Heinrich Kaase
Primäre Strahlungsnormale
Publika�onen des Fachgebietes Lich�echnik Band 1
Die Basis für Quan�ta�ve Lichtmesstechnik
Die Schriftenreihe Publikationen des Fachgebietes Lichttechnik der Technischen Universität Berlin wird herausgegeben von:
Prof. Dr.-Ing. habil. Stephan Völker
Publikationen des Fachgebietes Lichttechnik | 1
Heinrich Kaase
Primär Strahlungsnormale
Die Basis für Quantitative Lichtmesstechnik
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DOI: 10.14279/depositonce-19710
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1
Primäre Strahlungsnormale
Die Basis für Quantitative Lichtmesstechnik
Heinrich Kaase
Vorwort
Diese Schrift dient dazu, die Grundprinzipien der Erzeugung
optischer Strahlung im Zusammenhang zu erläutern und eine
Vorstellung von dem Aufbau und der Wirkungsweise der Großgeräte
zu geben. Dabei sind die zum Teil schwierigen mathematischen
Berechnungen und die scharfe Grenzziehung zwischen
Theoretischer Physik und ingenieurtechnischen Anwendungen nicht
möglich.
Bei der Abfassung dieser Schrift, die als Lehrbuch gedacht ist,
wurde an dem Grundsatz festgehalten, wichtige Erkenntnisse so
weit wie möglich abzuleiten. Damit soll dem angehenden Ingenieur
ein Einblick in die Tiefe theoretischer Gedankengänge der
klassischen Elektrotechnik, der Quantentheorie, der Optik und der
Relativitätstheorie in Verbindung mit den experimentellen Aufgaben
aufgezeigt werden. Aber erst die Beschäftigung mit den
Anwendungen führt zum Verständnis der allgemeinen
Zusammenhänge.
Ich danke Herrn Prof. Völker, dem Leiter des Fachgebietes
Lichttechnik an der TU Berlin, für die verständnisvolle
Zusammenarbeit. Bei der Herstellung der vorliegenden Schrift
unterstützte mich der Assistent Herr Leo Grossman bei der
Darstellung dieser Veröffentlichung in einer verständlichen Form,
wofür ich ihm hier meinen Dank ausspreche.
2
Inhalt Seite
1. Einführung 3
2. Primäre Strahlungsnormale 11
3. Der Planck´sche Hohlraumstrahler 12
3.1 Photonengas und das Planck´sche Strahlungsgesetz 12
3.2 Thermodynamische Betrachtungsweise 13
3.3 Quantenstatistische Betrachtungsweise 17
3.4 Planck´sche Gesetz in elektromagnetischer Darstellung 20
3.5 Beispiele für Schwarze Strahler 22
4. Plasmastrahler 29
4.1 Theoretische Grundlagen 29
4.2 Beispiel: Ar-Plasmabrenner mit Dotierung 31
5. Die Elektronensynchrotronstrahlung 36
5.1 Phänomenologische Betrachtung 36
5.2 Theorie der Synchrotronstrahlung 40
5.3 Spektralverteilung der Synchrotronstrahlung 43
5.4 Anwendung der Synchrotronstrahlung in der Radiometrie 44
5.5 Elektronenspeicherring als Synchrotronstrahlungsquelle 49
6. Vergleich der drei Strahlungsnormale 53
6.1 Vergleich der Spektren 53
6.2 Experimente zum Vergleich der Strahlungsnormale 55
7. Ausblick 61
3
1. Einführung
Das Interesse an zuverlässigen, leicht reproduzierbaren Maßeinheiten
sowohl für Handelsobjekte als auch für die Wissenschaft nahm seit dem
achtzehnten Jahrhundert stark zu. So waren Längenmaße durch
Körperteile des jeweiligen Herrschers als Elle oder Fuß festgelegt, und
auf den Marktplätzen waren große Stadtwaagen zur Bestimmung der
Gewichte aufgestellt. Am Anfang des neunzehnten Jahrhunderts - mit
dem Beginn der Industrialisierung - genügte jedoch diese Vielzahl an
unterschiedlichen Definitionen für Maßeinheiten weder den
Forderungen des Handels, noch der Vergleichbarkeit der Maße und
Gewichte in Industrie und Wissenschaft. Deshalb wurde auf Initiative
von Werner von Siemens im Jahre 1887 die Physikalisch Technische
Reichsanstalt (PTR) als oberste Instanz zu allen Fragen des richtigen
und präzisen Messens in Industrie, Handel und Wissenschaft
gegründet. Der erste Präsident war Hermann von Helmholtz, ein
weltweit anerkannter und geschätzter Physiker.
Mit der zunehmenden Internationalisierung des Handels und den
vertieften internationalen Kooperationen erfolgte in den Jahren danach
die Gründung des Internationalen Instituts für Maße und Gewichte
(Bureau International de Poids et Mesures BIPM) in Sevres bei Paris.
Diesem neuen Institut schlossen sich eine Vielzahl von Staaten als
Mitglied an. Damit war weltweit die Angleichung der nationalen Gesetze
zum Messwesen durch eine internationale verpflichtende Verknüpfung
gesichert. Der wichtigste Beschluss des Internationalen Komitees für
Maße und Gewichte (Comite International de Poids et Mesures CIPM)
war aus heutiger Sicht die Veröffentlichung des SI-Einheitengesetzes
(System International d´Unités), das nach jahrelanger Diskussion erst
im Jahre 1960 internationale Anerkennung fand. In diesem Gesetz sind
die sieben Basiseinheiten definiert:
Meter (m), Kilogramm (kg), Sekunde (s), Kelvin (K), Ampere (A),
Candela (Cd) und Mol (mol).
Heute hat in Deutschland die Physikalisch Technische Bundesanstalt
(PTB), als Nachfolgeinstitut der PTR die nationale Realisierung dieser
Basiseinheiten sicherzustellen. Sie hat sich dabei eine weltweit
führende Stellung auf dem Gebiet des gesetzlichen Messwesens
erarbeitet. Im Bereich der optischen Strahlung und der Lichttechnik
4
kommt dabei der Basiseinheit „Candela“ von Anfang an eine
hervorgehobene Bedeutung zu, da auf der Einheit der Lichtstärke das
gesamte beleuchtungstechnische Maßsystem beruht. Dagegen basiert
die Strahlungsleistung auf den elektrischen Basiseinheiten.
Wenn man in die Gründungszeit der PTR zurückschaut, dann spielt in
dieser Zeit das Strahlungsmesslabor der PTR eine weltweit
hervorgehobene Rolle. Diese optische Abteilung war in der
internationalen Wissenschaft bekannt; sie beeinflusste um die
Jahrhundertwende den Fortschritt in der Physik entscheidend. Hier
experimentierten international hoch anerkannte Wissenschaftler wie
u.a. Wilhelm Wien, Hermann von Helmholtz, Otto Lummer, Johannes
Stark, Friedrich Paschen und Erwin Pringsheim. Durch Max Planck und
Max von Laue wurde diese hochangesehene Gruppe wissenschaftlich
intensiv unterstützt. Ihre Arbeiten in der Physikalisch-Technischen
Reichsanstalt betrafen:
• Die theoretische Bestimmung des Strahlungsgesetzes mit
statistischen Methoden unter Berücksichtigung der Energie der
Photonen. Damit war die Planck’sche Konstante h definiert.
• Die experimentelle Prüfung der Planck’schen Strahlungsformel
mit Hilfe eines Porzellanrohres bei einer Temperatur von 1600 K.
• Die Realisierung der photometrischen Einheit der Lichtstärke mit
Hilfe der Hefner-Lampe.
• Die Entwicklung von konstant brennenden Strahlungsquellen,
Strahlungsempfängern und photometrischen Messgeräten wie
zum Beispiel das Fettfleckphotometer.
Die Hefnerkerze als Lichtstärkenormal und das Fettfleckphotometer
haben heute keine Bedeutung mehr. Dagegen ist die Relevanz der
Licht-, Farb- und Strahlungsmessung aufgrund der neuen ergänzenden
Anforderungen, die an die ultraviolette und an die infrarote Strahlung
gestellt werden, stetig gestiegen. So bekam in der der Physikalisch-
Technischen Bundesanstalt, die 1952 auf Initiative von Max von Laue in
Braunschweig neu gegründet wurde, in der Abteilung Optik die Gruppe
Licht- und Strahlungsmessung eine hohe Bedeutung. Kendrik Kurt,
Georg Bauer und Kurt Bischoff haben diese Fachgruppe auf hohem
Niveau weiterentwickelt und eine hohe internationale Wertschätzung
erlangt.
Die vorliegende Schrift ist Fortsetzung und Ergänzung des 1962
erschienenen Buches von Georg Bauer "Strahlungsmessung im
5
optischen Spektralbereich“. Georg Bauer war Direktor der Abteilung
Optik der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, er beschreibt die
wissenschaftlich-technische Entwicklung bis etwa 60 Jahre nach dem
von Max Planck abgeleiteten Strahlungsgesetz.
In den nachfolgenden 60 Jahren, also von 1962 bis zum heutigen Stand
ist eine starke Entwicklung technischer Lösungen zur Licht- und
Strahlungsmessung festzustellen, die durch die Industrialisierung, durch
Anforderungen der Photonik sowie der Optoelektronik und der
Digitaltechnik bedingt waren. Dies soll in der vorliegenden Schrift
Berücksichtigung finden. Es werden neue Definitionen im gesetzlichen
Messwesen wiedergegeben und technische Richtlinien mitgeteilt, die
bei zukünftigen Herausforderungen eine zentrale Rolle spielen werden.
Optimierte optische Anordnungen für Anwendungen in der Radiometrie,
der Photometrie und der Farbmessung werden aufgezeigt.
Eine große wissenschaftliche Bedeutung liegt in der Realisierung der
Strahlungsgrößen im optischen Spektralbereich, die ausschließlich auf
den mathematischen Regeln und auf nur drei Naturkonstanten beruhen:
• Planck´sche Konstante h = 6,62607 x 10-34 Ws2
• Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,99792 x 108 ms-1
• Boltzmann-Konstante k = 1,38066 x 10-23 JK-1
Die Gesetze der optischen Strahlung sind deshalb nicht nur Grundlage
der Lichttechnik sondern auch fundamental für die Theoretische Physik.
In diesem Lehrbuch werden die Grundlagen für die Realisierung von
primären Strahlungsnormalen zusammengefasst dargestellt. Dabei wird
die Verknüpfung zwischen Theoretischer Physik und Lichttechnik
wiedergegeben.
Die Bestimmung von Strahlungs-, Licht- und Farbgrößen setzt die
Kenntnis eines anerkannten Einheitensystems voraus, das die
Strahlung, das Licht und die Farbe beschreibt. Wenn man sich
allgemein verständlich und widerspruchsfrei äußern will, muss man sich
der Gemeinsprache bedienen. Klare Fachworterklärungen setzen dabei
klare Fachwörter voraus, und der Schöpfer von Fachwörtern sollte sich
allein von Sachlichkeit und Unmissverständlichkeit leiten lassen. Dieser
Grundgedanke ist Leitlinie in nationalen Normen (z.B. DIN 5031 und
5033) und in Publikationen der CIE (Internationales Wörterbuch der
Lichttechnik).
6
So versteht man unter optischer Strahlung die Strahlung, die im
Wellenlängenbereich von 1 nm (obere Grenzwellenlänge des Bereichs
der Röntgenstrahlung) bis 1 mm (untere Grenzwellenlänge des
Bereiches der Radiowellen) liegt. In der Norm 5031-7 wird optische
Strahlung nur von 100 nm bis 1 mm angegeben; es fehlt dort der so
genannte extreme Vakuum UV-Bereich (EUV) von 1 nm bis 100 nm. Da
dieser Strahlungsbereich aber nicht - ionisierend ist, wird er der UV-
Strahlung zugeordnet.
Die Strahlungsleistung Φ, die in Form elektromagnetischer Wellen
transportiert wird, lässt sich aus den Maxwellschen Gleichungen
berechnen. Sie ist durch den Poynting-Vektor
→
S
als Kreuzprodukt des
elektrischen Feldvektors
→
E
und des magnetischen Feldvektors
→
H
festgelegt. Es gilt
→→ ⋅=Φ ∫AdS
A
(1.1)
Φ ist also die durch die Fläche A durchtretende Strahlungsleistung
(in W) und
→
Ad
ist ein Flächenelement, das auf der die Quelle
umschließenden Fläche A liegt (in m2).
Die Verteilung optischer Strahlung in Abhängigkeit von der Wellenlänge
wird durch Spektren beschrieben. So ist die spektrale
Strahlungsleistung die Größe, die in einem infinitesimalen
Wellenlängenintervall 𝜕𝜕𝜕𝜕 um die Wellenlänge
λ
enthalten ist:
Φλ(λ) = 𝜕𝜖𝜕𝜕(𝜆𝜆)
𝜕𝜖𝜆𝜆 (1.2)
Mathematisch handelt es sich also um eine partielle Ableitung der von
der Wellenlänge λ abhängigen Strahlungsleistung.
Optische Strahlung wird in eine Vielzahl von Spektralbereichen
eingeteilt, deren Grenzwellenlängen durch unterschiedliche
physikalische, chemische oder biologische Wirkungen der Strahlung
bestimmt sind. Die Einteilung der Spektralbereiche wird hier in
Anlehnung an DIN 5031-7 mit der unteren Grenzwellenlänge
λ
1 und der
oberen Grenzwellenlänge
λ
2 wiedergegeben.
7
Der Strahlungsübergang von einer Strahlerfläche dA1 zu einer Emp-
fängerfläche dA2 wird durch geometrische Größen nach Abb. 1.1
beschrieben. Dabei sind ε1 und ε2 Winkel zwischen den
Flächennormalen bzw. und der kürzesten Verbindung d zwischen
den beiden Flächenelementen dA1 bzw. dA2.
Abb.1.1 Strahlungstransport zwischen zwei Flächen dA1 und dA2
Damit lässt sich nun der Raumwinkel Ω festlegen, unter dem die
Strahlung von einer Quelle emittiert wird oder unter dem ein Empfänger
die Strahlung einer Quelle erfasst. Es gilt
dA
d
cos
d2⋅
ε
=
Ω
(1.3)
Die physikalische Einheit des Raumwinkels Ω ist Steradiant (sr); der
gesamte Raumwinkel ist 4π sr. Der Raumwinkel ist eine
dimensionslose Größe; deshalb ist bei Dimensionsbetrachtungen in
Größengleichungen Vorsicht geboten.
