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Suite IV - Die Zerrissene

Teil 6: Essays 309-317

Meinem Vater

311.0(x, y, z).

311.0(x, {.} ◦ f, stm)mit f:U \ {0} → U.

Punendl.Punendl(x).

paarweise disjunkt. wirkt disjunkt.

RECH-Notation. Fortsetzung.

UxAxiom.

↑x.↑Axiom.

RECH-Notation. Fortsetzung.

pni

Ex.xEinp.xni

Einy.

↑x.

MSC2010: 03D20. 26A09. 06A99.

Andreas Unterreiter

19. Juni 2015

2Mengenlehre #309

Mengenlehre: Weiteres ¨

uber {(p, q)} ∪ x.

Ersterstellung: 28/08/14 Letzte ¨

Anderung: 28/08/14

309-1. Falls q /∈ran xund falls xinjektiv, so ist auch {(p, q)} ∪ xinjektiv. Eine

strukturelle ¨

Ahnlichkeit zu 261-4 f¨

allt auf.

309-1(Satz)

Aus “ q /∈ran x” und “ xinjektiv” folgt “ {(p, q)} ∪ xinjektiv” .

Beweis 309-1 VS gleich (q /∈ran x)∧(xinjektiv).

Thema1 (α, β),(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x.

2.1: Aus Thema1“ (α, β),(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x”

folgt via ElementAxiom: (α, β),(γ, β) Menge.

2.2: Aus Thema1“ (α, β)...∈ {(p, q)} ∪ x”

folgt via 94-8: ((α, β) = (p, q)) ∨((α, β)∈x).

2.3: Aus Thema1“...(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x”

folgt via 94-8: ((γ, β) = (p, q)) ∨((γ, β)∈x).

3: Aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: ((α, β) = (p, q)) ∧((γ, β) = (p, q))

∨(((α, β) = (p, q)) ∧((γ, β)∈x))

∨(((α, β)∈x)∧((γ, β) = (p, q)))

∨((α, β),(γ, β)∈x).

Fallunterscheidung

3.1.Fall ((α, β) = (p, q)) ∧((γ, β) = (p, q)).

4: Aus 3.1.Fall

folgt: (α, β) = (γ, β).

3: Aus 2.1“ (α, β)... Menge ” und

aus 4“ (α, β) = (γ, β) ”

folgt via IGP:α=γ.

...

Mengenlehre #309 3

Beweis 309-1 ...

Thema1 (α, β),(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x.

...

Fallunterscheidung

...

3.2.Fall ((α, β) = (p, q)) ∧((γ, β)∈x).

4.1: Aus 2.1“ (α, β)... Menge ” und

aus 3.2.Fall“ (α, β) = (p, q)...”

folgt via IGP:β=q.

4.2: Aus 3.2.Fall“...(γ, β)∈x”

folgt via 7-5:β∈ran x.

5: Aus 4.1 und

aus 4.2

folgt: q∈ran x.

6: Es gilt 5“q∈ran x” .

Es gilt VS gleich “ q /∈ran x . . . ” .

Ex falso quodlibet folgt: α=γ.

3.3.Fall ((α, β)∈x)∧((γ, β) = (p, q)).

4.1: Aus 3.3.Fall“ (α, β)∈x . . .”

folgt via 7-5:β∈ran x.

4.2: Aus 2.1“...(γ, β) Menge ” und

aus 3.3.Fall“...(γ, β) = (p, q)”

folgt via IGP:β=q.

5: Aus 4.1 und

aus 4.2

folgt: q∈ran x.

6: Es gilt 5“q∈ran x” .

Es gilt VS gleich “ q /∈ran x . . . ” .

Ex falso quodlibet folgt: α=γ.

...

4Mengenlehre #309

Beweis 309-1 ...

Thema1 (α, β),(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x.

...

Fallunterscheidung

...

3.4.Fall (α, β),(γ, β)∈x.

Aus VS gleich “ . . . x injektiv ” und

aus 3.4.Fall“ (α, β),(γ, β)∈x”

folgt via 8-1(Def):α=γ.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: α=γ.

Ergo Thema1:∀α, β, γ : ((α, β),(γ, β)∈ {(p, q)} ∪ x)⇒(α=γ).

Konsequenz via 8-1(Def):{(p, q)} ∪ xinjektiv.

Mengenlehre #309 5

309-2. Aussage 261-3 kann verbessert werden.

309-2(Satz)

a) Aus “ qMenge” folgt “ dom ({(p, q)} ∪ x) = {p} ∪ dom x” .

b) Aus “ pMenge” folgt “ ran ({(p, q)} ∪ x) = {q} ∪ ran x” .

Beweis 309-2 a) VS gleich qMenge.

1: Es gilt: (pMenge) ∨(pUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall pMenge.

Aus 1.1.Fall“pMenge” und

aus VS gleich “ qMenge ”

folgt via 261-3:dom ({(p, q)} ∪ x) = {p} ∪ dom x.

1.2.Fall pUnmenge.

2.1: Aus 1.2.Fall“pUnmenge”

folgt via 1-4:{p}= 0.

2.2: Aus 1.2.Fall“pUnmenge”

folgt via 261-3:dom ({(p, q)} ∪ x) = dom x.

3: dom ({(p, q)} ∪ x)2.2

=dom x2−17

= 0 ∪dom x2.1

={p} ∪ dom x.

4: Aus 3

folgt: dom ({(p, q)} ∪ x) = {p} ∪ dom x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

dom ({(p, q)} ∪ x) = {p} ∪ dom x.

6Mengenlehre #309

Beweis 309-2 b) VS gleich pMenge.

1: Es gilt: (qMenge) ∨(qUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall qMenge.

Aus VS gleich “ pMenge ” und

aus 1.1.Fall“qMenge”

folgt via 261-3:ran ({(p, q)} ∪ x) = {q} ∪ ran x.

1.2.Fall qUnmenge.

2.1: Aus 1.2.Fall“qUnmenge”

folgt via 1-4:{q}= 0.

2.2: Aus 1.2.Fall“qUnmenge”

folgt via 261-3:ran ({(p, q)} ∪ x) = ran x.

3: ran ({(p, q)} ∪ x)2.2

=ran x2−17

= 0 ∪ran x2.1

={q} ∪ ran x.

4: Aus 3

folgt: ran ({(p, q)} ∪ x) = {q} ∪ ran x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

ran ({(p, q)} ∪ x) = {q} ∪ ran x.

Mengenlehre #309 7

309-3. Aussage 261-4 kann erg¨

anzt werden.

309-3(Satz) Es gelte:

→)f:D→B.

→)p /∈D.

→)qMenge.

Dann folgt “ {(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B” .

Beweis 309-3

1: Aus →)“f:D→B”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D)∧(ran f⊆B).

2.1: Aus →)“p /∈D” und

aus 1“...dom f=D . . . ”

folgt: p /∈dom f.

2.2: Aus →)“qMenge ”

folgt via 309-2:dom ({(p, q)} ∪ f) = {p} ∪ dom f.

2.3: Via 261-3 gilt: ran ({(p, q)} ∪ f)⊆ {q} ∪ ran f.

3.1: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus 2.1“p /∈dom f”

folgt via 261-4:{(p, q)} ∪ fFunktion.

3.2: Aus 2.2 und

aus 1“...dom f=D . . . ”

folgt: dom ({(p, q)} ∪ f) = {p} ∪ D.

3.3: Aus 1“...ran f⊆B”

folgt via 158-4:{q} ∪ ran f⊆ {q} ∪ B.

4: Aus 2.3“ran ({(p, q)} ∪ f)⊆ {q} ∪ ran f” und

aus 3.3“{q} ∪ ran f⊆ {q} ∪ B”

folgt via 0-6:ran ({(p, q)} ∪ f)⊆ {q} ∪ B.

5: Aus 3.1“{(p, q)} ∪ fFunktion ” ,

aus 3.2“dom ({(p, q)} ∪ f) = {p} ∪ D” und

aus 4“ran ({(p, q)} ∪ f)⊆ {q} ∪ B”

folgt via 21-1(Def):{(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B.

8Mengenlehre #309

309-4. Die Injektivit¨

ats-Aussage von 309-1 und die Funktions-Aussage von 309-

3kombinieren in wohlgef¨

alliger Weise.

309-4(Satz) Es gelte:

→)f:D→B.

→)finjektiv.

→)p /∈D.

→)q /∈B.

→)qMenge.

Dann folgt:

a) {(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B.

b) {(p, q)} ∪ finjektiv.

Beweis 309-4

1.a): Aus →)“f:D→B” ,

aus →)“p /∈D” und

aus →)“qMenge ”

folgt via 309-3:{(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B.

1.1: Aus →)“f:D→B”

folgt via 21-1(Def):ran f⊆B.

2: Aus 1.1“ran f⊆B” und

aus →)“q /∈B”

folgt via 0-4:q /∈ran f.

3.b): Aus 2“q /∈ran f” und

aus →)“finjektiv ”

folgt via 309-1:{(p, q)} ∪ finjektiv.

Mengenlehre #309 9

309-5. Mit ein wenig zus¨

atzlichem Beweisaufwand ist aus 309-4 eine Bijektions-

Version deduzierbar. Im Vergleich zu 309-4 f¨

allt die Voraussetzung “ pMen-

ge” auf.

309-5(Satz) Es gelte:

→)f:D→Bbijektiv.

→)p /∈D.

→)q /∈B.

→)p, q Menge.

Dann folgt:

a) {(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ Bbijektiv.

b) f⊆ {(p, q)} ∪ f.

c) f6={(p, q)} ∪ f.

Beweis 309-5

1: Aus →)“f:D→Bbijektiv ”

folgt via 22-1(Def): (f:D→B)∧(finjektiv) ∧(ran f=B).

2.1: Aus 1“f:D→B . . . ” ,

aus 1“. . . f injektiv. . . ” ,

aus →)“p /∈D” ,

aus →)“q /∈B” und

aus →)“. . . q Menge ”

folgt via 309-4:

({(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B)∧({(p, q)} ∪ finjektiv).

2.2: Aus →)“p, q Menge ”

folgt via 261-3:ran ({(p, q)} ∪ f) = {q} ∪ ran f.

3: Aus 2.2 und

aus 1“...ran f=B”

folgt: ran ({(p, q)} ∪ f) = {q} ∪ B.

...

10 Mengenlehre #309

Beweis 309-5 ...

4.a): Aus 2.2“ ({(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ B)∧({(p, q)} ∪ finjektiv) ” und

aus 3“ran ({(p, q)} ∪ f) = {q} ∪ B”

folgt via 22-1(Def):{(p, q)} ∪ f:{p} ∪ D→ {q} ∪ Bbijektiv.

4.b): Via 2-7 gilt: f⊆ {(p, q)} ∪ f.

4.1: Es gilt: (f={(p, q)} ∪ f)∨(f6={(p, q)} ∪ f).

wfFallunterscheidung

4.1.1.Fall f={(p, q)} ∪ f.

5: Aus 4.1.1.Fall“f={(p, q)} ∪ f”

folgt via 2-10:{(p, q)} ⊆ f.

6: Aus →)“p, q Menge ”

folgt via 259-36: (p, q)∈ {(p, q)}.

7: Aus 6“ (p, q)∈ {(p, q)}” und

aus 5“{(p, q)} ⊆ f”

folgt via 0-4: (p, q)∈f.

8: Aus 7“ (p, q)∈f”

folgt via 7-5:p∈dom f.

9: Aus 1“f:D→B . . . ”

folgt via 21-1(Def):dom f=D.

10: Aus 8und

aus 9

folgt: p∈D.

11: Es gilt 10“p∈D” .

Es gilt →)“p /∈D” .

Ex falso quodlibet folgt: f6={(p, q)} ∪ f.

Ende wfFallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

A1



“f6={(p, q)} ∪ f”

5.c): Aus A1

folgt: f6={(p, q)} ∪ f.

Mengenlehre #310 11

Mengenlehre: MInfimum/MSupremum.

MMinimum/MMaximum.

Mreflexiv in z.

Ersterstellung: 29/08/14 Letzte ¨

Anderung: 01/09/14

310-1. Nacharbeiten hilft. Beispiel 36-8 liefert auch den Nachweis, dass es nicht-

leere Mengen xmit unteren/oberen MSchranken p/qgibt, f¨

ur die nicht p M q

gilt. Selbst f¨

ur MInfimum/MSupremum ¨

andert sich nichts.

310-1.Bemerkung

•Die Aussage

“ ((0 6=x)

∧(uuntere MSchranke von x)∧(oobere MSchranke von x))

⇒(uM o)”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Aussage

“ ((0 6=x)

∧(inf ist MInfimum von x)∧(sup ist MSupremum von x))

⇒(inf M sup)”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

12 Mengenlehre #310

310-2. Zur Belegung von 310-1 liegt das von 36-8 vertraute Beispiel vor.

310-2.BEISPIEL

Es gelte:

→)u, o, p Menge.

→)u6=o6=p6=u.

→)M={(u, u),(u, p),(p, o),(o, o)}.

→)x={p}.

Dann folgt:

a) 06=x.

b) uuntere MSchranke von x

c) uist MInfimum von x.

d) oobere MSchranke von x.

e) oist MSupremum von x.

f) ¬(uM o).

Ad e): Es gilt nicht (u, o)∈M.

Mengenlehre #310 13

310-3. Nacharbeiten hilft auch zu kl¨

aren, was MInfima von 0 und MMaxima

von dom Mmiteinander zu tun haben.

310-3(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) pist MInfimum von 0.

ii) pist MMaximum von dom M.

Beweis 310-3 i) ⇒ii) VS gleich pist MInfimum von 0.

1: Aus VS gleich “ pist MInfimum von 0 ”

folgt via 36-3:p∈(dom M)∩(ran M).

2: Aus 1“p∈(dom M)∩(ran M) ”

folgt via 2-2: (p∈dom M)∧(p∈ran M).

Thema3.1 α∈dom M.

4: Aus Thema3.1“α∈dom M”

folgt via 35-7:αuntere MSchranke von 0.

5: Aus VS gleich “ pist MInfimum von 0 ” und

aus 4“αuntere MSchranke von 0 ”

folgt via 36-1(Def):αM p.

Ergo Thema3.1:A1



“∀α: (α∈dom M)⇒(αM p) ”

3.2: Aus 2“. . . p ∈ran M” und

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈dom M)⇒(αM p) ”

folgt via 35-1(Def):pobere MSchranke von dom M.

4: Aus 3.2“pobere MSchranke von dom M” und

aus 2“p∈dom M . . . ”

folgt via 38-1(Def):pist MMaximum von dom M.

14 Mengenlehre #310

Beweis 310-3 ii) ⇒i) VS gleich pist MMaximum von dom M.

1: Aus VS gleich “ pist MMaximum von dom M”

folgt via 38-1(Def): (pobere MSchranke von dom M)∧(p∈dom M).

2: Aus 1“ (pobere MSchranke von dom M)∧(p∈dom M) ”

folgt via 36-11:pist MInfimum von 0.

Mengenlehre #310 15

310-4. Auch der “ Zwillingssatz” von 310-3 erscheint dank Nacharbeiten.

310-4(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) pist MSupremum von 0.

ii) pist MMinimum von ran M.

Beweis 310-4 i) ⇒ii) VS gleich pist MSupremum von 0.

1: Aus VS gleich “ pist MSupremum von 0 ”

folgt via 36-4:p∈(dom M)∩(ran M).

2: Aus 1“p∈(dom M)∩(ran M) ”

folgt via 2-2: (p∈dom M)∧(p∈ran M).

Thema3.1 α∈ran M.

4: Aus Thema3.1“α∈ran M”

folgt via 35-7:αobere MSchranke von 0.

5: Aus VS gleich “ pist MSupremum von 0 ” und

aus 4“αobere MSchranke von 0 ”

folgt via 36-1(Def):pM α.

Ergo Thema3.1:A1



“∀α: (α∈ran M)⇒(pM α) ”

3.2: Aus 2“p∈dom M . . . ” und

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈ran M)⇒(pM α) ”

folgt via 35-1(Def):puntere MSchranke von ran M.

4: Aus 3.2“puntere MSchranke von ran M” und

aus 2“. . . p ∈ran M”

folgt via 38-1(Def):pist MMinimum von ran M.

16 Mengenlehre #310

Beweis 310-4 ii) ⇒i) VS gleich pist MMinimum von ran M.

1: Aus VS gleich “ pist MMinimum von ran M”

folgt via 38-1(Def): (puntere MSchranke von ran M)∧(p∈ran M).

2: Aus 1“ (puntere MSchranke von ran M)∧(p∈ran M) ”

folgt via 36-11:pist MSupremum von 0.

Mengenlehre #310 17

310-5. Schlecht formulierte S¨

atze erschweren ihr Auffinden. Nun sollen 36-3,4

nachtr¨

aglich korrigiert werden.

310-5(Satz)

a) Aus “ inf ist MInfimum von x” und “ p∈x” folgt “ inf M p” .

b) Aus “ sup ist MSupremum von x” und “ p∈x” folgt “ p M sup” .

Beweis 310-5 a) VS gleich (inf ist MInfimum von x)∧(p∈x).

1: Aus VS gleich “ inf ist MInfimum von x . . . ”

folgt via 36-3:∀α: (α∈x)⇒(inf M α).

2: Aus VS gleich “ . . . p ∈x” und

aus 1“∀α: (α∈x)⇒(inf M α) ”

folgt: inf M p.

b) VS gleich (sup ist MSupremum von x)∧(p∈x).

1: Aus VS gleich “ sup ist MSupremum von x . . . ”

folgt via 36-3:∀α: (α∈x)⇒(αM sup).

2: Aus VS gleich “ . . . p ∈x” und

aus 1“∀α: (α∈x)⇒(αM sup) ”

folgt: pM sup.

18 Mengenlehre #310

310-6. Auch die Allquantor-Aussagen von 30-19 lesen sich nicht besonders gut.

H¨

ochste Zeit, eine lesbarere Form nachzureichen.

310-6(Satz)

a) Aus “ Mreflexiv in z” und “ p∈z” und “ p=q”

folgt “ pM q” und “ q M p” und “ q M q” .

b) Aus “ Mreflexiv in z” und “ p∈z” und “ ¬(pM q)” folgt “ p6=q” .

c) Aus “ Mreflexiv in z” und “ p∈z” und “ ¬(qM p)” folgt “ p6=q” .

Beweis 310-6 a) VS gleich (Mreflexiv in z)∧(p∈z)∧(p=q).

1: Aus VS gleich “ Mreflexiv in z . . . ”

folgt via 30-19:

∀α, β : ((α∈z)∧(α=β)) ⇒((α M β)∧(β M α)∧(β M β)).

2: Aus VS gleich “ ...(p∈z)∧(p=q) ” und

aus 1“∀α, β : ((α∈z)∧(α=β)) ⇒((αM β)∧(β M α)∧(β M β)) ”

folgt: (pM q)∧(q M p)∧(q M q).

b) VS gleich (Mreflexiv in z)∧(p∈z)∧(¬(p M q)).

1: Aus VS gleich “ Mreflexiv in z . . . ”

folgt via 30-19:∀α, β : ((α∈z)∧(¬(αM β))) ⇒(α6=β).

2: Aus VS gleich “ ...(p∈z)∧(¬(pM q)) ” und

aus 1“∀α, β : ((α∈z)∧(¬(αM β))) ⇒(α6=β) ”

folgt: p6=q.

c) VS gleich (Mreflexiv in z)∧(p∈z)∧(¬(qM p)).

1: Aus VS gleich “ Mreflexiv in z . . . ”

folgt via 30-19:∀α, β : ((β∈z)∧(¬(αM β))) ⇒(α6=β).

2: Aus VS gleich “ ...(p∈z)∧(¬(qM p)) ” und

aus 1“∀α, β : ((β∈z)∧(¬(αM β))) ⇒(α6=β) ”

folgt: q6=p.

3: Aus 2

folgt: p6=q.

Mengenlehre #311 19

Mengenlehre: 311.0(x, y, z) .

311.0(x, y, stm) .

Ersterstellung: 02/09/14 Letzte ¨

Anderung: 02/09/14

311-1. Der Nachweis, dass jede unendliche Menge eine “ unendlich-abz¨

ahlbare” -

dieser Begriffe wird sp¨

ater definiert - Teilmenge umfasst, wird von langer Hand

vorbereitet.

311-1(Definition)

311.0(x, y, z)

={(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

={ω: (∃Ω,Φ,Ψ : (Ω ∈x)∧((Ω,Φ) ∈y)∧(((Ω,Φ),Ψ) ∈z)

∧(ω= (Ω,Ψ)))}.

20 Mengenlehre #311

311-2. In rudiment¨

arer Weise werden einige Eigenschaften von 311.0(x, y, z)

bewiesen.

311-2(Satz)

a) Aus “ (p, q)∈311.0(x, y, z)” folgt “ p∈x”

und “ ∃Ω : (Ω Menge)∧((p, Ω) ∈y)∧(((p, Ω), q)∈z)” .

b) Aus “ p∈x” und “ (p, r)∈y” und “ ((p, r), q)∈z”

folgt “ (p, q)∈311.0(x, y, z)” .

c) 311.0(x, y, z)Relation.

d) Aus “ p∈dom 311.0(x, y, z)”

folgt “ p∈x” und “ p∈dom y” und “ p∈dom (dom z)” .

e) dom 311.0(x, y, z)⊆x∩dom y.

f) Aus “ dom z=U × U” folgt “ dom 311.0(x, y, z) = x∩dom y” .

g) ran 311.0(x, y, z)⊆ran z.

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Mengenlehre #311 21

Beweis 311-2 a) VS gleich (p, q)∈311.0(x, y, z) .

1.1: Aus VS gleich “ (p, q)∈311.0(x, y, z) ”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈311.0(x, y, z) ”

folgt via 311-1(Def):

∃Φ,Ω,Ψ : (Φ ∈x)∧((Φ,Ω) ∈y)∧(((Φ,Ω),Ψ) ∈z)∧((p, q) = (Φ,Ψ)).

2.1: Aus 1.2“...(Φ,Ω) ∈y . . . ”

folgt via 9-15: Ω Menge.

2.2: Aus 1.2“...(p, q) = (Φ,Ψ) ” und

aus 1.1“ (p, q) Menge ”

folgt via IGP: (p= Φ) ∧(q= Ψ).

3.1: Aus 2.2“p= Φ ...” und

aus 1.2“...Φ∈x . . . ”

folgt: p∈x

3.2: Aus 2.2“p= Φ ...”

folgt via PaarAxiom I: (p, Ω) = (Φ,Ω).

4.1: Aus 3.2 und

aus 1.2“...(Φ,Ω) ∈y . . . ”

folgt: (p, Ω) ∈y.

4.2: Aus 3.2“ (p, Ω) = (Φ,Ω) ” und

aus 2.2“. . . q = Ψ ”

folgt via PaarAxiom I: ((p, Ω), q) = ((Φ,Ω),Ψ).

5: Aus 4.2 und

aus 1.2...((Φ,Ω),Ψ) ∈z . . .

folgt: ((p, Ω), q)∈z.

6: Aus 1.2“∃...Ω...” ,

aus 2.1,

aus 4.1 und

aus 5.1

folgt: ∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)∧(((p, Ω), q)∈z)

22 Mengenlehre #311

Beweis 311-2 b) VS gleich (p∈x)∧((p, r)∈y)∧(((p, r), q)∈z).

1.1: Aus →)“p∈x . . . ” folgt: ∃Ω : Ω = p.

1.2: Aus →)“...(p, r)∈y . . . ” folgt: ∃Φ : Φ = r.

1.3: Aus →)“...((p, r), q)∈z” folgt: ∃Ψ : Ψ = q.

1.4: Aus VS gleich “ p∈x . . . ”

folgt via ElementAxiom:pMenge.

1.5: Aus VS gleich “ ...((p, r), q)∈z”

folgt via 9-15:qMenge.

2.1: Aus 1.1“...Ω = p” und

aus VS gleich “ p∈x . . . ”

folgt: Ω ∈x.

2.2: Aus 1.1“...Ω = p” und

aus 1.4

folgt: Ω Menge.

2.3: Aus 1.1“...Ω = p” und

aus 1.2“...Φ = r”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Φ) = (p, r).

2.4: Aus 1.1“...Ω = p” und

aus 1.3“...Ψ = q”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Ψ) = (p, q).

2.5: Aus 1.3“...Ψ = q” und

aus 1.5

folgt: Ψ Menge.

3.1: Aus 2.3 und

aus VS gleich “ ...(p, r)∈y . . . ”

folgt: (Ω,Φ) ∈y.

3.2: Aus 2.3“ (Ω,Φ) = (p, r) ” und

aus 1.3“...Ψ = q”

folgt via PaarAxiom I: ((Ω,Φ),Ψ) = ((p, r), q).

3.3: Aus 2.2“ Ω Menge ” und

aus 2.5“ Ψ Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Ψ) Menge.

...

Mengenlehre #311 23

Beweis 311-2 b) VS gleich (p∈x)∧((p, r)∈y)∧(((p, r), q)∈z).

...

4: Aus 3.2 und

aus VS gleich “ ...((p, r), q)∈z”

folgt: ((Ω,Φ),Ψ) ∈z.

5: Aus 1.1“∃Ω...” ,

aus 1.2“∃Φ...” ,

aus 1.3“∃Ψ...” ,

aus 2.1“ Ω ∈x” ,

aus 3.1“ (Ω,Φ) ∈y” ,

aus 4“ ((Ω,Φ),Ψ) ∈z” ,

aus “ (Ω,Ψ) = (Ω,Ψ)” und

aus 3.3“ (Ω,Ψ) Menge ”

folgt via 311-1(Def): (Ω,Ψ) ∈311.0(x, y, z) .

6: Aus 2.4 und

aus 5

folgt: (p, q)∈311.0(x, y, z) .

Thema1 α∈311.0(x, y, z) .

Aus Thema1“α∈311.0(x, y, z) ”

folgt via 311-1(Def):∃Ω,Φ : α= (Ω,Φ).

Ergo Thema1:∀α: (α∈311.0(x, y, z) ) ⇒(∃Ω,Φ : α= (Ω,Φ)).

Konsequenz via 10-3:311.0(x, y, z) Relation.

24 Mengenlehre #311

Beweis 311-2 d) VS gleich p∈dom 311.0(x, y, z) .

1: Aus VS gleich “ p∈dom 311.0(x, y, z) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (p, Ω) ∈311.0(x, y, z) .

2.1: Aus 1“...(p, Ω) ∈311.0(x, y, z) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):p∈x

2.2: Aus 1“...(p, Ω) ∈311.0(x, y, z) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):∃Φ : ((p, Φ) ∈y)∧(((p, Φ),Ω) ∈z).

3.1: Aus 2.2“...(p, Φ) ∈y . . . ”

folgt via 7-5:p∈dom y

3.2: Aus 2.2“...((p, Φ),Ω) ∈z”

folgt via 7-5: (p, Φ) ∈dom z.

4: Aus 3.2“ (p, Φ) ∈dom z”

folgt via 7-5:p∈dom (dom z)

Thema1 α∈dom 311.0(x, y, z) .

2: Aus Thema1“α∈dom 311.0(x, y, z) ”

folgt via des bereits bewiesenen d):

(α∈x)∧(α∈dom y).

3: Aus 2“ (α∈x)∧(α∈dom y) ”

folgt via 2-2:α∈x∩dom y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom 311.0(x, y, z) ) ⇒(α∈x∩dom y).

Konsequenz via 0-2(Def):dom 311.0(x, y, z)⊆x∩dom y.

Mengenlehre #311 25

Beweis 311-2 f) VS gleich dom z=U × U.

1.1: Via des bereits bewiesenen e) gilt: dom 311.0(x, y, z)⊆x∩dom y.

Thema1.2 α∈x∩dom y.

2: Aus Thema1.2“α∈x∩dom y”

folgt via 2-2: (α∈x)∧(α∈dom y).

3: Aus 2“. . . α ∈dom y”

folgt via 7-7:∃Ω : (α, Ω) ∈y.

4: Aus 3“...(α, Ω) ∈y”

folgt via ElementAxiom: (α, Ω) Menge.

5: Aus 4“ (α, Ω) Menge ”

folgt via 298-2: (α, Ω) ∈ U × U.

6: Aus 5und

aus VS

folgt: (α, Ω) ∈dom z.

7: Aus 6“ (α, Ω) ∈dom z”

folgt via 7-7:∃Φ : ((α, Ω),Φ) ∈z.

8: Aus 2“α∈x . . . ” ,

aus 3“...(α, Ω) ∈y” und

aus 7“...((α, Ω),Φ) ∈z”

folgt via des bereits bewiesenen b):

(α, Φ) ∈311.0(x, y, z) .

9: Aus 8“ (α, Φ) ∈311.0(x, y, z) ”

folgt via 7-5:α∈dom 311.0(x, y, z) .

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈x∩dom y)⇒(α∈dom 311.0(x, y, z) ).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x∩dom y⊆311.0(x, y, z) ”

2: Aus 1.1“dom 311.0(x, y, z)⊆x∩dom y” und

aus A1 gleich “ x∩dom y⊆dom 311.0(x, y, z) ”

folgt via GleichheitsAxiom:dom 311.0(x, y, z) = x∩dom y.

26 Mengenlehre #311

Beweis 311-2 g)

Thema1 α∈ran 311.0(x, y, z) .

2: Aus Thema1“α∈ran 311.0(x, y, z) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω, α)∈311.0(x, y, z) .

3: Aus 2“...(Ω, α)∈311.0(x, y, z) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Φ : ((Ω,Φ), α)∈z.

4: Aus 3“...((Ω,Φ), α)∈z”

folgt via 7-5:α∈ran z.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran 311.0(x, y, z) ) ⇒(α∈ran z).

Konsequenz via 0-2(Def):ran 311.0(x, y, z)⊆ran z.

Mengenlehre #311 27

311-3. Das geordnete Paar (p, x(p)) ist genau dann eine Menge, wenn p∈dom x.

Falls feine Funktion und (p, f(p)) eine Menge ist folgt ausserdem (p, f(p)) ∈f.

311-3(Satz)

a) “(p, x(p)) Menge” genau dann, wenn “ p∈dom x” .

b) Aus “ fFunktion” und “ (p, f(p)) Menge” folgt “ (p, f(p)) ∈f” .

Beweis 311-3 a) ⇒VS gleich (p, x(p)) Menge.

1: Aus VS gleich “ (p, x(p)) Menge ”

folgt via 9-15:x(p) Menge.

2: Aus 1“x(p) Menge ”

folgt via 17-5:p∈dom x.

⇐VS gleich p∈dom x.

1.1: Aus VS gleich “ p∈dom x”

folgt via ElementAxiom:pMenge.

1.2: Aus VS gleich “ p∈dom x”

folgt via 17-5:x(p) Menge.

2: Aus 1.1“pMenge ” und

aus 1.2“x(p) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (p, x(p)) Menge.

b) VS gleich (fFunktion) ∧((p, f(p)) Menge).

1: Aus VS gleich “ ...(p, f(p)) Menge ”

folgt via des bereits bewiesenen a):p∈dom f.

2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1“p∈dom f”

folgt via 18-22: (p, f(p)) ∈f.

28 Mengenlehre #311

311-4. Wird von ymehr Struktur gefordert - hier: ysoll eine Funktion sein - so

gewinnt die Diskussion von 311-2ab) etwas an Fahrt.

311-4(Satz)

a) Aus “ fFunktion” und “ (p, q)∈311.0(x, f, z)”

folgt “ p∈x” und “ p∈dom f” und “ ((p, f(p)), q)∈z” .

b) Aus “ fFunktion” und “ p∈x” und “ ((p, f(p)), q)∈z”

folgt “ (p, q)∈311.0(x, f, z)” .

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-4 a) VS gleich (fFunktion) ∧((p, q)∈311.0(x, f, z) ).

1.1: Aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, f, z) ”

folgt via 311-2:p∈x

1.2: Aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, f, z) ”

folgt via 311-2:∃Ω : ((p, Ω) ∈f)∧(((p, Ω), q)∈z).

2.1: Aus 1.2“...(p, Ω) ∈f . . . ”

folgt via 7-5:p∈dom f

2.2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1.2“...(p, Ω) ∈f . . . ”

folgt via 18-20: Ω = f(p).

3: Aus 2.2“ Ω = f(p) ”

folgt via PaarAxiom I: (p, Ω) = (p, f(p)).

4: Aus 3“ (p, Ω) = (p, f(p)) ”

folgt via PaarAxiom I: ((p, Ω), q) = ((p, f(p)), q).

5: Aus 4und

aus 1.2“...((p, Ω), q)∈z”

folgt: ((p, f(p)), q)∈z

Mengenlehre #311 29

Beweis 311-4 b) VS gleich (fFunktion) ∧(p∈x)∧(((p, f(p)), q)∈z).

1: Aus VS gleich “ ...((p, f(p)), q)∈z”

folgt via 9-15: (p, f(p)) Menge.

2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1“ (p, f(p)) Menge ”

folgt via 311-3: (p, f(p)) ∈f.

3: Aus VS gleich “ . . . p ∈x . . . ” ,

aus 2“ (p, f(p)) ∈f” und

aus VS gleich “ ((p, f(p)), q)∈z”

folgt via 311-2: (p, q)∈311.0(x, f, z) .

30 Mengenlehre #311

311-5. Ein wenig ver¨

andert sich in 311-2, wenn zeine Funktion ist.

311-5(Satz)

a) Aus “ fFunktion” und “ (p, q)∈311.0(x, y, f)” folgt “ p∈x”

und “ ∃Ω : (Ω Menge)∧((p, Ω) ∈y)∧(q=f(p, Ω))” .

b) Aus “ fFunktion” und “ p∈x” und “ (p, r)∈y∩dom f”

folgt “ (p, f(p, r)) ∈311.0(x, y, f)” .

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-5 a) VS gleich (fFunktion) ∧((p, q)∈311.0(x, y, f) ).

1.1: Aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, y, f) ”

folgt via 311-2:p∈x

1.2: Aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, y, f) ”

folgt via 311-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)∧(((p, Ω), q)∈f).

2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1.2“...((p, Ω), q)∈f”

folgt via 18-20:q=f(p, Ω).

3: Aus 1.2“∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)...” und

aus 2

folgt: ∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)∧(q=f(p, Ω))

b) VS gleich (fFunktion) ∧(p∈x)∧((p, r)∈y∩dom f).

1: Aus VS gleich “ ...(p, r)∈y∩dom f”

folgt via 2-2: ((p, r)∈y)∧((p, r)∈dom f).

2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1“...(p, r)∈dom f”

folgt via 18-22: ((p, r), f(p, r)) ∈f.

3: Aus VS gleich “ . . . p ∈x . . . ” ,

aus 1“ (p, r)∈y . . . ” und

aus 2“ ((p, r), f(p, r)) ∈f”

folgt via 311-2: (p, f(p, r)) ∈311.0(x, y, f) .

Mengenlehre #311 31

311-6. Der vielleicht interessanteste Spezialfall von 311-2 liegt vor, wenn y, z

Funktionen sind.

311-6(Satz)

a) Aus “ f, g Funktion” und “ (p, q)∈311.0(x, f, g)”

folgt “ p∈x” und “ p∈dom f” und “ (p, f(p)) ∈dom g”

und “ q=g(p, f(p))” .

b) Aus “ f, g Funktion” und “ p∈x” und “ (p, f(p)) ∈dom g”

folgt “ (p, g(p, f(p))) ∈311.0(x, f, g)” .

c) Aus “ f, g Funktion” folgt “ 311.0(x, f, g)Funktion” .

d) Aus “ f, g Funktion” und “ p∈dom 311.0(x, f, g)”

folgt “ 311.0(x, f, g) (p) = g(p, f(p))” .

e) Aus “ f, g Funktion” und “ dom g=U × U”

folgt “ 311.0(x, f, g) : x∩dom f→ran g” .

f) Aus “ f, g Funktion” und “ p∈x∩dom f” und “ dom g=U × U”

folgt “ 311.0(x, f, g) (p) = g(p, f(p))” .

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

32 Mengenlehre #311

Beweis 311-6 a) VS gleich (f, g Funktion) ∧((p, q)∈311.0(x, f, g) ).

1.1: Aus VS gleich “ f . . . Funktion. . . ” und

aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, f, g) ”

folgt via 311-4: (p∈x)∧(p∈dom f)

1.2: Aus VS gleich “ f . . . Funktion. . . ” und

aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, f, g) ”

folgt via 311-4: ((p, f(p)), q)∈g.

2.1: Aus 1.2“ ((p, f(p)), q)∈g”

folgt via 7-5:(p, f(p)) ∈dom g

2.2: Aus VS gleich “ . . . g Funktion. . . ” und

aus 1.2“ ((p, f(p)), q)∈g”

folgt via 18-20:q=g(p, f(p))

b) VS gleich (f, g Funktion) ∧(p∈x)∧((p, f(p)) ∈dom g).

1: Aus VS gleich “ . . . g Funktion. . . ” und

aus VS gleich “ ...(p, f(p)) ∈dom g”

folgt via 18-22: ((p, f(p)), g(p, f(p))) ∈g.

2: Aus VS gleich “ f . . . Funktion. . . ” ,

aus VS gleich “ . . . p ∈x . . . ” und

aus 1“ ((p, f(p)), g(p, f(p))) ∈g”

folgt via 311-4: (p, g(p, f(p))) ∈311.0(x, f, g) .

Mengenlehre #311 33

Beweis 311-6 c) VS gleich f, g Funktion.

1.1: Via 311-2 gilt: 311.0(x, f, g) Relation.

Thema1.2 (α, β),(α, γ)∈311.0(x, f, g) .

2.1: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ” und

aus Thema1.2“ (α, β)∈...311.0(x, f, g) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):β=g(α, f(α)).

2.2: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ” und

aus Thema1.2“...(α, γ)∈311.0(x, f, g) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):γ=g(α, f(α)).

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: β=γ.

Ergo Thema1.2:

A1



“∀α, β, γ : ((α, β),(α, γ)∈311.0(x, f, g) ) ⇒(β=γ) ”

2: Aus 1.1“311.0(x, f, g) Relation ” und

aus A1 gleich “ ∀α, β, γ : ((α, β),(α, γ)∈311.0(x, f, g) ) ⇒(β=γ) ”

folgt via 18-18(Def):311.0(x, f, g) Funktion.

d) VS gleich (f, g Funktion) ∧(p∈dom 311.(x, f, g) ).

1.1: Aus VS gleich “ . . . p ∈dom 311.0(x, f, g) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (p, Ω) ∈311.0(x, f, g) .

1.2: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):311.0(x, f, g) Funktion.

2.1: Aus 1.2“311.0(x, f, g) Funktion ” und

aus 1.1“...(p, Ω) ∈311.0(x, f, g) ”

folgt via 18-20: Ω = 311.0(x, f, g) (p).

2.2: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ” und

aus 1.1“...(p, Ω) ∈311.0(x, f, g) ”

folgt via des bereits bewiesenen a): Ω = g(p, f(p)).

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: 311.0(x, f, g) (p) = g(p, f(p)).

34 Mengenlehre #311

Beweis 311-6 e) VS gleich (f, g Funktion) ∧(dom g=U × U).

1.1: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):311.0(x, f, g) Funktion.

1.2: Aus VS gleich “ ...dom g=U × U ”

folgt via 311-2:dom 311.0(x, f, g) = x∩dom f.

1.3: Via 311-2 gilt: ran 311.0(x, f, g)⊆ran g.

2: Aus 1.1“311.0(x, f, g) Funktion ” ,

aus 1.2“dom 311.0(x, f, g) = x∩dom f” und

aus 1.3“ran 311.0(x, f, g)⊆ran g”

folgt via 21-1(Def):311.0(x, f, g) : x∩dom f→dom g.

f) VS gleich (f, g Funktion) ∧(p∈x∩dom f)∧(dom g=U × U).

1: Aus VS gleich “ ...dom g=U × U ”

folgt via 311-2:dom 311.0(x, f, g) = x∩dom f.

2: Aus VS gleich “ . . . p ∈x∩dom f . . . ” und

aus 1

folgt: p∈dom 311.0(x, f, g) .

3: Aus VS gleich “ f, g Funktion. . . ” und

aus 2“p∈dom 311.0(x, f, g) ”

folgt via des bereits bewiesenen d):311.0(x, f, g) (p) = g(p, f(p)).

Mengenlehre #311 35

311-7. Die Vorbereitungen zielen auf 311.0(x, y, stm) ab. Sp¨

ater wird auf Funk-

tionen yspezialisiert.

311-7(Satz)

a) Aus “ (p, q)∈311.0(x, y, stm)”

folgt “ p∈x” und ∃Ω : (Ω Menge)∧((p, Ω) ∈y)∧(q=p\Ω)” .

b) Aus “ p∈x” und “ (p, r)∈y” folgt “ (p, p \r)∈311.0(x, y, stm)” .

c) dom 311.0(x, y, stm) = x∩dom y.

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-7

————————————————————————————

ALG-Notation.

————————————————————————————

a) VS gleich (p, q)∈311.0(x, y, stm) .

1.1: Aus VS gleich “ (p, q)∈311.0(x, y, stm) ”

folgt via 311-2:p∈x

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈311.0(x, y, stm) ”

folgt via 311-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)∧(((p, Ω), q)∈stm).

2: Aus 1.2“...((p, Ω), q)∈stm ”

folgt via 298-9:q=p\Ω.

3: Aus 1.2“∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)...” und

aus 2

folgt: ∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈y)∧(q=p\Ω)

36 Mengenlehre #311

Beweis 311-7 b) VS gleich (p∈x)∧((p, r)∈y).

1: Aus VS gleich “ ...(p, r)∈y”

folgt via ElementAxiom: (p, r) Menge.

2: Aus 1“ (p, r) Menge ”

folgt via 298-2: (p, r)∈ U × U.

3: Aus 2und

aus 298-10“dom stm =U × U” folgt: (p, r)∈dom stm.

4: Aus VS gleich “ ...(p, r)∈y” und

aus 3“ (p, r)∈dom stm ”

folgt via 2-2: (p, r)∈y∩dom stm.

5: Aus 298-10“stm Funktion” ,

aus VS gleich “ p∈x . . . ” und

aus 4“ (p, r)∈y∩dom stm ”

folgt via 311-5: (p, stm(p, r)) ∈311.0(x, y, stm) .

6: Aus 1“ (p, r) Menge ”

folgt via PaarAxiom I:p, r Menge.

7: Aus 6“p, r Menge ”

folgt via 298-11:pstm r=p\r.

8: Aus “ pstm r=stm(p, r)” und

aus 7

folgt: stm(p, r) = p\r.

9: Aus 8“stm(p, r) = p\r”

folgt via PaarAxiom I: (p, stm(p, r)) = (p, p \r).

10: Aus 9und

aus 5

folgt: (p, p \r)∈311.0(x, y, stm) .

Aus 298-10“dom stm =U × U”

folgt via 311-2:dom 311.0(x, y, stm) = x∩dom y.

Mengenlehre #311 37

311-8. Falls feine Funktion ist, so nimmt 311-6 f¨

ur 311.0(x, f, stm) klar er-

scheinende Form an.

311-8(Satz)

a) Aus “ fFunktion” und “ (p, q)∈311.0(x, f, stm)”

folgt “ p∈x∩dom f” und “ q=p\f(p)” .

b) Aus “ fFunktion” und “ p∈x∩dom f”

folgt “ (p, p \f(p)) ∈311.0(x, f, stm)” .

c) Aus “ fFunktion” folgt “ 311.0(x, f, stm)Funktion” .

d) Aus “ fFunktion” und “ p∈x∩dom f”

folgt “ 311.0(x, f, stm) (p) = p\f(p)” .

e) Aus “ fFunktion” folgt “ dom 311.0(x, f, stm) = x∩dom f”

und “ 311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ U” .

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-8 a) VS gleich (fFunktion) ∧((p, q)∈311.0(x, f, stm) ).

1: Aus VS gleich “ ...(p, q)∈311.0(x, f, stm) ”

folgt via 311-7: (p∈x)∧(∃Ω : ((p, Ω) ∈f)∧(q=p\Ω)).

2.1: Aus 1“...(p, Ω) ∈f . . . ”

folgt via 7-5:p∈dom f.

2.2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1“...(p, Ω) ∈f . . . ”

folgt via 18-20: Ω = f(p).

3.1: Aus 1“p∈x . . . ” und

aus 2.1“p∈dom f”

folgt via 2-2:p∈x∩dom f

3.2: Aus 1“. . . q =p\Ω ” und

aus 2.2

folgt: q=p\f(p)

38 Mengenlehre #311

Beweis 311-8 b) VS gleich (fFunktion) ∧(p∈x∩dom f).

1: Aus VS gleich “ . . . p ∈x∩dom f”

folgt via 2-2: (p∈x)∧(p∈dom f).

2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus 1“. . . p ∈dom f”

folgt via 18-22: (p, f(p)) ∈f.

3: Aus 1“p∈x . . . ” und

aus 2“ (p, f(p)) ∈f”

folgt via 311-7: (p, p \f(p)) ∈311.0(x, f, stm) .

c) VS gleich fFunktion.

Aus VS gleich “ fFunktion ” und

aus 298-10“stm Funktion”

folgt via 311-6:311.0(x, f, stm) Funktion.

d) VS gleich (fFunktion) ∧(p∈x∩dom f).

1.1: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):311.0(x, f, stm) Funktion.

1.2: Aus VS gleich “ (fFunktion) ∧(p∈x∩dom f) ”

folgt via des bereits bewiesenen b): (p, p \f(p)) ∈311.0(x, f, stm) .

2: Aus 1.1“311.0(x, f, stm) Funktion ” und

aus 1.2“ (p, p \f(p)) ∈311.0(x, f, stm) ”

folgt via 18-20:p\f(p) = 311.0(x, f, stm) (p).

3: Aus 2

folgt: 311.0(x, f, stm) (p) = p\f(p).

Mengenlehre #311 39

Beweis 311-8 e) VS gleich fFunktion.

1: Aus VS gleich “ fFunktion ” ,

aus 298-10“stm Funktion” und

aus 298-10“dom stm =U × U”

folgt via 311-6:311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ran stm.

2.1: Aus 1“311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ran stm ”

folgt via 21-1(Def):dom 311.0(x, f, stm) = x∩dom f

2.2: Aus 1und

aus 298-10“ran stm =U”

folgt: 311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ U

40 Mengenlehre #311

311-9. Falls x⊆ P(v) und falls feine Funktion ist, so kann ran 311.0(x, f, stm)

genauer gefasst werden.

311-9(Satz) Es gelte:

→)x⊆ P(v).

→)fFunktion.

Dann folgt:

a) ran 311.0(x, f, stm)⊆ P(v).

b) 311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ P(v).

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-9 a)

Thema1 α∈ran 311.0(x, f, stm) .

2: Aus Thema1“α∈ran 311.0(x, f, stm) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω ∈dom 311.0(x, f, stm) )

∧((Ω, α)∈311.0(x, f, stm) ).

3: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 311-8:dom 311.0(x, f, stm) = x∩dom f.

4: Aus 2“...Ω∈dom 311.0(x, f, stm)...” und

aus 3

folgt: Ω ∈x∩dom f.

5: Aus 4“ Ω ∈x∩dom f”

folgt via 2-2: Ω ∈x.

6: Aus 5“ Ω ∈x” und

aus →)“x⊆ P(v) ”

folgt via 0-4: Ω ∈ P(v).

...

Mengenlehre #311 41

Beweis 311-9 a) ...

Thema1 α∈ran 311.0(x, f, stm) .

...

7: Aus →)“fFunktion ” und

aus 4“ Ω ∈x∩dom f”

folgt via 311-8:311.0(x, f, stm) (Ω) = Ω \f(Ω).

8: Aus 6“ Ω ∈ P(v) ”

folgt via 5-36: Ω \f(Ω) ∈ P(v).

9: Aus 7und

aus 8

folgt: 311.0(x, f, stm) (Ω) ∈ P(v).

10: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 311-8:311.0(x, f, stm) Funktion.

11: Aus 10“311.0(x, f, stm) Funktion ” und

aus 2“...(Ω, α)∈311.0(x, f, stm) ”

folgt via 18-20:α=311.0(x, f, stm) (Ω).

12: Aus 11 und

aus 9

folgt: α∈ P(v).

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran 311.0(x, f, stm) ) ⇒(α∈ P(v)).

Konsequenz via 0-2(Def):ran 311.0(x, f, stm)⊆ P(v).

42 Mengenlehre #311

Beweis 311-9 b)

1.1: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 311-8:311.0(x, f, stm) Funktion.

1.2: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 311-8:dom 311.0(x, f, stm) = x∩dom f.

1.3: Aus →)“x⊆ P(v) ” und

aus →)“fFunktion ”

folgt via des bereits bewiesenen a):ran 311.0(x, f, stm)⊆ P(v).

2: Aus 1.1“311.0(x, f, stm) Funktion ” ,

aus 1.2“dom 311.0(x, f, stm) = x∩dom f” und

aus 1.3“ran 311.0(x, f, stm)⊆ P(v) ”

folgt via 21-1(Def):311.0(x, f, stm) : x∩dom f→ P(v).

Mengenlehre #311 43

311-10. Aus dom x=Ufolgt dom (x◦y) = dom y. Im Speziellen gilt dom ({.} ◦

y) = dom y.

311-10(Satz)

a) Aus “ dom x=U” folgt “ dom (x◦y) = dom y” .

b) dom ({.} ◦ y) = dom y.

c) Aus “ fFunktion” folgt “ {.} ◦ fFunktion” .

Beweis 311-10 a) VS gleich dom x=U.

1: Via 14-6 gilt: dom (x◦y) = y−1[dom x].

2: Aus 1und

aus VS

folgt: dom (x◦y) = y−1[U].

3: Via 11-17 gilt: y−1[U] = dom y.

4: Aus 2und

aus 3

folgt: dom (x◦y) = dom y.

Aus 27-14“dom {.}=U”

folgt via des bereits bewiesenen a):dom ({.} ◦ y) = dom y.

c) VS gleich fFunktion.

Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 1“fFunktion ”

folgt via 18-46:{.} ◦ fFunktion.

44 Mengenlehre #311

311-11. Eine spezielle Situation von 311-9 liegt vor, wenn an Stelle von feine

Funktion {.}◦fbetrachtet wird, wobei fdie an eine universelle Auswahlfunktion

erinnernde Eigenschaft f:U \ {0} → U hat.

311-11(Satz) Es gelte:

→)f:U \ {0} → U.

→)x⊆ P(v).

Dann folgt:

a) 311.0(x, {.} ◦ f, stm) : x\ {0} → P(v).

b) ∀α: (0 6=α∈x)⇒(311.0(x, {.} ◦ f, stm) (α) = α\ {f(α)}.

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

Beweis 311-11

1: Aus →)“f:U \ {0} → U ”

folgt via 21-1(Def):fFunktion.

2: Aus 1“fFunktion ”

folgt via 311-10:{.} ◦ fFunktion.

3: Aus →)“x⊆ P(v) ” und

aus 2“{.} ◦ fFunktion ”

folgt via 311-9:311.0(x, {.} ◦ f, stm) : x∩dom ({.} ◦ f)→ P(v).

4: Via 311-10 gilt: dom ({.} ◦ f) = dom f.

5: Aus 4

folgt: x∩dom ({.} ◦ f) = x∩dom f.

6: Aus →)“f:U \ {0} → U ”

folgt via 21-1(Def):dom f=U \ {0}.

7: x∩dom ({.} ◦ f)5

=x∩dom f6

=x∩(U \ {0})296−11

= (x∩ U)\ {0}

2−17

=x\ {0}.

8.a): Aus 3und

aus 7“x∩dom ({.} ◦ f) = ...=x\ {0}”

folgt: 311.0(x, {.} ◦ f, stm) : x\ {0} → P(v).

...

Mengenlehre #311 45

Beweis 311-11 ...

Thema8.1 06=α∈x.

9: Aus Thema8.1“ 0 6=α∈x”

folgt via 5-15:α∈x\ {0}.

10: Aus 7“x∩dom ({.} ◦ f) = ...=x\ {0}” und

aus 9“α∈x\ {0}”

folgt: α∈x∩dom ({.} ◦ f).

11: Aus 2“{.} ◦ fFunktion ” und

aus 10“α∈x∩dom ({.} ◦ f) ”

folgt via 311-8:

311.0(x, {.} ◦ f, stm) (α) = α\(({.} ◦ f)(α)).

12: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 1“fFunktion ”

folgt via 18-46: ({.} ◦ f)(α) = {.}(f(α)).

13: Aus 11 und

aus 12

folgt: 311.0(x, {.} ◦ f, stm) (α) = α\({.}(f(α))).

14: Aus Thema8.1“. . . α ∈x”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

15: Aus 14“αMenge ”

folgt via 0-22:α∈ U.

16: Aus Thema8.1“ 0 6=α . . . ” und

aus 15“α∈ U ”

folgt via 5-15:α∈ U \ {0}.

17: Aus 16 und

aus 6

folgt: α∈dom f.

18: Aus 17“α∈dom f”

folgt via 17-5:f(α) Menge.

...

46 Mengenlehre #311

Beweis 311-11 ...

