scieee Science in your language
[en] (orig)
Zur Theorie der piezoelektrischen
Ultraschallverbundschwinger
mit praktischen Schlussfolgerungen
für den Entwicklungsingenieur
Dr.-Ing E. G. Lierke, tec5 AG, Oberursel
Dr.-Ing W. Littmann, ATHENA Technologie Beratung GmbH, Paderborn
cand.-Ing. D. Simon, Universität Paderborn
Dr.-Ing T. Hemsel, Universität Paderborn
August 2010
I
Inhaltsverzeichnis
Kurzfassung ........................................................................................................................................... 1
Liste der Formelzeichen ........................................................................................................................ 2
1 Einleitung ............................................................................................................................................. 5
1.1 Einleitung und Stand der Technik .................................................................................................. 5
2 Definition eines passiven Wellenleiters und seiner wichtigsten Parameter .................................. 7
3 Elektroakustische Vierpolersatzschaltungen stabförmiger Wellenleiter ..................................... 11
3.1 Eingangsimpedanz und Resonanzbedingung verlustfreier Stabschwinger .................................. 14
3.2 Verlustarme Ultraschallwellenleiter bei einseitiger Ankopplung an Flüssigkeiten bzw. Gase ....... 15
4 Elektroakustische Ersatzschaltungen mit konzentrierten Elementen .......................................... 17
4.1 Der unkompensierte, piezoelektrische Verbundschwinger ........................................................... 17
4.2 Kompensationsschaltungen zur Leistungsanpassung und Amplitudenregelung .......................... 20
5 Berechnung des Kopplungsfaktors und der Güte von Verbundschwingern ............................... 23
5.1 Vorbemerkung zur Anregung von Harmonischen ........................................................................ 23
5.2 Resonanzfrequenzen und Resonanzlängen bei angepassten Kennimpedanzen ........................ 24
5.3 Elektromechanische Transformationsformeln für den ungestuften
2/
-Verbundschwinger ...... 26
5.4 Berechnung des Kopplungsfaktors aus den Nullstellen der Eingangsreaktanz ............................ 30
5.5 Berechnung der effektiven Güte von Verbundschwingern ........................................................... 32
5.6 Das Produkt Qk2 als mögliches Qualitätskriterium für Verbundschwinger ................................... 34
5.7 Akustisch-mechanischer Wirkungsgrad von optimierten Verbundschwingern ............................. 37
5.8 Zusammenfassende Ergebnisse für ungestufte Verbundschwinger in der Grundresonanz ......... 37
6 Praktische Beispiele zur Optimierung von Verbundschwingern .................................................. 41
6.1 Zur Rücktransformation der impedanzangepassten Ersatzlängen ............................................... 41
6.2 λ/2-Konverter und Stufenkonzentratoren in der Grundresonanz .................................................. 41
6.3 Verbundschwinger mit mehreren Resonanzfrequenzen............................................................... 46
6.4 Rechenprogramm zur paarweisen Komponentenangleichung der Harmonischen ....................... 47
7 Spezial-Sonotroden mit Frequenzkorrektur .................................................................................... 54
7.1 Vorbemerkung.............................................................................................................................. 54
7.2 Frequenzkorrekturen an einfachen Zylinder-Sonotroden ............................................................. 54
7.3 Der Stufenkonzentrator mit Frequenzkorrektur zur Amplitudenverstärkung ................................. 55
7.4 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung ................. 58
II
8 Dispersion der Schallgeschwindigkeit in dicken Stäben und Platten .......................................... 64
9 Belastbarkeitsgrenzen und Güten von hochwertigen Ultraschallsonotroden ............................. 66
9.1 Allgemeine Übersicht ................................................................................................................... 66
9.2 Zulässige Schnelleamplituden an der Lastseite ungestufter, geklebter Verbundschwinger ......... 66
9.3 Zulässige Schnelleamplituden an der Lastseite ungestufter, geschraubter Verbundschwinger ... 67
9.4 Belastbarkeitsgrenzen und Güten von hochwertigen Ultraschallsonotroden ................................ 68
10 Einige Tipps aus der Praxis ........................................................................................................... 69
10.1 Zum Problem der Schwingeraufhängung ................................................................................... 69
10.2 Zur Erwärmung, Wärmeausdehnung und Temperaturkompensation ......................................... 70
10.3 Amplitudenmessung mit der Mikrometermessuhr ...................................................................... 71
10.4 Geläppte Piezoplatten ohne Elektroden ..................................................................................... 71
10.5 Achtung bei Temperaturänderungen an elektrisch offenen Piezoplatten ................................... 71
10.6 Kapazitiver Spannungsabfall bei nicht leitenden Klebeschichten. .............................................. 71
10.7 Montage von Verbundschwinger unter piezoelektrischer Spannungskontrolle .......................... 71
10.8 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren ................................................................ 72
11 Schlussbemerkungen ..................................................................................................................... 73
Literaturverzeichnis ............................................................................................................................. 75
Anhang 1 zu Kapitel 5.4 ....................................................................................................................... 77
Anhang 2 zu Kapitel 5.4 ....................................................................................................................... 78
Anhang zu Kapitel 5.6 .......................................................................................................................... 79
Anhang zu Kapitel 6.2 .......................................................................................................................... 81
Anhang zu Kapitel 6.4 .......................................................................................................................... 82
1
Kurzfassung
Der folgende Überblick fasst die bekannten analytischen Berechnungsmethoden zusammen und gibt
anhand typischer Beispiele Anleitungen zur Lösung theoretischer und technischer Fragen bei der Ent-
wicklung von Verbundschwingern. Zunächst werden die passiven, in der Regel metallischen Kompo-
nenten von Verbundschwingern als Stab- oder Plattensysteme mit homogen verteilten Feder-, Masse
und Dämpfungseigenschaften beschrieben. Auf ihnen breitet sich die Schwingungsenergie in Form
stehender und fortschreitender Wellen zum akustischen Verbraucher aus. Es folgt eine gleichwertige
und schaltungstreue Darstellung durch elektrische oder mechanische Vierpole, die für den Entwick-
lungsingenieur leichter zu handhaben sind und in Netzwerken direkt mit Masons Ersatzschaltung des
piezoelektrischen Wandlers [1] gekoppelt werden können. Danach werden die wichtigsten, messtech-
nisch zugänglichen Parameter anhand eines in Resonanznähe zulässigen Ersatzmodells mit kon-
zentrierten elektrischen bzw. mechanischen Komponenten definiert. Als Schwerpunkt wird anschließend
deren analytische Berechnung und messtechnische Verifizierung an typischen Beispielen demonstriert.
Es folgen wichtige technische Informationen über Frequenzkorrekturen, Schallgeschwindigkeitsdisper-
sion, Leistungs- und Belastbarkeitsgrenzen der Komponenten und andere wertvolle praktische Hinwei-
se.
2
Liste der Formelzeichen
Symbol
Beschreibung
a
Anzahl der Piezokeramiken
Federnachgiebigkeit
*
C
Spezifischer Belag der Federeigenschaften pro Längeneinheit
0
C
Gemessene Kapazität
m
C
Kapazität
c
Wellengeschwindigkeit / Schallgeschwindigkeit
F
c
Federsteifigkeit
p
c
Wellengeschwindigkeit im Piezomaterial
D
,
d
Großer/kleiner Durchmesser
Elastizitätsmodul
xF
Kraftamplitude in Abhängigkeit der Ortskoordinate
x
Frequenz
f
Normierte Frequenz
0
f
Resonanzfrequenz
s
f
Serienresonanzfrequenz
p
f
Parallelresonanzfrequenz
i
Strom
0
i
Eingangsstrom
max
i
Maximal zulässiger Eingangsstrom
j
Imaginäre Einheit
k
Elektromechanischer Kopplungsfaktor
L
Länge
1
L
Normierte Länge
m
L
Induktivität
M
Masse
m
Anpassungsmaß, Kennimpedanzquotient
*
m
Spezifischer Belag der Masse pro Längeneinheit
p
N
Planare Frequenzkonstante
n
Ordnungszahl
3
Symbol
Beschreibung
Wirkleistung
xp
Schalldruckamplitude
Güte
s
Q
Güte, Resonanzüberhöhung
a
R
Ausgangswirkwiderstand
*
R
Spezifischer Belag der Dämpfungseigenschaften pro Längeneinheit
S
Querschnitt
p
s
Nachgiebigkeitskoeffizient
max
Maximal zulässige Zugspannung
t
Plattendicke
u
Spannung
Verhältnis, Verstärkungsfaktor
xv
Schnelleamplitude in Abhängigkeit der Ortskoordinate
x
max
v
Schnelleamplitude an der Endfläche eines stromgeregelten Verbundschwingers; maximal
zulässige Schnelleamplitude
a
X
Blindkomponente der Ausgangsimpedanz
e
X
Blindkomponente der Eingangsimpedanz
p
X
Hilfsgröße für Parallelresonanzfrequenz
s
X
Hilfsgröße für Serienresonanzfrequenz
x
Axiale Ortskoordinate
0
Z
,
ba
Z,
Kennimpedanz
a
Z
Abschlussimpedanz
e
Z
Eingangsimpedanz
e
Z
Normierte Eingangsimpedanz
Phasenkonstante
Dämpfungskonstante bzw. Verlustfaktor
Übertragungsfaktor; Proportionalitätsfaktor
Komplexe Ausbreitungskonstante
l
Segmentdicke
4
Symbol
Beschreibung
max
,
max,dyn
Maximale longitudinale Dehnungsamplitude
p
Dehnung innerhalb des Piezoelements
Normierter Abstand der Mitte des Piezowandlers von der Schwingerendfläche
,
Phasenwinkel
Wellenlänge
Wirkungsgrad
Kreisfrequenz
Dichte
0
Dichte des Piezomaterials
5
1 Einleitung
1.1 Einleitung und Stand der Technik
Verbundschwinger mit piezoelektrischer Anregung werden in der Ultraschalltechnik seit vielen Jahr-
zehnten mit Erfolg eingesetzt. Man braucht sie u. a., um die relativ empfindliche Piezokeramik gegen
Verschleiß, aggressive Flüssigkeiten, höhere Temperaturen oder robusten mechanischen Kontakt mit
zu bearbeitenden Materialien zu schützen. Geeignete Materialkombinationen und Querschnittsprofile
ermöglichen Amplitudentransformation oder Impedanzanpassungen, wenn z. B. die gewünschten
Schallintensitäten oder Schwingungsamplituden die niedrige Wechselfestigkeit der Piezokeramik über-
steigen würden.
Bild 1.1: Beispiel eines Halbwellenresonators mit metallischen Endsegmenten, zentral
angeordneten Piezokeramikscheiben und mechanisch vorgespannter Schraubverbindung
So werden etwa in der Materialprüfung, der medizinischen Diagnostik und Therapie sowie in der che-
misch-pharmazeutischen Industrie bei MHz-Frequenzen „Sandwich“-Systeme mit zentralen Piezokera-
mikscheiben zwischen aufgeklebten Metall-, Glas-, Keramik- oder Absorberelementen eingesetzt. Bei
technischen Ultraschallanwendungen mit Frequenzen zwischen 20 und 120 kHz zum Bohren, Schwei-
ßen, Reinigen, Zerstäuben, Extrahieren usw. verwendet man vorwiegend geschraubte, stabförmige
Schwingungsgebilde, die in einfachen Fällen aus Halbwellenresonatoren mit metallischen Endsegmen-
ten und zentral angeordneten Piezokeramikscheiben (Bild 1.1) bestehen. In komplizierten Fällen kom-
men resonante, miteinander verschraubte Kaskaden mit speziell geformten Metallsonotroden hoher
Wechselfestigkeit (Bild 1.2 und [2]) zum Einsatz.
Bild 1.2: Verbundschwinger, bestehend aus Konverter und einem gestuften
Amplitudentransformator (horn) mit Verteilung der Schwingungsamplituden
entlang seiner Mittelachse [11]
Elektrode
Piezokeramik
Halterung
6 Einleitung und Stand der Technik
Wegen der unterschiedlichen Materialeigenschaften der Komponenten sind Design, Berechnung und
Optimierung von Ultraschallverbundschwingern eine interessante Aufgabe für den Entwicklungsingeni-
eur. Die übliche Vorgehensweise beginnt mit einem Grobentwurf bei vorgegebener Wellenlänge und
einer sukzessiven Schwingungsanalyse auf der Basis eindimensionaler theoretischer Modelle [3,4], die
u. a. für die Auslegung akustischer Filter und Verzögerungsleitungen entwickelt wurden. Unsere Unter-
suchungen basieren auf einer Modellvorstellung von Mason [1], die es erlaubt, beliebige piezoelektri-
sche Verbundschwingerkaskaden mit Methoden aus der Elektrotechnik schaltungstechnisch zu analy-
sieren und an die entsprechenden Hochfrequenzgeneratoren anzupassen. Verschiedene Quellen [5-7]
enthalten detaillierte Beschreibungen typischer
2/
-Konverter, bei denen das piezoelektrische Wand-
lerelement meistens in der Zentralstellung angeordnet ist. Eine systematische Untersuchung von Ver-
bundschwingern mit exzentrischer Position des Piezoelements ist uns nicht bekannt.
Komplexe Schwingungsgebilde mit unterschiedlicher Modellbelastung lassen sich auch mit Hilfe geeig-
neter computeralgebraischer und/oder numerischer Rechnerprogramme [8, 9] abbilden und analysieren.
Alternativ oder ergänzend werden zwei- oder dreidimensionale Finite-Element-Modelle [10] zur Analyse
des Schwingungsverhaltens eingesetzt. Diese Verfahren sind aber trotz hoher Detailgenauigkeit zeit-
aufwendig, weil sie nur durch eine sukzessive Anpassung der geometrischen Parameter an vorgegebe-
ne Konturen mit jeweils anschließender Neuberechnung der Parameter optimiert werden können. Hier-
bei werden allgemeingültige Schlussfolgerungen für ein tieferes Systemverständnis durch Gleichbewer-
tung wesentlicher und weniger relevanter Einflussgrößen erschwert.
7
2 Definition eines passiven Wellenleiters und seiner wichtigsten Parameter
Ultraschallwellenleiter aus Metall, Glas oder Keramik besitzen keine elektroakustischen Wandlereigen-
schaften und müssen deshalb mit aktiven, z. B. piezoelektrischen Wandlerelementen zu Verbund-
schwingern kombiniert werden.
Bei Ultraschallschwingern mit Frequenzen
über 18 kHz und Wellenlängen unter 20 cm spricht man
von Schwingungssystemen mit verteilten Elementen. Hier sind die Abmessungen (z. B. die Stablänge
2/
L
oder die Plattendicke) nicht mehr gegenüber der Wellenlänge
fc/
zu vernachlässigen.
Masse- und Federelemente, zur Speicherung kinetischer und potentieller Energie bzw. Dämpfungsele-
mente zur Umwandlung mechanischer Schwingungsenergie in Schallenergie oder Wärme, sind nach
Bild 2.1 gleichmäßig über das Volumen bzw. die Länge des Wellenleiters verteilt, und die Energie brei-
tet sich wellenförmig aus. Infolge von Impedanzsprüngen an Grenzflächen, z. B. unstetigen Quer-
schnitts- oder Materialübergängen innerhalb der Verbundschwinger oder an äußeren Kontaktflächen zu
Flüssigkeiten und Gasen, kommt es durch Vielfachreflexionen zu stehenden Wellen, mit ausgeprägten,
erwünschten Resonanzen der Wellenleiter.
Bild 2.1: Ultraschallwellenleiter mit verteilten Elementen als zylindrischer Stab
Bild 2.2: Wellenleiter als Kettenschaltung von Elementarzellen mit konzentrierten Elementen
Bild 2.3: Elektrisches Ersatzschaltbild einer Elementarzelle
8 Einleitung und Stand der Technik
Im Folgenden werden einige fundamentale Beziehungen und Parameter zur Berechnung von Ultra-
schallschwingungssystemen definiert. Genauere Hinweise sind in den zitierten Veröffentlichungen zu
finden.
Wir betrachten einen zylindrischen Wellenleiter der Länge (Dicke)
L
mit der Querschnittsfläche
S
, aus
einem Material der Dichte
, der Schallgeschwindigkeit
/Ec
und der Kennimpe-
danz
ScZ
0
, auf dem sich mechanische Axial- oder Dickenschwingungen als zwei gegenläufige
Wellenzüge
x
xeBeAxF
11
)(
(2.1)
xx eBeAxv
22
)(
(2.2)
der Kraft-
)(xF
und Schnelleamplitude
)(xv
in
x
und
x
Richtung ausbreiten und überlagern kön-
nen. Die Axialkoordinate x zählt dabei mit
Lx 0
vom rechten Ende des Wellenleiters in Bild 2.1.
Die komplexe Ausbreitungskonstante
und die Kennimpedanz
0
Z
werden weiter unten erklärt.
Die gleichmäßig über die Gesamtlänge
L
verteilten Massen-, Feder- und Dämpfungseigenschaften
sind mit
dxmdx
L
M
dM *
,
dxcdx
L
c
dc F
F
F*
,
dxrdx
L
r
dr *
(2.3)
durch ihre spezifischen Beläge
*
m
,
*
F
c
und
*
r
pro Längeneinheit repräsentiert, wobei
LSM
die Masse und
LSEcF/
die Federsteifigkeit des kompletten, stabförmigen Wellenleiters bedeuten.
Aus dem Ersatzschaltbild (Bild 2.2) der Elementarzelle von Bild 2.1 folgt bei sinusförmiger Anregung
und Anwendung der Bewegungsgleichungen nach Newton, Hooke und Stokes für das Masse-, Feder-
und Reibungswiderstandselement [12, 17]
)(
)(
*xF
c
j
dx
xdv
F
(2.4)
)()(
)( ** xvmjr
dx
xdF
(2.5)
2
2
2
2
2)(
)(
1)(
)(
1
dx
xvd
xvdx
xFd
xF
(2.6)
mit
j
c
jmjr
F
*
** )(
(2.7)
als Ausbreitungskonstante. Diese komplexe Größe lässt sich unterteilen in die Phasenkonstante
und
die Dämpfungskonstante bzw. den Verlustfaktor
mit der Güte
2
*
* c
c
m
F
(2.8)
Q
mc
r
F2
1
2**
*
(2.9)
Mit (2.5) folgt aus (2.1) und (2.2)
xxxxxx eBeAZeBeA
mjr
eBeA
22
*
022
**
)
11
(2.10)
9
wobei
0
*
*
**
*
**
*
01
/ZcS
m
r
jcm
cj
mjr
ZF
F
(2.11)
als Kennimpedanz bezeichnet wird.
Da die Dämpfungskonstante
von Festkörpern eine lineare Funktion der Frequenz
ist [14], erweist
sich die Güte
Q
als frequenzunabhängiger Parameter. Sie erreicht bei typischen Ultraschallwellenlei-
tern aus Metall, Keramik oder Glas Werte zwischen 1000 und 10 000, während sie bei typischen Piezo-
keramiken bei einigen 100 liegt. Die Korrekturen (2.7) und (2.11) gegenüber verlustfreien Wellenleiter-
material sind also, mit Ausnahme der Resonanzstellen bei fehlendem Ausgangswirkwiderstand
a
R
,
vernachlässigbar klein.
Mit der komplexen Lastimpedanz
aaa jXRZvF )0(/)0(
am Stabausgang (
0x
) und den
Randbedingungen [13]
)0(
)0(
2
1
00
1
2v
Z
F
Z
A
A
(2.12)
und
00
1
2)0(
)0(
2
1
Z
F
v
Z
B
B
(2.13)
findet man für die Amplitudenverteilung von Kraft und Schnelle entlang des Wellenleiters
)sinh()cosh(
)0(
)( 0x
Z
Z
x
F
xF
a
(2.14)
)sinh()cosh(
)0(
)(
0
x
Z
Z
x
v
xv a
(2.15)
Ersetzt man die komplexen Hyperbelfunktionen in (2.14) und (2.15) mit den Näherungen (2.7) und
(2.11) durch
x
Q
x
jxx
sin
2
cos)cosh(
(2.16)
xjx
Q
x
x
sincos
2
)sinh(
(2.17)
dann erhält man für die normierten Amplituden von Kraft und Schnelle entlang des Stabes
Q
x
Z
Z
xj
Q
x
Z
Z
x
F
xF
aa 2
sin
2
1cos
)0(
)( 00
(2.18)
Q
x
Z
Z
xj
Q
x
Z
Z
x
v
xv aa 2
sin
2
1cos
)0(
)(
00
(2.19)
Daraus folgt durch Division am Eingang
Lx
des Wellenleiters mit
aaa jXRZ
als Ausgangsim-
pedanz bei
0x
die komplexe, normierte Eingangsimpedanz
xjx
Q
x
jXRx
Q
x
jxZ
xjx
Q
x
Zx
Q
x
jxjXR
XjRZ
Z
Z
aa
aa
eee
e
sincos
2
sin
2
cos
sincos
2
sin
2
cos
0
0
0
(2.20)
Die Blindkomponente
e
X
dieser Eingangsimpedanz verschwindet bei der Resonanz.
10 Einleitung und Stand der Technik
Bei den in der Ultraschalltechnik typischen Wellenleitern mit reinem Abschlusswirkwiderstand
ScRZ aaa
und dem auch als Anpassungsmaß bezeichneten Kennimpedanzquotienten
1/ 0 ZScm a
sind die inneren Verluste gegenüber den äußeren Verlusten durch Abstrahlung
akustischer Energie zu vernachlässigen (vgl. Kapitel 3.2). Für die normierte Amplitudenverteilung von
Kraft
F
und Schnelle
v
folgt dann aus (2.14) und (2.15) das typische Bild einer stehenden Welle (vgl.
Bild 2.4)
xxm
F
xF
222 sincos
)0(
)(
(2.21)
xmx
v
xv
222 sincos
)0(
)(
(2.22)
mit Schnelleknoten und Kraftbäuchen bei
0)5.0cos(cos
nx
bzw. Schnellebäuchen und
Kraftknoten bei
0sinsin
nx
. Bäuche nennt man die Amplitudenmaxima. Die Knoten sind
Amplitudenminima, die bei
0m
(totale Impedanzfehlanpassung) zu wirklichen Nullstellen werden,
normalerweise aber von einer zum Lastwiderstand fortschreitenden Welle überlagert sind.
Bild 2.4: Stehende Welle der Kraftamplitude (F) und Schnelleamplitude (v)
auf einem zylindrischen Wellenleiter in
2/3
-Resonanz bei einseitiger Wirklast,
mit Schnellebäuchen und Kraftknoten an den beiden Endflächen
nach (2.21) und (2.22) bei
3.0m
in normierter Darstellung
Entsprechend erhält man für die normierte Eingangsimpedanz aus (2.14) und (2.15)
00
222
2
0sincos
cossin)1(
Z
X
j
Z
R
xmx
xxmjm
Z
Zeee
(2.23)
Häufig wird anstelle der Kraftamplitude in (2.14) die Schalldruckamplitude
)(xp
dargestellt. In diesem
Fall ergäbe sich allerdings aus dem Quotienten von Druck und Schnelle anstelle von (2.20) eine flä-
chenspezifische Impedanz, die nicht korrekt mit der widerstandstreuen Kraft-Spannungsanalogie elekt-
roakustischer Wandler vereinbar wäre.
