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Strukturierter mechatronischer Entwurf einer

SbW-Lenkung

zur Erlangung des akademischen Grades eines

DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN (Dr.-Ing.)

der Fakultät für Maschinenbau

der Universität Paderborn

genehmigte

Dissertation

von

Dipl.-Ing. Markus Nyenhuis

aus München

Tag des Kolloquiums: 04.05.2006

Referent: Prof. Dr.-Ing Joachim Lückel

Koreferent: Prof. Dr.-Ing Ansgar Trächtler

III

Vorwort

Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Ange-

stellter am Mechatronik Laboratorium der Universität Paderborn.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Joachim Lückel danke ich besonders, da er mir nicht nur die Durchführung

dieser Arbeit ermöglichte, sondern darüber hinaus durch sein stetiges Interesse und wertvollen

Anregungen zum gelingen dieser Arbeit beigetragen hat.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Ansgar Trächtler, heutiger Leiter der Fachgruppe, danke ich für die Über-

nahme des Koreferats.

Allen Mitarbeitern und Kollegen des Instituts danke ich für die vielen anregenden und konstruk-

tiven Diskussionen, sowie für die stets angenehme Arbeitsatmosphäre. Mein besonderen Dank

gilt den Kollegen Dr.-Ing. Karl-Peter Jäker, Dipl.-Ing. Ulrich Dierkes, Dipl.-Math. Carsten Ru-

stemeier, die maßgeblich an den aufgeführten Projekten beteiligt waren.

Die Anwendung der theoretischen Ergebnisse dieser Arbeit wurden zum Großteil durch die Fir-

ma TRW ermöglicht. Hier bin ich besonders den Herren Dr.-Ing. Heinz-Dieter Heitzer und Dr.-

Ing. Cristoph Eicker zu Dank verpflichtet.

Frau Annette Bökamp-Gros danke ich für die sorgfältige Durchsicht des Manuskripts.

Dank ganz anderer, aber nicht geringerer Art gilt meinen Eltern und meiner Partnerin Miranda

van Druten, die mich über die Jahre begleitet und unterstützt haben.

München, im Juli 2006 Markus Nyenhuis

Inhalt

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Motivation und Zielsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2 Entwurf mechatronischer Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Die Mechatronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2 Der funktionsorientierte Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.2.1 Phase 1: Konzeptionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Phase 2: Rechnergestützte Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Phase 3: Prüfstandsrealisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Verteilter strukturierter Entwurf komplexer mechatronischer Systeme . .16

2.3.1 Das Problem der Komplexität beim Entwurf von Fahrzeugregelsystemen

und deren Aktorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Strukturierung mechatronischer Systeme (Top-Down-Entwurf) . . . . . . . 20

2.3.3 Dezentraler Entwurf strukturierter mechatronischer Systeme (Bottom-Up-

Entwurf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3.1 Vorgehensweise beim Bottom-Up-Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3.2 Voraussetzungen für den verteilt strukturierten Entwurf . . . . . . 26

2.4 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3 Identifizierung mechatronischer Systemmodelle . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Vorbemerkungen zur Identifizierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.2 Anforderungen an das Identifizierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3.3 Das vierstufige Identifizierungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3.3.1 Kurzvorstellung des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Mathematischer Hintergrund und Anwendungsbeispiele für das Frequenz-

gangsverfahren (Stufe 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2.1 Allgemeine Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2.2 Identifizierung von Eingrößensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2.3 Identifizierung von Mehrgrößensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2.4 Implementierung des Frequenzgangsverfahrens . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3 Koeffizientenvergleich zur Bestimmung der physikalischen Parameter (Stu-

fe 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.4 Identifizierung durch die nichtlineare Optimierung (Stufe 4) . . . . . . . . . 63

3.4 Identifizierung eines HP-Federbeins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

3.4.1 Stufe 1: Schaffung der Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.2 Stufe 2: Erstellung des Grey/Black-Box-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3 Stufe 3: Koeffizientenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.4 Stufe 4: Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1 Untersuchungen eines konventionellen Lenksystems. . . . . . . . . . . . . . . .74

4.1.1 Experimentelle Untersuchung von Lenksystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 Modellbasierte Untersuchung von Lenksystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2 Verteilt strukturierter Entwurf einer SbW-Lenkung . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.2.1 Strukturierung der SbW-Lenkung im Top-Down-Entwurf . . . . . . . . . . . 87

4.2.2 Mechatronischer Entwurf des Lenkkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2.1 Modellbildung und Analyse des Modulatorkreises . . . . . . . . . . . 91

4.2.2.2 Identifizierung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.2.3 Reglerauslegung des Lenkkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.3 Mechatronischer Entwurf des Servokreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.3.1 Modellbildung und -analyse der Druckregelkreise . . . . . . . . . . 104

4.2.3.2 Identifizierung des Druckregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.3.3 Reglerauslegung des Servokreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.4 Reglerauslegung der Servolenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3 Bewertung und Erweiterung der Regelstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

5 Anwendungsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.1 Mehrkoordinatenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

5.2 Lenksysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

5.2.1 Elektrohydraulische SbW-Lenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.2 Elektromechanische SbW-Lenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2.3 Konventionelles Lenksystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 Federungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

5.3.1 Das hydropneumatische Federbein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3.2 Viertelfahrzeugprüfstand eines aktiven Federbeins . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4 Aggregate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

5.4.1 Motor-Pumpenaggregat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4.2 Flügelzellenpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.1 Frequenzgänge der Positioniermaschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.2 Modellbildung eines HP-Federbeins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

VII

7.3 Modellbildung des Modulatorkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

7.3.1 Die Modulatoreinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.2 Das Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.3 Die Modulatorpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.4 Der Lenkzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.3.5 Die Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3.6 Das Gesamtmodell des Modulatorkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3.7 Herleiten der Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4 Die m-Funktion identfreq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

VIII

Kapitel 1

Einleitung

Bei der Entwicklung von Kraftfahrzeugen haben sich in der Vergangenheit zwei wesentliche

Schwierigkeiten ergeben: Zum Einen werden die Kraftfahrzeuge und deren Subsysteme kom-

plexer, zum Anderen verkürzen sich die Entwicklungszeiten zunehmend. Ein Beispiel für den

zweiten Trend stellt die Entwicklung der A-Klasse dar. Als ein neueres Fahrzeugkonzept des

Hauses DaimlerChrysler wurde sie innerhalb von 36 Monaten entwickelt. Für den im Jahre

1976 erstmals verkauften W123 wurden noch 8 Jahre Entwicklungszeit investiert. Dieser Trend

ist auf die steigende Variantenvielfalt und den wachsenden Konkurrenz- und Kostendruck zu-

rückzuführen. Die zunehmende Komplexität der Fahrzeuge resultiert nicht zuletzt aus den ge-

stiegenen Ansprüchen an Fahrsicherheit und Fahrkomfort und die damit einhergehende

Einführung von Fahrerassistenzsystemen. Auch die zur Zeit sehr stark diskutierten X-by-Wire-

Technologien und vor allem die Verknüpfungen all dieser Systeme werden die Komplexität in

der Entwicklung des Produktes Fahrzeug noch einmal steigern.

Dass kürzere Entwicklungszeiten bei steigender Komplexität ein Umdenken bei der Fahrzeug-

entwicklung erfordern, zeigt die Statistik der Rückrufaktionen. 1993 gab es in Deutschland 35

sicherheitskritische Rückrufaktionen, 2001 lag die Zahl schon bei 113. Hier müssen dem Ent-

wicklungsingenieur neue Methodiken an die Hand gegeben werden, um diesen Schwierigkeiten

zu begegnen.

1.1 Motivation und Zielsetzung

In der Natur des Menschen liegt es begründet, dass er versucht, komplexe, schwer zu verstehen-

de Systeme, aber auch Vorgänge zu simplifizieren und zu abstrahieren. Hierzu benutzt er seit

jeher Modelle bzw. Modellvorstellungen. Beispiele hierfür reichen weit in die Geschichte der

Menschheit zurück, so wird das Sonnensystem1 seit Jahrhunderten an Modellen erläutert.

1. Auch wenn die zugrundeliegenden Modelle nicht immer richtig waren (Galileo).

2Kapitel 1

Die verwendeten Modelle können auf unterschiedlichen Abstraktionsebenen basieren und wei-

sen somit einen voneinander abweichenden Realitätsbezug auf. Ausgehend von rein gedankli-

chen Modellen, die weit entfernt vom realen System sind, gibt es z. B. Anforderungskataloge,

Zeichnungen, maßstabsgetreue Modelle und Prototypen mit einem hohen Realitätsbezug.

Durch die rasante Entwicklung der Computertechnik in den letzten vier Jahrzehnten ist der Di-

gitalrechner zu einem der wichtigsten Werkzeuge zum Erstellen von Modellen avanciert. Die

Fülle an verfügbaren Programmen erlaubt es nunmehr, Modelle aller Abstaktionsebenen zu er-

stellen bzw. deren Erzeugung stark zu unterstützten.1 Mittels der Rechnerunterstützung wurde

ein enormer Kosten- und Zeitvorteil erzielt, da die im Rechner erzeugten Modelle, nicht zuletzt

durch die Verwendung von Bibliotheken, schnell zu erzeugen und zu verändern sind. Aus die-

sem Grund wird der Trend immer mehr Entwicklungsschritte in den Rechner zu verlagern stark

forciert. So werden heute ein Großteil der Entwicklungsstufen, wie z. B. Analyse-, Synthese-

und Optimierungsschritte, rechnergestützt durchgeführt.

In allen Entwicklungsdisziplinen entstehen Modelle, die unterschiedliche Sichtweisen auf das

reale System repräsentieren. Der Konstrukteur z. B. erstellt Zeichnungen, bei denen die Gestalt

und das Gewicht des Produktes im Vordergrund stehen. Beim Berechnungsingenieur, der FEM-

Modelle erstellt, bilden wiederum die Belastung und die Haltbarkeit den Schwerpunkt. Der Me-

chatroniker nimmt für sich eine ganzheitliche Sichtweise in Anspruch. Er versucht, die an ei-

nem mechatronischen Produkt aus unterschiedlichen Disziplinen2 stammenden Subsysteme

bzgl. ihrer zu erfüllenden Bewegungsfunktion optimal zu gestalten.

Ganz besonders bei der Entwicklung mechatronischer Produkte ist die Unterstützung durch den

Rechner nicht mehr wegzudenken. Beim Entwurf dieser Systeme hat sich in der Vergangenheit

der mechatronische Entwicklungskreis durchgesetzt und kann nunmehr als Stand der Technik

bezeichnet werden. Ausgehend vom Konzept eines realen Systems, werden beim mechatroni-

schen Entwicklungskreislauf die Modellbildung, die Modellanalyse, die Modellidentifizierung

und die Reglersynthese durchgeführt. Dies soll sowohl zu einer optimalen Systemstruktur als

auch zu einem optimalen Regler führen. Dabei wird der Entwurf durch eine reale Testumgebung

wie Prüfstände unterstützt.

Der Trend, immer mehr Entwicklungsschritte in den Rechner zu verlagern, erfordert, dass die

Modelle immer mehr Systemeigenschaften berücksichtigen und somit auch immer komplexer

werden. Der mechatronische Entwicklungskreislauf bezieht sich jedoch auf das zu untersuchen-

de Gesamtsystem. Dies kann bei komplexen Systemen zu Schwierigkeiten führen, da viele der

heute bekannten Methoden aus den Bereichen der Analyse, der Identifizierung und der Regler-

synthese nur auf kleine Systeme anwendbar sind. Ähnlich wie bei der Erstellung von komple-

1. Auch die Realisierung von Prototypen wurde durch CAE-Techniken (z. B. Stereo-Lithographie) stark erleichtert.

2. In der Regel handelt es sich hier um Systeme aus dem Bereich des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Informatik.

Einleitung 3

xen Softwareprogrammen kann eine Lösung dieser Problematik in der Strukturierung

gesamthafter mechatronischer Systeme liegen. Hierzu gibt es unterschiedliche Ansätze, wie sie

in [Lückel 92] und [Cartronic] zu finden sind.

In dieser Arbeit soll der Entwurf komplexer mechatronischer Systeme an Beispielen vorwie-

gend aus dem Bereich der Fahrzeugtechnik gezeigt werden. Dabei steht die Entwicklung einer

Steer-by-Wire-Lenkung im Vordergrund. Im ersten Teil soll eine Methode zur Strukturierung

solch komplexer Systeme vorgestellt werden. Diese funktionsorientierte Strukturierung, d. h.

die Einteilung des komplexen Systems in überschaubare Subsysteme, wirft jedoch neue Fragen

zu Modellbildung, Analyse, Identifizierung und Reglersynthese auf. Um diese Fragen zu beant-

worten, soll im zweiten Teil gezeigt werden, wie der funktionsorientierte Entwurf (eine Erwei-

terung des mechatronischen Entwicklungskreislaufs) in diese Strukturierungsmethodik

eingegliedert werden kann. Darüber hinaus wird eine Methode zur Identifizierung von Model-

len vorgestellt, die sich sehr gut in den strukturierten verteilten Entwurf einbetten lässt. Diese

drei Aspekte werden im Folgenden näher erläutert:

Verteilte strukturierte Systemarchitektur

Neben den einzelnen Synthese-, Analyse- und Identifizierungstechniken, die oftmals nur auf

kleine Systeme anwendbar sind, wird für den Entwurf komplexer Systeme eine verteilte struk-

turierte Systemarchitektur vorgestellt. Sie erlaubt es, die komplexen Systeme auf überschaubare

Teilsysteme herunterzubrechen, bei denen dann die herkömmlichen Techniken des modellge-

stützten Entwurfs, wie z. B. die symbolische Analyse, angewendet werden können. Dieser mo-

dular- hierarchische Ansatz, der erstmals in [Lückel 92] vorgestellt und am MLaP1 in den

letzten Jahren weiterentwickelt wurde, wird in dieser Arbeit aufgegriffen.

Aufgrund der Strukturierung werden Subsysteme, wie z. B. die Aktorik, sehr einfach austausch-

bar, da die Anforderungen an diese Subsysteme aufgrund der modular-hierarchischen Entwick-

lung sehr genau bekannt sind. So entsteht ein Baukastensystem für das jeweilige Produkt, das

jeweils an Kundenbedürfnisse angepasst werden kann.

Anwendung des funktionsorientierten Entwurfs innerhalb des strukturierten Systems

Ein wesentlicher Nutzen der Strukturierungsmethodik ist die Entstehung von kleinen über-

schaubaren Subsystemen, die unabhängig (innerhalb einer Hierarchieebene) voneinander be-

trachtet und ausgelegt werden können. Dies wirft jedoch weiterführende Fragen auf, wie z.B.:

• Wie werden die Subsysteme entworfen?

• Wie werden informationstechnische und mechanisch/hydraulische Kopplungen zwischen

den Subsystemen in der Modellbildung berücksichtigt?

• Wie werden die Subsysteme in der Reglersynthese berücksichtigt?

1. MLaP, Mechatronik Laboratorium Paderborn an der Universität Paderborn. Leitung: Prof. Dr.-Ing. J. Lückel.

4Kapitel 1

Zur Beantwortung dieser Fragen wird folgende Vorgehensweise vorgeschlagen:

Die entstehenden Teilsysteme werden im Sinne des funktionsorientierten Entwurfs ausgelegt.

Die Kopplungen zwischen den Subsystemen sollen entweder durch regelungstechnische Ein-

griffe oder durch den Einsatz von intelligenten Aktoren aufgehoben werden (siehe Kapitel 3).

Für die Auslegung von übergeordneten Teilsystemen werden reduzierte Modelle der unterlager-

ten Teilsysteme verwendet, um so die Komplexität der Modelle gering zu halten. Die Modell-

reduktion ist aufgrund der geregelten Subsysteme gut realisierbar. Unterstützt wird sie auch

durch die Tatsache, dass die Eigenfrequenzen der Systeme höherer Hierarchieebenen prinzip-

bedingt langsamer werden und somit sehr oft eine frequenzmäßige Trennung der Systeme vor-

liegt.

Identifizierung von Teilsystemen

Ein großer, oft unterschätzter Teil des modellgestützten Entwurfs stellt die Modellidentifizie-

rung dar. Ohne validiertes Modell sind keine aufschlussreichen Analysen und keine erfolgrei-

che Reglersynthese möglich. Damit geht der Nutzten des modellbasierten Entwurfs verloren.

In dieser Arbeit soll ein Verfahren zur Identifizierung von Modellen vorgestellt werden, welches

sich in den verteilten strukturierten Entwurf eingliedert. Zum Einen soll es auf unteren Hierar-

chieebenen zur Erstellung detaillierter physikalischer Systemmodelle beitragen. Zum Anderen

wird es zur Erstellung reduzierter Systemmodelle für den Entwurf höherer Hierarchieebenen

dienen. Für beide Zwecke ist ein Identifizierungsverfahren notwendig, mit dem es möglich ist,

Modelle unterschiedlicher Modellierungstiefen zu erstellen, die je nach Anwendungsfall mehr

oder weniger physikalische Eigenschaften des Systems berücksichtigen. Darüber hinaus soll es

mit dem Verfahren ermöglicht werden, sowohl Eingrößen- als auch Mehrgrößensysteme zu

identifizieren.

1.2 Gliederung der Arbeit

Die Arbeit gliedert sich in vier weitere Hauptkapitel, deren Inhalt im Folgenden kurz erläutert

wird:

Kapitel 2 beschreibt den Entwurf mechatronischer Produkte. Ausgehend vom mechatronischen

Entwicklungskreislauf, werden die 3 Phasen des funktionsorientierten Entwurfs erläutert. Die

hierbei im Vordergrund stehende Bewegungsfunktion dient als Strukturierungsansatz für den

im 3. Unterkapitel diskutierten verteilt strukturierten Entwurf. Besonderes Augenmerk wird auf

die möglichen Entkopplungsarten der entstehenden Subsysteme gelegt.

Der verteilte strukturierte Entwurf fordert ein besonderes Identifizierungsverfahren, das auf

dem Markt nicht verfügbar ist. Die Entwicklung eines solchen Verfahrens wird in Kapitel 3 be-

schrieben.

Einleitung 5

Kapitel 4 zeigt den mechatronischen Entwurf einer SbW-Lenkung. Anhand der Erkenntnisse,

die bei der Analyse einer konventionellen hydraulischen Servolenkung erlangt werden, wird in

einem ersten Schritt der verteilt strukturierte Entwurf der SbW-Lenkung durchgeführt. Die da-

bei entstehende klare Gliederung des Systems bietet im weiteren die Möglichkeit zur Optimie-

rung.

Viele der in dieser Arbeit behandelten Fragestellungen haben sich bei der Bearbeitung von pra-

xisnahen Projekten ergeben. Das Kapitel 5 zeigt eine Zusammenstellung der im Rahmen dieser

Arbeit mitentwickelten Produkten. Es wird grob die Funktion der Systeme erläutert, welche

Problemstellung an ihnen zu bearbeiten ist und in welchen Kapiteln diese bearbeitet wird.

Kapitel 2

Entwurf mechatronischer Systeme

Die Komposition mechatronischer Produkte wird zunehmend schwerer, da deren Komplexität

enorm ansteigt. Dieser Trend wird bei der PKW-Entwicklung durch die steigenden Anforderun-

gen an Sicherheit und Komfort gesteigert. Um die Komplexität dennoch beherrschbar zu gestal-

ten, müssen neue Methodiken für die Entwicklung erarbeitet werden. Eine solche Methodik soll

in diesem Kapitel zur Diskussion gestellt werden:

Es wird aufgezeigt, wie nach heutigem Stand der Technik derartige Produkte anhand des me-

chatronischen Entwicklungskreislaufes entworfen werden. Im darauffolgenden Unterkapitel

2.2 wird diese Methodik um den funktionsorientierten Entwurf mechatronischer Systeme er-

weitert, bei dem die Bewegungsfunktion im Vordergrund steht. Am Beispiel der Entwicklung

von PKW-Regelsystemen und deren Aktorik wird gezeigt, dass die im ersten und zweiten Un-

terkapitel vorgestellten Methodiken nur bedingt auf solche komplexen Systeme anwendbar

sind. Darüber hinaus wird ein Ausweg aus diesem Dilemma aufgezeigt; es werden die komple-

xen Systeme bzgl. ihrer Funktionen in modular hierarchische Subsysteme eingeteilt (Top-

Down-Entwurf; Unterkapitel 3). In Kapitel 2.3.3 wird demonstriert, wie diese Subsysteme in

einem dezentralen Entwurf einzeln ausgelegt werden können (Bottom-Up-Entwurf). Im Beson-

deren wird auf die Kopplung der Subsysteme und deren Berücksichtigung beim Entwurf einge-

gangen. Einige der hier vorgestellten Gesichtspunkte werden bei der Entwicklung bereits rein

intuitiv berücksichtigt. Diese Arbeit soll darüber hinaus eine Systematik aufzeigen, die den Ent-

wicklungsprozess formal beschreibt. Die Anwendung des verteilt-strukturierten Entwurfs wird

anhand des Reglerentwurfs für eine SbW-Lenkung in Kapitel 4.2 gezeigt.

Einen weitereren wichtigen Aspekt stellt die Rechnerunterstützung beim Entwurf mechatroni-

scher Systeme dar. Bei dieser Thematik werden u. a. Fragen beantwortet wie: Welche Werkzeu-

ge gibt es, und wie leistungsfähig sind sie? Welche Aufgaben übernimmt der Rechner? Wie

werden mechatronische Systeme im Rechner abgebildet? Wie verlässlich sind die Ergebnisse?

Derartige Fragen werden in dieser Arbeit nur am Rande betrachtet, da es hierzu hinreichend Li-

teratur gibt (vgl. [Hahn], [Kett], [Analogy], [Matlab]).

Entwurf mechatronischer Systeme 7

2.1 Die Mechatronik

Das Kunstwort Mechatronik, gebildet aus den Wörtern Mechanik und Elektronik, etablierte

sich Ende der sechziger Jahre. Anfangs wurden mechatronische Produkte als solche bezeichnet,

wenn ihre mechanische Struktur durch Elektronik erweitert wurde [Heimann]. Heute spricht

man von einem mechatronischen System, wenn es aus folgenden Komponenten besteht:

• Mechanische Trag- oder Führungsstruktur

• Aktorik

•Sensorik

• Informationsverarbeitende Komponenten

Die möglichen Bewegungsmechanismen (Strukturfreiheitsgrade) werden maßgeblich durch die

mechanische Trag- oder Führungsstruktur und die Aktorik bestimmt. Die Aktorik wird an dieser

Stelle erwähnt, da sie häufig Bestandteil der Struktur ist und tragende bzw. führende Aufgaben

übernimmt. Sie erzeugt die notwendigen Kräfte und Momente zur Durchführung von Bewegun-

gen. Der jeweilige Bewegungszustand wird durch die Sensorik ermittelt.

Der Informationsverarbeitung kommt eine besondere Bedeutung im Rahmen des mechatroni-

schen Produktes zu. Sie stellt das Verbindungselement zwischen Sensorik und Aktorik dar. Die

über die Sensorik ermittelten Bewegungszustände werden innerhalb der informationsverarbei-

tenden Komponenten aufbereitet, mittels eines Regelgesetzes verarbeitet und schließlich als

Stellsignale an die Aktorik ausgegeben, um so ein kontrolliertes Bewegungsverhalten des Sy-

stems einzustellen. Damit kann der Begriff der Mechatronik folgendermaßen definiert werden:

Die Mechatronik ist die Wissenschaft zur Beschreibung von mechanischen Systemen und

Systemverbänden mit kontrollierten Bewegungsvorgängen. Die Kontrolle der Bewe-

gungsvorgänge und des Informationsaustausches zwischen den einzelnen Systemen über-

nimmt dabei ein digitaler Mikrorechner [Lückel 97].

Da die Kontrolle des Bewegungsverhaltens von der Informationsverarbeitung übernommen

wird, dessen Verhalten wiederum einfach anzupassen bzw. abzuändern ist, ergibt sich ein hohes

Maß an Flexibilität beim Einstellen des Bewegungsverhaltens. Hierdurch lassen sich neue

Funktionen realisieren, die nicht nur die Bewegung beeinflussen. Es werden auch Funktionen

umgesetzt, welche die Ausfallsicherheit durch Sensor-, Aktor- bzw. Strukturüberwachung be-

treffen oder auch eine Energiebedarfsreduktion durch situationsangepasste Regelstrategien er-

möglichen.

Steigende Flexibilität und steigender Funktionsumfang bedeuten ebenfalls einen gleichzeitigen

Anstieg der Komplexität. Hoch komplexe Systeme der Mechatronik lassen sich nicht mehr im

Trial-and-Error-Verfahren entwickeln. Aus diesem Grund wurde ihr Entwurf in den vergange-

8Kapitel 2

nen Jahren immer mehr in den Rechner verlagert und systematisiert. Der rechnergestützte Ent-

wurf wird durch die einzelnen Schritte des mechatronischen Entwicklungskreislaufes

[Wältermann] vorangetrieben. Sie werden im Folgenden skizziert:

1. Modellbildung, -identifizierung und -analyse

Zur Neuentwicklung oder zur Verbesserung eines Produktes wird dessen statisches und dy-

namisches Verhalten mittels Modellen abgebildet. Um sicherzustellen, dass die Modelle die

Realität genügend genau abbilden, erfolgt eine Identifizierung. Hierbei wird ein Abgleich

zwischen dem Modell und den Messungen durchgeführt. Mit Hilfe dieser identifizierten

Modelle kann dann eine rechnergestützte Analyse des Systemverhaltens erfolgen.

2. Modellgestützte Reglersynthese und Systemoptimierung

Unter Anwendung des nun bekannten Systemverhaltens kann eine Reglerstruktur extrahiert

werden. Dies erfolgt unter Berücksichtigung der vorhandenen Mess- und Stellgrößen und

erfordert ein hohes Maß an regelungstechnischer Erfahrung und Wissen. Dieser Reglersyn-

these wird zur Findung optimaler Reglerparameter eine Optimierung nachgeschaltet. Hier-

bei werden die Standardverfahren der linearen bzw. nichtlinearen Regelung ([Föllinger],

[Isidori], [Ludyk]) angewendet. Das anzuwendende Verfahren wird dabei maßgeblich

durch die vorher gewählte Reglerstruktur bestimmt.

3. Systemrealisierung und Systemtest

Erfüllt das im Rechner ausgelegte geregelte Gesamtsystem die Anforderungen, so kann der

Übergang zum realen System geschehen. Hierzu wird der Regler an einem Prüfstand am

realen System getestet. Oftmals wird hierzu eine Rapid-Prototyping-Hardware verwendet,

was den Bedienkomfort und die Durchlaufzeiten begünstigt.

Insbesondere stellen die ersten beiden Schritte des Entwicklungskreislaufs einen stark iterativen

Prozess dar, der Rückschritte in frühere Phasen notwendig macht. Wird z. B. bei der Identifizie-

rung festgestellt, dass die Modellierungstiefe nicht ausreichend ist, so muss die Modellbildung

der Strecke neu überdacht werden. Iterationen an dieser Stelle sind jedoch unproblematisch, da

der Entwurf bis zum 2. Schritt rechnergestützt durchgeführt wird. Somit können Iterationen

zeit- und kostengünstig durchgeführt werden. Beim Übergang zum realen System in der 3. Pha-

se sollten Iterationen, welche die Hardware betreffen, vermieden werden, da der Bau eines Pro-

totypen zeit- und kostenintensiv ist. Die Vermeidung von Iterationen an dieser Stelle wird durch

eine gewissenhafte Abarbeitung von Phase 1 und 2 begünstigt. Iterationen, welche die Regler-

struktur (Software) betreffen, sind in Phase 3, ähnlich wie Änderungen in Phase 1 und Phase 2,

zu bewerten.

Entwurf mechatronischer Systeme 9

2.2 Der funktionsorientierte Entwurf

Am Anfang des Entwicklungskreislaufes steht entweder ein zu verbesserndes1 Produkt oder

eine neue Produktidee, die umgesetzt werden soll. Speziell im ersten Fall droht die Gefahr, dass

die schon bestehende (oder aus anderen, ähnlichen Produkten bekannte) mechanische Struktur

übernommen und durch Ergänzung von Aktor-, Sensorgruppen und den zugehörigen informa-

tionstechnischen Komponenten zu einem mechatronischen Produkt erweitert wird. Diese Vor-

gehensweise suggeriert eine getrennte Auslegung und Analyse der mechanischen Tragstruktur,

der Aktoren/Sensoren und der Regelung. Das kann jedoch nur zu einer suboptimalen Lösung

des Gesamtsystems führen, da Optimierungsfreiheitsgrade der mechanischen Struktur und

Wechselwirkungen der Struktur mit den anderen Komponenten bei der Auslegung unberück-

sichtigt bleiben. Hinzu kommt, dass die mechanische Struktur sehr oft nicht für die neuen, zu

erfüllenden Funktionen ausgelegt wurde und somit bereits suboptimal ist. Die mechatronischen

Elemente dienen daher im schlimmsten Fall nur zum Ausgleich von Unzulänglichkeiten der

Strecke, was u. a. zu einem erhöhten Energiebedarf und infolgedessen zu schwereren, größeren

und teureren Aktoren führt.

Um dies zu vermeiden, wird der mechatronische Entwicklungskreislauf um den ganzheitlichen

funktionsorientierten Entwurf erweitert, der die folgenden beiden Merkmale beinhalten muss:

• Die zu erfüllende Funktion, insbesondere die Bewegungsfunktion, steht beim Entwurf im

Vordergrund. Hier hat sich ein Wandel vollzogen, weg vom gestaltorientierten und hin zum

funktionsorientierten Entwurf.

• Der Entwurf muss ganzheitlich vollzogen werden, d. h. alle am System beteiligten Kompo-

nenten werden von Anfang an beim Entwurf berücksichtigt. Dies unterstreicht noch einmal,

dass die Mechatronik ein interdisziplinäres Forschungsgebiet ist, das auf verschiedenen Be-

reichen Maschinenbau, Informatik, Elektrotechnik und Hydraulik gleichermaßen aufbaut.

Dass diese beiden Merkmale für den Entwurf erforderlich sind, zeigt auch die schon erwähnte

Entwicklung der zunehmenden Systemintegration. So werden z. B. Aktoren zum festen Be-

standteil der Tragstruktur, um Gewichts-, Packaging- und Kostenvorteile zu erzielen. Darüber

hinaus werden Sensoren und Informationsverarbeitung direkt in die Aktoren integriert. Es ent-

stehen sogenannte autark funktionierende, "smarte" Aktoren. Dabei sind diese Aktoren im Rah-

men der jeweiligen zu erfüllenden Funktionen im Gesamtsystem optimiert. Dies ist in Kapitel

2.3.3 am Beispiel einer Flügelzellenpumpe dargestellt. Dort soll nicht nur ein Druck als Füh-

rungsgröße eingeregelt werden, vielmehr wird der Aktor hydraulisch und mechanisch so abge-

stimmt, dass er Störgrößen hoher Bandbreite ausregeln kann.

1. Die Verbesserung bezieht sich hier auf die Funktion, speziell die Bewegungsfunktion, nicht z. B. auf die Gestalt oder das Ausse-

hen.

10 Kapitel 2

Abbildung 2.1 soll diesen funktionsorientierten Entwurf verdeutlichen. Er kann in 3 Phasen un-

terteilt werden, die in den folgenden Unterkapiteln noch genauer beschrieben werden. Aus-

gangspunkt sind die zu erfüllenden Bewegungsfunktionen. Auf dieser Basis werden in Phase 1

unterschiedliche reduzierte Lösungselemente (Wirkprinzipien) erdacht, die als topologisch-

physikalische Modelle bezeichnet und durch methodisches oder intuitives Vorgehen erarbeitet

werden, jedoch rein auf Erfahrungen des Entwicklungsingenieurs beruhen.

Beim Fortschreiten der Entwicklung über die einzelnen Phasen hinweg werden die reduzierten

Lösungselemente weiter verfeinert und entsprechend analysiert, so dass das Systemwissen wei-

ter wächst. In Phase 2 wird, über das Erfahrungswissen des Ingenieurs hinaus, durch die rech-

nergestützte Systemanalyse neues Systemwissen hinzugewonnen.

Des Weiteren werden bei der Detaillierung in Phase 2 weitere Systemanforderungen berück-

sichtigt, um schon beim Abschluss der Phase 2 ein im Rechner getestetes optimales Produkt zu

erzielen, das unter allen Betriebsbedingungen den gestellten Anforderungen gerecht wird. Für

die dritte, zeit- und kostenintensive Phase sollte nur noch eine Lösungsvariante bleiben, die für

Prüfstandstests am realen System ausgearbeitet wird. Für die rechnergestützte Analyse können

drei Modelltypen verwendet werden, die in Kapitel 2.2.2 näher erläutert werden:

Abbildung 2.1: Der funktionsorientierte Entwurf

Entwurf mechatronischer Systeme 11

Innerhalb der einzelnen Phasen laufen, oberflächlich betrachtet, immer die gleichen Arbeits-

schritte (angelehnt an den mechatronischen Entwicklungskreislauf) ab. Jeweils anhand der in

den Phasen vorherrschenden Modelle wird eine Analyse durchgeführt, um anhand dieser zu ent-

scheiden, ob die betrachtete Lösungsvariante realisierbar ist oder ob gegebenenfalls nachgebes-

sert werden muss. Es unterscheiden sich lediglich Methoden und Modelle. In Phase 1 werden

anhand des topologisch-physikalischen Modells größtenteils aus der Erfahrung des Ingenieurs

eine Systemanalyse und -optimierung durchgeführt. Daran schließt sich eine im Wesentlichen

durch Intuition getriebene Systemauswahl an. Bei Phase 2 sind Systemanalyse, -optimierung

und -auswahl durch die Auswertung von Simulation, Eigenwertberechnung etc. komplett rech-

nergestützt anhand von quantitativen Größen möglich. Phase 3 erlaubt die Analyse und die Aus-

wahl durch Messungen im Zeit-, Frequenz- und Modalbereich. Optimierungsschleifen sollten

in Phase 3 möglichst vermieden werden (s. o.).

Die Ganzheitlichkeit des Entwurfs drückt sich darin aus, dass von Anfang an sowohl Tragstruk-

tur, Aktorik, Sensorik als auch Informationsverarbeitung berücksichtigt und sukzessive opti-

miert werden.

Schon das topologisch-physikalische Modell kann mit Hilfe eines Rechners erstellt werden, aus

dem wiederum die mathematischen Modelle der zweiten Phase bedingt automatisiert abgeleitet

werden können ([Hahn]).

Zu welchem Zeitpunkt der Übergang in die nächste Phase vollzogen werden kann, hängt vom

Erfahrungswissen des Ingenieurs ab. Dem erfahrenen Ingenieur ist es möglich, schon in Phase 1

Erkenntnisse zu berücksichtigen, die der unerfahrene Ingenieur erst in Phase 2 bzw. Phase 3 er-

langt. Somit verkürzt sich der Entwurf enorm. Das frühe Verwerfen von Lösungsvarianten birgt

jedoch auch Risiken; so können Lösungsansätze, die vor fünf Jahren noch undenkbar gewesen

wären, heute etwa aufgrund neuer Aktoren durchsetzbar sein.

2.2.1 Phase 1: Konzeptionierung

Die wichtigste Ergänzung des mechatronischen Entwicklungskreislaufes ist Phase 1 beim funk-

tionsorientierten Entwurf. Sie gliedert sich noch vor der Modellbildung in den Entwicklungs-

kreislauf ein und stellt eine Mischung aus intuitivem und methodischem Vorgehen dar.

Angelehnt an die Produktplanungs- und Konzeptionierungsphase (siehe [Pahl]) des konstrukti-

ven Entwurfs werden, ausgehend von den Bewegungsfunktionen, prinzipielle Wirkprinzipien

erstellt, die diesen gerecht werden. Diese Wirkprinzipien werden durch sehr stark reduzierte Lö-

sungselemente, welche die Funktion simplifiziert und abstrahiert wiedergeben, präsentiert. Ge-

funden werden diese Lösungselemente durch Methodiken wie Brainstorming, die

Wasserfallmethode etc. Die Lösungselemente werden auch als topologisch-physikalische Mo-

12 Kapitel 2

delle bezeichnet, welche die Anordnung und die Verknüpfungen von Bauelementen der unter-

schiedlichen Fachdisziplinen beschreiben. Die Phase 1 ist summarisch in Abbildung 2.2

dargestellt:

Schon in Phase 1 werden eine Bewertung und eine Vorauswahl der einzelnen Lösungsvarianten

durchgeführt. Dies ist auch erforderlich, da der Arbeitsaufwand zu hoch wäre, um alle Lösun-

gen einer modellgestützten Analyse in Phase 2 und einer Realisierung in Phase 3 zu unterziehen.

Hierzu wird ein Anforderungskatalog erstellt, der alle Forderungen und Wünsche enthält, die

das spätere Produkt erfüllen soll. Schon bei diesem Katalog muss sich die Ganzheitlichkeit des

funktionsorientierten Entwurfes ausdrücken. Neben den beim konstruktiven Entwurf gestellten

Forderungen sollen hier insbesondere auch mechatronische Gesichtspunkte berücksichtigt wer-

den, so z. B.: Wie viele und welche Sensoren und Aktoren werden für die einzelnen Lösungs-

varianten benötigt? Wo sind sie günstig zu plazieren? Welches Informationssystem mit

welchem Bus und welchen Taktraten ist günstig? Welche Dynamik ist hiermit zu erzielen? Nur

Abbildung 2.2: Phase 1 des funktionsorientierten Entwurfs

Entwurf mechatronischer Systeme 13

wenn diese Anforderungen so frühzeitig wie möglich beim Entwurf berücksichtigt werden und

nicht erst zu einem späteren Zeitpunkt als Add-On-Lösung zur Minimierung zuvor begangener

Fehler, kann ein optimales Produkt entstehen.

Nicht alle Forderungen sind gleichermaßen zu erfüllen; sie können vielmehr in einem Konflikt

zueinander stehen. So ist z. B. die Forderung nach sehr hoher Dynamik nur bedingt mit einem

geringen Energiebedarf in Einklang zu bringen. Aus diesem Grund müssen die Anforderungen

entsprechend ihrer Bedeutung für ein optimales Produkt, gewichtet werden. Hierzu können die

Anforderungen hierarchisch in Haupt- und Subanforderungen innerhalb einer Matrix aufgebaut

und gewichtet werden [Jorden], [Pahl].

Anhand der Bewertungsmatrix werden die einzelnen Lösungsvarianten beurteilt. Die Bewer-

tung beruht dabei maßgeblich auf den Erfahrungen des Ingenieurs und findet intuitiv statt. So

können schon in dieser Phase einige Lösungsvarianten ausgeschlossen werden, wobei deren

Ausschluss immer kritisch geprüft werden sollte.

2.2.2 Phase 2: Rechnergestützte Bewertung

In Phase 1 kann in der Regel nicht abschließend geklärt werden, ob und wie gut die einzelnen

Lösungsvarianten den Anforderungen entsprechen. Ihre Systemeigenschaften sind nicht umfas-

send bekannt und durch das Erfahrungswissen des Ingenieurs nicht ausreichend vorhersagbar.

Deshalb werden die aus Phase 1 verbleibenden Lösungsvarianten in Phase 2 einer modellge-

stützten Analyse im Rechner unterzogen. Anhand der topologisch-physikalischen Modelle wer-

den mathematische Modelle erstellt. Mit Hilfe dieser Modelle und unter Anwendung der

bekannten Analysetechniken (Simulation, Eigenwertanalyse, Frequenzgangsanalyse etc.) kön-

nen qualitative Aussagen über das System getroffen werden. Diese Aussagen werden herange-

zogen, um die Bewertungsmatrix detaillierter ausfüllen und bewerten zu können (siehe

Abbildung 2.3).

Anders als in Phase 1, in der versucht wird, mittels Erfahrungswissen, alle Anforderungen auf

das eine topologisch-physikalische Modell anzuwenden, werden in Phase 2 verschiedene An-

forderungen je nach verwendetem Modell geprüft. Es werden hier drei Modelltypen unterschie-

den, die im Folgenden aufgezeigt werden:

• Kinematische Modelle zur Beschreibung einfacher nichtdynamischer Zusammenhänge sind

gekennzeichnet durch funktionale Beziehungen, Kennlinien und Kennfelder. Sie dienen der

Beschreibung des "quasistatischen" Bewegungsmechanismus bzw. der Bewegungsmöglich-

keit, um z. B. eine Vorauswahl für geeignete Positionen für Sensoren zu bestimmen oder eine

Kollisionsprüfung durchzuführen.

• Dynamische Modelle beruhen auf Differentialgleichungssystemen zur Beschreibung des dy-

14 Kapitel 2

namischen Bewegungsverhaltens (die Aktorik wird als passive Systemkomponente mitbe-

rücksichtigt, da sie sehr oft Teil der Struktur ist). Mit Hilfe dieser Modelle wird das

unkontrollierte, nicht geregelte Systemverhalten untersucht, um die zur Erfüllung der Bewe-

gungsfunktion nötigen Kräfte und Momente zu bestimmen.

• Mechatronische Modelle beinhalten im Gegensatz zu den dynamischen Modellen Elemente

der Mechatronik (Sensorik, Informationsverarbeitung und aktive Aktorik). Anhand dieser

Modelle werden sowohl die Reglersynthese durchgeführt als auch das geregelte Gesamtsy-

stem mit all seinen Einflüssen untersucht. Darüber hinaus wird das mechatronische Modell

letztendlich auch zur ganzheitlichen Optimierung, sowohl der Regelung als auch der mecha-

nischen Tragstruktur, herangezogen.

Es wird explizit darauf hingewiesen, dass die Modelltypen sich nicht durch die Modellierungs-

tiefen, sondern durch ihr Anwendungsgebiet unterscheiden. Vielmehr können alle 3 Modellty-

pen je nach Verwendungszweck in unterschiedlichen Modellierungstiefen (z. B. linear oder

nichtlinear) und Modellpräsentationen (z. B. numerisch oder symbolisch) vorliegen. So ist es

zur Reglersynthese sinnvoll, die Modellierungstiefe gering zu halten. Für den anschließenden

Test des geregelten Systems kann dann wiederum ein komplexeres Modell mit all seinen Nicht-

linearitäten verwendet werden.

Abbildung 2.3: Phase 2 des funktionsorientierten Entwurfs

Entwurf mechatronischer Systeme 15

Die Ergebnisse der Analyse und der Reglersynthese sind nur dann aussagekräftig, wenn die Mo-

delle eine ausreichende Güte aufweisen. Diese wird durch den Vorgang der Identifizierung er-

reicht und in Kapitel 3 ausführlich diskutiert

2.2.3 Phase 3: Prüfstandsrealisierung

Während die rechnergestützte Analyse und Synthese noch relativ zeit- und kostengünstig sind,

entstehen für den Bau eines Prototypen und dessen Ausrüstung mit Sensorik, Prüfstandsperi-

pherie und Informationshardware erhebliche Kosten. Infolgedessen sollte am Ende der 2. Phase

die Entscheidung zur Realisierung maximal einer Lösungsvariante anhand der Bewertungsma-

trix gefallen sein.

Um die Kosten für diese Entwurfsphase dennoch gering zu halten, hat sich ein schrittweiser

Übergang vom rechnergestützten Entwurf hin zum realen Prototypentest als gangbar erwiesen.

Bei diesen Hardware-in-the-Loop-Tests (HIL-Tests) werden nur Teile des Systems realisiert. In

der Regel werden diejenigen Teile des Gesamtsystems ausgewählt, deren Eigenschaften am we-

nigsten durch den rechnergestützten Entwurf vorhersagbar sind. Die anderen Komponenten

Abbildung 2.4: Phase 3 des funktionsorientierten Entwurfs

16 Kapitel 2

werden unter Verwendung einer Rapid-Prototyping-Hardware und entsprechender I/O-Hard-

ware unter harten Echtzeitbedingungen (siehe [Honekamp 98]) in einer geschlossenen Schleife

simuliert. Einen umfassenden Einblick in die HIL-Technik liefert [Wältermann].

Mit Hilfe des Prüfstandes können neben den Funktionstests der Komponenten und der HIL-

Tests des Gesamtsystems Modelle weiter verfeinert, identifiziert und validiert werden. Diese

Modelle können dann für weiterführende Tests herangezogen werden, die entweder aufgrund

fehlender Sensorik am Prüfstand nicht durchführbar oder aufgrund von Belastungsgrenzen

nicht ratsam sind.

Bei der Analyse des Systems kommen wieder die gleichen Techniken wie in Phase 2 zum Tra-

gen. Hier stehen die Zeitbereichs-, die Frequenzbereichsanalyse als auch die Analyse im Mo-

dalberich im Vordergrund. Im Unterschied zur Phase 2 werden die Analysen jedoch unter

Verwendung von Messdaten durchgeführt.

2.3 Verteilter strukturierter Entwurf komplexer mecha-

tronischer Systeme

Der in Kapitel 2.2 beschriebene funktionsorientierte Entwurf bezieht sich immer auf das Ge-

samtsystem. Eine Vielzahl der dort verwendeten Analyse-, Synthese- und Identifizierungstech-

niken sind aber nur für Systeme geringer bis mittlerer Größe verwendbar. So ist z. B. der

symbolische Reglerentwurf mit Hilfe der Polvorgabe nur für Systeme bis maximal 10. Ordnung

anwendbar. Das Problem hierbei sind u. a. die Lösbarkeit der entstehenden Gleichungen, die ge-

eignete Wahl der Pollagen und die physikalische Interpretierbarkeit des Problems und auch der

Lösung.

In diesem Kapitel wird der verteilte strukturierte Entwurf, der einen Ausweg aus diesem Kon-

flikt anbietet, in zwei Phasen gegliedert. In der ersten Phase wird das Gesamtsystem in einem

Top-Down-Entwurf strukturiert, wodurch die Komplexität verringert werden kann und ein gu-

ter Einblick in die Physik des Systems möglich wird (vgl. Kapitel 2.3.2). Die so entstandenen

Subsysteme werden in der zweiten Phase nach den bewährten Methoden des funktionsorientier-

ten Entwurfs in einem Bottom-Up-Verfahren ausgelegt (vgl. Kapitel 2.3.3). Dabei sind die Er-

gebnisse aus dem Top-Down-Entwurf, was die Struktur, das physikalische Verständnis und die

Kopplungen innerhalb des Systems betrifft, nahezu unentbehrlich (vgl. [Nyenhuis 02]).

Vorerst soll das Problem der Komplexität am Beispiel der Entwicklung von PKW-Regelsyste-

men und deren Aktorik verdeutlicht werden, um so auch Anforderungen an den Entwurf abzu-

leiten.

Entwurf mechatronischer Systeme 17

2.3.1 Das Problem der Komplexität beim Entwurf von Fahrzeug-

regelsystemen und deren Aktorik

Die zunehmende Anzahl von Aktorik, Sensorik und Steuergeräten ermöglicht eine Vielzahl

neuer Funktionen, resultiert aber auch in einer sehr viel höheren Komplexität. Diese Funktionen

sind nicht unabhängig voneinander und müssen somit in einem ganzheitlichen Entwurf berück-

sichtigt werden.

Die Komplexitätssteigerung des Systems Fahrzeug wird aus mechatronischer Sicht im Folgen-

den erläutert. Sie kann zweigeteilt betrachtet werden: zum Einen findet eine Steigerung der

Komplexität auf Ebene der Aggregate statt (siehe Abbildung 2.5). Zum Anderen wird sie durch

die Verknüpfung der Aggregate hin zur Gesamtfahrzeugregelung, unter Ausnutzung von Re-

dundanzen und der steigenden Anforderung an Fahrkomfort und Fahrsicherheit, vorangetrie-

ben.

Steigende Systemkomplexität auf der Ebene der Fahrzeugaggregate

In Abbildung 2.5 ist dargestellt, wie sich in den vergangenen Jahren Lenksysteme bei der Firma

TRW entwickelt haben [Heitzer]. Um den Fahrer bei der Fahrzeugführung zu unterstützen, wur-

den im Laufe der Zeit, in Ergänzung zur reinen Übertragungsmechanik, verschiedene Möglich-

keiten zur Lenkkraftunterstützung entwickelt und eingesetzt. Nach rein manuellen Lenkungen

ohne jegliche Sensorik bzw. Aktorik sind hier nunmehr elektrohydraulische bzw. elektromecha-

nische Servolenkungen im Einsatz und stellen den Stand der Technik dar. Diese Lenkungen ver-

fügen über einen Aktor und verwenden je nach Art der Regelung und nach den zu erfüllenden

Funktionen 2 bis mehr als 4 Sensoren. Die Funktionen, die mit solchen Systemen erfüllbar sind,

gehen schon weit über das Stellen eines Lenkwinkels hinaus. So kann bei dem elektrohydrauli-

schen System (EPHS) eine fahrzeuggeschwindigkeitsabhängige Unterstützungskennlinie reali-

siert werden. Bei dem elektromechanischen System (EPS) ist es darüber hinaus möglich, eine

fahrzeugstabilisierende Lenkradmomentenregelung zu integrieren.

Zur Zeit befinden sich Steer-by-Wire-Systeme mit 3 bis 4 Aktoren und 7 bis 10 Sensoren (je

nach Sicherheitsstrategie) in der Entwicklung. Bei diesen Systemen wird der Funktionsumfang

noch einmal erweitert.

Bei anderen Aggregaten wie Motoren, Bremssystemen, Federungssystemen etc. ist die Kom-

plexitätssteigerung ähnlich stark.

18 Kapitel 2

Steigende Systemkomplexität auf Ebene der Fahrzeuggesamtregelung

Zur Beeinflussung der sechs Aufbaufreiheitsgrade (Hub-, Nick-, Wank-, Gier-, Längs- und

Querbewegung) wurden im Laufe der PKW-Entwicklung eine Vielzahl von Aktoren und Sen-

soren ins Fahrzeug integriert. Bereits bestehende Aktoren werden immer weiter optimiert und

bzgl. ihrer Funktionen erweitert, wie z. B. der Antrieb, die Lenkung oder die Bremsen. Andere

neue Aktoren, wie z. B. die aktive Kinematikverstellung, kommen in den nächsten Jahren hinzu.