Der Raumwinkel in den Strahlung einer Fläche emittiert wird, ist durch
die Projektion auf die Einheitskugel festgelegt. Für kleine Flächen A und
große Abstände d gilt für den Raumwinkel näherungsweise:
2
d
A
cos ⋅ε=Ω
(1.4)
Definition der hier verwendeten Strahlungsgrößen
Bei der Berechnung der Strahlung von primären Strahlungsnormalen ist
- um Unklarheiten zu vermeiden - auf exakte Definitionen der
physikalischen Größen für optische Strahlung zu achten, sie sind im
1
n
2
n
8
CIE Wörterbuch definiert und sollen hier kurz zusammengefasst
werden:
• Die Strahlungsleistung Φ ist Ausgangsgröße der abgeleiteten
radiometrischen Strahlungsgrößen und wird in W gemessen:
→→ ⋅=Φ ∫AdS
A
(1.5)
• Die Integration der Strahlungsleistung über das Zeitintervall von t1
bis t2 ergibt die Strahlungsenergie Q, sie wird in Ws bzw. J
gemessen:
Q = ∫𝛷𝛸 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑢2
𝑡𝑢1 (1.6)
• Die spezifische Ausstrahlung M ist die von einem Flächenelement
dA1 des Strahlers A1 emittierte Strahlungsleistung Φ, sie wird in
Wm-2 gemessen:
1
A
M∂
Φ∂
=
(1.7)
• Die Strahlstärke I ist die vom gesamten Strahler A1 in das
Raumwinkelelement dΩ1 emittierte Strahlungsleistung, sie wird in
W/sr gemessen:
1
IΩ∂
Φ∂
=
(1.8)
• Die Strahldichte L ist die von einem Flächenelement dA1 in ein
Raumwinkelelement dΩ emittierte Strahlung:
𝐿𝑀=𝜕𝜖2 𝜕𝜕
𝜕𝜖 𝐴𝐵1 𝜕𝜖𝛺𝛻 (1.9)
• Die Bestrahlungsstärke E ist die auf einer Empfängerfläche A2
auftreffende Strahlungsleistung Φ:
2
A
E∂
Φ∂
=
(1.10)
9
• Die Bestrahlung H ist die Strahlungsenergie Q pro Flächeneinheit
A2 und damit die über ein Zeitintervall integrierte Strahlungsleistung
2
A
Q
H∂
∂
=
(1.11)
H = ∫𝛷𝛸(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑢2
𝑡𝑢1
Während also die Größen Strahlungsenergie Q, Strahlungsleistung Φ,
spezifische Ausstrahlung M, Strahlstärke I und Strahldichte L die
Strahlungseigenschaften von Quellen beschreiben, beziehen sich die
Größen Bestrahlungsstärke E und Bestrahlung H auf
Strahlungsempfänger (also auf das Flächenelement dA2 bezogene
Strahlungsgrößen).
Für die zugehörigen wellenlängenabhängigen Größen (spektrale Größen)
gelten Definitionen analog zu Gl. 1.2. Ist dabei nur der spektrale Gang von
Interesse, wird die entsprechende Größe auf den Wert bei einer
Wellenlänge normiert. Das Ergebnis ist eine relative Funktion in
Abhängigkeit von der Wellenlänge und wird Strahlungsfunktion S(λ)
genannt. So gilt z.B. für die relative spektrale Bestrahlungsstärke:
𝑆𝑇(𝜕𝜕) = ∂E(𝜆𝜆)/∂𝜆𝜆
∂E(𝜆𝜆=𝜆𝜆0)/∂𝜆𝜆 (1.12)
Photonengrößen, Wellenzahl und Frequenz
Mit der Entdeckung der Photonen Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts
lässt sich der Strahlungstransport auch durch den Transport von
Photonen beschreiben. Mit der Photonenenergie nach Planck
ν⋅= hQ
(1.13)
wird damit die Strahlungsleistung durch einen Photonenfluss - also durch
Photonenzahlen pro Zeiteinheit - angeben. Dabei ist h die Planck`sche
Konstante ℎ= 6,62607 ∙10−34𝐽𝐽𝐽𝐾, und die Frequenz ν ist in Hz anzusetzen.
Die Umrechnung von energetischen Strahlungsgrößen in
Photonengrößen ist dann über die Substitution:
h ν = n c (1.14)
10
gegeben. Dabei sind λ die Wellenlänge, ν die Frequenz der Strahlung, n
ist die Brechzahl des Mediums und c = 2,99792 x 108 ms-1 ist die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
Mit der Substitution aus Gl. 1.14 ergibt sich durch Anwendung der
Kettenregel die Umrechnungsformel für die Zahl der Photonen pro
Zeiteinheit (Photonenfluss Φp) einer Strahlungsleistung Φ zu:
λ
λ∂
Φ∂
⋅λ⋅
⋅
=Φ ∫d
ch
P
1
(1.15)
Die Einheit von Φp ist also s-1 (Zahl der Photonen pro Sekunde). Damit
wird durch Einführung der Photonen die Maxwelltheorie zur
Quantenelektrodynamik erweitert, mit der sich bis dahin nicht erklärbare
Effekte quantitativ beschreiben lassen.
Die Photonenenergie wird in der Physik – insbesondere in der
Optoelektronik - oft in der Einheit eV angegeben. Der Umrechnungsfaktor
ist hierfür Q [eV] = 1,24
𝜆𝜆[𝜇𝜈𝜇𝜇] (1.16)
oder 1 eV = 1,6021 × 10-19 J.
Literatur zu Kap. 1 Einführung
Bauer, G. (1962): Strahlungsmessungen im optischen Spektralbereich;
Vieweg Verlag, Braunschweig.
DIN 5031-3 (1982): Strahlungsphysik im optischen Bereich und in der
Lichttechnik; Beuth Verlag, Berlin
DIN 5030-1 (1985): Spektrale Strahlungsmessungen; Beuth Verlag,
Berlin.
Kaase, H. (1992): Fundamentals and Limitations of Optical Radiation
Measurements in Optical Sensors, Hrsg: E.Wagner et.al.; VCH Verlag,
Weinheim, New York, S. 97
Hentschel, H.-J. (1994): Licht und Beleuchtung; Hüthig Verlag,
Heidelberg.
CIE Publ. No. 17.4 (1987) Internationales Wörterbuch der Lichttechnik,
Commission Internationale de l’Eclairage, Wien
11
2. Primäre Strahlungsnormale
Quantitative Messungen optischer Strahlung nutzen meist ein
Substitutionsverfahren, bei dem die Strahlung einer unbekannten
Strahlungsquelle mit der einer Quelle bekannter Emission verglichen wird.
Strahlungsquellen, deren spektrale Emission aus den
Maschinenparametern mit bekannten physikalischen Gesetzen bestimmt
werden kann, werden primäre Strahlungsnormale genannt. Die drei aus
der Praxis bekannten und wiederholt experimentell abgesicherten Primären
Strahlungsnormale sind:
(1) Der Planck´sche Hohlraumstrahler: Bei dieser
Strahlungsquelle, die aus festen Stoffen besteht, wird die Strahlung nach
dem Planck’schen Strahlungsgesetz bestimmt. Da feste Stoffe eingesetzt
werden, kann die Temperatur maximal 3100 K betragen. Dadurch wird der
nutzbare Spektralbereich allerdings auf das Wellenlängenintervall 250 nm
≤ λ ≤ 2500 nm einschränkt.
(2) Der Plasmastrahler: Dabei wird die Strahlung in einer
Niedertemperatur – Plasmasäule (10 000 K bis 15 000 K) erzeugt. Für
diskrete Wellenlängenintervalle im Spektralbereich von 90 nm bis 250 nm
mit einem Emissionskoeffizienten des Plasmas von 1 (optisch dicke Linien)
lässt sich dann die Strahlung nach dem Planck`schen Gesetz berechnen.
Diese Strahlungsnormale sind also nur in einem sehr begrenzten
Spektralbereich (Schumann Bereich) nutzbar. 1961 wurden diese Strahler
von Boldt für Anwendungen in der Astronomie aufgebaut.
(3) Die Synchrotronstrahlung: Erstmals ist 1956 bei Tomboulian
und Hartmann die Synchrotronstrahlung, die bei Elektronenbeschleunigern
als Verluststrahlung (Bremsstrahlung) auftritt, als Strahlungsnormal im
optischen Spektralbereich von 100 nm bis 3000 nm vorgeschlagen worden,
da sämtliche Strahlungseigenschaften aus den Betriebsdaten des
Beschleunigers berechnet werden können. Diese Rechnungen setzen
allerdings gute Kenntnisse der Relativitätstheorie, der Feldtheorie und der
Integralrechnung voraus. Die Synchrotronstrahlung zeichnet sich durch ein
kontinuierliches Spektrum mit Wellenlängen vom Extremen Vakuum
Ultraviolett bis zum Mittleren Infrarot aus. Diesem Vorteil steht im Vergleich
zu den Strahlungsnormalen (1) und (2) als Nachteil seine sehr eng
gebündelte Strahlung, seine zeitliche Struktur (es werden sehr kurze
Strahlungsimpulse emittiert) sowie die Erfordernis umfangreicher
Maßnahmen zum Strahlenschutz gegenüber.
12
3. Der Planck`sche Hohlraumstrahler
3.1 Photonengas und das Planck`sche Strahlungsgesetz
Die Strahlungsgesetze eines Hohlraumstrahlers - auch Planckstrahler oder
Schwarze Strahler genannt - wurden durch Planck 1900 erstmals publiziert.
Die folgenden Überlegungen geben eine Kurzfassung der theoretischen
Abhandlungen von Max Planck und den Experimenten von Lummer und
Kurlbaum wieder. Max Planck war Theoretischer Physiker, der sich um
1900 mit dem Schwerpunkt Theoretische Thermodynamik befasste. So
basierte seine Theorie auf der Betrachtung eines Photonengases. Dabei
setzte er voraus, dass die freie Energie Qi des Photonengases im
thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung extremal in Bezug auf die
Gesamtteilchenzahl N ist. Man spricht heute von einem stark entarteten
Bose–Einstein–Gas mit der Bedingung dQF/dN = 0. Dabei ist QF die freie
Energie der betrachteten Teilchen mit der mittleren Besetzungszahl
n
(𝑄𝑄)= 1
𝑒𝑒𝑄𝑄
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.1)
Für die weiteren Betrachtungen ist noch folgender Grundsatz der
Thermodynamik von Bedeutung. Er besagt, dass alle mechanischen und
elektrischen Vorgänge, bei denen keine Temperaturdifferenzen auftreten,
reversibel sind. Das bedeutet, dass ein Ausgangszustand rückgängig
gemacht werden kann, ohne dass dabei eines der Teilchen eine bleibende
Zustandsänderung erfährt. In der Thermodynamik ist also das Verhältnis
einer thermisch reversibel aufgenommenen Energie Qrev zur Temperatur T
bei der Aufnahme konstant; dieses Verhältnis heißt Entropie S. In der
Thermodynamik ist die Entropie durch den Kreisprozess definiert. So ist bei
einem reversiblen Prozess die Summe der Wärmemenge, die einem
Körper zugeführt wird unabhängig vom Weg auf dem der Prozess verläuft.
Nun zu einem Modell des Photonengases, das sich im thermischen
Gleichgewicht befindet und zum Beispiel einen Kasten mit konstanter
Wandtemperatur T füllt. Für solch ein Photonengas lassen sich die
Beziehungen der Thermodynamik anwenden.
13
Zwei historische Vorgehensweisen wurden durch Max Planck beschrieben,
die beide zum fundamentalen Planck`schen Gesetz führen:
Bei der ersten Herleitung des Planck`schen Gesetzes werden die
klassischen Formeln der Thermodynamik verwendet, und das
Photonengas wird unter thermodynamischen Kriterien behandelt. Die
zweite Ableitung des Planck`schen Strahlungsgesetzes beruht auf dem
Ansatz, Photonen als Quanten zu behandeln. Die Energieverteilung der
Photonen entspricht dabei der mittleren Besetzungszahl gemäß Gl. 3.1. Es
handelt sich also um ein quantenstatistisches Verfahren. Diese zwei
Betrachtungen, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden, hatten
in der Geschichte der Physik über die Strahlungsphysik hinaus
weitreichende Folgen, sie waren für die Gründung der Quantenphysik
verantwortlich.
1962 wurde noch einmal über eine Korrektur des Planck`schen Gesetzes
mit der Einführung einer dritten Konstanten l berichtet. Nach dieser
sogenannten h-c-l Theorie wäre das Planck`sche Gesetz zu korrigieren. Im
sichtbaren Spektralbereich bei realistischen Temperaturen eines Strahlers
von größer als 2500 K ergeben sich danach Abweichungen vom
Planck`schen Gesetz von weniger als 10-6. Diese Abweichungen sind
jedoch experimentell nicht nachweisbar und deshalb bedeutungslos.
3.2 Thermodynamische Betrachtungsweise
Wird ein Photonengas unter thermodynamischen Kriterien betrachtet, dann
gelten die energetischen Beziehungen wie folgt
QF = Qi – T S – μ N (3.2)
mit QF : Freie Energie
Qi : Innere Energie
T : Temperatur
S : Entropie
μ : chemisches Potential
N : Teilchenzahl
14
Da das Photonengas ein chemisches Potential von μ= 0 hat, ist die freie
Energie QF dann
QF = Qi – T S (3.3)
Da μ=0, ist die freie Energie QF auch durch die große Zustandssumme
festgelegt:
QF = - k T ln z (3.4)
mit z : große Zustandssumme
k : Boltzmannkonstante
Setzt man für die Energie der Photonen QPh = h ν an, dann folgt für die
mittleren Besetzungszahlen:
ln z = - ∑𝑙𝑙𝑙𝑚
𝑣𝑣(1 − 𝑒𝑒−ℎ𝑣𝑤
𝑘𝑙𝑘𝑘 ) (3.5)
Wird die Summation in eine Integration gewandelt, ergibt sich für das
Photonengas im Volumen V:
ln z = 8𝜋𝜌𝑣𝑣
𝑐𝑐3 ∫𝑣𝑣2
∞
0ln (1 − 𝑒𝑒−ℎ𝑣𝑤
𝑘𝑙𝑘𝑘) 𝑑𝑑𝑣𝑣 (3.6)
Führt man nun die Substitution
x = hν
kT
ein und wendet die Kettenregel
dν = kT
h dx
an, dann ergibt sich für die freie Energie QF in Gl. 3.4:
QF = kT 8𝜋𝜌𝜋𝜋
𝑐𝑐3 (𝑘𝑘𝑘𝑘
ℎ)3∫𝑥𝑥2
∞
0ln (1 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 (3.7)
Das Integral in dieser Gleichung ist lösbar. Das Ergebnis ist die Bernoulli–
Zahl:
15
∫𝑥𝑥2
∞
0ln(1 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝜋𝜌4
3∗15 (3.8)
Damit ergibt sich für die freie Energie QF in Gl. 3.4:
QF = - 8𝜋𝜌5
45 𝜋𝜋
(ℎ𝑐𝑐)3 𝑘𝑘4 𝑇𝑈4 (3.9)
Daraus folgt für die Entropie S:
S = - dQF/dT (3.10)
also
S = 32 𝜋𝜌5
45 𝜋𝜋
(ℎ𝑐𝑐)3 k4 T3 (3.11)
Für den Druck p ergibt sich:
p = - dQF/dV (3.12)
= 8𝜋𝜌5
45 1
(ℎ𝑐𝑐)3 k4 T4 (3.13)
Die Innere Energie Qi:
Qi = QF + T S (3.14)
= 8 𝜋𝜌5
15 𝜋𝜋
(ℎ𝑐𝑐)3 𝑘𝑘4 𝑇𝑈4 (3.15)
Für die Energiedichte Q (T) der Photonen ergibt sich nunmehr das
Stefan – Boltzmann Gesetz.
