Zur Approximation elektronischer
Wellenfunktionen durch anisotrope
Gauß-Funktionen
vorgelegt von
Diplom-Technomathematiker
Stephan Scholz
geboren in Lauchhammer
Von der Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat. –
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Michael Scheutzow
Berichter: Prof. Dr. Harry Yserentant
Berichter: Prof. Dr. Reinhold Schneider
Berichter: Prof. Dr. Dr. h.c. Wolfgang Hackbusch
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 17. März 2016
Berlin 2016
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Notationen 7
1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung 9
1.1 Grundlagen ................................... 9
1.2 Die schwache Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Die erste Umformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Das Ersatzproblem 17
2.1 Aufteilung im Spektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Die zweite Umformulierung der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . 19
2.3 Formulierung und Eigenschaften des Ersatzproblems . . . . . . . . . . . . 21
3 Approximation durch Exponentialsummen 23
3.1 Die Quadratur schnell fallender Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Die Approximation von r−β.......................... 25
4 Realisierung der Approximationen 29
4.1 Konstruktion der Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Gauß- und Gauß-Hermite-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Normabschätzungen .............................. 34
5 Approximationsrate 41
5.1 Näherung der Lösung des Ersatzproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Approximation der Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Approximation der rechten Seite durch Gauß-Funktionen 51
6.1 Periodisierung.................................. 51
6.2 Fourierreihen .................................. 54
6.3 Approximationseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Ausblick 61
7.1 VerhaltenderNormen ............................. 61
7.2 Die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration . . . . . . . . . . . . . . . 63
Literatur 67
iii
Einleitung
Eine der größten Schwierigkeiten in der angewandten Mathematik wird durch den Fluch
der Dimensionen verursacht. Diskretisiert man etwa eine partielle Differentialgleichung
mit
d
Variablen in jeder Koordinatenrichtung durch 100 Stützstellen, so ergibt sich
ein Gleichungssystem mit 10
2d
Unbekannten. Die Anzahl steigt also exponentiell mit
der Dimension
d
. Gerade bei hochdimensionalen Problemen führt dies zu Systemen,
die mit heutiger Rechenleistung nicht lösbar sind, so dass man gezwungen ist, andere
Lösungsverfahren zu entwickeln. Eine der prominentesten Vertreter dieser Problemklasse
ist die elektronische Schrödinger-Gleichung. Wir zeigen in dieser Arbeit, dass sich die
Lösungen dieser Gleichung, die elektronischen Wellenfunktionen, in der Theorie durch
Linearkombinationen von Gauß-Funktionen annähern lassen. Dabei ist die Approximation
der Wellenfunktion mit einem vollkommen vernachlässigbaren Fehler und einem nur
marginal größeren Aufwand möglich als die Näherung einer regularisierten Variante der
Lösung. Theoretisch ist sogar jede beliebige Konvergenzordnung möglich. Mit diesen
Ergebnissen lassen sich Methoden entwickeln, die das Potential besitzen, den Fluch der
Dimensionen zu brechen.
Die Schrödinger-Gleichung ist eine der wichtigsten Gleichungen in der Quantenmechanik.
Aus den Wellenfunktionen lassen sich alle physikalischen Eigenschaften des beschriebenen
quantenmechanischen Systems ableiten. Sie ist eine partielle Differentialgleichung und
beschreibt die nichtrelativistische Bewegung von
N
Elektronen um
K
Atomkerne, die
aufgrund ihrer wesentlich größeren Masse als fest positioniert angenommen werden können
und nur als Parameter in die Gleichung eingehen (Born-Oppenheimer-Näherung). Die
stationäre Schrödinger-Gleichung entspricht dann gerade dem Eigenwertproblem
Hu =λu,
wobei der Eigenwert
λ
mit der Energie des Systems, welches sich im Zustand
u
befindet,
korrespondiert und der Hamilton-Operator in dimensionsloser Form1durch
H=−
N
X
i=1
∆i−
N
X
i=1
K
X
ν=1
Zν
|xi−aν|+1
2
N
X
i,j=1
i6=j
1
|xi−xj|
gegeben ist. Dabei stehen die
xi∈R3
für die Koordinaten der einzelnen Elektronen.
Weiter ist
aν
die Position und
Zν
die Ladung des
ν
-ten Kerns. Die Eigenfunktionen
werden auch als Wellenfunktionen bezeichnet und sind von den Standorten der einzelnen
Elektronen abhängig, d.h. der Definitionsbereich dieser Funktionen ist der
R3N
, was
1
Durch eine Variablensubstitution lässt sich der übliche Faktor 1
/
2vor dem Laplace-Operator entfernen.
1
2Einleitung
die Hochdimensionalität des Problems widerspiegelt. Neben diesen Parametern wird
die Wellenfunktion noch vom Spin jedes Elektrons beeinflusst. Damit wird die Menge
der zulässigen Wellenfunktionen weiter eingeschränkt. Nach dem Pauli-Prinzip wird
der Zustand eines quantenmechanischen Systems nur von antisymmetrischen Wellen-
funktionen beschrieben. Da wir dies nicht ausnutzen, werden wir dies zu Gunsten einer
übersichtlicheren Notation nicht weiter beachten.
Die gesamte Theorie der Schrödinger-Gleichung ist weit entwickelt. Sie passt nach Kato
[32] in den durch von Neumann aufgestellten mathematischen Rahmen der Quantenme-
chanik [43]: Der Hamilton-Operator lässt sich als selbstadjungierter und unbeschränkter
Operator auffassen. Neben diversen Eigenschaften über das Spektrum sind verschiedene
Regularitätsaussagen für die Lösungen bekannt. Die Details stellen wir in Kapitel 1 dar.
Eine analytische Lösung ist im Großen und Ganzen nur im Falle des Wasserstoff-Atoms
bekannt. In allen anderen Fällen muss eine numerische Approximation durchgeführt
werden, die aufgrund der eingangs genannten Gründe bereits für eine moderate Anzahl
von Elektronen nicht mittels einer herkömmlichen isotropen Diskretisierung realisiert
werden kann. Es gibt nun diverse Lösungsansätze. Eine Möglichkeit besteht etwa in der
Vereinfachung des Problems durch zusätzliche Annahmen. Die bekanntesten Vertreter
dieser Art sind die Hartree-Fock-Methode, die Coupled-Cluster-Methode und die Dichte-
funktionaltheorie. Eine Übersicht findet sich zum Beispiel in [13, 26]. Diese Methoden
werden allesamt mit Erfolg in der Praxis verwendet und erlauben bereits die Behandlung
von sehr großen Molekülen. Im Bereich der hochdimensionalen Probleme zeigt sich die
Technik der Tensorproduktapproximation als vielversprechend [23]. Mit dieser lassen sich
die genannten Methoden weiter verbessern [34, 41].
Nichtsdestotrotz basieren die Verfahren auf einfacheren Modellen und daher ist die Genau-
igkeit eng mit ebendiesen verknüpft. Von dieser Warte her ist eine direkte Approximation
besser, da sie eine systematische Verbesserung erlaubt. In [60] zeigt Yserentant, dass
die Wellenfunktionen eine hohe gemischte Regularität besitzen. Daher bieten sich dünne
Gitter als Approximationsschema an, die sich diese Eigenschaft zunutze machen, um den
Aufwand zu reduzieren [61]. Eine praktische Untersuchung findet sich etwa in [24, 62, 4].
Ein anderer Ansatz basiert auf einer Umformulierung der Schrödinger-Gleichung in ein
Fixpunktproblem, deren Lösung mittels des Monte-Carlo-Verfahrens [31] oder durch
Techniken der Tensorproduktapproximation angenähert wird [25, 9, 36]. Wir übernehmen
diese Vorgehensweise und bringen die Schrödinger-Gleichung zunächst in die genannte
Form. Mit Hilfe einer Aufteilung im Spektralbereich formen wir das Fixpunktproblem
weiter um. Dabei zerlegen wir die Wellenfunktion
u
in einen niederfrequenten Anteil
Qu
und einen hochfrequenten Anteil
Pu
. Dabei entspricht der Operator
Q
einer Faltung
mit einem Gauß-Kern, dessen Breite durch den Parameter
γ
gesteuert wird. Insgesamt
erhalten wir dann die äquivalente Formulierung der Schrödinger-Gleichung
u+P(−∆−λI)−1Vu =Qu,
wobei
V
den Potentialanteil des Hamilton-Operators
H
bezeichnet. Ersetzt man nun die
Inverse des verschobenen Laplace-Operators und das Potential durch Approximationen,
deren relativer Fehler steuerbar ist und beliebig klein werden kann, so ergibt sich daraus
Einleitung 3
ein Ersatzproblem. Statt der Schrödinger-Gleichung untersuchen wir nur noch diese neue
Aufgabe, wobei der relative Fehler zwischen den jeweiligen Lösungen wieder beliebig klein
werden kann.
Wir präsentieren in der vorliegenden Arbeit eine Realisierung der Approximationen,
die mit Hilfe von Exponentialsummen konstruiert wird. Die Annäherung durch solche
Summen hat viele Anwendungsmöglichkeiten und wurde bereits eingehend untersucht.
Als Referenzen dienen zum Beispiel [11, 12, 10]. Die Ergebnisse der letzten Arbeit wer-
den in [5] angewendet, um nichtlineare Approximationen zur Lösung der elektronischen
Schrödinger-Gleichung zu konstruieren. Diese Arbeit ist insofern interessant, da sie in
einigen Grundzügen mit unserer Vorgehensweise übereinstimmt. Vor allem im Bereich der
Tensorproduktapproximation sind Exponentialsummen ein wichtiges Hilfsmittel, wenn es
um die Darstellung oder Annäherung von multivariaten Funktionen durch Produkte ein-
dimensionaler Funktionen geht [23]. Die Umsetzung der Approximationen ist in unserem
Fall formal durch eine Reihe von Gauß-Funktionen gegeben. Die Anwendung des entspre-
chenden Operators für die Inverse des verschobenen Laplace-Operators auf eine Funktion
entspricht dann einer Multiplikation mit den passenden Gauß-Funktionen im Fourierraum.
Hinsichtlich des Potentials wird die Multiplikation im Ortsraum durchgeführt. Ist die
Funktion nun selbst eine Gauß-Funktion oder ein Produkt eines Polynoms mit einer
solchen Funktion, so sind die einzelnen Ergebnisse wieder in dieser Funktionenklasse.
Das Hauptresultat dieser Arbeit lässt sich dann wie folgt charakterisieren: Wir nehmen
an, dass es eine Folge
g1, g2, . . .
von Gauß- bzw. Gauß-Hermite-Funktionen gibt, so dass
für alle ε > 0eine natürliche Zahl n(ε)existiert mit
Qu −
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε, n(ε)≤κ
ε1/s
.
Der Abstand wird dabei in der Norm auf dem gebrochenen Sobolev-Raum gemessen,
dessen Regularität etwas größer als Eins ist, und der Parameter
s
steht für die vorgegebene
Konvergenzordnung. Solche Approximationen lassen sich mit Hilfe von Entwicklungen in
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators oder mittels Fourierreihen konstruieren.
Es zeigt sich, dass sich dieses Verhalten auf die Lösung des Ersatzproblems überträgt: Die
Lösung lässt sich mit der gleichen Konvergenzordnung
s
durch eine Linearkombination
von Gauß- bzw. Gauß-Hermite-Funktionen approximieren. Der Aufwand ist dabei nur
geringfügig größer als der, der bei der Annäherung des niederfrequenten Anteils
Qu
durch
die jeweilige Klasse von Funktionen entsteht. Dafür muss der Parameter
γ
, also gerade
die Breite des Gauß-Kerns, sehr klein gewählt werden. Da der Fehler zwischen der Lösung
des Ersatzproblems und der Lösung der Schrödinger-Gleichung beliebig klein werden
kann, überträgt sich die Approximierbarkeit auf die Wellenfunktionen.
Die Ergebnisse dieser Arbeit bilden die Grundlage für einen neuen Lösungsansatz der
elektronischen Schrödinger-Gleichung. Die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration
[51] ist ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für Operatoren. Dabei wird
zunächst eine Iteration im unendlichdimensionalen Raum hergeleitet, wobei in jedem
Schritt eine kleine Störung hinzukommen darf. Erst bei der numerischen Realisierung
4Einleitung
des Algorithmus verwendet man bestimmte Approximationen der Operatoren, die dann
einer endlichdimensionalen Darstellung entsprechen. Der entstehende Fehler wird dabei
als ebenjene Störung interpretiert. Wir zeigen, dass die Schrödinger-Gleichung in dieses
Konzept passt und dass die Resultate dieser Arbeit zur weiteren Analyse des Verfahrens
beitragen können. Insgesamt besteht die Hoffnung darin, dass sich eine Iteration ergibt,
die nur auf einer Linearkombination von Gauß-Funktionen
exp−1
2(x−a)TA(x−a) + ζ
mit einer Konstanten
ζ∈R
, einer Verschiebung
a∈R3N
und einer symmetrischen,
positiv definiten Matrix
A∈R3N×3N
operiert. Die Rechnungen erfolgen dabei nur unter
Verwendung der genannten Größen. Wir erwarten, dass sich bei Verwendung dieser
Funktionenklasse die Singularitäten entlang der Diagonalen besser auflösen lassen, als
dies zum Beispiel bei der Approximation durch Tensorprodukte möglich ist, da letztere
bestimmte Richtungen festhalten. Letztendlich sind weitere Untersuchung notwendig, die
weit über diese Arbeit hinausgehen.
Diese Arbeit ist wie folgt aufgebaut: Wir beginnen in Kapitel 1 mit einer grundlegenden
Einführung der Schrödinger-Gleichung. Im ersten Abschnitt stellen wir hierzu die wich-
tigsten Grundlagen der stationären Form dar. Im Anschluss leiten wir die schwache oder
variationelle Formulierung der elektronischen Schrödinger-Gleichung her und tragen fun-
damentale Eigenschaften zusammen. Im letzten Teil geben wir eine erste Umformulierung
der Schrödinger-Gleichung an.
In Kapitel 2 starten wir mit einer Aufteilung im Spektralbereich. Dazu zerlegen wir eine
Funktion in einen hoch- und einen niederfrequenten Anteil, wobei wir letzteren durch eine
Faltung mit einem Gauß-Kern erhalten. Nach einer gründlichen Untersuchung nutzen
wir diese Aufteilung, um die bereits bekannte Umformulierung weiter zu verfeinern.
Für die gewonnene Gleichung werden erste Eigenschaften nachgewiesen. Im dritten
Abschnitt leiten wir das Ersatzproblem aus der Umformulierung her, indem wir die
beteiligten Operatoren durch geeignete Approximationen ersetzen. Die Untersuchung der
Charakteristika von Gleichung und Lösung erfolgt dabei völlig allgemein.
Die Näherung von
r−β
durch Exponentialsummen ist die Grundlage für die Approxima-
tionen, die für die Realisierung des Ersatzproblems notwendig sind, und ist Gegenstand
von Kapitel 3. Zunächst leiten wir eine Quadraturformel für schnell fallende Funktionen
über der reellen Achse her. Da sich
r−β
als ein solches Integral darstellen lässt, erhalten
wir im zweiten Abschnitt damit die gewünschte Approximation.
Mit dem Ergebnissen aus dem dritten Kapitel konstruieren wir im ersten Abschnitt
von Kapitel 4 eine Umsetzung der Approximationen, wodurch sich eine spezielle Form
des Ersatzproblems ergibt. Da die Motivation für diese spezielle Wahl die einfache
Umsetzbarkeit ist, steht diese im zweiten Abschnitt im Vordergrund. Beendet wird das
Kapitel von einer genauen Analyse des Normverhaltens der Approximationen, welche
essentiell für die weiteren Untersuchungen ist.
Das Kapitel 5 beinhaltet die zentrale Aussage dieser Arbeit. Im ersten Abschnitt zeigen
wir, dass sich die Lösung des Ersatzproblems mit jeder beliebigen Konvergenzordnung
Einleitung 5
approximieren lässt, sofern dies für die rechte Seite möglich ist. Um dieses Resultat nun
auf den Spezialfall der rechten Seite
f
=
Qu
anwenden zu können, untersuchen wir im
zweiten Abschnitt die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators. Am Ende ergibt sich,
dass sich die Lösung des Ersatzproblems beliebig gut durch Gauß-Hermite-Funktionen
annähern lässt. Im letzten Abschnitt tragen wir alle Ergebnisse zusammen und erhalten
die Aussage über die Approximierbarkeit der Wellenfunktionen.
Die Aussagen lassen sich auch für reine Gauß-Funktionen erzielen. Die entsprechenden
Untersuchungen werden in Kapitel 6 durchgeführt. Dazu führen wir eine Entwicklung
der Fouriertransformation eines Anteils der rechten Seite in eine Fourierreihe durch. Wir
starten im ersten Abschnitt mit einer Periodisierung der entsprechenden Funktion. Nach
einer kurzen Einführung in die Theorie der Fourierreihen beenden wir das Kapitel mit
dem Resultat über die Näherung der rechten Seite durch Gauß-Funktionen. Dadurch
ergibt sich dann die gewünschte Aussage über die Approximation von Wellenfunktionen
durch Gauß-Funktionen.
Im 7. Kapitel beenden wir die Arbeit mit einem Ausblick. Im ersten Abschnitt präsentieren
wir einige Ergebnisse erster numerischer Tests. Diese sollen helfen, die theoretischen
Abschätzungen der Arbeit, besser einzuordnen. Dabei steht das Verhalten der Normen
der Approximationen im Vordergrund. Im letzten Abschnitt präsentieren wir einen
Ansatz zur numerischen Lösung der elektronischen Schrödinger-Gleichung: die gestörte
vorkonditionierte inverse Iteration. Nach einer kurzen Einführung in die Theorie zeigen
wir, wie die Schrödinger-Gleichung in diesen Rahmen passt, und geben Ideen für weitere
Forschungen.
Zum Schluss möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Harry Yserentant
bedanken. Die exzellente Betreuung und die hervorragenden Arbeitsbedingungen haben
maßbeglich zur Entstehung dieser Arbeit beigetragen. Für die Übernahme der weiteren
Gutachten danke ich Prof. Dr. Reinhold Schneider und Prof. Dr. Dr. h.c. Wolfgang
Hackbusch. Desweiteren bedanke ich mich bei allen aktuellen und ehemaligen Mitgliedern
der Arbeitsgruppe von Prof. Yserentant, insbesondere bei Dr. Ludwig Gauckler, Dr. Hans-
Christian Kreusler, Prof. Dr. André Uschmajew und Dr. Patrick Winkert, für die vielen
Diskussionen und Ratschläge.
Notationen
An dieser Stelle wollen wir einige grundlegende Notationen festhalten.
Wir betrachten hauptsächlich Funktionen, die auf dem ganzen
Rd
definiert sind. Der
Wert von
d
wird sich aus dem jeweiligen Kontext ergeben. Der Übersicht halber werden
wir daher den zugrunde liegenden Raum bei den jeweiligen Funktionenräumen in der
Regel nicht nennen.
Der Raum aller quadratintegrierbaren Funktionen wird wie üblich mit
L2
=
L2
(
Rd
)
bezeichnet und beinhaltet alle messbaren Funktionen über dem Rd, deren Norm
kuk0:= ZRd|u(x)|2dx1/2
endlich ist. Das Skalarprodukt ist dann in natürlicher Weise gegeben durch
(u, v)0:= ZRdu(x)v(x) dx .
Wichtige dichte Teilräume von
L2
sind
D
:=
C∞
0
, der Raum aller unendlich oft differenzier-
baren Funktionen mit kompaktem Träger, und der Schwartz-Raum
S
. Letzterer besteht
aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen u∈C∞, für die die Abbildung
x7→ xαDβu(x)
für alle
α, β ∈Nd
0
beschränkt bleibt. Damit fällt
u
und jede Ableitung von
u
schneller
ab als jedes Polynom für
|x| → ∞
. Daher bezeichnet man die Elemente von
S
auch als
schnell fallende Funktionen. Für die Details verweisen wir auf die Standardreferenz [2].
