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FAKULTÄT FÜR

ELEKTROTECHNIK,

INFORMATIK UND

MATHEMATIK

Ankunftszeitdetektion für

die Polarisationsmodendispersion

in der optischen Übertragung

Zur Erlangung des akademischen Grades

DOKTORINGENIEUR (Dr.-Ing.)

der Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik

der Universität Paderborn

vorgelegte Dissertation

von

Dipl.-Ing. Vitali Mirvoda

aus Taganrog

Referent: Prof. Dr.-Ing. Reinhold Noé

Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Rolf Schuhmann

Tag der mündlichen Prüfung: 29.05.2008

Paderborn, den 28.01.2009

Diss. EIM-E/240

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Wissenschaftlicher

Mitarbeiter am Lehrstuhl Optische Nachrichtentechnik und Hochfrequenztechnik der

Universität Paderborn.

Besonders danken möchte ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Reinhold Noé, unter dessen

wissenschaftlicher Leitung diese Arbeit durchgeführt wurde. Seine stete Unterstützung,

Forderung und wertvollen Ratschläge trugen wesentlich zum Gelingen der Arbeit bei.

Für die Übernahme des Koreferats danke ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Rolf Schuhmann.

Den früheren und jetzigen Mitarbeitern danke ich für die freundschaftliche

Zusammenarbeit und die viele andere Diskussionen.

Hier möchte ich besonders Herrn Dr.-Ing. David Sandel und Herrn Dr.-Ing. Suhas

Bhandare für seine Hilfsbereitschaft und die zahlreiche Diskussionen danken, auch mein

Dank gilt zum Herr Gerd Wieseler, Herr Bernd Bartsch, für die technische Unterstützung in

meiner Arbeit.

Ein weiterer Dank gilt Herrn Dr.-Ing. Wladimir G. Kostornitschenko für seinen

Glauben an mich und die Unterstützung.

Herrn Dipl.-Ing. Silvain Chotchidjoum danke ich für die Durchführung der

Experimente und theoretische Untersuchungen in seiner Diplomarbeit.

Herrn Dipl.-Ing. Sebastian Hoffmann danke ich für die Korrektur dieser Dissertation.

Für finanzielle Unterstützung möchte ich auch DAAD danken.

Meine liebe Ehefrau Elena und meine Kinder mussten während der Durchführung

dieser Arbeit oft auf mich verzichten. Meiner Familie danke ich für ihr Verständnis, ihre

endlose Geduld, ihre Hilfe und Liebe.

Diese Arbeit widme ich meinen Eltern.

Paderborn, im Januar 2009

III

Dissertation

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung…………………………………………………………………. 1

2 Theoretische Grundlagen……………………………………………….... 3

2.1 Polarisation in Eigenmoden-Faser..………………………………………... 3

2.2 Beschreibung der Polarisation……………………………………...….….... 7

2.2.1 Jones-Matrix und Jones-Vektor……………………………………………. 7

2.2.2 Müller-Matrix und Stokes-Vektor…………………………………….……. 9

2.2.3 Kohärenz-Matrix…………………………………………………..……….. 12

2.3 Doppelbrechung……………………………………………………...…….. 14

2.4 Modenkopplungseffekt……………………………………………………... 18

2.5 Linearer elektrooptischer Effekt (Pockels-Effekt)………………………..... 19

2.6 Polarisationsregelung……………………………………………………..... 20

3 Beschreibung der Polarisationsmodendispersion……………………..... 29

3.1 PMD Definition als PSP Modell…………………………………………... 29

3.2 Stochastischer Charakter der PMD………………………………………... 33

3.3 Definition für PMD höherer Ordnung……………………………………... 38

3.3.1 Taylor-Reihe……………………………………………………………….. 39

3.3.2 Aneinanderreihung von DGD Sektionen………………………………….. 40

4 Ankunftszeitdetektion………………………………………………….… 43

4.1 Ankunftszeitdetektion bei Übertragung nur einer Polarisation…….………. 44

4.2 Aufbau und Beschreibung der PLL……………………………………….. 48

4.2.1 Arbeitsprinzip…………………………………………………………….... 48

4.2.2 Multiplizierender Phasendetektor……………………………………….…. 49

4.2.3 Linearisierte Beschreibung………………………………………………… 49

4.2.4 Einrastprobleme, Haltebereich………………………………………….…. 50

4.2.5 Empfindlichkeit der PMD-Detektion……………………………………… 51

5 Polarisationsscrambler………………………………………………….... 53

5.1 Polarisationsabhängiger Scrambler…………………………………….….. 53

5.2 Polarisationsunabhängiger Scrambler…………………………………...… 60

5.3 Aufbau und Messergebnisse……………………………………………….. 63

6 Zusammenfassung und Ausblick………………………………..…….… 74

Literaturverzeichnis…………………………………………………….…. 75

Verzeichnis der wichtigsten Abkürzungen

AKF Auto-correlation function Autokorrelationsfunktion

CD Chromatic dispersion Chromatische Dispersion

DGD Differential group delay Gruppenlaufzeitdifferenz

DOP Degree of polarization Polarisationsgrad

EDFA Erbium-Doped Fiber Amplifier Erbium-dotierter Faserverstärker

EM eigenmodes Eigenmodus

ER Elliptical retarder Elliptischer Retarder

FLC Ferroelectric Liquid Crystals Ferroelektrische Flüssigkristalle

HWP Half wave plate Halbwellenlängenplatte

LWL Optical Fiber Lichtwellenleiter

NRZ Non return to zero Nicht auf Null zurückgeht

PAS Polarization dependent scrambler Polarisationsabhängige Scrambler

PBS Polarization beam splitter Polarisationsstrahlteiler

PCD Polarization-dependent chromatic

dispersion Polarisationsabhängige chromatische

Dispersion

PDF Probability density function Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

PLL Phase locked loop Phasenregelkreis

PMD Polarization mode dispersion Polarisationsmodendispersion

PMDC Polarization mode dispersion

compensator Polarisationsmodendispersionskompensator

PMF polarization-maintaining fiber Polarisationserhaltende Faser

PRBS Pseudo random bit sequence Pseudozufallsfolge

PSP principal state of polarization Polarisationshauptzustand

PUS Polarization independent

scrambler Polarisationsunabhängige Scrambler

QWP Quarter wave plate Viertelwellenlängenplatte

RMS Root mean square Effektivwert

RZ Return to zero Auf Null zurück geht

SBA Soleil-Babinet analog Soleil-Babinet Analog

SBC Soleil-Babinet compensator Soleil-Babinet Kompensator

SOP State of polarization Polarisationszustand

VCO Voltage-controlled oscillator Spannungsgesteuerter Oszillator

WDF Probability density function Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

WDM Wavelength division multiplex Wellenlängenmultiplex

Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichnen

Griechische Symbole

Dämpfungskoeffizient

G Doppelbrechungsvektor

Ausbreitungskonstante

G Doppelbrechungsvektor

Δ Laplace-Operator, Brechzahldifferenz

 inverser dielektrischer Tensor

Ausbreitungskonstante, Verzögerungswinkel

()

Delta-Funktion

Elliptizitätswinkel

Dielektrizitätstensor

Wellenlänge, Eigenwerten

Azimutwinkel, Orientierungswinkel

Λ räumische Periode

magnetische Permeabilität

Δ differenzielle Gruppengeschwindigkeit

Gruppengeschwindigkeit

v Phasengeschwindigkeit

G Spin Pauli-Matrix

Spannungstensor

Varianz

Δ differenzieller Gruppenlaufzeitunterschied

± Gruppenlaufzeiten von Hauptpolarisationen

Phase, Verzögerung

()

Φ PLL-Funktionen

 Suszeptibilitätstensor

Kopplungskoeffizient

Δ Haltebereich

Kreisfrequenz

G Dispersionsvektor

VII

Lateinische Symbole

()bt Bitfolge

Phasenkonstante

c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

C Kovarianzmatrix

d Drehewinkel

d Verzögerung

(

)

d± Eigenvektoren

D Gesamtübertragungsmatrix

D Wellenleiterdispersion

G Ortsvektor

ein

e±

G Eigenvektoren

()

G elektrische Feldstärke

E Amplitude der elektrischen Feldstärke

E Elastizitätsmodul

()

Schleifenfilterübertragungsfunktion

()

G magnetische Feldstärke

g Elektrodenabstand

()

Schleifenverstärkung

G Drehematrix

h Kopplungslänge

()

Übertragungsfunktion

I Einheitsmatrix

()

t Intensität

J Jones-Vektor

J Bessel-Funktion

k Modenkopplungskoeffizient

k Wellenzahl

k± Eigenwerten

K Verstärkungsfaktor

K Kohärenz-Matrix

K Hankel-Funktion

L Schwebungslänge

VIII

L spektrale Leistungsdichte

Müller-Matrix, Transformationsmatrix

n Material-Brechungsindex

G PMD-Ortsvektor

r Radius

r Koeffizienten des elektrooptischen Tensors

Rotationsmatrix

G Stokes-Vektor

S Vektorkomponente des Stokes-Vektors

t Zeit

()

ttΔ Ankunftszeitsignal

T Temperatur

()

Jones-Matrix

V Faserparameter

Vbc Steuerspannungen

w Torsionsrate

G Doppelbrechungsvektor

Kapitel 1

Einleitung

Die Entwicklung des Datenübertragungssystemen ist sehr wichtig für die moderne Wirtschaft.

Besonders faseroptische Systeme nehmen dabei eine zentrale Rolle ein. Jede

Übertragungsstrecke, die länger als 30 km ist, jetzt eine faseroptische Strecke ist.

Faseroptische Systemen haben viele Vorteile gegenüber konventionellen Systemen

(Kupferdrähten):

1. Größere Bandbreite

2. Geringere Dämpfung

3. Geringe Abmessungen.

Nachdem das Problem der Chromatischen Dispersion (CD) durch die Entwicklung von

Dispersionskompensatoren im Form von Fasergittern (engl. Fiber Bragg Gitter) [Kas], [Loh],

[San1], Benutzung von Kompensationsfaser [Grü], [Das] gelöst werden konnte und geeignete

Verfahren zur Verstärkung der Signale durch Erbium-dotierte Faserverstärker (EDFA) [Spi],

[Bja] und Raman-Verstärker [Moc], [Aok] zur Verfügung stehen bleibt in

Übertragungssystemen die Bestimmung und Kompensation Polarisationsmoden-Dispersion

(PMD) das Hauptproblem.

PMD ist zur Zeit das größte Hindernis auf dem Wege zur Entwicklung moderner

Datenübertragunssysteme. Im Systemen mit Datenraten ≥40Gbit/s kann PMD die

Übertragungsgüte so stark beeinträchtigen, dass ohne PMD-Kompensator kein fehlerfreier

Datentransfer möglichst.

Um die Übertragungskapazität zu vergrößern, erweitert man in bestehende Strecken zu

WDM-Systemen und benutzt dispersionstolerante Modulationsformate bei

Datenübertragungssystemen.

Hauptursachen für die Entstehung von PMD ist die Abweichung (Änderung) von der

zylindrischen Symmetrie des Faserkernes z.B. bei mechanischem Druck auf die Faser oder

schwankenden Temperaturen. Diese Faktoren können sowohl langsam als auch ziemlich

schnell zeitveränderlich sein. Deswegen muss man ein System haben, das in der Lage ist,

PMD in Echtzeit zu messen und zu kompensieren.

Zur Zeit gibt es generell zwei Verfahren zur Senkung des PMD-Einflusses auf die

Datenübertragung: entweder Wechsel von „alte“ Fasern mit größerem PMD, auf neue Fasern

oder Installation von PMD-Kompensatoren im Übertragungsstrecken. Der zweite Weg ist von

Vorteil, weil er erheblich kostengünstiger ist. Die Einwirkung der PMD auf den Datentransfer

wird mit Vergrößerung des Datenraten weiter zunehmen.

In dieser Arbeit werden einige Fragen der Entwicklung der PMD-Messtechnik betrachtet.

Im zweiten Kapitel werden zuerst die Grundlagen des optischen System betrachtet.

Hier werden auch verschiede PMD-Ursachen erläutert.

Im dritten Kapitel wird eine detailierte Beschreibung der PMD gegeben. Hier wird auch PMD

höherer Ordnung eingeführt.

Im vierten Kapitel wird ein Ankunftszeitdetektionsprinzip beschrieben. Hier wird auch die

Arbeitsweise des Phasenregelkreises (PLL) erläutert.

In fünftem Kapitel wird zuerst das Arbeitsprinzip des Polarisationsscrambers erwähnt. Hier

werden theoretische Lösungen für den polarisationsabhängigen Scrambler (PAS) und den

polarisationsunabhängigen Scrambler (PUS) gezeigt. Auch praktische PMD-Messergebnisse

werden diskutiert.

Die Motivation für diese Arbeit war der Aufbau eines Messsystems, das genau schnelle und

zugleich kostengünstig PMD-Signal zu detektieren ermöglichst.

Dieser Signal muss proportional zur DGD sein, und sollte in PMD-Kompensation Aufbau

benutzt werden. Dieser Aufbau hat die besondere Eigenschaft, sich selbst, optimieren zu

können und dabei ständig PMD-Signale Messen zu können.

Kapitel 2

Theoretische Grundlagen

In dieser Kapitel werden einige theoretische Grundlagen erläutert, die zur mathematischen

Herleitung und Beschreibung der Polarisationsmodendispersion und deren Kompensation

wichtig sind. Zunächst wird die Wellenausbreitung in einmodigen Wellenleitern betrachtet.

Danach werden Polarisationsbeschreibungsmethoden so wie Jones-Matrix und Jones-Vektor,

Müller-Matrix und Stokes-Vektors diskutiert. Auch wird die Poincaré-Kugel betrachtet, die

eine einfachere Darstellung des Polarisationzustandes liefert. Der lineare elektrooptische

Effekt wird als Arbeitsprinzip der Lithiumniobatskristalle vorgestellt.

2.1 Polarisation in Eigenmoden-Faser

Fasern als Lichtwellenleiter sind normalerweise kreisrund und haben einen Glaskern mit dem

Brechungsindex k

n und einem Glasmantel mit Brechungsindex m

n. Normalerweise muss der

Brechungsindex des Kernes ein wenig größer als der Brechungsindex des Mantels sein (die

schwach führende Faser 1Δ), weil Kern und Mantel annähernd gleich hohe optische

Qualität haben müssen und sich zur Vermeidung innerer Spannungen thermisch gleichartig

ausdehnen sollen [Ung].

nn>

−

Δ=

Typische Daten von Quarzglasfasern für Einmodenfasern:

2 125

⋅= 210am

⋅

= 0,3%Δ≅

Die Modenfelder der Stufenprofilfaser können analytisch berechnet werden. Verwendet

werden Zylinderkoordinaten , ,rz

. Dabei geht man davon aus, daß Kern- und Mantelbereich

homogen sind und an der Kern-Mantel-Grenzfläche müssen die Tangentialkomponenten der

Feldstärken stetig sein.

Die kartesischen Feldkomponenten i

Eund i

{

}

,,ixyz=∈ der Moden dieser Faser erfüllen

die Helmholtzgleichung

()

2,, 0

kEr z

Δ+ =

 (2.1)

entsprechend in Kernbereich 222 2

0kk

kkn

=−

, und k

n n const

und in Mantelbereich haben 2222

0mm

kkn

=−

und m

n n const

rr r r

∂∂ ∂

⎛⎞

Δ= +

⎜⎟

∂∂ ∂

⎝⎠ ist der Laplaceoperator bezüglich der Koordinaten r und

Die Feldverteilung einer ausbreitungsfähiger Mode erstreckt sich sowohl über den

Kernbereich als auch über den Mantelbereich der Faser, denn für die Ausbreitungskonstante

gilt [Pol]:

00km

kn kn

>> . (2.2)

Da die Indexdifferenz

zwischen Kern und Mantel sehr klein ist

(

)

1Δ, kann man zeigen,

das unter dieser Voraussetzung als geführte Moden nahezu vollkommen einheitlich linear

polarisierte Felder gewählt werden können [Glo]. Solche so genannte ,lp

LP −Moden besitzen

eine transversale elektrische Feldstärke, die nur kartesische Komponente aufweist, o.B.d.A.

kann dies die Ey-Komponente sein.

Ein Separationsansatz in Zylinderkoordinaten

(, ,) () ( ) jz

Er z Fr e

ϕϕ

−

=⋅Φ⋅ (2.3)

führt zu zwei gewöhnlichen Differenzialgleichungen für ()

und ()Fr.

