweiligen Belastung, erreichten Einsatzdrehzahl an-

gegeben. Die Temperatur und die von ihr abhängige Viskosität findet direkten Eingang

in die zur Bestimmung der Gleichgewichtslage und linearisierten Lagerparameter zu lö-

sende Reynolds-Gleichung. Darüber hinaus wird in dieser Arbeit die Temperaturabhän-

gigkeit vieler Materialparameter berücksichtigt. Besonders die Veränderung des nomi-

nalen Spalts durch die temperaturbedingte Aufweitung der Welle und Lagerschale steht

in wechselseitigem Einfluss mit der Temperaturentwicklung selbst. Gleichzeitig ergeben

sich aus einer veränderten Lagergeometrie andere Exzentrizitäten für die Gleichge-

wichtslagen, die die Basis für die Berechnung der linearisierten Lagerparameter darstel-

158

Abb. 6.3: Einsatzdrehzahl der Instabilität bzw. Grenzdrehzahl aufgetragen über der Belastung an einer La-

gerkonfiguration nach [78] im Vergleich zwischen einer isothermen und anisothermen Berechnung so-

wie einer Berechnung mit nur einem bump-Streifen und fünf bump-Streifen. Ebenfalls dargestellt ist der

verbleibende Spalt mit einer möglichen Korrelation zum Verlauf der Einsatzdrehzahlen.

6.3 Stabilitätsanalyse

len. Der Einfluss der Temperatur lässt sich deshalb nicht auf eine einzige Größe zurück-

führen. Mit der Darstellung des im Betrieb minimalen verbleibenden Spalts cop,min auf

der rechten y-Achse in Abb. 6.3 wird dies dennoch versucht. Er berechnet sich aus dem

nominalen Spalt und den betriebsbedingten Spaltanpassungen, wie fliehkraftbedingte

und thermische Aufweitung (s. Kap. 3.4 und Abb. 3.6). Obwohl der mittlere verbleiben-

de Spalt cop,m (s. Anhang G) bei der Lagerkonfiguration nach [78] in der anisothermen

Berechnung durch die starke Aufweitung der Lagerschale (hoher Wärmeausdehnungs-

koeffizient) ansteigt, sinkt der minimale verbleibende Spalt. Dies deutet auf eine in axia-

ler Richtung sehr ungleichförmige radiale Aufweitung der Welle hin. In der isothermen

Berechnung sorgt lediglich die Fliehkraft für eine in axialer Richtung gleichmäßige radi-

ale Aufweitung der Welle und eine Verringerung des verbleibenden Spalts (minimal

und gemittelt sind hier identisch). Der Anstieg des minimalen verbleibenden Spalts in

der anisothermen Berechnung ergibt Sinn, da sich bei der Konfiguration nach [78] die

Lagerschale durch den hohen Wärmeausdehnungskoeffizient stark aufweitet. Im Gegen-

satz dazu verkleinert er sich in der isothermen Berechnung, weil nur die Fliehkraft für

eine Aufweitung der Welle sorgt. Bei der niedrigsten Belastung von 9N mit noch nied-

riger Grenzdrehzahl von rund 16000min-1 ist dies gut erkennbar, da hier der Wert des

minimal verbleibenden Spalts noch nahe dem Wert von 15μm des nominalen Spalts

liegt.

Zwischen dem minimalen verbleibenden Spalt und Einsatzdrehzahl liegt sowohl in

der anisothermen als auch in der isothermen Berechnung möglicherweise ein Zusam-

menhang vor. Die Verläufe des minimalen verbleibenden Spalts und die der Grenzdreh-

zahlen schneiden sich jeweils im Bereich zwischen 89N und 133N. Während beiden

niedrigen Belastungen die isotherme Berechnung den kleineren minimalen verbleiben-

den Spalt und höhere Grenzdrehzahlen aufweist, ist dies bei den höheren Belastungen

umgekehrt. Daraus lässt sich bei dieser Lagerkonfiguration möglicherweise schließen,

dass ein kleinerer minimaler verbleibender Spalt für ein verbessertes Stabilitätsverhalten

sorgt. Dies ergibt insofern Sinn, als dass Lager mit kleineren nominalen Spalten tenden-

ziell steifer sind.

Weitere Schlüsse lassen sich aus den Verläufen der linearisierten Lagerparameter zie-

hen (s. Abb. 6.5 und Abb. 6.4). Um die Entwicklung der Verläufe beurteilen zu können,

müssen mehrere Lastfälle dargestellt werden. Gleichzeitig sollen die Diagramme auch

nicht überladen werden, weshalb eine reduzierte Auswahl der Lastfälle gezeigt wird. Für

die Hauptsteifigkeiten lässt sich feststellen, dass diese mit zunehmender Belastung an-

steigen, mit steigender Drehzahl allerdings fallen (letzteres wird bei der Betrachtung der

Abb. 6.9 im folgenden Kapitel deutlicher). Tendenziell sorgen höhere Steifigkeitswerten

159

6.3 Stabilitätsanalyse

160

Abb. 6.4: Verlauf der linearisierten Steifigkeiten für verschiedene Lastfälle anisotherm berechnet

Abb. 6.5: Verlauf der linearisierten Steifigkeitswerte für verschiedene Lastfälle isotherm berechnet

6.3 Stabilitätsanalyse

für ein verbessertes Stabilitätsverhalten mit höheren Grenzdrehzahlen. Auffällig im Ver-

lauf, besonders bei der niedrigsten Belastung (9N), sind die markanten Einbrüche der

Hauptsteifigkeiten bei den entsprechend mit 0,5η markierten Stellen, dem typischen

Störfrequenzverhältnis von whirl-Instabilitäten. Hier beträgt die Störfrequenz gerade die

Hälfte der Drehfrequenz. Dies könnte der Grund sein, warum niedrig belastete Lager

früher zu subharmonischen Schwingungen neigen. Die Koppelsteifigkeiten Kxy , Kyx wer-

den als Differenz Kxy-Kyx dargestellt. In [132] wird eine schiefsymmetrische Steifigkeits-

matrix (Kxy≈-Kyx) als potenziell destabilisierend beschrieben. Ein Verschwinden der

Differenz aus Kxy-Kyx , wird (im Inertialsystem) deshalb als stabilisierend gewertet (vgl.

[48]). Für den Vergleich zwischen isothermer und anisothermer Berechnung sind für

die Belastungen die Verläufe mit ähnlicher Drehzahl wie die spätere Grenzdrehzahl von

Bedeutung. Für die Belastung 9N ist das der Verlauf für Drehzahl 10000min-1, für die

Belastung 133N ist es die Drehzahl 20000min-1 und für 222N die Drehzahl

30000min-1. Für die ersten beiden Belastungen ist in der Differenz der Koppelsteifigkei-

ten kein großer Unterschied erkennbar. Dies ist nicht weiter verwunderlich, da sich

auch die Grenzdrehzahlen zwischen isothermer und anisothermer Betrachtung kaum

unterscheiden. Erst für die höchste Belastung liegt der Verlauf für 222N, 30000min-1 in

der anisothermen Berechnung niedriger als in der isothermen Berechnung. Erst für die-

sen Fall wird dann auch eine deutlich höhere Grenzdrehzahl festgestellt. Ein weiterer

Unterschied hätte sich bei der Betrachtung der linearisierten Dämpfungsparameter er-

geben können. Da die dabei festgestellten Unterschiede zwischen isothermer und aniso-

thermer Berechnung aber sehr gering sind, werden diese nur im Anhang G in Abb. G.3

dargestellt.

Auffällig ist, dass die hier berechneten Grenzdrehzahlen niedriger sind als die in [78]

untersuchten Drehzahlen. Dort wird selbst für die niedrigste Belastung eine Drehzahl

von 50000min-1 betrachtet. Die für [78] unbekannte bump foil-Konfiguration, speziell

die Unterteilung der bump foil in axialer und Umfangsrichtung und die daraus resultie-

rende lokal angepasste Steifigkeit, verändern möglicherweise signifikant das Stabilitäts-

verhalten. Denkbar ist auch, dass das Lager oberhalb der Einsatzdrehzahl in einen stabi-

len Grenzzyklus übergeht, der von der linearen Stabilitätsbetrachtung nicht erfasst wer-

den kann. In Ergänzung zur Konfiguration mit einem bump-Streifen in axialer Richtung

(Lager erster Generation) ist in der Abb. 6.3 deshalb auch die bereits bei der Tempera-

turbetrachtung gezeigt Konfiguration mit fünf bump foil-Streifen dargestellt. Ebenfalls

wie bereits in Kapitel 5.2 festgestellt, liegen nur wenige bzw. für die bump foil-Dimensio-

nen quasi keine Angaben vor und können deshalb nur geschätzt werden. Im Wesentli-

chen ist sowohl im anisothermen als auch isothermen Fall kein großer Unterschied zur

161

6.3 Stabilitätsanalyse

Konfiguration mit einem bump foil-Streifen erkennbar. Der Verlauf der Stabilitätsgrenz-

drehzahlen ist für niedrige Belastungen nicht voneinander unterscheidbar. Ab der Be-

lastung von 133N ergeben sich (auch für die folgenden Belastungen) leicht verringerte

Einsatzdrehzahl. Der Unterschied zwischen der Berechnung mit einem oder fünf bump-

Streifen bleibt aber deutlich geringer als zwischen einer isothermen und anisothermen

Berechnung. Der bereits vorgeschlagene Zusammenhang zwischen einem kleineren mi-

nimalen verbleibenden Spalt und dadurch höheren Grenzdrehzahlen, lässt sich auch im

Vergleich zwischen den Konfigurationen mit einem und fünf Streifen beobachten.

Weitere Konfigurationen werden nicht berechnet, da die jeder zusätzlichen geschätz-

ter Geometrieparameter für weitere bump foil-Unterteilungen und die daraus folgenden

Kombinationsmöglichkeiten eine solche Untersuchung beliebig erscheinen lassen.

6.3.2 Stabilitätsanalyse an einer Lagerkonfiguration nach Ruscitto

et al. 1978

Als zweites Lager wird die in [51] verwendete Geometrie (mit den entsprechenden Er-

gänzungen, siehe Kapitel 5.5) mit einem nominalen Spalt von c0=57μm untersucht.

Durch die Wahl des größeren nominalen Spalts lässt sich auch eine Konfiguration mit

zusätzlichen shims mit einer Dicke von 25μm untersuchen. Diese dünnen Metallplätt-

chen werden unter bump foil geschoben

und verringern den nominalen Spalt. Da-

mit sollen mehrere konvergierende Spalte

im Schmierfilm mit lokal ausgeprägten

Druckspitzen erzeugt werden. Die weite-

ren zur Beschreibung der shims notwen-

digen Parameter sind in der Abb. 6.6 zu-

sammengefasst und der damit erzeugte

Verlauf dargestellt. Im Anhang A befin-

det sich eine Beschreibung der zur Erstel-

lung des Verlaufs verwendeten Funktion.

Die konkrete Ausprägung der shims lässt vollständig durch die angegebenen Parameter

beschreiben. Sie erlauben aber auch eine deutliche Variation.

Für beide Konfigurationen wird mit einer Schrittweite von 5N ein Lastbereich von

5bis 50N berechnet. Die dabei erreichten Einsatzdrehzahlen sind in der Abb. 6.7 darge-

stellt. Die Beschränkung auf 50N als Belastung wird mit den dabei bereits sehr hohen

162

Abb. 6.6: Verlauf des nominalen Spalts über den Um-

fang bei Verwendung von shims

6.3 Stabilitätsanalyse

erreichten Einsatzdrehzahl der Instabilität (von rund 80000min-1–90000min-1) be-

gründet.

Im Gegensatz zu den Ergebnissen zur Lagergeometrie aus [78] werden hier im Ver-

gleich zwischen isothermer und anisothermer Berechnung (unabhängig von der Ver-

wendung von shims) für alle Belastungen in der isotherme Berechnung höhere Einsatz-

drehzahlen erreicht. Im Falle des Lagers ohne shims liegen sie aber selbst bei der maxi-

malen Belastung von 50N nur geringfügig über den Ergebnissen der anisothermen Be-

rechnung. Der Verlauf des Anstiegs ist isotherm und anisotherm gerechnet fast linear.

Der Verläufe der Einsatzdrehzahlen mit shims liegen bei niedrigen Belastungen deutlich

über denen ohne shims und steigen zunächst stark an. Im Bereich mittlerer Belastungen

(25-35N) zeigen sie einen Wendepunkt und steigen danach zwar weiter an, fallen aber

bei hohen Belastungen unter den entsprechenden Verlauf ohne shims. Der Schnittpunkt

liegt bei der anisothermen Rechnung ziemlich genau bei der Belastung 35N. Für die

isotherme Rechnung erst zwischen 40N und 45N. Um eine Einordnung der erreichten

Temperatur zu ermöglichen, ist an den anisothermen Einsatzdrehzahlen die mittlere

163

Abb. 6.7: Einsatzdrehzahl der Instabilität bzw. Grenzdrehzahl aufgetragen über der Belastung bei einem GFL

nach [51] im Vergleich zwischen einer Berechnung mit und ohne Berücksichtigung der Temperatur. Zu-

sätzlich wird auch der Vergleich mit einem GFL mit shims gezogen. Ebenfalls dargestellt ist der verblei-

bende Spalt mit einer möglichen Korrelation zum Verlauf der Einsatzdrehzahlen.

6.3 Stabilitätsanalyse

Fluidfilmtemperatur angegeben. Im Bereich der Schnittpunkte kann hier die Erkenntnis

abgeleitet werden, dass eine höhere mittlere Temperatur nicht notwendigerweise eine

höhere Einsatzdrehzahl bedeutet. Im Schnittpunkt bei 35N gehört der Wert 52,2°C

zum Verlauf ohne shims, der Wert 55,7°C zum Verlauf mit shims. Trotz fast identischer

Einsatzdrehzahl werden also unterschiedliche Temperaturen erreicht. Grund für die er-

höhte mittlere Temperatur bei der Verwendung von shims ist die lokal verringerte Film-

höhe und die dadurch erhöhte Scherung. Obwohl durch die shims auch weitere Bereiche

mit Unterdruck und damit Einströmgebieten am Rand entstehen, scheint der zusätzli-

che Wärmeeintrag ausreichend, um bereits bei niedrigeren Drehzahlen höhere mittlere

Temperaturen zu verursachen. Erkennbar ist dies bei der Belastung mit 40N. Dort liegt

die Einsatzdrehzahl ohne shims etwa 5000min-1 höher als mit shims, gleichzeitig ist al-

lerdings die mittlere Temperatur ohne shims mit 60,4°C zu 60,9°C mit shims minimal

geringer.

Auf der rechten y-Achse sind erneut die im Betrieb minimalen verbleibenden Spalte

aufgetragen, da hier erneut eine gewisse Ähnlichkeit in den Verläufen erkennbar ist.

Andere ebenfalls in Frage kommende Größen, wie die minimale Filmhöhe, Exzentrizi-

tät und der mittlere (bzw. maximale) Druck wurden auch für die Darstellung in Erwä-

gung gezogen. Der Verlauf des verbleibenden Spalts ist aber der einzige von den ge-

nannten Größen, der neben einem erkennbaren Wendepunkt im mittleren Lastbereich

(mit shims) auch vergleichbare Schnittpunkte bei höheren Lasten aufweist. Erkennbar

ist, dass hier sowohl für den isothermen als auch anisothermen Fall ein sinkender mini-

maler verbleibender Spalt vorliegt. Die isothermen Verläufe mit und ohne shims schnei-

den sich, wie die der Einsatzdrehzahlen, zwischen einer Belastung von 40N bis 45N.

Bei den anisothermen Verläufen liegt der Schnittpunkt jeweils ziemlich genau bei der

Belastung mit 35N. In diesem Vergleich tritt erneut das bereits im letzten Unterkapitel

6.3.1 beschriebene Verhalten auf, dass eine geringerer minimaler verbleibender Spalt zu

höheren Grenzdrehzahlen führt. Diese Begründung trifft hier allerdings nicht beim Ver-

gleich zwischen den isothermen und anisothermen Verläufen zu. Die anisothermen Be-

rechnungen erzielen die kleineren minimalen verbleibenden Spalte, aber auch die nied-

rigeren Grenzdrehzahlen. Eine vergleichbare Korrelation zu 6.3.1 wird erst erreicht,

wenn statt dem minimalen verbleibenden Spalt der mittlere verbleibende Spalt betrach-

tet wird (s. Abb. G.2 im Anhang G). Es kann nicht abschließend angegeben werden,

warum sich dieser mögliche Zusammenhang zwischen den verbleibenden Spalten und

den erreichten Grenzdrehzahlen so darstellt, wie er hier präsentiert wird. Die Rückfüh-

rung des komplexen Stabilitätsverhaltens auf einen einzigen Parameter scheint aller-

164

6.3 Stabilitätsanalyse

165

Abb. 6.8: Linearisierte Steifigkeitswerte bei verschiedenen Lastfällen mit shims und unter Berücksichtigung

der Temperatur berechnet

Abb. 6.9: Linearisierte Steifigkeitswerte bei verschiedenen Lastfällen ohne shims und unter Berücksichtigung

der Temperatur berechnet.

6.3 Stabilitätsanalyse

166

Abb. 6.10: Linearisierte Dämpfungswerte bei verschiedenen Lastfällen ohne shims und unter Berücksichti-

gung der Temperatur berechnet

Abb. 6.11: Linearisierte Dämpfungswerte bei verschiedenen Lastfällen mit shims und unter Berücksichtigung

der Temperatur berechnet

6.3 Stabilitätsanalyse

dings ohnehin abwegig. Die beschriebenen Gemeinsamkeiten werden aber als Indiz für

einen bestehenden Zusammenhang gewertet.

Zur weiteren Erläuterung der Ergebnisse werden die linearisierten Lagerparameter

der anisothermen Berechnungen mit und ohne shims dargestellt. Die Darstellung der

isothermen Ergebnisse befindet sich im Anhang G, da sich im Vergleich (wie auch bei

den Grenzdrehzahlen) keine wesentlichen Unterschiede erkennen lassen. Die Verwen-

dung von shims ergibt bei niedrigen Belastungen deutlich höhere Einsatzdrehzahlen der

Instabilität, im späteren Verlauf bei hohen Belastungen sinken sie allerdings unter die

Einsatzdrehzahlen ohne shims. Die linearisierten Lagerparameter werden dementspre-

chend auf Anzeichen zur Erklärung dieses Verhaltens untersucht. Bei der Betrachtung

der Hauptsteifigkeit Kxx fällt auf, dass diese speziell für die niedrigeren beiden dargestell-

ten Belastungen 5N und 25N deutlich ansteigen. Bei der höchsten Belastung von 50N

bleibt der Anstieg deutlich geringer. Wird weiterhin davon ausgegangen, dass eine er-

höhte Hauptsteifigkeit (speziell in Belastungsrichtung) stabilisierend wird, könnte dies

den Anstieg der Grenzdrehzahlen bei den niedrigen Grenzdrehzahlen erklären. Aus den

Diagrammen der Hauptsteifigkeit Kyy ergibt sich kein interpretierbarer Zusammenhang,

auch weil sich keine großen Unterschiede zwischen der Darstellung mit und ohne shims

zeigen. Das Auftreten einer kleinen negativen Steifigkeit für den Lastfall 5N,

20000min-1 scheint ohne schädlichen Einfluss auf die Stabilität zu bleiben. Die destabi-

lisierende Wirkung einer hohen Differenz bei den Koppelsteifigkeiten liefert möglicher-

weise eine Erklärung für die bei höherer Belastung abfallenden Grenzdrehzahlen.

Während die Differenzen der Koppelsteifigkeiten der niedrigsten Belastung 5N sehr

wenig und die der Belastung 25N auch nur gering ansteigen, steigen die der höchste

Belastung 50N bei der Verwendung von shims deutlich an. Der geringe Anstieg bei den

niedrigen beiden Lasten wird scheinbar durch den Anstieg der Hauptsteifigkeit Kxx

kompensiert, was im Resultat zu eine höheren Einsatzdrehzahlen der Instabilität gegen-

über einem Lager ohne shims führt. Bei der hohen Belastung kommt es nur zu einem

kleinen Anstieg der Hauptsteifigkeit, der den Anstieg der Differenzen der Koppelsteifig-

keiten nicht kompensieren kann und damit zu verringerten Einsatzdrehzahl der Instabi-

lität gegenüber einem Lager ohne shims führt.

Der Vollständigkeit halber sind in Abb. 6.8 und Abb. 6.11 auch die linearisierten

Dämpfungsparameter mit und ohne shims dargestellt. Die größten Unterschiede zeigen

sich bei der Drehzahl 20000min-1 bei den Belastungen 25N und 50N, besonders bei

den Parametern Dxy, Dyx, und Dyy. Dort ist für Dxy ein starkes Absinken bei Störfrequenz-

verhältnissen bis Eins zu erkennen. Im Gegenzug dazu steigt der Parameter Dyx, Dyy

ebenfalls bei niedrigen Störfrequenzverhältnissen deutlich an. Ein Ansteigen der Dämp-

167

6.3 Stabilitätsanalyse

fung mag der Stabilität dienlich sein. Aus den Dämpfungen ergibt sich dazu aber kein

einheitliches Bild, weshalb die konkrete Rückführung auf die Verläufe der Dämpfungs-

parameter nicht gelingt.

Bei der Verwendung von shims könnte vermutet werden, dass durch die mehrfach

auftretende Spaltverengung die Temperatur im GFL steigt. Dies ist tritt in den durchge-

führten Berechnungen nicht auf, wie an den angetragenen Temperaturen abgelesen wer-

den kann. Dies lässt sich durch die in dieser Arbeit verwendete Randbedingung der axi-

alen Einströmung in Unterdruckgebieten erklären, da durch die shims mehrere davon

erzeugt werden. Im dazu dargestellten Druckfeld in Abb. 6.12 sind die shims (nicht

maßstäblich) angedeutet. Die Auswirkungen sind auch in den ebenfalls gezeigten Fel-

dern für Filmhöhe und Temperatur gut erkennbar.

