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Suite I - Die StrukturGebende

Teil 2: Essays 6-12

Geordnetes Paar. (p, q). PaarAxiom I. PaarAxiom II.

Bin¨

ar-Cartesisches Produkt. x×y. Bin¨

ar-Cartesisches

Axiom. Identit¨

atsSatz Geordnete Paare. U × U.

Definitions-Bereich. dom x. Bild-Bereich. ran x.

dom ran Axiom. x(nicht-)injektiv. Bild von Eunter x.x[E].

(Keine) Relation (in x). Relation invers x−1. Urbild von E

unter x.x−1[E].

Andreas Unterreiter

13. September 2011

2MENGENLEHRE #6

Geordnetes Paar. (p, q).

PaarAxiom I.PaarAxiom II.

Bin¨

ar-Cartesisches Produkt.x×y.

Bin¨

ar-Cartesisches Axiom.

Identit¨

atsSatz Geordnete Paare.IGP.

U × U.

Ersterstellung: 11/09/05 Letzte ¨

Anderung: 10/04/11

#6 MENGENLEHRE 3

6-1. Es werden geordnete Paare in das LebensWerk eingef¨

uhrt, indem erst-

malig eine Zeichenkette von der Form “ (p, q)” auftritt, in der, von links nach

rechts gelesen, erst eine linke runde Klammer, dann eine KlassenVariable - sp¨

ater

auch ein KlassenTerm oder ein Parameter -, dann ein Komma, dann eine wei-

tere KlassenVariable - sp¨

ater auch ein KlassenTerm oder ein Parameter - und

dann eine rechte runde Klammer erscheint. Derlei Zeichenketten gelten hiermit

als zul¨

assiger Bestandteil der Essays, das heißt, aus h¨

ochstens zwei KlassenVa-

riablen oder KlassenTermen oder Parametern wird auf die angegebene Weise, die

durchaus ¨

ahnlich zu der Konstruktion von KlassenTermen ist, eine neue Klasse -

siehe PaarAxiom I - kreiert.

Klarer Weise sind in der Literatur auch mengentheoretische Definitionen geord-

neter Paare zu finden. Auf derlei Konstruktionen wird in den Essays auch aus

Zeit- und Aufwand-Ersparnisgr¨

unden verzichtet.

Statt dessen werden geordnete Paare eben als Zeichenkette eingef¨

uhrt und der

Umgang mit geordneten Paaren wird via PaarAxiom I und PaarAxiom II

regelmentiert:

6-1(Definition)

“Cgeordnetes Paar von pund q” genau dann, wenn gilt:

C= (p, q).

4MENGENLEHRE #6

PaarAxiom I. Geordnete Paare sind via a) stets Klassen.

Geordnete Paare sind via b) genau dann Mengen, wenn die beteiligten Klassen

Mengen sind. In b) von PaarAxiom I wird somit auch gesagt, dass jedes geord-

nete Paar von Klassen - als Menge - eine Klasse ist. Dass via c) kein geordnetes

Paar gleich der leeren Menge ist, ist eine technische, doch wichtige Annahme. In

def) wird gesagt, dass sich die “ allgemeine Ersetzungsregel” - wonach in einem

Term oder einer Aussage stets Gleiches durch Gleiches ersetzt werden kann - auch

auf geordnete Paare ausdehnt. Vor allem d), wo es um simultanes Gleichsein geht,

k¨

urzt im Folgenden Einiges ab.

Die Umkehrung von Aussage d) wird unter der zus¨

atzlichen Voraussetzung, dass

es sich bei p, q, w, v um Mengen handelt, in PaarAxiom II in die Essays ein-

gef¨

uhrt.

Dar¨

uber hinausgehende Aussagen ¨

uber Konsequenzen aus der Gleichheit geord-

neter Paare werden bis auf Weiteres nicht getroffen. In PaarAxiom I wird nichts

uber geordnete Paare, in denen mindestens eine Unmenge auftritt, gesagt. Gem¨

aß

ab) sind derartige Klassen Unmengen. Ein m¨

ogliches klassentheoretisches Modell

w¨

are es, alle geordnete Paare, in denen mindestens eine Unmenge auftritt gleich

dem Universum Uzu setzen:

PaarAxiom I

a) ∀α, β : (∃Ω : Ω = (α, β)).

b) “(p, q)Menge” genau dann, wenn “ pMenge” und “ qMenge” .

c) ∀α, β : 0 6= (α, β).

d) Aus “ p=w” und “ q=v” folgt “ (p, q) = (w, v)” .

e) Aus “ p=w” folgt “ (p, q) = (w, q)” .

f) Aus “ q=v” folgt “ (p, q) = (p, v)” .

#6 MENGENLEHRE 5

6-2. Da via PaarAxiom I fest gelegt ist, dass es sich bei geordneten Paaren um

Klassen handelt, kann auf die “ Reflexivit¨

at” der Gleichheit von Klassen zur¨

uck

gegriffen werden und unter Einbeziehung von 6-1(Def) folgen in wenig ¨

uberra-

schender Weise Aussage ab). Aussagen cd) sind einfache Folgerungen aus Paar-

Axiom I b):

6-2(Satz)

a) (p, q)geordnetes Paar von pund q.

b) Aus “ Cgeordnetes Paar von pund q”

und “ Dgeordnetes Paar von pund q”

folgt “ C=D” .

c) Aus “ pUnmenge” folgt “ (p, q)Unmenge” .

d) Aus “ qUnmenge” folgt “ (p, q)Unmenge” .

Beweis 6-2 a)

Aus “ (p, q) = (p, q)”

folgt via 6-1(Def): (p, q) geordnetes Paar von pund q.

b) VS gleich (Cgeordnetes Paar von pund q)

∧(Dgeordnetes Paar von pund q).

1.1: Aus →)“Cgeordnetes Paar von pund q . . . ”

folgt via 6-1(Def):C= (p, q).

1.2: Aus →)“...Dgeordnetes Paar von pund q”

folgt via 6-1(Def):D= (p, q).

2: Aus 1.1“C= (p, q) ” und

aus 1.2“D= (p, q) ”

folgt: C=D.

6MENGENLEHRE #6

Beweis 6-2 c) VS gleich pUnmenge.

1: Es gilt: ((p, q) Menge) ∨((p, q) Unmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall (p, q) Menge.

2: Aus 1.1.Fall“(p, q) Menge”

folgt via PaarAxiom I:pMenge.

3: Es gilt 2“pMenge ” .

Es gilt VS gleich “ pUnmenge ” .

Ex falso quodlibet folgt: (p, q) Unmenge.

1.2.Fall (p, q) Unmenge.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (p, q) Unmenge.

d) VS gleich qUnmenge.

1: Es gilt: ((p, q) Menge) ∨((p, q) Unmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall (p, q) Menge.

2: Aus 1.1.Fall“(p, q) Menge”

folgt via PaarAxiom I:qMenge.

3: Es gilt 2“qMenge ” .

Es gilt VS gleich “ qUnmenge ” .

Ex falso quodlibet folgt: (p, q) Unmenge.

1.2.Fall (p, q) Unmenge.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (p, q) Unmenge.

#6 MENGENLEHRE 7

PaarAxiom II. Die erwartete Regel “ geordnete Paare sind genau dann gleich,

wenn sie koordinatenweise gleich sind” wird nun in der interessanteren Richtung -

aus der Gleichheit der geordneten Paare folgt unter Zu-Grunde-Legung von Men-

gen die Gleichheit der involvierten Mengen - in die Essays eingef¨

uhrt. Die weniger

interessante Richtung ist die durch PaarAxiom I verf¨

ugbare ErsetzungsRegel.

In PaarAxiom II wird nichts dar¨

uber ausgesagt, was aus der Aussage “ (p, q) =

(w, v)” folgt, wenn mindestens eine der Klassen p, q, w, v eine Unmenge ist.

Wie in 6-9 gezeigt wird, k¨

onnen die Voraussetzungen von PaarAxiom II da-

hingehend abgeschw¨

acht werden, dass nur die “ Mengen-Eigenschaft” von wund

vgefordert wird:

PaarAxiom II

Es gelte:

→)(p, q) = (w, v).

→)pMenge.

→)qMenge.

→)uMenge.

→)vMenge.

Dann folgt “ p=w” und “ q=v” .

8MENGENLEHRE #6

6-3. Das bin¨

ar-cartesische Produkt von xund ybesteht genau aus jenen

geordneten Paaren, deren “ erste Koordinate” aus xund deren “ zweiten Koordi-

nate” aus yist. Die Definition des bin¨

aren, cartesischen Produktes kommt ohne

sprachlichen Bezug zu “ Koordinaten” eines geordneten Paares aus. Somit kann

bis auf Weiteres auf eine Definition der “ ersten” und “ zweiten” Koordinate eines

geordneten Paares verzichtet werden:

6-3(Definition)

1) x×y

=6.0(x, y) = {(λ, µ) : (λ∈x)∧(µ∈y)}

={ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ)))}.

2) “Cbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y”

genau dann, wenn gilt:

C=x×y.

#6 MENGENLEHRE 9

6-4. Da es sich bei dem neu eingef¨

uhrten Objekt - hier: das bin¨

ar-cartesische

Produkt von xund y- entsprechend der Konvention der Essays um eine Klasse

handelt, kann n¨

uchtern die folgende Aussage zur Kenntnis genommen werden:

6-4(Satz)

a) x×ybin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y.

b) Aus “ Cbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y”

und “ Dbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y”

folgt “ C=D” .

Beweis 6-4 a)

Aus “ x×y=x×y”

folgt via 6-3(Def):x×ybin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y.

b) VS gleich (Cbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y)

∧(Dbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y).

1.1: Aus →)“Cbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y . . . ”

folgt via 6-1(Def):C=x×y.

1.2: Aus →)“...Dbin¨

ar-cartesisches Produkt von xund y”

folgt via 6-1(Def):D=x×y.

2: Aus 1.1“C=x×y” und

aus 1.2“D=x×y”

folgt: C=D.

10 MENGENLEHRE #6

6-5. Es folgt ein Kriterium f¨

ur das “ Element-Sein” einer Klasse in einem bin¨

ar-

cartesischen Produkt:

6-5(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

axuivalent:

i) w∈x×y.

ii) ∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(w= (Ω,Ψ)).

Beweis 6-5 i) ⇒ii) VS gleich w∈x×y.

1: Aus VS gleich “ w∈x×y” und

aus “ x×y={ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ)))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ)))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ)))}”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(w= (Ω,Ψ)).

ii) ⇒i) VS gleich ∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(w= (Ω,Ψ)).

1.1: Aus VS gleich “ ...Ω∈x . . . ”

folgt via ElementAxiom: Ω Menge.

1.2: Aus VS gleich “ ...Ψ∈y . . . ”

folgt via ElementAxiom: Ψ Menge.

2: Aus 1.1“ Ω Menge ” und

aus 1.2“ Ψ Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω,Ψ) Menge.

3: Aus VS gleich “ . . . w = (Ω,Ψ) ” und

aus 2“ (Ω,Ψ) Menge ”

folgt: wMenge.

4: Aus VS gleich “ ∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(w= (Ω,Ψ)) ” und

aus 2“wMenge ”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ))}.

5: aus 4“w∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ))}” und

aus “ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(ω= (Ω,Ψ))}=x×y”

folgt: w∈x×y.

#6 MENGENLEHRE 11

6-6. Die Aussagen “ (p, q)∈x×y” und “ (p∈x)∧(q∈y)” sind ¨

aquiyalent:

6-6(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquiyalent:

i) (p, q)∈x×y.

ii) “p∈x” und “ q∈y” .

Beweis 6-6 i) ⇒ii) VS gleich (p, q)∈x×y.

1.1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x×y”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈x×y”

folgt via 6-5:∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧((p, q) = (Ω,Ψ)).

2.1: Aus 1.1“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

2.2: Aus 1.2“...Ω∈x . . . ”

folgt via ElementAxiom: Ω Menge.

2.3: Aus 1.2“...Ψ∈y . . . ”

folgt via ElementAxiom: Ψ Menge.

3: Aus 1.2“...(p, q) = (Ω,Ψ) ” ,

aus 2.1“pMenge. . . ” ,

aus 2“. . . q Menge ” ,

aus 2.2“ Ω Menge ” und

aus 2.3“ Ψ Menge ”

folgt via PaarAxiom II: (p= Ω) ∧(q= Ψ).

4.1: Aus 3“p= Ω ...” und

aus 1.2“...Ω∈x . . . ”

folgt: p∈x.

4.2: Aus 3“...q= Ψ ” und

aus 1.2“...Ψ∈y . . . ”

folgt: q∈y.

5: Aus 4.1 und

aus 4.2

folgt: (p∈x)∧(q∈y).

12 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-6 ii) ⇒i) VS gleich (p∈x)∧(q∈y).

1.1: Aus VS gleich “ p∈x . . . ”

folgt: ∃p:p∈x.

1.2: Aus VS gleich “ . . . q ∈y”

folgt: ∃q:q∈y.

2: Aus 1.1“∃p:p∈x” ,

aus 1.2“∃q:q∈y” und

aus “ (p, q) = (p, q)”

folgt: ∃p, q : (p∈x)∧(q∈y)∧((p, q) = (p, q)).

3: Aus 2“∃p, q : (p∈x)∧(q∈y)∧((p, q) = (p, q)) ”

folgt via 6-5: (p, q)∈x×y.

#6 MENGENLEHRE 13

6-7. Es folgen vier Aussagen ¨

uber Inklusions-Eigenschaften bin¨

ar-cartesischer

Produkte. Die Beweis-Reihenfolge ist d) -a) -b) -c):

6-7(Satz)

a) Aus “ x⊆z” folgt “ x×y⊆z×y” .

b) Aus “ y⊆w” folgt “ x×y⊆x×w” .

c) Aus “ x⊆z” folgt “ x×x⊆z×z” .

d) Aus “ x⊆z” und “ y⊆w” folgt “ x×y⊆z×w” .

Beweis 6-7 d) VS gleich (x⊆z)∧(y⊆w).

Thema1 α∈x×y.

2: Aus Thema1“α∈x×y”

folgt via 6-5:

∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y)∧(α= (Ω,Ψ)).

3.1: Aus 2“...Ω∈x . . . ” und

aus VS gleich “ x⊆z . . .”

folgt via 0-4: Ω ∈z.

3.2: Aus 2“...Ψ∈y . . . ” und

aus VS gleich “ . . . y ⊆w”

folgt via 0-4: Ψ ∈w.

4: Aus 3.1“ Ω ∈z” und

aus 3.2“ Ψ ∈w”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈z×w.

5: Aus 2“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 4“ (Ω,Ψ) ∈z×w”

folgt: α∈z×w.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x×y)⇒(α∈z×w).

Konsezuenz via 0-2(Def):x×y⊆z×w.

14 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-7 a) VS gleich x⊆z.

1: Via 0-6 gilt: y⊆y.

2: Aus VS gleich “ x⊆z” und

aus 1“y⊆y”

folgt via des bereits bewiesenen d):x×y⊆z×y.

b) VS gleich y⊆w.

1: Via 0-6 gilt: x⊆x.

2: Aus 1“x⊆x” und

aus VS gleich “ y⊆w”

folgt via des bereits bewiesenen d):x×y⊆x×w.

c) VS gleich x⊆z.

Aus VS gleich “ x⊆z” und

aus VS gleich “ x⊆z”

folgt via des bereits bewiesenen d):x×x⊆z×z.

#6 MENGENLEHRE 15

Bin¨

arCartesisches Axiom. Zum Abschluss der allgemeinen, einf¨

uhrenden Be-

trachtungen bin¨

ar-cartesischer Produkte wird axiomatisch fest gelegt, dass das

bin¨

ar-cartesische Produkt zweier Mengen eine Menge ist:

Bin¨

ar-Cartesisches Axiom

Aus “ xMenge” und “ yMenge” folgt “ x×yMenge” .

16 MENGENLEHRE #6

6-8. In abc) sind Aussagen ¨

uber das “ Element-Sein” in U×U zu finden. Aussagen

b) und c) ergeben ein Kriterium f¨

ur “ (p, q)∈ U × U” . Aussagen def) liefern ein

Kriterium f¨

ur “ (p, q)/∈ U × U” :

6-8(Satz)

a) Aus “ w∈ U × U” folgt

“∃Ω,Ψ : (Ω Menge)∧(Ψ Menge)∧(w= (Ω,Ψ))” .

b) Aus “ pMenge” und “ qMenge” folgt “ (p, q)∈ U × U” .

c) Aus “ (p, q)∈ U × U” folgt “ pMenge” und “ qMenge” .

d) Aus “ pUnmenge” folgt “ (p, q)/∈ U × U” .

e) Aus “ qUnmenge” folgt “ (p, q)/∈ U × U” .

f) Aus “ (p, q)/∈ U × U” folgt “ pUnmenge” oder “ qUnmenge” .

Beweis 6-8 a) VS gleich w∈ U × U.

1: Aus VS gleich “ w∈ U × U ”

folgt via 6-5:∃Ω,Ψ : (Ω ∈ U)∧(Ψ ∈ U)∧(w= (Ω,Ψ)).

2.1: Aus 1“...Ω∈ U ...”

folgt via ElementAxiom: Ω Menge.

2.2: Aus 1“...Ψ∈ U ...”

folgt via ElementAxiom: Ψ Menge.

3: Aus 1“∃Ω,Ψ...” ,

aus 2.1“ Ω Menge ” ,

aus 2.2“ Ψ Menge ” und

aus 1“. . . w = (Ω,Ψ) ”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(w= (Ω,Ψ)).

#6 MENGENLEHRE 17

Beweis 6-8 b) VS gleich (pMenge) ∧(qMenge).

1.1: Aus VS gleich “ pMenge. . . ”

folgt via 0-19:p∈ U.

1.2: Aus VS gleich “ . . . q Menge ”

folgt via 0-19:q∈ U.

2: Aus 1.1“p∈ U ” und

aus 1.2“q∈ U ”

folgt via 6-6: (p, q)∈ U × U.

c) VS gleich (p, q)∈ U × U.

1: Aus VS gleich “ (p, q)∈ U × U ”

folgt via 6-6: (p∈ U)∧(q∈ U).

2.1: Aus 1“p∈ U ...”

folgt via ElementAxiom:pMenge.

2.2: Aus 1“...q∈ U ”

folgt via ElementAxiom:qMenge.

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: (pMenge) ∧(qMenge).

d) VS gleich pUnmenge.

1: Aus VS gleich “ pUnmenge ”

folgt via 6-2: (p, q) Unmenge.

2: Aus 1“ (p, q) Unmenge ”

folgt via 0-1: (p, q)/∈ U × U.

e) VS gleich qUnmenge.

1: Aus VS gleich “ qUnmenge ”

folgt via 6-2: (p, q) Unmenge.

2: Aus 1“ (p, q) Unmenge ”

folgt via 0-1: (p, q)/∈ U × U.

18 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-8 f) VS gleich (p, q)/∈ U × U.

1: Es gilt: (pMenge) ∧(qMenge)

∨

(pUnmenge) ∨(qUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall (pMenge) ∧(qMenge).

2: Aus 1.1.Fall“(pMenge) ∧(qMenge)”

folgt via des bereits bewiesenen b): (p, q)∈ U × U.

3: Es gilt 2“ (p, q)∈ U × U ” .

Es gilt VS gleich “ (p, q)/∈ U × U ” .

Ex falso quodlibet folgt: (pUnmenge) ∨(qUnmenge).

1.2.Fall (pUnmenge) ∨(qUnmenge).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(pUnmenge) ∨(qUnmenge).

#6 MENGENLEHRE 19

6-9. Im IGP: Identit¨

atsSatz Geordnete Paare werden die Voraussetzungen

von PaarAxiom II abgeschw¨

acht.

In 6-9 wird erstmalig in einem Satz der Essays die Notation von “ abgesetzten,

alternativen Voraussetzungen” - hier sind es die Voraussetzungen “ (p, q) Men-

ge” oder “ (w, v) Menge” oder “ p, q Mengen” oder “ w, v Mengen” - verwendet.

Hierbei handelt es sich um eine Notation, mit deren Hilfe Wiederholungen von

S¨

atzen “ ¨

ahnlicher Bauart” vermieden werden. Die Beweis-Reihenfolge ist c) -d)

-e) -f) -a) -b):

6-9(Satz) (IGP: Identit¨

atsSatz Geordnete Paare)

Es gelte:

→)(p, q) = (w, v).

→)

(p, q)Menge.

oder

(w, v)Menge.

oder

“pMenge” und “ qMenge” .

oder

“wMenge” und “ vMenge” .

Dann folgt:

a) p=w.

b) q=v.

c) pMenge.

d) qMenge.

e) wMenge.

f) vMenge.

20 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-9

1.1: Nach →)“ ” gilt: (p, q) Menge

∨

(w, v) Menge

∨

(pMenge) ∧(qMenge)

∨

(wMenge) ∧(vMenge).

Fallunterscheidung

1.1.1.Fall (p, q) Menge

2: Aus 1.1.1.Fall“(p, q) Menge” und

aus →)“ (p, q) = (w, v) ”

folgt: (w, v) Menge.

3: Aus 1.1.1.Fall“(p, q) Menge” und

aus 2

folgt: ((p, q) Menge) ∧((w, v) Menge).

1.1.2.Fall (w, v) Menge

2: Aus →)“ (p, q) = (w, v) ” und

aus 1.1.2.Fall“(w, v) Menge”

folgt: (p, q) Menge.

3: Aus 2und

aus 1.1.2.Fall“(w, v) Menge”

folgt: ((p, q) Menge) ∧((w, v) Menge).

...

#6 MENGENLEHRE 21

Beweis 6-9 ...

...

Fallunterscheidung

...

1.1.3.Fall (pMenge) ∧(qMenge)

2: Aus 1.1.3.Fall“(pMenge) ∧(qMenge)”

folgt via PaarAxiom I: (p, q) Menge.

3: Aus →)“ (p, q) = (w, v) ” und

aus 2“ (p, q) Menge ”

folgt: (w, v) Menge.

4: Aus 2“ (p, q) Menge ” und

aus 3“ (w, v Menge ”

folgt: ((p, q) Menge) ∧((w, v) Menge).

1.1.4.Fall (wMenge) ∧(vMenge)

2: Aus 1.1.4.Fall“(wMenge) ∧(vMenge)”

folgt via PaarAxiom I: (w, v) Menge.

3: Aus →)“ (p, q) = (w, v) ” und

aus 2“ (w, v) Menge ”

folgt: (p, q) Menge.

4: Aus 3“ (p, q) Menge ” und

aus 2“ (w, v) Menge ”

folgt: ((p, q) Menge) ∧((w, v) Menge).

Ende Fallunterscheidung In allen F¨

allen gilt:

A1



“ ((p, q) Menge) ∧((w, v) Menge) ”

...

22 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-9 ...

1.2: Aus A1 gleich “ (p, q) Menge. . . ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

1.3: Aus A1 gleich “ ...(w, v) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (wMenge) ∧(vMenge).

2.1: Aus →)“ (p, q) = (w, v) ” ,

aus 1.2“pMenge. . . ” ,

aus 1.2“...q Menge ” ,

aus 1.3“wMenge. . . ” und

aus 1.3“...v Menge ”

folgt via PaarAxiom II: (p=w)∧(q=v).

2.c): Aus 1.2

folgt: pMenge.

2.d): Aus 1.2

folgt: qMenge.

2.e): Aus 1.3

folgt: wMenge.

2.f): Aus 1.3

folgt: vMenge.

3.a): Aus 2.1

folgt: p=w.

3.b): Aus 2.1

folgt: q=v.

#6 MENGENLEHRE 23

6-10. Wie in 6-8 vorweggenommen, liegt der Verdacht nahe, dass es sich bei dem

nachfolgenden KlassenTerm um U × U handelt. Dass dies genau so ist, zeigt sich

in 6-11:

6-10(Definition)

6.1() = {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}

={ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(ω= (Ω,Ψ))}.

24 MENGENLEHRE #6

6-11. Der KlassenTerm 6.1() ist gleich U×U. Obwohl der Ausdruck “ 6.1() ” nicht

in 6-11 vorkommt, wird die Definition von 6.1() angegeben. Dies geschieht, um

klar zu machen, dass der in 6-11 auftretende KlassenTerm durch keine “ implizite

Definition” in die Essays eingef¨

uhrt wird, sondern, da mit einer eigenen Nummer

versehen, in einer vorangehenden Definition erstmalig fest gelegt wurde:

6-11(Satz)

U × U ={(λ, µ) : (λMenge)∧(µMenge)}.

————————————————————————————

6-10(Def) {(λ, µ) : (λMenge)∧(µMenge)}.

#6 MENGENLEHRE 25

Beweis 6-11

Thema1.1 α∈ U × U.

2.1: Aus Thema1.1“α∈ U × U ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1.1“α∈ U × U ”

folgt via 6-8:

∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Aus 2.2“∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge)

∧(α= (Ω,Ψ))” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt:

α∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(ω= (Ω,Ψ))}.

4: Aus 3“α∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge)

∧(ω= (Ω,Ψ))}” und

aus “ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge)∧(Ψ Menge)∧(ω= (Ω,Ψ))}

={(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}”

folgt: α∈ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}.

Ergo Thema1.3:∀α: (α∈ U × U)⇒(α∈ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge))}.

Konsequenz via 0-2(Def):

A1



“U × U ⊆ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}”

26 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-11 ...

Thema1.2 α∈ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}.

2: Aus Thema1.2“α∈ {(λ, µ) : (λMenge)∧(µMenge)}” und

aus “ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}

={ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(ω= (Ω,Ψ))}”

folgt:

α∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(ω= (Ω,Ψ))}.

3: aus 2“α∈ {ω: (∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge)

∧(ω= (Ω,Ψ))}”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

4: Aus 3“...Ω Menge. . . ” und

aus 3“...Ψ Menge ”

folgt via 6-8: (Ω,Ψ) ∈ U × U.

5: Aus 3“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 4“ (Ω,Ψ) ∈ U × U ”

folgt: α∈ U × U.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)})⇒(α∈ U × U).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“{(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)} ⊆ U × U ”

1.3: Aus A1 gleich “ U × U ⊆ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}” und

aus A2 gleich “ {(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)} ⊆ U × U ”

folgt via GleichheitsAxiom:

U × U ={(λ, µ) : (λMenge) ∧(µMenge)}.

#6 MENGENLEHRE 27

6-12. Es folgen f¨

unf Resultate ¨

uber U × U. Aussage e) wird im Zusammenhang

mit Relationen gebraucht:

6-12(Satz)

a) 0/∈ U × U.

b) U × U ⊆ U.

c) U × U 6=U.

d) U 6⊆ U × U.

e) x×y⊆ U × U.

Beweis 6-12 a)

1: Es gilt: (0 ∈ U × U)∨(0 /∈ U × U).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 0∈ U × U.

2: Aus 1.1.Fall“0 ∈ U × U”

folgt via 6-8:∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(0 = (Ω,Ψ)).

3: Es gilt 2“ 0 = (Ω,Ψ) ” .

Via PaarAxiom I gilt “ 0 6= (Ω,Ψ)” .

Ex falso quodlibet folgt: 0 /∈ U × U.

1.2.Fall 0/∈ U × U.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 /∈ U × U.

b) Via 0-18 gilt: U × U ⊆ U.

28 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-12 c)

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: 0 /∈ U × U.

1.2: Via 0-18 gilt: 0 ∈ U.

2: Aus 1.2“ 0 ∈ U ” und

aus 1.1“ 0 /∈ U × U ”

folgt via 0-10:U 6=U × U.

3: Aus 2

folgt: U × U 6=U.

1.1: Via des bereits bewiesenen c) gilt: U × U 6=U.

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: U × U ⊆ U.

2: Aus 1.1“U × U 6=U” und

aus 1.2“U × U ⊆ U ”

folgt via 0-10:U 6⊆ U × U.

1.1: Via 0-18 gilt: x⊆ U.

1.2: Via 0-18 gilt: y⊆ U.

2: Aus 1.1“x⊆ U ” und

aus 1.2“y⊆ U ”

folgt via 6-7:x×y⊆ U × U.

#6 MENGENLEHRE 29

6-13. Es folgen sechs Aussagen ¨

uber bin¨

ar-cartesische Produkte, in denen die

leere Menge eine Rolle spielt. Aussagen c) und d) ergeben ein Kriterium f¨

“x×y= 0” und Aussagen e) und f) ergeben ein Kriterium f¨

ur “ 0 6=x×y” .

Die BeweisReihenfolge ist a) -b) -e) -f) -c) -d):

6-13(Satz)

a) x×0 = 0.

b) 0×y= 0.

c) Aus “ x×y= 0” folgt “ x= 0” oder “ y= 0” .

d) Aus “ x= 0” oder “ y= 0” folgt “ x×y= 0” .

e) Aus “ 06=x×y” folgt “ 06=x” und “ 06=y” .

f) Aus “ 06=x” und “ 06=y” folgt “ 06=x×y” .

Beweis 6-13 a)

Thema1 α∈x×0.

2: Aus Thema1“α∈x×0 ”

folgt via 6-5:

∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈0) ∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Es gilt 2“...Ψ∈0...” .

Via 0-19 gilt “ Ψ /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈x×0.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x×0) ⇒(α /∈x×0).

Konsequenz via 0-19:x×0 = 0.

30 MENGENLEHRE #6

Beweis 6-13 b)

Thema1 α∈0×y.

2: Aus Thema1“α∈0×y”

folgt via 6-5:

∃Ω,Ψ : (Ω ∈0) ∧(Ψ ∈y)∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Es gilt 2“...Ω∈0...” .

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈0×y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈0×y)⇒(α /∈0×y).

Konsequenz via 0-19: 0 ×y= 0.

e) VS gleich 0 6=x×y.

1: Aus VS gleich “ 0 6=x×y”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈x×y.

2: Aus 1“...Ω∈x×y”

folgt via 6-5:∃Ψ,Φ : (Ψ ∈x)∧(Φ ∈y)∧(Ω = (Ψ,Φ)).

3.1: Aus 2“...Ψ∈x . . . ”

folgt via 0-20: 0 6=x.

3.2: Aus 2“...Φ∈y . . . ”

folgt via 0-20: 0 6=y.

4: Aus 3.1 und

aus 3.2

folgt: (0 6=x)∧(0 6=y).

#6 MENGENLEHRE 31

Beweis 6-13 f) VS gleich (0 6=x)∧(0 6=y).

1.1: Aus VS gleich “ 0 6=x . . . ”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈x.

1.2: Aus VS gleich “ ...06=y”

folgt via 0-20:∃Ψ:Ψ∈y.

2: Aus 1.1“...Ω∈x” und

aus 1.2“...Ψ∈y”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈x×y.

3: Aus 2“ (Ω,Ψ) ∈x×y”

folgt via 0-20: 0 6=x×y.

cd)

1.1: Via des bereits bewiesenen e) gilt: (0 6=x×y)⇒((0 6=x)∧(0 6=y)).

1.2: Via des bereits bewiesenen f) gilt: ((0 6=x)∧(0 6=y)) ⇒(0 6=x×y).

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: (0 6=x×y)⇔((0 6=x)∧(0 6=y)).

3: Aus 3

folgt: (x×y= 0) ⇔((x= 0) ∨(y= 0)).

4.c): Aus 3

folgt: (x×y= 0) ⇒((x= 0) ∨(y= 0)).

4.d): Aus 3

folgt: ((x= 0) ∨(y= 0)) ⇒(x×y= 0).

32 MENGENLEHRE #7

Definitions-Bereich.dom x.

Bild-Bereich.ran x.

dom ran Axiom.

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 07/05/11

#7 MENGENLEHRE 33

7-1. Der Definitions-Bereich von xbesteht genau aus jenen Mengen ω, f¨

ur die

es Ω gibt, so dass (ω, Ω) ∈x. In 7-2 stellt sich heraus, dass dieses Ω eine Menge

ist. Klarer Weise ist hier die Reihenfolge, in der ωund Ω im geordneten Paar

erscheinen, von Bedeutung. Die umgekehrte Reihenfolge tritt beim Bild-Bereich

von xauf, siehe 7-3(Def).

Die Abk¨

urzung “ dom x” f¨

ur den Definitions-Bereich von xerinnert an die engli-

sche Bezeichnung “ domain” f¨

ur “ Definitions-Bereich” .

Interessanter Weise wird der Definitions-Bereich f¨

ur beliebige Klassen xin die

Essays eingef¨

uhrt. Dies geschieht ungeachtet der Tatsache, dass in den meisten

vertrauten Anwendungen Definitions-Bereiche f¨

ur Relationen oder Funktionen

betrachtet werden:

7-1(Definition)

1) dom x

=7.0(x) = {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}.

2) “CDefinitions-Bereich von x” genau dann, wenn gilt:

C=dom x.

34 MENGENLEHRE #7

7-2. Klarer Weise ist “ dom x” der Definitions-Bereich von x, siehe a). In c) wird

die definierende Eigenschaft von dom xin einer kurzen, in Beweisen leicht zu

verwendenden Aussage zusammengefasst.

Gem¨

aß d) ist jede Klasse mit nicht-leerem Definitions-Bereich eine nicht-leere

Klasse. In 7-11 ist erg¨

anzend hierzu fest gestellt, dass es nicht-leere Klassen -

n¨

amlich zunmindest “ {0}” - mit leerem Definitions-Bereich gibt:

7-2(Satz)

a) dom xDefinitions-Bereich von x.

b) Aus “ CDefinitions-Bereich von x”

und “ DDefinitions-Bereich von x”

folgt “ C=D” .

c) Aus “ p∈dom x” folgt “ ∃Ω : (Ω Menge)∧((p, Ω) ∈x).

d) Aus “ 06=dom x” folgt “ 06=x” .

#7 MENGENLEHRE 35

Beweis 7-2 a)

Aus “ dom x=dom x”

folgt via 7-1(Def):dom xDefinitions-Bereich von x.

b) VS gleich (CDefinitions-Bereich von x)∧(DDefintions-Bereich von x).

1.1: Aus VS gleich “ CDefinitions-Bereich von x . . . ”

folgt via 7-1(Def):C=dom x.

1.2: Aus VS gleich “ ...DDefinitions-Bereich von x”

folgt via 7-1(Def):D=dom x.

2: Aus 1.1“C=dom x” und

aus 1.2“D=dom x”

folgt: C=D.

c) VS gleich p∈dom x.

1: Aus VS gleich “ p∈dom x” und

aus “ dom x={ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}”

folgt: p∈ {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}.

2: Aus 1“p∈ {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}”

folgt: ∃Ω : (p, Ω) ∈x.

3: Aus 2“ (p, Ω) ∈x”

folgt via ElementAxiom: (p, Ω) Menge.

4: Aus 3“ (p, Ω) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: Ω Menge.

5: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 4“ Ω Menge ” und

aus 2“...(p, Ω) ∈x”

folgt: ∃Ω : (Ω Menge) ∧((p, Ω) ∈x).

d) VS gleich 0 6=dom x.

1: Aus VS gleich “ 0 6=dom x”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈dom x.

2: Aus 1“...Ω∈dom x”

folgt via des bereits bewiesenen b):∃Ψ : (Ψ Menge) ∧((Ω,Ψ) ∈x).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x”

folgt via 0-20: 0 6=x.

36 MENGENLEHRE #7

7-3. Der Bild-Bereich von xbesteht genau aus jenen Mengen ω, f¨

ur die es

Ω gibt, so dass (Ω, ω)∈x. In 7-4 stellt sich heraus, dass dieses Ω eine Menge

ist. Klarer Weise ist hier die Reihenfolge, in der die Mengen Ω und ωim geord-

neten Paar erscheinen, von Bedeutung. Die umgekehrte Reihenfolge tritt beim

Definitions-Bereich von xauf, siehe 7-1(Def).

Die Abk¨

urzung “ ran x” f¨

ur den Bild-Bereich von xerinnert an die englische Be-

zeichnung “ range” f¨

ur “ Bild-Bereich” .

Interessanter Weise wird der Bild-Bereich f¨

ur beliebige Klassen xin die Essays ein-

gef¨

uhrt. Dies geschieht ungeachtet der Tatsache, dass in den meisten vertrauten

Anwendungen Bild-Bereiche f¨

ur Relationen oder Funktionen betrachtet werden:

7-3(Definition)

1) ran x

=7.1(x) = {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}.

2) “CBild-Bereich von x” genau dann, wenn gilt:

C=ran x.

#7 MENGENLEHRE 37

7-4. Klarer Weise ist “ ran x” der Bild-Bereich von x, siehe a). In c) wird die

definierende Eigenschaft von ran xin einer kurzen, in Beweisen leicht zu verwen-

denden Aussage zusammengefasst.

Gem¨

aß d) ist jede Klasse mit nicht-leerem Bild-Bereich eine nicht-leere Klasse.

In 7-11 ist erg¨

anzend hierzu fest gestellt, dass es nicht-leere Klassen - n¨

amlich

zunmindest “ {0}” - mit leerem Bild-Bereich gibt:

7-4(Satz)

a) ran xBild-Bereich von x.

b) Aus “ CBild-Bereich von x” und “ DBild-Bereich von x”

folgt “ C=D” .

c) Aus “ q∈ran x” folgt “ ∃Ω : (Ω Menge)∧((Ω, q)∈x)” .

d) Aus “ 06=ran x” folgt “ 06=x” .

38 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-4 a)

Aus “ ran x=ran x”

folgt via 7-3(Def):ran xBild-Bereich von x.

b) VS gleich (CBild-Bereich von x∧(DBild-Bereich von x).

1.1: Aus VS gleich “ CBild-Bereich von x . . . ”

folgt via 7-3(Def):C=ran x.

1.2: Aus VS gleich “ ...DBild-Bereich von x”

folgt via 7-3(Def):D=ran x.

2: Aus 1.1“C=ran x” und

aus 1.2“D=ran x”

folgt: C=D.

c) VS gleich q∈ran x.