Thema8.1 06=α∈x.

...

19: Aus 18“f(α) Menge ”

folgt via 27-14:{.}(f(α)) = {f(α)}.

20: Aus 19 und

aus 13

folgt: 311.0(x, {.} ◦ f, stm) (α) = α\ {f(α)}.

Ergo Thema8.1:

Ab)



“∀α: (0 6=α∈x)⇒(311.0(x, {.} ◦ f, stm) (α) = α\ {f(α)}) ”

Mengenlehre #312 47

Mengenlehre: Punendl und Punendl(x).

Die Frage, ob jede Unmenge eine unendliche TeilMenge hat, bleibt bis auf

Weiteres unbeantwortet.

S(x\ {0}) = Sx.

Ist xeine unendliche Menge, so gibt es Funktionen Ω,Ψ mit Ω(α)∈αf¨

ur alle

nichtleeren TeilKlassen αvon xund Ω(0) = xund

Ω(1 + n) = Ω(n)\ {Ψ(Ω(n))},n∈N.

Ersterstellung: 05/09/14 Letzte ¨

Anderung: 14/09/14

312-1. Die unendlichen Teilmengen von xwerden in Punendl(x) zusammengefasst.

Punendl ist die Klasse aller unendlichen Mengen.

312-1(Definition)

1) Punendl(x) = 312.0(x) = {ω: (ω⊆x)∧(ωunendlich)}.

2) Punendl =Punendl(U).

48 Mengenlehre #312

312-2. p∈ Punendl(x) genau dann, wenn peine unendliche Teilmenge von xist.

p∈ Punendl genau dann, wenn peine unendliche Menge ist. Ist punendlich, so

gilt p /∈ Pendl(x). Das triviale Ergebnis Pendl(x)⊆ P(x) wird nachgereicht. Als

Neuerung in der Notation werden “ Widerspruchsbeweise” nicht mehr mit einem

“ Ex falso quodlibet ” Abschluss zu einem formal korrekten Ende gebracht.

312-2(Satz)

a) “p∈ Punendl(x)” genau dann, wenn

“pMenge” und “ p⊆x” und “ punendlich” .

b) “p∈ Punendl” genau dann, wenn “ pMenge” und “ punendlich” .

c) Aus “ punendlich” folgt “ p /∈ Pendl(x)” und “ p /∈ Pendl” .

d) Aus “ p⊆x” und “ p /∈ Pendl(x)” folgt “ punendlich” .

e) Pendl(x)⊆ P(x).

f) Aus “ x⊆y” folgt “ Punendl(x)⊆ Punendl(y)” .

g) Punendl(x)⊆ Punendl.

h) Aus “ pendlich” folgt “ p /∈ Punendl(x)” und “ p /∈ Punendl” .

i) “x∈ Punendl(x)” genau dann, wenn “ xunendlich” und “ xMenge” .

Mengenlehre #312 49

Beweis 312-2 a) ⇒VS gleich p∈ Punendl(x).

1.1: Aus VS gleich “ p∈ Punendl(x) ”

folgt via ElementAxiom:pMenge

1.2: Aus VS gleich “ p∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-1(Def):(p⊆x)∧(punendlich)

a) ⇐VS gleich (pMenge) ∧(p⊆x)∧(punendlich).

Aus VS gleich “ ...(p⊆x)∧(punendlich) ” und

aus VS gleich “ pMenge. . . ”

folgt via 312-1(Def):p∈ Punendl(x).

b) ⇒VS gleich p∈ Punendl.

1: Aus VS gleich “ p∈ Punendl ” und

aus 312-1(Def)“Punendl =Punendl(U)”

folgt: p∈ Punendl(U).

2: Aus 1“p∈ Punendl(U) ”

folgt via des bereits bewiesenen a): (pMenge) ∧(punendlich).

b) ⇐VS gleich (pMenge) ∧(punendlich).

1: Via 0-18 gilt: p⊆ U.

2: Aus VS gleich “ pMenge. . . ” ,

aus 1“p⊆ U ” und

aus VS gleich “ . . . p unendlich ”

folgt via des bereits bewiesenen a):p∈ Punendl(U).

3: Aus 2und

aus 312-1(Def)“Punendl =Punendl(U)”

folgt: p∈ Punendl.

50 Mengenlehre #312

Beweis 312-2 c) VS gleich punendlich.

1: Es gilt: (p∈ Pendl)∨(p /∈ Pendl).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall p∈ Pendl.

2: Aus 1.1.Fall“p∈ Pendl”

folgt via 28-7:pendlich.

3: Aus VS gleich “ punendlich ”

folgt via 29-1(Def):¬(pendlich).

Ende wfFallunterscheidung A1



“p /∈ Pendl ”

2.1: Aus A1

folgt: p /∈ Pendl

2.2: Via 32-7 gilt: Pendl(x)⊆ Pendl.

3: Aus 2.1“p /∈ Pendl ” und

aus 2.2“Pendl(x)⊆ Pendl ”

folgt via 0-4:p /∈ Pendl(x)

d) VS gleich (p⊆x)∧(p /∈ Pendl(x)).

1: Via 32-4 gilt: (p∈ Pendl(x)) ⇔((p⊆x)∧(pendlich)).

2: Aus 1

folgt: (p /∈ Pendl(x)) ⇔((¬(p⊆x)) ∨(¬(pendlich))).

3: Aus VS gleich “ . . . p /∈ Pendl(x) ” und

aus 2

folgt: (¬(p⊆x)) ∨(¬(pendlich)).

4: Aus VS gleich “ p⊆x . . . ” und

aus 3

folgt: ¬(pendlich).

5: Aus 4

folgt via 29-1(Def):punendlich.

Mengenlehre #312 51

Beweis 312-2 e)

Thema1 α∈ Pendl(x).

2.1: Aus Thema1“α∈ Pendl(x) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ Pendl(x) ”

folgt via 32-4:α⊆x.

3: Aus 2.2“α⊆x” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 0-26:α∈ P(x).

Ergo Thema1:∀α: (α∈ Pendl(x)) ⇒(α∈ P(x)).

Konsequenz via 0-2(Def):Pendl(x)⊆ P(x).

f) VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈ Punendl(x).

2: Aus Thema1“α∈ Punendl(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(αMenge) ∧(α⊆x)∧(αunendlich).

3: Aus 2“. . . α ⊆x . . . ” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-6:α⊆y.

4: Aus 2“αMenge. . . ” ,

aus 3“α⊆y” und

aus 2“. . . α unendlich ”

folgt via des bereits bewiesenen a):α∈ Punendl(y).

Ergo Thema1:∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(α∈ Punendl(y)).

Konsequenz via 0-2(Def):Punendl(x)⊆ Punendl(y).

52 Mengenlehre #312

Beweis 312-2 g)

1: Via 0-18 gilt: x⊆ U.

2: Aus 1“x⊆ U ”

folgt via des bereits bewiesenen f):Punendl(x)⊆ Punendl(U).

3: Aus 2und

aus 312-1(Def)“Punendl =Punendl(U)”

folgt: Punendl(x)⊆ Punendl.

h) VS gleich pendlich.

1: Es gilt: (p∈ Punendl)∨(p /∈ Punendl).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall p∈ Punendl.

2: Aus 1.1.Fall“p∈ Punendl”

folgt via des bereits bewiesenen b):punendlich.

3.1: Aus 2“punendlich ”

folgt via 29-1(Def):¬(pendlich).

3.2: Nach VS gilt: pendlich.

Ende wfFallunterscheidung A1



“p /∈ Punendl ”

2: Aus A1

folgt: p /∈ Punendl

3: Via des bereits bewiesenen g) gilt: Punendl(x)⊆ Punendl.

4: Aus 2“p /∈ Punendl ” und

aus 3“Punendl(x)⊆ Punendl ”

folgt via 0-4:p /∈ Punendl(x)

Mengenlehre #312 53

Beweis 312-2 i) ⇒VS gleich x∈ Punendl(x).

1.1: Aus VS gleich “ x∈ Punendl(x) ”

folgt via ElementAxiom:xMenge

1.2: Aus VS gleich “ x∈ Punendl(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):xunendlich

⇐VS gleich (xunendlich) ∧(xMenge).

1: Via 0-6 gilt: x⊆x.

2: Aus VS gleich “ . . . x Menge ” ,

aus 1“x⊆x” und

aus VS gleich “ xunendlich. . . ”

folgt via des bereits bewiesenen a):x∈ Punendl(x).

54 Mengenlehre #312

312-3. Es gilt Punendl(x) = P(x)\ Pendl(x).

312-3(Satz)

a) Punendl(x) = P(x)\ Pendl(x).

b) Punendl(x)⊆ P(x).

c) Punendl =U \ Pendl.

d) Aus “ xMenge” folgt “ Punendl(x)Menge” .

Beweis 312-3 a)

Thema1.1 α∈ Punendl(x).

2: Aus Thema1.1“α∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-2: (αMenge) ∧(α⊆x)∧(αunendlich).

3.1: Aus 2“ (αMenge) ∧(α⊆x)...”

folgt via 0-26:α∈ P(x).

3.2: Aus 2“. . . α unendlich ”

folgt via 312-2:α /∈ Pendl(x).

4: Aus 3.1“α∈ P(x) ” und

aus 3.2“α /∈ Pendl(x) ”

folgt via 5-3:α∈ P(x)\ Pendl(x).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(α∈ P(x)\ Pendl(x)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“Punendl(x)⊆ P(x)\ Pendl(x) ”

...

Mengenlehre #312 55

Beweis 312-3 a) ...

Thema1.2 α∈ P(x)\ Pendl(x).

2: Aus Thema1.2“α∈ P(x)\ Pendl(x) ”

folgt via 5-3: (α∈ P(x)) ∧(α /∈ Pendl(x)).

3: Aus 2“α∈ P(x)...”

folgt via 0-26: (α⊆x)∧(αMenge).

4: Aus 3“α⊆x . . . ” und

aus 2“. . . α /∈ Pendl(x) ”

folgt via 312-2:αunendlich.

5: Aus 3“ (α⊆x)∧(αMenge) ” und

aus 4“αunendlich ”

folgt via 312-2:α∈ Punendl(x).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ P(x)\ Pendl(x)) ⇒(α∈ Punendl(x)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“P(x)\ Pendl(x)⊆ Punendl(x) ”

2: Aus A1 gleich “ Punendl(x)⊆ P(x)\ Pendl(x) ” und

aus A2 gleich “ P(x)\ Pendl(x)⊆ Punendl(x) ”

folgt via GleichheitsAxiom:Punendl(x) = P(x)\ Pendl(x).

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: Punendl(x) = P(x)\ Pendl(x).

1.2: Via 5-5 gilt: P(x)\ Pendl(x)⊆ P(x).

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: Punendl(x)⊆ P(x).

56 Mengenlehre #312

Beweis 312-3 c)

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: Punendl(U) = P(U)\ Pendl(U).

2: Punendl

312−1(Def )

=Punendl(U)1

=P(U)\ Pendl(U)0−28

=U \ Pendl(U)

32−7

=U \ Pendl.

3: Aus 2

folgt: Punendl =U \ Pendl.

d) VS gleich xMenge.

1: Aus VS gleich “ xMenge ”

folgt via PotenzMengenAxiom:P(x) Menge.

2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: Punendl(x)⊆ P(x).

3: Aus 2“Punendl(x)⊆ P(x) ” und

aus 1“P(x) Menge ”

folgt via TeilMengenAxiom:Punendl(x) Menge.

Mengenlehre #312 57

312-4. Ist jede TeilMenge von xendlich so gilt ¨

aquivalenter Weise Punendl(x) = 0.

312-4(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii),iv) sind ¨

aquivalent:

i) Punendl(x) = 0.

ii) P(x)⊆ Pendl(x).

iii) P(x) = Pendl(x).

iv) ∀α: ((α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(αendlich).

Beweis 312-4 i) ⇒ii) VS gleich Punendl(x) = 0.

1: Via 312-3 gilt: Punendl(x) = P(x)\ Pendl(x).

2: Aus 1und

aus VS

folgt: P(x)\ Pendl(x) = 0.

3: Aus 2“P(x)\ Pendl(x) = 0 ”

folgt via 5-6:P(x)⊆ Pendl(x).

ii) ⇒iii) VS gleich P(x)⊆ Pendl(x).

1: Via 312-2 gilt: Pendl(x)⊆ P(x).

2: Aus VS gleich “ P(x)⊆ Pendl(x) ” und

aus 1“Pendl(x)⊆ P(x) ”

folgt via GleichheitsAxiom:P(x) = Pendl(x).

...

58 Mengenlehre #312

Beweis 312-4 ...

iii) ⇒iv) VS gleich P(x) = Pendl(x).

Thema1 (α⊆x)∧(αMenge).

2: Aus Thema1“ (α⊆x)∧(αMenge) ”

folgt via 0-26:α∈ P(x).

3: Aus 2und

aus VS

folgt: α∈ Pendl(x).

4: Aus 3“α∈ Pendl(x) ”

folgt via 32-4:αendlich.

Ergo Thema1:∀α: ((α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(αendlich).

iv) ⇒i) VS gleich ∀α: ((α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(αendlich).

1: Es gilt: (0 6=Punendl(x)) ∨(Punendl(x) = 0).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall 06=Punendl(x).

2: Aus 1.1.Fall“ 0 6=Punendl(x)”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈ Punendl(x).

3: Aus 2“...Ω∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-2: (Ω Menge) ∧(Ω ⊆x)∧(Ω unendlich).

4: Aus 3“...Ω⊆x . . . ” ,

aus 3“ Ω Menge. . . ” und

aus VS gleich “ ∀α: ((α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(αendlich) ”

folgt: Ω endlich.

5: Aus 3“...Ω unendlich ”

folgt via 29-1(Def):¬(Ω endlich).

Ende wfFallunterscheidung Punendl(x) = 0.

Mengenlehre #312 59

312-5. Gerne w¨

usste ich mehr dar¨

uber, ob jede Unmenge eine unendliche Teil-

Menge hat. Mit den mir gegenw¨

artigen Mitteln kann ich diese Frage nicht beant-

worten. Ich bin kein Spezialist auf dem Gebiet der Mengenlehre. So k¨

onnen hier

nur einfache Implikationen zur Verf¨

ugung gestellt werden.

312-5(Satz)

a) Aus “ xendlich” folgt “ Punendl(x) = 0” .

b) Aus “ xMenge” und “ Punendl(x) = 0” folgt “ xendlich” .

c) Aus “ 06=Punendl(x)” folgt “ xunendlich” .

d) Aus “ xunendlich” folgt “ xUnmenge” oder “ 06=Punendl(x)” .

Beweis 312-5 a) VS gleich xendlich.

1: Es gilt: (0 6=Punendl(x)) ∨(Punendl(x) = 0).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall 06=Punendl(x).

2: Aus 1.1.Fall“ 0 6=Punendl(x)”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈ Punendl(x).

3: Aus 2“...Ω∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-2: (Ω ⊆x)∧(Ω unendlich).

4: Aus VS gleich “ xendlich ”

folgt via 28-7:x∈ Pendl.

5: Aus 4“x∈ Pendl ” und

aus 3“ Ω ⊆x . . . ”

folgt via 31-4: Ω ∈ Pendl.

6: Aus 5“ Ω ∈ Pendl ”

folgt via 28-7: Ω endlich.

7: Aus 3“...Ω unendlich ”

folgt via 29-1(Def):¬(Ω endlich).

Ende wfFallunterscheidung Punendl(x) = 0.

60 Mengenlehre #312

Beweis 312-5 b) VS gleich (xMenge) ∧(Punendl(x) = 0).

1: Aus VS gleich “ xMenge. . . ”

folgt via 0-27:x∈ P(x).

2: Aus VS gleich “ ...Punendl(x) = 0 ”

folgt via 312-4:P(x) = Pendl(x).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: x∈ Pendl(x).

4: Aus 3“x∈ Pendl(x) ”

folgt via 32-4:xendlich.

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (xendlich) ⇒(Punendl(x) = 0).

2: Aus 1

folgt: (0 6=Punendl(x)) ⇒(xunendlich).

1: Via des bereits bewiesenen b) gilt:

((xMenge) ∧(Punendl(x) = 0)) ⇒(xendlich).

2: Aus 1

folgt: (xunendlich) ⇒((xUnmenge) ∨(0 6=Punendl(x))).

Mengenlehre #312 61

312-6. Beim Vereinigen kann getrost auf die leere Menge verzichtet werden.

312-6(Satz)

[(x\ {0}) = [x.

Beweis 312-6

1: Via 5-5 gilt: x\ {0} ⊆ x.

2: Aus 1“x\ {0} ⊆ x”

folgt via 1-15:S(x\ {0})⊆Sx.

Thema3 α∈Sx.

4: Aus Thema3“α∈Sx”

folgt via 1-12:∃Ω : α∈Ω∈x.

5: Aus 4“. . . α ∈Ω...”

folgt via 0-20: 0 6= Ω.

6: Aus 4“...Ω∈x” und

aus 5“ 0 6= Ω ”

folgt via 5-15: Ω ∈x\ {0}.

7: Aus 4“. . . α ∈Ω...” und

aus 6“ Ω ∈x\ {0}”

folgt via 1-12:α∈S(x\ {0}).

Ergo Thema3:∀α: (α∈Sx)⇒(α∈S(x\ {0})).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“Sx⊆S(x\ {0}) ”

4: Aus 2“S(x\ {0})⊆Sx” und

aus A1 gleich “ Sx⊆S(x\ {0}) ”

folgt via GleichheitsAxiom:S(x\ {0}) = Sx.

62 Mengenlehre #312

312-7(AC). Mit einem eleganten Umweg ¨

uber cartesische Produkte wird in

#259 ein Resultat ¨

uber die Existenz gewisser “ Auswahlfunktionen” bewiesen,

das ohne viel Aufhebens direkt mit Hilfe des Auswahlaxioms verf¨

ugbar ist.

312-7(AC)(Satz)

a) ∃Ω : (Ω : x\ {0} → Sx)∧(∀α: (0 6=α∈x)⇒(Ω(α)∈α)),

b) ∃Ω : (Ω : U \ {0} → U)∧(∀α: (0 6=α∈ U)⇒(Ω(α)∈α)).

Beweis 312-7(AC) a)

1: Via 20-11:

(idx\{0}Funktion) ∧(dom (idx\{0}) = x\ {0})∧(ran (idx\{0}) = x\ {0}).

Thema2 β∈dom (idx\{0}).

3: Aus Thema2“β∈dom idx\{0}” und

aus 1“...dom (idx\{0}) = x\ {0}...”

folgt: β∈x\ {0}.

4.1: Aus 3“β∈x\ {0}”

folgt via 5-15: 0 6=β.

4.2: Aus 3“β∈x\ {0}”

folgt via 20-11:idx\{0}(β) = β.

5: Aus 4.1 und

aus 4.2

folgt: 0 6=idx\{0}(β).

Ergo Thema2:A1



“∀β: (β∈dom idx\{0})⇒(0 6=idx\{0}(β)) ”

3: Aus 1“idx\{0}Funktion. . . ” und

aus A1 gleich “ ∀β: (β∈dom (idx\{0})) ⇒(0 6=idx\{0}(β)) ”

folgt via Auswahlaxiom:∃Ω : (Ω : dom (idx\{0})→Sran (idx\{0}))

∧(∀γ: (γ∈dom (idx\{0})) ⇒(Ω(γ)∈idx\{0}(γ))).

4: Aus 3und

aus 1“...dom (idx\{0}) = x\ {0}...”

folgt: ∃Ω : (Ω : x\ {0} → Sran (idx\{0}))

∧(∀γ: (γ∈x\ {0})⇒(Ω(γ)∈idx\{0}(γ))).

...

Mengenlehre #312 63

Beweis 312-7(AC) ...

5: Aus 4und

aus 1“...ran idx\{0}=x\ {0}”

folgt: ∃Ω : (Ω : x\ {0} → S(x\ {0}))

∧(∀γ: (γ∈x\ {0})⇒(Ω(γ)∈idx\{0}(γ))).

6: Via 312-6 gilt: S(x\ {0}) = Sx.

7: Aus 6und

aus 5

folgt: ∃Ω : (Ω : x\ {0} → Sx)

∧(∀γ: (γ∈x\ {0})⇒(Ω(γ)∈idx\{0}(γ))).

Thema8 06=α∈x.

9: Aus Thema8“ 0 6=α∈x”

folgt via 5-15:α∈x\ {0}.

10.1: Aus 9“α∈x\ {0}” und

aus 7“...∀γ: (γ∈x\ {0})⇒(Ω(γ)∈idx\{0}(γ)) ”

folgt Ω(α)∈idx\{0}(α).

10.2: Aus 9“α∈x\ {0}”

folgt via 20-11:idx\{0}(α) = α.

11: Aus 10.1 und

aus 10.2

folgt: Ω(α)∈α.

Ergo Thema8:A2



“∀α: (0 6=α∈x)⇒(Ω(α)∈α) ”

9: Aus 7“∃Ω : (Ω : x\ {0} → Sx)...” und

aus A2

folgt: ∃Ω : (Ω : x\ {0} → Sx)∧(∀α: (0 6=α∈x)⇒(Ω(α)∈α)).

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt:

∃Ω : (Ω : U \ {0} → SU)∧(∀α: (0 6=α∈ U)⇒(Ω(α)∈α)).

2: Aus 1und

aus 1-14“SU=U”

folgt: ∃Ω : (Ω : U \ {0} → U)∧(∀α: (0 6=α∈ U)⇒(Ω(α)∈α)).

64 Mengenlehre #312

312-8. Nichts am Nachfolgenden erscheint ¨

uberraschend. (K¨

urzen! Siehe 213-5!)

312-8(Satz)

a) “x∪yendlich” genau dann, wenn “ x, y endlich” .

b) Aus “ xunendlich” und “ yendlich” folgt “ x\yunendlich” .

c) Aus “ xendlich” und “ yunendlich” folgt “ x6=y” .

d) Aus “ pendlich” folgt “ Punendl(x)\ {p}=Punendl(x)” .

e) Punendl(x)\ {0}=Punendl(x).

f) Aus “ p∈ Punendl(x)” und “ yendlich”

folgt “ p6=y” und “ p\y∈ Punendl(x)” .

g) Aus “ p∈ Punendl(x)” folgt “ 06=p” und “ p\ {q} ∈ Punendl(x)” .

Beweis 312-8 a) ⇒VS gleich x∪yendlich.

1: Via 2-7 gilt: x, y ⊆x∪y.

2: Aus 1“x, y ⊆x∪y” und

aus VS gleich “ x∪yendlich ”

folgt via 213-5:x, y endlich.

a) ⇐VS gleich x, y endlich.

Aus VS gleich “ x, y endlich ”

folgt via 213-5:x∪yendlich.

Mengenlehre #312 65

Beweis 312-8 b) VS gleich (xunendlich) ∧(yendlich).

1.1: Via 29-1(Def) gilt: (x\yendlich) ∨(x\yunendlich).

wfFallunterscheidung

1.1.1.Fall x\yendlich.

2: Aus 1.1.1.Fall“x\yendlich” und

aus VS gleich “ . . . y endlich ”

folgt via 213-5:y∪(x\y) endlich.

3: Via 5-22 gilt: y∪(x\y) = y∪x.

4: Aus 3und

aus 2

folgt: y∪xendlich.

5: Aus 4“y∪xendlich ”

folgt via des bereits bewiesenen a):xendlich.

6: Aus VS gleich “ xunendlich. . . ”

folgt via 29-1(Def):¬(xendlich).

Ende wfFallunterscheidung x\yunendlich.

c) VS gleich (xendlich) ∧(yunendlich).

1: Es gilt: (x=y)∨(x6=y).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall x=y.

2: Aus 1.1.Fall“x=y” und

aus VS gleich “ . . . y unendlich ”

folgt: xunendlich.

3.1: Aus 2“xunendlich ”

folgt via 29-1(Def):¬(xendlich).

3.2: Nach VS gilt: xendlich.

Ende wfFallunterscheidung x6=y.

66 Mengenlehre #312

Beweis 312-8 d) VS gleich pendlich.

1.1: Via 5-5 gilt: Punendl(x)\ {p} ⊆ Punendl(x).

Thema1.2 α∈ Punendl(x).

2: Aus Thema1.2“α∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-2:αunendlich.

3: Aus VS gleich “ pendlich ” und

aus 2“αunendlich ”

folgt via des bereits bewiesenen c):p6=α.

4: Aus Thema1.2“α∈ Punendl(x) ” und

aus 3“p6=α”

folgt via 5-15:α∈ Punendl(x)\ {p}.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(α∈ Punendl(x)\ {p}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“Punendl(x)⊆ Punendl(x)\ {p}”

2: Aus 1.1“Punendl(x)\ {p} ⊆ Punendl(x) ” und

aus A1 gleich “ Punendl(x)⊆ Punendl(x)\ {p}”

folgt via GleichheitsAxiom:Punendl(x)\ {p}=Punendl(x).

Aus EndlichkeitsAxiom“ 0 endlich”

folgt via des bereits bewiesenen g):Punendl(x)\ {0}=Punendl(x).

Mengenlehre #312 67

Beweis 312-8 f) VS gleich (p∈ Punendl(x)) ∧(yendlich).

1: Aus VS gleich “ p∈ Punendl(x)...”

folgt via 312-2: (pMenge) ∧(p⊆x)∧(punendlich).

2.1: Aus VS gleich “ . . . y endlich ” und

aus 1“. . . p unendlich ”

folgt via des bereits bewiesenen c):y6=p.

2.2: Aus 1“pMenge. . . ”

folgt via 94-6:p\yMenge.

2.3: Via 5-5 gilt: p\y⊆p.

2.4: Aus 1“. . . p unendlich ” und

aus VS gleich “ . . . y endlich ”

folgt via des bereits bewiesenen b):p\yunendlich.

3.1: Aus 2.1

folgt: p6=y

3.2: Aus 2.3“p\y⊆p” und

aus 1“. . . p ⊆x . . . ”

folgt via 0-6:p\y⊆x.

4: Aus 2.2“p\yMenge ” ,

aus 3.2“p\y⊆x” und

aus 2.4“p\yunendlich ”

folgt via 312-2:p\y∈ Punendl(x)

68 Mengenlehre #312

Beweis 312-8 g) VS gleich p∈ Punendl(x).

1.1: Aus VS gleich “ p∈ Punendl(x) ” und

aus EndlichkeitsAxiom“ 0 endlich”

folgt via des bereits bewiesenen f):p6= 0.

1.2: Via 28-8 gilt: {q}endlich.

2.1: Aus 1.1

folgt: 0 6=p

2.2: Aus VS gleich “ p∈ Punendl(x) ” und

aus 1.2“{q}endlich ”

folgt via des bereits bewiesenen f):p\ {q} ∈ Punendl(x)

Mengenlehre #312 69

312-9. Aus f:D→Bund p∈ran f- und nicht etwa p∈B- folgt die Existenz

eines Ω ∈Dmit p=f(Ω).

312-9(Satz)

a) Aus “ f:D→B” und “ p∈ran f”

folgt “ ∃Ω : (Ω ∈D)∧(p=f(Ω))” .

b) Aus “ f:D→B” und “ ran f⊆A”

folgt “ f:D→A” und “ f:D→B∩A” .

Beweis 312-9 a) VS gleich (f:D→B)∧(p∈ran f).

1: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D).

2: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus VS gleich “ . . . p ∈ran f”

folgt via 18-24:∃Ω : (Ω ∈dom f)∧(p=f(Ω)).

3: Aus 2und

aus 1“...dom f=D”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈D)∧(p=f(Ω)).

b) VS gleich (f:D→B)∧(ran f⊆A).

1: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D)∧(ran f⊆B).

2.1: Aus 1“ (fFunktion) ∧(dom f=D)...” und

aus VS gleich “ ...ran f⊆A”

folgt via 21-1(Def):f:D→A

2.2: Aus 1“...ran f⊆B” und

aus VS gleich “ ...ran f⊆A”

folgt via 2-12:ran f⊆B∩A.

3: Aus 1“ (fFunktion) ∧(dom f=D)...” und

aus 2.2“ran f⊆B∩A”

folgt via 21-1(Def):f:D→B∩A

70 Mengenlehre #312

312-10(AC). Aussagen 311-11 und 312-7(AC) k¨

onnen in gef¨

alliger, doch spe-

zieller Weise kombiniert werden.

312-10(AC)(Satz)

Es gibt Ω,Ψ, so dass gilt:

e.1) Ω : U \ {0} → U.

e.2) Ψ : Punendl(x)→ Punendl(x).

e.3) ∀α: ((0 6=α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(Ω(α)∈α).

e.4) ∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(α) = α\ {Ω(α)}).

Beweis 312-10(AC)

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)∧(((λ, Ω), µ)∈z))}

311-1(Def)

————————————————————————————

1: Via 312-7(AC) gilt:

∃Ω : (Ω : U \ {0} → U)∧(∀γ: (0 6=γ∈ U)⇒(Ω(γ)∈γ)).

Thema2.1 (0 6=α⊆x)∧(αMenge).

3: Aus Thema2.1“. . . α Menge ”

folgt via 0-22:α∈ U.

4: Aus Thema2.1“ 0 6=α . . . ” ,

aus 3“α∈ U ” und

aus 1“...∀γ: (0 6=γ∈ U)⇒(Ω(γ)∈γ) ”

folgt: Ω(α)∈α.

Ergo Thema2.1:A1



“∀α: ((0 6=α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(Ω(α)∈α) ”

2.2: Aus 1“...Ω : U \ {0} → U ...” und

aus 312-3“Punendl(x)⊆ P(x)”

folgt via 311-11:

(311.0(Punendl(x),{.} ◦ Ω,stm) : Punendl(x)\ {0} → P(x))

∧(∀γ: (0 6=γ∈ Punendl(x))

⇒(311.0(Punendl(x),{.} ◦ Ω,stm) (γ) = γ\ {Ω(γ)})).

...

Mengenlehre #312 71

Beweis 312-10(AC) ...

3: Aus 1“∃Ω...”

folgt: ∃Ψ : Ψ = 311.0(Punendl(x),{.} ◦ Ω,stm) .

4: Aus 3und

aus 2.2

folgt: (Ψ : Punendl(x)\ {0} → P(x))

∧(∀γ: (0 6=γ∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(γ) = γ\ {Ω(γ)})).

5: Via 312-8 gilt: Punendl(x)\ {0}=Punendl(x).

6: Aus 4und

aus 5

folgt: (Ψ : Punendl(x)→ P(x))

∧(∀γ: (0 6=γ∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(γ) = γ\ {Ω(γ)})).

Thema7 β∈ran Ψ.

8: Aus 6“ Ψ : Punendl(x)→ P(x)...” und

aus Thema7“β∈ran Ψ ”

folgt via 312-9:∃Φ : (Φ ∈ Punendl(x)) ∧(β= Ψ(Φ)).

9: Aus 8“...Φ∈ Punendl(x)...”

folgt via 312-8: 0 6= Φ.

10: Aus 9“ 0 6= Φ ” und

aus 9“...Φ∈ Punendl(x)...” und

aus 6“∀γ: (0 6=γ∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(γ) = γ\ {Ω(γ)}) ”

folgt: Ψ(Φ) = Φ \ {Ω(Φ)}.

11.1: Aus 8“. . . β = Ψ(Φ) ” und

aus 10

folgt: β= Φ \ {Ω(Φ)}.

11.2: Aus 8“...Φ∈ Punendl(x)...”

folgt via 312-8: Φ \ {Ω(Φ)} ∈ Punendl(x).

12: Aus 11.1 und

aus 11.2

folgt: β∈ Punendl(x).

Ergo Thema7:∀β: (β∈ran Ψ) ⇒(β∈ Punendl(x)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ran Ψ⊆ Punendl(x) ”

...

72 Mengenlehre #312

Beweis 312-10(AC) ...

8: Aus 6“ Ψ : Punendl(x)→ P(x)...” und

aus A2 gleich “ ran Ψ⊆ Punendl(x) ”

folgt via 312-9: Ψ : Punendl(x)→ Punendl(x).

Thema9 α∈ Punendl(x).

10: Aus Thema9“α∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-8: 0 6=α.

11: Aus 10“ 0 6=α” ,

aus Thema9“α∈ Punendl(x) ” und

aus 6“...∀γ: (0 6=γ∈ Punendl(x))

⇒(Ψ(γ) = γ\ {Ω(γ)})”

folgt: Ψ(α) = α\ {Ω(α)}.

Ergo Thema9:A3



“∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(α) = α\ {Ω(α)}) ”

10: Aus 1“∃Ω...” ,

aus 3“∃Ψ...” ,

aus 1“ Ω : U \ {0} → U ...” ,

aus 8“...Ψ : Punendl(x)→ Punendl(x) ” ,

aus A1 gleich “ ∀α: ((0 6=α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(Ω(α)∈α) ” und

aus A3 gleich “ ∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(α) = α\ {Ω(α)}) ”

folgt: ∃Ω,Ψ :

(Ω : U \ {0} → U)

∧(Ψ : Punendl(x)→ Punendl(x))

∧(∀α: ((0 6=α⊆x)∧(αMenge)) ⇒(Ω(α)∈α))

∧(∀α: (α∈ Punendl(x)) ⇒(Ψ(α) = α\ {Ω(α)})).

Mengenlehre #312 73

312-11(AC). In Kombination von 308-15 und 312-10(AC) ergibt sich f¨

ur un-

endliche Mengen die Existenz einer Abbildung Ψ : N→ Punendl(x) mit Ψ(1+n) =

Ψ(n)\ {Ω(Ψ(n))}, wobei Ω die in 312-10(AC) postulierten Eigenschaften hat,

die an das Auswahlaxiom erinnern.

312-11(AC)(Satz)

Es gelte:

→)xunendlich.

→)xMenge.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.1) Ω : U \ {0} → U.

e.2) Ψ : N→ Punendl(x).

e.3) ∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Ω(α)∈α).

e.4) Ψ(0) = x.

e.5) ∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))}).

Beweis 312-11(AC)

1.1: Aus →)“xunendlich ” und

aus →)“xMenge ”

folgt via 312-2:x∈ Punendl(x).

1.2: Via 312-10(AC) gilt: ∃Ω,Φ :

(Ω : U \ {0} → U)

∧(Φ : Punendl(x)→ Punendl(x))

∧(∀β: ((0 6=β⊆x)∧(βMenge)) ⇒(Ω(β)∈β))

∧(∀β: (β∈ Punendl(x)) ⇒(Φ(β) = β\ {Ω(β)})).

2: Aus 1.1“x∈ Punendl(x) ” und

aus 1.2“...Φ : Punendl(x)→ Punendl(x)...”

folgt via 308-15: (rf0Φx:N→ Punendl(x)) ∧(rf0Φx(0) = x)

∧(∀γ: (γ∈N)⇒(rf0Φx(1 + γ) = Φ(rf0Φx(γ)))).

...

74 Mengenlehre #312

Beweis 312-11(AC) ...

3: Aus 1.2“∃...Φ...” und

aus →)“xMenge ”

folgt: ∃Ψ : Ψ = rf0Φx.

4: Aus 3“...Ψ = rf0Φx” und

aus 2

folgt: (Ψ : N→ Punendl(x)) ∧(Ψ(0) = x)

∧(∀γ: (γ∈N)⇒(Ψ(1 + γ) = Φ(Ψ(γ)))).

Thema5.1 α∈N.

6: Aus 4“ Ψ : N→ Punendl(x)...” und

aus Thema5.1“α∈N”

folgt via 21-4: Ψ(α)∈ Punendl(x).

7: Aus 6“ Ψ(α)∈ Punendl(x) ” und

aus 1.2“...∀β: (β∈ Punendl(x)) ⇒(Φ(β) = β\ {Ω(β)}) ”

folgt: Φ(Ψ(α)) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))}.

8: Aus Thema5.1“α∈N” und

aus 4“...∀γ: (γ∈N)⇒(Ψ(1 + γ) = Φ(Ψ(γ))) ”

folgt: Ψ(1 + α) = Φ(Ψ(α))

9: Aus 8und

aus 7

folgt: Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))}.

Ergo Thema5.1:A1



“∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))}) ”

...

Mengenlehre #312 75

Beweis 312-11(AC) ...

Thema5.2 06=α⊆x.

6: Aus Thema5.2“. . . α ⊆x” und

aus →)“xMenge ”

folgt via TeilMengenAxiom:αMenge.

7: Aus Thema5.2“ 0 6=α⊆x” ,

aus 6“αMenge ” und

aus 1.2“...∀β: ((0 6=β⊆x)∧(βMenge))

⇒(Ω(β)∈β)”

folgt: Ω(α)∈α.

Ergo Thema5.2:A2



“∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Ω(α)∈α) ”

6: Aus 1.2“∃Ω : (Ω : U \ {0} → U)...” ,

aus A2 gleich “ ∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Ω(α)∈α)) ...” ,

aus 3“∃Ψ...” ,

aus 4“ (Ψ : N→ Punendl(x)) ∧(Ψ(0) = x)...” und

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))}) ”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω : U \ {0} → U)∧(Ψ : N→ Punendl(x))

∧(∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Ω(α)∈α))

∧(Ψ(0) = x)

∧(∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Ω(Ψ(α))})).

76 Mengenlehre #313

Mengenlehre: paarweise disjunkt. wirkt disjunktiv. {(p, f(p))},fFunktion. Ist x

eine unendliche Menge, so gibt es eine injektive Funktion f:N→x.

Ersterstellung: 21/09/14 Letzte ¨

Anderung: 25/09/14

313-1. Paarweise disjunkte Klassen spielen immer wieder eine bedeutende Rol-

le. F¨

ur den zweiten Begriff kann ich meinem Kenntnisstand nach nicht auf die

Literatur zur¨

uck greifen.

313-1(Definition)

1) “xpaarweise disjunkt” genau dann, wenn gilt:

∀α, β : (α, β ∈x)⇒((α=β)∨(α∩β= 0)).

2) “xwirkt disjunktiv” genau dann, wenn gilt:

∀α, β, γ, δ : (((α, β),(γ, δ)∈x)∧(α6=γ)) ⇒(β∩δ= 0).

Mengenlehre #313 77

313-2. Aus p /∈dom xfolgt jedenfalls {(p, x(p))} ⊆ x.

313-2(Satz)

a) “(p, x(p)) Unmenge” genau dann, wenn “ p /∈dom x” .

b) “{(p, x(p))}= 0” genau dann, wenn “ (p, x(p)) /∈ {(p, x(p))}”

genau dann, wenn “ p /∈dom x” .

c) “06={(p, x(p))}” genau dann, wenn “ (p, x(p)) ∈ {(p, x(p))}”

genau dann, wenn “ p∈dom x” .

d) Aus “ p /∈dom x” folgt “ {(p, x(p))} ⊆ x” .

Beweis 313-2 a)

1: Via 311-3 gilt: ((p, x(p)) Menge) ⇔(p∈dom x).

2: Aus 1

folgt: ((p, x(p)) Unmenge) ⇔(p /∈dom x).

b) i) ⇒ii) VS gleich {(p, x(p))}= 0.

1: Via 0-19 gilt: (p, x(p)) /∈0.

2: Aus 1und

aus VS

folgt: (p, x(p)) /∈ {(p, x(p))}.

b) ii) ⇒iii) VS gleich (p, x(p)) /∈ {(p, x(p))}.

1: Aus VS gleich “ (p, x(p)) /∈ {(p, x(p))}”

folgt via 1-4: (p, x(p)) Unmenge.

2: Aus 1“ (p, x(p)) Unmenge ”

folgt via des bereits bewiesenen a):p /∈dom x.

b) iii) ⇒i) VS gleich p /∈dom x.

1: Aus VS gleich “ p /∈dom x”

folgt via des bereits bewiesenen a): (p, x(p)) Unmenge.

2: Aus 1“ (p, x(p)) Unmenge ”

folgt via 1-4:{(p, x(p))}= 0.

78 Mengenlehre #313

Beweis 313-2 c)

1: Via des bereits bewiesenen b) gilt:

((p, x(p)) Unmenge) ⇔((p, x(p)) /∈ {(p, x(p))})⇔(p /∈dom x).

2: Aus 2

folgt: ((p, x(p)) Menge) ⇔((p, x(p)) ∈ {(p, x(p))})⇔(p∈dom x).

d) VS gleich p /∈dom x.

1: Aus VS gleich “ p /∈dom x”

folgt via des bereits bewiesenen b):{(p, x(p))}= 0.

2: Via 0-18 gilt: 0 ⊆x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: {(p, x(p))} ⊆ x.

Mengenlehre #313 79

313-3. Falls 0 6=xund x∩y= 0, dann x6=y.

313-3(Satz)

a) Aus “ 06=x” und “ x∩y= 0” folgt “ x6=y” .

b) Aus “ 06=x” und “ y∩x= 0” folgt “ x6=y” .

c) Aus “ x⊆y” folgt “ x∩(z\y) = 0” .

80 Mengenlehre #313

Beweis 313-3 a) VS gleich (0 6=x)∧(x∩y= 0).

1: Aus VS gleich “ 0 6=x . . . ” und

aus VS gleich “ . . . x ∩y= 0 ”

folgt: x∩y6=x.

2: Aus 1“x∩y6=x”

folgt via 2-11:x6⊆ y.

3: Aus 2“x6⊆ y”

folgt via 0-10:x6=y.

b) VS gleich (0 6=x)∧(y∩x= 0).

1: Via KG∩gilt: x∩y=y∩x.

2: Aus 1und

aus VS gleich “ . . . y ∩x= 0 ”

folgt: x∩y= 0.

3: Aus VS gleich “ 0 6=x . . . ” und

aus 2“x∩y= 0 ”

folgt via des bereits bewiesenen a):x6=y.

c) VS gleich x⊆y.

1: Aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 3-4:yC⊆xC.

2: Aus 1“yC⊆xC”

folgt via 158-4: (x∩z)∩yC⊆(x∩z)∩xC.

3: x∩(z\y)296−11

= (x∩z)\y5−10

= (x∩z)∩yC2

⊆(x∩z)∩xCKG∩

= (z∩x)∩xC

AG∩

=z∩(x∩xC)3−6

=z∩02−17

= 0.

4: Aus 3

folgt: x∩(z\y) = 0.

Mengenlehre #313 81

313-4. Ist feine Funktion, so gilt unabh¨

angig davon, ob p∈dom foder nicht

die Gleichung f={(p, f(p))} ∪ (f\ {(p, f(p))}).

313-4(Satz)

Aus “ fFunktion” folgt “ f={(p, f(p))} ∪ (f\ {(p, f(p))})” .

Beweis 313-4 VS gleich fFunktion.

1: Aus VS gleich “ fFunktion ”

folgt via 261-1:{(p, f(p))} ⊆ f.

2: Aus 1“{(p, f(p))} ⊆ f”

folgt via 258-32:{(p, f(p))} ∪ (f\ {(p, f(p))}) = f.

82 Mengenlehre #313

313-5. Ob eine Funktion disjunktiv wirkt kann an Hand des Definitions-Bereichs

und der Funktions-Werte von fentschieden werden.

313-5(Satz) Unter der Voraussetzung . . .

→)fFunktion.

. . . sind die Aussagen i),ii) ¨

aquivalent:

i) fwirkt disjunktiv.

ii) ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α6=β)) ⇒(f(α)∩f(β) = 0).

Mengenlehre #313 83

Beweis 313-5 i) ⇒ii) VS gleich fwirkt disjunktiv.

Thema1 (α, β ∈dom f)∧(α6=β).

2: Aus →)“fFunktion ” und

aus Thema1“α, β ∈dom f”

folgt via 18-22: (α, f(α)),(β, f(β)) ∈f.

3: Aus VS gleich “ fwirkt disjunktiv ” ,

aus 2“ (α, f(α)),(β, f(β)) ∈f” und

aus Thema1“...α6=β”

folgt via 313-1(Def):f(α)∩f(β) = 0.

ii) ⇒i) VS gleich ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α6=β)) ⇒(f(α)∩f(β) = 0).

Thema1 ((γ, δ),(ǫ, ξ)∈f)∧(γ6=ǫ).

2.1: Aus Thema1“ (γ, δ),(ǫ, ξ)∈f . . . ”

folgt via 7-5:γ, ǫ ∈dom f.

2.2: Aus →)“fFunktion ” und

aus Thema1“ (γ, δ),(ǫ, ξ)∈f . . . ”

folgt via 18-20: (δ=f(γ)) ∧(ξ=f(ǫ)).

3: Aus 2.1“γ, ǫ ∈dom f” ,

aus Thema1“...γ 6=ǫ” und

aus VS gleich “ ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α6=β))

⇒(f(α)∩f(β) = 0)”

folgt: f(γ)∩f(ǫ) = 0.

4: Aus 3und

aus 2.2

folgt: δ∩ξ= 0.

Ergo Thema1:∀γ, δ, ǫ, ξ : (((γ, δ),(ǫ, ξ)∈f)∧(γ6=ǫ)) ⇒(δ∩ξ= 0).

Konsequenz via 313-1(Def):fwirkt disjunktiv.

84 Mengenlehre #313

313-6. Falls p∈dom f,fFunktion, so folgt p∈f−1[{f(p)}].

313-6(Satz)

Aus “ fFunktion” und “ p∈dom f” folgt “ p∈f−1[{f(p)}]” .

Beweis 313-6 VS gleich (fFunktion) ∧(p∈dom f).

1: Aus VS gleich “ (fFunktion) ∧(p∈dom f) ”

folgt via 18-22: (p, f(p)) ∈f.

2: Aus 1“ (p, f(p)) ∈f”

folgt via 12-7:p∈f−1[{f(p)}].

Mengenlehre #313 85

313-7. Als Hilfsresultat wird Hinreichendes f¨

ur x(p)6=x(r) bewiesen.

313-7(Satz) Es gelte:

→)∀α: (p6=α∈dom x)⇒(0 6=x(α)).

→)x(q) = 0.

→)q6=r.

Dann folgt “ x(q)6=x(r)” .

Beweis 313-7

1.1: Es gilt: (p6=q)∨(p=q).

wfFallunterscheidung

1.1.1.Fall p6=q.

2: Aus →)“x(q) = 0 ” und

aus 0UAxiom“ 0 Menge”

folgt: x(q) Menge.

3: Aus 2“x(q) Menge ”

folgt via 17-5:q∈dom x.

4: Aus 1.1.1.Fall“p6=q” ,

aus 3“q∈dom x” und

aus →)“∀α: (p6=α∈dom x)⇒(0 6=x(α)) ”

folgt: 0 6=x(q).

5: Nach →) gilt: x(q) = 0.

Ende wfFallunterscheidung A1



“p=q”

1.2: Aus A1 und

aus →)“q6=r”

folgt: p6=r.

...

86 Mengenlehre #313

Beweis 313-7 ...

2: Es gilt: (r∈dom x)∨(r /∈dom x).

Fallunterscheidung

2.1.Fall r∈dom x.

3: Aus 1.2“p6=r” ,

aus 2.1.1.Fall“r∈dom x” und

aus →)“∀α: (p6=α∈dom x)⇒(0 6=x(α)) ”

folgt: 0 6=x(r).

4: Aus →)“x(q) = 0 ” und

aus 3

folgt: x(q)6=x(r).

2.2.Fall r /∈dom x.

3: Aus 2.2.Fall“r /∈dom x”

folgt via 17-4:x(r) = U.

4: Aus →)“x(q) = 0 ” und

aus 0-18“ 0 6=U”

folgt: x(q)6=U.

5: Aus 4und

aus 3

folgt: x(q)6=x(r).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x(q)6=x(r).

Mengenlehre #313 87

313-8. Ist ran feiner Funktion fpaarweise disjunkt, so folgt unter Zusatzbedin-

gungen die Injektivit¨

at von f.

313-8(Satz)

a) Aus “ fFunktion”

und “ fwirkt disjunktiv”

und “ 0/∈ran f” folgt “ finjektiv” .

b) Aus “ fFunktion”

und “ fwirkt disjunktiv”

und “ ∀α: (p6=α∈dom f)⇒(0 6=f(α))” folgt “ finjektiv” .

88 Mengenlehre #313

Beweis 313-8 a) VS gleich (fFunktion) ∧(fwirkt disjunktiv) ∧(0 /∈ran f).

Thema1.1 (α, β ∈dom f)∧(f(α) = f(β)).

2: Es gilt: (α6=β)∨(α=β).

wfFallunterscheidung

2.1.Fall α6=β.

3: Aus VS gleich “ (fFunktion)∧(fwirkt disjunktiv). . . ” ,

aus Thema1.1“α, β ∈dom f . . . ” und

aus 2.1.Fall“α6=β”

folgt via 313-5:f(α)∩f(β) = 0.

4: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus Thema1.1“α . . . ∈dom f”

folgt via 18-22:f(α)∈ran f.

5: Aus 4“f(α)∈ran f” und

aus VS gleich “ ...0/∈ran f”

folgt via 0-1:f(α)6= 0.

6: Aus 5

folgt: 0 6=f(α).

7: Aus 6“ 0 6=f(α) ” und

aus 3“f(α)∩f(β) = 0 ”

folgt via 313-3:f(α)6=f(β).

8: Nach Thema1.1 gilt: f(α) = f(β).

Ende wfFallunterscheidung α=β.

Ergo Thema1.1:A1



“∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(f(α) = f(α))) ⇒(α=β) ”

1.2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus A1 gleich “ ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(f(α) = f(α))) ⇒(α=β) ”

folgt via 19-2:finjektiv.

Mengenlehre #313 89

Beweis 313-8 b) VS gleich

(fFunktion) ∧(fwirkt disjunktiv) ∧(∀α: (p6=α∈dom f)⇒(0 6=f(α))).

Thema1.1 (γ, δ ∈dom f)∧(f(γ) = f(δ)).

2: Es gilt: (γ6=δ)∨(γ=δ).

wfFallunterscheidung

2.1.Fall γ6=δ.

3: Aus VS gleich “ (fFunktion)∧(fwirkt disjunktiv). . . ” ,

aus Thema1.1“γ, δ ∈dom f . . . ” und

aus 2.1.Fall“γ6=δ”

folgt via 313-5:f(γ)∩f(δ) = 0.

4.1: Es gilt: (f(γ) = 0) ∨(0 6=f(γ)).

Fallunterscheidung

4.1.1.Fall f(γ) = 0.

Aus VS gleich “ ...∀α: (p6=α∈dom f)

⇒(0 6=f(α))” ,

aus 4.1.1.Fall“f(γ) = 0” und

aus 2.1.Fall“γ6=δ”

folgt via 313-7:f(γ)6=f(δ).

4.1.2.Fall 06=f(γ).

Aus 4.1.2.Fall“ 0 6=f(γ)” und

aus 3“f(γ)∩f(δ) = 0 ”

folgt via 313-3:f(γ)6=f(δ).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

A1



“f(γ)6=f(δ) ”

4.2: Nach A1 gilt: f(γ)6=f(δ).

5: Nach Thema1.1 gilt: f(γ) = f(δ).

Ende wfFallunterscheidung γ=δ.

Ergo Thema1.1:A2



“∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(f(γ) = f(δ))) ⇒(γ=δ) ”

...

90 Mengenlehre #313

Beweis 313-8 b) VS gleich

(fFunktion) ∧(fwirkt disjunktiv) ∧(∀α: (p6=α∈dom f)⇒(0 6=f(α))).

...

1.2: Aus VS gleich “ fFunktion. . . ” und

aus A2 gleich “ ∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(f(γ) = f(δ))) ⇒(γ=δ) ”

folgt via 19-2:finjektiv.

Mengenlehre #313 91

313-9. Die offenbar sehr technischen Definitionen haben definitiv vorbereitenden

Charakter.

313-9(Definition)

1) 313.0(x, y) = {ω: (ω∈N)∧(x(1 + ω) = x(0) \S(y[1 + ω]))}.

2) 313.1(x, y, z) = {ω: (ω∈N)∧(x(ω)∩y(z) = 0)}.

—————————————————————————–

RECH-Notation.

92 Mengenlehre #313

313-10. Hier werden einige Eigenschaften der Klassen 313.0(x, y),313.1(x, y, z)

pr¨

asentiert.

313-10(Satz)

a) 313.0(x, y)⊆N.

b) Aus “ n∈N” und “ x(1 + n) = x(0) \S(y[1 + n])”

folgt “ n∈313.0(x, y)” .

c) 313.1(x, y, z)⊆N.

d) Aus “ n∈N” und “ x(n)∩y(z) = 0” folgt “ n∈313.1(x, y, z)” .

————————————————————————————

313.0(x, y) = {ω: (ω∈N)∧(x(1+ω) = x(0) \S(y[1+ ω]))}313-9(Def)

313.1(x, y, z) = {ω: (ω∈N)∧(x(ω)∩y(z) = 0)}313-9(Def)

RECH-Notation.

Mengenlehre #313 93

Beweis 313-10 a)

Thema1 α∈313.0(x, y) .

Aus Thema1

folgt via 313-9(Def):α∈N.

Ergo Thema1:∀α: (α∈313.0(x, y) ) ⇒(α∈N).

Konsequenz via 0-2(Def):313.0(x, y)⊆N.

b) VS gleich (n∈N)∧(x(1 + n) = x(0) \S(y[1 + n])).