Als Lösungen mit nicht singulären Funktionswerten kommen im Kernbereich Bessel-

Funktionen l

J (Erster Art, l-ter Ordnung) in Frage, als Lösungen mit abklingendem

Verhalten im Mantelbereich modifizierte Hankelfunktionen l

K. Die Felder geführter

LP−Moden einer Stufenprofilfaser können damit in folgender Form dargestellt werden:

()

(, ,) cos( )

Ju Ju für ra

Er z Ee l r

Kw Kw für ar

ϕϕ

−

⎧⎛⎞

≤

⎜⎟

⎪

⎪⎝⎠

=⋅⋅

⎨⎛⎞

⎪

≤

<∞

⎜⎟

⎪⎝⎠

⎩

(2.4)

mit 22 2

uakn

=−

; 222

wa kn

=−

und ganzzahligem 0,1,2,...l

Die Lösung der Gleichung (2.4) ist erst dann vollständig, wenn die möglichen

−Werte der

verschiedenen Moden bekannt sind. Diese Werte ergeben sich aus den Randbedingungen an

der Kern-Mantel-Grenzfläche: ,,,

HEH

ϕϕ

Die z-Komponenten von E und H ergeben sich dabei direkt aus den Transversalkomponenten

mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen und sind klein gegen die Transversalkomponenten.

Da die Randbedingugen an der Kern-Mantel-Grenze stetig sein muß, sind für die ,lp

−

Moden in schwach führenden Fasern näherungsweise erfüllt, wenn die Größe u und w der

charakteristische Gleichung

()

() ()

()

11ll

Ju Kw

−−

=− (2.5)

gehorchen [Glo]. Für den Fall schwacher Führung können die Randbedingungen auch so

formuliert werden, daß y

und y

r∂∂

stetig sein müssen.

Eine ,lp

LP −Welle entsteht, wen man eine ,lp

−

Welle und eine ,lp

EH −Welle überlagert.

0,p

LP −Wellen bilden einen Sonderfall unter den LP

−

Wellen. Da es die

H−Wellen mit

negativer Umfangsordnung 1q=− für diese LP

−

Wellen nicht gibt, sind 0,p

LP −Wellen

identisch mit den 1, p

HE −Wellen. Die 11

−

bzw. 01

−

Welle ist die Grundwelle der

Stufenfaser.

Zur Darstellung der Modeneigenschaften benutzt man die als normierte Frequenz bezeichnete

Größe V, die man folgendermaßen definiert;

22 22 2 2

km km

Vkann ann u w

=−= −=+

. (2.6)

Diese Größe wird V-Parameter, oder auch normierter Frequenzparameter genannt. Sie hängt

von Kerndurchmesser und Brechzahlen der Faser in Kern und Mantel und auch von

Lichtwellenlänge ab.

Die Phasenkonstante B fasst Ausbreitungskonstante

und Betriebswellenlänge

mit den

Brechungsindexes des Kerns und des Mantels zusammen

() ()

2222

22 2 2

km km

kn kn

Bnn V V nn

ββ

−−

===−≈

−−

. (2.7)

Die Größe dieser Parameter bestimmt darüber, welche Moden sich in der Faser ausbreiten

können.

Wenn der V-Parameter in Bereich

[

]

0...2.405V∈ liegt, ist nur der so genannte Grundmode

ausbreitungsfähig. Im Fall der Stufenindexfaser ist dies der 11

HE −Mode. Wenn der

Frequenzparameter V>2.405 ist, führt die Faser neben dem 11

−

Mode zuerst noch den

HE −, 01

H− und 01

E−Mode [Jeu]. Ausbreitung optischer Signale in der Faser in

verschiedenen Moden kann zur Interferenz zwischen diesen Moden führen und folglich zu

Signalverzerrungen. Um die Signalverzerrungen zu vermeiden, benutzt man bei der

Datenübertragung die Faser mit einem Faserparameter V<2.405, eine so genannte Einmoden-

oder Monomodefaser.

Die Feldverteilung des Grundmodus ergibt sich nach Gleichung (2.4) zu

()

001 001

(, ,)

Ju Ju für ra

Er z Ee r

Kw Kw für ra

−

⎧⎛⎞

≤

⎜⎟

⎪

⎪⎝ ⎠

=⋅

⎨⎛⎞

⎪≥

⎜⎟

⎪⎝⎠

⎩

(2.8)

wobei sich 01

u und 01

wdurch die normierte Konstante 01

ausdrücken lassen.

01 01

( ) (1.1428 0.9960/ )

() 1

()

uV V B

wV V B

≅−

=⋅ −

=⋅

(2.9)

Die Feldverteilung ist zylindersymmetrisch, die transversale elektrische Feldstärke hat ein

Maximum auf der Achse und fällt im Mantelbereich annährend wie eine Exponentialfunktion

ab.

Intensitätsverteilung LP01-Modus über dem Faserquerschnitt einer Einmodenfaser.

Mit dem Begriff Dispersion bezeichnet man in der optischen Übertragung die Streuung der

Laufzeiten eines gespeisten Signals über das Ensemble der geführten Moden oder über das im

Signal enthaltene Wellenlängen- bzw. Frequenzspektrum. Sie äußert sich im allgemeinen

durch eine Vergrößerung der zeitlichen Dauer von Impulsen bei ihrer Ausbreitung durch die

optische Faser [Mar1]. Die chromatische Dispersion beruht auf der Gruppenlaufzeitstreuung

innerhalb des einziggeführten Grundmodus über der Wellenlänge bzw. Frequenz. Die

chromatische Dispersion kann man bezeichnen als

πβ

υλωλω

⎛⎞

∂∂ ∂

===−

⎜⎟

∂∂∂ ∂

⎝⎠

(2.10)

wobei

eine Gruppengeschwindigkeit ist.

Die chromatische Dispersion ergibt sich als die Summe der Material- und der

Wellenleiterdispersion. Die Ursachen der Materialdispersion können zurückgeführt werden

auf Resonanzfrequenzen i

, bei denen Licht als elektromagnetische Strahlung von dem

Material absorbiert wird. Die Materialdispersion von reinem Quarzglas hat bei 1276nm

eine Nullstelle, für dotierte Gläser liegt diese bei 1,27...1,29 m

[Fle]. Die

Wellenleiterdispersion entsteht dadurch, daß sich die Feldausdehnung des Modus mit der

Wellenlänge verändert. In Anwesenheit einer Wellenleiterstruktur mit der kleinen

Brechzahldifferenz 12

nnΔ= − kann für die Wellenleiterdispersion geschrieben werden

()

dVB

cdV

=− ⋅Δ⋅ ⋅ . (2.11)

Durch geeignete Wahl von Δ und durch die Gestaltung des Brechzahlprofils kann der

gewünschte resultierende Wert der chromatischen Dispersion D einstellt werden. Für eine

Standardfaser bei 1550nm

= ergibt sich 17 / ( )Dpsnmkm

⋅.

Die PMD tritt aufgrund der Gruppenlaufzeitdifferenzen der beiden Polarisationszustände des

Grundmodus in Einmodenfasern auf.

2.2 Beschreibung der Polarisation

Um das PMD-Problem genau zu erläutern, muss man einige mathematische Beschreibungen

der Polarisation des Lichtes geben. Bei der Ausbreitung des Lichtes in der optischen Faser

kann der Polarisationszustand sich ändern. Um den Polarisationszustand zu definieren,

benutzt man den Jones-Vektor und Stokes-Vektor-Formalismus. Die Eigenschaften des

Mediums beschreibt man mit Hilfe der Jones-Matrix und der Müller-Matrix. Graphisch lässt

sich der Polarisationszustand mit Hilfe der Poincaré-Kugel darstellen.

2.2.1 Jones-Matrix und Jones-Vektor

Wie aus dem vorangegangenen Kapitel folgt, kann man das Feld des Grundmodes einer

Einmodenfaser als transversale elektromagnetische Welle betrachten. Eine vollständig

polarisierte elektromagnetische Welle und ihre Transformation beim Durchgang durch das

optische Medium lässt sich durch die Jones-Matrix und den Jones-Vektor beschreiben werden

[Jon].

Der Polarisationszustand der vorangegangenen ebenen Welle wird durch den komplexen

Jones-Vektor beschrieben

()

(,) jtz

Ezt Ee

−

 . (2.12)

hier ist 0

die Kreisfrequenz, und

ist die Ausbreitungskonstante.

Diese Gleichung kann man auch in zwei Bestandteile in den Koordinaten x und y zerlegen

() ()

cos cos sin sin

ˆˆ

(,) sin cos cos sin

jtz jtz

xx yy j

Ee j

Ezt Ee Ee e e j

ωβ ωβ

εϑε

−−

⎡⎤ +

⎡

⎤

=+= =

⎢⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎢⎥

⎣⎦

 . (2.13)

Hier ist

der Azimutwinkel und

der Elliptizitätswinkel

Eine anschauliche Darstellung der Polarisation kann man in Form der Polarisationsellipse

gewinnen.



Abbildung 2.1: Polarisationsellipse Darstellung.

Der komplexe Vektor

cos cos sin sin

sin cos cos sin

JEj

εϑε

⎡⎤ +

⎡⎤

⎡

⎤

== =

⎢⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

(2.14)

wird Jones-Vektor [Ass] genannt.

Der normierte Jones-Vektor, der in der Praxis gebräuchlich ist, lässt sich in folgender Form

schreiben:

)

(

JEe

ϕϕ

−

⎡⎤

=⎢⎥

+⎢⎥

⎣⎦

(2.15)

wobei

− eine relative Phasendifferenz zwischen den Feldkomponenten ist.

Mit verschiedenen Phasendifferenz und Größen

E und y

E kann man beliebige

Polarisationszustande der optischen Welle darstellen. Einige spezielle Polarisationen sind in

Tabelle (2.1) zusammengefasst.

E⎛⎞

=⎜⎟

⎝⎠

E⎛⎞

=⎜⎟

⎝⎠

E⎛⎞

=⎜⎟

⎝⎠

E⎛⎞

=⎜⎟

−

⎝⎠

⎛⎞

=⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

=⎜⎟

−

⎝⎠

Tabelle 2.1 Jones-Vektoren Polarisationszustände.

H,V horizontale, vertikale Polarisation,

P,Q

45° lineare Polarisation,

R,L rechts/links zirkulare Polarisation.

Für einen beliebigen Polarisationszustand 1

J kann man einen anderen 2

J finden, so dass die

beiden orthogonal zueinander sind

12 0JJ

+=. (2.16)

Hier bedeutet „+“ hermitesch konjugierter Vektor.

Diese Eigenschaft kann man leicht demonstrieren, indem man einige Polarisationen aus

Tabelle (2.1) einsetzt:

⋅=

. (2.17)

Der Effekt der Polarisationstransformation bei Durchgang über Optisches Medium lässt sich

mit der 2×2 Jones-Matrix U beschreiben. Dabei sind Eingangspolarisation ein

J und

Ausgangspolarisation aus

J verbunden durch die Formel:

()

aus ein

JU J

=⋅

. (2.18)

Wenn das optische Medium keine polarisationsabhängige Verluste (Dämpfungen) oder

polarisationsabhängigen Verstärkungen hat, kann das Medium als unitäre Jones-Matrix in der

Form:

() ()

(

)

() ()

Uuu

⎡⎤

=⎢⎥

−

⎣⎦

(2.19)

mit

() ()

1uu

ωω

beschrieben werden. Die komplexen Matrix-Elemente

(

)

und

()

sind

frequenzabhängig. [Pol2].

2.2.2 Müller-Matrix und Stokes-Vektor

Verschiedene Polarisationszustände sind sehr übersichtlich darzustellen, wenn man

den Stokes-Vektor

[

]

0123

SSSSS=

 und Poincaré-Kugel dafür benutzt [Hec].

Der Jones-Formalismus ist sehr gebräuchlich, wenn es sich um vollständig polarisiertes Licht

handelt. Im Falle nicht vollständiger oder partieller Polarisation ist eines der Elemente des

Jones-Vektors ˆ

E, ˆy

E und der Phasendifferenz

−

nicht konstant, und der momentane

Wert ist nicht identisch mit dem mittleren Wert.

Um partiell polarisiertes Licht zu beschreiben, verwendet man den Stokes-Vektor, dessen

Elemente in dieser Form gegeben sind:

0**

() () () ()

2cos( )

2sin( ) () () () ()

xx yy

xy yx

xy x y

xy x y xy yx

EtEt EtEt

SEtEt EtEt

SSEtEt EtEt

SEE

EtEt EtEt

ϕϕ

⎡

⎤

⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

−

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

== =

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

−

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎣⎦

⎢

⎥

⎢⎥

−−

⎣⎦

⎣

⎦

. (2.20)

Jede Polarisation S

 wird charakterisiert durch Azimutwinkel

und Elliptizitätswinkel

denen ein Punkt auf der Poincaré-Kugel [Poi1], [Joh1] entspricht.



Abbildung 2.2: Darstellung der Polarisation auf Poincaré-Kugel.

H,V horizontale, vertikale Polarisation,

P,Q ±45° lineare Polarisation,

R,L rechts/links zirkulare Polarisation.

Jedem Punkt auf der Oberfläche lässt sich eine bestimmte Polarisation zuordnen, der die

„geometrische Länge“ 2

und „geometrische Breite“ 2

hat. Umgekehrt gehört auch

eindeutig zu jeder Polarisation ein Punkt auf der Poincaré-Kugel.

Für den normierten Stokes-Vektor und die geometrische Position des Stokes-Vektors auf der

Poincaré-Kugel gilt:

() ()

()

2, 22

cos 2 cos 2

2cos( )

sin 2 cos 2

sin 2

2sin( )

nxy x y

xy x y

SEE

SS EE

SEE

ϕϕ

⎡⎤

−

⎢⎥

⎡⎤

⎡

⎤

−

⎢⎥

⎢

⎥

== =

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣⎦

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

. (2.21)

Der Polarisationsgrad ( eng. Degree of Polarization, DOP) des Lichtes ist definiert als

222

123

SSS

DOP S

=. (2.22)

Wenn DOP=1 ist, ist das Licht vollständig polarisiert. Vollständig depolarisiertes Licht

entspricht dem Stokes-Vektor

[

]

1000

 und wird als Mittelpunkt der Poincaré-

Kugel dargestellt. Partiell polarisiertes Licht kann man sich als einen Punkt innerhalb der

Kugelhülle vorstellen.

Analog zur Jones-Matrix im Jones-Formalismus kann man die 4 4

Müller-Matrix für den

Stokes-Vektorraum verwenden. In diesem Fall werden Ausgangs- und Eingangsvektor in

Stokes-Raum durch eine Müller-Matrix in folgender Form verbunden:

aus ein

SMS=



. (2.23)

Wenn das Medium keine Verluste und Verstärkung hat, kann man die auf 33× Elemente

reduzierte Müller-Matrix G und normierte Stokes-Vektoren

[

]

123

SSSS=



verwenden.

Zum Beispiel kann man eine Polarisationstransformation betrachten, wenn die reduzierte

Müller-Matrix eine Drehmatrix ist. Wenn die Eigenmoden der Drehmatrix parallel zum 1

S-

Achse sind, kann man diese Matrix in Form schreiben:

10 0

0cos sin

0sin cos

⎡⎤

⎢⎥

=−

⎢⎥

⎣⎦

. (2.24)

Dann ergibt sich für

[

]

010

ein

 eine Drehung um den Verzögerungswinkel

cos

sin

aus ein

SGS

⎡⎤

⎢⎥

=⋅ =

⎢⎥

⎣⎦

 . (2.25)

2.2.3 Kohärenz-Matrix

Den Polarisationszustand kann man auch mit Kohärenz-Matrizen [Man], [Bor], [Wol]

beschreiben. Damit lässt sich vollkommen polarisiertes und unpolarisiertes Licht modellieren.

Die Kohärenz-Matrix K lautet

xx xy

xxy

yx yy

EE EE KK

EE KK

EE EE

+⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥

=⋅ = =

⎢

⎥

⎢⎥

⎣

⎦

⎣⎦

K . (2.26)

Eine beliebige Kohärenz-Matrix kann man als die Summe von zwei Matrizen, die jeweils nur

vollständig polarisiertes und vollständig unpolarisiertes Licht darstellen, beschreiben.

Die Spur von der Kohärenz-Matrix definiert die Intensität des Lichtes,

[

]

xyy xx yy

spur K K E E E E=+= +K. (2.27)

Kohärenz-Matrix und Jones-Matrix beschreiben die Umwandlung des teilpolarisierten

Lichtes, das sich im linearen nicht depolarisierenden Medium ausbreitet. Für die

Beschreibung der Ausbreitung des Lichtes durch ein depolarisierendes Medium wird die

Müller-Matrix benutzt.

Für vollständig unpolarisiertes Licht gilt: 0

xy yx

= und

xyy

Für vollständig polarisiertes Licht gilt:

yxxyy

KKK= und damit folgt,

dass die Kohärenz-Matrix auch hermitesch ist,

()

det 0

xx yy xy xy

KK KK=−=K. (2.28)

Im Fall des vollständig polarisierten Lichtes ist die Korrelation zwischen den beiden

Polarisationsrichtungen perfekt.

Polarisationsgrad zusammen mit Kohärenz-Matrix wird als Beziehung der Intensität

vollständig polarisiertes Licht zum vollen Lichtintensität definieren und wird in der Form

()

det

14Pspur

=−

⎡⎤

⎣⎦

K (2.29)

beschrieben.

Die vier Stokes-Parameter

()

0, 1, 2, 3

SSSSS=

 sind mit den Elementen der Kohärenz-Matrix

über

()

xx yy

xy yx

yx xy

SKK

SjK K

⎡⎤

⎡⎤⎢⎥

⎢⎥ −

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥ +

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

 (2.30)

verbunden.