Zur Ausnutzung des gesamten Potentials werden die Systeme zunehmend im Sinne der Rege-

lungstechnik miteinander verknüpft. Dies und die Komplexitätssteigerung der Subsysteme (sie-

he Abbildung 2.6) stellen eine Fülle neuer Anforderungen an den Entwurf von

Fahrzeugregelsystemen.

Abbildung 2.5: Komplexitätssteigerung der Aktorik am Beispiel von Lenksystemen

Entwurf mechatronischer Systeme 19

Aus der Sicht eines Regelungstechnikers ist die Regelung eines Körpers bzgl. seiner sechs Frei-

heitsgrade bei geeigneter Aktorik kein unlösbares Problem. Die Randbedingungen im Kraft-

fahrzeug erschweren diese Aufgabe jedoch erheblich. Zum Einen besteht ein Zielkonflikt

zwischen Fahrsicherheit und Fahrkomfort, d. h. das Fahrzeug muss nicht nur auf Kurs gehalten

werden, sondern dies sollte zugleich mit möglichst hohem Komfort geschehen. Zum Anderen

herrscht ein eingeschränkter Kraftschluss zwischen den Rädern und der Fahrbahn. Dieser Kraft-

schluss hängt zudem von einer Vielzahl weiterer Randbedingungen ab, die sich stark ändern

können. Darüber hinaus gibt es redundante Aktoren, die auf gleiche Freiheitsgrade des Aufbaus

direkt oder indirekt wirken. So kann der Gierwinkel direkt über die Lenkung, den Antrieb und

die Bremsen beeinflusst werden, indirekt über die aktive Federung oder über eine aktive Kine-

matikverstellung durch Erhöhung oder Verringerung der Seitenführungskraft.

In den letzten Jahren entstanden Systeme, die gezielt einen Freiheitsgrad beeinflussen und hier-

zu auch nur einen Aktor verwendeten; so wurde ESP zunächst zur Regelung des Gierwinkels

nur durch den Einsatz der Bremsen verwirklicht [Zanten]. Dabei steht die Fahrsicherheit bei

diesem System gegenüber dem Fahrkomfort klar im Vordergrund. Das Potential, das die Ver-

knüpfung verschiedener Aktoren zur Regelung des Gesamtsystems bietet, ist mittlerweile er-

kannt worden. So kann die Gierwinkelregelung durch die kombinierte Anwendung des

Abbildung 2.6: Komplexitätssteigerung der Fahrzeuggesamtregelung

BremsenBremsen KinematikKinematik FederungFederung LenkungLenkungAntriebAntrieb

ESPABSACCAF

FahrsicherheitFahrkomfort

ESP

BSACCAFSAF

FahrsicherheitFahrkomfort

Quer

Huben Nicken Wanken Gieren Längs Quer

Huben Nicken Wanken Gieren Längs

F = ktive eder (Active Suspension)

FS = Aktive Lenkung ( ctive ront teering)

CC = Abstandsregeltempomat

(

daptive ruise ontrol

)

AF AFS

ACC

BS = nti lockier ystem

( )

ESP =

Ab s

ABS

ESp

ESP

ntilock raking ystem

lektronisches tabilitäts rogram

(

lectronic tabilit

ram

)

20 Kapitel 2

Antriebs, der Bremsen, der aktiven Lenkung etc. realisiert werden. Hierdurch lässt sich nicht

nur der Kraftschluss zwischen Fahrbahn und Reifen besser ausnutzen, sondern auch der Fahr-

komfort weitreichender berücksichtigen.

Die Integration mehrerer Aktoren zur Erfüllung verschiedener Zielgrößen steigert die Komple-

xität jedoch immens. Es kommt erschwerend hinzu, dass die einzelnen Aktoren und deren

Funktionen von unterschiedlichen Entwicklern konzipiert werden und somit ihre Funktion und

Arbeitsweise nicht immer transparent sind. Die Integration ins Gesamtsystem, allein basierend

auf dem Wissen über die Schnittstellen des Systems und unter Ausnutzung des vollständigen

Potenzials, fällt schwer und ist nicht selten unmöglich.

Sowohl auf Ebene der Aggregate als auch auf Ebene des Fahrzeugs liegen hochkomplexe Sy-

steme vor, deren ungeregeltes und geregeltes Verhalten extrem nichtlinear sein können. Darüber

hinaus handelt es sich hierbei um Mehrgrößensysteme mit mehreren Ein- und Ausgängen, deren

Regelung einer Vielzahl von Zielgrößen gerecht werden muss. Unter diesen gleichen Voraus-

setzungen für die Ebene der Aggregate wie auch für die des Gesamtfahrzeugs kann die im Fol-

genden vorgestellte Methodik sowohl auf den Entwurf der Aktorik als auch auf die

Gesamtfahrzeugregelung angewendet werden.

2.3.2 Strukturierung mechatronischer Systeme (Top-Down-Ent-

wurf)

Die Forderung nach Transparenz und Beherrschbarkeit der Komplexität bei der Entwicklung

mechatronischer Systeme legt deren Strukturierung in einzelne Module nahe. Ähnlich wie es

bei der Erstellung von großen Hard- und Softwaresystemen der Informatik bereits der Fall ist,

werden für die Strukturierung mechatronischer Produkte folgende Konzepte eingesetzt:

• Modularisierung - funktionale Kapselung von Teilmodulen auf horizontaler Ebene und

• Hierarchisierung - vertikale Aufteilung bzw. Zusammenfassung von niederwertigen bzw.

höherwertigen Modulen.

Die Anwendung dieser Konzepte auf mechatronische Systeme ist naheliegend, da diese an sich

schon stark dezentralisiert sind. So zeigt Abbildung 2.6 am Beispiel eines Fahrzeugs einerseits

Modul- (Antriebs-, Brems-, Lenkmodule, ...), aber auch Hierarchiecharakter (ESP greift auf un-

terlagerte Brems- und Lenkmodule zu). Darüber hinaus weisen Reglerfunktionalitäten, wie

z. B. die Kaskadenregelungen eines Motors mit unterlagerter Strom- und überlagerter Dreh-

zahlregelung, eine Hierarchie auf.

Entwurf mechatronischer Systeme 21

Bereits in [Lückel 92] und dann in weiteren Forschungsarbeiten ([Honekamp 97], [Naumann])

wurde eine dreistufige Hierarchie entwickelt. Die Basiselemente bilden hierbei die Mechatro-

nischen Funktionsmodule (MFM). Mehrere MFM, physikalisch und/oder informationstech-

nisch miteinander verknüpft, ergeben ein Autonomes Mechatronisches System (AMS).

Wiederum mehrere AMS, informationstechnisch miteinander gekoppelt, ergeben ein Vernetztes

Mechatronisches System (VMS). Bedingt durch den stetig steigenden Anteil der Informations-

verarbeitung, ist ein neues Strukturierungselement hinzu gekommen: die Mechatronische Funk-

tionsgruppe (MFG). Die MFG bildet kein zusätzliches hierarchisches Element, vielmehr bietet

es die Möglichkeit, mehrere MFM oder andere MFG informationstechnisch zu koppeln. Es

stellt keine weitere Hierarchiestufe dar, da ein MFG auch Bestandteil eines MFM sein kann

(vgl. Abbildung 2.7).

Mechatronische Funktionsmodule (MFM)

Komponenten: MFM sind die Basiselemente eines komplexen mechatronischen Systems und

bestehen aus einer mechanischen Tragstruktur, Aktorik, Sensorik und Informationsverarbei-

tung. Sie können im Sinne der Hierarchie wieder aus unterlagerten MFM und/oder MFG beste-

hen.

Eigenschaften: MFM sind die vitalen Elemente eines mechatronischen Systems. Sie stellen die

Momente und Kräfte zur Verfügung, um die Bewegungen einzuleiten. Die Echtzeitanforderun-

gen an die Informationsverarbeitung sind relativ hoch, da die MFM häufig mit schnellen unter-

lagerten Regelkreisen ausgestattet sind.

Beispiele: Das in Kapitel 5.4 dargestellte Motor-Pumpenaggregat stellt ein hoch integriertes

MFM dar. Neben der Sensorik (Strom-, Temperatur-, Winkel- bzw. Drehzahlmessung) ist eine

Electronic-Computer-Unit (ECU) integriert, die u. a. einen kaskadierten Drehzahlregler und ei-

nige Überwachungsfunktionen beinhaltet. Weitere Beispiele sind der Aktor eines aktiven Feder-

beins, die verstellbaren Dämpfer eines PKWs und die in dieser Arbeit vorgestellte SbW-

Lenkung. Auch die geregelten Gelenke eines Roboters oder die geregelten Antriebe eines Kas-

senautomaten stellen ein MFM dar.

Mechatronische Funktionsgruppen (MFG)

Komponenten: Eine MFG koordiniert mehrere unterlagerte MFM und/oder MFG durch Si-

gnal- (z. B. kontinuierliche Sensorsignale) und Informationsleitungen (z. B. diskrete Zustands-

informationen zum Umschalten von Reglern) über die dazugehörige Informationsverarbeitung.

MFG können zusätzliche Sensorik beinhalten oder alternativ ihre Signale aus den unterlagerten

MFM bzw. überlagerten AMS beziehen.

Eigenschaften: Eine MFG stellt durch softwaretechnische Verknüpfungen unterlagerter Struk-

turen neue Funktionalitäten zur Verfügung. Daher macht die Einführung einer MFG nur Sinn,

wenn ihre Funktionalität durch eine überlagerte Hierarchieebene genutzt wird. Je nachdem in

22 Kapitel 2

welcher Hierarchieebene sich die MFG befindet, ergeben sich die Anforderungen an die Echt-

zeitbedingungen. Da die MFG in der Regel direkt auf MFM zugreifen, sind die Echtzeitbedin-

gungen ähnlich denen der MFM.

Beispiele: Das elektronische Fahrzeugstabilisierungsprogramm ESP greift auf unterlagerte

MFM (Bremsen; neuere Versionen auch auf das Motormanagement) zu, erhält u. a. Informatio-

nen aus dem Gierratensensor des PKWs (AMS) und erzeugt hieraus eine fahrzeugstabilisieren-

de Funktionalität, die wiederum im AMS Fahrzeug verwendet wird. Weitere Beispiele sind der

Bremsassistent oder die oberste Ebene einer aktiven Federung.

Autonome Mechatronische Systeme (AMS)

Komponenten: AMS entstehen durch die Verknüpfung mehrerer MFM oder MFG. Darüber

hinaus beinhalten sie die oberste mechanische Trag- und Führungsstruktur, Sensorik und eine

Informationsverarbeitung. Damit die AMS autark agieren können, sind sie darüber hinaus mit

einer Energieversorgung ausgestattet.

Eigenschaften: Innerhalb des AMS können die einzelnen MFM über die Tragstruktur mitein-

ander verknüpft sein. Des Weiteren können die MFM wie die MFG über informations- und si-

gnaltechnische Kopplungen innerhalb eines AMS verbunden sein. Auch bei der

Informationsverarbeitung innerhalb des AMS werden harte Echtzeitanforderungen gestellt, al-

lerdings mit geringeren Taktraten als bei den MFM oder MFG, bedingt durch die in den höheren

Hierarchieebenen anwachsenden Zeitkonstanten.

Beispiele: Einzelne Werkzeugmaschinen, Fahrzeuge (Bahn, PKWs, LKWs), Roboter, Kassen-

automaten sind Beispiele für Autonome Mechatronische Systeme.

Vernetzte Mechatronische Systeme (VMS)

Komponenten: VMS entstehen dann, wenn mehrere AMS über Signal- oder Informationslei-

tungen miteinander gekoppelt werden. Zusätzlich verfügt ein VMS noch über Elemente der In-

formationsverarbeitung und der Sensorik.

Eigenschaften: Innerhalb eines VMS treten keine physikalischen oder versorgungstechnischen

(Energieleitungen) Kopplungen auf. Auf der Basis von Informationen aus den beteiligten AMS

werden diese durch das VMS koordiniert. Dabei arbeitet dessen Informationsverarbeitung im

Wesentlichen ereignisgesteuert und unterliegt in der Regel weichen Echtzeitbedingungen.

Beispiele: Ein durch ein intelligentes Verkehrsnetz geführter Fahrzeugverbund stellt genauso

wie eine im Verbund arbeitende Roboterkolonne ein VMS dar. Die Position der einzelnen Fahr-

zeuge kann global detektiert (durch z. B. Sensoren in den Leitplanken), oder von den einzelnen

Fahrzeugen an das VMS gemeldet werden. Im ersten Fall wird die Sensorik dem VMS zuge-

sprochen, im zweiten der AMS.

Entwurf mechatronischer Systeme 23

Jedes der hier dargestellten Strukturierungselemente weist eine Informationsverarbeitung auf,

wobei diese (in [Naumann] als Operator-Controller-Modul OCM bezeichnet) in einen soge-

nannten Operator und in einen Controller unterteilt werden kann. Dabei übernimmt der Control-

ler die quasikontinuierlichen Regelvorgänge zur kontrollierten Bewegung der Tragstruktur

unter harten Echtzeitbedingungen. Der Operator bearbeitet hingegen zeitdiskrete, ereignisge-

steuerte Systemvorgänge. Beispiele hierfür sind Online-Systemoptimierungen, Regleradaptio-

nen, Überwachungsfunktionen (Systemanalyse, Notfallerkennung). Zusätzlich übernimmt der

Operator die Kommunikation mit dem Controller und mit den Operatoren der überlagerten bzw.

unterlagerten Hierarchieebenen.

Beginnend mit den MFM, deren Informationsverarbeitung in der Regel zum größten Teil durch

quasikontinuierliche Prozesse geprägt ist, nimmt der kontinuierliche Anteil (also der Control-

leranteil) zu höheren Hierarchieebenen hin immer mehr ab. Der Operatoranteil gewinnt dabei

zunehmend an Bedeutung, da in höheren Hierarchieebenen die Koordination aufgrund von zeit-

diskreten Ereignissen überwiegt.

Abbildung 2.7 stellt den ersten Schritt des verteilt-strukturierten Entwurfes - den Top-Down-

Entwurf sowie die Zuordnung der Strukturelemente - am Beispiel PKW (speziell Strukturierung

der Teilbewegungsfunktion Gieren) dar [Nyenhuis 02].

Den Ausgangspunkt des Top-Down-Entwurfes bildet das Gesamtsystem bzw. dessen (Bewe-

gungs-)Funktion, die auch als Hauptbewegungsfunktion bezeichnet werden kann [Lückel1 02].

Diese wird zunächst in einem Top-Down-Entwurf in Teilfunktionen unterteilt, wodurch eine

hierarchische Struktur entsteht. Durch Zuordnung von Lösungselementen (Aggregate, Bau-

gruppen, aber auch reduzierte Lösungselemente beim Entwurf neuer Produkte) zu den Teilfunk-

tionen wird die funktionsorientierte Darstellung in eine bauteilorientierte überführt. Es entsteht

eine modular/hierarchische Anordnung von überschaubaren, jedoch verkoppelten Subsyste-

men, die unter gewissen Voraussetzungen (siehe Kapitel 2.3.3.2), gekapselt nach den bewährten

Methoden des funktionsorientierten Entwurfs, bearbeitet werden können.

Ebenfalls können die Art der Verkopplung (mechanisch oder informationstechnisch) und die

Verkopplungen der Subsysteme selbst anhand der Struktur verdeutlicht werden. Dies führt ne-

ben einer Reduzierung der Komplexität zu einem guten Einblick in die Physik und die Schnitt-

stellen des Systems. Wird der Top-Down-Entwurf durch eine rechnergestützte Modellbildung

und -analyse begleitet (dies ist nur möglich, wenn schon Lösungselemente für die Teilbewe-

gungsfunktionen vorhanden sind), so sind die Einblicke in das System um so tiefgreifender. Die

Modellbildung sollte im Top-Down-Entwurf auf einer geringen Modellierungsstufe stattfinden,

so dass die Komplexität nicht zu hoch wird. Eine Detaillierung findet im Bottom-Up-Entwurf

statt.

24 Kapitel 2

Es sei noch einmal explizit darauf hingewiesen, dass die Strukturierung lediglich eine Entwurfs-

methodik darstellt. Sie soll nicht festlegen, wie z. B. die Steuergeräte bzw. Sensorsignale im rea-

len Produkt verteilt werden. Nicht jedes MFM muss zwangsläufig mit einem Steuergerät

realisiert werden. Die Informationsverarbeitung der einzelnen Strukturierungselemente kann

auch auf einem zentralen Steuergerät platziert werden. Wird dies verwirklicht, so kann die mo-

dular-hierarchische Strukturierung als funktionale Kapselung innerhalb des Steuergerätes ver-

wendet werden. Das andere Extrem, die Verwendung eines Steuergerätes pro

Strukturierungselement, führt zu autarken Teilfunktionalitäten, die ein gewisses Maß an Aus-

fallsicherheit garantieren. Hier muss letztendlich ein Kompromiss zwischen Kosten und Funk-

tionskapselung gefunden werden. Anzahl und Verteilung der Steuergeräte müssen aber

frühzeitig bekannt sein, da die Kommunikation zwischen den Steuergeräten das Systemverhal-

ten maßgeblich beeinflusst und somit beim ganzheitlichen Entwurf berücksichtigt werden

muss.

Wie aus Abbildung 2.7 ebenfalls deutlich wird, entsteht durch das oben beschriebene Vorgehen

beim verteilt strukturierten Entwurf eine Art Baukastenprinzip. Es ist für die Erfüllung der Ge-

samtfunktion nicht entscheidend, auf welche Weise (Aktorprinzip) die einzelnen Teilfunktionen

Abbildung 2.7: Strukturierung eines PKWs am Beispiel einer ESP-Regelung

Teilbewegungsfunktionen

Aktorgruppen

Teilbewegungsfunktionen

Aktorgruppen

Entwurf mechatronischer Systeme 25

erfüllt werden. Die unterlagerten MFM können durch Funktionsmodule mit anderen Aktorprin-

zipien ersetzt werden, was erst durch die entstandene Transparenz der Subsysteme bzgl.

Schnittstellen und Funktion etc. möglich wird.

2.3.3 Dezentraler Entwurf strukturierter mechatronischer

Systeme (Bottom-Up-Entwurf)

2.3.3.1 Vorgehensweise beim Bottom-Up-Entwurf

Da der Ausgangspunkt des Top-Down-Entwurfs die Bewegungsfunktionen sind, können bei

Auslegung des Gesamtsystems durch den dezentralen Entwurf die Methodiken des funktions-

orientierten Entwurfs verwendet werden. Die Auslegung erfolgt in einem Bottom-Up-Verfah-

ren, indem zunächst die Funktionsmodule auf unterster Hierarchieebene nach den Methoden

des funktionsorientierten Entwurfs und unter Berücksichtigung der Verkopplungen (vgl. Kapi-

tel 2.3.3.2) bearbeitet werden. Es entstehen nichtlineare Modelle hoher Modellierungstiefe, die

sich bei geeigneter Regelung nach außen wie lineare Systeme darstellen und oft durch Modelle

geringerer Ordnung approximiert werden können. Diese reduzierten Modelle werden zur Aus-

legung der Systeme auf den höheren Hierarchiestufen verwendet. Dadurch bleibt das Gesamt-

system überschaubar, und die Auslegung der Module auch auf den oberen Hierarchieebenen

wird möglich.

Es entstehen also Kaskaden, die auf den Aktoren der unteren Ebenen aufbauen. Da in den obe-

ren Hierarchieebenen zunehmend Mehrgrößensysteme auftreten, spricht man von einer Verall-

gemeinerung der Kaskade. Die bekannten Vorteile einer Kaskadenregelung, wie der einfache

Entwurf oder die einfache Inbetriebnahme, gelten natürlich auch hier.

Die zweiphasige Vorgehensweise bei der Modellbildung im Bottom-Up-Entwurf kann durch

ein geeignetes Identifizierungsverfahren sehr stark begünstigt werden. Zum Einen wird ein Ver-

fahren benötigt, das physikalische Modelle zur Analyse und zur Reglerauslegung unterer Hier-

archieebenen identifizieren kann (Stufe 1). Zum Anderen soll es für die Reglerauslegung

höherer Hierarchieebenen möglich sein, die unterlagerten geregelten Subsysteme durch deren

erneute Identifizierung als reduzierte Modelle geringerer Ordnung darzustellen, um sie für die

Reglerauslegung der nächst höheren Hierarchieebene zu verwenden. Ein derartiges Identifizie-

rungsverfahren und weiterführende Anforderungen an dieses Verfahren werden in Kapitel 3

dargelegt.

Die Reduzierung der Modellierungstiefe hin zu höheren Hierarchieebenen ist notwendig, um

die Handhabbarkeit der anwachsenden Systeme und deren Transparenz sicher zu stellen. Sie ist

aber auch zulässig, da sich einerseits die geregelten Subsysteme in der Regel linear und mit ei-

ner entsprechenden Bandbreite (häufig durch Systeme 2. bis 3. Ordnung approximierbar) dar-

26 Kapitel 2

stellen. Andererseits nehmen die Zeitkonstanten in den oberen Hierarchieebenen zu, so dass die

Modellierungstiefe zurückgenommen werden kann. Eine ganzheitliche Parameteroptimierung

des Systems (sowohl Regler- als auch Strukturparameter) kann sich dennoch anschließen. Für

die Optimierung mechatronischer Systeme stehen zahlreiche Methoden, z. B. auf Basis einer li-

nearen Analyse oder nichtlinearen Simulation (vgl. [Münch], [Kreisselmeier], [Nyenhuis 99])

zur Verfügung.

2.3.3.2 Voraussetzungen für den verteilt strukturierten Entwurf

Einzelne Subsysteme können nur unter bestimmten Voraussetzungen dezentral entworfen wer-

den, da sie durch physikalische bzw. durch informationstechnische Verbindungen stark mitein-

ander verknüpft sein können. Diese Systemkopplungen müssen beim Entwurf des jeweiligen

Subsystems berücksichtigt werden. Es werden vier mögliche Wege aufgezeigt, um entweder die

Systeme zu entkoppeln oder deren Kopplung beim Entwurf zu berücksichtigen:

Berücksichtigung der Systemkopplungen durch reduzierte Modelle

Die wohl nächstliegende Möglichkeit, die Kopplung des Subsystems zum Gesamtsystem zu be-

rücksichtigen, ist dessen Nachbildung mittels Modells. Dies ist natürlich nur bis zu einem ge-

wissen Grad möglich, da sonst die Komplexität des Modells wieder zu groß wird. Aus diesem

Grund wird hier vorgeschlagen, die Kopplung zum Gesamtsystem und das Gesamtsystem sel-

ber als Umgebung zu betrachten und durch ein reduziertes Umgebungsmodell nachzubilden.

Hierbei ist es wichtig, dass diese Modelle die Umgebung bzgl. ihrer Freiheitsgrade und bis zu

einer bestimmten Bandbreite, die von der zu erzielenden Regelbandbreite des Subsystems ab-

hängt, genügend genau approximieren. Das Umgebungsmodell muss hierzu nicht unbedingt als

physikalisches Modell vorliegen; es reicht aus, es als Black-Box-Modell einzubinden. Dies legt

die Verwendung des in Kapitel 3.3.2 beschriebenen Verfahrens zur Ermittlung des Umgebungs-

modells nahe. Mit Hilfe dieses Verfahrens ist es ohne großen Aufwand möglich, Umgebungs-

modelle unterschiedlicher Ordnung und für unterschiedlich große Frequenzbereiche von

Messungen oder Simulationsdaten abzuleiten. So kann für die Reglersynthese ein Umgebungs-

modell geringer Ordnung verwendet werden. Anschließend kann für den Test des Reglers ein

Modell höherer Ordnung herangezogen werden. Diese Vorgehensweise wurde in ähnlicher

Form bei der Reglerauslegung der in Kapitel 5.1 beschriebenen Positioniermaschine angewen-

det.

Insbesondere wenn sich die Umgebung als sehr nichtlinear darstellt, sollte das Subsystem durch

Variation der Parameter der reduzierten Umgebungsmodelle einer Robustheitsanalyse unterzo-

gen werden. Dies soll an dem in Abbildung 2.8 dargestellten Lenkwinkelsteller einer Steer-by-

Wire-Lenkung erläutert werden. Dieser Aktor wird über die Spurstange, die Räder/Reifen, den

Radträger und den Querlenker an den Fahrzeugaufbau und die Umgebung (Straße) angebunden.

Speziell der Reifen-Fahrbahnkontakt weist ein sehr nichtlineares Verhalten auf. Zum Einen

Entwurf mechatronischer Systeme 27

wird der Kraftaufbau in Abhängigkeit des Lenkwinkels sehr stark durch unterschiedliche Fahr-

bahnen oder verschiedene Reifen, zum Anderen durch unterschiedliche Fahrzeuggeschwindig-

keiten beeinflusst. Diesem Umstand wurde bei der modellgestützten Untersuchung Rechnung

getragen, indem ein einfaches Reifenmodell - ausgeführt als Feder-Dämpfer-Element - bzgl.

seiner Parameter in einem großen Parameterraum variiert wurde.

Dargestellt ist in Abbildung 2.8 der offene Frequenzgang vom Motormoment zur Spurstangen-

geschwindigkeit. Die Reifensteifigkeit wurde dabei von einer maximalen Steifigkeit bis zu ei-

nem Tausendstel dieses Wertes variiert. Gleiches wurde mit der Reifendämpfung durchgeführt.

Es wurde ein robuster Regler für diesen weiten Parameterraum ausgelegt. Das geregelte System

zeigte seine Funktionsfähigkeit im Fahrzeug, sowohl im Parkmodus als auch bei hoher Ge-

schwindigkeit.

Entkopplung durch den Einsatz von mechanischen Bauteilen

Bei der Entkopplung durch mechanische Bauteile wird davon ausgegangen, dass die einzelnen

Subsysteme schwach gekoppelt sind. Dabei kann die schwache Kopplung durch den Einsatz

von Aktoren mit hydraulischer bzw. mechanischer Rückführung oder durch den Einsatz von

weichen Federn erzielt werden.

Abbildung 2.8: Einfluss der Reifensteifigkeit auf die ungeregelte Strecke eines Lenkwinkelstellers

10-1 100101102

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

Frequenzgang x

Rack [m/s] / T

Motor

[Nm]

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

10-1 100101102

-150

-100

-50

100

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

CDispl / 1

CDispl / 1000

Sinkende

Reifensteifigkeit

Sinkende

Reifensteifigkeit

28 Kapitel 2

Liegen zusätzlich zum Einsatz von weichen Federn noch große Masseunterschiede zwischen

den Systemen vor, so sind diese bzgl. ihrer Eigenfrequenz voneinander getrennt. Werden z. B.

zur Auslegung einer aktiven PKW-Federung Vertikalschwingungen betrachtet, so führen die

relativ weiche Kopplung zwischen Aufbau und Rad zu einer Aufbaueigenfrequenz von ca. 1 Hz

und die relativ harte Reifenfeder zu einer Radeigenfrequenz von > 10 Hz. Dies ermöglicht für

den ersten Entwurf eines Reglers die ausschließliche Betrachtung der Aufbauschwingungen.

In Abbildung 2.9 sind die Bode-Diagramme eines Viertelfahrzeugmodells mit und ohne Rad ge-

genübergestellt. Es ist zu erkennen, dass die Aufbaueigenfrequenz bei Vernachlässigung des

Rades nur marginal beeinflusst wird. Damit kann das gekoppelte System Rad-Aufbau bzgl. der

Aufbaubewegung bis zu einer Frequenz von ca. 5 Hz als nahezu entkoppelt betrachtet werden:

Eine weitere Möglichkeit der Entkopplung besteht darin, den Einfluss anderer Subsysteme auf

das betrachtete System als Störung zu interpretieren. Die Störung kann dann mit Hilfe einer

Störgrößenkompensation ausgeglichen werden. Der Begriff der Störgrößenkompensation

kommt aus der Regelungstechnik. [Föllinger] beschreibt dies als eine Regelstrategie, wie sie

softwaretechnisch auf einem Steuergerät als Funktion realisiert werden kann. Diese Vorgehens-

weise wird später in diesem Kapitel diskutiert. An dieser Stelle wird die Störgrößenkompensa-

tion durch Einsatz von Aktoren, die eine mechanische bzw. eine hydraulische Rückführung

besitzen, betrachtet.

Ein weit verbreitetes Beispiel für einen derartigen Aktor ist ein hydraulisch zurückgeführtes

Druckregelventil. In Abbildung 2.10 ist ein Druckreduzierventil im statisch ausgeregelten Zu-

stand dargestellt. Dieses 3/2-Wegeventil reduziert den Druck am Anschluss „P“ auf einen ge-

Abbildung 2.9: Einfluss des Rades auf das Übertragungsverhalten eines Viertelfahrzeuges

Entwurf mechatronischer Systeme 29

ringeren, einstellbaren Wert am Verbraucheranschluss "A". Das Ventil wird über eine Kraft FEl,

z. B. über einen Hubmagnet, angesteuert. Der Tankanschluss "T" ermöglicht die Begrenzung

des momentan eingestellten Druckes, auch wenn durch äußere Lasten (Störgrößen) Öl am gere-

gelten Verbraucheranschluss in Richtung Ventil fließt. Diese Art von Aktoren hat den Vorteil,

dass keine Sensorik zur Regelung verwendet werden muss. So stellt sich der angeforderte Druck

aufgrund des Kräftegleichgewichts am Steuerschieber ein. Darüber hinaus werden Störgrößen

und damit auch Kopplungen, die als Störungen betrachtet werden können, hochfrequent

(> 100 Hz) ausgeregelt.

Aufbauend auf dieser Idee und auf [Patent MPE1], wurde ein hydraulisch zurückgeführtes Mo-

tor-Pumpenaggregat entwickelt [Patent MPE2]. In Abbildung 2.11 ist die hydraulisch zurück-

geführte Flügelzellenpumpe dieses Aggregats dargestellt. Als Verbraucher ist hier ein

Hydraulikzylinder angedeutet. In dieser Anordnung kann die Pumpe ohne Drucksensoren in-

nerhalb eines Druckregelkreises eingesetzt werden. Mit Hilfe des Kraftstellers wird eine defi-

nierte Kraft auf den Steuerschieber aufgebracht, die den Steuerschieber auslenkt. Aufgrund der

hydraulischen Rückführung wird der Steuerschieber bei Erreichen des vorgegebenen Druckes

wieder zentriert, und es fließt kein weiteres Öl in die Zylinderkammern bzw. aus ihnen heraus.

Abbildung 2.10: Hydraulisch zurückgeführtes Druckreduzierventil [Claas]

Abbildung 2.11: Hydraulisch zurückgeführte druckgeregelte Flügelzellenpumpe

30 Kapitel 2

Wird der Zylinder nun mit äußeren Kräften beaufschlagt, so entstehen Ölströme, die als Stör-

größe für die Druckregelung betrachtet werden können. Dies wäre z. B. der Fall, wenn der Zy-

linder als Dämpferersatz in einer Fahrzeugfederung [Patent AF] oder als Lenkzylinder in einer

Fahrzeuglenkung (siehe Kapitel 5) verwendet wird. In beiden Fällen werden Störkräfte durch

die Straße eingeleitet die Störölströme erzeugen. Die unterlagerte Druckregelung regelt diese

Störölströme je nach Abstimmung des Systems aus.

In Abbildung 2.12 sind für zwei unterschiedliche Abstimmungen die Störfrequenzgänge darge-

stellt. Eingang dieser Störfrequenzgänge ist die Kolbengeschwindigkeit xp, Ausgang ist die

Kraft F am Kolben. Dabei wurde der Steuerschieber frei gelagert bzw. über eine Feder inertial

an das Gehäuse angebunden. Bei der Variante mit freigelegtem Steuerschieber werden Störöl-

ströme geringer Frequenz ausgeregelt. Dies ist an dem D-Verhalten des Störfrequenzganges zu

erkennen. Die Variante mit angebundenem Steuerschieber erzeugt auch für geringe Frequenzen

dämpfende Kräfte, wie sie z. B. bei einer Fahrzeugfederung als Ersatz für den Dämpfer Anwen-

dung finden kann.

Somit kann je nach hydraulischer bzw. mechanischer Abstimmung ein komplett anderes Sy-

stemverhalten, und damit die Ausregelung von Störgrößen, rein konstruktiv optimal eingestellt

werden.

Abbildung 2.12: Störfrequenzgänge der Flügelzellenpumpe für verschiedene Abstimmungen

Frequenz [Hz]

Betrag dB [Ns/m]

Störfrequenzgang F/x

Drehzahl 3000 [1/min]

-100

-50

100

Fre

uenz

[

]

Phase [Grad]

Steuerschieber Kraftgeregelt

Steuerschieber über Feder Weggeregelt

Entwurf mechatronischer Systeme 31

Diese Erkenntnisse bekräftigen noch einmal die Notwendigkeit eines ganzheitlichen Entwurfs,

wie er in Kapitel 2.2 vorgestellt wurde. Gemäß von der zu erfüllenden Funktion werden die Ak-

toren unter Berücksichtigung der elektrischen, mechanischen, hydraulischen und mechatroni-

schen Aspekte ganzheitlich ausgelegt.

Anwendung einer mathematischen Transformation zur Entkopplung

Eine weitere Möglichkeit zur Entkopplung der Subsysteme besteht darin, sie durch eine Trans-

formation zu entkoppeln. Die Idee beruht auf einer mathematischen Transformation. Mit Hilfe

dieser Transformation soll eine gekoppelte große Systemmatrix entkoppelt werden, so dass die

einzelnen entstehenden Subsystemmatrizen als entkoppelte Subsysteme getrennt voneinander

betrachtet werden können.

Ein sehr anschauliches Beispiel hierfür stellt die Beeinflussung der Aufbaubewegung eines ak-

tiv gefederten PKWs unter der Anwendung der Reglerstruktur AKTAKON dar [Acker], [Strei-

ter], [Hester]. Ziel hierbei ist es, den Aufbau bzgl. seiner hierbei vereinfacht angenommenen

drei Freiheitsgrade Huben, Nicken, Wanken zu regeln. Zur Erfassung des aktuellen Fahrzeug-

zustandes stehen jeweils die Relativwege zwischen Aufbau und Rad an den Federbeinen und

die Beschleunigungen an den Federbeindomen zur Verfügung. AKTAKON (Abbildung 2.13)

verwendet als Messgrößen die Federwege und transformiert diese im Block "modale Entkopp-

lung" in quasi-modale Bewegungen des Fahrzeugaufbaus.

Abbildung 2.13: AKTAKON-Regelung als Beispiel der modalen Entkopplung [Koch]

32 Kapitel 2

Diese rein kinematische Transformation bewirkt eine Entkopplung der Systemmatrix, so dass

die Regler für Huben, Nicken und Wanken getrennt voneinander ausgelegt werden können. In

den einzelnen Reglerblöcken werden die modalen Wege und Geschwindigkeiten1 proportional

verstärkt. Damit können die Abstimmungsparameter der einzelnen Regelungen als physikalisch

interpretierbare Hubfeder, Hubdämpfer, Wankfeder etc. bezeichnet und verstanden werden.

Der Regelung mittels AKTAKON kann noch eine Sky-Hook-Regelung in den quasi-modalen

Bewegungen überlagert werden. Da bei der Aufbauregelung vier Aktoren zur Regelung einge-

setzt, aber nur drei Freiheitsgrade geregelt werden, wird bei AKTAKON noch eine Verspan-

nungsregelung überlagert. Sie sorgt dafür, dass die Ansteuerung der einzelnen Aktoren zu

keiner Verwindung des Aufbaus führt.

Berücksichtigung der Kopplung in höheren Hierarchieebenen

Hierbei wird ausgenutzt, dass der Bewegungszustand der einzelnen gekoppelten Subsysteme in

der nächsthöheren Hierarchieebene bekannt ist. Werden die einzelnen Subsysteme ohne Einbe-

ziehung dieser Kopplungen ausgelegt, so muss die Kopplung beim Reglerentwurf in der nächst-

höheren Ebene berücksichtigt werden. Hier sind die einzelnen Bewegungszustände der

Subsysteme entweder durch die Auswertung von Sensorsignalen bekannt oder werden durch

entsprechende Beobachtermodelle geschätzt. Mittels Standardtechniken der Regelungstechnik

wie Vorsteuerungen, Vorfilter, Störgrößenaufschaltung, -schätzung oder auch überlagerte Mehr-

größenregler können die Kopplungen berücksichtigt werden.

Als einfaches Anwendungsbeispiel soll hier eine Servolenkung dienen, die zur Servounterstüt-

zung ein Motor-Pumpenaggregat (Kapitel 5) verwendet. Die hierarchische Anordnung dieses

Systems ist in Abbildung 2.14 dargestellt. Das MFM MPA (Motor-Pumpenaggregat mit Dreh-

zahlregelung) stellt die unterste hier dargestellte Ebene dar. Der Regler für das überlagerte

MFM Druckregelkreis wurde bei festgelegtem Kolben ausgelegt. Wird das System Druckregel-

kreis über die Zahnstange mit dem Lenkrad und den Rädern des Fahrzeug verkoppelt, so ent-

steht das Gesamtsystem Lenkung. Die Kopplung dieser Subsysteme wird dabei in dem Regler

Lenkung berücksichtigt. Dabei wird die Auslenkung der Zahnstange durch den Lenkradwinkel

vorgegeben. Ist der Lenkradwinkel bzw. die Lenkradwinkelgeschwindigkeit im MFM Lenkung

bekannt, so kann er zur Berücksichtigung der Zahnstangenbewegung innerhalb des Druckregel-

kreises vorgesteuert werden:

1. Die Geschwindigkeiten werden durch bandbegrenzte Differentiationen der Wege gewonnen.

Entwurf mechatronischer Systeme 33

Abbildung 2.14: Hierarchische Reglerstruktur einer Servolenkung

Abbildung 2.15: Frequenzgänge des Druckregelkreises mit und ohne Vorsteuerung

-40

-30

-20

-10

Betrag dB [bar/bar]

Frequenzgang p

Ist

Soll

Frequenz [Hz]

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Zylinder festgelegt

Ohne Vorsteuerung

Mit Vorsteuerung

34 Kapitel 2

Abbildung 2.15 zeigt drei Frequenzgänge des geschlossenen Druckregelkreises. Der erste ent-

spricht dem identifizierten Druckregelkreis bei festgelegtem Zylinder, der zweite dem nicht

vorgesteuerten Druckregelkreis bei beweglichem Zylinder. Es ist zu erkennen, dass die Band-

breite dieses Regelkreises je nach angehängter Last stark nachlässt. Der dritte Frequenzgang

zeigt den mit Hilfe der Lenkradwinkelgeschwindigkeit vorgesteuerten Druckregelkreis, der

bzgl. des festgelegten Systems eine bessere Frequenzgangstreue und damit eine höhere Band-

breite aufweist. Daher ist die Auslegung des unterlagerten Druckregelkreises am festgelegtem

Zylinder zulässig. Auch die Betrachtung der Pole zeigt, dass je nach Vorsteuerstrategie die Pole

des vorgesteuerten Systems immer mehr in die des festgelegten Systems wandern. Weiterge-

hende Frequenzgangstreue kann durch entsprechende Vorfilter, welche die inverse Dynamik

der Strekke - inklusive Einflüsse der Signalverarbeitung - beinhalten, erzielt werden. Dies ist

natürlich nur bis zu einem gewissen Grad möglich, da die benötigte Leistung zu hoch wird und

das MPA nur eine beschränkte Dynamik aufweist.

Hier wird der Unterschied zur Entkopplung mittels mechanischer Bauteile deutlich. Bei dieser

Entkopplung werden die Kopplungen zu anderen Subsystemen als Störgrößen betrachtet. Durch

eine unterlagerte hydraulische bzw. mechanische Rückführung werden die Störgrößen in der

gleichen Hierarchieebene hochfrequent ausgeregelt. Dies kann unter bestimmten Bedingungen

sogar ohne zusätzlichen energetischen Aufwand geschehen. Die Berücksichtigung von Kopp-

lungen in der nächsthöheren Hierarchieebene ist in der Regel mit einem höheren Energieeintrag

und mit einer geringeren Bandbreite verbunden.

Werden die verkoppelten Subsysteme mit den 4 aufgeführten Methoden entkoppelt, so können

auf die nunmehr entkoppelten Subsysteme die Verfahren des funktionsorientierten Entwurfes

angewendet werden.

2.4 Zusammenfassung

Es wurde versucht, eine Entwicklungsmethodik für mechatronische Systeme aufzuzeigen. Der

bewährte mechatronische Entwicklungskreislauf wurde zum ganzheitlichen, funktionsorien-

tierten Entwurf erweitert. Um auch komplexe Systeme mit diesen Verfahren realisieren zu kön-

nen, wurde eine funktionsorientierte Strukturierung vorgeschlagen, in der alle Aspekte des

funktionsorientierten Entwurfs weiterhin Gültigkeit haben. Insgesamt ergeben sich folgende

Vorteile:

• Durchgängige systematische Entwurfsmethodik.

• Transparenz beim Entwurf.

• Die Beherschbarkeit auch von komplexen Systemen wird ermöglicht.

• Entstehung von austauschbaren Baukastensystemen auf Ebene der Aggregate.

Entwurf mechatronischer Systeme 35

• Hinweise für die Aufteilung der Informationsverarbeitung auf die Steuergeräte.

Die Notwendigkeit eines neuen Identifizierungsverfahrens wurde aufgezeigt, das im folgenden

Kapitel erarbeitet wird.

Kapitel 3

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle

Motivation

Die Bedeutung der Modellidentifizierung wird in der Regel unterschätzt. Es werden oftmals

Modelle mit hoher Modellierungstiefe erstellt, deren Realitätsbezug mangelhaft ist. Dies liegt

sicherlich zum Einen an der Modellkomplexität und der damit einhergehenden schwierigen Pa-

rametrisierung (z. B. Reifenmodelle). Zum Anderen kommt hemmend hinzu, dass Systemlie-

feranten nur sehr selten identifizierte Modelle bzw. benötigte Parameter ihrer Produkte liefern

können bzw. wollen. Häufig ist man besser beraten, die Modellierungstiefe gering zu halten und

mehr Aufwand in die Identifizierung zu investieren. So ist das erzielte Ergebnis des mechatro-

nischen Entwurfs vorteilhafter. Die Systemanalyse ist immer nur dann aussagekräftig und die

Reglersynthese immer nur dann erfolgversprechend, wenn das Modell die Realität gut abbildet.

Im vorigen Kapitel wurde der verteilt strukturierte Entwurf vorgestellt, dessen konsequente An-

wendung ein vielseitiges Identifizierungsverfahren erfordert. Zum Einen sollen physikalische

Modelle abgeleitet werden können, zum Anderen wird erwartet, reduzierte Black-Box-Modelle

der geregelten Subsysteme für den Bottom-Up Entwurf identifizieren zu können. Ein solches

Verfahren ist zur Zeit auf dem Markt nicht erhältlich. Hier soll ein Verfahren aufgezeigt werden,

das zum großen Teil den unten angegebenen Anforderungen gerecht wird.

Inhalt

Nach einer kurzen Einführung werden im zweiten Unterkapitel die Anforderungen an dieses

Verfahren aufgelistet. Im dritten Unterkapitel wird das Verfahren mit seinen vier Stufen kurz

vorgestellt. Darüber hinaus wird an ausgewählten Beispielen gezeigt, wie es den Anforderungen

gerecht wird. Unterkapitel 3.4 rundet dieses Kapitel mit der Identifizierung eines hydropneuma-

tischen Federbeins ab.

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 37

3.1 Vorbemerkungen zur Identifizierung

Definition der Identifizierung

Der Vorgang ein validiertes Modell anhand von Messungen zu bestimmen, das die Realität sehr

gut nachbildet, wird Identifizierung genannt. Dabei ist die Forderung, die Realität genau nach-

zubilden, sehr hart und sollte auf "so genau wie nötig" abgeschwächt werden. Dabei bezieht sich

"so genau wie nötig" auf die nötige Modellierungstiefe, um die wichtigsten (interessierenden)

Systemeigenschaften abzubilden.

Das Modell zu identifizieren kann sich dabei auf die Festlegung der Modellstruktur als auch auf

die Bestimmung der Modellparameter beziehen. Da bei dem mechatronischen Entwurf die Mo-

dellstruktur schon früher im Entwicklungsprozess durch die Physik des Systems festgelegt

wird, ist hier die Anwendung eines Verfahrens zur Bestimmung der Parameter angebracht.

Der Vorgang der Identifizierung basiert auf Messungen eines realen Systems, welches model-

liert werden soll. Daher ist dieser Schritt immer erst möglich, wenn reale Komponenten (Proto-

typen) zur Verfügung stehen. Trotzdem kann eine hohe Modellgüte auch schon in einem

früheren Entwicklungsstadium entstehen. Dies kann erreicht werden, indem das Modell durch

Erfahrungen mit ähnlichen Komponenten oder mit Hilfe von Tabellenwerken parametrisiert

wird (siehe Kapitel 3.4.1). Da dies zum Systemverständniss beiträgt, und einige Identifizie-

rungsverfahren gut gewählte Startparameter voraussetzen, ist dies auch durchaus sinnvoll und

sehr oft notwendig.

Stand der Technik

Eine gute Übersicht über die bekannten Identifizierungsverfahren liefert [Isermann]. Hier wird

im Wesentlichen unterschieden zwischen:

• der Identifizierung parametrischer und nichtparametrischer Modelle:

Hierbei beziehen sich parametrische Modelle auf Modelle mit physikalischem Hintergrund.

Nichtparametrische Modelle hingegen sind sogenannte Black-Box-Modelle, die keinen phy-

sikalischen Hintergrund haben und deren Parameter als mathemaische Koeffizienten angese-

hen werden können. Darüber hinaus wird ein zweistufiges Verfahren vorgestellt, bei dem ein

nichtparametrisches Modell in ein parametrisches umgewandelt wird,

• der Identifizierung zeitkontinuierlicher und diskreter Modelle,

• der Identifizierung linearer und nichtlinearer Modelle,

• der Identifizierung durch iterative und nichtiterative Verfahren

• den Verfahren, die im Zeitbereich oder im Frequenzbereich arbeiten,

• den Verfahren, die sich durch die Anregungssignale unterscheiden,

• den Verfahren zur Online- und Offlineidentifizierung,

38 Kapitel 3

• den Verfahren, die zwischen MIMO-, SIMO-, MISO- und SISO Systemen unterscheiden.

Ein sehr stark verbreitetes Anwendungsgebiet der Identifizierung ist die Modalanalyse. In die-

sem Umfeld wurde die Entwicklung von Identifizierungsverfahren seit den 80er Jahren stark

vorangetrieben [Richard 82], [Richard 85], [Richard 86], [Potter], [Natke]. Einen Überblick

über diese Verfahren liefern [Ewins], [Isermann], [Nyenhuis 97]. Hier entstanden Verfahren, die

im Zeitbereich bzw. Frequenzbereich arbeiten und die Single-Degree-of-Freedom-Systeme

(SDoFs1) bzw. Multi-Degree-of-Freedom Systeme (MDoFs2) identifizieren. Diese Verfahren

basieren auf linearen Modellen. Mit dem Einzug der Computertechnik und deren rasanter Lei-

stungssteigerung war es bald möglich, auch Systeme hoher Ordnung zu identifizieren. Auf-

grund der Leistungsfähigkeit und der einfachen und flexiblen Anwendbarkeit hat sich ein

Verfahren in besonderem Maße durchgesetzt und wird nunmehr in einer Vielzahl von Modal-

analysewerkzeugen z. B. [MeScope] eingesetzt. Hierbei handelt es sich um ein Frequenzbe-

reichsverfahren, das auf einer Modellstruktur mit gebrochen rationalen Funktionen und einem

Least-Squares-Algorithmus aufsetzt. Dieses Verfahren wird im Kapitel 3.3.2 noch genauer be-

schrieben.

3.2 Anforderungen an das Identifizierungsverfahren

Anhand der im Folgenden aufgelisteten Anforderungen, die sich aus dem verteilten strukturier-

ten Entwurf mechatronischer Systeme ergeben, soll ein Identifizierungsverfahren abgeleitet

werden:

1. In dieser Arbeit ist die wichtigste Anforderung an ein Identifizierungsverfahren der An-

spruch, dass es sich in den verteilten strukturierten Entwurf einbetten lässt. Hierbei sind für

dieses Verfahren im Wesentlichen zwei Aufgaben zu erfüllen: Zum Einen soll beim Bot-

tom-Up-Entwurf auf unteren Hierarchieebenen die Identifizierung von physikalischen Mo-

dellen möglich sein, die zur Analyse und zur Reglerauslegung eingesetzt werden können.

Zum Anderen soll es für die Reglerauslegung höherer Hierarchieebenen durchführbar sein,

die unterlagerten geregelten Subsysteme durch eine erneute Identifizierung als reduzierte

Black-Box-Modelle geringerer Ordnung darzustellen (siehe Kapitel 2.3.3).

2. Aufgrund der geforderten vielseitigen Anwendbarkeit des Verfahrens sollte es Systeme mit

beliebiger Anzahl von Ein- und Ausgängen bedienen können, also auch Mehrgrößensyste-

me. Hierbei ergeben sich bei vielen Verfahren, die nicht speziell für Mehrgrößensysteme

entwickelt wurden und quasi erweiterte SISO-, MISO- oder SIMO-Verfahren sind, Model-

le, die z. B. bei der Überführung in den Zustandsraum eine nicht gewollte Ordnungserhö-

hung erzeugen (siehe Kapitel 3.3.2.1; Anforderungen bei MIMO-Systemen).

1. SDoF-Systeme sind Systeme die durch einen Einmassenschwinger repräsentiert werden, also ein System der Ordnung 2.

2. MDoF-Systeme sind Systeme die durch mehrere Einmassenschwinger repräsentiert werden, also ein System 2*nter Ordnung

([Ewins]).

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 39

3. Das Verfahren sollte die durch das physikalische System vorgegebene Struktur berücksich-

tigen.

4. Es sollte möglich sein, Modelle hoher Ordnung zu identifizieren. Dabei ist die Forderung

nach gleichzeitiger Identifizierung mehrerer Parameter selbstverständlich.

5. Aufgrund der Handhabbarkeit und aus zeitlichen Gründen ist es sinnvoll, ein nichtiteratives

Verfahren anzustreben, da iterative Verfahren oft sehr zeitintensiv sind und viele Interaktio-

nen mit dem Anwender erfordern.