1: Aus VS gleich “ n∈N...”

folgt via ElementAxiom:nMenge.

2: Aus VS gleich “ (n∈N)∧(x(1 + n) = x(0) \S(y[1 + n])) ” und

aus 1“nMenge ”

folgt via 313-9(Def):n∈313.0(x, y) .

Thema1 α∈313.1(x, y, z) .

Aus Thema1

folgt via 313-9(Def):α∈N.

Ergo Thema1:∀α: (α∈313.1(x, y, z) ) ⇒(α∈N).

Konsequenz via 0-2(Def):313.1(x, y, z)⊆N.

d) VS gleich (n∈N)∧(x(n)∩y(z) = 0).

1: Aus VS gleich “ n∈N...”

folgt via ElementAxiom:nMenge.

2: Aus VS gleich “ (n∈N)∧(x(n)∩y(z) = 0) ” und

aus 1“nMenge ”

folgt via 313-9(Def):n∈313.1(x, y, z) .

94 Mengenlehre #313

313-11. Nicht nur f¨

ur Folgen fsind die Aussagen ¨

uber nat¨

urliche Zahlen und f

von Interesse.

313-11(Satz)

a) Aus “ 0∈dom f” und “ fFunktion” folgt “ S(f[1]) = f(0)” .

b) Aus “ n, m ∈N”

und “ n < m”

und “ n∈dom f”

und “ fFunktion”

folgt “ f(n)⊆S(f[m])” und “ f(n)∩(x\S(f[m])) = 0” .

c) Aus “ n∈N” und “ n∈dom f” und “ fFunktion”

folgt “ f(n)⊆S(f[1 + n])” und “ f(n)∩(x\S(f[1 + n])) = 0” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 313-11 VS gleich (0 ∈dom f)∧(fFunktion).

1: Aus VS gleich “ (0 ∈dom f)∧(fFunktion) ”

folgt via 262-4:S(f[{0}]) = f(0).

2: Aus 1und

aus 95-1(Def)“ 1 = {0}”

folgt: S(f[1]) = f(0).

Mengenlehre #313 95

Beweis 313-11 b) VS gleich (n, m ∈N)∧(n < m)∧(n∈dom f)∧(fFunktion).

1: Aus VS gleich “ (n, m ∈N)∧(n < m)...”

folgt via 197-5:n∈m.

2: Aus 1“n∈m”

folgt via 1-8:{n} ⊆ m.

3: Aus 2“{n} ⊆ m”

folgt via 8-9:f[{n}]⊆f[m].

4: Aus 3“f[{n}]⊆f[m] ”

folgt via 1-15:S(f[{n}]) ⊆S(f[m]).

5: Aus VS gleich “ ...(n∈dom f)∧(fFunktion) ”

folgt via 262-4:S(f[{n}]) = f(n).

6: Aus 5und

aus 4

folgt: f(n)⊆S(f[m])

7: Aus 6“f(n)⊆S(f[m]) ”

folgt via 313-3:f(n)∩(x\S(f[m])) = 0

c) VS gleich (n∈N)∧(n∈dom f)∧(fFunktion).

1.1: Aus VS gleich “ n∈N...”

folgt via 159-10: 1 + n∈N.

1.2: Aus VS gleich “ n∈N...”

folgt via 239-5:n < 1 + n.

2: Aus VS gleich “ n∈N...” ,

aus 1.1“ 1 + n∈N” ,

aus 1.2“n < 1 + n” und

aus VS gleich “ ...(n∈dom f)∧(fFunktion) ”

folgt via des bereits bewiesenen b):

(f(n)⊆S(f[1 + n])) ∧(f(n)∩(x\S(f[1 + n])) = 0).

96 Mengenlehre #313

313-12. Gelegentlich ist es hilfreich, abge¨

anderte Versionen vom ISZund von

236-2,3 einzusetzen.

313-12(Satz)

a) Aus “ x∈Z∩E” und “ ∀α: (α∈E∩ {x, . . .})⇒(1 + α∈E)”

folgt “ {x, . . .} ⊆ E” .

b) Aus “ x∈Z∩E” und “ ∀α: (x≤α∈Z∩E)⇒(1 + α∈E)”

folgt “ {x, . . .} ⊆ E” .

c) Aus “ x∈E⊆Z” und “ ∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E)”

folgt “ {x, . . .} ⊆ E” .

d) Aus “ x∈E⊆N” und “ ∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E)”

folgt “ {x, . . .} ⊆ E” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 313-12 a) VS gleich (x∈Z∩E)∧(∀α: (α∈E∩{x, . . .})⇒(1+α∈E)).

1.1: Via 169-4 gilt: {x, . . .} ⊆ Z.

1.2: Aus VS gleich “ x∈Z∩E . . . ”

folgt via 2-2:x∈Z.

2.1: Aus 1“{x, . . .} ⊆ Z”

folgt via 158-4:E∩ {x, . . .} ⊆ E∩Z.

2.2: Aus 1.2“x∈Z”

folgt via 237-2:x∈ {x, . . .}.

3: Aus VS gleich “ x∈Z∩E . . . ” und

aus 2.2“x∈ {x, . . .}”

folgt via 2-2:x∈(Z∩E)∩ {x, . . .}.

4: Via AG∩gilt: Z∩(E∩ {x, . . .}) = (Z∩E)∩ {x, . . .}.

5: Aus 3und

aus 4

folgt: x∈Z∩(E∩ {x, . . .}).

...

Mengenlehre #313 97

Beweis 313-12 a) VS gleich (x∈Z∩E)∧(∀α: (α∈E∩{x, . . .})⇒(1+α∈E)).

...

Thema6.1 β∈Z∩(E∩ {x, . . .}).

7.1: Aus 6.1“β∈Z∩(E∩ {x, . . .}) ”

folgt via 2-2:β∈E∩ {x, . . .}.

7.2: Aus 6.1“β∈E∩ {x, . . .}” und

aus VS gleich “ ...∀α: (α∈E∩ {x, . . .})⇒(1 + α∈E) ”

folgt: 1 + β∈E.

8: Aus 7.1“β∈E∩ {x, . . .}”

folgt via 2-2:β∈ {x, . . .}.

9: Aus 8“β∈ {x, . . .}”

folgt via 169-12: 1 + β∈ {x, . . .}.

10: Aus 7.2“ 1 + β∈E” und

aus 9“ 1 + β∈ {x, . . .}”

folgt via 2-2: 1 + β∈E∩ {x, . . .}.

Ergo Thema6.1:A1



“∀β: (β∈Z∩(E∩ {x, . . .})) ⇒(1 + β∈E∩ {x, . . .}) ”

6.2: Aus 5“x∈Z∩(E∩ {x, . . .}) ” und

aus A1 gleich “ ∀β: (β∈Z∩(E∩ {x, . . .})) ⇒(1 + β∈E∩ {x, . . .}) ”

folgt via ISZ:{x, . . .} ⊆ E∩ {x, . . .}.

7: Aus 6.2“{x, . . .} ⊆ E∩ {x, . . .}”

folgt via 158-1:{x, . . .} ⊆ E.

98 Mengenlehre #313

Beweis 313-12 b) VS gleich (x∈Z∩E)∧(∀α: (x≤α∈Z∩E)⇒(1+α∈E)).

Thema1.1 β∈E∩ {x, . . .}.

2: Aus Thema1.1“β∈E∩ {x, . . .}”

folgt via 2-2: (β∈E)∧(β∈ {x, . . .}).

3: Aus 2“. . . β ∈ {x, . . .}”

folgt via 169-2:x≤β∈Z.

4: Aus 3“. . . β ∈Z” und

aus 2“β∈E . . . ”

folgt via 2-2:β∈Z∩E.

5: Aus 3“x≤β . . . ” ,

aus 4“β∈Z∩E” und

aus VS gleich “ ...∀α: (x≤α∈Z∩E)⇒(1 + α∈E) ”

folgt: 1 + β∈E.

Ergo Thema1.1:A1



“∀β: (β∈E∩ {x, . . .})⇒(1 + β∈E) ”

1.2: Aus VS gleich “ x∈Z∩E . . . ” und

aus A1 gleich “ ∀β: (β∈E∩ {x, . . .})⇒(1 + β∈E) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):{x, . . .} ⊆ E.

c) VS gleich (x∈E⊆Z)∧(∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E)).

1: Aus VS gleich “ . . . E ⊆Z...”

folgt via 2-10:Z∩E=E.

2.1: Aus 1und

aus VS gleich “ x∈E . . . ”

folgt: x∈Z∩E.

2.2: Aus 1und

aus VS gleich “ ...∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E) ”

folgt: ∀α: (x≤α∈Z∩E)⇒(1 + α∈E).

3: Aus 2.1“x∈Z∩E” und

aus 2.2“∀α: (x≤α∈Z∩E)⇒(1 + α∈E) ”

folgt via des bereits bewiesenen b):{x, . . .} ⊆ E.

Mengenlehre #313 99

Beweis 313-12 d) VS gleich (x∈E⊆N)∧(∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E)).

1: Aus VS gleich “ . . . E ⊆N...” und

aus 164-4“N⊆Z”

folgt via 0-6:E⊆Z.

2: Aus VS gleich “ x∈E . . . ” ,

aus 1“E⊆Z” und

aus VS gleich “ ...∀α: (x≤α∈E)⇒(1 + α∈E) ”

folgt via des bereits bewiesenen c):{x, . . .} ⊆ E.

100 Mengenlehre #313

313-13. Nun wird eine Rekursion untersucht.

313-13(Satz) Es gelte:

→)fFunktion.

→)dom f=N.

→)∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)).

Dann folgt:

a) ∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(0) \S(f[1 + α])).

b) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩x(β) = 0).

Beweis 313-13

————————————————————————————

313.0(x, y) = {ω: (ω∈N)∧(x(1 + ω) = x(0) \S(y[1 + ω]))}313-9(Def)

313.1(x, y, z) = {ω: (ω∈N)∧(x(ω)∩y(z) = 0)}313-9(Def)

————————————————————————————

1.1: Aus ∈schola“ 0 ∈N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(0) \f(α)) ”

folgt: x(1 + 0) = x(0) \f(0).

1.2: Aus ∈schola“ 0 ∈N” und

aus →)“dom f=N”

folgt: 0 ∈dom f.

1.3: Aus +schola“ 1 + 0 = 1”

folgt: f[1] = f[1 + 0].

2: Aus 1.2“ 0 ∈dom f” und

aus →)“fFunktion ”

folgt via 313-11:S(f[1]) = f(0).

3: Aus 1.1 und

aus 2

folgt: x(1 + 0) = x(0) \S(f[1]).

4: Aus 3und

aus 1.3

folgt: x(1 + 0) = x(0) \S(f[1 + 0]).

...

Mengenlehre #313 101

Beweis 313-13 a) ...

5: Aus ∈schola“ 0 ∈N” und

aus 4“x(1 + 0) = x(0) \S(f[1 + 0]) ”

folgt via 313-10:A1



“ 0 ∈313.0(x, f) ”

1.2: Via 313-10 xilt: 313.0(x, f)⊆N.

Thema1.3 β∈313.0(x, f) .

2.1: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 259-16:f[{1 + β}] = {f(1 + β)}.

2.2: Aus Thema1.3

folgt via 313-9(Def):

(β∈N)∧(x(1 + β) = x(0) \S(f[1 + β])).

3: Aus 2.2“β∈N...”

folgt via 159-10: 1 + β∈N.

4.1: Aus 3“ 1 + β∈N...”

folgt via ANAxiom: 1 + (1 + β) = {1 + β} ∪ (1 + β).

4.2: Aus 3“ 1 + β∈N” und

aus →)“dom f=N”

folgt: 1 + β∈dom f.

4.3: Aus 3“ 1 + β∈N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)) ”

folgt: x(1 + (1 + β)) = x(1 + β)\f(1 + β).

5.1: Aus 4.2“ 1 + β∈dom f”

folgt via 17-5:f(1 + β) Menge.

5.2: Aus 4.3 und

aus 2.2“. . . x(1 + β) = x(0) \S(f[1 + β]) ”

folgt:

x(1 + (1 + β)) = (x(0) \S(f[1 + β])) \(S(f[1 + (1 + β)])).

...

102 Mengenlehre #313

Beweis 313-13 a) ...

Thema1.3 β∈313.0(x, f) .

...

6: Aus 5.1“f(1 + β) Menge ”

folgt via 1-14:S{f(1 + β)}=f(1 + β).

7: S(f[1 + (1 + β)]) 4.1

=S(f[{1 + β} ∪ (1 + β)])

9−8

=S(f[{1 + β}]∪f[1 + β]) 2.1

=S({f(1 + β)} ∪ f[1 + β])

2−34

= (S{f(1 + β)})∪(S(f[1 + β]))

=f(1 + β)∪S(f[1 + β]).

8: Aus 7

folgt: S(f[1 + (1 + β)]) = f(1 + β)∪S(f[1 + β]).

9: Via 2-7 xilt: S(f[1 + β]) ⊆f(1 + β)∪S(f[1 + β]).

10: Aus 9und

aus 8

folgt: S(f[1 + β]) ⊆S(f[1 + (1 + β)]).

11: Aus 10“S(f[1 + β]) ⊆S(f[1 + (1 + β)]) ”

folgt via 2-10:

S(f[1 + (1 + β)]) = (S(f[1 + β])) ∪(S(f[1 + (1 + β)])).

12: x(1 + (1 + β)) 5.2

= (x(0) \S(f[1 + β])) \(S(f[1 + (1 + β)]))

5−12

=x(0) \((S(f[1 + β])) ∪(S(f[1 + (1 + β)])))

=x(0) \S(f[1 + (1 + β)]).

13: Aus 3“ 1 + β∈N” und

aus 12“x(1 + (1 + β)) = ...=x(0) \S(f[1 + (1 + β)]) ”

folgt via 313-10: 1 + β∈313.0(x, f) .

Ergo Thema1.3:A2



“∀β: (β∈313.0(x, f) ) ⇒(1 + β∈313.0(x, f) ) ”

...

Mengenlehre #313 103

Beweis 313-13 a) ...

1.4: Aus A1 gleich “ 0 ∈313.0(x, f) ” ,

aus 1.2“313.0(x, f)⊆N” und

aus A2 gleich “ s ” ∀β: (β∈313.0(x, f) ) ⇒(1 + β∈313.0(x, f) )

folgt via 236-5:313.0(x, f) = N.

Thema2 α∈N.

3: Aus Thema2 und

aus 1.4“313.0(x, f) = N”

folgt: α∈313.0(x, f) .

4: Aus 3“α∈313.0(x, f) ”

folgt via 313-9(Def):x(1 + α) = x(0) \S(f[1 + α]).

Ergo Thema2:∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(0) \S(f[1 + α]).

Thema1.1 γ∈N.

2.1: Aus Thema1.1“γ∈N” und

aus →)“dom f=N”

folgt: γ∈dom f.

2.2: Aus Thema1.1“γ∈N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(0) \S(f[1 + α])) ”

folgt: x(1 + γ) = x(0) \Sf[1 + γ].

3: Aus Thema1.1“γ∈N” ,

aus 2.1“γ∈dom f” und

aus →)“fFunktion ”

folgt via 313-11:f(γ)∩(x(0) \(f[1 + γ])) = 0.

4: Aus 3und

aus 2.2

folgt: f(γ)∩x(1 + γ) = 0.

...

104 Mengenlehre #313

Beweis 313-13 b) ...

Thema1.1 γ∈N.

...

5.1: Via KG∩xilt: x(1 + γ)∩f(γ) = f(γ)∩x(1 + γ).

5.2: Aus Thema1.1“γ∈N”

folgt via 159-10: 1 + γ∈N.

6: Aus 5.1 und

aus 4

folgt: x(1 + γ)∩f(γ) = 0.

7: Aus 5.2“ 1 + γ∈N” und

aus 6“x(1 + γ)∩f(γ) = 0 ”

folgt via 313-10: 1 + γ∈313.1(x, f, γ) .

Thema8.1 1 + γ≤δ∈313.1(x, f, γ) .

9.1: Aus Thema8.1“δ∈313.1(x, f, γ) ”

folgt via 313-9(Def):

(δ∈N)∧(x(δ)∩f(γ) = 0).

9.2: Aus Thema1.1“γ∈N”

folgt via 239-5:γ < 1 + γ.

...

Mengenlehre #313 105

Beweis 313-13 b) ...

Thema1.1 γ∈N.

...

Thema8.1 1 + γ≤δ∈313.1(x, f, γ) .

...

10.1: Aus 9.1“δ∈N...”

folgt via 159-10: 1 + δ∈N.

10.2: Aus 9.2“γ < 1 + γ” und

aus Thema8.1“ 1 + γ≤δ”

folgt via 107-8:γ < δ.

10.3: Aus →)“fFunktion ” ,

aus →)“dom f=N” ,

aus →)“ ∀α: (α∈N)

⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α))” und

aus 9.1“δ∈N...”

folgt via des bereits bewiesenen a):

x(1 + δ) = x(0) \S(f[1 + δ]).

10.4: Aus 9.1“δ∈N”

folgt via 239-5:δ < 1 + δ.

11: Aus 10.2“γ < δ ” und

aus 10.4“δ < 1 + δ”

folgt via 107-8:γ < 1 + δ.

12: Aus Thema1.1“γ∈N” ,

aus 10.1“ 1 + δ∈N” ,

aus 11“γ < 1 + δ” ,

aus 2.1“γ∈dom f” und

aus →)“fFunktion ”

folgt via 313-11:

f(γ)∩(x(0) \S(f[1 + δ])) = 0.

...

106 Mengenlehre #313

Beweis 313-13 b) ...

Thema1.1 γ∈N.

...

Thema8.1 1 + γ≤δ∈313.1(x, f, γ) .

...

13: Aus 12 und

aus 10.3

folgt: f(γ)∩x(1 + δ) = 0.

14: Via KG∩xilt: x(1+δ)∩f(γ) = f(γ)∩x(1+δ).

15: Aus 14 und

aus 13

folgt: x(1 + δ)∩f(γ) = 0.

16: Aus 10.1“ 1 + δ∈N” und

aus 15“x(1 + δ)∩f(γ) = 0 ”

folgt via 313-10: 1 + δ∈313.1(x, f, γ) .

Ergo Thema8.1:

A1



“∀δ: (1 + γ≤δ∈313.1(x, f, γ) )

⇒(1 + δ∈313.1(x, f, γ) ) ”

8.2: Via 313-10 xilt: 313.1(x, f, γ)⊆N.

9: Aus 7“ 1 + γ∈313.1(x, f, γ) ” ,

aus 8.2“313.1(x, f, γ)⊆N” und

aus A1“∀δ: (1 + γ≤δ∈313.1(x, f, γ) )

⇒(1 + δ∈313.1(x, f, γ) )”

folgt via 313-12:{1 + γ,...} ⊆ 313.1(x, f, γ) .

Ergo Thema1.1:A2



“∀γ: (γ∈N)⇒({1 + γ,...} ⊆ 313.1(x, f, γ) ) ”

Mengenlehre #313 107

Beweis 313-13 b) ...

Thema1.2 (α, β ∈N)∧(α < β).

2.1: Aus Thema1.2“ (α, β ∈N)∧(α < β) ”

folgt via LSN: 1 + α≤β.

2.2: Aus Thema1.2“α . . . ∈N...” und

aus A2 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒({1 + γ,...} ⊆

313.1(x, f, γ) ) ”

folgt: {1 + α,...} ⊆ 313.1(x, f, α) .

3: Aus 2.1“ 1 + α≤β” und

aus Thema1.2“. . . β ∈N...”

folgt via 236-1:β∈ {1 + α,...}.

4: Aus 3“β∈ {1 + α,...}” und

aus 2.2“{1 + α,...} ⊆ 313.1(x, f, α) ”

folgt via 0-4:β∈313.1(x, f, α) .

5: Aus 4“β∈313.1(x, f, α) ”

folgt via 313-9(Def):x(β)∩f(α) = 0.

6: Via KG∩xilt: f(α)∩x(β) = x(β)∩f(α).

7: Aus 6und

aus 5

folgt: f(α)∩x(β) = 0.

Ergo Thema1.2:∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩x(β) = 0).

108 Mengenlehre #313

313-14. F¨

ur disjunktiv wirkende Funktionen mit Definitions-Bereich⊆Skann

313-5 mit Hilfe von <gef¨

alliger formuliert werden.

313-14(Satz) Es gelte:

→)fFunktion.

→)dom f⊆S.

→)∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩f(β) = 0).

Dann folgt “ fwirkt disjunktiv” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 313-14

Thema1.1 (γ, δ ∈dom f)∧(γ6=δ).

2: Aus Thema1.1“γ, δ ∈dom f . . . ” und

aus →)“dom f⊆S”

folgt via 0-4:γ, δ ∈S.

3: Aus 2“γ, δ ∈S”

folgt via 107-14: (γ < δ)∨(γ=δ)∨(δ < γ).

4: Aus 3und

aus Thema1“...γ 6=δ”

folgt: (γ < δ)∨(δ < γ).

Fallunterscheidung

...

Mengenlehre #313 109

Beweis 313-14 ...

Thema1.1 (γ, δ ∈dom f)∧(γ6=δ).

...

Fallunterscheidung

4.1.Fall γ < δ.

Aus Thema1.1“γ, δ ∈dom f . . . ” ,

aus 4.1.Fall“γ < δ” und

aus →)“ ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α < β))

⇒(f(α)∩f(β) = 0)”

folgt: f(γ)∩f(δ) = 0.

4.2.Fall δ < γ.

5: Aus Thema1.1“. . . δ ∈dom f . . . ” ,

aus Thema1“γ . . . ∈dom f . . . ” ,

aus 4.2.Fall“δ < γ” und

aus →)“ ∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α < β))

⇒(f(α)∩f(β) = 0)”

folgt: f(δ)∩f(γ) = 0.

6: Via KG∩gilt: f(γ)∩f(δ) = f(δ)∩f(γ).

7: Aus 6und

aus 5

folgt: f(γ)∩f(δ) = 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: f(γ)∩f(δ) = 0.

Ergo Thema1.1:A1



“∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(γ6=δ)) ⇒(f(γ)∩f(δ) = 0) ”

1.2: Aus →)“fFunktion ” und

aus A1 gleich “ ∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(γ6=δ)) ⇒(f(γ)∩f(δ) = 0) ”

folgt via 313-5:fwirkt disjunktiv.

110 Mengenlehre #313

313-15. Satz 313-14 wirkt nat¨

urlich auch im Spezialfall dom f=N.

313-15(Satz) Es gelte:

→)fFunktion.

→)dom f=N.

→)∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩f(β) = 0).

Dann folgt “ fwirkt disjunktiv” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 313-15

1: Aus →)“dom f=N” und

aus 159-10“N⊆S”

folgt: dom f⊆S.

2: Aus →)“fFunktion ” ,

aus 1“dom f⊆S” und

aus →)“∀α, β : ((α, β ∈dom f)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩f(β) = 0) ”

folgt via 313-14:fwirkt disjunktiv.

Mengenlehre #313 111

313-16. Hinter der Folge - der Term wird hier im Kommentar als bekannt angese-

hen, die Definition ist sp¨

aterer Zeit vorbehalten - von 312-11(AC) verbirgt sich

eine disjunktiv wirkende Funktion. Diese Erkenntnis soll nun vorbereitet werden.

313-16(Satz) Es gelte:

→)fFunktion.

→)dom f=N.

→)∀α: (α∈N)⇒(f(α)⊆x(α)).

→)∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)).

Dann folgt “ fwirkt disjunktiv” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

112 Mengenlehre #313

Beweis 313-16

————————————————————————————

≤.-Notation

————————————————————————————

1: Aus →)“fFunktion ” ,

aus →)“dom f=N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)) ”

folgt via 313-13:∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩x(β) = 0).

Thema2.1 (γ, δ ∈dom f)∧(γ < δ).

3: Aus Thema2.1“γ, δ ∈dom f . . . ” und

aus →)“dom f=N”

folgt: γ, δ ∈N.

4.1: Aus 3“γ, δ ∈N” ,

aus Thema2.1“. . . γ < δ ” und

aus 1“∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α < β)) ⇒(f(α)∩x(β) = 0) ”

folgt: f(γ)∩x(δ) = 0.

4.2: Aus 3“. . . δ ∈N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(f(α)⊆x(α)) ”

folgt: f(δ)⊆x(δ).

5: Aus 4.2“f(δ)⊆x(δ) ”

folgt via 158-4:f(γ)∩f(δ)⊆f(γ)∩x(δ).

6: Aus 5und

aus 4.1

folgt: f(γ)∩f(δ)⊆0.

7: Aus 6“f(γ)∩f(δ)⊆0 ”

folgt via 0-18:f(γ)∩f(δ) = 0.

Ergo Thema2.1:

A1



“∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(γ < δ)) ⇒(f(γ)∩f(δ) = 0) ”

2.2: Aus →)“fFunktion ” ,

aus →)“dom f=N” und

aus A1 gleich “ ∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom f)∧(γ < δ)) ⇒(f(γ)∩f(δ) = 0) ”

folgt via 313-15:fwirkt disjunktiv.

Mengenlehre #313 113

313-17. Gilt zus¨

atzlich zu den Voraussetzungen von 313-16 noch 0 6=f(α) f¨

alle α∈dom fmit α6=p, so ist finjektiv.

313-17(Satz) Es gelte:

→)fFunktion.

→)dom f=N.

→)∀α: (p6=α∈dom f)⇒(0 6=f(α)).

→)∀α: (α∈N)⇒(f(α)⊆x(α)).

→)∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)).

Dann folgt “ finjektiv” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 313-17

1: Aus →)“fFunktion ” ,

aus →)“dom f=N” ,

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(f(α)⊆x(α)) ” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α) = x(α)\f(α)) ”

folgt via 313-16:fwirk disjunktiv.

2: Aus →)“fFunktion ” ,

aus 1“fwirkt disjunktiv ” und

aus →)“∀α: (p6=α∈dom f)⇒(0 6=f(α)) ”

folgt via 313-8:finjektiv.

114 Mengenlehre #313

313-18(AC). Ist xeine unendliche Menge, so gibt es eine injektive Funktion

f:N→x.

313-18(AC)(Satz) Es gelte:

→)xunendlich.

→)xMenge.

Dann gibt es Ω, so dass gilt:

e.1) Ω : N→x.

e.2) Ωinjektiv.

Beweis 313-18(AC)

1: Aus →)“xunendlich ” und

aus →)“xMenge ”

folgt via 312-11(AC):∃Φ,Ψ : (Φ : U \ {0} → U)∧(Ψ : N→ Punendl(x))

∧(∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Φ(α)∈α))

∧(Ψ(0) = x)

∧(∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α) = Ψ(α)\ {Φ(Ψ(α))})).

2.1: Aus 1“∃Φ,Ψ...”

folgt: ∃Ω : Ω = Φ ◦Ψ.

2.2: Aus 1“...Φ : U \ {0} → U ...”

folgt via 21-1(Def): (Φ Funktion) ∧(dom Φ = U \ {0}).

2.3: Aus 1“...Ψ : N→ Punendl(x)...”

folgt via 21-1(Def):

(Ψ Funktion) ∧(dom Ψ = N)∧(ran Ψ⊆ Punendl(x)).

3: Aus 2.2“ Φ Funktion. . . ” und

aus 2.3“ Ψ Funktion. . . ”

folgt via 18-46: Φ ◦Ψ Funktion.

4: Aus 2.1“...Ω = Φ ◦Ψ ” und

aus 3

folgt: Ω Funktion.

...

Mengenlehre #313 115

Beweis 313-18(AC) ...

Thema5.1 α∈ran Ψ.

6.1: Aus Thema5.1“α∈ran Ψ ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

6.2: Aus Thema5.1“α∈ran Ψ ” und

aus 2.3“...ran Ψ⊆ Punendl(x) ”

folgt via 0-4:α∈ Punendl(x).

7.1: Aus 6.1“αMenge ”

folgt via 0-19:α∈ U.

7.2: Aus 6.2“α∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-8: 0 6=α.

8: Aus 7.2“ 0 6=α” und

aus 7.1“α∈ U ”

folgt via 5-15:α∈ U \ {0}.

9: Aus 8“α∈ U \ {0}” und

aus 2.1“...dom Φ = U \ {0}”

folgt: α∈dom Φ.

Ergo Thema5.1:∀α: (α∈ran Ψ) ⇒(α∈dom Φ).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran Ψ⊆dom Φ ”

116 Mengenlehre #313

Beweis 313-18(AC) ...

Thema5.2 β∈ran Ω.

6: Aus Thema5.2 und

aus 2.1“...Ω = Φ ◦Ψ ”

folgt: β∈ran (Φ ◦Ψ).

7: Via 14-6 gilt: ran (Φ ◦Ψ) = Φ[ran Ψ].

8: Aus 2.2“...ran Ψ⊆ Punendl(x) ”

folgt via 8-9: Φ[ran Ψ] ⊆Φ[Punendl(x)].

9: Aus 7und

aus 8

folgt: ran (Φ ◦Ψ) ⊆Φ[Punendl(x)].

10: Aus 6“β∈ran (Φ ◦Ψ) ” und

aus 9“ran (Φ ◦Ψ) ⊆Φ[Punendl(x)] ”

folgt via 0-4:β∈Φ[Punendl(x)].

11: Aus 2.2“ Φ Funktion. . . ” und

aus 10“β∈Φ[Punendl(x)] ”

folgt via 18-28:∃Γ : (Γ ∈ Punendl(x)) ∧(β= Ω(Γ)).

12.1: Aus 11“...Γ∈ Punendl(x)...”

folgt via 312-2: Γ ⊆x.

12.2: Aus 11“...Γ∈ Punendl(x)...”

folgt via 312-8: 0 6= Γ.

13: Aus 12.2“ 0 6= Γ ” ,

aus 12.1“ Γ ⊆x” und

aus 1“...∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Φ(α)∈α)...”

folgt: Φ(Γ) ∈Γ.

14: Aus 11“. . . β = Φ(Γ) ” und

aus 13

folgt: β∈Γ.

15: Aus 14“β∈Γ ” und

aus 12.1“ Γ ⊆x”

folgt via 0-4:β∈x.

...

Mengenlehre #313 117

Beweis 313-18(AC) ...

Ergo Thema5.2:∀β: (β∈ran Ω) ⇒(β∈x).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ran Ω⊆x”

6.1: Aus A1 gleich “ ran Ψ⊆dom Φ ”

folgt via 14-6:dom (Φ ◦Ψ) = dom Ψ.

6.2: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 4“ Ω Funktion ”

folgt via 18-46:{.} ◦ Ω Funktion.

6.3: Aus 27-14“dom {.}=U”

folgt via 311-10:dom ({.} ◦ Ω) = dom Ω.

7: Aus 6.1 und

aus 2.3“...dom Ψ = N...”

folgt: dom (Φ ◦Ψ) = N.

8: Aus 7und

aus 2.1“...Ω = Φ ◦Ψ ”

folgt: dom Ω = N.

9.1: Aus 4“ Ω Funktion ” ,

aus 8“dom Ω = N” und

aus A2 gleich “ ran Ω⊆x”

folgt via 21-1(Def): Ω : N→x.

9.2: Aus 8und

aus 6.3

folgt: dom ({.} ◦ Ω) = N.

...

118 Mengenlehre #313

Beweis 313-18(AC) ...

Thema10.1 β∈N.

11.1: Aus Thema10.1 und

aus 8

folgt: β∈dom Ω.

11.2: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 4“ Ω Funktion ”

folgt via 18-46: ({.} ◦ Ω)(β) = {.}(Ω(β)).

12.1: Aus 11.1“β∈dom Ω ”

folgt via 17-5: Ω(β) Menge.

12.2: Aus 2.1“...Ω = Φ ◦Ψ ”

folgt: Ω(β) = (Φ ◦Ψ)(β).

13.1: Aus 12.1“ Ω(β) Menge ”

folgt via 27-14:{.}(Ω(β)) = {Ω(β)}.

13.2: Aus 2.2“ Φ Funktion. . . ” und

aus 2.3“ Ψ Funktion. . . ”

folgt via 18-46: (Φ ◦Ψ)(β) = Φ(Ψ(β)).

14: Aus 12.2 und

aus 13.2

folgt: Ω(β) = Φ(Ψ(β)).

15: Aus 13.1 und

aus 14

folgt: {.}(Ω(β)) = {Φ(Ψ(β))}.

16: Aus 11.2 und

aus 15

folgt: ({.} ◦ Ω)(β) = {Φ(Ψ(β))}.

Ergo Thema10.1:A3



“∀β: (β∈N)⇒(({.} ◦ Ω)(β) = {Φ(Ψ(β))}) ”

...

Mengenlehre #313 119

Beweis 313-18(AC) ...

Thema10.2 γ∈N.

Thema11 δ∈({.} ◦ Ω)(γ).

12: Aus Thema10.2“γ∈N” und

aus A3“∀β: (β∈N)

⇒(({.} ◦ Ω)(β) = {Φ(Ψ(β))})”

folgt: ({.} ◦ Ω)(γ) = {Φ(Ψ(γ))}.

13: Aus Thema11 und

aus 12

folgt: δ∈ {Φ(Ψ(γ))}.

14: Aus 13“δ∈ {Φ(Ψ(γ))}”

folgt via 1-6:δ= Φ(Ψ(γ)).

15: Aus 1“...Ψ : N→ Punendl(x)...” und

aus Thema10.2“γ∈N”

folgt via 21-4: Ψ(γ)∈ Punendl(x).

16.1: Aus 15“ Ψ(γ)∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-8: 0 6= Ψ(γ).

16.2: Aus 15“ Ψ(γ)∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-1(Def): Ψ(γ)⊆x.

17: Aus 16.1“ 0 6= Ψ(γ) ” und

aus 16.2“ Ψ(γ)⊆x” und

aus 1“∀α: (0 6=α⊆x)⇒(Φ(α)∈α) ”

folgt: Φ(Ψ(γ)) ∈Ψ(γ).

18: Aus 14 und

aus 17

folgt: δ∈Ψ(γ).

Ergo Thema11:∀δ: (δ∈({.} ◦ Ω)(γ)) ⇒(δ∈Ψ(γ)).

Konsequenz via 0-2(Def): ({.} ◦ Ω)(γ)⊆Ψ(γ).

Ergo Thema10.2:A4



“∀γ: (γ∈N)⇒(({.} ◦ Ω)(γ)⊆Ψ(γ)) ”

...

120 Mengenlehre #313

Beweis 313-18(AC) ...

Thema10.3 γ∈N.

11: Aus Thema10.3“γ∈N” und

aus 1“...∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1+α) = Ψ(α)\{Φ(Ψ(α))}) ”

folgt: Ψ(1 + γ) = Ψ(γ)\ {Φ(Ψ(γ))}.

12: Aus Thema10.3“γ∈N” und

aus A3 gleich “ ∀β: (β∈N)

⇒(({.} ◦ Ω)(β) = {Φ(Ψ(β))})”

folgt: ({.} ◦ Ω)(γ) = {Φ(Ψ(γ))}.

13: Aus 11 und

aus 12

folgt: Ψ(1 + γ) = Ψ(γ)\({.} ◦ Ω)(γ).

Ergo Thema10.3:A5



“∀γ: (γ∈N)⇒(Ψ(1 + γ) = Ψ(γ)\({.} ◦ Ω)(γ)) ”

10.4: Es gilt: (0 ∈ran ({.} ◦ Ω)) ∨(0 /∈ran ({.} ◦ Ω)).

wfFallunterscheidung

10.4.1.Fall 0∈ran ({.} ◦ Ω).

11: Aus 10.4.1.Fall“ 0 ∈ran ({.} ◦ Ω)” und

aus 6.2“{.}◦Ω Funktion ”

folgt via 18-24:∃Υ : (Υ ∈dom ({.} ◦ Ω)) ∧(({.} ◦ Ω)(Υ) = 0).

12: Aus 11“...Υ∈dom ({.} ◦ Ω) ...” und

aus 9.2“dom ({.} ◦ Ω) = N”

folgt: Υ ∈N.

13: Aus 12“ Υ ∈N” und

aus A3 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒(({.} ◦ Ω)(γ)) = {Φ(Ψ(γ))}”

folgt: ({.} ◦ Ω)(Υ) = {Φ(Ψ(Υ))}.

14: Aus 11“...({.} ◦ Ω)(Υ) = 0 ” und

aus 13

folgt: {Φ(Ψ(Υ))}= 0.

15: Aus 14“{Φ(Ψ(Υ))}= 0 ”

folgt via 1-4: Φ(Ψ(Υ)) Unmenge.

...

Mengenlehre #313 121

Beweis 313-18(AC) ...

10.4: Es gilt: (0 ∈ran ({.} ◦ Ω)) ∨(0 /∈ran ({.} ◦ Ω)).

...

wfFallunterscheidung

10.4.1.Fall 0∈ran ({.} ◦ Ω).

...

16: Aus 15“ Φ(Ψ(Υ)) Unmenge ”

folgt via 17-4: Ψ(Υ) /∈dom Φ.

17: Aus 16 und

aus 2.2“...dom Φ = U \ {0}”

folgt: Ψ(Υ) /∈ U \ {0}.

18: Aus 12“ Υ ∈N” und

aus 1“...Ψ : N→ Punendl(x)...”

folgt via 21-4: Ψ(Υ) ∈ Punendl(x).

19.1: Aus 18“ Ψ(Υ) ∈ Punendl(x) ”

folgt via ElementAxiom: Ψ(Υ) Menge.

19.2: Aus 18“ Ψ(Υ) ∈ Punendl(x) ”

folgt via 312-8: 0 6= Ψ(Υ).

20: Aus 19.1“ Ψ(Υ) Menge ”

folgt via 0-19: Ψ(Υ) ∈ U.

21: Aus 19.2“ 0 6= Ψ(Υ) ” und

aus 20“ Ψ(Υ) ∈ U ”

folgt via 5-15: Ψ(Υ) ∈ U \ {0}.

22: Nach 17 gilt: Ψ(Υ) /∈ U \ {0}.

Ende wfFallunterscheidung A6



“ 0 /∈ran ({.} ◦ Ω) ”

11: Aus 6.2“{.} ◦ Ω Funktion ” ,

aus 9.2“dom ({.} ◦ Ω) = N” ,

aus A4 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒(({.} ◦ Ω)(γ)⊆Ψ(γ)) ” und

aus A5 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒(Ψ(1 + γ) = Ψ(γ)\({.} ◦ Ω)(γ)) ”

folgt via 313-16:{.} ◦ Ω wirkt disjunktiv.

12: Aus 6.2“{.} ◦ Ω Funktion ” ,

aus 11“{.} ◦ Ω wirkt disjunktiv ” und

aus A6 gleich “ 0 /∈ran ({.} ◦ Ω) ”

folgt via 313-8:{.} ◦ Ω injektiv.

...

122 Mengenlehre #313

Beweis 313-18(AC) ...

Thema13.1 (γ, δ ∈dom Ω) ∧(Ω(γ) = Ω(δ)).

14.1: Aus Thema13.1“γ, δ ∈dom Ω...” und

aus 8

folgt: γ, δ ∈N.

14.2: Aus Thema13.1“...Ω(γ) = Ω(δ) ”

folgt: {Ω(γ)}={Ω(δ)}.

14.3: Aus Thema13.1“γ, δ ∈dom Ω...”

folgt via 17-5: Ω(γ),Ω(δ) Menge.

15.1: Aus 14.1 und

aus 9.2

folgt: γ, δ ∈dom ({.} ◦ Ω).

15.2: Aus 14.3“ Ω(γ)... Menge ”

folgt via 27-14:{.}(Ω(γ)) = {Ω(γ)}.

15.3: Aus 14.3“...Ω(δ) Menge ”

folgt via 27-14:{.}(Ω(δ)) = {Ω(δ)}.

16.1: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 4“ Ω Funktion ”

folgt via 18-46: ({.} ◦ Ω)(γ) = {.}(Ω(γ)).

16.2: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus 4“ Ω Funktion ”

folgt via 18-46: ({.} ◦ Ω)(δ) = {.}(Ω(δ)).

17.1: Aus 16.1 und

aus 15.2

folgt: ({.} ◦ Ω)(γ) = {Ω(γ)}.

17.2: Aus 16.2 und

aus 15.3

folgt: ({.} ◦ Ω)(δ) = {Ω(δ)}.

...

Mengenlehre #313 123

Beweis 313-18(AC) ...

Thema13.1 (γ, δ ∈dom Ω) ∧(Ω(γ) = Ω(δ)).

...

18: Aus 17.1 und

aus 14.2

folgt: ({.} ◦ Ω)(γ) = {Ω(δ)}.

19: Aus 18 und

aus 17.2

folgt: ({.} ◦ Ω)(γ) = ({.} ◦ Ω)(δ).

20: Aus 6.2“{.} ◦ Ω Funktion ” ,

aus 12“{.} ◦ Ω injektiv ” ,

aus 15.1“γ, δ ∈dom ({.} ◦ Ω) ” und

aus 18“ ({.} ◦ Ω)(γ) = ({.} ◦ Ω)(δ) ”

folgt via 19-2:γ=δ.

Ergo Thema13.1:A7



“∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom Ω) ∧(Ω(γ) = Ω(δ))) ⇒(γ=δ) ”

13.2: Aus 4“ Ω Funktion ” und

aus A7 gleich “ ∀γ, δ : ((γ, δ ∈dom Ω) ∧(Ω(γ) = Ω(δ))) ⇒(γ=δ) ”

folgt via 19-2: Ω injektiv.

14: Aus 2.1“∃Ω...” ,

aus 9.1“ Ω : N→x” und

aus 13.2“ Ω injektiv ”

folgt: ∃Ω : (Ω : N→x)∧(Ω injektiv).

124 Mengenlehre #314

Analysis: rf0qφ und

≤

inf,≤

sup.

Ersterstellung: 02/10/14 Letzte ¨

Anderung: 07/10/14

314-1. Ab sofort werden die in einem Satz postulierten Konsequenzen, wenn

eine Fallunterscheidung oder die Behandlung eines Themas vorangeht, nicht mehr

zus¨

atzlich in einer Box abgehoben dargestellt.

314-1(Satz)

Aus “ qUnmenge” folgt “ 308.0(φ, q) = 0” und “ rf0qφ = 0” .

————————————————————————————

308.0(φ, q) = {ω: (ωist 1 + ., φ-rekursiv mit Startwert (0, q))

∧(ωFunktion)∧(dom ω∈ {N} ∪ N)}308-1(Def)

Beweis 314-1 VS gleich qUnmenge.

1.1: Es gilt: (308.0(φ, q) = 0) ∨(0 6=308.0(φ, q) ).

wfFallunterscheidung

1.1.1.Fall 06=308.0(φ, q) .

2: Aus 1.1.1.Fall“ 0 6=308.0(φ, q) ”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈308.0(φ, q) .

3: Aus 2“...Ω∈308.0(φ, q) ”

folgt via 308-1(Def): Ω ist 1 + ., φ-rekursiv mit Startwert (0, q).

4: Aus 3“ Ω ist 1 + ., φ-rekursiv mit Startwert (0, q) ”

folgt via 306-15:qMenge.

5: Nach VS gilt: qUnmenge.

Ende wfFallunterscheidung A1



“308.0(φ, q) = 0 ”

1.2: rf0qφ 308−1(Def )

=S308.0(φ, q)A1

=S01−14

= 0.

2: Aus 1.2

folgt. rf0qφ = 0

Mengenlehre #314 125

314-2. Gilt f:D→B, so folgt f:D→ran f. Gilt f:D→Bund ran f=E,

so folgt f:D→E. Falls feine Funktion ist und falls p∈dom f, so folgt

({.} ◦ f)(p) = {f(p)}.

314-2(Satz)

a) Aus “ f:D→B” folgt “ f:D→ran f” .

b) Aus “ f:D→B” und “ ran f=E” folgt “ f:D→E” .

c) Aus “ f:D→B” und “ ∀α: (α∈D)⇒(f(α)∈E)”

folgt “ f:D→E” .

d) Aus “ fFunktion” und “ p∈dom f” folgt “ ({.} ◦ f)(p) = {f(p)}” .

Beweis 314-2 a) VS gleich f:D→B.

1: Aus VS gleich “ f:D→B”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D).

2: Aus 1“fFunktion. . . ”

folgt via 21-3:f:dom f→ran f.

3: Aus 2und

aus 1“...dom f=D”

folgt: f:D→ran f.

b) VS gleich (f:D→B)∧(ran f=E).

1: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen a):f:D→ran f.

2: Aus 1und

aus VS gleich “ ...ran f=E”

folgt: f:D→E.

126 Mengenlehre #314

Beweis 314-2 c) VS gleich (f:D→B)∧(∀α: (α∈D)⇒(f(α)∈E)).

Thema1.1 β∈ran f.

2: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ” und

aus Thema1.1“β∈ran f”

folgt via 312-9:∃Ω : (Ω ∈D)∧(β=f(Ω)).

3: Aus 2“...Ω∈D . . . ” und

aus VS gleich “ ...∀α: (α∈D)⇒(f(α)∈E) ”

folgt: f(Ω) ∈E.

4: Aus 2“. . . β =f(Ω) ” und

aus 3

folgt: β∈E.

Ergo Thema1.1:∀β: (β∈ran f)⇒(β∈E).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran f⊆E”

1.2: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ” und

aus A1 gleich “ ran f⊆E”

folgt via 312-9:f:D→E.

d) VS gleich (fFunktion) ∧(p∈dom f).

1.1: Aus 27-14“{.}Funktion” und

aus VS gleich “ fFunktion ”

folgt via 18-46: ({.} ◦ f)(p) = {.}(f(p)).

1.2: Aus VS gleich “ . . . p ∈dom f”

folgt via 17-5:f(p) Menge.

2: Aus 1.2“f(p) Menge ”

folgt via 27-14:{.}(f(p)) = {f(p)}.

3: Aus 1.1 und

aus 2

folgt: ({.} ◦ f)(p) = {f(p)}.

Mengenlehre #314 127

314-3. Einer der beiden nicht-konstruktiven Teile von 313-18 wird durch die dort

mit Ω bezeichnete “ Auswahl-Funktion” verursacht, die jeder nichtleeren Menge

eines ihrer Element zuordnet. In bestimmten Situationen kann diese “ Auswahl-

Funktion” durch eine bekannte Funktion wie

≤

inf ersetzt werden. Dies nachzuwei-

sen und so Aussagen ¨

uber “ Folgen in S” - dieser Begriff wird bald genau gefasst

- zu gewinnen verlang einige Vorbereitungen. So kann die etwas m¨

uhsame Kon-

struktiion im Beweis von 313-18 - es musste von Ω zu {.} ◦ Ω¨

ubergegangen

werden - im Hinblick auf den Einsatz von

≤

inf umgangen werden. Ich beginne mit

einer neuen Betrachtung von 311.0(x, y, stm) im Spezialfall x=Uund y={.}◦f,

fFunktion.

314-3(Definition)

314.0(x) = 311.0(U,{.} ◦ x, stm)

={(λ, µ) : (λ∈ U)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈ {.} ◦ x)∧(((λ, Ω), µ)∈stm))}

={(λ, µ) : (∃Ω : ((λ, Ω) ∈ {.} ◦ x)∧(µ=λ\Ω))}.

—————————————————————————–

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)

∧(((λ, Ω), µ)∈z))}311-1(Def)

128 Mengenlehre #314

314-4. Die Klasse 314.0(f) , wobei feine geeignete Funktion ist, bildet P(x)

in P(x) so ab, dass aus jeder Teilmenge von xh¨

ochstens ein Element von x-

n¨

amlich f(x) - entfernt wird.

314-4(Satz) Es gelte:

→)f:P(x)→x.

Dann folgt:

a) 314.0(f) : P(x)→ P(x).

b) ∀α: (α∈ P(x)) ⇒(314.0(f) (α) = α\ {f(α)}).

————————————————————————————

314.0(f) = {(λ, µ) : (∃Ω : ((λ, Ω) ∈ {.} ◦ f)∧(µ=λ\Ω))}314-3(Def)

Beweis 314-4

————————————————————————————

311.0(x, y, z) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(∃Ω : ((λ, Ω) ∈y)

∧(((λ, Ω), µ)∈z))}311-1(Def)

————————————————————————————

1: Aus →)“f:P(x)→x”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=P(x)).

2: Aus 1“fFunktion. . . ”

folgt via 311-10: ({.} ◦ fFunktion) ∧(dom ({.} ◦ f) = dom f).

3: Aus 2“...dom ({.} ◦ f) = dom f” und

aus 1“...dom f=P(x) ”

folgt: dom ({.} ◦ f) = P(x).

4: Aus 2“{.} ◦ fFunktion. . . ”

folgt via 311-8:311.0(U,{.} ◦ f, stm) : U ∩ dom ({.} ◦ f)→ U.

5: Aus 4und

aus 3

folgt: 311.0(U,{.} ◦ f, stm) : U ∩ P(x)→ U.

6: Via 2-17 gilt: U ∩ P(x) = P(x).

...

Mengenlehre #314 129

Beweis 314-4 ...

7: Aus 5und

aus 6

folgt: 311.0(U,{.} ◦ f, stm) : P(x)→ U.

Thema8.1 α∈ P(x).

9: Aus Thema8.1“α∈ P(x) ” und

aus 1“...dom f=P(x) ”

folgt: α∈dom f.

10: Via 2-17 gilt: U ∩ dom f=dom f.

11: Aus 9und

aus 10

folgt: α∈ U ∩ dom f.

12: Aus 11 und

aus 2“...dom ({.} ◦ f) = dom f”

folgt: α∈ U ∩ dom ({.} ◦ f).

13: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus Thema8.1“α∈ U ∩ dom ({.} ◦ f) ”

folgt via 311-8:

311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α) = α\({.} ◦ f)(α).

14: Via 5-5 gilt: α\({.} ◦ f)(α)⊆α.

15: Aus 13 und

aus 14

folgt: 311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α)⊆α.

16: Aus 15“311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α)⊆α” und

aus Thema8.1“α∈ P(x) ”

folgt via 0-28:311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α)∈ P(x).

Ergo Thema8.1:

A1



“∀α: (α∈ P(x)) ⇒(311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α)∈ P(x)) ”

...

130 Mengenlehre #314

Beweis 314-4 ...

Thema8.2 α∈ P(x).

9: Aus Thema8.2“α∈ P(x) ” und

aus 1“...dom f=P(x) ”

folgt: α∈dom f.

10: Via 2-17 gilt: U ∩ dom f=dom f.

11: Aus 9und

aus 10

folgt: α∈ U ∩ dom f.

12: Aus 11 und

aus 2“...dom ({.} ◦ f) = dom f”

folgt: α∈ U ∩ dom ({.} ◦ f).

13: Aus 2“{.} ◦ fFunktion. . . ” und

aus 11“α∈ U ∩ dom ({.} ◦ f) ”

folgt via 311-8:

311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α) = α\({.} ◦ f)(α).

14: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus 9“α∈dom f”

folgt via 314-2: ({.} ◦ f)(α) = {f(α)}.

15: Aus 13 und

aus 14

folgt: 311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α) = α\ {f(α)}.

Ergo Thema8.2:

A2



“∀α: (α∈ P(x)) ⇒(311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α) = α\ {f(α)}) ”

...

Mengenlehre #314 131

Beweis 314-4 ...

8.3: Aus 7“311.0(U,{.} ◦ f, stm) : P(x)→ U ” und

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈ P(x)) ⇒(311.0(U,{.} ◦ f, stm) (α)∈ P(x)) ”

folgt via 314-2:311.0(U,{.} ◦ f, stm) : P(x)→ P(x).

9: Via 314-3(Def) gilt: 314.0(f) = 311.0(U,{.} ◦ f, stm) .

10.a): Aus 8.3 und

aus 9

folgt: 314.0(f) : P(x)→ P(x).

10.b): Aus 9und

aus A2

folgt: ∀α: (α∈ P(x)) ⇒(314.0(f) (α) = α\ {f(α)}).

132 Mengenlehre #314

314-5. Auch ein offensichtlich erscheinendes Resultat will vorbereitet sein.

314-5(Definition)

314.1(x, y) = {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}.

Mengenlehre #314 133

314-6. Beim “ Element-Sein” in 314.1(x, y) spielt nur die definierende Eingen-

schaft eine Rolle.

314-6(Satz)

a) “p∈={ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}”

genau dann, wenn “ p∈N” und “ x(p)⊆x(y)” .

b) {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))} ⊆ N

————————————————————————————

314.1(x, y) = {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}314-5(Def)

Beweis 314-6 a) ⇒VS gleich p∈={ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}.

Aus VS

folgt: (p∈N)∧(x(p)⊆x(y)).

a) ⇐VS gleich (p∈N)∧(x(p)⊆x(y)).

1: Aus VS gleich “ p∈N...”

folgt via ElementAxiom:pMenge.

2: Aus VS gleich “ (p∈N)∧(x(p)⊆x(y)) ” und

aus 1“pMenge ”

folgt: p∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}.

Thema1 α∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}.

Aus Thema1

folgt: α∈N.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))})⇒(α∈N).

Konsequenz via 0-2(Def):{ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))} ⊆ N.

