Ein Verfahren zur hierarchischen
Struktur-, Dimensions- und Material-
bedarfsplanung von Fertigungssystemen
Dissertation
zur Erlangung der Würde eines
DOKTORS DER WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN
(Dr. rer. pol.)
der Universität Paderborn
vorgelegt von
Dipl.-Wirt.-Inf. Thorsten Timm
33330 Gütersloh
Paderborn, November 2008
Dekan: Prof. Dr. Peter F. E. Sloane
Referent: Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier
Korreferentin: Prof. Dr. Leena Suhl
i
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis...........................................................................................................v
Tabellenverzeichnis..............................................................................................................vii
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis...................................................................................ix
1 Einleitung...............................................................................................................................1
2 Problemstellung......................................................................................................................5
2.1 Problemdefinition...........................................................................................................5
2.1.1 Produktion..............................................................................................................5
2.1.2 Fertigung................................................................................................................8
2.1.3 Fertigungssystem....................................................................................................9
2.1.4 Planungsaufgaben in Fertigungssystemen..............................................................9
2.1.5 Fertigungsplanungs-Verfahren.............................................................................12
2.1.6 Modell..................................................................................................................12
2.1.7 Ableitung der Problemdefinition..........................................................................15
2.2 Bildung von Partialmodellen........................................................................................15
2.2.1 Ableitung der Fertigungsplanungs-Teilaufgaben.................................................17
2.2.2 Aggregation zu Partialmodellen...........................................................................19
2.2.3 Hierarchische Darstellung der Partialmodelle......................................................23
3 Stand der Technik.................................................................................................................27
3.1 Hierarchische Planung von Fertigungssystemen..........................................................27
3.1.1 Hierarchische Planung..........................................................................................28
3.1.2 Grundlegende Arbeiten zur hierarchischen Planung............................................29
3.1.3 Vorarbeiten im Bereich der hierarchischen Planung von Fertigungssystemen....33
3.2 Mathematische Losgrößenprobleme............................................................................44
3.2.1 Capacitated Lot Sizing Problem...........................................................................46
3.2.2 Multi-Level Capacitated Lot Sizing Problem......................................................47
4 Zu leistende Arbeit...............................................................................................................51
4.1 Einordnung in APS Systeme........................................................................................51
4.2 Koordinationsprozesse.................................................................................................52
4.3 Nutzung von mathematischen Losgrößenproblemen...................................................52
4.4 Berücksichtigung der Unsicherheit..............................................................................53
5 Konzeption...........................................................................................................................55
ii
5.1 Definition von Planungsmodellen................................................................................56
5.1.1 Systembeschreibung.............................................................................................56
5.1.2 Partialmodelle des übergeordneten Zeitmodells..................................................67
5.1.3 Partialmodelle des untergeordneten Zeitmodells.................................................81
5.2 Definition von Koordinationsprozessen.......................................................................91
5.2.1 Planungsbeginn auf Ebene des übergeordneten Zeitmodells...............................92
5.2.2 Planungsbeginn auf der Ebene des untergeordneten Zeitmodells........................95
6 Validierung...........................................................................................................................99
6.1 Anwendungsszenario....................................................................................................99
6.2 Datenbasis..................................................................................................................101
6.2.1 Zeitmodell und Szenariobaum............................................................................101
6.2.2 Erzeugnisse.........................................................................................................103
6.2.3 Werkzeuge..........................................................................................................104
6.2.4 Technologien......................................................................................................105
6.2.5 Qualifikationen...................................................................................................106
6.2.6 Mitarbeiter..........................................................................................................106
6.2.7 Prozessalternativen.............................................................................................107
6.2.8 Weitere Daten.....................................................................................................107
6.3 Anwendung des Verfahrens und Ergebnisse..............................................................107
6.3.1 Genutzte Hard- und Softwaresysteme................................................................107
6.3.2 Umsetzung der Modelle.....................................................................................108
6.3.3 Ergebnisse..........................................................................................................118
7 Zusammenfassung und Ausblick........................................................................................123
7.1 Ergebnis der Arbeit....................................................................................................123
7.2 Ausblick......................................................................................................................124
Literaturverzeichnis............................................................................................................127
Anhang A: Datenbasis der Validierung im GNU MathProg Format.................................135
A.1 Partialmodell I.....................................................................................................135
A.2 Partialmodell II....................................................................................................141
A.3 Partialmodell III...................................................................................................149
A.4 Partialmodell IV..................................................................................................158
Anhang B: Ausgaben der Optimierung..............................................................................167
B.1: Ausgaben Optimierung Partialmodell I..............................................................167
B.2: Ausgaben Optimierung Partialmodell II.............................................................167
B.3: Ausgaben Optimierung Partialmodell III...........................................................168
B.4: Ausgaben Optimierung Partialmodell IV...........................................................169
Anhang C: Ergebnisse der Optimierung............................................................................171
C.1: Ergebnisse Optimierung Partialmodell I............................................................171
C.2: Ergebnisse Optimierung Partialmodell II...........................................................174
iii
C.3: Ergebnisse Optimierung Partialmodell III..........................................................174
C.4: Ergebnisse Optimierung Partialmodell IV.........................................................174
iv
v
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2.1: Produktion als Input-/Output-Prozess................................................................5
Abbildung 2.2: Klassifikation von Produktionsfaktoren nach Gutenberg..................................6
Abbildung 2.3: Zielkonflikt der Modellierung.........................................................................13
Abbildung 2.4: Vorgehensweise der Planung mit mathematischen Modellen.........................14
Abbildung 2.5: Abhängigkeiten der Planungsaufgaben auf der ersten Planungsebene............22
Abbildung 2.6: Abhängigkeiten der Planungsaufgaben auf der zweiten Planungsebene.........23
Abbildung 2.7: Hierarchische Darstellung der Partialmodelle.................................................25
Abbildung 3.1: Dynamische Programmierung als hierarchische Planung................................31
Abbildung 3.2: Allgemeines Schema hierarchischer Planung nach Schneeweiß.....................32
Abbildung 3.3: Formale Darstellung hierarchischer Planung...................................................33
Abbildung 3.4: Varianten hierarchischer Strukturen................................................................36
Abbildung 3.5: Hierarchische Planung bei der Variantenfließfertigung..................................37
Abbildung 3.6: Modularer Aufbau von APS Systemen............................................................38
Abbildung 3.7: Hierarchisches Modell von APS Systemen nach Betge..................................41
Abbildung 3.8: Applikationskomponenten von SAP APO und Integration mit SAP ERP......42
Abbildung 3.9: SAP APO Struktur als Teil der generischen Struktur von APS Systemen......43
Abbildung 4.1: Einordnung der Problemstellung in die Module von APS Systemen..............51
Abbildung 5.1: Fertigungsprozess als Technologie..................................................................62
Abbildung 5.2: Szenarien in verschiedenen Zeitmodellen.......................................................66
Abbildung 5.3: Ergebnisse des ersten Partialmodells...............................................................68
Abbildung 5.4: Ergebnisse des zweiten Partialmodells............................................................73
Abbildung 5.5: Ergebnisse des dritten Partialmodells..............................................................81
Abbildung 5.6: Beispiel für Wiederbeschaffungszeit und Produktdistanz...............................85
Abbildung 5.7: Ergebnisse des vierten Partialmodells.............................................................87
Abbildung 5.8: Koordinationsprozess bei Planungsbeginn mit Partialmodell I.......................93
Abbildung 5.9: Koordinationsprozess bei Planungsbeginn mit Partialmodell III....................96
Abbildung 6.1: Struktur der Produktion (Ist-Zustand)............................................................100
Abbildung 6.2: Zuordnung der Szenarien zu Perioden...........................................................102
Abbildung 6.3: Mengendefinitionen für Partialmodell I.........................................................109
Abbildung 6.4: Parameterdefinitionen für Partialmodell I.....................................................109
Abbildung 6.5: Variablendefinitionen für Partialmodell I......................................................109
vi
Abbildung 6.6: Zielfunktion Partialmodell I...........................................................................110
Abbildung 6.7: Restriktionen Partialmodell I.........................................................................110
Abbildung 6.8: Mengendefinitionen für Partialmodell II.......................................................111
Abbildung 6.9: Parameterdefinitionen für Partialmodell II....................................................111
Abbildung 6.10: Variablendefinitionen für Partialmodell II...................................................112
Abbildung 6.11: Zielfunktion Partialmodell II.......................................................................112
Abbildung 6.12: Restriktionen Partialmodell II......................................................................113
Abbildung 6.13: Mengendefinitionen für Partialmodell III....................................................114
Abbildung 6.14: Parameterdefinitionen für Partialmodell III.................................................114
Abbildung 6.15: Variablendefinitionen für Partialmodell III.................................................115
Abbildung 6.16: Zielfunktion Partialmodell III......................................................................115
Abbildung 6.17: Restriktionen Partialmodell III....................................................................115
Abbildung 6.18: Mengendefinitionen für Partialmodell IV....................................................116
Abbildung 6.19: Parameterdefinitionen für Partialmodell IV.................................................116
Abbildung 6.20: Variablendefinitionen für Partialmodell IV.................................................116
Abbildung 6.21: Zielfunktion Partialmodell IV......................................................................117
Abbildung 6.22: Restriktionen Partialmodell IV....................................................................117
Abbildung 6.23: Struktur der Produktion (Soll-Zustand).......................................................119
vii
Tabellenverzeichnis
Tabelle 2.1: Eigenschaften der Hierarchieebenen des Planungsmodells..................................20
Tabelle 3.1: Abbildung von generischen Modulen und Applikationskomponenten.................44
Tabelle 6.1: Erzeugnisse und Zuordnung der Indizes.............................................................103
Tabelle 6.2: Technologien und Zuordnung der Indizes..........................................................105
Tabelle 6.3: Übersicht über die Mitarbeiterbestands- und -qualifikationsplanung.................120
viii
ix
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
Aij
WAuslastung des Werkzeugs i in Szenario j
A
Wmax Auslastung eines Werkzeugs, ab dem für Teile, die darauf gefer-
tigt werden, ein Bestellzyklus definiert werden muss
biBBinärvariable, die angibt, ob für Erzeugnis i Bedarfe vorliegen
biBZ Binärvariable, die angibt, ob für Erzeugnis i das Bestellzyklus-
verfahren genutzt wird
bij
KBinärvariable, die angibt, ob Erzeugnis i in Periode j ein Kaufteil
ist
b
iLS Binärvariable, die angibt, ob für Erzeugnis i eine Lagerstufe defi-
niert ist
b
ij
LT Binärvariable, die angibt, ob Erzeugnis i in Szenario j zeitgerecht
geliefert wird
bij
MBinärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode j zur Verfü-
gung steht
biM0Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i derzeit beschäftigt
wird
bij
MB Binärvariable, die angibt, ob für Erzeugnis i in Szenario j der
Meldebestand unterschritten wird
bij
MBN Binärvariable, die angibt, ob für Erzeugnis i in Szenario j der
Meldebestand neu unterschritten wird (d. h. im vorherigen Sze-
nario ist der Meldebestand noch nicht unterschritten)
bij
ME Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode j neu einge-
stellt wird
bijk
MQ Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode k Qualifika-
tion j besitzt
bij
MQ0Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i derzeit Qualifikation j
besitzt
bijk
MQN Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode k Qualifika-
tion j neu lernt
bij
MR Binärvariable, die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode j freigestellt
wird
b
ij
PBinärvariable, die angibt, ob Prozessalternative i die Nutzung
von Technologie j zulässt
x
bij
PE Binärvariable, die angibt, ob Erzeugnis i in Periode j produziert
wird
bij
PN Binärvariable, die angibt, ob Prozessalternative i in Periode j ge-
nutzt wird
biPN 0Binärvariable, die angibt, ob Prozessalternative i im Ausgangs-
szenario genutzt wird
biPNA Binärvariable, die die Änderung der Prozessalternativennutzung
in Periode i signalisiert
bijk
RT Binäre Rüstvariable, die angibt, ob Werkzeug j in Szenario k zur
Durchführung von Technologie i gerüstet wird
bij
WBinärvariable, die angibt, ob Werkzeug i in Periode j verfügbar
ist
bi
W0 Binärvariable, die angibt, ob Werkzeug i im Ausgangsszenario
vorhanden ist
bij
WN Binärvariable, die angibt, ob Werkzeug i in Periode j neu ange-
schafft wird
ciFFixkosten, die in jedem Szenario anfallen, in dem Werkzeug i
verfügbar ist
c
iKKaufpreis je Einheit von Erzeugnis i
c
iLLagerkostensatz je Mengeneinheit Bestand von Erzeugnis i am
Ende einer Periode
ci
MGrundgehalt von Mitarbeiter i je Periode
c
ME Kosten für die Einstellung eines Mitarbeiters
c
MR Kosten für die Freistellung eines Mitarbeiters
ciNNeuanschaffungskosten für Werkzeug i
ciPProduktionskostensatz für eine Zeiteinheit auf Werkzeug i
cij
Pvar Variabler Produktionskostensatz eine Mengeneinheit von Er-
zeugnis i in Periode j
cij
Pfix Fixer Produktionskostensatz für Produktion von Erzeugnis i in
Periode j
c
i
QKosten für die Weiterbildung eines Mitarbeiters, um Qualifikati-
on i zu erlernen
c
PNA Kosten für die Änderung der Prozessalternativennutzung
ciRRüstkostensatz für eine Zeiteinheit auf Werkzeug i
c
i
UKosten für eine Zeiteinheit Überstunden von Mitarbeiter i
ci
VVerzugskostensatz je Mengeneinheit Lieferrückstand von Er-
zeugnis i am Ende einer Periode
c
ZKalkulatorischer Zinsfuß der Unternehmung je Periode in den
Modellen der taktischen Planung
xi
g
ijk
direkter Verbrauch von Erzeugnis i zur Produktion einer Einheit
von Erzeugnis j in Periode k; „Gozinto-Faktor“
KBdDurchschnittliche Kapitalbindungskosten über alle Perioden bis
zum Planungshorizont
KB
d,max Maximal zulässige durchschnittliche Kapitalbindungskosten
KB
mMaximale Kapitalbindungskosten einer Periode
KB
m,max Maximal zulässige maximale Kapitalbindungskosten
K
oKennzahl, die die auftretenden Kosten in den Modellen der ope-
rativen Planung beschreibt (Summe bis zum Planungshorizont)
K
o,max Kostengrenze für die Modelle der operativen Planung, d. h.
Obergrenze für Ko
K
tKennzahl, die die auftretenden Kosten in den Modellen der takti-
schen Planung beschreibt (Summe bis zum Planungshorizont)
K
t,1 Entspricht
K
t bei Nutzung des Produktionsprogramms des Mo-
dells für die Auswahl von Produktionsprozessen und Planung
des Maschinenbestands
K
t,2 Entspricht
K
t bei Nutzung des Produktionsprogramms des Mo-
dells für die Mitarbeiterplanung
K
t,max Kostengrenze für die Modelle der taktischen Planung, d. h. Ober-
grenze für
K
t
KB
d,max Obergrenze für die durchschnittlichen Kapitalbindungskosten
KB
m,max Obergrenze für die maximalen Kapitalbindungskosten
M
hinreichend große Zahl; „big-M“
nij
BPrimärbedarf an Erzeugnis i in Szenario j
nEAnzahl der Erzeugnisse
nij
ges Kumulierte Gesamtnachfrage nach Erzeugnis i in Szenario j
nij
LT Kumulierte Gesamtnachfrage nach Erzeugnis i in Szenario j, wo-
bei nur die angestrebte minimale Liefertreue eingehalten wird
n
MAnzahl der Mitarbeiter
n
PAnzahl der betrachteten Perioden (Planungshorizont) (ohne die
initiale Periode mit dem Index 0)
n
PA Anzahl der Prozessalternativen
n
QAnzahl der Qualifikationen
ni
RTmax Maximale Anzahl Rüstvorgänge für Durchführung von Techno-
logie i je Periode
n
SAnzahl der betrachteten Szenarien (ohne das Wurzelszenario mit
dem Index 0)
nTAnzahl der Technologien
xii
nij
TB Benötigter Input an Erzeugnis i bei Durchführung einer Einheit
von Technologie j
n
ij
TE Output an Erzeugnis i bei Durchführung einer Einheit von Tech-
nologie j
n
Umax Maximale Anzahl Überstunden je Mitarbeiter und Periode
n
WAnzahl der Werkzeuge
n
ZM Anzahl Zeitabschnitte des untergeordneten Zeitmodells je Zeit-
abschnitt des übergeordneten Zeitmodells
o
Kennzeichen für Variablen (hochgestellt) in den Modelle des un-
tergeordneten Zeitmodells (nur verwendet, wenn das Zeitmodell
nicht aus dem Kontext hervorgeht)
pmin Angestrebte minimale Liefertreue
t
Kennzeichen für Variablen (hochgestellt) in den Modelle des
übergeordneten Zeitmodells (nur verwendet, wenn das Zeitmo-
dell nicht aus dem Kontext hervorgeht)
T
B,o Dauer des im Zeitmodell der operativen Planung zugrunde ge-
legten Zeitabschnittes
T
B,t Dauer des im Zeitmodell der taktischen Planung zugrunde geleg-
ten Zeitabschnittes
t
BZ Bestellzyklus im Bestellpunktverfahren, wird für alle Produkte
als identisch angesehen
tij
DL Minimale Durchlaufzeit für die Fertigung von Erzeugnis i in Pe-
riode j
t
i
KWiederbeschaffungszeit für Erzeugnis i, wenn es ein Kaufteil ist
tij
KW Kapazität von Werkzeug i in Periode j in Zeiteinheiten
t
i
LZeitaufwand, um Qualifikation i zu erlernen
t
Lmax Angestrebte maximale Lieferzeit
tij
MZur Verfügung stehende Grundarbeitszeit von Mitarbeiter i in
Szenario j
T
NP ,t Dauer des Intervalls für die regelmäßige Neuplanung beginnend
auf der taktischen Ebene
T
NP,o Dauer des Intervalls für die regelmäßige Neuplanung beginnend
auf der operativen Ebene
tij
PD Maximale Produktdistanz für Erzeugnis i in Periode j
tij
RT Dauer für das Rüsten von Werkzeug j zur Durchführung von
Technologie i
t
ij
RW Zeitliche Reichweite, die als maximale Wiederbeschaffungszeit
unter Beachtung des Bestellpunkt- oder Bestellzyklusverfahrens
für Erzeugnis i in Periode j überbrückt werden muss
xiii
ti
TMaximale Transportzeit für Erzeugnis i zum Bedarfsort
t
ij
TQ Benötigte Einsatzdauer eines Mitarbeiters mit Qualifikation j zur
Durchführung einer Einheit von Technologie i
t
ij
TW Bearbeitungszeit an Werkzeug j für die Durchführung einer Ein-
heit von Technologie i
tij
WB Wiederbeschaffungszeit von Erzeugnis i in Periode j
tij
WBL Wiederbeschaffungszeit von Erzeugnis i in Periode j oder 0,
wenn eine Lagerstufe für das Erzeugnis definiert ist
xij
KEinkaufsmenge für Erzeugnis i in Szenario j
x
ij
LBestand bzw. Lieferrückstand für Erzeugnis i am Ende von Sze-
nario j
xiL0Bestand für Erzeugnis i im Ausgangsszenario
xiLG Losgröße für Erzeugnis i
xiMB Meldebestand für das verbrauchsorientiert disponierte Erzeugnis
i
x
ij
PProduktionsmenge von Erzeugnis i in Szenario j
xijk
QM Dauer, die Mitarbeiter j mit der Anwendung von Qualifikation i
in Szenario k aufwendet
xij
TAnzahl durchgeführte Einheiten von Technologie i in Szenario j
xij
UÜberstunden, die Mitarbeiter i in Szenario j macht
:
{
0
n
P,o} {
0
n
P,t}Funktion, die jede Periode im Zeitmodell der operativen Planung
auf eine Periode im Zeitmodell der taktischen Planung abbildet
:
{
0
n
S
} {
0
n
S
}∪∅
Funktion, die allen Szenarien, die kein Blatt des Szenariobaums
sind, ein Nachfolgeszenario zuordnet
:
{
0
n
S
} {
0
n
P
}
Funktion, die jedem Szenario eine Periode zuordnet
:{0nS}
]
01
]
Funktion, die jedem Szenario eine Eintrittswahrscheinlichkeit
zuordnet
xiv
1
1Einleitung
Die Schranken sowohl logistischer als auch regulativer Art zwischen Ländern und Unterneh-
men sinken seit Jahren kontinuierlich. Dazu tragen auf der regulativen Ebene die Einführung
sowohl bilateraler als auch multilateraler Abkommen bei, die Zölle abbauen und Gesetze und
Normen miteinander in Einklang bringen. Beispiele hierfür sind der freie Warenverkehr im
EU-Binnenmarkt oder das Nordamerikanische Freihandelsabkommen NAFTA. Durch die aus
dem wachsenden Warenverkehr zwischen den Ländern resultierenden positiven Skaleneffekte
und den technologischen Fortschritt sinken außerdem die Transportkosten und damit die lo-
gistischen Barrieren. Dadurch ergibt sich, dass die zuvor auf Länder bzw. Regionen begrenz-
ten Märkte, in denen die Unternehmen agieren, sich erweitern und zunehmend international
werden. Es ergibt sich eine Vielzahl von Implikationen für die Unternehmen, die sowohl als
Kunden als auch als Anbieter auf den globalisierten Märkten auftreten. Auf der Kundenseite
kauft das Unternehmen dabei nicht nur Betriebsmittel und Werkstoffe ein, sondern fragt au-
ßerdem Arbeitszeit von Mitarbeitern nach. Diese Ressourcenallokationen müssen für das Un-
ternehmen, unter Berücksichtigung der Bedarfe der Absatzmärkte, effizient geschehen.
Die volkswirtschaftliche (makroökonomische) Sicht auf diesen Sachverhalt wurde zunächst
im 19. Jahrhundert durch David Ricardo geprägt. Er wies mit seiner Theorie der komparativen
Kostenvorteile nach, dass die Vorteilhaftigkeit des Handels zwischen zwei Ländern von den
relativen Kosten der Produktion in diesen beiden Ländern abhängt. Nach dieser Theorie pro-
duzieren die Unternehmen in den Ländern jeweils das Gut, das sie am effizientesten im Ver-
gleich zu anderen Gütern herstellen können. Es wurde also bereits früh festgestellt, dass sich
Länder auf ihre Kernkompetenzen1 besinnen und diese im Zusammenhang mit dem Handel
nutzen sollten, um den volkswirtschaftlichen Gesamtnutzen zu maximieren. Die Volkswirt-
schaft hat sich in diesem Bereich weiterentwickelt2, allerdings ist die Grundaussage über die
Vorteilhaftigkeit des Handels zwischen zwei Ländern weiterhin gültig.
1 Kernkompetenzen sind nach Prahalad und Hamel definiert als „the skills that enable a firm to deliver a fun-
damental customer benefit“ (vgl. [PrHa90], S. 13).
2 Beispielsweise erklärt das Heckscher-Ohlin-Theorem die Spezialisierungsmuster des internationalen Handels
detaillierter über die relative Ausstattung der Länder mit Kapital und Arbeit.
2
Eine Folge dieser Entwicklung ist der Trend zur Konzentration auf Kernkompetenzen, der bei
produzierenden Unternehmen branchenübergreifend zu beobachten ist. Das einzelne Unter-
nehmen beugt sich damit dem Markt, der von ihm einen möglichst hohen Return on Invest-
ment (und damit eine Maximierung des Shareholder Values) fordert. Diese Entwicklung führt
dazu, dass die Produkte durch die Endprodukthersteller, so genannte OEM3, nur noch ausge-
hend von vorgefertigten Baugruppen montiert werden. Diese Baugruppen können ihrerseits in
anderen Unternehmen produziert werden, so dass durch die oben beschriebene Entwicklung
ein immer komplexeres Unternehmensnetzwerk für die Herstellung eines Produktes verant-
wortlich ist. Die Wertschöpfung verteilt sich auf immer mehr Teilnehmer im Produktionsnetz-
werk; der Anteil des Endproduktherstellers beträgt derzeit nur noch ca. zehn Prozent (vgl.
[Kühn04], S.33).
Aus Sicht des einzelnen Unternehmens muss zunächst geklärt werden, wie sich eine effiziente
Ressourcenallokation unter den oben beschriebenen Vorgaben darstellt. Es wird eine Ent-
scheidungsgrundlage benötigt, die klärt, welche Teile der Wertschöpfung an welcher Stelle
geschehen und ob diese durch das eigene Unternehmen oder einen Zulieferer erbracht werden.
Dabei muss insbesondere die bereits vorhandene Infrastruktur (Produktionsanlagen, Know-
how der Mitarbeiter in bestehenden Werken, bestehende Lieferantenbeziehungen, etc.) mit
einbezogen werden. Das Ziel dieser Planungsaufgabe ist die Gewinnmaximierung für das un-
tersuchte Unternehmen.
Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass die zeitlichen Verzögerungen aufgrund der defi-
nierten Lieferketten nicht die angestrebte Lieferfähigkeit des Unternehmens einschränken. Es
müssen die Rahmenbedingungen bzgl. Produktionsmengen und -zeitpunkten sowohl innerbe-
trieblich als auch gegenüber den Lieferanten abgestimmt und notwendige oder sich implizit
ergebende Bestände bestimmt werden. Dabei spielt insbesondere die Variabilität der Produkte
und Baugruppen auf den einzelnen Produktionsstufen eine Rolle.
Die Basis dieser Ausarbeitung bildet die praktische Fragestellung eines Unternehmens aus der
Schienenfahrzeugindustrie. Es soll untersucht werden, wie die derzeitige Struktur der Produk-
tion des Unternehmens umgestellt werden muss, damit eine langfristig sinnvolle und gewinn-
maximierende Ausrichtung des Unternehmens sichergestellt wird. Im Unternehmen wurde da-
für eine grundsätzliche Zielsetzung bezüglich der Liefertreue und Lieferzeit als Basis der wei-
teren Planungen definiert. Basierend auf Vergangenheitsdaten und Abschätzungen bezüglich
der zukünftigen Entwicklung der Systemumwelt sowie vordefinierter Möglichkeiten, das Pro-
duktionssystem zu strukturieren (z. B. mögliche Standorte), soll eine Entscheidung über die
3 OEM: Original Equipment Manufacturer, ein Hersteller, dessen Produkte unter einem Markennamen als Ein-
heit verkauft werden.
3
Struktur, die Dimensionierung und die Verfahren zur Materialbedarfsplanung im Unterneh-
men getroffen werden. Außerdem soll das eingesetzte Planungsverfahren in einen regelmäßi-
gen Anpassungsprozess integriert werden, um die Anpassung der Planungsentscheidung bei
Änderungen der Systemumwelt oder der Zusammenhänge im System zu gewährleisten.
Diese Arbeit ist in sieben Kapitel gegliedert. Im Anschluss an dieses einleitende Kapitel wird
in Kapitel 2 die Problemstellung analysiert, es werden die relevanten Begriffe definiert und
das Problem wird strukturiert. Kapitel 3 beschreibt den Stand der Technik im Bereich der
hierarchischen Planung von Fertigungssystemen. Dabei werden die existierenden Ansätze be-
züglich der Anforderungen analysiert und damit die Möglichkeit ihrer Nutzung zur Lösung
der Problemstellung festgestellt. In Kapitel 4 werden dann die aus dem Stand der Technik so-
wie der Problemstellung resultierenden zu leistenden Arbeiten dargestellt. In Kapitel 5 wird
die Entwicklung des Verfahrens zur hierarchischen Struktur-, Dimensions- und Materialbe-
darfsplanung von Fertigungssystemen dargestellt, untergliedert in die Definition von Pla-
nungsmodellen in Abschnitt 5.1 und die darauf aufbauende Definition von Koordinationspro-
zessen, die eine Steuerung des Fertigungssystems ermöglichen, in Abschnitt 5.2. In Kapitel 6
wird das Verfahren evaluiert, wobei die dieser Arbeit zugrunde liegende praktische Problem-
stellung eines Unternehmens aus der Schienenfahrzeugindustrie als Anwendungsfall genutzt
wird. In Kapitel 7 werden die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und ein Ausblick auf
weiterführende Entwicklungen auf Basis des hier definierten Ansatzes gegeben.
4
5
2 Problemstellung
In diesem Kapitel wird die Problemstellung für die Definition eines Verfahrens zur hierarchi-
schen Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung von Fertigungssystemen präzisiert
und systematisiert. Dazu werden zunächst in Abschnitt 2.1 die wesentlichen Begriffe des Pro-
blembereichs definiert, abgegrenzt und damit die Problemstellung dargestellt. In Abschnitt 2.2
wird der Problembereich systematisch in eine Menge hierarchisch angeordneter Partial-
modelle geteilt, die dann die Basis für die im Rahmen dieser Arbeit definierten Planungspro-
zesse bilden.
2.1 Problemdefinition
2.1.1 Produktion
Die übereinstimmende Komponente der meisten Definitionen des Begriffs Produktion (vgl.
[Beue96], S. 1495, [Dang01], S. 3 sowie [Hoit93], S. 1) ist die Charakterisierung als
Input-/Output-Prozess. Ein materieller oder immaterieller Input wird durch einen Transforma-
tions- bzw. Faktorkombinationsprozess in einen andersartigen materiellen oder immateriellen
Output umgewandelt. In Abbildung 2.1 ist dieser Input-/Output-Prozess in graphischer Form
dargestellt.
OutputInput Transformation
Produktionsprozess
Abbildung 2.1: Produktion als Input-/Output-Prozess44
Aus den oben genannten Quellen lässt sich die im Folgenden verwendete Definition ableiten:
Der Begriff Produktion bezeichnet den zielgerichteten Einsatz von Sachgütern und Dienstleis-
4 Vgl. [Dang01], S. 4
6
tungen und deren Transformation in andere Sachgüter und Dienstleistungen mit höherer Wert-
schätzung.
Der Input umfasst die eingesetzten Produktionsfaktoren und der Output ist das Produkt oder
Erzeugnis bzw. das Ergebnis des Produktionsprozesses, das entweder ein verkaufsfähiges
Endprodukt oder ein für weitere Produktionszwecke zu verwendendes Zwischenprodukt dar-
stellt (vgl. [Cors04], S. 1, [DSV93], S. 4, [KiSt01], S. 1, [WeKa06], S. 87). Im Folgenden sol-
len die Begriffe Produktionsfaktor (Input), Produktionsprozess (der eigentliche, durch den Be-
griff Produktion charakterisierte Prozess) und Produkt (Output) verwendet werden, die in den
sich anschließenden Abschnitten präzisiert werden.
2.1.1.1 Produktionsfaktor
Für die Planung von Fertigungssystemen, die im weiteren Verlauf dieser Ausarbeitung be-
trachtet wird, stellen die einzusetzenden Produktionsfaktoren eine bedeutende Einflussgröße
dar. Daher wird nachfolgend eine genauere Betrachtung der unterschiedlichen Produktions-
faktoren vorgenommen.
Planung Organisation
objekt-
bezogene
Arbeit
Maschinen,
Werkzeuge,
Gebäude,
Grundstücke
Betriebs- und
Hilfsstoffe
Menschliche Arbeitsleistungen Betriebsmittel Werkstoffe
Rohstoffe,
Halb- und
Fertig-
erzeugnisse
Geschäfts-
und Betriebs-
leitung
dispositive Faktoren
originärer
Faktor
derivative Faktoren
Elementarfaktoren
Potentialfaktoren Repetierfaktoren
Abbildung 2.2: Klassifikation von Produktionsfaktoren nach Gutenberg5
5
Nach Gutenberg (vgl. [Gute51], S. 1-8) können Produktionsfaktoren wie in Abbildung 2.2
nach verschiedenen Gesichtspunkten charakterisiert werden. Zunächst kann zwischen Ele-
mentarfaktoren und dispositiven Faktoren unterschieden werden. Den Elementarfaktoren sind
die Faktoren zuzuordnen, die direkt mit dem Leistungserstellungs- bzw. Produktionsprozess
5 Vgl. [Gute51], S. 1-8, [Dang03], S. 50
7
in Verbindung stehen. Dazu zählen objektbezogene Arbeit (konkrete menschliche Arbeitsleis-
tungen, Verrichtungen und Tätigkeiten, die direkt dem Leistungserstellungsprozess dienen),
Betriebsmittel (Maschinen, Werkzeuge, Gebäude, Grundstücke, aber auch Betriebs- und
Hilfsstoffe) sowie Werkstoffe (Rohstoffe, eigen- oder fremdgefertigte Halb- und Fertiger-
zeugnisse). Die dispositiven Faktoren sind menschliche Arbeitsleistungen, die mit der Leitung
und Lenkung der betrieblichen Vorgänge des Unternehmens in Verbindung stehen. Diese un-
terteilt Gutenberg weitergehend in die originären Faktoren (Geschäfts- und Betriebsleitung;
diejenigen Faktoren, von denen die unternehmerische Tätigkeit ausgeht) und die derivativen
Faktoren (Planung und Organisation).
Eine zweite Unterscheidungsmöglichkeit für Produktionsfaktoren ist die Gliederung in Poten-
tialfaktoren (Bestands- oder Gebrauchsfaktoren) und Repetierfaktoren (Verbrauchsfaktoren).
Repetierfaktoren, beispielsweise Energie und Rohstoffe, gehen im Produktionsprozess unter
oder mit in das Erzeugnis ein und werden physisch und/oder mengenmäßig verbraucht. Poten-
tialfaktoren hingegen können mehrmals wieder verwendet werden und sind nicht Teil des
Endproduktes. Sämtliche menschliche Arbeitsleistungen sowie die Gruppe der Maschinen,
Werkzeuge, Gebäude und Grundstücke sind Potentialfaktoren. Allerdings muss berücksichtigt
werden, dass Maschinen und Werkzeuge in der Regel unter Verschleiß leiden und in regelmä-
ßigen Zeitabständen gewartet oder ersetzt werden müssen, also weisen sie auch Merkmale
von Repetierfaktoren auf. Ebenso sind immaterielle Potentialfaktoren zwar relativ langlebig,
aber nicht unendlich beständig. Lizenzen für die Nutzung geschützter Produktionsverfahren,
von Patenten oder Softwareprodukten können beispielsweise ablaufen, oder eine Maschine ist
einem Lebenszyklus unterworfen, der im Laufe der Zeit geringere Leistung sowie eine Grenze
für die Nutzungsdauer vorgibt (vgl. [BBSS97], S. 96). Damit ist es eine Frage des Betrach-
tungshorizonts, ob gewisse Produktionsfaktoren als Potential- oder Repetierfaktoren angese-
hen werden.
2.1.1.2 Produktionsprozess
Ein Prozess ist die „dynamische Aufeinanderfolge von verschiedenen Zuständen eines Dinges
bzw. Systems“ ([KlBu87], S.990). Dabei kann man abhängig davon, ob die Aufeinanderfolge
festgelegt ist, zwischen deterministischen und stochastischen Prozessen unterscheiden. Deter-
ministische Prozesse sind dadurch gekennzeichnet, dass der Zustand des Systems eindeutig
aus dem vorhergehenden Zustand abgeleitet werden kann. In stochastischen Prozessen folgt
der Zustand des Systems aus dem vorhergehenden Zustand nur mit einer gewissen Wahr-
scheinlichkeit.
8
Auch wenn durch Klaus und Buhr darauf verwiesen wird, es habe sich immer mehr die Er-
kenntnis durchgesetzt, „daß letztlich alle Prozesse stochastische bzw. statistische Prozesse
sind“ ([KlBu87], S.991), nehmen wir an, dass die Produktion ein deterministischer Prozess
ist. In diesem Prozess wird der Zustand des Systems, in dessen Ausgangszustand die Inputfak-
toren vorhanden sind, so verändert, dass es im angestrebten Folgezustand den Output enthält.
Diese Abbildung der Produktion als deterministischer Prozess vereinfacht die Modellierung
der Prozesse und ihrer Abläufe.
2.1.1.3 Produkt
Sabisch definiert ein Produkt als „eine von einem Unternehmen am Markt angebotene Leis-
tung, die durch ihre spezifischen Funktionen und Eigenschaften geeignet ist, konkrete Bedürf-
nisse von Kunden nutzbringend zu befriedigen“ (vgl. [Sabi96], S. 1439-1440). Damit wird ein
Produkt dadurch charakterisiert, dass für das betrachtete Unternehmen Primärbedarfe6 vorlie-
gen können.
Der Kunde muss dabei nicht unbedingt dem Endverbraucher entsprechen, da das Produkt
auch einen Produktionsfaktor in einem anderen Unternehmen darstellen kann. Des Weiteren
kann der Output eines Produktionsprozesses demselben Unternehmen wiederum als Input für
einen anderen Produktionsprozess dienen. In diesem Fall kann ein Produkt gleichzeitig auch
Produktionsfaktor in demselben Unternehmen sein. Meist handelt es sich dann um einen Pro-
duktionsfaktor aus der Gruppe der Rohstoffe, Halb- und Fertigerzeugnisse.
2.1.2 Fertigung
Der Begriff Fertigung wird in der Literatur, je nach Auslegung, häufig äquivalent zum Begriff
Produktion verwendet (beispielhaft können hier folgende Quellen aufgeführt werden:
[FrTh96], S. 462, [Woll92], S. 206, [DSV93], S. 4). In dieser Ausarbeitung wird er allerdings
in einer abweichenden Bedeutung verwendet. Daher soll an dieser Stelle eine Abgrenzung
vorgenommen werden. Wie bereits zuvor erwähnt, befasst sich die Produktion mit der Trans-
formation von Gütern und Dienstleistungen in andere Güter und Dienstleistungen. Die Ferti-
gung im Sinne der hier verwendeten Definition hingegen lässt Dienstleistungen und andere
immaterielle Güter als Ergebnis des Transformationsprozesses außer Acht und wird daher
auch als Produktion im engeren Sinne bezeichnet. Es geht also um die konkrete Herstellung
von materiellen Gütern, die sich hauptsächlich auf die Teilefertigung und Montage bezieht
6 Der Primärbedarf ist der Marktbedarf an Enderzeugnissen und Ersatzteilen ([DaWa97], S. 258). Er ist somit
der Bedarf der obersten Strukturebene, der einer Vorhersage oder einem konkreten Kundenauftrag ent-
stammt.
9
(vgl. [Warn93B], S. 1). Folgende Definition soll für die weiteren Betrachtungen genutzt wer-
den:
„Die Fertigung umfasst alle technischen Maßnahmen zur Herstellung von Material oder Er-
zeugnissen [und] wird demnach als eine spezielle Form der Produktion betrachtet, die im we-
sentlichen […] den Bereich der Herstellung von Einzelteilen und der Montage umfaßt“
([Dang01], S. 4).
2.1.3 Fertigungssystem
„Ein Fertigungssystem ist eine technisch, organisatorisch (und kostenrechnerisch) selbständi-
ge Allokation von Potentialfaktoren zu Produktionszwecken [und] besteht aus (elementaren)
Arbeitssystemen, die die kleinste Einheit einer Kombination der Potentialfaktoren Betriebs-
mittel und Arbeitskräfte darstellen und eine oder mehrere Klassen von Transformationen
durchführen können“ ([Dang01], S. 5). Ein Fertigungssystem ist demnach eine autonom fun-
gierende Einheit, die eine Reihe von Fertigungseinrichtungen (z. B. Maschinen oder Monta-
geplätze), einschließlich weiterer für den Fertigungsprozess benötigter Potentialfaktoren, um-
fasst und für die Herstellung eines Spektrums geometrisch oder technologisch ähnlicher
Werkstücke oder Teilefamilien ausgelegt ist (vgl. [Boss99], S. 5).
2.1.4 Planungsaufgaben in Fertigungssystemen
Planung bezeichnet die gedankliche Vorwegnahme zukünftiger Ereignisse (vgl. [Woll92], S.
548). Das Ziel der Planung ist es, auf der Grundlage einer Analyse möglicher Handlungsalter-
nativen und einer Prognose zukünftiger Entwicklungen eine oder mehrere Alternativen auszu-
wählen, die zur Erreichung zuvor formulierter Zielsetzungen führen (vgl. [DSV93], S. 1). Der
Planungsprozess kann in die folgenden Schritte unterteilt werden7 (vgl. [Woll92], S. 549,
[DSV93], S. 1-2):
●Zielformulierung
●Bestimmung von Maßnahmen, Mitteln und Verfahren, die zur Zielerreichung führen
können
●Analyse der möglichen Handlungsalternativen
7 Des Weiteren umfasst die Planung als Tätigkeit, nach der konkreten (operativen) Durchführung der ausge-
wählten Handlungsalternative, die Kontrolle der Planung im Rahmen eines Soll-/Ist-Vergleichs. Eventuell
notwendige Anpassungen der Plan- und Ist- Werte werden in der Planungssteuerung vorgenommen (vgl.
[Woll92], S. 549).
10
●Auswahlentscheidung
Unter einer Planungsaufgabe in einem Fertigungssystem (Fertigungsplanungs-Aufgabe) ist
die Aufgabe zu verstehen, „vorausschauend Plandaten über die qualitative, quantitative und
zeitliche Gestaltung und Zuordnung der Elemente des Fertigungssystems, die in sich und mit
den Ausgangsdaten konsistent sind, für einen definierten, zielgerichteten Fertigungsprozess
festzulegen“ ([Dang01], S. 6).
Ein Fertigungssystem wird in der Fertigungsplanung festgelegt (vgl. [Dang01], S. 6). Dem-
nach sind die für Fertigungssysteme relevanten Planungsaufgaben aus der Fertigungsplanung
abzuleiten. „Die Planung der Fertigung umfaßt alle einmalig zu treffenden Maßnahmen be-
züglich der Gestaltung eines Fertigungssystems und der darin stattfindenden Fertigungspro-
zesse“ (vgl. [Dang01], S. 5). Die Fertigungsplanung wird in der Literatur unterschiedlich ein-
geordnet und bezeichnet. Sie wird u. a. zusammen mit der Fertigungssteuerung8 als Teilgebiet
der Arbeitsvorbereitung9 verstanden (vgl. [Warn93A], S. 245).
Fertigungsplanungs-Aufgaben können in Fertigungsplanungs-Teilaufgaben10 eingeteilt wer-
den. Dangelmaier (vgl. [Dang01], S. 35) teilt die Fertigungsplanungs-Aufgabe in zwei we-
sentliche Klassen von Teilaufgaben ein: Die Strukturierungsaufgabe und die Dimensionie-
rungsaufgabe. Diese Begriffe sollen im Folgenden als Grundlage für die Definition des Ziels
dieser Ausarbeitung beschrieben werden.
2.1.4.1 Strukturierungsaufgabe
Die Strukturierungsaufgabe ist eine Klasse von Teilaufgaben der Fertigungsplanungs-Aufga-
be. Diese Teilaufgaben legen die Struktur des Fertigungssystems fest, es wird die Zuordnung
von Elementen des Systems zu Klassen vorgenommen (vgl. [Dang01], S. 35). Es werden bei-
spielsweise Produkte zu Produktionsprozessen und Produktionsprozesse zu Fertigungsvorgän-
gen zugewiesen, die Make-or-Buy-Entscheidung getroffen usw.
8 „Die Fertigungssteuerung umfaßt alle Maßnahmen, die zur Durchführung eines Auftrages im Sinne der Ferti-
gungsplanung erforderlich sind“ ([AWRE68], zitiert nach [Warn93A], S. 247).
9 „Die Arbeitsvorbereitung umfaßt die Gesamtheit aller Maßnahmen einschließlich der Erstellung aller erfor-
derlichen Unterlagen und Betriebsmittel, die durch Planung, Steuerung und Überwachung für die Fertigung
von Erzeugnissen ein Minimum an Aufwand gewährleisten“ ([AWRE68], zitiert nach [Warn93A], S. 247).
10 Eine Fertigungsplanungs-Teilaufgabe ist definiert als eine Fertigungsplanungs-Aufgabe, „deren Gegenstand
nur ein Teil des Fertigungsprozesses ist, der Aufgabenobjekt der entsprechenden allgemeinen Fertigungspla-
nungs-Aufgabe ist, und/oder dessen Sachziel ein Teilziel des Sachziels der allgemeinen Fertigungsplanungs-
Aufgabe ist“ ([Dang01], S. 8).
11
Die Strukturierungsaufgabe kann „über die Zerlegung des Fertigungssystems in einzelne Un-
tersysteme, die getrennte Betrachtung von qualitativen, quantitativen oder zeitlichen Aspek-
ten, die Schaffung von Ordnungsrelationen [...] zwischen den Elementen und eine Zergliede-
rung des Sachziels erfolgen“ (vgl. [Dang01], S. 35; die Definition einer Ordnungsrelation fin-
det sich u. a. bei [BSMM99], S. 295).
2.1.4.2 Dimensionierungsaufgabe
Die Dimensionierung legt unter Betrachtung der Zeit die Aufnahmefähigkeiten und die mögli-
chen Durchsätze der in einem Fertigungssystem enthaltenen Entitäten fest. Dabei werden u. a.
die Anzahl und die Leistungsfähigkeit der Betriebsmittel definiert, Puffergrößen festgelegt
usw. Die Beachtung der Zeit ist bei der Bearbeitung dieser Aufgabe deshalb notwendig, weil
kumulierte Arbeitsinhalte der einzelnen Entitäten über Zeitabschnitte betrachtet werden müs-
sen, um zu einer Aussage zu kommen, welche Dimensionierung ausreichend ist bzw. benötigt
wird, damit das Fertigungssystem den benötigten Output verlässlich liefern kann (vgl.
[Dang01], S. 43-49).
2.1.4.3 Materialbedarfsplanung
Die Materialbedarfsplanung ist eine Teilaufgabe der Produktionsplanung im Bereich des mit-
tel- bis kurzfristigen Betrachtungshorizonts. Dabei werden im mittelfristigen Betrachtungsho-
rizont zunächst die Vorgehensweisen und Planungsverfahren ausgewählt und konfiguriert, die
zu minimalen Kosten führen. Es sind sowohl direkt aus der Durchführung der Planung resul-
tierende Kosten als auch solche Kosten, die bei der Fertigung entstehen, zu berücksichtigen
(vgl. [Witt96], S. 1169).
Im kurzfristigen Betrachtungshorizont werden dann die Planungsvorgänge auf Basis der mit-
telfristigen Entscheidungen durchgeführt. Damit stellt diese Planung die Ablaufplanung dar.
In der Ablaufplanung wird „die Reihenfolge von Teilprozessen eines Gesamtgeschehens,
etwa eines Produktionsprozesses, sowohl in zeitlicher als auch in räumlicher Hinsicht“
([Troß96], S. 12) festgelegt.
Der Begriff des Materialbedarfs im Kontext der Entwicklung eines Planungsverfahrens im Ti-
tel dieser Arbeit ist auf den mittelfristigen Betrachtungshorizont begrenzt. Die Planung des
kurzfristigen Betrachtungshorizont soll nicht in das hier entwickelte Verfahren einfließen, da
die in diesem Bereich ausgewählten und konfigurierten Vorgehensweisen und Planungsver-
fahren ausgeführt werden und damit die Planung direkt aus den Ergebnissen der übergeordne-
ten Ebene folgt.
12
2.1.5 Fertigungsplanungs-Verfahren
„Das Fertigungsplanungs-Verfahren ist eine festgelegte oder geeignet erzeugte Folge von
zielgerichteten Transformationen der Plandaten, so daß die durch die Fertigungsplanungs-
Aufgabe gestellten Anforderungen erfüllt werden“ ([Dang01], S. 8). Ein solches Verfahren
soll im Rahmen dieser Arbeit entwickelt werden. Dabei begrenzt sich der betrachtete Aus-
schnitt der Teilaufgaben auf den Bereich der zuvor definierten Struktur-, Dimensions- und
Materialbedarfsplanung.
Die hier entwickelten mathematischen Modelle, die den definierten Ausschnitt der Ferti-
gungsplanungs-Aufgabe quantitativ in Form mehrerer Partialmodelle11 beschreiben, werden
durch hierarchiebildende12 Prozessdefinitionen so miteinander verbunden, dass sie bei der Lö-
sung der einzelnen mathematischen Programme mit Hilfe eines Solvers als Fertigungspla-
nungs-Verfahren genutzt werden können13. Die Aufstellung dieser Partialmodelle ist der In-
halt des folgenden Abschnitts. Alternativ wäre es möglich, ein Totalmodell (vgl. [KiSt01])
aufzustellen und zur Lösung der Fertigungsplanungs-Aufgabe zu nutzen. Allerdings führt die
Lösung eines solchen Modells zu sehr hohen Rechenzeiten, die eine Anwendung in der Praxis
verbieten (vgl. [Stad96]).
2.1.6 Modell
Die Definition des Begriffs Modell wird an dieser Stelle deshalb gegeben, weil im Rahmen
dieser Arbeit mathematische Modelle entworfen werden sollen, mit denen die Planungsaufga-
ben der Problemstellung gelöst werden können. Um die Anwendbarkeit dieser Modelle für die
Planungsaufgabe sicherzustellen, müssen die grundlegenden Eigenschaften von Modellen, so-
11 Bei der Definition von Fertigungsplanungs-Teilaufgaben können Zusammenhänge mit den nicht berücksich-
tigten Teilen der Fertigungsplanungs-Aufgabe vernachlässigt werden, um eine separate Lösung der Ferti-
gungsplanungs-Teilaufgabe zu ermöglichen. Dies führt insbesondere bei stark voneinander abhängigen Ferti-
gungsplanungs-Teilaufgaben zu einer stark suboptimalen Lösung durch das Fertigungsplanungs-Verfahren.
Hingegen ermöglicht eine Zusammenfassung mehrerer Fertigungsplanungs-Teilaufgaben in einem Partial-
modell die integrierte Betrachtung und damit eine bessere Lösung.
12 „Ein System weist eine hierarchische Struktur auf oder stellt ein hierarchisch strukturiertes System dar, wenn
es aus mindestens zwei Teilsystemen besteht bzw. sich in mindestens zwei Teilsysteme zerlegen läßt und die
Teilsysteme hinsichtlich mindestens eines konkretisierungsbedürftigen Aspekts in einem Verhältnis der
Über-/Unterordnung zueinander stehen.“ ([Riep79], S. 3)
13 Damit entspricht das Vorgehen der Grundidee der hierarchischen Planung: Die gesamte Planungsaufgabe
wird in eine Menge leichter lösbare Teilaufgaben zerlegt, „die durch Koordinationsmechanismen miteinander
verknüpft werden und eine möglichst gute Lösung der gesamten Planungsaufgabe ermöglichen“ ([Stad96], S.
631).
13
wie die einzelnen Arten/Klassen von Modellen zunächst herausgearbeitet werden und ihre je-
weilige Priorität für die Modelle bestimmt werden.
Ein Modell ist „ein Objekt, das auf Grundlage einer Struktur-, Funktions- oder Verhaltensana-
logie zu einem entsprechenden Original von einem Subjekt eingesetzt und genutzt wird, um
eine bestimmte Aufgabe lösen zu können, deren Durchführung mittels direkter Operationen
am Original zunächst oder überhaupt nicht möglich bzw. unter gegebenen Bedingungen zu
aufwendig ist“ ([KlBu87], S. 805). Im Rahmen dieser Arbeit sollen Modelle erstellt werden,
mit deren Hilfe jeweils eine Teilmenge der Planungsaufgaben in Fertigungssystemen durch
Nutzung einer Optimierungssoftware gelöst werden kann. Die direkte Operation am Original
ist entsprechend der obigen Definition dabei nicht möglich, da im Rahmen der Optimierung
verschiedene Abfolgen von Systemzuständen (Pläne) untersucht werden, um einen optimalen
Plan zu erreichen. Eine Untersuchung eines Plans am Original würde dabei zu aufwendig sein
und die Untersuchung mehrerer Pläne schlichtweg unmöglich, da dazu der Ausgangszustand
immer wieder hergestellt werden müsste.
Modelle sind nach Stachowiak durch die drei Merkmale Abbildung, Verkürzung und Pragma-
tik gekennzeichnet (vgl. [Stac73], S. 131-133). Das Merkmal Abbildung besagt dabei, dass
ein Modell Eigenschaften (Struktur-, Verhaltens- oder Funktionsweisen) eines Originals wie-
dergibt. Durch das Merkmal Verkürzung wird ausgedrückt, dass nicht die Gesamtheit der Ei-
genschaften des Originals durch das Modell wiedergegeben wird, sondern nur diejenigen, die
für den Einsatzzweck des Modells relevant sind. Das Merkmal Pragmatik besagt, dass ein
Modell an seiner Nutzung ausgerichtet sein muss und die für diese Nutzung benötigten Eigen-
schaften richtig abbildet.
Abbildung /
Abbildungsgenauigkeit Pragmatik / Richtigkeit
Verkürzung / Abstraktionsgrad
Abbildung 2.3: Zielkonflikt der Modellierung14 14
Im Rahmen der Modellierung kommt es bezüglich der Ausprägung einzelnen Merkmale des
Modells zu einem Zielkonflikt (vgl. Abbildung 2.3). Es ist ein „Kompromiss zu finden zwi-
schen Richtigkeit einerseits und Genauigkeit, Verständlichkeit und Handhabbarkeit eines Mo-
14 Vgl. [Dang03], S. 41
14
dells andererseits“ ([Dang03], S. 41). Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten mathemati-
schen Modelle stellen eine Abbildung der quantitativen Eigenschaften des Fertigungssystems
in Form mathematischer Funktionen dar, die für die Struktur-, Dimensions- und Materialbe-
darfsplanung relevant sind. Eine Möglichkeit der Modellierung wäre die Darstellung in Form
eines Totalmodells. Ein Totalmodell ist ein komplexes Modell, das das System in einer Ge-
nauigkeit modelliert, die Entscheidungen für den weit gefassten Problembereich insgesamt er-
möglicht. Für diese Modelle ist allerdings die Handhabbarkeit mit Hilfe einer Optimierungs-
software durch zu lange Laufzeiten nicht befriedigend gegeben. Daher wird hier nicht ein Mo-
dell, sondern mehrere entwickelt, wobei für jeden durch ein Modell wiedergegebenen Teilbe-
reich des Systems jeweils der optimale Kompromiss im Rahmen des Zielkonflikts der Model-
lierung getroffen werden kann.
Realität
Mathematisches
Modell Formalproblem
Lösung des
Formalproblems
Lösung des
Realproblems
Problembezogener
Realitätsausschnitt
Realproblem
Abbildung 2.4: Vorgehensweise der Planung mit mathematischen Modellen15
15
Der Prozess der Problemlösung mit mathematischen Modellen ist in Abbildung 2.4 darge-
stellt. Es wird zunächst der für das konkrete Realproblem relevante Ausschnitt aus der Reali-
tät bestimmt. Dieser Ausschnitt wird durch das mathematische Modell abgebildet, wobei die
drei Merkmale Abbildung, Verkürzung und Pragmatik anwendungsbezogen aufeinander ab-
gestimmt werden müssen. Die Übertragung der Fragestellung des Realproblems auf dieses
Modell führt zu dem Formalproblem, das mittels mathematischer Methoden gelöst werden
kann. Diese Lösung wird auf die Realität übertragen und wirkt als Lösung des Realproblems
auf die Realität ein (vgl. [Müll73], S. 14-15).
15 Vgl. [Müll73], S. 14
15
2.1.7 Ableitung der Problemdefinition
Auf Grundlage der oben definierten Begriffe kann nun eine konkrete Erläuterung der Pro-
blemstellung vorgenommen werden. Im Rahmen dieser Ausarbeitung soll ein Verfahren zur
hierarchischen Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung von Fertigungssystemen
entwickelt werden. Es soll ein Planungsverfahren entstehen, das einen begrenzten Ausschnitt
aus Fertigungssystemen, also eine technische, organisatorisch selbständige Allokation von Po-
tentialfaktoren, plant. Die Verwendung des Begriffs Fertigung begrenzt dabei die zu planen-
den Systeme auf solche, die materielle Güter als Output haben.
Der zu betrachtende Ausschnitt aus der gesamten Planungsaufgabe ergibt sich aus den Begrif-
fen Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung: Es soll die Struktur des Fertigungs-
systems festgelegt werden (Strukturierungsaufgabe), weiterhin sollen unter Betrachtung der
Zeit die Aufnahmefähigkeiten und die möglichen Durchsätze der Entitäten festgelegt (Dimen-
sionierungsaufgabe) und die Vorgehensweisen und Planungsverfahren ausgewählt und konfi-
guriert werden (mittelfristige Materialbedarfsplanung). Der Begriff hierarchisch begrenzt
schließlich die Lösungskonzepte für das Planungsverfahren auf die Verfahren der hierarchi-
schen Planung.
2.2 Bildung von Partialmodellen
In diesem Abschnitt soll die Gesamtaufgabe der Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfs-
planung von Fertigungssystemen in mehrere hierarchisch geordnete Partialmodelle zerlegt
werden. Außerdem werden für die Partialmodelle jeweils die darin enthaltenen Fertigungspla-
nungs-Teilaufgaben dargestellt (gemäß [Dang01] wird die Fertigungsplanungs-Aufgabe durch
Plandaten, Ausgangsdaten, Istdaten und gesuchte Daten festgelegt), indem für sie die relevan-
ten Parameter und Variablen definiert werden.
Die Aufgliederung der Fertigungsplanungs-Aufgabe in Partialmodelle ist aus mehreren Grün-
den sinnvoll:
●Aufgrund der hohen Komplexität des Gesamtproblems der Struktur-, Dimensions- und
Materialbedarfsplanung in Fertigungssystems führt die Lösung durch Nutzung eines
Totalmodells zu unpraktikablen Rechenzeiten bei der Nutzung einer Optimierungs-
software (vgl. [Stad96]).
16
●Auf den einzelnen Hierarchieebenen des Planungsmodells lassen sich unterschiedliche
Zeiträume (als Planungshorizont16 des jeweiligen Modells bezeichnet) betrachten. Da-
bei können verschiedene Aggregationsniveaus genutzt werden, um die effiziente Lö-
sung des Problems auch für Teilmodelle mit einem weiten Betrachtungshorizont durch
Aggregation zu ermöglichen. Bei Betrachtung eines kürzeren Zeitraums wird dann mit
einer detaillierteren Datenbasis gearbeitet. Dies führt zu einer Reduktion der zu pfle-
genden und zu erhebenden Daten, sowie zu Vorteilen bei der Rechenzeit für die ein-
zelnen Partialmodelle. Für einen sehr langen Planungshorizont lässt sich eine detail-
lierte Datenbasis insbesondere auch wegen sich ergebender Prognoseprobleme nicht
realisieren.
●Eine integrierte Planung aller Teilaspekte ist nicht sinnvoll, da die Steuerung eines
Fertigungssystems die kontinuierliche Anpassung in Teilen des Systems erfordert,
während andere Teile über einen längeren Zeitraum konstant gehalten werden sollen.
Bei Nutzung von Partialmodellen ist dies durch separate Neuplanung einzelner Model-
le möglich. Diese Steuerung der Planungsvorgänge erfolgt durch ein Prozessmodell,
das ebenfalls entwickelt wird.