6. Das Verfahren sollte im Frequenzbereich arbeiten, da die meisten Verfahren zum Reglerent-

wurf auf dem Frequenzbereich beruhen und somit Frequenzgangstreue voraussetzen. Die

Argumentation ist hier ähnlich wie bei der Diskretisierung von Reglern. Hier kommen auch

häufig Verfahren zur Anwendung, die frequenzgangstreu sind. Darüber hinaus bietet die

Anpassung im Frequenzbereich erfahrungsgemäß eine genauere Bestimmung der System-

eigenfrequenzen und -dämpfungen [Richard 86].

Ein weiterer Vorteil, der sich bei Frequenzbereichsverfahren ergibt, ist die einfache

Messdatenaufbereitung. So ist z. B. die Auswahl des interessierenden Frequenzbereichs

sehr einfach. Zum Einen können die wichtigen Eigenfrequenzen direkt abgelesen werden,

zum Anderen kann der Frequenzgang hinter dem interessierenden Frequenzbereich einfach

abgeschnitten werden. Im Zeitbereich ist dies nur durch komplizierte Filtertechnik möglich.

Hinzu kommt, dass durch die Betrachtung des Verhältnisses zwischen Ausgangssignal und

Eingangssignal etwaige Einflüsse von Stellerdynamik, Signalverarbeitungszeiten etc. di-

rekt erkannt und ggf. eliminiert werden können.

Die Aufnahme von Frequenzgängen und deren Nachbearbeitung stellt heute durch die An-

wendung von modernen Signalanalysatoren kein Problem mehr dar.

7. Es sollen nichtlineare wie auch lineare Systeme identifiziert werden können. Dies steht teil-

weise im Widerspruch zur Forderung nach einem Verfahren, das im Frequenzbereich arbei-

tet, da der Frequenzbereich nur für lineare Systeme definiert ist. Die Betrachtung des

nichtlinearen Systems in ausgewählten Betriebspunkten lässt jedoch eine Linearisierung zu

und löst damit den Wiederspruch auf.

Die Erfüllung all dieser Anforderungen mit einem schon bekannten Verfahren ist unrealistisch.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden wird im Folgenden ein vierstufiges Identifizie-

rungsverfahren vorgestellt. Hierbei wird im wesentlichen auf ein Identifizierungsverfahren zu-

rückgegriffen, welches in [Isermann] als ein nichtparametrisches Least-Squares-Verfahren

(Methode der kleinsten Quadrate) vorgestellt wird. Es basiert auf lineare, zeitkontinuierliche

Modelle, die im Frequenzbereich identifiziert werden. Dieses Verfahren findet auch im Bereich

der Modalanalyse eine breite Anwendung und wurde insbesondere zur Identizierung von Mehr-

größensystemen erweitert und weiterentwickelt ([Richard 82], [Ewins]). Die Verfahren aus der

Modalanalyse beherrschen die MIMO-Systeme zwar, erzeugen jedoch Modelle, die die physi-

40 Kapitel 3

kalische Struktur des Systems nicht ausreichend berücksichtigen. Im Rahmen dieser Arbeit

wird dieses Verfahren aufgegriffen und im wesentlichen um Mechanismen erweitert, die es er-

möglichen die physikalische Struktur des Systems weiterreichend zu berücksichtigen.

3.3 Das vierstufige Identifizierungsverfahren

Vorgeschlagen wird an dieser Stelle ein vierstufiges Identifizierungsverfahren (Abbildung 3.1).

Die erste Stufe kann im Wesentlichen als Vorbereitung des Identifizierungsvorganges betrachtet

werden. Hier werden Überlegungen zur Messdatenaufbereitung/-erfassung und Modellaufbe-

reitung getroffen, so dass der Identifizierungsvorgang möglichst unproblematisch abläuft.

In Stufe 2 kommt im Wesentlichen ein modifiziertes Verfahren aus der Modalanalyse zum Ein-

satz. Dieses Verfahren wurde angepasst, um möglichst viele bekannte physikalische Systemei-

genschaften schon an dieser Stelle zu berücksichtigen. So entstehen sogenannte Black/Grey-

Box-Modelle. Bei der Identifizierung von Systemmodellen ohne jegliche Berücksichtigung von

physikalischen Systemeigenschaften entstehen sogenannte Black-Box-Modelle. Modelle, die

aus Verfahren resultieren, welche Teilweise die Systemphysik berücksichtigen, werden als

Grey-Box-Modelle bezeichnet. Physikalische Modelle werden auch White-Box-Modelle ge-

nannt.

Stufe 3 dient dem Übergang vom Grey-Box-Modell zum physikalischen Modell.

Die vierte Stufe dient lediglich der Nachoptimierung des schon erzielten Ergebnisses bzw. der

vertiefenden Behandlung von Nichtlinearitäten. In der vierten Stufe wird die Forderung 5 nach

einem nichtiterativen Verfahren aufgegeben, da hier ein iteratives vektorielles Optimierungs-

verfahren (MOPO Multi-Objective Parameter Optimization) [Münch] zum Einsatz kommt.

Je nachdem, in welcher Stufe des Verfahrens der Identifizierungsvorgang abgebrochen wird,

werden verschiedene der vorher definierten Anforderungen erfüllt. So kann zum Erstellen von

reduzierten Black-Box-Modellen für den Bottom-Up-Entwurf nach der 2. Stufe abgebrochen

werden. Zur Identifizierung eines physikalischen Modells muss auch noch die Stufe 3 durchlau-

fen werden.

Mit dem Einsatz des frei konfigurierbaren Frequenzgangsverfahren in Stufe 2 können je nach

Einstellung alle Anforderungen 1 bis 6 erfüllt werden. Anforderung 7 kann nur bedingt erfüllt

werden, da das Verfahren sich ausschließlich mit der Identifizierung von linearen bzw. lineari-

sierten Systemen beschäftigt. Nichtlinearitäten können nur durch die Betrachtung unterschied-

licher Betriebspunkte berücksichtigt werden (siehe Kapitel 4.2.3.2).

Da die Thematik der Identifizierung sehr umfangreich ist, bietet sich die ergänzende Anwen-

dung der beiden Verfahren in Stufe 3 und 4 an. MOPO arbeitet nur mit ausreichend guten Start-

parametern, die z. B. mit dem Frequenzgangsverfahren ermittelt werden können.

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 41

Abbildung 3.1: Flussbild der Identifikationsmethodik

Modell Reales System

Stufe 1: Modell und Messdatenaufbereitung

Messdatenakquisition und -aufbereitun

Modellerstellung und -aufbereitung

Aufstellen des Gleichungssystems durch Koeffizientenvergleich

Lösen des Gleichungssystems

Etwaige Modellerweiterung um Nichtlinearitäten

Akquisition neuer Messdaten, die insbesondere Nichtlinearitäten sichtbar machen

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-10

-5

5x 10

Frequenz [Hz]

Steifigkeit [N/m]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

10 x 10

Frequenz [Hz]

Daempfung [[Ns/m]

Vergleich alter-neuer Pruefstand (F_unten/x Kraft messung ist mit Massenkraft behaftet)

()

LSpLSpLSpLDrLLSp

ZylDrSpZylDr

CCsRCCCCRsLCC

AsRC

++++

()

LSpLSpLSpLDrLLSp

ZylDrSpLSLSZylZyl

CCsRCCCCRsLCC

AsRCRCsLC

++++

+++

1)(

AsA

2.83E5s*229

2.27E10s*4.43E8

)(

BBsBs

AsA

2,83E5s*229

1027,2866,5s*646.2

)(

BBsB

EsEE

()

AsA

BCC

RCCCCKsLCC

AsRC

SpLSpLDrLLSp

ZylDrSpZylDr

()

AAsA

1)(

RCCCCRsLCC

RCRCsLC

SpLSpLDrLLSp

rSpLSLSZylZyl

Zyl

()

ARR

DrL

Zyl

identifiziert

gemessen

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-8

-6

-4

-2

4x 10

Frequenzgang P_Zyl*A/x und P_D*A/x

Frequenz [Hz]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-2

12 x 10

Frequenz [Hz]

Steifigkeit [N/m]

Daempfung [Ns/md]

Zylinderdruck

Drosseldruck

Zylinderdruck

Drosseldruck

Anpassen des Modells an die Messdaten durch z. B. Minimierung der Fehlerfläche

42 Kapitel 3

Für eine Vielzahl von Anwendungen hat sich jedoch gezeigt, dass die Anwendung des vierstu-

figen Identifizierungsverfahrens bis zur Stufe 3 völlig ausreichend ist (siehe Kapitel 3.4,

4.2.2.2, 4.2.3.2 etc.).

3.3.1 Kurzvorstellung des Verfahrens

Das Verfahren, das summarisch in Abbildung 3.1 am Beispiel der Identifizierung eines HP-Fe-

derbeins dargestellt ist, gliedert sich in 4 Stufen. Welche Arbeitsschritte in diesen vier Stufen

notwendig sind, welche CAE-Tools diese Arbeitsschritte unterstützen, welche Schwierigkeiten

auftauchen und welche Lösungen möglich sind, wird im Folgenden diskutiert:

1. Modell- und Messdatenaufbereitung

Das Verfahren arbeitet bis einschließlich der dritten Stufe im Frequenzbereich. Hierzu müs-

sen gemessene Frequenzgänge aller interessierenden Ausgangs- zu Eingangsgrößen vorlie-

gen. Auch der interessierende Frequenzbereich muss an dieser Stelle festgelegt werden. Der

Frequenzgang wird also nur bis zu einer maximalen Frequenz betrachtet, die den Bereich

festlegt, bis zu dem das Modell angepasst werden soll. Somit stellt sie auch ein Maß für die

Modellierungstiefe dar.

Das Modell muss bzgl. Ordnung und entsprechend den gemessenen Aus- zu Eingangsgrö-

ßen aufbereitet sein, d. h. es müssen alle Übertragungsfunktionen in gebrochen rationaler

Form vorliegen.

Soll ein physikalisches Modell abgeleitet werden, so ist es zudem erforderlich, dass diese

Übertragungsfunktionen in symbolischer Form vorliegen. Dies wird für den in Stufe 3 be-

schriebenen Koeffizientenvergleich benötigt. Zudem ist es für die Herleitung eines Grey/

Black-Box-Modells unerlässlich, die Ordnung des Zählers bzw. des Nenners zu kennen.

Ein weiterer Schritt, der bei der Identifizierung eines physikalischen Modells an dieser Stel-

le durchgeführt werden sollte, ist die Klärung der Identifizierbarkeit der Modellparameter

mittels der gewählten Frequenzgänge bzw. der gewählten Bandbreite. Es ist nicht zu erwar-

ten, dass jeder Systemparameter in jedem Frequenzbereich bzw. Frequenzgang einen maß-

geblichen Einfluss hat. Wird an dieser Stelle eine falsche Auswahl getroffen, so ist davon

auszugehen, dass in Stufe 3 ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem entsteht. Dieses

Gleichungssystem resultiert in Stufe 3 aus dem Koeffizientenvergleich zwischen dem

Black/Grey-Box-Modell und dem physikalischen Modell. Zur Klärung dieser Frage kann

eine Parameterempfindlichkeitsanalyse durchgeführt werden. Dabei variiert man die Para-

meter sukzessive, um deren Einfluss auf die Veränderung der Frequenzgänge zu beobach-

ten. Ist dieser Einfluss groß, sind sie aus der entsprechenden Messung gut identifizierbar.

Ist der Einfluss gering oder haben sie keinen Einfluss, ist die Identifizierbarkeit aus dieser

Messung nicht gegeben. Dann muss entweder ein anderer Frequenzgang oder ein zusätzli-

cher Frequenzgang zur Identifizierung herangezogen werden.

Die Variation der Parameter kann sowohl am realen System als auch am Modell durchge-

führt werden. Beim Modell ist darauf zu achten, dass die Anfangseinstellung der Modell-

parameter nicht allzu unrealistisch ist, da sonst die Veränderung im Frequenzgang für den

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 43

gewählten Frequenzbereich nicht aussagekräftig sein kann. Eine Variation am Prüfstand ist

hingegen ziemlich aufwendig und nicht immer für alle einzelnen Parameter unabhängig

voneinander durchführbar.

Die Ergebnisse der Parametervariationen können auch Hinweise auf die Modellierungstiefe

geben. Bringt z. B. die Variation eines Parameters keine nennenswerte Veränderung im in-

teressierenden Frequenzbereich aller Frequenzgänge, so kann davon ausgegangen werden,

dass der Parameter Systemeigenschaften beschreibt, die z. B. im höheren Frequenzbereich

liegen, und dementsprechend die Modellierungstiefe zu hoch gewählt wurde.

Ein weiteres Problem, das sich in Stufe 3 ohne ausreichende Vorüberlegungen an dieser

Stelle ergibt, liegt in einem Missverhältnis zwischen der Anzahl von Gleichungen und der

Anzahl von gesuchten physikalischen Parametern. Dabei bestimmen die Anzahl und die

Ordnung der jeweiligen Übertragungsfunktionen die Anzahl der Gleichungen zur Bestim-

mung der Parameter. Mit wachsender Ordnung steigt jedoch nicht nur die Anzahl der Glei-

chungen, sondern es ist auch davon auszugehen, dass die Parameteranzahl ansteigt. Eine

allgemeine Vorschrift zur Lösung des Problems kann nicht angegeben werden. Lösungsvor-

schläge werden in Stufe 3 diskutiert.

Diese hier beschriebenen Probleme und Überlegungen treten im Übrigen mit allen bekann-

ten Identifizierungsverfahren auf, da alle Verfahren ein gewisses Maß an Systemwissen

voraussetzen.

2. Erstellen eines Black/Grey-Box-Modells

Mit Hilfe des Frequenzgangsverfahrens wird ein Black-Box-Modell erstellt. Durch Mini-

mierung der quadratischen Fehlerfläche zwischen den gemessenen Frequenzgängen und

den aus dem Modell berechneten Frequenzgängen werden Black-Box-Modelle parametri-

siert, die in Form von gebrochen rationalen Funktionen vorliegen. Zur Einhaltung der phy-

sikalischen Modellstruktur können dabei einige Systemeigenschaften, wie z. B. die

Abhängigkeiten einzelner Übertragungspfade untereinander, beim Identifizierungsvorgang

berücksichtigt werden. Es entstehen sogenannte Grey-Box-Modelle (siehe Kapitel 3.3.2.1).

Das Verfahren ermöglicht eine zweiphasige Vorgehensweise beim Erstellen der Modelle. In

einem ersten Schritt wird das gemeinsame Nennerpolynom der unterschiedlichen Übertra-

gungspfade bestimmt. Im zweiten Schritt werden die einzelnen Zählerpolynome ermittelt.

Dabei kann die Ordnung des Zählerpolynoms für unterschiedliche Übertragungspfade va-

riieren.

Durch Variation der Ordnung der Zähler- und Nennerpolynome können bei der Bestim-

mung des Grey/Black-Box-Modells auch Hinweise auf die nötige Modellierungstiefe ge-

wonnen werden.

3. Koeffizientenvergleich zur Ermittlung physikalischer Modellparameter

Im dritten Schritt werden die Übertragungsfunktionen aus dem Modell und die Übertra-

gungsfunktionen des Grey-Box-Modells, ermittelt im zweiten Schritt, gleichgesetzt. Durch

den Koeffizientenvergleich zwischen den Übertragungsfunktionen entsteht ein Gleichungs-

system, dessen Lösung der Ermittlung der physikalischen Parameter des Modells dient. Die

Form des Gleichungssystems hängt im Wesentlichen von der Struktur des Modells und der

Anzahl der gewählten Übertragungsfunktionen ab. In der Regel entsteht ein nichtlineares

Gleichungssystem. Es kann durch die Standardtools [Maple], [MuPAD] gelöst werden. In

der Praxis darf die Ordnung nicht zu hoch werden, da das Gleichungssystem dann nicht

44 Kapitel 3

mehr lösbar ist.

Je nach Anzahl und Art der gewählten Übertragungspfade entsteht ein Gleichungssystem,

das unter- bzw. überbestimmt ist oder Widersprüche und lineare Abhängigkeiten beinhalten

kann. Bei unterbestimmten Gleichungssystemen kann ein weiterer Übertragungspfad be-

rücksichtigt werden. Hierzu muss noch einmal beim ersten Schritt des Identifizierungsver-

fahrens aufgesetzt werden, d. h. das System muss neu vermessen werden, ein neues Grey/

Black-Box-Modell muss erstellt und das Gleichungssystem neu aufgebaut werden. Bei ei-

nem überbestimmten Gleichungssystem kann ein Satz von Gleichungen frei gewählt wer-

den, der die Bestimmung der Parameter zulässt, d. h. es müssen unabhängige

widerspruchslose Gleichungen sein. Die Gleichungen, die für die Identifizierung nicht ver-

wendet werden, können später zur Überprüfung des Identifizierungsergebnisses herangezo-

gen werden. So können Messungenauigkeiten bzw. Modellungenauigkeiten ausgemacht

werden. Darüber hinaus können die überflüssigen Gleichungen auch in den Koeffizienten-

vergleich einbezogen werden. Hierzu sind dann Lösungsverfahren notwendig, die es er-

möglichen, überbestimmte Gleichungssysteme zu lösen, wie z. B. die Anwendung eines

Optimierungsverfahrens (MOPO) oder ein Least-Squares-Verfahren. Die Anwendung ei-

nes solchen Verfahrens hat den Vorteil, dass z. B. Störungen bei der Messwertaufnahme her-

ausgemittelt werden können. An dieser Stelle gilt: Je mehr Informationen über das System

zur Verfügung stehen, desto vielversprechender ist das Ergebnis der Identifizierung.

Darüber hinaus können unter Anwendung der Gröbner-Basen [Adams] Aussagen über die

Lösbarkeit solcher nichtlinearer Gleichungssysteme getroffen werden. Sie decken Wider-

sprüche und lineare Abhängigkeiten in den Gleichungen auf.

4. Nachoptimierung

Bei der Bestimmung der physikalischen Parameter wurden bis dato einige Vereinfachungen

getroffen: Erstens wurde die Identifizierung ausschließlich im Linearen durchgeführt.

Zweitens wurde versucht, die Realität mit Hilfe von Modellen nachzubilden, was nur be-

schränkt möglich ist und zu Fehlern führt. Des Weiteren können Fehler beim Lösen des

überbestimmten Gleichungssystems entstehen. Wie stark sich all diese Fehler auswirken,

ist systemabhängig und kann am Identifizierungsergebnis (Gegenüberstellung Rechnung

- Messung) festgemacht werden. Mit dem nichtlinearen Optimierungsverfahren (MOPO)

können diese Fehler noch einmal verkleinert werden. Dabei können die in Stufe 3 ermittel-

ten Parameter als Startwerte für die Optimierung dienen.

Auch bei der Anwendung von MOPO tauchen die in Stufe 1 dargelegten Probleme auf. Hier

muss die Frage nach den Zielgrößen und deren Parameterempfindlichkeit für das Optimie-

rungsverfahren gestellt werden.

Sowohl der in Stufe 3 beschriebene Koeffizientenvergleich als auch das in Stufe 4 erläuterte Op-

timierungsverfahren MOPO stehen auf dem Markt zur Verfügung. Aus diesem Grund wird ihr

mathematischer Hintergrund nicht in dieser Arbeit dargestellt. Es wird lediglich in Kapitel 3.3.3

und Kapitel 3.3.4 skizziert, wie sie in dieser Arbeit eingesetzt wurden, und auf die entsprechen-

de Literatur verwiesen.

Da das in Stufe 2 verwendete Frequenzgangsverfahren mangels Verfügbarkeit im Rahmen die-

ser Arbeit entwickelt wurde, wird im Folgenden der mathematische Hintergrund des Verfahrens

erläutert.

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 45

3.3.2 Mathematischer Hintergrund und Anwendungsbeispiele für

das Frequenzgangsverfahren (Stufe 2)

Wie schon erwähnt, handelt es sich bei dem Frequenzgangsverfahren um einen Algorithmus,

der im Umfeld der Modalanalyse in ähnlicher Weise entwickelt wurde [Potter], [Richard 85].

Darüber hinaus wird er in [Isermann] als ein Identifizierungsverfahren für lineare, nichtparame-

trische Modelle vorgestellt. Ausgewählt wurde diese Art von Identifizierungsverfahren, da es

den meisten der oben angegebenen Anforderungen gerecht wird. Darüber hinaus ist diese Art

von Verfahren einfach handhabbar, sehr verbreitet und dementsprechend vielfältig getestet.

Ziel der experimentellen Modalanalyse ist es, anhand von Messdaten und deren mathematischer

Aufbereitung Aussagen über das dynamische Verhalten des Testsystems zu erlauben. Hierzu

werden die gemessenen Zeit- bzw. Frequenzdaten mittels eines Modells angenähert. Dies wird

für eine Vielzahl von Übertragungspfaden (verschiedene Ausgänge zu verschiedenen Eingän-

gen) durchgeführt, was wiederum zu einer Vielzahl von Modellen führt. Die entstandenen Mo-

delle, welche die einzelnen Übertragungspfade repräsentieren, haben gleiche Pole

(charakteristisches Polynom).

Leider können diese Verfahren nicht direkt angewendet werden, da einerseits ihr Quellcode

nicht verfügbar ist, andererseits sind die definierten Anforderungen (Kapitel 3.2) weitergehend.

So wird bei der Modalanalyse der reine (MIMO) Mehrgrößenfall nur dadurch abgedeckt, dass

für jede Übertragungsfunktion das gleiche Nennerpolynom ermittelt wird. Dies ist eine notwen-

dige, jedoch nicht hinreichende Bedingung. Die Forderung nach physikalischen Modellen

schränken die Freiheitsgrade auch bei der Bestimmung des Zählerpolynoms erheblich ein. Ge-

nauere Erläuterungen hierzu sind in Kapitel 3.3.2.3 aufgeführt.

Diese beiden Gründe haben es erforderlich gemacht, ein Identifizierungsverfahren zu imple-

mentieren, das sich an die Verfahren aus der Modalanalyse anlehnt und den weiterführenden

Anforderungen aus Kapitel 3.2 entspricht.

3.3.2.1 Allgemeine Einführung

Zwischen dem in Abbildung 3.1 dargestellten Black-Box-Modell (Stufe 2) und dem physikali-

schen Modell (Stufe 3) kann es unter Umständen sehr große Unterschiede geben. Dies wird dar-

an deutlich, dass es eine Vielzahl von Black-Box-Modellen gibt, welche die gemessenen

Frequenzgänge approximieren können. Die Anzahl von Modellen, die dann wiederum auf das

physikalische Modell zurückgeführt werden können, ist jedoch sehr viel geringer. Letztendlich

ist das Dilemma darauf zurückzuführen, dass diese Black-Box-Verfahren die Modellstruktur

und die Physik des Systems nicht berücksichtigen. Die physikalische Struktur wird erst in

Stufe 3 durch den Koeffizientenvergleich wieder hergestellt. Der Koeffizientenvergleich führt

auf ein nichtlineares Gleichungssystem, dessen Lösung oft schwer bis unmöglich ist. Die Lö-

46 Kapitel 3

sung wird jedoch vereinfacht, wenn das Black-Box-Verfahren einige Eigenschaften des physi-

kalischen Modells berücksichtigt, wie z. B. die Ordnung des Systems (oder identische

Nennerpolynome bei gekoppelten Strukturen). Ziel muss es also sein, bei der Black-Box-Iden-

tifizierung möglichst viel Apriori-Wissen über die Modellstruktur zu berücksichtigen. Somit

gelangt man von den Black-Box-Modellen, die keine Struktur berücksichtigen, über die Grey-

Box-Modelle, die teilweise die physikalische Struktur berücksichtigen, hin zu den White-Box-

Modellen, den physikalischen Modellen. Die direkte Ableitung der physikalischen Parameter

und damit die Berücksichtigung der Physik des Systems ist unter Anwendung des Frequenz-

gangsverfahrens nicht möglich, da die einzelnen gebrochen rationalen Funktionen und deren

Koeffizienten extrem nichtlinear bzgl. der physikalischen Parameter sind.

Es gibt hier viele feine Details, die mehr oder weniger die Physik des Systems berücksichtigen

und somit verschiedene Anforderungen an das Identifizierungsverfahren stellen. Was dies für

Anforderungen sind, soll anhand des folgenden Beispiels, dem Force-Feedback-Aktor (vgl. Ka-

pitel 5.2.2) eines Steer-by-Wire-Systems, erläutert werden. Wie das Verfahren diesen Anforde-

rungen gerecht wird, soll dann in den nachfolgenden Kapiteln erläutert werden.

Das physikalische Ersatzmodell des Force-Feedback-Aktors ist in Abbildung 3.2 unten darge-

stellt. Es handelt sich hier im Wesentlichen um einen Zwei-Massen-Schwinger. Die eine Masse

stellt den Antriebsmotor, die andere das Lenkrad dar. Sie sind über ein Getriebe und durch eine

Torsionsfeder miteinander verbunden. Die Torsionsfeder ist in einen Lenkradmomentensensor

integriert. Durch die Differenz zwischen dem Lenkrad- und dem Motorwinkel wird über die

Torsionssteifigkeit das Lenkradmoment bestimmt. Der geregelte Motor soll am Lenkrad ein

Moment stellen und somit dem Fahrer ein geeignetes Lenkgefühl vermitteln.

Zur Synthese der Motorregelung wurde das System im Frequenzbereich vermessen, was zu den

in Abbildung 3.2 oben dargestellten Frequenzgängen führte. Links ist der Frequenzgang vom

Momenteneingang des Motors zum Lenkradmoment am Lenkrad gezeigt, rechts das Übertra-

gungsverhalten vom Momenteneingang zur Winkelgeschwindigkeit der Motors. Ziel ist es, aus

diesen Frequenzgängen ein Modell zu identifizieren. In Abbildung 3.2 unten ist das entspre-

chende physikalische Modell dargestellt. Ohne Berücksichtigung der Struktur des physikali-

schen Modells können mit Hilfe des Identifizierungsverfahrens Modelle (Black-Box)

hergeleitet werden, die dem statischen und dem dynamischen Verhalten des Systems genügen.

Diese allgemeinen Modelle sind in der Regel aber nur von geringem Interesse, da ihre Analyse

nur wenig Systemverständnis zulässt. Vielmehr bietet das physikalische, sauber parametrisierte

Modell die meisten Systeminformationen für Analyse und Reglersynthese.Leider ist es nicht

immer möglich ein physikalische Modell abzuleiten, z. B. wenn die Struktur des Systems unbe-

kannt oder die Herleitung des physikalischen Modells zu zeitaufwendig ist. In diesen Fällen

kann es sinnvoll sein, die Modellidentifizierung auf einer der in Abbildung 3.2 dargestellten

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 47

oberen Stufen abzuschließen und die Reglerauslegung mit den dort entstandenen Modellen, die

zumindest die bekannte Systemphysik berücksichtigen (siehe das Beispiel der Positionierma-

schine Kapitel 3.3.2.3), durchzuführen.

Abbildung 3.2: Zwischenstufen vom Black-Box Modell zum physikalischen Modell

48 Kapitel 3

Abbildung 3.2 zeigt von oben nach unten den sukzessiven Übergang vom Black-Box-Modell

hin zum physikalischen Modell. Dabei hat das erste identifizierte Modell nichts mit der Physik

des Systems zu tun. Hier wurden die Frequenzgänge willkürlich durch ein Modell 7. Ordnung

angenähert. Es ist nicht einmal garantiert, dass das entstandene Modell stabil ist.

Welche Systemeigenschaften hin zum physikalischen Modell mit dem vorgestelltem Identifi-

zierungsverfahren berücksichtigt werden können, wird im Folgenden aufgelistet. Dabei wird

zwischen einem Eingrößen- und einem Mehrgrößenfall unterschieden:

• Einstellbarkeit der Modellordnung

Bei dem zweiten Modell in Abbildung 3.2 wird die Ordnung des physikalischen Modells be-

rücksichtigt. Dies erfordert die Einstellbarkeit der in Gl. 3.9 dargestellten Zähler- und Nen-

nerordnung der gebrochen rationalen Funktion.

• Einstellbarkeit der Modellstabilität

Häufig handelt es es sich bei den zu identifizierenden Systemen um stabile Systeme, dies gilt

insbesondere für passive Komponenten. In diesem Fall sollte das resultierende Modell eben-

falls stabil sein. Der Algorithmus sollte also so einstellbar sein, dass er nur stabile Modelle

liefert.

Anforderungen speziell bei Mehrgrößensystemen (SIMO, MISO,MIMO)

• Berücksichtigung des gleichen Nennerpolynoms

Bei verkoppelten Mehrgrößensystemen weisen die einzelnen Übertragungspfade immer das

gleiche Nennerpolynom auf, das auch als charakteristisches Polynom bezeichnet wird (Mo-

dell 3 in Abbildung 3.2). Das Verfahren muss es ermöglichen, das gleiche Nennerpolynom

für verschiedene Frequenzgänge zu identifizieren.

• Einstellbarkeit unterschiedlicher Zählerordnungen

Die einzelnen Übertragungspfade variieren bzgl. der Zählerordnung. Dies muss beim Identi-

fizierungsverfahren berücksichtigt werden können (siehe Identifizierung des HP-Federbeins

weiter unten).

• Berücksichtigung von gleichen Zählerkoeffizienten

Zudem weisen manche Zählerkoeffizienten verschiedener Übertragungspfade Ähnlichkeiten

auf. So kann z. B. deren statische Verstärkung gleich sein (siehe Identifizierung des HP-Fe-

derbeins weiter unten). Dies sollte auch beim Identifizierungsverfahren einbezogen werden.

Anforderungen an MIMO-Systeme

Bei der Identifizierung von Mehrgrößensystemen (MIMO) kommt eine weitere Möglichkeit

hinzu, um physikalische Eigenschaften solcher Systeme schon bei der Grey-Box-Identifizie-

rung zu berücksichtigen. Hierbei sollen die mehr oder minder einzeln identifizierten Modelle

der Übertragungspfade in ein gekoppeltes Gesamtmodell der Zustandsraumdarstellung über-

führt werden, ohne dass die Ordnung des Zustandsraummodells höher wird als die der einzelnen

Übertragungspfade. Liegt z. B. ein System mit 3 Eingängen und 3 Ausgängen und damit 9 ent-

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 49

sprechenden Frequenzgängen vor, die jeweils eine Ordnung von 6 haben, dann müssen die je-

weiligen Zähler- und Nennerpolynome so bestimmt werden, dass das verkoppelte

Zustandsraummodell auch nur die Ordnung 6 aufweist.

Diese Forderung kann natürlich nicht auf alle Modelle bzw. Systeme übertragen werden. Bei

gekoppelten Strukturen, deren Modelle durch Messungen abgeleitet werden, ist dies jedoch

häufig der Fall. Immer wenn für alle Übertragungspfade der gekoppelten Struktur das gleiche

Nennerpolynom identifiziert wird, ist das charakteristische Polynom des Sytems bereits vorge-

geben. Entsprechend sollte die Dynamikmatrix A der Zustandsraumdarstellung das gleiche cha-

rakteristische Polynom beinhalten. Darüber hinaus sollte dass entstehenden Modell minimaler

Ordnung sein, da alle Eigenwerte steuerbar und beobachtbar sein müssen. Wäre dies nicht der

Fall könnten die Eigenwerte nicht angeregt (gesteuert) werden, bzw. nicht gemessen (beobach-

tet) werden1.

Es ist schnell einzusehen, dass die Forderung nach gleicher Modellordnung für das Zu-

standraummodell bedeutsam ist. Für die Auslegung von Reglern wird häufig die Zustands-

raumdarstellung verwendet. Weist dieses Zustandsraummodell eine unnötig hohe Ordnung auf

so sind viele Verfahren zur Regler- bzw. Beobachterauslegung nicht mehr anwendbar.

Welchen Bedingungen die Zähler- und Nennerpolynome genügen müssen, soll im Folgenden

erläutert werden. Eine offensichtliche Bedingung ist wohl, dass die Nennerpolynome der ein-

zelnen Übertragungsfunktionen gleich sind. Denn nur wenn die Eigenfrequenzen und die dazu-

gehörigen Dämpfungen identisch sind, kann davon ausgegangen werden, dass die Ordnung des

Zustandsraummodells der Ordnung der einzelnen Übertragungsfunktionen entspricht. Dies ist

eine notwendige, leider aber keine hinreichende Bedingung. Vielmehr müssen die Zählerkoef-

fizienten der einzelnen Übertragungsfunktionen auch bestimmte Abhängigkeiten untereinander

aufweisen. Wird der umgekehrte Weg eingeschlagen, nämlich vom Zustandsraummodell zu den

einzelnen Übertragungsfunktionen, so werden die Abhängigkeiten der Zählerpolynome deut-

lich.

Das Zustandsraummodell, ohne Berücksichtigung des Durchgriffs, sieht wie folgt aus:

(3.1)

Dabei ist x der Zustandsvektor, u der Eingangsvektor, y der Ausgangsvektor und die Matrizen

A, B, C sind die Systemmatrizen.

In Modalform transformiert, entsteht daraus (vorausgesetzt werden einfache Eigenwerte):

1. Dies gilt nur für eine Betriebsmodeanalyse, bei der die Anregung und Messung über die im Betrieb des Systems verwendete

Aktorik bzw. Sensorik durchgeführt wird.

·Ax Bu

50 Kapitel 3

(3.2)

Dabei stellt T die Rechtseigenvektormatrix dar.

Durch Laplace-Transformation und Elimination von X(s) entsteht aus Gl. 3.1 und Gl. 3.2 fol-

gendes Gleichungssystem:

(3.3)

mit E = Einheitsmatrix.

Aus Gl. 3.3 kann dann für die Matrix G(s) Folgendes extrahiert werden:

mit n = Ordnung des Systems, (3.4)

wobei die i-te Spalte von und die i-te Zeile von sind. Ri stellt dabei die Residuenma-

trix des entsprechenden Eingenwertes i dar, wie sie auch in der experimentellen Modalanalyse

verwendet wird. Für ein System mit zwei Eingängen zwei Ausgängen und der Ordnung 2 wird

aus Gl. 3.4:

(3.5)

Gl. 3.5 zeigt, dass für unterschiedliche Übertragungspfade Gjk(s) das gleiche Nennerpolynom

auftaucht. Darüber hinaus sind für unterschiedliche Gjk(s) ähnliche Zählerkoeffizienten zu ent-

decken. So werden pro Eigenwert jeweils ein (in den Zeilen) und ein (in den Spalten)

doppelt verwendet. Somit sind jeweils die Zeilen- und Spaltenvektoren linear voneinander ab-

hängig, z. B. kann die erste Zeile des ersten Eigenwertes durch die Multiplikation / in die

zweit Zeile überführt werden. Die Multiplikation der mit den ergibt die Residuen . Da-

mit müssen die Residuenmatrizen für alle Eigenwerte den Rang 1 aufweisen.

Dieser Zusammenhang wird auch in Abbildung 3.3 noch einmal an einem System 1. Ordnung

mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen verdeutlicht. Dargestellt sind zwei SIMO-Systeme (linke

Seite) in Modalform. Diese beiden Systeme besitzen den gleichen Pol und haben jeweils einen

Eingang und zwei Ausgänge. Um aus diesen beiden Systemen ein verkoppeltes MIMO-System

zu generieren, ist es also notwendig, dass die folgende Beziehung gilt:

·Λx

˜B

˜u

˜x mit: xTx

˜ B

;T1– B ; ΛT1– AT ; C

˜CT

=====

Ys() CsE A–()

1– B()Us() Gs()Us() C

˜sE Λ–()

1– B

()Us()===

Gs() c

˜ib

˜i

sλi

–()

------------------

i1=

∑Ri

sλi

–()

------------------

i1=

∑

˜iC

˜b

˜i

Gs()

˜11b

˜11 c

˜11b

˜12

˜21b

˜11 c

˜21b

˜12

sλ1

–()

----------------------------------------

˜12b

˜21 c

˜12b

˜22

˜22b

˜21 c

˜22b

˜22

sλ2

–()

----------------------------------------+

r11

1r12

K1r11

×K1r12

sλ1

–()

----------------------------------------------

r11

2r12

K2r11

×K2r12

sλ2

–()

----------------------------------------------+==

˜jk b

˜jk

˜21 c

˜11

˜jk b

˜jk rjk

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 51

, wobei Kl komplex sein kann. (3.6)

Für Systeme höherer Ordnung muss für jeden einzelnen Eigenwert ein K gefunden werden, so

dass folgende Beziehung gilt:

für alle l = 1...m (m = Anzahl der Eigenwerte). (3.7)

Aus diesen Überlegungen und der Gl. 3.7 wird somit deutlich, dass Systeme mit nur einem Ein-

gang (SIMO) bzw. nur einem Ausgang (MISO), also Systeme, bei denen nur eine Spalte bzw.

eine Zeile der Übertragungsmatrix G(s) betrachtet wird, keine Ordnungserhöhung bei der Über-

führung in den Zustandsraum entsteht.

3.3.2.2 Identifizierung von Eingrößensystemen

Bei der Identifizierung von SISO-Systemen kann der Algorithmus aus der Modalanalyse direkt

verwendet werden. Aus diesem Grund wird hier nur die Idee des Algorithmus skizziert und

nicht der genaue mathematische Zusammenhang dargestellt. Der interessierte Leser wird auf

[Richard 82], [Potter], [Ewins], [Nyenhuis2 98] verwiesen.

Das in dieser Arbeit implementierte Verfahren ist angelehnt an das Verfahren von [Richard 82],

wobei anstelle von Forsythe-Polynomen [Kelly] Chebychev-Polynome [Rivlin] verwendet

wurden.

Zur Frequenzgangsanpassung wird ein Fehler E(w) definiert. Er stellt die quadratische Fehler-

fläche zwischen dem gemessenen Frequenzgang des realen Systems und dem gerechneten Fre-

quenzgang des Modells dar (beispielhaft in Abbildung 3.4 als schraffierte Fläche dargestellt).

Die mathematische Formulierung dieses Fehlers kann den folgenden Gleichungen entnommen

werden:

Abbildung 3.3: Erzeugung eines 2x2-Systems 1. Ordnung aus ein System 2. Ordnung

˜jk r

˜∗jk K×l

˜ljk r

˜∗ljk K×l

∗

λ−

∗

λ−

−

∗

52 Kapitel 3

(3.8)

mit: ωk= Frequenzstützstelle

n = Nennergrad

m = Zählergrad

H = gemessener Frequenzstützstelle

J = Fehler zwischen der gemessenen Frequenz- und der Modellfrequenzstützstelle

aj= Zählerkoeffizienten

bj= Nennerkoeffizienten

i =

Das Modell wird dabei als eine gebrochen rationale Funktion der folgenden Form repräsentiert:

(3.9)

Bei der Definition des Fehlers (Gl. 3.8) entsteht eine nichtlineare Funktion in den Koeffizienten

aj und bj. Ziel des Identifizierungsverfahrens ist es, diesen Fehler zu minimieren. Hierzu wird

das Problem umformuliert zu:

Abbildung 3.4: Definition des Fehlers zwischen Rechnung und Messung

Jiωk

() ajiωk

()

j0=

∑

bjiωk

()

j0=

∑

-----------------------------------Hiωk

()–

⎝⎠

⎜⎟

⎛⎞

1–

Giω() ajiω()

j0=

∑

bjiω()

j0=

∑

--------------------------------

Jiωk

() ajiωk

()

j0=

∑Hiωk

() bjiωk

()

j0=

∑

–

⎝⎠

⎛⎞

⎝⎠

⎛⎞

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 53

mit: . (3.10)

Wk kann als eine Gewichtungsfunktion der einzelnen Frequenzstützstellen gesehen werden. Da

der Term aber nicht bekannt ist, kann er nicht a priori errechnet werden. Dies stellt

keinen wesentlichen Nachteil dar, da die Gewichtungsfunktion vom Anwender beliebig gewählt

werden kann.

Zur Erzielung eines quadratischen Fehlers für den gesamten Frequenzbereich wird Gl. 3.10 mit

der konjungiert Komplexen multipliziert und über alle Frequenzstützstellen aufsummiert. So er-

gibt sich die in Gl. 3.11 dargestellte Gleichung für die quadratische Fehlerfläche.

(3.11)

Setzt man Wk für alle Frequenzstützstellen auf 1, so entsteht bei der partiellen Ableitung der Gl.

3.11 nach den Koeffizienteneine aj und bj ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung aus den

Koeffizienten aj und bj besteht. Dabei ergeben sich aj und bj so, dass sie für Gl. 3.11 ein Mini-

mum erfüllen. Das entstehende Gleichungssystem ist leider in den meisten Fällen sehr schlecht

konditioniert, so dass eine Lösung für aj und bj nur selten möglich ist. Aus diesem Grund wird

das in Gl. 3.11 dargestellte Problem umformuliert.

Hierzu wird die Übertragungsfunktion (Gl. 3.9) in Form von komplexen orthogonalen Po-

lynomen formuliert. Dabei werden als orthogonale Polynome Chebyshev-Polynome ver-

wendet [Rivlin]:

. (3.12)

Hiermit kann Gl. 3.10 folgendermaßen aufgestellt werden:

mit: . (3.13)

Zur Erzeugung des Least-Squares-Fehlers folgt:

Wkbjiωk

()

j0=

∑

⎝⎠

⎛⎞

1–

bjiωk

()

j0=

∑

Eiω() Jiω()Jiω()

∗

()

k1=

∑

Gω()

Tiω()

G′iω() cjTjiω()

j0=

∑

djTjiω()

j0=

∑

------------------------------------

J′iω() cjTjiωk

()

j0=

∑Hiωk

() djTjiωk

()

j0=

∑

–

⎝⎠

⎛⎞

W′k

W′kdjiωk

()

j0=

∑

⎝⎠

⎛⎞

1–

54 Kapitel 3

(3.14)

Für diese Gleichung werden die partiellen Ableitungen nach den Koeffizienten cj und dj be-

stimmt und diese zu Null gesetzt. So kann wieder ein Gleichungssystem bestimmt werden (Gl.

3.15), dessen Lösung die Parameter cj und dj darstellen. Aufgrund der Verwendung von ortho-

gonalen Polynomen zur Herleitung des Gleichungssystems ist dieses System besser konditio-

niert und lässt eine Lösung auch für hohe Systemordnungen zu ([Richard 82], [Rivlin]).

(3.15)

Das Gleichungssystem Gl. 3.15 kann vereinfachend folgendermaßen dargestellt werden:

. (3.16)

Damit kann die Lösung für c und d wie folgt angegeben werden:

(3.17)

Die Invertierung der Matrix A1 stellt kein Problem dar, da es sich hier um eine Diagonalmatrix

handelt, die aufgrund der Verwendung der Chebychev-Polynome entstanden ist1. Darüber hin-

aus ist zu erkennen, dass die Koeffizienten des Nennerpolynoms unabhängig vom Zählerpoly-

nom ermittelt werden können.

Durch die Annahme, dass die Gewichtung Wk = 1 ist, entstand das lineare Gleichungssystem

3.15. Dies wurde durchgeführt, da die Koeffizienten dj a priori nicht bekannt sind. Hierdurch

entsteht ein Fehler bei der Lösung des Problems. Eine Möglichkeit, diesen Fehler auszumerzen,

besteht darin, den hier aufgezeigten Formalismus mehrfach zu durchlaufen und die dj aus dem

vorangegangenen Iterationsschritt für den nächsten zu verwenden. Die Verwendung des Forma-

lismus zeigt jedoch, dass die einfache Anwendung in den meisten Fällen ausreichend ist.

1. Die Diagonalisierung der A1-Matrix trägt wesentlich zur besseren Konditionierung der Gl. 3.15 bei.

E′iω() J′iω()J′iω()

∗

()

k1=

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

−

ℜ−

∗

ℜ−

∗

ℜ

∗

ℜ

−

∑

∗

−−

ℜ

∗

−

ℜ

∗

−

ℜ−

∗

−

ℜ−

∗

−

ℜ

∗

ℜ

∗

ℜ−

∗

ℜ−

∗

−

ℜ−

∗

ℜ−

∗

ℜ

∗

−

ℜ−

∗

ℜ−

∗

ℜ

)

(

)

(

)(

)

(

)

()

(

)

()

(

)

()

()(00

)

()

(00)

(

THT

TTHTTH

TTHTT

TTHTTTT

MOMOM

MOMO

A1B1

C1D1

11– E1A11– B1d–= C1A11–

–B1D1

+()dF

1C1A11– E1

–=

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 55

Die Koeffizienten cj und dj sind jedoch noch Koeffizienten der Chebychev-Polynome. Sie kön-

nen durch einen einfachen rekursiven Algorithmus [Rivlin] in die ursprünglichen Koordinaten

(Koeffizienten aj und bj, siehe Gl. 3.9) zurücktransformiert werden.

Garantie der Stabilität

Um ein stabiles Modell abzuleiten, wird der Vorteil genutzt, dass das Zählerpolynom unabhän-

gig vom Nennerpolynom bestimmt werden kann. Nachdem das Nennerpolynom bestimmt wur-

de, werden die Eigenwerte besichtigt. Alle Eigenwerte mit positivem Realteil werden an der

imaginären Achse gespiegelt, d. h. ihr Realteil wird negiert, um so ein Nennerpolynom mit sta-

bilen Eigenwerten zu liefern. Danach wird das Zählerpolynom unter Anwendung dieses stabilen

Nennerpolynoms gelöst.

Als Beispiel für das Funktionieren dieses Algorithmus ist in Abbildung 3.5 die Identifizierung

der Messung einer Positioniermaschine dargestellt. Die Messung wurde mit einem stabilen Mo-

dell 24. Ordnung für das Zählerpolynom und 24. Ordnung für das Nennerpolynom angenähert.

Dargestellt ist der Frequenzgang von der Eingangsspannung des Lorentz-Motors in y-Richtung

zum Weg in x-Richtung.

Abbildung 3.5: Gemessener und identifizierter Frequenzgang 24. Ordnung

-1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Frequenzgang offener Regelkreis [Weg

ist

/Spannung]

Frequenz [rad/s]

Betrag [dB, m/U]

-1

-200

-150

-100

-50

Frequenz [rad/s]

Phase [Grad]

Messung

Modell

56 Kapitel 3

Die Maschine wurde einer Systemidentifizierung unterzogen, damit anhand der gewonnenen

Modelle ein Positionsregler entworfen werden konnte, der im Bereich einer Positioniergenau-

igkeit von 5 nm arbeitet. Eine genauere Systemdarstellung dieser Maschine kann in Kapitel 5.1

nachgeschlagen werden.

Somit sind nun die Voraussetzungen geschaffen, um ein SISO-System dieses einen Übertra-

gungspfades in Form eines Black-Box-Modells zu identifizieren. Dabei ist die Ordnung des

Modells sowohl bzgl. Nenner als auch Zähler frei wählbar. Die Arbeiten mit diesem Verfahren

hat gezeigt, dass Modelle bis zu einer Ordnung von 40 identifiziert werden können. Systeme

höherer Ordnung führen zu numerischen Schwierigkeiten aufgrund der damit einhergehenden

schlechten Konditionierung des Gleichungssystems 3.15.

3.3.2.3 Identifizierung von Mehrgrößensystemen

Bei der Identifizierung von Mehrgrößensystemen kommt die Schwierigkeit hinzu, dass mehrere

Übertragungspfade gleichzeitig zu identifizieren sind. Diese Aufgabe ist trivial, sofern die

Übertragungspfade nicht gekoppelt sind. In diesem Fall ist es möglich, die einzelnen Frequenz-

gänge sukzessive mit Hilfe des SISO-Verfahrens zu identifizieren.

In der Regel handelt es sich bei den Mehrgrößensystemen aber immer um gekoppelte Struktu-

ren, so dass die einzelnen Übertragungspfade nicht unabhängig voneinander betrachtet werden

können. Es bestehen Abhängigkeiten sowohl in den Nenner- als auch in den Zählerpolynomen.

Diese Abhängigkeiten sollten, wenn sie bekannt sind, bei der Identifizierung berücksichtigt

werden. Sie sind es aber auch, die den Identifizierungsvorgang bei Mehrgrößensystemen er-

schweren.

Die Abhängigkeiten werden durch die Physik des Systems vorgegeben. Sie wurden im Kapitel

3.3.2.1 diskutiert. Wie sie in den Identifizierungsalgorithmus eingebaut wurden, soll an dieser

Stelle an Beispielen erläutert werden.

Berücksichtigung des gleichen Nennerpolynoms

Wie Gl. 3.17 zeigt, kann das Nennerpolynom unabhängig vom Zählerpolynom identifiziert wer-

den. Um für jeden Frequenzgang das gleiche Nennerpolynom zu bestimmen, kann man Gl. 3.17

für jeden Frequenzgang einzeln aufstellen, um dann die Lösung für d in Form eines Least-

Squares-Verfahrens zu ermitteln. Wird Gl. 3.17 folgendermaßen vereinfachend für r Frequenz-

gänge dargestellt,

mit: und ; j = 1..r mit r = Anzahl der Frequenzgänge,(3.18)VjdU

=Vj

–

-------- BjDj

+= UjFjCjEj

-----------–=

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 57

so entsteht für die Identifizierung eines gemeinsamen Nennerpolynoms ein überbestimmtes

Gleichungssystem für die Parameter d. Dies kann durch einen Least-Squares-Ansatz gelöst wer-

den und führt zur folgenden Gleichung:

; r = Anzahl der Frequenzgänge (3.19)

Die Lösung dieser Gleichung nach d führt auf das gesuchte Nennerpolynom in Chebychev-Ko-

ordinaten.

Einstellbarkeit unterschiedlicher Zählerordnungen

Nachdem das Nennerpolynom bestimmt ist, kann Gl. 3.16 für jeden Frequenzgang neu aufge-

baut werden. Dabei wird die jeweilige Zählerordnung des Frequenzganges berücksichtigt, da-

mit dann unter Anwendung von Gl. 3.17 die Zählerpolynome cj bestimmt werden können.

Berücksichtigung von gleichen Zählerkoeffizienten

Häufig kommt es vor, dass die statische Verstärkung (also die Zählerkoeffizienten in s0) von ge-

messenen Frequenzgängen gleich sind. Um dies berücksichtigen zu können, kann die Gl. 3.16

so umsortiert werden, dass die cj0 bei der Lösung für das gemeinsame Nennerpolynom berück-

sichtigt werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die gleichen Elemente von cj in einem

nachgeschalteten Least-Squares-Verfahren zu ermitteln.