6.4 Tragfähigkeit

Ein tragfähiger Schmierfilm wird in hydrodynamischen Gleitlagern erst durch den

Druckaufbau im keilförmig zulaufenden Spalt im belasteten Bereich erzeugt. Die Trag-

fähigkeit eines GFL ist deshalb abhängig von der Drehzahl, bzw. bei einer vorgegebenen

Drehzahl kann nur eine zu ermittelnde Belastung getragen werden, bevor es zu einem

168

Abb. 6.12: Darstellung des Druckfelds, Filmhöhe und Temperaturfelds bei Verwendung von shims

6.4 Tragfähigkeit

Zusammenbruch des Schmierfilms kommt. In dieser Arbeit wird eine minimale Film-

höhe von hmin=5µm als Grenze der Tragfähigkeit definiert. Die Wahl des Wertes von

5µm basiert auf den Messwerten aus [51] und findet auch in der Literatur zu axialen

GFL Anwendung [133–135]30. In [51] werden zwar noch etwas geringere Filmhöhen

von rund 4µm gemessen, in Anbetracht weiterer Unsicherheiten, wie bspw. Fertigungs-

toleranzen und Oberflächenrauheiten sind 5µm aber eine konservative Annahme. Die

im Folgenden gezeigten Ergebnisse sprechen außerdem für eine Verwendung der axia-

len Druckmittelung beim SEFM nach Iordanoff, bzw. wie sie beim LeLez-Strukturmo-

dell ohnehin zur Anwendung kommt. D.h. die in den Messwerten geringeren Durch-

senkungen an den axialen Rändern werden nicht perfekt abgebildet. Dies spricht eben-

falls für die minimal höhere Annahme von 5µm als minimale Filmhöhe. Im Weiteren

zeigt sich, dass dadurch mit den axial druckgemittelten Strukturmodellen sehr gute

Übereinstimmung erreicht wird.

Die Bestimmung der Tragfähigkeit erfordert eine Umstrukturierung des zur Berech-

nung mehrerer Lastfälle eigentlich als Standard vorgesehen Programmablaufs. Statt zu-

nächst die Belastung konstant zu halten und alle gewünschten (oder bei der Stabilitäts-

suche erforderlichen) Drehzahlen zu berechnen und erst anschließend zur nächsten Be-

lastung zu wechseln, muss hier bei einer konstanten Drehzahl die Belastung so lange va-

riiert werden, bis die Toleranz zur Ermittlung der Tragfähigkeit unterschritten ist. So-

lange die minimale Filmhöhe nicht unterschritten wird, wird die Belastung erhöht.

Wird bei einer Belastung eine minimale Filmhöhe hmin<5µm unterschritten, wird die

Belastung wieder verringert. Dies wird fortgeführt bis zwischen zwei Belastungen nur

noch eine Differenz von TolW=1N vorliegt.

In der Abb. 6.13 sind die Ergebnisse für eine Lagergeometrie aus [78] (s. Tab. 5.3)

dargestellt. Zusätzlich zu den in [78] berechneten Drehzahlen wird der Bereich um die

Drehzahlen 10000min-1 und 60000min-1 erweitert. Die Tragfähigkeit der isothermen

Berechnung steigt zunächst bis zur Drehzahl von 30000min-1 an. Dies ergibt Sinn, da

bei höheren Drehzahlen ein höherer Druck im Schmierfilm erzeugt wird, der entspre-

chend in der Lage ist eine größere Last zu tragen. Anschließend sinkt die Tragfähigkeit

jedoch stark ab und fällt schon bei 50000min-1 unter die der anisothermen Berechnung.

30 Die Vorgehensweise zur Ermittlung des höheren Werts von hmin =10,5µm in [14] wird aus mehreren

Gründen als nicht geeignet erachtet. Er wurde rückwärts aus einem angeblich in [136] gemessenen

Lastfall 210N bei 45000min-1 an der Grenze der Tragfähigkeit berechnet. Eine nach den Begriffen

„210“, „45“ und „load carrying“ durchgeführte Suche sowie eine Sichtung der Abbildungen in der an-

gegebenen Quelle [136], ergab keinen Hinweis auf die referenzierten Ergebnisse. Das in der Quelle

[136] verwendete GFL ist ein GFL der leaf-spring-Bauform anstelle einer bump foil. Der bei der inver-

sen Berechnung angenommene nominale Spalt stammt aus anderen Quellen als der Lastfall. Aus die-

sen Gründen wird der Wert von [14] nicht berücksichtigt.

169

6.4 Tragfähigkeit

Bei der höchsten berechneten Drehzahl von 60000min-1 liegt sie sogar unter der der

Tragfähigkeit der niedrigsten Drehzahl. Die Tragfähigkeit in der anisothermen Berech-

nung steigt etwas langsamer an als die der isothermen und beginnt erst oberhalb von

40000min-1 abzusinken. Sie bricht dabei aber nicht so massiv ein, wie die der isother-

men Berechnung. Bei 60000min-1 beträgt sie immer noch rund 235N. Um das Tempe-

raturniveau einschätzen zu können, ist dieses an der jeweils erreichten Tragfähigkeit an-

getragen.

Der Unterschied im Verhalten zwischen den beiden Berechnungsvarianten lässt sich

durch die Ausdehnung der Lagerkomponenten erklären. Der verhältnismäßig kleine

nominale Spalt von c0 = 15µm wird in der isothermen Berechnung bei hohen Drehzah-

len von der Fliehkraftaufweitung überwunden. In der anisothermen Berechnung sorgt

die gegenüber der Welle höhere Ausdehnung der Lagerschale (Werkstoff AcidurX5Cr-

Ni18-10 mit hohem Wärmeausdehnungskoeffizient) für einen mit steigender Tempera-

tur vergrößerten, mittleren verbleibenden Spalt31. Dennoch gibt es Bereiche des GFL, in

denen der minimal verbleibende Spalt (rechte y-Achse in Abb. 6.13) weiter absinkt, wes-

31 Dargestellt in der ergänzenden Abb. G.1 zur Stabilitätsanalyse im Anhang G.

170

Abb. 6.13: Gerade noch getragene Belastung ohne Unterschreitung einer Filmhöhe von hmin=5µm über die

Drehzahl aufgetragen (linke y-Achse) und der minimal verbleibende Spalt (rechte y-Achse). Die Verläu-

fe der isothermen und anisothermen Berechnung schneiden sich jeweils zwischen 40000min-1 und

50000min-1.

6.4 Tragfähigkeit

halb es auch in der anisothermen Berechnung zu einem Abfall der Tragfähigkeit bei hö-

heren Temperaturen kommt. Der Schnittpunkt zwischen dem isothermen und aniso-

thermen Verlauf des minimal verbleibenden Spalts liegt, wie der der Tragfähigkeiten,

zwischen 40000min-1 und 50000min-1. Es soll auch hier nicht der Eindruck erweckt

werden, der minimal verbleibende Spalt wäre der einzige beeinflussende Parameter. Für

das Vorliegen von weiteren beteiligten Parametern spricht, dass hier selbst beim größten

Unterschied zwischen den Tragfähigkeiten bei 60000min-1 nur ein sehr kleiner Unter-

schied von knapp 1µm zwischen den minimal verbleibenden Spalten vorliegt. Es

scheint unwahrscheinlich, dass dieser kleine Unterschied allein verantwortlich sein soll.

Der minimal verbleibende Spalt wird dennoch wegen des übereinstimmenden Schnitt-

punkts und weil er bereits in der Stabilitätsanalyse betrachtet wird, dargestellt.

Als weiterer Eintrag ist die Linie für 222N, der für alle Drehzahlen in [78] maxima-

len verwendeten Belastung, eingezogen. Für die niedrigste in [78] untersuchte Drehzahl

liegt die berechnete Tragfähigkeit mit rund 224N gerade darüber. In der Quelle wird

zwar auch eine durch eine Daumenregel aus [7] berechnete maximale Tragfähigkeit von

456N angegeben, es stellt sich jedoch Frage, warum dann nur bis 222N gemessen wur-

de. Die Daumenregel berücksichtigt allerdings weder thermische noch fliehkraftbeding-

te Effekte und wird deshalb weder durch die isotherme noch anisotherme Tragfähig-

keitsberechnung wiedergegeben werden. Es wird daher vermutet, dass in den Messun-

gen mit 222N ebenfalls die Tragfähigkeit erreicht war, auch wenn dies in der Veröffent-

lichung nicht explizit genannt wird. Falls diese Vermutung zutrifft, ist der entwickelte

Programmcode in der Lage die Tragfähigkeit unter Berücksichtigung der Temperatur

mit guter Übereinstimmung zu berechnen.

Als zweite Konfiguration wird die Geometrie aus [51] untersucht. Zu beachten ist,

dass bei dieser Konfiguration die Werkstoffpaarung zwischen Welle und Lagerschale für

eine Verringerung es verbleibenden Spalts bei steigender Temperatur sorgt. Diese Mess-

werte sind hier wieder von besonderem Wert, da in dieser Veröffentlichung die Lager

bis zur Grenze ihrer Tragfähigkeit belastet und gleichzeitig Filmhöhen und Temperatu-

ren gemessen wurden. Die Ergebnisse einer isothermen und anisothermen Berechnung

sind in der Abb. 6.14 dargestellt. Der vermessene Drehzahlbereich von 30000min-1 bis

60000min-1 wird in der Berechnung deutlich erweitert, indem Drehzahlen von

10000min-1 bis 100000min-1 berechnet werden.

Die Verläufe der isothermen und anisothermen Berechnung unterscheiden sich für

beide nominalen Spalte deutlich voneinander. Während die Verläufe in der isothermen

Rechnung über den gesamten Drehzahlbereich fast linear ansteigen, laufen die Verläufe

der anisothermen Rechnungen schnell gegen ein oberes Limit. Für den nominalen Spalt

171

6.4 Tragfähigkeit

von 57µm wird das obere Limit von etwa 215N gerade am Ende des berechneten Dreh-

zahlbereichs erreicht32. Für den nominalen Spalt von 31,8µm wird das Maximum von

ca. 200N zwischen 55000min-1 und 65000min-1 erreicht, bevor die Tragfähigkeit an-

schließend stark abfällt.

Um die Ergebnisse einordnen zu können, sind mit ausgefüllten Markern zusätzlich

die in [51] maximal aufgebrachten Belastungen bei den jeweiligen Drehzahlen eingetra-

gen33. Für die Drehzahl 55000min-1 wird für c0=31,8µm sehr gute Übereinstimmung

erreicht. Eine große Abweichung liegt allerdings für 45000min-1 bei c0=57µm vor. Für

die verbleibenden Lastfälle beträgt die Abweichung etwa 10N. Es ist aber deutlich er-

kennbar, dass die anisotherme Berechnung wesentlich bessere Übereinstimmung erzielt,

denn nach der isothermen Berechnung hätten die Lager deutlich höher belastet werden

können.

32 In der Abb. 6.14 ist es schwer erkennbar, aber die Tragfähigkeit des Lagers in der anisothermen Be-

rechnung mit c0=57µm ist bei 100000min-1 minimal niedriger als bei 95000min-1.

33 Nominaler Spalt c0 = 31,8µm: 30000min-1, 45000min-1, 55500min-1

Nominaler Spalt c0= 57µm: 30000min-1, 45000min-1, 60000min-1, s. Tab. 5.5

172

Abb. 6.14: Die gerade noch getragene Belastung der GFL mit nominalem Spalt von 31,8µm und 57µm ohne

Unterschreitung der Filmhöhe von hmin = 5µm mit dem LeLez-Strukturmodell berechnet (linke y-Ach-

se). Zusätzlich ist der minimale verbleibende Spalt, und dort bei den entsprechenden Punkten die je-

weils erreichte mittlere Filmtemperatur, auf der rechten y-Achse aufgetragen. Die Ergebnisse werden mit

[51] verglichen.

6.4 Tragfähigkeit

Der starke Abfall der Tragfähigkeit (für c0=31,8µm) wird durch die zusätzlich auf

der rechten y-Achse aufgetragenen Größe des minimal verbleibenden Spalts im Betrieb

erklärt. Neben der fliehkraftbedingten Aufweitung der Welle in der isothermen Berech-

nung, sorgt in der anisothermen Berechnung die temperaturbedingte Aufweitung der

Welle zusätzlich für eine Verringerung des nominalen Spalts. Die Aufweitung der Lager-

schale kompensiert dies nicht. Im Resultat sinkt der minimal verbleibende Spalt deut-

lich schneller als in der isothermen Rechnung. An den Verläufen ist zusätzlich an jedem

zweiten Lastfall die dabei erreichte mittlere Filmtemperatur angetragen. Dies verdeut-

licht den kleiner werdenden minimalen verbleibenden Spalt mit steigender Temperatur.

Die Temperaturergebnisse befinden sich erneut ebenfalls in guter Übereinstimmung mit

Messwerten aus [51]. Auf die Darstellung in der Abb. 6.14 wird aber verzichtet, um die-

se übersichtlich zu halten. Sie finden sich in den Abb. 5.10 und Abb. 5.11.

Für c0=31,8µm ist im anisothermen Verlauf bei den letzten beiden dargestellten

Drehzahlen 85000min-1 und 90000min-1 ein minimaler Anstieg des verbleibenden

Spalts erkennbar. In einer Detailbetrachtung der Ergebnisse zeigt sich, dass hier die To-

leranz von TolW=1N für die Abweichungen zwischen den Belastungen nicht klein ge-

nug ist, um damit die Vorgabe der minimal zulässigen Filmhöhe von 5µm gut zu tref-

fen. Die Bestimmung der Tragfähigkeit ist deshalb nicht weniger korrekt, denn diese

hält trotzdem die Toleranz von 1N ein. Vermutlich hätte sich aber bei 90000min-1 eine

noch etwas höhere Temperatur und damit geringerer verbleibender Spalt eingestellt.

Dies wurde in einer einzelnen Berechnung mit einer Toleranz von 0,1N bestätigt, aber

hier nicht dargestellt. Aus diesem Verhalten lässt sich ableiten, dass die minimale Film-

höhe bei hoher Drehzahl sehr sensibel auf eine Veränderung der Belastung reagiert.

Die Tragfähigkeit wird auch mit den SEFM nach Iordanoff berechnet (Abb. 6.16 und

6.15). Dabei zeigt sich ein deutlicher Unterschied zwischen einer Berechnung mit An-

nahme einer axialen Druckmittelung und ohne. Die Berechnung mit axialer Druckmit-

telung zeigt eine etwas schlechtere Übereinstimmung mit den Messergebnissen als das

(ebenfalls druckgemittelte) LeLez-Strukturmodell, zeigt aber weiter gute Übereinstim-

mung. Im Gegensatz dazu ist das nicht druckgemittelte SEFM nach Iordanoff nicht in

der Lage eine gute Übereinstimmung mit den Messwerten zu erreichen. Der Grund da-

für liegt im zur Bestimmung der Tragfähigkeit verwendeten Kriterium der minimalen

Filmhöhe. Ohne Druckmittelung wird die minimale Filmhöhe an den axialen Ränder

schnell unterschritten, weil dort, trotz der in Kapitel 4.1 beschriebenen Maßnahmen zur

Anpassung, eine sehr geringe Durchsenkung der bump foil vorliegt. Dies spricht zum ei-

nen dafür, dass die Druckmittelung eine geeignete Annahme und kein Nachteil des

LeLez-Strukturmodells ist und zum anderen dafür, das SEFM nach Iordanoff nur mit

173

6.4 Tragfähigkeit

Druckmittelung zu verwenden. Auffällig ist auch, dass sich für das SEFM nach Iordanoff

mit Druckmittelung eine gesteigerte Tragfähigkeit bei hohen Drehzahlen ergibt. Durch

das tendenziell weichere Verhalten dieses Strukturmodells, scheint die Verformung der

bump-Struktur die Aufweitung der Lagerkomponenten über einen weiteren Bereich

ausgleichen zu können. Diese Feststellung wird im folgenden Kapitel 6.5 detaillierter be-

trachtet.

Aus den präsentierten Ergebnissen lässt sich die Erkenntnis (wie auch in [24, 76]) be-

stätigen, dass die Tragfähigkeit eines GFL eine starke Abhängigkeit vom nominalen

Spalt aufweist. Dies wird bereits aus der Betrachtung der beiden untersuchten nomina-

len Spalte ersichtlich. Der kleinere nominale Spalt von c0=31,8µm ist zunächst in der

Lage im isothermen und anisothermen Fall die höheren Belastungen zu tragen. Da der

nominale Spalt im anisothermen Fall von der Temperatur abhängig ist und in der Abb.

6.14 als minimaler verbleibender Spalt eingetragen ist, lässt sich grob ein “optimaler no-

minaler Spalt”, bei dem die maximale Tragfähigkeit vorliegt, ableiten. Dieser liegt, wie

am Verlauf der maximalen Tragfähigkeit beim nominalen Spalt von c0=31,8µm abgele-

sen werden kann, im Bereich von 55000min-1 bis 60000min-1 zwischen rund 18µm

und 20µm. Die Aussage lässt sich so allerdings nicht perfekt auf die Lagergeometrie

verallgemeinern, sonst müsste der Verlauf des minimal verbleibenden Spalts für

174

Abb. 6.15: Maximale Tragfähigkeit über Drehzahl mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) ohne Druckmittelung

6.4 Tragfähigkeit

c0=57µm, der erst am Ende der Drehzahlspanne die maximale Tragfähigkeit erreicht,

dort den gleichen minimal verbleibenden Spalt aufweisen. Abgelesen wird hier aber

etwa 23–25µm. Eine perfekte Übereinstimmung kann aber auch nicht erwartet wer-

den, da die maximale Tragfähigkeit bei sehr unterschiedlichen Drehzahlen vorliegen.

Hier spielen vermutlich weitere Parameter, wie der Betrag und die Lage der Exzentrizi-

tät sowie die in axialer Richtung ungleichmäßige Verformung der Welle und damit des

Schmierspalts (s. Kap. 3.4 und Abb. 3.6) eine Rolle. Als Indikator im Auslegungsprozess

ist eine solche Betrachtung der Tragfähigkeit und optimalen Spalts möglicherweise den-

noch interessant. Trotzdem bleibt die Auslegung eines Lager mit konstant hoher Tragfä-

higkeit über einen weiten Drehzahlbereich komplex, denn der Werkstoff der Welle und

Lagerschale mit ihren zusätzlich temperaturabhängigen Wärmeausdehnungskoeffizien-

ten und unter Berücksichtigung vermutlich ungleichmäßigen Erwärmung, müsste so

abgestimmt werden, dass sich über einen weiten Temperaturbereich ein konstanter ver-

bleibender nominaler Spalt im Bereich des beschriebenen Optimums einstellt. Für ei-

nen konkreten Anwendungsfall dürfte sich dabei insbesondere die Definition der ther-

mischen Randbedingungen und damit einhergehend die Erfassung der thermischen

Aufweitung, ggf. unter Berücksichtigung einer mechanischen Behinderung der Aufwei-

tung, als schwierig erweisen.

175

Abb. 6.16: Maximale Tragfähigkeit über Drehzahl mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) mit Druckmittelung

6.5 Variation der bump foil-Dicke zur Beeinflussung der Nachgiebigkeit

6.5 Variation der bump foil-Dicke zur Beeinflussung der

Nachgiebigkeit

Bei der Untersuchung zur Tragfähigkeit zeigt sich im direkten Vergleich eine gesteigerte

Tragfähigkeit für das tendenziell weichere SEFM nach Iordanoff. Diese Auffälligkeit

wird zum Anlass genommen die Auswirkungen einer weicheren bump-Struktur auf die

Tragfähigkeit und die Stabilität zu untersuchen. Die bump foil-Dicke hat den deutlichs-

ten Einfluss auf die Nachgiebigkeit und wird deshalb als variierte Größe ausgewählt. Die

Ergebnisse für die Tragfähigkeit sind in Abb. 6.17 auf der linken Seite, die für die Grenz-

drehzahlen auf der rechten Seite dargestellt. Für die Tragfähigkeit wird die Übersicht

durch ein starres Lager und ein GFL mit einer bump-Struktur aus einem Material mit

geringerem E-Modul ergänzt34.

Auf den ersten Blick ergibt sich aus der Verringerung der Nachgiebigkeit sowohl für die

Tragfähigkeit als auch für die Stabilität ein positiver Einfluss. Die Tragfähigkeiten bleibt

bei der dünnsten bump foil-Dicke bis zu hohen Drehzahlen relativ konstant (wobei die

Drehzahl von 100000min-1 für keine Konfiguration berechnet werden kann). Für die

Stabilität sind die Ergebnisse der verschiedenen bump foil-Dicken klar gestaffelt. Je wei-

cher die bump-Struktur, desto höher liegen die Grenzdrehzahlen. Die Ergebnisse bele-

gen die grundsätzliche Idee, welche zur Entwicklung von Gaslagern mit nachgiebiger

34 Als Beispiel wird ohne konkrete Spezifikation des Werkstoffs das Material Aluminium verwendet, da

dessen E-Modul mit etwa 70000Nmm-2 rund ein Drittel des üblichen Stahlwerkstoffs InconelX750 be-

trägt. Damit wird nicht gesagt, dass Aluminium ein prinzipiell für die bump foil geeignetes Material

wäre.