Den Input der hier identifizierten Teilaufgaben bilden Entscheidungen der strategischen Un-
ternehmensplanung, Stammdaten des Unternehmens sowie Bewegungsdaten und prognosti-
zierte Bewegungsdaten. In der strategischen Unternehmensplanung werden dabei die Ziele
für die Unternehmung festgelegt (im Bezug auf die Planung der Fertigungssysteme sind dabei
insbesondere die angestrebte Lieferzeit und Liefertreue von Bedeutung), Prognosen bzgl. der
Entwicklung der Systemumwelt abgegeben und die grundsätzlichen Strategiealternativen (d.
h. verschiedene mögliche Mitarbeiter- und Maschinenkonfigurationen) für die Planung der
Fertigungssysteme festgelegt.
Die Aufgaben der strategischen Unternehmensplanung sollen hier nicht weiter betrachtet wer-
den, sondern als gegeben hingenommen werden, da diese grundlegenden Managementent-
scheidungen diverse qualitative Faktoren berücksichtigen, weshalb sich eine Lösung durch
mathematische Modelle in Verbindung mit Optimierungssoftware nicht anbietet17. Außerdem
ist die strategische Ausrichtung eines Unternehmens ein kreativer Prozess, der durch Rechner
unterstützt, aber nicht übernommen werden kann.
16 „Der Planungshorizont stellt den Ausschnitt aus einem Kalender dar, der in einem Planungslauf gefüllt bzw.
aktualisiert wird (Reichweite der Planung; Planungszeitraum).“ ([DaWa97], S.54)
17 Dieses Vorgehen entspricht dem durch Switalski beschriebenen Ansatz: „[...] die strategischen Daten werden
als gegeben vorausgesetzt. Sie werden im Rahmen der Unternehmensgesamtplanung festgelegt.“ ([Swit89],
S. 5)
17
Die Einteilung der Gesamtaufgabe in eine Menge von hierarchisch angeordneten Partial-
modellen ist ein zweistufiger Prozess. Zunächst werden in Abschnitt 2.2.1 die einzelnen rele-
vanten Teilaufgaben erarbeitet. Diese Teilaufgaben werden dann in Abschnitt 2.2.2 nach ver-
schiedenen Kriterien so aggregiert, dass eine gleichzeitige Lösung der einzelnen Gruppen
durch ein Modell möglich ist und damit entsprechende Partialmodelle je Aggregat gebildet
werden können. Diese werden als Blackboxes mit Input- und Outputvariablen definiert. Damit
sind bereits die Schnittstellen zwischen den einzelnen Modellen implizit definiert, die dann in
Kapitel 5 weiter verwendet werden.
2.2.1 Ableitung der Fertigungsplanungs-Teilaufgaben
Die relevanten Fertigungsplanungs-Teilaufgaben werden hier zunächst in Anlehnung an Gün-
ther/Tempelmeier abgeleitet. Diese benennen die folgenden wesentliche Gesichtspunkte der
Produktionsstrategie innerhalb von strategischen Geschäftseinheiten (vgl. [GüTe05], S. 8,
[HaWh84], S. 31):
●Kapazität
●Produktionsstandorte
●Personal
●Produktionstiefe
●Technologie18
●Produktionsqualität
●Planungs- und Steuerungskonzepte
●Produktionsorganisation
18 Dinkelbach und Rosenberg (vgl. [DiRo04], S.44) definieren die Technologiemenge formal als die Menge al-
ler realisierbaren Faktormengen- und Produktmengenkombinationen. Die einzelnen Elemente der Technolo-
giemenge werden dort als Produktion bezeichnet. Ob eine Produktion realisierbar ist, kann technisch bedingt
(z. B. Eigenschaften der Produktionsanlagen) und/oder auf ökonomische Bedingungen (z. B. Mindestpro-
duktquantitäten, Faktormengenbeschränkungen) zurückzuführen sein. Krelle (vgl. [Krel69], S. 163) bezeich-
net realisierbare Produktionen als ein dem Produzenten bekanntes Produktionsverfahren. Hier wird im Weite-
ren der Begriff Technologie verwendet, der dem Begriff Produktion in der Nomenklatur nach Dinkelbach
und Rosenberg entspricht.
18
Hieraus werden die folgenden Fertigungsplanungs-Teilaufgaben abgeleitet:
●Entwicklung des Maschinenbestands: Es können Maschinen neu beschafft oder veräu-
ßert werden. Integriert in diese Fragestellung wird auch die Standortentscheidung ge-
troffen. Damit werden hier die Gesichtspunkte Kapazität und Produktionsstandorte
bestimmt.
●Entwicklung des Mitarbeiterbestands: Mitarbeiter können entlassen oder neu einge-
stellt werden. Dabei müssen die Verfügbarkeit von Mitarbeitern (initial und im weite-
ren Zeitverlauf) und ihre initialen Qualifikationen berücksichtigt werden. Es ergibt
sich der Gesichtspunkt Personal.
●Entwicklung der Mitarbeiterqualifikationen: Jeder Mitarbeiter besitzt eine Menge von
initialen Qualifikationen, definiert als Qualifikationsmatrix. Diese Menge wird durch
Qualifikationsmaßnahmen erweitert. Diese Teilaufgabe bezieht sich ebenfalls auf den
Punkt Personal.
●Treffen der Make-or-Buy-Entscheidung: Für Erzeugnisse, die alternativ entweder
selbst gefertigt oder fremdbeschafft werden können, muss entschieden werden, auf
welche dieser Arten sie der Fertigung zur Verfügung gestellt werden. Diese Teilaufga-
be definiert die Produktionstiefe.
●Auswahl zwischen alternativen Fertigungsprozessen: Eine Prozessalternative legt fest,
welche Prozessschritte zur Erstellung eines Erzeugnisses durchgeführt werden. Gemäß
der Nomenklatur von Günther/Tempelmeier wird damit die Technologie ausgewählt.
Außerdem wird hierdurch auch indirekt die Produktionsqualität bestimmt, da diese
insbesondere von dem verwendeten Fertigungsprozess abhängt. Eine explizite Be-
trachtung dieses Punktes wird allerdings nicht vorgenommen. Der Grund hierfür liegt
darin, dass jeder betrachtete Produktionsprozess Output in hinreichender Qualität lie-
fern muss. Variiert die Qualität eines Erzeugnisses bei der Verwendung unterschiedli-
cher Produktionsprozesse, so ist eine Darstellung in Form unterschiedlicher Erzeug-
nisse vorzunehmen.
●Auswahl und Konfiguration von Dispositionsverfahren: Zunächst muss für jedes Er-
zeugnis entschieden werden, ob es verbrauchsorientiert19 oder bedarfsorientiert20 dis-
poniert wird. Bei verbrauchsorientierter Disposition kann das Verfahren anschließend
19 Von verbrauchsorientierter Disposition spricht man, wenn das Produktionsprogramm keine Berücksichtigung
findet, der Lagerbestand kontrolliert wird und in Abhängigkeit von der Höhe dieses Bestands entschieden
wird, ob das Lager aufgefüllt wird oder nicht (vgl. [Zäpf96], S. 1395-1396).
19
konfiguriert werden. Dadurch werden die Planungs- und Steuerungskonzepte festge-
legt. Die Konfiguration bei verbrauchsorientierter Disposition geschieht durch die fol-
genden Parameter:
•Einstellen von Meldebeständen21
•Entscheidung über die Nutzung eines Bestellzyklus22
•Bestimmung von Losgrößen23
●Definition von Lagerstufen: Um den Kunden eine zuvor determinierte Lieferzeit ga-
rantieren zu können, müssen Lagerstufen im Erzeugniszusammenhang definiert wer-
den, die eine Entkopplung der Planung zwischen zwei Fertigungsprozessen ermögli-
chen. Diese Teilaufgabe ist nicht explizit in der Auflistung von Günther/Tempelmeier
enthalten, ist aber von großer Bedeutung, da sich die Allokation von Lagerstufen im
Erzeugniszusammenhang insbesondere auf den Punkt Planungs- und Steuerungskon-
zepte auswirkt.
Damit sind die oben aufgelisteten wesentlichen Gesichtspunkte durch diese Teilaufgaben ab-
gedeckt. Lediglich die Produktionsorganisation wurde nicht direkt in eine Teilaufgabe über-
führt. Allerdings werden Ablauf- und Aufbauorganisation der Produktion über die Auswahl
des Fertigungsprozesses sowie die Entwicklung von Maschinen- und Mitarbeiterbestand im-
plizit festgelegt.
2.2.2 Aggregation zu Partialmodellen
Aus den oben erläuterten Gründen für die Aufteilung der gesamten Planungsaufgabe in ein
hierarchisches Modell lassen sich die Kriterien für die Aufgliederung und die Bildung der
Hierarchie der einzelnen Teilmodelle ableiten. Entscheidungen, die auf Grund hoher Anpas-
20 Die bedarfsorientierte Disposition nutzt zunächst reale und prognostizierte Primärbedarfe als Grundlage. Aus
diesen, sowie aus Informationen über den Erzeugniszusammenhang werden Sekundärbedarfe ermittelt. Die
gesamten Bedarfsmengen werden dann genutzt, um unter Berücksichtigung diverser Restriktionen und Kos-
teneinflüsse ein möglichst verzögerungsfreies und bestandsarmes Produktionsprogramm zu bestimmen (vgl.
[Witt96], S. 1170-1171).
21 Der Meldebestand ist der Wert, bei dessen Unterschreitung ein Beschaffungsvorgang (intern oder extern)
ausgelöst wird.
22 Bei der Verwendung eines Bestellzyklus wird in regelmäßigen zeitlichen Abständen kontrolliert, ob die Vor-
aussetzungen für die Auslösung eines Beschaffungsvorgang (intern oder extern) gegeben sind.
23 Die Losgröße gibt die Menge an, die intern oder extern beschafft wird.
20
sungsaufwände und -dauern langfristige Planungshorizonte erfordern, werden in einer höhe-
ren Hierarchieebene des Planungsmodells behandelt. Dabei können hier stärker aggregierte
Inputdaten genutzt werden, um eine Planung in hinreichend kurzer Zeit zu ermöglichen und
das Datenvolumen bis zum Planungshorizont zu begrenzen und damit eine effiziente Stamm-
datenpflege zu ermöglichen. Teilmodelle, deren Output kurzfristig änderbare Parameter des
Fertigungssystems sind, werden auf tieferen Hierarchieebenen des Planungsmodells mit weni-
ger aggregierten Inputdaten, aber einem kurzfristigeren Planungshorizont betrachtet. Tabelle
2.1 stellt diese Eigenschaften für zwei über- und untergeordnete Hierarchieebenen im hier ent-
wickelten Planungsverfahren im Überblick dar.
Hierarchie-
ebene Betrachtungs-
horizont Aggregation
Inputdaten Planungs-
häufigkeit Aufwand
Anpassung
übergeordnet langfristig hoch selten hoch
untergeordnet kurzfristig gering häufig gering
Tabelle 2.1: Eigenschaften der Hierarchieebenen des Planungsmodells
Entsprechend dieser Tabelle können die in Abschnitt 2.2.1 erarbeiteten Elementaraufgaben zu
Partialmodellen aggregiert werden. Die unterschiedlichen Betrachtungshorizonte der einzel-
nen Hierarchieebenen können als primäres Kriterium genutzt werden, um die Teilprobleme
einzuteilen (dies erfolgt im folgenden Abschnitt 2.2.2.1). Als sekundäres Entscheidungskrite-
rium müssen die Abhängigkeiten der einzelnen Teilaufgaben berücksichtigt werden. Auf die-
ser Basis werden die Teilaufgaben im Abschnitt 2.2.2.2 schließlich in Partialmodelle einge-
teilt.
2.2.2.1 Einteilung der Fertigungsplanungs-Teilaufgaben nach ihrem Betrach-
tungshorizont
Entsprechend der Planungshorizonte kann man die zu bearbeitenden Teilaufgaben zunächst in
zwei grundlegende Klassen einteilen (die Partialmodelle werden anschließend jeweils aus
Teilaufgaben einer Klasse gebildet). Die Ergebnisse der strategischen Unternehmensplanung
bilden dabei wie oben beschrieben einen Teil der exogen gegebenen Variablen der hier entwi-
ckelten Modelle.
Der ersten Planungsebene lassen sich die folgenden Teilaufgaben zuordnen, die einen relativ
langen Betrachtungshorizont erfordern:
●Auswahl zwischen alternativen Fertigungsprozessen
●Treffen der Make-or-Buy-Entscheidung
21
●Entwicklung des Maschinenbestands
●Entwicklung des Mitarbeiterbestands
●Entwicklung der Mitarbeiterqualifikationen
Der zweiten Planungsebene lassen sich die folgenden Teilaufgaben zuordnen. Der benötigte
Betrachtungshorizont ist dabei geringer:
●Definition von Lagerstufen
●Auswahl von Dispositionsverfahren
●Konfiguration des Dispositionsverfahrens
2.2.2.2 Berücksichtigung von Abhängigkeiten zwischen den Fertigungspla-
nungs-Teilaufgaben
Da die Partialmodelle unabhängig voneinander zur Planung genutzt werden sollen, wobei die
Koordinationsprozesse eine gerichtete Kommunikation entlang der Hierarchieebenen definie-
ren, müssen zwei Aufgaben, deren Ergebnisse direkt voneinander abhängen (in beide Rich-
tungen) in einem gemeinsamen Partialmodell bearbeitet werden. Für die einzelnen, auf diese
Weise identifizierten Partialmodelle können an dieser Stelle bereits die benötigten Inputdaten
(die in Tabelle 2.1 dargestellte Reihenfolge von hohem zu niedrigem Aggregationsgrad ergibt
sich dabei implizit) und die Ergebnisse festgelegt werden, so dass jedes einzelne Partialmodell
als Blackbox definiert ist.
2.2.2.2.1 Partialmodelle auf der ersten Planungsebene (langer Betrachtungs-
horizont)
Abbildung 2.5 zeigt die wesentlichen Abhängigkeiten zwischen den auf der ersten Planungs-
ebene identifizierten Teilaufgaben. Die Entscheidungen über die genutzten Fertigungsprozes-
se, die Make-or-Buy-Entscheidung sowie den Maschinenbestand sind eng miteinander ver-
knüpft. Maschinen werden nur für die Ausführung derjenigen Fertigungsprozesse benötigt,
die ausgewählt werden. Auf der anderen Seite muss die Auswahl der Fertigungsprozesse auf
einer Kostengröße basieren. Dabei sind insbesondere die benötigten Maschinen ein entschei-
dender Kostenfaktor. Die Make-or-Buy-Entscheidung hängt wiederum direkt mit dem Ma-
schinenbestand zusammen. Für Erzeugnisse, die zugekauft werden, brauchen keine Kapazitä-
ten zur Fertigung zur Verfügung zu stehen, andererseits konkurriert die Fremdbeschaffung
mit der Anschaffung der Maschinen zur Fertigung eines Erzeugnisses.
22
Die Entscheidungen bezüglich des Mitarbeiterbestands und der Mitarbeiterqualifikationen
hängen zwar auch direkt mit den anderen Entscheidungen dieser Ebene zusammen, allerdings
kann hier vereinfachend davon ausgegangen werden, dass die Richtung dieser Abhängigkei-
ten einseitig ist. Voraussetzung hierfür ist die Annahme, dass der Anteil der Kosten, die durch
direkt dem Fertigungsprozess zuzuordnende Löhne und Gehälter entstehen, im Vergleich zu
den weiteren Kosten (Kapitalkosten und Abschreibungen für Maschinen, Betriebsmittel etc.)
gering ist.
Auswahl von
Fertigungsprozessen
Planung des
Maschinenbestands Make-or-Buy-Entscheidung
Planung des
Mitarbeiterbestands
Planung der
Mitarbeiterentwicklung
Abbildung 2.5: Abhängigkeiten der Planungsaufgaben auf der ersten Planungsebene
Damit können auf der Ebene mit längerem Betrachtungshorizont zwei Partialmodelle definiert
werden. Das erste Modell stellt die Entscheidungen bezüglich der alternativen Fertigungspro-
zesse, der Make-or-Buy-Entscheidung sowie dem Maschinenbestand dar. Es wird im Folgen-
den als Modell I bzw. Auswahl von Produktionsprozessen und Planung des Maschinenbe-
stands bezeichnet. Das zweite Modell baut auf den dort getroffenen Entscheidungen auf und
optimiert den Mitarbeiterbestand und die Entwicklung der Qualifikationen. Es wird Modell II
bzw. Mitarbeiterplanung genannt.
2.2.2.2.2 Partialmodelle auf der zweiten Planungsebene (kurzer Betrachtungs-
horizont)
Die Planungsaufgaben der zweiten Ebene sind, wie in Abbildung 2.6 dargestellt, voneinander
abhängig. Die Festlegung von Lagerstufen im Erzeugniszusammenhang wird als abhängig
von den zugehörigen Meldebeständen dargestellt. Die Hälfte der Meldebestände bestimmt die
23
Minima für die Durchschnittsbestände auf den Lagerstufen bei verbrauchsorientierter Disposi-
tion und damit die davon abhängigen minimalen Kosten für die Bestände. Wiederum werden
Meldebestände für genau die Erzeugnisse angelegt, die als Lagerstufe festgelegt werden. Da
die Entscheidung über die Nutzung des Bestellzyklus- oder Bestellpunktverfahrens ebenfalls
die für die Versorgung benötigte Höhe der Meldebestände beeinflusst, werden diese Aufga-
ben in einem Partialmodell zusammen mit der Definition von Lagerstufen und der Festlegung
des Dispositionsverfahrens integriert dargestellt. Dieses Partialmodell wird im Weiteren als
Modell III bzw. Definition von Lagerstufen und Bestimmung der Meldebestände bezeichnet.
Die verbleibende Planungsaufgabe der Festlegung von Losgrößen wird isoliert im hierar-
chisch auf der untersten Stufe angeordneten Partialmodell Modell IV bzw. Bestimmung opti-
maler Losgrößen modelliert.
Definition von Lagerstufen Entscheidung: Bestellpunkt
oder -zyklus
Entscheidung: verbrauchs-
oder bedarfsorientiert Einstellen der Meldebestände
Definition der Losgrößen
Abbildung 2.6: Abhängigkeiten der Planungsaufgaben auf der zweiten Planungsebene
2.2.3 Hierarchische Darstellung der Partialmodelle
Abbildung 2.7 stellt die zuvor beschriebenen Partialmodelle entsprechend ihrer Hierarchie an-
geordnet graphisch dar (die Partialmodelle formen die Knoten des Netzwerks) und zeigt die
Schnittstellen zwischen ihnen in Form von Kanten.
In dieser Abbildung werden zusätzlich zu den bisher beschriebenen Partialmodellen die Ebene
der strategischen Unternehmensplanung und ihre Ergebnisse dargestellt. Die Planungsprozes-
se dieser Ebene werden hier zwar nicht näher betrachtet, allerdings sind die Ergebnisse die
Basis für die Planung auf den anderen Ebenen. Es werden drei verschiedene Gruppen von
Eingangsparametern aus der strategischen Ebene unterschieden:
●Zieldefinitionen (z. B. maximale Lieferzeit): Die Zieldefinitionen der Unternehmens-
leitung gehen in die Restriktionen der hier definierten Planungsmodelle als Minimal-
24
oder Maximalwerte ein, die die entsprechenden Variablen des Planungsmodells be-
grenzen.
●Entwicklung der Systemumwelt (insbesondere die Entwicklung der Primärbedarfe):
Die Entwicklung der Systemumwelt beschreibt die Rahmenbedingungen der Pla-
nungsmodelle. Sie stellt im eigentlichen Sinne kein Ergebnis einer Planung auf strate-
gischer Ebene dar, sondern ist eine Schätzung der zukünftigen Entwicklung einiger
Parameter. Die Grundlage für diese Schätzungen können dabei Vergangenheitsdaten
sowie Kenntnisse über die Zukunft, z. B. bereits existierende Aufträge oder Rahmen-
verträge, bilden. Allerdings sind in diesen Schätzungen implizit Planungsergebnisse
der strategischen Planung enthalten, z. B. die Definition des Erzeugnisspektrums.
●Strategiealternativen (z. B. alternative Fertigungsprozesse): Für einige Entscheidun-
gen der hier definierten Partialmodelle werden auf übergeordneter Ebene Alternativen
definiert, aus denen dann in den Modellen ausgewählt wird.
25
Modell I: Planung von Prozessen,
Standorten und Maschinenbeständen
- Auswahl von Fertigungsprozessen
- Treffen der Make-or-buy Entscheidung
- Optimierung des Maschinenbestands
Modell II: Mitarbeiterplanung
- Bestimmung des optimalen Mitarbeiter-
bestands
- Planung der Mitarbeiterentwicklung
(Mitarbeiterqualifikationen)
Modell III: Lagerstufen
- Festlegen von Lagerstufen
- Festlegen von Meldebeständen
- Auswahl des Dipositionsverfahrens
Modell IV: Konfiguration der Disposition
- Bestimmung optimaler Losgrößen
- Orientierung an Parametern des PPS-
Systems (SAP)
strategische PlanungEbene 2 Ebene 1
Definition von Zielen Entwicklung
der Systemumwelt Strategiealternativen
Abbildung 2.7: Hierarchische Darstellung der Partialmodelle
26
27
3 Stand der Technik
3.1 Hierarchische Planung von Fertigungssystemen
Die Bearbeitung komplexer und umfangreicher Planungsaufgaben führt bei Lösung durch op-
timale Verfahren zu nicht praxistauglichen Laufzeiten. So stellt die simultane Planung mit ei-
nem Totalmodell im Zusammenhang mit einem Solver24 zwar eine Lösungsmöglichkeit für
die Planungsaufgabe dar, allerdings führt diese Methode bei einem großen Umfang der Pla-
nungsaufgaben trotz gestiegener Performance25 zu hohen Laufzeiten. Bei der Einbindung der
Modelle in die Geschäftsprozesse eines Unternehmens kann es daher zu Problemen kommen,
wenn die Wartezeit für die Lösung begrenzt ist. Ein weiteres Problem in der betrieblichen
Praxis ist, dass häufig nur die Lösung für einige Teilaufgaben benötigt wird, was bei der Nut-
zung von Totalmodellen immer auch eine Lösung der gesamten Planungsaufgabe nach sich
zieht. Um diese Probleme zu umgehen werden Methoden der hierarchischen Planung einge-
setzt. Der Ansatz der hierarchischen Planung wird im folgenden Abschnitt 3.1.1 beschrieben.
Abschnitt 3.1.2 fasst grundlegende Arbeiten zur hierarchischen Planung zusammen, ohne dass
diese einen konkreten Bezug zur Problemstellung haben müssen. In Abschnitt 3.1.3 werden
dann relevante Vorarbeiten, die die Methode der hierarchischen Planung für die Planung von
Fertigungssystemen nutzen, beschrieben.
24 Ein Solver ist eine Software zur Bearbeitung linearer und gemischt-ganzzahliger Probleme. Er findet eine op-
timale Lösung entweder auf Grundlage des Simplex-Algorithmus (sucht die optimale Lösung, indem er den
Rand des Bereichs zulässiger Variablenkombinationen untersucht) oder eines Interior Point-Verfahrens (die-
se beginnen mit einer im Inneren des Bereichs zulässiger Variablenkombinationen liegenden Lösung) (vgl.
[DoDr05], S.21).
25 Der Simplex-Algorithmus wurde bereits Ende der 40er Jahre durch George B. Dantzig entwickelt und vorge-
stellt. Aufgrund der Entwicklung im Bereich der Computerhardware sowie der Weiterentwicklung der Lö-
sungsmethoden seit über 50 Jahren ist deren Anwendbarkeit auch für relativ große praktische Probleme gege-
ben (vgl. [SuMe06], S.78).
28
3.1.1 Hierarchische Planung
Der grundsätzliche Ansatz der Methoden der hierarchischen Planung ist, dass die gesamte
Planungsaufgabe in Partialmodelle zerlegt wird, wodurch sich Optimierungsaufgaben erge-
ben, deren Lösung einen geringeren Aufwand darstellt (vgl. [Stad96], S. 631). Dieses Vorge-
hen kann durchaus analog zur Aufgabenteilung in Unternehmen gesehen werden: Auf der
obersten Ebene des Top-Managements werden diejenige Entscheidungen getroffen, die einen
langfristigen Charakter haben. Hierdurch erfolgt die strategische Ausrichtung des Unterneh-
mens. Außerdem werden hier Rahmenbedingungen für die weiteren Ebenen geschaffen, d. h.
es werden Regeln beschlossen, an die sich die weiteren Entscheidungsträger zu halten haben.
Die folgende Ebene nutzt diese Entscheidungen als Input um wiederum Entscheidungen zu
treffen, die allerdings einen kurzfristigeren Charakter haben usw. Auf der untersten Ebene
werden schließlich kurzfristige, operative Entscheidungen getroffen, z. B. die Reihenfolgepla-
nung für eine konkrete Maschine. Dabei ist zu beachten, dass die Entscheidungen der überge-
ordneten Ebenen, z. B. Prioritätsregeln oder grundsätzlich zu nutzende Planungsverfahren,
eingehalten werden müssen.
Die einzelnen Partialmodelle der Planungsaufgabe werden anschließend durch Koordinations-
prozesse miteinander verbunden. Durch die koordinierte Lösung der Partialmodelle sowie dy-
namische Einbindung von Feedback-Schleifen (d. h. von der Ebene des untergeordneten Par-
tialmodells wird Information an die übergeordnete Ebene zurückgegeben) ergibt sich dann
eine Lösung für das gesamte Planungsproblem. Dieses Verfahren findet zwar nicht immer die
optimale Lösung, es wird allerdings angestrebt, durch sinnvolle Aufteilung der Teilaufgaben
in die Partialmodelle sowie die Feedback-Schleifen zu einer insgesamt guten Lösung zu kom-
men.
Die Planungsaufgabe wird dabei, wie für das hier betrachtete Problem bereits in 2.2 gesche-
hen, hierarchisch in Partialmodelle zerlegt. Die sich dabei ergebende eindeutige Beziehung
der Unter- und Überordnung zwischen den Partialmodellen lässt bereits die grundsätzliche
Ausrichtung für die Koordinationsprozesse erkennen. Die Ergebnisse der übergeordneten
Partialmodelle stellen Eingangsgrößen für die untergeordneten Partialmodelle dar. In den Ko-
ordinationsprozessen muss also zunächst eine Lösung für das jeweils übergeordnete Partial-
modell gefunden werden, bevor das untergeordnete gelöst werden kann.
29
3.1.2 Grundlegende Arbeiten zur hierarchischen Planung
3.1.2.1 Hierarchische Modelle nach Rieper
Rieper entwickelte bereits 1979 einen systemtheoretischen Bezugsrahmen für hierarchische
Modelle (vgl. [Riep79]). Sein Ansatz wird in Abschnitt 3.1.3.2 detailliert dargestellt, da er
auch eine konkrete Umsetzung eines Systems zur hierarchischen Planung von Fertigungssys-
temen beschreibt. Die Erwähnung an dieser Stelle ist allerdings notwendig, da er ebenfalls
einen Bezugsrahmen für die Konzeption hierarchischer Planungsverfahren darstellt. Die Um-
setzung erfolgt dabei in Form von Basis- bzw. Grundmodellen, die betriebliche Systeme in ih-
rer prinzipiellen Funktionsweise wiedergeben. Die einzelnen Basismodelle werden zeitlich
sowie sachlich miteinander verknüpft und bilden damit ein hierarchisch strukturiertes System.
Der Input, die Struktur und die Funktionsweise des Systems bestimmen dabei den Output.
Rieper teilt das betriebliche System in zwei Ebenen ein. Anschließend entwickelt er verschie-
dene hierarchische Strukturen, die die Ordnung in den Planungsprozessen betrieblicher Syste-
me darstellen. Darauf aufbauend formuliert er ein hierarchisches Grundmodell betrieblicher
Systeme.
3.1.2.2 Konzeptioneller Rahmen nach Schneeweiß
Schneeweiß hat einen grundlegenden konzeptionellen Rahmen für die hierarchische Modellie-
rung von Planungsproblemen definiert (vgl. [Schn94]). Er beschreibt hierarchische Planungs-
probleme in Form von stochastischen dynamischen Programmen. Dieser Ansatz wird im Fol-
genden näher erläutert, da er im Weiteren die Basis der Darstellung von hierarchischen Pla-
nungsproblemen bildet und die wesentlichen Elemente definiert.
Ansatzpunkt eines stochastischen dynamischen Programms ist das N-stufige Optimierungskri-
terium C sowie eine Zustandstransformationsbeziehung, die in den Gleichungen 3.1 und 3.2
gegeben ist.
C=E
{
∑
t=0
NCt
zt1,at
}
(3.1)
zt1=Gt
zt,at,rt
(3.2)
Dabei gilt, dass N die Anzahl der Stufen im dynamischen Programm ist,
C
t das Optimierungs-
kriterium,
z
t der Zustand,
a
t die Entscheidung und
r
t die stochastische Störung jeweils für die
Stufe t. C stellt damit den Erwartungswert der Summe der Werte der Optimierungskriterien
aller Stufen dar. Die Zustandstransformationsbeziehung zeigt, wie aus dem Zustand der unter-
30
geordneten Stufe t, der Entscheidung auf dieser Stufe sowie der stochastischen Störung be-
stimmt werden kann, welcher Zustand auf der folgenden Stufe eingenommen wird.
Die Optimierung des dynamischen Programms ist stufenweise durchführbar. Dazu wird eine
Wertfunktion
f
t
wie in Gleichung 3.3 angegeben formuliert, die einen Zielfunktionswert für
die jeweilige Stufe t angibt.
ft
zt
=max
a
t
∈A
t
zt
E
{
Ct
zt1,at
ft1
zt1
∣zt
}
(3.3)
Über den Vektor zt=zt,zt−1,z0 wird die Zustandsvergangenheit, also die Zustände aller
vorhergehenden Stufen angegeben. Die Menge Atzt definiert für diese Zustandsvergangen-
heit den resultierenden Entscheidungsraum der Stufe t. Die Abarbeitung der Funktionalglei-
chungen erfolgt dann in einer Rückwärtsrekursion. Schneeweiß illustriert dieses Vorgehen an-
hand eines auf zwei Stufen begrenzten Problems wie in Abbildung 3.1 dargestellt. Es wird zu-
nächst in der Top-Ebene das zweistufige dynamische Programm gelöst, dessen Ergebnis aller-
dings nur als Lösung der ersten Planungsaufgabe genutzt wird. Es wird also eine optimale
Entscheidung a
1
T∗ für die Top-Ebene unter Beachtung der Basis-Ebene aus der Menge A
t
zt
ausgewählt.
Anschließend wird dieses Ergebnis genutzt, um die zweite Stufe zu lösen. Im Rahmen der dy-
namischen Programmierung, die die Stufen mit aufeinander folgenden Perioden identifiziert,
wird die Lösung der zweiten Stufe erst in der zweiten Periode, also auf der zweiten Ebene
(hier Basis-Ebene genannt) gelöst. Das Ergebnis ist die optimale Entscheidung a
2
B∗, wobei 2
dafür steht, dass die Entscheidung auf Stufe 2 getroffen wurde und B den Geltungsbereich,
nämlich die Basis-Ebene darstellt.
31
Top-Ebene
aT*
1
aB*
2
Basis-Ebene
Stufe 2
Stufe 1
Stufe 2
Abbildung 3.1: Dynamische Programmierung als hierarchische Planung26
26
Die Bezeichnungen Top-Ebene und Basis-Ebene werden genutzt, um den Zusammenhang zur
hierarchischen Planung darzustellen. Auf der Top-Ebene wird bei der Planung, die sich auf
ihre Stufe 1 bezieht, bereits Wissen über die untergeordnete Basis-Ebene mit einbezogen. Die
Basis-Ebene wird an dieser Stelle (durch eine Antizipationsfunktion) antizipiert. Dabei stellt
die Antizipationsfunktion allerdings nur einen (unvollständigen) Informationsstand der Top-
Ebene bezüglich der Basis-Ebene dar. Das Ergebnis der Planung auf der Top-Ebene ist eine
entsprechend der antizipierten Reaktionen der Basis-Ebene günstige Entscheidung, die als a
1
T∗
bezeichnet wird.
Die Entscheidung der Top-Ebene bestimmt den Zustand z
2
B∗ und wird anschließend der Basis-
Ebene mitgeteilt. Diese trifft darauf aufbauend die Entscheidung a
2
B∗. Diese muss nicht der
antizipierten Reaktion auf der Top-Ebene entsprechen, da die antizipierte Basis-Ebene das
Verhalten der realen Basis-Ebene nur ungenau wiedergeben kann.
Aus dieser Abbildung der hierarchischen Planung auf die dynamische Programmierung leitet
Schneeweiß das in Abbildung 3.2 dargestellte allgemeine Schema hierarchischer Planung ab.
Dabei stellt er die Information, die auf der Top-Ebene über das Basis-Modell für die Antizipa-
tion desselben genutzt wird, als Feedforward-Einfluss dar. Das Ergebnis a
1
T∗ der Top-Ebene
wird hier als Instruktion bezeichnet. Außerdem wird zusätzlich zum Top-Down-Einfluss eine
Feedback-Schleife eingeführt. Das Ergebnis der Planung auf der Basis-Ebene kann so zu einer
erneuten Planung auf der Top-Ebene führen. In Form eines mehrstufigen Aushandlungspro-
26 Vgl. [Schn94], S. 162
32
zesses zwischen den Ebenen werden dann die finalen Entscheidungen getroffen. Eine Feed-
back-Schleife muss nicht notwendigerweise in einem System zur hierarchischen Planung um-
gesetzt werden.
Top-Ebene
antizipiertes
Basis-Modell
Feedforward Instruktion
aT*
1
Feedbac
k
aB*
1
Basis-Ebene
Basis-Modell
Abbildung 3.2: Allgemeines Schema hierarchischer Planung nach Schneeweiß27
27
Das so entwickelte allgemeine Schema hierarchischer Planung kann bei Nichtberücksichti-
gung des Aushandlungsprozesses formal beschrieben werden. Dies ist in Abbildung 3.3 dar-
gestellt. Das Top-Modell
M
T nutzt die Feedforward-Information FF, die es über das Basis-
Modell besitzt, die Antizipationsfunktion AF, die die Reaktionen des Basis-Modells estimiert,
sowie den Informationsstand It
T. Das Ergebnis
a
T∗ der Planung auf der Top-Ebene wird der
Basis-Ebene als Instruktion
I
N
aT∗ mitgeteilt. Das Basis-Modell
M
B nutzt diese Instruktion
sowie den Informationsstand I
t
'
B. Dabei wird definiert, dass
t
'
t
gilt, das heißt, die Basis-Ent-
scheidung muss nicht gleichzeitig mit der Top-Entscheidung fallen, sie erfolgt im Normalfall
zu einem späteren Zeitpunkt.
27 Vgl. [Schn94], S. 163
33
M T (FF, AF, I T)
t
M B (IN, I B)
t
IN
Abbildung 3.3: Formale Darstellung hierarchischer Planung28
28
3.1.3 Vorarbeiten im Bereich der hierarchischen Planung von Fertigungssys-
temen
3.1.3.1 Hierarchische Planung nach Anthony
Der erste Ansatz zur hierarchischen Anordnung der Aufgaben zur Planung von Fertigungssys-
temen wurde 1965 von Anthony entwickelt (vgl. [Anth65]). Er nutzt eine Einteilung in drei
Ebenen für sein hierarchisches Modell:
●Strategic Planning: „Die strategische Planung ist der Entscheidungsprozess bezüglich
der Unternehmensziele, Änderungen dieser Ziele, der Ressourcen, die genutzt werden,
um diese Ziele zu erreichen und der Richtlinien, die genutzt werden, um diese Res-
sourcen zu akquirieren, zu nutzen und zu disponieren“ ([Anth65], S. 16, eigene Über-
setzung). Beispiele für Planungsaufgaben dieser Ebene sind die Auswahl neuer Pro-
duktlinien sowie das Festlegen von Personal-, Finanz-, Marketing- oder Entwicklungs-
richtlinien.
●Management Control: „Management Control ist der Prozess, durch welchen Manager
sicherstellen, dass Ressourcen zur Durchführung der Unternehmensziele effektiv und
effizient beschafft und genutzt werden“ ([Anth65], S. 17, eigene Übersetzung). Bei-
spiele für Planungsaufgaben dieser Ebene sind das Festlegen von Budgets, die Gestal-
tung von Werken, sowie die Auswahl von Produktinnovationen.
●Operational Control: „Die operative Kontrolle ist der Prozess zur Sicherstellung der
effektiven und effizienten Durchführung spezifischer Aufgaben“ ([Anth65], S. 18, ei-
gene Übersetzung). Beispiele für Planungsaufgaben dieser Ebene sind die Terminie-
rung der Produktion, die Kontrolle von Beständen, sowie die Kontrolle der Einstellung
von Mitarbeitern.
28 Vgl. [Schn94], S. 163
34
Diese Einteilung der einzelnen Teilaufgaben in Ebenen, die anschließend zur zeitlich abge-
stuften Planung genutzt werden, wird in später entwickelten Ansätzen zur hierarchischen Pla-
nung im Bereich der Produktion übernommen. Dabei wird die durch Anthony getroffene Be-
nennung der Ebenen allerdings häufig durch die allgemeineren Bezeichnungen strategische,
taktische und operative Planung ersetzt (vgl. [Reus06]), und die Einteilung wird entsprechend
der jeweiligen Aufgabenstellung angepasst. Insbesondere die Teilaufgaben, die Anthony den
Ebenen Management Control und Operational Control zuordnet, werden häufig aufgegriffen
(vgl. [Swit89], S. 5).
3.1.3.2 Hierarchisches betriebliches System von Rieper
Bei der Entwicklung eines konzeptionellen Rahmens hierarchischer betrieblicher Systeme
(vgl. [Riep79]) entwirft Rieper auch ein konkretes dreistufiges hierarchisches System. Er zer-
legt dazu zunächst das gesamte betriebliche System in zwei Ebenen, zwischen denen bereits
eine eindeutige hierarchische Struktur gegeben ist:
●Das betriebliche Informations- und Entscheidungssystem, das die Leistungsprozesse
des betrieblichen Systems enthält, die das Verhalten dieses Systems steuern, lenken,
regeln oder beeinflussen.
●Das betriebliche Realisationssystem, das die Leistungsprozesse des betrieblichen Sys-
tems enthält, deren Output der Systemumwelt zugute kommt, die also die Realisie-
rungsaufgabe erfüllen.
Die zweistufige Struktur dieses Ansatzes lässt dabei keine direkten Auswirkungen der Ent-
scheidungen des Top-Systems (das betriebliche Informations- und Entscheidungssystem) auf
die Systemumwelt zu, wie sie im konzeptionellen Rahmen von Schneeweiß vorgesehen sind.
Das betriebliche Informations- und Entscheidungssystem bestimmt lediglich Steuergrößen für
das System auf der Basis-Ebene (das betriebliche Realisationssystem). Das betriebliche Reali-
sationssystem entspricht in diesem Ansatz weitgehend der Ebene Operational Control im Mo-
dell von Anthony.
Rieper teilt anschließend das betriebliche Informations- und Entscheidungssystem in seine
beiden Bestandteile Informationssystem und Entscheidungssystem. Dabei soll dass betriebli-
che Informationssystem dem Entscheidungssystem die notwendigen Informationen über das
Verhalten des untergeordneten Realisationssystems liefern. Damit nimmt das Informations-
system in der Nomenklatur späterer Veröffentlichungen die Rolle der Antizipationsfunktion
ein, um Feedforward-Informationen in die Prozesse der übergeordneten Entscheidungsebene
einfließen zu lassen.
35
Rieper klassifiziert mögliche Varianten hierarchischer Strukturen betrieblicher Systeme wie in
Abbildung 3.4 dargestellt. Die Kriterien, nach denen diese hierarchischen Strukturen einge-
teilt werden können, sind:
●Art der Ordnungsrelation: Es können zwei durch unterschiedlichen Eigenschaften be-
schriebene Ordnungsrelationen zwischen den Einheiten der Systeme unterschieden
werden. Im Falle einer vollständigen Ordnung zwischen den Systemeinheiten ist jede
Einheit des dekomponierten Systems jeder anderen Einheit entweder über- oder unter-
geordnet. Im Falle einer strikten partiellen Ordnung hingegen können eine oder meh-
rere Einheiten zu den anderen Einheiten in einer Über- oder Unterordnungsbeziehung
stehen.
●Anzahl der zentralen Systeme: Diese Anzahl legt fest, ob auf der obersten Hierarchie-
ebene der Struktur genau ein zentrales System existiert oder mehrere zentrale Systeme
existieren können.
●Anzahl der Unterordnungsbeziehungen: Gibt an, ob einem System jeweils genau ein
System auf der untergeordneten Hierarchiestufe zugeordnet ist, oder ob mehrere unter-
geordnete Systeme möglich sind.
Nachdem Rieper die möglichen formalen hierarchischen Konzepte analysiert und klassifiziert
hat, überträgt er sie auf betriebliche Entscheidungssysteme. Er formuliert ein Grundmodell
hierarchisch strukturierter betrieblicher Systeme aufbauend auf den Ebenen „betriebliches
Realisationssystem“, „betriebliches Objektentscheidungssystem“ und „betriebliches Koordi-
nationsentscheidungssystem“. Eine konkrete Umsetzung der Partialmodelle, z. B. in Form
von mathematischen Modellen, findet bei Rieper nicht statt.
36
Varianten hierarchischer
Strukturen (Graphen)
Dezentrale-
Mehrlinien-
System-
Hierarchie
Zentrale-
Mehrlinien-
System-
Hierarchie
Einlinie-
System-
Hierarchie
Einlinie-
Ebenen-
Hierarchie
Mehrlinien-
Ebenen-
Hierarchie
ein zentrales
System
eine zentrale
Ebene
strikte partielle
Ordnung
vollständige
Ordnung
mehrere zentrale
Systeme
Einfach-
Unterordnung
Anzahl
Unterordnungs-
beziehungen
Anzahl
zentraler
Systeme
Art der
Ordnungs-
relation
Einfach-
Unterordnung
Mehrfach-
Unterordnung
Mehrfach-
Unterordnung
Mehrfach-
Unterordnung
Abbildung 3.4: Varianten hierarchischer Strukturen29
29
3.1.3.3 Hierarchische Produktionsplanung bei Variantenfließfertigung
Boysen et. al. [BFS06] stellen ein hierarchisches Planungssystem für die Variantenfließferti-
gung30 vor. Dabei werden für die folgenden Planungsaufgaben Verfahren aus der Literatur
dargestellt, die anschließend wie in Abbildung 3.5 dargestellt in ein hierarchisches System in-
tegriert werden:
●Fließbandabstimmung (unterteilt in Erstinstallation und Rekonfiguration)
●Produktionsprogrammplanung
●Reihenfolgeplanung (unterteilt in Bestimmung der Ausgangsreihenfolge und Rese-
quencing)
29 Vgl. [Riep79], S.140
30 „Die Produktionsform der Variantenfließfertigung erlaubt es, unterschiedliche Varianten eines Grundmodells
gemeinsam auf einem Fließsystem in wahlfreier Reihenfolge (Losgröße 1) zu fertigen. Auf diese Weise wird
auch der effizienten Fließfertigung eine kundenindividuelle Anpassung ihrer Produkte (Mass-Customization)
zugänglich gemacht.“ ([BFS06], S. 759)
37
Rekonfiguration
Erstinstallation
Fließbandabstimmung
Reihenfolgeplanung
Resequencing
Produktionsprogramm-
planung
Abbildung 3.5: Hierarchische Planung bei der Variantenfließfertigung31
31
Bei diesem Ansatz ist zu beachten, dass er der hier betrachteten Problemstellung zwar thema-
tisch ähnlich ist, sich allerdings direkt an den Erfordernissen der Variantenfließfertigung, wie
sie z. B. in der Automobil- oder der Elektroindustrie vorherrscht, orientiert. Durch diese Spe-
zifität bezüglich des Produktionssystems kann das Verfahren nicht direkt auf das dieser Arbeit
zugrunde liegende Anwendungsszenario des Unternehmens aus der Schienenfahrzeugindus-
trie angewendet werden. Die dem Modell von Boysen et. al. zu Grunde liegenden Planungs-
aufgaben weichen von den Problemstellungen der in Abschnitt 2.2 herausgearbeiteten Partial-
modelle des Anwendungsszenarios ab.
3.1.3.4 Robuste hierarchische Produktionsplanung mit Bedarfsszenarien
Gebhard und Kuhn (vgl. [GeKu07]) entwerfen ein zweistufiges hierarchisches Planungsver-
fahren für die Produktionsplanung. Auf der oberen Planungsebene (aggregierte Planung) wer-
den für einen mittelfristigen Planungshorizont Entscheidungen über den Aufbau saisonaler
Lagerbestände und die Erweiterung der vorhandenen Kapazitäten durch Überstunden getrof-
fen. Auf der untergeordneten Planungsebene werden die kurzfristigen (operativen) Produkti-
onspläne entwickelt. Zur Lösung der Planungsaufgaben entwerfen sie jeweils ein mathemati-
sches Modell.
Um die zum Planungszeitpunkt existierende Unsicherheit über die Entwicklung gewisser Pa-
rameter (insb. der Nachfragemengen) zu berücksichtigen, stellen Gebhard und Kuhn diese in
Abhängigkeit unterschiedlicher Szenarien dar. Die Zielfunktion für die Planungsmodelle bil-
31 Vgl. [BFS06], S.762
38
det in Anlehnung an Scholl (vgl. [Scho01], S. 240) die Summe der relativen Abweichungen
vom optimalen Zielfunktionswert des jeweiligen Szenarios. Die Autoren zeigen anschließend
die Anwendbarkeit des hierarchischen Planungssystems in Form einer beispielhaften Fallstu-
die.
3.1.3.5 Advanced Planning and Scheduling (APS) Systeme
Advanced Planning and Scheduling (APS) Systeme stellen eine Erweiterung von klassischen
ERP Systemen dar. Eine allgemein anerkannte Definition des Begriffs existiert derzeit nicht.
Gemeinsames Kennzeichen von APS Systemen ist, dass sie Planungsfunktionalitäten zur Ver-
fügung stellen, die in den bestehenden Produkten nicht verfügbar sind, aus spezialisierten
Softwaremodulen bestehen (vgl. [Reus06], S. 49) und auf dem Konzept der hierarchischen
Planung beruhen (vgl. [Stad08], S. 19). Die einzelnen Module des hierarchischen APS Sys-
tems werden durch heuristische Methoden oder mathematische Optimierungsmodelle umge-
setzt. Die Verbreitung von APS Systemen als Basis für die Planungs- und Steuerungsaufga-
ben nimmt in den Unternehmen zu, das jährliche Marktwachstum wird auf 10-20% geschätzt
(vgl. [BDPR03], S. 110).
Strategische Netzwerkplanung
Masterplanung
Produktions-
planung
Produktions-
steuerung
Distributions-
planung
Transport-
planung
Bedarfs-
erfüllung
und Available-
to-Promise
Einkaufs- und
Materialbedarfs-
planung
Beschaffung Produktion Distribution Vertrieb
Bedarfs-
planung
Konfiguration Simulations-
ergebnisse
Kapazitäten
Mengen und
Allokationen
Kapazitäten
Lagerbestandsverlauf
Losgrößen Transportmengen
und -verfahren
Einkaufs-
mengen
langfristige
Prognose
Prognose
Prognose
Belie-
ferung
Bestel-
lungen
Losgrößen
Bedarfs-
daten
Bedarfs-
daten
kurzfristig mittelfristig langfristig
Abbildung 3.6: Modularer Aufbau von APS Systemen32
32 Vgl. [Rohd08], S. 249
39
Die Entwicklung von APS Systemen fand durch kommerzielle Anbieter von ERP Systemen
parallel statt, ohne dass eine generische (akademische fundierte) Basis für die Struktur dieser
Systeme genutzt wurde. Allerdings wurden bei nachgelagerten Untersuchungen der Systeme
Übereinstimmungen in der Struktur und den einzelnen Elementen nachvollzogen. Rohde (vgl.
[Rohd08], S. 248) entwickelte daraus die in Abbildung 3.6 dargestellte herstellerunabhängige
Struktur.
Die einzelnen Module von APS Systemen beschreibt Rohde (vgl. [Rohd08], S. 248-250) wie
folgt:
●Strategische Netzwerkplanung: Die Strategische Netzwerkplanung konfiguriert die
Supply Chain, d. h. es werden die Lokationen der Entitäten und die Distributionskanä-
le zwischen diesen Entitäten festgelegt. Die Datenbasis hierfür bilden Prognosedaten
der langfristigen Bedarfsplanung (Trends in der Bedarfsentwicklung) und Simulati-
onsergebnisse für Masterpläne. Die Rahmenbedingungen der strategischen Netzwerk-
planung bilden die strategischen Ziele der Supply Chain.
●Bedarfsplanung: Die Bedarfsplanung prognostiziert Bedarfsdaten für die mittelfristige
Masterplanung und die kurzfristige Produktions- und Distributionsplanung. Dabei bil-
den die Prognosen für die Endprodukte der Supply Chain die Eingangsdaten für die
Masterplanung. Die kurzfristigen Planungsmodule verwenden genauere und weniger
aggregierte Prognosen.
●Masterplanung: In der Masterplanung werden auf aggregierter Ebene Pläne für die ge-
samte Supply Chain bestimmt. Daher wird dieser Baustein in den meisten Umsetzun-
gen von APS Systemen durch einen zentralen Partner der Supply Chain übernommen.
Die Ergebnisse der Masterplanung sind Beschaffungs-, Produktions- und Distributi-
onspläne, die für die verteilten Partner der Supply Chain einen Rahmen festlegen, in-
nerhalb dessen sich das operative Programm bewegt. In diese Planung fließen in Form
von aktuellen Bestandsdaten, Prognosen und Kapazitätsauslastungen Daten aus der
operativen Ebene ein. Außerdem bietet die durchschnittliche Planerfüllung der opera-
tiven Durchführung eine Feedbackfunktion für die Masterplanung.
●Bedarfserfüllung und Available-to-Promise (ATP): In diesem Modul wird festgelegt,
welche Liefertermine in der Supply Chain zugesagt bzw. festgelegt werden können.
Dabei wird eine Vielzahl von Planungsergebnissen als Einflussgrößen berücksichtigt:
Bedarfsprognosen aus der Bedarfsplanung, Produktionsstammdaten für End- und Zwi-
schenprodukte, Distributionspläne und detaillierte logistische Routingpläne, Beschaf-
fungspläne und die Auswahl der Lieferanten. Außerdem gibt es auch hier eine Feed-
40
backfunktion aus den Ergebnissen der operativen Durchführung, die zur Anpassung
der Modelle genutzt werden kann.
●Produktionsplanung und -steuerung: Den Rahmen für die Produktionsplanung und
-steuerung bilden die Pläne der übergeordneten Masterplanung. Allerdings wird hier
auf einer disaggregierten Ebene gearbeitet, die eine entsprechende Datenbasis benö-
tigt. Die operativen Pläne, die hier erstellt werden, werden mit der Einkaufs- und Ma-
terialbedarfsplanung abgestimmt. Außerdem findet eine Koordination mit der Distri-
butions- und Transportplanung statt.
●Einkaufs- und Materialbedarfsplanung: Die Einkaufs- und Materialbedarfsplanung
betreibt auf mittelfristiger und kurzfristiger Ebene die Auswahl von Lieferanten, die
Vereinbarung von Beschaffungsplänen und entsprechender Verträge. Die Inputdaten
bilden auf mittelfristiger Ebene die Mengengerüste, die sich aus der Masterplanung er-
geben. Auf der operativen Ebene ergibt sich die Beschaffung aus den Produktionsplä-
nen sowie den kurzfristigen Prognosedaten.
●Distributions- und Transportplanung: Die kurzfristige Distributions- und Transport-
planung ähnelt den Modulen Produktionsplanung und -steuerung und ist mit diesen
eng verknüpft. Die zuvor bestimmten Losgrößen und Bedarfsdaten ermöglichen es,
einen Distributionsplan zu erstellen. Als weiterer Input werden hier Prognosen und
Bestelldaten aus den Modulen Bedarfsplanung sowie Bedarfserfüllung und ATP her-
angezogen.
Betge entwickelt auf Basis dieser Darstellung der Module von APS Systemen einen Koordi-
nationsansatz, der die Abhängigkeiten der einzelnen Module voneinander berücksichtigt. Da-
durch soll sichergestellt werden, dass in den einzelnen Modulen konsistente Pläne erstellt
werden. Der Ansatz beschränkt sich dabei allerdings auf die APS-Module Masterplanung,
Produktionsplanung und Produktionssteuerung. Die Struktur des Konzepts von Betge und die
Abhängigkeiten und Informationsbeziehungen zwischen den Modulen sind in Abbildung 3.7
dargestellt.
41
Masterplanung
Produktionsprogramm
Absatzprogramm
Zusatzkapazitäten
Produktionssteuerung
ablaufplanerische
Zulässigkeit der Losgrößen
für mehrere Produktions-
stufen (Maschinenbelegung,
Reihenfolgeplanung)
Produktionsplanung
Losgrößen
Rüstvorgänge
Zusatzkapazitäten
Kapazitäten
Losgrößen
Korrektur der
Produktions-
koeffizienten
korrigierte Gewichtung
der Produktionsmengenvariablen,
Anzahl der Rüstvorgänge,
korrigierte Rüstkosten Korrektur der
Produktionskoeffizienten
Abbildung 3.7: Hierarchisches Modell von APS Systemen nach Betge33
33
3.1.3.6 Beispiel für APS Systeme: SAP Advanced Planner & Optimizer
Der SAP Advanced Planner & Optimizer (SAP APO) ist eine konkrete Umsetzung eines APS
Systems der Firma SAP, das hier als die am meisten verbreitete Lösung vorgestellt werden
soll. Damit wird der Stand der Technik von in der Praxis genutzten APS Systemen erfasst und
damit die Nutzung von hierarchischen Planungsansätzen in betrieblichen Prozessen analysiert.
Des Weiteren bietet sich SAP APO als APS-Lösung für das der Ausarbeitung zu Grunde lie-
gende Praxisbeispiel an, da sich in dem betrachteten Unternehmen bereits ein System der Fir-
ma SAP im Einsatz befindet. Damit kann die Struktur von SAP APO als Maßstab dienen, ob
das hier entwickelte System in die Systemlandschaft des Unternehmens integriert werden
kann.
SAP APO erweitert die ERP-Software SAP ERP um Module zur Produktionsplanung und
-steuerung insbesondere auch über Unternehmensgrenzen hinweg. Dadurch ermöglicht SAP
APO ein aktives Supply Chain Management mit einer direkten Anbindung an die Stamm- und
Bewegungsdaten eines SAP ERP Systems.
Die einzelnen in Abbildung 3.8 dargestellten SAP APO-Applikationskomponenten überneh-
men im System die folgenden Funktionen:
33 Vgl. [Betg06], S. 160
42
●APO-DP (Absatzplanung): „Die Absatzplanung bietet umfangreiche Möglichkeiten ei-
ner Prognose auf Basis aggregierter Vergangenheitsdaten“ ([BaLa06], S. 17). Norma-
lerweise bilden eine Vertriebsprognose sowie Vergangenheitsdaten (Zeitreihen) die
Datenbasis für die Absatzplanung. Auf diesen Daten kann eine Vielzahl statistischer
Funktionen durchgeführt werden, die Trendkomponenten und saisonale Schwankun-
gen identifizieren können. Außerdem können Lebenszyklusmodelle und Promotionen
berücksichtigt werden. APO-DP stellt unterstützende Funktionalitäten für die kollabo-
rative Absatzplanung zur Verfügung (vgl. [Dick06], S. 33-82).
SAP ERP SAP APO
DP
(Absatzplanung)
TP/VS
(Transportplanung)
SNP
(Supply-
Netzwerkplanung)
PP/DS
(Produktions- und
Feinplanung)
Globale
ATP-
Prüfung
MP
(Programmplanung)
SOP (Absatz- und
Produktionsgrobplanung)
DRP
(Distributionsplanung)
MRP
(Bedarfsplanung)
CRP
(Kapazitätsplanung)
SFC
(Produktionsdurchführung)
SD-DLS
(Verkauf)
LE
(Logistikdurchführung)
Abbildung 3.8: Applikationskomponenten von SAP APO und Integration mit
SAP ERP34 34
●APO-SNP (Supply-Netzwerkplanung): „Ziel des Supply Network Planning ist eine
werksübergreifende Beschaffungsplanung im mittel- bis langfristigen Zeithorizont.
Typisch ist die Verwendung aggregierter Daten (vereinfachte Stammdaten, perioden-
orientierte Planung)“ (vgl. [BaLa06], S. 17). Es werden Bezugsquellen, Produktions-
pläne, Distributionspläne und Einkaufspläne festgelegt. Zur Erstellung der Pläne wer-
den Optimierungsalgorithmen sowie heuristische Verfahren genutzt. Es wird dem Pla-
ner eine Schnittstelle zur Verfügung gestellt, über die er Regeln und Lagerhaltungs-
verfahren definieren kann (vgl. [Hopp07], S. 445).
34 Vgl. [Pati06], S. 12
43
●APO-PP/DS (Produktions- und Feinplanung): „Mit der Produktions- und Feinplanung
wird die werksbezogene (kapazitive) Feinplanung im kurzfristigen Zeithorizont vorge-
nommen“ (vgl. [BaLa06], S. 17). Die Produktions- und Feinplanung kann insbesonde-
re im Verbund mit der Supply-Netzwerkplanung genutzt werden. Dann plant die Pro-
duktions- und Feinplanung den Kurzfristhorizont und die Supply-Netzwerkplanung
den sich anschließenden Mittel- bis Langfristhorizont. Die Stammdaten, die in der
Supply-Netzwerkplanung benötigt werden, werden in diesem Fall zum Teil aus denen
der Produktions- und Feinplanung generiert (vgl. [BaLa06], S. 18).
●APO-TT/VS (Transportplanung): Die Applikationskomponenten APO-TT/VS führt
„die Transportplanung bis hin zur Routen- und Transportmitteloptimierung“ (vgl. [Ba-
La06], S. 18) durch. Hier werden die Transportaufträge gesammelt und zu zuvor fest-
gelegten Zeitpunkten eine Planung durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Planung wer-
den anschließend im SAP ERP Modul LE (Logistics Execution) für die Logistikdurch-
führung genutzt.
SNP
(Supply-Netzwerk-Planung)
PP/DS
(Produktions-
und Fein-
planung)
TP/VS
(Transport-
planung) Globale ATP-
Prüfung
Beschaffung Produktion Distribution Vertrieb
DP
(Absatz-
planung)
kurzfristig mittelfristig langfristig
Abbildung 3.9: SAP APO Struktur als Teil der generischen Struktur von APS
Systemen35
35 Vgl. [MRS+08], S. 363
44
●Globale ATP-Prüfung: Die globale ATP-Prüfung stellt Funktionen zur Verfügung, mit
denen geprüft werden kann, ob ein Liefertermin für ein Produkt zugesagt werden
kann. Dies erfolgt auf Grundlage der Produktverfügbarkeitsprüfung, der Kontingentie-
rung (Verfügbarkeitsprüfung gegen zuvor festgelegte Kontingente), der Vorplanungs-
prüfung (Verfügbarkeitsprüfung gegen eine bestehende Vorplanung) oder einer Kom-
bination dieser Verfahren (vgl. [Hopp07], S. 431-432).