134 Mengenlehre #314

314-7. Hier h¨

atte ich gerne meta-mathematische Hilfsmittel zur Verf¨

ugung, da

ich das Gef¨

uhl habe, ¨

Ahnliches an sp¨

aterer Stelle mit analogem Beweis in die

Essays einzubringen.

314-7(Satz) Es gelte:

→)∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α)⊆x(α)).

Dann folgt:

a) ∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α)⊆x(α)⊆x(0)).

b) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(x(β)⊆x(α)⊆x(0)).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 314-7

————————————————————————————

{ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(y))}314-5(Def)

————————————————————————————

...

Mengenlehre #314 135

Beweis 314-7

1.1: Via 0-6 gilt: x(0) ⊆x(0).

1.2: Via 314-6 gilt: {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))} ⊆ N.

2: Aus ∈schola“ 0 ∈N” und

aus 1“x(0) ⊆x(0) ”

folgt via 314-6:A1



“ 0 ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}”

Thema3.1 β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}.

4: Aus Thema3.1“β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}”

folgt: (β∈N)∧(x(β)⊆x(0)).

5.1: Aus 4“β∈N...”

folgt via 159-10: 1 + β∈N.

5.2: Aus 4“β∈N” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α)⊆x(α)) ”

folgt: x(1 + β)⊆x(β).

6: Aus 5.2“x(1 + β)⊆x(β) ” und

aus 4“. . . x(β)⊆x(0) ”

folgt via 0-6:x(1 + β)⊆x(0).

7: Aus 5.1“ 1 + β∈N” und

aus 6“x(1 + β)⊆x(0) ”

folgt via 314-6: 1 + β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}.

Ergo Thema3.1:

A2



“∀β: (β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))})

⇒(1 + β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}) ”

3.2: Aus A1 gleich “ 0 ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}” ,

aus 1.2“{ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))} ⊆ N” und

aus A2“∀β: (β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))})

⇒(1 + β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))})”

folgt via 236-5:N⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}.

...

136 Mengenlehre #314

Beweis 314-7 ...

Thema3.3 γ∈N.

4.1: Via 0-6 gilt: x(γ)⊆x(γ).

4.2: Via 314-6 gilt: {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))} ⊆ N.

5: Aus Thema3.3“γ∈N” und

aus 4“x(γ)⊆x(γ) ”

folgt via 314-6:γ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}.

Thema6.1 γ≤δ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}.

7: Aus Thema6.1

“. . . δ ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}”

folgt: (δ∈N)∧(x(δ)⊆x(γ)).

8.1: Aus 7“δ∈N...”

folgt via 159-10: 1 + δ∈N.

8.2: Aus 7“δ∈N...” und

aus →)“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α)⊆x(α)) ”

folgt: x(1 + δ)⊆x(δ).

9: Aus 8.2“x(1 + δ)⊆x(δ) ” und

aus 7“. . . x(δ)⊆x(γ) ”

folgt via 0-6:x(1 + δ)⊆x(γ).

10: Aus 8.1“ 1 + δ∈N” und

aus 9“x(1 + δ)⊆x(γ) ”

folgt via 314-6:

1 + δ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}.

...

Mengenlehre #314 137

Beweis 314-7 ...

Thema3.3 γ∈N.

...

6.2: Aus 5“γ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}” ,

aus 4.2“{ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))} ⊆ N” und

aus A3“∀δ: (γ≤δ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))})

⇒(1 + δ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))})”

folgt via 312-12:

{γ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}.

Ergo Thema3.3:

A4



“∀γ: (γ∈N)⇒({γ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))})) ”

Thema4.1 γ∈N.

5: Aus Thema4.1 und

aus 3.2“N⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))}”

folgt via 0-4:γ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(0))},

6: Aus 5

folgt: x(γ)⊆x(0).

Ergo Thema4.1:A5



“∀γ: (γ∈N)⇒(x(γ)⊆x(0)) ”

...

138 Mengenlehre #314

Beweis 314-7 ...

Thema4.2 (ǫ, δ ∈N)∧(ǫ≤δ).

5.1: Aus Thema4.2“ǫ . . . ∈N...” und

aus A4 gleich “ ∀γ: (γ∈N)

⇒({γ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))})”

folgt: {ǫ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(ǫ))}.

5.2: Aus Thema4.2“. . . δ ∈N...” und

aus Thema4.2“. . . ǫ ≤δ”

folgt via 236-1:δ∈ {ǫ,...}.

6: Aus 5.2“δ∈ {ǫ,...}” und

aus 5.1“{ǫ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(ǫ))}”

folgt via 0-4:δ∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(ǫ))}.

7: Aus 6

folgt: x(δ)⊆x(ǫ).

Ergo Thema4.2:A6



“∀ǫ, δ : ((ǫ, δ ∈N)∧(ǫ≤δ)) ⇒(x(δ)⊆x(ǫ)) ”

...

Mengenlehre #314 139

Beweis 314-7 ...

Thema5.1 α∈N.

6.1: Aus Thema5.1“α∈N” und

aus A5 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒(x(γ)⊆x(0)) ”

folgt: x(α)⊆x(0).

6.2: Aus Thema5.1“α∈N”

folgt via 159-10: 1 + α∈N.

6.3: Aus Thema5.1“α∈N”

folgt via 159-11:α∈S.

7: Aus 6.3“α∈S”

folgt via 160-12:α≤1 + α.

8: Aus Thema5.1“α∈N” ,

aus 6.2“ 1 + α∈N” ,

aus 7“α≤1 + α” und

aus A6 gleich “ ∀ǫ, δ : ((ǫ, δ ∈N)∧(ǫ≤δ))

⇒(x(ǫ)⊆x(δ))”

folgt: x(1 + α)⊆x(α).

9: Aus 8“x(1 + α)⊆x(α) ” und

aus 6.1“x(α)⊆x(0) ”

folgt via 0-6:x(1 + α)⊆x(α)⊆x(0).

Ergo Thema5.1:Aa)



“∀α: (α∈N)⇒(x(1 + α)⊆x(α)⊆x(0)) ”

...

140 Mengenlehre #314

Beweis 314-7 ...

Thema5.2 (α, β ∈N)∧(α≤β).

6.1: Aus Thema5.2“α . . . ∈N...” und

aus A5 gleich “ ∀γ: (γ∈N)⇒(x(γ)⊆x(0)) ”

folgt: x(α)⊆x(0).

6.2: Aus Thema5.2“. . . α ≤β” und

aus Thema5.2“. . . β ∈N...”

folgt via 236-1:β∈ {α,...}.

7: Aus Thema5.2“α . . . ∈N...” und

aus A4 gleich “ ∀γ: (γ∈N)

⇒({γ,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(γ))}))”

folgt: {α,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(α))})).

8: Aus 6.2“β∈ {α,...}” und

aus 7“{α,...} ⊆ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(α))})) ”

folgt via 0-4:β∈ {ω: (ω∈N)∧(x(ω)⊆x(α))})).

9: Aus 8

folgt: x(β)⊆x(α).

10: Aus 9und

aus 6.1

folgt: x(β)⊆x(α)⊆x(0).

Ergo Thema5.2:

Ab)



“∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(x(β)⊆x(α)⊆x(0)) ”

Mengenlehre #314 141

314-8. Nun kann via 314-4 f¨

ur Funktionen f:P(x)→x-xkann hier auch eine

Unmenge sein - und f¨

ur q⊆x,qMenge, die Existenz einer Funktion Ω : N→ P(x)

mit Ω(1+n) = Ω(n)\{f(x)}und Ω(0) = qohne Einsatz des AuswahlAxioms gesi-

chert werden. Die Eigenschaften von Ω werden hier im laufenden Beweis entspre-

chend ihrer Codierung angef¨

uhrt. Es wird darauf verzichtet, diese Eigenschaften

- wie bisher ¨

ublich - am Ende des Beweises noch einmal aufzulisten. In ¨

ahnlichen

F¨

allen wird in Zukunft analog verfahren. Die Beweis-Reihenfolge ist e.06) -e.1)

-e.2) -e.3) -e.4) -e.5) -e.7) -e.9) -e.8).

314-8(Satz) Es gelte:

→)q⊆x.

→)qMenge.

→)f:P(x)→x.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.0) Ω = rf0qz}| {

314.0(f).

e.1) Ω : N→ P(x).

e.2) Ω(0) = q.

e.3) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ {f(Ω(α))}).

e.4) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q).

e.5) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q).

e.6) Ψ = f◦Ω.

e.7) Ψ : N→x.

e.8) Ψ(0) = f(q).

e.9) Ψ(p) = f(Ω(p)).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

314.0(f) = {(λ, µ) : (∃Ω : ((λ, Ω) ∈ {.} ◦ f)∧(µ=λ\Ω))}314-3(Def)

142 Mengenlehre #314

Beweis 314-8

1.1: Aus →)“q⊆x” und

aus →)“qMenge ”

folgt via 0-26:q∈ P(x).

1.e.06): Aus →)“f:P(x)→x” und

aus →)“q⊆x”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω = rf0qz}| {

314.0(f) ) ∧(Ψ = f◦Ω).

1.2: Aus →)“f:P(x)→x”

folgt via 314-4:314.0(f) : P(x)→ P(x).

1.3: Aus →)“f:P(x)→x”

folgt via 314-4:∀β: (β∈ P(x)) ⇒(314.0(f) (β) = β\ {f(β)}).

2.1: Aus 1.2“314.0(f) : P(x)→ P(x) ” und

aus 1.1“q∈ P(x) ”

folgt via 308-15:rf0qz}| {

314.0(f) : N→ P(x).

2.2: Aus 1.2“314.0(f) : P(x)→ P(x) ” und

aus 1.1“q∈ P(x) ”

folgt via 308-15:rf0qz }| {

314.0(f) (0) = q.

2.3: Aus 1.2“314.0(f) : P(x)→ P(x) ” und

aus 1.1“q∈ P(x) ”

folgt via 308-15:

∀γ: (γ∈N)⇒(rf0qz}| {

314.0(f) (1 + γ) = 314.0(f) (rf0qz }| {

314.0(f) (γ))).

3.e.1): Aus 1.e.06)“...Ω = rf0qz}| {

314.0(f)...” und

aus 2.1

folgt: Ω : N→ P(x).

3.e.2): Aus 1.e.06)“...Ω = rf0qz }| {

314.0(f)...” und

aus 2.2

folgt: Ω(0) = q.

3.2: Aus 1.2“...Ω = rf0qz }| {

314.0(f)...” und

aus 2.3

folgt: ∀γ: (γ∈N)⇒(Ω(1 + γ) = 314.0(f) (Ω(α))).

4.1: Aus →)“f:P(x)→x” und

aus 3.e.1)“ Ω : N→ P(x) ”

folgt via 21-10:f◦Ω : N→x.

...

Mengenlehre #314 143

Beweis 314-8 ...

Thema4.2 α∈N.

5: Aus 3.1“ Ω : N→ P(x) ” und

aus Thema4.2“α∈N” und

folgt via 21-4: Ω(α)∈ P(x).

6: Aus 5“ Ω(α)∈ P(x) ” und

aus 1.3“∀β: (β∈ P(x)) ⇒(314.0(f) (β) = β\ {f(β)}) ”

folgt: 314.0(f) (Ω(α)) = Ω(α)\ {f(Ω(α))}.

7: Aus Thema4.2“α∈N” und

aus 3.2“∀γ: (γ∈N)⇒(Ω(1 + γ) = 314.0(f) (Ω(γ))) ”

folgt: Ω(1 + α) = 314.0(f) (Ω(α)).

8: Aus 6und

aus 7

folgt: Ω(1 + α) = Ω(α)\ {f(Ω(α))}.

Ergo Thema4.2:Ae.3)



“∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ {f(Ω(α))}) ”

Thema4.3 δ∈N.

5: Aus Thema4.3“δ∈N” und

aus Ae.3) gleich “ ∀α: (α∈N)

⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ {f(Ω(α))})”

folgt: Ω(1 + δ) = Ω(δ)\ {f(Ω(δ))}.

6: Via 5-5 gilt: Ω(δ)\ {f(Ω(δ))} ⊆ Ω(δ).

7: Aus 5und

aus 6

folgt: Ω(1 + δ)⊆Ω(δ).

Ergo Thema4.3:A2



“∀δ: (δ∈N)⇒(Ω(1 + δ)⊆Ω(δ)) ”

...

144 Mengenlehre #314

Beweis 314-8 ...

4.3: Aus A2 gleich “ ∀δ: (δ∈N)⇒(Ω(1 + δ)⊆Ω(δ)) ”

folgt via 314-7:∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆Ω(0)).

4.4: Aus A2 gleich “ ∀δ: (δ∈N)⇒(Ω(1 + δ)⊆Ω(δ)) ”

folgt via 314-7:∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆Ω(0)).

5.e.4): Aus 3.2.e) und

aus 4.3

folgt: ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q).

5.e.5): Aus 3.2.e) und

aus 4.4

folgt: ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q).

5.e.7): Aus 1.e.06)“...Ψ = f◦Ω ” und

aus 4.1

folgt: Ψ : N→x.

6.1: Aus →)“f:P(x)→x”

folgt via 21-1(Def):fFunktion.

6.2: Aus 3.e.1)“ Ω : N→ P(x) ”

folgt via 21-1(Def): Ω Funktion.

7: Aus 6.1“fFunktion ” und

aus 6.2“ Ω Funktion ”

folgt via 18-46: (f◦Ω)(p) = f(Ω(p)).

8.e.9): Aus 7und

aus 1.e.06)“...Ψ = f◦Ω ”

folgt: Ψ(p) = f(Ω(p)).

9: Ψ(0) 8.e.9)

=f(Ω(0)) 3.e.2)

=f(q).

10.e.8): Aus 9

folgt: Ψ(0) = f(q).

Mengenlehre #314 145

314-9. Beim ¨

Ubergang zu TeilMengen von Svergr¨

oßert sich das ≤Infimum, das

≤Supremum verringert sich.

314-9(Satz)

a) Aus “ x⊆y⊆S” folgt “

≤

inf y≤

≤

inf x” .

b) Aus “ x⊆y⊆S” folgt “ ≤

sup x≤≤

sup y” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 314-9 a) VS gleich x⊆y⊆S.

1.1: Aus VS gleich “ x⊆y⊆S”

folgt via 0-6:x⊆S.

1.2: Aus VS gleich “ . . . y ⊆S”

folgt via 190-3:

≤

inf yist ≤Infimum von y.

2.1: Aus 1.1“x⊆S”

folgt via 190-3:

≤

inf xist ≤Infimum von x.

2.2: Aus 1.2“

≤

inf yist ≤Infimum von y” und

aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via 36-5:

≤

inf yuntere ≤Schranke von x.

3: Aus 2.1“

≤

inf xist ≤Infimum von x” und

aus 2.2“

≤

inf yuntere ≤Schranke von x”

folgt via 36-1(Def):

≤

inf y≤

≤

inf x.

146 Mengenlehre #314

Beweis 314-9 b) VS gleich x⊆y⊆S.

1.1: Aus VS gleich “ x⊆y⊆S”

folgt via 0-6:x⊆S.

1.2: Aus VS gleich “ . . . y ⊆S”

folgt via 190-3:≤

sup yist ≤Supremum von y.

2.1: Aus 1.1“x⊆S”

folgt via 190-3:≤

sup xist ≤Supremum von x.

2.2: Aus 1.2“≤

sup yist ≤Supremum von y” und

aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via 36-5:≤

sup yobere ≤Schranke von x.

3: Aus 2.1“≤

sup xist ≤Supremum von x” und

aus 2.2“≤

sup yobere ≤Schranke von x”

folgt via 36-1(Def):≤

sup x≤≤

sup y.

Mengenlehre #314 147

314-10. Mit 314-8 ist der Grundstein zum Beweis des angestrebten Satzes dieses

Essays gelegt. Die Beweis-Reihenfolge ist e.0612345789) -e.10) -e.11).

314-10(Satz) Es gelte:

→)q⊆S.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.0) Ω = rf0qz}| {

314.0(

≤

inf).

e.1) Ω : N→ P(S).

e.2) Ω(0) = q.

e.3) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ {

≤

inf (Ω(α))}).

e.4) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q).

e.5) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q).

e.6) Ψ =

≤

inf ◦Ω.

e.7) Ψ : N→S.

e.8) Ψ(0) =

≤

inf q.

e.9) Ψ(p) =

≤

inf (Ω(p)).

e.10) ∀α: (α∈N)⇒(

≤

inf q≤Ψ(α)≤Ψ(1 + α)).

e.11) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(

≤

inf q≤Ψ(α)≤Ψ(β)).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

148 Mengenlehre #314

Beweis 314-10

1.1: Aus →)“q⊆S” und

aus 95-9“SMenge”

folgt via TeilMengenAxiom:qMenge.

1.2: Via 190-1 gilt:

≤

inf:P(S)→S.

2.e.0612345789): Aus →)“q⊆S” ,

aus 1.1“qMenge ” und

aus 1.2“

≤

inf:P(S)→S”

folgt via 314-8:∃Ω,Ψ : Ω = rf0qz }| {

314.0(

≤

inf)

∧Ψ =

≤

inf ◦Ω

∧Ω : N→ P(S)

∧Ω(0) = q

∧ ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ {

≤

inf (Ω(α))}

∧ ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q)

∧ ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q)

∧Ψ : N→S

∧Ψ(0) =

≤

inf q

∧Ψ(p) =

≤

inf (Ω(p)).

...

Mengenlehre #314 149

Beweis 314-10 ...

Thema3.1 β∈N.

4: Aus Thema3.1“β∈N” und

aus 2.e.0612345789)“...∀α: (α∈N)

⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q)...”

folgt: Ω(1 + β)⊆Ω(β)⊆q.

5.1: Aus 4“...Ω(β)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 0-6: Ω(β)⊆S.

5.2: Aus 4“...Ω(β)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 314-9:

≤

inf q≤

≤

inf (Ω(β)).

6: Aus 4“ Ω(1 + β)⊆Ω(β)...” und

aus 5.1“ Ω(β)⊆S”

folgt via 314-9:

≤

inf (Ω(β)) ≤

≤

inf (Ω(1 + β)).

7: Aus 5.2 und

aus 6

folgt:

≤

inf q≤

≤

inf (Ω(β)) ≤

≤

inf (Ω(1 + β)).

8: Aus 7und

aus 2.e.0612345789)“...Ψ(p) =

≤

inf (Ω(p)) ”

folgt:

≤

inf q≤Ψ(β)≤Ψ(1 + β).

Ergo Thema3.1:∀β: (β∈N)⇒(

≤

inf q≤Ψ(β)≤Ψ(1 + β)).

Konsequenz: A3.1.e.10)



“∀α: (α∈N)⇒(

≤

inf q≤Ψ(α)≤Ψ(1 + α)) ”

150 Mengenlehre #314

Beweis 314-10 ...

Thema3.2 (γ, δ ∈N)∧(γ≤δ).

4: Aus Thema3.2“ (γ, δ ∈N)∧(γ≤δ) ” und

aus 2.e.0612345789)“...∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β))

⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q)...”

folgt: Ω(δ)⊆Ω(γ)⊆q.

5.1: Aus 4“...Ω(γ)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 0-6: Ω(γ)⊆S.

5.2: Aus 4“...Ω(γ)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 314-9:

≤

inf q≤

≤

inf (Ω(γ)).

6: Aus 4“ Ω(δ)⊆Ω(γ)...” und

aus 5.1“ Ω(γ)⊆S”

folgt via 314-9:

≤

inf (Ω(γ)) ≤

≤

inf (Ω(δ)).

7: Aus 5.2 und

aus 6

folgt:

≤

inf q≤

≤

inf (Ω(γ)) ≤

≤

inf (Ω(δ)).

8: Aus 7und

aus 2.e.0612345789)“...Ψ(p) =

≤

inf (Ω(p)) ”

folgt:

≤

inf q≤Ψ(γ)≤Ψ(δ).

Ergo Thema3.2:∀γ, δ : ((γ, δ ∈N)∧(γ≤δ)) ⇒(

≤

inf q≤Ψ(γ)≤Ψ(δ)).

Konsequenz:

A3.2.e.11)



“∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(

≤

inf q≤Ψ(α)≤Ψ(β)) ”

Mengenlehre #314 151

314-11. Der Vollst¨

andigkeit halber sei auch noch die “ ≤

sup-Version” von 314-10

angef¨

uhrt. Die Beweis-Reihenfolge ist e.0612345789) -e.10) -e.11).

314-11(Satz) Es gelte:

→)q⊆S.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.0) Ω = rf0qz}| {

314.0(≤

sup).

e.1) Ω : N→ P(S).

e.2) Ω(0) = q.

e.3) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ { ≤

sup (Ω(α))}).

e.4) ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q).

e.5) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q).

e.6) Ψ = ≤

sup ◦Ω.

e.7) Ψ : N→S.

e.8) Ψ(0) = ≤

sup q.

e.9) Ψ(p) = ≤

sup (Ω(p)).

e.10) ∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α)≤Ψ(α)≤≤

sup q).

e.11) ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ψ(β)≤Ψ(α)≤≤

sup q).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

152 Mengenlehre #314

Beweis 314-11

1.1: Aus →)“q⊆S” und

aus 95-9“SMenge”

folgt via TeilMengenAxiom:qMenge.

1.2: Via 190-1 gilt: ≤

sup:P(S)→S.

2.e.0612345789): Aus →)“q⊆S” ,

aus 1.1“qMenge ” und

aus 1.2“≤

sup:P(S)→S”

folgt via 314-8: fr∃Ω,Ψ : Ω = rf0qz}| {

314.0(≤

sup)

∧Ψ = ≤

sup ◦Ω

∧Ω : N→ P(S)

∧Ω(0) = q

∧ ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α) = Ω(α)\ { ≤

sup (Ω(α))}

∧ ∀α: (α∈N)⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q)

∧ ∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q)

∧Ψ : N→S

∧Ψ(0) = ≤

sup q

∧Ψ(p) = ≤

sup (Ω(p)).

...

Mengenlehre #314 153

Beweis 314-11 ...

Thema3.1 β∈N.

4: Aus Thema3.1“β∈N” und

aus 2.e.0612345789)“∀α: (α∈N)

⇒(Ω(1 + α)⊆Ω(α)⊆q)”

folgt: Ω(1 + β)⊆Ω(β)⊆q.

5.1: Aus 4“...Ω(β)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 0-6: Ω(β)⊆S.

5.2: Aus 4“...Ω(β)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 314-9:≤

sup (Ω(β)) ≤≤

sup q.

6: Aus 4“ Ω(1 + β)⊆Ω(β)...” und

aus 5.1“ Ω(β)⊆S”

folgt via 314-9:≤

sup (Ω(1 + β)) ≤≤

sup (Ω(β)).

7: Aus 5.2 und

aus 6

folgt: ≤

sup (Ω(1 + β)) ≤≤

sup (Ω(β)) ≤≤

sup q.

8: Aus 7und

aus 2.e.0612345789)“...Ψ(p) = ≤

sup (Ω(p))”

folgt: Ψ(1 + β)≤Ψ(β)≤≤

sup q.

Ergo Thema3.1:∀β: (β∈N)⇒(Ψ(1 + β)≤Ψ(β)≤≤

sup q).

Konsequenz: A3.1.e.10)



“∀α: (α∈N)⇒(Ψ(1 + α)≤Ψ(α)≤≤

sup q) ”

154 Mengenlehre #314

Beweis 314-11 ...

Thema3.2 (γ, δ ∈N)∧(γ≤δ).

4: Aus Thema3.2“ (γ, δ ∈N)∧(γ≤δ) ” und

aus 2.e.0612345789)“...∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β))

⇒(Ω(β)⊆Ω(α)⊆q)...”

folgt: Ω(δ)⊆Ω(γ)⊆q.

5.1: Aus 4“...Ω(γ)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 0-6: Ω(γ)⊆S.

5.2: Aus 4“...Ω(γ)⊆q” und

aus →)“q⊆S”

folgt via 314-9:≤

sup (Ω(γ)) ≤≤

sup q.

6: Aus 4“ Ω(δ)⊆Ω(γ)...” und

aus 5.1“ Ω(γ)⊆S”

folgt via 314-9:≤

sup (Ω(δ)) ≤≤

sup (Ω(γ)).

7: Aus 5.2 und

aus 6

folgt: ≤

sup (Ω(δ)) ≤≤

sup (Ω(γ)) ≤≤

sup q.

8: Aus 7und

aus 2.e.0612345789)“...Ψ(p) = ≤

sup (Ω(p))”

folgt: Ψ(δ)≤Ψ(γ)≤≤

sup q

Ergo Thema3.2:∀γ, δ : ((γ, δ ∈N)∧(γ≤δ)) ⇒(Ψ(δ)≤Ψ(γ)≤≤

sup q).

Konsequenz:

A3.2.e.11)



“∀α, β : ((α, β ∈N)∧(α≤β)) ⇒(Ψ(β)≤Ψ(α)≤≤

sup q) ”

Analysis #315 155

Analysis: UxAxiom.↑x.↑Axiom.

RECH-Notation, Fortsetzung: y↑x= (↑x)(y).

Ersterstellung: 08/10/14 Letzte ¨

Anderung: 09/10/14

UxAxiom Fortschritte der Erkenntnis kommen gelegentlich sp¨

at. Im vorliegenden

Fall nicht bei der Erstellung und ¨

Uberarbeitung von #240, sondern erst jetzt,

75 Essays sp¨

ater. Bei der rekursiven Definition von Un,n∈N, war mir aus

zweierlei Gr¨

unden nicht ganz wohl. Erstens weil der Term “ Ux” nur f¨

ur x∈N

defniert worden war. Zweitens weil gelegentlich die allgemeine Ersetzungsregel

auf den “ Index” xvon Uxangewendet wurde. Nun sehe ich eine M¨

oglichkeit,

beide Probleme durch ein Axiom zu beheben. Es wird postuliert, dass Uxstets

eine Klasse ist und dass die allgemeine Ersetzungsregel f¨

ur den Index xvon Ux

gilt. Dabei ist es bis auf Weiteres gar nicht n¨

otig, Uxf¨

ur x /∈Nzu definieren.

Dies kann bei Gelegenheit und bei Bedarf sp¨

ater geschehen. Zum gegenw¨

artigen

Zeitpunkt habe ich keine Ahnung, wie eine derartige Definition aussehen k¨

onnte.

Der Einsatz des UxAxioms erfolgt ohne Zitat.

UxAxiom

1) ∃Ω : Ω = Ux.

2) Aus “ x=y” folgt “ Ux=Uy” .

156 Analysis #315

315-1. Es werden die klassischen Potenzfunktionen mit Definitions-Bereich A

mittels rekursiver Parameter-Definition in die Essays eingebracht.

315-1(Rekursive Parameter-Definition)

a) ↑0 = 1on

b) Aus “ n∈N” folgt “ ↑(1 + n) = (↑n).·.idA” .

c) Aus “ n∈N” folgt “ ↑(−(1 + n)) = (↑(−n)).:.idA” .

Analysis #315 157

↑Axiom Wie beim UxAxiom soll es im Umgang mit ↑xf¨

ur allgemeine Klassen

xzu keinen Unebenheiten kommen. Im Speziellen muss zum gegenw¨

artigen Zeit-

punkt nicht gesagt werden, was genau unter ↑xf¨

ur x /∈Zzu verstehen ist. Der

Einsatz des ↑Axioms erfolgt zumeist ohne Zitat.

↑Axiom

1) ∃Ω : Ω = ↑x.

2) Aus “ x=y” folgt “ ↑x=↑y” .

158 Analysis #315

RECH-Notation. Fortsetzung. In Weiterf¨

uhrung der RECH-Notation wird der

notationelle Umgang mit (↑y)(x) geregelt.

RECH-Notation (Fortsetzung)

0) x↑y= (↑y)(x).

1) −x↑y=−(x↑y).

2) z±x↑y=z±(x↑y).

3) x↑y±z= (x↑y)±z.

4) z·x↑y=z·(x↑y).

5) x↑y·z= (x↑y)·z.

6) z:x↑y=z: (x↑y).

7) x↑y:z= (x↑y) : z.

Analysis #315 159

315-2. Erg¨

anzend zu 213-2 und vorbereitend f¨

ur 315-3 wird hier {x} ⊆ ythe-

matisiert.

315-2(Satz) Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) {x} ⊆ y.

ii) “x∈y” oder “ xUnmenge” .

160 Analysis #315

Beweis 315-2 i) ⇒ii) VS gleich {x} ⊆ y.

1: Es gilt: (xMenge) ∨(xUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xMenge.

2: Aus 1.1.Fall“xMenge”

folgt via 1-3:x∈ {x}.

3: Aus 2“x∈ {x}” und

aus VS gleich “ {x} ⊆ y”

folgt via 0-4:x∈y.

1.2.Fall xUnmenge.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (x∈y)∨(xUnmenge).

ii) ⇒i) VS gleich (x∈y)∨(xUnmenge).

Fallunterscheidung

0.1.Fall x∈y.

Aus 0.1.Fall“x∈y”

folgt via 1-8:{x} ⊆ y.

0.2.Fall xUnmenge.

1: Aus 0.2.Fall“xUnmenge”

folgt via 1-4:{x}= 0.

2: Via 0-18 gilt: 0 ⊆y.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: {x} ⊆ y.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: {x} ⊆ y.

Analysis #315 161

315-3. Erg¨

anzend zu 95-4(Def)“ (x∈A)⇔(xZahl)” wird hier “ ((xZahl) ∨(x

Unmenge)) ⇔({x} ⊆ A)” fest gehalten.

315-3(Satz) Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) “xZahl” oder “ xUnmenge” .

ii) {x} ⊆ A.

Beweis 315-3 i) ⇒ii) VS gleich (xZahl) ∨(xUnmenge).

Fallunterscheidung

0.1.Fall xZahl.

2: Aus 0.1.Fall“xZahl”

folgt via 95-4(Def):x∈A.

3: Aus 2“x∈A”

folgt via 1-8:{x} ⊆ A.

0.2.Fall xUnmenge.

Aus 0.2.Fall“xUnmenge”

folgt via 315-2:{x} ⊆ A.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: {x} ⊆ A.

ii) ⇒i) VS gleich {x} ⊆ A.

1: Aus VS gleich “ {x} ⊆ A”

folgt via 315-2: (x∈A)∨(xUnmenge).

2: Via 95-4(Def) gilt: (x∈A)⇔(xZahl).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: (xZahl) ∨(xUnmenge).

162 Analysis #315

315-4. Dass hier 1 6=Ugebraucht wird h¨

atte ich mir nicht gedacht.

315-4(Satz)

16=U.

Beweis 315-4

Aus ∈schola“ 1 Menge”

folgt via 0-17: 1 6=U.

Analysis #315 163

315-5. Die Klasse ↑0 ist am schnellsten zu diskutieren.

315-5(Satz)

a) ↑0Menge.

b) ↑0Relation.

c) ↑0Funktion.

d) dom (↑0) = A.

e) ran (↑0) = {1}.

f) ↑0 : A→ {1}.

g) ↑0 : A→A.

h) “xZahl” genau dann, wenn “ x↑0 = 1” .

i) “x /∈A” genau dann, wenn “ x↑0 = U” .

j) “x↑0 = 1” oder “ x↑0 = U” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-5 abcdefg)

1.1: Aus AAI“AMenge”

folgt via 214-5: 1on

AMenge.

1.2: Via 214-4 gilt: 1on

AFunktion.

1.3: Aus ∈schola“ 1 Menge”

folgt via 214-3:dom (1on

A) = A.

1.4: Aus 95-7“ 0 6=A”

folgt via 214-3:ran (1on

A) = {1}.

1.5: Aus ∈schola“ 1 Menge”

folgt via 214-4: 1on

A:A→ {1}.

1.6: Aus ∈schola“ 1 Zahl”

folgt via 315-3:{1} ⊆ A.

...

164 Analysis #315

Beweis 315-5 abcdefg) ...

2.1: Aus 1.2“ 1on

AFunktion ”

folgt via 18-18(Def): 1on

ARelation.

2.2: Aus 1.5“ 1on

A:A→ {1}” und

aus 1.6“{1} ⊆ A”

folgt via 21-5:↑0 : A→A.

3.a): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 1.1

folgt: ↑0 Menge.

3.b): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 2.1

folgt: ↑0 Relation.

3.c): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 1.2

folgt: ↑0 Funktion.

3.d): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 1.3

folgt: dom (↑0) = A.

3.e): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 1.4

folgt: ran (↑0) = {1}.

3.f): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 1.5

folgt: ↑0 : A→ {1}.

3.g): Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 2.2

folgt: ↑0 : A→A.

Analysis #315 165

Beweis 315-5 h) ⇒VS gleich xZahl.

1: Aus VS gleich “ xZahl ”

folgt via 95-4(Def):x∈A.

2: Aus ∈schola“ 1 Menge” und

aus 1“x∈A”

folgt via 214-4: (1on

A)(x) = 1.

3: Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 2

folgt: (↑0)(x) = 1.

4: Aus 3

folgt: x↑0 = 1.

h) ⇐VS gleich x↑0 = 1.

1: Aus VS

folgt: (↑0)(x) = 1.

2: Aus 1und

aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A”

folgt: (1on

A)(x) = 1.

3: Aus 1“ (1on

A)(x) = 1 ”

folgt via 214-4: ((x∈A)∧(1 Menge)) ∨(1 = U).

4: Aus 315-4“ 1 6=U” und

aus 3

folgt: (x∈A)∧(1 Menge).

5: Aus 4

folgt: x∈A.

6: Aus 5“x∈A”

folgt via 95-4(Def):xZahl.

166 Analysis #315

Beweis 315-5 i) ⇒VS gleich x /∈A.

1: Via des bereits bewiesenen d) gilt: dom (↑0) = A.

2: Aus 1und

aus VS

folgt: x /∈dom (↑0).

3: Aus 2“x /∈dom (↑0) ”

folgt via 17-4: (↑0)(x) = U.

4: Aus 3

folgt: x↑0 = U.

i) ⇐VS gleich x↑0 = U.

1: Aus VS

folgt: (↑0)(x) = U.

2: Aus 1“ (↑0)(x) = U”

folgt via 17-4:x /∈dom (↑0).

3: Via des bereits bewiesenen d) gilt: dom (↑0) = A.

4: Aus 2und

aus 3

folgt: x /∈A.

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via des bereits bewiesenen h):x↑0 = 1.

1.2.Fall x /∈A.

Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via des bereits bewiesenen i):x↑0 = U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(x↑0 = 1) ∨(x↑0 = U).

Analysis #315 167

315-6. Es ist an der Zeit, sich mit (1on

x).·. y auseinander zu setzen.

315-6(Satz)

a) (1on

x).·. y =y∩(x×A).

b) Aus “ y⊆x×A” folgt “ (1on

x).·. y =y” .

c) Aus “ f:D→A” und “ D⊆x” folgt “ (1on

x).·. f =f” .

d) Aus “ f:A→A” folgt “ (1on

A).·. f =f” .

e) (1on

A).·.idA=idA.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-6 a)

Thema1.1 α∈(1on

x).·. y.

2: Aus Thema1.1“α∈(1on

x).·. y ”

folgt via 248-12:

∃Ω,Φ,Γ : ((Ω,Φ) ∈1on

x)∧((Ω,Γ) ∈y)∧(Φ,Γ Zahl)

∧(α= (Ω,Φ·Γ)).

3.1: Aus 2“...(Ω,Φ) ∈1on

x . . . ”

folgt via 214-2: (Ω ∈x)∧(Φ = 1).

3.2: Aus 2“...Γ Zahl. . . ”

folgt via 95-4(Def): Γ ∈A.

3.3: Aus 2“...Γ Zahl. . . ”

folgt via FSM1: 1 ·Γ = Γ.

4.1: Aus 3.1“...Φ = 1 ” und

aus 3.3

folgt: Φ ·Γ = Γ.

4.2: Aus 3.1“ Ω ∈x . . . ” und

aus 3.2“ Γ ∈A”

folgt via 6-6: (Ω,Γ) ∈x×A.

...

168 Analysis #315

Beweis 315-6 a) ...

Thema1.1 α∈(1on

x).·. y.

...

5.1: Aus 4.1“ Φ ·Γ = Γ ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Φ·Γ) = (Ω,Γ).

5.2: Aus 2“...(Ω,Γ) ∈y . . . ” und

aus 4.2“ (Ω,Γ) ∈x×A”

folgt via 2-2: (Ω,Γ) ∈y∩(x×A).

6: Aus 2“. . . α = (Ω,Φ·Γ) ” und

aus 5.1

folgt: α= (Ω,Γ).

7: Aus 6und

aus 5.2

folgt: α∈y∩(x×A).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(1on

x).·. y)⇒(α∈y∩(x×A)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (1on

x).·. y ⊆y∩(x×A) ”

Analysis #315 169

Beweis 315-6 a) ...

Thema1.2 α∈y∩(x×A)

2: Aus Thema1.2“α∈y∩(x×A) ”

folgt via 2-2: (α∈y)∧(α∈x×A).

3: Aus 2“. . . α ∈x×A”

folgt via 6-5:∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈A)∧(α= (Ω,Φ)).

4.1: Aus 3“. . . α = (Ω,Φ) ” und

aus 2“α∈y . . . ”

folgt: (Ω,Φ) ∈y.

4.2: Aus 3“...Ω∈x . . . ” und

aus ∈schola“ 1 Menge”

folgt via 214-2: (Ω,1) ∈1on

4.3: Aus 3“...Φ∈A...”

folgt via 95-4(Def): Φ Zahl.

5.1: Aus 4.2“ (Ω,1) ∈1on

x” ,

aus 4.1“ (Ω,Φ) ∈y” ,

aus ∈schola“ 1 Zahl” und

aus 4.3“ Φ Zahl ”

folgt via 248-12: (Ω,1·Φ) ∈(1on

x).·. y.

5.2: Aus 4.3“ Φ Zahl ”

folgt via FSM1: 1 ·Φ = Φ.

6: Aus 5.2“ 1 ·Φ = Φ ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,1·Φ) = (Ω,Φ).

7: Aus 5.1 und

aus 6

folgt: (Ω,Φ) ∈(1on

x).·. y.

8: Aus 2“. . . α = (Ω,Φ) ” und

aus 7

folgt: α∈(1on

x).·. y.

...

170 Analysis #315

Beweis 315-6 a) ...

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈y∩(x×A)) ⇒(α∈(1on

x).·. y).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“y∩(x×A)⊆(1on

x).·. y ”

1.3: Aus A1 gleich “ (1on

x).·. y ⊆y∩(x×A) ” und

aus A2 gleich “ y∩(x×A)⊆(1on

x).·. y ”

folgt via GleichheitsAxiom: (1on

x).·. y =y∩(x×A).

b) VS gleich y⊆x×A.

1: Aus VS gleich “ y⊆x×A”

folgt via 2-10:y∩(x×A) = y.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (1on

x).·. y =y∩(x×A).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: (1on

x).·. y =y.

c) VS gleich (f:D→A)∧(D⊆x).

1.1: Aus VS gleich “ f:D→A . . . ”

folgt via 259-28:f⊆D×A.

1.2: Aus VS gleich “ . . . D ⊆x”

folgt via 6-7:D×A⊆x×A.

2: Aus 1.1“f⊆D×A” und

aus 1.2“D×A⊆x×A”

folgt via 0-6:f⊆x×A.

3: Aus 2“f⊆x×A”

folgt via des bereits bewiesenen b): (1on

x).·. f =f.

d) VS gleich f:A→A.

1: Via 0-6 gilt: A⊆A.

2: Aus VS gleich “ f:A→A” und

aus 1“A⊆A”

folgt via des bereits bewiesenen c): (1on

f).·. f =f.

1: Via 21-13 gilt: idA:A→A.

2: Aus 1“idA:A→A”

folgt via des bereits bewiesenen d): (1on

A).·.idA=idA.

Analysis #315 171

315-7. F¨

ur idxgelten ¨

ahnliche Aussagen wie 315-5h,i,j.

315-7(Satz)

a) “(y∈x)∨(y=U)” genau dann, wenn “ idx(y) = y” .

b) “y /∈x” genau dann, wenn “ idx(y) = U” .

c) “idx(y) = y” oder “ idx(y) = U” .

d) “(yZahl)∨(y=U)” genau dann, wenn “ idA(y) = y” .

Beweis 315-7 a) ⇒VS gleich (y∈x)∨(y=U).

Fallunterscheidung

0.1.Fall y∈x.

Aus 0.1.Fall“y∈x”

folgt via 20-11:idx(y) = y.

0.2.Fall y=U.

1: idx(y)0.2.Fall

=idx(U)17−7

=U0.2.Fall

=y.

2: Aus 1

folgt: idx(y) = y.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: idx(y) = y.

172 Analysis #315

Beweis 315-7 a) ⇐VS gleich idx(y) = y.

1: Es gilt: (y∈dom (idx)) ∨(y /∈dom (idx)).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈dom (idx).

2: Via 20-11 gilt: dom (idx) = x.

3: Aus 1.1.Fall und

aus 2

folgt: y∈x.

1.2.Fall y /∈dom (idx).

Aus 1.2.Fall“y /∈dom (idx)”

folgt via 17-4:idx(y) = U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(idx(y) = y)∨(idx(y) = U).

b) ⇒VS gleich y /∈x.

1: Via 20-11 gilt: dom (idx) = x.

2: Aus VS und

aus 1

folgt: y /∈dom (idx).

3: Aus 2“y /∈dom (idx) ”

folgt via 17-4:idx(y) = U.

b) ⇐VS gleich idx(y) = U.

1: Aus VS gleich “ idx(y) = U”

folgt via 17-4:y /∈dom (idx).

2: Via 20-11 gilt: dom (idx) = x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: y /∈x.

Analysis #315 173

Beweis 315-7 c)

1: Es gilt: (y∈x)∨(y /∈x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈x.

Aus 1.1.Fall“y∈x”

folgt via des bereits bewiesenen a):idx(y) = y.

1.2.Fall y /∈x.

Aus 1.2.Fall“y /∈x”

folgt via des bereits bewiesenen b):idx(y) = U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(idx(y) = y)∨(idx(y) = U).

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ((y∈A)∨(y=U)) ⇔(idA(y) = y).

2: Via 95-4(Def) gilt: (y∈A)⇔(yZahl).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ((yZahl) ∨(y=U)) ⇔(idA(y) = y).

174 Analysis #315

315-8. Fast so einfach wie die Diskussion von ↑0 ist die Diskussion von ↑1.

315-8(Satz)

a) ↑1 = idA.

b) ↑1Menge.

c) ↑1Relation.

d) ↑1Funktion.

e) dom (↑1) = A.

f) ran (↑1) = A.

g) ↑1 : A→A.

h) “(xZahl)∨(x=U)” genau dann, wenn “ x↑1 = x” .

i) “x /∈A” genau dann, wenn “ x↑1 = U” .

j) “x↑1 = x” oder “ x↑1 = U” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-8 a)

1: Aus ∈schola“ 0 ∈N”

folgt via 315-1(RekParDef):↑(1 + 0) = (↑0) .·.idA.

2: Aus +schola“ 1 + 0” und

aus 1“↑(1 + 0) = (↑0) .·.idA”

folgt: ↑1 = (↑0) .·.idA.

3: Aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A” und

aus 2

folgt: ↑1 = (1on

A).·.idA.

4: Aus 3und

aus 315-6“ (1on

A).·.idA=idA”

folgt: ↑1 = idA.

Analysis #315 175

Beweis 315-8 b)

1: Aus AAI“AMenge”

folgt via 30-13:idAMenge.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ↑1 Menge.

1: Via 20-11 gilt: idAFunktion.

2: Aus 1“idAFunktion ”

folgt via 18-18(Def):idARelation.

3: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ↑1 Relation.

1: Via 20-11 gilt: idAFunktion.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ↑1 Funktion.

1: Via 20-11 gilt: dom (idA) = A.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: dom (↑1) = A.

176 Analysis #315

Beweis 315-8 f)

1: Via 20-11 gilt: ran (idA) = A.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ran (↑1) = A.

1: Via 21-13 gilt: idA:A→A.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ↑1 : A→A.

1: Via 315-7 gilt: ((xZahl) ∨(x=U)) ⇔(idA(x) = x).

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ((xZahl) ∨(x=U)) ⇔((↑1)(x) = x).

4: Aus 3

folgt: ((xZahl) ∨(x=U)) ⇔((x↑1) = x).

1: Via 315-7 gilt: (x /∈A)⇔(idA(x) = U).

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: (x /∈A)⇔((↑1)(x) = U).

4: Aus 3folgt: (x /∈A)⇔(x↑1 = U).

Analysis #315 177

Beweis 315-8 j)

1: Via 315-7 gilt: (idA(x) = x)∨(idA(x) = U).

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑1 = idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ((↑1)(x) = x)∨((↑1)(x) = U).

4: Aus 3

folgt: (x↑1 = x)∨(x↑1 = U).

178 Analysis #315

315-9. Aus f:D→Bund x∈Dfolgt in etwas technischer Weise (x, f(x)) ∈f.

315-9(Satz)

a) Aus “ f:D→B” und “ x∈D”

folgt “ f(x)∈ran f” und “ (x, f(x)) ∈f” .

b) Aus “ (p, q)∈f:D→B”

folgt “ p∈D” und “ q∈B” und “ q=f(p)” .

c) (x⇂y)−1[z] = y∩x−1[z].

d) dom (z◦(x⇂y)) = y∩x−1[dom z].

e) ran (z◦(x⇂y)) = z[x[y]].

f) “(x⇂dom x) = x” genau dann, wenn “ xRelation” .

g) Aus “ p∈(x⇂y)”

folgt “ ∃Ω,Φ : (p= (Ω,Φ) ∈x)∧(Ω ∈y)∧(Φ Menge)” .

Beweis 315-9 a) VS gleich (f:D→B)∧(x∈D).

1: Aus VS gleich “ f:D→B . . . ”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D).

2: Aus VS gleich “ . . . x ∈D” und

aus 1“...dom f=D”

folgt: x∈dom f.

3.1: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus 2“x∈dom f”

folgt via 18-22:f(x)∈ran f

3.2: Aus 1“fFunktion. . . ” und

aus 2“x∈dom f”

folgt via 18-22:(x, f(x)) ∈f

Analysis #315 179

Beweis 315-9 b) VS gleich (p, q)∈f:D→B.

1.1: Aus VS gleich “ . . . f :D→B”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D)∧(ran f⊆B).

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈f . . . ”

folgt via 7-5: (p∈dom f)∧(q∈ran f).

2.1: Aus 1.2“ (p, q)∈f . . . ” und

aus 1.1“fFunktion. . . ”

folgt via 18-20:q=f(p)

2.2: Aus 1.2“p∈dom f . . . ” und

aus 1.1“...dom f=D . . . ”

folgt: p∈D

2.3: Aus 1.2“. . . q ∈ran f” und

aus 1.1“...ran f⊆B”

folgt via 0-4:q∈B

1: Via 258-11 gilt: (x⇂y) Einschr¨

ankung von xauf y.

2: Aus 1“ (x⇂y) Einschr¨

ankung von xauf y”

folgt via 15-10: (x⇂y)−1[z] = y∩x−1[z].

1: dom (z◦(x⇂y)) 14−6

= (x⇂y)−1[dom z]c)

=y∩x−1[dom z].

2: Aus 1

folgt: dom (z◦(x⇂y)) = y∩x−1[dom z].

180 Analysis #315

Beweis 315-9 e)

1: ran (z◦(x⇂y)) 14−6

=z[ran (x⇂y)] d)

=z[x[y]].

2: Aus 1

folgt: ran (z◦(x⇂y)) = z[x[y]].

f) ⇒VS gleich (x⇂dom x) = x.

1: Via 258-11 gilt: (x⇂dom x) Relation.

2: Aus 1und

aus VS

folgt: xRelation.

f) ⇐VS gleich xRelation.

1: Aus VS gleich “ xRelation ”

folgt via 15-9:xEinschr¨

ankung von xauf dom x.

2: Via 258-11 gilt: (x⇂dom x) Einschr¨

ankung von xauf dom x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt via 15-2:x= (x⇂dom x).

4: Aus 3

folgt: (x⇂dom x) = x.

g) VS gleich p∈(x⇂y).

1: Via 258-11 gilt: (x⇂y) Einschr¨

ankung von xauf y.

2: Aus 1“ (x⇂y) Einschr¨

ankung von xauf y” und

aus VS gleich “ p∈(x⇂y) ”

folgt via 15-4:∃Ω,Φ : (p= (Ω,Φ) ∈x)∧(Ω ∈y)∧(Φ Menge).

Analysis #315 181

315-10. Es gilt x◦idy= (x⇂y). Somit k¨

onnte (x⇂y) ohne Weiteres durch

Elementareres ersetzt werden.

315-10(Satz)

a) x◦idy= (x⇂y).

b) “xRelation” genau dann, wenn “ x◦iddom x=x” .

Beweis 315-10 a)

Thema1.1 α∈x◦idy.

2: Aus Thema1.1“α∈x◦idy”

folgt via 14-3:

∃Ω,Φ,Γ : ((Ω,Φ) ∈idy)∧((Φ,Γ) ∈x)∧(α= (Ω,Γ)).

3: Aus 2“...(Ω,Φ) ∈idy...”

folgt via 20-10: (Ω ∈y)∧(Ω = Φ).

4: Aus 3“...Ω = Φ ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Γ) = (Φ,Γ).

5: Aus 4und

aus 2“...(Φ,Γ) ∈x”

folgt: (Ω,Γ) ∈x.

6: Aus 3“ Ω ∈y . . . ” und

aus 5“ (Ω,Γ) ∈x”

folgt via 299-5: (Ω,Γ) ∈(x⇂y).

7: Aus 2“. . . α = (Ω,Γ) ” und

aus 6

folgt: α∈(x⇂y).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈x◦idy)⇒(α∈(x⇂y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x◦idy⊆(x⇂y) ”

...

182 Analysis #315

Beweis 315-10 a) ...

Thema1.2 α∈(x⇂y).

2: Aus Thema1.2“α∈(x⇂y) ”

folgt via 315-9:∃Ω,Φ : (α= (Ω,Φ) ∈x)∧(Ω ∈y).

3: Aus 2“...Ω∈y”

folgt via 20-9: (Ω,Ω) ∈idy.

4: Aus 3“ (Ω,Ω) ∈idy” und

aus 2“...(Ω,Φ) ∈x”

folgt via 14-5: (Ω,Φ) ∈x◦idy.

5: Aus 2“. . . α = (Ω,Φ) ...” und

aus 4

folgt: α∈x◦idy.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈(x⇂y)) ⇒(α∈x◦idy).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ (x⇂y)⊆x◦idy”

1.3: Aus A1 gleich “ x◦idy⊆(x⇂y) ” und

aus A2 gleich “ (x⇂y)⊆x◦idy”

folgt via GleichheitsAxiom:x◦idy= (x⇂y).

b) ⇒VS gleich xRelation.

1: Aus VS gleich “ xRelation ”

folgt via 315-9: (x⇂dom x) = x.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: x◦iddom x= (x⇂dom x).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: x◦iddom x=x.

b) ⇐VS gleich x◦iddom x=x.

1: Via 14-8 gilt: x◦iddom xRelation.

2: Aus 1und

aus VS

folgt: xRelation.

Analysis #315 183

315-11. Es gilt 1on

x .:. y =rez ◦yund (1on

A).:.idA=rez.

315-11(Satz)

a) (1on

x).:. y =rez ◦(y⇂x).

b) dom ((1on

x).:. y) = x∩y−1[A].

c) ran ((1on

x).:. y) = rez[y[x]].

d) Aus “ yRelation” folgt “ (1on

dom y).:. y =rez ◦y”

und “ dom ((1on

dom y).:. y) = y−1[A]”

und “ ran ((1on

dom y).:. y) = rez[ran y]” .

e) Aus “ f:D→B” folgt “ (1on

D).:. f =rez ◦f”

und “ ran ((1on

D).:. f) = rez[ran f]”

und “ (1on

D).:. f :f−1[A]→rez[B]” .

f) (1on

A).:.idA=rez.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-11 a)

Thema1.1 α∈(1on

x).:. y.

2: Aus Thema1.1“α∈(1on

x).:. y ”

folgt via 248-32:

∃Ω,Φ,Γ : ((Ω,Φ) ∈1on

x)∧((Ω,Γ) ∈y)∧(Φ,Γ Zahl)

∧(α= (Ω,Φ : Γ))

...

184 Analysis #315

Beweis 315-11 a)...

Thema1.1 α∈(1on

x).:. y.

...

3.1: Aus 2“...(Ω,Φ) ∈1on

x . . . ”

folgt via 214-2: (Ω ∈x)∧(Φ = 1).

3.2: Via 123-6 gilt: 1 : Γ = rez(Γ).

3.3: Aus 2“...Γ Zahl ”

folgt via 95-4(Def): Γ ∈A.

3.4: Aus 3.1“ Ω ∈x” und

aus 2“...(Ω,Γ) ∈y”

folgt via 299-5: (Ω,Γ) ∈(y⇂x).

4.1: Aus 3.1“...Φ = 1 ” und

aus 3.2

folgt: Φ : Γ = rez(Γ).