1: Aus VS gleich “ q∈ran x” und

aus “ ran x={ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}”

folgt: q∈ {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}.

2: Aus 1“q∈ {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}”

folgt: ∃Ω : (Ω, q)∈x.

3: Aus 2“...(Ω, q)∈x”

folgt via ElementAxiom: (Ω, q) Menge.

4: Aus 3“ (Ω, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: Ω Menge.

5: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 4“ Ω Menge ” und

aus 2“...(Ω, q)∈x”

folgt: ∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, q)∈x).

e) VS gleich 0 6=ran x.

1: Aus VS gleich “ 0 6=ran x”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈ran x.

2: Aus 1“...Ω∈ran x”

folgt via des bereits bewiesenen b):∃Ψ : (Ψ Menge) ∧((Ψ,Ω) ∈x).

3: Aus 2“...(Ψ,Ω) ∈x”

folgt via 0-20: 0 6=x.

#7 MENGENLEHRE 39

7-5. Hier sind hinreichende Bedingungen f¨

ur das “ Element-Sein” im Definitions-

oder Bild-Bereich zu finden:

7-5(Satz)

Aus “ (p, q)∈x” folgt “ p∈dom x” und “ q∈ran x” .

Beweis 7-5

1.1: Aus →)“ (p, q)∈x”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

1.2: Aus →)“ (p, q)∈x”

folgt: ∃p: (p, q)∈x.

1.3: Aus →)“ (p, q)∈x”

folgt: ∃q: (p, q)∈x.

2: Aus 1.1“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

3.1: Aus 1.2“∃p: (p, q)∈x” und

aus 2“. . . q Menge ”

folgt: q∈ {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}.

3.2: Aus 1.3“∃q: (p, q)∈x” und

aus 2“pMenge. . . ”

folgt: p∈ {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}.

4.a): Aus 3.2“p∈ {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (ω, Ω) ∈x)}=dom x”

folgt: p∈dom x.

4.b): Aus 3.1“q∈ {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω, ω)∈x)}=ran x”

folgt: q∈ran x.

40 MENGENLEHRE #7

7-6. Via Negation folgen aus 7-5 hinreichende Bedingungen f¨

ur “ (p, q)/∈x” :

7-6(Satz)

Aus “ p /∈dom x” oder “ q /∈ran x” folgt “ (p, q)/∈x” .

Beweis 7-6

1: Via 7-5 gilt: ((p, q)∈x)⇒((p∈dom x)∧(q∈ran x)).

2: Aus 1

folgt: (¬((p∈dom x)∧(q∈ran x))) ⇒(¬((p, q)∈x)).

3: Aus 2

folgt: ((p /∈dom x)∨(q /∈ran x)) ⇒((p, q)/∈x).

#7 MENGENLEHRE 41

7-7. Aus den folgenden sechs Aussagen ist ersichtlich, dass Definitions- und Bild-

Bereich eng miteinander verwoben sind. Aussagen b) und e) ergeben ein Krite-

rium f¨

ur “ 0 6=dom x” und “ 0 6=ran x” . Aussagen c) und f) folgen aus b) und

e) via Negation und ergeben ein Kriterium f¨

ur “ dom x= 0” und “ ran x= 0” .

Die Beweis-Reihenfolge ist a) -b) -d) -e) -c) -f):

7-7(Satz)

a) Aus “ p∈dom x” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈ran x)∧((p, Ω) ∈x)” .

b) Aus “ 06=dom x” folgt “ 06=ran x” .

c) Aus “ dom x= 0” folgt “ ran x= 0” .

d) Aus “ q∈ran x” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈dom x)∧((Ω, q)∈x)” .

e) Aus “ 06=ran x” folgt “ 06=dom x” .

f) Aus “ ran x= 0” folgt “ dom x= 0” .

Beweis 7-7 a) VS gleich p∈dom x.

1: Aus VS gleich “ p∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (p, Ω) ∈x.

2: Aus 1“...(p, Ω) ∈x”

folgt via 7-5: Ω ∈ran x.

3: Aus 1“∃Ω...” ,

aus 2“ Ω ∈ran x” und

aus 1.2“...(p, Ω) ∈x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈ran x)∧((p, Ω) ∈x).

b) VS gleich 0 6=dom x.

1: Aus VS gleich “ 0 6=dom x”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈dom x.

2: Aus 1“...Ω∈dom x”

folgt via des bereits bewiesenen a):∃Ψ : (Ψ ∈ran x)∧((Ω,Ψ) ∈x).

3: Aus 2“...Ψ∈ran x . . . ”

folgt via 0-20: 0 6=ran x.

42 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-7 d) VS gleich q∈ran x.

1: Aus VS gleich “ q∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω, q)∈x.

2: Aus 1.2“...(Ω, q)∈x”

folgt via 7-5: Ω ∈dom x.

3: Aus 1.2“∃Ω...” ,

aus 2“ Ω ∈dom x” und

aus 1.2“...(Ω, q)∈x”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈dom x)∧((Ω, q)∈x).

e) VS gleich 0 6=ran x.

1: Aus VS gleich “ 0 6=ran x”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈ran x.

2: Aus 1“...Ω∈ran x”

folgt via des bereits bewiesenen d):∃Ψ : (Ψ ∈dom x)∧((Ψ,Ω) ∈x).

3: Aus 2“...Ψ∈dom x . . . ”

folgt via 0-20: 0 6=dom x.

c) VS gleich dom x= 0.

1: Es gilt: (0 6=ran x)∨(ran x= 0).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 06=ran x.

2: Aus 1.1.Fall“0 6=ran x”

folgt via des bereits bewiesenen e): 0 6=dom x.

3: Es gilt 2“ 0 6=dom x” .

Es gilt VS gleich “ dom x= 0 ” .

Ex falso quodlibet folgt: ran x= 0.

1.2.Fall ran x= 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: ran x= 0.

#7 MENGENLEHRE 43

Beweis 7-7

f) VS gleich ran x= 0.

1: Es gilt: (0 6=dom x)∨(dom x= 0).

Fallunterscheidung

1.1.Fall 06=dom x.

2: Aus 1.1.Fall“0 6=dom x”

folgt via des bereits bewiesenen b): 0 6=ran x.

3: Es gilt 2“ 0 6=ran x” .

Es gilt VS gleich “ ran x= 0 ” .

Ex falso quodlibet folgt: dom x= 0.

1.2.Fall dom x= 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: dom x= 0.

44 MENGENLEHRE #7

7-8. Es folgen zwei Aussagen ¨

uber x∩(U × U) und dom x,ran x:

7-8(Satz)

a) x∩(U × U)⊆(dom x)×(ran x).

b) Aus “ dom xMenge” und “ ran xMenge”

folgt “ x∩(U × U)Menge” .

#7 MENGENLEHRE 45

Beweis 7-8 a)

Thema1 α∈x∩(U × U).

2: Aus Thema1“α∈x∩(U × U) ”

folgt via 2-2: (α∈x)∧(α∈ U × U).

3: Aus 2“. . . α ∈ U × U ”

folgt via 6-8:

∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

4: Aus 3“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 2“α∈x . . . ”

folgt: (Ω,Ψ) ∈x.

5: Aus 4“ (Ω,Ψ) ∈x”

folgt via 7-5: (Ω ∈dom x)∧(Ψ ∈ran x).

6: Aus 5“ Ω ∈dom x . . . ” und

aus 5“...Ψ∈ran x”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈(dom x)×(ran x).

7: Aus 3“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 6“ (Ω,Ψ) ∈(dom x)×(ran x) ”

folgt: α∈(dom x)×(ran x).

Ergo Thema1:∀α: (α∈x∩(U × U)) ⇒(α∈(dom x)×(ran x)).

Konsequenz via 0-2(Def):x∩(U × U)⊆(dom x)×(ran x).

1.1: Aus →)“dom xist ein Menge ” und

aus →)“ran xMenge ”

folgt via Bin¨

ar-Cartesisches Axiom: (dom x)×(ran x) Menge.

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: x∩(U × U)⊆(dom x)×(ran x).

2: Aus 1.2“x∩(U × U)⊆(dom x)×(ran x) ” und

aus 1.1“ (dom x)×(ran x) Menge ”

folgt via TeilMengenAxiom:x∩(U × U) Menge.

46 MENGENLEHRE #7

dom ran Axiom. Intuitiv betrachtet haben weder dom xnoch ran xmehr Elemente

als x. Also erscheint das dom ran Axiom recht kanonisch:

dom ran Axiom

Aus “ xMenge” folgt “ dom xMenge” und “ ran xMenge” .

#7 MENGENLEHRE 47

7-9. Vier unmittelbare Folgerungen aus dem dom ran Axiom. Klarer Weise ist

b) ein Spezialfall von a) und d) ist ein Spezialfall von c). Diese Spezialf¨

alle wer-

den in die Essays aufgenommen, um sp¨

atere Beweise ein wenig abzuk¨

urzen. Die

Pr¨

asentation der logischen Umformungen, die im Beweis zum Tragen kommen,

ist auf ein Minimum reduziert:

7-9(Satz)

a) Aus “ dom xUnmenge” folgt “ xUnmenge” .

b) Aus “ dom x=U” folgt “ xUnmenge” .

c) Aus “ ran xUnmenge” folgt “ xUnmenge” .

d) Aus “ ran x=U” folgt “ xUnmenge” .

48 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-9 a)

1: Via dom ran Axiom gilt: (xMenge) ⇒(dom xMenge).

2: Aus 1

folgt: (dom xUnmenge) ⇒(xUnmenge).

b) VS gleich dom x=U.

1: Via 0UAxiom gilt: UUnmenge.

2: Aus VS gleich “ dom x=U” und

aus 1“UUnmenge ”

folgt: dom xUnmenge.

3: Aus 2“dom xUnmenge ”

folgt via des bereits bewiesenen a):xUnmenge.

1: Via dom ran Axiom gilt: (xMenge) ⇒(ran xMenge).

2: Aus 2

folgt: (ran xUnmenge) ⇒(xUnmenge).

d) VS gleich ran x=U.

1: Via 0UAxiom gilt: UUnmenge.

2: Aus VS gleich “ ran x=U” und

aus 1“UUnmenge ”

folgt: ran xUnmenge.

3: Aus 2“ran xUnmenge ”

folgt via des bereits bewiesenen c):xUnmenge.

#7 MENGENLEHRE 49

7-10. Sowohl Definitions- als auch Bild-Bereich vergr¨

ossern sich, wenn zu einer

umfassenderen Klasse ¨

ubergegangen wird:

7-10(Satz)

a) Aus “ x⊆y” folgt “ dom x⊆dom y” .

b) Aus “ x⊆y” folgt “ ran x⊆ran y” .

Beweis 7-10 a) VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈dom x.

2.1: Aus Thema1“α∈dom x”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈x).

3: Aus 2.2“...(α, Ω) ∈x” und

aus →)“x⊆y”

folgt via 0-4: (α, Ω) ∈y.

4: Aus 3“ (α, Ω) ∈y”

folgt via 7-5:α∈dom y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom x)⇒(α∈dom y).

Konsequenz via 0-2(Def):dom x⊆dom y.

50 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-10 b) VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈ran x.

2.1: Aus Thema1“α∈ran x”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x” und

aus →)“x⊆y”

folgt via 0-4: (Ω, α)∈y.

4: Aus 3“ (Ω, α)∈y”

folgt via 7-5:α∈ran y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran x)⇒(α∈ran y).

Konsequenz via 0-2(Def):ran x⊆ran y.

#7 MENGENLEHRE 51

7-11. Definitions- und Bild-Bereich von 0,Uund {0}werden ermittelt. Wenig

uberraschend gilt via abcd), dass Definitions- und Bild-Bereich der leeren Menge

gleich der leeren Menge ist und dass Definitions- und Bild-Bereich des Universums

gleich dem Universum ist. Via e) steht fest, dass eine Klasse - hier ist es “ {0}” -

einen leeren Definitions-Bereich haben kann, ohne gleich der leeren Menge zu

sein. ¨

Ahnlich steht via f) steht fest, dass eine Klasse - hier ist es “ {0}” - einen

leeren Bild-Bereich haben kann, ohne gleich der leeren Menge zu sein. In gh) wird

schließlich als Konsequenz von ab) dargelegt, dass aus 0 6=dom xoder 0 6=ran x

die Aussage 0 6=xfolgt:

7-11(Satz)

a) dom 0 = 0.

b) ran 0 = 0.

c) dom U=U.

d) ran U=U.

e) “06={0}” und “ dom {0}= 0” .

f) “06={0}” und “ ran {0}= 0” .

g) Aus “ 06=dom x” folgt “ 06=x” .

h) Aus “ 06=ran x” folgt “ 06=x” .

Beweis 7-11 a)

Thema1 α∈dom 0.

2: Aus Thema1“α∈dom 0 ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈0).

3: Es gilt 2“...(α, Ω) ∈0”.

Via 0-19 gilt “ (α, Ω) /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈dom 0.

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom 0) ⇒(α /∈dom 0).

Konsequenz via 0-19:dom 0 = 0.

52 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-11 b)

Thema1 α∈ran 0.

2: Aus Thema1“α∈ran 0 ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈0).

3: Es gilt 2“...(Ω, α)∈0”.

Via 0-19 gilt “ (Ω, α)/∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈ran 0.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran 0) ⇒(α /∈ran 0).

Konsequenz via 0-19:ran 0 = 0.

Thema1 α∈ U.

2: Aus Thema1“α∈ U ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

3: Aus 2“αMenge ” und

aus 2“αMenge ”

folgt via PaarAxiom I: (α, α) Menge.

4: Aus 3“ (α, α) Menge ”

folgt via 0-19: (α, α)∈ U.

5: Aus 4“ (α, α)∈ U ”

folgt via 7-5:α∈dom U.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ U)⇒(α∈dom U).

Konsequenz via 0-19:dom U=U.

#7 MENGENLEHRE 53

Beweis 7-11 d)

Thema1 α∈ U.

2: Aus Thema1“α∈ U ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

3: Aus 2“αMenge ” und

aus 2“αMenge ”

folgt via PaarAxiom I: (α, α) Menge.

4: Aus 3“ (α, α) Menge ”

folgt via 0-19: (α, α)∈ U.

5: Aus 4“ (α, α)∈ U ”

folgt via 7-5:α∈ran U.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ U)⇒(α∈ran U).

Konsequenz via 0-19:ran U=U.

54 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-11 e)

1: Via 1-5 gilt: 0 6={0}.

2: Es gilt: (0 6=dom {0})∨(dom {0}= 0).

Fallunterscheidung

2.1.Fall 06=dom {0}.

3: Aus 2.1.Fall“0 6=dom {0}”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈dom {0}.

4: Aus 3“...Ω∈dom {0}”

folgt via 7-2:∃Ψ : (Ψ Menge) ∧((Ω,Ψ) ∈ {0}).

5: Aus 4“...(Ω,Ψ) ∈ {0}”

folgt via 1-6: (Ω,Ψ) = 0.

6: Es gilt 5“ (Ω,Ψ) = 0 ” .

Via PaarAxiom I gilt “ 0 6= (Ω,Ψ)” .

Ex falso quodlibet folgt: dom {0}= 0.

2.2.Fall dom {0}= 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“dom {0}= 0 ”

3: Aus 1“ 0 6={0}” und

aus A1 gleich “ dom {0}= 0 ”

folgt: (0 6={0})∧(dom {0}= 0).

#7 MENGENLEHRE 55

Beweis 7-11 f)

1: Via 1-5 gilt: 0 6={0}.

2: Es gilt: (0 6=ran {0})∨(ran {0}= 0).

Fallunterscheidung

2.1.Fall 06=ran {0}.

3: Aus 2.1.Fall“0 6=ran {0}”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈ran {0}.

4: Aus 3“...Ω∈ran {0}”

folgt via 7-4:∃Ψ : (Ψ Menge) ∧((Ψ,Ω) ∈ {0}).

5: Aus 4“...(Ψ,Ω) ∈ {0}”

folgt via 1-6: (Ψ,Ω) = 0.

6: Es gilt 5“ (Ψ,Ω) = 0 ” .

Via PaarAxiom I gilt “ 0 6= (Ψ,Ω)” .

Ex falso quodlibet folgt: ran {0}= 0.

2.2.Fall ran {0}= 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“ran {0}= 0 ”

3: Aus 1“ 0 6={0}” und

aus A1 gleich “ ran {0}= 0 ”

folgt: (0 6={0})∧(ran {0}= 0).

56 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-11 g) VS gleich 0 6=dom x.

1: Es gilt: (x= 0) ∨(0 6=x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x= 0.

2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: dom 0 = 0.

3: Aus 1.1.Fall“x= 0” und

aus 2“dom 0 = 0 ”

folgt: dom x= 0.

4: Es gilt 3“dom x= 0 ” .

Es gilt VS gleich “ 0 6=dom x” .

Ex falso quodlibet folgt: 0 6=x.

1.2.Fall 06=x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 6=x.

h) VS gleich 0 6=ran x.

1: Es gilt: (x= 0) ∨(0 6=x).

Fallunterscheidung

1.1.Fall x= 0.

2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: ran 0 = 0.

3: Aus 1.1.Fall“x= 0” und

aus 2“ran 0 = 0 ”

folgt: ran x= 0.

4: Es gilt 3“ran x= 0 ” .

Es gilt VS gleich “ 0 6=ran x” .

Ex falso quodlibet folgt: 0 6=x.

1.2.Fall 06=x.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 6=x.

#7 MENGENLEHRE 57

7-12. Es wird die Klasse aller Definitions-Bereiche der Elemente einer gegebenen

Klasse definiert. 7-12 und 7-14 sind ¨

ahnliche Definitionen:

7-12(Definition)

7.2(X) = {dom λ:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}.

58 MENGENLEHRE #7

7-13. In a) ist eine notwendige Bedingung f¨

ur “ w∈ {dom λ:λ∈X}” formuliert.

In b) findet sich Hinreichendes f¨

ur “ dom w∈ {dom λ:λ∈X}” . Bemerkenswer-

ter Weise wird weder in a) noch in b) eine “ Mengen-Eigenschaft” gefordert. 7-13

und 7-15 sind in Formulierung und Beweis-F¨

uhrung ¨

ahnlich:

7-13(Satz)

a) Aus “ w∈ {dom λ:λ∈X}” folgt “ ∃Ω : (w=dom Ω) ∧(Ω ∈X)” .

b) Aus “ x∈X” folgt “ dom x∈ {dom λ:λ∈X}).

————————————————————————————

7-12(Def) {dom λ:λ∈X}.

#7 MENGENLEHRE 59

Beweis 7-13 a) VS gleich w∈ {dom λ:λ∈X}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {dom λ:λ∈X}” und

aus “ {dom λ:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈X)∧(w=dom Ω).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w=dom Ω) ∧(Ω ∈X).

b) VS gleich x∈X.

1.1: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt: ∃x:x∈X.

1.2: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt via ElementAxiom:xMenge.

2: Aus 1.2“xMenge ”

folgt via dom ran Axiom:dom xMenge.

3: Aus 1.1“∃x:x∈X” und

aus “ dom x=dom x”

folgt: ∃x: (x∈X)∧(dom x=dom x).

4: Aus 3“∃x: (x∈X)∧(dom x=dom x) ” und

aus 2“dom xMenge ”

folgt: dom x∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}.

6: Aus 5“dom x∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=dom Ω))}={dom λ:λ∈X}”

folgt: dom x∈ {dom λ:λ∈X}.

60 MENGENLEHRE #7

7-14. Es wird die Klasse aller Bild-Bereiche der Elemente einer gegebenen Klasse

definiert. 7-14 und 7-12 sind ¨

ahnliche Definitionen:

7-14(Definition)

7.3(X) = {ran λ:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}.

#7 MENGENLEHRE 61

7-15. In a) ist eine notwendige Bedingung f¨

ur “ w∈ {ran λ:λ∈X}” formuliert.

In b) findet sich Hinreichendes f¨

ur “ dom w∈ {ran λ:λ∈X}” . Bemerkenswerter

Weise wird weder in a) noch in b) eine “ Mengen-Eigenschaft” gefordert. 7-15

und 7-13 sind in Formulierung und Beweis-F¨

uhrung ¨

ahnlich:

7-15(Satz)

a) Aus “ w∈ {ran λ:λ∈X}” folgt “ ∃Ω : (w=ran Ω) ∧(Ω ∈X)” .

b) Aus “ x∈X” folgt “ ran x∈ {ran λ:λ∈X}).

————————————————————————————

7-14(Def) {ran λ:λ∈X}.

62 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-15 a) VS gleich w∈ {ran λ:λ∈X}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {ran λ:λ∈X}” und

aus “ {ran λ:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈X)∧(w=ran Ω).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w=ran Ω) ∧(Ω ∈X).

b) VS gleich x∈X.

1.1: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt: ∃x:x∈X.

1.2: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt via ElementAxiom:xMenge.

2: Aus 1.2“xMenge ”

folgt via dom ran Axiom:ran xMenge.

3: Aus 1.1“∃x:x∈X” und

aus “ ran x=ran x”

folgt: ∃x: (x∈X)∧(ran x=ran x).

4: Aus 3“∃x: (x∈X)∧(ran x=ran x) ” und

aus 2“ran xMenge ”

folgt: ran x∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}.

6: Aus 5“ran x∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω=ran Ω))}={ran λ:λ∈X}”

folgt: ran x∈ {ran λ:λ∈X}.

#7 MENGENLEHRE 63

7-16. Es werden Definitions- und Bild-Bereiche im Zusammenhang mit Vereini-

gung und Durchschnitt untersucht. W¨

ahrend Definitions- und Bild-Bereich der

Vereinigung jeweils gleich der Vereinigung der Definitions- und Bild-Bereiche ist,

liegen die Verh¨

altnisse bei dem Durchschnitt anders. Es steht lediglich die Aus-

sage, dass der Definitions- und Bild-Bereich des Durchschnitts jeweils eine Teil-

Klasse des Durchschnitts der Definitions- und Bild-Bereiche ist, zur Verf¨

ugung.

Beispiele, die zeigen, dass die “ TeilKlassen-Aussagen” beim Durchschnitt nicht

ohne Weiteres durch Gleichungen ersetzt werden k¨

onnen, sind im Folgenden zu

finden, siehe auch 7-17(Bem):

7-16(Satz)

a) dom (SX) = Sdom λ:λ∈X.

b) dom (TX)⊆Tdom λ:λ∈X.

c) ran (SX) = Sran λ:λ∈X.

d) ran (TX)⊆Tran λ:λ∈X}.

e) dom (x∪y) = (dom x)∪(dom y).

f) dom (x∩y)⊆(dom x)∩(dom y).

g) ran (x∪y) = (ran x)∪(ran y).

h) ran (x∩y)⊆(ran x)∩(ran y).

————————————————————————————

7-12(Def) {dom λ:λ∈X}.

7-14(Def) {ran λ:λ∈X}.

64 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 a)

Thema1.1 α∈dom (SX).

2: Aus Thema1.1“α∈dom (SX) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈SX).

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈SX”

folgt via 1-12:∃Ψ : ((α, Ω) ∈Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4.1: Aus 3“...(α, Ω) ∈Ψ...”

folgt via 7-5:α∈dom Ψ.

4.2: Aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 7-13:dom Ψ∈ {dom λ:λ∈X}.

5: Aus 4.1“α∈dom Ψ ” und

aus 4.2“dom Ψ∈ {dom λ:λ∈X}”

folgt via 1-12:α∈S{dom λ:λ∈X}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈dom (SX)) ⇒(α∈S{dom λ:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“dom (SX)⊆S{dom λ:λ∈X}”

#7 MENGENLEHRE 65

Beweis 7-16 a) ...

Thema1.2 α∈S{dom λ:λ∈X}.

2: Aus Thema1.2“α∈S{dom λ:λ∈X}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {dom λ:λ∈X}).

3: Aus 2“...Ω∈ {dom λ:λ∈X}”

folgt via 7-13:∃Ψ : (Ω = dom Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = dom Ψ...”

folgt: α∈dom Ψ.

5: Aus 4“α∈dom Ψ ”

folgt via 7-2:∃Φ : (Φ Menge) ∧((α, Φ) ∈Ψ).

6: Aus 5“...(α, Φ) ∈Ψ ” und

aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 1-12: (α, Φ) ∈SX.

7: Aus 6“ (α, Φ) ∈SX”

folgt via 7-5:α∈dom (SX).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈S{dom λ:λ∈X})⇒(α∈dom (SX)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“S{dom λ:λ∈X} ⊆ dom (SX) ”

1.3: Aus A1 gleich “ dom (SX)⊆S{dom λ:λ∈X}” und

aus A2 gleich “ S{dom λ:λ∈X} ⊆ dom (SX) ”

folgt via GleichheitsAxiom:dom (SX) = S{dom λ:λ∈X}.

66 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 b)

Thema1 α∈dom (TX).

2.1: Aus Thema1“α∈dom (TX) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈dom (TX) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈TX).

Thema3 β∈ {dom λ:λ∈X}.

4: Aus Thema3“β∈ {dom λ:λ∈X}”

folgt via 7-13:

∃Ψ : (β=dom Ψ) ∧(Ψ ∈X).

5: Aus 2.2“...(α, Ω) ∈TX” und

aus 4“...Ψ∈X”

folgt via 1-13: (α, Ω) ∈Ψ.

6: Aus 5“ (α, Ω) ∈Ψ ”

folgt via 7-5:α∈dom Ψ.

7: Aus 6“α∈dom Ψ ” und

aus 4“...β =dom Ψ...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3:

A1



“∀β: (β∈ {dom λ:λ∈X})⇒(α∈β) ”

4: Aus A1 gleich

“∀β: (β∈ {dom λ:λ∈X})⇒(α∈β)” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{dom λ:λ∈X}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom (TX)) ⇒(α∈T{dom λ:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):dom (TX)⊆T{dom λ:λ∈X}.

#7 MENGENLEHRE 67

Beweis 7-16 c)

Thema1.1 α∈ran (SX).

2: Aus Thema1.1“α∈ran (SX) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈SX).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈SX”

folgt via 1-12:∃Ψ : ((Ω, α)∈Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4.1: Aus 3“...(Ω, α)∈Ψ...”

folgt via 7-5:α∈ran Ψ.

4.2: Aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 7-15:ran Ψ∈ {ran λ:λ∈X}.

5: Aus 4.1“α∈ran Ψ ” und

aus 4.2“ran Ψ∈ {ran λ:λ∈X}”

folgt via 1-12:α∈S{ran λ:λ∈X}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran (SX)) ⇒(α∈S{ran λ:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran (SX)⊆S{ran λ:λ∈X}”

68 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 c) ...

Thema1.2 α∈S{ran λ:λ∈X}.

2: Aus Thema1.2“α∈S{ran λ:λ∈X}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {ran λ:λ∈X}).

3: Aus 2“...Ω∈ {ran λ:λ∈X}”

folgt via 7-15:∃Ψ : (Ω = ran Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = ran Ψ...”

folgt: α∈ran Ψ.

5: Aus 4“α∈ran Ψ ”

folgt via 7-4:∃Φ : (Φ Menge) ∧((Φ, α)∈Ψ).

6: Aus 5“...(Φ, α)∈Ψ ” und

aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 1-12: (Φ, α)∈SX.

7: Aus 6“ (Φ, α)∈SX”

folgt via 7-5:α∈ran (SX).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈S{ran λ:λ∈X})⇒(α∈ran (SX)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“S{ran λ:λ∈X} ⊆ ran (SX) ”

1.3: Aus A1 gleich “ ran (SX)⊆S{ran λ:λ∈X}” und

aus A2 gleich “ S{ran λ:λ∈X} ⊆ ran (SX) ”

folgt via GleichheitsAxiom:ran (SX) = S{ran λ:λ∈X}.

#7 MENGENLEHRE 69

Beweis 7-16 d)

Thema1 α∈ran (TX).

2.1: Aus Thema1“α∈ran (TX) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ran (TX) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈TX).

Thema3 β∈ {ran λ:λ∈X}.

4: Aus Thema3“β∈ {ran λ:λ∈X}”

folgt via 7-15:

∃Ψ : (β=ran Ψ) ∧(Ψ ∈X).

5: Aus 2.2“...(Ω, α)∈TX” und

aus 4“...Ψ∈X”

folgt via 1-13: (Ω, α)∈Ψ.

6: Aus 5“ (Ω, α)∈Ψ ”

folgt via 7-5:α∈ran Ψ.

7: Aus 6“α∈ran Ψ ” und

aus 4“...β =ran Ψ...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3:

A1



“∀β: (β∈ {ran λ:λ∈X})⇒(α∈β) ”

4: Aus A1 gleich

“∀β: (β∈ {ran λ:λ∈X})⇒(α∈β)” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{ran λ:λ∈X}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran (TX)) ⇒(α∈T{ran λ:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):ran (TX)⊆T{ran λ:λ∈X}.

70 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 e)

Thema1.1 α∈dom (x∪y).

2: Aus Thema1.1“α∈dom (x∪y) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈x∪y).

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈x∪y”

folgt via 2-2: ((α, Ω) ∈x)∨((α, Ω) ∈y).

Fallunterscheidung

3.1.Fall (α, Ω) ∈x.

4: Aus 3.1.Fall“(α, Ω) ∈x”

folgt via 7-5:α∈dom x.

5: Aus 4“α∈dom x”

folgt via 2-2:α∈(dom x)∪(dom y).

3.2.Fall (α, Ω) ∈y.

4: Aus 3.2.Fall“(α, Ω) ∈y”

folgt via 7-5:α∈dom y.

5: Aus 4“α∈dom y”

folgt via 2-2:α∈(dom x)∪(dom y).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈(dom x)∪(dom y).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈dom (x∪y)) ⇒(α∈(dom x)∪(dom y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“dom (x∪y)⊆(dom x)∪(dom y) ”

#7 MENGENLEHRE 71

Beweis 7-16 e) ...

Thema1.2 α∈(dom x)∪(dom y).

2: Aus Thema1.2“α∈(dom x)∪(dom y) ”

folgt via 2-2: (α∈dom x)∨(α∈dom y).

Fallunterscheidung

2.1.Fall α∈dom x.

3: Aus 2.2.Fall“α∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈x).

4: Aus 3“...(α, Ω) ∈x”

folgt via 2-2: (α, Ω) ∈x∪y.

5: Aus 4“ (α, Ω) ∈x∪y”

folgt via 7-5:α∈dom (x∪y).

2.2.Fall α∈dom y.

3: Aus 2.2.Fall“α∈dom y”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈y).

4: Aus 3“...(α, Ω) ∈y”

folgt via 2-2: (α, Ω) ∈x∪y.

5: Aus 4“ (α, Ω) ∈x∪y”

folgt via 7-5:α∈dom (x∪y).

Ende Fallunterscheidung

In beiden F¨

allen gilt: α∈dom (x∪y).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈(dom x)∪(dom y)) ⇒(α∈dom (x∪y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ (dom x)∪(dom y)⊆dom (x∪y) ”

1.3: Aus A1 gleich “ dom (x∪y)⊆(dom x)∪(dom y) ” und

aus A2 gleich “ (dom x)∪(dom y)⊆dom (x∪y) ” folgt

via GleichheitsAxiom:dom (x∪y) = (dom x)∪(dom y).

72 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 f)

Thema1 α∈dom (x∩y).

2: Aus Thema1“α∈dom (x∩y) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈x∩y).

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈x∩y”

folgt via 2-2: ((α, Ω) ∈x)∧((α, Ω) ∈y).

4.1: Aus 3“ (α, Ω) ∈x . . . ”

folgt via 7-5:α∈dom x.

4.2: Aus 3“...(α, Ω) ∈y”

folgt via 7-5:α∈dom y.

5: Aus 4.1“α∈dom x” und

aus 4.2“α∈dom y”

folgt via 2-2:α∈(dom x)∩(dom y).

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom (x∩y)) ⇒(α∈(dom x)∩(dom y)).

Konsequenz via 0-2(Def):dom (x∩y)⊆(dom x)∩(dom y).

#7 MENGENLEHRE 73

Beweis 7-16 g)

Thema1.1 α∈ran (x∪y).

2: Aus Thema1.1“α∈ran (x∪y) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x∪y).

3: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x∪y”

folgt via 2-2: ((Ω, α)∈x)∨((Ω, α)∈y).

Fallunterscheidung

3.1.Fall (Ω, α)∈x.

4: Aus 3.1.Fall“(Ω, α)∈x”

folgt via 7-5:α∈ran x.

5: Aus 4“α∈ran x”

folgt via 2-2:α∈(ran x)∪(ran y).

3.2.Fall (Ω, α)∈y.

4: Aus 3.2.Fall“(Ω, α)∈y”

folgt via 7-5:α∈ran y.

5: Aus 4“α∈ran y”

folgt via 2-2:α∈(ran x)∪(ran y).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈(ran x)∪(ran y).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran (x∪y)) ⇒(α∈(ran x)∪(ran y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran (x∪y)⊆(ran x)∪(ran y) ”

74 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-16 g) ...

Thema1.2 α∈(ran x)∪(ran y).

2: Aus Thema1.2“α∈(ran x)∪(ran y) ”

folgt via 2-2: (α∈ran x)∨(α∈ran y).

Fallunterscheidung

2.1.Fall α∈ran x.

3: Aus 2.2.Fall“α∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x).

4: Aus 3“...(Ω, α)∈x”

folgt via 2-2: (Ω, α)∈x∪y.

5: Aus 4“ (Ω, α)∈x∪y”

folgt via 7-5:α∈ran (x∪y).

2.2.Fall α∈ran y.

3: Aus 2.2.Fall“α∈ran y”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈y).

4: Aus 3“...(Ω, α)∈y”

folgt via 2-2: (Ω, α)∈x∪y.

5: Aus 4“ (Ω, α)∈x∪y”

folgt via 7-5:α∈ran (x∪y).

Ende Fallunterscheidung

In beiden F¨

allen gilt: α∈ran (x∪y).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈(ran x)∪(ran y)) ⇒(α∈ran (x∪y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ (ran x)∪(ran y)⊆ran (x∪y) ”

1.3: Aus A1 gleich “ ran (x∪y)⊆(ran x)∪(ran y) ” und

aus A2 gleich “ (ran x)∪(ran y)⊆ran (x∪y) ” folgt

via GleichheitsAxiom:ran (x∪y) = (ran x)∪(ran y).

#7 MENGENLEHRE 75

Beweis 7-16 h)

Thema1 α∈ran (x∩y).

2: Aus Thema1“α∈ran (x∩y) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x∩y).

3: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x∩y”

folgt via 2-2: ((Ω, α)∈x)∧((Ω, α)∈y).

4.1: Aus 3“ (Ω, α)∈x . . . ”

folgt via 7-5:α∈ran x.

4.2: Aus 3“...(Ω, α)∈y”

folgt via 7-5:α∈ran y.

5: Aus 4.1“α∈ran x” und

aus 4.2“α∈ran y”

folgt via 2-2:α∈(ran x)∩(ran y).

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran (x∩y)) ⇒(α∈(ran x)∩(ran y)).

Konsequenz via 0-2(Def):ran (x∩y)⊆(ran x)∩(ran y).

76 MENGENLEHRE #7

7-17. Wie in den folgenden vier Beispielen dargelegt, k¨

onnen die “ TeilKlassen-

Aussagen” von 7-16bdfh) nicht ohne Weiteres durch Gleichungen ersetzt werden:

7-17.Bemerkung

•Die Gleichung

“dom (TX) = T{dom λ:λ∈X}”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ran (TX) = T{ran λ:λ∈X}”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“dom (x∩y) = (dom x)∩(dom y)”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ran (x∩y) = (ran x)∩(ran y)”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

#7 MENGENLEHRE 77

7-18. Laut folgendem Beispiel ist die Gleichung

“dom (TX) = T{dom λ:λ∈X}” nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar:

7-18.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)X={{(p, p)},{(p, q)}}.

Dann folgt:

a) TX= 0.

b) {dom λ:λ∈X}={{p}}.

c) dom (TX) = 0.

d) T{dom λ:λ∈X}) = {p}.

e) dom (TX)6=T{dom λ:λ∈X}.

Ad a): Da p, q Mengen sind und p6=qgilt, folgt (p, p)6= (p, q), woraus sich via

1-6 ergibt, dass es kein Element in TXgeben kann.

78 MENGENLEHRE #7

7-19. Laut folgendem Beispiel ist die Gleichung

“ran (TX) = T{ran λ:λ∈X}” nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar:

7-19.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)X={{(p, q)},{(q,q)}}.

Dann folgt:

a) TX= 0.

b) {ran λ:λ∈X}={{q}}.

c) ran (TX) = 0.

d) T{ran λ:λ∈X}) = {q}.

e) dom (TX)6=T{dom λ:λ∈X}.

Ad a): Da p, q Mengen sind und p6=qgilt, folgt (p, q)6= (q, q), woraus sich via

1-6 ergibt, dass es kein Element in TXgeben kann.

#7 MENGENLEHRE 79

7-20. Laut folgendem Beispiel ist die Gleichung

“dom (x∩y) = (dom x)∩(dom y)” nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar:

7-20.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(p, q)}.

Dann folgt:

a) x∩y= 0.

b) dom x={p}.

c) dom y={p}.

d) dom (x∩y) = 0.

e) (dom x)∩(dom y) = {p}.

f) dom (x∩y)6= (dom x)∩(dom y).

80 MENGENLEHRE #7

7-21. Laut folgendem Beispiel ist die Gleichung “ ran (x∩y) = (ran x)∩(ran y)”

nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar:

7-21.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, q)}.

→)y={(q,q)}.

Dann folgt:

a) x∩y= 0.

b) ran x={q}.

c) ran y={q}.

d) ran (x∩y) = 0.

e) (ran x)∩(ran y) = {q}.

f) ran (x∩y)6= (ran x)∩(ran y).