Keine Ordnungserhöhung bei Überführung in den Zustandsraum

Wie weiter oben erläutert, wird diese Anforderung von Systemen eingehalten, deren Residuen-

matrizen den Rang 1 aufweisen. Leider ist es nicht möglich, diese Bedingungen direkt in das

Identifizierungsverfahren einzubauen, da das in Gl. 3.16 entstehende Gleichungssystem durch

diese Bedingungen nichtlinear wird und somit nicht mehr lösbar ist. Dies gilt für eine Formu-

lierung sowohl in Zähler-/Nennerpolynomen (Gl. 3.9) als auch in der Residuendarstellung (Gl.

3.4).

Damit das Problem dennoch gelöst werden kann, wird vorgeschlagen, das soweit entstandene

Modell auf die oben beschriebene Bedingung zu prüfen und es ggf. abzuändern, so dass es diese

Bedingung erfüllt.

Hierzu ist Folgendes zu tun:

• Überprüfen der Eigenvektoren

Die aus dem Identifizierungsverfahren ermittelten Übertragungsfunktionen müssen in die

Residuendarstellung (siehe Gl. 3.4) überführt werden. Die dabei entstehenden Matrizen Ri

müssen den Rang 1 besitzen.

()

j1=

∑VjUj

58 Kapitel 3

• Erzeugung des Rangabfalls

Die gefundenen Residuenmatrizen müssen nun so abgeändert werden, dass sie jeweils den

Rang 1 erhalten. Es existieren Algorithmen, mit denen es möglich ist, einen Rangabfall in-

nerhalb einer Matrix zu erzeugen.

An dieser Stelle soll aber mehr gemacht werden, als nur einen Rangabfall zu produzieren. Der

Rangabfall muss so gestaltet werden, dass das dabei entstehende System die gemessenen Fre-

quenzgänge noch genügend genau annähert. Um dies zu gewährleisten, sollten die Residuen-

matrizen nach einer bestimmten Strategie verstellt werden. Diese Strategie lautet für den in

dieser Arbeit verwendeten Algorithmus: Verstelle die Residuen, die erstens einen möglichst

geringen Einfluss auf den Frequenzgang haben oder zweitens nicht sauber identifiziert wur-

den. Beim ersten Kriterium ist nicht nur die Größe der Residuen entscheidend. Auch das Ver-

hältnis zwischen Residuen und Betrag des Frequenzgangs im betrachteten Eigenwert (i)

sollte klein sein (siehe Gl. 3.20). Damit kann die erste Forderung folgendermaßen formuliert

werden:

. (3.20)

Gl. 3.20 gibt somit ein Dominanzmaß an, welches ein Maß für den Einfluß der Residuen auf

den Frequenzgang wieder spiegelt. Wird dies für alle Residuen durchgeführt, so ensteht pro

Eigenwert i eine Dominanzmatrix . Diese Matrix kann als Maßstab herangezogen werden,

um eine Reihenfolge festzulegen, in der die Elemente von Ri verändert werden sollten, um

einen Rang von 1 zu erzielen. Dabei werden die Elemente mit dem geringsten Dominanzmaß

zuerst verändert. Ein ähnliches Dominanzmaß wird von Litz zur Ordnungsreduktion heran-

gezogen ([Harrer]).

Das zweite Kriterium sagt etwas über die Güte der Identifizierung aus. Werden z. B. einige

Frequenzgänge an bestimmten Eigenwerten nicht sauber identifiziert, so ist davon auszuge-

hen, dass das dazugehörige Residuum auch fehlerbehaftet identifiziert wurde (siehe Abbil-

dung 3.6 unten rechts). Somit bietet es sich an, dieses Residuum zu verstellen. Diese beiden

Kriterien können für jeden Eigenwert getrennt überprüft werden. Liegt der Fall vor, dass der

Frequenzgang bzgl. der Residuen nicht gut identifiziert wurde, sollten natürlich zuerst diese

Residuen verdreht werden, unabhängig von Gl. 3.20.

Dieses Vorgehen soll nun am Beispiel der Identifizierung eines Mehrkoordinatenantriebs ge-

zeigt werden. Die Beschreibung dieser Maschine ist in Kapitel 5.1 zu finden. Es soll ein System

mit 3 Eingängen und 3 Ausgängen identifiziert werden. Die Eingänge geben die drei Spannun-

gen der Lorentz-Motoren und die 3 Ausgänge die Lagen in x-, y- und die rz-Achse wieder. Da-

bei wurden x und y in der Einheit Meter gemessen, und rz stellt die Rotation um die z-Achse in

mrad dar.

Zum Zeitpunkt der Untersuchungen lag kein physikalisches Modell vor, und aufgrund der Kom-

plexität der Maschine wurde anfangs auch nicht in Erwägung gezogen, ein solches Modell auf-

zubauen. Aus diesem Grund kam das Identifizierungsverfahren zum Einsatz, um ein Grey-Box-

Modell zu erzeugen, an dem die anschließende Reglerauslegung durchgeführt werden konnte.

Rjki

Gjk sλi

=()

------------------------------- D

ˆjk

ˆi

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 59

Die Idee, ein Modell 6. Ordnung zu erzeugen, liegt darin begründet, dass die ersten beiden Re-

sonanzen bei 8 und 9 Hz die Starrkörperfreiheitsgrade in y- bzw. x-Richtung darstellen. Die drit-

te Resonanz bei 13 Hz ist der Starrkörperfreiheitsgrad Rotation um die z-Achse. Die

Zählerordnungen konnten aufgrund eines fehlenden analytischen Modells nicht im Vorfeld an-

gegeben werden. Die Differenzordnung zwischen Zähler- und Nennerordnung kann jedoch an-

hand des Phasenabfalls aus den gemessenen Frequenzgängen abgelesen werden. Somit ergibt

sich z. B. für den in Abbildung 3.6 links oben dargestellten Frequenzgang einen Phasenabfall

von 180° Grad, was einer Differenzordnung von 2 entspricht. Damit könnte zur Identifizierung

dieses Frequenzganges eine Zählerordnung von vier angegeben werden. Versuche sowohl Zäh-

ler- als auch Nennerordnung für das Identifizierungsverfahren dermaßen einzuschränken schlu-

gen leider fehl. Dies kann darauf zurück geführt werden, dass das Verfahren zusätzliche

Freiheitsgrade braucht, um Messrauschen, Einflüsse benachbarter Eigenfrequenzen auf den

Frequenzgang, Einflüsse aus der Signalverarbeitung etc. auszugleichen. Damit wurden sowohl

Zähler- als auch Nennerordnung zur Identifizierung für aller 9 Frequenzgänge auf 6 voreinge-

stellt. Darüber hinaus wurde für alle Übertragungsfunktionen ein gemeinsames Nennerpolynom

bestimmt. Das Ergebnis der Identifizierung ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Im Kapitel 7.1 sind

die Frequenzgänge noch einmal in größerer Form dargestellt.

Wird dieses Modell in den Zustandsraum transformiert, so entsteht ein Modell 18. Ordnung, an

dem eine Reglerauslegung nicht mehr möglich ist. Es gibt eine Vielzahl von Verfahren zur Ord-

nungsreduktion, um dieses Modell wieder auf eine Ordnung von 6 zu reduzieren. [Harrer] gibt

einen guten Überblick über diese Verfahren. Im Rahmen dieser Arbeit wurde versucht eine Ord-

nungsreduktion mit Hilfe balancierter Zustandsraumdarstellung zu erzeugen. Sowohl dieses

Verfahren als auch die in [Harrer] vorgestellten Verfahren haben allesamt den Nachteil, dass sie

nicht die Güte der Identifizierung mit berücksichtigen. Entsprechend schlugen die Reduzie-

rungsversuche fehl. Aus diesem Grund wurde nicht das Zustandsraummodell reduziert, sondern

es wurden die identifizierten Residuenmatrizen der Übertragungsfunktionen im Vorfeld so an-

gepasst, dass bei der Überführung in die Zustandsraumdarstellung keine Ordnungserhöhung re-

sultierte.

Das Ergebnis ist ein Modell 6. Ordnung, dessen Frequenzgänge in Abbildung 3.7 und in Kapitel

7.1 denen der Messungen gegenübergestellt sind. Werden die Frequenzgänge von z. B. Eingang

3 zu Ausgang 3 in Abbildung 3.6 und Abbildung 3.7 miteinander verglichen, so fällt auf, dass

das Modell höherer Ordnung bzgl. der ersten und der zweiten Eigenfrequenz nicht gut identifi-

ziert wurde. Dies war auch der Grund, warum u. a. die dazugehörigen Residuen angepasst wur-

den. Durch die Anpassung und die damit weiterführende Berücksichtigung der Systemphysik

hat sich das Identifizierungsergebnis an dieser Stelle noch einmal verbessert. Diskrepanzen in

der Phase, wie sie z. B. von Eingang 2 zum Ausgang 3 zu erkennen sind, können auf die Unein-

deutigkeit der Tangens-Funktion zurückgeführt werden und stellen keine Einschränkung des

Identifizierungsergebnisses dar.

60 Kapitel 3

Der Regler wurde anschließend an diesem Grey-Box-Modell ausgelegt und abschließend an

den Black-Box-Modellen1 höherer Ordnung, die einen breiteren Frequenzbereich abdeckten

(siehe Abbildung 3.5), getestet. Der mit Hilfe dieser Modelle erstellte und getestete Regler wur-

de in einem letzten Schritt auf der Maschine implementiert2. Er war ohne weiteres Nacharbeiten

mit ausreichender Bandbreite und Dämpfung lauffähig, was auf eine ausreichende Modellge-

nauigkeit hindeutet.

Abbildung 3.6: Identifiziertes Modell (Ordnung 18) und Messung der Positioniermaschine

1. Wiederum erstellt mit dem in dieser Arbeit vorgestellten Identifizierungsverfahren.

2. Der Entwurf und die Implementierung der Regelung wurden nicht im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt.

-150

-100

-50

x [N]

x [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-200

200 10

-150

-100

-50

y [N]

-500

500 10

-200

-150

-100

z [Nm]

-400

-200

-100

y [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-500

500 10

-150

-100

-50

-200

200 10

-200

-150

-100

-500

500

Frequenz [Hz]

-150

-100

-50

rz [mrad]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-500

500 10

-150

-100

-50

-500

500

Frequenz [Hz]

-200

-150

-100

-500

500

Messung

Modell

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 61

3.3.2.4 Implementierung des Frequenzgangsverfahrens

Das Verfahren wurde unter Matlab als m-Funktion implementiert. Der Aufruf gestaltet sich fol-

gendermaßen:

[num,den] = identfreq(H,W,ZNr,NNr,trace,stable,plot,weight,sum);

Ausgänge sind die Zählerpolynommatrix (num), wobei die Zählerpolynome zeilenweise sor-

tiert sind, und das Nennerpolynom (den), jeweils beginnend mit dem Koeffizienten höchster

Ordnung.

Eingänge sind die Frequenzgangsmatrix H, der Frequenzgangsvektor W in [rad/s], ein Vektor

(ZNr), der die Ordnung der Zählerpolynome angibt, und die Ordnung des Nennerpolynoms

NNr. Wird der Schalter trace auf 1 gesetzt, so werden Ergebnisse der Iterationsschritte ausge-

geben. Stable sorgt dafür, dass die entstehenden Modelle stabil sind. Plot ermöglicht es, die

Abbildung 3.7: Identifiziertes Modell (6. Ordnung) und Messung der Positioniermaschine

-150

-100

-50

[N]

x [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-200

200 10

-150

-100

-50

[N]

-500

500 10

-200

-150

-100

[Nm]

-400

-200

-100

y [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-500

500 10

-150

-100

-50

-200

200 10

-200

-150

-100

-500

500

Frequenz [Hz]

-150

-100

-50

rz [mrad]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-500

500 10

-150

-100

-50

-1000

1000 10

-200

-150

-100

-200

200

Messung

Modell

62 Kapitel 3

Identifizierungsergebnisse direkt darzustellen. Mit dem Vektor weight können die einzelnen

Frequenzstützstellen gewichtet werden. Wird der Schalter sum auf 1 gesetzt, werden die Beträ-

ge aller Frequenzgänge aufsummiert und als Summenfrequenzgang dargestellt.

Der Quellcode dieser m-Funktion kann in Kapitel 7.4 nachgeschlagen werden.

3.3.3 Koeffizientenvergleich zur Bestimmung der physikalischen

Parameter (Stufe 3)

Zur Bestimmung der physikalischen Parameter wird ein Koeffizientenvergleich zwischen dem

Grey-Box-Modell und dem physikalischen Modell vorgeschlagen. Um diesen Koeffizienten-

vergleich einfach zu gestalten, wurden möglichst viele physikalische Eigenschaften des Sy-

stems bei der Bestimmung des Grey-Box-Modells berücksichtigt. Darüber hinaus werden die

der Stufe 1 des Identifizierungsverfahrens zugrundeliegenden Frequenzgänge so ausgewählt,

dass das an dieser Stelle entstehende Gleichungssystem lösbar ist (siehe auch Kapitel 3.4.1). In

diesem Zusammenhang sollte das Gleichungssystem nicht unterbestimmt sein. Überbestimmte

Systeme weisen mehr Gleichungen als zu identifizierende Parameter auf. Hier führt die Anwen-

dung eines Least-Squares-Verfahren zur Berücksichtigung aller Gleichungen zur Lösung des

Problems. Darüber hinaus können aber auch überschüssige Gleichungen bei der Lösung des

Problems weggelassen werden. Wird dies mehrfach mit jeweils unterschiedlichen Gleichungen

durchgeführt, führt dies auf mehrere Lösungen (Parametersätze). Die einzelnen Lösungen soll-

ten dabei physikalisch sinnvoll sein und können bei Bedarf noch einer Mittlung unterzogen wer-

den.

Hinzu kommt, dass die gewählten Frequenzgänge eine genügend große Empfindlichkeit bzgl.

der zu identifizierenden Parameter aufweisen. Ist dies nicht der Fall, so ist mit einem schlecht

konditionierten Gleichungssystem (siehe Gl. 3.15) zu rechnen.

In der Regel resultieren aus dem Koeffizientenvergleich nichtlineare Gleichungssysteme, zu de-

ren Lösung Formelmanipulationsprogramme, wie z. B. [MuPAD] und [Maple], eingesetzt wer-

den können. Des Weiteren stehen zur Analyse dieser Gleichungssysteme weitere Hilfsmittel zur

Verfügung, die es erlauben, lineare Abhängigkeiten bzw. Widersprüche in den Gleichungen auf-

zudecken. Dies ist z. B. mit Hilfe der Gröbner-Basen [Adams] möglich, die wiederum z. B. in

Maple zur Verfügung stehen. Prinzipiell ist die symbolische Lösung dieses Gleichungssystems

bis zu einer Größenordnung von ca. 10 gesuchten Parametern möglich.

Eine weitere Möglichkeit, dieses Gleichungssystems zu lösen, besteht darin, es als ein nichtli-

neares Optimierungsproblem zu formulieren. Dabei stellt die Erfüllung der einzelnen Gleichun-

gen die Zielgrößen dar. Zur Erfüllung der Zielgrößen werden die Parameter nach einer

bestimmten Strategie (je nach verwendetem Optimierungsverfahren) variiert, um so die physi-

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 63

kalischen Parameter zu bestimmen. Dies deckt auch das Problem der überbestimmten Glei-

chungssystemen ab. Diese Vorgehensweise erfordert, im Vergleich zur symbolischen Lösung,

einen höheren Zeitaufwand und das Wissen über geeignete Startparameter.

3.3.4 Identifizierung durch die nichtlineare Optimierung (Stufe 4)

Zur Unterstützung des bis dato erläuterten Identifizierungsprozesses kann ein nichtlineares Op-

timierungsverfahren verwendet werden. Es soll dazu dienen, das bis hierhin erzielte Identifizie-

rungssergebnis weiter zu verbessern bzw. die weiterführende Einbeziehung nichtlinearer

Systemeigenschaften zu ermöglichen. Neben der Berücksichtigung von nichtlinearen System-

eigenschaften durch eine Betrachtung (Linearisierung) um einen Betriebspunkt, können hiermit

z. B. Parameter von nichtlinearen Modellstrukturen angepasst werden. Exemplarisch wird die

Anwendung dieses Identifizierungsverfahrens in Kapitel 3.4.4 an der Identifizierung des HP-

Federbeins gezeigt.

Bei dem hier eingesetzten nichtlinearen Optimierungsverfahren handelt es sich um das Verfah-

ren MOPO (Multi-Objective Parameter Optimization). Die Entwicklung dieses Verfahrens war

nicht Schwerpunkt dieser Arbeit. Es wurde vielmehr in den 90er Jahren am MLaP entwickelt

und unterlag in den letzten 20 Jahren einer stetigen Weiterentwicklung. Die Funktionsweise die-

ses Algorithmus kann in [Kasper], [Münch] nachgelesen werden. Da es sich bei dieser Art der

Systemidentifizierung um ein iteratives Verfahren handelt, das zum Einen einen hohen interak-

tiven User-Einsatz braucht, zum Anderen auch einen hohen Zeitaufwand und darüber hinaus

gute Startparameter benötigt, wird es hier als ein ergänzendes Identifizierungsverfahren ver-

wendet. Es gibt eine Vielzahl von mathematischen Verfahren, die innerhalb des Optimierungs-

prozesses angewendet werden können [Nyenhuis 99]. In der Anwendung zur Lösung von

Identifizierungsproblemen hat sich die Verwendung des Optimierungsverfahrens MOPO als

günstig herausgestellt. Dieses Verfahren stammt aus der Klasse der Newton-Verfahren und

weist somit eine gute Konvergenz auf. Es handelt sich hierbei um ein vektorielles Optimie-

rungsverfahren, das es erlaubt, gezielt paretooptimale Punkte anzufahren. Es können Parame-

ter- wie auch Zielgrößenschranken beliebig gesetzt werden. Darüber hinaus wird der Anwender

zur besseren Kontrolle des Optimierungsverlaufs mit Statusinformationen versorgt.

Nichtlineares Optimierungsproblem

Das Problem der Identifizierung eines dynamischen Systems kann auch als ein NL-Optimie-

rungsproblem formuliert werden. Dabei wird die Aufgabe der Optimierung in der Regel so for-

muliert, dass die Abweichungen zwischen den Messungen und den Ergebnissen aus den

Modellanalysen möglichst gering werden.

64 Kapitel 3

Iterativer Ablauf des nichtlinearen Optimierungsproblems

Der iterative Ablauf einer solchen Optimierung ist in Abbildung 3.8 dargestellt. Das Optimie-

rungsproblem kann dabei in drei Schritte eingeteilt werden: den Optimierungsprozess, den Si-

mulationsprozess und den Zielgrößenprozess. Im Simulationsprozess werden die Modelldaten

gewonnen, im Zielgrößenprozess die Messdaten mit den Modelldaten verglichen und hieraus

die Zielgrößen berechnet. Hier können z. B. quadratische bzw. absolute Fehlerflächen verwen-

det werden. Im Optimierungsprozess wird ein neuer Parametersatz für den nächsten Simulati-

onsprozess berechnet. Dies geschieht nach einer festen Strategie. Anhand der im

Zielgrößenprozess berechneten Zielgrößen wird im Optimierungsprozess ein neuer Parameter-

satz des Modells bestimmt, mit dem Ziel, die Fehlerfläche zu minimieren. Die einzelnen Pro-

zesse (Optimierungs-, Simulations- und Zielgrößenprozess) werden iterativ durchlaufen, bis

eine gute Näherung gefunden wird und die Optimierung durch den Endscheidungsprozess ab-

gebrochen werden kann. Konfiguriert wird das Experiment durch einen Konfigurationsprozess;

hier wird das Experiment initialisiert.

3.4 Identifizierung eines HP-Federbeins

Am Beispiel der Identifizierung eines HP-Federbeins soll das gesamte Identifizierungsverfah-

ren noch einmal dargestellt werden. Die Modellbildung des HP-Federbeins ist im Anhang, Ka-

pitel 7.2, dargestellt.

Die Messungen des HP-Federbeins (siehe Abbildung 3.9) deuten darauf hin, dass das Federbein

für hohe Frequenzen stark verhärtet. Diese Eigenschaft wird dynamische Verhärtung genannt

und ist als negative Eigenschaft eines Federbeins zu bewerten. Um die Ursache dieses Phäno-

mens ausfindig zu machen, wurde ein Modell erstellt. Mit Hilfe des identifizierten Modells

konnte durch Analysen die Leitung zwischen Speicher und Zylinder als Ursache für die dyna-

mische Verhärtung lokalisiert werden.

Abbildung 3.8: Ablaufdiagramm einer Modellidentifizierung mittels MOPO

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 65

3.4.1 Stufe 1: Schaffung der Voraussetzungen

Den wichtigsten Übertragungspfad eines PKW-Federbeins stellt der Frequenzgang von der Ein-

federungsgeschwindigkeit bzw. von dem Einfederungsweg hin zur sich daraus einstellenden

Federbeinkraft dar. Im Falle des HP-Federbeins ist das die folgende Übertragungsfunktion:

. (3.21)

Auswahl der Übertragungsfunktionen für die Identifizierung

Das Zähler- wie auch Nennerpolynom dieser Übertragungsfunktion besitzt jeweils die Ordnung

2. Damit ergeben sich bei einem Koeffizientenvergleich folgende 5 Gleichungen zum Finden

der 51 unbekannten Parameter (siehe Anhang Kapitel 7.2):

Zählerpolynom

Nennerpolynom (3.22)

Dieses Gleichungssystem enthält Gleichungen, die linear abhängig sind. So ergibt die Multipli-

kation der Gleichung für A2 mit der Gleichung für B1 die Gleichung für A3. Damit stehen nur

noch vier Gleichungen zur Bestimmung der fünf Unbekannten zur Verfügung. Dieses unterbe-

stimmte Gleichungssystem ist so nicht eindeutig zu lösen.

Zur eindeutigen Identifizierung muss ein zweiter Übertragungspfad herangezogen werden. Dies

kann z. B. der Übertragungspfad zur äquivalenten Drosselkraft (siehe Gl. 3.23) sein oder der in

Gl. 3.24 angegebene Übertragungspfad zum Ölstrom durch die Drossel:

(3.23)

(3.24)

1. Die Zylinderfläche AZyl wird nicht identifiziert, da sie sehr einfach und genau zu messen ist.

FZyl

xAnreg

----------------CSpLLs2CSpRLCSpRDr

+()s1++()AZyl2

CSpCLLLs2RDrCLCSp CLCSpRL

+()sC

Sp CL

+++

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

AZyl2

-------------A2

=RLRDr

+()AZyl2

CLLL

----------------------------------------- A3

=AZyl2

CSpCLLL

------------------------A1

RDr RL

-----------------------B1

=CSp CL

CSpCLLL

------------------------B2

FDr

xAnreg

----------------1CSpRDr

()s+()AZyl2

CSpCLLLs2RDrCLCSp CLCSpRL

+()sC

Sp CL

+++

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

QDr

xAnreg

----------------CSpAZyl2s

CSpCLLLs2RDrCLCSp CLCSpRL

+()sC

Sp CL

+++

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

66 Kapitel 3

Da der Frequenzgang zum Ölstrom jedoch schwer zu messen ist, wird die Gl. 3.23 herangezo-

gen. Hier ergeben sich durch den Koeffizientenvergleich zwei weitere Gleichungen:

(3.25)

Die Gleichungen für A1 (Gl. 3.25) und für A1 (Gl. 3.22) sind identisch.1 Somit liegen nun sechs

Gleichungen für die fünf Unbekannten vor.

Parameterempfindlichkeit

Für eine Parameterempfindlichkeitsstudie werden die gesuchten Parameter, unter Verwendung

von statischen Messungen, Schätzungen und Tabellenwerten, vorbesetzt.

Werden bei dem in Abbildung 7.11 dargestellten Blockschaltbild ausschließlich der Speicher

und der Zylinder betrachtet, so können folgende Gleichungen abgeleitet werden:

nach Integration entsteht

(3.26)

Aus quasi-statischen Messungen ist die mechanische Ersatzfederrate des Speichers bekannt und

wurde mit angegeben. Die Zylinderfläche beträgt . Damit er-

gibt sich die hydraulische Speicherkapazität zu .

Ähnliche Überlegungen können für die Drossel angestellt werden:

1. Demnach sind die Gleichungen auch linear abhängig. Mit Hilfe des Identifizierungsverfahren wird der numerische Wert für die

Parameter A1auch gleich identifiziert (siehe Kapitel 3.4.2).

RDrAZyl2

CLLL

-----------------------A0

=AZyl2

CSpCLLL

------------------------A1

QDr

sCSp

------------- pDr

CSpp

·Dr QDr AZylx

·Anreg

CSppDr AZylxAnreg

FSp cxAnreg pDrAZyl AZyl

2xAnreg

CSp

---------------------------===

CSp AZyl

----------=

c74

×10 Nm⁄=AZyl 9 621 4–

×10 m2

CSp 1 322 11–

×10 m5N⁄,=

pDrRDr QDr AZylx

FDdx

·Anreg pDrAZyl AZyl

RDr

---------- x

·Anreg

===

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 67

(3.27)

Die Dämpfungskonstante wurde mit ermittelt, wodurch sich

ergibt.

Die Parameter des Leitungsmodells (CL, RL, LL) können nicht alle überschlägig berechnet wer-

den. So kann z. B. für die Leitungskapazität nur die Aussage getroffen werden, dass sie erheb-

lich geringer sein muss als die des Speichers. Aus diesem Grund wird die Leitungskapazität

100-mal so klein angesetzt wie die Kapazität des Speichers, also .

Die Induktivität der Leitung kann über die folgende Formel bestimmt werden:

(3.28)

mit: ρOel = Dichte des Öl; l = Leitungslänge; A = Leitungsquerschnitt

Setzt man die aus der Leitungsgeometrie ermittelten Werte in Gl. 3.28 ein ( ,

, ), so kommt man auf eine Induktivität von

Der hydraulische Leitungswiderstand kann wieder durch eine quasi-statische Messung berech-

net werden. Bei dieser Messung wurde der Druck vor und nach der Schlauchleitung gemessen

und hieraus eine Dämpfung im Schlauch berechnet, die sich zu ca. 600 Ns/m ergab. Es sei aber

darauf hingewiesen, dass diese Messung nicht die Einflüsse der Ölsäule im Zylinder und der

Kolbenstange berücksichtigt und daher mit Vorsicht zu behandeln ist. Setzt man diesen Wert

wie bei der Bestimmung der hydraulischen Drossel KDr in Gl. 3.27 ein, so erhält man

Diese überschlägig bestimmten Parameter können in das Modell eingesetzt werden. Abbildung

3.9 zeigt die Frequenzgänge des Modells mit den gemessenen Frequenzgängen. Der Vergleich

zwischen Messung und Modell zeigt, dass mit Hilfe von überschlägig berechneten Parametern

bereits ein sehr gutes Identifizierungsergebnis erzielt werden kann.

Der berechnete Eigenwert des HP-Federbeins liegt bei 132 Hz und besitzt ein Lehrsches Dämp-

fungsmaß von d = 0.13. Da die Schwingungsfähigkeit des Systems aus dem Rohrleitungsmo-

dell kommt, ist die Eigenfrequenz von 132 Hz ein Indiz dafür, dass das Rohrleitungsmodell und

damit die Rohrleitungsparameter aus diesen Messungen identifiziert werden können. Sinnvoller

wäre es jedoch, Messungen zu erstellen, die diese Eigenfrequenz mit einschließen. Damit wäre

RDr AZyl

----------=

d1600Ns m⁄=

RDr 1 729 9

×10 m5Ns⁄,=

CL1 322 13–

×10 m5N⁄,=

ρOell

------------ 1 088 7

×10 Ns2

----------

,==

ρOel 855kg m3

⁄=

l1m=A001

2Π4⁄, 079 5–

×10 m2

,==

LL1 088 7

×10 Ns2m5

⁄,=

RL648 8

×10 Ns m5

⁄,=

68 Kapitel 3

die Parameterempfindlichkeit der Frequenzgänge sicherlich günstiger. Es war jedoch aufgrund

der zur Verfügung stehenden Leistung des Prüfstandes nicht möglich, solch breitbandige Mes-

sungen bei ausreichender Kohärenz durchzuführen.

Bei Parameterempfindlichkeitsstudien, bei denen einzelne Parameter nacheinander variiert

wurden, ist festgestellt worden, dass Variationen im Bereich < 5% im Rauschen der Frequenz-

gänge (Messungen) verschwanden. Damit ist davon auszugehen, dass die Parameter nicht mit

einer Genauigkeit von < 5% identifiziert werden können. Weiterhin wurde beobachtet, dass Ver-

änderungen im Frequenzgang bei Variationen der unterschiedlichen Parameter gegenläufige

Trends aufweisen, wodurch sie sich teilweise aufheben. Auch dies könnte durch eine breitban-

digere Messung vermindert werden. Das schließlich erzielte Identifizierungsergebnis spricht

aber für eine ausreichende Betrachtung des Systems.

Abbildung 3.9: Gemessene und mit überschlägig bestimmten Parametern berechnete Frequenzgänge (Zy-

linderdruck am Zylinderboden gemessen)

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 69

3.4.2 Stufe 2: Erstellung des Grey/Black-Box-Modells

Konfiguration des Frequenzgangsverfahrens

Bei dem betrachteten System handelt es sich um ein SIMO-System. Laut Gl. 3.21 und Gl. 3.23

ist nicht nur das Nennerpolynom gleich, sondern es stimmt auch der Zählerkoeffizient in s0 bei-

der Übertragungsfunktionen überein. Unter diesen Voraussetzungen können folgende Koeffizi-

enten für das Grey-Box-Modell abgeleitet werden:

(3.29)

Der Vergleich zwischen dem Grey-Box-Modell und den Messungen ist in Abbildung 3.10 dar-

gestellt.

Abbildung 3.10: Vergleich zwischen Grey-Box-Modell und Messungen des HP-Federbeins

FDr

xAnreg

----------------4428E8,s2 266E10,+

s2229 3s,2 827E5,++

----------------------------------------------------------- A0sA

B0s2B1sB

-----------------------------------------==

FZyl

xAnreg

----------------2455E6,s2566E8,s2 266E10,++

s2229 3s,2 827E5,++

------------------------------------------------------------------------------------------A2s2A3sA

B0s2B1sB

-----------------------------------------==

Frequenzgang PZyl*A/x und PD*A/x

Frequency (Hz)

Phase [Grad] Gesamtsteifigkeit [N/m]

15 x 105

510 15 20 25 30 35 40 45

-45

135

Messung

Modell (Grey-Box)

Zylinderdruck

Drosseldruck

Zylinderdruck

70 Kapitel 3

3.4.3 Stufe 3: Koeffizientenvergleich

Der Koeffizientenvergleich kann zwischen dem Grey-Box-Modell aus Gl. 3.29 und den Glei-

chungssystemen aus Gl. 3.25 und aus Gl. 3.22 durchgeführt werden. Es stehen sechs Gleichun-

gen zur Bestimmung der fünf Parameter zur Verfügung. Wird zur Bestimmung der Parameter

jeweils eine der drei abhängigen Gleichungen (Gl. für A2, Gl. für A3 und Gl. für B1) nicht be-

rücksichtigt, so entstehen drei Gleichungssätze zu jeweils 5 Gleichungen. Daraus resultieren 3

Parametersätze, die im Folgenden aufgelistet sind:

(3.30)

Die einzelnen Lösungen unterscheiden sich nur sehr wenig. Der größte Unterschied entsteht bei

der Ermittlung der Rohrreibung und beträgt weniger als 3%. Mit Hilfe dieser Parameter lässt

sich der Frequenzgang des identifizierten physikalischen Modells berechnen und den gemesse-

nen Frequenzgängen gegenüberstellen. Das Ergebnis für den Parametersatz 1 ist in Abbildung

3.11 dargestellt.

Abbildung 3.11: Vergleich zwischen physikalischem Modell und Messungen des HP-Federbeins

RDr 175E9

CSp 1 117E11

CL3 749E13

RL4 867E8

LL9 751E6,=

,=–,=–,=

,=RDr 175E9

CSp 1 117E11

CL377E13

RL4 743E8

LL9 698E6,=

,=–,=–,=

,=RDr 175E9

CSp 1 117E11

CL377E13

RL4 868E8

LL9 698E6,=

,=–,=–,=

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

15 x 10

Frequenzgang P

yl*A/x und P

*A/x

Frequenz [Hz]

Gesamtsteifigkeit [N/m]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-50

100

150

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Messung

Modell

Zylinderdruck

Drosseldruck

Zylinderdruck

Drosseldruck

Identifizierung mechatronischer Systemmodelle 71

Die Rohrleitungseigenfrequenz liegt nunmehr bei 84.6 Hz und weist ein Lehrsches Dämpfungs-

maß von 0.21 auf. Wird die Rohrleitung aus dem Modell entfernt, so entsteht der in Abbildung

3.12 gestrichelt dargestellte Frequenzgang. Damit kann die dynamische Verhärtung des Feder-

beins eindeutig auf die Rohrleitung zurückgeführt werden. Weiterführende Messungen mit un-

terschiedlich langen Rohrleitungsmodellen haben diesen Effekt bestätigt.

3.4.4 Stufe 4: Nichtlineare Optimierung

Trotz der ausreichenden Güte, die schon bei der Identifizierung des Modells in Stufe 3 erzielt

wurde, sollen hier noch einmal Ergebnisse, die bei der Identifizierung unter Anwendung des

Verfahrens MOPO erzielt wurden, aufgezeigt werden.

Als Zielgrößen wurden die quadratischen Fehlerflächen zwischen den Modellfrequenzgängen

und den gemessenen Frequenzgängen gewählt. Bei der Verwendung von jeweils Betrag und

Phase ergeben sich so vier Zielgrößen, die es zu minimieren gilt. In Gl. 3.31 sind die dabei ge-

fundenen physikalischen Parameter dargestellt. Sie weichen im Maximum um 6 % von den in

Stufe 3 ermittelten Parametern ab. Dieser gefundene Parametersatz entspricht einem paretoop-

Abbildung 3.12: Übertragungsverhalten des HP-Federbeins mit und ohne Rohrleitung

Frequenzgang F

Zyl

/x: Mit und ohne Rohrleitung

Fre

uenz

[

]

Phase [Grad] Gesamtsteifigkeit [N/m]

15 x 10

510 15 20 25 30 35 40 45 50

135

Mit Rohrleitung

Ohne Rohrleitung

72 Kapitel 3

timalen Punkt. Die Differenz von 6 % zwischen den Parametern aus Stufe 3 und Stufe 4 wird

an dieser Stelle toleriert, da eine höhere Genauigkeit aus der Parameterempfindlichkeitsstudie

nicht zu erwarten ist.

Ein bei diesem Optimierungsverfahren typischer Zielgrößenverlauf ist in Abbildung 3.13 dar-

gestellt. Dabei wurde die Fehlerfläche z. B. des Frequenzganges zum Drosseldruck im Betrag

um einen Faktor von ca. 4.5 und in der Phase um ca. 2.8 gesenkt1. Es sind folgende Zielgrößen-

verläufe dargestellt: Betrag des Drosseldruckes links oben, Phase des Drosseldruckes links un-

ten, Betrag des Zylinderdurckes rechts oben und die Phase des Zylinderdruckes rechts unten.

(3.31)

1. Startparameter der Optimierung waren die in Kapitel 3.4.1 gefundenen Parameter.

Abbildung 3.13: Zielgrößenverlauf und Parameterverlauf

RDr 1 837E9

CSp 1 046E11

CL3 824E13

RL4 901E8

LL1 035E7,=

,=–,=–,=

0,00E+00

1,00E+11

2,00E+11

3,00E+11

4,00E+11

5,00E+11

6,00E+11

7,00E+11

8,00E+11

0 20 40 60 80 100 120 140

OptimizationStep [--]

=> PsBetr_1_defaultName [-]

=> PsBetr_1_defaultName_LIMIT [-]

0,00E+00

1,00E+12

2,00E+12

3,00E+12

4,00E+12

0 20 40 60 80 100 120 140

OptimizationStep [--]

=> PzBetr_1_defaultName [-]

=> PzBetr_1_defaultName_LIMIT [-]

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

0 20 40 60 80 100 120 140

OptimizationStep [--]

=> PsPhas_1_defaultName [-]

=> PsPhas_1_defaultName_LIMIT [-]

0,00E+00

2,00E+00

4,00E+00

6,00E+00

8,00E+00

1,00E+01

1,20E+01

0 20 40 60 80 100 120 140

OptimizationStep [--]

=> PzPhas_1_defaultName [-]

=> PzPhas_1_defaultName_LIMIT [-]

Kapitel 4

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung

Einen weiteren Schwerpunkt dieser Arbeit stellt der mechatronische Entwurf der in Kapitel

5.2.1 dargestellten elektrohydraulischen SbW-Lenkung dar. In Kapitel 4.2 wird die Komplexität

dieser Lenkung noch einmal verdeutlicht. Hier wird aufgezeigt, dass die Anwendung des ver-

teilt strukturierten Entwurfs aus Kapitel 2 zum Entwurf dieser Lenkung unentbehrlich ist. Das

Konzept der Lenkung war vorgegeben1, so dass auf die hydraulische Struktur, die mechanische

Struktur und deren Komponenten kein Einfluss mehr genommen werden konnte. Die Hauptauf-

gabe lag somit im Entwurf der Regelstrategie. Aus diesem Grund deckt sich die hier gewählte

Vorgehensweise nicht uneingeschränkt mit dem in Kapitel 2 vorgeschlagenen Weg zum ganz-

heitlichen Entwurf mechatronischer Systeme, da die hydro-mechanischen Komponenten nicht

mehr in einem funktionsorientierten Entwurf berücksichtigt werden konnten.

Die konstruktive Ausführung der SbW-Lenkung ist sehr stark an die einer konventionellen Len-

kung angelehnt. So ist z. B. der hydraulische Servokreis als ein hydraulisches Open-Center-Sy-

stem ausgeführt, das funktional die gleichen Aufgaben übernimmt wie die Servounterstützung

der konventionellen Lenkung. Darüber hinaus ist der mechanische Durchgriff, wie er auch bei

der konventionellen Lenkung gegeben ist, aufrecht erhalten worden. Die zusätzliche variable

Lenkübersetzung wird durch ein hydrostatisches Überlagerungsgetriebe, den Modulatorkreis,

übernommen. Die Gründe für den artverwandten Aufbau der SbW-Lenkung sind vielfältig:

Zum Einen soll sich die Lenkung vom Fühlverhalten her ähnlich wie eine konventionelle Len-

kung darstellen. Dies ist bei einem artverwandten mechanischen und hydraulischen Aufbau am

wahrscheinlichsten. Zum Anderen können viele Komponenten und Erfahrungen mit bekannten

Systemen übernommen werden. Des Weiteren ist die Ausfallstrategie bei SbW-Lenkungen mit

mechanischem Durchgriff relativ einfach.

Aufgrund der aufgeführten Ähnlichkeiten der beiden Lenkungen wird in Kapitel 4.1 die Analy-

se einer konventionellen Lenkung2 vorangestellt. Sie stellt die Grundlage des verteilt struktu-

rierten Entwurfs der SbW-Lenkung in Kapitel 4.2 dar.

1. Das Konzept der Lenkung wurde von der Firma TRW vorgegeben.

2. Hierbei handelt es sich um die in Kapitel 5.2.3 vorgestellte Lenkung eines 3er-BMW.

74 Kapitel 4

4.1 Untersuchungen eines konventionellen Lenksystems

Lenksysteme sind geprägt durch eine langjährige evolutionäre Entwicklung. Insbesondere die

Systeme mit hydraulischer Servounterstützung wurden in den vergangenen Jahren durch eine

kaum systematische Vorgehensweise entwickelt. Deren mittlerweile hoher Entwicklungsstand

ist vielmehr einer langwierigen Trial-and-Error Vorgehensweise zu verdanken. Deshalb wird in

diesem Unterkapitel versucht, das Verhalten einer solchen Lenkung zu analysieren und mit Hil-

fe von Modellen zu verstehen, um diese Erkenntnisse auf andere Systeme übertragen zu kön-

nen.

Zur Durchführung des mechatronischen Entwurfes einer Lenkung ist es von Vorteil, möglichst

viel über deren Funktionsweise und deren dynamisches wie auch statisches Verhalten zu wis-

sen. Mit dieser Kenntnis kann der Durchlauf durch die drei Phasen des Entwurfs (Kapitel 2.2)

vereinfacht und beschleunigt werden. Darüber hinaus können die hier gewonnenen Erkenntnis-

se beim verteilt strukturierten Entwurf der SbW-Lenkung verwendet werden. Hier gilt es, beim

Top-Down-Entwurf möglichst viel über die einzelnen Subsysteme und deren obere Hierarchie-

stufen zu wissen, damit Wechselwirkungen zwischen den Hierarchiestufen und Anforderungen

an deren Subsysteme direkt beim Entwurf der lokalen Regler berücksichtigt werden können.

Das Wissen über das statische und das dynamische Verhalten von Lenksystemen soll über die

Betrachtung einer konventionellen Lenkung, d. h. einer hydraulischen Servolenkung mit Dreh-

schieberventil, gewonnen werden. Hierzu wird das am Prüfstand befindliche System (siehe

auch Abbildung 5.3 und Abbildung 5.4) vermessen (Kapitel 4.1.1). Darüber hinaus werden mo-

dellbasierte Analysen zur Charakterisierung der Systemeigenschaften durchgeführt (Kapitel

4.1.2).

4.1.1 Experimentelle Untersuchung von Lenksystemen

In Abbildung 4.1 ist die statische Unterstützungskennlinie der 3er-BMW-Servolenkung darge-

stellt. Sie gibt das Verhältnis zwischen dem Lenkradmoment und dem daraus resultierenden Un-

terstützungsdruck wieder.

Zur Nachbildung dieser Kennlinie wurde die Kurve mit einer analytischen Funktion (hierzu

wurde eine e-Funktion verwendet), angenähert. Die Parameter dieser e-Funktion wurden unter

Anwendung eines Least-Square-Verfahrens bestimmt. Die Funktion ergibt sich zu

. Das Approximationsergebnis ist als gestrichelte Kennlinie in Ab-

bildung 4.1 dargestellt. Die Annäherung der Unterstützungskennlinie mit Hilfe einer e-Funktion

ist nicht physikalisch motiviert; sie dient lediglich der Ermittlung von Verstärkungsfaktoren.

pM() 005 123M,()exp,=

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 75

Der Zusammenhang zwischen Druck, Volumenstrom und geöffneter Querschnittsfläche eines

Ventils ist in Gl. 4.4 dargestellt. Mangels Informationen über die genaue Funktion der Quer-

schnittsfläche wurde hier der Ansatz über die e-Funktion gewählt.

Die Steigung dieser Kennlinie gibt den Faktor an, mit dem das Moment verstärkt als Druck auf

die Lenkung aufgeschaltet wird. Aus der Differentiation der e-Funktion bzw. der Linearisierung

der Kennlinie an unterschiedlichen Betriebspunkten lässt sich somit eine Verstärkung von KMP

= 29 bei 23 bar und einem Moment von 5.0 Nm ermitteln. Bei einem max. Druck von 120 bar

ergibt sich somit eine max. Verstärkung von KMP = 148. Diese Erkenntnis kann als eine obere

Schranke für die notwendige Rückführverstärkung innerhalb des Regelkreises der Servolen-

kung angenommen werden.1

Sowohl bei der Ermittlung der statischen Unterstützungskennlinie, bei welcher der Lenkzylin-

der festgelegt war, als auch bei quasistatischen Messungen, bei denen der Lenkzylinder mit ei-

ner konstanten Kraft beaufschlagt und der Lenkradwinkel langsam verfahren wurde, war

deutlich zu erkennen, dass sich bei dieser Art von Lenkungen immer erst ein Servodruck auf-

baut, wenn sich das Drehschieberventil verdreht. Dies hat jedoch zur Folge, dass zwischen

Lenkweg2 und Zahnstangenweg, bei mit Kräften bzw. Momenten beaufschlagter Lenkung, ein

statischer Offset3 entsteht. Dieses Phänomen wird im folgenden Kapitel genauer erläutert.

Abbildung 4.1: Statische Unterstützungskennlinie einer konventionellen Servolenkung

1. Später wird gezeigt, dass bei der modellgestützten Analyse einer Servolenkung die Rückführung des Momentes auf den Servo-

kolben notwendig ist. Dies wird über die sogenannte Rückführverstärkung nachgebildet.

2. Der Lenkweg ist eine auf den Zahnstangenweg bezogene Größe, berechnet aus dem Lenkradwinkel und der Getriebeüberset-

zung.

3. Der statische Offset wird in Kapitel 4.1.2 noch genauer diskutiert.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-50

-40

-30

-20

-10

50 Unterstützungskennlinie

Lenkmoment [Nm]

Druckdifferenz [bar]

Gemessene Kennlinie

Approximierte Kennlinie

f(M)=0,05*exp(1,23M)

76 Kapitel 4

Das dynamische Verhalten des Lenksystems wird im Wesentlichen durch den Frequenzgang

vom Lenkradmomenteneingang zur Zahnstangenkraft bestimmt. Aufgrund der nichtlinearen

Kennlinie wurde dieser Frequenzgang in unterschiedlichen Betriebspunkten vermessen (siehe

Abbildung 4.2 und Abbildung 4.3). Die Lenkung wurde dabei sowohl mit unterschiedlichen

Momentenoffsets als auch mit unterschiedlichen Intensitäten angeregt:

Die für den Reglerentwurf der SbW-Lenkung wesentlichen fünf statischen und dynamischen

Eigenschaften sind im Folgenden festgehalten. Ihre Ursprünge und ihre Bedeutung werden in

Kapitel 4.1.2 anhand modellgestützter Analysen näher erläutert:

• Statische Ablage zwischen Lenkweg und Zahnstangenweg.

• Steigende Verstärkung bei steigendem Momentenoffset.

• Begrenzte Unterstützungsbandbreite.

• Sinkende Bandbreite bei steigendem Momentenoffset.

•

Abbildung 4.2: Frequenzgänge Kraft zu Lenkradmoment bei unterschiedlichen Momentenoffsets

10-1 100101102

Frequenz [Hz]

etrag

[dB]

N/N

Kraft/Moment

10-1 100101102

-250

-200

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

ase

Amplitudenoffset 1 Nm

Amplitudenoffset 3.5 Nm

Amplitudenoffset 5 Nm

Steigender Offset

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 77

4.1.2 Modellbasierte Untersuchung von Lenksystemen

Ziel dieser Untersuchungen ist es, die im vorangegangenen Kapitel experimentell ermittelten

Systemeigenschaften durch modellgestützte Analysen zu untermauern und zu verstehen.

Zum Aufbau des Modells ist es sinnvoll, die Frage nach der Art der Anregung zu stellen, also:

Wird das Fahrzeug bzw. Lenksystem bei einem Lenkmanöver mit einem Lenkradwinkel oder

einem Lenkradmoment angeregt? Hierzu einige Vorüberlegungen: Für die Anregung sowohl

mit einem Lenkradmoment als auch mit einem Lenkradwinkel trifft zu, dass der Fahrer das Sy-

stem nur mit einer bestimmten Bandbreite anregen kann. Diese Bandbreite ist darüber hinaus

amplitudenabhängig, d. h. kleine Amplituden können eine größere Bandbreite besitzen als gro-

ße Amplituden. Ziel des Fahrers ist es immer, einem bestimmten Fahrbahnverlauf zu folgen.

Dies kann nur durch die Vorgabe des Lenkradwinkels geschehen. Das sich dabei einstellende

Moment muss unabhängig von seiner Größe überwunden werden. Aus diesem Grund wird für

Abbildung 4.3: Frequenzgänge Kraft zu Lenkradmoment bei unterschiedlichen Anregungsintensitäten

10-1 100101102

Frequenz [Hz]

Betrag [dB] Nm/Nm

Kraft/Moment

10-1 100101102

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Amplitude 0.3 Nm (rms)

Amplitude 0.6 Nm (rms)

Amplitude 0.9 Nm (rms)

Steigende Amplitude

78 Kapitel 4

die folgenden Untersuchungen ein Modell mit Lenkradwinkelanregung herangezogen. Für die

Beurteilung des Lenkgefühls wird das Moment betrachtet. Dieses kann dann wiederum mit den

in Kapitel 4.1.1 experimentell ermittelten Daten verglichen werden.

Ein physikalisches Ersatzmodell und dessen Blockschaltbild der konventionellen Lenkung ist

in Abbildung 4.4 dargestellt. Bei diesem Ersatzsystem wurden alle rotatorischen Größen in li-

neare Größen umgerechnet (die Zwischengröße Lenkradmoment ist hier ausgenommen).

Die Parametrisierung des Modells wurde anhand von Messungen der Systemkomponenten

durchgeführt. Dabei wurden folgende Komponenten nachgebildet:

• Die Elastizität des Drehschieberventils:

Die Modellierung erfolgt als Feder-Dämpferelement, wobei eine Federsteifigkeit von cEl =

1.1e6 N/m (entspricht einer Drehfederrate von 1 Nm/°) verwendet wurde. Die Dämpfung

wurde aufgrund der geringen Dämpfung des Drehstabes auf dEl = 0 Ns/m eingestellt.

• Der Servozylinder als Einmassensystem:

Die Kolbenmasse wurde auf m = 1.5 kg angenommen und beinhaltet eine anteilige Ölmasse.

• Ein Feder-Dämpferelement als äußere Last

Die vom Reifen erzeugten Rückstellkräfte lassen sich nicht genau bestimmen. Sie hängen ab

von äußeren, nicht vorhersehbaren Faktoren wie Straßenbelag, Witterungsverhältnisse, Fahr-

zeuggeschwindigkeit etc. Für eine Abschätzung der Last wird die äußere Last zunächst als

ein lineares Feder-Dämpferelement abgebildet. Die maximale Steifigkeit wurde dabei unter

Berücksichtigung der Lenkkinematik auf cEx = 1e6 N/m gesetzt. Dies entspricht der Steifig-

keit eines stehenden Rades. Die für diese Untersuchungen herangezogene Steifigkeit beträgt

cEx = 1e5 N/m. Die Dämpfung dEx wurde auf 1000 Ns/m eingestellt und soll hydraulische

Dämpfung und Coulombsche Reibung nachbilden.