Meyer et al. bilden die Applikationskomponenten von SAP APO auf die Module der in Abbil-
dung 3.6 dargestellten generische Struktur von APS Systemen ab (vgl. [MRS+08], S. 362-
364), wie in Abbildung 3.9 dargestellt. Die Zuordnungen zwischen generischen Modulen und
Applikationskomponenten stellt Tabelle 3.1 dar.
In SAP APO sind die meisten Module der generischen Strukturierung von APS Systemen um-
gesetzt. Lediglich eine Komponente für die Einkaufs- und Materialbedarfsplanung sowie für
die Strategische Netzwerkplanung sind nicht enthalten. Dies bedeutet, dass eine langfristige
Planung in SAP APO nicht integriert ist.
Generisches Modul in APS Systemen SAP APO Applikationskomponente
Strategische Netzwerkplanung nicht vorhanden
Masterplanung APO-SNP (Supply-Netzwerkplanung)
Bedarfsplanung APO-DP (Absatzplanung)
Bedarfserfüllung und Available-to-Promise Globale ATP-Prüfung
Einkaufs- und Materialbedarfsplanung nicht vorhanden
Produktionsplanung APO-PP/DS (Produktions- und Feinplanung)
Produktionssteuerung APO-PP/DS (Produktions- und Feinplanung)
Distributionsplanung TP/VS (Transportplanung)
Transportplanung TP/VS (Transportplanung)
Tabelle 3.1: Abbildung von generischen Modulen und Applikationskomponenten
3.2 Mathematische Losgrößenprobleme
Die im Rahmen dieser Ausarbeitung entworfenen, hierarchisch angeordneten mathematischen
Modelle sollen auf einer einheitlichen Struktur beruhen. Dafür bieten sich insbesondere ma-
thematische Modelle zur Losgrößenbildung an. Da diese Modelle die relevanten Eigenschaf-
ten aufweisen, um als Basis der in 2.2 definierten Partialmodelle zu dienen, wird an dieser
Stelle auf die Darstellung weiterer Standardmodelle verzichtet.
45
Mathematische Modelle zur Losgrößenbildung bestimmen aufbauend auf den Primärbedarfen
der Erzeugnisse eines Unternehmens sowie diversen Rahmenbedingungen wie den verfügba-
ren Ressourcen, erforderlichen Rüstzeiten, diversen Kostenkomponenten etc. optimale Pro-
duktionslose. Durch Nutzung dieser Standardmodelle als Basis für die hier entwickelten Mo-
delle wird bereits der Rahmen für deren Formulierung vorgegeben, wodurch sich einige
grundlegende Voraussetzungen implizit ergeben. Diese Voraussetzungen sind ausschlagge-
bend für die Entscheidung, mathematische Modelle zur Losgrößenbildung als Basis der Mo-
dellformulierung zu nutzen:
●Zeitmodell für die Formulierung der Modelle
●Zu- und Abflüsse der Verbrauchsfaktoren und Sicherstellung der Nichtnegativität von
Bestandswerten
●Ableitung von Sekundärbedarfen durch Stücklistenauflösung
In der Standardliteratur (vgl. [Temp06]) wird eine Vielzahl von Losgrößenproblemen mathe-
matisch beschrieben. Diese unterscheiden sich darin, welche Parameter bzw. Zusammenhänge
im Modell berücksichtigt werden, und von welchen abstrahiert wird. Beispiele hierfür sind:
●Verfügbare Kapazität: Einige Modelle unterstellen unbegrenzte Kapazitäten, andere
bieten die Möglichkeit, die Kapazitäten für die dargestellten Maschinen zu begrenzen.
●Möglichkeit der Bedarfsunterdeckung: Ist eine Bedarfsunterdeckung zum Ende einer
Planungsperiode möglich, so werden für diesen Fall meist Strafkosten in der Zielfunk-
tion verrechnet.
●Darstellung mehrerer Produkte: Einprodukt-Modelle stellen nur die Produktion eines
einzelnen Produkts dar, Mehrprodukt-Modelle zeigen den in der betrieblichen Praxis
in der Regel vorherrschenden Fall.
●Darstellung des Erzeugniszusammenhangs: Bei mehrstufigen Erzeugnisstrukturen
müssen diese zur Bestimmung der Sekundärbedarfe herangezogen werden, wobei sich
der Bedarfszeitpunkt aus dem Verbrauchszeitpunkt ergibt.
Außerdem können Losgrößenmodelle in Small Bucket- und Big Bucket-Modelle unterschie-
den werden. Small Bucket-Modelle sind dadurch gekennzeichnet, dass in einer Periode pro
Maschine jeweils nur ein Produkt hergestellt werden kann. In Big Bucket-Modellen ist diese
Restriktion aufgehoben, die Periodenlänge ist so groß, dass mehrere Produkte in einer Periode
produziert werden können. Eine Erweiterung bilden Modelle mit Linked Lotsizes (vgl.
46
[DEWZ93]). Hierbei wird der Rüstzustand der Maschinen am Ende der Perioden als Anfangs-
zustand für den Beginn der Folgeperiode vorgegeben. Auf diese Weise können Lose, die über
Periodengrenzen hinweg reichen, dargestellt werden.
Die Darstellung der Losgrößenprobleme an dieser Stelle beschränkt sich auf die für die Arbeit
relevanten Probleme. In den folgenden Abschnitten werden daher die Big Bucket-Modelle
Capacitated Lot Sizing Problem (Abschnitt 3.2.1) und das Multi-Level Capacitated Lot Sizing
Problem (Abschnitt 3.2.2) beschrieben. Warum sich gerade die hier dargestellten Modelle als
Basis der hier entwickelten Partialmodelle anbieten, wird in Kapitel 4 ausgeführt. Eine umfas-
sende Übersicht mathematischer Losgrößenprobleme findet sich u. a. bei Tempelmeier (vgl.
[Temp06]).
3.2.1 Capacitated Lot Sizing Problem
Das Capacitated Lot Sizing Problem (CLSP) betrachtet mehrere Produkte, für die Bedarfe
vorliegen, und die um eine Menge knapper Ressourcen konkurrieren (vgl. [Salo91], S. 30).
Dabei wird jeweils eine bestimmte Teilmenge der Ressourcen für die Produktion eines Pro-
dukts benötigt. Die zur Verfügung stehende Kapazität der Ressourcen darf in jeder Periode
nicht überschritten werden. Dieses Modell wird nach Tempelmeier (vgl. [Temp06], S. 161-
162) ergänzt um Verzugskosten und angepasst an die Nomenklatur dieser Arbeit, wie folgt
dargestellt.
Min ∑
i=1
n
E
∑
j=1
n
P
bij
R
⋅tiR
⋅cRxij
P
⋅tiP
⋅cPmaxxij
L,0⋅ci
L−minxij
L,0⋅ci
V(3.4)
s.t. xij−1
L
xij
P
−
xij
L
=
nij
B∀i∈{1nE}
∀j∈{1nP}(3.5)
xij
P−M⋅bij
R≤0∀i∈{1nE}
∀k∈{1nP}(3.6)
∑
i=1
n
E
tij
P⋅xik
Ptij
R
⋅bik
R≤tjk
KW ∀j∈{1nW}
∀k∈{1nP}(3.7)
xij
P
≥
0∀i∈{1nE}
∀j∈{1nP}(3.8)
xi0
L
=
0∀
i
∈{
1
n
E}(3.9)
x
i
n
P
L=0
∀
i
∈{
1
n
E
}
(3.10)
Die in Gleichung 3.4 dargestellte Zielfunktion des CLSP besteht aus einer Doppelsumme über
alle Erzeugnisse, die hergestellt werden, sowie über alle Perioden des Zeitmodells. In jedem
Summanden wird wiederum die Summe aus drei Bestandteilen gebildet: Rüstkosten, Produk-
47
tionskosten und Lager- und Verzugskosten. Die Rüstkosten berechnen sich als Produkt einer
binären Rüstvariable, der Rüstzeit und des Rüstkostensatzes. Äquivalent ergeben sich die Pro-
duktionskosten aus Produktionsmenge, Produktionszeit und Produktionskostensatz. Besteht
am Ende einer Periode ein positiver Lagerbestand, so fallen Lagerkosten an. Diese enthalten
neben den direkten Kosten auch indirekte Bestandteile wie die Kapitalkosten. Ist der Lagerbe-
stand negativ, so müssen für den Lieferverzug Strafkosten gezahlt werden. Über den Mini-
mum- und den Maximum-Operator werden Perioden mit positivem bzw. negativem Lagerbe-
stand identifiziert.
Die in Gleichung 3.5 dargestellte Restriktion ist die Gleichgewichtsbedingung für Produktion,
Bedarf und Lagerbestand. Die Summe aus dem Lagerbestand der Vorperiode x
ij
−
1
L und der
Produktionsmenge x
ij
P abzüglich der Lagermenge am Ende der betrachteten Periode x
ij
L muss
den Bedarf n
ij
B ergeben. Durch Gleichung 3.6 wird sichergestellt, dass Erzeugnis i in Periode j
nur dann produziert werden kann, wenn in dieser Periode der entsprechende Rüstvorgang
durchgeführt wird.
Durch Gleichung 3.7 wird die verwendete Kapazität jedes Werkzeugs in jeder Periode be-
grenzt. Dazu wird die Summe der Rüstzeiten und der Produktionszeiten über alle Erzeugnisse
gebildet. Die Rüstzeit ist abhängig davon, ob für das jeweilige Erzeugnis in der Periode gerüs-
tet wird, die Produktionszeit ist linear abhängig von der Produktionsmenge. Diese Summe
muss für jedes Werkzeug kleiner oder gleich der zugehörigen Kapazität sein. Gleichung 3.8
ist die Nichtnegativitätsbedingung für die Produktionsmengen, Gleichungen 3.9 und 3.10 stel-
len sicher, dass der Lagerbestand zu Beginn der ersten Periode und am Ende der letzten Peri-
ode 0 ist.
3.2.2 Multi-Level Capacitated Lot Sizing Problem
Das Multi-Level Capacitated Lot Sizing Problem (MLCLSP) (vgl. [MaWa91], S. 1236) er-
weitert das CLSP für einen mehrstufigen Produktionsprozess. In der hier dargestellten Varian-
te des MLCLSP wird nicht nur die Lagerung von Erzeugnissen über Periodengrenzen hinweg
erlaubt, es wird außerdem eine verspätete Produktion ermöglicht, die durch Verzugskosten
bewertet wird.
Min ∑
i=1
n
E
∑
j=1
n
W
∑
k=1
n
P
bijk
R⋅tij
R
⋅cj
Rxijk
P⋅tij
P
⋅cj
P∑
i=1
n
E
∑
j=1
n
P
maxxij
L,0⋅ci
L−minxij
L,0⋅ci
V(3.11)
s.t. bijk
R≤bij
PW ∀i∈{1nE}
∀j∈{1nW}
∀k∈{1nP}
(3.12)
48
ni
Rmax≥∑
j=1
n
W
bijk
R∀i∈{1nE}
∀k∈{1nP}(3.13)
xijk
P≤M⋅bijk
R∀i∈{1nE}
∀j∈{1nW}
∀k∈{1nP}
(3.14)
∑
i=1
n
E
bijk
R⋅tij
Rxijk
P⋅tij
P≤tjk
KW ∀j∈{1nW}
∀k∈{1nP}(3.15)
xik
L=xik−1
L∑
j=1
n
W
xijk
P−nik
B−∑
l=1
n
E
∑
j=1
n
W
gil⋅xljk
P∀i∈{1nE}
∀k∈{1nP}(3.16)
0≤xi0
L∑
j
=
1
nW
∑
l
=
1
k
xijl
P−∑
m
=
1
nE
∑
j
=
1
nW
∑
l
=
1
minkti
V
,n
P
gim
⋅xmjk
P∀i∈{1nE}
∀k∈{1nP}(3.17)
xijk
P≥0
∀i∈{1nE}
∀j∈{1nW}
∀k∈{1nP}
(3.18)
xi0
L=0
∀
i
∈{
1
n
E
}
(3.19)
x
i
n
P
L=0
∀
i
∈{
1
n
E
}
(3.20)
Die Zielfunktion des MLCLSP, dargestellt in Gleichung 3.11, ist die Minimierung der Sum-
me der auftretenden Kosten. Dabei werden in der ersten Summe die Rüstkosten und die Pro-
duktionsstückkosten über alle Erzeugnisse, Werkzeuge und Perioden aufaddiert. Die zweite
Summe addiert für jedes Erzeugnis in jeder Periode entweder die Kosten für Lagerhaltung
oder die Verzugskosten, je nachdem, ob der Bestand xij
L am Ende der Periode größer oder
kleiner als 0 ist.
Gleichung 3.12 stellt sicher, dass ein Werkzeug nur für die Produktion eines Erzeugnisses ge-
rüstet wird, das auf ihm gefertigt werden kann. Die Matrix der Binärvariable bij
PW
bildet dafür
die erlaubten Werkzeug-Erzeugnis-Kombinationen ab. Durch Gleichung 3.13 wird die Anzahl
der Rüstvorgänge je Periode durch die Obergrenze
n
Rmax begrenzt. Die in Gleichung 3.14 dar-
gestellte Restriktion begrenzt die in Periode k mit Werkzeug j von Erzeugnis i zu produzieren-
de Menge x
ijk
P so, dass nur dann die Produktion stattfinden kann, wenn auch ein entsprechen-
der Rüstvorgang eingeplant ist.
Die Zeit, die ein Werkzeug pro Periode zur Verfügung steht, ist begrenzt. Daher wird in Glei-
chung 3.15 eine Restriktion definiert, die die Summe der Rüst- und Produktionszeiten je Ma-
schine und Periode auf der linken Seite summiert und diese durch die insgesamt zur Verfü-
gung stehende Zeit t
jk
KW
begrenzt.
49
Gleichung 3.16 berechnet die Variable x
ik
L, die den Lagerbestand bzw. die Fehlmenge des Er-
zeugnisses i am Ende der Periode k angibt. Dazu wird zu dem Lagerbestand bzw. der Fehl-
menge der Vorperiode die aufsummierte Produktionsmenge über alle Werkzeuge und die Be-
darfsmenge addiert. Die Bedarfsmenge ergibt sich dabei aus den externen Bedarfen n
ik
B und
den Sekundärbedarfen. Sekundärbedarfe wiederum berechnen sich aus dem Produkt des Fak-
tors
g
il
, der angibt, wie groß der direkte Verbrauch von Erzeugnis l für die Herstellung einer
Mengeneinheit von Erzeugnis i ist, und der Produktionsmenge des Erzeugnisses l.
Das Zulassen von Lieferrückständen in Gleichung 3.16 sorgt zwar für eine größere Realitäts-
nähe der mathematischen Problemmodellierung, aber es muss sichergestellt werden, dass sich
trotzdem immer ein realisierbares Programm ergibt, in dem die Sekundärbedarfe gedeckt wer-
den. Diese Forderung erfüllt die in Gleichung 3.17 dargestellte Restriktion, die besagt, dass
die Summe des Lagerbestandes zum Zeitpunkt 0 und der Produktionsmengen bis zum Ende
jeder Periode größer oder gleich der Summe des Sekundärbedarfs bis zu dieser Periode sein
muss. In Gleichung 3.18 wird die Nichtnegativität der Produktionsmengen sichergestellt, in
Gleichungen 3.19 und 3.20 wird der Lagerbestand zu Beginn der ersten Periode und am Ende
der letzten Periode auf 0 gesetzt.
50
51
4 Zu leistende Arbeit
In diesem Kapitel wird dargestellt, welche Arbeiten in Kapitel 5 zu leisten sind, um die in Ka-
pitel 2 definierte Problemstellung unter Berücksichtigung des in Kapitel 3 beschriebenen
Stands der Technik der relevanten Bereichen zu lösen. Insbesondere werden Anforderungen
definiert, die sich daraus ergeben, dass die Ergebnisse sich in die im Stand der Technik darge-
stellten Basismodelle integrieren sollen.
4.1 Einordnung in APS Systeme
Das hier entworfene System soll sich in die durch Rohde definierten Module von APS Syste-
men (vgl. [Rohd08]) einpassen. Damit ist es möglich, das hier entworfene System in APS
Systeme zu integrieren und so eine Nutzbarkeit auch im Zusammenspiel mit Modulen beste-
hender Systeme einzusetzen.
Strategische Netzwerkplanung
Masterplanung
Produktions-
planung
Produktions-
steuerung
Distributions-
planung
Transport-
planung
Distributions-
planung
Bedarfs-
erfüllung
und Available-
to-Promise
Einkaufs- und
Materialbedarfs-
planung
Bedarfs-
planung
Abbildung 4.1: Einordnung der Problemstellung in die Module von APS Systemen
52
Abbildung 4.1 hebt in der Darstellung von APS Systemen nach Rohde die Module hervor, die
durch den im Rahmen dieser Ausarbeitung entwickelten Ansatz abgedeckt werden. Die Ent-
scheidungen der Partialmodelle I und II lassen sich teilweise im Modul Strategische Netz-
werkplanung, also der Konfiguration des Fertigungsnetzwerks, sowie im Modul Masterpla-
nung finden. Die Masterplanung wird dabei insbesondere zur Unterstützung der Planung ge-
nutzt, indem über sie bestimmt wird, ob eine Netzwerkkonfiguration für dessen operative
Nutzung geeignet ist. Diese Verwendung entspricht der (gerichteten) Beziehung zwischen
Masterplanung und Strategischer Netzwerkplanung mit der Bezeichnung Simulationsergeb-
nisse, die Rohde in seiner strukturellen Darstellung der Module (vgl. Abbildung 3.6) zeigt.
Die Partialmodelle III und IV finden sich in den durch Rohde definierten Modulen Masterpla-
nung und Produktionsplanung. Sie legen, wie im modularen System nach Rohde, in der ope-
rativen Fertigungssteuerung zu nutzende Parameter wie die Losgröße, Lagerstufen im Ferti-
gungsnetzwerk und Lagerbestände fest.
Allerdings geht die dieser Ausarbeitung zu Grunde liegende Problemstellung über den Funkti-
onsumfang und Betrachtungshorizont von APS Systemen hinaus. Insbesondere die Definition
von Maschinenbeständen, die Standortentscheidung und die langfristige Mitarbeiterplanung
inklusive der Entwicklung von Qualifikationen werden in APS Systemen nicht betrachtet.
4.2 Koordinationsprozesse
Die Arbeiten von Schneeweiß (vgl. [Schn94], S. 163-164, [Schn02], S. 294) geben den grund-
sätzlichen konzeptionellen Rahmen wie in Abbildung 3.2 dargestellt vor, an dem sich die
hierarchischen Modelle und die zwischen den Partialmodellen zu definierenden Prozesse und
Informationsflüsse orientieren sollen. Ein Modell auf der übergeordneten Ebene antizipiert
bereits für seine Planung Feedforward-Informationen über untergeordnete Modelle. Seine Er-
gebnisse bilden in Form einer Instruktion einen Teil des Inputs für diese. Schließlich kann es
Feedback-Schleifen geben, in denen Informationen entgegen der Hierarchie kommuniziert
werden. In den Prozessen, die Kapitel 5 definiert, werden durch die Feedback-Schleifen Re-
gelkreise festgelegt. Diese Regelkreise ermöglichen es, Lösungen aus übergeordneten Partial-
modellen zu verwerfen und einen neuen Optimierungslauf zu starten, wenn diese zu nicht
praktikablen Lösungen auf den untergeordneten Ebenen geführt haben.
4.3 Nutzung von mathematischen Losgrößenproblemen
Die mathematischen Modelle, die im nächsten Kapitel konzipiert werden, sollen auf Standard-
modellen der Losgrößenbildung aufbauen. Um eine effiziente Optimierung auf Basis der Mo-
delle zu ermöglichen, sollen möglichst viele, für die Lösungsfindung irrelevante, Parameter
53
bzw. Zusammenhänge ausgeblendet werden. Daher ist die Nutzung des CLSP dem MLCLSP
vorzuziehen, wenn auf die Betrachtung der Mehrstufigkeit in der Erzeugnisstruktur wie im
Produktionssystem verzichtet werden kann. Dies wird im Partialmodell IV genutzt, es wird
aufbauend auf dem CLSP entwickelt. Primär- und Sekundärbedarfe werden entsprechend der
Abrufe vor der Ausführung des Programms summiert und dann aggregiert betrachtet. In den
Partialmodellen I und II wird hingegen das MLCLSP als Basis genutzt, da hier die zu nutzen-
den Fertigungsprozesse noch nicht festgelegt sind und damit die Betrachtung des Erzeugnis-
zusammenhangs notwendig ist. Partialmodell III baut nicht auf mathematischen Losgrößen-
problemen auf.
4.4 Berücksichtigung der Unsicherheit
Aufbauend auf dem in Abschnitt 3.1.3.4 beschriebenen Vorgehen von Gebhard und Kuhn
(vgl. [GeKu07]) zur Berücksichtigung der Unsicherheit der Entwicklung der Bedarfsmengen,
soll in den hier entwickelten mathematischen Modellen die Zukunft in Form von Szenarien
dargestellt werden. Den Szenarien soll jeweils die Wahrscheinlichkeiten ihres Eintretens zu-
gewiesen werden, die für eine Gewichtung in der Zielfunktion genutzt wird. Damit können
unterschiedliche Quellen für die Lösung der Problemstellung genutzt werden und auch Aus-
nahmefälle berücksichtigt werden, die mit einer entsprechend geringen Wahrscheinlichkeit
gewichtet werden.
54
55
5 Konzeption
In diesem Kapitel wird die Konzeption des integrierten hierarchischen Planungsverfahrens zur
Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung von Fertigungssystemen dargestellt. Die
Struktur des Verfahrens ist bereits durch die in Abschnitt 2.2 hergeleiteten Partialmodelle be-
stimmt. Außerdem wurden dort für jedes Partialmodell die Eingangsgrößen und Ergebnisse
festgelegt.
Zunächst werden in Abschnitt 5.1 gemischt-ganzzahlige mathematische Programme entwi-
ckelt, die die Teilaufgaben der Partialmodelle abbilden. Diese Formulierungen können direkt
durch eine Optimierungssoftware genutzt werden, um eine optimale Lösung für die jeweiligen
Partialmodelle zu bestimmen. Die Variablen, die die Lösungen darstellen, müssen den
Schnittstellen zu untergeordneten Partialmodellen entsprechen, die wie die verwendete Daten-
basis während der Schnittstellendefinition festgelegt werden. In untergeordnete Partialmodelle
gehen sie anschließend als Parameter ein.
Die Schnittstellen der Partialmodelle bilden die Basis, um im folgenden Abschnitt 5.2 Koordi-
nationsprozesse zu definieren, die das Planungsverfahren steuern und damit die Lösung der
Fertigungsplanungs-Teilaufgaben zu einer Lösung der gesamten Fertigungsplanungs-Aufgabe
integrieren. Zusätzlich zu dem bereits durch die hierarchische Struktur der Modelle vorgege-
benen linearen Ablauf der Planung werden hier Kennzahlen der gefundenen Lösungen in den
Koordinationsprozessen genutzt, um bei einer Neuplanung eine den Unternehmenszielen ent-
sprechende Lösungen zu gewährleisten. Entspricht die auf einer untergeordneten Hierarchie-
stufe gefundene Lösung nicht den zuvor definierten Anforderungen, so findet eine erneute
Planung auf der übergeordneten Ebene statt. Hiermit wird die Feedback-Schleife im konzep-
tionellen Rahmen von Schneeweiß umgesetzt. Durch Anpassungsprozesse wird eine regelmä-
ßige oder durch relevante Ereignisse hervorgerufene Neuplanung betroffener Partialmodelle
initiiert, so dass sichergestellt wird, dass der Plan sich stets an den sich ändernden Gegeben-
heiten orientiert.
56
5.1 Definition von Planungsmodellen
Nachdem in Abschnitt 2.2 die Struktur der Planungsmodelle entwickelt wurde, wobei die
Partialmodelle nur als Blackbox definiert wurden, werden sie in diesem Abschnitt in Form
mathematischer Modelle dargestellt. Die so ausformulierten Partialmodelle dienen in den an-
schließend entwickelten Koordinationsprozessen zur Lösung der in den Partialmodellen bein-
halteten Teilprobleme.
Zunächst wird die formale Systembeschreibung, bestehend aus grundsätzlichen Modellie-
rungstechniken, einer Beschreibung der verwendeten Variablen sowie der Definition von
Konsistenzbedingungen, definiert. Auf dieser Grundlage werden dann die Modelle der einzel-
nen Planungsebenen entwickelt und Kennzahlen abgeleitet. Diese Kennzahlen werden im an-
schließenden Abschnitt 5.2 zur Steuerung des integrierten hierarchischen Planungsverfahrens
genutzt.
5.1.1 Systembeschreibung
5.1.1.1 Grundsätzliche Modellierungstechniken
Zur Abbildung der Unsicherheit bezüglich der zukünftigen Entwicklung der Systemumwelt
und damit insbesondere des Absatzes, werden in den Planungsmodellen unterschiedliche Pro-
gnosen in Form von Szenarien abgebildet. Außerdem werden in den verschiedenen Planungs-
ebenen unterschiedlich granulare Zeitmodelle verwendet, wobei die Datenkonsistenz zwi-
schen den Zeitmodellen gewährleistet sein muss. Diese Modellierungstechniken erfordern
eine eindeutige Definition, um die Pflege und Konsistenzprüfung der entsprechenden Stamm-
daten zu ermöglichen.
5.1.1.1.1 Darstellung in Form von Szenarien
Die zukünftige Entwicklung der Systemumwelt (insbesondere die Entwicklung der Nachfra-
ge) ist nicht deterministisch vorgegeben, sondern hängt von nicht durch die Entscheidungsträ-
ger des Unternehmens zu beeinflussenden Faktoren ab. Daher werden verschiedene Szenarien
ausgearbeitet, die konsistente Bilder möglicher zukünftiger Entwicklungsstränge modellieren.
Die Partialmodelle betrachten die verschiedenen möglichen Entwicklungen der Systemum-
welt gleichzeitig und kommen so zu einer Lösung, die für das Eintreten der einzelnen Szenari-
en geeignet ist.
In den Partialmodellen werden für die einzelnen Szenarien unterschiedliche Entwicklungen
dargestellt (so werden z. B. die Lagerbestände in Abhängigkeit vom Lagerbestand des Vor-
57
gängerszenarios berechnet), allerdings sind die als Ergebnis der Partialmodelle betrachteten
Variablen nur von der Periode abhängig. So lassen sich einheitliche Pläne definieren, die un-
abhängig davon sind, welches Szenario tatsächlich eintritt.
In Unternehmen existieren grundsätzlich verschiedene Prognosen bezüglich der zukünftigen
Absätze. Eine durch den Vertrieb als konservativ angesehene Prognose schätzt die Absatzzah-
len möglichst gering ein. Damit ist der Vertrieb mit einer großen Wahrscheinlichkeit in der
Lage, diese Prognosewerte zu erreichen, oder sie sogar zu übertreffen, was zu einer positiven
Bewertung der Arbeit führt. In der Produktion und Logistik hingegen tendiert eine konservati-
ve Prognose dazu, Bedarfe zu hoch einzuschätzen. So ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass
aufbauend auf dieser Prognose geplante Kapazitäten ausreichen, um die auftretenden Bedarfe
befriedigen zu können. Es existiert also im Unternehmen ein grundsätzlich unterschiedliches
Verständnis davon, was eine konservative Prognose auszeichnet. Das hier definierte Verfah-
ren nutzt diese verschiedenen Prognosen, indem es sie in Form von Szenarien modelliert. Da-
mit lässt sich sicherstellen, dass die Ergebnisse der Planung eine relativ große Bandbreite
möglicher Entwicklungen der Umwelt (insb. der Bedarfe) erfüllen können.
Die Szenarien werden in Form einer Baumstruktur angeordnet, wobei ein Szenario immer
Nachfolger genau eines anderen Szenarios ist (Ausnahme ist das Ausgangsszenario, das die
Situation in der ersten Planungsperiode darstellt, dieses hat kein Vorgängerszenario). Zum
Aufbau des Szenariobaums werden nP1 Perioden und nS1 Szenarien definiert, wobei die
Wurzel des Baumes (das Ausgangsszenario) Szenario 0 ist. Dieses Ausgangsszenario dient
nur zur Initialisierung der Modelle und stellt keine Kapazitäten zur Fertigung von Erzeugnis-
sen zur Verfügung. Jedem Szenario wird durch die Funktion
:
{
0
nS
}{
0
nP
}
eine Peri-
ode zugeordnet, wobei die Wurzel des Szenariobaums in der ersten Periode liegen muss, also
0
=
0
. Die Struktur des Szenariobaums wird durch :{0nS}{0nS}∪{∅} definiert.
Diese Funktion ordnet jedem Szenario ein Nachfolgeszenario zu, sofern es sich nicht in der
letzten Periode des Zeitmodells nP befindet. Außerdem wird jedem Szenario durch die Funk-
tion :{0nS}
]
01
]
eine Eintrittswahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Eintrittswahr-
scheinlichkeit des Ausgangsszenarios ist grundsätzlich
0
=
1
. Um die Konsistenz des Sze-
nariobaums sicher zu stellen, müssen die Bedingungen in Gleichungen (5.1) und (5.2) erfüllt
sein.
j−i=1∀i∈{0nS}
∀j∈{0nS
∣
j=i}(5.1)
∑
∀j∈{0nS: j=i}
j=i
∀
i
∈{
0
n
S
∣
i
n
P
}
(5.2)
58
Die in Gleichung 5.1 dargestellte Konsistenzbedingung stellt sicher, dass jedes Nachfolgesze-
nario j eines Szenarios i der jeweils nachfolgenden Periode zugeordnet ist. Gleichung 5.2 gibt
an, dass die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Nachfolger eines Szenarios i gleich
der Eintrittswahrscheinlichkeit des betrachteten Szenarios sein muss. Diese Bedingung muss
für alle Szenarien, die keine Blätter des Szenariobaums sind, die also nicht in der letzten mo-
dellierten Periode
n
P (Planungshorizont) liegen, gelten.
Die Einschränkung, dass die Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten in jeder Periode 1
sein muss, sowie die Einschränkung, dass jedes Szenario des Entscheidungsbaums, das kein
Blatt ist, mindestens ein Nachfolgeszenario hat, ergeben sich implizit aus den oben dargestell-
ten Konsistenzbedingungen und müssen daher nicht über separate Gleichungen sichergestellt
werden.36, 37
5.1.1.1.2 Integration unterschiedlicher Zeitmodelle
Zur Modellierung der Partialmodelle wird jeweils ein diskretes Zeitmodell verwendet. Aller-
dings werden in den einzelnen Partialmodellen unterschiedlich granulare Raster zur Eintei-
lung des Planungshorizonts in Zeitabschnitte verwendet. Eine solche Unterscheidung ist ins-
besondere zwischen den Partialmodellen, die auf Grund der in Abschnitt 2.2.2.1 dargestellten
unterschiedlichen relevanten Betrachtungshorizonte für Teilaufgaben gebildet wurden, sinn-
voll. Damit würden unterschiedlich lange diskrete Zeitabschnitte in den Partialmodellen I und
II einerseits und III und IV andererseits gerechtfertigt. Allerdings kann natürlich auch eine un-
terschiedliche Rasterung innerhalb dieser Gruppen genutzt werden. Dies wird an dieser Stelle
36 Die Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten in jeder Periode muss 1 sein: Dies kann induktiv bewiesen
werden. Für Periode 1 gilt dies, da in dieser Periode nur das Ausgangsszenario 1 existiert (folgt aus Glei-
chung 5.1) und diesem Szenario grundsätzlich die Eintrittswahrscheinlichkeit 1 zugeordnet ist. Es sei in Peri-
ode k mit jnP die Summe aller Eintrittswahrscheinlichkeiten gleich 1. Dann gilt für jedes Szenario i in Pe-
riode j, dass die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller Nachfolgeszenarien der Eintrittswahrschein-
lichkeit von Szenario i entspricht (dies folgt direkt aus Gleichung 5.2). Nach Gleichung 5.1 müssen alle diese
Nachfolgeszenarien in Periode j1 liegen. Da nach der Definition der Funktion
jedes Szenario in Periode
j
1 genau ein Vorgängerszenario haben muss, können Szenarien in Periode j keine gemeinsamen Nachfol-
geszenarien haben und damit muss die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten in Periode j1 minimal 1
sein. Da der Vorgänger jedes Szenarios in Periode j1 nach Gleichung 5.1 in Periode j liegen muss, kann
die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten in Periode
j
1
auch nicht größer als 1 sein. Damit muss also
die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten in Periode j1 gleich 1 sein. Damit ist die Aussage für alle Pe-
rioden bewiesen.
37 Jedes Szenario, das kein Blatt ist, hat mindestens ein Nachfolgeszenario: Hätte ein Szenario keinen Nachfol-
ger, so müsste die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Szenarios gemäß Gleichung 5.2 0 sein. Dies wider-
spricht aber der Definition der Funktion.
59
allerdings nicht modelliert, sondern würde eine Erweiterung des hier dargestellten Modells
darstellen.
Die Dauer eines Zeitintervalls wird nicht bereits an dieser Stelle festgelegt, sondern als Para-
meter definiert, damit die Modellbildung davon unabhängig durchgeführt werden kann. Fol-
gende Aussagen über die Zeitabschnitte in den unterschiedlichen Modellen können aber
grundsätzlich bereits hier getroffen werden:
●In den Modellen III und IV (vgl. Abschnitt 5.1.3) wird ein fein gerastertes Zeitmodell
(z. B. Schichten oder Tage als Zeitabschnitte) zugrunde gelegt. Dies ist notwendig, um
das mathematische Modell zur Bestimmung des Sicherheitsbestands zu definieren. Die
Dauer des im Zeitmodell dieser Partialmodelle zugrunde gelegten Zeitabschnittes wird
als TB,o bezeichnet.
●In den Modellen I und II (vgl. Kapitel 5.1.2) werden die Zeitabschnitte des diskreten
Zeitmodells größer gewählt (z. B. Monate oder Quartale). Zwar wäre auch hier die
Nutzung des Zeitmodells der Partialmodelle III und IV möglich, allerdings würde dies
zu erheblichem Aufwand bei der Modellierung und Optimierung der Modelle führen,
da der betrachtete Zeitraum größer als in den Partialmodellen III und IV sein muss.
Die Dauer des in diesem Zeitmodell zugrunde gelegten Zeitabschnittes wird als
T
B,t
bezeichnet.
Für beide Zeitmodelle wird ein eigener Szenariobaum aufgebaut. Dementsprechend gibt es ei-
nerseits die Variablen
n
P,o und
n
S,o sowie die Funktionen o:{1nS,o}{1nP,o},
o:{1nS,o
}{1nS,o}∪∅ und o:{1nS,o
}
]
01
]
für die Partialmodelle I und II und
andererseits die Variablen
n
P,t und
n
S,t sowie die Funktionen
t:{1nS,t
}{1nP,t},
t:
{
1
nS,t
} {
1
nS,t
}∪∅
und t:{1nS,t}
]
01
]
für die Partialmodelle III und IV. Da
in den Abschnitten und Modellen dieser Ausarbeitung eindeutig aus dem Kontext hervorgeht,
ob es sich um die entsprechenden Variablen für das über- oder untergeordnete Zeitmodell
handelt, wird diese Notation vermieden. Sie wird nur dann genutzt, wenn dies für das Ver-
ständnis notwendig ist.
Damit die Szenariobäume über beide Zeitmodelle integriert betrachtet werden können, müs-
sen einige grundlegende Konsistenzbedingungen erfüllt sein, die in Abschnitt 5.1.1.4 definiert
werden:
●Konsistenz der Zeitmodelle
●Konsistente Abbildung der Szenarien
60
●Konsistenz der Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen
●Konsistenz der Eintrittswahrscheinlichkeiten
●Konsistenz der Bedarfsmengen
5.1.1.1.3 Darstellung der Produktionsfaktoren
Die Produktionsfaktoren des Fertigungssystems müssen wie in 2.1.1.1 dargestellt in den
Partialmodellen berücksichtigt werden. Daher werden sie in Form mathematischer Variablen
dargestellt. Es werden lediglich die Elementarfaktoren modelliert, die dispositiven Faktoren
können vernachlässigt werden. Sie gehen nur in Form von Gemeinkosten in die Berechnun-
gen ein. Daher müssen alle Kostenbestandteile, die im Folgenden definiert werden, diese Ge-
meinkosten bereits enthalten.
Zunächst müssen die zur Verfügung stehenden Betriebsmittel modelliert werden. Dabei kann
die Gruppe der Betriebs- und Hilfsstoffe vernachlässigt werden, da hier grundsätzlich von der
Verfügbarkeit für die Fertigung ausgegangen wird. Die relevanten Betriebsmittel der Gruppe
„Maschinen, Werkzeuge, Gebäude, Grundstücke“ werden so gruppiert, dass eine Gruppe je-
weils für die Durchführung einer Menge von Fertigungsprozessen genutzt werden kann38.
Diese Zusammenfassungen von Betriebsmitteln werden im Folgenden jeweils als ein Werk-
zeug bezeichnet.
Es wird also eine Menge {1nW} von möglichen Werkzeugen definiert. Dabei ist eine Teil-
menge dieser Werkzeuge bereits im Ausgangsszenario vorhanden, die anderen können in den
Folgeszenarien angeschafft oder veräußert werden. Mit der Beschaffung von Werkzeugen
sind Kosten in Höhe von c
i
N
verbunden, und für vorhandene Werkzeuge sind pro Periode Fix-
kosten in Höhe von c
i
F
zu entrichten. Der Anfangszustand des Fertigungssystems ist durch
den Vektor b
i
W0 gegeben, der darstellt, welche Werkzeuge in der Ausgangsperiode 0 vorhan-
den sind.
Ebenfalls einen relevanten Produktionsfaktor stellen die Mitarbeiter {1nM} dar. Diese kön-
nen im Gegensatz zu Werkzeugen durch Schulungsmaßnahmen weiterentwickelt werden, so
dass sie auch zur Durchführung anderer Prozesse genutzt werden können. Außerdem ist die
Menge der pro Periode verfügbaren Einheiten durch Überstunden innerhalb von Grenzen er-
weiterbar, womit Mehrkosten über den normalen Stundensatz hinaus verbunden sind. Die
38 Eine mögliche Zusammenfassung ist beispielsweise ein Bearbeitungszentrum mit den zugehörigen Werkzeu-
gen, um eine Menge von Fertigungsprozessen durchzuführen, dem benötigten Standort, den Gebäudeeinrich-
tungen usw.
61
Kosten für Mitarbeiter werden als lineare Funktion der regulären Arbeitsstunden und der
Überstunden berechnet. Mitarbeiter können freigestellt und eingestellt werden. Zu diesem
Zweck sind mit dem Vektor b
i
M0 die im Ausgangsszenario beschäftigten Mitarbeiter gegeben.
Die Einstellung eines Mitarbeiters führt zu den Kosten
c
ME, die Freisetzung zu den Kosten
cMR.
Des Weiteren wird die Menge der möglichen Qualifikationen
{
1
nQ
}
definiert. Im Aus-
gangsszenario ist die Zuordnung von Qualifikationen zu Mitarbeitern durch die Matrix b
ij
MQ0
festgelegt. In den Folgeperioden können die Mitarbeiter weitere Qualifikationen erlernen, wo-
bei hierfür abhängig von der zu erlernenden Qualifikation Zeit aufgewendet wird und Kosten
entstehen.
Die Gruppe der Rohstoffe, Halb- und Fertigerzeugnisse stellt den Input und den Output der
Fertigungsprozesse dar. Im Weiteren wird der zusammenfassende Begriff Erzeugnisse39 ver-
wendet. Die Erzeugnisse, definiert durch die Menge {1nE}, bilden einerseits den Output
der Fertigungsprozesse. Andererseits gehen auch Erzeugnisse als Verbrauchsfaktoren in die
Fertigungsprozesse ein.
5.1.1.1.4 Darstellung alternativer Fertigungsprozesse
Als kreativer Prozess, der außerhalb der hier betrachteten Fertigungsplanungs-Teilaufgaben
erfolgt, müssen verschiedene mögliche Fertigungsprozesse identifiziert werden. Für diese al-
ternativen Prozesse muss eine mathematische Darstellungsform definiert werden, die es er-
möglicht, eine Auswahl zwischen ihnen in den in diesem Kapitel entworfenen Partialmodel-
len vorzunehmen.
Die herkömmlichen Losgrößenmodelle wie das MLCLSP stellen einen Produktionsfaktor als
benötigt dar, um den Fertigungsprozess mit mehreren Erzeugnissen als Input und einem Er-
zeugnis als Output durchzuführen. Alternativ kann das Erzeugnis auf einer anderen Ressource
gefertigt werden. In der Realität werden aber (spätestens bei der Einbeziehung von Mitarbei-
tern als benötigtem Produktionsfaktor) zur Durchführung eines Fertigungsprozesses mehrere
Ressourcen parallel benötigt. Abbildung 5.1 stellt einen solchen Prozess dar. Um diese Form
von Fertigungsprozessen in einem mathematischen Modell abbilden zu können, muss eine ab-
strakte Variable geschaffen werden, die den Zusammenhang zwischen Input, Output und den
39 Es wird nicht der Begriff Werkstoffe verwendet, um zu verdeutlichen, dass nur eine Teilmenge der Werkstof-
fe abgebildet wird. Einige Werkstoffe müssen nicht berücksichtigt werden, da von der Verfügbarkeit implizit
ausgegangen wird. Lediglich wertmäßig bedeutende Werkstoffe werden abgebildet, die z. B. durch eine
ABC-Analyse bestimmt werden können, wobei nur A-Teile sowie evtl. B-Teile berücksichtigt werden.
62
verwendeten Ressourcen herstellt. In dieser Arbeit wird daher der Begriff Technologie unter
Verwendung der Definition aus Abschnitt 2.2.1 als Basis für die Darstellung der Fertigungs-
prozesse genutzt.
Mitarbeiter i
Erzeugnis a
Erzeugnis x
Werkzeug j
Fertigungsprozess/
Technologie
Erzeugnis b
Abbildung 5.1: Fertigungsprozess als Technologie
Um alternative Fertigungsprozesse darzustellen werden die Technologien {1nT} definiert.
Für jede Technologie wird in den Partialmodellen eine Anzahl abstrakter Einheiten x
ij
T be-
stimmt, die von dieser Technologie in einer Periode ausgeführt wird. Es ist allerdings je Tech-
nologie definiert, wie groß der Input n
ij
TB und der Output n
ij
TE für jedes einzelne Erzeugnis ist.
n
ij
TB und n
ij
TE stellen Matrizen dar, die jeweils alle Erzeugnisse auf alle Technologien abbilden.
Im Normalfall werden diese Matrizen sehr viele Nullen enthalten, da der Output und der Input
eines Fertigungsprozesses nur eine Teilmenge des gesamten Erzeugnisspektrums enthält. Au-
ßerdem wird für jede Technologie über die Matrizen t
ij
TW
und
t
ij
TQ definiert, welche Werkzeuge
und Mitarbeiter mit welchen Qualifikationen wie lange zur Durchführung einer abstrakten
Einheit der Technologie benötigt werden.
In der strategischen Planung (die nicht durch die hier entwickelten Modelle unterstützt wird)
werden zunächst die verschiedenen, alternativen Fertigungsprozesse als Technologien defi-
niert. Allerdings sollen auch globale Strategiealternativen darstellbar sein, die über die Nut-
zung unterschiedlicher Standorte und Varianten der Erzeugnisse entscheiden. Dazu werden
durch die Matrix, die durch die Binärvariable b
ij
P gebildet wird,
n
PA Teilmengen der Menge al-
ler Technologien {1nT} definiert. Jede Zeile der Matrix definiert eine Prozessalternative40.
Die einzelnen Prozessalternativen geben an, welche Technologie für die Herstellung welches
Erzeugnisses genutzt werden soll. In Abschnitt 5.1.1.4 werden zusätzliche Konsistenzbedin-
gungen für die Menge der Prozessalternativen definiert.
40 Eine Prozessalternative entspricht damit der Technologiemenge in der Nomenklatur von Dinkelbach und Ro-
senberg (vgl. Abschnitt 2.2.1)
63
5.1.1.2 Schnittstellen zu den Ergebnissen der strategischen Planung
Die Schnittstellen zur strategischen Planung dienen dazu, Zieldefinitionen, Entwicklungsalter-
nativen der Systemumwelt sowie Strategiealternativen zu definieren. In diesem Abschnitt
werden diese Eingangsparameter des Planungssystems definiert.
5.1.1.2.1 Zieldefinitionen
Die aus der strategischen Planung entstehenden grundsätzlichen Ziele der Unternehmung sind
in Form der maximalen Lieferzeit und der minimalen Liefertreue definiert. Diese Parameter
stellen dar, wie sich die Unternehmung am Markt positionieren möchte. Sie sind eine Grund-
lage der definierten Szenarien, die Primärbedarfe prognostizieren, da diese Parameter direkte
Auswirkungen auf den Absatz haben. Eine geringere Lieferzeit und eine höhere Liefertreue
machen die Produkte für potentielle Kunden attraktiver, da auf diese Weise auch eine schnel-
lere Reaktion des Kunden auf Nachfragen möglich wird. Dementsprechend kann der Kunde
seine Lagerbestände verringern und dadurch Kosten sparen. Die Parameter „angestrebte maxi-
male Lieferzeit“ und „angestrebte minimale Liefertreue“ werden durch die Variablen
t
Lmax so-
wie
p
min angegeben.
Der kalkulatorische Zinsfuß und das verfügbare Kapital stellen die finanzwirtschaftlichen
Rahmenbedingungen der Unternehmung dar. Durch den kalkulatorischen Zinsfuß wird die
Rentabilität jeder Investition um die Kosten für die dabei entstehende Kapitalbindung belas-
tet. Entsprechend werden Investitionen nur dann durchgeführt, wenn sich ein positiver Betrag
ergibt. Der kalkulatorische Zinsfuß muss dabei nicht unbedingt den Kapitalkosten des Unter-
nehmens für Fremdkapital entsprechen, vielmehr sollte er die angestrebte Eigenkapitalrentabi-
lität mit einbeziehen. Der Parameter
c
Z gibt den kalkulatorischen Zinsfuß des Unternehmens
an. Die Kapitalbindung wird in den Modellen über den kalkulatorischen Zinsfuß in die Kapi-
talbindungskosten übertragen. Diese werden durch die Parameter KBd,max
für die durch-
schnittlichen Kapitalbindungskosten bis zum Planungshorizont sowie KBd,max
für die maxi-
malen Kapitalbindungskosten über alle Perioden begrenzt.
5.1.1.2.2 Entwicklungsalternativen der Systemumwelt
Die einzelnen alternativen Entwicklungsstränge der Systemumwelt werden wie oben be-
schrieben in Form von Szenarien dargestellt. Hierdurch ist es möglich, diverse alternative
Prognosen integriert zu betrachten und zu einem Ergebnis zu kommen, das für alle Alternati-
ven sinnvoll ist.
64
Die in einem Szenario nachgefragten Primärbedarfe werden dabei durch die Matrix n
ij
B ange-
geben. Die einzelne Variable gibt für ein Erzeugnis i an, wie viele Einheiten in Szenario j be-
nötigt werden, um die Nachfrage zu befriedigen. Dabei ist nicht festgelegt, dass diese Nach-
fragemenge notwendigerweise der Produktionsmenge entspricht, sie kann auch ganz oder teil-
weise aus Lagerbeständen bedient werden.
5.1.1.2.3 Strategiealternativen
Die durch die Matrix b
ij
PA gebildete Menge von Prozessalternativen, die mögliche Kombina-
tionen von Technologien zeigt, stellt eine Auswahlmöglichkeit für die Partialmodelle dar. Die
Änderung der genutzten Prozessalternative wirft Kosten auf, die durch den Parameter cPNA ge-
geben sind. Die derzeit genutzte Prozessalternative ist durch die Variable biPN0 gekennzeich-
net.
Die Findung neuer Prozessalternativen ist ein Prozessbaustein, der in den in Abschnitt 5.2 ent-
wickelten Koordinationsprozessen ausgelöst wird, wenn die aktuell definierte Menge der Pro-
zessalternativen {1nPA} es nicht zulässt, eine Lösung zu finden, die den Zieldefinitionen
entspricht. Dieser Prozessbaustein, der kreativen Charakter hat, wird allerdings als Blackbox
betrachtet und nicht näher definiert.
5.1.1.3 Exogene Variablen
Eine Vielzahl von exogenen Variablen geht in das Planungsmodell ein. Dabei handelt es sich
insbesondere um Kosten- (z. B. Kosten für den Kauf von Maschinen oder die Fremdbeschaf-
fung von Erzeugnissen) und Zeitvariablen (z. B. Rüstzeiten). Diese werden hier nicht ausführ-
lich definiert, sondern im Rahmen der Beschreibungen der Partialmodelle, die sie verwenden,
erläutert.
5.1.1.4 Konsistenzbedingungen
Um die zuvor definierten Variablen in den Partialmodellen nutzen zu können, muss sicherge-
stellt sein, dass das durch sie definierte Modell der Systemumwelt widerspruchsfrei und kon-
sistent ist. Daher werden hier Konsistenzbedingungen formuliert, die dies sicherstellen. Die
Darstellung der Konsistenzbedingungen erfolgt formal-mathematisch, so dass es möglich ist,
diese zur automatisierten Prüfung der Datenbasis zu nutzen. In die zur Koordination der Pla-
nung entworfenen Prozessdefinitionen werden diese Prüfungen eingebunden, um die Termi-
nierung des Planungsprozesses zu garantieren.
65
5.1.1.4.1 Konsistenz der Zeitmodelle
Da die beiden Zeitmodelle die gleichen Szenarien auf unterschiedlichen Aggregationsebenen
darstellen, muss die Integrität der Modelle gewährleistet sein. Dazu wird zunächst festgelegt,
dass die Zeitmodelle miteinander vereinbar sein müssen, d. h. die Dauer eines Zeitabschnittes
in den Partialmodellen I und II (TB,t) muss ein ganzzahliges Vielfaches n
ZM
der Dauer eines
Zeitabschnittes in den Partialmodellen III und IV (
T
B,o) sein (vgl. Gleichung 5.3).
∃nZM ∈ℕ:n
ZM⋅TB,o=TB,t (5.3)
Aufbauend auf
n
ZM
lässt sich die Funktion
:
{
0
nP,o
}{
0
nP,t
}
definieren, die jeder Peri-
ode im Zeitmodell der Partialmodelle III und IV eine Periode im Zeitmodell der Partial-
modelle I und II zuordnet. Die Funktion wird definiert als: i=
⌈
i
nZM
⌉
.
5.1.1.4.2 Abbildung von Szenarien zwischen den Zeitmodellen
Im Folgenden wird eine Abbildung definiert, über die die Szenarien, die für die Partial-
modelle III und IV definiert wurden, in Szenarien der ihnen übergeordneten Partialmodelle I
und II überführt werden können. Ein Szenario im Szenariomodell der untergeordneten Ebene
ist dabei die Vereinigungsmenge von Szenarien auf der unteren Ebene, wobei diese Szenarien
einen Weg durch den Szenariobaum beschreiben. Betrachten wir Periode i im Zeitmodell der
Partialmodelle I und II, so wird jedem Weg in den Partialmodellen III und IV, der von einem
Szenario in der ersten Periode j, der die Periode i durch die Funktion
zugeordnet wird, zu
einem Szenario in Periode
j
n
ZM
−
1
führt, genau ein Szenario im Modell der Partialmodelle
I und II zugeordnet. Den Zusammenhang zwischen Szenarien in beiden Zeitmodellen illus-
triert Abbildung 5.2.
Die Zuordnung von Wegen im Szenariobaum der untergeordneten Ebene zu Szenarien in der
übergeordneten Ebene wird durch die Funktion :{0nS,o}n
ZM
{0nS,t
} durchgeführt. Die
unten stehende Gleichung 5.4 definiert formal logisch, dass für jeden oben beschriebenen
Weg im untergeordneten Szenariobaum eine Zuordnung zu einem übergeordneten Szenario
über diese Funktion geschehen muss. Der Weg wird dabei durch einen
n
ZM
-Tupel
p
1
p
n
ZM
von Szenarien repräsentiert, die jeweils über die Vorgänger-Nachfolger-Beziehung miteinan-
der verbunden sind.
∀p1pnZM ∈{0nS,o}n
ZM
:p
1∈ p2pnZM −1∈nZM
∃i∈{1nS,t}:p1pnZM =i(5.4)
66
operatives Zeitmodell
taktisches Zeitmodell
1
2
7
731
2
4
5
6
8
9
10
11
8
9
10
11
3
4
5
6
Periode
Periode
123
123456789
Abbildung 5.2: Szenarien in verschiedenen Zeitmodellen
5.1.1.4.3 Konsistenz der Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen
Die Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen der Szenarien in den Partialmodellen III und IV wer-
den einerseits innerhalb einer Periode der Partialmodelle I und II in verschiedene Szenarien
des Modells überführt. Andererseits werden Beziehungen, die die Grenzen der Betrachtungs-
zeiträume überbrücken, auch in der Planung durch die Partialmodelle I und II als Beziehun-
gen dargestellt.
5.1.1.4.4 Konsistenz der Eintrittswahrscheinlichkeiten
Die Eintrittswahrscheinlichkeiten auf der untergeordneten Ebene müssen denen auf der über-
geordneten Ebene entsprechen. Dazu muss die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Szenarios
i
in den Partialmodellen I und II gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit des letzten Szenarios des
ihm in den Partialmodellen III und IV entsprechenden Weges sein. Es muss also der in Glei-
chung 5.5 dargestellte logische Zusammenhang zwischen den Eintrittswahrscheinlichkeiten
bestehen.
∀p1p
n
ZM ∈{0nS,o
}n
ZM
,i∈{0nS,t}, p1p
n
ZM =i:ti=op
n
ZM(5.5)
67
5.1.1.4.5 Konsistenz der Bedarfsmengen
Die Bedarfsmenge eines Szenarios in den Partialmodellen I und II muss identisch sein mit der
Summe der Bedarfe in den entsprechenden Szenarien in den Partialmodellen III und IV. Dies
wird in Gleichung 5.6 in mathematischer Form dargestellt.
∀p1p
n
ZM ∈{0nS,o
}n
ZM
,i∈{0nS,t}, p1p
n
ZM =i:ti=op
n
ZM(5.6)
5.1.1.4.6 Konsistenz der Prozessalternativen
Es wird definiert, dass in jeder Prozessalternative nur genau eine Technologie zur Herstellung
eines Erzeugnisses verwendet werden darf. Welche dies ist, wird durch die Binärvariable b
ij
P
bestimmt. In dem hier definierten Planungssystem wird es dadurch möglich, auf der Ebene
der Partialmodelle III und IV, aufbauend auf der Auswahl einer Prozessalternative in Partial-
modell I, einen eindeutigen Erzeugniszusammenhang zu definieren. Praktisch lässt diese Ent-
scheidung sich dadurch begründen, dass ein Erzeugnis eines Betriebes immer durch denselben
Fertigungsprozess erzeugt werden sollte. Dadurch kann eine höhere Produktivität erreicht und
eine gleichbleibende Qualität gewährleistet werden. Gleichung 5.7 stellt diesen Zusammen-
hang formal dar.
∑
l∈
{
1nT∣l≠j
}
bil
P⋅nkl
TE=0∀i∈{1nPA}
∀j∈{1nT∣bij
P=1}
∀k∈{1nE∣n
kj
TE0}
(5.7)
5.1.2 Partialmodelle des übergeordneten Zeitmodells
5.1.2.1 Partialmodell I: Auswahl von Produktionsprozessen und Planung des
Maschinenbestands
In diesem Partialmodell werden die Fertigungsplanungs-Teilaufgaben „Auswahl von Ferti-
gungsprozessen“ (nachdem sie zuvor manuell definiert wurden) „Optimierung des Maschi-
nenbestands“ sowie „Treffen der Make-or-Buy-Entscheidung“ für Erzeugnisse in ein gemein-
sames mathematisches Programm integriert. Damit wird einerseits die Standortfrage implizit
(über die Auswahl der Maschinen) beantwortet, andererseits auch die Kernkompetenz und da-
mit die optimale Fertigungstiefe des Unternehmens und der einzelnen Standorte immer wieder
neu bestimmt. Erzeugnisse, die eine Kostenersparnis bei Outsourcing und gleicher Qualität
versprechen, können nicht die Kernkompetenz des Unternehmens darstellen. Derartige Er-
zeugnisse werden in diesem Modell als sinnvolle Kaufteile identifiziert und entsprechend
markiert.
68
Die Ergebnisse dieses ersten Partialmodells stellt Abbildung 5.3 dar. Die auf der rechten Seite
dargestellten Variablen werden durch die Ergebnisse dieses Modells bestimmt und durch die
in Abschnitt 5.1.2.3 definierten Gleichungen berechnet. Sie bilden lediglich den Input für die
Partialmodelle III und IV und keinen Output des Gesamtsystems. Die auf der linken Seite dar-
gestellte Variable
K
t ist eine Kennzahl, die von den Ergebnissen dieses Partialmodells und
des zweiten Modells abhängt. Als für den Output des gesamten Planungssystem genutzte Pla-
nungsergebnisse dieses Partialmodells ergeben sich die unter dem Modell dargestellten Varia-
blen. Die Binärvariable b
ij
W gibt dabei an, ob Werkzeug i in Periode j vorhanden ist. Wenn die-
se Variable ihren Wert von 0 auf 1 ändert, wird dies durch bij
WN angezeigt. bij
PN
stellt dar, ob
Prozessalternative i in Periode j genutzt wird, die Änderung des Werts dieser Variable zeigt
b
j
PNA an. b
ij
K Gibt an, ob Erzeugnis i in Periode j als Kaufteil markiert ist.
Modell I: Planung von Prozessen,
Standorten und Maschinenbeständen
bPN
ij /bPNA
j
bW/bWN
ij ij bK
ij
AW
ij
gijk
cPvar
ij
cPfix
ij
Output und untergeordnete Partialmodelle operative
Partialmodelle
Steuerung
der Prozesse
Kt
Abbildung 5.3: Ergebnisse des ersten Partialmodells
Als Eingangsgrößen fließt in dieses Modell je Periode eine Menge von Werkzeugen, die zur
Herstellung der nachgefragten Erzeugnisse genutzt werden können, ein. Als Alternative wer-
den auch die Kaufkonditionen möglicher Lieferanten dargestellt. Die verschiedenen Herstel-
lungsprozesse von Erzeugnissen werden durch Technologien dargestellt.
