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Analyse nichtglatter dynamischer Systeme

mit mengenorientierten Methoden

am Beispiel eines

Ultraschall-Stoßbohrsystems

zur Erlangung des akademischen Grades eines

DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN (Dr.-Ing.)

der Fakult¨

at f¨

ur Maschinenbau

der Universit¨

at Paderborn

genehmigte

DISSERTATION

von

Dipl.-Ing. Nicolai Neumann

aus Bad Vilbel

Referent: Prof. Dr.-Ing. J¨

org Wallaschek

Korreferent: Prof. Dr. Michael Dellnitz

Tag der Einreichung: 11. Oktober 2007

Tag der m¨

undlichen Pr¨

ufung: 2. Juni 2008

Vorwort

Die Arbeiten f¨

ur die vorliegende Dissertationsschrift f¨

uhrte ich w¨

ahrend

meiner dreij¨

ahrigen Stipendienzeit ab 1. September 2003 als Stipendiat

des PaSCo-GKs (DFG Graduiertenkolleg Wissenschaftliches Rechnen des

Paderborn Institute for Scientific Computation: Anwendungsorientierte Mo-

dellierung und Algorithmenentwicklung) und wissenschaftlicher Mitarbeiter

des Lehrstuhls f¨

ur Mechatronik und Dynamik am Heinz Nixdorf Institut

(HNI) der Universit¨

at Paderborn und einem weiteren, vierten Jahr durch.

Zu zweierlei Gruppierungen durfte ich mich dazuz¨

ahlen — einerseits

zu meiner der Fakult¨

at f¨

ur Maschinenbau angeh¨

orenden Fachgruppe, an-

dererseits zum Graduiertenkolleg mit seinem Schwerpunkt in Mathematik,

Ingenieurwissenschaften und Informatik. So genoss ich Betreuung und

Austausch, Beratung und Diskussion in beiden Disziplinen, der Mechanik

und der Mathematik, die beide wissenschaftliche Handwerkszeuge meiner

Arbeit sind.

Dankend m¨

ochte ich die DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) nen-

nen, die meine Forschung ¨

uber das PaSCo mit einem Stipendium und der

Finanzierung einer wissenschaftlichen Hilfskraft f¨

ur das letzte halbe Jahr

angenehm gemacht hat sowie zusammen mit der Fachgruppe Mechatronik

und Dynamik des HNIs die Teilnahme und Mitwirkung an Fachkonferenzen

erm¨

oglicht hat. Umfangreiche Laborausstattung, Werkstatt und Rechner-

cluster wurden mir vom HNI zur Verf¨

ugung gestellt.

Fachliche Konsultation erhielt ich auf der Seite des Maschinenbaus durch

meinen Doktorvater und Fachgebietsleiter Prof. Dr.-Ing. J¨

org Wallaschek

und Prof. Dr.-Ing. Thomas Sattel. Besonders m¨

ochte ich hier Thomas Sattel

erw¨

ahnen, der mein Interesse auf die Forschungsarbeiten im Heinz Nixdorf

Institut lenkte. Er hat mich wissenschaftlich mit großem Engagement bis zu-

letzt durch meine Dissertationszeit begleitet und oft wichtige, motivierende

Impulse gegeben.

Fachliche Unterst¨

utzung f¨

ur die faszinierenden mathematischen Belange

meiner Arbeit erhielt ich durch den Sprecher des PaSCo und meinen

Zweitgutachter Prof. Dr. Michael Dellnitz und maßgeblich auch durch

Prof. Dr. Oliver Junge, Mitbegr¨

under und Entwickler der mengenorientier-

ten numerischen Methoden und ihrer Algorithmen.

Meinen Dank m¨

ochte ich auch an all jene richten, die mir w¨

ahrend mei-

ner Zeit in Paderborn begegnet sind und Diskussionspartner, Ideengeber,

iii

Helfer oder Ratgeber waren, im Besonderen an Jens Twiefel, mit dem ich

einige mechanische Modelle und L¨

osungsans¨

atze er¨

orterte, meine sehr an-

genehmen B¨

urokollegen Bj¨

orn Richter und Dr. Jia Du, Christian Potthast,

Stefan Sertl, der mir das Softwarepaket GAIO (Global Analysis of Invariant

Objects) mehrfach kompilierte und mit mir geduldig oft Algorithmen und

Ergebnisse besprach, Dr. Kathrin Padberg, Mirko Hessel von Molo, Dr. Mar-

cus Post, Dr. Martin Ziegler, Dr. Sina Ober-Bl¨

obaum, Dr. Tobias Hemsel,

Martin Liekenbr¨

ocker, Wilfried Br¨

ockelmann, Dr. Walter Littmann, Carme-

lo Quirante Kneba, Marina Kass¨

uhlke, Kerstin Hille, Begona Nasarre, Axel

Keller f¨

ur die freundliche Hilfe mit der Bedienung des Hochleistungsrechners

Arminius des PC2s, Axel Betanski, Dr. Markus Hohenhaus vom Rechnerbe-

trieb des HNI, an meinen Freund und Kommilitonen Dr. Tobias Niemz, der

ein weiterbringendes Dissertationstreffen initiierte.

Abschließend geb¨

uhrt meiner Freundin und Verlobten Rebekka Oeters

ein sehr großer Dank f¨

ur ihre qualitative, wertvolle, unerm¨

udliche und

ausdauernde Unterst¨

utzung, motivierende Hilfe und ihr Mitdenken und

Korrekturlesen.

Die wichtigsten Personen aber, denen ich unermesslich danke, ohne die

diese Arbeit nie entstanden w¨

are, sind meine Eltern Elisabeth Neumann-

Beuerle und Karl-Christoph Neumann, die mir durch ihre dreißigj¨

ahrige,

uberallhin begleitende Unterst¨

utzung zu dieser W¨

urde der Promotion

verhalfen.

Baunatal, im Juli 2008

Nicolai Neumann

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Begriffsdefinition nichtlineares und nichtglattes System . . . . 1

1.2 Dynamische Systeme nichtglatter Charakteristik . . . . . . . 3

1.3 Analyse nichtglatter dynamischer Systeme . . . . . . . . . . 4

1.4 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Mengenorientierte numerische Methoden 7

2.1 Invariante Mengen und globale Attraktoren . . . . . . . . . . 8

2.2 Approximation relativer globaler Attraktoren . . . . . . . . . 10

2.3 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Ultraschall-Stoßbohrer 17

3.1 Entwicklung des Ultraschall-Stoßbohrers . . . . . . . . . . . 17

3.2 Aufbau des Ultraschall-Stoßbohrers . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Modellierung und Analyse nichtglatter Dynamik —

Stand der Technik 21

4.1 Klassische Methoden zur Analyse nichtlinearer dynamischer

Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Zeitreihenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2 Phasenportrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.3 Periodische Punkte und Fixpunkte . . . . . . . . . . 23

4.1.4 Ljapunov-Stabilit¨

at und Ljapunov-Exponent . . . . . 23

4.1.5 Poincar´e-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.6 Verzweigungs- oder Bifurkationsdiagramm . . . . . . 24

4.1.7 Einzugsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Zellabbildungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Modellierung von Schwingstoßsystemen . . . . . . . . . . . . 27

5 Modellierung 31

5.1 Herleitung eines Modells 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1 Zeitdiskrete Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.2 Herleitung zeitdiskreter Bewegungsgleichungen . . . . 36

5.1.3 Notwendigkeit transzendenter Bewegungsgleichungen 38

5.1.4 Mehrfachst¨

oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

INHALTSVERZEICHNIS

5.2 Herleitung eines verfeinerten zeitdiskreten Modells . . . . . . 40

5.2.1 Aufstellen des verfeinerten Modells 4. Ordnung . . . 41

5.2.2 Berechnung des Stoßzeitpunktes tk+1 . . . . . . . . . 43

5.2.3 Berechnen der verbleibenden Zustandsgr¨

oßen . . . . . 46

5.2.4 Zusammenfassung des Stoßkontaktmodells 4. Ordnung 48

5.3 Algorithmus zum L¨

osen transzendenter Stoßgleichungen . . . 49

6 Verhalten des Stoßbohrers 53

6.1 Experimentelle Untersuchungen am Schwingstoßpr¨

ufstand . 53

6.1.1 Aufbau des Schwingstoßpr¨

ufstands . . . . . . . . . . 53

6.1.2 Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.3 Stoßzahlen aus Labormessungen . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Simulation des Modells 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Analytische Fixpunktbestimmung . . . . . . . . . . . 63

6.2.2 Periodische und chaotische L¨

osungen . . . . . . . . . 65

6.2.3 Bifurkationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Experimentelle Untersuchungen am Stoßbohrer . . . . . . . 73

6.3.1 Pr¨

ufstand f¨

ur Messungen am Stoßbohrer . . . . . . . 73

6.3.2 Messergebnisse am Stoßbohrer . . . . . . . . . . . . . 75

6.4 Simulation des Modells 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 75

6.5 Vergleich von Modellen und Messungen . . . . . . . . . . . . 78

7 Analyse mit mengenorientierten Methoden 83

7.1 Analyse des Stoß-Modells 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 84

7.1.1 Der zylindrische Zustandsraum . . . . . . . . . . . . 84

7.1.2 Bestimmung eines relativen globalen Attraktors . . . 86

7.1.3 Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten . . . 87

7.1.4 Analyseergebnisse aus Aufenthaltswahrscheinlichkeiten 89

7.1.5 Analyseergebnisse aus Einzugsgebieten . . . . . . . . 94

7.2 Analyse des Stoß-Modells 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 97

7.2.1 Approximation des relativen globalen Attraktors . . . 97

7.2.2 Analyseergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . 99

8 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick 105

8.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Kapitel 1

Einleitung

Die vorliegende Dissertationsschrift betrachtet die Anwendung und den Ein-

satz der ”mengenorientierten numerischen Methoden“. Dadurch leistet sie

einen Beitrag, diese Methoden in den ingenieurwissenschaftlichen Bereichen

st¨

arker zum Einsatz zu bringen und ihren Bekanntheitsgrad zu erh¨

ohen.

Exemplarisch wird im Rahmen dieser Arbeit ein System mit nichtglatten

Eigenschaften aus der realen Ingenieurwelt herangezogen. Hierbei handelt

es sich um ein Ultraschall-Stoßbohrsystem, welches durch seine nichtlineare

Dynamik, die durch die auftretenden Kontaktwechselvorg¨

ange insbesondere

nichtglatten Charakter besitzt, ein Beispiel aus einer herausragenden Klasse

von Systemen darstellt.

In Kapitel 1.1 erkl¨

are ich zun¨

achst die Begriffe linear/nichtlinear und

die Unterscheidung in glatt/nichtglatt — f¨

ur Leser, denen diese Termini im

Kontext dynamischer Systeme nicht gel¨

aufig sind.

Danach gebe ich einen ¨

Uberblick ¨

uber die spezielle Gruppe nichtglatter

dynamischer Systeme und gehe auf deren Analysem¨

oglichkeiten ein. Schließ-

lich pr¨

asentiere ich in den weiteren Unterkapiteln die Zielsetzung und Vor-

gehensweise und erl¨

autere sukzessive den Aufbau der folgenden Arbeit.

1.1 Begriffsdefinition nichtlineares und nicht-

glattes System

Linear / nichtlinear

In einem linearen Modell, das ein physikalisches Ph¨

anomen oder einen

physikalischen Zusammenhang beschreibt, h¨

angt eine Systemgr¨

oße —

z. B. die mechanische Spannung in einem Bauteil — in linearer Weise,

also proportional von einer zweiten Systemgr¨

oße — etwa der Dehnung

— ab (siehe Bild 1.1). Diese Abh¨

angigkeit l¨

asst sich in Form linearer

Modellgleichungen mathematisch beschreiben. In einem kartesischen

Koordinatensystem werden lineare Abh¨

angigkeiten durch gerade Linien

dargestellt. Nichtlinearit¨

aten werden nicht durch lineare, sondern durch

gekr¨

ummte, also z. B. in ihrer Steigung zunehmende Kurven beschrieben.

Zum Basiswissen der Ingenieurwissenschaften geh¨

oren heute g¨

angige

KAPITEL 1. EINLEITUNG

Techniken, um das Verhalten solcher linearen Modelle untersuchen und

simulieren zu k¨

onnen. Vergleiche mit Labormessungen, die das Verhalten

eines realen, physikalischen Systems wiedergeben, weisen jedoch in vielen

F¨

allen die Existenz von Ph¨

anomenen auf, die mit linearen, die Realit¨

vereinfachenden Modellen, nicht abgebildet werden k¨

onnen. Tragen diese

Ph¨

anomene wesentlich zur Funktion eines Mechanismus bei oder muss

man ihr Auftreten gezielt beeinflussen oder gar verhindern k¨

onnen, so

wird es unerl¨

asslich, die auf sogenannten Nichtlinearit¨

aten beruhenden

Eigenschaften in die Modellgleichungen mit aufzunehmen. Nichtlinear

bedeutet allgemein, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen

verschiedenen physikalischen Systemgr¨

oßen und ihren Ableitungen gibt:

eine Systemgr¨

oße ist nicht ”einfach“ das Vielfache einer ihrer Ableitungen

oder Integrale oder einer anderen Systemgr¨

oße, sondern sie, eine ihrer

Ableitungen oder Integrale kann in Differentialgleichungen als Argument

einer nichtlinearen Funktion (z. B. Polynom zweiter oder h¨

oherer Ordnung,

Exponential-, Logarithmus- oder trigonometrische Funktion) auftreten oder

z. B. in einem Produkt von Zustandsgr¨

oßen mit deren Ableitungen oder

Integralen enthalten sein. Als eine von vielen m¨

oglichen Beispielen hierzu

sei die Arbeit von Neumann [Neumann 2002] genannt, in der lange Zeit

nicht ber¨

ucksichtigte, nichtlineare Effekte in den L¨

angsschwingungen axial

polarisierter, piezoelektrischer Keramiken experimentell nachgewiesen und

in Modellgleichungen mit nichtlinearen Termen umgesetzt wurden.

Bild 1.1: Beispiel f¨

ur einen linearen Zusammenhang von Systemgr¨

oßen:

Spannungs-Dehnungs-Diagramm (elastischer Bereich)

Glatt / nichtglatt

Auf einen Spezialfall nichtlinearer Systeme soll innerhalb dieser Arbeit be-

sonderes Gewicht gelegt werden. Es sind sogenannte nichtglatte dynamische

Systeme.

In glatten Systemen l¨

asst sich das Zusammenwirken von Systemgr¨

oßen

durch glatte Kurven veranschaulichen. Glatt bedeutet, die Kurven sind kon-

tinuierlich, d. h. zusammenh¨

angend, und stetig differenzierbar, d. h. ohne

Knick. Die Charakteristika nichtglatter Systeme dagegen k¨

onnen Knicke

oder gar Spr¨

unge enthalten.

Mathematisch definierend ist eine Funktion innerhalb eines Intervalls

dann glatt, wenn alle ihre Ableitungen innerhalb diesen Intervalls kontinu-

ierlich sind, d. h. keinen Sprung besitzen. Glatte Funktionen geh¨

oren somit

1.2. DYNAMISCHE SYSTEME NICHTGLATTER CHARAKTERISTIK

der Differenzierbarkeitsklasse C∞an.

Ein offensichtliches Beispiel f¨

ur eine Vielzahl nichtglatter Systeme sind

s¨

amtliche Mechanismen, in denen Stoßprozesse stattfinden. W¨

ahrend eines

Stoßes ¨

andert ein K¨

orper abrupt seinen Bewegungszustand (siehe Bild 1.2).

Seine Geschwindigkeit macht einen Sprung. Der Zeitverlauf der Position des

K¨

orpers erh¨

alt dabei einen Knick.

Zeit

Position

Geschwindigkeit

Bild 1.2: Sprunghafte ¨

Anderung der Geschwindigkeit eines K¨

orpers

1.2 Dynamische Systeme nichtglatter Cha-

rakteristik

Nahezu alle Systeme, die heutzutage in Forschung und Wissenschaft — be-

sonders in den Ingenieurwissenschaften — eine Rolle spielen, sind durch

nichtlineare Eigenschaften gepr¨

agt. In einigen F¨

allen ist es legitim, diese

Nichtlinearit¨

aten zu vernachl¨

assigen. H¨

aufig ist es jedoch sinnvoll, sie in die

Modellierung der Systeme mit aufzunehmen, wenn sie deren qualitatives

Verhalten entscheidend mitbestimmen.

Eine besondere Untergruppe der Systeme mit nichtlinearem Verhalten

bilden solche Systeme, in denen nichtglatte Eigenschaften auftreten. Ursa-

chen daf¨

ur k¨

onnen die oben erw¨

ahnten Kontaktwechsel sein. Diese k¨

onnen

erw¨

unscht (z. B. in Stoßbohrern) oder unerw¨

unscht (z. B. Zahneingriffst¨

oße

in Getrieben) sein. Oder man denke an Tankschiffe, die an Hochseebojen vor

Olbohrplattformen vertaut werden. Periodische Anregung durch vorbeizie-

hende Wellenz¨

uge und die wechselnde Elastizit¨

at der Taue k¨

onnen zu uner-

warteten und unerw¨

unschten Bewegungen f¨

uhren. Die Steifigkeit der Taue

h¨

angt hierbei in sprunghafter Weise davon ab, ob sie unter Spannung stehen

oder schlaff durchh¨

angen. Der ¨

Ubergang zwischen diesen beiden benachbar-

ten Zust¨

anden ist durch einen Knick in der Elastizit¨

atskurve der Vertauung

(R¨

uckstellkraft ¨

uber Auslenkung) gekennzeichnet.

KAPITEL 1. EINLEITUNG

Eine weitere Gruppe von Systemen mit sehr offensichtlichen nichtglatten

Eigenschaften sind all jene, in denen Stoßvorg¨

ange wesentlich zur Funktions-

weise beitragen, wie etwa s¨

amtliche h¨

ammernden Schlagbohrprozesse. Hier

findet w¨

ahrend des Stoßes ein ¨

Ubergang einer freien (evtl. linearen) Be-

wegung hin zu einem Kontakt statt. Je nach Art der Modellbildung l¨

asst

sich dieses Verhalten wie beim Hochseetankschiff z. B. durch eine Steifigkeit

nachbilden, die in Abh¨

angigkeit einer Systemgr¨

oße — hier der Auslenkung

— ihren Wert sprunghaft ¨

andert. H¨

aufig findet man in der Literatur zur Be-

schreibung solcher St¨

oße den Einsatz der Stoßzahlhypothese nach Newton,

nach der die Geschwindigkeit des Stoßk¨

orpers oder beider Stoßpartner im

Stoßaugenblick schlagartig ihren Wert ¨

andert.

1.3 Analyse nichtglatter dynamischer Syste-

Im Prozess der Entwicklung, Gestaltung, Auslegung und Optimierung von

Systemen aus der Mechanik, dem Maschinenbau und der Elektrotechnik

ist stets ein eingehendes Verst¨

andnis des Systemverhaltens unerl¨

asslich.

Hierf¨

ur sind Schritte zum Modellieren des realen Verhaltens und schließlich

zum Analysieren wesentliche und immer wiederkehrende Bestandteile.

Zur Simulation nichtlinearen Verhaltens muss von Fall zu Fall abgewogen

werden, welche der bew¨

ahrten Methoden zur L¨

osung nichtlinearer Diffe-

rentialgleichungen zur Anwendung kommen k¨

onnen oder ob es zul¨

assig

ist, Nichtlinearit¨

aten durch Linearisieren zu vernachl¨

assigen. Oft wird

die letzte Vorgehensweise verwendet, da f¨

ur die Analyse linearer Systeme

robuste und bew¨

ahrte Techniken vorliegen. Hierbei nimmt der Ingenieur

jedoch in Kauf, wesentliche Eigenschaften seines Systems, die allein auf die

Nichtlinearit¨

aten zur¨

uckzuf¨

uhren sind, zu verlieren.

Noch schwieriger wird es, wenn ein Extremfall von nichtlinearen Kenn-

kurven das Systemverhalten beeinflusst, n¨

amlich wenn nichtglatte Effekte

mit im Spiel sind: einige Methoden, die f¨

ur die Untersuchung nichtlinearen

Verhaltens anwendbar sind, sind nur auf glatten Teilbereichen einsetzbar.

Zwar besteht die M¨

oglichkeit, nichtglatte Kennlinien z. B. durch die

Arkustangens-Funktion1zu gl¨

atten, doch solches Vorgehen kann zum

Verlieren oder Verf¨

alschen wesentlicher Effekte f¨

uhren.

Die Reihe der zur Verf¨

ugung stehenden Methoden wurde in den letz-

ten Jahren um die sogenannten mengenorientierten numerischen Methoden

erweitert. Sie ¨

ahneln den Zellabbildungsmethoden, die Hsu seit den 80er Jah-

ren in Berkeley entwickelt [Hsu 1980]. Hsu behandelt die Zustandsgr¨

oßen

nicht als Kontinua, sondern als diskrete Gr¨

oßen, die er in Zellen einteilt.

Einen Unterraum des n−dimensionalen Zustandsraumes diskretisiert er in

1Die Funktion f(x) = 2

πlima→∞ arctan ax konvergiert punktweise gegen die Vorzei-

chenfunktion signum(x), die an der Stelle x= 0 von −1 nach 1 springt. F¨

ur große agibt

πarctan ax n¨

aherungsweise die Sprungfunktion in glatter Weise wieder und besitzt alle

Ableitungen, geh¨

ort also der Differenzierbarkeitsklasse C∞an.

1.4. ZIELSETZUNG

viele, kleine n−dimensionale Zellen. Die Zellabbildungsmethoden werden in

Unterkapitel 4.2 vorgestellt.

Die mengenorientierten Methoden liefern eine vielversprechende Weiter-

entwicklung des Konzepts von Hsu. Da sie durch einen effektiven Unter-

teilungsalgorithmus nur denjenigen Zustandsbereich fein diskretisieren, in

dem die Dynamik des Systems stattfindet, verh¨

alt sich ihr Rechenaufwand

nicht wie die Anzahl der Zustandsraumdimensionen, sondern wird durch die

(unter Umst¨

anden fraktale) Dimensionsgr¨

oße der Mannigfaltigkeiten2oder

Attraktoren des Systems bestimmt. Dies kann zu einer erheblichen Rechen-

ersparnis f¨

uhren. Dennoch entfalten die mengenorientierten Methoden ihr

Potential besonders mit dem Aufkommen immer leistungsf¨

ahigerer Rechen-

maschinen. In die Grundlagen dieser Methoden wird Kapitel 2einf¨

uhren.

1.4 Zielsetzung

Exemplarisch f¨

ur den oben vorgestellten Systemtypus mit nichtglattem Ver-

halten soll im Rahmen dieser Arbeit ein spezieller Ultraschall-Stoßbohrer

untersucht werden. Das allein auf Stoßvorg¨

angen beruhende Bohrkon-

zept ist auf eine große Klasse von Systemen mit Stoß- oder nichtglat-

ten Vorg¨

angen ¨

ubertragbar. Der Bohrer, der erst vor wenigen Jahren ent-

wickelt wurde, wird in Kapitel 3im Detail vorgestellt. Obgleich seine

Funktion unter Laborversuchen nachgewiesen werden konnte, gibt es bis-

lang nur wenige Arbeiten, die sich auf theoretischer Ebene mit seinem

Funktionsprinzip besch¨

aftigen [Badescu et al. 2005], [Neumann et al. 2007],

[Potthast et al. 2007a]. Ein tiefgehendes Verst¨

andnis der mechanischen Prin-

zipien, die die Funktion des Stoßbohrsystems ausmachen, ist bislang nicht

bekannt. Mit mengenorientierten numerischen Methoden, die in Kapitel 2

beschrieben werden, soll ein Beitrag in Richtung eines tieferen Verst¨

andnisses

des Funktionsprinzips erreicht werden. Ein Bestandteil dieser Arbeit ist, ne-

ben der Einf¨

uhrung und Vorstellung der relativ jungen Methoden, ihre An-

wendung auf das vorgeschlagene, nichtglatte Stoßsystem zu demonstrieren

und ihren Beitrag zum globalen Systemverst¨

andnis eines Bohrprozesses zu

betrachten. In Erg¨

anzung der Analyse mit mengenorientierten Methoden

werden dazu Vorgehensweisen angewandt, die in der Untersuchung nichtli-

nearer Modelle g¨

angig sind. Hierzu wird eine Bifurkationsanalyse der Dyna-

mik in Abh¨

angigkeit von Systemparametern durchgef¨

uhrt. Ziel ist es, Fix-

punkte zu identifizieren sowie deren Periodizit¨

at und Stabilit¨

atsverhalten

zu berechnen. Weiterhin ist zu pr¨

ufen, ob es Bereiche mit koexistierenden

L¨

osungen gibt, f¨

ur die ggf. Einzugsgebiete zu berechnen sind.

F¨

ur die angestrebten Untersuchungen ist die Dynamik einer freien Stoß-

masse als wesentliche Komponente aus dem Inneren des Bohrsystems zu

analysieren. In realen Laborversuchen sind die theoretisch gewonnenen Er-

gebnisse schließlich mit experimentellen Resultaten zu vergleichen.

2die Mannigfaltigkeit: Der Begriff der Mannigfaltigkeit verallgemeinert den Begriff der

Fl¨

ache im Raum, welche man sich als verbogenes St¨

uck eines deformierbaren Materials

vorstellen kann, wie z. B. eine Kugel- oder Torusoberfl¨

ache. [Brockhaus 1989]

KAPITEL 1. EINLEITUNG

1.5 Vorgehensweise

Die weiteren Kapitel sind wie folgt aufgebaut: Kapitel 4gibt zun¨

achst

einen ¨

Uberblick ¨

uber klassische Analysetechniken f¨

ur nichtlineare Systeme,

die langj¨

ahrige Forschungsthemen in Mathematik und Mechanik sind und

ebenfalls f¨

ur nichtglatte Systeme Bedeutung haben. Es enth¨

alt daraufhin

Erl¨

auterungen zu Arbeiten, die der modernen Wissenschaft der Systemana-

lyse entstammen und solche, die speziell f¨

ur nichtglatte Systeme entwickelt

wurden. Schließlich beschreibt Kapitel 4Arbeiten, die wichtige Ans¨

atze zur

modellhaften Formulierung von Schwingstoßsystemen geben.

Bevor eine numerische, auf mathematischen Algorithmen basierende Me-

thode auf ein reales System angewandt werden kann, ist es n¨

otig, die Realit¨

bis auf ihre wesentlichen Bestandteile zu abstrahieren und mittels mathe-

matischer Gleichungen zu formulieren. Dieser Schritt der Modellierung ge-

schieht f¨

ur die Dynamik im hier untersuchten Bohrprozess in Kapitel 5. Es

werden zwei Modelle unterschiedlicher Verfeinerungsstufen und Ordnungen

vorgeschlagen.

Modellsimulationen sind Thema in Kapitel 6. Hier wird das dynami-

sche Verhalten in der Theorie anhand von periodischen und chaotischen

Zeitreihen und in Bifurkationsdiagrammen besprochen. Der Theorie wer-

den danach experimentelle Studien an vergleichbaren Laborsystemen ge-

gen¨

ubergestellt, um die G¨

ute der Modellbildung bewerten und Annahmen

validieren zu k¨

onnen.

In Kapitel 7schließlich wird die eigentliche Analyse der Modelle vollzo-

gen: die mengenorientierten numerischen Methoden demonstrieren ihr Po-

tential im Einsatz auf nichtglatte Systeme. Dazu werden relative globale

Attraktoren berechnet, die die statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨

das Auftreten s¨

amtlicher m¨

oglicher Zust¨

ande der Attraktoren wiedergeben.

Dies vermittelt ein globales Bild der den Systemen zugrundeliegenden Dy-

namik.

Enden wird die vorliegende Arbeit mit einer abschließenden Zusam-

menfassung und Bewertung des Beitrags der eingesetzten Methoden auf

nichtglatte Systeme und einem Ausblick in Kapitel 8.

Kapitel 2

Mengenorientierte numerische

Methoden

Ein wichtiger Bestandteil in Entwicklungsprozessen des Maschinenbaus ist

gepr¨

agt vom Verst¨

andnis des dynamischen Verhaltens mechanischer Syste-

me und der M¨

oglichkeit, diese mathematisch simulieren zu k¨

onnen. Fr¨

uher

gab es kaum andere M¨

oglichkeiten, als durch Linearisieren vereinfachte Ab-

bildungen der Wirklichkeit mathematisch zu untersuchen. Mitunter ist es

jedoch entscheidend, Nichtlinearit¨

aten zu betrachten.

Eine Reihe etablierter ”klassischer“ Analyse- und Betrachtungs-

m¨

oglichkeiten f¨

ur nichtlineare Systeme sind im Wesentlichen Zeitrei-

henanalysen, Fixpunktsuche, Stabilit¨

atsbewertung, Phasenportraits,

Poincar´e-Abbildungen und Bifurkationsanalysen. Sie werden in Unterka-

pitel 4.1 zusammenfassend dargestellt. Als Ergebnis der Analyse eines

nichtlinearen Systems liefern sie wichtige und wesentliche Informationen

uber Gleichgewichtspunkte und periodische L¨

osungen.

Wenn Systeme irregul¨

ares bzw. nichtperiodisches (also chaotisches) Ver-

halten aufweisen, ist es sinnvoll, statistische Aussagen treffen zu k¨

onnen.

Fragen wie

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine theoretisch m¨

ogliche

L¨

osungsform in der Realit¨

at tats¨

achlich angenommen?

oder — vorausgesetzt, die dynamische Entwicklung des Systems findet wis-

sentlich innerhalb eines Attraktors statt —

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Systemzustand inner-

halb des Attraktors angenommen?

k¨

onnen nicht allein durch die oben erw¨

ahnten Methoden bearbeitet werden.

Es kommt vor, dass zur alleinigen Erlangung von erstem Systemverst¨

andnis

oder gar als grundlegende Analysetechnik Langzeitsimulationen anhand

eines Modells praktiziert werden. Ausgehend von einigen Anfangszust¨

anden

berechnet man einige wenige Trajektorien. In Systemen irregul¨

aren oder

chaotischen Verhaltens f¨

uhren Langzeitintegrationen aufgrund begrenzter,

KAPITEL 2. MENGENORIENTIERTE NUMERISCHE METHODEN

numerischer Rechengenauigkeiten jedoch m¨

oglicherweise auf fehlerhafte

Resultate.

Eine vielversprechende Alternative und Erg¨

anzung bieten die sogenann-

ten mengenorientierten numerischen Methoden. Wie bei der Zellabbildungs-

methode [Hsu 1987] basieren mengenorientierte Methoden auf Kurzzeitsimu-

lationen sehr vieler Trajektorien. Hierin besteht ein wesentlicher Unterschied

zu anderen Methoden, bei denen Langzeitintegrationen auf fehleranf¨

allige

Trajektorien f¨

uhren. Hinsichtlich der Zellabbildungsmethoden unterscheiden

sich mengenorientierte Methoden unter anderem durch algorithmische Er-

weiterungen, die die Recheneffizienz steigern: der Rechenaufwand h¨

angt hier

nicht wie sonst von der Dimension des zugrundeliegenden Zustandsraumes

ab, sondern von der (unter Umst¨

anden fraktalen, d. h. nicht-ganzzahligen)

Dimension der zu bestimmenden Mannigfaltigkeit.

Im Folgenden wird eine Einf¨

uhrung in die Techniken und Algo-

rithmen gegeben, die den Kern der mengenorientierten numerischen

Methoden bilden. Entwickelt und implementiert wurden die den

Methoden zugrundeliegenden Algorithmen unter anderem am Lehr-

stuhl f¨

ur Angewandte Mathematik der Universit¨

at Paderborn, sie-

he hierzu [Dellnitz & Junge 2002]. Ausf¨

uhrliche Herleitungen und Be-

weise finden sich außerdem in [Dellnitz, Froyland, Junge 2001] und

[Dellnitz & Hohmann 1997]. Zur Untersuchung dynamischer Systeme aus

der Ingenieurspraxis wurden die Methoden zum Beispiel f¨

ur Schienenfahr-

zeuge in [Goldschmidt 2003] verwendet. Die folgenden Abschnitte stellen die

Konzepte der mengenorientierten Methoden vor.

2.1 Invariante Mengen und globale Attrak-

toren

Im Zuge der modellbasierten Entwicklung eines nichtlinearen dynamischen

Systems ist es wichtig, Kenntnisse ¨

uber dessen globales Langzeitverhalten

zu erlangen. Dies bezieht das Auffinden von Gleichgewichtszust¨

anden,

periodischen oder chaotischen L¨

osungen sowie deren Einzugsgebiete

mit ein. Im Falle eines schwach ged¨

ampften Systems, wie es bei vielen

Stoß-Schwing-Anwendungen zu finden ist, kann die Bestimmung von

periodischen Punkten schwierig sein. Aus topologischer Sicht lassen sich

sowohl Gleichgewichtspunkte als auch periodische und chaotische L¨

osungen

den invarianten Mengen zuordnen. ”Invariant“ bedeutet, die Mengen

h¨

angen nur von Systemparametern ab und ver¨

andern sich nicht aufgrund

der dynamischen Entwicklung des Systems mit der Zeit.

Attraktor

Der Begriff des Attraktors wird hier vorgestellt: ein Attraktor beschreibt

einen Bereich oder eine Untermenge eines Zustandsraumes, zu dem sich

2.1. INVARIANTE MENGEN UND GLOBALE ATTRAKTOREN

die Systemdynamik im Langzeitverhalten hinentwickelt. Bez¨

uglich der

zeitlichen Evolution eines Systems ist ein Attraktor eine invariante Menge:

wenn der Systemzustand den Attraktor einmal erreicht hat, wird er ihn

unter dem Einfluss der zugrundeliegenden Dynamik nie wieder verlassen.

Daher stellt das Bestimmen von Attraktoren ein wesentliches Mittel dar,

Aussagen ¨

uber das Langzeitverhalten eines Systems zu treffen.

Dynamisches System

Mathematisch l¨

asst sich ein autonomes1, zeitkontinuierliches, dynamisches

System durch ein System von gew¨

ohnlichen Differentialgleichungen beschrei-

ben: dx(t)

dt=g(x(t)) ,g:Rn7→ Rn,x:R7→ Rn.(2.1)

Darin wird gals Vektorfeld bezeichnet, xist der Zustandsvektor, der den

Systemzustand zur Zeit tangibt und Rnist der n-dimensionale Zustands-

raum (auch ”Phasenraum“ genannt), innerhalb dessen sich der Systemzu-

stand mit Voranschreiten der Zeit entwickelt. Ist Gl. (2.1) analytisch nicht

l¨

osbar, so l¨

asst sich die Zustandsentwicklung durch numerische Integration

von (2.1)¨

uber die Zeit berechnen. Dann wird die zugrundeliegende Dynamik

mittels eines zeitdiskreten, dynamischen Systems Tder Form

xk+1 =T(xk), k = 0,1,2,..., T:Rn7→ Rn,(2.2)

angen¨

ahert, wenn eine explizite Integrationsmethode gew¨

ahlt wurde. Der

Anfangszustand ist x0∈Rn, und xk=x(tk) beschreibt den Zustand zum

Zeitschritt tk.

Invariante Menge, Einzugsgebiet und Attraktor

F¨

ur eine Abbildung Tkann der Begriff der invarianten Menge, des Einzugs-

gebietes und des Attraktors entsprechend [Dellnitz & Junge 2002] wie folgt

definiert werden:

Definition invariante Menge und Attraktor:

•Eine Untermenge A ⊂ Rnwird invariant genannt, wenn

T(A) = T−1(A) = A.

•Wenn zu Aein Einzugsgebiet DAexistiert mit A ⊂ DAund

DA⊂Rn, dann wird AAttraktor genannt.

•Das Einzugsgebiet (engl. ”basin of attraction“) eines At-

traktors ist die Menge derjenigen Anfangsbedingungen, von

1autonom: die Anregung eines Systems (meistens auf der rechten Seite der Differenti-

algleichung, die die Dynamik eines Systems beschreibt, notiert) h¨

angt nicht explizit von

der Zeit tab.

KAPITEL 2. MENGENORIENTIERTE NUMERISCHE METHODEN

denen aus sich das Langzeitsystemverhalten in den Attrak-

tor hinein bewegt. Formal bildet die Vereinigungsmenge al-

ler R¨

uckw¨

artsabbildungen der fundamentalen Umgebung U

das Einzugsgebiet des Attraktors: DA=Sk∈NT−k(U).

•Falls DA=Rn, dann wird Aglobaler Attraktor genannt.

Zur Bestimmung eines Attraktors kann Rnwegen seiner Unbegrenztheit

numerisch nie vollst¨

andig ber¨

ucksichtigt werden. Anstelle dessen wird der

Zustandsraum auf eine interessierende Untermenge Q ⊂ Rnbegrenzt

und der relative globale Attraktor (”RGA“) AQeingef¨

uhrt (siehe auch

[Dellnitz, Froyland, Junge 2001] und [Dellnitz & Junge 2002]):

Definition relativer globaler Attraktor: AQ(T)— der glo-

bale Attraktor eines dynamischen Systems Trelativ zu einer

interessierenden, gegebenen Menge Q— ist definiert als Schnitt-

menge aller Vorw¨

arts-Abbildungen des Urbildes Q, bzw.

AQ(T) :=

∞

k=0

Tk(Q).(2.3)

Im Folgenden wird die interessierende Untermenge Q”Anfangs-“ oder

”Startbox“ genannt. Sie sei ein rechteckig begrenztes n−dimensionales Ge-

biet, auf das als Ausgangsmenge die Algorithmen angewandt werden, die in

den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.