4.2: Aus 3.3“ Γ ∈A” und

aus AAII“rez :A→A”

folgt via 315-9: (Γ,rez(Γ)) ∈rez.

5.1: Aus 4.1“ Φ : Γ = rez(Γ) ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Φ : Γ) = (Ω,rez(Γ)).

5.2: Aus 3.4“...(Ω,Γ) ∈(y⇂x)...” und

aus 4.2“ (Γ,rez(Γ)) ∈rez ”

folgt via 14-5: (Ω,rez(Γ)) ∈rez ◦(y⇂x).

6: Aus 2“. . . α = (Ω,Φ : Γ) ” und

aus 5.1

folgt: α= (Ω,rez(Γ)).

7: Aus 6und

aus 5.2

folgt: α∈rez ◦(y⇂x).

...

Analysis #315 185

Beweis 315-11 a) ...

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(1on

x).:. y)⇒(α∈rez ◦(y⇂x)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (1on

x).:. y ⊆rez ◦(y⇂x) ”

Thema1.2 α∈rez ◦(y⇂x).

2: Aus Thema1.2“α∈rez ◦(y⇂x) ”

folgt via 14-3:

∃Ω,Φ,Γ : ((Ω,Φ) ∈(y⇂x))∧((Φ,Γ) ∈rez)∧(α= (Ω,Γ)).

3.1: Aus 2“...(Ω,Φ) ∈(y⇂x)...”

folgt via 299-5: ((Ω,Φ) ∈y)∧(Ω ∈x).

3.2: Aus 2“...(Φ,Γ) ∈rez ...” und

aus AAII“rez :A→A”

folgt via 315-9: (Φ ∈A)∧(Γ = rez(Φ)).

4.1: Aus 3.1“...Ω∈x” und

aus ∈schola“ 1 Menge”

folgt via 214-2: (Ω,1) ∈1on

4.2: Aus 3.2“ Φ ∈A...”

folgt via 95-4(Def): Φ Zahl.

4.3: Via 123-6 gilt: rez(Φ) = 1 : Φ.

5.1: Aus 4.1“ (Ω,1) ∈1on

x” ,

aus 3.1“ (Ω,Φ) ∈y . . . ” ,

aus ∈schola“ 1 Zahl” und

aus 4.2“ Φ Zahl ”

folgt via 248-32: (Ω,1 : Φ) ∈(1on

x).:. y.

5.2: Aus 3.2“...Γ = rez(Φ) ” und

aus 4.3

folgt: Γ = 1 : Φ.

6: Aus 5.2“ Γ = 1 : Φ ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Γ) = (Ω,1 : Φ).

...

186 Analysis #315

Beweis 315-11 a) ...

Thema1.2 α∈rez ◦(y⇂x).

...

7: Aus 2“. . . α = (Ω,Γ) ” und

aus 6

folgt: α= (Ω,1 : Φ).

8: Aus 7und

aus 5.1

folgt: α∈(1on

x).:. y.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈rez ◦(y⇂x)) ⇒(α∈(1on

x).:. y).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“rez ◦(y⇂x)⊆(1on

x).:. y ”

1.3: Aus A1 gleich “ (1on

x).:. y ⊆rez ◦(y⇂x) ” und

aus A2 gleich “ rez ◦(y⇂x)⊆(1on

x).:. y ”

folgt via GleichheitsAxiom: (1on

x).:. y =rez ◦(y⇂x).

1: dom ((1on

x).:. y)a)

=dom (rez ◦(y⇂x)) 315−9

=x∩y−1[dom rez]

96−1

=x∩y−1[A].

2: Aus 1

folgt: dom ((1on

x).:. y) = x∩y−1[A].

1: ran ((1on

x).:. y)a)

=ran (rez ◦(y⇂x)) 315−9

=rez[y[x]].

2: Aus 1

folgt: ran ((1on

x).:. y) = rez[y[x]].

Analysis #315 187

Beweis 315-11 d) VS gleich yRelation.

1: Aus VS gleich “ yRelation ”

folgt via 315-9: (y⇂dom y) = y.

2.1: (1on

dom y).:. y a)

=rez ◦(y⇂dom y)1

=rez ◦y.

2.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt:

dom ((1on

dom y).:. y) = (dom y)∩y−1[A].

2.3: ran ((1on

dom y).:. y)c)

=rez[y[dom y]] 8−10

=rez[ran y].

3.1: Aus 2.1

folgt: (1on

dom y).:. y =rez ◦y

3.2: Via 11-19 gilt: y−1[A]⊆dom y.

3.3: Aus 2.3

folgt: ran ((1on

dom y).:. y) = rez[ran y]

4: Aus 3.2“y−1[A]⊆dom y”

folgt via 2-10: (dom y)∩y−1[A] = y−1[A].

5: Aus 2.2 und

aus 4

folgt: dom ((1on

dom y).:. y) = y−1[A]

e) VS gleich f:D→B.

1.1: Aus VS gleich “ f:D→B”

folgt via 21-1(Def): (fFunktion) ∧(dom f=D)∧(ran f⊆B).

1.2: Via 214-4 gilt: 1on

DFunktion.

2.1: Aus 1.1“fFunktion. . . ”

folgt via 18-18(Def):fRelation.

2.2: Aus 1.2“ 1on

DFunktion ” und

aus 1.1“fFunktion. . . ”

folgt via 248-41: (1on

D).:. f Funktion.

...

188 Analysis #315

Beweis 315-11 e) VS gleich f:D→B.

...

3.1: Aus 2.1“fRelation ”

folgt via des bereits bewiesenen d): (1on

dom f).:. f =rez ◦f.

3.2: Aus 2.1“fRelation ”

folgt via des bereits bewiesenen d):dom ((1on

dom f).:. f) = f−1[A].

3.3: Aus 2.1“fRelation ”

folgt via des bereits bewiesenen d):ran ((1on

dom f).:. f) = rez[ran f].

4.1: Aus 3.1 und

aus 1.1“...dom f=D . . . ”

folgt: (1on

D).:. f =rez ◦f

4.2: Aus 3.2 und

aus 1.1“...dom f=D . . . ”

folgt: dom ((1on

D).:. f) = f−1[A].

4.3: Aus 3.3 und

aus 1.1“...dom f=D . . . ”

folgt: ran ((1on

D).:. f) = rez[ran f]

4.4: Aus 1.1“...ran f⊆B”

folgt via 8-9:rez[ran f]⊆rez[B].

5: Aus 4.3 und

aus 4.4

folgt: ran ((1on

D).:. f)⊆rez[B].

6: Aus 2.2“ (1on

D).:. f Funktion ” ,

aus 4.2“dom ((1on

D).:. f) = f−1[A] ” und

aus 5“ran ((1on

D).:. f)⊆rez[B] ”

folgt via 21-1(Def):(1on

D).:. f :f−1[A]→rez[B]

Analysis #315 189

Beweis 315-11 f)

1: Via 21-13 gilt: idA:A→A.

2: Aus 1“idA:A→A”

folgt via des bereits bewiesenen e): (1on

A).:.idA=rez ◦idA.

3: Aus AAII“rez :A→A”

folgt via 21-1(Def): (rez Funktion) ∧(dom rez =A).

4: Aus 3“rez Funktion. . . ”

folgt via 18-18(Def):rez Relation

5: Aus 4“rez Relation ”

folgt via 315-10:rez ◦iddom rez =rez.

6: Aus 5und

aus 3“...dom rez =A”

folgt: rez ◦idA=rez.

7: Aus 2und

aus 6

folgt: (1on

A).:.idA=rez.

190 Analysis #315

315-12. Interessanter Weise ging ich bislang der Bestimmung von ran rez aus dem

Weg.

315-12(Satz)

a) “i·nan Zahl” und “ i·nan ∈A” .

b) “nan +i·nan Zahl” und “ nan +i·nan ∈A” .

c) {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C⊆A.

d) ran rez ={nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-12 a)

1: Aus 95-5“iZahl” und

aus 95-5“nan Zahl”

folgt via 96-15:i·nan Zahl

2: Aus 1“i·nan Zahl ”

folgt via 95-4(Def):i·nan ∈A

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: i·nan Zahl.

2: Aus 95-5“nan Zahl” und

aus 1“i·nan Zahl ”

folgt via 96-13:nan +i·nan Zahl

3: Aus 1“nan +i·nan Zahl ”

folgt via 95-4(Def):nan +i·nan ∈A

Analysis #315 191

Beweis 315-12 c)

Thema1 α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

2: Aus Thema1“α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C”

folgt via 0-2: (α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan})∨(α∈C).

3: Aus 2

folgt: (α=nan)∨(α=i·nan)∨(α=nan+i·nan)∨(α∈C).

Fallunterscheidung

3.1.Fall α=nan.

Aus 3.1.Fall und

aus AAI“nan ∈A”

folgt: α∈A.

3.2.Fall α=i·nan.

Aus 3.2.Fall und

aus a)“i·nan ∈A”

folgt: α∈A.

3.3.Fall α=nan +i·nan.

Aus 3.2.Fall und

aus b)“nan +i·nan ∈A”

folgt: α∈A.

3.4.Fall α∈C.

1: Aus 3.4.Fall“α∈C”

folgt via ∈SZ:αZahl.

2: Aus 1“αZahl ”

folgt via 95-4(Def):α∈A.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: α∈A.

Ergo Thema1:

∀α: (α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C)⇒(α∈A).

Konsequenz via 0-2(Def):{nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C⊆A.

192 Analysis #315

Beweis 315-12 d)

Thema1.1 α∈ran rez.

2: Aus AAII“rez :A→A” und

aus Thema1.1“α∈ran rez ”

folgt via 312-9:∃Ω : (Ω ∈A)∧(α=rez(Ω)).

3.1: Aus 2“...Ω∈A...”

folgt via 95-4(Def): Ω Zahl.

3.2: Via 123-6 gilt: rez(Ω) = 1 : Ω.

4.1: Aus 3“ Ω Zahl ”

folgt via 137-10:

(1 : Ω ∈C)∨(1 : Ω = nan)∨(1 : Ω = i·nan)

∨(1 : Ω = nan +i·nan).

4.2: Aus 2“. . . α =rez(Ω) ” und

aus 3.2

folgt: α= 1 : Ω.

5: Aus 4.2 und

aus 4.1

folgt:

(α∈C)∨(α=nan)∨(α=i·nan)∨(α=nan +i·nan).

Fallunterscheidung

...

Analysis #315 193

Beweis 315-12 d) ...

Thema1.1 α∈ran rez.

...

Fallunterscheidung

5.1.Fall α∈C.

Aus 5.1.Fall“α∈C”

folgt via 2-2:α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

5.2.Fall (α=nan)∨(α=i·nan)∨(α=nan +i·nan).

6: Aus 5.2.Fall

folgt: α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan}.

7: Aus 7

folgt via 2-2:α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran rez)⇒(α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran rez ⊆ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C”

...

194 Analysis #315

Beweis 315-12 d) ...

Thema1.2 α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

2.1: Aus Thema1.2“α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C”

folgt via 2-2: (α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan})∨(α∈C).

2.2: Aus Thema1.2“α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C” und

aus c)“{nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C⊆A”

folgt via 0-4:α∈A.

3.1: Aus 2.1

folgt:

(α=nan)∨(α=i·nan)∨(α=nan +i·nan)∨(α∈C).

3.2: Aus 2.2“α∈A” und

aus AAII“rez :A→A”

folgt via 21-4:rez(α)∈A.

3.3: Via 123-6 gilt: rez(α) = 1 : α.

4.1: Aus 3.1“ (α=nan)∨(α=i·nan)∨(α=nan +i·nan)

∨(α∈C)”

folgt via 141-1: 1 : (1 : α) = α.

4.2: Aus 3.2 und

aus 3.3

folgt: 1 : α∈A.

4.3: Via 123-6 gilt: rez(1 : α) = 1 : (1 : α).

5.1: Aus 4.1 und

aus 4.3

folgt: rez(1 : α) = α.

5.2: Aus AAII“rez :A→A” und

aus 4.2“ 1 : α∈A”

folgt via 315-9:rez(1 : α)∈ran rez.

6: Aus 5.1 und

aus 5.2

folgt: α∈ran rez.

...

Analysis #315 195

Beweis 315-12 d) ...

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C)⇒(α∈ran rez).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“{nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C⊆ran rez ”

1.3: Aus A1 gleich “ ran rez ⊆ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C” und

aus A2 gleich “ {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C⊆ran rez ”

folgt via GleichheitsAxiom:ran rez ={nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

196 Analysis #315

315-13. Es gilt ↑(−1) = rez.

315-13(Satz)

a) ↑(−1) = rez.

b) ↑(−1) Menge.

c) ↑(−1) Relation.

d) ↑(−1) Funktion.

e) dom (↑(−1)) = A.

f) ran (↑(−1)) = {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

g) ↑(−1) : A→A.

h) x↑(−1) = 1 : x.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 315-13 a)

1: Aus ∈schola“ 0 ∈N”

folgt via 315-1(RekParDef):↑(−1 + 0) = (↑(−0)) .:.idA.

2: Aus +schola“−1 + 0 = −1” und

aus 1

folgt: ↑(−1) = (↑(−0)) .:.idA.

3: Aus 98-15“−0 = 0” und

aus 2

folgt: ↑(−1) = (↑0) .:.idA.

4: Aus 3und

aus 315-1(RekParDef)“↑0 = 1on

A”

folgt: ↑(−1) = (1on

A).:.idA.

5: Aus 4und

aus 315-11“ (1on

A).:.idA=rez”

folgt: ↑(−1) = rez.

Analysis #315 197

Beweis 315-13 b)

Aus a)“↑(−1) = rez” und

aus 96-4“rez Menge”

folgt: ↑(−1) Menge.

1: Aus a)“↑(−1) = rez” und

aus 96-1“rez Funktion”

folgt: ↑(−1) Funktion.

2: Aus 1“↑(−1) Funktion ”

folgt via 18-18(Def):↑(−1) Relation.

d) Aus a)“↑(−1) = rez” und

aus 96-1“rez Funktion”

folgt: ↑(−1) Funktion.

Aus 96-1“dom rez =A” und

aus a)“↑(−1) = rez”

folgt: dom (↑(−1)) = A.

Aus 315-12“ran rez ={nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C” und

aus a)“↑(−1) = rez”

folgt: ran (↑(−1)) = {nan,i·nan,nan +i·nan} ∪ C.

Aus AAII“rez :A→A” und

aus a)“↑(−1) = rez”

folgt: ↑(−1) : A→A.

1: Via 123-6 gilt: rez(x) = 1 : x.

2: Aus 1und

aus a)“↑(−1) = rez”

folgt: (↑(−1))(x) = 1 : x.

3: Aus 2

folgt: x↑(−1) = 1 : x.

198 Arithmetik #316

Arithmetik: (f.2.g)(q) = f(q)2g(q) f¨

ur Funktionen f, g und Algebra 2und

beliebige q.

i·(x·y) = (i·x)·y=x·(i·y).

Aus “ x·x=y·y” folgt nicht unbedingt (x=y)∨(x=−y)” .

xni

Einy.pEinx.xni

Ep.

RECH-Notation, Fortsetzung:

xni +in y.p+inx.xni +p.

xni ·in y.p·inx.xni ·p.

xni −in y.p−iny.yni −p.

xni :in y.p:iny.yni :p.

i·inR,i·inS,i·inT.

i·inC=C,i·inB=B,i·inA=A.

Ersterstellung: 17/10/14 Letzte ¨

Anderung: 21/10/14

316-1. Ist feine Funktion, so gilt p /∈f−1[x] genau dann, wenn f(p)/∈x.

316-1(Satz) Unter der Voraussetzung . . .

→)fFunktion.

. . . sind die Aussagen i),ii) ¨

aquivalent:

i) p /∈f−1[x].

ii) f(p)/∈x.

Beweis 316-1

1: Aus →)“fFunktion ”

folgt via 18-29: (p∈f−1[x]) ⇔(f(p)∈x).

2: Aus 1

folgt: (p /∈f−1[x]) ⇔(f(p)/∈x).

Arithmetik #316 199

316-2. Handelt es sich bei 2um eine Algebra in Aund sind f, g Funktionen,

so gilt stets (f.2.g)(q) = f(q)2g(q). Entsprechendes gilt f¨

ur (p2.f)(q) und

(f.2p)(q).

316-2(Satz)

a) Aus “ 2Algebra in A” und “ fFunktion”

folgt “ (p2.f)(q) = p2f(q)” .

b) Aus “ 2Algebra in A” und “ fFunktion”

folgt “ (f.2p)(q) = f(q)2p” .

c) Aus “ 2Algebra in A” und “ f, g Funktion”

folgt “ (f.2.g)(q) = f(q)2g(q)” .

————————————————————————————

ALG-Notation.

Beweis 316-2 a) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

1: Es gilt: (q∈dom (p2.f)) ∨(q /∈dom (p2.f)).

Fallunterscheidung

1.1.Fall q∈dom (p2.f).

Aus VS gleich “ (2Algebra in A)∧(fFunktion) ” und

aus 1.1.Fall“q∈dom (p2.f)”

folgt via 247-8: (p2.f)(q) = p2f(q).

...

200 Arithmetik #316

Beweis 316-2 a) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (p2.f).

2: Aus 1.2.Fall“q /∈dom (p2.f)”

folgt via 17-4: (p2.f)(q) = U.

3: Es gilt: (p∈A)∨(p /∈A).

Fallunterscheidung

3.1.Fall p∈A.

4: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 3.1.Fall“p∈A”

folgt via 247-3:dom (p2.f) = f−1[A].

5: Aus 1.2.Fall und

aus 4

folgt: q /∈f−1[A].

6: Aus VS gleich “ . . . f Funktion ” und

aus 5“q /∈f−1[A] ”

folgt via 316-1:f(q)/∈A.

7: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 6“f(q)/∈A”

folgt via 93-13:p2f(q) = U.

8: Aus 7und

aus 2

folgt: (p2.f)(q) = p2f(q).

3.2.Fall p /∈A.

4: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 3.2.Fall“p /∈A”

folgt via 93-13:p2f(q) = U.

5: Aus 4und

aus 2

folgt: (p2.f)(q) = p2f(q).

...

Arithmetik #316 201

Beweis 316-2 a) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (p2.f).

...

Fallunterscheidung

...

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(p2.f)(q) = p2f(q).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (p2.f)(q) = p2f(q).

b) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

1: Es gilt: (q∈dom (f.2p)) ∨(q /∈dom (f.2p)).

Fallunterscheidung

1.1.Fall q∈dom (f.2p).

Aus VS gleich “ (2Algebra in A)∧(fFunktion) ” und

aus 1.1.Fall“q∈dom (f.2p)”

folgt via 247-8: (f.2p)(q) = f(q)2p.

...

202 Arithmetik #316

Beweis 316-2 b) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (f.2p).

2: Aus 1.2.Fall“q /∈dom (f.2p)”

folgt via 17-4: (f.2p)(q) = U.

3: Es gilt: (p∈A)∨(p /∈A).

Fallunterscheidung

3.1.Fall p∈A.

4: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 3.1.Fall“p∈A”

folgt via 247-3:dom (f.2p) = f−1[A].

5: Aus 1.2.Fall und

aus 4

folgt: q /∈f−1[A].

6: Aus VS gleich “ . . . f Funktion ” und

aus 5“q /∈f−1[A] ”

folgt via 316-1:f(q)/∈A.

7: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 6“f(q)/∈A”

folgt via 93-13:f(q)2p=U.

8: Aus 7und

aus 2

folgt: (f.2p)(q) = f(q)2p.

3.2.Fall p /∈A.

4: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 3.2.Fall“p /∈A”

folgt via 93-13:f(q)2p=U.

5: Aus 4und

aus 2

folgt: (f.2p)(q) = f(q)2p.

...

Arithmetik #316 203

Beweis 316-2 b) VS gleich (2Algebra in A)∧(fFunktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (f.2p).

...

Fallunterscheidung

...

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(f.2p)(q) = f(q)2p.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (f.2p)(q) = f(q)2p.

c) VS gleich (2Algebra in A)∧(f, g Funktion).

1: Es gilt: (q∈dom (f.2.g)) ∨(q /∈dom (f.2.g)).

Fallunterscheidung

1.1.Fall q∈dom (f.2.g).

Aus VS gleich “ (2Algebra in A)∧(f, g Funktion) ” und

aus 1.1.Fall“q∈dom (f.2.g)”

folgt via 247-9: (f.2.g)(q) = f(q)2g(q).

...

204 Arithmetik #316

Beweis 316-2 c) VS gleich (2Algebra in A)∧(f, g Funktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (f.2.g).

2: Aus 1.2.Fall“q /∈dom (f.2.g)”

folgt via 17-4: (f.2p)(q) = U.

3: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ”

folgt via 247-2:dom (f.2.g) = f−1[A]∩g−1[A].

4: Aus 1.2.Fall und

aus 3

folgt: q /∈f−1[A]∩g−1[A].

5: Aus 4“q /∈f−1[A]∩g−1[A] ”

folgt via 2-3: (q /∈f−1[A]) ∨(q /∈g−1[A]).

Fallunterscheidung

5.1.Fall q /∈f−1[A].

6: Aus VS gleich “ ...f... Funktion ” und

aus 5.1.Fall“q /∈f−1[A]”

folgt via 316-1:f(q)/∈A.

7: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 6“f(q)/∈A”

folgt via 93-3:f(q)2g(q) = U.

8: Aus 7und

aus 2

folgt: (f.2.g)(q) = f(q)2g(q).

...

Arithmetik #316 205

Beweis 316-2 c) VS gleich (2Algebra in A)∧(f, g Funktion).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall q /∈dom (f.2.g).

...

Fallunterscheidung

...

5.2.Fall q /∈g−1[A].

6: Aus VS gleich “ . . . g Funktion ” und

aus 5.2.Fall“q /∈g−1[A]”

folgt via 316-1:g(q)/∈A.

7: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 6“g(q)/∈A”

folgt via 93-3:f(q)2g(q) = U.

8: Aus 7und

aus 2

folgt: (f.2.g)(q) = f(q)2g(q).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(f.2.g)(q) = f(q)2g(q).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (f.2.g)(q) = f(q)2g(q).

206 Arithmetik #316

316-3. Die Multiplikation mit ischeint bislang zu kurz gekommen zu sein.

316-3(Satz)

a) Aus “ a, b, c, d ∈T”

folgt “ (a+i·b)·(c+i·d) = (a·c−b·d) + i·(a·d+b·c)” .

b) Aus “ a, b ∈T”

folgt “ i·(a+i·b) = −b+i·a” und “ (a+i·b)·i=−b+i·a” .

c) Aus “ a, b ∈T” folgt “ a−b, −a+b, −a−b∈T” .

d) Aus “ a, b, c, d ∈T”

folgt “ a·d−b·c∈T” und “ a·c+b·d∈T” .

e) Aus “ a, b, c, d ∈T”

folgt i·((a+i·b)·(c+i·d)) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

f) Aus “ a, b, c, d ∈T”

folgt (i·(a+i·b)) ·(c+i·d) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

g) Aus “ a, b, c, d ∈T”

folgt (a+i·b)·(i·(c+i·d)) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

h) Aus “ a, b, c, d ∈T” folgt

i·((a+i·b)·(c+i·d)) = (i·(a+i·b))·(c+i·d) = (a+i·b)·(i·(c+i·d)).

————————————————————————————

RECH-Notation.

Arithmetik #316 207

Beweis 316-3 a) VS gleich a, b, c, d ∈T.

1.1: Aus VS gleich “ a, b . . . ∈T”

folgt via AAIV:Re(a+i·b) = a.

1.2: Aus VS gleich “ a, b . . . ∈T”

folgt via AAIV:Im(a+i·b) = b.

1.3: Aus VS gleich “ . . . c, d ∈T”

folgt via AAIV:Re(c+i·d) = c.

1.4: Aus VS gleich “ . . . c, d ∈T”

folgt via AAIV:Im(c+i·d) = d.

2: (a+i·b)·(c+i·d)

96−26

= ((Re(a+i·b)) ·(Re(c+i·d)) −(Im(a+i·b)) ·(Im(c+i·d)))

+i·((Re(a+i·b)) ·(Im(c+i·d)) −(Im(a+i·b)) ·(Re(c+i·d)))

1.1

= (a·(Re(c+i·d)) −(Im(a+i·b)) ·(Im(c+i·d)))

+i·(a·(Im(c+i·d)) −(Im(a+i·b)) ·(Re(c+i·d)))

1.2

= (a·(Re(c+i·d)) −b·(Im(c+i·d)))

+i·(a·(Im(c+i·d)) −b·(Re(c+i·d)))

1.3

= (a·c−b·(Im(c+i·d)))

+i·(a·(Im(c+i·d)) −b·c)

1.4

= (a·c−b·d) + i·(a·d−b·c).

3: Aus 2

folgt: (a+i·b)·(c+i·d) = (a·c−b·d) + i·(a·d+b·c).

b) VS gleich a, b ∈T.

1.1: Aus VS gleich “ a, b ∈T”

folgt via AAIV:Re(a+i·b) = a.

1.2: Aus VS gleich “ a, b ∈T”

folgt via AAIV:Im(a+i·b) = b.

1.3: Aus VS gleich “ a, b ∈T”

folgt via ∧SZ:a, b Zahl.

...

208 Arithmetik #316

Beweis 316-3 b) VS gleich a, b ∈T.

...

2.1: Aus 1.3“a . . . Zahl ”

folgt via FSM0: a·0 = 0.

2.2: Aus 1.3“a . . . Zahl ”

folgt via FSM1: a·1 = a.

2.3: Aus 1.3“. . . b Zahl ”

folgt via FSM0: b·0 = 0.

2.4: Aus 1.3“. . . b Zahl ”

folgt via FSM1: b·1 = b.

2.5: Aus 1.3“a . . . Zahl ”

folgt via FSA0: a+ 0 = a.

3: Aus VS gleich “ a, b ∈T” und

aus ∈schola“ 0,1∈T”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(a+i·b)·(0 + i·1) = (a·0−b·1) + i·(a·1 + b·0).

4: (a+i·b)·i96−35

= (a+i·b)·(0 + i·1)

= (a·0−b·1) + i·(a·1 + b·0)

2.1

= (0 −b·1) + i·(a·1 + b·0)

2.2

= (0 −b·1) + i·(a+b·0)

2.3

= (0 −b·1) + i·(a+ 0)

2.4

= (0 −b) + i·(a+ 0)

2.5

= (0 −b) + i·a

98−12

=−b+i·a.

5: Aus 4

folgt: (a+i·b)·i=−b+i·a

6: Via KGM gilt: i·(a+i·b) = (a+i·b)·i.

7: Aus 5und

aus 6

folgt: i·(a+i·b) = −b+i·a

Arithmetik #316 209

Beweis 316-3 c) VS gleich a, b ∈T.

1: Aus VS gleich “ a, b ∈T”

folgt via 117-4:−a, −b∈T.

2.1: Aus VS gleich “ a . . . ∈T” und

aus 1“...−b∈T”

folgt via +SZ:a+ (−b)∈T.

2.2: Aus 1“−a . . . ∈T” und

aus VS gleich “ . . . b ∈T”

folgt via +SZ:−a+b∈T

2.3: Aus 1“−a . . . ∈T” und

aus 1“...−b∈T”

folgt via +SZ:−a+ (−b)∈T.

3.1: Aus 2.1

folgt: a−b∈T

3.2: Aus 2.3

folgt: −a−b∈T

210 Arithmetik #316

Beweis 316-3 d) VS gleich a, b, c, d ∈T.

1.1: Aus VS gleich “ a, . . . c . . . ∈T”

folgt via ·SZ:a·c∈T.

1.2: Aus VS gleich “ a, . . . d ∈T”

folgt via ·SZ:a·d∈T.

1.3: Aus VS gleich “ . . . b, c . . . ∈T”

folgt via ·SZ:b·c∈T.

1.4: Aus VS gleich “ . . . b, . . . d ∈T”

folgt via ·SZ:b·d∈T.

2.1: Aus 1.2“a·d∈T” und

aus 1.3“b·c∈T”

folgt via des bereits bewiesenen c):a·d−b·c∈T

2.2: Aus 1.1“a·c∈T” und

aus 1.4“b·d∈T”

folgt via +SZ:a·c+b·d∈T

Arithmetik #316 211

Beweis 316-3 efgh) VS gleich a, b, c, d ∈T.

1.1: Aus VS gleich “ a, b, c, d ∈T”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(a+i·b)·(c+i·d) = (a·c−b·d) + i·(a·c+b·d).

1.2: Aus VS gleich “ a, b, c, d ∈T”

folgt via des bereits bewiesenen d):a·c−b·d, a ·d+b·c∈T.

1.3: Aus VS gleich “ a, b . . . ∈T”

folgt via des bereits bewiesenen b):i·(a+i·b) = −b+i·a.

1.4: Aus VS gleich “ . . . c, d ∈T”

folgt via des bereits bewiesenen b) :i·(c+i·d) = −d+i·c.

1.5: Aus VS gleich “ . . . b, . . . d ∈T”

folgt via 117-4:−b, −d∈T.

2.1: Aus 1.2“a·c−b·d, a ·d+b·c∈T”

folgt via des bereits bewiesenen b):

i·((a·c−b·d) + i·(a·d+b·c)) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

2.2: Aus 1.5“−b . . . ∈T” und

aus VS gleich “ a, . . . c, d ∈T”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(−b+i·a)·(c+i·d) = ((−b)·c−a·d) + i·((−b)·d+a·c).

2.3: Aus VS gleich “ a, b . . . ∈T” ,

aus 1.5“...−d∈T” und

aus VS gleich “ ...c...∈T”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(a+i·b)·(−d+i·c) = (a·(−d)−b·c) + i·(a·c+b·(−d)).

...

212 Arithmetik #316

Beweis 316-3 efgh) VS gleich a, b, c, d ∈T.

...

3.1: i·((a+i·b)·(c+i·d)) 1.1

=i·((a·c−b·d) + i·(a·d+b·c))

2.1

=−(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

3.2: (i·(a+i·b)) ·(c+i·d)1.3

= (−b+i·a)·(c+i·d)

2.2

= ((−b)·c−a·d) + i·((−b)·d+a·c)

FS−·

= (−b·c−a·d) + i·((−b)·d+a·c)

FS−·

= (−b·c−a·d) + i·(−b·d+a·c)

FS−+

=−(b·c+a·d) + i·(−b·d+a·c)

FSA

=−(a·d+b·c) + i·(−b·d+a·c)

FS−+

=−(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

3.3: (a+i·b)·(i·(c+i·d)) 1.4

= (a+i·b)·(−d+i·c)

2.3

= (a·(−d)−b·c) + i·(a·c+b·(−d))

FS−·

= (−a·d−b·c) + i·(a·c+b·(−d))

FS−+

=−(a·d+b·c) + i·(a·c+b·(−d))

FS−·

=−(a·d+b·c) + i·(a·c+ (−b·d))

=−(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

4.e): Aus 3.1

folgt: i·((a+i·b)·(c+i·d)) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

4.f): Aus 3.2

folgt: (i·(a+i·b)) ·(c+i·d) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

4.g): Aus 3.3

folgt: (a+i·b)·(i·(c+i·d)) = −(a·d+b·c) + i·(a·c−b·d).

5.h): Aus 4.e),

aus 4.f) und

aus 4.g)

folgt:

i·((a+i·b)·(c+i·d)) = (i·(a+i·b)) ·(c+i·d) = (a+i·b)·(i·(c+i·d)).

Arithmetik #316 213

316-4. Es gilt stets i·(x·y) = (i·x)·y=x·(i·y).

316-4(Satz)

a) Aus “ xZahl” folgt “ ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈T)∧(x= Ω + i·Φ)” .

b) i·(x·(y·z)) = (i·x)·(y·z) = x·((i·y)·z) = x·(y·(i·z)).

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 316-4 a) VS gleich xZahl.

1.1: Aus VS gleich “ xZahl ”

folgt via AAIV:x= (Rex) + i·(Imx).

1.2: Aus VS gleich “ xZahl ”

folgt via 96-9:Rex, Imx∈T.

1.3: Aus VS gleich “ xZahl ”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω = Rex)∧(Φ = Imx).

2.1: Aus 1.1 und

aus 1.3

folgt: x= Ω + i·Φ.

2.2: Aus 1.2 und

aus 1.3

folgt: Ω,Φ∈T.

3: Aus 1.3“∃Ω,Φ...” ,

aus 2.2 und

aus 2.1

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈T)∧(x= Ω + i·Φ).

214 Arithmetik #316

Beweis 316-4 b)

1.1: i·(x·(y·z)) 133−2

= (i·x)·(y·z).

1.2: (i·x)·(y·z)133−2

=x·(i·(y·z)) 133−2

=x·((i·y)·z).

1.3: x·((i·y)·z)133−2

=x·(y·(i·z)).

2: Aus 1.1“i·(x·(y·z)) = ...= (i·x)·(y·z) ” ,

aus 1.2“ (i·x)·(y·z) = ...=x·((i·y)·z) ” und

aus 1.3“x·((i·y)·z) = x·(y·(i·z)) ”

folgt: i·(x·(y·z)) = (i·x)·(y·z) = x·((i·y)·z) = x·(y·(i·z)).

Arithmetik #316 215

316-5. Die Arithmetik ist mitunter nicht ganz so einfach wie das Rechnen in C

vermuten l¨

aßt.

316-5.Bemerkung

a) Die Aussage

“ (x·x=y·y)⇒((x=y)∨(x=−y))”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

b) Die Aussage

“ ((x, y Zahl) ∧(x·x=y·y)) ⇒((x=y)∨(x=−y))”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

————————————————————————————

RECH-Notation.

216 Arithmetik #316

316-6. Gilt x·x=y·y(und sind x, y Zahlen), so folgt nicht immer (x=y)∨(x=

−y).

316-6.BEISPIEL Es gelte:

→)0< a, b ∈R.

→)a6=b.

→)x= (+∞) + i·a.

→)y= (+∞) + i·b.

Dann folgt:

a) x, y Zahl.

b) x·x= (+∞) + i·(+∞).

c) y·y= (+∞) + i·(+∞).

d) x·x=y·y.

e) x6=y.

f) x6=−y.

g) ¬((x=y)∨(x=−y)).

————————————————————————————

RECH-Notation.

Arithmetik #316 217

316-7. ¨

Ahnlich wie f¨

ur die elementaren klassentheoretischen Operationen werden

nun xni

Einy, x ni

Ep und pEinxdefiniert.

316-7(Definition)

1) xni

Einy=E[x×y].

2) pEinx=E[{p} × x].

3) xni

Ep =E[x× {p}].

218 Arithmetik #316

316-8. Aus z∈xni

Einyfolgt die Existenz von Ω,Φ mit Ω ∈x, Φ∈yund

((x, y), z)∈E. Aus z∈x, u ∈yund ((z, u), v)∈Efolgt v∈xni

Einy.

316-8(Satz)

a) Aus “ z∈xni

Einy”

folgt “ ∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(((Ω,Φ), z)∈E)” .

b) Aus “ z∈x” und “ u∈y” und “ ((z, u), v)∈E” folgt “ v∈xni

Einy” .

c) Aus “ y∈pEinx”

folgt “ pMenge” und “ ∃Ω : (Ω ∈x)∧(((p, Ω), y)∈E)” .

d) Aus “ y∈x” und “ ((p, y), z)∈E” folgt “ z∈pEinx” .

e) Aus “ y∈xni

Ep”

folgt “ pMenge” und “ ∃Ω : (Ω ∈x)∧(((Ω, p), y)∈E)” .

f) Aus “ y∈x” und “ ((y, p), z)∈E” folgt “ z∈xni

Ep” .

Beweis 316-8 a) VS gleich z∈xni

Einy.

1: Aus VS gleich “ z∈xni

Einy”

folgt via 316-8(Def):z∈E[x×y].

2: Aus 1“z∈E[x×y] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈x×y)∧((Ψ, z)∈E).

3: Aus 2“...Ψ∈x×y . . . ”

folgt via 6-5:∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(Ψ = (Ω,Φ)).

4: Aus 3“...Ψ = (Ω,Φ) ”

folgt via PaarAxiom I: (Ψ, z) = ((Ω,Φ), z).

5: Aus 4und

aus 2“...(Ψ, z)∈E”

folgt: ((Ω,Φ), z)∈E.

6: Aus 3“∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)...” und

aus 5

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(((Ω,Φ), z)∈E).

Arithmetik #316 219

Beweis 316-8 b) VS gleich (z∈x)∧(u∈y)∧(((z, u), v)∈E).

1: Aus VS gleich “ (z∈x)∧(u∈y)...”

folgt via 6-6: (z, u)∈x×y.

2: Aus 1“ (z, u)∈x×y” und

aus VS gleich “ ((z, u), v)∈E”

folgt via 8-8:v∈E[x×y].

3: Aus 2

folgt via 316-7(Def):v∈xni

Einy.

c) VS gleich y∈pEinx.

1: Aus VS gleich “ y∈pEinx”

folgt via 316-7(Def):y∈E[{p} × x].

2: Aus 1“y∈E[{p} × x] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈ {p} × x)∧((Ψ, y)∈E).

3: Aus 2“...Ψ∈ {p} × x . . . ”

folgt via 6-5:∃Φ,Ω : (Φ ∈ {p})∧(Ω ∈x)∧(Ψ = (Φ,Ω)).

4: Aus 3“...Φ∈ {p}...”

folgt via 1-6: Φ = pMenge.

5.1: Aus 4

folgt: pMenge

5.2: Aus 4“ Φ = p . . . ”

folgt via PaarAxiom I: (p, Ω) = (Φ,Ω).

6: Aus 5.2 und

aus 3“...Ψ = (Φ,Ω) ”

folgt: Ψ = (p, Ω).

7: Aus 6“ Ψ = (p, Ω) ”

folgt via PaarAxiom I: (Ψ, y) = ((p, Ω), y).

8: Aus 7und

aus 2“...(Ψ, y)∈E”

folgt: ((p, Ω), y)∈E.

...

220 Arithmetik #316

Beweis 316-8 c) VS gleich y∈pEinx.

...

9: Aus 3“∃...Ω...” ,

aus 3“...Ω∈x . . . ” und

aus 8

folgt: ∃Ω : (Ω ∈x)∧(((p, Ω), y)∈E)

d) VS gleich (y∈x)∧(((p, y), z)∈E).

1: Aus VS gleich “ ...((p, y), z)∈E”

folgt via 9-15: (p, y) Menge.

2: Aus 1“ (p, y) Menge ”

folgt via PaarAxiom I:pMenge.

3: Aus 2“pMenge ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

4: Aus 3“p∈ {p}” und

aus VS gleich “ y∈x . . . ”

folgt via 6-6: (p, y)∈ {p} × x.

5: Aus 4“ (p, y)∈ {p} × x” und

aus VS gleich “ ...((p, y), z)∈E”

folgt via 8-8:z∈E[{p} × x.

6: Aus 5

folgt via 316-7(Def):z∈pEinx.

e) VS gleich y∈xni

Ep.

1: Aus VS gleich “ y∈xni

Ep ”

folgt via 316-7(Def):y∈E[x× {p}].

2: Aus 1“y∈E[x× {p}] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈x× {p})∧((Ψ, y)∈E).

3: Aus 2“...Ψ∈x× {p}...”

folgt via 6-5:∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈ {p})∧(Ψ = (Ω,Φ)).

4: Aus 3“...Φ∈ {p}...”

folgt via 1-6: Φ = pMenge.

...

Arithmetik #316 221

Beweis 316-8 e) VS gleich y∈xni

Ep.

...

5.1: Aus 4

folgt: pMenge

5.2: Aus 4“ Φ = p . . . ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, p) = (Ω,Φ).

6: Aus 5.2 und

aus 3“...Ψ = (Ω,Φ) ”

folgt: Ψ = (Ω, p).

7: Aus 6“ Ψ = (Ω, p) ”

folgt via PaarAxiom I: (Ψ, y) = ((Ω, p), y).

8: Aus 7und

aus 2“...(Ψ, y)∈E”

folgt: ((Ω, p), y)∈E.

9: Aus 3“∃Ω...” ,

aus 3“...Ω∈x . . . ” und

aus 8

folgt: ∃Ω : (Ω ∈x)∧(((Ω, p), y)∈E)

222 Arithmetik #316

Beweis 316-8 f) VS gleich (y∈x)∧(((y, p), z)∈E).

1: Aus VS gleich “ ...((y, p), z)∈E”

folgt via 9-15: (y, p) Menge.

2: Aus 1“ (y, p) Menge ”

folgt via PaarAxiom I:pMenge.

3: Aus 2“pMenge ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

4: Aus VS gleich “ y∈x . . . ” und

aus 3“p∈ {p}”

folgt via 6-6: (y, p)∈x× {p}.

5: Aus 4“ (y, p)∈x× {p}” und

aus VS gleich “ ...((y, p), z)∈E”

folgt via 8-8:z∈E[x× {p}].

6: Aus 5

folgt via 316-7(Def):z∈xni

Ep.

Arithmetik #316 223

316-9. Ist 2eine Algebra in Aund gilt p, q ∈A, so gilt ((p, q), p 2q)∈2.

316-9(Satz)

Aus “ 2Algebra in A” und “ p, q ∈A”

folgt “ ((p, q), p 2q),((q, p), q 2p)∈2” .

————————————————————————————

ALG-Notation.

Beweis 316-9 VS gleich (2Algebra in A)∧(p, q ∈A).

1.1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” ,

aus “ p2q=p2q” und

aus VS gleich “ . . . p, q ∈A”

folgt via 306-11:((p, q), p 2q)∈2

1.2: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” ,

aus “ q2p=q2p” ,

aus VS gleich “ . . . q ∈A” und

aus VS gleich “ ...p...∈A”

folgt via 306-11:((q, p), q 2p)∈2

224 Arithmetik #316

316-10. Ist E=2=Algebra in A, so vereinfacht sich Einiges in 316-8.

316-10(Satz)

a) Aus “ 2Algebra in A” und “ z∈xni

2iny”

folgt “ ∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(Ω,Φ∈A)∧(z= Ω 2Φ)” .

b) Aus “ 2Algebra in A” und “ z∈x” und “ u∈y” und “ z, u ∈A”

folgt “ z2u∈xni

2iny” .

c) Aus “ 2Algebra in A” und “ y∈p2inx”

folgt “ p∈A” und “ ∃Ω : (Ω ∈x, A)∧(y=p2Ω)” .

d) Aus “ 2Algebra in A” und “ y∈x” und “ p, y ∈A”

folgt “ p2y∈p2inx” .

e) Aus “ 2Algebra in A” und “ y∈xni

2p”

folgt “ p∈A” und “ ∃Ω : (Ω ∈x, A)∧(y= Ω 2p)” .

f) Aus “ 2Algebra in A” und “ y∈x” und “ p, y ∈A”

folgt “ y2p∈xni

2p” .

————————————————————————————

ALG-Notation.

Beweis 316-10 a) VS gleich (2Algebra in A)∧(z∈xni

2iny).

1: Aus VS gleich “ . . . z ∈xni

2iny”

folgt via 316-8:∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(((Ω,Φ), z)∈2).

2: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 1“...((Ω,Φ), z)∈2”

folgt via 306-11: (z= Ω 2Φ) ∧(Ω,Φ∈A).

3: Aus 1“∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)...” ,

aus 2“...Ω,Φ∈A” und

aus 2“z= Ω 2Φ ”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω ∈x)∧(Φ ∈y)∧(Ω,Φ∈A)∧(z= Ω 2Φ).

Arithmetik #316 225

Beweis 316-10 b) VS gleich (2Algebra in A)∧(z∈x)∧(u∈y)∧(z, u ∈A).

1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus VS gleich “ . . . z, u ∈A”

folgt via 316-9: ((z, u), z 2u)∈2.

2: Aus VS gleich “ ...(z∈x)∧(u∈y)...” und

aus 1“ ((z, u), z 2u)∈2”

folgt via 316-8:z2u∈xni

2iny.

c) VS gleich (2Algebra in A)∧(y∈p2inx).

1: Aus VS gleich “ . . . y ∈p2inx”

folgt via 316-8:∃Ω : (Ω ∈x)∧(((p, Ω), y)∈2).

2: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 1“...((p, Ω), y)∈2”

folgt via 306-11: (y=p2Ω) ∧(p, Ω∈A).

3.1: Aus 2

folgt: p∈A

3.2: Aus 1“∃Ω...” ,

aus 1“...Ω∈x . . . ” ,

aus 2“...Ω∈A” und

aus 2“y=p2Ω...”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈x, A)∧(y=p2Ω)

d) VS gleich (2Algebra in A)∧(y∈x)∧(p, y ∈A).

1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus VS gleich “ . . . p, y ∈A”

folgt via 316-9: ((p, y), p 2y)∈2.

2: Aus VS gleich “ . . . y ∈x . . . ” und

aus 1“ ((p, y), p 2y)∈2”

folgt via 316-8:p2y∈p2inx.

226 Arithmetik #316

Beweis 316-10 e) VS gleich (2Algebra in A)∧(y∈xni

2p).

1: Aus VS gleich “ . . . y ∈xni

2p”

folgt via 316-8:∃Ω : (Ω ∈x)∧(((Ω, p), y)∈2).

2: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus 1“...((Ω), p, y)∈2”

folgt via 306-11: (y= Ω 2p)∧(Ω, p ∈A).

3.1: Aus 2

folgt: p∈A

3.2: Aus 1“∃Ω...” ,

aus 1“...Ω∈x . . . ” ,

aus 2“...Ω...∈A” und

aus 2“y= Ω 2p . . . ”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈x, A)∧(y= Ω 2p)

f) VS gleich (2Algebra in A)∧(y∈x)∧(p, y ∈A).

1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” ,

aus VS gleich “ . . . p, y ∈A”

folgt via 316-9: ((y, p), y 2p)∈2.

2: Aus VS gleich “ . . . y ∈x . . . ” und

aus 1“ ((y, p), y 2p)∈2”

folgt via 316-8:y2p∈xni

2p.

Arithmetik #316 227

RECH-Notation. Fortsetzung. In Weiterf¨

uhrung der RECH-Notation wird un-

ter anderem der notationelle Umgang mit xni

Ainy, x ni

Miny, x ni

Siny, x ni

Diny

geregelt.

RECH-Notation (Fortsetzung)

1) xni +in y=xni

Ainy.

2) p+inx=pAinx.

3) xni +p=xni

Ap.

4) xni ·in y=xni

Miny.

5) p·inx=pMinx.

6) xni ·p=xni

Mp.

7) xni −in y=xni

Siny.

8) p−inx=pSinx.

9) xni −p=xni

Sp.

10) xni :in y=xni

Diny.

11) p:inx=pDinx.

12) xni :p=xni

Dp.

228 Arithmetik #316

316-11. Ist x∈C, so gibt es Ω,Φ∈Rmit x= Ω + i·Φ. Sind a, b ∈R, so gilt

a+i·b∈C.¨

Ahnliches gilt f¨

ur Ban Stelle von C.

316-11(Satz)

a) Aus “ x∈C” folgt “ ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈R)∧(x= Ω + i·Φ)” .

b) Aus “ a, b ∈R” folgt “ a+i·b∈C” .

c) Aus “ x∈B” folgt “ ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈S)∧(x= Ω + i·Φ)” .

d) Aus “ a, b ∈S” folgt “ a+i·b∈B” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 316-11 a) VS gleich x∈C.

1.1: Aus VS gleich “ x∈C”

folgt via ∧SZ:xZahl.

1.2: Aus VS gleich “ x∈C”

folgt via 101-1:Rex, Imx∈R.

1.3: Aus VS gleich “ x∈C”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω = Rex)∧(Φ = Imx).

2.1: Aus 1.1“xZahl ”

folgt via AAIV:x= (Rex) + i·(Imx).

2.2: Aus 1.2 und

aus 1.3“...(Ω = Rex)∧(Φ = Imx) ”

folgt: Ω,Φ∈R.

3: Aus 2.1 und

aus 1.3“...(Ω = Rex)∧(Φ = Imx) ”

folgt: x= Ω + i·Φ.

4: Aus 1.3“∃Ω,Φ...” ,

aus 2.2“ Ω,Φ∈R” und

aus 3“x= Ω + i·Φ ”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈R)∧(x= Ω + i·Φ).

Arithmetik #316 229

Beweis 316-11 b) VS gleich a, b ∈R.

1: Aus VS gleich “ a, b ∈R” und

aus ⊆SZ“R⊆T”

folgt: a, b ∈T.

2: Aus 1“a, b ∈T”

folgt via AAIV: (Re(a+i·b) = a)∧(Im(a+i·b) = b).

3: Aus 2und

aus VS

folgt: Re(a+i·b),Im(a+i·b)∈R.

4: Aus 3“Re(a+i·b),Im(a+i·b)∈R”

folgt via 101-1:a+i·b∈C.

c) VS gleich x∈B.

1.1: Aus VS gleich “ x∈B”

folgt via ∧SZ:xZahl.

1.2: Aus VS gleich “ x∈B”

folgt via 101-3:Rex, Imx∈S.

1.3: Aus VS gleich “ x∈B”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω = Rex)∧(Φ = Imx).

2.1: Aus 1.1“xZahl ”

folgt via AAIV:x= (Rex) + i·(Imx).

2.2: Aus 1.2 und

aus 1.3“...(Ω = Rex)∧(Φ = Imx) ”

folgt: Ω,Φ∈S.

3: Aus 2.1 und

aus 1.3“...(Ω = Rex)∧(Φ = Imx) ”

folgt: x= Ω + i·Φ.

4: Aus 1.3“∃Ω,Φ...” ,

aus 2.2“ Ω,Φ∈S” und

aus 3“x= Ω + i·Φ ”

folgt: ∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈S)∧(x= Ω + i·Φ).

230 Arithmetik #316

Beweis 316-11 d) VS gleich a, b ∈S.

1: Aus VS gleich “ a, b ∈S” und

aus ⊆SZ“S⊆T”

folgt: a, b ∈T.

2: Aus 1“a, b ∈T”

folgt via AAIV: (Re(a+i·b) = a)∧(Im(a+i·b) = b).

3: Aus 2und

aus VS

folgt: Re(a+i·b),Im(a+i·b)∈S.

4: Aus 3“Re(a+i·b),Im(a+i·b)∈S”

folgt via 101-3:a+i·b∈B.

Arithmetik #316 231

316-12. Die Mengen i·inR,i·inS,i·inTk¨

onnten von einigem Interesse sein. Es gilt

i·inC=C,i·inB=B,i·inA=A.

316-12(Satz)

a) Aus “ p∈i·inR” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈R)∧(p=i·Ω)” .

b) Aus “ p∈R” folgt “ i·p∈i·inR” .

c) Aus “ p∈i·inS” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈S)∧(p=i·Ω)” .

d) Aus “ p∈S” folgt “ i·p∈i·inS” .

e) Aus “ p∈i·inT” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈T)∧(p=i·Ω)” .

f) Aus “ p∈T” folgt “ i·p∈i·inT” .

g) i·inC=C.

h) i·inB=B.

i) i·inA=A.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 316-12 a) VS gleich p∈i·inR.

Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ p∈i·inR”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈R)∧(p=i·Ω).

b) VS gleich p∈R.

1: Aus VS gleich “ p∈R”

folgt via ∧SZ:pZahl.

2: Aus 1“pZahl ”

folgt via 95-4(Def):p∈A.

3: aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus VS gleich “ p∈R” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 2“p∈A”

folgt via 316-10:i·p∈i·inR.

232 Arithmetik #316

Beweis 316-12 c) VS gleich p∈i·inS.

Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ p∈i·inS”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈S)∧(p=i·Ω).

d) VS gleich p∈S.

1: Aus VS gleich “ p∈S”

folgt via ∧SZ:pZahl.

2: Aus 1“pZahl ”

folgt via 95-4(Def):p∈A.

3: aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus VS gleich “ p∈S” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 2“p∈A”

folgt via 316-10:i·p∈i·inS.

e) VS gleich p∈i·inT.

Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ p∈i·inT”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈T)∧(p=i·Ω).

f) VS gleich p∈T.

1: Aus VS gleich “ p∈S”

folgt via ∧SZ:pZahl.

2: Aus 1“pZahl ”

folgt via 95-4(Def):p∈A.

3: aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus VS gleich “ p∈T” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 2“p∈A”

folgt via 316-10:i·p∈i·inT.

Arithmetik #316 233

Beweis 316-12 g)

Thema1.1 α∈i·inC.

2: Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ α∈i·inC”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈C)∧(α=i·Ω).

3: Aus 101-5“i∈C” und

aus 2“...Ω∈C...”

folgt via ·SZ:i·Ω∈C.

4: Aus 2“. . . α =i·Ω ” und

aus 3

folgt: α∈C.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈i·inC)⇒(α∈C).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“i·inC⊆C”

...

234 Arithmetik #316

Beweis 316-12 g) ...

Thema1.2 α∈C.

2: Aus Thema1.2“α∈C”

folgt via 316-11:∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈R)∧(α= Ω + i·Φ).

3: Aus 2“...Ω...∈R...”

folgt via AAV:−Ω∈R.

4: Aus 2“...Φ∈R...” und

aus 3“−Ω∈R”

folgt via 316-11: Φ + i·(−Ω) ∈C.