Eine Technologie stellt einen Produktionsprozess als Input-Output-Prozess dar. Durch die Er-
weiterung des klassischen MLCLSP-Modells um Technologien ist es möglich, Prozesse zu
modellieren, in denen mehr als nur ein Werkzeug zum Einsatz kommt. Außerdem sind da-
durch die für die Durchführung von Produktionsprozessen benötigten Mitarbeiter in die ma-
thematische Darstellung integrierbar. Diese Erweiterung wird allerdings erst im Partialmodell
zur Optimierung der Mitarbeiterplanung (vgl. 5.1.2.2) eingeführt, da die Verfügbarkeit von
Mitarbeitern zur Durchführung der Technologien in der Maschinenbestandsoptimierung im-
plizit vorausgesetzt wird.
69
Die weiteren Eingangsgrößen des Modells bilden die verschiedenen Bedarfsverläufe aufge-
gliedert nach Szenarien, die Begrenzungen für Rüstvorgänge, Werkzeugkapazität, sowie die
möglichen Prozessalternativen mit den in ihnen nutzbaren Technologien.
Min
∑
i=0
nS
i⋅
1cZ
−i
⋅
[
bi
PNA
⋅cPNA∑
j=1
nW
∑
k=1
nT
bkji
RT⋅tkj
RT⋅cj
Rxki
T⋅tkj
TW⋅cj
P
∑
j=1
nE
maxxji
L,0⋅cj
L−minxji
L,0⋅cj
V∑
j=1
nE
xji
K⋅cj
K∑
j=1
nW
bji
W⋅cj
Fbji
WN ⋅cj
N
]
(5.8)
s.t. ni
RTmax≥∑
j=1
n
W
bijk
RT ∀i∈{1nT}
∀k∈{0nS}(5.9)
xik
T≤M⋅bijk
RT ∀i∈{1nT}
∀j∈{1nW}
∀k∈{0nS}
(5.10)
∑
i=1
n
T
bijk
RT⋅tij
RTxik
T⋅tij
TW≤tjk
KW ⋅bjk
W∀j∈{1nW}
∀k∈{0nS}(5.11)
xik
L=xik
L∑
j=1
n
T
xjk
T⋅nij
TExik
K−nik
B−∑
j=1
n
T
nij
TB⋅xjk
T∀i∈{1nE}
∀k∈{0nS}(5.12)
bij
W≤bij−1
Wbij
WN ∀i∈{1nW}
∀j∈{1nP}(5.13)
xij
K≤bij
K⋅M∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.14)
∑
j=1
n
T
xjk
T⋅nij
TE≤
1−bik
K
⋅M∀i∈{1nE}
∀k∈{0nS}(5.15)
xij
T≤M⋅
∑
k=1
n
PA
bki
P⋅bkj
PN ∀i∈{1nT}
∀j∈{0nS}(5.16)
∑
i=1
n
PA
bij
PN =1∀
j
∈{
0
n
P}(5.17)
bj
PNA
≥
bij
PN
−
bij−1
PN ∀i∈{1nPA}
∀j∈{1nP}(5.18)
xi0
L=0
∀
i
∈{
1
n
E
}
(5.19)
bi0
W≤bi
W0
∀
i
∈{
1
n
W
}
(5.20)
bi0
PN =biPN0
∀
i
∈{
1
n
PA
}
(5.21)
xij
T
≥
0∀i∈{1nT}
∀j∈{0nS}(5.22)
xij
K≥0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.23)
70
Die mathematische Modellierung der Auswahl von Produktionsprozessen und der Planung
des Maschinenbestands ist in den Gleichungen 5.8 bis 5.23 dargestellt und baut auf dem Stan-
dardmodell MLCLSP auf (vgl. 3.2.2). Dabei wird das Modell um die folgenden Punkten er-
weitert:
●Auswahl zwischen verschiedenen alternativen Produktionsprozessen zur Erstellung
der Erzeugnisse
●Die Verfügbarkeit von Werkzeugen in einer Periode ist nicht deterministisch vorgege-
ben; Anschaffung bzw. Abschaffung ist Teil der Fertigungsplanungs-Teilaufgabe und
die Verfügbarkeit ergibt sich daraus
●Nutzung von Technologien für die Modellierung der Produktionsprozesse
●Berücksichtigung der Planungsunsicherheit durch mehrere parallele Szenarien in je-
weils einer Periode
●Bestimmung der Auslastung der einzelnen Werkzeuge je Periode als Grundlage für die
untergeordneten Partialmodelle
Die in Gleichung 5.8 dargestellte Zielfunktion dieses Partialmodells minimiert den Erwar-
tungswert der kumulierten anfallenden Kosten über alle Szenarien. Dabei wird jedes Szenario
i mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit
i
gewichtet und die Kosten über die Zeit durch
den kalkulatorischen Zinsfuß
c
Z je Periode abgezinst. Der erste Summand stellt die Kosten für
eine Änderung der Prozessalternativennutzung dar. Die folgende Doppelsumme addiert ana-
log zu Zielfunktion des MLCLSP (vgl. Gleichung 3.11) die variablen Rüst- und Produktions-
kosten für die in diesem Partialmodell bestimmten Produktionslose. Dabei werden die binäre
Rüstvariable b
kji
RT
, die angibt, ob Werkzeug j in Szenario i zur Durchführung von Technologie
k gerüstet wird, sowie die Anzahl der ausgeführten Mengeneinheiten xki
T von Technologie k in
Szenario i genutzt. Die nächste Summe ist identisch mit der Summe der Lager- bzw. Verzugs-
kosten in Gleichung 3.11.
Zusätzlich zu diesen bereits im herkömmlichen MLCLSP verwendeten Kosten werden in die-
sem mathematischen Modell die Kosten für die Fremdbeschaffung von Erzeugnissen, die An-
schaffung von Werkzeugen und die Fixkosten für vorhandene Werkzeuge betrachtet, um die
Optimierung des Maschinenbestands über den Szenariobaum zu ermöglichen. Die Kosten für
den Zukauf werden als linear angenommen. Sie ergeben sich damit aus dem Produkt der An-
zahl x
ji
K, die in der jeweiligen Periode zugekauft wird, und des Einkaufspreises
c
j
K
. Dies ist in
der dritten Summe dargestellt.
71
Die Fixkosten pro Periode für den Betrieb von Werkzeug j sind durch c
j
F
gegeben. Sie werden
für jedes Szenario i mit der Binärvariable bji
W multipliziert, die angibt, ob das Werkzeug in
diesem Szenario vorhanden ist. Den letzten Kostenbestandteil bilden die Neuanschaffungs-
kosten für Werkzeug j, die durch die Konstante cj
N
gegeben sind und jeweils mit der eine
Neuanschaffung ausdrückenden Binärvariable bji
WN multipliziert werden. Die Neuanschaf-
fung und der Bestand von Maschinen sind nicht vom Szenario, sondern nur von der Periode
abhängig, die über die Funktion
i
bestimmt wird. Da diese Variablen Teil der Zielfunkti-
on dieses Partialmodells sind, dürfen sie nicht von den Szenarien abhängig sein, sondern es
soll, unabhängig davon, wie sich die durch den Szenariobaum dargestellten verschiedenen
Möglichkeiten der weiteren Entwicklung des Systemumwelt verwirklichen, ein Plan für die
zukünftige Entwicklung erstellt werden.
Die in Gleichung 5.9 dargestellte Restriktion entspricht Gleichung 3.13 im MLCLSP, die die
Anzahl der Rüstvorgänge begrenzt. Dabei werden hier die Rüstvorgänge über die Binärvaria-
ble b
ijk
RT dargestellt, die genau dann 1 ist, wenn Werkzeug j in Szenario k zur Durchführung
von Technologie i gerüstet wird. Gleichung 5.10 entspricht Gleichung 3.14 und beschränkt
damit die durchführbaren Technologien auf diejenigen, für die die entsprechenden Maschinen
gerüstet werden. Im Zuge der Umstellung auf die Verwendung von Technologien wurde die
Variable für die Produktionsmenge aus dem MLCLSP durch die Technologienutzung x
ik
T er-
setzt.
Gleichung 5.11 entspricht der Restriktion zur Begrenzung der Maschinenlaufzeit im MLCLSP
(Gleichung 3.15), angepasst an die Systembeschreibung in diesem Modell. Einerseits wird auf
der linken Seite der Gleichung die Summe über alle Technologien berechnet, so dass die
Rüst- und die Produktionszeit dem neuen Modell entsprechend errechnet werden. Anderer-
seits wird die Kapazität des Werkzeugs im jeweiligen Szenario mit der Binärvariable b
ij
W mul-
tipliziert, so dass berücksichtigt wird, ob das Werkzeug im Zuge der Optimierung des Maschi-
nenbestands zur Verfügung steht.
Die in Gleichung 5.12 dargestellte Restriktion berechnet für jedes Szenario den Lagerbestand
am Ende der zugehörigen Periode und entspricht Gleichung 3.16 im MLCLSP. Der zweite
Summand auf der rechten Seite der Gleichung, der die produzierte Menge des betrachteten
Erzeugnisses aufaddiert, wurde durch das Produkt aus Technologiemenge und der Output-
menge dieser Technologie ersetzt, um dem neuen Modell zu entsprechen. Der dritte Sum-
mand, die Kaufteilmenge, wurde neu eingeführt, um die Fremdbeschaffung von Erzeugnissen
abzubilden.
72
Der letzte Summand wurde ebenfalls für die Nutzung von Technologien umgestellt. n
ij
TB ist
die Inputmenge an Erzeugnis i, die für die Durchführung einer Einheit von Technologie j be-
nötigt wird. Daher ergibt sich der interne Verbrauch an Erzeugnis i als die Summe aus n
ij
TB
und der jeweils durchgeführten Technologiemenge x
jk
T. Auf das Einbeziehen von Transport-
zeiten, die zu einer Verschiebung der Bedarfszeitpunkte zwischen den Werkzeugen führen
würden, wird hier verzichtet, da die Zeitintervalle in den Partialmodellen I und II so groß
sind, dass die Transportzeit zu vernachlässigen ist.
In Gleichung 5.13 wird die Binärvariable b
ij
WN eingestellt, die anzeigt, ob Werkzeug i in Peri-
ode j neu eingeführt wird. Außerdem wird darauf aufbauend die Binärvariable b
ij
W beschränkt,
die angibt, ob Werkzeug i in Periode j vorhanden ist und damit zur Durchführung von Tech-
nologien genutzt werden kann. b
ij
WN kann gemäß der Gleichung nur dann 1 sein, wenn entwe-
der bij
W bereits 1 ist, das heißt das Werkzeug war bereits im Vorgängerszenario vorhanden,
oder wenn die Binärvariable bij
WN gleich 1 ist, das Werkzeug also neu angeschafft wird.
Gleichung 5.14 begrenzt die Kaufteilmenge x
ij
K so, dass in einem Szenario nur dann Erzeug-
nisse zugekauft werden können, wenn diese auch durch die Binärvariable bi j
K als Kaufteil
markiert ist. Gleichung 5.15 stellt in die umgekehrte Richtung sicher, dass Teile, die als Kauf-
teile markiert sind, nicht selbst gefertigt werden. Dazu wird die Summe der Outputs über alle
Technologien berechnet und durch den Umkehrwert von bi j
K multipliziert mit einer hinrei-
chend großen Zahl M begrenzt.
Die in Gleichung 5.16 dargestellte Restriktion stellt die ausschließliche Nutzung von in der
gewählte Prozessalternative verfügbaren Technologien sicher. Die Prozessalternative wird
durch den Vektor bki
P definiert, der für jede Technologie i angibt, ob sie in der jeweiligen Pro-
zessalternative k zur Verfügung steht. Dieser Wert wird mit der binären Auswahlvariablen
bkj
PN multipliziert, so dass das Produkt genau dann 1 ist, wenn in der Periode
j
die jewei-
lige Technologie genutzt werden kann. Durch die Multiplikation mit einem hinreichend
großen Wert M kann das Produkt dann als Obergrenze für den Wert x
ik
T (durchgeführte Tech-
nologiemenge) dienen. Gleichung 5.18 stellt die Binärvariable ein, die eine Änderung der Pro-
zessalternative signalisiert.
Gleichung 5.17 begrenzt die Anzahl der in einer Periode zu nutzenden Prozessalternativen auf
1. Gleichung 5.19 initialisiert den Lagerbestand im Ausgangsszenario mit 0. Es wäre auch
denkbar, den Lagerbestand im Ausgangsszenario mit dem aktuellen Lagerbestand zu begin-
nen, dies wird an dieser Stelle allerdings nicht umgesetzt. Gleichung 5.20 und 5.21 initialisie-
73
ren die Verfügbarkeit der Werkzeuge und die Nutzung der Prozessalternative im Ausgangs-
szenario. Gleichungen 5.22 und 5.23 beschränken die Ausführungsmenge von Technologien
sowie die Beschaffungsmenge für Kaufteile auf den positiven Wertebereich.
5.1.2.2 Partialmodell II: Mitarbeiterplanung
In der Mitarbeiterplanung wird festgelegt, welche Mitarbeiter durch Qualifizierungsmaßnah-
men neue Qualifikationen erlernen sollen und wie die Mitarbeiterstruktur des Unternehmens
im zeitlichen Verlauf optimal den Gegebenheiten anzupassen ist. Dabei geht die im mathema-
tischen Modell der Investitionsplanung in 5.1.2.1 bestimmte Werkzeugverfügbarkeit je Peri-
ode als Menge von Restriktionen in dieses Modell ein. Die Technologiemengen (und dement-
sprechend die Eigenfertigungsmengen), die dort bestimmt wurden, werden nicht als gegebene
Eingangsgrößen betrachtet, da in der Optimierung in diesem Partialmodell zusätzlich die zu
bestimmenden Mitarbeiter berücksichtigt werden können und sich so eine von der reinen Ma-
schinenbestandsoptimierung abweichende effiziente Ressourcenverteilung ergeben kann.
Wie bereits in 5.1.2.1 erläutert, werden die Technologien für dieses Modell zusätzlich um die
Zeit, in der Mitarbeiter mit einer bestimmten Menge an Qualifikationen benötigt werden, er-
weitert. Außerdem werden die Qualifikationen und ihre Erweiterung über Qualifizierungs-
maßnahmen integriert. Die Verfügbarkeitsmatrix stellt die Möglichkeiten dar, Mitarbeiter in
den verschiedenen Szenarien des Szenariobaums als für die Beschäftigung verfügbar bzw.
nicht verfügbar zu markieren.
Modell II: Mitarbeiterplanung
bMQ/bMQN
ijk ijk bM/bME/bMR
ij ij ij
Kt
Output und untergeordnete Partialmodelle
Steuerung
der Prozesse
Abbildung 5.4: Ergebnisse des zweiten Partialmodells
Ergebnis dieses Partialmodells ist, wie in Abbildung 5.4 dargestellt, einerseits die Matrix b
ij
M
,
die angibt, ob Mitarbeiter i in Periode j beschäftigt wird und damit zur Verfügung steht. Die
Variablen b
ij
ME und b
ij
MR zeigen Änderungen in dieser Matrix an. Andererseits wird durch die
Matrix von Binärvariablen b
ijk
MQ je Mitarbeiter und Periode angegeben, ob eine Qualifikation
vorhanden ist. Die Matrix b
ijk
M
Q
N
stellt parallel dazu dar, ob ein Mitarbeiter in einer Periode
74
eine Qualifikation neu erlernt. Die Ergebnisse dieses Partialmodells gehen ebenfalls in die
Kennzahl
K
t, die zur Steuerung der Koordinationsprozesse verwendet wird, ein.
Min
∑
i=0
nS
i⋅
1cZ
−i
⋅
[
∑
j=1
nW
∑
k=1
nT
bkji
RT⋅tkj
RT⋅cj
Rxki
T⋅tkj
TW⋅cj
P
∑
j=1
nE
xji
K⋅cj
K
∑
j=1
nE
max
xji
L,0
⋅cj
L−min
xji
L,0
⋅cj
V
∑
j=1
nM
bji
M⋅cj
Mxji
U⋅cj
Ubji
ME ⋅cMEbji
MR ⋅cMR∑
k=1
nQ
bjk i
MQN ⋅ck
Q
]
(5.24)
s.t. ni
RTmax≥∑
j=1
n
W
bijk
RT ∀i∈{1nT}
∀k∈{0nS}(5.25)
xik
T≤M⋅bijk
RT ∀i∈{1nT}
∀j∈{1nW}
∀k∈{0nS}
(5.26)
∑
i=1
n
T
bijk
RT⋅tij
RTxik
T⋅tij
TW≤tjk
KW ⋅bjk
W∀j∈{1nW}
∀k∈{1nS}(5.27)
xik
L=xik
L∑
j=1
n
T
xjk
T⋅nij
TExik
K−nik
B−∑
j=1
n
T
nij
TB⋅xjk
T∀i∈{1nE}
∀k∈{1nS}(5.28)
xik
T⋅til
TQ≤∑
j=1
n
M
xijk
QM ∀i∈{0nS}
∀j∈{1nQ}(5.29)
∑
i=1
n
Q
xijk
QM bji k
MQN ⋅ti
L
≤bjk
M⋅tjk
Mxjk
U∀j∈{1nM}
∀k∈{0nS}(5.30)
xijk
QM
≤
M
⋅
bji k
MQ ∀i∈{1nQ}
∀j∈{1nM}
∀k∈{0nS}
(5.31)
bijk
MQ≤bij k−1
MQ bijk
MQN ∀i∈{1nM}
∀j∈{1nQ}
∀k∈{1nP}
(5.32)
xjk
U
≤
nUmax
⋅
bjpik
M∀j∈{1nM}
∀k∈{1nS}(5.33)
nik
TE⋅xkj
T≤M⋅
1−bij
K
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}
∀k∈{1nT}
(5.34)
xij
K
≤
M
⋅
bi j
K∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.35)
bij
ME≥bij
M−bij−1
M∀i∈{1nM}
∀j∈{1nP}(5.36)
75
bij
MR
≥
bij−1
M
−
bij
M∀i∈{1nM}
∀j∈{1nP}(5.37)
bi0
M=biM0∀
i
∈{
1
n
M}(5.38)
bij 0
MQ≤bij
MQ 0∀i∈{1nM}
∀j∈{1nQ}(5.39)
xi0
L
=
0
∀
i
∈{
1
n
E
}
(5.40)
xij
T≥0∀i∈{1nT}
∀j∈{0nS}(5.41)
xijk
QM ≥0
∀i∈{1nQ}
∀j∈{1nM}
∀k∈{0nS}
(5.42)
xij
K≥0∀i∈{1nE}
∀j∈{1nS}(5.43)
Das mathematische Modell der Mitarbeiterplanung baut wie bereits Partialmodell I (vgl.
5.1.2.1) auf dem MLCLSP auf (vgl. 3.2.2). Dabei wird das Modell um die folgenden Zusam-
menhänge erweitert:
●Nutzung verschiedener Szenarien, um verschiedene Möglichkeiten der Entwicklung,
insbesondere der Nachfrage, darzustellen
●Verfügbarkeit von Mitarbeitern
●Qualifikation von Mitarbeitern und Erlernen neuer Qualifikationen
Die in Gleichung 5.24 dargestellte Zielfunktion des mathematischen Programms ist gegenüber
Gleichung 3.11 im MLCLSP durch die letzte Summe über alle Mitarbeiter
n
M
um die Lohn-
kosten, um die Kosten für die Freistellung und Einstellung von Mitarbeitern sowie um die
Kosten für Qualifizierungsmaßnahmen erweitert worden. Außerdem wurden wie bereits im
vorhergehenden Partialmodell die einzelnen Szenarien mit ihrer, durch die Funktion
i
ge-
gebenen, Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet und über ihre Periodenzugehörigkeit
i
und
den kalkulatorischen Zinsfuß cZ abgezinst. Der erste Summand der hinzugefügten Summe
stellt die Grundgehälter der beschäftigten Mitarbeiter als Produkt aus der die Mitarbeiterbe-
schäftigung darstellenden Matrix bji
M und dem Grundgehaltsvektor cj
M, der abhängig vom
betrachteten Mitarbeiter j ist, dar. Zusätzlich zum Grundgehalt werden den Mitarbeitern die
geleisteten Überstunden xji
U bezahlt. Diese werden im zweiten Summanden mit dem entspre-
chenden Kostenvektor c
j
U
gewichtet. Die beiden folgenden Summanden addieren die Kosten
für die Einstellung von Mitarbeitern cME und die Kosten für die Freisetzung von Mitarbeitern
76
c
MR in Abhängigkeit von den entsprechenden Binärvariablen. Der letzte Summand stellt die
Kosten für Qualifizierungsmaßnahmen dar. Sie werden als Produkt aus Weiterbildungsmatrix
bjk i
MQN und dem zugehörigen Kostenvektor c
k
Q berechnet.
Gleichung 5.25 ist identisch mit Gleichung 5.9 und begrenzt die Anzahl der Rüstvorgänge.
Gleichung 5.26 entspricht wiederum Gleichung 5.10, die die Technologien so begrenzt, dass
sie nur nach einem entsprechenden Rüstvorgang durchführbar sind. Gleichung 5.27 ist zwar
identisch mit Gleichung 5.11, die die Maschinenlaufzeit begrenzt, allerdings ist hier zu beach-
ten, dass b
ij
W in diesem Modell nicht als Variable, sondern als Matrix von gegebenen Konstan-
ten betrachtet wird; die Werkzeugverfügbarkeit, die im vorherigen mathematischen Modell
bestimmt wurde, fließt in dieses Modell als Eingangsgröße ein. Der in Gleichung 5.28 berech-
nete Lagerbestand am Ende der Perioden entspricht auch dem Modell der Maschinenbestands-
planung (Gleichung 5.12).
Die Zuordnung von Mitarbeitern zu der Nutzung ihrer Qualifikationen erfolgt über die Varia-
ble x
ijk
QM
. Sie stellt die Anzahl der Zeiteinheiten dar, die Mitarbeiter j in Szenario k für die An-
wendung von Qualifikation i verwendet. Dass die aus der Technologienutzung resultierende
benötigte Summe an Zeiteinheiten der Nutzung einer Qualifikation durch die Mitarbeiter er-
bracht wird, stellt Gleichung 5.29 sicher.
Gleichung 5.30 begrenzt die Einsatzzeit eines Mitarbeiters je Periode. Der erste Summand ist
die kumulierte Zeit, die der jeweilige Mitarbeiter für die Durchführung von Qualifikationen
verwendet. Der zweite Summand addiert die Zeiten, die für Qualifizierungsmaßnahmen benö-
tigt werden, wobei der Vektor tl
L für die einzelnen Qualifikationen angibt, wie viel Zeit die
Qualifizierung in Anspruch nimmt. Die Obergrenze für die Arbeitszeit wird durch die Summe
aus vertraglicher Grundarbeitszeit t
jk
M und der Anzahl der geleisteten Überstunden x
jk
U gebil-
det. Dabei wird durch die Binärvariable bjk
M berücksichtigt, ob der Mitarbeiter in der Peri-
ode dem Unternehmen zur Verfügung steht.
Die in Gleichung 5.31 dargestellte Restriktion stellt sicher, dass ein Mitarbeiter nur dann Ar-
beitszeit für die Durchführung einer Qualifikation verwendet, wenn er diese Qualifikation in
der entsprechenden Periode auch besitzt. In Gleichung 5.32 wird analog zu Gleichung 5.13 in
der Maschinenbestandsoptimierung die Qualifikationsmatrix entsprechend der Weiterbil-
dungsmatrix aktualisiert. Die Variable b
ijk
MQ, die das Vorhandensein der Qualifikation j in Peri-
ode k darstellt, kann nur dann 1 sein, wenn der Mitarbeiter die Qualifikation entweder schon
in der vorhergehenden Periode hatte oder er sie durch eine Qualifizierungsmaßnahme erwor-
ben hat.
77
Durch Gleichung 5.33 wird die Anzahl der Überstunden auf den Maximalwert
n
Umax begrenzt,
bzw. auf 0 gesetzt, wenn der Mitarbeiter in der entsprechenden Periode nicht beschäftigt wird.
Gleichungen 5.34 und 5.35 stellen sicher, dass im vorherigen Partialmodell als Kaufteile ge-
kennzeichnete Erzeugnisse nicht eigengefertigt und solche, die nicht als Kaufteile gekenn-
zeichnet wurden, nicht fremdbeschafft werden können. Gleichungen 5.36 und 5.37 stellen die
Binärvariablen b
ij
ME und b
ij
MR für die Kennzeichnung von Mitarbeitereinstellungen und -frei-
stellungen ein.
In Gleichungen 5.38 und 5.39 werden die Initialwerte für den Mitarbeiterbestand und die
Qualifikationsmatrix den Binärvariablen für das Ausgangsszenario zugeordnet. Gleichung
5.40 setzt den Lagerbestand im Ausgangsszenario auf 0. Gleichungen 5.41, 5.42 und 5.43
stellen sicher, dass die Variablen für die Technologiemenge, die Qualifikationszeit je Mitar-
beiter und Szenario sowie die Anzahl der geleisteten Überstunden nur positive Werte anneh-
men können.
5.1.2.3 Ableitung weiterer Variablen
Aus den Ergebnissen der beiden zuvor beschriebenen Partialmodelle müssen auf einem feine-
ren Zeitmodell aufbauend zwei weitere Modelle aufgestellt werden. Dazu sollen für diese Mo-
delle benötigte Variablen, die aus den Ergebnissen der Partialmodelle I und II abgeleitet wer-
den müssen, in diesem Abschnitt bestimmt werden. Sie werden jeweils in Form von Berech-
nungsvorschriften angegeben.
5.1.2.3.1 Werkzeugauslastung
Aus den Ergebnissen des ersten Partialmodells kann die Auslastung der Werkzeuge in den
einzelnen Szenarien abgeleitet werden. Dies geschieht mittels des in Gleichung 5.44 definier-
ten Quotienten aus der verwendeten Kapazität des Werkzeugs und der zur Verfügung stehen-
den Gesamtkapazität. Ist ein Werkzeug in der Periode nicht vorhanden, so ergibt sich dement-
sprechend eine Kapazität von 0. Daher muss hier das Maximum aus Gesamtkapazität und ei-
ner hinreichend kleinen Zahl (diese wird als Kehrwert einer hinreichend großen Zahl M gebil-
det)
1
/
M
gewählt werden, um eine Division durch 0 zu vermeiden. Da in diesem Fall aller-
dings auch die verwendete Kapazität des Werkzeugs 0 sein muss (ansonsten würde die in
Gleichung 5.11 definierte Restriktion verletzt), ergibt sich in diesem Fall immer eine Werk-
zeugauslastung von 0.
78
Ajk
W=
∑
i=1
n
T
bijk
RT⋅tij
RTxik
T⋅tij
TW
max
tjk
KW ⋅bij
W,1/M
∀j∈{1nW}
∀k∈{0nS}(5.44)
5.1.2.3.2 Definition des Erzeugniszusammenhangs
In den beiden bisher hergeleiteten Partialmodellen wird zwischen den verschiedenen Produk-
tionsprozessen gewählt, die es ermöglichen, die einzelnen Erzeugnisse herzustellen. In den
folgenden Modellen wird diese Entscheidung als getroffen vorausgesetzt. Daher ist es mög-
lich, eine Matrix zu bilden, die eindeutig definiert, wie der Erzeugniszusammenhang aufge-
baut ist. Dafür wird die Variable
g
ijk definiert, die je Periode k darstellt, wie viele Einheiten
von Erzeugnis i gebraucht werden, um eine Einheit von Erzeugnis j herzustellen. Auf diese
Weise wird ein Gozintograph definiert, der allerdings durch das Einbeziehen der Periode über
die Zeit veränderbar ist.
Aus den Ergebnissen des ersten Partialmodells lässt sich der Gozintograph wie in Gleichung
5.45 angegeben berechnen. Es wird für jede Technologie über die zweite Doppelsumme ge-
prüft, ob diese in der gegebenen Periode auf Grundlage der gewählten Prozessalternative ge-
nutzt wird. Da immer nur eine Prozessalternative verwendet wird (dies wird durch Gleichung
5.17 sichergestellt), kann die zweite Summe nur 0 oder 1 sein, aber niemals größer. Der Bruch
aus Input- und Outputmenge der Technologie berechnet, wie groß die eingesetzte Menge von
Erzeugnis i ist, um eine Einheit von Erzeugnis j herzustellen. Da gemäß der Konsistenzbedin-
gungen, die zuvor definiert wurden, nur eine Technologie je Prozessalternative ein Erzeugnis
erstellen darf, ergibt sich aus der Summe über alle Technologien der korrekte Faktor für die
Darstellung des Erzeugniszusammenhangs.
gijk=∑
m=1
n
T
nim
TB
njm
TE⋅∑
l=1
n
PA
blk
PN⋅bml
P∀i∈{1nE}
∀j∈{1nE∣i≠j}
∀k∈{0nP}
(5.45)
5.1.2.3.3 Bestimmung von Durchlaufzeiten
Weiterhin sollen in den beiden untergeordneten Partialmodellen feste Durchlaufzeiten für die
Produktion der einzelnen Erzeugnisse genutzt werden. Die Durchlaufzeit für ein Erzeugnis in
einer Periode lässt sich über die Technologie feststellen, die in dieser Periode für die Ferti-
gung des Erzeugnisses verwendet wird (dies ist über die Konsistenzbedingung in Gleichung
5.17 sichergestellt). Gleichung 5.46 legt die Durchlaufzeit als die maximale Verwendungszeit
eines Werkzeugs in dieser Technologie zuzüglich der maximalen Transportzeit für das Er-
zeugnis zum Bedarfsort fest. Dabei wird die Zeit mit dem reziproken Wert der Outputmenge
79
für das Erzeugnis multipliziert, so dass die Durchlaufzeit auf die Fertigungsmenge 1 normiert
wird.
tij
DL=∑
k=1
n
PA
∑
l=1
n
T
max
{
bkj
PN⋅bkl
P⋅1
nil
TE⋅tlm
TW∣∀ m∈{1nW}
}
ti
T∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.46)
5.1.2.3.4 Binäre Bedarfsvariable
Die binäre Bedarfsvariable gibt an, ob ein Erzeugnis ein Produkt ist, also ob für dieses Er-
zeugnis Primärbedarfe vorliegen können. Diese Variable kann entsprechend Gleichung 5.47
aus exogenen Variablen bestimmt werden und benötigt keine Ergebnisse der beiden ersten
Partialmodelle.
biB=
{
1,wenn∑
j=1
nS
nij
B0
0,sonst
∀
i
∈{
1
n
E
}
(5.47)
5.1.2.3.5 Variable Produktionskosten
Die variablen Produktionskosten für die Herstellung einer Einheit eines Erzeugnisses berech-
nen sich aus der Zeit, die die einzelnen Werkzeuge dafür benötigt werden. Dies kann ähnlich
wie bei der Bestimmung des Erzeugniszusammenhangs über die in einer Periode genutzten
Prozessalternativen und damit die genutzte Technologie geschehen. Allerdings muss dazu für
jedes Werkzeug die benötigte Zeit der Technologie multipliziert mit den Kosten je Zeitab-
schnitt für dieses Werkzeug hinzugerechnet werden. Gleichung 5.48 stellt die resultierende
Formel für die variablen Produktionskosten dar.
cij
Pvar=∑
k=1
nT
[
1
nik
TE⋅∑
m=1
nW
tkm
TW⋅cm
F
⋅∑
l=1
nPA
blj
PN⋅bkl
P
]
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.48)
Die Kosten, die für die Arbeitszeit der Mitarbeiter anfallen, werden ignoriert, da qualifizierte
Mitarbeiter in den folgenden Partialmodellen für sämtliche Fertigungsaufgaben grundsätzlich
als vorhanden angenommen werden. Dass genügend Mitarbeiter vorhanden sind, um die Fer-
tigungsaufgaben zu übernehmen, soll durch das zweite Partialmodell (Mitarbeiterplanung) ge-
geben sein.
5.1.2.3.6 Fixe Produktionskosten
Die fixen Produktionskosten ergeben sich ähnlich wie die variablen. Allerdings muss hier
nicht die benötigte Werkzeugzeit pro produzierter Einheit eines Erzeugnisses betrachtet wer-
den, sondern die zugehörige Rüstzeit. Dementsprechend wird in Gleichung 5.49 die Summe
80
über alle Technologien gebildet, die das betrachtete Erzeugnis als Output haben und für diese
wiederum die Summe der Rüstzeiten multipliziert mit dem Rüstkostensatz über alle Werkzeu-
ge gebildet.
cij
Pfix =∑
k∈{1nT∣n
ik
TE0}
∑
m=1
n
W
tkm
RT⋅cm
F
⋅∑
l=1
n
PA
blj
PN⋅bkl
P
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.49)
5.1.2.4 Gesamtbedarfsmenge
Die Gesamtbedarfsmenge je Erzeugnis und Szenario kann auf Grundlage der Ergebnisse aus
Partialmodell I und II bestimmt werden. Dazu muss für jedes Erzeugnis in jedem Szenario die
Summe aus Primärbedarf und Sekundärbedarf, resultierend aus Technologiemenge und Er-
zeugnisbedarf der jeweiligen Technologie, berechnet werden. Diese Berechnungsvorschrift ist
in Gleichung 5.50 dargestellt.
nij
ges=nij
B∑
k=1
n
T
xkj
T⋅nik
TB ∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.50)
5.1.2.5 Ableitung einer Kennzahl
Aus den Ergebnissen der Partialmodelle I und II muss eine Kennzahl abgeleitet werden, die in
den später entwickelten Koordinationsprozessen als Entscheidungsvariable genutzt werden
kann. Um durch eine einzelne Variable die Güte der hier gefundenen Lösung sowohl für die
Auswahl von Produktionsprozessen und Planung des Maschinenbestands als auch für die Mit-
arbeiterplanung abbilden zu können, müssen die Zielfunktionen der beiden Modelle integriert
werden. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass die Zielfunktionen bereits monetär die auf den
aktuellen Zeitpunkt abgezinsten Kosten der jeweiligen gefundenen Lösungen abbilden und
das dadurch abgeschätzt werden kann, ob die angestrebte Rentabilität erreicht wird oder nicht.
Problematisch ist, dass in beiden Modellen jeweils ein unterschiedliches Produktionspro-
gramm in der optimalen Lösung genutzt werden kann.
Kt=∑
i=1
nS
i⋅
1cZ
− i
⋅
[
∑
j=1
nW
∑
k=1
nT
bkji
RT⋅tkj
RT⋅cj
Rxki
T⋅tkj
TW⋅cj
P
∑
j=1
nE
max
xji
L,0
⋅cj
L−min
xji
L,0
⋅cj
V
∑
j=1
nM
bji
M⋅cj
Mxji
U⋅cj
U∑
k=1
nQ
bjk i
MQN ⋅ck
Q
∑
j=1
nE
xji
K⋅cj
K∑
j=1
nW
bji
W⋅cj
Fbji
WN ⋅cj
N
]
(5.51)
Gleichung 5.51 integriert die in den Gleichungen 5.8 und 5.24 angegebenen Zielfunktionen
der beiden mathematischen Modelle indem sie alle Kostenbestandteile der Modelle aufnimmt
und diese auf die Kennzahl Kt abbildet. An dieser Stelle ist der Zielfunktionswert aber nicht
81
eindeutig zu berechnen, da die Werte für b
kji
RT
, x
ki
T und x
ij
L vom konkret geplanten Produktions-
programm abhängen, das in beiden Modellen aber unterschiedlich aussehen kann. Daher gibt
es zwei verschiedene Werte, die für
K
t berechnet werden können. Diese sollen im folgenden
als Kt,1 für die Auswahl von Produktionsprozessen und Planung des Maschinenbestands und
K
t,2 für die Mitarbeiterplanung definiert werden.
5.1.3 Partialmodelle des untergeordneten Zeitmodells
5.1.3.1 Partialmodell III: Definition von Lagerstufen und Bestimmung der Mel-
debestände
Die Definition der Lagerstufen und die damit einhergehende Berechnung der Meldebestände
für verbrauchsorientiert disponierte Teile ist ein Bereich der Materialbedarfsplanung und wird
in einem mathematischen Modell integriert dargestellt. Ziel dieses Modells ist es, die Lager-
stufen im Erzeugniszusammenhang so zu positionieren, dass einerseits sichergestellt ist, dass
die angestrebte Lieferzeit eingehalten werden kann, aber andererseits die Lagerkosten, die
auch die Kapitalbindung enthalten, minimal bleiben. Die angestrebte maximale Lieferzeit
geht in Form der Variablen
t
Lmax ein. Der kritische Pfad der Produktions- und Wiederbeschaf-
fungszeit aller Erzeugnisse, die in ein Produkt einfließen und nicht durch eine Lagerstufe be-
dient werden, darf nicht größer als
t
Lmax sein.
Modell III: Definition von Lagerstufen
und Bestimmung der Meldebestände
Output und untergeordnete Partialmodelle
xMB
i
bLS
ibBZ
i
Abbildung 5.5: Ergebnisse des dritten Partialmodells
Wie in Abbildung 5.5 dargestellt, ist das Ergebnis dieses Modells zunächst für jedes Erzeug-
nis, die Binärvariable b
i
LS, die angibt, ob für dieses Erzeugnis eine Lagerstufe definiert wird.
Die Variable x
i
MB definiert dann für die entsprechenden Erzeugnisse die Meldebestände für
die Disposition durch verbrauchsorientierte Verfahren. Die Binärvariable b
i
BZ markiert abhän-
gig von der Auslastung der benötigten Werkzeuge, ob die Disposition der Erzeugnisse durch
82
einen Bestellzyklus getaktet wird, um eine bessere Reihenfolgeplanung auf den Maschinen zu
erreichen.
Min ∑
i=1
n
P
1cZ
−i⋅∑
j=1
n
E
xj
MB⋅cj
L(5.52)
s.t. tij
PD
≥
bij
K
⋅
tiK
1
−
bij
K
⋅
tij
DL
tkj
PD
−
bi
LS
⋅
M
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}
∀k∈{1nE∣g
ikj
0}
(5.53)
tij
PD
≥
bij
K
⋅
tiK
1
−
bij
K
⋅
tij
DL
−
biLS
⋅
M
−
1
−
biB
⋅
M∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.54)
tij
PD
≤
tLmax ∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.55)
xiMB
≥
bi
LS ∀
i
∈{
1
n
E}(5.56)
biLS
⋅
M
≥
xi
MB ∀
i
∈{
1
n
E}(5.57)
tij
WB≥bij
K⋅ti
K1−bij
K⋅tij
DL ∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.58)
tij
WB
≥
bij
K
⋅
ti
K
1
−
bij
K
⋅
tij
DL
−
tkj
WBL
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}
∀k∈{1nE∣g
ikj
0}
(5.59)
tij
WBL≥tij
WB−M⋅biLS ∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.60)
biBZ⋅M≥
Akl
W−AWmax
⋅nim
TE⋅tmk
TW⋅∑
n=1
n
PA
bnm
P⋅bnj
PN
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}
∀k∈{1nW}
∀l∈{0nS∣ l= j}
∀m∈{1nT}
(5.61)
tij
RW
≥
tij
WB
bi
BZ
⋅
tBZ ∀i∈{1nE}
∀j∈{1nP}(5.62)
nij
LT=bij
LT
⋅nij
ges∑
k=1
n
E
gik j
⋅nkj
LT ∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.63)
∑
i=1
n
E
∑
j∈{1nS∣n
ij
ges0}
j⋅bij
LT ≥pmin
⋅∑
i=1
n
E
∑
j∈{1nS∣n
ij
ges0}
1(5.64)
∑
k∈{s1stiRW }
nik
LT≤xi
MBM⋅ 1−biLS
∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}
∀{s1stij
WB }⊆{1nSt∣ s1= j}:
s1∈s2,,sti
WB−1∈stij
RW
(5.65)
xiMB≥0∀
i
∈{
1
n
E}(5.66)
83
nij
LT
≥
0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nS}(5.67)
tij
PD≥0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.68)
tij
RW
≥
0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.69)
tij
WB≥0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.70)
tij
WBL≥0∀i∈{1nE}
∀j∈{0nP}(5.71)
Die Zielfunktion dieses Partialmodells ist die in Gleichung 5.52 dargestellte Minimierung der
durch die Einhaltung der Meldebestände entstehenden Kosten. Im erzeugnisspezifischen La-
gerkostensatz c
i
L sind dabei sämtliche Lagerkosten und die durch die Kapitalbindung entste-
henden Kosten enthalten. Dass der durch die Meldebestände hervorgerufene mittlere Lagerbe-
stand nur die Hälfte des Meldebestands beträgt, kann vernachlässigt werden, da dies nur die
Multiplikation der gesamten Gleichung mit einem konstanten Faktor bedeuten würde – das
Optimum ändert sich nicht.
Die relevante Größe für die Errichtung von Lagerstufen im Erzeugnisbaum ist die maximale
Entfernung des einzelnen Erzeugnisses zu einem Produkt. Für dieses Erzeugnis besteht ein
Bedarf, wobei keine Lagerstufe zwischen dem Erzeugnis und dem Produkt vorliegt. Dieser
Wert kann als maximale Produktdistanz bezeichnet werden, die als Variable t
ij
PD im Modell
berücksichtigt und durch die Gleichungen 5.53 und 5.54 für jedes einzelne Erzeugnis be-
stimmt wird.
In Gleichung 5.53 wird auf der rechten Seite zunächst abhängig davon, ob ein Erzeugnis
durch die Partialmodelle I und II als Kauf- oder Eigenfertigungsteil definiert wurde, entweder
die Wiederbeschaffungszeit für die Fremdbeschaffung oder die Durchlaufzeit für den entspre-
chenden Fertigungsprozess als erster bzw. zweiter Summand gewählt. Hierzu wird die maxi-
male Produktdistanz eines im Gozintographen als verbrauchend eingetragenen Erzeugnisses
addiert. Schließlich wird eine hinreichend große Zahl M subtrahiert, falls für dieses Erzeugnis
eine Lagerstufe eingeführt wird, was durch die Binärvariable b
i
LS dargestellt ist. Der so be-
rechnete Wert muss für alle verbrauchenden Erzeugnisse größer oder gleich der Produktdi-
stanz des betrachteten Erzeugnisses sein.
Die rechte Seite von Gleichung 5.54 entspricht Gleichung 5.53, jedoch wird hier kein im Go-
zintographen als verbrauchend eingetragenes Erzeugnis berücksichtigt. Aufgrund des letzten
84
Summanden wird diese Restriktion allerdings nur für alle Erzeugnisse, für die auch Bedarfe
vorliegen, wirksam und initialisiert damit die Berechnung der maximalen Produktdistanz an
den Produkten.
Die in Gleichung 5.55 dargestellte Restriktion begrenzt die maximale Produktdistanz aller Er-
zeugnisse auf die angestrebte maximale Lieferzeit
t
Lmax und stellt damit sicher, dass die Sum-
me der Wiederbeschaffungszeiten im Erzeugniszusammenhang für jedes Produkt ausreicht,
um dieses innerhalb dieser Zeit zu liefern.
In Gleichung 5.56 und 5.57 werden Restriktionen aufgestellt, die sicherstellen, dass der Mel-
debestand x
i
MB für verbrauchsorientiert disponierte Erzeugnisse dann und nur dann eingestellt
wird, wenn dieses Erzeugnis durch die Binärvariable b
i
LS als zu lagernd markiert ist. Dass der
Lagerbestand größer als 1 sein muss, stellt kein Problem dar, da die Meldebestände anschlie-
ßend an die Optimierung auf ganzzahlige Werte gerundet werden.
Zusätzlich zu den bisher aufgestellten Restriktionen, die die Position der Lagerstufen im Er-
zeugnisbaum einschränken, muss bestimmt werden, wie hoch die Meldebestände auf den ein-
zelnen Lagerstufen sein müssen. Der entscheidende Einflussfaktor für die Größe des Melde-
bestands ist die Wiederbeschaffungszeit des zu lagernden Erzeugnisses. Der Meldebestand
muss mindestens so groß sein, dass er die Primär- und Sekundärbedarfe des Erzeugnisses über
die gesamte Wiederbeschaffungszeit befriedigen kann. Zusätzlich muss bei Erzeugnissen, für
die ein Bestellzyklus definiert wird, dieser auch mit Hilfe des Meldebestands überbrückt wer-
den.
Die Wiederbeschaffungszeit eines Erzeugnisses berechnet sich als die Summe der maximalen
Wiederbeschaffungszeit eines eingehenden Erzeugnisses und der Bearbeitungszeit auf Ebene
des Erzeugnisses. Dabei kann die Bearbeitungszeit bei selbst gefertigten Erzeugnissen als die
Durchlaufzeit angenommen werden, da von der zu fertigenden Menge abstrahiert wird. Bei
Einkaufteilen wird die Bearbeitungszeit durch die als exogenen Parameter definierte Wieder-
beschaffungszeit beim Zulieferbetrieb bestimmt. Abbildung 5.6 stellt den Zusammenhang
zwischen Wiederbeschaffungszeit und maximaler Produktdistanz anhand eines beispielhaften
Gozintograph graphisch dar.
85
P
1
3/17/3
P
2
2/16/2
A
5/14/8
B
3/14/6
C
2/12/4
D
4/14/6
a
4/9/12
b
1/4/9
c
5/11/11
d
4/10/10
e
6/10/12
1
5/5/17
2
1/1/13
3
3/3/12
4
6/6/17
5
2/2/12
6
4/4/14
7
4/4/14
tDL/tWB/tPD
Legende:
Abbildung 5.6: Beispiel für Wiederbeschaffungszeit und Produktdistanz
Gleichung 5.58 stellt die Wiederbeschaffungszeit tij
WB analog zu Gleichung 5.54 für Kaufteile
auf die Wiederbeschaffungszeit und für Eigenfertigungsteile auf die Durchlaufzeit ein. Glei-
chung 5.59 entspricht dieser Gleichung, betrachtet aber zusätzlich im Erzeugniszusammen-
hang vorgelagerte Erzeugnisse. Deren Wiederbeschaffungszeit wird in dieser Gleichung als
zusätzlicher Summand eingeführt, wobei dies nur dann geschieht, wenn für das vorgelagerte
Erzeugnis keine Lagerstufe definiert ist, da dies bedeuten würde, dass es ohne Durchlaufzeit
verfügbar wäre. Diese bedingte Wiederbeschaffungszeit wird durch die Variable t
ij
WB definiert,
die in der folgenden Gleichung 5.60 entsprechend der Binärvariablen b
i
LS hergeleitet wird.
Gleichung 5.61 bestimmt die Binärvariable biBZ, die dann 1 ist, wenn für Erzeugnis i ein Be-
stellzyklus definiert wird. Da der Bestellzyklus zu höheren Beständen führt, ist er grundsätz-
lich nachteilig. Allerdings kann er genutzt werden, um durch eine langfristige und in regelmä-
ßigen Abständen ausgeführte Reihenfolgeplanung einen höheren Auslastungsgrad von Ferti-
gungsmitteln zu erreichen. Daher werden in diesem Modell genau diejenigen Erzeugnisse als
durch einen Bestellzyklus zu steuernd markiert, für deren Herstellung ein Werkzeug verwen-
det wird, dessen Auslastungsgrad die maximale ohne Bestellzyklus zu disponierende Auslas-
tung
A
Wmax übersteigt.
Ob ein Werkzeug zur Herstellung des Erzeugnisses verwendet wird, wird in Gleichung 5.61
durch Multiplikation der Variablen „Output des Erzeugnisses durch eine Technologie“ (n
i
m
TE),
„Nutzung des Werkzeugs für die Technologie“ (t
mk
TW
), „Verfügbarkeit der Technologie in der
86
Prozessalternative“ (b
ij
P) und „Nutzung der jeweiligen Prozessalternative in der betrachteten
Periode“ (b
ij
PN
) abgebildet. Wenn für eine Kombination aus Werkzeug und Erzeugnis keiner
der Summanden 0 und gleichzeitig A
kl
W größer als
A
Wmax ist, dann muss b
i
BZ=1 gelten.
Gleichung 5.62 bestimmt die Reichweite, für die der Meldebestand nach seinem Unterschrei-
ten reichen muss. Diese entspricht zunächst der Wiederbeschaffungszeit, allerdings wird für
Erzeugnisse, für die ein Bestellzyklus festgelegt ist, zusätzlich die Dauer des Bestellzyklus,
definiert durch den Parameter
t
BZ, addiert.
Gleichung 5.63 bestimmt unter Beachtung der angestrebten minimalen Liefertreue und damit
unter Auslassung einiger Bedarfe, für die die maximale Lieferzeit nicht eingehalten wird, die
kumulierten Bedarfsmengen n
ij
L
T
je Szenario und Erzeugnis. Dabei gibt die Binärvariable b
ij
L
T
an, für welche Bedarfe die maximale Lieferzeit eingehalten wird. Gleichung 5.64 gewichtet
diese Variablen mit der Eintrittswahrscheinlichkeit des zugehörigen Szenarios und summiert
diese Werte auf. Der Wert muss mindestens der angestrebten minimalen Liefertreue
p
min mul-
tipliziert mit der Anzahl der Bedarfe entsprechen. Szenarien, in denen keine Bedarfe vorlie-
gen, können nicht berücksichtigt werden, da andernfalls in diesen die Bedarfsmengen von 0
grundsätzlich zur Verfügung stünden, und damit ein sehr viel größerer Teil der realen Bedarfe
nicht eingehalten werden müsste.
Gleichung 5.65 stellt schließlich dar, dass die Sicherheitsbestände die kumulierten Bedarfe
unter Beachtung der angestrebten minimalen Liefertreue der Erzeugnisse, für die Lagerstufen
eingeführt wurden, über die benötigte Reichweite decken müssen. Dazu werden alle Wege
{
s
1
s
t
i
RW
}
der Länge t
i
RW durch den Szenariobaum betrachtet, die im jeweiligen Szenario im
gröberen Detaillierungsgrad enden. Über diese Wege werden die Gesamtbedarfe für jedes Er-
zeugnis i auf der linken Seite der Gleichung aufaddiert. Dieser Bedarf wird mit dem Meldebe-
stand x
i
MB von Erzeugnis i verglichen. Ist für Erzeugnis i eine Lagerstufe definiert, so muss
der Meldebestand größer oder gleich jeder Bedarfssumme auf jedem Weg sein. Ist keine La-
gerstufe definiert, so kann der Sicherheitsbestand 0 sein, da eine hinreichend große Zahl M
zur rechten Seite der Gleichung addiert wird. Die Modellierung der Wege einer bestimmten
Länge, die wiederum abhängig von einer Modellvariablen ist, stellt eine Nichtlinearität des
Modells dar. Dies wird an dieser Stelle bewusst in Kauf genommen, da diese Formulierung
eine exakte Modellierung des Problems ermöglicht. Im Rahmen der Evaluation des Verfah-
rens an einem Beispiel im folgenden Kapitel wird eine Methode dargestellt, wie diese Nichtli-
nearität durch Nutzung einer Annahme zur Vereinfachung umgangen werden kann.
87
Gleichungen 5.66, 5.67, 5.68, 5.69, 5.70 und 5.71 sind die Nichtnegativitätsbedingungen für
die Variablen „Meldebestand“, „Nachfrage unter Einhaltung der angestrebten Liefertreue“,
„Produktdistanz“, „Reichweite“, „Wiederbeschaffungszeit“ und „Wiederbeschaffungszeit
ohne Berücksichtigung von Lagerstufen“.
5.1.3.2 Partialmodell IV: Bestimmung optimaler Losgrößen
Nachdem im vorhergehenden Partialmodell festgelegt wurde, für welche Teile Lagerstufen
eingerichtet werden sollen und welche Meldebestände eingestellt werden müssen, um die Pro-
duktion langfristig zuverlässig aufrecht erhalten zu können, sollen in diesem Modell die ver-
brauchsorientierten Dispositionsstrategien dieser Erzeugnisse eingestellt werden. Hierbei ist
insbesondere die Losgröße der entscheidende Faktor, da diese darüber entscheidet, wie die ei-
gentlichen Stückkosten für die einzelnen Erzeugnisse ausfallen.
Modell IV: Bestimmung von
optimalen Losgrößen
Ko
Output
Steuerung
d
er Prozesse
xLG
i
KBd
KBm
Abbildung 5.7: Ergebnisse des vierten Partialmodells
Einziges Ergebnis dieses Partialmodells ist, wie in Abbildung 5.7 dargestellt, die Variable
x
i
LG, die die Losgröße für Erzeugnis i in Periode j definiert. Dabei wird hier das Zeitmodell
der Partialmodelle I und II genutzt, um häufige Änderungen der Losgröße zu planen. Außer-
dem werden aus den Ergebnissen dieses Partialmodells drei Kennzahlen abgeleitet. Diese
werden in Abschnitt 5.1.3.3 beschrieben.
Min ∑
i=0
n
S
1cZ
−i
⋅ i⋅∑
j=1
n
E
bj
LS⋅
xji
L⋅cj
Lxji
P⋅cji
Pvar bji
PE⋅cji
Pfix
(5.72)
s.t. xij
L=xi j
Lxij
P−nij
LT ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
0
n
S}(5.73)
xij
L
≥
0∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
0
n
S}(5.74)
88
bij
MB⋅Mxi
MB−xij
L∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}(5.75)
1−bij
MB
⋅M≥xij
L−xi
MB ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
0
n
S}(5.76)
bij
MBN ≥bij
MB−bi j
MB ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
1
n
S}(5.77)
bij
MBN ≤bij
MB ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
1
n
S}(5.78)
bij
MBN
≤
1
−
bi j
MB ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
1
n
S}(5.79)
bi0
MBN =bij
MB ∀i∈{1nE∣biLS=1}(5.80)
xik
P≤M⋅bij
MBN
∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}
∀k∈
j;ti j
RW
(5.81)
xik
P−xiLG≤M⋅ 1−bij
MBN
∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}
∀k∈
j;ti j
RW
(5.82)
xiLG
−
xik
P
≤
M
⋅
1
−
bij
MBN
∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}
∀k∈
j;ti j
RW
(5.83)
xij
P=0∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS∣jti j
RW }(5.84)
nij
LT=bij
LT
⋅nij
ges∑
k=1
n
E
gikj⋅nkj
LT ∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
0
n
S}(5.85)
∑
i=1
n
E
∑
j∈{0nS∣n
ij
ges0}
j⋅bij
LT ≥pmin
⋅∑
i=1
n
E
∑
j∈{0nS∣n
ij
ges0}
1(5.86)
xij
P≤bij
PE⋅M∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}(5.87)
xi0
L
=
xi
L0
∀
i
∈{
1
nE
∣
biLS
=
1
}
(5.88)
xiLG
≥
0
∀
i
∈{
1
nE
∣
biLS
=
1
}
(5.89)
nij
LT
≥
0∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀
j
∈{
0
n
S}(5.90)
xij
P≥0∀i∈{1nE∣biLS=1}
∀j∈{0nS}(5.91)
89
Das in den Gleichungen 5.72 bis 5.91 dargestellte mathematische Modell stellt diese Zusam-
menhänge auf Basis des CLSP (vgl. Abschnitt 3.2.1) dar. In diesem Partialmodell kann jede
Stufe des Produktionsnetzes isoliert betrachtet werden. Die Reihenfolgeplanung für nicht ver-
brauchsorientiert disponierte Erzeugnisse wird nicht durch das hier entworfene System ge-
steuert und muss daher nicht in die Planung mit aufgenommen werden. Daher werden die für
das jeweilige Erzeugnis vorliegenden Primär- und Sekundärbedarfe je Periode kumuliert be-
trachtet, der Bestandsverlauf entsprechend berechnet und die Produktionszeitpunkte über die
Meldebestände bestimmt. Die Modellierung kann auf Basis des einfacheren, einstufigen Mo-
dells geschehen. Dabei wird als Wiederbeschaffungszeit die im vorhergehenden Modell be-
stimmte Variable t
ij
RW genutzt, die Verzögerungen durch die Nutzung eines Bestellzyklus mit
einbezieht.
Die in Gleichung 5.72 dargestellte Zielfunktion des Modells gewichtet die auftretenden Kos-
ten je Szenario und Erzeugnis mit der Eintrittswahrscheinlichkeit des Szenarios und zinst die-
sen Wert über die Periodenzugehörigkeit des Szenarios und den kalkulatorischen Zinsfuß ab.
Dabei werden nur die Kosten derjenigen Erzeugnisse betrachtet, für die eine Lagerstufe defi-
niert ist und die damit verbrauchsorientiert disponiert werden. Die Kosten setzen sich aus den
Lagerkosten für den Endbestand der jeweiligen Periode sowie den fixen und variablen Pro-
duktionskosten zusammen.
Gleichung 5.73 stellt entsprechend dem CLSP den Bestand am Ende einer Periode dar, wobei
sie, ebenso wie bei den weiteren Restriktionen dieses Partialmodells, nicht für alle Erzeugnis-
se definiert wird, sondern nur für diejenigen, für die im vorhergehenden Partialmodell eine
Lagerstufe definiert wurde. Der Bestand eines Szenarios wird berechnet als die Summe des
Bestands im vorhergehenden Szenario und der in dieser Periode fertiggestellten Produktions-
menge x
ij
P, von der die aus Primär- und Sekundärbedarf bestimmte Gesamtbedarfsmenge der
Periode abgezogen wird.
In Gleichung 5.74 wird festgelegt, dass der Bestand eines Erzeugnisses nicht kleiner als 0
werden darf. Zwar ist es im Rahmen der angestrebten Liefertreue, die kleiner als 100% sein
kann, eine Nichtbefriedigung einzelner Bedarfe möglich, allerdings ist dies bereits in der in
Gleichung 5.73 berücksichtigten Gesamtbedarfsmenge enthalten (vgl. deren Herleitung in den
Gleichungen 5.85 und 5.86).
Die in den Gleichungen 5.75 und 5.76 dargestellten Restriktionen stellen die Binärvariable
b
ij
MB ein. Diese soll anzeigen, ob der Bestand für Erzeugnis i in Szenario j den Meldebestand
unterschritten hat. Dafür wird durch Gleichung 5.75 zunächst sichergestellt, dass b
ij
MB dann 1
ist, wenn der Lagerbestand kleiner oder gleich dem Meldebestand ist. Gleichung 5.76 be-
90
grenzt b
ij
MB zusätzlich so, dass diese Variable dann 0 sein muss, wenn der Bestand größer als
der Meldebestand des Erzeugnisses ist. Insgesamt wird damit sichergestellt, dass die Binärva-
riable dann (und nur dann) 1 ist, wenn der Bestand kleiner oder gleich dem Meldebestand ist.
Gleichungen 5.77, 5.78 und 5.79 stellen die Binärvariable b
ij
M
B
N
so ein, dass diese genau dann
1 ist, wenn der Meldebestand für Erzeugnis i in Szenario j neu unterschritten wurde. Das
heißt, es müssen b
ij
MB=1 und bij
MB =1 gleichzeitig gelten. Gleichung 5.80 stellt die Binärva-
riable b
ij
M
B
N
für das Ausgangsszenario auf den Wert von b
i
0
MB ein, da für dieses Szenario kein
Vorgänger existiert.