• Umrechnung der Kraft am Drehschieberventil in ein äquivalentes Moment:

Hier wird die Kraft, die am Feder-Dämpferelement des Drehschieberventils herrscht, in ein

Lenkradmoment umgerechnet. Dies wird unter Berücksichtigung der Getriebeübersetzung

der Lenkeinheit durchgeführt.

• Die Unterstützungskennlinie einer konventionellen Lenkung:

Die statische Unterstützungskennlinie wird als Momenten-Druck-Kennfeld eingebunden

(siehe auch Abbildung 4.1). Die Verstärkung dieser Kennlinie weist somit einen Wertebe-

reich von KMP = 0...150 bar/Nm auf.

• Der bandbegrenzte Druckregelkreis:

Hier wird ein PT2-Glied mit FDr = 15 Hz Bandbreite und DDr = 0.8 Lehrschem Dämpfungs-

maß verwendet. Dies entspricht der aus Abbildung 4.2 abgelesenen Bandbreite bei geringen

Lenkradmomenten und mittleren Anregungsintensitäten (0.6 Nm rms).

• Die Umrechnung des Druckes in eine äquivalente Servokraft:

Der gestellte Druck wird über die Kolbenfläche in eine unterstützende Servokraft umgerech-

net.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 79

Die Arbeit mit diesem sehr stark vereinfachten Modell hat gezeigt, dass wesentliche Effekte und

Eigenschaften der konventionellen Servolenkung erläutert werden können. Bei dem Modell

handelt es sich um ein nichtlineares System 4. Ordnung, wobei die Nichtlinearität durch die ex-

ponentielle Unterstützungskennlinie erzeugt wird.

Zum besseren Verständnis des Systems werden die experimentell ermittelten Eigenschaften am

Modell nicht durch die Übertragungsfunktion Zahnstangenkraft zu Lenkradmoment, sondern

durch die Übertragungsfunktion Zahnstangenweg zu Lenkweg ermittelt. Dies beeinträchtigt die

im Folgenden immer wieder verwendeten Pole des Systems nicht, da es sich noch immer um

das gleiche System handelt. Hierdurch werden lediglich die Ein- und Ausgangsgleichungen ver-

ändert, nicht die Dynamik:

Statische Ablage zwischen Lenkweg und Zahnstangenweg

Den Ersatzschaltbildern ist zu entnehmen, dass der Servozylinder innerhalb eines Wegregel-

kreises betrieben wird. Dabei wird der Weg des Servozylinders mit dem des vom Fahrer vorge-

gebenen Lenkradwinkels (umgerechnet in eine lineare Bewegung) verglichen. Die Elastizität

des Drehschieberventils und die Differenz zwischen Soll- und Istweg bestimmen dabei die

Abbildung 4.4: Physikalisches Ersatzschaltbild und Blockschaltbild der Servolenkung

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Übertragungsfunktion des Druckregelkreise

aßDämpfungsm

zEckfrequen

Servosystem

Umrechnung

Kraft->Mooment

Druckregel-

kreis

soll

ist

servo

G(s)

Servozylinder

Servo

Druckregel-

kreis

Handkraft

Servokraft

Umrechnung:

Druck -> Kraft

G(s)

Umrechnung:

Kraft -> Moment

Umrechnung:

Druck -> Kraft

80 Kapitel 4

Handkraft, die auf den Fahrer wirkt, respektive den Servozylinder. Darüber hinaus wird in Ab-

hängigkeit der Handkraft und der Unterstützungskennlinie die Servounterstützung des Zylin-

ders generiert.

Aufgrund der steigenden Verstärkung innerhalb der Servounterstützung können zur Veran-

schaulichung der Wirkungsweise zwei Extremfälle unterschieden werden: Im ersten Fall, in de-

nen die externen Kräfte auf den Servozylinder sehr gering sind, wird die Regelung in großen

Teilen über die Handkraft durchgeführt, und die Servokraft kann vernachlässigt werden. Dies

ist in der Regel bei hohen Fahrzeuggeschwindigkeiten in Verbindung mit kleinen Lenkradwin-

keln bzw. bei glatten, vereisten Straßen der Fall. Bei hohen externen Kräften auf den Servozy-

linder überwiegt der Anteil aus der Servokraft. Dies ist bei Parkiermanövern wie auch bei

großen Lenkradwinkeln der Fall. Bei beiden Extremen handelt es sich um einen Lageregler, der

auf der Basis eines P-Reglers arbeitet. Laut [Föllinger] weisen derartige P-Regelkreise immer

dann eine statische Ablage auf, wenn die Strecke kein I-Verhalten besitzt. Da die Strecke kein

I-Verhalten aufweist, ist hier mit einer statischen Ablage zwischen Lenkradwinkel1 und Zahn-

stangenweg zu rechnen. Dies kann auch an den folgenden Übertragungsfunktionen des ge-

schlossenen Regelkreises Ggeschl(s) abgelesen werden:

(4.1)

Wird auf die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises Ggeschl(s) der Endwertsatz

angewendet, ergibt sich folgende Gleichung für die statische Abweichung:

(4.2)

1. Lenkradwinkel umgerechnet in eine lineare Bewegung.

Goffen s() xs

-----=cEl KFMKMPKPF 1DDr π⁄ F⁄Dr

()s12πFDr

⁄⁄⁄()

2s2

++ +()

1DDr π⁄ F⁄Dr

()s12πFDr

⁄⁄⁄()

2s2

++()ms2dExsc

++()

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Ggeschl s() xs

-----=cEl KFMKMPKPF 1DDr π⁄ F⁄Dr

()s12πFDr

⁄⁄⁄()

2s2

++ +()

1DDr π⁄ F⁄Dr

()s12πFDr

⁄⁄⁄()

2s2

++()ms2dExsc

++()…+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…cEl KFMKMPKPF 1DDr π⁄ F⁄Dr

()s12πFDr

⁄⁄⁄()

2s2

++ +()+

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

EcElKFMKMPKPF cEl

cEx cElKFMKMPKPF cEl

----------------------------------------------------------------------1–=

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 81

Die statische Abweichung geht dabei für hohe Rückführverstärkungen KMP und auch für hohe

Drehschieberelastizitäten cEl gegen Null. Bei steigenden externen Kräften, die durch hohe cEx

erzeugt werden, steigt die statische Abweichung an. Um dies zu kompensieren, wird bei stei-

genden externen Kräften KMP gleichzeitig angehoben. So steigt die statische Abweichung bei

externen Kräften nur sehr gering an, und zwar proportional zur Handkraft FEl.

Wegen der variablen Verstärkung der Servokraft handelt es sich um ein P-geregeltes System,

dessen statische Verstärkung zwischen folgenden beiden Extremen variiert:

und (4.3)

Diese variable Verstärkung weist darauf hin, dass es zu Instabilitäten kommen kann, wenn die

P-Verstärkung zu hoch wird, ohne dass die Bandbreite des Druckregelkreises angepasst wird.

Dies wird später noch genauer diskutiert.

Die Steifigkeit der elastischen Kopplung (cEl) bestimmt damit maßgeblich das Lenkgefühl. Bei

einer steifen Kopplung erfährt der Fahrer das Gefühl einer "direkten" Lenkung, da die statische

Abweichung klein ist. Ist dagegen die Kopplung weniger steif, so wirkt die Lenkung aufgrund

der hohen statischen Abweichung "schwammig". Neben der Steifigkeit der Kopplung zwischen

Lenkzylinder und Servozylinder wirkt sich die Steifigkeit der anderen Komponenten der Len-

kung, z. B. die der Gummilager, genauso auf das Lenkgefühl aus. Die Hersteller sind deshalb

bemüht, die Lenkungen möglichst steif zu bauen, damit der Fahrer das Gefühl einer "direkten"

Lenkung bekommt. Dies ist aber nicht unbeschränkt möglich, da die Drehschieberventile eine

gewisse Verdrehung benötigen, um entsprechende hydraulische Querschnitte für den Ölvolu-

menstrom freizugeben. Je geringer die Verdrehung ist, desto filigraner müssen die Steuerkanten

gearbeitet werden. Darüber hinaus kann die Lenkung nicht beliebig steif gebaut werden, da

sonst aufgrund der steifen mechanischen Druckrückführung zu viele Störungen von der Straße

zum Fahrer übertragen werden. Somit stellt die Wahl der Drehschiebersteifigkeit immer einen

Kompromiss dar.

Steigende Verstärkung bei steigendem Lenkradmoment

Die steigende Verstärkung der in Abbildung 4.2 dargestellten Frequenzgänge ist durch die

nichtlineare Unterstützungskennlinie zu erklären. Für unterschiedliche Lenkradmomente befin-

det man sich in unterschiedlichen Rückführverstärkungen der e-Funktion. Die Gestalt dieser

Kennlinie wird im Wesentlichen durch die Steuerkanten des Drehschieberventils und den er-

zeugten Ölvolumenstrom bestimmt.

KStatmin cEl

cEx cEl

----------------------=KStatmax cElKFMKMPKPF cEl

cEx cElKFMKMPKPF cEl

----------------------------------------------------------------------=

82 Kapitel 4

Begrenzte Unterstützungsbandbreite

Die Servounterstützung wird hydraulisch durch ein Open-Center-System gestellt [Reimpell 84].

Der Unterstützungsdruck wird dabei durch die Drosselung eines konstanten Ölstroms erzeugt.

Dabei ist die Bandbreite des Druckaufbaus begrenzt durch Elastizitäten (Kapazitäten) wie z. B.

die der Ölleitungen und des Riemenantriebs der Pumpe. Die maximale Bandbreite der Druck-

versorgung beträgt dabei 15 Hz, was im Modell durch den Block Druckregelkreis nachgebildet

wurde. Dass die maximale Bandbreite des Druckregelkreises beschränkt und darüber hinaus

ebenfalls mit steigendem Momentenoffset zurückgenommen werden muss, ist aus Systemstabi-

litätsgründen unvermeidlich und wird im Folgenden erläutert.

Sinkende Unterstützungsbandbreite bei steigendem Lenkradmoment

Die sinkende Unterstützungsbandbreite bei steigendem Lenkradmoment wurde in dem oben be-

schriebenen Modell nicht berücksichtigt. Wird dieses Modell für eine Poluntersuchung bei un-

terschiedlichen Lenkradmomenten herangezogen, ergibt sich die in Abbildung 4.5 dargestellte

Wurzelortskurve. Bei entsprechenden Überlegungen aus dem Bereich der Modalanalyse [Nat-

ke] können den einzelnen Polen Eigenbewegungen zugeordnet werden, die wiederum bei stark

separierten Eigenwerten einzelnen Bauteilen zugeordnet werden können. Dies wurde in den fol-

genden Wurzelortskurven durchgeführt, wobei dem einen schwingungsfähigen Pol die Kolben-

masse zugewiesen werden konnte und dem niederfrequenten Polpaar der Druckregelkreis:

Abbildung 4.5: Wurzelortskurve einer konv. Lenkung ohne Bandbreitenanpassung des Servokreises

-400 -300 -200 -100 0100 200

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

1e+003

800

600

400

200

1e+003

800

600

400

200

Wurzelortskurve (Pole)

Imag

Druck-

regelkreis

Steigende

Verstärkung

Steigende

Verstärkung

Kolbenmasse

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 83

Bei der Bestimmung der Wurzelortskurve wurde die Rückführverstärkung zwischen K = 0..120

variiert. Zu erkennen ist, dass das Lenksystem bei dieser Konfiguration und einer Rückführver-

stärkung von ca. KMP = 12 instabil wird, da das Polpaar des Druckregelkreises in die rechte Hal-

bebene wandert. Hieraus folgt, dass die Verringerung der Bandbreite des Druckregelkreises bei

steigendem Lenkradmoment das System stabilisiert (siehe auch Abbildung 4.6).

Die statischen, wie z. B. die Unterstützungskennlinie, wie auch die dynamischen Eigenschaften

werden im Wesentlichen durch das Drosselventil der Servolenkung bestimmt. Das Know-How

der Hersteller liegt dabei in der geometrischen Ausformung der Steuerkanten. Prinzipbedingt

ist der Ölstrom durch ein Drosselventil jedoch nicht nur von der Querschnittsänderung bei vor-

gegebener Auslenkung abhängig, sondern auch von den anliegenden Drücken. Dies kann bei

einer instationären Strömung, wie sie in hydraulischen Ventilen vorliegt, über folgende Glei-

chung beschrieben werden:

(4.4)

In der hydraulischen Servolenkung wird die Absenkung der Bandbreite durch die Durchfluss-

kennlinie des Drosselventils realisiert. Bei steigenden Lenkradmomenten respektive steigenden

Servodrücken wird der Ölstrom (QV), der direkt von der Servopumpe in den Tank fließt, bei

steigender Druckdifferenz immer größer. Der verbleibende Ölstrom kann dann nur noch zum

Druckaufbau verwendet werden. Durch diese Abhängigkeit wird die Zeitkonstante des Druck-

aufbaus bei höheren Drücken immer größer. Diese Eigenschaft ist bei Open-Center-Systemen

systeminhärent und wird später in Kapitel 4.2.3.1 noch mit Modellen analysiert. Sie ist auch da-

für verantwortlich, dass das Lenksystem auch für höhere Lenkradmomente respektive höhere

Drücken stabil bleibt. Dies ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Wird die Bandbreite des Druckre-

gelkreises sukzessive zurückgenommen, so wandern die Pole wieder in die linke Halbebene und

das System stabilisiert sich auch für hohe Rückführverstärkungen von KMP = 120.

Weitere auf die Systemdynamik und damit auch auf die Systemstabilität wirkende Einflussgrö-

ßen sind die am Servozylinder angreifenden äußeren Lasten cEX und dEX. Sie sind in der Rea-

lität keine Konstanten, sondern diese Kräfte entstehen am Reifen und hängen von einer Vielzahl

äußerer Einflussfaktoren ab, d. h. die Variablen cEX und dEX können in einem weiten Bereich

z. B. cEX = 0 ... 1e6 N/m variieren. Deren Einfluss kann mit Hilfe der in Gl. 4.1 bis Gl. 4.3 dar-

gestellten Zusammenhänge analysiert weden. Bei geringer Steifigkeit cEX sind die Lenkkräfte

gering, somit ist die Verstärkung aus der unterstützenden Kraft auch sehr gering. Damit sind die

Gesamtverstärkung gering und die Stabilität des Systems unkritisch. Für steigende Steifigkeiten

cEx nimmt die Verstärkung ab, gegenläufig hierzu nimmt sie aufgrund der steigenden Servover-

QVQNomAx()∆p=

84 Kapitel 4

stärkung KMP zu. Somit wird die steigende Verstärkung der Gesamtübertragungsfunktion des

offenen Regelkreises (Gl. 4.1) aufgrund der hohen Steifigkeit cEX wieder zurückgenommen,

was sich stabilisierend auf den Regelkreis auswirkt.

Diese Überlegungen gelten jedoch nur unter der Voraussetzung, dass bei geringer Steifigkeit

keine hohen Kräfte über den Weg aufgebracht werden können. Da die Kräfte über einen Reifen

aufgebracht werden, dessen Federsteifigkeit sich bei großen Auslenkungen progressiv verhält,

bzw. da der Reifen bei großen Lenkwinkeln auf der Straßenoberfläche durchrutscht, ist dies ge-

geben. Somit besteht zwischen der Steifigkeit cEx und den Kräften an der Lenkung eine hohe

Korrelation. Ähnliche Überlegungen können zur Veränderung der Variable dEx und zur Ver-

schiebung der Eigenfrequenzen aufgestellt werden.

Steigende Bandbreite bei steigender Anregungsintensität

Aufgrund des exponentiellen Anstiegs der Verstärkung nimmt die Bandbreite bei steigender

Anregungsintensität zu, da die Verstärkung überproportional zu höheren Lenkradmomenten an-

steigt.

Abbildung 4.6: Wurzelortskurve einer konv. Lenkung mit veränderlicher Bandbreite des Druckregelkreises

------

-500 -400 -300 -200 -100 0100 200

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

600

400

200

800

600

400

200

Wurzelortskurve (Pole)

Real

Imag

Kolbenmasse

Sinkende

Bandbreite

Druck-

regelkreis

Sinkende

Bandbreite

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 85

4.1.3 Zusammenfassung

Die konventionelle hydraulische Lenkung mit Drehschieberventil kann als ein weggeregeltes

Servosystem verstanden werden. Dabei wird die Verstärkung der Servounterstützung in einem

weiten Bereich variiert, wodurch sich extrem nichtlineare Eigenschaften einstellen. Die Wegre-

gelung weist jedoch bei äußeren Lasten eine statische Abweichung auf, die sich maßgeblich auf

das Lenkgefühl auswirkt. Durch die sehr hohen Rückführverstärkungen sind diese Lenkungen

immer knapp an der Stabilitätsgrenze ausgelegt. Stabilisierend wirkt dabei die Verringerung der

Bandbreite des unterlagerten Druckregelkreises für höher werdende Lenkradmomente. Diese

Maßnahme ermöglicht erst die Stabilisierung des Systems, wirkt sich aber, wie auch die stati-

sche Ablage des Weggregelkreises, beschränkend auf die Einstellbarkeit des Fühlverhaltens ei-

ner Lenkung aus. Positiv auf die Stabilisierung wirkt auch die Korrelation zwischen der

Reifensteifigkeit cEx und den am Zylinder wirkenden Lenkkräften.

Nach der Analyse des bestehenden Systems und des damit verbundenen gewonnenen System-

wissens über Lenksysteme kann nun mit dem mechatronischen Entwurf des SbW-Lenksystems

begonnen werden.

4.2 Verteilt strukturierter Entwurf einer SbW-Lenkung

Die hohe Anzahl der in Abbildung 4.7 dargestellten Ein- und Ausgangsgrößen der SbW-Len-

kung verdeutlicht annäherungsweise die Problematik beim Entwurf. Letztlich stehen 7 Sensor-

signale zur Verfügung, die den Zustand der Lenkung detektieren und zur Regelung

herangezogen werden können. Der Regler verwendet diese Signale, um die entsprechenden 3

Signale zur Ansteuerung der Aktorik zu generieren. Ziel ist es nun, diesen Regler bzgl. seiner

Struktur und seiner Parametrisierung zu bestimmen1. Hierbei handelt es sich um ein klassisches

verkoppeltes Mehrgrößenproblem (MIMO) der Regelungstechnik. Es kommt erschwerend hin-

zu, dass das Gesamtsystem (Strecke und Regler) extrem starke Nichtlinearitäten aufweisen

muss (wie z. B. die Nichtlinearität zwischen Servodruck und Lenkradmoment), um das entspre-

chende Fühlverhalten einer konventionellen Lenkung widerzuspiegeln.

Der Entwurf der Regelung anhand des komplexen nichtlinearen Gesamtmodells2 ist nur schwer

möglich3. Es gibt Verfahren, die mit entsprechendem Aufwand eine Problemlösung in Form ei-

nes Black-Box-Regleransatzes beschreiben [Odenthal]. Durch Vorgabe einer Wunschdynamik,

z. B. in Form von Frequenzgängen einer konventionellen hydraulischen Lenkung, wird hier

1. Es wurden keine Untersuchungen zur Steuerbarkeit bzw. Beobachtbarkeit der Lenkung durchgeführt, um diese Sensor- Aktor-

konfiguration festzulegen. Hier wurde eine Konfiguration gewählt, die ähnlich derjenigen auf dem Markt befindlicher Systeme

ist.

2. Es wird später gezeigt werden, dass sich die Modellordnung aus Servo-, Lenk- und Modulatorkreis ohne entsprechende Reduk-

tionen bis zu einer Ordnung von 30 aufsummiert, je nach betrachteter Fragestellung.

3. Allein die Identifizierung der Modellparameter ist an einem solch komplexen Modell nur schwer möglich.

86 Kapitel 4

versucht, die Struktur des Reglers und dessen Parametrisierung am Gesamtsystem zu bestim-

men. Diese Vorgehensweise erlaubt jedoch keine physikalische Deutung der Reglerstruktur, so

dass sie Schwächen bzgl. Inbetriebnahme, Flexibilität und Transparenz aufweist. In dieser Ar-

beit soll ein anderer Weg zum Reglerentwurf der Lenkung beschritten werden, der im Folgen-

den erläutert wird.

Der verteilt strukturierte Entwurf soll nun am Beispiel einer SbW-Lenkung angewendet werden.

Das nach mechatronischen Gesichtspunkten im Top-Down-Entwurf strukturierte Lenkungssy-

stem (Kapitel 4.2.1) dient zur Unterstützung bei der Abarbeitung des gesamten Entwicklungs-

kreislaufes. Durch den modular-hierarchischen Aufbau können im Sinne des Bottom-Up-

Entwurfs die Regler für die einzelnen Subsysteme sukzessive entworfen werden (Kapitel 4.2.2

bis Kapitel 4.2.4). Ausgehend von dem Gesamtmodell, kann in der untersten Ebene mit der

Reglersynthese begonnen werden. Dabei werden die Subsysteme nach gewissen Kriterien wie

z. B. der Bandbreite ausgelegt. Diese Kriterien werden im Wesentlichen durch die Anforderun-

gen der überlagerten Strukturen an diese Subsysteme und durch die geforderte Funktion vorge-

geben. Dies setzt ein gutes Systemwissen des Entwicklungsingenieurs voraus und erfordert den

schon angedeuteten iterativen Entwicklungsprozess. Das Systemwissen bzw. Systemverständ-

nis wird in diesem Fall durch den vorangegangenen Top-Down-Modellentwurf gefördert. Hier-

durch wird ein Gesamtsystemmodell aufgebaut, das die Struktur des Systems und die

Wechselwirkungen zwischen Teilsystemen deutlich macht. Darüber hinaus wurde durch die

Analyse des konventionellen Lenksystems das erforderliche Systemverständnis erlangt (Kapi-

tel 4.1).

Abbildung 4.7: Regelung der SbW-Lenkung ohne Strukturierung

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 87

Zur Auslegung von Regelsystemen in hierarchisch höher liegenden Ebenen wird ähnlich ver-

fahren. Sie werden bzgl. der Funktionsanforderungen und der Anforderungen der oberhalb lie-

genden Systeme ausgelegt. Es sollte jedoch beachtet werden, dass die Modellstrukturen immer

komplexer werden, was die Reglerauslegung für überlagerte Systeme erschwert. Hier ist es

sinnvoll, eine Modellreduktion für die unterlagerten Subsysteme durchzuführen. Dies ist zuläs-

sig, da es sich um geregelte Subsysteme handelt, deren Schnelligkeit (Bandbreite) höher liegt

als die der übergeordneten Systeme. Bezogen auf die Lenkung bedeutet dies, dass die Stromre-

gelung der Ventile für die überlagerte Druckregelung vernachlässigt werden kann, da sie sehr

viel schneller ist. Des weiteren stellen sich die geregelten Systeme sehr oft als lineare Teilsyste-

me dar. Dies gilt zumindest bis zu ihrer Regelbandbreite, so dass für sie relativ einfach eine Mo-

dellreduktion durchgeführt werden kann. Nach der Kompensation der nichtlinearen

Ventilkennlinie können die Druckregelkreise z. B. als Systeme 2. Ordnung nachgebildet wer-

den, um so einen vereinfachten Reglerentwurf für den Servokreis zu ermöglichen. Diese Mo-

dellreduktionen sollen mit Hilfe des in Kapitel 3 vorgestellten Identifizierungsverfahrens

durchgeführt werden.

Zur Nachbildung des Lenkgefühls einer konventionellen Lenkung ist neben der Erreichung der

Unterstützungbandbreite auch die Nachbildung der nichtlinearen Unterstützungskennlinie not-

wendig. Dies wird durch eine entsprechende Anpassung der Unterstützungsbandbreite der

SBW-Lenkung durchgeführt.

Innerhalb der Hierarchiestufen oder auch über Hierarchien hinweg bestehen Verkopplungen der

Teilsysteme, welche die entworfenen Reglerstrukturen beeinflussen bzw. das System sogar de-

stabilisieren können. Diese Verkopplungen sollen jeweils in der höher liegenden Ebene bzw. auf

der betroffenen Ebene berücksichtigt werden, was letztlich zu einer Entkopplung führt (siehe

Kapitel 2.3.3.2).

4.2.1 Strukturierung der SbW-Lenkung im Top-Down-Entwurf

Die Strukturierung (Einteilung) der SbW-Lenkung kann funktionsorientiert geschehen, wobei

die Bewegungsfunktionen im Vordergrund stehen. Die einzelnen Teilbewegungsfunktionen

können den einzelnen Massen zugeordnet werden. Diese Einteilung weicht nur geringfügig ab

von der Einteilung, die in Kapitel 5.2.1, orientiert an den hydraulischen Kreisen, vorgenommen

wurde.

Gemäß dieser Überlegung kann die SbW-Lenkung in die Subsysteme Servo- und Lenkkreis un-

terteilt werden. Diese einzelnen Teilsysteme beinhalten Sensorik, Aktorik, mechanische Trag-

strukturen und Informationsverarbeitung und stellen somit zwei MFMs dar. Das MFM Servo-

kreis erfüllt die Teilfunktion Generierung der Unterstützungskraft, das MFM Lenkkreis die

Teilfunktion Generierung des Übersetzungsverhältnisses Kolbenweg zu Lenkradwinkel.

88 Kapitel 4

Diesen MFMs sind weitere MFMs unterlagert und in Abbildung 4.8 dargestellt. Für den Servo-

kreis sind dies die folgenden Subsysteme mit ihren jeweiligen Funktionen, beginnend mit der

obersten Hierarchiestufe:

• MFM Servokreis

Im MFM Servokreis wird die Größe der Servounterstützung in Abhängigkeit des anliegenden

Lenkradmomentes bestimmt. Hier wird die Unterstützungskennlinie vorgegeben.

• MFM Druckregelung

Die Symmetrie dieses Systems bietet eine Einteilung an. Hier wird die angeforderte Druck-

differenz auf die linke bzw. rechte Druckregelung der einzelnen Kammern verteilt.

• MFMs Druckregelung linke und rechte Kammer

Über Standardregler wird hier das Ventil angesteuert, um den von der Druckregelung vorge-

gebenen Druck einzuregeln.

• Stromregelung der Ventile

Der von den Druckregelungen vorgebene Strom wird hier für die Ventile eingeregelt.

•Ölversorgung

Die Ölversorgung stellt in diesem Fall eine über Keilriemen angetriebene geregelte Flügel-

zellenpumpe dar. Der konstante Ölstrom, trotz stark variierender Verbrennungsmotordreh-

zahl, wird durch ein integriertes Stromregelventil geregelt. Darüber hinaus wird ein

Überdruckventil verwendet, das den Druck auf 120 bar beschränkt.

Die MFMs Stromregelung der Ventile und die Ölversorgung sind in Abbildung 4.8 nicht detail-

liert dargestellt, da es sich hier um Zulieferteile handelt, die schon als geregelte Zukaufteile ver-

wendet wurden. Dies gilt auch für die Drehzahlregelung der Modulatoreinheit aus dem

Lenkkreis. Die dynamischen Eigenschaften dieser Subsysteme finden durch reduzierte Black-

Box-Modelle Berücksichtigung.

Für den Lenkkreis sind dies die folgenden Subsysteme:

• MFM Lenkkreis

Hier wird das Verhältnis Lenkradwinkel zu Lenkzylinderweg eingestellt.

• MFM Modulatorkreis

Dieses MFM stellt ein weggeregeltes System dar, welches das vom Lenkkreis vorgegebene

Übersetzungsverhältnis realisiert.

• MFM Modulatoreinheit

Die Modulatoreinheit stellt ein Motor-Pumpen-Aggregat dar, das drehzahlgeregelt betrieben

wird. Hier gibt es unterlagert einen Stromregler, der als solcher wieder ein MFM darstellt.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 89

Verkopplungen der Subsysteme

Die einzelnen Subsysteme (MFMs) sind untereinander gekoppelt (siehe Abbildung 4.8). Deren

Regler werden aber vorerst unter Missachtung dieser Kopplungen ausgelegt. Sie finden erst Be-

rücksichtigung bei der Auslegung der Regler der überlagerten Systeme, welche die Subsysteme

miteinander koppeln. An dieser Stelle sollen die einzelnen Kopplungen aufgezeigt werden. Wie

sie beim Reglerentwurf berücksichtigt werden, wird an den jeweiligen Stellen zum Reglerent-

wurf der Systeme gezeigt.

• Kopplung des linken und des rechten Druckregelkreises über den Servozylinder

Die Aufgabe des linken und des rechten Druckregelkreises besteht darin, eine Druckdifferenz

am Servozylinder einzustellen. Hierzu werden die beiden Druckregelkreise am festgelegten

(nicht beweglichen) Servozylinder getrennt voneinander ausgelegt. Die wegen der Kopplung

über den Servozylinder benötigte Druckdifferenzregelung findet im MFM Druckregelung

statt. Darüber hinaus teilen sich die beiden Systeme die aus dem MFM Ölversorgung gestellte

hydraulische Leistung, was auch beim MFM Druckregelung berücksichtigt wird.

• Kopplung des Modulatorkreises und des Lenkkreises

Sowohl der Modulatorkreis als auch der Lenkkreis sind über den hydraulischen Kreis am

Lenkzylinder miteinander verbunden. Die Modellbildung des Wegregelkreis der Modulator-

einheit findet vorerst ohne Berücksichtigung der Einflüsse aus dem Lenkkreis statt, zu dem

der Ölvolumenstrom der Lenkradpumpe gehört. In der nächsthöheren Ebene, der Ebene des

Lenkkreises, werden die Einflüsse der Lenkradbewegung mit berücksichtigt.

Abbildung 4.8: Strukturierung der SbW-Lenkung

90 Kapitel 4

Die Systeme Lenkkreis und Servokreis sind zum Einen über die mechanische Kopplung der bei-

den Zylinder miteinander verbunden, was im Folgenden diskutiert wird. Zum Anderen dient das

am Lenkrad gemessene Moment als Eingangssignal für den Servokreis, diese Verbindung wird

im darauf folgenden Punkt untersucht.

• Mechanische Kopplung des MFM Lenkkreis mit dem MFM Servokreis

Die im MFM Servokreis dargestellte Regelung soll vollständig am festgelegten Servozylin-

der durchgeführt werden. Wegen der mechanischen Kopplung mit dem Lenkkreis muss die

Bewegung des Servozylinders zugelassen werden. Die Bewegung beeinträchtigt die unterla-

gerten Druckregelkreise (siehe hierzu auch Kapitel 2.3.3.2), was beim Entwurf des MFM

Druckregelung berücksichtigt wird. Die Rückwirkung des Servokreises auf den Lenkkreis ist

durch die am Lenkzylinder wirkenden Kräfte gegeben.

• Informationstechnische Kopplung des MFM Lenkkreis mit dem MFM Servokreis

Das am Lenkrad vorliegende Moment wird zur Vorgabe des im Servokreis einzustellenden

Druckes verwendet. Dabei ist es unerheblich, ob das Moment aus den Drucksensoren oder

aus einer separaten Momentenmessung bestimmt wird. Die Rückführung des Momentes auf

den Servokreis kann zu Instabilitäten der Lenkung führen, was in Kapitel 4.1.2 diskutiert

wurde und im Regler des MFM Servolenkung berücksichtigt werden muss.

Im Folgenden wird der mechatronische Entwurf des Lenkkreises und des Servokreises betrach-

tet. Dabei werden die angedeuteten Verkopplungen zwischen diesen beiden Kreisen vorerst ver-

nachlässigt und erst später beim Entwurf des MFM Servolenkung berücksichtigt.

4.2.2 Mechatronischer Entwurf des Lenkkreises

Aufgabe des MFM Lenkkreis ist es, das von dem MFM Servolenkung vorgegebene Überset-

zungsverhältnis Lenkradwinkel zu Lenkzylinderweg umzusetzen. In den folgenden Kapiteln

soll hierzu die Modellbildung, die Analyse, die Identifizierung und die Reglersynthese des

Lenkkreises untersucht werden. Besonderes Augenmerk wird dabei vorerst auf die unterlager-

ten Subsysteme wie den Modulatorkreis und die Modulatoreinheit gelegt.

Die Funktion des MFM Modulatorkreis besteht darin, einen stationär genauen Wegregelkreis

darzustellen. Stationäre Genauigkeit wird an dieser Stelle gefordert, da innerhalb des Lenkkrei-

ses wie auch des Modulatorkreises die Leckölverluste kompensiert werden müssen. Darüber

hinaus gibt es bzgl. der Bandbreite dieses Wegregelkreises spezielle Anforderungen. Da der

Fahrer in der Regel bis zu 5 Hz Lenkradwinkelanregungen in das System einbringen kann, wird

gefordert, den Wegregelkreis bis zu einer Eckfrequenz von 10 Hz auszulegen.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 91

Die Modulatoreinheit wurde als eine drehzahlgeregelte Motorpumpeneinheit eingebunden. Auf

die Drehzahlregelung wird an dieser Stelle nicht mehr eingegangen. In Kapitel 7.3 wird nur das

an dieser Stelle verwendete reduzierte Modell dieser Drehzahlregelung beschrieben. Dieses re-

duzierte Modell wurde mit dem in Kapitel 3 entwickelten Identifizierungsverfahren erstellt.

4.2.2.1 Modellbildung und Analyse des Modulatorkreises

Die detaillierte Modellbildung des Modulatorkreises wird in Kapitel 7.3 durchgeführt. An die-

ser Stelle wird nur auf die modellierten Komponenten und das Ergebnis hingewiesen. Das phy-

sikalische Ersatzmodell ist in Abbildung 4.9 dargestellt:

Folgende Komponenten wurden bei der Modellbildung berücksichtigt:

• Der Antriebsmotor

Anhand von gemessenen Frequenzgängen wurde ein Motormodell 4. Ordnung erstellt.

• Das Getriebe zwischen Antriebsmotor und Pumpe

•Die Pumpe

• Der Lenkzylinder mit den Zylinderkammern

• Die Rohrleitungen

Messungen (siehe Abbildung 4.11 und Abbildung 4.12) haben ergeben, dass der Einfluss der

Rohrleitungen auf die Dynamik des Gesamtsystems nicht vernachlässigt werden darf. Aus

diesem Grund wurden zwei Rohrleitungsmodelle, welche die Pumpe mit den jeweiligen Zy-

linderkammern verbinden, mit einbezogen. Da die Rohrleitungen bzgl. ihrer Länge und

Querschnitte gleich sind, wurden die Modelle hierfür gleich parametrisiert.

Die Verknüpfung all dieser Modellkomponenten führt zu dem in Abbildung 4.10 dargestellten

Gesamtmodell.

Abbildung 4.9: Physikalisches Ersatzmodell des Modulatorkreises

92 Kapitel 4

Analyse des Gesamtsystems

Das dargestellte Modell ist ein lineares Modell, das gemäß der Ordnungen der Teilsysteme eine

Systemordnung von 14 aufweist. Dieses Modell soll für die Reglerauslegung herangezogen

werden. Vorerst muss das Modell parametrisiert werden, da noch eine Vielzahl von physikali-

schen Parametern nicht identifiziert sind. Sie sind im Folgenden aufgeführt:

• der Leckölkoeffizient der Pumpe cLeck,

• die Leitungskapazität CL,

• die Leitungsinduktivität LL,

• der Leitungswiderstand RL,

• die hydraulische Kapazität der Zylinderkammer CHyd.

Bei diesen Parametern handelt es sich im Wesentlichen um Rohrleitungsparameter. Wie bei der

Identifizierung des HP-Federbeins (Kapitel 3.4) werden bei der Modulatoreinheit die Drücke

vor und hinter den Rohrleitungen gemessen. Um den Einfluss des Motors auszuschließen, wird

als Eingang dieser Untersuchung die Istdrehzahl anstelle der Solldrehzahl verwendet. Somit

werden zur Identifizierung der Modulatoreineinheit die Frequenzgänge von der Druckdifferenz

in den Zylinderkammern ( ) zur Istdrehzahl ( ) und von der Druckdifferenz an der Pumpe

( ) zur Istdrehzahl ( ) verwendet. Darüber hinaus wird die Kolbenbewegung für diese Un-

tersuchungen unterdrückt.

Durch die Arretierung des Kolbens, die Wahl von gleichen Rohrleitungsmodellen, die damit

einhergehende Modellsymmetrie und die Vernachlässigung der Motordynamik durch Verwen-

dung der Istdrehzahl bei der Bestimmung der Frequenzgänge verkleinert sich die Systemord-

nung auf 3.

Die Herleitung der analytischen Übertragungsfunktionen ist in Kapitel 7.3 näher erläutert; an

dieser Stelle werden lediglich die Ergebnisse präsentiert:

Abbildung 4.10: Gesamtmodell des Modulatorkreises

∆pKnist

∆pPnist

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 93

(4.5)

4.2.2.2 Identifizierung des Modells

Zur Identifizierung des Modells wird die in Kapitel 3.3 eingeführte mehrstufige Identifizie-

rungstechnik verwendet. Die erste Stufe (Modell- und Messdatenaufbereitung) wird hier nicht

näher erläutert. Die Schritte die hier durchzuführen sind, sind analog zu denen des Kapitels

3.4.2 bei der Identifizierung des HP-Federbeins. Die analytische Aufbereitung der Übertra-

gungsfunktionen wird in Kapitel 7.3 durchgeführt. Damit kann direkt mit Stufe 2 begonnen wer-

den.

Stufe 2 (Erstellen von Grey/Black-Box-Modellen)

In dieser Stufe werden anhand der gemessenen Frequenzgänge Grey-Box-Modelle für die ein-

zelnen Übertragungspfade erstellt. Die Zähler- und Nennerordnung, die zum Anpassen der Fre-

quenzgänge verwendet wird, kann dabei den Übertragungsfunktionen aus Gl. 4.5 entnommen

werden. Somit sind der Frequenzgang zum Kammerdruck mit einer Zählerordnung 0 und einer

Nennerordnung 3 sowie der Frequenzgang zum Pumpendruck mit einer Zählerordnung 2 und

einer Nennerordnung von 3 anzupassen. Dabei sind die Nenner der beiden Übertraungsfunktio-

nen identische. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.11 und Abbildung 4.12 dargestellt, wobei je-

weils die vom Grey-Box-Modell errechneten und die gemessenen Frequenzgänge

gegenübergestellt wurden.

Die dazugehörigen Grey-Box-Modelle haben folgendes Aussehen:

(4.6)

Gnist ∆pK

→

∆pK

nist

----------

VGKGSkalnSkalpcLeck

⁄⋅⋅ ⋅

CHyd C⋅LLL

⋅

2cLeck

⋅

----------------------------------- s32CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-------------------------------------------------------------------------------------------------- s2…+⋅+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------+s1+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gnist ∆pP

→

∆pP

nist

---------- VGKGSkalnSkalp

⋅⋅ ⋅

cLeck

------------------------------------------------------------

CHyd LLs2CHyd RLs1+⋅⋅+⋅⋅

CHyd C⋅LLL

⋅

2cLeck

⋅

----------------------------------- s32CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-------------------------------------------------------------------------------------------------- s2…+⋅+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------+s1+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

⋅

Gnist ∆→ pK

()ident s() 9 321,10 2–

1 096,6–

×10 s32832,4–

×10 s23 986 1–

×10 s,1+++

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

94 Kapitel 4

(4.6)

Wird nun Gl. 4.5 mit Gl. 4.6 verglichen, fällt auf, dass bei der Identifizierung der gleiche Nenner

und die gleiche statische Verstärkung der Übertragungsfunktionen berücksichtigt wurden.

Stufe 3 (Koeffizientenvergleich)

Das Bestimmen der physikalischen Parameter wird nun über den Koeffizientenvergleich durch-

geführt. Dabei ergeben sich die in Gl. 4.7 dargestellten 6 Gleichungen1:

(4.7)

Abbildung 4.11: Gemessene und von dem Grey-Box-Modell errechneten Frequenzgänge (Kammerdruck)

1. Die gesuchten Parameter sind der Abbildung 4.13 zu entnehmen.

G∆pPnist

→()ident s() 9 321,10 2–

×4 291,6–

×10 s21037,3–

×10 s1++()

1 096,6–

×10 s32832,4–

×10 s23 986 1–

×10 s,1+++

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

-1

-80

-60

-40

-20

Frequenzgang deltap

Ist

Frequenz [Hz]

Betrag [bar/U/min dB]

-1

-250

-200

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Grad [Phase]

Messung

Grey-Box-Modell

VGKGSkalnSkalp

⋅⋅ ⋅

cLeck

------------------------------------------------------------9321,10 2–

CHyd C⋅LLL

⋅

2cLeck

⋅

----------------------------------- 1 096,6–

×10

2CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅

2cLeck

⋅

--------------------------------------------------------------------------------------------- 2832,4–

×10

2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅

2cLeck

⋅

------------------------------------------------------------------------------------ 3 986 1–

×10,

CHyd LL

⋅

4 291,6–

×10

CHyd RL

⋅1 037,3–

×10

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 95

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 5 Un-

bekannten. Zum Auffinden von Abhängigkeiten und Widersprüchen in den Gleichungen kön-

nen die Gröbner-Basen [Adams] verwendet werden. Durch Weglassen von einer Gleichung

können auf z. B. zwei Gleichungssätze zu jeweils 5 Gleichungen zurückgegriffen werden. Die

Lösungen dieser beiden Gleichungssätzen führt auf zwei Parametersätze welche in Abbildung

4.13 dargestellt sind.

Abbildung 4.13: 2 Parametersätze des dentifizierten Modulatorkreises

Abbildung 4.12: Gemessene und von dem Grey-Box-Modell errechneten Frequenzgänge (Pumpendruck)

Parametersatz 1 Parametersatz 2

-1

-80

-60

-40

-20

Frequenz [Hz]

Betrag [bar/U/min dB]

Frequenzgang deltap

Ist

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Messung

Grey-Box-Modell

cLeck 1 945 13–

×10 m3s⁄

⁄

---------------

CL2 343 14–

×10, m5N

⁄

8 157 10

×10, Nm

⁄

LL3 376 8

×10 Ns

2m5

CHyd

⁄⋅,

1271 14–

×10 m5N⁄,

cLeck 4 585 14–

×10 m3s⁄

⁄

---------------

CL2 343 14–

×10, m5N

⁄

7 964 10

×10, Nm

⁄

LL3 296 8

×10 Ns

2m5

CHyd

⁄⋅,

1302 14–

×10 m5N⁄,

96 Kapitel 4

Die Frequenzgänge des Modells mit beiden Parametersätzen und die Frequenzgänge des Grey-

Box-Modells sind in Abbildung 4.14 und Abbildung 4.15 gegenübergestellt. Das Modell mit

Parametersatz 2 stimmt dabei sehr genau mit dem Grey-Box-Modell überein1, so dass mit die-

sem Parametersatz ein ausreichendes Anpassungsergebnis erzielt wurde. Für den 2. Parameter-

satz wurden die Gl. 1, 2, 4, 5 und 6 aus Gl. 4.7 verwendet. Im folgenden wird mit diesem

Parametersatz weiter gearbeitet.

In der vierten Stufe des Identifizierungsverfahrens soll das bis dahin erzielte Ergebnis mit Hilfe

eines Optimierungsverfahrens verbessert werden. Für diesen Anwendungsfall war eine weitere

Optimierung nicht mehr möglich, so dass davon ausgegangen werden kann, dass mit dieser Mo-

dellierungstiefe und den ersten 3 Stufen des Verfahrens das bestmögliche Ergebnis erzielt wur-

de.

1. Das Modell mit dem 2. Parametersatz liegt in Abbildung 4.14 und Abbildung 4.15 genau über dem des Grey-Box-Modell.

Abbildung 4.14: Vergleich physikalische Modelle und Grey-Box-Modell (Kammerdruck)

-80

-60

-40

-20

-250

-200

-150

-100

-50

Phase [Grad] Betrag [bar/U/min dB]

Frequenz [Hz]

Frequenzgang deltap

Ist

Black-Box-Modell

Parametersatz 1

Parametersatz 2

Grey-Box-Modell

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 97

Zur Reglerauslegung des Modulatorkreises wird das identifizierte Modell um den unbelasteten

(frei beweglichen) Lenkzylinder erweitert. Die Herleitung dieses Modells kann in Kapitel 7.3

nachvollzogen werden. Für die Auslegung des Reglers ist das Übertragungsverhalten von der

Istdrehzahl des Maxonmotors zum Lenkzylinderweg abzuleiten, dessen Form in Gl. 4.8

dargestellt ist:

(4.8)

Diese Modellgleichung bezieht sich im Wesentlichen auf dieselben Parameter wie die Übertra-

gungsfunktionen aus Gl. 4.5. Hinzugekommen sind lediglich die Parameter Kolbenmasse m

[Kg] und die Querschnittsfläche A [m2]. Diese Parameter sind jedoch durch Messungen einfach

zu bestimmen und erzeugen keinen weiteren Identifizierungsaufwand.

Abbildung 4.15: Vergleich physikalische Modelle und Grey-Box-Modell (Pumpendruck)

-1

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-1

-100

-80

-60

-40

-20

Frequenzgang deltap

Ist

Betrag [bar/U/min dB]

Phase [Grad]

Frequenz [Hz]

Grey-Box-Modell

Parametersatz 1

Parametersatz 2

nist xL

Gxn

ist

→

2AV

GKGSkaln

⋅⋅ ⋅ ⋅

mCHydCLLLs52mcLeckCHydLLmCHydCLRLdKCLCHydLL

++()s4

⋅+⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2A2CLLL2mcLeckCHydRL2dKcLeckCLCHydLLdKCLCHydRLmCHyd mCL

++ +++( ) s3

⋅+

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2A2CLRL2dKcLeckCHydRL2mcLeck dKCLdKCHyd 4A2cLeckLL

+++++( ) s2

⋅+

…

…2A22dKcLeck 4A2cLeckRL

++()s⋅+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

98 Kapitel 4

Der Modellfrequenzgang ist dem am Prüfstand gemessenen Frequenzgang, von der Solldreh-

zahl des Motors hin zum Zylinderweg, in Abbildung 4.16 gegenübergestellt. Bei diesem Fre-

quenzgang ist das Modell des Subsystems Modulatoreinheit schon berücksichtigt (siehe

Blockschaltbild Abbildung 4.10 und die Herleitung des Modells in Kapitel 7.3.1). Mit Hilfe die-

ses sehr gut identifizierten Modells soll nun die Reglerauslegung folgen.

4.2.2.3 Reglerauslegung des Lenkkreises

Modulatorkreis

Auch bei der Reglerauslegung des Lenkkreises steht zuvor der Regler des Modulatorkreises im

Vordergrund. Die Auslegung dieses Reglers ist aufgrund der Gestalt des in Abbildung 4.16 dar-

gestellten Frequenzganges trivial. Unter Zuhilfenahme des Nyquist-Kriteriums kann hier ein P-

Regler begründet werden. Dank des I-Verhaltens des Systems ist von stationärer Genauigkeit

auszugehen. Darüber hinaus kann aufgrund der ausreichenden Phasenreserve bei 12 Hz die Ver-

stärkung des P-Faktors so eingestellt werden, dass sich für den geschlossenen Regelkreis eine

Bandbreite von ca. 12 Hz einstellt. Die ausreichende Phasenreserve und damit die hohe Dämp-

fung des Regelkreises sind besonders wichtig, da Überschwinger im Wegregelkreis auch zu

Überschwingern im Druck führen, was wiederum ein Schwingen im spürbaren Lenkradmoment

verursacht (vgl. Abbildung 4.20).

Abbildung 4.16: Gemessener und gerechneter Frequenzgang

10-1 100101

-140

-120

-100

-80 Frequenzgang Weg ist / n soll Maxon

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

Messung

Modell

10-1 100101

-160

-140

-120

-100

-80

Fre

uenz

[

]

Phase [Grad]

GnSoll x→

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 99

Die Resultate des geschlossenen Regelkreises sind in Abbildung 4.17 (im Frequenzbereich) und

in Abbildung 4.18 (im Zeitbereich) dargestellt. Des Weiteren sind den Messungen am Prüfstand

die entsprechenden Modellergebnisse gegenübergestellt. Die Grundlage des Modells bildete da-

bei das in Abbildung 4.10 dargestellte Blockschaltbild zusammen mit den aus Kapitel 4.2.2.2

identifizierten Modellparametern. Damit liegt den Ergebnissen ein Modell 14. Ordnung zu

grunde:

Abbildung 4.17: Frequenzgang geschlossener Regelkreis ohne Last

Abbildung 4.18: Sprungantworten des Regelkreises

-1

-10

-5

5Frequenzgang Weg ist / Weg soll

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

Messung

Modell

-1

-200

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

15 x 10

-4

Zeit [s]

Weg [m]

Messung

00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

15 x 10

-4

Modell

Zeit [s]

Weg [m]

Weg soll

Weg ist

100 Kapitel 4

Lenkkreis

Bei der Betrachtung des Lenkkreises wird der Modulatorkreis um die physikalischen Bauteile

des Lenkkreises wie die Lenkradpumpe und um den Regler des Lenkkreises erweitert. Damit

ergibt sich für den Lenkkreis das in Abbildung 4.19 dargestellte Blockschaltbild:

Da der hydraulische Kreis der Lenkradpumpe mit dem des Modulatorkreises verkoppelt ist, ist

die Abstimmung des Modulatorregelkreises im Gesamtsystem Lenkkreis noch eimal zu über-

prüfen. Des Weiteren kann durch die Berücksichtigung der Lenkradpumpe nunmehr das Lenk-

radmoment MLenk in die Untersuchungen mit einbezogen werden. Das Lenkradmoment

errechnet sich durch die Druckdifferenz ∆Pin [N/m2] am Eingang der Leitung, multipliziert mit

dem Schluckvolumen Vg [m3/rad]1. Falls das Übersetzungsverhältnis xü, das vom MFM Ser-

volenkung vorgegeben wird, so eingestellt ist, dass der Lenkzylinderweg xist allein durch den

Ölstrom der Lenkradpumpe eingestellt werden kann2, so muss der Modulatorkreis nur das

Lecköl kompensieren. Damit die Regelung jedoch statisch genau ist, muss auf den Regelkreis

der Modulatoreinheit der Sollweg xsoll aufgeschaltet werden. Für dieses Gedankenspiel wurde

das Experiment aus Abbildung 4.18 mit der Berücksichtigung des Ölstroms aus der Lenkrad-

pumpe simuliert und in Abbildung 4.20 dargestellt. Darüber hinaus wird das neue System in

Abbildung 4.21 mit dem ursprünglichen Modulatorkreis im Frequenzberich verglichen (es ist

der offene Regelkreis dargestellt).