Die Fouriertransformation einer schnell fallenden Funktion u∈ S ist gegeben durch
b
u(ω)=(Fu)(ω) := 1
√2πdZRdu(x) e−iω·xdx .
Dabei ist Feine Selbstabbildung auf Sund für u∈ S ist
u(x)=(F−1b
u)(x) := 1
√2πdZRdb
u(x) eiω·xdω .
Für die Ableitungen von u∈ S gilt die Beziehung
d
Dαu(ω) = (iω)αb
u(ω).
7
8Notationen
Nach dem Satz von Plancherel lässt sich die Fouriertransformation
F
eindeutig zu einer
unitären Abbildung von
L2
nach
L2
fortsetzen, für die
kuk0
=
kb
uk0
gilt. Eine ausführliche
Behandlung dieses Themas findet sich in [49, 53].
Die zugrunde liegenden Funktionenräume in der Theorie partieller Differentialgleichungen
sind die Sobolev-Räume
Hk
, die aus allen quadratintegrierbaren Funktionen bestehen,
deren schwache Ableitungen bis zur Ordnung
k
wieder quadratintegrierbar sind. Da
der zugrunde liegende Raum der
Rn
ist, ergibt sich eine Charakterisierung über die
Fouriertransformation. Wir betrachten dabei direkt Sobolev-Räume
Hs
mit gebrochener
Ordnung
s≥
0. Eine Funktion
u∈L2
ist genau dann ein Element von
Hs
, wenn die
Norm
kuks:= Z(1 + |ω|2s)|b
u(ω)|2dω1/2
endlich bleibt, wobei der Ausdruck
|·|
immer für die euklidische Norm steht. Die Halbnorm
auf Hsist durch
|u|s:= Z|ω|2s|b
u(ω)|2dω1/2
gegeben. Die Räume
D
und
S
sind wieder dichte Teilmengen von
Hs
bezüglich der
k·ks
-
Norm. Üblicherweise führt man eine andere Norm ein, die jedoch zu unserer äquivalent
ist. Weiterhin ist auch eine Charakterisierung mittels Interpolationsräumen möglich [2].
Wir bemerken noch, dass für 0≤s≤tund u∈Htdie Ungleichung
|u|s≤ kukt
und damit die Inklusion Ht⊆Hsgilt.
Die Gammafunktion Γgenügt der Funktionalgleichung Γ(
x
+1) =
x
Γ(
x
)mit Γ(1) = 1. Es
ist also gerade Γ(
n
+ 1) =
n
!für alle
n∈N
. Für alle komplexen Zahlen
z
mit positivem
Realteil ist
Γ(z) = Z∞
0
tz−1e−tdt .
Dies bezeichnet man als Euler’sche Integraldarstellung. Die Gammafunktion wird in
nahezu jedem Lehrbuch der Analysis behandelt, etwa [39].
Wir nutzen die Notation
a.b
, falls es eine Konstante
C
mit
a≤Cb
gibt. Des Weiteren
steht a∼bfür a.b.a.
1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung
Im Jahre 1926 stellte Erwin Schrödinger die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung
für das Wasserstoffatom auf [52] und verallgemeinerte diese dann in den darauffolgenden
Mitteilungen. Sie ist seither eine der grundlegendsten Gesetze der Quantenmechanik
und beschreibt die Dynamik des Zustandes eines quantenmechanischen Systems. Die
Lösungen bezeichnet man als Wellenfunktionen, die sich nur wenigen in Fällen analytisch
bestimmen lassen. Die Approximation solcher Funktionen ist der Hauptgegenstand dieser
Arbeit
Wir beginnen zunächst mit einer Darstellung der wichtigsten Grundlagen. Da die mathe-
matische Theorie im Vordergrund steht, handelt es sich nur um eine sehr grobe Einführung.
Für die physikalischen Details empfehlen wir daher das Studium der einschlägig bekannten
Fachliteratur zur Quantenmechanik, wie etwa [42, 55, 22].
In dieser Arbeit richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die schwache Formulierung der
Schrödinger-Gleichung, die wir im zweiten Teil herleiten werden. Im Verlauf dessen halten
wir einige Eigenschaften fest, die für den weiteren Fortgang der Analyse essentiell sind.
Im letzten Abschnitt wandeln wir die schwache Form der Schrödinger-Gleichung in ein
Fixpunktproblem um, dessen Untersuchung dann in den Fokus dieser Abhandlung rückt.
1.1 Grundlagen
Als Analogon zur Hamilton-Funktion in der klassischen Mechanik betrachtet man in der
Quantenmechanik den Hamilton-Operator
H:= −∆ + V. (1.1)
Operatoren dieses Typs werden in der Literatur auch als Schrödinger-Operatoren be-
zeichnet. Der Hamilton-Operator eines quantenmechanischen Systems lässt sich dabei
häufig durch gewisse Korrespondenzprinzipien direkt aus der Hamilton-Funktion des
entsprechenden klassischen Systems herleiten [55]. Analog dazu wird der Schrödinger-
Operator auch als die Gesamtenergie des Systems interpretiert. Dabei entspricht der
Laplace-Operator ∆der kinetischen und das Potential
V
der potentiellen Energie des
Systems .
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in dimensionsloser Form ist die partielle Diffe-
rentialgleichung
i∂ψ
∂t =Hψ.
9
10 1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung
Im stationären Fall, d.h. bei einem zeitunabhängigen Hamilton-Operator, reduziert sich
die Schrödinger-Gleichung auf das Eigenwertproblem
Hu =λu.
In dieser Arbeit untersuchen wir die elektronische Schrödinger-Gleichung. Sie dient der
Beschreibung von Atomen oder Molekülen, die sich aus einer bestimmten Anzahl von
Kernen und Elektronen zusammensetzen. Da die Kerne wesentlich schwerer sind als
die Elektronen, verwenden wir die sogenannte Born-Oppenheimer-Näherung. Dabei teilt
man die Gleichung in zwei Teilprobleme auf. Die Bewegung der Elektronen wird dabei
quantenmechanisch behandelt, wobei die Positionen der Kerne als Parameter in die
Gleichung einfließen. Bei den Kernen verwendet man dann die Gesetze der klassischen
Mechanik. Für ein System von
N
Elektronen und
K
Kernen mit der positiven Ladung
Zν
und der Position
aν∈R3
besteht die Aufgabe demnach im Auffinden der Eigenwerte
und Eigenfunktionen des elektronischen Hamilton-Operators
H=−
N
X
i=1
∆i−
N
X
i=1
K
X
ν=1
Zν
|xi−aν|+1
2
N
X
i,j=1
i6=j
1
|xi−xj|(1.2)
in dimensionsloser Form. Der Definitionsbereich des Operators besteht aus Funktionen,
deren Argumente
x1, . . . , xN∈R3
gerade die Koordinaten der einzelnen Elektronen
darstellen. Die Wechselwirkung zwischen den Elektronen mit sich selbst und den Kernen
wird dabei durch das Potential
V=−
N
X
i=1
K
X
ν=1
Zν
|xi−aν|+1
2
N
X
i,j=1
i6=j
1
|xi−xj|,(1.3)
beschrieben.
Der mathematische Rahmen der Quantenmechanik bildet die Theorie der unbeschränkten
selbstadjungierten Operatoren und geht auf von Neumann zurück [43]. Kato zeigt dann,
dass Hamilton-Operatoren wie (1.2) eben genau zu dieser Gruppe gehören [32].
Der erste Schritt bei der Untersuchung ist die Festlegung des zugrunde liegenden Funktio-
nenraumes, in dem das Eigenwertproblem, also die elektronische Schrödinger-Gleichung,
formuliert werden soll. Man beschränkt sich zunächst auf die Menge aller quadratintegrier-
baren Funktionen auf dem
R3N
. Dies ist bereits vom physikalischen Standpunkt aus
wichtig, da der Ausdruck ZΩ|u(x)|2dx
als Aufenthaltswahrscheinlichkeit der
N
Teilchen in der Menge Ω
⊆R3N
interpretiert
wird. Daher ist es entscheidend, dass die
L2
-Norm der Wellenfunktionen endlich ist und
somit eine Normierung möglich ist. Da der Laplace-Operator nicht für alle Funktionen
aus
L2
definiert ist, schränken wir den Definitionsbereich des Hamilton-Operators auf
H1
ein. Dieser Raum umfasst alle Funktionen aus
L2
, deren erste schwache Ableitung
1.2 Die schwache Formulierung 11
wieder quadratintegrierbar ist. Im Folgenden werden wir sehen, dass die variationelle
Formulierung der Schrödinger-Gleichung dann wohldefiniert ist.
Bevor damit begonnen wird, muss noch Folgendes festgestellt werden:
In dieser Arbeit sind die Wellenfunktionen von der Form
u:R3N→R: (x1, . . . , xN)7→ u(x1, . . . , xN).
Die Zeitabhängigkeit des Problems wurde bereits erläutert. Üblicherweise hängen diese
Funktionen jedoch auch noch von
N
weiteren Variablen ab, dem sogenannten Spin. Dieser
Eigendrehimpuls nimmt für jedes Elektron den Wert +1
/
2oder
−
1
/
2an. Der Hamilton-
Operator
(1.2)
ist dabei unabhängig von dieser Größe, aber die Menge der zulässigen
Wellenfunktionen wird damit weiter eingeschränkt. Nach dem Pauli-Prinzip beschreiben
nur antisymmetrische Funktionen den Zustand eines elektronischen Systems. Diese
Eigenschaft ist unter anderem wichtig, um Regularitätsaussagen für die Eigenfunktionen
zu beweisen [61]. Da wir die Antisymmetrie nicht ausnutzen werden und um die Notation
einfach zu halten, betrachten wir den Spin nicht weiter.
Die letzte Anmerkung gilt dem Bild der Wellenfunktionen. Üblicherweise nehmen diese
Abbildungen komplexe Werte an. Da der Hamilton-Operator
H
selbstadjungiert ist,
sind alle Eigenwerte reell. Aufgrund der Linearität zerfällt das System dann in jeweils
eine Gleichung für den Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion. Dies rechtfertigt die
Beschränkung auf Funktionen mit reellem Bild.
1.2 Die schwache Formulierung
Ausgangspunkt für die schwache Formulierung der Schrödinger-Gleichung ist eine verall-
gemeinerte Variante der Hardy-Ungleichung, welche sich in der gesamten Arbeit als eines
unserer wichtigsten Hilfsmittel erweisen wird.
Satz 1.1. Sei 0≤1 + ϑ < 3/2. Dann gilt für alle v∈ D(R3)
Z1
|x|2(1+ϑ)v(x)2dx≤c2
H(ϑ)|v|2
1+ϑ,(1.4)
wobei
cH(ϑ) := 21−ϑ
1+2ϑ
Γ(1/4−ϑ/2)
Γ(1/4 + ϑ/2) (1.5)
optimal ist.
Der Beweis dieses Resultats erfordert einige Hilfsmittel und findet sich in [59]. Der
Spezialfall
ϑ
= 0 lässt sich relativ elementar behandeln [61]. Für weitere Details und
historische Bemerkungen verweisen wir auf [15, 14] und die darin enthaltenen Referenzen.
Der Laplace-Anteil in der Schrödinger-Gleichung stellt bekanntlich kein Problem dar.
Anders ist es jedoch mit dem Potential, dessen Singularitäten eine genaue Untersuchung
12 1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung
erfordern. Wir gehen wie in [61] vor und übernehmen die Notation: Die Summe aller
Kernladungen Zνist die Gesamtladung und wird mit Zbezeichnet. Des Weiteren sei
Θ(N, Z) := 3√Nmax(N, Z).(1.6)
Mit Hilfe des Satzes von Fubini und der Hardy-Ungleichung erhält man:
Satz 1.2. Für alle u, v ∈ D(R3N)gilt
kVuk0≤Θ(N, Z)|u|1.(1.7)
Eine etwas ausführlichere Abhandlung dieser Abschätzung findet sich in [60]. Der Beweis
von Satz 4.12 wird vollständig dargestellt und erfordert eine ähnliche Vorgehensweise, so
dass dieser auch als Referenz nützlich ist.
Da Din H1dicht liegt, ergibt sich aus dem letzten Satz:
Korollar 1.3.
Für jedes
u∈H1
ist
x7→
(
Vu
)(
x
) =
V
(
x
)
u
(
x
)quadratintegrierbar, d.h.
wir können Vals Multiplikationsoperator von H1nach L2auffassen.
Die variationelle Formulierung ergibt sich nun wie folgt. Der Hamilton-Operator
(1.1)
induziert zunächst eine Bilinearform a:D×D → Rdurch
a(u, v) := (Hu, v)0= (∇u, ∇v)0+ (Vu, v)0.(1.8)
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und Satz 1.2 ergibt sich
a(u, v)≤1 + Θ(N, Z)kuk1kvk1(1.9)
für alle
u, v ∈ D
. Damit kann
a
zu einer symmetrischen, beschränkten Bilinearform auf
H1fortgesetzt werden.
Definition 1.4.
Wir nennen eine Funktion
u∈H1
,
u6
= 0 Eigenfunktion des Hamilton-
Operators H(1.2) zum zugehörigen Eigenwert λ, falls
a(u, v) = λ(u, v)0(1.10)
für alle Testfunktionen
v∈H1
gilt. Dies ist die schwache Form der elektronischen
Schrödinger-Gleichung
Hu =λu. (1.11)
Der Spin und das Pauli-Prinzip lassen sich ohne Probleme in diesen variationellen Rahmen
einbinden [61].
Das mathematische Fundament der Quantenmechanik fußt im Großen und Ganzen auf
der Spektraltheorie unbeschränkter selbstadjungierter Operatoren. Eine Einführung in
dieses Gebiet nebst Anwendungen in der Quantenmechanik findet sich in [27, 48, 49, 50,
57, 58]. Im Bezug zu dieser Arbeit bietet sich hier besonders die Lektüre von [61] an, die
1.2 Die schwache Formulierung 13
die wichtigsten Punkte kurz und knapp behandelt und als Referenz für den weiteren Teil
dieses Abschnittes dient.
Das Spektrum der Bilinearform
a
umfasst unter anderem die Eigenwerte
λ
aus
(1.10)
.
Das Komplement des Spektrums in den komplexen Zahlen bezeichnet man als die
Resolventenmenge. Man zerlegt das Spektrum in mehrere disjunkte Teile. Dafür gibt es
verschiedene Möglichkeiten, wobei für uns die Aufteilung in wesentliches und diskretes
Spektrum interessant ist. Letzteres umfasst alle Eigenwerte, die isoliert sind und endliche
Vielfachheit besitzen. Alle anderen Werte, die nicht zur Resolventenmenge gehören, bilden
dann das wesentliche Spektrum.
Im Falle der elektronischen Schrödinger-Gleichung sind genauere Strukturaussagen über
das Spektrum bekannt. Zunächst existiert das Minimum des Spektrums. Dieser Wert
entspricht der Grundzustandsenergie des Atoms oder Moleküls und wird mit Λbezeichnet.
Dies ist die niedrigste Energie, die das quantenmechanische System annehmen kann.
Wie in der klassischen Mechanik versucht ein System immer, in diesen stabilen Zustand
überzugehen. Die zweite wichtige Größe ist die Ionisierungsschwelle Σ. Dieser Wert
entspricht der erforderlichen Energie, um ein Elektron aus dem Atom oder Molekül
herauszutrennen. Man kann nun zeigen, dass die Ionisierungsschwelle das Minimum des
wesentlichen Spektrums ist und nach oben durch Null beschränkt ist. Wir nehmen an,
dass die Relation
Λ<Σ
gilt, was zum Beispiel bei stabilen Verbindungen der Fall ist. Dann ist die Grundzu-
standsenergie ein Element des diskreten Spektrums. Dies ist aber noch nicht alles. Das
HVZ-Theorem
1
besagt nun, dass das wesentliche Spektrum gerade dem Intervall [Σ
,
+
∞
)
entspricht. Demnach ist jeder Wert des diskreten Spektrums kleiner als die Ionisierungs-
schwelle, also in unserem Fall negativ. Im Falle von neutralen Atomen oder positiven
Ionen besteht das diskrete Spektrum aus unendlichen vielen Punkten, die sich bei Σ
häufen. Als Referenzen für die letzten Aussagen dienen [22, 29, 50, 58].
Die Werte des diskreten Spektrums, die größer als die Grundzustandsenergie sind, ent-
sprechen den angeregten Zuständen des Systems. Dabei wird der jeweilige Zustand durch
die zugehörigen Eigenfunktionen beschrieben. Da der Grundzustand stabil ist, inter-
essiert man sich in der Quantenchemie hauptsächlich für Λund die entsprechenden
Wellenfunktionen. Die bisherigen Erkenntnisse zeigen, dass die Energie unterhalb der
Ionisierungsschwelle nicht jeden beliebigen Wert annehmen kann, sie ist also quantisiert.
Dieses Verhalten fand bereits Eingang in das Bohr’sche Atommodell und wurde später
von Schrödinger erklärt [52].
Wir fassen nun die wichtigsten Aussagen über das Spektrum zusammen:
Satz 1.5.
Das diskrete Spektrum der Fortsetzung der Bilinearform
a
aus
(1.8)
besteht
aus unendlich vielen Eigenwerten, deren Minimum Λist. Jeder dieser Eigenwerte ist echt
kleiner als Null.
1
Hunziker, van Winter und Zhislin haben diese Aussage unabhängig voneinander in den 1960er Jahren
bewiesen.
14 1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung
Kommen wir nun zu den Eigenschaften der Wellenfunktionen. In puncto Regularität
lässt sich zunächst die zweimalige schwache Differenzierbarkeit der Eigenfunktionen
nachweisen. Dies wird später durch die Umformulierung der Schrödinger-Gleichung
schnell deutlich. Für Aussagen zur gemischten Regularität verweisen wir auf [61, 40].
Neben diesen Resultaten konnte bereits früh gezeigt werden, dass die Wellenfunktionen
stetig sind und außerhalb der Singularitäten des Potentials
V
aus
(1.3)
beschränkte erste
Ableitungen im klassischen Sinne besitzen [33]. Besonders interessant für uns ist das
Abklingverhalten der Eigenfunktionen, das sich unter anderem wie folgt charakterisieren
lässt:
Satz 1.6.
Sei
u
eine Eigenfunktion zum Eigenwert
λ <
Σaus Definition 1.4. Dann
fallen die Funktionen
u
und
∇u
im
L2
-Sinne exponentiell ab, d.h. für alle
λ < ˜
Σ<
Σ
sind die Funktionen
x7→ exp q2(˜
Σ−λ)|x|u(x), x 7→ exp q2(˜
Σ−λ)|x|∇u(x)(1.12)
quadratintegrierbar.
Diese isotropische Beschreibung des Verhaltens der Wellenfunktionen geht auf den Artikel
[47] zurück. Ein Beweis dieses Satzes, der auf unseren Notationen basiert, wird in [61]
geführt. Das exponentielle Abklingverhalten ist jedoch hochgradig anisotrop, so dass
wesentlich genauere Aussagen möglich sind. Das Standardwerk zu diesem Thema ist [3].
In beiden genannten Monografien finden sich weitere Referenzen, insbesondere auch zu
mehr Resultaten dieser Art.
1.3 Die erste Umformulierung
Ist die schwache Form gegeben, kann man versuchen, die Lösung mittels herkömmli-
cher Techniken, wie etwa dem Rayleigh-Ritz-Verfahren, zu approximieren. Durch die
Hochdimensionalität des Problems gelangt man bereits bei einem System mit niedriger
Elektronenanzahl an die Grenzen unserer heutigen Rechenleistung. Nutzt man etwa für
jede Koordinatenrichtung ein Gitter mit 100 Punkte, so ergibt sich für
N
Elektronen
ein Gleichungssystem mit 10
6N
Unbekannten. Die Anzahl der Variablen wächst also
exponentiell in
N
. Dies bezeichnet man als den Fluch der Dimensionen. Durch die
bereits angesprochene hohe gemischte Regularität der Eigenfunktionen lässt sich aber
mit Hilfe von dünnen Gittern, zumindest für eine moderate Anzahl von Elektronen, eine
Approximation konstruieren [62, 21].