Q(T) = 𝑄𝑄𝑖𝑗
𝜋𝜋
= 8 𝜋𝜌5
15 (𝑘𝑘𝑘𝑘)4
(ℎ𝑐𝑐)3 (3.16)
Aus der mittleren Energiedichte der Photonen im Intervall [ν, ν + d ν]
lässt sich dann das Planck’sche Strahlungsgesetz bestimmen. Die
mittlere Zahl der Photonen im Intervall [ν, ν +d ν] ist dann
16
𝑑𝑒𝑄𝑄 (𝑣𝑣)
𝑑𝑒𝑣𝑣 = 8𝜋𝜌ℎ
𝑐𝑐3 𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝑣𝑤
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.17)
Das Planck’sche Strahlungsgesetz wurde hierbei aus einer thermo-
dynamischen Betrachtung abgeleitet. Dabei ist anzumerken, dass es
sich um die Dichte der Photonenenergie handelt, die den ganzen
Raum mit dem Volumen V füllt und dass die Photonen in den vollen
Raumwinkel 4π emittiert werden. Pro Raumwinkeleinheit ist dann die
Energie der mittleren Zahl der emittierten Photonen Q (gemessen in
Zahl der Photonen pro sr):
𝑑𝑒𝑄𝑄 (𝑣𝑣)
𝑑𝑒𝑣𝑣 = 2ℎ
𝑐𝑐3 𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝑣𝑤
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1
(3.18)
Das Maximum dieser Verteilung lässt sich mit der Substitution
x = ℎ𝑣𝑣
𝑘𝑘𝑘𝑘
leicht bestimmen, da sich die folgende einfache Gleichung ergibt:
𝑑𝑒𝑄𝑄 (𝑥𝑥)
𝑑𝑒𝑥𝑥 = const 𝑥𝑥3
𝑒𝑒𝑥𝑦 −1 (3.19)
Das Maximum dieser Funktion liegt bei:
𝑑𝑒
𝑑𝑒𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥3
𝑒𝑒𝑥𝑦 −1 ) = 0 (3.20)
1 - 𝑥𝑥𝑚𝑚
3 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑥𝑥𝜇𝜇 = 2,821440 (3.21)
Mit der oben angesetzten Substitution ergibt sich dann das Wien‘sche
Verschiebungsgesetz:
𝑣𝑣𝜇𝜇𝑚𝑚𝑥𝑥 = 2,821 kT (3.22)
Zwei Grenzfälle des Planck‘ schen Gesetzes, die durch Näherungen
errechnet wurden, haben die Wissenschaftler anfänglich beschäftigt, sie
haben sogar Max Planck verunsichert. Deshalb sollen sie hier noch
einmal behandelt werden:
17
(1) Für große Frequenzen , also mit ℎ𝑣𝑣 >> kT, ergibt sich die
Raleigh-Jeans‘sche Strahlungsformel:
𝑑𝑒𝑄𝑄 (𝑣𝑣)
𝑑𝑒𝑣𝑣 = 8𝜋𝜌ℎ
𝑐𝑐3 𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝑣𝑤
𝑘𝑙𝑘𝑘
(3.23)
Dabei ist in dieser Näherung der Wert 1 im Nenner der Gleichung
3.17 vernachlässigt worden.
(2) Für kleine Frequenzen, also mit ℎ𝑣𝑣 << kT lässt sich die
Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe umwandeln. Wird nach
dem zweiten Glied abgebrochen, erhält man die Wien`sche
Strahlungsformel:
𝑑𝑒𝑄𝑄 (𝑣𝑣)
𝑑𝑒𝑣𝑣 = 8𝜋𝜌ℎ
𝑐𝑐3 𝑣𝑣2 kT (3.24)
Nach dieser Gleichung wäre bei einer festen Temperatur T die
Gesamtstrahlung - also die über alle Frequenzen integrierte
Gleichung 3.24 – unendlich groß. Bei sehr großen Frequenzen ist das
Ergebnis für die Gesamtphotonenzahl damit im Widerspruch zu allen
Experimenten und Erfahrungen, denn es würde zum Zusammenbruch
führen. Man spricht von der UV-Katastrophe.
Die Experimente von Lummer, Pringsheim und Kurlbaum aus dem
Jahre 1901 bestätigten die Gesetze von Raleigh-Jeans und Wien, so
dass als Schlussfolgerung am Planck´schen Gesetz gezweifelt wurde.
Planck wurde massiv von den Physikern zu Beginn des zwanzigsten
Jahrhunderts attackiert und seine Theorie in Frage gestellt.
Nach einer Überarbeitung der Ableitung des Planck`schen Gesetzes
nach dem folgenden Quantenstatistischen Verfahren durch Max Planck
gab es aber keine Zweifel mehr an der Gültigkeit, so dass die
Quantentheorie fundamentale Grundlage der Physik wurde.
3.3 Quantenstatistische Betrachtungsweise
Nach der scharfen Kritik an der Ableitung des Strahlungsgesetzes auf
Basis der thermodynamischen Behandlung des Photonengases hat
Max Planck bald danach eine Ableitung nach dem sogenannten
Quatenstatistischen Verfahren publiziert. Dabei wird ein Photonengas in
einem Kasten behandelt.
18
Wenn die freie Energie Q des Photonengases im thermischen
Gleichgewicht mit der Umgebung ist, und wenn sie extremal in Bezug
auf die Gesamtteilchenzahl N ist, gilt:
dQ/dN = 0 (3.25)
Aus dieser Bedingung (Ableitung = 0) folgt für das chemische Potential
μ = 0 (3.26)
Da Teilchen mit der Energie Q = 0 keinen Sinn ergeben, denn aus
Q = hν folgt entsprechend Glg. 3.1 dann ν=0, also kein Photon. Es kann
deshalb mit den mittleren Besetzungszahlen n
weiter gearbeitet werden
und es gilt:
n
(Q) = 1
𝑒𝑒𝑄𝑄
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.27)
Wird nunmehr der Betrag des Wellenzahlvektors eingeführt:
c k = 2 π ν (3.28)
dann sind in einem Kasten mit der Kantenlänge l die
Gesamtteilchenzahl N` der Zustände, die einen Wert kleiner |k| haben,
also mit
kx =2π
l nx
ky =2π
l ny (3.29)
kz =2π
l nz
im Volumen V:
N` = g �l
2π�3 ∭𝑑𝑑𝑘𝑘𝑥𝑥𝑑𝑑𝑘𝑘𝑦𝑧𝑑𝑑𝑘𝑘𝑧𝑨
𝑘𝑘 (3.30)
= g�l
2π�3 ∫4𝜋𝜋𝑘𝑘2𝑑𝑑𝑘𝑘
𝑘𝑘
0
= g 𝜋𝜋
(2𝜋𝜌)3 4𝜋𝜌
3 k3
19
Mit k = 2π𝑣𝑣 erhält man:
N´ = g 𝑣𝑣
(2𝜋𝜌)3 4𝜋𝜌
3 �2 π
c�3𝑣𝑣3 (3.31)
Die Zahl der Zustände im Intervall [𝑣𝑣, ν+d𝑣𝑣] ist damit:
𝑑𝑒𝑑𝑑´
𝑑𝑒𝑣𝑣 = 4π g V 1
𝑐𝑐3𝑣𝑣2 (3.32)
Die mittlere Zahl der Photonen im Intervall [𝑣𝑣, ν+d𝑣𝑣] ergibt sich dann
aus der Zahl der Zustände in diesem Intervall multipliziert mit der
mittleren Besetzungswahrscheinlichkeit:
s(ν) dν = 4π g V 1
𝑐𝑐3 𝑣𝑣2
𝑒𝑒ℎ𝜈𝜉
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.33)
Die mittlere Energie ist dann:
Q� = 4π g V 1
𝑐𝑐3 ℎ𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝜈𝜉
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.34)
Und die mittlere Energiedichte ergibt unter Berücksichtigung von zwei
Polarisationszuständen (g=2) das Planck`sche Strahlungsgesetz in
seiner ursprünglichen Form:
Q� /V = 8π 1
𝑐𝑐3 ℎ𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝜈𝜉
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.35)
Die Gesamtenergie Q� wird hierbei gleichmäßig in den gesamten
Raumwinkel der Größe 4π emittiert, das bedeutet, die Strahlstärke I
ergibt sich zu
I = Q�
4π𝑣𝑣 (3.36)
= 2
𝑐𝑐3 ℎ𝑣𝑣3
𝑒𝑒ℎ𝜈𝜉
𝑘𝑙𝑘𝑘 −1
Das Ergebnis entspricht genau dem Resultat aus der Auswertung nach
dem ersten Verfahren (Gl. 3.18).
Die Zweifel an der Gültigkeit des Planck`schen Gesetzes sowie die
Unsicherheit und der Widerspruch zu anderen vorangegangenen
Überlegungen waren damit überzeugend widerlegt.
20
3.4 Planck`sche Gesetz in elektromagnetischer Darstellung
In der Strahlungsphysik und in der Lichttechnik wird im Gegensatz zu den
Abschnitten 3.2 und 3.3 allerdings eine Schreibweise bevorzugt, die auf
Strahlungsgrößen mit der Basisgröße Strahlungsleistung in W basiert.
Diese Darstellung in energetischer Form wird dann in Abhängigkeit von
der Wellenlänge in nm angegeben.
Der Übergang von der quantendynamischen in eine elektromagnetische
Form erfolgt am einfachsten über die spezifische Strahlstärke I des
idealen Schwarzen Strahlers:
Auf die in den Einheitsraumwinkel emittierte Photonenflußdichte nach
Gl. 3.18 wird die Substitution
c = λ 𝑣𝑣 (3.37)
und die Kettenregel angewandt, also:
𝑑𝑑𝑣𝑣 = - cλ-2 dλ (3.38)
Es ergibt sich dann die spektrale spezifische Strahlstärke I (in W/sr nm):
𝑑𝑒𝑑𝑑 (𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = − 2ℎ𝑐𝑐
𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒ℎ𝑐𝑑
𝜆𝜇𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.39)
Das Minuszeichen gibt an, dass die Abhängigkeit der Strahlungsmenge
von der Wellenlänge entgegen der Frequenzabhängigkeit verläuft (mit
steigender Frequenz nimmt die Wellenlänge ab). Das Vorzeichen hat also
nur Einfluss auf die graphische Darstellung. Aus der spektralen
Strahlstärke und mit der Gültigkeit des Lambert`schen Gesetzes erhält
man die bekannte Schreibweise für die spektrale Strahldichte in den
Einheiten W/(nm sr m2) des Planck`schen Strahlers, dabei ist A1 die
Fläche des Lambert Strahlers.
𝑑𝑒𝑑𝑑 (𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2ℎ𝑐𝑐
𝐴𝐵1 𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒ℎ𝑐𝑑
𝜆𝜇𝑘𝑙𝑘𝑘 −1 (3.40)
Werden nun die folgenden Abkürzungen, die sich nur aus
Naturkonstanten darstellen, eingeführt
c 1 = h c2 = 5,953 ×10 -13 W cm2 (3.41)
und c 2 = h c / k = 1,438 cm K (3.42)
21
so erhält man die Wellenlängenabhängigkeit der spektralen Strahldichte
in der bekannten lichttechnischen Schreibweise:
𝑑𝑒𝑑𝑑(𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2𝑐𝑐1
𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 −1 (3.43)
Das Maximum der spektralen Strahldichte lässt sich durch Differentiation
einfach berechnen. Als Ergebnis erhält man das Wien`sche
Verschiebungsgesetz:
λmax T = 2,897 mm K (3.44)
In Gl. 3.23 und Gl. 3.24 wurden bereits zwei Grenzfälle betrachtet, die
sich in der wellenlängenabhängigen Darstellung in analoger
mathematischen Form darstellen lassen:
(1) Für kleine Werte λT kann -1 gegen 𝑒𝑒𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 vernachlässigt werden,
es ergibt sich aus Gl. 3.36 das Wien‘sche Strahlungsgesetz:
𝑑𝑒𝑑𝑑(𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2𝑐𝑐1
𝜆𝜆5 𝑒𝑒 −𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 (3.45)
(2) Für große Werte λT kann die e-Funktion in eine Taylorreihe
entwickelt werden. Berücksichtigt man die ersten zwei Glieder, dann
ergibt sich das Rayleigh-Jeans‘sche Strahlungsgesetz:
𝑑𝑒𝑑𝑑(𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2𝑐𝑐1
𝑐𝑐2𝜆𝜆4 𝑇𝑈 (3.46)
Ebenso ergibt sich aus der Photonenverteilung (Gl. 3.18) die
Wellenlängenabhängigkeit der Spezifischen Ausstrahlung:
𝑑𝑒𝑑𝑑 (𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2𝜋𝜌𝑐𝑐1
𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 −1 (3.47)
Bei Integration über alle Wellenlängen ergibt sich das Stefan-Boltzmann
Gesetz, das die gesamte Spezifische Ausstrahlung eines Planck`schen
Strahlers wiedergibt
M = ∫𝑑𝑒𝑑𝑑 (𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 𝑑𝑑𝜕𝜕
∞
0
= ∫
∞
02𝜋𝜌𝑐𝑐1
𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 −1dλ
M = σ T4 (3.48)
22
Die Gesamtstrahlung steigt also mit der vierten Potenz der Temperatur.
Die Konstante σ ist die Stefan-Boltzmann Konstante:
σ = (2π5 /15) × (c1 / c24)
= (2π5 /15) × (k4 / h3 c2)
= 5,6704 × 10-8 W m-2 K-4
Die Konstante σ setzt sich also nur aus fundamentalen Naturkonstanten
(Stefan-Boltzmann-Konstante k, Planck`sches Wirkungsquantum h und
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c) zusammen. Die Größe des σ –
Wertes ist also eine feste Zahl, so dass dem σ - Wert in der
wissenschaftlichen Strahlungsphysik eine besonders hervorgehobene
Bedeutung zukommt.
3.5 Beispiele für Schwarze Strahler
Unmittelbar nach der Formulierung des Planck`schen Gesetzes hatten
Wissenschaftler der damaligen Physikalisch Technischen Reichsanstalt
PTR - der Vorgängerin der heutigen Physikalisch Technischen
Bundesanstalt (PTB) - direkten Kontakt mit den großen Physikern Albert
Einstein, Max Planck und Max von Laue, um die Bedeutung der
Strahlungsgesetze in der Technischen Optik zu verstehen und in das
Messwesen einzuführen. Besonderes Interesse bestand in einem Aufbau
mit einem Planck`schen Strahler als Hauptteil, so dass nach einem
Sustitutionsverfahren spektral aufgelöste Strahlungsgrößen bestimmt
werden konnten. Der Vorschlag von Kirchhoff basierte auf zwei
Voraussetzungen:
(1) Beim Lambert`schen Gesetz wird ein gleichmäßig bestrahltes
Material mit dem Reflexionsgrad ρ und einer ebenen Abschlußfläche
𝐴𝐴1 betrachtet. Es gilt:
I = I0 cos α (3.49)
Dabei bedeutet I0 die Strahlstärke in Richtung der Flächennormalen,
und α gibt die Ausstrahlrichtung wieder. Unter dieser Bedingung wird
die Strahldichte L unabhängig von der Ausstrahlungsrichtung. Die
Fläche erscheint in jeder Richtung „gleich hell“.