176

Abb. 6.17: Darstellung der Tragfähigkeit und Stabilität bei einer Variation der Nachgiebigkeit der bump-

Struktur durch Anpassung der bump foil-Dicke

6.5 Variation der bump foil-Dicke zur Beeinflussung der Nachgiebigkeit

Lagerwand führten: gesteigerte Tragfähigkeit und Stabilität. Es stellt sich dabei die Fra-

ge, ob die Nachgiebigkeit nicht prinzipiell immer weiter gesteigert werden sollte bzw.

könnte. Zunächst ergibt sich schon aus der Betrachtung der Ergebnisse eine Einschrän-

kung, denn die dünnste bump foil bietet zwar den oben genannten Vorteil, zeigt aber

eine geringere maximale Tragfähigkeit über den untersuchten Drehzahlbereich. Diese

wird von der von der zweitdünnsten bump foil mit tb=75μm (bei ansonsten gleicher

Lagergeometrie) erreicht. Zusätzliche Einschränkungen ergeben sich sicherlich aus kon-

struktiver und fertigungstechnischer Sicht.

Auf der einen Seite wird dies bereits durch die zulässige Exzentrizität für weitere Ma-

schinenelemente auf der Welle, wie bspw. Laufräder, eine Grenze gesetzt, da eine zuneh-

mende Nachgiebigkeit auch eine erhöhte Exzentrizität bewirkt. Auf der anderen Seite

dürfte die Fertigung der bump foils eine Grenze darstellen, denn je dünner die Folie,

desto empfindlicher dürfte sie sich beim Pressen verhalten. Aber auch im Betrieb könn-

te es bei sehr nachgiebiger Struktur zu einer Überschreitung der Streckgrenze kommen

und plastische Verformung auftreten [130]. Diese Punkte können vom entwickelten nu-

merischen Modell nicht direkt berechnet werden, sind aber bei einem Auslegungspro-

zess zu bedenken.

177

7 Benutzeroberfläche

In diesem etwas isoliert stehenden Kapitel wird ein Überblick über die zur Bedienung

des Programmcodes entwickelte Benutzeroberfläche (graphical user interface, GUI) ge-

geben. Die Idee zu einer solchen Entwicklung entstand aus der immer weiterwachsen-

den Anzahl an Einstellungsmöglichkeiten und der dadurch zunehmenden Unübersicht-

lichkeit im textbasierten Programmcode35. Die entwickelte Benutzeroberfläche befindet

sich im Zustand einer Alpha-Version und enthält sicherlich noch Fehler, welche es zu

beheben gilt. Die dazu genannten Überlegungen und Vorschläge sind bereits im Sinne

eines Ausblicks zu verstehen.

Eine Benutzeroberfläche bietet die Möglichkeit die Vielzahl der Einstellmöglichkei-

ten, Optionen und Geometrieparameter strukturiert darzustellen und bedienen zu kön-

nen. Eine solche wurde, parallel zu den letzten Bearbeitungsschritten dieser Arbeit,

durch eine Abschlussarbeit am Fachgebiet entworfen [137]. Um den Einstieg in die Be-

dienung der Benutzeroberfläche (oder auch des Programmcodes) zu erleichtern, wer-

den die Einstellungsoptionen zu den implementierten solver-Einstellungen und Rand-

bedingung Anhang H, Tab. H.1 tabellarisch zusammengefasst.

Der Ansatz zum Entwurf der Benutzeroberfläche ist es den Arbeitsprozess zur

Durchführung einer GFL-Berechnung auch für nicht an der Entwicklung des Pro-

grammcodes beteiligten Personen zugänglich zu machen. Gestaltung und Design er-

folgte deshalb nach Usability-Gesichtspunkten. Vergleichbar zu kommerziell Simulati-

onsprogrammen, spiegeln die Menüpunkte auf der linken Seite den typischen Ablauf ei-

nes Arbeitsprozesses wider. Zunächst werden die Einstellungen zu Annahmen und

Randbedingungen definiert. Auf der rechten Seite werden die entsprechenden Unter-

menüs mit den Einstellungs- und Auswertungsoptionen gezeigt. Der Screenshot in Abb.

7.1 zeigt beispielhaft eine solche Ansicht. Darin ist auch erkennbar, dass Geometriepara-

meter durch kleine Skizzen innerhalb des Programms visualisiert werden. Zur Anpas-

sung von Einstellungen werden kontextabhängig verschiedene Methoden verwendet.

Mit Buttons wird zwischen sich gegenseitig ausschließenden Zuständen umgeschaltet.

Beispiele sind die Auswahl eines Strukturmodells oder einer Berechnung mit oder ohne

Temperatureinfluss. Umfangreichere Geometrieparameter zu den verschiedenen Bautei-

len, werden in Tabellen eingetragen. Dabei unterstützen teilweise, wie auch in Abb. 7.1

zu erkennen ist, kleine Skizzen bei der Visualisierung der Größen. Physikalische Eigen-

schaften können aus einem drop-down-Menü ausgewählt und für verschiedene Werk-

35 Es wurde auch im Programmcode versucht diese zu bündeln und nach Art der Einstellung in wenigen

Dateien strukturiert abzulegen, aber Verbesserungspotenzial besteht natürlich.

179

7 Benutzeroberfläche

stoffe hinzugefügt werden. Die Benutzeroberfläche legt daraus eine Bibliothek an, die

auch bei späteren Berechnungen verwendet werden kann. Auch die weiteren vorgenom-

menen Einstellungen eines aktuellen Projekts können gespeichert und zu einem späte-

ren Zeitpunkt vorgesetzt werden.

Befinden sich alle Einstellungen und Geometriedaten im gewünschten Zustand, kann

aus der oberen Leiste über Simulation und Simulation starten eine Berechnung gestartet

werden. Auch über die Benutzeroberfläche lassen sich die diversen Schleifen zur Varia-

tion von Lastfällen, solver- und Geometrieparametereinstellungen und automatisierter

Suche vorgeben. Auf Basis dieser Vorgaben (der Anzahl, es erfolgt keine Zeitschätzung,

weil diese vom unbekannten Konvergenzverhalten abhängt) wird der Fortschritt über

einen Fortschrittsbalken visualisiert. Der automatisierte Ablauf ist so gestaltet, dass

selbst nicht konvergierte Lastfälle oder Fehler kein Problem darstellen und den Ablauf

nicht abbrechen. Stattdessen wird zum nächsten übergegangen und versucht für diesen

eine Lösung zu finden.

180

Abb. 7.1: Screenshot einer Einstellungsseite der Benutzeroberfläche (Beispiel)

7 Benutzeroberfläche

Die Berechnungsergebnisse werden in dem bereits durch den Programmcode definier-

ten Format in einer einzigen strukturierten Datei gespeichert. Diese enthält sämtliche

Angaben zu Einstellungen, verwendete Geometrien und berechneten Ergebnisse. Der

Dateiname enthält in verkürzter Form das Datum (und Uhrzeit), ggf. variierte Einstel-

lungen oder Parameter, Lastfälle und Netzeinstellungen. Diese Bündelung und Benen-

nung erleichtert den Umgang mit den Berechnungsergebnissen erheblich.

Zur Auswertung der Daten steht eine Reihe vorgefertigter Grafiken zur Verfügung. Es

kann ausgewählt werden, welche dieser Grafiken erstellt und welche Lastfälle in diesen

Grafiken enthalten sein sollen (s. Abb. 7.2). Es besteht auch die Möglichkeit durchge-

führte Vergleichsrechnungen in kombinierten Grafiken oder getrennt darzustellen. Die

Beschriftung der Legenden in den Grafiken und die Dateinamen der abgespeicherten

Grafiken erfolgt ebenfalls automatisch auf Basis der dargestellten Daten.

Die Benutzeroberfläche wird um weitere, im unteren Bereich der Abb. 7.1 dargestell-

te, Funktionen ergänzt. Dazu zählt die Möglichkeit nach einem Variablennamen zu su-

chen und das entsprechende Untermenü und Reiter anzeigen zu lassen. Optional kön-

181

Abb. 7.2: Darstellung der vorgefertigten Grafiken zur Darstellung und Auswertung der Ergebnisse

7 Benutzeroberfläche

nen hotkeys verwendet werden. Zwei sind schon definiert, nach dem gleichen Prinzip

ließen sich weitere ergänzen. Die Anzeige der letzten Änderung hilft bei der Nachvoll-

ziehbarkeit und verdeutlicht den aktuellen Einstellungszustand dieser. Zuletzt ist eine

Konfliktanzeige vorhanden, in der manuell oder vor Start einer Berechnung inkompati-

ble Einstellungen gesucht und aufgerufen werden können. Zum Beispiel kann bei Ver-

wendung von Unterteilungen der bump foil nicht mit dem FVM-Wärmemodell gerech-

net werden36.

Die konkrete Ausarbeitung und alle Details zum Entscheidungsprozess beim Design,

können hier nicht in Gänze wiedergegeben werden. Dazu wird auf die Abschlussarbeit

von Christian Flegel verwiesen. Aber alle grundlegenden Funktionen sind implemen-

tiert und es wurde demonstriert, dass Berechnungen und Auswertungen durchgeführt

werden können. Dies begründet die Bezeichnung als Alpha-Version. Bei ausgiebiger

Verwendung sind aber sicherlich noch Fehler, seien sie kosmetischer Natur oder tat-

sächliche Ablauffehler, zu finden. Die nächsten Schritte wären die Behebung dieser Feh-

ler und der Einbau der letzten Fehler- und Ablaufverbesserungen des Berechnungs-

codes. In den meisten Fällen dürfte sich das auf den Austausch der alten Dateien der

Unterfunktion durch die aktuelleren und das Anlegen weitere Menüs für neue Funktio-

nen beschränken. Schwierigkeiten, die dabei auftreten können, sind fehlende Variablen-

definitionen oder Definitionen in der falschen Reihenfolge, welche sich aber sukzessive

abarbeiten und beheben lassen sollten.

Anschließend sollte eine Beta-Version der Benutzeroberfläche durch versierte, aber

nicht speziell geschulte Anwender getestet werden, um auch tieferliegende Fehler und

Schwierigkeiten in der Bedienung zu ermitteln und beheben zu können.

36 Da das FVM-Modell jede Kontaktstelle der bump foil direkt abbildet, wäre es sehr kompliziert das

Gleichungssystem unter Berücksichtigung von Unterteilungen aufzubauen. Möglicherweise könnte

hier eine Aufteilung der Lagerschale und der bump foil-Unterteilungen in Subsysteme und einen itera-

tiven Temperaturausgleich zwischen ihnen die Programmierung vereinfachen. Die Auswirkungen auf

die Berechnungszeit einer solchen Entkopplung sind schwer abzuschätzen.

182

8 Zusammenfassung, Kritik, Fazit und Ausblick

Die folgenden Unterkapitel geben einen Überblick über den Inhalt dieser Arbeit und

das Vorgehen zur Ermittlung dessen. Dabei werden die bearbeiteten Aspekte, wesentli-

chen Punkte und daraus abgeleiteten Schlüsse zusammengefasst. Entsprechend schließt

sich eine kritische Bewertung dieser Ergebnisse und Schlüsse an. Beschränkungen der

Aussagekraft und die Übertragbarkeit der Ergebnisse werden erläutert. Im Rahmen die-

ser kritischen Betrachtung und dem folgenden Fazit und Ausblick werden auch mögli-

che Verbesserungen und Erweiterungen des Modells besprochen.

8.1 Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Beschreibung der Temperaturentwick-

lung in GFL und den Auswirkungen dieser auf die Lagereigenschaften.

Zur Berechnung des Druckfelds wird die Reynolds-Gleichung durch die Finite-Diffe-

renzen-Methode diskretisiert und durch das Newton-Raphson-Verfahren gelöst. Neben

der Standardrandbedingung mit Umgebungsdruck an allen Rändern (auch im Bereich

der mixing-Zone) sind diverse weitere Randbedingungsoptionen implementiert. Auch

Kombinationen (im sinnvollen Rahmen) dieser sind möglich und bieten damit die

Möglichkeit eine breite Spanne an möglichen Betriebs- und Einbaubedingungen sowie

solver-Einstellungen und Annahmen zu Randbedingungen zu untersuchen. Die eben-

falls zur Lösung der Reynolds-Gleichung benötigte Schmierfilmhöhe wird aus der

Schmierfilmgleichung mit Anteilen aus der Auslenkung des Rotors, der druckbedingten

Durchsenkung, der nachgiebigen bump-Struktur sowie mit entscheidendem Einfluss

der fliehkraftbedingten und thermischen Aufweitung berechnet. Dieser Einfluss zeigt

sich im weiteren Verlauf der Arbeit bei der Berechnung der Temperaturen selbst und

der Betrachtung der Tragfähigkeit und Stabilität. Die Berücksichtigung dieses Einflusses

ist essenziell, da auch in experimentellen Versuchen bereits ein Versagen aufgrund ther-

mischer Einflüsse auftrat.

Zur Beschreibung der Nachgiebigkeit der bump-Struktur sind zwei Strukturmodelle

implementiert. Das SEFM nach Iordanoff und das link-spring-Modell nach LeLez. Die

Vorteile des SEFM sind die einfachere Beschreibung und Verteilung der Steifigkeit auf

die Berechnungsknoten und die schnelle Lösung, da kein zusätzliches Gleichungssystem

gelöst werden muss. Es ist außerdem in der Lage eine in axialer Richtung variierende

Durchsenkung abzubilden. Wie stark diese Variation berücksichtigt werden soll, kann

183

8.1 Zusammenfassung

durch einen Parameter eingestellt werden. In der späteren Betrachtung der Tragfähig-

keit erweist sie sich allerdings ohnehin als nachteilig. Das Le Lez-Strukturmodell ist das

nominell höherwertige Verfahren und ist in der Lage die individuellen bumps abzubil-

den. Allerdings ist zur Bestimmung der Durchsenkung ein weiteres Gleichungssystem

iterativ zu lösen, was die Berechnungszeit etwas verlängert. Beide Strukturmodelle wer-

den im weiteren Verlauf der Arbeit immer wieder miteinander verglichen. Der größte

Unterschied ergibt sich in den Exzentrizitäten bei aber vergleichbaren minimalen Film-

höhen und deshalb ebenfalls vergleichbarer Temperaturentwicklung.

Die im Schmierfilm entstehende Wärme breitet sich durch die umliegenden Lager-

komponenten aus. Dazu sind jeweils zwei Modelle zur Beschreibung der Wärmeströme

durch die Welle und die Lagerschale implementiert.

Die Modellierung der Wärmeströme durch das Lager erfolgt durch jeweils zwei Mo-

delle, ein Wärmewiderstandsmodell und ein FVM-Wärmemodell, für Welle und Lager-

schale. Für die Welle ist das FVM-Wärmemodell klar zu bevorzugen, da nur mit diesem

ein axialer Wärmetransport und damit Wärmeabfuhr durch die freie Wellenoberfläche

berücksichtigen werden kann. Außerdem können mit diesem auch Vollwellen berechnet

werden. Durch die Reduktion auf ein zweidimensionales Netz und Ausnutzung von

Symmetrie sowie der schnellen Konvergenz schon bei geringer Knotenanzahl lässt es

sich sehr schnell lösen. Das Wärmewiderstandsmodell für die Welle existiert deshalb

mehr der Vollständigkeit halber. Die Länge der Welle und die angenommenen Randbe-

dingungen können auf einfache Art und Weise angepasst. Es kann auch mit einer voll-

ständig adiabaten Welle gerechnet werden. Bei der Lagerschale ist die Auswahl zwischen

den Wärmetransportmodellen weniger eindeutig. Das Wärmewiderstandsmodell bildet

über eine Verschaltung von Wärmewiderständen nur einen rein radial erfolgenden

Wärmetransport ab. Das FVM-Wärmemodell erlaubt auch Wärmetransport in Axial-

und Umfangsrichtung. Speziell die Temperaturen in der Lagerschale sind deshalb deut-

lich ausgeglichener. In beide Modelle ist das Kontaktwärmemodell aus [93] mit entspre-

chenden Anpassungen und Annahmen implementiert und berücksichtigen damit auch

die Abhängigkeit des Wärmetransports durch die bump foil vom Druck. Weitere Ge-

meinsamkeiten und Unterschiede werden bei der Zusammenfassung der Validierungs-

ergebnisse in einem der folgenden Absätze beschrieben.

Die Randbedingungen für das Temperaturfeld im Schmierfilm werden auf Basis der

ein- und ausströmenden Massenströme festgelegt, welche direkt berechnet werden. An

den axialen Rändern bedeutet dies, dass dort Umgebungstemperatur bei Vorliegen von

Unterdruck im Lagerinneren gesetzt wird. Bei der mixing-Zone ergibt sich aus der, auf

einen durch die Massenströme beschränkten Bereich, erfolgende Zuströmung ein realis-

184

8.1 Zusammenfassung

tisches Bild der Temperatur, statt einer konstanten Setzung der Temperatur über die ge-

samten Lagerbreite.

Zur Lösung des numerischen Modells wird iterativ vorgegangen. Bei zunächst kon-

stanter Temperatur (und Viskosität) und unter Vorgabe einer Exzentrizität, wird das

Druckfeld unter Verwendung finiter Differenzen gelöst. Über die Schmierfilmfunktion

wird die Filmhöhe angepasst und die Iterationen fortgesetzt, bis das Druckfeld konver-

giert. Für dieses Druckfeld wird die resultierende Kraft auf den Rotor bestimmt. Diese

Kraft muss mit der äußeren Belastung ins Gleichgewicht gebracht werden, um eine

Gleichgewichtslage zu finden. Dazu wird die Exzentrizität durch den Nelder-Mead-Al-

gorithmus variiert.

Ein entscheidender Vorteil des Algorithmus ist es, ohne Ableitung nur über den Ver-

gleich der Ergebnisse der Zielfunktion zu einem Minimum zu laufen. Das Verfahren ist

damit (bei vernünftigen Startbedingungen) robust und es kann auf die zeitaufwendige

Berechnung von Jacobi-Matrizen, wie sie für ein Newton-Raphson-Verfahren benötigt

würden, verzichtet werden. Der NMA sucht prinzipiell unbeschränkt, was ein Vorteil

ist, da die konkrete Grenze der Exzentrizitäten durch die Nachgiebigkeit der bump-

Struktur im Voraus nicht bekannt ist. Es darf allerdings auch nicht zu einer Durchdrin-

gung der Bauteile und unzulässig kleinen Filmhöhen kommen. Zur Implementierung

dieser Beschränkung wird das Resultat des Kräftegleichgewichts auf einen hohen Wert

gesetzt, falls ein solches Verhalten auftritt. Durch den Ablauf des Algorithmus orientiert

sich dieser bei der Suche dann automatisch neu in eine Richtung mit zulässigen Filmhö-

hen. Diese Modifikation ist essenziell zur Bestimmung von Gleichgewichtslagen bei ho-

her Belastung, hohen Temperaturen oder sonstigen Faktoren, die für eine geringe

Schmierfilmhöhe im Betrieb sorgen. Weiteren Schwierigkeiten bei der Konvergenz des

NMA durch zu ähnliche Punkte oder Funktionswerte, werden durch eine zufallsbasierte

Methode zur Vorgabe frischer Exzentrizitätswerte weitestgehend verhindert. Trotzdem

kann eine solche Situation nicht vollkommen ausgeschlossen werden, weshalb auch die-

se Methode durch Parameter angepasst werden kann. Wird auch dann keine Gleichge-

wichtslage gefunden, spricht dies dafür, dass bei diesem vorgegebenen Lastfall tatsäch-

lich keine existiert, weil bspw. entweder bei gegebener Belastung die Drehzahl zu gering

oder bei gegebener Drehzahl die Belastung zu hoch ist (weitere Faktoren darüber hinaus

sind aber ebenfalls nicht auszuschließen).

Ist die Gleichgewichtslage bei konstanter Temperatur bestimmt, wird das entspre-

chende Druckfeld und Schmierfilmhöhe zur Bestimmung der Temperatur verwendet.

Dazu werden die Strömungsgeschwindigkeiten im Schmierfilm und daraus die Wärme-

entwicklung aufgrund der viskosen Dissipation berechnet. In einer inneren Iterations-

185

8.1 Zusammenfassung

schleife wird ein thermisches Gleichgewicht zwischen dieser Wärmeentwicklung und

dem Abtransport der Wärme durch die umliegenden Lagerkomponenten hergestellt.

Eine äußere Iterationsschleife passt die physikalischen Eigenschaften der Luft an. Die

Temperaturberechnung ist beendet, wenn für beide Schleifen die Fehlertoleranz unter-

schritten ist. Ein so bestimmtes Temperaturfeld wird zur Berechnung einer neuen und

somit temperaturabhängigen Gleichgewichtslage verwendet. Die Iterationen zwischen

Druck- und Temperatur werden ebenfalls fortgesetzt bis die Fehlertoleranz unterschrit-

ten ist.

Im gesamten Berechnungsablauf werden alle relevanten physikalischen Eigenschaften

der Luft und der beteiligten Werkstoffe ständig (bzw. zumindest innerhalb der Iterati-

onsschleifen) an die aktuelle lokale Temperatur angepasst. Dies hat insbesondere Aus-

wirkungen auf den Wärmeausdehnungskoeffizienten, dessen großer Einfluss im Zuge

der Validierung gezeigt wird (s. Abb. 5.6). Da dadurch die Aufweitung der Lagerkompo-

nenten (und damit die Schmierfilmhöhe) selbst ebenfalls von der Temperatur abhängt,

liegt hier ein sehr komplexer Zusammenhang vor. Auch bzgl. der weiteren betrachteten

Parameter nominaler Spalt und Innenradius der Hohlwelle, erweist sich die Temperatur

sehr sensitiv.

Um das numerische Model zur Berechnung der Temperatur auf eine breite Basis zu

stellen, wird es mit mehreren Datensätzen aus veröffentlichen Messungen verglichen.