Wir gehen einen anderen Weg und formulieren die Schrödinger-Gleichung in ein Fix-
punktproblem um. Dieser Ansatz wurde bereits in einigen Arbeiten diskutiert [31, 25, 9,
36].
Für die Umformulierung betrachten wir zunächst für f∈ S den Operator
(Rf)(x) := 1
√2π3NZ1
|ω|2−λb
f(ω) eiω·xdω . (1.13)
1.3 Die erste Umformulierung 15
Dabei sei
λ <
Σein Eigenwert des elektronischen Hamilton-Operators. Nach dem
vorherigen Abschnitt ist
λ
stets echt kleiner Null und damit ist der Ausdruck
(1.13)
wohldefiniert.
Da die Fouriertransformation eine Selbstabbildung auf
S
ist, ist mit
f
auch
b
f
schnell
fallend. Man rechnet nun leicht nach, dass dann auch
ω7→ 1
|ω|2−λb
f(ω)(1.14)
ein Element aus
S
ist. Der Operator
R
ist damit eine Selbstabbildung auf dem Raum
der schnell fallenden Funktionen.
Da (
Rf
)(
x
)nichts anderes ist als die inverse Fouriertransformation, angewandt auf die
Funktion aus Gleichung (1.14), gilt die Identität
F(Rf)(ω) = 1
|ω|2−λb
f(ω).(1.15)
Mit Hilfe der Fouriertransformation lässt sich nun ohne Probleme die Inverse angeben.
Lemma 1.7. Die Inverse R−1:S → S von Rist gegeben durch
R−1v=−∆v−λv. (1.16)
Beweis. Sei v∈ S. Wir müssen zeigen, dass R−1Rv =vgilt. Zunächst ist
F(R−1v)(ω)=(|ω|2−λ)b
v(ω).
Dies ist eine simple Konsequenz aus der Tatsache, dass die Differentiation im Orts-
bereich einer Multiplikation im Frequenzbereich entspricht. Daraus ergibt sich mit
Gleichung (1.15)
F(R−1Rv)(ω)=(|ω|2−λ)F(Rv)(ω) = b
v(ω)
und damit die Behauptung.
Der Definitionsbereich von
R
lässt sich wesentlich vergrößern. Für
f∈ S
ergibt sich
zunächst die Abschätzung
kRfk2
2=Z(1 + |ω|4)
1
|ω|2−λb
f(ω)
2
dω≤1 + λ2
λ2kfk2
0.(1.17)
Damit lässt sich Rauf den gesamten L2fortsetzen, wobei der Bildraum eine Teilmenge
von
H2
ist. Im weiteren Verlauf werden wir noch die Symmetrie von
R
bezüglich des
Skalarproduktes in L2ausnutzen. Diese ergibt sich sofort mit dem Satz von Fubini.
Bemerkung 1.8.Der Operator
R
ist die Resolvente des Laplace-Operators, also gerade
R
= (
−
∆
−λ
)
−1
. Er bildet die rechte Seite
f∈L2
auf die Lösung
u
=
Rf
der
Differentialgleichung
−∆u−λu =f
in ihrer schwachen Form ab.
16 1 Die elektronische Schrödinger-Gleichung
Wir sind nun in der Lage, eine erste Umformulierung der Schrödinger-Gleichung anzuge-
ben.
Satz 1.9.
Die Funktion
u∈H1
ist genau dann eine Eigenfunktion zum Eigenwert
λ <
Σ
gemäß Definition 1.4, wenn udie Gleichung
u+RVu = 0 (1.18)
erfüllt.
Beweis.
Wir bemerken zunächst, dass nach Korollar 1.3 und den aufgezeigten Eigen-
schaften des Operators Rdie Abbildung RVu wohldefiniert ist.
Sei also ueine Eigenfunktion zum Eigenwert λ. Dann ist für v∈ S
0 = a(u, v)−λ(u, v)0= (∇u, ∇v)0−λ(u, v)0+ (Vu, v)0
= (u, −∆v−λv)+(Vu, v)0= (u, R−1v)+(Vu, v).
Da Reine Selbstabbildung auf Sist, ergibt sich daraus mit Hilfe der Symmetrie von R
0=(u, R−1Rv)0+ (Vu, Rv)0= (u, v)0+ (RVu, v)0,
also ist für alle v∈ S (u+RVu, v)0= 0.
Da die schnell fallenden Funktionen in H1dicht liegen, erfüllt also uGleichung (1.18).
Gilt umgekehrt für
u
die Gleichung
(1.18)
, so kann die Argumentation rückwärts durch-
geführt werden. Dann gilt für alle v∈ S
a(u, v) = λ(u, v)
und ein Dichtheitsargument liefert die Behauptung.
Bemerkung 1.10.Mit Hilfe der Umformulierung ergibt sich sofort, dass die Eigenfunktio-
nen zu den Eigenwerten aus dem diskreten Spektrum zweimal schwach differenzierbar
sind.
2 Das Ersatzproblem
Wir kommen nun zum zentralen Abschnitt dieser Arbeit, in dem wir die Hauptidee
möglichst allgemein formulieren wollen.
Ausgangspunkt ist eine Aufteilung im Spektralbereich. Dabei zerlegen wir eine Funktion
in zwei Teile: einen niederfrequenten und einen hochfrequenten Anteil. Mit Hilfe dieser
Zerlegung formulieren wir die Schrödinger-Gleichung im zweiten Schritt weiter um. Dabei
schränken wir den Funktionenraum ein, um Aussagen über die Lösbarkeit zu erhalten.
Daraus ergibt sich im letzten Abschnitt unser Ersatzproblem, wobei hier die Resolvente
und das Potential durch Approximationen ersetzt werden. Durch die spezielle Wahl
dieser Näherungen ergeben sich nahezu die gleichen Eigenschaften, die auch die zweite
Umformulierung aufweist, und wir sind in der Lage, eine Abschätzung des Fehlers zwischen
den beiden Lösungen anzugeben.
2.1 Aufteilung im Spektralbereich
Die Idee ist, eine Funktion in zwei Teile zu zerlegen. Diese Aufteilung wird durch einen
Parameter gesteuert, der von zentraler Bedeutung in der gesamten Arbeit ist. Eine
ähnliche Zerlegung wurde bereits in [60] genutzt, um die gemischte Regularität der
Wellenfunktionen nachzuweisen. Wir modifizieren das Vorgehen etwas und verwenden
statt der Multiplikation mit der charakteristischen Funktion einer Kugel die Faltung mit
einem glatten Kern.
Für γ∈(0,1) definieren wir den Gauß-Kern K∈ S durch
K(x) := 1
4πγ 3N/2
exp−|x|2
4γ.(2.1)
Der Operator Q:L2→L2sei dann gerade die Faltung mit diesem Kern, also
Qu(x) := (K∗u)(x) = ZK(y)u(x−y) dy . (2.2)
Da die Fouriertransformation einer Faltung gleich dem Produkt der Fouriertransformierten
ist, gilt
d
Qu(ω)=e−γ|ω|2b
u(ω).(2.3)
Die Anwendung des Operators
Q
auf eine Funktion
u
entspricht daher einer Multiplikation
mit einer Gauß-Funktion im Fourierraum. In diesem Sinne kann man dann
Qu
als den
niederfrequenten Anteil der Funktion ubezeichnen.
17
18 2 Das Ersatzproblem
Fasst man den Parameter
γ
als Zeit auf und lässt ihn als zweites Argument von
K
zu, so wird durch Gleichung
(2.1)
die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung
definiert [16]. In diesem Sinne ist dann
Qu
die Lösung dieser Gleichung zum Zeitpunkt
γ
für den Anfangswert
u
. Dabei stellt sich bereits bei geringen Anforderungen an die
Anfangsbedingung eine hohe Regularität der Lösung ein. Wir wollen nun ein für unsere
Zwecke angepasstes Resultat in dieser Richtung zeigen.
Satz 2.1.
Sei
u∈L2
eine im
L2
-Sinne exponentiell abfallende Funktion, d.h. es gibt ein
µ > 0, so dass
x7→ eµ|x|u(x)(2.4)
quadratintegrierbar ist. Dann ist Qu eine schnell fallende Funktion.
Beweis.
Wir werden zeigen, dass
d
Qu
schnell fallend ist. Da die Fouriertransformation
eine Bijektion auf dem Schwartz-Raum Sist, ist dies äquivalent zur Behauptung.
Da
u
exponentiell abfallend ist, ist für alle Multiindizes
β∈N3N
0
die Funktion
x7→ xβu
(
x
)
integrierbar. Mit dem Satz von Lebesgue bzw. dessen Folgerung über die Vertauschbarkeit
von Ableitung und Integration folgt daraus, dass
b
u
unendlich oft differenzierbar ist, wobei
wir für die Details auf [53] verweisen. Aus der Darstellung
(2.3)
ergibt sich dann
d
Qu ∈C∞
.
Wir müssen nun noch zeigen, dass die Abbildung
ω7→ ωαDβd
Qu(ω)
für alle
α, β ∈N3N
0
beschränkt bleibt. Die Anwendung der Produktregel zeigt, dass es
ausreicht, Terme der Form
ωαe−γ|ω|2Dβb
u(ω)
zu betrachten. Weil die Exponentialfunktion schneller als jedes Polynom abfällt und
aufgrund der Beziehung zwischen Ableitung und Fouriertransformation, erhalten wir die
Abschätzung
|ωαe−γ|ω|2Dβb
u(ω)|.|Dβb
u(ω)|.Z|xβu(x)|dx .
Da wir bereits wissen, dass
x7→ xβu
(
x
)ein Element von
L1
ist, folgt insgesamt die
Behauptung.
Als Gegenspieler zu Qdefinieren wir den Operator P:L2→L2durch
Pu := u−Qu, d
Pu(ω) = (1 −e−γ|ω|2)b
u(ω),(2.5)
wobei dies den hochfrequenten Anteil der Funktion
u
darstellt. Schränkt man den
Definitionsbereich von
P
weiter ein, so ergibt sich eine simple, aber entscheidende
Abschätzung.
Lemma 2.2. Ist 0≤s≤t≤2, so gilt für alle u∈Ht
|Pu|s≤γ(t−s)/2|u|t,kPuks≤√2γ(t−s)/2|u|t.(2.6)
2.2 Die zweite Umformulierung der Schrödinger-Gleichung 19
Beweis. Wir erhalten zunächst für y≥0und α∈[0,1] die Abschätzung
1−e−y
yα≤1.(2.7)
Damit ergibt sich
|Pu|2
s=γt−sZ1−e−γ|ω|2
(γ|ω|2)(t−s)/22
|ω|2t|b
u(ω)|2dω≤γt−s|u|2
t.
Die zweite Ungleichung ergibt sich daraus mit Hilfe der Definition der Norm.
Bemerkung 2.3.Bis auf dieses Lemma gelten alle Aussagen auch für
γ >
0. Durch eine
simple Fallunterscheidung lässt sich jedoch auch das letzte Ergebnis auf den größeren
Parameterbereich ausdehnen. Wir werden jedoch im Folgenden sehen, dass
γ
immer
kleiner als Eins gewählt werden muss.
Mit Hilfe der eingeführten Operatoren erhalten wir also die Zerlegung
u=Qu +Pu,
wobei der niederfrequente Anteil
Qu
nach Satz 2.1 im Falle einer im
L2
-Sinne exponentiell
abklingenden Funktion
u
schnell fallend ist. Diese Eigenschaft erfüllt nach Satz 1.6
insbesondere jede Lösung uder Schrödinger-Gleichung.
2.2 Die zweite Umformulierung der Schrödinger-Gleichung
Wir wollen nun die im ersten Abschnitt eingeführte Zerlegung nutzen, um die Um-
formulierung der Schrödinger-Gleichung
(1.18)
weiter zu verändern. Durch geschickte
Wahl der zugrunde liegenden Funktionenräume ergibt sich schließlich ein Problem, das
hervorragende Eigenschaften hinsichtlich der Lösbarkeit besitzt.
Zunächst ist Gleichung
(1.18)
unter Verwendung der Operatoren
Q
und
P
äquivalent zu
u+PRVu =−QRVu. (2.8)
Ist
u
eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, so können wir die Gleichung noch weiter
vereinfachen und erhalten
u+PRVu =u−P u =Qu. (2.9)
Der Parameter
γ
wird später so gewählt, dass der Operator
PRV
kontraktiv ist. Nach
Lemma 2.2 benötigen wir dafür eine echte Ungleichung zwischen den Regularitätsord-
nungen vom Definitions- und Bildbereich von
P
. Dafür sei 0
≤ϑ <
1
/
2. Dann gelten die
Inklusionen
H2⊆H2−ϑ⊆H1+ϑ⊆H1,
wodurch die Definitions- und Bildbereiche der beteiligten Operatoren wie folgt verändert
werden können:
V:H1+ϑ→L2, R:L2→H2−ϑ, P :H2−ϑ→H1+ϑ.
20 2 Das Ersatzproblem
Bemerkung 2.4.Anstelle der Größen 1 +
ϑ
und 2
−ϑ
, die nur von einem Parameter
abhängen, kann die gesamte Argumentation auch mit den Kennwerten 1
≤ϑ1< ϑ2≤
2
durchgeführt werden. Auf diese zusätzliche Allgemeinheit wollen wir zugunsten einer
übersichtlicheren Notation verzichten.
Wir setzen
cR:= 1 + λ2
λ21/2
(2.10)
und erhalten aus |u|s≤ kuktfür s≤tund der Abschätzung (1.17):
Lemma 2.5. Für f∈L2ist
|Rf|2−ϑ≤cRkfk0.(2.11)
Damit haben wir alle Mittel zur Hand um die Gleichung (2.8) genauer zu untersuchen.
Satz 2.6. Für genügend kleines γist der Operator
T:H1+ϑ→H1+ϑ:u7→ PRVu. (2.12)
kontrahierend.
Beweis.
Es gilt für
u∈H1+ϑ
mit Lemma 2.2, Lemma 2.5 und Satz 1.2 die Ungleichung
kTuk1+ϑ=kPRVuk1+ϑ≤√2γ(1−2ϑ)/2cRΘ(N, Z)kuk1+ϑ.(2.13)
Ersetzt man in Gleichung
(2.8)
die rechte Seite durch ein beliebiges
f∈H1+ϑ
, so folgt
aus der Kontraktivität von Tdie eindeutige Lösbarkeit:
Korollar 2.7. Für jedes f∈H1+ϑhat die Gleichung
u+Tu =f(2.14)
genau eine Lösung u∈H1+ϑ, die durch die Neumann’sche Reihe
u=
∞
X
ν=0
(−1)νTνf(2.15)
gegeben ist.
2.3 Formulierung und Eigenschaften des Ersatzproblems 21
2.3 Formulierung und Eigenschaften des Ersatzproblems
Bis zu dieser Stelle haben wir das eigentliche Problem nur umgeformt. Denkt man an eine
numerische Berechnung der Lösung
u
für die Gleichung
(2.14)
über die Neumann’sche
Reihe
(2.15)
, so ist man der Lösung des Problems bisher nicht näher gekommen, da
die Anwendung des Operators
T
aufgrund der Hochdimensionalität weiterhin immense
Probleme verursacht. Daher werden wir die Resolvente und das Potential durch entspre-
chende Approximationen ersetzen. Dies führt zu unseren Ersatzproblem, welches wir
zunächst für den allgemeinen Fall untersuchen werden.
Definition 2.8.
Zu jedem
ε >
0seien die linearen Operatoren
Rε:L2→H2−ϑ
und
Vε:H1+ϑ→L2
Approximationen der Resolvente
R
bzw. des Potentials
V
mit der
Eigenschaft
|Rf −Rεf|2−ϑ≤ε|Rf|2−ϑ,kVu −Vεuk0≤ε|u|1(2.16)
für alle f∈L2und u∈H1+ϑ.
Für jedes ε > 0erhalten wir durch
Tε:H1+ϑ→H1+ϑ:uε7→ PRεVεuε.(2.17)
einen Operator, der die gleichen Eigenschaften wie Taufweist.
Wir zeigen zunächst, dass sich das approximative Verhalten auf
Tε
folgendermaßen
überträgt:
Lemma 2.9. Mit der Konstanten
δ:= √2γ(1−2ϑ)/2cRΘ(N, Z)(2ε+ε2)(2.18)
gilt für alle u∈H1+ϑdie Abschätzung
kTεu−Tuk1+ϑ≤δ|u|1.(2.19)
Beweis. Mit Hilfe der Identität
RVu −RεVεu=R(Vu −Vεu)+(R−Rε)(Vεu−Vu)+(R−Rε)Vu
gilt nach Lemma 2.5, Satz 1.2 sowie den Approximationseigenschaften von Rεund Vε
|RVu −RεVεu|2−ϑ≤cRε+ε2+Θ(N, Z)ε|u|1≤cRΘ(N, Z)2ε+ε2)|u|1.
Mit Lemma 2.2 folgt dann die Behauptung.
Mit diesem Resultat und der Ungleichung (2.13) folgt analog zu Satz 2.6:
Satz 2.10. Für genügend kleines γist der Operator Tεkontraktiv.
22 2 Das Ersatzproblem
Damit ergibt sich die eindeutige Lösbarkeit unseres Ersatzproblems.
Korollar 2.11. Für jedes fε∈H1+ϑhat die Gleichung
uε+Tεuε=fε(2.20)
genau eine Lösung
uε∈H1+ϑ
, die analog zu
(2.15)
durch die Neumann’sche Reihe gegeben
ist.
Die Frage ist nun, wie sich der Abstand der beiden Lösungen verhält.
Satz 2.12. Ist udie Lösung von (2.14) und uεdie Lösung von (2.20), so gilt
ku−uεk1+ϑ.kf−fεk1+ϑ+ε|u|1.(2.21)
Beweis. Es ist
u−uε=f−fε+Tεuε−Tu =f−fε+Tε(u−uε) + Tεu−Tu.
Mit Lemma 2.9 und der Kontraktivität von Tεergibt sich daraus
ku−uεk1+ϑ≤kf−fεk1+ϑ+δ|u|1
1−kTεk,
was gerade der Behauptung entspricht.
Lässt sich also
f
beliebig gut durch
fε
approximieren oder sind die rechten Seiten sogar
gleich, so beträgt der relative Fehler der Lösungen höchstens
ε
. Das Verhalten der
Approximationen überträgt sich also im Großen und Ganzen auf den Fehler.
Fassen wir nun die Erkenntnisse kurz zusammen. Unser Ziel ist die Approximation der
Wellenfunktion
u
. Wir wählen daher gemäß Gleichung
(2.9)
als rechte Seite
f
=
Qu
.
Statt der Umformulierung der Schrödinger-Gleichung lösen wir das Ersatzproblem
(2.20)
.
Dies ist der Ausgangspunkt. Es gibt nun eine Vielzahl von Möglichkeiten für die weitere
Vorgehensweise.
Wir präsentieren in dieser Arbeit eine Variante, die auf der Approximation durch Expo-
nentialsummen beruht. Diese erfüllt nicht nur die geforderten Eigenschaften, sondern
bringt auch Vorteile in der numerischen Realisierung mit sich. Dabei wählen wir die rechte
Seite
fε
identisch mit der rechten Seite der Umformulierung, also
fε
=
Qu
. Nach Satz 2.12
reduziert sich der Abstand zwischen den beiden Lösungen somit auf den relativen Fehler
ε
.
Zum Abschluss betrachten wir noch den Parameter
ϑ
, welcher für mehr Spielraum sorgt.
Die schwache Form der Schrödinger-Gleichung ist nach Definition 1.4 im Raum
H1
formuliert, so dass die Wahl von
ϑ
= 0 am sinnvollsten ist, da die zugrunde liegenden
Funktionenräume dann gleich sind. In Bemerkung 1.10 haben wir bereits festgestellt, dass
die Lösungen der Schrödinger-Gleichung zweimal schwach differenzierbar sind, so dass hier
keine Probleme entstehen, wenn man den Raum durch die Wahl von
ϑ
verkleinert. Man
muss dann allerdings immer mit den stärkeren Normen arbeiten. Unsere Realisierung des
Ersatzproblems ist zunächst für jeden Wert
ϑ∈
[0
,
1
/
2) möglich, jedoch wird sich zeigen,
dass wir für die Approximierbarkeit der Lösung uεeine Regularitätsordnung benötigen,
die größer als Eins ist. Der Parameter
ϑ
bietet hier Optimierungsmöglichkeiten an, auf
die wir an der entsprechenden Stelle noch eingehen werden.