Es ist zu erkennen, dass sich die Dynamik maßgeblich verschlechtert hat. Im Zeitbereich ist ein

deutlicher Überschwinger zu erkennen. Insbesondere schwingt das Lenkradmoment mit ca. 1

Nm über. Wird dieses Lenkradmoment auf den Servokreis über die Momenten-Druck-Kennli-

nie (Abbildung 4.1) aufgeschaltet, so können hiermit Druckschwankungen von 30 bar bei 5 Nm

hervorgerufen werden3. Am Frequenzgang in Abbildung 4.21 kann abgelesen werden (gestri-

chelte Linie), dass die Betragskennlinie die 0-dB-Linie nicht mehr mit -20 dB Abfall schneidet,

Abbildung 4.19: Blockschaltbild des MFM Lenkkreis

1. Bei dieser Modellierungstiefe wurde davon ausgegangen, dass der Wirkungsgrad der Pumpe 1 beträgt.

2. Es wird postuliert, dass für diesen Fall das Übersetzungsverhältnis xü = 1 ist.

3. Bei diesen Überlegungen wird vorerst die Dynamik des Servokreises vernachlässigt.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 101

so dass das Nyquist-Kriterium zum Reglerentwurf nicht mehr uneingeschränkt anwendbar ist.

Somit wäre der einfache P-Reglerentwurf mittels Nyquist-Kriteriums bei sofortiger Betrach-

tung des Gesamtsystems nicht möglich gewesen. Erst der strukturierte Entwurf ermöglicht diese

geringe Komplexität beim Reglerentwurf durch die Verteilung der Fragestellungen auf einzelne

Subsysteme. Wie der Lenkkreis dabei in den Modulatorkreis eingebunden wird, wird im Fol-

genden diskutiert.

Abbildung 4.20: Simulation des Lenkkreises ohne Vorsteuerung

Abbildung 4.21: Frequenzgänge mit und ohne Lenkkreis

00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

2x 10

-3

Zeit [s]

soll

[m], x

ist

[m]

Übersetzung = 1

00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 2

-2000

2000

Zeit [s]

ist

[U/min]

00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

Zeit [s]

Lenk

[Nm]

ist

soll

-10

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

Frequenzgang x

ist

soll

-160

-140

-120

-100

-80

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

ohne Lenkpumpenölstrom

mit Lenkpumpenölstrom

102 Kapitel 4

Aufgabe des Reglers des Lenkregelkreises ist, die Nachteile, die durch die Kopplung zwischen

Modulatorkreis und Lenkkreis entstanden sind, zu beseitigen. Das oben dargestellte Szenario

entspricht einem Worst-Case-Szenario, in dem der komplette Ölstrom von der Lenkradpumpe

gestellt wird. Bei kleiner werdenden Übersetzungen vom Lenkradwinkel/Zahnstangenweg

muss die Modulatoreinheit auch einen Ölstrom generieren, und somit geht der Frequenzgang

"mit Lenkpumpenölstrom" wieder in den Frequenzgang "ohne Lenkpumpenölstrom" über. In-

sofern muss der Lenkregelkreis für den Fall der größten Übersetzung xü=1 ausgelegt werden.

Größere Übersetzungen werden nicht betrachtet, da die passive Abstimmung der Lenkung so

gewählt wurde, dass die passive Übersetzung aus Sicherheitsgründen maximal ist. Darüber hin-

aus erzeugt das Manöver maximale Lenkradwinkelgeschwindigkeiten von 1000 Grad/s. Solche

Lenkradwinkelgeschwindigkeiten können nur sehr kurzfristig bei Anlenkvorgängen entstehen.

Beim schnellen Parkieren, bei dem das Lenkrad von Anschlag zu Anschlag gedreht wird, ent-

stehen max. ca. 500 Grad/s. Bei weniger dynamischen Fahrmanövern entschärft sich das Pro-

blem nochmals.

Während dieser dynamischen Lenkmanöver mit gleichzeitigem geringen Übersetzungsverhält-

nis wird zum Einen der Ölstrom von der Lenkpumpe gefördert, zum Anderen stellt die Modu-

latorpumpe einen Ölstrom. Die Hierarchieebene Lenkkreis weiß sowohl von dem einen als auch

von dem anderen Ölstrom, entsprechend sollte diese Ebene den geforderten Ölstrom auch ko-

ordinieren. Hierzu wird die in Abbildung 4.22 aufgezeigte Regelstrategie vorgeschlagen:

Bei dieser Regelstrategie wird der von der Lenkradpumpe gestellte Zylinderweg xLP vom aus

dem Übersetzungsverhältnis berechneten Sollweg xsollü abgezogen. Diese Differenz kann aber

nicht als Sollweg xsoll verwendet werden, da ansonsten der Regelkreis nicht statisch genau wä-

re. Es wird vielmehr der tiefpassgefilterte Zylinderweg xLP wieder addiert. So ist sichergestellt,

dass für hochdynamische Lenkvorgänge der aus der Lenkradpumpe gestellte Volumenstrom

Abbildung 4.22: Regelstrategie des Lenkkreises

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 103

nicht hochfrequent mit aufgeschaltet wird. Die Filterkonstante des PT1-Gliedes wurde im Rah-

men einer rechnergestützten Optimierung bestimmt. Die Ergebnisse dieser Regelung sind in

Abbildung 4.23 für unterschiedliche Übersetzungen xü dargestellt.

Die in Abbildung 4.22 dargestellte Regelstrategie entspricht der in Kapitel 2.3.3.2 vorgestellten

Entkopplung durch Vorsteuerung in der nächsthöheren Hierarchieebene. Hierdurch wird der

Weg unabhängig von dem vom MFM Servolenkung vorgegebenen Übersetzungsverhältnis mit

annäherungsweise konstantem dynamischen Verhalten eingeregelt, und die geforderten Dreh-

zahlen werden minimiert, was zudem noch energetisch günstiger ist (vgl. Abbildung 4.20 und

Abbildung 4.23). Die Lenkradmomente weisen keinen Überschwinger mehr auf. Es ist jedoch

bei einem höheren Übersetzungsverhältnis ein höheres Lenkradmoment erforderlich. Begrün-

det werden kann das durch die höher werdenden Beschleunigungen der Ölsäule und des Servo-

zylinders. Dies kann sehr wohl auch ein gewollter Effekt sein, um dem Fahrer ein höheres

Übersetzungsverhältnis zu signalisieren. Er kann durch die spätere Einbindung des Servokrei-

ses und damit einer höheren Unterstützungskraft wieder aufgehoben bzw. dessen Größe kann

eingestellt werden.

Abbildung 4.23: Simulation des Lenkkreises mit Vorsteuerung und unterschiedlichen Übersetzungen

00.5 1

-2

2x 10

-3

soll

[m], x

ist

[m]

Übersetzung = 1

00.5 1

-2000

2000

ist

[U/min]

00.5 1

-2

2x 10

-3

soll

[m], x

ist

[m]

Übersetzung = 2

00.5 1

-2000

2000

ist

[U/min]

00.5 1

-5

Zeit [s]

Lenk

[Nm]

00.5 1

-5

Zeit [s]

Lenk

[Nm]

104 Kapitel 4

4.2.3 Mechatronischer Entwurf des Servokreises

Der Entwurf des Servokreises wird analog zu dem des Lenkkreises durchgeführt. Beginnend

mit der untersten Hierarchiestufe, werden die Modelle aufgebaut und identifiziert. Aufgrund der

starken Nichtlinearität des Systems wird noch einmal explizit auf dessen Identifizierung an un-

terschiedlichen Betriebspunkten eingegangen. Hieran schließt sich dann die Reglerauslegung

der einzelnen Hierarchiestufen an. Insbesondere die Erfahrungen aus der konventionellen Len-

kung kommen hier zum Tragen.

Das zur Ölstromversorgung vorgesehene MFM wird hier nicht näher betrachtet und als konstan-

te Ölstromquelle angesehen. Hierbei handelt es sich um eine Flügelzellenpumpe mit integrier-

tem Stromregelventil und einem Überdruckventil1. Wegen dieser mechanischen Regelventile

kann diese Einheit auch als eigenständiges MFM bezeichnet werden.

Die Druckregelung wird durch zwei Servoventile, die in einem hydraulischen Open-Center-

Kreis angeordnet sind, realisiert. Dabei übernimmt jeweils ein Ventil die Druckregelung einer

Zylinderkammer. Hierdurch ergibt sich die in Abbildung 4.8 dargestellte Einteilung in einen lin-

ken bzw. rechten Druckregelkreis und in die übergeordnete Druckregelung. Die Auslegung die-

ser Teilsysteme wird in den folgenden Unterkapiteln abgehandelt.

4.2.3.1 Modellbildung und -analyse der Druckregelkreise

Aufgrund der Symmetrie der beiden Kreise für die Druckregelung der linken bzw. der rechten

Zylinderkammer wird vorerst nur das Subsystem linker Druckregelkreis betrachtet. Die Ver-

schaltung dieser beiden Systeme wird im MFM Druckregelung vorgenommen. Dabei resultie-

ren die im Folgenden vorgestellten einfachen Modelle erst aus dieser modularen

Herangehensweise. Wie in [Ruste] gezeigt wird, hat das ursprüngliche Modell eine weitaus hö-

here Komplexität der Ordnung 11.

Zur Auslegung des Druckregelkreises wird zunächst das folgende, in Abbildung 4.24 darge-

stellte Einkammersystem betrachtet. Es entspricht dem Servokreis, wobei der Servozylinder

festgelegt wurde. Eine Bewegung bei freigelegtem Servozylinder kann durch die Vorsteuerung

des Ölstroms ausgeglichen werden (siehe Abbildung 2.15 aus Kapitel 2.3.3.2). Dies wird bei

der Auslegung des MFM Servolenkung in Kapitel 4.2.4 diskutiert.

Unter Verwendung des in Abbildung 4.24 dargestellten Ersatzmodells und der weiter unten an-

gegebenen Gleichungen kann das mathematische Modell hergeleitet werden.

Folgende Komponenten des Servokreises werden dabei berücksichtigt:

• Lenkhilfepumpe

1. Dieses Subsystem ist von der konventionellen hydraulischen Servolenkung übernommen worden.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 105

Sie wird als konstante Volumenstromquelle mit betrachtet.

• Druckkammer des Servozylinders mit

• Spule und Steuerschieber eines Drosselventils

Sie wird im ersten Ansatz als Black-Box-Modell berücksichtigt und in späteren Arbeits-

schritten identifiziert. Dies ist notwendig, da an den Ventilen keine Messgrößen zur Identifi-

zierung zur Verfügung stehen und darüber hinaus der Hersteller keine Angaben über dieses

System macht. Die Gleichung für das Ventil lautet: .

• Ventilkennlinien

Der Durchfluss durch das Ventil hängt vom Druck und der Steuerschieberspannung ab mit

mit: QPVolumenstrom der Pumpe m3/s

pLDruck in der linken Kammer

CHyd Hydraulische Kapazität der

Kammer m5/N

QinL Volumenstrom in die Kammer m3/s

QPB über eine Steuerkante m3/s

fließender Volumenstrom

Qnom Nenndurchfluss pro Steuer- m3/s

kante

ueVentileingangsspannung V

umax maximale Ventileingangs- V

spannung

∆pDruckdifferenz an der N/m2

Steuerkante

∆pnom Druckdifferenz bei N/m2

Nenndurchfluss

GBB Übertragungsfunktion des Ventils m/V

xsnormierter Steuerschieberweg m

x Servozylinderweg m

QPkonst=

pL1

CHyd s⋅

---------------------QinL Axs⋅⋅–()⋅=

XsGBB ue

⋅=

QPB Qnom 1xs

umax

-------------–

⎝⎠

⎛⎞

∆p

pnom

-------------⋅⋅=

106 Kapitel 4

Der Motor und der Riementrieb werden vorerst vernachlässigt. Das dies eine zu grobe Ein-

schränkung ist, wird im Folgenden noch gezeigt werden.

Durch die Vernachlässigung der hydraulischen Widerstände der Rohrleitungen und des Ventil-

blocks können die beiden Steuerkanten des Ventils zusammengefasst werden. Das folgende

Blockschaltbild beschreibt das System aus Abbildung 4.24:

Etwaige Rückwirkungen auf den Steuerschieber durch Druck- oder Strömungseinflüsse werden

vernachlässigt.

Linearisierung der Durchflussgleichung

In Abbildung 4.25 ist schon angedeutet, dass es sich bei dem Übertragungsglied des Drossel-

ventils um ein nichtlineares Übertragungsglied handelt, das von der Ventilschieberstellung xS

und dem Kammerdruck pA abhängig ist. Entwickelt man dieses Übertragungsglied in eine Tay-

lorreihe um den Betriebspunkt (pAB, xSB) und bricht diese nach dem linearen Glied ab, so erhält

man folgendes lineares Übertragungsglied für das Drosselventil [Ruste]:

Abbildung 4.24: Einkammersystem zur Auslegung des Druckregelkreises

Abbildung 4.25: Blockschaltbild des Einkammersystems

Kammer

umpe

Drosselventil

Spule + Steuerschieber

nom

max

nomV

1Q2Q

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−⋅⋅=

Hyd

⋅

Black-Box

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 107

(4.9)

∆pA, ∆xS, ∆QVB und ∆QV sollen dabei signalisieren, dass diese Gleichung jeweils nur in einem

kleinen Bereich um den gewählten Betriebspunkt gültig ist. Nach dieser Erkenntnis gestaltet

sich das Blockschaltbild des linearisierten Einkammermodells wie folgt:

Analyse des linearen Einkammermodells

Abbildung 4.26 zeigt das lineare Modell des Einkammersystems. Es hat die Systemordnung 1,

wenn die Ventildynamik (GBB) vernachlässigt wird. Der von dem Ventilschieberweg unabhän-

gige Anteil kann mit dem Übertragungsglied der Kammer zu einem PT1-Glied zusammenge-

fasst werden. Der Pumpenvolumenstrom sowie der betriebspunktabhängige Volumenstrom des

Drosselventils ∆QVB bilden Störgrößen des linearen Systems.

Die Führungsübertragungsfunktion Gf lässt sich demnach berechnen zu:

(4.10)

mit GV1, GV2 den linearen Übertragungsgliedern

aus Abbildung 4.26

GBB dem Übertragungsglied der Ventildynamik

CHyd der hydraulischen Kapazität

Abbildung 4.26: Blockschaltbild des linearisierten Einkammermodells

∆QVQnom

pAB pT

–()pnom

⋅

------------------------------------------------- 1xSB

xmax

------------–

⎝⎠

⎛⎞

pA2Qnom

xmax

-------------- pAB pT

–

pnom

---------------------- xS∆QVB

+∆⋅⋅ ⋅–∆⋅⋅=

Hyd

⋅

nom

TAB

max

nom

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

−

max

nomTAB

nom

)

(

∆

Black-Box

Gfp∆A

∆

----------GKGV1GBB

⋅⋅

1GKGV2

⋅+

---------------------------------------GV1

GV2

---------- GBB 1

CHyd

GV2

------------- s⋅1+

------------------------------

⋅⋅== =

108 Kapitel 4

Da das Black-Box-Modell GBB nur die Ventildynamik wiedergeben soll und der Ventilschieber-

weg eine nicht weiter interessierende Zwischengröße ist - da er nicht gemessen werden kann -,

kann die Verstärkung dieses Übertragungsgliedes auf 1 gesetzt werden. Die Gesamtverstärkung

Kges der Führungsübertragungsfunktion Gf sowie die Zeitkonstante T1 des PT1-Gliedes lassen

sich daher aus Gleichung Gl. 4.10 zu folgenden Ausdrücken berechnen:

Betriebspunktabhängige Verstärkung und Zeitkonstante

(4.11)

(4.12)

Wie zu erkennen, sind beide jeweils vom gewählten Betriebspunkt (xSB, pAB) abhängig. Mit

steigender Ventilschieberauslenkung xSB des Drosselventils steigt auch der Druck in der Zylin-

derkammer pAB, so dass die Gesamtverstärkung Kges wächst. Gleiches gilt auch für die Zeit-

konstante T1 des PT1-Gliedes.

Nach dieser Analyse des Einkammermodells sollen im folgenden Kapitel anhand von Messun-

gen am realen Einkammersystem noch fehlende Systemparameter, wie z. B. die hydraulische

Kapazität CHyd und die Parameter des Black-Box-Modells der Ventildynamik, identifiziert wer-

den.

4.2.3.2 Identifizierung des Druckregelkreises

Im Gegensatz zur Identifizierung des Modulatorkreises, bei dem ein lineares SIMO-System

identifiziert wurde, wird das Identifizierungsverfahren beim Druckregelkreis dazu verwendet,

ein nichtlineares SISO-System an unterschiedlichen Betriebspunkten zu identifizieren. Neben

der hydraulischen Kapazität sollen die Spulen- und die Ventilschieberdynamik identifiziert wer-

den. Da an der Spule bzw. am Ventilschieber keine Messgrößen zur Verfügung stehen, kann hier

nur auf eine Black-Box-Modellierung zurückgegriffen werden.

Die an unterschiedlichen Betriebspunkten gemessenen Frequenzgänge in Abbildung 4.27 wer-

den zur Identifizierung durch Black-Box-Modelle angenähert. Durch Koeffizientenvergleich

dieser Modelle mit der in Gl. 4.10 dargestellten Übertragungsfunktion werden die entsprechen-

den Parameter bestimmt. Die bei den Messungen angelegten Ventilspannungen und die dabei

entstehenden mittleren Kammerdrücke sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

Kges GV1

GV2

---------- 2 pAB pT

–

xmax xSB

–

----------------------------

⋅==

T1CHyd

GV2

------------- CHyd xmax pnom pAB pT

–()⋅⋅⋅

Qnom xmax xSB

–()⋅

------------------------------------------------------------------------------------==

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 109

Betriebspunktabhängige Verstärkung und Zeitkonstante auch in den Messungen

Abbildung 4.27 zeigt die Ergebnisse dieser Messungen. Wie darin angedeutet, weisen sie das

im vorigen Kapitel analysierte Verhalten, also steigende Verstärkung und steigende Zeitkon-

stante bei steigendem Druck, auf. Dies ist das typische Verhalten eines Open-Center-Systems,

das schon in Kapitel 4.1 bei der konventionellen Lenkung festgestellt wurde und durch die Gl.

4.10 bis Gl. 4.12 beschrieben werden kann.

Identifizierung des offenen Regelkreises

Die Analyse des Einkammermodells hat gezeigt, dass die Pole des Systems für unterschiedliche

Betriebspunkte voneinander abweichen. Aus diesem Grund kann die in Kapitel 3.3.2.3 vorge-

stellte gleichzeitige Identifizierung des Nennerpolynoms nicht vorgenommen werden. Viel-

mehr wird jeder Frequenzgang einzeln identifiziert.

Da weder Zähler- noch Nennerordnung, aufgrund der fehlenden Information über die Ventil-

schieberdynamik, bekannt sind, wird versucht, sie durch Variation beim Identifizierungsvor-

gang zu bestimmen. Bei einer Nennerordnung von 3 und einer Zählerordnung von 0 kann das

in Abbildung 4.27 dargestellte Identifizierungsergebnis ermittelt werden.

In den folgenden Tabellen sind die Gesamtverstärkungen, Eigenwerte und Zeitkonstanten auf-

geführt, die sich aus den identifizierten Übertragungsfunktionen berechnen lassen:

Tabelle 4.1: Ventilanregung während der Frequenzgangmessungen

Kammerdruck

[bar] Offset-Spannung

[V] Rauschanregung

[V RMS]

7.0 3.5 0.4

17.3 4.1 0.2

26.3 4.22 0.1

Tabelle 4.2: Messung bei 7 bar: 3.5 V Offset, 0.4 V RMS;

Gesamtverstärkung: 4.5 = 13 dB

Eigenwerte Dämpfung Frequenz [Hz]

-3.54e+001 1.00e+000 5.63e+000

-1.20e+002 + 1.05e+002i 7.52e-001 2.54e+001

-1.20e+002 - 1.05e+002i 7.52e-001 2.54e+001

110 Kapitel 4

CHyd = 0.45e-011 m5/N

CHyd = 0.26e-011 m5/N

CHyd = 0.44e-011 m5/N

Tabelle 4.3: Messung bei 17.3 bar: 4.1 V Offset, 0.2 V RMS; Gesamtverstärkung:

31.6 = 30 dB

Eigenwerte Dämpfung Frequenz [Hz]

-1.77e+001 1.00e+000 2.82e+000

-1.44e+002 + 6.93e+001i 9.01e-001 2.55e+001

-1.44e+002 - 6.93e+001i 9.01e-001 2.55e+001

Tabelle 4.4: Messung bei 26.3 bar: 4.22 V Offset, 0.1 V RMS;

Gesamtverstärkung: 89.1 = 39 dB

Eigenwerte Dämpfung Frequenz [Hz]

-6.90e+000 1.00e+000 1.10e+000

-1.22e+002 + 7.10e+001i 8.64e-001 2.24e+001

-1.22e+002 - 7.10e+001i 8.64e-001 2.24e+001

Abbildung 4.27: Messungen und Identifizierungen der Frequenzgänge

-40

-20

60 Frequenzgang linkes Drosselventil bis 50 Hz

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

-1

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

bei 26.3 bar

bei 17.3 bar

bei 7 bar

Modell

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 111

Alle Identifizierungen weisen einen einfachen Pol und ein konjugiert komplexes Polpaar auf.

Der einfache Pol kann dabei dem PT1-Glied der Hydraulik zugewiesen werden (siehe Abbil-

dung 4.26 rechts), wobei dieses PT1-Glied in Abhängigkeit des Betriebszustandes seine Ver-

stärkung und Eckfrequenz ändert. Das konjugiert komplexe Polpaar kann der Ventildynamik

zugeschlagen werden. Das hierbei als relativ konstant identifizierte schwingungsfähige Polpaar

bestätigt noch einmal die Richtigkeit der Annahme, dass in dieser Modellierungstiefe die Rück-

wirkungen der Strömung und der Drücke auf den Ventilschieber nicht von Bedeutung sind. Bei

der Eckfrequenz von 25 Hz handelt es sich um die elektrische Zeitkonstante des Ventils.

Die hydraulische Kapazität CHyd wurde für die drei Betriebspunkte als nicht konstant identifi-

ziert. Dies ist für ventilgesteuerte Systeme nichts Außergewöhnliches, denn tendenziell sinkt

die Kapazität mit hohen Drücken. Dies hat im Wesentlichen zwei Gründe: Zum Einen sinken

die Kapazitäten von hydraulischen Systemen bei steigenden Drücken progressiv, zum Anderen

wird durch den immer kleiner werdenden Öffnungsquerschnitt beim Schließen des Ventils hin

zu höheren Drücken die Kapazität vor dem Ventil von der Kapazität hinter dem Ventil getrennt,

wodurch sich die Gesamtsteifigkeit des Systems höher darstellt. Leider ist diese Tendenz bei der

hier identifizierten Kapazität nicht abzulesen. Vielmehr fällt die Kapazität bei steigendem

Druck erst ab und steigt dann wieder auf fast den gleichen Wert an. Modellrechnungen mit dem

physikalischen Modell haben gezeigt [Ruste], dass die Verwendung von CHyd = 0.26e-011 m5/

N aussreichend gute Ergebnisse für die nun folgende Reglerauslegung liefert.

4.2.3.3 Reglerauslegung des Servokreises

Das angestrebte Regelkonzept des Servokreises mit den beiden unterlagerten Hierarchiestufen

ist in Abbildung 4.28 dargestellt. Auf Basis der Druckregelung des linken und des rechten

Druckregelkreises soll das MFM Druckregelung durch die Vorgabe der Drücke der beiden

Kammern eine Druckdifferenz am Servozylinder einstellen. Das MFM Servokreis gibt dabei in

Abhängigkeit des Lenkradmomentes die einzustellende Druckdifferenz vor. Im Folgenden wer-

den die drei Hierarchiestufen, beginnend mit der niedrigsten, sukzessive betrachtet:

Abbildung 4.28: Regelkonzept des Servokreises

112 Kapitel 4

Linker bzw. rechter Druckregelkreis

Zur Klärung der Anforderungen an die Druckregelkreise wird vorerst ein Blick auf das konven-

tionelle Lenksystem geworfen. Das dynamische Verhalten einer Servolenkung wird im Wesent-

lichen durch den Frequenzgang vom Lenkradmomenteneingang zur Zahnstangenkraft

bestimmt. Messungen eines solchen Frequenzganges sind in Abbildung 4.2 und Abbildung 4.3

dargestellt. Hieraus ist eine Regelbandbreite für die Servounterstützung von ca. 10 bis 20 Hz für

den unteren Unterstützungsbereich abzulesen. Da das SbW-System mindestens die Perfor-

mance einer konventionellen Servolenkung erreichen soll, wird die zu erreichende Unterstüt-

zungsbandbreite in einem ersten Schritt auf 20 Hz festgelegt.

Für die Regelung des Systems wurde anhand der in Abbildung 4.27 dargestellten Frequenzgän-

ge des offenen Regelkreises ein PIDT1-Regler entworfen. Dieser Regler wurde mit Hilfe des

Nyquist-Kriteriums ausgelegt. Darüber hinaus wurde eine NL-Kompensation der Wurzelkenn-

linie des Ventils vorgeschaltet. Die Reglerauslegung erfolgte komplett modellgestützt; die Er-

gebnisse für unterschiedliche Betriebspunkte sind in Abbildung 4.29 dargestellt:

Näheres über die Reglerauslegung solcher hydraulischen Servosysteme kann in [Ruste],

[Backé], [Dierkes01] nachgelesen werden. Dass es möglich ist, den linken und den rechten

Druckregelkreis getrennt voneinander auszulegen, wird im folgenden Unterkapitel erläutert.

Abbildung 4.29: Frequenzgänge des geschlossenen Regelkreises bei fest-

gelegtem Servozylinder

10-1 100101102

-20

-10

Frequenzgang geschl. Regelkreis p ist / p soll linke Kammer bis 50 Hz

Vergleich: Messung und nichtlineares Modell

Frequenz [Hz]

Betrag [dB]

10-1 100101102

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Messung 12 bar

Messung 50 bar

Modell 30 u. 50 bar

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 113

Vergleiche zwischen den am Prüfstand gemessenen und den aus dem nichtlinearen Modell be-

rechneten Frequenzgängen des geschlossen Regelkreises weisen eine gute Übereinstimmung

auf. Die geforderte Bandbreite des Systems konnte also erreicht werden, wobei die Kompensa-

tion der Nichtlinearitäten aufgrund der begrenzten Ventildynamik nicht vollkommen gelungen

ist. Die Dämpfung des Regelkreises liegt unterhalb des geforderten lehrschen Dämpfungsmaßes

von 0.8, kann aber auf Kosten der Bandbreite des Regelkreises hochgesetzt werden.

Wie in Kapitel 4.1.2 schon erläutert, muss die Bandbreite der Druckregelung aus Stabilitäts-

gründen beim Entwurf des Reglers für das MFM Servolenkung mit steigenden Lenkradmomen-

ten und damit Drücken sowieso zurückgenommen werden. Damit wird an dieser Stelle auf eine

weitere Optimierung des Druckregelkreises verzichtet.

MFM Druckregelung

Mit Hilfe der beiden unterlagerten Druckregelkreise soll das MFM Druckregelung dazu dienen,

eine gewünschte Druckdifferenz am Servozylinder einzustellen. Hierzu gibt es im Wesentlichen

zwei Vorgehensweisen:

• Kontinuierliche zeitgleiche Ansteuerung beider Ventile

Bei der kontinuierlichen Ansteuerung wird für beide Ventile ein Solldruck vorgegeben, um

so einen Differenzdruck zu liefern.

• Diskrete Ansteuerung der Ventile

Bei der diskreten Ansteuerung wird nur das Ventil für die jeweilige Unterstützungsrichtung

angesteuert. Das andere Ventil wird jeweils offen geschaltet.

Dabei hat die diskrete Vorgehensweise den Vorteil, dass die beiden unterlagerten Druckregel-

kreise sich nicht gegenseitig beeinflussen; sie können im Sinne des hierarchischen Entwurfs ge-

trennt voneinander ausgelegt werden. Die einzelnen unterlagerten Regelkreise für den linken

bzw. dem rechten Kammerdruck konkurrieren nicht um den Ölstrom. Darüber hinaus wird das

gesamte Druckniveau zum Erreichen der Druckdifferenz auf dem geringstmöglichen Stand ge-

halten, was den Energieverbrauch positiv beeinflusst.

Wird für den Druckregelkreis die diskrete Vorgehensweise gewählt, wird die Regelung der un-

terlagerten Systeme weitestgehend entkoppelt. Dies hat den Vorteil, dass die überlagerte Druck-

regelung sehr einfach wird, da hier keinerlei Verkopplungen der unteren Schichten mehr

berücksichtigt werden müssen. Somit besteht die Aufgabe der Druckregelung darin, den vom

Servokreis vorgegebenen Druck durch Umschalten auf die jeweiligen Ventile weiterzuleiten.

Hierdurch wird das Mehrgrößensystem, mit den zwei Eingängen für die Ventilspannungen und

den zwei Kammerdrücken als Ausgängen, zu zwei entkoppelten SISO-Systemen. Das Um-

schalten wird dabei in Abhängigkeit des Vorzeichens des Sollmomentes oder des Solldruckes

durchgeführt1.

1. In der Abbildung 4.28 und für die später gezeigten Modelle wie auch Prüfstandsuntersuchungen wird hierzu das Sollmoment

verwendet.

114 Kapitel 4

MFM Servokreis

Die Regelung des Servokreises sieht im Wesentlichen nur die Umwandlung des Lenkradmo-

mentes M in einen entsprechenden Solldruck für die Servounterstützung vor. Dies geschieht

über die entsprechende Kennlinie, wie sie z. B. in Abbildung 4.1 dargestellt ist. Darüber hinaus

soll diese Grundkennlinie variabel über den Verstärkungsfaktor Kü eingestellt werden können.

Dieser Verstärkungsfaktor wird von der überlagerten Regelung Servolenkung vorgegeben.

4.2.4 Reglerauslegung der Servolenkung

Nach der Auslegung des MFM Servokreis und MFM Lenkkreis wird als nächsthöhere Hierar-

chieebene das MFM Servolenkung betrachtet. Hierzu werden die Subsysteme gemäß ihrer im

Top-Down-Entwurf entstandenen Struktur und Funktionsaufteilung (siehe Kapitel 4.2.1) mit-

einander verkoppelt. In Anlehnung an die in den vorangegangenen Kapiteln dargestellten Re-

gelstrategien der Subsysteme, mit den dazugehörigen gut identifizierten Modellen, kann zum

Entwurf des MFM Servolenkung auf das in Abbildung 4.30 dargestellte Blockschaltbild ver-

wiesen werden.

Neben den unterlagerten MFM Lenkkreis und MFM Servokreis sind eine externe Last, der Reg-

ler der Servolenkung und ein Fahrzeugregler dargestellt1. Darüber hinaus sind die für den Ent-

wurf des MFM Servolenkung zu berücksichtigenden Kopplungen zwischen den unterlagerten

MFM dargestellt. Sowohl die Kopplungen als auch die einzelnen Subsysteme werden im Fol-

genden näher erläutert.

Der Fahrzeugregler stellt die informationstechnische Schnittstelle der Servolenkung zum Fahr-

zeug bzw. anderen Fahrzeugregelsystemen dar. Er soll in Abhängigkeit des Fahrzeugzustandes

(hier angedeutet durch die Giergeschwindigkeit , die Fahrzeuggeschwindigkeit vFzg, die

Querbeschleunigung aquer und die Schwimmwinkelgeschwindigkeit ) die Lenkung bzgl. der

Einstellmöglichkeiten konfigurieren können. Dies wird sowohl unter Fahrzeugsicherheits-

aspekten als auch unter Berücksichtigung von Komfortbetrachtungen geschehen. Die Berech-

nung der Ausgangsgrößen dieses Reglers muss nicht im MFM Servolenkung stattfinden; so

kann z. B. ein Zusatzlenkwinkel δFzg auch zur Fahrzeugstabilisierung (Giergeschwindigkeits-

regelung) vom ESP berechnet und dem MFM Servolenkung mitgeteilt werden. Die Auslegung

1. Auf die Darstellung der weiteren unterlagerten MFMs wurde zur besseren Übersichtlichkeit verzichtet. Die relevanten Kompo-

nenten sind lediglich durch ihre charakteristischen Ersatzschaltbilder dargestellt.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 115

dieses Reglers ist nicht Thema dieser Arbeit, hierzu gibt es eine Vielzahl von Arbeiten z. B.

[Schwarz]. Viele der hierbei zu betrachtenden komplexen Probleme könnten ähnlich wie beim

Entwurf der SbW-Lenkung auch durch den verteilt strukturierten Entwurf gelöst werden.

Die Aufgabe des Reglers Servolenkung ist es, zum Einen die Anforderungen des Fahrzeugreg-

lers aufzubereiten und entsprechend an den Lenk- und den Servokreis weiterzugeben. Zum An-

deren besteht die Aufgabe des Reglers darin, die Lenkung bzgl. ihres dynamischen und

statischen Verhaltens wie das einer konventionellen Lenkung einzustellen, allerdings mit varia-

bler Lenk- und variabler Kraftübersetzung. Die erste Aufgabe wird dadurch erüllt, dass die Len-

kung nach außen durch die Parameter xü und Kü beliebige Übersetzungsverhältnisse realisieren

kann. An dieser Stelle soll die SbW-Lenkung soweit aufbereitet werden, dass sie sich als kon-

figurierbarer intelligenter Aktor in das System Fahrzeug integrieren lässt. Hierzu werden im

Folgenden die drei oben genannten informationstechnischen und mechanischen Kopplungen

(Kapitel 4.2.1) und ihre Auswirkung auf die unterlagerten Systeme der SbW-Lenkung berück-

sichtigt. Die Ergebnisse, die mit dem Gesamtsystem Servolenkung erzielt wurden, sind dann in

Abbildung 4.32 bis Abbildung 4.34 dargestellt.

Abbildung 4.30: Blockschaltbild der SbW-Servolenkung

116 Kapitel 4

• Mechanische Rückführung der Kraft FEl auf den Lenkzylinder:

Da die Kraft FEl und damit auch die Drücke im Lenkzylinder aufgrund der hohen Servoun-

terstützungskräfte immer sehr gering sein werden, ist auch deren Rückwirkung auf den Lenk-

zylinder und damit auf den Wegregelkreis des Lenkkreises zu vernachlässigen. Die

Druckgrenzen in den Lenkzylinderkammern sind durch die am Lenkrad wirkenden Lenkrad-

momente (-6 Nm bis 6 Nm) beschränkt und werden dadurch nicht größer als 8 bar. Die Ent-

kopplung findet somit auf Basis des hohen Rückführverstärkungsfaktors der

Servounterstützung statt. Aus diesem Grund kann für den Modulatorkreis auch ein Aktor ge-

ringerer Leistung verwendet werden, wie er auch in der Überlagerungslenkung [BMW] zum

Einsatz kommt.

• Mechanische Rückführung der Kraft FEl auf den Servozylinder und informationstechnische

Rückführung des Lenkradmomentes MLenk auf den Servokreis:

Die Verkopplung des Lenkkreises mit dem Servokreis ist angelehnt an eine konventionelle

hydraulische Lenkung. Damit kann die in Abbildung 4.30 dargestellte Struktur unter Ver-

nachlässigung der hydraulischen Einflüsse im Lenkkreis und deren variablen Übersetzung

auf das in Abbildung 4.4 dargestellte Ersatzmodell einer Lenkung zurückgeführt werden,

d. h. es ist mit den gleichen Stabilitätsproblemen zu rechnen, wie sie in Kapitel 4.1.2 an einer

derartigen Lenkung festgestellt wurden.

Zur Untersuchung der Instabilitäten soll das Modell des Druckregelkreises reduziert werden.

Der Druckregelkreis als Zweikammersystem mit festgelegtem Servozylinder weist eine Ord-

nung von 13 auf. Hierbei ist das geregelte System mit seiner nichtlinearen Kompensation be-

rücksichtigt. Mit Hilfe des Identifizierungsverfahrens wird der gemessene Frequenzgang (für

50 bar) aus Abbildung 4.29 durch ein Modell 2. Ordnung der folgenden Gestalt angenähert:1

(4.13)

Das Identifizierungsergebnis ist in Abbildung 4.31 dargestellt. Durch Identifizierungsversu-

che mit unterschiedlichen Zähler- und Nennerordnungen konnte dies als bestes Ergebnis mit

geringster Modellordnung ermittelt werden.

Dieses reduzierte Modell des Druckregelkreises kann innerhalb des in Abbildung 4.4 darge-

stellten Modells für die Poluntersuchung des Regelkreises herangezogen werden. Die Verrin-

gerung der Bandbreite des Druckregelkreises in Abhängigkeit vom geforderten Druck

(PServo) (wie in Kapitel 4.1.2 beschrieben) bewirkt dabei die Stabilisierung des Systems. Da-

bei wird die Reglerverstärkung des Druckregelkreises um den Faktor zurück-

genommen. Damit ist die hier beschriebene Kopplung des Servokreises und des Lenkkreises

im unterlagerten MFM Druckregelkreis berücksichtigt worden. In Abbildung 4.30 ist dies

durch die zusätzliche Aufschaltung des Servodruckes auf den Druckregelkreis dargestellt.

Des Weiteren sind auch die Gl. 4.1 bis Gl. 4.3 gültig, mit denen Aussagen über die statische

Genauigkeit des Wegregelkreises zulässig sind. Theoretisch kann die Elastizität CEl2 der

SbW-Lenkung sehr hoch gewählt und damit die statische Abweichung zwischen Soll- und

1. Es wurde der Frequenzgang bei 50 bar verwendet, da er auf Grund der geringeren Dämpfung einen Worst-Case Fall repräsentiert.

2. Die Steifigkeit CEl der SBW Lenkung ist eine Ersatzsteifigkeit aus hydraulischen und mechanischen Einflüssen.

GPIst

PSoll

-----------

A0A1sA

2s2

B0B1sB

2s2

-----------------------------------------=

1KRed PServo

()⁄

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 117

Istweg sehr klein gehalten werden1. Durch eine sehr harte Anbindung zwischen Lenk- und

Servokreis wird jedoch das Lenkgefühl sehr stark beeinträchtigt. Auf das Zusammenspiel

zwischen Lenkcharakteristik, Güte und Regelbarkeit der Systemkomponenten wie auch auf

weiterführende Regelkonzepte wird noch in Kapitel 4.3 eingegangen.

• Freilegen des Servozylinders mit entsprechender Rückwirkung auf den Druckregelkreis

Der in Kapitel 4.2.3 vorgestellte Druckregelkreis wurde am festgelegten Servozylinder aus-

gelegt. Bedingt durch die Verkopplung des Servokreises mit dem Lenkkreis muss nun eine

Bewegung des Servozylinders zugelassen werden. Die Bewegung des Zylinders bewirkt da-

bei eine Verringerung der Bandbreite des Druckregelkreises. Bei zunehmender Geschwindig-

keit nimmt die Bandbreite stetig ab. In Kapitel 2.3.3.2 wurde am Beispiel einer Servolenkung

mit Motor-Pumpen-Aggregat gezeigt, dass eine Vorsteuerung des Ölstroms die verminderte

Bandbreite des Druckregelkreises wieder anhebt. Die Vorsteuerung eines Ölstroms bei einer

Ventillösung ist aufgrund der nichtlinearen Druck-Volumenstrom-Kennlinie und der Hyste-

rese im Ventil nur mit aufwendigen Ventilen mit Ventilschieberpositionsmessung möglich.

Derartige Ventile sind für den Einsatz in Serienprodukten wie der Lenkung ökonomisch nicht

sinnvoll. Die hydraulische Verschaltung als Open-Center-Systems des Servokreises bewirkt,

dass bei einer Bewegung des Kolbens nur noch ein verringerter Ölstrom zur Druckregelung

zur Verfügung steht2. Abbildung 4.26 zeigt, dass der Ölstrom der Pumpe und seine Ände-

rung, z. B. durch eine Kolbenbewegung, als Störgröße des Regelkreises betrachtet werden

können. Diese Störgröße wird über den I-Anteil des Reglers kompensiert. [Ruste] zeigt, dass

1. Die Argumentation der statischen Abweichung gilt bei der Lenkung mit variabler Lenkübersetzung bei Ausfall dieser Lenküber-

setzung. Ansonsten kann die Agilität des Fahrzeugs über die Lenkübersetzung eingestellt werden.

Abbildung 4.31: Gemessener und identifizierter Frequenzgang des Druckregelkreises

2. Die Lösung mit Motor-Pumpen Aggregat kann als Closed-Center-System betrachtet werden. Der durch die Bewegung des Kol-

bens zusätzlich notwendige Volumenstrom kann durch eine Vorsteuerung kompensiert werden (vgl. [Wielen]).

-1

-20

-10

Frequenzgang Druck

S0ll

/Druck

Ist

Frequenz [Hz]

Betrag [bar/bar db]

-1

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Reduziertes identifiziertes Modell

Messung

118 Kapitel 4

bei entsprechender Auslegung des I-Anteils des PIDT1-Reglers bei Kolbengeschwindigkei-

ten von 0.09 m/s der Druck immer noch innerhalb von 0.3 s eingeregelt werden kann1. Damit

kann die Störgröße aus der Bewegung des Kolbens lediglich über einen größeren I-Anteil des

Druckreglers berücksichtigt werden. Es bleibt jedoch festzuhalten, dass aufgrund der nicht

möglichen exakten Volumenstromvorsteuerung bei der Ventillösung Abstriche bzgl. des

Fühlverhaltens der Lenkung gemacht werden mussten. Dies gilt insbesondere für Kolbenge-

schwindigkeiten über 0.09 m/s. Bei der konventionellen Lenkung mit Drehschieberventil be-

wirken eine Kolbenbewegung und die damit einhergehende Druckänderung im Zylinder

durch den hydro-mechanischen Durchgriff eine sehr schnelle Ventilstellungsänderung. Die-

ser Durchgriff stellt eine unterlagerte schnelle Druckregelung dar, wie sie auch am Beispiel

der druckrückgeführten Ventile oder der Flügelzellenpumpe in Kapitel 2.3.3.2 diskutiert wur-

de. Ein Einsatz dieser Komponenten zur Regelung des Servokreises wird die Problematik

weiter entschärfen.

Die am vereinfachten Modell ausgelegte Struktur und am komplexen Modell wie auch am Prüf-

ling optimierten Ansätze zur Regelung der SbW-Lenkung sind am Prüfstand realisiert und mes-

stechnisch untersucht worden. Dabei wurden wie bei der konventionellen Lenkung sowohl

statische als auch dynamische Untersuchungen durchgeführt.

Zwei Unterstützungskennlinien für unterschiedliche Kü der SbW-Lenkung sind in Abbildung

4.32 dargestellt. Darüber hinaus ist der mögliche Kennlinienbereich einer konventionellen Len-

kung verzeichnet. Mit der SbW-Lenkung sind theoretisch beliebige Kennlinien möglich; am

Prüfstand wurden u. a. quadratische, kubische und exponentielle Kennlinien realisiert.

1. Bei einer Kolbengeschwindigkeit von 0.09 m/s werden ca. 70 % des Ölstroms für die Kolbenbewegung verwendet.

Abbildung 4.32: Unterstützungskennlinie des SbW-Systems

-6 -4 -2 0 2 4 6

Moment (Messung) [Nm]

Druck (Rechts-Links) [bar]

Kennlinie

gemessene Kennlinie

gemessene Kennlinie mit 10facher Verstärkung

Kennlinienbereich der Prüfvorschrift

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 119

Das dynamische Verhalten der konventionellen Lenkung wurde im Wesentlichen durch den Fre-

quenzgang Moment zu Kraft festgelegt. Die gleichen Messungen, wie sie in Kapitel 4.1.1 an der

konventionellen Lenkung durchgeführt wurden, wurden auch an der SbW-Lenkung vorgenom-

men. Es sind die gleichen Tendenzen, die bei der konventionellen Lenkung festgestellt wurden,

auch hier wieder zu finden (Abbildung 4.33 und Abbildung 4.34).

Mit Hilfe des hier vorgestellten Regelkonzeptes wurden somit das statische und das dynamische

Verhalten einer konventionellen Lenkung nachgebildet. Darüber hinaus können sowohl Kraft-

übersetzung als auch Lenkradwinkelübersetzung in einem weiten Bereich variiert werden. Bei

der Beurteilung von Lenkungssystemen spielt der subjektive Eindruck (das Lenkgefühl) eine

große Rolle. Die abschließende subjektive Beurteilung des Lenksystems war mit den am Prüf-

stand verwendeten Komponenten nicht möglich. Es handelte sich hierbei um Standard-Indu-

strie-Produkte, die nicht auf den Einsatz im Lenkungssektor optimiert wurden. So wies z. B. die

Lenkradpumpe ein hohes Maß an Pulsation auf, was sich negativ auf das Lenkgefühl auswirkte.

Die an diesem System entwickelte Regelstrategie und das entsprechende Systemwissen bleiben

davon jedoch unbeinflusst, da sie an anderen Lenksystemen, wie einer elektromechanischen

SbW-Lenkung und einer elektohydraulischen Lenkung (EHS-Lenkung), erfolgreich appliziert

wurden (vgl. [Wielen], [Dierkes02], [Ruste02]).

Abbildung 4.33: Dynamische Unterstützungskennlinie des SbW-Systems bei 0.3 Nm rms und unterschied-

lichen Drücken

-1

80 Frequenzgang: Kraft/Moment bei unterschiedlichen Druecken; 0.3 rms

Frequenz [Hz]

Betrag [dB] N / Nm

-1

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

10 bar

20 bar

40 bar

120 Kapitel 4

4.3 Bewertung und Erweiterung der Regelstrategie

Anhand von der Untersuchung einer konventionellen Lenkung wurde das physikalische Ver-

ständnis für Lenksysteme systematisch aufgebaut. Gestützt durch dieses Verständnis und durch

die funktionsorientierte Strukturierung im Top-Down-Entwurf, wurden die Regelkreise der un-

terlagerten Subsysteme im Bottom-Up-Entwurf ausgelegt. Dies geschah zunächst unter Ver-

nachlässigung der Kopplungen einzelner Subsysteme. Sie wurden erst beim Entwurf der

jeweiligen höher liegenden Hierarchieebenen, unter Anwendung der in Kapitel 2.3.3.2 vorge-

stellten Techniken, berücksichtigt. Besonderes Augenmerk wurde auf die Identifizierung der

einzelnen Subsysteme gelegt. Dabei wurde unter Verwendung des in Kapitel 3 entwickelten

Identifizierungssverfahrens gezeigt, dass mit sehr einfachen und gut parametrisierten Modellen

gute Voraussetzungen für den Reglerentwurf geschaffen werden können. Darüber hinaus wurde

mit dem Identifizierungsverfahren eine Möglichkeit geschaffen, für den Reglerentwurf der hö-

heren Hierrachieebenen reduzierte linearisierte Modelle der geregelten Subsysteme abzuleiten.

Die funktionale Strukturierung der hier betrachteten SbW-Lenkung wurde sehr stark an die ei-

ner konventionellen hydraulischen Lenkung angepasst. Der Grund hierfür lag nicht zuletzt in

der dadurch sehr einfach zu realisierenden Ausfallstrategie. Wegen der mechanischen Verbin-

dung zwischen Lenkkreis und Servokreis besteht weiterhin ein Durchgriff zwischen Lenkrad

Abbildung 4.34: Dynamische Unterstützungskennlinie des SbW-Systems bei unterschiedlichen Anregungs-

amplituden

-1

80 Frequenzgang: Kraft/Moment bei 20 bar mit unterschiedlicher Anregung

Frequenz [Hz]

Betrag [dB] N / Nm

-1

-200

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

0.3 rms

0.5 rms

0.7 rms

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 121

und gelenkten Rädern, so dass bei Ausfall und entsprechender Ausfallstrategie das Fahrzeug

durch die vom Fahrer eingebrachte Handkraft weiterhin voll manövrierfähig bleibt. Erst diese

Voraussetzungen machen derartige Lenksysteme für schnell fahrende Fahrzeuge genehmi-

gungsfähig (vgl. ECE R79 [EUR-Lex]). Die geplante Erweiterung der Richtlinie ECE R79, die

auch Lenksysteme ohne mechanischen bzw. hydraulischen Durchgriff genehmigungsfähig ma-

chen soll, aber auch die erhebliche Vereinfachung nicht nur der Regelung, sondern auch der Sy-

stemkomponenten, soll hier zum Anlass genommen werden, noch einmal über alternative

Regelkonzepte für SbW-Systeme nachzudenken.

Die an die konventionelle Lenkung angepasste funktionale Strukturierung der SbW-Lenkung ist

es aber auch, die einerseits hohe Anforderungen an die Komponenten der Subsysteme stellt und

andererseits die Regelstrategie einer konventionellen Lenkung bedingt. Diese zwei Punkte wer-

den im Folgenden näher erläutert:

Der Mensch hat ein hohes Empfindungsbewußtsein bzgl. der Schnittstelle Lenkung, als Binde-

glied zwischen Fahrzeug und -führer. Aus diesem Grund müssen alle am MMI (Man-Machine-

Interface) Lenkung beteiligten Komponenten sehr genau gearbeitet werden und sind damit sehr

aufwendig. Dies gilt insbesondere auch dann für eine SbW-Lenkung, wenn deren Komponenten

bzw. Subsysteme über steife Verbindungen miteinander gekoppelt sind. Dabei ist einer der we-

sentlichen Vorteile von X-by-Wire-Systemen die Trennung von Energieerzeugung (z. B. das

Aufbauen von Bremsdruck oder das Verstellen des Lenkwinkels) und Einstellen der haptischen

Reaktionen (wie z. B. Vermitteln des Pedalgefühls oder Einstellen eines Lenkradmomentes).