Der Datensatz von [78] umfasst einen weiten Drehzahl- und Belastungsbereich. Die

Angabe von mehreren Messpositionen im hochbelasteten Bereich verteilt in axialer und

umlaufender Richtung ermöglicht den Vergleich des Temperaturprofils. Leider sind vie-

le Geometrieparameter in der Quelle nicht angegeben. Dennoch kann auch bei einer

Schätzung der unbekannten Größen für viele Messpositionen, insbesondere bei mittle-

ren Drehzahlen, akzeptable bis gute Übereinstimmung erreicht werden. Der zur Festle-

gung der Parameter erforderliche Aufwand ist nicht zu unterschätzen, wenn, wie in die-

ser Arbeit, die Temperatur nicht nur an einer Messposition, sondern an allen (insbeson-

dere auch denen am Rand) im Datensatz dokumentierten, gezeigt wird. Dies wird auch

durch die Parametervariation des nominalen Spalts, des Wärmeausdehnungskoeffizien-

ten und des Innenradius der Hohlwelle mit großem Einfluss auf die Temperatur belegt.

Darüber hinaus werden weitere Ergebnisse zu verschiedenen solver-Einstellungen und

Annahmen, welche aber nur begrenzte Auswirkungen haben, dargestellt.

Beim Vergleich mit den Messwerten aus [79] zeigen sich die Unterschiede zwischen

den beiden Wärmetransportmodelle der Lagerschale, da hier auf der Außenseite der La-

gerschale gemessen wurde. Die gemessene Variation der Temperaturen über den Um-

fang kann nur durch das Wärmewiderstandsmodell abgebildet werden. Das FVM-Wär-

186

8.1 Zusammenfassung

memodell sorgt durch die Berücksichtigung der Wärmeleitung in axialer und umlaufen-

der Richtung für einen Ausgleich der Temperaturen. Grundsätzlich wird aber ein je

nach Lastfall und nominalem Spalt vergleichbares Temperaturniveau erreicht, ebenso

wie bei den Messwerten auf der Welle.

Von besonderer Bedeutung ist der Vergleich der Ergebnisse des numerischen Modells

und den Messwerten von [78], da hier neben der Temperatur auch der minimale Spalt

während des Betriebs für mehrere Drehzahlen über einen weiten Lastbereich gemessen

wurde. Darüber hinaus stehen die Messwerte von zwei Lagern mit unterschiedlichem

nominalen Spalt zur Verfügung. Über den gesamten Vergleich mit beiden Struktur- und

Wärmetransportmodellen ergibt sich eine gute bis teilweise sehr gute Übereinstim-

mung, sowohl zwischen den Werten für die minimale Filmhöhe als auch für die Tempe-

ratur. Da beide Größen in engem Zusammenhang stehen, spricht dies für eine gute Ab-

bildung eines GFL durch das numerische Modell.

Im letzten Vergleich werden an einem zum Fachgebiet gehörenden Prüfstand ermit-

telte Messwerte verwendet. Dabei sind die Belastungen beschränkt, da eine Beschädi-

gung des GFL vermieden werden musste. Im Vergleich wird eine gute Übereinstim-

mung, teilweise sehr gute Übereinstimmung erreicht. Durch die Verwendung von 13

Thermoelementen kann das Temperaturprofil über den gesamten Lagerbereich erfasst

werden. Dabei zeigt sich auch in den Messwerten ein, bisher nur in den berechneten

Werten beobachteter, Temperaturanstieg vor der mixing-Zone. Der Anstieg wird durch

die Verdichtung gegen den in der mixing-Zone angenommenen Umgebungsdruck be-

gründet. Bei der niedrigen Belastung wird das Temperaturniveau noch nicht exakt ver-

gleichbar, aber beide Wärmetransportmodelle können das Temperaturprofil abbilden.

Zwischen den beiden Strukturmodellen zeigt sich kein wesentlicher Unterschied.

Insgesamt ist es bemerkenswert, dass beide Wärmetransportmodelle für viele be-

trachtete Lastfälle sehr ähnliche Ergebnisse liefern, da sich die Verfahren im Grundsatz

sehr deutlich voneinander unterscheiden und teilweise sehr unterschiedlichen Annah-

men und Beschränkungen unterliegen. Eine klare Empfehlung für das eine oder das an-

dere Verfahren lässt sich deshalb nicht aussprechen. Stattdessen wird die Übereinstim-

mung als weiterer Beleg für die grundsätzliche Tauglichkeit beider Modelle gewertet.

Für eine Berechnung und im Zuge eines Auslegungsprozesses erlauben die mit dem

Wärmewiderstandsmodell der Lagerschale berechneten Ergebnisse eine schnelle Ein-

schätzung der zu erwartenden Temperaturen. Das FVM-Wärmemodell ist dagegen

deutlich detaillierter und kann deshalb in Zukunft ggf. auftretende weitere Randbedin-

gungen berücksichtigen oder auf generell komplexere Geometrien erweitert werden.

187

8.1 Zusammenfassung

Die Ähnlichkeit der Modelle zeigt sich auch bei Betrachtung der Ergebnisse einer ange-

nommenen axialen Durchströmung. Die dafür benötigten Modelle sind implementiert,

werden aber nicht im Detail untersucht. Dennoch kann gezeigt werden, dass sich ein die

Modelle der Durchströmung prinzipiell physikalisch sinnvoll verhalten und darüber

eine Kühlung des GFL erreicht wird.

Für einen Auslegungsprozess liefert die Netzkonvergenzanalyse einen Überblick über

die zu erwartende Sensitivität der Temperatur bzgl. der verwendeten Knotenanzahlen in

den verschiedenen Richtungen und Lagerkomponenten. Darüber hinaus zeigt sich der

Vorteil der implementierten, nicht äquidistanten Vernetzung, da damit früher eine Kon-

vergenz in den Temperaturwerten erreicht wird. Für besonders schnelle Berechnungen

kann, falls diese tatsächlich vorliegt oder für zunächst überschlägige Ergebnisse, unter

Ausnutzung axialer Symmetrie mit halbiertem Netz gerechnet werden. Solche Berech-

nungen sind über den erwartbaren Faktor zwei hinaus schneller und sind damit eine in-

teressante Option für Auslegungsprozesse.

Eine bestimmte Gleichgewichtslage wird zur Berechnung der linearisierten Lagerpa-

rameter nach dem Verfahren von Lund verwendet. Diese sind damit ebenfalls von der

Temperatur abhängig. In einem Vergleich mit den Ergebnissen einer numerischen iso-

thermen Berechnung aus [17] zeigt sich gute Übereinstimmung bei niedrigen Tempera-

turen. Bei Setzung von angenommenen Randbedingungen, die zu einer deutlichen Er-

höhung der Temperatur führen, wird ein Unterschied zwischen den Ergebnissen er-

kennbar. Die Lagerparameter sind somit nicht unabhängig von der Temperatur.

Die berechneten Lagerparameter werden auch mit den am Fachgebietsprüfstand er-

mittelten Messwerten verglichen. Die entsprechenden Messungen wurden von Djoko

Kayo durchgeführt und in [129] dokumentiert. Dabei zeigt sich nur für die Hauptstei-

figkeiten in einem Störfrequenzbereich zwischen 240Hz und 480Hz gute Übereinstim-

mung. Die Koppelsteifigkeiten liegen in der Messung über dem gesamten Störfrequenz-

bereich nahe null. In der Berechnung sinken sie erst bei höheren Störfrequenzen gegen

null. Bei den Dämpfungen kann nicht von einer guten Übereinstimmung gesprochen

werden.

Da das Stabilitätsverhalten auf den berechneten Lagerparametern basiert, wird dieses

ebenfalls auf eine Temperaturabhängigkeit überprüft. In einer Betrachtung dessen für

eine Lagerkonfiguration nach [78] ergeben sich, vergleichbar zu den Lagerparameter,

auch erst bei höheren Temperaturen Unterschiede in den Grenzdrehzahlen zwischen

isothermer und anisothermer Berechnung. In der anisothermen Berechnung werden

die höheren Grenzdrehzahlen erreicht. Auffällig ist allerdings, dass die ermittelten

Grenzdrehzahlen unterhalb derer, bei den Messungen zur Temperatur verwendeten, lie-

188

8.1 Zusammenfassung

gen. Das GFL scheint hier entweder in einen von der linearen Stabilitätsanalyse nicht

berechenbaren Grenzzyklus überzugehen oder die Verwendung mehrerer bump-Strei-

fen zur Beeinflussung der lokalen Steifigkeitsverteilung verbessert das Stabilitätsverhal-

ten. Ein weiterer Grund könnte die unbekannte und so nicht modellierbare Vorspan-

nung des GFL sein. Der Vergleich mit einer Berechnung unter Annahme einer axialen

Unterteilung der bump foil in fünf Streifen (und dafür geratenen Parameter) liefert keine

wesentlichen neuen Erkenntnisse. Weitere Untersuchungen dazu werden, aufgrund der

Vielzahl an möglichen Parameterkombinationen, nicht unternommen.

Die Stabilitätsuntersuchung für eine Lagerkonfiguration ähnlich der in [51] verwen-

deten, zeigt grundsätzlich ein vergleichbares Verhalten: eine ansteigende Grenzdrehzahl

mit zunehmender Belastung. Allerdings liegen hier die isotherm berechneten Grenz-

drehzahlen in der Standardkonfiguration geringfügig oberhalb der anisotherm berech-

neten.

Da neben der Belastung und den Lagerparametern keine weiteren Größen direkt in

die Stabilitätsanalyse eingehen, wird für beide Konfigurationen nach Auffälligkeiten in

den Verläufen der Lagerparameter über die Störfrequenz bzw. das Störfrequenzverhält-

nis (für eine Auswahl von Lastfällen) gesucht. Bei genauer Betrachtung können für die

Lagerkonfiguration nach [78] etwas verringerte Hauptsteifigkeiten, aber eine schneller

sinkende Differenz aus den Koppelsteifigkeiten beobachtet werden. Letzteres scheint

den Verlust an Hauptsteifigkeit zu kompensieren und insgesamt in der anisothermen

Berechnung für die höheren Grenzdrehzahlen zu sorgen.

Da sich die Grenzdrehzahlen in der Standardkonfiguration nach [51] zwischen iso-

thermer und anisothermer Berechnung kaum unterscheiden, lässt sich auch in den La-

gerparametern kein wesentlicher Unterschied feststellen. Interessanter ist der Vergleich

mit einem durch shims modifizierten GFL. Hier ergeben sich bei niedrigen Belastungen

deutlich erhöhte Grenzdrehzahlen. Allerdings kommt es im weiteren Verlauf der Belas-

tungserhöhung zu einem Wechsel und die Grenzdrehzahlen fallen unter die der ur-

sprünglichen Lagerkonfiguration. Die Rückführung auf Ursachen in den Verläufen der

Lagerparameter ist, trotz beobachtbaren Unterschieden, etwas schwieriger. Shims erhö-

hen die Hauptsteifigkeiten speziell bei niedrigen Lasten. Die dabei etwas erhöhte Diffe-

renz in den Koppelsteifigkeiten scheint sich noch nicht negativ auszuwirken. Sie kommt

allerdings bei hohen Belastungen zum Tragen, wo sie für die anisotherme Berechnung

(wie dann auch die Grenzdrehzahlen) unter der isothermen Rechnung liegt.

Über die Betrachtung der Lagerparameter hinaus, wird versucht das Stabilitätsverhal-

ten in einen Zusammenhang mit dem minimal verbleibenden Spalt, welcher von der

Temperatur über die Aufweitung der Lagerkomponenten stark beeinflusst wird, zu brin-

189

8.1 Zusammenfassung

gen. Hier ergeben sich ähnliche Schnittpunkte zwischen den Verläufen. Die Rückfüh-

rung auf einen einzelnen, nicht direkt in die Stabilitätsberechnung eingehenden Para-

meter, welcher ebenfalls mit vielen anderen Größen verknüpft ist, ist allerdings schwie-

rig. Er wird aber bei der Stabilität betrachtet, da er bei der folgenden Tragfähigkeitsun-

tersuchung eine bedeutende Rolle einnimmt.

Zuletzt wird die Auswirkung der Temperatur auf die Tragfähigkeit untersucht. Eine

adaptierte Version des Ablaufs zur Bestimmung der Grenzdrehzahlen wird angewandt,

um die bei einer konstanten Drehzahl maximal ertragbare Belastung zu ermitteln, bevor

es zum Zusammenbruch des Schmierfilms kommt. Auch die Tragfähigkeit wird wieder

an den beiden Lagerkonfigurationen aus [78] und [51] untersucht. Aus den Ergebnissen

lassen sich mehrere Erkenntnisse ableiten. Bei der Lagerkonfiguration aus [78] sorgt die

Berücksichtigung der Temperatur durch die Besonderheit der sich stark aufweitenden

Lagerschale für eine Erhöhung der Tragfähigkeit, da so mehr Platz für die Aufweitung

der Welle bleibt. Im Vergleich mit der in [78] maximal aufgebrachten Belastung, scheint

diese passend gewählt, da die berechnete Tragfähigkeit bei der niedrigsten Drehzahl ge-

rade ausreicht, um diese zu tragen.

An der Lagerkonfiguration aus [51] lässt sich die Tragfähigkeit durch die Datensätze

für zwei nominale Spalte noch detaillierter untersuchen. Bei isothermer Berechnung

steigen die Tragfähigkeiten über den gesamten untersuchten Drehzahlbereich immer

weiter an. Unter Berücksichtigung der Temperatur ergibt sich hingegen ab einer gewis-

sen Drehzahl und damit einhergehenden Temperatur ein deutlicher Abfall. Der Abfall

wird auf die stärkere Aufweitung der Welle gegenüber der Lagerschale zurückgeführt,

wodurch sich der minimale verbleibende Spalt verringert, bis kein tragfähiger Schmier-

film mehr erreicht wird. Das GFL mit geringerem nominalem Spalt erreicht seine maxi-

male Tragfähigkeit bei niedrigeren Drehzahlen als das GFL mit dem größeren nomina-

len Spalt. Mit einer Ausnahme wird eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den be-

rechneten Tragfähigkeiten und der in [51] ebenfalls zur Ermittlung der Tragfähigkeit

maximal aufgebrachten Belastung bei jeweils drei Drehzahlen erreicht.

Darüber hinaus lässt sich feststellen, dass das SEFM nach Iordanoff ohne axiale

Druckmittelung nicht zur Bestimmung der Tragfähigkeit geeignet ist (zumindest nicht

mit dem hier angewandten Verfahren). Die hier gesetzte Druckrandbedingung (Umge-

bungsdruck) führt, trotz Anpassungen, zu einer geringen Durchsenkung und damit

deutlich früher zu einer Unterschreitung der zulässigen minimalen Filmhöhe. Eine axi-

ale Druckmittelung verbessert die Ergebnisse auf ein vergleichbares, aber nicht ganz er-

reichtes, Niveau des LeLez-Strukturmodells.

190

8.1 Zusammenfassung

Auffällig ist die erhöhte Tragfähigkeit des SEFM nach Iordanoff mit Druckmittelung ge-

genüber dem LeLez-Strukturmodell bei hohen Drehzahlbereichen beim kleineren der

nominalen Spalte. Diese Auffälligkeit tritt erst oberhalb der dokumentierten Messwerte

auf, weshalb sich nicht ableiten lässt, welches Modell hier die bessere Übereinstimmung

liefern würde.

Aus dieser Feststellung heraus wird allerdings die Auswirkung einer nachgiebigeren

bump-Struktur auf die Stabilität und Tragfähigkeit durch eine Variation der bump foil-

Dicke untersucht. Grundsätzlich lässt sich dabei der ursprüngliche Grund für die Ent-

wicklung von GFL nachvollziehen: Eine nachgiebigere Lagerstruktur sorgt für eine er-

höhte Tragfähigkeit und eine verbesserte Stabilität. Bei der Tragfähigkeit kann die er-

höhte Nachgiebigkeit die Veränderung des nominalen Spalts durch die Betriebsbedin-

gungen über einen weiteren Bereich kompensieren. Allerdings wird eine geringere ma-

ximale Tragfähigkeit bei ansonsten gleicher Lagergeometrie erreicht. Auch weitere Be-

schränkungen aus konstruktiver und fertigungstechnischer Sicht dürften für eine Be-

grenzung der Nachgiebigkeit sprechen.

8.2 Kritische Betrachtung

Alle physikalischen und numerischen Modelle unterliegen Annahmen und Beschrän-

kungen bzgl. ihrer Anwendung auf die zu beschreibenden Vorgänge. Dies gilt auch für

die in dieser Arbeit verwendeten Modelle und die jeweiligen Beschränkungen und An-

nahmen werden im Zuge ihrer Vorstellung in den einzelnen Kapiteln bereits genannt.

Auch bei Vorstellung der damit erzielten Ergebnisse wird auf Unzulänglichkeiten der

Modelle eingegangen, falls diese sichtbar werden. In diesem Kapitel werden weitere,

über die bereits genannten, hinausgehende Punkte, in grober Reihenfolge der Kapitel,

angesprochen, welche bei der Beurteilung von mit dem numerischen Modell berechne-

ten Ergebnissen oder zukünftigen Adaptierungen kritisch zu überprüfen sind.

Die Modellierung des Druckfelds und der Schmierfilmhöhe beinhaltet die Annah-

men, welche bei der Ableitung der Reynolds-Gleichung aus der Navier-Stokes-Glei-

chung getroffen werden. Sie stellt aber die gängige Vorgehensweise dar. Auch die ver-

wendete Standardrandbedingung zählt dazu. Für jede Anwendung ist allerdings zu hin-

terfragen, ob ggf. eine der anderen implementierten Randbedingungsoptionen eine bes-

sere Abbildung verspricht.

Die Berechnung der Strömungsgeschwindigkeiten beruht ebenfalls direkt auf der Ab-

leitung der Reynolds-Gleichung und enthält deshalb vergleichbare Annahmen. Durch

den dünnen Schmierfilm kann seine Krümmung vernachlässigt werden und das Modell

191

8.2 Kritische Betrachtung

entspricht der Überlagerung der theoretisch gut beschriebenen Couette- und Poiseuille-

Strömung und wird deshalb als ausreichend erachtet. An dieser Stelle wird dennoch

noch mal darauf hingewiesen kritisch mit dem Strömungsmodell umzugehen, da die

Wärmeproduktion über die viskose Dissipation und damit die Grundlage für die Be-

trachtung der Wärmeströme und Temperatur aus den Strömungsgeschwindigkeiten

folgt.

Fraglich ist außerdem, ob sich das Gas im dünnen Schmierspalt noch wie eine Konti-

nuumsströmung verhält. Mit der Knudsen-Zahl Kn kann dies beurteilt werden. Für

hohe Temperaturen und geringe Filmhöhen liegt diese im Bereich von rund Kn=0,02

und damit gerade über der Grenze für eine Gleitströmung von 0,01. In [138] wird eine

zur Berücksichtigung dieser Effekte modifizierte Reynolds-Gleichung verwendet, aber

erst bei sehr hohen Temperaturen relevante Unterschiede festgestellt. In dieser Arbeit ist

diese Modifikation nicht implementiert, da sie nicht gängig ist. Es wäre aber möglich sie

einzubauen.

Die zur Beschreibung der Schmierfilmhöhe verwendete Schmierspaltfunktion enthält

den nominalen Spalt. Dieser ist eine sehr charakteristische Größe für viele Eigenschaf-

ten eines GFL, allerdings fertigungstechnisch aufwendig genau herzustellen und mess-

technisch schwer zu erfassen. Um einen Vergleich zwischen einer Berechnung und Mes-

sung zu ziehen, ist eine genaue Kenntnis sehr hilfreich. Auf die Schmierfilmfunktion hat

auch die Aufweitung der Lagerkomponenten einen deutlichen Einfluss. Während für die

Welle noch in guter Näherung von einer freien thermischen Ausdehnung ausgegangen

werden kann, ist dies bei der Lagerschale wesentlich kritischer zu sehen. Diese kann,

bspw. in einer größeren Konstruktion eingebettet, in ihrer Aufweitung erheblich behin-

dert werden oder gänzlich anderen Temperaturgradienten unterliegen als bei freier

Konvektion an die Umgebung. Die Berücksichtigung einer Behinderung der Aufwei-

tung, würde allerdings die Berechnung des mechanischen Spannungszustands in der

Lagerschale und Kenntnis der umliegenden Konstruktion erfordern. Je nach Komplexi-

tät dieser, wäre dies analytisch nur noch schwer beschreibbar und eine FEM-Berech-

nung erfordern. Die dafür benötigten Wärmeausdehnungskoeffizienten müssen nicht

nur in ihrer Größe, sondern auch in ihrer Abhängigkeit von der Temperatur bekannt

sein. Auch die Fliehkraftaufweitung muss nicht notwendigerweise, wie in dieser Arbeit

angenommen, gleichmäßig erfolgen, sondern kann durch lokale Effekte (wie die in [77]

erwähnte Auswuchtschraube, Absätze in der Welle oder einer möglicherweise nur teil-

weise vorliegenden Hohlwelle) beeinflusst werden.

Für alle aus empirischen Formeln abgeleiteten Wärmeübergangskoeffizienten ist frag-

lich, inwieweit diese tatsächlich übertragbar und skalierbar sind. Dies scheint weitestge-

192

8.2 Kritische Betrachtung

hend gegeben, da beide Wärmetransportmodelle durchaus vergleichbare Temperaturen

zeigen, obwohl sie teilweise auf sehr unterschiedliche Wärmeübergangskoeffizienten

und Annahmen setzen. Oftmals sind die in den Literaturquellen verwendeten Mess-

aufbauten wesentlich größer als die verhältnismäßig kleinen Abmessungen bei GFL.