Für die Beschreibung der Polarisation und deren Transformation in verlustfreien Medien

benutzt man oft die 2×2 Spin Pauli-Matrizen [Mes], [Hua], [Gor1]

01 23

10 10 01 0-j

, , ,

01 0-1 10 j0

σσσσ

⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤

== ==

⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣⎦

. (2.31)

Der Zusammenhang zwischen Stokes-Parametern, Kohärenz-Matrix und Pauli-Spin-Matrizen

ist durch

()

, 0, 1, 2, 3

S spur i

==K (2.32)

definiert. Umgekehrt gilt

2ii

=∑

K. (2.33)

Die Polarisationstransformation wird als 4

4 Müller-Matrix berechnet:

()

ij i j

M spur J J

= (2.34)

wobei J eine Jones-Matrix ist.

Die Kohärenz-Matrix kann man auch als Funktion des Jones-Vektors J (2.14) darstellen:

xx xy

yyx yy

EE EE

JJ E E

EEE EE

+⎡⎤

⎡⎤ ⎢⎥

⎡⎤

⋅= = =

⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦ ⎣⎦

K. (2.35)

Dabei bezeichnet + die Transposition einer Matrix.

Der Jones-Vektor wird im Polarisationsmedium transformiert, gemäß der Regel (2.18):

()

aus ein

JU J

=⋅

Die Kohärenz-Matrix wird wie folgt transformiert:

()

aus UJ UJ UJJ U U JJ U

+++ ++

⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅K (2.36)

so dass gilt

aus ein

=⋅ ⋅KK. (2.37)

Gleichung (2.37) ist die Hauptregel zur Ausbreitung teilweise polarisierten Lichtes durch ein

linear nicht depolarisierendes optisches Medium.

2.3 Doppelbrechung

Der Effekt der Doppelbrechung in einer optischen Faser lässt sich durch Anisotropie der

Faser erklären. Im isotropen Medium hängt die Ausbreitungskonstante

nicht von der

Wellenausbreitungsrichtung ab ( konst

) während sie im anisotropen Medium

eine

ortsabhängige Funktion ist ( , , )

=, d.h. dass zwei orthogonale ebene Welle

 und y



unterschiedliche Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten besitzen. Diese Eigenschaft der

Abhängigkeit der Brechzahl von der Polarisationsrichtung wird in der Optik als

Doppelbrechung bezeichnet.

Die Ursachen, die die Doppelbrechung in der Faser hervorrufen, können unterschiedlich sein.

Hauptursachen für die Doppelbrechung sind:

– Nicht ideal kreissymmetrische Faser aufgrund der Herstellung. Der Kern selbst ist

nicht exakt rund, sondern leicht elliptisch.

– Mechanischer Druck;

– Krümmungen;

– Torsionen.

Auch Temperaturschwankungen beeinflussen die Doppelbrechung.

Abbildung 2.3: Optische Faser unter mechanischem Druck und Biegung.

Die Differenz zwischen den zwei Ausbreitungskonstanten für die beiden Eigenmoden ist ein

Maß für die Polarisationsveränderung

nnn

cc c

ωωπ

ββ β λ

⋅

⋅⋅Δ

Δ= − = − = = ⋅Δ. (2.38)

Dabei ist

- die Kreisfrequenz der Signale,

c- die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,

- die Lichtwellenlänge;

Doppelbrechung kann den Polarisationszustand in der Faser ändern.

Bei Ausbreitung zweier Eigenmoden in leicht doppelbrechender Faser wächst die

Phasendifferenz beiden Moden

Δ kontinuierlich mit der Faserlänge.

Schnelle

Achse

Langsame

Abbildung 2.4: Die Doppelbrechung in der optischen Faser ändert die Eingangspolarisation

von linear nach elliptisch, zirkular, elliptisch, linear,...

Ist die Phasendifferenz gleich 2

, so reproduziert sich der Polarisationszustand. Diese Länge

L nennt man Schwebungslänge

ΔΔ

. (2.39)

Die Schwebungslänge B

L für eine einmodige Faser bei 7

10n

−

Δ≈ und 1550nm

= entspricht

≈15m. Für die stark doppelbrechende Faser liegt die Schwebungslänge im Bereich von

110 ;mm− eine schwach doppelbrechende Faser besitzt eine Schwebungslänge von 100m und

mehr [Nor].

Durch externe Einflüsse können die Polarisationseigenschaften der optisch doppelbrechenden

Faser sehr stark variieren.

In einer doppelbrechenden Faser breitet sich Licht in einer schnellen und einer langsamen

Achse mit unterschiedlichen Gruppengeschwindigkeiten aus. Die Differenz zwischen den

Gruppengeschwindigkeiten ergibt den differenziellen Gruppenlaufzeitunterschied

(differential group delay – DGD)

Ld ndn

dccd

βω

τυω ω

ΔΔ Δ

⎛⎞

Δ= =⋅ = +

⎜⎟

Δ⎝⎠

(2.40)

wobei

Δdie Differenz der Gruppengeschwindigkeiten in den beiden Eigenmoden ist.

Langsame

Achse

Schnelle

Abbildung 2.5: Impulsaufspaltung aufgrund der Doppelbrechung.

Üblicherweise liegt die Größe L

Δ im Bereich.0.05 1

skm….

Abbildung 2.5 zeigt Impulsverbreiterung aufgrund der Doppelbrechung.

Dieses Modell ist nur für die kurzen Strecken gültig, weil in längeren Strecken die

Doppelbrechung nicht konstant ist und sich entlang der Faser mit der Zeit ändern kann.

Um die Polarisationstransformation in einer langen Faser zu analysieren, muss man die Faser

in kurze Abschnitte lΔ zerlegen.

Die Polarisationänderung im Faserstück l

wird durch eine Jones-Matrix dj beschrieben, die

nur infinitesimal von der Einheitsmatrix I abweicht

11 21

12 22

() ()

() () ()

dj j l dl j dl

μμ

⎛⎞

=− =−⎜⎟

⎝⎠

ΙI. (2.41)

Die Matrix ()l

hat die Bedeutung einer lokalen längenbezogenen Änderungsrate der

Polarisation.

Die Matrix ()l

ist hermitesch, ihre Elemente 11 12 21 22

(), (), (), ()llll

μμμ

hängen vom

lokalen Doppelbrechungseffekt ab.

Das Produkt aller Jones-Matrizen ergibt den gesuchten Polarisationszustand

()



() ( ) (0)

El djk E

=⋅

∏



(2.42)

wobei (0)

 der lokale Polarisationszustand bei 0l

ist.

Ist ein doppelbrechendes Element homogen, so lassen sich seine Eigenschaften durch die

Transformationsmatrix

−

⎛⎞

⎜⎟

=⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

(2.43)

und die Rotationsmatrix

cos sin

sin cos

θθ

−

⎛⎞

−⋅

=⎜⎟

⋅

⎝⎠

(2.44)

beschreiben [Mar].

Die Gesamtübertragungsmatrix D wird in der Form

DRMR

−

=⋅ ⋅ (2.45)

angegeben.

Die Eigenvektoren

(

)

der Matrix D lassen sich als Spaltenvektoren der Rotationsmatrix

bestimmen.

()

cos

sin

cos

−

⎫

⎛⎞

=⎪

⎜⎟

⎝⎠

⎪

⎬

⎛⎞

−⎪

=⎜⎟

⎪

⎝⎠

⎭

(2.46)

Für 0

= ist das Element linear-doppelbrechend, für ( 90

±,45

=) ist das Element

rechts- bzw. linkszirkular-doppelbrechend.

In allen anderen Fällen ist das Element elliptisch-doppelbrechend.

Für ein homogenes doppelbrechendes Element mit elliptischen Eigenmoden lässt sich eine

Polarisationstransformation als Kreisbahn auf der Poincaré-Kugel darstellen.

(0)



()El



()

Abbildung 2.6: Darstellung einer Polarisationstransformation als Kurve auf der Poincaré-

Kugel.

Die Ebene, die man bei einem Schnitt entlang der Kreisbahn erhalten würde, steht senkrecht

auf der Eigenmodenachse

()

,dd

+−

Der Polarisationszustand ()El

 ändert sich bei einer Änderung

der Trägerfrequenz. Diese

Änderung kann in der Form

Δ= =⋅

Δ (2.47)

geschrieben werden.

2.4 Modenkopplungseffekt

Fasern für die optische Nachrichtentechnik sind gewöhnlich schwach führend, d.h. für ihre

relative Indexdifferenz Δ zwischen Kern und Mantel gilt 1

. Als geführte Moden können

nahezu vollkommen einheitlich linear polarisierte Felder gewählt werden. Diese Felder lassen

sich in zwei orthogonale Moden (die sog. Polarisationsmoden) aufteilen. Störungen der

Zirkularsymmetrie der Faser oder der Isotropie des Materials führen auch lokal zur

Ausbildung zweier orthogonaler Polarisationsmoden, die unterschiedlichen Laufzeiten durch

die Faser haben. Variieren die Störungen entlang der Faser, dann koppelt Licht zwischen den

Polarisationsmoden hin und her.

Die Doppelbrechung ist in einer reellen einmodigen Faser nicht konstant, sondern ändert sich

stochastisch entlang der Faser. Um diesen Effekt genauer zu verstehen, muss man sich die

Faser in kleine Stücke zerteilt denken, in denen die Doppelbrechung jeweils konstant ist. Die

modengekoppelte Struktur durch Kaskadierung von doppelbrechenden Elementen und die

Impulsaufspaltung sind in der Abbildung 2.7 dargestellt.

. . .

Abbildung 2.7: Impulsaufspaltung aufgrund der lokalen Doppelbrechung im kaskadierten

System.

Jedes Faserstück kann durch die Orientierung der Eigenmoden und eigene DGD (,,)

θφ

beschrieben werden. Die Gesamt-Jones-Matrix ()U

dieses System muss alle DGDs und

Orientierungen berücksichtigen

() () ()

iiii

UDRMR

ωω ω

−

∏∏ . (2.48)

Der Ausgangs Jones-Vektor kann in folgender Form geschrieben werden

() () ()

aus ein

EUE

ωω



. (2.49)

Zufällige Modenkopplung und eine entsprechende Gesamt-PMD hängt besonders stark von

der Temperatur ab, weil Temperaturschwankungen faserinterne Spannungen verursachen. Die

Größe der PMD ist auch von der Zeit und der Trägerfrequenz abhängig; deshalb muss sie als

ein stochastischer Prozess betrachtet werden.

Genauer wird der stochastische Charakter der PMD im folgenden Kapitel beschrieben.

2.5 Linearer elektrooptischer Effekt (Pockels-Effekt)

Es gibt Kristalle, die beim Anlegen eines elektrischen Feldes doppelbrechend werden. Dieser

Effekt heißt elektrooptischer Effekt. Wenn die Änderung der Brechzahl linear proportional

zum angelegten Feldstärke ist, spricht man vom linearen elektrooptischen Effekt (Pockels-

Effekt), obwohl das Medium und damit der Effekt eigentlich nichtlinear ist. Das Wort

„linear“ bezieht sich hier auf die lineare Abhängigkeit des Suszeptibilitätstensors

 vom

elektrischen Feld.

Der Suszeptibilitätstensor der Lithiumniobatkristalle kann in der Form

χχ

=+Δ



 (2.50)

dargestellt werden.

Dabei repräsentiert 0

 die Eigenschaften des unbeeinflußten Materials und Δ

 die

Änderungen durch das angelegte äußere elektrisches Feld. Die Änderungen des inversen

dielektrischen Tensors durch den linearen elektrooptischen Effekt werden durch

Lm m

Δ=∑

 , 1...6L= (2.51)

beschrieben, wobei Lm

r die Koeffizienten des linearen elektrooptischen Tensors und m

E die

Komponenten des von außen angelegten elektrischen Feldes repräsentieren.

Für die Kristalle LiNbO3 mit der trigonaler Struktur 3m gilt

22 13

ˆ00

−

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

. (2.52)

Die entsprechende Zahlenwerte der Koeffizienten sind in folgende Tabelle

zusammengefasst[Yar], [Kam]. Die elektrooptischen Koeffizienten haben die Einheit

10 mV

−

Koeffizient f<1MHz f>1MHz

r 9,6 8,6

r 6,8 3,4

r 30,9 30,8

r 32,6 28

In isotropen Medien ist die Phasengeschwindigkeit konstant.

Die Phasengeschwindigkeit ist definiert als Differentialquotient von z und t

dt k

==. (2.53)

k ist die Wellenzahl.

Ein Lichtstrahl, der in einen anisotropen Kristall einfällt, spaltet sich i.a. in zwei senkrecht zu

einander linear polarisierte Strahlen auf, die sich unterschiedlich schnell durch den Kristall

bewegen.

Dieses Phänomen bezeichnet man als Doppelbrechung des Kristalls. Die Achsen des so

genannten Indexellipsoids geben die Größe der Brechungsindizes an.

Lithiumniobat ist die trigonale Kristallstruktur mit der Punktgruppe 3m, Kristalle dieser

Gruppe sind optisch einachsig ( 222

120

nnn==,22

Das Indexellipsoid für LiNbO3 sieht so aus:

()

33 3

16 5

11 1

333

624

111

33 3

54 3

11 1

nn nn nn

rE rE rE

xyz rE rE rE y

rE rE rE

⎛⎞

⎜⎟

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

∑∑ ∑

∑∑∑

∑∑ ∑

(2.54)

oder

()()

()

() ()

222 2

12 13 22 23

33 42 51 61

1/ 1/

1/ 2 2 2 1

oyz oyz

ez y x x

nrErEx nrErEy

n r E z r E yz r E xz r E xy

++ + ++

++ + + + =

. (2.55)

2.6 Polarisationsregelung

Unter Polarisationsregelung versteht man eine automatisierte

Polarisationszustandtransformation von einem beliebigen Punkt auf der Poincaré-Kugel zu

einem anderen beliebigen Punkt auf der Poincaré-Kugel. Polarisationsregelung ist sehr

wichtig in optischen Übertragungssystemen. Bei kohärenten optischen Systemen muss der

Polarisationszustand der angekommenen optischen Welle an den der Lokallaser Lichtwelle

angepasst werden. Die erwünschte Überlagerung der Empfangslichtwelle mit einer lokalen

Lichtquelle ist nur bei aneinander angepassten Polarisationszuständen konstruktiv. Eine

Änderung der Polarisationszustände wird bei mehreren Aufgaben benötigt, dazu zählen:

1. Polarisationsmodendispersionskompensation in Übertragungsstrecken (PMD-

Kompensation)

2. Polarisationsmodulation für Polarisationsscrambling

3. Polarisationsregelung im Empfänger z.B. in Polarisationsmultiplex-Systemen

4. Polarisationsanpassung in optische Sensoren

Um eine endlose Polarisationsregelung zu realisieren, braucht man einen passenden

Polarisationsregler. Unter Begriff endlose Polarisationsregelung versteht man eine solche

Polarisationsregelung, bei der die Regelungselemente mit ihrem begrenztem Regelbereich

eine beliebige Polarisationstransformation ermöglichen. Um eine endlose

Polarisationstransformation zu realisieren müssen einige problematische Regelelemente

zurückgesetzt werden, wenn sie sich ihrem physikalischen Grenzbereich nähern.

Solche Prozeduren heißen Rücksetzprozeduren [Ulr2], [Wal1], [Noé2], [Noé3].

Polarisationsregler kann man in folgende Gruppen einteilen:

1. Mechanische Polarisationsstellglieder

2. Elektrische Polarisationsstellglieder

3. Magnetische Polarisationsstellglieder

4. Wärmegesteuerte Polarisationsstellglieder

Mechanische Polarisationsstellglieder sind z.B. Faserquetscher [Kra1], rotierende

Verzögerungsplatten [Ima1], Faserbiegungen [Oko1], [Oko2] oder piezokeramische Zylinder

mit Polarisationserhaltender Faser [Wal1]. Sie können so dimensioniert werden, dass sie als

Viertelwellenlängenplatte (QWP) oder als Halbwellenlängenplatte (HWP) betrachtet werden

können.

Trotz der prinzipiellen Möglichkeit zur Verwendung dieser Regler für eine

Endlospolarisationsregelung, kann man diese nur selten für eine langsamere

Polarisationsregelung benutzen.

Die größte Nachteile für mechanische Polarisationsregelungselementen sind Materialalterung

und eine sehr kleine Regelgeschwindigkeit.

In der Praxis benutzt man rotierende Faserspulen, die als HWP oder als QWP aufgewickelt

sind. Diese Faserspulen haben einstellbaren Eigenvektoren und eine feste relative

Phasenverzögerung der langsameren gegenüber dem schnelleren Eigenmoden [Wal1].

Nematische und smektische Flüssigkristalle (Deformed Helix Ferroelectric Liquid Cristalls

(DHF-FLC) können auch für Zwecke der endlosen Polarisationsregelung in der optischen

Übertragung benutzt werden [Mir1], [Hin1], [Asc1], [Ber1].

Die FLCs sind nicht-mechanische Polarisationstransformatoren.