Gleichung 5.81, 5.82 und 5.83 bilden die aus einer Unterschreitung des Meldebestandes resul-
tierende Bestandserhöhung nach Ablauf der Wiederbeschaffungszeit ab. Dazu wird die Funk-
tion
i
,
j
genutzt, die ein Szenario i auf die Menge seiner Nachfolgeszenarien, die j Peri-
oden nach dieser liegen, abbildet. Für ein Szenario, in dem der Meldebestand unterschritten
wurde, wird in allen Nachfolgeszenarien, deren Periodenzugehörigkeit um die Wiederbe-
schaffungszeit später ist, ein Zugang in Höhe der Losgröße der Periode des Ausgangsszenari-
os zugebucht. Die fixen und variablen Kosten werden dabei durch die Zielfunktion dem emp-
fangenden Szenario zugerechnet, allerdings kann durch eine entsprechende Pflege der Kosten
diese Ungenauigkeit bereits in den Kostenvektoren berücksichtigt werden, so dass die Kosten
implizit periodengenau berücksichtigt werden. Gleichung 5.84 stellt die Bestandserhöhung für
Szenarien, in denen aufgrund der Wiederbeschaffungszeit noch keine Bestandserhöhung vor-
kommen kann, auf 0 ein.
Gleichungen 5.85 und 5.86 entsprechen den Gleichungen 5.63 und 5.64 im vorhergehenden
Partialmodell und bestimmen unter Ausnutzung der angestrebten minimalen Liefertreue die
kumulierten Bedarfsmengen n
ij
LT je Szenario und Erzeugnis. Hier kann nicht das Ergebnis des
vorhergehenden Partialmodells genutzt werden, da es in diesem Modell sinnvoll sein kann,
andere Bedarfe nicht zu bedienen.
Die in Gleichung 5.87 dargestellte Restriktion stellt die Binärvariable b
ij
PE ein, die angibt, ob
ein Erzeugnis in einem Szenario produziert und zur Verrechnung der fixen Produktionskosten
in der Zielfunktion genutzt wird. In Gleichung 5.88 wird für jedes Erzeugnis die Lagervaria-
ble mit der aktuellen Lagermenge x
i
L0 initialisiert. Gleichungen 5.89, 5.90 und 5.91 sind die
Nichtnegativitätsbedingungen für die Losgröße, die Nachfragemenge unter Einhaltung der
minimalen Liefertreue und die Produktionsmenge.
91
5.1.3.3 Ableitung von Kennzahlen
Auch auf der Ebene der Partialmodelle III und IV müssen Kennzahlen definiert werden, die in
den später in Abschnitt 5.2 entwickelten Koordinationsprozessen zur Steuerung genutzt wer-
den können. Zwei der relevanten Kennzahlen sind die durchschnittliche und die maximale
Kapitalbindung in gelagerten Erzeugnissen. Diese können im Rahmen des Planungsmodells
für die Konfiguration der Dispositionsstrategien bestimmt werden, da hier für jedes Erzeug-
nis, für das eine Lagerstufe definiert ist, der Bestandsverlauf über die einzelnen Szenarien be-
rechnet wird.
KBd=1
nP⋅∑
i=1
n
S
i⋅∑
j=1
n
E
bj
LS⋅xji
L⋅cj
L(5.92)
KBm=max
{
∑
j=1
nE
bj
LS⋅xji
L⋅cj
L∣∀ i∈{1nS}
}
(5.93)
Gleichung 5.92 zeigt die entsprechend einem Summanden der Zielfunktion des Modells zur
Losgrößenbildung berechneten Kosten für die Kapitalbindung. Durch Gewichtung der einzel-
nen Szenarien mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit und die Division durch die Anzahl der Pe-
rioden erhält man die mittleren Kapitalbindungskosten über den gesamten Planungshorizont
KBd. Gleichung 5.93 berechnet entsprechend die maximalen Werte der Kapitalbindungskos-
ten
KB
m über alle Szenarien.
Ko=∑
i=1
n
S
1cZ
−i
⋅ i∑
j=1
n
E
bj
LS⋅
xji
L⋅cj
Lxji
P⋅cji
Pvar bji
PE⋅cji
Pfix
(5.94)
Gleichung 5.94 stellt die Berechnungsvorschrift für die Variable Ko, eine weitere Kennzahl
der Partialmodelle III und IV dar. Sie entspricht genau der Zielfunktion des Modells zur Los-
größenbildung und stellt damit die Summe der auftretenden Kosten bei Nutzung des in diesem
Modell bestimmten Produktionsprogramms (d. h. der dort berechneten Werte für xji
L und xji
P)
dar.
5.2 Definition von Koordinationsprozessen
Um die zuvor entwickelten Partialmodelle zur hierarchischen Struktur-, Dimensions- und Ma-
terialbedarfsplanung von Fertigungssystemen zu verwenden, müssen Koordinationsprozesse
definiert werden, die sie miteinander verknüpfen. Durch Ergänzung von zusätzlichen Pla-
nungsprozessen, die bei den unteren Partialmodellen mit einem feineren Zeitmodell beginnen,
kann das Fertigungssystem auch nur auf Basis dieser Modelle an sich ändernde Rahmenbe-
dingungen angepasst werden. Bei Bedarf kann die Anpassung auf die Ebene der übergeordne-
ten Partialmodelle I und II ausgeweitet werden. Die hier definierten Koordinationsprozesse
92
bestimmen, wann welches Optimierungsmodell eines der Partialsysteme neu plant und wie
mit den Ergebnissen umgegangen wird.
Zur Steuerung der Koordinationsprozesse werden die in 5.1.2.5 und 5.1.3.3 definierten Kenn-
zahlen genutzt, um zu entscheiden, ob eine Lösung alle Anforderungen der strategischen Ziele
erfüllt. Es wäre auch denkbar, die Einhaltung der Grenzwerte für die Kennzahlen bereits in
den Planungsmodellen in Form von Restriktionen sicherzustellen. Allerdings kann dies dazu
führen, dass sich keine zulässigen Lösungen für die Modelle mehr finden lassen und die Pla-
nung dadurch zu keinem Ergebnis kommt. Daher werden die Kennzahlen nachgelagert durch
die hier definierten Prozesse genutzt.
Grundsätzlich können Planungsläufe, die auf der übergeordneten Planungsebene (Partial-
modelle I und II), und solche, die auf der untergeordneten Ebene (Partialmodelle III und IV)
beginnen, unterschieden werden. Außerdem kann danach unterschieden werden, welches der
Auslöser für den Planungsprozess ist. Dabei können drei verschiedene grundlegende Auslöser
für eine Neuplanung identifiziert werden:
●Es wird eine Neuplanung durch einen Regeltermin angestoßen (zeitgesteuerte Pla-
nung).
●Auf der übergeordneten Planungsebene wurde eine Neuplanung durchgeführt, die zu
neuen Rahmenbedingungen für die untergeordneten Partialmodelle führt.
●Es ist ein extern hervorgerufenes Ereignis aufgetreten und erkannt worden (z. B. eine
relevante Abweichung von den prognostizierten Bedarfsmengen).
5.2.1 Planungsbeginn auf Ebene des übergeordneten Zeitmodells
Wird die Neuplanung auf der Ebene des übergeordneten Zeitmodells angestoßen, so wird der
in Abbildung 5.8 dargestellte Prozess ausgeführt. Zunächst muss eine Überprüfung der strate-
gischen Entscheidungen, der Zielparameter und der Prozessalternativen vorgenommen wer-
den. Dieser Schritt wird manuell durchgeführt und kann auch durch Überprüfung und Bestäti-
gung der Aktualität der in vorherigen Planungsläufen genutzten Werte ausgeführt werden. Die
Integrität der exogenen Parameter muss dabei entsprechend der in Abschnitt 5.1.1.4 darge-
stellten Konsistenzbedingungen sichergestellt werden. Die dort formulierten Gleichungen
können für die Automatisierung dieses Prozessschrittes genutzt werden.
Auf Basis dieser Daten werden anschließend die Partialmodelle I und II nacheinander ausge-
führt – zunächst die Auswahl von Produktionsprozessen und Planung des Maschinenbestands,
danach die Mitarbeiterplanung. Die aus diesen Modellen abgeleiteten Kennzahlen Kt,1 und
93
K
t,2 werden anschließend genutzt, um die gefundene Lösung zu bewerten. Diese Kennzahlen
geben die Kosten an, die bei den in der Optimierung der beiden Partialmodelle gefundenen
Variablenwerte vorliegen. Diese Kosten müssen mit einem Zielwert verglichen werden. Der
Zielwert ist die maximale Kostensumme Kt,max, die eine strategische Entscheidung darstellt.
Wenn zumindest eine der beiden Kennzahlen kleiner oder gleich dem Maximalwert ist, kann
die Lösung akzeptiert werden. Anschließend wird die Planung mit der Lösung der Partial-
modelle III und IV fortgesetzt.
Manuell: Aktualität / Integrität
der Stammdaten sicherstellen
Ausführung Modell II
Kt,1 ≤ Kt,max
ODER Kt,2 ≤ Kt,max
Ausführung Modell III
Ausführung Modell IV
KBd ≤ KBd,max
UND KBm ≤ KBm,max
UND Ko ≥ Ko,max
gewählte Prozessalternativen i
mit bPA=1aus {1...nPA} löschen
ij
Ausführung Modell I Manuell: Prozessalternativen
überarbeiten
sonst
sonst UND nPA=1sonst
Abbildung 5.8: Koordinationsprozess bei Planungsbeginn mit Partialmodell I
94
Findet sich in den übergeordneten Partialmodellen hingegen keine Lösung, für die die Kosten
den Maximalwert einhalten, so müssen die Planungsparameter entsprechend angepasst wer-
den. In diesem Fall bedeutet dies, dass zusätzliche Prozessalternativen definiert oder die be-
stehenden entsprechend angepasst werden müssen. Aufbauend auf dem Ergebnis dieses ma-
nuellen Prozesses werden zunächst erneut die beiden übergeordneten Partialmodelle genutzt,
um zu einer zulässigen Lösung zu kommen.
Ist eine zulässige Lösung der Partialmodelle I und II gefunden, wird anschließend ein Pla-
nungslauf mit den Partialmodellen III und IV durchgeführt. Dabei erfolgt zunächst die Defini-
tion von Lagerstufen und Bestimmung der Meldebestände, danach die Konfiguration der
Dispositionsstrategien. Die Ergebnisse der Planung auf dieser Ebene werden anschließend
ebenfalls über Kennzahlen bewertet. Die folgenden Bedingungen müssen gegeben sein, damit
das Ergebnis angenommen wird:
●Die durchschnittlichen Kapitalbindungskosten KBd dürfen nicht über dem Grenzwert
KB
d,max
liegen.
●Die maximalen Kapitalbindungskosten je Periode KBm dürfen nicht über dem Grenz-
wert
KB
m,max liegen.
●Die Summe der bis zum Planungshorizont auftretenden Kosten Ko darf nicht die ma-
ximal zulässigen Kosten
K
o,max überschreiten.
Sind alle diese Bedingungen erfüllt, so terminiert der Planungsprozess. Ist mindestens eine
der Bedingungen nicht erfüllt, so muss eine Neuplanung auf der übergeordneten Ebene vorge-
nommen werden. Um bei der Neuplanung zu einem anderen Ergebnis zu gelangen als bei dem
vorherigen Planungslauf, muss eine Änderung an den Stammdaten vorgenommen werden.
Dazu wird die gewählte Prozessalternative aus der Menge der Prozessalternativen
{
1
nPA
}
entfernt – sie hat sich damit als nicht geeignet erwiesen. Besteht die Menge der Prozessalter-
nativen zu diesem Zeitpunkt nur noch aus einem Element, das heißt es gilt
n
PA
=
1
, so muss
auch hier der manuelle Prozessschritt zur Generierung neuer Prozessalternativen genutzt wer-
den.
5.2.1.1 Zeitgesteuerte Auslösung der Planung
Die Einflussfaktoren, die das Ergebnis des Planungsprozesses beeinflussen, lassen sich grund-
sätzlich danach unterscheiden, ob sie eine sofortige Neuplanung erforderlich machen (Ereig-
nisse mit entscheidenden Auswirkungen) oder nicht. Diese Entscheidung muss immer bei Er-
kennen eines Ereignisses getroffen werden. Allerdings kann eine größere Anzahl von Ereig-
95
nissen, für die jeweils keine Neuplanung durchgeführt wurde, in Summe zu für die Planung
relevanten Veränderungen führen. Daher muss ein zeitgesteuerter Planungsprozess definiert
werden, der in regelmäßigen Intervallen eine Neuplanung, beginnend mit Partialmodell I, aus-
löst. Zusätzlich wird bei einer solchen Neuplanung jeweils der Planungshorizont entsprechend
dem vergangenen Zeitintervall erweitert. Daher muss die Dauer des Intervalls für die regelmä-
ßige Neuplanung
T
NP ,t ein ganzzahliges Vielfaches des Dauer eines Zeitabschnittes in den
Partialmodellen I und II TB,t betragen. Eine konkrete Ausprägung des Wertes wird hier nicht
angegeben;
T
NP ,t stellt einen Parameter dar, über den das hier entwickelte Planungsverfahren
konfiguriert werden kann.
5.2.1.2 Auslösung durch Neuplanung auf übergeordneter Ebene
Werden Entscheidungen auf der strategischen Ebene getroffen, die entscheidende Auswirkun-
gen auf die Planungsmodelle I und II haben, so muss eine Neuplanung entsprechend dem hier
entworfenen Prozess ausgelöst werden. Daher muss in Geschäftsprozessen, die zu strategi-
schen Entscheidungen führen können, immer auch ein anschließend durchgeführter Planungs-
lauf beginnend mit den Partialmodellen I und II integriert werden. Zunächst müssen allerdings
die Stammdaten der Planungsmodelle den sich aus den strategischen Entscheidungen erge-
benden Zielsetzungen angepasst werden.
5.2.1.3 Erkennung eines planungsrelevanten Ereignisses
Es können im laufenden Fertigungsbetrieb Ereignisse auftreten, die eine Neuplanung zur Fol-
ge haben. Ereignisse, die die Planungsmodelle I und II beeinflussen, müssen erkannt werden,
und es muss überprüft werden, ob das Ereignis einen signifikanten Einfluss auf das Planungs-
ergebnis hat. Ist der Einfluss gering, so muss keine Neuplanung ausgelöst werden; die zeitge-
steuerte Auslösung der Planung ist ausreichend, um den Plan anzupassen. Wird ein signifi-
kanter Einfluss festgestellt, so muss der Geschäftsprozess im Anschluss eine Neuplanung ent-
sprechend dem hier entworfenen Planungsprozess auslösen.
5.2.2 Planungsbeginn auf der Ebene des untergeordneten Zeitmodells
Bei einer Planung beginnend mit den Partialmodellen III und IV, die das feinere Zeitmodell
nutzen, sollten im Normalfall die Ergebnisse der Planung durch die Partialmodelle I und II
nicht tangiert werden, da diese einen längeren Zeithorizont berücksichtigen. Außerdem sind
die Abschnitte des verwendeten Zeitmodells in diesen Partialmodellen größer, weshalb die
Daten, auf denen sie aufbauen, noch gar keinen Änderungen unterworfen sein können, ob-
96
wohl auf der untergeordneten Ebene bereits ein neuer Planungslauf notwendig ist. Daher müs-
sen hier ebenfalls Prozesse definiert werden, die auf dieser Ebene beginnen.
Manuell: Aktualität / Integrität
der Stammdaten sicherstellen
Ausführung Modell II
K
t,1
≤ K
t,max
ODER K
t,2
≤ K
t,max
Ausführung Modell III
Ausführung Modell IV
KB
d
≤ KB
d,max
UND KB
m
≤ KB
m,max
UND K
o
≥ K
o,max
gewählte Prozessalternativen i
mit b
PA
=1aus {1...n
PA
} löschen
ij
Ausführung Modell I Manuell: Prozessalternativen
überarbeiten
sonst
sonst UND n
PA
=1sonst
Abbildung 5.9: Koordinationsprozess bei Planungsbeginn mit Partialmodell III
Der in Abbildung 5.9 dargestellte Prozess erreicht dies, indem bei Planungsbeginn mit Partial-
modell III zunächst nur dieses und das Partialmodell IV (also zunächst die Definition von La-
gerstufen und Bestimmung der Meldebestände, danach die Konfiguration der Dispositions-
strategien) durchgeführt werden. Zuvor werden, genauso wie bei Planungsbeginn mit Partial-
modell I, die Stammdaten der Planung auf Aktualität und mittels der in Abschnitt 5.1.1.4 dar-
gestellten Konsistenzbedingungen auf Integrität geprüft. Die Ergebnisse der Partialmodelle III
und IV werden dann mit denselben Kennzahlen überprüft wie im Prozess, der auf der überge-
ordneten Ebene beginnt (durchschnittliche Kapitalbindungskosten
KB
d, maximale Kapitalbin-
97
dungskosten je Periode
KB
m und Summe der bis zum Planungshorizont auftretenden Kosten
Ko).
Da die Ergebnisse des vorhergehenden Planungslaufs auf Ebene der Partialmodelle III und IV
bezüglich dieser Kennzahlen zulässig gewesen sein müssen (sonst hätte der oben definierte
Planungsprozess nicht terminiert) und die in den Partialmodellen I und II definierten Rahmen-
bedingungen für die neuen Planungsläufe nicht verändert wurden (sonst wäre durch den auf
übergeordneter Ebene beginnenden Planungsprozess auch einer auf der untergeordneten Ebe-
ne ausgelöst worden), ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass die Ergebnisse dieses Planungs-
laufs bezüglich der Kennzahlen ebenfalls zulässig sind. In diesem Fall terminiert der Algorith-
mus (ohne Ausführung der Partialmodelle I und II).
Die weiteren Schritte in diesem Prozessmodell, die bei Eskalation des Prozesses auf die Ebe-
ne der Partialmodelle I und II ausgeführt werden, entsprechen dem bereits in Abbildung 5.8
dargestellten Planungsprozess, der in Abschnitt 5.2.1 erläutert wird. Deshalb wird an dieser
Stelle auf die ausführliche Darstellung verzichtet. Damit ist der Koordinationsprozess bei Pla-
nungsbeginn mit Partialmodell III ein Beispiel für einen Geschäftsprozess, der beim Auftreten
eines Ereignisses die in 5.2.1.3 dargestellte Schnittstelle nutzt, um den übergeordneten Pla-
nungsprozess auszulösen.
5.2.2.1 Zeitgesteuerte Auslösung der Planung
Die Einflussfaktoren, die das Ergebnis des Planungsprozesses beeinflussen, lassen sich grund-
sätzlich danach unterscheiden, ob sie eine sofortige Neuplanung erforderlich machen (Ereig-
nisse mit entscheidenden Auswirkungen auf die Nutzbarkeit des Plans) oder nicht. Diese Ent-
scheidung muss immer bei Erkennen eines Ereignisses getroffen werden. Allerdings kann
eine größere Anzahl von Ereignissen, für die jeweils keine Neuplanung durchgeführt wurde,
in Summe zu für die Planung relevanten Veränderungen führen. Deshalb muss ebenfalls auf
der untergeordneten Ebene ein zeitgesteuerter Planungsprozess definiert werden, der in regel-
mäßigen Intervallen eine Neuplanung auslöst. Zusätzlich wird bei einer solchen Neuplanung
jeweils der Planungshorizont entsprechend dem vergangenen Zeitintervall erweitert. Daher
muss die Dauer des Intervalls für die regelmäßige Neuplanung TNP ,o ein ganzzahliges Vielfa-
ches der Dauer eines Zeitabschnittes in den in Partialmodellen III und IV genutzten Zeitmo-
dellen
T
B,t betragen.
98
5.2.2.2 Erkennung eines planungsrelevanten Ereignisses
Planungsrelevante Ereignisse müssen durch eine Instanz erkannt und klassifiziert werden. Da-
bei müssen Ereignisse, die eine Neuplanung beginnend auf der übergeordneten Ebene hervor-
rufen, nicht beachtet werden, da dieser Planungsprozess ebenfalls eine Neuplanung durch die
Partialmodelle III und IV auslöst.
99
6 Validierung
In diesem Kapitel wird das Verfahren zur hierarchischen Struktur-, Dimensions- und Materi-
albedarfsplanung von Fertigungssystemen an einem Szenario validiert. Dazu wird die prakti-
sche Fragestellung des Unternehmens aus der Schienenfahrzeugindustrie aufgegriffen und mit
Hilfe des Verfahrens gelöst. Im folgenden Abschnitt 6.1 werden zunächst das Anwendungs-
szenario und die zu beantwortende Fragestellung vorgestellt. Anschließend wird in Abschnitt
6.2 die Datenbasis des Szenarios in der für die entwickelten mathematischen Modelle benötig-
ten Form dargestellt. Abschnitt 6.3 zeigt die Anwendung des Verfahrens, erläutert die Ergeb-
nisse der mathematischen Modelle und die für die Lösung benötigten Rechenzeiten.
6.1 Anwendungsszenario
Das hier vorgestellte Anwendungsszenario orientiert sich direkt an der dieser Arbeit zugrunde
liegenden Problemstellung eines Unternehmens aus der Schienenfahrzeugindustrie. Dabei ist
ein Teil der Daten und Sachverhalte direkt aus dem Unternehmen übernommen, während an-
dere Teile geschätzt oder approximiert werden müssen. Außerdem werden zum Teil Daten
verfälscht, um der Notwendigkeit des Schutzes vertraulicher Daten Rechnung zu tragen, wo-
bei allerdings darauf geachtet wird, dass die Ergebnisse trotzdem der originären Problemstel-
lung entsprechen.
Im Anwendungsszenario werden in einem zweistufigen Fertigungsprozess pneumatische Ven-
tilmodule (im Folgenden als Ventilgruppen bezeichnet) zur Steuerung der Bremsanlagen von
Schienenfahrzeugen hergestellt. Diese Ventilgruppen existieren in diversen Varianten, die
sich aus dem Einsatzzweck ergeben. Sie können sich insbesondere in ihrer Leistungsfähigkeit,
dem grundsätzlichen Aufbau sowie der materialbedingten Beständigkeit für den Betrieb in be-
sonderen Umgebungen (z. B. extreme klimatische Bedingungen oder hoch korrosive Umwelt-
bedingungen, wie sie im Kalibergbau vorherrschen) unterscheiden. Aufbauend auf diesen Ei-
genschaften kann zwischen 40 unterschiedlichen Produkten (bzw. Produktvarianten) differen-
ziert werden, für die Primärbedarfe von Endkunden, in der Regel Schienenfahrzeugherstel-
lern, vorliegen können.
100
Der zweistufige Produktionsprozess gliedert sich derzeit in die (spanende) Fertigung und die
Montage, wie in Abbildung 6.1 dargestellt. Beide Prozesse finden in dem selben Werk statt.
Die Montage besteht aus vier parallelen Vormontagelinien und einer Endmontagelinie, die di-
rekt miteinander verknüpft sind. Die Vormontagelinien montieren bedarfsorientiert die benö-
tigten Baugruppen für die Endmontagelinie. Bestände zwischen diesen Linien existieren nur
in geringen Mengen als Puffer. Dies wurde entsprechend der Idee des One-Piece-Flow (vgl.
[Arze05]) durch die konsequente Abstimmung der Taktung der Linien und Nutzung kleiner
Losgrößen an den Montagelinien erreicht. Damit können die einzelnen Montagelinien im
Rahmen der Planung mit den hier definierten Verfahren integriert betrachtet werden.
Die Teilefertigung findet am selben Standort statt. Hierfür kommen drei Bearbeitungszentren
zum Einsatz, die Erzeugnisse herstellen, die als Input in die Montage einfließen. Dabei han-
delt es sich um die Ventilgrundkörper, an die anschließend weitere Anbauteile montiert wer-
den. Außerdem werden einige weitere Teile in Eigenfertigung hergestellt, wobei hierunter ins-
besondere diejenigen fallen, die eine hohe Fertigungskompetenz erfordern und damit einen
Teil der Kernkompetenz des Unternehmens darstellen. Dabei findet die Belegung in der Teile-
fertigung derzeit bedarfsorientiert statt. Dies führt zu teilweise extrem langen Lieferzeiten und
Problemen bei der Liefertreue für die Produkte des Unternehmens, da lange Durchlauf- und
Rüstzeiten zu hohen Wiederbeschaffungszeiten für Eigenfertigungsteile führen.
Bearbeitungs-
zentrum 1
Bearbeitungs-
zentrum 2
Bearbeitungs-
zentrum 3
Vormontage 1
Vormontage 2
Vormontage 3
Endmontage
Vormontage 4
Teilefertigung Montage
Abbildung 6.1: Struktur der Produktion (Ist-Zustand)
Auf strategischer Ebene wurde im betrachteten Unternehmen entschieden, dass alle Kunden-
aufträge innerhalb von fünf Tagen erfüllt werden sollen. Diese Lieferzeit soll unter Einhaltung
einer Liefertreue von 95% erreicht werden. Diese Entscheidung wurde zum Anlass genom-
men, um die gesamte Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung des Unternehmens
101
zu untersuchen. Es soll sichergestellt werden, dass das Unternehmen so aufgestellt ist, dass es
optimal die Bedürfnisse der Kunden in Hinsicht auf zukünftige Bedarfsmengen und deren
zeitlicher Verteilung erfüllen kann. Dabei soll insbesondere untersucht werden, ob die aktuel-
le Struktur, die die Teilefertigung vor Ort unter Nutzung von Bearbeitungszentren vorsieht,
dazu geeignet ist, die zukünftigen Anforderungen an Lieferzeit und Liefertreue bei minimalen
Kosten zu erfüllen.
Alternativ können die Rohlinge unter Nutzung anderer Technologien hergestellt werden. Dies
kann auch räumlich getrennt stattfinden, bei Nutzung einer entsprechenden Dispositionsstrate-
gie, die für die ständige Verfügbarkeit sorgt. Deshalb wurde ein alternativer Aufbau der Er-
zeugnisse entwickelt, in dem die Grundkörper der Ventilgruppen nicht wie bisher durch Bear-
beitungszentren gefertigt, sondern gegossen werden. Dieser Prozess kann aufgrund der benö-
tigten Produktionseinrichtungen nicht durch das Unternehmen selbst durchgeführt werden,
daher wurde ein Zulieferer identifiziert, der die Teile in der benötigten Qualität liefern kann.
Es ergeben sich also zwei zentrale Fragestellungen, die mit dem hier entwickelten Verfahren
beantwortet werden sollen:
●Sollen die Ventilgrundkörper in Eigenfertigung auf den derzeitigen Bearbeitungszen-
tren gefertigt oder mit Hilfe anderer Verfahren (Guss) durch andere Unternehmen her-
gestellt werden?
●Welche Dispositionsverfahren sind für die einzelnen Erzeugnisse zu verwenden und
wie müssen die entsprechenden Parameter eingestellt werden, damit die angestrebten
fünf Tage Lieferzeit bei einer Liefertreue von 95% eingehalten werden können?
6.2 Datenbasis
6.2.1 Zeitmodell und Szenariobaum
Im diskreten (groben) Zeitmodell der ersten beiden Modelle soll eine Gesamtzahl von 20 Peri-
oden betrachtet werden, die jeweils einen Zeitraum von zwei Wochen darstellen. Hintergrund
dieser Wahl ist, dass im hier betrachteten Szenario keine langfristigen Investitionsentschei-
dungen getroffen werden sollen – daher sind 40 Wochen ausreichend –, und dass die langfris-
tige Unsicherheit der Marktentwicklung die Betrachtung längerer Zeiträume verhindert. Es ist
schlicht nicht möglich, langfristiger zu planen, da ansonsten die Gefahr, dass die Entschei-
dung sich als unrentabel herausstellt, zu groß ist. Es gilt also
n
P=
20
. Innerhalb der Perioden
werden als Basis für die Modellierung der Zeit Schichten genutzt.
102
Für die weitere Entwicklung der Bedarfsmengen stehen drei Quellen zur Verfügung. Zunächst
sollen für die nächsten 20 Wochen existierende Abrufe der Kunden verwendet werden. Zwar
können diese Zahlen teilweise noch durch die Kunden geändert werden, allerdings ist davon
auszugehen, dass sie eine sehr gute Approximation für die Bedarfe dieses Zeitabschnitts dar-
stellen. Anschließend an diesen Zeitabschnitt existieren zwei unterschiedliche Schätzungen:
Eine wurde durch den Vertrieb des Unternehmens erstellt, die andere durch die Produktions-
und Logistikplanung. Die durch den Vertrieb erstellte, nach seinem Verständnis konservative
Bedarfsschätzung ist tendenziell niedriger, während die durch die Produktions- und Logistik-
planung geschätzten Bedarfsmengen tendenziell höher als die realen Bedarfe sind. Dabei wur-
de die Schätzung der Produktions- und Logistikplanung aufbauend auf der Vertriebsschätzung
erstellt, wobei ein Erfahrungswert zeigt, wie weit die realen Bedarfe normalerweise über den
durch den Vertrieb geschätzten liegen.
Der Szenariobaum für das Anwendungsszenario stellt sich dementsprechend wie in Abbil-
dung 6.2 illustriert unter Zuordnung der Szenarien zu den Perioden dar. In den ersten 10 Peri-
oden existiert nur jeweils ein Szenario, danach verzweigt sich der Baum und es gibt jeweils
zwei Szenarien pro Periode i mit
j
=i. Der obere Strang mit den Szenarien 11 bis 20 stellt
die Schätzung des Vertriebs dar, der zweite Strang mit den Szenarien 21 bis 30 die der Pro-
duktions- und Logistikplanung. Außerdem sind hieraus die Vorgängerbeziehungen der einzel-
nen Szenarien zu erkennen. Für die Szenarien 2 bis 30 mit Ausnahme von Szenario 21 gilt
i
=
i
−
1
, für Szenario 21 gilt
21
=
10
.
Periode
π(i)
Szenario
1 2 10
11 12 78
79 80 146
1 2 10 11 12 78
Abbildung 6.2: Zuordnung der Szenarien zu Perioden
Gleichung 6.1 stellt die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Szenarien dar. Für die Schätzun-
gen des Vertriebs wurde dabei eine mit 30% kleinere Wahrscheinlichkeit angenommen als für
die Schätzungen der Produktions- und Logistikplanung.
103
i
=
{
1, für1i10
0,3,für11i20
0,7,für21i30 (6.1)
Im Zeitmodell der Modelle III und IV werden 30 Schichten als Perioden genutzt. Diese ent-
sprechen den ersten 3 Perioden der übergeordneten Partialmodelle. Die Zeitabschnitte inner-
halb dieser Perioden werden ebenfalls in Schichten (bzw. Vielfachen von Schichten) angege-
ben. Es kann ein Großteil der Stammdaten aus den übergeordneten Modellen übernommen
werden, da die Einheit, in der die Zeit angegeben wird, dieselbe ist. In diesen Modellen wird
je Periode lediglich ein Szenario modelliert. Damit ist die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes
Szenarios 1 und die Perioden- und Vorgängerbeziehungen sind ebenfalls einfach zu modellie-
ren.
6.2.2 Erzeugnisse
Den Ausgangspunkt für die Beschreibung der Datenbasis bilden die Erzeugnisse, die Output
und Input des Fertigungssystems darstellen. Diese sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. Zunächst
existieren 30 unterschiedliche Ventilgruppen, die Produkte des Unternehmens. Da diese Ven-
tilgruppen teilweise nur unterschiedliche Varianten sind, bauen sie auf lediglich 17 Ventil-
grundkörpern auf. Alternativ können sie auch auf den oben beschriebenen, zugekauften Ven-
tilgrundkörpern aufbauen, die in einem anderen Fertigungsprozess gefertigt werden, den die
eigenen Produktionsanlagen nicht leisten können.
Durch die Montage unterschiedlicher Anbauteile wird die Variante festgelegt. Diese Anbau-
teile stellen einerseits 21 verschiedene eigengefertigte Teile sowie 19 Teile, die zugekauft
werden, dar. Des Weiteren werden Kleinteile (Schrauben, Dichtungen etc.) verbaut, die aller-
dings für das Unternehmen C-Teile darstellen und hier nicht weiter betrachtet werden sollen.
Diese Teile werden durch einen Zulieferer nach der Kanban-Methode (vgl. [Ohno89]) dispo-
niert; es kann implizit davon ausgegangen werden, dass die Verfügbarkeit immer gewährleis-
tet ist.
Index
i
∈{
1
n
E}Bezeichnung
1
30
Ventilgruppe
1
30
31
47
Ventilgrundkörper
1
17
48
64
(zugekaufte) Ventilgrundkörper
1
17
65
85
(eigengefertigte) Anbauteile
1
21
86
104
(zugekaufte) Anbauteile
1
19
Tabelle 6.1: Erzeugnisse und Zuordnung der Indizes
104
Da durch das Programm keine Festlegung stattfinden soll, ob Teile fremdbeschafft oder ei-
gengefertigt werden, wird für alle Teile einer der Parameter b
i
ef
bzw. b
i
k auf 1 gesetzt. Die Ein-
kaufskosten für Eigenfertigungsteile sind daher auch irrelevant; sie werden auf den Wert 0 in-
itialisiert. Die Einkaufskosten der Kaufteile werden entsprechend den realen Preisen einge-
pflegt.
Die Lagerkostensätze der einzelnen Erzeugnisse werden entsprechend dem Raum- und Hand-
lingbedarf bewertet. Die Kapitalbindung muss hier nicht einbezogen werden, da diese bereits
über die Abzinsung der einzelnen Perioden zum heutigen Zeitpunkt unter Nutzung des inter-
nen Zinsfußes implizit berücksichtigt wird.
6.2.3 Werkzeuge
Wie oben erwähnt existieren mehrere Montagearbeitsplätze, die allerdings durch eine gezielte
Abstimmung so miteinander vernetzt sind, dass sie im hier genutzten Modell als eine gemein-
same Linie und damit als ein Werkzeug angesehen werden können. Dieses Werkzeug erhält
den Index 1. Die Fixkosten für dieses Werkzeug werden als 0 angenommen, da die Endmon-
tagelinie nicht in Frage gestellt wird. Dadurch, dass hier ein Preis von 0 angenommen wird,
fallen mehrere Summanden aus der Zielfunktion heraus, so dass die Lösung des Modells ver-
einfacht wird. Die variablen Kosten für die Montagearbeitsplätze betragen 500 Euro pro
Schicht und resultieren zu einem Großteil aus den Lohnkosten der hier beschäftigten Mitar-
beiter. Die Montagearbeitsplätze werden 5 Tage pro Woche im Einschichtbetrieb genutzt.
Des Weiteren existieren (derzeit) drei Bearbeitungszentren, die für die Fertigung der Ventil-
grundkörper und der eigengefertigten Anbauteile genutzt werden. Sie erhalten die Indizes 2, 3
und 4. Die Nutzung dieser Bearbeitungszentren steht im Zentrum der Untersuchung durch das
erste Partialmodell. Wenn die Ventilgrundkörper nicht eigengefertigt, sondern in der Gussva-
riante zugekauft werden, werden nicht mehr alle Bearbeitungszentren benötigt. Es können
also die Fixkosten je Periode für diese Werkzeuge eingespart werden. Die Fixkosten für die
einzelnen Werkzeuge, bestehend aus Kapitalbindungs-, Wartungs- und Betriebskosten, wur-
den mit 2.250 Euro pro Zeitabschnitt für die Maschine mit dem Index 2 und 1.250 Euro pro
Zeitabschnitt für die beiden anderen Maschinen bestimmt. Die variablen Kosten betragen für
alle Bearbeitungszentren jeweils 150 Euro pro Schicht. Die Rüstkosten pro Schicht betragen
250 Euro. Die Bearbeitungszentren werden ebenfalls 5 Tage pro Woche im Zweischichtbe-
trieb genutzt.
105
6.2.4 Technologien
Es existieren Technologien zur Montage der Ventilgruppen. Dabei wird zwischen den Tech-
nologien, die zur Montage unter Verbau der eigengefertigten Ventilgrundkörper genutzt wer-
den, und den Technologien, die die fremdbeschafften Ventilgrundkörper nutzen, unterschie-
den. Dies ist notwendig, um vorzugeben, dass genau ein Verfahren verwendet werden soll.
Mischformen zwischen Fremdbeschaffung und Eigenfertigung innerhalb einer Periode sind
aus Gründen der Qualitätssicherung nicht gewünscht. Wie in Tabelle 6.2 dargestellt, werden
diese Montageprozesse der Ventilgruppen durch die Technologien mit den Indizes 1 bis 60
dargestellt.
Sämtliche eigengefertigte Ventilgrundkörper können alternativ durch die verschiedenen Bear-
beitungszentren gefertigt werden. Daher existieren 51 verschiedene Technologien, die diese
Ventilgrundkörper als Output haben. Die Anbauteile können ebenfalls teilweise alternativ in
den Bearbeitungszentren gefertigt werden, auch hier existieren 50 verschiedene Technologien
für nur 21 Anbauteile. Auf die detaillierte Darstellung der In- und Outputs der einzelnen
Technologien wird hier verzichtet; dies geht aus der in Anhang A dargestellten Datenbasis
hervor.
Index
i
∈{
1
n
T}Output Input
1
30
Ventilgruppe
1
30
Ventilgrundkörper (eigengefertigt),
Anbauteile
31
60
Ventilgruppe
1
30
Ventilgrundkörper (zugekauft),
Anbauteile
61
111
Ventilgrundkörper
1
17
-
112
161
Anbauteile
1
25
-
Tabelle 6.2: Technologien und Zuordnung der Indizes
Die Bearbeitungszeiten für die Technologien 1 bis 30 auf den Montagearbeitsplätzen sind
identisch, es werden pro Schicht 16 Ventilgruppen montiert, also zwei Stück pro Stunde. Für
die Technologien 31 bis 60 sind die Bearbeitungszeiten ebenfalls identisch, allerdings können
hier nach Schätzungen der Arbeitsvorbereitung nur zwölf Ventilgruppen pro Schicht montiert
werden, da auf Grund des anderen Fertigungsverfahrens der Ventilgrundkörper zusätzliche
Funktionstests notwendig sein werden. Die Rüstzeit an den Montagearbeitsplätzen beträgt
grundsätzlich 0, da ein Umrüsten nicht nötig ist.
Für die Technologien, in denen die Ventilgrundkörper und die Anbauteile durch die Bearbei-
tungszentren gefertigt werden, variieren die Bearbeitungs- und Rüstzeiten. Sie werden hier
106
nicht näher dargestellt, können aber der in Anhang A dargestellten Datenbasis entnommen
werden.
6.2.5 Qualifikationen
Für die Fertigung und Montage der Ventilgruppen sind drei verschiedene Qualifikationen not-
wendig:
●Mitarbeiter für die Vor- und Endmontagelinien: Dabei soll nicht zwischen den einzel-
nen Montagearbeitsplätzen unterschieden werden, da die Arbeitsinhalte der einzelnen
Stationen sich stark ähneln. Die Einarbeitungszeit für Mitarbeiter, die an diesen Ar-
beitsplätzen eingesetzt werden sollen, beträgt 2 Wochen, d. h. ein Zeitabschnitt im
Zeitmodell der übergeordneten Optimierungsmodelle.
●Mitarbeiter für Hilfsarbeiten an den Bearbeitungszentren: Sie versorgen die Bearbei-
tungszentren mit den benötigten Teilen, spannen diese in Träger ein und nach der Be-
arbeitung wieder aus. Für diese Arbeiten wird eine Einarbeitungszeit von einer Woche
kalkuliert, also ein halber Zeitabschnitt.
●Mitarbeiter für die Bedienung der Bearbeitungszentren: Da für diese Aufgabe eine ent-
sprechende Ausbildung benötigt wird, wird nicht die Möglichkeit des nachträglichen
Erwerbs dieser Qualifikation modelliert.
6.2.6 Mitarbeiter
Es gibt 12 Mitarbeiter, die für die Tätigkeiten an den Montagearbeitsplätzen und für die Hilfs-
arbeiten an den Bearbeitungszentren zur Verfügung stehen, wobei jeder Mitarbeiter bisher nur
eine der beiden Qualifikationen aufweist. Außerdem gibt es die Möglichkeit, weitere Mitar-
beiter für diese Tätigkeiten einzustellen, daher wurden 8 zusätzliche Mitarbeiter in die Model-
lierung aufgenommen, die allerdings bisher noch keine der Qualifikationen besitzen. Für die
Bedienung der Bearbeitungszentren sind 5 Mitarbeiter mit entsprechender Ausbildung vor-
handen. Außerdem wird ein Mitarbeiter dargestellt, der diese Qualifikation besitzt, bisher al-
lerdings noch nicht im Unternehmen beschäftigt ist.
Für die Montagemitarbeiter gilt eine Regelarbeitszeit von 38 Stunden pro Woche. Nach Ab-
zug von statistisch ermittelten durchschnittlichen Abwesenheitszeiten, die sich durch Krank-
heit und Urlaub ergeben, verbleiben 32 Stunden pro Woche. Da das Werk mit achtstündigen
Schichten arbeitet, ergeben sich 8 Schichten pro Mitarbeiter in jeder Periode des Zeitmodells.
Für die Mitarbeiter, die die Bearbeitungszentren bedienen, gilt aus tariflichen Gründen ein Ar-
107
beitszeit von 35 Stunden pro Woche, die sich durch Abwesenheit auf 30 Stunden reduzieren,
also 7,5 Schichten.
6.2.7 Prozessalternativen
Es gibt, aufbauend auf der Fragestellung „Ventilgrundkörper selbst fertigen oder zukaufen“
zwei verschiedene Prozessalternativen. Beide erlauben die Fertigung der Anbauteile, also die
Technologien 112 bis 161. Die erste Prozessalternative stellt die Eigenfertigung der Ventil-
grundkörper dar; sie erlaubt die Nutzung der Technologien 1 bist 30, in denen die Ventilgrup-
pen montiert werden, sowie der Technologien 61 bis 112, in denen die Ventilgrundkörper ge-
fertigt werden. Die zweite Prozessalternative erlaubt die Nutzung der Technologien 31 bis 60,
in denen die Montage der Ventilgrundkörper unter Verwendung der zugekauften Anbauteile
erfolgt.
6.2.8 Weitere Daten
Der interne Zinsfuß des Unternehmens, mit dem Investitionen bewertet werden, beträgt 15%
p. a. Damit ergibt sich pro Periode im Zeitmodell der Partialmodelle I und II (zwei Wochen)
eine Abzinsung von 0,539%. Im Zeitmodell der Partialmodelle III und IV ergibt sich pro Peri-
ode (eine Schicht, wobei 260 Schichten pro Jahr angenommen wurden) eine Abzinsung von
0,054%.
Die Parameter, die in den Koordinationsprozessen zur Steuerung verwendet wurden konnten
durch das betrachtete Unternehmen nicht definiert werden, bzw. wurden als unbegrenzt ange-
sehen. Dies sind für die Steuerung der Prozesse beginnend mit der Durchführung von Partial-
modell I und II die maximale Kostensumme
K
t,max, für die Prozesse beginnend mit der
Durchführung von Partialmodell III und IV die Grenzwerte für die durchschnittlichen und
maximalen Kapitalbindungskosten
KB
d,max
sowie
KB
m,max und die maximal zulässige Kosten-
summe Ko,max. Daher muss in der folgenden Evaluation des Verfahrens auf die Nutzung der
Koordinationsprozesse verzichtet werden. Entsprechend werden die in Gleichungen 5.51,
5.92, 5.93 und 5.94 dargestellten Kennzahlen nicht berechnet.
6.3 Anwendung des Verfahrens und Ergebnisse
6.3.1 Genutzte Hard- und Softwaresysteme
Als Hardware für die Tests wird ein Notebook mit einem Doppelkernprozessor mit 2 GHz
Taktfrequenz und 2 GB Hauptspeicher eingesetzt. Die Verwendung eines Prozessors mit
108
mehreren Kernen stellt dabei keinen Vorteil gegenüber Einkernprozessoren dar, da die ver-
wendete Software (s. u.) nur jeweils einen Kern nutzen kann.
Zur Modellierung der mathematischen Modelle sowie der Daten wird die Modellierungsspra-
che GNU MathProg genutzt, die eine Teilmenge der Sprache AMPL (vgl. [FGK93]) darstellt.
Der Vorteil dieser Lösung ist, dass einerseits Modell und Daten getrennt modelliert werden
können und auch komplexe Funktionen abgebildet werden können, und andererseits, dass
nicht auf kostenpflichtige Software zur Überführung in durch den Solver lesbare Formate zu-
rückgegriffen werden muss. Um eine komfortable Modellierung zu ermöglichen, wird die
Entwicklungsumgebung der Software MOPS Studio genutzt, die eine Syntaxhervorhebung
sowie eine automatisierte Überprüfung der Modellsyntax enthält.
Anschließend werden die Modelle durch den GLPK Solver in das CPLEX LP Format konver-
tiert, das als Eingabeformat für die Optimierungssoftware ILOG CPLEX in der Version
10.1.1 genutzt wurde. Die Wahl fiel auf diese Optimierungssoftware, da sie unter den zur
Verfügung stehenden Systemen die geringsten Laufzeiten zur Lösung der mathematischen
Programme benötigt. Die genutzte Konfiguration von ILOG CPLEX entspricht den Standard-
einstellungen, abgesehen vom Parameter „mipgap“, der auf den Wert 0.0005 eingestellt wird,
um geringere Laufzeiten zu erreichen.
6.3.2 Umsetzung der Modelle
6.3.2.1 Partialmodell I
Das erste Partialmodell zur Planung von Prozessen, Standorten und Maschinenbeständen wird
wie in den Abbildungen 6.3 bis 6.7 dargestellt in der Modellierungssprache GNU MathProg
umgesetzt. Dabei werden in Abbildung 6.3, 6.4 und 6.5 zunächst die Mengen, Parameter und
Variablen definiert, die anschließend in der in Abbildung 6.6 dargestellten Zielfunktion und
den Restriktionen in Abbildung 6.7 verwendet werden. Zusätzlich zu den in Kapitel 5 defi-
nierten Restriktionen wird in dieser Umsetzung des Modells die Möglichkeit hinzugefügt, ein-
zelne Erzeugnisse im Voraus als Kauf- oder Eigenfertigungsteile zu definieren und den Ver-
zug (Lagerbestand kleiner 0) für sie auszuschließen.
Bei der Definition der Zielfunktion kann die Darstellung aus Gleichung 5.8 nicht direkt über-
nommen werden, da die Benutzung der „max“- und „min“-Funktion durch GNU MathProg
nicht unterstützt wird. Daher muss die Abhängigkeit als stückweise lineare Funktion darge-
stellt werden. Es wird der Ansatz nach Padberg (vgl. [Padb00]) der Darstellung mit L01-Va-
riablen genutzt. Dazu werden die Variablen Y1 (binäre Hilfsvariable) sowie Z1 und Z2 einge-
führt. Die Variable Z1 gibt an, wie weit der Lagerbestand über einem absoluten Minimalwert,
109
der durch Big-M dargestellt wird, liegt. Z2 stellt für positive Lagerbestände (d. h. kein Liefer-
verzug) den positiven Bestand dar. Um die entsprechenden Abhängigkeiten zwischen den Va-
riablen Z1, Z2 und X_l sicherzustellen, müssen drei zusätzliche Restriktionen eingeführt wer-
den, die in der GNU MathProg-Darstellung als L01_a, L01_b und L01_c bezeichnet werden.
set E; # Erzeugnisse
set P; # Perioden
set PA; # Prozessalternativen
set S; # Szenarien
set T; # Technologien
set W; # Werkzeuge
Abbildung 6.3: Mengendefinitionen für Partialmodell I
param big_m; # Big-M
param omega {S} >= 0, <= 1; # Wahrscheinlichkeit der Szenarien
param ny {S}; # gibt das Vorgängerszenario des Szenarios an
param pi {S}; # gibt die Periode des Szenarios an
param b_ef {E} binary; # Erzeugnisse, die eigengefertigt werden müssen
param b_ka {E} binary; # Erzeugnisse, die eingekauft werden müssen
param b_p {PA, T} binary; # Prozessalternative
param b_pn0 {PA} binary; # Initialisierung Prozessalternativen
param b_v {E} binary; # Erzeugnisse, für die kein Verzug erlaubt ist
param b_w0 {W} binary; # gibt an, ob Werkzeug derzeit vorhanden ist
param c_f {W}; # Fixkosten für Werkzeug
param c_k {E}; # Fremdbeschaffungskosten
param c_l {E}; # Lagerkostensatz
param c_n {W}; # Kosten für Neubeschaffung von Werkzeug
param c_p {W}; # Produktionskostensatz
param c_pna; # Kosten für eine Änderung der Prozessalternative
param c_r {W}; # Rüstkostensatz
param c_v {E}; # Verzugskostensatz
param c_z >= 0, <= 1; # kalkulatorischer Zinsfuß
param n_b {E, S} >= 0; # Bedarfsmengen
param n_rtmax >= 0; # maximale Anzahl Rüstvorgänge je Periode
param n_tb {E, T} >= 0; # Input der Technologie an Erzeugnis
param n_te {E, T} >= 0; # Output der Technologie an Erzeugnis
param t_kw {W, P}; # verfügbare Werkzeugkapazität
param t_rt {T, W}; # Rüstdauer
param t_tw {T, W}; # Produktionsdauer
Abbildung 6.4: Parameterdefinitionen für Partialmodell I
var B_k {E, P} binary; # Kaufteil
var B_pn {PA, P} binary; # Prozessalternativennutzung
var B_pna {P} binary; # Änderung der Prozessalternativennutzung
var B_rt {T, W, S} binary; # Binäre Rüstvariable
var B_w {W, P} binary; # Verfügbarkeitsvariable für Werkzeuge
var B_wn {W, P} binary; # Neubeschaffungsvariable für Werkzeuge
var X_k {E, S} >= 0; # Kaufmenge
var X_l {E, S} >= - big_m, <= big_m; # Lagermenge
var X_t {T, S} >= 0; # zu produzierende Technologiemenge
var Y1 {E, S} binary; # binäre Hilfsvariable für L01-Modell
var Z1 {E, S} >= 0, <= big_m; # Hilfsvariable für L01-Modell
var Z2 {E, S} >= 0; # Hilfsvariable für L01-Modell
Abbildung 6.5: Variablendefinitionen für Partialmodell I
110
minimize cost:
sum {i in S} omega[i] * ((1 + c_z) ^ (- pi[i])) *
(B_pna[pi[i]] * c_pna +
sum {j in W} ( sum {k in T} ( B_rt[k,j,i] * t_rt[k,j] * c_r[j] +
X_t[k,i] * t_tw[k,j] * c_p[j] )) +
sum {j in E: j >= 1}
( big_m * c_v[j] - c_v[j] * Z1[j,i] + c_l[j] * Z2[j,i]) +
sum {j in E} X_k[j,i] * c_k[j] +
sum {j in W} (B_w[j,pi[i]] * c_f[j] + B_wn[j,pi[i]] * c_n[j]));
Abbildung 6.6: Zielfunktion Partialmodell I
subject to AnzRuestvorgaenge {i in T, k in S}:
n_rtmax - sum {j in W} B_rt[i,j,k] >= 0;
subject to Ruesten {i in T, j in W, k in S}:
X_t[i,k] - big_m * B_rt[i,j,k] <= 0;
subject to Maschinenlaufzeit {j in W, k in S}:
sum {i in T} (B_rt[i,j,k] * t_rt[i,j] + X_t[i,k] * t_tw[i,j]) -
t_kw[j,pi[k]] * B_w[j,pi[k]] <= 0;
subject to Lagerbestand {i in E, k in S}:
X_l[i,k] - X_l[i, ny[k]] - sum {j in T} X_t[j,k] * n_te[i,j] -
X_k[i,k] + n_b[i,k] + sum {j in T} n_tb[i,j] * X_t[j,k] = 0;
subject to Werkzeugverfuegbarkeit {i in W, j in P : j>0}:
B_w[i,j] - B_w[i,j-1] - B_wn[i,j] <= 0;
subject to Kaufteile {i in E, j in S}:
X_k[i,j] - B_k[i,pi[j]] * big_m <= 0;
subject to Nichtkaufteile {i in E, k in S}:
sum {j in T} X_t[j,k] * n_te[i,j] - (1-B_k[i,pi[k]]) * big_m <=0;
subject to Prozessalternativen {i in T, j in S}:
X_t[i,j] - big_m * sum {k in PA} b_p[k,i] * B_pn[k, pi[j]] <= 0;
subject to BegrProzessalternativen {j in P}:
sum {i in PA} B_pn[i,j] = 1;
subject to LagerInitialisierung {i in E}:
X_l[i,0] = 0;
subject to WerkzeugInitialisierung {i in W}:
B_w[i,0] <= b_w0[i];
subject to EigenfertigungsteileFestlegen {i in E, j in P}:
B_k[i,j] <= 1 – b_ef[i];
subject to KaufteileFestlegen {i in E, j in P}:
B_k[i,j] >= b_ka[i];
subject to VerzugVermeiden {i in E, j in S}:
X_l[i,j] >= big_m * (b_v[i] - 1);
subject to AenderungProzessalternativennutzung {i in PA, j in P: j>0}:
B_pna[j] >= B_pn[i,j] - B_pn[i,j-1];
subject to Prozessalternativeninitialisierung {i in PA}:
B_pn[i,0] = b_pn0[i];
subject to L01_a {i in E, j in S}:
X_l[i,j] = - big_m + Z1[i,j] + Z2[i,j];
subject to L01_b {i in E, j in S}:
Z1[i,j] >= big_m * Y1[i,j];
subject to L01_c {i in E, j in S}:
Z2[i,j] <= big_m * Y1[i,j];
Abbildung 6.7: Restriktionen Partialmodell I
111
6.3.2.2 Partialmodell II
Die Umsetzung des zweiten Partialmodells, in dem die Qualifikation und der Bestand der
Mitarbeiter geplant werden, in GNU MathProg ist in Abbildungen 6.8 bis 6.12 dargestellt.
Dabei wird anstelle der „max“- und „min“-Funktionen, wie sie in Gleichung 5.24 verwendet
werden, auch in diesem Modell der Ansatz nach Padberg (s. o.) genutzt.
set E; # Erzeugnisse
set M; # Mitarbeiter
set P; # Perioden
set Q; # Qualifikationen
set S; # Szenarien
set T; # Technologien
set W; # Werkzeuge
Abbildung 6.8: Mengendefinitionen für Partialmodell II
param big_m; # Big-M
param omega {S} >= 0, <= 1; # Wahrscheinlichkeit des Szenarios
param ny {S}; # gibt das Vorgängerszenario des Szenarios an
param pi {S}; # gibt die Periode des Szenarios an
param b_k {E, P} binary; # Kaufteil
param b_m0 {M} binary; # derzeit beschäftigte Mitarbeiter
param b_q0 {M,Q} binary; # initiale Qualifikationen der Mitarbeiter
param b_v {E} binary; # Erzeugnisse, für die kein Verzug erlaubt ist
param b_w {W, P} binary; # Verfügbarkeitsvariable für Werkzeuge
param c_k {E}; # Fremdbeschaffungskosten
param c_l {E}; # Lagerkostensatz
param c_m {M}; # Fixkosten für Mitarbeiter
param c_me ; # Kosten für die Einstellung eines Mitarbeiters
param c_mr ; # Kosten Entlassung/Freistellung eines Mitarbeiters
param c_p {W}; # Produktionskostensatz
param c_q {Q}; # Kosten für neue Qualifikation
param c_r {W}; # Rüstkostensatz
param c_u {M}; # Kostensatz für Überstunden
param c_v {E}; # Verzugskostensatz
param c_z >= 0, <= 1; # kalkulatorischer Zinsfuß
param n_b {E, S} >= 0; # Bedarfsmengen
param n_rtmax >= 0; # maximale Anzahl Rüstvorgänge je Periode
param n_tb {E, T} >= 0; # Input der Technologie an Erzeugnis
param n_te {E, T} >= 0; # Output der Technologie an Erzeugnis
param n_uMax >= 0; # maximale Überstunden je Periode
param t_kw {W, P}; # verfügbare Werkzeugkapazität
param t_l {Q}; # Zeit zum Erlernen der Qualifikation
param t_m {M, P}; # verfügbare Arbeitszeit Mitarbeiter
param t_rt {T, W}; # Rüstdauer
param t_tw {T, W}; # Produktionsdauer
param t_tq {T, Q}; # Qualifikationszeit je Technologieeinheit
Abbildung 6.9: Parameterdefinitionen für Partialmodell II
112
var B_m {M, P} binary; # Beschäftigung der Mitarbeiter
var B_me {M, P} binary; # Neubeschäftigung der Mitarbeiter
var B_mr {M, P} binary; # Entlassung/Freisetzung der Mitarbeiter
var B_mq {M, Q, P} binary; # Mitarbeiterqualifikation
var B_mqn {M, Q, P} binary; # neue Qualifikationen
var B_rt {T, W, S} binary; # binäre Rüstvariable
var X_k {E, S} >= 0; # Kaufmenge
var X_l {E, S} >= 0; # Lagermenge
var X_t {T, S} >= 0; # zu produzierende Technologiemenge
var X_qm {Q,M,S} >= 0; # Arbeit je Qualifikation und Mitarbeiter
var X_u {M,S} >= 0; # Anzahl Überstunden
var Y1 {E, S} binary; # binäre Hilfsvariable für L01-Modell
var Z1 {E, S} >= 0, <= big_m; # Hilfsvariable für L01-Modell
var Z2 {E, S} >= 0; # Hilfsvariable für L01-Modell
Abbildung 6.10: Variablendefinitionen für Partialmodell II
minimize cost :
sum {i in S} omega[i] * ((1 + c_z) ^ (- pi[i])) * (
sum {j in W} (sum {k in T} ( B_rt[k,j,i] * t_rt[k,j] * c_r[j] +
X_t[k,i] * t_tw[k,j] * c_p[j])) +
sum {j in E}
( big_m * c_v[j] - c_v[j] * Z1[j,i] + c_l[j] * Z2[j,i]) +
sum {j in E} X_k[j,i] * c_k[j] +
sum {j in M} (B_m[j,pi[i]] * c_m[j] + X_u[j,i] * c_u[j] +
B_me[j,pi[i]] * c_me + B_mr[j,pi[i]] * c_mr +
sum {k in Q} B_mqn[j,k,pi[i]] * c_q[k]));
Abbildung 6.11: Zielfunktion Partialmodell II
113
subject to AnzRuestvorgaenge {i in T, k in S} :
sum {j in W} B_rt[i,j,k] - n_rtmax <= 0;
subject to Ruesten {i in T, j in W, k in S} :
X_t[i,k] - big_m * B_rt[i,j,k] <= 0;
subject to Maschinenlaufzeit {j in W, k in S} :
sum {i in T} (B_rt[i,j,k] * t_rt[i,j] + X_t[i,k] * t_tw[i,j])
<= t_kw[j,pi[k]] * b_w[j,pi[k]] ;
subject to Lagerbestand {i in E, k in S: k >= 1}:
X_l[i,ny[k]] + sum {j in T} X_t[j,k] * n_te[i,j] +
X_k[i,k] - n_b[i,k] - sum {j in T} n_tb[i,j] * X_t[j,k]
= X_l[i,k];
subject to Qualifikationszeit {i in S, j in Q} :
sum {k in T}
(X_t[k,i] * t_tq[k,j]) - sum {k in M} X_qm[j,k,i] <= 0 ;
subject to Arbeitszeitbegrenzung {j in M, k in S}:
sum {i in Q} ( X_qm[i,j,k] + B_mqn[j,i,pi[k]] * t_l[i] ) -
B_m[j,pi[k]] * t_m[j,pi[k]] - X_u[j,k] <= 0;
subject to QualifikationVorhanden {i in Q, j in M, k in S} :
X_qm[i,j,k] <= big_m * B_mq[j,i,pi[k]] ;
subject to Qualifikationsfortschr
{i in M, j in Q, k in P: k >= 1} :
B_mq[i,j,k] <= B_mq[i,j,k-1] + B_mqn[i,j,k] ;
subject to LagerInitialisierung {i in E} :
X_l[i,0] <= 0 ;
subject to QualifikationsInitialisierung {i in M, j in Q} :
B_mq[i,j,0] <= b_q0[i,j] ;
subject to VerzugVermeiden {i in E, j in S} :
X_l[i,j] >= big_m * (b_v[i] - 1) ;
subject to Ueberstunden {j in M, k in S} :
X_u[j,k] <= n_uMax * B_m[j,pi[k]] ;
subject to KaufteileNichtFertigen {i in E, j in S, k in T} :
n_te[i,k] * X_t[k,j] <= big_m * (1 - b_k[i,pi[j]]) ;
subject to NurKaufteileKaufen {i in E, j in S} :
X_k[i,j] <= big_m * b_k[i,pi[j]] ;
subject to EinstellungMitarbeiter {i in M, j in P: j>0} :
B_me[i,j] >= B_m[i,j] – B_m[i,j-1] ;
subject to ReduktionMitarbeiter {i in M, j in P: j>0} :
B_mr[i,j] >= B_m[i,j-1] – B_m[i,j] ;
subject to MitarbeiterInitialisierung {i in M} :
B_m[i,0] = b_m0[i] ;
subject to L01_a {i in E, j in S} :
X_l[i,j] = - big_m + Z1[i,j] + Z2[i,j] ;
subject to L01_b {i in E, j in S} :
Z1[i,j] >= big_m * Y1[i,j] ;
subject to L01_c {i in E, j in S} :
Z2[i,j] <= big_m * Y1[i,j] ;
Abbildung 6.12: Restriktionen Partialmodell II
6.3.2.3 Partialmodell III
In Abbildung 6.13 bis 6.17 sind die Mengen-, Parameter- und Variablendefinitionen sowie die
Zielfunktion und die Restriktionen des dritten Partialmodells dargestellt. Bei der Modellie-
rung der Restriktion für die Sicherstellung der Reichweitendeckung der Sicherheitsbestände
(Gleichung 5.65) weicht die Implementierung von der Darstellung in Kapitel 5 ab, da die For-
114
mulierung in Gleichung 5.65 nicht durch gängige Optimierungssoftware unterstützt wird. Da-
her wird angenommen, dass der Sicherheitsbestand für die Nachfragemenge nach den entspre-
chenden Erzeugnissen in einer beliebigen Periode zuzüglich der Reichweite des Bestellzyklus
multipliziert mit der Bedarfsmenge in der entsprechenden Periode und einem fixen Faktor von
10% ausreichend sein muss. Diese Formulierung ist zwar nicht so exakt wie die in Gleichung
5.65, stellt aber eine Annäherung dar, die den Erfahrungen im konkreten Beispiel entspricht.