23
(2) Unter der Voraussetzung, dass für ein ebenes Material mit dem
Reflexionsgrad ρ0 das Lambert`sche Gesetz gilt, sollte auf der Basis
eines offenen Zylinders ein Strahler mit den Emissionseigenschaften
des Planck`schen Gesetzes möglich sein.
Die größte Schwierigkeit bestand nun darin, ein geschlossenes Volumen
mit konstanter Innenwandtemperatur herzustellen, das eine konstante
Strahldichte garantierte. So konstruierten Lummer und Kurlbaum bereits
1901 einen zylinderförmigen Strahler mit einer kleinen Öffnung (Abb. 3.1),
durch die ein kleiner Teil der Strahlungsleistung austreten konnte. Das
Wandmaterial des Zylinders bestand aus Metalloxyd (Nickel oder Kobalt).
Dieser Zylinder wurde zur Homogenisierung der Wandtemperatur in
einen größeren Außenzylinder mit einer elektrisch betriebenen Heizspirale
gesetzt und konnte waagerecht oder senkrecht betrieben werden. Der
Strahler wurde in Abstrahlrichtung durch eine Blende mit einem
Durchmesser von wenigen mm abgeschlossen, so dass nur Strahlung
vom Boden das optische Messsystem erreichte.
Abb. 3.1: Hohlraumstrahler nach Lummer und Kurlbaum
Einen verbesserten Strahler bauten Tingwaldt und Kunz 1935. Dieser
Strahler bestand aus einem doppelwandigen Zylinder aus der
sogenannten Nernstmasse (Wolframlegierung), der im Zwischenraum mit
Gold oder Platin gefüllt war, so dass nach dem Aufheizen bei Erreichen
des Schmelzpunktes eine konstante Temperatur des Strahlers gesichert
war.
Dieser experimentelle Aufbau war zugleich Grundlage zur Definition der
Basiseinheit Candela. Die Lichtstärkeeinheit 1 cd hat also ein Schwarzer
Strahler mit einer Oberfläche von 1/600 000 m2 bei der
24
Schmelztemperatur von Platin. Damit wurde die Hefner – Lampe (eine
offene Amylazetat Flamme) abgelöst, mit der das erste photometrische
Einheitensystem realisiert worden war. Das Committee International des
Poids et Measures (CIPM) hat 1979 die neue Definition der Candela
veröffentlicht: „Eine Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten
Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der
Frequenz 540·1012 Hertz aussendet, und deren Strahlstärke in dieser
Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt. Als nächsten Schritt hat das
CIPM ein großes Ziel vor: Alle Maßeinheiten sollen ausschließlich über
Naturkonstanten, wie c, h, k, e und eventuell andere, festgelegt werden.
Der Strahler, der in der PTB - Braunschweig im Jahr 1984 aufgebaut
wurde, ist ein deutlich vergrößerter Hohlraumstrahler (Abb.3.2). Die
Bauteile des Kammersystems aus einzelnen Zylindern und Blenden
sowie das Heizrohr sind aus hochreinem Graphit gefertigt und werden
mit einem 10 kHz Generator auf bis 3100 K geheizt. Der Strahler
befindet sich wahlweise im Vakuum oder in einer Schutzgasatmosphäre
aus Argon, wobei das Gehäuse entweder offen mit einer Schleuse
betrieben werden kann oder bei konstantem Gasvolumen mit einem
Quarzfenster abgeschlossen ist.
Zur geometrischen Form des Hohlraumstrahlers haben Bauer und
Bischoff umfangreiche Untersuchungen durchgeführt. Danach lässt sich
für einen Innenzylinder mit dem Radius r und der Länge l der
Gesamtemissionsgrad є bestimmen. Nach Kurt Bischoff gilt dann für
einen offenen Zylinder:
є = 1 – ρ
= 1 - ρ0 / [(1-ρ0)(1+(l/r)2)] (3.50)
Die Planck`sche Strahlungsformel kann beim Schwarzen Strahler exakt
nur für Anwendungen im Vakuum als Basis dienen. In anderen Fällen ist
der Einfluss der Brechzahl n(λ) des umgebenden Mediums zu
berücksichtigen. Wird der Schwarze Strahler in einer Atmosphäre (z.B.
Argon oder Stickstoff) betrieben, dann ist die emittierte spektrale
Strahldichte der Gl. 3.40 zu korrigieren, es gilt dann:
𝑑𝑒𝑑𝑑(𝜆𝜆)
𝑑𝑒𝜆𝜆 = 2𝑐𝑐1
𝑛𝑜(𝜆𝜆) 𝜆𝜆5 1
𝑒𝑒𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘 −1 (3.51)
25
Abb.: 3.2 Hohlraumstrahler der PTB; ausgezeichnet durch eine
besonders große Strahlerfläche und hohe Temperatur für
Anwendungen in der quantitativen Spektralradiometrie
1 Induktionsspule, 2 Endkonus mit Halterung, 3 Heizrohr,
4 Kohlegries, 5 Hohlraumboden, 6 Glasrezipient,
7,9 Quarzfenster, 8 Meßblende
Beim Schwarzen Strahler der Abb. 3.2 wird nur Strahlung vom Boden
des Hohlraumes genutzt. So tritt nur die Strahlung durch das
Blendensystem, das nach Abb. 3.3 durch die effektive Strahlerfläche A1
der Messblende tritt, und die im Abstand d2 eine vorgegebene
Empfängerfläche A2 im Abstand d2 hat. Die Randstrahlen sind in Abb.
3.3 eingezeichnet. Hieraus ergibt sich der vom Schwarzen Strahler
verfügbare Raumwinkel mit konstanter Strahlungsverteilung von etwa 4 x
10-4 sr, was einem ebenen Winkel von 1,3 ° entspricht. Die Blenden im
Hohlraumstrahler sind an diese Geometrie angepasst.
26
Abb. 3.3: Geometrische Daten zur Bestimmung des verfügbaren
Raumwinkels: 𝑑𝑑1= 0,6 𝑚𝑚, 𝑑𝑑2= 1 𝑚𝑚, 𝐴𝐴1=80 𝑚𝑚𝑚𝑚2, 𝐴𝐴2=80 𝑚𝑚𝑚𝑚2
Mit dem Reflexionsgrad des Wandmaterials aus Graphit von ρ0 < 0,2,
der Länge konstanter Temperatur des Strahlers von l = 0,2 m und dem
Radius der Abschlussblende A1 mit r = 0,0125 m ergibt sich für den
Emissionsgrad nach Gl. 3.50 dieses Strahlers ein Wert von ε > 0,999.
Die Bestimmung der Betriebstemperatur an der Innenwand des
Schwarzen Strahlers ist allerdings sehr aufwendig, sie kann entweder
mit einem hochpräzisen Absolut- oder mit einem Verhältnispyranometer
gemessen werden, die wiederum am Gold- oder Platinschmelzpunkt
kalibriert wurden.
Für Messungen mit hoher Präzision sind zusätzlich noch relative
Beugungsverluste an der Abschlussblende A1 zu berücksichtigen; sie
sind in dem nutzbaren Spektralbereich bei dem hier beschriebenen
Strahler kleiner als 10-3. Zusammenfassend ergibt sich für den
Schwarzen Strahler hoher Temperatur also im nutzbaren
Spektralbereich 250 nm bis 2500 nm eine relative Messunsicherheit von
weniger als 1%.
Dieser Schwarze Strahler hat sich in der Lichttechnik bis heute als
Strahlungsnormal bewährt und gilt als zuverlässiger Primärstandard im
Spektralbereich von 250 nm bis 2500 nm. Der technische Aufwand ist
allerdings sehr groß.
Das Maximum der spektralen Strahldichte liegt nach dem Wien`schen
Gesetz für eine Strahlertemperatur von 3000 K bei der Wellenlänge von
etwa 960 nm. Damit wird der sichtbarer Spektralbereich abgedeckt. Die
27
Strahlung im ultravioletten und im infraroten Spektralbereich setzt andere
Kalibriermethoden voraus.
So wird heute bei quantitativen Messungen im infraroten Spektralbereich
meist auf die spektral aufgelöste Messung verzichtet, und die
Spektralmessung wird durch eine Gesamtstrahlungs- oder
Teilstrahlungsmessung ersetzt. Hierfür haben sich die sogenannten
Absolutempfänger bewährt. Dabei ist das Messverfahren einfach und die
theoretischen Grundlagen setzen keine hohen mathematisch-
technischen Kenntnisse voraus.
Im ultravioletten Spektralbereich wiederum werden die in den folgenden
Abschnitten (Kap. 4 und 5) beschriebenen Normale für spektrale
Strahlungsgrößen „Plasmastrahler“ und „Synchrotronstrahlung“ genutzt.
Literatur zu Kap. 3:
Planck, M. (1900): Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum;
Verh. dtsch. phys. Ges. 2, S. 202.
Planck, M. (1901): Energieverteilung im Normalspektrum; Ann. d. Phys.
4 Leipzig, S. 553.
Lummer, O. u. Kurlbaum F. (1901): Elektrisch geglühter Schwarzer
Körper; Ann. d. Phys. 5, S. 829.
Tingwald, C. u. Kunz, H. (1958): Schwarzer Körper am Gold- und am
Silberpunkt bei pyrometrischen Temperaturmessungen; Optik, 15, 333.
Flügge, S.: (1961): Lehrbuch der Theoretischen Physik; Springer Verlag
Berlin.
Bauer, G. (1962): Strahlungsmessungen im optischen Spektralbereich,
Vieweg Verlag, Braunschweig.
Strauss, M. (1962): Verallgemeinerung des Planckschen Strahlungs-
gesetzes in h-c-l-Theorien; Z. f. Naturforschung 17a, S.827
Döring, W. (1964): Einführung in die Theoretische Physik – Band IV,
Thermodynamik; Walter de Gruyter, Berlin.
Becker, R. (1966): Theorie der Wärme, Springer Verlag, Berlin.
28
Bauer, G. (1968): Absolutmessung einer Strahlungsleistung: Optik 26,
S.422
Quinn,T.J. u. Compton, J.P. (1975): The Foundations of Thermometry;
Rep. Prog. Phys. 38, S. 151
Jones, O.G. u. Moore, J.R. (1981): The Spectroradiometric Measurement
of Light Sources; NPL Report DES 70.
Bauer, G. u. Bischoff K. (1971): Evaluation of the Emissivity of a Cavity
Source by Reflection Measurements; Appl. Opt. 10 S. 2639
Bergmann, L. und Schäfer, C. (1974): Lehrbuch der Experimentalphysik,
Band III, Optik, Verlag de Gruyter, Berlin.
Pohl, R.W. (1976): Einführung in die Physik, Band 3 , Optik und
Atomphysik, Springer Verlag, Berlin.
Bischoff, K. (1980): Die Realisierung der SI-Basiseinheit Candela(cd)
nach ihrer Neudefinition 1979, PTB–Mitteilungen 90 S.148–151.
Kaase, H. u. Yang Y. (1982): Spektrale Untersuchungen zu der
Beziehung zwischen Strahldichte, Bestrahlungsstärke und
Strahldichtekoeffizient; Optik 62, 309
Kaase, H., Bischoff K., Metzdorf J. (1984): Quantitative
Spektralradiometrie auf der Basis eines Schwarzen Strahlers hoher
Temperatur und großer Strahlerfläche; Lichtforschung 6, München S.29
29
4 Der Plasmastrahler
4.1 Theoretische Grundlagen
Im vorangehenden Abschnitt wurde der Aufbau eines Schwarzen
Strahlers auf der Basis eines Hohlraumes mit Wänden aus festen
Werkstoffen beschrieben. Damit war eine obere Grenztemperatur von
3100 K, die einem Maximum der spektralen Strahldichte von etwa 900 nm
entspricht, möglich. In den Jahren 1960-1980 galt in der Radiometrie
verstärkt das Interesse der quantitativen Bestimmung der
Strahlungsleistung, die von Himmelskörpern emittiert wird, und die im
ultravioletten Spektralbereich liegt. Der Aufbau eines Strahlers mit
größeren Temperaturen auf der Basis von festen Stoffen ist allerdings
unrealistisch. Deshalb gab es mehrfach den Versuch, ein
Niedertemperaturplasma mit Temperaturen kleiner als 20 000 K – also
einen Strahler für den Anwendungsbereich von 100 nm bis 3000 nm
aufzubauen. Das Ergebnis war eine zylinderförmige Argon - Plasmasäule
von Boldt 1961 und unabhängig davon eine Wasserstoffsäule von Wiese
1973.
Der Aufbau eines solchen Plasmastrahlers war so zu optimieren, dass ein
Strahlungsgleichgewicht erzeugt werden konnte und eine zeitlich
konstante Strahlungsleistung in einen vorgegebenen Raumwinkel
verfügbar war. Das Ergebnis war ein zylinderförmiges Plasma für
Temperaturen kleiner als 20 000 K. Nach Abb. 4.1 wurde die Säule eines
Niedertemperaturplasmas der Länge d angesetzt.
Abb. 4.1: Eindimensionales Modell zur Berechnung der Strahlungsbilanz
einer Plasmasäule der Länge d mit konstanter Temperatur T.
0
0
d
dx
T
x
30
In dem grau gekennzeichneten Volumen ist dann die Strahlungsbilanz pro
Wellenlängeneinheit, Querschnittseinheit und Raumwinkeleinheit
berechenbar, wenn nur die Temperatur T örtlich konstant ist.
Über den spektralen Emissionskoeffizienten 𝜕𝜖𝜕𝜖
𝜕𝜖𝜆𝜆 und mit dem
natürlichen Absorptionskoeffizienten a wird lässt sich dann der
Zuwachs der optischen Strahldichte berechnen. Setzt man voraus,
dass im Temperaturgleichgewicht für die im Einheitsvolumen
enthaltenen strahlungsaktiven Atome die Boltzmann-Statistik gilt, so
ergibt sich für den spektralen Emissionskoeffizienten.
𝜕𝜖𝜕𝜖
𝜕𝜖𝜆𝜆 = a (1 - exp( -c2/ λT)) LλH(λ) (4.1)
Dabei ist LλH(λ)die spektrale Strahldichte der Hohlraumstrahlung nach
Planck:
mit c1 = hc2 und c2 = h c
k.