11
3 Elektroakustische Vierpolersatzschaltungen stabförmiger Wellenleiter
Bei der Berechnung und Optimierung von Verbundschwingern bedient man sich so genannter elektro-
mechanischer oder elektroakustischer Ersatzschaltungen [15-17], die mit Hilfe der Kirchhoff‘schen
Stromverzweigungsgesetze [9] leichter analysiert werden können. Bei der von uns bevorzugten Schnel-
le/Strom- und Kraft/Spannungsanalogie [17] werden mechanische Schnelle- und Kraftamplituden durch
elektrische Strom- und Spannungsamplituden und mechanische Wirk- und Blindwiderstände schal-
tungstreu durch elektrische Widerstände mit analogen mathematischen Beziehungen ersetzt. Die Ana-
logie eines Ultraschallwellenleiters wäre z. B. eine elektrische HF Koaxial- oder Doppelleitung mit zwei
Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen, die hinsichtlich der Eingangs- und Ausgangsimpedanzen voll-
wertig durch einen Vierpol nach Bild 3.1 und Bild 3.2 ersetzt werden kann. Diese Vierpole kann man
schaltungstreu mit der elektrischen Nachbildung eines aktiven piezoelektrischen Wandlers nach Mason
[1] oder anderen Vierpolen koppeln. Praktisch geschieht das durch Verschrauben oder Kleben. In Bild
3.3 und Bild 3.4 ist der mechanische Teil eines piezoelektrischen Wandlers ebenfalls durch einen Vier-
pol repräsentiert, dem zusätzlich ein idealer Transformator mit zwei Eingangsklemmen zur Energieein-
kopplung vom Generator parallel geschaltet ist.
Bild 3.1: Vierpol Ersatzschaltung eines
verlustbehafteten Wellenleiters mit Ab-
schlusswirkwiderstand
a
R
Bild 3.2: Vierpol Ersatzschaltung eines
verlustfreien Wellenleiters mit Ab-
schlusswirkwiderstand
a
R
12 Einleitung und Stand der Technik
Bild 3.3: Mechanische Vierpol Ersatzschaltung eines verlustfreien piezoelektrischen Wandlers mit
Luft-„backing“ und einseitiger Ankopplung an einen Abschlusswirkwiderstand
a
R
Bei schwach verlustbehafteten Wellenleitern ohne äußeren Lastwiderstand muss man im allgemeingül-
tigen Vierpol aus Bild 3.1 die Hyperbelfunktionen durch die Näherungen
2
cos
42
tan
2
tanh 2x
Q
xx
j
x
(3.1)
und
x
x
Q
x
x
j
x
2
sin
cos
2sin
1
)sinh(
1
(3.2)
ersetzen. Bei verlustfreien Wellenleitern gilt die Vereinfachung nach Bild 3.2 bzw. Bild 3.4.
Bild 3.4: Mechanische Vierpol Ersatzschaltung eines Verbundschwingers mit zentralem,
verlustfreien piezoelektrischen Wandler zwischen zwei verlustfreien, metallischen Wellenleitern
mit Lastwiderständen (
a
R
bzw. 0) an den beiden Endflächen und
iv
13
Hinsichtlich der komplexen Eingangsimpedanz bei vorgegebenem Abschlusswiderstand führen die
Vierpoldarstellungen nach Bild 3.1 und Bild 3.2 zu den gleichen Ergebnissen (2.21) bis (2.23), wie sie
aus der Wellengleichung für akustische oder elektrische Wellenleiter mit verteilten Elementen in Kapitel
2 hergeleitet wurden. Insofern sind sie bei den folgenden Berechnungen ein vollwertiger, mathematisch
leichter zu handhabender Ersatz.
Komplexe Ultraschallschwingungssysteme können sich aus mehreren, in Reihe oder parallel geschalte-
ten Komponenten und deren elektrischen Vierpoläquivalenten (mit jeweils konstanter Kennimpe-
danz
0
Z
) nach Bild 3.2 zusammensetzen. Auch eine schaltungstreue Kombination mit konzentrierten
Masse-, Feder- oder Verlustwiderstandselementen geringer Ausdehnung nach Bild 3.5 [13] ist mit Hilfe
der aus Bild 3.6 ersichtlichen, entsprechenden Vierpolersatzschaltungen [16] möglich.
Bild 3.5: Beispiele für die Zusammenschaltung von Ultraschallwellenleitern
mit konzentrierten Feder- oder Masseelementen
dt
dv
MFF 21
21
cF
21 vvrF
Bild 3.6: Vierpol Ersatzschaltung konzentrierter mechanischer Schwingungselemente
14 Eingangsimpedanz und Resonanzbedingung verlustfreier Stabschwinger
3.1 Eingangsimpedanz und Resonanzbedingung verlustfreier Stabschwinger
Die Resonanzbedingung eines Stabschwingers ist bei verschwindender Eingangsreaktanz
0
e
X
erfüllt. Hier spielen also innere Verluste mit Güten > 1000 keine Rolle.
Bei einem verlustfreien, einseitig starr eingespannten Wellenleiter bleiben die entsprechenden Vierpol-
klemmen in der Ersatzschaltung Bild 3.2 offen, was einem unendlich großen Abschlusswiderstand
a
Z
entspricht. Die Eingangsimpedanz wird dann durch
L
c
ZjjXZee
cot
0
(3.3)
beschrieben und verschwindet in der Resonanz (
0
e
X
) bei
4/)12(
nL
.
Entsprechend werden bei freier Endfläche (
0
a
Z
) die betreffenden Vierpolklemmen kurzgeschlossen
und für die Eingangsimpedanz gilt
L
c
ZjjXZee
tan
0
(3.4)
mit
0
e
X
als Resonanzbedingung bei
.2/
nL
Bei der Reihenschaltung zweier verlustfreier Stabelemente mit unterschiedlichen Kennimpedanzen
1,0
Z
und
2,0
Z
folgt aus der Vierpoldarstellung mit Hilfe der Kirchhoff-Formeln und einfacher Additions-
theoreme für Winkelfunktionen bei eingespanntem Ende (
1,a
Z
)
1
12,0
1,0
2
2
2,02,2, cotarccotcot L
cZ
Z
L
c
ZjjXZee
(3.5)
und bei freiem Ende (
0
1,
a
Z
)
1
12,0
1,0
2
2
2,02,2, tanarctantan L
cZ
Z
L
c
ZjjXZee
(3.6)
Die normierte Länge
11 /cL
wird also jeweils durch einen Ersatzphasenwinkel an die Kennimpedanz
2,0
Z
des folgenden Vierpols angepasst. Von dieser Anpassung werden wir in Kapitel 5 noch Gebrauch
machen. Ein typisches Beispiel für (3.6) ist der Stufenkonzentrator, bei dem der Durchmesser in der
Stabmitte (Schnelleknoten) von
D
auf
d
reduziert wird, um die Amplitude am schlanken Ende im Ver-
hältnis
2
)/( dDV
zu verstärken.
Auf die oben beschriebene Weise lassen sich Wellenleiterabschnitte oder komplette Wellenleiter mit
beliebig veränderlichem Querschnitt
S
aus dem gleichen Material, grob bis fein abgestuft, in
n
kleine
Zylindersegmente der Dicke
L
mit den Kennimpedanzquotienten
nnn SSm /
1
unterteilen und ma-
thematisch als Matrixreihenschaltung von verlustfreien mechanischen Vierpolen behandeln. Dabei wird
jeweils die Eingangsimpedanz eines Vierpols als Abschlusswiderstand des folgenden Vierpols in der
15
Kette betrachtet. Sie verändert sich also bei freiem Ende (
0
1,
a
Z
) mit
c/
vom Beginn der
Querschnittsänderung (
0x
,
0n
) schrittweise bis zum Ende
L
gemäß
1,,0,0 tanarctantantan)()(
neffnnneffe LmLZjLLZjLZ
(3.7)
3.2 Verlustarme Ultraschallwellenleiter bei einseitiger Ankopplung an Flüssigkeiten bzw. Gase
Wir demonstrieren die Schaltungsanalyse mit Vierpolersatzschaltungen am Beispiel eines schwach
verlustbehafteten zylindrischen Wellenleiters aus Titan mit der Länge
L
, der konstanten Querschnitts-
fläche
S
und der Kennimpedanz
ScZ 000
. Der Einfluss der Ultraschallabstrahlung in Flüssigkeiten
bzw. Gase wird durch den Abschlusswirkwiderstand
0
ZmRa
am Ausgang des Wellenleiters cha-
rakterisiert. Für den Kennimpedanzquotienten
0
/ZRm a
, der auch als Anpassungsmaß bezeichnet
wird, ergibt sich bei Wasser/Titan
058.0
W
m
und bei Luft/Titan
6
1017
g
m
. Für die Güte oder
Resonanzschärfe von Titan wählen wir einen typischen Wert
20002/
Ti
Q
. Die Eingangsim-
pedanz folgt aus Bild 3.1 mit Hilfe der Kirchhoff’schen Stromverzweigungsgesetze oder aus (2.18) und
(2.19) nach Trennung der Real- und Imaginärkomponenten. Bei vorgegebener Länge
2/
0
L
mit
0
f
als Resonanzfrequenz des Wellenleiters und der normierten Frequenz
0
/fff
als unabhängiger
Variablen gilt
ffLL
0
/2
. Mit den hier zulässigen Vereinfachungen
12/ Qf
,
1m
,
1
2m
,
14/1 2Q
,
1)2/cosh( Qf
und
QfQf 2/)2/sinh(
findet man nach
einigen Umrechnungen aus der Ersatzschaltung Bild 3.1 Impedanzkurven nach Bild 3.7 mit
fQfmf
fQQfm
Re
2
2
2sin2/cos
2sin4/12/
(3.8)
2
22 2/sincos
2sin2/1
Qfmff
f
Xe
(3.9)
Für Betrag und Phasenwinkel der normierten Eingangsimpedanz ergibt sich daraus:
2
22
2
2
2/sincos
2sin4/12/
Qfmff
fQfm
Ze
(3.10)
und
fQQfm
f
2sin4/12/
2sin2/1
tan
(3.11)
Bei einseitiger Flüssigkeitsankopplung ist in den eckigen Klammern
mQ 2/
und die inneren Ver-
luste können vernachlässigt werden. Bei Ankopplung an Gase unter Normalbedingungen mit
Qm 2/

sind dagegen die äußeren Verluste vernachlässigbar klein.
16 Verlustarme Ultraschallwellenleiter bei einseitiger Ankopplung an Flüssigkeiten bzw. Gase
Bild 3.7: Betrag und Phasenwinkel der Eingangsimpedanz eines verlustfreien Wellenleiters mit
reiner Wirkwiderstandsbelastung am Stabende nach Gleichung (3.10) und (3.11)
Aus (3.8), (3.9), (3.10) und (3.11) erkennt man, dass die Eingangsimpedanz des Wellenleiters mit inne-
ren und äußeren Verlusten bei Variation der normierten Frequenz
nf 0
periodische Resonanzen
mit Phasennulldurchgängen bei
,...3,2,1n
durchläuft. Hier gilt
Q
n
mze2
min
(3.12)
1
max 2
2/1
Q
n
mZe
(3.13)
Bei Schallabstrahlung in Luft (
0m
) und zunehmender Resonanzfrequenz werden die Minima bei
0
fnf
größer und die Maxima bei
0
)2/1( fnf
kleiner. Bei Flüssigkeitsdämpfung bleibt die
Höhe die Extremwerte weitgehend unabhängig von der Anzahl n der „Oberwellen“. Aus der normierten
Halbwerts- oder Bandbreite
03 /2 ff dB
der Resonanzkurve (3.10) ergibt sich bei Frequenzvariation
ffnf 0
eine Bestimmungsgleichung für die effektive Güte des Resonanzsystems:
1
3
0
222
Q
n
m
n
f
f
Q
dB
eff
mit
m
n
QWassereff
2
,
und
TiLufteff QQ
,
(3.14)
Diese nimmt bei Wasserabstrahlung mit wachsender Frequenz bei gleich bleibender Bandbreite zu,
während sie bei Luftabstrahlung bei zunehmender Bandbreite von der Frequenz unabhängig ist.
Aus dem Verhältnis von äußeren Verlusten m und Gesamtverlusten
Qnm 2/
lässt sich für den
passiven Wellenleiter ein akustisch-mechanischer Wirkungsgrad
mQn
ma 2/1
,
definieren, der
bei einseitiger Ankopplung an Flüssigkeiten über 90% liegt und in Kapitel 5.7 für Verbundschwinger zu
einem vergleichbaren Ergebnis führt.
17
4 Elektroakustische Ersatzschaltungen mit konzentrierten Elementen
4.1 Der unkompensierte, piezoelektrische Verbundschwinger
In der Nähe seiner Resonanzfrequenz kann das Vierpolersatzschaltbild des einfachen piezoelektrischen
Wandlers nach Bild 3.3, ebenso wie das u. U. sehr komplizierte Ersatzschaltbild einer Verbundschwin-
gerkaskade durch einen einfachen Schwingkreis aus vier elektrischen oder mechanischen Bauelemen-
ten nach Bild 4.1 [16] dargestellt werden. Dieser besteht aus einer Reihenresonanzkette der Kapazi-
tät
m
C
, der Induktivität
m
L
und des Verlustwiderstands
m
R
, die jeweils die mechanischen Feder-, Mas-
sen- und Dämpfungseigenschaften des Gesamtsystems (einschließlich eines u. U. vorhandenen äuße-
ren Abschlusswiderstands
a
R
) repräsentieren. Parallel dazu – und in Bild 4.1 links durch einen idealen
Transformator von der mechanischen Seite getrennt – liegt die so genannte „clamped capacity“
0
C
des
piezoelektrischen Wandlers, die z. B. mit einer Kapazitätsmessbrücke bei sehr niedrigen Frequenzen
<100 Hz direkt oder bei beliebiger Frequenz mit mechanisch eingespanntem, d. h. an der mechani-
schen Schwingung gehindertem Wandler, gemessen werden kann.
Bild 4.1: Ersatzschaltung eines piezoelektrischen Wandlers mit konzentrierten Elementen
Vergleicht man den mechanischen Teil der Vierpolschaltung nach Bild 3.3 mit dem Längszweig der
Ersatzschaltung nach Bild 4.1 dann ergeben sich folgende Identitäten:
0
0
2
0
0
2sin
1
sin
k
c
C
F
m
2/
)2/tan(
40
0
2
M
Lm
,
2
0
244
m
Z
R
Ra
m
(4.1)
mit
LEScF/
als Federsteifigkeit und
M
als Masse des kompletten Stabelements (vgl. (2.3)). Bei
niedriger Frequenz (
1/
0 Lc
) wird
2
4/ MLm
ein reines Masseelement und
Fm cC /
2
ein reines Federelement, dessen Nachgiebigkeit sich aber infolge der Polarisierung um
den Faktor
)1( 2
k
vom unpolarisierten Material unterscheidet. Entsprechend ist die Schallgeschwin-
digkeit um den Faktor
2
1/1 k
kleiner. Der Faktor ¼ bei
m
L
und
m
R
ist darauf zurückzuführen,
dass sich der Strom
2
i
im Längszweig von Bild 4.1 beim symmetrischen Vierpol nach Bild 3.3 in zwei
gleich große „Teilströme“ aufteilt, die die Schnelleamplituden an den beiden Endflächen repräsentieren.
18 Der unkompensierte, piezoelektrische Verbundschwinger
Die einseitige Leistungsabgabe bei doppelter Stromstärke reduziert also den scheinbaren Lastwider-
stand auf ¼. Aus Gleichung (4.1) folgt bei Parallelresonanz (
0
,
2/
L
)
./2//2/1
cLccMf Fp
Anhand des elektrischen Schwingkreises nach Bild 4.1 lassen sich die mechanischen Parameter (4.1)
eines Ultraschallschwingungssystems mit verteilten Elementen in drei konzentrierte elektrische Ersatz-
komponenten übertragen und auf die einfach messbare Kapazität
0
C
(vgl. (4.12)) beziehen. Zunächst
werden, wie bei elektrischen Schwingkreisen üblich [15], die wichtigsten Parameter wie Serien- und
Parallelresonanzfrequenz
s
f
und
p
f
, elektromechanischer Kopplungsfaktor k, und Güte
s
Q
(oder Re-
sonanzüberhöhung) definiert. Sie folgen aus den bekannten Verknüpfungen der Komponenten aus Bild
4.1 (rechts).
2
1
1
2k
CL
fp
mm
ss
,
0
C
C
km
,
mmsm
ms
sRCR
L
Q
1
(4.2)
Mit den Hilfsgrößen
s
s
ss QX
und
p
p
sp QX
erhält man aus der Ersatzschal-
tung Bild 4.1 die auf
m
R
normierte Eingangsimpedanz
p
ss
s
m
e
Xkj
Xj
kQj
R
Z
2
2
11
1
(4.3)
und daraus die Beziehungen
2
2
2
2
)1(1
1/
p
sss
m
e
eXk
XkQ
R
Z
Z
(4.4)
.
/
11
tan 2
2
ss
ps
kQ
XXk
(4.5)
für Betrag und Phasenwinkel von
me RZ /
.
Der typische Frequenzgang ist aus Bild 4.2 ersichtlich. Bei Serienresonanz
s
f
mit einem Phasennull-
durchgang, liegt ein Minimum der Eingangsimpedanz, währen bei Parallelresonanz
p
f
mit einem zwei-
ten Phasennulldurchgang ein Maximum erscheint. Zwischen diesen beiden Nulldurchgängen erreicht
der Phasenwinkel ein Maximum. Aus den Extremwerten einer typischen Messkurve nach Bild 4.2 folgen
1
12
2
2
min,
kQ
kQ
R
Z
s
s
m
e
bei
s
ff
(4.6)
2
2
2
2
2
2
2
2
max,
11
1
1k
kQ
k
kQ
k
kQ
R
Zsss
m
e
bei
p
ff
(4.7)
19
und
X
X1
2
1
arctan
max
mit
sp
s
ff
kQ
X/2
2
bei
2
ps ff
f
(4.8)
Daraus ergeben sich die abgeleiteten Parameter
1
2
2
s
p
eff f
f
k
(4.9)
min,
max,
e
e
sp
sp
sZ
Z
ff
ff
Q
(4.10)
max
max
min,
max,
2
cos
sin1
2
s
p
e
e
s
p
f
f
Z
Z
f
f
Qk
(4.11)
Bild 4.2: Betrag und Phasenwinkel der Eingangsimpedanz eines Ultraschallwandlers
mit konzentrierten Elementen nach Bild 4.1 und Gleichung (4.3)
mit Q=100 und k=0.2 (Strichlinie) bzw. k=0.6 (Volllinie)
Diese Parameter sind zusammen mit der gemessenen Kapazität
0
C
zur Charakterisierung eines kom-
pletten Verbundschwingers ausreichend. Deshalb folgen in Kapitel 5 analytische Berechnungen, die
eine zielstrebige Optimierung ermöglichen.
Die elektrischen Ersatzgrößen der drei mechanischen Komponenten
m
L
(Masse),
m
C
(Federnachgie-
bigkeit) und
m
R
(Verlustwiderstand) aus der Ersatzschaltungen Bild 4.1, ergeben sich mit (4.2) und
(4.9) bis (4.11) aus den messbaren Parametern
ps ffC ,,
0
und
min,max, /ee ZZ
oder
max
. Sie können
mit der weiter unten angegebenen Gleichung (4.18) in mechanische Komponenten rücktransformiert
werden. Zunächst gilt aber für die elektrischen Äquivalente
20 Kompensationsschaltungen zur Leistungsanpassung und Amplitudenregelung
0
22
1
C
L
sp
m
,
0
2
1C
f
f
C
s
p
m
,
max,
min,
0
1
e
e
p
mZ
Z
C
R
(4.12)
Die etwas abstrakten Definitionen einiger Parameter kann man nun durch einprägsame Interpretationen
ergänzen. So folgt etwa aus den Speicherkapazitäten
0
C
und
m
C
für potentielle elektrische bzw. po-
tentielle mechanische Energie das Quadrat des Kopplungsfaktors
0
2/CCk m
als Verhältnis von me-
chanisch gespeicherter Blindleistung zu elektrisch gespeicherter Blindleistung. Die Güte
oder Reso-
nanzüberhöhung erweist sich als Verhältnis von mechanisch gespeicherter Blindleistung zur mechani-
schen Verlustleistung des Wandlers (einschließlich der äußeren Verluste durch akustische Abstrahlung)
und
2
Qk
als Verhältnis von elektrischer gespeicherter Blindleistung zur mechanischen Verlustleistung.
Ein guter elektroakustischer Wirkungsgrad für eine effektive Umwandlung der in
0
C
und
m
C
gespei-
cherten Blindleistung in abgestrahlte Wirkleistung setzt eine kleine Güte bei Ankopplung an einen in der
Impedanz gut angepassten äußeren Verlustwiderstand
a
R
und eine möglichst hohe Güte bei fehlen-
dem Verlustwiderstand
a
R
voraus.
4.2 Kompensationsschaltungen zur Leistungsanpassung und Amplitudenregelung
Bei Verbundschwingern mit
2
2kQs
besitzt die Resonanzkurve nach Bild 4.2 keine Phasennull-
durchgänge. Das erschwert den allgemein üblichen „phase locked loop“-Betrieb des HF-Generators.
Deshalb wird neben dem Ausgangstransformator zur Impedanzanpassung in der Regel eine Induktivität
zugeschaltet, die den Einfluss der Kapazität
0
C
entweder als Parallelinduktivität
0
2
/1 CL sP
nach
Bild 4.3 bei der niederohmigen Serienresonanz oder als Serieninduktivität
0
2
/1 CL pS
nach Bild 4.4
bei der hochohmigen Parallelresonanz kompensieren soll.
Bild 4.3: Ersatzschaltung eines Ultraschall-
wandlers mit konzentrierten Elementen mit
einer Parallelinduktivität
P
L
Bild 4.4: Ersatzschaltung eines Ultraschall-
wandlers mit konzentrierten Elementen mit
einer Serieninduktivität
S
L
Mit den Hilfsgrößen
s
s
ss QX
,
p
p
sp QX
und
kQX s
0
erhält man aus den
Ersatzschaltungen Bild 4.3 bzw. Bild 4.4 normierte Eingangsimpedanzen
21
2
2
0
22
2
2
0
,
,1
XXX
X
X
R
Z
Z
ss
s
m
se
pe
mit
2
0
2
1
1tan X
X
Xs
ss
(4.13)
und
2
2
2
0
22
2
2
0
,
,1p
pp
m
pe
pe X
XXX
Q
X
R
Z
Z
mit
2
0
2
1
1tan X
X
Xp
pp
.