3 Approximation durch Exponentialsummen
Der entscheidende Baustein in dieser Arbeit ist die Approximation von
r−β
durch eine
Reihe bzw. Summe von Exponentialfunktionen. Diese werden wir im nächsten Kapitel
ausnutzen, um die Näherungen der Resolvente und des Potentials zu realisieren. Wie
sich später herausstellen wird, ist das nicht nur aus analytischer Sicht eine gute Wahl,
sondern bietet auch numerische Vorteile.
Die Approximation durch Exponentialsummen wird in vielen Gebieten ausgenutzt, um
hochdimensionale Funktionen durch Produkte eindimensionaler Funktionen darzustellen
oder anzunähern. In [9] wird dieser Ansatz verwendet, um die Lösung der Schrödinger-
Gleichung zu approximieren. Dabei wird das Problem als Integralgleichung formuliert (vgl.
Kapitel 1.3), um dann die auftretenden Kerne mittels Exponentialsummen anzunähern.
Weitere Arbeiten in dieser Richtung, auch mit allgemeinerem Bezug, sind [8, 7, 25, 6]. Im
Bereich der hochdimensionalen Probleme wurde die Approximation mittels Tensoren in
den letzten Jahren intensiv untersucht und unterliegt auch nach wie vor aktiver Forschung.
In diesem Gebiet ist wichtig, dass die beteiligten Funktionen separabel sind oder sich
durch solche annähern lassen. Diese Separation basiert in nahezu allen Anwendungen auf
der Approximation durch Exponentialsummen. Für weitere Details verweisen wir auf die
Monografie [23] sowie die Übersichtsartikel [20, 35].
Es gibt mehrere Herangehensweisen bei der Approximation von
r−β
durch eine Summe
von Exponentialfunktionen. Wir orientieren uns hauptsächlich an [10]. Dabei entwickeln
wir zu Beginn eine Quadraturformel zur Berechnung von Integralen über die gesamte
reelle Achse. Da der Ausdruck
r−β
durch eine wohlbekannte Identität durch eben solche
Integrale ausgedrückt werden kann, erhalten wir somit im zweiten Abschnitt die Näherung
durch Exponentialsummen.
3.1 Die Quadratur schnell fallender Funktionen
Ausgangspunkt für die Überlegungen ist die Poisson’sche Summenformel für schnell fal-
lende Funktionen. Sie stellt eine Verbindung zwischen den Werten einer schnell fallenden
Funktion
f:R→R
in äquidistanten Gitterpunkten und den Werten ihrer Fouriertrans-
formierten in den Punkten eines anderen äquidistanten Gitters her und bildet die Basis
einer Vielzahl von Summationsverfahren.
Satz 3.1
(Poisson’sche Summenformel)
.
Ist
f:R→R
eine schnell fallende Funktion,
so gilt
∞
X
k=−∞
f(k) = √2π
∞
X
k=−∞ b
f(2πk).(3.1)
23
24 3 Approximation durch Exponentialsummen
Für einen Beweis verweisen wir auf [53]. Dort wird eine Variante gezeigt, die mehr
Symmetrie aufweist. Dies liegt an der verwendeten Fouriertransformation
Z∞
−∞
g(x) e−i2πfx dx
einer Funktion
g
. Diese bezieht sich auf die Frequenz
f
und wird üblicherweise in der
Signalanalyse verwendet. Die von uns eingeführte Fouriertransformation
F
steht im
Bezug zur Kreisfrequenz ω, wobei zwischen beiden Größen die Beziehung ω= 2πf gilt.
Aus dieser Formel leiten wir nun eine Trapezregel zur Integration von schnell fallenden
Funktionen über die gesamte reelle Achse her.
Lemma 3.2. Sei f:R→Reine schnell fallende Funktion, so ist für alle h > 0
Z∞
−∞
f(x) dx=h
∞
X
k=−∞
f(hk)−√2π
∞
X
l=−∞
l6=0 b
f2π
hl.(3.2)
Beweis. Für die Hilfsfunktion g(x) = f(hx)gilt zunächst
b
g(ω) = 1
√2πZ∞
−∞
f(hx) e−iωx dx ,
also √2π h b
g(0) = hZ∞
−∞
f(hx) dx=Z∞
−∞
f(x) dx .
Mit der Poisson’schen Summenformel (3.1) ist dann
Z∞
−∞
f(x) dx=√2πh
∞
X
k=−∞ b
g(2πk)−√2πh
∞
X
l=−∞
l6=0 b
g(2πl)
=h
∞
X
k=−∞
f(hk)−√2πh
∞
X
l=−∞
l6=0 b
g(2πl).
Aus der Identität
hb
g(ω) = b
fω
h
folgt schließlich die Behauptung.
Wir erhalten daraus eine Quadraturformel
Z∞
−∞
f(x) dx≈h
∞
X
k=−∞
f(hk),
deren Fehler durch das Abklingverhalten der Fouriertransformierten von
f
bestimmt ist.
Da diese wieder schnell fallend ist, erreicht man jede beliebige Konvergenzordnung.
3.2 Die Approximation von r−β25
3.2 Die Approximation von r−β
Wir wollen nun die Ergebnisse des letzten Abschnitts verwenden, um eine Approximation
von
r−β
durch Exponentialsummen zu konstruieren. Im Folgenden seien
r
und
β
stets
positiv.
Die Substitution ϕ(x) = rexführt zunächst auf die Darstellung
r−β=1
Γ(β)Z∞
0
r−βe−ttβ−1dt=1
Γ(β)Z∞
−∞
e−rex+βx dx . (3.3)
Die Funktion
f
(
x
) = e
−rex+βx
ist schnell fallend und somit können wir die Quadraturfor-
mel (3.2) zur Berechnung von r−βheranziehen.
Satz 3.3. Sei h > 0. Dann ist für alle r > 0
1
rβ−1
Γ(β)h
∞
X
k=−∞
eβkhe−rekh ≤1
rβε(h, β),(3.4)
wobei
ε(h, β) := 2
(cos ϕ)β
e−2πϕ/h
1−e−2πϕ/h , ϕ := arctan2π
βh.(3.5)
Beweis. Wir berechnen zunächst die Fouriertransformierte von
f(x) = 1
Γ(β)e−rex+βx
für
r >
0beliebig, aber fest. Dafür verwenden wir die Substitution
ϕ
(
x
) =
r
e
x
und
erhalten
√2πb
f(ω) = 1
Γ(β)riω−βZ∞
0
e−ttβ−iω−1dt=1
Γ(β)riω−βΓ(β−iω).
Für
z∈C
mit
Re
(
z
)
>
0und
|φ|< π/
2gilt für die Gammafunktion die Integraldarstellung
[1, 6.1.1]
Γ(z)=eiφz Z∞
0
e−teiφtz−1dt .
Damit ist
|Γ(β−iω)| ≤ eφω Z∞
0
e−tcos φtβ−1dt=eφω
(cos φ)βΓ(β).
Diese Abschätzung kann bezüglich der Wahl des Parameters
φ
optimiert werden. Für
festes ωsetze φ:= −sgn(ω)ψ. Dann ist
eφω
(cos φ)β=e−|ω|ψ
(cos ψ)β=: g(ψ).
26 3 Approximation durch Exponentialsummen
Die Funktion gnimmt für |ψ|< π/2ihr Minimum im Punkt arctan(|ω|/β)an.
Insgesamt ergibt sich also mit ϕ= arctan 2π/(βh)und φl:= −sgn(l)ϕ
√2
∞
X
l=−∞
l6=0 b
f2π
hl=
∞
X
l=−∞
l6=0
ri2πl/h−βΓ(β−i2πl/h)
Γ(β)≤1
rβ
∞
X
l=−∞
l6=0
e2πφll/h
(cos φl)β
=1
rβ
2
(cos ϕ)β
∞
X
l=1 e−2πϕ/hl=1
rβ
2
(cos ϕ)β
e−2πϕ/h
1−e−2πϕ/h .
Die Behauptung folgt dann mit Lemma 3.2.
Der relative Fehler bei der Approximation von
r−β
durch Exponentialsummen fällt rapide
ab. Für β= 1 und die Schrittweite h= 1/4liegt er bereits unter 9,7819 ·10−16.
Wir wollen das asymptotische Verhalten von ε(h, β)für h→0genauer untersuchen.
Nach [1, 4.3.45] gilt zunächst
1
cos ϕ=1 + 2π
β21/2
.
Damit ist
2
(cos ϕ)βe−2πϕ/h = 22π
βhβ
e−π2/h"1 + βh
2π21/2
exp −2π
βharctan2π
βh−π
2!#β
.
Eine Anwendung der Regel von l’Hospital [38] führt auf die Relation
lim
x→∞ xarctan(x)−π
2=−1.
Insgesamt ergibt sich daraus
ε(h, β)∼22π
βeβ
h−βe−π2/h, h →0.(3.6)
Dies verdeutlicht nochmals, dass der relative Fehler sehr schnell für
h
gegen Null abfällt.
Eine Darstellung des asymptotischen Verhaltens von
ε
(
h,
1) findet sich in Abbildung 3.1.
Die folgenden Anmerkungen beschließen das Kapitel:
Die bisherigen Ergebnisse zeigen die Güte der Approximation von
r−β
durch eine Reihe von
Exponentialfunktionen. Für eine numerische Realisierung können nur endliche Summen
betrachtet werden, daher muss noch eine weitere Fehleranalyse durchgeführt werden,
die das Verhalten bei einer abgebrochenen Reihe untersucht. Wir lassen dies bewusst
aus und verweisen auf [10]. Es wird sich nämlich im weiteren Verlauf der Arbeit zeigen,
dass durch die spezielle Konstruktion der beteiligten Operatoren immer nur endlich viele
Terme dieser Reihen benötigt werden.
Die hier aufgezeigte Vorgehensweise ist nur eine Möglichkeit. Eine andere Wahl der
Transformation in
(3.3)
führt auf weitere Approximationen. Wir wollen hier speziell die
3.2 Die Approximation von r−β27
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
10−43
10−33
10−23
10−13
10−3
h
Abbildung 3.1: Asymptotisches Verhalten von ε(h, 1) für h→0nach Gleichung (3.6).
Arbeiten [11, 12] hervorheben. Im Gegensatz zu dem hier präsentierten Ansatz wird dort
eine Bestapproximation von 1
/r
auf (1
,∞
)durch Exponentialsummen untersucht. Dabei
werden Fehlerschranken für den absoluten Fehler in der Maximumnorm hergeleitet. In
[12] werden weitere Beispiele genannt, die die Vielfältigkeit der Anwendungsmöglichkeiten
widerspiegeln.
4 Realisierung der Approximationen
In diesem Kapitel geben wir konkrete Realisierungen der Operatoren
Rε
und
Vε
aus der
Definition 2.8 an. Die Konstruktion erfolgt über Exponentialsummen, die im vorange-
gangenen Kapitel eingeführt wurden, und wird im ersten Abschnitt durchgeführt. Durch
diese spezielle Wahl ergeben sich in der numerischen Realisierung der Approximation
weitere Vorteile, die wir im zweiten Teil kurz darlegen wollen. Wir beenden das Kapitel
mit einer genauen Analyse der Normen der Operatoren, was sich als sehr aufwendig
erweist, aber unabdingbar für das folgende Kapitel ist.
4.1 Konstruktion der Operatoren
Wir erinnern uns zunächst daran, dass die Fouriertransformierte der Resolvente (
−
∆
−λ
)
−1
durch
1
|ω|2−λb
u(ω)
gegeben ist. In unserem Fall sind die Eigenwerte stets negativ und damit ist der Nenner
immer echt positiv. Nach den Ergebnissen aus Kapitel 3.2 gilt damit
1
|ω|2−λ≈h
∞
X
k=−∞
ekh exp−(|ω|2−λ)ekh.
Sei h > 0und u∈L2. Für k∈Zsetzen wir
(Rh,ku)(x) := 1
√2π3NZhekh exp−(|ω|2−λ)ekhb
u(ω) eiω·xdω , (4.1)
Der Operator Rhsetzt sich dann formal aus diesen einzelnen Summanden zusammen:
Rh:=
∞
X
k=−∞
Rh,k.(4.2)
Bevor wir mit der Untersuchung fortfahren, geben wir dieser Definition einen Sinn. Dazu
betrachten wir nur die endliche Summe und gehen zu ihrer Fouriertransformierten über.
Für
u∈L2
erhalten wir aufgrund der Positivität der einzelnen Gauß-Funktionen und
Satz 3.3 für jedes n∈Nund fast alle ω∈R3Ndie Abschätzung
n
X
k=−n
\
Rh,ku(ω)≤ε(h, 1) + 1|d
Ru(ω)|.
29
30 4 Realisierung der Approximationen
Aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz und dem Satz von Plancherel folgt dann,
dass die Funktion Rhuquadratintegrierbar ist.
Wir nutzen die Eigenschaften unserer Exponentialsummen ein weiteres Mal aus und
zeigen, dass die Operatoren
Rh
der Definition 2.8 genügen, also gerade die gewünschte
Approximationscharakteristik besitzen.
Satz 4.1. Der durch (4.2) definierte lineare Operator Rherfüllt die Bedingung (2.16).
Beweis. Nach Satz 3.3 ist
|Ru −Rhu|2
2−ϑ=Z|ω|2(2−ϑ)1
|ω|2−λ−h
∞
X
k=−∞
ekh exp−(|ω|2−λ)ekh2
|b
u(ω)|2dω
≤Z|ω|2(2−ϑ)1
|ω|2−λε(h, 1)2
|b
u(ω)|2dω=ε(h, 1)2|Ru|2
2−ϑ.
Für eine entsprechende Wahl von hergibt sich dann die Behauptung.
Daraus ergibt sich mit Lemma 2.5
|Rhu|2−ϑ≤ε(h, 1) + 1cRkuk0.(4.3)
Dies und die eingangs durchgeführte Konvergenzuntersuchung sichert also für jedes
h >
0
die Wohldefiniertheit der Abbildung Rh:L2→H2−ϑ.
Die Konstruktion einer in unserem Sinne zulässigen Approximation des Potentials erfolgt
analog. Dabei werden wir die einzelnen Coulomb-Potentiale durch Summen von Gauß-
Funktionen annähern, wobei wir unsere Resultate für die Näherung von
r−1/2
aus
Abschnitt 3.2 ausnutzen werden. Dazu sei für ein beliebiges, aber festes
h >
0und alle
k∈Z
gk:R3→R:x7→ ekh/2exp(−ekh|x|2).(4.4)
Diese Funktionen bilden die Grundbausteine unserer Approximation des Potentials. Wir
setzen
Vh,k(x) := −h
√π
N
X
i=1
K
X
ν=1
Zνgk(xi−aν) + h
2√π
N
X
i,j=1
i6=j
gk(xi−xj).(4.5)
Insgesamt erhalten wir dann die Approximation über die formale Reihe
Vh:=
∞
X
k=−∞
Vh,k.(4.6)
Die Konvergenzuntersuchung dieser Reihe erfolgt entsprechend den Ausführungen zur
Näherung
Rh
aus Gleichung
(4.2)
. Statt in den Fourierraum zu wechseln, bleiben wir
im Ortsraum und untersuchen die einzelnen Wechselwirkungsterme getrennt. Mit dem
4.2 Gauß- und Gauß-Hermite-Funktionen 31
Satz von Lebesgue folgt dann wieder die Konvergenz jeder einzelnen Reihe, wobei die
Konvergenz wieder punktweise zu verstehen ist, d.h. für jedes
u∈H1
ist
Vhu
ein Element
von L2.
Auch diese Operatoren erweisen sich als eine gültige Realisierung von Vε:
Satz 4.2. Der durch (4.6) definierte lineare Operator Vherfüllt die Bedingung (2.16).
Beweis. Nach Satz 3.3 ist zunächst
kVu −Vhuk0≤
N
X
i=1
K
X
ν=1
ZνZ1
|xi−aν|−h
√π
∞
X
k=−∞
gk(xi−aν)2|u(x)|2dx1/2
+1
2
N
X
i,j=1
i6=jZ1
|xi−xj|−h
√π
∞
X
k=−∞
gk(xi−xj)2|u(x)|2dx1/2
≤ε(h, 1/2)
N
X
i=1
K
X
ν=1
ZνZ1
|xi−aν|2|u(x)|2dx1/2
+ε(h, 1/2)
2
N
X
i,j=1
i6=jZ1
|xi−xj|2|u(x)|2dx1/2
,
wobei die Umordnung der Reihe durch die anfangs geführte Argumentation über die
Konvergenz eben jener gerechtfertigt ist. Mit Hilfe vom Satz von Fubini und der Hardy-
Ungleichung (1.4) folgt daraus analog zu Satz 1.2
kVu −Vhuk0≤ε(h, 1/2)(2Z+N−1)N1/2|u|1≤ε(h, 1/2) Θ(N, Z)|u|1.
Die Behauptung folgt dann durch passende Wahl von h.
Mit Satz 1.2 impliziert dies die Abschätzung
kVhuk0≤ε(h, 1/2) + 1Θ(N, Z)|u|1(4.7)
und somit die Wohldefiniertheit der Abbildung Vh:H1+ϑ→L2.
Analog zu Gleichung (2.17) wird durch
Th:H1+ϑ→H1+ϑ:uh7→ PRhVhuh(4.8)
der Ersatzoperator definiert, der im Sinne der Sätze 4.1 und 4.2 eine Realisierung des
Operators Tεist.
4.2 Gauß- und Gauß-Hermite-Funktionen
Nach Korollar 2.11 ist die Lösung des Ersatzproblems
(2.20)
durch die Neumann’sche
Reihe gegeben. Es gilt also, den Operator
Th
auf die rechte Seite anzuwenden. Im
32 4 Realisierung der Approximationen
Falle einer Gauß-Funktion ist das Ergebnis dann eine Reihe von Gauß-Funktionen.
Entsprechendes gilt für Gauß-Hermite-Funktionen. Diesen Zusammenhang wollen wir nun
kurz erläutern. Nach einer Begriffsklärung betrachten wir dazu einige simple Operationen
mit diesen Funktionen im Rn.
Definition 4.3.
Sei
ζ∈R
,
a∈Rn
und
A∈Rn×n
eine symmetrische, positiv definite
Matrix. Dann heißt die Funktion g:Rn→R
g(x) = exp−1
2(x−a)TA(x−a) + ζ(4.9)
Gauß-Funktion.
Sei p:Rn→Rein Polynom und geine Gauß-Funktion. So nennt man das Produkt
p(x)g(x)(4.10)
Gauß-Hermite-Funktion.
Lemma 4.4. Seien gund hGauß-Funktionen, etwa
g(x) = exp−1
2(x−a1)TA1(x−a2) + ζ1, h(x) = exp−1
2(x−a2)TA2(x−a2) + ζ2.
Dann ist das Produkt
g(x)h(x) = exp−1
2(x−a)TA(x−a) + ζ
wieder eine Gauß-Funktion, wobei
A=A1+A2, a =A−1(A1a1+A2a2), ζ =ζ1+ζ2−1
2−aTAa +aT
1A1a1+aT
2A2a2.
Der Beweis ergibt sich durch eine simple Rechnung.
Für jedes
k∈Z
ist also
Vh,kf
eine Summe von Gauß-Funktionen, falls
f
eine Gauß-
Funktion ist, wobei hier eine Besonderheit zu beachten ist: Die einzelnen Bestandteile von
Vh,k
sind die Gauß-Funktionen
gk
aus
(4.4)
. Der Definitionsbereich dieser Abbildungen
ist der
R3
. Will man nun eine solche Funktion mit einer Gauß-Funktion
f:R3N→
R
multiplizieren, so ergänzt man die Matrix
A
der Funktion
gk
um entsprechende
Nulleinträge. Diese Matrix ist dann nur noch positiv semidefinit, jedoch wird sie bei
der Multiplikation zu einer positiv definiten Matrix addiert und diese Summe ist dann
wiederum positiv definit.