Der natürliche Absorptionskoeffizient a ist nach Bauer mit dem
Nettoabsorptionskoeffizienten a* in folgender Weise verknüpft:
−⋅= λ
−T
c
*
2
e1aa
(4.3)
Wird bei axialer Beobachtung in der näheren Umgebung der Achse die
spektrale Strahldichte
λ∂∂ /LH
der quasitemperaturhomogenen
Plasmasäule der Dicke d erfasst (s. Abb. 4.1), dann gilt für diesen
einfachen Fall, dass die Änderung der spektralen Strahldichte am Ort x
durch die Bilanz aus spontaner Emission und Absorption gegeben ist
durch:
𝜕𝜕2𝐿𝑀
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥=𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕−𝑎𝑎∙�1−𝑒𝑒−𝑐𝑐2
𝜆𝜆𝑘𝑘� 𝜕𝜕𝐿𝑀
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝑎𝑎∙�1−𝑒𝑒−𝑐𝑑2
𝜆𝜇𝑘𝑘�∙�𝜕𝜖𝑑𝑑𝐻𝐼
𝜕𝜖𝜆𝜆 −𝜕𝜖𝑑𝑑
𝜕𝜖𝜆𝜆� (4.4)
1e
1c2
1e
hc2L
T
c
5
1
1
kT
hc
5
2
H
2−
⋅
λ
=
−⋅
λ
=
λ∂
∂
λ
−
λ
(4.2)
31
Da im Emissionsterm 𝜕𝜖𝜕𝜖
𝜕𝜖𝜆𝜆 nur der Anteil der spontanen Emission an der
Strahlungserzeugung enthalten ist, a aber die echte Absorption beschreibt,
muss durch den zweiten Term in der eckigen Klammer die erzwungene
Emission berücksichtigt sein. Die Lösung dieser Differentialgleichung
erster Ordnung mit 𝜕𝜖𝑑𝑑
𝜕𝜖𝜆𝜆 als Variable ergibt:
∫
−−
−
−
−
−⋅
∂
∂
⋅−⋅⋅=
∂
=∂ d
x
ea
H
T
c
dea dxe
L
e
ae
dxL T
c
T
c
0
]1[]1[ ]]1[[
)( 2
2
2
λλ
λλ
λ
(4.5)
Für die spektrale Strahldichte kann dabei die Wien`sche Näherung des
Hohlraumstrahlers angesetzt werden:
Die Strahldichte 𝜕𝜕𝐿𝑀(𝑥𝑥=𝑑𝑑)/𝜕𝜕𝜕𝜕 für T ≈ 10 000 K und bei λ > 100 nm weicht
dabei um weniger als 1 % von der eines Hohlraumstrahlers ab, wenn nur
gilt:
d ∗ a ≥ 5 (4.7)
Somit lässt sich das Planck`sche Strahlungsgesetz auch bei kleinen Werten
für a bei genügender Länge d mit hinreichender Genauigkeit anwenden.
4.2 Beispiel: Argon-Plasmabrenner mit Dotierung
Im Zeitraum 1960 bis 1980 wurden stabilisierte Plasmabrenner mit Argon-
oder Wasserstofffüllung in mehreren Instituten für quantitative
Strahlungsmessungen eingesetzt. Nach einer Idee von Boldt aus dem Jahr
1967 wurde in der PTB Braunschweig zusammen mit dem MPI für
Extraterrestrische Physik in Garching im Jahr 1978 ein wandstabilisierter
Argon-Plasmabrenner als Strahlungsnormal aufgebaut. Dieser
Plasmabrenner soll im Folgenden vorgestellt werden:
Der Brenner besteht aus einer Kathode, 15 Kupferscheiben mit
Durchgangsloch zur Wandstabilisierung und einer Anode, die sämtlich
wassergekühlt und durch Quarzringe mit Teflondichtungen gegeneinander
isoliert sind. In Abb. 5.2 ist eine schematische Darstellung des PTB/MPI-
Argon-Plasmabrenners wiedergegeben.
T
c
He
cL λ
−
⋅
λ
=
λ∂
∂2
5
1
2
(4.6)
32
Die Komponenten des Plasmas sind Ar als Trägergas sowie die Dotiergase
H2, CO2, N2 und Kr. Mit Argon wird ein zeitlich konstantes, reproduzierbares
Plasma erzeugt. Die Elemente C, N und Kr werden zur Erzeugung optisch
dicker Linienstrahlung benutzt. Da bei hohen Temperaturen die Moleküle
𝐻𝐻2,
𝑁𝑂2 und 𝐶𝐶𝐶𝐷2 zerfallen, und die Übergangswahrscheinlichkeiten der
verwendeten Energieterme der Atome bekannt sind, lassen sich die
Gleichungen 4.1 bis 4.6 quantitativ lösen.
Abb. 4.2: Schematischer Aufbau des Ar-Plasmabrenners
33
Wasserstoff wird zur Bestimmung der Elektronendichte bzw. der Temperatur
verwendet und dient außerdem zur Homogenisierung der Plasmatemperatur
in der Übergangsschicht vom undotierten Ar-Plasma zum Plasma mit den
Zusatzgasen. Der hier beschriebene Plasmabrenner ist in Abstrahlrichtung
fensterlos; das setzt aber eine erhöhte Argonzufuhr von 150 cm3/s voraus.
Für den sicheren Betrieb eines Plasmastrahlers in einem Labor ist deshalb
eine sehr aufwendig kontrollierte Gas- und Wasserversorgung des Brenners
erforderlich.
Die elektrische Versorgung des Plasmabrenners ermöglicht ein
stromgeregeltes Netzgerät, das mit etwa 300 V und 150 A ausgelegt ist,
Zusätzlich wird ein Vorwiderstand (1Ω, 25 kW) in Reihe geschaltet. Damit ist
ein Betrieb mit bis zu 15 kW Leistung möglich, wenn nur der Strahler
wassergekühlt wird. Für den Zündvorgang bei niedrigem Gasdruck wird
noch ein Netzgerät zur Stromversorgung mit etwa 1500 V und 6 A
Gleichstrom benötigt, mit dem eine Niederdruckentladung eingeleitet werden
kann. Bei Erhöhung des Gasdruckes lässt sich dann der gewünschte Strom
des Plasmas einstellen.
Die Temperatur des Plasmas kann über die Messung der Halbwertsbreite
der Wasserstofflinie Hβ bei λ = 486 nm bestimmt werden. Zwischen der
Halbwertsbreite Δλ und der Elektronendichte ne besteht der
Zusammenhang:
ne = ζ x (Δλ/1m) γ (4.8)
Nach Kepple und Griem oder nach Wende ist der Zahlenwert für die
Verbreiterungskonstante ζ = 8,035 ⤫ 1036 m-3. Der Exponent hat den
Zahlenwert γ = 1,663. Unter der Voraussetzung, dass die Verteilung der
Geschwindigkeit, die Anregung, die Dissoziation und die Ionisation aller
Komponenten durch Verteilungen nach Maxwell und Boltzmann mit
derselben Temperatur gegeben sind, lässt sich dann bei Neutralität des
Plasmas (Zahl der Elektronen ne = Zahl der Ionen ni) die Temperatur aus
dem Daltonschen Gesetz
p = (na + ni + ne)kT (4.9)
und der Saha Gleichung berechnen.
𝑛𝑜𝑒𝑓 𝑛𝑜𝑖𝑗
𝑛𝑜𝑎𝑏 = T3/2 exp(-Ei +∆Ei) / kT (4.10)
34
Bei Variation der Stromstärke I sind die Ergebnisse der Temperaturmessung
an dem Strahler nach Abb. 4.2 in der nachfolgenden Tabelle 4.1
angegeben.
Tab. 4.1: Zusammenhang zwischen Anodenstrom und
Plasmatemperatur des Plasmabrenners aus Abb. 4.2.
I in A
T in K
60
11 200
80
11 800
100
12 600
Bei bekannter Plasmatemperatur kann dann die spektrale Strahldichte
von ausgewählten Atomlinien nach den Planck’schen Strahlungsgesetz
berechnet werden. Zur Überprüfung dient ein einfaches Kriterium: Mit
einem hochauflösenden Spektralradiometer (Halbwertsbreite kleiner als
0,01 nm) wird der Photostrom, die durch Strahlung in der Linie erfasst.
In Abb. 4.3 sind beispielhaft die Registrierungen von zwei Atomlinien
eines Plasmas der Temperatur 12 000K dargestellt (Stickstofflinie bei
120 nm und Kohlenstofflinie bei 165 nm). Beide Linien weisen ein
Plateau auf.
Dieses Kriterium bestätigt die Existenz von optisch dicken Linien in
diesem Plasma. Für diese Linien hat der Emissionskoeffizient den Wert
1, sodass die emittierte Strahlung dem Planck`schen Gesetz bei der
Temperatur 12 000 K genügt.
Abb. 4.3: Registrierung optisch dicker Plasmalinien;
Stickstofflinie NI bei λL = 120,0 nm und
Kohlenstofflinie CI bei λL = 165,7 nm.
35
Die Nutzung eines wandstabilisierten Plasmabrenners für quantitative
spektralradiometrische Messungen ergänzt zwar den klassischen
Schwarzen Strahler, er hat heute aber keine große Bedeutung mehr.
Einerseits sind die erforderlichen Aufwendungen bezüglich Personal-
und Sachmittel beachtlich. Andererseits steht dem gegenüber ein nur
kleiner nutzbarer Spektralbereich von 120 nm bis 250 nm mit etwa 15
diskreten optisch dicken Linien. Heute wird diese Technik in der
Spektralradiometrie nur noch selten angewandt. Sie ist inzwischen
durch die Synchrotronstrahlung ersetzt worden, die im folgenden
Kapitel beschrieben wird.
Literatur zu Kap. 4:
Maecker, H. (1956): Elektrische Entladung von Stabilisierten Gas –
Bögen; Z. für Naturforschung 11a, S. 457.
Boldt, G. (1961): Wall Stabelized Arcs; Proc. 5. Int.Cof. Ion.Phen. in
Gases 1, S. 925
Jackson, J.D. (1962): Classical Electrodynamics; John Wiley New York.
Griem, H.R. (1962): Ionisierungsenergie von Argon; Phys. Rev. 128, S.
997
Samson, J.A.R. (1967) Techniques of Vacuum Ultraviolet
Spectroscopy, Wiley, New York.
Boldt, G. u. Stephan, K.H. (1967): Argon Plasmabrenner; Z. Angew.
Physik 22, S. 429.
Kepple, P. u. Griem H. R. (1968): Line Shape of Hβ; Phys. Rev. 173, S.
317
Bauer, A. (1969): Spektrale Emissionskoeffizienten; Optik 29,179.
Wende, B. (1971): PTB-Bericht IB-1
Ott W.R. u. Wiese W.L. (1973): Hydrogen Plasma Sources; Opt. Eng.
12, S. 86
Stephan, K.H., Braeninger, H., Kaase H., Metzdorf (1986):
VUV-Measurements; Astrophys. and Space Science 125, S. 169
36
5. Die Elektronensynchrotronstrahlung
5.1 Phänomenologische Betrachtung
Die Entwicklung von Elektronenbeschleunigern in den Jahren 1920 bis
1950 hatte das Ziel, ein Werkzeug zu schaffen, das sowohl für die
aufstrebende Grundlagenforschung als auch als medizinisches Gerät
einsetzbar war. Hierzu wurde ein sehr großer Aufwand an Personal und
Finanzmitteln freigesetzt. Bis heute wurde eine Vielzahl von
Gerätetypen für Anwendungen in der Kernphysik zum Verständnis des
Aufbaus der Atomkerne, in der zerstörungsfreien Werkstoffprüfung und
in der medizinischen Bestrahlungstherapie entwickelt. Besondere
Beachtung fiel dabei auf Teilchenbeschleuniger mit kreisgeführten
Bahnen. Zur Erzeugung hochenergetischer Elektronen hat sich das
Elektronensynchrotron durchgesetzt. Dabei wird die Energie der
Elektronen in Elektronenvolt eV angegeben (1 eV = 1,602 x 10-19 Ws).
Da es sich in der Praxis um große Zahlen handelt, werden als Einheit
1 MeV = 106 eV oder 1 GeV = 109 eV genutzt.
Das Elektronensynchrotron ist ein Zirkularbeschleuniger (Abb. 5.1), in
dem Elektronen in einer ringförmigen Röhre durch ein zeitlich
anwachsendes Magnetfeld auf einer Kreisbahn geführt und gleichzeitig
durch ein hochfrequentes elektrisches Wechselfeld beschleunigt
werden.
Die Elektronen werden zunächst durch Glühelektroden erzeugt und in
einem Mikrotron, das ähnlich einem Zyklotron arbeitet, bis auf eine
Energie von etwa 40 MeV vorbeschleunigt. Die Elektronen bewegen
sich in einem konstanten Magnetfeld senkrecht zur Ebene der
Elektronenbahn auf einer Spirale und gewinnen bei jedem Durchgang
der Beschleunigungsstrecke eines elektrischen Feldes weiter an
Energie. Die Elektronenenergie Qel ist nach einigen Durchläufen bereits
deutlich höher als die Ruheenergie der Elektronen von m0c2 = 511 keV,
sodass sie relativistisch zu betrachten sind und sich ihre
Massezunahme bereits stark bemerkbar macht. Die Elektronen werden
nach dieser Beschleunigung auf die Energie von ca. 40 MeV in das
Synchrotron eingelenkt, dort über Hochfrequenzresonatoren
beschleunigt und in einem magnetischen Wechselfeld mit
37
Vormagnetisierung auf eine Kreisbahn fokussiert. Die Umlauffrequenz
ist dabei in der Größenordnung von einigen hundert MHz. Nach Ablauf
der Beschleunigungszeit werden die Elektronen für Anwendungen in
der Kernphysik bei Hochenergieexperimenten benutzt, oder die
optische Strahlung gelangt durch ein Stahlrohr zu optischen und
lichttechnischen Experimenten.
Abb. 5.1: Schematische Darstellung eines Elektronensynchrotrons.
Aus der klassischen Elektrodynamik ist bekannt, dass beschleunigt
bewegte Elektronen elektromagnetische Strahlung emittieren -
hochenergetische Elektronen also Energie verlieren (Bremsstrahlung).
Diese abgestrahlte Strahlungsleistung 𝜙𝜚 ist von der Schwingung eines
elektrischen Dipols bekannt und wird durch die bekannte Larmor –
Formel, die sich aus den Maxwell Gleichungen ergibt, quantitativ
beschrieben:
Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02𝑐𝑐3 �dv
dt�2 (5.1)
dabei ist v die Geschwindigkeit des Elektrons, und m0 ist die
Ruhemasse des Elektrons. In der Relativitätstheorie wird die
Geschwindigkeit v durch den Impuls p ersetzt. Damit ergibt sich:
Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �dp
dt�2 (5.2)
Diese Abhängigkeit der Verlustleistung hochenergetischer Elektronen
war den Erbauern des ersten General Electric Elektronensynchrotrons
38
(mit einer maximalen Endenergie der Elektronen von 70 MeV) natürlich
bekannt. Die emittierte optische Strahlung von ca. 50 eV pro Umlauf
wurde bei der Konstruktion des Beschleunigers und beim Betrieb des
ersten Synchrotrons im Jahr 1944 berücksichtigt. Jahrelang schlugen
aber alle Experimente fehl, die Synchrotronstrahlung nachzuweisen.