2.2 Approximation relativer globaler At-

traktoren

Dieser Abschnitt zeigt, wie der relative globale Attraktor zu einem ge-

gebenen, zeitdiskreten, dynamischen System Tnumerisch ermittelt wird.

Dazu wird die Idee des mengenorientierten Vorgehens erl¨

autert, welche die

Basis der mengenorientierten numerischen Methoden bildet. Ziel ist es, den

Attraktor mit einer Menge von kleinen, rechteckigen sog. (n-dimensionalen)

Boxen n¨

aherungsweise zu ¨

uberdecken. Der erste Schritt des Vorgehens auf

dem Weg zum relativen globalen Attraktor ist die Wahl eines rechteckigen

Teilgebietes Qaus dem zugrundeliegenden Zustandsraum Rn. Das Teilgebiet

Qwerden wir im weiteren Verlauf mit Startbox bezeichnen. Nur innerhalb

dieser Startbox wird die Analyse stattfinden. Beginnt man eine Analyse

ganz ohne Vorwissen ¨

uber das System, so ist es ratsam, zun¨

achst eine recht

große Startbox zu w¨

ahlen.

Im Folgenden wird ein Box-Unterteilungsalgorithmus vorgestellt

[Dellnitz, Froyland, Junge 2001]. Der Algorithmus besteht aus zwei

Schritten, welche einige Male iteriert2werden. Begonnen wird mit der

rechteckigen Startbox Q(0) =Q. Die zwei Schritte sind:

2iterieren: wiederholen, wiederholt anwenden.

2.2. APPROXIMATION RELATIVER GLOBALER ATTRAKTOREN

1. Unterteilung: Gegeben sei der i-te iterative Unterteilungsschritt, nach

dem N(i)Boxen B(i)

k,k= 1,2,...,N(i)vorliegen, und es gelte

N(i)

[

k=1 B(i)

k=Q(i)⊆ Q(0) ⊂Rn.(2.4)

Halbiere im n¨

achsten Schritt i+ 1 jede Box B(i)

k. Dies ergibt 2N(i)

kleinere, verfeinerte Boxen f¨

ur die wieder gilt:

2N(i)

[

k=1 B(i+1)

k=Q(i).(2.5)

2. Auswahl: Bestimme das Urbild T−1(B(i+1)

k), k= 1,...,2N(i)jeder

der verfeinerten Boxen durch Anwendung der invertierten Abbildung3.

L¨

osche daraufhin all jene Boxen B(i+1)

k, deren Urbild die gegenw¨

artige

Menge Q(i)an Boxen nicht schneidet. Die Menge Q(i+1) f¨

ur den

n¨

achsten Schritt i+ 1 ergibt sich aus den ¨

ubrig bleibenden Boxen:

Q(i+1) =

2N(i)

[

k=1

T−1B(i+1)

k∩Q(i).(2.6)

Bei der Unterteilung der n-dimensionalen Boxen B(i)

kwird die Halbie-

rungsebene entlang der nDimensionen des Zustandsraumes zyklisch per-

mutiert. Beispielsweise im Falle eines 2-dimensionalen Systems mit den Zu-

standsgr¨

oßen xund ywird die Halbierung der rechteckigen Boxen zun¨

achst

in x-Richtung, dann in y-Richtung und im n¨

achsten Iterationsschritt wieder

in x-Richtung und so weiter vorgenommen. Die Anzahl der Iterationsschrit-

te isollte (muss aber nicht) ein Vielfaches der Dimensionszahl nbetragen,

so dass die Unterteilung in jede Koordinatenrichtung gleich oft geschieht.

Im Gegensatz zu anderen Zellteilungsverfahren h¨

angt der Rechenaufwand

des hier vorgestellten Verfahrens nicht alleine von der Anzahl der Dimensio-

nen ab, sondern kann in Abh¨

angigkeit von der zugrundeliegenden Dynamik

geringer sein. Ein Attraktor mit schlanker, fein ver¨

astelter Struktur kann

daher mit geringer Rechenzeit angen¨

ahert werden, da nach jedem Untertei-

lungsschritt nur wenige Boxen behalten werden, die weiter unterteilt werden

m¨

ussen.

Bild 2.1 zeigt eine solche Anordnung von Boxen, die durch den Untertei-

lungsalgorithmus entstand. Diese Menge von Boxen ¨

uberdeckt den gesuchten

relativen globalen Attraktor eines dynamischen Systems, welches sp¨

ater in

Kapitel 3vorgestellt wird. F¨

ur die Feinheit der Rechteck-Boxen im gegebe-

nen Beispiel waren 14 Unterteilungsschritte n¨

otig. In diesem Beispiel wird

3Die Existenz der inversen Abbildung T−1stellt in der Praxis keine Voraussetzung dar.

Die Auswahl der zu l¨

oschenden Boxen wird vielmehr derart vorgenommen, dass zun¨

achst

die Bilder jeder der verfeinerten Boxen berechnet werden. Daraufhin werden all solche

Boxen gel¨

oscht, die sich mit keinem der Bilder schneiden.

KAPITEL 2. MENGENORIENTIERTE NUMERISCHE METHODEN

der Rechenvorteil des mengenorientierten Ansatzes gegen¨

uber der Zellabbil-

dungsmethode deutlich. In der Zellabbildungsmethode unterteilen die Bo-

xen das gesamte Teilgebiet Q ⊂ Rn: f¨

ur die gew¨

ahlte Verfeinerung m¨

ussten

214 = 16384 Boxen untersucht werden, um den Attraktor zu bestimmen.

Der mengenorientierte Unterteilungsalgorithmus bestimmt in diesem Falle

nur 2925 Boxen — n¨

amlich nur solche, die zum Attraktor geh¨

oren. Die An-

zahl der Boxabbildungen liegt jedoch etwas h¨

oher, da die Anzahl 2925 durch

14 sukzessive Verdoppelungen und Reduktionen der Boxanzahl erreicht wird.

Bild 2.1: Ein relativer globaler Attraktor AQ, der nach 14 Unterteilungs-

schritten durch ¨

Uberdeckung mit 2925 Boxen angen¨

ahert wurde.

Die Bestimmung der Bilder der Boxen, wie es in Schritt 2 des Algorithmus

vorgeschrieben ist, wird durch Abbilden einer großen Zahl von sog. Testpunk-

ten vorgenommen. Die Testpunkte k¨

onnen dazu in unterschiedlichen Weisen

uber jede zu traktierende Box verteilt werden; das Programm GAIO4sieht

hierf¨

ur vier Optionen vor. Die Testpunkte k¨

onnen die Boxen ausf¨

ullen, in

dem sie auf ein regelm¨

aßiges Gitter verteilt werden, wobei die R¨

ander mit-

eingeschlossen werden (Grid) oder nur das Innere mit Testpunkten bedeckt

wird (InnerGrid). Alternativ kann es vorteilhaft sein, die Punkte zufallsver-

teilt zu platzieren (MonteCarlo), oder es gen¨

ugt in gewissen F¨

allen, nur die

R¨

ander der Boxen mit Testpunkten zu versehen (Edges). Die letztgenannte

M¨

oglichkeit, die Rechenzeit einspart, ist sinnvoll, wenn die Abbildung in ei-

ne Dimension sehr stark kontrahierend wirkt, so dass rechteckige Boxen zu

sehr schlanken Bildern transformiert werden.

4Global Analysis of Invariant Objects steht f¨

ur ein Softwarepaket, welches s¨

amtliche

Algoritmen der mengenorientierten Methoden vereint und verf¨

ugbar macht. Bild 2.1 wur-

de so mit dem oben eingef¨

uhrten Unterteilungsalgorithmus erzeugt, der in der GAIO-

Komponente RGA implementiert ist. Details und Anwendungsbeispiele zu der Software

sind ihrem Handbuch [Dellnitz, Froyland, Junge 2001] zu entnehmen.

2.3. AUFENTHALTSWAHRSCHEINLICHKEITEN

2.3 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

Mit dem Box-Unterteilungsalgorithmus des vorigen Unterkapitels k¨

onnen

relative globale Attraktoren angen¨

ahert werden. Kenntnis ¨

uber die Lage

und Form des Attraktors innerhalb des Zustandsraumes lassen jedoch keine

R¨

uckschl¨

usse auf die Bewegung des Systems innerhalb des Attraktors zu.

Oft er¨

ubrigt sich dieser weitere Wissensbedarf: wenn der Attraktor n¨

amlich

einen periodischen Grenzzyklus (engl. limit cycle, kann bei zeitkontinuierli-

chen Systemen auftreten), einen Fixpunkt oder einen 1-periodischen bzw. k

k−periodische Punkte darstellt, so bleiben ¨

uber die Dynamik des Systems,

sobald sich sein Zustand auf dem Attraktor befindet, keine weiteren Fragen

offen. Die geometrische Dimension solcher Attraktoren ist ganzzahlig (Fix-

punkt: dim= 0; geschlossene Zykluskurve: dim= 1).

Wenn dagegen der Attraktor wie in Bild 2.1 keine vollfl¨

achige Form besitzt,

so ist seine Dimension fraktal (1 <dim<2), also eine gebrochene Zahl. In sol-

chen F¨

allen spricht man von einem seltsamen Attraktor. Deterministisches,

also vorherbestimmtes Chaos beherrscht das zeitliche Verhalten der Sys-

temzust¨

ande. Hier ist es sinnvoll, die irregul¨

aren Bewegungen des Systems

tiefgehender zu studieren. Hilfreich ist die Berechnung von sog. invarian-

ten Maßen, wie etwa die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines ist. Sie ist ein

in der zeitlichen Entwicklung unver¨

anderliches Maß, das statistische Aussa-

gen ¨

uber die Wahrscheinlichkeit trifft, mit der die im Attraktor m¨

oglichen

Zust¨

ande vom System erreicht werden.

Die folgenden Abschnitte erl¨

autern die Berechnung von Aufenthaltswahr-

scheinlichkeitswerten f¨

ur alle Boxen, die einen Attraktor approximieren, wie

er z. B. in Bild 2.1 gezeigt ist.

Ubergangswahrscheinlichkeitsmatrix

Die Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten basiert auf der Matrix

der ¨

Ubergangswahrscheinlichkeiten (engl.: transition probability matrix). Sie

wird mit Pbezeichnet und kann f¨

ur einen gegebenen relativen globalen

Attraktor AQberechnet werden. Sie enth¨

alt die Elemente P= [pkl] mit

k, l = 1,...,N.Nstellt die Anzahl der Boxen dar, die den relativen glo-

balen Attraktor AQbilden. Jede Komponente pkl der Matrix Psteht f¨

die ¨

Ubergangswahrscheinlichkeit, mit der das System nach einem Schritt

einen innerhalb Box Blliegenden Zustand hin zu einem in Box Bkliegen-

den Zustand ¨

andert. Die ¨

Ubergangswahrscheinlichkeit pkl wird angen¨

ahert,

indem man viele Testpunkte von innerhalb Box Blabbildet und den Anteil

an Punkten z¨

ahlt, die in Box Bk,k= 1,...,N landen. Die Illustration in

Bild 2.2 verdeutlicht das Vorgehen der Berechnung aller Eintr¨

age pkl der

Ubergangswahrscheinlichkeitsmatrix P. Die siebte Spalte pk,7erh¨

alt man,

indem man (hier aus Demonstrationszwecken nur) vier Testpunkte xi∈ B7,

die in Box B7liegen, abbildet und danach f¨

ur jede Box die relative Zahl an

Bildpunkten z¨

ahlt.

KAPITEL 2. MENGENORIENTIERTE NUMERISCHE METHODEN

10 11

1 2 3

4 5 6

78 9

12 13

14 15 16

Bild 2.2: Fiktiver Attraktor zur De-

monstration der Berechnung von

Ubergangswahrscheinlichkeiten







··· 1/4···

··· 2/4···







←p6,l

←p7,l

←p14,l

↑

pk,7

Vektor der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

Im vorigen Abschnitt wurden die ¨

Ubergangswahrscheinlichkeiten des Sys-

temzustands von jeder Box in jede Box definiert und berechnet. In diesem

Abschnitt wird nun der Begriff der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ykzur Box

Bkdefiniert:

Definition Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Gegeben sei ei-

ne Menge von NBoxen Bk,k= 1,...,N, wobei Ndie Anzahl

der Boxen darstellt, die den relativen globalen Attraktor AQbe-

schreiben. Man nehme an, dass sich der Systemzustand xauf

dem Attraktor AQbefinde. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit yk

der Box Bkist definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der der

Systemzustand xinnerhalb der Box Bkliegt.

Es folgt noch die

Definition Aufenthaltswahrscheinlichkeitsvektor: Der

Aufenthaltswahrscheinlichkeitsvektor ist definiert als eine Spal-

tenmatrix aus den Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ykaller

Boxen Bk:

y:= [y1, y2,...,yN]T(2.7)

Unter Verwendung der beiden Definitionen kann schließlich die Berech-

nung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten hergeleitet werden. Nimm dazu

an, der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsvektor y= [y1, y2,...,yN]Tw¨

are be-

reits bekannt. ylbezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Systemzu-

stand xinnerhalb der Box Blliegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Zu-

stand xvorlag und im n¨

achsten Schritt in Box Bkhinein abgebildet wird,

ist durch das Produkt ¯ykl =pkl ylder ¨

Ubergangswahrscheinlichkeit pkl und

der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ylgegeben. Die Summe ¨

uber alle Boxen

Blergibt die gesamte Aufenthaltswahrscheinlichkeit Bk:

yk=

l=1

¯ykl =X

pkl yl.(2.8)

2.3. AUFENTHALTSWAHRSCHEINLICHKEITEN

In Matrix-Notation kann Gl. (2.8) als

y=P y (2.9)

geschrieben werden. Verglichen mit dem Standard-Eigenwertproblem λy=

P y stellt Gl. (2.9) das spezielle Eigenwertproblem dar, n¨

amlich eines

mit Eigenwert λ= 1. Der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsvektor yist

der Rechts-Eigenvektor der ¨

Ubergangsmatrix Pzum Eigenwert 1. Da

Ubergangsmatrizen stochastischer Natur sind, haben sie stets mindestens

einen Eigenwert 1 [Norris 1997].

Kapitel 3

Ultraschall-Stoßbohrer

In Kapitel 2wurden die mengenorientierten numerischen Methoden vorge-

stellt. Ihre effiziente Vorgehensweise bei der Approximation niedrigdimen-

sionaler Attraktoren bzw. bei der ¨

Uberdeckung von Mannigfaltigkeiten wur-

de eindrucksvoll z. B. an der H´enon-Abbildung, an Chuas Circuit oder am

Lorenz-System bewiesen [Dellnitz & Junge 2002].

Anwendungen der Methoden auf weitere bzw. neuere Systeme aus dem

Ingenieursalltag sind bislang nur wenige erfolgt. Insbesondere wurden sie

nicht an Systemen mit ausgepr¨

agter nichtglatter Charakteristik erprobt. Die

vorliegende Arbeit m¨

ochte diese L¨

ucke schließen und konzentriert sich daher

auf den Einsatz der mengenorientierten Methoden an einer f¨

ur die Klasse

der nichtglatten Systeme beispielhaften Anwendung. Ausgew¨

ahlt wurde das

neuartige Konzept eines Stoßbohrers. Es besticht durch seinen einfachen,

aus wenigen Komponenten bestehenden Aufbau. Gleichzeitig vereinigt es

daher die M¨

oglichkeit einer analytisch ¨

uberschaubaren Modellierung mit

der Analyse einer sehr komplexen Dynamik. Im Folgenden wird dieses

Bohrsystem vorgestellt.

3.1 Entwicklung des Ultraschall-Stoßbohrers

Vor einigen Jahren befasste sich die kalifornische Raumfahrtbeh¨

orde NASA

mit der Planung einer Mars-Mission. Die Entnahme von Gesteinsproben

sollte f¨

ur deren Untersuchung auf der Marsoberfl¨

ache m¨

oglich sein. Der

Bedarf entstand, einen Bohrer zu entwickeln, der vielen besonderen Anfor-

derungen gen¨

ugte. Herk¨

ommliche Gestein-Schlagbohrer schieden aus, weil

sie einige der wichtigsten Anforderungen nicht erf¨

ullen konnten: so waren

ein niedriges Gewicht und geringe elektrische Leistungsaufnahme wichtige

Bedingungen. Wartungsfreiheit war eine ebenso wichtige Voraussetzung. Da

der Bohrer auf einem kleinen, mobilen Roboter-Fahrzeug, dem Mars-Rover,

zu befestigen war, durfte er weder ein großes Halte-Drehmoment, noch eine

hohe Anpresskraft auf die Bohrstelle ben¨

otigen.

Entwickelt wurde daraufhin ein neuartiges Stoßbohrsystem, welches den

Namen USDC bekam, was f¨

ur Ultrasonic/Sonic Driller/Corer steht; sie-

KAPITEL 3. ULTRASCHALL-STOSSBOHRER

he dazu [Bar-Cohen et al. 2001b]. Der Bohrer nutzt Schallwellen sowohl im

Ultraschallbereich (ab 20kHz), als auch im h¨

orbaren Schallbereich (100 Hz–

1000 Hz) und ist in der Lage, Vollquerschnittsbohrungen wie auch Kernloch-

bohrungen zur Probenentnahme vorzunehmen.

Gute Bohrergebnisse in Laborversuchen und die erfolgreiche Anwen-

dung des Bohrkonzepts zur planetaren Gesteinsprobenentnahme (siehe

[Bar-Cohen et al. 2001b]) machen dieses Bohrprinzip f¨

ur terrestrische An-

wendungen interessant. Vorstellbar sind leichte, ger¨

auscharme Handbohrer

mit geringer Leistungsaufnahme f¨

ur spr¨

odhartes Material wie Beton und

Fels. Anwendung k¨

onnten sie im Klettersport, im Baugewerbe, in der Geo-

logie, in der Medizintechnik oder als Versch¨

uttetenbergungsger¨

at f¨

ur Kata-

stropheneins¨

atze finden. Allerdings besteht f¨

ur denkbare Anwendungen noch

Optimierungspotenzial: Probebohrungen zeigten, dass die Bohrzeiten noch

relativ hoch liegen, siehe z. B. [Bar-Cohen et al. 2001a].

3.2 Aufbau des Ultraschall-Stoßbohrers

Bild 3.1 zeigt einen am Heinz Nixdorf Institut gefertigten Labor-Prototypen

des Ultraschall-Stoßbohrers, mit dem experimentelle Messungen gemacht

wurden; in Bild 3.2 ist dessen schematischer Aufbau dargestellt. Deutlich

wird dort ein herausragendes Merkmal, n¨

amlich sein einfacher Aufbau. Au-

ßer der elektrischen Ansteuerung besteht das Bohrsystem aus nur drei Teilen:

•piezoelektrischer Oszillator

•freie Stoßmasse

•Bohrstab

Bild 3.1: Prototyp des Stoßbohrers f¨

ur Laborexperimente

3.2. AUFBAU DES ULTRASCHALL-STOSSBOHRERS

Oszillator

Der piezoelektrische Oszillator, f¨

ur den auch die Namen Transducer oder

Aktor benutzt werden, ist ein metallischer Zylinder, in den ein Stapel von

(hier vier) piezoelektrischen Keramiken eingespannt ist. Im Betrieb wird die-

ser Piezostapel durch Anlegen eines harmonisch oszillierenden Spannungs-

signals an seine Elektroden zu Schwingungen angeregt. Als Anregefrequenz

wird die unterste L¨

angseigenfrequenz des Oszillators gew¨

ahlt. Dadurch wird

die erste L¨

angseigenmode in Resonanz zu Schwingungen angeregt. Die erste

L¨

angseigenform eines Stabes beschreibt eine stehende sog. Lambda-halbe-

Welle. Das heißt, an den Stabenden bilden sich Schwingungsb¨

auche, da-

zwischen ein Schwingungsknoten. Der f¨

ur Messungen verwendete Oszilla-

tor hat eine L¨

ange von l= 125 mm, was bei einer Schallwellengeschwin-

digkeit in Stahl von c= 5 km

seiner ersten L¨

angseigenfrequenz von etwa

f=c

2l= 20 kHz entspricht.

Bohrer

Gestein

Piezo-Stapelaktor

Oszillator

Flugmasse

Hülse (Handhalterung)

Bild 3.2: Schematischer Aufbau des Ultraschall-Stoßbohrsystems USDC

Freie Stoßmasse

Der zweite Bestandteil des Bohrers ist eine wenige Gramm schwere, frei-

fliegende Stoßmasse. Sie kann z. B. Unterlegscheiben- oder Kugelform be-

sitzen. Die Stoßmasse fliegt in einem kleinen Zwischenraum zwischen dem

schwingenden Ende des Ultraschall-Oszillators und der dem Bohrgut (Ge-

stein) abgewandten Seite des Bohr-Stabes hin und her. Dadurch ¨

ubertr¨

agt

die Stoßmasse Stoßenergie vom Oszillator hin zum Bohrer. Ihre besondere

KAPITEL 3. ULTRASCHALL-STOSSBOHRER

Aufgabe besteht darin, eine Transformation der Ultraschall-Schwingungen

von kleiner Amplitude, wie sie am Ende des Oszillators auftreten, hin zu

K¨

orperschallimpulsen im Bohrstab von großer Intensit¨

at vorzunehmen. Als

weitere Funktion erh¨

alt sich die Stoßmasse den f¨

ur ihre Flugbewegung not-

wendigen Zwischenraum. Die vorliegende Arbeit setzt einen Fokus auf die

Analyse und Beschreibung der Bewegung dieser Stoßmasse, von der der

Bohrprozess im Wesentlichen abh¨

angt.

Bohrstab

Der dritte Teil des Bohrsystems ist der Bohrstab. Er leitet die Stoßwellen,

die wiederholt durch Abprallen der freien Stoßmasse an seiner system-

inneren Seite erzeugt werden, hin zur Bohrer-Gestein-Kontaktstelle, wo sie

im zu bearbeitenden Gestein dessen Bruchspannung ¨

uberschreiten und so

den eigentlichen Bohrfortschritt erzielen.

Obgleich die oben vorgestellte Bohrtechnologie vielversprechend ist,

konnte ihr Verhalten auf dynamischer Ebene bislang kaum entschl¨

usselt und

durchdringend verstanden werden. Beispielsweise ist es noch unklar, inwie-

fern die Gr¨

oße, Gestalt und Materialzusammensetzung der Stoßmasse, die

Anregefrequenz und die Bohrstabgeometrie den Materialabtrag beeinflus-

sen. Ein hinreichendes Systemverst¨

andnis ist allerdings unabdingbar, m¨

ochte

man das System-Design f¨

ur weitere Anwendungsfelder nutzbar machen und

Eigenschaften wie die Bohrgeschwindigkeit optimieren oder nur auf gr¨

oßere

Bohrquerschnitte und h¨

ohere Leistungsaufnahmen skalieren.

Kapitel 4

Modellierung und Analyse

nichtglatter Dynamik —

Stand der Technik

Im Fokus der vorliegenden Arbeit steht die Analyse von nichtglatten Sys-

temen der Dynamik. Diese Systeme bilden eine besondere Untergruppe der

nichtlinearen Systeme. Seit einigen Jahrzehnten kommt Nichtlinearit¨

aten in

der Wissenschaft immer gr¨

oßere Aufmerksamkeit zu. Dementsprechend ist

die Literatur, in der man sich mit nichtlinearen Ph¨

anomenen auseinander-

setzt, in dieser Zeit auf eine beachtliche Zahl angewachsen.

In den Anf¨

angen der Arbeit mit nichtlinearen Systemen entwickelten

Mathematiker und Ingenieure mathematische Modelle von technischen Sys-

temen, die von sehr grundlegender Natur waren. Zu den bekanntesten Mo-

dellen z¨

ahlen Differentialgleichungen von Duffing1, van der Pol2und Lorenz3.

Vor dem Zeitalter der maschinellen, numerischen Rechenunterst¨

utzung

waren die Untersuchungsmethoden rein analytisch bzw. experimentell. Die

zur theoretischen Analyse damals entwickelten wichtigsten Methoden sind

1Der deutsche Ingenieur und Experimentalist Georg Duffing (1861–1944) formu-

lierte 1918 die Duffing-Gleichung, indem er dem Potential eines linearen Oszilla-

tors eine kubische R¨

uckstellkraft hinzuf¨

ugte. Das dynamische System entspricht ei-

nem einfachen, ged¨

ampften Feder-Masse-Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie

[Abraham & Shaw 2000].

2Der niederl¨

andische Physiker und Philips-Ingenieur Balthasar van der Pol (1889–

1959) untersuchte 1920 die van der Pol-Gleichung, die einen Feder-Masse-Schwinger mit

nichtlinearer D¨

ampfung modelliert [Van der Pol 1920].

3Der emeritierte Meteorologieprofessor des MIT Edward Norton Lorenz (geb. 1917 in

den USA) stellte ca. 1960 sein Wettermodell auf, aus dessen starker Abh¨

angigkeit von

Anfangsbedingungen der sogenannte ”Schmetterlingseffekt“ hervorging [Lorenz 1963].

KAPITEL 4. MODELLIERUNG UND ANALYSE NICHTGLATTER

DYNAMIK — STAND DER TECHNIK

unter anderem den Arbeiten von Lagrange4, Poincar´e5, Ljapunov6und Birk-

hoff7zu verdanken, die heute immer noch Aktualit¨

at genießen. Einige Metho-

den, die auf diese Pioniere zur¨

uckgehen, werden im folgenden Unterkapitel

beschrieben. Im Unterkapitel 4.2 wird auf j¨

ungere Methoden eingegangen,

die erst in den letzten Dekaden mit dem Aufkommen maschineller Rechen-

unterst¨

utzung entwickelt wurden. In dieser Arbeit werden die genannten Me-

thoden auf zwei Schwingstoßsysteme angewendet. Auf Modellierungsans¨

atze

zu ¨

ahnlichen Systemen wird in Unterkapitel 4.3 verwiesen.

4.1 Klassische Methoden zur Analyse nicht-

linearer dynamischer Systeme

Dieses Unterkapitel stellt die g¨

angigsten Methoden zusammenfassend dar,

die f¨

ur Untersuchungen an nichtlinearen dynamischen Systemen in der Lite-

ratur regelm¨

aßig Anwendung finden. Die nichtglatten dynamischen Systeme

geh¨

oren auch in diese Gruppe. Daher bilden die nachfolgenden Techniken

auch f¨

ur alle Schwingstoßsysteme eine wesentliche Grundlage.

4.1.1 Zeitreihenanalyse

Die naheliegendste M¨

oglichkeit, Einblick in die Bewegungsabl¨

aufe eines Sys-

tems zu erhalten, ist die Zeitreihenanalyse. Dabei wird die zeitliche Ent-

wicklung von Zustandsvariablen des Systems in einem Diagramm ¨

uber die

Zeit aufgetragen. Ein Beispiel daf¨

ur zeigt Bild 6.11 auf Seite 66. Die zugrun-

deliegenden Daten k¨

onnen experimentell oder durch Simulation eines ma-

thematischen Modells gewonnen werden. An dieser Darstellungsweise lassen

sich Eigenschaften wie Periodizit¨

at, asymptotisches oder stabiles Verhalten,

Stabilit¨

at oder Chaos in der Regel nicht ablesen. Ihr Vorteil liegt in der ein-

fachen Zug¨

anglichkeit der Bewegungsabl¨

aufe auch f¨

ur Nichtwissenschaftler.

4.1.2 Phasenportrait

Werden die Zeit als Laufparameter im Zustandsraum (auch ”Phasenraum“

genannt) benutzt und die Zustandswerte des Systems in chronologischer Fol-

4Der italienische Sch¨

uler Leonhard Eulers (1707–1783) Joseph-Louis Lagrange (1736–

1813) wurde als Begr¨

under der analytischen Mechanik bekannt [Wikipedia 2007].

F¨

ur die Stabilit¨

atsuntersuchungen nichtlinearer diskreter und kontinuierlicher Sys-

teme lieferte er einen Stabilit¨

atsbegriff zur Klassifikation von L¨

osungsverhalten

[Thompson & Stewart 1986], der aber heute eher ungebr¨

auchlich ist.

5Nach dem franz¨

osischen Mathematiker, Physiker und Philosophen Jules Henri Poin-

car´e (1854–1912) ist die Poincar´e-Abbildung benannt, die den Zustand eines Systems

stroboskopartig zu diskreten, periodischen Zeitpunkten beleuchtet und dadurch besonde-

re Strukturen innerhalb chaotischer Bewegungen enth¨

ullt.

6Aleksandr Mikhailovich Liapounov (1857–1918) wurde ber¨

uhmt f¨

ur seine grundlegen-

den Ideen zum Begriff der Stabilit¨

at von L¨

osungen.

7Der US-amerikanische Mathematiker George David Birkhoff (1884–1944) wurde 1913

durch den Beweis Poincar´es letzten Theorems ber¨

uhmt und arbeitete im Bereich der

statistischen Mechanik.

4.1. KLASSISCHE METHODEN ZUR ANALYSE NICHTLINEARER

DYNAMISCHER SYSTEME

ge eingetragen, so entsteht eine Trajektorie (auch Orbit genannt). F¨

ur eine

Darstellung n−dimensionaler Trajektorien, wenn n > 3, muss die Trajekto-

rie in den Raum hinein projiziert werden, der von zwei oder drei Zustands-

variablen aufgespannt wird. Diese Betrachtungsweise erm¨

oglicht das Erken-

nen von sich wiederholenden Zust¨

anden und periodischen Bewegungen. Bei

zeitdiskreten Systemen, die durch Abbilden eines Zustands auf einen fol-

genden Zustand beschrieben werden, besteht eine Trajektorie aus einzelnen

Zustandspunkten, die nicht miteinander verbunden sind. Beispiele f¨

ur dis-

krete Orbits zeigt Bild 6.14 auf Seite 70. Periodische Bewegungen lassen sich

erkennen, wenn Zustandspunkte wiederholt auf sich selbst oder einen ihrer

Vorg¨

anger abgebildet werden. Periodizit¨

at in zeitkontinuierlichen Systemen

ist durch sich schließende Orbits charakterisiert. Aus Phasenportraits las-

sen sich weiterhin auch Aussagen ¨

uber das Langzeitverhalten eines Systems

treffen. Z. B. k¨

onnen die Zustandsbereiche, innerhalb derer sich ein durch

D¨

ampfung begrenztes System aufh¨

alt, abgesch¨

atzt werden. Die Daten, aus

denen sich Phasenportraits erstellen lassen, sind die der Zeitreihe, k¨

onnen

also experimentell aufgezeichnet oder simulatorisch berechnet worden sein.

4.1.3 Periodische Punkte und Fixpunkte

Fixpunkte im Zustandsraum von zeitdiskreten Systemen stellen stabile

Gleichgewichtslagen dar. F¨

ur zeitdiskret dargestellte Systeme repr¨

asentieren

Fixpunkte sich periodisch wiederholendes Verhalten. Besteht ein Orbit aus

mFixpunkten, so wird die Bewegung ”m−periodisch“ genannt. Mehrperi-

odische Fixpunkte lassen sich nur selten analytisch bestimmen. In Phasen-

portraits sind sie aber einfach erkennbar.

4.1.4 Ljapunov-Stabilit¨

at und Ljapunov-Exponent

Eine weitere Charakterisierung des Systemverhaltens kann durch die Be-

schreibung der Stabilit¨

at von L¨

osungen vorgenommen werden. Es gibt meh-

rere Stabilit¨

atsbegriffe. Eine L¨

osung u(t) eines autonomen oder nichtau-

tonomen Differentialgleichungssystems wird Ljapunov-stabil genannt, wenn

f¨

ur jede beliebige, kleine Zahl ǫ > 0 eine Zahl δ=δ(ǫ)>0 existiert,

so dass jede andere L¨

osung v(t), f¨

ur die zur Zeit t=t0die Abstands-

beziehung ku(t0)−v(t0)k< δ gilt, f¨

ur alle Zeiten t > t0die Bezie-

hung ku(t)−v(t)k< ǫ erf¨

ullt [Nayfeh 1995]. Anders ausgedr¨

uckt wird eine

L¨

osung dann Ljapunov-stabil genannt, wenn sie sich ab einem bestimmten

Zeitpunkt nie mehr aus den gedachten Schl¨

auchen begrenzter Durchmesser,

die um alle benachbarten L¨

osungen herum verlaufen, herausbewegt.

Ljapunov-Exponenten hingegen geben ein Maß f¨

ur die Stabilit¨

at einer

L¨

osung an. Dabei vergleicht man zwei Trajektorien, die durch im Zustands-

raum sehr dicht benachbarte Zust¨

ande laufen. In der weiteren zeitlichen

Entwicklung verh¨

alt sich der Abstand zwischen den Zust¨

anden beider Tra-

jektorien im Zustandsraum meistens exponentiell: der Ljapunov-Exponent

gibt die St¨

arke dieser exponentiellen Separation oder Ann¨

aherung an. Ent-

scheidend ist meistens nur das Vorzeichen des Ljapunov-Exponenten. Es gibt

KAPITEL 4. MODELLIERUNG UND ANALYSE NICHTGLATTER

DYNAMIK — STAND DER TECHNIK

an, ob es sich um eine stabile oder um eine instabile Bewegung z. B. in Bezug

auf einen Fixpunkt handelt.

4.1.5 Poincar´e-Abbildung

Die Poincar´e-Abbildung ist eine besondere Darstellungsform der Dynamik,

die die Zust¨

ande von zeitkontinuierlichen Systemen nur zu diskreten

Zeitpunkten stroboskopartig beleuchtet. Dieses Vorgehen erzeugt aus einem

kontinuierlichen System eine diskrete Abbildungsvorschrift. Geschlossene

(mehr-)periodische Trajektorien werden zu (mehreren) Fixpunkten und

lassen sich einfach identifizieren. Besondere Relevanz hat die Poincar´e-

Abbildung bei chaotischer Bewegung: irregul¨

ar verlaufende Trajektorien

bilden im Phasenraum ein Liniengewirr. Blitzt man den mit der Zeit durch

den Phasenraum wandernden Zustandspunkt dagegen in periodischen

Abst¨

anden gedanklich mit einem Stroboskop und friert die so entstehenden,

einzelnen Punkte ein, so enth¨

ullt eine deterministisch-chaotische Bewegung

mitunter eine erstaunliche Struktur, die man ”seltsamen Attraktor“ nennt

(siehe auch Unterkapitel 2.3). Als Periodendauer eignet sich bei nichtauto-

nomen Systemen (also solchen mit expliziter Zeitabh¨

angigkeit, etwa durch

eine ¨

außere Kraft- oder Weganregung) f¨

ur die Abbildung die Anregepe-

riodendauer. Bei autonomen Systemen ist die Wahl der Periodendauer

weniger klar. Es eignen sich meistens systemeigene Schwingungsdauern.

4.1.6 Verzweigungs- oder Bifurkationsdiagramm

Mit einem Bifurkations- oder Verzweigungsdiagramm8l¨

asst sich gut die

Abh¨

angigkeit der L¨

osungstypen von einem Systemparameter untersuchen.

Dazu wird der Wert einer Zustandsgr¨

oße an bestimmten Zeitpunkten in

Abh¨

angigkeit des Systemparameters dargestellt. Bei zeitkontinuierlich de-

finierten Systemen wertet man wie bei der Poincar´e-Abbildung den Sys-

temzustand an periodischen, diskreten Zeitpunkten aus. So lassen sich im

Bifurkationsdiagramm periodische L¨

osungen mit ihrer Periodizit¨

atszahl und

chaotische L¨

osungen gut voneinander in Abh¨

angigkeit des Systemparameters

unterscheiden. Bild 4.1 zeigt die f¨

ur nichtlineare und Stoßsysteme typische

Kaskade von Periodenverdoppelungen in Bifurkationsdiagrammen f¨

ur bei-

de Zustandsgr¨

oßen Vund φdes dynamischen Systems 2. Ordnung, das in

Unterkapitel 5.1 hergeleitet wird. Mit gr¨

oßer werdendem Systemparameter

α1leiten die Periodenverdoppelungen ins Chaos ¨

uber, das an den rechten

R¨

andern in Bild 4.1 in Form gestreuter Punkte erkennbar ist.

4.1.7 Einzugsgebiet

In besonderen F¨

allen, die vom Zusammenwirken der Systemparameter

abh¨

angen, k¨

onnen unterschiedliche, station¨

are L¨

osungen (das sind die Be-

8Bifurkation: Gabelung; bifurkare (lateinisch), bifurcer (franz¨

osisch), bifurcate (eng-

lisch): sich (in zwei ¨

Aste) gabeln.

4.2. ZELLABBILDUNGSMETHODEN

0.612100 0.612105 0.612110

3.949

3.9491

3.9492

3.9493

3.9494

3.9495

3.9496

α1

V [m/s]

0.612100 0.612105 0.612110

1.491

1.492

1.493

1.494

1.495

1.496

1.497

1.498

1.499

1.5

1.501

α1

φ [π rad]

Bild 4.1: Periodenverdoppelungen im Bifurkationsdiagramm des zeitdiskre-

ten Systems 2. Ordnung (Unterkapitel 5.1) f¨

ur den Systemparameter α1.