Für die in diesem Kapitel betrachtete SbW-Lenkung sind der Lenkkreis und der Servokreis, auf-

grund der steifen Kopplung der beiden Systeme, maßgeblich an der Vermittlung des Lenkge-

fühls beteiligt, d. h. beide Regelkreise müssen bzgl. ihrer Regelbarkeit und auch bzgl. der

Komponenten von sehr hoher Qualität sein. Aus diesem Grund ist der Servokreis auch als ein

aufwendiges Open-Center-System der konventionellen hydraulischen Lenkung nachgebildet

worden, so dass sich das Fühlverhalten bis in den hohen Frequenzbereich1 als positiv darstellt.

Hier liegt auch eins der Probleme der besprochenen SbW-Lenkung. Das hydraulische Verschal-

tungskonzept war zwar an die Technik einer konventionellen hydraulischen Lenkung angepasst,

die Ventile waren jedoch Standard-Industrie-Proportionalventile. Sie besaßen nicht die auf

Lenksysteme optimierten Steuerkanten eines Drehschieberventils und auch keine hydromecha-

nische Druckrückführung2. Deshalb mussten Abstriche bei der Einstellbarkeit des Fühlverhal-

tens, besonders im höheren Frequenzbereich, gemacht werden. Dies war letztlich auf die

mangelnde Vorsteuerbarkeit des Ölstroms durch die Ventile zurückzuführen.

1. Dabei geht der hier angesprochene Frequenzbereich über die eigentliche Regelbandbreite hinaus, d. h. die passive Abstimmung,

die Dämpfungen und die Eigenfrequenzen müssen denen einer konventionellen Lenkung ähnlich sein.

2. Komponenten mit einer solchen angedeuteten hydromechanischen Druckrückführung wurden in Kapitel 2.3.3.2 diskutiert.

122 Kapitel 4

Neben den hohen Anforderungen an die Komponenten der Subsysteme bedingt die funktionale

Strukturierung der SbW-Lenkung auch eine Regelstrategie, die ziemlich stark an die einer kon-

ventionellen Lenkung angepasst ist. Insbesondere ist hiervon die Regelung des Servokreises be-

troffen. Aufgrund des P-geregelten Wegregelkreises des Servozylinders muss die Bandbreite

des Druckregelkreises bei steigendem Druck zurückgenommen werden, was die erzielbare Dy-

namik stark beschränkt. Darüber hinaus ist dieser Wegregelkreis nicht statisch genau (siehe

auch Kapitel 4.1.2).

Im Folgenden sollen zwei Vorschläge skizziert werden, die zum Einen aufzeigen, wie die me-

chanische Verbindung des Servo- und des Lenkkreises durch eine virtuelle softwaretechnische

Lösung realisiert werden kann, wodurch die hochfrequenten Störeinflüsse des Servokreises,

durch den Entfall der mechanischen Verbindung, aufgelöst werden. Damit wird das Fühlverhal-

ten der Servolenkung maßgeblich vom Servokreis entkoppelt und durch den Lenkkreis einstell-

bar. Zum Anderen wird im zweiten Vorschlag aufgezeigt, wie die Nachteile des P-geregelten

Servokreises beseitigt werden können. Beide Lösungsvorschläge können aus regelungstechni-

scher Sicht als Umformung des in Kapitel 4.2 erarbeiteten und in Abbildung 4.30 dargestellten

Blockschaltbildes verstanden werden. Somit stellt die Umsetzung dieser Vorschläge keinen

Eingriff in das prinzipielle Verhalten der Lenkung im Bereich der Regelbandbreite dar. Es wer-

den vielmehr eine höhere Störentkopplung und eine bessere flexiblere Regelbarkeit erreicht.

Diese beiden Lösungsvörschläge sollen hier nur einen Ausblick auf Regelungskonzepte für zu-

künftige Systeme ohne mechanische Verbindung geben. Sie wurden an dem in Abbildung 5.5

dargestellten SbW-Pre-Prototype erfolgreich getestet. Es sei noch einmal darauf hingewiesen,

dass der in dieser Arbeit angewendete strukturierte Entwurf der SbW-Lenkung und der damit

einhergehende tiefe Einblick in die Physik einer Lenkung solche weiterführenden verständli-

chen Regleransätze stark unterstützen, wenn nicht sogar erst ermöglichen.

Abbildung 4.35 zeigt den ersten Vorschlag. Hier besteht die Umformung darin, dass die mecha-

nische Kopplung über die Ersatzsteifigkeit cEl durch die virtuelle Steifigkeit cElv im Regler der

Servolenkung ersetzt wird. Wegen der fehlenden Anbindung des Lenkzylinders muss zum Auf-

bringen des Lenkradmomentes das MFM Lenkkreis in einen Druckregelkreis umgebaut wer-

den. Er soll den entsprechenden Druck zur Verfügung stellen um das Lenkradmoment

aufzubauen. Der dazu einzuregelnde Druck ergibt sich aus der Handkraft FEl und dem entspre-

chenden Übersetzungsverhältnis1 KFPl. Alternativ kann auch ein Momentenregelkreis verwen-

det werden.

Über die virtuelle Steifigkeit und den Vergleich von Lenkradwinkel (mit Berücksichtigung des

entsprechenden Umrechnungsfaktors iδxl ) und Servozylinderweg ist sichergestellt, dass deren

statische Abweichung sich laut Gl. 4.2 ähnlich der einer konventionellen Lenkung verhält. Die

Handkraft FEl muss im Servokreis additiv über den Druckregler eingestellt werden; dies ge-

1. Dieses Übersetzungsverhältnis ergibt sich wiederum aus dem Schluckvolumen der Lenkradpumpe und den Flächen der Hydrau-

likzylinder, kann darüber hinaus aber auch zur Variation des Lenkgefühles verändert werden.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 123

schieht über die Ausgangsgröße des Druckes PLenk. Weitere Änderungen sind am Servokreis

nicht mehr vorzunehmen. Die Ausfallstrategie dieses Systems könnte die gleiche sein wie bei

dem mechanisch verbundenen System, mit dem Unterschied, dass bei entsprechender Fehlerer-

kennung z. B. eine Kupplung die Verbindung zwischen Lenk- und Servokreis wieder schließen

müsste. Das der Servokreis und der Lenkkreis voneinander getrennt sind und das Lenkgefühl

lediglich vom Lenkkreis beliebig vorgegeben wird1, kann im Servokreis auf die hochwertigen

Komponenten verzichtet werden; hier wäre sogar ein Closed-Center-System mit nur einem Ven-

til denkbar. Bei dieser Anordnung müssen sowohl der Weg des Servozylinders als auch der des

Lenkzylinders gemessen werden, was einen zusätzlichen Sensor erfordert.

Die in Abbildung 4.35 dargestellte Regelstrategie weist weiterhin Verbesserungspotential auf.

Lenkkreis und Servokreis sind gekennzeichnet durch die Verknüpfung über die virtuelle Stei-

figkeit cElv, was wiederum auf die oben angedeutete P-Wegregelung mit den entsprechenden

Nachteilen2 führt. Über diese Wegeregelung wird der Servozylinder dem Lenkzylinder nachge-

1. Beliebig im Bereich der Bandbreite des Druckregelkreises.

Abbildung 4.35: Blockschaltbild der SbW-Lenkung ohne mechanische Verbindung

2. Die wesentlichen Nachteile sind begrenzte Dynamik und statische Ungenauigkeit.

124 Kapitel 4

führt. Die dabei entstehende statische Abweichung des Weges ist erforderlich, um ein entspre-

chendes Lenkradmoment zu generieren, da nur bei einer statischen Abweichung zwischen

Servozylinder und Lenkzylinder über die virtuelle Steifigkeit ein Moment erzeugt wird.

Abbildung 4.36 zeigt die zweite alternative Regelstrategie. Hierbei wird der Wegregelkreis des

MFM Servolenkung in das MFM Servokreis verlagert. Dieser unterlagerte Wegregelkreis soll

dabei nicht über einen P-Regler mit den entsprechenden Nachteilen realisiert werden, vielmehr

wird hier ein statisch genauer Regelkreis1 aufgebaut. Hierzu kann der unterlagerte Druckregel-

kreis weiterhin verwendet werden, er ist aber nicht erforderlich. Die statische Abweichung, die

zur Ermittlung des Lenkradmomentes erforderlich war, ist bei dieser Regelstrategie nicht mehr

erforderlich, da das Lenkradmoment aus der im Servozylinder herrschenden Druckdifferenz er-

mittelt wird. Der Zusammenhang zwischen Lenkradmoment und Druckdifferenz ist dabei über

die Unterstützungskennlinie (siehe Abbildung 4.32), die zur P-Regelung des Servo-Wegregel-

kreises verwendet wurde, gegeben. Bei dieser neuen Regelstrategie wird diese Kennlinie ein-

fach invertiert, die gemessene Druckdifferenz stellt somit den Eingang dar, und das vom MFM

Lenkkreis zu stellende Lenkradmoment resultiert als Ausgang.

Somit sind die zwei Probleme des ursprünglichen Servo-Wegregelkreises gelöst. Zum Einen

kann innerhalb dieses Wegregelkreises statische Genauigkeit erzielt werden, und zum Anderen

muss der Wegregelkreis zur Stabilisierung nicht mehr in seiner Dynamik beschränkt werden.

Die Invertierung der Unterstützungskennlinie wirkt sich hier stabilisierend auf das Gesamtsy-

stem aus. Die maximale Rückführverstärkung2 der invertierten Kennlinie liegt im Nullpunkt

und ist durch die passive Handkraft beschränkt. Dabei ist die passive Handkraft die Kraft, die

auf den Servozylinder durch das vom Fahrer aufgebrachte Lenkradmoment wirkt.

Zweck des ersten Vorschlages einer neuen Regelstrategie war, durch die Abtrennung des Lenk-

kreises vom Servokreis eine Störentkopplung der beiden Regelkreise zu erzielen. Der zweite

Vorschlag löste das Stabilitätsproblem und sorgte für die statische Genauigkeit des Servokrei-

ses. Beide hier aufgezeigten Regelstrategien können unabhängig voneinander realisiert werden,

d. h. die zweite Regelstrategie kann auch bei einer bestehenden mechanischen Verbindung an-

gewendet werden. Jedoch ist hierbei wieder mit einem erhöhten Störeinfluss oberhalb der Re-

gelbandbreite der beiden Systeme zu rechnen. Beide Vorschläge beinhalten im Wesentlichen

nur eine Blockschaltbildumformung, deren übersichtliche Zugänglichkeit erst durch den in die-

sem Kapitel erarbeiteten verteilt strukturierten Entwurf möglich war.

1. Statische Genauigkeit kann hier durch den Einsatz eines einfachen PI-Reglers erzielt werden.

2. Steigung der invertierten Kennlinie.

Entwurf einer Steer-by-Wire-Lenkung 125

Abbildung 4.36: Blockschaltbild der SbW-Lenkung mit unterlagertem Wegregelkreis des Servokreises

126

Kapitel 5

Anwendungsbeispiele

Im Rahmen dieser Arbeit sind eine Vielzahl von mechatronischen Systemen untersucht und mit-

entwickelt worden. Ausgehend von diesen Tätigkeiten, sind die in den vorangegangenen Kapi-

teln dargestellten Methodiken erarbeitet, angewendet und erweitert worden. Eine Auswahl der

Systeme wird in diesem Kapitel nachträglich vorgestellt. Hierzu wird ein kurzer Einblick in die

Funktionsweise der betrachteten Systeme bzw. in die dazugehörigen Prüfstände gegeben und

die Querverbindung zu den Entwurfsmethoden aufgezeigt.

Im Wesentlichen handelt es sich bei diesen Systemen um Aggregate aus dem Bereich der Fahr-

zeugtechnik. Eine Ausnahme stellt das in Kapitel 5.1 dargestellte Positioniersystem dar, das zu

den Produkten aus dem Bereich der Mehrkoordinatenantriebe gezählt werden kann. Bei den

fahrzeugtechnischen Systemen handelt es sich einerseits um Neuentwicklungen, aber auch um

konventionelle, schon lange auf dem Markt verfügbare Produkte aus dem Bereich der Lenk-

(vgl. Kapitel 5.2) und der Federungstechnik (vgl. Kapitel 5.3). Bei den Lenksystemen steht ein

Steer-by-Wire-System (SbW-System) mit hydraulischer Rückfallebene im Vordergrund. Dar-

über hinaus werden sowohl eine konventionelle Lenkung als auch ein elektromechanisches

SbW-System betrachtet, an denen Teilaspekte von Lenksystemen erläutert werden. Als Beispiel

für ein Federungssystem dient ein hydropneumatisches Federbein, dessen dynamisches Verhal-

ten durch identifizierte Modelle analysiert wird. Des Weiteren wird ein Viertelfahrzeugprüf-

stand betrachtet, an dem aktive Federungskomponenten entwickelt und ausgelegt werden.

Der ganzheitliche funktionsorientierte Entwurf (vgl. Kapitel 2.2) dieser Systeme deckte bisher

nicht bekannte Anforderungen an ihre Aktorik auf. Dies führte zum Umdenken bei der Entwick-

lung der Aktorik und mündete in der Erfindung einer Flügelzellenpumpe [Patent MPE2], die

u. a. in Kapitel 5.4 diskutiert wird.

Anwendungsbeispiele 127

5.1 Mehrkoordinatenantrieb

In Abbildung 5.1 ist ein Modell eines Mehrkoordinatenantriebes dargestellt, der wiederum ei-

nen Teil einer Gesamtmaschine repräsentiert. Mit Hilfe dieses Mehrkoordinatenantriebes soll es

möglich sein, den dargestellten inneren Ring positionsgenau, mit einer Abweichung < 5 nm1,

einzuregeln, und zwar sowohl bzgl. der x- als auch der y-Koordinate. Die Anordnung der Ak-

toren wurde dabei so gewählt, dass ein Verfahren in y- bzw. in x-Richtung ebenfalls eine Rota-

tion um die z-Achse verursacht. Damit erweitert sich die Aufgabe der Regelung um die

ausreichende Bedämpfung der z-Achse; es ist jedoch nicht erforderlich, einen bestimmten Win-

kel anzufahren.

Als Aktoren zur Beeinflussung der drei Freiheitsgrade wurden Lorentz-Motoren2 eingesetzt.

Diese Motoren sind so angeordnet, dass sie tangentiale Kräfte in den zu bewegenden Ring ein-

leiten können. Durch eine Koordinatentransformation ist es möglich, aus den tangentialen Kräf-

ten die entsprechenden Kräfte in x- und y-Richtung und das Moment um die z-Achse zu

errechnen. Die Aktoren sind über eine Feder mit dem Ring verbunden, so dass sich aus einer

Kraft (bzw. einem Moment) entsprechend der Federsteifigkeit ein Weg (bzw. ein Winkel) ein-

stellt. Die Lorentz-Motoren erreichen einen Verfahrweg von 10 µm. Zur Erweiterung dieses

Stellweges sind dem System zwei Spindelantriebe überlagert. Die drei Punkte S1, S2 und S3

makieren Positionen, an denen Sensoren zur Erfassung der 3 Freiheitsgrade angebracht sind.

Auch diese Signale werden durch entsprechende Koordinatentransformationen in das in Abbil-

dung 5.1 dargestellte Koordinatensystem umgerechnet.

1. nm: Nanometer (1e-9 m).

Abbildung 5.1: Modell eines Mehrkoordinatenantriebs

2. Lorentz-Motoren arbeiten nach dem Tauchankerprinzip.

128 Kapitel 5

Für den Mehrkoordinatenantrieb sollte eine Regelung ausgelegt werden. Hierzu wurden FEM-

Modelle des Antriebes erstellt und Messungen des Systems innerhalb der Gesamtmaschine un-

ter einer realen Belastung aufgenommen. Der Reglerentwurf konnte anhand der FEM-Modelle,

aufgrund der hohen Ordnung und ihrer nicht ausreichenden Güte, nicht durchgeführt werden.

Damit kristallisierte sich als Teilaufgabe dieser Arbeit die Erstellung von identifizierten Model-

len des Antriebsmoduls heraus, die geringer Ordnung sind und zusätzlich möglichst "viel"1

Physik des Systems berücksichtigen. Hierzu wurde das in Kapitel 3 beschriebene Identifizie-

rungsverfahren angewandt. Darüber hinaus trug dieses Anwendungsbeispiel auch maßgeblich

zur Weiterentwicklung des Verfahrens bei.

5.2 Lenksysteme

In jahrelanger Kooperation zwischen dem MLaP und der Firma TRW2 wurden eine Vielzahl

von Lenksystemen untersucht, gestaltet und entwickelt. Eine Auswahl dieser Systeme soll im

Folgenden dargestellt werden.

Entwicklung von Lenksystemen

Die geschichtliche Entwicklung des Automobils ist geprägt durch die Verwendung von Lenk-

systemen mit permanentem mechanischen Durchgriff vom Lenkrad zu den gelenkten Rädern.

Um den Fahrer bei der Fahrzeugführung zu unterstützen, wurden im Laufe der Zeit in Ergän-

zung zur reinen Übertragungsmechanik verschiedene Möglichkeiten zur Lenkkraftunterstüt-

zung entwickelt und eingesetzt. Hierbei spiegeln die elektrischen und die elektrohydraulischen

Servolenkungen mit einem hohen Potential an programmierbaren Systemeigenschaften den ak-

tuellen Stand der Technik wider (vgl. [Reimpell 84]).

Die Zukunft von Lenksystemen

Sollen bei solchen konventionellen Lenksystemen weitere funktionale Eigenschaften berück-

sichtigt werden, so ist dies oft nur mit einem nicht mehr vertretbaren Aufwand zu realisieren.

Aus diesem Grund findet gegenwärtig ein Übergang statt von konventionellen Lenksystemen

hin zu elektromechanischen bzw. elektrohydraulischen Systemen, bei denen auf einen direkten

mechanischen Durchgriff vom Lenkrad hin zu den gelenkten Rädern verzichtet wird. Solche

SbW-Systeme können entweder eine mechanische oder eine hydraulische Rückfallebene auf-

weisen oder fehlertolerant3 aufgebaut sein.

1. In Kapitel 3 wird der hier schwammig verwendete Begriff "viel" erläutert.

2. TRW, Amerikanisches Unternehmen aus der Fahrzeugzulieferindustrie. Kooperationspartner: Sitz in Düsseldorf.

3. Hier wird auch zwischen Fail-Safe bzw. Fail-Operational unterschieden (vgl. [Heitzer]).

Anwendungsbeispiele 129

Gesetzlicher Hintergrund

Um die Lenkfunktion einer Lenkanlage in jedem Fall sicherzustellen, werden in der Vorschrift

ECE R79 [EUR-Lex] für die Genehmigung von Lenkanlagen z. Zt. nur solche Lenksysteme für

Kraftfahrzeuge im öffentlichen Straßenverkehr zugelassen, bei denen eine mechanische Kopp-

lung zwischen Lenkrad und gelenkten Fahrzeugrädern besteht. Um weitere innovative Lenk-

funktionen und gleichzeitig ein hohes Maß an Sicherheit zu ermöglichen, wird derzeit an einem

Ergänzungsvorschlag [Tüv-Süd] zur ECE R79 gearbeitet. Hier werden Lenksysteme ohne me-

chanischen Durchgriff nicht explizit verboten; vielmehr werden Randbedingungen aufgezeigt,

denen SbW-Lenkungen genügen müssen. So wird z. B. gefordert, dass bei Ausfall einer Kom-

ponente die vitalen Lenkfunktionen (zugelassen sind auch eingeschränkte Funktionalitäten)

durch Redundanzen etc. weiterhin gewährleistet werden (fehlertolerantes System, vgl.

[DE19754258]). Darüber hinaus kann eine Fail-Safe-Ebene verwendet werden, die bei Ausfall

der Elektrik/Elektronik eine mechanische bzw. hydraulische Rückfallebene verwendet (vgl.

[DE19838490], [DE19839951]). Außerdem werden in dem Ergänzungsvorschlag die neuen

Lenkfunktionen und deren fahrdynamische Eingriffe berücksichtigt. Neben möglichen Ausfall-

problemen mit der Hardware muss auch die Fehlerfreiheit der Software garantiert werden. Hier

sind z. Zt. Toolketten in Arbeit, welche die Codegenerierung automatisieren, um so Fehler aus-

zuschließen (vgl. [Fürst], [Buhlmann]). Auch das Problem der Haftung1 ist bei den heutigen ge-

setzlichen Rahmenbedingungen nicht eindeutig geklärt. Dies gilt allerdings auch für Systeme,

die bereits heute schon in Fahrzeugen verbaut werden. Zur Lösungsfindung dieser Probleme

kann die Flugzeugindustrie mit ihren bereits eingeführten X-by-Wire Technologien Vorreiter

sein.

5.2.1 Elektrohydraulische SbW-Lenkung

Kapitel 4 beschreibt die Entwicklung der im Folgenden dargestellten elektrohydraulischen

SbW-Lenkung unter Anwendung des verteilten strukturierten Entwurfes. Die Auswahl der

Komponenten wurde im Vorfeld von der Firma TRW vorgegeben und im Gebrauchsmuster

[DE59604902D] geschützt.

Das Gesamtsystem kann im Wesentlichen in drei hydraulische Kreise eingeteilt werden: dem

Servokreis, den hydrostatischen Lenkkreis und den Modulatorkreis (siehe Abbildung 5.2). Die-

se drei Kreise erfüllen dabei spezielle Aufgaben, die dem Funktionsumfang einer Steer-by-

Wire-Lenkung gerecht werden sollen. Darüber hinaus bietet dieses System, aufgrund der red-

undanten hydraulischen Kreise, eine hydraulische Rückfallebene, welche die kritische Ausfall-

sicherheit von SbW-Systemen garantieren soll.

1. Bei einem systembedingten Verkehrsunfall stellt sich die Frage, ob der Fahrzeughersteller zu belangen ist oder ob die Verantwor-

tung etwa einem Zulieferer zufällt.

130 Kapitel 5

Die Funktion dieses Systems ist der Überlagerungslenkung von [BMW] angepasst. Hierbei soll

der Modulatorkreis den vom Fahrer vorgegebenen Lenkradwinkel verändern (modulieren); dies

erfolgt bei der Überlagerungslenkung durch ein mechanisches Überlagerungsgetriebe. So ent-

steht ein Summenlenkwinkel, zu dessen Servounterstützung bei der Überlagerungslenkung eine

konventionelle Servounterstützung verwendet wird. Bei der hier vorgestellten Lenkung wird

hierzu der in Abbildung 5.2 dargestellte Servokreis verwendet:

Der Servokreis

Der Servokreis erzeugt die Servounterstützung. Anders als bei konventionellen Systemen

kommt hier zur Druckerzeugung kein passives Drehschieberventil zum Einsatz. Es werden

elektronisch regelbare Proportionalventile (1, 2) eingesetzt. Hiermit ist es möglich, eine frei

programmierbare Unterstützungscharakteristik zu realisieren, die in Form einer Druckregelung

implementiert werden soll. Dafür sind zwei Drucksensoren (8, 9) innerhalb dieses Kreises vor-

gesehen.

Des Weiteren dient dieser Kreis zum Vorspannen des hydrostatischen Kreises. Dies wird durch

das Druckbegrenzungsventil (4b) und durch den Sperrblock (4a) ermöglicht.

Abbildung 5.2: SbW-System der Firma TRW

Anwendungsbeispiele 131

Der Lenkkreis

Mit Hilfe dieses Kreises wird eine hydraulische Rückfallebene realisiert. Sie stellt sicher, dass

das Fahrzeug auch bei Komplettausfall der Elektronik, der Ölversorgung etc. immer noch lenk-

bar bleibt. Dieser Kreis ersetzt somit die Lenksäule, mit dem Vorteil, dass z. B. Crashverhalten

und Packaging etc. stark verbessert werden können.

Drücke, die in diesem Kreis gemessen werden (6, 7), dienen als Eingangsgrößen für die Druck-

regelung des Servokreises, da sie in erster Linie als proportional zum Lenkradmoment angese-

hen werden können.

Der Modulatorkreis

Der Modulatorkreis bietet einen zusätzlichen Eingriff in den hydrostatischen Kreis. Mit ihm ist

es möglich, Öl von einer Zylinderkammer in die andere zu fördern. Dadurch können frei pro-

grammierbare Lenkübersetzungen realisiert werden. Darüber hinaus ist hiermit ein aktiver Zu-

griff auf die Lenkung für Fahrzeugstabilitätssysteme (ESP) gegeben.

Auch der Modulatorkreis kann als redundantes System verwendet werden. Fällt z. B. die Ser-

vounterstützung aus, so kann ein Teil davon über den Modulatorkreis generiert werden. Da-

durch kann die nötige Handkraft, je nach Leistung dieser Einheit, zur Lenkbarkeit des

Fahrzeugs auf ein erträgliches Maß reduziert werden.

Im Notlenkbetrieb wird der Modulatorkreis vom Lenkkreis über das Schaltventil (5) getrennt.

Ein zusätzliches Drosselventil (3) bietet die Möglichkeit, das Lenkrad vom Lenkzylinder zu

entkoppeln, um so z. B. Druckspitzen zu mildern.

Technische Realisierung am Prüfstand

Zur Identifizierung der Modelle sowie zum Test der Regler und der Komponenten wurde das

System auf einem Prüfstand realisiert. Die Anordnung der einzelnen Komponenten kann in Ab-

bildung 5.3 eingesehen werden. Die Realisierung des Prüfstandes zeigt Abbildung 5.4. Neben

der SbW-Lenkung wurde zu Vergleichszwecken ergänzend eine konventionelle Lenkung auf-

gebaut. Beide Lenkungen können jeweils durch einen hydraulischen Zylinder angeregt werden.

Hiermit sollen im Wesentlichen Rad- bzw. Reifenkräfte simuliert werden, wobei die Einheit

kraft- bzw. weggeregelt betrieben werden kann. Die Anregungseinheiten werden über ein exter-

nes Hydraulikaggregat mit Leistung versorgt. Darüber hinaus können den Lenkungen über ei-

nen Servomotor Lenkradmomente bzw. Lenkradwinkel aufgeprägt werden. Die Ölversorgung

für die hydraulischen Lenkungen erfolgt über die dargestellte Servopumpe, die über eine Asyn-

chronmaschine angetrieben wird. Als Echtzeithardware wurde das Rapid-Prototyping-System

der Fa. dSPACE verwendet, auf dem die Regler1 der einzelnen Systeme abgearbeitet werden.

1. Die Regler können per Knopfdruck aus Matlab/Simulink [Matlab] auf den Echtzeitprozessor geladen werden.

132 Kapitel 5

Der Prüfstand ist insgesamt mit 24 Sensoren1 ausgestattet, die der Vermessung und der Rege-

lung des Systems dienen. Weitere Details können in [Dierkes01] nachgelesen werden.

1. 12 Drucksensoren; 3 Winkelsensoren; 3 Momentensensoren; 2 Kraftsensoren; 2 Wegsensoren; 2 Durchflussmessgeräte

Abbildung 5.3: Prinzipieller Prüfstandsaufbau

Anwendungsbeispiele 133

5.2.2 Elektromechanische SbW-Lenkung

Ein weiteres Anwendungsbeispiel aus dem Bereich der SbW-Lenkungen stellt die in Abbildung

5.5 dargestellte elektromechanische Variante dar. Sie besteht aus einer Force-Feedback-Einheit

zur Generierung von Lenkradmomenten, einem Front-Axle-Aktor mit dem es möglich ist, die

notwendigen Kräfte zum Stellen eines Lenkwinkels zu erzeugen. Diese beiden Systeme sind

mechanisch über eine Lenksäule gekoppelt, die durch eine Kupplung geöffnet bzw. geschlossen

werden kann. Sie dient als Rückfallebene, die sich im Notfall verschließt. Darüber hinaus sind

die Systeme elektronisch miteinander verbunden und kommunizieren über einen CAN-Bus.

An der Force-Feedback-Einheit wurde in Kapitel 3.3.2 gezeigt, wie mit Hilfe des dort entwik-

kelten Identifizierungsverfahrens anhand von Messungen Modelle unterschiedlicher Ordnung

abgeleitet werden können, die mehr oder weniger physikalische Eigenschaften des Systems be-

rücksichtigen. Der Front-Axle-Aktor wurde in Kapitel 2.3.3 dazu verwendet, zu zeigen, wie im

dezentralen Entwurf Kopplungen mit der Umgebung einbezogen werden können.

Abbildung 5.4: Prüfstandsaufbau

134 Kapitel 5

5.2.3 Konventionelles Lenksystem

Als Referenzsystem zur Reglersynthese der oben beschriebenen Lenksysteme diente ein kon-

ventionelles Lenksystem eines 3er-BMW. Hierbei handelt es sich um eine hydraulische Servo-

lenkung, die mit einem Drehschieberventil ausgestattet ist. Dieses System wurde verwendet, um

Lenksysteme bzgl. ihrer statischen und dynamischen Eigenschaften sowohl modelltechnisch als

auch am realen System zu erfassen. Abbildung 5.3 zeigt die Anordnung dieses Lenksystems auf

dem Prüfstand. In Kapitel 4 wurde anhand dieses Lenksystems gezeigt, wie im Sinne des funk-

tionsorientierten Entwurfs Eigenschaften solcher Systeme ermittelt wurden, damit nicht zuletzt

das hierbei gewonnene Erfahrungswissen für die Abgrenzung, Bewertung und Auslegung neuer

Systeme verwendet werden kann. Aus den mit diesem System gewonnenen Erfahrungen ent-

stand ein Patent [Patent Lenk] zur Regelung elektromechanischer bzw. elektrohydraulischer

Servolenkungen mit mechanischem Durchgriff.

5.3 Federungssysteme

Im Laufe der PKW-Entwicklung wurde ein weites Spektrum von Fahrwerken entwickelt [Re-

impell 89]. Einen wichtigen Teil dieser Fahrwerke stellen die Federbeine dar; sie sind maßgeb-

lich für das Erzielen hohen Fahrkomforts und einer ausreichenden Fahrsicherheit. Um den

Zielkonflikt zwischen Fahrkomfort und Fahrsicherheit aufzulösen, wurden unterschiedlichste

Ausführungen von passiven Federbeinen entwickelt. Das weitere Auflösen des Zielkonfliktes

Abbildung 5.5: Elektromechanische SbW-Einheit der Firma TRW

Anwendungsbeispiele 135

ist mit passiven Federbeinen nur noch bedingt möglich ist, deshalb werden nunmehr aktive Fe-

derbeine und Fahrwerke entwickelt und in den Markt eingeführt, die im Stande sind, den ange-

sprochenen Konflikt weiter aufzulösen [Jurr], [Rutz].

Auch im Rahmen dieser Arbeit wurden solche Systeme untersucht. In Kapitel 5.3.1 wird ein hy-

dropneumatisches Federbein1 vorgestellt, das anhand von Prüfstands- und Modelluntersuchun-

gen auf seine mögliche Verwendung innerhalb eines aktiven Federungssystems getestet werden

soll. Kapitel 5.3.2 zeigt einen Viertelfahrzeugprüfstand, an dem neben Reglern für die aktive Fe-

der auch das in Kapitel 5.4.1 dargestellte Motor-Pumpen-Aggregat als Aktor für die aktive Fe-

der getestet wurde.

5.3.1 Das hydropneumatische Federbein

Abbildung 5.6 zeigt das hydropneumatische Federbein als reales System und das entsprechende

physikalische Ersatzmodell. Das Federbein wurde bzgl. seiner statischen und dynamischen Ei-

genschaften auf einem Prüfstand vermessen. Die Messungen dienten als Grundlage für die Er-

stellung eines Modells. Mit Hilfe des Modells wurden dann Aussagen über die Aktivierbarkeit

des HP-Federbeins getroffen:

Das vierstufige Identifizierungsverfahren wurde in Kapitel 3.4 am Beispiel des HP-Federbeins

angewendet. Es wurde, ausgehend von den Messungen und dem mathematisch-symbolischen

Modell, ein identifiziertes, physikalisch interpretierbares Modell abgeleitet. Einzelne dynami-

1. Im Folgenden auch als HP-Federbein abgekürzt.

Abbildung 5.6: Hydropneumatisches Federbein

136 Kapitel 5

sche Effekte konnten somit einzelnen Bauteilen zugewiesen werden. So wurde z. B. die dyna-

mische Verhärtung des Federbeins, die eine Verschlechterung des Fahrkomforts bewirkt, auf die

Leitung zwischen dem Federbeinzylinder und der Speicher-Drosseleinheit zurückgeführt.

5.3.2 Viertelfahrzeugprüfstand eines aktiven Federbeins

Ein weiterer Prüfstand, der im Rahmen dieser Arbeit verwendet wurde, ist in Abbildung 5.7 dar-

gestellt. Hierbei handelt es sich um einen Viertelfahrzeugprüfstand, bei dem die Vertikaldyna-

mik eines PKWs auf ein Viertelfahrzeug reduziert wird. An diesem Prüfstand sollte das Konzept

eines aktiven Federbeins überprüft werden. Bei dem Federbein handelte es sich um eine Stahl-

feder-Dämpfer-Einheit, wobei in Reihe zur Feder ein Plungerzylinder angebracht war, der mit

Hilfe einer Motor-Pumpen-Einheit zusätzliche Kräfte in das Federbein einleiten kann [Tatje].

Darüber hinaus war es möglich, Kräfte in die Aufbaumasse (über den Lastzylinder) und in das

Rad (über den Stellzylinder) einzuleiten. Aufgabe war neben der Inbetriebnahme der Peripherie,

den Regler für das aktive Fahrwerk modellgestützt auszulegen und am Prüfstand zu testen. In

Kapitel 2.3.3 wurde anhand dieses Prüfstands gezeigt, inwieweit das Rad beim Entwurf eines

Reglers vernachlässigt werden darf.

Abbildung 5.7: Viertelfahrzeugprüfstand zum Test eines aktiven Federungssystems

Anwendungsbeispiele 137

5.4 Aggregate

Bei der Entwicklung von mechatronischen Systemen wurde erkannt, dass die einhergehenden

neuen Funktionalitäten auch neue und andere Anforderungen u. a. an die Aktorik stellen. Aus

diesem Grund wurde am MLaP schon frühzeitig die Aktorik im mechatronischen Entwurf be-

rücksichtigt. So entstanden neue Aktoren, die in den folgenden zwei Unterkapiteln erläutert

werden.

5.4.1 Motor-Pumpenaggregat

Die heutzutage auf dem Markt erhältlichen aktiven Federungssysteme arbeiten weitestgehend

auf hydraulischer Basis und verwenden Ventiltechnik (vgl. [Jurr], [Rutz]). Diese Systeme wei-

sen folgende Nachteile auf:

• Hoher Energiebedarf aufgrund des drosselnden Wirkprinzips.

• Schlechte Regelbarkeit aufgrund der stark nichtlinearen Ventile.

• Starke Temperaturabhängigkeit.

• Zentrale Lösung und damit hoher Aufwand für die Montage von Hydraulikleitungen.

• Nachrüstbarkeit nahezu unmöglich.

Die Vermeidung dieser Nachteile war die Triebkraft zur Entwicklung1 eines neuen Motor-Pum-

penaggregats, das in einer weiterentwickelten Form2 nun auch für Lenkungen eingesetzt wer-

den soll. Dieses Aggregat, bestehend aus einem permanenterregten Synchronmotor, einer

Innenzahnradpumpe und einer eingebauten Steuerelektronik, arbeitet nach dem in Abbildung

5.7 dargestellten Wirkprinzip. Es fördert einen Ölvolumenstrom zwischen einem vorgespannten

Speicher und dem Plungerzylinder. Durch die zum Aggregat gehörende Steuerelektronik ent-

steht ein "smarter" Aktor, der lediglich mit einer Energieleitung und einer Steuerleitung versorgt

werden muss. Das Hydrauliköl dient nunmehr als hydraulisches Getriebe, wobei der Motor die

mechanische Energie erzeugt und sich als sehr gut regelbar erweist. Durch das hier angewende-

te Verdrängerprinzip kann der Energieverbrauch gesenkt werden [Kleist].

Die oben beschriebenen Nachteile bzgl. Energieverbrauch und Regelbarkeit spiegeln sich auch

bei hydraulischen Servolenkungen wieder. Aus diesem Grund wird überlegt, solche elektrohy-

draulischen Lösungen auch hier einzusetzen.

1. 1995 wurden hierzu erste Untersuchungen und Realisierungen am MLaP durchgeführt ([Castiglioni]).

2. Die Firma TRW entwickelte das Motor-Pumpenaggregat (nahezu bis zur Serienreife) für den Einsatz in einer aktiven Fahrzeug-

federung.

138 Kapitel 5

Anstelle einer vom Verbrennungsmotor betriebenen Pumpe kommt hier ein von der Batterie

bzw. von der Lichtmaschine betriebener Motor zum Einsatz. Dies setzt ein leistungsfähigeres

Bordnetz voraus und war der Grund, warum die Motoren auf 42-Volt-Basis entwickelt wurden.

Um ein dezentrales System auf 12-V-Basis zur Verfügung zu stellen, muss der Energiebedarf

nochmals gesenkt werden. Dies wird durch die Verwendung der im folgenden Kapitel erläuter-

ten Flügelzellenpumpe erzielt.

5.4.2 Flügelzellenpumpe

Die in Abbildung 5.8 dargestellte Flügelzellenpumpe kann aufgrund ihres symmetrischen Auf-

baus und bei der Verwendung eines entsprechenden Antriebsmotors (in der Abbildung nicht

dargestellt) im 4-Quadrantenbetrieb eingesetzt werden. Das Fördervolumen der Pumpe kann

zum Einen durch die Verstellung des Steuerschiebers und zum Anderen durch die Veränderung

der Drehzahl variiert werden:

Hierdurch ergeben sich aus energetischer Sicht zwei Vorteile: Der Motor kann bzgl. Moment

und Drehzahl immer in einem optimalen Betriebspunkt eingesetzt werden und, des Weiteren

können schnelle Regelvorgänge durch die Verstellung des Steuerschiebers eingeregelt werden.

So muss der Motor nicht ständig beschleunigt bzw. abgebremst werden, was aufgrund seiner hö-

heren Trägheit energetisch ungünstiger wäre. Hierdurch kann zusätzlich der Spitzenenergiebe-

darf drastisch gesenkt werden. Hinzu kommt, dass der eingesetzte Motor kleiner dimensioniert

werden kann.

Die genaue Funktionsweise der Pumpe kann in [Patent MPE1] nachgeschlagen werden. Erwei-

tert wurde die Pumpe um eine hydraulische Druckrückführung [Patent MPE2]. Dies ermöglicht

einerseits eine sensorlose Druckregelung, andererseits ist es möglich, Störölströme hochfre-

quent auszuregeln. Die sensorlose Druckregelung wird durch das am Steuerschieber herrschen-

de Kräftegleichgewicht realisiert. Die auf den Schieber wirkende Kraft des Kraftstellers steht

dabei mit der Kraft, die sich aus dem Differenzdruck und der entsprechenden Zylinderfläche des

Abbildung 5.8: Flügelzellenpumpe

Anwendungsbeispiele 139

Schieberkolbens ergibt, im Gleichgewicht.1 Gerät dieses Kräftegleichgewicht in ein Missver-

hältnis, wird der Steuerschieber soweit ausgelenkt, bis sich der entsprechende Druck wieder

einstellt. Dabei kann das Missverhältnis über eine veränderte (Soll-) Führungsgröße, die über

den Kraftsteller vorgegeben wird und somit über die mögliche Bandbreite des Kraftstellers bzgl.

der Dynamik begrenzt ist, entstanden sein. Ferner kann die Diskrepanz auch durch eine Stör-

größe verursacht sein. In diesem Fall ist die Dynamik, mit welcher der Druck wieder eingeregelt

wird, durch die hydromechanische Abstimmung der Druckrückführung begrenzt. Diese liegt in

der Regel um ein Vielfaches (> 20 Hz) höher als die des Kraftstellers (< 7-8 Hz). Durch die sy-

steminhärente Störgrößenausregelung ist es zudem möglich, miteinander verkoppelte Subsyste-

me bis in den hohen Frequenzbereich hinein zu entkoppeln, was in Kapitel 2.3.3.2 näher

diskutiert wurde.

Angewendet werden kann diese Pumpe in aktiven Fahrwerken z. B. nach dem in Abbildung 5.7

dargestellten Prinzip, aber auch nach dem in [Patent AF] vorgestellten Prinzip. Bei letzterem

werden die zusätzlichen Kräfte nicht in Reihe zu einer weichen Feder in das Fahrwerk eingelei-

tet, sondern parallel zur Feder über einen Querlenker in das System eingebracht. Diese relativ

steife Anordnung ist jedoch nur bei der hydromechanischen Druckrückführung möglich, wel-

che die einzelnen Subsysteme entkoppelt. Ein weiteres Anwendungsgebiet stellen die Lenksy-

steme dar, die in Kapitel 4 ausführlich diskutiert wurden.

Anhand der hydromechanischen Druckrückführung wurde in Kapitel 2.3 die Entkopplung mit-

tels mechanischer Bauteile von strukturierten Subsystemen erläutert. Es wurde gezeigt, wie mit

Hilfe von konstruktiven Gestaltungsparameter Subsysteme optimal an die Anwendung ange-

passt werden können.

Zur Zeit befinden sich sowohl die Pumpe als auch ein Viertelfahrzeugprüfstand, an dem die

Pumpe in der Funktion als Lenkwinkelsteller als auch als aktive Fahrwerkskomponente getestet

werden soll, in der Fertigungsphase.

1. Dies gilt nur für die in dieser Erläuterung vernachlässigten dynamischen Kräfte.

140

Kapitel 6

Zusammenfassung und Ausblick

Die Entwicklungsleistung eines Ingenieurs ist seit jeher von einer Vielzahl von Iterationsschlei-

fen geprägt, die im "Trial and Error-" Verfahren ablaufen. Im Verlauf des letzten Jahrhunderts

haben sich zunehmend Systematiken etabliert, welche die Anzahl der notwendigen Iterationen

verringerten und dadurch erst die Entwicklung hoch komplexer Systeme ermöglichten. Hierbei

spielte die Einführung der Rechentechnik, insbesondere der digitalen Technik, eine wesentliche

Rolle. Durch sie war es möglich, einen Großteil aufwendiger Entwicklungsschritte in den Rech-

ner zu verlagern, um somit dem steigenden Kosten- und Zeitdruck der Entwicklung zu begeg-

nen. Der Bedarf an immer genaueren Abbildern der Realität führt zu derart komplexen

Modellen im Rechner, dass herkömmliche Methoden nicht mehr ausreichen, um eine umfassen-

de Entwicklung im Rechner durchzuführen. Dieser Trend wird durch die stetige Steigerung der

Komplexität durch Einbeziehung der Elektronik unterstützt. Um diesem Problem zu begegnen,

wurde in den vergangenen Jahren versucht, Systematiken und Methoden für die rechnergestütz-

te Entwicklung zu implementieren. Ziel dieser Arbeit war es, eine dieser Systematiken anhand

von Anwendungsbeispielen weiterzuentwickeln, um somit einen Beitrag zur Verringerung von

notwendigen Entwicklungsiterationen zu leisten.

Ein besonderer Schwerpunkt dieser Arbeit lag im rechnergestützten Reglerentwurf einer SbW-

Lenkung. Es wurde gezeigt, dass die Komplexität einer solchen Lenkung sehr hoch ist und ihr

mechatronischer Entwurf eine Systematik erfordert. Hierzu wurden bekannte Methoden aus der

Literatur und insbesondere der am MLaP entwickelte Ansatz zum verteilt strukturierten Ent-

wurf mechatronischer Systeme aufgegriffen. Ein weiterer Schwerpunkt lag in der Entwicklung

eines Identifizierungsverfahrens, das innerhalb des verteilt strukturierten Entwurfes zum Einen

für die Identifizierung von Subsystemmodellen und zum Anderen zur Erstellung von reduzier-

ten hierarchisch höher liegenden Modellen verwendet wird. Im Folgenden wird noch einmal

skizziert, auf welchem Weg die beiden Schwerpunkte erarbeitet wurden:

Der Großteil der in dieser Arbeit dargestellten Fragestellungen trat bei der Bearbeitung von In-

dustrieprojekten auf. Die Probleme und ihre Lösungen mit Hilfe entsprechender Methodiken

Zusammenfassung und Ausblick 141

wurde stets an realen Produkten dargelegt. Dabei wurden die Anwendungsbeispiele in kurzer

Form beschrieben und ihre Verwendung im Rahmen dieser Arbeit in Kapitel 5 aufgezeigt.

Abschnitt 3 beschreibt den heutigen Stand der Technik beim Entwurf mechatronischer Systeme.

Es wurde aufgezeigt, dass der herkömmliche mechatronische Entwicklungskreislauf für die

Entwicklung von komplexen Systemen nicht ausreicht. Es wurde ein verteilt strukturierter Ent-

wurf für komplexe Systeme in zwei Stufen vorgeschlagen. In der ersten Stufe ist das System in

einem Top-Down-Entwurf entsprechend seinen Teilbewegungsfunktionen in Subsysteme ein-

zuteilen. Die zweite Stufe, der Bottom-Up-Entwurf, dient der Auslegung der einzelnen Subsy-

steme, beginnend mit der untersten Hierarchiestufe. Durch diese Vorgehensweise, die

sukzessive Betrachtung von Subsystemen, bleibt die Komplexität des Entwurfs handhabbar,

und die Physik der betrachteten Systeme gestaltet sich fassbar. Eventuelle Kopplungen der Sub-

systeme und deren notwendige Berücksichtigung beim Reglerentwurf wurden diskutiert. Es

wurden vier verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt, diese Kopplungen entweder schon bei der

Wahl der Aktorik oder beim Entwurf der Regelung des Subsystems bzw. der Regelung der

nächst höheren Ebene zu berücksichtigen. Darüber hinaus wurde in Ergänzung des mechatroni-

schen Entwicklungskreislaufes der funktionsorientierte Entwurf vorgestellt, der eine Systema-

tik zur Auswahl von Lösungselementen für die Subsysteme darstellt. Innerhalb der drei Phasen

des funktionsorientierten Entwurfs wurden somit für die zu erfüllende Bewegungsfunktion op-

timale Lösungselemente entwickelt.

Eine immer wiederkehrende Aufgabe bei der Anwendung des verteilt strukturierten Entwurfs

ist die Identifizierung der Subsystemmodelle. Dabei sind die Anforderungen an das Identifizie-

rungsverfahren innerhalb dieses Entwurfs sehr vielfältig: So soll es zum Einen möglich sein,

physikalisch motivierte Modelle der untersten Hierarchiestufen abzuleiten, zum Anderen soll es

für die beim Reglerentwurf höherer Hierarchiestufen möglich sein, reduzierte identifizierte Mo-

delle geringerer Ordnung abzuleiten. Ein solches Identifizierungsverfahren, das auf die im ver-

teilt strukturierten Entwurf benötigten Anforderungen eingeht, wurde in Kapitel 3 dargestellt.

Das Verfahren wurde an unterschiedlichsten realen Systemen (Positioniermaschine, HP-Feder-

bein, Servokreis, Modulatorkreis, elektromechanische Lenkung) erfolgreich getestet, um die

unterschiedlichen Anwendungsgebiete dieses Verfahrens aufzuzeigen und abzudecken.

Die Anwendung der in Kapitel 2 und Kapitel 3 vorgestellten Methodiken wurde in Kapitel 4

aufgezeigt. Unter Verwendung des verteilt strukturierten Entwurfs wurde die Reglerauslegung

einer SbW-Lenkung durchgeführt. Hierzu wurden in einem ersten Schritt eine konventionelle

hydraulische Lenkung aus mechatronischer Sicht analysiert und die hierbei gewonnenen Erfah-

rungen bei der Reglerauslegung für die SbW-Lenkung genutzt. Auf dieser Basis wurden der

Top-Down- und Bottom-Up-Entwurf der SbW-Lenkung durchgeführt. Die hierbei entstandene

leicht zugängliche physikalische Struktur der Lenkung hat den Weg für eine neue Reglerstruktur

geebnet, die wesentliche Nachteile der alten Regelung beseitigt.

142 Kapitel 6

Die Anwendung der hier vorgestellten Techniken zur Strukturierung, Analyse, Synthese und

Identifizierung von mechatronischen Systemen wurde auf der Hierarchieebene der Aggregate

von Fahrzeugen gezeigt. Der folgende konsequente Schritt wäre dessen Anwendung in der

nächsthöheren Hierarchieebene, der Fahrzeugregelung, dort wo mehrere Fahrzeugregelsysteme

gemeinsam den Fahrzeugzustand bzgl. Fahrkomfort und Fahrsicherheit regeln. Diese Ebene der

Global-Chassis-Control wirft sicherlich noch weitere Probleme auf, die aber auf ähnliche Art

und Weise gelöst werden können.

Für zukünftige Arbeiten mit diesen Techniken wäre es jedoch wünschenswert, ein umfassendes

Mechatronik-Tool zur Verfügung zu haben, das alle diese Bausteine und die damit verbundenen

Arbeitsschritte unterstützt.

143

Kapitel 7

Anhang

7.1 Frequenzgänge der Positioniermaschine

Abbildung 7.1: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fx/x

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

[N]

-50

100

150

200

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

x [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

144 Kapitel 7

Abbildung 7.2: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fy/x

Abbildung 7.3: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Mz/x

-160

-140

-120

-100

-80

-60

[N]

-300

-200

-100

100

200

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

x [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

[Nm]

-400

-300

-200

-100

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

x [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

Anhang 145

Abbildung 7.4: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fx/y

Abbildung 7.5: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fy/y

-200

-150

-100

-50

[N]

-400

-300

-200

-100

100

200

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

y [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-120

-100

-80

-60 F

[N]

y [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-50

100

150

200

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

146 Kapitel 7

Abbildung 7.6: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Mz/y

Abbildung 7.7: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fx/rz

-200

-180

-160

-140

-120

[N]

-400

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

y [m]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-160

-140

-120

-100

-80

[N]

-400

-300

-200

-100

100

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

rz [mrad]

Phase [Grad] Betrag [dB]

Anhang 147

Abbildung 7.8: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Fy/rz

Abbildung 7.9: Vgl. Frequenzgänge Messung, Modell 18. Ordnung und Modell 6. Ordnung Mz/rz

-160

-140

-120

-100

-80

[N]

-600

-400

-200

200

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

rz [mrad]

Phase [Grad] Betrag [dB]

-180

-160

-140

-120

-100

[N]

-100

100

200

300

Frequenz [Hz]

Messung

Modell 18 Ord.