Die intensive Suche nach dieser beachtlich großen
elektromagnetischen Strahlung beschränkte sich anfänglich
ausschließlich auf den Spektralbereich mit Wellenlängen, die der
Umlauffrequenz der Elektronen von etwa 100 MHz entsprach. Es
konnte keine elektromagnetische Strahlung nachgewiesen werden.
Das änderte sich erst fünf Jahre später im Jahr 1949, nachdem der
Nobelpreisträger und Harvardprofessor Julian Schwinger in einer sehr
umfangreichen theoretischen Publikation die spektrale Verteilung und
die Richtungsverteilung der Synchrotronstrahlung nachvollziehbar
berechnet hatte. Die Ableitung der Formeln ist in der Publikation
ausführlich beschrieben und Angaben zur numerischen Auswertung
sind darin gemacht. Die sehr aufwendigen und raffinierten
Lösungsansätze von Julian Schwinger zur Synchrotronstrahlung unter
Einbeziehung der elektrischen Feldtheorie und der Relativitätstheorie
(die Elektronengeschwindigkeit v ist für die auf mehr als 50 MeV
beschleunigten Elektronen nahezu Lichtgeschwindigkeit 𝛽𝛽= v/𝑐𝑐≈ 1)
zeigten, dass die Strahlung in Richtung der Elektronenbewegung stark
gebündelt ist und für die spektrale Strahlungsleistung ein Kontinuum mit
einem Maximum im kurzwelligen UV-Spektralbereich darstellt.
Ausgang seiner Berechnungen war das Strahlungsfeld
hochenergetischer freier Elektronen in einem starken elektrischen und
magnetischen Feld. In dem nachfolgenden Abschnitt werden hier
zunächst Plausibilitätsbetrachtungen formuliert. Danach werden dann
Lösungsansätze und die wichtigsten Ergebnisse von Julian Schwinger
zusammengefasst und quantitative Berechnungsverfahren beschrieben.
Eine sehr einfache und anschauliche Begründung der
Strahlungsverteilung, die von beschleunigt bewegten Elektronen
emittiert wird, lässt sich an drei Beispielen plausibel machen: Wird im
klassischen Fall ein Elektron auf die Geschwindigkeit v (sehr viel kleiner
als die Lichtgeschwindigkeit c) linear beschleunigt, so ist die unter dem
Winkel θ ausgestrahlte Strahlungsleistung
|Φ| ~ sin2 θ (5.3)
39
Die räumliche Strahlungsverteilung wird also durch zwei Kugeln nach
Abbildung. 5.2a wiedergegeben.
Abb. 5.2a: Strahlungsverteilung nichtrelativistischer Elektronen
bei linearer Bewegung
Für sehr schnell bewegte Ladungen mit einer Geschwindigkeit v, die
etwa der Lichtgeschwindigkeit c entspricht (β = v/c ≈ 1), verschiebt
sich diese Verteilung in Bewegungsrichtung, wenn die Beschleunigung
und die Geschwindigkeit in einer Richtung (Linearbeschleuniger)
erfolgen. Das Diagramm in Abb. 5.2b lässt sich anschaulich so
erklären: Das Elektron emittiert Strahlung momentan wie in Abb. 5.2a
und bewegt sich gleichzeitig mit nahezu Lichtgeschwindigkeit in
dieselbe Richtung fort; der außen stehende ruhende Beobachter nimmt
also eine verdünnte Strahlung wahr.
Abb. 5.2b und 5.2c: Strahlungsverteilung relativistischer Elektronen
40
Bei einer Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung
(Zentrifugalbeschleunigung) erhält man nun in der Bahnebene eine
Winkelverteilung gemäß Abb. 5.2c. Diese Strahlung eines
Zentrifugalbeschleunigers ist sehr intensiv, da die Geschwindigkeit v
der Elektronen und die ständig abgestrahlte Srahlungsleistung in
dieselbe Richtung und mit nahezu gleicher Geschwindigkeit erfolgt.
Somit ist die Strahlungsverteilung eng in Vorwärtsrichtung gebündelt
und weist eine Abstrahlcharakteristik auf, bei der die untere Hälfte sich
um die Hauptrichtung legt. Die zur Seite abgestrahlte
Strahlungsleistung wird nur sehr verdünnt in Vorwärtsrichtung emittiert.
Der Öffnungswinkel, der durch die Synchrotronebene (meist
Horizontalebene) und das erste Minimum der Strahlungsverteilung
festgelegt ist, beträgt dabei m0c2/Q.
5.2 Theorie der Synchrotronstrahlung
Die Bestimmung der Strahlungsleistung für relativistische Elektronen
erfordert nunmehr die Berücksichtigung der Gesetze aus der
Relativitätstheorie, so dass Wegelemente ds, Geschwindigkeiten v und
Impulse p in Vierer-Schreibweise (Ort x,y,z und Zeit t) dargestellt
werden müssen. So gilt für Wegelemente ds:
ds2 = dt2 – 1/c2(dx2+dy2+dz2) (5.4)
ds = (1 – v2/c2)1/2 dt (5.5)
Für den radialen Impuls pr gilt:
(dpr/ds)2 = (dp/ds)2 - 1
𝑐𝑐2 (dQ / ds)2 (5.6)
Die vierte Komponente mit der imaginären Einheit i des Impulses ist
dabei:
p4 = i Q / c (5.7)
41
Im Folgenden gelten die Abkürzungen:
Elementarladung e
Lichtgeschwindigkeit c
Ruhemasse des Elektrons m0
Elektronengeschwindigkeit v
Impuls des Elektrons p
Energie des Elektrons Q
Definition β = v / c
Eine invariante Schreibweise der Gleichung 5.1 und 5.2 ergibt sich dann
zu: Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 ��dp
ds�2−1
𝑐𝑐2�dQ
ds�2�
= 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �Q
m 𝑐𝑐2�2 ��dp
dt�2−1
𝑐𝑐2�dQ
dt�2� (5.8)
Unter der Berücksichtigung, dass p und v Vektoren sind, gilt:
p = 𝜇𝜇0𝛎𝛏
(1−𝛽𝛾2 )1/2
Q = 𝜇𝜇0𝑐𝑐2
(1−𝛽𝛾2 )1/2
β = 𝐯𝐰
𝑐𝑐
Für die emittierte Strahlungsleistung ergibt sich dann die Gleichung 5.9,
die im zweiten Teil der eckigen Klammer ein Kreuzprodukt enthält:
Φ = 2𝑒𝑒2
3 𝑐𝑐3 1
(1−𝛽𝛾2 )2 ��𝐝𝐞𝐯𝐰
dt�2−𝐯𝐰
𝑐𝑐 × �𝐝𝐞𝐯𝐰
dt�2� (5.9)
Für ein Elektron, das in einem homogenen elektrischen Feld linear
beschleunigt wird, bei dem also v dieselbe Richtung wie p hat (vergl.
Linearbeschleuniger in Abb. 5.1b), gilt dann:
Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �dp
dt�2
Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �dQ
ds�2 (5.10)
42
Das Verhältnis der abgestrahlten Strahlungsleistung Φ zur
Energieänderung des Elektrons während eines linearen Weges s
beträgt dann:
𝜱𝜲
𝑑𝑒𝑄𝑄/𝑑𝑒𝑡𝑢 = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �dQ
ds�2 (5.11)
Eine merkliche Strahlung ist also nur von der Energiezunahme dQ in
einem sehr kleinen Wegelement ds abhängig. Das bedeutet, dass der
Erzeugung von elektromagnetischer Strahlung bei einem
Linearbeschleuniger, bei dem v und p dieselbe Richtung haben, keine
Bedeutung zukommt.
Ganz anders sind die Verhältnisse bei der Bewegung des Elektrons auf
einer Kreisbahn, also beim Zirkularbeschleuniger. Da die Energie sich
nur sehr langsam gegenüber dem Impuls ändert, gilt nach Gl. 5.8:
Φ = 2𝑒𝑒2
3𝜇𝜇02 𝑐𝑐3 �Q
𝜇𝜇0 𝑐𝑐2�2 �dp
dt�2 (5.12)
Mit dem Radius r der Kreisbewegung und der Winkelgeschwindigkeit ω0
der Elektronen ist die Impulsänderung
�dp
dt�2 = ω02 p2
= 𝜔𝜕0
r β3 Q2
Damit ergibt sich die abgestrahlte Strahlungsleistung zu:
Φ = 2𝑒𝑒2 𝜔𝜕0
3 𝑟𝑠 β3 �Q
𝑚𝑚0 𝑐𝑐2�4 (5.13)
Das heißt, bei radialer Beschleunigung eines Elektrons ist die gesamte
emittierte Strahlungsleistung Φ proportional zur vierten Potenz der
Elektronenenergie Q. Pro Umlauf verliert das Elektron dabei durch
Abstrahlung die Energie 2πrΦ/c. Selbst bei einem beispielsweise
kleinen Synchrotron mit 140 MeV Elektronenenergie (Braunschweiger
Synchrotron mit einem Bahnradius von 0,46 m) ist der
Strahlungsverlust etwa 74 eV pro Umlauf. Diese Energie wird also in
43
eine beachtliche Strahlungsenergie umgewandelt und muss deshalb
ständig nachgeführt werden.
5.3 Spektralverteilung der Synchrotronstrahlung
Die Theorie der hochfrequenten Synchrotronstrahlung von zirkular
beschleunigt bewegten Elektronen, die mit annähernd
Lichtgeschwindigkeit, also mit β = v/c ≈ 1, eine Kreisbahn
durchlaufen, hat Julian Schwinger in beeindruckender Weise gelöst
und in einer sehr anspruchsvollen und umfangreichen Schrift
veröffentlicht. Für das Verständnis dieser grundlegenden
Veröffentlichung werden sehr gute Kenntnisse über Bessel
Funktionen und anderen höheren mathematischen Funktionen
vorausgesetzt. Betrachtet man die emittierte Strahlungsleistung Φ
eines Elektrons, das sich in Abb. 5.3 im Punkt A auf einer
geschlossenen Kreisbahn mit dem Radius r um den Punkt 0
befindet, dann ist der Höhenwinkel ᴪ neben der Wellenlänge 𝜕𝜕 die
für die folgenden Formeln wesentliche abhängige Größe.
Abb. 5.3: Seitenwinkel χ und Höhenwinkel ᴪ bei der Beobachtung
der momentanen Strahlung eines Elektrons (im Punkt A),
das eine Kreisbahn mit dem Radius r in der X-Y-Ebene
durchläuft. Ausstrahlungsrichtung: AB; Projektion auf die
Bahnebene: AB´.
44
Da die Seitenwinkelauflösung der Strahlung in parallelen Ebenen
zur Synchrotronebene wegen der Kreisbewegung der Elektronen
nicht möglich ist, kommt dem Seitenwinkel χ keine Bedeutung zu.
Ein Beobachter sieht in Gegenrichtung der Tangente an die
Elektronenbahn ein schmales Strahlungsband sehr hoher
Leuchtdichte.
Mit dieser geometrischen Festlegung der Elektronenbahn ergibt
sich die differentielle spektrale Strahlungsleistung nach den sehr
aufwendigen und komplizierten Berechnungen durch Schwinger
(Gleichung 5.14 mit den Abkürzungen 5.15 und 5.16). Die
Funktionen K1/3 und K2/3 sind modifizierte Bessel - Funktionen und
lassen sich auf ein Airy Integral zurückführen, die wiederum mit
aufwendigen unendlichen Produkten berechnet werden können.
∂2Φ
∂Ψ∂𝜔𝜕=3𝑒𝑒2
4𝜋𝜌2𝑟𝑠�𝜔𝜕
𝜔𝜕𝑐𝑑�2�𝑄𝑄
𝜇𝜇0𝑐𝑐2�2�1+�𝑄𝑄𝑄𝑄
𝜇𝜇0𝑐𝑐2�2�2
×�𝐾𝐿23
⁄
2(𝜉𝜊)+ �𝑄𝑄𝑄𝑅
𝑚𝑛0𝑐𝑑2�2
1+�𝑄𝑄𝑄𝑅
𝑚𝑛0𝑐𝑑2�2𝐾𝐿1/3(𝜉𝜊)� (5.14)
mit den Abkürzungen
𝜉𝜊=𝜔𝜕
2𝜔𝜕𝑐𝑑�1+�𝑄𝑄𝑄𝑄
𝜇𝜇0𝑐𝑐2�2�3/2 (5.15)
𝜔𝜔𝑐𝑐=3𝑐𝑐
2𝑟𝑠�𝑄𝑄
𝜇𝜇0𝑐𝑐2�3 (5.16)
5.4 Anwendung der Synchrotronstrahlung in der Radiometrie
An dieser Stelle sollen die wichtigsten Endergebnisse, die für die
angewandte Radiometrie von Bedeutung sind, beispielhaft
mitgeteilt und interpretiert werden. Da in der angewandten
Strahlungsmessung die spektrale Strahlungsleistung dΦ/dλ in
Abhängigkeit von der Wellenlänge λ die entscheidende Größe ist,
wird zunächst in Gleichung 5.14 von der Kreisfrequenz ω über die
Substitution
𝑑𝑒ω
𝑑𝑒λ = −2πc
λ2
45
zur Wellenlänge λ übergegangen. Das Ergebnis ist in den
Gleichungen 5.17 bis 5.19 angegeben. Aus diesen Gleichungen
lassen sich nach aufwendigen quantitativen Berechnungen die
spektrale Strahlungsleistung dΦ / dλ , die Höhenwinkel aufgelöste
spektrale Strahlungsleistung ∂2Φ / ∂λ ∂ᴪ und die
Gesamtstrahlungsleistung Φ bestimmen.
∂2Φ
∂Ψ∂𝜆𝜆=3𝑒𝑒2𝑐𝑐
2𝜋𝜌 �𝜆𝜆𝑐𝑑
𝜆𝜆�21
𝜆𝜆2�𝑄𝑄
𝑚𝑚𝑜𝑜𝑐𝑐2�2�1+�𝑄𝑄Ψ
(𝜇𝜇0𝑐𝑐2�2�2
×�𝐾𝐿2/3
2(𝜉𝜊) + �𝑄𝑄Ψ
𝑚𝑛0𝑐𝑑2�2
1+�𝑄𝑄Ψ
𝑚𝑛0𝑐𝑑2�2𝐾𝐿1/3
2(𝜉𝜊)� (5.17)
mit den Abkürzungen
𝜕𝜕𝑐𝑐=4𝜋𝜌𝑟𝑠
3�𝜇𝜇𝑜𝑝𝑐𝑐2
𝑄𝑄�3 (5.18)
𝜉𝜊=𝜆𝜆𝑐𝑑
2𝜆𝜆�1+�𝑄𝑄Ψ
𝜇𝜇𝑜𝑝𝑐𝑐2�2�3/2 (5.19)
Am Beispiel des kleinen Elektronen-Synchrotrons der PTB in
Braunschweig lassen sich die radiometrischen Größen mit
Berechnungen nach den Glgn. 5.17 bis 5.19 beispielhaft
nachvollziehen. In Abb. 5.4 ist für die Elektronenenergie von
Q = 140 MeV die spektrale Strahlungsleistung in Abhängigkeit vom
Höhenwinkel aufgetragen. Parameter ist die Wellenlänge von 100 nm
bis 800 nm. Dabei zeigt sich, dass die Strahlung eng um die
Synchrotronebene gebündelt ist und gleichzeitig von der Wellenlänge
abhängt. Die Lösungen hängen zusätzlich noch von den elektrischen
Betriebsbedingungen des Beschleunigers ab.