Die Verzweigungsdiagramme werden beispielhaft f¨

ur beide Zustandsgr¨

oßen

Vund φgezeigt.

wegungen, die sich nach einiger Zeit einstellen und danach ihre Eigenschaf-

ten f¨

ur alle Zeiten beibehalten) gleichzeitig in einem System existieren. Die

Menge an Zustandspunkten, die von allen Trajektorien eingenommen wer-

den, nachdem Anfangsbewegungen (”transiente“ oder ”instation¨

are Bewe-

gungen“) abgeklungen sind, werden Attraktoren genannt (siehe Unterkapi-

tel 2.1). Eine L¨

osungstrajektorie wird nach einiger Zeit immer in einen der

Attraktoren laufen. Von welchem Attraktor sie ”angezogen“ wird, ist allei-

ne vom Anfangszustand abh¨

angig, bei dem ihre Berechnung begann. Das

Einzugsgebiet (engl. basin of attraction oder domain of attraction) eines

Fixpunktes markiert diejenigen Anfangsbedingungen auf einer ”Karte“ im

Zustandsraum, von denen aus Trajektorien in einen bestimmten Attraktor

hinein laufen. Bild 7.7 auf Seite 96 zeigt die beiden Einzugsgebiete zu zwei

Attraktoren (weiß und schwarz). Gemeinsam f¨

ullen sie den Zustandsraum

komplett aus.

4.2 Zellabbildungsmethoden

Seit etwa dem Ende des 20. Jahrhunderts stehen der Wissenschaft

H¨

ochstleistungsrechenzentren zur Verf¨

ugung, deren gewaltige Rechenleis-

tung Jahr f¨

ur Jahr weiter nach oben schnellt. So entstehen auf dem Gebiet

der Analyse nichtlinearer Systeme und der Chaosforschung M¨

oglichkeiten

zur Entwicklung immer neuer, numerischer Verfahren: Hsu aus Berkeley dis-

KAPITEL 4. MODELLIERUNG UND ANALYSE NICHTGLATTER

DYNAMIK — STAND DER TECHNIK

kretisiert den Zustandsraum des Systems und entwickelt die Zellabbildungs-

methoden, die in Fachkreisen unter dem Namen ”Cell-to-Cell Mapping“

bekannt geworden sind. Publiziert wurden sie in [Hsu 1980], [Hsu 1981],

[Hsu 1987] und [Hsu 1992]. Ein System kann damit global, also in seinem

gesamten (aber technisch bedingt f¨

ur die Berechnungen dennoch begrenz-

ten) Zustandsraum betrachtet werden. Eingesetzt und erweitert wurden die

Zellabbildungsmethoden unter anderen von Tongue in [Tongue 1987] und

[White & Tongue 1994].

In diesem Unterkapitel soll die Funktionsweise der Zellabbildungsmetho-

den erl¨

autert werden. Denn dieser Technik in der Grundidee ¨

ahnlich, aber

um entscheidende Verfeinerungen erg¨

anzt, sind die recht jungen ”mengen-

orientierten numerischen Methoden“, die seit etwa einer Dekade entwickelt

werden. Detaillierte Informationen dazu sind Kapitel 2zu entnehmen.

Funktionsweise

Nach der Idee der Zellabbildungsmethode betrachtet man den Phasen-

oder Zustandsraum nicht wie herk¨

ommlich als Kontinuum, sondern als An-

sammlung sehr vieler Zustandszellen. Jede Zelle soll einen Zustandsbereich

repr¨

asentieren. Hsu unterscheidet dabei zwei Arten, n¨

amlich die Einfache

Zellabbildung (”Simple Cell Mapping“) und die Generalisierte Zellabbildung

(”Generalized Cell Mapping“). In der einfachen Zellabbildung wird der

Zustandsbereich einer jeden Zelle nur auf eine einzige Zelle abgebildet.

Diese Methode dient prim¨

ar zur Darstellung periodischer Systemantworten.

Falls die Abbildungsvorschrift in einer Dimension expandierend ist, so

erstreckt sich der Bildbereich einer Zelle ¨

uber mehrere Bildzellen. Weil

die einfache Zellabbildung, die nur eine Bildzelle ber¨

ucksichtigt, so zu

Verf¨

alschungen der tats¨

achlichen Systemantwort f¨

uhren kann, entstand die

Erweiterung der generalisierten Zellabbildung. Danach kann jede Zelle eine

endliche Zahl von Bildzellen aufweisen. Die Bildzellen werden bestimmt,

indem eine endliche Zahl von Anfangsbedingungen, die innerhalb der

Ursprungszelle liegen, einmal integriert (d. h. abgebildet) werden. Bildzellen

sind jene, die durch diesen Schritt ”getroffen“ wurden. Aus diesem Vorgehen

l¨

asst sich eine ¨

Ubergangswahrscheinlichkeitsverteilung konstruieren. Die

Ubergangswahrscheinlichkeiten f¨

ur alle NZellen k¨

onnen in einer N×N

großen Matrix abgelegt werden, die danach die gesamte Information

uber die Dynamik des Systems enth¨

alt. Ein Bild des globalen Verhaltens

nichtlinearer Systeme entsteht. Seltsame Attraktoren, periodische Orbits

und statistisch-deterministische Eigenschaften lassen sich lokalisieren.

Aufbauend auf dem Konzept der Zellabbildung haben sich mittlerwei-

le in verschiedene Richtungen Erweiterungen oder ¨

Anderungen aufgetan.

Zu nennen ist die Interpolierende Zellabbildungsmethode und die Zellabbil-

dungsmethode f¨

ur diskontinuierliche Systeme. Auf beide Erweiterungen wird

in den n¨

achsten Abschnitten eingegangen.

4.3. MODELLIERUNG VON SCHWINGSTOSSSYSTEMEN

Interpolierende Zellabbildungsmethode

Die Zellabbildungs-Methoden betrachten ein Kontinuum — n¨

amlich den

Zustandsraum — notwendigerweise als Diskontinuum. Um wegen der be-

grenzten Feinheit der Diskretisierung hieraus m¨

oglicherweise resultierende

Verf¨

alschungen auszuschließen, schl¨

agt Tongue die Interpolierende Zellabbil-

dung (”Interpolated Cell Mapping“) vor [Tongue 1987]. Hierin werden die

Bildpunkte der integrierten Anfangsbedingungen mit ihren exakten Werten

im Kontinuum gespeichert. Durch eine bi-lineare Interpolationsstrategie

gelingt es, die Trajektorie zu jeder Anfangsbedingung zu ermitteln, solange

sie im Feld der Zellen bleibt. Somit gewinnen die L¨

osungen wieder ihren

urspr¨

unglich kontinuierlichen Charakter zur¨

uck.

Zellabbildungsmethode f¨

ur diskontinuierliche Systeme

In [Kraker, van der Spek und van Campen 1999] werden einige Erweiterun-

gen der Zellabbildungsmethoden f¨

ur diskontinuierliche Systeme vorgeschla-

gen. Zus¨

atzlich beschreiben die Autoren eine Parametervariationsmethode

f¨

ur Zellabbildungen und eine Erweiterung f¨

ur Systeme mit vielen Freiheits-

graden.

Die Erweiterung der Parametervariations-Zellabbildung baut auf der ein-

fachen Zellabbildung auf. Mit ihr ist es m¨

oglich, die Evolution — also die

Verschiebung und Verformung — der Einzugsgebietsgrenzen zu bestimmen,

wenn sich Systemparameter ver¨

andern. Ein spezieller Algorithmus berechnet

hierf¨

ur nur die ¨

Anderung der Grenzen, anstelle sie f¨

ur jeden Systemparame-

terwert neu zu berechnen. Dies f¨

uhrt zu Einsparungen an Rechenoperatio-

nen.

Die Zellabbildungsmethode f¨

ur Systeme mit vielen Freiheitsgraden wurde

durch den exponentiellen Anstieg der Zellenanzahl mit dem Zunehmen der

Systemfreiheitsgrade motiviert. Dies erfordert ein hohes Speichervolumen.

Zur Zeit der Entwicklung dieser Erweiterung war es kaum m¨

oglich, Sys-

teme mit mehr als zwei Freiheitsgraden mit Zellabbildungsmethoden zu

untersuchen. Die Darstellung bzw. Auswertung von Ergebnissen aus Zu-

standsr¨

aumen mit mehr als zwei Dimensionen auf Papier oder einem Monitor

erfordert stets die Projektion auf einen zu w¨

ahlenden 2-dimensionalen Un-

terraum Σ des Zustandsraumes (also eine Ebene). Eine große Datenmenge

bleibt ungenutzt. Die Idee der Erweiterung ist, die Wahl der Projektions-

ebene Σ vorab zu treffen und nur f¨

ur solche Anfangsbedingungen das Lang-

zeitverhalten zu berechnen, die in der betrachteten Ebene Σ liegen. Aufgabe

ist es folglich, die Schnittmenge zwischen Σ und dem Attraktor zu finden.

4.3 Modellierung von Schwingstoßsystemen

In unz¨

ahligen Bereichen — nicht nur in den Ingenieurswissenschaften —

wechseln Systeme ihre Bewegungsgleichung, sobald eine Zustandsgr¨

oße —

etwa eine Verschiebungs- oder Geschwindigkeitsgr¨

oße — einen Schwellen-

KAPITEL 4. MODELLIERUNG UND ANALYSE NICHTGLATTER

DYNAMIK — STAND DER TECHNIK

wert ¨

uberschreitet. In vielen Anwendungsgebieten des Maschinenbaus treten

Unstetigkeiten oder St¨

oße auf. In der Elektrotechnik wechseln beispielsweise

Dioden ihr Verhalten bei einer Durchlassspannung. Dies f¨

uhrt dazu, dass

sich die ¨

außeren Einfl¨

usse, die das Systemverhalten bestimmen, ¨

andern.

Wegen ihrer Relevanz und dem h¨

aufigen Vorkommen entsprechender An-

wendungen gewinnen nichtglatte dynamische Systeme in der Vergangenheit

und heute große Aufmerksamkeit. Dieser Trend macht sich auch in der Li-

teratur bemerkbar. [Leine & Nijmeijer 2004] unterteilen ”nichtglatte dyna-

mische Systeme“ in drei Kategorien:

1. Systeme, die eine R¨

uckstellkraft in ihrer Bewegungsdifferentialglei-

chung enthalten, die eine vom (z. B.) Verschiebungszustand abh¨

angig

nichtglatte, aber kontinuierliche Kennlinie besitzt. Beispiel: Feder-

Masse-Schwinger, der mit einer zweiten Feder erst ab einer gewissen

Verschiebung in Kontakt steht. Die zweite Federkraft ist eine kontinu-

ierliche aber, nichtglatte Funktion der Verschiebung.

2. Systeme, die einen Kraftterm enthalten, der nichtkontinuierlich vom

(z. B.) Geschwindigkeitszustand abh¨

angt. Beispiel: Bei trockener Rei-

bung oder Visko-Elastizit¨

at h¨

angt die Wirkrichtung der Reibungskraft

vom Vorzeichen der Geschwindigkeit ab. Beim ¨

Uberschreiten der Null-

Geschwindigkeit springt die D¨

ampferkraft.

3. Systeme, bei denen eine Zustandsgr¨

oße nichtkontinuierliche Spr¨

unge

aus¨

uben kann. Beispiel: Bei einem Stoß zwischen zwei K¨

orpern ¨

andert

der Geschwindigkeitszustand sprunghaft seinen Wert. Bei den in dieser

Arbeit untersuchten Stoßsystemen handelt es sich um Systeme dieser

dritten Art.

Eine interessante Auswahl von Arbeiten aus dem Gebiet

der nichtglatten Dynamik sind [Babitsky 1998], [Brogliato 1996],

[Leine et al. 2000], [Leine & Nijmeijer 2004], [Neumann et al. 2007] und

[Pavlovskaia & Wiercigroch 2003].

Babitsky baut in seinem Buch die Theorien ¨

uber Schwingstoßsysteme

aus und nutzt Methoden, die auf dem Konzept der sog. harmonischen,

aquivalenten Linearisierung basieren. Dies ist bei periodischem Systemver-

halten m¨

oglich. Schwingstoßsysteme definiert er als solche, bei denen St¨

oße

systematisch mit der Frequenz des Schwingers auftreten. Im Rahmen dieser

Arbeit wird der Begriff des Schwingstoßsystems auf Systeme aufgeweitet, in

denen eine schwingende Komponente in die Stoßdynamik involviert oder f¨

diese verantwortlich ist.

Leine entwickelt Pfadverfolgungstechniken zur Bifurkationsanalyse von

periodischen L¨

osungen in nichtglatten mechanischen Systemen weiter, in

denen trockene Reibung eine Unstetigkeit in der Kraft erzeugt (siehe 2. in

der Unterteilung oben).

Eine Art Stoßbohrer f¨

ur Erdbohrungen (engl. ”ground moling machi-

nes“), bei der eine harmonisch kraftangeregte Masse erst nach ¨

Uberwinden

eines leeren Zwischenraumes Kontakt mit einem Feder-D¨

ampfer-Element

hat, untersucht Wiercigroch. Auch Schiffsvert¨

auungen an Hochseebojen f¨

4.3. MODELLIERUNG VON SCHWINGSTOSSSYSTEMEN

Ol- und Gastanker fallen in diese Kategorie. Die turmf¨

ormigen Bojen sind

mit ihrem Fuß am Meeresgrund verankert und oszillieren, harmonisch an-

geregt von vorbeilaufenden Meereswellen, durch die Auftriebskraft wie ein

kopfstehendes Pendel. Ein daran vert¨

autes Tankschiff verh¨

alt sich im Ver-

gleich zur Pendelschwingbewegung wie ein festes Objekt. Mit den Pendelbe-

wegungen in die eine Richtung spannt sich das Tau und h¨

angt in die andere

Richtung schlaff durch. Die R¨

uckstellkraft, die der Bojenturm durch das

Tau erf¨

ahrt, ist nicht kontinuierlich und somit nichtglatt. Diese nichtglatte

Steifigkeitskennlinie kann in diesem Fall zu gef¨

ahrlichen, unerwarteten, sub-

harmonischen Resonanzen f¨

uhren [Thompson & Stewart 1986]. Ein großes

Anwendungsgebiet f¨

ur aus St¨

oßen resultierende Dynamik ist Getrieberat-

tern und -klacken, das aufgrund der Zahneingriffst¨

oße, von Teilungsfehlern,

im lastfreien Betrieb oder bei Lastwechseln kaum vermeidbar ist.

Nichtglatte Modellierung ist in allen weiteren Stoßbohruntersu-

chungen [Wiercigroch, Wojewoda, Krivtsov 2000], [Neumann et al. 2007],

[Potthast et al. 2007a] oder auch bei Druckh¨

ammern in Druckmaschinen

notwendig. Eine weitere Anwendung von Ultraschallwellen in Bohrprozessen

ist im DFG-Projekt Tieflochbohren zu finden, in dem h¨

ohere Bohrraten und

exaktere Bohrergebnisse durch ultraschall¨

uberlagertes Bohren erm¨

oglicht

werden [Potthast et al. 2007b].

”Bouncing Ball“ Systeme

Im System des Stoßbohrers, der in [Bar-Cohen et al. 2001b],

[Badescu et al. 2005] und Kapitel 3vorgestellt wird, bewegt sich eine

freie Stoßmasse zwischen einer oszillierenden Transducerspitze und der

R¨

uckseite eines Bohrstabes. Die Stoßmasse kann aufgrund ihrer geringen

Gr¨

oße und Masse als starres Element angesehen werden. Somit wird sie

in Modellen als Massepunkt beschrieben. Ein vergleichbares System, das

Mathematiker und Physiker schon lange besch¨

aftigt, ist unter dem Namen

”bouncing ball“ bekannt. In der Partikel-Physik fand das System Anwen-

dung, wobei hierf¨

ur mit rein elastischen St¨

oßen (Stoßzahl 1.0) gerechnet

wird. Mittlerweile stellt das Bouncing Ball System ein Standard-Beispiel der

Stoßdynamik und mathematischen Analyse nichtglatter Systeme dar. Sehr

detailliert wurde es bisher untersucht, unter anderen von [Holmes 1982],

[Guckenheimer & Holmes 1983], [Tufillaro, Mello, Choi, Albano 1986],

[Mello, Tufillaro 1985]. Mitunter wird das Modell des Bouncing Ball Sys-

tems sogar ”dissipative Standard-Abbildung“ genannt. Dabei wird oft die

vereinfachende Annahme getroffen, die Flugh¨

ohe l¨

age um Gr¨

oßenordnungen

uber der Schwingamplitude der Anregung [Holmes 1982]. Nur mit

dieser Annahme ist es m¨

oglich, die Abbildung explizit zu definieren.

[Tufillaro, Mello, Choi, Albano 1986] stellen jedoch eine implizite, exakte

Abbildung auf und weisen Periode-1-Fixpunkte samt deren Stabilit¨

at durch

Linearisieren und Vorzeichenauswerten der Eigenwerte analytisch nach.

So lassen sich f¨

ur die Parameterebene ”Anregeamplitude ¨

uber Quadrat

der Anregefrequenz“ Grenzkurven zwischen Gebieten unterschiedlicher

Periodizit¨

at bestimmen, die erstaunlicherweise alle Geraden sind.

KAPITEL 4. MODELLIERUNG UND ANALYSE NICHTGLATTER

DYNAMIK — STAND DER TECHNIK

Die ¨

Ahnlichkeiten des Bouncing Ball Systems mit dem Ultraschall-

Stoßbohrsystem aus Kapitel 3, das in den folgenden Kapiteln in unter-

schiedlichen Modellen beschrieben und untersucht wird, beschr¨

anken sich

auf die Modellierungsweise mit Newtons Stoßzahl und die Art der Phasen-

raumdarstellung. [Brogliato 1996] benennt die Abbildungsvorschriften, die

als Differenzengleichung die Bewegungsgleichungen f¨

ur Stoßsysteme ohne

speichernde Elemente darstellen, ”impact map“ und hat damit gleichzeitig

die Poincar´e-Abbildung f¨

ur derartige Systeme definiert. Neu bez¨

uglich

der nichtlinearen Systemtheorie ist, dass in der Poincar´e-Abbildung der

”impact map“ die m¨

oglicherweise unregelm¨

aßigen Stoßzeitpunkte anstelle

periodischer Zeitpunkte gew¨

ahlt werden. Somit ist die Poincar´e-Abbildung

bereits durch die Differenzenbewegungsgleichung gegeben.

In einem wesentlichen Punkt unterscheidet sich die Dynamik der

Stoßmasse im Ultraschall-Stoßbohrer stark von der des ”bouncing balls“:

letzterer ist unbeschr¨

ankt bzgl. seiner Flugh¨

ohe. Somit l¨

asst eine hohe

Abfluggeschwindigkeit eine große Flugh¨

ohe und somit eine lange Flugzeit

folgen. Im Stoßbohrer gilt dieser Zusammenhang reziprok: die Flugh¨

ohe

ist beschr¨

ankt; somit bedingt eine große Abfluggeschwindigkeit der Masse

eine kurze Flugdauer. Vielfach finden die analytischen, numerischen oder

experimentellen Untersuchungen des ”bouncing balls“ in der Literatur

in einem unteren Frequenzbereich statt, indem Anregeperiode und Stoß-

periode gleiche Gr¨

oßenordnung haben k¨

onnen. Den Besonderheiten, die

bei Frequenzen im Ultraschallbereich auftreten, ist noch nicht Rechnung

getragen worden. So bedingen die im Vergleich zur Anregeoszillation

m¨

oglicherweise flachen Flugbahnen besondere Ber¨

ucksichtigung beim

numerischen L¨

osen der impliziten Bewegungsgleichungen. Auf einen speziell

auf dieses Problem zugeschnittenen Algorithmus wird in Unterkapitel

5.3 eingegangen. Weiterhin ist es notwendig, sogenannte Mehrfachst¨

oße

(siehe dazu Fußnote auf Seite 37) gesondert zu ber¨

ucksichtigen: unter

bestimmten Voraussetzungen kann es zwischen Oszillator und Stoßmasse

zu wiederholtem Aufeinanderstoßen kommen, bevor ein vollst¨

andiges L¨

osen

der Stoßmasse vom Oszillator m¨

oglich ist.

In den folgenden Kapiteln dieser Arbeit wird das oben beschriebene,

dynamische System mit begrenzter Flugh¨

ohe in zwei Varianten analy-

tisch untersucht. Im ersten Modell (Unterkapitel 5.1) wird die begrenzte

Flugh¨

ohe auf einem festen Wert gehalten; im zweiten Modell (Unterkapi-

tel 5.2) ist die Flugh¨

ohe variabel und wird als Systemzustand aufgenommen.

Kapitel 5

Modellierung des

Ultraschall-Stoßbohrers

Notwendiger und wesentlicher Schritt hin zur analytischen oder numerischen

Untersuchung eines realen Systems ist zun¨

achst die mathematische Abbil-

dung des Systems in einem Modell. Diesem ersten Schritt muss Beachtung

geschenkt werden, da von der G¨

ute eines Modells nachweislich die Ergeb-

nisse einer Simulation, die Optimierung von Systemeigenschaften oder die

Systemauslegung abh¨

angen.

Ein Modell beschreibt stets ein Abbild der Natur. H¨

aufig idealisiert man

darin Eigenschaften, die f¨

ur das Systemverhalten keine oder nur unterge-

ordnete Rollen spielen und abstrahiert das Verhalten auf die wesentlichen,

zu untersuchenden Merkmale.

Modelle realer Systeme k¨

onnen in bestimmten F¨

allen als konservativ –

also energieerhaltend – angen¨

ahert werden, und unter Umst¨

anden kann eine

lineare Formulierung brauchbare L¨

osungen liefern. Wichtige Ph¨

anomene der

meisten realen, mechanischen Systeme sind jedoch auf Nichtlinearit¨

aten und

Dissipation mechanischer Systemenergie zur¨

uckzuf¨

uhren, was oft eine

•dissipative und

•nichtlineare Modellierung erfordert.

Dissipativ — also energieverzehrend — sind reale Systeme, weil die me-

chanische Systemenergie entweder durch mechanische Reibung, D¨

ampfung

oder durch inelastische St¨

oße dissipiert1wird.

Lineare Systeme sind zwar in bestimmten F¨

allen in der Lage, einen ers-

ten Eindruck des Systemverhaltens zu geben. F¨

ur eine Vorhersage s¨

amtlicher

tats¨

achlicher Ph¨

anomene eines realen Modells sind nichtlineare Terme in den

Modell-Differentialgleichungen jedoch unerl¨

asslich. F¨

ur die Analyse hat das

Konsequenzen: w¨

are ein dissipatives System linear, so bes¨

aße es genau eine

stabile L¨

osung, zu der jegliches Langzeitverhalten hin tendiert. Nichtlinea-

re Systeme beinhalten besondere Ph¨

anomene wie die Koexistenz mehrerer

1Dissipation bedeutet w¨

ortlich ”Zerstreuung“ und bezeichnet damit die Zerstreuung

mechanischer Energie, die dadurch in W¨

arme umgewandelt wird und somit als f¨

ur das

mechanische System verloren gilt.

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Attraktoren, nichtperiodisches (also chaotisches) Verhalten, selbst wenn das

System periodisch angeregt wird, und unterschiedliche Arten von Bifurka-

tionen, also pl¨

otzliches ¨

Andern von L¨

osungseigenschaften wie Vielfachheit,

Form, Art, Ausdehnung und Stabilit¨

at, wenn ein Systemparameter seinen

Wert infinitesimal2variiert. Dergleichen Ph¨

anomene nichtlinearer Systeme

verlangen besondere Analysemethoden, die f¨

ur lineare Systeme nicht n¨

otig

sind.

Systemzustand und Parameter

Das Verhalten eines Systems h¨

angt von System- und Prozessparametern ab.

Systemparameter bemessen Eigenschaften, die dem System fest anhaften.

Prozessparameter sind Gr¨

oßen, die sich w¨

ahrend des Betriebes ergeben oder

eingestellt und ver¨

andert werden k¨

onnen.

Von den folgenden Parametern h¨

angt das Verhalten des Ultraschall-

Stoßbohrers ab:

Systemparameter sind

•Materialeigenschaften wie Dichte oder Elastizit¨

at des Transducers (Os-

zillators), des Bohrers und der freien Stoßmasse,

•Oberfl¨

achenbeschaffenheiten (Rauhigkeit, Kr¨

ummung, H¨

arte) der

Kontaktfl¨

achen, die in St¨

oße involviert sind,

•Geometriegr¨

oßen (L¨

angen und Querschnittsfl¨

achen der K¨

orper) und

•mechanische Vorspannung der Piezokeramiken.

Prozessparameter sind

•elektrische Anregespannung,

•Anregefrequenz,

•Anpressdruck des Bohrers auf das Bohrgut (Gestein),

•Flugabstand der Stoßmasse und

•Umgebungstemperatur.

Ein mathematisches Modell will das Verhalten eines Systems beschrei-

ben. Der Begriff des Systemverhaltens bezeichnet die Angabe des gesamten

Systemzustands zu allen Zeiten. Unter dem Systemzustand versteht man die

zahlenwertige Angabe s¨

amtlicher Zustandsgr¨

oßen, die den Systemzustand

eindeutig definieren.

Zeitabh¨

angige, ver¨

anderliche Zustandsgr¨

oßen k¨

onnen z. B.

•Schwerpunktsgeschwindigkeiten aller starren K¨

orper in drei Dimensio-

nen,

•Schwerpunktspositionen aller starren K¨

orper in drei Dimensionen,

2infinitesimal: unendlich klein werdend

•Winkelgeschwindigkeiten aller starren K¨

orper in drei Dimensionen,

•Winkellagen aller starren K¨

orper in drei Dimensionen oder

•Verformungen der elastischen K¨

orper in drei Dimensionen

sein.

Ein Modell mit dem Anspruch der Vollst¨

andigkeit w¨

urde versu-

chen, in Abh¨

angigkeit aller System- und Prozessparameter die zeitlichen

Ver¨

anderungen all dieser Zustandsgr¨

oßen miteinander in Beziehung zu set-

zen. Der Aufwand, ein Systemverhalten derart vollst¨

andig zu beschreiben,

w¨

are enorm. Es erg¨

abe sich eine Komplexit¨

at hohen Ausmaßes, die numeri-

sches L¨

osen kaum noch m¨

oglich machte. Schließlich w¨

are die Flut an Ergeb-

nisdaten nicht mehr auswert- oder begreifbar.

Daher ist es das Ziel des Wissenschaftlers zu erkennen, welche System-

gr¨

oßen f¨

ur eine Analyse des Verhaltens berechnet werden m¨

ussen und wel-

che Parameter die Entwicklung der Systemgr¨

oßen maßgeblich beeinflussen.

Dabei ist es ein bew¨

ahrtes Vorgehen, sich von sehr einfach gehaltenen Mo-

dellen, die reales Verhalten noch zu ungenau wiedergeben werden, hin zu

aufw¨

andigeren Modellen zu verbessern, um die Komplexit¨

at so gering wie

m¨

oglich und nur so hoch wie n¨

otig zu halten.

Modellierungsvorgehen f¨

ur den Ultraschall-Stoßbohrer

In Kapitel 3wurde das reale System des Ultraschall-Stoßbohrers vorgestellt.

Das vorliegende Kapitel wird sich der modellhaften Beschreibung von

dessen Eigenschaften in mathematischer Sprache widmen. Es werden zwei

Modelle hergeleitet werden: zun¨

achst ein einfaches, grundlegendes Modell in

Unterkapitel 5.1. Es dient in erster Linie einer Einf¨

uhrung in die Thematik

der nichtglatten Systemanalyse. Es ist bewusst einfach gehalten und zeigt

dem Leser so das Potential der mengenorientierten Numerik, mit der

die Modelle in Kapitel 7untersucht und studiert werden. Die Zahl der

Zustandsgr¨

oßen bleiben hier auf zwei beschr¨

ankt; dieses Modell fokussiert

ausschließlich auf die Bewegung der freien Stoßmasse.

Jede Modellierung der Wirklichkeit abstrahiert das tats¨

achliche

Verhalten auf diejenigen Vorg¨

ange, die f¨

ur den Zweck der angestrebten Un-

tersuchungen relevant erscheinen. Gleichzeitig stellt man Zusammenh¨

ange

idealisiert dar. So reduziert man z. B. einen K¨

orper auf eine Punktmasse,

wenn Wellenausbreitungen innerhalb des K¨

orpers und Verformungen

vernachl¨

assigbar sind und man annehmen darf, dass er nur translatorische

(und keine rotatorischen) Bewegungen ausf¨

uhrt. In dieser Vernachl¨

assigung

stecken zwei Annahmen: erstens nimmt man an, dass sich das gesamte

System, in dem dieser K¨

orper eine Komponente ist, genau so verh¨

alt,

wie wenn es sich um einen starren, also unverformbaren K¨

orper handeln

w¨

urde. Zweitens geht man davon aus, dass Rotationen des K¨

orpers mit

endlicher Ausdehnung entweder nicht stattfinden oder so klein sind, dass

sie das untersuchte Verhalten des Gesamtsystems nicht beeinflussen. Die

Bewegungsgleichungen k¨

onnen dann einfach gehalten werden, was eine

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

wichtige Voraussetzung f¨

ur eine Analyse darstellt.

Prinzipiell ist es wichtig, der Modellierung zugrundeliegende Annahmen

zu validieren. F¨

ur die Validierung des einfach gehaltenen Modells aus Kapitel

5.1 wurde ein reales System im Labor untersucht. Der Pr¨

ufstand und die

Messverfahren werden in Kapitel 6beschrieben. Der Vergleich des Modells

mit der Wirklichkeit wird im Unterkapitel 6.5 durchgef¨

uhrt.

Das zweite Modell, das anschließend in Unterkapitel 5.2 hergeleitet wird,

stellt eine Verfeinerung des ersten Modells in einigen Aspekten dar: die im

realen Bohrsystem freie Beweglichkeit des Oszillators wird in dieses Modell

mit zwei zus¨

atzlichen Zustandsgr¨

oßen aufgenommen. Außerdem werden der

Prozessparameter Anpresskraft und der Systemparameter Oszillatormasse

zus¨

atzlich in die Modellgleichungen einfließen.

Unterkapitel 5.3 geht im Detail auf die Implementierung eines L¨

osungs-

algorithmus ein, der die f¨

ur die Modellgleichung erforderliche Bestimmung

der Schnittpunkte einer gegebenen Gerade mit einer Kosinusfunktion und

einer gegebenen Parabel mit einer Kosinusfunktion vornimmt. Im Kontext

dieser Anwendung ist es nicht von Belang, alle Schnittpunkte zu finden,

sondern es ist wichtig, den numerisch kleinsten der Menge an Schnittpunkten

zu identifizieren, da dieser den Zeitpunkt des Stoßkontaktes zwischen zwei

Stoßk¨

orpern des Stoßbohrsystems beschreibt.

5.1 Herleitung eines Modells 2. Ordnung

Die Bewegung der frei-fliegenden Masse innerhalb des Stoßbohrers ist von

zentraler Bedeutung f¨

ur die Funktionsweise des Bohrsystems. In diesem Un-

terkapitel wird ein einfaches Modell in Form von mathematischen Bewe-

gungsgleichungen aufgestellt. Es modelliert ein einfaches Schwingstoßsystem,

das in den folgenden Kapiteln simuliert und schließlich unter Anwendung der

mengenorientierten Methoden untersucht wird.

5.1.1 Zeitdiskrete Modellierung

Dieser Abschnitt leitet ein System zeitdiskreter Bewegungsgleichungen

2. Ordnung – also mit zwei Zustandsvariablen — her. Bild 5.1 zeigt eine Skiz-

ze des Modells. Die Bohrrichtung ist in der schematischen Skizze bewusst

horizontal angenommen, um gedanklich den Einfluss eines Gravitationsfeldes

auf die Bewegung der Masse zu vernachl¨

assigen. Wegen der kurzen Flugzei-

ten der Masse zwischen zwei Richtungswechseln ist diese Annahme selbst

f¨

ur das Bohren vertikaler L¨

ocher n¨

aherungsweise gerechtfertigt bzw. gilt im

Falle horizontalen Bohrens. Der Bohrstab ist hier mit seiner systeminneren

Kontaktseite als starre, unbewegliche Wand (Prallplatte) dargestellt. Die

Starrk¨

orperbewegungen des gesamten Oszillators werden in diesem Modell

vernachl¨

assigt, um zun¨

achst mit wenigen Freiheitsgraden die Komplexit¨

des Modells zu begrenzen und sich ganz auf die Dynamik der Masse zu kon-

zentrieren. Demzufolge ist die Anregung durch die Oszillatorspitze allein als

eine harmonische Fußpunkterregung dargestellt.

5.1. HERLEITUNG EINES MODELLS 2. ORDNUNG

−Uk

α1α2

Wk=−u0Ω sin Ωtk

Oszillatorspitze

Prallplatte

Bild 5.1: Einfaches Modell 2. Ordnung des Stoßbohrers

Von 5 Systemparametern h¨

angt das Modellverhalten ab:

Prozessparameter sind

•u0: Anregeamplitude und

•Ω: Anregekreisfrequenz,

Modellparameter sind

•α1,α2: Stoßzahlen nach Newton und

•h: Abstand zwischen Nulllage der harmonischen Fußpunkterregung

und Prallplatte.

Wk,Uk,Vkbezeichnen die Geschwindigkeiten der Oszillatorspitze, der

Stoßmasse vor und der Stoßmasse nach dem Stoß k; dabei zeigt die

positive Bewegungsrichtung nach rechts. usymbolisiert die Position der

Oszillatorspitze.

In vielen F¨

allen werden Bewegungsgleichungen in zeitkontinuierlicher

Form, also als Differentialgleichungssystem aufgestellt. Dies kann sinnvoll

sein, wenn eine stetige, kontinuierliche und glatte Bewegung beschrieben

werden soll. Bei nichtglatten Systemen wie dem Vorliegenden wechselt das

System bei jedem Stoßkontakt die Bewegungsgleichungen. Die Dynamik l¨

asst

sich dann nicht mehr in Form eines geschlossenen Differentialgleichungssys-

tems beschreiben. Es eignet sich hier eine zeitdiskrete Formulierungsweise.

Der Systemzustand wird nicht mehr kontinuierlich zu jeder Zeit tdefiniert,

sondern nur zu diskreten Zeitpunkten. F¨

ur den Stoßbohrer ist es sinnvoll,

diese Zeitpunkte in die Augenblicke zu legen, in denen die Stoßmasse auf

den Oszillator st¨

oßt. In diesen Momenten wird der Systemzustand durch die

Phasenlage des Stoßes in Bezug auf die harmonische Anregung und die Ab-

fluggeschwindigkeit der Masse nach dem Stoß eindeutig definiert. Aus diesen

zwei Zustandsgr¨

oßen l¨

asst sich problemlos der gesamte Bewegungsverlauf bis

zum n¨

achsten Masse-Oszillator-Stoß ableiten.

Ein System von zwei Differenzengleichungen wird aufgestellt. Es definiert

eine Abbildungsvorschrift, die vom Stoßzustand jauf den Stoßzustand j+ 1

abbildet. ¨

Ahnliche Vorgehensweisen zur Modellierung von Stoßsystemen

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

sind aus [Holmes 1982], [Guckenheimer & Holmes 1983], [Brogliato 1996],

[Mello, Tufillaro 1985] oder [Neumann & Sattel 2007] bekannt.

Folgende vereinfachende Annahmen wurden f¨

ur diese erste Modellbil-

dung getroffen:

•die harmonische Oszillatorschwingung l¨

asst sich nicht durch die St¨

oße

der Stoßmasse beeinflussen, d. h. die Verschiebung u(t) der Oszillator-

spitze wird als harmonische Fußpunkterregung fest vorgegeben.3

•die Starrk¨

orperbewegungen des Bohrstabes werden vernachl¨

assigt, die

Kontaktfl¨

ache des Bohrstabes mit der Kugel wird als eine Prallplatte

abgebildet.

•die Starrk¨

orperbewegungen des gesamten Oszillators werden in diesem

Modell zun¨

achst ignoriert.

•das systeminnere Bohrstabende — hier als Prallplatte modelliert —

und die Mittelposition u= 0 der Oszillatorspitze befinden sich in kon-

stantem Abstand hzueinander.

•der Stoßvorgang zwischen dem Oszillator und der Stoßmasse wird als

unendlich kurz angesehen und durch Newtons Stoßhypothese mit Stoß-

zahl α1beschrieben.

•der Stoßvorgang zwischen der Stoßmasse und dem systeminneren

Bohrstabende (Prallplatte) wird ebenfalls durch die Stoßhypothese mit

Stoßzahl α2beschrieben.

•Gravitation beeinflusst die Bewegungen nicht4.

5.1.2 Herleitung zeitdiskreter Bewegungsgleichungen

Zwischen zwei St¨

oßen f¨

uhrt die modellierte Stoßmasse eine unged¨

ampfte Be-

wegung konstanter Geschwindigkeit aus. Somit ist es angebracht, ihr Lang-

zeitverhalten wie oben beschrieben als zeitdiskrete Entwicklung aufeinander-

folgender Kontakte mit dem Oszillator zu beschreiben. Anstelle von zeitkon-

tinuierlichen Zustandsgr¨

oßen x(t),˙x(t) werden zur eindeutigen Beschreibung

des Systemzustands die Zustandsvariablen

•tk, Zeitpunkt des k-ten Kontaktes zwischen Stoßmasse und Oszillator

und

•Vk, Geschwindigkeit der Stoßmasse nach dem k-ten Stoß am Oszillator

verwendet. Die Abbildung (tk, Vk)7→ (tk+1, Vk+1) wird als Differenzenglei-

chungssystem definiert, das im Folgenden hergeleitet wird.