#7 MENGENLEHRE 81

7-22. Es folgen acht Aussagen ¨

uber Definitions- und Bild-Bereich bin¨

arer, carte-

sischer Produkte. Dabei kommt der leeren Menge eine Sonderrolle zu:

7-22(Satz)

a) dom (x×y)⊆x.

b) Aus “ 06=y” folgt “ dom (x×y) = x” .

c) dom (x×0) = 0.

d) dom (0 ×y) = 0.

e) ran (x×y)⊆y.

f) Aus “ 06=x” folgt “ ran (x×y) = y” .

g) ran (x×0) = 0.

h) ran (0 ×y) = 0.

Beweis 7-22 a)

Thema1 α∈dom (x×y).

2: Aus Thema1“α∈dom (x×y) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (Ω Menge) ∧((α, Ω) ∈x×y).

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈x×y”

folgt via 6-6:α∈x.

Ergo Thema1:∀α: (α∈dom (x×y)) ⇒(α∈x).

Konsequenz via 0-2(Def):dom (x×y)⊆x.

82 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-22 b) VS gleich 0 6=y.

1.1: Aus VS gleich “ 0 6=y”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈y.

Thema2 α∈x.

3: Aus Thema2“α∈x” und

aus 1.1“...Ω∈y”

folgt via 6-6: (α, Ω) ∈x×y.

4: Aus 3“ (α, Ω) ∈x×y”

folgt via 7-5:α∈dom (x×y).

Ergo Thema2:∀α: (α∈x)⇒(α∈dom (x×y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x⊆dom (x×y) ”

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: dom (x×y)⊆x.

2: Aus 1.2“dom (x×y)⊆x” und aus

A1 gleich “ x⊆dom (x×y) ” folgt

via GleichheitsAxiom:dom (x×y) = x.

1: dom (x×0) 6−13

=dom 07−11

= 0.

2: Aus 1

folgt: dom (x×0) = 0.

1: dom (0 ×y)6−13

=dom 07−11

= 0.

2: Aus 1

folgt: dom (0 ×y) = 0.

#7 MENGENLEHRE 83

Beweis 7-22 e)

Thema1 α∈ran (x×y).

2: Aus Thema1“α∈ran (x×y) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x×y).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x×y”

folgt via 6-6:α∈y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ran (x×y)) ⇒(α∈y).

Konsequenz via 0-2(Def):ran (x×y)⊆y.

f) VS gleich 0 6=x.

1.1: Aus VS gleich “ 0 6=x”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈x.

Thema2 α∈y.

3: Aus 1.1“...Ω∈x” und

aus Thema2“α∈y”

folgt via 6-6: (Ω, α)∈x×y.

4: Aus 3“ (Ω, α)∈x×y”

folgt via 7-5:α∈ran (x×y).

Ergo Thema2:∀α: (α∈y)⇒(α∈ran (x×y)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“y⊆ran (x×y) ”

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: ran (x×y)⊆y.

2: Aus 1.2“ran (x×y)⊆y” und aus

A1 gleich “ y⊆ran (x×y) ” folgt

via GleichheitsAxiom:ran (x×y) = y.

84 MENGENLEHRE #7

Beweis 7-22 g)

1: ran (x×0) 6−13

=ran 07−11

= 0.

2: Aus 1

folgt: ran (x×0) = 0.

1: ran (0 ×y)6−13

=ran 07−11

= 0.

2: Aus 1

folgt: ran (0 ×y) = 0.

#7 MENGENLEHRE 85

7-23. Es ist vermutlich wenig ¨

uberraschend, dass U × U keine Menge ist:

7-23(Satz)

U × U Unmenge.

Beweis 7-23

1: Via 0-18 gilt: 0 6=U.

2: Aus 1“ 0 6=U”

folgt via 7-22:dom (U × U) = U.

3: Aus 2“dom (U × U) = U”

folgt via 7-9:U × U Unmenge.

86 MENGENLEHRE #7

7-24. Die folgenden zwei Aussagen sind als Kombination vorhergehender Resul-

tate einfach zu beweisen:

7-24(Satz)

a) dom (x∩(y×z)) ⊆y∩dom x.

b) ran (x∩(y×z)) ⊆z∩ran x.

Beweis 7-24 a)

1: Via 7-16 gilt: dom (x∩(y×z)) ⊆(dom x)∩(dom (y×z)).

2: Via 7-22 gilt: dom (y×z)⊆y.

3: Aus 2“dom (y×z)⊆y”

folgt via 2-15: (dom (y×z)) ∩dom x⊆y∩dom x.

4: Via KG∩gilt: (dom x)∩(dom (y×z)) = (dom (y×z)) ∩dom x.

5: Aus 1“dom (x∩(y×z)) ⊆(dom x)∩(dom (y×z)) ” und

aus 4“ (dom x)∩(dom (y×z)) = (dom (y×z)) ∩dom x”

folgt: dom (x∩(y×z)) ⊆(dom (y×z)) ∩dom x.

6: Aus 5“dom (x∩(y×z)) ⊆(dom (y×z)) ∩dom x” und

aus 3“ (dom (y×z)) ∩dom x⊆y∩dom x”

folgt via 0-6:dom (x∩(y×z)) ⊆y∩dom x.

1: Via 7-16 gilt: ran (x∩(y×z)) ⊆(ran x)∩(ran (y×z)).

2: Via 7-22 gilt: ran (y×z)⊆z.

3: Aus 2“ran (y×z)⊆z”

folgt via 2-15: (ran (y×z)) ∩ran x⊆z∩ran x.

4: Via KG∩gilt: (ran x)∩(ran (y×z)) = (ran (y×z)) ∩ran x.

5: Aus 1“ran (x∩(y×z)) ⊆(ran x)∩(ran (y×z)) ” und

aus 4“ (ran x)∩(ran (y×z)) = (ran (y×z)) ∩ran x”

folgt: ran (x∩(y×z)) ⊆(ran (y×z)) ∩ran x.

6: Aus 5“ran (x∩(y×z)) ⊆(ran (y×z)) ∩ran x” und

aus 3“ (ran (y×z)) ∩ran x⊆z∩ran x”

folgt via 0-6:ran (x∩(y×z)) ⊆z∩ran x.

#8 MENGENLEHRE 87

injektiv.

nicht-injektiv.

Bild von Eunter x.x[E].

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 11/04/11

88 MENGENLEHRE #8

8-1. Die Konzepte der Injektivit¨

at und der Nicht-Injektivit¨

at werden f¨

ur beliebige

Klassen eingef¨

uhrt. Die Phrasen “ xinjektiv” und “ xnicht-injektiv” sind zwar

grammatikalisch unvollst¨

andig, jedoch bestechen sie durch K¨

urze im Gebrauch:

8-1(Definition)

1) “xinjektiv” genau dann, wenn gilt:

∀α, β, γ : (((α, β)∈x)∧((γ, β)∈x)) ⇒(α=γ).

2) “xnicht-injektiv” genau dann, wenn gilt:

¬(xinjektiv).

#8 MENGENLEHRE 89

8-2. Es wird fest gestellt, welche Klassen mit welchen Eigenschaften existieren,

wenn xnicht-injektiv ist. Die Liste dieser Eigenschaften ist durchaus beeindru-

ckend und ohne Hilfsmittel kaum in gut lesbare Form zu bringen. So wird der Les-

barkeit halber ein weiteres Ausdrucksmittel in die Essays eingef¨

uhrt. Es besteht

aus einer Liste von Eigenschaften, die mit Nummern, die “ e.” folgen, versehen

ist und der eine verbal formulierte Existenzaussage vorangestellt ist:

8-2(Satz)

Es gelte:

→)xnicht-injektiv.

Dann gibt es Ω,Ψ,Φ, so dass gilt:

e.1) (Ω,Ψ) ∈x.

e.2) (Φ,Ψ) ∈x.

e.3) Ω6= Φ.

Beweis 8-2

1: Aus →)“xnicht-injektiv ”

folgt via 8-1(Def):¬(xinjektiv).

2: Aus 1“¬(xinjektiv) ”

folgt via 8-1(Def):¬(∀α, β, γ : (((α, β)∈x)∧((γ, β)∈x)) ⇒(α=γ)).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω,Ψ,Φ :

(Ω,Ψ) ∈x

∧(Φ,Ψ) ∈x

∧Ω6= Φ.

90 MENGENLEHRE #8

8-3. Um nachzuweisen, dass xnicht-injektiv ist, sind drei Klassen mit speziellen

Eigenschaften aufzutreiben:

8-3(Satz)

Es gelte:

→)(p, q)∈x.

→)(w, q)∈x.

→)p6=w.

Dann folgt “ xnicht-injektiv” .

Beweis 8-3

1: Es gilt: (xinjektiv) ∨(¬(xinjektiv)).

Fallunterscheidung

1.1.Fall xinjektiv.

2: Aus →)“xinjektiv ” ,

aus →)“ (p, q)∈x” und

aus →)“ (w, q)∈x”

folgt via 8-1(Def):p=w.

3: Es gilt 2“p=w” .

Es gilt →)“p6=w” .

Ex falso quodlibet folgt: ¬(xinjektiv).

1.2.Fall ¬(xinjektiv).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: A1



“¬(xinjektiv) ”

2: Aus A1 gleich “ ¬(xinjektiv) ”

folgt via 8-1(Def):xnicht-injektiv.

#8 MENGENLEHRE 91

8-4. Jede TeilKlasse einer injektiven Klasse ist injektiv. Jede Klasse, die eine

nicht-injektive Klasse umfasst, ist nicht-injektiv:

8-4(Satz)

a) Aus “ x⊆y” und “ yinjektiv” folgt “ xinjektiv” .

b) Aus “ x⊆y” und “ xnicht-injektiv” folgt “ ynicht-injektiv” .

Beweis 8-4 a) VS gleich (x⊆y)∧(yinjektiv).

Thema1 ((α, β)∈x)∧((γ, β)∈x).

2.1: Aus Thema1“ (α, β)∈x . . . ” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-4: (α, β)∈y.

2.2: Aus Thema1“...(γ, β)∈x” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-4: (γ, β)∈y.

3: Aus →)“yinjektiv ” ,

aus 2.1“ (α, β)∈y” und

aus 2.2“ (γ, β)∈y”

folgt via 8-1(Def):α=γ.

Ergo Thema1:∀α, β, γ : (((α, β)∈x)∧((γ, β)∈x)) ⇒(α=γ).

Konsequenz via 8-1(Def):xinjektiv.

92 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-4 b) VS gleich (x⊆y)∧(xnicht-injektiv).

1: Aus VS gleich “ . . . x nicht-injektiv ”

folgt via 8-2:∃Ω,Ψ,Φ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧((Φ,Ψ) ∈x)∧(Ω 6= Φ).

2.1: Aus 1“...(Ω,Ψ) ∈x . . . ” und

aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via 0-4: (Ω,Ψ) ∈y.

2.2: Aus 1“...(Φ,Ψ) ∈x . . . ” und

aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via 0-4: (Φ,Ψ) ∈y.

3: Aus 2.1“ (Ω,Ψ) ∈y” ,

aus 2.2“ (Φ,Ψ) ∈y” und

aus 1“...Ω6= Φ ”

folgt via 8-3:ynicht-injektiv.

#8 MENGENLEHRE 93

8-5. Das Bild von Eunter xbesteht aus genau jenen Mengen ω, f¨

ur die es

ein Ω gibt, so dass Ω ∈Eund (Ω, ω)∈x. Obwohl haupts¨

achlich bei Relationen

und Funktionen verwendet, wird das Bild von Eunter xf¨

ur ansonsten beliebige

Klassen Eund xdefiniert. Interessanter Weise liegen schon in diesem Fall viele

der im Zusammenhang mit Relationen oder Funktionen erwarteten Resultate vor:

8-5(Definition)

1) x[E]

=8.0(E, x) = {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}.

2) “CBild von Eunter x” genau dann, wenn gilt:

C=x[E].

94 MENGENLEHRE #8

8-6. Das Bild von Eunter xist x[E] - und das Bild von Eunter xist eindeutig

bestimmt:

8-6(Satz)

a) x[E]Bild von Eunter x.

b) Aus “ CBild von Eunter x” und “ DBild von Eunter x”

folgt “ C=D” .

Beweis 8-6 a)

Aus “ x[E] = x[E]”

folgt via 8-5(Def):x[E] ist das Bild von Eunter x.

b) VS gleich (CBild von Eunter x)∧(DBild von Eunter x).

1.1: Aus VS gleich “ CBild von Eunter x . . . ”

folgt via 8-5(Def):C=x[E].

1.2: Aus VS gleich “ ...DBild von Eunter x”

folgt via 8-5(Def):D=x[E].

2: Aus 1.1“C=x[E] ” und

aus 1.2“D=x[E] ”

folgt: C=D.

#8 MENGENLEHRE 95

8-7. Es werden drei notwendige Bedingungen f¨

ur “ q∈x[E]” angegeben:

8-7(Satz)

Es gelte:

→)q∈x[E].

Dann gibt es Ω, so dass gilt:

e.1) Ω∈E.

e.2) Ω∈dom x.

e.3) (Ω, q)∈x.

Beweis 8-7

1: Aus →)“q∈x[E] ” und

aus “ x[E] = {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}”

folgt: q∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}.

2: Aus 1“q∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, q)∈x).

3: Aus 2“...(Ω, q)∈x”

folgt via 7-5: Ω ∈dom x.

4: Aus 2“∃Ω...” ,

aus 2“...Ω∈E . . . ” ,

aus 3“ Ω ∈dom x” und

aus 2“...(Ω, q)∈x”

folgt: ∃Ω :

Ω∈E

∧Ω∈dom x

∧(Ω, q)∈x.

96 MENGENLEHRE #8

8-8. Im folgenden Satz wird die - vermutlich erwartete - hinreichende Bedingung

f¨

ur “ q∈x[E]” gegeben:

8-8(Satz)

Aus “ (p, q)∈x” und “ p∈E” folgt “ q∈x[E]” .

Beweis 8-8 VS gleich ((p, q)∈x)∧(p∈E).

1.1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x . . . ”

folgt: ∃p: (p, q)∈x.

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈x . . . ”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

2.1: Aus 1.1“∃p...” ,

aus VS gleich “ . . . p ∈E” und

aus VS gleich “ (p, q)∈x . . . ”

folgt: ∃p: (p∈E)∧((p, q)∈x).

2.2: Aus 1.2“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I:qMenge.

3: Aus 2.1“∃p: (p∈E)∧((p, q)∈x) ” und

aus 2.2“qMenge ”

folgt: q∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}.

4: Aus 3“q∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}=x[E]”

folgt: q∈x[E].

#8 MENGENLEHRE 97

8-9. Ohne allzu viel R¨

ucksicht auf die Notationen von 8-9 zu nehmen wird das

Bild von xunter Ewird gr¨

osser, wenn “ x” oder “ E” durch gr¨

oßere Klassen ersetzt

wird:

8-9(Satz)

a) Aus “ E⊆e” folgt “ x[E]⊆x[e]” .

b) Aus “ x⊆y” folgt “ x[E]⊆y[E]” .

c) Aus “ x⊆y” und “ E⊆e” folgt “ x[E]⊆y[e]” .

Beweis 8-9 a) VS gleich E⊆e.

Thema1 α∈x[E].

2: Aus Thema1“α∈x[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x)).

3: Aus 2“...Ω∈E . . . ” und

aus VS gleich “ E⊆e”

folgt via 0-4: Ω ∈e.

4: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3“ Ω ∈e”

folgt via 8-8:α∈x[e].

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[E]) ⇒(α∈x[e]).

Konsequenz via 0-2(Def):x[E]⊆x[e].

98 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-9 b) VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈x[E].

2: Aus Thema1“α∈x[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-4: (Ω, α)∈y.

4: Aus 3“ (Ω, α)∈y” und

aus 2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈y[E].

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[E]) ⇒(α∈y[E]).

Konsequenz via 0-2(Def):x[E]⊆y[E].

c) VS gleich (x⊆y)∧(E⊆e).

1.1: Aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via des bereits bewiesenen b):x[E]⊆y[E].

1.2: Aus VS gleich “ . . . E ⊆e”

folgt via des bereits bewiesenen a):y[E]⊆y[e].

2: Aus 1.1“x[E]⊆y[E] ” und

aus 1.2“y[E]⊆y[e] ”

folgt via 0-6:x[E]⊆y[e].

#8 MENGENLEHRE 99

8-10. Das Bild von Eunter xhat Einiges mit dom xund ran xzu tzn:

8-10(Satz)

a) Aus “ q∈x[E]” folgt “ q∈ran x” .

b) x[E]⊆ran x.

c) x[E] = x[E∩dom x].

d) x[dom x] = ran x.

Beweis 8-10 a) VS gleich q∈x[E].

1: Aus VS gleich “ q∈x[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω, q)∈x.

2: Aus 1“...(Ω, q)∈x”

folgt via 7-5:q∈ran x.

Thema1 α∈x[E].

Aus Thema1“α∈x[E] ”

folgt via des bereits bewiesenen a):α∈ran x.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[E]) ⇒(α∈ran x).

Konsequenz via 0-2(Def):x[E]⊆ran x.

100 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-10 c)

Thema1.1 α∈x[E].

2: Aus Thema1.1“α∈x[E] ”

folgt via 8-7:

∃Ω : (Ω ∈E)∧(Ω ∈dom x)∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2“...Ω∈E . . . ” und

aus 2.2“...Ω∈dom x . . . ”

folgt via 2-2: Ω ∈E∩dom x.

4: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3“ Ω ∈E∩dom x”

folgt via 8-8:α∈x[E∩dom x].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈x[E]) ⇒(α∈x[E∩dom x]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x[E]⊆x[E∩dom x] ”

1.2: Via 2-7 gilt: E∩dom x⊆E.

2: Aus 1.2“E∩dom x⊆E”

folgt via 8-9:x[E∩dom x]⊆x[E].

3: Aus A1 gleich “ x[E]⊆x[E∩dom x] ” und

aus 2“x[E∩dom x]⊆x[E] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[E] = x[E∩dom x].

#8 MENGENLEHRE 101

Beweis 8-10 d)

Thema1.1 α∈ran x.

2: Aus Thema1.1“α∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω, α)∈x.

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x”

folgt via 7-5: Ω ∈dom x.

4: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3“ Ω ∈dom x”

folgt via 8-8:α∈x[dom x].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran x)⇒(α∈x[dom x]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran x⊆x[dom x] ”

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: x[dom x]⊆ran x.

2: Aus 1.2“x[dom x]⊆ran x” und

aus A1 gleich “ ran x⊆x[dom x] ” folgt

via GleichheitsAxiom:x[dom x] = ran x.

102 MENGENLEHRE #8

8-11. Es folgen zwei hinreichende Bedingungen f¨

ur “ x[E] Menge” . Die Beweis-

Reihenfolge ist b) -a):

8-11(Satz)

a) Aus “ xMenge” folgt “ x[E]Menge” .

b) Aus “ ran xMenge” folgt “ x[E]Menge” .

Beweis 8-11 b) VS gleich ran xMenge.

1: Via 8-10 gilt: x[E]⊆ran x.

2: Aus 1“x[E]⊆ran x” und

aus VS gleich “ ran xMenge ”

folgt via TeilMengenAxiom:x[E] Menge.

a) VS gleich xMenge.

1: Aus VS gleich “ xMenge ”

folgt via dom ran Axiom:ran xMenge.

2: Aus 1“ran xMenge ”

folgt via des bereits bewiesenen b):x[E] Menge.

#8 MENGENLEHRE 103

8-12. Es sind sechs Aussagen ¨

uber das Bild von Eunter xangegeben, in denen

xoder Egleich 0 oder gleich Uist:

8-12(Satz)

a) x[0] = 0.

b) 0[E] = 0.

c) x[U] = ran x.

d) Aus “ 06=E” folgt “ U[E] = U” .

e) U[0] = 0.

f) 0[U] = 0.

Beweis 8-12 a)

Thema1 α∈x[0].

2: Aus Thema1“α∈x[0] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈0) ∧((Ω, α)∈x).

3: Es gilt 2“...Ω∈0...” .

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈x[0].

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[0]) ⇒(α /∈x[0]).

Konsequenz via 0-19:x[0] = 0.

104 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-12 b)

Thema1 α∈0[E].

2: Aus Thema1“α∈0[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈0).

3: Es gilt 2“...(Ω, α)∈0. ”

Via 0-19 gilt “ (Ω, α)/∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈0[E].

Ergo Thema1:∀α: (α∈0[E]) ⇒(α /∈0[E]).

Konsequenz via 0-19: 0[E] = 0.

Thema1.1 α∈ran x.

2: Aus Thema1.1“α∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω Menge) ∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2“...Ω Menge. . . ”

folgt via 0-19: Ω ∈ U.

4: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3“ Ω ∈ U ”

folgt via 8-8:α∈x[U].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran x)⇒(α∈x[U]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran x⊆x[U] ”

1.2: Via 8-10 gilt: x[U]⊆ran x.

2: Aus 1.2“x[U]⊆ran x” und

aus A1 gleich “ ran x⊆x[U] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[U] = ran x.

#8 MENGENLEHRE 105

Beweis 8-12 d) VS gleich 0 6=E.

Thema1 α∈ U.

2.1: Aus Thema1“α∈ U ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus VS gleich “ 0 6=E”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈E.

3: Aus 2.2“...Ω∈E”

folgt via ElementAxiom: Ω Menge.

4: Aus 3“ Ω Menge ” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, α) Menge.

5: Aus 4“ (Ω, α) Menge ”

folgt via 0-19: (Ω, α)∈ U.

6: Aus 5“ (Ω, α)∈ U ” und

aus 2.2“...Ω∈E”

folgt via 8-8:α∈ U[E].

Ergo Thema1:∀α: (α∈ U)⇒(α∈ U[E]).

Konsequenz via 0-19:U[E] = U.

e) Via des bereits bewiesenen a) gilt: U[0] = 0.

f) Via des bereits bewiesenen b) gilt: 0[U] = 0.

106 MENGENLEHRE #8

8-13. Das Kriterium bezieht sich auf “ x[E] = 0” :

8-13(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) x[E] = 0.

ii) E∩dom x= 0.

Beweis 8-13 i) ⇒ii) VS gleich x[E] = 0.

Thema1 α∈E∩dom x.

2: Aus Thema1“α∈E∩dom x”

folgt via 2-2: (α∈E)∧(α∈dom x).

3: Aus 2“. . . α ∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (α, Ω) ∈x.

4: Aus 3“...(α, Ω) ∈x” und

aus 2“α∈E . . . ”

folgt via 8-8: Ω ∈x[E].

5: Aus 4“ Ω ∈x[E] ” und

aus VS gleich “ x[E] = 0 ”

folgt: Ω ∈0.

6: Es gilt 5“ Ω ∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈E∩dom x.

Ergo Thema1:∀α: (α∈E∩dom x)⇒(α /∈E∩dom x).

Konsequenz via 0-19:E∩dom x= 0.

ii) ⇒i) VS gleich E∩dom x= 0.

1: x[E]8−10

=x[E∩dom x]VS

=x[0] 8−12

= 0.

2: Aus 1

folgt: x[E] = 0.

#8 MENGENLEHRE 107

8-14. Durch Negation der Aussagen von 8-13 folgt ein Kriterium f¨

ur “ 0 6=x[E]” :

8-14(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) 06=x[E].

ii) 06=E∩dom x.

Beweis 8-14

1: Via 8-13 gilt: (x[E] = 0) ⇔(E∩dom x= 0).

2: Aus 1

folgt: (¬(x[E] = 0)) ⇔(¬(E∩dom x= 0)).

3: Aus 2

folgt: (0 6=x[E]) ⇔(0 6=E∩dom x).

108 MENGENLEHRE #8

8-15. Im folgenden Kriterium geht es um die Frage, wann qkein Element von

x[E] ist:

8-15(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) q /∈x[E].

ii) “qUnmenge” oder “ ∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x)” .

Beweis 8-15 i) ⇒ii) VS gleich q /∈x[E].

1: Aus VS gleich “ q /∈x[E] ” und

aus “ x[E] = {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}”

folgt: q /∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}.

2: Aus 1“q /∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}”

folgt: (qUnmenge) ∨(¬(∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, q)∈x)).

3: Aus 2

folgt: (qUnmenge) ∨(∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x)).

ii) ⇒i) VS gleich (qUnmenge) ∨(∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x)).

1: Aus VS

folgt: (¬(qMenge)) ∨(¬(∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, q)∈x))).

2: Aus 1

folgt: ¬((qMenge) ∧(∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, q)∈x)).

3: Aus 2

folgt: ¬(q∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}).

4: Aus 3

folgt: q /∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}.

5: Aus 4“q /∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, ω)∈x))}=x[E]”

folgt: q /∈x[E].

#8 MENGENLEHRE 109

8-16. Via Negation folgt aus 8-15 Hinreichendes f¨

ur “ q /∈x[y]” :

8-16(Satz)

Es gelte:

→)∀α: (α∈E∩dom x)⇒((α, q)/∈x).

Dann folgt “ q /∈x[E]” .

Beweis 8-16

1: Es gilt: (q∈x[E]) ∨(q /∈x[E]).

Fallunterscheidung

1.1.Fall q∈x[E].

2: Aus 1.1.Fall“q∈x[E]”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧(Ω ∈dom x)∧((Ω, q)∈x).

3: Aus 2“...Ω∈E . . . ” und

aus 2“...Ω∈dom x...”

folgt via 2-2: Ω ∈E∩dom x.

4: Aus 3“...Ω∈E∩dom x...” und

aus →)“∀α: (α∈E∩dom x)⇒((α, q)/∈x) ”

folgt: (Ω, q)/∈x.

5: Es gilt 4“...(Ω, q)/∈x” .

Es gilt 2“ (Ω, q)∈x. ”

Ex falso quodlibet folgt: q /∈x[E].

1.2.Fall q /∈x[E].

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: q /∈x[E].

110 MENGENLEHRE #8

8-17. Die folgenden Aussagen betreffen Folgerungen aus “ q /∈x[E]” , wobei q

eine Menge ist und jeweils eine Zusatzpr¨

amisse zur Verf¨

ugung steht:

8-17(Satz)

a) Aus “ qMenge” und “ q /∈x[E]” und “ p∈E” folgt “ (p, q)/∈x” .

b) Aus “ qMenge” und “ q /∈x[E]” und “ (p, q)∈x” folgt “ p /∈E” .

Beweis 8-17 a) VS gleich (qMenge) ∧(q /∈x[E]) ∧(p∈E).

1: Aus VS gleich “ . . . q /∈x[E]...”

folgt via 8-15: (qUnmenge) ∨(∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x)).

2: Aus 1“ (qUnmenge) ∨(∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x)) ” und

aus VS gleich “ qMenge. . . ”

folgt: ∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x).

3: Aus VS gleich “ . . . p ∈E” und

aus 2“∀α: (α∈E)⇒((α, q)/∈x) ”

folgt: (p, q)/∈x.

b) VS gleich (qMenge) ∧(q /∈x[E]) ∧((p, q)∈x).

1: Es gilt: (p∈E)∨(p /∈E).

Fallunterscheidung

1.1.Fall p∈E.

2: Aus VS gleich “ qMenge. . . ”

aus VS gleich “ ...q /∈x[E]...” und

aus 1.1.Fall“p∈E”

folgt via des bereits bewiesenen a): (p, q)/∈x.

3: Es gilt 2“ (p, q)/∈x” .

Es gilt VS gleich “ ...(p, q)∈x” .

Ex falso quodlibet folgt: p /∈E.

1.2.Fall p /∈E.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: p /∈E.

#8 MENGENLEHRE 111

8-18. Mit der folgenden Definition wird ein erster Weg f¨

ur KlassenAlgebra mit

Bildern von Xunter Efrei gemacht. Bei “ {λ[E] : λ∈X}” handelt es sich um

die Klasse aller Bilder einer festen Klasse Eunter den Mengen λaus einer Klasse

X. Die Begriffsbildung ist ¨

ahnlich zu, aber ungleich der Definition 8-22:

8-18(Definition)

8.1(X, E) = {λ[E]:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}.

112 MENGENLEHRE #8

8-19. In a) wird einiges gesagt, was aus “ w∈ {λ[E] : λ∈X}” folgt. In b)

wird fest gestellt, dass aus “ w∈E” die Aussage “ w[X]∈ {λ[X] : λ∈E}” folgt.

Interessanter Weise wird in beiden Aussagen keine “ Mengen-Eigenschaft” voraus

gesetzt:

8-19(Satz)

a) Aus “ w∈ {λ[E] : λ∈X}” folgt “ ∃Ω : (w= Ω[E]) ∧(Ω ∈X)” .

b) Aus “ x∈X” folgt “ x[E]∈ {λ[E] : λ∈X}” .

————————————————————————————

8-18(Def) {λ[E] : λ∈X}.

#8 MENGENLEHRE 113

Beweis 8-19 a) VS gleich w∈ {λ[E]:λ∈X}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {λ[E]:λ∈X}” und

aus “ {λ[E] : λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈X)∧(w= Ω[E]).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w= Ω[E]) ∧(Ω ∈X).

b) VS gleich x∈X.

1.1: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt: ∃x:x∈X.

1.2: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt via ElementAxiom:xMenge.

2: Aus 1.2“xMenge ”

folgt via 8-11:x[E] Menge.

3: Aus 1.1“∃x:x∈X” und

aus “ x[E] = x[E]”

folgt: ∃x: (x∈X)∧(x[E] = x[E]).

4: Aus 3“∃x: (x∈X)∧(x[E] = x[E]) ” und

aus 2“x[E] Menge ”

folgt: x[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}.

5: Aus 4“x[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω[E]))}={λ[E]:λ∈X}”

folgt: x[E]∈ {λ[E]:λ∈X}.

114 MENGENLEHRE #8

8-20. Die Diskussion von 8-21 wird durch die folgenden Resultate, in denen es

um “ (TX)[0]” , um “ {λ[E] : λ∈0}” und um “ {λ[0] : λ∈X}” geht, vorbereitet.

Aussagen ab) sind einfache Spezialisierungen von 8-12 und werden, weil sie gut

in den Kontext passen, angegeben:

8-20(Satz)

a) (TX)[0] = 0.

b) (T0)[0] = 0.

c) {λ[E]:λ∈0}= 0.

d) T{λ[E]:λ∈0}=U.

e) {λ[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

f) Aus “ 06=X” folgt “ {λ[0] : λ∈X}={0}” .

g) Aus “ 06=X” folgt “ T{λ[0] : λ∈X}= 0” .

————————————————————————————

8-18(Def) {λ[E] : λ∈0}und {λ[0] : λ∈X}.

Beweis 8-20 a)

Via 8-12 gilt: (TX)[0] = 0.

Via 8-12 gilt: (T0)[0] = 0.

#8 MENGENLEHRE 115

Beweis 8-20 c)

Thema1 α∈ {λ[E]:λ∈0}.

2: Aus Thema1“α∈ {λ[E] : λ∈0}”

folgt via 8-19:∃Ω : (α= Ω[E]) ∧(Ω ∈0).

3: Es gilt 2“...Ω∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈ {λ[E]:λ∈0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {λ[E]:λ∈0})⇒(α /∈ {λ[E]:λ∈0}).

Konsequenz via 0-19:{λ[E] : λ∈0}= 0.

1: T{λ[E]:λ∈0}c)

=T01−14

=U.

2: Aus 1

folgt: T{λ[E] : λ∈0}=U.

Thema1 α∈ {λ[0] : λ∈X}.

2: Aus Thema1“α∈ {λ[0] : λ∈X}”

folgt via 8-19:∃Ω : (α= Ω[0]) ∧(Ω ∈X).

3: Via 8-12 gilt: Ω[0] = 0.

4: Aus 2“. . . α = Ω[0] ...” und

aus 3“ Ω[0] = 0 ”

folgt: α= 0.

5: Via 1-5 gilt: 0 ∈ {0}.

6: Aus 4“α= 0 ” und

aus 5“ 0 ∈ {0}”

folgt: α∈ {0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {λ[0] : λ∈X})⇒(α∈ {0}).

Konsequenz via 0-2(Def):{λ[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

116 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-20 f) VS gleich 0 6=X.

1: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈X.

2: Aus 1“ Ω ∈X”

folgt via 8-19: Ω[0] ∈ {λ[0] : λ∈X}.

3: Via 8-12 gilt: Ω[0] = 0.

4: Aus 3“ Ω[0] = 0 ” und

aus 2“ Ω[0] ∈ {λ[0] : λ∈X}”

folgt: 0 ∈ {λ[0] : λ∈X}.

5: Aus 4“ 0 ∈ {λ[0] : λ∈X}”

folgt via 1-8:{0} ⊆ {λ[0] : λ∈X}.

6: Via des bereits bewiesenen e) gilt: {λ[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

7: Aus 6“{λ[0] : λ∈X} ⊆ {0}” und

aus 5“{0} ⊆ {λ[0] : λ∈X}”

folgt via GleichheitsAxiom:{λ[0] : λ∈X}={0}.

g) VS gleich 0 6=X.

1: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via des bereits bewiesenen f):{λ[0] : λ∈X}={0}.

2: T{λ[0] : λ∈X}1

=T{0}1−14

= 0.

3: Aus 2

folgt: T{λ[0] : λ∈X}= 0.

#8 MENGENLEHRE 117

8-21. Gem¨

aß a) ist das Bild von Eunter der Vereinigung von Xgleich der Verei-

nigung der Bilder von Eunter den Elementen von X. Diese Gleichung ¨

ubertr¨

agt

sich gem¨

aß f) ¨

ublicher Weise nicht auf die Durchschnittsbildung. In b) wird be-

wiesen, dass das Bild von Eunter dem Durchschnitt von Xeine TeilKlasse des

Durchschnitts der Bilder von Eunter den Elementen von Xist. In cde) werden

drei spezielle F¨

alle angegeben, in denen die “ TeilKlassen-Aussage” von b) durch

eine “ Gleichheits-Aussage” ersetzt wird:

8-21(Satz)

a) (SX)[E] = S{λ[E] : λ∈X},

b) (TX)[E]⊆T{λ[E] : λ∈X}.

c) Aus “ pMenge” folgt “ (TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}” .

d) Aus “ 06=X” folgt “ (TX)[0] = T{λ[0] : λ∈X}= 0” .

e) Aus “ 06=X” folgt “ (TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}” .

f) “(T0)[0] 6=T{λ[0] : λ∈0}” und

“(T0)[0] = 0” und “ T{λ[0] : λ∈0}=U” .

————————————————————————————

8-18(Def) {λ[E]:λ∈X}und {λ[0] : λ∈X}

und {λ[{p}] : λ∈X}und {λ[0] : λ∈0}.

118 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-21 a)

Thema1.1 α∈(SX)[E].

2: Aus Thema1.1“α∈(SX)[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈SX).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈SX”

folgt via 1-12:∃Ψ : ((Ω, α)∈Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4.1: Aus 3“...(Ω, α)∈Ψ...” und

aus 2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈Ψ[E].

4.2: Aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 8-19: Ψ[E]∈ {λ[E]:λ∈X}.

5: Aus 4.1“α∈Ψ[E] ” und

aus 4.2“ Ψ[E]∈ {λ[E] : λ∈X}”

folgt via 1-12:α∈S{λ[E]:λ∈X}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(SX)[E]) ⇒(α∈S{λ[E] : λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (SX)[E]⊆S{λ[E] : λ∈X}”

#8 MENGENLEHRE 119

Beweis 8-21 a) ...

Thema1.2 α∈S{λ[E]:λ∈X}.

2: Aus Thema1.2“α∈S{λ[E]:λ∈X}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {λ[E]:λ∈X}).

3: Aus 2“...Ω∈ {λ[E]:λ∈X}”

folgt via 8-19:∃Ψ : (Ω = Ψ[E]) ∧(Ψ ∈X).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = Ψ[E]...”

folgt: α∈Ψ[E].

5: Aus 4“α∈Ψ[E] ”

folgt via 8-7:∃Φ : (Φ ∈E)∧((Φ, α)∈Ψ).

6: Aus 5“...(Φ, α)∈Ψ ” und

aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 1-12: (Φ, α)∈SX.

7: Aus 6“ (Φ, α)∈SX” und

aus 5“...Φ∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈(SX)[E].

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈S{λ[E]:λ∈X})⇒(α∈(SX)[E]).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“S{λ[E] : λ∈X} ⊆ (SX)[E] ”

1.3: Aus A1 gleich “ (SX)[E]⊆S{λ[E]:X∈X}” und

aus A2 gleich “ S{λ[E] : λ∈X} ⊆ (SX)[E] ” folgt

via GleichheitsAxiom: (SX)[E] = S{λ[E]:λ∈X}.

120 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-21 b)

Thema1 α∈(TX)[E].

2.1: Aus Thema1“α∈(TX)[E] ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈(TX)[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈TX).

Thema3.1 β∈ {λ[E]:λ∈X}.

4: Aus Thema3.1“β∈ {λ[E]:λ∈X}”

folgt via 8-19:∃Ψ : (β= Ψ[E]) ∧(Ψ ∈X).

5: Aus 2.2“...(Ω, α)∈TX” und

aus 4“...Ψ∈X”

folgt via 1-13: (Ω, α)∈Ψ.

6: Aus 5“ (Ω, α)∈Ψ ” und

aus 2.2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈Ψ[E].

7: Aus 6“α∈Ψ[E] ” und

aus 4“...β = Ψ[E]...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3.1:

A1



“∀β: (β∈ {λ[E]:λ∈X})⇒(α∈β) ”

3.2: Aus A1 gleich

“∀β: (β∈ {λ[E] : λ∈X})⇒(α∈β)” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{λ[E]:λ∈X}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈(TX)[E]) ⇒(α∈T{λ[E] : λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def): (TX)[E]⊆T{λ[E]:λ∈X}.

#8 MENGENLEHRE 121

Beweis 8-21 c) VS gleich pMenge.