(4.14)
Bei korrekter Kompensation ergeben sich nahezu reziproke Resonanzkurven mit dem typischen Verlauf
für den Betrag der Eingangsimpedanz nach Bild 4.5.
Im ersten Fall treten aber zwei identische, um den Faktor
2
)( kQs
größere Seitenmaxima bei
)4/1(2// kkff s
oder
2
0
2
0
21XXXs
und im zweiten Fall zwei identische, um den
Faktor
22 )/()1( kQk s
kleinere Seitenminima bei
)4/1(2// kkff p
oder
)1( 2
0
2
0
2XXXp
auf. Der normierte Frequenzabstand dieser Seitenextremwerte entspricht in
beiden Fällen annähernd dem zu messenden Kopplungsfaktor
k
. Ihr Abstand von
s
f
bzw.
p
f
ist un-
symmetrisch und unterscheidet sich um den Faktor
)4/1/()4/1( kk
.
Bild 4.5: Normierter Betrag der Eingangsimpedanzen
e
Z
,
s
Z
und
p
Z
als Funktion der normierten Frequenz
s
ff /
mit und ohne Kompensation
der Kapazität
0
C
nach (4.4), (4.13) und (4.14) mit
6.0k
und
2000Q
Der Phasenwinkel erreicht mittig zwischen den drei Nullstellen Extremwerte mit
2
max )(
3/4
1
8
3
tan kQ
kQ
s
s
bei
,
4
1
4
,
kk
f
f
ps
(4.15)
die selbst bei relativ kleinem
kQs
eine sichere Resonanzabstimmung gewährleisten.
22 Kompensationsschaltungen zur Leistungsanpassung und Amplitudenregelung
Wird die Kapazität
0
C
wie oben beschrieben durch eine Parallelinduktivität bei
s
f
kompensiert, dann
gilt im Arbeitspunkt bei kleiner Eingangsimpedanz und Eingangsspannung:
m
Ruii /
02
und
0
2
2iuRiP m
m
R
.
(4.16)
Hier sind die elektrische Spannungsamplitude
u
, und die Wirkleistung
m
R
P
bei konstanter
Stromamplitude (als Regelgröße) proportional zu
m
R
.
Wird die Kapazität
0
C
stattdessen durch eine Serieninduktivität bei
p
f
kompensiert, dann gilt im Ar-
beitspunkt bei großer Eingangsimpedanz und kleinem Eingangsstrom
0
2
C
i
u
p
,
0
2
002 /iQkRCii mp
,
m
m
RRiiuP 2
20
.
(4.17)
Hier sind der Eingangsstrom
0
i
und die Wirkleistung
m
R
P
bei konstanter Spannungsamplitude
u
(als
Regelgröße) proportional zu
m
R
. Diese Arbeitsweise ist zweckmäßig, um bei einer nach oben begrenz-
ten Spannungsregelung mit variabler Stromstärke Spannungsspitzen bei kritischer Belastung zu ver-
meiden.
Der ideale Transformator in Masons Ersatzschaltung Bild 3.3 übersetzt die Reaktanzkomponente
mNskjZ // 0
2
0
auf der Seite des mechanischen Vierpols in eine elektrische Reaktanz
AVCj // 0
. Mit
00
/
0dc
,
000,00 /dSC r
und
0
2
00 Ec
ergeben sich deshalb
bei verlustloser Umwandlung elektrischer in mechanische Leistung für die Umrechnung der elektrischen
Strom- / Spannungsamplituden
i
und
u
in die mechanischen Schnelle- / Kraftamplituden
v
und
F
(oder deren Effektivwerte) die Beziehungen
nFCk
E
Ck
Vu
mNsF
smv
Ai
r
0
0,0
0
03
/
/
,
2
/
/
elel
mechmech
Z
Z
(4.18)
mit
0
E
,
0,r
und
k
als Materialkonstanten, sowie
0
C
als messbare Größe des piezoelektrischen
Wandlers. Die Schnelle
2
v
teilt sich dabei ebenso wie der Strom
2
i
in zwei identische Teilkomponenten
der beiden Außenflächen des Piezoelements auf. Gleichung (4.18) gilt auch, wenn, wie in der Praxis
üblich, eine einfache Piezoscheibe durch ein Scheibenpaar mit gemeinsamer Mittelelektrode und dop-
pelter Kapazität oder durch mehrere solcher, mechanisch in Reihe und elektrisch parallel geschalteter
Scheibenpaare gleicher Gesamtdicke ersetzt wird. Hier wächst der Übertragungsfaktor
proportional
zur neuen, durch Lamellierung vergrößerten Kapazität
0
C
. Die Stromamplitude wächst also bei gleicher
Leistung, während die erforderliche Spannungsamplitude und die Impedanz des Verbundschwingers
reduziert werden.
In Kapitel 4 wird die Transformationsgleichung (4.18) für Verbundschwinger mit symmetrischer und
unsymmetrischer Anordnung der Piezoscheiben zwischen passiven Metallsegmenten erweitert.
23
5 Berechnung des Kopplungsfaktors und der Güte von Verbundschwingern
5.1 Vorbemerkung zur Anregung von Harmonischen
Im Prinzip handelt es sich bei Verbundschwingern um Schwingungssysteme, die neben der üblichen
Grundresonanz auch zu Harmonischen mit höheren Resonanzfrequenzen angeregt werden können. So
könnte es z. B. bei der Beschallung von Flüssigkeiten und Gasen sinnvoll sein, unter gewissen Ein-
schränkungen mit dem gleichen Schwingungssystem simultan oder gleichzeitig die
2/
-Grund-
schwingung und die beiden
2/
n
-Oberschwingungen bei
2n
und
3n
anzuregen. Damit könnte
man etwa in der Physiotherapie [21] bei 1, 2 und 3 MHz, unterschiedliche Körpertiefen ohne Schwin-
gerwechsel unter Optimalbedingungen beschallen. In der Reinigungstechnik, oder der chemisch-
pharmazeutischen Industrie wäre man z. B. in der Lage, die Wirkungsweise durch Variation der Arbeits-
frequenz im laufenden Prozess zu optimieren. Bei der akustischen Stehwellen-Positionierung [20] flüs-
siger oder fester Proben in Gasen wäre eine gleichzeitige Anregung von zwei Resonanzen vorteilhaft,
um durch Überlagerung mit variablem Amplituden- und Phasen-Verhältnis die stabile Knotenposition zu
variieren und zur berührungslosen axialen Probenmanipulation zu nutzen. Wichtig für derartige Spezial-
anwendungen wäre ein Kompromiss anhand berechenbarer effektiver Parameter. In diesem Kapitel
sollen u. a. auch dafür die notwendigen Voraussetzungen geschaffen werden.
Ein Parametersatz zur vollständigen Charakterisierung eines piezoelektrischen Schwingungssystems
enthält nach Kapitel 4 als primäre Parameter die Kapazität
0
C
, den dazu proportionalen elektromecha-
nischen Transformationsfaktor
und den Materialkopplungsfaktor k des Piezowandlers. Als sekundäre
Parameter gelten die effektive Güte Q und die beiden geometrieabhängigen Resonanzfrequenzen
s
f
und
p
f
, aus denen ein effektiver Kopplungsfaktor berechnet werden kann. Das gilt sowohl für einfache
Piezowandler nach Bild 3.3 als auch für
2/
-Verbundschwinger nach Bild 1.1 und Bild 3.4 oder deren
kaskadenartige Kombination nach Bild 1.2 mit ein oder zwei passiven
2/
-Elementen zur Impe-
danzanpassung oder Amplitudentransformation. Bei allen Verbundschwingern verändern sich jedoch
die zu erwartenden effektiven Parameter je nach relativer Dicke der aktiven Piezoelemente und deren
relativer Lage zur Position der Schnelleknoten.
24 Resonanzfrequenzen und Resonanzlängen bei angepassten Kennimpedanzen
5.2 Resonanzfrequenzen und Resonanzlängen bei angepassten Kennimpedanzen
Ungestufte, symmetrische oder asymmetrische
2/
-Resonatoren nach Bild 1.1 mit zwei bzw. drei
Teilsegmenten bilden das auch als Konverter oder booster bezeichnete Kernstück piezoelektrischer
Schwingungssysteme. Sie lassen sich je nach Anwendung zu
2/
n
Kaskaden (Bild 1.2) erweitern.
Bild 5.1: Ultraschall-Verbundschwinger mit piezoelektrischem Wandler (
000 /Lc
)
zwischen zwei Metallsegmenten
111 /( Lc
und
)/ 222 Lc
mit normierter Schnelle- und Druckamplitude.
Im allgemeinen besteht ein mit der Frequenz
r
f
in Resonanz schwingender Konverter mit der Gesamt-
länge L und der Querschnittsfläche
2
4/ DS
nach der schematischen Darstellung Bild 5.1 aus
einem aktiven Piezoelement der Länge
0
L
mit der Schallgeschwindigkeit
0
c
und der Kennimpedanz
ScZo00
zwischen zwei passiven, nichtpiezoelektrischen Segmenten mit den Längen
1
L
und
,
2
L
,
den Schallgeschwindigkeiten
und
2
c
sowie den Kennimpedanzen
ScZ 111
und
ScZ 222
bzw. den normierten Kennimpedanzen
011 /ZZm
und
022 /ZZm
. Die zugehörige elektrische
Ersatzschaltung Bild 3.4 enthält mit den Phasenwinkeln
000 /Lc
r
,
111 /Lc
r
und
222 /Lc
r
das mit 1 indizierte Segment auf der Lastseite (nach Vereinbarung rechts) und das
mit 2 indizierte, im allgemeinen kürzere backing-Segment auf der Rückseite (links). Bei verschwindend
kleinem Lastwiderstand
a
R
besteht diese Ersatzschaltung praktisch aus reinen Blindwiderständen
n
X
.
Zur Vereinfachung der Schaltungsanalyse transformieren wir die wahren Längen
1
L
und
2
L
der beiden
Metallsegmente bzw. die zugehörigen Phasenwinkel
1
und
2
ähnlich wie in Gleichung (3.6). Es gilt
also:
)/)(arctan(tan)tan()tan( 11,111,1011 moderfZfZ
(5.1)
)/)(arctan(tan)tan()tan( 21,221,2022 moderfZfZ
(5.2)
Diese Transformation erlaubt durch Impedanzanpassung eine Normierung auf die Kennimpedanz
0
Z
des Piezoelements, sodass in der Ersatzschaltung nach Bild 3.4 nur noch Funktionen der angepassten
Phasenwinkel
01,01,21,1 ,,
aus Bild 5.1 und der normierten Frequenz
r
fff /
auftreten.
Die Variation der normierten Frequenz
f
, mit
r
f
als Resonanzfrequenz der Grundschwingung
)1( f
kann also mit den Ersatz-Resonanzlängen
2/
0210
nLLLLn
auch Oberwellen
25
oder so genannte Harmonische mit
2f
oder
3f
usw. einschließen. Aus der normierten Ersatz-
schaltung nach Bild 3.4 folgt durch Anwendung der Kirchhoff’schen Verzweigungsgesetze und bekann-
ter Additionstheoreme für Winkelfunktionen (vgl. Anhang 2 zu Kapitel 5.4) bei Abwesenheit innerer und
äußerer Verlustwiderstände der elektrische Eingangs-Blindwiderstand (Reaktanz)
))sin((
))cos(1(
)cos(1
2
)sin(
1))sin((
1
1,21,10
1,21,1
1,0
1,0
2
1,0
1,0
2
1,21,10
01,
,f
f
f
k
f
f
kf
fC
X
p
ee
(5.3)
Bei den Parallelresonanzen
nfff pnp 1,, /
mit n = 1; 2; 3 verschwindet der Nenner von (5.3). Hier
liegen bei verlustbehafteten Schwingungssystemen nach Kapitel 4 die Maxima der Eingangsimpedanz.
Es gelten also mit
2/
01,21
als Phasenabstand von der Mitte des Piezowandlers zum nächst-
liegenden Schnellebauch an der freien Endfläche des linken Metallsegments in Bild 5.2 die Resonanz-
bedingungen
1,21,11,0
mit
2/
)2/(
01,2
01,1
(5.4)
für die Grundschwingung, bzw.
n
nnn ,2,1,0
mit
n
n
nnn
11,2
,2
1,1
,1
1,0
,0
(5.5)
für die Oberschwingungen bei n = 2 bzw. n = 3.
Infolge der Kennimpedanz-Unterschiede m in den nichtlinearen Transformationsgleichungen (5.1) erge-
ben sich für die Oberschwingungen bei konstanten Segmentlängen
n
L
geringfügige Abweichungen
vom harmonischen Frequenzverhältnis (5.5), auf die wir erst im Kapitel 6 näher eingehen werden.
Die Berechnung eines
2/
-Konverters beginnt man am besten mit der Auswahl eines verfügbaren,
handelsüblichen Piezowandlers der Länge (Dicke)
0
L
und Vorgabe einer gewünschten Resonanzfre-
quenz
1,p
f
. Damit ist der Phasenwinkel
00001,0 /2/2
LLcfp
festgelegt. Der Piezowandler
besteht in der Regel aus zwei gleichen, mechanisch in Reihe und elektrisch parallel geschalteten Plat-
ten mit gemeinsamer („heißer“) Mittelelektrode, die mit den angrenzenden Metallsegmenten auf Masse-
potential liegen. Mit der Auswahl der Relativposition
1
für die Mittelelektrode des Piezowandlers (vgl.
Bild 5.2) ergeben sich aus (5.4) die beiden Ersatz-Phasenwinkel
)2/( 011,1
und
2/
011,2
, aus denen mit (5.1) und (5.2) bei unveränderter Resonanzfrequenz die wahren
Längen
1
01
1
1
01
1,
1
1
)2/tan(
cot
2
1
4
2/tan
arctan
2m
arc
mf
c
L
p
(5.6)
26 Elektromechanische Transformationsformeln für den ungestuften -Verbundschwinger
und
2
01
2
2
01
1,
2
2
)2/tan(
arctan
1
2
)2/tan(
arctan
2mmf
c
L
p
(5.7)
und
0
1,
0
02
p
f
c
L
der Segmente und die Gesamtlänge
210 LLLL
des Verbundschwinger als Funktionen von
01,
und
1
m
bzw.
2
m
berechnet werden können.
5.3 Elektromechanische Transformationsformeln für den ungestuften
2/
-Verbundschwinger
Die Transformationsbeziehung (4.18) des reinen, unbelasteten Piezowandlers, mit der aus zwei glei-
chen Komponenten bestehenden elektrischen Stromamplitude
21 iii
, den resultierenden, identi-
schen Schnelleamplituden
2/
21 ivv
an den beiden Außenflächen und dem Transformator-
Faktor
, lässt sich aus der Analyse der symmetrischen Ersatzschaltung Bild 3.3 anhand der Kirch-
hoff’schen Gesetze herleiten. In ähnlicher Weise findet man aus der auf
0
Z
normierten Ersatzschaltung
Bild 3.4 einen einfachen Zusammenhang zwischen den Schnelle-Amplituden
1,1
v
und
1,2
v
an den bei-
den Außenflächen des Verbundschwingers und den zur Wandlerstromstärke i proportionalen Schnelle-
Amplituden
und
2
v
an den beiden Begrenzungsflächen des Piezowandlers. Beide Wertepaare sind
zusammen mit dem Transformationsfaktor
)/(/21 vvivi
und den zugehörigen Strom-
Amplituden
21 iii
in der Ersatzschaltung nach Bild 3.4 durch deutliche Markierung hervorgehoben.
Mit den Impedanztransformationen (5.1) und (5.2) und der Resonanzbedingung (5.4) erhält man (vgl.
Anhang zu Kapitel 5.3) sehr genaue Näherungen für die normierten Schnelleamplituden an den Endflä-
chen des Konverters. Mit
mma /)1(
gilt:
)2/sin(sin2
)2/sin(1
)2/tan(
arctan(cos
)2/cos(
)2/sin(sin2
1
0
2
01
1
0
0
0
1,1
a
m
v
v
(5.8)
und
)2/sin(sin2
)2/sin(1
)2/tan(
arctan(cos
)2/cos(
)2/sin(sin2
1
0
2
02
2
0
0
0
1,2
a
m
v
v
(5.9)
Die Fehlerabweichungen für realistische Bereichsgrenzen
2/2/20/0
liegen bei Titan-
Konvertern unter
%1.0
und den bei relativ schlecht angepassten Aluminium-Stahl-Konvertern un-
ter
%1
.
In beiden Gleichungen wächst der Zähler bei
1
21 mm
(a > 0) mit zunehmendem Argument der
Sinusfunktion, sodass die Schnelleamplitude
1,1
v
an der Lastseite stets größer ist als die Schnel-
leamplitude
1,2
v
an der Rückseite. Bei
1
21 mm
(a < 0) nimmt der Zähler dagegen mit zunehmen-
dem Argument in der Sinusfunktion ab, sodass die Schnelleamplitude
1,1
v
an der Lastseite stets kleiner
wäre als
1,2
v
an der Rückseite. Deshalb verwendet man schwere Metalle mit
1m
bei Konvertern nur
27
als backing. Bei
2/2/
0
,
2/
11
L
1
1m
und
1
2m
erreicht der Verstärkungs-
Quotient
1,21,1 /vvV
von
0
abhängige Maximalwerte
2
1
0
2
2
1
11
1
cos1
1
1a
a
a
a
Va
(5.10)
Diese können bei typischen Konvertern aus Al(1), PZT(0), Stahl(2) mit
79.0
1a
und
39.0
2a
zwischen
8.1
min V
und
9.2
max V
liegen.
Im Idealfall exakter Impedanzanpassung (
)0,1 2121 aamm
würden die Gleichungen (5.8)
und (5.9) in die symmetrische Beziehung
)2/sin(sin2
1
0
1,21,1
v
v
v
v
(5.11)
übergehen.
Wir demonstrieren die Berechnung eines ungestuften Konverters für drei typische Spezialfälle der nor-
mierten Wandlerposition
.
A: Bei zentriertem Piezowandler folgt z. B. aus den Gleichungen (5.8) und (5.9) mit
2/
)2/sin(2
)2/(sin/1
0
0
2
11
11
am
v
v
,
)2/sin(2
)2/(sin/1
0
0
2
22
1,2
am
v
v
(5.12)
B: Bei endständigem Piezowandler folgt aus den Gleichungen (5.8) und (5.9) mit
2/
0
)cos(1
)(cos/1
0
0
2
11
1,1
am
v
v
,
)cos(1
1
0
1,2
v
v
(5.13)
C: Bei auf dem linken
4/
-Segment zentriertem Piezowandler ergibt sich mit
4/
)2/sin(2
)2/4/(cos/1
0
0
2
11
1,1
am
v
v
,
)2/sin(2
)2/4/(cos/1
0
0
2
22
1,2
am
v
v
(5.14)
Tabelle 5.1 zeigt die Amplituden-Verhältnisse
vv /
11
und
vv /
1,2
sowie die Segmentlängen
1
L
und
2
L
nach (5.6) und (5.7) bei einer Resonanzfrequenz
kHzfr 30
und einer typischen normierten
Wandlerdicke
10/
00
L
bzw.
2.0
0
für die drei o. a. Wandlerpositionen A, B und C bei drei
typischen Materialkomponenten Titan, Aluminium und Stahl. Die Materialkonstanten
n
a
,
n
m
und
n
c
in
der Kopfzeile sind aus der Tabelle 8.1 entnommen. Bei einer anderen Resonanzfrequenz
r
f
müssen
die Segmentlängen
n
L
und die resultierende Gesamtlängen L bei unveränderten Amplitudenverhältnis-
sen
vv /
11
und
vv /
1,2
mit dem Faktor
r
fkHz /30
angepasst werden.
28 Elektromechanische Transformationsformeln für den ungestuften -Verbundschwinger
Tabelle 5.1 Normierte Schnelleamplituden nach (5.12) bis (5.14) und Resonanzlängen bei 30 kHz
Material
Al
a = 0.792, m = 0.558, c = 5.1
Ti
a = 0.139, m = 0.878, c = 4.9
Fe
a = -0.389, m = 1.637, c = 5.17
)(
)(
1,2
1,1
Av
Av
78.2
78.2
82.1
82.1
05.1
05.1
)(
)(
1,2
1,1
Bv
Bv
24.5
67.6
24.5
49.5
24.5
53.4
)(
)(
1,2
1,1
Cv
Cv
66.2
73.3
35.2
54.2
11.2
58.1
mmAL
mmAL
/)(
/)(
2
1
65.37
35.47
6.33
1.48
7.29
5.56
mmBL
mmBL
/)(
/)(
2
1
0
3.67
0
8.58
0
5.54
mmCL
mmCL
/)(
/)(
2
1
0.20
0.50
7.13
8.51
3.8
14.62
mm/2/
85
6.81
2.86
Man kann gleiche oder unterschiedliche Metalle aus Tabelle 5.1 mit dem Piezowandler kombinieren:
Wählen wir als Beispiel für die Version A die Kombination Stahl(2)-PZT4(0)-Aluminium(1), dann gilt
78.2/
11 vv
,
05.1/
1,2 vv
,
mmL35.47
1
,
mmL68.29
2
und
mmL89
.
Wählen wir als Beispiel für die Version B die Kombination PZT4(2)-Titan(1), dann gilt
49.5/
11 vv
,
24.5/
1,2 vv
,
mmL8.58
1
,
0
2L
und
mmL8.69
.
Als Beispiel für die Version C wählen wir die Kombination Stahl (2)-PZT4(0)-Titan(1) und finden
54.2/
11 vv
,
1.2/
1,2 vv
,
mmL8.51
1
,
mmL3.8
2
und
mmL1.71
.
Bei endständigem Piezoelement (Version B) lassen sich offensichtlich mit gleicher Materialkombination,
gleicher Dicke und gleicher mechanischer Belastung des Piezowandlers im Vergleich mit den Versionen
A und C wesentlich größere Schnelleamplituden
1,1
v
an der Lastseite des Verbundschwingers erzielen.
Die Quotienten
)(/)( 1,11,1 AvBv
und
)(/)( 1,11,1 CvBv
konvergieren sogar mit abnehmender Dicke des
Piezowandlers nahezu proportional zu
0
/1
gegen
0
/2
m
bzw.
.)1/(80
mm
Bei großer Leis-
tung wird das manchmal vorteilhaft für wesentlich kleinere Stromamplituden bei entsprechend größerer
elektrischer HF-Spannung genutzt.