Gegenüber zu den Faserspulen FLCs besitzen feste Eigenvektoren und eine einstellbare

Phasenverzögerung. In der Praxis hat jede FLC eine begrenzte Phasenverzögerung, und um

damit eine endlose Polarisationsregelung zu realisieren, muss man solche FLCs in Kette

kombinieren. Es wurde theoretisch nachgewiesen, dass man für eine vollständige

Modenkonversion wurde 6 FLC benötigt [Noé1].

Zu den Nachteilen von FLC für faseroptische Systeme zählen:

1. Spannungsabhängige Signaldämpfung.

2. Zeitliche Instabilität

3. Im Vergleich zu LiNbO3-Kristallen sind FLC relativ langsam. Die typische

Zeitkonstante für DHF beträgt ca. 200µs.

Deshalb wurden FLC bislang nicht zur Polarisationsregelung verwendet.

Zu den Vorteilen von FLC gegenüber LiNbO3 zählen die kleinen Aussteuerspannugen von 0

bis 10 Volt für FLC gegenüber bis zu 100 Volt für LiNbO3.

Eine wichtige Rolle in Polarisationsübertragungsystemen spielen Ti:LiNbO3-Bauelemente.

Auf Basis dieser Kristalle lassen sich verschiedene optische Komponente z.B. Modulatoren,

Polarisationsregler, Schalter, Polarisationsmodendispersionskompensatoren (PMDC)

aufbauen.

Für die Ti:LiNbO3 bleibt der lineare elektro-optische Effekt (Pockels-Effekt) des LiNbO3

erhalten (s. Kapitel 2.5).

Lithiumniobat betrachtet man als ein verlustfreies elektrisch anisotropes und magnetisch

isotropes

()

= Medium.

Für die Polarisationsregelungszwecke, also PMD-Messung und Kompensation, werden nun

zwei verschiedene Konfigurationen vorgestellt.

Die erste ist ein x-Schnitt Ti:LiNbO3-Bauelement mit z-Ausbreitungsrichtung mit isotropem

Wellenleiter, der parallel zur z-Achse orientiert ist [Tha1], [Tha2].

:Ti LiNbO

Abbildung 2.8: TE-TM-Modentransformator mit 3 abgetrennten Elektroden für die

effektive Phasenschiebung und Modenkonversion.

Der Polarisationsregler besitzt drei Elektroden, eine direkt über dem Wellenleiter und zwei

flankierende. Es werden zum Betrieb zwei unabhängige Steuerspannungen

V und c

angelegt.

Die zwischen die beiden äußeren Elektroden angelegte Spannung

V erzeugt ein Feld in y-

Richtung und erzeugt über 22

r eine Phasendifferenz in den Ausbreitungskonstanten:

TM 0 22

nnrEΔ∝+ , (2.56)

TE 0 22

nnrEΔ∝− , (2.57)

()

022TE TM y

nnnrE

=Δ −Δ ∼. (2.58)

Wenn man die Spannung c

V hinzuschaltet, erzeugt c

V ein vertikales elektrisches Feld und

einer Modenkopplung von TE- und TM-Moden über den Koeffizienten

()

61 22

rr=−

022

knrE∼. (2.59)

Beide elektrische Felder werden gleichzeitig an den Kristall angelegt und der entsprechende

Orientierungswinkel des linearen Retarders wird in der Form

()

tan

=∼ (2.60)

angegeben.

Die Verzögerung beträgt

12dkL

=, (2.61)

wobei L die Länge einer Elektrode ist.

Aus (2.60) und (2.61) folgt:

()

cos

Ed d∼ (2.62)

()

sin

Ed d∼. (2.63)

Legt man beide Spannungen an den Kristall, ermöglicht das eine gleichzeitige Einstellung

von Verzögerungswinkel und Orientierungswinkel.

Wenn diese zwei Spannungen gleichzeitig an den Kristall angelegt werden, wird eine

Verzögerung

22 22

CPS x y

ϕϕ ϕ

=+ +∼ (2.64)

von (2.62) und (2.63) zwischen linearen polarisierten Eigenmoden erzeugt, die durch den

normierten Stokes-Vektor

PS MC

ϕϕ

⎡⎤

±⎢⎥

⎣⎦

(2.65)

gegeben ist. Weil die Eigenmoden in der 12

−

-Ebene im Stokes-Raum liegen, ist die beste

Eingangspolarisation zirkular

[

]

00 1

. In der Praxis ist es nicht der Fall, aber man kann

mit einer 4

Platte eine beliebige feste Polarisation in eine zirkulare Polarisation umwandeln.

Mathematisch kann man den resultierenden Vektor SC



in der Form

()

22 2

222

cos 1 cos sin

1cos cos sin 0

sin sin cos

PS MC PS MC MC

PS MC MC PS PS

MC PS

ϕϕ ϕϕ ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

⎡⎤

+−

⎢⎥

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

=− + −

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

 (2.66)

angeben. Ein x-Schnitt, z-Ausbreitungsrichtung Ti:LiNbO3-Bauelement kann beschrieben

werden als drehbare lineare Wellenplate. Er wird auch als Soleil-Babinet Compensator (SBC)

bezeichnet.

Die SBC-Eigenmoden liegen auf dem 12

−

Kreis und sind linear polarisiert.

Für SBC lauten Jones-Matrix und Müller-Matrix mit Eigenmoden:

cos 2 sin 2 sin 2 sin 2

sin 2 sin 2 cos 2 cos2 sin 2

jV j

Jjj

δδ ϑδ

ϑδ δ ϑδ

⎡⎤

=⎢⎥

−

⎣⎦

, (2.67)

cos

sin

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

, (2.68)

()()

(

)

() ()()

1 cos4 1 cos4 cos sin 4 1 cos sin 2 sin

sin 4 1 cos 1 cos4 1 cos4 cos

Rcos2sin

sin 2 sin cos2 sin cos

ϑϑδ ϑδ

ϑδ ϑ ϑδ

ϑδ ϑδ δ

++− −⎡⎤

⎢⎥

−−++

⎢⎥

=−

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

(2.69)

cos2

V= sin2

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

. (2.70)

Ein ( ,2 )

SBC

kann eine zirkulare Eingangspolarisation

[

]

0,0, 1

endlos in eine beliebige

andere Polarisation transformieren [Noé1], [Noé2].

Ein ( ,2 )

SBC

besitzt einen begrenzte Verzögerungswinkel 0

≤≤ und eine

endlosvariable Orientierung 2

−∞ < < +∞ der Eigenmoden auf 12

−

Ebene der Poincaré-

Kugel.

In der Praxis verwendet man mehrere Elektroden auf einem Kristall, damit erhält man eine

Reihe Polarisationstransformatoren.

LiNbO

Abbildung 2.9: Schematische Darstellung eines Polarisationstransformators mit mehreren

Sektionen

Die Elektrodenpaare mit den Spannungen

(

)

(

)

(

)( )

12 34 56 78

V-V,V-V,V-V,V-V bilden 4

einzelne QWP.

Wenn man nebeneinander liegende Elektroden kombiniert, z.B. 1

V mit 3

V und 2

V mit 4

V, so

erhält man einen SBC.

Mit einem derartigem Kristall lässt sich also eine Polarisationsregelung oder ein optischer

Scrambler aufbauen.

Die zweite für die Praxis wichtige Kristallkonfiguration ist eine Kammstruktur im Ti:LiNbO3-

Bauelement mit x-Schnitt und y-Ausbreitungsrichtung.

Das Funktionsprinzip kann man als räumliche periodische Modenkopplung zwischen Wellen

mit verschiedenen Ausbreitungskonstanten beschreiben [Hei2].

Alle Elektrodenkämme besitzen eine räumliche Periode

. Zinken und ihre Zwischenräume

sind demnach jeweils etwa 4Λ breit. Aufeinanderfolgende Zinken einer Signalelektrode

haben als Abstand ganzzahlige Vielfache von

. Idealerweise ist die Elektrodenperiode

gleich der Schwebungslänge Beo

− zwischen TE- und TM- Wellen. Die

Quadraturelektrode (Spannung U2x) ist gegenüber der In-Phase-Elektrode (Spannung U1x ) in

Ausbreitungsrichtung um 4Λ verschoben. Das wird dadurch erreicht, dass die

Masseelektrode zwischen Kämmen verschiedener Signalelektroden abwechselnd um 4

und um 34Λ verbreitert ist. [Noé4].

Der typische Wert von Λ beträgt für 1550nm

beträgt 21 m

≈

Der Kopplungskoeffizient

berechnet sich nach der Formel (2.71):

nr g

χλ

=Γ . (2.71)

Dabei ist

n ein Brechungsindex (geometrisches Mittel von o

n und e

n [Sos1]),

U eine angelegte Spannung und

g der Elektrodenabstand 3...5gm

≈

[Alf2].

Der Faktor 0.16Γ≈ [Alf1] berechnet sich aus dem Überlappungsintegral zwischen den TE-

und TM-Modenfeldern und dem angelegten elektrischen Feld.

EIN

LiNbO

34Λ

4Λ

Abbildung 2.10: Schematische Darstellung eines PMD-Kompensators im Ti:LiNbO3

Bauelement mit x-Schnitt und y-Ausbreitungsrichtung

Die Jones Matrix für einen Wellenleiter-Abschnitt kann in der Form

arg( )

cos 2 sin 2

sin 2 cos 2

jUjU

Jje

ϕϕ

−+

⎡⎤

⋅⋅

=⎢⎥

⋅⋅

⎣⎦

(2.72)

angegeben werden

wobei 22

+∼ (2.73)

eine Verzögerung ist.

Die Eigenmode

()

12 12

xxx

EUjU UU

⎡⎤

=⎢⎥

−+ +

⎢⎥

⎣⎦

 (2.74)

(und die zweite, dazu orthogonale) liegt auf dem 23

−

Kreis der Poincaré-Kugel und kann

beliebig orientiert werden.

Dieses Bauelement besitzt eine große PMD, weil 0.07

nn n

=−≈ ist.

Die DGD für diesen Kristall beträgt deshalb

0.25

smm

dz c

=≈ . (2.75)

Wenn man mehrere solche Modenwandler kaskadiert, erhält man einen idealen PMD-

Kompensator [Noé5].

Ein Ti:LiNbO3-Bauelement-Kristall mit x-Schnitt und y-Ausbreitungsrichtung kann auch

beschrieben werden als drehbare lineare Wellenplatte, ein so genanntes Soleil-Babinet-

Analog (SBA).

Die SBA-Eigenmoden liegen auf dem 23

−

-Kreis.

Jones-Matrix und Müller-Matrix mit Eigenmoden lauten für das SBA

cos 2 sin 2

sin 2 cos 2

Jje

δδ

−

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

, (2.76)

−

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

, (2.77)

()() ()

() ()()

cos sin 2 sin cos 2 sin

1 cos4 1 cos4 cos sin 4 1 cos

Rsin2sin 22

sin4 1cos 1cos4 1cos4 cos

cos2 sin 22

δϑδ ϑδ

ϑϑδ ϑδ

ϑδ

δϑϑδ

ϑδ

⎡⎤

⎢⎥

−

⎢⎥

++− −

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

−−++

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

(2.78)

V= cos2

sin2

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

. (2.79)

Ein (,2)SBA

kann eine lineare x- oder y- Eingangspolarisation

[

]

1, 0, 0± endlos in eine

beliebige andere Polarisation transformieren [Noé1], [Noé2].

Ein (,2)SBA

besitzt einen begrenzte Verzögerungwinkel 0

≤≤ und eine

endlosvariable Orientierung der Eigenmoden in der 23

−

-Ebene der Poincaré-Kugel.

Kapitel 3

Beschreibung der Polarisationsmodendispersion

In langen Einmodenfasern werden aufgrund zahlreicher Doppelbrechungseffekte optische

Signale verzerrt. Solche Formen der Pulsverbreiterung über eine Faserstrecke mit

zufallsverteilter Doppelbrechung werden als Polarisationsmodendispersion (PMD) bezeichnet

[Pol2].

In folgenden werden verschiedene PMD-Modelle beschrieben. Das historisch gesehen erste

Modell zur PMD Beschreibung ist das so genannte Konzept der Hauptpolarisationzustände

(eng. PSP) von Poole und Wagner. Die Darstellung von PMD auf der Poincaré-Kugel ergibt

den PMD-Vektor (Dispersionsvektor) [Fos].

3.1 PMD Definition als PSP Modell

Man kann zeigen, dass für eine doppelbrechende Faser zwei Eingangspolarisationen

existieren, die sich mit verschiedenen Gruppengeschwindigkeiten in der optischen Faser

ausbreiten. Man nennt sie Hauptpolarisationen. Diesen Eingangspolarisationen werden in

erster Ordnung bezüglich der Frequenz unverändert am Ausgang der Faser erscheinen.

Eine Faser mit PMD lässt sich durch eine frequenzabhängige unitäre Jones-Matrix

() ()

(

)

() ()

Uuu

⎡⎤

=⎢⎥

−

⎣⎦

(3.1)

mit

() ()

1uu

ωω

+=, (3.2)

() ()

ωω

⋅=, (3.3)

beschreiben.

Im betrachteten Medium nimmt man an, dass die Faser keine polarisationsabhängige Verluste

oder Verstärkungen hat. In diesem Fall lässt sich die frequenzabhängige Ausgangspolarisation

in folgender Form schreiben:

()

(

)

()

aus ein

eeUe

βω

ωω

−

=⋅⋅



. (3.4)

Dabei ist

()

die Ausbreitungskonstante und

(

)

ein aus



stellen Eingangs- und Ausgangs-

Jones-Vektor dar.

Für dieses Medium werden Hauptpolarisationen ein



, sowie Gruppenlaufzeiten den beiden

Hauptpolarisationen

gesucht.

Diese lassen sich aus der Eigenwertegleichung

() ()

ein

UikUe

ωω

′−⋅=⎡⎤

⎣⎦

 (3.5)

bestimmen.

Die gesuchten Eigenwerte haben die Form

() ()

ku u

±′′

=± + . (3.6)

Einsetzen der gefundenen Eigenwerte in Gleichung (3.5) liefert die entsprechenden

Eigenvektoren

() ()

ein

uiku

ee uiku

ωω

⎡⎤

′−

⎡⎤

⎣⎦

⎢⎥

=⎢⎥

′−⎡⎤

⎣⎦

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

, (3.7)

wobei

eine beliebige Phase ist und

() () () ()

2* *

11 22

22ImDkkuuuu

ωωω

±±± ′′

⎡⎤

=− ⋅+ ⋅

⎣⎦

(3.8)

gilt.

Die Hauptpolarisationen 0

ein ein

+−

⋅=

 sind orthogonal zueinander.

Jede Eingangspolarisation kann in zwei Hauptpolarisationen aufgeteilt werden, und jeder Teil

breitet sich mit der entsprechende Gruppenlaufzeit

−

und

aus. Daraus folgt, dass das

DGD

()

Δ immer zwischen

+ und

−

schwankt. Der Laufzeitunterschied

()

Δ ist

die Differenz der gefundenen Eigenwerte

() () ()

guu

ωττ ω ω

+− ′′

Δ=−= + . (3.9)

Die Eigenvektoren sind für polarisationserhaltende Fasern (polarization-maintaining fiber,

PMF) gleich den Hauptpolarisationen.

Alternativ zur PMD-Charakterisierung mit Hilfe der Jones-Matrix kann man die PMD-

Eigenschaften durch den Dispersionsvektor

(

)



oder PMD-Vektor im Stokes-Raum

beschreiben. [Fos].

Den Dispersionsvektor

()

 nennt man auch Rotationsvektor, weil er eine anschauliche

Darstellung der Veränderung der Ausgangspolarisationszustände (eng. SOP) als Funktion der

Trägerfrequenz liefert

()

aus aus

∂=Ω ×

∂



. (3.10)

Der Betrag des Rotationsvektors

=Ω



ist die DGD zwischen

Hauptpolarisationszuständen.

Die Werte Ω

±Ω



 sind Hauptpolarisationen der PMF.

Die Richtung des PMD-Vektors Ω

 stimmt mit der Richtung der schnellen PSP überein.

[Nel1]. In Abbildung 3.1 wird die SOP-Änderung in konstant doppelbrechender Faser bei

Trägerfrequenzänderung gezeigt.

′



Abbildung 3.1: Ausgangspolarisationsveränderung aufgrund der PMD.

In einer realen Faser mit zufälligen Modenkopplungen sind DGD und PSP nicht konstant und

ändern sich mit der Trägerfrequenz, Temperatur, etc.

Gleichung (3.11) beschreibt den ortsabhängigen Verlauf der Ausgangspolarisationszustände

bei fixierter Senderfrequenz

()

aus aus

SWz S

∂=×

∂



. (3.11)

Dabei repräsentiert ( , )

 die lokale Doppelbrechung. Der gesamte Doppelbrechungsvektor

(, )

 kann als die Summe von drei verschiedenen Vektoren, die einzelne lokale

Doppelbrechungseffekte darstellen, beschrieben werden [Ulr]

() ()()

(, ) , , ,

Wz z z z

βωβωαω

=++



. (3.12)

Hierbei ist C

 eine Doppelbrechungsvektor aufgrund nicht zirkularer Form des Faserkerns,

 wird durch die mechanische Spannung verursacht und



durch die elastische Verdrehung

der optischen Faser.