Thema1.1 α∈T{λ[{p}] : λ∈X}.

2.1: Aus Thema1.1“α∈T{λ[{p}] : λ∈X}”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

Thema2.2 β∈X.

3: Aus Thema2.2“β∈X”

folgt via 8-19:β[{p}]∈ {λ[{p}] : λ∈X}.

4: Aus Thema1.1“α∈T{λ[p}] : λ∈X}” und

aus 3“β[{p}]∈ {λ[{p}] : λ∈X}”

folgt via 1-13:α∈β[{p}].

5: Aus 4“α∈β[{p}] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈ {p})∧((Ω, α)∈β).

6: Aus 5“...Ω∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ω = p.

7: Aus 6“ Ω = p”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, α) = (p, α).

8: Aus 7“ (Ω, α) = (p, α) ” und

aus 5“...(Ω, α)∈β”

folgt: (p, α)∈β.

Ergo Thema2.2:A1



“∀β: (β∈X)⇒((p, α)∈β) ”

3: Aus VS gleich “ pMenge ” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via PaarAxiom I: (p, α) Menge.

4.1: Aus A1 gleich “ ∀β: (β∈X)⇒((p, α)∈β) ” und

aus 3“ (p, α) Menge ”

folgt via 1-13: (p, α)∈TX.

4.2: Aus VS gleich “ pMenge ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

...

122 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-21 c) ...

Thema1.1 α∈T{λ[{p}] : λ∈X}.

...

5: Aus 4.1“ (p, α)∈TX” und

aus 4.2“p∈ {p}”

folgt via 8-8:α∈(TX)[{p}].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈T{λ[{p}] : λ∈X})⇒(α∈(TX)[{p}]).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“T{λ[{p}] : λ∈X} ⊆ (TX)[{p}] ”

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: (TX)[{p}]⊆T{λ[{p}] : λ∈X}.

2: Aus 1.2“ (TX)[{p}]⊆T{λ[{p}] : λ∈X}” und

aus A2 gleich “ T{λ[{p}] : λ∈X} ⊆ (TX)[{p}] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}.

d) VS gleich 0 6=X.

1.1: Via 8-12 gilt: (TX)[0] = 0.

1.2: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via 8-20:T{λ[0] : λ∈X}= 0.

2: Aus 1.1 und

aus 1.2

folgt: (TX)[0] = T{λ[0] : λ∈X}= 0.

#8 MENGENLEHRE 123

Beweis 8-21 e) VS gleich 0 6=X.

1: Es gilt: (pMenge) ∨(pUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall pMenge.

Aus 1.1.Fall“pMenge”

folgt via des bereits bewiesenen c): (TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}.

1.2.Fall pUnmenge.

2: Aus 1.2.Fall“pUnmenge”

folgt via 1-4:{p}= 0.

3: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via des bereits bewiesenen d): (TX)[0] = T{λ[0] : λ∈X}.

4: (TX)[{p}]2

= (TX)[0] 3

=T{λ[0] : λ∈X}2

=T{λ[{p}] : λ∈X}.

5: Aus 4

folgt: (TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(TX)[{p}] = T{λ[{p}] : λ∈X}.

1.1: Via 8-12 gilt: (T0)[0] = 0.

1.2: Via 0-18 gilt: 0 6=U.

1.3: Via 8-20 gilt: T{λ[0] : λ∈0}=U.

2: Aus 1.1,

aus 1.2 und

aus 1.3

folgt: (T0)[0] 6=T{λ[0] : λ∈0}

∧(T0)[0] = 0

∧T{λ[0] : λ∈0}=U.

124 MENGENLEHRE #8

8-22. Bei “ {x[λ]:λ∈E}” handelt es sich um die Klasse aller Bilder von Ele-

menten einer festen Klasse Eunter einer festen Klasse x. Die Begriffsbildung ist

ahnlich zu, aber ungleich der Definition 8-18. Aus diesem Grund wird auch die

anonsten eher unhandliche Variabel “ E” eingesetzt:

8-22(Definition)

8.2(E, x) = {x[λ] : λ∈E}={ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω]))}.

#8 MENGENLEHRE 125

8-23. In a) wird Notwendiges aus “ w∈ {x[λ]:λ∈E}” gefolgert. In bc) wird

von “ E∈x” ausgegangen und es wird jeweils eine Zusatzbedinung formuliert,

um auf “ x[E]∈ {x[λ]:λ∈E}” schließen zu k¨

onnen. Beide Zusatzbedingungen

fordern eine “ Mengen-Eigenschaft” ein:

8-23(Satz)

a) Aus “ w∈ {x[λ]:λ∈E}” folgt “ ∃Ω : (w=x[Ω]) ∧(Ω ∈E)” .

b) Aus “ E∈E” und “ x[E]Menge” folgt “ x[E]∈ {x[λ]:λ∈E}” .

c) Aus “ E∈E” und “ xMenge” folgt “ x[E]∈ {x[λ]:λ∈E}” .

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ] : λ∈E}.

126 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-23 a) VS gleich w∈ {x[λ] : λ∈E}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {x[λ]:λ∈E}” und

aus “ {x[λ]:λ∈E}={ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω]))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω]))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω]))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈E)∧(w=x[Ω]).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w=x[Ω]) ∧(Ω ∈E).

b) VS gleich (E∈E)∧(x[E] Menge).

1: Aus VS gleich “ E∈E...”

folgt: ∃E:E∈E.

2: Aus 1“∃E:E∈E” und

aus “ x[E] = x[E]”

folgt: ∃E: (E∈E)∧(x[E] = x[E]).

3: Aus 2“∃E: (E∈E)∧(x[E] = x[E]) ” und

aus VS gleich “ . . . x[E] Menge ”

folgt: x[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω])}.

4: Aus 3“x[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω])}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈E)∧(ω=x[Ω])}={x[λ]:λ∈E}”

folgt: x[E]∈ {x[λ] : λ∈E}.

c) VS gleich (E∈E)∧(xMenge).

1: Aus VS gleich “ . . . x Menge ”

folgt via 8-11:x[E] Menge.

2: Aus VS gleich “ E∈E...” und

aus 1“. . . x[E] Menge ”

folgt via des bereits bewiesenen b):x[E]∈ {x[λ] : λ∈E}.

#8 MENGENLEHRE 127

8-24. Es folgt eine Gleichung, die bei weiteren klassenalgebraischen Untersuchun-

gen von “ {x[λ]:λ∈E}” hilfreiche Beispiele liefert:

8-24(Satz)

{x[λ]:λ∈0}= 0.

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ] : λ∈0}.

Beweis 8-24

Thema1 α∈ {x[λ]:λ∈0}.

2: Aus Thema1“α∈ {x[λ] : λ∈0}”

folgt via 8-23:∃Ω : (α=x[Ω]) ∧(Ω ∈0).

3: Es gilt 2“...Ω∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈ {x[λ]:λ∈0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {x[λ] : λ∈0})⇒(α /∈ {x[λ]:λ∈0}).

Konsequenz via 0-19:{x[λ]:λ∈0}= 0.

128 MENGENLEHRE #8

8-25. Gem¨

aß a) ist die Vereinigung der Bilder der Elemente einer Klasse yun-

ter xeine TeilKlasse des Bildes der Vereinigung von yunter x. In bc) wird

jeweils eine “ Mengen-Eigenschaft” gefordert, die zur Konsequenz hat, dass aus

der “ TeilKlassen-Aussage” von a) eine “ Gleichheits-Aussage” wird. Es bleibt in

8-25 offen, ob es Klassen x, y mit “ S{x[λ]:λ∈y} 6=x[Sy]” gibt. Diese Frage

wird in 8-26 beantwortet, wo mit Hilfe von Ugezeigt wird, dass diese Ungleichung

tats¨

achlich auftreten kann:

8-25(Satz)

a) S{x[λ]:λ∈E} ⊆ x[SE].

b) Aus “ ∀α: (α∈E)⇒(x[α]Menge)” folgt

“x[SE] = S{x[λ] : λ∈E}” .

c) Aus “ xMenge” folgt “ x[SE] = S{x[λ] : λ∈E}” .

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ]:λ∈E}.

#8 MENGENLEHRE 129

Beweis 8-25 a)

Thema1 α∈S{x[λ] : λ∈E}.

2: Aus Thema1“α∈S{x[λ]:λ∈E}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {x[λ] : λ∈E}).

3: Aus 2“...Ω∈ {x[λ]:λ∈E}”

folgt via 8-23:∃Ψ : (Ω = x[Ψ]) ∧(Ψ ∈E).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = x[Ψ] ...”

folgt: α∈x[Ψ].

5: Aus 4“α∈x[Ψ] ”

folgt via 8-7:∃Φ : (Φ ∈Ψ) ∧((Φ, α)∈x).

6: Aus 5“...Φ∈Ψ...” und

aus 3“...Ψ∈E”

folgt via 1-12: Φ ∈SE.

7: Aus 5“...(Φ, α)∈x” und

aus 6“ Φ ∈SE”

folgt via 8-8:α∈x[SE].

Ergo Thema1:∀α: (α∈S{x[λ]:λ∈E})⇒(α∈x[SE]).

Konsequenz via 0-2(Def):S{x[λ]:λ∈E} ⊆ x[SE].

130 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-25 b) VS gleich ∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge).

Thema1.1 β∈x[SE].

2: Aus Thema1.1“β∈x[SE] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈SE)∧((Ω, β)∈x).

3: Aus 2“...Ω∈SE...”

folgt via 1-12:∃Ψ : (Ω ∈Ψ) ∧(Ψ ∈E).

4.1: Aus 3“...Ψ∈E” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge) ”

folgt: x[Ψ] Menge.

4.2: Aus 2“...(Ω, β)∈x” und

aus 3“...Ω∈Ψ...”

folgt via 8-8:β∈x[Ψ].

5: Aus 3“...Ψ∈E” und

aus 4.1“x[Ψ] Menge ”

folgt via 8-23:x[Ψ] ∈ {x[λ] : λ∈E}.

6: Aus 4.2“β∈x[Ψ] ” und

aus 5“x[Ψ] ∈ {x[λ]:λ∈E}”

folgt via 1-12:β∈S{x[λ] : λ∈E}.

Ergo Thema1.1:∀β: (β∈x[SE]) ⇒(β∈S{x[λ] : λ∈E}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x[SE]⊆S{x[λ]:λ∈E}”

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: S{x[λ] : λ∈E})⊆x[SE].

2: Aus A1 gleich “ x[Sλ]⊆S{x[λ]:λ∈E}” und

aus 1.2“S{x[λ] : λ∈E} ⊆ x[SE] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[SE] = S{x[λ] : λ∈E}.

#8 MENGENLEHRE 131

Beweis 8-25 c) VS gleich xMenge.

Thema1.1 α∈E.

Aus VS gleich “ xMenge ”

folgt via 8-11:x[α] Menge.

Ergo Thema1.1:A1



“∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge) ”

1.2: Aus A1 gleich “ ∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge) ”

folgt via des bereits bewiesenen b):x[SE] = S{x[λ] : λ∈E}.

132 MENGENLEHRE #8

8-26. Es wird die offene Frage, ob es y, Emit “ y[SE]6=S{y[λ] : λ∈E}” gibt,

unter Verwendung von y=Upositiv gekl¨

art.

Die Pr¨

amisse von d) ist “ 0 6=E6={0}” . Hiermit ist na¨

urlich “ (0 6=E)∧(E6=

{0})” gemeint. Diese Notation ist im Vergleich zu der ausf¨

uhrlichen Schreibweise

knackiger und wird immer wieder eingesetzt:

8-26(Satz)

a) {U[λ]:λ∈E} ⊆ {0}.

b) S{U[λ]:λ∈E}= 0.

c) Aus “ U[SE] = S{U[λ]:λ∈E}” folgt “ E= 0” oder “ E={0}” .

d) Aus “ 06=E6={0}” folgt “ U[SE]6=S{U[λ]:λ∈E}” .

e) “U[SU]6=S{U[λ]:λ∈ U}” und

“U[SU] = U” und “ S{U[λ] : λ∈ U} = 0” .

————————————————————————————

8-22(Def) {U[λ]:λ∈E}und “ {U[λ] : λ∈ U}” .

#8 MENGENLEHRE 133

Beweis 8-26 a)

Thema1 α∈ {U[λ] : λ∈E}.

2.1: Aus Thema1“α∈ {U[λ] : λ∈E}”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ {U[λ] : λ∈E}”

folgt via 8-23:∃Ω : (α=U[Ω]) ∧(Ω ∈E).

3: Aus 2.2“...α=U[Ω] ...” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt: U[Ω] Menge.

4.1: Es gilt: (0 6= Ω) ∨(Ω = 0).

Fallunterscheidung

4.1.1.Fall 06= Ω.

5: Aus 4.1.1.Fall“0 6= Ω”

folgt via 8-12:U[Ω] = U.

6: Aus 5“U[Ω] = U” und

aus 3“U[Ω] Menge ”

folgt: UMenge.

7: Es gilt 6“UMenge ” .

Via 0UAxiom gilt “ UUnmenge” .

Ex falso quodlibet folgt: Ω = 0.

4.1.2.Fall Ω = 0.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

A1



“ Ω = 0 ”

...

134 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-26 a) ...

Thema1 α∈ {U[λ] : λ∈E}.

...

4.2: Aus 2.2“...α=U[Ω] ...” und

aus A1 gleich “ Ω = 0 ”

folgt: α=U[0].

5: Via 8-12 gilt: U[0] = 0.

6.1: Aus 4.2“α=U[0] ” und

aus 5“U[0] = 0 ”

folgt: α= 0.

6.2: Via 1-5 gilt: 0 ∈ {0}.

7: Aus 6.1“α= 0 ” und

aus 6.2“ 0 ∈ {0}”

folgt: α∈ {0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {U[λ]:λ∈E})⇒(α∈ {0}).

Konsequenz via 0-2(Def):{U[λ] : λ∈E} ⊆ {0}.

1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: {U[λ] : λ∈E} ⊆ {0}.

2: Aus 1“{U[λ]:λ∈E} ⊆ {0}”

folgt via 1-15:S{U[λ] : λ∈E} ⊆ S{0}.

3: Via 1-14 gilt: S{0}= 0.

4: Aus 2“S{U[λ] : λ∈E} ⊆ S{0}” und

aus 3“S{0}= 0 ”

folgt: S{U[λ] : λ∈E} ⊆ 0.

5: Aus 4“S{U[λ] : λ∈E} ⊆ 0 ”

folgt via 0-18:S{U[λ] : λ∈E}= 0.

#8 MENGENLEHRE 135

Beweis 8-26 c) VS gleich U[SE] = S{U[λ] : λ∈E}.

1: Via des bereits bewiesenen b) gilt: S{U[λ] : λ∈E}= 0.

2: Aus VS gleich “ U[SE] = S{U[λ]:λ∈E}” und

aus 1“S{U[λ]:λ∈E}= 0 ”

folgt: U[SE] = 0.

3: Aus 2“U[SE] = 0 ”

folgt via 8-13: (SE)∩(dom U) = 0.

4: Via 7-11 gilt: dom U=U.

5: 03

= (SE)∩(dom U)4

= (SE)∩ U 2−17

=SE.

6: Aus 5“ 0 = ...=SE”

folgt: SE= 0.

7: Aus 5“SE= 0 ”

folgt via 1-18: (E= 0) ∨(E={0}).

d) VS gleich 0 6=E6={0}.

1: Aus VS gleich “ 0 6=E6={0}”

folgt: (0 6=E)∧(E6={0}).

2: Es gilt: U[SE] = S{U[λ] : λ∈E}

∨

U[SE]6=S{U[λ] : λ∈E}.

Fallunterscheidung

2.1.Fall U[SE] = S{U[λ]:λ∈E}.

3: Aus 2.1.Fall“U[SE] = S{U[λ] : λ∈E}”

folgt via des bereits bewiesenen c): (E= 0) ∨(E={0}).

4: Es gilt 3“ (E= 0) ∨(E={0}) ” .

Es gilt 1“ (0 6=E)∧(E6={0}) ” .

Ex falso quodlibet folgt: U[SE]6=S{U[λ]:λ∈E}.

2.2.Fall U[SE]6=S{U[λ]:λ∈E}.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

U[SE]6=S{U[λ] : λ∈E}.

136 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-26 e)

1.1: Via 0-18 gilt: 0 6=U.

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: S{U[λ] : λ∈ U} = 0.

1.3: Via 1-14 gilt: SU=U.

2: Aus 1.1“ 0 6=U” und

aus 1.3“SU=U”

folgt: 0 6=SU.

3: Aus 2“ 0 6=SU”

folgt via 8-12:U[SU] = U.

4: Aus 3“U[SU] = U” ,

aus 1.1“ 0 6=U” und

aus 1.2“S{U[λ] : λ∈ U} = 0 ”

folgt: U[SU]6=S{U[λ] : λ∈ U}

∧ U[SU] = U

∧S{U[λ] : λ∈ U} = 0.

#8 MENGENLEHRE 137

8-27. Das Bild des Durchschnitts von Eunter xist eine Teilklasse des Durch-

schnitts der Bilder der Elemente von Eunter x. Der Frage, ob es Klassen gibt, wo

“ Ungleichheit” oder “ Gleichheit” an Stelle von “ TeilKlasse” tritt, wird in 8-28

und 8-29 mit dem Ergebnis, dass wohl beides m¨

oglich ist, nachgegangen. Ein

Beispiel f¨

ur die Gleichheit steht via 8-29 erst dann zur Verf¨

ugung, wenn eine

injektive Menge angegeben werden kann. Injektive Mengen gibt es, doch die ent-

sprechenden Beispiele - genauer: injektive Funktionen, die Mengen sind - folgen

erst sp¨

ater. In 8-29 werden Klassen, f¨

ur die Ungleichheit besteht, angegeben:

8-27(Satz)

x[TE]⊆T{x[λ]:λ∈E}.

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ] : λ∈E}.

138 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-27

Thema1 α∈x[TE].

2.1: Aus Thema1“α∈x[TE] ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈x[TE] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈TE)∧((Ω, α)∈x).

Thema3.1 β∈ {x[λ]:λ∈E}.

4: Aus Thema3.1“β∈ {x[λ]:λ∈E}”

folgt via 8-23:∃Ψ : (β=x[Ψ]) ∧(Ψ ∈E).

5: Aus 2.2“...Ω∈TE...” und

aus 4“...Ψ∈E”

folgt via 1-13: Ω ∈Ψ.

6: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x” und

aus 5“ Ω ∈Ψ ”

folgt via 8-8:α∈x[Ψ].

7: Aus 6“α∈x[Ψ] ” und

aus 4“...β =x[Ψ] ...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3.1:

A1



“∀β: (β∈ {x[λ] : λ∈E})⇒(α∈β) ”

3.2: Aus A1 gleich “ ∀β: (β∈ {x[λ]:λ∈E})⇒(α∈β) ” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{x[λ] : λ∈E}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[TE]) ⇒(α∈T{x[λ] : λ∈E}).

Konsequenz via 0-2(Def):x[TE]⊆T{x[λ] : λ∈E}.

#8 MENGENLEHRE 139

8-28. Obwohl die Formulierung etwas anders lautet, wird im folgenden Satz sicher

gestellt, dass f¨

ur jede injektive Menge xund f¨

ur jede nichtleere Klasse Edie

Gleichung “ x[TE] = T{x[λ]:λ∈E}” besteht. Im Satz wird anders gefordert,

dass f¨

ur jede Menge α∈Edie Klasse x[α] eine Menge sein muss. Dies ist via

8-11 der Fall, wenn xeine Menge ist:

8-28(Satz)

Es gelte:

→)xinjektiv.

→)06=E.

→)∀α: (α∈E)⇒(x[α]Menge).

Dann folgt “ x[TE] = T{x[λ]:λ∈E}” .

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ] : λ∈E}.

140 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-28

Thema1.1 β∈T{x[λ] : λ∈E}.

2: Aus →)“ 0 6=E”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈E.

3: Aus 2.2“...Ω∈E” und

aus →)“∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge) ”

folgt: x[Ω] Menge.

4: Aus 2.2“...Ω∈E” und

aus 3“x[Ω] Menge ”

folgt via 8-23:x[Ω] ∈ {x[λ] : λ∈E}.

5: Aus Thema1.1“β∈T{x[λ]:λ∈E}” und

aus 4“x[Ω] ∈ {x[λ]:λ∈E}”

folgt via 1-13:β∈x[Ω].

6: Aus 4“β∈x[Ω] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈Ω) ∧((Ψ, β)∈x).

7: Aus 6“...Ψ∈Ω...”

folgt via ElementAxiom: Ψ Menge.

...

#8 MENGENLEHRE 141

Beweis 8-28 ...

Thema1.1 β∈T{x[λ] : λ∈E}.

...

Thema8.1 γ∈E.

9: Aus Thema8.1“γ∈E” und

aus →)“∀α: (α∈E)⇒(x[α] Menge) ”

folgt: x[γ] Menge.

10: Aus Thema8.1“γ∈E” und

aus 9“x[γ] Menge ”

folgt via 8-23:x[γ]∈ {x[λ]:λ∈E}.

11: Aus Thema1.1“β∈T{x[λ] : λ∈E}” und

aus 10“x[γ]∈ {x[λ] : λ∈E}”

folgt via 1-13:β∈x[γ].

12: Aus 11“β∈x[γ] ”

folgt via 8-7:∃Φ : (Φ ∈γ)∧((Φ, β)∈x).

13: Aus →)“xinjektiv ” ,

aus 12“...(Φ, β)∈x” und

aus 6“...(Ψ, β)∈x”

folgt via 8-1(Def): Φ = Ψ.

14: Aus 13“ Φ = Ψ ” und

aus 12“...Φ∈γ . . . ”

folgt: Ψ ∈γ.

Ergo Thema8.1:A2



“∀γ: (γ∈E)⇒(Ψ ∈γ) ”

...

142 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-28 ...

Thema1.1 β∈T{x[λ] : λ∈E}.

...

8.2: Aus A2 gleich “ ∀γ: (γ∈E)⇒(Ψ ∈γ) ” und

aus 7“ Ψ Menge ”

folgt via 1-13: Ψ ∈TE.

9: Aus 6“...(Ψ, β)∈x” und

aus 8.2“ Ψ ∈TE”

folgt via 8-8:β∈x[TE].

Ergo Thema1.1:∀β: (β∈T{x[λ]:λ∈E})⇒(β∈x[TE]).

Konsequenz via 0-2(Def):A3



“T{x[λ]:λ∈E} ⊆ x[TE] ”

1.2: Via 8-27 gilt: x[TE]⊆T{x[λ] : λ∈E}.

2: Aus 1.2“x[TE]⊆T{x[λ]:λ∈E}” und

aus A3 gleich “ T{x[λ] : λ∈E} ⊆ x[TE] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[TE] = T{x[λ] : λ∈E}.

#8 MENGENLEHRE 143

8-29. Aussagen abc) bereiten d) vor. Im Beweis von b) wird der als hilfreich

titulierte Satz 8-24 verwendet. In d) wird mit “ x=E= 0” ein Beispiel f¨

“x[TE]6=T{x[λ] : λ∈E}” gegeben. In diesem Zusammenhang ist interessant,

dass via 8-27 die Aussage “ x[TE]⊆T{x[λ]:λ∈E}” gilt:

8-29(Satz)

a) x[T0]=ran x.

b) T{x[λ]:λ∈0}=U.

c) Aus “ x[T0] = T{x[λ]:λ∈0}” folgt “ ran x=U” .

d) “0[T0] 6=T{0[λ] : λ∈0}”

und “ 0[T0] = 0” und “ T{0[λ] : λ∈0}=U” .

————————————————————————————

8-22(Def) {x[λ] : λ∈0}.

144 MENGENLEHRE #8

Beweis 8-29 a)

1: x[T0] 1−14

=x[U]8−12

=ran x.

2: Aus 1

folgt: x[T0] = ran x.

1: T{x[λ] : λ∈0}8−24

=T01−14

=U.

2: Aus 1

folgt: T{x[λ]:λ∈0}=U.

c) VS gleich x[T0] = T{x[λ] : λ∈0}.

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: x[T0] = ran x.

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: T{x[λ]:λ∈0}=U.

2: Aus 1.1“x[T0] = ran x” und

aus VS gleich “ x[T0] = T{x[λ]:λ∈0}”

folgt: ran x=T{x[λ] : λ∈0}.

3: Aus 2“ran x=T{x[λ] : λ∈0}” und

aus 1.2“T{x[λ] : λ∈0}=U”

folgt: ran x=U.

1.1: Via 8-12 gilt: 0[T0] = 0.

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: T{0[λ] : λ∈0}=U.

1.3: Via 0-18 gilt: 0 6=U.

2: Aus 1.1,

aus 1.2 und

aus 1.3

folgt: 0[T0] 6=T{0[λ] : λ∈0}

∧0[T0] = 0

∧T{0[λ] : λ∈0}=U.

#9 MENGENLEHRE 145

Bild von Eunter x:∪,∩,\,∆.

xinjektiv.

x[{p}].

(x×y)[E].

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 13/04/11

146 MENGENLEHRE #9

9-1. In a) wird gesagt, dass das Bild von Eunter der bin¨

aren Vereinigung von x

und ygleich der bin¨

aren Vereinigung der Bilder von Eunter xund unter yist.

Gem¨

aß b) ist das Bild von Eunter dem bin¨

aren Durchschnitt eine TeilKlasse

des bin¨

aren Durchschnitts der Bilder von Eunter xund unter y. Dass hier an

Stelle der “ TeilKlassen-Aussage” auch eine “ Gleichheits-Aussage” treten kann,

wird in c) bewiesen. Gem¨

aß c) ist das Bild von Singelton punter dem bin¨

aren

Durchschnitt von xund ygleich dem bin¨

aren Durchschnitt der Bilder von Sin-

gelton punter xund unter y. In 9-1 wird nichts weiter dar¨

uber ausgesagt, ob

die “ TeilKlassen-Aussage” von b) auch eine “ Ungleichheits-Aussage” sein kann.

Genaueres hierzu in der folgenden Bemerkung und dem anschließenden Beispiel:

9-1(Satz)

a) (x∪y)[E] = (x[E]) ∪(y[E]).

b) (x∩y)[E]⊆(x[E]) ∩(y[E]).

c) (x∩y)[{p}] = (x[{p}]) ∩(y[{p}]).

#9 MENGENLEHRE 147

Beweis 9-1 a)

Thema1.1 α∈(x∪y)[E].

2: Aus Thema1.1“α∈(x∪y)[E] ”

folgt via 8-7:

∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x∪y).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x∪y”

folgt via 2-2: ((Ω, α)∈x)∨((Ω, α)∈y).

Fallunterscheidung

3.1.Fall (Ω, α)∈x.

4: Aus 3.1.Fall“(Ω, α)∈x” und

aus 2“...Ω∈E...”

folgt via 8-8:α∈x[E].

5: Aus 4“α∈x[E] ”

folgt via 2-2:α∈(x[E]) ∪(y[E]).

3.2.Fall (Ω, α)∈y.

4: Aus 3.2.Fall“(Ω, α)∈y” und

aus 2.2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈y[E].

5: Aus 4“α∈y[E] ”

folgt via 2-2:α∈(x[E]) ∪(y[E]).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈(x[E]) ∪(y[E]).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(x∪y)[E]) ⇒(α∈(x[E]) ∪(y[E])).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (x∪y)[E]⊆(x[E]) ∪(y[E]) ”

148 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-1 a) ...

1.2: Via 2-7 gilt: x⊆x∪y.

1.3: Via 2-7 gilt: y⊆x∪y.

2.1: Aus 1.2“x⊆x∪y”

folgt via 8-9:x[E]⊆(x∪y)[E].

2.2: Aus 1.3“y⊆x∪y”

folgt via 8-9:y[E]⊆(x∪y)[E].

3: Aus 2.1“x[E]⊆(x∪y)[E] ” und

aus 2.2“y[E]⊆(x∪y)[E] ”

folgt via 2-12: (x[E]) ∪(y[E]) ⊆(x∪y)[E].

4: Aus A1 gleich “ (x∪y)[E]⊆(x[E]) ∪(y[E]) ” und

aus 3“ (x[E]) ∪(y[E]) ⊆(x∪y)[E] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (x∪y)[E] = (x[E]) ∪(y[E]).

1.1: Via 2-7 gilt: x∩y⊆x.

1.2: Via 2-7 gilt: x∩y⊆y.

2.1: Aus 1.1“x∩y⊆x”

folgt via 8-9: (x∩y)[E]⊆x[E].

2.2: Aus 1.2“x∩y⊆y”

folgt via 8-9: (x∩y)[E]⊆y[E].

3: Aus 2.1“ (x∩y)[E]⊆x[E] ” und

aus 2.2“ (x∩y)[E]⊆y[E] ”

folgt via 2-12: (x∩y)[E]⊆(x[E]) ∩(y[E]).

#9 MENGENLEHRE 149

Beweis 9-1 c)

1: Es gilt: (pMenge) ∨(pUnmenge).

Fallunterscheidung

1.1.Fall pMenge.

Thema2.1 α∈(x[{p}]) ∩(y[{p}]).

3: Aus Thema2.1“α∈(x[{p}]) ∩(y[{p}]) ”

folgt via 2-2: (α∈x[{p}]) ∧(α∈y[{p}]).

4.1: Aus 3“α∈x[{p}]...”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈ {p})∧((Ω, α)∈x).

4.2: Aus 3“...α∈y[{p}] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈ {p})∧((Ψ, α)∈y).

5.1: Aus 4.1“...Ω∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ω = p.

5.2: Aus 4.2“...Ψ∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ψ = p.

6.1: Aus 5.1“Ω = p”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, α) = (p, α).

6.2: Aus 5.2“Ψ=p”

folgt via PaarAxiom I: (Ψ, α) = (p, α).

7.1: Aus 6.1“(Ω, α) = (p, α) ” und

aus 4.1“...(Ω, α)∈x”

folgt: (p, α)∈x.

7.2: Aus 6.2“(Ψ, α) = (p, α) ” und

aus 4.2“...(Ψ, α)∈y”

folgt: (p, α)∈y.

8: Aus 7.1“(p, α)∈x” und

aus 7.2“ (p, α)∈y”

folgt via 2-2: (p, α)∈x∩y.

...

150 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-1 c) ...

Fallunterscheidung

1.1.Fall pMenge.

...

Thema2.1 α∈(x[{p}]) ∩(y[{p}]).

...

9: Aus VS gleich “ pMenge ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

10: Aus 8“(p, α)∈x∩y” und

aus 9“p∈ {p}”

folgt via 8-8:α∈(x∩y)[{p}].

Ergo Thema2.1:∀α: (α∈(x[{p}]) ∩(y[{p})) ⇒(α∈(x∩y)[{p}]).

Konsequenz via 0-2(Def):A3



“ (x[{p}]) ∩(y[{p}]) ⊆(x∩y)[{p}] ”

2.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt:

(x∩y)[{p}]⊆(x[{p}]) ∩(y[{p}]).

3: Aus 2.2“(x∩y)[{p}]⊆(x[{p}]) ∩(y[{p}]) ” und

aus A3 gleich “ (x[{p}]) ∩(y[{p}]) ⊆(x∩y)[{p}]”

folgt via GleichheitsAxiom: (x∩y)[{p}] = (x[{p}]) ∩(y[{p}]).

1.2.Fall pUnmenge.

2: Aus 1.2.Fall“pUnmenge”

folgt via 1-4:{p}= 0.

3: (x[{p}]) ∩(y[{p}]) 3

= (x[0]) ∩(y[0]) 8−12

= 0 ∩y[0] 2−17

=y[0] 8−12

= 0

8−12

= (x∩y)[0] 2

= (x∩y)[{p}].

4: Aus 3

folgt: (x∩y)[{p}] = (x[{p}]) ∩(y[{p}]).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

(x∩y)[{p}] = (x[{p}]) ∩(y[{p}]).

#9 MENGENLEHRE 151

9-2. Wie aus Beispiel 9-3 ableitbar, kann die “ TeilKlassen-Aussage” von 9-1b)

nicht ohne Weiteres in eine Gleichung ¨

ubergef¨

uhrt werden:

9-2.Bemerkung

Die Gleichung

“ (x∩y)[E] = (x[E]) ∩(y[E])”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

152 MENGENLEHRE #9

9-3. Wie an Hand des folgenden Beispiels klar wird, kann die “ TeilKlassen-

Aussage” von 9-1b) nicht ohne Weiteres in eine Gleichung ¨

ubergef¨

uhrt werden:

9-3.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(q, p)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) x∩y= 0.

b) x[E] = {p}.

c) y[E] = {p}.

d) (x∩y)[E] = 0

e) (x[E]) ∩(y[E]) = {p}.

f) (x∩y)[E]6= (x[E]) ∩(y[E]).

#9 MENGENLEHRE 153

9-4. In a) wird gesagt, dass KlassenDifferenz der Bilder von Eunter xund un-

ter yeine TeilKlasse des Bildes von Eunter der KlassenDifferenz von xund y

ist. In b) wird unter Verwendung von 9-1 bewiesen, dass das Bild von Eunter

x∆ygleich der Vereinigung der Bilder von Eunter x\yund y\xist. Gem¨

aß

c) ist die symmetrische KlassenDifferenz der Bilder von Eunter xund unter

yeine TeilKlasse des Bildes von Eunter x∆y. Es wird nichts weiter dar¨

uber

ausgesagt, ob die “ TeilKlassen-Aussage” von ac) auch eine “ Gleichheits-” oder

“ Ungleichheits-Aussage” sein kann. Weitere Aussagen hierzu folgen in der nach-

folgenden Bemerkung und den anschließenden Beispielen:

9-4(Satz)

a) (x[E]) \(y[E]) ⊆(x\y)[E].

b) ((x\y)[E]) ∪((y\x)[E]) = (x∆y)[E].

c) (x[E])∆(y[E]) ⊆(x∆y)[E].

154 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-4 a)

Thema1 α∈(x[E]) \(y[E]).

2.1: Aus Thema1“α∈(x[E]) \(y[E]) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈(x[E]) \(y[E]) ”

folgt via 5-3: (α∈x[E]) ∧(α /∈y[E]).

3: Aus 2.2“α∈x[E]...”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x).

4: Aus 2.1“αMenge ” ,

aus 2.2“...α /∈y[E] ” und

aus 3“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-17: (Ω, α)/∈y.

5: Aus 3“...(Ω, α)∈x” und

aus 4“ (Ω, α)/∈y”

folgt via 5-3: (Ω, α)∈x\y.

6: Aus 5“ (Ω, α)∈x\y” und

aus 3“...Ω∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈(x\y)[E].

Ergo Thema1:∀α: (α∈(x[E]) \(y[E])) ⇒(α∈(x\y)[E]).

Konsequenz via 0-2(Def): (x[E]) \(y[E]) ⊆(x\y)[E].

1: ((x\y)[E]) ∪((y\x)[E]) 9−1

= ((x\y)∪(y\x))[E]5−27

= (x∆y)[E].

2: Aus 1

folgt: ((x\y)[E]) ∪((y\x)[E]) = (x∆y)[E].

#9 MENGENLEHRE 155

Beweis 9-4 c)

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (x[E]) \(y[E]) ⊆(x\y)[E].

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (y[E]) \(x[E]) ⊆(y\x)[E].

1.3: Via 5-27 gilt: (x[E])∆(y[E]) = ((x[E]) \(y[E])) ∪((y[E]) \(x[E])).

2: Aus 1.1“ (x[E]) \(y[E]) ⊆(x\y)[E] ” und

aus 1.2“ (y[E]) \(x[E]) ⊆(y\x)[E] ”

folgt via 2-13:

((x[E]) \(y[E])) ∪((y[E]) \(x[E])) ⊆((x\y)[E]) ∪((y\x)[E]).

3: (x[E])∆(y[E]) 1.3

= ((x[E]) \(y[E])) ∪((y[E]) \(x[E]))

⊆((x\y)[E]) ∪((y\x)[E]) b)

= (x∆y)[E].

4: Aus 3

folgt: (x[E])∆(y[E]) ⊆(x∆y)[E].

156 MENGENLEHRE #9

9-5. Wie bereits vorab zu 9-4 fest gestellt und wie in den nachfolgenden Bei-

spielen untermauert wird, k¨

onnen die Aussagen 9-4ac) nicht ohne Weiteres in

Gleichungen verwandelt werden:

9-5.Bemerkung

•Die Gleichung

“ (x[E]) \(y[E]) = (x\y)[E]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ (x[E])∆(y[E]) = (x∆y)[E]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

#9 MENGENLEHRE 157

9-6. Es folgt ein Beispiel, das belegt, dass 9-4a) nicht ohne Weiteres als Gleichung

zur Verf¨

ugung steht:

9-6.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(q, p)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) x[E] = {p}.

b) y[E] = {p}.

c) x\y=x.

d) (x[E]) \(y[E]) = 0.

e) (x\y)[E] = {p}.

f) (x[E]) \(y[E]) 6= (x\y)[E].

158 MENGENLEHRE #9

9-7. Es folgt ein Beispiel, das belegt, dass 9-4c) nicht ohne Weiteres als Gleichung

zur Verf¨

ugung steht:

9-7.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(q, p)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) x[E] = {p}.

b) y[E] = {p}.

c) x∆y={(p, p),(q, p)}.

d) (x[E])∆(y[E]) = 0.

e) (x∆y)[E] = {p}.

f) (x[E])∆(y[E]) 6= (x∆y)[E].

#9 MENGENLEHRE 159

9-8. In a) wird gezeigt, dass das Bild von E∪eunter xgleich der bin¨

aren Verei-

nigung der Bilder von Eund eunter xist. Im “ Durchschnitts-Pendant” b) von

a) wird gesagt, dass das Bild von E∩eunter xeine TeilKlasse des bin¨

aren

Durchschnitts der Bilder von Eund eunter xist. Gem¨

aß c) wird aus der

“ TeilKlassen-Aussage” von b) eine “ Gleichheits-Aussage” , wenn xinjektiv ist.