Um die Wirkung der einzelnen Komponenten des Operators
Rh,k
auf eine Gauß-Funktion
zu untersuchen, berechnen wir zunächst die Fouriertransformation einer solchen Abbil-
dung, was eine Standardaufgabe in der Fourieranalyse darstellt.
Lemma 4.5.
Sei
g
eine Gauß-Funktion. Dann ist die Fouriertransformierte von
g
gegeben durch
b
g(ω) = 1
√det Aexp(−iωTa+ζ) exp−1
2ωTA−1ω.(4.11)
4.2 Gauß- und Gauß-Hermite-Funktionen 33
Beweis. Zunächst bemerken wir, dass für h(x) := g(x+a)die Beziehung
b
g(ω) = exp(−iωTa)b
h(ω)
gilt, demnach werden wir im Weiteren die Funktion hbetrachten.
Für
η∈R
,
µ >
0ist die Fouriertransformierte der eindimensionalen Funktion
x7→
exp(−µx2/2) gegeben durch
1
√2πZ∞
−∞
exp−µx2
2−iηxdx=1
√µexp−η2
2µ.
Da
A
symmetrisch und positiv definit ist, gibt es nach dem Spektralsatz eine orthogonale
Matrix
U
, so dass
A
=
UDUT
, wobei
D
=
diag
(
µ1, . . . , µn
)eine Diagonalmatrix ist und
µ1, . . . , µndie Eigenwerte von Asind.
Um die Fouriertransformierte von
h
zu berechnen, wendet man zunächst den Transfor-
mationssatz mit der Substitution
x7→ UTx
an. Der Satz von Fubini erlaubt uns nun
die Anwendung des Ergebnisses für den eindimensionalen Fall. Insgesamt folgt dann die
Behauptung.
Die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion ist also wieder eine Gauß-Funktion.
Mit diesem Resultat folgt dann direkt die nächste Eigenschaft:
Lemma 4.6.
Sei
ϑ >
0und
g
eine Gauß-Funktion. Dann gilt für die Fouriertransfor-
mierte der Funktion
h(x) = 1
√det I+ϑA exp−1
2(x−a)T(I+ϑA)−1A(x−a) + ζ(4.12)
die Beziehung
b
h(ω) = exp−ϑ
2|w|2b
g(ω).(4.13)
Insgesamt ergibt sich also für den Fall, dass
f
eine Gauß-Funktion ist, dass für alle
k, l ∈Z
die Abbildung
PRh,kVh,kf
eine Summe von Gauß-Funktionen ist. Bezeichnet man die
Menge dieser Funktionen mit G, so lässt sich diese Eigenschaft durch die Beziehung
{PRh,kVh,lf|k, l ∈Z, f ∈G}⊆G (4.14)
ausdrücken.
Im nächsten Schritt zeigen wir, dass auch die Gauß-Hermite-Funktionen diese Invarianz
aufweisen. Dazu sei im Folgenden
G
die Menge aller Gauß-Hermite-Funktionen, deren
Polynomgrad nach oben durch
m∈N
beschränkt ist, und
g∈ G
. Nach den bisherigen
Ergebnissen ist sofort klar, dass die Anwendung von
Vh,l
auf
g
wieder ein Element von
G
ist, dessen polynomialer Faktor mit dem von
g
übereinstimmt. Die Multiplikation von
g
mit einer Gauß-Funktion im Fourierraum analog zu Lemma 4.6 ist wieder in der Menge
Genthalten. Diese Tatsache wird hier kurz dargelegt.
34 4 Realisierung der Approximationen
Wir erinnern dazu nochmals an eine wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation:
Ist f∈ S,α, β ∈Nn
0und p(x) := xβ, so gilt die Beziehung [49]
(iω)α(DβFf)(ω)=(−i)|β|FDα(pf)(ω),(4.15)
wobei wir bei Multiindizes die bekannte Konvention
|β|
=
β1
+
···
+
βn
verwenden. Ist
demnach feine Gauß-Funktion, so gilt
F(pf)(ω)=i|β|(DβFf)(ω).
Die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion ist nach Lemma 4.5 wieder eine Gauß-
Funktion, die mit einer von
ω
abhängigen komplexen Zahl multipliziert wird. Die Ableitung
von fbezüglich βführt auf den Ausdruck
(DβFf)(ω) = ˜p(ω)(Ff)(ω),
wobei
˜p
ein Polynom mit komplexen Koeffizienten vom Grad kleiner gleich
|β|
ist. Das
Produkt von
Ff
mit einer Gauß-Funktion ist nach Lemma 4.5 wieder die Fouriertrans-
formierte einer Gauß-Funktion, die wir mit
˜
f
bezeichnen. Die Rücktransformation von
ω7→ ˜p
(
ω
)(
F˜
f
)(
ω
)kann mit Hilfe der Beziehung
(4.15)
für jeden Term einzeln durchge-
führt werden. Dies führt zu einer Summe von Ableitungen der Funktion
˜
f
, deren Grad
|β|
nicht übersteigt. Eine solche Differentiation einer Gauß-Funktion resultiert in der
Multiplikation eben jener Funktion mit einem Polynom vom Grad kleiner gleich |β|.
Diese Argumentation zeigt zum einen, dass auch die Menge
G
aller Gauß-Hermite-
Funktionen mit einem Polynomgrad kleiner gleich
m
die Invarianz entsprechend Glei-
chung
(4.14)
aufweist. Zum anderen wird ersichtlich, dass eine Realisierung mit dieser
Funktionenklasse bereits wesentlich aufwendiger ist als bei der Verwendung von rei-
nen Gauß-Funktionen. Bei letztgenannten ist die numerische Umsetzung der einzelnen
Operationen vollkommen simpel, wie die Lemmata 4.4 und 4.6 zeigen.
Es treten allerdings zwei gewichtige Probleme auf. Zum einen ist die Anwendung des
Operators
Th
auf ein Element einer Menge, die die Invarianzeigenschaft
(4.14)
aufweist,
in der Regel nicht mehr in eben dieser Klasse, und zum anderen ist auch die rechte Seite
keine Gauß- oder Gauß-Hermite-Funktion. Beide Punkte lassen sich lösen, allerdings
nur mit einer genauen Untersuchung der Operatoren
Rh
und
Vh
, die wir im nächsten
Abschnitt durchführen werden.
4.3 Normabschätzungen
Die genaue Analyse des Verhaltens der Normen unserer Approximationen ist enorm wich-
tig, um die Eigenschaften des Ersatzproblems, welches sich aus der speziellen Realisierung
der Operatoren ergibt, nachzuweisen. Wir legen großen Wert darauf, die Abschätzungen
möglichst genau anzugeben, was sich als sehr aufwendig erweist und in teilweise sehr
technischen Beweisen mündet. Am Ende wird sich diese Mühe jedoch auszahlen.
Wir beginnen mit der Approximation der Resolvente.
4.3 Normabschätzungen 35
Satz 4.7. Sei u∈L2. Dann gilt mit der Konstanten
e
cR:= max(1,ϑ
|λ|e−1ϑ)(4.16)
für alle k∈Zdie Abschätzung
|Rh,ku|2−ϑ≤e
cRhe−|k|hϑ/2kuk0.(4.17)
Beweis.
Wir beginnen mit einer einfach Feststellung, die wir im weiteren Verlauf der
Arbeit noch häufiger verwenden werden: Für alle s, t ≥0ist
tse−2t≤s
2s
e−s(4.18)
und diese Abschätzung ist scharf.
Mit Hilfe dieser Ungleichung ergibt sich nach Ordnung der Terme in der Norm
|Rh,ku|2
2−ϑ=h2e2ekhλ+khϑ Z|ω|2ekh2−ϑe−2ekh|ω|2|b
u(ω)|2dω≤h2e2ekhλ+khϑkuk2
0.
Im Fall k≤0gilt zunächst
e2ekhλ+khϑ ≤ekhϑ = e−|k|hϑ.
Für
k >
0betrachten wir die Hilfsfunktion
φ
(
x
) = 2
ϑx
+ 2
λ
e
x
. Die Berechnung des
Maximums von φführt auf die Abschätzung
φ(x)≤2ϑ−1 + ln ϑ
|λ|.
Damit ergibt sich
e2ekhλ+khϑ = eφ(kh)e−khϑ ≤ϑ
|λ|e−12ϑ
e−khϑ,
wobei diese Ungleichung nur für
|λ|< ϑ
scharf sein kann. Insgesamt ist dann für alle
k∈Z
e2ekhλ+khϑ ≤max(1,ϑ
|λ|e−12ϑ)e−|k|hϑ.
Bemerkung 4.8.Aus dem Beweis ergibt sich, dass die Abschätzung
(4.17)
für
k >
0
sehr grob ist. Dies zeigt sich an der Tatsache, dass für
k→ ∞
die Folge (2e
khλ
+
khϑ
)
wesentlich schneller fällt als (
−khϑ
). Eine Illustration dieses Sachverhaltes findet sich
in Abbildung 4.1. Wir haben uns hier zugunsten einer übersichtlicheren Notation für
die schlechtere Schranke entschieden. Im letzten Kapitel werden wir uns dieses Themas
nochmals annehmen.
36 4 Realisierung der Approximationen
0 5 10 15 20
−30
−20
−10
0
k
2 exp(kh)λ+khϑ
−khϑ
Abbildung 4.1:
Verhalten der Folgen
2
exp
(
kh
)
λ
+
khϑ
)
und (
−khϑ
)für die Parameter
h= 1/4,ϑ= 1/5und λ=−1/10.
Der Parameterbereich von
ϑ
wurde in Kapitel 2 auf das Intervall [0
,
1
/
2] eingeschränkt.
Der Beweis zeigt jedoch, dass die Aussage auch für 0
≤ϑ≤
2richtig ist. Damit verhält
sich die Norm in gleicher Art und Weise wie die Halbnorm.
Korollar 4.9. Sei 0≤ϑ≤2. Dann ist für alle u∈L2
kRh,kuk2−ϑ.he−|k|hϑ/2kuk0.(4.19)
Damit ist die Untersuchung des Operators
Rh
und seiner Bestandteile abgeschlossen und
wir widmen uns nun der Approximation des Potentials. Wie bei der Resolvente beginnen
wir mit den elementaren Bestandteilen und fügen nach und nach alles zusammen.
Lemma 4.10. Für alle u∈H1+ϑ(R3)gilt
kgkuk0≤(c1e−|k|hϑ/2|u|1+ϑ, k > 0,
c2e−|k|hϑ/2|u|1−ϑ, k ≤0,(4.20)
wobei
c1:= cH(ϑ)1 + ϑ
2e (1+ϑ)/2
, c2:= cH(−ϑ)1−ϑ
2e (1−ϑ)/2
.(4.21)
Beweis.
Sei zunächst
k >
0. Wir führen eine Erweiterung durch und ordnen die Terme
der Norm neu an. Mit (4.18) folgt dann
kgkuk2
0= e−khϑ ZR3|x|2ekh1+ϑe−2ekh|x|21
|x|2(1+ϑ)|u(x)|2dx
≤e−khϑ1 + ϑ
2e 1+ϑZR3
1
|x|2(1+ϑ)|u(x)|2dx .
4.3 Normabschätzungen 37
Auf den letzten Ausdruck wenden wir die Hardy-Ungleichung (1.4) an und erhalten
kgkuk2
0≤e−khϑ1 + ϑ
2e 1+ϑ
cH(ϑ)2|u|2
1+ϑ.
Der Fall k≤0wird analog behandelt und somit ist die Behauptung gezeigt.
Wir verallgemeinern dieses Resultat nun auf dem 3N-dimensionalen Fall.
Für
x
= (
x1, . . . , xN
)
∈R3N
sei
e
xi
:= (
x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xN
),
i
= 1
, . . . , N
. Mit Hilfe
des Satzes von Fubini teilen wir die Fouriertransformationen für
u∈L2
(
R3N
)in zwei
Teile auf:
Fu(ω) = 1
√2π3NZR3Nu(x) e−iω·xdx=e
Fi(Fiu)(ωi,e
ωi), i = 1, . . . N,
wobei
Fiu(ωi,e
xi) = 1
√2π3ZR3u(xi,e
xi) e−iωi·xidxi,
e
Fiu(xi,e
ωi) = 1
√2π3N−3ZR3N−3u(xi,e
xi) e−ieωi·exide
xi.
Damit können wir nun die Normen der einzelnen Bestandteile des Operators
Vh,k
, ange-
wendet auf eine Funktion u, analysieren.
Lemma 4.11. Sei u∈H1+ϑ(R3N)und a∈R3. Dann gilt
N
X
i=1 ZR3N|gk(xi−a)u(x)|2dx1/2
≤(c1e−|k|hϑ/2N1/2|u|1+ϑ, k > 0,
c2e−|k|hϑ/2N(1+ϑ)/2|u|1−ϑ, k ≤0,(4.22)
N
X
i,j=1
i6=jZR3N|gk(xi−xj)u(x)|2dx1/2
≤(c1e−|k|hϑ/2N3/2|u|1+ϑ, k > 0,
c2e−|k|hϑ/2N(3+ϑ)/2|u|1−ϑ, k ≤0.(4.23)
Beweis.
Sei
i∈1, . . . , N
und
k >
0. Wir nutzen zunächst den Satz von Fubini aus und
tauschen die Integrationsreihenfolge so, dass die innerste Integrationsvariable gerade
xi
ist. Auf dieses Integral im R3können wir Lemma 4.10 anwenden und erhalten
ZR3N|gk(xi)u(x)|2dx≤c2
1e−|k|hϑ ZR3N−3ZR3|ωi|2(1+ϑ)|Fiu(ωi,e
xi)|2dωide
xi.
Wir nutzen erneut den Satz von Fubini aus und tauschen die Abfolge abermals. Nach
Anwendung des Satzes von Plancherel und der anfangs getätigten Überlegungen über die
Aufteilung der Fouriertransformation ergibt sich
ZR3N|gk(xi)u(x)|2dx≤c2
1e−|k|hϑ ZR3N|ωi|2(1+ϑ)|Fu(ω)|2dω .
38 4 Realisierung der Approximationen
Mit Hilfe der Äquivalenz der 1- und 2-Norm im RNergibt sich
N
X
i=1 ZR3N|gk(xi)u(x)|2dx1/2
≤c1e−|k|hϑ/2N1/2ZR3N
N
X
i=1|ωi|2(1+ϑ)|Fu(ω)|2dω1/2
.
Da N
X
i=1|ωi|
|ω|2(1+ϑ)
≤
N
X
i=1|ωi|
|ω|2
= 1,
gilt die Ungleichung
N
X
i=1|ωi|2(1+ϑ)≤ |ω|2(1+ϑ)
und somit insgesamt die Abschätzung (4.22) für k > 0und a= 0.
Die Argumentation für den Fall
k≤
0ist analog, jedoch ergibt sich mit der Hölder’schen
Ungleichung [38] für q= 1/(1 −ϑ)und p= 1/ϑ
N
X
i=1|ωi|2(1−ϑ)≤N
X
i=1|ωi|2(1−ϑ)q1/qN
X
i=1
1p1/p
=Nϑ|ω|2(1−ϑ),
wobei die Konstante Nϑoptimal ist.
Ist das Argument von
gk
um den Vektor
a∈R3
verschoben, so wird dies mit Hilfe des
Transformationssatzes auf die Funktion
u
übertragen. Eine solche Verschiebung führt zu
einer Multiplikation der Fouriertransformierten von
u
mit einer komplexen Zahl, deren
Betrag gleich Eins ist. In Kombination mit den bisherigen Ergebnissen ergibt sich daraus
die Abschätzung
(4.22)
. Die Argumentation bleibt gültig, wenn die Verschiebung
a
für
jedes iverschieden ist. Damit folgt auch die zweite Ungleichung (4.23).
Analog zu (1.6) definieren wir die Konstante
Θϑ(N, Z) := 3
2N(1+ϑ)/2max(N, Z)(4.24)
und erhalten eine Normabschätzung für die einzelnen Komponenten von Vh.
Satz 4.12. Sei u∈H1+ϑ. Dann gilt für alle k∈Zdie Schranke
kVh,kuk0≤h(c1+c2)Θϑ(N, Z)
√πe−|k|hϑ/2kuk1+ϑ.(4.25)
Beweis. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung und Lemma 4.11 ergibt sich
kVh,kuk0≤h
√πe−|k|hϑ/2Z+N
2N1/2c1|u|1+ϑ+c2Nϑ/2|u|1−ϑ.
4.3 Normabschätzungen 39
Die Halbnorm auf dem Raum
H1−ϑ
lässt sich durch die
H1+ϑ
-Norm majorisieren und
wir erhalten
kVh,kuk0≤h
√πe−|k|hϑ/2Z+N
2N(1+ϑ)/2(c1+c2)kuk1+ϑ.
Mittels der Konstanten Θϑ(N, Z)aus (4.24) ergibt sich daraus die Behauptung.
Die Abschätzungen für die einzelnen Bestandteile der Operatoren
Rh
und
Vh
, die die
Sätze 4.7 und 4.12 zeigen, sind für die genaue Untersuchung des Ersatzproblems im
nächsten Kapitel unabdingbar. Bis auf die in Bemerkung 4.8 angesprochene Möglichkeit,
lassen sich diese Abschätzungen nach unserem derzeitigen Kenntnisstand zunächst nicht
verbessern.
Aufgrund des exponentiellen Abklingverhaltens der Normen konvergieren die Reihen-
darstellungen der linearen Operatoren
Rh
aus
(4.2)
und
Vh
aus
(4.6)
absolut. Da der
Raum der linearen Operatoren zwischen den entsprechenden Räumen vollständig ist,
konvergiert damit auch das Produkt
RhVh
und wir erhalten für den Ersatzoperator
Th
aus (4.8) die dann ebenfalls absolut konvergente Reihendarstellung
Th=PRhVh=
∞
X
k,l=−∞
PRh,kVh,l.
5 Approximationsrate
In diesem Kapitel geht es um die Kernaussage der Arbeit. Wir werden zeigen, dass sich
bei der Näherung der Lösung
u
der elektronischen Schrödinger-Gleichung durch Gauß-
bzw. Gauß-Hermite-Funktionen bis auf einen kleinen Fehler jede beliebige Approxima-
tionsordnung erreichen lässt. Dafür konzentrieren wir uns zunächst wieder nur auf das
Ersatzproblem
uh+Thuh=f, (5.1)
für die spezielle Wahl des Ersatzoperators
Th
=
PRhVh
aus Gleichung
(4.8)
. Lässt sich
f
beliebig gut in einer Funktionenklasse annähern, so werden wir im ersten Abschnitt
sehen, dass sich dieses Verhalten auf die Lösung
uh
des Ersatzproblems überträgt. Im
zweiten Schritt zeigen wir, dass die spezielle Wahl von
f
=
Qu
diese Eigenschaft besitzt.
Dazu betrachten wir die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators, mit deren Hilfe
wir eine solche Approximation konstruieren können. Diese Funktionen gehören zur Klasse
der Gauß-Hermite-Funktionen. Im letzten Abschnitt fügen wir die Ergebnisse zusammen
und erhalten eine Aussage über die Approximierbarkeit der Wellenfunktionen.
Die Ergebnisse diese Kapitels sind nur für einen eingeschränkten Parameterbereich von
ϑ
gültig. Daher sei im Folgenden stets 0<ϑ<1/2.
5.1 Näherung der Lösung des Ersatzproblems
Sei
G ⊆ H1+ϑ
eine Menge, die invariant gemäß der Relation
(4.14)
ist. Wir haben
bereits gesehen, dass die Klassen der Gauß- oder Gauß-Hermite-Funktionen Beispiele
dafür sind. Wir betrachten dann nur noch rechte Seiten
f∈H1+ϑ
, die die folgende
Approximationseigenschaft aufweisen:
Definition 5.1. Die Funktion f∈H1+ϑheißt in Gapproximierbare rechte Seite, wenn
es zu jedem
s∈N
eine Folge (
g[0]
j
)
⊆ G
gibt, so dass zu jedem
ε >
0eine Zahl
n0
(
ε
)
∈N0
existiert mit
f−
n0(ε)
X
j=1
g[0]
j1+ϑ≤ε, n0(ε)≤κ
ε1/s
,(5.2)
wobei die Konstante κunabhängig von εist.