3Zur Validierung dieser Annahme siehe Unterkapitel 6.1.2, Seite 56.

4Weil die Gravitationskraft nicht auf die Stoßmasse wirkt, fließt die Gr¨

oße der Stoß-

masse in dieses Modell nicht ein.

5.1. HERLEITUNG EINES MODELLS 2. ORDNUNG

Die Fußpunktverschiebung u(t) des harmonisch schwingenden Oszillators

sei vorgegeben als

u(t) = u0cos Ωt . (5.1)

F¨

ur die Herleitung der Modellgleichungen f¨

uhren wir drei Geschwindig-

keiten als Hilfsgr¨

oßen ein, die auch in Skizze 5.1 enthalten sind:

Uk:= ˙x(tk−), Vk:= ˙x(tk+), Wk:= ˙u(tk),(5.2)

Ukund Vkbezeichnen die Geschwindigkeit der Stoßmasse vor bzw. nach

dem Stoß kam Oszillator, und Wkist die Oszillatorgeschwindigkeit zum

Stoßzeitpunkt.

Die St¨

oße der Stoßmasse mit dem Oszillator bzw. der Prallplatte sind

teilelastisch. Die Energiedissipation beim Stoß wird mittels Stoßzahlen nach

Newton ber¨

ucksichtigt, die wie folgt definiert werden:

α1: Stoßzahl zwischen Oszillator und Stoßmasse:

α1:= −Vk−Wk

Uk−Wk

Vk+1 = (1 + α1)Wk+1 −α1Uk+1 (5.3)

α2: Stoßzahl zwischen Stoßmasse und Bohrstab:

α2:= −Uk+1

Uk+1 =−α2Vk(5.4)

Mit dem unver¨

anderlichen Abstand hzwischen der Mittelposition der

Oszillatorspitze und der Prallplatte kann die Zeitspanne zwischen zwei auf-

einanderfolgenden St¨

oßen am Oszillator berechnet werden, wenn man von

der M¨

oglichkeit eines Mehrfachstoßes5absieht:

tk+1 −tk= ∆tOszillator→Prallplatte + ∆tOszillator←Prallplatte

=h−u(tk)

+h−u(tk+1)

−Uk+1

.(5.5)

Einsetzen von Uk+1 aus Gl. (5.4) und u(t) aus Gl. (5.1) und Umstellen

f¨

uhrt auf

0 = tk+1 −tk−1

Vkh1 + 1

α2−u0cos Ωtk−u0

α2

cos Ωtk+1.(5.6)

Die transzendente6Gleichung (5.6) kann explizit nicht nach der gesuch-

ten Zustandsgr¨

oße tk+1 aufgel¨

ost werden. Die zweite zeitdiskrete Zustands-

gleichung gibt die Folge der Abfluggeschwindigkeiten Vknach jedem Masse-

Oszillator-Stoß an. Sie folgt aus Gl. (5.3) durch Einsetzen von (5.2) und

(5.4):

Vk+1 =α1α2Vk−(1 + α1)u0Ω sin Ωtk+1 .(5.7)

5Ein sogenannter Mehrfachstoß meint in diesem Zusammenhang einen Mehrfachstoß

am Oszillator und bezeichnet das mehrfache Aufeinandertreffen von freier Stoßmasse

und Oszillator, ohne dass die Stoßmasse dazwischen Kontakt mit der Prallplatte hat.

Dies geschieht immer dann, wenn Vk<0 oder wenn Vkeinen betragsm¨

aßig kleinen Wert

erreicht. Dann n¨

amlich wird die Stoßmasse den Aktionsradius (u0) der Oszillatorspitze

nicht verlassen, bevor sie von der harmonischen Schwingung wiederholt eingeholt wird.

6transzendent: siehe Fußnote auf Seite 45.

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Somit ist das System von zwei Differenzengleichungen mit den Zustands-

gr¨

oßen xk= [Vk, tk]Tdefiniert durch die implizite Gleichung

g(xk+1,xk) = 0(5.8)

mit

g(xk+1,xk) := 





tk+1 −tk−1

Vkhh1 + 1

α2−u0cos Ωtk−u0

α2cos Ωtk+1i

Vk+1 −α1α2Vk+ (1 + α1)u0Ω sin Ωtk+1





.

(5.9)

5.1.3 Notwendigkeit transzendenter Bewegungsglei-

chungen

W¨

unschenswert ist es, die die Bewegung beschreibende Differenzengleichung

(5.9) in einfacherer, also expliziter Form zu formulieren, um sie analytisch

l¨

osen und eine Zeitreihe berechnen zu k¨

onnen. Guckenheimer und Hol-

mes [Guckenheimer & Holmes 1983] bzw. Holmes [Holmes 1982] treffen im

Bouncing-Ball Problem (siehe Unterkapitel 4.3) die Annahme, die Flugh¨

ohe

der Masse sei der Oszillatoramplitude um Gr¨

oßenordnungen ¨

uberlegen, wes-

halb die sich ¨

andernde Oszillatorspitzenposition vernachl¨

assigt werden kann.

Im realen Stoßbohrer stellt sich dieser Abstand jedoch variabel ein und

nimmt mitunter sehr kleine Werte an.

F¨

ur das vorliegende, einfach gehaltene Modell wollen wir uns jedoch auf

feste Abst¨

ande hin der Gr¨

oßenordnung von Millimetern beschr¨

anken, wie

sie auch sp¨

ater in einem Laborexperiment eingestellt werden sollen (Un-

terkapitel 6.1). Realistische Amplitudenwerte der Oszillatorspitze liegen im

Bereich von ca. 10 µm. Wir k¨

onnten vereinfachend die Annahme treffen, dass

die Masse nahezu auf einer H¨

ohe von 0 m mit dem Oszillator kollidiert. Der

relative Fehler, den wir in Kauf nehmen m¨

ussten, l¨

age lediglich bei

∆s

s<u0

h=10µm

1mm = 1% (5.10)

und erscheint hinnehmbar. Wird also in Gleichung (5.5)

u(tk)≈u(tk+1)≈0 (5.11)

angenommen, folgt anstelle von Gleichung (5.6) f¨

ur die Flugdauer

tk+1 −tk=h

Vk1 + 1

α2mit ∆(tk+1 −tk)

tk+1 −tk≈1% .(5.12)

Wie setzt sich dieser geringe Fehler nun aber in der unver¨

andert geltenden

Gl. (5.7)

Vk+1 =α1α2Vk−(1 + α1)u0Ω sin Ωtk+1 (5.13)

fort? Die Flugdauer tk+1 −tkmit einem relativen Fehler von 1% geht hier in

die Sinus-Funktion ein. Wegen ihrer Periodizit¨

at muss der absolute Fehler

5.1. HERLEITUNG EINES MODELLS 2. ORDNUNG

des Arguments herangezogen und auf eine Periodendauer bezogen werden.

In Laborversuchen wird sich sp¨

ater zeigen, dass f¨

ur h= 5 mm Flugdau-

ern von bis zu 50 ms erreicht werden k¨

onnen (siehe Bild 6.6). Bei einer

Frequenz von 20 kHz entspricht ein 1%-Fehler der Flugdauer bereits dem

10-fachen einer Periodendauer. Somit k¨

onnte bereits jedes Argument des Si-

nus innerhalb einer Periode fehlerhaft erreicht werden. Der relative Fehler

der Geschwindigkeits-Zustandsgr¨

oße kann wie folgt nach oben abgesch¨

atzt

werden:

∆Vk+1

Vk+1 ≤(1 + α1)u0Ω (max[sin Ωtk+1]2π

0−min[sin Ωtk+1]2π

α1α2Vk−(1 + α1)u0Ω sin Ωtk+1

=2(1 + α1)u0Ω

α1α2Vk−(1 + α1)u0Ω sin Ωtk+1

≤2(1 + α1)u0Ω

α1α2Vk−(1 + α1)u0Ω

u0Ω

α2

1+1/α1−1(5.14)

F¨

ur α1∈[0,1] und α2∈[0,1] ist der Term

α2

1 + 1/α1∈[0,0.5] .

F¨

ur Ω = 2π·20 kHz ≈1.3·105rad/s, u0∈[1,10] µm und Vk∈[0.1,10] m/s

ist der Term Vk

u0Ω∈[0.08,1.3] .

Somit ist der gesuchte relative Fehler

∆Vk+1

Vk+1 ∈[−200,8]% .(5.15)

Mit bis zu 200% Abweichung vom tats¨

achlichen Wert f¨

ur die Abflug-

geschwindigkeit Vkfolgt die Notwendigkeit, f¨

ur die genaue Abflugposition

die momentane Auslenkung u(tk) der Oszillatorspitze zum Abflugzeitpunkt

mit zu ber¨

ucksichtigen, was auf die transzendente, implizite Differenzenglei-

chung (5.6) f¨

uhrt.

Diese Notwendigkeit k¨

onnte bez¨

uglich des realen Experiments allenfalls

dadurch relativiert werden, dass eine pr¨

azise Festlegung des Abstandes h

kaum m¨

oglich ist; weiterhin wird sp¨

ater eine starke Empfindlichkeit des Ver-

haltens bez¨

uglich der Stoßzahlen festgestellt (Kapitel 6.2.3), die im Modell

als konstant angenommen werden.

5.1.4 Mehrfachst¨

oße

Die Abbildungsfunktion (5.9) beschreibt die Bewegung der Stoßmasse un-

ter der Annahme, dass sie nach einem Stoß am Oszillator direkt auf die

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Prallplatte zufliegt. Tats¨

achlich kann es jedoch vorkommen, dass sie vor-

her mehrfach auf den Oszillator st¨

oßt. Diesen Vorgang bezeichnet man als

Mehrfachstoß. Sein Auftreten ist selten und wird von kleinen oder negativen

Abfluggeschwindigkeiten Vkverursacht. In solchen F¨

allen verl¨

asst die Masse

den Aktionsradius des schwingenden Oszillators nicht, bevor dessen Spitze

wiederholt auf die Masse trifft. Bild 5.2 zeigt m¨

ogliche F¨

alle eines doppelten

und eines dreifachen Mehrfachstoßes. Nach jedem Stoß der Masse am Oszil-

ex(t)

u(t)

Bild 5.2: Zeitverlauf der Stoßmasse ex(t) sowie des Oszillators u(t) w¨

ahrend

Mehrfachst¨

oßen

lator lautet ihre kontinuierliche Bewegungsgleichung bis zum n¨

achsten Stoß

ex(t) = Vk(t−tk) + u0cos Ωtk.(5.16)

Ein Mehrfachstoß tritt genau dann auf, wenn ein tk+1 existiert mit

ex(tk+1) = u(tk+1),(5.17)

was auf die Bedingung

(cos Ωtk+1 −cos Ωtk) = tk+1 −tk, tk< tk+1 (5.18)

f¨

uhrt. Numerisch zu bestimmen, ob ein tk+1 existiert, welches Gl. (5.18)

erf¨

ullt, stellt eine Herausforderung dar. Existiert solch ein tk+1 nicht, so

findet kein Mehrfachstoß statt und es ist die Abbildungsgleichung (5.9) zu

l¨

osen, um tk+1 zu bestimmen.

5.2 Herleitung eines verfeinerten zeitdiskre-

ten Modells

Das in Unterkapitel 5.1 untersuchte einfache Modell 2. Ordnung gab

einen konstanten Abstand zwischen Oszillatorschwerpunkt und Prallplat-

te (Bohrer) vor. Eine Eigenschaft des USDC-Prototypen ist jedoch ein sich

selbst¨

andig einstellender Abstand. Das folgende Unterkapitel leitet ein ver-

feinertes Modell her, das diesem Umstand gerecht wird. Es ber¨

ucksichtigt

die Starrk¨

orperbewegung des Aktors. Da in diesem Modell auch die Stoß-

masse durch den Einfluss der Schwerkraft beschleunigt wird, geht hier auch

5.2. HERLEITUNG EINES VERFEINERTEN ZEITDISKRETEN

MODELLS

ihre Masse als Parameter in die Gleichungen mit ein. Zur Erinnerung —

im ersten, einfacheren Modell spielte die Masse der Stoßmasse keine Rolle,

da hier kein Einfluss der Schwerkraft vorausgesetzt wurde (wie es etwa bei

horizontalem Bohren der Fall ist). Somit wurde die Bewegung allein durch

kinematische7Gesetze bestimmt.

5.2.1 Aufstellen des verfeinerten Modells 4. Ordnung

¯u(t) = u0cos Ωt

Oszillator

y(t)

u(t)

x(t)

Bild 5.3: Verfeinertes Modell 4. Ordnung

Bild 5.3 zeigt den Oszillator, dessen unteres Ende infolge der angereg-

ten ersten L¨

angseigenmode (in der Skizze rechts vom Oszillator dargestellt)

harmonisch schwingt, und die Stoßmasse (dargestellt als Kugel). Die Posi-

tionen x(t) des Oszillators sowie y(t) der Stoßmasse werden als H¨

ohe ¨

uber

dem Boden gemessen. So kann die Auslenkung des Oszillator-St¨

oßels u(t)

als eine an den Oszillator gekoppelte Bewegung ¯u(t) := u0cos Ωtformuliert

werden:

u(t) = x(t)−¯u(t).(5.19)

Um ein Eindringen der K¨

orper ineinander auszuschließen, wird voraus-

7Die Kinematik ist die Lehre von der Bewegung von K¨

orpern. Nur geometrische

Uberlegungen fließen in die kinematischen Gesetze ein. Im Ggs. dazu ist die Kinetik die

Lehre von der Wirkung von Kr¨

aften.

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

gesetzt:

0≤y(t)∀tund y(t)≤u(t)∀t . (5.20)

Auf den Oszillator wirke die Anpresskraft FA. Diese kann positiv, nega-

tiv oder Null sein. Auf beide K¨

orper wirke außerdem ihre Gewichtskraft.

Von 7 Systemparametern h¨

angt das Modellverhalten ab:

Prozessparameter sind

•u0: Schwingamplitude der Oszillatorspitze,

•Ω: Anregekreisfrequenz,

•FA/M: Oszillatorschwerpunktsbeschleunigung aus Anpresskraft und

•g: Erdbeschleunigungskomponente in L¨

angsrichtung;

Modellparameter sind

•α1,α2: Stoßzahlen nach Newton und

•µ=M

m: Massenverh¨

altnis Oszillatormasse zu Stoßmasse.

Vier Zustandsgr¨

oßen

Im Betrieb des Bohrers kommt es zu Stoßkontakten zwischen den drei Kon-

taktpartnern Oszillatorspitze, freie Stoßmasse (im Folgenden als ”Kugel“

bezeichnet) und dem inneren Ende des Bohrstabes. Dieses Ende des Bohr-

stabes soll im Folgenden mit ”Prallplatte“ bezeichnet werden, um auf seine

Starrheit und Fixiertheit hinzuweisen, die wir in dieser Modellierung voraus-

setzen. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden St¨

oßen f¨

uhren die beiden beweg-

lichen K¨

orper Oszillator und Kugel freie, beschleunigte Bewegungen durch,

die dem zweiten Newtonschen Axiom (Kraft pro Masse = Beschleunigung)

gehorchen und durch Anfangsgeschwindigkeit sowie Anfangsauslenkung ein-

deutig festgelegt sind. Somit gen¨

ugt zur eindeutigen Beschreibung der Bewe-

gungen der beiden K¨

orper allein die Angabe des Bewegungszustands beider

K¨

orper nach jedem Stoß sowie die Angabe des Zeitpunktes, an dem der je-

weilige Stoß stattfand. Bis zum Auftreten des n¨

achsten Stoßes k¨

onnen die

Bewegungen damit als gegeben angesehen werden.

Folglich wird der dynamische Zustand des Systems nur zu diskreten Zeit-

punkten beschrieben, n¨

amlich genau zu den Zeitpunkten, an denen ein Stoß

zwischen Kugel und Oszillator auftritt. Durch die folgenden vier Zustands-

gr¨

oßen wird der Systemzustand demnach vollst¨

andig beschrieben:

tk: Stoßzeitpunkt

x(tk) : Oszillator-Position im Stoßzeitpunkt

˙x(t+

k) : Oszillator-Geschwindigkeit direkt nach dem Stoß

˙y(t+

k) : Kugel-Geschwindigkeit direkt nach dem Stoß

5.2. HERLEITUNG EINES VERFEINERTEN ZEITDISKRETEN

MODELLS

Anmerkung: Da Kugel und Oszillator im Stoßzeitpunkt in Kontakt sind,

ist wegen x(tk) = y(tk) die Kugel-Position y(tk) im Stoßzeitpunkt ebenso

gegeben. Abk¨

urzend werden die Symbole

xk:= x(tk)

˙x+

k:= ˙x(t+

˙y+

k:= ˙y(t+

eingef¨

uhrt; damit lautet der Zustandsvektor

xk:= tk, xk,˙x+

k,˙y+

kT.(5.21)

Wie im Fall des einfachen, dynamischen, 2-dimensionalen Modells aus

Unterkapitel 5.1 wird die Dynamik also durch ein zeitdiskretes dynamisches

System definiert. Das heißt, die Bewegungsgleichungen werden durch ein

System von vier Differenzengleichungen gebildet, welche im Weiteren

aufgestellt werden sollen. Die Differenzengleichungen bilden den Zustand

des Systems im Zeitpunkt tkauf den Zustand im Zeipunkt tk+1 ab. Somit

handelt es sich hier um die Abbildung:

˙x+

˙y+

Abbildung von

−−−−−−−−−−−−−−−−→

Stoß knach Stoß k+ 1

tk+1

xk+1

˙x+

k+1

˙y+

k+1

Die Abbildungsvorschrift wird in den folgenden Abschnitten hergeleitet.

5.2.2 Berechnung des Stoßzeitpunktes tk+1

Die Bewegung der Kugel y(t) nach Stoß kist durch folgendes Anfangswert-

problem (AWP) gegeben:

¨y=−gBewegungsdifferentialgleichung

˙y(tk) = ˙y+

kAnfangsgeschw. (Abfluggeschw. v. Oszill.) (5.22)

y(tk) = u(tk) Anfangspos. (Kontakt mit Oszillator)

F¨

ur die Anfangsposition gilt

u(tk) = x(tk)−¯u(tk) = xk−u0cos Ωtk.(5.23)

L¨

osen des AWPs (5.22) f¨

uhrt auf die Bewegungsgleichung f¨

ur die Kugel

nach Stoß k:

y(t) = −g

2(t−tk)2+ ˙y+

k(t−tk) + xk−u0cos Ωtk, tk≤t < tk+1 .(5.24)

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Die Bewegung des Oszillators x(t) nach Stoß kist gegeben durch das

AWP

¨x=−g−FA/M Bewegungsdifferentialgleichung

˙x(tk) = ˙x+

kAnfangsgeschw. (Abfluggeschw. v. Kugel)(5.25)

x(tk) = xkAnfangsposition

L¨

osen des AWPs (5.25) f¨

uhrt auf die Bewegungsgleichung f¨

ur den Oszil-

lator nach Stoß k:

x(t) = −g+FA/M

2(t−tk)2+ ˙x+

k(t−tk) + xk, tk≤t < tk+1 .(5.26)

Nun gilt es zu bestimmen, wann der n¨

achstfolgende Stoß auftritt: gesucht

ist tk+1 . Dabei muss zwischen zwei m¨

oglichen F¨

allen unterschieden werden:

1. M¨

oglichkeit: Stoß Kugel-Prallplatte zum Zeitpunkt tWkmit tk< tWk<

tk+1

Stoßbedingung: y(tWk) = 0

2. M¨

oglichkeit: Mehrfachstoß Kugel-Oszillator zum Zeitpunkt tk+1

Stoßbedingung: y(tk+1) = u(tk+1)

Unter der Annahme, nach dem Abflug der Kugel vom Oszillator geschieht

der n¨

achste Stoß der Kugel an der Prallplatte (1. M¨

oglichkeit), wird tWk,

also der Zeitpunkt des Stoßes zwischen Kugel und Prallplatte, aus folgender

Kontaktbedingung berechnet:

y(tWk) = 0,gesucht: tWk.(5.27)

Die Bedingung f¨

uhrt auf ein quadratisches Polynom in (tWk−tk), das

sich zu

tWk1,2=tk+1

g



˙y+

k∓s( ˙y+

k)2+ 2g(xk−u0cos Ωtk)

|{z }

=u(tk)>0





(5.28)

l¨

ost. Die Minus-L¨

osung interessiert nicht, da sie zu einem tWkmit tWk< tk

f¨

uhren w¨

urde, was physikalisch nicht m¨

oglich ist.

Unter der Annahme, es komme zum Mehrfachstoß (2. M¨

oglichkeit), also

einem wiederholten Kontakt zwischen Kugel und Oszillator ohne zwischen-

zeitlichen Kontakt mit der Prallplatte, wird der Kontaktzeitpunkt tMFS

k+1 ge-

sucht, an dem dieser Mehrfachstoß (MFS) auftritt. Die Bedingung f¨

ur einen

Oszillator-Kugel Kontakt ist

y(tMFS

k+1 ) = u(tMFS

k+1 )

=x(tMFS

k+1 )−¯u(tMFS

k+1 ).

5.2. HERLEITUNG EINES VERFEINERTEN ZEITDISKRETEN

MODELLS

Hier werden die Bewegungs-Funktionen y(t) (5.24), x(t) (5.26) und ¯u(t)

eingesetzt:

⇒ −g

2(tMFS

k+1 −tk)2+ ˙y+

k(tMFS

k+1 −tk) + xk−u0cos Ωtk

=−g+FA/M

2(tMFS

k+1 −tk)2+ ˙x+

k(tMFS

k+1 −tk) + xk−u0cos ΩtMFS

k+1

⇔FA

2MtMFS

k+1 −tk2+˙y+

k−˙x+

ktMFS

k+1 −tk

=−u0(cos ΩtMFS

k+1 −cos Ωtk) (5.29)

Gesucht ist nun das kleinste, reelle tMFS

k+1 mit tk< tMFS

k+1 , welches die letzte

Gleichung (5.29) l¨

ost, also:

tMFS

k+1 = min tMFS

k+1 |tk< tMFS

k+1 ∧y(tMFS

k+1 ) = u(tMFS

k+1 ).(5.30)

Diese Aufgabe stellt kein triviales Problem dar, da Gleichung (5.29)

transzendent8ist. Allgemein l¨

asst sich der Problemtypus folgendermaßen

formulieren: ”Finde s¨

amtliche Schnittpunkte zwischen einer Parabel und

einem Kosinus.“ Die Anzahl der Schnittpunkte variiert in Abh¨

angigkeit

von den Parametern zwischen Null und unendlich. Die Behandlung dieses

Problems wird im folgenden Unterkapitel 5.3 beschrieben.

Das aus Gleichung (5.29) gefundene tMFS

k+1 wird mit dem unter der

Prallplattenstoß-Annahme (1. M¨

oglichkeit) gefundenen tWk(Gleichung

(5.28)) verglichen:

Falls

tMFS

k+1 < tWk,

tritt ein Mehrfachstoß am Oszillator — und kein Prallplattenstoß — auf und

tk+1 ist gefunden:

tk+1 =tMFS

k+1 .

Andernfalls (tWk< tMFS

k+1 ∨tMFS

k+1 =∅) tritt ein Prallplattenstoß der

Kugel zum Zeitpunkt tWkauf (1. M¨

oglichkeit).

In diesem Fall muss noch der nachfolgende Stoßzeitpunkt tk+1 der Kugel

mit dem Oszillator bestimmt werden. Zun¨

achst wird angenommen, dass der

dem Prallplattenstoß folgende Stoß der Kugel mit dem Oszillator erfolgt.

(Es gibt seltene Situationen, in denen es zu einem Mehrfachstoß an der

Prallplatte kommen kann. Dies kann insbesondere dann passieren, wenn die

(Anpress)kraft FAnegativ ist. Siehe hierzu die Fußnote 13 auf Seite 77.)

8transzendente Gleichung: (lateinisch trancendere: ¨

uberschreiten) Eine Gleichung, die

keine algebraische Gleichung ist bzw. eine Gleichung, die unterschiedliche transzendente

Funktionen (Logarithmus, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktion) enth¨

alt. Eine

transzendente Gleichung l¨

asst sich nur in impliziter Form darstellen. L¨

osungen k¨

onnen

numerisch oder grafisch, jedoch im Allgemeinen nicht analytisch gefunden werden.

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Die absorbierte Energie beim Stoß der Kugel mit der Prallplatte wird

nach der Newtonschen Stoßhypothese ¨

uber die Stoßzahl α2modelliert, wel-

che wie folgt definiert ist:

α2:= |vKugel nach Stoß mit Prallplatte|

|vKugel vor Stoß mit Prallplatte|=˙y+

−˙y−

(5.31)

Darin ist ˙y−

Wk= ˙y(tWk) die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß mit der

Prallplatte und ˙y+

Wkdie Geschwindigkeit der Kugel nach dem Stoß mit der

Prallplatte. Wegen ˙y−

Wk<0 (Flug in negative Richtung) und |˙y+

Wk|<|˙y−

Wk|

(aufgrund Energiedissipation in jedem realen Stoß) gilt α2∈(0,1).

Aus Gleichung (5.31) folgt mit Gleichung (5.24)

˙y+

Wk=α2g(tWk−tk)−˙y+

k.(5.32)

Die Bewegung y2(t) der Kugel nach dem Stoß mit der Prallplatte wird

durch das Anfangswertproblem

¨y2(t) = −g

˙y2(tWk) = ˙y+

Wk(5.33)

y2(tWk) = 0

beschrieben, das von

y2(t) = −g

2(t−tWk)2+ ˙y+

Wk(t−tWk) (5.34)

gel¨

ost wird.

F¨

ur den Kontaktzeitpunkt tk+1 zwischen Oszillator und Kugel muss gel-

ten:

y2(tk+1) = u(tk+1) = x(tk+1)−u0cos Ωtk+1 ∧y2(tk+1)>0.(5.35)

Werden f¨

ur y2(t) und u(t) die jeweiligen Bewegungsfunktionen eingesetzt,

folgt wieder eine transzendente Gleichung in tk+1, das heißt, es m¨

ussen wie-

der alle (reellen) Schnittpunkte zwischen einer Kosinusfunktion und einer

Parabel gefunden werden. Daraus folgt

tk+1 = min {tk+1|tWk< tk+1 ∧y2(tk+1) = u(tk+1)∧y2(tk+1)>0}.

(5.36)

Also ist der kleinste, reelle Schnittpunkt tk+1 mit tWk< tk+1 der gesuchte

Stoßzeitpunkt. Wenn er nicht existiert (weil y2=ukeine L¨

osung besitzt

oder weil y2(tk+1)<0), so tritt der seltene Fall eines Mehrfachstoßes an der

Prallplatte auf. Beachte hierzu die Fußnote auf Seite 77.

5.2.3 Berechnen der verbleibenden Zustandsgr¨

oßen

Bislang wurde f¨

ur die beiden m¨

oglichen F¨

alle des Oszillator-Prallplatte-

Oszillator Stoßes (1. M¨

oglichkeit) und des Oszillator-Oszillator Mehr-

fachstoßes (2. M¨

oglichkeit) die Stoßzeit tk+1, an der die Kugel wieder

5.2. HERLEITUNG EINES VERFEINERTEN ZEITDISKRETEN

MODELLS

vom Oszillator abprallt, berechnet. F¨

ur die vollst¨

andige Angabe des

Systemzustands fehlt noch die Berechnung der drei weiteren Zustands-

gr¨

oßen Abfluggeschwindigkeit der Kugel vom Oszillator nach dem Stoß,

Oszillatorschwerpunktsgeschwindigkeit nach dem Stoß sowie Oszillator-

bzw. Kugel-Position beim Stoß.

Zur kinematischen Beschreibung des Stoßes am Oszillator wird die Stoß-

zahl α1eingef¨

uhrt:

α1:= −v+

Kugel −v+

Oszillatorspitze

v−

Kugel −v−

Oszillatorspitze

=−˙y+

k+1 −˙u+

k+1

˙y(2)(tk+1)−˙u(tk+1)(5.37)

mit ˙u+

k+1 = ˙x+

k+1 −˙

¯u(tk+1).

Die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß v−

Kugel wird beim Mehrfach-

stoß am Oszillator durch ˙y(tk+1) und beim Prallplattenstoß durch ˙y2(tk+1)

erhalten. Die beiden F¨

alle wurden in der letzten Gleichung durch die einge-

klammerte (2) im Index der Geschwindigkeit gekennzeichnet.

Eine zweite Gleichung f¨

ur die zwei gesuchten Geschwindigkeiten folgt aus

der Impulserhaltung:

m·v−

Kugel +M·v−

Oszillatorschwerpunkt =m·v+

Kugel +M·v+

Oszillatorschwerpunkt ,

bzw. mit den hier verwendeten Symbolen:

m·˙y(2)(tk+1) + M·˙x(tk+1) = m·˙y+

k+1 +M·˙x+

k+1 .(5.38)

Darin sind m= Masse der Kugel, M= Masse des Oszillators.

Es sei erw¨

ahnt, das die Kugelmasse merstmals in der Impulsbilanz (5.38)

ins Modell miteinfließt. Die Oszillatormasse Mhatte bei endlicher Anpress-

kraft FAbereits Einfluss auf die Bewegungsgleichung des Oszillators.

Es wird das Massenverh¨

altnis µeingef¨

uhrt:

µ:= M

m.(5.39)

Die beiden in den gesuchten Geschwindigkeiten linearen Gleichungen

(5.37) und (5.38) werden nun nach den Geschwindigkeiten aufgel¨

ost:

˙x+

k+1 =1

1 + µ(1 + α1)( ˙y(2)(tk+1) + ˙

¯u(tk+1)) + (µ−α1) ˙x(tk+1)(5.40)

˙y+

k+1 =1

1 + µµ(1 + α1)( ˙x(tk+1)−˙

¯u(tk+1)) −(µα1−1) ˙y(2)(tk+1).

(5.41)

Schließlich kann die Position des Oszillators im Stoßmoment durch Ein-

setzen von tk+1 in die Bewegungsgleichung f¨

ur x(t) (5.26) angegeben werden:

xk+1 =x(tk+1) = −g+FA/M

2(tk+1 −tk)2+ ˙x+

k(tk+1 −tk) + xk.(5.42)

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

5.2.4 Zusammenfassung des Stoßkontaktmodells

4. Ordnung

Das Modell besitzt sieben Parameter, von denen sein Verhalten abh¨

angig

ist. Die Systemparameter des Stoßbohrermodells 4. Ordnung sind α1,α2

und µ=M/m welche f¨

ur die Stoßzahl zwischen Stoßmasse und Oszillator,

die Stoßzahl zwischen Stoßmasse und Prallplatte und f¨

ur das Verh¨

altnis

Oszillatormasse zu Stoßmasse stehen.

Die Prozessparameter des Stoßbohrermodells sind u0, Ω, FA/M und g,

die f¨

ur die Schwingamplitude der Oszillatorspitze, die Anregekreisfrequenz,

die Beschleunigung aus axialer Anpresskraft auf den Oszillator und den

Anteil der Erdbeschleunigung in L¨

angsrichtung stehen.

Die vier diskreten Zustandsgr¨

oßen des Stoßbohrermodells 4. Ordnung

sind die Stoßkontaktzeit tkder Kugel am Oszillator, die Position des Os-

zillatorschwerpunktes xkim Stoßzeitpunkt, die Geschwindigkeit des Oszilla-

torschwerpunktes ˙x+

kunmittelbar nach dem Stoß und die Geschwindigkeit

der Kugel ˙y+

kunmittelbar nach dem Stoß.

Ausgehend von dem Zustand xk=tk, xk,˙x+

k,˙y+

kT, der einen Kontakt

zwischen Stoßmasse und Oszillator beschreibt, wird die Abbildung des Zu-

stands kauf den Zustand k+ 1 als implizite Funktion

f(xk,xk+1) = 0(5.43)

angegeben, die sich zusammensetzt aus den Gleichungen f¨

ur tk+1 (5.30)

bzw. (5.36), xk+1 (5.42), ˙x+

k+1 (5.40) und ˙y+

k+1 (5.41).

Die Berechnung des Folgezustands xk+1 gliedert sich in zwei Schritte

auf. Im ersten Schritt wird der Kontaktzeitpunkt tk+1 berechnet. Im zwei-

ten Schritt werden die drei ¨

ubrigen Zustandsgr¨

oßen xk+1,˙x+

k+1,˙y+

k+1 berech-

net. Um im ersten Schritt die Kontaktzeit tk+1 zu berechnen, wird zwischen

zwei m¨

oglichen F¨

allen unterschieden, n¨

amlich dem Oszillator-Prallplatte-

Oszillator Stoß (1. M¨

oglichkeit) und dem Oszillator-Oszillator Mehrfachstoß

(2. M¨

oglichkeit). Um festzustellen, welcher Fall auftritt, werden zwei Zeit-

punkte berechnet und miteinander verglichen. Einerseits ist dies die theore-

tische Kontaktzeit tWkder Kugel mit der Prallplatte (oder ”Wand“)

tWk=tk+1

g˙y+

k+q( ˙y+

k)2+ 2g(xk−u0cos Ωtk),(5.44)

siehe (5.28). Andererseits muss ¨

uberpr¨

uft werden, ob ein Mehrfachstoß zwi-

schen Kugel und Oszillator auftrat, bevor der Kugel-Prallplatte Stoß tWk

stattfinden w¨

urde. Hierf¨

ur muss der Zeitpunkt tMFS

k+1 berechnet werden aus

tMFS

k+1 = min tMFS

k+1 |tMFS

k+1 > tk∧y(tMFS

k+1 ) = u(tMFS

k+1 ),(5.45)

siehe (5.30). Die beiden Zeitpunkte tWkund tMFS

k+1 werden miteinander ver-

glichen. Der Fall, in dem ein Kugel-Prallplatte Stoß direkt auf einen Kugel-

Oszillator Stoß folgt (1. M¨

oglichkeit), tritt auf, falls

tWk< tMFS

k+1 ∨tMFS

k+1 =∅.(5.46)

5.3. ALGORITHMUS ZUM L ¨

OSEN TRANSZENDENTER

STOSSGLEICHUNGEN

F¨

ur diesen Fall erh¨

alt man den Zeitpunkt f¨

ur den n¨

achsten Kugel-Oszillator

Kontakt tk+1 aus

tk+1 = min {tk+1|tk+1 > tWk∧y2(tk+1) = u(tk+1)∧y2(tk+1)>0},(5.47)

wobei u(tk+1) = x(tk+1)−u0cos Ωtk+1 mit x(tk+1) = xk+1 aus Gleichung

(5.42).

Im anderen Fall, wenn tMFS

k+1 < tWk, wenn also ein Kugel-Oszillator Mehr-

fachstoß auftritt, d. h. zwei aufeinanderfolgende Kugel-Oszillator Kontakte

ohne einen zwischenzeitlichen Kugel-Prallplatte Stoß erfolgen, erh¨

alt man

den gesuchten Zeitpunkt

tk+1 =tMFS

k+1 (5.48)

aus Gleichung (5.45).

Nachdem der diskrete Zeitpunkt tk+1 bekannt ist, folgt der zweite der bei-

den Schritte, in dem die restlichen drei der vier diskreten Zustandsgr¨

oßen in

expliziter Weise aus den Gleichungen (5.40)–(5.42) mit µ=M/m resultie-

ren:

˙x+

k+1 =1

1 + µ(1 + α1)( ˙y(2)(tk+1) + ˙

¯u(tk+1)) + (µ−α1) ˙x(tk+1),

˙y+

k+1 =1

1 + µµ(1 + α1)( ˙x(tk+1)−˙

¯u(tk+1)) −(µα1−1) ˙y(2)(tk+1),

xk+1 =−g+FA

2(tk+1 −tk)2+ ˙x+

k(tk+1 −tk) + xk.(5.49)

Als Ergebnis der gesamten Prozedur kann schließlich der Zustandsvektor

xk+1 = [tk+1, xk+1,˙x+

k+1,˙y+

k+1]Taufgeschrieben werden.

5.3 Algorithmus zum L¨

osen transzendenter

Stoßgleichungen

Eine besondere Schwierigkeit stellt das Finden der Schnittpunkte zwischen

einer linearen Funktion (einer Geraden) und einer harmonischen Funktion

(z. B. der Kosinusfunktion) dar. Im Fall der horizontalen (gravitationsfreien)

Bewegung im Schwingstoßsystem 2. Ordnung finden keine Beschleunigungen

statt. Daher bewegt sich die Stoßmasse auf einer geraden Flugbahn. Ihre

gerade Flugbahn beginnt — falls ein sog. Mehrfachstoß auftreten wird

(kein Erreichen der Prallplatte vor dem folgenden Oszillator-Stoß) —

auf der Position der Oszillatorspitze im Stoßzeitpunkt (Kosinusfunktion),

andernfalls an der Prallplatte mit jeweils gegebener Abfluggeschwindigkeit

der Kugel vom Oszillator bzw. von der Prallplatte.

Wird das Modell 2. Ordnung zum Modell 4. Ordnung erweitert, indem

m¨

ogliche Starrk¨

orperbewegungen des Oszillators zugelassen werden und

Anpress- und Gravitationskr¨

afte wirken k¨

onnen, so haben die Flugbahnen

parabelf¨

ormigen Verlauf. Im Zuge der L¨

osungsfindung der Bewegungs-

gleichungen dieses Modells m¨

ussen die Schnittpunkte zwischen einer

KAPITEL 5. MODELLIERUNG

Kosinusfunktion und einer Parabel — also einem Polynom 2. Ordnung

— gefunden werden, was ein ungleich schwierigeres Problem als das mit

linearer Flugbahn darstellt.