Es wird nichts weiter dar¨

uber ausgesagt, ob die “ TeilKlassen-Aussage” von b)

auch eine “ Ungleichheits-Aussage” sein kann. Weitere Aussagen hierzu sind der

anschließenden Bemerkung und dem darauf folgenden Beispiel zu entnehmen:

9-8(Satz)

a) x[E∪e] = (x[E]) ∪(x[e]).

b) x[E∩e]⊆(x[E]) ∩(x[e]).

c) Aus “ xinjektiv” folgt “ x[E∩e] = (x[E]) ∩(x[e])” .

160 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-8 a)

Thema1.1 α∈x[E∪e].

2: Aus Thema1.1“α∈x[E∪e] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E∪e)∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2“...Ω∈E∪e . . . ”

folgt via 2-2: (Ω ∈E)∨(Ω ∈e).

Fallunterscheidung

3.1.Fall Ω∈E.

4: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3.1.Fall“Ω ∈E”

folgt via 8-8:α∈x[E].

5: Aus 4“α∈x[E] ”

folgt via 2-2:α∈(x[E]) ∪(x[e]).

3.2.Fall Ω∈e.

4: Aus 2.2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3.2.Fall“Ω ∈e”

folgt via 8-8:α∈x[e].

5: Aus 4“α∈x[e] ”

folgt via 2-2:α∈(x[E]) ∪(x[e]).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈(x[E]) ∪(x[e]).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈x[E∪e]) ⇒(α∈(x[E]) ∪(x[e])).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x[E∪e]⊆(x[E]) ∪(x[e]) ”

#9 MENGENLEHRE 161

Beweis 9-8 a) ...

1.2: Via 2-7 gilt: E⊆E∪e.

1.3: Via 2-7 gilt: e⊆E∪e.

2.1: Aus 1.2“E⊆E∪e”

folgt via 8-9:x[E]⊆x[E∪e].

2.2: Aus 1.3“e⊆E∪e”

folgt via 8-9:x[e]⊆x[E∪e].

3: Aus 2.1“x[E]⊆x[E∪e] ” und

aus 2.2“x[e]⊆x[E∪e] ”

folgt via 2-12:A2



“ (x[E]) ∪(x[e]) ⊆x[E∪e] ”

1.4: Aus A1 gleich “ x[E∪e]⊆(x[E]) ∪(x[e]) ” und

aus A2 gleich “ (x[E]) ∪(x[e]) ⊆x[E∪e] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[E∪e] = (x[E]) ∪(x[e]).

1.1: Via 2-7 gilt: E∩e⊆E.

1.2: Via 2-7 gilt: E∩e⊆e.

2.1: Aus 1.1“E∩e⊆E”

folgt via 8-9:x[E∩e]⊆x[E].

2.2: Aus 1.2“E∩e⊆e”

folgt via 8-9:x[E∩e]⊆x[e].

3: Aus 2.1“x[E∩e]⊆x[E] ” und

aus 2.2“x[E∩e]⊆x[e] ”

folgt via 2-12:x[E∩e]⊆(x[E]) ∩(x[e]).

162 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-8 c) VS gleich xinjektiv.

Thema1.1 α∈(x[E]) ∩(x[e]).

2.1: Aus Thema1.1“α∈(x[E]) ∩(x[e]) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1.1“α∈(x[E]) ∩(x[e]) ”

folgt via 2-2: (α∈x[E]) ∧(α∈x[e]).

3.1: Aus 2.2“α∈x[E]...”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x).

3.2: Aus 2.2“...α∈x[e] ”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈e)∧((Ψ, α)∈x).

4: Aus VS gleich “ xinjektiv ” ,

aus 3.1“...(Ω, α)∈x” und

aus 3.2“...(Ψ, α)∈x”

folgt via 8-1(Def): Ω = Ψ.

5: Aus 4“ Ω = Ψ ” und

aus 3.2“...Ψ∈e . . . ”

folgt: Ω ∈e.

6: Aus 3.1“...Ω∈E . . . ” und

aus 5“ Ω ∈e”

folgt via 2-2: Ω ∈E∩e.

7: Aus 3.1“...(Ω, α)∈x” und

aus 6“ Ω ∈E∩e”

folgt via 8-8:α∈x[E∩e].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(x[E]) ∩(x[e])) ⇒(α∈x[E∩e]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (x[E]) ∩(x[e]) ⊆x[E∩e] ”

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: x[E∩e]⊆(x[E]) ∩(x[e]).

1.3: Aus 1.2“x[E∩e]⊆(x[E]) ∩(x[e]) ” und

aus A1 gleich “ (x[E]) ∩(x[e]) ⊆x[E∩e] ” folgt

via GleichheitsAxiom:x[E∩e] = (x[E]) ∩(x[e]).

#9 MENGENLEHRE 163

9-9. Wie in 9-8c) fest gestellt, wird aus 9-8b) eine Gleichung, wenn xinjektiv

ist. In Beispiel 9-10 wird hierzu erg¨

anzend klar gemacht, dass 9-8b) nicht ohne

Weiteres als Gleichung zur Verf¨

ugung steht:

9-9.Bemerkung

Die Gleichung

“x[E∩e] = (x[E]) ∩(x[e])”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

164 MENGENLEHRE #9

9-10. An Hand des folgenden Beispiels wird gekl¨

art, dass die “ TeilKlassen-

Aussage” von 9-8b) nicht ohne Weiteres als Gleichung verf¨

ugbar ist:

9-10.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p),(q, p)}.

→)E={p}.

→)e={q}.

Dann folgt:

a) E∩e= 0.

b) x[E] = {p}.

c) x[e] = {p}.

d) x[E∩e] = 0.

e) (x[E]) ∩(x[e]) = {p}.

f) x[E∩e]6= (x[E]) ∩(x[e]).

#9 MENGENLEHRE 165

9-11. In a) wird gesagt, dass die KlassenDifferenz der Bilder von Eund eunter

xeine TeilKlasse des Bildes von E\eunter xist. Gem¨

aß b) wird f¨

ur injektive

xaus dieser “ TeilKlassen-Aussage” eine “ Gleichheits-Aussage” . Dass die bin¨

are

Vereinigung der Bilder von E\eund e\Eunter xgleich dem Bild von E∆e

unter xist, wird in c) gesagt. Gem¨

aß d) ist die symmetrische KlassenDiffe-

renz der Bilder von Eund eunter xeine TeilKlasse des Bildes von E∆eunter

x. In e) wird geeeigt, dass aus dieser “ TeilKlassen-Aussge” eine “ Gleichheits-

Aussage” wird, wenn xinjektiv ist. Es wird nichts weiter dar¨

uber ausgesagt, ob

die “ TeilKlassen-Aussagen” von ad) auch “ Ungleichheits-Aussagen” sein k¨

onnen.

Weitere Aussagen hierzu sind in der anschließenden Bemerkung und den folgen-

den Beispielen zu finden:

9-11(Satz)

a) (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e].

b) Aus “ xinjektiv” folgt “ (x[E]) \(x[e]) = x[E\e]” .

c) (x[E\e]) ∪(x[e\E]) = x[E∆e].

d) (x[E])∆(x[e]) ⊆x[E∆e].

e) Aus “ xinjektiv” folgt “ (x[E])∆(x[e]) = x[E∆e]” .

166 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-11 a)

Thema1 α∈(x[E]) \(x[e]).

2.1: Aus Thema1“α∈(x[E]) \(x[e]) ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈(x[E]) \(x[e]) ”

folgt via 5-3: (α∈x[E]) ∧(α /∈x[e]).

3: Aus 2.2“α∈x[E]...”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x).

4: Aus 2.1“αMenge ” ,

aus 2.2“...α /∈x[e] ” und

aus 3“ (Ω, α)∈x”

folgt via 8-17: Ω /∈e.

5: Aus 3“...Ω∈E . . . ” und

aus 4“ Ω /∈e”

folgt via 5-3: Ω ∈E\e.

6: Aus 3“...(Ω, α)∈x” und

aus 5“ Ω ∈E\e”

folgt via 8-8:α∈x[E\e].

Ergo Thema1:∀α: (α∈(x[E]) \(x[e])) ⇒(α∈x[E\e]).

Konsequene via 0-2(Def): (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e].

#9 MENGENLEHRE 167

Beweis 9-11 b) VS gleich xinjektiv.

Thema1.1 α∈x[E\e].

2: Aus Thema1.1“α∈x[E\e] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E\e)∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2“...Ω∈E\e . . . ”

folgt via 5-3: (Ω ∈E)∧(Ω /∈e).

4.1: Aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 3“ Ω ∈E . . . ”

folgt via 8-8:α∈x[E].

4.2: Es gilt: (α∈x[e]) ∨(α /∈x[e]).

Fallunterscheidung

...

168 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-11 b) VS gleich xinjektiv.

...

Thema1.1 α∈x[E\e].

...

Fallunterscheidung

...

4.2.1.Fall α∈x[e].

5: Aus 4.2.1.Fall“α∈x[e]”

folgt via 8-7:∃Ψ : (Ψ ∈e)∧((Ψ, α)∈x).

6: Aus VS gleich “ xinjektiv ” ,

aus 2“...(Ω, α)∈x” und

aus 5“...(Ψ, α)∈x”

folgt via 8-1(Def): Ω = Ψ.

7: Aus 7“Ω = Ψ ” und

aus 5“...Ψ∈e...”

folgt: Ω ∈e.

8: Es gilt 7“ Ω ∈e” .

Es gilt 3“...Ω/∈e” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈x[e].

4.2.2.Fall α /∈x[e].

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

A1



“α /∈x[e] ”

4.3: Aus 4.1“α∈x[E] ” und

aus A1 gleich “ α /∈x[e] ”

folgt via 5-3:α∈(x[E]) \(x[e]).

...

#9 MENGENLEHRE 169

Beweis 9-11 b) VS gleich xinjektiv.

...

Ergo Thema1.1:∀E: (α∈x[E\e]) ⇒(α∈(x[E]) \(x[e])).

Konsequene via 0-2(Def):A2



“x[E\e]⊆(x[E]) \(x[e]) ”

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e].

2: Aus 1.2“ (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e] ” und

aus A2 gleich “ x[E\e]⊆(x[E]) \(x[e]) ”

folgt via GleichheitsAxiom: (x[E]) \(x[e]) = x[E\e].

1: (x[E\e]) ∪(x[e\E]) 9−8

=x[(E\e)∪(e\E)] 5−27

=x[E∆e].

2: Aus 1

folgt: (x[E\e]) ∪(x[e\E]) = x[E∆e].

1.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e].

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (x[e]) \(x[E]) ⊆x[e\E].

2: Aus 1.1“ (x[E]) \(x[e]) ⊆x[E\e] ” und

aus 1.2“ (x[e]) \(x[E]) ⊆x[e\E] ”

folgt via 2-13:

((x[E]) \(x[e])) ∪((x[e]) \(x[E])) ⊆(x[E\e]) ∪(x[e\E]).

3: (x[E])∆(x[e]) 5−27

= (x[E]\x[e]) ∪(x[e]\x[E])

⊆(x[E\e]) ∪(x[e\E])

=x[E∆e].

4: Aus 3

folgt: (x[E])∆(x[e]) ⊆x[E∆e].

170 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-11 e) VS gleich xinjektiv.

1.1: Aus VS gleich “ xinjektiv ”

folgt via des bereits bewiesenen b): (x[E]) \(x[e]) = x[E\e].

1.2: Aus VS gleich “ xinjektiv ”

folgt via des bereits bewiesenen b): (x[e]) \(x[E]) = x[e\E].

2: (x[E])∆(x[e]) 5−27

= ((x[E]) \(x[e])) ∪((x[e]) \(x[E]))

1.1

= (x[E\e]) ∪((x[e]) \(x[E])) 1.2

= (x[E\e]) ∪(x[e\E]) c)

=x[E∆e].

3: Aus 2

folgt: (x[E])∆(x[e]) = x[E∆e].

#9 MENGENLEHRE 171

9-12. Die “ TeilKlassen-Aussagen” 9-11ad) k¨

onnen, wie sich aus den nachfolgen-

den Beispielen ergibt, nicht ohne Weiteres durch Gleichungen ersetzt werden:

9-12.Bemerkung

•Die Gleichung

“ (x[E]) \(x[e]) = x[E\e]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ (x[E])∆(x[e]) = x[E∆e]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

172 MENGENLEHRE #9

9-13. Wie aus folgendem Beispiel ersichtlich, kann 9-11a) nicht ohne Weiteres

zu einer Gleichung versch¨

arft werden:

9-13.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p),(q, p)}.

→)E={p}.

→)e={q}.

Dann folgt:

a) E\e={p}.

b) x[E] = {p}.

c) x[e] = {p}.

d) x[E\e] = {p}.

e) (x[E]) \(x[e]) = 0.

f) (x[E]) \(x[e]) 6=x[E\e].

#9 MENGENLEHRE 173

9-14. Wie aus folgendem Beispiel ersichtlich, kann 9-11d) nicht ohne Weiteres

zu einer Gleichung versch¨

arft werden:

9-14.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p),(q, p)}.

→)E={p}.

→)e={q}.

Dann folgt:

a) E∆e={p, q}.

b) x[E] = {p}.

c) x[e] = {p}.

d) x[E∆e] = {p}.

e) (x[E])∆(x[e]) = 0.

f) (x[E])∆(x[e]) 6=x[E∆e].

174 MENGENLEHRE #9

9-15. Sp¨

atestens wenn “ x(p)” in die Essays eingef¨

uhrt wird, kommt “ x[{p}]” eine

ausgezeichnete Bedeutung zu. Hier wird ein Kriterium f¨

ur “ q∈x[{p}]” pr¨

asen-

tiert:

9-15(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii),iv) sind ¨

aquivalent:

i) q∈x[{p}].

ii) “{q} ⊆ x[{p}]” und “ qMenge” .

iii) (p, q)∈x.

iv) “(p, q)∈x” und “ pMenge” und “ qMenge” .

Beweis 9-15 i) ⇒ii) VS gleich q∈x[{p}].

1.1: Aus VS gleich “ q∈x[{p}] ”

folgt via ElementAxiom:qMenge.

1.2: Aus VS gleich “ q∈x[{p}”

folgt via 1-8:{q} ⊆ x[{p}].

2: Aus 1.2 und

aus 1.1

folgt: ({q} ⊆ x[{p}]) ∧(qMenge).

#9 MENGENLEHRE 175

Beweis 9-15 ii) ⇒iii) VS gleich ({q} ⊆ x[{p}]) ∧(qMenge).

1: Aus VS gleich “ . . . q Menge ”

folgt via 1-3:q∈ {q}.

2: Aus 1“q∈ {q}” und

aus VS gleich “ {q} ⊆ x[{p}]...”

folgt via 0-4:q∈x[{p}].

3: Aus 2“q∈x[{p}] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈ {p})∧ ∧((Ω, q)∈x).

4: Aus 3“...Ω∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ω = p.

5: Aus 4“ Ω = p”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, q) = (p, q).

6: Aus 5“ (Ω, q) = (p, q) ” und

aus 3“...(Ω, q)∈x”

folgt: (p, q)∈x.

iii) ⇒iv) VS gleich (p, q)∈x.

1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

2: Aus 1“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

3: Aus VS gleich “ (p, q)∈x” ,

aus 2“pMenge. . . ” und

aus 2“. . . q Menge ”

folgt: ((p, q)∈x)∧(pMenge) ∧(qMenge).

iv) ⇒i) VS gleich ((p, q)∈x)∧(pMenge) ∧(qMenge).

1: Aus VS gleich “ . . . p Menge. . . ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

2: Aus VS gleich “ (p, q)∈x . . . ” und

aus 1“p∈ {p}”

folgt via 8-8:q∈x[{p}].

176 MENGENLEHRE #9

9-16. Die hier definierte Klasse ist gleich x[{p}], siehe 9-18:

9-16(Definition)

9.0(p, x) = {ω: (p, ω)∈x}.

#9 MENGENLEHRE 177

9-17. Die folgende Aussage kann gelassen zur Kenntnis genommen werden. Ihre

Bedeutung wird erst im Zusammenhang mit “ x(p)” und “ y(p)” klar. Zum ge-

genw¨

artigen Zeitpunkt sind “ x(p)” und “ y(p)” noch nicht definiert:

9-17(Satz)

Aus “ x⊆y” folgt “ {ω: (p, ω)∈x} ⊆ {ω: (p, ω)∈y}” .

————————————————————————————

9-16(Def) {ω: (p, ω)∈x}und {ω: (p, ω)∈y}.

Beweis 9-17 VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈ {ω: (p, ω)∈x}.

2.1: Aus Thema1“α∈ {ω: (p, ω)∈x}”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ {ω: (p, ω)∈x}”

folgt: (p, α)∈x.

3: Aus 2“ (p, α)∈x” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-6: (p, α)∈y.

4: Aus 3“ (p, α)∈y” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt: α∈ {ω: (p, ω)∈y}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {ω: (p, ω)∈x})⇒(α∈ {ω: (p, ω)∈y}).

Konsequenz via 0-2(Def):{ω: (p, ω)∈x} ⊆ {ω: (p, ω)∈y}.

178 MENGENLEHRE #9

9-18. Es gilt x[{p}] = {ω: (p, ω)∈x}:

9-18(Satz)

x[{p}] = {ω: (p, ω)∈x}.

————————————————————————————

9-16(Def) {ω: (p, ω)∈x}.

Beweis 9-18

Thema1.1 α∈x[{p}].

2.1: Aus Thema1“α∈x[{p}] ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈x[{p}] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈ {p})∧((Ω, α)∈x).

3: Aus 2.2“...Ω∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ω = p.

4: Aus 3“ Ω = p”

folgt via PaarAxiom I: (Ω, α) = (p, α).

5: Aus 4“ (Ω, α) = (p, α) ” und

aus 2.2“...(Ω, α)∈x”

folgt: (p, α)∈x.

6: Aus 5“ (p, α)∈x” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt: α∈ {ω: (p, ω)∈x}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x[{p}]) ⇒(α∈ {ω: (p, ω)∈x}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“x[{p}]⊆ {ω: (p, ω)∈x}”

...

#9 MENGENLEHRE 179

Beweis 9-18 ...

Thema1.2 α∈ {ω: (p, ω)∈x}.

2: Aus Thema1.2“α∈ {ω: (p, ω)∈x}”

folgt: (p, α)∈x.

3: Aus 2“ (p, α)∈x”

folgt via 9-15:α∈x[{p}].

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ {ω: (p, ω)∈x})⇒(α∈x[{p}])

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“{ω: (p, ω)∈x} ⊆ x[{p}] ”

1.3: Aus A1 gleich “ x[{p}]⊆ {ω: (p, ω)∈x}” und

aus A2 gleich “ {ω: (p, ω)∈x} ⊆ x[{p}] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x[{p}] = {ω: (p, ω)∈x}.

180 MENGENLEHRE #9

9-19. Mit der folgenden Aussage wird die ¨

Aquivalenz von “ p∈dom x” und “ x(p)

Menge” vorbereitet. Zum gegenw¨

artigen Zeitpunkt ist “ x(p)” noch nicht definiert:

9-19(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) p∈dom x.

ii) 06=x[{p}].

Beweis 9-19 i) ⇒ii) VS gleich p∈dom x.

1: Aus VS gleich “ p∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (p, Ω) ∈x.

2: Aus 1“...(p, Ω) ∈x”

folgt via 9-15: Ω ∈x[{p}].

3: Aus 2“ Ω ∈x[{p}] ”

folgt via 0-20: 0 6=x[{p}].

ii) ⇒i) VS gleich 0 6=x[{p}].

1: Aus VS gleich “ 0 6=x[p}] ”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈x[{p}].

2: Aus 1“...Ω∈x[{p}] ”

folgt via 9-15: (p, Ω) ∈x.

3: Aus 2“ (p, Ω) ∈x”

folgt via 7-5:p∈dom x.

#9 MENGENLEHRE 181

9-20. Via Negation ergibt sich aus 9-19 die folgende ¨

Aquivalenz:

9-20(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) p /∈dom x.

ii) x[{p}] = 0.

Beweis 9-20

1: Via 9-19 gilt: (p∈dom x)⇔(0 6=x[{p}]).

2: Aus 1

folgt: (p /∈dom x)⇔(x[{p}] = 0).

182 MENGENLEHRE #9

9-21 Es werden Folgerungen aus “ xinjektiv” in Bezug auf x[E]∩x[e] und auf

(x[{p}]) ∩(x[{q}]) gezogen:

9-21(Satz)

Aus “ xinjektiv” und . . .

a) . . . und “ E∩e= 0” folgt “ (x[E]) ∩(x[e]) = 0” .

b) . . . und “ 06= (x[E]) ∩(x[e])” folgt “ 06=E∩e” .

c) . . . und “ p6=q” folgt “ (x[{p}]) ∩(x[{q}]) = 0” .

d) . . . und “ 06= (x[{p}]) ∩(x[{q}])”

folgt “ p=q” und “ pMenge” und “ qMenge” .

Beweis 9-21 a) VS gleich (xinjektiv) ∧(E∩e= 0).

1.1: Aus VS gleich “ xinjektiv . . . ”

folgt via 9-8:x[E∩e] = (x[E]) ∩(x[e]).

1.2: Aus VS

folgt: E∩e= 0.

2: (x[E]) ∩(x[e]) 1.1

=x[E∩e]1.2

=x[0] 8−12

= 0.

3: Aus 2

folgt: (x[E]) ∩(x[e]) = 0.

#9 MENGENLEHRE 183

Beweis 9-21 b) VS gleich (xinjektiv) ∧(0 6= (x[E]) ∩(x[e])).

1: Es gilt: (E∩e= 0) ∨(0 6=E∩e).

Fallunterscheidung

1.1.Fall E∩e= 0.

2: Aus VS gleich “ xinjektiv. . . ” und

aus 1.1.Fall“E∩e= 0”

folgt via des bereits bewiesenen a): (x[E]) ∩(x[e]) = 0.

3: Es gilt 2“ (x[E]) ∩(x[e]) = 0 ” .

Es gilt VS gleich “ 0 6= (x[E]) ∩(x[e])” .

Ex falso quodlibet folgt: 0 6=E∩e.

1.2.Fall 06=E∩e.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: 0 6=E∩e.

c) VS gleich (xinjektiv) ∧(p6=q).

1: Aus VS gleich “ . . . p 6=q”

folgt via 2-33:{p} ∩ {q}= 0.

2: Aus VS gleich “ xinjektiv. . . ” und

aus 1“{p} ∩ {q}= 0 ”

folgt via des bereits bewiesenen a): (x[{p}]) ∩(x[{q}]) = 0.

d) VS gleich (xinjektiv) ∧(0 6= (x[{p}]) ∩(x[{q}]).

1: Aus VS gleich “ xinjektiv. . . ” und

aus VS gleich “ ...06= (x[{p}]) ∩(x[{q}]) ”

folgt via des bereits bewiesenen b): 0 6={p} ∩ {q}.

2: Aus 1“ 0 6={p} ∩ {q}”

folgt via 2-33: (p=q)∧(pMenge) ∧(qMenge).

184 MENGENLEHRE #9

9-22. In Umkehrung von 9-21cd) werden zwei hinreichende, auf “ (x[{α}]) ∩

(x[{β}])” basierende Aussagen f¨

ur “ xinjektiv” formuliert:

9-22(Satz)

a) Aus “ ∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β))

⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0)”

folgt “ xinjektiv” .

b) Aus “ ∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(0 6= (x[{α}]) ∩(x[{β}]))

⇒(α=β)”

folgt “ xinjektiv” .

#9 MENGENLEHRE 185

Beweis 9-22 a) VS gleich ∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β))

⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0).

Thema1 ((γ, δ)∈x)∧((, δ)∈x).

2: Es gilt: (γ6=)∨(γ=).

Fallunterscheidung

2.1.Fall γ6=.

3.1: Aus Thema1“(γ, δ)∈x...”

folgt via 7-5:γ∈dom x.

3.2: Aus Thema1“(γ, δ)∈x...”

folgt via 9-15:δ∈x[{γ}].

3.3: Aus Thema1“...(, δ)∈x”

folgt via 7-5:∈dom x.

3.4: Aus Thema1“...(, δ)∈x”

folgt via 9-15:δ∈x[{}].

4.1: Aus 3.1,

aus 3.3 und

aus 2.1.Fall

folgt: (γ∈dom x)∧(∈dom x)∧(γ6=).

4.2: Aus 3.2“δ∈x[{γ}] ” und

aus 3.4“δ∈x[{}] ”

folgt via 2-2:δ∈(x[{γ}]) ∩(x[{}]).

5: Aus VS gleich

“∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β))

⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0)” und

aus 4.1“ (γ∈dom x)∧(∈dom x)∧(γ6=) ”

folgt: (x[{γ}]) ∩(x[{}]) = 0.

6: Aus 4.2“δ∈(x[{γ}]) ∩(x[{}]) ” und

aus 5“ (x[{γ}]) ∩(x[{}]) = 0 ”

folgt: δ∈0.

7: Es gilt 6“δ∈0 ” .

Via 0-19 gilt “ δ /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: γ=.

2.2.Fall γ=.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: γ=.

...

186 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-22 a) VS gleich ∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β))

⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0).

...

Ergo Thema1:∀γ, δ,  : (((γ, δ)∈x)∧((, δ)∈x)) ⇒(γ=).

Konsequenz via 8-1(Def):xinjektiv.

b) VS gleich ∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(0 6= (x[{α}]) ∩(x[{β}]))

⇒(α=β).

1: Aus VS folgt:

∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β)) ⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0).

2: Aus 1“∀α, β : ((α∈dom x)∧(β∈dom x)∧(α6=β))

⇒((x[{α}]) ∩(x[{β}]) = 0)”

folgt via des bereits bewiesenen a):xinjektiv.

#9 MENGENLEHRE 187

9-23. Gem¨

aß a) ist das Bild von Eunter x×yeine TeilKlasse von y. In b) und

c) wird a) unter zus¨

atzlichen Voraussetzungen pr¨

azisiert. Falls 0 6=x∩E, dann

ist das Bild von Eunter x×ygleich y, siehe b), w¨

ahrend gem¨

aß c) aus x∩E= 0

die Aussage (x×y)[E] = 0 folgt:

9-23(Satz)

a) (x×y)[E]⊆y.

b) Aus “ 06=x∩E” folgt “ (x×y)[E] = y” .

c) Aus “ x∩E= 0” folgt “ (x×y)[E] = 0” .

Beweis 9-23 a)

Thema1 α∈(x×y)[E].

2: Aus Thema1“α∈(x×y)[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x×y).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x×y”

folgt via 6-6:α∈y.

Ergo Thema1:∀α: (α∈(x×y)[E]) ⇒(α∈y).

Konsequenz via 0-2(Def): (x×y)[E]⊆y.

188 MENGENLEHRE #9

Beweis 9-23 b) VS gleich 0 6=x∩E.

Thema1.1 α∈y.

2: Aus VS gleich “ 0 6=x∩E”

folgt via 0-20:∃Ω:Ω∈x∩E.

3: Aus 2“...Ω∈x∩E”

folgt via 2-2: (Ω ∈x)∧(Ω ∈E).

4: Aus 3“ Ω ∈x . . . ” und

aus Thema1.1“α∈y”

folgt via 6-6: (Ω, α)∈x×y.

5: Aus 4“ (Ω, α)∈x×y” und

aus 3“...Ω∈E”

folgt via 8-8:α∈(x×y)[E].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈y)⇒(α∈(x×y)[E]).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“y⊆(x×y)[E] ”

1.2: Via des bereits bewiesenen a) gilt: (x×y)[E]⊆y.

1.3: Aus 1.2“ (x×y)[E]⊆y” und

aus A1 gleich “ y⊆(x×y)[E] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (x×y)[E] = y.

#9 MENGENLEHRE 189

Beweis 9-23 c) VS gleich x∩E= 0.

Thema1 α∈(x×y)[E].

2: Aus Thema1“α∈(x×y)[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧((Ω, α)∈x×y).

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x×y”

folgt via 6-6: (Ω ∈x)∧(α∈y).

4: Aus 3“ Ω ∈x” und

aus 2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 2-2: Ω ∈x∩E.

5: Aus 4“ Ω ∈x∩E” und

aus VS gleich “ x∩E= 0 ”

folgt: Ω ∈0.

6: Es gilt 5“ Ω ∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈(x×y)[E].

Ergo Thema1:∀α: (α∈(x×y)[E]) ⇒(α /∈(x×y)[E]).

Konsequenz via 0-19: (x×y)[E] = 0.

190 MENGENLEHRE #10

Relation.Relation in x.Keine Relation.Keine Relation in x.

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 27/05/11

#10 MENGENLEHRE 191

10-1. Wie schon an Hand der folgenden Definition vermutet werden kann, sind

Relationen genau jene Klassen, die ausschließlich aus geordneten Paaren von

Mengen bestehen. Diese Vermutung wird in 10-2 und 10-3 rigoros best¨

atigt.

Zur genaueren Klassifizierung von Relationen ist es hilfreich, eventuell zu Grun-

de liegende Klassen anzugeben. Dies geschieht durch den Begriff “ Relation in

x” . Mitunter ist es von Bedeutung fest zu stellen, dass eine Klasse keine Relation

oder keine Relation in xist. Die kanonische Definition, wann eine Klasse keine

Relation oder keine Relation in xist, erfolgt ebenfalls hier.

10-1(Definition)

1) “rRelation” genau dann, wenn gilt:

r⊆ U × U.

2) “rRelation in x” genau dann, wenn gilt:

r⊆x×x.

3) “rkeine Relation” genau dann, wenn gilt:

¬(rRelation).

4) “rkeine Relation in x” genau dann, wenn gilt:

¬(rRelation in x).

192 MENGENLEHRE #10

10-2. Falls reine Relation ist, so gibt es zu jedem Element xvon rzwei Mengen

Ω∈dom rund Ψ ∈ran r, so dass x= (Ω,Ψ):

10-2(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

→)w∈r.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.1) Ω∈dom r.

e.2) Ψ∈ran r.

e.3) w= (Ω,Ψ).

#10 MENGENLEHRE 193

Beweis 10-2

1: Aus →)“rRelation ”

folgt via 10-1(Def):r⊆ U × U.

2: Aus →)“w∈r” und

aus 1“r⊆ U × U ”

folgt via 0-4:w∈ U × U.

3: Aus 3“w∈ U × U ”

folgt via 6-8:∃Ω,Ψ : w= (Ω,Ψ).

4: Aus 3“w= (Ω,Ψ) ” und

aus →)“w∈r”

folgt: (Ω,Ψ) ∈r.

5: Aus 4“ (Ω,Ψ) ∈r”

folgt via 7-5: (Ω ∈dom r)∧(Ψ ∈ran r).

6: Aus 3“∃Ω,Ψ...” ,

aus 5“ Ω ∈dom r . . . ” ,

aus 5“...Ψ∈ran r” und

aus 3“. . . w = (Ω,Ψ) ”

folgt: ∃Ω,Ψ :

Ω∈dom r

∧Ψ∈ran r

∧w= (Ω,Ψ).

194 MENGENLEHRE #10

10-3. rist genau dann eine Relation, wenn jedes Element von rein geordnetes

Paar (von Mengen) ist und dies ist genau dann der Fall, wenn r=r∩(U × U):

10-3(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii),iv) sind ¨

aquivalent:

i) rRelation.

ii) ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : α= (Ω,Ψ)).

iii) ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω Menge)∧(Ψ Menge)∧(α= (Ω,Ψ)).

iv) r=r∩(U × U).

Beweis 10-3 i) ⇒ii) VS gleich rRelation.

1: Aus VS gleich “ rRelation ”

folgt via 10-1(Def):r⊆ U × U.

Thema2 α∈r.

3: Aus 2“α∈r” und

aus 1“r⊆ U × U ”

folgt: α∈ U × U.

4: Aus 3“α∈ U × U ”

folgt via 6-8:∃Ω,Ψ : α= (Ω,Ψ).

Ergo Thema2:∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : α= (Ω,Ψ)).

#10 MENGENLEHRE 195

Beweis 10-3 ii) ⇒iii) VS gleich ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : α= (Ω,Ψ)).

Thema1 β∈r.

2.1: Aus Thema1“β∈r”

folgt via ElementAxiom:βMenge.

2.2: Aus Thema1“β∈r” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : α= (Ω,Ψ)) ”

folgt: ∃Ω,Ψ : β= (Ω,Ψ).

3: Aus 2.2“...β = (Ω,Ψ) ” und

aus 2.1“βMenge ”

folgt: (Ω,Ψ) Menge.

4: Aus 3“ (Ω,Ψ) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω Menge) ∧(Ψ Menge).

5: Aus 2.2“∃Ω,Ψ...” ,

aus 4“ Ω Menge. . . ” ,

aus 4“...Ψ Menge ” und

aus 2.2“...β = (Ω,Ψ) ”

folgt:

∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(β= (Ω,Ψ)).

Ergo Thema1:∀β: (β∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(β= (Ω,Ψ)).

Konsequenz: ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

196 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-3 iii) ⇒iv)

VS gleich ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

Thema1 β∈r.

2: Aus Thema1“β∈r” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈r)

⇒(∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ))”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(β= (Ω,Ψ)).

3.1: Aus 2“...Ω Menge. . . ”

folgt via 0-19: Ω ∈ U.

3.2: Aus 2“...Ψ Menge. . . ”

folgt via 0-19: Ψ ∈ U.

4: Aus 3.1“ Ω ∈ U ” und

aus 3.2“ Ψ ∈ U ”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈ U × U.

5: Aus 2“. . . β = (Ω,Ψ) ” und

aus 4“ (Ω,Ψ) ∈ U × U ”

folgt: β∈ U × U.

Ergo Thema1:∀β: (β∈r)⇒(β∈ U × U).

Konsequenz via 0-2(Def):r⊆ U × U.

Konsequenz via 2-10:r=r∩(U × U).

iv) ⇒i) VS gleich r=r∩(U × U).

1: Aus VS gleich “ r=r∩(U × U) ”

folgt: r∩(U × U) = r.

2: Aus 1“r∩(U × U) = r”

folgt via 2-10:r⊆ U × U.

3: Aus 1“r⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):rRelation.

#10 MENGENLEHRE 197

10-4. Es folgen drei Aussagen ¨

uber Relationen. Jede Relation rist gem¨

aß a) eine

TeilKlasse von (dom r)×(ran r) und gem¨

aß b) eine Relation in (dom r)∪(ran r).

Via c) wird fest gestellt, dass jede Relation eine Relation in Uist:

10-4(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

Dann folgt:

a) r⊆(dom r)×(ran r).

b) rRelation in (dom r)∪(ran r).

c) rRelation in U.

Beweis 10-4 a)

Thema1 α∈r.

2: Aus VS gleich “ rRelation ” und

aus Thema1“α∈r”

folgt via 10-2:

∃Ω,Ψ : (Ω ∈dom r)∧(Ψ ∈ran r)∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Aus 2“...Ω∈dom r . . . ” und

aus 2“...Ψ∈ran r . . . ”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈(dom r)×(ran r).

4: Aus 2“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 3“ (Ω,Ψ) ∈(dom r)×(ran r) ”

folgt: α∈(dom r)×(ran r).

Ergo Thema1:∀α: (α∈r)⇒(α∈(dom r)×(ran r)).

Konsequenz via 0-2(Def):r⊆(dom r)×(ran r).

198 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-4 b)

1: Aus →)“rRelation ”

folgt via des bereits bewiesenen a):r⊆(dom r)×(ran r).

2.1: Via 2-7 gilt: dom r⊆(dom r)∪(ran r).

2.2: Via 2-7 gilt: ran r⊆(dom r)∪(ran r).

3: Aus 2.1“dom r⊆(dom r)∪(ran r) ” und

aus 4“ran r⊆(dom r)∪(ran r) ”

folgt via 6-7:

(dom r)×(ran r)⊆((dom r)∪(ran r)) ×((dom r)∪(ran r)).

6: Aus 1“r⊆(dom r)×(ran r) ” und

aus 5“ (dom r)×(ran r)⊆((dom r)∪(ran r)) ×((dom r)∪(ran r)) ”

folgt via 0-6:r⊆((dom r)∪(ran r)) ×((dom r)∪(ran r)).

7: Aus 6“r⊆((dom r)∪(ran r)) ×((dom r)∪(ran r)) ”

folgt via 10-1(Def):rRelation in (dom r)∪(ran r).

1: Aus →)“rRelation ”

folgt via 10-1(Def):r⊆ U × U.

2: Aus 1“r⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):rRelation in U.

#10 MENGENLEHRE 199

10-5. Jede Relation, deren Definitions- und Bild-Bereich eine Menge ist, ist eine

Menge:

10-5(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

→)dom rMenge.

→)ran rMenge.

Dann folgt “ rMenge” .

Beweis 10-5

1.1: Aus →)“dom rMenge ” und

aus →)“ran rMenge ”

folgt via Bin¨

arCartesischesAxiom: (dom r)×(ran r) Menge.

1.2: Aus →)“rRelation ”

folgt via 10-4:r⊆(dom r)×(ran r).

2: Aus 1.2“r⊆(dom r)×(ran r) ” und

aus 1.1“ (dom r)×(ran r) Menge ”

folgt via TeilMengenAxiom:rMenge.

200 MENGENLEHRE #10

10-6. Jede TeilKlasse einer Relation Relation:

10-6(Satz)

Aus “ rRelation” und “ s⊆r” folgt “ sRelation” .

Beweis 10-6 VS gleich (rRelation) ∧(s⊆r).

1: Aus VS gleich “ rRelation. . . ”

folgt via 10-1(Def):r⊆ U × U.

2: Aus VS gleich “ . . . s ⊆r” und

aus 1“r⊆ U × U ”

folgt via 0-6:s⊆ U × U.