Durch die Verwendung dimensionsloser Kennzahlen lassen sie sich dennoch in gewis-

sen Grenzen übertragen. Dennoch ist dies nicht trivial, da teilweise von relativ einfa-

chen Geometrien (wie sie für eine Messung erforderlich ist) auf die GFL-Geometrien

übertragen werden muss. Für manche Vorgänge lassen sich mehrere empirische For-

meln finden, die aber nicht notwendigerweise vergleichbare Ergebnisse zeigen, für an-

dere nur eine einzelne Quelle. Wenn mehrere Quellen vorliegen wird die Vergleichbar-

keit teilweise durch die fehlenden Angaben von Bezugsgrößen (bspw. Längen oder Flä-

chen) erschwert. Diesem Problem könnte möglicherweise durch die Verwendung loka-

ler Wärmeübergangskoeffizienten begegnet werden. Für diese Arbeit kam diese Idee al-

lerdings zu spät, da dann alle Ergebnisse neu berechnet hätten werden müssen. Der Ein-

bau sollte prinzipiell nicht allzu kompliziert sein, da die Wärmeübergangskoeffizienten

jeweils (für beide Wärmetransportmodelle) an einer Stelle berechnet werden. Aber da es

dennoch eine größere Änderung des gesamten Modells darstellt, ist schwer abzuschät-

zen, welche Teile des Programmcodes ebenfalls angepasst werden müssen, wenn weiter-

hin solver-Einstellungen kompatibel gehalten werden sollen.

Der ohnehin robuste Nelder-Mead-Algorithmus findet durch die beschriebenen Mo-

difikationen sehr zuverlässig ein Minimum für das Kräftegleichgewicht. Es kann aber

weder garantiert werden, dass nicht dennoch eines existiert, falls keines gefunden wird,

noch, dass ein gefundenes Minimum ein globales Minimum darstellt. Es spricht aller-

dings auch nichts dagegen, dass sich der Rotor eines GFL in einem lokalen Minimum

befindet.

Bei der Ermittlung der Lösung für das Temperaturgleichgewicht zwischen den Lager-

komponenten werden teilweise Mittelungen und Interpolationen notwendig, bspw.

beim Übergang vom Netz des Schmierfilms auf das Netz des FVM-Wärmemodells. Da-

bei entstehen, häufig an den Rändern, teilweise unrealistisch Ergebnisse, welche durch

Abfangmechanismen verhindert werden. Es kann aber nicht ausgeschlossen werden,

dass dies in speziellen Fällen erneut auftritt und in den Ergebnissen sichtbar wird.

In jedem Vergleich mit experimentellen Daten verbleiben je nach Lastfall mehr oder

weniger große Abweichungen. Um diesen weiter auf den Grund zu gehen, müssten die

Unterschiede zwischen den Einstellungen und Annahmen zur Modellierung und dem

tatsächlichen Aufbau des Prüfstands und der Durchführung der Messungen erstens ge-

nauer bekannt sein und sich zweitens auch in geeigneter Art und Weise reduzieren las-

193

8.2 Kritische Betrachtung

sen. Dies scheitert häufig bereits an nicht ausreichend dokumentierten Geometrien oder

weiteren Angaben zu den Messbedingungen zum Zeitpunkt der Messung. Ganz allge-

mein ist das Ziehen einer Systemgrenze (und damit der Randbedingungen) für die

Temperatur wesentlich schwieriger als bspw. für den Druck im Lager. Das größte Pro-

blem dürfte die bereits angesprochene Abgrenzung des GFL gegenüber weiteren Wär-

mequellen sein. Bei den Prüfständen im klassischen Aufbau mit einem in einem Lager-

bock durch Wälzlager getragenen Rotor sorgen bspw. diese für eine zusätzliche Wärme-

quelle. Wird stattdessen ein rein durch GFL gelagerter Rotor durch eine Luftturbine an-

getrieben, so dürfte diese für eine nicht unerhebliche Beeinflussung der Temperatur des

Gesamtsystems sorgen. Diese Unterschiede zwischen Modell und Messung sowie die

schwer zu erfassenden Wärmeströme ließen sich vermutlich erst durch einen speziell

dafür entwickelten und eingerichteten Prüfstand eingrenzen. Dabei müssten auch die

verwendeten Werkstoffe mit ihren temperaturabhängigen Eigenschaften genaustens be-

kannt sein.

Die neusten Erkenntnisse bezüglich der Unterschiede zwischen der Berechnung der

Stabilität auf Basis der linearisierten Lagerparameter und der Ableitung aus einer transi-

enten Berechnung wurden erst im Zeitraum der Bearbeitung dieser Arbeit veröffentlicht

und sind deshalb nicht berücksichtigt. Da allerdings auch noch keine transienten Be-

rechnungen zur Ermittlung der Grenzdrehzahlen unter Berücksichtigung der Tempera-

tur durchgeführt wurden, kann ohnehin noch nicht mit solchen Ergebnissen verglichen

werden. Sollte sich herausstellen, dass bei einem solchen Vergleich keine gute Überein-

stimmung erzielt wird, können diese Erkenntnisse ggf. implementiert werden. Dennoch

dürften die qualitativen Aussagen dieser Arbeit Bestand haben.

Bei den Tragfähigkeiten ist die Wahl der Untergrenze für die minimalen Filmhöhe

diskutabel. Allerdings liegt die verwendete Untergrenze auf vergleichbarer Höhe mit

Messwerten und mit ihr können die gemessenen Tragfähigkeiten mit sehr guter Über-

einstimmung berechnet werden. Sollten sich daran Zweifel ergeben, kann diese natür-

lich ohne großen Aufwand angepasst werden.

8.3 Fazit und Ausblick

Das entwickelte numerische Modell zur Beschreibung des GFL-Verhaltens unter Be-

rücksichtigung der Temperatur ist durch die Verwendung verschiedener Struktur- und

Wärmetransportmodelle und durch den Vergleich mit mehreren, an verschiedenen

Prüfständen und Lagergeometrien ermittelten Datensätzen, vieler Lastfälle auf eine soli-

de Basis gestellt. An allen relevanten Stellen wird auf die Temperatur als Einflussfaktor

194

8.3 Fazit und Ausblick

geachtet. Dabei stellt sich heraus, dass insbesondere die thermische Aufweitung der La-

gerkomponenten und die damit verbundenen temperaturabhängigen Wärmeausdeh-

nungskoeffizienten in einem komplexen Zusammenspiel stehen. Da die Schmierfilmhö-

he eine entscheidende Größe für viele weitere Lagereigenschaften und Lagerparameter

darstellt, nimmt die Temperatur auch auf sie indirekten, aber teilweise erheblichen, Ein-

fluss. Dies wird an den beiden für Anwendungen sehr relevanten Eigenschaften Stabili-

tät und Tragfähigkeit gezeigt.

Das entwickelte numerische Modell ist darüber hinaus durch seinen modularen

Aufbau und Strukturierung in der Lage einen Auslegungsprozess zu unterstützen. Dazu

tragen folgende Punkte bei:

•Konsequente Automatisierung der Berechnungsabläufe für Lastfälle, Bestim-

mung der Grenzdrehzahlen und Tragfähigkeiten, Geometrieparametern und

solver-Einstellungen. Auch Kombinationen sind möglich.

•Robuste Algorithmen und diverse Abfangmechanismen für Sondersituationen,

welche bei einer Variation über weite Bereiche auftreten können oder falls un-

günstige Startbedingungen vorgegeben werden.

•Relativ variable Vorgabe der Geometrie und weitestgehende Kompatibilität zwi-

schen Annahmen zu solver-Einstellungen und Randbedingungen

•Automatische Vernetzung unter Berücksichtigung der gewählten Einstellungen

und Geometrie

•Beschleunigung zeitkritischer Funktionen durch eine Umsetzung in C und Ein-

bindung über die MEX-Schnittstelle

•Beschleunigung der Berechnungen durch nicht äquidistantes Netz und mögli-

cher Ausnutzung axialer Symmetrie

•Speicherung aller zu einer Berechnung gehörenden Daten, inklusive gewählter

Einstellungen und verwendeter Geometrie in einer strukturierten Datei mit au-

tomatisierter Dateibenennung unter Verwendung des Datums, der ggf. variier-

ten Größen, den Lastfällen und dem Netz um einen schnellen Überblick zu lie-

fern. Nachvollziehbarkeit und Auswertung werden dadurch deutlich erleichtert.

Die vorgestellten Punkte können eine Eingrenzung der zu testenden Prototypen bei der

Entwicklung eines GFL für einen konkreten Anwendungsfall ermöglichen. Aufgrund

der Vielzahl an möglichen Einbau- und Randbedingungen, kann aber nicht garantiert

werden, wirklich alle adäquat abbilden zu können. Ein Prototypenbau der aussichts-

reichsten Konfiguration und Test im realen Anwendungsfall ist weiterhin zu empfehlen.

Der Ausblick ergibt sich aus den in der Zusammenfassung, kritischen Bewertung und

zuletzt hier genannten Punkten heraus. Im Prinzip ließe sich schon durch diese Arbeit

195

8.3 Fazit und Ausblick

eine Trennung zwischen Softwareentwicklung und der Entwicklung der numerischen

Modelle ziehen. Diese Trennung sollte in Zukunft noch viel deutlicher erfolgen. Dazu

wäre es angebracht den bestehenden Programmcode mit den nun gewonnenen Kennt-

nissen nochmal grundlegend zu überarbeiten, aufzuräumen, mit einer stringenten

Struktur zu versehen und die Modularität weiter zu erhöhen. Dabei sind alle im Laufe

der Entwicklung entstandenen „schnellen Lösungen“ durch möglichst allgemeine Funk-

tionen mit klaren Schnittstellen zu ersetzen. Gerade die in den letzten Zügen der Bear-

beitung implementierten Funktionen müssen diesbezüglichen untersucht und auch in

die Benutzeroberfläche übertragen werden. Bei einem solchen Unterfangen wäre auch

der Wechsel zur bzw. der Beginn mit der Verwaltung des Programmcodes mittels eines

Versionsverwaltungsdienstes, wie bspw. GitHub, zu empfehlen. Dies würde neben der

Erweiterbarkeit und Verbesserung von bugs auch die Wartbarkeit und Pflege deutlich

vereinfachen. In einer Weiterentwicklung des Programmcodes wäre es möglich die seit

wenigen Monaten an der TUBerlin allgemein verfügbaren Lizenzen für die Matlab-

Toolboxen Coder und Parallel Computing zu verwenden, um nach der Unterteilung in

weitere Module diese automatisch in C-Code übersetzten zu lassen bzw. die automati-

sierten seriellen Schleifen in parallele Schleifen zu übertragen. Dies würde vermutlich

nochmals für eine deutliche Beschleunigung sorgen.

Auch auf der Seite der physikalischen Modelle besteht noch Potenzial zur Weiterent-

wicklung. Durch den identifizierten großen Einfluss der Aufweitung der Lagerkompo-

nenten wäre ein Modell mit Berücksichtigung der Aufweitungsbehinderung erstrebens-

wert, bzw. allgemein ein genaueres Modell zur Berechnung der ggf. auch lokal unter-

schiedlichen Aufweitung hilfreich. Die besten Ergebnisse für allgemeine Randbedin-

gungen sind vermutlich von einem FEM-Modell zu erwarten. Die Berechnungszeit

würde sich dadurch sicherlich erhöhen, allerdings muss die Aufweitung nur beim

Wechsel zwischen Druck- und Temperaturlösung berechnet werden. In vernünftig kon-

vergierenden Berechnungen also nicht allzu oft und könnte damit noch im Rahmen

bleiben.

Da die Wärmeströme durch die entwickelten FVM-Wärmetransportmodelle ohnehin

vernetzt und damit aufgeteilt in kleine Bereiche berechnet werden, bietet sich der Über-

gang auf lokale Wärmeübergangskoeffizienten an. Dies könnte zielführend bei der Re-

duktion der Unsicherheiten bzgl. der Übertragbarkeit von, an konkreten Geometrien

ermittelten, Wärmeübergangskoeffizienten sein.

Die weitestgehend implementierte axiale Durchströmung der bump foil und Hohlwel-

le sollte durch Modelle ergänzt werden, um die Strömungsgeschwindigkeit in ihnen aus

unterschiedlichen Vorgaben zu berechnen. Gängige Vorgaben sind Massenströme, Vo-

196

8.3 Fazit und Ausblick

lumenströme oder Druckdifferenzen. Die Beachtung der Reibung, der Erwärmung wäh-

rend der Durchströmung, der Machzahl und einem möglichen Wechsel zwischen lami-

narer und turbulenter Durchströmung mit den entsprechenden Auswirkungen auf die

Wärmeübergangskoeffizienten ist nicht trivial, lässt sich aber möglicherweise durch ein-

schränkende Annahmen und den Gleichungen aus der Gasdynamik lösen.

Nicht zuletzt wäre auch die weitere Ermittlung von Messdaten an einem spezialisier-

ten Prüfstand zum erneuten Vergleich mit einem weiterentwickelten Modell interessant.

Bei modularer Gestaltung (allerdings ohne die einfache Gestaltung aufzugeben, da sonst

die Systemgrenze wieder schwierig zu ziehen wird) könnte der Prüfstand oder ggf. Teile

des Prüfstands auch zum Test von Prototypen verwendet werden.

Durch Bearbeitung der angesprochenen Punkte, ließe sich das entwickelte numeri-

sche Modell zu einem Softwareprodukt zur Auslegung radialer GFL für allgemeine An-

wendungen entwickeln.

197

Literaturverzeichnis

1. BHUSHAN, B., RUSCITTO, D. und GRAY, S. NASA-CR-135402, CONS/9427-2:

Hydrodynamic air lubricated compliant surface bearing for an automotive gas

turbine engine 2: Materials and coatings [online]. Technical Report. Latham, NY,

United States: Mechanical Technology, Inc., 1978.

2. DELLACORTE, C., FELLENSTEIN, J. A. und BENOY, P. A. Evaluation of

Advanced Solid Lubricant Coatings for Foil Air Bearings Operating at 25 and 500

°C. Tribology Transactions. Januar 1999. 42(2), 338–342.

doi:10.1080/10402009908982226.

3. AGRAWAL, Giri L. Foil Air Bearings Cleared to Land. Mechanical Engineering. 1

Juli 1998. 120(07), 78–80. doi:10.1115/1.1998-JUL-8.

4. ARENDT, Martin. Regelungstechnische Optimierung der Steuerung eines

Brennstoffzellensystems im dynamischen Betrieb. [online]. 24 Januar 2013.

5. AGRAWAL, Giri L. Foil Air/Gas Bearing Technology — An Overview. In: Volume

1: Aircraft Engine; Marine; Turbomachinery; Microturbines and Small

Turbomachinery [online]. Orlando, Florida, USA: American Society of Mechanical

Engineers, 2 Juni 1997. ISBN978-0-7918-7868-2.

6. BARNETT, M. A. und SILVER, A. Application of Air Bearings to High-Speed

Turbomachinery. In: SAE Technical Paper 700720 [online]. 1 Februar 1970.

7. DELLACORTE, Christopher und VALCO, Mark J. Load Capacity Estimation of

Foil Air Journal Bearings for Oil-Free Turbomachinery Applications [online]. 2000.

8. HESHMAT, H., SHAPIRO, W. und GRAY, S. Development of Foil Journal

Bearings for High Load Capacity and High Speed Whirl Stability. Journal of

Lubrication Technology. 1 April 1982. 104(2), 149–156. doi:10.1115/1.3253173.

9. HESHMAT, H., WALOWIT, J. A. und PINKUS, O. Analysis of Gas-Lubricated

Foil Journal Bearings. Journal of Lubrication Technology. 1 Oktober 1983. 105(4),

647–655. doi:10.1115/1.3254697.

10. DELLACORTE, Chris. A New Foil Air Bearing Test Rig for Use to 700 °C and

70,000 rpm. Tribology Transactions. Januar 1998. 41(3), 335–340.

doi:10.1080/10402009808983756.

11. KIM, Tae Ho, BREEDLOVE, Anthony W. und SAN ANDRÉS, Luis.

Characterization of a Foil Bearing Structure at Increasing Temperatures: Static

Load and Dynamic Force Performance. Journal of Tribology. 1 Oktober 2009.

131(4), 041703. doi:10.1115/1.3195042.

12. DELLACORTE, Christopher. Stiffness and Damping Coefficient Estimation of

Compliant Surface Gas Bearings for Oil-Free Turbomachinery. Tribology

Transactions. Juli 2011. 54(4), 674–684. doi:10.1080/10402004.2011.589966.

199

Literaturverzeichnis

13. HOWARD, Samuel A., DELLACORTE, Christopher, VALCO, Mark J., PRAHL,

Joseph M. und HESHMAT, Hooshang. Steady-State Stiffness of Foil Air Journal

Bearings at Elevated Temperatures. Tribology Transactions. Januar 2001. 44(3),

489–493. doi:10.1080/10402000108982486.

14. PENG, Z.-C. und KHONSARI, M. M. Hydrodynamic Analysis of Compliant Foil

Bearings With Compressible Air Flow. Journal of Tribology. 1 Juli 2004. 126(3),

542–546. doi:10.1115/1.1739242.

15. GENG, Haipeng, QI, Shemiao und YU, Lie. Numerical Calculation of the

Structural Stiffness of Gas Foil Bearings. In: Volume 6: Structures and Dynamics,

Parts A and B [online]. Glasgow, UK: ASMEDC, 10 Oktober 2010. S.235–240.

ISBN978-0-7918-4401-4.

16. HOFFMANN, Robert, PRONOBIS, Tomasz und LIEBICH, Robert. A numerical

performance analysis of a gas foil bearing including structural modiﬁcations by

applying metal shims. In: 11th International Conference on Vibrations in Rotating

Machines. Magdeburg, Deutschland, 23 Februar 2015. S.13.

17. LARSEN, Jon Steffen und SANTOS, Ilmar. Compliant Foil Journal Bearings -

Investigation of Dynamic Properties. In: SIRM 2013 : 10th International

Conference on Vibrations in Rotating Machines [online]. 2013.

18. KIM, Tae Ho und SAN ANDRÉS, Luis. Heavily Loaded Gas Foil Bearings: A

Model Anchored to Test Data. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power.

1 Januar 2008. 130(1), 012504. doi:10.1115/1.2770494.

19. KIM, Daejong. Parametric Studies on Static and Dynamic Performance of Air Foil

Bearings with Different Top Foil Geometries and Bump Stiffness Distributions.

Journal of Tribology. 1 April 2007. 129(2), 354–364. doi:10.1115/1.2540065.

20. SALEHI, Mohsen und HESHMAT, Hooshang. On the Fluid Flow and Thermal

Analysis of a Compliant Surface Foil Bearing and Seal. Tribology Transactions.

Januar 2000. 43(2), 318–324. doi:10.1080/10402000008982346.

21. PENG, Z-C. und KHONSARI, M. M. A Thermohydrodynamic Analysis of Foil

Journal Bearings. Journal of Tribology. 1 Juli 2006. 128(3), 534–541.

doi:10.1115/1.2197526.

22. LEE, Donghyun und KIM, Daejong. Thermohydrodynamic Analyses of Bump Air

Foil Bearings With Detailed Thermal Model of Foil Structures and Rotor. Journal

of Tribology. 1 April 2010. 132(2), 021704. doi:10.1115/1.4001014.

23. SAN ANDRÉS, Luis und KIM, Tae Ho. Thermohydrodynamic Analysis of Bump

Type Gas Foil Bearings: A Model Anchored to Test Data. Journal of Engineering

for Gas Turbines and Power [online]. 1 April 2010. 132(4). doi:10.1115/1.3159386.

24. FENG, Kai und KANEKO, Shigehiko. A Thermohydrodynamic Sparse Mesh

Model of Bump-Type Foil Bearings. Journal of Engineering for Gas Turbines and

Power. 1 Februar 2013. 135(2), 022501. doi:10.1115/1.4007728.

200

Literaturverzeichnis

25. SIM, Kyuho und KIM, Tae Ho. Thermohydrodynamic analysis of bump-type gas

foil bearings using bump thermal contact and inlet flow mixing models. Tribology

International. April 2012. 48, 137–148. doi:10.1016/j.triboint.2011.11.017.

26. CHANDRA, M., MALIK, M. und SINHASAN, R. Gas bearings part I: Dynamic

analysis and solution method. Wear. Juli 1983. 88(3), 255–268. doi:10.1016/0043-

1648(83)90297-1.

27. HARRISON, W. J. The hydrodynamical theory of lubrication with special reference

to air as a lubricant. [online]. Cambridge: Univ. press, 1913. Transactions of the

Cambridge philosophical society.

28. KATTO, Y. und SODA, N. Theory of lubrication by compressible fluids with

special reference to air lubrication. In: Proc. 2nd Jpn. Congr. on Applied Mechanics.

Tokyo, 1952. S.267–270.

29. AUSMAN, J. S. An Improved Analytical Solution for Self-Acting, Gas-Lubricated

Journal Bearings of Finite Length. Journal of Basic Engineering. 1 Juni 1961. 83(2),

188–192. doi:10.1115/1.3658920.

30. STERNLICHT, B. und ELWELL, R. Theoretical and Experimental Analysis of

Hydrodynamic Gas-Lubricated Journal Bearings. Tans. ASME. 1958. 80, 865–875.

31. RAIMONDI, A. A. A Numerical Solution for the Gas Lubricated Full Journal

Bearing of Finite Length. ASLE Transactions. Januar 1961. 4(1), 131–155.

doi:10.1080/05698196108972427.

32. CHENG, H. S. und TRUMPLER, P. R. Stability of the High-Speed Journal Bearing

Under Steady Load: 2—The Compressible Film. Journal of Engineering for

Industry. 1 August 1963. 85(3), 274–279. doi:10.1115/1.3669860.