Wir kombinieren nun Gleichung (5.8) mit (4.18), indem wir die Differenz
021 3// kCiivvv
der Schnelleamplituden an den Endflächen des Piezowandlers durch die proportionale Stromamplitude i
29
und die Kapazität
0
C
durch
0
2
0,000 /)(2/
DC r
ersetzen. Damit ergibt sich für die elektrische
Amplitudeneichung der Schnelle
1,1
v
an der Lastseite eines dreiteiligen Verbundschwingers
),,()( 100
1,1 mFfB
i
v
mit
r
r
f
fDk
f
fB
)(
)(3/2
)( 2
0,0
2
0
0
(5.15)
und
sin
)2/(sin1
sin
sin
)2/(sin1
),,( 0
2
1
0
0
0
2
1
10
aa
mF
(5.16)
Der dimensionsbehaftete Faktor
)(
0fB
enthält die dielektrischen Konstanten und den konstanten Ma-
terial-Kopplungsfaktor
2/1
33 kk
, sowie die von der Arbeitsfrequenz
r
f
des Verbundschwingers
abhängige Wellenlänge
r
fc /
00
, und den frequenzabhängigen Durchmesser D des Piezowand-
lers. Bei gleichem Schlankheitsgrad D/L ist
.constfD r
und
)(
0fB
ist eine zu
r
f
proportionale
Konstante. Der zweite Faktor
),,( 10 mF
kann für typische Wandlerdicken
4/
0
durch die
einfachere Näherung rechts ersetzt werden. Da auf der Lastseite von Konvertern vorwiegend Segmente
mit
1
1m
, z. B. aus Aluminium oder Titan und mit Längen
4/
11
L
eingesetzt werden, kann die
normierte Dicke
0
des Piezoelements nur zwischen etwa
05.0
und
5.0
variieren. In diesem
Bereich verändert sich
),,( 10 mF
in den bevorzugten Wandlerpositionen
2/
A
und
4/
C
bei Aluminium und Titan nur um wenige Prozentpunkte
%87.1...)( AlA
F
bzw.
%1644.2...)( AlC
F
,
%313.1...)( TiA
F
bzw.
%867.1...)( TiC
F
, die als Ent-
scheidungskriterium beim Design eines Verbundschwingers ausscheiden.
Bei endständigem Wandler mit
2/
0
B
kann die starke Variation zwischen
8.2...)(13 AlB
F
bzw.
8.1...)(8.12 TiB
F
und der charakteristische Anstieg mit abnehmender, normierter Wandlerdicke
0
dagegen bei Design-
überlegungen eine Rolle spielen. Hier lässt sich (5.15) mit Toleranzen von
%5
bzw.
%3
durch die
einfachen Näherungen
)/(25.0)/(75.01,..)(0
3/2
0
AlB
F
(5.17)
bzw.
2/3
00 )/(062.0)/(33.01,..)(
TiB
F
(5.18)
ausdrücken.
30 Berechnung des Kopplungsfaktors aus den Nullstellen der Eingangsreaktanz
5.4 Berechnung des Kopplungsfaktors aus den Nullstellen der Eingangsreaktanz
In Kapitel 4.1 wurde gezeigt, wie man den effektiven Kopplungsfaktor eines piezoelektrischen Schwin-
gungssystems aus den gemessenen Resonanzfrequenzen
s
f
und
p
f
bei Parallel- und Serienresonanz
einer Ersatzschaltung mit konzentrierten Elementen berechnen kann. Weil dabei innere und äußere
Verluste keine Rolle spielen, enthält die zuständige Ersatzschaltung Bild 3.4 nur reine Blindwiderstände.
Die elektrische Eingangsreaktanz hatten wir mit (5.3) und der Resonanzbedingung (5.4) bereits im vori-
gen Kapitel eingeführt. Mit
1
als Phasenabstand von der Mitte des Piezowandlers zum Schnellebauch
an der freien Endfläche des Metallsegments links in Bild 5.2 also gilt anstelle von (5.3)
)sin(
)(sin
)cos(1
4
)sin(
1)sin(
11
2
1,0
1,0
2
1,0
1,0
2
01,
,f
f
f
f
k
f
f
kf
fC
X
p
ee
(5.19)
Bei den Parallelresonanzen
nfff pnp 1,, /
mit
3,2,1n
verschwindet der Nenner von (5.19).
Hier liegen bei verlustbehafteten Schwingungssystemen nach Kapitel 4 die Maxima der Eingangsimpe-
danz. Bei den Serienresonanzen
2/1
2
,1,, 1/
neffpns knfff
2/1 2
,neff
kn
muss der Zäh-
ler in (5.19) verschwinden. Daraus folgt für den effektiven Kopplungsfaktor zunächst die Zwischenlö-
sung
.
)1sin(1
)1(sin))1cos(1(4
)1sin(
,
2
1,0
2
,
2
1,0
,
2
1
2
,
2
1,0
2
,
2
neffneff
neffneff
neff knkkn
knknk
kn
(5.20)
und nach einer Taylorreihenentwicklung als gute Näherung
)(sin
)sin(
)cos(1
41
2
1,0
2
1,0
1,0
2
2
,
n
nkn
n
n
k
kneff
mit
22
2
2
,0 18
n
k
kn
(5.21)
für den reinen Piezowandler.
Die Gleichung (5.21) lässt sich in drei spezifische Faktoren unterteilen:
)(sin),(
1
1
2
0,1
2
2
, nnkF
n
kneff
(5.22)
mit
75.022
1,0
2
1,0
1,0
2
1,0
2)1(866.0
)sin(
))cos(1(/4
),( kk
nkn
nk
nkF
und
2/2/2/ 1,01,210
Der erste Faktor
n/1
hängt nur von der Anzahl n der
2/
-Komponente im Verbundschwinger ab, bei
Verbundschwingern in der Grundresonanz (
1n
) in Kombination mit ein bis drei
2/
-Segmenten gilt
hier also 1, 1/2 oder 1/3.
31
Bild 5.2: Maximaler normierter effektiver Kopplungsfaktor nach (5.22) als Funktion der normierten
Dicke
0
n
des im Druckbauch bei
1)sin( n
angeordneten Piezowandlers. Der Nor-
mierungsparameter
22
/8 k
des reinen Piezowandlers wird bei
0
n
erreicht.
Der zweite Faktor (Bild 5.3) ist eine nach unten offene, parabelähnliche Funktion, die als Abszisse von
der normierten Dicke
1,0
n
des ausgewählten Piezoelements einschließlich der gewünschten
Harmonischen
n
und seinem Kopplungsfaktor
k
(als Parameter) bestimmt wird. Die Funktion erreicht
Maximalwerte
75.022
1,0
2)1(866.0),( kknkF
, die um den Faktor
12))/(21(
k
größer sind als bei
reinen Piezokeramikwandlern mit
0,1
n
(im Bild rechts).
Bild 5.3: Variation des Teilterms
n
2
sin
im Kopplungsfaktor
als Funktion des Phasenwinkels
n
für die Position des Piezoelements im Verbundschwinger
für n = 1 (—), n= 2 (– –) und n = 3 (∙ ∙)
0
n
2
k
32 Berechnung der effektiven Güte von Verbundschwingern
Die endgültige Größe des effektiven Kopplungsfaktors wird durch den dritten Faktor
n
2
sin
in (5.22)
bestimmt. Dieser variiert nach Bild 5.3 als Funktion der normierten Wandlerposition
1
symmetrisch
zur Bildmitte (
2/
1
) zwischen den Extremwerten
2/
1,0min,1
und
2/
1,0max
. In
den Kreuzungspunkten bei
3/,5/ 11
und
2/
1
erreicht er paarweise Übereinstim-
mung für die entsprechend markierten Spektralkomponenten. Im günstigsten Kompromiss der Faktoren
aus Bild 5.2 und Bild 5.3 findet man bei einem typischen Materialkopplungsfaktor
7.0
33 kk
z. B.
paarweise Übereinstimmungen (5.23), (5.24) und (5.25), mit maximalen effektiven Kopplungsfaktoren
bei unterschiedlichen, impedanzkompensierten Ersatzlängen
n
L
. Diese folgen aus den normierten Län-
genverhältnissen
1,10,12,1 //
nach Bild 5.2 und
nnsn
ncLf /2/
,1
,1
:
16,0
,3
2
,1
2 effeff kk
bei
.675.0/25.0/075.0// 1,10,12,1
(5.23)
29.0
,2
2
,1
2 effeff kk
bei
.57.0/30.0/13.0// 1,10,12,1
(5.24)
20.0
,3
2
,2
2 effeff kk
bei
.745.0/18.0/075.0// 1,10,12,1
(5.25)
Die gleichen Zahlenpaare für
2,neff
k
, liegen im Gegensatz zu den Parameterwerten
neff
Qk ,
2
in Kapitel
5.6 deutlich unter den erreichbaren Maximalwerten für Einzelkomponenten. Die
n,1
Phasenwinkel
lassen sich nach Kapitel 6.1 für typische Piezokeramik/Metallkombinationen in reale Längen umrech-
nen. Bei drei Spektralkomponenten ist eine analytische Angleichung der effektiven Kopplungsfaktoren
schwierig.
5.5 Berechnung der effektiven Güte von Verbundschwingern
Prinzipiell kann die effektive Güte eines Verbundschwingers nach Bild 5.2 ähnlich wie der Kopplungs-
faktor in Kapitel 5.4 aus der Eingangsimpedanz der Ersatzschaltung nach Bild 3.4 berechnet werden.
Dabei müssten allerdings mit (3.1) und (3.2) die komplexen Ausbreitungskonstanten
nnn ßj
der drei Komponenten (für die inneren Verluste) und mit (2.23) und (3.8) das Anpassungsmaß
0
/ccm Fl
der Lastimpedanz (für die äußeren Verluste) berücksichtigt werden. Die Netzwerk-
Berechnung mit Hilfe der Kirchhoff’schen Verzweigungsgesetze würde dann nach der Trennung von
Real- und Imaginärteilen sehr aufwendig.
Geht man stattdessen von bekannten Verlustfaktoren
n
der Komponenten und den entsprechenden,
dazu reziproken, frequenzunabhängigen Materialgüten
n
Q
aus, dann findet man die relative Güte des
Verbundschwingers, bezogen auf die hohe Güte
1
Q
des lastseitigen Metalls bei identischer Geometrie
und Frequenz, durch Integration über die einzelnen Verlustkomponenten. Bei der Berechnung macht
man davon Gebrauch, dass die effektive Güte reziprok zur mechanischen Verlustleistung durch elasti-
sche Hysterese bzw. durch akustische Abstrahlung ist. Erstere ist, ebenso wie die volumenspezifische
Wärmeentwicklung und Temperatursteigerung, reziprok zur Materialgüte
im entsprechenden Seg-
ment und proportional zum positionsabhängigen Quadrat der Schalldruckamplitude. Bei kompensierter
Kennimpedanz folgt letztere einer Sinusfunktion, die aber auf der Lastseite nach (5.10) eine, um den
Verstärkungsfaktor
1,21,1 /vvV
größere Amplitude besitzt. Im Schnelle-Bauch der Lastseite entfällt
33
das Integral hinter dem Anpassungsmaß
m
, falls sich im fluiden Medium eine reine fortschreitende
Welle ausbreitet. Es gilt also unter Einschluss der Oberwellen mit
1n
)(
)2/( 2/
2
1
222
0
1
)2/(
0
2/
)2/(
22
2
1
2/
0 2!
222
120/
0
0
0
2sinsinsinsin
sinsin
n
n
n
n
nn
n
n n
n
eff
eff
mVQdVd
Q
Q
dd
Q
Q
dVd
Q
Q
Q
.
(5.26)
Zur Vereinfachung der Rechnung kombinieren wir mit dem Piezowandler bei
500
0Q
zwei gleiche
Metallkomponenten z. B. aus Titan mit typischen Werten
021 4QQQQ m
. Die Integration nach
Gleichung (5.13) liefert dann bei Luftankopplung (
0m
) die einfache Beziehung
1
1,0
1,0
0
2
1,0
,
2cos(
sin
11
)1(
2
1n
n
n
Q
Q
V
Q
Q
m
m
neff
(5.27)
und variiert zwischen den Minima bei mittenständigem Wandler nach (5.28) mit
2/
1
und V = 1
1,0
1,01,0
min,, )sin(
131
2000
n
n
Qneff
(5.28)
und den Maxima bei endständigem Wandler mit
2/
01
nach (5.29)
2
1,0
1,01,0
max,,
1
2
2
2sin
131
2000
V
n
n
Qneff
(5.29)
2
1,0
5.0,,
1
2
31
2000
V
Qneff
(5.30)
Die Gleichung (5.30) beschreibt die von n unabhängige Variation der effektiven Güte bei
4/
1
.
Diese mittige Position des Piezowandlers auf dem linken
4/
-Segment des Verbundschwingers (Fall
C in Kapitel 5.3) erweist sich aus Konstruktionsgründen als optimal (vgl. Kapitel 6.2). Der typische Kur-
venverlauf für die Gleichungen (5.28) bis (5.30) ist aus Bild 5.4 ersichtlich. Diese Kurven gelten mit
1V
als Näherungen für Verbundschwinger mit 2 Titansegmenten. Bei Aluminium und Stahl ist wegen
der größeren Verstärkungsfaktoren (5.10) und unterschiedlicher Materialgüten
m
QQQ 21
mit er-
heblichen Abweichungen zu rechnen.
34 Das Produkt Qk2 als mögliches Qualitätskriterium für Verbundschwinger
Bild 5.4: Güte verlustbehafteter Verbundschwinger ohne äußere Belastung als Funktion der nor-
mierten Dicke des Piezoelements bei endständigem Wandler mit
2/
0
n
n
(obere Kurven),
bei
1)(sin 2n
(untere Kurven) und bei
2/1)(sin 2n
(mittlere Kurve)
Die Güte der Verbundschwinger verringert sich bei allen drei Harmonischen durch steigende Verluste
mit zunehmender normierter Dicke
1,0
und zunehmendem normiertem Abstand
1
des Piezowand-
lers von den Schwingerendflächen. Bei einseitiger Ankopplung an Wasser oder andere reale Lastimpe-
danzen folgt aus (5.26)
mnQ neff /2/
,
.
(5.31)
Die effektive Güte des Verbundschwingers hängt dann, wie in (3.10) gezeigt wurde, unabhängig von
1,0
und
1
nur vom Anpassungsmaß
m
und der Ordnungszahl
n
der Harmonischen ab. Eine hohe
Güte in Luft ist dabei wichtig für einen guten mechanisch-akustischen Wirkungsgrad bei Abstrahlung in
Flüssigkeiten oder andere, relativ große Lastimpedanzen (vgl. Kapitel 5.7).
5.6 Das Produkt Qk2 als mögliches Qualitätskriterium für Verbundschwinger
Durch Multiplikation der Gleichung (5.22) mit (5.28), (5.29) oder (5.30) erhält man die zur Beurteilung
eines Verbundschwingers wichtige Kenngröße
.
,
2neff
Qk
Sie ist bei Vorgabe eines typischen äußeren
Belastungswiderstandes ein Maß für die Leistungsreserve des Verbundschwingers. Je größer der Pa-
rameter
neff
Qk ,
2
ist, desto ausgeprägter und belastbarer sind die Resonanzen im Spektrum der Ein-
gangsimpedanz. Hier interessiert hauptsächlich der Normalfall ungestufter, quasi verlustfreier Verbund-
schwinger bei einseitiger Belastung durch äußere Wirkwiderstände mit dem Anpassungsmaß
1m
(z. B. Wasser) und der Güte
mnQ neff /2/
,
.
eff
Q
35
Aus (5.22) und (5.28) ergibt sich mit den Resonanzbedingungen (5.4) und (5.5)
)(sin)1(
36.1
)(sin),(
2/
1
275.022
1
2
1,0
2
,
2
, nkk
m
nnkF
m
kQ neff
neff
(5.32)
Der Faktor 1/n in (5.22) wird durch den Faktor n bei der Güte kompensiert, entfällt also im Gegensatz
zum reinen Kopplungsfaktor in Kapitel 5.4. Die beiden anderen Faktoren in (5.32) kennen wir bereits
aus Kapitel 5.5, Bild 5.2 und Bild 5.3 Tabelle 5.2 zeigt den nach Bild 5.2 mit
1sin 2n
maximal er-
reichbaren Parameter
max,
2eff
eff kQ
für symmetrische Verbundschwinger bei einseitiger Wasserankopp-
lung und die zugehörige, optimale normierte Dicke der Piezoscheiben als Funktionen des Material-
Kopplungsfaktors
2
k
.
Die Zahlen in Klammern gelten für den unteren Ultraschallbereich mit
kHzf 120
, in dem die Schall-
geschwindigkeit
0
c
im Verbundschwinger kleiner als die Longitudinalwellen-Geschwindigkeit
,L
c
bei
MHz-Frequenzen ist (vgl. Tabelle 8.1).
Tabelle 5.2: Optimale normierte Dicke der Piezoscheiben und maximal erreichbarer Parameter
2
effeff kQ
für Verbundschwinger bei einseitiger Wasserankopplung
2
k
0,2
0,3
0,4
0,5
1,0
n
0,68
0,63
0,58
0,52
max,
2eff
eff kQ
(Wasser)
6 (5,1)
9,5 (8,1)
13,4 (11,5)
18 (15,4)
Die horizontale Linie unterhalb des Maximums in Bild 5.2 markiert in Abhängigkeit von
2
k
breite Varia-
tionsbereiche für die normierte Dicke
1,0
n
des Piezoelements, in denen der Faktor
),( 1,0
2
nkF
grö-
ßer ist, als beim reinen piezoelektrischen Wandler mit
.
1,0
n
Innerhalb dieser Bereichsgrenzen kann man die Faktoren
),( 1,0
2
nkF
auf gleicher Höhe unterhalb
des Maximums paarweise angleichen. So erreicht man nach Bild 5.3 für die Abszissen-Verhältnisse
2:1n
,
3:1n
bzw.
3:2n
bei einem typischen Materialkopplungsfaktor
7.0
33 kk
etwa
%92
,
%80
bzw.
%97
des Maximums. Die Kurven für
n
2
sin
erreichen in den zugehörigen, mar-
kierten Kreuzungspunkten von Bild 5.3 ebenfalls relativ hohe Werte
75.0
,
0.1
bzw.
905.0
, sodass die
größtmöglichen Produkte aus beiden Faktoren mit etwa
%68
,
%80
und
%88
alle nahe an das abso-
lute Maximum heranreichen.
36 Das Produkt Qk2 als mögliches Qualitätskriterium für Verbundschwinger
Bild 5.5: Detail von Bild 5.2 für
5,0
2k
mit paarweise optimaler Angleichung der Ordinaten für
die Frequenzverhältnisse 1:2 (92%), 1:3 (80%) und 2:3 (97%)
Bei typischem
7.0
33 kk
und
max,
2eff
eff kQ
(Wasser) = 15.45 für f < 100 kHz gilt also bei unter-
schiedlichen Längenverhältnissen
1,10,12,1 //
nach Bild 5.2
5.10
,2
2
,2
,1
2
,1 eff
eff
eff
eff kQkQ
bei
482.0/370.0/148.0// 1,10,12,1
(5.33)
4.12
,3
2
,3
,1
2
,1 eff
eff
eff
eff kQkQ
bei
355.0/290.0/355.0// 1,10,12,1
(5.34)
7.13
,3
2
,3
,2
2
,2 eff
eff
eff
eff kQkQ
bei
67.0/22.0/09.0// 1,10,12,1
(5.35)
Weicht die normierte Dicke
0,1
des Piezowandlers nach unten oder oben von den Werten in (5.20),
(5.34) und (5.35) ab, dann werden die paarweise gleichen Parameter
effn
effn kQ ,
2
,
kleiner (vgl. Anhang
zu Kapitel 5.6).
Eine vollständige analytische Angleichung der Parameter
effn
effn kQ ,
2
,
für
1n
,
2n
und
3n
zur
gleichzeitigen oder simultanen Anregung von 3 Harmonischen ist nicht möglich. Man kann aber z. B.
eine Segmentlängen-Aufteilung
1,10,12,1 //
finden (vgl. Anhang zu Kapitel 5.6), bei
der
eff
eff
eff
eff
eff
eff kQkQkQ ,2
2
,2
,3
2
,3
,1
2
,1
. Im Optimalfall gilt hier unter den gleichen Randbedingungen
wie für (5.33)(5.20), (5.34) und (5.35)
eff
eff
eff
eff
eff
eff kQkQkQ ,2
2
,2
,3
2
,3
,1
2
,1 6.065.5
bei
49.0/22.0/29.0// 1,10,12,1
(5.36)
37
Weicht hier die normierte Dicke
0,1
des Piezowandlers nach unten oder oben von dem Wert 0.22 in
(5.36) ab, dann werden die paarweise gleichen
eff
eff
eff
eff kQkQ ,3
2
,3
,1
2
,1
kleiner, während
eff
eff kQ ,2
2
,2
annähern proportional zu
0,1
ansteigt.
Die normierten Berechnungen werden in Kapitel 6.3 für typische Piezokeramik/Metallkombinationen in
reale Längen umgerechnet und diskutiert.
5.7 Akustisch-mechanischer Wirkungsgrad von optimierten Verbundschwingern
Bei der Anregung der Harmonischen
1n
bis
3n
unter den Bedingungen (5.33), (5.34) und (5.35)
ergeben sich ohne Wasserankopplung aus (5.27) effektive Güten von
785
,1
eff
Q
und
875
,2
eff
Q
bei (5.33),
890
,1
eff
Q
und
950
,3
eff
Q
bei (5.34) sowie
980
,2
eff
Q
und
1060
,3
eff
Q
bei (5.35)
Damit würde sich aus den inneren und äußeren Verlustleistungen bei einseitiger Wasserankopplung mit
1/m = 16.5 akustisch-mechanische Wirkungsgrade
neff
neff
ma Q
n
Q
n
m
m
,
,
/26
1
2
(5.37)
zwischen
%97
und
%92
ergeben. Bei Lastwiderständen mit größerem Kennimpedanz-Quotienten m
(z. B. beim Ultraschall-Kunststoff-Schweißen) kann sich der akustisch-mechanische Wirkungsgrad noch
vergrößern. Unter Berücksichtigung zusätzlicher Verluste durch die Schwingerhalterung, bei niedrigen
Ultraschall-Frequenzen und durch die Verschraubung der Komponenten, reduzieren sich die akustisch-
mechanischen Wirkungsgrade allerdings auf Werte zwischen
%80
und
%90
.