Die Datenbasis für Partialmodell III, die in Anhang A.3 dargestellt ist, zeigt die ersten drei
Perioden des Zeitmodells in Partialmodell I und II. Dabei ist zu beachten, dass nur 41 Erzeug-
nisse (7 Ventilgruppen, 5 Ventilgrundkörper und 29 Anbauteile) modelliert werden. Dies liegt
daran, dass im betrachteten Zeitraum nur Primär- und Sekundärbedarfe für diese Erzeugnisse
auftreten. Allerdings werden sie als in ihrem Bedarfsverlauf repräsentativ für jeweils eine
Gruppe von Erzeugnissen identifiziert, so dass mit den Ergebnissen der Optimierung des drit-
ten und vierten Partialmodells Lagerstufen, Meldebestände und Losgrößen für alle Erzeugnis-
se festgelegt werden können.
set E; # Erzeugnisse
set P; # Perioden
set PA; # Prozessalternativen
set S; # Szenarien
set T; # Technologien
set W; # Werkzeuge
Abbildung 6.13: Mengendefinitionen für Partialmodell III
param ny {S}; # Vorgängerszenario des Szenarios
param omega {S}; # Wahrscheinlichkeit der Szenarien
param pi {S}; # Periode des Szenarios
param a_w_max; # Auslastung, ab der ein Bestellzyklus benötigt wird
param big_m; # Big-M
param c_z; # kalkulatorischer Zinsfuss
param p_min; # angestrebte minimale Liefertreue
param t_bz; # Zykluszeit für Bestellzyklen
param t_lmax; # maximale Lieferzeit
param a_w {W,S}; # Auslastung des Werkzeugs im Szenario
param b_b {E}; # Vorliegen von Bedarfen für ein Erzeugnis
param b_k {E,P}; # Kaufteilbinärvariable
param b_p {PA,T}; # Prozessalternative
param b_pn {PA,P}; # Prozessalternativennutzung
param c_l {E}; # Lagerkostensatz
param g {E,E}; # Gozintofaktor, wg. stabiler PA-Nutzung periodenunabh.
param n_b {E,S}; # (Primär-)Bedarfsmengen
param n_ges {E,S}; # Gesamtbedarfsmenge
param n_te {E,T}; # Output der Technologie an Erzeugnis
param t_dl {E,P}; # Durchlaufzeit bei Eigenfertigung
param t_k {E}; # Wiederbeschaffungszeit bei Fremdbeschaffung
param t_tw {T,W}; # Produktionsdauer
Abbildung 6.14: Parameterdefinitionen für Partialmodell III
115
var B_bz {E} binary; # Binärvariable für Bestellzyklus
var B_ls {E} binary; # Binärvariable für Lagerstufen
var B_lt {E,S} binary; # Binärvariable für Einhaltung Liefertreue
var N_lt {E,S} >= 0; # Nachfrage, unter Einhaltung der Liefertreue
var T_pd {E,P} >= 0, <= t_lmax; # Produktdistanz
var T_rw {E,P} >= 0; # Reichweite
var T_wb {E,P} >= 0; # Wiederbeschaffungszeit
var T_wbl{E,P} >= 0; # Wiederbeschaffungszeit ohne Lagerstufen
var X_mb {E} >= 0 integer; # Meldebestände
Abbildung 6.15: Variablendefinitionen für Partialmodell III
minimize Lagerkosten :
sum {i in P} (1 + c_z) ^ (-i) * sum {j in E} X_mb[j] * c_l[j] ;
Abbildung 6.16: Zielfunktion Partialmodell III
subject to Produktdistanz_1 {i in E, j in P, k in E: g[i,k] > 0} :
T_pd[i,j] - b_k[i,j] * t_k[i] - (1 - b_k[i,j]) * t_dl[i,j] -
T_pd[k,j] + B_ls[i] * big_m >= 0 ;
subject to Produktdistanz_2 {i in E, j in P} :
T_pd[i,j] - b_k[i,j] * t_k[i] - (1 - b_k[i,j]) * t_dl[i,j] +
B_ls[i] * big_m + (1 - b_b[i]) * big_m >= 0 ;
subject to Meldebestand_wenn_Lagerstufe {i in E} :
B_ls[i] * big_m - X_mb[i] >= 0 ;
subject to Lagerstufe_wenn_Meldebestand {i in E} :
X_mb[i] - B_ls[i] >= 0 ;
subject to WBZ_KaufUndEigenf {i in E, j in P} :
T_wb[i,j] - b_k[i,j] * t_k[i] -
(1 - b_k[i,j]) * t_dl[i,j] >= 0 ;
subject to WBZ_Gozinto {i in E, j in P, k in E: g[i,k] > 0} :
T_wb[i,j] - b_k[i,j] * t_k[i] -
(1 - b_k[i,j]) * t_dl[i,j] - T_wbl[k,j] >= 0 ;
subject to WBZohneLagerstufen {i in E, j in P} :
T_wbl[i,j] >= T_wb[i,j] - big_m * B_ls[i] ;
subject to BestZ
{i in E, j in P, k in W, m in T, l in S: pi[l] = j} :
B_bz[i] * big_m -
(a_w[k,l] -a_w_max) * n_te[i,m] * t_tw[m,k] *
(sum {n in PA} b_p[n,m] * b_pn[n,j]) >= 0 ;
subject to Reichweitenberechnung {i in E, j in P} :
T_rw[i,j] - T_wb[i,j] - B_bz[i] * t_bz >= 0 ;
subject to Einhaltung_Liefertreue {i in E, j in S} :
N_lt[i,j] - B_lt[i,j] * n_ges[i,j] -
sum {k in E} (g[i,k] * N_lt[k,j]) = 0 ;
subject to AngestrebteLiefertreue :
sum {i in E}
sum {j in S: n_ges[i,j] > 0} omega[j] * B_lt[i,j] -
p_min * sum {i in E} sum {j in S: n_ges[i,j] > 0} 1
>= 0 ;
subject to Bedarfsdeckung {i in E, j in S} :
N_lt[i,j] + 0.1 * n_ges[i,j] * T_rw[i,pi[j]] -
X_mb[i] + big_m * (1-B_ls[i]) <= 0 ;
Abbildung 6.17: Restriktionen Partialmodell III
116
6.3.2.4 Partialmodell IV
Die Umsetzung des vierten Partialmodells (Bestimmung optimaler Losgrößen) ist in den Ab-
bildungen 6.18, 6.19, 6.20, 6.21 und 6.22 dargestellt. Hervorzuheben ist dabei, dass die Ein-
schränkung des Wertebereichs für die Zählvariable i auf die Werte, für die eine Lagerstufe de-
finiert ist (b
i
LS=1), in den Restriktionen des Modells weggelassen werden kann. Dies ist darin
begründet, dass nur diejenigen Erzeugnisse im Modell gepflegt wurden, für die auch eine La-
gerstufe definiert ist, womit b
i
LS=1 für alle Erzeugnisse wahr ist. Aus demselben Grund kann
die Multiplikation mit b
i
LS aus der Zielfunktion entfernt werden.
In den Gleichungen für die Einstellung der Variablen b
ij
MB (Gleichung 5.75 und 5.76) wurde
„+ 1“ hinzugefügt. Dies liegt daran, dass die echte größer-Beziehung nicht durch die verwen-
dete Modellierungssprache unterstützt wurde. Da die Bestände ganzzahlig sind, kann 1 addiert
werden, bei nicht ganzzahligen Variablen müsste der Kehrwert von M addiert werden.
set E; # Erzeugnisse
set P; # Perioden
set S; # Szenarien
set RW; # Wertebereich für Bestandsreichweiten
Abbildung 6.18: Mengendefinitionen für Partialmodell IV
param lambda {S,S,RW}; # gibt an, ob ein Szenario (ZWEITER Index) x
Zeiteinheiten nach einem zweiten Szenario(ERSTER Index) liegt
param ny {S}; # gibt das Vorgängerszenario des Szenarios an
param omega {S}; # Wahrscheinlichkeit der Szenarien
param pi {S}; # gibt die Periode des Szenarios an
param big_m; # Big-M
param c_p_var {E,P}; # variable Produktionskosten
param c_p_fix {E,P}; # fixe Produktionskosten
param c_z; # kalkulatorischer Zinsfuss
param p_min; # angestrebte minimale Liefertreue
param c_l {E}; # Lagerkostensatz
param g {E,E}; # Gozintofaktor, wg. stabiler PA-Nutzung periodenunabh.
param n_ges {E,S}; # Gesamtbedarfsmenge
param t_rw {E,P}; # Reichweite Bestellzyklus
param x_l0 {E}; # initialer Lagerbestand
param x_mb {E}; # Meldebestand
Abbildung 6.19: Parameterdefinitionen für Partialmodell IV
var B_lt {E,S} binary; # Binärvariable für Einhaltung Liefertreue
var B_mb {E,S} binary; # gibt an, ob Meldebestand unterschritten wurde
var B_mbn {E,S} binary; # gibt an, ob Meldebestand NEU unterschr. ist
var B_pe {E,S} binary; # gibt an, ob ein Erzeugnis produziert wird
var N_lt {E,S} >= 0; # Nachfrage u. Einh. der angestr. Liefertreue
var X_l {E,S} >= 0; # Lagermenge
var X_lg {E} >= 0; # Losgröße
var X_p {E,S} >= 0; # Produktionsmenge (Abgang aus Produktion)
Abbildung 6.20: Variablendefinitionen für Partialmodell IV
117
minimize cost :
sum {i in S} ((1+c_z)^(- pi[i]) * omega[i] *
sum {j in E} ((X_l[j,i] * c_l[j] +
X_p[j,i] * c_p_var[j,pi[i]] +
B_pe[j,i] * c_p_fix[j,pi[i]]))) ;
Abbildung 6.21: Zielfunktion Partialmodell IV
subject to Bestandsfortfuehrung {i in E, j in S} :
X_l[i,j] - X_l[i,ny[j]] -
X_p[i,j] + N_lt[i,j] = 0 ;
subject to MeldebestandErreicht {i in E, j in S} :
B_mb[i,j] * big_m >= x_mb[i] - X_l[i,j] + 1 ;
subject to MeldebestandNichtErreicht {i in E, j in S} :
(1 - B_mb[i,j]) * big_m >=
X_l[i,j] - x_mb[i] + 1 ;
subject to MeldebestandNeuErreicht1 {i in E, j in S: j>0} :
B_mbn[i,j] >= B_mb[i,j] - B_mb[i,ny[j]] ;
subject to MeldebestandNeuErreicht2 {i in E, j in S: j>0} :
B_mbn[i,j] <= B_mb[i,j] ;
subject to MeldebestandNeuErreicht3 {i in E, j in S: j>0} :
B_mbn[i,j] <= 1 - B_mb[i,ny[j]] ;
subject to MeldebestandNeuErreichtPerNull {i in E} :
B_mbn[i,0] = B_mb[i,0] ;
subject to BestandserhoehungErstNachVorl
{i in E, j in S: j<t_rw[i,pi[j]]} :
X_p[i,j] = 0;
subject to Bestandserhoehung_1
{i in E, j in S, k in S: lambda[j,k,t_rw[i,pi[j]]]=1} :
X_p[i,k] <= big_m * B_mbn[i,j] ;
subject to Bestandserhoehung_2
{i in E, j in S, k in S: lambda[j,k,t_rw[i,pi[j]]]=1} :
X_p[i,k] - X_lg[i] <= big_m * (1 - B_mbn[i,j]) ;
subject to Bestandserhoehung_3
{i in E, j in S, k in S: lambda[j,k,t_rw[i,pi[j]]]=1} :
X_lg[i] - X_p[i,k] <=
big_m * (1 - B_mbn[i,j]) ;
subject to Einhaltung_Liefertreue {i in E, j in S} :
N_lt[i,j] - B_lt[i,j] * n_ges[i,j] -
sum {k in E} (g[i,k] * N_lt[k,j]) = 0;
subject to AngestrebteLiefertreue :
sum {i in E}
sum {j in S: n_ges[i,j] > 0} omega[j] * B_lt[i,j] -
p_min * sum {i in E} sum {j in S: n_ges[i,j] > 0} 1 >= 0;
subject to ErzeugnisProduktion {i in E, j in S} :
X_p[i,j] <= B_pe[i,j] * big_m ;
subject to LagerInitialisierung {i in E}:
X_l[i,0] = x_l0[i] ;
Abbildung 6.22: Restriktionen Partialmodell IV
118
6.3.3 Ergebnisse
6.3.3.1 Partialmodell I
Die Ausgaben der Optimierung des ersten Partialmodells finden sich in Anhang B.1. Die für
die Optimierung benötigte Prozessorzeit beträgt 85,95 Sekunden. Die Ergebnisse der Opti-
mierung sind in Anhang C.1 dargestellt. Die Werte der einzelnen Variablen können für die
Umsetzung der Planung wie folgt interpretiert werden:
●bij
PN, die Binärvariable, die angibt, ob Prozessalternative i in Periode j genutzt wird, ist
für
i
=
1
für sämtliche Perioden 1. Dies bedeutet, dass die Produktion am bestehenden
Standort unter Nutzung der bisherigen Technologie fortgesetzt werden soll. Die Ferti-
gung der Ventilgrundkörper wird weiterhin mit den Bearbeitungszentren am Monta-
gestandort durchgeführt.
●bij
W, die Binärvariable, die angibt, ob Werkzeug i in Periode j verfügbar ist. Sie ist für
Werkzeug 1 über das gesamte Planungsintervall 1. Die Endmontagelinie wird ständig
gebraucht, da die Prozessalternative 1 genutzt wird. Für Werkzeug 3 ist sie über das
gesamte Planungsintervall 0. Dies bedeutet, dass bei der gewählten Kombination von
Eigenfertigung und Fremdbeschaffung eines der drei Fertigungszentren nicht mehr be-
nötigt wird. Für Werkzeug 2 und 4 ist b
ij
W zunächst 1, am Ende des Planungsintervalls
wird der Wert der Variable allerdings 0. Dies ist nicht als Vorgabe zu sehen, dass die-
se Bearbeitungszentren in diesen Perioden nicht mehr vorhanden sein sollten. Viel-
mehr ist der Grund dafür, dass sie nicht mehr benötigt werden, dass die entsprechen-
den Mengen an Teilen für die Montagearbeitsplätze in den ersten Perioden des Pla-
nungsintervalls gefertigt werden. Die entstehenden Lagerbestände werden dann in den
verbleibenden Perioden verbraucht. Daher sollten die Bearbeitungszentren über den
gesamten betrachteten Zeitraum vorhanden sein.
●bij
K, die Binärvariable, die angibt, ob Erzeugnis i in Periode j ein Kaufteil ist. In Ab-
hängigkeit von dieser Variablen werden die Entscheidungen in den folgenden Model-
len getroffen; sie stellt einen Parameter für diese Modelle dar.
Das Ergebnis der Optimierung des ersten Partialmodells ist das in Abbildung 6.23 dargestellte
Layout. Fertigung und Montage finden weiterhin am bestehenden Standort statt. Auf ein Be-
arbeitungszentrum kann verzichtet werden, wodurch freier Platz in der Fertigung entsteht.
Dieser kann u. a. für Lagereinrichtungen zur Versorgung der Produktion genutzt werden, falls
119
sich durch die Entscheidungen der Partialmodelle III und IV ein Bedarf an zusätzlichen La-
gerflächen ergibt.
Bearbeitungs-
zentrum 1
Bearbeitungs-
zentrum 3
Vormontage 1
Vormontage 2
Vormontage 3
Endmontage
Vormontage 4
Teilefertigung Montage
Abbildung 6.23: Struktur der Produktion (Soll-Zustand)
6.3.3.2 Partialmodell II
Die Ausgaben des Solvers für die Optimierung des Partialmodells zur Mitarbeiterbestands-
und -qualifikationsplanung finden sich in Anhang B.2. Die für die Lösung des Problems benö-
tigte Prozessorzeit beträgt 72,08 Sekunden.
Die für die Umsetzung der Ergebnisse des Modells zur Mitarbeiterentwicklung relevanten
Entscheidungen sind die in Anhang C.2 dargestellten Variablen:
●bijk
MQ und bijk
M
Q
N
, die Binärvariablen, die festlegen, welche Mitarbeiter durch Qualifikati-
onsmaßnahmen dazu befähigt werden, weitere Aufgaben im Fertigungsbetrieb zu
übernehmen. Die einzige Änderung, die für die Qualifikationsmatrix vorgenommen
wird, ist, dass einer der Mitarbeiter, die die notwendigen Qualifikationen für die Ar-
beit in der Montage besitzen, zusätzlich für die Hilfsarbeiten an den Bearbeitungszen-
tren qualifiziert wird41. Damit erhält man einen flexibel einsetzbaren Mitarbeiter, mit
dem Schwankungen im Arbeitsangebot ausgeglichen werden können. Diese Entschei-
dung spielt zusammen mit der Entwicklung des Mitarbeiterbestands, der einen Abbau
bei den bisherigen Hilfsarbeitern für die Bearbeitungszentren vorsieht.
41 Dabei ist die Variable b
ijk
MQN
in mehreren Perioden für den gewählten Mitarbeiter 1 (b
9,2
,1
MQN
, b
9,2
,5
MQN
und b
9,2
,9
MQN
),
dies liegt allerdings daran, dass die gewählte Optimalitätsgrenze für den Solver („mipgap“) keine weitere Op-
timierung verlangt. Wenn der Branch and Bound-Algorithmus nach besseren Ergebnissen suchen würde,
würde nur eine dieser Variablen den Wert 1 aufweisen.
120
●b
ij
M
, b
ij
MR und b
ij
ME, die Binärvariablen, die den weiteren Verlauf des Bestands an Mitar-
beitern festlegen. Ergebnis der Optimierung ist, dass drei Mitarbeiter aus der Montage,
einer der bisherigen Hilfsarbeiter an den Bearbeitungszentren sowie drei der Mitarbei-
ter an den Bearbeitungszentren (zwei statt bisher drei Bearbeitungszentren) nicht mehr
in ihrem bisherigen Aufgabenbereich benötigt werden. Diese Reduktion im Bestand an
Mitarbeitern ist bedeutend. Dies liegt darin begründet, dass im Rahmen des Projekts
zur Struktur-, Dimensions- und Bedarfsplanung im Unternehmen sämtliche Vorgabe-
zeiten neu bestimmt wurden. Dies wurde durch Zeitnahmen im laufenden Betrieb er-
reicht. Außerdem wurden die Fertigungs- und Montagemitarbeiter von weiteren Auf-
gaben (insbesondere Versorgung der Arbeitsplätze mit Material) entlastet, so dass sie
die Arbeiten durchführen, für die sie qualifiziert sind. Da durch diese Maßnahme wei-
tere Arbeitsplätze in der zentralisierten Materialdisposition entstehen, führt der Abbau
von Arbeitsplätzen in der Fertigung und Montage nicht unbedingt zu Entlassungen.
Die aus den Ergebnissen der Optimierung des zweiten Partialmodells abgeleiteten Entschei-
dungen für die Mitarbeiterbestands- und -qualifikationsplanung sind in Tabelle 6.3 zusam-
menfassend dargestellt.
Mitarbeiter Qualifikationen
Ist-Zustand Beschäftigung
Soll-Zustand zusätzliche Qualifikationen
Soll-Zustand
1,3,6,7,8,9 Bremsventilmontage Ja -
2 Bremsventilmontage Ja Hilfsarbeiten Bearbeitungszentren
4,5,10 Bremsventilmontage Nein -
11 Hilfsarbeiten Bearbei-
tungszentren Ja -
12 Hilfsarbeiten Bearbei-
tungszentren Nein -
14,17 Bedienung Bearbeitungs-
zentren Ja -
13,15,16 Bedienung Bearbeitungs-
zentren Nein -
Tabelle 6.3: Übersicht über die Mitarbeiterbestands- und -qualifikationsplanung
6.3.3.3 Ableitung der weiteren Parameter aus Partialmodell I und II
Zur Ableitung der weiteren Parameter aus den Ergebnissen der Partialmodelle I und II werden
die in Abschnitt 5.1.2.3 beschriebenen Formeln genutzt, wobei grundsätzlich auf die Ergeb-
nisse aus Modell I zurückgegriffen wurde. Zunächst wurden die Werte der Parameter und Va-
121
riablen durch ein Java-Programm gelesen. Anschließend nahm dieses Programm die Berech-
nung der Parameter vor und schrieb diese wiederum in eine Datei. Diese Ausgaben konnten
anschließend als Eingangsdaten für die untergeordneten Modelle des Verfahrens genutzt wer-
den.
6.3.3.4 Partialmodell III
Die Ausgaben des Solvers für die Optimierung des Partialmodells zur Definition von Lager-
stufen und Bestimmung der Meldebestände finden sich in Anhang B.3. Die dabei benötigte
Prozessorzeit beträgt lediglich 0,19 Sekunden. Die Ergebnisse der Optimierung sind in An-
hang C.3 dargestellt. Die für die Umsetzung der Ergebnisse relevanten Variablen sind:
●biBZ, die Binärvariable zur Festlegung von Erzeugnissen, die mit einem Bestellzyklus
disponiert werden. Es wird für sämtliche eigengefertigten Erzeugnisse ein Bestellzy-
klus definiert. Dies liegt an der hohen Auslastung der Bearbeitungszentren und Monta-
gearbeitsplätze im betrachteten Zeitraum. Durch die Nutzung eines Bestellzyklus kann
in regelmäßigen Zeiträumen (im Beispiel werden hierfür fünf Zeiteinheiten definiert)
eine optimierte Reihenfolgeplanung für die Arbeitsplätze durchgeführt werden.
●biLS, die Binärvariable, die definiert, für welche Produkte ein Lagerbestand angelegt
werden soll. Aus der Nutzung eines Bestellzyklus von 5 Tagen bei einem Zielwert von
ebenfalls 5 Tagen für die Lieferzeit folgt, dass für sämtliche Erzeugnisse eine Lager-
stufe definiert werden muss.
●x
i
MB, der Meldebestand für die Erzeugnisse, für die eine Lagerstufe definiert wurde. Er
wird so eingestellt, dass die Bedarfe für die Erzeugnisse mit der geforderten Liefer-
treue gedeckt werden können. Die resultierenden Meldebestände liegen zwischen 7
(für in geringen Mengen bestellte Ventilgruppen) und 211 (für Anbauteile, die in di-
verse Ventilgruppen einfließen).
6.3.3.5 Partialmodell IV
In Anhang B.4 finden sich die Ausgaben von CPLEX für die Optimierung des vierten Par-
tialmodells bei Nutzung der in Anhang A.4 dargestellten Eingabedaten. Die benötigte Prozes-
sorzeit beträgt 7,39 Sekunden. Zur Steuerung des Produktionssystems ist lediglich eine Varia-
ble vorgesehen, deren Optimalwerte in Anhang C.4 dargestellt sind:
●Die Losgrößen xiLG werden im Optimierungsmodell eingestellt. Die Beschränkung auf
verbrauchsorientiert disponierte Erzeugnisse spielt dabei wie oben erwähnt keine Rol-
122
le, da im dritten Partialmodell für sämtliche betrachteten Erzeugnisse eine Lagerstufe
definiert wurde. Die Losgröße werden so gewählt, dass unter den durch Partialmodell
III definierten Parametern (Meldebestand und die benötigte Bestandsreichweite) der
Zielwert für die Liefertreue eingehalten wird. Die definierten Losgrößen variieren zwi-
schen zehn und 342 Stück.
123
7 Zusammenfassung und Ausblick
7.1 Ergebnis der Arbeit
In dieser Arbeit wurde ein hierarchisches Verfahren entwickelt, das zur Struktur-, Dimensi-
ons- und Materialbedarfsplanung in Fertigungsbetrieben genutzt werden kann. Dieses Verfah-
ren besteht aus vier mathematisch formulierten Partialmodellen, die jeweils eine Menge von
Fertigungsplanungs-Teilaufgaben lösen. Die Partialmodelle folgen einer Hierarchie, wobei
die untergeordneten Partialmodelle jeweils die Ergebnisse der übergeordneten Partialmodelle
als Input nutzen, während die übergeordneten Partialmodelle die Auswirkungen auf die unter-
geordneten Partialmodelle implizit in ihrer Planung berücksichtigen. Da diese Berücksichti-
gung der Auswirkungen auf die untergeordneten Partialmodelle immer unvollständig gesche-
hen kann, wurden die Partialmodelle schließlich in Koordinationsprozessen, die auch Feed-
back-Schleifen entgegen der Hierarchie vorsehen, miteinander verknüpft. Die Ergebnisse der
Arbeit konnten anhand der Anwendung des Verfahrens für ein Praxisbeispiel aus der Schie-
nenfahrzeugindustrie validiert werden.
Die praktische Fragestellung des Unternehmens aus der Schienenfahrzeugindustrie stellt den
Ausgangspunkt für die Problemstellung dar. Diese wird in Kapitel 2.1 formalisiert und analy-
siert. Das Ergebnis bilden die Fertigungsplanungs-Aufgaben der Struktur-, Dimensions- und
mittelfristigen Materialbedarfsplanung, die in Abschnitt 2.2 in Fertigungsplanungs-Teilaufga-
ben gegliedert werden. Diese werden anschließend in Partialmodellen aggregiert. Die resultie-
renden Partialmodelle sind die Planung von Prozessen, Standorten und Maschinenbeständen
(Partialmodell I), die Mitarbeiterplanung (Partialmodell II), die Definition von Lagerstufen
und Bestimmung der Meldebestände (Partialmodell III) sowie die Konfiguration der Disposi-
tionsverfahren (Partialmodell IV).
Kapitel 3 fasst den Stand der Technik im Bereich der hierarchischen Planung von Fertigungs-
systemen und der mathematischen Losgrößenprobleme zusammen. Aus der Definition der
Problemstellung und dem Stand der Technik werden in Kapitel 4 die zu leistenden Arbeiten
abgeleitet. Kapitel 5 ist zweigeteilt. In Abschnitt 5.1 wird für jedes Partialmodell eine mathe-
matische Formulierung entwickelt. Dabei bilden mathematische Losgrößenprobleme die Basis
124
der Modelle, wodurch die Zeit sowie Zugangs- und Abgangsvorgänge der Erzeugnisse model-
liert sind. Diese mathematischen Modelle werden so erweitert, dass sie die Lösung der in den
Partialmodellen zusammengefassten Fertigungsplanungs-Teilaufgaben ermöglichen. Außer-
dem ist die zukünftige Bedarfsentwicklung in Form von Szenarien beschrieben, so dass die
Unsicherheit bezüglich dieser Eingangsgrößen in den Modellen berücksichtigt werden kann.
In Abschnitt 5.2 werden die Modelle durch Koordinationsprozesse so miteinander verbunden,
dass eine Lösung der übergeordneten Problemstellung möglich ist.
Kapitel 6 zeigt schließlich anhand der Implementierung in der mathematischen Programmier-
sprache GNU MathProg, dass die mathematischen Modelle eine durch Solver nutzbare Form
haben. Außerdem wird das der Arbeit zugrunde liegende Anwendungsfall modelliert und an-
schließend in praxistauglichen Rechenzeiten gelöst. Die Ergebnisse der Optimierungen zei-
gen, dass das entwickelte Verfahren in der Praxis für die Struktur-, Dimensions- und Material-
bedarfsplanung genutzt werden kann.
7.2 Ausblick
Die Ergebnisse dieser Arbeit können die Basis für weitere Entwicklungen bilden. Einerseits
kann die in Kapitel 6 beschriebene Implementierung der Modelle weiter entwickelt und in
eine Software integriert werden. Die Pflege der Eingabedaten der Modelle in GNU MathProg
stellt eine Hürde für die Nutzung des Verfahrens in der Praxis dar. Durch übersichtliche Ein-
gabemasken mit anschließender automatisierter Datenmodellierung in formaler Form kann
dieser Schritt benutzerfreundlicher gestaltet werden. Die Bildung der Eingangsdaten für unter-
geordnete Partialmodelle aus den Ergebnissen der übergeordneten Partialmodelle wurde be-
reits teilweise durch Java-Programme automatisiert. Diese Entwicklung kann fortgeführt wer-
den, so dass das gesamte Verfahren zur Struktur-, Dimensions- und Materialbedarfsplanung
von Fertigungssystemen in einem konsistenten Programm abgebildet wird, in das auch der
Aufruf der Optimierungssoftware eingebunden wird.
Es ist außerdem möglich, im Rahmen der Entwicklung eines integrierenden Softwaresystems
Schnittstellen zu verbreiteten ERP-Systemen zu implementieren. Damit können insbesondere
die Ergebnisse der Partialmodelle III und IV als Parameter in diese ERP-Systeme übertragen
werden. Ein halb automatisierter Einsatz der Software zur Steuerung von Produktionssyste-
men wird dadurch möglich.
Eine weitere Möglichkeit ist die Erweiterung des Verfahrens um die Lösung weiterer Aufga-
ben. Unter anderem ist die Konfiguration von bedarfsorientierten Planungsalgorithmen ein
möglicher Anknüpfungspunkt. Die Planungsheuristiken, die in diesem Bereich zum Einsatz
125
kommen, müssen zur Ausgestaltung der Fertigungssysteme sowie zum Nachfrage- bzw. Be-
stellverhalten der Kunden passen. Damit ist denkbar, eine Verzweigung nach Partialmodell III
in die Koordinationsprozesse zu integrieren. Für die verbrauchsorientiert zu disponierenden
Erzeugnisse wird weiterhin Partialmodell IV zur Bestimmung der Losgrößen verwendet. Für
diejenigen Erzeugnisse, die bedarfsorientiert zu disponieren sind, werden Auswahl und Konfi-
guration der Planungsheuristiken durch ein weiteres Modell vorgenommen.
126
127
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134
135
Anhang A: Datenbasis der Validierung im GNU MathProg
Format
A.1 Partialmodell I
set E :=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 ;
set P := 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ;
set PA := 1, 2 ;
set S := 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 ;
set T := 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141
142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157
158 159 160 161 ;
set W := 1 2 3 4 ;
param big_m := 1000 ;
param n_rtmax := 1000 ;
param: pi ny omega :=
0001
1101
2211
3321
4431
5541
6651
7761
8871
9981
136
10 10 9 1
11 11 10 0.3
12 12 11 0.3
13 13 12 0.3
14 14 13 0.3
15 15 14 0.3
16 16 15 0.3
17 17 16 0.3
18 18 17 0.3
19 19 18 0.3
20 20 19 0.3
21 11 10 0.7
22 12 21 0.7
23 13 22 0.7
24 14 23 0.7
25 15 24 0.7
26 16 25 0.7
27 17 26 0.7
28 18 27 0.7
29 19 28 0.7
30 20 29 0.7 ;
param b_ef default 0 :=
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15
1 16 1 17 1 18 1 19 1 20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28
1 29 1 30 1 31 1 32 1 33 1 34 1 35 1 36 1 37 1 38 1 39 1 40 1 41
1 42 1 43 1 44 1 45 1 46 1 47 1 65 1 66 1 67 1 68 1 69 1 70 1 71
1 72 1 73 1 74 1 75 1 76 1 77 1 78 1 79 1 80 1 81 1 82 1 83 1 84
1 85 1 ;
param b_ka default 0 :=
48 1 49 1 50 1 51 1 52 1 53 1 54 1 55 1 56 1 57 1 58 1 59 1 60
1 61 1 62 1 63 1 64 1 86 1 87 1 88 1 89 1 90 1 91 1 92 1 93 1 94
1 95 1 96 1 97 1 98 1 99 1 100 1 101 1 102 1 103 1 104 1 ;
param b_p :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141
142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157
158 159 160 161 :=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;
137
param b_pn0 := 1 1 2 0 ;
param b_w0 := 1 1 2 1 3 1 4 1 ;
param b_v default 1 :=
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0
16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 26 0 27 0 28 0
29 0 30 0 ;
param c_f := 1 0 2 2250 3 1250 4 1250 ;
param c_k default 0 :=
48 150 49 140 50 160 51 135 52 138 53 125 54 128 55 150 56 152
57 155 58 120 59 125 60 129 61 144 62 160 63 162 64 128 86 88
87 16 88 77 89 55 90 35 91 190 92 166 93 44 94 28 95 50 96 122
97 48 98 47 99 29 100 49 101 488 102 58 103 54 104 22 ;
param c_l default 1 :=
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 3 11 3 12 3 13 3 14 3 15 3
16 3 17 3 18 3 19 3 20 3 21 3 22 3 23 3 24 3 25 3 26 3 27 3 28 3
29 3 30 3 65 0.5 66 0.5 67 0.5 68 0.5 69 0.5 70 0.5 71 0.5 72 0.5
73 0.5 74 0.5 75 0.5 76 0.5 77 0.5 78 0.5 79 0.5 80 0.5 81 0.5
82 0.5 83 0.5 84 0.5 85 0.5 86 0.5 87 0.5 88 0.5 89 0.5 90 0.5
91 0.5 92 0.5 93 0.5 94 0.5 95 0.5 96 0.5 97 0.5 98 0.5 99 0.5
100 0.5 101 0.5 102 0.5 103 0.5 104 0.5;
param c_n := 1 100000 2 1000000 3 400000 4 400000 ;
param c_p := 1 500 2 150 3 150 4 150 ;
param c_pna := 50000 ;
param c_r := 1 1000 2 250 3 250 4 250 ;
param c_v default 0 :=
1 50 2 50 3 50 4 50 5 50 6 50 7 50 8 50 9 50 10 50 11 50 12 50
13 50 14 50 15 50 16 50 17 50 18 50 19 50 20 50 21 50 22 50 23 50
24 50 25 50 26 50 27 50 28 50 29 50 30 50 ;
param c_z := 0.00539 ;
param n_b default 0 := [3,1] 100 [10,1] 30 [1,1] 15 [11,2] 80 [2,2] 20
[21,3] 150 [6,3] 10 [4,4] 22 [5,5] 30 [12,6] 400 [13,7] 40
[22,7] 15 [28,8] 22 [29,8] 22 [21,10] 250 [9,11] 17 [8,11] 17
[10,14] 700 [18,14] 70 [11,16] 500 [10,18] 300 [10,20] 120
[23,21] 22 [24,21] 22 [10,24] 850 [18,24] 50 [11,26] 550
[10,28] 380 [10,30] 200 ;
param n_tb default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[31,1] 1 [31,2] 1 [31,3] 1 [31,4] 1 [32,5] 1 [32,6] 1 [32,7] 1
[33,8] 1 [33,9] 1 [33,10] 1 [34,11] 1 [34,12] 1 [35,13] 1
[35,14] 1 [36,15] 1 [36,16] 1 [37,17] 1 [37,18] 1 [38,19] 1
[38,20] 1 [39,21] 1 [39,22] 1 [40,23] 1 [41,24] 1 [42,25] 1
[43,26] 1 [44,27] 1 [45,28] 1 [46,29] 1 [47,30] 1
# Montage der Ventilgruppen aus den zugekauften Ventilgrundkörpern
[48,31] 1 [48,32] 1 [48,33] 1 [48,34] 1 [49,35] 1 [49,36] 1
[49,37] 1 [50,38] 1 [50,39] 1 [50,40] 1 [51,41] 1 [51,42] 1
138
[52,43] 1 [52,44] 1 [53,45] 1 [53,46] 1 [54,47] 1 [54,48] 1
[55,49] 1 [55,50] 1 [56,51] 1 [56,52] 1 [57,53] 1 [58,54] 1
[59,55] 1 [60,56] 1 [61,57] 1 [62,58] 1 [63,59] 1 [64,60] 1
# Anbauteile Eigenfertigung
[65,1] 1 [66,1] 1 [73,1] 1 [76,1] 1 [81,1] 1 [83,1] 1 [84,1] 1
[85,1] 1 [65,2] 1 [66,2] 1 [73,2] 1 [77,2] 1 [81,2] 1 [66,3] 1
[73,3] 1 [78,3] 1 [82,3] 1 [65,4] 1 [66,4] 1 [74,4] 1 [76,4] 1
[81,4] 1 [83,4] 1 [84,4] 1 [85,4] 1 [65,5] 1 [66,5] 1 [74,5] 1
[77,5] 1 [81,5] 1 [66,6] 1 [74,6] 1 [78,6] 1 [82,6] 1 [65,7] 1
[67,7] 1 [73,7] 1 [77,7] 1 [81,7] 1 [65,8] 1 [67,8] 1 [73,8] 1
[78,8] 1 [82,8] 1 [65,9] 1 [67,9] 1 [74,9] 1 [77,9] 1 [81,9] 1
[65,10] 1 [67,10] 1 [74,10] 1 [78,10] 1 [82,10] 1 [65,11] 1
[67,11] 1 [74,11] 1 [77,11] 1 [81,11] 1 [65,12] 1 [67,12] 1
[74,12] 1 [78,12] 1 [82,12] 1 [65,13] 1 [68,13] 1 [75,13] 1
[77,13] 1 [81,13] 1 [65,14] 1 [68,14] 1 [75,14] 1 [78,14] 1
[82,14] 1 [65,15] 1 [68,15] 1 [73,15] 1 [77,15] 1 [81,15] 1
[65,16] 1 [68,16] 1 [73,16] 1 [78,16] 1 [82,16] 1 [65,17] 1
[69,17] 1 [73,17] 1 [77,17] 1 [81,17] 1 [65,18] 1 [69,18] 1
[73,18] 1 [78,18] 1 [82,18] 1 [65,19] 1 [70,19] 1 [74,19] 1
[77,19] 1 [81,19] 1 [65,20] 1 [70,20] 1 [74,20] 1 [78,20] 1
[82,20] 1 [65,21] 1 [70,21] 1 [75,21] 1 [77,21] 1 [81,21] 1
[65,22] 1 [70,22] 1 [75,22] 1 [78,22] 1 [82,22] 1 [65,23] 1
[70,23] 1 [75,23] 1 [77,23] 1 [81,23] 1 [65,24] 1 [70,24] 1
[75,24] 1 [78,24] 1 [82,24] 1 [71,25] 1 [75,25] 1 [78,25] 1
[82,25] 1 [83,25] 1 [84,25] 1 [71,26] 1 [74,26] 1 [78,26] 1
[82,26] 1 [83,26] 1 [84,26] 1 [71,27] 1 [74,27] 1 [78,27] 1
[82,27] 1 [83,27] 1 [84,27] 1 [71,28] 1 [74,28] 1 [78,28] 1
[82,28] 1 [83,28] 1 [84,28] 1 [65,29] 1 [71,29] 1 [74,29] 1
[78,29] 1 [82,29] 1 [83,29] 1 [84,29] 1 [72,30] 1 [74,30] 1
[78,30] 1 [82,30] 1 [83,30] 1 [84,30] 1 [65,31] 1 [66,31] 1
[73,31] 1 [76,31] 1 [81,31] 1 [83,31] 1 [84,31] 1 [85,31] 1
[65,32] 1 [66,32] 1 [73,32] 1 [77,32] 1 [81,32] 1 [66,33] 1
[73,33] 1 [78,33] 1 [82,33] 1 [65,34] 1 [66,34] 1 [74,34] 1
[76,34] 1 [81,34] 1 [83,34] 1 [84,34] 1 [85,34] 1 [65,35] 1
[66,35] 1 [74,35] 1 [77,35] 1 [81,35] 1 [66,36] 1 [74,36] 1
[78,36] 1 [82,36] 1 [33,37] 1 [67,37] 1 [73,37] 1 [77,37] 1
[81,37] 1 [65,38] 1 [67,38] 1 [73,38] 1 [78,38] 1 [82,38] 1
[65,39] 1 [67,39] 1 [74,39] 1 [77,39] 1 [81,39] 1 [65,40] 1
[67,40] 1 [74,40] 1 [78,40] 1 [82,40] 1 [65,41] 1 [67,41] 1
[74,41] 1 [77,41] 1 [81,41] 1 [65,42] 1 [67,42] 1 [74,42] 1
[78,42] 1 [82,42] 1 [65,43] 1 [68,43] 1 [75,43] 1 [77,43] 1
[81,43] 1 [65,44] 1 [68,44] 1 [75,44] 1 [78,44] 1 [82,44] 1
[65,45] 1 [68,45] 1 [73,45] 1 [77,45] 1 [81,45] 1 [65,46] 1
[68,46] 1 [73,46] 1 [78,46] 1 [82,46] 1 [65,47] 1 [69,47] 1
[73,47] 1 [77,47] 1 [81,47] 1 [65,48] 1 [69,48] 1 [73,48] 1
[78,48] 1 [82,48] 1 [65,49] 1 [70,49] 1 [74,49] 1 [77,49] 1
[81,49] 1 [65,50] 1 [70,50] 1 [74,50] 1 [78,50] 1 [82,50] 1
[65,51] 1 [70,51] 1 [75,51] 1 [77,51] 1 [81,51] 1 [65,52] 1
[70,52] 1 [75,52] 1 [78,52] 1 [82,52] 1 [65,53] 1 [70,53] 1
[75,53] 1 [77,53] 1 [81,53] 1 [65,54] 1 [70,54] 1 [75,54] 1
[78,54] 1 [82,54] 1 [71,55] 1 [75,55] 1 [78,55] 1 [82,55] 1
[83,55] 1 [84,55] 1 [71,56] 1 [74,56] 1 [78,56] 1 [82,56] 1
[83,56] 1 [84,56] 1 [71,57] 1 [74,57] 1 [78,57] 1 [82,57] 1
[83,57] 1 [84,57] 1 [71,58] 1 [74,58] 1 [78,58] 1 [82,58] 1
[83,58] 1 [84,58] 1 [65,59] 1 [71,59] 1 [74,59] 1 [78,59] 1
[82,59] 1 [83,59] 1 [84,59] 1 [72,60] 1 [74,60] 1 [78,60] 1
[82,60] 1 [83,60] 1 [84,60] 1
# Anbauteile Fremdfertigung
139
[86,1] 1 [87,1] 1 [91,1] 1 [96,1] 1 [103,1] 1 [104,1] 1 [88,2] 1
[91,2] 1 [96,2] 1 [89,3] 1 [91,3] 1 [96,3] 1 [86,4] 1 [87,4] 1
[92,4] 1 [97,4] 1 [103,4] 1 [104,4] 1 [88,5] 1 [92,5] 1 [97,5] 1
[89,6] 1 [92,6] 1 [97,6] 1 [88,7] 1 [91,7] 1 [96,7] 1 [89,8] 1
[91,8] 1 [96,8] 1 [88,9] 1 [93,9] 1 [98,9] 1 [89,10] 1 [93,10] 1
[98,10] 1 [88,11] 1 [94,11] 1 [99,11] 1 [89,12] 1 [94,12] 1
[99,12] 1 [88,13] 1 [91,13] 1 [96,13] 1 [89,14] 1 [91,14] 1
[96,14] 1 [88,15] 1 [91,15] 1 [96,15] 1 [89,16] 1 [91,16] 1
[96,16] 1 [88,17] 1 [91,17] 1 [96,17] 1 [89,18] 1 [91,18] 1
[96,18] 1 [88,19] 1 [93,19] 1 [98,19] 1 [89,20] 1 [93,20] 1
[98,20] 1 [88,21] 1 [94,21] 1 [99,21] 1 [89,22] 1 [94,22] 1
[99,22] 1 [88,23] 1 [92,23] 1 [97,23] 1 [89,24] 1 [92,24] 1
[97,24] 1 [89,25] 1 [90,25] 1 [95,25] 1 [100,25] 1 [101,25] 1
[102,25] 1 [89,26] 1 [90,26] 1 [95,26] 1 [100,26] 1 [102,26] 1
[89,27] 1 [90,27] 1 [95,27] 1 [100,27] 1 [102,27] 1 [89,28] 1
[90,28] 1 [95,28] 1 [100,28] 1 [102,28] 1 [89,29] 1 [90,29] 1
[95,29] 1 [100,29] 1 [102,29] 1 [89,30] 1 [90,30] 1 [95,30] 1
[100,30] 1 [101,30] 1 [102,30] 1 ;
param n_te default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 1 [2,2] 1 [3,3] 1 [4,4] 1 [5,5] 1 [6,6] 1 [7,7] 1 [8,8] 1
[9,9] 1 [10,10] 1 [11,11] 1 [12,12] 1 [13,13] 1 [14,14] 1
[15,15] 1 [16,16] 1 [17,17] 1 [18,18] 1 [19,19] 1 [20,20] 1
[21,21] 1 [22,22] 1 [23,23] 1 [24,24] 1 [25,25] 1 [26,26] 1
[27,27] 1 [28,28] 1 [29,29] 1 [30,30] 1
# Montage der Ventilgruppen aus den zugekauften Ventilgrundkörpern
[1,31] 1 [2,32] 1 [3,33] 1 [4,34] 1 [5,35] 1 [6,36] 1 [7,37] 1
[8,38] 1 [9,39] 1 [10,40] 1 [11,41] 1 [12,42] 1 [13,43] 1
[14,44] 1 [15,45] 1 [16,46] 1 [17,47] 1 [18,48] 1 [19,49] 1
[20,50] 1 [21,51] 1 [22,52] 1 [23,53] 1 [24,54] 1 [25,55]1
[26,56] 1 [27,57] 1 [28,58] 1 [29,59] 1 [30,60] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[31,61] 1 [32,62] 1 [33,63] 1 [34,64] 1 [35,65] 1 [36,66] 1
[37,67] 1 [38,68] 1 [39,69] 1 [40,70] 1 [41,71] 1 [42,72] 1
[43,73] 1 [44,74] 1 [45,75] 1 [46,76] 1 [47,77] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem zweiten Bearbeitungszentrum
[31,78] 1 [32,79] 1 [33,80] 1 [34,81] 1 [35,82] 1 [36,83] 1
[37,84] 1 [38,85] 1 [39,86] 1 [40,87] 1 [41,88] 1 [42,89] 1
[43,90] 1 [44,91] 1 [45,92] 1 [46,93] 1 [47,94] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[31,95] 1 [32,96] 1 [33,97] 1 [34,98] 1 [35,99] 1 [36,100] 1
[37,101] 1 [38,102] 1 [39,103] 1 [40,104] 1 [41,105] 1 [42,106] 1
[43,107] 1 [44,108] 1 [45,109] 1 [46,110] 1 [47,111] 1
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[65,112] 1 [66,113] 1 [67,114] 1 [68,115] 1 [69,116] 1 [70,117] 1
[71,118] 1 [72,119] 1 [73,120] 1 [74,121] 1 [75,122] 1 [76,123] 1
[77,124] 1 [78,125] 1 [79,126] 1 [80,127] 1 [81,128] 1 [82,129] 1
[83,130] 1 [84,131] 1 [85,132] 1
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem zweiten Bearbeitungszentrum
[65,133] 1 [66,134] 1 [67,135] 1 [68,136] 1 [69,137] 1 [70,138] 1
[71,139] 1 [72,140] 1 [73,141] 1 [74,142] 1 [75,143] 1 [76,144] 1
[77,145] 1 [78,146] 1 [79,147] 1
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[65,148] 1 [66,149] 1 [67,150] 1 [68,151] 1 [69,152] 1 [70,153] 1
[71,154] 1 [72,155] 1 [73,156] 1 [74,157] 1 [75,158] 1 [76,159] 1
[77,160] 1 [78,161] 1 ;
140
param t_kw default 10 : 0 := 1 0 2 0 3 0 4 0;
param t_rt default 0 :=
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.125 [62,2] 0.125 [63,2] 0.125 [64,2] 0.125 [65,2] 0.125
[66,2] 0.125 [67,2] 0.125 [68,2] 0.125 [69,2] 0.125 [70,2] 0.125
[71,2] 0.125 [72,2] 0.125 [73,2] 0.125 [74,2] 0.125 [75,2] 0.125
[76,2] 0.125 [77,2] 0.125
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem zweiten Bearbeitungszentrum
[78,3] 0.1 [79,3] 0.1 [80,3] 0.1 [81,3] 0.1 [82,3] 0.1 [83,3] 0.1
[84,3] 0.1 [85,3] 0.1 [86,3] 0.1 [87,3] 0.1 [88,3] 0.1 [89,3] 0.1
[90,3] 0.1 [91,3] 0.1 [92,3] 0.1 [93,3] 0.1 [94,3] 0.1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[95,4] 0.1 [96,4] 0.1 [97,4] 0.1 [98,4] 0.1 [99,4] 0.1 [100,4] 0.1
[101,4] 0.1 [102,4] 0.1 [103,4] 0.1 [104,4] 0.1 [105,4] 0.1
[106,4] 0.1 [107,4] 0.1 [108,4] 0.1 [109,4] 0.1 [110,4] 0.1
[111,4] 0.1
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.125 [113,2] 0.125 [114,2] 0.125 [115,2] 0.125
[116,2] 0.125 [117,2] 0.125 [118,2] 0.125 [119,2] 0.125
[120,2] 0.125 [121,2] 0.125 [122,2] 0.125 [123,2] 0.125
[124,2] 0.125 [125,2] 0.125 [126,2] 0.125 [127,2] 0.125