33. CHENG, H. S. und PAN, C. H. Stability Analysis Of Gas Lubricated Self-Acting

Plain Cylindrical Journal Bearings Of Finite Length, Using Galerkin’s Method

[online]. Mechanical Technology Inc Latham Ny, 1963.

34. PAN, C. H. T. 64TR58: Spectral Analysis Of Gas Bearing Systems For Stability

Studies [online]. Mechanical Technology Inc Latham Ny, 1964.

35. LUND, J. W. Calculation of Stiffness and Damping Properties of Gas Bearings.

Journal of Lubrication Technology. 1 Oktober 1968. 90(4), 793–803.

doi:10.1115/1.3601723.

36. DELLACORTE, Christopher. Technical Development Path for Foil Gas Bearings.

In: International Joint Tribology Conference [online]. Miami, FL, United States, 20

Oktober 2008.

37. DELLACORTE, Christopher. Technical Development Path for Gas Foil Bearings.

[online]. 20 Juni 2016.

38. SAN ANDRÉS, Luis, CHIRATHADAM, Thomas Abraham und KIM, Tae-Ho.

Measurement of Structural Stiffness and Damping Coefficients in a Metal Mesh

Foil Bearing. In: Structures and Dynamics, Parts A and B [online]. Orlando,

Florida, USA, 8 Juni 2009. S.763–771. ISBN978-0-7918-4887-6.

201

Literaturverzeichnis

39. SAN ANDRÉS, Luis und CHIRATHADAM, Thomas Abraham. A Metal Mesh Foil

Bearing and a Bump-Type Foil Bearing: Comparison of Performance for Two

Similar Size Gas Bearings. In: Structures and Dynamics, Parts A and B [online].

Copenhagen, Denmark, 11 Juni 2012. S.859–869. ISBN978-0-7918-4473-1.

40. KU, C.-P. Roger und HESHMAT, H. Compliant Foil Bearing Structural Stiffness

Analysis: Part I—Theoretical Model Including Strip and Variable Bump Foil

Geometry. Journal of Tribology. 1 April 1992. 114(2), 394–400.

doi:10.1115/1.2920898.

41. HESHMAT, H. Advancements in the Performance of Aerodynamic Foil Journal

Bearings: High Speed and Load Capability. Journal of Tribology. 1 April 1994.

116(2), 287–294. doi:10.1115/1.2927211.

42. HESHMAT, H., WALOWIT, J. A. und PINKUS, O. Analysis of Gas Lubricated

Compliant Thrust Bearings. Journal of Lubrication Technology. 1 Oktober 1983.

105(4), 638–646. doi:10.1115/1.3254696.

43. LEHN, Andreas. Air foil thrust bearings: A thermo-elasto-hydrodynamic analysis

[online]. Dissertation. Darmstadt: Technische Universität Darmstadt, 2017.

44. PRONOBIS, Tomasz. Dynamisches Verhalten von Rotoren in axialen

Gasfolienlagern - Eine numerische Untersuchung. Dissertation. Berlin: Technische

Universität Berlin, 2021. (noch nicht veröffentlicht)

45. WALOWIT, J. A. und ANNO, James N. Modern developments in lubrication

mechanics. London: Applied Science Publishers, 1975. ISBN978-0-85334-592-3.

TJ1075 .W34 1975

46. KU, C.-P. Roger und HESHMAT, Hooshang. Compliant Foil Bearing Structural

Stiffness Analysis—Part II: Experimental Investigation. Journal of Tribology. 1 Juli

1993. 115(3), 364–369. doi:10.1115/1.2921644.

47. PENG, J.-P. und CARPINO, M. Calculation of Stiffness and Damping Coefficients

for Elastically Supported Gas Foil Bearings. Journal of Tribology. 1 Januar 1993.

115(1), 20–27. doi:10.1115/1.2920982.

48. SAN ANDRÉS, Luis. Turbulent Flow Foil Bearings for Cryogenic Applications.

Journal of Tribology. 1 Januar 1995. 117(1), 185–195. doi:10.1115/1.2830598.

49. IORDANOFF, I. Analysis of an Aerodynamic Compliant Foil Thrust Bearing:

Method for a Rapid Design. Journal of Tribology. 1 Oktober 1999. 121(4), 816–

822. doi:10.1115/1.2834140.

50. SAN ANDRÉS, Luis und KIM, Tae Ho. Analysis of gas foil bearings integrating FE

top foil models. Tribology International. Januar 2009. 42(1), 111–120. doi:10.1016/

j.triboint.2008.05.003.

51. RUSCITTO, D., MC CORMICK, J. und GRAY, S. NASA-CR-135368, CONS/9427-

1: Hydrodynamic air lubricated compliant surface bearing for an automotive gas

turbine engine. 1: Journal bearing performance [online]. Latham, NY, United States:

Mechanical Technology, Inc., 1978. Technical Report.

202

Literaturverzeichnis

52. LE LEZ, Sébastien, ARGHIR, Mihaï und FRÊNE, Jean. A New Bump-Type Foil

Bearing Structure Analytical Model. Journal of Engineering for Gas Turbines and

Power. 1 Oktober 2007. 129(4), 1047–1057. doi:10.1115/1.2747638.

53. LE LEZ, Sébastien, ARGHIR, Mihaï und FRÊNE, Jean. A Dynamic Model for

Dissipative Structures used in Bump-Type Foil Bearings. Tribology Transactions.

22 Dezember 2008. 52(1), 36–46. doi:10.1080/10402000802065345.

54. FENG, Kai und KANEKO, Shigehiko. Analytical Model of Bump-Type Foil

Bearings Using a Link-Spring Structure and a Finite-Element Shell Model. Journal

of Tribology. 1 April 2010. 132(2), 021706. doi:10.1115/1.4001169.

55. ARGHIR, Mihaï und BENCHEKROUN, Omar. A simplified structural model of

bump-type foil bearings based on contact mechanics including gaps and friction.

Tribology International. 1 Juni 2019. 134, 129–144.

doi:10.1016/j.triboint.2019.01.038.

56. ARGHIR, Mihaï und BENCHEKROUN, Omar. A New Structural Bump Foil

Model With Application From Start-Up to Full Operating Conditions. Journal of

Engineering for Gas Turbines and Power [online]. 1 Oktober 2019. 141(10).

doi:10.1115/1.4044685.

57. LEE, Dong-Hyun, KIM, Young-Cheol und KIM, Kyung-Woong. The Dynamic

Performance Analysis of Foil Journal Bearings Considering Coulomb Friction:

Rotating Unbalance Response. Tribology Transactions. 13 Februar 2009. 52(2),

146–156. doi:10.1080/10402000802192685.

58. LARSEN, Jon S., VARELA, Alejandro C. und SANTOS, Ilmar F. Numerical and

experimental investigation of bump foil mechanical behaviour. Tribology

International. Juni 2014. 74, 46–56. doi:10.1016/j.triboint.2014.02.004.

59. LEHN, Andreas, MAHNER, Marcel und SCHWEIZER, Bernhard. Elasto-

gasdynamic modeling of air foil thrust bearings with a two-dimensional shell

model for top and bump foil. Tribology International. August 2016. 100, 48–59.

doi:10.1016/j.triboint.2015.11.011.

60. BIN HASSAN, M.F. und BONELLO, P. A new modal-based approach for

modelling the bump foil structure in the simultaneous solution of foil-air bearing

rotor dynamic problems. Journal of Sound and Vibration. Mai 2017. 396, 255–273.

doi:10.1016/j.jsv.2017.02.028.

61. PENG, J.-P. und CARPINO, M. Finite Element Approach to the Prediction of Foil

Bearing Rotor Dynamic Coefficients. Journal of Tribology. 1 Januar 1997. 119(1),

85–90. doi:10.1115/1.2832484.

62. CARPINO, Marc und TALMAGE, Gita. Prediction of Rotor Dynamic Coefficients

in Gas Lubricated Foil Journal Bearings with Corrugated Sub-Foils. Tribology

Transactions. September 2006. 49(3), 400–409. doi:10.1080/10402000600781416.

63. KIM, Tae Ho und ANDRÉS, Luis San. Analysis of advanced gas foil bearings with

piecewise linear elastic supports. Tribology International. August 2007. 40(8),

1239–1245. doi:10.1016/j.triboint.2007.01.022.

203

Literaturverzeichnis

64. HESHMAT, Hooshang und KU, C.-P. Roger. Structural Damping of Self-Acting

Compliant Foil Journal Bearings. Journal of Tribology. 1 Januar 1994. 116(1), 76–

82. doi:10.1115/1.2927050.

65. KU, C. P. Roger und HESHMAT, H. Effects of Static Load on Dynamic Structural

Properties in a Flexible Supported Foil Journal Bearing. Journal of Vibration and

Acoustics. 1 Juli 1994. 116(3), 257–262. doi:10.1115/1.2930422.

66. KU, C.-P. Roger und HESHMAT, Hooshang. Effects of Frequency on Structural

Stiffness and Damping in a Self-Acting Compliant Foil Journal Bearing. In:

Volume 5: Manufacturing Materials and Metallurgy; Ceramics; Structures and

Dynamics; Controls, Diagnostics and Instrumentation; Education; General [online].

The Hague, Netherlands: American Society of Mechanical Engineers, 13 Juni 1994.

S.V005T14A015. ISBN978-0-7918-7887-3.

67. SCHIFFMANN, J. und SPAKOVSZKY, Z. S. Foil Bearing Design Guidelines for

Improved Stability. Journal of Tribology. 1 Januar 2013. 135(1), 011103.

doi:10.1115/1.4007759.

68. ANDRÉS, Luis San und KIM, Tae Ho. Forced nonlinear response of gas foil

bearing supported rotors. Tribology International. August 2008. 41(8), 704–715.

doi:10.1016/j.triboint.2007.12.009.

69. HOFFMANN, Robert, PRONOBIS, Tomasz und LIEBICH, Robert. Non-linear

Stability Analysis of a Modified Gas Foil Bearing Structure. In: PENNACCHI,

Paolo (Hrsg.), Proceedings of the 9th IFToMM International Conference on Rotor

Dynamics [online]. Cham: Springer International Publishing, 2015. S.1259–1276.

Mechanisms and Machine Science. ISBN978-3-319-06589-2.

70. HOFFMANN, Robert, MUNZ, Oliver, PRONOBIS, Tomasz, BARTH, Enrico und

LIEBICH, Robert. A valid method of gas foil bearing parameter estimation: A

model anchored on experimental data. Proceedings of the Institution of Mechanical

Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. Dezember 2018.

232(24), 4510–4527. doi:10.1177/0954406216667966.

71. LARSEN, Jon S., SANTOS, Ilmar F. und VON OSMANSKI, Sebastian. Stability of

rigid rotors supported by air foil bearings: Comparison of two fundamental

approaches. Journal of Sound and Vibration. Oktober 2016. 381, 179–191.

doi:10.1016/j.jsv.2016.06.022.

72. VON OSMANSKI, Sebastian, LARSEN, Jon S. und SANTOS, Ilmar F. The

Classical Linearization Technique’s Validity for Compliant Bearings. In:

CAVALCA, Katia Lucchesi und WEBER, Hans Ingo (Hrsg.), Proceedings of the

10th International Conference on Rotor Dynamics – IFToMM [online]. Cham:

Springer International Publishing, 2019. S.177–191. Mechanisms and Machine

Science. ISBN978-3-319-99261-7.

73. PRONOBIS, Tomasz und LIEBICH, Robert. Comparison of stability limits

obtained by time integration and perturbation approach for Gas Foil Bearings.

204

Literaturverzeichnis

Journal of Sound and Vibration. Oktober 2019. 458, 497–509.

doi:10.1016/j.jsv.2019.06.034.

74. VON OSMANSKI, Sebastian, LARSEN, Jon S. und SANTOS, Ilmar F. Multi-

domain stability and modal analysis applied to Gas Foil Bearings: Three

approaches. Journal of Sound and Vibration. April 2020. 472, 115174. doi:10.1016/

j.jsv.2020.115174.

75. SALEHI, Mohsen, SWANSON, Erik und HESHMAT, Hooshang. Thermal

Features of Compliant Foil Bearings—Theory and Experiments. Journal of

Tribology. 1 Juli 2001. 123(3), 566–571. doi:10.1115/1.1308038.

76. RADIL, Kevin, HOWARD, Samuel A. und DYKAS, Brian. ARL-TR-2769: The Role

of Radial Clearance on the Performance of Foil Air Bearings [online]. Technical

Report. Cleveland, Ohio: U.S. Army Research Laborator, Glenn Research Center,

2002.

77. DYKAS, Brian und HOWARD, Samuel A. Journal Design Considerations for

Turbomachine Shafts Supported on Foil Air Bearings. Tribology Transactions.

Januar 2004. 47(4), 508–516. doi:10.1080/05698190490493391.

78. RADIL, Kevin und ZESZOTEK, Michelle. An Experimental Investigation into the

Temperature Profile of a Compliant Foil Air Bearing. Tribology Transactions.

Januar 2004. 47(4), 470–479. doi:10.1080/05698190490501995.

79. KIM, Tae Ho, SONG, Jin Woo, LEE, Yong-Bok und SIM, Kyuho. Thermal

Performance Measurement of a Bump Type Gas Foil Bearing Floating on a Hollow

Shaft for Increasing Rotating Speed and Static Load. Journal of Engineering for Gas

Turbines and Power. 1 Februar 2012. 134(2), 024501. doi:10.1115/1.4004401.

80. HOWARD, Samuela, DELLACORTE, Christopher, VALCO, Mark J., PRAHL,

Joseph M. und HESHMAT, Hooshang. Dynamic Stiffness and Damping

Characteristics of a High-Temperature Air Foil Journal Bearing. Tribology

Transactions. Januar 2001. 44(4), 657–663. doi:10.1080/10402000108982507.

81. LEE, Yong-Bok, JO, Jun-Hyeon, PARK, Dong-Jin, KIM, Chang-Ho und RHIM,

Yoon-Chul. Dynamic Characteristics of Bump Foils Considering With Thermal

Effect in Air Foil Bearings. In: Part B: Magnetic Storage Tribology; Manufacturing/

Metalworking Tribology; Nanotribology; Engineered Surfaces; Biotribology;

Emerging Technologies; Special Symposia on Contact Mechanics; Special Symposium

on Nanotribology [online]. San Antonio, Texas, USA: ASME, 2006. S.1327–1335.

ISBN978-0-7918-4259-1.

82. SIM, Kyuho, LEE, Yong-Bok, SONG, Jin Woo, KIM, Jong-Baeg und KIM, Tae Ho.

Identification of the dynamic performance of a gas foil journal bearing operating

at high temperatures. Journal of Mechanical Science and Technology. Januar 2014.

28(1), 43–51. doi:10.1007/s12206-013-0945-6.

83. RADIL, Kevin, DELLACORTE, Chris und ZESZOTEK, Michelle. Thermal

Management Techniques for Oil-Free Turbomachinery Systems. Tribology

Transactions. 26 Juni 2007. 50(3), 319–327. doi:10.1080/10402000701413497.

205

Literaturverzeichnis

84. RADIL, Kevin und BATCHO, CDT Zach. ARL-MR-0749: A Novel Thermal

Management Approach for Radial Foil Air Bearings. Cleveland, Ohio, USA:

National Aeronautics And Space Administration, Glenn Research Center, 2010.

85. SAN ANDRÉS, Luis, RYU, Keun und KIM, Tae Ho. Thermal Management and

Rotordynamic Performance of a Hot Rotor-Gas Foil Bearings System—Part I:

Measurements. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1 Juni 2011.

133(6), 062501. doi:10.1115/1.4001826.

86. ELROD, JR., Harold G. und BURGDORFER, Albert. I-A2049-10: Refinements of

the Theory of the infinitely-long, self-acting, gas-lubricated Journal Bearing. Interim

Report. Philadelphia, Pennsylvania, USA: The Franklin Institute, 1960.

87. PINKUS, Oscar und BUPARA, Sargit S. Adiabatic Solutions for Finite Journal

Bearings. Journal of Lubrication Technology. 1 Oktober 1979. 101(4), 492–496.

doi:10.1115/1.3453400.

88. SIM, Kyuho und KIM, Daejong. Thermohydrodynamic Analysis of Compliant

Flexure Pivot Tilting Pad Gas Bearings. Journal of Engineering for Gas Turbines

and Power. 1 Mai 2008. 130(3), 032502. doi:10.1115/1.2836616.

89. KNIGHT, J. D. und BARRETT, L. E. Analysis of Tilting Pad Journal Bearings With

Heat Transfer Effects. Journal of Tribology. 1 Januar 1988. 110(1), 128–133.

doi:10.1115/1.3261550.

90. FENG, Kai und KANEKO, Shigehiko. Thermohydrodynamic Study of

Multiwound Foil Bearing Using Lobatto Point Quadrature. Journal of Tribology. 1

April 2009. 131(2), 021702. doi:10.1115/1.3070579.

91. SAN ANDRÉS, Luis, RYU, Keun und KIM, Tae Ho. Thermal Management and

Rotordynamic Performance of a Hot Rotor-Gas Foil Bearings System—Part II:

Predictions Versus Test Data. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1

Juni 2011. 133(6), 062502. doi:10.1115/1.4001827.

92. LEE, Donghyun, KIM, Daejong und SADASHIVA, Ramesh P. Transient Thermal

Behavior of Preloaded Three-Pad Foil Bearings: Modeling and Experiments.

Journal of Tribology. 1 April 2011. 133(2), 021703. doi:10.1115/1.4003561.

93. LEHN, Andreas, MAHNER, Marcel und SCHWEIZER, Bernhard. A Contribution

to the Thermal Modeling of Bump Type Air Foil Bearings: Analysis of the Thermal

Resistance of Bump Foils. Journal of Tribology. 1 November 2017. 139(6), 061702.

doi:10.1115/1.4036631.

94. PAULSEN, Bo Terp, MOROSI, Stefano und SANTOS, Ilmar F. Static, Dynamic,

and Thermal Properties of Compressible Fluid Film Journal Bearings. Tribology

Transactions. 10 Januar 2011. 54(2), 282–299. doi:10.1080/10402004.2010.538490.

95. DOWSON, D., HUDSON, J. D., HUNTER, B. und MARCH, C. N. Paper 3: An

Experimental Investigation of the Thermal Equilibrium of Steadily Loaded Journal

Bearings. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Conference

Proceedings. Juni 1966. 181(2), 70–80.

doi:10.1243/PIME_CONF_1966_181_034_02.

206

Literaturverzeichnis

96. ARGHIR, Mihaï, LE LEZ, Sébastien und FRÊNE, Jean. Finite-volume solution of

the compressible Reynolds equation: Linear and non-linear analysis of gas

bearings. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of

Engineering Tribology. Juli 2006. 220(7), 617–627. doi:10.1243/13506501JET161.

97. HAMROCK, Bernard J., SCHMID, Steven R. und JACOBSON, Bo O.

Fundamentals of fluid film lubrication. 2nd ed. New York: Marcel Dekker, 2004.

Mechanical Engineering, 169. ISBN978-0-8247-5371-9. TJ1063 .H35 2004

98. MOROSI, Stefano und SANTOS, Ilmar F. No. S137: From Hybrid to Actively-

Controlled Gas Lubricated Bearings – Theory and Experiment. DCAMM Special

Report. Lyngby, Denmark: DTU Mechanical Engineering, 2011.

99. RUBIO, Dario und SAN ANDRÉS, Luis. Structural Stiffness, Dry Friction

Coefficient, and Equivalent Viscous Damping in a Bump-Type Foil Gas Bearing.

Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1 April 2007. 129(2), 494–502.

doi:10.1115/1.2360602.

100. KU, C.-P. Roger. Dynamic Structural Properties of Compliant Foil Thrust Bearings

- Comparison Between Experimental and Theoretical Results. Journal of Tribology.

1 Januar 1994. 116(1), 70–75. doi:10.1115/1.2927049.

101. Modified Akima piecewise cubic Hermite interpolation - MATLAB makima -

MathWorks Deutschland. [online].

https://de.mathworks.com/help/matlab/ref/makima.html

102. TIMOSHENKO, Stepan P. und GOODIER, James N. Theory of elasticity. 3. ed.,

McGraw-Hill classic textbook reissue. New York: McGraw-Hill, 1987. Engineering

societies monographs. ISBN978-0-07-064720-6.

103. VEREIN DEUTSCHER INGENIEURE und VDI-GESELLSCHAFT

VERFAHRENSTECHNIK UND CHEMIEINGENIEURWESEN (Hrsg.). VDI-

Wärmeatlas: mit 320 Tabellen. 11., bearb. und erw. Aufl. Berlin: Springer Vieweg,

2013. Springer Reference. ISBN978-3-642-19980-6.

104. KEDIA, Rajesh. An investigation of velocity and temperature fields in Taylor-

Couette flows. Thesis. Pasadena, California, USA: California Institute of

Technology, 1997.

105. GERSTEN, Klaus und HERWIG, Heinz. Strömungsmechanik: Grundlagen der

Impuls-, Wärme- und Stoffübertragung aus asymptotischer Sicht. Nachdr.

Wiesbaden: Vieweg & Teubner, 2014. Grundlagen und Fortschritte der

Ingenieurwissenschaften. ISBN978-3-322-93971-5.

106. GEROPP, D. Der turbulente Wärmeübergang am rotierenden Zylinder. Ingenieur-

Archiv. 1 Juli 1969. 38(4), 195–203. doi:10.1007/BF00536164.

107. DORFMAN, L. A. Hydrodynamic resistance and the heat loss of rotating solids.

Edinburgh: Oliver & Boyd, 1963. ISBN978-0-05-000837-9.

108. THEODORSEN, Theodore und REGIER, Arthur. NACA-TR-793: Experiments on

Drag of Revolving Disks, Cylinders, and Streamline Rods at High Speeds [online].