Für den Stufenindex-Lichtwellenleiter (LWL) wurde die induzierte Doppelbrechung in der

folgende Form [Sny] berechnet:

()

,max

, 0.13 / 2

zeb

βωβ

≈= Δ

. (3.13)

In dieser Gleichung ist 222

1eba=− , wobei b und a kleine und grosse Halbachsen des

Faserkerns sind und 3

2.3 10−

Δ= × die relative Brechzahldifferenz zwischen Kern und Mantel

ist.

Der mechanische Spannungszustand im Bereich des Faserkerns ist durch einen

Spannungstensor

()

beschreibbar [Nye]. Er bewirkt über den elasto-optischen Effekt

eine Störung

()

δε

des dielektrischen Tensors, und resultiert daraus die

Doppelbrechung S



()()()

11 12 11 22

npp

νσ σ

=− − + −

. (3.14)

Um die Größenordnung des Effektes zu illustrieren, wird eine runde Quarzglasfaser mit der

aufgrund innerer Spannungen maximal möglichen Spannungs-Anisotropie

()

11 22

−

betrachtet. Letztere lässt sich grob abschätzen als max TE

≈

Δ⋅Δ⋅

. Dabei ist

Δ die

Differenz der linearen thermischen Ausdehnungskoeffizienten der beteiligten Materialien,

TΔ ist die Differenz von Erstarrungstemperatur (bei der Faserherstellung) und

Umgebungstemperatur, und E ist ein mittlerer Elastizitätsmodul. Mit 61

10 K

−−

Δ≈ und

10TKΔ≈ sowie 72

7 10 700ENm≈⋅ ≈ bar, ein Wert, der etwa 2 Größenordnungen unter

der theoretischen Zerreißfestigkeit von Quarzglas liegt [Bac]. Für 1.53 m

Wellenlänge

und mit den Materialkonstanten [Gra] von Quarzglas

(

)

11 12 0.15pp−=− und 0.17

= ergibt

sich eine relative Doppelbrechung 0.002

≈

, entsprechend einer Polarisations-

Schwebungslänge von 1

≈

mm.

Die in der Praxis gemessene Schwebungslänge einer PMF beträgt 2

≈

mm bei 1550 nm

Wellenlänge.

Bei der Biegung einer Faser entsteht eine transversale elastische Spannung im Kernbereich,

die die Doppelbrechung induziert wie eine von außen wirkende Querkraft. Im gebogenen

Zustand ist die „äußere“ Hälfte des Faserquerschnitts gedehnt (Abb. 3.2), die innere

gestaucht.

Abbildung 3.2: Gebogene Faser. B

-Krümmungsradius, 0125

≈

-Faserradius

Dieser transversale Druck zwischen den beiden Faserhälften induziert Doppelbrechung. Unter

der Vorraussetzung, dass die Faser elastisch homogen und isotrop sei, ergibt sich die Größe

der Biegedoppelbrechung als [Ulr3]

()()

11 22 1

npp R

βν

⎛⎞

Δ= − + ⎜⎟

⎝⎠

. (3.15)

Für eine Faser, die zu einer Spule mit Radius B

gebogen ist, kann die Verzögerung

ausgedrückt werden als

02B

δγ λ

⎛⎞

=⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠ (3.16)

mit einer dimensionslosen Materialkonstanten

(

)

(

)( )

11 12

2 1 0.86

Bnp p

γπ ν

=−+≈ für

Quarzglas. Die schnelle Achse dieser Doppelbrechung liegt parallel zum Krümmungsradius.

Wird sie mit 2

R= cm gebogen, bewirkt bei der Betriebswellenlänge 1.53

= µm eine

Biegedoppelbrechung von 5.4

Δ≈ rad m.

Bei 1.53

= µm ergeben N Windungen mit Radius B

eine Verzögerung von

0.055

≈⋅. (3.17)

Die mit elastischer Verdrillung verbundene Scherspannung induziert in Einmodenfasern

zirkulare Doppelbrechung, also eine Differenz der Ausbreitungskonstanten rechts- und links-

zirkularer Polarisationsmoden.

Unabhängig vom speziellen Indexprofil der Faser erhält man [Ulr]

()

11 22 TE

np pw

=− −

. (3.18)

Die Torsionsrate der Faser ist TE

=, und das Ausgangsazimut dreht sich um den Winkel

=, wobei L der Länge einer geradlinigen Quarzglasfaser ist.

3.2 Stochastischer Charakter der PMD

Eine reale einmodige Faser lässt sich als Kette kurzer Faserstücke darstellen. Jedes dieser

Faserstücke besitzt eine konstante Doppelbrechung, Länge und Orientierung des PMD-

Vektors. Alle diese Parameter können sich, wie schon früher erwähnt wurde, im Laufe der

Zeit ändern. Dieses Modell kann man sowohl bei zufälliger als auch bei nicht ganz zufälliger

Orientierung der verschiedenen Segmente benutzen [Wai]. Auch Doppelbrechung und die

Länge der einzelnen Segmente können zufällig oder konstant sein [Wil].

Eine zufällige Variation der gesamten Doppelbrechung der Faser ist das Ergebnis von

zufälligen Kopplungen zwischen Moden einzelner Faserstücke. Deswegen kann das Gesamt-

DGD definiert werden, wie ein Effektivwert der DGD. Alle Messungen der PMD können

nicht unendlich oft durchgeführt werden, deswegen besitzen solche Messungen nur eine

beschränkte Genauigkeit.

Den genauen Verlauf des gesamten PMD-Vektors entlang einer optischen Faser kann man mit

Hilfe der dynamischen Differentialgleichung [Pol3], [Fos], [Ulr] beschreiben:

() ()

(, ) (, )

zWz

Wz z

ωω

∂Ω ∂

=+×Ω

∂∂



(3.19)

wobei ( , )

 der PMD-Vektor ist und

(, )

 die lokale Doppelbrechung repräsentiert.

Mit ( , )

 können neben der lokalen Doppelbrechung, auch andere Störparameter wie z.B.

mechanische Spannung, Temperatur usw. ausgedrückt werden.

Zuerst wird die räumliche Abhängigkeit des Laufzeitunterschiedes

(

)

Δ gesucht.

Dieser Wert lässt sich aus der Gleichung (3.9) gewinnen:

() () ()

2,,

du z du z

zdd

ωω

τωω

Δ= + . (3.20)

Eine räumliche Abhängigkeit des elektrischen Feldes kann man in der Form

() ()

()

,, 2,,

() 2

iikz

Er z Er z

zik z i

αβ

ωω

αβ

⎡⎤

−+⋅ ⋅

⎢⎥

∂=⎢⎥

∂⎢⎥

⋅−+⋅

⎢⎥

⎣⎦

 (3.21)

schreiben

wobei 1

und 2

Ausbreitungskonstanten sind und

()

kz eine Kopplungskonstante ist, die proportional zur störenden Doppelbrechung ist.

Für den kodirektionale Modenkopplung im anisotropischen Wellenleiter lässt sich schreiben,

dass

()kz j

=Δ + ⋅Δ und

(, )Wz

⎡⎤

⎢⎥

=Δ

⎢⎥

⎣⎦

 sind [Noé9].

wobei kk

Δ≈Δ, 1,2,3k

und k

Δ sind die Änderungen der Ellipsenhauptachsen bei

Doppelbrechung.

Man kann (2.18) wie folgt umformen:

()

(

)

() () ()

,, ,,0

zizuu

Er z e Er

ψω ωω

ωω

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⋅

−+ ⎡⎤

=⎢⎥

−

⎣⎦



(3.22)

Die Transfermatrix J wird als Funktion von Kopplungskonstante ( )kz und von k

gesucht:

()()

(

)

,, ,,0Er z U Er

ωωω

=⋅



[

]

EEE

−

()

E21

VjV

⎡⎤

=⎢⎥

−

+⎣⎦

()

VjV

−

−−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

222 222

123 123

kkk

βε

ββ εεε

ΔΔΔ

===

Δ+Δ+Δ Δ+Δ+Δ

()

() () ()()

()() () ()

cos sin sin

sin cos sin

jz H

ziz

Ue e

zj z jkz z

kz z z j z

ψω

αψω

ββ β

βββ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−Δ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⋅

−+

⋅

−+

⎡⎤

=⋅ =

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

Δ+ Δ Δ

⎢⎥

=Δ

⎢⎥

ΔΔ−Δ

⎢⎥

⎣⎦

(3.20), (3.21) und (3.22) ergeben zusammen [Pol5]:

()

() 12

zehz

δτ ω

−

=−+. (3.23)

In Gleichung (3.23) ist h ein Parameter, den man üblicherweise benutzt für die

Kopplungsleistunganalyse im zweimodigen Wellenleiter mit zufälliger Doppelbrechung

[Kam2], [Kaw]. Er ist definiert durch

()( )

*iu

hkxkxuedu

+∞

−Δ

−∞

=−⋅

∫ (3.24)

wobei k eine Kopplungskonstante ist, die proportional zum ( , )Wz



ist [Pol3].

Den Wert 1h wird auch als mittlere Kopplungslänge bezeichnet.

Betrachtet man die Gleichung (3.23) für hz →∞, so erhält man

()

212

()

lim

zdh

ββ

δτ ω

→∞

−

=. (3.25)

Dies beschreibt den Fall, dass die Faser viel länger als die Kopplungslänge ist

()

1hz  und

Modenkopplung in der Faser schon mehrmals stattgefunden hat.

Im anderen Grenzfall 0hz →, also wenn die Faser kürzer als Kopplunglänge ist und

noch keine Modenkopplung stattgefunden hat, ergibt sich:

()

212

()

lim

δτ

→

−

=⋅

. (3.26)

Dabei ist der Laufzeitunterschied

proportional zur Faserlänge.

Zusammengefasst gilt also, dass für kürzere Strecke

proportional zur Faserlänge und für

längere Strecken proportional zur Wurzel der Faserlänge ist.

Die zweite Fragestellung, die untersucht wurde, betrifft die

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des PMD-Vektors.

Im Stokes-Raum besitzt der Dispersionsvektor 3 Komponenten, die Projektionen auf die 3

Hauptachsen

()

123

,,SSS sind.

Der PMD-Vektor lautet

[]

123 n

=Ω Ω Ω = Δ



ΩΩ

. (3.27)

Die Länge des Dispersionsvektors bestimmt das DGD der PMF.

222

123

Ω=Δ = Ω+Ω+Ω

. (3.28)

Den Gesamt-PMD-Vektor einer langen Strecke



kann man als Summe

Ω= Ω

∑



(3.29)

von N kleinen PMD-Strecken mit zufälligen Orientierungen beschreiben.

Dieser PMD-Vektor Verhalten entspricht einem dreidimensionalen „random walk“ Prozess

[Cur], [Wai], [Dju].

Für eine große Anzahl von Doppelbrechungselementen N→∞, lassen sich alle drei

Vektorskomponenten 123

,,ΩΩΩ als voneinander unabhängige gaußverteilte

Zufallsgrößen betrachten:

()

1,1,2,3.

fei

πσ

−

Ω= = (3.30)

Eine Summe von 3 gaußverteilten Zufallsvariablen ergibt eine maxwellverteilte Grösse, deren

normierte Verteilung x

=Δ man in der Form

()

-2

fx e

τπτ

Δ= Δ (3.31)

darstellen kann.

Dies ist bei [Cur], [For], [Gis2], [Lee] sowohl theoretisch, als auch praktisch für verschiedene

Faserstrecken überprüft worden.

Diese Verteilungen für DGD 1

Δ und 1

sind in Abbildung 3.3 dargestellt:

ΔΔ

WDF

0.1

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

10 15

20 25

30 35

Abbildung 3.3:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für normierte DGD.

Theoretisch gesehen kann sich die Größe des PMD-Vektors bis unendlich ausdehnen, was in

der Praxis aber nicht den Fall ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass DGD

größer als 2

wird, beträgt 1.7% oder 6 Tage pro Jahr, oder größer als 3

wird, beträgt 5

410

−

⋅oder 21

min pro Jahr.

Wie schon früher gezeigt wurde, ist die mittlere Größe des PMD-Vektors LΩ

∼

proportional zur Wurzel der Faserlänge.

Typische PMD Werte sind für eine neue Faser 0.01…0.05 /

skm, für eine alte dagegen

1…2 /

skm [Pet].

Der Effektivwert der DGD 2

Δ des Ensemble von PMF-Fasern, die mit den

entsprechenden Größen von i

, aber mit zufälligen Orientierungen im dreidimensionalen

Raum liegen, wird in der Form

Δ= Ω

∑ (3.32)

angegeben.

Da die WDF der DGD für N→∞ eine Maxwellverteilung besitzt, kann der Mittelwert der

DGD

Δ aus dem Effektivwert der DGD hergeleitet werden [Pap];

Δ= Δ . (3.33)

Als Alternative zur stochastischen Untersuchung des PMD-Vektors gelten die

Untersuchungen der AKF (die Autokorrelationsfunktion) des PMD-Vektors [Kar], [Sht].

Hauptvorteil dieses Verfahren ist die Berücksichtigungen von allen PMD-Ordnungen in

einfacher kompakter Form. Die AKF ergibt die Information über mittlere Wert der Produkten

PMD-Vektors im Verhältnis (in Wechselbeziehung) zur verschiedenen Frequenzen oder zu

den verschiedenen Zeitpunkten.

Die spektrale AKF kann in der Form

()()

12 2

31e

τω

τω τω ω

ΔΔ

−

⎛⎞

⎜⎟

⋅=−

⎜⎟

Δ⎜⎟

⎝⎠

 (3.34)

dargestellt werden,

wobei

()

 und

()

 PMD-Vektoren sind, für die Frequenzen 1

und 21

ωω

=+Δ.

3.3 Definition für PMD höherer Ordnung

PMD erster Ordnung wurde bei [Pol2] angegeben. Die Autoren haben herausgefunden, dass

es stets zwei orthogonale Eingangspolarisationen (PSP) gibt, für die sich die entsprechenden

orthogonalen Ausgangspolarisationen in erster Näherung frequenzunabhängig sind.

Alternativ zur diesen Definition kann man eine die Kleinsignal-Übertragungsfunktion für das

PMD-Medium benutzen [Noé1].

(

)

(

)

(

)

Re jt

(

)

PMD

Medium

Die komplexe Übertragungsfunktion

(

)

lässt sich in der Form

() ()()()()

()

00 0 0

2ein ein

Hj e U U U U e

ωωωωωωω

++ +

=++−



(3.35)

darstellen, wobei

ein

 Eingangspolarisation und

()

Jones-Matrix des PMD-Mediums,

- Modulationsfrequenz und

- Trägerfrequenz ist.

Wenn das PMD-Medium mit DGD

darstellt werden kann, lässt sich die

Übertragungsfunktion wie folgt vereinfachen,

()

cos sin

nin

Hj j S

τωτ

⎛⎞ ⎛⎞

=+Ω

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

. (3.36)

Hier n

 ist ein normierter Stokes-Vektor der schnelleren PSP und

.in

Sist ein normierter eingangsbezogener Stokes-Vektor.

Für den Fall, dass die Eingangspolarisation ein



mit der PSP übereinstimmt, vereinfacht sich

die Übertragungsfunktion weiter zu

()

Hj e

=. (3.37)

Das letzte Ergebnis zeigt, dass das Eingangssignal, das parallel zu einer der beiden PSP liegt,

am Ausgang entweder beschleunigt oder verlangsamt um 2

erscheint.

Den PMD-Vektor Ω

 kann man leicht ausdrücken durch in Elemente des Jones-Matrix wie

()

11 22

21 1 2

uu uu

juu uu

∗∗

⎡⎤

⎢⎥

Ω= −

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦







. (3.38)

Der entgegensetzte Weg vom PMD-Vektor maximal zweiter Ordnung bis hin zur Jones-

Matrix wurde gezeigt von Heisman [Hei1].

Im Fall, dass PSP und DGD frequenzabhängig sind, spricht man von PMD-höherer Ordnung.

Dabei ist der gesamte PMD-Vektor frequenzabhängig und zeichnet sich auf der Poincaré-

Kugel als eine komplexe Kurve ab.

3.3.1 Taylor-Reihe

Eine erste Definition von PMD höherer Ordnung wurde auf Basis einer

Taylorreihenentwicklung vorgestellt [Fos]

( )()()()()

000

1. 2. 3.

, , , 1 2! , ...

Ordnung Ordnung Ordnung

zzz z

ωω ω ωω ωω

•••

Ω+=Ω+Ω⋅+Ω +

     . (3.39)

Die einzelne Terme der Taylor-Reihe repräsentieren entsprechende PMD-Ordnungen.

Man kann auch sagen, dass die Anzahl der doppelbrechender Faserabschnitte in den

Übertragungsstrecke PMD-Ordnung gibt.

Der erste Term

() ()()

000

τω ω

Ω=Δ  zeigt die Orientierung und die Länge DGD

des PMD-Vektors erster Ordnung.