Problembeschreibung

Bei den genannten Aufgaben existieren (Null-Geschwindigkeiten ausge-

schlossen) jeweils endlich viele L¨

osungen. In allen F¨

allen ist es entscheidend,

genau eine bestimmte L¨

osung zu finden, n¨

amlich diejenige, die zeitlich dem

Startpunkt der Flugbahn am n¨

achsten liegt, also am fr¨

uhesten auftritt. Sei

der Startpunkt mit xsbezeichnet, so ist also die kleinste L¨

osung xcmit

xs< xcgesucht. Im Folgenden sollen die m¨

oglichen Verfahren beschrieben

werden, durch die die gesuchte L¨

osung numerisch angen¨

ahert werden kann.

Schnittpunkte zwischen Gerade und Kosinusfunktion

Problem: Gesucht ist die kleinste L¨

osung xcmit

xc> xsund bx +c= cos(x), b, c, xs∈R, b 6= 0 .

Schnittpunkte zwischen Parabel und Kosinusfunktion

Problem: Gesucht ist die kleinste L¨

osung xcmit

xc> xsund ax2+bx +c= cos(x), a, b, c, xs∈R, a 6= 0 .

L¨

osungsalgorithmus

Zun¨

achst kann auf einfache Weise bestimmt werden, ob die Parabel y=

ax2+bx +cden Wertebereich [−1,1] der Kosinusfunktion schneiden kann:

F¨

ur a < 0 ist die Parabel nach unten ge¨

offnet. Die Parabel kann die Kosi-

nusfunktion h¨

ochstens dann schneiden, wenn f¨

ur ihren Extremwert

ye=−b2

4a+c

folgendes gilt: ye>−1 . Es k¨

onnen daraufhin die Stellen des Ein- und Aus-

tritts der Parabel aus dem Wertebereich [−1,1] der Kosinusfunktion berech-

net werden. Dadurch ergibt sich f¨

ur −1< ye<1 ein Intervall [x1, x2] mit

x1=1

2a−b−pb2−4a(c+ 1)(5.50)

x2=1

2a−b+pb2−4a(c+ 1)(5.51)

bzw. f¨

ur ye>1 ergeben sich zwei Intervalle [x1, x2] und [x3, x4] mit

x1=1

2a−b+pb2−4a(c+ 1)(5.52)

x2=1

2a−b+pb2−4a(c−1)(5.53)

x3=1

2a−b−pb2−4a(c−1)(5.54)

x4=1

2a−b−pb2−4a(c+ 1)(5.55)

5.3. ALGORITHMUS ZUM L ¨

OSEN TRANSZENDENTER

STOSSGLEICHUNGEN

in denen xch¨

ochstens liegen kann.

Ferner l¨

asst sich zeigen, dass, wenn eine Funktion in [x1, x2] den Wertebe-

reich [−1,1] durchquert, ihre kleinste Schnittstelle mit der Kosinusfunktion

auch in [x1, x1+ 2π] liegen muss. Folglich liegt die kleinste Schnittstelle in

[x1, x2]∪[x1, x1+ 2π] bzw. falls ye>1 in [x1, x2]∪[x1, x1+ 2π] oder in

[x3, x4]∪[x3, x3+ 2π]. Also kann die gesuchte Schnittstelle auf ein Intervall

[xli, xre] mit Breite <2πeingegrenzt werden, dessen Mitte an der Stelle

xmi =xli+xre

2liegt.

In einem zweiten Schritt werden nun die Schnittstellen numerisch ermit-

telt. Hierzu wird die Problemstellung zun¨

achst in ein neues Koordinatensys-

tem mit

z=x−xmi

transformiert. Durch diese Koordinatentransformation l¨

asst sich das Pro-

blem wie folgt formulieren:

Schnittpunkte zwischen Parabel und Kosinusfunktion

Problem: Gesucht sind alle L¨

osungen zcder Gleichung

a(zc+xmi)2+b(zc+xmi) + c= cos(zc+xmi) (5.56)

innerhalb des symmetrisch zu z= 0 liegenden Intervalls

−xre −xli

2,xre −xli

2mit xre −xli

2≤π .

Mit der trigonometrischen Umformung

cos(α+β) = cos α·cos β−sin α·sin β

l¨

asst sich Gl. (5.56) schreiben als

a(zc+xmi)2+b(zc+xmi) + c−cos xmi ·cos zc+ sin xmi ·sin zc= 0 .(5.57)

In Gl. (5.57) ersetzen wir die beiden harmonischen Funktionen cos zcund

sin zcnun durch ihre Potenzreihen. Die gesuchten L¨

osungen zcliegen wie

oben erl¨

autert innerhalb des Radius rmit r < π um z= 0. In dieser

Umgebung ist der Fehler zwischen dem Taylorpolynom 8. Ordnung der

harmonischen Funktionen und ihrem tats¨

achlichen Wert hinreichend klein

(”<10−8“).

S¨

amtliche Nullstellen des so gebildeten Polynoms lassen sich mittels Ei-

genwertberechnung der Companion-Matrix der Polynomialkoeffizienten nu-

merisch berechnen. Die kleinste reelle Nullstelle

zc> zsmit zs=xs−xmi

wird bestimmt und zur x−Koordinate xczur¨

ucktransformiert.

Zur Erh¨

ohung der Genauigkeit k¨

onnen ausgehend von der gefundenen

L¨

osung xcnoch einige Schritte mit dem Newton-Verfahren durchgef¨

uhrt wer-

den.

Kapitel 6

Verhalten des Stoßbohrers

In diesem Kapitel wird das Bewegungsverhalten des Stoßbohrers be-

schrieben. Hierzu wurden im Labor Experimente mit einem Schwingstoß-

pr¨

ufstand, der dem Modell 2. Ordnung aus Unterkapitel 5.1 entspricht,

und einem Prototypen des Ultraschall-Stoßbohrers, der in Kapitel 3vor-

gestellt wurde, durchgef¨

uhrt. Mit verschiedenen Messverfahren werden

Starrk¨

orperbewegungen der Stoßmasse und des Oszillators ermittelt. Das

dynamische Verhalten beider in Kapitel 5hergeleiteten Modelle wird simu-

liert und dem Verhalten der realen Laborsysteme gegen¨

ubergestellt.

Die Unterkapitel 6.1 und 6.2 beinhalten Experimente und Simulationen

zum System 2. Ordnung. Die Unterkapitel 6.3 und 6.4 beinhalten Experi-

mente und Simulationen zum System 4. Ordnung. Unterkapitel 6.5 vergleicht

die theoretischen Simulationsergebnisse der Modelle mit den praktisch ge-

wonnenen Daten der realen Laborversuche.

6.1 Experimentelle Untersuchungen am

Schwingstoßpr¨

ufstand

Dieses Unterkapitel beschreibt die Experimente, die am System 2. Ord-

nung durchgef¨

uhrt wurden. Nachdem der Aufbau des Pr¨

ufstands im Labor

erl¨

autert wird, werden die Messverfahren, mit denen ein Zugang zur Bewe-

gung der Kugel m¨

oglich ist, vorgestellt. Der letzte Abschnitt gibt Messdaten

f¨

ur die Stoßzahlen wieder.

6.1.1 Aufbau des Schwingstoßpr¨

ufstands

Zur experimentellen Analyse der Stoßdynamik wurde ein Laborversuch auf-

gebaut, der sich an dem in Abschnitt 5.1 aufgestellten Modell 2. Ordnung

orientiert. Bild 5.1 auf Seite 35 zeigt dieses Modell schematisch. Den Os-

zillator bildet im Laborexperiment ein Ultraschalltransducer, wie er links

im Photo auf Seite 18 zu sehen ist. Der Stapelaktor aus vier Piezokera-

mikscheiben wird mit einer sinusf¨

ormigen Wechselspannung gespeist, die

uber einen Verst¨

arker von einem Sinusgenerator erzeugt wird und in Fre-

quenz und Amplitude eingestellt werden kann. Die Anregefrequenz wird auf

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

Oszilloskop

Speicher-

Controller

-15 V +15 V

0 V

Netzteil

1.2 kΩ

1 kΩ1 kΩ

Generator

Verst¨

arker

Piezo-Oszillator

FastCam

Laser Doppler

Vibrometer

digkeits-

Kamera

Laser

Hochgeschwin-

Waveform

Vibrometer

Bild 6.1: Skizze des Schwingstoßpr¨

ufstands

die erste L¨

angseigenfrequenz eingestellt, die den Oszillator in seiner ersten

L¨

angseigenmode anregt. F¨

ur den verwendeten Oszillator betr¨

agt diese Fre-

quenz f= 20.19 kHz. Die erste L¨

angseigenmode ist auf Seite 41 in Bild 5.3

rechts des Oszillators gezeigt: an den Enden des Oszillatorstabes befinden

sich Schwingungsb¨

auche, dazwischen ein Schwingungsknoten. Die Schwin-

gungsb¨

auche lassen die Enden in L¨

angsrichtung sinusf¨

ormig schwingen. Im

Schwingungsknoten wird der Oszillatorstab gehalten und auf den Labortisch

geschraubt.

Im Abstand von 11 mm in L¨

angsrichtung von der Oszillatorspitze wird

als Gegenprallelement (”Prallplatte“; in den Skizzen gr¨

un dargestellt)

eine Hammerbahn1auf den Labortisch geklemmt. Die Hammerbahn und

die platte Schwingfl¨

ache des Oszillators stehen parallel zueinander. Im

Zwischenraum wird als frei fliegende Masse eine Stahlkugel mit 6 mm

Durchmesser pendelnd aufgeh¨

angt (in den Skizzen rot dargestellt). Sie kann

sich horizonal in Schwingungsrichtung in einem Freiraum von h= 5 mm frei

bewegen. Zum Start des Experiments werden Sinusgenerator und Verst¨

arker

eingeschaltet. Die frei pendelnde Kugel muss leicht angestoßen werden,

gerade so stark, dass sie einmal mit dem Schwinger in Kontakt kommt.

1Die Hammerbahn bezeichnet die flache Seite eines Hammerkopfes.

6.1. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN AM

SCHWINGSTOSSPR ¨

UFSTAND

Nach einigen wenigen transienten St¨

oßen stellt sich eine Bewegung der

Kugel ein, bei der sie in ihrem Freiraum hin- und herfliegend abwechselnd

St¨

oße am schwingenden Ende des Oszillators und an der Hammerbahn

ausf¨

uhrt.

Bild 6.2: Stabf¨

uhrung

gelochter Scheibe

Bild 6.3: F¨

uhrung

uber r¨

ohrchenf¨

ormigen

”Balken“

Bild 6.4: F¨

uhrung

durch Blattfeder

Um die Kugelbewegung auf eine 1-dimensionale und nahezu geradlinige

Flugbahn zu begrenzen, ist eine 5-wertige Lagerung der Kugel notwendig

(eine Kugelf¨

uhrung, die die Kugelbewegung in 5 ihrer 6 Freiheitsgrade ver-

hindert): diese F¨

uhrung soll die Bewegung der Kugel in L¨

angsrichtung des

Oszillators nicht beeinflussen, jedoch eine translatorische Bewegung entlang

der zwei weiteren Raumdimensionen und eine rotatorische Bewegung um alle

drei Raumrichtungen unterbinden. Die Bilder 6.2–6.4 zeigen einige realisierte

F¨

uhrungsm¨

oglichkeiten. Als nachteilig im Sinne einer 1-dimensionalen Bewe-

gung haben sich die L¨

angsstabf¨

uhrung (Bild 6.2) und die Blattfederf¨

uhrung

(Bild 6.4) erwiesen. Um die Stoßmasse auf einem Stab in L¨

angsrichtung

gleiten zu lassen, wurde eine kreisrunde, scheibenf¨

ormige Metallscheibe im

Zentrum gelocht und auf einem runden Stab gef¨

uhrt. Die Reibung zwischen

Stab und Loch der Scheibe l¨

asst diese taumeln und sich verkanten. Die Be-

wegung der Scheibe entspricht anstelle eines geradlinigen Fluges einer kom-

plizierten, 3-dimensional translatorischen und rotatorischen Bewegung um

ihre Raumachsen. Somit ist diese F¨

uhrungsvariante f¨

ur eine Bewegungsstu-

die von begrenzter Komplexit¨

at ungeeignet. Eine klarere Bewegung f¨

uhrt

die in einer Blattfeder gehaltene Kugel aus, die weit entfernt von deren sta-

tischer Gleichgewichtslage betrieben wird. Die in Bewegungsrichtung sehr

biegeweich gew¨

ahlte Blattfeder ist jedoch auch um ihre eigene L¨

angsachse

torsionsweich, sodass die Kugel eine schlackernde Bewegung ausf¨

uhren kann.

Eine passable F¨

uhrung der Kugel konnte mit einem r¨

ohrchenf¨

ormigen Bal-

ken2geringer Eigenmasse erzielt werden (Bild 6.3), der drehbar an einer

2Der Balken bezeichnet in der Kontinuumsmechanik ein elastisches Element, das Quer-

und L¨

angskr¨

afte sowie Biege- und Torsionsmomente ¨

ubertragen kann.

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

Welle gelagert ist. Nur geringf¨

ugig werden die Kugelbewegungen von den

Biegeschwingungen des d¨

unnen Metallr¨

ohrchens beeinflusst.

6.1.2 Messtechnik

Um die Bewegung der Kugel zu erfassen, ist eine ber¨

uhrungsfreie Mess-

technik notwendig, die die Bewegung der Kugel nicht beeinflusst. M¨

ogliche

Messmethoden sind in Tabelle 6.1 aufgef¨

uhrt.

Messmethode Messziel

Laser-Doppler-Vibrometrie Auslenkung der Oszillatorspitze

Strommessung Piezoaktor Stoßzeitpunkte am Oszillator

Hochgeschwindigkeitsfilmen Kontinuierliche Position der Stoßmasse

Elektrische Kontaktdetektion Stoßzeitpunkte aller St¨

oße

Tabelle 6.1: Verschiedene Messmethoden zur Aufnahme der Kugelbewegung

Laser-Doppler-Vibrometrie

Der Einsatz eines Laser-Doppler-Vibrometers3zur Aufnahme der Kugelbe-

wegung gestaltet sich schwierig, weil das Messobjekt im makroskopischen4

Bereich seine Position ¨

andert. So ist es nicht m¨

oglich, den Laserstrahl auf

die Kugel zu fokussieren. Auch kann die Kugel nicht l¨

angs ihrer Bewegungs-

richtung per Laserstrahl erfasst werden, da Oszillator und Gegenprallplatte

die Kugel auf ihrer Flugachse ”umschließen“. Das Laser-Doppler-Vibrometer

wurde aber eingesetzt, um die ultraschallfrequente Schwingung des Oszil-

lators in Frequenz und Amplitude zu erfassen. Hierf¨

ur wurde es unter ei-

nem Winkel von 45◦auf die schwingende Oberfl¨

ache gerichtet. So wurde der

Strahl nicht durch die Flugbahn der Kugel unterbrochen.

Bild 6.5 zeigt das Geschwindigkeitssignal der Oszillatorspitze und

best¨

atigt eine Annahme, die f¨

ur die Modellierungen getroffen wurde: in den

Modellen wurde der Oszillator als eine kinematische Fußpunktanregung for-

muliert, dessen harmonische Bewegungen im Modell durch die St¨

oße am

Oszillator unbeeinflusst bleiben. Das Messsignal zeigt, dass die Oszillator-

schwingung durch die Stoßimpulse beeinflusst wird. Nach einem Stoß ”er-

holt“ sich die Schwingbewegung jedoch sehr schnell und befindet sich vor

dem n¨

achsten Stoß wieder in ihrer station¨

aren, freien Schwingungsmode.

3Die Laser-Doppler-Vibrometrie nutzt den Doppler-Effekt, nach dem die von einer

bewegten Oberfl¨

ache reflektierte Welle eine von der urspr¨

unglich ausgesandten Welle un-

terschiedliche Frequenz besitzt. Dadurch l¨

asst sich die Geschwindigkeit einer bewegten

Oberfl¨

ache messen.

4Die Bezeichnung makroskopisch besagt (im Ggs. zu mikroskopisch), dass etwas mit

bloßem Auge, ohne optisch-vergr¨

oßernde Hilfsmittel erkennbar ist.

6.1. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN AM

SCHWINGSTOSSPR ¨

UFSTAND

−8

Kontakt−

Signal [V]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−2

−1

Zeit t [s]

Laser−Vibrometer

Signal [m/s]

Bild 6.5: Kontaktsignal und Laservibrometersignal

Messung der Stromaufnahme

Die Messung des Stromsignals ist die mit Abstand einfachste und somit si-

cherste M¨

oglichkeit, auf indirekte Weise Auskunft ¨

uber die ungef¨

ahren Zeit-

punkte der Kugel-Oszillator-St¨

oße zu erhalten. Lediglich eine Strommesszan-

ge wird verwendet, um den Stromfluss vom Verst¨

arker zum Piezotransducer

zu messen. Das Stromsignal l¨

asst sich mit einem Speicheroszilloskop auf-

zeichnen. Die indirekte Ermittlung der Stoßzeitpunkte ist m¨

oglich, da die

Stromaufnahme kurzzeitig ansteigt oder abf¨

allt, wenn die Stoßwelle, die die

Stoßmasse in den Transducerstab einbringt, die freie Resonanzschwingung

des Piezotransducers ¨

uberlagert. Die Laufzeit der Stoßwelle durch den 60 mm

langen Transducerstab (ca. 12 µs) entspricht etwa einer Viertelschwingungs-

periode und ist f¨

ur eine grobe Zeitpunktsbestimmung daher weitgehend ver-

nachl¨

assigbar. Den exakten Zeitpunkt des Stoßes nur anhand des Stromsi-

gnales festzustellen ist jedoch schwierig, da die Abweichung des Stromsignals

vom bisherigen harmonischen Verlauf bewertet werden muss. Die Messme-

thode der Stromaufnahme trifft keine Aussage ¨

uber die Bewegung der Ku-

gel zwischen zwei St¨

oßen am Oszillator. Bild 6.6 zeigt das Messergebnis des

Stromsignals zusammen mit dem ¨

uberlagerten Kontaktmesssignal.

Einsatz einer Hochgeschwindigkeitskamera

Aussagen ¨

uber die Kugelbewegung zwischen ihren St¨

oßen liefert allein die

Hochgeschwindigkeitskamera, da sie die Kugelposition in direkter Weise op-

tisch zu jedem Zeitpunkt erfasst. Ein weiterer, großer Vorteil dieser Messme-

thode ist, dass s¨

amtliche makroskopischen Bewegungen zeitlich fein aufgel¨

ost

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

0.145 0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18

−1

Zeit t [s]

Kontaktsignal in [8V]

Stromverlauf in [6.4A]

Bild 6.6: Kontaktsignal und Stromsignal: Deutlich zu sehen sind die Strom-

einbr¨

uche und -spitzen, die durch die St¨

oße am Oszillator hervorgerufen

werden; vor dem jeweils folgenden Stoß befindet sich die Stromaufnahme

wieder im harmonisch-station¨

aren Zustand.

wiedergegeben werden k¨

onnen. Problemlos lassen sich die Schwingungen der

umgebenden Struktur qualitativ analysieren und ihr Einfluss auf die Dy-

namik der Kugel beurteilen. So l¨

asst sich schnell abw¨

agen, welche Art der

Kugelf¨

uhrung inwieweit nachteilig erscheint.

Auch zur quantitativen Analyse der Kugelbewegung k¨

onnen fein

aufl¨

osende Bilder der Hochgeschwindigkeitskamera herangezogen werden: ein

Formerkennungsalgorithmus in der Software Photron Motion Tools wurde

genutzt, um die Position der Kugel auf jedem aufgenommenen Einzelbild

zu quantifizieren. So entsteht eine genaue Zeitreihe der Kugelbewegung. Da

pro Zeitschritt ein Bild erzeugt und zur sp¨

ateren Auswertung digital gespei-

chert wird, ist der Speicherbedarf f¨

ur diese Methode hoch und erm¨

oglicht

vergleichsweise kleine Aufnahmedauern.

Ein Einzelbild des Hochgeschwindigkeitsfilms der Kugelbewegung zeigt

Bild 6.7. Die kleinen roten +- Zeichen markieren den Verlauf des oberen

Kugelrandes auf den ersten 63 Einzelbildern der Aufnahme, was bei einer

Aufnahmerate von 5000 fps (frames per second) einer Aufnahmedauer von

12.4 ms entspricht. Die Wellenform der Spur ist ein Hinweis auf eine nicht-

geradlinige oder leicht bogenf¨

ormige Bewegung, wie man es von einem mas-

selosen und unendlich steifen F¨

uhrungsbalken erwartet h¨

atte. Statt dessen

ubt die Biegeschwingung des Metallr¨

ohrchens, das die Kugel ¨

uber eine 80 mm

entfernte Drehachse f¨

uhrt, einen deutlichen Einfluss auf die Kugelbewegung

aus.

Die Positionsbestimmung der Stoßmasse in allen aufeinanderfolgenden

Bildern der Hochgeschwindigkeitsaufnahme f¨

uhrt zu einem kontinuierlichen

Bewegungsablauf, der in Bild 6.8 ¨

uber der Zeit aufgetragen ist. Die Aus-

wertung von Hochgeschwindigkeitsdaten ist f¨

ur einen derartigen Pr¨

ufstand

die einzige M¨

oglichkeit, ber¨

uhrungsfrei makroskopische Positionen aufzuneh-

men. Dar¨

uberhinaus ist es eine direkte Methode zur Positionsbestimmung.

Die anderen hier genannten Messverfahren lassen nur indirekt auf die Bewe-

gung der Stoßmasse schließen. Hierf¨

ur war bisher die Annahme Vorausset-

zung, dass die Stoßmasse zwischen den St¨

oßen eine unbeschleunigte Bewe-

gung ausf¨

uhrt. Die Analyse der Kameradaten in Bild 6.8 validiert nun diese

Annahme.

6.1. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN AM

SCHWINGSTOSSPR ¨

UFSTAND

Bild 6.7: Einzelbild der Hochgeschwindigkeitskamera mit Spur (+++) der

Positionsidentifizierung der Kugel w¨

ahrend 12.4 ms; am unteren Bildrand ist

die Oszillatorspitze zu sehen, am oberen Rand die Hammerbahn.

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Zeit t [s]

Position [mm]

Flugmasse

−−−−−−−−−−−−− Wand (Hammer−Bahn) −−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−− Oszillator −−−−−−−−−−−−−

Bild 6.8: Position ¨

uber Zeit der Stoßmasse aus der Positionserkennung der

Hochgeschwindigkeitsaufnahme

Elektrische Kontaktmessung

Bei der elektrischen Kontaktmessung wird die Leitf¨

ahigkeit der metallischen

Stoßpartner ausgenutzt, um durch Schließen und ¨

Offnen elektrischer Kreise

den Kontaktzustand zu ¨

ubermitteln. Hierf¨

ur m¨

ussen der Oszillator, die Ku-

gel sowie der Hammer elektrisch voneinander getrennt auf den Labortisch

montiert werden. Dies l¨

asst sich erreichen, indem man die Bauteile z. B. zwi-

schen Pertinaxplatten einspannt oder sie mit Magnetf¨

ußen ausstattet, die

uber Kunststofffolien vom metallenen Labor-Spanntisch isoliert werden. Zu

beachten ist, dass der Transducerstab des Oszillators ¨

uber die Wechselspan-

nungserregung vom Verst¨

arker immer geerdet ist. Die ¨

ubrigen zwei Teile

m¨

ussen daher vom ebenfalls geerdeten Labortisch elektrisch isoliert werden.

Die Skizze 6.1 zeigt die elektrische Verschaltung der Bauteile. Dem Ham-

merkopf als Gegenprallfl¨

ache wird aus einem Gleichspannungsnetzteil ein

Potential von +15 V, dem Oszillator ein Potential von -15 V auferlegt. Eine

feine, auf die Kugel gel¨

otete Einzellitze5und der 0 V-Ausgang des Netzteils

werden an einen Messkanal eines Speicheroszilloskops angeschlossen. Besteht

w¨

ahrend eines Stoßes elektrisch leitender Kontakt zwischen Kugel und Oszil-

lator, so wird ein Stromkreis geschlossen, der aus einer Reihenschaltung aus

5Eine Litze ist ein sehr d¨

unnes Metalldr¨

ahtchen. Flexible, elektrische Leitungen beste-

hen aus einem Verbund vieler Metalllitze.

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

der 15 V–Spannungsquelle, einem 1 kΩ– und einem 1.2 kΩ–Widerstand be-

steht. Der am gr¨

oßeren Widerstand entstehende Spannungsabfall von 8.3 V

wird von einem potentialgetrennten Eingang des Oszilloskops aufgezeichnet.

Die 1 kΩ–Widerst¨

ande dienen lediglich dem Vermeiden von Kurzschl¨

ussen

w¨

ahrend Einstellarbeiten am Versuchsaufbau. Der 1.2 kΩ–Widerstand be-

schleunigt das Entladen von oszilloskopseitigen Kapazit¨

aten nach Trennung

der Kontakte.

W¨

ahrend einer Messung wird der Spannungsverlauf dieses Messkanals

im Oszilloskop mit einer hohen Abtastrate6von 5 MS/s aufgezeichnet, aus

dem sich mit hoher zeitlicher Genauigkeit auf die Stoßzeitpunkte und die

Kontaktdauern schließen l¨

asst.

Ein derart entstandener Kontaktspannungsverlauf ist in roter Farbe in

Bild 6.5 und Bild 6.6 zu sehen; Bild 6.9 zeigt den Kontaktspannungsverlauf

eines einzelnen Stoßes zusammen mit dem Auslenkungssignal der Oszilla-

torspitze, das aus Integrieren des Laservibrometersignals gewonnen wurde.

Rot gezeichnet ist in Bild 6.9 die Zeitspanne, w¨

ahrend der metallischer Kon-

takt zwischen beiden Stoßpartnern besteht. Beginn und Ende des Kontaktes

lassen sich aus der Kontaktspannung ableiten. Deutlich sieht man den expo-

nentiellen Anstieg und das Abklingen der Spannung, bedingt durch Induk-

tivit¨

aten und Kapazit¨

aten in Kabeln und Oszilloskop. Als Kontaktbeginn

und –ende werden jeweils die Startzeitpunkte der Spannungsanstiege bzw. -

abf¨

alle ausgewertet.

0 11 20 30 40 50

−8

−6

−4

−2

Kontaktsignal [V]

0 11 20 30 40 50

−8

−6

−3

Zeit t [µs]

Auslenkung Oszillator [µm]

Bild 6.9: Messdaten w¨

ahrend eines Stoßes (rot) am Oszillator: Kontaktspan-

nungsverlauf (oben) und Auslenkung der Oszillatorspitze (unten)

6Die Abtastfrequenz oder engl. Samplingrate wird in der Einheit samples per second

(S/s) angegeben.

6.1. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN AM

SCHWINGSTOSSPR ¨

UFSTAND

Paralleler Einsatz verschiedener Messmethoden

Die unterschiedlichen hier vorgestellten Messmethoden schließen sich gegen-

seitig nicht aus, sondern sind synchron nebeneinander einsetzbar. Allein die

spannungsliefernden Messverfahren machen sich gegenseitig Konkurrenz bei

der hochfrequenten zeitlichen Abtastung der Spannungssignale in den Os-

zilloskopeing¨

angen. Bei einer hohen Abtastrate k¨

onnen nicht alle vier Mess-

signale aufgezeichnet werden. Die Bilddaten der Kamera werden in einem

kamerainternen 40 GB großen RAM (Speicher) erfasst. Zur Synchronisati-

on aller Aufzeichnungen ist es jedoch n¨

otig, auch einen Triggerkanal mit

aufzuzeichnen, der so einen weiteren Datenfluss erzeugt. Die zeitsynchro-

ne Auswertung der Messdatenverl¨

aufe ergab, dass sich die unterschiedlichen

Methoden gegenseitig verifizieren k¨

onnen. Die Hochgeschwindigkeitsfilmauf-

nahmen haben gezeigt, dass die Annahme nichtbeschleunigter Kugelbewe-

gungen gerechtfertigt ist.

6.1.3 Stoßzahlen aus Labormessungen

Der Parametersatz des hier untersuchten Stoßschwingers 2. Ordnung um-

fasst die zwei Prozessparameter u0und Ω sowie die drei Systemparameter

h,α1und α2. Die Stoßzahlen α1und α2beschreiben die D¨

ampfungseffekte

w¨

ahrend der St¨

oße. Es ist nicht m¨

oglich, den Wert der Stoßzahlen allein

aus Kr¨

ummungsradien der Oberfl¨

achen, Oberfl¨

achenbeschaffenheit, Materi-

alzusammensetzung, H¨

arte und Temperatur der Stoßpartner zu berechnen,

vielmehr ist er in der Praxis auch von Stoß zu Stoß leicht schwankend. Aus

einer Serie von Messreihen, die f¨

ur die Flugweiten h= 3 mm und h= 5 mm

unter nach M¨

oglichkeit ansonsten konstanten Bedingungen durchgef¨

uhrt

wurden, wurden Abweichung und Mittelwert der Stoßzahl α2f¨

ur den Stoß

zwischen der frei fliegenden Kugel (”Stoßmasse“) und der eingespannten

Hammerbahn (”Prallplatte“) experimentell bestimmt.

Da f¨

ur die Stoßzahl der Zusammenhang (5.4) (Seite 37) gilt, waren die

Geschwindigkeiten vor und nach jedem Stoß zu bestimmen. Die Kugelge-

schwindigkeiten sind nicht direkt messbar. Sie wurden indirekt aus den

Laufzeiten zwischen dem Oszillatorstoß und dem Prallplattenstoß bestimmt.

Bild 6.10 gibt im oberen Diagramm die Verteilung der Stoßzahlen

aus 520 Messungen in einem Histogramm wieder. Das Maximum der

H¨

aufigkeitsverteilung liegt bei α2,max = 0.84, der Mittelwert bei α2,Mittelw. =

0.81. Physikalisch m¨

oglich und sinnvoll sind nur Stoßzahlen im Intervall [0,1].

4% der Messdaten liegen außerhalb dieses Intervalls im grau unterlegten Be-

reich. Eine Erkl¨

arung f¨

ur diese Messwerte liegt in der Natur des Messver-

fahrens. Liegen Stoßzahlen oberhalb von Eins, so l¨

asst sich mit Gewissheit

ein Laufzeitenverh¨

altnis gr¨

oßer Eins ableiten. Das heisst, die Kugel brauchte

f¨

ur den Hinweg zum Hammer weniger Zeit als f¨

ur den Weg zur¨

uck zum Os-

zillator. Das Laufzeitenverh¨

altnis mit dem Stoßgeschwindigkeitenverh¨

altnis

gleichzusetzen setzt aber eine konstante Geschwindigkeit der Kugel auf ihrem

Weg vom Oszillator zum Hammer und zur¨

uck voraus. Eine Zeitlupenanaly-

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

se mittels Hochgeschwindigkeitskameraaufnahme enth¨

ullte aber, dass diese

Voraussetzung nicht ausnahmslos G¨

ultigkeit beansprucht. Die Biegeschwin-

gungen der r¨

ohrchenf¨

ormigen Aufh¨

angung der Kugel ¨

uberlagern sich zur

Flugbewegung der Kugel. Dieser Effekt ist in Bild 6.8 kaum ersichtlich, ist

in der 2-Dimensionalit¨

at der roten Positionsspur in Bild 6.7 jedoch deutlich

erkennbar.

Bild 6.10 zeigt im unteren Diagramm die gleichen Messdaten wie im

Histogramm dar¨

uber. Hier ist zus¨

atzlich die Information enthalten, bei wel-

chen Geschwindigkeiten und bei welchen Flugabst¨

anden die Messdaten er-

zeugt wurden. Untersuchungen in der Literatur ist zu entnehmen, dass

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

gemessene Stoßzahl α2

Häufigkeit

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

Ankunftsgeschwindigkeit

an Hammerbahn [m/s]

gemessene Stoßzahl α2

+: h = 3mm

+: h = 5mm

Bild 6.10: Experimentelle Messung der Stoßzahl α2an der Hammerbahn

6.2. SIMULATION DES MODELLS 2. ORDNUNG

Stoßzahlen auch von der Stoßgeschwindigkeit abh¨

angig sind. Ein Zusam-

menhang zwischen Stoßzahl und Geschwindigkeit, ¨

uber den unter Mitein-

beziehung von Wellenausbreitungsvorg¨

angen im stabf¨

ormigen Stoßpartner

in [Seifried, Schiehlen, Eberhard 2004] berichtet wurde, kann in den erhal-

tenen Messwerten nicht beobachtet werden. Die Modelle, die in Kapitel 5

aufgestellt wurden, beschreiben die kinematischen Zusammenh¨

ange in den

Stoßzeitpunkten durch die Stoßzahlenhypothese nach Newton. Hier wird ei-

ne zeitlich konstante Stoßzahl angenommen, die sich f¨

ur einen Parametersatz

nicht ¨

andert. Dieses in der Literatur g¨

angige Vorgehen (siehe Unterkapitel

4.3) vernachl¨

assigt die in der Praxis beobachtete Streuung der Stoßzahlen-

werte. Abschnitt 6.2.3 wird die qualitative Auswirkung einer Stoßzahlen-

streuung auf den L¨

osungstypus betrachten.

6.2 Simulation des Modells 2. Ordnung

Dieses Unterkapitel betrachtet das Verhalten des Modells 2. Ordnung. Wir

werden Fixpunkte analytisch bestimmen und Zeitverl¨

aufe f¨

ur sowohl periodi-

sche als auch chaotische L¨

osungen sehen. Um die Parameterabh¨

angigkeit von

periodischen L¨

osungen zu verstehen, werden wir eine Bifurkationsanalyse f¨

die Systemparameter Flugabstand hsowie die Stoßzahl α1durchf¨

uhren.

6.2.1 Analytische Fixpunktbestimmung

Die Analyseergebnisse in Kapitel 7.1 werden zeigen, dass f¨

ur einen effizien-

ten Betrieb des Stoßbohrsystems ein periodisches Verhalten der Stoßmasse

angestrebt wird. Ein Fixpunkt der Abbildung, die das Modell 2. Ordnung

definiert, stellt eine periodische Bewegung der Stoßmasse dar, denn bei je-

dem Stoß wird das System wiederholt den gleichen Zustand annehmen. Dies

motiviert die Bestimmung von Fixpunkten.

Aufgrund der impliziten Natur der Abbildungsgleichung (5.9) ist es

nicht m¨

oglich, Fixpunkte von mehrperiodischen Bewegungen analytisch zu

bestimmen. Dies geschieht auf numerische Weise in Abschnitt 6.2.3 mittels

einer Bifurkationsanalyse. Im Folgenden wird gezeigt, dass Fixpunkte

[t∗, V ∗]Tzu 1-periodischen L¨

osungen analytisch gefunden werden k¨

onnen.

Eine Anmerkung sei vorab zur Angabe der ersten Komponente eines Zu-

standswertes gegeben: bisher war die erste Zustandskomponente die Stoßzeit

tk. Im Folgenden wird bei der Angabe eines Zustands oft anstelle der abso-

luten Stoßzeit tkderen relative Phasenlage φkin Bezug zur harmonischen

Anregung durch den Oszillator angegeben. Aus tkwird somit φkdurch die

Transformation

φk= (tkmod T)·Ω.(6.1)

Ein Zustand [φ∗, V ∗]Theißt genau dann Fixpunkt der Abbildung T, wenn

T[φ∗,V∗]T= [φ∗,V∗]T.

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

F¨

ur eine 1-periodische Bewegung folgt hieraus die Periodizit¨

atsbedingung

φ∗

k+1 =φ∗

k∧V∗

k+1 =V∗

k∀k∈N.

Wegen der Transformation (6.1) folgt f¨

ur die Zustandsgr¨

oße ”Stoßzeitpunkt“

t∗

k+1 =t∗

k+n T, n ∈N,

weil der Zeitverzug eines nachfolgenden Stoßes dem Vielfachen einer An-

regeperiodendauer T=2π

Ωgleichen muss. Damit gilt f¨

ur die Auslenkung

u(t) = u0cos Ωtder Oszillatorspitze

u(t∗

k) = u(t∗

k+1).

Unter Ausnutzung diesen Zusammenhangs folgt aus der Differenzenglei-

chung (5.6) des Stoßzeitpunktes die Flugdauer ∆t=t∗

k+1 −t∗

kzwischen

zwei aufeinanderfolgenden St¨

oßen

∆t=1 + 1

α2h−u0cos Ωt∗

V∗=n T . (6.2)

Mit der Differenzengleichung (5.7) ergibt sich f¨

ur die periodische Abflugge-

schwindigkeit die Bedingung

V∗=α1α2V∗−(1 + α1)u0Ω sin Ωt∗.(6.3)

Umstellen von Gleichung (6.2) und Gleichung (6.3) nach V∗und Gleichset-

zen f¨

uhrt auf h

= cos Ωt∗−bsin Ωt∗(6.4)

oder

1 = asin Ωt∗−arctan b−1(6.5)

mit

a=u0

h√1 + b2

b= 2πn 1 + α1

(1 −α1α2)(1 + 1

α2), α1,2∈(0,1) .