207

Literaturverzeichnis

Technical Report. Langley Field, VA, United States: National Advisory Committee

for Aeronautics. Langley Aeronautical Lab., 1944.

109. GSCHWENDTNER, M. A. The Eckert number phenomenon: Experimental

investigations on the heat transfer from a moving wall in the case of a rotating

cylinder. Heat and Mass Transfer. 1 Mai 2004. 40(6), 551–559.

doi:10.1007/s00231-003-0437-9.

110. GSCHWENDTNER, M. A. The Eckert number phenomenon - an experimental

investigation of the heat transfer from a rotating cylinder in a cross-flow. In:

Proceedings of the International Conference on Advances in Heat Transfer [online].

Karunya, India: Macmillan (India), 2006. S.219–225.

111. SPRENGER, Martin. Strömungs- und Wärmeübergangseffekte an der rotierenden

temperierten Zylinderwelle unter Beachtung von Geometrieeinflüssen [online].

Monografie. München: Univ. der Bundeswehr, 2006.

112. CARDONE, G., ASTARITA, T. und CARLOMAGNO, G. M. Heat Transfer

Measurements on a Rotating Disk. International Journal of Rotating Machinery.

1997. 3(1), 1–9. doi:10.1155/S1023621X97000018.

113. SEGHIR-OUALI, S., SAURY, D., HARMAND, S., PHILLIPART, O. und LALOY,

D. Convective heat transfer inside a rotating cylinder with an axial air flow.

International Journal of Thermal Sciences. 1 Dezember 2006. 45(12), 1166–1178.

doi:10.1016/j.ijthermalsci.2006.01.017.

114. YOVANOVICH, M. Michael und JAFARPUR, Khosrow. Bounds on Laminar

Natural Convection from Isothermal Disks and Finite Plates of Arbitrary Shape

for all Orientations and Prandtl Numbers. In: ASME Winter Annual Meeting. New

Orleans, Louisiana: HTD-Vol. 264, 28 Dezember 1993.

115. FERZIGER, J. H. und PERIĆ, M. Numerische Strömungsmechanik [online]. Berlin,

Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. ISBN978-3-540-67586-0.

116. ENGBLOM, Stefan. stefanengblom/stenglib. stenglib [online]. 9 Mai 2020. https://

github.com/stefanengblom/stenglib

117. REEVES, Greg. smooth2a. [online].

https://de.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/23287-smooth2a

118. PATANKAR, Suhas V. Numerical heat transfer and fluid flow. New York:

Hemisphere Publ. Co, 1980. Series in computational methods in mechanics and

thermal sciences. ISBN978-0-89116-522-4.

119. VERSTEEG, H. K. und MALALASEKERA, W. An introduction to computational

fluid dynamics: the finite volume method. 2nd ed. Harlow, England ; New York:

Pearson Education Ltd, 2007. ISBN978-0-13-127498-3. QA911 .V47 2007

120. GARCIA, Damien. Simpson’s rule for numerical integration. [online].

https://de.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/25754-simpson-s-rule-for-

numerical-integration

208

Literaturverzeichnis

121. NELDER, J. A. und MEAD, R. A Simplex Method for Function Minimization. The

Computer Journal. 1 Januar 1965. 7(4), 308–313. doi:10.1093/comjnl/7.4.308.

122. LAGARIAS, Jeffrey, REEDS, James, WRIGHT, Margaret und WRIGHT, Paul.

Convergence Properties of the Nelder–Mead Simplex Method in Low Dimensions.

SIAM Journal on Optimization. 21 Dezember 1998. 9, 112–147.

doi:10.1137/S1052623496303470.

123. LUERSEN, M.A., LE RICHE, R. und GUYON, F. A constrained, globalized, and

bounded Nelder–Mead method for engineering optimization. Structural and

Multidisciplinary Optimization. 1 Mai 2004. 27(1), 43–54. doi:10.1007/s00158-

003-0320-9.

124. PRICE, C. J., COOPE, I. D. und BYATT, D. A Convergent Variant of the Nelder–

Mead Algorithm. Journal of Optimization Theory and Applications. 1 April 2002.

113(1), 5–19. doi:10.1023/A:1014849028575.

125. BŰRMEN, Árpád, PUHAN, Janez und TUMA, Tadej. Grid Restrained Nelder–

Mead Algorithm. Computational Optimization and Applications. Juli 2006. 34(3),

359–375. doi:10.1007/s10589-005-3912-z.

126. KOSHEL, R. John. Enhancement of the downhill simplex method of optimization.

In: International Optical Design Conference [online]. Tucson, Arizona: OSA, 2002.

S.ITuC2. ISBN978-1-55752-714-1.

127. VON OSMANSKI, Sebastian, LARSEN, Jon S. und SANTOS, Ilmar F. A fully

coupled air foil bearing model considering friction – Theory & Experiment.

Journal of Sound and Vibration. Juli 2017. 400, 660–679.

doi:10.1016/j.jsv.2017.04.008.

128. MSI - Foil Bearings by Mechanical Solutions Inc. Testing & Troubleshooting.

[online]. https://energy-xprt.com/products/msi-foil-bearings-171194

129. DJOKO KAYO, Gervais Cédric. Experimentelle Untersuchungen des dynamischen

Verhaltens von Gasfolienlagern und dessen konstruktive Beeinflussbarkeit.

Dissertation. Berlin: Technische Universität Berlin, 2021. (noch nicht

veröffentlicht)

130. LARSEN, Jon Steffen. Nonlinear Analysis of Rotors Supported by Air Foil Journal

Bearings – Theory and Experiments [online]. DTU Mechanical Engineering, 2014.

ISBN978-87-7475-402-2.

131. KU, C.-P. Roger. An Experimental and Theoretical Study of the Dynamic

Structural Stiffness in Compliant Foil Journal Bearings. In: ASME 14th Biennial

Conference on Mechanical Vibration and Noise. Albuquerque, 1993.

132. GASCH, Robert, NORDMANN, Rainer und PFÜTZNER, Herbert. Rotordynamik.

Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. ISBN978-3-540-33884-0.

133. FENG, Kai, LIU, Liang-Jun, GUO, Zhi-Yang und ZHAO, Xue-Yuan. Parametric

study on static and dynamic characteristics of bump-type gas foil thrust bearing

for oil-free turbomachinery. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,

209

Literaturverzeichnis

Part J: Journal of Engineering Tribology. Oktober 2015. 229(10), 1247–1263.

doi:10.1177/1350650115577026.

134. GAD, Abdelrasoul M. und KANEKO, Shigehiko. Performance characteristics of

gas-lubricated bump-type foil thrust bearing. Proceedings of the Institution of

Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology. Juni 2015. 229(6),

746–762. doi:10.1177/1350650114564709.

135. KIM, Tae Ho, LEE, Yong-Bok, KIM, Tae Young und JEONG, Kyong Ho.

Rotordynamic Performance of an Oil-Free Turbo Blower Focusing on Load

Capacity of Gas Foil Thrust Bearings. Journal of Engineering for Gas Turbines and

Power. 1 Februar 2012. 134(2), 022501. doi:10.1115/1.4004143.

136. STROM, Thomas. NASA CR-180891: Advanced Gas Turbine (AGT) technology

development project [online]. Final Report. Lewis Research Center, Cleveland,

Ohio, 1987.

137. FLEGEL, Christian. Konzept und Implementierung einer grafischen

Benutzeroberfläche zur Durchführung und Auswertung eines ingenieurtechnischen

Simulationsverfahrens für Gasfolienlager. Masterarbeit. Berlin: Technische

Universität Berlin, 2020.

138. LEE, Yong-Bok, KWAK, Hyun-Duck, KIM, Chang-Ho und LEE, Nam-Soo.

Numerical prediction of slip flow effect on gas-lubricated journal bearings for

MEMS/MST-based micro-rotating machinery. Tribology International. Februar

2005. 38(2), 89–96. doi:10.1016/j.triboint.2004.01.003.

139. Special Metals Incoloy A-286. [online]. 25 Juni 2020.

http://216.71.103.52/documents/Incoloy%20alloy%20A-286.pdf

140. Special Metals Incoloy 718. [online]. 25 Juni 2020. https://www.specialmetals.com/

assets/smc/documents/inconel_alloy_718.pdf

141. Dr. Sommer Werkstofftechnik 42CrMo4. [online]. 25 Juni 2020.

https://marktspiegel.werkstofftechnik.com/fileadmin/_dr.sommer_werkstofftechni

k/pdf/software/42CrMo4_1_7225.pdf

142. Special Metals Inconel X750. [online]. 25 Juni 2020.

https://www.specialmetals.com/assets/smc/documents/alloys/inconel/inconel-

alloy-x-750.pdf

143. Acidur X5CrNi18-10. DEW-Stahl Acidur X5CrNi18-10 [online]. https://www.dew-

stahl.com/fileadmin/files/dew-stahl.com/documents/Publikationen/

Werkstoffdatenblaetter/RSH/1.4301_de.pdf

144. Thyssen Krupp S235. [online]. 25 Juni 2020.

https://de.materials4me.com/media/pdf/e7/7d/30/Werkstoffdatenblatt_zum_Werk

stoff_S235JR.pdf

145. Dörrenberg Edelstahl 1.7225. [online]. 7 Juni 2020.

https://www.doerrenberg.de/wp-content/uploads/2020/02/1.7225_de_01.pdf

210

Literaturverzeichnis

146. Abrams Premium Stahl 1.7225. [online]. 7 Juni 2020. http://www.premium-

stahl.de/images/filedownloads/de/datenblaetter/1.7225.pdf

147. Downhill-Simplex-Verfahren. Wikipedia [online]. 24 April 2020.

https://de.wikipedia.org/wiki/Downhill-Simplex-Verfahren#/media/Datei:Downhi

llsimplex-flowchart.svg

211

Anhang

213

A Parametrische Erstellung des Verlaufs des nominalen Spalts bei Verwendung von shims

A Parametrische Erstellung des Verlaufs des

nominalen Spalts bei Verwendung von shims

Die Verwendung von shims (dünne Metallplättchen) verspricht eine einfache Möglich-

keit die Stabilität eines GFL verbessern. Dies wird in Kapitel 6.3.2 gezeigt. Dazu werden

die shims unter die bump foil geschoben und dadurch lokal der nominale Spalt verrin-

gert. Da der Verbund aus top und bump foil noch über den shims liegt, wird die Verrin-

gerung nicht in harten Stufen erfolgen, sondern die bump und top foil werden einem ge-

wissen Verlauf folgen. Wie dieser Verlauf genau aussehen wird, ist nicht einfach zu be-

stimmen. Im Programmcode wird die zur Beschreibung des Verlaufs verwendete Funk-

tion cθ(θ) deshalb vollständig parametrisiert erstellt. Nicht nur die Anzahl, sondern auch

die Länge, Dicke und die Lage sowie der Übergang können variiert werden. Einzige

Voraussetzung ist, dass die Anzahl der Knoten in θ-Richtung Nθ ohne Rest durch die

Anzahl der shims teilbar ist. Die Einschränkung sollte aber nie eine Rolle spielen, da si-

cherlich immer deutlich mehr Knoten als shims verwendet werden37. Die Parameter

Länge, Lage und Übergang sind normiert auf einen Bereich zwischen null und eins. Die

Länge wird also indirekt über den Anteil eines shims innerhalb seines Bereichs definiert.

Eine Länge von 0,5 bei zwei shims würde für einen shim bedeuten, dass er ein Viertel

des Umfangs einnimmt. Die Länge umfasst auch die Übergänge. Die Lage (Offset) be-

schreibt die Position innerhalb eines shim-Bereichs. Dabei bedeutet null am Anfang des

Bereichs, und eins eine Position ganz am Ende des Bereichs. Die Vorgabe eines Über-

gangs von null ergibt einen sanften Übergang zwischen dem eigentlich nominalen Spalt

und dem verringerten Bereich. Die Parameter Anzahl und Dicke sind selbsterklärend.

Konkret modelliert wird der shim-Bereich durch die Fensterfunktion eines Tukey-

Fensters aus der Schwingungsmesstechnik. Das Tukey-Fenster wird durch die Laufvari-

able x und dem Anstieg r in der Gl. A.1 definiert.

(A.1)

37 Wird die Forderung nicht eingehalten, wird eine beschreibende Fehlermeldung ausgegeben. Die Kno-

tenanzahl kann dann leicht angepasst werden. Es wäre auch möglich die vorgegebene Knotenanzahl

auf die nächstgrößere, ohne Rest durch die Anzahl der shims teilbare Zahl zu runden. Diese Funktio-

nalität ist für Nθ bereits für Berechnungen mit unterteilten bump foils in θ-Richtung implementiert, da

hier auch die Knotenanzahl ohne Rest durch die Anzahl der Unterteilungen teilbar sein muss. Beide

Optionen sollten prinzipiell funktionieren, wurden aber nicht ausgiebig erprobt und deshalb auf die

Rundung für die shims verzichtet, um keine Inkompatibilitäten zu erzeugen.

215

A Parametrische Erstellung des Verlaufs des nominalen Spalts bei Verwendung von shims

In der Abb. A.1 ist eine Variation jedes Parameters und die entsprechende Auswir-

kung auf den Verlauf dargestellt.

216

Abb. A.1: Variation der shim-Parameter und die Auswirkungen auf den Verlauf des nominalen Spalts cθ(θ)

B Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich mit Kapitel 5.2

B Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich

mit Kapitel 5.2

In Kapitel 5.2 werden ausführlich die Einflüsse auf und mögliche Erklärungen für die

Abweichungen zwischen den berechneten Ergebnissen und den Messergebnissen aus

[78] besprochen. In diesem kurzen Kapitel werden nun drei weitere Varianten gezeigt,

um eine noch umfangreichere Einordnung zu erlauben.

In der ersten Variante wird die Randbedingung an den axialen Seitenrändern ange-

passt. Statt der Annahme von Umgebungstemperatur für die in den Unterdruckgebieten

angesaugten Luft wird der Mittelwert zwischen der Wellentemperatur (an dieser Stelle)

und der Umgebungstemperatur verwendet.

(B.1)

Dies führt entsprechend zu etwas höheren Temperaturen als in Kapitel 5.2 dargestellt.

Besonders bei den niedrigeren Drehzahlen 20000min-1 und 30000min-1 verbessert dies

die Übereinstimmung. Für einige der Messpositionen bei den hohen Drehzahlen wer-

217

Abb. B.1: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit anderer Temperaturrandbedingungen an den axialen

Rändern des GFL. Die Filmhöhe ist mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) berechnet.

B Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich mit Kapitel 5.2

den dann aber noch höhere Temperaturen und damit Abweichungen erreicht. Da die

Idee zur Umsetzung dieser Variante erst spät entstand, wurde sie nicht im gleichen

Maße mit weiteren Parametervariationen und -kombinationen getestet, wie die in Kapi-

tel 5.2 dargestellten. Zumal die Wahl des Parameters λax,suc mit 0,5 nur willkürlich er-

folgt. Prinzipiell wäre, zur Variation des Mischungsverhältnisses zwischen Umgebungs-

temperatur und Wellentemperatur, auch jeder andere Wert zwischen 0 und 1 für den

Faktor denkbar. Der Programmcode ist deshalb so gestaltet, dass dieser Faktor bei der

Definition der solver-Einstellungen vorgegeben werden kann und es steht damit frei die-

sen Faktor durch die automatisierte solver-Einstellungsvariationsroutine für viele Werte

berechnen zu lassen.

Die nächste Variante zeigt die Ergebnisse für eine Berechnung mit Annahme der top

und bump foil Befestigung am Ende des GFL: Die Welle dreht sich als auf die Befesti-

gung zu. Die Ergebnisse unterscheiden sich nur minimal von den in Kapitel 5.2 gezeig-

ten, weshalb sich hier auf die Ergebnisse für das LeLez-Strukturmodell beschränkt

wird. Auch diese Variante ist als solver-Einstellung implementiert, sodass einfach umge-

schaltet werden kann. Alle dafür notwendigen Anpassungen in den Strukturmodellen

werde vollautomatisiert durchgeführt.

218

Abb. B.2: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit Befestigung von top und bump foil am Ende des GFL. Die

Filmhöhe ist mit dem Le Lez-Strukturmodell (S3) berechnet.

B Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich mit Kapitel 5.2

Die dritte Variante berechnet das GFL unter Annahme einer in fünf Streifen unterteilten

bump foil. Aus einer Abbildung in [78] lässt sich die Anzahl der Streifen schätzen. Die

genaue Unterteilung bleibt und ob und wenn ja welche Geometrieparameter sich zwi-

schen den bump foil-Streifen unterscheiden bleibt unklar. Hier wird angenommen, dass

am Rand des GFL Streifen mit vergrößertem bump-Abstand verwendet werden. Damit

219

Abb. B.3: Links: Steifigkeitsverteilung für das SEFM nach Iordanoff (S2) mit fünf bump-Streifen. Die erhöhte

Steifigkeit des ersten bumps ist deutlich erkennbar. Rechts: Axialer Schnitt durch eine mit dem LeLez-

Strukturmodell berechnete Filmhöhe, ebenfalls fünf bump-Streifen. Einmal mit Berücksichtigung der

temperatur- und fliehkraftbedingten Spaltanpassungen an die Betriebsbedingungen (runde Marker)

und einmal ohne, also reine Durchsenkung der bump foil (eckige Marker).

Abb. B.4: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit fünf bump-Streifen variierender Steifigkeit berechnet mit

dem SEFM nach Iordanoff (S2)

B Weitere Berechnungsvarianten zum Vergleich mit Kapitel 5.2

wird die lokale Steifigkeit zu den Rändern hin verringert. Im Zusammenspiel, mit dem

zum Rand hin abnehmenden Druck, sollte dies für einen axialen Ausgleich der Filmhö-

he sorgen. Würde dieser Ausgleich perfekt gelingen, führt dies zur in Kapitel 5.2 getrof-

fenen Annahme einer über die Breite des Lagers konstanten Durchsenkung. Für das Ior-

danoff-Strukturmodell lässt sich das Feld der verteilten Steifigkeit (in N(m)-3) einfach

im linken Teil der Abb. B.3 darstellen. Für das LeLez-Strukturmodelle ist eine einfache

Darstellung nicht möglich, aber auch für dieses Modelle werden in dieser Variante fünf

individuelle bump-Streifen berechnet. Dies wird rechts in Abb. B.3 gezeigt. Darin wird

ein axialer Schnitt durch die Filmhöhe gezeigt. Die erste Linie (runde Marker) zeigt die

Filmhöhe mit allen Einflüssen, für die zweite Linie (eckige Marker) wird die Spaltverän-

derung während des Betriebs herausgerechnet, es verbleibt die Filmhöhe aufgrund von

Auslenkung der Welle und Durchsenkung der bump foil. In beiden Verläufen ist die axi-

ale Unterteilung in Streifen schwach erkennbar. Gleichzeitig wird deutlich, wie stark der

Einfluss der Spaltanpassung durch den Betrieb auf die Filmhöhe ist.

Obwohl die Auswirkungen auf die Temperatur überschaubar bleiben, werden den-

noch die Ergebnisse für beide Strukturmodelle gezeigt, da diese hier relativ direkt beein-

flusst werden.

220

Abb. B.5: Vergleich der Berechnungsergebnisse mit fünf bump-Streifen variierender Steifigkeit berechnet mit

dem LeLez-Strukturmodell (S3)

C Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.3

221

Abb. C.1: Vergleich der Lagerschalentemperatur über den Umfang in der Mittelebene mit den Messergebnis-

sen von Kim et al. [79]. Oben für c0 = 40μm, unten für c0 = 70μm. Links das FVM- (Q1), rechts das

Wärmewiderstandsmodell (Q2) der Lagerschale. Berechnet mit dem SEFM nach Iordanoff (S2).

C Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.3

222

Abb. C.2: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der Frontseite des Lagers an

der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete Berechnungsmodelle im Titel.

Abb. C.3: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der Frontseite des Lagers an

der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete Berechnungsmodelle im Titel.

C Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.3

223

Abb. C.4: Vergleich der berechneten Temperaturen entlang der Welle mit den auf der Frontseite des Lagers an

der Welle gemessenen Temperaturen aus [79]. Verwendete Berechnungsmodelle im Titel.

D Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.4

225

Abb. D.1: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0 = 31,8μm für beide Struktur- und Wärmetransportmodelle bei Ta = 15°C

D Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.4

226

Abb. D.2: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0 = 57μm für beide Struktur- und Wärmetransportmodelle bei Ta = 15°C

D Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.4

227

Abb. D.3: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0 = 31,8μm für beide Struktur- und Wärmetransportmodelle bei Ta = 20°C

D Weitere Abbildungen in Ergänzung zu Kapitel 5.4

228

Abb. D.4: Filmhöhe am Lagerrand und -mitte sowie mittlere Filmtemperatur für alle Lastfälle aus [51] für

den nominalen Spalt c0 = 57μm für beide Struktur- und Wärmetransportmodelle bei Ta = 20°C

E Weitere Abbildung in Ergänzung zu Kapitel 5.5

229

Abb. E.1: Gemessene Temperaturprofile am Fachgebietsprüfstand im Vergleich mit Berechnungsergebnissen

mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) und dem FVM-Wärmemodell (Q1)

E Weitere Abbildung in Ergänzung zu Kapitel 5.5

230

Abb. E.2: Gemessene Temperaturprofile am Fachgebietsprüfstand im Vergleich mit Berechnungsergebnissen

mit dem SEFM nach Iordanoff (S2) und dem Wärmewiderstandsmodell (Q2)

F Beschreibung des GFL-Prüfstands am Fachgebiet

Zur messtechnischen Untersuchung von GFL-Lagern ist am Fachgebiet ein Prüfstand

eingerichtet. Der Prüfstand besitzt grundlegend den klassischen Aufbau wie er in vielen

Veröffentlichungen in ähnlicher Art und Weise verwendet wird. Eine Prinzipskizze ist

in Abb. F.1 dargestellt. In einer zentralen Lagereinheit wird eine Welle konventionell

durch Wälzlager gelagert. Um einen Betrieb bis zu hohen Drehzahlen von 50000min-1

zu ermöglichen, werden bei der Lagereinheit vorgespannte Spindellager verwendet.