[128,2] 0.125 [129,2] 0.125 [130,2] 0.125 [131,2] 0.125
[132,2] 0.125
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem zweiten Bearbeitungszentrum
[133,3] 0.1 [134,3] 0.1 [135,3] 0.1 [136,3] 0.1 [137,3] 0.1
[138,3] 0.1 [139,3] 0.1 [140,3] 0.1 [141,3] 0.1 [142,3] 0.1
[143,3] 0.1 [144,3] 0.1 [145,3] 0.1 [146,3] 0.1 [147,3] 0.1
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,4] 0.1 [149,4] 0.1 [150,4] 0.1 [151,4] 0.1 [152,4] 0.1
[153,4] 0.1 [154,4] 0.1 [155,4] 0.1 [156,4] 0.1 [157,4] 0.1
[158,4] 0.1 [159,4] 0.1 [160,4] 0.1 [161,4] 0.1 ;
param t_tw default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 0.0625 [2,1] 0.0625 [3,1] 0.0625 [4,1] 0.0625 [5,1] 0.0625
[6,1] 0.0625 [7,1] 0.0625 [8,1] 0.0625 [9,1] 0.0625 [10,1] 0.0625
[11,1] 0.0625 [12,1] 0.0625 [13,1] 0.0625 [14,1] 0.0625
[15,1] 0.0625 [16,1] 0.0625 [17,1] 0.0625 [18,1] 0.0625
[19,1] 0.0625 [20,1] 0.0625 [21,1] 0.0625 [22,1] 0.0625
[23,1] 0.0625 [24,1] 0.0625 [25,1] 0.0625 [26,1] 0.0625
[27,1] 0.0625 [28,1] 0.0625 [29,1] 0.0625 [30,1] 0.0625
# Montage der Ventilgruppen aus den zugekauften Ventilgrundkörpern
[31,1] 0.083334 [32,1] 0.083334 [33,1] 0.083334 [34,1] 0.083334
[35,1] 0.083334 [36,1] 0.083334 [37,1] 0.083334 [38,1] 0.083334
[39,1] 0.083334 [40,1] 0.083334 [41,1] 0.083334 [42,1] 0.083334
[43,1] 0.083334 [44,1] 0.083334 [45,1] 0.083334 [46,1] 0.083334
[47,1] 0.083334 [48,1] 0.083334 [49,1] 0.083334 [50,1] 0.083334
[51,1] 0.083334 [52,1] 0.083334 [53,1] 0.083334 [54,1] 0.083334
[55,1] 0.083334 [56,1] 0.083334 [57,1] 0.083334 [58,1] 0.083334
[59,1] 0.083334 [60,1] 0.083334
# Fertigung Ventilgrundkörper auf ersten Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.04 [62,2] 0.04 [63,2] 0.04 [64,2] 0.04 [65,2] 0.04
[66,2] 0.04 [67,2] 0.04 [68,2] 0.04 [69,2] 0.04 [70,2] 0.04
[71,2] 0.04 [72,2] 0.04 [73,2] 0.04 [74,2] 0.04 [75,2] 0.04
[76,2] 0.04 [77,2] 0.04
# Fertigung Ventilgrundkörper auf zweiten Bearbeitungszentrum
[78,3] 0.05 [79,3] 0.05 [80,3] 0.05 [81,3] 0.05 [82,3] 0.05
141
[83,3] 0.05 [84,3] 0.05 [85,3] 0.05 [86,3] 0.05 [87,3] 0.05
[88,3] 0.05 [89,3] 0.05 [90,3] 0.05 [91,3] 0.05 [92,3] 0.05
[93,3] 0.05 [94,3] 0.05
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dritten Bearbeitungszentrum
[95,4] 0.05 [96,4] 0.05 [97,4] 0.05 [98,4] 0.05 [99,4] 0.05
[100,4] 0.05 [101,4] 0.05 [102,4] 0.05 [103,4] 0.05 [104,4] 0.05
[105,4] 0.05 [106,4] 0.05 [107,4] 0.05 [108,4] 0.05 [109,4] 0.05
[110,4] 0.05 [111,4] 0.05
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.008 [113,2] 0.008 [114,2] 0.008 [115,2] 0.008
[116,2] 0.008 [117,2] 0.008 [118,2] 0.005 [119,2] 0.005
[120,2] 0.005 [121,2] 0.005 [122,2] 0.005 [123,2] 0.006
[124,2] 0.006 [125,2] 0.006 [126,2] 0.006 [127,2] 0.006
[128,2] 0.015 [129,2] 0.015 [130,2] 0.015 [131,2] 0.015
[132,2] 0.015
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem zweiten Bearbeitungszentrum
[133,3] 0.01 [134,3] 0.01 [135,3] 0.01 [136,3] 0.01 [137,3] 0.01
[138,3] 0.01 [139,3] 0.01 [140,3] 0.004 [141,3] 0.004
[142,3] 0.004 [143,3] 0.005 [144,3] 0.009 [145,3] 0.006
[146,3] 0.006 [147,3] 0.006
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,4] 0.01 [149,4] 0.01 [150,4] 0.01 [151,4] 0.01 [152,4] 0.01
[153,4] 0.01 [154,4] 0.01 [155,4] 0.01 [156,4] 0.004 [157,4] 0.004
[158,4] 0.004 [159,4] 0.005 [160,4] 0.009 [161,4] 0.006 ;
A.2 Partialmodell II
set Q := 1 2 3 ;
set M :=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 ;
set E :=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 ;
set P := 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ;
set S :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 ;
set T :=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115
116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131
132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147
148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 ;
set W := 1 2 4 ;
param big_m := 10000 ;
142
param n_rtmax := 1000;
param: pi ny omega :=
0001
1101
2211
3321
4431
5541
6651
7761
8871
9981
10 10 9 1
11 11 10 0.3
12 12 11 0.3
13 13 12 0.3
14 14 13 0.3
15 15 14 0.3
16 16 15 0.3
17 17 16 0.3
18 18 17 0.3
19 19 18 0.3
20 20 19 0.3
21 11 10 0.7
22 12 21 0.7
23 13 22 0.7
24 14 23 0.7
25 15 24 0.7
26 16 25 0.7
27 17 26 0.7
28 18 27 0.7
29 19 28 0.7
30 20 29 0.7 ;
param b_k default 0 :=
[48,0] 1 [48,1] 1 [48,2] 1 [48,3] 1 [48,4] 1 [48,5] 1 [48,6] 1
[48,7] 1 [48,8] 1 [48,9] 1 [48,10] 1 [48,11] 1 [48,12] 1 [48,13] 1
[48,14] 1 [48,15] 1 [48,16] 1 [48,17] 1 [48,18] 1 [48,19] 1
[48,20] 1 [49,0] 1 [49,1] 1 [49,2] 1 [49,3] 1 [49,4] 1 [49,5] 1
[49,6] 1 [49,7] 1 [49,8] 1 [49,9] 1 [49,10] 1 [49,11] 1 [49,12] 1
[49,13] 1 [49,14] 1 [49,15] 1 [49,16] 1 [49,17] 1 [49,18] 1
[49,19] 1 [49,20] 1 [50,0] 1 [50,1] 1 [50,2] 1 [50,3] 1 [50,4] 1
[50,5] 1 [50,6] 1 [50,7] 1 [50,8] 1 [50,9] 1 [50,10] 1 [50,11] 1
[50,12] 1 [50,13] 1 [50,14] 1 [50,15] 1 [50,16] 1 [50,17] 1
[50,18] 1 [50,19] 1 [50,20] 1 [51,0] 1 [51,1] 1 [51,2] 1 [51,3] 1
[51,4] 1 [51,5] 1 [51,6] 1 [51,7] 1 [51,8] 1 [51,9] 1 [51,10] 1
[51,11] 1 [51,12] 1 [51,13] 1 [51,14] 1 [51,15] 1 [51,16] 1
[51,17] 1 [51,18] 1 [51,19] 1 [51,20] 1 [52,0] 1 [52,1] 1 [52,2] 1
[52,3] 1 [52,4] 1 [52,5] 1 [52,6] 1 [52,7] 1 [52,8] 1 [52,9] 1
[52,10] 1 [52,11] 1 [52,12] 1 [52,13] 1 [52,14] 1 [52,15] 1
[52,16] 1 [52,17] 1 [52,18] 1 [52,19] 1 [52,20] 1 [53,0] 1 [53,1]
1 [53,2] 1 [53,3] 1 [53,4] 1 [53,5] 1 [53,6] 1 [53,7] 1 [53,8] 1
[53,9] 1 [53,10] 1 [53,11] 1 [53,12] 1 [53,13] 1 [53,14] 1
[53,15] 1 [53,16] 1 [53,17] 1 [53,18] 1 [53,19] 1 [53,20] 1
[54,0] 1 [54,1] 1 [54,2] 1 [54,3] 1 [54,4] 1 [54,5] 1 [54,6] 1
[54,7] 1 [54,8] 1 [54,9] 1 [54,10] 1 [54,11] 1 [54,12] 1 [54,13] 1
143
[54,14] 1 [54,15] 1 [54,16] 1 [54,17] 1 [54,18] 1 [54,19] 1
[54,20] 1 [55,0] 1 [55,1] 1 [55,2] 1 [55,3] 1 [55,4] 1 [55,5] 1
[55,6] 1 [55,7] 1 [55,8] 1 [55,9] 1 [55,10] 1 [55,11] 1 [55,12] 1
[55,13] 1 [55,14] 1 [55,15] 1 [55,16] 1 [55,17] 1 [55,18] 1
[55,19] 1 [55,20] 1 [56,0] 1 [56,1] 1 [56,2] 1 [56,3] 1 [56,4] 1
[56,5] 1 [56,6] 1 [56,7] 1 [56,8] 1 [56,9] 1 [56,10] 1 [56,11] 1
[56,12] 1 [56,13] 1 [56,14] 1 [56,15] 1 [56,16] 1 [56,17] 1
[56,18] 1 [56,19] 1 [56,20] 1 [57,0] 1 [57,1] 1 [57,2] 1 [57,3] 1
[57,4] 1 [57,5] 1 [57,6] 1 [57,7] 1 [57,8] 1 [57,9] 1 [57,10] 1
[57,11] 1 [57,12] 1 [57,13] 1 [57,14] 1 [57,15] 1 [57,16] 1
[57,17] 1 [57,18] 1 [57,19] 1 [57,20] 1 [58,0] 1 [58,1] 1 [58,2] 1
[58,3] 1 [58,4] 1 [58,5] 1 [58,6] 1 [58,7] 1 [58,8] 1 [58,9] 1
[58,10] 1 [58,11] 1 [58,12] 1 [58,13] 1 [58,14] 1 [58,15] 1
[58,16] 1 [58,17] 1 [58,18] 1 [58,19] 1 [58,20] 1 [59,0] 1
[59,1] 1 [59,2] 1 [59,3] 1 [59,4] 1 [59,5] 1 [59,6] 1 [59,7] 1
[59,8] 1 [59,9] 1 [59,10] 1 [59,11] 1 [59,12] 1 [59,13] 1
[59,14] 1 [59,15] 1 [59,16] 1 [59,17] 1 [59,18] 1 [59,19] 1
[59,20] 1 [60,0] 1 [60,1] 1 [60,2] 1 [60,3] 1 [60,4] 1 [60,5] 1
[60,6] 1 [60,7] 1 [60,8] 1 [60,9] 1 [60,10] 1 [60,11] 1 [60,12] 1
[60,13] 1 [60,14] 1 [60,15] 1 [60,16] 1 [60,17] 1 [60,18] 1
[60,19] 1 [60,20] 1 [61,0] 1 [61,1] 1 [61,2] 1 [61,3] 1 [61,4] 1
[61,5] 1 [61,6] 1 [61,7] 1 [61,8] 1 [61,9] 1 [61,10] 1 [61,11] 1
[61,12] 1 [61,13] 1 [61,14] 1 [61,15] 1 [61,16] 1 [61,17] 1
[61,18] 1 [61,19] 1 [61,20] 1 [62,0] 1 [62,1] 1 [62,2] 1 [62,3] 1
[62,4] 1 [62,5] 1 [62,6] 1 [62,7] 1 [62,8] 1 [62,9] 1 [62,10] 1
[62,11] 1 [62,12] 1 [62,13] 1 [62,14] 1 [62,15] 1 [62,16] 1
[62,17] 1 [62,18] 1 [62,19] 1 [62,20] 1 [63,0] 1 [63,1] 1
[63,2] 1 [63,3] 1 [63,4] 1 [63,5] 1 [63,6] 1 [63,7] 1 [63,8] 1
[63,9] 1 [63,10] 1 [63,11] 1 [63,12] 1 [63,13] 1 [63,14] 1
[63,15] 1 [63,16] 1 [63,17] 1 [63,18] 1 [63,19] 1 [63,20] 1
[64,0] 1 [64,1] 1 [64,2] 1 [64,3] 1 [64,4] 1 [64,5] 1 [64,6] 1
[64,7] 1 [64,8] 1 [64,9] 1 [64,10] 1 [64,11] 1 [64,12] 1 [64,13] 1
[64,14] 1 [64,15] 1 [64,16] 1 [64,17] 1 [64,18] 1 [64,19] 1
[64,20] 1 [86,0] 1 [86,1] 1 [86,2] 1 [86,3] 1 [86,4] 1 [86,5] 1
[86,6] 1 [86,7] 1 [86,8] 1 [86,9] 1 [86,10] 1 [86,11] 1 [86,12] 1
[86,13] 1 [86,14] 1 [86,15] 1 [86,16] 1 [86,17] 1 [86,18] 1
[86,19] 1 [86,20] 1 [87,0] 1 [87,1] 1 [87,2] 1 [87,3] 1 [87,4] 1
[87,5] 1 [87,6] 1 [87,7] 1 [87,8] 1 [87,9] 1 [87,10] 1 [87,11] 1
[87,12] 1 [87,13] 1 [87,14] 1 [87,15] 1 [87,16] 1 [87,17] 1
[87,18] 1 [87,19] 1 [87,20] 1 [88,0] 1 [88,1] 1 [88,2] 1 [88,3] 1
[88,4] 1 [88,5] 1 [88,6] 1 [88,7] 1 [88,8] 1 [88,9] 1 [88,10] 1
[88,11] 1 [88,12] 1 [88,13] 1 [88,14] 1 [88,15] 1 [88,16] 1
[88,17] 1 [88,18] 1 [88,19] 1 [88,20] 1 [89,0] 1 [89,1] 1 [89,2] 1
[89,3] 1 [89,4] 1 [89,5] 1 [89,6] 1 [89,7] 1 [89,8] 1 [89,9] 1
[89,10] 1 [89,11] 1 [89,12] 1 [89,13] 1 [89,14] 1 [89,15] 1
[89,16] 1 [89,17] 1 [89,18] 1 [89,19] 1 [89,20] 1 [90,0] 1
[90,1] 1 [90,2] 1 [90,3] 1 [90,4] 1 [90,5] 1 [90,6] 1 [90,7] 1
[90,8] 1 [90,9] 1 [90,10] 1 [90,11] 1 [90,12] 1 [90,13] 1
[90,14] 1 [90,15] 1 [90,16] 1 [90,17] 1 [90,18] 1 [90,19] 1
[90,20] 1 [91,0] 1 [91,1] 1 [91,2] 1 [91,3] 1 [91,4] 1 [91,5] 1
[91,6] 1 [91,7] 1 [91,8] 1 [91,9] 1 [91,10] 1 [91,11] 1 [91,12] 1
[91,13] 1 [91,14] 1 [91,15] 1 [91,16] 1 [91,17] 1 [91,18] 1
[91,19] 1 [91,20] 1 [92,0] 1 [92,1] 1 [92,2] 1 [92,3] 1 [92,4] 1
[92,5] 1 [92,6] 1 [92,7] 1 [92,8] 1 [92,9] 1 [92,10] 1 [92,11] 1
[92,12] 1 [92,13] 1 [92,14] 1 [92,15] 1 [92,16] 1 [92,17] 1
[92,18] 1 [92,19] 1 [92,20] 1 [93,0] 1 [93,1] 1 [93,2] 1 [93,3] 1
[93,4] 1 [93,5] 1 [93,6] 1 [93,7] 1 [93,8] 1 [93,9] 1 [93,10] 1
[93,11] 1 [93,12] 1 [93,13] 1 [93,14] 1 [93,15] 1 [93,16] 1
144
[93,17] 1 [93,18] 1 [93,19] 1 [93,20] 1 [94,0] 1 [94,1] 1 [94,2] 1
[94,3] 1 [94,4] 1 [94,5] 1 [94,6] 1 [94,7] 1 [94,8] 1 [94,9] 1
[94,10] 1 [94,11] 1 [94,12] 1 [94,13] 1 [94,14] 1 [94,15] 1
[94,16] 1 [94,17] 1 [94,18] 1 [94,19] 1 [94,20] 1 [95,0] 1
[95,1] 1 [95,2] 1 [95,3] 1 [95,4] 1 [95,5] 1 [95,6] 1 [95,7] 1
[95,8] 1 [95,9] 1 [95,10] 1 [95,11] 1 [95,12] 1 [95,13] 1
[95,14] 1 [95,15] 1 [95,16] 1 [95,17] 1 [95,18] 1 [95,19] 1
[95,20] 1 [96,0] 1 [96,1] 1 [96,2] 1 [96,3] 1 [96,4] 1 [96,5] 1
[96,6] 1 [96,7] 1 [96,8] 1 [96,9] 1 [96,10] 1 [96,11] 1 [96,12] 1
[96,13] 1 [96,14] 1 [96,15] 1 [96,16] 1 [96,17] 1 [96,18] 1
[96,19] 1 [96,20] 1 [97,0] 1 [97,1] 1 [97,2] 1 [97,3] 1 [97,4] 1
[97,5] 1 [97,6] 1 [97,7] 1 [97,8] 1 [97,9] 1 [97,10] 1 [97,11] 1
[97,12] 1 [97,13] 1 [97,14] 1 [97,15] 1 [97,16] 1 [97,17] 1
[97,18] 1 [97,19] 1 [97,20] 1 [98,0] 1 [98,1] 1 [98,2] 1 [98,3] 1
[98,4] 1 [98,5] 1 [98,6] 1 [98,7] 1 [98,8] 1 [98,9] 1 [98,10] 1
[98,11] 1 [98,12] 1 [98,13] 1 [98,14] 1 [98,15] 1 [98,16] 1
[98,17] 1 [98,18] 1 [98,19] 1 [98,20] 1 [99,0] 1 [99,1] 1 [99,2] 1
[99,3] 1 [99,4] 1 [99,5] 1 [99,6] 1 [99,7] 1 [99,8] 1 [99,9] 1
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[100,1] 1 [100,2] 1 [100,3] 1 [100,4] 1 [100,5] 1 [100,6] 1
[100,7] 1 [100,8] 1 [100,9] 1 [100,10] 1 [100,11] 1 [100,12] 1
[100,13] 1 [100,14] 1 [100,15] 1 [100,16] 1 [100,17] 1 [100,18] 1
[100,19] 1 [100,20] 1 [101,0] 1 [101,1] 1 [101,2] 1 [101,3] 1
[101,4] 1 [101,5] 1 [101,6] 1 [101,7] 1 [101,8] 1 [101,9] 1
[101,10] 1 [101,11] 1 [101,12] 1 [101,13] 1 [101,14] 1 [101,15] 1
[101,16] 1 [101,17] 1 [101,18] 1 [101,19] 1 [101,20] 1 [102,0] 1
[102,1] 1 [102,2] 1 [102,3] 1 [102,4] 1 [102,5] 1 [102,6] 1
[102,7] 1 [102,8] 1 [102,9] 1 [102,10] 1 [102,11] 1 [102,12] 1
[102,13] 1 [102,14] 1 [102,15] 1 [102,16] 1 [102,17] 1 [102,18] 1
[102,19] 1 [102,20] 1 [103,0] 1 [103,1] 1 [103,2] 1 [103,3] 1
[103,4] 1 [103,5] 1 [103,6] 1 [103,7] 1 [103,8] 1 [103,9] 1
[103,10] 1 [103,11] 1 [103,12] 1 [103,13] 1 [103,14] 1 [103,15] 1
[103,16] 1 [103,17] 1 [103,18] 1 [103,19] 1 [103,20] 1 [104,0] 1
[104,1] 1 [104,2] 1 [104,3] 1 [104,4] 1 [104,5] 1 [104,6] 1
[104,7] 1 [104,8] 1 [104,9] 1 [104,10] 1 [104,11] 1 [104,12] 1
[104,13] 1 [104,14] 1 [104,15] 1 [104,16] 1 [104,17] 1 [104,18] 1
[104,19] 1 [104,20] 1 ;
param b_m0 default 1 := 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 ;
param b_q0 default 0 :=
[1,1] 1 [2,1] 1 [3,1] 1 [4,1] 1 [5,1] 1 [6,1] 1 [7,1] 1 [8,1] 1
[9,1] 1 [10,1] 1 [11,2] 1 [12,2] 1 [13,3] 1 [14,3] 1 [15,3] 1
[16,3] 1 [17,3] 1 [25,3] 1 ;
param b_v default 1 :=
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0
16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 26 0 27 0 28 0
29 0 30 0 ;
param b_w default 1 ;
param c_me := 4000 ;
param c_mr := 5000 ;
param c_k default 0 :=
145
48 150 49 140 50 160 51 135 52 138 53 125 54 128 55 150 56 152
57 155 58 120 59 125 60 129 61 144 62 160 63 162 64 128 86 88
87 16 88 77 89 55 90 35 91 190 92 166 93 44 94 28 95 50 96 122
97 48 98 47 99 29 100 49 101 488 102 58 103 54 104 22 ;
param c_l default 1 :=
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 3 11 3 12 3 13 3 14 3 15 3
16 3 17 3 18 3 19 3 20 3 21 3 22 3 23 3 24 3 25 3 26 3 27 3 28 3
29 3 30 3 65 0.5 66 0.5 67 0.5 68 0.5 69 0.5 70 0.5 71 0.5 72 0.5
73 0.5 74 0.5 75 0.5 76 0.5 77 0.5 78 0.5 79 0.5 80 0.5 81 0.5
82 0.5 83 0.5 84 0.5 85 0.5 86 0.5 87 0.5 88 0.5 89 0.5 90 0.5
91 0.5 92 0.5 93 0.5 94 0.5 95 0.5 96 0.5 97 0.5 98 0.5 99 0.5
100 0.5 101 0.5 102 0.5 103 0.5 104 0.5 ;
param c_m default 2000 :=
13 3000 14 3000 15 3000 16 3000 17 3000 25 3000 ;
param c_p := 1 500 2 150 4 150 ;
param c_r := 1 1000 2 250 4 250 ;
param c_u default 500 := 13 800 14 800 15 800 16 800 17 800 25 800 ;
param c_v default 0 :=
1 50 2 50 3 50 4 50 5 50 6 50 7 50 8 50 9 50 10 50 11 50 12 50 13
50 14 50 15 50 16 50 17 50 18 50 19 50 20 50 21 50 22 50 23 50 24
50 25 50 26 50 27 50 28 50 29 50 30 50 ;
param c_z := 0.00539 ;
param n_b default 0 :=
[3,1] 100 [10,1] 30 [1,1] 15 [11,2] 80 [2,2] 20 [21,3] 150
[6,3] 10 [4,4] 22 [5,5] 30 [12,6] 400 [13,7] 40 [22,7] 15
[28,8] 22 [29,8] 22 [21,10] 250 [9,11] 17 [8,11] 17 [10,14] 700
[18,14] 70 [11,16] 500 [10,18] 300 [10,20] 120 [23,21] 22
[24,21] 22 [10,24] 850 [18,24] 50 [11,26] 550 [10,28] 380
[10,30] 200 ;
param n_tb default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[31,1] 1 [31,2] 1 [31,3] 1 [31,4] 1 [32,5] 1 [32,6] 1 [32,7] 1
[33,8] 1 [33,9] 1 [33,10] 1 [34,11] 1 [34,12] 1 [35,13] 1
[35,14] 1 [36,15] 1 [36,16] 1 [37,17] 1 [37,18] 1 [38,19] 1
[38,20] 1 [39,21] 1 [39,22] 1 [40,23] 1 [41,24] 1 [42,25] 1
[43,26] 1 [44,27] 1 [45,28] 1 [46,29] 1 [47,30] 1
# Anbauteile Eigenfertigung
[65,1] 1 [66,1] 1 [73,1] 1 [76,1] 1 [81,1] 1 [83,1] 1 [84,1] 1
[85,1] 1 [65,2] 1 [66,2] 1 [73,2] 1 [77,2] 1 [81,2] 1 [66,3] 1
[73,3] 1 [78,3] 1 [82,3] 1 [65,4] 1 [66,4] 1 [74,4] 1 [76,4] 1
[81,4] 1 [83,4] 1 [84,4] 1 [85,4] 1 [65,5] 1 [66,5] 1 [74,5] 1
[77,5] 1 [81,5] 1 [66,6] 1 [74,6] 1 [78,6] 1 [82,6] 1 [65,7] 1
[67,7] 1 [73,7] 1 [77,7] 1 [81,7] 1 [65,8] 1 [67,8] 1 [73,8] 1
[78,8] 1 [82,8] 1 [65,9] 1 [67,9] 1 [74,9] 1 [77,9] 1 [81,9] 1
[65,10] 1 [67,10] 1 [74,10] 1 [78,10] 1 [82,10] 1 [65,11] 1
[67,11] 1 [74,11] 1 [77,11] 1 [81,11] 1 [65,12] 1 [67,12] 1
[74,12] 1 [78,12] 1 [82,12] 1 [65,13] 1 [68,13] 1 [75,13] 1
[77,13] 1 [81,13] 1 [65,14] 1 [68,14] 1 [75,14] 1 [78,14] 1
[82,14] 1 [65,15] 1 [68,15] 1 [73,15] 1 [77,15] 1 [81,15] 1
146
[65,16] 1 [68,16] 1 [73,16] 1 [78,16] 1 [82,16] 1 [65,17] 1
[69,17] 1 [73,17] 1 [77,17] 1 [81,17] 1 [65,18] 1 [69,18] 1
[73,18] 1 [78,18] 1 [82,18] 1 [65,19] 1 [70,19] 1 [74,19] 1
[77,19] 1 [81,19] 1 [65,20] 1 [70,20] 1 [74,20] 1 [78,20] 1
[82,20] 1 [65,21] 1 [70,21] 1 [75,21] 1 [77,21] 1 [81,21] 1
[65,22] 1 [70,22] 1 [75,22] 1 [78,22] 1 [82,22] 1 [65,23] 1
[70,23] 1 [75,23] 1 [77,23] 1 [81,23] 1 [65,24] 1 [70,24] 1
[75,24] 1 [78,24] 1 [82,24] 1 [71,25] 1 [75,25] 1 [78,25] 1
[82,25] 1 [83,25] 1 [84,25] 1 [71,26] 1 [74,26] 1 [78,26] 1
[82,26] 1 [83,26] 1 [84,26] 1 [71,27] 1 [74,27] 1 [78,27] 1
[82,27] 1 [83,27] 1 [84,27] 1 [71,28] 1 [74,28] 1 [78,28] 1
[82,28] 1 [83,28] 1 [84,28] 1 [65,29] 1 [71,29] 1 [74,29] 1
[78,29] 1 [82,29] 1 [83,29] 1 [84,29] 1 [72,30] 1 [74,30] 1
[78,30] 1 [82,30] 1 [83,30] 1 [84,30] 1
# Anbauteile Fremdfertigung
[86,1] 1 [87,1] 1 [91,1] 1 [96,1] 1 [103,1] 1 [104,1] 1 [88,2] 1
[91,2] 1 [96,2] 1 [89,3] 1 [91,3] 1 [96,3] 1 [86,4] 1 [87,4] 1
[92,4] 1 [97,4] 1 [103,4] 1 [104,4] 1 [88,5] 1 [92,5] 1 [97,5] 1
[89,6] 1 [92,6] 1 [97,6] 1 [88,7] 1 [91,7] 1 [96,7] 1 [89,8] 1
[91,8] 1 [96,8] 1 [88,9] 1 [93,9] 1 [98,9] 1 [89,10] 1 [93,10] 1
[98,10] 1 [88,11] 1 [94,11] 1 [99,11] 1 [89,12] 1 [94,12] 1
[99,12] 1 [88,13] 1 [91,13] 1 [96,13] 1 [89,14] 1 [91,14] 1
[96,14] 1 [88,15] 1 [91,15] 1 [96,15] 1 [89,16] 1 [91,16] 1
[96,16] 1 [88,17] 1 [91,17] 1 [96,17] 1 [89,18] 1 [91,18] 1
[96,18] 1 [88,19] 1 [93,19] 1 [98,19] 1 [89,20] 1 [93,20] 1
[98,20] 1 [88,21] 1 [94,21] 1 [99,21] 1 [89,22] 1 [94,22] 1
[99,22] 1 [88,23] 1 [92,23] 1 [97,23] 1 [89,24] 1 [92,24] 1
[97,24] 1 [89,25] 1 [90,25] 1 [95,25] 1 [100,25] 1 [101,25] 1
[102,25] 1 [89,26] 1 [90,26] 1 [95,26] 1 [100,26] 1 [102,26] 1
[89,27] 1 [90,27] 1 [95,27] 1 [100,27] 1 [102,27] 1 [89,28] 1
[90,28] 1 [95,28] 1 [100,28] 1 [102,28] 1 [89,29] 1 [90,29] 1
[95,29] 1 [100,29] 1 [102,29] 1 [89,30] 1 [90,30] 1 [95,30] 1
[100,30] 1 [101,30] 1 [102,30] 1 ;
param n_te default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 1 [2,2] 1 [3,3] 1 [4,4] 1 [5,5] 1 [6,6] 1 [7,7] 1 [8,8] 1
[9,9] 1 [10,10] 1 [11,11] 1 [12,12] 1 [13,13] 1 [14,14] 1
[15,15] 1 [16,16] 1 [17,17] 1 [18,18] 1 [19,19] 1 [20,20] 1
[21,21] 1 [22,22] 1 [23,23] 1 [24,24] 1 [25,25] 1 [26,26] 1
[27,27] 1 [28,28] 1 [29,29] 1 [30,30] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[31,61] 1 [32,62] 1 [33,63] 1 [34,64] 1 [35,65] 1 [36,66] 1
[37,67] 1 [38,68] 1 [39,69] 1 [40,70] 1 [41,71] 1 [42,72] 1
[43,73] 1 [44,74] 1 [45,75] 1 [46,76] 1 [47,77] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[31,95] 1 [32,96] 1 [33,97] 1 [34,98] 1 [35,99] 1 [36,100] 1
[37,101] 1 [38,102] 1 [39,103] 1 [40,104] 1 [41,105] 1 [42,106] 1
[43,107] 1 [44,108] 1 [45,109] 1 [46,110] 1 [47,111] 1
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[65,112] 1 [66,113] 1 [67,114] 1 [68,115] 1 [69,116] 1 [70,117] 1
[71,118] 1 [72,119] 1 [73,120] 1 [74,121] 1 [75,122] 1 [76,123] 1
[77,124] 1 [78,125] 1 [79,126] 1 [80,127] 1 [81,128] 1 [82,129] 1
[83,130] 1 [84,131] 1 [85,132] 1
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[65,148] 1 [66,149] 1 [67,150] 1 [68,151] 1 [69,152] 1 [70,153] 1
[71,154] 1 [72,155] 1 [73,156] 1 [74,157] 1 [75,158] 1 [76,159] 1
[77,160] 1 [78,161] 1 ;
147
param t_kw default 42 : 0 := 1 0 2 0 4 0 ;
param t_rt default 0 :=
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.125 [62,2] 0.125 [63,2] 0.125 [64,2] 0.125 [65,2] 0.125
[66,2] 0.125 [67,2] 0.125 [68,2] 0.125 [69,2] 0.125 [70,2] 0.125
[71,2] 0.125 [72,2] 0.125 [73,2] 0.125 [74,2] 0.125 [75,2] 0.125
[76,2] 0.125 [77,2] 0.125
# Fertigung Ventilgrundkörper auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[95,4] 0.1 [96,4] 0.1 [97,4] 0.1 [98,4] 0.1 [99,4] 0.1 [100,4] 0.1
[101,4] 0.1 [102,4] 0.1 [103,4] 0.1 [104,4] 0.1 [105,4] 0.1
[106,4] 0.1 [107,4] 0.1 [108,4] 0.1 [109,4] 0.1 [110,4] 0.1
[111,4] 0.1
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.125 [113,2] 0.125 [114,2] 0.125 [115,2] 0.125
116,2] 0.125 [117,2] 0.125 [118,2] 0.125 [119,2] 0.125
[120,2] 0.125 [121,2] 0.125 [122,2] 0.125 [123,2] 0.125
[124,2] 0.125 [125,2] 0.125 [126,2] 0.125 [127,2] 0.125
[128,2] 0.125 [129,2] 0.125 [130,2] 0.125 [131,2] 0.125
[132,2] 0.125
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,4] 0.1 [149,4] 0.1 [150,4] 0.1 [151,4] 0.1 [152,4] 0.1
[153,4] 0.1 [154,4] 0.1 [155,4] 0.1 [156,4] 0.1 [157,4] 0.1
[158,4] 0.1 [159,4] 0.1 [160,4] 0.1 [161,4] 0.1 ;
param t_tw default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 0.0625 [2,1] 0.0625 [3,1] 0.0625 [4,1] 0.0625 [5,1] 0.0625
[6,1] 0.0625 [7,1] 0.0625 [8,1] 0.0625 [9,1] 0.0625 [10,1] 0.0625
[11,1] 0.0625 [12,1] 0.0625 [13,1] 0.0625 [14,1] 0.0625
[15,1] 0.0625 [16,1] 0.0625 [17,1] 0.0625 [18,1] 0.0625
[19,1] 0.0625 [20,1] 0.0625 [21,1] 0.0625 [22,1] 0.0625
[23,1] 0.0625 [24,1] 0.0625 [25,1] 0.0625 [26,1] 0.0625
[27,1] 0.0625 [28,1] 0.0625 [29,1] 0.0625 [30,1] 0.0625
# Fertigung Ventilgrundkörper auf erstem Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.04 [62,2] 0.04 [63,2] 0.04 [64,2] 0.04 [65,2] 0.04
[66,2] 0.04 [67,2] 0.04 [68,2] 0.04 [69,2] 0.04 [70,2] 0.04
[71,2] 0.04 [72,2] 0.04 [73,2] 0.04 [74,2] 0.04 [75,2] 0.04
[76,2] 0.04 [77,2] 0.04
# Fertigung Ventilgrundkörper auf drittem Bearbeitungszentrum
[95,4] 0.05 [96,4] 0.05 [97,4] 0.05 [98,4] 0.05 [99,4] 0.05
[100,4] 0.05 [101,4] 0.05 [102,4] 0.05 [103,4] 0.05 [104,4] 0.05
[105,4] 0.05 [106,4] 0.05 [107,4] 0.05 [108,4] 0.05 [109,4] 0.05
[110,4] 0.05 [111,4] 0.05
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.008 [113,2] 0.008 [114,2] 0.008 [115,2] 0.008
[116,2] 0.008 [117,2] 0.008 [118,2] 0.005 [119,2] 0.005
[120,2] 0.005 [121,2] 0.005 [122,2] 0.005 [123,2] 0.006
[124,2] 0.006 [125,2] 0.006 [126,2] 0.006 [127,2] 0.006
[128,2] 0.015 [129,2] 0.015 [130,2] 0.015 [131,2] 0.015
[132,2] 0.015
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,4] 0.01 [149,4] 0.01 [150,4] 0.01 [151,4] 0.01 [152,4] 0.01
[153,4] 0.01 [154,4] 0.01 [155,4] 0.01 [156,4] 0.004 [157,4] 0.004
[158,4] 0.004 [159,4] 0.005 [160,4] 0.009 [161,4] 0.006 ;
param t_tq default 0 :=
148
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 0.3125 [2,1] 0.3125 [3,1] 0.3125 [4,1] 0.3125 [5,1] 0.3125
[6,1] 0.3125 [7,1] 0.3125 [8,1] 0.3125 [9,1] 0.3125 [10,1] 0.3125
[11,1] 0.3125 [12,1] 0.3125 [13,1] 0.3125 [14,1] 0.3125
[15,1] 0.3125 [16,1] 0.3125 [17,1] 0.3125 [18,1] 0.3125
[19,1] 0.3125 [20,1] 0.3125 [21,1] 0.3125 [22,1] 0.3125
[23,1] 0.3125 [24,1] 0.3125 [25,1] 0.3125 [26,1] 0.3125
[27,1] 0.3125 [28,1] 0.3125 [29,1] 0.3125 [30,1] 0.3125
# Fertigung Ventilgrundkörper auf erstem Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.03 [62,2] 0.03 [63,2] 0.03 [64,2] 0.03 [65,2] 0.03
[66,2] 0.03 [67,2] 0.03 [68,2] 0.03 [69,2] 0.03 [70,2] 0.03
[71,2] 0.03 [72,2] 0.03 [73,2] 0.03 [74,2] 0.03 [75,2] 0.03
[76,2] 0.03 [77,2] 0.03
# Fertigung Ventilgrundkörper auf drittem Bearbeitungszentrum
[95,2] 0.0325 [96,2] 0.0325 [97,2] 0.0325 [98,2] 0.0325
[99,2] 0.0325 [100,2] 0.0325 [101,2] 0.0325 [102,2] 0.0325
[103,2] 0.0325 [104,2] 0.0325 [105,2] 0.0325 [106,2] 0.0325
[107,2] 0.0325 [108,2] 0.0325 [109,2] 0.0325 [110,2] 0.0325
[111,2] 0.0325
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.006 [113,2] 0.006 [114,2] 0.006 [115,2] 0.006
[116,2] 0.006 [117,2] 0.006 [118,2] 0.00325 [119,2] 0.00325
[120,2] 0.00325 [121,2] 0.00325 [122,2] 0.00325 [123,2] 0.0045
[124,2] 0.0045 [125,2] 0.0045 [126,2] 0.0045 [127,2] 0.0045
[128,2] 0.01125 [129,2] 0.01125 [130,2] 0.01125 [131,2] 0.01125
[132,2] 0.01125
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,2] 0.0075 [149,2] 0.0075 [150,2] 0.0075 [151,2] 0.0075
[152,2] 0.0075 [153,2] 0.0075 [154,2] 0.0075 [155,2] 0.0075
[156,2] 0.003 [157,2] 0.003 [158,2] 0.003 [159,2] 0.00325
[160,2] 0.00675 [161,2] 0.0045
# Fertigung Ventilgrundkörper auf erstem Bearbeitungszentrum
[61,3] 0.04 [62,3] 0.04 [63,3] 0.04 [64,3] 0.04 [65,3] 0.04
[66,3] 0.04 [67,3] 0.04 [68,3] 0.04 [69,3] 0.04 [70,3] 0.04
[71,3] 0.04 [72,3] 0.04 [73,3] 0.04 [74,3] 0.04 [75,3] 0.04
[76,3] 0.04 [77,3] 0.04
# Fertigung Ventilgrundkörper auf drittem Bearbeitungszentrum
[95,3] 0.05 [96,3] 0.05 [97,3] 0.05 [98,3] 0.05 [99,3] 0.05
[100,3] 0.05 [101,3] 0.05 [102,3] 0.05 [103,3] 0.05 [104,3] 0.05
[105,3] 0.05 [106,3] 0.05 [107,3] 0.05 [108,3] 0.05 [109,3] 0.05
[110,3] 0.05 [111,3] 0.05
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,3] 0.008 [113,3] 0.008 [114,3] 0.008 [115,3] 0.008
[116,3] 0.008 [117,3] 0.008 [118,3] 0.005 [119,3] 0.005
[120,3] 0.005 [121,3] 0.005 [122,3] 0.005 [123,3] 0.006
[124,3] 0.006 [125,3] 0.006 [126,3] 0.006 [127,3] 0.006
[128,3] 0.015 [129,3] 0.015 [130,3] 0.015 [131,3] 0.015
[132,3] 0.015
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,3] 0.01 [149,3] 0.01 [150,3] 0.01 [151,3] 0.01 [152,3] 0.01
[153,3] 0.01 [154,3] 0.01 [155,3] 0.01 [156,3] 0.004 [157,3] 0.004
[158,3] 0.004 [159,3] 0.005 [160,3] 0.009 [161,3] 0.006 ;
param n_uMax := 1.25;
param t_l := 1 10 2 5 3 1000 ;
param t_m default 8 ;
149
param c_q := 1 2000 2 1000 3 10000 ;
A.3 Partialmodell III
set E :=
# Ventilgruppen
1 2 3 6 10 11 21
# Ventilgrundkörper
31 32 33 34 39
# Anbauteile
65 66 67 70 73 74 75 76 77 78 81 82 83 84 85 86 87 88 89 91 92 93
94 96 97 98 99 103 104 ;
set P :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 ;
set PA := 0 ;
set S :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 ;
set T :=
1 2 3 6 10 11 21 61 62 63 64 69 95 96 97 98 103 112 113 114 117
120 121 122 123 124 125 128 129 130 131 132 148 149 150 153 156
157 158 159 160 161 ;
set W := 1 2 4 ;
param: pi ny :=
000
110
221
332
443
554
665
776
887
998
10 10 9
11 11 10
12 12 11
13 13 12
14 14 13
15 15 14
16 16 15
17 17 16
18 18 17
19 19 18
20 20 19
21 21 20
22 22 21
23 23 22
24 24 23
25 25 24
150
26 26 25
27 27 26
28 28 27
29 29 28
30 30 29 ;
param omega default 1 ;
param a_w_max := 0.9;
param big_m := 1000 ;
param c_z := 0.00054;
param p_min := 0.95;
param t_bz := 5 ;
param t_lmax := 5 ;
param a_w default 0 :=
[1,1] 0.90625 [1,2] 0.90625 [1,3] 0.90625 [1,4] 0.90625
[1,5] 0.90625 [1,6] 0.90625 [1,7] 0.90625 [1,8] 0.90625
[1,9] 0.90625 [1,10] 0.90625 [1,11] 0.625 [1,12] 0.625
[1,13] 0.625 [1,14] 0.625 [1,15] 0.625 [1,16] 0.625 [1,17] 0.625
[1,18] 0.625 [1,19] 0.625 [1,20] 0.625 [1,21] 1 [1,22] 1 [1,23] 1
[1,24] 1 [1,25] 1 [1,26] 1 [1,27] 1 [1,28] 1 [1,29] 1 [1,30] 1
[2,1] 0.99999 [2,2] 0.99999 [2,3] 0.99999 [2,4] 0.99999
[2,5] 0.99999 [2,6] 0.99999 [2,7] 0.99999 [2,8] 0.99999
[2,9] 0.99999 [2,10] 0.99999 [2,11] 0.9455 [2,12] 0.9455
[2,13] 0.9455 [2,14] 0.9455 [2,15] 0.9455 [2,16] 0.9455
[2,17] 0.9455 [2,18] 0.9455 [2,19] 0.9455 [2,20] 0.9455 [2,21] 1
[2,22] 1 [2,23] 1 [2,24] 1 [2,25] 1 [2,26] 1 [2,27] 1 [2,28] 1
[2,29] 1 [2,30] 1 [4,1] 0.70387 [4,2] 0.70387 [4,3] 0.70387
[4,4] 0.70387 [4,5] 0.70387 [4,6] 0.70387 [4,7] 0.70387
[4,8] 0.70387 [4,9] 0.70387 [4,10] 0.70387 [4,11] 0.19 [4,12] 0.19
[4,13] 0.19 [4,14] 0.19 [4,15] 0.19 [4,16] 0.19 [4,17] 0.19
[4,18] 0.19 [4,19] 0.19 [4,20] 0.19 [4,21] 0.39 [4,22] 0.39
[4,23] 0.39 [4,24] 0.39 [4,25] 0.39 [4,26] 0.39 [4,27] 0.39
[4,28] 0.39 [4,29] 0.39 [4,30] 0.39 ;
param b_b default 0 :=
1 1 2 1 3 1 6 1 10 1 11 1 21 1 ;
param b_k default 0 :=
[86,0] 1 [86,1] 1 [86,2] 1 [86,3] 1 [86,4] 1 [86,5] 1 [86,6] 1
[86,7] 1 [86,8] 1 [86,9] 1 [86,10] 1 [86,11] 1 [86,12] 1 [86,13] 1
[86,14] 1 [86,15] 1 [86,16] 1 [86,17] 1 [86,18] 1 [86,19] 1
[86,20] 1 [86,21] 1 [86,22] 1 [86,23] 1 [86,24] 1 [86,25] 1
[86,26] 1 [86,27] 1 [86,28] 1 [86,29] 1 [86,30] 1 [87,0] 1
[87,1] 1 [87,2] 1 [87,3] 1 [87,4] 1 [87,5] 1 [87,6] 1 [87,7] 1
[87,8] 1 [87,9] 1 [87,10] 1 [87,11] 1 [87,12] 1 [87,13] 1
[87,14] 1 [87,15] 1 [87,16] 1 [87,17] 1 [87,18] 1 [87,19] 1
[87,20] 1 [87,21] 1 [87,22] 1 [87,23] 1 [87,24] 1 [87,25] 1
[87,26] 1 [87,27] 1 [87,28] 1 [87,29] 1 [87,30] 1 [88,0] 1
[88,1] 1 [88,2] 1 [88,3] 1 [88,4] 1 [88,5] 1 [88,6] 1 [88,7] 1
[88,8] 1 [88,9] 1 [88,10] 1 [88,11] 1 [88,12] 1 [88,13] 1
[88,14] 1 [88,15] 1 [88,16] 1 [88,17] 1 [88,18] 1 [88,19] 1
151
[88,20] 1 [88,21] 1 [88,22] 1 [88,23] 1 [88,24] 1 [88,25] 1
[88,26] 1 [88,27] 1 [88,28] 1 [88,29] 1 [88,30] 1 [89,0] 1
[89,1] 1 [89,2] 1 [89,3] 1 [89,4] 1 [89,5] 1 [89,6] 1 [89,7] 1
[89,8] 1 [89,9] 1 [89,10] 1 [89,11] 1 [89,12] 1 [89,13] 1
[89,14] 1 [89,15] 1 [89,16] 1 [89,17] 1 [89,18] 1 [89,19] 1
[89,20] 1 [89,21] 1 [89,22] 1 [89,23] 1 [89,24] 1 [89,25] 1
[89,26] 1 [89,27] 1 [89,28] 1 [89,29] 1 [89,30] 1 [91,0] 1
[91,1] 1 [91,2] 1 [91,3] 1 [91,4] 1 [91,5] 1 [91,6] 1 [91,7] 1
[91,8] 1 [91,9] 1 [91,10] 1 [91,11] 1 [91,12] 1 [91,13] 1
[91,14] 1 [91,15] 1 [91,16] 1 [91,17] 1 [91,18] 1 [91,19] 1
[91,20] 1 [91,21] 1 [91,22] 1 [91,23] 1 [91,24] 1 [91,25] 1
[91,26] 1 [91,27] 1 [91,28] 1 [91,29] 1 [91,30] 1 [92,0] 1
[92,1] 1 [92,2] 1 [92,3] 1 [92,4] 1 [92,5] 1 [92,6] 1 [92,7] 1
[92,8] 1 [92,9] 1 [92,10] 1 [92,11] 1 [92,12] 1 [92,13] 1
[92,14] 1 [92,15] 1 [92,16] 1 [92,17] 1 [92,18] 1 [92,19] 1
[92,20] 1 [92,21] 1 [92,22] 1 [92,23] 1 [92,24] 1 [92,25] 1
[92,26] 1 [92,27] 1 [92,28] 1 [92,29] 1 [92,30] 1 [93,0] 1
[93,1] 1 [93,2] 1 [93,3] 1 [93,4] 1 [93,5] 1 [93,6] 1 [93,7] 1
[93,8] 1 [93,9] 1 [93,10] 1 [93,11] 1 [93,12] 1 [93,13] 1
[93,14] 1 [93,15] 1 [93,16] 1 [93,17] 1 [93,18] 1 [93,19] 1
[93,20] 1 [93,21] 1 [93,22] 1 [93,23] 1 [93,24] 1 [93,25] 1
[93,26] 1 [93,27] 1 [93,28] 1 [93,29] 1 [93,30] 1 [94,0] 1
[94,1] 1 [94,2] 1 [94,3] 1 [94,4] 1 [94,5] 1 [94,6] 1 [94,7] 1
[94,8] 1 [94,9] 1 [94,10] 1 [94,11] 1 [94,12] 1 [94,13] 1
[94,14] 1 [94,15] 1 [94,16] 1 [94,17] 1 [94,18] 1 [94,19] 1
[94,20] 1 [94,21] 1 [94,22] 1 [94,23] 1 [94,24] 1 [94,25] 1
[94,26] 1 [94,27] 1 [94,28] 1 [94,29] 1 [94,30] 1 [96,0] 1
[96,1] 1 [96,2] 1 [96,3] 1 [96,4] 1 [96,5] 1 [96,6] 1 [96,7] 1
[96,8] 1 [96,9] 1 [96,10] 1 [96,11] 1 [96,12] 1 [96,13] 1
[96,14] 1 [96,15] 1 [96,16] 1 [96,17] 1 [96,18] 1 [96,19] 1
[96,20] 1 [96,21] 1 [96,22] 1 [96,23] 1 [96,24] 1 [96,25] 1
[96,26] 1 [96,27] 1 [96,28] 1 [96,29] 1 [96,30] 1 [97,0] 1
[97,1] 1 [97,2] 1 [97,3] 1 [97,4] 1 [97,5] 1 [97,6] 1 [97,7] 1
[97,8] 1 [97,9] 1 [97,10] 1 [97,11] 1 [97,12] 1 [97,13] 1
[97,14] 1 [97,15] 1 [97,16] 1 [97,17] 1 [97,18] 1 [97,19] 1
[97,20] 1 [97,21] 1 [97,22] 1 [97,23] 1 [97,24] 1 [97,25] 1
[97,26] 1 [97,27] 1 [97,28] 1 [97,29] 1 [97,30] 1 [98,0] 1
[98,1] 1 [98,2] 1 [98,3] 1 [98,4] 1 [98,5] 1 [98,6] 1 [98,7] 1
[98,8] 1 [98,9] 1 [98,10] 1 [98,11] 1 [98,12] 1 [98,13] 1
[98,14] 1 [98,15] 1 [98,16] 1 [98,17] 1 [98,18] 1 [98,19] 1
[98,20] 1 [98,21] 1 [98,22] 1 [98,23] 1 [98,24] 1 [98,25] 1
[98,26] 1 [98,27] 1 [98,28] 1 [98,29] 1 [98,30] 1 [99,0] 1
[99,1] 1 [99,2] 1 [99,3] 1 [99,4] 1 [99,5] 1 [99,6] 1 [99,7] 1
[99,8] 1 [99,9] 1 [99,10] 1 [99,11] 1 [99,12] 1 [99,13] 1
[99,14] 1 [99,15] 1 [99,16] 1 [99,17] 1 [99,18] 1 [99,19] 1
[99,20] 1 [99,21] 1 [99,22] 1 [99,23] 1 [99,24] 1 [99,25] 1
[99,26] 1 [99,27] 1 [99,28] 1 [99,29] 1 [99,30] 1 [103,0] 1
[103,1] 1 [103,2] 1 [103,3] 1 [103,4] 1 [103,5] 1 [103,6] 1
[103,7] 1 [103,8] 1 [103,9] 1 [103,10] 1 [103,11] 1 [103,12] 1
[103,13] 1 [103,14] 1 [103,15] 1 [103,16] 1 [103,17] 1 [103,18] 1
[103,19] 1 [103,20] 1 [103,21] 1 [103,22] 1 [103,23] 1 [103,24] 1
[103,25] 1 [103,26] 1 [103,27] 1 [103,28] 1 [103,29] 1 [103,30] 1
[104,0] 1 [104,1] 1 [104,2] 1 [104,3] 1 [104,4] 1 [104,5] 1
[104,6] 1 [104,7] 1 [104,8] 1 [104,9] 1 [104,10] 1 [104,11] 1
[104,12] 1 [104,13] 1 [104,14] 1 [104,15] 1 [104,16] 1 [104,17] 1
[104,18] 1 [104,19] 1 [104,20] 1 [104,21] 1 [104,22] 1 [104,23] 1
[104,24] 1 [104,25] 1 [104,26] 1 [104,27] 1 [104,28] 1 [104,29] 1
[104,30] 1 ;
152
param b_p default 1 ;
param b_pn default 1 ;
param c_l default 1 :=
1 0.15 2 0.15 3 0.15 6 0.15 10 0.15 11 0.15 21 0.15 65 0.025
66 0.025 67 0.025 70 0.025 73 0.025 74 0.025 75 0.025 76 0.025
77 0.025 78 0.025 81 0.025 82 0.025 83 0.025 84 0.025 85 0.025
86 0.025 87 0.025 88 0.025 89 0.025 91 0.025 92 0.5 93 0.025
94 0.025 96 0.025 97 0.025 98 0.025 99 0.025 103 0.025 104 0.5;
param g default 0 :=
[31,1] 1 [31,2] 1 [31,3] 1 [32,6] 1 [33,10] 1 [34,11] 1 [39,21] 1
[65,1] 1 [65,2] 1 [65,10] 1 [65,11] 1 [65,21] 1 [66,1] 1 [66,2] 1
[66,3] 1 [66,6] 1 [67,10] 1 [67,11] 1 [70,21] 1 [73,1] 1 [73,2] 1
[73,3] 1 [74,6] 1 [74,10] 1 [74,11] 1 [75,21] 1 [76,1] 1 [77,2] 1
[77,11] 1 [77,21] 1 [78,3] 1 [78,6] 1 [78,10] 1 [81,1] 1 [81,2] 1
[81,11] 1 [81,21] 1 [82,3] 1 [82,6] 1 [82,10] 1 [83,1] 1 [84,1] 1
[85,1] 1 [86,1] 1 [87,1] 1 [88,2] 1 [88,11] 1 [88,21] 1 [89,3] 1
[89,6] 1 [89,10] 1 [91,1] 1 [91,2] 1 [91,3] 1 [92,6] 1 [93,10] 1
[94,11] 1 [94,21] 1 [96,1] 1 [96,2] 1 [96,3] 1 [97,6] 1 [98,10] 1
[99,11] 1 [99,21] 1 [103,1] 1 [104,1] 1 ;
param n_b default 0 :=
[3,5] 40 [3,10] 60 [10,8] 30 [1,6] 15 [11,13] 30 [11,20] 50
[2,17] 20 [21,23] 50 [21,27] 50 [21,30] 50 [6,28] 10 ;
param n_ges default 0 :=
[1,6] 15 [2,17] 20 [3,5] 40 [3,10] 60 [6,28] 10 [10,8] 30
[11,13] 30 [11,20] 50 [21,23] 50 [21,27] 50 [21,30] 50 [31,5] 40
[31,6] 15 [31,10] 60 [31,17] 20 [32,28] 10 [33,8] 30 [34,13] 30
[34,20] 50 [39,23] 50 [39,27] 50 [39,30] 50 [65,6] 30 [65,8] 60
[65,13] 60 [65,17] 40 [65,20] 100 [65,23] 100 [65,27] 100
[65,30] 100 [66,5] 80 [66,6] 30 [66,10] 120 [66,17] 40 [66,28] 20
[67,8] 60 [67,13] 60 [67,20] 100 [70,23] 100 [70,27] 100
[70,30] 100 [73,5] 80 [73,6] 30 [73,10] 120 [73,17] 40 [74,8] 60
[74,13] 60 [74,20] 100 [74,28] 20 [75,23] 100 [75,27] 100
[75,30] 100 [76,6] 30 [77,13] 60 [77,17] 40 [77,20] 100
[77,23] 100 [77,27] 100 [77,30] 100 [78,5] 80 [78,8] 60
[78,10] 120 [78,28] 20 [81,6] 30 [81,13] 60 [81,17] 40 [81,20] 100
[81,23] 100 [81,27] 100 [81,30] 100 [82,5] 80 [82,8] 60
[82,10] 120 [82,28] 20 [83,6] 30 [84,6] 30 [85,6] 30 [86,6] 15
[87,6] 15 [88,13] 30 [88,17] 20 [88,20] 50 [88,23] 50 [88,27] 50
[88,30] 50 [89,5] 40 [89,8] 30 [89,10] 60 [89,28] 10 [91,5] 40
[91,6] 15 [91,10] 60 [91,17] 20 [92,28] 10 [93,8] 30 [94,13] 30
[94,20] 50 [94,23] 50 [94,27] 50 [94,30] 50 [96,5] 40 [96,6] 15
[96,10] 60 [96,17] 20 [97,28] 10 [98,8] 30 [99,13] 30 [99,20] 50
[99,23] 50 [99,27] 50 [99,30] 50 [103,6] 15 [104,6] 15 ;
param n_te default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 1 [2,2] 1 [3,3] 1 [6,6] 1 [10,10] 1 [11,11] 1 [21,21] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf erstem Bearbeitungszentrum
[31,61] 1 [32,62] 1 [33,63] 1 [34,64] 1 [39,69] 1
# Fertigung Ventilgrundkörper auf drittem Bearbeitungszentrum
[31,95] 1 [32,96] 1 [33,97] 1 [34,98] 1 [39,103] 1
# Fertigung Anbauteile auf erstem Bearbeitungszentrum
153
[65,112] 1 [66,113] 1 [67,114] 1 [70,117] 1 [73,120] 1 [74,121] 1
[75,122] 1 [76,123] 1 [77,124] 1 [78,125] 1 [81,128] 1 [82,129] 1
[83,130] 1 [84,131] 1 [85,132] 1
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[65,148] 1 [66,149] 1 [67,150] 1 [70,153] 1 [73,156] 1 [74,157] 1
[75,158] 1 [76,159] 1 [77,160] 1 [78,161] 1 ;
param t_dl default 0 :=
[1,0] 1.0625 [1,1] 1.0625 [1,2] 1.0625 [1,3] 1.0625 [1,4] 1.0625
[1,5] 1.0625 [1,6] 1.0625 [1,7] 1.0625 [1,8] 1.0625 [1,9] 1.0625
[1,10] 1.0625 [1,11] 1.0625 [1,12] 1.0625 [1,13] 1.0625
[1,14] 1.0625 [1,15] 1.0625 [1,16] 1.0625 [1,17] 1.0625
[1,18] 1.0625 [1,19] 1.0625 [1,20] 1.0625 [1,21] 1.0625
[1,22] 1.0625 [1,23] 1.0625 [1,24] 1.0625 [1,25] 1.0625
[1,26] 1.0625 [1,27] 1.0625 [1,28] 1.0625 [1,29] 1.0625
[1,30] 1.0625 [2,0] 1.0625 [2,1] 1.0625 [2,2] 1.0625 [2,3] 1.0625
[2,4] 1.0625 [2,5] 1.0625 [2,6] 1.0625 [2,7] 1.0625 [2,8] 1.0625
[2,9] 1.0625 [2,10] 1.0625 [2,11] 1.0625 [2,12] 1.0625
[2,13] 1.0625 [2,14] 1.0625 [2,15] 1.0625 [2,16] 1.0625
[2,17] 1.0625 [2,18] 1.0625 [2,19] 1.0625 [2,20] 1.0625
[2,21] 1.0625 [2,22] 1.0625 [2,23] 1.0625 [2,24] 1.0625
[2,25] 1.0625 [2,26] 1.0625 [2,27] 1.0625 [2,28] 1.0625
[2,29] 1.0625 [2,30] 1.0625 [3,0] 1.0625 [3,1] 1.0625 [3,2] 1.0625
[3,3] 1.0625 [3,4] 1.0625 [3,5] 1.0625 [3,6] 1.0625 [3,7] 1.0625
[3,8] 1.0625 [3,9] 1.0625 [3,10] 1.0625 [3,11] 1.0625
[3,12] 1.0625 [3,13] 1.0625 [3,14] 1.0625 [3,15] 1.0625
[3,16] 1.0625 [3,17] 1.0625 [3,18] 1.0625 [3,19] 1.0625
[3,20] 1.0625 [3,21] 1.0625 [3,22] 1.0625 [3,23] 1.0625
[3,24] 1.0625 [3,25] 1.0625 [3,26] 1.0625 [3,27] 1.0625
[3,28] 1.0625 [3,29] 1.0625 [3,30] 1.0625 [6,0] 1.0625
[6,1] 1.0625 [6,2] 1.0625 [6,3] 1.0625 [6,4] 1.0625 [6,5] 1.0625
[6,6] 1.0625 [6,7] 1.0625 [6,8] 1.0625 [6,9] 1.0625 [6,10] 1.0625
[6,11] 1.0625 [6,12] 1.0625 [6,13] 1.0625 [6,14] 1.0625
[6,15] 1.0625 [6,16] 1.0625 [6,17] 1.0625 [6,18] 1.0625
[6,19] 1.0625 [6,20] 1.0625 [6,21] 1.0625 [6,22] 1.0625
[6,23] 1.0625 [6,24] 1.0625 [6,25] 1.0625 [6,26] 1.0625
[6,27] 1.0625 [6,28] 1.0625 [6,29] 1.0625 [6,30] 1.0625
[10,0] 1.0625 [10,1] 1.0625 [10,2] 1.0625 [10,3] 1.0625
[10,4] 1.0625 [10,5] 1.0625 [10,6] 1.0625 [10,7] 1.0625