5.1: Aus 3“−Ω∈R” und

aus 2“...Φ∈R...” und

aus ⊆SZ“R⊆T”

folgt: Φ,−Ω∈T.

5.2: Aus 4“ Φ + i·(−Ω) ∈C” und

aus ⊆SZ“C⊆A”

folgt: Φ + i·(−Ω) ∈A.

6.1: Aus 5.1“ Φ,−Ω∈T”

folgt via 316-3:i·(Φ + i·(−Ω)) = −(−Ω) + i·Φ.

6.2: Aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus 4“ Φ + i·(−Ω) ∈C” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 5.2“ Φ + i·(−Ω) ∈A”

folgt via 316-10:i·(Φ + i·(−Ω)) ∈i·inC.

7: Via FS−+ gilt: −(−Ω) + i·Φ = Ω + i·Φ.

8: Aus 7und

aus 6.1

folgt: i·(Φ + i·(−Ω)) = Ω + i·Φ.

9: Aus 8und

aus 6.2

folgt: Ω + i·Φ∈i·inC.

...

Arithmetik #316 235

Beweis 316-12 g) ...

Thema1.2 α∈C.

...

10: Aus 9und

aus 2“. . . α = Ω + i·Φ ”

folgt: α∈i·inC.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈C)⇒(α∈i·inC).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“C⊆i·inC”

2: Aus A1 gleich “ i·inC⊆C” und

aus A2 gleich “ C⊆i·inC”

folgt via GleichheitsAxiom:i·inC=C.

236 Arithmetik #316

Beweis 316-12 h)

Thema1.1 α∈i·inB.

2: Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ α∈i·inB”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈B)∧(α=i·Ω).

3: Aus 2“...Ω∈B...”

folgt via 316-11:∃Φ,Ψ : (Φ,Ψ∈S)∧(Ω = Φ + i·Ψ).

4: Aus 3“...Φ,Ψ∈S...” und

aus ⊆SZ“S⊆T”

folgt via 0-4: Φ,Ψ∈T.

5: Aus 4“ Φ,Ψ∈T”

folgt via 316-3:i·(Φ + i·Ψ) = −Ψ + i·Φ.

6.1: Aus 5und

aus 3“...Ω = Φ + i·Ψ ”

folgt: i·Ω = −Ψ + i·Φ.

6.2: Aus 3“...Ψ∈S...”

folgt via 100-6:−Ψ∈S.

7.1: Aus 2“. . . α =i·Ω ” und

aus 6.1

folgt: α=−Ψ + i·Φ.

7.2: Aus 6.2“−Ψ∈S” und

aus 3“...Φ...∈S...”

folgt via 316-11:−Ψ + i·Φ∈B.

8: Aus 7.1 und

aus 7.2

folgt: α∈B.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈i·inB)⇒(α∈B).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“i·inB⊆B”

...

Arithmetik #316 237

Beweis 316-12 h) ...

Thema1.2 α∈B.

2: Aus Thema1.2“α∈B”

folgt via 316-11:∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈S)∧(α= Ω + i·Φ).

3: Aus 2“...Ω...∈S...”

folgt via 100-6:−Ω∈S.

4: Aus 2“...Φ∈S...” und

aus 3“−Ω∈S”

folgt via 316-11: Φ + i·(−Ω) ∈B.

5.1: Aus 3“−Ω∈S” und

aus 2“...Φ∈S...” und

aus ⊆SZ“S⊆T”

folgt: Φ,−Ω∈T.

5.2: Aus 4“ Φ + i·(−Ω) ∈B” und

aus ⊆SZ“B⊆A”

folgt: Φ + i·(−Ω) ∈A.

6.1: Aus 5.1“ Φ,−Ω∈T”

folgt via 316-3:i·(Φ + i·(−Ω)) = −(−Ω) + i·Φ.

6.2: Aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus 4“ Φ + i·(−Ω) ∈B” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 5.2“ Φ + i·(−Ω) ∈A”

folgt via 316-10:i·(Φ + i·(−Ω)) ∈i·inB.

7: Via FS−+ gilt: −(−Ω) + i·Φ = Ω + i·Φ.

8: Aus 7und

aus 6.1

folgt: i·(Φ + i·(−Ω)) = Ω + i·Φ.

9: Aus 8und

aus 6.2

folgt: Ω + i·Φ∈i·inB.

...

238 Arithmetik #316

Beweis 316-12 h) ...

Thema1.2 α∈B.

...

10: Aus 9und

aus 2“. . . α = Ω + i·Φ ”

folgt: α∈i·inB.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈B)⇒(α∈i·inB).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“B⊆i·inB”

2: Aus A1 gleich “ i·inB⊆B” und

aus A2 gleich “ B⊆i·inB”

folgt via GleichheitsAxiom:i·inB=B.

Arithmetik #316 239

Beweis 316-12 i)

Thema1.1 α∈i·inA.

2: Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus VS gleich “ α∈i·inA”

folgt via 316-10:∃Ω : (Ω ∈A)∧(α=i·Ω).

3: Aus 2“...Ω∈A...”

folgt via 95-4(Def): Ω Zahl.

4: Aus 95-5“iZahl” und

aus 3“ Ω Zahl ”

folgt via 96-15:i·Ω Zahl.

5: Aus 2“. . . α =i·Ω ” und

aus 4

folgt: αZahl.

6: Aus 5“αZahl ”

folgt via 95-4(Def):α∈A.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈i·inA)⇒(α∈A).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“i·inA⊆A”

...

240 Arithmetik #316

Beweis 316-12 i) ...

Thema1.2 α∈A.

2: Aus Thema1.2“α∈A”

folgt via 95-4(Def):αZahl.

3: Aus 2“αZahl ”

folgt via 316-4:∃Ω,Φ : (Ω,Φ∈T)∧(α= Ω + i·Φ).

4: Aus 3“...Ω...∈T...”

folgt via 100-6:−Ω∈T.

5.1: Aus 3“...Φ∈T...” und

aus 4“−Ω∈T”

folgt via 96-29: Φ + i·(−Ω) Zahl.

5.2: Aus 3“...Φ∈T...” und

aus 4“−Ω∈T”

folgt via 316-3:i·(Φ + i·(−Ω)) = −(−Ω) + i·Φ.

6: Aus 5.1“ Φ + i·(−Ω) Zahl ”

folgt via 95-4(Def): Φ + i·(−Ω) ∈A.

7: Aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus 6“ Φ + i·(−Ω) ∈A” ,

aus AAI“i∈A” und

aus 6“ Φ + i·(−Ω) ∈A”

folgt via 316-10:i·(Φ + i·(−Ω)) ∈i·inA.

8: Via FS−+ gilt: −(−Ω) + i·Φ = Ω + i·Φ.

9: Aus 8und

aus 5.2

folgt: i·(Φ + i·(−Ω)) = Ω + i·Φ.

10: Aus 9und

aus 7

folgt: Ω + i·Φ∈i·inA.

...

Arithmetik #316 241

Beweis 316-12 i) ...

Thema1.2 α∈C.

...

11: Aus 10 und

aus 3“. . . α = Ω + i·Φ ”

folgt: α∈i·inA.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈A)⇒(α∈i·inA).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“A⊆i·inA”

2: Aus A1 gleich “ i·inA⊆A” und

aus A2 gleich “ A⊆i·inA”

folgt via GleichheitsAxiom:i·inA=A.

242 Analysis #317

Analysis: ↑2.

Ersterstellung: 24/10/14 Letzte ¨

Anderung: 06/11/14

317-1. Gilt dom x⊆E, so gilt x[E] = ran x.¨

Ahnlich einfach stellt sich x−1[E]

im Fall ran x⊆Edar.

317-1(Satz)

a) Aus “ dom x⊆E” folgt “ x[E] = ran x” .

b) Aus “ ran x⊆E” folgt “ x−1[E] = dom x” .

Beweis 317-1 a) VS gleich dom x⊆E.

1: Aus VS gleich “ dom x⊆E”

folgt via 2-10:E∩dom x=dom x.

2: x[E]8−10

=x[E∩dom x]1

=x[dom x]8−10

=ran x.

4: Aus 2

folgt: x[E] = ran x.

b) VS gleich ran x⊆E.

1: Aus →)“ran x⊆E”

folgt via 2-10:E∩ran x=ran x.

2: x−1[E]11−19

=x−1[E∩ran x]1

=x−1[ran x]11−19

=dom x.

3: Aus 2

folgt: x−1[E] = dom x.

Analysis #317 243

317-2. Ist 2eine Algebra in Aund gilt p∈Aund ran x⊆A, so folgt

dom (p2.x) = dom (x.2p) = dom x.

317-2(Satz) Es gelte:

→)2Algebra in A.

→)p∈A.

→)ran x⊆A.

Dann folgt:

a) dom (p2.x) = dom x.

b) dom (x.2p) = dom x.

Beweis 317-2 a)

1: Aus →)“2Algebra in A” und

aus →)“p∈A”

folgt via 247-3:dom (p2.x) = x−1[A].

2: Aus →)“ran x⊆A”

folgt via 317-1:x−1[A] = dom x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: dom (p2.x) = dom x.

1: Aus →)“2Algebra in A” und

aus →)“p∈A”

folgt via 247-3:dom (x.2p) = x−1[A].

2: Aus →)“ran x⊆A”

folgt via 317-1:x−1[A] = dom x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: dom (x.2p) = dom x.

244 Analysis #317

317-3. Ist 2ist eine Algebra in Aund gilt ran x⊆A, so gilt unter anderem

dom (x.2.x) = dom x.

317-3(Satz)

a) Aus “ 2Algebra in A” und “ ran x⊆A”

folgt “ dom (x.2.y) = y−1[A]∩dom x”

und “ dom (y.2.x) = y−1[A]∩dom x” .

b) Aus “ 2Algebra in A” und “ ran x, ran y⊆A”

folgt “ dom (x.2.y) = (dom x)∩(dom y)” .

c) Aus “ 2Algebra in A” und “ ran x⊆A”

folgt “ dom (x.2.x) = dom x” .

Beweis 317-3 a) VS gleich (2Algebra in A)∧(ran x⊆A).

1.1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ”

folgt via 247-2:dom (x.2.y) = x−1[A]∩y−1[A].

1.2: Aus VS gleich “ ...ran x⊆A”

folgt via 317-1:x−1[A] = dom x.

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: dom (x.2.y) = (dom x)∩y−1[A].

3: Via KG∩gilt: (dom x)∩y−1[A] = y−1[A]∩dom x.

4: Aus 2und

aus 3

folgt: dom (x.2.y) = y−1∩dom x

5: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ”

folgt via 247-2:dom (y.2.x) = dom (x.2.y).

6: Aus 4und

aus 3

folgt: dom (y.2.x) = y−1[A]∩dom x

Analysis #317 245

Beweis 317-3 b) VS gleich (2Algebra in A)∧(ran x, ran y⊆A).

1.1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” und

aus VS gleich “ ...ran y⊆A”

folgt via des bereits bewiesenen a):dom (x.2.y) = x−1[A]∩dom y.

1.2: Aus VS gleich “ ...ran x . . . ⊆A”

folgt via 317-1:x−1[A] = dom x.

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: dom (x.2.y) = (dom x)∩(dom y).

c) VS gleich (2Algebra in A)∧(ran x⊆A).

1: Aus VS gleich “ 2Algebra in A . . . ” ,

aus VS gleich “ ...ran x⊆A” und

aus VS gleich “ ...ran x⊆A”

folgt via des bereits bewiesenen b):dom (x.2.x) = (dom x)∩(dom x).

2: Via 2-14 gilt: (dom x)∩(dom x) = dom x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: dom (x.2.x) = dom x.

246 Analysis #317

317-4. Die Bestimmung von ran (↑2) erscheint zum gegenw¨

artigen Zeitpunkt

kaum m¨

oglich. Die Beweis-Reihenfolge ist a) -d) -c) -f) -e) -b) -g) -h).

317-4(Satz)

a) ↑2 = idA.·.idA.

b) ↑2Menge.

c) ↑2Relation.

d) ↑2Funktion.

e) dom (↑2) = A.

f) ran (↑2) ⊆A.

g) ↑2 : A→A.

h) x↑2 = x·x.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 317-4 a)

1.1: Aus ∈schola“ 1 ∈N”

folgt via 315-1(RekParDef):↑(1 + 1) = ↑1.·.idA.

1.2: Via +schola gilt: 1 + 1 = 2.

2: Aus 1.1 und

aus 315-8“↑1 = idA”

folgt: ↑(1 + 1) = idA.·.idA.

3: Aus 2und

aus 1.2

folgt: ↑2 = idA.·.idA.

Analysis #317 247

Beweis 317-4 cd)

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑2 = idA.·.idA.

1.2: Via 20-11 gilt: idAFunktion.

2: Aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus 1.2“idAFunktion ” und

aus 1.2“idAFunktion ”

folgt via 247-11:idA.·.idAFunktion.

3.d): Aus 2und

aus 1.1

folgt: ↑2 Funktion.

4.c): Aus 3.d)“↑2 Funktion ”

folgt via 18-18(Def):↑2 Relation.

1: Aus AAII“MAlgebra in A”

folgt via 247-2:ran (idA.·.idA)⊆A.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑2 = idA.·.idA.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ran (↑2) ⊆A.

248 Analysis #317

Beweis 317-4 e)

1: Via 20-11 gilt: ran (idA) = A.

2: Aus 1“ran (idA) = A”

folgt via 0-6:ran (idA)⊆A.

3: Aus AAII“MAlgebra in A” und

aus 2“ran (idA)⊆A”

folgt via 317-3:dom (idA.·.idA) = dom (idA).

4: Via 20-11 gilt: dom (idA) = A.

5: Aus 3und

aus 4

folgt: dom (idA.·.idA) = A.

6: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ↑2 = idA.·.idA.

7: Aus 5und

aus 6

folgt: dom (↑2) = A.

1.1: Via des bereits bewiesenen d) gilt: ↑2 Funktion.

1.2: Via des bereits bewiesenen e) gilt: dom (↑2) = A.

2: Aus 1.2 und

aus AAI“AMenge”

folgt: dom (↑2) Menge.

3: Aus 1.1“↑2 Funktion ” und

aus 2“dom (↑2) Menge ”

folgt via 26-3:↑2 Menge.

1.1: Via des bereits bewiesenen d) gilt: ↑2 Funktion.

1.2: Via des bereits bewiesenen e) gilt: dom (↑2) = A.

1.3: Via des bereits bewiesenen f) gilt: ran (↑2) ⊆A.

2: Aus 1.1“↑2 Funktion ” ,

aus 1.2“dom (↑2) = A” und

aus 1.3“ran (↑2) ⊆A”

folgt via 21-1(Def):↑2 : A→A.

Analysis #317 249

Beweis 317-4 h)

1: Via des bereits bewisenen a) gilt: ↑2 = idA.·.idA.

2: Via 20-11 gilt: idAFunktion.

3: Aus AAII“MAlgebra in A” ,

aus 2“idAFunktion ” und

aus 2“idAFunktion ”

folgt via 316-2: (idA.·.id A)(x) = idA(x)·idA(x).

4: Aus 3und

aus 1

folgt: (↑2)(x) = idA(x)·idA(x).

5: Es gilt: (x∈A)∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

5.1.Fall x∈A.

6: Aus 5.1“x∈A”

folgt via 20-11:idA(x) = x.

7: Aus 6und

aus 4

folgt: (↑2)(x) = x·x.

5.2.Fall x /∈A.

6.1: Via des bereits bewiesenen e) gilt: dom (↑2) = A.

6.2: Aus 5.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-16:x·x=U.

7: Aus 5.2.Fall und

aus 6.1

folgt: x /∈dom (↑2).

8: Aus 7“x /∈dom (↑2) ”

folgt via 17-4: (↑2)(x) = U.

9: Aus 8und

aus 6.2

folgt: (↑2)(x) = x·x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (↑2)(x) = x·x.

Konsequenz: x↑2 = x·x.

250 Analysis #317

317-5. Injektivit¨

at auf Eist f¨

ur Funktionen fbesonders griffig zu beschreiben.

317-5(Satz) Unter der Voraussetzung . . .

→)fFunktion.

. . . sind die Aussagen i),ii),iii) ¨

aquivalent:

i) finjektiv auf E.

ii) ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β))) ⇒(α=β).

iii) ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(α6=β)) ⇒(f(α)6=f(β)).

Beweis 317-5 i) ⇒ii) VS gleich finjektiv auf E.

Thema1 (α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β))

2: Aus Thema1“α, β ∈E∩dom f . . . ”

folgt via 2-2: (α, β ∈E)∧(α, β ∈dom f).

3: Aus →)“fFunktion ” und

aus 2“. . . α, β ∈dom f”

folgt via 18-22: (α, f(α)),(β, f(β)) ∈f.

4: Aus Thema1“. . . f(α) = f(β) ”

folgt via PaarAxiom I: (β, f(α)) = (β, f(β)).

5: Aus 4und

aus 3“...(β, f(β)) ∈f”

folgt: (β, f(α)) ∈f.

6: Aus VS gleich “ finjektiv auf E” ,

aus 2“α, β ∈E . . . ” ,

aus 3“ (α, f(α)) ...∈f” und

aus 5“ (β, f(α)) ∈f”

folgt via 299-1(Def):α=β.

Ergo Thema1:∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β))) ⇒(α=β).

Analysis #317 251

Beweis 317-5 ii) ⇒iii)

VS gleich ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β))) ⇒(α=β).

Aus VS

folgt: ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(α6=β)) ⇒(f(α)6=f(β)).

iii) ⇒i)

VS gleich ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(α6=β)) ⇒(f(α)6=f(β)).

1: Aus VS

folgt: ∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β))) ⇒(α=β).

Thema2 (γ, δ ∈E)∧((γ, ǫ),(δ, ǫ)∈f).

3.1: Aus Thema2“...(γ, ǫ),(δ, ǫ)∈f”

folgt via 7-5:γ, δ ∈dom f.

3.2: Aus →)“fFunktion ” und

aus Thema2“...(γ, ǫ),(δ, ǫ)∈f”

folgt via 18-20: (ǫ=f(γ)) ∧(ǫ=f(δ)).

4.1: Aus Thema2“γ, δ ∈E . . . ” und

aus 3.1“γ, δ ∈dom f”

folgt via 2-2:γ, δ ∈E∩dom f.

4.2: Aus 3.2

folgt: f(γ) = f(δ).

5: Aus 4.1“γ, δ ∈E∩dom f” ,

aus 4.2“f(γ) = f(δ) ” und

aus 1“∀α, β : ((α, β ∈E∩dom f)∧(f(α) = f(β)))

⇒(α=β)”

folgt: γ=δ.

Ergo Thema2:∀γ, δ, ǫ : ((γ, δ ∈E)∧((γ, ǫ),(δ, ǫ)∈f)) ⇒(γ=δ).

Konsequenz via 299-1(Def):finjektiv auf E.

252 Analysis #317

317-6. Aus x+y= 0 oder x−y= 0 folgt x=yoder x=−y.

317-6(Satz)

a) Aus “ (x+y= 0) ∨(x−y= 0)” folgt “ (x=y)∨(x=−y)” .

b) 0∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 317-6

————————————————————————————

≤-Notation.

————————————————————————————

a) VS gleich (x+y= 0) ∨(x−y= 0).

Fallunterscheidung

0.1.Fall x+y= 0.

Aus 0.1.Fall“x+y= 0”

folgt via FS−:x=−y.

0.2.Fall x−y= 0.

Aus 0.2.Fall“x−y= 0”

folgt via 102-7:x=y.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (x=y)∨(x=−y).

1: Via ≤schola gilt: 0 ≤0.

2: Aus 1“ 0 ≤0 ”

folgt via 142-3: 0 ∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Analysis #317 253

317-7. Klassischer Weise folgt aus x↑2 = y↑2 die Alternative x=yoder

x=−y. Hier wird die Sachlage im Fall x, y ∈Tuntersucht.

317-7(Satz) Es gelte:

→)x, y ∈T.

→)x·x=y·y.

Dann folgt “ (x=y)∨(x=−y)” .

Beweis 317-7

1: Aus →)“. . . y ∈T”

folgt via 95-16: (y∈R)∨(y= +∞)∨(y=−∞)∨(y=nan).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈R.

2: Aus 1.1.Fall“y∈R” und

aus 1.1.Fall“y∈R”

folgt via ·SZ:y·y∈R.

3.1: Aus →)“x·x=y·y” und

aus 2

folgt: x·x∈R.

3.2: Aus →)“x·x=y·y” und

aus 2“y·y∈R”

folgt via 102-9:x·x−y·y= 0.

4: Aus 3.1“x·x∈R”

folgt via 127-6:x∈C.

5: Aus →)“x . . . ∈T” und

aus 4“x∈C”

folgt via ∧SZ:x∈R.

6: Aus 5“x∈R” und

aus 1.1.Fall“y∈R”

folgt via B2F:x·x−y·y= (x+y)·(x−y).

7: Aus 6und

aus 3.2

folgt: (x+y)·(x−y) = 0.

8: Aus 7“ (x+y)·(x−y) = 0 ”

folgt via NTFA: (x+y= 0) ∨(x−y= 0).

9: Aus 8“ (x+y= 0) ∨(x−y= 0) ”

folgt via 317-6: (x=y)∨(x=−y).

...

254 Analysis #317

Beweis 317-7 ...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall y= +∞.

2: y·y1.2.Fall

= (+∞)·(+∞)AAVI

= +∞.

3: Aus →)“x·x=y·y” und

aus 2“y·y=...= +∞”

folgt: x·x= +∞.

4: Aus 3“x·x= +∞”

folgt via 135-8: (x= +∞)∨(x=−∞).

5: Aus 4und

aus AAVI“−∞ =−(+∞)”

folgt: (x= +∞)∨(x=−(+∞)).

6: Aus 5und

aus 1.2.Fall

folgt: (x=y)∨(x=−y).

1.3.Fall y=−∞.

2: y·y1.3.Fall

= (−∞)·(−∞)AAVI

= +∞.

3: Aus →)“x·x=y·y” und

aus 2“y·y=...= +∞”

folgt: x·x= +∞.

4: Aus 3“x·x= +∞”

folgt via 135-8: (x= +∞)∨(x=−∞).

5: Aus 4und

aus AAVI“ +∞=−(−∞)”

folgt: (x=−(−∞)) ∨(x=−∞).

6: Aus 5und

aus 1.3.Fall

folgt: (x=−y)∨(x=y).

7: Aus 6

folgt: (x=y)∨(x=−y).

...

Analysis #317 255

Beweis 317-7 ...

Fallunterscheidung

...

1.4.Fall y=nan.

2: y·y1.4.Fall

=nan ·nan 97−5

=nan.

3: Aus →)“x·x=y·y” und

aus 2“y·y=...=nan ”

folgt: x·x=nan.

4: Aus 3“x·x=nan ” und

aus →)“x . . . ∈T”

folgt via 135-6:x=nan.

5: Aus 4und

aus 1.4.Fall

folgt: x=y.

6: Aus 5

folgt: (x=y)∨(x=−y).

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: (x=y)∨(x=−y).

256 Analysis #317

317-8. p∈ {nan}∪⌈⌊0|+∞⌉⌋ kann auf mindesten drei Arten ¨

aquivalent dargestellt

werden.

317-8(Satz) Die Aussagen i),ii),iii) sind ¨

aquivalent:

i) p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

ii) (0 ≤p)∨(p=nan).

iii) (p= 0) ∨(0 < p)∨(p=nan).

iv) (p= 0) ∨(0 < p < +∞)∨(p= +∞)∨(p=nan).

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-8 i) ⇒ii) VS gleich p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

1: Aus VS gleich “ p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 94-8: (p=nan)∨(p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋).

2: Via 142-3 gilt: (p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋)⇔(0 ≤p).

3: Aus 1und

aus 2

folgt: (p=nan)∨(0 ≤p).

4: Aus 3

folgt: (0 ≤p)∨(p=nan).

ii) ⇒iii) VS gleich (0 ≤p)∨(p=nan).

Fallunterscheidung

0.1.Fall 0≤p.

1: Aus 0.1.Fall“ 0 ≤p”

folgt via 41-5: (0 = p)∨(0 < p).

2: Aus 1

folgt: (p= 0) ∨(0 < p).

0.2.Fall p=nan.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (p= 0) ∨(0 < p)∨(p=nan).

Analysis #317 257

Beweis 317-8 iii) ⇒iv) VS gleich (p= 0) ∨(0 < p)∨(p=nan).

Fallunterscheidung

0.1.Fall p= 0.

0.2.Fall 0< p.

1: Aus 0.2.Fall“ 0 < p”

folgt via 107-9:p∈S.

2: Aus 1“p∈S”

folgt via 107-5:p≤+∞.

3: Aus 2“p≤+∞”

folgt via 41-5: (p= +∞)∨(p < +∞).

4: Aus 3

folgt: (p < +∞)∨(p= +∞).

5: Aus 0.2.Fall und

aus 4

folgt: (0 < p)∧(p < +∞)) ∨(p= +∞).

6: Aus 5

folgt: (0 < p < +∞)∨(p= +∞).

0.3.Fall p=nan.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt:

(p= 0) ∨(0 < p < +∞)∨(p= +∞)∨(p=nan).

258 Analysis #317

Beweis 317-8 iv) ⇒i)

VS gleich (p= 0) ∨(0 < p < +∞)∨(p= +∞)∨(p=nan).

Fallunterscheidung

0.1.Fall p= 0.

1: Aus 0.1.Fall“p= 0” und

aus 317-6“ 0 ∈⌈⌊0|+∞⌉⌋”

folgt: p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

2: Aus 1“p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 2-2:p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

0.2.Fall 0< p < +∞.

1: Aus 0.2.Fall“ 0 < p . . .”

folgt via 41-3: 0 ≤p.

2: Aus 1“ 0 ≤p”

folgt via 142-3:p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3: Aus 2“p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 2-2:p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

0.3.Fall p= +∞.

2: Aus 0.3.Fall“p= +∞” und

aus 297-22“ +∞ ∈ ⌈⌊0|+∞⌉⌋”

folgt: p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3: Aus 2“p∈⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 2-2:p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

0.4.Fall p=nan.

2: Aus 0.4.Fall“p=nan” und

aus 95-10“nan ∈ {nan}”

folgt: p∈ {nan}.

3: Aus 2“p∈ {nan}”

folgt via 2-2:p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Analysis #317 259

317-9. Aus p < 0 folgt p /∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

317-9(Satz)

Aus “ p < 0” folgt “ p /∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-9 VS gleich p < 0.

1: Aus VS gleich “ p < 0 ”

folgt via 107-9:p∈S.

2: Aus 1“p∈S”

folgt via 95-20:p6=nan.

3: Es gilt: (p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∨(p /∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋).

wfFallunterscheidung

3.1.Fall p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

4: Aus 3.1.Fall“p∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋”

folgt via 317-8: (0 ≤p)∨(p=nan).

5: Aus 4und

aus 2

folgt: 0 ≤p.

6: Aus 5“ 0 ≤p”

folgt via 107-13:¬(p < 0).

7: Nach VS gilt: p < 0.

Ende wfFallunterscheidung p /∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

260 Analysis #317

317-10. Aus (x=y)∨(x=−y) mit x, y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ kann auf x=y

geschlossen werden.

317-10(Satz) Es gelte:

→)x, y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

→)(x=y)∨(x=−y).

Dann folgt “ x=y” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 317-10

1: Nach →) gilt: (x=y)∨(x=−y).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x=y.

1.2.Fall x=−y.

2: Aus →)“. . . y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 317-8: ((y= 0) ∨(0 < y)∨(y=nan).

Fallunterscheidung

2.1.Fall y= 0.

3: Aus 2.1.Fall und

aus 1.2.Fall

folgt: x=−0.

4: Aus 3“x=−0 ” und

aus 98-15“−0 = 0”

folgt: x= 0.

5: Aus 4und

aus 2.1.Fall

folgt: x=y.

...

Analysis #317 261

Beweis 317-10

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x=−y.

...

Fallunterscheidung

...

2.2.Fall 0< y.

3: Aus 2.2.Fall“ 0 < y”

folgt via 109-16:−y < 0.

4: Aus 3und

aus 1.2.Fall

folgt: x < 0.

5: Aus 4“x < 0 ”

folgt via 317-9:x /∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

6: Nach →) gilt: x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

2.3.Fall y=nan.

3: x1.2.Fall

=−y2.3.Fall

=−nan AAVI

=nan 2.3.Fall

=y.

4: Aus 3

folgt: x=y.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: x=y.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x=y.

262 Analysis #317

317-11. Wenig ¨

uberraschend gilt {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T.

317-11(Satz)

{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T.

Beweis 317-11

1: Via 142-4 gilt: ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆S.

2: Aus 1“⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆S” und

aus ⊆SZ“S⊆T”

folgt via 0-6:⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T.

3: Aus 95-12“nan ∈T” und

aus 2“⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T”

folgt via 297-7:{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T.

Analysis #317 263

317-12. Aussagen 317-7 und 317-10 k¨

onnen gef¨

allig kombiniert werden.

317-12(Satz) Es gelte:

→)x, y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

→)x↑2 = y↑2.

Dann folgt “ x=y” .

Beweis 317-12

1.1: Aus →)“x↑2 = y↑2 ”

folgt via 317-4:x·x=y·y.

1.2: Aus →)“x, y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 317-11“{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T”

folgt via 0-4:x, y ∈T.

2: Aus 1.2“x, y ∈T” und

aus 1.1“x·x=y·y”

folgt via 317-7: (x=y)∨(x=−y).

3: Aus →)“x, y ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 2“ (x=y)∨(x=−y) ”

folgt via 317-10:x=y.

264 Analysis #317

317-13. Gleichsam als Aufw¨

arm¨

ubung werden zwei Eigenschaften von ↑2 be-

wiesen.

317-13(Satz)

a) (↑2)[T]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

b) ↑2injektiv auf {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Beweis 317-13

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

————————————————————————————

Thema1 α∈(↑2)[T].

2: Aus 317-4“↑2 Funktion” und

aus Thema1“α∈(↑2)[T] ”

folgt via 18-28:∃Ω : (Ω ∈T)∧(α= Ω ↑2).

3: Via 317-4 gilt: Ω ↑2 = Ω ·Ω.

4: Aus 2“. . . α = Ω ↑2 ” und

aus 3

folgt: α= Ω ·Ω.

5: aus 2“...Ω∈T...”

folgt via 95-16: (Ω ∈S)∨(Ω = nan).

Fallunterscheidung

...

Analysis #317 265

Beweis 337-13 a) ...

Thema1 α∈(↑2)[T].

...

Fallunterscheidung

5.1.Fall Ω∈S.

6: Aus 5.1.Fall“ Ω ∈S”

folgt via 127-8: 0 ≤Ω·Ω.

7: Aus 6und

aus 4

folgt: 0 ≤α.

8: Aus 7“ 0 ≤α”

folgt via 317-8:α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

5.2.Fall Ω = nan.

6: Ω·Ω5.2.Fall

=nan ·nan 97−5

=nan.

7: Aus 4und

aus 6“ Ω ·Ω = ...=nan ”

folgt: α=nan.

8: Aus 7“α=nan ”

folgt via 317-8:α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Ergo Thema1:∀α: (α∈(↑2)[T]) ⇒(α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋).

Konsequenz via 0-2(Def): (↑2)[T]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

266 Analysis #317

Beweis 317-13 b)

Thema1.1

(α, β ∈({nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∩dom (↑2)) ∧(α↑2 = β↑2).

2: Aus Thema1.1“α, β ∈({nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∩dom (↑2) ...”

folgt via 2-2:α, β ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3: Aus 2“α, β ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus Thema1“α↑2 = β↑2 ”

folgt via 317-12:α=β.

Ergo Thema1.1:

A1



“∀α, β : ((α, β ∈({nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∩dom (↑2)) ∧(α↑2 = β↑2))

⇒(α=β) ”

1.2: Aus 317-4“↑2 Funktion” und

aus A1 gleich “ ∀α, β :

((α, β ∈({nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∩dom (↑2)) ∧(α↑2 = β↑2)) ⇒(α=β)”

folgt via 317-5:↑2 injektiv auf {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Analysis #317 267

317-14. Einige Aussagen ¨

uber {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ und ↑2 sind sp¨

ater hilfreich.

317-14(Satz)

a) 0∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

b) +∞ ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

c) nan ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

d) 0↑2 = 0.

e) 1↑2 = 1.

f) (+∞)↑2 = +∞.

g) (−∞)↑2 = +∞.

h) nan ↑2 = nan.

i) (−x)↑2 = x↑2.

Beweis 317-14

————————————————————————————

RECH-Notation.

————————————————————————————

Aus “ 0 = 0”

folgt via 317-8: 0 ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Aus “ +∞= +∞”

folgt via 317-8: +∞ ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Aus “ nan =nan”

folgt via 317-8:nan ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

1: 0↑2317−4

= 0 ·0·schola

= 0.

2: Aus 1

folgt: 0 ↑2 = 0.

268 Analysis #317

Beweis 317-14 e)

1: 1↑2317−4

= 1 ·1·schola

= 1.

2: Aus 1

folgt: 1 ↑2 = 1.

1: (+∞)↑2317−4

= (+∞)·(+∞)AAVI

= +∞.

2: Aus 1

folgt: (+∞)↑2 = +∞.

1: (−∞)↑2317−4

= (−∞)·(−∞)AAVI

= +∞.

2: Aus 1

folgt: (−∞)↑2 = +∞.

1: nan ↑2317−4

=nan ·nan 97−5

=nan.

2: Aus 1

folgt: nan ↑2 = nan.

1: (−x)↑2317−4

= (−x)·(−x)FS−·

=x·x317−4

=x↑2.

2: Aus 1

folgt: (−x)↑2 = x↑2.

Analysis #317 269

317-15. In konzeptioneller N¨

ahe zu 317-8 sind zumindest vier ¨

aquivalente For-

mulierungen von a≤xverf¨

ugbar.

317-15(Satz) Die Aussagen i),ii),iii),iv),v) sind ¨

aquivalent:

i) x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

ii) a≤x.

iii) “a∈S” und “ (x=a)∨(a < x)” .

iv) “a∈S” und “ (x=a)∨(a < x < +∞)∨(x= +∞)” .

v) “a∈S” und “ (x=a)∨(a < x ∈R)∨(x= +∞).

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-15 i) ⇒ii) VS gleich x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

Aus VS gleich “ x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋ ”

folgt via 142-3:a≤x.

ii) ⇒iii) VS gleich a≤x.

1.1: Aus VS gleich “ a≤x”

folgt via 107-3:a∈S

1.2: Aus VS gleich “ a≤x”

folgt via 41-5: (a=x)∨(a < x).

2: Aus 1.2

folgt: (x=a)∨(a < x)

270 Analysis #317

Beweis 317-15 iii) ⇒iv) VS gleich (a∈S)∧((x=a)∨(a < x)).

1: Aus VS

folgt: a∈S

2: Aus VS

folgt: (x=a)∨(a < x).

Fallunterscheidung

2.1.Fall x=a.

2.2.Fall a < x.

3: Aus 2.2.Fall“a < x”

folgt via 107-9:a, x ∈S.

4: Aus 3“. . . x ∈S”

folgt via 107-5:x≤+∞.

5: Aus 4“x≤+∞”

folgt via 41-5: (x= +∞)∨(x < +∞).

6: Aus 5

folgt: (x < +∞)∨(x= +∞).

7: Aus 2.2.Fall und

aus 6

folgt: ((a < x)∧(x < +∞)) ∨(x= +∞).

8: Aus 7

folgt: (a < x < +∞)∨(x= +∞).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(x=a)∨(a < x < +∞)∨(x= +∞)

Analysis #317 271

Beweis 317-5 iv) ⇒v)

VS gleich (a∈S)∧((x=a)∨(a < x < +∞)∨(x= +∞)).

1: Aus VS

folgt: a∈S

2: Aus VS

folgt: (x=a)∨(a < x < +∞)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

2.1.Fall x=a.

2.2.Fall a < x < +∞.

3: Aus 2.2.Fall“a < x < +∞”

folgt via 107-12:x∈R.

4: Aus 2.2.Fall“a < x . . .” und

aus 3

folgt: a < x ∈R.

2.3.Fall x= +∞.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt:

(x=a)∨(a < x ∈R)∨(x= +∞)

272 Analysis #317

Beweis 317-15 v) ⇒i)

VS gleich (a∈S)∧((x=a)∨(a < x ∈R)∨(x= +∞)).

1: Aus VS

folgt: (x=a)∨(a < x ∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x=a.

2: Aus VS gleich “ a∈S...”

folgt via 107-5:a≤a.

3: Aus 2und

aus 1.1.Fall“x=a”

folgt: a≤x.

4: Aus 3“a≤x”

folgt via 142-3:x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

1.2.Fall a < x ∈R.

2: Aus 1.2.Fall“a < x . . .”

folgt via 41-3:a≤x.

3: Aus 2“a≤x”

folgt via 142-3:x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

1.3.Fall x= +∞.

2: Aus VS gleich “ a∈S...”

folgt via 107-5:a≤+∞.

3: Aus 2und

aus 1.3.Fall

folgt: a≤x.

4: Aus 3“a≤x”

folgt via 142-3:x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: x∈⌈⌊a|+∞⌉⌋.

Analysis #317 273

317-16. Die etwas holprige Bedingung “ a∈S” von 317-15 verliert sich im Fall

a= 0.

317-16(Satz) Die Aussagen i),ii),iii),iv),v) sind ¨

aquivalent:

i) x∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

ii) 0≤x.

iii) (x= 0) ∨(0 < x)” .

iv) (x= 0) ∨(0 < x < +∞)∨(x= +∞)” .

v) (x= 0) ∨(0 < x ∈R)∨(x= +∞).

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-16 i) ⇒ii) VS gleich x∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Aus VS gleich “ x∈⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 317-15: 0 ≤x.

ii) ⇒iii) VS gleich 0 ≤x.

Aus VS gleich “ 0 ≤x”

folgt via 317-15: (x= 0) ∨(0 < x).

iii) ⇒iv) VS gleich (x= 0) ∨(0 < x).

Aus ∈schola“ 0 ∈S” und

aus VS gleich “ (x= 0) ∨(0 < x) ”

folgt via 317-15: (x= 0) ∨(0 < x < +∞)∨(x= +∞).

iv) ⇒v) VS gleich (x= 0) ∨(0 < x < +∞)∨(x= +∞).

Aus ∈schola“ 0 ∈S” und

aus VS gleich “ (x= 0) ∨(0 < x < +∞)∨(x= +∞) ”

folgt via 317-15: (x= 0) ∨(0 < x ∈R)∨(x= +∞).

v) ⇒i) VS gleich (x= 0) ∨(0 < x ∈R)∨(x= +∞).

Aus ∈schola“ 0 ∈S” und

aus VS gleich “ (x= 0) ∨(0 < x ∈R)∨(x= +∞) ”

folgt via 317-15:x∈⌈⌊0|+∞⌉⌋.

274 Analysis #317

317-17. Falls n∈N, so gilt (1 : n)↑2≤1 : n.

317-17(Satz)

a) Aus “ 1≤x” folgt “ (1 : x)↑2≤1 : x” .

b) Aus “ n∈N” folgt “ (n= 0) ∨(1 ≤n)” .

c) Aus “ n∈N” folgt “ (1 : n)↑2≤1 : n” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-17 a) VS gleich 1 ≤x.

1: Aus VS gleich “ 1 ≤x”

folgt via 317-15: (x= 1) ∨(1 < x ∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x= 1.

2: (1 : x)↑21.1.Fall

= (1 : 1) ↑2:schola

= 1 ↑2317−14

= 1.

3: Aus 2“ (1 : x)↑2 = ...= 1 ” und

aus ≤schola“ 1 ≤1”

folgt: (1 : x)↑2≤1.

4: 1:schola

= 1 : 1 1.1.Fall

= 1 : x.

5: Aus 3und

aus 4“ 1 = ...= 1 : x”

folgt: (1 : x)↑2≤1 : x.

...

Analysis #317 275

Beweis 317-17 a) VS gleich 1 ≤x.

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall 1< x ∈R.

2: Aus 1.2.Fall“ 1 < x ∈R”

folgt via 148-9: 0 <1 : x < 1.

3: Aus 2“ 0 <1 : x < 1 ”

folgt via 107-12: 1 : x∈R.

4: Aus 2“...1 : x < 1”,

aus 2“ 0 <1 : x . . . ” und

aus 3“ 1 : x∈R”

folgt via 147-1: (1 : x)·(1 : x)<(1 : x)·1.

5.1: Via 317-4 gilt: (1 : x)·(1 : x) = (1 : x)↑2.

5.2: Aus 3“ 1 : x∈R”

folgt via AAV: 1 ·(1 : x) = 1 : x.

6.1: Aus 5.1 und

aus 4

folgt: (1 : x)↑2<(1 : x)·1.

6.2: Via KGM gilt: (1 : x)·1 = 1 ·(1 : x).

7: Aus 6.1,

aus 5.2 und

aus 5.2

folgt: (1 : x)↑2<1 : x.

8: Aus 7“ (1 : x)↑2<1 : x”

folgt via 41-3: (1 : x)↑2≤1 : x.

1.3.Fall x= +∞.

2: (1 : x)↑21.3.Fall

= (1 : (+∞)) ↑2123−11

= 0 ↑2317−14

= 0.

3: Aus 2“ (1 : x)↑2 = ...= 0 ” und

aus ≤schola“ 0 ≤0”

folgt: (1 : x)↑2≤0.

4: 0123−11

= 1 : (+∞)1.3.Fall

= 1 : x.

5: Aus 3und

aus 4“ 0 = ...= 1 : x”

folgt: (1 : x)↑2≤1 : x.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: (1 : x)↑2≤1 : x.

276 Analysis #317

Beweis 317-17 b) VS gleich n∈N.

1: Aus VS gleich “ n∈N”

folgt via 162-2: (n= 0) ∨(0 < n).

Fallunterscheidung

1.1.Fall n= 0.

1.2.Fall 0< n.

Aus 1.2.Fall“ 0 < n” und

aus VS gleich “ n∈N”

folgt via 300-9: 1 ≤n.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (n= 0) ∨(1 ≤n).

c) VS gleich n∈N.

1: Aus VS gleich “ n∈N”

folgt via des bereits bewiesenen b): (n= 0) ∨(1 ≤n).

Fallunterscheidung

1.1.Fall n= 0.

2: (1 : n)↑21.1.Fall

= (1 : 0) ↑2:schola

= 0 ↑2317−14

= 0.

3: Aus 2“ (1 : n)↑2 = ...= 0 ” und

aus ≤schola“ 0 ≤0”

folgt: (1 : n)↑2≤0.

4: 1 : n1.1.Fall

= 1 : 0 :schola

= 0.

5: Aus 3und

aus 4“ 1 : n=...= 0 ”

folgt: (1 : n)↑2≤1 : n.

1.2.Fall 1≤n.

Aus 1.2.Fall“ 1 ≤n”

folgt via des bereits bewiesenen a): (1 : n)↑2≤1 : n.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (1 : n)↑2≤1 : n.

Analysis #317 277

317-18. Aus x < y und z < u folgt x+z < y +u.

317-18(Satz)

a) Aus “ (x=−∞)∨(x∈R)” folgt “ x+ (−∞) = −∞” .

b) Aus “ (y∈R)∨(y= +∞)” folgt “ y+ (+∞) = +∞” .

c) Aus “ x < y” folgt “ x+ (−∞) = −∞” und “ y+ (+∞) = +∞” .

d) Aus “ (x=−∞)∨(x∈R)” und “ z∈R” folgt “ x+z < +∞” .

e) Aus “ (y∈R)∨(y= +∞)” und “ u∈R” folgt “ −∞ < y +u” .

f) Aus “ x < y” und “ z∈R” folgt “ x+z < +∞” .

g) Aus “ x < y” und “ u∈R” folgt “ −∞ < y +u” .

h) Aus “ x < y” und “ z < u” folgt “ x+z < y +u” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-18 a) VS gleich (x=−∞)∨(x∈R).

Fallunterscheidung

0.1.Fall x=−∞.

1: x+ (−∞)0.1.Fall

= (−∞) + (−∞)AAVI

=−∞.

2: Aus 1

folgt: x+ (−∞) = −∞.

0.2.Fall x∈R.

Aus 0.2.Fall“x∈R”

folgt via AAVI:x+ (−∞) = −∞.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x+ (−∞) = −∞.

278 Analysis #317

Beweis 317-18 b) VS gleich (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

0.1.Fall y∈R.

Aus 0.1.Fall“y∈R”

folgt via AAVI:y+ (+∞) = +∞.

0.2.Fall y= +∞.

1: y+ (+∞)0.2.Fall

= (+∞) + (+∞)AAVI

= +∞.

2: Aus 1

folgt: y+ (+∞) = +∞.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: y+ (+∞) = +∞.

c) VS gleich x < y.

1.1: Aus VS gleich “ x < y ”

folgt via 107-9: (x=−∞)∨(x∈R).

1.2: Aus VS gleich “ x < y ”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

2.1: Aus 1.1“ (x=−∞)∨(x∈R) ”

folgt via des bereits bewiesenen a):x+ (−∞) = −∞

2.2: Aus 1.2“ (y∈R)∨(y= +∞) ”

folgt via des bereits bewiesenen b):y+ (+∞) = +∞

Analysis #317 279

Beweis 317-18 d) VS gleich ((x=−∞)∨(x∈R)) ∧(z∈R).

1: Nach VS gilt: (x=−∞)∨(x∈R).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x=−∞.

2: Aus VS gleich “ . . . z ∈R”

folgt via AAVI: (−∞) + z=−∞.

3: Aus 2und

aus 1.1.Fall

folgt: x+z=−∞.

4: Aus 3und

aus 107-6“−∞ <+∞”

folgt: x+z < +∞.

1.2.Fall x∈R.

2: Aus 1.2.Fall“x∈R” und

aus VS gleich “ . . . z ∈R”

folgt via +SZ:x+z∈R.

3: Aus 2“x+z∈R”

folgt via 107-11:x+z < +∞.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x+z < +∞.

280 Analysis #317

Beweis 317-18 e) VS gleich ((y∈R)∨(y= +∞)) ∧(u∈R).

1: Nach VS gilt: (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈R.

2: Aus 1.1.Fall“y∈R” und

aus VS gleich “ . . . u ∈R”

folgt via +SZ:y+u∈R.

3: Aus 2“y+u∈R”

folgt via 107-10:−∞ < y +u.

1.2.Fall y= +∞.

2: Aus VS gleich “ . . . u ∈R”

folgt via AAVI: (+∞) + u= +∞.

3: Aus 2und

aus 1.2.Fall

folgt: y+u= +∞.

4: Aus 3und

aus 107-6“−∞ <+∞”

folgt: −∞ < y +u.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: −∞ < y +u.

f) VS gleich (x < y)∧(z∈R).

1: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via 107-9: (x=−∞)∨(x∈R).

2: Aus 1“ (x=−∞)∨(x∈R) ” und

aus VS gleich “ . . . z ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen d):x+z < +∞.

g) VS gleich (x < y)∧(u∈R).

1: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

2: Aus 1“ (y∈R)∨(y= +∞) ” und

aus VS gleich “ . . . u ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen e):−∞ < y +u.

Analysis #317 281

Beweis 317-18 h) VS gleich (x < y)∧(z < u).

1: Aus VS gleich “ . . . z < u ”

folgt via 107-9: ((z=−∞)∨(z∈R)) ∧((u∈R)∨(u= +∞)).

2: Aus 1

folgt: (z=−∞)∧(u∈R)

∨(z=−∞)∧(u= +∞)

∨z, u ∈R

∨(z∈R)∧(u= +∞).

Fallunterscheidung

2.1.Fall (z=−∞)∧(u∈R).

3.1: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):x+ (−∞) = −∞.

3.2: Aus VS gleich “ x < y . . . ” und

aus 2.1.Fall“. . . u ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen g):−∞ < y +u.

4: Aus 3.1 und

aus 2.1.Fall“z=−∞ ...”

folgt: x+z=−∞.

5: Aus 4und

aus 3.2

folgt: x+z < y +u.

2.2.Fall (z=−∞)∧(u= +∞).

3.1: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):x+ (−∞) = −∞.

3.2: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):y+ (+∞) = +∞.

4.1: Aus 3.1 und

aus 2.2.Fall“z=−∞ ...”

folgt: x+z=−∞.

4.2: Aus 3.2 und

aus 2.2.Fall“. . . u = +∞”

flgt: y+u= +∞.

5: Aus 4.1,

aus 4.2 und

aus 107-6“−∞ <+∞”

folgt: x+z < y +u.

...

282 Analysis #317

Beweis 317-18 h) VS gleich (x < y)∧(z < u).

...

Fallunterscheidung

...

2.3.Fall z, u ∈R.

3: Aus VS gleich “ . . . z < u ”

folgt via 41-3:z≤u.

4: Aus VS gleich “ x < y . . . ” ,

aus 3“z≤u” und

aus 2.3.Fall“z, u ∈R”

folgt via 160-6:x+z < y +u.

2.4.Fall (z∈R)∧(u= +∞).

3.1: Aus VS gleich “ x < y . . . ” und

aus 2.4.Fall“z∈R...”

folgt via des bereits bewiesenen f):x+z < +∞.

3.2: Aus VS gleich “ x < y . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen c):y+ (+∞) = +∞.

4: Aus 3.2 und

aus 2.4.Fall“. . . u = +∞”

folgt: y+u= +∞.

5: Aus 3.1 und

aus 4

folgt: x+z < y +u.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: x+z < y +u.

Analysis #317 283

317-19. Wieder kommt die Bedingung “ (xZahl) ∨(x=U)” ins Spiel.

317-19(Satz) Die Aussagen i),ii),iii) sind ¨

aquivalent:

i) x: 2 + x: 2 = x.

ii) (xZahl)∨(x=U).

iii) (x: 2 Zahl)∨(x=U).

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 317-19 i) ⇒ii) VS gleich x: 2 + x: 2 = x.

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: 2 = U.

3: x: 2 + x: 2 2

=U+x: 2 96−19

=U.

4: Aus 3“x: 2 + x: 2 = ...=U” und

aus VS

folgt: x=U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (xZahl) ∨(x=U).

284 Analysis #317

Beweis 317-19 ii) ⇒iii) VS gleich (xZahl) ∨(x=U).

Fallunterscheidung

0.1.Fall xZahl.

Aus 0.1.Fall“xZahl” und

aus ∈schola“ 2 Zahl”

folgt via 96-17:x: 2 Zahl.

0.2.Fall x=U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (x: 2 Zahl) ∨(x=U).

iii) ⇒i) VS gleich (x: 2 Zahl) ∨(x=U).

Fallunterscheidung

0.1.Fall x: 2 Zahl.

1.1: Aus 0.1.Fall“x: 2 Zahl”

folgt via 96-17:xZahl.

1.2: Aus ∈schola“ 2 ∈S”

folgt via 137-7: (x+x) : 2 = x: 2 + x: 2.

1.3: Via 205-2 gilt: x+x= 2 ·x.

2: Aus 1.2 und

aus 1.3

folgt: (2 ·x) : 2 = x: 2 + x: 2.

3: Aus 1.1“xZahl ”

folgt via 207-1: (2 ·x) : 2 = x.

4: Aus 2und

aus 3

folgt: x=x: 2 + x: 2.

5: Aus 4

folgt: x: 2 + x: 2 = x.

0.2.Fall x=U.

1: x: 2 + x: 2 0.2.Fall

=U: 2 + x: 2 96−19

=U+x: 2 96−19

=U0.2.Fall

=x.

2: Aus 1

folgt: x: 2 + x: 2 = x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x: 2 + x: 2 = x.

Analysis #317 285

317-20. F¨

ur die sich abzeichnenden Absch¨

atzungsaktionen steht das ansonsten

bemerkenswert voraussetzungsfreie Resultat “ (x, y < z : 2) ⇒(x+y < z)” zur

Verf¨

ugung.

317-20(Satz)

Aus “ x, y < z : 2” folgt “ x+y < z” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-20 VS gleich x, y < z : 2.

1.1: Aus VS gleich “ x . . . < z : 2 ” und

aus VS gleich “ . . . y < z : 2 ”

folgt via 317-18:x+y < z : 2 + z: 2.

1.2: Aus VS gleich “ . . . y < z : 2 ”

folgt via 107-9:z: 2 ∈S.

2: Aus 1.2“z: 2 ∈S”

folgt via ∈SZ:z: 2 Zahl.

3: Aus 2“z: 2 Zahl ”

folgt via 317-19:z: 2 + z: 2 = z.

4: Aus 1.1 und

aus 3

folgt: x+y < z.

286 Analysis #317

317-21. Aus x∈R(S,T,C) folgt x↑2∈R(S,T,C).

317-21(Satz)

a) Aus “ x∈R” folgt “ x↑2∈R” .

b) Aus “ x∈S” folgt “ x↑2∈S” und “ 0≤x↑2” .

c) Aus “ x∈T” folgt “ x↑2∈T” .

d) Aus “ x∈C” folgt “ x↑2∈C” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-21

————————————————————————————

RECH-Notation.

————————————————————————————

a) VS gleich x∈R.