Der zweite Term

()

()()

()

() () ()

()

qqq

ωτω ω

ωω

τω ω

τω τ τ

ωω

∂Ω ∂

=Δ =

∂∂

∂Δ ∂

=+Δ=Δ+Δ

∂∂





(3.40)

der PMD-zweiter Ordnung darstellt, enthält zwei Komponenten.

Die erste Komponente q

 ist parallel zum

(

)



und zweite q



ist orthogonal dazu.

Der Term q

Δ bringt ein Depolarisationseffekt [Bül1], [Gle1], [Pen], indem q



eine

polarisationsabhängige Impulskompression oder -Ausbreitung induziert [Pol6].

Diesen letzte Effekt nennt man polarisationsabhängige chromatische Dispersion (PCD).

Er kann im Form der effektive Variation der chromatische Dispersion (CD) in der optischen

Faser beschrieben werden

eff

DL DL DL

=±=±⋅Δ

. (3.41)

Hier hat ± die Bedeutung von positiver oder negativer CD für beide PSPs.

Zu den Vorteilen der PMD-Definition höhere Ordnungen mit Hilfe Taylor-Reihe zählen:

1) Einfachere Analytische Berechnungen der PMD höherer Ordnungen.

2) Addieren oder Subtrahieren aller Ordnungen von CD zur PMD höherer Ordnung.

Zu den Nachteilen zählen:

1) Kein direkter Zusammenhang zu einem physikalischen Parameter der Faser.

2) Die reelle frequenzabhängige Kurve des DGD-Vektors auf Poincaré-Kugel wird nicht

mit Taylor-Reihe beschrieben, sondern durch eine Fourier-Reihe.

3.3.2 Aneinanderreihung von DGD Sektionen

Der gebräuchlichste Algorithmus zur Berechnung der Gesamt-PMD ist die Multiplikation

aller Müller-Matrizen der einzelnen Faserstücke

() ( 1)

121

...

nn n

MMMMMMM

−

. (3.42)

Dabei geht man davon aus, dass jedes Faserstück homogen doppelbrechend ist und eine reine

PMD-Strecke erste Ordnung darstellt. Mit einer endlichen Anzahl derartiger Segmente kann

man PMD höherer Ordnung beschreiben [Noé1].

Graphisch kann man solch eine Struktur als geknickte Kurve darstellen.



Abbildung 3.4: Das PMD-Profil und entsprechende Verkettung doppelbrechender

Faserabschnitte.

wobei jedes Segment eine Übertragungsstrecke repräsentiert.

Die Verdrehung zwischen Sektionen beschreibt man mit Hilfe von elliptischen Retardern

(ER).

Das DGD wird als frequenzabhängige Phasenverschiebung beschrieben. Die gesamte

Übertragungsfunktion erhält die Form:

() ()

(

)

(

)

11223344

...TS ER PS ER PS ER PS ER PS

ωτ ωτ ωτ ωτ

=⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ =

()

ER PS ER

ωτ

⎛⎞

=⋅

⎜⎟

⎝⎠

∏. (3.43)

Den elliptischen Retarder kann man einerseits definieren als Jones-Martix mit Eigenmoden

(EM):

123

23 1

cos 2 sin 2 ( )sin 2

( )sin 2 cos 2 sin 2

jV j V jV

ER jV jV jV

ϕϕ ϕ

⎡⎤

=⎢⎥

−−

⎣⎦

(3.44)

()

EM VjV

⎡⎤

=⎢⎥

−

+⎣⎦

(3.45)

222

123

1VVV++=

andererseits aber auch als Müller-Matrix

()

(

)

(

)

()

() ()

()

222

123 12 3 13 2

222

12 3 2 1 3 23 1

222

13 2 23 1 3 1 2

cos 1 cos sin 1 cos sin

1 cos sin cos 1 cos sin

1 cos sin 1 cos sin cos

VVV VV V VV V

ER VV V V V V V V V

VV V VV V V V V

ϕϕ ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ ϕϕ ϕ

⎡⎤

++ −− −+

⎢⎥

=−+ ++ −−

⎢⎥

−− −+ ++

⎣⎦

(3.46)

cos 2 cos 2

sin 2 cos2

sin 2

EM V

⎡⎤⎡ ⎤

⎢⎥⎢ ⎥

⎣⎦⎣ ⎦

. (3.47)

Hier ist zu erwähnen, dass der ER ein solcher Polarisationstransformator ist, der eine

beliebige Eingangspolarisation in eine andere beliebige Ausgangspolarisation transformieren

kann.

Zu den Vorteilen der PMD-Definition höherer Ordnung mit Hilfe von DGD-Sektionen kann

man zählen:

1) Eine einfache graphische Darstellung der DGD Profile.

2) Es ist einfacher, einen DGD-Emulator mit Hilfe von DGD-Sektionen aufzubauen,

als mit Hilfe der Taylor-Reihe für erste oder höhere Ordnung PMD [Kog1].

3) Ein PMD-Emulator mit DGD Sektionen funktioniert genauer als Emulator, der auf

Basis der Taylor-Reihe aufgebaut ist.

Nachteil dieses Verfahrens ist, dass man eine große Anzahl unbekannter Größen braucht, um

die PMD genau zu simulieren oder zu kompensieren. PMD höherer Ordnung benutzt man für

den Aufbau der PMD-Kompensator und PMD-Emulator.

Kapitel 4

Ankunftszeitdetektion

Um die PMD zu kompensieren, muss man sie schnell und genau messen können.

Einige PMD-Messverfahren [Tak1], [Yos1], [Noé1] messen PMD im Empfänger rein

elektrisch, wobei das Nutzsignal proportional zur Augenschliessung ist. Diese elektrischen

Signale erhält man nach Filterung im Empfänger. Im Falle, dass das DGD τ nur durch die

erste Ordnung begrenzt wird und kleiner als die Bitdauer ist, ist das Fehlersignal proportional

zum 2

, welches zu detektieren sehr kompliziert ist.

Andere Verfahren zur PMD-Messung, die auf der Senderseite Polarisationsverwürfler haben,

brauchen im Empfänger zusätzliche Optik [Ros1], [Sun1], [Yan1], damit das Nutzsignal

detektiert werden kann.

Hier wird ein Verfahren zur Ankunftszeitdetektion demonstriert.

Die Grundidee bei der Ankunftszeitdetektion liegt darin, dass bei der Variation der

Eingangspolarisation vor der PMF das gesendete Signal zwischen zwei PSP schwankt. Wenn

die Polarisation des gesendeten Signals übereinstimmt mit den Eigenmoden der DGD-

Sektion, dann wird der übertragene Datenimpuls nicht in zwei PSPs aufgeteilt und bleibt im

schnelleren oder langsameren PSP.

Sollte sich jetzt die Polarisation vom ursprünglichen PSP zum anderen PSP ändern, so wird

das Signal teilweise von einem PSP zum anderem herübergekoppelt. Dabei schwankt der

Schwerpunkt des empfangenen Impulses, und diese Variation wird im Empfänger in der PLL

(Phasenregelkreis) als Signal für den VCO (spannungsgesteuerter Oszillator) detektiert.

Diese Idee wird im Abb. 4.1 verdeutlicht.

PSP

ˆ()ttΔ

Polarisation

PMF

Intensität

Abbildung 4.1: Ankunftszeitvariation bei der Polarisationsänderung

Auf der linken Seite werden vier verschiedene linear polarisierte Impulse dargestellt. Oberster

und unterster Impuls ist parallel zum langsamen bzw. schnellen PSP der PMF und werden am

Ausgang verzögert und beschleunigt. Zwei mittlere Impulse sind nicht parallel zum PSP und

werden im zwei PSP gespalten, die sich in der PMF mit verschiedenen Geschwindigkeiten

ausbreiten. Der Schwerpunkt

()

ttΔ des empfangenen Impulses berechnet sich durch [Bro1]

() ()

()

ˆtI t dt

tdt

Δ=

∫∫ (4.1)

wobei

()

t die Intensität des Impulses und

t die Zeit ist.

Die Ankunftszeitsignalvariation kann man nach Integration des Eingangssignals durch den

Spannungsgesteuerter Oszillator im Phasenregelkreis im Empfänger messen. Dieses Signal ist

proportional zur DGD

und erlaubt eine PMD-Detektion, sogar wenn man die

Augenschliessung im Oszillogramm nicht erkennen kann.

Langsamere Polarisationsvariation im Sender erzeugt Schwankungen des Schwerpunktes des

empfangenen Impulses, welche linear proportional zum DGD sind.

Man kann verschiedene Polarisationsvariationen im Scrambler erzeugen, aber nicht jede

beliebige Depolarisation erlaubt automatisch die Bestimmung von Werten der DGD. Die

genaueren Anforderungen an der Polarisationsscrambler werden später beschrieben.

4.1 Ankunftszeitdetektion bei Übertragung nur einer Polarisation

Den Vektor des elektrischen Feldes der Hüllkurve der polarisierte Signale kann man in

folgender Form beschreiben

() () ()

2(1 )

ein y

tbtESjS

⎡⎤ ⎡⎤

=⋅ =

⎢⎥ ⎢⎥

⋅

⋅+ ⎣⎦

⎣⎦

E. (4.2)

Hierbei ist

() {

}

0,1bt∈ eine zeitabhängige binäre Bitfolge und

(

)

[]

SC 1 2 3

SS T

tSSS==

 der Stokes-Vektor des Signals.

Den Ausgangsvektor

()

aus tE kann man berechnen, wenn man die zeitabhängige Jones-

Matrix des Medium

()

tJ kennt. Also ist der Ausgangsvektor das Faltungsprodukt aus

Eingangsvektor und Impulsantwort des Mediums

() () ()

aus ein

tt t=∗EJE. (4.3)

Hier wird die Betrachtung PMD auf erster Ordnung begrenzt. Unmittelbar daraus folgt [Pol2],

dass

()

tJ o.B.d.A in der Form

() ()

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=QRQJ 20

τδ

t, (4.4)

beschrieben werden kann, wobei R und Q konstante unitäre Matrizen sind.

Die Matrix Q hat die Form

()

)1(

132

321

=Ω+Ω+Ω

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Ω+Ω−Ω

Ω−Ω−Ω+

Ω+

=nnn

nnn

Q, (4.5)

wobei

[]

nPSP 1n2n3n

==ΩΩΩ



ΩΩ ein normierter eingangsbezogener Stokes-Vektor des

schnelleren Polarisationshauptzustandes ist.

Das Ausgangsvektor

()

aus tE nimmt die Form

()

() ()

() 02

aus ein

δτ

⎡⎤

=∗

⎢⎥

−

⎣⎦

ERQ QE (4.6)

an.

Hierbei wird angenommen, dass

() ()

tbtb =

2 ist.

Die Intensität der empfangenen Signale lässt sich nach der Formel

() ()

()()

()

2TT

11S1S

tt b b

+−

==+Ω⋅+−Ω⋅E



 (4.7)

berechnen, wobei

b± die Bedeutung verschobener Signale

(

)

2bt

± hat.

Das Ankunftszeitsignal ist am einfachsten zu bestimmen, wenn angenommen werden kann,

dass der Bitimpuls in der Form

()

1, 2

bt sonst

⎧<

=⎨

⎩ (4.8)

zu beschrieben ist. Für NRZ-Kodierung ist p

t gleich die Bitdauer T, und für RZ-Kodierung

gilt p

tT<.

Für den Fall, dass die DGD nicht gleich null ist und die Eingangspolarisation nicht zu einem

PSP parallel ist, gilt Abb. 4.2.

−

Abbildung 4.2: Zeitdiagramm für die PMF übertragene Bitimpulse

Der Zähler des Ankunftszeitsignals ist gleich

()

() ()()

()

() () ()

22 2

TTTT

nnnn

() () ()

22 2

1S 1S1S 1S

22 2

TT T

tt t

tI t dt b dt b b dt b dt

ττ τ

−− − +

−+−+

−+ −− −

= −Ω ⋅ ⋅ + +Ω ⋅ + −Ω ⋅ + +Ω ⋅ =

∫∫ ∫ ∫



()()

()

1S1S

Tbb

+−

⎡⎤

= +Ω⋅ − −Ω⋅

⎣⎦



. (4.9)

Der Nenner des Ankunftszeitsignals lautet

()

()()

1S1S

tdt b b

+−

⎡⎤

= +Ω⋅ + −Ω⋅

⎣⎦

∫





. (4.10)

Zusammen mit den Normierungsbedingungen für

(

)

{

}

0,1bt∈ ergibt sich

ˆS= S 2

= ⋅Ω⋅ Ω⋅



. (4.11)

Ankunftszeitvariation kann man hervorrufen, indem man die Signalleistungsteilung in die

PSP einer PMF-Fiber mit einem Polarisationsscrambler ändert.

Der Polarisationsscrambler wird zwischen Sender und die optische Faser eingebaut. Der

Polarisationsscrambler funktioniert hierbei wie ein Depolarisator, aber nicht wie ein

beliebiger. Das Licht wird nach einem besonderen Algorithmus polarisiert. Ein

polarisationsunabhängiger Depolarisator kann aus zwei Wellenplatten QWP und HWP

bestehen, die sich mit zwei der verschiedenen Geschwindigkeiten drehen [Noé8].

Data in

40 Gbit/s

TX Data

out

RMS

Entscheider

und

Phasendetektor

PI VCO

Phasenregelkreis

PMD

Fiber

Depolarisator

∫

(

)

ttΔ

rms

tΔ

Abbildung 4.3: Ankunftszeitdetektion bei Übertragung nur einer Polarisation

Die Varianz von ˆ

Δ,

()

() ()

()

() ()

()

() ()

()

() ()

()

() ()

()

2TT

ˆPSP SC PSP SC

PSP SC SC

PSP SC SC SC SC PSP

PSP SC SC SC SC

ˆˆ SS

SS SS

tt t t

tt tt

ττ

⎛⎞

=Δ−Δ = ⋅Ω⋅ − ⋅Ω⋅ =

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞ ⎛⎞

=⋅Ω⋅ − =

⎜⎟

⎜⎟ ⎝⎠

⎝⎠

⎛⎞

=⋅Ω⋅ − ⋅ − ⋅Ω=

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

=⋅Ω⋅ − ⋅ −

⎜⎟

⎝⎠





 



 



 

PSP

PSP PSP

⋅

Ω=

⎛⎞

=⋅Ω⋅⋅Ω

⎜⎟

⎝⎠







(4.12)

hängt von der Kovarianzmatrix

() ()

()

() ()

()

SC SC SC SC

SS SS

tt tt=− ⋅−

 

C (4.13)

ab, welche eine Funktion wiederum der Scramblerausgangspolarisation ist.

Bei einem Übertragungsexperiment kann man nicht vorhersagen, wie PSP

eingerichtet sein

wird, und für die Maximierung von 2

für eine beliebige PSP Orientierung muss der

minimale Eigenwert der positiv semidefiniten Matrix C maximiert werden.

In optimalen Fall gilt

()

S0t=



und

() ()

SC,1 SC,1 SC,2 SC,1 SC,3

SC SC SC,2 SC,1 SC,2 SC,2 SC,3

SC,3 SC,1 SC,3 SC,2 SC,3

SSSSS

100

SS SS S SS 010

3001

SS SS S

⎡⎤

⋅⋅

⎡⎤

⎢⎥

=⋅ = ⋅ ⋅=⋅

⎢⎥

⎣⎦

⋅⋅

⎣⎦

∑∑ ∑

∑∑∑

∑∑ ∑



(4.14)

und alle Eigenwerte sind gleich 13.

Eine mögliche Lösung für einen idealen Verwürfler wäre eine gleichmäßige Verteilung des

()

 auf der Poincaré-Kugel, aber in diesem Fall wäre die Scrambling Periode zu groß.

Dieses Modell kann man im Empfänger für PMD Messung benutzen.

Aber in der Praxis ist eine andere Möglichkeit erwünscht, nämlich PMD in möglichst kurzer

Zeit messen zu können, am besten innerhalb einer Polarisationsverfürfelungsperiode.

Es wird eine solche periodische Funktion von

(

)



gesucht, die auf der Poincaré-Kugel

liegt und ein möglichst schmales Spektrum besitzt.

Das schmale Spektrum ist deswegen erwünscht, weil die PLL im Empfänger einen

beschränkten Einrastbereich besitzt. Diese Tatsache wird später genauer beschrieben.

4.2 Aufbau und Beschreibung der PLL

4.2.1 Arbeitsprinzip

Um die Frequenz- und Phasenlage des empfangenen Signals korrekt zu detektieren, braucht

man auf der Empfängerseite meistens einen Phasenregelkreis (englisch PLL).

Solche Detektion nennt man oft auch Nachlaufsynchronisation.

Die Funktionsweise solcher Phasenregelkreise ist im Bild Nr. 4.4 dargestellt.