5.8 Zusammenfassende Ergebnisse für ungestufte Verbundschwinger in der Grundresonanz
Bild 5.6 bis Bild 5.8 zeigen noch einmal zusammenfassend, in normierter Darstellung, die wichtigsten
Ergebnisse aus Kapitel 5 für einen am Ausgang unbelasteten, schwach verlustbehafteten, ungestuften
Verbundschwinger in der Grundresonanz (
1n
) mit
5.0²² 33 kk
. Parameter sind die drei charak-
teristischen Wandlerpositionen
2/
(mittenständiger Wandler),
2/
0
(endständiger Wand-
ler) und
4/
(Wandler auf einem
4/
-Teilstück zentriert). Abszisse ist in allen Darstellungen die
normierte Dicke
000 /2/
L
des Piezowandlers, die auf den Bereich
5.0/0 0
begrenzt
wurde. In diesem Bereich ergibt sich aus den Gleichungen (5.21) und (5.22) eine erstaunlich gute, ein-
fache Näherung für das Quadrat des effektiven Kopplungsfaktors (Bild 5.6)
%4sinsin6.0 2
0
2
eff
k
mit
20 2/
(5.38)
Bild 5.7 zeigt die effektive Güte
eff
Q
nach (5.28), (5.29) und (5.30) und Bild 5.8 das für die Leistungsre-
serve wichtige Produkt
eff
Qk2
. Aus den Bildern Bild 5.6 und Bild 5.8 erkennt man die deutliche Überle-
genheit des mittenständigen Wandlers, während sich der endständige Wandler nach Bild 5.7 nur durch
eine höhere Güte auszeichnet. Sieht man einmal davon ab, dass geklebte Verbundschwinger mit end-
ständigem Wandler für mittlere Belastungen am preiswertesten hergestellt werden können, dann spricht
alles für den Konverter mit zentralem Piezowandler mit
%4sin61.0 0
2
eff
k
, der bei
38 Zusammenfassende Ergebnisse für ungestufte Verbundschwinger in der Grundresonanz
5.0/
0
sein Optimum erreicht.. Bei Spezialkonstruktionen, z. B. dem einseitig gestuftem
2/
-
Konverter, ist der zentral auf dem dicken
4/
-Teilstück angeordnete Piezowandler mit
4/
unter realistischen Konstruktionsgesichtspunkten der beste Kompromiss.
Bei akustischer Leistungsabgabe an einen äußeren Wirkwiderstand sind die normierten Darstellungen
aus Bild 5.6 und Bild 5.8 identisch, weil die effektive Güte eine von
0
unabhängige Konstante ist.
Bild 5.6: Quadrat des effektiven Kopplungsfaktors für einen am Ausgang unbelasteten, schwach ver-
lustbehafteten, ungestuften Verbundschwinger in der Grundresonanz (
1n
) mit
5.0²² 33 kk
Bild 5.7: Effektive Güte für einen am Ausgang unbelasteten, schwach verlustbehafteten, ungestuften
Verbundschwinger in der Grundresonanz (
1n
) mit
5.0²² 33 kk
.
39
Bild 5.8:
eff
Qk ²
für einen am Ausgang unbelasteten, schwach verlustbehafteten, ungestuften Verbund-
schwinger in der Grundresonanz (
1n
) mit
5.0²² 33 kk
.
In diesem Zusammenhang interessiert noch die Änderung der normierten Resonanzfrequenz
0
/fff
eines ungestuften, zylindrischen Halbwellen-Verbundschwingers nach Bild 5.1 mit konstan-
ter Gesamtlänge
10 LLL
, bei dem die Länge
0
L
des Piezoelements, ausgehend von der Anfangs-
länge
,
0LL
mit
0
1L
, sukzessive gekürzt und bis zur Endlänge
,
1LL
mit
0
0L
verändert
wird. Wir kombinieren jeweils zwei gleiche, in der Impedanz nicht angepasste Metallsegmente aus Alu-
minium, Titan oder Stahl mit einem typischen Piezomaterial nach Tabelle 8.1 und betrachten zur Verein-
fachung nur die beiden Extremfälle mit endständigem (5.33) und mittenständigem Piezoelement (5.34).
Hier gilt:
f
L
L
c
c
Lc
1
1
0
1121 /
(5.39)
bzw.
f
L
L
c
c
Lc
1
1
0
1121 5.02/
(5.40)
Aus der Resonanzbedingung (5.4) folgen mit den Impedanztransformationen (5.2) drei transzendente
Gleichungen
1
2
tanarctan
2
11
1
0
1
f
L
L
c
c
m
L
L
f
(5.41)
für den mittenständigen Verbundschwinger,
40 Zusammenfassende Ergebnisse für ungestufte Verbundschwinger in der Grundresonanz
1tanarctan
1
11
1
0
1
f
L
L
c
c
m
L
L
f
(5.42)
für den endständigen Verbundschwinger mit
6.00 1 L
L
und
11tanarctan
111
1
0
f
L
L
m
L
L
c
c
f
(5.43)
für den endständigen Verbundschwinger mit
.16.0 1 L
L
Die numerisch ermittelten Lösungen
f
für die drei PZT-Kombinationen mit Aluminium, Stahl und Titan
mit
1.5/3.3/ 10 cc
,
17.5/3.3/ 10 cc
bzw.
9.4/3.3/ 10 cc
, sowie
56.0m
,
64.1m
bzw.
88.0m
sind in Bild 5.9 als Funktionen von
LL /
1
dargestellt.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
L1/L = 1-L0/L
f/f0
mittig, Al
mittig, Fe
mittig, Ti
endständig, Al
endständig, Fe
endständig, Ti
Bild 5.9: Änderung der normierten Resonanzfrequenz eines ungestuften, zylindrischen Halbwel-
len-Verbundschwingers mit konstanter Gesamtlänge, in Abhängigkeit der Länge eines end- oder
mittenständigen Piezoelements für in der Impedanz nicht angepasste Metallsegmente
aus Aluminium, Titan und Stahl
41
6 Praktische Beispiele zur Optimierung von Verbundschwingern
6.1 Zur Rücktransformation der impedanzangepassten Ersatzlängen
Durch die Anpassung der Kennimpedanzen (5.1) konnten wir die Ersatzschaltungen in Bild 3.3 und Bild
3.4 so normieren, dass bei den Berechnungen in Kapitel 5 nur noch die normierte Dicke
0
des Pie-
zoelements und dessen normierter Abstand
vom Schnellbauch als Variable übrig blieben. Auf diese
Weise konnten mit dem effektiven Kopplungsfaktor und (oder) der effektiven Güte unter Berücksichti-
gung der Resonanzbedingungen (5.4) und (5.5) einfache Entscheidungskriterien für die Dimensionie-
rung eines Verbundschwingers definiert werden. Nun müssen aus den impedanzangepassten Ersatz-
phasenwinkeln
2
0
11,1
(6.1)
2
0
11,2
(6.2)
bei bekannten Kennimpedanzquotienten
01
1/ZZZ
bzw.
02
2/ZZZ
und bekannten Schallge-
schwindigkeiten
1
c
und
2
c
(nach Tabelle 8.1) durch Rücktransformation
1,1
1
0
1
1
1tanarctan2
Z
Z
L
(6.3)
und
1,2
2
0
2
2
2tanarctan2
Z
Z
L
(6.4)
die wahren Längen
1
L
und
2
L
der beiden Metallkomponenten des Verbundschwingers ermittelt wer-
den. Dabei kann zumindest in der Grundresonanz vorausgesetzt werden, dass die vorher berechneten
effektiven Kopplungsfaktoren und Güten ebenso wie die Transformationsbeziehungen (5.15) und (5.16)
zur Umrechnung der elektrischen Strom- bzw. Spannungsamplituden in mechanische Schnelle- bzw.
Kraftamplituden durch die Rücktransformation unverändert bleiben.
6.2 λ/2-Konverter und Stufenkonzentratoren in der Grundresonanz
Bei den meisten technischen Anwendungen im unteren Ultraschallbereich (f < 120 kHz) arbeitet man
mit einer bevorzugten Festfrequenz (z. B. 20 kHz) und variiert ggfs. die Baulänge der Verbundschwin-
ger durch Zusammenschaltung von ein bis drei
2/
-Resonatoren zu einer Kaskade.
Wir wählen vier repräsentative Beispiele nach Bild 6.1 bis Bild 6.4 zur Demonstration der Berechnung
und verwenden dabei eine typische Piezokeramik mit
7.0
33 kk
.
42 λ/2-Konverter und Stufenkonzentratoren in der Grundresonanz
Bild 6.1: Verbundschwingerversion A1: Symmetrischer
2/
-Konverter
mit
2/
01
und
4/
21
.
Bild 6.2: Verbundschwingerversion A2: Symmetrischer
2/
-Konverter,
kombiniert mit einem
2/
-Stufenkonzentrator
Bild 6.3: Verbundschwingerversion B1: Asymmetrischer
2/
-Konverter
mit
4/
01
,
8/
2
und
.8/5
1
43
Bild 6.4: Verbundschwingerversion B2: Asymmetrischer
2/
-Konverter
mit integriertem Stufenkonzentrator.
Bei den Versionen A1 und B1 nutzen wir die Erkenntnis aus Kapitel 5.4 und Bild 5.5, nach der das
Quadrat des effektiven Kopplungsfaktors
1,
2eff
k
eines Verbundschwingers bei
7.0
33 k
und zentrier-
ten Piezoscheiben parabelähnlich zwischen 72.5% (bei
)4/
0
und dem absoluten Maximalwert
57.0
max,1,
2
eff
k
(bei
2/
0
) variiert. Bei dezentraler Position der Piezoscheiben ist nach Bild 5.3
mit einer Reduktion proportional zu
1
2
sin
zu rechnen. In gleicher Weise variiert der Parameter
1,
2eff
eff kQ
als Funktion von
0
und
1
bei äußerer Wirkbelastung
a
R
und konstanter Güte
mQee 2/
1,
. Bei fehlender äußerer Belastung wird die Güte durch innere Verluste im Wandler be-
stimmt und verringert sich mit zunehmender normierter Dicke
0
der Piezoscheiben kontinuierlich,
wobei der Abfall nach Bild 5.6 bei mittenständigem Piezowandler (in der Hauptbelastungszone) stärker
als linear und bei endständigem Piezowandler (in der Nähe des Wechseldruckknotens) schwächer als
linear erfolgt.
Der λ/2-Konverter A1 mit größtmöglichem Energiespeichervermögen
21,eff
Qk
besteht nach Bild 5.8 aus
einem zentralen Piezoelement der Länge
4/
0
(
2/
0
) und zwei, u. U. unterschiedlichen metalli-
schen Endstücken mit identischen Ersatzlängen
8/
2,1
(
4/
1,21,1
).
Wenn man eine Reduktion des effektiven Kopplungsfaktors um bis zu 25% toleriert, kann die Dicke der
zentralen Piezoscheiben nach Bild 6.1 zugunsten längerer Metallsegmente um 50% auf
8/
0
verrin-
gert werden. Der einfache Konverter A1 kann durch einen
2/
-Stufenkonzentrator gleicher Frequenz
mit dem Verstärkungsfaktor
2
/dDV
zu einer
2/2
-Kaskade A2 ergänzt werden, wobei sich der
Kopplungsfaktor gegenüber A1 um den Faktor
V2/1
reduziert (vgl. Anhang zu Kapitel 6.2). Zur
Reduzierung der Eingangsimpedanz wird der zentrale Piezowandler in der Regel in elektrisch parallel
geschaltete Scheibenpaare unterteilt.
44 λ/2-Konverter und Stufenkonzentratoren in der Grundresonanz
Bei der Version B1 ist das
8/
0
dicke Piezoelement mit
4/
1
auf der rechten oder linken Wand-
lerhälfte zentriert. Das bietet drei Konstruktionsvorteile:
1. Das verlustreichere Piezomaterial liegt außerhalb der Hauptbelastungszone (Druckbauch)
2. Das kürzere Metallsegment ist mit der Ersatzlänge
16/
0
gerade noch dick genug für eine
Schraubverbindung mit Unterlegscheibe
3. Der
2/
-Konverter kann im Schnelleknoten gestuft und in einen Stufenkonzentrator B2 mit
dem Verstärkungsfaktor V umgewandelt werden.
Das reduziert zwar den effektiven Kopplungsfaktor um den Faktor
V/1
gegenüber B1. Der Nachteil
eines erheblich kleineren Kopplungsfaktors (35% des Maximalwertes) wird aber nach (5.15) z. T. durch
doppelt so hohe Güte bei Luftbelastung und einen daraus resultierenden, besseren elektroakustischen
Wirkungsgrad bei einseitiger Außenbelastung kompensiert.
Tabelle 6.1 zeigt die berechneten effektiven Kopplungsfaktoren und Güten für die oben spezifizierten
Versionen A1, A2, B1 und B2, die unabhängig von der Impedanzanpassung der Metallkomponenten an
die Piezokeramik nach (5.1) sind.
Aus der Rücktransformation (6.3) und (6.4) ergeben sich in der unteren Tabellenhälfte die auf
2/
2
bezogenen wahren Längen
2
L
der Metallsegmente für Aluminium (Al), Titan (Ti), Messing (Ms) und
Stahl (Fe) mit den normierten Kennimpedanzquotienten
02 /ZZ
= 0.58, 0.92, 1.12 und 1.72. Die auf
2/
1
bezogenen Längen
1
L
sind dahinter in Klammern angegeben.
Tabelle 6.1: Charakteristische Kenngrößen und normierte Längen der Endabschnitte
für die unterschiedlichen Wandlerversionen
Version A1
Version A2
Version B1
Version B2
eff
k2
0.57
V2/57.0
0.20
V/20.0
)(Lufteff
Q
4.3/
m
Q
1
)1(25.11
VQm
75.1/
m
Q
1
)1(38.01
VQm
)(Wassereff
Q
26
26
26
26
)(
2Wassereff
eff kQ
15
V/5.7
5.2
V/2.5
)(/2 22 AlL
0.333 (0.333) > 0.25
0.197 (0.575)
)(/2 22 TiL
0.263 (0.263) > 0.25
0.135 (0.616)
)(/2 22 MsL
0.230 (0.230) < 0.25
0.113 (0.638)
)(/2 22 FeL
0.168 (0.168) < 0.25
0.075 (0.697)
45
Bild 6.5: Normierte Längen
111 /2/ cLfs
der beiden gleichen Metallsegmente
als Funktion der normierten Dicke
000 /2/ cLfs
des zentralen Piezoelements
für unterschiedliche Materialien nach Variante A1
Bei
1Z
(Messing oder Stahl) müssen die Segmente mit
4/
L
in beiden Versionen gegenüber
den impedanzangepassten Längen gekürzt, bei
1Z
(Titan oder Aluminium) dagegen verlängert wer-
den (vgl. Bild 6.5). In der Version B1 bleibt aber die Gesamtlänge des Verbundschwingers, bis auf klei-
ne Abweichungen (< 2%) bei den schlecht angepassten Metallen Aluminium und Stahl, konstant. Die
optimale Position des Piezowandlers verschiebt sich lediglich bei
1Z
geringfügig nach außen und
bei
1Z
geringfügig nach innen.
Bei einer Arbeitsfrequenz von 20 kHz ergeben sich aus Tabelle 6.1 unter Berücksichtigung der entspre-
chenden Schallgeschwindigkeiten (Tabelle 8.1) für „optimale“
2/
-Konverter aus einer Titan/PZT4-
Kombination die folgenden Axialabmessungen, die bei höheren Frequenzen
proportional zu
f/1
gekürzt werden müssen:
Für den
2/
-Konverter A1:
mmLL 2.32
21
,
mmL1.41
0
und
.5.105
210 mmLLL
Für den
2/
-Konverter B1:
mmL5.16
2
,
mmL6.20
0
,
mmL5.75
1
,
mmLLL 5.115
210
, davon 61.2 mm für den
4/
-Abschnitt bei integriertem Stufenkon-
zentrator B2.
46 Verbundschwinger mit mehreren Resonanzfrequenzen
6.3 Verbundschwinger mit mehreren Resonanzfrequenzen
In Kapitel 5.1 wurden mögliche Gründe für eine gleichzeitige oder simultane Anregung der Grundreso-
nanz und der beiden Harmonischen mit
2n
und
3n
angegeben. In Kapitel 5.5 wurden mit (5.32),
Tabelle 5.2 sowie Bild 5.1 charakteristische Bedingungen (5.33), (5.34), (5.35) für paarweise Anregung
verschiedener Spektralkomponenten bei identischen Werten für
2,neff
Qk
ermittelt. Die Rücktransforma-
tion nach Kapitel 6.1 erfolgt wieder mit (6.1) bis (6.4), ohne Einfluss auf die vorher ermittelten Werte
1,eff
k
und
1,eff
Q
der Grundresonanz.
Dabei ergeben sich z. B. aus den entsprechenden normierten Ersatzlängen der Beziehungen (6.1) bis
(6.4), für Verbundschwinger aus Titan und PZT4 mit einseitiger Wasserankopplung bei 20 kHz und
5.0
33
22 kk
die wahren, unkompensierten Längen:
Für (5.33) bei 20 kHz und
5.0
2k
:
,1.59
1mmL
,1.19
2mmL
mmL4.30
0
Für (5.34) bei 20 kHz und
5.0
2k
:
,8.44
21 mmLL
mmL24
0
Für (5.35) bei 20 kHz und
5.0
2k
:
,84
1mmL
mmL6.11
2
mmL0.18
0
Im Unterschied zur impedanzangepassten Version ergeben sich allerdings nach der Rücktransformation
für die realen Längen
1
L
und
2
L
unterschiedliche Werte, je nachdem, von welcher der 3 beteiligten
Resonanzen n die Rücktransformation erfolgt. So zeigt Tabelle 6.2 für die vier Metalle: Titan, Messing,
Stahl und Aluminium mit unterschiedlichem Kennimpedanzquotienten
92.0
Ti
Z
;
12.1
Ms
Z
;
72.1
Fe
Z
und
58.0
al
Z
die aus
1,1
1
1
11 tanarctan
1
2/
)(
nZ
n
Ln
(6.5)
und
1,2
1
2
22 tanarctan
1
2/
)(
nZ
n
Ln
(6.6)
folgenden, normierten Längen
/)(
1n
und
/)(
2n
als Funktionen von
3,2,1n
in den drei opti-
mierten Paarungen
2:1
für (5.33);
3:1
für (5.34) und
3:2
für (5.35).
47
Tabelle 6.2: Berechnung der normierten wahren Längen aus
/
1
und
/
2
nach (6.6)
3/
2/
5/
(5.20)
n = 1
n = 2
(5.21)
n = 1
n = 3
(5.22)
n = 2
n = 3
/
1,0
0.37
/
1,0
0.29
/
1,0
0.22
Messing
0.134
0.139
Messing
0.340
0.353
Messing
0.082
0.084
0.480
0.484
0.340
0.353
0.684
0.688
Titan
0.159
0.154
Titan
0.365
0.357
Titan
0.096
0.094
0.483
0.480
0.365
0.357
0.694
0.692
Eisen
0.090
0.105
Eisen
0.277
0.346
Eisen
0.056
0.062
0.469
0.490
0.277
0.346
0.655
0.775
Aluminium
0.227
0.185
Aluminium
0.412
0.370
Aluminium
0.132
0.117
0.490
0.469
0.412
0.370
0.714
0.706
Aus den Zahlenkolonnen der Tabelle 6.2 ergeben sich folgende Schlussfolgerungen:
Bei den relativ gut angepassten Metallen Messing und Titan braucht man die ideal angepassten
Wertepaare aus (5.33), (5.34) und (5.35) nicht oder nur geringfügig zu korrigieren, weil die Un-
terschiede mit
%2
praktisch vernachlässigbar sind.
Bei Aluminium (und abgeschwächt bei Stahl) ist der Unterschied zwischen angepassten und
nicht angepasste Wertepaaren besonders groß. Die paarweise erreichten Parameteranpassun-
gen (5.33), (5.34), (5.35) können also nur als Näherungen für einen nachträglichen Iterations-
prozess betrachtet werden. Wenn man die Iteration jeweils mit dem fettgedruckten Zahlenpaar
der Tabelle 6.2beginnt, ist die Anfangsabweichung am kleinsten und man erreicht nach weni-
gen Schritten eine akzeptable paarweise Angleichung der
2,neff
Qk
-Werte.
6.4 Rechenprogramm zur paarweisen Komponentenangleichung der Harmonischen
Zur Verifizierung der Berechnungen aus Kapitel 5 ist im Anhang zu Kapitel 6.4 auf der Basis der Kirch-
hoffschen Verzweigungsgesetze ein Rechenprogramm für die Eingangsimpedanz verlustfreier Ver-
bundschwinger mit Ausgangswirkwiderstand
a
R
nach (2.23) und der Ersatzschaltung nach Bild 3.4
angegeben. Diese Ersatzschaltung kann man vereinfachen, indem man die aus Bild 3.2 und (2.23) für
1/ 1ZRa
folgenden Eingangsimpedanzen
)(sin)/()(cos
)cos()sin(//
1
22
11
2
11010
0
1
fZRf
ffZZjZR
Z
Ze
A
a
)tan(
)(cos
/1
0
1
1
2
0f
Z
Z
j
f
ZRa
(6.7)
und
)(sin)/()(cos
)cos()sin(/
2
22
22
2
2202
0
2
fZRf
ffZZj
Z
Ze
a
)tan( 1
0
2f
Z
Z
j
(6.8)
der beiden metallischen Endsegmente an die Ersatzschaltung Bild 3.3 des zentralen Piezoelements
ankoppelt und alle Impedanzkomponenten durch die Kennimpedanz
0
Z
des Piezowandlers dividiert.
48 Rechenprogramm zur paarweisen Komponentenangleichung der Harmonischen
Man erhält dann die Ersatzschaltung Bild 6.6 mit den eingezeichneten normierten Wirk- und Blindkom-
ponenten. Mit Ausnahme des kritischen Phasenwinkel-Bereichs
)5.0(
1nf
(
1
)
gelten darin die Näherungen aus (6.7) und (6.8) rechts außen.
Bild 6.6: Normierte Ersatzschaltung zu Bild 3.4 (vgl. (6.7) und (6.8))
Der Materialkopplungsfaktor
33
kk
, die Kennimpedanz
0
Z
und die normierte Dicke
0
des Piezo-
wandlers sowie die normierten Kennimpedanzen
,/ 00 ZRm A
011 /ZZm
und
022 /ZZm
werden vorgegeben. Die auf die Grundresonanz normierte Frequenz
f
wird bis zur zweiten Ober-
schwingung als Abszisse variiert. Dabei können wahlweise die normierte Eingangsimpedanz nach Be-
trag und Phasenwinkel oder nach Real- und Imaginärteil angezeigt werden. Ausgangspunkt des Re-
chenprogramms zur paarweisen Komponentenangleichung sind jeweils die Parameterpaare
/
0
und
/
aus Bild 5.3 und Bild 5.5 bzw. die zugehörigen normierten Wertepaare aus (5.33); (5.34) und
(5.35). Anhand der Spektren lassen sich die in Kapitel 5.4 und 5.6 berechneten Werte
eff
k
und
eff
Qk2
relativ einfach verifizieren.