Eine ursprüngliche verwendete hydrodynamische Lagerung erfüllte nicht die Anforde-

rungen an das für die dynamischen Messungen notwendige Schwingungsniveau. Auf

der einen Seite der Lagereinheit ist Welle über eine Kupplung mit ein Asychronmotoer

der Firma ATEGmbH&Co.KG verbunden. Auf der anderen Seite der Lagereinheit ragt

die Welle aus dieser heraus. Auf diesem überkragenden Ende ist über eine Ringfeder-

Welle-Nabenverbindung (nicht dargestellt in Abb. F.1) die Nabe angebracht, auf der das

zu untersuchende GFL läuft. Das GFL sitzt in einer Lagerschale, die über eine Zugein-

richtung aufgehängt ist. Durch die Zugeinrichtung kann das GFL mit Hilfe eines Pneu-

matikzylinders mit einer variablen statischen Belastung beaufschlagt werden. Dies ist

auch während des Betriebs möglich. Die aufgebrachte Last wird über eine Kraftmessdo-

se im Zugseil erfasst. Während der Messung der dynamischen Lagerparameter wird das

Lager durch zwei shaker in zwei Richtungen mit variabler Frequenz angeregt. Die Anre-

gungskraft wird durch Kraftmessdosen in den Verbindungsstangen der shaker erfasst.

Die Reaktion des Lagers auf die Anregung wird durch optische Wegsensoren und piezo-

elektrische Beschleunigungssensoren aufgenommen. Aus der Übertragungsfunktion

werden die dynamischen Lagerparameter berechnet. Die Messapparatur zur Ermittlung

der dynamischen Lagerparameter ist nicht dargestellt, findet sich aber ausführlich in

[129].

231

Abb. F.1: Prinzipskizze des Prüfstandsaufbaus am Fachgebiet (nicht maßstäblich)

Asynchronmotor

Kupplung

Lagereinheit

Spindellager

Sperrluft

GFL

Pneumatikzylinder

Rotor

Thermo-

elemente

Pyrometer-

messstellen

Kraftmess-

dose

F Beschreibung des GFL-Prüfstands am Fachgebiet

Für die Messung der Temperatur werden 13 Thermoelemente axial unter die bump

foil geschoben und an den Rändern und Mitte des GFL platziert. Die genauen Messposi-

tionen sind in Abb. 5.13 dargestellt. Ein weiteres Thermoelement misst die Umgebungs-

temperatur während der Messung. Die Temperatur an der Oberfläche der Welle wird

über jeweils ein Pyrometer vor und hinter dem GFL gemessen.

Einschränkungen für den Prüfstand ergeben sich aus den vorgespannten Spindella-

ger, die für einen Betrieb bei hohen Drehzahlen in geeigneter Weise geschmiert und ge-

kühlt werden müssen. Diese dürfen allerdings nicht durch einen Ölsumpf geflutet wer-

den, da die Wälzkörper sonst aufschwimmen und nicht mehr abrollen, was im Folgen-

den zu harten Kontakten mit den Laufbahnen führen kann. Die Schmierung wird des-

halb durch eine Öl-Luft-Minimalmengenschmierung sichergestellt. Dazu wird Druck-

luft unter einem Druck von 6bar mit einer kleinen Menge Öl angereichert und zu den

Lagern geführt. Um einen Austritt des Öl-Luft-Gemischs aus der Lagereinheit zu ver-

hindern, wird im Bereich der Lagerdeckel zusätzlich Druckluft als Sperrluft eingeleitet.

Trotz dieser Maßnahmen heizt sich der Prüfstand bei maximaler Drehzahl sehr schnell

auf, weshalb davon abgeraten wird eine Drehzahl von 45000min-1 zu überschreiten,

bzw. hohe Drehzahlen nur für kurze Zeiträume zu fahren. Daraus ergeben sich für die

Temperaturmessungen zwei Einschränkungen. Zum einen können hohe Drehzahlen

nicht untersucht werden, weil zur Messung einer aussagekräftigen Temperatur gewartet

232

Abb. F.2: Foto des Fachgebietsprüfstands. Gut erkennbar, sind die vielen braunen Thermoelemente mit den

ockerfarbenen Wimpeln [129].

F Beschreibung des GFL-Prüfstands am Fachgebiet

werden muss bis sich ein Temperaturgleichgewicht im Lager eingestellt hat. Zum ande-

ren lässt sich der Einfluss der Kühlung durch die Öl-Luft-Minimalmengenschmierung

auf die Temperatur der Welle und damit auch auf die Temperatur im Fluidfilm des un-

tersuchten GFL schwer erfassen. In den für diese Arbeit durchgeführten Temperatur-

messungen wird deshalb die Temperatur an der Wellenoberfläche zwischen der Lage-

reinheit und dem GFL durch ein Pyrometer erfasst und diese als Randbedingung für die

Berechnungen verwendet.

Eine wesentlich ausführlichere Beschreibung befindet sich in der Dissertation von

Djoko Kayo, der sich mit der Messung der dynamischen Lagerparameter an diesem

Prüfstand beschäftigt [129].

233

G Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse

235

Abb. G.2: Grenzdrehzahlen für ein GFL nach [51] mit dem mittleren verbleibenden Spalt

Abb. G.1: Grenzdrehzahlen für ein GFL nach [78] mit dem mittleren verbleibenden Spalt

G Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse

236

Abb. G.3: Linearisierte Dämpfungswerte für verschiedenen Lastfälle aus [78] im Vergleich zwischen einer

isothermen und anisothermen Berechnung

G Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse

237

Abb. G.5: Linearisierte Steifigkeitswerte an der Geometrie aus [51] ohne shims und isotherm berechnet

Abb. G.4: Linearisierte Steifigkeitswerte an der Geometrie aus [51] mit shims und isotherm berechnet

G Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse

238

Abb. G.6: Linearisierte Dämpfungswerte an der Geometrie aus [51] ohne shims und isotherm berechnet

Abb. G.7: Linearisierte Dämpfungswerte an der Geometrie aus [51] mit shims und isotherm berechnet

G Ergänzende Abbildungen zur Stabilitätsanalyse

239

Abb. G.8: Stabilitätskarten in Ergänzung zu den in Kapitel 6.3.1 berechneten Werten. Lagerkonf. nach [78].

Abb. G.9: Stabilitätskarten in Ergänzung zu den in Kapitel 6.3.2 berechneten Werten. Lagerkonf. nach [51].

H Übersicht der Einstellungsoptionen im entwickelten numerischen Modell

H Übersicht der Einstellungsoptionen im

entwickelten numerischen Modell

Zur Erleichterung in den Einstieg und den Umgang mit dem entwickelten numerischen

Modell werden in der folgenden Tab. H.1 mit den Bezeichnungen, wie sie im Pro-

grammcode verwendet werden, die möglichen Einstellungsoptionen aufgelistet. Für vie-

le von ihnen wird über einen booleschen Wert über ihre Aktivierung (1) oder Deakti-

vierung (0) entschieden. Sollten die Auswirkungen nicht aus dem Kontext hervorgehen,

werden diese in der Erklärung erläutert. Ein Teil der Werte trifft eine Auswahl zwischen

mehreren Optionen, geben eine Intervall oder die verwendeten Standardwerte an. Falls

auf Basis, der mit dem numerischen Modell gesammelten Erfahrung, eine Empfehlung

für einen Einstellung angegeben werden kann, ist der entsprechende Wert fett markiert.

Wird bei mehreren Werten keiner markiert oder ist das Feld leer, ist eine Auswahl auf

Basis des zu berechnenden Lastfalls zu treffen.

Tab. H.1: Tabellarische Übersicht und Erklärungen zu den Einstellungsoptionen des Programmcodes

Einstellung Werte Erklärung

ANMS_ma

xIt

250 Maximale Iterationen, bevor NMA auch ohne Konvergenz abgebrochen wird

ANMSopts.

alpha

1 Reflexionskoeffizient für den NMA

ANMSopts.

beta

0,5 Kontraktionskoeffizient für den NMA

ANMSopts.

Constrain

0, 1 Beschränkung des NMA auf eine minimale Filmhöhe. 0: deaktiviert, 1: akti-

viert

ANMSopts.

delta

0,5 Verkleinerungskoeffizient für den NMA

ANMSopts.

gamma

2 Expansionskoeffizient für den NMA

ANMSopts.

minh

Anteil von c0 auf den der NMA durch ANMSopts.minh beschränkt wird

ANMSopts.

RandomRe-

start

0, 1Neustart des NMA, falls sich die berechneten Exzentrizitäten oder Funktions-

werte vor Toleranzunterschreitung zu ähnlich wurden. Sehr wichtig bei hoch-

belasteten Lagern, aber teilweise schwierig zu erkennen, ob ab wann benötigt.

ANMSopts.

SamePoint

9 Nachkommastellen, ab denen zwei Exzentrizitäten oder Funktionswerte als

identisch angesehen werden und ein Neustart des NMA ausgeführt wird

ANMSopts.

ShowConv

0, 1 Anzeige des Konvergenzverhaltens. Hilft beim Erkennen von Konvergenzpro-

blemen, verlangsamt aber die Berechnung.

ANMSopts.

usual_delta

0,05 Anteil um den die vorgegebene Startexzentrizität zur Erstellung des ersten

Simplex variiert wird

241

H Übersicht der Einstellungsoptionen im entwickelten numerischen Modell

Einstellung Werte Erklärung

ANMSopts.

zero_term_

delta

0,00025 Wert um den die vorgegebene Startexzentrizität zur Erstellung des ersten Sim-

plex variiert wird, falls einer der Einträge 0 beträgt

Bfax_flow 0, 1 Berechnung mit axialer Durchströmung. Alpha-Stadium. Funktioniert prinzi-

piell, ist aber nicht validiert

cmprParam 0, 1 Automatisierte Parametervariation

cm-

prSolvSett

0, 1 Automatisierte solver-Einstellungen

corr_h_tem

p_switch

0, 1Spaltanpassungen (aufgrund von Fliehkraft und Temperatur) deaktivieren (0)

oder aktivieren (1).

cyBC 0, 1 Zyklische Randbedingung für das Druck- und Temperaturfeld

Disc_Me-

thod

1, 2 Diskretisierungsmethode für die FVM des Fluidfilms. 1: Powerlaw, 2: TVD.

TVD ist im Alpha-Stadium, funktioniert, wurde aber nicht verwendet.

do_lin_bea-

ring_pa-

rams

0, 1 Berechnung der linearisierten Lagerparameter. 1 ist Voraussetzung, um eine

Stabilitätsanalyse durchführen zu können

Do_stbsrch 0, 1 Automatisierte Bestimmung der Stabilitätsgrenzdrehzahl

draw_mesh 0, 1 Zur Kontrolle, beim Start einer Berechnung das erstellte Netz anzeigen

excessiveSe-

arch

0, 1 Bei 1 wird nicht nur die Toleranz der Stabilitätsgrenzdrehzahl erfüllt, sondern

weitergesucht, bis sowohl eine stabile als auch instabile Drehzahl innerhalb der

Toleranz gefunden wurde.

FixPos 0, 1 Festlegung der Befestigungsposition in Drehrichtung. 0: am Anfang der foils, 1:

am Ende der foils

Guembel 0, 1Gümbel-Randbedingung bei der Berechnung der Reaktionskraft aus dem

Druckfeld. Schneidet Bereiche subambienten Drucks ab.

hc_grad [0, ] 0: deaktiviert, ansonsten Knoten, an dem der Gradient zur Extrapolation der

Durchsenkung aus dem Inneren hin zum Rand abgegriffen wird. Je höher der

Wert, desto größere wird (üblicherweise) die Durchsenkung am Rand.

Steht in Konkurrenz zur einfachen Glättung mit smooth_hc. Nicht empfohlen.

hc_LiftOff 0, 1 Abheben der top foil erlauben oder auf 0 setzen. 0: Negative Werte auf 0 setzen,

1: Negative Werte erlaubt

hc_rand_eq

ual

0, 1Axiale Randknoten auf den Wert ihres inneren Nachbarn setzen. 1: Gleichset-

zen, 0: nicht gleichsetzen

heat_co-

effs_ax_me

0, 1 Axiale Mittelung der Wärmeübergangskoeffizienten. 0: Keine Mittelung, 1:

Mittelung. Nicht mehr benötigt, kaum verwendet.

hZm_p 0, 1 Axiale Symmetrierandbedingung für das Druckfeld. Eigentlich ergibt es keinen

Sinn hZm_p unabhängig von hZm_T einstellen zu können, aber für nur leichte

Asymmetrie im Temperaturfeld, ergeben sich kaum Auswirkungen für das

Druckfeld. 0: deaktiviert, volles Netz, 1: aktiviert, halbes Netz

hZm_T 0, 1 Axiale Symmetrierandbedingung für das Druckfeld. 0: deaktiviert, volles Netz,

1: aktiviert, halbes Netz

Iord_Interp 0, 1 Interpolation für das SEFM nach Iordanoff. 0: keine Interpolation, 1: lineare

Interpolation

Isotherm 0, 1 Berechnung mit (0, anisotherm) oder ohne Temperatur (1, isotherm)

LambdaSi-

deMix

[0, 1] Gewichtungsfaktor zwischen Wellen- und Umgebungstemperatur an den axia-

len Rändern. 0: Wellentemperatur, 1: Umgebungstemperatur

242

H Übersicht der Einstellungsoptionen im entwickelten numerischen Modell

Einstellung Werte Erklärung

LS_t_ex-

pansion

0, 1, 2, 3, 4Art der Temperaturmittelung zur Berechnung der Aufweitung (0: keine Auf-

weitung) der Lagerschale. Es wird immer radial gemittelt, anschließend: 1: ge-

glättetes axiales Mittel, 2: Umfangsmittelung, 3: axiales Mittel, 4: volle Mitte-

lung

max_iter_T

1500 Maximale Iterationen, bevor die (innere) Schleife zur Berechnung des Tempe-

raturgleichgewichts abgebrochen wird

Ma-

xItrStbSrch

30 Maximale Iterationen zur Bestimmung einer Stabilitätsgrenzdrehzahl

maxSt-

bRPM

Obere Begrenzung der Drehzahlen bei der Suche nach der Stabilitätsgrenz-

drehzahl

minSt-

bRPM

Untere Begrenzung der Drehzahlen bei der Suche nach der Stabilitätsgrenz-

drehzahl

n_pads ≥ 1 Anzahl der bump foil-Unterteilungen in Umfangsrichtung, mind. 1

n_strips ≥ 1 Anzahl der bump foil-Unterteilungen in axialer Richtung, mind. 1

p_BC_Pads 0, 1 Bei in Umfangsrichtung unterteilter bump foil (mehreren pads), kann über die-

se Einstellung entschieden werden, ob zwischen den pads Umgebungsdruck

(0) angenommen werden soll, oder nicht (1)

p_mittelung 0, 1Druckmittelung bei der Berechnung der Durchsenkung aktivieren (1) oder de-

aktivieren (0). Ergibt bei 1 konstante Durchsenkung in axialer Richtung.

p_Neu-

mann

0, 1 Von-Neumann-Randbedingung während der Iterationen zur Berechnung des

Druckfelds anwenden

p_subamb_

off

0, 1 Subambienten Druck bei den Iterationen zur Berechnung des Druckfeld ab-

schneiden

ParaName Zu variierender Parameter

ParaVar-

Range

Spanne über die der ausgewählte Parameter bei einer automatisierten Parame-

tervariation variiert wird

Pertub_eta

_or_om

0, 1 Vorgabe von Störkreisfrequenzen (0) oder Störfrequenzverhältnissen (1)

Q_Model 1, 2 Wärmetransportmodell für die bump foil und Lagerschale. 1: FVM-Modell, 2:

Widerstandsmodell

r_refine 0, Anzahl Knoten für die in r-Richtung ein feineres Netz erstellt wird38

reduceV-

thAtzEdge

0, 1 Reduktion der Strömungsgeschwindigkeit am axialen Rand auf die Hälfte. Es

könnte eine sinnvolle Annahme sein, dass die Strömung am axialen Rand

durch die stillstehende Luft (bzw. durch die Welle mitgerissen) außerhalb des

Lagers gebremst wird. Teilweise wurden an den axialen Rändern Temperatur-

spitzen beobachtet, weil dort durch die geringe Filmhöhe (beim SEFM nach

Iordanoff ohne Druckmittelung) hohe Scherung und Wärmeproduktion vor-

liegt. Diese können hiermit vermindert werden.

ReInit 0, 1 Reinitialisierung der Startwerte für jeden Lastfall durch die ursprünglich ge-

setzten (1) oder Verwendung der Ergebnisse des ähnlichsten, bereits berechne-

ten Lastfalls (0).

rls_refine 0, Anzahl Knoten für die radial in der Lagerschale ein feineres Netz erstellt wird38

rw_refine 0, Anzahl Knoten für die radial in der Welle ein feineres Netz erstellt wird38

save_data 0, 1Berechnungsergebnisse abspeichern (1) oder nicht abspeichern (0)

shaftBC 0, 1 Temperaturrandbedingung auf der Wellenoberfläche setzen (1) oder nicht (0)

38 Eine Empfehlung für die feiner zu vernetzende Knoten beträgt, je nach Richtung: 1/4∙Nhm,z, 0∙Nθ,

1/3∙Nr, [1,4] für Welle, [1,4] für die Lagerschale, falls das FVM-Wärmemodell verwendet wird.

243

H Übersicht der Einstellungsoptionen im entwickelten numerischen Modell

Einstellung Werte Erklärung

Shims 0, 1 Berechnung mit (1) oder ohne (0) shims. Falls mit shims gerechnet wird müs-

sen die sie definierende Parameter definiert sein.

ShowConv_

1000 Iteration ab der das Konvergenzverhalten der Temperatur angezeigt wird. Hilft

bei der Suche nach Konvergenzproblemen, dafür ggf. verringert.

ShowShims 0, 1 Anzeige des durch die shim-Parameter erzeugten Verlaufs für den nominalen

Spalt

smooth_h_

0, 1 Axiale Mittelung der Filmhöhe zur Berechnung der Wärmeübergangskoeffizi-

enten. 0: Keine Mittelung, 1: Mittelung. Nicht mehr benötigt, kaum verwendet.

smooth_hc 0, Anzahl der Knoten, über die zur Berechnung einer realistischeren Durchsen-

kung am axialen top foil-Rand gemittelt wird, ohne diese konkret simulieren.

SolvSettNa-

Zu variierende solver-Einstellung

SolvSett-

Range

Werte für die zu variierende, ausgewählten solver-Einstellung

stabilize_T

_LGS

0, 1Berücksichtigung des temperaturabhängigen Quellterms auf der linken (0)

oder rechten Seite (1) des Gl.-systems.

StbSrch_Tol 10 Toleranz in min-1 bei der Suche der Stabilitätsgrenzdrehzahl

StructMod 0, 1, 2, 3 Strukturmodells für die bump foil. 0: Starr, 1: SEFM nach Heshmat et al. [40],

2: SEFM nach Iordanoff [49], 4: link-spring-Modell nach LeLez [52]

th_refine 0, Anzahl Knoten für die in θ-Richtung ein feineres Netz erstellt wird38

Top_Foil_F

0, 1 Modellierung der top foil durch FEM. Implementierung im Alpha-Stadium.

Läuft prinzipiell, aber verlängert die Berechnungszeit dramatisch. Ohne künst-

liche Erhöhung ergeben sich starke Durchsenkungen zwischen den bumps.

Nicht empfohlen.

v_Wax ≥ 0 Bei Werten > 0 wird mit Durchströmung der Welle gerechnet. Der Wert gibt

dann die Strömungsgeschwindigkeit in m(s)-1 an.

vr_Model 0, 1 Berücksichtigung der Strömungsgeschwindigkeit in r-Richtung des Fluidfilms

W_ax_adia 0, 1, 2 Wärmestrom durch die Wellenstirnseiten. 0: beide Seiten adiabat, 1: Wellen-

strom durch eine Stirnseite, 2: Wärmstrom durch beide Stirnseiten.

W_Model 0, 1, 2 Wärmetransportmodell für die Welle. 0: Adiabate Welle, 1: FVM-Wärmemo-

dell, 2: Widerstandsmodell

z_refine 0, Anzahl Knoten für die in z-Richtung ein feineres Netz erstellt wird38

Zeta_h ]0, 1] Unterrelaxation für das Druckfeld bei der iterativen Bestimmung des Druck-

felds. Selbst schwach belastete Lager benötigen häufig Werte von 0,5, hochbe-

lastete bis 0,05.

Zeta_p ]0, 1] Unterrelaxation des Druckfelds bei der iterativen Bestimmung des Druckfelds

Zeta_T ]0, 1] Unterrelaxation der Fluidfilmtemperatur, 1 funktioniert fast immer

Zeta_TLs ]0, 1] Unterrelaxation der Lagerschalentemperatur, 1 funktioniert fast immer

Zeta_Tpt_p ]0, 1] Unterrelaxation des Druckfelds beim Wechsel zwischen Druckberechnung und

Temperaturberechnung

Zeta_Tpt_

]0, 1] Unterrelaxation des Temperaturfelds beim Wechsel zwischen Druckberech-

nung und Temperaturberechnung

Zeta_Tw ]0, 1] Unterrelaxation der Wellentemperatur, 1 funktioniert fast immer

244