3: Aus 2“s⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):sRelation.

#10 MENGENLEHRE 201

10-7. Via 2-7 gilt r∩s⊆rund via 10-6 ist jede TeilKlasse einer Relation

eine Relation. Also ist r∩seine Relation, wenn reine Relation ist. Dies ist die

Aussage von a). Mit ¨

ahnlichen Argumenten wird in b) gezeigt, dass r\seine

Relation ist, wenn reine Relation ist:

10-7(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

Dann folgt:

a) “r∩sRelation” und “ s∩rRelation” .

b) r\sRelation.

Beweis 10-7 a)

1.1: Via 2-7 gilt: r∩s⊆r.

1.2: Via 2-7 gilt: s∩r⊆r.

2.1: Aus →)“rRelation ” und

aus 1“r∩s⊆r”

folgt via 10-6:r∩sRelation.

2.2: Aus →)“rRelation ” und

aus 1“s∩r⊆r”

folgt via 10-6:s∩rRelation.

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: (r∩sRelation) ∧(s∩rRelation).

1: Via 5-5 gilt: r\s⊆r.

2: Aus →)“rRelation ” und

aus 1“r\s⊆r”

folgt via 10-6:r\sRelation.

202 MENGENLEHRE #10

10-8. Gem¨

aß a) ist die bin¨

are Vereinigung von Relationen eine Relation. Aus

dieser Aussage, aus 5-28, wonach die symmetrische KlassenDifferenz eine Teil-

Klasse der bin¨

aren Vereinigung ist, und aus 10-6 folgt, dass die symmetrische

Differenz von Relationen eine Relation ist. Dies ist die Aussage von b):

10-8(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

→)sRelation.

Dann folgt:

a) r∪sRelation.

b) r∆sRelation.

Beweis 10-8 a)

1.1: Aus →)“rRelation ”

folgt via 10-1(Def):r⊆ U × U.

1.2: Aus →)“sRelation ”

folgt via 10-1(Def):s⊆ U × U.

2: Aus 1.1“r⊆ U × U ” und

aus 1.2“s⊆ U × U ”

folgt via 2-12:r∪s⊆ U × U.

3: Aus 2“r∪s⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):r∪sRelation.

1.1: Aus →)“rRelation ” und

aus →)“sRelation ”

folgt via des bereits bewiesenen a):r∪sRelation.

1.2: Via 5-28 gilt: r∆s⊆r∪s.

2: Aus 1.1“r∪sRelation ” und

aus 1.2“r∆s⊆r∪s”

folgt via 10-6:r∆sRelation.

#10 MENGENLEHRE 203

10-9. Die Vereinigung einer Klasse von Relationen Relation. Interessanter Weise

kann diese Klasse durchaus leer sein:

10-9(Satz)

Aus “ ∀α: (α∈R)⇒(αRelation)” folgt “ SRRelation” .

Beweis 10-9 VS gleich ∀α: (α∈R)⇒(αRelation).

Thema1.1 β∈SR.

2: Aus Thema1.1“β∈SR”

folgt via 1-12:∃Ω : (β∈Ω) ∧(Ω ∈R).

3: Aus 2“...Ω∈R” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈R)⇒(αRelation) ”

folgt: Ω Relation.

4: Aus 3“ Ω Relation ”

folgt via 10-1(Def): Ω ⊆ U × U.

5: Aus 2“. . . β ∈Ω ” und

aus 4“ Ω ⊆ U × U ”

folgt via 0-4:β∈ U × U.

Ergo Thema1.1:∀β: (β∈SR)⇒(β∈ U × U).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“SR⊆ U × U ”

1.2: Aus A1 gleich “ SR⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):SRRelation.

204 MENGENLEHRE #10

10-10. Enth¨

alt eine Klasse auch nur eine Relation, so ist der Durchschnitt dieser

Klasse als TeilKlasse dieser Relation - siehe 1-15 - eine Relation, siehe 10-6.

Interessanter Weise kann hier die zu Grunde Klasse nicht leer sein. Sonst k¨

onnte

sie keine Relation beinhalten:

10-10(Satz)

Aus “ rRelation” und “ r∈R” folgt “ TRRelation” .

Beweis 10-10 VS gleich (rRelation) ∧(r∈R).

1: Aus VS gleich “ . . . r ∈R”

folgt via 1-15:TR⊆r.

2: Aus VS gleich “ rRelation. . . ” und

aus 1“TR⊆r”

folgt via 10-6:TRRelation.

#10 MENGENLEHRE 205

10-11. Wenn alle Elemente einer nicht leeren Klasse Relationen sind, dann ist

der Durchschnitt dieser Klasse eine Relation:

10-11(Satz)

Es gelte:

→)∀α: (α∈R)⇒(αRelation).

→)06=R.

Dann folgt “ TRRelation” .

Beweis 10-11

1: Aus →)“ 0 6=R”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈R.

2: Aus 1“...Ω∈R” und

aus →)“∀α: (α∈R)⇒(αRelation) ”

folgt: Ω Relation.

3: Aus 2“ Ω Relation ” und

aus 1“...Ω∈R”

folgt via 10-10:TRRelation.

206 MENGENLEHRE #10

10-12. Jede TeilKlasse eines bin¨

aren, cartesischen Produkts ist eine Relation,

genauer, eine Relation in der bin¨

aren Vereinigung der am bin¨

aren, cartesischen

Produkt beteiligten Klassen. Die TeilKlasse kann durchaus leer sein. In etwas

versteckter Weise ist in 10-12 die Umkehrung von 10-4a) zu finden. Wenn im

jetzigen a) die Wahl x=dom rund y=ran rgetroffen wird, so folgt aus “ r⊆

(dom r)×(ran r)” die Aussage “ rRelation” . Also gibt es in Kombination von

10-4 und 10-12 mit “ rRelation genau dann, wenn r⊆(dom r)×(ran r)” ein

Kriterium f¨

ur “ rRelation” :

10-12(Satz)

a) Aus “ r⊆x×y” folgt “ rRelation” .

b) Aus “ r⊆x×y” folgt “ rRelation in x∪y” .

Beweis 10-12 VS gleich r⊆x×y.

1: Via 6-12 gilt: x×y⊆ U × U.

2: Aus VS gleich “ r⊆x×y” und

aus 1“x×y⊆ U × U ”

folgt via 0-6:r⊆ U × U.

3.a): Aus 2“r⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):rRelation.

4.1: Via 2-7 gilt: x⊆x∪y.

4.2: Via 2-7 gilt: y⊆x∪y.

5: Aus 4.1“x⊆x∪y” und

aus 4.2“y⊆x∪y”

folgt via 6-7:x×y⊆(x∪y)×(x∪y).

6: Aus VS gleich “ r⊆x×y” und

aus 5“x×y⊆(x∪y)×(x∪y) ”

folgt via 0-6:r⊆(x∪y)×(x∪y).

7: Aus 6“r⊆(x∪y)×(x∪y) ”

folgt via 10-1(Def):rRelation in x∪y.

#10 MENGENLEHRE 207

10-13. Es folgen drei (in Bezug auf 10-12: weitere) Aussagen ¨

uber “ Relations-

Eigenschaften” bin¨

arer, cartesischer Produkte:

10-13(Satz)

a) x×yRelation.

b) Aus “ x⊆z” und “ y⊆z” folgt “ x×yRelation in z” .

c) x×yRelation in x∪y.

Beweis 10-13 a)

1: Via 0-6 gilt: x×y⊆x×y.

2: Aus 1“x×y⊆x×y”

folgt via 10-12:x×yRelation.

b) VS gleich (x⊆z)∧(y⊆z).

1: Aus VS gleich “ x⊆z . . . ” und

aus VS gleich “ . . . y ⊆z”

folgt via 6-7:x×y⊆z×z.

2: Aus 1“x×y⊆z×z”

folgt via 10-1(Def):x×yRelation in z.

1: Via 0-6 gilt: x×y⊆x×y.

2: Aus 1“x×y⊆x×y”

folgt via 10-12:x×yRelation in x∪y.

208 MENGENLEHRE #10

10-14. Es wird fest gestellt, dass jede Relation in xeine Relation ist. Dies liefert

a posteriori eine Rechtfertigung daf¨

ur eine “ Relation in x” eben als “ Relation” zu

bezeichnen:

10-14(Satz)

Aus “ rRelation in x” folgt “ rRelation” .

Beweis 10-14 VS gleich rRelation in x.

1: Aus VS gleich “ rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2: Via 6-12 gilt: x×x⊆ U × U.

3: Aus 1“r⊆x×x” und

aus 2“x×x⊆ U × U ”

folgt via 0-6:r⊆ U × U.

4: Aus 3“r⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def):rRelation.

#10 MENGENLEHRE 209

10-15. Wenn bei einer Relation Definitions- und Bild-Bereich identisch sind, dann

ist diese Relation sowohl eine Relation in ihrem Definitions-Bereich als auch in

ihrem Bild-Bereich:

10-15(Satz)

Es gelte:

→)rRelation.

→)dom r=ran r.

Dann folgt:

a) rRelation in dom r.

b) rRelation in ran r.

Beweis 10-15

1.1: Aus →)“rRelation ”

folgt via 10-4:rRelation in (dom r)∪(ran r).

2.1: (dom r)∪(ran r)→)

= (ran r)∪(ran r)2−14

=ran r.

2.2: (dom r)∪(ran r)→)

= (dom r)∪(dom r)2−14

=dom r.

3.a): Aus 1“rRelation in (dom r)∪(ran r) ” und

aus 2.2“ (dom r)∪(dom r) = ...=dom r”

folgt: rRelation in dom r.

3.b): Aus 1“rRelation in (dom r)∪(ran r) ” und

aus 2.1“ (dom r)∪(dom r) = ...=ran r”

folgt: rRelation in ran r.

210 MENGENLEHRE #10

10-16. Nun wird ¨

uber jede Relation rin xgesagt, dass rauch eine Relation in

yist, wenn x⊆y. Konsequenter Weise ist “ x” durch die Aussage “ rRelation in

x”nicht eindeutig fest gelegt. Auch wird fest gestellt, dass wenn rRelation in x

und Relation in yist, rRelation in x∩yist:

10-16(Satz)

a) Aus “ rRelation in x” und “ x⊆y” folgt “ rRelation in y” .

b) Aus “ rRelation in x” und “ rRelation in y”

folgt “ rRelation in x∩y” .

Beweis 10-16 a) VS gleich (rRelation in x)∧(x⊆y).

1.1: Aus VS gleich “ rRelation in x . . . ”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

1.2: Aus VS gleich “ . . . x ⊆y”

folgt via 6-7:x×x⊆y×y.

2: Aus 1.1“r⊆x×x” und

aus 1.2“x×x⊆y×y”

folgt via 0-6:r⊆y×y.

3: Aus 2“r⊆y×y”

folgt via 10-1(Def):rRelation in y.

#10 MENGENLEHRE 211

Beweis 10-16 b) VS gleich (rRelation in x)∧(rRelation in y).

Thema1 α∈r.

1.1: Aus VS gleich “ rRelation in x . . . ”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

1.2: Aus VS gleich “ . . . r Relation in y”

folgt via 10-1(Def):r⊆y×y.

2.1: Aus Thema1“α∈r” und

aus 1.1“r⊆x×x”

folgt via 0-4:α∈x×x.

2.2: Aus Thema1“α∈r” und

aus 1.2“r⊆y×y”

folgt via 0-4:α∈y×y.

3: Aus 2“α∈x×x”

folgt via 6-5:∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ)).

4: Aus 2.2“α∈y×y” und

aus 3“...α= (Ω,Ψ) ”

folgt: (Ω,Ψ) ∈y×y.

5: Aus 4“ (Ω,Ψ) ∈y×y”

folgt via 6-6: (Ω ∈y)∧(Ψ ∈y).

6.1: Aus 3“...Ω∈x . . . ” und

aus 5“ Ω ∈y . . . ”

folgt via 2-2: Ω ∈x∩y.

6.2: Aus 3“...Ψ∈x . . .” und

aus 5“...Ψ∈y”

folgt via 2-2: Ψ ∈x∩y.

7: Aus 6.1“ Ω ∈x∩y” und

aus 6.2“ Ψ ∈x∩y”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈(x∩y)×(x∩y).

8: Aus 3“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 7“ (Ω,Ψ) ∈(x∩y)×(x∩y) ”

folgt: α∈(x∩y)×(x∩y).

...

212 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-16 b) ...

...

Ergo Thema1:∀α: (α∈r)⇒(α∈(x∩y)×(x∩y)).

Konsequenz via 0-2(Def):r⊆(x∩y)×(x∩y).

Konsequenz via 10-1:rRelation in x∩y.

#10 MENGENLEHRE 213

10-17. Die in 10-16 angesprochene Nicht-Eindeutigkeit von “ x” , wenn nur be-

kannt ist, dass reine Relation in xist, hat auch einen Vorteil. Wie nun fest

gestellt wird, muss von einer Relation nur bekannt sein, dass Definitions- und

Bild-Bereich TeilKlasse - und nicht etwa gleich - einer Klasse xsind, um fol-

gern zu k¨

onnen, dass diese Relation eine Relation in xist. Interessanter Weise ist

“dom r⊆x” und “ ran r⊆x” auch notwendig daf¨

ur, dass reine Relation in xist:

10-17(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) “rRelation in x” .

ii) “rRelation” und “ dom r⊆x” und “ ran r⊆x” .

214 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-17 i) ⇒ii) VS gleich rRelation in x.

1.1: Aus VS gleich “ rRelation in x”

folgt via 10-14:rRelation.

1.2: Aus VS gleich “ rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2.1: Aus 1.2“r⊆x×x”

folgt via 7-10:dom r⊆dom (x×x).

2.2: Aus 1.2“r⊆x×x”

folgt via 7-10:ran r⊆ran (x×x).

3.1: Via 7-22 gilt: dom (x×x)⊆x.

3.2: Via 7-22 gilt: ran (x×x)⊆x.

4.1: Aus 2.1“dom r⊆dom (x×x) ” und

aus 3.1“dom (x×x)⊆x”

folgt via 0-6:dom r⊆x.

4.2: Aus 2.2“ran r⊆ran (x×x) ” und

aus 3.2“ran (x×x)⊆x”

folgt via 0-6:ran r⊆x.

5: Aus 1“rRelation ” ,

aus 4.1“dom r⊆x” und

aus 4.2“ran r⊆x”

folgt: (rRelation) ∧(dom r⊆x)∧(ran r⊆x).

ii) ⇒i) VS gleich (rRelation) ∧(dom r⊆x)∧(ran r⊆x).

1: Aus VS gleich “ rRelation. . . ”

folgt via 10-4:rRelation in (dom r)∪(ran r).

2: Aus VS gleich “ ...dom r⊆x . . . ” und

aus VS gleich “ ...ran r⊆x”

folgt via 2-12: (dom r)∪(ran r)⊆x.

3: Aus 1“rRelation in (dom r)∪(ran r) ” und

aus 2“ (dom r)∪(ran r)⊆x”

folgt via 10-16:rRelation in x.

#10 MENGENLEHRE 215

10-18. In Analogie zu 10-3 handelt es sich bei rgenau dann um eine Relation

in x, wenn es zu jedem α∈rMengen Ω,Ψ in xmit α= (Ω,Ψ) gibt und dies ist

genau dann der Fall, wenn r=r∩(x×x):

10-18(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii) sind ¨

aquivalent:

i) rRelation in x.

ii) ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ))).

iii) r=r∩(x×x).

Beweis 10-18 i) ⇒ii) VS gleich rRelation in x.

Thema1 α∈r.

2: Aus VS gleich “ rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

3: Aus Thema1“α∈r” und

aus 2“r⊆x×x”

folgt via 0-4:α∈x×x.

4: Aus 3“α∈x×x”

folgt via 6-5:∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ)).

Ergo Thema1:∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ))).

216 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-18 ii) ⇒iii)

VS gleich ∀α: (α∈r)⇒(∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ))).

Thema1 β∈r.

2: Aus Thema1“β∈r” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈r)

⇒(∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ))”

folgt: ∃Ω,Ψ : (Ω ∈x)∧(Ψ ∈x)∧(β= (Ω,Ψ)).

3: Aus 2“...Ω∈x . . . ” und

aus 2“...Ψ∈x . . . ”

folgt via 6-6: (Ω,Ψ) ∈x×x.

4: Aus 2“. . . β = (Ω,Ψ) ” und

aus 3“ (Ω,Ψ) ∈x×x”

folgt: β∈x×x.

Ergo Thema1:∀β: (β∈r)⇒(β∈x×x).

Konsequenz via 0-2(Def):r⊆x×x.

Konsequenz via 2-10:r∩(x×x) = r.

Konsequenz: r=r∩(x×x).

iii) ⇒i) VS gleich r=r∩(x×x).

1: Aus VS gleich “ r=r∩(x×x) ”

folgt: r∩(x×x) = r.

2: Aus 1“r∩(x×x) = r”

folgt via 2-10:r⊆x×x.

2: Aus 1“r⊆x×x”

folgt via 10-1(Def):rRelation in x.

#10 MENGENLEHRE 217

10-19. Nun werden drei grundlegende Aussagen ¨

uber Relationen in xnotiert:

10-19(Satz)

Aus “ rRelation in x” und . . .

a) . . . und “ 06=r” folgt “ 06=x” .

b) . . . und “ x= 0” folgt “ r= 0” .

c) . . . und “ xMenge” folgt “ rMenge” .

218 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-19 a) VS gleich (rRelation in x)∧(0 6=r).

1: Aus VS gleich “ rRelation in x . . . ”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2: Aus VS gleich “ ...06=r” und

aus 1“r⊆x×x”

folgt: 0 6=r⊆x×x.

3: Aus 2“ 0 6=r⊆x×x”

folgt via 0-20: 0 6=x×x.

4: Aus 3“ 0 6=x×x”

folgt via 6-13: 0 6=x.

b) VS gleich (rRelation in x)∧(x= 0).

1: Aus VS gleich “ . . . x = 0 ”

folgt via 6-13:x×x= 0.

2: Aus VS gleich “ rRelation in x . . . ”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

3: Aus 2“r⊆x×x” und

aus 1“x×x= 0 ”

folgt: r⊆0.

4: Aus 3“r⊆0 ”

folgt via 0-18:r= 0.

c) VS gleich (rRelation in x)∧(xMenge).

1.1: Aus VS gleich “ . . . x Menge ” und

aus VS gleich “ . . . x Menge ”

folgt via Bin¨

arCartesisches Axiom:x×xMenge.

1.2: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2: Aus 1.2“r⊆x×x” und

aus 1.1“x×xMenge ”

folgt via TeilMengenAxiom:rMenge.

#10 MENGENLEHRE 219

10-20. Jede TeilKlasse einer Relation in xRelation in x:

10-20(Satz)

Aus “ rRelation in x” und “ s⊆r” folgt “ sRelation in x” .

Beweis 10-20

1: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2: Aus →)“s⊆r” und

aus 1“r⊆x×x”

folgt via 0-6:s⊆x×x.

3: Aus 2“s⊆x×x”

folgt via 10-1(Def):sRelation in x.

220 MENGENLEHRE #10

10-21. In ¨

Ahnlichkeit zu 10-7 sind durch bin¨

aren Durchschnitt und KlassenDif-

ferenz aus einer Relation in xgewonnene Klassen Relationen in x:

10-21(Satz)

Es gelte:

→)rRelation in x.

Dann folgt:

a) “r∩sRelation in x” und “ s∩rRelation in x” .

b) r\sRelation in x.

Beweis 10-21 a)

1.1: Via 2-7 gilt: r∩s⊆r.

1.2: Via 2-7 gilt: s∩r⊆r.

2.1: Aus →)“rRelation in x” und

aus 1.1“r∩s⊆r” folgt via 10-20:r∩sRelation in x.

2.2: Aus →)“rRelation in x” und

aus 1.2“s∩r⊆r” folgt via 10-20:s∩rRelation in x.

3: Aus 2.1 und

aus 2.2

folgt: (r∩sRelation in x)∧(s∩rRelation in x).

1: Via 5-5 gilt: r\s⊆r.

2: Aus →)“rRelation in x” und

aus 1“r\s⊆r”

folgt via 10-20:r\sRelation in x.

#10 MENGENLEHRE 221

10-22. Gem¨

aß 10-8 ist die bin¨

are Vereinigung und die symmetrische KlassenDif-

ferenz von Relationen wieder eine Relation. Bei Relationen in xund yliegen die

Dinge ein wenig verwickelter. Auch ist der bin¨

are Durchschnitt von Relationen

in xund yeine Relation in x∩y:

10-22(Satz)

Es gelte:

→)rRelation in x.

→)sRelation in y.

Dann folgt:

a) r∩sRelation in x∩y.

b) r∪sRelation in x∪y.

c) r∆sRelation in x∪y.

Beweis 10-22 a)

1.1: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-21:r∩sRelation in x.

1.2: Aus →)“sRelation in y”

folgt via 10-21:r∩sRelation in y.

2: Aus 1.1“r∩sRelation in x” und

aus 1.2“r∩sRelation in y”

folgt via 10-16:r∩sRelation in x∩y.

222 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-22 b)

1.1: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-17: (rRelation) ∧(dom r⊆x)∧(ran r⊆x).

1.2: Aus →)“sRelation in y”

folgt via 10-17: (sRelation) ∧(dom s⊆y)∧(ran s⊆y).

2.1: Aus 1.1“rRelation . . . ” und

aus 1.2“sRelation. . . ”

folgt via 10-8:r∪sRelation.

2.2: Aus 1.1“...dom r⊆x . . . ” und

aus 1.2“...dom s⊆y . . . ”

folgt via 2-13: (dom r)∪(dom s)⊆x∪y.

2.3: Aus 1.1“...ran r⊆x” und

aus 1.2“...ran s⊆y”

folgt via 2-13: (ran r)∪(ran s)⊆x∪y.

3.1: Via 7-16 gilt: dom (r∪s) = (dom r)∪(dom s).

3.2: Via 7-16 gilt: ran (r∪s) = (ran r)∪(ran s).

4.1: Aus 3.1“dom (r∪s) = (dom r)∪(dom s) ” und

aus 2.2“ (dom r)∪(dom s)⊆x∪y”

folgt: dom (r∪s)⊆x∪y.

4.2: Aus 3.2“ran (r∪s) = (ran r)∪(ran s) ” und

aus 2.3“ (ran r)∪(ran s)⊆x∪y”

folgt: ran (r∪s)⊆x∪y.

5: Aus 2.1“r∪sRelation ” ,

aus 4.1“dom (r∪s)⊆x∪y” und

aus 4.2“ran (r∪s)⊆x∪y”

folgt via 10-17:r∪sRelation in x∪y.

#10 MENGENLEHRE 223

Beweis 10-22 c)

1.1: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-21:r\sRelation in x.

1.2: Aus →)“sRelation in y”

folgt via 10-21:s\rRelation in y.

2: Aus 1.1“r\sRelation in x” und

aus 1.2“s\rRelation in y”

folgt via des bereits bewiesenen b): (r\s)∪(s\r) Relation in x∪y.

3: Via 5-27 gilt: r∆s= (r\s)∪(s\r).

4: Aus 3“r∆s= (r\s)∪(s\r) ” und

aus 2“ (r\s)∪(s\r) Relation in x∪y”

folgt: r∆sRelation in x∪y.

224 MENGENLEHRE #10

10-23. In Spezialiserung von 10-22 ist die bin¨

are Vereinigung und die symmetri-

sche Klassendifferenz von Relationen in derselben Klasse xjeweils eine Relation

in x. Ein analoges Resultat gilt auch f¨

ur den bin¨

aren Durchschnitt, doch ist dieses

Resultat unter schw¨

acheren Voraussetzungen - damit r∩seine Relation in xist,

muss nur reine Relation in xsein, smuss nicht einmal eine Relation sein - in

10-21 zu finden, so dass sich eine weitere Erw¨

ahnung er¨

ubrigt:

10-23(Satz)

Es gelte:

→)rRelation in x.

→)sRelation in x.

Dann folgt:

a) r∪sRelation in x.

b) r∆sRelation in x.

Beweis 10-23 a)

1: Aus →)“rRelation in x” und

aus →)“sRelation in x”

folgt via 10-22:r∪sRelation in x∪x.

2: Via 2-14 gilt: x∪x=x.

3: Aus 1“r∪sRelation in x∪x” und

aus 2“x∪x=x”

folgt: r∪sRelation in x.

1: Aus →)“rRelation in x” und

aus →)“sRelation in x”

folgt via 10-22:r∆sRelation in x∪x.

2: Via 2-14 gilt: x∪x=x.

3: Aus 1“r∆sRelation in x∪x” und

aus 2“x∪x=x”

folgt: r∆sRelation in x.

#10 MENGENLEHRE 225

10-24. In Erweiterung der auf bin¨

are Vereinigungen bezogenen Aussage von 10-

23 und in ¨

Ahnlichkeit zu 10-9 bezieht sich 10-25 auf die Vereinigung von Relatio-

nen “ in individuellen Klassen” . Bemerkenswerter Weise sind die in der Pr¨

amisse

auftretenden Relationen via ElementAxiom Mengen, w¨

ahrend die Relation SR

der Schlussfolgerung keine Menge sein muss. ¨

Ahnliches gilt f¨

ur die Klassen Ω der

Pr¨

amisse. Diese m¨

ussen wieder via ElementAxiom Mengen sein, w¨

ahrend die

in der Schlussfolgerung auftretende Klasse SXkeine Menge sein muss. Hier ma-

nifestiert sich auch ein Unterschied zu 10-23, wo sich die bin¨

are Vereinigung auf

Relationen bezieht, die Unmengen oder Relationen in Unmengen sein k¨

onnen:

10-24(Satz)

Aus “ ∀α: (α∈R)⇒(∃Ω : (αRelation in Ω) ∧(Ω ∈X))”

folgt “ SRRelation in SX” .

226 MENGENLEHRE #10

Beweis 10-24 VS gleich “ ∀α: (α∈R)⇒(∃Ω : (αRelation in Ω) ∧(Ω ∈X)) ”

Thema1 β∈SR.

2: Aus Thema1“β∈SR”

folgt via 1-12:∃Ψ : (β∈Ψ) ∧(Ψ ∈R).

3: Aus 2“...Ψ∈R” und

aus VS gleich

“∀α: (α∈R)⇒(∃Ω : (αRelation in Ω) ∧(Ω ∈X))”

folgt: ∃Φ : (Ψ Relation in Φ) ∧(Φ ∈X).

4: Aus 3“...Φ∈X”

folgt via 1-15: Φ ⊆SX.

5: Aus 3“...Ψ Relation in Φ ...” und

aus 4“ Φ ⊆SX”

folgt via 10-16: Ψ Relation in SX.

6: Aus 5“ Ψ Relation in SX”

folgt via 10-1(Def): Ψ ⊆(SX)×(SX).

7: Aus 2“. . . β ∈Ψ...” und

aus 6“ Ψ ⊆(SX)×(SX) ”

folgt via 0-4:β∈(SX)×(SX).

Ergo Thema1:∀β: (β∈SR)⇒(β∈(SX)×(SX)).

Konsequenz via 0-2(Def):SR⊆(SX)×(SX).

Konsequenz via 10-1(Def):SRRelation in SX.

#10 MENGENLEHRE 227

10-25. Wenn eine Klasse von Relationen in einer festen Klasse xgegeben ist,

dann ist die Vereinigung dieser Klasse von Relationen wieder eine Relation in

x. Im Vergleich zu 10-24 f¨

allt auf, dass die in 10-24 auftretenden Relationen

via ElementAxiom Relationen in Mengen sind, w¨

ahrend im jetzigen Satz x

auch eine Unmenge sein kann. Dessen ungeachtet sind die im jetzigen Satz in

der Pr¨

amisse auftretenden Relationen - wieder via ElementAxiom - Mengen,

w¨

ahrend SReine Unmenge sein kann.

10-25(Satz)

Aus “ ∀α: (α∈R)⇒(αRelation in x)” folgt “ SRRelation in x” .

Beweis 10-25 VS gleich ∀α: (α∈R)⇒(αRelation in x).

Thema1 β∈SR.

2: Aus Thema1“β∈SR”

folgt via 1-12:∃Ψ : (β∈Ψ) ∧(Ψ ∈R).

3: Aus 2“...Ψ∈R” und

aus VS gleich “ ∀α: (α∈R)⇒(αRelation in x) ”

folgt: Ψ Relation in x.

4: Aus 3“ Ψ Relation in x”

folgt via 10-1(Def): Ψ ⊆x×x.

5: Aus 2“. . . β ∈Ψ...” und

aus 4“ Ψ ⊆x×x”

folgt via 0-4:β∈x×x.

Ergo Thema1:∀β: (β∈SR)⇒(β∈x×x).

Konsequenz via 0-2(Def):SR⊆x×x.

Konsequenz via 10-1(Def):SRRelation in x.

228 MENGENLEHRE #10

10-26. Der folgende Satz ist das Analogon zu 10-10 mit Relationen in x:

10-26(Satz)

Aus “ rRelation in x” und “ r∈R” folgt “ TRRelation in x” .

Beweis 10-26 VS gleich (rRelation in x)∧(r∈R).

1: Aus VS gleich “ . . . r ∈R”

folgt via 1-15:TR⊆r.

2: Aus VS gleich “ rRelation in x. . . ” und

aus 1“TR⊆r”

folgt via 10-20:TRRelation in x.

#10 MENGENLEHRE 229

10-27. Es folgt eine einfache, notwendige Bedingung daf¨

ur, dass ein geordnetes

Paar Element einer Relation in xist. Eine notwendige Bedingung daf¨

ur, dass

eine ansonsten beliebige Klasse Element einer Relation in xist, ist in 10-18 zu

finden:

10-27(Satz)

Es gelte:

→)rRelation in x.

→)(p, q)∈r.

Dann folgt:

a) p∈x.

b) q∈x.

Beweis 10-27

1: Aus →)“rRelation in x”

folgt via 10-1(Def):r⊆x×x.

2: Aus →)“ (p, q)∈r” und

aus 1“r⊆x×x”

folgt via 0-4: (p, q)∈x×x.

3: Aus 2“ (p, q)∈x×x”

folgt via 6-6: (p∈x)∧(q∈x).

4.a): Aus 3

folgt: p∈x.

4.b): Aus 3

folgt: q∈x.

230 MENGENLEHRE #10

10-28. In enger logischer Verquickung mit 10-27 wird mit dem folgenden Satz

eine einfache, hinreichende Bedingung daf¨

ur gegeben, wann ein geordnetes Paar

nicht Element einer Relation in xsein kann:

10-28(Satz)

Es gelte:

→)rRelation in x.

→)p /∈x.

Dann folgt:

a) (p, q)/∈r.

b) (q, p)/∈r.

#10 MENGENLEHRE 231

Beweis 10-28 a)

1: Es gilt: ((p, q)∈r)∨((p, q)/∈r).

Fallunterscheidung

1.1.Fall (p, q)∈r.

2: Aus →)“rRelation in x” und

aus 1.1.Fall“(p, q)∈r”

folgt via 10-27: (p∈x)∧(q∈x).

3: Es gilt 2“p∈x...” .

Es gilt →)“p /∈x” .

Ex falso quodlibet folgt: (p, q)/∈r.

1.2.Fall (p, q)/∈r.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (p, q)/∈r.

1: Es gilt: ((q, p)∈r)∨((q, p)/∈r).

Fallunterscheidung

1.1.Fall (q, p)∈r.

2: Aus →)“rRelation in x” und

aus 1.1.Fall“(q, p)∈r”

folgt via 10-27: (q∈x)∧(p∈x).

3: Es gilt 2“...p∈x” .

Es gilt →)“p /∈x” .

Ex falso quodlibet folgt: (q, p)/∈r.

1.2.Fall (q, p)/∈r.

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt: (q, p)/∈r.

232 MENGENLEHRE #10

10-29. Es folgt ein Kriterium f¨

ur “ rkeine Relation” :

10-29(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) rkeine Relation.

ii) r6⊆ U × U.

Beweis 10-29

1: Via 10-1(Def) gilt: (rRelation) ⇔(r⊆ U × U).

2: Aus 1

folgt: (¬(rRelation)) ⇔(¬(r⊆ U × U)).

3: Aus 2

folgt via 10-1(Def): (rkeine Relation) ⇔(¬(r⊆ U × U)).

4: Aus 3

folgt via 0-3: (rkeine Relation) ⇔(r6⊆ U × U).

#10 MENGENLEHRE 233

10-30. Dass, wie in a) gesagt wird, 0 eine Relation ist, konnte schon an mehreren

Stellen antizipiert werden. Dass das Universum gem¨

aß b) keine Relation ist liegt

daran, dass es - zumindest im Rahmen der Essays - mindestens eine Menge gibt,

die nicht ein geordnetes Paar von Mengen ist. In der Tat ist gem¨

aß PaarAxiom

Iund 0UAxiom die leere Menge eine Menge, die nicht ein geordnetes Paar von

Mengen ist:

10-30(Satz)

a) 0Relation.

b) Ukeine Relation.

Beweis 10-30 a)

1: Via 0-18 gilt: 0 ⊆ U × U.

2: Aus 1“ 0 ⊆ U × U ”

folgt via 10-1(Def): 0 Relation.

1: Via 6-12 gilt: U 6⊆ U × U.

2: Aus 1“U 6⊆ U × U ”

folgt via 10-29:Ukeine Relation.

234 MENGENLEHRE #11

Relation invers zu x.x−1.

Urbild von Eunter x.x−1[E].

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 14/04/11

#11 MENGENLEHRE 235

11-1. Die Relation invers zu xbesteht genau aus jenen geordneten Paaren

(p, q) von Mengen, f¨

ur die (q, p)∈xgilt. Die Bezeichnung Relation invers zu

xwird in 11-7 gerechtfertigt. Dort stellt sich heraus, dass x−1in der Tat eine

Relation ist. Bemerkenswerter Weise ist die Relation invers zu xf¨

ur beliebige

Klassen xdefiniert. Insbesondere wird in der Definition nicht voraus gesetzt,

dass xeine Relation ist:

11-1(Definition)

1) x−1

=11.0(x) = {(µ, λ) : (λ, µ)∈x}

={ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(ω= (Ψ,Ω)))}.

2) “CRelation invers zu x” genau dann, wenn gilt:

C=x−1.

236 MENGENLEHRE #11

11-2. Wenig ¨

uberraschend ist x−1die Relation invers zu x:

11-2(Satz)

a) x−1Relation invers zu x.

b) Aus “ CRelation invers zu x” und “ DRelation invers zu x”

folgt “ C=D” .

Beweis 11-2 a)

Aus “ x−1=x−1”

folgt via 11-1(Def):x−1ist die Relation invers zu x.

b) VS gleich (CRelation invers zu x)∧(DRelation invers zu x).

1.1: Aus VS gleich “ CRelation invers zu x . . . ”

folgt via 11-1(Def):C=x−1.

1.2: Aus VS gleich “ ...DRelation invers zu x”

folgt via 11-1(Def):D=x−1.

2: Aus 1.1“C=x−1” und

aus 1.2“D=x−1”

folgt: C=D.

#11 MENGENLEHRE 237

11-3. Es folgt eine notwendige Bedingung f¨

ur “ w∈x−1” :

11-3(Satz)

Es gelte:

→)w∈x−1.

Dann gibt es Ω,Ψ, so dass gilt:

e.1) w= (Ψ,Ω).

e.2) (Ω,Ψ) ∈x.

e.3) Ω∈dom x.

e.4) Ω∈ran (x−1).

e.5) Ψ∈ran x.

e.6) Ψ∈dom (x−1).

238 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-3

1: Aus →)“w∈x−1” und

aus “ x−1={ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(ω= (Ψ,Ω))}”

folgt: ∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(w= (Ψ,Ω)).

2.1: Aus 1“...(Ω,Ψ) ∈x”

folgt via ElementAxiom: (Ω,Ψ) Menge.

2.2: Aus →)“w∈x−1” und

aus 1“. . . w = (Ψ,Ω) ”

folgt: (Ψ,Ω) ∈x−1.

2.3: Aus 1“...(Ω,Ψ) ∈x . . . ”

folgt via 7-5: (Ω ∈dom x)∧(Ψ ∈ran x).

3.1: Aus 2.1“ (Ω,Ψ) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω Menge) ∧(Ψ Menge).

3.2: Aus 2.2“ (Ψ,Ω) ∈x−1”

folgt via 7-5: (Ψ ∈dom (x−1)) ∧(Ω ∈ran (x−1)).

4: Aus 1“∃Ω,Ψ...” ,

aus 1“. . . w = (Ψ,Ω) ” ,

aus 1“...(Ω,Ψ) ∈x . . . ” ,

aus 2.3“ Ω ∈dom x . . . ” ,

aus 3.2“...Ω∈ran (x−1) ” ,

aus 2.3“...Ψ∈ran x” und

aus 3.2“ Ψ ∈dom (x−1)...”

folgt: ∃Ω,Ψ:

w= (Ψ,Ω)

∧(Ω,Ψ) ∈x

∧Ω∈dom x

∧Ω∈ran (x−1)

∧Ψ∈ran x

∧Ψ∈dom (x−1).

#11 MENGENLEHRE 239

11-4. Im folgenden Satz wird ein auch in dieser Form erwartetes Kriterium

f¨

ur “ (q, p)∈x−1” und ein vielleicht weniger erwartetes Kriterium f¨

ur “ (p, q)∈

(x−1)−1gegeben:

11-4(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii) sind ¨

aquivalent:

i) (p, q)∈x.

ii) (q, p)∈x−1.

iii) (p, q)∈(x−1)−1.

Beweis 11-4 i) ⇒ii) VS gleich (p, q)∈x.

1.1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

1.2: Aus VS gleich “ (p, q)∈x”

folgt: ∃p, q : (p, q)∈x.