Phasendetektor

Spannungsgesteuerte

Oscillator

VCO

Eingang

() ()

,ut j

() ()

,ut j

(

)

(

)

,utU j

Schleifenfilter

(

)

() ()

,utU j

(

)

(

)

Abbildung 4.4: Phasenregelkreis im Empfängerseite

Das Eingangssignal 1()ut und das Signal 2()ut vom VCO kann man als Sinusschwingungen

darstellen,

1101

() sin( ())ut U t t

ωϕ

=+ (4.15)

und

2202

() cos( ())ut U t t

ωϕ

=+, (4.16)

mit den Momentanfrequenzen

()

() dt

tdt

ωω

=+ (4.17)

und

()

() dt

tdt

ωω

=+ . (4.18)

Die Wirkungsweise des Phasenregelkreises ist dabei so zu verstehen, dass bei einer

Phasendifferenz 12

() () 0tt

−

≠ ein 3()ut entsteht, so dass die Frequenz 2()t

und die Phase

2()t

des VCO so geändert wird, dass eine konstante Regelabweichung 12

() ()t t const

−= ,

erreicht wird.

1()t

und 2()t

sind zeitabhängige Winkelgrößen.

4.2.2 Multiplizierender Phasendetektor

Der Phasendetektor liefert ein Signal, das im wesentlichen proportional zu 12

() ()tt

− ist.

Eine Möglichkeit, solch einen Phasendetektor zu realisieren, besteht in der Verwendung eines

Multiplizierers.

Mit 1()ut und 2()ut aus (4.15), (4.16) gilt

12 12 1 2 01 2

1ˆˆ

() () [sin( () ()) sin(2 () ())]

ut ut UU t t t t t

ϕϕ ωϕϕ

⋅= − + ++ . (4.19)

Nach der Ausfilterung des Signalanteils bei 0

durch das Schleifenfilter lässt sich 3()ut in

der Form

312

() sin( () ())

ut K t t

=− (4.20)

darstellen, wobei die Konstante d

K durch

312

1ˆˆ

KKUU= (4.21)

gegeben ist.

4.2.3 Linearisierte Beschreibung

Für den VCO im linearen Bereich gilt

20 4

() ()

tKut

=+⋅ . (4.22)

Wenn die Referenzfrequenz 0

so gewählt wird, dass 20

für 40u

, lässt sich Gleichung

(4.22) und Gleichung (4.18) als

() ()

dtKut

=⋅ (4.23)

schreiben.

Dies entspricht im Frequenzbereich der Gleichung

204

() ()

jKUj

ϕω ω

⋅=⋅. (4.24)

Eine Übertragungsfunktion von der Eingangsphase 1()t

zur Ausgangsphase 2()t

kann man

durch

() ()

()

() 1 ()

jGj

Φ==

Φ+

(4.25)

beschreiben mit der Schleifenverstärkung

0()

() d

KKF j

Gj j

ωω

= (4.26)

des offenen Regelkreises. Damit die PLL stabil ist, darf ( )Hj

keine Pole in der rechten s-

Halbebene ( sj

=+ = komplexe Frequenz) aufweisen.

Weil ( )Fj

ein Tiefpaßverhalten aufweist, wird ( )Fj

mit zunehmender Frequenz

kleiner, so dass 1()ut (bzw. 1()

Φ) insbesondere bei kleinen Frequenzen der Eingangsphase

1()ut (bzw. 2()

Φ) sehr genau folgt. Für höhere Frequenzen wird die Regelabweichung

größer und man definiert eine Grenzfrequenz

des Phasenregelkreises, wenn

()1

= (4.27)

wird. Durch die Grenzfrequenz

wird in der Praxis die Modulationsfrequenz und

Haltebereich der PLL bestimmt.

4.2.4 Einrastprobleme, Haltebereich

Weil sich das Eingangssignal sehr stark ändern kann, kann auch die Eingangsphase sehr

schnell geändert und damit der lineare Bereich verlassen werden. Die Phasenänderung lässt

sich darstellen als dt

=Δ

∫

Der Haltebereich ist der Bereich, in dem die PLL langsamen Frequenzänderungen des

Eingangssignals sicher folgen kann.

Betrachtet wird der Fall, dass sich die PLL im Einrastzustand befindet.

020

ωω

Δ=− ist die Abweichung der Eingangsfrequenz von der aktuellen PLL-Frequenz.

Für die statische Lösung der PLL gilt zunächst

312

sin( )

=− (4.28)

(0)uFj u

== (4.29)

und gemäß (4.22)

020 04

ωω

Δ=−= . (4.30)

Unmittelbar aus (4.28), (4.29), (4.30) folgt

sin( ) 1

(0)

KKFj

ϕϕ ω

−= <

=, (4.31)

daraus folgt eine Bedingung für den Haltebereich:

(0)

KKFj

ωω

Δ< ==Δ (4.32)

Δ gibt die obere Grenze für Haltebereich an.

Um möglichst große Frequenzabweichungen 0

zulassen zu können, sollte (0)Fj

möglichst groß sein, weshalb Schleifenfilter mit integrierendem Anteil vorteilhaft sind.

Im der Praxis wird der Haltebereich durch den Aussteuerungsbereich des VCOs bestimmt.

[Noé9]

4.2.5 Empfindlichkeit der PMD-Detektion

Die erzielbare PMD-Empfindlichkeit kann berechnet werden, indem man die DGD-

Rauschvarianz berechnet. Eingangssignal

(

)

Φ besitzt ein weißes Rauschen mit

konstanter zweiseitiger spektraler Leistungsdichte 1

L. Innerhalb des VCO wird ein Gauß-

Rauschen

()

ut mit dem Spektrum

(

)

Φ addiert. Dieses Spektrum hat eine konstante

zweiseitige spektrale Leistungsdichte 2

Die Taktrückgewinnung PLL (Abb. 4.4) funktioniert so:

() ()

()

(

)

12 4d

jKFjUj

ωωω

Φ−Φ ⋅⋅ =

() ()

()

Uj j

ωω

Φ+ ⋅=Φ. (4.33)

Die Übertragungsfunktion des PI-Reglers kann angenommen werden als

()Fj j

ωτ

=+ ⋅. (4.34)

Die resultierende Übertragungsfunktion lautet:

Ujx

xjx

Φ+

=− =

ΦΦ−+ +

221

Kjx

ωξ

Φ=

Φ−++

(4.35)

Dabei der Resonanzfrequenz

der Dämpfungskontante 2

= und die normierte Frequenz

= sind.

Das Rauschen der empfangenen Taktphase hat die Varianz

()

141

σωξ

πξ

∞

−∞

==+

∫. (4.36)

Die Varianz der Taktphase aufgrund von Gauß-Rauschen ist

222

σω

ξω

∞

−∞

∫. (4.37)

Hier ist 2

22o

LfK

−

=Δ , wobei das Taktsignal eine Lorentz-Linienbreite Δf hat.

Damit erhält man eine Gesamtvarianz der Taktphase von

22 2

nnnnn

σσ

=+. (4.38)

Wenn man annimmt, dass die PLL als Bandpass für

(

)

...

ωω

∈ funktioniert, so ergibt sich

die resultierende Rauschvarianz des DGD in der Form

22211

ˆ2

tLLd

ππ

⎛⎞

ΦΦΦ

⎛⎞ ⎜⎟

=+=

⎜⎟ ⎜⎟

ΦΦΦ

⎝⎠ ⎝⎠

∫

222

22 2 2

41 1

24141

ωω

ππξ σξ

⎛⎞

−

⎛⎞

=⋅⋅+

⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫. (4.39)

Der Quotient 22

ˆˆ

tt ist das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) für die DGD-Messung.

Kapitel 5

Polarisationsscrambler

Wie schon im Kapitel 4 erläutert wurde, braucht man Polarisationsscrambler, um die

Polarisation so zu variieren, dass die PMD-Detektionsempfindlichkeit maximal wird.

Hier wird es zwei verschiedene Scrambler betrachtet.

Der erste Typ ist ein polarisationsabhängiger Scrambler (PAS).

Der PAS muss nur eine Eingangspolarisation variieren. PAS kann man in einem

Datenübertragungssystem benutzen, wo nur eine Polarisation zum Eingang kommt.

Der andere Typ ist ein polarisationsunabhängiger Scrambler (PUS).

Der PUS funktioniert unabhängig von der Eingangspolarisation und kann mehrere

Eingangspolarisationen gleichzeitig variieren. Einen solchen Scrambler kann man in WDM-

Systemen benutzen, um PMD in allen Kanälen zu detektieren.

5.1 Polarisationsabhängiger Scrambler

Den polarisationsabhängigen Scrambler (PAS) kann man in einer Übertragungsstrecke

benutzen, welche konstante Eingangspolarisation besitzt. Der PAS wird im ein- wie auch im

mehrkanaligen WDM-Aufbau benutzt, in letzten Fall müssen alle Kanäle die gleiche

Polarisation haben. Für die Realisierung der PAS wurde eine elektrooptische Wellenplatte mit

x-Schnitt, z-Ausbreitung Ti:LiNbO3-Bauelement verwendet. Der Scrambler besitzt einen TE-

TM-Phasenschieber mit Winkel

und einen TE-TM-Modenkonverter mit Winkel

Der Scrambler liefert eine Ausgangspolarisation SC



(2.66) bei der Drehung der zirkularen

Eingangspolarisation

[

]

001

± um die Eigenmoden-Achsen um den Verzögerungswinkel

(2.64).

Es gibt zwei Algorithmen, die den optimalen Scrambler für die Bedingungen

,0,Eigenwerte

⎧⎫

== =

⎨⎬

⎩⎭

C zu finden erlauben.

Das erste Algorithmus besteht darin, dass

und

gesucht werden in der Form:

()

sin

cos

MC i

PS i

ait

bit

⎧=

⎪

⎨

⎪=

⎪

⎩

∑

. (5.1)

Dabei soll der Parameter n möglichst klein sein, damit das resultierende Spektrum auch

möglichst schmal wird. Das kleine Spektrum erlaubt einen stabile Datenempfang in der PLL.

Andererseits bedeutet ein schmales Spektrum, dass

größer gewählt werden darf. Eine

Vergrößerung von

führt zur Verkleinerung des Zeitintervalls für die PMD Messung.

Eine numerische Simulation ergibt die folgenden Lösungen:

()()

1.17 0.19 sin 1.17 0.19 sin 2

1.17 0.19 cos 1.17 0.19 cos2

ωω

⎧=± +

⎪

⎨=± −

⎪

⎩

∓

∓. (5.2)

Für die praktische Lösung wurde untere Vorzeichen ausgewählt [Mir3]. Diese Kurve geht bei

Drehung um 120° um die 3

S-Achse in sich selbst über. Die resultierende Figur auf der

Poincaré-Kugel und deren Spektren sind im Abb. 5.1 und 5.2 dargestellt.

Abbildung 5.1: Projektionen der Polarisationstrajektorie des „Dreiblättrigen-Kleeblatt-

Scrambler“.

Abbildung 5.2: Spektren der Stokes-Parameter

Der zweite Algorithmus besteht darin, dass jetzt direkt das Verwürflersausgangsspektrum

gesucht wird, das die Bedingungen für den optimalen Scrambler erfüllt.

Dieses Spektrum stellt man durch

() ()

cos sin

SC i i

AitBit

SAitBit

AitBit

ωω

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∑

 (5.3)

als die Summe harmonische Schwingungen dar.

Mit verschiedenen Parametern

{

}

ij ij

AB können verschiedene Kurven auf der Poincaré-

Kugel entstehen. Man muss solche

{

}

ij ij

B suchen, die sowohl die Scrambler-Bedingungen

als auch die Bedingung, dass die Kurve auf die Oberfläche liegt (5.4), erfüllen.

Die Bedingung, dass die Kurve SC

 für eine beliebige Phase t

auf die Oberfläche liegt,

kann man in der Form:

() () () ()

11 2 2

cos sin cos sin

ii ii

A itB it A itB it

ωω ωω

⎛⎞⎛ ⎞

++ ++

⎜⎟⎜ ⎟

⎝⎠⎝ ⎠

∑∑

() ()

cos sin 1

AitBit

ωω

⎛⎞

++=

⎜⎟

⎝⎠

∑ (5.4)

darstellen.

Für den Fall n=2 kann man beweisen, dass es keine Menge

{

}

ij ij

AB gibt, die diese

Bedingungen erfüllt.

Die Gleichung (5.3) für n=3 und die Bedingung, das die Kurve auf Poincaré-Kugel liegt,

resultieren in folgenden algebraischen Bedingungen:

21 11 31 21 11 31 22 12 32 22 12 32

23 13 33 23 13 33

21 31 11 21 11 31 22 32 12 22 12 32

23 33 13 23 13 33

22 22 2

11 11 12 12 13

()()()()

()()0

(-) (-) (-) (-)

(-) (-)0

0.5 ( - - -

AAA BBB AAA BBB

AAA BBB

ABB BAA ABB BAA

ABB BAA

AB AB A

⋅++⋅++⋅+ +⋅+

+⋅ + + ⋅ + =

⋅+⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅=

⋅++

13 11 31 11 31 12 32

12 32 13 33 13 33

11 11 31 11 31 12 12 32 12 32

13 13 33 13 33

11 21 11 21 12 22 12 22 13 23 13 23

11 21 11 21 12 22 12

)

()- ()-

()- 0

---0

BAABBAA

BB AA BB

ABBBAABBBA

ABB BA

AABB AA BB AA BB

AB BA AB BA

⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

⋅+ ⋅+⋅+ ⋅+

⋅+ ⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅

22 13 23 13 23

22 22 22

21 21 22 22 23 23 11 31 11 31

12 32 12 32 13 33 13 33

11 31 11 31 21 21 12 32 12 32 22 22

13 33 13 33 23 23

21 31 21 31 22 3

0.5 ( - - - ) -

--0

AB BA

AB A B A B AABB

AABB AABB

AB BA AB AB BA AB

AB BA AB

AABB AA

+⋅+⋅=

⋅+++⋅⋅+

⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+⋅

2 2232 2333 2333

21 31 21 31 22 32 22 32 23 33 23 33

22 22 22

31 31 32 32 33 33

222222

11 11 21 21 31 31

222222

12 12 22 22 32 32

--0

---0

2/3

BB AABB

AB BA AB BA AB BA

AB AB AB

ABABAB

⋅+⋅ ⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

++=

⋅+⋅+⋅=

+++++=

222222

31323233333

11 12 11 12 21 22 21 22 31 32 31 32

11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 31 33

12 13 12 13 22 23 22 23 32 33 32 33

2/3

BABAB

AA BB AA BB AA BB

⎫

⎪

⎬

+++++=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ⎭

⎪

(5.5)

Für den Fall n = 3 gibt es schon mehrere Lösungen.

In allgemeinem Fall kann man dieses System mit Hilfe der Gröbner-Basis [Buc], [Frö] in der

Software Maple lösen. Die Anzahl dieser Lösungen kann man aufgrund der Symmetrie der

Poincaré-Kugel auf zwei Lösungen reduzieren,

() ()

()

113 113

cos cos 3

113 113

sin sin 3

23cos 2

SC SC

SS t t

ωω

⎡⎤

±−

⎢⎥

⎡⎤

⎢⎥

== +

⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦

∓

∓. (5.6)

Die erste Lösung mit den oberen Vorzeichen nennt man „Tennisball“ Kurve.

Der Tennisball-Scrambler ist eine optimale Lösung mit minimalen Spektrallinien.

Die Lösung mit den unteren Vorzeichen besitzt auch nicht mehr als 3 Spektralkomponenten.

Sie wurde in den praktischen Experimenten nicht benutzt, weil diese Kurve mehr Leistung in

der dritten Spektralkomponente hat als die „Tennisball“-Lösung.

Abbildung 5.3: Projektionen der „Tennisball-Kurve“.

Abbildung 5.4: Spektren der Stokes-Parameter

Die Lösung mit den unteren Vorzeichen (5.5) ist in Abb. 5.5 und 5.6 dargestellt.

Abbildung 5.5: Projektionen der zweiten Lösung.

Abbildung 5.6: Spektren der Stokes-Parameter der zweiten Lösung

Den Verzögerungswinkel

erhält man durch

arccos SC

= (5.7)

Den Orientierungswinkel der Eigenmoden mit zirkularer Eingangspolarisation liefert

()

,2 ,1

arg arg

PS MC SC SC

jSjS

ζϕϕ

=+⋅=−+⋅

(5.8)

Die entsprechende Phasenverschiebung und Modenkonversion des Retarders berechnet man

anhand von

,2 ,3

,1 ,2

arccos

cos SC SC

SC SC

ϕϕζ

−

== + (5.9)

,1 ,3

,1 ,2

arccos

sin SC SC

SC SC

ϕϕζ

== + (5.10)

Diese zwei Parameter werden in den praktischen Experimenten benutzt, um die

Tennisballkurve zu erhalten. In Abbildungen 5.7 und 5.8 sind Phasenverschiebung ,

Modenkonversion und die entsprechende Spektren für die „Tennisball“-Kurve dargestellt.

Abbildung 5.7: Phasenverschiebung

und Modenkonversion

der „Tennisball“-Kurve

Abbildung 5.8: Spektren der Phasenverschiebung

und Modenkonversion

5.2 Polarisationsunabhängiger Scrambler

Der polarisationsunabhängige Scrambler (PUS) muss eine beliebige Eingangspolarisation so

variieren, dass im Empfänger die maximale mögliche Empfindlichkeit bei der

Ankunftszeitdetektion erreicht wird. Diese kann im WDM-Systemen nützlich sein. Die

Bedingungen für den PUS bleiben ähnlich wie für den PAS (4.15), also:

,0,Eigenwerte

⎧⎫

== =

⎨⎬

⎩⎭

C.