1: Aus VS gleich “ x∈R” und

aus VS gleich “ x∈R”

folgt via ·SZ:x·x∈R.

2: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: x↑2∈R.

Analysis #317 287

Beweis 317-21 b) VS gleich x∈S.

1.1: Aus VS gleich “ x∈S” und

aus VS gleich “ x∈S”

folgt via ·SZ:x·x∈S.

1.2: Aus VS gleich “ x∈S”

folgt via 127-8: 0 ≤x·x.

2: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

3.1: Aus 1.1 und

aus 2

folgt: x↑2∈S

3.2: Aus 1.2 und

aus 2

folgt: 0≤x↑2

c) VS gleich x∈T.

1: Aus VS gleich “ x∈T” und

aus VS gleich “ x∈T”

folgt via ·SZ:x·x∈T.

2: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: x↑2∈T.

d) VS gleich x∈C.

1: Aus VS gleich “ x∈T” und

aus VS gleich “ x∈T”

folgt via ·SZ:x·x∈C.

2: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: x↑2∈C.

288 Analysis #317

317-22. Uist unvergleichbar.

317-22(Satz)

a) ¬(UM p).

b) ¬(pMU).

Beweis 317-22 a)

1: Es gilt: (UM p)∨(¬(UM p)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall UM p.

2: Aus 1.1.Fall“UM p”

folgt via 30-2:UMenge.

3: Via 0UAxiom gilt: UUnmenge.

Ende wfFallunterscheidung ¬(UM p).

1: Es gilt: (pMU)∨(¬(p M U)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall p M U.

2: Aus 1.1.Fall“pMU”

folgt via 30-2:UMenge.

3: Via 0UAxiom gilt: UUnmenge.

Ende wfFallunterscheidung ¬(p M U).

Analysis #317 289

317-23. Es gilt niemals 0 < x : 0 oder 0 <0 : xoder 0 < x ·0 oder 0 <0·x.

317-23(Satz)

a) ¬(0 < x ·0).

b) ¬(0 <0·x).

c) ¬(x·0<0).

d) ¬(0 ·x < 0).

e) ¬(0 < x : 0).

f) ¬(0 <0 : x).

g) ¬(x: 0 <0).

h) ¬(0 : x < 0).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

290 Analysis #317

Beweis 317-23 a)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSM0: x·0 = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 < x ·0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-16:x·0 = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(0 <U).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 < x ·0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 < x ·0).

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ¬(0 < x ·0).

1.2: Via KGM gilt: x·0 = 0 ·x.

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: ¬(0 <0·x).

Analysis #317 291

Beweis 317-23 c)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSM0: x·0 = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(x·0<0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-16:x·0 = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(U<0).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(x·0<0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(x·0<0).

1.1: Via des bereits bewiesenen c) gilt: ¬(x·0<0).

1.2: Via KGM gilt: x·0 = 0 ·x.

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: ¬(0 ·x < 0).

292 Analysis #317

Beweis 317-23 e)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSD0: x: 0 = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 < x : 0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: 0 = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(0 <U).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 < x : 0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 < x : 0).

Analysis #317 293

Beweis 317-23 f)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSD0: 0 : x= 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 <0 : x).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18: 0 : x=U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(0 <U).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 <0 : x).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 <0 : x).

294 Analysis #317

Beweis 317-23 g)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSD0: x: 0 = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(x: 0 <0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: 0 = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(U<0).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(x: 0 <0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(x: 0 <0).

Analysis #317 295

Beweis 317-23 h)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via FSD0: 0 : x= 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 : x < 0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18: 0 : x=U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(U<0).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 : x < 0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 : x < 0).

296 Analysis #317

317-24. Es gilt niemals 0 < x : (+∞) oder x: (+∞)<0.

317-24(Satz)

a) ¬(0 < x : (+∞)).

b) ¬(0 < x : (−∞)).

c) ¬(x: (+∞)<0).

d) ¬(x: (−∞)<0).

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-24 a)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via 137-3:x: (+∞) = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 < x : (+∞)).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: (+∞) = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(0 <U).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 < x : (+∞)).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 < x : (+∞)).

Analysis #317 297

Beweis 317-24 b)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via 137-3:x: (−∞) = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(0 < x : (−∞)).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: (−∞) = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(0 <U).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(0 < x : (−∞)).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(0 < x : (−∞)).

298 Analysis #317

Beweis 317-24 c)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via 137-3:x: (+∞) = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(x: (+∞)<0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: (+∞) = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(U<0).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(x: (+∞)<0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(x: (+∞)<0).

Analysis #317 299

Beweis 317-24 d)

1: Via 95-6 gilt: (xZahl) ∨(x /∈A).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xZahl.

2: Aus 1.1.Fall“xZahl”

folgt via 137-3:x: (−∞) = 0.

3: Via 41-5 gilt: ¬(0 <0).

4: Aus 3und

aus 2

folgt: ¬(x: (−∞)<0).

1.2.Fall x /∈A.

2: Aus 1.2.Fall“x /∈A”

folgt via 96-18:x: (−∞) = U.

3: Via 317-22 gilt: ¬(U<0).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: ¬(x: (−∞)<0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ¬(x: (−∞)<0).

300 Analysis #317

317-25 Es ist eine adaptierte Version von 131-1 f¨

ur x:yverf¨

ugbar.

317-25(Satz)

a) Aus “ x:y∈S” und “ 06=y∈R” folgt “ x∈S” .

b) Aus “ 0< x :y” und “ 06=y∈R” folgt “ x∈S” .

c) Aus “ x:y < 0” und “ 06=y∈R” folgt “ x∈S” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Analysis #317 301

Beweis 317-25 a) VS gleich (x:y∈S)∧(0 6=y∈R).

1.1: Via 136-1 gilt: x:y= (1 : y)·x.

1.2: Aus VS gleich “ ...06=y∈R”

folgt via 137-24: 0 6= 1 : y∈R.

2.1: Aus 1.1 und

aus VS gleich “ x:y∈S...”

folgt: (1 : y)·x∈S.

2.2: Aus 1.2“...1 : y∈R”

folgt via ∧SZ: 1 : y∈T.

3: Aus 2.1“ (1 : y)·x∈S” ,

aus 1.2“ 0 6= 1 : y . . . ” und

aus 2.2“ 1 : y∈T”

folgt via 131-1:x∈S.

b) VS gleich (0 < x :y)∧(0 6=y∈R).

1: Aus VS gleich “ 0 < x :y . . . ”

folgt via 107-9:x:y∈S.

2: Aus 1“x:y∈S” und

aus VS gleich “ ...06=y∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):x∈S.

c) VS gleich (x:y < 0) ∧(0 6=y∈R).

1: Aus VS gleich “ x:y < 0...”

folgt via 107-9:x:y∈S.

2: Aus 1“x:y∈S” und

aus VS gleich “ ...06=y∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):x∈S.

302 Analysis #317

317-26. Gilt 0 < x, y, so folgt 0 < x :y. Gilt 0 < x, 0 ≤yund 0 < x :y, so folgt

0< x.

317-26(Satz)

a) Aus “ 0< x, y” und “ y∈R” folgt “ 0< x :y” .

b) Aus “ 0< x :y” und “ 0≤y” folgt “ 0< x, y” und “ y∈R” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-26 a) VS gleich (0 < x, y)∧(y∈R).

1: Aus VS gleich “ 0 < . . . y . . . ” und

aus VS gleich “ . . . y ∈R”

folgt via 148-1: 0 <1 : y.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus 1“ 0 <1 : y”

folgt via FS≤ ·: 0 < x ·(1 : y).

3: Via 136-1 gilt: x:y=x·(1 : y).

4: Aus 2und

aus 3

folgt: 0 < x :y.

b) VS gleich (0 < x :y)∧(0 ≤y).

1: Aus VS gleich “ ...0≤y”

folgt via 41-5: (0 = y)∨(0 < y).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 0 = y.

2: Aus 1.1.Fall“ 0 = y”

folgt: x:y=x: 0.

3: Aus VS gleich “ 0 < . . . x :y . . . ” und

aus 2

folgt: 0 < x : 0.

4: Via 317-23 gilt: ¬(0 < x : 0).

...

Analysis #317 303

Beweis 317-26 b) VS gleich (0 < x :y)∧(0 ≤y).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall 0< y.

2.1: Aus 1.2.Fall“ 0 < y”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

2.1.1.Fall y∈R.

2.1.2.Fall y= +∞.

3: Aus 2.1.2.Fall und

aus VS gleich “ 0 < x :y . . . ”

folgt: 0 < x : (+∞).

4: Via 317-24 gilt: ¬(0 < x : (+∞)).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“y∈R”

2.2: Aus VS gleich “ 0 < x :y” und

aus 1.2.Fall“ 0 < y”

folgt via FS≤ ·: 0 <(x:y)·y.

2.3: Aus 1.2.Fall“ 0 < y”

folgt via 41-3: 0 6=y.

2.4: Aus A1 gleich “ y∈R”

folgt via ∧SZ:y∈C.

3: Aus VS gleich “ 0 < x :y . . . ” ,

aus 2.3“ 0 6=y” und

aus A1 gleich “ y∈R”

folgt via 317-25:x∈S.

4: Aus 3“x∈S”

folgt via ∧SZ:x∈C.

...

304 Analysis #317

Beweis 317-26 b) VS gleich (0 < x :y)∧(0 ≤y).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall 0< y.

...

5: Aus 4“x∈C” ,

aus 2.3“ 0 6=y” und

aus 2.4“y∈C”

folgt via 139-5: (x:y)·y=x.

6: Aus 5und

aus 2.2

folgt: 0 < x.

7: Aus 6,

aus 1.2.Fall und

aus A1

folgt: (0 < x, y)∧(y∈R).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (0 < x, y)∧(y∈R).

Analysis #317 305

317-27. Eine etwas durchsichtigere Version von 317-26 ist im Fall 0 < y ∈R

verf¨

ugbar.

317-27(Satz) Unter der Voraussetzung . . .

→)0< y ∈R.

. . . sind die Aussagen i),ii) ¨

aquivalent:

i) 0< x :y.

ii) 0< x.

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-27 i) ⇒ii) VS gleich 0 < x :y.

1: Aus →)“ 0 < y . . . ”

folgt via 41-3: 0 ≤y.

2: Aus VS gleich “ 0 < x :y” und

aus 1“ 0 ≤y”

folgt via 317-26: 0 < x.

ii) ⇒i) VS gleich 0 < x.

Aus VS gleich “ 0 < x ” ,

aus →)“ 0 < y . . . ” und

aus →)“. . . y ∈R”

folgt via 317-26: 0 < x :y.

306 Analysis #317

317-28 Prominenter Weise gilt 0 <1,...,ten ∈R. Damit ist 317-27 anwendbar.

317-28(Satz)

a) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 1”

b) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 2”

c) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 3”

d) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 4”

e) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 5”

f) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 6”

g) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 7”

h) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 8”

i) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x : 9”

j) “0< x” genau dann, wenn “ 0< x :ten”

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-28 a)

Aus <schola“ 0 <1” und

aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 1).

Aus <schola“ 0 <2” und

aus ∈schola“ 2 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 2).

Aus <schola“ 0 <3” und

aus ∈schola“ 3 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 3).

Aus <schola“ 0 <4” und

aus ∈schola“ 4 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 4).

Analysis #317 307

Beweis 317-28 e)

Aus <schola“ 0 <5” und

aus ∈schola“ 5 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 5).

Aus <schola“ 0 <6” und

aus ∈schola“ 6 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 6).

Aus <schola“ 0 <7” und

aus ∈schola“ 7 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 7).

Aus <schola“ 0 <8” und

aus ∈schola“ 8 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 8).

Aus <schola“ 0 <9” und

aus ∈schola“ 9 ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x : 9).

Aus <schola“ 0 <ten” und

aus ∈schola“ten ∈R”

folgt via 317-27: (0 < x)⇔(0 < x :ten).

308 Analysis #317

317-29. Von 148-3 ist eine “ Reziproks-Version” verf¨

ugbar.

317-29(Satz)

a) Aus “ 0<1 : x < y ∈R” folgt “ 0<1 : y < x ∈R” .

b) Aus “ 0< x < 1 : y” folgt “ 0< y < 1 : x∈R” und “ x, y ∈R” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-29 a) VS gleich 0 <1 : x < y ∈R.

1.1: Aus VS gleich “ 0 <1 : x < y ∈R”

folgt via 148-3: 0 <1 : y < 1 : (1 : x)∈R.

1.2: Aus VS gleich “ 0 <1 : x < y . . . ”

folgt via 148-1:x∈R.

1.3: Aus VS gleich “ 0 <1 : x < y . . . ”

folgt via 107-12: 1 : x∈R.

2: Aus VS gleich “ 0 <1 : x . . . ” und

aus 1.3“ 1 : x∈R”

folgt via 148-1:x∈R.

3: Aus 2“x∈R”

folgt via ∧SZ:x∈C.

4: Aus 3“x∈C”

folgt via 141-1: 1 : (1 : x) = x.

5: Aus 1.1 und

aus 4

folgt: 0 <1 : y < x ∈R.

Analysis #317 309

Beweis 317-29 b) VS gleich 0 < x < 1 : y.

1.1: Aus VS gleich “ 0 < x < 1 : y”

folgt via 107-12:x∈R

1.2: Aus VS gleich “ 0 < x < 1 : y”

folgt via 107-8: 0 <1 : y.

2.1: Aus 1.2“ 0 <1 : y”

folgt via 148-1: 0 <1 : y∈R.

2.2: Aus 1.2“ 0 <1 : y”

folgt via 148-1:y∈R

3.1: Aus VS gleich “ 0 < x < 1 : y” und

aus 2“...1 : y∈R”

folgt via 148-3: 0 <1 : (1 : y)<1 : x∈R.

3.2: Aus 2.2“y∈R”

folgt via ∧SZ:y∈C.

4: Aus 3.2“y∈C”

folgt via 141-1: 1 : (1 : y) = y.

5: Aus 3.1 und

aus 4

folgt: 0< y < 1 : x∈R

310 Analysis #317

317-30. Da gem¨

aß Archimedes III jede reelle Zahl durch eine nat¨

urliche Zahl

ubertroffen werden kann ist es nicht allzu verwunderlich, dass jede positive reelle

Zahl durch den Reziprokwert einer nat¨

urlichen Zahl≥1 untertroffen werden kann.

317-30(Satz)

a) Aus “ 0< x ∈R” folgt “ ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x)” .

b) Aus “ 0< x” folgt “ ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-30 a) VS gleich 0 < x ∈R.

1: Aus VS gleich “ 0 < x ∈R”

folgt via 148-1: 0 <1 : x∈R.

2: Aus 1“...1 : x∈R”

folgt via Archimedes III:∃Ω : (Ω ∈N)∧(1 : x < Ω).

3.1: Aus 2“...Ω∈N...”

folgt via 159-11: Ω ∈R.

3.2: Aus 1“ 0 <1 : x . . . ” und

aus 2“...1 : x < Ω ”

folgt via 107-8: 0 <Ω.

4.1: Aus 1“ 0 <1 : x . . . ” ,

aus 2“...1 : x < Ω ” und

aus 3.1“ Ω ∈R”

folgt via 317-29: 0 <1 : Ω < x.

4.2: Aus 3.2“ 0 <Ω ” und

aus 2“...Ω∈N...”

folgt via 300-9: 1 ≤Ω∈N.

5: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 4.2“ 1 ≤Ω∈N” und

aus 4.1“ 0 <1 : Ω < x ”

folgt: ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x).

Analysis #317 311

Beweis 317-30 b) VS gleich 0 < x.

1: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 107-9: (x∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x∈R.

Aus VS gleich “ 0 < x ” und

aus 1.1.Fall“x∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x).

1.2.Fall x= +∞.

2: Aus <schola“ 0 <1” und

aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω <1).

3: Aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via 107-11: 1 <+∞.

4: Aus 3und

aus 1.2.Fall

folgt: 1 < x.

5: Aus 2“...1 : Ω <1 ” und

aus 4“ 1 < x ”

folgt via 107-8: 1 : Ω < x.

6: Aus 2“∃Ω : (1 ≤Ω∈N)...” ,

aus 2“...0<1 : Ω ...” und

aus 5“ 1 : Ω < x ”

folgt: ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x).

312 Analysis #317

317-31. Das ≤Maximum von {p, q}mit p, q ∈Shat einige im Folgenden gut

verwendbare Eigenschaften.

317-31(Satz) Es gelte:

→)p, q ∈S.

Dann folgt:

a) (≤

max {p, q}=p)∨(≤

max {p, q}=q).

b) ≤

max {p, q} ∈ S.

c) p, q ≤≤

max {p, q}.

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-31

1.1: Aus →)“p, q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}.

1.2: Aus →)“p, q ∈S”

folgt via ElementAxiom:p, q Menge.

2.1: Aus 1.1“≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

folgt via 38-1(Def):≤

max {p, q} ∈ {p, q}.

2.2: Aus 1.2“p, q Menge ”

folgt via 4-9:p, q ∈ {p, q}.

3.a): Aus 2“≤

max {p, q} ∈ {p, q}”

folgt via 4-9: ( ≤

max {p, q}=p)∨(≤

max {p, q}=q).

3.b): Aus 1.1“≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

folgt via 157-3:≤

max {p, q} ∈ S.

3.c): Aus 1.1“≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}” und

aus 2.2“p, q ∈ {p, q}”

folgt via 38-7:p, q ≤≤

max {p, q}.

Analysis #317 313

317-32. ≤Schranken von p, q vererben sich auf ≤

max {p, q}.

317-32(Satz)

a) Aus “ x≤p” und “ q∈S”

folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x≤≤

max {p, q}” .

b) Aus “ p∈S” und “ x≤q”

folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x≤≤

max {p, q}” .

c) Aus “ x≤p, q” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x≤≤

max {p, q}” .

d) Aus “ p, q ≤x” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ≤ x” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-32 a) VS gleich (x≤p)∧(q∈S).

1: Aus VS gleich “ x≤p”

folgt via 107-3:p∈S.

2.1: Aus 1“p∈S” und

aus VS gleich “ . . . q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}

2.2: Aus 1“p∈S” und

aus VS gleich “ . . . q ∈S”

folgt via 317-31:p≤≤

max {p, q}.

3: Aus VS gleich “ x≤p . . . ” und

aus 2“p≤≤

max {p, q}”

folgt via 107-8:x≤≤

max {p, q}

314 Analysis #317

Beweis 317-32 b) VS gleich (p∈S)∧(x≤q).

1: Aus VS gleich “ . . . x ≤q” und

aus VS gleich “ p∈S...”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {q, p}ist ≤Maximum von {q, p})∧(x≤≤

max {q, p}).

2: Via 4-11 gilt: {q, p}={p, q}.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ( ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(x≤≤

max {p, q}).

c) VS gleich x≤p, q.

1: Aus VS gleich “ x≤. . . q ”

folgt via 107-3:q∈S.

2: Aus VS gleich “ x≤p . . . ” und

aus 1“q∈S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(x≤≤

max {p, q}).

Analysis #317 315

Beweis 317-32 d) VS gleich p, q ≤x.

1: Aus VS gleich “ p, q ≤x”

folgt via 107-3:p, q ∈S.

2.1: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}

2.2: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 317-31: ( ≤

max {p, q}=p)∨(≤

max {p, q}=q).

Fallunterscheidung

2.2.1.Fall ≤

max {p, q}=p.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=p” und

aus VS gleich “ p . . . ≤x”

folgt: ≤

max {p, q} ≤ x.

2.2.2.Fall ≤

max {p, q}=q.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=q” und

aus VS gleich “ . . . q ≤x”

folgt: ≤

max {p, q} ≤ x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ≤

max {p, q} ≤ x

316 Analysis #317

317-33. Auch “ echte” ≤Schranken von p, q vererben sich auf ≤

max {p, q}.

317-33(Satz)

a) Aus “ x < p” und “ q∈S”

folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x < ≤

max {p, q}” .

b) Aus “ p∈S” und “ x < q”

folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x < ≤

max {p, q}” .

c) Aus “ x < p, q” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ x < ≤

max {p, q}” .

d) Aus “ p, q < x” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q}< x” .

————————————————————————————

<-Notation.

Beweis 317-33 a) VS gleich (x < p)∧(q∈S).

1: Aus VS gleich “ x < p ”

folgt via 107-9:p∈S.

2.1: Aus 1“p∈S” und

aus VS gleich “ . . . q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}

2.2: Aus 1“p∈S” und

aus VS gleich “ . . . q ∈S”

folgt via 317-31:p≤≤

max {p, q}.

3: Aus VS gleich “ x < p . . . ” und

aus 2“p≤≤

max {p, q}”

folgt via 107-8:x < ≤

max {p, q}

Analysis #317 317

Beweis 317-33 b) VS gleich (p∈S)∧(x < q).

1: Aus VS gleich “ . . . x < q ” und

aus VS gleich “ p∈S...”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {q, p}ist ≤Maximum von {q, p})∧(x < ≤

max {q, p}).

2: Via 4-11 gilt: {q, p}={p, q}.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: ( ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(x < ≤

max {p, q}).

c) VS gleich x < p, q.

1: Aus VS gleich “ x < . . . q ”

folgt via 107-9:q∈S.

2: Aus VS gleich “ x < p . . . ” und

aus 1“q∈S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(x < ≤

max {p, q}).

318 Analysis #317

Beweis 317-33 d) VS gleich p, q < x.

1: Aus VS gleich “ p, q < x ”

folgt via 107-9:p, q ∈S.

2.1: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}

2.2: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 317-31: ( ≤

max {p, q}=p)∨(≤

max {p, q}=q).

Fallunterscheidung

2.2.1.Fall ≤

max {p, q}=p.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=p” und

aus VS gleich “ p . . . < x ”

folgt: ≤

max {p, q}< x.

2.2.2.Fall ≤

max {p, q}=q.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=q” und

aus VS gleich “ . . . q < x ”

folgt: ≤

max {p, q}< x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ≤

max {p, q}< x

Analysis #317 319

317-34. Sind p, q Elemente von E⊆S, so ist ≤

max {p, q}das ≤Maximum von

{p, q}und es gilt ≤

max {p, q} ∈ E. Die Spezialf¨

alle E=R,Q,Z,Nsind gelegentlich

von besonderem Interesse.

317-34(Satz)

a) Aus “ p, q ∈E⊆S” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ∈ E” .

b) Aus “ p, q ∈R” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ∈ R” .

c) Aus “ p, q ∈Q” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ∈ Q” .

d) Aus “ p, q ∈Z” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ∈ Z” .

e) Aus “ p, q ∈N” folgt “ ≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}”

und “ ≤

max {p, q} ∈ N” .

320 Analysis #317

Beweis 317-34 a) VS gleich p, q ∈E⊆S.

1: Aus VS gleich “ p, q ∈E . . . ” und

aus VS gleich “ . . . E ⊆S”

folgt via 0-4:p, q ∈S.

2.1: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 191-3:≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q}

2.2: Aus 1“p, q ∈S”

folgt via 317-31: ( ≤

max {p, q}=p)∨(≤

max {p, q}=q).

Fallunterscheidung

2.2.1.Fall ≤

max {p, q}=p.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=p” und

aus VS gleich “ p . . . ∈E”

folgt: ≤

max {p, q} ∈ E.

2.2.2.Fall ≤

max {p, q}=q.

Aus 2.2.1.Fall“≤

max {p, q}=q” und

aus VS gleich “ . . . q ∈E”

folgt: ≤

max {p, q} ∈ E.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ≤

max {p, q} ∈ E

b) VS gleich p, q ∈R.

Aus VS gleich “ p, q ∈R” und

aus ⊆SZ“R⊆S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(≤

max {p, q} ∈ R).

c) VS gleich p, q ∈Q.

Aus VS gleich “ p, q ∈Q” und

aus 198-6“Q⊆S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(≤

max {p, q} ∈ Q).

Analysis #317 321

Beweis 317-34 d) VS gleich p, q ∈Z.

Aus VS gleich “ p, q ∈Z” und

aus 164-4“Z⊆S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(≤

max {p, q} ∈ Z).

e) VS gleich p, q ∈N.

Aus VS gleich “ p, q ∈N” und

aus 159-10“N⊆S”

folgt via des bereits bewiesenen a):

(≤

max {p, q}ist ≤Maximum von {p, q})∧(≤

max {p, q} ∈ N).

322 Analysis #317

317-35. Von 148-5 ist eine “ ≤-Version” verf¨

ugbar.

317-35(Satz) Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) 0< x ≤y∈R.

ii) 0<1 : y≤1 : x.

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-35 i) ⇒ii) VS gleich 0 < x ≤y∈R.

1: Aus VS gleich “ . . . x ≤y . . . ”

folgt via 41-5: (x < y)∨(x=y).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x < y.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus 1.1.Fall“x < y” und

aus VS gleich “ . . . y ∈R”

folgt via 148-5: 0 <1 : y < 1 : x.

3: Aus 2“...1 : y < 1 : x”

folgt via 41-3: 1 : y≤1 : x.

4: Aus 2“ 0 <1 : y . . . ” und

aus 3

folgt: 0 <1 : y≤1 : x.

...

Analysis #317 323

Beweis 317-35 i) ⇒ii) VS gleich 0 < x ≤y∈R.

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x=y.

2.1: Aus 1.2.Fall und

aus VS gleich “ . . . y ∈R”

folgt: x∈R.

2.2: Aus 1.2.Fall“x=y”

folgt: 1 : x= 1 : y.

2.3: Aus VS gleich “ . . . y ∈R”

folgt via 137-25: 1 : y∈R.

2.4: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus 1.2.Fall

folgt: 0 < y.

3.1: Aus 2.4“ 0 < y ” und

aus VS gleich “ . . . y ∈R”

folgt via 148-1: 0 <1 : y.

3.2: Aus 2.3“ 1 : y∈R”

folgt via ∧SZ: 1 : y∈S.

4: Aus 3.2“ 1 : y∈S”

folgt via 107-5: 1 : y≤1 : y.

5: Aus 2.2 und

aus 4

folgt: 1 : y≤1 : x.

6: Aus 3.1 und

aus 5

folgt: 0 <1 : y≤1 : x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 <1 : y≤1 : x.

324 Analysis #317

Beweis 317-35 ii) ⇒i) VS gleich 0 <1 : y≤1 : x.

1: Aus VS gleich “ ...1 : y≤1 : x”

folgt via 41-5: (1 : y < 1 : x)∨(1 : y= 1 : x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 1 : y < 1 : x.

2: Aus VS gleich “ 0 <1 : y . . . ” und

aus 1.1.Fall“ 1 : y < 1 : x”

folgt via 148-5: 0 < x < y ∈R.

3: Aus 2“. . . x < y . . . ”

folgt via 41-3:x≤y.

4: Aus 2“ 0 < x . . . ” ,

aus 3und

aus 2“. . . y ∈R”

folgt: 0 < x ≤y∈R.

...

Analysis #317 325

Beweis 317-35 ii) ⇒i) VS gleich 0 <1 : y≤1 : x.

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall 1 : y= 1 : x.

2.1: Aus VS gleich “ 0 <1 : y . . . ”

folgt via 148-1: 0 < y ∈R.

2.2: Aus 1.2.Fall und

aus VS gleich “ 0 <1 : y . . . ”

folgt: 0 <1 : x.

3.1: Aus 2.1“. . . y ∈R”

folgt via ∧SZ:y∈S.

3.2: Aus 2.1“. . . y ∈R”

folgt via ∧SZ:y∈C.

3.3: Aus 2.2“ 0 <1 : x”

folgt via 148-1: 0 < x ∈R.

4.1: Aus 3.1“y∈S”

folgt via 107-5:y≤y.

4.2: Aus 3.3“. . . x ∈R”

folgt via ∧SZ:x∈C.

5: Aus 1.2.Fall“ 1 : y= 1 : x” ,

aus 3.2“y∈C” und

aus 4.2“x∈C”

folgt via 141-3:y=x.

6: Aus 4.1 und

aus 5

folgt: x≤y.

7: Aus 3.3“ 0 < x . . . ” ,

aus 6“x≤y” und

aus 2.1“. . . y ∈R”

folgt: 0 < x ≤y∈R.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 < x ≤y∈R.

326 Analysis #317

317-36. Aus dem ≤Maximum zweier positiver reeller Zahlen kann ohne Wei-

teres eine positive untere Schranke der Reziprokwerte dieser Zahlen gewonnen

werden.

317-36(Satz)

Aus “ 0< p, q ∈R” folgt “ 0<1 : ≤

max {p, q} ≤ 1 : p”

und “ 0<1 : ≤

max {p, q} ≤ 1 : q”

und “ 1 : ≤

max {p, q} ∈ R” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Analysis #317 327

Beweis 317-36 VS gleich 0 < p, q ∈R.

1.1: Aus VS gleich “ 0 < p, q . . . ”

folgt via 317-33: 0 <≤

max {p, q}.

1.2: Aus VS gleich “ . . . p, q ∈R”

folgt via 317-34:≤

max {p, q} ∈ R.

1.3: Aus VS gleich “ . . . p, q ∈R” und

aus ⊆SZ“R⊆S”

folgt via 0-4:p, q ∈S.

2.1: Aus 1.2“≤

max {p, q} ∈ R”

folgt via 137-25: 1 : ≤

max {p, q} ∈ R

2.2: Aus 1.3“p, q ∈S”

folgt via 317-31:p, q ≤≤

max {p, q}.

3.1: Aus VS gleich “ 0 < p . . . ” ,

aus 2.2“p . . . ≤≤

max {p, q}” und

aus 1.2“≤

max {p, q} ∈ R”

folgt via 317-35:0<1 : ≤

max {p, q} ≤ 1 : p

3.2: Aus VS gleich “ 0 < . . . q . . . ” ,

aus 2.2“. . . q ≤≤

max {p, q}” und

aus 1.2“≤

max {p, q} ∈ R”

folgt via 317-35:0<1 : ≤

max {p, q} ≤ 1 : q

328 Analysis #317

317-37. ↑2 ist auf ⌈⌊0|+∞⌉⌋ streng wachsend.

317-37(Satz)

a) Aus “ 0< x < y” folgt “ 0< x ↑2< y ↑2” .

b) Aus “ 0< x ≤y” folgt “ 0< x ↑2≤y↑2” .

c) Aus “ 0≤x < y” folgt “ 0≤x↑2< y ↑2” .

d) Aus “ 0≤x≤y” folgt “ 0≤x↑2≤y↑2” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-37

————————————————————————————

RECH-Notation.

————————————————————————————

a) VS gleich 0 < x < y.

1.1: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 41-3: 0 6=x.

1.2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 107-9:x∈S.

1.3: Aus VS gleich “ 0 < x < y ”

folgt via 107-12:x∈R.

1.4: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus VS gleich “ . . . x < y ”

folgt via 107-8: 0 < y.

...

Analysis #317 329

Beweis 317-37 a) VS gleich 0 < x < y.

...

2.1: Aus VS gleich “ . . . x < y ” ,

aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus 1.3“x∈R”

folgt via 147-1:x·x < x ·y.

2.2: Aus VS gleich “ . . . x < y ” und

aus 1.4“ 0 < y ”

folgt via 147-1:y·x≤y·y.

2.3: Aus 1.1“ 0 6=x” und

aus 1.2“x∈S”

folgt via 127-10: 0 < x ·x.

3: Via KGM gilt: x·y=y·x.

4: Aus 3und

aus 2.2

folgt: x·y≤y·y.

5: aus 2.1“x·x < x ·y” und

aus 4“x·y≤y·y”

folgt via 107-8:x·x < y ·y.

6: Aus 2.3 und

aus 5

folgt: 0 < x ·x < y ·y.

7.1: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

7.2: Via 317-4 gilt: y↑2 = y·y.

8: Aus 6,

aus 7.1 und

aus 7.2

folgt: 0 < x ↑2< y ↑2.

330 Analysis #317

Beweis 317-37 b) VS gleich 0 < x ≤y.

1: Aus VS gleich “ . . . x ≤y”

folgt via 41-5: (x < y)∨(x=y).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x < y.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus 1.1.Fall“x < y”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < x ↑2< y ↑2.

3: Aus 2“x↑2< y ↑2 ”

folgt via 41-3:x↑2≤y↑2.

4: Aus 2“ 0 < x ↑2...” und

aus 3

folgt: 0 < x ↑2≤y↑2.

1.2.Fall x=y.

2.1: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 41-3: 0 6=x.

2.2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 107-9:x∈S.

2.3: Aus 1.2.Fall

folgt: x·x=y·y.

3: Aus 2.1“ 0 6=x” und

aus 2.2“x∈S”

folgt via 127-10: 0 < x ·x.

4: Aus 3“ 0 < x ·x”

folgt via 107-9:x·x≤x·x.

5: Aus 4und

aus 2.3

folgt: x·x≤y·y.

6: Aus 3und

aus 5

folgt: 0 < x ·x≤y·y.

7.1: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

7.2: Via 317-4 gilt: y↑2 = y·y.

8: Aus 6,

aus 7.1 und

aus 7.2

folgt: 0 < x ↑2≤y↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 < x ↑2≤y↑2.

Analysis #317 331

Beweis 317-37 c) VS gleich 0 ≤x < y.

1: Aus VS gleich “ 0 ≤x . . . ”

folgt via 41-5: (0 < x)∨(0 = x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 0< x.

2: Aus 1.1.Fall“ 0 < x und

aus VS gleich “ . . . x < y ”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < x ↑2< y ↑2.

3: Aus 2“ 0 < x ↑2...”

folgt via 41-3: 0 ≤x↑2.

4: Aus 3

aus 2“. . . x ↑2< y ↑2 ”

folgt: 0 ≤x↑2< y ↑2.

...

332 Analysis #317

Beweis 317-37 c) VS gleich 0 ≤x < y.

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall 0 = x.

2.1: Aus 1.2.Fall und

aus VS gleich “ . . . x < y ”

folgt: 0 < y.

2.2: Aus ≤schola“ 0 ≤0” und

aus 317-14“ 0 ↑2 = 0”

folgt: 0 ≤0↑2.

2.3: Aus 317-14“ 0 ↑2 = 0” und

aus 1.2.Fall

folgt: x↑2 = 0.

3.1: Aus 2.1“ 0 < y ”

folgt via 41-3: 0 6=y.

3.2: Aus 2.1“ 0 < y ”

folgt via 107-9:y∈S.

4.1: Aus 2.2 und

aus 1.2.Fall

folgt: 0 ≤x↑2.

4.2: Aus 3.1“ 0 6=y” und

aus 3.2“y∈S”

folgt via 127-10: 0 < y ·y.

5: Via 317-4 gilt: y↑2 = y·y.

6: Aus 5und

aus 4.2

folgt: 0 < y ↑2.

7: Aus 2.3 und

aus 6

folgt: x↑2< y ↑2.

8: Aus 4.1 und

aus 7

folgt: 0 ≤x↑2< y ↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 ≤x↑2< y ↑2.

Analysis #317 333

Beweis 317-37 d) VS gleich 0 ≤x≤y.

1.1: Aus VS gleich “ 0 ≤x . . . ”

folgt via 41-5: (0 < x)∨(0 = x).

1.2: Aus VS gleich “ . . . x ≤y”

folgt via 41-5: (x < y)∨(x=y).

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: (0 < x)∧(x < y)

∨(0 < x)∧(x=y)

∨(0 = x)∧(x < y)

∨(0 = x)∧(x=y).

Fallunterscheidung

2.1.Fall (0 < x)∧(x < y).

3: Aus 2.1.Fall“ (0 < x)∧(x < y)”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < x ↑2< y ↑2.

4: Aus 3“ 0 < x ↑2< y ↑2 ”

folgt via 41-3: 0 ≤x↑2≤y↑2.

2.2.Fall (0 < x)∧(x=y).

3: Aus 2.2.Fall“ 0 < x . . .”

folgt via 107-9:x≤x.

4: Aus 3und

aus 2.2.Fall“. . . x =y”

folgt: x≤y.

5: Aus 2.2.Fall“ 0 < x . . .” und

aus 4“x≤y”

folgt via des bereits bewiesenen b): 0 < x ↑2≤y↑2.

6: Aus 5“ 0 < x ↑2≤y↑2 ”

folgt via 41-3: 0 ≤x↑2≤y↑2.

...

334 Analysis #317

Beweis 317-37 d) VS gleich 0 ≤x≤y.

...

Fallunterscheidung

...

2.3.Fall (0 = x)∧(x < y).

3: Aus 2.3.Fall“. . . x < y”

folgt via 107-9:x≤x.

4: Aus 2.3.Fall“ 0 = x . . .” und

aus 3

folgt: 0 ≤x.

5: Aus 4“ 0 ≤x” und

aus 2.3.Fall“. . . x < y”

folgt via des bereits bewiesenen c): 0 ≤x↑2< y ↑2.

6: Aus 5“ 0 ≤x↑2< y ↑2 ”

folgt via 41-3: 0 ≤x↑2≤y↑2.

...

Analysis #317 335

Beweis 317-37 d) VS gleich 0 ≤x≤y.

...

Fallunterscheidung

...

2.4.Fall (0 = x)∧(x=y).

3.1: Aus ≤schola“ 0 ≤0” und

aus ·schola“ 0 ·0 = 0”

folgt: 0 ≤0·0.

3.2: Aus ≤schola“ 0 ≤0” und

aus ·schola“ 0 ·0 = 0”

folgt: 0 ·0≤0·0.

4.1: Aus 3.1 und

aus 2.4.Fall“ 0 = x . . .”

folgt: 0 ≤x·x.

4.2: Aus 3.2 und

aus 2.4.Fall“ 0 = x . . .”

folgt: x·x≤x·x.

5: Aus 4.2 und

aus 2.4.Fall“. . . x =y”

folgt: x·x≤y·y.

6: Aus 4.1 und

aus 5

folgt: 0 ≤x·x≤y·y.

7.1: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

7.2: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

8: Aus 6,

aus 7.1 und

aus 7.2

folgt: 0 ≤x↑2≤y↑2.

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: 0 ≤x↑2≤y↑2.

336 Analysis #317

317-38. Falls 0 < x ∈R, so folgt aus z < y :xdie - erwartete - Aussage x·z < y.

317-38(Satz)

Aus “ 0< x ∈R” und “ z < y :x” folgt “ x·z < y” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-38 VS gleich (0 < x ∈R)∧(z < y :x).

1.1: Aus VS gleich “ . . . z < y :x” und

aus VS gleich “ 0 < x ∈R...”

folgt via 147-1:x·z < x ·(y:x).

1.2: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...”

folgt via ∧SZ:x∈C.

1.3: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 41-3: 0 6=x.

1.4: Aus VS gleich “ . . . z < y :x”

folgt via 107-9:y:x∈S.

2: Aus 1.4“y:x∈S” ,

aus 1.3“ 0 6=x” und

aus VS gleich “ . . . x ∈R...”

folgt via 317-25:y∈S.

3: Aus 2“y∈S”

folgt via ∧SZ:y∈C.

4: Aus 3“y∈C” ,

aus 1.3“ 0 6=x” und

aus 1.2“x∈C”

folgt via 139-5:x·(y:x) = y.

5: Aus 1.1 und

aus 5

folgt: x·z < y.

Analysis #317 337

317-39. Ist 0 < x, so kann Ω ↑2+2·(x·Ω) f¨

ur Ω ∈Rkleiner als eine vorgegebene,

positive Schranke gemacht werden und bleibt dabei positiv.

317-39(Satz)

a) Aus “ 0< x, y ∈R”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y)” .

b) Aus “ 0< x, y” und “ x∈R”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-39 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

1.1: Aus VS gleich “ 0 < . . . y . . . ”

folgt via 317-28: 0 < y : 2.

1.2: Aus VS gleich “ . . . y ∈R” und

aus ∈schola“ 2 ∈R”

folgt via :SZ:y: 2 ∈R.

1.3: Aus <schola“ 0 <2” und

aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via FS≤ ·: 0 <2·x.

1.4: Aus ∈schola“ 2 ∈R” und

aus VS gleich “ ...x...∈R”

folgt via ·SZ: 2 ·x∈R.

2.1: Aus 1.1“ 0 < y : 2 ” und

aus 1.2“y: 2 ∈R”

folgt via 317-30:∃Φ : (1 ≤Φ∈N)∧(0 <1 : Φ < y : 2).

2.2: Aus 1.2“y: 2 ∈R” und

aus 1.4“ 2 ·x∈R”

folgt via :SZ: (y: 2) : (2 ·x)∈R.

2.3: Aus 1.3“ 0 <2·x” ,

aus 1.4“ 2 ·x∈R” und

aus 1.1“ 0 < y : 2 ”

folgt via 317-27: 0 <(y: 2) : (2 ·x).

...

338 Analysis #317

Beweis 317-39 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

...

3.1: Aus 2.3“ 0 <(y: 2) : (2 ·x) ” und

aus 2.2“ (y: 2) : (2 ·x)∈R”

folgt via 317-30:

∃Ψ : (1 ≤Ψ∈N)∧(0 <1 : Ψ <(y: 2) : (2 ·x)).

3.2: Aus 2.1“...Φ∈N...”

folgt via 317-17: (1 : Φ) ↑2≤1 : Φ.

4.1: Aus 2.1“...1≤Φ∈N...”

folgt via 300-9: 0 <Φ∈N.

4.2: Aus 2.1“...Φ∈N...”

folgt via 159-11: Φ ∈R.

4.3: Aus 3.1“...1≤Ψ∈N...”

folgt via 300-9: 0 <Ψ∈N.

4.4: Aus 3.1“...Ψ∈N...”

folgt via 159-11: Ψ ∈R.

4.5: Aus 3.2“ (1 : Φ) ↑2≤1 : Φ ” und

aus 2.1“...1 : Φ < y : 2 ”

folgt via 107-8: (1 : Φ) ↑2< y : 2.

5: Aus 4.1“ 0 <Φ...” ,

aus 4.3“ 0 <Ψ...” ,

aus 4.2“ Φ ∈R” und

aus 4.4“ Ψ ∈R”

folgt via 317-36:

(0 <1 : ≤

max {Φ,Ψ} ≤ 1 : Φ,1 : Ψ) ∧(1 : ≤

max {Φ,Ψ} ∈ R).

6: Aus 2.1 und

aus 3.1

folgt: ∃Ω : Ω = 1 : ≤

max {Φ,Ψ}.

7: Aus 6“...Ω = 1 : ≤

max {Φ,Ψ}” und

aus 5

folgt: (0 <Ω≤1 : Φ,1 : Ψ) ∧(Ω ∈R).

...

Analysis #317 339

Beweis 317-39 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

...

8.1: Aus 7“ 0 <Ω≤1 : Φ ...”

folgt via 317-37: 0 <Ω↑2≤(1 : Φ) ↑2.

8.2: Aus 7“...Ω≤...1 : Ψ ...” und

aus 3.1“...1 : Ψ <(y: 2) : (2 ·x) ”

folgt via 107-8: Ω <(y: 2) : (2 ·x).

9.1: Aus 8.1“ 0 <Ω↑2≤(1 : Φ) ↑2 ” und

aus 4.5“ (1 : Φ) ↑2< y : 2 ”

folgt via 107-8: 0 <Ω↑2< y : 2.

9.2: Aus 1.3“ 0 <2·x” ,

aus 1.4“ 2 ·x∈R” und

aus 8.2“ Ω <(y: 2) : (2 ·x) ”

folgt via 317-38: (2 ·x)·Ω< y : 2.

10: Aus 9.1“...Ω↑2< y : 2 ” und

aus 9.2“ (2 ·x)·Ω< y : 2 ”

folgt via 317-20: Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y.

11: Aus 6“∃Ω...” ,

aus 7“ 0 <Ω...” ,

aus 7“...Ω∈R” und

aus 10“ Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y ”

folgt: ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

340 Analysis #317

Beweis 317-39 b) VS gleich (0 < x, y)∧(x∈R).

1: Aus VS gleich “ 0 < . . . y . . . ”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈R.

Aus VS gleich “ 0 < x, y . . . ” ,

aus VS gleich “ . . . x ∈R” und

aus 1.1.Fall“y∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

1.2.Fall y= +∞.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus VS gleich “ . . . x ∈R” ,

aus <schola“ 0 <1” und

aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω<1).

3: Aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via 107-11: 1 <+∞.

4: Aus 2“...Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<1 ” und

aus 3“ 1 <+∞”

folgt via 107-8: Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω<+∞.

5: Aus 4und

aus 1.2.Fall

folgt: Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y.

6: Aus 2“∃Ω : (0 <Ω∈R)...” und

aus 5“. . . Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y ”

folgt: ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

Analysis #317 341

317-40. Die Aussagen von B2F k¨

onnen mit Hilfe von ↑2 in vertrauterer Form

pr¨

asentiert werden.

317-40(Satz) (B↑2F: Binomische ↑2-er Formeln)

a) Aus “ x, y ∈E” und “ Eist AD”

folgt “ (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)” .

b) Aus “ x, y ∈R” folgt “ (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)”

und “ (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)”

und “ (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2” .

c) Aus “ x, y ∈T”

folgt “ (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2” .

d) Aus “ x, y ∈C” folgt “ (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)”

und “ (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)”

und “ (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2” .

e) Aus “ 0≤x, y”

folgt “ (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)” .

f) Aus “ x, y ≤0”

folgt “ (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)” .

g) Aus “ x≤0≤y”

folgt “ (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)” .

h) Aus “ y≤0≤x”

folgt “ (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

342 Analysis #317

Beweis 317-40 a) VS gleich (x, y ∈E)∧(Eist AD).

1: Aus VS gleich “ (x, y ∈E)∧(Eist AD) ”

folgt via B2F: (x+y)·(x+y) = (x·x+y·y) + 2 ·(x·y).

2.1: Via 317-4 gilt: (x+y)·(x+y) = (x+y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1,

aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y).

b) VS gleich x, y ∈R.

1.1: Aus VS gleich “ x, y ∈R”

folgt via B2F: (x+y)·(x+y) = (x·x+y·y) + 2 ·(x·y).

1.2: Aus VS gleich “ x, y ∈R”

folgt via B2F: (x−y)·(x−y) = (x·x+y·y)−2·(x·y).

1.3: Aus VS gleich “ x, y ∈R”

folgt via B2F: (x+y)·(x−y) = x·x−y·y.

2.1: Via 317-4 gilt: (x+y)·(x+y) = (x+y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: (x−y)·(x−y) = (x−y)↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.4: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

...

Analysis #317 343

Beweis 317-40 b) VS gleich x, y ∈R.

...

3.1: Aus 1.1,

aus 2.1,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)

3.2: Aus 1.2,

aus 2.2,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)

3.3: Aus 1.3,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2

c) VS gleich x, y ∈T.

1: Aus VS gleich “ x, y ∈T”

folgt via B2F: (x+y)·(x−y) = x·x−y·y.

2.1: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2.

344 Analysis #317

Beweis 317-40 d) VS gleich x, y ∈C.

1.1: Aus VS gleich “ x, y ∈C”

folgt via B2F: (x+y)·(x+y) = (x·x+y·y) + 2 ·(x·y).

1.2: Aus VS gleich “ x, y ∈C”

folgt via B2F: (x−y)·(x−y) = (x·x+y·y)−2·(x·y).

1.3: Aus VS gleich “ x, y ∈C”

folgt via B2F: (x+y)·(x−y) = x·x−y·y.

2.1: Via 317-4 gilt: (x+y)·(x+y) = (x+y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: (x−y)·(x−y) = (x−y)↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.4: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3.1: Aus 1.1,

aus 2.1,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y)

3.2: Aus 1.2,

aus 2.2,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y)

3.3: Aus 1.3,

aus 2.3 und

aus 2.4

folgt: (x+y)·(x−y) = x↑2−y↑2

Analysis #317 345

Beweis 317-40 e) VS gleich 0 ≤x, y.

1: Aus VS gleich “ 0 ≤x, y ”

folgt via B2F: (x+y)·(x+y) = (x·x+y·y) + 2 ·(x·y).

2.1: Via 317-4 gilt: (x+y)·(x+y) = (x+y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1,

aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y).

f) VS gleich x, y ≤0.

1: Aus VS gleich “ x, y ≤0 ”

folgt via B2F: (x+y)·(x+y) = (x·x+y·y) + 2 ·(x·y).

2.1: Via 317-4 gilt: (x+y)·(x+y) = (x+y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1,

aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: (x+y)↑2 = (x↑2 + y↑2) + 2 ·(x·y).

346 Analysis #317

Beweis 317-40 g) VS gleich x≤0≤y.

1: Aus VS gleich “ x≤0≤y”

folgt via B2F: (x−y)·(x−y) = (x·x+y·y)−2·(x·y).

2.1: Via 317-4 gilt: (x−y)·(x−y) = (x−y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1,

aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y).

h) VS gleich y≤0≤x.

1: Aus VS gleich “ y≤0≤x”

folgt via B2F: (x−y)·(x−y) = (x·x+y·y)−2·(x·y).

2.1: Via 317-4 gilt: (x−y)·(x−y) = (x−y)↑2.

2.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

2.3: Via 317-4 gilt: y·y=y↑2.

3: Aus 1,

aus 2.1,

aus 2.2 und

aus 2.3

folgt: (x−y)↑2 = (x↑2 + y↑2) −2·(x·y).

Analysis #317 347

317-41. ≤, <-Aussagen mit nan auf einer Seite gibt es nicht.

317-41(Satz)

a) ¬(nan ≤x).

b) ¬(nan < x).

c) ¬(x≤nan).

d) ¬(x < nan).

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-41 a)

1: Es gilt: (nan ≤x)∨(¬(nan ≤x)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall nan ≤x.

1: Aus 1.1.Fall“nan ≤x”

folgt via 107-3:nan ∈S.

2: Via 95-11 gilt: nan /∈S.

Ende wfFallunterscheidung ¬(nan ≤x).

1: Es gilt: (nan < x)∨(¬(nan < x)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall nan < x.

1: Aus 1.1.Fall“nan < x”

folgt via 107-9:nan ∈S.

2: Via 95-11 gilt: nan /∈S.

Ende wfFallunterscheidung ¬(nan < x).

348 Analysis #317

Beweis 317-41 c)

1: Es gilt: (x≤nan)∨(¬(x≤nan)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall x≤nan.

1: Aus 1.1.Fall“x≤nan”

folgt via 107-3:nan ∈S.

2: Via 95-11 gilt: nan /∈S.

Ende wfFallunterscheidung ¬(x≤nan).

1: Es gilt: (x < nan)∨(¬(x < nan)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall x < nan.

1: Aus 1.1.Fall“x < nan”

folgt via 107-9:nan ∈S.

2: Via 95-11 gilt: nan /∈S.

Ende wfFallunterscheidung ¬(x < nan).

Analysis #317 349

317-42. Aus x∈Tund x↑2< y folgt x∈R.

317-42(Satz)

a) Aus “ 0≤x∈R” folgt “ x↑2<(1 + x)↑2” .

b) Aus “ x∈T” und “ x↑2< y” folgt “ x∈R” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-42 a) VS gleich 0 ≤x∈R.

1: Aus VS gleich “ . . . x ∈R”

folgt via 307-1:x < 1 + x.

2: Aus VS gleich “ 0 ≤x . . . ” und

aus 1“x < 1 + x”

folgt via 317-37:x↑2<(1 + x)↑2.

b) VS gleich (x∈T)∧(x↑2< y).

1: Aus VS gleich “ x∈T”

folgt via 95-16: (x∈R)∨(x= +∞)∨(x=−∞)∨(x=nan).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x∈R.

1.2.Fall x= +∞.

2: Aus 1.2.Fall

folgt: x↑2 = (+∞)↑2.

3: Aus 2und

aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞”

folgt: x↑2 = +∞.

4: Aus 3und

aus VS gleich “ . . . x ↑2< y ”

folgt: +∞< y.

5: Via 107-7 gilt: ¬(+∞< y).

...

350 Analysis #317

Beweis 317-42 b) VS gleich (x∈T)∧(x↑2< y).

...

Fallunterscheidung

...

1.3.Fall x=−∞.

2: Aus 1.3.Fall

folgt: x↑2 = (−∞)↑2.

3: Aus 2und

aus 317-14“ (−∞)↑2 = +∞”

folgt: x↑2 = +∞.

4: Aus 3und

aus VS gleich “ . . . x ↑2< y ”

folgt: +∞< y.

5: Via 107-7 gilt: ¬(+∞< y).

1.4.Fall x=nan.

2: Aus 1.4.Fall

folgt: x↑2 = nan ↑2.

3: Aus 2und

aus 317-14“nan ↑2 = nan”

folgt: x↑2 = nan.

4: Aus 3und

aus VS gleich “ . . . x ↑2< y ”

folgt: nan < y.

5: Via 317-41 gilt: ¬(nan < y).

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt: x∈R.

Analysis #317 351

317-43. Gilt 0 < x ∈Rmit x↑2< y, so gibt es Ω mit 0 < x < Ω∈Rund

x↑2<Ω↑2< y.

317-43(Satz)

Aus “ 0< x ∈R” und “ x↑2< y”

folgt “ ∃Ω : (0 < x < Ω∈R)∧(x↑2<Ω↑2< y)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-43 VS gleich (0 < x ∈R)∧(x↑2< y).