Diese Verhalten überträgt sich nun auf
Thf
. Dabei lässt sich ein halb so großer Fehler
mit der Hälfte des Aufwands erzielen.
41
42 5 Approximationsrate
Satz 5.2.
Sei
f
eine in
G
approximierbare rechte Seite. Dann gibt es für ein hinreichend
kleines
γ
eine Folge (
g[1]
j
)
⊆ G
, so dass zu jedem
ε >
0eine Zahl
n1
(
ε
)
∈N0
existiert mit
Thf−
n1(ε)
X
j=1
g[1]
j1+ϑ≤ε
2, n1(ε)≤1
2κ
ε1/s
.(5.3)
Dabei ergibt sich die Bedingung an γaus dem Beweis.
Beweis. Wir werden zeigen, dass sich die Folge (g[1]
j)aus der Menge
{PRh,kVh,l g[0]
j|k, l ∈Z, j ∈N}⊆G (5.4)
auswählen lässt.
Zunächst bemerken wir, dass die Anzahl der Elemente von Vh,k gerade
M:= NK +N(N−1)/2.
beträgt. Weiter sei
q1:= exp−1
s+ 1
ϑh
2, q2:= exp−s
s+ 1
ϑh
2, q := q1q2= exp−ϑh
2(5.5)
und
τ:= 1
(4M)s1−q1
1 + q12s
.(5.6)
Für
k, l ∈Z
nutzen wir die Approximationseigenschaft von
f
aus und passen die Anzahl
der zu verwendenen Funktionen entsprechend an. Setze dafür
n(ε, k, l) := n0ετ−1q−(|k|+|l|)
2.(5.7)
Mit Hilfe der Konstanten
%:= √2h2e
cR(c1+c2)Θϑ(N, Z)
√π(5.8)
ist nach Lemma 2.2, Satz 4.7 sowie Satz 4.12
Thf−
∞
X
k,l=−∞
n(ε,k,l)
X
j=1
PRh,kVh,l g[0]
j1+ϑ≤γ(1−2ϑ)/2%
∞
X
k,l=−∞
q|k|+|l|f−
n(ε,k,l)
X
j=1
g[0]
j1+ϑ.
Setzt man nun die Fehlerabschätzung für die Approximation von
f
durch die
gj
in
Abhängigkeit von kund lein, ergibt sich insgesamt mit der geometrischen Reihe
Thf−
∞
X
k,l=−∞
n(ε,k,l)
X
j=1
PRh,kVh,l g[0]
j1+ϑ≤γ(1−2ϑ)/2%1 + q1
1−q12ε
τ.
5.1 Näherung der Lösung des Ersatzproblems 43
Wählt man jetzt den Parameter γso, dass
γ(1−2ϑ)/2≤τ
2%1−q1
1 + q12
=1
21+2sMs%1−q1
1 + q12+2s
,(5.9)
so ergibt sich die behauptete Fehlerabschätzung.
Um den Beweis abzuschließen, müssen wir noch die Gesamtanzahl
n1
(
ε
)der notwendigen
Terme abschätzen. Durch die Anwendung des Operators
P
verdoppeln sich die Terme,
der Operator
Rh,k
verändert die Anzahl nicht und
Vh,k
sorgt für die
M
-fache Menge.
Damit erhalten wir
n1(ε)=2M
∞
X
k,l=−∞
n(ε, k, l)≤2Mτκ
ε1/s ∞
X
k,l=−∞
q(|k|+|l|)/s
2= 2Mτκ
ε1/s ∞
X
k,l=−∞
q|k|+|l|
1,
wobei dies insbesondere die Wahl der Aufteilung in
(5.5)
motiviert. Das Einsetzen aller
Konstanten liefert dann das gewünschte Ergebnis
n1(ε)≤2Mτκ
ε1/s1 + q1
1−q12
=1
2κ
ε1/s
,
Die Folge (
g[1]
j
)lässt sich daher durch entsprechende Nummerierung der Elemente der
Menge aus (5.4) auswählen und erfüllt die behauptete Eigenschaft.
Da die Bedingung
(5.9)
an
γ
entscheidend ist, wollen wir diese etwas ausführlicher
untersuchen. Zunächst erhalten wir mit der Ungleichung (2.7) die Abschätzung
1
h21−q1
1 + q12+2s
≤1−q1
h1/(1+s)2+2s
≤ϑ
2s+ 22
,(5.10)
wenngleich diese für die hier auftretenden Parameter sehr grob ist. Setzt man dies in das
Kriterium (5.9) für γein, ergibt sich
γ(1−2ϑ)/2≤1
21+2sMs
√π
√2e
cR(c1+c2)Θϑ(N, Z)ϑ
2s+ 22
.(5.11)
Bei genauerer Betrachtung der einzelnen Konstanten zeigt sich, dass das Verhalten
maßgeblich durch
γ(1−2ϑ)/2.N−(4s+3+ϑ)/2ϑ
2s+ 22
.(5.12)
bestimmt ist, wobei wir hier davon ausgehen, dass das System neutral bzw. negativ
geladen ist. Es zeigt sich also, dass der Parameter
γ
sehr klein gewählt werden muss, um
die Bedingung (5.9) zu erfüllen.
44 5 Approximationsrate
Den letzten Satz werden wir induktiv nutzen. Nach Satz 2.10 ist der Operator
Th
für
ein hinreichend kleines
γ
kontraktiv und damit die Lösung
uh
des Ersatzproblems
(5.1)
durch die Neumann’sche Reihe gegeben
uh=
∞
X
ν=0
(−1)νTν
hf=f−Thf+T2
hf−··· .
Jeder Term lässt sich beliebig gut in
G
approximieren und damit überträgt sich letztendlich
die Approximationseigenschaft von fauf die Lösung uh.
Satz 5.3.
Sei
f
eine in
G
approximierbare rechte Seite. Dann gibt es für ein hinreichend
kleines γeine Folge (gj)⊆ G, so dass zu jedem ε > 0eine Zahl n(ε)∈N0existiert mit
uh−
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε, n(ε)≤22κ
ε1/s
.(5.13)
Beweis.
Wir beobachten zunächst, dass sich durch induktive Anwendung des Satzes 5.2
für alle ν∈N0die Abschätzung
Tν
hf−
nν(ε)
X
j=1
g[ν]
j1+ϑ≤1
2ν
ε, nν(ε)≤1
2νκ
ε1/s
als gültig erweist. Mit ˜ε:= ε/2ist dann
uh−
∞
X
ν=0
(−1)ν
nν(˜ε)
X
j=1
g[ν]
j1+ϑ≤
∞
X
ν=0Tνf−
nν(˜ε)
X
j=1
g[ν]
j1+ϑ≤
∞
X
ν=01
2ν
˜ε=ε.
Durch eine simple Rechnung folgt für die Gesamtanzahl der Terme
n(ε) =
∞
X
ν=0
nν(˜ε)≤22κ
ε1/s
.
Die Wahl der Folge (
gj
)
⊆ G
erfolgt dann durch entsprechende Nummerierung der
Elemente aus der Menge g[ν]
j|j∈Z, ν ∈N0⊆ G.
Damit ist die Behauptung gezeigt.
Die Lösung des Ersatzproblems lässt sich somit beliebig gut in der Menge
G
annähern.
Hierbei geht die Bedingung (5.9) an γentscheidend ein. Sie sorgt für eine entsprechend
hohe Kontraktivität des Operators Th, die dieses Ergebnis überhaupt erst ermöglicht.
5.2 Der harmonische Oszillator 45
5.2 Der harmonische Oszillator
Wir wollen nun das Resultat aus dem vorherigen Abschnitt anwenden, um eine Aussage
über die Approximationsgüte der Lösung
u
der Schrödinger-Gleichung zu bekommen. Da
u
auch die Umformulierung
(2.9)
erfüllt, ist es nach Satz 2.12 sinnvoll, als rechte Seite
beim Ersatzproblem (5.1) die Funktion f=Qu zu wählen.
Vorab werden wir dafür zeigen, dass
f
eine in
G
approximierbare rechte Seite ist, sofern
man die Menge aller Gauß-Hermite-Funktionen für Gwählt.
Dazu unternehmen wir einen kleinen Ausflug und untersuchen eines der wichtigsten
Modelle der Quantenmechanik: den harmonischen Oszillator. Der entsprechende Hamilton-
Operator ist gegeben durch
H=−1
2∆ + 1
2|x|2.(5.14)
Dies ist eines der wenigen Systeme, bei denen die Eigenfunktionen analytisch berechnet
werden können. Da der Hamilton-Operator in eine Summe von Operatoren zerfällt,
die nur auf eine Koordinate wirken, reicht es aus, die eindimensionale Variante des
harmonischen Oszillators zu betrachten. Diese wiederum lässt sich mit Hilfe sogenannter
Leiteroperatoren, die auf Dirac zurückgehen, behandeln und führt auf die rekursiv
definierten Eigenfunktionen
φ0(x) = 1
π1/4
e−x2/2, φn+1(x) = 1
√2n+ 2−d
dx+xφn(x).
Die explizite Darstellung lautet
φn(x) = 1
π1/41
√2nn!Hn(x) e−x2/2,
wobei
Hn
das Hermite-Polynom
n
-ten Grades ist. Die zugehörigen Eigenwerte sind
n
+1
/
2.
Die Berechnung dieser Funktionen erfolgt in nahezu jedem Lehrbuch der Quantenme-
chanik. In [55] findet sich etwa eine ausführliche Darstellung. Die Eigenfunktionen (
φn
)
bilden eine Orthonormalbasis des
L2
(
R
)[61]. Mit einem Tensorproduktansatz lässt sich
dann daraus eine Basis für die quadratintegrierbaren Funktionen auf dem
Rd
finden. Wir
folgen [17] und setzen für µ∈Nd
0
φµ(x) = φµ1(x1)···φµd(xd).
Die Menge all dieser Funktionen bildet eine Orthonormalbasis von
L2
(
Rd
). Per Konstruk-
tion ist
φµ
eine Eigenfunktionen des
d
-dimensionalen harmonischen Oszillators
(5.14)
zum Eigenwert
nµ= (µ1+···+µd) + d/2.
Insbesondere lässt sich jede Funktion f∈L2(Rd)dann als Reihe
f=X
µ
(f, φµ)0φµ(5.15)
46 5 Approximationsrate
schreiben und es gilt die Parseval’sche Gleichung
kfk2
0=X
µ
(f, φµ)2
0.(5.16)
Wir wollen nun untersuchen, wie schnell die Entwicklung
(5.15)
konvergiert. Im Folgenden
beschränken wir uns auf schnell fallende Funktionen
f
. Für eine nichtnegative ganze Zahl
swird dann mit Hilfe des Hamilton-Operators Haus (5.14) durch
kfkH,s := kHsfk0(5.17)
eine Norm definiert. Mit Hilfe der Parseval’schen Gleichung
(5.16)
ergibt sich die Identität
kfk2
H,s =X
µ
n2s
µ(f, φµ)2
0.
Nun ist es leicht möglich, mittels dieser Relation das Konvergenzverhalten der Entwick-
lung (5.15) zu beschreiben. Für jedes n∈Nund t>sgilt
f−X
nµ<n
(f, φµ)0φµH,s ≤ns−tkfkH,t =1
r(t−s)/d
kfkH,t,(5.18)
wobei
r
der Menge der Multiindizes
µ
entspricht, für die
nµ< n
gilt, und daher mit der
Anzahl der Entwicklungsterme korrespondiert. Man kann nun zeigen, dass für schnell
fallende Funktionen
f
die Norm
kfks
auf dem Sobolev-Raum
Hs
durch die neu eingeführte
Norm
kfkH,s
aus
(5.17)
majorisiert werden kann [17]. Da die Lösung der Schrödinger-
Gleichung nach Satz 1.6 im
L2
-Sinne exponentiell abklingt, ergibt sich mit Satz 2.1, dass
die rechte Seite
f
=
Qu
schnell fallend ist. Fasst man die Ergebnisse zusammen, erhalten
wir:
Satz 5.4.
Ist
u
eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, so ist
f
=
Qu
eine in der Menge
der Gauß-Hermite-Funktionen approximierbare rechte Seite und die Lösung
uh
des Er-
satzproblems
(5.1)
lässt sich im Sinne von Satz 5.3 beliebig gut in dieser Funktionenklasse
annähern.
Dies ist der erste Meilenstein. Löst man also statt der umformulierten Schrödinger-
Gleichung (2.9) das Ersatzproblem
uh+Thuh=Qu, (5.19)
so lässt sich die Lösung
uh
beliebig gut durch Gauß-Hermite-Funktionen approximieren.
Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass dies, bis auf eine kleine Einschränkung, auch
mit reinen Gauß-Funktionen möglich ist.
5.3 Approximation der Wellenfunktionen 47
5.3 Approximation der Wellenfunktionen
Wir widmen uns nun der Untersuchung des Fehlers zwischen
u
und
uh
. In Kapitel 2 haben
wir dies bereits für den allgemeinen Fall durchgeführt und wollen nun die Ergebnisse an
unsere spezielle Wahl anpassen. Der Fehler wird dabei durch den Parameter
h
gesteuert.
Dabei wollen wir im Folgenden annehmen, dass dieser nicht zu groß ist, etwa
h≤
4. Dies
ist eine rein technische Annahme. In der Regel wird man diese Variable weitaus kleiner
wählen, um sinnvolle Ergebnisse zu erzielen.
Satz 5.5.
Erfüllt
γ
Bedingung
(5.9)
, so gilt für den Fehler zwischen der Lösung
u
der
Schrödinger-Gleichung
(2.9)
und der Lösung
uh
des Ersatzproblems
(5.19)
die Beziehung
ku−uhk1+ϑ≤e
ε(h)|u|1,(5.20)
wobei
e
ε(h).γ(1−2ϑ)/2cRΘ(N, Z)ε(h, 1).(5.21)
Beweis. Nach Satz 2.12 ist in unserem Fall zunächst
ku−uhk1+ϑ≤δ|u|1
1−kThk,
wobei δanalog zur Definition in (2.18) durch
δ= 3√2γ(1−2ϑ)/2cRΘ(N, Z)ε(h, 1)
gegeben ist. An dieser Stelle haben wir ausgenutzt, dass ε(h, 1/2) ≤ε(h, 1) gilt.
Wir benötigen nun noch eine obere Schranke für die Operatornorm von
Th
. Sei dazu
v∈H1+ϑ
. Mit Hilfe der Konstanten aus Gleichung
(5.5)
und
(5.8)
ist nach Lemma 2.2
sowie einer simplen Folgerung aus den Sätzen 4.7 und 4.12
kThvk1+ϑ≤γ(1−2ϑ)/2%1 + q
1−q2
kvk1+ϑ.
Da γder Bedingung (5.9) genügt, ergibt sich daraus
kThk1+ϑ≤1
21+2sMs1−q1
1 + q12s1−q1
1 + q1
1 + q
1−q2
.
Aufgrund der Beziehung
q1≥q
lässt sich der letzte Faktor durch die Zahl Eins abschätzen.
Schließlich ergibt sich mit der Ungleichung (2.7) die Abschätzung
kThk1+ϑ≤1
21+2sMs1
s+ 1
ϑh
22s
≤1
4.
Daraus folgt dann die Behauptung.
48 5 Approximationsrate
Bemerkung 5.6.Die im Beweis gezeigte Schranke für die Operatornorm von
Th
ist sehr
grob und kann wesentlich verbessert werden. Anderseits sieht man, dass die Forderung,
dass
γ
die Bedingung
(5.9)
erfüllt, sehr stark ist. Es reicht aus, wenn
γ
so klein gewählt
wird, dass die Operatornorm von Thetwa gleich ein Viertel ist.
Die Kombination der letzten beiden Resultate liefert die Hauptaussage dieser Arbeit:
Satz 5.7.
Sei
G
die Menge aller Gauß-Hermite-Funktionen und
e
ε >
0. Ist
u
die Lösung
der Schrödinger-Gleichung und genügt
γ
der Bedingung
(5.9)
, so gibt es eine Folge
(gj)⊆ G, so dass zu jedem ε≥2e
εeine Zahl n(ε)∈N0existiert mit
u−
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε, n(ε)≤24κ
ε1/s
.(5.22)
Beweis.
Sei
e
ε >
0und
ε≥
2
e
ε
. Für eine entsprechende Wahl des Parameters
h
ist nach
Satz 5.5
ku−uhk1+ϑ≤e
ε.
Der Satz 5.4 sichert uns dann die Existenz der Folge (gj)⊆ G zu, so dass
uh−
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε−e
ε, n(ε)≤22κ
ε−e
ε1/s
.
Mit Hilfe der Dreiecksungleichung und der Tatsache, dass
ε−e
ε≥ε/
2ist, folgt dann
daraus die Behauptung.
In dieses Ergebnis geht eine Vielzahl von Parametern ein, die teilweise implizit oder auch
explizit miteinander in Verbindung stehen. Daher wollen wir nun die Vorgehensweise
diskutieren.
Ausgangspunkt ist die Wahl der Schrittweite
h
. Damit wird eine obere Schranke für
den relativen Fehler zwischen
u
und
uh
in Satz 5.5 festgelegt, die nach dem Beweis
im Großen und Ganzen durch den Fehler
ε
(
h,
1), der bei der Approximation durch
Exponentialsummen entsteht, bestimmt wird. Im nächsten Schritt wählt man
γ
so, dass
die Bedingung
(5.9)
erfüllt ist. Dazu legt man vorher die Approximationsordnung
s∈N
und den Parameter
ϑ
fest. Letzterer bietet Spielraum, um das Ergebnis zu optimieren,
was sich im Folgenden zeigen wird.
Die Hauptidee war gerade, dass der niederfrequente Anteil
Qu
der Lösung der Schrödinger-
Gleichung als rechte Seite für das Ersatzproblem (5.19) verwendet wird. Es gilt jedoch
kQu −uk1+ϑ=kPuk1+ϑ.γ(1−2ϑ)/2|u|2−ϑ.
Je kleiner
γ
ist, desto mehr stimmt die Lösung
u
also mit
Qu
überein. Dies sieht man
auch anhand der Tatsache, dass mit abfallenden
γ
der Gauß-Kern
K
aus Gleichung
(2.1)
immer „spitzer“ wird. Die Optimierung hinsichtlich des Parameters
ϑ
zielt nun auf die
Wahl von
γ
ab, welches möglichst groß sein soll und die Bedingung
(5.9)
erfüllt. Dazu
5.3 Approximation der Wellenfunktionen 49
muss man sich zunächst verdeutlichen, dass wir insgesamt zwei Aufgabenstellungen haben.
Zum einen haben wir das Ersatzproblem und zum anderen die eigentliche Aufgabe, was
die Lösung der schwachen Form der Schrödinger-Gleichung
(1.10)
ist. Dieses Problem ist
im Sobolev-Raum
H1
formuliert und dementsprechend muss die
H1
-Norm betrachtet
werden. Dann gilt
kQu −uk1=kPuk1.γ1/2|u|2.(5.23)
Das Ziel ist es also, dass der Ausdruck
γ1/2
möglichst groß wird. Stellt man die Bedin-
gung (5.9) entsprechend um, so gilt es die obere Grenze
γ1/2≤ 1
21+2sMs%1−q1
1 + q12+2s!1/(1−2ϑ)
(5.24)
bezüglich des Parameters
ϑ
zu maximieren. Bei diversen Tests für unterschiedliche
Systeme zeigt sich, dass der optimale Wert von
ϑ
etwa bei 0
,
05 liegt. Insgesamt muss das
Ersatzproblem also in einem Sobolev-Raum gelöst werden, dessen Regularitätsordnung
nur etwas größer als Eins ist. Nichtsdestotrotz muss auch bei optimaler Wahl von
ϑ
die Variable
γ
sehr klein sein, um die Bedingung
(5.9)
zu erfüllen. So gesehen sind die
bisherigen Ergebnisse von rein theoretischer Natur. Da der Satz 5.5 auch für
ϑ
= 0 gültig
ist, ergibt sich allerdings
ku−uhk1.γ1/2ε(h, 1) |u|1.(5.25)
Vergleicht man dies mit dem Abstand von
Qu
zu
u
aus Gleichung
(5.23)
, so ergibt sich, dass
sich der Fehler zwischen Wellenfunktion
u
und der Lösung
uh
des Ersatzproblems um den
Faktor
ε
(
h,
1), also gerade den Fehler, der bei Approximation durch Exponentialsummen
entsteht, unterscheidet. Nach den Ergebnissen aus Kapitel 3.2 macht dies bereits für
h
= 1
/
4einen Unterschied von 16 Kommastellen aus. Das ist also der Gewinn, der durch
diesen Ansatz erzielt wird.