Aus Gleichung (6.5) folgt

Ωt∗= arcsin 1

a+ arctan 1

b(6.6)

und aus Gleichung (6.3) kann V∗berechnet werden:

V∗=−1 + α1

1−α1α2

u0Ω sin Ωt∗.(6.7)

Die Fixpunkte [t∗, V ∗]Tsind gefunden. Aufgrund der nicht-expliziten For-

mulierbarkeit der Abbildungsgleichungen ist es nicht m¨

oglich, die Stabilit¨

der Fixpunkte analytisch zu bestimmen. In den folgenden Abschnitten wird

sich mittels numerischer Zeitreihenintegration zeigen, dass f¨

ur bestimmte

Parameterbereiche einer der Fixpunkte stabil ist.

6.2. SIMULATION DES MODELLS 2. ORDNUNG

6.2.2 Periodische und chaotische L¨

osungen

In Abschnitt 5.1 wurde ein Modell 2. Ordnung aufgestellt, welches die Dy-

namik des zentralen Elements des Ultraschall-Stoßbohrers simulieren soll.

Genauer gesagt interessieren die Bewegungen der Kugel, die durch St¨

oße

des schwingenden Oszillators angeregt und durch Kontakt mit einer Prall-

platte in ihrem Aktionsradius begrenzt wird. Um einen ersten Eindruck von

der Bewegung der Kugel zu erhalten, wollen wir ihre Dynamik in diesem

Abschnitt simulieren.

Das Modell 2. Ordnung wurde mit dem Differenzengleichungssystem

(5.9) auf Seite 38 definiert. Der Zustandsvektor [tk+1, Vk+1]Twurde dort

iterativ aus einer Abbildung

tk+1

Vk+1 =Ttk

Vk (6.8)

erzeugt, wobei die Funktion T:R27→ R2nicht explizit definierbar ist. Um

diese zeitdiskreten Bewegungsgleichungen ¨

uber der Zeit zu ”integrieren“,

berechnet man eine Folge aufeinanderfolgender Zust¨

ande. Diese Folge von

Zustandspunkten ergibt einen sog. Orbit bzw. eine sog. Trajektorie. Man

beginnt die Iterationen bei einem Anfangszustand [t0, V0]Tbzw. [φ0, V0]T

und iteriert diesen Zustand ¨

uber die Abbildung (6.8).

Wir w¨

ahlen einen Parametersatz7

Oszillator– Stoßzahl an Flug-

Ampl. Kreisfrequenz Osz. Bohrer abstand

u0Ωα1α2h

10 µm 2π·20.19 kHz 0.6121 0.7879 5 mm

(6.9)

und iterieren eine Zeitreihe ausgehend von einer zuf¨

allig gew¨

ahlten Anfangs-

bedingung, etwa φ0

V0=0.265518 πrad

17.349077 m/s .

In Bild 6.11, obere H¨

alfte, ist der so entstandene Bewegungsverlauf ge-

zeichnet. Die iterierten Zustandswerte geben die Stoßzeiten tkbzw. die Ab-

fluggeschwindigkeiten Vkder Stoßmasse am Oszillator wieder, der in Bild

6.11 am unteren Bildrand in blauer Farbe dargestellt ist. Die kontinuierli-

che Flugbahn wurde unter Annahme beschleunigungsfreier Bewegung, also

konstanter Geschwindigkeit aus der Geschwindigkeit Vkfortgesetzt bis zum

Erreichen der Prallplatte (gr¨

une Farbe, oberer Bildrand) im Abstand von

h= 5 mm. Mit der Stoßgleichung (5.4) wird die Abfluggeschwindigkeit Uk+1

7Flugabstand, Anregefrequenz und Anregeamplitude wurden entsprechend den in La-

borversuchen eingestellten Werten gew¨

ahlt. Die Stoßzahlen liegen im Bereich der Werte,

die im vorigen Kapitel experimentell ermittelt wurden und somit f¨

ur den Pr¨

ufstand rea-

listisch sind.

Die hohe Genauigkeit, mit der die Stoßzahlen und die Anfangsbedingungen hier angege-

ben wurden, ist f¨

ur die Praxis wenig sinnvoll, f¨

ur die rein mathematische Untersuchung

und die Erzeugung von Periodizit¨

at hier jedoch zwingend notwendig und gilt auch f¨

ur die

ubrigen Parameter.

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

0 0.05 0.1 0.15

Position

0 0.05 0.1 0.15

Position

Zeit t [s]

Bild 6.11: Zeitreihe aus dem Modell 2. Ordnung; oben: chaotische Bewe-

gung; unten: periodische Bewegung —mit chaotischer Bewegung - - - zum

Vergleich (Das rasche Auseinanderstreben der zwei Zeitverl¨

aufe mit nahezu

identischem Anfang, d. h. das Entstehen der chaotischen L¨

osung ist erkenn-

bar.)

nach dem Stoß an der Prallplatte berechnet und ebenfalls als Fluggerade

in den Zeitverlauf eingezeichnet. Aus dem Zeitverlauf l¨

asst sich eine erste

Vorstellung der simulierten Bewegung der Kugel f¨

ur einen kleinen Zeitraum

und f¨

ur diesen einen Parametersatz und die speziellen Anfangsbedingun-

gen gewinnen. Eine Regelm¨

aßigkeit der Bewegung l¨

asst sich nicht erkennen.

Da sich diese Behauptung durch bloßes Betrachten eines Zeitverlaufes noch

nicht mit Sicherheit aufstellen l¨

asst, werden wir im n¨

achsten Abschnitt in

einer Bifurkationsanalyse eine andere Sichtweise auf die Art der Bewegung

bekommen.

Vorher wollen wir mit dem gleichen Parametersatz eine weitere Zeitreihe

bilden, die von anderen Anfangsbedindungen ausgeht. Zur Wahl der An-

fangswerte ¨

ubernehmen wir die obige Startbedingung und erh¨

ohen lediglich

die Anfangsgeschwindigkeit in der letzten bezifferten Stelle:

φ0

V0=0.265518 πrad

17.349078 m/s .

Das Resultat der Bewegung, ausgehend von den vorgegebenen Bedingungen,

ist in Bild 6.11, untere H¨

alfte, dargestellt. Augenscheinlich stellt sich nach

zwei Oszillatorst¨

oßen eine ein-periodische Bewegung ein8. Tats¨

achlich kann

man zeigen, dass die Fixpunktbedingung

Tφ∗

V∗=φ∗

V∗von φ∗

V∗=1.49542278921781 πrad

3.94968938856343 m/s 

erf¨

ullt wird. Die Periodendauer der Stoßbewegung ist hier 2.87 ms bzw. ent-

spricht einer Frequenz von 1/2.87 ms = 348 Oszillatorst¨

oßen pro Sekunde.

8Die Startwerte zu der periodischen L¨

osung mit einer — verglichen mit der Fixpunkt-

geschwindigkeit — hohen Geschwindigkeit von 17 m/s wurden f¨

ur dieses Beispiel ermit-

telt, indem ein L¨

osungsalgorithmus f¨

ur die inverse Abbildungsvorschrift T−1aufgestellt

und programmiert wurde. Ausgehend von dem zu diesem Zeitpunkt bereits bekannten

Fixpunkt als Startbedingung wurden auf der instabilen Mannigfaltigkeit von Teinige

Schritte r¨

uckw¨

arts iteriert.

6.2. SIMULATION DES MODELLS 2. ORDNUNG

Plausibel erscheint dieses Ergebnis im Vergleich mit Untersuchungen

des Ultraschall-Stoßbohrers am Jet Propulsion Laboratory in Pasade-

na: die Stoßfrequenz liegt im Bereich, der dort festgestellt wurde, siehe

[Bar-Cohen et al. 2001a].

Bei exakt gleich gehaltenen Parametern f¨

uhren zwei sich minimal un-

terscheidende Anfangsbedingungen nach kurzer Zeit auf zwei voneinander

verschiedene L¨

osungen. Diese f¨

ur deterministisch chaotische Systeme typi-

sche Eigenschaft weist auf mindestens zwei koexistierende L¨

osungen hin,

die nebeneinander existieren [Strogatz 1994]. Jede der beiden m¨

oglichen

L¨

osungsformen besitzt ihr eigenes Einzugsgebiet von Anfangsbedingungen.

Wie sich die Einzugsgebiete ¨

uber den Zustandsraum erstrecken, werden wir

in Kapitel 7.1 untersuchen.

Die rasche Separation der beiden dicht beieinander beginnenden Trajek-

torien aus Bild 6.11 verdeutlicht Bild 6.12, in dem die periodische L¨

osung

(durchgezogen —) und die chaotische (gestrichelt ---) in das selbe Ach-

sensystem ¨

ubereinander gelegt wurden. Der erste Vergr¨

oßerungsausschnitt

a hebt den dritten Stoß, der bei einer Phasenlage des Oszillators von

etwa φk=1.355 πrad stattfindet, hervor. Die periodische L¨

osung erreicht

den Oszillator wenig sp¨

ater, was der Oszillatormaximalgeschwindigkeit

(bei Phase 1.5π) geringf¨

ugig n¨

aher liegt. Daher ist der Impuls auf die

Kugel, die sich auf der chaotischen Flugbahn bewegt, geringer. So erreicht

sie den Oszillator im n¨

achsten Zyklus bereits deutlich sp¨

ater als die

periodische Flugbahn (Ausschnitt b ) und hinkt der Periodizit¨

at einen

weiteren Stoß sp¨

ater bereits eine dreiviertel Phase hinterher (Ausschnitt

c ). Die Oszillatorgeschwindigkeit ist in diesem Stoßmoment aber nahezu

Null, genau genommen sogar negativ, wodurch die Abfluggeschwindigkeit

sogar leicht gebremst wird. Dies verursacht die lange sechste Flugdauer

und begr¨

undet die Irregularit¨

at der weiteren Bewegung, siehe Bild 6.11 oben.

0 0.005 0.01 0.015 0.02

x 10−3

Position [m]

Zeit

t [s]

−1

x 10−5

−1

x 10−5

−1

1x 10−6

Position [m]

Bild 6.12: Transiente Phase der periodischen Zeitreihe —mit ¨

uberlagerter

chaotischer L¨

osung - - - ; darunter drei Detailvergr¨

oßerungen.

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

6.2.3 Bifurkationsanalyse

Bevor wir die Dynamik des Modells 2. Ordnung detailliert unter Anwendung

der mengenorientierten Methoden f¨

ur einen ausgew¨

ahlten Parametersatz

im folgenden Kapitel 7analysieren und interpretieren werden, soll dieser

Abschnitt einen ¨

Uberblick ¨

uber die Abh¨

angigkeit der Dynamik von den

Parametern des Modells geben. Wie wir sp¨

ater genauer sehen werden,

ist die am h¨

aufigsten anzutreffende Form der Bewegung eine irregul¨

are,

d. h. chaotische. Unter gewissen Parameterkonstellationen koexistieren

auch chaotische und periodische Bewegungen von unterschiedlicher Peri-

odizit¨

atszahl. Im vorigen Abschnitt wurde ein solcher Parametersatz (siehe

(6.9)) gew¨

ahlt und die sensible Abh¨

angigkeit des L¨

osungstypus von den

Anfangsbedingungen anhand eines Beispiels gezeigt. Wie verh¨

alt sich das

System aber, wenn sich Prozess- oder Systemparameter ¨

andern? In welchen

Parameterbereichen existieren periodische L¨

osungen neben chaotischen?

Gibt es Parameter, f¨

ur die periodisches Verhalten nicht m¨

oglich ist? Wie

verschieben sich die Fixpunkte periodischer L¨

osungen, wenn sich ein Para-

meter ver¨

andert? Diesen Fragen soll in diesem Abschnitt auf numerischem

Wege nachgegangen werden.

4.9995 5 5.0005

x 10−3

3.9488

3.949

3.9492

3.9494

3.9496

3.9498

3.95

h [m]

V [m/s]

4.9995 5 5.0005

x 10−3

1.49

1.491

1.492

1.493

1.494

1.495

1.496

1.497

1.498

1.499

1.5

h [m]

φ [π rad]

Bild 6.13: Bifurkationsdiagramm mit Bifurkationsparameter h: erkennbar ist

die Kaskade von Pitchfork-Bifurkationen f¨

ur minimal abnehmendes h. Der

Ausschnitt zeigt einen Bereich von nur ca. 1µm Breite!

Die Verzweigungs– oder Bifurkationsanalyse entschl¨

usselt die Exis-

tenz von periodischer versus chaotischer Dynamik in Abh¨

angigkeit eines

Prozess- oder Systemparameters. Man erstellt ein sogenanntes Bifurkations-

diagramm, in welches man eine (beliebig) gew¨

ahlte Zustandsvariable ¨

uber

6.2. SIMULATION DES MODELLS 2. ORDNUNG

den interessierenden Parameter auftr¨

agt, dessen Abh¨

angigkeit untersucht

werden soll (siehe auch Abschnitt 4.1.6). Die Wahl der Zustandsvariablen ist

weitestgehend frei. Die Abszisse9des Diagramms wird in feine Parameter-

Schritte unterteilt. F¨

ur jeden Parameterwert wird daraufhin die Trakjektorie

von einem Anfangszustand aus integriert. Nachdem transiente Einschwing-

vorg¨

ange abgeklungen sind, wertet man den Systemzustand xwiederholt an

einzelnen Zeitpunkten aus, die im Abstand einer Periodendauer Taufeinan-

der folgen, wobei t0das gesch¨

atzte Ende der Einschwingzeit kennzeichnet:

x(t0),x(t0+T),x(t0+ 2T),x(t0+ 3T), . . . .

Etwa 100 Zustandspunkte ermittelt man so. Die Werte der gew¨

ahlten

Zustandsvariablen aus jedem der Zustandspunkte plottet man als einzel-

ne Punkte in das Diagramm ¨

uber die Stelle des Systemparameters. Falls

sich das System bei diesem Systemparameter 1-periodisch verh¨

alt, so wird

die Zustandsvariable nach jeder Periode Twieder den gleichen Wert an-

nehmen. Im Bifurkationsdiagramm entsteht nur ein Punkt. Liegt eine 2-

periodische L¨

osung vor, so werden zwei diskrete Punkte entstehen, da das

System erst wieder nach stets 2 Periodendauern Tzum ersten Zustands-

punkt zur¨

uckkehrt. Findet dagegen chaotisches Verhalten statt, so liegen

die Punkte verstreut10. Nachdem f¨

ur den festgehaltenen Parameter die etwa

100 Zustandspunkte geplottet wurden, r¨

uckt man ihn ein kleines Inkrement

oder Dekrement11 weiter und wiederholt den Vorgang.

Bei zeitkontinuierlichen, nichtautonomen12 Systemen bietet sich bei periodi-

scher Anregung als Zeitmaß Tdie Wahl der Anregeperiode an, zu dem die

integrierte Trajektorie wiederholt ausgewertet wird.

Im Falle des zeitdiskreten Modells liegt bereits eine Abbildungsvorschrift

vor, die von einem Zustandspunkt in einem diskreten Schritt zum n¨

achsten

Punkt abbildet. Diese Schrittweite wird als ein Periodenzeitschritt (T)

angesehen. Genauso wie beim zeitkontinuierlichen System lassen sich so

1-periodische von 2-periodischen von mehr-periodischen von chaotischen

(”unendlich-periodischen“) Attraktoren unterscheiden.

Bedingt durch die komplizierte Dynamik, die nichtglatte Stoßsysteme

aufweisen, koexistieren oft mehrere Attraktoren nebeneinander. Die Analy-

se des vorliegenden Systems zeigte, dass f¨

ur alle Parameterkombinationen

stets ein chaotischer Attraktor existiert. Dies erzeugt eine Schwierigkeit bei

9Abszisse: (lateinisch: die abgeschnittene Linie) horizontale Achse eines Koordinaten-

systems

10In einer Poincar´e-Abbildung, in der sehr viele solcher Zustandspunkte im Zeitabstand

Tstroboskop¨

ahnlich in ein Zustandsdiagramm eingezeichnet werden, erkennt man eine

seltsame Struktur, die den Determinismus, also die Vorherbestimmheit, des nur ober-

fl¨

achlich zuf¨

allig wirkenden Chaos nachweist. Diese Struktur nennt man ”seltsamen At-

traktor“.

11Das Inkrement: (lateinisch ”Zuwachs“) Betrag, um den eine Gr¨

oße zunimmt. Das

Dekrement: Verminderung.

12Ein nichtautonomes Differentialgleichungssystem verh¨

alt sich von der Zeit abh¨

angig,

meist durch einen zeitabh¨

angigen Erregerterm auf der rechten Seite. Beispiel: rechte Seite

=u0cos Ωt .

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

1.49 1.495 1.5

3.949

3.9492

3.9494

3.9496

φ [π rad]

V [m/s]

1.49 1.495 1.5

3.949

3.9492

3.9494

3.9496

φ [π rad]

V [m/s]

Bild 6.14: Trajektorien f¨

ur mehrperiodische L¨

osungen; links: 2-periodisch

(h= 4.9996 mm), rechts: 4-periodisch (h= 4.99949 mm)

der Bestimmung der Bifurkationen von periodischen L¨

osungen: es ist not-

wendig, dass die Anfangsbedingungen zum Nachweis periodischer L¨

osungen

stets innerhalb des Einzugsgebietes der periodischen L¨

osungen liegen. Mit

weiterr¨

uckendem Bifurkationsparameter ver¨

andert sich auch das Einzugs-

gebiet geringf¨

ugig. F¨

ur das vorliegende System wurde daher eine Strategie

implementiert, die als Anfangsbedingung den Fixpunkt aus der Rechnung

mit dem vorigen Parameter verwendet. Bei n-periodischen L¨

osungen (n≥2)

wird derjenige der nFixpunkte mit dem betragsm¨

aßig gr¨

oßten Zahlenwert

im Geschwindigkeitszustand gew¨

ahlt, da dieser maximal weit entfernt vom

chaotischen Attraktor liegt, der typischerweise in Bereichen kleinerer Ge-

schwindigkeiten residiert. Durch dieses Vorgehen kann bei gen¨

ugend kleiner

Parameterschrittweite nahezu sichergestellt werden, dass die Anfangsbedin-

gungen mit dem Einzugsgebiet der periodischen L¨

osungen mitwandern.

Bifurkationsparameter h

Im vorigen Abschnitt 6.2.2 wurde eine 1-periodische L¨

osung bei einem Flug-

abstand von h= 5 mm mit dem Fixpunkt

φ∗

V∗=1.49542278921781 πrad

3.94968938856343 m/s 

gefunden. Im Labor l¨

asst sich der Flugabstand zwar einstellen, jedoch ist dies

nur mit begrenzter Pr¨

azision m¨

oglich. In der folgenden Bifurkationsanalyse

soll daher untersucht werden, welchen Einfluss hauf die Lage und die Art

des Fixpunktes hat. Bild 6.13 zeigt zwei Bifurkationsdiagramme mit dem Bi-

furkationsparameter h. Das linke Diagramm wurde f¨

ur die Zustandsvariable

Vk, das rechte f¨

ur die Zustandsvariable φkerzeugt. F¨

ur den Parameterwert

h= 5 mm finden wir den zuvor gefundenen Fixpunkt [φk, Vk]Tin den Dia-

grammen wieder. Ausgehend von h= 5 mm wurde der Flugabstand in feinen

Schritten zun¨

achst erh¨

oht, dann verringert. W¨

achst han, so steigt die Fix-

punktgeschwindigkeit, und die Phasenlage des Fixpunktes n¨

ahert sich von

unten dem Oszillatorgeschwindigkeitsmaximum bei φk= 3/2πrad. Die pe-

riodische L¨

osung existiert mit Periode eins weiterhin, lediglich der Fixpunkt

6.2. SIMULATION DES MODELLS 2. ORDNUNG

4.9995 5 5.0005

x 10−3

1.492

1.494

1.496

1.498

1.5

h [m]

φ [π rad]

4.9995 5 5.0005

x 10−3

3.949

3.9495

3.95

h [m]

V [m/s]

1.4921.4941.4961.498 1.5

3.9490

3.9492

3.9494

3.9496

3.9498

3.9500

φ [π rad]

V [m/s]

Bild 6.15: Ortskurve des Bifurkationsdiagramms f¨

ur den Laufparameter h

verschiebt sich mit steigendem hetwas im Zustandsraum. Sobald der Pa-

rameter jedoch den Flugabstand von 5.00066 mm ¨

ubersteigt, verschwindet

die stabile Fixpunktl¨

osung pl¨

otzlich und weicht der alleine dominierenden

chaotischen L¨

osung. F¨

ur h > 5.00066 mm breitet sich die Punktewolke, die

das Chaos beschreibt, bei Geschwindigkeitszust¨

anden, die unterhalb des ge-

zeigten Ausschnitts im Bild links liegen und sind im Diagramm daher nicht

sichtbar.

Verringert man den Parameter ausgehend von der 1-periodischen L¨

osung

bei h= 5 mm schrittweise, so passiert ¨

Uberraschendes bei h≈4.9998 mm:

der Ast periodischer L¨

osungen verzweigt sich. Der Ast vormals stabiler

1-periodischer L¨

osungen wechselt seine Stabilit¨

at hin zu einem weiterlaufen-

den Ast von instabilen Fixpunkten. Da die instabilen L¨

osungen durch das

beschriebene Vorgehen nicht erhalten werden, wird der Ast 1-periodischer

L¨

osungen im Diagramm nicht fortgesetzt. Wie aus dem Nichts verzweigen

sich aus dem Ast 1-periodischer L¨

osungen zwei Zweige. Sie enth¨

ullen die

Existenz 2-periodischer L¨

osungen. Dieses Ph¨

anomen nennt man Perioden-

verdoppelung bzw. Heugabel-Verzweigung (engl. pitchfork bifurkation).

Startet das System von einem Anfangszustand aus dem Einzugsbereich

der 2-periodischen L¨

osung, so konvergiert die Reihe in wenigen Schritten

gegen die zwei Fixpunkte. Diesen Vorgang zeigt die Trajektorie in Bild 6.14,

linke H¨

alfte. Im Zustandsdiagramm ist die Reihenentwicklung als Punkt-

Reihe Vk¨

uber φkeingezeichnet. Die Ziffer ”1“ markiert die Startbedingung,

von der aus etwa 15 Schritte iteriert wurden. Die Trajektorie der ersten

transienten St¨

oße (grau gestrichelt) n¨

ahert sich etwa ab dem 6. Schritt der

station¨

aren, stabilen periodischen L¨

osung. Die periodische Trajektorie, die

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

0.61200 0.61205 0.61210

3.9489

3.949

3.9491

3.9492

3.9493

3.9494

3.9495

3.9496

α1

V [m/s]

0.61200 0.61205 0.61210

1.49

1.492

1.494

1.496

1.498

1.5

α1

φ [π rad]

Bild 6.16: Bifurkationsdiagramm f¨

ur Parameter α1

zwischen den zwei gelb hinterlegten Fixpunkten hin- und herspringt, ist

t¨

urkis gef¨

arbt. Weiteres Verringern von hf¨

uhrt zu weiteren Periodenver-

doppelungen. Bild 6.14, rechte H¨

alfte, zeigt die transiente Trajektorie hin

zur stabilen 4-periodischen L¨

osung.

Mit weiterer schrittweiser Verkleinerung des Flugabstands ergibt sich

eine Kaskade immer ¨

ofter auftretender Periodenverdoppelungen, die schließ-

lich f¨

ur etwa h < 4.9994 mm in Chaos m¨

unden.

Die Darstellungsweise in den Bifurkationsdiagrammen in Bild 6.13

bew¨

ahrt sich, um den Grad der Periodizit¨

at der L¨

osungen zu erkennen. In

Bild 6.15 ist die Ortskurve der periodischen Fixpunkte mit dem Laufpara-

meter hgezeigt, die der Darstellung im Bifurkationsdiagramm entspricht.

Farben kennzeichnen den Grad der Periodizit¨

at von 1-periodisch (blau) bis

16-periodisch (lila). Ablesen l¨

asst sich hier leicht, dass die Bewegungsform

mit gr¨

oßter Abfluggeschwindigkeit Vdie 1-periodische Bewegung ist.

Bifurkationsparameter α1

In einer weiteren Bifurkationsanalyse wollen wir die Periodizit¨

atsexistenz be-

leuchten, wenn eine der Stoßzahlen variiert wird. In Unterkapitel 6.1 sahen

wir, dass die Stoßzahlen in der Praxis schwankende Gr¨

oßen sind. Dies mo-

tiviert das Interesse der Wahl von α1f¨

ur die Parameterstudie. Mit dem fol-

genden Parametersatz, f¨

ur den wir im vorigen Abschnitt Periode-4-Verhalten

6.3. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN AM STOSSBOHRER

sahen, beginnen wir die Variation von α1= 0.6121 aus:

Oszillator– Stoßzahl an Flug-

Ampl. Frequenz Oszillator Bohrer abstand

u0f α1α2h

10 µm 20.19 kHz [0.6120 0.61211] 0.7879 4.9995 mm

(6.10)

Bild 6.16 zeigt das Bifurkationsdiagramm f¨

ur α1, Bild 4.1 hebt mit einer

200-Schritt-Aufl¨

osung des rechten Randes die Periodenverdoppelungskaska-

de hervor. Je h¨

oher α1, desto geringer ist die Systemd¨

ampfung. Entspre-

chendes l¨

asst sich aus den Diagrammen ablesen: Bewegungen mit großen

Stoßgeschwindigkeiten ergeben sich f¨

ur gr¨

oßere Stoßzahlen. Jenseits von

α1= 0.61211 herrscht jedoch wieder Chaos vor. Der Bereich, in dem die

Stoßzahl variieren kann, um Periodizit¨

at zu erm¨

oglichen, ist weit schmaler

als die Streuung der Werte in der Praxis. Dies erkl¨

art, warum periodische

L¨

osungen in der Praxis so gut wie nie beobachtet werden.

6.3 Experimentelle Untersuchungen am

Stoßbohrer

Im bisherigen Teil dieses Kapitels wurde das dynamische Verhalten der zen-

tralen Komponente des Ultraschall-Stoßbohrers — der freien Stoßmasse —

untersucht. Der Bohrer, der als Gegenprallelement f¨

ur die Stoßmasse auf der

einen Seite fungiert, wurde festgehalten und durch eine Hammerbahn ersetzt.

Der Antrieb des Bohrers — der Ultraschall-Transducer, auch Oszillator ge-

nannt — wurde mit einem konstanten Abstand zum Gegenprallelement im

Pr¨

ufstand eingespannt. Die Auswirkungen des in Schwingungsrichtung frei

beweglichen Oszillators auf die dynamischen Eigenschaften des Bohrsystems

werden in diesem Unterkapitel experimentell und im folgenden simulierend

untersucht.

6.3.1 Pr¨

ufstand f¨

ur Messungen am Stoßbohrer

Wie im bisherigen Pr¨

ufstand stellt die F¨

uhrung der Stoßmasse eine Schwie-

rigkeit dar, denn sie soll die Kugel in Flugrichtung nicht beeinflussen, quer

dazu jedoch begrenzen. Bild 6.2 auf Seite 55 zeigt den Aufbau eines Stoß-

bohrers, bei dem als Stoßmasse eine runde Scheibe mit zentralem Loch

zur F¨

uhrung gew¨

ahlt wurde. Ein F¨

uhrungsstab in L¨

angsrichtung verhindert

Querbewegungen der Scheibe. Die Reibung an seinem Umfang f¨

uhrt jedoch

zum Verkanten und Taumeln der Scheibe.

Eine verbesserte Version der F¨

uhrung wurde von Dipl.-Ing. Chris-

tian Potthast aufgebaut, zu sehen auf den Bildern 6.17 und 6.18

[Potthast et al. 2007a]. Als Stoßmasse bewegt sich eine Stahlkugel mit

Durchmesser 8 mm in einer Aluminiumh¨

ulse mit geringf¨

ugig gr¨

oßerem

Durchmesser. Eine Aussparung in der H¨

ulse erm¨

oglicht das optische Er-

fassen der Kugelposition. W¨

ahrend der Messung sitzt der Bohrer auf einem

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

Bild 6.17: Gesamter Pr¨

ufstand mit Linearf¨

uhrung f¨

ur den Stoßbohrer;

Pr¨

ufstandskonzeption und Bild: C. Potthast

Transducer FreeMass DrillStem

Bild 6.18: Stoßbohrer aus Pr¨

ufstand: Oszillator, Kugel und Bohrer mit

F¨

uhrungsh¨

ulse; Bild: C. Potthast

Kraftmesser, auf dem er in vertikaler Richtung nicht fixiert ist. F¨

ur die Mess-

datenaufzeichnung wurde eine Hochgeschwindigkeitskamera verwendet, die

mit einer Frequenz von 9000 Bildern pro Sekunde Photographien speicherte.

6.4. SIMULATION DES MODELLS 4. ORDNUNG

6.3.2 Messergebnisse am Stoßbohrer

Die Messung am Stoßbohrer mit dem oben beschrieben Pr¨

ufstand wurde

von Dipl.-Ing. Christian Potthast mit dem Parametersatz

Oszillator– Kugel– Anpress– Gravitations-

Ampl. Frequenz Masse Masse Kraft Beschl.

u0f M m FAg

5µm 20.19 kHz 264.7 g 2.1 g 3 N 9.81 m/s2

(6.11)

durchgef¨

uhrt. Einen Ausschnitt von 63 ms der Hochgeschwindigkeitskamera-

auswertung zeigt Bild 6.19. Sichtbar ist eine Starrk¨

orperbewegung des Boh-

rers (gr¨

un), der seinerseits St¨

oße mit dem Untergrund (im Pr¨

ufstand war

dies ein Kraftsensor) ausf¨

uhrt.

0.57 0.58 0.59 0.6 0.61 0.62

0.5

1.5

2.5

3.5

Position [mm]

Zeit t [s]

Bild 6.19: Gemessene Bewegung von Oszillator,Kugel und Bohrer

6.4 Simulation des Modells 4. Ordnung

In den Unterkapiteln 6.1 und 6.2 wurden die m¨

oglichen Bewegungsabl¨

aufe

der Stoßmasse (Kugel) im Inneren des Bohrsystems mithilfe eines auf zwei

Zustandsvariablen reduzierten Grundmodells studiert. In Unterkapitel 5.2

wurde durch Verfeinern des vorigen Modells die Fesselung des Oszillators

ans Inertialsystem aufgehoben: wie die Stoßmasse kann er sich frei bewegen.

Auch wurde der Einfluss der Schwerkraft und einer Anpresskraft mit in das

Modell aufgenommen. Diesen Aspekten wird in einer Erweiterung des vor-

mals untersuchten Modells 2. Ordnung Rechnung getragen. Im Gegensatz

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

zu diesem Modell ist es von Ordnung vier und simuliert ebenfalls diskrete

Zeitschritte. Zus¨

atzlich zu den beiden Zustandsgr¨

oßen des ersten Modells

(Stoßphase und Abfluggeschwindigkeit der Kugel) ber¨

ucksichtigt das erwei-

terte Modell die Geschwindigkeit und Position des beweglichen Oszillators

im Zeitpunkt jedes Stoßes zwischen Stoßmasse und Oszillator.

Durch eine einfache Zeitreihensimulation ist es wie zuvor hilfreich und

n¨

utzlich, sich zun¨

achst einen ¨

Uberblick ¨

uber die zu studierende Dynamik zu

machen. Hierzu iterieren wir das Modell 4. Ordnung ausgehend von einem

festgelegten Anfangszustand. Die Bewegungen von Stoßmasse und Oszillator

halten wir in einer Zeitreihendarstellung fest, wie auch schon auf Seite 66 in

Bild 6.11 f¨

ur das reduzierte Modell 2. Ordnung. Die Gleichungen (5.43) bis

(5.49) iterativ angewendet liefern xk, ˙xkund ˙ykjeweils zu den Stoßzeitpunk-

ten tk. Die Positionen des Oszillatorschwerpunktes x(t), der Oszillatorspitze

u(t) und der Stoßmasse y(t) in kontinuierlicher Zeit zwischen den Stoßer-

eignissen werden aus den Anfangswertprobleml¨

osungen (5.24), (5.26) und

(5.34) berechnet.

F¨

ur die Simulationen werden der Parametersatz

Oszillator– Stoßzahl an Massen– Beschleunigung aus

Ampl. Frequ. Osz. Bohrer verh¨

altn. Anpresskraft Gravitat.

u0f α1α2M/m =µ FA/M g

15 µm20.19 0.5 0.6

264.7 g

2.0 g

3 N

0.2647 kg 9.81 m/s2

kHz = 132 = 11 m/s2

sowie als Anfangsbedingungen f¨

ur die Zustandsvariablen

Startgeschwindigkeit Startpos.

Startzeit Stoßmasse Oszillator

t0˙y+

0˙x+

0x0

37.7 µs -3.33 m/s 0 m/s 1.42 mm

benutzt.

Die erste halbe Sekunde der mit den angegebenen Parametern und

Startbedingungen simulierten Zeitreihe zeigt Bild 6.20. Im unteren Teil der

Zeitreihe ist die Entwicklung der Stoßfrequenzen aufgetragen, d. h. ¨

uber jede

Stoßzeit ist der Kehrwert der Dauer bis zum n¨

achsten Stoß aufgetragen. Die

gepunktete Linie (···) bei 1.3 kHz kennzeichnet die mittlere Stoßfrequenz,

wobei die (extrem kurzen) Flugdauern von Mehrfachst¨

oßen hier und auch

im Diagramm nicht auftauchen.

Das Histogramm in Bild 6.21 zeigt die H¨

aufigkeitsverteilung der Fre-

quenzen: die meisten St¨

oße folgen mit einer Frequenz von 500 Hz aufeinan-

der. An der Lage der lokalen Maxima der Stoßfrequenzverteilung unter der

Zeitreihendarstellung erkennen wir, dass dichte Stoßfolgen auftreten, wenn

die Oszillatorlage ein lokales Minimum einnimmt, bedingt durch minimale

Flugwege f¨

ur die Stoßmasse.

6.4. SIMULATION DES MODELLS 4. ORDNUNG

Positionen [mm]

Bohrer Flugmasse Oszillator

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

102

103

104

Zeit t [s]

Stoßfre−

quenz [Hz]

Bild 6.20: Zeitreihensimulation (oben): Oszillator,Kugel und feststehender

Bohrer; Stoßfrequenzen (unten) mit Markierung (···) der mittleren Stoßfre-

quenz

Detaillierteren Einblick in die Flugbahnen der Kugelmasse zeigen die Bil-

der 6.22 bis 6.24. Bild 6.22 hebt einen Ausschnitt von 70 ms aus der iterierten

Zeitreihe hervor, Bilder 6.23 und 6.24 zeigen Detailausschnitte aus Bild 6.22.

Lilafarbene Abschnitte der Fluggeraden markieren Mehrfachst¨

oße der Kugel

am Oszillator. Mehrfachst¨

oße treten auf, wenn die Kugel nach ihrem Oszilla-

torstoß noch weiter in dessen Richtung fliegt oder wenn sie sich zu langsam

in Richtung auf den Bohrer bewegt und von der gleichen Schwingphase des

Oszillators eingeholt wird. Selten kommt es vor, dass die Kugel mit geringer

Geschwindigkeit den Schwingradius des Oszillators verl¨

asst, viele Perioden-

dauern sp¨

ater vom Oszillator aber ein weiteres Mal getroffen wird. Auch

diese M¨

oglichkeit muss im Modell ber¨

ucksichtigt werden.

Vereinzelt kommt es zu Mehrfachst¨

oßen am Bohrer. Sie mathematisch

zu beschreiben f¨

uhrt auf das Paradoxon von Zeno, wenn die Kugel unend-

lich oft auf den Bohrer trifft, bevor sie wieder in Kontakt mit dem Oszillator

kommt.13 Trifft der Oszillator erst nach dieser endlichen Zeit unendlich vieler

13Eines von Zeno von Eleas vier Paradoxen von Zeit und Bewegung war, dass Zeit

unendlich unterteilbar ist. Die Dichotomie besagt: Um das Intervall [0,1] zu durchschrei-

ten, muss zun¨

achst einmal die erste H¨

alfte dieser Distanz, also das Intervall [0,1

2] tra-

versiert werden. Hierzu ist es jedoch wiederum notwendig, dessen erste H¨

alfte, sprich

das Intervall [0,1

4] zu durchmessen, usw. Folglich sind zun¨

achst unendlich viele Reise-

Einheiten notwendig, um sich ¨

uberhaupt vom Start zu entfernen. Dies ist in endlicher

Zeit nicht m¨

oglich — daher kann der Reisende nie am Ziel ankommen. Aristoteles er-

kl¨

arte, Achilles k¨

onne die Schildkr¨

ote niemals einholen, die 10m vor ihm starte und 10

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Stossfrequenzen [kHz]

Bild 6.21: Histogramm–Verteilung der Stoßfrequenzen: die typische Stoßfre-

quenz liegt bei 500 Hz.

St¨

oße auf die dann ruhende Kugel, so kann er sie gem¨

aß dem in Unterkapitel

5.1 aufgestellten Starrk¨

orpermodell nie mehr in Bewegung versetzen. Labor-

versuche zeigen jedoch, dass dies m¨

oglich ist. F¨

ur diese Situation versagt

das Modell folglich — es muss auf ein elastostatisches Modell gewechselt

werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde in solchen F¨

allen — anstelle einer

Anpassung des Modells — von weiteren Iterationen abgesehen.