Ein einfaches System, das solche PUS kann, ist ein Retarden mit Verzögerung von

arccos 8

φπ

⎛⎞

=− ⎜⎟

⎝⎠

auf der Poincaré-Kugel verteiltem Eigenmode [San2], [Cho1]. Hierbei ist

folgende Realisierung möglich. Zwei Wellenplatten haben die gleiche Verzögerung

, die

eine sinus-förmige WDF in Intervall

[

]

besitzt. Beide Wellenplatten drehen sich in die

gleiche Richtung mit derselben Geschwindigkeit, aber die Orientierungswinkel (doppelte

azimutale Winkel)

und

+ unterscheiden sich um

am Äquator auf der Poincaré-

Kugel. Jede dieser Wellenplatten transformiert zirkulare Polarisation in gleichmäßig verteilte

Polarisation auf der Poincaré-Kugel. Zwischen diesen Wellenplatten muss man einen

zirkularen Retarder mit einer Verzögerung von 7

arccos 8

φπ

⎛⎞

=− ⎜⎟

⎝⎠

einsetzen. Diese zwei

elektrooptischen Wellenplatten funktionieren umgekehrt gegensinnig wegen der Orientierung

der Differenzwinkel. Darum ist es notwendig, eine Transformation der zirkularen

arccos 8

φπ

⎛⎞

=− ⎜⎟

⎝⎠

Verzögerung in eine 7

arccos 8

φπ

⎛⎞

=− ⎜⎟

⎝⎠

Verzögerung mit gleichmäßig

verteilten Eigenmoden auf der Poincaré-Kugel zu erreichen. Hier wird diese Konfiguration

dargestellt:

(, )SBC

ϕζ

(

)

(, )SBC

ϕζ

(, )SBC

ϕζ

(

)

(, )SBC

ζπ

()

−

(, )SBC

ϕζ

(, )SBC

ϕζ

πφ

−

()

arccos 0.875

φπ

=−

Abbildung 5.9: „Realisierung der Polarisationsunabhängige Scrambler“

Das erste und zweite Argument der SBC sind die Verzögerung und der Orientierungswinkel.

Der zirkulare Retarder wird hier als „C“ bezeichnet und hat als Parameter die Verzögerung

Wenn man vor oder hinter dem Scrambler einen nicht modulierte Retarder einfügt, wird die

Funktion davon nicht geändert.

Weil ein idealer PUS eine endlose Verwürfelungsperiode besitzt, wurde die Simulation mit

einer begrenzten Verwürfelungsperiode durchgeführt

tttD

tttC

D CD C

tttB

tttA

B AB A

MCMC

PSPS

ω⋅+ω⋅−ω⋅=

ω⋅−ω⋅−ω⋅−=

+=ϕ−=ϕ

ω⋅+ω⋅+ω⋅=

ω⋅+ω⋅−ω⋅=

+=ϕ−=ϕ

4sin0.223sin0.31sin0.07

4cos0.523cos1.40cos99.0

4cos0.14 3cos0.37 cos0.26

4sin0.823sin1.15sin0.28

. (5.11)

Index 1 und 2 unterscheidet hier die zwei Wellenplatten.

Dieses Ergebnis wurde bei den numerischen Berechnungen gefunden [San2].

Um die Arbeit der PUS zu prüfen, wurde zwei kommerzielle 3

LiNbO -Kristalle benutzt.

Eine Wellenplatte hat fast 51 gleichverteilte Polarisationen für PUS erzeugt.

Mit der zweiten Wellenplatte wurde ein PUS realisiert. Es wurden die Kovarianzmatrix C und

die Eigenwerte für jede Eingangspolarisation bestimmt. Das Histogramm der Eigenwerte

zeigt Abbildung 5.10. Das Minimum der kleinsten Eigenwerte war mehr als 0.26; das

Maximum der größten Eigenwerte war weniger als 0.35. Damit wurde eine relative

Genauigkeit der PMD-Messung, die auf Ankunftszeitsignalvariation basiert, bis

15%

erreicht. Die erreichbare Genauigkeit hängt auch von der Scramblerseingangspolarisation und

der Orientierung der PSP der Faser ab.

0.3

0.35

0.25

kleinste

und

größte

Eingenwerte

Abbildung 5.10: Histogramm der Eigenwerte

Das Spektrum der verwürfelten Stokes-Parameter hängt von der Eingangspolarisation ab.

Zuerst wurde die Spektren von alle 3 Stokes-Parametern mit allen Eingangspolarisationen

gemessen. Ihre quadrierten Amplituden, beziehungsweise die entsprechenden Spektren

wurden durch alle Polarisationen und alle Stokes-Parameter gemittelt. In Abbildung.5.11

werden die Amplituden des Spektrum gezeigt. Obgleich diese Grafik keine direkte

physikalische Bedeutung besitzt, zeigt sie doch, dass ein sehr breites Spektrum der Preis für

die Unempfindlichkeit des Systems von der Eingangspolarisation ist. Ein sehr breites

Spektrum fordert von der PLL einen möglichst großen Haltebereich für die PMD-

Ankunftszeitdetektion.

Amplitude

0.2

0.1

Abbildung 5.11: Spektrum des PUS, bei 51 Eingangspolarisation

Es wurden der kleinste und der größte Eigenwert im Wellenlängenbereich von 1520 nm bis

1580 nm gemessen. Die Scramblerqualität ist ausreichend für eine Bandbreite von 4 THz.

Abbildung 5.12: Der kleinste und der größte Eigenwert im Wellenlängenbereich von 1520nm

bis 1580nm

5.3 Aufbau und Messergebnisse

Abbildung 5.13 zeigt den Versuchsaufbau, mit dem die Funktion des Scramblers demonstriert

wurde.

Ein DFB Laser erzeugt ein 192.5THz Signal für den Aufbau. Als aktives Polarisationselement

wurde ein kommerzieller x-Schnitt, z-Ausbreitung LiNbO3 Polarisationstranformator mit 8

kaskadierten Wellenplatten benutzt. Jede dieser Wellenplatten erzeugt eine Verzögerung von

,wenn an der jeweiligen Sektion 10 Volt anliegen. Die Wellenplatte1(WP1) wurde

verwendet, um eine notwendige zirkulare Polarisation zu erhalten. WP2 und WP3 zusammen

wurden als eine HWP eingesetzt und später auch als Scrambler. Ein schnelles integriertes

optisches Polarimeter erlaubt es, die Stokes-Parameter des Scramblers zu messen. Es wurde

eine Platine entwickelt, auf der ein 50MS/s-ADC sowie 4 DACs untergebracht sind. Die 4

DACs treiben 8 Hochspannungskanäle (±69 Volt) zur Ansteuerung des Scrambler. Die DACs

erzeugten einen Signal von 12.5 MHz. Die Verwürflungsperiode betrug 1/32 von 12.5 MHz,

also ca. 390kHz.

1550 nm

Ausgang

Eingang

WP 1 WP 3 WP 4 WP 5 WP 6 WP 7 WP 8

3Polarisation Wandler

WP 2

Polarimeter

50 MS/s

FPGA

2X2

Coupler

DFB Laser

1550 nm

WP 1 WP 3 WP 4 WP 5 WP 6 WP 7 WP 8

LiNbO

WP 2

2X2

Coupler

Zum Faser

Hochspannungs-

Verstärker und DACs

ADC

Abbildung 5.13: Scrambler Aufbau

Das optische Signal wird am integrierten Polarimeter in die 4 Stokes-Parameter umgewandelt.

Jedes dieser Signale wird durch analoges Multiplex an einen ADC-Eingang weitergeleitet. Es

ist möglich, die Daten im ADC mit einer Taktrate von 50 MS/s zu lesen. Nach 4 Perioden

stehen alle notwendigen Informationen bereit zur Analyse.

Als erster Schritt muss der Scrambler sich selber charakterisieren. Zuerst werden gültige

Amplituden für Phasenschieber und Modenkonversion gesucht, und dabei wird auch die

zirkulare Eingangspolarisation justiert.

Der nächste Schritt ist die Scrambleroptimierung durch Vergleich der theoretischen Kurve mit

der praktischen Kurve Abb. 5.14. Das Fehlersignal wird definiert als die Summe aller

Abweichungen zwischen idealem Scrambler und realem.

Abbildung 5.14: Realer und Idealer Scrambler ohne Nachoptimierung.

Nach zirka 20000 oder 30000 Optimierungszyklen wird der optimale Zustand erreicht.

-1

-0.5

0.5

-1 -0.500.5 1

-1

-0.5

0.5

Abbildung 5.15: Gemessene „Tennisball“-Kurve(rot) und ideale theoretische Kurve(blau).

012345678

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

rms amplitude

S1 S2

Abbildung 5.16: Experimental gemessene Spektren von normierten Stokes-Parameter

Abb. 5.15 zeigt die resultierende „Tennisball“-Trajektorie, die man nach der Optimierung

bekommt. Die Scrambler-Periode beträgt 2,56 µs. In Abb. 5.15 sind die Achsen deshalb nicht

symmetrisch, weil sich zwischen Scrambler und ADC noch ein fester Retarder befindet.

Die Eigenwerten liegen sehr nah bei 1/3, was der Theorie entspricht, mit einer relativen

Abweichung von ± 2,5%. Der resultierende Polarisationsgrad beträgt zirka 0.0066.

Abb. 5.16 zeigt die Spektren der empfangenen Signale. Das Spektrum ist dem theoretischen

Spektrum sehr ähnlich. Die Gesamtsignalleistung verteilt sich auf die 1. und 3. Harmonischen

für 1

S und 2

S sowie auf die 2. Harmonische für 3

Abbildung 5.17 zeigt Übertragungsaufbau für 40 Gbit/s mit Polarisationsscrambler.

Data in

40 Gbit/s

TX Data

out

RMS

Entscheider

und

Phasendetektor

PI VCO

Phasenregelkreis

PMD

Fiber

Depolarisator

∫

(

)

ttΔ

rms

tΔ

Abbildung 5.17: 40 Gbit/s Übertragungsaufbau mit Polarisationsscrambler und

Ankunftszeitdetektion bei Übertragung nur einer Polarisation

Im Experiment wurde eine Pseudozufallsfolge (PRBS) der Länge 7

−

benutzt. Nach dem

Polarisationsverwürfler wurden manuelle Polarisationsstellglieder eingesetzt, auch nach der

doppelbrechenden Faser wurde noch ein Polarisationsregler implementiert.

Es wurde 40 Gb/s NRZ-Datenmodulation benutzt.

Das Ankunftszeitsignal wurde mit Hilfe eines digitalen Speicheroszilloskops von HP mit 4

GS/s und 1 GHz Bandbreite direkt in der PLL gemessen.

0 5 10 15 20 25

DGD [ps]

[A.U.]

0 ps

5.8 ps

12.8 ps

19.1 ps

0 5 10 15 20 25

DGD [ps]

[A.U.]

0 ps

5.8 ps

12.8 ps

19.1 ps

Abbildung 5.18: PMD-Messungswerte von schnellem „Tennisball“-Scrambler und

entsprechende 40 Gbit/s NRZ Augendiagramme.

Für jede PMF wurde der Effektivwert (RMS) der Amplitude des Ankuftszeitsignals berechnet

wie ein DGD-Wert.

In Abb. 5.18 ist der Durchschnittswert wiederholter DGD-Messungen als Funktion des DGD

dargestellt, mit Fehlerintervallen für eine Standardabweichung von

= ±1.

Nicht überlappende ±

Intervalle zwischen 0ps und 1.35ps belegen eine Meßempfindlichkeit

von 1.35ps.

Weil die Verzögerung proportional zur Wellenlänge ist, kann der Scrambler nur für eine

Wellenlänge optimiert werden. In diesem Experiment wurde eine optimale Wellenlänge von

1550nm ausgewählt. Für diese Wellenlänge wurde der Scrambler optimiert, und bei einer

konstanten Eingangspolarisation für den Scrambler wurde die Wellenlänge variiert.

Im Abbildung 5.19 ist die Abhängigkeit dreier Eigenwerte der Matrix C von der

Wellenlänge dargestellt. Aus diesem Bild kann man sehen, dass die optische Bandbreite für

die effiziente Funktion des Scramblers ca. 4 THz beträgt. Dieses Ergebnis wurde mit einem

früheren Aufbau [San2] erhalten.

1520 1540 1560 1580

0.2

0.3

0.4

λ[nm]

Abbildung 5.19: Eigenwerte der Kovarianzmatrix C als Funktion der Wellenlänge.

ADC

Multiplexer

4:1 FPGA

RAM

Multiplexer

DAC

Regler

ADC

Regler

LiNbO3

Eingang

Ausgang

FPGA

RAM DAC

14 HV

Verstärker

Abbildung 5.20: Blockdiagramm des Versuchsaufbau

Auf Bild 5.20 ist ein Blockdiagramm des Versuchsaufbaus dargestellt.

Der Versuchsaufbau besteht aus zwei Teilen: ein Teil ist für den Datenempfang von der

Photodiode verantwortlich und der andere schickt Daten über DACs und

Hochspannungsverstärker auf das Ti:LiNbO3-Bauelement. Diese zwei Teile sind mit einen

internen Taktsignal mit einer Frequenz von 100 MHz synchronisiert.

Der Aufbau wird durch ein Matlab-Programm gesteuert und geregelt..

Der Multiplexer 4:1 schaltet synchron vier elektrische Signale, in denen die vier Stokes-

Parameter enthalten sind, auf ADC um. Der ADC wandelt die empfangenen Daten um, die

anschließend im FPGA-RAM gespeichert werden. Später werden die gespeicherten Daten in

den PC transferiert. Der ADC-Teil wird durch einen besonderen ADC-Regler gesteuert.

Um das Ti:LiNbO3-Bauelement zu steuern, schickt Matlab die Daten an den FPGA-RAM.

Diese Daten werden dann auf die DAC und Hochspannungsverstärker weitergeleitet. Der

DAC-Teil wird durch einen DAC-Regler gesteuert. DAC-Regler und ADC-Regler

funktionieren zusammen synchron.

In Abbildung 5.21 ist ein Foto des Versuchsaufbaus dargestellt.

Abbildung 5.21: Foto der Versuchsaufbau

Auf den Bilder 5.22 – 5.31 sind gemessene Augendiagramme für verschiedene PMF

dargestellt. Alle diese Bilder wurde mit eingeschaltetem Scrambler aufgenommen.

Hier kann man deutlich erkennen, dass bei kleineren PMD-Werten ein

Augenschließungseffekt kaum auftritt. Visuell kann man den PMD-Einfluß ab ca. 6ps

erkennen.

Photodiode FPGA

Platte

ADC

und

Multiplexer

LiNbO3

DAC

und

Hochspannungsverstärke

Abbildung 5.22: Augendiagramm ohne PMF

Abbildung 5.23: PMF 0.77ps

Abbildung 5.24: PMF 1.35ps

Abbildung 5.25: PMF 2.00ps

Abbildung 5.26: PMF 4.00ps

Abbildung 5.27: PMF 5.80ps

Abbildung 5.28: PMF 8.60ps

Abbildung 5.29: PMF 12.80ps

Abbildung 5.30: PMF 19.10ps

Abbildung 5.31: PMF 25.10ps

Im Abb.5.32 – 5.34 wurden PLL-Taktspektren der halbratigen Taktfrequenz gemessen.

Abbildung 5.32: Spektren des Taktsignals mit und ohne Scrambler

Abbildung 5.33: Spektren mit PMF von 0, 1.35 und 2 ps.

Abbildung 5.34: Spektren mit PMF von 0, 5.8 und 25 ps.

Kapitel 6

Zusammenfassung und Ausblick

Bei der Einführung schneller Übertragungssysteme mit Datenraten ≥40Gb/s spielt PMD eine

große Rolle. Durch PMD wird auch in Zukunft bestimmt, wie schnell die Daten in optischen

Glasfasern übertragen werden können. Deswegen ist es sehr wichtig, PMD schnell, genau und

kostengünstig messen zu können.

In der vorliegenden Arbeit wurde ein PMD-Messaufbau vorgestellt. Dieser Aufbau erlaubt es,

die PMD in wenigen Mikrosekunden mit einer Empfindlichkeit von ca. 1,35 ps zu messen.

Es wurde auch gezeigt, dass das System erfolgreich in einer WDM-Übertragungsstrecke

funktioniert.

Das System ist in der Lage, sich selbst zu charakterisieren und ständig zu optimieren.

Dieses System wird man als ein Teilsystem zur PMD-Kompensation benutzen können. Ohne

die PMD messen zu können, könnte man sie auch nicht kompensieren.

Das Ankunftszeitsignal kann man im Polarisationmultiplexübertragungssystem benutzen.

Auch für die Messung der chromatischen Dispersion kann man das Ankunftszeitsignalschema

benutzen.

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