46
Abb. 5.4: Spektrale
Strahlungsleistung des 140 MeV
Synchrotrons in Abhängigkeit vom
Höhenwinkel.
Elektronenenergie Q = 140 MeV
Bahnradius r = 0,46 m
Aus Gleichung 5.17 folgt nach Integration über λ die nach dem
Höhenwinkel abgeleitete Gesamtstrahlung Φᴪ, durch die Integration
über ᴪ ergibt sich die spektrale Strahlungsleistung Φλ, und bei
Integration über λ und ᴪ erhält man die Gesamtstrahlungsleistung Φ.
Die Größe λc, die durch die Gleichung 5.18 definiert ist, wird in der
Literatur oft als „kritische Wellenlänge“ bezeichnet. Durch sie wird das
Maximum der spektralen Strahlungsleistung Φλ bei λmax = 0,421 λc
festgelegt.
Das PTB-Synchrotron wurde ursprünglich für die Erzeugung von
γ-Strahlung konzipiert. Deshalb wurde der Elektronenbeschleuniger
mit einem magnetischen Wechselfeld und mit Gleichstrom-
Vormagnetisierung betrieben. Die Periodendauer t0 kann dabei
wahlweise 20 ms oder 10 ms betragen. Für die magnetische
Induktion B ergibt sich demnach
B = B𝑚𝑛𝑎𝑏𝑥𝑦
2 (1 – cos 2πt / t0 )
Da für B(t) > 0 der zeitliche Verlauf der Elektronenenergie Q ~ B(t)
ist, kann die Elektronenenergie Q einfach beschrieben werden.
Q = Qmax sin2 (πt / t0) (5.20)
Dabei erfolgt die Beschleunigung im Zeitintervall ⁅ 0 , t0/2 ⁆, und das
Abbremsintervall ist ⁅ t0/2 , t0 ⁆. Die von einem Strahlungsempfänger
erfasste Strahlungsleistung entspricht also dem Mittelwert der
47
zeitabhängigen momentanen Strahlungsleistung über die
Beschleunigungsperiode.
Unter Berücksichtigung der Gleichungen 5.17 bis 5.19 haben
Tomboulian und Bedo 1958 dieses sehr aufwendige Problem gelöst.
Das Ergebnis der über eine Beschleunigungsperiode gemittelten
spektralen Strahlungsleistung ist in den Gleichungen 5.21bis 5.23
wiedergegeben, und in Abb. 5.5 dargestellt.
𝜙𝜚�𝜆𝜆=33/2𝑒𝑓2𝑐𝑐
8𝜋𝜌3𝑟𝑠3�𝑄𝑄𝑚𝑛𝑎𝑏𝑥𝑦
𝜇𝜇0𝑐𝑐2�7�𝜆𝜆𝑐𝑑∗
𝜆𝜆�4𝑅𝑆�𝜆𝜆𝑐𝑑∗
𝜆𝜆� (5.21)
mit den Abkürzungen:
𝑅𝑆�𝜆𝜆𝑐𝑑∗
𝜆𝜆�=∫
∞
1�𝑥𝑥1/3−1��𝑥𝑥1/3+ 2�𝐾𝐿5/3�𝑥𝑥𝜆𝜆𝑐𝑑∗
𝜆𝜆�𝑑𝑑𝑥𝑥 (5.22)
𝜕𝜕𝑐𝑐∗=2𝜋𝜌𝑟𝑠
3�𝜇𝜇0𝑐𝑐2
𝑄𝑄𝑚𝑛𝑎𝑏𝑥𝑦�3 (5.23)
Diese Kurvenschar, die von Tomboulian und Bedo tabelliert wurde, ist
letztlich die entscheidende Größe zur Beurteilung und Prüfung auf die
Eignung eines Synchrotrons als Strahlungsnormal. Da die Maxima bei
λmax ~ Qmax-3 zu finden sind, liegen diese für den logarithmischen
Maßstab in Abb. 5.5 auf der eingezeichneten Geraden. Die maximale
mittlere spektrale Strahlungsleistung ist danach proportional λmax-7/3.
Die in Gleichung 5.23 definierte Größe λc wird entsprechend Gleichung
5.18 mit „kritische Wellenlänge“ bezeichnet. Sie ist typisch für das
jeweilige Elektronensynchrotron. Mit dieser Größe ist das Maximum der
über ein Beschleunigunginterval gemittelten spektralen
Strahlungsleistung bei der Wellenlänge λmax = 0,5 λc festgelegt.
48
Abb. 5.5
Mittlere spektrale
Strahlungsleistung im
Beschleunigungsintervall des
PTB-Synchrotrons in
Abhängigkeit von der
Wellenlänge. Parameter:
Maximale Elektronenenergie
(1) Qmax = 140 MeV
(2) Qmax = 120 MeV
(3) Qmax = 100 MeV
Aus den theoretischen Grundlagen zur Synchrotronstrahlung lassen
sich nunmehr die folgenden wesentlichen Merkmale zusammenfassen:
• Das Synchrotron emittiert im gesamten optischen Spektralbereich
kontinuierliche Strahlung mit Wellenlängen vom Vakuum-UV bis
zum IR mit einem Maximum bei kurzen Wellenlängen mit 𝜕𝜕 kleiner
als 100 nm.
• Das Strahlungsmaximum ist durch die kritische Wellenlänge λc
des Beschleunigers festgelegt. Selbst, bei kleinen Beschleunigern
mit Elektronenenergien kleiner als 200 MeV ist λc kleiner als
100 nm. Bei Beschleunigern mit Elektronenenergie größer als
1 GeV liegt λc im Röntgenbereich.
• Die optische Strahlung ist auf kleine Winkelbereiche um die
Synchrotronebene beschränkt.
• Das Synchrotron liefert Strahlungspulse, die von den gewählten
Gerätparametern des Beschleunigers abhängig sind. Eine
quantitative Messung ist demnach nur unter Verwendung eines
Referenzempfängers möglich, so dass ein Synchrotron nur als
49
Normal für relative spektrale Strahlungsgrößen geeignet ist. Es
ergänzt aber bei Kalibrierungen den Spektralbereich in
Ultravioletten zu kleineren Wellenlängen.
• Die Strahlung ist elliptisch polarisiert. Die Anteile werden durch
die zwei Summanden mit 𝐾𝐿2/3 und 𝐾𝐿1/3 in Gleichung 5.22
beschrieben.
5.5 Elektronenspeicherring als Synchrotronstrahlungsquelle
Der größte Nachteil bei der Nutzung des Elektronensynchrotrons als
primäres Strahlungsnormal ist die zeitlich schwankende Zahl der
Elektronen im Beschleuniger von einer Beschleunigungsperiode zur
nächsten. Dieses Problem wurde durch eine einfache Technik gelöst:
wird der Elektronenbeschleuniger ausschließlich zur Erzeugung der
Synchrotronstrahlung genutzt und nicht zur Erzeugung radioaktiver
Strahlung (z. B. γ-Strahlung), dann lässt sich ein System aufbauen, das
nach Abb. 5.7 in einem ringförmigen Gefäß mit Hochvakuum
beschleunigte Elektronen hoher Energie sammelt. Dazu werden, wie
beim Synchrotron, thermisch erzeugte Elektronen in einem
Elektronenmikrotron bis auf eine Energie von einigen MeV
vorbeschleunigt und anschließend in einem Elektronensynchrotron, das
mit einem magnetischen Wechselfeld betrieben wird, auf die
gewünschte Elektronenenergie hoch beschleunigt. Jedes dieser
Elektronenpakete wird dann aus der Kreisbahn gekoppelt und in den
kreisförmigen Elektronenspeicherring gelenkt. Magnete garantieren ein
starkes, vertikales und konstantes Magnetfeld. Die Strahlungsverluste
werden durch elektrische Felder in Beschleunigungsstrecken
kompensiert, so dass die in Richtung der Tangente konstant
abgestrahlte Synchrotronstrahlung für Photoexperimente und für
radiometrische Kalibrierungen eingesetzt werden kann. Abb. 5.7 gibt
die schematische Darstellung von solch einem System beispielhaft
wieder.
Das Helmholtz-Zentrum in Berlin hat 1981 solch eine von der EU und
von nationalen Gesellschaften geförderte Speicherringanlage
aufgebaut. In dieser Ringanlage können Elektronen mit einer Energie
von bis 200 MeV und einem Elektronenstrom von bis zu 300 mA zeitlich
konstant gehalten werden. Das Synchrotron hat einen Umfang von
50
etwa 60 m, und das Maximum der emittierten Strahlung liegt bei
weniger als 1 nm, also bereits im Bereich der Röntgenstrahlung.
Abb.5.7: Schematische Darstellung eines Elektronenspeicherrings
Diese erste Elektronenspeicheranlage in Berlin fand in der Nutzung für
die Bereiche der Grundlagenforschung in Photonik, Optoelektronik,
Lithographie, Photochemie sowie Medizin eine so große Nachfrage,
dass 1998 ein zweiter wesentlich größerer Elektronenspeicherring
aufgebaut wurde und den ersten Elektronenspeicherring ersetze. Die
maximale Elektronenenergie beträgt 1,7 GeV, das Speicherringgefäß
hat einen Umfang von 96 m. Da die elektrische Anschlussleistung etwa
3 MW beträgt, sind hier allerdings radiometrische Experimente aufgrund
der sehr hohen Betriebskosten nur in einem Großverbund realisierbar.
Außerdem sind aufgrund der deutlich höheren Elektronenenergien und
der längeren Verweilzeiten der Elektronen im Speicherring auch
umfangreiche Strahlenschutzmaßnahmen erforderlich.
Der technische Aufwand für spektralradiometrische Kalibrierungen in
der Speicherringanlage wird allerdings im Vergleich zum einfachen
Synchrotron einfacher und die Vorteile überwiegen:
• Der Elektronenstrom kann genauer bestimmt werden.
51
• Die Strahlungsberechnungen stützen sich nur auf die
Gleichungen 5.21 bis 5.23.
• Auf die Auswertung mit den Tabellenwerten von Tomboulian und
Hartmann für zeitlich veränderlicher Strahlung kann verzichtet
werden.
Für Anwendungen in der Radiometrie - also der Nutzung der
Synchrotronstrahlung als primäres Strahlungsnormal im optischen
Spektralbereich haben Speicherringe aber auch erhebliche Nachteile:
• Nahezu sämtliche Elektronenspeicherringe sind so konzipiert,
dass die Elektronenenergie im Gigawatt Bereich liegt. Der Bau
solcher Geräte bedingt damit große Vorbeschleuniger. Außerdem
gibt es kaum technische Lösungen große Bahnradien für die
Elektronen im Speicherring als kreisrunde Bahn zu konzipieren.
Es werden vielmehr im Wechsel Kreisbögen mit geraden
Strecken kombiniert.
• Da Synchrotronstrahlung eng gebündelt in Richtung der Tangente
an die Elektronenbahn emittiert wird, sind bei hochenergetischen
Elektronenspeichern sehr große Abstände der Messapparatur
vom Tangentenpunkt erforderlich.
• Aus Sicherheitsgründen sind bei Beschleunigern mit großen
Elektronenenergien umfangreiche Strahlenschutzmaßnahmen
einzuhalten.
• Die Spektralverteilung der Synchrotronstrahlung hat das
Maximum bei λmax = 0,5 λc .
gegenüber den vorhanden Großgeräten ist die verfügbare
Strahlungsleistung im optischen Spektralbereich nur unwesentlich
geringer. Deshalb könnte ein Elektronenspeicherring mit etwa 100 MeV
und einem Umfang von 5 m als Laborgerät eine geeignete Lösung sein.
52
Literatur zu Kap. 5:
Schwinger, J. (1949): On the Classical Radiation of Accelerated
Electrons; Phys.Rev. 75, S. 1912
Watson, C.N. (1952): Theory of Bessel Functions, Cambridge
University Press.
Kollath R. (1962): Teilchenbeschleuniger, F, Vieweg Verlag.
Abramovitz, M. u. Stegun I.A. (1964): Handbook of Mathem. Functions,
NBS-Verlag.
Reich, H., Trier, J.O. u. Auch, K. (1966): Das 140 MeV
Elektronensynchrotron der PTB; Z. f. Phys. 20, S. 435
Jahnke, E., Emde F. u. Lösch F. (1966): Tafeln Höherer Funktionen,
Teubner Verlag Stuttgart.
Kolomensky, A.A. u. Lebedev, A.N. (1966): Theory of Cyclic
Accelerators, North Holland Pub. Amsterdam.
Sokolov, A.A. u. Ternov, I.M. (1968): Synchrotron Radiation, Akad.
Verlag Berlin.
Kunz, C. (1979): Synchrotron Radiation, Techniques and Applications,
Springer Verlag
Lemmerich, J. (1987): Mass und Messen, Lenz Druck Berlin
Günther, H. (2013): Die Spezielle Relativitätstheorie, Springer Verlag.
Lehner, G. (2018): Elektromagnetische Feldtheorie, Springer Verlag.
53
6. Vergleich der drei Strahlungsnormale
6.1 Vergleich der Spektren
Ein Vergleich der verfügbaren spektralen Strahlungsleistungen Φλ, die
von den Primärnormalen „Planck Strahler“ (Abschnitt 3), „Ar-
Plasmabrenner“ (Abschnitt 4) und „Elektronensynchrotron“ (Abschnitt 5)
in den Raumwinkel Ω und die in das Wellenlängenintervall Δλ = 1,7 nm
emittiert werden, zeigt Abbildung 6.1. Der qualitative Vergleich belegt,
dass sich das Kontinuum der Planckstrahlung und das der Synchrotron-
strahlung sehr gut ergänzen. Auf den Ar - Plasmabrenner kann
dagegen verzichtet werden, da die berechenbare Strahlung nur bei
diskreten Linien in einem eingeschränkten Spektralbereich zwischen
den Wellenlängen 100 nm und 200 nm möglich ist.
Abb. 6.1: Vergleich der in den Raumwinkel Ω und in das
Wellenlängenintervall Δλ = 1,7 nm emittierten
spektralen Strahlungsleistung des PTB - Planck
Strahler (HS) ΦλHS , des Ar-Plasmabrenners ΦλP und
des PTB-Synchrotrons ΦλSy.