Bei den beiden gut angepassten Metallen Titan und Messing zeigen die mit dem Rechenprogramm
ermittelten Spektren akzeptable Übereinstimmung mit den in Kapitel 5 berechneten Wertenpaaren. Die
bevorzugten Paarungen sind in allen Kurven gut gegenüber den anderen Harmonischen hervorgeho-
ben. Die Phasenspektren eignen sich für eine erste Einschätzung besonders gut, weil die maximalen
Phasenwinkel nach (4.11) bei gleichem
neff
Qk ,
2
bis auf minimale Abweichungen proportional zu
neff
k,
2
4/11
übereinstimmen. Die Größen
neff
k,
2
folgen nach (4.9) aus den Linienbreiten zwischen
den Phasennulldurchgängen, und
eff
Q
wächst nach (5.31) proportional zur Ordnungszahl n der Har-
monischen.
Die folgenden Bilder zeigen Beispiele für Phasen- und Amplituden-Spektren von Verbundschwingern
aus den geeigneten Material-Kombinationen Ti(1)-PZT(0)-Ti(2)
)88.0( 2/1 m
und Al(1)-PZT(0)-Al(2)
)56.0( 2/1 m
im Vergleich zur Idealversion mit angepassten Kennimpedanzen
)1( 2/1 m
bei einsei-
tiger Wasserankopplung
)053.0( 0m
. Neben der Grundschwingung
)2( n
werden in Bild 6.7 die
Oberschwingung bei
2n
und in Bild 6.8 die Oberschwingung bei
2n
angezeigt.
49
Bild 6.7: a) Normierter Phasenwinkel und b) normierte Eingangsimpedanz in Abhängigkeit der
normierten Frequenz bei optimaler Anregung der Grundresonanz (n=1) und der ersten Ober-
schwingung (n=2) für ideale Anpassung (m=1, ..... ), Ti / PZT / Ti (m=0.88, ─) und
Al / PZT / Al (m=0.56, ---)
a)
b)
50 Rechenprogramm zur paarweisen Komponentenangleichung der Harmonischen
Bild 6.8: a) Normierter Phasenwinkel und b) normierte Eingangsimpedanz in Abhängigkeit der
normierten Frequenz bei optimaler Anregung der Grundresonanz (n=1) und der zweiten Ober-
schwingung (n=3) für ideale Anpassung (m=1, ..... ), Ti / PZT / Ti (m=0.88, ─) und
Al / PZT / Al (m=0.56, ---)
Die Quotienten fp,n/fp,1 der Parallelresonanzen weichen mit zunehmender Fehlanpassung nach unten
und die Quotienten fs,n/fs,1 der Serienresonanzen nach oben vom harmonischen Verhältnis n/1 des idea-
len Wandlers mit
1m
ab. Dadurch ändern sich die Referenzwerte
1,0
für die optimalen Paarungen
n,0
aus Bild 5.4 und müssen im Rechenprogramm schrittweise angepasst werden. Die mit (4.9) bis
(4.11) aus Bild 6.7 und Bild 6.8 ermittelten charakteristischen Werte Qeff,n, k2eff,n und Qk2eff,n sind in
Tabelle 6.3 zusammengestellt. Bei den relativ gut angepassten Verbundschwingern aus Titan und PZT
erreicht man nach Bild 6.7 bei unkorrigierten Ausgangswerten
37.0/
0
und
3/
mit
Qk12 ≈ 12 und Qk22 ≈ 10 eine akzeptable Angleichung der Komponenten. Für
1n
/
3n
ist nach
Bild 6.8 eine vergleichbare Komponentenangleichung mit Qk12 ≈ 14 und Qk32 ≈ 12 bei der gleichen
Wandlerdicke
37.0/
0
(statt 0.29) und
2/
möglich. Bei Verbundschwingern aus Alumini-
um und PZT sind größere Korrekturen erforderlich. Hier müssen die Ausgangswerte
37.0/
0
für
1n
/
2n
und
29.0/
0
für
1n
/
3n
zur optimalen Komponentenangleichung auf nied-
rigerem Niveau Qk12 ≈ 7.5 und Qk22 ≈ 7 bzw. Qk12 ≈ 9 und Qk32 ≈ 10 um 42% bzw. 53% erhöht
werden. Die Mittelwerte der zusammengehörigen Qk2-Werte sinken proportional zum abnehmenden
a)
b)
51
Anpassungsmaß m. Man erreicht also bei Verbundschwingern aus Titan/PZT oder Messing/PZT etwa
88 bis 90 % und bei Verbundschwingern aus Al/PZT oder Fe/PZT etwa 56 bis 60 % der Idealwerte bei
1m
.
Tabelle 6.3: Datenauswertung aus Bild 6.7 und 6.8 mit den o. a. Optimalwerten
0
und
zu Bild 6.7
Anpassung m
2
,1 eff
k
2,2 eff
k
2
,1 eff
Qk
2,2 eff
Qk
eff
Q,1
eff
Q,2
1
2/1 m
0.532
0.200
15.46
9.95
29.00
49.80
88.0
2/1 m
0.494
0.209
12.2
9.90
24.70
46.60
56.0
2/1 m
0.490
0.230
7.50
7.00
14.30
32.00
zu Bild 6.8
Anpassung m
2
,1 eff
k
2,2 eff
k
2
,1 eff
Qk
2,2 eff
Qk
eff
Q,1
eff
Q,2
1
2/1 m
0.551
0.186
14.40
14.90
26.10
79.60
88.0
2/1 m
0.619
0.160
14.20
11.70
23.00
72.00
56.0
2/1 m
0.565
0.188
9.10
9.80
15.50
52.00
Aus den Zahlen der Tabelle 6.3 ergeben sich die folgenden Konstruktionsvorschriften für Verbund-
schwinger mit zwei gleichwertigen Resonanzfrequenzen:
Kombiniert man die Oberschwingung
2n
mit der Grundschwingung (
1n
), dann gilt beim Ver-
bundschwinger mit zwei Titan- bzw. zwei Aluminiumscheiben unter Optimalbedingungen
)(
2
486.0
1,,1 pTiTi fL
,
)(
2
18.0
1,,2 pTiTi fL
und
2
)7.2(
)(
2
37.0 1,
1,,0
pPZT
pPZTPZT
f
fL
bzw.
(6.9)
)(
2
443.0
1,,1 pAlAl fL
,
)(
2
118.0
1,,2 pAlAl fL
und
2
)9.1(
)(
2
525.0 1,
1,,0
pPZT
pPZTPZTi
f
fL
(6.10)
Kombiniert man dagegen die Oberschwingung
3n
mit der Grundschwingung (
1n
), dann gilt ent-
sprechend
TipTiTi LfL ,21,,1 )(
2
349.0
mit
2
)72.2(
)(
2
368.0 1,
1,,0
pPZT
pPZTPZTi
f
fL
(6.11)
bzw.
AlpAlAl LfL ,21,,1 )(
2
356.0
mit
2
)25.2(
)(
2
445.0 1,
1,,0 pPZT
pPZTPZTi f
fL
(6.12)
Mit den Schallgeschwindigkeiten
,L
c
für f > 500 kHz und c0 für f < 100 kHz aus Tabelle 8.1 kann
man für jede gewünschte Resonanzfrequenz die Wellenlängen und aus (6.9) bis (6.12) die realen Län-
52 Rechenprogramm zur paarweisen Komponentenangleichung der Harmonischen
gen bzw. Dicken L0, L1 und L2 der Segmente berechnen. Hierbei ist allerdings zu berücksichtigen, dass
die Gleichungen (6.9) bis (6.12) auf die Parallelresonanz fp,1 bezogen sind. Will man also den Verbund-
schwinger z. B. in der niederohmigen Serienresonanz bei fs,1 = 1 MHz oder bei 20 kHz und den ent-
sprechenden Oberschwingungen
2n
oder
3n
betreiben, dann muss in den Gleichungen (6.9) bis
(6.12) nach Bild 6.7 und Bild 6.8 für fp,1 eine um etwa 25% höhere Frequenz, also 1.25 MHz bzw.
25 kHz eingesetzt werden. Man erhält dann aus (6.9) bis (6.12) bei fast gleicher Gesamtdicke die fol-
genden Segmentlängen bzw. -dicken Ln(1MHz) bzw. in Klammern (Ln(20kHz)):
aus (6.9)
)4.29(7.0/),4.18(44.0/),0.49(17.1/ ,0,2,1 mmLmmLmmLPZTTiTi
und
)8.96(31.2/ mmLges
aus (6.10)
)9.41(0.1/),6.12(31.0/),1.46(14.1/ ,0,21 mmLmmLmmLPZTAlAli
und
)101(45.2/ mmLges
aus (6.11)
)4.29(7.0/),1.34(815.0// ,0,2,1 mmLmmLmmLPZTTiTi
und
)6.97(3.2/ mmLges
aus (6.12)
)5.28(68.0/)2.36(895.0// ,0,2,1 mmLmmLmmLPZTTiAl
und
).100(47.2/ mmLges
Die Umrechnung auf andere Resonanzfrequenzen erfolgt mit dem Faktor 1/fs,1.
Die zu erwartenden elektrischen Eingangsimpedanzen
n
Zemin,
bei den niederohmigen Serienresonan-
zen folgen aus der messbaren Kapazität C0, den Werten fs,1 und
eff
Qk ,1
2
aus Tabelle 6.3., Bild 6.7 und
Bild 6.8 mit
1
,1
2
01,1min, 2
eff
sQkCfZe
als Referenzwert. Bei hohen Arbeitsfrequenzen, z. B. fs
= 1 MHz, verwendet man ungeteilte Piezoplatten mit typischen Kapazitäten C0 zwischen 1 und 10 nF,
erdet die Frontplatte und führt die Spannung auf der Rückseite der backing-Platte zu. Bei niedrigen
Arbeitsfrequenzen, z. B. fs = 20 kHz, sind Front- und backing-Segment über die Zentralschraube geer-
det und die Spannung wird über die parallel geschalteten Elektroden des aus ein bis zwei Ringplatten-
Paaren bestehenden Piezoelements nach Bild 1.1, mit gleichfalls typischen Kapazitäten C0 zwischen 1
und 10 nF, zugeführt. Die minimalen Eingangsimpedanzen bei einseitiger Wasserankopplung liegen
also z. B. bei 1 MHz-Verbundschwingern aus Titan-PZT mit typischen Durchmessern D = 2.5 cm und
nFC6
0
bei etwa 2.5
. Bei 20 kHz Verbundschwingern aus Titan-PZT mit 2 Piezoplatten-Paaren,
typischen Durchmessern D = 3.5 cm und
nFC6
0
liegen sie bei etwa 125
.
. Sie sind bei glei-
chen Schlankheitsgrad D/L und Schwingertyp sogar unabhängig von der Frequenz, weil
01, Cfs
pro-
portional zu (D/L)2 ist.
Wegen der unterschiedlichen Position des Schnelleknotens bei Verbundschwingern mit Resonanzanre-
gung bei
1n
und
2n
wird in Kapitel 10.1 eine spezielle Montagevorrichtung skizziert. Hierbei wird
der Verbundschwinger nicht im Schnellknoten fixiert, sondern an der Frontseite auf eine am Rand ein-
gespannte Metallmembrane geklebt und mit einer Platte oder einem zentrierten Hohlzylinder aus Kera-
mik-Leichtschaum niedriger Kennimpedanz und hoher Formstabilität unter leichtem Vordruck von der
53
Backing-Seite gegen die Membrane gepresst, um ein Ablösen von der Membrane unter Druckeinwir-
kung von oben zu verhindern.
Um für schwach verlustbehaftete Verbundschwinger bei Luftankopplung (
0m
) ähnliche Spektralkur-
ven zu erhalten, müssten mit (3.1) und (3.2) alle inneren Verluste der komplexen Impedanzkomponen-
ten von Bild 3.4 berücksichtigt werden. In diesem Fall ergeben sich z. B. für die Impedanzen der beiden
Metallsegmente anstelle von (6.7) Näherungen.
)tan(
)(cos
2
)2sin(
1
2
11
1,1
2
1
1
1
,1
0
1fmj
f
f
f
Q
f
Z
Ze
)tan(
)(cos
2
)2sin(
1
2
22
2
2
2
2
2
2
0
2fmj
f
f
f
Q
f
Z
Ze
(6.13)
Die wichtigen komplexen Komponenten des verlustreicheren Piezowandlers sehen ähnlich aus. Der
mathematische Aufwand zur Trennung der Real- und Imaginärkomponenten der Eingangsimpedanz
des kompletten Verbundschwingers ist also beträchtlich und würde den Rahmen dieser Darstellung
sprengen.
54 Vorbemerkung
7 Spezial-Sonotroden mit Frequenzkorrektur
7.1 Vorbemerkung
Zur Ankopplung eines aktiven piezoelektrischen Verbundschwingers an einen Lastwiderstand benutzt
man im Allgemeinen passive Sonotroden aus Metall- oder Keramik. Sie dienen u. a. zum Schutz des
Konverters bei thermischer, mechanischer oder chemischer Unverträglichkeit, bzw. als Verstärker für
die Schnelleamplitude und als Impedanztransformator zur optimalen Leistungsübertragung. Weil hierbei
die abgestrahlte Leistung auf eine kleinere Fläche konzentriert wird, spricht man auch von Konzentrato-
ren. Am gebräuchlichsten sind so genannte Stufen-„Rüssel“ und Exponential-„Rüssel“, auf die wir hier
etwas näher eingehen wollen. Durch Abweichungen von der einfachen Zylindergeometrie ändert sich
die Resonanzfrequenz, sie kann aber durch einfache Korrekturmaßnahmen schrittweise an einen Soll-
wert angepasst werden.
7.2 Frequenzkorrekturen an einfachen Zylinder-Sonotroden
Nach Bild 3.2 und den Gleichungen (4.1) konzentrieren sich die Federeigenschaften eines Wellenleiters
auf seine Mitte und die Masseneigenschaften auf die Enden. Durch Eingriffe an den Endmassen oder
an der zentralen „Feder“ lässt sich die Frequenz somit korrigieren. So führt z. B. eine Verlängerung bzw.
Verkürzung des Wellenleiters nach Bild 7.1 an den freien Enden zu einer Frequenzminderung bzw. zu
einem Frequenzanstieg. Ersteres kann durch Anschrauben, Anlöten bzw. Ankleben von Zusatzmassen
(
m
), letzteres durch Abdrehen oder radiales bzw. axiales Aufbohren der Endflächen (
m
) ge-
schehen. Bei verschraubten Verbundschwingern genügt oft das Austauschen der Mutter durch eine
leichtere oder schwerere aus anderem Material oder anderer Dicke. Falls die Längen
2
L
der Ersatz-
massen klein gegen
2/
sind, gilt mit
2
/2 L
und
1/tan
unabhängig von der Form
der Ersatzmasse
m
.
tan
00
2
0m
m
m
m
L
L
f
f
(7.1)
Bild 7.1: Vereinfachte Darstellung eines resonanten Ultraschallwellenleiters mit größerer oder
kleinerer Gesamtlänge bzw. mit zentralem Einstich zur Frequenzänderung nach (7.1) oder (7.2)
55
Wenn aus Konstruktionsgründen an den freien Endflächen des Stabsystems keine Zusatzmasse ange-
bracht oder entfern werden kann, bleibt zur Frequenzminderung ein Zugriff auf die Federeigenschaften
in der Stabmitte. Hier bewirkt z. B. eine zentrale Durchmesser-Reduktion
Dd /
auf einer Länge
1
L
nach Bild 7.1 (Mitte) eine Minderung der Federsteifigkeit und reduziert die Resonanzfrequenz um
135.112 2
2
2
11
0d
D
L
L
L
L
f
f
bei
10/
1LL
(7.2)
Befindet sich ein Halterungsflansch der Dicke
LL 1
mit
Dd
an der gleichen Stelle, dann er-
höht sich die Resonanzfrequenz entsprechend. Wegen des axialen Spannungsmaximums im Schnelle-
knoten sollte man zur Vermeidung der Kerbwirkung (vgl. Kap. 10.8) hier keine scharfkantigen Einstiche
vornehmen, sondern schrittweise, mit einem Krümmungsradius von 1 – 2 mm am Drehstahl, Material
vor oder hinter dem Halterungsflansch entfernen, um die Resonanzfrequenz zu verändern.
7.3 Der Stufenkonzentrator mit Frequenzkorrektur zur Amplitudenverstärkung
Bild 1.2 zeigt einen passiven
2/
-Stufenkonzentrator, der mit einem ungestuften Konverter nach
Bild 1.1 zusammengeschraubt ist. Er wird nach Bild 7.2 im zentralen Schnelleknoten vom Durchmesser
D auf den kleineren Durchmesser d heruntergestuft, um eine möglichst große Amplituden-Verstärkung
2
)/( dDV
zu erzielen. Falls die Stufung außermittig mit einer relativen Mittenabweichung
LL/
erfolgt, resultiert daraus gegenüber der korrekten Stufung im Schnelleknoten eine Frequenzänderung
nach Bild 7.3 a.
Ist das schlanke Segment bei gleicher Gesamtlänge kürzer als
,4/
so wirkt das wie eine Stabverkür-
zung mit resultierendem Frequenzanstieg (im Bild 7.3 a, rechts). Ist das schlanke Segment dagegen
länger als
4/
, dann vergrößert sich die scheinbare Stablänge und die Frequenz sinkt (im Bild 7.3 a
links). Ein Linksversatz der Stufe im Bereich
4/1/4/1 LL
bewirkt also immer eine Fre-
quenzabnahme. Wenn man deshalb beim Bau einer
2/
-Stufen-Sonotrode das schlanke Segment bei
konstanter Gesamtlänge L vorsorglich etwas kürzer als
4/
macht, gewinnt man durch nachträgliches
Abdrehen einen langen, fast linearen Bereich
LL/
zur Anpassung an die Sollfrequenz
0
f
.
Bild 7.2: Vereinfachte Darstellung einer gestuften Ultraschall-Sonotrode mit dezentraler Stufung
56 Der Stufenkonzentrator mit Frequenzkorrektur zur Amplitudenverstärkung
Die Stufenverschiebung
LL/
ist allerdings mit einem kleineren Verstärkungsfaktor des Amplituden-
transformators nach Bild 7.3 b gekoppelt. Dieser folgt aus dem Amplitudenverhältnis von Ausgangs-
und Eingangs-Schnelle
EA vv /
in der Reihen-Ersatzschaltung zweier passiver Vierpole mit unterschied-
licher Kennimpedanz
VdDmZZ 2
21 )/(/
nach Bild 3.2. Die Rechnung im Anhang zu Kapitel
7.2 liefert:
)2sin(
1
1
3
1
2sin(
1
1
arcsin
1
0L
L
V
V
L
L
V
V
f
f
(7.3)
LL
V
V
L
LV
f
fV
V
Veff /
1
1
91)2cos(
2
1
)cos(
2
11
0
.
(7.4)
Bild 7.3: a) Frequenzvariation und b) Änderung des effektiven Verstärkungsfaktors
als Funktion des normierten Stufenversatzes beim Stufenrüssel nach (7.3) und (7.4)
im Bereich der Halbwertsbreite nach (7.5) mit V=D/d als Parameter
a)
b)
57
Die Näherungen rechts außen gelten innerhalb der -3dB-Bandbreite des Verstärkungsfaktors mit einer
maximalen Fehlerabweichung von
%1
. Innerhalb dieser Bandbreite mit den Bereichsgrenzen
3/23/2 )
1
1
(12.0)
1
1
(12.0
V
V
L
L
V
V
und
1
1
3.0
1
1
3.0
0
V
V
f
f
V
V
(7.5)
kann der effektive Verstärkungsfaktor um maximal 30% des Optimalwerts V sinken.
Die Resonanzfrequenz nach (7.3) variiert dabei zwischen
%19
bei V = 5 (
16.0/ LL
) und
%11
bei V = 2 (
25.0/ LL
). Beschränkt man den Stufenversatz auf den Be-
reich
VLLV 3/1/3/1
, dann liegt die Abnahme des Verstärkungsfaktors zwischen tolerierba-
ren 1% und 10% des Optimalwerts.
Zur Frequenzkorrektur bei einer Stufen-Sonotrode nach Bild 7.2 kann man statt der o. a. Linksverschie-
bung
LL /
1
der Stufe bei konstanter Gesamtlänge L auch das schlanke Segment um
LL /
2
kürzen.
In diesem Fall addieren sich die Frequenzsteigerung
1
f
durch Verkürzung der Gesamtlänge um
2
L
und die Frequenzsteigerung
2
f
durch Mittenversatz der Stufe um
2/
2
L
und man erhält inner-
halb der Bandbreite den gleichen Frequenzanstieg
f
mit geringerem Werkstattaufwand und Material-
verlust. Denn aus
)1(
1
2
0
1
0f
f
f
f
f
f
folgt
1
2
)
/
)/sin(
1
1
1( 22
0V
V
L
L
LL
LL
V
V
L
L
f
f
(7.6)
und mit (7.3) bei gleicher Frequenzänderung
VLL /11/ 12
.
Ein Sonderfall des Stufentransformators ist der
2/
-Verbundschwinger mit außermittigem Piezowand-
ler und korrekt gestuftem Durchmesser des metallischen
4/
Segments auf der Lastseite. In diesem
Fall multiplizieren sich die Verstärkungsfaktoren des ungestuften Verbundschwingers nach Kapitel 5.3
und Tabelle 5.1 und des gestuften Amplitudentransformators nach (7.4). Bei einer Stahl-Aluminium-
Kombination würde sich z. B. mit
,2.0/
0
25.0/
und moderater Stufung D/d = 2 ein
Gesamt-Verstärkungsfaktor
7
eff
V
ergeben.
58 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung
7.4 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung
Wir verweisen auf die ausführliche Herleitung der axialen Verteilung der Kraft- und Schnelle-Amplituden
bei zylindrischen Stäben in Kapitel 2 und die Gleichungen (2.1) bis (2.20). Im Unterschied dazu ändert
sich die Querschnittsfläche beim Exponentialstab proportional zu exp(bx). Sind d und D die beiden
Enddurchmesser der Sonotrode mit der Resonanzlänge L, dann folgt der Durchmesser als Funktion der
auf L normierten Axialkoordinate
Lxx /
der Funktion
xDdx
d
D
dx
b
dxd )ln(exp))exp(ln()
2
exp()(
mit d bei
0x
und D bei
.1x
(7.7)
Neben der Verstärkung V der Schnelleamplituden zwischen den beiden Endflächen interessiert hier
anstelle der Kraftamplitude die Wechseldruck-Amplitude (Kraft/Fläche) mit ihrem Maximum nahe der
Mitte der resonanten Sonotrode, das die kritische Dauer-Wechselfestigkeit nicht überschreiten darf.
Anstelle von (2.6) gilt also
dx
xdp
b
dx
xpd
xp
)()(
)(
1
2
2
2
2
2)()(
)(
1
dx
xdv
b
dx
xvd
xv
mit
j
nach (2.7).