Modell 6 Ord.

rz [mrad]

Phase [Grad] Betrag [dB]

148 Kapitel 7

7.2 Modellbildung eines HP-Federbeins

Ein physikalisches Ersatzmodell des HP-Federbeins so wie es im PKW-Bereich eingesetzt wird,

ist in Abbildung 7.10 dargestellt. Es besteht im Wesentlichen aus den Komponenten Zylinder,

Speicher, Drossel und einem Verbindungselement zwischen dem Zylinder und der Speicher-

Drosseleinheit, in der Regel einer Leitung:

Hieraus lässt sich das Blockschaltbild in Abbildung 7.11 ableiten. Die Gleichungen der Subsy-

steme und damit auch die des Gesamtsystems werden unter folgenden Randbedingungen abge-

leitet:

• Das System besitzt nur einen mechanischen Freiheitsgrad.

• Inkompressibles Hydrauliköl.

• Keine Elastizitäten der mechanischen Komponenten.

• Anregung sei bekannt.

Speicher

Der im Speicher herrschende Druck berechnet sich mit folgenden Randbedingungen:

• Isotherme Zustandsänderung zum Erreichen des Betriebspunktes pB.

• Das Speichergas Stickstoff wird als ideales Gas betrachtet.

• Änderungen des Speicherdruckes in der Nähe des Betriebsdruckes werden als adiabate Zu-

standsänderungen angenommen.

(7.1)

Abbildung 7.10: Physikalisches Ersatzmodell des HP-Federbeins

xAnreg x

·Anreg

;

pSp 1

sCS

------------- qDr

Anhang 149

mit Volumenstrom durch die Drossel [m3/s]

Druck im Speicher [N/m2]

Kapazität des Speichers [m5/N]

Drossel

Für den Modellansatz wird unter Annahme einer linearen, konstanten, reibungsbehafteten Dros-

sel und mit Hilfe der Hagen-Poiselle-Gleichung folgende Gleichung für die Drossel abgeleitet:

(7.2)

mit Druck vor der Drossel [Ns/m5]

Druck im Speicher [N/m2];

Zylinder

Unter den oben genannten Randbedingungen und einer reibungsfreien eindimensionalen Strö-

mung für den Zylinder können mit Hilfe des Kontinuitätssatzes folgende Gleichungen abgelei-

tet werden:

(7.3)

mit Volumenstrom des Zylinders [m3/s]

Kraft am Zylinder [N]

Druck im Zylinder [N/m2]

Fläche des Zylinderkolbens [m2]

Rohrleitung

Die Gleichungen für die Rohrleitung werden unter den Randbedingungen einer reibungsbehaf-

teten, inkompressiblen Strömung abgeleitet. Berücksichtigt wurden Leitungskapazitäten, Lei-

tungswiderstände und Leitungsinduktivitäten:

(7.4)

qDr

pSp

CSp

qDr Πr4

8ηl

---------∆p1

RDr

--------- pSp pDr

–()==

pDr

RDr

qZyl AZylx

·Anreg

FZyl pZylAZyl

qZyl

FZyl

pZyl

AZyl

qDr qZyl pDrCLs–

CLLLs2CLRLs1++

----------------------------------------------------=

pZyl qZyl qDr

–()

CLs

----------

150 Kapitel 7

mit Leitungskapazität [m5/N]

Leitungsreibung [Ns/m5]

Leitungsinduktivität [Ns2/m5]

Durch Auflösen der Gl. 7.1 bis Gl. 7.4 nach FZyl/xAnreg kann folgende Übertragungsfunktion

gewonnen werden:

(7.5)

Da das Verbindungselement, die Leitung zwischen dem Speicher-Drosselelement und dem

Plungerzylinder des HP-Federbeins, von entscheidender Bedeutung für das dynamische Verhal-

ten ist, wird die Übertragungsfunktion Drosselkraft zu Anregungsweg zur Ermittlung des Lei-

tungseinflusses mitberücksichtigt:

(7.6)

7.3 Modellbildung des Modulatorkreises

Komponenten

Der Modulatorkreis besteht aus den folgenden Komponenten (siehe auch Abbildung 5.2 und

Abbildung 4.9):

• Maxonmotor mit nachgeschaltetem Planetengetriebe

• Modulatorpumpe OMM 8

Abbildung 7.11: Blockschaltbild des HP-Federbeins

FZyl

xAnreg

----------------CSpLLs2CSpRLCSpRDr

+()s1++()AZyl2

CSpCLLLs2RDrCLCSp CLCSpRL

+()sC

Sp CL

+++

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

FDr

xAnreg

----------------1CSpRDr

()s+()AZyl2

CSpCLLLs2RDrCLCSp CLCSpRL

+()sC

Sp CL

+++

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Anhang 151

• Schaltventil

• Lenkzylinder

• Zwei Rohrleitungen, die Pumpe und Zylinderkammern verbinden

Der Maxonmotor ist mit dem Planetengetriebe und der Hydropumpe in einem Gehäuse unter-

gebracht und bildet eine Motor-Pumpeneinheit, die im Folgenden als Modulatoreinheit bezeich-

net wird.

7.3.1 Die Modulatoreinheit

Der Maxonmotor bildet zusammen mit dem Getriebe und der Pumpe OMM8 der Firma Danfoss

die Modulatoreinheit. Dieses System wird, wie oben schon beschrieben, als ein untergeordnetes

drehzahlgeregeltes Subsystem betrachtet. Der Frequenzgang Ausgangsdrehzahl zu Eingangs-

drehzahl ist in Abbildung 7.12 dargestellt. Dabei ist das mit abgebildete Modell durch das in

Kapitel 3.3 vorgestellte Verfahren ermittelt worden. Es handelt sich hierbei um ein Black-Box-

Modell mit der Zählerordnung 1 und der Nennerordnung 4.

7.3.2 Das Getriebe

Dem Maxonmotor ist ein Planetengetriebe mit einer Untersetzung von 5.2 : 1 nachgeschaltet.

Das Getriebe wird als ein einfaches P-Glied modelliert, dessen Eingang die Istdrehzahl des Ma-

xonmotors nist und der Ausgang die Pumpendrehzahl np sind.

[U/min] (7.7)

mit KGGetriebeuntersetzung [-]

nist Ist-Drehzahl Maxonmotor [U/min]

nPPumpendrehzahl [U/min]

7.3.3 Die Modulatorpumpe

Der Volumenstrom der Pumpe setzt sich zusammen aus dem drehzahlproportionalen Anteil, der

sich aus dem Schluckvolumen, multipliziert mit der Drehzahl, ergibt, und dem Leckölstrom.

Der Leckölstrom wurde hier vereinfacht als linear von der Druckdifferenz modelliert.

nPKGnist

⋅=

152 Kapitel 7

(7.8)

mit QPPumpenvolumenstrom [m³/s]

VGSchluckvolumen der Pumpe [m3/U]

nPDrehzahl der Pumpe [U/s]

cLeck Leckölkoeffizient [m5/N/s]

PAnfRL Druck links der Pumpe [N/m2]

PAnfRR Druck rechts der Pumpe [N/m2]

7.3.4 Der Lenkzylinder

Der Lenkzylinder ist ein Gleichlaufzylinder. Unter Anwendung von Newton-Euler kann folgen-

de Bewegungsgleichung für die Kolbenmasse abgeleitet werden:

(7.9)

mit dKCoulombscher Reibkoeffizient [Ns/m]

pLKammerdruck linke Kammer [N/m²]

pRKammerdruck rechte Kammer [N/m²]

Aeffektiv wirksame Kolbenfläche [m²]

mKolbenmasse [kg]

Abbildung 7.12: Frequenzgang der Drehzahlregelung des Maxonmotors: Modell und Messung

QPVGnP

⋅cLeck pAnfRL pAnfRR

–()⋅–=

-1

-2

-1

Frequenzgang Maxonmotor Drehzahlgeregelt n

Ist

Soll

Frequenz [Hz]

Betrag [U/min/U/min dB]

-150

-100

-50

Frequenz [Hz]

Phase [Grad]

Modell

Messung

mxs

⋅⋅ pLA⋅pRAd

Kxs⋅⋅()–⋅–=

Anhang 153

xKolbenweg [m]

Nach dem Kontinuitätssatz für Kontrollräume und unter Berücksichtigung der hydraulischen

Kapazität CHyd lassen sich die folgenden Gleichungen für die Drücke in den Zylinderkammern

ableiten:

[N/m²] (7.10)

mit pLKammerdruck linke Kammer [N/m²]

pRKammerdruck rechte Kammer [N/m²]

CHyd hydraulische Kapazität [m5/N]

QausRL Volumenstrom aus der linken [m³/s]

Rohrleitung

QausRR Volumenstrom aus der rechten [m³/s]

Rohrleitung

Aeffektiv wirksame Kolbenfläche [m²]

xKolbenweg [m]

7.3.5 Die Rohrleitungen

Messungen am System Modulatoreinheit (siehe Abbildung 4.11 und Abbildung 4.12) haben er-

geben, dass die Rohrleitungen, welche die Pumpe mit der linken bzw. mit der rechten Zylinder-

kammer verbinden, einen wesentlichen Einfluss auf die Systemdynamik haben. Aus diesem

Grund wird ein Rohrleitungsmodell [Becker] zur Nachbildung der Modulatoreinheit integriert.

Mit diesem Modell ist es möglich, hydraulische Kapazitäten, Induktivitäten und Widerstände,

die z. B. durch Verbindungsstücke, Krümmer, Querschnittsänderungen etc. hervorgerufen wer-

den, in einer Ersatzkapazität, -induktivität und in einem Ersatzwiderstand zusammenzufassen

und ihre wesentlichen Effekte wiederzugeben.

Abbildung 7.13: Ersatzmodell des Lenkzylinders

pL1

CHyd s⋅

---------------------QausRL Axs⋅⋅–()

⋅

ds⋅

---------------------QausRR Axs⋅⋅+()⋅

154 Kapitel 7

Gleichungen des Rohrleitungsmodells

[N/m²] (7.11)

mit pAnfR Druck am Anfang der [N/m²]

Rohrleitung

CLRohrleitungskapazität [m5/N]

QinR in die Rohrleitung eintre- [m³/s]

tender Volumenstrom

QausR aus der Rohrleitung fließen- [m³/s]

der Volumenstrom

[m³/s] (7.12)

mit pEnde Druck am Ende der [N/m²]

Rohrleitung

LLRohrleitungsinduktivität [Ns²/m5]

RLRohrleitungsreibung [N/m5]

Die beiden Gleichungen gelten sowohl für die rechte als auch für die linke Rohrleitung, im

Folgenden durch ein L bzw. ein R im Index kenntlich gemacht, z. B. pAnfRL, pAnfRR, QauRL,

QauRL.

Förderrichtung der Pumpe

Bei positiver Drehzahl der Pumpe, also , fördert diese einen Volumenstrom QP (siehe

Gleichung 7.8) von der rechten Zylinderkammer in die linke. Es gilt dementsprechend:

[m³/s] (7.13)

mit QinRL in die linke Rohrleitung [m³/s]

eintretender Volumenstrom

QinRR in die rechte Rohrleitung [m³/s]

eintretender Volumenstrom

Außerdem gilt, wie oben schon beschrieben, für den Druck am Ende der Rohrleitung:

[N/m²] (7.14)

mit pEndeRL Druck am Ende der linken [N/m²]

Rohrleitung

pAnfR 1

CLs⋅

-------------- QinR QausR

–()=

QausR QinR pEndeR CLs⋅⋅–

CLLLs2CLRLs1+⋅⋅+⋅⋅

----------------------------------------------------------------------=

np0>

QinRL QP

QinRR QP

–

pEndeRL pL

pEndeRR pR

Anhang 155

pEndeRR Druck am Ende der rechten [N/m²]

Rohrleitung

Damit ist die Modellbildung der oben aufgeführten Komponenten bis auf die des Schaltventils

abgeschlossen. Dieses wird im Modell nicht berücksichtigt, da es lediglich dem Zu- bzw. Ab-

schalten des Modulatorkreises im Notlenkbetrieb dient.

7.3.6 Das Gesamtmodell des Modulatorkreises

Aus den oben hergeleiteten Gleichungen kann nun ein Gesamtmodell des Modulatorkreises auf-

gebaut werden. Die Verkopplungen der einzelnen Systeme untereinander sind in Abbildung

4.10 zu erkennen. Den Eingang des Systems bildet die Solldrehzahl des Maxonmotors nsoll, der

Ausgang ist der Weg der Kolbenmasse x.

Das in Abbildung 4.10 dargestellte Modell ist ein lineares Modell, das gemäß den Ordnungen

der Teilsysteme eine Systemordnung von 12 aufweist. Mit Hilfe dieses Modells soll die Regler-

auslegung des Modulatorkreises durchgeführt werden. Vorerst müssen jedoch folgende unbe-

kannte Modellparameter identifiziert werden:

• der Leckölkoeffizient der Pumpe cLeck

• die Leitungskapazität CL

• die Leitungsinduktivität LL

• der Leitungswiderstand RL

• die hydraulische Kapazität der Zylinderkammer CHyd

Dazu werden zunächst Übertragungsfunktionen geeigneter Übertragungspfade des Modells

analytisch hergeleitet.

7.3.7 Herleiten der Übertragungsfunktionen

Modellreduktion

Wie schon beschrieben, sollen die in diesem Kapitel herzuleitenden Übertragungsfunktionen

mit den aus den Identifizierungen gewonnenen gleichgesetzt und mit Hilfe eines Koeffizienten-

vergleiches unbekannte Systemparameter ermittelt werden. Damit die Übertragungsfunktionen

im Hinblick auf den Koeffizientenvergleich überschaubar bleiben, wurde zunächst das in Ab-

bildung 7.14 dargestellte System auf dem Prüfstand aufgebaut.

156 Kapitel 7

Es entspricht quasi dem Modulatorkreis, wobei jedoch eine Bewegung der Kolbenmasse durch

eine Arretierung des Zylinders unterbunden wurde. Gemessen wurde an diesem System der Fre-

quenzgang von der Istdrehzahl des Maxonmotors hin zur Differenz der Kammerdrücke

. Somit können die Gleichungen, welche die Kolbenmasse und die Drehzahl-

regelung des Maxonmotors beschreiben, vernachlässigt werden. Eine entsprechende Übertra-

gungsfunktion kann aus den Gleichungen, die im vorigen Kapitel hergeleitet wurden, analytisch

berechnet werden. Dies wird im Folgenden beschrieben.

Wegen der Arretierung des Kolbens treten keine Kolbenbewegungen auf. Somit kann dieser

Anteil in den obigen Gleichungen Gl. 7.10 vernachlässigt werden. Die Bewegungsgleichung

Gl. 7.9 für die Kolbenmasse entfällt ganz. Die Übertragungsfunktion von der Istdreh-

zahl des Maxonmotors nist hin zur Druckdifferenz der Kammerdrücke kann dann wie folgt

bestimmt werden:

Für den Volumenstrom, der in die linke Rohrleitung eintritt, gilt nach Gleichung Gl. 7.13 und

Gl. 7.8:

Gleichung für QinRL (7.15)

Löst man die Gleichungen Gl. 7.10 nach den austretenden Volumenströmen QausRL bzw. Qaus-

RR auf und berücksichtigt die Arretierung des Kolbens, also , so erhält man die folgenden

Gleichungen:

Gleichungen für QausR (7.16)

Außerdem gilt nach den Gleichungen Gl. 7.13:

Abbildung 7.14: Modulatorkreis mit arretierter Kolbenmasse zur Identifikation

∆pKpLpR

–=

nist ∆p

→

∆pK

QinRL QPT cLeck pAnfRL pAnfRR

–()⋅–=

·0=

QausRL CHyd pLs

QausRR CHyd pRs⋅⋅=

⋅⋅=

Anhang 157

(7.17)

Die Drücke am Anfang der Rohrleitungen lassen sich nach Gl. 7.11 wie folgt berechnen:

Gleichungen für pAnfR

(7.18)

Setzt man nun die Gleichungen Gl. 7.16 bis Gl. 7.18 sukzessive in die Gleichung Gl. 7.15 ein

und löst die sich dann ergebende Gleichung nach dem Volumenstrom QinRL auf, so erhält man

diesen in Abhängigkeit von den Kammerdrücken pL und pR:

QinRL in Abhängigkeit von pL und pR

(7.19)

Ersetzt man jetzt in der Gleichung Gl. 7.12 den in die linke Rohrleitung eintretenden Volumen-

strom QinRL gemäß Gl. 7.19 und löst nach dem Kammerdruck pL auf, so erhält man diesen in

Abhängigkeit von dem Druck in der rechten Kammer pR:

pL in Abhängigkeit von pR

(7.20)

mit , dem Nenner von Gl. 7.12.

Durch äquivalente Rechnung erhält man den Druck der rechten Kammer in Abhängigkeit von

pL:

pR in Abhängigkeit von pL

(7.21)

Subtrahiert man nun Gl. 7.21 von Gl. 7.20 und löst dann nach der Druckdifferenz der Kammer-

drücke auf, ergibt sich die folgende Gleichung:

Gleichung für ∆pK

(7.22)

QinRR QinRL

–=

pAnfRL 1

CLs⋅

-------------- QinRL QausRL

–()

pAnfRR 1

CLs⋅

-------------- QinRR QausRR

–()=

QinRL QPT CLcLeck CHyd pLpR

–()⋅⋅+⋅()s⋅

CLs2cLeck

⋅+⋅

------------------------------------------------------------------------------------------------------=

pLQPT CLcLeck CHyd pR

⋅⋅+⋅

CHyd C⋅LNs 2CHyd cLeck N2CLcLeck

⋅⋅ CHyd cLeck

⋅–CL

2s⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

LLLs2CLRLs1+⋅⋅+⋅⋅=

pRQ–PT CL

⋅cLeck CHyd pL

⋅⋅–

CHyd C⋅LNs 2CHyd cLeck N2CLcLeck

⋅⋅ CHyd cLeck

⋅–CL

2s⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

∆pKpLpR

–=

∆pK2Q⋅PT CL

⋅

CHyd C⋅LNs 2CHyd cLeck N2CLcLeck

⋅⋅ 2C⋅Hyd cLeck

⋅–CL

2s⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅

158 Kapitel 7

Durch Ersetzen des theoretischen Pumpenvolumenstromes QPT gemäß Gl. 7.7 und Rücksubsti-

tution von N erhält man die gesuchte Übertragungsfunktion:

Analytische Übertragungsfunktion

(7.23)

Da die Kammerdrücke in bar und die Motordrehzahl in U/min gemessen wurden, sind für den

Vergleich zwischen Messung und Modell noch folgende Skalierungsfaktoren notwendig:

(7.24)

mit

(7.25)

mit

In der normierten Form der Regelungstechnik gestaltet sich die Übertragungsfunktion Gl. 7.23

dann wie folgt:

Übertragungsfunktion in normierter Form

(7.26)

Die Zählerordnung dieser linearen Übertragungsfunktion ist 0, die Ordnung des Nenners 3. Un-

bekannte Modellparameter sind, wie oben schon aufgelistet, der Leckölkoeffizient der Pumpe

cLeck, die drei Rohrleitungsparameter CL, RL und LL und die hydraulische Kapazität der Zylin-

derkammern CHyd.

Durch einen Koeffizientenvergleich können mit dieser Geichung nunmehr 3 Koeffizienten be-

stimmt werden. Für die verbleibenden 2 Koeffizienten muss eine weitere Übertragungsfunktion

herangezogen werden. Hierzu wird die Übertragungsfunktion von der Istdrehzahl des Motors

Gnist ∆pK

→

∆pK

nist

----------

2VGKG

⋅⋅

CHyd C⋅LLLs32CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅()s2…+⋅+⋅⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅()+s2cLeck

⋅+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nPUmin⁄[]

SkalnnPUs⁄[]

⋅=

Skaln160⁄=min s⁄[]

∆pK bar[] Skalp∆pKNm

⁄[]

⋅=

Skalp10 5–

=m2bar⋅N⁄[]

Gnist ∆pK

→

∆pK

nist

----------

VGKGSkalnSkalpcLeck

⁄⋅⋅ ⋅

CHyd C⋅LLL

⋅

2cLeck

⋅

----------------------------------- s32CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-------------------------------------------------------------------------------------------------- s2…+⋅+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------+s1+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Anhang 159

zur Druckdifferenz an der Pumpe verwendet. Sie wird unter den gleichen Randbedingungen wie

Gl. 7.26 hergeleitet. Hier ist nur das Ergebnis dargestellt, eine detailliertere Herleitung kann in

[Ruste] nachgeschlagen werden.

(7.27)

Der Nenner dieser linearen Übertragungsfunktion stimmt mit dem aus Gleichung Gl. 7.26 über-

ein und hat somit ebenfalls die Ordnung 3; die Ordnung des Zählers beträgt nun aber 2, weswe-

gen bei einem späteren Koeffizientenvergleich weitere Gleichungen zur Verfügung stehen.

Auch die Übertragungsfunkion von der Istdrehzahl des Maxonmotors zum Zylinderweg kann

aus den Gleichungen Gl. 7.7 bis Gl. 7.14 hergeleitet werden. Das Ergebnis ist im Folgenden dar-

gestellt:

(7.28)

Gnist ∆pP

→

∆pP

nist

---------- VGKGSkalnSkalp

⋅⋅ ⋅

cLeck

------------------------------------------------------------

CHyd LLs2CHyd RLs1+⋅⋅+⋅⋅

CHyd C⋅LLL

⋅

2cLeck

⋅

----------------------------------- s32CHyd cLeck LLCHyd CLRL

⋅⋅+⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-------------------------------------------------------------------------------------------------- s2…+⋅+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2CHyd cLeck RLCHyd CL

++⋅⋅⋅()

2cLeck

⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------+s1+⋅

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

⋅

Gxn

ist

→

2AV

GKGSkaln

⋅⋅ ⋅ ⋅

mCHydCLLLs52mcLeckCHydLLmCHydCLRLdKCLCHydLL

++()s4

⋅+⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

…

…2A2CLLL2mcLeckCHydRL2dKcLeckCLCHydLLdKCLCHydRLmCHyd mCL

++ +++( ) s3

⋅+

…

…2A2CLRL2dKcLeckCHydRL2mcLeck dKCLdKCHyd 4A2cLeckLL

+++++( ) s2

⋅+

…

…2A22dKcLeck 4A2cLeckRL

++()s⋅+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

160 Kapitel 7

7.4 Die m-Funktion ident-

freq

function [num,den]=identfreq(H,W,ZNr,NNr,[varargin])

% Identfreq: Least-Square-Verfahren zur Anpassung von Freuenz-

% gangdaten.

% [num,den] = identfreq(H,W,ZNr,NNr) berechnet Koeffizienten

% vom Zähler (num) und Nenner (den). Dabei haben die Vektoren

% num und den die Länge ZNr und NNr. H ist der komplexe Fre-

% quenzgang an den Stützpunkten W. H kann auch eine Matrix

% sein, wobei eine Spalte jeweils ein Frequenzgang darstellt. Dann

% mus ZNR ein Vektor sein dessen größe die Anzahl von zu iden

% tifizierenden Frequenzgängen entspricht. Alle Frequenzgänge

% werden mit dem gleichen Nennerpolynom identifiziert

% [num,den]=identfreq(H,W,ZNr,NNr,iter,trace,stable,plot)

% iter gibt die Anzahl von Iterationsschritten wieder

% trace stellt Zwischenergebnisse wie Gewichtungsfunktion und

% Identifizierungsfehler dar

% stable erzwingt ein stabiles Nennerpolynom

% plot plottet das Ergebniss

% Die jeweiligen oben beschriebenen Schalter werden durch beset-

zen mit 1eingeschaltet bzw. durch 0 ausgeschaltet.

% Autor(s): Markus Nyenhuis

error(nargchk(4,8,nargin));

if length(varargin)<6

varargin{6} = []; % pad varargin with []'s

end

[ZNru,NNr,iter,trace,stable,plot] = deal(varargin{:});

if (isempty(iter))

iter=1;

end

ZNru=ZNru+ones(1,length(ZNru));

nargin;

nargout;

Nr = length(W);

[Nrr,Nrc]=size(H);

NrFRF = Nrc;

ZNr=max(ZNru);

NNr=NNr+1;

Wskale=W/W(Nr);

weight=ones(Nr,1);

%%%Create Chebychef-x-Vector

for l=1:Nr;

xcheby(l)=cos(((2*l-1)*pi)/(4*Nr));

end

xcheby=flipud(xcheby')';

for k=1:NrFRF

ycheby(:,k)=interp1(Wskale,H(:,k),xcheby','linear','extrap');

end

for j=1:Nr;

Tch(j,1)=1;

Tch(j,2)=i*xcheby(j);

for count=3:max([ZNr,NNr]),

if (rem(count,2) == 0)

Tch(j,count)=2*i*xcheby(j)*Tch(j,count-1)-Tch(j,count-2);

else

Tch(j,count)=-2*i*xcheby(j)*Tch(j,count-1)-Tch(j,count-2);

end

Tchconj = conj(Tch);

Tchtrans = transp(Tch);

for k=1:NrFRF

ychebyconj(:,k) = conj(ycheby(:,k));

ychebyabs(:,k) = abs(ycheby(:,k)).^2;

end

for z=1:iter;

for j=1:ZNr;

for k=1:ZNr;

if (j == k)

A(j,k)=real(sum(weight.*Tch(:,k).*Tchconj(:,j)));

end

for m=1:NrFRF

for j=1:NNr-1;

for k=1:NNr-1;

D(j,k,m)=real(sum(weight.*Tch(:,k).*Tchconj(:,j).*yche-

byabs(:,m)));

end

for m=1:NrFRF

for j=1:ZNr;

for k=1:NNr-1;

B(j,k,m)=-real(sum(weight.*Tch(:,j).*Tchconj(:,k).*ycheby-

conj(:,m)));

end

for m=1:NrFRF

C(:,:,m)=B(:,:,m)';

end

for m=1:NrFRF

for j=1:ZNr;

E(j,m)=real(sum(weight.*Tch(:,j).*Tchconj(:,NNr).*ycheby-

conj(:,m)));

Anhang 161

end

for m=1:NrFRF

for j=1:NNr-1;

F1(j,m)=-real(sum(weight.*Tch(:,j).*Tchconj(:,NNr).*yche-

byabs(:,m)));

end

for m=1:NrFRF

AA(:,:,m) = -C(:,:,m)*inv(A)*B(:,:,m) + D(:,:,m);

BB(:,:,m) = F1(:,m) - C(:,:,m)*inv(A)*E(:,m);

end

M =zeros(NNr-1,NNr-1);

BL=zeros(NNr-1,1);

for m=1:NrFRF

M = M+AA(:,:,m)*AA(:,:,m);

BL = BL+AA(:,:,m)*BB(:,:,m);

end

[Q1,R1] = qr(M);

y1 = transp(Q1)*BL;

Coeffs1=R1\y1;

%%%%%%%%%%%

%Umrechnen der Orthogonalen Koordinaten nach Physikalischen

% Koordinaten

%%%%%%%%%%%

Mr=zeros(max([ZNr,NNr]));

Mr(1,1)=1;

Mr(2,2)=1;

for j=2:max([ZNr-1,NNr-1]), %Schleife durch Chebyschef-

polynome

for k=0:j/2;

help3 = [];

for h=k:j/2,

help1 = binom (j, 2*h);

help2 = binom (h, k);

help1 = help1*help2;

help3(h-k+1) = help1;

end

Mr((j+1),(j+1)-2*k) = sum(help3)*(-1)^k;

end

help1=3;

for j=3:max([ZNr,NNr]), %Schleife durch Chebyschefpoly-

nome

if ((help1==3) | (help1==4))

Mr(:,j)=Mr(:,j)*(-1);

end

help1 = rem(help1,4);

help1 = help1+1;

end

%%%%%%%%%%%

%Stabilität des Systems sicherstellen

%%%%%%%%%%%

nenner=[Coeffs1;1];

b(NNr)=Mr(NNr,NNr);

for j=1:NNr,

b(j) = Mr(1:NNr,j)'*nenner/b(NNr);

end

for(j=1:NNr)

% b(j)=b(j)*(W(length(W)))^(NNr-(j));

end

if (~isempty(stable))

b = apolystab(b);

for(j=1:NNr)

% b1(j)=b(j)/(W(length(W)))^(NNr-(j));

end

b1=b;

b1=inv(Mr')*b1'*Mr(NNr,NNr);

Coeffs1=b1(1:NNr-1);

clear b1;

end

for(j=1:NNr)

b(j)=b(j)*(W(length(W)))^(NNr-(j));

end

%%%%%%%%%%%

%Bestimmung des Zaehlerpolynoms (orthogonal)

%%%%%%%%%%%

clear zaehler;

for m=1:NrFRF

clear A B E;

for j=1:ZNru(m);

for k=1:ZNru(m);

if (j == k)

A(j,k)=real(sum(weight.*Tch(:,k).*Tchconj(:,j)));

end

for j=1:ZNru(m);

for k=1:NNr-1;

B(j,k)=-real(sum(weight.*Tch(:,j).*Tchconj(:,k).*ycheby-

conj(:,m)));

end

for j=1:ZNru(m);

E(j)=real(sum(weight.*Tch(:,j).*Tchconj(:,NNr).*ycheby-

conj(:,m)));

end

zaehler(1:length(E),m) = (inv(A)*((-B(:,:)*Coeffs1) + E(:)));

end

162 Kapitel 7

%%%%%%%%%%%

%fertig Bestimmung der Zaehlerpolynome

%%%%%%%%%%%

clear a;

for m=1:NrFRF

for j=1:ZNru(m),

a(j,m) = Mr(1:ZNru(m),j)'*zaehler(1:ZNru(m),m)/

Mr(NNr,NNr);

end

for m=1:NrFRF

for(j=1:ZNru(m))

a(j,m)=a(j,m)*(W(length(W)))^(NNr-(j));

end

b=flipud(b')';

for m=1:NrFRF

a(:,m)=flipud(a(:,m));

end

%%%%%%%%%%

%Berechnung der Gewichtung

%%%%%%%%%%

help1=zeros(size(ycheby(:,1)));

for z1=1:NNr

help = (nenner(z1).*Tch(:,z1));

help1 = help1+help;

end

help1=1./help1;

weight=(help1.*conj(help1));

if (~isempty(trace))

figure(1)

semilogx(W,20*log10(weight))

grid on;

for m=1:NrFRF

e(:,m)=freqs(a(:,m)',b,W)-H(:,m);

er(m)=real(e(:,m)'*e(:,m));

end

figure(2)

semilogx(W,20*log10(abs(e)))

grid on;

disp(['Iterationnumber=', num2str(z) ' : Fehler =', num2str(er)])

end

%%%%%%%%%%

%Ende Berechnung der Gewichtung

%%%%%%%%%%%

end

%Ende Iteration

a(3,1)=(a(3,1)+a(3,2))/2*1.2;

a(3,2)=a(3,1);

for m=1:NrFRF

[MAGIZ(:,m),PHASEIZ(:,m)]=bode(a(:,m)',b,W);

end

if (nargout == 0 | ~isempty(plot))

for m=1:NrFRF

Hfigure(m)=figure(m+2)

subplot(2,1,1)

semilogx(W,20*log10(MAGIZ(:,m)),'b'); hold on

semilogx(W,20*log10(abs(H(:,m))),'r')

grid on;

hold off;

subplot(2,1,2)

semilogx(W,PHASEIZ(:,m),'b'); hold on

semilogx(W,unwrap(angle(H(:,m)))*180/pi,'r')

grid on;

hold off;

set(Hfigure(m),'nextplot','replace')

end

num = a';

den = b;

function a1 = apolystab(a)

%%%%%%%%%%%

%APOLYSTAB Stabilisiert das Nennerpolynom

% a: Koeffizienten des Nenners

% a1: Stabilisiertes Nennerpolynom

%%%%%%%%%%%

if length(a)>0

v=roots(a);

vind=find(real(v)>0);

v(vind)=-v(vind);

a=poly((v));

a=a./a(length(a));

end

163

Kapitel 8

Literatur

[Acker] Acker, B., Darenberg, W.: Aktive Federung für Personenkraftwagen. Ölhy-

draulik und Pneumatik 33 (1989), Nr. 11.

[Adams] Adams, W. W., Loustaunau, P.: An Introduction to Gröbner Bases, Graduate

Studies in Math. 3, AMS, 1994.

[Analogy] Analogy, Inc.: SABER - User’s Manual. Release 3.0, Beaverton, OR, USA,

1996.

[Backé] Backé, W.: Grundlagen der Ölhydraulik, Umdruck zur Vorlesung am Institut

für hydraulische und pneumatische Antriebe an der RWTH Aachen, 4. Aufla-

ge 1979.

[Bauer] Bauer, G.: Ölhydraulik, 6., überarbeitete Auflage, Stuttgart: Teubner-Verlag,

1992.

[Becker] Becker, M., Meier-Noe, U., Neuendorf, N., Nyenhuis, M.: Ölhydraulik, Ma-

nuskript zur Vorlesung an der Universität Paderborn, WS 2000/01.

[BMW] Fleck, R., Hennecke, D., Pauly, A.: Active Front Steering (AFS) - Das Steer-

by-Wire-System der BMW-Group zur Optimierung von Lenkkomfort, Fahr-

zeugagilität und -stabilität, Haus der Technik, Essen, 2001.

[Buhlmann] Buhlmann, M., Kant, D., Krüger, A.: Notwendige Softwarestrukturen und

Prozessschritte zur Entwicklung verteilter Regelsysteme, Haus der Technik,

Essen, 2002.

[Cartronic] Bertram, T., Schröder, W., Dominke, P., Volkart, A.: Cartronic - ein Ord-

nungskonzept für die Steuerung und Regelungssysteme in Kraftfahrzeugen,

Stuttgart, 1997.

[Castiglioni] Castiglioni, G., Jäker, K.-P., Schlüter, F.: Das aktive Fahrwerk mit elektroni-

schen Aktuatoren, at 7/96, S. 345-350.

164 Kapitel 8

[Claas] Claas Industrietechnik: Technische Dokumentation, NG-2, Paderborn, 1999.

[Danfoss] Technical Note, Minilenkeinheiten, Typ OSPM/OTPM, 2001.

[Dierkes01] Dierkes, U., Neuendorf, N., Nyenhuis, M., Rustemeier, C., Wielenberg, A.:

Abschlussbericht zur Untersuchung einer elektrohydraulischen SbW-Len-

kung, Universität Paderborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 2001.

[Dierkes02] Dierkes, U., Nyenhuis, M.: Zwischenbericht zur Untersuchung einer elektro-

hydraulischen Lenkung, Interner Bericht, Universität Paderborn, Mechatro-

nik Laboratorium Paderborn, 2002.

[DE19754258] Deutsches Patent- und Markenamt: Verfahren zur Betätigung eines Steer-by-

Wire-Lenkantriebes, Patentschrift der Robert Bosch GmbH, Stuttgart, 1997.

[DE19838490] Deutsches Patent- und Markenamt: Lenksystem mit hydraulischer Rückfall-

ebene, Patentschrift der Robert Bosch GmbH, Stuttgart, 1998.

[DE19839951] Deutsches Patent- und Markenamt: Lenksystem für nicht spurgebundene

Kraftfahrzeuge, Patentschrift der DaimlerChrysler AG, Stuttgart, 1998.

[DE59604902D] Deutsches Patent- und Markenamt: Lenksystem für nicht spurgebundene

Kraftfahrzeuge, Gebrauchsmuster TRW, Düsseldorf, 1999.

[Eicker] Eicker, C., Nyenhuis, M., Dierkes, U.: Mechatronical Design and Realization

of an Electro-Hydraulical "Steer-by-Wire" System, 3. Internationales Fluid-

technische Kolloquium, Aachen, 2002, S 419-430.

[EUR-Lex] Das Recht der Europäischen Union, www.europa.eu.int/eur-lex/de, 1998.

[Ewins] Ewins, D.: Modal Testing: Theory and Practice, England, Reasearch Studies

Press Ltd., 2003.

[Fletcher] Fletcher, R.: Practical Methods of Optimization, 2. Auflage, Chichester: J.

Wiley & Sons, 1987.

[Föllinger] Föllinger, O.: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre An-

wendungen, unter Mitwirkung von F. Dörrscheidt und M. Klittich, 8. überar-

beitete Auflage, Heidelberg: Hüthig-Verlag 1994.

[Fürst] Fürst, S.: Software-Entwicklung für X-by-Wire-Systeme, Haus der Technik,

Essen, 2002.

[Hahn] Hahn, M.: OMD - Ein Objektmodell für den Mechatronikentwurf, Anwen-

dung in der Objektorientierten Modellbildung mechatronischer Systeme unter

Verwendung von Mehrkörpersystemformalismen, VDI-Fortschrittbeirchte,

Reihe 20, Nr. 299, Düsseldorf: VDI-Verlag, 1999.

Literatur 165

[Harrer] Harrer, H.: Ordnungreduktion, Vom Komplexen Strukturmodell zur verein-

fachten Beschreibung technischer Systeme, München, Pflaum-Verlag, 2002.

[Hester] Hestermeyer, T.: Entwurf, Implementierung und Realisierung einer modellge-

stützten Regelung für ein Fahrzeug mit volltragendem aktiven Fahrwerk und

Motorpumpeneinheit, Diplomarbeit, Universität Paderborn, Mechatronik La-

boratorium Paderborn, 2000.

[Heimann] Heimann, B., Gerth, W., Popp, K: Mechatronik, Wien: Carl Hanser Verlag,

1998.

[Heitzer] Heitzer, H.-D.: Entwicklung eines fehlertoleranten Steer-by-Wire-Lenksy-

stems, 11. Aachener Kolloquium, Fahrzeug- und Motorentechnik, Aachen,

2002.

[Honekamp 97] Honekamp, U., Naumann, R., Stolpe, R., Lückel, J.: Structuring Approach for

Complex Mechatronic Systems, Proceedings of the 30th ISATA Conference

on Mechatronics, Florence, 1997.

[Honekamp 98] Honekamp, U.: Ipanema - Verteilte Echtzeit-Informationsverarbeitung in me-

chatronischen Systemen. VDI-Fortschrittberichte, Reihe 20, Nr. 267, Düssel-

dorf: VDI-Verlag, 1998.

[Isermann] Isermann, R.: Identifikation dynamischer Systeme, Band I und Band II, 2.

Auflage, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1992.

[Isidori] Isidori, A.: Nonlinear Control Systems. 2. Auflage, Berlin/New York: Sprin-

ger-Verlag, 1989.

[Jäker] Jäker, K.-P.: Digitale Steuerung und Regelung, Manuskript zur Vorlesung an

der Universität Paderborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn,WS 1996/

97.

[Jorden] Jorden, W.: Konstruktionssystematik, Manuskript zur Vorlesung an der Uni-

versität Paderborn, SS 1996.

[Jurr] Jurr, R., Behnsen, St., Bruns, H., Held, G., Hochgrebe, M., Strassberger, M.,

Zieglmeier, F.: Das aktive Wank-Stabilisierungssystem Dynamic Drive, ATZ/

MTZ Sonderausgabe BMW 7er, 2001.

[Kasper] Kasper, R., Lückel, J., Jäker, K.-P., Schröer, J.: CACE-Tool for multi-input,

multi-output systems using a new vector optimization method. Int. J. Control

51, 1990, S 963-993.

166 Kapitel 8

[Kelly] Kelly, L. G.: Handbook of Numerical Methods and Applications, Wesley Pub.

Co. Inc., 1967.

[Kett] Kett, R.: Ein Plus für DSH. Projektierung und Simulation. Ölhydraulik und

Pneumatik 37, 6 (1993), S. 517-523.

[Kleist] Kleist, A.: Comparison of Valve-Driven Hydraulic Systems and new Displa-

cement Controlled Systems in Passenger Cars, 3. Internationales Fluidtechni-

sche Kolloquium, Aachen, 2002, S. 455-464.

[Koch] Koch, T., Harchenko, J.: ModulX - Das Zusammenspiel von Systemdynamik

und Konstruktion am Beispiel einer vollaktiven Radaufhängung. 37. Rege-

lungstechnisches Kolloquium, Boppard, 2003.

[Kreisselmeier] Kreisselmeier, R., Steinhauser, R.: Control Design by Optimizing a Vector

Performance Index, IFAC Symposium on CADCS, Zürich, 1979, S. 113-117.

[Ludyk] Ludyk, G.: CAE von Dynamischen Systemen, Berlin/Heidelberg/New York:

Springer-Verlag, 1990.

[Lückel] Lückel, J.: Mehrgrößenregelung, Manuskript zur Vorlesung an der Universität

Paderborn, WS 1996/97.

[Lückel 92] Lückel, J.: The Concept of Mechatronic Function Modules Applied to Com-

pound Active Suspension Systems, Vortrag beim Symposium: Research Issu-

es in Automotive Integrated Chassis Control Systems, International

Symposium for Vehicle System Dynamic, Herbertov, CSFR, 1992.

[Lückel 97] Lückel, J.: Ein Entwurfskonzept für mechatronische Systeme, Universität Pa-

derborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 1997.

[Lückel 01] Lückel, J., Hestermeyer, Th., Liu-Henke, X.: Generalization of Cascade Prin-

ciple in View of a Structured Form of Mechatronic Systems, IEEE/ASME In-

ternational Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Como, Italy,

2001.

[Lückel1 02] Lückel, J., Ettingshausen, C., Hestermeyer, T., Schlautmann, P.: Neue Bahn-

technik Paderborn - Eine Anwendung der verallgemeinerten Kaskade, Inno-

vative Antriebssysteme - Erstes Internationales Symposium für Mechatronik,

(ISOM´02), Chemnitz, 2002.

[Lückel2 02] Lückel, J.: Mechatronik: Eine Einführung zur Vorlesung: Grundlagen der Re-

gelungstechnik. Vorlesungsunterlagen, Universität Paderborn, Mechatronik

Laboratorium Paderborn, 2002.

Literatur 167

[Maple] University of Waterloo: Maple Reference Manual, Waterloo, Ontario, 1988.

[MeScope] Vibrant Technology: ME'scope Handbook, Jamestown, CA, 1998.

[Matlab] The Math Works Inc.: Matlab, Natick, MA, 1992.

[MuPAD] MuPAD User’s Manual V 1.2.2. Multi-Processing Algebra Data Tool, Pader-

born: Wiley, 1999.

[Münch] Münch, E.: Fortentwicklung und Realisierung eines Verfahrens zur gleichzei-

tigen Optimierung mehrerer Zielgrößen, Studienarbeit, Universität Pader-

born, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 2001.

[Naumann] Naumann, R.: Modellierung und Verarbeitung vernetzter intelligenter mecha-

tronischer Systeme, VDI-Fortschrittbeirchte, Reihe 20, Nr. 318, Düsseldorf:

VDI-Verlag, 2000.

[Natke] Natke, G.: Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen- und Modalana-

lyse, 2. Auflage, Braunschweig: Vieweg, 1988.

[Nyenhuis 97] Nyenhuis, M.: Entwurf und Realisierung eines Modalanalysewerkzeugs zur

Schwingungsuntersuchung mechatronischer Systeme und Integration in eine

bestehende Meßhardware und -software, Diplomarbeit, Universität Pader-

born, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 1997.

[Nyenhuis1 98] Nyenhuis, M., Jäker, K.-P.: Modellidentifizierung eines HP-Federbeins, Uni-

versität Paderborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 1998.

[Nyenhuis2 98] Nyenhuis, M., Robrecht, M.: Entwicklung und Integration eines Softwarepa-

kets zur Dynamikuntersuchung von Feinwerktechnischen Systemen, Virtuel-

le Instrumente in der Praxis, München, Hüthig, 1998, S. 11-20.

[Nyenhuis 99] Nyenhuis, M., Jäker, K.-P.: Ein Entwicklungswerkzeug zur rechnergestützten

Auslegung von Dämpfersystemen, Interner Bericht, Universität Paderborn,

Mechatronik Laboratorium Paderborn, 1999.

[Nyenhuis 02] Nyenhuis, M., Rustemeier, C., Dierkes, U.: Verteilter strukturierter Entwurf

mechatronischer Systeme am Beispiel einer Steer-by-Wire-Lenkung, Essen,

Haus der Technik, Fahrzeugschwingungen, Essen 2002.

[Odenthal] Odenthal, D., Bünte, T., Heitzer, H.-D., Eicker, C.: Übertragung des Lenkge-

fühls einer Servo-Lenkung auf Steer-by-Wire. at - Automatisierungstechnik

51, 2003.

[Pahl] Pahl, G., Beitz, W.: Konstruktionslehre - Methoden und Anwendung, 3. Auf-

lage, Berlin: Springer-Verlag, 1993.

168 Kapitel 8

[Patent MPE1] Jäker, K.-P., Schulte-Kellinghaus, G., Becker, M.: Flügelzellenpumpe/-motor

ohne definierte Saug-/Druckseite für den 4-Quadrantenbetrieb, Deutsches Pa-

tent- und Markenamt, Aktenzeichen 19840791.2, 2000.

[Patent MPE2] Jäker, K.-P., Schulte-Kellinghaus, G., Becker, M., Nyenhuis, M.: Elektrohy-

draulischer Aktor auf Basis einer reversierbaren Flügelzellenpumpe mit un-

terlagerter Druckregelung, Deutsches Patent- und Markenamt, Aktenzeichen

10130597.4, 2001.

[Patent AF] Lückel, J., Jäker, K.-P., Nyenhuis, M., Harchenko, J., Koch, T., Hartmann, A.,

Müller, A.: Elektrohydraulisches aktives Federungssystem auf der Basis einer

reversierbaren Flügelzellenpumpe mit unterlagerter Druckregelung, Deut-

sches Patent- und Markenamt, Aktenzeichen 10151580.4, 2001.

[Patent Lenk] Nyenhuis, M., Dierkes, U.: Steuervorrichtung für einen Kraftverstärker mit

adaptiver Regelung, Deutsches Patent- und Markenamt, Aktenzeichen

10209610.4, 2002.

[Potter] Potter, R., Adock, J.: A Frequency Domain Curve Fitting Algorithm with Im-

proved Accuracy, 3rd International Modal Analysis Conference, Orlando, FL,

1985, S. 541-547.

[Reimpell 84] Reimpell, J.: Fahrwerktechnik: Lenkung, Würzburg: Vogel-Buchverlag,

1984.

[Reimpell 89] Reimpell, J.: Fahrwerktechnik: Fahrzeugmechanik, 1. Auflage, Würzburg:

Vogel-Buchverlag, 1989.

[Richard 82] Richardson, M., Formenti, D.: Parameter estimation from frequency response

measurements using rational fraction polynomials, 1st IMAC Conference,

Orlando, FL, 1982.

[Richard 85] Richardson, M., Formenti, D.: Global Curve Fitting of Frequency Response

Measurements using the Rational Fraction Polynomial Method, 3rd IMAC

Conference, Orlando, FL, 1985.

[Richard 86] Richardson, M., Formenti, D.: Global Frequency & Damping Estimates from

Frequency Response Measurements, 4rd IMAC Conference, Los Angeles,

CA, 1986.

[Rivlin] Rivlin, J.: Chebyshev Polynomials, From Approximation Theory to Algebra

and Number Theory, 2. Auflage, New York: John Wiley & Sons, Inc.

Literatur 169

[Ruste] Rustemeier, C.: Modellgestützte Analyse, Identifizierung und Reglersynthese

für die Subsysteme einer Steer-by-Wire-Lenkung mit anschließender Reali-

sierung, Universität Paderborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 2001.

[Ruste02] Rustemeier, C., Nyenhuis, M.: Abschlussbericht zur Untersuchung einer elek-

tromechanischen Lenkung, Interner Bericht, Universität Paderborn, Mecha-

tronik Laboratorium Paderborn, 2002.

[Rutz] Rutz, R.: Prozeßbasierte Entwurfswerkzeuge für mechatronische Systeme

und Anwendungen in der Fahrwerksregelung, Universität Paderborn, Mecha-

tronik Laboratorium Paderborn, 1998.

[Schiehlen] Schiehlen, W.: Multibody Systems Handbook, Berlin/Heidelberg: Springer-

Verlag, 1990.

[Streiter] Streiter, R.: Entwicklung und Realisierung eines analytischen Regelkonzeptes

für eine aktive Federung, ISS-Fahrzeugtechnik, Technische Universität Ber-

lin, 1995.

[Schwarz] Schwarz, R., Rieth, P.: Global Chassis Control – Systemvernetzung im Fahr-

werk, at - Automatisierungstechnik 51, 2003.

[Tatje] Tatje, J.: Simulation und Entwurf einer aktiven Fahrzeugfederung mit ent-

sprechenden Regelungsstrategien unter Berücksichtigung des Fahrkomforts,

der Fahrsicherheit und des Leistungsbedarfs, Diplomarbeit, Universität Pa-

derborn, Mechatronik Laboratorium Paderborn, 2001.

[Toepper] Toepper, S.: Die mechatronische Entwicklung des Parallelroboters Triplanar,

VDI-Fortschrittsberichte, Reihe 8, Nr. 966, Düsseldorf: VDI-Verlag, 2002.

[Tüv-Süd] TÜV Süddeutschland Automotive: Elektrische Lenkanlagen, www.tuev-su-

ed.de//auto_mot/aktuell/fnbrzxfiaogk.html, 2001.

[Wältermann] Wältermann, P.: Der serielle Hybridantrieb; Vom rechnergestützten Entwurf

bis zur Hardware-in-the-Loop-Realisierung, VDI-Fortschrittsberichte, Reihe

12, Nr. 447, Düsseldorf: VDI-Verlag, 2000.

[Wielen] Wielenberg, A.: Mechatronischer Entwurf einer SbW-Lenkung unter beson-

derer Berücksichtigung der modularen und der hierachischen Systemarchi-

tektur, Studienarbeit, Universität Paderborn, Mechatronik Laboratorium

Paderborn, 2001.

[Zanten] van Zanten, A.: Zusammenspiel Fahrwerk und ESP, Haus der Technik-Ta-

gung Fahrwerk, Osnabrück, 2001.

170 Kapitel 8

[Zhang] Zhang, R.: Identifikation physikalischer Systemparameter nichtlinearer kon-

tinuierlicher Mehrgrößensysteme, Düsseldorf: VDI-Verlag, 1989.

Literatur 171