1.1: Aus VS gleich “ . . . x ↑2< y ”

folgt via 109-7: 0 < y −x↑2.

1.2: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...”

folgt via 317-21:x↑2∈R.

2: Via FS−+ gilt: y−x↑2 = −x↑2 + y.

3: Aus 1.1 und

aus 2

folgt: 0 <−x↑2 + y.

4: Aus VS gleich “ 0 < x ∈R” und

aus 3“ 0 <−x↑2 + y”

folgt via 317-39:∃Ψ : (0 <Ψ∈R)∧(Ψ ↑2 + (2 ·x)·Ψ<−x↑2 + y).

5: Aus 4“...Ψ↑2 + (2 ·x)·Ψ<−x↑2 + y” und

aus 1.2“x↑2∈R”

folgt via 160-9:x↑2 + (Ψ ↑2 + (2 ·x)·Ψ) < y.

6: Via FSA gilt: x↑2 + (Ψ ↑2 + (2 ·x)·Ψ) = (x↑2 + Ψ ↑2) + (2 ·x)·Ψ.

7: Aus 6und

aus 5

folgt: (x↑2 + Ψ ↑2) + (2 ·x)·Ψ< y.

...

352 Analysis #317

Beweis 317-43 VS gleich (0 < x ∈R)∧(x↑2< y).

...

8.1: Aus ∈schola“ 2 ∈R” und

aus 4“...Ψ∈R...”

folgt via AGMR: 2 ·(x·Ψ) = (2 ·x)·Ψ.

8.2: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 4“...Ψ∈R...”

folgt via B↑2F: (x+ Ψ) ↑2 = (x↑2 + Ψ ↑2) + 2 ·(x·Ψ).

8.3: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 2“...0<Ψ...”

folgt via 165-2:x < x + Ψ.

8.4: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 2“...Ψ∈R...”

folgt via +SZ:x+ Ψ ∈R.

9.1: Aus 8.1 und

aus 8.2

folgt: (x+ Ψ) ↑2 = (x↑2 + Ψ ↑2) + (2 ·x)·Ψ.

9.2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” und

aus 8.3“x < x + Ψ ”

folgt via 317-37: 0 < x ↑2<(x+ Ψ) ↑2.

9.3: Aus 8.4 folgt: ∃Ω : Ω = x+ Ψ.

10.1: Aus 9.1 und

aus 7

folgt: (x+ Ψ) ↑2< y.

10.2: Aus 8.3 und

aus 9.3“...Ω = x+ Ψ ”

folgt: x < Ω.

10.3: Aus 8.4 und

aus 9.3“...Ω = x+ Ψ ”

folgt: Ω ∈R.

10.4: Aus 9.2 und

aus 9.3“...Ω = x+ Ψ ”

folgt: 0 < x ↑2<Ω↑2.

...

Analysis #317 353

Beweis 317-43 VS gleich (0 < x ∈R)∧(x↑2< y).

...

11: Aus 10.1 und

aus 9.3“...Ω = x+ Ψ ”

folgt: Ω ↑2< y.

12: Aus 9.3“∃Ω...” ,

aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus 10.2“x < Ω ” ,

aus 10.3“ Ω ∈R” ,

aus 10.4“. . . x ↑2<Ω↑2 ” und

aus 11“ Ω ↑2< y ”

folgt: ∃Ω : (0 < x < Ω∈R)∧(x↑2<Ω↑2< y).

354 Analysis #317

317-44. Aus x < y folgen interessante Alternativen f¨

ur x, y.

317-44(Satz) Es gelte:

→)x < y.

Dann folgt:

a) (x≤0) ∨(0 < x ∈R).

b) (R∋y < 0) ∨(0 ≤y).

————————————————————————————

≤-Notation.

Analysis #317 355

Beweis 317-44 a)

1: Aus →)“x < y ”

folgt via 107-9:x∈S.

2: Aus 1“x∈S”

folgt via 122-3: (x≤0) ⋆

aut (0 < x).

Fallunterscheidung

2.1.Fall x≤0.

2.2.Fall 0< x.

3: Aus →)“x < y ”

folgt via 107-9: (x∈R)∨(x=−∞).

Fallunterscheidung

3.1.Fall x∈R.

3.2.Fall x=−∞.

4: Aus 3.2.Fall und

aus 2.2.Fall

folgt: 0 <−∞.

5: Via 107-15 gilt: ¬(0 <−∞).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“x∈R”

4: Aus 2.2.Fall und

aus A1

folgt: 0 < x ∈R.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (x≤0) ∨(0 < x ∈R).

356 Analysis #317

Beweis 317-44 b)

1: Aus →)“x < y ”

folgt via 107-9:y∈S.

2: Aus 1“y∈S”

folgt via 122-3: (y < 0) ⋆

aut (0 ≤y).

Fallunterscheidung

2.1.Fall y < 0.

3: Aus →)“x < y ”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

3.1.Fall y∈R.

3.2.Fall y= +∞.

4: Aus 3.2.Fall und

aus 2.1.Fall

folgt: +∞<0.

5: Via 107-15 gilt: ¬(+∞<0).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“y∈R”

4: Aus A1 und

aus 2.1.Fall

folgt: R∋y < 0.

2.2.Fall 0≤y.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (R∋y < 0) ∨(0 ≤y).

Analysis #317 357

317-45. Zu Satz 317-39 gibt es eine im Detail modifizerte und an einer Stelle

das Vorzeichen wechselnde Version.

317-45(Satz)

a) Aus “ 0< x, y ∈R”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y)” .

b) Aus “ 0< x, y” und “ x∈R”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-45 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

1.1: Aus <schola“ 0 <2” und

aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via FS≤ ·: 0 <2·x.

1.2: Aus ∈schola“ 2 ∈R” und

aus VS gleich “ ...x...∈R”

folgt via ·SZ: 2 ·x∈R.

1.3: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ∈R”

folgt via 317-30:∃Φ : (1 ≤Φ∈N)∧(0 <1 : Φ < x).

2.1: Aus VS gleich “ . . . y ∈R” und

aus 1.2“ 2 ·x∈R”

folgt via :SZ:y: (2 ·x)∈R.

2.2: Aus 1.1“ 0 <2·x” ,

aus 1.2“ 2 ·x∈R” und

aus VS gleich “ 0 < . . . y . . . ”

folgt via 317-27: 0 < y : (2 ·x).

...

358 Analysis #317

Beweis 317-45 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

...

3: Aus 2.2“ 0 < y : (2 ·x) ” und

aus 2.1“y: (2 ·x)∈R”

folgt via 317-30:∃Ψ : (1 ≤Ψ∈N)∧(0 <1 : Ψ < y : (2 ·x)).

4.1: Aus 1.3“...1≤Φ∈N...”

folgt via 300-9: 0 <Φ∈N.

4.2: Aus 1.3“...Φ∈N...”

folgt via 159-11: Φ ∈R.

4.3: Aus 3“...1≤Ψ∈N...”

folgt via 300-9: 0 <Ψ∈N.

4.4: Aus 3“...Ψ∈N...”

folgt via 159-11: Ψ ∈R.

5: Aus 4.1“ 0 <Φ...” ,

aus 4.3“ 0 <Ψ...” ,

aus 4.2“ Φ ∈R” und

aus 4.4“ Ψ ∈R”

folgt via 317-36:

(0 <1 : ≤

max {Φ,Ψ} ≤ 1 : Ψ,1 : Φ) ∧(1 : ≤

max {Φ,Ψ} ∈ R).

6: Aus 1.3 und

aus 3

folgt: ∃Ω : Ω = 1 : ≤

max {Φ,Ψ}.

7: Aus 6“...Ω = 1 : ≤

max {Φ,Ψ}” und

aus 5

folgt: (0 <Ω≤1 : Φ,1 : Ψ) ∧(Ω ∈R).

...

Analysis #317 359

Beweis 317-45 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

...

8.1: Aus 7“ 0 <Ω...”

folgt via 107-9: Ω ∈S.

8.2: Aus 7“ 0 <Ω...”

folgt via 41-3: 0 6= Ω.

8.3: Aus 7“...Ω≤1 : Φ ...” und

aus 1.3“...1 : Φ < x ”

folgt via 107-8: Ω < x.

8.4: Aus 7“...Ω≤...1 : Ψ ...” und

aus 3“...1 : Ψ < y : (2 ·x) ”

folgt via 107-8: Ω < y : (2 ·x).

9.1: Aus 8.2“ 0 6= Ω ” und

aus 8.1“ Ω ∈S”

folgt via 127-10: 0 <Ω·Ω.

9.2: Aus 1.1“ 0 <2·x” ,

aus 1.2“ 2 ·x∈R” und

aus 8.4“ Ω < y : (2 ·x) ”

folgt via 317-38: (2 ·x)·Ω< y.

9.3: Aus 1.2“ 2 ·x∈R” und

aus 7“...Ω∈R”

folgt via ·SZ: (2 ·x)·Ω∈R.

9.4: Via 317-4 gilt: Ω ↑2 = Ω ·Ω.

10.1: Aus 9.3“ (2 ·x)·Ω∈R” und

aus 9.1“ 0 <Ω·Ω ”

folgt via 165-2: (2 ·x)·Ω−Ω·Ω<(2 ·x)·Ω.

10.2: Via FS−+ gilt: −Ω·Ω + (2 ·x)·Ω = (2 ·x)·Ω−Ω·Ω.

11: Aus 10.1 und

aus 10.2

folgt: −Ω·Ω + (2 ·x)·Ω<(2 ·x)·Ω.

12: Aus 11 und

aus 9.4

folgt: −Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<(2 ·x)·Ω.

...

360 Analysis #317

Beweis 317-45 a) VS gleich 0 < x, y ∈R.

...

13: Aus 12“−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<(2 ·x)·Ω ” und

aus 9.2“ (2 ·x)·Ω< y ”

folgt via 107-8:−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y.

14: Aus 6“∃Ω...” ,

aus 7“ 0 <Ω...” ,

aus 8.3“ Ω < x ” ,

aus 7“...Ω∈R” und

aus 13“−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y ”

folgt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

Analysis #317 361

Beweis 317-45 b) VS gleich (0 < x, y)∧(x∈R).

1: Aus VS gleich “ 0 < . . . y . . . ”

folgt via 107-9: (y∈R)∨(y= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall y∈R.

Aus VS gleich “ 0 < x, y . . . ” ,

aus VS gleich “ . . . x ∈R” und

aus 1.1.Fall“y∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

1.2.Fall y= +∞.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus VS gleich “ x∈R” ,

aus <schola“ 0 <1” und

aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<1).

3: Aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via 107-11: 1 <+∞.

4: Aus 2“...−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<1 ” und

aus 3“ 1 <+∞”

folgt via 107-8:−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω<+∞.

5: Aus 4und

aus 1.2.Fall

folgt: −Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y.

6: Aus 2“∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)...” und

aus 5“−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y) ”

folgt: ∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(−Ω↑2 + (2 ·x)·Ω< y).

362 Analysis #317

317-46. Die alten Bekannten 160-10,11 werden hier erg¨

anzt.

317-46(Satz)

a) Aus “ x≤y” folgt “ 0 + x≤y” und “ x≤0 + y” .

b) Aus “ x < y” folgt “ 0 + x < y” und “ x < 0 + y” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-46 a) VS gleich x≤y.

1.1: Aus VS gleich “ x≤y”

folgt via 107-3:x, y ∈S.

1.2: Aus VS gleich “ x≤y”

folgt via 160-10: 0 + x≤0 + y.

2: Aus 1.1“x, y ∈S”

folgt via ∧SZ:x, y Zahl.

3.1: Aus 2“x . . . Zahl ”

folgt via FSA0: 0 + x=x.

3.2: Aus 2“. . . y Zahl ”

folgt via FSA0: 0 + y=y.

4.1: Aus 3.1 und

aus 1.2

folgt: x≤0 + y

4.2: Aus 3.2 und

aus 1.2

folgt: 0 + x≤y

Analysis #317 363

Beweis 317-46 b) VS gleich x < y.

1.1: Aus VS gleich “ x < y ”

folgt via 107-9:x, y ∈S.

1.2: Aus VS gleich “ x < y ”

folgt via 160-11: 0 + x < 0 + y.

2: Aus 1.1“x, y ∈S”

folgt via ∧SZ:x, y Zahl.

3.1: Aus 2“x . . . Zahl ”

folgt via FSA0: 0 + x=x.

3.2: Aus 2“. . . y Zahl ”

folgt via FSA0: 0 + y=y.

4.1: Aus 3.1 und

aus 1.2

folgt: x < 0 + y

4.2: Aus 3.2 und

aus 1.2

folgt: 0 + x < y

364 Analysis #317

317-47. Eine etwas verwickelte Argumentation wird hier vorweggenommen. Die

Beweis-Reihenfolge ist b) -a):

317-47(Satz)

a) Aus “ x, y ∈R”

folgt “ −y↑2 + 2 ·(x·y) = x↑2−(x−y)↑2” .

b) Aus “ x, y ∈C”

folgt “ −y↑2 + 2 ·(x·y) = x↑2−(x−y)↑2” .

————————————————————————————

RECH-Notation.

Beweis 317-47 b) VS gleich x, y ∈C.

1.1: Aus VS gleich “ x, y ∈C”

folgt via B↑2F: (x−y)↑= (x↑2 + y↑2) −2·(x·y).

1.2: Aus VS gleich “ x . . . ∈C”

folgt via 317-21:x↑2∈C.

1.3: Aus VS gleich “ . . . y ∈C”

folgt via 317-21:y↑2∈C.

1.4: Aus VS gleich “ x, y ∈C”

folgt via ·SZ:x·y∈C.

2.1: Aus 1.2“x↑2∈C”

folgt via 102-5:x↑2−x↑2 = 0.

2.2: Aus 1.3“y↑2∈C”

folgt via 117-4:−y↑2∈C.

2.3: Aus ∈schola“ 2 ∈C” und

aus 1.4“x·y∈C”

folgt via ·SZ: 2 ·(x·y)∈C.

3: Aus 2.2“−y↑2∈C” und

aus 2.3“ 2 ·(x·y)∈C”

folgt via +SZ:−y↑2 + 2 ·(x·y)∈C.

4: Aus 3“−y↑2 + 2 ·(x·y)∈C”

folgt via ∧SZ:−y↑2 + 2 ·(x·y) Zahl.

...

Analysis #317 365

Beweis 317-47 b) VS gleich x, y ∈C.

...

5: Aus 4“−y↑2 + 2 ·(x·y) Zahl ”

folgt via FSA0: 0 + (−y↑2 + 2 ·(x·y)) = −y↑2 + 2 ·(x·y).

6: −y↑2 + 2 ·(x·y)5

= 0 + (−y↑2 + 2 ·(x·y))

2.1

= (x↑2−x↑2) + (−y↑2 + 2 ·(x·y))

160−7

=x↑2 + (−x↑2 + (−y↑2 + 2 ·(x·y)))

FS−+

=x↑2 + (−x↑2 + (−(y↑2−2·(x·y))))

=x↑2 + (−x↑2−(y↑2−2·(x·y)))

FS−+

=x↑2 + (−(x↑2 + (y↑2−2·(x·y))))

=x↑2−(x↑2 + (y↑2−2·(x·y)))

160−7

=x↑2−((x↑2 + y↑2) −2·(x·y))

1.1

=x↑2−(x−y)↑2.

7: Aus 6

folgt: −y↑2 + 2 ·(x·y) = x↑2−(x−y)↑2.

a) VS gleich x, y ∈R.

1: Aus VS gleich “ x, y ∈R”

folgt via ∧SZ:x, y ∈C.

2: Aus 1“x, y ∈C”

folgt via des bereits bewiesenen b):

−y↑2 + 2 ·(x·y) = x↑2−(x−y)↑2.

366 Analysis #317

317-48. Aus n∈Nfolgt n≤n↑2.

317-48(Satz)

a) Aus “ 1< x ∈R” folgt “ x < x ↑2” .

b) Aus “ 1≤x” folgt “ x≤x↑2” .

c) Aus “ 0< x ∈R” folgt “ x < (1 + x)↑2” .

d) Aus “ 0≤x∈R” folgt “ x < (1 + x)↑2” .

e) Aus “ 0< x” folgt “ x≤(1 + x)↑2” .

f) Aus “ 0≤x” folgt “ x≤(1 + x)↑2” .

g) Aus “ n∈N” folgt “ n≤n↑2” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-48 a) VS gleich 1 < x ∈R.

1: Aus <schola“ 0 <1” und

aus VS gleich “ 1 < x . . . ”

folgt via 107-8: 0 < x.

2: Aus VS gleich “ 1 < x . . . ” und

aus 2“ 0 < x ”

folgt via 147-1:x·1< x ·x.

3.1: Aus VS gleich “ . . . x ∈R”

folgt via AAV: 1 ·x=x.

3.2: Via 317-4 gilt: x·x=x↑2.

3.3: Via KGM gilt: x·1 = 1 ·x.

4: Aus 2,

aus 3.1,

aus 3.2 und

aus 3.3

folgt: x < x ↑2.

Analysis #317 367

Beweis 317-48 b) VS gleich 1 ≤x.

1: Aus VS gleich “ 1 ≤x”

folgt via 41-5: (1 < x)∨(1 = x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 1< x.

2: Aus 1.1.Fall“ 1 < x”

folgt via 107-9: (x∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

2.1.Fall x∈R.

3: Aus 1.1.Fall“ 1 < x” und

aus 2.1.Fall“x∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):x < x ↑2.

4: Aus 3“x < x ↑2 ”

folgt via 41-3:x≤x↑2.

2.2.Fall x= +∞.

3: Aus 107-6“ +∞ ≤ +∞” und

aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞”

folgt: +∞ ≤ (+∞)↑2.

4: Aus 3und

aus 2.2.Fall

folgt: x≤x↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x≤x↑2.

1.2.Fall 1 = x.

2: Aus ≤schola“ 1 ≤1” und

aus 317-14“ 1 ↑2 = 1”

folgt: 1 ≤1↑2.

3: Aus 2und

aus 1.2.Fall

folgt: x≤x↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x≤x↑2.

368 Analysis #317

Beweis 317-48 c) VS gleich 0 < x ∈R.

1.1: Aus VS gleich “ . . . x ∈R”

folgt via 307-1:x < 1 + x.

1.2: Aus ∈schola“ 1 ∈R” und

aus VS gleich “ 0 < x . . . ”

folgt via 165-2: 1 <1 + x.

1.3: Aus ∈schola“ 1 ∈R” und

aus VS gleich “ . . . x ∈R”

folgt via +SZ: 1 + x∈R.

2: Aus 1.2“ 1 <1 + x” und

aus 1.3“ 1 + x∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a): 1 + x < (1 + x)↑2.

3: Aus 1.1“x < 1 + x” und

aus 2“ 1 + x < (1 + x)↑2 ”

folgt via 107-8:x < (1 + x)↑2.

d) VS gleich 0 ≤x∈R.

1: Aus VS gleich “ 0 ≤x . . . ”

folgt via 41-5: (0 < x)∨(0 = x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 0< x.

Aus 1.1.Fall“ 0 < x” und

aus VS gleich “ . . . x ∈R”

folgt via des bereits bewiesenen c):x < (1 + x)↑2.

1.2.Fall 0 = x.

2: Aus <schola“ 0 <1” und

aus 317-14“ 1 ↑2 = 1”

folgt: 0 <1↑2.

3: Aus 2und

aus +schola“ 1 + 0 = 1”

folgt: 0 <(1 + 0) ↑2.

4: Aus 3und

aus 1.2.Fall

folgt: x < (1 + x)↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x < (1 + x)↑2.

Analysis #317 369

Beweis 317-48 e) VS gleich 0 < x.

1: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 107-9: (x∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x∈R.

2: Aus VS gleich “ 0 < x ” und

aus 1.1.Fall“x∈R”

folgt via des bereits bewiesenen c):x < (1 + x)↑2.

3: Aus 2“x < (1 + x)↑2 ”

folgt via 41-3:x≤(1 + x)↑2.

1.2.Fall x= +∞.

2.1: Aus 107-6“ +∞ ≤ +∞” und

aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞”

folgt: +∞ ≤ (+∞)↑2.

2.2: Aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via AAV: 1 + (+∞) = +∞.

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: +∞ ≤ (1 + (+∞)) ↑2.

4: Aus 3und

aus 1.2.Fall

folgt: x≤(1 + x)↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x≤(1 + x)↑2.

370 Analysis #317

Beweis 317-48 f) VS gleich 0 ≤x.

1: Aus VS gleich “ 0 ≤x”

folgt via 41-5: (0 < x)∨(0 = x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 0< x.

Aus 1.1.Fall“ 0 < x”

folgt via des bereits bewiesenen e):x≤(1 + x)↑2.

1.2.Fall 0 = x.

2: Aus ≤schola“ 0 ≤1” und

aus 317-14“ 1 ↑2 = 1”

folgt: 0 ≤1↑2.

3: Aus 2und

aus +schola“ 1 + 0 = 1”

folgt: 0 ≤(1 + 0) ↑2.

4: Aus 3und

aus 1.2.Fall

folgt: x≤(1 + x)↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: x≤(1 + x)↑2.

Analysis #317 371

Beweis 317-48 g) VS gleich n∈N.

1: Aus VS gleich “ n∈N”

folgt via 162-2: (n= 0) ∨(0 < n).

Fallunterscheidung

1.1.Fall n= 0.

2: Aus ≤schola“ 0 ≤0” und

aus 317-14“ 0 ↑2 = 0”

folgt: 0 ≤0↑2.

3: Aus 2und

aus 1.1.Fall

folgt: n≤n↑2.

1.2.Fall 0< n.

2: Aus VS gleich “ n∈N” und

aus 1.2.Fall“ 0 < n”

folgt via 300-9: 1 ≤n∈N.

3: Aus 2“ 1 ≤n . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen b):n≤n↑2.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: n≤n↑2.

372 Analysis #317

317-49. Interessanter Weise ist von 317-43 auch eine “ y < Ω↑2< x ↑2-

Version” verf¨

ugbar. Hier muss nicht x∈Rgelten.

317-49(Satz)

a) Aus “ 0< x ∈R” und “ y < x ↑2”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2)” .

b) Aus “ 0< x” und “ y < x ↑2”

folgt “ ∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2)” .

————————————————————————————

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-49 a) VS gleich (0 < x ∈R)∧(y < x ↑2).

1.1: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...”

folgt via 317-21:x↑2∈R.

1.2: Aus VS gleich “ . . . y < x ↑2 ”

folgt via 109-7: 0 < x ↑2−y.

2: Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus 1.2“ 0 < x ↑2−y” und

aus VS gleich “ . . . x ∈R...”

folgt via 317-45:

∃Φ : (0 <Φ< x)∧(Φ ∈R)∧(−Φ↑2 + (2 ·x)·Φ< x ↑2−y).

3.1: Aus ∈schola“ 2 ∈R” und

aus 2“...Φ∈R...”

folgt via AGMR: 2 ·(x·Φ) = (2 ·x)·Φ.

3.2: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 2“...Φ∈R...”

folgt via 317-47:−Φ↑2 + 2 ·(x·Φ) = x↑2−(x−Φ) ↑2.

4: Aus 3.1 und

aus 3.2

folgt: −Φ↑2 + (2 ·x)·Φ = x↑2−(x−Φ) ↑2.

5: Aus 4und

aus 2

folgt: x↑2−(x−Φ) ↑2< x ↑2−y.

...

Analysis #317 373

Beweis 317-49 a) VS gleich (0 < x ∈R)∧(y < x ↑2).

...

6: Aus 5“x↑2−(x−Φ) ↑2< x ↑2−y” und

aus 1.1“x↑2∈R”

folgt via VR<:y < (x−Φ) ↑2.

7.1: Aus 2“...Φ< x . . . ”

folgt via 109-7: 0 < x −Φ.

7.2: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 2“...0<Φ...”

folgt via 165-2:x−Φ< x.

8: Aus 7.1“ 0 < x −Φ ” und

aus 7.2“x−Φ< x ”

folgt via 317-37: (x−Φ) ↑2< x ↑2.

9: Aus VS gleich “ . . . x ∈R...” und

aus 2

folgt: ∃Ω : Ω = x−Φ.

10.1: Aus 7.1“ 0 < x −Φ ” und

aus 9“...Ω = x−Φ ”

folgt: 0 <Ω.

10.2: Aus 7.2“x−Φ< x ” und

aus 9“...Ω = x−Φ ”

folgt: Ω < x.

10.3: Aus 6“y < (x−Φ) ↑2 ” und

aus 9“...Ω = x−Φ ”

folgt: y < Ω↑2.

10.4: Aus 8“ (x−Φ) ↑2< x ↑2 ” und

aus 9“...Ω = x−Φ ”

folgt: Ω ↑2< x ↑2.

11: aus 10.1“ 0 <Ω ” und

aus 10.2“ Ω < x ”

folgt via 107-12: Ω ∈R.

...

374 Analysis #317

Beweis 317-49 a) VS gleich (0 < x ∈R)∧(y < x ↑2).

...

12: Aus 9“∃Ω...” ,

aus 10.1“ 0 <Ω ” ,

aus 10.2“ Ω < x ” ,

aus 11“ Ω ∈R” ,

aus 10.3“y < Ω↑2 ” und

aus 10.4“ Ω ↑2< x ↑2 ”

folgt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

b) VS gleich (0 < x)∧(y < x ↑2).

1: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 107-9: (x∈R)∨(x= +∞).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x∈R.

Aus VS gleich “ 0 < x . . . ” ,

aus 1.1.Fall“x∈R” und

aus VS gleich “ . . . y < x ↑2 ”

folgt via des bereits bewiesenen a):

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

...

Analysis #317 375

Beweis 317-49 b) VS gleich (0 < x)∧(y < x ↑2).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x= +∞.

2: Aus VS gleich “ y < x ↑2 ”

folgt via 317-44: (y≤0) ∨(0 < y ∈R).

Fallunterscheidung

2.1.Fall y≤0.

3.1: Es gilt: ∃Ω : Ω = 1.

3.2: Aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt via 107-11: 1 <+∞.

3.3: Aus 1.2.Fall“x= +∞” und

aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞”

folgt: x↑2 = +∞.

3.4: Aus 2.1.Fall“y≤0” und

aus <schola“ 0 <1”

folgt via 107-8:y < 1.

4.1: Aus <schola“ 0 <1” und

aus 3.1“...Ω = 1 ”

folgt: 0 <Ω.

4.2: Aus 3.1“...Ω = 1 ” und

aus 3.2

folgt: Ω <+∞.

4.3: Aus 3.1“...Ω = 1 ” und

aus 317-14“ 1 ↑2 = 1”

folgt: Ω ↑2 = 1.

4.4: Aus 3.1“...Ω = 1 ” und

aus ∈schola“ 1 ∈R”

folgt: Ω ∈R.

4.5: Aus 3.2 und

aus 3.3

folgt: 1 < x ↑2.

...

376 Analysis #317

Beweis 317-49 b) VS gleich (0 < x)∧(y < x ↑2).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x= +∞.

...

Fallunterscheidung

2.1.Fall y≤0.

...

5.1: Aus 4.2 und

aus 1.2.Fall

folgt: Ω < x.

5.2: Aus 3.4 und

aus 4.3

folgt: y < Ω↑2.

5.3: Aus 4.3 und

aus 4.5

folgt: Ω ↑2< x ↑2.

6: Aus 3.1“∃Ω...” ,

aus 4.1“ 0 <Ω ” ,

aus 5.1“ Ω < x ” ,

aus 4.4“ Ω ∈R” ,

aus 5.2“y < Ω↑2 ” und

aus 5.3“ Ω ↑2< x ↑2 ”

folgt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

...

Analysis #317 377

Beweis 317-49 b) VS gleich (0 < x)∧(y < x ↑2).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x= +∞.

...

Fallunterscheidung

...

2.2.Fall 0< y ∈R.

3.1: Aus 2.2.Fall“ 0 < y ∈R”

folgt via Archimedes III:∃Ω : (Ω ∈N)∧(y < Ω).

3.2: Aus 107-6“ +∞ ≤ +∞” und

aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞”

folgt: +∞ ≤ (+∞)↑2.

4.1: Aus 2.2.Fall“ 0 < y . . .” und

aus 3.1“. . . y < Ω ”

folgt via 107-8: 0 <Ω.

4.2: Aus 3.1“...Ω∈N...”

folgt via 159-11: Ω ∈R.

4.3: Aus 3.1“...Ω∈N...”

folgt via 317-48: Ω ≤Ω↑2.

4.4: Aus 3.2 und

aus 1.2.Fall

folgt: +∞ ≤ x↑2.

5.1: Aus 4.2“ Ω ∈R”

folgt via 107-11: Ω <+∞.

5.2: Aus 4.2“ Ω ∈R”

folgt via 317-21: Ω ↑2∈R.

5.3: Aus 3.1“. . . y < Ω ” und

aus 4.3“ Ω ≤Ω↑2 ”

folgt via 107-8:y < Ω↑2.

...

378 Analysis #317

Beweis 317-49 b) VS gleich (0 < x)∧(y < x ↑2).

...

Fallunterscheidung

...

1.2.Fall x= +∞.

...

Fallunterscheidung

...

2.2.Fall 0< y ∈R.

...

6.1: Aus 5.1 und

aus 1.2.Fall

folgt: Ω < x.

6.2: Aus 5.2“ Ω ↑2∈R”

folgt via 107-11: Ω ↑2<+∞.

7: Aus 6.2“ Ω ↑2<+∞” und

aus 4.4“ +∞ ≤ x↑2 ”

folgt via 107-8: Ω ↑2< x ↑2.

8: Aus 3.1“∃Ω...” ,

aus 4.1“ 0 <Ω ” ,

aus aus 6.1“ Ω < x ” ,

aus 4.2“ Ω ∈R” ,

aus 5.3“y < Ω↑2 ” und

aus 7“ Ω ↑2< x ↑2 ”

folgt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

∃Ω : (0 <Ω< x)∧(Ω ∈R)∧(y < Ω↑2< x ↑2).

Analysis #317 379

317-50. Die Klasse 317.0(x) wird nur deswegen eingesetzt, weil dadurch die

Notation etwas einfacher wird.

317-50(Definition)

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊].

380 Analysis #317

317-51 Aus 0 6=x∈Sfolgt 0 < x ↑2.

317-51(Satz)

a) Aus “ 06=x∈S” folgt “ 0< x ↑2” .

b) Aus “ 0< x” folgt “ 0< x ↑2” .

c) Aus “ x < 0” folgt “ 0< x ↑2” .

————————————————————————————

≤-Notation.

Analysis #317 381

Beweis 317-51

————————————————————————————

RECH-Notation.

————————————————————————————

a) VS gleich 0 6=x∈S.

1: Aus VS gleich “ 0 6=x∈S”

folgt via 127-10: 0 < x ·x.

2: Via 317-4 gilt: x↑2 = x·x.

3: Aus 1und

aus 2

folgt: 0 < x ↑2.

b) VS gleich 0 < x.

1.1: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 41-3: 0 6=x.

1.2: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 107-9:x∈S.

2: Aus 1.1“ 0 6=x” und

aus 1.2“x∈S”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < x ↑2.

c) VS gleich x < 0.

1.1: Aus VS gleich “ x < 0 ”

folgt via 41-3:x6= 0.

1.2: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 107-9:x∈S.

2: Aus 1.1

folgt: 0 6=x.

3: Aus 2“ 0 6=x” und

aus 1.2“x∈S”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < x ↑2.

382 Analysis #317

317-52. Die Elemente von 317.0(x) sind genau jene positiven, reellen Zahlen p

f¨

ur die p↑2< x gilt.

317-52(Satz) Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) p∈317.0(x).

ii) “0< p ∈R” und “ p↑2< x” .

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def).

Beweis 317-52 i) ⇒ii) VS gleich p∈317.0(x) .

1: Aus VS gleich “ p∈317.0(x) ”

folgt via 317-50(Def):p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊].

2: Aus 1“p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊] ”

folgt via 2-2: (p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊)∧(p∈(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]).

3.1: Aus 2“p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊ ...”

folgt via 142-3: 0 < p < +∞.

3.2: Aus 2“. . . p ∈(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊] ” und

aus 317-4“↑2 Funktion”

folgt via 18-29:p↑2∈⌉⌋0|x⌈⌊.

4.1: Aus 3.1“ 0 < p < +∞”

folgt via 107-12:p∈R.

4.2: Aus 3.2“p↑2∈⌉⌋0|x⌈⌊ ”

folgt via 142-3: 0 < p ↑2< x.

5.1: Aus 3.1“ 0 < p . . . ” und

aus 4.1“p∈R”

folgt: 0< p ∈R

5.2: Aus 4.2

folgt: p↑2< x

Analysis #317 383

Beweis 317-52 ii) ⇒i) VS gleich (0 < p ∈R)∧(p↑2< x).

1.1: Aus VS gleich “ . . . p ∈R...”

folgt via 107-11:p < +∞.

1.2: Aus VS gleich “ 0 < p . . . ”

folgt via 317-51: 0 < p ↑2.

2.1: aus VS gleich “ 0 < p . . . ” und

aus 1.1“p < +∞”

folgt via 142-3:p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊.

2.2: Aus 1.2“ 0 < p ↑2 ” und

aus VS gleich “ . . . p ↑2< x ”

folgt via 142-3:p↑2∈⌉⌋0|x⌈⌊.

3: Aus 317-4“↑2 Funktion” und

aus 2.2“p↑2∈⌉⌋0|x⌈⌊ ”

folgt via 18-29:p∈(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊].

4: Aus 2.1“p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊ ” und

aus 3“p∈(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊] ”

folgt via 2-2:p∈⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊].

5: Aus 4

folgt via 317-50(Def):p∈317.0(x) .

384 Analysis #317

317-53. Weitere Eigenschaften von 317.0(x) vereinfachen die voranschreitenden

Untersuchungen.

317-53(Satz)

a) Aus “ p∈317.0(x)” folgt “ 0< x” und “ p < 1 + x” .

b) Aus “ 0< x” folgt “ ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <(1 : Ω) ↑2< x)” .

c) Aus “ 0< x” folgt “ ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(1 : Ω ∈317.0(x) )” .

d) Aus “ 0< x” folgt “ 06=317.0(x)” .

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def).

Beweis 317-53 a) VS gleich p∈317.0(x) .

1: Aus VS gleich “ p∈317.0(x) ”

folgt via 317-52: (0 < p ∈R)∧(p↑2< x).

2: Aus 1“ 0 < p . . . ”

folgt via 317-51: 0 < p ↑2.

3: Aus 2“ 0 < p ↑2 ” und

aus 1“. . . p ↑2< x ”

folgt via 107-8: 0 < x

4: Aus 3“ 0 < x ”

folgt via 317-48:x≤(1 + x)↑2.

5: Aus 4“x≤(1 + x)↑2 ”

folgt via 107-3:x, (1 + x)↑2∈S.

6: Aus 1“. . . p ∈R...”

folgt via ∧SZ:p∈S.

...

Analysis #317 385

Beweis 317-53 a) VS gleich p∈317.0(x) .

...

7: Aus 6“p∈S” und

aus 5“...(1 + x)↑2∈S”

folgt via 107-14: (p < 1 + x)∨(1 + x≤p).

Fallunterscheidung

7.1.Fall p < 1 + x.

7.2.Fall 1 + x≤p.

8: Aus 5“x . . . ∈S”

folgt via 160-12:x≤1 + x.

9: Aus 3“ 0 < x ” und

aus 8“x≤1 + x”

folgt via 107-8: 0 <1 + x.

10: Aus 9“ 0 <1 + x” und

aus 7.2.Fall“ 1 + x≤p”

folgt via 317-37: (1 + x)↑2≤p↑2.

11: Aus 4“x≤(1 + x)↑2 ” und

aus 10“ (1 + x)↑2≤p↑2 ”

folgt via 107-8:x≤p↑2.

12: Aus 1“. . . p ↑2< x ”

folgt via 107-13:¬(x≤p↑2).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: p < 1 + x

386 Analysis #317

Beweis 317-53 bcd) VS gleich 0 < x.

1: Aus VS gleich “ 0 < x ”

folgt via 317-30:∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <1 : Ω < x).

2.1: Aus 1“...0<1 : Ω ...”

folgt via 317-51: 0 <(1 : Ω) ↑2.

2.2: Aus 1“...Ω∈N...”

folgt via 317-17: (1 : Ω) ↑2≤1 : Ω.

3: Aus 2.2“ (1 : Ω) ↑2≤1 : Ω ” und

aus 1“...1 : Ω < x ”

folgt via 107-8: (1 : Ω) ↑2< x.

4.b): Aus 1“∃Ω : (1 ≤Ω∈N)...” ,

aus 2.1“ 0 <(1 : Ω) ↑2 ” und

aus 3“ (1 : Ω) ↑2< x ”

folgt: ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(0 <(1 : Ω) ↑2< x).

4.1: Aus 1“...0<1 : Ω < x ”

folgt via 107-12: 1 : Ω ∈R.

5: Aus 1“...0<1 : Ω ...” ,

aus 4.1“ 1 : Ω ∈R” und

aus 3“ (1 : Ω) ↑2< x ”

folgt via 317-52: 1 : Ω ∈317.0(x) .

6.c): Aus 1“∃Ω : (1 ≤Ω∈N)...” und

aus 5“ 1 : Ω ∈317.0(x) ”

folgt: ∃Ω : (1 ≤Ω∈N)∧(1 : Ω ∈317.0(x) ).

6.d): Aus 5“ 1 : Ω ∈317.0(x) ”

folgt via 0-20: 0 6=317.0(x) .

Analysis #317 387

317-54. 0 ist eine untere ≤Schranke von 317.0(x) . Falls x∈S, so ist 1 + xeine

obere ≤Schranke von 317.0(x) .

317-54(Satz)

a) 317.0(x)⊆⌉⌋0|+∞⌈⌊.

b) 317.0(x)⊆S.

c) 0untere ≤Schranke von 317.0(x).

d) Aus “ x∈S” folgt “ 1 + xobere ≤Schranke von 317.0(x)” .

e) Aus “ yist ≤Infimum von 317.0(x)” folgt “ 0≤y” .

f) Aus “ x∈S” und “ yist ≤Supremum von 317.0(x)”

folgt “ y≤1 + x” .

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def).

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-54 ab)

1: Via 2-7 gilt: ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]⊆⌉⌋0|+∞⌈⌊.

2.a): Aus 1

folgt via 317-50(Def):317.0(x)⊆⌉⌋0|+∞⌈⌊.

3: Via 142-4 gilt: ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ⊆S.

4.b): Aus 2.a)“317.0(x)⊆⌉⌋0|+∞⌈⌊ ” und

aus 3“⌉⌋0|+∞⌈⌊ ⊆S”

folgt via 0-6:317.0(x)⊆S.

388 Analysis #317

Beweis 317-54 c)

Thema1 α∈317.0(x) .

2: Aus Thema1“α∈317.0(x) ”

folgt via 317-53: 0 < α.

3: Aus 2“ 0 < α ”

folgt via 41-3: 0 ≤α.

Ergo Thema1:A1



“∀α: (α∈317.0(x) ) ⇒(0 ≤α) ”

2: Aus ∈schola“ 0 ∈Sund

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈317.0(x) ) ⇒(0 ≤α) ”

folgt via 157-7: 0 untere ≤Schranke von 317.0(x) .

d) VS gleich x∈S.

1.1: Aus ∈schola“ 1 ∈R” und

aus VS gleich “ x∈S”

folgt via +SZ: 1 + x∈S.

Thema1.2 α∈317.0(x) .

2: Aus Thema1.2“α∈317.0(x) ”

folgt via 317-53:α < 1 + x.

3: Aus 2“α < 1 + x”

folgt via 41-3:α≤1 + x.

Ergo Thema1.2:A1



“∀α: (α∈317.0(x) ) ⇒(α≤1 + x) ”

2: Aus 1.1“ 1 + x∈S” und

aus A1 gleich “ ∀α: (α∈317.0(x) ) ⇒(α≤1 + x) ”

folgt via 157-7: 1 + xobere ≤Schranke von 317.0(x) .

Analysis #317 389

Beweis 317-54 e) VS gleich yist ≤Infimum von 317.0(x) .

1: Via des bereits bewiesenen c) gilt: 0 untere ≤Schranke von 317.0(x) .

2: Aus VS gleich “ yist ≤Infimum von 317.0(x) ” und

aus 1“ 0 untere ≤Schranke von 317.0(x) ”

folgt via 36-1(Def): 0 ≤y.

f) VS gleich (x∈S)∧(yist ≤Supremum von 317.0(x) ).

1: Aus VS gleich “ x∈S...”

folgt via des bereits bewiesenen d):

1 + xobere ≤Schranke von 317.0(x) .

2: Aus VS gleich “ yist ≤Supremum von 317.0(x) ” und

aus 1“ 1 + xobere ≤Schranke von 317.0(x) ”

folgt via 36-1(Def):y≤1 + x.

390 Analysis #317

317-55. Zwecks einfacheren Zitierens soll die “ Negations-Version” von 317-52

nachgereicht werden.

317-55(Satz) Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) p /∈317.0(x).

ii) “¬(0 < p)” oder “ p /∈R” oder “ ¬(p↑2< x)” .

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def).

≤-Notation.

Beweis 317-55

1: Via 317-52 gilt: (p∈317.0(x) ) ⇔((0 < p ∈R)∧(p↑2< x)).

2: Aus 1

folgt. (p /∈317.0(x) ) ⇔((¬(0 < p ∈R)) ∨(¬(p↑2< x))).

3: Aus 2

folgt: (p /∈317.0(x) ) ⇔((¬(0 < p)) ∨(¬(p∈R)) ∨(¬(p↑2< x))).

4: Aus 3

folgt: (p /∈317.0(x) ) ⇔((¬(0 < p)) ∨(p /∈R)∨(¬(p↑2< x))).

Analysis #317 391

317-56. Falls 0 < x ∈R, so hat das ≤Supremum von 317.0(x) ansprechende

Eigenschaften.

317-56(Satz) Es gelte:

→)0< x ∈R.

→)yist ≤Supremum von 317.0(x).

Dann folgt:

a) 0< y ≤1 + x.

b) y∈R.

c) ¬(y↑2< x).

d) ¬(x < y ↑2).

e) y↑2 = x.

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def).

≤.RECH-Notation.

Beweis 317-56

————————————————————————————

RECH-Notation.

————————————————————————————

1.1: Aus →)“ 0 < x . . . ”

folgt via 317-53: 0 6=317.0(x) .

1.2: Aus →)“ 0 < x . . . ”

folgt via 107-9:x∈S.

2.1: Aus 1.1“ 0 6=317.0(x) ”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈317.0(x) .

2.2: Aus 1.2“x∈S” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via 317-54:y≤1 + x

...

392 Analysis #317

Beweis 317-56 a) ...

3.1: Aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ” und

aus 2.1“...Ω∈317.0(x) ”

folgt via 36-4: Ω ≤y.

3.2: Aus 2.1“...Ω∈317.0(x) ”

folgt via 317-52: 0 <Ω.

4: Aus 3.2“ 0 <Ω ” und

aus 3.1“ Ω ≤y”

folgt via 107-8:0< y

1: Aus ∈schola“ 1 ∈R” und

aus →)“. . . x ∈R”

folgt via +SZ: 1 + x∈R.

2: Aus 1“ 1 + x∈R”

folgt via 107-11: 1 + x < +∞.

3: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < y ≤1 + x.

4: Aus 3“. . . y ≤1 + x” und

aus 2“ 1 + x < +∞”

folgt via 107-8:y < +∞.

5: Aus 3“ 0 < y . . . ” und

aus 4“y < +∞”

folgt via 107-12:y∈R.

Analysis #317 393

Beweis 317-56 c)

1: Es gilt: (y↑2< x)∨(¬(y↑2< x)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall y↑2< x.

2.1: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < y.

2.2: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen b):y∈R.

3: Aus 2.1“ 0 < y ” ,

aus 2.2“y∈R” und

aus 1.1.Fall“y↑2< x”

folgt via 317-43:∃Ω : (0 < y < Ω∈R)∧(y↑2<Ω↑2< x).

4: Aus 3“...0< y < Ω...”

folgt via 107-8: 0 <Ω.

5: Aus 4“ 0 <Ω ” ,

aus 3“...Ω∈R...” und

aus 3“...Ω↑2< x ”

folgt via 317-52: Ω ∈317.0(x) .

6: Aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ” und

aus 5“ Ω ∈317.0(x) ”

folgt via 36-4: Ω ≤y.

7: Aus 6“ Ω ≤y”

folgt via 107-13:¬(y < Ω).

8: Aus 3

folgt: y < Ω.

Ende wfFallunterscheidung ¬(y↑2< x).

394 Analysis #317

Beweis 317-56 d)

1: Es gilt: (x < y ↑2) ∨(¬(x < y ↑2)).

wfFallunterscheidung

1.1.Fall x < y ↑2.

2.1: Aus 1.1.Fall“x < y ↑2”

folgt via 107-13:¬(y↑2≤x).

2.2: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen a): 0 < y.

3.1: Aus 2.1“¬(y↑2≤x) ”

folgt via 41-5:¬(y↑2< x).

3.2: Aus 2.2“ 0 < y ” und

aus 1.1.Fall“x < y ↑2”

folgt via 317-49:

∃Ω : (0 <Ω< y)∧(Ω ∈R)∧(x < Ω↑2< y ↑2).

4: Aus 3.1“¬(y↑2< x) ”

folgt via 317-55:y /∈317.0(x) .

5: Aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ” ,

aus 4“y /∈317.0(x) ” und

aus 3.2“...Ω< y . . . ”

folgt via 173-2:∃ξ: (ξ∈317.0(x) ) ∧(Ω < ξ < y).

6.1: Aus 5“. . . ξ ∈317.0(x)...”

folgt via 317-52:ξ↑2< x.

6.2: Aus 3.2“ 0 <Ω...” und

aus 5“. . . Ω< ξ . . . ”

folgt via 317-37: Ω ↑2< ξ ↑2.

7.1: Aus 6.1“ξ↑2< x ”

folgt via 107-13:¬(x < ξ ↑2).

7.2: Aus 3.2“. . . x < Ω↑2...” und

aus 6.2“ Ω ↑2< ξ ↑2 ”

folgt via 107-8:x < ξ ↑2.

Ende wfFallunterscheidung ¬(x < y ↑2).

Analysis #317 395

Beweis 317-56 e)

1.1: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen c):

¬(y↑2< x).

1.2: Aus →)“ 0 < x ∈R” und

aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via des bereits bewiesenen d):

¬(x < y ↑2).

1.3: Aus →)“ 0 < x . . . ”

folgt via 107-9:x∈S.

1.4: Aus →)“yist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via 157-3:y∈S.

2: Aus 1.4“y∈S”

folgt via 317-21:y↑2∈S.

3: Aus 2“y↑2∈S” und

aus 1.3“x∈S”

folgt via 122-2: (y↑2< x)⋆

aut (y↑2 = x)⋆

aut (x < y ↑2).

4: Aus 3,

aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: y↑2 = x.

396 Analysis #317

317-57. Zu jedem x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ gibt es ein y∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ mit

y↑2 = x.

317-57(Satz)

a) Aus “ 0< x ∈R” folgt “ ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 = x)” .

b) Aus “ x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋”

folgt “ ∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x)” .

c) (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋] = {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

d) (↑2)[T] = {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

————————————————————————————

≤-Notation.

Beweis 317-57

————————————————————————————

317.0(x) = ⌉⌋0|+∞⌈⌊ ∩(↑2)−1[⌉⌋0|x⌈⌊]317-50(Def)

————————————————————————————

a) VS gleich 0 < x ∈R.

1: Via 317-54 gilt: 317.0(x)⊆S.

2: Aus 1“317.0(x)⊆S”

folgt via 190-3:≤

sup 317.0(x) ist ≤Supremum von 317.0(x) .

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : Ω = ≤

sup 317.0(x) .

4: Aus 3“...Ω = ≤

sup 317.0(x) ” und

aus 2

folgt: Ω ist ≤Supremum von 317.0(x) .

5: Aus VS gleich “ 0 < x ∈R” und

aus 4“ Ω ist ≤Supremum von 317.0(x) ”

folgt via 317-56: (0 <Ω) ∧(Ω ∈R)∧(Ω ↑2 = x).

6: Aus 3“∃Ω...” und

aus 5“ (0 <Ω) ∧(Ω ∈R)∧(Ω ↑2 = x) ”

folgt: ∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 = x).

Analysis #317 397

Beweis 317-57 b) VS gleich x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

1: Aus VS gleich “ x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via 317-8: (x= 0) ∨(0 < x < +∞)∨(x= +∞)∨(x=nan).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x= 0.

2: Es gilt: ∃Ω : Ω = 0.

3.1: Aus 2“...Ω = 0 ”

folgt via 317-8: Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3.2: Aus 317-14“ 0 ↑2 = 0” ,

aus 2“...Ω = 0 ” und

aus 1.1.Fall“x= 0”

folgt: Ω ↑2 = x.

4: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 3.1“ Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 3.2“ Ω ↑2 = x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x).

1.2.Fall 0< x < +∞.

2: Aus 1.2.Fall“ 0 < x < +∞”

folgt via 107-12:x∈R.

3: Aus 1.2.Fall“ 0 < x . . .” und

aus 2“x∈R”

folgt via des bereits bewiesenen a):∃Ω : (0 <Ω∈R)∧(Ω ↑2 = x).

4: Aus 3“...Ω∈R...”

folgt via 107-11: Ω <+∞.

5: Aus 3“...0<Ω...” und

aus 4“ Ω <+∞”

folgt via 317-8: Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

6: Aus 3“∃Ω...” ,

aus 5“ Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 3“...Ω↑2 = x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x).

...

398 Analysis #317

Beweis 317-57 b) VS gleich x∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

...

Fallunterscheidung

...

1.3.Fall x= +∞.

2: Es gilt: ∃Ω : Ω = +∞.

3.1: Aus 2“...Ω = +∞”

folgt via 317-8: Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3.2: Aus 317-14“ (+∞)↑2 = +∞” ,

aus 2“...Ω = +∞” und

aus 1.3.Fall“x= +∞”

folgt: Ω ↑2 = x.

4: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 3.1“ Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 3.2“ Ω ↑2 = x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x).

1.4.Fall x=nan.

2: Es gilt: ∃Ω : Ω = nan.

3.1: Aus 2“...Ω = nan ”

folgt via 317-8: Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3.2: Aus 317-14“nan ↑2 = nan” ,

aus 2“...Ω = nan ” und

aus 1.4.Fall“x=nan”

folgt: Ω ↑2 = x.

4: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 3.1“ Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 3.2“ Ω ↑2 = x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x).

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt:

∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = x).

Analysis #317 399

Beweis 317-57 c)

Thema1.1 α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

2.1: Aus Thema1.1“α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1.1“α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ”

folgt via des bereits bewiesenen b):

∃Ω : (Ω ∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)∧(Ω ↑2 = α).

3: Aus 2.2“ Ω ↑2 = α” und

aus 2.1

folgt: Ω ↑2 Menge.

4: Aus 317-4“↑2 Funktion” ,

aus 2.2“...Ω∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ...” und

aus 3“ Ω ↑2 Menge ”

folgt via 18-27: Ω ↑2∈(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋].

5: Aus 2.2“...Ω↑2 = α” und

aus 4

folgt: α∈(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋)⇒(α∈(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋] ”

1.2: Aus 317-11“{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T”

folgt via 8-9: (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]⊆(↑2)[T].

2: Aus 1.2“ (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]⊆(↑2)[T] ” und

aus 317-13“ (↑2)[T]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋”

folgt via 0-6: (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3: Aus 2“ (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

A1 gleich “ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆(↑2][{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋] ”

folgt via GleichheitsAxiom:

(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋] = {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

400 Analysis #317

Beweis 317-57 d)

1.1: Via 317-13 gilt: (↑2)[T]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

1.2: Aus 317-11“{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆T”

folgt via 8-9: (↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋]⊆(↑2)[T].

2: Via des bereits bewiesenen c) gilt:

(↑2)[{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋] = {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

3: Aus 2und

aus 1.2

folgt: {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆(↑2)[T].

4: Aus 1.1“ (↑2)[T]⊆ {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ” und

aus 3“{nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋ ⊆(↑2)[T] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (↑2)[T] = {nan} ∪ ⌈⌊0|+∞⌉⌋.

Literatur Essays 249-317 401

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uhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie, B.I. Mann-

heim/Wien/Z¨

urich, 1981.

•H. Brauner,Differentialgeometrie, Vieweg, 1981.

•N. Dunford & J.T. Schwartz,Linear Operators. Part I: General Theory,

Wiley, 1988(6).

•K.P. Grotemeyer,Topologie, B.I. Mannheim/Wien/Z¨

urich, 1969.

•E. Landau,Grundlagen der Analysis, Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt,

1970.

•H.B. Mann & D.R. Whitney,On a test wheter one of two random

variables is stochastically larger than the other, Annals of mathematical

statistics 18:50-60(1947).

•R. Mlitz,Analysis 1.2.3, Vorlesungsskriptum, TU Wien, 1984.

•Wikipedia.http://de.wikipedia.org/wiki/Neutrophiler Granulozyt.

Datum: 14-01-09. Letzte ¨

Anderung: 13-12-12 06:46.