6.5 Vergleich von Modellen und Messungen

Im Sichtvergleich der Zeitsimulation in Bild 6.22 mit dem Ausschnitt aus

der Messaufzeichnung in Bild 6.19 l¨

asst sich eine hohe ¨

Ubereinstimmung

mal langsamer sei. Denn nachdem Achilles die ersten 10 m gelaufen war, hatte sich die

Schildkr¨

ote um 1m weiterbewegt. In der Zeit, die Achilles aber f¨

ur diesen Meter ge-

braucht hatte, war die Schildkr¨

ote um 1

10 m voran gekrochen, usw.. Die unendlich vie-

len Etappen, die Achilles zur¨

ucklegen muss, addieren sich jedoch auf nicht mehr als

101+ 100+ 10−1+ 10−2+... =P∞

−11

10 k= 10 + 1

1−1

. Kommen wir auf die frei

fliegende Kugel zur¨

uck, f¨

ur die Whitrow die gleiche Dichotomie(”Zweiteilung“) formu-

lierte: Angenommen, die Kugel pralle mit der Geschwindigkeit v0in vertikaler Richtung

vom feststehenden Bohrer ab und beschleunigt, ohne den Oszillator zu treffen, mit der

Erdbeschleunigung gwieder zum Bohrer zur¨

uck, so wird diese Flugdauer 2v0

gdauern. F¨

den n¨

achsten Stoß betr¨

agt die Abprallgeschwindigkeit nur noch v0·α2, usw. Die Kugel

wird unendlich viele sich verkleinernde und dichter folgende St¨

oße mit der Prallplatte

aus¨

uben, also scheinbar nie zur Ruhe kommen. Allerdings ben¨

otigen diese unendlich vie-

len sich verk¨

urzenden St¨

oße nur eine Zeitspanne von 2v0

g+2v0α2

g+...=2v0

1−α2,

wonach die Kugel bewegungslos auf dem Bohrer liegen muss.

6.5. VERGLEICH VON MODELLEN UND MESSUNGEN

0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44

0.5

1.5

2.5

3.5

Zeit t [s]

Positionen [mm]

Bild 6.22: Ausschnitt aus einer Zeitreihensimulation: Oszillator,freie Stoß-

masse und feststehender Bohrer

zwischen Messung und Modell feststellen. Allerdings muss der Vergleich

mit Vorsicht gezogen werden, da die Bedingungen des Gegenpralls am

Bohrstab unterschiedlich sind. Das Modell ber¨

ucksichtigt weder die Wellen-

ausbreitungsvorg¨

ange im Bohrstab, noch dessen Starrk¨

orperbewegungen.

Die Vor- und Nachgeschichte der Bewegungsabl¨

aufe von Simulation und

Messung gleichen sich nicht in gleichem Maße wie die gezeigten Ausschnitte,

sondern verlaufen ihren deterministischen Regeln folgend chaotisch. Die

mittlere H¨

ohe, in die sich der Oszillator hebt, liegt zwischen Messung

und Simulation dicht beieinander. Einen leichten Unterschied gibt es in

der Stoßfrequenz. In der Simulation liegt sie — wie auch durchschnittlich

im gezeigten Ausschnitt — ¨

uber der Stoßfrequenz in der Messung. Dies

wird auf den Bohrer mit seiner h¨

oheren Aufnahmef¨

ahigkeit kinetischer

Energie und D¨

ampfung am Untergrund zur¨

uckzuf¨

uhren sein. Die Stoßzahlen

des Modells wurden f¨

ur die Simulation so angepasst, dass die vom Os-

zillator erreichten mittleren H¨

ohen sich in Messung und Simulation gleichen.

Messungen der Kontaktkr¨

afte des Bohrers in [Potthast et al. 2007a]

zeigen, dass die Kraftspitzen und vermutlich die gr¨

oßten Bohrraten dann

erfolgen, wenn die Oszillatorposition ein lokales Minimum einnimmt.

Dieses Verhalten ist in der Simulation insofern wiederzufinden, als dass die

Stoßfrequenz in solchen Phasen Maximalwerte erreicht. Die Mechanismen,

die diesem Ph¨

anomen jeweils zugrunde liegen, k¨

onnen aber in Realit¨

at und

Simulation unterschiedliche sein. Im Laborversuch ist es m¨

oglich, wenn

auch nur f¨

ur sehr kurze Zeitr¨

aume, dass Oszillator, Kugel und Bohrer

KAPITEL 6. VERHALTEN DES STOSSBOHRERS

0.379 0.3795 0.38 0.3805 0.381

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Zeit t [s]

Positionen [mm]

Bild 6.23: Detail aus Bild 6.22 bei t= 0.38 s: in dieser Vergr¨

oßerung ist

die harmonische Schwingung des Oszillators u(t) sichtbar. Die Flugbahn der

freien Masse ist lilafarben gezeichnet, w¨

ahrend die Stoßmasse einen Mehr-

fachstoß am Oszillator erf¨

ahrt.

aufeinander liegen, also alle gleichzeitig die Position 0 m einnehmen. Somit

ubertr¨

agt der schwerere Oszillator seinen Stoßimpuls gelegentlich direkt an

den Bohrstab, was die Stoßkraftmaxima in [Potthast et al. 2007a] erkl¨

art.

Im Modell hingegen entspricht der Zustand eines Dreierkontaktes dem

Flugabstand ”Null“, der einem unendlich kleinen zeitlichen Stoßabstand

gleichbedeutend ist, was wiederum eine unendlich hohe Stoßfrequenz

symbolisiert. Diese ¨

Uberlegungen w¨

urden in der Theorie jedoch nur mit

einem nicht-schwingenden Oszillator harmonisieren. Die Schwingungen des

Oszillators begrenzen die Dauer solch eines Dreierkontaktes und limitieren

auch die Stoßwiederholrate maximal auf die Anregefrequenz.

Zusammenfassend l¨

asst sich sagen, dass zwischen beiden simulierten Mo-

dellen und dem realen Verhalten in Laborpr¨

ufst¨

anden eine große qualitative

Ubereinstimmung festgestellt wurde. Quantitativ bewegen sich die Zust¨

ande

in Theorie und Praxis in den gleichen Gr¨

oßenordnungen. In beiden Modellen

sind die Stoßzahlen die einzigen Parameter, die im Labor nicht eingestellt

oder abgelesen werden k¨

onnen. Eine messtechnische Bestimmung der Stoß-

zahlen von ¨

uber 500 St¨

oßen hat eine Streuung der Werte gezeigt. Obwohl im

Modell zeitlich konstante Stoßzahlen eingesetzt werden, war es m¨

oglich, sie

so einzustellen, dass sich die Oszillatorbewegungen in Simulationen und Ex-

perimenten in ann¨

ahernd gleicher Flugh¨

ohe bewegen. Der Grund f¨

ur unter-

schiedliche Stoßfrequenzen der Stoßmasse im Modell 4. Ordnung und im Ver-

6.5. VERGLEICH VON MODELLEN UND MESSUNGEN

0.43 0.4305 0.431 0.4315 0.432

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Zeit t [s]

Positionen [mm]

Bild 6.24: Detail aus Bild 6.22 bei t= 0.43 ms: durch die hier geringe H¨

ohe

des Oszillators ¨

uber dem Bohrer (Flugabstand f¨

ur Kugelmasse nur 0.3 mm)

erh¨

oht sich die Stoßfrequenz der Kugelmasse auf 3 kHz, wodurch die Fallbe-

wegung des Oszillators gebremst wird.

such am Stoßbohrsystem resultieren aus den verschiedenen Bohrerbedingun-

gen: im Labor war dieser beweglich gef¨

uhrt und konnte somit durch sprung-

haftes ¨

Andern seiner Starrk¨

orpergeschwindigkeit im Stoßzeitpunkt mit der

Stoßmasse von dieser mehr kinetische Energie abf¨

uhren als im Modell, in

dem der Bohrer als starre, teilelastische Prallplatte modelliert wurde. F¨

die exakte Abbildung des beweglichen Bohrstabes im Modell k¨

onnte eine

weitere Verfeinerungsstufe gew¨

ahlt werden, die aber nicht mehr im Umfang

dieser Arbeit lag.

Kapitel 7

Numerische Analyse mit Hilfe

der mengenorientierten

Methoden

Kapitel 7behandelt den Schwerpunkt dieser Arbeit, n¨

amlich die Anwen-

dung der mengenorientierten numerischen Methoden. Ihr vielversprechen-

der Einsatz wurde bereits durch mehrere Anwendungen der Methoden auf

Systeme mit komplizierter Dynamik nachgewiesen. Die zugrundeliegenden

Modelle konnten in solchen F¨

allen durch explizite Bewegungsgleichungen

in wenigen Zeilen formuliert werden und waren glatter und kontinuierlicher

Art, also ohne sprunghafte Wechsel der Bewegungsgleichungen. Ihre An-

wendbarkeit auf diskrete, also nicht-kontinuierliche Systeme bzw. solche mit

Sprungph¨

anomenen wurde bislang noch nicht demonstriert. Weiterhin ist die

Verwendung bei Modellen mit transzendenten Bewegungsgleichungen nicht

bekannt.

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird der Einsatz der mengen-

orientierten Methoden erstmals auf ein nichtglattes, zeitdiskretes System

demonstriert und beschrieben. Insbesondere wird ein System aus der Praxis

behandelt. Dies stellt bereits an die mathematische Modellbildung hohe

Anforderungen, auf die in Kapitel 5eingegangen wurde.

Kapitel 7ist in zwei Teile unterteilt. Im ersten Teil wird das Analysevor-

gehen anhand des Systems 2. Ordnung demonstriert, das in Unterkapitel 5.1

aufgestellt wurde. Dieses bewusst einfach gehaltene und auf zwei Dimensio-

nen beschr¨

ankte Modell erm¨

oglicht ein eingehendes Verst¨

andnis der Funk-

tionsweise der Methodik. Die Ergebnisse der Analyse lassen sich bequem

im 2-dimensionalen Zustandsraum auf der Papierebene darstellen, und die

Eigenschaften und Vorteile der Methoden werden daran besprochen.

Der zweite Teil dieses Kapitels demonstriert, wie sich der Einsatz der Me-

thoden auf h¨

oherdimensionale Systeme, wie sie der Realit¨

at n¨

aher kommen,

eignet. Hierzu verwenden wir das Modell 4. Ordnung, das in Unterkapitel 5.2

hergeleitet wurde. Seine h¨

ohere Dimensionszahl erschwert die Interpretation

der Ergebnisse, die nur unter Verwendung geeigneter Projektionen auf die

2-dimensionale Papierebene visualisiert werden k¨

onnen.

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

7.1 Analyse des Stoß-Modells 2. Ordnung

Die Algorithmen, welche die mengenorientierten Methoden ausmachen, sind

alle im Softwarepaket Gaio implementiert [Dellnitz, Froyland, Junge 2001].

Gaio steht f¨

ur Global Analysis of Invariant Objects. Die Software wird in

der Arbeitsgruppe ”Angewandte Mathematik — Numerische Mathematik

und dynamische Systeme“ am Institut f¨

ur Mathematik der Universit¨

at Pa-

derborn entwickelt und stetig erweitert. Die Softwarepakete sind in der Pro-

grammiersprache Cgeschrieben, daher m¨

ussen die zu untersuchenden Mo-

dellgleichungen in dieser Sprache kodiert werden. Hierf¨

ur steht eine Schnitt-

stelle zur Verf¨

ugung, in der die rechte Seite des Differentialgleichungssystems

erster Ordnung definiert wird. Das geschieht in der C-Funktion ”right hand

side“

void rhs(double *x, double *u, double *y).

Im Vektor xwerden die Zustandsgr¨

oßen dem Modell ¨

ubergeben; der Vek-

tor ywird w¨

ahrend der Modellauswertung berechnet und enth¨

alt danach den

berechneten Zustand einen Zeitschritt dtsp¨

ater (bei kontinuierlichen Model-

len) bzw. bei diskreten Modellen einen Iterationsschritt sp¨

ater. Im Kopf der

Modell-Datei lassen sich die Modellparameter definieren und Einstellungen

vornehmen: hier wird angegeben, um welche Art der Modellbeschreibung

(diskrete Abbildungsvorschrift ”map“ oder kontinuierliches Differentialglei-

chungssystem ”ode“) es sich handelt.

7.1.1 Der zylindrische Zustandsraum

An dieser Stelle ist es n¨

otig, den f¨

ur die vorliegende Art von Schwing-

stoßsystemen angebrachten Phasen- oder Zustandsraum einzuf¨

uhren. Der

Zustandsraum f¨

ur den betrachteten Fall hat zwei Dimensionen. Dies sind

die Stoßzeit tkund die Abfluggeschwindigkeit Vk. Man k¨

onnte die Zeit

herk¨

ommlicherweise auf die Abszisse auftragen und die Geschwindigkeit auf

die Ordinate. Ein Systemzustand entspr¨

ache einem Koordinatenpunkt in

diesem Koordinatensystem und w¨

urde durch einen Abbildungsschritt auf

einen weiter rechts liegenden Zustand abgebildet werden. Durch diese Dar-

stellungsweise von Zustandspunkten k¨

onnte periodisches oder anders struk-

turelles Verhalten nicht identifiziert werden. Die (Uhr-)Zeit der aufeinan-

derfolgenden Stoßzust¨

ande spielt in der Analyse eine untergeordnete Rolle,

n¨

amlich nur zur Bestimmung der Stoßfrequenzen (Stoßwiederholraten); viel-

mehr ist es entscheidend, in welcher Phasenlage der harmonischen Oszilla-

torschwingung ein Stoß am Oszillator auftritt. Daher ist es naheliegend, die

Stoßzeit tk[s] mit

eϕk=tk

2π

Tmit T= 1/f

zun¨

achst auf das Winkelmaß eϕk[rad] zu konvertieren und dieses dann mit

ϕk=eϕkmodulo 2π

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

auf eine einzige Periodendauer zur¨

uckzumodulieren1. Anstelle des kar-

tesischen Phasenraumes R×Rbenutzen wir folglich den zylindrischen

Phasenraum S1×R, der zur besseren Anschauung in Bild 7.1 skizziert ist.

Die Bewegungsgleichung des Systems 2. Ordnung ist eine Abbildung des

Zylinders auf sich selbst.

π/2π2π

3/2π

φk

Bild 7.1: Zylinderf¨

ormiger Zustandsraum f¨

ur Phasen- und Geschwindigkeits-

zustand, nach unten durch gr¨

une Sinuslinie begrenzt. rechts: abgerollter Zu-

standsraum.

Die topologische ”Zylindrisierung“ des Phasenraumes erm¨

oglicht es nun,

die Unendlichkeit der zeitlich fortschreitenden Entwicklung innerhalb einer

Periodendauer darzustellen. Alle Phasendiagramme zum Modell 2. Ordnung

in diesem Unterkapitel nutzen diese Darstellung, bei der sie, aufgeschnit-

ten an der ϕ≡0−Ordinate ≡2π−Ordinate2, flach abgerollt wiedergegeben

sind. Der stets in Rechteckform gezeichnete Zustandsraum ist ¨

uber seine

rechte Seite hinaus in seine linke Seite hinein (und umgekehrt) fortgesetzt

zu lesen. Somit liegt ein Zustandspunkt an der rechten Seite einem Punkt an

der linken Seite sehr nahe. Der abgerollte, flach dargestellte Zustandsraum

zeigt sich in der Phasendimension zu beiden Seiten begrenzt. Beim Stoß-

bohrer ist er außerdem in der Geschwindigkeitsdimension begrenzt: die Ab-

1Modulofunktion: f¨

ur a, b ∈Ngilt: amod b= Rest von a

b; f¨

ur den vorliegenden Fall ist

die allgemeinere Definition n¨

otig: f¨

ur a∈R+, b ∈R+\0 gilt: amod b=a−n b mit n=a

wobei nauf die n¨

achst-tiefere ganze Zahl abgerundet werde. In Worten: amodulo bist

der verbleibende Rest, nachdem man bsooft wie m¨

oglich (nmal) von asubtrahiert hat,

wobei man sich in den positiven reellen Zahlen bewege.

2Ordinate: senkrechte Koordinatenachse, oft ”y-Achse“ genannt.

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

fluggeschwindigkeiten Vkk¨

onnen niemals kleiner als die Oszillatorgeschwin-

digkeit im Stoßmoment sein. Andernfalls m¨

usste die Stoßmasse nach dem

Stoß in den Oszillator eindringen, was physikalisch nicht m¨

oglich ist. Die

Nicht-Eindringbedingung lautet dementsprechend:

Vk≥ −u0Ω sin Ωtk.(7.1)

Diese untere Schranke ist in Bild 7.1 und in den Zustandsdiagrammen als

gr¨

une Kurve eingezeichnet. Sie begrenzt die physikalisch m¨

oglichen Zust¨

ande

nach unten hin. Der gesamte Zustandsraum ist also nur noch nach oben in

Richtung +Vkunbeschrankt und ¨

ahnelt somit einer Litfaßs¨

aule3mit schr¨

abgeschnittenem Boden und unbegrenzter H¨

ohe. Bild 7.1 zeigt diesen soge-

formten Zustandsraum, der von

S1×R={(ϕ, V )|0≤ϕ < 2π, −u0Ω sin ϕ < V < ∞}

beschrieben wird. Die Darstellungsweise auf dem Zylinder erm¨

oglicht das

Erkennen von Fixpunkten, mehr-periodischen L¨

osungen und seltsamen At-

traktoren.

7.1.2 Bestimmung eines relativen globalen Attraktors

Unterkapitel 2.2 beschreibt, wie sich der relative globale Attraktor eines

dynamischen Systems approximieren l¨

asst. Relativ zu einer Untermenge

Qdes globalen Zustandsraumes n¨

ahert er die attraktive Menge an. Diese

umfasst jene Systemzust¨

ande, die vom System aufgrund seiner periodischen

oder chaotischen Dynamik eingenommen werden k¨

onnen. Folglich bildet

ein Attraktor eine Teilmenge des Zustandsraumes. Startet das System mit

Anfangsbedingungen, die weit außerhalb des begrenzten Attraktorgebietes

liegen, so entwickelt sich das System innerhalb weniger Iterationsschritte

hin zum Attraktor, auf dem alle zuk¨

unftigen Zust¨

ande verbleiben.

Zielsetzung dieser Arbeit ist das Aufzeigen der Analysem¨

oglichkeiten

durch Bestimmung relativer globaler Attraktoren AQmit mengenorientier-

ten Methoden. F¨

ur zwei verschiedene Parameters¨

atze wird in diesem und

den folgenden Abschnitten das Vorgehen anhand des Systems 2. Ordnung

erl¨

autert, das in Bild 5.1, Seite 35, skizziert und in Gleichung (5.9), Seite 38,

modelliert ist. Zun¨

achst werden die f¨

unf Parameter wie folgt gesetzt:

u0Ωα1α2h

1µm 2π·22 kHz 0.9 0.9 20 µm.(7.2)

Der Boxunterteilungs-Algorithmus (siehe Unterkapitel 2.2) zur

Ann¨

aherung des relativen globalen Attraktors wurde 14 mal angewandt.

Das heißt, in jeder Dimension wurde der zu untersuchende Anfangsbereich

(Startbox Q:) 7 mal unterteilt. Dies f¨

uhrt auf eine Aufl¨

osung von 214 Boxen

bezogen auf die Startbox. Die 5821 Boxen, die den Attraktor ¨

uberdecken,

3Litfaßs¨

aule: Eine Anschlags¨

aule, benannt nach dem Berliner Buchdrucker E. Litfaß.

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

zeigt Bild 7.2. Innerhalb der untersuchten Startbox nimmt der Attraktor

etwa 36% der Zust¨

ande ein. H¨

atte man die Startbox zu Beginn in 214

Boxen unterteilt, w¨

aren 64% der Zellabbildungen unn¨

otig vorgenommen

worden. (Allerdings waren zur Approximation des Attraktors 14 Untertei-

lungsschritte n¨

otig; in jedem Schritt wurden die vorhandenen Unterboxen

untersucht. Dies erh¨

oht die Anzahl abzubildender Boxen.) Zur Abbildung

der Boxen wurde ein Gitter mit 30×30 Testpunkten in jede Box gelegt und

deren Bildpunkte berechnet.

0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

Stoßphase φ [πrad]

Abfluggeschwindigkeit V [m/s]

Bild 7.2: Ein relativer globaler Attraktor AQ, der nach 14 Unterteilungs-

schritten durch ¨

Uberdeckung mit 5821 Boxen angen¨

ahert wurde.

7.1.3 Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

Im vorigen Abschnitt wurde der globale Attraktor zum Parametersatz (7.2)

durch ¨

Uberdeckung mit Boxen bestimmt. Wir lesen an ihm ab, welche

m¨

oglichen Zust¨

ande das System in seinen s¨

amtlichen, m¨

oglichen Bewegungs-

formen einnehmen kann, nachdem transiente Einschwingvorg¨

ange abgeklun-

gen sind. Im vorliegenden Fall wird ersichtlich, dass Abfluggeschwindigkei-

ten gr¨

oßer 1.1 m/s nie auftreten. Nachdem wir wissen, welche Zust¨

ande vom

System w¨

ahrend seiner zeitlichen Evolution prinzipiell eingenommen wer-

den, stellt sich die Frage, ob es Priorit¨

aten bez¨

uglich bestimmter Zust¨

ande,

die dem Attraktor angeh¨

oren, gibt.

Es ist m¨

oglich, die Information, welche Zust¨

ande wie wahrscheinlich ein-

genommen werden, zu erhalten. Anders ausgedr¨

uckt l¨

asst sich berechnen,

wie oft sich im Durchschnitt jeder Systemzustand einstellen wird. Die Ge-

nauigkeit f¨

ur diese Angabe ist die Feinheit der Boxen. F¨

ur jede Box wer-

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

den wir den Wert ihrer ”Aufenthaltswahrscheinlichkeit“ erhalten. Da diese

berechnete Information bez¨

uglich der zeitlichen Entwicklung der Dynamik

unver¨

anderlich ist, bildet die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ein ”invariantes

Maß“, siehe Unterkapitel 2.3.

Wie in Unterkapitel 2.3 beschrieben, wird zur Berechnung der Aufent-

haltswahrscheinlichkeiten die sogenannte ¨

Ubergangswahrscheinlichkeitsma-

trix Pben¨

otigt. Im entsprechenden Abschnitt auf Seite 13 wurde defi-

niert, dass die ¨

Ubergangswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit angibt,

mit der das System innerhalb eines Iterationsschrittes (also von einem

Stoß zum n¨

achsten) von einem bestimmten Zustandsbereich in einen an-

deren (oder den selben) Zustandsbereich wechselt. Jede der Boxen um-

fasst einen Zustandsbereich. Hier wurden 302Testpunkte auf einem recht-

winkligen Gitter in jeder Box gew¨

ahlt, um ihr Bild zu approximieren (vgl.

schematische Darstellung 2.2, Seite 14). Da jede der 5821 Boxen des re-

lativen globalen Attraktors auf jede andere Box abbilden kann, besitzt die

Ubergangswahrscheinlichkeitsmatrix die Gr¨

oße 5821×5821. Die meisten Bo-

xen bilden nur auf wenige Boxen ab, weshalb viele Eintr¨

age der Matrix ver-

schwinden. Die Matrix ist daher d¨

unnbesetzt (engl.: sparse), wof¨

ur es spe-

zielle Eigenwertl¨

oser innerhalb der Software Matlab4gibt. Diese werden

genutzt, um die in Gleichung (2.9) formulierte Eigenwertaufgabe zu l¨

osen.

Das Ergebnis davon zeigt, dass die hiesige ¨

Ubergangswahrscheinlichkeitsma-

trix zwei Eigenvektoren y1und y2mit jeweils dem Eigenwert Eins besitzt.

Folglich existieren innerhalb des relativen globalen Attraktors AQf¨

ur den

einen festen Parametersatz zwei Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilungen,

die jede f¨

ur sich f¨

ur eine eigene Art der Dynamik stehen. Aus der Theorie

der Eigenwerte ist aber bekannt, dass jede Linearkombination der zwei Ei-

genwerte,

y=αy1+βy2, α, β ∈R,

wiederum einen g¨

ultigen Eigenvektor mit Eigenwert Eins liefert. Ge-

nau zwei voneinander linear unabh¨

angige5Vektoren dieser unendlich vie-

len, m¨

oglichen neuen Eigenvektoren beschreiben die zwei Bewegungs-

m¨

oglichkeiten. Zwei Bedingungen m¨

ussen f¨

ur diese zwei neuen Eigenvektoren

gelten, damit ihre Eintr¨

age im Kontext zweier konkurrierender Attraktoren

physikalisch sinnvolle Aufenthaltswahrscheinlichkeiten enthalten. Mit Hilfe

dieser beiden Bedingungen k¨

onnen die Linearfaktoren αund βbestimmt

werden. Zur Erinnerung sei erw¨

ahnt, dass die Eintr¨

age ¯y1kbzw. ¯y2kder Ei-

genvektoren je eine von zwei m¨

oglichen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der

Box Bkdes relativen globalen Attraktors AQenthalten.

Die zwei Bedingungen lauten:

1. Ausschlussbedingung:

Liegt der Systemzustand aufgrund einer Bewegung gem¨

aß des einen

Attraktors mit einer endlichen Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten

4Matlab: Rechenumgebung mit großer Bibliothek numerischer Algorithmen der Firma

The MathWorks, Inc., Boston, zur Programmierung sowie numerischen und symbolischen

Rechnung mit komplexwertigen Matrizen.

5Lineare Unabh¨

angigkeit zweier Vektoren bedeutet, dass die Vektorpfeile nicht durch

Verl¨

angern oder Verk¨

urzen ineinander ¨

uberf¨

uhrbar sind.

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

Box, so kann der Systemzustand aufgrund einer Bewegung gem¨

aß des

anderen Attraktors nie, also mit verschwindender Wahrscheinlichkeit,

in dieser Box liegen. Einfacher ausgedr¨

uckt: wo der eine Attraktor

eine von Null verschiedene und positive Zahl enth¨

alt, muss der andere

Attraktor eine Null enthalten. Gleiches gilt umgekehrt und muss f¨

jede der NBoxen des relativen globalen Attraktors erf¨

ullt sein. Erf¨

ullt

sein m¨

ussen:

¯y1k6= 0 ⇒¯y2k= 0 und

¯y2k6= 0 ⇒¯y1k= 0 , k = 1,2,...,N . (7.3)

2. Summenbedingung:

Durch die attraktive Eigenschaft jedes Attraktors befindet sich der

Systemzustand (im station¨

aren Verhalten) 100%ig auf dem Attraktor.

Da die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand irgendwo auf dem At-

traktor liegt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten aller

den Attraktor ¨

uberdeckenden Boxen ist, gilt immer

¯yik = 1, i = 1,2.(7.4)

Weitere Details zur Wahl geeigneter Linearfaktoren sind

[Dellnitz & Junge 1999] zu entnehmen.

7.1.4 Analyseergebnisse aus Aufenthaltswahrschein-

lichkeiten

Im vorigen Unterkapitel haben wir zwei m¨

ogliche Verteilungen der Aufent-

haltswahrscheinlichkeiten auf das in Boxen unterteilte Attraktorengebiet be-

rechnet. Die Resultate haben wir in den Vektoren ¯

y1und ¯

y2abgelegt. Zur In-

terpretation der Daten werden wir die Wahrscheinlichkeitswerte einer Farb-

skala zuordnen und die Boxen entsprechend den in ¯

y1bzw. in ¯

y2abgelegten

Wahrscheinlichkeitswerten einf¨

arben. F¨

ur den in (7.2) gegebenen Parame-

tersatz sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen in den Bildern 7.3 bzw. 7.4

gezeigt. Bild 7.3 enth¨

alt f¨

ur beinahe alle Boxen die Nullwahrscheinlichkeit

(dunkelblau gef¨

arbte Boxen). Die auftretenden Systemzust¨

ande beschr¨

anken

sich gem¨

aß der Grafik nur auf einen kleinen Bereich des globalen Attraktors

um den Zustand 0.96 m/s und 1.24πrad. Nach dem Abklingen instation¨

arer

Vorg¨

ange konzentriert sich der Systemzustand nur noch um einen einzigen

Punkt, dem er sich spiralf¨

ormig asymptotisch n¨

ahert. Hierbei handelt es

sich um einen periodischen Punkt: Stoß f¨

ur Stoß l¨

auft unter immer wieder-

kehrend gleichen Bedingungen ab, also bei gleicher Phase und mit gleicher

Geschwindigkeit.

Von den Anfangsbedingungen oder St¨

orungen, die auf das System

einwirken, h¨

angt es ab, ob die periodische L¨

osung eingenommen wird oder

die, ¨

uber welche Bild 7.4 Auskunft gibt. Dort sind all jene Boxen eingef¨

arbt,

deren Zust¨

ande unter der periodischen Bewegung nicht eingenommen

werden. Demnach befindet sich der Systemzustand mit unterschiedlicher

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

Wahrscheinlichkeit auf dem ¨

uberwiegenden Teil des globalen Attraktors. Im

Vergleich der beiden Bilder sehen wir die Erf¨

ullung der Ausschlussbedingung

1, Gleichung (7.3): farbige, nicht dunkelblaue Boxen in Bild 7.3 besitzen in

Bild 7.4 Nullwahrscheinlichkeit (dunkelblau und umrandet) und umgekehrt.

0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

Stoßphase φ [πrad]

Abfluggeschwindigkeit V [m/s]

Bild 7.3: Aufenthaltswahrscheinlichkeiten [%] des periodischen Attraktors ¯

innerhalb des relativen globalen Attraktors AQ. Rot im Hintergrund ist das

Einzugsgebiet der periodischen L¨

osung dargestellt.

Die Ermittlung eines globalen Attraktors und die Berechnung des Auf-

enthaltswahrscheinlichkeitsfeldes vermittelt neuartige Einblicke in das dyna-

mische Verhalten eines Prozesses. Die komplizierte Dynamik wird in r¨

aum-

licher und zeitlicher Dimension ausgedehnt ber¨

ucksichtigt und mit tiefge-

hender ¨

Ubersicht visualisiert. Die Begrenzung des globalen Attraktors gibt

schnell einen Eindruck der vom System nie eingenommenen Zust¨

ande. In

Bild 7.4 erkennen wir, dass in einer chaotischen Bewegung nie Abflugge-

schwindigkeiten oberhalb von 0.67 m/s zu erwarten sind, und dies ist un-

abh¨

angig von den Anfangsbedingungen. Unter Ber¨

ucksichtigung der peri-

odischen Fortsetzung des Zustandsraums in Phasendimension (”Zylindrisie-

rung“) erkennt man weiterhin, dass der Attraktor ein zusammenh¨

angendes

Gebiet beschreibt. Die Farbkodierung gibt wieder, wie unterschiedlich oft

die in Boxen gefassten Bereiche auftreten. Aus diesen Erkenntnissen folgt

der Schluss, dass der zweite Attraktor eine deterministisch chaotische Dy-

namik repr¨

asentiert. Innerhalb des farbigen Gebietes springt der Zustand

scheinbar regellos. Doch auch im Chaos gibt es Struktur: Zust¨

ande hoher

Geschwindigkeiten und Phasen um 3/2 πtreten bevorzugt auf. Auf die An-

wendung des Stoßbohrers ¨

ubertragen stehen hohe Stoßgeschwindigkeiten f¨

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

große Stoßenergien; die Phase 3/2 πentspricht dem Maximum der Oszilla-

torschwingungsgeschwindigkeit, welches die hohen Abfluggeschwindigkeiten

begr¨

undet. Durch Langzeitsimulationen der chaotischen Dynamik w¨

are die-

se Struktur nicht erkennbar gewesen; das h¨

aufige Auftreten von Zust¨

anden,

die den Bohrfortschritt beg¨

unstigen, erh¨

alt erst in dieser Analyse statistische

Quantit¨

at.

Eine Bemerkung sei zu den Zahlenwerten der Wahrscheinlichkeitswerte

f¨

ur die einzelnen Boxen gegeben. Die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten

infolge der chaotischen Dynamik in Bild 7.4 gibt auf der Farbskala kleine

Zahlen wieder. Sie liegen zwischen 0 und 0.14%. Diese Zahlen stehen jede

f¨

ur sich f¨

ur eine relative Wahrscheinlichkeit. Sie bezieht sich auf die Gr¨

oße

(genauer: das ”Volumen“) der einzelnen Box, f¨

ur die sie gilt. Je kleiner die

Box, desto seltener f¨

allt der Zustand in genau den Zustandsbereich, der

von der Box umfasst wird. Dementsprechend kleiner wird der angezeigte

Wahrscheinlichkeitswert f¨

ur diese Box. Durch Erf¨

ullung der Summenbedin-

gung (7.4) ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsverteilung ¨

uber den

gesamten Zustandsraum stets Eins.

0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

Stoßphase φ [πrad]

Abfluggeschwindigkeit V [m/s]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Bild 7.4: Aufenthaltswahrscheinlichkeiten [%] des chaotischen Attraktors ¯

innerhalb des relativen globalen Attraktors AQ. Der Bereich weißen Hinter-

grunds markiert das Einzugsgebiet dieses chaotischen Attraktors.

Die bisherigen Ergebnisse wurden mit dem Parametersatz (7.2) erzielt.

Im Folgenden wird die Bestimmung des globalen Attraktors und der Auf-

enthaltswahrscheinlichkeiten an einem zweiten Parametersatz demonstriert.

Die Anregeamplitude u0sowie der Flugabstand hwerden auf gr¨

oßere Werte

gesetzt, die in Unterkapitel 6.2 f¨

ur Laborversuche und Simulationen einge-

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

stellt wurden:

Oszillator– Stoßzahl an Flug-

Ampl. Kreisfrequenz Osz. Bohrer abstand

u0Ωα1α2h

10 µm 2π·20.19 kHz 0.6121 0.7879 5 mm

.(7.5)

0 0.5 1 1.5 2

−1

Stoßphase φ [πrad]

Abfluggeschwindigkeit V [m/s]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Bild 7.5: Box¨

uberdeckung des relativen globalen Attraktors f¨

ur den Parame-

tersatz (7.5). Die Farbkodierung zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

[%] des chaotischen Attraktors. Dar¨

uber liegt in roter Farbe das Einzugs-

gebiet des periodischen Attraktors, dessen Fixpunkt mit einem +markiert

ist.

Bild 7.5 zeigt den durch die Box¨

uberdeckung angen¨

aherten, relativen

globalen Attraktor. Es wurden 10 Unterteilungsschritte angewandt, wodurch

der gezeigte Zustandsraumausschnitt in vertikaler und horizontaler Richtung

in 25= 32 Boxen unterteilt ist. F¨

ur die Boxabbildungen wurde jeweils ein

Gitter von 20 ×20 Testpunkten in die Boxen gelegt. Der globale Attraktor

zeigt, dass sich mit den eingestellten Parametern Geschwindigkeiten ¨

uber

4.2 m/s im Langzeitverhalten nie beobachten lassen. Die Verteilung der Auf-

enthaltswahrscheinlichkeiten wurde wieder farbkodiert, und es zeigt sich eine

Dominanz von Zust¨

anden mit hoher Kugelabfluggeschwindigkeit bei einer

Phase um 3/2π. Bei der Suche nach L¨

osungen der speziellen Eigenwertglei-

chung (2.9)y=P y l¨

asst sich genau ein Eigenvektor y1finden. Er ist in

Bild 7.5 durch die Farbwerte dargestellt. Es kann ¨

uber Trajektorienberech-

nung f¨

ur den Parametersatz (7.5) gezeigt werden, dass einer der Fixpunkte

stabil ist. Demzufolge ist zu erwarten, dass es einen zweiten Eigenvektor y2

gibt, der der Eigenwertgleichung gen¨

ugt.

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

Zur Erkl¨

arung, warum in dem hier gezeigten Fall kein zweiter Eigenvek-

tor gefunden werden kann, m¨

ussen wir das Einzugsgebiet der periodischen

L¨

osung betrachten. Ein Verfahren zur Berechnung von Einzugsgebieten

wird im folgenden Abschnitt erl¨

autert. In Bild 7.5 ist das Einzugsgebiet

der periodischen L¨

osung rot ¨

uber den Attraktor gelegt. Nehmen wir an,

es existiere ein Eigenvektor ¯

y2, der ¯

y2=P¯

y2erf¨

ullt und dessen Wahr-

scheinlichkeitsverteilung einer stabilen, periodischen L¨

osung entspricht.

Nehmen wir weiter an, der Fixpunkt der periodischen L¨

osung bef¨

ande sich

innerhalb der Box Nr. j. In guter N¨

aherung w¨

are folglich zu erwarten,

dass y2,j = 1, denn s¨

amtliche (oder die meisten) Testpunkte aus der Box

Nr. jwerden erwartungsgem¨

aß in Box Nr. jhinein abbilden. Anders

ausgedr¨

uckt erwartet man, dass das Bild der Box Nr. jinnerhalb dieser

Box selbst liegt. Der Eintrag pj,j auf der Hauptdiagonalen in der Zeile jder

Ubergangswahrscheinlichkeitsmatrix w¨

are dann pj,j = 100%. Voraussetzung

f¨

ur die getroffenen Annahmen der Selbstabbildung ist, dass die Box mit

dem Fixpunkt vollst¨

andig innerhalb des Einzugsgebietes der periodischen

L¨

osung liegt. Der stabile Fixpunkt ist in Bild 7.5 durch ein +markiert.