(7.8)
Die Ausbreitungskonstante
in den Gleichungen (2.1) und (2.2) ist nun durch eine neue Ausbreitungs-
konstante
***
j
zu ersetzen. Diese folgt bei verlustfreiem Sonotrodenmaterial (
j
) aus
Gleichung (7.8):
**)
2
(1
2
*2
j
b
j
b
.
(7.9)
Infolge der exponentiellen Querschnittsänderung b ändern sich die effektive Schallgeschwindigkeit c0*
und damit auch die Resonanzlänge
/*
*
res
L
gegenüber den Vergleichswerten c0 und
fcLres 2/2/ 00
bei zylindrischen Stäben. Mit
*
0
*/c
ergibt sich aus (7.9)
A
D
L
D
bres
)ln()ln(
2/ **
*
und
2
0
*
0
*
*1
2/ A
L
c
cres
o
.
(7.10)
Weil die Schnelle-Amplitude des Konverters verstärkt werden soll, beziehen wir die Amplitudenwerte
der Schnelle v(x) und des Wechseldrucks p(x) auf die Schnelle v0 am Sonotroden-Eingang x = L.
Es gilt also der allgemeine Lösungsansatz
)(
1
)(
1
)1(
)( xjxjxA eBeAexp
.
(7.11)
)(
2
)(
2
)1(
)( xjxjxA eBeAexv
.
(7.12)
59
Die Konstanten An und Bn folgen bei reiner Wirklast Ra = mLZ0 mit
2
000 4/ dcZ
(ähnlich wie
in Kapitel 2) aus den Randbedingungen
DvvLv /)0()( 0
und
)0()0( 00 vcmp L
:
2
000
11)1(
2AjAm
cv
AL
(7.13)
2
000
11)1(
2AjAm
cv
BL
(7.14)
2
0
21)1(
2AmjA
v
AL
(7.15)
2
0
21)1(
2AmjA
v
BL
(7.16)
und stimmen bei A = 0 mit den Gleichungen (2.14) und (2.15) des Zylinderstabes überein.
Durch Einsetzen in (7.12) und (7.13) folgt dann mit (7.10) und
)cos(
2x
ee xjxj
bzw.
)sin(
2x
ee
jxjxj
anstelle von (2.18) und (2.19)
.
)sin(1)sin()cos(
)( 2)1(
0
xAmjxAxe
v
xv L
xA
(7.17)
)sin(1))sin()(cos(
)( 2)1(
000
xAjxAxme
cv
xp L
xA
d
d
xd
xdv
j*
)(
(7.18)
Die resultierenden Amplitudenverläufe folgen aus
22
Re Xe
mit den Real- und Imaginärteilen von
(7.17) und (7.18). Ebenso wie beim Zylinderstab werden bei
0
L
m
stehenden Wellen von je einer
fortschreitenden Welle zum Lastwiderstand Ra (ohne echte Schnelleknoten) überlagert.
Zur Veranschaulichung ist der normierte Verlauf von (7.17) und (7.18) in Bild 7.4 ohne Wirklast (bei
0
L
m
) mit
54,3,2,1 undD
als Parameter und in Bild 7.5 bei einem typischen Verstärkungsfak-
tor
3 DV
mit
5.01.0 bismL
als Parameter über der normierten Abszisse
x
dargestellt.
60 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung
Bild 7.4: Schnelleamplitude (a) und Wechseldruckamplitude (b) über der normierten Axialkoordinate x/L
eines verlustfreien Exponentialkonzentrators ohne Ausgangsbelastung (m=0) mit dem Verstärkungsfak-
tor V=D/d als Parameter. Der Konverter befindet sich links.
a)
b)
61
Bild 7.5: Normierte Schnelleamplituden (a) und Wechseldruckamplituden (b) über der normierten Axial-
koordinate x/L am verlustfreien Exponentialkonzentrator mit V = D/d = 3 und normiertem Ausgangs-
Wirkwiderstand m als Parameter. Der Lastwiderstand m = Ra/Z0 befindet sich rechts und der Konverter
links.
Aus Bild 7.4 a erkennt man, dass die Amplitudenverstärkung V = D/d exakt dem reziproken Durch-
messerverhältnis entspricht. Außerdem ergeben sich bei normierten Abständen
)cot(
1AarcxK
mit
0)(
K
xv
(7.19)
echte Schnelleknoten, an denen die Sonotrode fixiert werden kann.
a)
b)
62 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung
Bei Leistungsabstrahlung (mL > 0) ist eine starre Einspannung an diesen Stellen wegen der Überlage-
rung durch eine fortschreitende Welle nach Bild 7.5 a problematisch. In der Nähe des Schnelleknotens
nach Gleichung (7.19) befindet sich nun ein zu mL proportionales Minimum
3.12)1(03.07.0
0
min )1(15.0)1(35.01 DmDm
v
vL
D
L
bei
L
L
m
m
Aarcvx 1
1
cot
1
(min)
,
(7.20)
das sich mit wachsendem Lastwiderstand leicht zum breiten Sonotrodenende verschiebt.
Zur Vermeidung ungewollter Leistungsabgabe an die Halterung ist hier u. U. eine verlustarme elastische
Aufhängung mit einer auf Resonanz abgestimmten Biegemembrane oder durch verlustarme O-Ringe
sinnvoll.
Aus Bild 7.4 b und Bild 7.5 b erkennt man, dass Lage und Größe der Wechseldruckbäuche zwar vom
Durchmesserverhältnis V = D/d, nicht aber vom äußeren Lastwiderstand mL abhängen. Es gilt
)1(463.01
max00max Dvcp
bei
)cot(
1
)(1)( minmax Aarcvxpx
.
(7.21)
Die Eingangsimpedanz folgt aus dem Quotienten von (7.18) und (7.17) bei Multiplikation mit der positi-
onsabhängigen Querschnittsfläche. An der Koppelstelle zum Konverter (x = L) ist sie – ebenso wie
beim Stufenkonzentrator - um den Faktor (D/d)2 größer als am schlanken Lastausgang (x = 0). Die
Exponential-Sonotrode wirkt also nicht nur als Amplitudenverstärker V = D/d für die Schnelle, sondern
bei der Leistungsübertragung auch als Impedanztransformator im Verhältnis (D/d)2. Die übertragene
Wirkleistung ist bei unterschiedlicher Abstrahlfläche und gleicher Eingangsfläche konstant. Die abge-
strahlte Schallintensität steigt also reziprok zur Abstrahlfläche. Dabei kann sie die Leistungsbegrenzen-
de Kavitationsschwelle erreichen oder überschreiten. Deshalb - und auch wegen der kritischen Halte-
rungsverluste (s. o.) - muss ein Kompromiss bei einem nicht zu großen Verstärkungsfaktor V gesucht
werden.
Zur Leistungsabstrahlung scheint der Exponential-Rüssel besser geeignet zu sein als der Stufen-
Rüssel, denn er besitzt keine reflektierende Impedanz-Sprungstelle im Spannungsbauch. Beide Über-
trager transformieren den Ausgangs-Wirkwiderstand Ra im Flächenverhältnis (D/d)2 auf den Sonotro-
den-Eingang, unterscheiden sich aber bei der Schnelleverstärkung um den Faktor D/d. Zum Vergleich
koppeln wir je einen Stufenrüssel bzw. einen Exponentialrüssel mit gleichem Eingangsdurchmesser D
an einen ungestuften Konverter gleichen Durchmessers. Beide Kaskaden solle bei gleichem Ausgangs-
durchmesser d und gleicher maximaler Wechseldruckamplitude pmax akustische Leistung - entweder an
Luft (mL
0), oder an eine Flüssigkeit mit mL = 0.1 (z. B. Wasser) oder mL = 0.3 (z. B. eine Metall-
schmelze) abgeben. Es zeigt sich, dass unter diesen Voraussetzungen mit dem Exponentialrüssel
63
(7.22) in Abhängigkeit von D/d eine größere Schnelleamplitude vmax und eine größere Leistungsabgabe
erreicht wird als mit dem Stufenrüssel (7.23), weil im ersten Fall
(7.22)
1
)1(463.01
max
00max
D
D
p
cv
und im zweiten Fall (7.23)
1
max
00max
p
cv
ist.
Der relative Amplitudengewinn in % und der relative Schallpegel-Gewinn in [dB] bei Schallabstrahlung
in Flüssigkeiten ergeben sich als Funktion von
dDD /
aus dem Quotienten von (7.22) und (7.23).
Sie erreichen bei D/d = 5 etwa 50% bzw. 7 dB. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass die
Schnelleamplitude am Ausgang des Konverters mit Exponentialrüssel um den Faktor D/d größer sein
muss als beim Stufenrüssel, was zu erheblichen inneren Verlusten mit resultierendem Temperaturan-
stieg im Konverter führen würde, da die Verluste proportional zu (D/d)2 ansteigen.
64 Der Exponential-Konzentrator zur Amplitudenverstärkung und Impedanzanpassung
8 Dispersion der Schallgeschwindigkeit in dicken Stäben und Platten
Die axiale Resonanzfrequenz schlanker zylindrischer Stäbe, mit Durchmessern
LD 
und
2/
L
berechnet man aus
,2/
0,0 Lcf ax
mit
/
0Ec
als axialer Dehnwellengeschwindigkeit. Mit zu-
nehmendem Stabdurchmesser
D
oder abnehmendem Schlankheitsgrad
DL/
sinkt die Resonanzfre-
quenz bei konstanter Stablänge
L
nach Lucey [19] wie
2
33
,0 3
1
1
L
D
N
N
f
f
pax
ax
(8.1)
im Gültigkeitsbereich
2//0 33 NNLD p
, mit
033 2/1 cL
als axialer Frequenzkonstante
und
p
N
als planarer Frequenzkonstante für Radialschwingungen dünner Kreisscheiben (vgl. Tabelle
8.1). Daraus ergibt sich unabhängig von der Segmentlänge eine, für alle Komponenten des Verbund-
schwingers wichtige, relative Änderung der Dehnwellengeschwindigkeit als Funktion von
Df
22
06
1
1
3
4
11
2
1)(
pp
st N
Df
N
fD
c
fDc
(8.2)
(vgl. Bild 8.1).
Der Gültigkeitsbereich von (8.2) für axial schwingende Stäbe gilt für
p
NfD 866.0
. Bei dicken
Aluminium- und Titanstäben heißt das z. B.
mmkHzfD 3100
bzw.
mmkHzfD 2900
.
Bild 8.1: Dispersion der axialen Schallgeschwindigkeit von Titanstäben nach Lucey [19]
65
Tabelle 8.1: Wichtige Materialkonstanten von typischen Ultraschallkomponenten
Material
PZT-4
Titan (6A1 4 V)
Stahl
Aluminium
smNp/
2275
3375
3514
3624
3302/ Nsmc
3290
4900
5180
5150
smcL/
,
3816
5860
5850
6300
(Poissonkonstante)
0.3
0.33
0.32
0.34
3
/mkg
7500
4420
7800
2700
PZT
ccm
/
1
0.878
1.637
0.558
]/1[106K
th
3
6
12
23.8
In einem gewissen Bereich um
xNNLD p 33
//
findet man gekoppelte Axial/Radialschwingungen
mit kissenförmigen Deformationen [14]. Dieser Bereich soll hier nicht weiter erörtert werden.
66 Allgemeine Übersicht
9 Belastbarkeitsgrenzen und Güten von hochwertigen Ultraschallsonotroden
9.1 Allgemeine Übersicht
Der technische Einsatz piezoelektrischer Verbundschwinger konzentriert sich entweder auf den nieder-
frequenten Bereich zwischen etwa 20 kHz und 100 kHz oder auf den hochfrequenten Bereich zwischen
etwa 0.5 MHz und 10 MHz, mit Spezialanwendungen auch bei höheren Frequenzen. Die Grenzen für
den in der Ultraschall-Technik bisher kaum genutzten Frequenzbereich zwischen 100 kHz und 0.5 MHz
sind fließend. Für jedes derzeit bekannte technische Einsatzgebiet sind an der Lastseite des Schwin-
gungssystems charakteristische Schnelleamplituden erforderlich. In Abhängigkeit davon ergeben sich
an der abstrahlenden Schwinger-Stirnfläche z. B. bei 20 kHz Elongationsamplituden A [µm], bzw. im
Nahfeldabstand in Wasser resultierende Schallintensitäten I [W/cm2] und in Luft Schallpegel SPL [dB]
(ref. 1 W/cm2 = 160 dB). Grundsätzlich geht es bei der Konstruktion von Verbundschwinger also darum,
die erforderlichen Schnelleamplituden unter optimalen Bedingungen, d. h. mit hohem Wirkungsgrad,
ausreichenden Schwinger-Standzeiten und zu vertretbaren Kosten bereit zu stellen. Dabei wird die Be-
lastbarkeitsgrenze des Verbundschwingers durch einen Sicherheitsfaktor
1)(/)( xxP KK
be-
stimmt, der sich als Quotienten aus der dynamischen Zugfestigkeit
)(x
K
und der axialen mechani-
schen Wechselspannungs-Amplitude
)(/)()( xSxFx
an der schwächsten Stelle
*xx
des
Verbundsystems erweist.
9.2 Zulässige Schnelleamplituden an der Lastseite ungestufter, geklebter Verbundschwinger
Impuls-Echo-Wandler zur Werkstoffprüfung oder zur medizinischen Diagnostik und Wandler zur Leis-
tungsabstrahlung in der Physiotherapie oder der chemisch-pharmazeutischen Industrie sind in der Re-
gel hochfrequente piezoelektrische Verbundschwinger, mit Resonanzfrequenzen
kHzfr500
. Hier
müssen die einzelnen Schichten durch hochwertige Kleber an den Flächen mit den normierten Axialko-
ordinaten
2/
0
(vgl. Bild 5.7) zusammengefügt werden, weil die geringe Scheibendicke für axiale
Schraubverbindungen ungeeignet ist. Gleiches gilt für niederfrequente Verbundschwinger mit
kHzfr100
bei endständigem Piezowandler
)2/( 0
, die z. B. in Ultraschall-
Reinigungsanlagen, Bohrmaschinen oder Flüssigkeits-Zerstäubern zum Einsatz kommen. In beiden
Fällen sind Klebeschichten mit einer kritischen dynamischen Zugfestigkeit
K
die Schwachstellen.
Deshalb dürfen nur hochwertige, temperaturbelastbare, alterungsbeständige Kleber auf gut präparierten
und entfetteten Klebeflächen benutzt werden.
Aus Bild 5.7, mit den glatten Sinus- bzw. Kosinus-Kurven der mechanischen Wechselspannungs- und
Schnelle-Amplitude auf der backing-Seite des Verbundschwinger, folgt für die näher am Schnelleknoten
liegende, kritische Klebeschicht bei
2/
0
nach dem Hookeschen Spannungs-Dehnungs-Gesetz
)2/sin(//)2/()2/( 001,200
cvE
.
(9.1)
Mit dem Verstärkungsfaktor
2/sin1
2/sin1
0
2
2
0
2
1
1,2
1,1
a
a
v
v
BV
67
aus Tabelle 5.1 und dem o. a. Sicherheitsfaktor
)2/( 0
K
K
P
folgt daraus für die zulässige
Schnelleamplitude
1,1
v
an der Lastseite
2/sin
1
000
1,1
cP
V
vK
K
00cP
VK
K
.
(9.2)
Bei endständigem Piezowandler mit
2/
0
,
1sin/ 00
und
M
als Masse gilt insbesondere
die Näherung
SMP
V
vK
K/
1,1
,
(9.3)
nach der die Beschleunigungskraft pro Flächeneinheit
SMv /
1,2
der aufgeklebten Endmasse
M
stets kleiner sein muss als die Wechselfestigkeit
K
des Klebers. In einem typischen Beispiel für einen
aus zwei Segmenten bestehenden Al-PZT-Verbundschwinger mit
10/2/
0
, einem Sicher-
heitsfaktor PK = 2 und einem aus Tabelle 5.1 folgenden Verstärkungsfaktor V = 1.27 folgt aus (9.2)
001,1 /9.0)( cBv K
.
Die dynamische Zugfestigkeit der Klebeschicht muss also etwas größer sein als das Produkt aus spezi-
fischer Kennimpedanz des Wandlers und maximal erforderlicher Schnelleamplitude auf der Lastseite
des Verbundschwingers. Wenn die Zugfestigkeit
K
des Klebers bekannt ist, kann die zulässige
Schnelleamplitude
max,1,1
v
berechnet werden.
9.3 Zulässige Schnelleamplituden an der Lastseite ungestufter, geschraubter Verbundschwinger
Verbundschwinger der Versionen A mit
2/
bzw. C mit
4/
nach Kapitel 5.5 werden in
der Regel durch mechanisch vorgespannte Schraubverbindungen nach Bild 1.1 realisiert. Die Piezoplat-
ten und die metallischen Verbundsegmente mit dem Außendurchmesser D besitzen eine zentrale Boh-
rung mit dem Innendurchmesser
3/Dd
und werden durch eine hoch belastbare Schraube mit dem
Kerndurchmesser
dd
und der Wechselfestigkeit
k
zusammengehalten. Damit sich diese Ver-
bundschwinger in der Zugphase der Schwingung nicht durch Zugspannungen an den ohne Kleber zu-
sammengefügten Schichtgrenzen lockern, muss die statische Vorspannung etwa der zu erwartenden,
maximalen mechanischen Wechselspannungs-Amplitude entsprechen. Es gilt dann anstelle von (9.2)
sin
/
2
2
00
1,1
Dd
cP
V
vk
K
(9.4)
Zur Demonstration berechnen wir je einen Verbundschwinger aus Al(1)-PZT(0)-Fe(2) mit
2/
A
bzw.
4/
B
und einem Piezowandler gleicher normierten Dicke
2.0
0
bei einem Sicher-
heitsfaktor PK = 2 und einem typischen Durchmesserverhältnis D/d = 3. Die beiden Verstärkungsfak-
toren V(A) = 2.78/1.05 und V(B) = 3.73/2.11 können wieder aus der Tabelle 5.1 entnommen wer-
den. Aus (9.4) folgt dann
001,11,1 /15.0)()( cCvAv k
, wobei allerdings die Wechselfestigkeit
68 Belastbarkeitsgrenzen und Güten von hochwertigen Ultraschallsonotroden
der hochwertigen Metallschraube wesentlich größer ist als die Wechselfestigkeit der Klebeschicht in
(9.2). Unter den angegebenen Bedingungen sind mit den beiden Verbundschwingern auf der Lastseite
fast identische Schnelleamplituden von 1 m/s tolerierbar, die nach Bild 9.1 für die meisten technischen
Anwendungen ausreichen. Der außermittige Piezowandler (Version C) hat gegenüber dem zentrierten
Piezowandler (Version A) den zusätzlichen Vorteil geringerer Verlustleistung (Erwärmung) und ist des-
halb als Konverter vorzuziehen.
9.4 Belastbarkeitsgrenzen und Güten von hochwertigen Ultraschallsonotroden
Für extreme Schnelleamplituden in der Ultraschall-Hochleistungstechnik wird anstelle von Duraluminium
oder hochwertigem Werkzeugstahl die Titanlegierung 90Ti 6Al 4V bevorzugt. Nach Mason [14] kann
dieses Material nach einer einstündigen Wärmebehandlung im Vakuum bei 750°C bis zu maximalen
longitudinalen Dehnungsamplituden
3
max 104
dynamisch belastet werden. Durch die Wärmebe-
handlung lässt sich dabei die gemessene Güte
von typischem, ungetempertem Ausgangsmaterial
bei Frequenzen bis etwa 10 MHz um den Faktor 3 bis 4 auf mehr als 10000 steigern. Mit einem gewis-
sen Sicherheitsfaktor unterhalb der Wechselfestigkeit kann man also bei Güten zwischen 7000 und
10000 maximale Dehnungsamplituden
3
max, 102
dyn
tolerieren. Das führt mit (9.1) bei einer
Schallgeschwindigkeit
4900
Ti
c
m/s unabhängig von der Arbeitsfrequenz zu maximalen Schnelle-
Amplituden von 10 m/s. Mit anderen Sonotrodenlegierungen (Duralumin und Werkzeugstahl) erreicht
man etwa 40%.
Schnelleamplituden von 10 m/s würden bei Ultraschallabstrahlung in Wasser zu unrealistisch hohen
Schallintensitäten
2
/7500 cmW
führen, die um Größenordnungen über der Kavitationsschwelle lägen.
Bei Abstrahlung in Luft erreicht man damit etwa
2
/2 cmW
, also extrem hohe Schallpegel von 163 dB,
die durch Resonanzüberhöhung in Stehwellen-Positionierern [17] sogar auf > 180 dB verstärkt werden
können und zur Levitation schwerer Teilchen mit maximalen Effektivdurchmessern bis etwa 8 mm aus-
reichen. In beiden Extremfällen können Verbundschwinger also noch mit ausreichendem Sicherheitsfak-
tor unter der theoretischen Wechselfestigkeit betrieben werden.
Bei Hochleistungsanwendungen, z. B. beim Kunststoff- oder Metallschweißen mit extrem hoher Impuls-
leistung von einigen kW, kann die elektrische HF-Spannung mit wachsendem Lastwiderstand bei kon-
stant geregelter Strom- bzw. Schnelle-Amplitude u. U. bis zur Durchschlagsspannung ansteigen. Da
sich der Impedanzunterschied zwischen Serien- und Parallelresonanz bei Spitzenbelastung ohnehin
erheblich verringert, kann es zweckmäßig sein, bei der hochohmigen Parallelresonanz (Antiresonanz)
zu arbeiten. Hier wird die Spannung als Regelgröße unter einem kritischen Wert konstant gehalten und
der Strom steigt mit wachsendem Lastwiderstand an. Eine hohe Güte im Leerlauf sorgt für hohe me-
chanisch akustische Wirkungsgrade und geringe Leistungsaufnahme und Temperaturerhöhung im Leer-
lauf.
69
10 Einige Tipps aus der Praxis
10.1 Zum Problem der Schwingeraufhängung
Axial schwingende Sonotroden werden in der Regel im Schnelle- oder Bewegungsknoten befestigt.
Dabei muss die Knotenhalterung u. U. erhebliche statische Axialkräfte ohne Verformung aufnehmen. In
der Ebene des Schnelleknotens liegt allerdings ein durch die Querkontraktion bedingtes Radialschwin-
gungsmaximum, was eine radial steife Aufhängung verbietet. Die Knotenhalterung muss also axial hart
und radial weich sein. Außerdem muss die axiale Ausdehnung von Halterungsflanschen klein gegen-
über der Wellenlänge sein, weil sonst Leistung in die Halterung abfließt. Bild 10.1 zeigt schematisch
eine typische Schwingeraufhängung, die diese Forderungen im Prinzip erfüllt. Gelegentlich werden in
der Ebene des Schnelleknotens auch dünne Platten oder Membranen in Biegewellenresonanz zur
Wandlerbefestigung benutzt. Auch mit elastischen O-Ringen sind verlustarme Wandleraufhängungen
möglich.