Der Schwarze (Planck´sche) Strahler gilt im Spektralbereich von 300
nm bis 2500 nm als international abgesichertes Strahlungsnormal. Er ist
auch Basis für die Definition der photometrischen Basiseinheit Candela.
Er gilt als unverzichtbar bei Messungen der absoluten spektralen
54
Strahlungsgrößen. Die Strahlung ist nicht polarisiert, so dass für
Experimente ein großes Angebot an optischen Bauteilen verfügbar ist.
So bleibt in der Radiometrie neben dem Planck´schen Strahler nur das
Elektronensynchrotron als geeignete primäre Strahlungsquelle für den
optischen Spektralbereich. Plasmabrenner sind in der
Strahlungsmesstechnik nur in einem kleinem Spektralbereich des
Vakuum-UV von Bedeutung. Für radiometrische Anwendungen hat das
Elektronensynchrotron noch nicht den entscheidenden Durchbruch
erlangt. Die Gründe sind:
• Weltweit sind nur wenige Elektronenbeschleuniger für die
Radiometrie einsetzbar. Der Betrieb ist sehr aufwendig und
erfordert gutes Fachpersonal.
• Der verfügbare Spektralbereich beschränkt sich auf das UV- und
das VUV-Spektralgebiet mit Wellenlängen von 100 nm bis 400
nm.
• Die Messgenauigkeit der Synchrotronstrahlung wird neben den
üblichen Geometrie- und Gerätefehlerquellen durch inkonstante
Maschinengrößen beeinflusst, da die Elektronenzahl in den
einzelnen Beschleunigungsperioden unterschiedlich ist.
• Die räumliche Strahlungsverteilung ist wellenlängenabhängig, und
aufgrund von Synchrotron- und Betatronschwingungen ist die
Höhenwinkelabhängigkeit um die Synchrotronebene nicht
konstant.
• Die Synchrotronstrahlung ist polarisiert. Ein Vergleich dieser
Strahlung mit einer unpolarisierten Strahlung erfordert deshalb
einen Depolarisator.
• Für praktische Anwendungen sollte das Maximum der
emittierten spektralen Strahlungsleistung allerdings nicht kleiner
als etwa 10 nm sein, da sonst die Röntgenstrahlung ein zu großes
Gewicht an der Gesamtstrahlung bekommt.
Diese Nachteile haben zur Folge, dass das Elektronensynchrotron zur
Zeit nur als Strahlungsnormal für relative spektrale Strahlungsgrößen
im ultravioletten Spektralgebiet uneingeschränkt geeignet ist. Eine
Lösung bieten die Elektronenspeicherringe, wenn nur die Zahl der
Elektronen hinreichend genau bestimmt werden kann. Für die Messung
des Absolutwertes der Strahlungsgröße einer unbekannten
55
Strahlungsquelle bietet sich dennoch eine zusätzliche Messung mit
einem sogenannten Absolutempfängers an.
6.2 Experimente zum Vergleich der Strahlungsnormale
Seit der ersten Nutzung der Synchrotronstrahlung als primäres
Strahlungsnormal wurde ihre Eignung durch zahlreiche
Vergleichsmessungen mit anderen abgesicherten Skalen der
quantitativen Radiometrie geprüft. Direkte Vergleichsmessungen
international akzeptierter radiometrischer Skalen wurden im Zeitraum
1975 bis 1985 veröffentlicht:
(1) Vergleich: Planck Strahler – Elektronensynchrotron
Nach einem Zwei-Stufen Verfahren wurde die berechnete relative
spektrale Strahlungsleistung des PTB-Synchrotrons (Abschnitt 5)
experimentell mit der Hohlraumstrahlung des Planck`schen Strahlers
hoher Temperatur (Abschnitt 3) überprüft.
Dazu wurde in der ersten Stufe eine geeignete Lampe hoher
elektrischer Leistung (1 kW) zunächst am optischen Messplatz mit
Planck Strahler nach Abb. 6.2 kalibriert. Dabei wird die spektrale
Strahldichte des senkrecht bestrahlten Reflexionsnormals RN für den
45°-Beobachtungswinkel vom Monochromator MON erfasst. Nach
Drehung des Reflexionsnormals um 90° bleibt der optische Weg
erhalten. Die relative Messunsicherheit der Kalibrierung nach diesem
Substitutionsverfahren beträgt im sichtbaren Spektralbereich 1,8 %, im
nahen UV beträgt sie 2,0 % und im nahen IR ist sie 3,0 %.
In der zweiten Stufe wird der Messplatz mit Monochromator M am
Synchrotron ähnlich aufgebaut. In Abb. 6.3 ist das Experiment
dargestellt. Das Reflexionsnormal RN wird hier durch eine Ulbrichtkugel
ersetzt. Damit wird auch sichergestellt, dass die Synchrotronstrahlung
depolarisiert wird.
Die relativen Abweichungen der zwei durchgeführten Messungen der
Strahlungsfunktion war im untersuchten Wellenlängenintervall (350 nm
< λ < 600 nm) kleiner als 1,2 %.
56
Abb. 6.2: Messplatz zur Bestimmung der spektralen
Bestrahlungsstärke einer Standardlampe 𝐿𝑀3 durch
Vergleich mit dem Planck-Strahler SS.
B Blende, V Verschlus, RN Reflektionsnormal, SEV Photoverfielfacher,
PbS Photoelement, CH Chopper
Abb. 6.3: Messplatz zur Bestimmung der spektralen
Bestrahlungsstärke einer Standardlampe durch Vergleich mit
dem PTB -Synchrotron.
A Tangentenpunkt der Elektronenbahn, F Suprasilfenster, B, 𝐵𝐶𝑑𝑑 Blende,
Spiegel (f=0,46m), U Ulbrichtkugel, M Monochromator,
Ph Photovervielfacher, L Standardlampe
57
(2) Vergleich: Elektronensynchrotron - Argonplasmabrenner
Für einen direkten Vergleich wurden beide Strahlungsnormale über ein
Vakuumsystem verbunden. Abb. 6.4 gibt den optischen Aufbau wieder.
Die Synchrotronstrahlung erreicht nach 8 m den Abbildungsspiegel 5,
der den Tangentenpunkt der Elektronenbahn über den Depolarisator 6
auf den Eintrittsspalt des Monochromators abbildet. Vom
Plasmabrenner 11 wird ein homogener Teil der Bogenstrahlung durch
das differentielle Pumpsystem 12 fensterlos in das Hochvakuumsystem
geleitet und nach der Reflexion am Spiegel 10 und dem Spiegel 5 auf
den Eintrittsspalt des Monochromators abgebildet.
Abb. 6.4: optischer Aufbau mit Synchrotron und Ar-Plasmastrahler.
1 Mikrotron, 2 Elektronenbahn, 3 Magnetjoch, 4 Resonatoren,
5 Abbildungsspiegel, 6 Depolarisator. 7 Monochromator,
8 Probenkammer, 9 Hilfsmonochromator, 10 Referenzempfänger,
11 Ar-Brenner, 12 differentielles Pumpsystem, 13 Probenkammer,
14 Filterrad, 15 Planspiegel.
Im überprüften Schumannbereich (100 nm bis 200 nm) war die relative
Abweichung der Messwerte von den berechneten relativen spektralen
Strahlungsverteilungen mit 2,5 % deutlich kleiner als sie nach der
Fehlerbetrachtung mit 8 % zulässig wäre.
58
(3) Vergleich: Planck Strahler – Photometrische Skala
Aus der vom Planck Strahler emittierten spektralen Bestrahlungsstärke
im sichtbaren Spektralbereich kann durch Gewichtung mit dem
photometrischen Strahlungsäquivalent K(λ) die Beleuchtungsstärken Ev
ermittelt werden. Der Vergleich der experimentell bestimmten Werte Ev
mit der photometrischen Skala der PTB ergab eine relative Abweichung
von nur 0,2 %.
(4) Vergleich: Planck Strahler – Absolutempfänger
Die Kombination einer Quecksilber Mitteldrucklampe (UV Standard), mit
einem Monochromatfilter (λm = 546 nm) und einer Blende (30 mm)
wurde in drei Stufen kalibriert. Der erste Schritt erfolgt durch Vergleich
mit dem Planck Strahler nach Abbildung 6.2. Im zweiten Schritt wurde
die Kombination Lampe, Filter und Blende mit dem
Elektronensynchrotron vermessen. Im dritten Schritt wurde die
Kombination mit einem Absolutempfänger erfasst. Die relative
Abweichung dieser Messergebnisse von der auf einem
Absolutempfänger beruhenden Skala ergab sich zu 0,6 %.
(5) Vergleich: Planck Strahler - Speicherring BESSY
Für diesen Vergleich wurde durch das Institut Berlin der PTB ein
Transferstrahler (Halogenglühlampe - 1000 W); im Spektralbereich 400
nm bis 1000 nm genutzt. Im untersuchten Spektralgebiet war die
relative Abweichung der Messergebnisse kleiner als 1,5 %.
(6) Vergleich: Elektronensynchrotron – Absolutempfänger
Im Rahmen eines internationalen Vergleiches mit dem britischen
Nationalinstitut NPL wurde die von einem Transferstandard (Hg-
Niederdrucklampe) erzeugte Bestrahlungsstärke für die Linie 253,7 nm
sowohl am PTB-Synchrotron als auch im NPL gemessen. Die relative
Abweichung der beiden Kalibrierungen betrug 2,5 %.
59
(7) Vergleich: Argonplasmastrahler - NIST-Skala
Für die amerikanische Raumfahrt war in zwei Instituten (National
Institute of Standards and Technology NIST und PTB Braunschweig)
eine Photodiode im Spektralbereich von 120 nm bis 250 nm zu
kalibrieren. Während in der PTB die Kalibrierung nach einem
aufwendigen Messverfahren mit dem Plasmastrahler (gemäß Abbildung
6.4) durchgeführt wurde, basierte die Kalibrierung im NIST auf einer
detektorbasierten Methode. Die relative Abweichung beider
Kalibrierergebnisse war kleiner als 5 %.
Diese kurze Zusammenstellung der vorliegenden experimentellen
Vergleichsmessungen (1) bis (7) der drei Strahlungsnormale für
optische Strahlung zeigt keine Widersprüche. Die vorgestellten Skalen
sind messtechnisch gesichert, international akzeptiert und bieten eine
Grundlage für weitere metrologische Entwicklungen.
Literatur zu Kap. 6:
Bauer, G. (1962): Strahlungsmessungen im optischen Spektralbereich,
Vieweg Verlag, Braunschweig.
Bauer, G. (1968): Absolutmessung einer Strahlungsleistung: Optik 26,
S. 422
Kaase, H. (1975): Measurement of the irradiance of UV-sources by
comparison with synchrotron radiation, Journ. of Phys. E: Sci. Instr. 8,
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Kaase H., Stephan, K. H., Burton, W. M., Hatter, A. T., Ridgeley, A.,
Canfield, L. R., and Madden, R. P. (1980): Intercomparison of
radiometric irradiance scales in the 90 nm – 250 nm wavelength range,
Appl. Opt. 19, S. 2529
Kaase, H. (1981): A direct radiometric comparison of two radiation
standards for the vacuum ultraviolet: synchrotron and argon cascade
arc, Appl. Opt. 59, S. 1
Kaase, H. (1981): Synchrotron Radiation Facility at PTB, Nucl. Instr. a
Meth. 185, S. 573
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Jones, O.G. u. Moore, J.R. (1981): The Spectroradiometric
Measurement of Light Sources; NPL Report DES 70.
Flaig, H.-J., Schartner, K.-H., Kaase, H. (1983): Secondary VUV-
standard for beam experiments, Nucl. Instr. a Meth. 208, S. 405
Kaase, H., Bischoff K., Metzdorf J. (1984): Quantitative
Spektralradiometrie auf der Basis eines Schwarzen Strahlers hoher
Temperatur und großer Strahlerfläche; Lichtforschung 6, München S.29
Stephan, K.H., Braeuninger, H., Kaase, H. (1986): Reflectivity
measurements in the vacuum ultraviolet wavelength range on technical
surfaces for the Wolter I telescope on board the X-ray astronomy
satellite ROSAT, Astrophys. Space Sci. 125, S. 169
Stephan, K. & Briel, U. & Kaase, H. (1989): Reduction of the
responsivity of the ROSAT focal plane X-ray detector (PSPC) to
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efficiency, 2. International Meeting on New Developments and
Applications in Optical Radiometry, S. 173
Bergmann, Schaefer (2004): Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 3:
Optik : Wellen- und Teilchenoptik, De Gruyter, Berlin
Baer, R., Barfuß, M. and Seifert, D. (2020): Beleuchtungstechnik
Grundlagen, Huss-Medien, Berlin
DIN 5030-3 (2021): Spektrale Strahlungsmessung, Beuth Verlag Berlin
61
7 Ausblick
Das Messwesen im optischen Spektralbereich wird sich auch in Zukunft
weiterentwickeln, dabei sind zwei Themen besonders hervorzuheben:
Eine Erweiterung des Messwesens auf sehr kleine bzw. sehr große
Strahlungsleistungen und auf die Verbesserung der Präzision. Jede
neue Skala für die definierten Basisgrößen sollten dann international
durch angelegte Vergleiche abgesichert werden.
In Kap. 4 wurde bereits angemerkt, dass ein wandstabilisierter Argon-
Plasmabrenner in der quantitativen Metrologie und bei der Realisierung
einer Basiseinheit keine große Bedeutung mehr hat. Der nutzbare
Spektralbereich von 120 nm bis 250 nm ist sehr klein, und der
technische Aufwand zum Betrieb des Plasmas ist sehr groß.
Dagegen kann die Weiterentwicklung der Elektronenspeicherringe hin
zu kleinen Geräten große Fortschritte für die Radiometrie bedeuten.
Aus der Abb. 6.1 lässt sich ableiten, dass ein Speicherring mit weniger
als 80 MeV den Bedürfnissen der optischen Strahlungsmessung
genügen könnte. Solch ein Ringbeschleuniger mit einem Bahnradius
von weniger als 0,4 m könnte in jedem Labor aufgebaut werden. Er
kann vom Laborpersonal betrieben werden und hätte außerdem den
Vorteil, dass die Strahlenbelastung deutlich geringer gehalten werden
kann.
Ein einfaches Verfahren bietet sich über die Messung der
Strahlungsleistung mit einen sogenannten Absolutempfänger an. Dabei
wird die Skalar der Strahlungsleistung auf die Skalar der elektrischen
Leistung zurückgeführt.
Ein weiterer Vorschlag wurde von der PTB veröffentlicht. Es handelt
sich um eine Einzelphotonenquelle, bei der einzelne Photonen emittiert
und erfasst werden. Die Verwendung dieser Strahlungsquelle
ermöglicht bei Absorption eine deutliche Verbesserung der Detektor
gestützten Radiometrie.