Das rot dargestellte Einzugsgebiet der periodischen L¨

osung besitzt f¨

ur den

aktuellen Parametersatz eine filigrane Struktur, die sich als d¨

unne F¨

aden

beschreiben l¨

asst, die sich spiralf¨

ormig um den Zylinderzustandsraum herum

winden und dabei wiederholt teilen. Das Einzugsgebiet ist im Bereich des

Fixpunktes so d¨

unn, dass es einen großen Teil der Box mit dem Fixpunkt

nicht abdeckt. Infolgedessen liegt ein Großteil der Bildpunkte aus dieser

Box innerhalb des chaotischen Attraktors, weshalb y2,j << 1 gilt und kein

Eigenwert ¯

y2existiert. Der globale Attraktor muss in einem solchen Fall

durch h¨

aufigere Boxunterteilungen in wesentlich feinere Boxen unterteilt

werden, um die zweite Eigenl¨

osung finden zu k¨

onnen.

Zur globalen Analyse des Stoßsystems 2. Ordnung wurden relative glo-

bale Attraktoren berechnet. F¨

ur Parameters¨

atze, bei denen innerhalb des

berechneten Attraktors zwei L¨

osungen — eine chaotische und eine periodi-

sche Bewegung — existieren, wurde eine Box¨

uberdeckung des Attraktors ge-

zeigt. Durch Berechnen der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilungen f¨

die Boxmenge des Attraktors wurden in einem Fall beiden L¨

osungen statis-

tische Informationen hinzugef¨

ugt, im anderen Fall wurde gezeigt, dass sehr

hohe Boxaufl¨

osungen notwendig sein k¨

onnen.

Aus der statistischen Verteilung der Zust¨

ande auf dem chaotischen At-

traktor ließ sich eine Grenzgeschwindigkeit ablesen, oberhalb derer das

System im station¨

aren Verhalten nie existieren wird. Die Geschwindigkei-

ten der periodischen Punkte sind gr¨

oßer als die Grenzgeschwindigkeit der

chaotischen Attraktoren. Hieraus resultiert f¨

ur die Praxis, dass eine Be-

triebsart des Bohrsystems mit periodischem Stoßverhalten f¨

ur eine große

Bohrrate anstrebenswert ist. Die in der Praxis beobachteten Bohrerfolge

[Bar-Cohen et al. 2001a] lassen sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung

der Zust¨

ande auf dem chaotischen Attraktor erkl¨

aren: die Wahrscheinlich-

keit f¨

ur Zust¨

ande von großer Stoßmassengeschwindigkeit (woraus eine hohe

Abbaurate folgt) ist wesentlich h¨

oher als f¨

ur die ¨

ubrigen Bereiche des At-

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

traktors.

7.1.5 Analyseergebnisse aus Einzugsgebieten

Im vorigen Abschnitt studierten wir das L¨

osungsverhalten zu Parame-

ters¨

atzen, bei denen zwei L¨

osungen nebeneinander existieren. Offen war,

unter welchen Bedingungen das System welche L¨

osung einnimmt. Von

Interesse ist ferner, welche Wahrscheinlichkeit dem Erreichen der periodi-

schen und welche der chaotischen L¨

osung zuzuordnen ist, wenn man das

Schwingstoßsystem unter nicht festgelegten oder zuf¨

alligen Bedingungen

betreibt.

Um auf die Fragestellungen einzugehen, wollen wir die Einzugsgebiete6

der jeweiligen L¨

osungen ermitteln. In den vorigen drei Bildern wurden

die Einzugsgebiete in roter Farbe in die Zustandsdiagramme mit hin-

eingezeichnet. Verantwortlich daf¨

ur, nach welcher der m¨

oglichen stabilen

L¨

osungen sich das Systemverhalten richtet, ist alleine die Anfangsbedin-

gung, bei der das System startet, bzw. die das System als Trajektorie

durchl¨

auft. Das Einzugsgebiet einer L¨

osung beschreibt genau jenes Gebiet

von Anfangsbedingungen im Zustandsraum, von denen aus das System in

diese L¨

osung ”eingezogen“ wird. Der Zustandsraum eines Systems, dessen

Parametersatz zwei koexistierende L¨

osungen besitzt, l¨

asst sich in genau

zwei zusammenh¨

angende Gebiete unterteilen.

Einige transiente Trajektorien, die von Startzust¨

anden aus dem Ein-

zugsgebiet nahe um den Fixpunkt herum ausgehen, sind in Bild 7.6 zu se-

hen. Sie zeigen auch die Entstehung des Punktes an der Parameterstelle

h= 5.00066 mm am rechten Rand im Bifurkationsdiagramm Bild 6.13. Dort

war zu sehen, dass bei nur minimal gr¨

oßerem Abstand hdie periodische

L¨

osung abrupt verschwindet und ganz der chaotischen Bewegung weicht.

Um das Einzugsgebiet etwa der periodischen L¨

osung zu ermitteln, k¨

onnte

man einen großen Teil des gesamten Zustandsraumes in kleine Unterboxen

einteilen (diskretisieren) und f¨

ur jede der Unterboxen bestimmen, ob sie Teil

des Einzugsgebietes ist. Hierzu k¨

onnte man eine oder mehrere Trajektorien

mit Startbedingungen aus der Unterbox heraus iterieren und jeweils ihren

Verlauf untersuchen. N¨

ahert sich die Mehrheit der Trajektorien aus einer

Unterbox asymptotisch dem Fixpunkt der periodischen L¨

osung, so weist

man diese Unterbox dem Einzugsgebiet der periodischen L¨

osung zu. Die

verbleibenden Unterboxen sind folglich dem Einzugsgebiet der chaotischen

L¨

osung zuzurechnen.

Das geschilderte Verfahren ist ein m¨

ogliches, jedoch f¨

ur hohe De-

tailgenauigkeit ein sehr rechenaufw¨

andiges. Auf der Grundlage des

oben beschriebenen Boxunterteilungsalgorithmus der mengenorientierten

Methoden wurde der Fortsetzungsalgorithmus gum (”global unstable

manifold“) entwickelt, der innerhalb der Software Gaio implementiert ist

6Einzugsgebiet: engl.: basin of attraction oder domain of attraction

7.1. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 2. ORDNUNG

−1 −0.5 0 0.5 1

x 10−8

−5

x 10−10

φ − φFixpunkt [π rad]

V − VFixpunkt [m/s]

Bild 7.6: Transiente Trajektorien f¨

ur 1-periodische L¨

osung von verschiedenen

Anfangszust¨

anden des 1-periodischen Einzugsgebietes ausgehend

[Dellnitz, Froyland, Junge 2001]. Er n¨

ahert das Einzugsgebiet als instabile

Mannigfaltigkeit per R¨

uckw¨

artsiteration durch eine Boxmenge an. F¨

ur die

R¨

uckw¨

artsiteration der Abbildungsvorschrift ist das Aufstellen der Umkehr-

abbildung T−1notwendig, was nicht in allen F¨

allen oder nur unter großem

Aufwand m¨

oglich ist.

Zum Berechnen der instabilen Mannigfaltigkeit wird der betrachtete Zu-

standsraum zun¨

achst in Zustandsboxen diskretisiert. Sodann f¨

ugt man die-

jenige Box, die den Fixpunkt enth¨

alt, zur bislang noch leeren Boxmenge des

Einzugsgebietes hinzu. Ausgehend von dieser Box wird die Mannigfaltigkeit

durch Fortsetzung bestimmt. Dies geschieht in zwei Schritten, die wiederholt

ausgef¨

uhrt werden:

1. R¨

uckw¨

artsabbildung derjenigen Boxen, die im letzten Schritt neu zur

Boxmenge hinzugekommen sind.

2. Hinzuf¨

ugen derjenigen Boxen zur Boxmenge, in denen wenigstens ein

Bildpunkt eines Testpunktes aus einer der Abbildungen von Schritt 1

liegt und die noch nicht der Boxmenge angeh¨

oren.

Der Algorithmus stoppt selbst¨

andig, sobald keine neuen Boxen mehr

hinzugef¨

ugt wurden.

Bild 7.7 zeigt die auf diese Weise approximierten Einzugsgebiete f¨

ur die

periodische (rotes Gebiet) und die chaotische L¨

osung (weißes Gebiet). Stellt

man sich das Einzugsgebiet um den zylinderf¨

ormig dargestellten Zustands-

raum (Bild 7.1) herum gelegt vor, so f¨

allt auf, dass beide Zustandsgebiete

aus einem zusammenh¨

angenden Gebiet bestehen. Zur leichteren Betrachtung

der zylindrischen Fl¨

ache des Zustandsraumes in der Papierebene ist das Zu-

standsgebiet in der Abbildung ¨

uber drei Zyklen fortgesetzt dargestellt.

Wie bereits die chaotischen Attraktoren des hier untersuchten Systems

nach gen¨

ugend vielen Boxunterteilungen zeigen, besitzt auch das Einzugs-

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

gebiet der periodischen L¨

osung Z¨

uge fraktaler Gebilde, wenn man auf die

selbst¨

ahnliche Fortsetzung schaut: der Beginn der Entstehung des Gebietes

Bild 7.7: Einzugsgebiet zu chaotischer (weiß) und zu periodischer (rot)

L¨

osung

liegt im Bereich des Fixpunkts. Das rotgef¨

arbte Einzugsgebiet entwickelt

sich in positiver Drehrichtung spiralf¨

ormig um den Zustandsraumzylinder

herum weiter. F¨

ur ansteigende Phase verzweigt es sich fortw¨

ahrend in zwei

Aste, von denen der obere Ast gr¨

oßerer Abfluggeschwindigkeit wenig sp¨

ater

endet und der untere Ast sich wiederholt verzweigt.

Um auf die Frage der Wahrscheinlichkeit des Erreichens der einen oder

anderen L¨

osung zu antworten, nehmen wir uns das Einzugsgebiet zu Hilfe:

die Wahrscheinlichkeit, mit der die periodische L¨

osung bei zuf¨

alliger An-

fangsbedingung erreicht wird, gleicht dem Fl¨

achenanteil, den das dunkle

7.2. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 4. ORDNUNG

Einzugsgebiet am gesamten Zustandsraum hat. Da sich dieser in positive

V−Richtung des Zustandsraumes ins Unendliche ausdehnt, ist ein begrenz-

ter Bereich zu w¨

ahlen, innerhalb dessen die fl¨

achenm¨

aßige Aufteilung der

Einzugsgebiete gewertet wird.

F¨

ur das in Bild 7.7 dargestellte Einzugsgebiet ist die Wahrscheinlichkeit,

von einem rot gef¨

arbten Zustand aus zu starten, 7.89%, wohingegen ein

Anfangszustand mit komplement¨

aren 92.11% im hellen Teil beginnen wird.

Die hohe Wahrscheinlichkeit, bei nicht exakt steuerbarem Ausgangszustand

in den chaotischen Attraktor hineinzulaufen, liefert eine weitere Erkl¨

arung

daf¨

ur, dass in der Praxis nie regul¨

are Bewegungen beobachtet wurden.

Die Ermittlung der Einzugsgebiete der einzelnen, koexistierenden At-

traktoren ist ein wichtiger Bestandteil einer umfassenden Systemanaly-

se. Sie liefert ein Maß f¨

ur die Wahrscheinlichkeiten, mit der die einzel-

nen Attraktoren bei einem Iterationsstart mit zuf¨

alligen Anfangsbedin-

gungen erreicht werden. Es wurde gezeigt, dass die Einzugsgebietsberech-

nung f¨

ur Schwingstoßsysteme sehr effizient durch die Anwendung eines Box-

Fortsetzungsalgorithmus durchgef¨

uhrt werden kann.

7.2 Analyse des Stoß-Modells 4. Ordnung

Dieses Unterkapitel enth¨

alt die Untersuchung des Modells 4. Ordnung mit

den mengenorientierten numerischen Methoden. Im ersten Abschnitt wird

wieder eine Startbox im Zustandsraum gew¨

ahlt und ihr relativer globaler

Attraktor bestimmt. Der zweite Abschnitt bespricht die Analyseergebnisse,

die aus der Bildung der Attraktoren abgeleitet werden k¨

onnen.

7.2.1 Approximation des relativen globalen Attrak-

tors

Wie f¨

ur das zuvor behandelte, einfachere Modell sollen auch anhand des

deutlich komplexeren Modells 4. Ordnung die mengenorientierten Metho-

den demonstriert werden, um Informationen ¨

uber die globale Dynamik

des Systems zu gewinnen. Wieder wird der in GAIO implementierte rga-

Algorithmus (Boxunterteilungsalgorithmus) zur Bestimmung relativer glo-

baler Attraktoren auf die in C-Code ¨

ubersetzte Modelldatei angewendet.

Wir verwenden f¨

ur s¨

amtliche Analysen innerhalb dieses Unterkapitels die

selben System- und Prozessparameter, die in Unterkapitel 6.4 benutzt wur-

den:

Oszillator– Stoßzahl an Massen– Beschleunigung aus

Ampl. Frequ. Osz. Bohrer verh¨

altn. Anpresskraft Gravitat.

u0f α1α2M/m =µ FA/M g

15 µm20.19 0.5 0.6

264.7 g

2.0 g

3 N

0.2647 kg 9.81 m/s2

kHz = 132 = 11 m/s2

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

Bild 7.8: Projektion der Box¨

uberdeckung des relativen globalen Attraktors

AQnach 21 Unterteilungsschritten in den ˙y−x−˙x−Raum mit Farbkodierung

der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in [%].

F¨

ur die schrittweisen Boxunterteilungen innerhalb des rga-Algorithmus

wurden f¨

ur alle in diesem Unterkapitel gezeigten Rechnungen die Untertei-

lungsrichtungen zyklisch durch alle 4 Zustandsdimensionen gewechselt in der

Reihenfolge φ- ˙y-x- ˙x. Zur approximativen Abbildung der 4-dimensionalen

Boxen wurden jeweils 34= 81 Testpunkte mit der Option ”MonteCarlo“

innerhalb der Boxen einschließlich ihres Randes zufallsverteilt. Diese Test-

punktanzahl zeigte sich als hinreichend groß f¨

ur die Ann¨

aherung des dyna-

mischen Verhaltens. Gleichzeitig blieb die Rechenzeit in einem akzeptablen

Rahmen. Die gew¨

ahlte, 4-dimensionale Startbox Qwurde in allen Bildern

durch einen roten Rahmen angedeutet. In der Phasendimension ¨

uberdeckte

sie stets den gesamten Zustandsbereich φ∈[0,2π].

Zur Erl¨

auterung der Analyse eines Systems 4. Ordnung werden auf die-

sen Seiten exemplarisch einige Ergebnisse dargestellt: Bild 7.8 zeigt die Aus-

dehnung der Boxmenge nach 21 Unterteilungsschritten. Durch die zyklische

Permutation der Unterteilungsrichtungen wurden die Boxen somit 6-mal in

φ-Richtung und 5-mal in den 3 ¨

ubrigen Dimensionen zweigeteilt.

In Bild 7.8 ist ersichtlich, dass die Boxmenge den Rand der Startbox

Qin negative ˙x-Richtung und in negative ˙y-Richtung tangiert. Es scheint

naheliegend zu sein, die Startbox in diesem Beispiel gr¨

oßer zu w¨

ahlen, um

die globale Dynamik zu beschreiben. Jedoch liegt die Ursache f¨

ur die Rand-

ber¨

uhrung in der langsamen Konvergenz dieses Systems.

Es gibt mehrere M¨

oglichkeiten, um solch einem Systemverhalten zu be-

gegnen. Das Vorgehen, eine wesentlich gr¨

oßere Anzahl an Unterteilungs-

schritten zu durchlaufen, ist aus praktischen Gr¨

unden begrenzt. Durch die

7.2. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 4. ORDNUNG

langsame Konvergenz fallen die transienten Boxen nur sehr langsam weg und

m¨

ussen sehr oft mitunterteilt werden. Dies f¨

uhrt zu sehr hohen Boxzahlen

und hohem Speicherbedarf sowie großer Rechenzeit.

Alternativ w¨

are es denkbar, eine adaptive Boxunterteilungsstrategie an-

zuwenden: dabei wird das invariante Maß berechnet und Boxen mit einem

Maß unter dem Durchschnittswert aller Boxmaße werden nicht unterteilt

bzw. Boxen, deren Maß unter einem gew¨

ahlten Schwellenwert liegt, werden

aus der Menge gel¨

oscht.

Eine weitere M¨

oglichkeit, mit langsamer Konvergenz umzugehen, ist die

Folgende. Anstatt f¨

ur die Iterationsvorschrift die einfache Abbildungsvor-

schrift Tanzuwenden, kann die Iterationsschrittweite auf einen Wert gr¨

oßer

Eins gesetzt werden. F¨

ur das betrachtete System wurde die Schrittweite

auf 5 gesetzt. Somit wurde die Abbildung T5betrachtet, die eine schnellere

Konvergenz zum invarianten Maß besitzt als die urspr¨

ungliche Abbildung

T1. Die Bilder 7.11 und 7.12 zeigen eine Attraktor¨

uberdeckung nach 22 Un-

terteilungsschritten f¨

ur die Abbildung T5desselben Systems mit denselben

Parametern.

Der folgende Abschnitt erl¨

autert dieses Vorgehen.

Bild 7.9: Ausblenden transienter Boxen des Attraktors aus Bild 7.8.

7.2.2 Analyseergebnisse und Diskussion

Im vorhergehenden Abschnitt wurde die Berechnung von invarianten Men-

gen, den relativen globalen Attraktoren des Modells 4. Ordnung, erl¨

autert.

Da das System im 4-dimensionalen Zustandsraum definiert ist, besitzt auch

die Gestalt der Attraktoren 4 Dimensionen. F¨

ur die grafische Darstellung der

Attraktoren auf einem 2-dimensionalen Medium (Papier, Bildschirm) oder

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

3-dimensional perspektivisch muss der Attraktor zwei- bzw. einmal entlang

einer Zustandsgr¨

oße projiziert werden. Dies erschwert die Auswertung, da

bei der Betrachtung der projizierten Gestalt Informationen vernachl¨

assigt

werden m¨

ussen. Daher muss ¨

uberlegt werden, entlang welcher Achse proji-

ziert werden soll.

Bild 7.10: 2D-Ansicht der Attraktordarstellung aus Bild 7.9, farbkodierte

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in [%].

Zum Erkennen der dynamischen Eigenschaften des Bohrer-Modells

ist die zeitliche Information, die Auskunft ¨

uber die Phasenlage φkder

Stoßkontakte gibt, im Vergleich zu den drei anderen Zustandsgr¨

oßen

entbehrlich. Integriert man die 4-dimensionalen Boxen des Attraktors

uber eine Periodendauer, erh¨

alt man eine 3-dimensionale Abbildung des

Attraktors. Bild 7.8 zeigt das Resultat dieses Vorgehens. Die Boxmenge

approximiert einen Bereich im Zustandsraum. Zur Quantifizierung des

dynamischen Verhaltens auf der Boxmenge wurde wie f¨

ur das System

2. Ordnung die ¨

Ubergangswahrscheinlichkeitsmatrix berechnet und de-

ren Eigenvektor zum betragsm¨

aßig gr¨

oßten Eigenwert, der fast Eins

ist, numerisch berechnet. Nach einer Normierung, so dass die Summe

aller Eigenvektoreintr¨

age Eins ergibt, stellen die Eigenvektorelemente die

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Systems f¨

ur jede Box dar. In den

dargestellten Box¨

uberdeckungen innerhalb dieses Unterkapitels sind die

Aufenthaltswahrscheinlichkeitswerte durch eine Farbkodierung den Boxen

zugeordnet, wobei die Skalenwerte auf den Farbskalen stets in der Einheit

[%] angegeben sind. Durch die logarithmische Skalierung der Wahrschein-

lichkeitswerte auf der Farbskala werden die um einige Gr¨

oßenordnungen

unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten deutlich. Blaue bis gr¨

une Farbt¨

one

stehen f¨

ur sehr kleine Wahrscheinlichkeiten von etwa 10−25% bis 10−10%.

Da Langzeititerationen zeigen, dass Geschwindigkeitsbetr¨

age von Oszillator

bzw. Kugel gr¨

oßer 3 m/s bzw. 10 m/s nicht zu erwarten sind, zeigt Bild 7.9

100

7.2. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 4. ORDNUNG

die gleiche Box¨

uberdeckung wie in Bild 7.8, jedoch sind hier nur Boxen

mit Wahrscheinlichkeiten ¨

uber dem Schwellenwert von 10−10% dargestellt.

Die verbleibenden Boxen stellen eine bessere Ann¨

aherung an die invariante

Mannigfaltigkeit des Systems, die die Langzeitdynamik beschreibt, dar.

In der Seitenansicht von Bild 7.9, die in Bild 7.10 gezeigt ist, l¨

asst sich

erkennen, dass sich im station¨

aren Systemverhalten nie Kugel- oder Oszil-

latorabfluggeschwindigkeiten gr¨

oßer 2 m/s in positive Richtung (sich vom

Bohrstab entfernend) ergeben. In Richtung auf den Bohrstab (in negative

Koordinatenrichtung) liegen die maximalen Geschwindigkeiten im Bereich

um 8 m/s bzw. 2.5 m/s. Aus den maximalen Geschwindigkeiten lassen sich

f¨

ur das betrachtete Anwendungsbeispiel des Stoßbohrsystems maximale

Stoßenergien ableiten und ¨

uber das invariante Maß gewichten.

Im vorigen Abschnitt wurde auf die Tangierung des Startboxrandes durch

die Boxmenge eingegangen. Ausblenden der Boxen, die aufgrund ihres Wahr-

scheinlichkeitsmaßes der transienten Menge zugeordnet werden k¨

onnen, war

eine Maßnahme, um das station¨

are Verhalten der langsam konvergenten

Menge anzun¨

ahern. Die zweite, hier umgesetzte Maßnahme ist die Unter-

suchung einer mehrfach Iterierten der einfachen Abbildung. Bei f¨

unffacher

Iteration der Testpunkte bildet die in den Bildern 7.11 und 7.12 dargestellte

Box¨

uberdeckung eine Ann¨

aherung an die invariante Menge. Die Boxmenge

in Bild 7.11 zeigt einen sehr schmalen Bereich um große, negative Geschwin-

digkeiten herum. Es l¨

asst sich daraus ablesen, dass hohe Geschwindigkeiten

sowohl von der Kugel als auch vom Oszillatorschwerpunkt nur in direk-

ter N¨

ahe zum Bohrstab (bei minimaler Position x) auftreten k¨

onnen. Die

gr¨

oßten auftretenden Abst¨

ande xvon Kugel und Oszillator vom Bohrstab

im Stoßaugenblick liegen im Bereich von 2 cm. Kleinere Flugh¨

ohen sind je-

doch um Gr¨

oßenordnungen wahrscheinlicher.

Die Ursache der abgeflachten Seite der Attraktormenge in Richtung −x

liegt in der Bedingung xk−u0cos Ωtk>0, nach der die Kugel und der

Oszillator nicht in den Bohrstab eindringen k¨

onnen. Diese Bedingung stellt

eine Grenzebene Γ1in diesem projizierten Zustandsraum dar:

Γ1={( ˙y, x, ˙x)|x=u0}.

Eine weitere, schr¨

ag liegende Ebene Γ2begrenzt die Boxmenge in Richtung

+ ˙yund −˙xdurch die Nichteindringbedingung von Kugel und Oszillator

direkt nach einem Stoß:

Γ2={( ˙y, x, ˙x)|˙x−u0Ω = ˙y}.

Bild 7.12 zeigt die Projektion derselben Boxmenge wie in Bild 7.11 in

den φ- ˙y- ˙x-Raum. Im Unterschied zum Ergebnis der chaotischen Bewegung

des Systems 2. Ordnung l¨

asst sich hier ablesen, dass keine Phasenlage ein

pr¨

adestinierter Stoßzustand ist. In dieser Ansicht l¨

asst sich wieder die In-

formation gewinnen, dass Wahrscheinlichkeiten f¨

ur das Auftreten kleinerer

Geschwindigkeiten von Kugel und Oszillator hoch sind. Die Boxmenge in

dieser Projektion wird wegen der Nichteindringbedingung nach unten durch

101

KAPITEL 7. ANALYSE MIT MENGENORIENTIERTEN METHODEN

Bild 7.11: Projektion des relativen globalen Attraktors AQder f¨

unffach ite-

rierten Abbildung T5in den ˙y−x−˙x−Raum. Blau-gr¨

une Einf¨

arbungen

der Boxen entsprechen kleiner, rot-braune Farben entsprechen großer Auf-

enthaltswahrscheinlichkeit des Systems in der jeweiligen Box.

die Fl¨

ache

Γ3={( ˙y, x, ˙x)|˙x+u0Ω sin Ωt= ˙y}

begrenzt, was die sinuswellenf¨

ormige Gestalt der Boxmenge begr¨

undet.

Zust¨

ande jenseits der Grenzebenen Γ1,Γ2oder Γ3k¨

onnen physikalisch

nicht auftreten.

Die Berechnung von relativen globalen Attraktoren des Systems 4. Ord-

nung erm¨

oglicht die Identifizierung struktureller Systemeigenschaften des

Langzeitverhaltens. Statistische Eigenschaften k¨

onnen als invariantes Maß

auch f¨

ur h¨

oherdimensionale Systeme aus Eigenvektoren berechnet werden.

Sie stellen eine weitere Information zur Bewertung des Attraktorgebietes

auf der Boxmenge dar. In Kombination mit adaptiven Algorithmen k¨

onnen

Verfahren angewendet werden, um die Approximation invarianter Mengen

langsam konvergenter Systeme zu beschleunigen.

102

7.2. ANALYSE DES STOSS-MODELLS 4. ORDNUNG

Bild 7.12: Projektion des relativen globalen Attraktors AQder f¨

unffach ite-

rierten Abbildung T5in den φ- ˙y- ˙x-Raum. Blaue Boxen entsprechen einem

kleinen, rot-braune Boxen einem großen Wahrscheinlichkeitsmaß.

103

Kapitel 8

Zusammenfassung, Diskussion

und Ausblick

8.1 Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit stand die Analyse nichtlinearer dynamischer Sys-

teme — im speziellen die Beschreibung und Analyse nichtglatter Systemdy-

namik — im Mittelpunkt. F¨

ur diese Aufgabe, die f¨

ur Ingenieure aller Fach-

richtungen ein wichtiges Thema darstellt, sollte der Einsatz einer neuartigen

Methodenklasse, der ”mengenorientierten numerischen Methoden“, gepr¨

uft

und demonstriert werden. Diese Methoden hatten sich bereits vielfach im

Einsatz auf nichtlineare Systeme bew¨

ahrt. F¨

ur die Klasse der nichtglatten

dynamischen Systeme war in dieser Arbeit zu untersuchen, inwiefern sie

sich f¨

ur deren Analyse eignen. Exemplarisch f¨

ur eine Vielzahl von Schwing-

stoßsystemen wurde eine vor wenigen Jahren entstandene Entwicklung ei-

nes Stoßbohrsystems f¨

ur spr¨

odharte Stoffe wie Gestein herangezogen. Dieses

System zeichnet sich durch seinen einfachen Aufbau aus und wird dennoch

von einer hochkomplexen Dynamik beherrscht. Weiterhin motivierte die Er-

langung von tiefergehendem Verst¨

andnis des dynamischen Verhaltens des

Bohrprozesses die Untersuchung dieses Systems, welches in der Literatur

bisher nur in wenigen Arbeiten behandelt wurde.

Zur mathematischen Beschreibung des Systemverhaltens waren geeigne-

te Modelle zu bilden. Zur Validierung der theoretischen Simulationen waren

Pr¨

ufst¨

ande mit Laborprototypen aufzubauen und mittels geeigneter Mess-

verfahren Zeitreihen der Stoßmassendynamik aufzunehmen.

Zentrale Komponente dieses Systems ist eine Stoßmasse, die mit Fre-

quenzen im Schallbereich zwischen einem Bohrstab und einem Ultraschall-

Oszillator Flugbewegungen ausf¨

uhrt. Die zum Gesteinsbohren n¨

otige

Stoßenergie wird von der Stoßmasse in ihrer Intensit¨

at und Frequenz

transformiert. Im Zentrum der Untersuchung stand die Bewegungsanalyse

dieser Stoßmasse.

F¨

ur das Erreichen der Ziele wurde das Stoßbohrsystem in zwei Schrit-

ten untersucht: zun¨

achst wurde die Dynamik des Systems in ihrer Kom-

plexit¨

at reduziert, indem die Annahme getroffen wurde, dass nur die Stoß-

105

KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG, DISKUSSION UND AUSBLICK

masse Bewegungen ausf¨

uhren kann. Das reduzierte System wurde aufgrund

der Stoßkontakte als zeitdiskretes dynamisches System mathematisch mo-

delliert. Differenzengleichungen 2. Ordnung wurden hergeleitet und ein spe-

zieller Algorithmus zur L¨

osung der impliziten, transzendenten Modellglei-

chungen aufgestellt. In einem zweiten Schritt wurde das Modell verfeinert,

um die Dynamik des beweglichen Ultraschalloszillators mit einzubeziehen.

Dies f¨

uhrte auf ein verfeinertes Differenzengleichungssytem 4. Ordnung.

Das Verhalten beider Systeme wurde sowohl in der Praxis als auch in der

Theorie untersucht. Ein Laborpr¨

ufstand wurde f¨

ur das reduzierte System

entwickelt und aufgebaut. Mit verschiedenen ber¨

uhrungslosen Messverfah-

ren wurden Zeitreihen des realen Verhaltens aufgenommen. Techniken aus

dem Gebiet der nichtlinearen Dynamik wurden angewandt sowie Fixpunkte

und periodische L¨

osungen bestimmt, in Zeitreihen wurden periodische mit

chaotischen L¨

osungen verglichen, Bifurkationsanalysen stabiler periodischer

L¨

osungen wurden f¨

ur verschiedene Systemparameter durchgef¨

uhrt, und ein

Einzugsgebiet der periodischen L¨

osung wurde berechnet.

Best¨

atigt und erg¨

anzt durch diese Grunduntersuchungen wurden mithil-

fe der mengenorientierten numerischen Methoden relative globale Attrakto-

ren und Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilungen auf diesen Attraktoren

bestimmt. Aufbauend auf einem Boxunterteilungsalgorithmus, auf dem die

mengenorientierten Methoden basieren, wurde ein Algorithmus zur Berech-

nung von Einzugsgebieten der periodischen L¨

osungen implementiert, mit

dem instabile Mannigfaltigkeiten der Umkehrabbildung des Systems iteriert

wurden.

8.2 Diskussion der Ergebnisse

Die Anwendung der mengenorientierten numerischen Methoden hat verdeut-

licht, dass diese Techniken zur Analyse nichtglatter Systeme der Stoßdyna-

mik eine wichtige und sinnvolle Erg¨

anzung der bisherigen ”klassischen Me-

thoden“ bilden. Es hat sich gezeigt, dass die mengenorientierten Ans¨

atze

daf¨

ur keiner Anpassung bedurften. Allerdings ist eine besondere, zeitdiskre-

te Modellierungsweise, die dem nichtglatten Systemcharakter gerecht wird,

n¨

otig. Sofern die Beschreibung der Bewegungsabl¨

aufe mit Differenzenglei-

chungssystemen m¨

oglich ist, kann der mengenorientierte Ansatz angewendet

werden, ohne Anpassungen f¨

ur Stoßsysteme vornehmen zu m¨

ussen. Gezeigt

wurde die Bestimmung relativer Attraktoren, die ein komplettes Bild der ge-

samten Systemdynamik liefern, ohne dass eine Vorkenntnis ¨

uber das System-

verhalten n¨

otig ist. Der Nachweis von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ¨

uber

die Attraktorenzust¨

ande war f¨

ur nichtglatte Systeme m¨

oglich. Fixpunkte, die

durch Attraktoren lokalisiert werden konnten, wurden f¨

ur eine Robustheits-

und Parameterstudie einer Verzweigungsanalyse unterzogen. Dabei hat sich

gezeigt, dass periodische L¨

osungen nur auf einem sehr schmalen Parameter-

intervall existieren und durch Periodenverdoppelungsbifurkationen ins Chaos

ubergehen.

Besonderen Wert zeigen die Methoden beim Ermitteln des station¨

aren

Langzeitverhaltens. Die exponentielle Divergenz benachbarter L¨

osungen

106

8.2. DISKUSSION DER ERGEBNISSE

erschwert aufgrund der begrenzten Rechenpr¨

azision den iterativen Einsatz

von Integrationsmethoden. Hier liefern die mengenorientierten Methoden

einen wichten Beitrag, da sie das Langzeitverhalten ausschließlich durch

Ein-Schritt-Integrationen (im Fall langsamer Konvergenz diskreter Systeme

kann die Iterationsschrittweite geringf¨

ugig erh¨

oht werden) ermitteln.

F¨

ur das konkrete Beispiel eines Ultraschall-Stoßbohrers mit eindimen-

sionaler Bewegung einer Stoßmasse und doppelseitigem Stoßkontakt wurde

eine Modellierungstechnik dargestellt, die allein auf Differenzengleichungen

beruht. Die Technik ist auch anwendbar auf ¨

ahnliche Systeme, in denen es

sinnvoll ist, von Stoß zu Stoß zu iterieren. Beispielsweise resultierte aus der

Analyse, dass in der station¨

aren, chaotischen Bewegung nur Geschwindig-

keiten unterhalb eines Grenzbereichs erreicht wurden. Die Betrachtung der

statistischen Ergebnisse offenbarte, dass Zust¨

ande hoher Geschwindigkeit

im System 2. Ordnung dominieren und tr¨

agt somit zur Erkl¨

arung des

Funktionsprinzips des Bohrsystems bei.

Periodische L¨

osungen konnten nur am reduzierten Modell 2. Ordnung

gezeigt werden. Sie besaßen f¨

ur alle untersuchten Parameterkombinationen

eine gr¨

oßere Energie¨

ubertragungsleistung als chaotische L¨

osungen, was aus

den h¨

oheren Abfluggeschwindigkeiten der Stoßmasse bei periodischem Ver-

halten hervorgeht.

In der Analyse dieses Bohrsystems hat sich gezeigt, dass eine große Sen-

sibilit¨

at bez¨

uglich der Systemparameter besteht. Einige Parameterbereiche

konnten gefunden werden, innerhalb derer verschiedene L¨

osungen nebenei-

nander koexistieren k¨

onnen. So wurden mehrfach-periodische L¨

osungen ne-

ben chaotischen nachgewiesen. Eine große Streuung der Stoßzahlen, die in

Versuchen beobachtet wurde, trug dazu bei, dass periodische L¨

osungen in

der Praxis nicht auftreten konnten. Der Grund hierf¨

ur liegt in der starken

Abh¨

angigkeit des L¨

osungstypus (irregul¨

ar/regul¨

ar) von den Stoßzahlen.

Weiterhin zeigte die Berechnung von Einzugsgebieten, dass bei zuf¨

alligen

Anfangsbedingungen die Wahrscheinlichkeit f¨

ur chaotische Bewegung sehr

groß ist.

Die Auswertung experimenteller Daten best¨

atigte eine Hypothese, die

der Modellbildung zugrunde lag. Es wurde angenommen, dass die Reso-

nanzl¨

angsschwingungen des Oszillators vor jedem Stoß ihre maximale Re-

sonanzamplitude besitzen. Die beim Stoß ¨

ubertragene Schwingungsenergie

war in einem Bruchteil der Stoßmassenflugzeit wieder der Schwingungsform

zugef¨

uhrt worden, so dass sich die station¨

are Schwingung wieder vor dem

n¨

achsten Stoß einstellen konnte.

Die Analyse des verfeinerten Systems 4. Ordnung resultierte in einer be-

grenzten Boxmenge, aus der die transienten Boxen durch Berechnung eines

invarianten Maßes herausgefiltert wurden. So konnten die m¨

oglichen System-

zust¨

ande unter der chaotisch-deterministischen Langzeitdynamik als stati-

on¨

are, invariante Menge extrahiert werden.

107

KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG, DISKUSSION UND AUSBLICK

8.3 Ausblick

Die mengenorientierten numerischen Methoden liefern einen wichtigen

Beitrag nicht nur f¨

ur die Systemanalyse nichtlinearer Systeme, sondern

k¨

onnen auch das Systemverst¨

andnis nichtglatter Systeme verst¨

arken. In der

vorliegenden Arbeit wurde ein reduziertes System in 2 Dimensionen und

ein verfeinertes System in 4 Dimensionen analysiert. Das verfeinerte System

beanspruchte deutlich mehr Rechenleistung, was darauf zur¨

uckzuf¨

uhren ist,

dass die beobachteten Mannigfaltigkeiten die volle Systemdimension beibe-

halten. F¨

ur die vorliegenden Untersuchungen wurden zur ¨

Uberwindung der

langsamen Konvergenz des Systems dessen Mehrfachiterierte untersucht.

Zur Anwendung der mengenorientierten Methoden wird es hilfreich sein,

das Konvergenzverhalten realer Systeme - insbesondere langsam konver-

genter Systeme - unter verschiedenen Kombinationen von Parametern wie

Anzahl der Testpunkte, Boxunterteilungstiefen oder Iterationsschrittweiten

exemplarisch zu betrachten.

Zwei mechanische Ersatzsysteme wurden aus dem Ultraschall-

Bohrsystem zur Untersuchung abgeleitet. Zeitreihensimulationen und Poin-

car´e-Portraits beider Modelle als auch Laboruntersuchungen an realen Sys-

temen wiesen im Einklang mit mengenorientierten Analysen eine starke Do-

minanz von chaotischem Verhalten nach. Im Zuge einer Optimierung der

Bohrfortschrittsgeschwindigkeit w¨

are es denkbar, eine Regelung zu entwer-

fen, die das System in periodischen Zustand f¨

uhrt. Auf die Nichtvorher-

sagbarkeit der Stoßzahlen und die hohe St¨

oranf¨

alligkeit der periodischen

L¨

osungen w¨

are hierbei zu achten.

108

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