Wir haben bereits an einigen Stellen die Genauigkeit der Normabschätzungen ange-
sprochen. Gerade in Bemerkung 4.8 bzw. in der Abbildung 4.1 wird deutlich, dass die
Schranken verbessert werden können und damit die Bedingung
(5.9)
abgeschwächt wer-
den kann. Im letzten Kapitel werden wir dies anhand numerischer Experimente genauer
verdeutlichen.
6 Approximation der rechten Seite durch
Gauß-Funktionen
In Kapitel 5 hat sich gezeigt, dass sich die Lösung des Ersatzproblems beliebig gut
approximieren lässt, sofern
f
eine approximierbare rechte Seite ist. Da wir an der
Näherung der Lösung
u
der Schrödinger-Gleichung
(1.10)
interessiert sind, liegt das
Hauptaugenmerk auf
f
=
Qu
. Nach Satz 5.4 ist
f
im Sinne von Definition 2.8 beliebig gut
durch Gauß-Hermite-Funktionen approximierbar. In diesem Kapitel werden wir zeigen,
dass auch im Falle von Gauß-Funktionen diese Bedingung nahezu vollständig erfüllt
werden kann.
Statt der rechten Seite
Qu
untersuchen wir
f
=
−QRVu
. Die beiden Funktionen sind
nach Voraussetzung an
u
völlig identisch, jedoch erleichtert sich interessanterweise der
Beweis durch diese Umformung.
Bevor wir beginnen, bemerken wir noch, dass die Reihenfolge der Operatoren aufgrund
der Definition von
Q
vertauscht werden kann. Da auch das Vorzeichen für die folgende
Untersuchung irrelevant ist, konzentrieren wir uns im Folgenden auf die Approximation
von
RQVu
. Wir werden zunächst zeigen, dass sich
QVu
im Fourierraum beliebig gut
durch Fourierreihen approximieren lässt. Dazu starten wir mit einer Periodisierung von
[
QVu
. Im zweiten Teil fassen wir kurz die Näherung durch Fourierreihen zusammen. Im
Anschluss wenden wir diese Resultate auf die Periodisierung an und nutzen dann wieder
den Operator
Rh
, um die Approximation von
f
durch Gauß-Funktionen zu konstruieren.
6.1 Periodisierung
Zunächst stellen wir fest, dass uns das exponentielles Abklingen der Lösung eine hohe
Regularität der Fouriertransformation von Vu zusichert:
Satz 6.1. Sei ueine Lösung der Schrödinger-Gleichung (1.10). Dann ist die Funktion
c
Vu:R3N→R:ω7→ c
Vu(ω)(6.1)
unendlich oft differenzierbar.
Beweis.
Zunächst ist für ein
α >
0die Funktion
x7→
e
α|x|u
(
x
)nach Satz 1.6 ein Element
von H1. Nach Korollar 1.3 ist daher die Abbildung
x7→ eα|x|(Vu)(x)
51
52 6 Approximation der rechten Seite durch Gauß-Funktionen
p
Π(ω)=0
Π(ω)∈[0,1]
Π(ω)=1
Abbildung 6.1: Veranschaulichung der Periodisierung Πaus Gleichung (6.4)
quadratintegrierbar. Nach Satz 2.1 ist dann
QVu
und damit auch die Fouriertransformierte
[
QVu
schnell fallend. Mit der Darstellung von
Q
im Fourierraum
(2.3)
folgt schließlich
die Behauptung.
Unendlich oft differenzierbare Funktionen lassen sich im periodischen Fall besonders gut
durch Fourierreihen approximieren. Da
c
Vu
nicht zyklisch ist, führen wir eine Periodisierung
durch. Sei dazu χ:R3N→[0,1] unendlich oft differenzierbar mit
χ(ω) = (1,|ω| ≤ 1,
0,|ω| ≥ 2.(6.2)
Für ein beliebiges, aber festes p > 0setze
v(ω) := c
Vu(ω)χ(2p−1ω).(6.3)
Der Träger von
v
ist dann eine Teilmenge von
{ω∈R3N| |ω| ≤ p}
. Die periodische
Fortsetzung von vauf ganz R3Nist nun gegeben durch
Π(ω) := X
k∈Z3N
v(ω+ 2pk)(6.4)
und per Konstruktion 2p-periodisch. Der Parameter pwird uns im weiteren Verlauf die
Kontrolle über den jeweiligen Fehler erlauben. Wir konzentrieren uns zunächst auf die
Approximation von QVu in L2.
Lemma 6.2. Es ist
kQVu −QF−1Πk0.e−γp2/4kVuk0.(6.5)
6.1 Periodisierung 53
Beweis.
Wir beginnen mit dem Fehler, der durch das Abschneiden verursacht wird. Mit
dem Satz von Plancherel ist zunächst
kQVu −QF−1vk2
0=Z|ω|≥p/2
e−2γ|ω|2|c
Vu(ω)|21−χ(2p−1ω)2dω≤e−γp2/2kVuk2
0.
Im nächsten Schritt untersuchen wir den Fehler, der durch die periodische Fortsetzung
entstanden ist. Da die Periodisierung von vüberschneidungsfrei erfolgte, ist
kQF−1v−QF−1Πk2
0=Ze−2γ|ω|2X
k∈Z3N\{0}v(ω+ 2pk)2dω .
Die Anwendung des Satzes über monotone Konvergenz und des Transformationssatzes
rechtfertigen dann die Gleichung
kQF−1v−QF−1Πk2
0=Z|ω|≤pX
k∈Z3N\{0}
e−2γ|ω−2pk|2|v(ω)|2dω .
Setze
g(ω) := X
k∈Z3N\{0}
e−2γ|ω−2pk|2.
Für |ω| ≤ pund k∈Z3Nist |ω−2pk| ≥ p|k|. Damit ergibt sich die Ungleichung
g(ω)≤X
k∈Z3N\{0}
e−2γp2|k|2=X
k∈Z
e−2γp2k23N
−1 = 1+2
∞
X
k=1
e−2γp2k23N
−1.
Die auftretende Reihe kann mittels einer geometrischen Reihe majorisiert werden und
wir erhalten
1+2
∞
X
k=1
e−2γp2k23N
−1≤1+e−2γp23N−1−e−2γp23N
1−e−2γp23N.
Unter Ausnutzung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung lässt sich der Zähler
weiter abschätzen. Insgesamt ergibt sich dann
g(ω)≤6N1+e−2γp23N−1
1−e−2γp23Ne−2γp2.
Mit Hilfe dieser Ungleichung erhalten wir für den Periodisierungsfehler die Schranke
kQF−1v−QF−1Πk2
0.e−2γp2Z|ω|≤p|v(ω)|2dω≤e−2γp2Z|c
Vu(ω)|2dω .
Kombiniert man die beiden Teilschritte, so ergibt sich
kQVu −QF−1Πk2
0≤ kQVu −QF−1vk2
0+kQF−1v−QF−1Πk2
0.e−γp2/2kVuk2
0,
was gerade der Behauptung entspricht.
54 6 Approximation der rechten Seite durch Gauß-Funktionen
Wir sind nun in der Lage, den Fehler, der bei der Ersetzung von
c
Vu
durch die Periodi-
sierung Πentsteht, mittels des Parameters
p
zu steuern. Diese Abweichung macht den
wesentlichen Unterschied zwischen der Approximation der rechten Seite
f
durch Gauß-
und durch Gauß-Hermite-Funktionen aus. Wir bleiben zunächst bei der Periodisierung
und wenden uns den Fourierreihen zu.
6.2 Fourierreihen
Die Näherung periodischer Funktionen durch Fourierreihen ist eine klassische Aufgabe
der Analysis. Das Standardwerk zu diesem Thema ist [63], wobei hier der Fokus auf der
eindimensionalen Theorie liegt. Wir orientieren uns daher im Folgenden an [19], in dem
nahezu die gesamte Theorie für den multivariaten Fall entwickelt wird. Üblicherweise
konzentriert man sich auf 2
π
-periodische Funktionen, was keine Einschränkung darstellt,
da die Periode durch eine entsprechende Multiplikation des Arguments der Funktion
verändert werden kann.
Wir skizzieren kurz die für uns entscheidenden Punkte. Sei dazu
d∈N
und
f:Rd→C
eine
2
π
-periodische Funktion, die über dem Würfel
Wd
2π
:= [
−π, π
]
d
quadratisch integrierbar
ist. Mit dem Skalarprodukt
hf, gi:= 1
2πdZWd
2π
f(x)g(x) dx
und der daraus induzierten Norm
kfkL2π
2:= hf, fi1/2
ist die Menge aller dieser Abbildungen ein Hilbertraum, den wir mit
L2π
2
bezeichnen.
Für
k∈Zd
sei
ϕk:Rd→C:x7→
e
ik·x
. Die Menge dieser Funktionen bildet eine
Orthonormalbasis in
L2π
2
. Der Fourierkoeffizient von
f∈L2π
2
bezüglich
k∈Zd
ist dann
gegeben durch
b
fk:= hf, ϕki=ZWd
2π
f(x) e−ik·xdx .
Für n∈Ndefinieren wir
(Snf)(x) := X
|k|≤nhf, ϕkiϕk(x) = X
|k|≤nb
fkeik·x
und bezeichnen
Snf
als die
n
-te Fourierteilsumme von
f
. Die Reihe, die sich aus diesen
Partialsummen zusammensetzt, ist dann gerade die Fourierreihe von f.
Die Theorie über Orthonormalbasen sichert uns die Gültigkeit der Identität
f= lim
n→∞ Snf
6.2 Fourierreihen 55
in
L2π
2
zu, d.h. die Fourierteilsumme konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f
. Insbe-
sondere folgt daraus die Parseval’sche Gleichung
kfk2
L2π
2=X
k∈Zd|b
fk|2.(6.6)
Die Geschwindigkeit, mit der der Fehler in der
L2π
2
-Norm gegen Null geht, lässt sich unter
zusätzlichen Regularitätsannahmen an
f
genauer bestimmen. Dazu betrachten wir den
Raum
Cs
aller Funktionen
f∈L2π
2
, deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung
s
stetig
sind. Man rechnet dann leicht nach, dass für ein
f∈Cs
und
α∈Nd
0
mit
α1
+
···
+
αd≤s
,
analog zur Fouriertransformierten, die Beziehung
d
Dαfk= (ik)αb
fk
zwischen den Fourierkoeffizienten besteht. Unter Verwendung der Parseval’schen Glei-
chung (6.6) ergibt sich daraus, dass für f∈Csdie Reihe
X
k∈Zd|k|2s|b
fk|
konvergiert. Man nennt dann eine Funktion
f∈L2π
2
, für die diese Reihe endlich bleibt,
s
-mal schwach differenzierbar. Die Menge dieser Funktionen bildet dann wieder einen
Hilbertraum und stimmt für ganzzahlige
s
mit der herkömmlichen Definition des Sobolev-
Raumes überein. Dieser Zusammenhang wird zum Beispiel in [28] genauer untersucht.
Mit Hilfe der aufgezeigten Eigenschaften sind wir nun imstande, eine Aussage über die
Konvergenzrate zu treffen:
Satz 6.3. Sei f∈L2π
2s-mal schwach differenzierbar. Dann gilt
kf−SnfkL2π
2.n−s.(6.7)
Beweis.
Da die Fourierteilsumme in
L2π
2
gegen
f
konvergiert, ergibt sich mit der Parse-
val’schen Gleichung (6.6)
kf−Snfk2
L2π
2≤X
|k|>n|b
fk|2≤1
n+ 12sX
|k|>n|k|2s|b
fk|2≤n−2sX
k∈Zd|k|2s|b
fk|.
Aufgrund der schwachen Differenzierbarkeit bleibt die Reihe endlich und die Behauptung
ist bewiesen.
Insbesondere kann im Falle einer unendlich oft differenzierbaren Funktion jede beliebige
Konvergenzordnung erreicht werden.
Die Anzahl der
k∈Zd
mit
|k| ≤ n
wächst wie
nd
. Wird der Fehler daher in der Anzahl
r
der Summanden von Snfgemessen, ergibt sich
kf−SnfkL2π
2.r−s/d.(6.8)
56 6 Approximation der rechten Seite durch Gauß-Funktionen
Dies ist eine andere Variante des Fluchs der Dimensionen, der uns bereits in Abschnitt 1.3
begegnet ist. Bei wachsender Dimension muss demnach die Regularität ebenfalls ansteigen,
um die gleiche Approximationsrate zu erzielen. Eine Möglichkeit, diesem Problem entgegen
zu wirken, ist die Methode der hyperbolischen Kreuze. Besitzt die zu approximierende
Funktion
f
sogenannte gemischte Ableitungen bis zur Ordnung
s
, so reicht es aus, nur
über solche Indizes zu summieren, die Elemente eines hyperbolischen Kreuzes
k∈Zd|
d
Y
i=1
max 1,|ki|≤n
sind. Die Anzahl der Elemente dieser Menge wächst dann nur noch wie
n
(
log n
)
d−1
.
Eine gute Übersicht zu diesem Thema findet sich in der Einleitung von [56]. Für eine
detaillierte Untersuchung verweisen wir auf [54].
Jetzt gilt es aber, die Ergebnisse an unsere Gegebenheiten anzupassen. Sei
W3N
p
:=
[−p, p]3N. Dann ist für k∈Z3N
b
Πk=1
2p3NZW3N
p
Π(ω) e−iπp−1k·ωdω(6.9)
der
k
-te Fourierkoeffizient der Periodisierung Π. Die
n
-te Fourierteilsumme ist dann
entsprechend
(SnΠ)(ω) := X
|k|≤nb
Πkeiπp−1k·ω.(6.10)
Bevor wir zu den Approximationseigenschaften kommen, wollen wir zeigen, dass die
Funktion QF−1SnΠeine Summe von Gauß-Funktionen ist.
Lemma 6.4. Es ist
(QF−1SnΠ)(x) = 1
√2γ3NX
|k|≤nb
Πkexp−|πp−1k+x|2
4γ.(6.11)
Beweis. Nach der Definition von Qist
F(QF−1SnΠ)(ω)=e−γ|ω|2(SnΠ)(ω) = X
|k|≤nb
Πkeiπp−1k·ωe−γ|ω|2.
Da der Operator
F
linear ist, reicht es aus, einen Summanden zu betrachten. Aus dem
gleichen Grund können wir auch den Faktor b
Πkignorieren. Wir setzen
a=−πp−1kund A−1= 2γI
und erhalten mit Lemma 4.5 die Darstellung für den entsprechenden Summanden.
6.3 Approximationseigenschaften 57
6.3 Approximationseigenschaften
Wir nutzen zunächst die Approximationseigenschaften der Fourierreihen aus, um die
Rate für die Näherung von
QVu
durch eine Summe von Gauß-Funktionen zu zeigen.
Anschließend verwenden wir dieses Resultat, um eine Aussage für die gesamte rechte
Seite zu erzielen.
Satz 6.5.
Sei
e
ε >
0und
s∈N
. Dann gibt es zu jedem
ε≥e
ε
eine Zahl
n
(
ε
)
∈N
, so dass
kQVu −QF−1SnΠk0≤ε, n(ε)≤κ
ε1/s
,(6.12)
wobei die Konstante κunabhängig von εist.
Beweis. Zunächst ist mit Lemma 6.2
kQVu −QF−1SnΠk0.e−γp2/4kVuk0+kQF−1Πv−QF−1SnΠvk0.
Mit Hilfe des Transformationssatzes ergibt sich für den zweiten Summanden
kQF−1Πv−QF−1SnΠvk2
0=X
k∈Z3NZW3N
p
e−2γ|ω+pk|2|Π(ω)−(SnΠ)(ω)|2dω ,
wobei wir die Periodizität von Πund SnΠausgenutzt haben.
Da für
ω∈W3N
p
die Abschätzung
|ω
+
pk| ≥ |pk|
gilt, erhalten wir analog zur Argumen-
tation im Beweis von Lemma 6.2 die Schranke
X
k∈Z3N
e−2γ|ω+pk|2≤1+e−2γp2
1−e−2γp23N
.
Mit Hilfe der Approximationseigenschaften der Fourierreihe aus Gleichung
(6.8)
ergibt
sich insgesamt
kQVu −QF−1SnΠk0.e−γp2/4kVuk0+1+e−2γp2
1−e−2γp23N
n−s.
Sei nun e
ε > 0. Man wählt nun den Parameter pso groß, dass
e−γp2/4kVuk0.e
ε.
Für eine hinreichend große Konstante κfolgt dann die Behauptung.
Vergleicht man dieses erste Ergebnis mit der Definition 2.8, so stellt man bereits den
Unterschied zu der Approximation mittels Gauß-Hermite-Funktionen fest: Man muss
eine untere Schranke
e
ε
für die Genauigkeit vorgeben. Bevor wir uns dieser Diskrepanz
widmen, zeigen wir zunächst die Aussage für die gesamte rechte Seite
RQVu
. Dabei
werden wir wieder Gebrauch vom Operator
Rh
aus der Gleichung
(4.2)
machen, dessen
Bestandteile nach den Ausführungen in Kapitel 4.2 eine Gauß-Funktion wieder auf eine
solche abbildet.
58 6 Approximation der rechten Seite durch Gauß-Funktionen
Satz 6.6.
Sei
e
ε >
0und
s∈N
. Dann gibt es eine Folge (
gj
)von Gauß-Funktionen, so
dass es zu jedem ε≥e
εeine Zahl n(ε)∈Nmit
RQVu −
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε, n(ε)≤κ
ε1/s
,(6.13)
gibt, wobei die Konstante κunabhängig von εist.
Beweis.
Wir gehen wie im Beweis zu Satz 5.2 vor und werden zeigen, dass sich die Folge
(gj)aus der Menge
{Rh,kQF−1SnkΠ|k∈Z}(6.14)
auswählen lässt. In Lemma 6.4 haben wir gesehen, dass
QF−1Snk
Πeine Summe von Gauß-
Funktionen ist. Nach Lemma 4.6 besteht daher die Menge (6.14) aus Gauß-Funktionen.
Wir betrachten nun die Identität
RQVu −
∞
X
k=−∞
Rh,kQF−1SnkΠ=(R−Rh)QVu +RhQVu −
∞
X
k=−∞
Rh,kQF−1SnkΠ.
Da der Satz 4.1 und das Lemma 2.5 auch für 0
≤ϑ≤
2gelten, erhalten wir für den
ersten Summanden
k(R−Rh)QVuk1+ϑ≤ε(h, 1)kRQVuk1+ϑ.ε(h, 1)kVuk0.
Um die Norm des zweiten Summanden abzuschätzen, nutzen wir zunächst die Dreiecks-
ungleichung aus und erhalten die Reihe über die einzelnen Normen. Nach Korollar 4.9 ist
dann
kRhQVu −
∞
X
k=−∞
Rh,kQF−1SnkΠk1+ϑ.
∞
X
k=−∞
he−|k|h(1−ϑ)/2kQVu −QF−1SnkΠk0.