[10,8] 1.0625 [10,9] 1.0625 [10,10] 1.0625 [10,11] 1.0625
[10,12] 1.0625 [10,13] 1.0625 [10,14] 1.0625 [10,15] 1.0625
[10,16] 1.0625 [10,17] 1.0625 [10,18] 1.0625 [10,19] 1.0625
[10,20] 1.0625 [10,21] 1.0625 [10,22] 1.0625 [10,23] 1.0625
[10,24] 1.0625 [10,25] 1.0625 [10,26] 1.0625 [10,27] 1.0625
[10,28] 1.0625 [10,29] 1.0625 [10,30] 1.0625 [11,0] 1.0625
[11,1] 1.0625 [11,2] 1.0625 [11,3] 1.0625 [11,4] 1.0625
[11,5] 1.0625 [11,6] 1.0625 [11,7] 1.0625 [11,8] 1.0625
[11,9] 1.0625 [11,10] 1.0625 [11,11] 1.0625 [11,12] 1.0625
[11,13] 1.0625 [11,14] 1.0625 [11,15] 1.0625 [11,16] 1.0625
[11,17] 1.0625 [11,18] 1.0625 [11,19] 1.0625 [11,20] 1.0625
[11,21] 1.0625 [11,22] 1.0625 [11,23] 1.0625 [11,24] 1.0625
[11,25] 1.0625 [11,26] 1.0625 [11,27] 1.0625 [11,28] 1.0625
[11,29] 1.0625 [11,30] 1.0625 [21,0] 1.0625 [21,1] 1.0625
[21,2] 1.0625 [21,3] 1.0625 [21,4] 1.0625 [21,5] 1.0625
[21,6] 1.0625 [21,7] 1.0625 [21,8] 1.0625 [21,9] 1.0625
[21,10] 1.0625 [21,11] 1.0625 [21,12] 1.0625 [21,13] 1.0625
[21,14] 1.0625 [21,15] 1.0625 [21,16] 1.0625 [21,17] 1.0625
[21,18] 1.0625 [21,19] 1.0625 [21,20] 1.0625 [21,21] 1.0625
154
[21,22] 1.0625 [21,23] 1.0625 [21,24] 1.0625 [21,25] 1.0625
[21,26] 1.0625 [21,27] 1.0625 [21,28] 1.0625 [21,29] 1.0625
[21,30] 1.0625 [31,0] 1.14 [31,1] 1.14 [31,2] 1.14 [31,3] 1.14
[31,4] 1.14 [31,5] 1.14 [31,6] 1.14 [31,7] 1.14 [31,8] 1.14
[31,9] 1.14 [31,10] 1.14 [31,11] 1.14 [31,12] 1.14 [31,13] 1.14
[31,14] 1.14 [31,15] 1.14 [31,16] 1.14 [31,17] 1.14 [31,18] 1.14
[31,19] 1.14 [31,20] 1.14 [31,21] 1.14 [31,22] 1.14 [31,23] 1.14
[31,24] 1.14 [31,25] 1.14 [31,26] 1.14 [31,27] 1.14 [31,28] 1.14
[31,29] 1.14 [31,30] 1.14 [32,0] 1.14 [32,1] 1.14 [32,2] 1.14
[32,3] 1.14 [32,4] 1.14 [32,5] 1.14 [32,6] 1.14 [32,7] 1.14
[32,8] 1.14 [32,9] 1.14 [32,10] 1.14 [32,11] 1.14 [32,12] 1.14
[32,13] 1.14 [32,14] 1.14 [32,15] 1.14 [32,16] 1.14 [32,17] 1.14
[32,18] 1.14 [32,19] 1.14 [32,20] 1.14 [32,21] 1.14 [32,22] 1.14
[32,23] 1.14 [32,24] 1.14 [32,25] 1.14 [32,26] 1.14 [32,27] 1.14
[32,28] 1.14 [32,29] 1.14 [32,30] 1.14 [33,0] 1.14 [33,1] 1.14
[33,2] 1.14 [33,3] 1.14 [33,4] 1.14 [33,5] 1.14 [33,6] 1.14
[33,7] 1.14 [33,8] 1.14 [33,9] 1.14 [33,10] 1.14 [33,11] 1.14
[33,12] 1.14 [33,13] 1.14 [33,14] 1.14 [33,15] 1.14 [33,16] 1.14
[33,17] 1.14 [33,18] 1.14 [33,19] 1.14 [33,20] 1.14 [33,21] 1.14
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[91,14] 1 [91,15] 1 [91,16] 1 [91,17] 1 [91,18] 1 [91,19] 1
[91,20] 1 [91,21] 1 [91,22] 1 [91,23] 1 [91,24] 1 [91,25] 1
[91,26] 1 [91,27] 1 [91,28] 1 [91,29] 1 [91,30] 1 [92,0] 1
[92,1] 1 [92,2] 1 [92,3] 1 [92,4] 1 [92,5] 1 [92,6] 1 [92,7] 1
[92,8] 1 [92,9] 1 [92,10] 1 [92,11] 1 [92,12] 1 [92,13] 1
[92,14] 1 [92,15] 1 [92,16] 1 [92,17] 1 [92,18] 1 [92,19] 1
[92,20] 1 [92,21] 1 [92,22] 1 [92,23] 1 [92,24] 1 [92,25] 1
[92,26] 1 [92,27] 1 [92,28] 1 [92,29] 1 [92,30] 1 [93,0] 1
[93,1] 1 [93,2] 1 [93,3] 1 [93,4] 1 [93,5] 1 [93,6] 1 [93,7] 1
[93,8] 1 [93,9] 1 [93,10] 1 [93,11] 1 [93,12] 1 [93,13] 1
[93,14] 1 [93,15] 1 [93,16] 1 [93,17] 1 [93,18] 1 [93,19] 1
157
[93,20] 1 [93,21] 1 [93,22] 1 [93,23] 1 [93,24] 1 [93,25] 1
[93,26] 1 [93,27] 1 [93,28] 1 [93,29] 1 [93,30] 1 [94,0] 1
[94,1] 1 [94,2] 1 [94,3] 1 [94,4] 1 [94,5] 1 [94,6] 1 [94,7] 1
[94,8] 1 [94,9] 1 [94,10] 1 [94,11] 1 [94,12] 1 [94,13] 1
[94,14] 1 [94,15] 1 [94,16] 1 [94,17] 1 [94,18] 1 [94,19] 1
[94,20] 1 [94,21] 1 [94,22] 1 [94,23] 1 [94,24] 1 [94,25] 1
[94,26] 1 [94,27] 1 [94,28] 1 [94,29] 1 [94,30] 1 [96,0] 1
[96,1] 1 [96,2] 1 [96,3] 1 [96,4] 1 [96,5] 1 [96,6] 1 [96,7] 1
[96,8] 1 [96,9] 1 [96,10] 1 [96,11] 1 [96,12] 1 [96,13] 1
[96,14] 1 [96,15] 1 [96,16] 1 [96,17] 1 [96,18] 1 [96,19] 1
[96,20] 1 [96,21] 1 [96,22] 1 [96,23] 1 [96,24] 1 [96,25] 1
[96,26] 1 [96,27] 1 [96,28] 1 [96,29] 1 [96,30] 1 [97,0] 1
[97,1] 1 [97,2] 1 [97,3] 1 [97,4] 1 [97,5] 1 [97,6] 1 [97,7] 1
[97,8] 1 [97,9] 1 [97,10] 1 [97,11] 1 [97,12] 1 [97,13] 1
[97,14] 1 [97,15] 1 [97,16] 1 [97,17] 1 [97,18] 1 [97,19] 1
[97,20] 1 [97,21] 1 [97,22] 1 [97,23] 1 [97,24] 1 [97,25] 1
[97,26] 1 [97,27] 1 [97,28] 1 [97,29] 1 [97,30] 1 [98,0] 1
[98,1] 1 [98,2] 1 [98,3] 1 [98,4] 1 [98,5] 1 [98,6] 1 [98,7] 1
[98,8] 1 [98,9] 1 [98,10] 1 [98,11] 1 [98,12] 1 [98,13] 1
[98,14] 1 [98,15] 1 [98,16] 1 [98,17] 1 [98,18] 1 [98,19] 1
[98,20] 1 [98,21] 1 [98,22] 1 [98,23] 1 [98,24] 1 [98,25] 1
[98,26] 1 [98,27] 1 [98,28] 1 [98,29] 1 [98,30] 1 [99,0] 1
[99,1] 1 [99,2] 1 [99,3] 1 [99,4] 1 [99,5] 1 [99,6] 1 [99,7] 1
[99,8] 1 [99,9] 1 [99,10] 1 [99,11] 1 [99,12] 1 [99,13] 1
[99,14] 1 [99,15] 1 [99,16] 1 [99,17] 1 [99,18] 1 [99,19] 1
[99,20] 1 [99,21] 1 [99,22] 1 [99,23] 1 [99,24] 1 [99,25] 1
[99,26] 1 [99,27] 1 [99,28] 1 [99,29] 1 [99,30] 1 [103,0] 1
[103,1] 1 [103,2] 1 [103,3] 1 [103,4] 1 [103,5] 1 [103,6] 1
[103,7] 1 [103,8] 1 [103,9] 1 [103,10] 1 [103,11] 1 [103,12] 1
[103,13] 1 [103,14] 1 [103,15] 1 [103,16] 1 [103,17] 1 [103,18] 1
[103,19] 1 [103,20] 1 [103,21] 1 [103,22] 1 [103,23] 1 [103,24] 1
[103,25] 1 [103,26] 1 [103,27] 1 [103,28] 1 [103,29] 1 [103,30] 1
[104,0] 1 [104,1] 1 [104,2] 1 [104,3] 1 [104,4] 1 [104,5] 1
[104,6] 1 [104,7] 1 [104,8] 1 [104,9] 1 [104,10] 1 [104,11] 1
[104,12] 1 [104,13] 1 [104,14] 1 [104,15] 1 [104,16] 1 [104,17] 1
[104,18] 1 [104,19] 1 [104,20] 1 [104,21] 1 [104,22] 1 [104,23] 1
[104,24] 1 [104,25] 1 [104,26] 1 [104,27] 1 [104,28] 1 [104,29] 1
[104,30] 1 ;
param t_k default 4 ;
param t_tw default 0 :=
# Montage Ventilgruppen aus eigengefertigten Ventilgrundkörpern
[1,1] 0.0625 [2,1] 0.0625 [3,1] 0.0625 [6,1] 0.0625 [10,1] 0.0625
[11,1] 0.0625 [21,1] 0.0625
# Fertigung Ventilgrundkörper auf erstem Bearbeitungszentrum
[61,2] 0.04 [62,2] 0.04 [63,2] 0.04 [64,2] 0.04 [69,2] 0.04
# Fertigung Ventilgrundkörper auf drittem Bearbeitungszentrum
[95,4] 0.05 [96,4] 0.05 [97,4] 0.05 [98,4] 0.05 [103,4] 0.05
# Fertigung der Anbauteile auf dem ersten Bearbeitungszentrum
[112,2] 0.008 [113,2] 0.008 [114,2] 0.008 [117,2] 0.008
[120,2] 0.005 [121,2] 0.005 [122,2] 0.005 [123,2] 0.006
[124,2] 0.006 [125,2] 0.006 [128,2] 0.015 [129,2] 0.015
[130,2] 0.015 [131,2] 0.015 [132,2] 0.015
# Fertigung einiger Anbauteile auf dem dritten Bearbeitungszentrum
[148,4] 0.01 [149,4] 0.01 [150,4] 0.01 [153,4] 0.01 [156,4] 0.004
[157,4] 0.004 [158,4] 0.004 [159,4] 0.005 [160,4] 0.009
[161,4] 0.006 ;
158
A.4 Partialmodell IV
set E :=
# Ventilgruppen
1 2 3 6 10 11 21
# Ventilgrundkörper
31 32 33 34 39
# Anbauteile
65 66 67 70 73 74 75 76 77 78 81 82 83 84 85 86 87 88 89 91 92 93
94 96 97 98 99 103 104 ;
set P :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 ;
set RW := 4 7 ;
set S :=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 ;
param big_m := 1000 ;
param c_z := 0.00054;
param p_min := 0.95;
param lambda default 0 :=
[*,*,4] 0 4 1 1 5 1 2 6 1 3 7 1 4 8 1 5 9 1 6 10 1 7 11 1
8 12 1 9 13 1 10 14 1 11 15 1 12 16 1 13 17 1 14 18 1
15 19 1 16 20 1 17 21 1 18 22 1 19 23 1 20 24 1 21 25 1
22 26 1 23 27 1 24 28 1 25 29 1 26 30 1
[*,*,7] 0 7 1 1 8 1 2 9 1 3 10 1 4 11 1 5 12 1 6 13 1
7 14 1 8 15 1 9 16 1 10 17 1 11 18 1 12 19 1 13 20 1
14 21 1 15 22 1 16 23 1 17 24 1 18 25 1 19 26 1 20 27 1
21 28 1 22 29 1 23 30 1 ;
param: pi ny :=
000
110
221
332
443
554
665
776
887
998
10 10 9
11 11 10
12 12 11
13 13 12
14 14 13
15 15 14
16 16 15
17 17 16
18 18 17
19 19 18
159
20 20 19
21 21 20
22 22 21
23 23 22
24 24 23
25 25 24
26 26 25
27 27 26
28 28 27
29 29 28
30 30 29 ;
param omega default 1 ;
param c_l default 1 :=
1 0.15 2 0.15 3 0.15 6 0.15 10 0.15 11 0.15 21 0.15 65 0.025
66 0.025 67 0.025 70 0.025 73 0.025 74 0.025 75 0.025 76 0.025
77 0.025 78 0.025 81 0.025 82 0.025 83 0.025 84 0.025 85 0.025
86 0.025 87 0.025 88 0.025 89 0.025 91 0.025 92 0.5 93 0.025
94 0.025 96 0.025 97 0.025 98 0.025 99 0.025 103 0.025 104 0.5;
param c_p_var default 0 :=
[31,0] 215 [31,1] 215 [31,2] 215 [31,3] 215 [31,4] 215 [31,5] 215
[31,6] 215 [31,7] 215 [31,8] 215 [31,9] 215 [31,10] 215
[31,11] 215 [31,12] 215 [31,13] 215 [31,14] 215 [31,15] 215
[31,16] 215 [31,17] 215 [31,18] 215 [31,19] 215 [31,20] 215
[32,0] 215 [32,1] 215 [32,2] 215 [32,3] 215 [32,4] 215 [32,5] 215
[32,6] 215 [32,7] 215 [32,8] 215 [32,9] 215 [32,10] 215
[32,11] 215 [32,12] 215 [32,13] 215 [32,14] 215 [32,15] 215
[32,16] 215 [32,17] 215 [32,18] 215 [32,19] 215 [32,20] 215
[33,0] 215 [33,1] 215 [33,2] 215 [33,3] 215 [33,4] 215 [33,5] 215
[33,6] 215 [33,7] 215 [33,8] 215 [33,9] 215 [33,10] 215
[33,11] 215 [33,12] 215 [33,13] 215 [33,14] 215 [33,15] 215
[33,16] 215 [33,17] 215 [33,18] 215 [33,19] 215 [33,20] 215
[34,0] 215 [34,1] 215 [34,2] 215 [34,3] 215 [34,4] 215 [34,5] 215
[34,6] 215 [34,7] 215 [34,8] 215 [34,9] 215 [34,10] 215
[34,11] 215 [34,12] 215 [34,13] 215 [34,14] 215 [34,15] 215
[34,16] 215 [34,17] 215 [34,18] 215 [34,19] 215 [34,20] 215
[39,0] 215 [39,1] 215 [39,2] 215 [39,3] 215 [39,4] 215 [39,5] 215
[39,6] 215 [39,7] 215 [39,8] 215 [39,9] 215 [39,10] 215
[39,11] 215 [39,12] 215 [39,13] 215 [39,14] 215 [39,15] 215
[39,16] 215 [39,17] 215 [39,18] 215 [39,19] 215 [39,20] 215
[65,0] 43 [65,1] 43 [65,2] 43 [65,3] 43 [65,4] 43 [65,5] 43
[65,6] 43 [65,7] 43 [65,8] 43 [65,9] 43 [65,10] 43 [65,11] 43
[65,12] 43 [65,13] 43 [65,14] 43 [65,15] 43 [65,16] 43 [65,17] 43
[65,18] 43 [65,19] 43 [65,20] 43 [66,0] 43 [66,1] 43 [66,2] 43
[66,3] 43 [66,4] 43 [66,5] 43 [66,6] 43 [66,7] 43 [66,8] 43
[66,9] 43 [66,10] 43 [66,11] 43 [66,12] 43 [66,13] 43 [66,14] 43
[66,15] 43 [66,16] 43 [66,17] 43 [66,18] 43 [66,19] 43 [66,20] 43
[67,0] 43 [67,1] 43 [67,2] 43 [67,3] 43 [67,4] 43 [67,5] 43
[67,6] 43 [67,7] 43 [67,8] 43 [67,9] 43 [67,10] 43 [67,11] 43
[67,12] 43 [67,13] 43 [67,14] 43 [67,15] 43 [67,16] 43 [67,17] 43
[67,18] 43 [67,19] 43 [67,20] 43 [70,0] 43 [70,1] 43 [70,2] 43
[70,3] 43 [70,4] 43 [70,5] 43 [70,6] 43 [70,7] 43 [70,8] 43
[70,9] 43 [70,10] 43 [70,11] 43 [70,12] 43 [70,13] 43 [70,14] 43
[70,15] 43 [70,16] 43 [70,17] 43 [70,18] 43 [70,19] 43 [70,20] 43
[73,0] 21.25 [73,1] 21.25 [73,2] 21.25 [73,3] 21.25 [73,4] 21.25
[73,5] 21.25 [73,6] 21.25 [73,7] 21.25 [73,8] 21.25 [73,9] 21.25
160
[73,10] 21.25 [73,11] 21.25 [73,12] 21.25 [73,13] 21.25
[73,14] 21.25 [73,15] 21.25 [73,16] 21.25 [73,17] 21.25
[73,18] 21.25 [73,19] 21.25 [73,20] 21.25 [74,0] 21.25
[74,1] 21.25 [74,2] 21.25 [74,3] 21.25 [74,4] 21.25 [74,5] 21.25
[74,6] 21.25 [74,7] 21.25 [74,8] 21.25 [74,9] 21.25 [74,10] 21.25
[74,11] 21.25 [74,12] 21.25 [74,13] 21.25 [74,14] 21.25
[74,15] 21.25 [74,16] 21.25 [74,17] 21.25 [74,18] 21.25
[74,19] 21.25 [74,20] 21.25 [75,0] 22.5 [75,1] 22.5 [75,2] 22.5
[75,3] 22.5 [75,4] 22.5 [75,5] 22.5 [75,6] 22.5 [75,7] 22.5
[75,8] 22.5 [75,9] 22.5 [75,10] 22.5 [75,11] 22.5 [75,12] 22.5
[75,13] 22.5 [75,14] 22.5 [75,15] 22.5 [75,16] 22.5 [75,17] 22.5
[75,18] 22.5 [75,19] 22.5 [75,20] 22.5 [76,0] 31 [76,1] 31
[76,2] 31 [76,3] 31 [76,4] 31 [76,5] 31 [76,6] 31 [76,7] 31
[76,8] 31 [76,9] 31 [76,10] 31 [76,11] 31 [76,12] 31 [76,13] 31
[76,14] 31 [76,15] 31 [76,16] 31 [76,17] 31 [76,18] 31 [76,19] 31
[76,20] 31 [77,0] 32.25 [77,1] 32.25 [77,2] 32.25 [77,3] 32.25
[77,4] 32.25 [77,5] 32.25 [77,6] 32.25 [77,7] 32.25 [77,8] 32.25
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[83,20] 7 [83,21] 7 [83,22] 7 [83,23] 7 [83,24] 7 [83,25] 7
[83,26] 7 [83,27] 7 [83,28] 7 [83,29] 7 [83,30] 7 [84,0] 7
[84,1] 7 [84,2] 7 [84,3] 7 [84,4] 7 [84,5] 7 [84,6] 7 [84,7] 7
[84,8] 7 [84,9] 7 [84,10] 7 [84,11] 7 [84,12] 7 [84,13] 7
[84,14] 7 [84,15] 7 [84,16] 7 [84,17] 7 [84,18] 7 [84,19] 7
[84,20] 7 [84,21] 7 [84,22] 7 [84,23] 7 [84,24] 7 [84,25] 7
[84,26] 7 [84,27] 7 [84,28] 7 [84,29] 7 [84,30] 7 [85,0] 7
[85,1] 7 [85,2] 7 [85,3] 7 [85,4] 7 [85,5] 7 [85,6] 7 [85,7] 7
[85,8] 7 [85,9] 7 [85,10] 7 [85,11] 7 [85,12] 7 [85,13] 7
[85,14] 7 [85,15] 7 [85,16] 7 [85,17] 7 [85,18] 7 [85,19] 7
[85,20] 7 [85,21] 7 [85,22] 7 [85,23] 7 [85,24] 7 [85,25] 7
[85,26] 7 [85,27] 7 [85,28] 7 [85,29] 7 [85,30] 7 [86,0] 4
[86,1] 4 [86,2] 4 [86,3] 4 [86,4] 4 [86,5] 4 [86,6] 4 [86,7] 4
[86,8] 4 [86,9] 4 [86,10] 4 [86,11] 4 [86,12] 4 [86,13] 4
[86,14] 4 [86,15] 4 [86,16] 4 [86,17] 4 [86,18] 4 [86,19] 4
[86,20] 4 [86,21] 4 [86,22] 4 [86,23] 4 [86,24] 4 [86,25] 4
[86,26] 4 [86,27] 4 [86,28] 4 [86,29] 4 [86,30] 4 [87,0] 4
[87,1] 4 [87,2] 4 [87,3] 4 [87,4] 4 [87,5] 4 [87,6] 4 [87,7] 4
[87,8] 4 [87,9] 4 [87,10] 4 [87,11] 4 [87,12] 4 [87,13] 4
[87,14] 4 [87,15] 4 [87,16] 4 [87,17] 4 [87,18] 4 [87,19] 4
[87,20] 4 [87,21] 4 [87,22] 4 [87,23] 4 [87,24] 4 [87,25] 4
[87,26] 4 [87,27] 4 [87,28] 4 [87,29] 4 [87,30] 4 [88,0] 4
[88,1] 4 [88,2] 4 [88,3] 4 [88,4] 4 [88,5] 4 [88,6] 4 [88,7] 4
[88,8] 4 [88,9] 4 [88,10] 4 [88,11] 4 [88,12] 4 [88,13] 4
[88,14] 4 [88,15] 4 [88,16] 4 [88,17] 4 [88,18] 4 [88,19] 4
[88,20] 4 [88,21] 4 [88,22] 4 [88,23] 4 [88,24] 4 [88,25] 4
[88,26] 4 [88,27] 4 [88,28] 4 [88,29] 4 [88,30] 4 [89,0] 4
[89,1] 4 [89,2] 4 [89,3] 4 [89,4] 4 [89,5] 4 [89,6] 4 [89,7] 4
[89,8] 4 [89,9] 4 [89,10] 4 [89,11] 4 [89,12] 4 [89,13] 4
[89,14] 4 [89,15] 4 [89,16] 4 [89,17] 4 [89,18] 4 [89,19] 4
[89,20] 4 [89,21] 4 [89,22] 4 [89,23] 4 [89,24] 4 [89,25] 4
[89,26] 4 [89,27] 4 [89,28] 4 [89,29] 4 [89,30] 4 [91,0] 4
[91,1] 4 [91,2] 4 [91,3] 4 [91,4] 4 [91,5] 4 [91,6] 4 [91,7] 4
[91,8] 4 [91,9] 4 [91,10] 4 [91,11] 4 [91,12] 4 [91,13] 4
[91,14] 4 [91,15] 4 [91,16] 4 [91,17] 4 [91,18] 4 [91,19] 4
[91,20] 4 [91,21] 4 [91,22] 4 [91,23] 4 [91,24] 4 [91,25] 4
[91,26] 4 [91,27] 4 [91,28] 4 [91,29] 4 [91,30] 4 [92,0] 4
166
[92,1] 4 [92,2] 4 [92,3] 4 [92,4] 4 [92,5] 4 [92,6] 4 [92,7] 4
[92,8] 4 [92,9] 4 [92,10] 4 [92,11] 4 [92,12] 4 [92,13] 4
[92,14] 4 [92,15] 4 [92,16] 4 [92,17] 4 [92,18] 4 [92,19] 4
[92,20] 4 [92,21] 4 [92,22] 4 [92,23] 4 [92,24] 4 [92,25] 4
[92,26] 4 [92,27] 4 [92,28] 4 [92,29] 4 [92,30] 4 [93,0] 4
[93,1] 4 [93,2] 4 [93,3] 4 [93,4] 4 [93,5] 4 [93,6] 4 [93,7] 4
[93,8] 4 [93,9] 4 [93,10] 4 [93,11] 4 [93,12] 4 [93,13] 4
[93,14] 4 [93,15] 4 [93,16] 4 [93,17] 4 [93,18] 4 [93,19] 4
[93,20] 4 [93,21] 4 [93,22] 4 [93,23] 4 [93,24] 4 [93,25] 4
[93,26] 4 [93,27] 4 [93,28] 4 [93,29] 4 [93,30] 4 [94,0] 4
[94,1] 4 [94,2] 4 [94,3] 4 [94,4] 4 [94,5] 4 [94,6] 4 [94,7] 4
[94,8] 4 [94,9] 4 [94,10] 4 [94,11] 4 [94,12] 4 [94,13] 4
[94,14] 4 [94,15] 4 [94,16] 4 [94,17] 4 [94,18] 4 [94,19] 4
[94,20] 4 [94,21] 4 [94,22] 4 [94,23] 4 [94,24] 4 [94,25] 4
[94,26] 4 [94,27] 4 [94,28] 4 [94,29] 4 [94,30] 4 [96,0] 4
[96,1] 4 [96,2] 4 [96,3] 4 [96,4] 4 [96,5] 4 [96,6] 4 [96,7] 4
[96,8] 4 [96,9] 4 [96,10] 4 [96,11] 4 [96,12] 4 [96,13] 4
[96,14] 4 [96,15] 4 [96,16] 4 [96,17] 4 [96,18] 4 [96,19] 4
[96,20] 4 [96,21] 4 [96,22] 4 [96,23] 4 [96,24] 4 [96,25] 4
[96,26] 4 [96,27] 4 [96,28] 4 [96,29] 4 [96,30] 4 [97,0] 4
[97,1] 4 [97,2] 4 [97,3] 4 [97,4] 4 [97,5] 4 [97,6] 4 [97,7] 4
[97,8] 4 [97,9] 4 [97,10] 4 [97,11] 4 [97,12] 4 [97,13] 4
[97,14] 4 [97,15] 4 [97,16] 4 [97,17] 4 [97,18] 4 [97,19] 4
[97,20] 4 [97,21] 4 [97,22] 4 [97,23] 4 [97,24] 4 [97,25] 4
[97,26] 4 [97,27] 4 [97,28] 4 [97,29] 4 [97,30] 4 [98,0] 4
[98,1] 4 [98,2] 4 [98,3] 4 [98,4] 4 [98,5] 4 [98,6] 4 [98,7] 4
[98,8] 4 [98,9] 4 [98,10] 4 [98,11] 4 [98,12] 4 [98,13] 4
[98,14] 4 [98,15] 4 [98,16] 4 [98,17] 4 [98,18] 4 [98,19] 4
[98,20] 4 [98,21] 4 [98,22] 4 [98,23] 4 [98,24] 4 [98,25] 4
[98,26] 4 [98,27] 4 [98,28] 4 [98,29] 4 [98,30] 4 [99,0] 4
[99,1] 4 [99,2] 4 [99,3] 4 [99,4] 4 [99,5] 4 [99,6] 4 [99,7] 4
[99,8] 4 [99,9] 4 [99,10] 4 [99,11] 4 [99,12] 4 [99,13] 4
[99,14] 4 [99,15] 4 [99,16] 4 [99,17] 4 [99,18] 4 [99,19] 4
[99,20] 4 [99,21] 4 [99,22] 4 [99,23] 4 [99,24] 4 [99,25] 4
[99,26] 4 [99,27] 4 [99,28] 4 [99,29] 4 [99,30] 4 [103,0] 4
[103,1] 4 [103,2] 4 [103,3] 4 [103,4] 4 [103,5] 4 [103,6] 4
[103,7] 4 [103,8] 4 [103,9] 4 [103,10] 4 [103,11] 4 [103,12] 4
[103,13] 4 [103,14] 4 [103,15] 4 [103,16] 4 [103,17] 4 [103,18] 4
[103,19] 4 [103,20] 4 [103,21] 4 [103,22] 4 [103,23] 4 [103,24] 4
[103,25] 4 [103,26] 4 [103,27] 4 [103,28] 4 [103,29] 4 [103,30] 4
[104,0] 4 [104,1] 4 [104,2] 4 [104,3] 4 [104,4] 4 [104,5] 4
[104,6] 4 [104,7] 4 [104,8] 4 [104,9] 4 [104,10] 4 [104,11] 4
[104,12] 4 [104,13] 4 [104,14] 4 [104,15] 4 [104,16] 4 [104,17] 4
[104,18] 4 [104,19] 4 [104,20] 4 [104,21] 4 [104,22] 4 [104,23] 4
[104,24] 4 [104,25] 4 [104,26] 4 [104,27] 4 [104,28] 4 [104,29] 4
[104,30] 4 ;
param x_l0 default 0 :=
1 20 3 50 31 60 65 50 66 100 73 110 76 30 78 80 81 30 82 80 83 30
84 30 85 30 86 15 87 15 89 40 91 55 96 55 103 5 104 15 ;
param x_mb :=
1 25 2 33 3 65 6 7 10 19 11 49 21 81 31 105 32 17 33 19 34 81
39 131 65 211 66 193 67 161 70 211 73 193 74 161 75 211 76 64
77 211 78 193 81 211 82 193 83 64 84 64 85 64 86 36 87 36 88 120
89 96 91 96 92 14 93 42 94 120 96 96 97 14 98 42 99 120 103 36
104 36 ;
167
Anhang B: Ausgaben der Optimierung
B.1: Ausgaben Optimierung Partialmodell I
Tried aggregator 3 times.
MIP Presolve eliminated 43015 rows and 27190 columns.
MIP Presolve modified 22507 coefficients.
Aggregator did 3575 substitutions.
Reduced MIP has 10667 rows, 12725 columns, and 50916 nonzeros.
Presolve time = 0.41 sec.
Clique table members: 3018.
MIP emphasis: balance optimality and feasibility.
Root relaxation solution time = 0.64 sec.
Nodes Cuts/
Node Left Objective IInf Best Integer Best Node ItCnt Gap
0 0 -2.92776e+007 355 -2.92776e+007 3528
-2.92712e+007 400 Cuts: 549 4534
-2.92693e+007 404 Cuts: 328 5316
-2.92687e+007 442 Cuts: 213 6029
-2.92685e+007 435 Cuts: 212 6596
-2.92682e+007 444 Cuts: 146 7005
Heuristic still looking.
Heuristic complete.
Elapsed time = 38.28 sec. (tree size = 0.00 MB).
100 100 -2.92230e+007 198 -2.92311e+007 37854
200 200 -2.92135e+007 110 -2.92311e+007 57567
* 200+ 198 0 -2.92013e+007 -2.92311e+007 57567 0.10%
300 298 -2.92127e+007 43 -2.92013e+007 -2.92311e+007 58195 0.10%
* 387 381 0 -2.92117e+007 -2.92311e+007 58934 0.07%
* 387+ 361 0 -2.92120e+007 -2.92311e+007 58934 0.07%
Clique cuts applied: 29
Cover cuts applied: 32
Implied bound cuts applied: 9
Flow cuts applied: 481
Gomory fractional cuts applied: 36
MIP - Integer optimal, tolerance (0.0005/1e-006):
Objective = -2.9212008277e+007
Current MIP best bound = -2.9224929493e+007 (gap = 12921.2, 0.04%)
Solution time = 91.45 sec. Iterations = 58986 Nodes = 390 (358)
B.2: Ausgaben Optimierung Partialmodell II
Tried aggregator 2 times.
168
MIP Presolve eliminated 452668 rows and 24132 columns.
MIP Presolve modified 13929 coefficients.
Aggregator did 4521 substitutions.
Reduced MIP has 7404 rows, 11536 columns, and 39992 nonzeros.
Presolve time = 0.66 sec.
Clique table members: 469.
MIP emphasis: balance optimality and feasibility.
Root relaxation solution time = 0.88 sec.
Nodes Cuts/
Node Left Objective IInf Best Integer Best Node ItCnt Gap
0 0 -2.97561e+008 338 -2.97561e+008 5672
-2.97559e+008 472 Cuts: 831 6763
-2.97559e+008 392 Cuts: 440 7553
-2.97559e+008 447 Cuts: 249 8092
Heuristic still looking.
Heuristic complete.
Elapsed time = 34.33 sec. (tree size = 0.00 MB).
100 100 -2.97557e+008 286 -2.97559e+008 14927
200 200 -2.97556e+008 166 -2.97559e+008 18324
300 300 -2.97555e+008 113 -2.97559e+008 19605
* 370+ 370 0 -2.97531e+008 -2.97559e+008 22495 0.01%
Cover cuts applied: 9
Implied bound cuts applied: 6
Flow cuts applied: 381
Flow path cuts applied: 157
Gomory fractional cuts applied: 77
MIP - Integer optimal, tolerance (0.0005/1e-006):
Objective = -2.9753075160e+008
Current MIP best bound = -2.9755852120e+008 (gap = 27769.6, 0.01%)
Solution time = 72.08 sec. Iterations = 22495 Nodes = 370 (371)
B.3: Ausgaben Optimierung Partialmodell III
Tried aggregator 3 times.
MIP Presolve eliminated 171796 rows and 6345 columns.
MIP Presolve modified 2813 coefficients.
Aggregator did 124 substitutions.
Reduced MIP has 89 rows, 122 columns, and 356 nonzeros.
Presolve time = 0.17 sec.
MIP emphasis: balance optimality and feasibility.
Root relaxation solution time = -0.00 sec.
Nodes Cuts/
Node Left Objective IInf Best Integer Best Node ItCnt Gap
0 0 14950.1941 5 14950.1941 139
* 0+ 0 0 16705.8909 14950.1941 139 10.51%
15290.3021 14 16705.8909 Cuts: 7 151 8.47%
* 0+ 0 0 15558.9032 15290.3021 151 1.73%
15312.1386 5 15558.9032 Cuts: 15 155 1.59%
* 0+ 0 0 15466.6522 15312.1386 155 1.00%
* 7 0 0 15415.9142 15415.9142 180 0.00%
Implied bound cuts applied: 2
169
Gomory fractional cuts applied: 4
MIP - Integer optimal solution: Objective = 1.5415914158e+004
Solution time = 0.19 sec. Iterations = 180 Nodes = 7
B.4: Ausgaben Optimierung Partialmodell IV
Tried aggregator 1 time.
MIP Presolve eliminated 4884 rows and 3536 columns.
MIP Presolve modified 2483 coefficients.
Aggregator did 448 substitutions.
Reduced MIP has 8119 rows, 3796 columns, and 19107 nonzeros.
Presolve time = 0.11 sec.
Clique table members: 3321.
MIP emphasis: balance optimality and feasibility.
Root relaxation solution time = 0.08 sec.
Nodes Cuts/
Node Left Objective IInf Best Integer Best Node ItCnt Gap
0 0 130824.5552 570 130824.5552 1954
228701.7286 205 Cuts: 1193 3097
235987.7416 217 Cuts: 419 3447
236386.3806 157 Cuts: 117 3540
237572.2926 225 Cuts: 74 3639
237801.8161 289 Cuts: 106 3693
237855.1588 286 Cuts: 9 3726
237855.2573 286 Cuts: 0 3728
* 0+ 0 0 320282.6481 237855.2573 3728
25.74%
* 40+ 22 0 263954.8948 238590.7683 4557 9.61%
* 60+ 19 0 263639.9039 241128.6313 4925 8.54%
* 70+ 25 0 263365.8614 241128.6313 5015 8.44%
100 39 262090.8452 93 263365.8614 242970.8264 5518 7.74%
* 100+ 17 0 262203.1946 242970.8264 5518 7.33%
* 120+ 4 0 251552.6137 243724.5191 5711 3.11%
* 140+ 19 0 250304.3814 243724.5191 5933 2.63%
200 30 249968.4516 126 250304.3814 245318.1791 6990 1.99%
* 249 20 0 249744.1955 248627.5927 7442 0.45%
* 260+ 15 0 249673.4543 249530.8612 7518 0.06%
Clique cuts applied: 310
Cover cuts applied: 13
Implied bound cuts applied: 382
Flow cuts applied: 74
Gomory fractional cuts applied: 66
MIP - Integer optimal, tolerance (0.0005/1e-006):
Objective = 2.4967345431e+005
Current MIP best bound = 2.4958291531e+005 (gap = 90.539, 0.04%)
Solution time = 7.39 sec. Iterations = 7587 Nodes = 273 (21)
170
171
Anhang C: Ergebnisse der Optimierung
C.1: Ergebnisse Optimierung Partialmodell I42
B_pn(1,0) 1 B_pn(1,1) 1 B_pn(1,2) 1 B_pn(1,3) 1 B_pn(1,4) 1 B_pn(1,5) 1
B_pn(1,6) 1 B_pn(1,7) 1 B_pn(1,8) 1 B_pn(1,9) 1 B_pn(1,10) 1
B_pn(1,11) 1 B_pn(1,12) 1 B_pn(1,13) 1 B_pn(1,14) 1 B_pn(1,15) 1
B_pn(1,16) 1 B_pn(1,17) 1 B_pn(1,18) 1 B_pn(1,19) 1 B_pn(1,20) 1
B_w(1,0) 1 B_w(1,1) 1 B_w(1,2) 1 B_w(1,3) 1 B_w(1,4) 1 B_w(1,5) 1
B_w(1,6) 1 B_w(1,7) 1 B_w(1,8) 1 B_w(1,9) 1 B_w(1,10) 1 B_w(1,11) 1
B_w(1,12) 1 B_w(1,13) 1 B_w(1,14) 1 B_w(1,15) 1 B_w(1,16) 1 B_w(1,17) 1
B_w(1,18) 1 B_w(1,19) 1 B_w(1,20) 1 B_w(2,0) 1 B_w(2,1) 1 B_w(2,2) 1
B_w(2,3) 1 B_w(2,4) 1 B_w(2,5) 1 B_w(2,6) 1 B_w(2,7) 1 B_w(2,8) 1
B_w(2,9) 1 B_w(2,10) 1 B_w(2,11) 1 B_w(2,12) 1 B_w(2,13) 1 B_w(2,14) 1
B_w(2,15) 1 B_w(2,16) 1 B_w(4,0) 1 B_w(4,1) 1 B_w(4,2) 1 B_w(4,3) 1
B_w(4,4) 1 B_w(4,5) 1 B_w(4,6) 1 B_w(4,7) 1 B_w(4,8) 1 B_w(4,9) 1
B_w(4,10) 1
B_k(48,0) 1 B_k(48,1) 1 B_k(48,2) 1 B_k(48,3) 1 B_k(48,4) 1 B_k(48,5) 1
B_k(48,6) 1 B_k(48,7) 1 B_k(48,8) 1 B_k(48,9) 1 B_k(48,10) 1
B_k(48,11) 1 B_k(48,12) 1 B_k(48,13) 1 B_k(48,14) 1 B_k(48,15) 1
B_k(48,16) 1 B_k(48,17) 1 B_k(48,18) 1 B_k(48,19) 1 B_k(48,20) 1
B_k(49,0) 1 B_k(49,1) 1 B_k(49,2) 1 B_k(49,3) 1 B_k(49,4) 1 B_k(49,5) 1
B_k(49,6) 1 B_k(49,7) 1 B_k(49,8) 1 B_k(49,9) 1 B_k(49,10) 1
B_k(49,11) 1 B_k(49,12) 1 B_k(49,13) 1 B_k(49,14) 1 B_k(49,15) 1
B_k(49,16) 1 B_k(49,17) 1 B_k(49,18) 1 B_k(49,19) 1 B_k(49,20) 1
B_k(50,0) 1 B_k(50,1) 1 B_k(50,2) 1 B_k(50,3) 1 B_k(50,4) 1 B_k(50,5) 1
B_k(50,6) 1 B_k(50,7) 1 B_k(50,8) 1 B_k(50,9) 1 B_k(50,10) 1
B_k(50,11) 1 B_k(50,12) 1 B_k(50,13) 1 B_k(50,14) 1 B_k(50,15) 1
B_k(50,16) 1 B_k(50,17) 1 B_k(50,18) 1 B_k(50,19) 1 B_k(50,20) 1
B_k(51,0) 1 B_k(51,1) 1 B_k(51,2) 1 B_k(51,3) 1 B_k(51,4) 1 B_k(51,5) 1
B_k(51,6) 1 B_k(51,7) 1 B_k(51,8) 1 B_k(51,9) 1 B_k(51,10) 1
B_k(51,11) 1 B_k(51,12) 1 B_k(51,13) 1 B_k(51,14) 1 B_k(51,15) 1
B_k(51,16) 1 B_k(51,17) 1 B_k(51,18) 1 B_k(51,19) 1 B_k(51,20) 1
B_k(52,0) 1 B_k(52,1) 1 B_k(52,2) 1 B_k(52,3) 1 B_k(52,4) 1 B_k(52,5) 1
B_k(52,6) 1 B_k(52,7) 1 B_k(52,8) 1 B_k(52,9) 1 B_k(52,10) 1
B_k(52,11) 1 B_k(52,12) 1 B_k(52,13) 1 B_k(52,14) 1 B_k(52,15) 1
B_k(52,16) 1 B_k(52,17) 1 B_k(52,18) 1 B_k(52,19) 1 B_k(52,20) 1
B_k(53,0) 1 B_k(53,1) 1 B_k(53,2) 1 B_k(53,3) 1 B_k(53,4) 1 B_k(53,5) 1
B_k(53,6) 1 B_k(53,7) 1 B_k(53,8) 1 B_k(53,9) 1 B_k(53,10) 1
42 Hier werden nur die relevanten Entscheidungsvariablen dargestellt. Nicht aufgeführte Indexkombinationen
dieser Variablen sind 0. Die Variablen b
ij
WN und b
i
PNA werden nicht aufgeführt, da sie durch die Variablen b
ij
W
und b
ij
PN
implizit gegeben sind.
172
B_k(53,11) 1 B_k(53,12) 1 B_k(53,13) 1 B_k(53,14) 1 B_k(53,15) 1
B_k(53,16) 1 B_k(53,17) 1 B_k(53,18) 1 B_k(53,19) 1 B_k(53,20) 1
B_k(54,0) 1 B_k(54,1) 1 B_k(54,2) 1 B_k(54,3) 1 B_k(54,4) 1 B_k(54,5) 1
B_k(54,6) 1 B_k(54,7) 1 B_k(54,8) 1 B_k(54,9) 1 B_k(54,10) 1
B_k(54,11) 1 B_k(54,12) 1 B_k(54,13) 1 B_k(54,14) 1 B_k(54,15) 1
B_k(54,16) 1 B_k(54,17) 1 B_k(54,18) 1 B_k(54,19) 1 B_k(54,20) 1
B_k(55,0) 1 B_k(55,1) 1 B_k(55,2) 1 B_k(55,3) 1 B_k(55,4) 1 B_k(55,5) 1
B_k(55,6) 1 B_k(55,7) 1 B_k(55,8) 1 B_k(55,9) 1 B_k(55,10) 1
B_k(55,11) 1 B_k(55,12) 1 B_k(55,13) 1 B_k(55,14) 1 B_k(55,15) 1
B_k(55,16) 1 B_k(55,17) 1 B_k(55,18) 1 B_k(55,19) 1 B_k(55,20) 1
B_k(56,0) 1 B_k(56,1) 1 B_k(56,2) 1 B_k(56,3) 1 B_k(56,4) 1 B_k(56,5) 1
B_k(56,6) 1 B_k(56,7) 1 B_k(56,8) 1 B_k(56,9) 1 B_k(56,10) 1
B_k(56,11) 1 B_k(56,12) 1 B_k(56,13) 1 B_k(56,14) 1 B_k(56,15) 1
B_k(56,16) 1 B_k(56,17) 1 B_k(56,18) 1 B_k(56,19) 1 B_k(56,20) 1
B_k(57,0) 1 B_k(57,1) 1 B_k(57,2) 1 B_k(57,3) 1 B_k(57,4) 1 B_k(57,5) 1
B_k(57,6) 1 B_k(57,7) 1 B_k(57,8) 1 B_k(57,9) 1 B_k(57,10) 1
B_k(57,11) 1 B_k(57,12) 1 B_k(57,13) 1 B_k(57,14) 1 B_k(57,15) 1
B_k(57,16) 1 B_k(57,17) 1 B_k(57,18) 1 B_k(57,19) 1 B_k(57,20) 1
B_k(58,0) 1 B_k(58,1) 1 B_k(58,2) 1 B_k(58,3) 1 B_k(58,4) 1 B_k(58,5) 1
B_k(58,6) 1 B_k(58,7) 1 B_k(58,8) 1 B_k(58,9) 1 B_k(58,10) 1
B_k(58,11) 1 B_k(58,12) 1 B_k(58,13) 1 B_k(58,14) 1 B_k(58,15) 1
B_k(58,16) 1 B_k(58,17) 1 B_k(58,18) 1 B_k(58,19) 1 B_k(58,20) 1
B_k(59,0) 1 B_k(59,1) 1 B_k(59,2) 1 B_k(59,3) 1 B_k(59,4) 1 B_k(59,5) 1
B_k(59,6) 1 B_k(59,7) 1 B_k(59,8) 1 B_k(59,9) 1 B_k(59,10) 1
B_k(59,11) 1 B_k(59,12) 1 B_k(59,13) 1 B_k(59,14) 1 B_k(59,15) 1
B_k(59,16) 1 B_k(59,17) 1 B_k(59,18) 1 B_k(59,19) 1 B_k(59,20) 1
B_k(60,0) 1 B_k(60,1) 1 B_k(60,2) 1 B_k(60,3) 1 B_k(60,4) 1 B_k(60,5) 1
B_k(60,6) 1 B_k(60,7) 1 B_k(60,8) 1 B_k(60,9) 1 B_k(60,10) 1
B_k(60,11) 1 B_k(60,12) 1 B_k(60,13) 1 B_k(60,14) 1 B_k(60,15) 1
B_k(60,16) 1 B_k(60,17) 1 B_k(60,18) 1 B_k(60,19) 1 B_k(60,20) 1
B_k(61,0) 1 B_k(61,1) 1 B_k(61,2) 1 B_k(61,3) 1 B_k(61,4) 1 B_k(61,5) 1
B_k(61,6) 1 B_k(61,7) 1 B_k(61,8) 1 B_k(61,9) 1 B_k(61,10) 1
B_k(61,11) 1 B_k(61,12) 1 B_k(61,13) 1 B_k(61,14) 1 B_k(61,15) 1
B_k(61,16) 1 B_k(61,17) 1 B_k(61,18) 1 B_k(61,19) 1 B_k(61,20) 1
B_k(62,0) 1 B_k(62,1) 1 B_k(62,2) 1 B_k(62,3) 1 B_k(62,4) 1 B_k(62,5) 1
B_k(62,6) 1 B_k(62,7) 1 B_k(62,8) 1 B_k(62,9) 1 B_k(62,10) 1
B_k(62,11) 1 B_k(62,12) 1 B_k(62,13) 1 B_k(62,14) 1 B_k(62,15) 1
B_k(62,16) 1 B_k(62,17) 1 B_k(62,18) 1 B_k(62,19) 1 B_k(62,20) 1
B_k(63,0) 1 B_k(63,1) 1 B_k(63,2) 1 B_k(63,3) 1 B_k(63,4) 1 B_k(63,5) 1
B_k(63,6) 1 B_k(63,7) 1 B_k(63,8) 1 B_k(63,9) 1 B_k(63,10) 1
B_k(63,11) 1 B_k(63,12) 1 B_k(63,13) 1 B_k(63,14) 1 B_k(63,15) 1
B_k(63,16) 1 B_k(63,17) 1 B_k(63,18) 1 B_k(63,19) 1 B_k(63,20) 1
B_k(64,0) 1 B_k(64,1) 1 B_k(64,2) 1 B_k(64,3) 1 B_k(64,4) 1 B_k(64,5) 1
B_k(64,6) 1 B_k(64,7) 1 B_k(64,8) 1 B_k(64,9) 1 B_k(64,10) 1
B_k(64,11) 1 B_k(64,12) 1 B_k(64,13) 1 B_k(64,14) 1 B_k(64,15) 1
B_k(64,16) 1 B_k(64,17) 1 B_k(64,18) 1 B_k(64,19) 1 B_k(64,20) 1
B_k(86,0) 1 B_k(86,1) 1 B_k(86,2) 1 B_k(86,3) 1 B_k(86,4) 1 B_k(86,5) 1
B_k(86,6) 1 B_k(86,7) 1 B_k(86,8) 1 B_k(86,9) 1 B_k(86,10) 1
B_k(86,11) 1 B_k(86,12) 1 B_k(86,13) 1 B_k(86,14) 1 B_k(86,15) 1
B_k(86,16) 1 B_k(86,17) 1 B_k(86,18) 1 B_k(86,19) 1 B_k(86,20) 1
B_k(87,0) 1 B_k(87,1) 1 B_k(87,2) 1 B_k(87,3) 1 B_k(87,4) 1 B_k(87,5) 1
B_k(87,6) 1 B_k(87,7) 1 B_k(87,8) 1 B_k(87,9) 1 _k(87,10) 1
B_k(87,11) 1 B_k(87,12) 1 B_k(87,13) 1 B_k(87,14) 1 B_k(87,15) 1
B_k(87,16) 1 B_k(87,17) 1 B_k(87,18) 1 B_k(87,19) 1 B_k(87,20) 1
B_k(88,0) 1 B_k(88,1) 1 B_k(88,2) 1 B_k(88,3) 1 B_k(88,4) 1 B_k(88,5) 1
B_k(88,6) 1 B_k(88,7) 1 B_k(88,8) 1 B_k(88,9) 1 B_k(88,10) 1
B_k(88,11) 1 B_k(88,12) 1 B_k(88,13) 1 B_k(88,14) 1 B_k(88,15) 1
B_k(88,16) 1 B_k(88,17) 1 B_k(88,18) 1 B_k(88,19) 1 B_k(88,20) 1
173
B_k(89,0) 1 B_k(89,1) 1 B_k(89,2) 1 B_k(89,3) 1 B_k(89,4) 1 B_k(89,5) 1
B_k(89,6) 1 B_k(89,7) 1 B_k(89,8) 1 B_k(89,9) 1 B_k(89,10) 1
B_k(89,11) 1 B_k(89,12) 1 B_k(89,13) 1 B_k(89,14) 1 B_k(89,15) 1
B_k(89,16) 1 B_k(89,17) 1 B_k(89,18) 1 B_k(89,19) 1 B_k(89,20) 1
B_k(90,0) 1 B_k(90,1) 1 B_k(90,2) 1 B_k(90,3) 1 B_k(90,4) 1 B_k(90,5) 1
B_k(90,6) 1 B_k(90,7) 1 B_k(90,8) 1 B_k(90,9) 1 B_k(90,10) 1
B_k(90,11) 1 B_k(90,12) 1 B_k(90,13) 1 B_k(90,14) 1 B_k(90,15) 1
B_k(90,16) 1 B_k(90,17) 1 B_k(90,18) 1 B_k(90,19) 1 B_k(90,20) 1
B_k(91,0) 1 B_k(91,1) 1B_k(91,2) 1 B_k(91,3) 1 B_k(91,4) 1 B_k(91,5) 1
B_k(91,6) 1 B_k(91,7) 1 B_k(91,8) 1 B_k(91,9) 1 B_k(91,10) 1
B_k(91,11) 1B_k(91,12) 1 B_k(91,13) 1 B_k(91,14) 1 B_k(91,15) 1
B_k(91,16) 1 B_k(91,17) 1 B_k(91,18) 1 B_k(91,19) 1 B_k(91,20) 1
B_k(92,0) 1 B_k(92,1) 1 B_k(92,2) 1 B_k(92,3) 1 B_k(92,4) 1 B_k(92,5) 1
B_k(92,6) 1 B_k(92,7) 1 B_k(92,8) 1 B_k(92,9) 1 B_k(92,10) 1
B_k(92,11) 1 B_k(92,12) 1 B_k(92,13) 1 B_k(92,14) 1 B_k(92,15) 1
B_k(92,16) 1 B_k(92,17) 1 B_k(92,18) 1 B_k(92,19) 1 B_k(92,20) 1
B_k(93,0) 1 B_k(93,1) 1 B_k(93,2) 1 B_k(93,3) 1 B_k(93,4) 1 B_k(93,5) 1
B_k(93,6) 1 B_k(93,7) 1 B_k(93,8) 1 B_k(93,9) 1 B_k(93,10) 1
B_k(93,11) 1 B_k(93,12) 1 B_k(93,13) 1 B_k(93,14) 1 B_k(93,15) 1
B_k(93,16) 1 B_k(93,17) 1 B_k(93,18) 1 B_k(93,19) 1 B_k(93,20) 1
B_k(94,0) 1 B_k(94,1) 1 B_k(94,2) 1 B_k(94,3) 1 B_k(94,4) 1 B_k(94,5) 1
B_k(94,6) 1 B_k(94,7) 1 B_k(94,8) 1 B_k(94,9) 1 B_k(94,10) 1
B_k(94,11) 1 B_k(94,12) 1 B_k(94,13) 1 B_k(94,14) 1 B_k(94,15) 1
B_k(94,16) 1 B_k(94,17) 1 B_k(94,18) 1 B_k(94,19) 1 B_k(94,20) 1
B_k(95,0) 1 B_k(95,1) 1 B_k(95,2) 1 B_k(95,3) 1 B_k(95,4) 1 B_k(95,5) 1
B_k(95,6) 1 B_k(95,7) 1 B_k(95,8) 1 B_k(95,9) 1 B_k(95,10) 1
B_k(95,11) 1 B_k(95,12) 1 B_k(95,13) 1 B_k(95,14) 1 B_k(95,15) 1
B_k(95,16) 1 B_k(95,17) 1 B_k(95,18) 1 B_k(95,19) 1 B_k(95,20) 1
B_k(96,0) 1 B_k(96,1) 1 B_k(96,2) 1 B_k(96,3) 1 B_k(96,4) 1 B_k(96,5) 1
B_k(96,6) 1 B_k(96,7) 1 B_k(96,8) 1 B_k(96,9) 1 B_k(96,10) 1
B_k(96,11) 1 B_k(96,12) 1 B_k(96,13) 1 B_k(96,14) 1 B_k(96,15) 1
B_k(96,16) 1 B_k(96,17) 1 B_k(96,18) 1 B_k(96,19) 1 B_k(96,20) 1
B_k(97,0) 1 B_k(97,1) 1 B_k(97,2) 1 B_k(97,3) 1 B_k(97,4) 1 B_k(97,5) 1
B_k(97,6) 1 B_k(97,7) 1 B_k(97,8) 1 B_k(97,9) 1 B_k(97,10) 1
B_k(97,11) 1 B_k(97,12) 1 B_k(97,13) 1 B_k(97,14) 1 B_k(97,15) 1
B_k(97,16) 1 B_k(97,17) 1 B_k(97,18) 1 B_k(97,19) 1 B_k(97,20) 1
B_k(98,0) 1 B_k(98,1) 1 B_k(98,2) 1 B_k(98,3) 1 B_k(98,4) 1 B_k(98,5) 1
B_k(98,6) 1 B_k(98,7) 1 B_k(98,8) 1 B_k(98,9) 1 B_k(98,10) 1
B_k(98,11) 1 B_k(98,12) 1 B_k(98,13) 1 B_k(98,14) 1 B_k(98,15) 1
B_k(98,16) 1 B_k(98,17) 1 B_k(98,18) 1 B_k(98,19) 1 B_k(98,20) 1
B_k(99,0) 1 B_k(99,1) 1 B_k(99,2) 1 B_k(99,3) 1 B_k(99,4) 1 B_k(99,5) 1
B_k(99,6) 1 B_k(99,7) 1 B_k(99,8) 1 B_k(99,9) 1 B_k(99,10) 1
B_k(99,11) 1 B_k(99,12) 1 B_k(99,13) 1 B_k(99,14) 1 B_k(99,15) 1
B_k(99,16) 1 B_k(99,17) 1 B_k(99,18) 1 B_k(99,19) 1 B_k(99,20) 1
B_k(100,0) 1 B_k(100,1) 1 B_k(100,2) 1 B_k(100,3) 1 B_k(100,4) 1
B_k(100,5) 1 B_k(100,6) 1 B_k(100,7) 1 B_k(100,8) 1 B_k(100,9) 1
B_k(100,10) 1 B_k(100,11) 1 B_k(100,12) 1 B_k(100,13) 1 B_k(100,14) 1
B_k(100,15) 1 B_k(100,16) 1 B_k(100,17) 1 B_k(100,18) 1 B_k(100,19) 1
B_k(100,20) 1 B_k(101,0) 1 B_k(101,1) 1 B_k(101,2) 1 B_k(101,3) 1
B_k(101,4) 1 B_k(101,5) 1 B_k(101,6) 1 B_k(101,7) 1 B_k(101,8) 1
B_k(101,9) 1 B_k(101,10) 1 B_k(101,11) 1 B_k(101,12) 1 B_k(101,13) 1
B_k(101,14) 1 B_k(101,15) 1 B_k(101,16) 1 B_k(101,17) 1 B_k(101,18) 1
B_k(101,19) 1 B_k(101,20) 1 B_k(102,0) 1 B_k(102,1) 1 B_k(102,2) 1
B_k(102,3) 1 B_k(102,4) 1 B_k(102,5) 1 B_k(102,6) 1 B_k(102,7) 1
B_k(102,8) 1 B_k(102,9) 1 B_k(102,10) 1 B_k(102,11) 1 B_k(102,12) 1
B_k(102,13) 1 B_k(102,14) 1 B_k(102,15) 1 B_k(102,16) 1 B_k(102,17) 1
B_k(102,18) 1 B_k(102,19) 1 B_k(102,20) 1 B_k(103,0) 1 B_k(103,1) 1
B_k(103,2) 1 B_k(103,3) 1 B_k(103,4) 1 B_k(103,5) 1 B_k(103,6) 1
174
B_k(103,7) 1 B_k(103,8) 1 B_k(103,9) 1 B_k(103,10) 1 B_k(103,11) 1
B_k(103,12) 1 B_k(103,13) 1 B_k(103,14) 1 B_k(103,15) 1 B_k(103,16) 1
B_k(103,17) 1 B_k(103,18) 1 B_k(103,19) 1 B_k(103,20) 1 B_k(104,0) 1
B_k(104,1) 1 B_k(104,2) 1 B_k(104,3) 1 B_k(104,4) 1 B_k(104,5) 1
B_k(104,6) 1 B_k(104,7) 1 B_k(104,8) 1 B_k(104,9) 1 B_k(104,10) 1
B_k(104,11) 1 B_k(104,12) 1 B_k(104,13) 1 B_k(104,14) 1 B_k(104,15) 1
B_k(104,16) 1 B_k(104,17) 1 B_k(104,18) 1 B_k(104,19) 1 B_k(104,20) 1
C.2: Ergebnisse Optimierung Partialmodell II43
B_mr(4,1) 1 B_mr(5,1) 1 B_mr(10,1) 1 B_mr(12,1) 1 B_mr(13,1) 1
B_mr(15,1) 1 B_mr(16,1) 1 B_mr(14,13) 1
B_mqn(9,2,1) 1 B_mqn(9,2,5) 1 B_mqn(9,2,9) 1
C.3: Ergebnisse Optimierung Partialmodell III44
B_ls(1) 1 B_ls(2) 1 B_ls(3) 1 B_ls(6) 1 B_ls(10) 1 B_ls(11) 1
B_ls(21) 1 B_ls(31) 1 B_ls(32) 1 B_ls(33) 1 B_ls(34) 1 B_ls(39) 1
B_ls(65) 1 B_ls(66) 1 B_ls(67) 1 B_ls(70) 1 B_ls(73) 1 B_ls(74) 1
B_ls(75) 1 B_ls(76) 1 B_ls(77) 1 B_ls(78) 1 B_ls(81) 1 B_ls(82) 1
B_ls(83) 1 B_ls(84) 1 B_ls(85) 1 B_ls(86) 1 B_ls(87) 1 B_ls(88) 1
B_ls(89) 1 B_ls(91) 1 B_ls(92) 1 B_ls(93) 1 B_ls(94) 1 B_ls(96) 1
B_ls(97) 1 B_ls(98) 1 B_ls(99) 1 B_ls(103) 1 B_ls(104) 1
X_mb(1) 25 X_mb(10) 19 X_mb(103) 36 X_mb(104) 36 X_mb(11) 49 X_mb(2) 33
X_mb(21) 81 X_mb(3) 65 X_mb(31) 105 X_mb(32) 17 X_mb(33) 19 X_mb(34) 81
X_mb(39) 131 X_mb(6) 7 X_mb(65) 211 X_mb(66) 193 X_mb(67) 161
X_mb(70) 211 X_mb(73) 193 X_mb(74) 161 X_mb(75) 211 X_mb(76) 64
X_mb(77) 211 X_mb(78) 193 X_mb(81) 211 X_mb(82) 193 X_mb(83) 64
X_mb(84) 64 X_mb(85) 64 X_mb(86) 36 X_mb(87) 36 X_mb(88) 120
X_mb(89) 96 X_mb(91) 96 X_mb(92) 14 X_mb(93) 42 X_mb(94) 120
X_mb(96) 96 X_mb(97) 14 X_mb(98) 42 X_mb(99) 120
B_bz(1) 1 B_bz(10) 1 B_bz(11) 1 B_bz(2) 1 B_bz(21) 1 B_bz(3) 1
B_bz(31) 1 B_bz(32) 1 B_bz(33) 1 B_bz(34) 1 B_bz(39) 1 B_bz(6) 1
B_bz(65) 1 B_bz(66) 1 B_bz(67) 1 B_bz(70) 1 B_bz(73) 1 B_bz(74) 1
B_bz(75) 1 B_bz(76) 1 B_bz(77) 1 B_bz(78) 1 B_bz(81) 1 B_bz(82) 1
B_bz(83) 1 B_bz(84) 1 B_bz(85) 1
C.4: Ergebnisse Optimierung Partialmodell IV45
X_lg(10) 30 X_lg(103) 10 X_lg(11) 50 X_lg(2) 20 X_lg(21) 100
X_lg(31) 95 X_lg(32) 20 X_lg(33) 80 X_lg(34) 82 X_lg(39) 150 X_lg(6) 10
X_lg(65) 470 X_lg(66) 244 X_lg(67) 342 X_lg(70) 250 X_lg(73) 180
43 Hier werden nur die relevanten Entscheidungsvariablen dargestellt. Nicht aufgeführte Indexkombinationen
dieser Variablen sind 0. Die Variablen b
ij
M und b
ijk
MQ werden nicht aufgeführt, da sie durch die Variablen b
ij
MR,
b
ij
ME (für alle Kombinationen von i und j 0) und b
ijk
MQN sowie die Ausgangssituation implizit gegeben sind.
44 Hier werden nur die relevanten Entscheidungsvariablen dargestellt. Nicht aufgeführte Indexkombinationen
dieser Variablen sind 0.
45 Hier werden nur die relevanten Entscheidungsvariablen dargestellt. Nicht aufgeführte Indexkombinationen
dieser Variablen sind 0.
175
X_lg(74) 342 X_lg(75) 250 X_lg(77) 400 X_lg(78) 404 X_lg(81) 400
X_lg(82) 404 X_lg(88) 150 X_lg(89) 70 X_lg(91) 48.5 X_lg(92) 20
X_lg(93) 60 X_lg(94) 140.5 X_lg(96) 48.5 X_lg(97) 20 X_lg(98) 60
X_lg(99) 140.5