Bild 10.1: Prinzip einer axial steifen und radial weichen Wandleraufhängung im Schnelleknoten
70 Zur Erwärmung, Wärmeausdehnung und Temperaturkompensation
Bild 10.2: Doppelfrequenzwandler für 20 und 40 KHz
Bild 10.3 : Doppelfrequenzwandler für 1 und 2MHz
10.2 Zur Erwärmung, Wärmeausdehnung und Temperaturkompensation
Durch Wechselbeanspruchung wird in Ultraschallverbundschwingern mechanische Energie in Hyste-
resewärme umgewandelt. Diese ist proportional zum Verlustfaktor
und zum Quadrat der mechani-
schen Wechselspannungsamplitude (vgl. Kapitel 5.4), wächst also mit der Annäherung an den Schnel-
leknoten (Druckbauch) und betrifft die Piezokeramik wegen des größeren Verlustfaktors stärker als das
metallische Sonotrodenmaterial.
Um die mechanische Vorspannung bei geschraubten Sonotroden auch bei wechselnden Temperaturen
zu gewährleisten, muss die kleine Wärmeausdehnung der Piezoscheiben gegenüber dem zentralen
Metallschaft durch einen Zwischenring mit höherer Wärmeausdehnung, z. B. aus Aluminium, kompen-
siert werden. Sind
,
PZT
d
Al
d
und
AlPZTti ddd
die Axialabmessungen der Piezoscheiben, der
Aluminiumzwischenscheibe und des Titanschafts zwischen Auflage der Scheiben und der Kompressi-
onsmutter und
6
,103
PZTth
,
6
,108.23
Alth
und
6
,106
Tith
die zugehörigen Wärmeaus-
dehnungskoeffizienten (vgl. Tabelle 8.1), dann gilt bei korrekter Temperaturkompensation
Keramik- oder Glasschaum
Metallgehäuse
Metallmembran
Dichtring
Keramik- oder
Glasschaum, Styropor
oder elastische Feder
Metallgehäuse
Metallmembran
Dichtring
71
6/1
68.23
36
,,
,,
TithAlth
PZTthTith
PZT
Al
d
d
(10.1)
Die Dicke des Aluminiumzwischenrings beträgt also etwa 1/6 der Dicke der Piezoscheiben.
10.3 Amplitudenmessung mit der Mikrometermessuhr
Bei niedrigen Ultraschallfrequenzen erreichen die Schwingungsamplituden technischer Verbundschwin-
ger an der Frontfläche leicht Werte zwischen 10 und 50 µm. Eine Amplitudeneichung von Strom- und
Schnelle mit einer fixierten Messuhr ist deshalb naheliegend. Die leichte Tastspitze wird dabei durch
intermittierenden Kontakt mit der schwingenden Sonotrodenfläche permanent aus der Ruhelage ausge-
lenkt und zeigt relativ genau den zur Stromamplitude proportionalen „zero-to-peak“-Wert der Auslen-
kung an.
10.4 Geläppte Piezoplatten ohne Elektroden
Geschraubte Verbundschwinger mit hoher mechanischer Vorspannung stellen höchste Anforderungen
an die Planparallelität der Piezoplatten und der metallischen Kontaktflächen. Deshalb werden die Flä-
chen oft geläppt, wobei die Piezoplatten ihre metallischen Elektrodenflächen verlieren. Da der Luftspalt
zwischen den Kontaktflächen aber durch das Läppen praktisch verschwindet, entsteht kein wesentlicher
kapazitiver Spannungsabfall. Oft werden zusätzlich weich geglühte Kupferfolien als Zwischenelektroden
eingelegt, um Restunebenheiten auszugleichen.
10.5 Achtung bei Temperaturänderungen an elektrisch offenen Piezoplatten
Durch Wärmeausdehnung können sich nicht kurzgeschlossene Piezoplatten elektrisch bis zu mehren
kV aufladen. Das passiert z. B. beim Aushärten von Klebeschichten unter erhöhter Temperatur nach
dem Abkühlen. Die Spannungen sind ungefährlich, können aber Schreckreaktionen auslösen.
10.6 Kapazitiver Spannungsabfall bei nicht leitenden Klebeschichten.
Bei geklebten Verbundschwingern muss man, selbst bei extrem dünnen Klebeschichten, mit einem
kapazitiven Spannungsabfall infolge der kleinen dielektrischen Konstanten des Klebers gegenüber dem
Piezomaterial rechnen. Hier hilft ein leitfähiger Kleber oder ein punktförmiger elektrische Kurzschluss
mit Leitsilber am Rande des Wandlers.
10.7 Montage von Verbundschwinger unter piezoelektrischer Spannungskontrolle
Beim Zusammenschrauben von Verbundschwingern empfiehlt sich eine Kontrollmessung der kompres-
sionsabhängigen statischen Piezospannung, um die optimale mechanische Vorspannung korrekt und
reproduzierbar einzustellen. Die Kontrollspannung erreicht je nach Dicke der Piezoscheiben einige kV
und kann der gewünschten Kompression exakt zugeordnet werden.
72 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
10.8 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
Die folgende Tabelle zeigt die Spannungsüberhöhung
K
bei Stufenkonzentratoren als Funktion des
auf den kleinen Stabdurchmesser
d
normierten Krümmungsradius
dr /
:
dr /
0.05
0.10
0.20
0.40
0.60
1.00
K
2.05
1.60
1.42
1.30
1.20
1.10
Da die Stufung im mechanischen Wechselspannungsmaximum erfolgt, darf der Krümmungsradius nicht
zu klein gewählt werden.
73
11 Schlussbemerkungen
In dieser Arbeit wurde ein Überblick über analytische Methoden zur Berechnung und Lösung von Fra-
gen bei der Entwicklung von Ultraschallverbundschwingern gegeben. In Kapitel 2 wurde das Prinzip des
passiven akustischen Wellenleiters erläutert, in Kapitel 3 aus einer Vierpoldarstellung der Komponenten
ein elektrisches Ersatzmodell zur Erleichterung bei der Berechnung komplexer Schwingerstrukturen in
Kapitel 4 hergeleitet. Nach der Einführung des Kopplungsfaktors und der Güte als messbare, charakte-
ristische Parameter wurden in Kapitel 5 auf dieser Basis einfache analytische Berechnungen für die
optimale Auslegung von Verbundschwinger angegeben und in Kapitel 6 an typischen Beispielen aus der
Praxis unter Einschluss zusammengesetzter Wandlerkaskaden mit Mehrfachresonanzen diskutiert.
In den Kapiteln 7 bis 10 sind wichtige praktische Erfahrungen für den Entwurf von Ultraschallverbund-
schwingern zu finden und einige Tipps bei der Lösung konstruktiver oder messtechnischer Probleme mit
einfachen Hilfsmitteln. Es ist zu hoffen, dass die gewählte Darstellung den Entwicklungsingenieuren
einen Einstieg in ein interessantes Arbeitsgebiet ermöglicht. Neue Fragestellungen werden zur Erweite-
rung und Verifizierung der Theorie führen.
75
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76 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
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Technik, 1973
Valvo, 1988: Piezoxide (PXE) – Eigenschaften und Anwendungen. Valvo Unternehmensbereich
Bauelemente der Philips GmbH, 1988
77
Anhang 1 zu Kapitel 5.4
Beispiel für die Abhängigkeit der effektiven Kopplungsfaktoren
neff
k,
2
für die Grundschwingung (
1n
)
und die beiden Harmonischen mit
2n
und
3n
des impedanzangepassten Verbundschwingers
nach Bild 5.1 und (11.1):
)(sin
)sin(
)cos(1
41
2
1,0
2
1,0
1,0
2
2
,
n
nkn
n
n
k
kneff
(11.1)
mit
22
2
2
,0 18
n
k
kn
für den reinen Piezowandler als Funktionen der normierten Länge
2,1
des kleineren
Metallsegments (Abszisse) mit der normierten Länge
0,1
des Piezoelements als Parameter. Es gelten
die Randbedingungen
1,21,11,0
(11.2)
und
2/
1,01,21
(11.3)
bei
1/ 1, p
fff
, sowie
n
nnn ,2,1,0
(11.4)
und
1
n
n
(11.5)
bei
nf
(
,...3,2n
).
Man erkennt deutliche Kurvenschnittpunkte mit paarweise identischen Ordinaten
2,
2
1,
2effeff kk
,
3,
2
1,
2effeff kk
und
3,
2
2,
2effeff kk
, die nach Tabelle 11.1 mit zunehmender normierter Länge
0,1
des
Piezoelements bei zugehörigen normierten Längen
nm
nm ,0,12,1 )(5.0),(
der beiden
Metallsegmente stetig ansteigen, bis sie ein durch Fettdruck markiertes Optimum erreichen.
Tabelle 11.1: Effektive Kopplungsfaktoren des impedanzangepassten Verbundschwingers
0,1
[°]
10
20
30
40
50
60
70
)(5.0 0,1
[°]
85
80
75
70
65
60
55
)2,1(
2,1
54.5
48.5
41.8
34.4
26.4
17.8
8.5
2,1
[°]
30.5
31.5
23.2
25.6
28.6
42.2
46.5
2,
2
1,
2effeff kk
0.046
0.156
0.218
0.261
0.283
0.285
)3,1(
2,1
[°]
39.5
33.3
26.3
21.2
10
0
3,1
[°]
45. 5
46.7
48.7
48.8
55
60
3,
2
1,
2effeff kk
0.054
0.101
0.134
0.173
0.154
0.135
)3,2(
2,1
[°]
31
23.4
15.4
6.5
49.5
45
41.3
3,2
[°]
54
56.6
59.6
63.5
20.5
15
14.7
3,
2
2,
2effeff kk
[°]
0.097
0.167
0.196
0.185
0.078
0.07
0.06
78 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
Die durch Iteration ermittelten Extremwerte (5.23), (5.24) und (5.25) in Kapitel 5.4
29.0
,2
2
,1
2 effeff kk
bei
3.0/
1,0
(54°)
und
22.035.0/
1,2
)4063(
(11.6)
16,0
,3
2
,1
2 effeff kk
bei
25.0/
1,0
(45°)
und
3.0375.0/
1,2
)5468(
(11.7)
20.0
,3
2
,2
2 effeff kk
bei
18.0/
1,0
(32.5°)
und
335.041.0/
1,2
)5074(
(11.8)
passen relativ gut in die obige Tabelle.
Anhang 2 zu Kapitel 5.4
Aus Bild 3.4 folgt nach einigen Umrechnungen für die Eingangsreaktanz
)tantan(tantantantan
)
2
tan2tan(tan
tan
)tantan(tantantantan
021021
0
21
0
0
2
021021
0
2
xxxxxx
x
xx
x
x
kxxxxxx
k
Xe
(11.9)
Mit den „Randbedingungen“ bei der Parallelresonanz (
1 p
xx
)
210
(11.10)
2
21
(11.11)
2
00
(11.12)
ergibt sich als Zwischenlösung
xx
x
xx
x
xx )cos(2cos
)sin(2
)cos()cos(
)sin(2
tantan
0
0
2121
21
21
(11.13)
xx
xx
xx
xx
xx )cos(2cos
)cos(2cos
)cos()cos(
)cos()cos(
tantan
0
0
2121
2121
21
(11.14)
Setzt man (11.13) und (11.14) in (11.9) ein, dann erhält man durch Anwendung bekannter trigonometri-
scher Beziehungen
x
xxxx
x
x
kx
x
k
Xe
sin
2cos2/sin)2/sin(
2/
)2/sin(
sin 00
0
0
2
0
2
(11.15)
79
Anhang zu Kapitel 5.6
Bild A 1 zeigt als Beispiel die Abhängigkeit des Produktes aus den effektiven Kopplungsfaktoren
neff
k,
2
und den effektiven Güten
neff
Q,
für die Grundschwingung (
1n
) und die beiden Harmonischen mit
2n
und
3n
des impedanzangepassten Verbundschwingers mit normiertem äußeren Wirkwider-
stand
45.15/1 m
nach Bild 5.1 und Gleichung (5.32)
)2/(sin
)sin(
)cos(12 2,10,1
2
1,0
2
1,0
1,0
2
2
,
n
nkn
n
m
k
kneff
(11.16)
als Funktionen der normierten Länge
2,1
des kleineren Metallsegments (Abszisse) mit der normierten
Länge
0,1
des Piezoelements als Parameter. Es gelten die Randbedingungen
1,21,11,0
(11.17)
und
2/
1,01,21
bei
1/ 1, p
fff
(11.18)
n
nnn ,2,1,0
(11.19)
und
1
n
n
bei
nf
(n = 2, 3
….)
(11.20)
Bild A 1: Abhängigkeit des Produktes aus den effektiven Kopplungsfaktoren
neff
k,
2
und den effektiven Güten
neff
Q,
für die Grundschwingung (n = 1)
und die beiden Harmonischen mit n = 2 und n = 3
Man erkennt deutliche Kurvenschnittpunkte mit paarweise identischen Ordinaten
2,
2
1,
2effeff QkQk
,
3,
2
1,
2effeff QkQk
und
3,
2
2,
2effeff QkQk
, die nach Tabelle 11.2 mit zunehmender normierter Länge
0,1
des Piezoelements bei zugehörigen normierten Längen
nm
nm ,0,12,1 )(5.0),(
der
beiden Metallsegmente stetig ansteigen, bis sie ein durch Fettdruck markiertes Optimum erreichen.
80 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
Tabelle 11.2: Produkt
neff
Qk ,
2
des impedanzangepassten Verbundschwingers
mit normiertem äußerem Wirkwiderstand
45.15/1 m
0,1
[°]
10
20
30
40
50
60
70
)(5.0 0,1
[°]
85
80
75
70
65
60
55
)2,,1(
2,1
[°]
64
58
51
45.3
38.3
31.2
23.7
2,1
[°]
21
22
24
24.7
26.7
28.8
31.3
2,
2
1,
2effeff QkQk
2.9
5.4
7.5
9.3
10.5
11.2
11.2
)3,,1(
2,1
[°]
66.8
62
59
58
60
3,1
[°]
18.2
18
16
12
5
3,
2
1,
2effeff QkQk
3.0
5.8
8.4
10.8
13.2
)3,2(
2,1
[°]
36.5
30
23
15
7
3,2
[°]
48.5
50
52
55
58
3,
2
2,
2effeff QkQk
6.4
11
13.6
14.7
13.8
)3,,1(
2,1
[°]
65
62
56
52
48
42
38
3,1
[°]
20
19.5
19
18.5
18
17.5
17
3,
2
1,
2effeff QkQk
2.4
4.4
5.3
5.7
5.3
4.6
4.0
2,
2eff
Qk
2.9
5.5
7.9
10.2
12.3
13.6
14.5
Die durch Iteration ermittelten Extremwerte (5.33), (5.34) und (5.35) in Kapitel 5.6
6.10
,2
2
,1
2 effeff QkQk
bei
37.0/
1,0
(66.6°) und
167.0315.0/
1,2
)307.56(
4.12
,3
2
,1
2 effeff QkQk
bei
29.0/
1,0
(45°) und
355.0/
1,2
)9.63(
.
6.13
,3
2
,2
2 effeff QkQk
bei
22.0/
1,0
(39.6°) und
3.039.0/
1,2
)5470(
passen relativ gut in die obige Tabelle.
Zusätzlich zu den identischen Wertepaaren ist im unteren Teil der Tabelle der entsprechende Verlauf
der
2
Qk
-Werte für den Fall angegeben, bei dem der Wert für
2n
mit zunehmender normierter Län-
ge des Piezoelement größer ist als die beiden übereinstimmenden, noch immer ausreichend großen
Werte der zwei Harmonischen (
1n
und
3n
). Aus diesen Werten erkennt man die günstigste Be-
dingung (5.36) für die simultane oder gleichzeitige Anregung von drei Spektralkomponenten.
81
Anhang zu Kapitel 6.2
Wird der Durchmesser
D
auf der Seite des Piezowandlers im Schnelleknoten auf den Durchmesser
d
heruntergestuft, dann wächst die Schnelleamplitude an der freien Endfläche des schlanken metallischen
Sonotrodenteils um der Verstärkungsfaktor
2
)/( dDV
.
Wenn die Stufung im Metallsegment mit der Länge
1
L
erfolgt, muss der impedanzangepasste Phasen-
winkel
11
in den Formeln für den Kopplungsfaktor durch
x
V
xx
2
tan
1
arctan
1,1
*
1,1
(11.21)
mit
2
1eff
kx
ersetzt werden.
Die Gleichung (5.21) ist dann nicht geeignet und man muss den Kopplungsfaktor grafisch aus (5.20)
ermitteln. Das Resultat für die beiden o. a. typischen Spezialfälle A) und B) ist in Tabelle 11.3 in nor-
mierter Form mit
)1(/)()( 222 effeffeff kVkVk
als Funktion des Verstärkungsfaktors
dargestellt.
Tabelle 11.3:
2
eff
k
für gestufte Wandler
V
1
2
3
4
5
6
)(
2Akeff
0,204
0,151
0,119
0.099
0.084
0,078
)(
2Bkeff
0,176
0,143
0,120
0,104
0,092
0,082
)(
2Akeff
1
0,74
0,58
0,49
0,41
0,38
)(
2Bkeff
1
0,81
0,68
0,59
0,52
0,47
Bei V = 1, d. h. ohne Stufung, entspricht das Ergebnis A) den Erwartungen nach (5.22), während es im
Fall B) etwa 10% unter dem erwarteten Wert nach (5.22) liegt. Die relativen Werte nehmen mit wach-
sender Verstärkung
annähernd proportional zu
V/1
ab, wobei die Absolutwerte bei gleichem
fast identisch sind.
82 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
Anhang zu Kapitel 6.4
Mit dieser Datei können Betrag und Phase oder Real- und Imaginärteil der normierten, komplexen Ein-
gangsimpedanz
ZomnZe /),(
(Bild 3.4) eines impedanzangepassten Verbundschwingers nach Bild
5.1 als Funktion der auf die Grundresonanz normierten Frequenz
nf
bis zur dritten Oberschwingung
ermittelt und dargestellt werden. Die Berechnung erfolgt durch Anwendung der Kirchhoffschen Vertei-
lungsgesetze mit den normierten Reaktanzen aus Bild 3.4 und einem zusätzlichen normierten Belas-
tungswiderstand
),(1 mnR
, der sich aus Gleichung (2.13) ergibt. Die unabhängigen Parameter
2
kkk
für das Quadrat des Materialkopplungsfaktors,
1/1 ZRam
,
ZoZm /12
(hier Wasser,
Aluminium und PZT-4 mit
2
k
= 0.5) werden fest vorgegeben. Für die normierte Dicke
0
des Piezo-
wandlers wird ein durch vorherige Abschätzung in Kapitel 5 ermittelter Optimalwert
0
ebenfalls fest
vorgegeben. Einer der beiden normierten, voneinander abhängigen Ersatzlängen
11)(1
m
und
21)(2
m
der beiden Metallsegmente kann als Parameter bei
1m
oder
2m
variiert werden.
Dadurch verändert sich bei fester Dicke
0
die Position
des Piezowandlers in Bezug auf die
Schnellebäuche an den Enden des Verbundschwingers. Wenn bei der Variation die symmetrische Posi-
tion des Piezoelements überschritten wird, verlagert sich der Belastungswiderstand Ra vom kürzeren
auf das längere Metallsegment. Bei gemeinsamer Darstellung der Kurven für
1m
und
2m
decken
sich die Spektren, zeigen aber z. T. unterschiedliche Minima und Maxima von Betrag und Phasenwinkel
der Eingangsimpedanz, weil die normierte Lastreaktanz
),(1 mnR
invers proportional zu
1cos2
ist
und stark variieren kann. Im Optimalfall für paarweise vergleichbare Anregungsbedingungen gelten in
der Gleichung für
)(1 m
mit dem Vorzeichenwechsel bei
1m
und
2m
die Festwerte
21
aus
den Gleichungen (5.33), (5.34) und (5.35).
Bei nicht impedanzangepassten Verbundschwingern erscheint in dem unten stehenden Rechenpro-
gramm je nach Materialkombination für
),(1 mnX
und
),(2 mnX
vor
)()(1tan nfm
und
)()(2tan nfm
der Kennimpedanzquotient
0/12 ZZm
als von 1 verschiedener Faktor und
anstelle der Gleichungen für
)(1 m
und
)(2 m
sind im ersten Näherungsschritt vor der Iteration die
fett markierten, normierten Ersatzlängen aus Tabelle 6.2 einzusetzen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
83
13
14
15
16
17
18
19
Listing 1: Mathematicaskript zur Berechnung von Betrag und Phase oder Real- und Imaginärteil
der normierten, komplexen Eingangsimpedanz
Ze
Anhang zu Kapitel 7.2
Die Frequenzänderung eines Stufenkonzentrators mit den Durchmessern d1 = d und d2 = D und einer
um
LL/
aus der Mitte versetzen Stufung nach Bild 7.2 ergibt sich aus den gleichwertigen Resonanz-
bedingungen
0tan)tan( 21 fmf
(11.22)
oder
fmf 21 tanarctan
(11.23)
mit
VD
d
Z
Z
m1
2
2
1
(11.24)
Hierbei gilt bei Vernachlässigung quadratischer
-Komponenten
)
2
1(
2
)1()
2
1(
200
1f
f
L
L
f
f
L
L
f
(11.25)
und
)
2
1(
2
)1()
2
1(
200
2f
f
L
L
f
f
L
L
f
(11.26)
Aus (1a) folgt zunächst
0)sin()cos()cos()sin( 2121 ffmff
und daraus dann wegen
)sin(5.0)sin(5.0cossin
mit (11.25) für die korrekte Frequenzänderung
)2sin(
1
1
)sin(
0L
L
m
m
f
f
(11.27)
oder
)2sin(
1
1
arcsin
1
0L
L
V
V
f
f
(11.28)
84 Einfluss der „Kerbwirkung“ bei Stufenkonzentratoren
Aus der Reihenschaltung der beiden Ersatz-Vierpole ergibt sich mit Hilfe der Kirchhoffschen Verzwei-
gungsgesetze eine Gleichung für den effektiven Verstärkungsfaktor
ffmff
Vv
v
effA
E2121 sinsincoscos
1
(11.29)
und daraus mit (11.25) wegen
)cos(5.0)cos(5.0sinsin
und
)cos(5.0)cos(5.0coscos
)2cos(
2
1
)cos(
2
1
0L
LV
f
fV
V
V
eff
(11.30)
oder
1
0
)2cos(
2
1
)cos(
2
1
L
LV
f
fV
V
Veff
(11.31)
Zur Kompensation der gegenphasigen Schwingungsrichtung an den Enden des Verbundschwingers
muss die aus (11.29) folgende Gleichungen (11.30) mit dem Faktor (-1) korrigiert werden, da der Betrag
des effektiven Verstärkungsfaktors > 0 sein muss.