Wir wenden nun Satz 6.5 auf die einzelnen Terme an. Dazu sei
ε
größer oder gleich dem
vorgegebenen
e
ε >
0und wir wählen als Ordnung
e
s
:= 3
Ns
. Weiter sei
nk
(
ε
) :=
n
(e
|k|h/8ε
)
für k∈Z. Da 1−ϑ≥1/2gilt, ist dann
∞
X
k=−∞
he−|k|h(1−ϑ)/2kQVu −QF−1SnkΠk0≤h
∞
X
k=−∞
e−|k|h/8ε=h1+e−h/8
1−e−h/8ε.ε.
Wir haben bereits im Anschluss an Satz 6.3 gesehen, dass die Anzahl der Terme der
n
-ten Fourierteilsumme wie
n3N
wächst. Da die Anwendung von
Rh,kQF−1
die Menge
der Funktionen von SnkΠnicht verändert, ergibt sich damit
n(ε)≤
∞
X
k=−∞
n3N
k≤
∞
X
k=−∞e
κ
e|k|h/8ε3N/˜s
=e
κ
ε1/s 1+e−h/(8s)
1−e−h/(8s).
Nummeriert man die Elemente in der Menge
(6.14)
entsprechend durch, erhält man
die Folge (
gj
). Für eine passende Wahl der Konstanten
κ
folgt dann insgesamt die
Behauptung.
6.3 Approximationseigenschaften 59
Wir haben hier bewusst darauf verzichtet, sämtliche Konstanten in den Beweisen exakt
anzugeben, da es hier nur um die Demonstration geht, dass es auch möglich ist, mit
reinen Gauß-Funktionen zu arbeiten. Aus dem gleichen Grund haben wir auch davon
abgesehen, die hyperbolischen Kreuze zu verwenden, auf die wir im Anschluss an Satz 6.3
kurz eingegangen sind und die eine Reduzierung der notwendigen Elemente in der
Fouriersumme ermöglichen.
Die Frage ist nun noch, inwiefern diese untere Genauigkeit
e
ε
eine Einschränkung darstellt.
Zunächst kann nach Satz 5.7 die obere Schranke des Fehlers, der bei Approximation der
Lösung der Schrödinger-Gleichung durch Gauß-Hermite-Funktionen entsteht, nicht unter
die vorgegebene Genauigkeit sinken. Von dieser Warte her ist dies also keine Restriktion.
Würde man die Definition 2.8 der approximierbaren rechten Seite entsprechend anpassen,
so ließen sich die Sätze 5.2 und 5.3 ebenfalls beweisen, wenn man eine untere Begrenzung
für die Präzision
ε
fordert. Dies sieht man, wenn man sich den Beweis des erstgenannten
Satzes anschaut. In Gleichung
(5.7)
wird die Genauigkeit in Abhängigkeit von den
Summationsindizes festgelegt. Diese ist immer größer oder gleich dem vorgegebenen
ε
,
so dass es zu keiner Unterschreitung der unteren Grenze kommen kann. In Analogie zu
Satz 5.7 gilt damit:
Satz 6.7.
Sei
G
die Menge aller Gauß-Funktionen und
e
ε >
0. Ist
u
die Lösung der
Schrödinger-Gleichung und genügt
γ
der Bedingung
(5.9)
, so gibt es eine Folge (
gj
)
⊆ G
,
so dass zu jedem ε≥2e
εeine Zahl n(ε)∈N0existiert mit
u−
n(ε)
X
j=1
gj1+ϑ≤ε, n(ε)≤24κ
ε1/s
.(6.15)
Ein Vorteil bei der Verwendung von Gauß-Funktionen ist selbstverständlich die numerische
Realisierbarkeit, die bereits in Abschnitt 4.2 verdeutlicht wurde. Dies spiegelt sich vor
allem in der Anzahl der Freiheitsgrade wieder. Mit jeder Gauß-Funktion muss maximal
die Konstante, eine Matrix und die Verschiebung gespeichert werden. Dies entspricht
daher höchsten 3
N
(3
N
+ 1) + 1 Variablen für jede Gauß-Funktion. Bei den Gauß-
Hermite-Funktionen wächst jedoch mit jedem
n
der Grad des multivariaten Polynoms,
welches gerade den Unterschied zur reinen Gauß-Funktion ausmacht. Die Anzahl der
Freiheitsgrade der Gauß-Hermite-Funktionen verhält sich daher wie
n3N
- im Gegensatz
zum linearen Verhalten bei den Gauß-Funktionen.
7 Ausblick
Die bisherigen Ergebnisse sind allesamt theoretischer Natur. Auch wenn an einigen Stellen
schon die numerische Realisierung angesprochen wurde, sind wir von einer praktischen
Umsetzung noch weit entfernt. In diesem Kapitel wollen wir daher eine Vorschau auf
einen möglichen Ansatz liefern.
Im ersten Abschnitt geht es zunächst um die Illustration der theoretischen Resultate.
Dazu wurden die in Kapitel 4.2 beschriebenen Operationen zwischen Gauß-Funktionen in
der Programmiersprache Python umgesetzt, um entsprechende Tests durchzuführen. Wir
haben dazu Gebrauch von SciPy [30] gemacht, einer Bibliothek für Wissenschaftliches
Rechnen. Die dort enthaltenen Routinen ermöglichen die Umsetzung in nur wenigen
Programmzeilen. Mit dieser numerischen Realisierung untersuchen wir das Verhalten
der Normen der Bestandteile der Operatoren
Rh
und
Vh
bei der Anwendung auf eine
Gauß-Funktion. Es wird sich zeigen, dass die Normen weitaus schneller abklingen als
theoretisch gezeigt wurde. Bei diesen Tests zeigen sich bereits einige numerische Probleme,
auf die wir dann genauer eingehen werden.
Die Resultate in dieser Arbeit setzen unter anderem die Kenntnis von zwei Größen voraus:
den Eigenwert
λ
und den niederfrequenten Anteil
Qu
der Wellenfunktion
u
bzw. eine
Approximation davon. Beide Objekte sind aber in der Regel unbekannt. Einen Ausweg
bietet eine Variante der vorkonditionierten inversen Iteration an. Diese werden wir im
letzten Abschnitt vorstellen und einige Möglichkeiten aufzeigen, wie unsere theoretischen
Ergebnisse ausgenutzt werden können.
7.1 Verhalten der Normen
Als Modellproblem betrachten wir in diesem Abschnitt das Helium-Atom. Das zugehörige
Potential ist geben durch
V(x, y) = −2
|x|−2
|y|+1
|x−y|,
wobei die Positionen der beiden Elektronen durch
x
bzw.
y
angegeben werden und der
Atomkern sich im Nullpunkt befindet. Für die Untersuchung der Operatoren
Rh
und
Vh
legen wir zunächst die Parameter fest. Wir wählen
h
= 1
/
4,
ϑ
= 1
/
10 und
λ
=
−
1,4. Nach
[42] ist eine Näherung der Grundzustandsenergie von Helium durch
−
76,6eV gegeben.
Rechnet man dieses Ergebnis in atomare Einheiten um, so ergibt sich ein Wert von etwa
−2,8. In atomaren Einheiten hat der Hamilton-Operator (1.1) allerdings die Gestalt
−1
2∆ + V.
61
62 7 Ausblick
−100 −50 0 50 100
10−52
10−41
10−30
10−19
10−8
103
k
Resolvente
−100 −50 0 50 100
10−44
10−35
10−26
10−17
10−8
101
k
Potential
Abbildung 7.1:
Vergleich der oberen Schranke ( ) der Norm mit den tatsächlichen
Werten ( ) für die Resolvente und das Potential.
Mit einer entsprechende Skalierung kann der Faktor 1
/
2entfernt werden und man gelangt
zu der hier verwendeten Form. Dies führt dazu, dass die Eigenwerte in der atomaren
Einheit halbiert werden müssen, was die Wahl von
λ
nahelegt. Es ist allerdings für die fol-
genden Experimente nicht notwendig, dass der Wert von
λ
etwa der Grundzustandsenergie
entspricht.
Die
L2
- und
H1+ϑ
-Norm einer Gauß-Funktion lassen sich einfach berechnen. Für eine
zufällige Gauß-Funktion
f
wurden nun die Normen von
|Rh,kf|2−ϑ
und
kVh,kfk0
für die
Indizes
k
=
−
100
,−
99
,...,
100 berechnet und mit den theoretischen Schranken
(4.17)
und
(4.25)
verglichen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 7.1 dargestellt. Neben einer
Normierung wurden alle Werte kleiner gleich 10
−50
auf Null gesetzt. Man beachte, dass es
sich um eine logarithmische Skalierung handelt, so dass diese Ergebnisse nicht angezeigt
werden. Es wird deutlich, dass die jeweiligen Normen weitaus schneller abfallen als theo-
retisch vorhergesagt wurde. Dies begründet sich zum einen daran, dass Gauß-Funktionen
im Gegensatz zu allgemeinen Funktionen eine spezielle Struktur aufweisen, und zum
anderen an den bereits in Bemerkung 4.8 angesprochenen Verbesserungsmöglichkeiten.
Insgesamt leisten die Anteile der Operatoren
Rh
und
Vh
bezüglich positiver Indizes
k
also kaum einen Beitrag. Auch bei anderen Atomen oder Molekülen zeigen sich im Test
vergleichbare Ergebnisse.
Führt man die Experimente für größere Indizes
k
durch, so offenbaren sich erste Probleme
beim angenährten Potential
Vh
: Es kommt zu großen Rundungsfehlern. Verursacht
7.2 Die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration 63
werden diese Schwierigkeiten von der Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Die Matrix der
entsprechenden Gauß-Funktion ist mit Hilfe des Kronecker-Produkts gegeben durch
2ekh −2ekh
−2ekh 2ekh!⊗I3,(7.1)
wobei
I3
die Einheitsmatrix im
R3×3
bezeichnet. Wie bereits im Anschluss an Lemma 4.4
bemerkt wurde, stellt das Produkt dieses Anteils mit einer Gauß-Funktion kein Problem
dar: Bei der Multiplikation werden die Matrizen addiert und das Ergebnis ist positiv
definit und insbesondere regulär. Vom numerischen Standpunkt aus betrachtet ist dies
allerdings schwierig, da es für große Indizes
k
bei Verwendung der Standardmethoden,
wie etwa der Berechnung der Determinante oder der Eigenwerte und Eigenvektoren, zur
Auslöschung kommt. Schränkt man den Kreis der Gauß-Funktionen auf jene ein, deren
Matrizen die gleiche Struktur aufweisen wie die Matrix in Gleichung
(7.1)
, so lassen
sich sämtliche Rechnungen mit Hilfe der (2
×
2)-Matrizen bewerkstelligen. Die einzelnen
Formeln lassen sich leicht herleiten und die problematischen Ausdrücke können eliminiert
werden. Die Implementation ist nun wesentlicher stabiler.
7.2 Die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration
Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten
und den zugehörigen Eigenvektoren einer quadratischen Matrix. Im symmetrischen Fall
kann das Verfahren mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten verbessert werden, wobei wir für
die Details auf [18] verweisen. Ist die Matrix schlecht konditioniert, so wirkt sich dies
negativ auf die Konvergenz des Verfahrens aus. Ein Vorkonditionierer kann hier Abhilfe
schaffen und resultiert in der vorkonditionierten inversen Iteration. Diese Methode wurde
in einer Vielzahl von Arbeiten untersucht. Wir verweisen den Leser auf [44, 45, 46], die
einen guten Einstieg in das Thema liefern. Einen kurzen Konvergenzbeweis findet sich
etwa in [37]. In [51] wird das Verfahren auf den unendlichendimensionalen Fall erweitert.
Da bei einer praktischen Realisierung die Operatoren in der Regel nur näherungsweise
angewendet werden können, wird in jedem Schritt eine Störung hinzugefügt, die dem
Diskretisierungsfehler zugeordnet werden kann. Daher bezeichnet man das Verfahren als
gestörte vorkonditionierte inverse Iteration. Wir rekapitulieren nun die Ergebnisse aus
dem Artikel und zeigen, inwiefern die elektronische Schrödinger-Gleichung
(1.10)
in das
Konzept passt und die bisherigen Ergebnisse angewendet werden können.
Wir beginnen mit der Formulierung des abstrakten elliptischen Eigenwertproblems.
Sei dazu (
H, k·kH,
(
·,·)H
)ein Hilbertraum und (
V, k·kV
)ein reflexiver und separabler
Banachraum, so dass
V
eine dichte Teilmenge von
H
ist und die Einbettung stetig ist.
Die jeweiligen Dualräume bezeichnen wir mit (
H∗,k·kH∗
)und (
V∗,k·kV∗
). Nach dem
Riesz’schen Darstellungssatz können die Räume
H
und
H∗
miteinander identifiziert
werden. In diesem Sinne erhalten wir die Abbildung
E:H→H∗:v7→
(
u, ·)
, wobei wir
hauptsächlich die Einschränkung von
E
auf den Raum
V
benötigen und dafür die gleiche
Bezeichnung verwenden. Insgesamt ergibt sich der Gelfand-Dreier
V⊂H⊂V∗
. Die
64 7 Ausblick
Auswertung eines Funktionals
f∈V∗
an der Stelle
v
drücken wir mit Hilfe der dualen
Paarung aus: f(v) = hf, viV∗×V.
Sei
A:V→V∗
ein linearer und beschränkter Operator. Darüber hinaus sei
A
stark
positiv, d.h. es gibt ein m > 0, so dass für alle v∈V
hAv, viV∗×V≥mkvk2
V(7.2)
gilt, und symmetrisch, d.h., dass für alle v, w ∈Vdie Identität
hAv, wiV∗×V=hAw, viV∗×V
gültig ist. Aufgrund dieser Eigenschaften wird durch
hu, viA
:=
hAu, viV∗×V
ein Skalar-
produkt auf
V
definiert, welches die Energie-Norm
kukA
:=
hu, ui1/2
A
induziert, die dann
äquivalent zur Norm auf Vist.
Wir können nun das schwache Eigenwertproblem formulieren. Der Wert
λ∈R
heißt
Eigenwert zum Eigenvektor v∈V\{0}, wenn die Gleichung
Av =λEv (7.3)
in V∗gilt. Der Rayleigh-Quotient für ein v∈Vist gegeben durch
e
µ(v) = hAv, viV∗×V
hEv, viV∗×V
=hAv, viV∗×V
(v, v).(7.4)
Zur Lösung der Eigenwertaufgabe soll die vorkonditionierte inverse Iteration verwendet
werden. Dazu sei
B:V→V∗
ein symmetrischer Operator, der als Vorkonditionierer von
A
fungieren soll. Dazu ist es notwendig, dass
B
spektral äquivalent zu
A
ist, d.h. es gibt
eine Konstante γB∈(0,1), so dass
kI−B−1AkA≤γB.(7.5)
Die Iteration ist dann durch
v7→ v−B−1Av −e
µ(v)Ev(7.6)
gegeben. Im Hinblick auf die numerische Umsetzung kann nun das Verfahren um eine Stö-
rung in jedem Schritt erweitert werden, die dann dem Diskrektisierungsfehler zugeordnet
werden kann. Für Details verweisen wir auf den bereits genannten Artikel [51].
Da wir in Abschnitt 1.2 bereits die schwache Form der Schrödinger-Gleichung hergeleitet
haben, sind nur wenige Schritte notwendig, um daraus ein schwaches Eigenwertproblem
zu generieren. Der Hilbertraum
H
ist der
L2
und für
V
wählen wir den Sobolev-Raum
H1
.
Diese Räume erfüllen dann die geforderten Eigenschaften. Durch die in Gleichung
(1.8)
definierte Bilinearform
a
wird ein Operator definiert, der linear, symmetrisch und be-
schränkt ist. Er ist allerdings nicht stark positiv. Dieses Merkmal kann nur durch eine
Verschiebung des Spektrums erreicht werden.
7.2 Die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration 65
Satz 7.1. Sei
µ≥Θ2(N, Z) + 3
4.(7.7)
Dann ist der Operator A:H1→H−1, der für u, v ∈H1durch die Relation
hAu, viH−1×H=a(u, v) + µ(u, v)0(7.8)
gegeben ist, beschränkt und symmetrisch. Weiter gilt für alle u∈H1
hAu, uiH−1×H≥3
4kuk2
1,(7.9)
d.h. Aist stark positiv.
Beweis.
Da die Bilinearform
a
beschränkt und symmetrisch ist, gilt dies auch für
A
. Mit
der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, der Abschätzung
(1.7)
und der Bedingung
(7.7)
an
µ
ergibt sich dann die starke Positivität (7.9).
Der Operator
A
erfüllt damit alle Voraussetzungen. Statt der schwachen Form der
Schrödinger-Gleichung (1.11) konzentrieren wir uns auf das verschobene Problem
Au = (λ+µ)Eu. (7.10)
Als Vorkonditionierer wählen wir
B
=
ER−1
µ
. Dabei ist
Rµ
die in Gleichung
(1.13)
definierte Resolvente des Laplace-Operators, die wir allerdings bzgl. der Verschiebung
µ
betrachten, d.h.
d
Rµu(ω) = 1
|ω|2+µb
u(ω).(7.11)
Damit ergibt sich die Zerlegung
A
=
B
+
EV
. Der Unterschied zwischen
A
und
B
ist
also gerade das Potential V.
Satz 7.2.
Wählt man die Verschiebung
µ
genügend groß, so sind die Operatoren
A
und
Bspektral äquivalent.
Beweis. Wir zeigen, dass die Ungleichung (7.5) erfüllt ist. Für u∈H1ist zunächst
hu, uiA=a(u, u) + µ(u, u)0≤ |u|2
1+Θ(N, Z)|u|1kuk0+µkuk2
0.
Damit erhalten wir
k(I−B−1A)uk2
A=hRµVu, RµVuiA≤ |RµVu|2
1+Θ(N, Z)|RµVu|1kRµVuk0+µkRµVuk2
0.
Analog zur Abschätzung (1.17) ergibt sich die Ungleichung
|RµVu|2
1+Θ(N, Z)|RµVu|1kRµVuk0+µkRµVuk2
0≤5+2Θ(N, Z)
4µkVuk2
0.
66 7 Ausblick
Mit dem Resultat über die Norm des Potentials aus Gleichung
(1.7)
und der starken
Positivität von Aaus (7.9) ist dann insgesamt
k(I−B−1A)uk2
A≤5+2Θ(N, Z)Θ2(N, Z)
3µhu, uiA.(7.12)
Wählt man daher µgenügend groß, so sind Aund Bspektral äquivalent.
Setzt man alle Operatoren in die vorkonditionierte inverse Iteration
(7.6)
ein, so reduziert
sich diese auf
u7→ Rµe
µ(u)u−Vu.(7.13)
Die Resolvente
Rµ
und das Potential
V
kann man nun durch die in Abschnitt 4.1
vorgestellten Näherungen ersetzen. Der dadurch entstandene Fehler kann als Störung
interpretiert werden und wir erhalten schließlich die gestörte vorkonditionierte inverse
Iteration für die verschobene Schrödinger-Gleichung
(7.10)
. Startet man diesen Algorith-
mus mit einer Gauß- oder Gauß-Hermite-Funktion, so bleibt man nach den bisherigen
Ergebnissen in der jeweiligen Funktionenklasse. Dies ist der Ausgangspunkt für weitere
Untersuchungen. Zunächst muss eine genaue Konvergenzanalyse gemäß [51] durchgeführt
werden. Eine weitere, relevante Fragestellung ist die Kompression: Die Näherungen
Rh
und
Vh
generieren aus einer Gauß-Funktion eine Reihe ebendieser Funktionen. Mit den
vorgestellten Methoden lassen sich diese zwar auf endliche Summen reduzieren, die aber
weiterhin eine beträchtliche Anzahl von Summanden aufweisen. Es stellt sich nun die
Frage, inwiefern die einzelnen Anteile tatsächlich relevant sind. In der einfachsten Form
würde man diese Entscheidung anhand der Norm treffen. Ob dies sinnvoll ist – und vor
allem – welche Norm gewählt werden sollte, ist nicht ohne Weiteres ersichtlich. Dies ist
insgesamt nur ein kleiner Überblick der möglichen Themen für weitere Forschungen, die
sich aus dieser Arbeit ergeben.
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