2: Aus 1.1“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

3.1: Aus 2“...q Menge ” und

aus 2“pMenge. . . ”

folgt via PaarAxiom I: (q, p) Menge.

3.2: Aus 1.2“∃p, q . . . ” ,

aus VS gleich “ (p, q)∈x” und

aus “ (q, p) = (q, p)”

folgt: ∃p, q : ((p, q)∈x)∧((q, p) = (q, p)).

4: Aus 3.2“∃p, q : ((p, q)∈x)∧((q, p) = (q, p)) ” und

aus 3.1“ (q, p) Menge ”

folgt: (q, p)∈ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(ω= (Ψ,Ω)))}.

5: Aus 4“ (q, p)∈ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(ω= (Ψ,Ω)))}” und

aus “ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x)∧(ω= (Ψ,Ω)))}=x−1”

folgt: (q, p)∈x−1.

240 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-4 ii) ⇒iii) VS gleich (q, p)∈x−1.

1.1: Aus VS gleich “ (q, p)∈x−1”

folgt via ElementAxiom: (q, p) Menge.

1.2: Aus VS gleich “ (q, p)∈x−1”

folgt: ∃q, p : (q, p)∈x−1.

2: Aus 1.1“ (q, p) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (qMenge) ∧(pMenge).

3: Aus 2“...p Menge ” und

aus 2“qMenge. . . ”

folgt via PaarAxiom I: (p, q) Menge.

4: Aus 1.2“∃q, p : (q, p)∈x−1” und

aus “ (p, q) = (p, q)”

folgt: ∃q, p : ((q, p)∈x−1)∧((p, q) = (p, q)).

5: Aus 4“∃q, p : ((q, p)∈x−1)∧((p, q) = (p, q)) ” und

aus 3“ (p, q) Menge ”

folgt: (p, q)∈ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω)))}.

6: Aus 5“ (p, q)∈ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω))}” und

aus “ {ω: (∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω))}= (x−1)−1”

folgt: (p, q)∈(x−1)−1.

iii) ⇒i)

1: Aus VS gleich “ (p, q)∈(x−1)−1” und

aus “ (x−1)−1={ω:∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω))}”

folgt: (p, q)∈ {ω:∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω))}.

2: Aus 1“ (p, q)∈ {ω:∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧(ω= (Ψ,Ω))}”

folgt: ∃Ω,Ψ : ((Ω,Ψ) ∈x−1)∧((p, q) = (Ψ,Ω)).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x−1...”

folgt via ElementAxiom: (Ω,Ψ) Menge.

4: Aus 3“ (Ω,Ψ) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Ω Menge) ∧(Ψ Menge).

5: Aus 2“...(p, q) = (Ψ,Ω) ” ,

aus 4“...Ψ Menge ” und

aus 4“ Ω Menge. . . ”

folgt via IGP: (p= Ψ) ∧(q= Ω).

...

#11 MENGENLEHRE 241

Beweis 11-4 iii) ⇒i) VS gleich (p, q)∈(x−1)−1.

...

6: Aus 5“...q= Ω ” und

aus 5“p= Ψ ...”

folgt via PaarAxiom I: (q, p) = (Ω,Ψ).

7: Aus 6“ (q, p) = (Ω,Ψ) ” und

aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x−1...”

folgt: (q, p)∈x−1.

8: Aus 7“ (q, p)∈x−1” und

aus “ x−1={ω:∃Φ,Υ : ((Φ,Υ) ∈x)∧(ω= (Υ,Φ))}”

folgt: (q, p)∈ {ω:∃Φ,Υ : ((Φ,Υ) ∈x)∧(ω= (Υ,Φ))}.

9: Aus 1“ (q, p)∈ {ω:∃Φ,Υ : ((Φ,Υ) ∈x)∧(ω= (Υ,Φ))}”

folgt: ∃Φ,Υ : ((Φ,Υ) ∈x)∧((q, p) = (Υ,Φ)).

10: Aus 9“...(Φ,Υ) ∈x . . . ”

folgt via ElementAxiom: (Φ,Υ) Menge.

11: Aus 10“ (Φ,Υ) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (Φ Menge) ∧(Υ Menge).

12: Aus 9“...(q, p) = (Υ,Φ) ” ,

aus 11“...Υ Menge ” und

aus 11“ Φ Menge. . . ”

folgt via IGP: (q= Υ) ∧(p= Φ).

13: Aus 12“...p= Φ ” und

aus 12“q= Υ ...”

folgt via PaarAxiom I: (p, q) = (Φ,Υ).

14: Aus 13“ (p, q) = (Φ,Υ) ” und

aus 9“...(Φ,Υ) ∈x . . . ”

folgt: (p, q)∈x.

242 MENGENLEHRE #11

11-5. Via Negation ergibt sich aus 11-4 ein Kriterium f¨

ur “ (q, p)/∈x−1” und

f¨

ur “ (p, q)/∈(x−1)−1” :

11-5(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii) sind ¨

aquivalent:

i) (p, q)/∈x.

ii) (q, p)/∈x−1.

iii) (p, q)/∈(x−1)−1.

Beweis 11-5

1: Via 11-4 gilt: ((p, q)∈x)⇔((q, p)∈x−1)⇔((p, q)∈(x−1)−1).

2: Aus 1

folgt: (¬((p, q)∈x)) ⇔(¬((q, p)∈x−1)) ⇔(¬((p, q)∈(x−1)−1)).

3: Aus 2

folgt: ((p, q)/∈x)⇔((q, p)/∈x−1)⇔((p, q)/∈(x−1)−1).

#11 MENGENLEHRE 243

11-6. Je gr¨

oßer die Klasse, desto gr¨

oßer ist die Relation invers zu dieser Klasse:

11-6(Satz)

Aus “ x⊆y” folgt “ x−1⊆y−1” .

Beweis 11-6 VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈x−1.

2: Aus Thema1“α∈x−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x . . .” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-4: (Ω,Ψ) ∈y.

4: Aus 3“ (Ω,Ψ) ∈y”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈y−1.

5: Aus 2“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 4“ (Ψ,Ω) ∈y−1”

folgt: α∈y−1.

Ergo Thema1:∀α: (α∈x−1)⇒(α∈y−1).

Konsequenz via 0-2(Def):x−1⊆y−1.

244 MENGENLEHRE #11

11-7. Wie in 11-1 angek¨

undigt, ist x−1eine Relation. Der Definitions-Bereich

von x−1ist der Bild-Bereich von x. Der Bild-Bereich von x−1ist der Definitions-

Bereich von x:

11-7(Satz)

a) x−1Relation.

b) dom (x−1) = ran x.

c) ran (x−1) = dom x.

d) Aus “ rRelation in E” folgt “ r−1Relation in E” .

Beweis 11-7 a)

Thema1 α∈x−1.

1: Aus Thema1“α∈x−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : α= (Ψ,Ω).

2: Aus 1

folgt: ∃Ψ,Ω : α= (Ψ,Ω).

Ergo Thema1:∀α: (α∈x−1)⇒(∃Ψ,Ω : α= (Ψ,Ω)).

Konsequenz via 10-3:x−1Relation.

#11 MENGENLEHRE 245

Beweis 11-7 b)

Thema1.1 α∈dom (x−1).

2: Aus Thema1.1“α∈dom (x−1) ”

folgt via 7-2:∃Ω : (α, Ω) ∈x−1.

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈x−1”

folgt via 11-4: (Ω, α)∈x.

4: Aus 3“ (Ω, α)∈x”

folgt via 7-5:α∈ran x.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈dom (x−1)) ⇒(α∈ran x).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“dom (x−1)⊆ran x”

Thema1.2 α∈ran x.

2: Aus Thema1.2“α∈ran x”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω, α)∈x.

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x”

folgt via 11-4: (α, Ω) ∈x−1.

4: Aus 3“ (α, Ω) ∈x−1”

folgt via 7-5:α∈dom (x−1).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ran x)⇒(α∈dom (x−1)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ran x⊆dom (x−1) ”

1.3: Aus A1 gleich “ dom (x−1)⊆ran x” und

aus A2 gleich “ ran x⊆dom (x−1) ”

folgt via GleichheitsAxiom:dom (x−1) = ran x.

246 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-7 c)

Thema1.1 α∈ran (x−1).

2: Aus Thema1.1“α∈ran (x−1) ”

folgt via 7-4:∃Ω : (Ω, α)∈x−1.

3: Aus 2“...(Ω, α)∈x−1”

folgt via 11-4: (α, Ω) ∈x.

4: Aus 3“ (α, Ω) ∈x”

folgt via 7-5:α∈dom x.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈ran (x−1)) ⇒(α∈dom x).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ran (x−1)⊆dom x”

Thema1.2 α∈dom x.

2: Aus Thema1.2“α∈dom x”

folgt via 7-2:∃Ω : (α, Ω) ∈x.

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈x”

folgt via 11-4: (Ω, α)∈x−1.

4: Aus 3“ (Ω, α)∈x−1”

folgt via 7-5:α∈ran (x−1).

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈dom x)⇒(α∈ran (x−1)).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“dom x⊆ran (x−1) ”

1.3: Aus A1 gleich “ ran (x−1)⊆dom x” und

aus A2 gleich “ dom x⊆ran (x−1) ”

folgt via GleichheitsAxiom:ran (x−1) = dom x.

#11 MENGENLEHRE 247

Beweis 11-7 d) VS gleich rRelation in E.

1: Aus VS gleich “ rRelation in E”

folgt via 10-17: (dom r⊆E)∧(ran r⊆E).

2.1: Via des bereits bewiesenen a) gilt: r−1Relation.

2.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: dom (r−1) = ran r.

2.3: Via des bereits bewiesenen c) gilt: ran (r−1) = dom r.

3.1: Aus 2.2“dom (r−1) = ran r” und

aus 1“...ran r⊆E”

folgt: dom (r−1)⊆E.

3.2: Aus 2.3“ran (r−1) = dom r” und

aus 1“dom r⊆E . . . ”

folgt: ran (r−1)⊆E.

4: Aus 2.1“r−1Relation ” ,

aus 3.1“dom (r−1)⊆E” und

aus 3.2“ran (r−1)⊆E”

folgt via 10-17:r−1Relation in E.

248 MENGENLEHRE #11

11-8. Die folgenden vier Resultate erwachsen einerseits 7-7, wo notwendige Be-

dingungen f¨

ur “ x∈dom y” und “ x∈ran y” zu finden sind, andererseits resul-

tieren sie aus 11-8, wo die Gleichungen “ dom (x−1) = ran x” und “ ran (x−1) =

dom x” zu finden sind:

11-8(Satz)

a) Aus “ q∈dom x” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈dom (x−1)) ∧((Ω, q)∈x−1)” .

b) Aus “ q∈dom (x−1)” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈dom x)∧((Ω, q)∈x)” .

c) Aus “ p∈ran x” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈ran (x−1)) ∧((p, Ω) ∈x−1)” .

d) Aus “ p∈ran (x−1)” folgt “ ∃Ω : (Ω ∈ran x)∧((p, Ω) ∈x)” .

#11 MENGENLEHRE 249

Beweis 11-8 a) VS gleich q∈dom x.

1: Via 11-7 gilt: ran (x−1) = dom x.

2: Aus VS gleich “ q∈dom x” und

aus 1“ran (x−1) = dom x”

folgt: q∈ran (x−1).

3: Aus 2“q∈ran (x−1) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω ∈dom (x−1)) ∧((Ω, q)∈x−1).

b) VS gleich q∈dom (x−1).

1: Via 11-7 gilt: dom (x−1) = ran x.

2: Aus VS gleich “ q∈dom (x−1) ” und

aus 1“dom (x−1) = ran x”

folgt: q∈ran x.

3: Aus 2“q∈ran x”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω ∈dom x)∧((Ω, q)∈x).

c) VS gleich p∈ran x.

1: Via 11-7 gilt: dom (x−1) = ran x.

2: Aus VS gleich “ p∈ran x” und

aus 1“dom (x−1) = dom x”

folgt: p∈dom (x−1).

3: Aus 2“p∈dom (x−1) ”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω ∈ran (x−1)) ∧((p, Ω) ∈x−1).

d) VS gleich p∈ran (x−1).

1: Via 11-7 gilt: ran (x−1) = dom x.

2: Aus VS gleich “ p∈ran (x−1) ” und

aus 1“ran (x−1) = dom x”

folgt: p∈dom x.

3: Aus 2“p∈dom x”

folgt via 7-7:∃Ω : (Ω ∈ran x)∧((p, Ω) ∈x).

250 MENGENLEHRE #11

11-9. Da x−1nur aus jenen Elementen von xgebildet wird, die geordnete Paare

von Mengen sind ist es intuitiv klar, dass x−1nicht mehr Elemente als xenthalten

kann. Konsequenter Weise ist die Aussage, dass sich eine eventuell vorhandene

“ Mengen-Eigenschaft” von xauf x−1“ vererbt” nicht allzu ¨

uberraschend. Auch

ist zu erwarten, dass eine ¨

ahnliche Aussage f¨

ur Unmengen nicht ohne Weiteres

zur Verf¨

ugung steht - und dass es jedoch schwierig sein wird, dies zu beweisen,

da hierzu eine Umenge zu finden ist, die lediglich eine Menge geordneter Paare

enth¨

alt:

11-9(Satz)

Aus “ xMenge” folgt “ x−1Menge” .

Beweis 11-9

1.1: Via 11-7 gilt: x−1Relation.

1.2: Via 11-7 gilt: dom (x−1) = ran x.

1.3: Via 11-7 gilt: ran (x−1) = dom x.

1.4: Aus →)“xMenge ”

folgt via dom ran Axiom:dom xMenge.

1.5: Aus →)“xMenge ”

folgt via dom ran Axiom:ran xMenge.

2.1: Aus 1.2“dom (x−1) = ran x” und

aus 1.5“ran xMenge ”

folgt: dom (x−1) Menge.

2.2: Aus 1.3“ran (x−1) = dom x” und

aus 1.4“dom xMenge ”

folgt: ran (x−1) Menge.

3: Aus 1.1“x−1Relation ” ,

aus 2.1“dom (x−1) Menge ” und

aus 2.2“ran (x−1) Menge ”

folgt via 10-5:x−1Menge.

#11 MENGENLEHRE 251

11-10. W¨

ahrend 0−1= 0 von a) wenig ¨

uberrascht, ist die Aussage “ U−1=

U × U” von b) doch die eine oder andere erg¨

anzende ¨

Uberlegung Wert. Zuerst

bedeutet die Gleichheit der Parameter U−1und U ×U, dass alle Resultate, die f¨

U × U gelten - etwa gilt via 6-12 die Aussage “ U × U 6=U” - auch f¨

ur U−1gelten

- etwa “ U−16=U” - und dass es demzufolge eingermaßen ineffizient w¨

are, die f¨

U × U geltenden Aussagen nochmals f¨

ur U−1zu formulieren. Wenn in Beweisen

eine Aussage f¨

ur U−1gebraucht wird, die nur f¨

ur U ×U verf¨

ugbar ist, so wird erst

11-10 mit “ U−1=U × U” zitiert, dann wird das gebrauchte Resultat f¨

ur U × U

zitiert und dann wird in diesem Resultat “ U × U” durch “ U−1” ersetzt.

Als Ausnahme dieses Vorgehens wird in b) die Aussage “ U−16=U” erw¨

ahnt. Via

10-30 ist bekannt, dass Ukeine Relation. Andererseits muss via 11-7 die Relation

invers zu Ueine Relation sein. Schon alleine hieraus ergibt sich U−16=U- und

diese Aussage k¨

onnte auch aus 6-12 gewonnen werden, wenn dort “ U ×U” durch

“U−1” ersetzt wird.

Via 10-1(Def) ist bekannt, dass jede Relation eine TeilKlasse von U × U ist und

da andererseits - etwa via 10-1(Def) und via 0-6, wonach U × U ⊆ U × U - die

Klasse U × U eine Relation ist, ist U × U die “ gr¨

oßte” Relation. Demnach sagt

b), dass U−1zwar nicht die gr¨

oßte Klasse - dies w¨

are via 0-18 das Universum U

- aber doch die gr¨

oßte Relation ist. Da ausserdem - etwa via 6-12 - die Inklusion

“U × U ⊆ U” gilt, liegt ein Indiz daf¨

ur vor, dass zumindest bei einigen Klassen x

die Relation invers zu xdie gr¨

oßte in xenthaltene Relation ist. Dass dies generell

der Fall ist, wird in Essay #13 gezeigt. Die Beweis-Reihenfolge ist a) -c) -b):

11-10(Satz)

a) 0−1= 0.

b) U−16=U.

c) U−1=U × U.

252 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-10 a)

Thema1 α∈0−1.

2: Aus Thema1“α∈0−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈0).

3: Es gilt 2“...(Ω,Ψ) ∈0”.

Via 0-19 gilt “ (Ω,Ψ) /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈0−1.

Ergo Thema1:∀α: (α∈0−1)⇒(α /∈0−1).

Konsequenz via 0-19: 0−1= 0.

#11 MENGENLEHRE 253

Beweis 11-10 c)

1.1: Via 11-7 gilt: U−1Relation.

2: Aus 1.1“U−1Relation ”

folgt via 10-1(Def):A1



“U−1⊆ U × U ”

Thema1.2 α∈ U × U.

2: Aus Thema1.2“α∈ U × U ”

folgt via 6-8:

∃Ω,Ψ : (Ω Menge) ∧(Ψ Menge) ∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Aus 2“...Ψ Menge. . . ” und

aus 2“...Ω Menge. . . ”

folgt via PaarAxiom I: (Ψ,Ω) Menge.

4: Aus 3“ (Ψ,Ω) Menge ”

folgt via 0-19: (Ψ,Ω) ∈ U.

5: Aus 4“ (Ψ,Ω) ∈ U ”

folgt via 11-4: (Ω,Ψ) ∈ U−1.

6: Aus 2“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 5“ (Ω,Ψ) ∈ U−1”

folgt: α∈ U−1.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ U × U)⇒(α∈ U−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“U × U ⊆ U−1”

1.3: Aus A1 gleich “ U−1⊆ U × U ” und

aus A2 gleich “ U × U ⊆ U−1”

folgt via GleichheitsAxiom:U−1=U × U.

1: Via des bereits bewiesenen c) gilt: U−1=U × U.

2: Via 6-12 gilt: U × U 6=U.

3: Aus 1“U−1=U × U ” und

aus 2“U × U 6=U”

folgt: U−16=U.

254 MENGENLEHRE #11

11-11. Im Folgenden geht es um Vereinigung und Durchschnitt von Klassen,

deren Elemente Relationen invers zu Elementen einer gegebenen Klasse sind. Die

hier angegebene Definition ist zugleich vorbereitend als auch themenstellend:

11-11(Definition)

11.1(X) = {λ−1:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}.

#11 MENGENLEHRE 255

11-12. In Erl¨

auterung zu 11-11 als auch zur Erleichterung im Umgang mit der

in 11-11 definierten Klasse 11.1(X) folgt einerseits eine notwendige Bedingung

f¨

ur w∈ {λ−1:λ∈X}- siehe a) - als auch eine hinreichende Bedingung f¨

x−1∈ {λ−1:λ∈X}:

11-12(Satz)

a) Aus “ w∈ {λ−1:λ∈X}” folgt “ ∃Ω : (w= Ω−1)∧(Ω ∈X)” .

b) Aus “ x∈X” folgt “ x−1∈ {λ−1:λ∈X}” .

————————————————————————————

11-11(Def) {λ−1:λ∈X}.

256 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-12 a) VS gleich w∈ {λ−1:λ∈X}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {λ−1:λ∈X}” und

aus “ {λ−1:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈X)∧(w= Ω−1).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w= Ω−1)∧(Ω ∈X).

b) VS gleich x∈X.

1.1: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt: ∃x:x∈X.

1.2: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt via ElementAxiom:xMenge.

2: Aus 1“xMenge ”

folgt via 11-9:x−1Menge.

3: Aus 1.1“∃x:x∈X” und

aus “ x−1=x−1” folgt: ∃x: (x∈X)∧(x−1=x−1).

4: Aus 3“∃x: (x∈X)∧(x−1=x−1) ” und

aus 2“x−1Menge ”

folgt: x−1∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}.

5: Aus 4“x−1∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1))}={λ−1:λ∈X}”

folgt: x−1∈ {λ−1:λ∈X}.

#11 MENGENLEHRE 257

11-13. Die folgende Gleichung ist bei den anschließenden Untersuchungen von

Vereinigung und Durchschnitt von {λ−1:λ∈x}hilfreich. Insbesondere liefert

die hier angegebene Klasse an einer wichtigen Stelle den Nachweis, dass eine

“ TeilKlassen-Aussage” nicht ohne Weiteres durch eine Gleichung ersetzt werden

kann:

11-13(Satz)

{λ−1:λ∈0}= 0.

————————————————————————————

11-11(Def) {λ−1:λ∈0}.

Beweis 11-13

Thema1 α∈ {λ−1:λ∈0}.

2: Aus Thema1“α∈ {λ−1:λ∈0}”

folgt via 11-12:∃Ω : (α= Ω−1)∧(Ω ∈0).

3: Es gilt 2“...Ω∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈ {λ−1:λ∈0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {λ−1:λ∈0})⇒(α /∈ {λ−1:λ∈0}).

Konsequenz via 0-19:{λ−1:λ∈0}= 0.

258 MENGENLEHRE #11

11-14. In a) wird gezeigt, dass die Relation invers zu der Vereinigung einer Klas-

se Xist gleich der Vereinigung der Relationen invers zu den Elementen von X.

Gem¨

aß bcd) liegen die Verh¨

altnisse bei der Durchschnittsbildung etwas kompli-

zierter. Zun¨

achst gilt via b), dass die Relation invers zum Durchschnitt einer

Klasse Xeine TeilKlasse des Durchschnitts der Relationen invers zu den Ele-

menten von X. Wenn hier X= 0 gesetzt wird, gilt via c) Ungleichheit dieser

beiden Klassen, so dass ohne Weiteres nicht Gleichheit auftritt. Dieses Weitere

ist via d) verbl¨

uffend einfach. Gem¨

aß d) ist n¨

amlich das in c) erw¨

ahnte Beispiel

auch die einzige Ausnahme, denn wenn 0 6=Xgilt, dann ist die Relation invers

zu TXgleich dem Durchschnitt der Klasse aller Relationen invers zu X:

11-14(Satz)

a) (SX)−1=S{λ−1:λ∈X}.

b) (TX)−1⊆T{λ−1:λ∈X}.

c) “(T0)−16=T{λ−1:λ∈0}”

und “ (T0)−1=U × U” und “ T{λ−1:λ∈0}=U” .

d) Aus “ 06=X” folgt “ (TX)−1=T{λ−1:λ∈X}” .

————————————————————————————

11-11(Def) {λ−1:λ∈X}und {λ−1:λ∈0}.

#11 MENGENLEHRE 259

Beweis 11-14 a)

Thema1.1 α∈(SX)−1.

2: Aus Thema1.1“α∈(SX)−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈SX).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈SX”

folgt via 1-12:∃Φ : ((Ω,Ψ) ∈Φ) ∧(Φ ∈X).

4.1: Aus 3“...(Ω,Ψ) ∈Φ...”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈Φ−1.

4.2: Aus 3“ Φ ∈X”

folgt via 11-12: Φ−1∈ {λ−1:λ∈X}.

5: Aus 4.1“ (Ψ,Ω) ∈Φ−1” und

aus 4.2“ Φ−1∈ {λ−1:λ∈X}”

folgt via 1-12: (Ψ,Ω) ∈S{λ−1:λ∈X}.

6: Aus 2“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 5“ (Ψ,Ω) ∈S{λ−1:λ∈X}”

folgt: α∈S{λ−1:λ∈X}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(SX)−1)⇒(α∈S{λ−1:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (SX)−1⊆S{λ−1:λ∈X}) ”

260 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-14 a) ...

Thema1.2 α∈S{λ−1:λ∈X}.

2: Aus Thema1.2“α∈S{λ−1:λ∈X}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {λ−1:λ∈X}).

3: Aus 2“...Ω∈ {λ−1:λ∈X}”

folgt via 11-12:∃Ψ : (Ω = Ψ−1)∧(Ψ ∈X).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = Ψ−1...”

folgt: α∈Ψ−1.

5: Aus 4“α∈Ψ−1”

folgt via 11-3:∃Φ,Υ : (α= (Υ,Φ)) ∧((Φ,Υ) ∈Ψ).

6: Aus 5“...(Φ,Υ) ∈Ψ ” und

aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 1-12: (Φ,Υ) ∈SX.

7: Aus 6“ (Φ,Υ) ∈SX”

folgt via 11-4: (Υ,Φ) ∈(SX)−1.

8: Aus 5“. . . α = (Υ,Φ) ...” und

aus 7“ (Υ,Φ) ∈(SX)−1”

folgt: α∈(SX)−1.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈S{λ−1:λ∈X})⇒(α∈(SX)−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“S{λ−1:λ∈X} ⊆ (SX)−1”

1.3: Aus A1 gleich “ (SX)−1⊆S{λ−1:λ∈X}) ” und

aus A2 gleich “ S{λ−1:λ∈X} ⊆ (SX)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (SX)−1=S{λ−1:λ∈X}.

#11 MENGENLEHRE 261

Beweis 11-14 b)

Thema1 α∈(TX)−1.

2.1: Aus Thema1“α∈(TX)−1”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈(TX)−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈TX).

Thema3 β∈ {λ−1:λ∈X}.

4: Aus Thema3“β∈ {λ−1:λ∈X}”

folgt via 11-12:∃Φ : (β= Φ−1)∧(Φ ∈X).

5: Aus 2.2“...(Ω,Ψ) ∈TX” und

aus 4“...Φ∈X”

folgt via 1-13: (Ω,Ψ) ∈Φ.

6: Aus 5“ (Ω,Ψ) ∈Φ ”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈Φ−1.

7: Aus 2.2“...α= (Ψ,Ω) ...” und

aus 6“ (Ψ,Ω) ∈Φ−1”

folgt: α∈Φ−1.

8: Aus 7“α∈Φ−1” und

aus 4“...β = Φ−1...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3:

A1



“∀β: (β∈ {λ−1:λ∈X})⇒(α∈β) ”

2.3: Aus A1 gleich “ ∀β: (β∈ {λ−1:λ∈X})⇒(α∈β) ” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{λ−1:λ∈X}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈(TX)−1)⇒(α∈T{λ−1:λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def): (TX)−1⊆T{λ−1:λ∈X}.

262 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-14 c)

1.1: (T0)−11−14

=U−1.

1.2: T{λ−1:λ∈0}11−13

=T01−14

=U.

2.1: Via 11-10 gilt: U−1=U × U.

2.2: Via 11-10 gilt: U−16=U.

3.1: Aus 1.1“ (T0)−1=...=U−1” und

aus 2.1“U−1=U × U ”

folgt: (T0)−1=U × U.

3.2: Aus 1.1“ (T0)−1=...=U−1” ,

aus 2.2“U−16=U” und

aus 1.2“T{λ−1:λ∈0}=...=U”

folgt: (T0)−16=T{λ−1:λ∈0}.

4: Aus 3.2“ (T0)−16=T{λ−1:λ∈0}” ,

aus 3.1“ (T0)−1=U × U ” und

aus 1.2“T{λ−1:λ∈0}=...=U”

folgt: (T0)−16=T{λ−1:λ∈0}

∧(T0)−1=U × U

∧T{λ−1:λ∈0}=U.

#11 MENGENLEHRE 263

Beweis 11-14 d) VS gleich 0 6=X.

1.1: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈X.

Thema2 α∈T{λ−1:λ∈X}.

3: Aus 1.1“...Ω∈X”

folgt via 11-12: Ω−1∈ {λ−1:λ∈X}.

4: Aus Thema2“α∈T{λ−1:λ∈X}” und

aus 3“ Ω−1∈ {λ−1:λ∈X}”

folgt via 1-13:α∈Ω−1.

5: Aus 4“α∈Ω−1”

folgt via 11-3:∃Ψ,Φ : (α= (Φ,Ψ)) ∧((Ψ,Φ) ∈Ω).

6: Aus 5“...α= (Φ,Ψ) ...” und

aus Thema2“α∈T{λ−1:λ∈X}”

folgt: (Φ,Ψ) ∈T{λ−1:λ∈X}.

Thema7.1 β∈X.

8: Aus Thema7.1“β∈X”

folgt via 11-12:β−1∈ {λ−1:λ∈X}.

9: Aus 6“ (Φ,Ψ) ∈T{λ−1:λ∈X}” und

aus 8“β−1∈ {λ−1:λ∈X}”

folgt via 1-13: (Φ,Ψ) ∈β−1.

10: Aus 9“ (Φ,Ψ) ∈β−1”

folgt via 11-4: (Ψ,Φ) ∈β.

Ergo Thema7.1:A1



“∀β: (β∈X)⇒((Ψ,Φ) ∈β) ”

7.2: Aus A1 gleich “ ∀β: (β∈X)⇒((Ψ,Φ) ∈β) ” und

aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via 1-13: (Ψ,Φ) ∈TX.

8: Aus 7.2“ (Ψ,Φ) ∈TX”

folgt via 11-4: (Φ,Ψ) ∈(TX)−1.

9: Aus 5“...α= (Φ,Ψ) ...” und

aus 8“ (Φ,Ψ) ∈(TX)−1”

folgt: α∈(TX)−1.

...

264 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-14 d) VS gleich 0 6=X.

...

Ergo Thema2:∀α: (α∈T{λ−1:λ∈X})⇒(α∈(TX)−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“T{λ−1:λ∈X} ⊆ (TX)−1”

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: (TX)−1⊆T{λ−1:λ∈X}.

2: Aus 1.2“ (TX)−1⊆T{λ−1:λ∈X}” und

aus A2 gleich “ T{λ−1:λ∈X} ⊆ (TX)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (TX)−1=T{λ−1:λ∈X}.

#11 MENGENLEHRE 265

11-15. Mit der folgenden Begriffsbildung wird Einiges erleichtert. Als Phrase

kommt das hier definierte Urbild von Eunter xweder in den folgenden S¨

atzen

noch in den folgenden Definitionen vor. Damit steht das Urbild von Eunter x

auf einer Stufe mit dem “ Bild von Eunter x” von 8-5(Def). Klarer Weise ist

das Urbild von Eunter xgleich dem Bild von Eunter x−1:

11-15(Definition)

“CUrbild von Eunter x” genau dann, wenn gilt:

C=x−1[E].

266 MENGENLEHRE #11

11-16. In durchaus erwarteter Weise ist x−1[E] das Urbild von Eunter x:

11-16(Satz)

a) x−1[E]Urbild von Eunter x.

b) Aus “ CUrbild von Eunter x” und “ DUrbild von Eunter x”

folgt “ C=D” .

Beweis 11-16 a)

Aus “ x−1[E] = x−1[E]”

folgt via 11-15(Def):x−1[E] ist das Urbild von Eunter x.

b) VS gleich (CUrbild von Eunter x)∧(DUrbild von Eunter x).

1.1: Aus VS gleich “ CUrbild von Eunter x . . . ”

folgt via 11-15(Def):C=x−1[E].

1.2: Aus VS gleich “ ...DUrbild von Eunter x”

folgt via 11-15(Def):D=x−1[E].

2: Aus 1.1“C=x−1[E] ” und

aus 1.2“D=x−1[E] ”

folgt: C=D.

#11 MENGENLEHRE 267

11-17. Das Urbild der leeren Menge unter jeder Klasse ist die leere Menge, siehe

ae). Das Urbild jeder Klasse unter der leeren Menge ist die leere Menge, siehe bf).

Das Urbild des Universums unter einer Klasse ist der Definitions-Bereich dieser

Klasse, siehe c). Das Urbild jeder nicht leeren Klasse unter dem Universum ist

das Universum, siehe d). Der enge Bezug zu 8-12 ist nicht zu leugnen.

11-17(Satz)

a) x−1[0] = 0.

b) 0−1[x] = 0.

c) x−1[U] = dom x.

d) Falls “ 06=x” , dann “ U−1[x] = U” .

e) U−1[0] = 0.

f) 0−1[U] = 0.

268 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-17 a) Via 8-12 gilt: x−1[0] = 0.

1: 0−1[x]11−10

= 0[x]8−12

= 0.

2: Aus 1

folgt: 0−1[x] = 0.

1: x−1[U]8−12

=ran (x−1)11−7

=dom x.

2: Aus 1

folgt: x−1[U] = dom x.

d) VS gleich 0 6=x.

1.1: Via 11-10 gilt: U−1=U × U.

1.2: Via 2-17 gilt: U ∩ x=x.

2: Aus 1.2“U ∩ x=x” und

aus VS gleich “ 0 6=x”

folgt: 0 6=U ∩ x.

3: Aus 2“ 0 6=U ∩ x”

folgt via 9-12: (U × U)[x] = U.

4: Aus 1.1“U−1=U × U ” und

aus 3“ (U × U)[x] = U”

folgt: U−1[x] = U.

e) Via des bereits bewiesenen a) gilt: U−1[0] = 0.

f) Via des bereits bewiesenen b) gilt: 0−1[U] = 0.

#11 MENGENLEHRE 269

11-18. Aussagen ab) sind via 0-6 Spezialf¨

alle von c). In c) wird gesagt, dass

aus “ x⊆y” und “ E⊆e” Inklusion x−1[E]⊆y−1[e] folgt. Ungeachtet dieser

Implikationen ist die Beweis-Reihenfolge a) -b) -c). Aussage a) wiederholt 8-

9a) mit “ x−1” an Stelle von “ x” . 8-9 wird auch beim Beweis von bc) verwendet:

11-18(Satz)

a) Aus “ E⊆e” folgt “ x−1[E]⊆x−1[e]” .

b) Aus “ x⊆y” folgt “ x−1[E]⊆y−1[E]” .

c) Aus “ x⊆y” und “ E⊆e” folgt “ x−1[E]⊆y−1[e]” .

Beweis 11-18 a) VS gleich E⊆e.

Aus VS gleich “ E⊆e”

folgt via 8-9:x−1[E]⊆x−1[e].

b) VS gleich x⊆y.

1: Aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 11-6:x−1⊆y−1.

2: Aus 1“x−1⊆y−1”

folgt via 8-9:x−1[E]⊆y−1[E].

c) VS gleich (x⊆y)∧(E⊆e).

1: Aus VS gleich “ x⊆y . . . ”

folgt via 11-6:x−1⊆y−1.

2: Aus 1“x−1⊆y−1” und

aus VS gleich “ . . . E ⊆e”

folgt via 8-9:x−1[E]⊆y−1[e].

270 MENGENLEHRE #11

11-19. Es werden die Aussagen von 8-10 f¨

ur “ x−1” an Stelle von “ x” unter Ver-

wendung von 11-7, wonach dom (x−1) = ran xund ran (x−1) = dom xgilt, adap-

tiert. Gem¨

aß a) ist jedes Element des Urbilds von Eunter xin dom x. Das Urbild

von Eunter xist eine TeilKlasse von dom x, siehe b) und ist via c) außerdem

gleich dem Urbild von E∩ran xunter x. Wie in d) gesagt, ist das Urbild von

ran xunter xgleich dom x:

11-19(Satz)

a) Aus “ p∈x−1[E]” folgt “ p∈dom x” .

b) x−1[E]⊆dom x.

c) x−1[E] = x−1[E∩ran x].

d) x−1[ran x] = dom x.

#11 MENGENLEHRE 271

Beweis 11-19 a) VS gleich p∈x−1[E].

1: Aus VS gleich “ p∈x−1[E] ”

folgt via 8-10:p∈ran (x−1).

2: Via 11-7 gilt: ran (x−1) = dom x.

3: Aus 1“p∈ran (x−1) ” und

aus 2“ran (x−1) = dom x”

folgt: p∈dom x.

1: x−1[E]

8−10

⊆ran (x−1)11−7

=dom x.

2: Aus 1

folgt: x−1[E]⊆dom x.

1: x−1[E]8−10

=x−1[E∩dom (x−1)] 11−7

=x−1[E∩ran x].

2: Aus 1

folgt: x−1[E] = x−1[E∩ran x].

1: x−1[ran x]11−7

=x−1[dom (x−1)] 8−10

=ran (x−1)11−7

=dom x.

2: Aus 1

folgt: x−1[ran x] = dom x.

272 MENGENLEHRE #11

11-20. Falls xoder dom xeine Menge ist, dann ist das Urbild jeder Klasse unter x

eine Menge. Dieses Resultat ist eine Kombination der vorhergehenden Aussagen

8-11 und 11-7 und 11-9:

11-20(Satz)

a) Aus “ xMenge” folgt “ x−1[E]Menge” .

b) Aus “ dom xMenge” folgt “ x−1[E]Menge” .

Beweis 11-20 a) VS gleich xMenge.

1: Aus VS gleich “ xMenge ”

folgt via 11-9:x−1Menge.

2: Aus 1“x−1Menge ”

folgt via 8-11:x−1[E] Menge.

b) VS gleich dom xMenge.

1: Via 11-7 gilt: dom x=ran (x−1).

2: Aus VS gleich “ dom xMenge ” und

aus 1“dom x=ran (x−1) ”

folgt: ran (x−1) Menge.

3: Aus 2“ran (x−1) Menge ”

folgt via 8-11:x−1[E] Menge.

#11 MENGENLEHRE 273

11-21. In der folgenden Aussage wird eine notwendige Bedingung daf¨

ur gegeben,

dass eine Klasse pim Urbild von Eunter xist. Die Formulierung ist ¨

ahnlich zu

8-7:

11-21(Satz)

Es gelte:

→)p∈x−1[E].

Dann gibt es Ω, so dass gilt:

e.1) Ω∈E.

e.2) Ω∈ran x.

e.3) (p, Ω) ∈x.

Beweis 11-21

1: Aus VS gleich “ p∈x−1[E] ”

folgt via 8-7:∃Ω : (Ω ∈E)∧(Ω ∈dom (x−1)) ∧((Ω, p)∈x−1).

2.1: Via 11-7 gilt: dom (x−1) = ran x.

2.2: Aus 1“...(Ω, p)∈x−1”

folgt via 11-4: (p, Ω) ∈x.

3: Aus 1“...Ω∈dom (x−1)...” und

aus 2.1“dom (x−1) = ran x”

folgt: Ω ∈ran x.

4: Aus 1“∃Ω : Ω ∈E . . . ” ,

aus 3“ Ω ∈ran x” und

aus 2.2“ (p, Ω) ∈x”

folgt: ∃Ω:

Ω∈E

∧Ω∈ran x

∧(p, Ω) ∈x.

274 MENGENLEHRE #11

11-22. Es folgt eine im Folgenden oft verwendete hinreichende Bedingung f¨

“p∈x−1[E]” . Die Formulierung ¨

ahnelt 8-8:

11-22(Satz)

Aus “ (p, q)∈x” und “ q∈E” folgt “ p∈x−1[E]” .

Beweis 11-22 VS gleich ((p, q)∈x)∧(q∈E).

1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x . . . ”

folgt via 11-4: (q, p)∈x−1.

2: Aus 1“ (q, p)∈x−1” und

aus VS gleich “ . . . q ∈E”

folgt via 8-8:p∈x−1[E].

#11 MENGENLEHRE 275

11-23. Als Wegbereitung f¨

ur Betrachtungen von Vereinigung und Durchschnitt

von Urbildern von einer vorgegebenen Klasse unter den Elementen einer anderen

Klasse wird die Klasse aller Urbilder von yunter den Elementen von xdefiniert:

11-23(Definition)

11.2(X, E)

={λ−1[E] : λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}.

276 MENGENLEHRE #11

11-24. Zur Vereinfachung des Umgangs mit der in 11-23 definierten Klasse

{λ−1[E] : λ∈X}wird eine notwendige Bedingung f¨

ur w∈ {λ−1[E] : λ∈X}

und Hinreichendes f¨

ur x−1[E]∈ {λ−1[X]:λ∈E}bewiesen:

11-24(Satz)

a) Aus “ w∈ {λ−1[E]:λ∈X}” folgt “ ∃Ω : (w= Ω−1[E]) ∧(Ω ∈X)” .

b) Aus “ x∈X” folgt “ x−1[E]∈ {λ−1[E]:λ∈X}” .

————————————————————————————

11-23(Def) {λ−1[E] : λ∈X}.

#11 MENGENLEHRE 277

Beweis 11-24 a) VS gleich w∈ {λ−1[E] : λ∈X}.

1: Aus VS gleich “ w∈ {λ−1[E]:λ∈X}” und

aus “ {λ−1[E]:λ∈X}={ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}”

folgt: w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}.

2: Aus 1“w∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}”

folgt: ∃Ω : (Ω ∈X)∧(w= Ω−1[E]).

3: Aus 2

folgt: ∃Ω : (w= Ω−1[E]) ∧(Ω ∈X).

b) VS gleich x∈X.

1.1: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt via ElementAxiom:xMenge.

1.2: Aus VS gleich “ x∈X”

folgt: ∃x:x∈X.

2.1: Aus 1.1“xMenge ”

folgt via 11-20:x−1[E] Menge.

2.2: Aus 1.2“∃x:x∈X” und

aus “ x−1[E] = x−1[E]”

folgt: ∃x: (x∈X)∧(x−1[E] = x−1[E]).

3: Aus 2.2“∃x: (x∈X)∧(x−1[E] = x−1[E]) ” und

aus 2.1“x−1[E] Menge ”

folgt: x−1[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}.

4: Aus 3“x−1[E]∈ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}” und

aus “ {ω: (∃Ω : (Ω ∈X)∧(ω= Ω−1[E]))}={λ−1[E] : λ∈X}”

folgt: x−1[E]∈ {λ−1[E] : λ∈X}.

278 MENGENLEHRE #11

11-25. Mit Aussagen ac) - Aussage b) ist eine Vorbereitung auf c) - stehen

Hilfsmittel zur Verf¨

ugung, um im nachfolgenden Satz nachzuweisen, dass das

Urbild von einer Klasse unter dem Durchschnitt einer anderen Klasse mitunter

ungleich dem Durchschnitt der Urbilder der einen Klasse unter den Elementen

der anderen Klasse ist:

11-25(Satz)

a) {λ−1[E]:λ∈0}= 0.

b) {λ−1[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

c) Aus “ 06=X” folgt “ {λ−1[0] : λ∈X}={0}” .

————————————————————————————

11-23(Def) {λ−1[E]:λ∈0}und {λ−1[0] : λ∈X}.

Beweis 11-25 a)

Thema1 α∈ {λ−1[E]:λ∈0}.

2: Aus Thema1“α∈ {λ−1[E] : λ∈0}”

folgt via 11-24:∃Ω : (α= Ω−1[E]) ∧(Ω ∈0).

3: Es gilt 2“...Ω∈0”.

Via 0-19 gilt “ Ω /∈0” .

Ex falso quodlibet folgt: α /∈ {λ−1[E]:λ∈0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {λ−1[E] : λ∈0})⇒(α /∈ {λ−1[E] : λ∈0}).

Konsequenz via 0-19:{λ−1[E] : λ∈0}= 0.

#11 MENGENLEHRE 279

Beweis 11-25 b)

Thema1 α∈ {λ−1[0] : λ∈X}.

2: Aus Thema1“α∈ {λ−1[0] : λ∈X}”

folgt via 11-24:∃Ω : (α= Ω−1[0]) ∧(Ω ∈X).

3: Via 11-17 gilt: Ω−1[0] = 0.

4: Aus 2“. . . α = Ω−1[0] ...” und

aus 3“ Ω−1[0] = 0 ”

folgt: α= 0.

5: Via 1-5 gilt: 0 ∈ {0}.

6: Aus 4“α= 0 ” und

aus 5“ 0 ∈ {0}”

folgt: α∈ {0}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {λ−1[0] : λ∈X})⇒(α∈ {0}).

Konsequenz via 0-2(Def):{λ−1[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

c) VS gleich 0 6=X.

1: Aus VS gleich “ 0 6=X”

folgt via 0-20:∃Ω : Ω ∈X.

2: Aus 1“...Ω∈X”

folgt via 11-24: Ω−1[0] ∈ {λ−1[0] : λ∈X}.

3: Via 11-17 gilt: Ω−1[0] = 0.

4: Aus 2“ Ω−1[0] ∈ {λ−1[0] : λ∈X}” und

aus 3“ Ω−1[0] = 0 ”

folgt: 0 ∈ {λ−1[0] : λ∈X}.

5: Aus 4“ 0 ∈ {λ−1[0] : λ∈X}”

folgt via 1-8:{0} ⊆ {λ−1[0] : λ∈X}.

6: Via des bereits bewiesenen b) gilt: {λ−1[0] : λ∈X} ⊆ {0}.

7: Aus 6“{λ−1[0] : λ∈X} ⊆ {0}” und

aus 5“{0} ⊆ {λ−1[0] : λ∈X}”

folgt via GleichheitsAxiom:{λ−1[0] : λ∈X}={0}.

280 MENGENLEHRE #11

11-26. Das Urbild von Eunter der Vereinigung von xist die Vereinigung der Ur-

bilder von Eunter den Elementen von X, siehe a). Gem¨

aß b) ist das Urbild von

Eunter dem Durchschnitt von Xeine TeilKlasse des Durchschnitts der Urbilder

von Eunter den Elementen von X. Falls peine Menge ist, dann ist gem¨

aß c)

das Urbild von {p}unter dem Durchschnitt von Xgleich dem Durchschnitt der

Urbilder von {p}unter den Elementen von X. In d) wird gezeigt, dass wenn p

eine Unmenge ist und wenn Xnicht leer ist, das Urbild von {p}- diese Klasse ist

klarer Weise die leere Menge - unter dem Durchschnitt von Xgleich dem Durch-

schnitt der Urbilder von {p}unter den Elementen von Xist. In der Tat stellt

sich heraus, dass beide angesprochenen auf “ Durchschnitts-Bildung” beruhenden

Klassen gleich der leeren Menge sind. Gem¨

aß e) kann an Stelle der “ TeilKlassen-

Aussage” von c) auch eine Ungleichung treten - n¨

amlich dann, wenn f¨

ur eine

Unmenge pdie Klassen (T0)−1[{p}] und T{λ−1[{p}] : λ∈0}betrachtet wer-

den. Dieses Beispiel zeigt auch, dass auf die Voraussetzung “ 0 6=X” in d) nicht

verzichtet werden kann:

11-26(Satz)

a) (SX)−1[E] = S{λ−1[E]:λ∈X}.

b) (TX)−1[E]⊆T{λ−1[E]:λ∈X}.

c) Aus “ pMenge” folgt “ (TX)−1[{p}] = T{λ−1[{p}] : λ∈X}” .

d) Aus “ 06=X” und “ pUnmenge”

folgt “ (TX)−1[{p}] = T{λ−1[{p}] : λ∈X}”

und “ (TX)−1[{p}] = 0”

und “ T{λ−1[{p}] : λ∈X}= 0” .

e) Aus “ pUnmenge” folgt “ (T0)−1[{p}]6=T{λ−1[{p}] : λ∈0}”

und “ (T0)−1[{p}] = 0”

und “ T{λ−1[{p}] : λ∈0}=U” .

————————————————————————————

11-23(Def) {λ−1[E]:λ∈X}und {λ−1[{p}] : λ∈X}

und {λ−1[{p}] : λ∈0}.

#11 MENGENLEHRE 281

Beweis 11-26 a)

Thema1.1 α∈(SX)−1[E].

2: Aus Thema1.1“α∈(SX)−1[E] ”

folgt via 11-21:∃Ω : (Ω ∈E)∧((α, Ω) ∈SX).

3: Aus 2“...(α, Ω) ∈SX”

folgt via 1-12:∃Ψ : ((α, Ω) ∈Ψ) ∧(Ψ ∈X).

4.1: Aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 11-24: Ψ−1[E]∈ {λ−1[E]:λ∈X}.

4.2: Aus 3“...(α, Ω) ∈Ψ...” und

aus 2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 11-22:α∈Ψ−1[E].

5: Aus 4.2“α∈Ψ−1[E] ” und

aus 4.1“ Ψ−1[E]∈ {λ−1[E]:λ∈X}”

folgt via 1-12:α∈S{λ−1[E]:λ∈X}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(SX)−1[E]) ⇒(α∈S{λ−1[E] : λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (SX)−1[E]⊆S{λ−1[E] : λ∈X}”

282 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-26 a) ...

Thema1.2 α∈S{λ−1[E]:λ∈X}.

2: Aus Thema1.2“α∈S{λ−1[E]:λ∈X}”

folgt via 1-12:∃Ω : (α∈Ω) ∧(Ω ∈ {λ−1[E]:λ∈X}).

3: Aus 2“...Ω∈ {λ−1[E]:λ∈X}...”

folgt via 11-24:∃Ψ : (Ω = Ψ−1[E]) ∧(Ψ ∈X).

4: Aus 2“. . . α ∈Ω...” und

aus 3“...Ω = Ψ−1[E]...”

folgt: α∈Ψ−1[E].

5: Aus 4“α∈Ψ−1[E] ”

folgt via 11-21:∃Φ : (Φ ∈E)∧((α, Φ) ∈Ψ).

6: Aus 5“...(α, Φ) ∈Ψ ” und

aus 3“...Ψ∈X”

folgt via 1-12: (α, Φ) ∈SX.

7: Aus 6“ (α, Φ) ∈SX” und

aus 5“...Φ∈E . . . ”

folgt via 11-22:α∈(SX)−1[E].

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈S{λ−1[E]:λ∈X})⇒(α∈(SX)−1[E]).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“S{λ−1[E]:λ∈X} ⊆ (SX)−1[E] ”

1.3: Aus A1 gleich “ (SX)−1[E]⊆S{λ−1[E] : λ∈X}” und

aus A2 gleich “ S{λ−1[E] : λ∈X} ⊆ (SX)−1[E] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (SX)−1[E] = S{λ−1[E] : λ∈X}.

#11 MENGENLEHRE 283

Beweis 11-26 b)

Thema1 α∈(TX)−1[E].

2.1: Aus Thema1“α∈(TX)−1[E] ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈(TX)−1[E] ”

folgt via 11-21:∃Ω : (Ω ∈E)∧((α, Ω) ∈TX).

Thema3.1 β∈ {λ−1[E]:λ∈X}.

4: Aus Thema3.2“β∈ {λ−1[E]:λ∈X}”

folgt via 11-24:

∃Ψ : (β= Ψ−1[E]) ∧(Ψ ∈X).

5: Aus 2.2“...(α, Ω) ∈TX” und

aus 4“...Ψ∈X”

folgt via 1-13: (α, Ω) ∈Ψ.

6: Aus 5“ (α, Ω) ∈Ψ ” und

aus 2.2“...Ω∈E . . . ”

folgt via 11-22:α∈Ψ−1[E].

7: Aus 6“α∈Ψ−1[E] ” und

aus 4“...β = Ψ−1[E]...”

folgt: α∈β.

Ergo Thema3.1:

A1



“∀β: (β∈ {λ−1[E]:λ∈X})⇒(α∈β) ”

3.2: Aus A1 gleich

“∀β: (β∈ {λ−1[E]:λ∈X})⇒(α∈β)” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt via 1-13:α∈T{λ−1[E]:λ∈X}

Ergo Thema1:∀α: (α∈(TX)−1[E]) ⇒(α∈T{λ−1[E] : λ∈X}).

Konsequenz via 0-2(Def): (TX)−1[E]⊆T{λ−1[E] : λ∈X}.

284 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-26 c) VS gleich pMenge.

Thema1.1 α∈T{λ−1[{p}]:λ∈X}.

Thema2.1 β∈X.

3: Aus Thema3.1“β∈X”

folgt via 11-24:

β−1[{p}]∈ {λ−1[{p}] : λ∈X}.

4: Aus Thema1.1

“α∈T{λ−1[{p}] : λ∈X}” und

aus 3“β−1[{p}]∈ {λ−1[{p}] : λ∈X}”

folgt via 1-13:α∈β−1[{p}].

5: Aus 4“α∈β−1[{p}] ”

folgt via 11-21:

∃Ω : (Ω ∈ {p})∧((α, Ω) ∈β).

6: Aus 5“...Ω∈ {p}...”

folgt via 1-6: Ω = p.

7: Aus 6“ Ω = p”

folgt via PaarAxiom I: (α, Ω) = (α, p).

8: Aus 7“ (α, Ω) = (α, p) ” und

aus 5“...(α, Ω) ∈β”

folgt: (α, p)∈β.

Ergo Thema2.1:A1



“∀β: (β∈X)⇒((α, p)∈β) ”

...

#11 MENGENLEHRE 285

Beweis 11-26 c) VS gleich pMenge.

...

Thema1.1 α∈T{λ−1[{p}]:λ∈X}.

...

2.2: Aus Thema1.1“α∈T{λ−1[{p}]:λ∈X}”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

3: Aus 2.2“αMenge ” und

aus VS gleich “ pMenge ”

folgt via PaarAxiom I: (α, p) Menge.

4: Aus A1 gleich “ ∀β: (β∈X)⇒((α, p)∈β) ” und

aus 2.2“ (α, p) Menge ”

folgt via 1-13:A2



“ (α, p)∈TX”

2.3: Aus →)“pMenge ”

folgt via 1-3:p∈ {p}.

3: Aus A2 gleich “ (α, p)∈TX” und

aus 2.3“p∈ {p}”

folgt via 11-22:α∈(TX)−1[{p}].

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈T{λ−1[{p}] : λ∈X})⇒(α∈(TX)−1[{p}]).

Konsequenz via 0-2(Def):A3



“T{λ−1[{p}] : λ∈X} ⊆ (TX)−1[{p}] ”

1.2: Via des bereits bewiesenen b) gilt: (TX)−1[{p}]⊆T{λ−1[{p}]:λ∈X}.

2: Aus 1.2“ (TX)−1[{p}]⊆T{λ−1[{p}]:λ∈X}” und

aus A3 gleich “ T{λ−1[{p}] : λ∈X} ⊆ (TX)−1[{p}] ”

folgt via GleichheitsAxiom: (TX)−1[{p}] = T{λ−1[{p}]:λ∈X}.

286 MENGENLEHRE #11

Beweis 11-26 d) VS gleich (0 6=X)∧(pUnmenge).

1: Aus VS gleich “ . . . p Unmenge ”

folgt via 1-4:{p}= 0.

2.1: (TX)−1[{p}]1

= (TX)−1[0] 11−17

= 0.

2.2: Aus VS gleich “ 0 6=X . . . ”

folgt via 11-25:{λ−1[0] : λ∈X}={0}.

3: T{λ−1[{p}]:λ∈X}1

=T{λ−1[0] : λ∈X}2.2

=T{0}1−14

= 0.

4: Aus 2.1“ (TX)−1[{p}] = ...= 0 ” und

aus 3“T{λ−1[{p}] : λ∈X}=...0 ”

folgt: (TX)−1[{p}] = T{λ−1[{p}] : λ∈X}= 0

∧(TX)−1[{p}] = 0

∧T{λ−1[{p}]:λ∈X}= 0.

e) VS gleich pUnmenge.

1: Aus VS gleich “ . . . p Unmenge ”

folgt via 1-4:{p}= 0.

2.1: (T0)−1[{p}]1

= (T0)−1[0] 11−17

= 0.

2.2: T{λ−1[{p}] : λ∈0}11−25

=T01−14

=U.

3: Via 0-18 gilt: 0 6=U.

4: Aus 2.1“ (T0)−1[{p}] = ...= 0 ” ,

aus 3“ 0 6=U” und

aus 2.2“T{λ−1[{p}] : λ∈0}=...=U”

folgt: (T0)−1[{p}]6=T{λ−1[{p}] : λ∈0}

∧(T0)−1[{p}] = 0

∧T{λ−1[{p}] : λ∈0}=U.

#12 MENGENLEHRE 287

Urbild von Eunter x:∪,∩,\,∆.

x−1[{p}].

(x×y)−1.

(x×y)−1[E].

Ersterstellung: 12/09/05 Letzte ¨

Anderung: 15/04/11

288 MENGENLEHRE #12

12-1. Es folgen vier Aussagen ¨

uber die wechselseitige Beziehung der klassentheo-

retischen Grundoperationen und der Relation invers zu einer Klasse. In a) wird

gesagt, dass die Relation invers zur bin¨

aren Vereinigung von xund ygleich der

bin¨

aren Vereinigung der Relationen invers zu xund zu yist. Gem¨

aß b) ist die

Relation invers zum bin¨

aren Durchschnitt von xund ygleich dem bin¨

aren Durch-

schnitt der Relationen invers zu xund zu y. Wie in c) gesagt ist die Relation

invers zu der KlassenDifferenz von xund ygleich der KlassenDifferenz der Rela-

tion invers zu xund der Relation invers zu y. Schließlich ist gem¨

aß d) auch die

Relation invers zu der symmetrischen KlassenDifferenz von xund ygleich der

symmetrischen KlassenDifferenz der Relation invers zu xund der Relation invers

zu y:

12-1(Satz)

a) (x∪y)−1= (x−1)∪(y−1).

b) (x∩y)−1= (x−1)∩(y−1).

c) (x\y)−1= (x−1)\(y−1).

d) (x∆y)−1= (x−1)∆(y−1).

Beweis 12-1 a)

Thema1.1 α∈(x∪y)−1.

2: Aus Thema1.1“α∈(x∪y)−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x∪y).

3: Aus 1.1“...(Ω,Ψ) ∈x∪y”

folgt via 2-2: ((Ω,Ψ) ∈x)∨((Ω,Ψ) ∈y).

Fallunterscheidung

...

#12 MENGENLEHRE 289

Beweis 12-1 a) ...

Thema1.1 α∈(x∪y)−1.

...

Fallunterscheidung

...

3.1.Fall (Ω,Ψ) ∈x.

4: Aus 3.1.Fall“(Ω,Ψ) ∈x”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈x−1.

5: Aus 2“...α= (Ψ,Ω) ...” und

aus 4“ (Ψ,Ω) ∈x−1”

folgt: α∈x−1.

6: Aus 5“α∈x−1”

folgt via 2-2:α∈(x−1)∪(y−1).

3.2.Fall (Ω,Ψ) ∈y.

4: Aus 3.2.Fall“(Ω,Ψ) ∈y”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈y−1.

5: Aus 2“...α= (Ψ,Ω) ...” und

aus 4“ (Ψ,Ω) ∈y−1”

folgt: α∈y−1.

6: Aus 5“α∈y−1”

folgt via 2-2:α∈(x−1)∪(y−1).

Ende Fallunterscheidung In beiden F¨

allen gilt:

α∈(x−1)∪(y−1).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(x∪y)−1)⇒(α∈(x−1)∪(y−1)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (x∪y)−1⊆(x−1)∪(y−1) ”

290 MENGENLEHRE #12

Beweis 12-1 a) ...

1.2: Via 2-7 gilt: x⊆x∪y.

1.3: Via 2-7 gilt: y⊆x∪y.

2.1: Aus 1.2“x⊆x∪y”

folgt via 11-6:x−1⊆(x∪y)−1.

2.2: Aus 1.3“y⊆. . . x ∪y”

folgt via 11-6:y−1⊆(x∪y)−1.

3: Aus 2.1“x−1⊆(x∪y)−1” und

aus 2.2“y−1⊆(x∪y)−1”

folgt via 2-12: (x−1)∪(y−1)⊆(x∪y)−1.

4: Aus A1 gleich “ (x∪y)−1⊆(x−1)∪(y−1) ” und

aus 3“ (x−1)∪(y−1)⊆(x∪y)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (x∪y)−1= (x−1)∪(y−1).

1.1: Via 2-7 gilt: x∩y⊆x.

1.2: Via 2-7 gilt: x∩y⊆y.

2.1: Aus 1.1“x∩y⊆x”

folgt via 11-6: (x∩y)−1⊆x−1.

2.2: Aus 1.2“x∩y⊆y”

folgt via 11-6: (x∩y)−1⊆y−1.

3: Aus 2.1“ (x∩y)−1⊆x−1” und

aus 2.2“ (x∩y)−1⊆y−1”

folgt via 2-12:A1



“ (x∩y)−1⊆(x−1)∩(y−1) ”

#12 MENGENLEHRE 291

Beweis 12-1 b) ...

Thema1.2 α∈(x−1)∩(y−1).

2: Aus Thema1.2“α∈(x−1)∩(y−1)”

folgt via 2-2: (α∈x−1)∧(α∈y−1).

3: Aus 2“α∈x−1...”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x).

4: Aus 3“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 2“...α∈y−1”

folgt: (Ψ,Ω) ∈y−1.

5: Aus 4.2“ (Ψ,Ω) ∈y−1”

folgt via 11-4: (Ω,Ψ) ∈y.

6: Aus 3“...(Ω,Ψ) ∈x” und

aus 5“ (Ω,Ψ) ∈y”

folgt via 2-2: (Ω,Ψ) ∈x∩y.

7: Aus 6“ (Ω,Ψ) ∈x∩y”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈(x∩y)−1.

8: Aus 3“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 7“ (Ψ,Ω) ∈(x∩y)−1”

folgt: α∈(x∩y)−1.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈(x−1)∩(y−1)) ⇒(α∈(x∩y)−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ (x−1)∩(y−1)⊆(x∩y)−1”

1.3: Aus A1 gleich “ (x∩y)−1⊆(x−1)∩(y−1) ” und

aus A2 gleich “ (x−1)∩(y−1)⊆(x∩y)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (x∩y)−1= (x−1)∩(y−1).

292 MENGENLEHRE #12

Beweis 12-1 c)

Thema1.1 α∈(x\y)−1.

2: Aus Thema1.1“α∈(x\y)−1”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x\y).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x\y”

folgt via 5-3: ((Ω,Ψ) ∈x)∧((Ω,Ψ) /∈y).

4.1: Aus 3“ (Ω,Ψ) ∈x . . . ”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈x−1.

4.2: Aus 3“...(Ω,Ψ) /∈y”

folgt via 11-5: (Ψ,Ω) /∈y−1.

5: Aus 4.1“ (Ψ,Ω) ∈x−1” und

aus 4.2“ (Ψ,Ω) /∈y−1”

folgt via 5-3: (Ψ,Ω) ∈(x−1)\(y−1).

6: Aus 2“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 5“ (Ψ,Ω) ∈(x−1)\(y−1) ”

folgt: α∈(x−1)\(y−1).

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(x\y)−1)⇒(α∈(x−1)\(y−1)).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (x\y)−1⊆(x−1)\(y−1) ”

#12 MENGENLEHRE 293

Beweis 12-1 c) ...

Thema1.2 α∈(x−1)\(y−1).

2: Aus Thema1.2“α∈(x−1)\(y−1)”

folgt via 5-3: (α∈x−1)∧(α /∈y−1).

3: Aus 2“α∈x−1...”

folgt via 11-3:∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x).

4: Aus 3“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 2“...α /∈y−1”

folgt: (Ψ,Ω) /∈y−1.

5: Aus 4“ (Ψ,Ω) /∈y−1”

folgt via 11-4: (Ω,Ψ) /∈y.

6: Aus 3“...(Ω,Ψ) ∈x” und

aus 5“ (Ω,Ψ) /∈y”

folgt via 5-3: (Ω,Ψ) ∈x\y.

7: Aus 6“ (Ω,Ψ) ∈x\y”

folgt via 11-4: (Ψ,Ω) ∈(x\y)−1.

8: Aus 3“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 7“ (Ψ,Ω) ∈(x\y)−1”

folgt: α∈(x\y)−1.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈(x−1)\(y−1)) ⇒(α∈(x\y)−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“ (x−1)\(y−1)⊆(x\y)−1”

1.3: Aus A1 gleich “ (x\y)−1⊆(x−1)\(y−1) ” und

aus A2 gleich “ (x−1)\(y−1)⊆(x\y)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (x\y)−1= (x−1)\(y−1).

1: (x∆y)−15−27

= ((x\y)∪(y\x))−1a)

= ((x\y)−1)∪((y\x)−1)

= ((x−1)\(y−1)) ∪((y−1)\(x−1)) 5−27

= (x−1)∆(y−1).

2: Aus 1

folgt: (x∆y)−1= (x−1)∆(y−1).

294 MENGENLEHRE #12

12-2. Es folgen f¨

unf Resultate, die Adaptionen von 9-1 und - teilweise - von

9-4 f¨

ur Urbilder an Stelle von Bildern sind. Gem¨

aß a) ist das Urbild unter

der bin¨

aren Vereinigung gleich der bin¨

aren Vereinigung der Urbilder. Diese Glei-

chung geht, wie in b) gesagt, f¨

ur den bin¨

aren Durchschnitt in eine “ TeilKlassen-

Aussage” ¨

uber. Das Urbild unter dem bin¨

aren Durchschnitt kann auch gleich dem

bin¨

aren Durchschnitt der Urbilder sein. Als Beispiel hierf¨

ur werden in c) die je-

weiligen Urbilder von Singelton pbetrachtet. In d) wird gezeigt, dass die Klassen-

Differenz der Urbilder eine TeilKlasse des Urbilds unter der KlassenDifferenz ist.

Dieses Resultat wird in e) auch f¨

ur die symmetrische KlassenDifferenz bewiesen.

Dass die Aussagen bde) nicht ohne Weiteres als Gleichungen verf¨

ugbar sind, wird

in der nachfolgenden Bemerkung und den anschließenden Beispielen diskutiert:

12-2(Satz)

a) (x∪y)−1[E] = (x−1[E]) ∪(y−1[E]).

b) (x∩y)−1[E]⊆(x−1[E]) ∩(y−1[E]).

c) (x∩y)−1[{p}] = (x−1[{p}]) ∩(y−1[{p}]).

d) (x−1[E]) \(y−1[E]) ⊆(x\y)−1[E].

e) (x−1[E])∆(y−1[E]) ⊆(x∆y)−1[E].

#12 MENGENLEHRE 295

Beweis 12-2 a)

1: (x∪y)−1[E]12−1

= (x−1∪y−1)[E]9−1

= (x−1[E]) ∪(y−1[E]).

2: Aus 1

folgt: (x∪y)−1[E] = (x−1[E]) ∪(y−1[E]).

1: (x∩y)−1[E]12−1

= (x−1∩y−1)[E]

9−1

⊆(x−1[E]) ∩(y−1[E]).

2: Aus 1

folgt: (x∩y)−1[E]⊆(x−1[E]) ∩(y−1[E]).

1: (x∩y)−1[{p}]12−1

= (x−1∩y−1)[{p}]9−1

= (x−1[{p}]) ∩(y−1[{p}]).

2: Aus 1

folgt: (x∩y)−1[{p}] = (x−1[{p}]) ∩(y−1[{p}]).

1: (x−1[E]) \(y−1[E])

9−4

⊆(x−1\y−1)[E]12−1

= (x\y)−1[E].

2: Aus 1

folgt: (x−1[E]) \(y−1[E]) ⊆(x\y)−1[E].

1: (x−1[E])∆(y−1[E])

9−4

⊆(x−1∆y−1)[E]12−1

= (x∆y)−1[E].

2: Aus 1

folgt: (x−1[E])∆(y−1[E]) ⊆(x∆y)−1[E].

296 MENGENLEHRE #12

12-3. Wie an Hand der folgenden Beispiele klar wird, sind statt der “ TeilKlassen-

Aussagen” von 12-2bde) nicht ohne Weiteres Gleichungen verf¨

ugbar:

12-3.Bemerkung

•Die Gleichung

“ (x∩y)−1[E] = (x−1[E]) ∩(y−1[E])”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ (x−1[E]) \(y−1[E]) = (x\y)−1[E]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

•Die Gleichung

“ (x−1[E])∆(y−1[E]) = (x∆y)−1[E]”

ist nicht ohne Weiteres verf¨

ugbar.

#12 MENGENLEHRE 297

12-4. Mit dem folgenden Beispiel wird klar gemacht, dass in 12-2b) nicht ohne

Weiteres eine Gleichung zu erwarten ist:

12-4.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(p, q)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) (x∩y)−1= 0.

b) x−1[E] = {p}.

c) y−1[E] = {p}.

d) (x∩y)−1[E] = 0.

e) (x−1[E]) ∩(y−1[E]) = {p}.

f) (x∩y)−1[E]6= (x−1[E]) ∩(y−1[E]).

298 MENGENLEHRE #12

12-5. Mit dem folgenden Beispiel wird klar gemacht, dass in 12-2d) nicht ohne

Weiteres eine Gleichung zu erwarten ist:

12-5.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(p, q)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) x\y={(p, p)}.

b) (x\y)−1={(p, p)}.

c) x−1[E] = {p}.

d) y−1[E] = {p}.

e) (x−1[E]) \(y−1[E]) = 0.

f) (x\y)−1[E] = {p}.

g) (x−1[E]) \(y−1[E]) 6= (x\y)−1[E].

#12 MENGENLEHRE 299

12-6. Mit dem folgenden Beispiel wird klar gemacht, dass in 12-2e) nicht ohne

Weiteres eine Gleichung zu erwarten ist:

12-6.BEISPIEL

Es gelte:

→)pMenge.

→)qMenge.

→)p6=q.

→)x={(p, p)}.

→)y={(p, q)}.

→)E={p, q}.

Dann folgt:

a) x∆y={(p, p),(p, q)}.

b) (x∆y)−1={(p, p),(q, p)}.

c) x−1[E] = {p}.

d) y−1[E] = {p}.

e) (x−1[E])∆(y−1[E]) = 0.

f) (x∆y)−1[E] = {p, q}.

g) (x−1[E])∆(y−1[E]) 6= (x∆y)−1[E].

300 MENGENLEHRE #12

12-7. In Adaption von 9-15 f¨

ur “ y−1” an Stelle von “ y” werden zwei hinreichende

Bedingungen f¨

ur z∈y−1[{x}] angegeben. Die Beweis-Reihenfolge ist i) -iii) -

iv) -ii) -i):

12-7(Satz)

Die Aussagen i),ii),iii),iv) sind ¨

aquivalent:

i) p∈x−1[{q}].

ii) “{q} ⊆ x[{p}]” und “ qMenge” .

iii) (p, q)∈x.

iv) “(p, q)∈x” und “ pMenge” und “ qMenge” .

#12 MENGENLEHRE 301

Beweis 12-7 i) ⇒iii) VS gleich p∈x−1[{q}].

1: Aus VS gleich “ p∈x−1[{q}] ”

folgt via 9-15: (q, p)∈x−1.

2: Aus 1“ (q, p)∈x−1”

folgt via 11-4: (p, q)∈x.

iii) ⇒iv) VS gleich (p, q)∈x.

1: Aus VS gleich “ (p, q)∈x”

folgt via ElementAxiom: (p, q) Menge.

2: Aus 1“ (p, q) Menge ”

folgt via PaarAxiom I: (pMenge) ∧(qMenge).

3: Aus VS gleich “ (p, q)∈x” ,

aus 2“pMenge. . . ” und

aus 2“. . . q Menge ”

folgt: ((p, q)∈x)∧(pMenge) ∧(qMenge).

iv) ⇒ii) VS gleich ((p, q)∈x)∧(pMenge) ∧(qMenge).

Aus VS gleich “ ((p, q)∈x)∧(pMenge) ∧(qMenge) ”

folgt via 9-15: ({q} ⊆ x[{p}]) ∧(qMenge).

ii) ⇒i) VS gleich ({q} ⊆ x[{p}]) ∧(qMenge).

1: Aus VS gleich “ ({q} ⊆ x[{p}]) ∧(qMenge) ”

folgt via 9-15: (p, q)∈x.

2: Aus 1“ (p, q)∈x”

folgt via 11-4: (q, p)∈x−1.

3: Aus 2“ (q, p)∈x−1”

folgt via 9-15:p∈x−1[{q}].

302 MENGENLEHRE #12

12-8. Mit der folgenden Definition wird das “ Urbild-Analogon” zu der in 9-

16(Def) definierten Klasse {ω: (p, ω)∈x}in die Essays eingef¨

uhrt:

12-8(Definition)

12.0(q, x) = {ω: (ω, q)∈x}.

#12 MENGENLEHRE 303

12-9. Je gr¨

oßer die Klasse xist, desto gr¨

oßer ist die Klasse {ω: (ω, q)∈x}. Ein

analoges Resultat f¨

ur {ω: (p, ω)∈x}ist in 9-17 zu finden:

12-9(Satz)

Aus “ x⊆y” folgt “ {ω: (ω, q)∈x} ⊆ {ω: (ω, q)∈y}” .

————————————————————————————

12-8(Def) {ω: (ω, q)∈x}und {ω: (ω, q)∈y}.

Beweis 12-9 VS gleich x⊆y.

Thema1 α∈ {ω: (ω, q)∈x}.

2.1: Aus Thema1“α∈ {ω: (ω, q)∈x}”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1“α∈ {ω: (ω, q)∈x}”

folgt: (α, q)∈x.

3: Aus 2.2“ (α, q)∈x” und

aus VS gleich “ x⊆y”

folgt via 0-4: (α, q)∈y.

4: Aus 3“ (α, q)∈y” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt: α∈ {ω: (ω, q)∈y}.

Ergo Thema1:∀α: (α∈ {ω: (ω, q)∈x})⇒(α∈ {ω: (ω, q)∈y}).

Konsequenz via 0-2(Def):{ω: (ω, q)∈x} ⊆ {ω: (ω, q)∈y}.

304 MENGENLEHRE #12

12-10. Im folgenden Satz wird in ¨

Ahnlichkeit zu 9-18 die Gleichung x−1[{q}] =

{ω: (ω, q)∈x}etabliert:

12-10(Satz)

x−1[{q}] = {ω: (ω, q)∈x}.

————————————————————————————

12-8(Def) {ω: (ω, q)∈x}.

Beweis 12-10

Thema1.1 α∈x−1[{q}].

2.1: Aus Thema1.1“α∈x−1[{q}] ”

folgt via ElementAxiom:αMenge.

2.2: Aus Thema1.1“α∈x−1[{q}] ”

folgt via 11-21:∃Ω : (Ω ∈ {q})∧((α, Ω) ∈x).

3: Aus 2.2“...Ω∈ {q}...”

folgt via 1-6: Ω = q.

4: Aus 3“ Ω = q”

folgt via PaarAxiom I: (α, Ω) = (α, q).

5: Aus 4“ (α, Ω) = (α, q) ” und

aus 2.2“...(α, Ω) ∈x”

folgt: (α, q)∈x.

6: Aus 5“ (α, q)∈x” und

aus 2.1“αMenge ”

folgt: α∈ {ω: (ω, q)∈x}.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈x−1[{q}]) ⇒(α∈ {ω: (ω, q)∈x}).

Konsexuenz via 0-2(Def):x−1[{q}]⊆ {ω: (ω, q)∈x}.

...

#12 MENGENLEHRE 305

Beweis 12-10 ...

Thema1.2 α∈ {ω: (ω, q)∈x}.

2: Aus Thema1.2“α∈ {ω: (ω, q)∈x}”

folgt: (α, q)∈x.

3: Aus 2“ (α, q)∈x”

folgt via 11-4: (q, α)∈x−1.

4: Aus 3“ (q, α)∈x−1”

folgt via 9-15:α∈x−1[{q}].

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈ {ω: (ω, q)∈x})⇒(α∈x−1[{q}]).

Konsexuenz via 0-2(Def):A2



“{ω: (ω, q)∈x} ⊆ x−1[{q}] ”

1.3: Aus A1 gleich “ x−1[{q}]⊆ {ω: (ω, q)∈x}” und

aus A2 gleich “ {ω: (ω, q)∈x} ⊆ x−1[{q}] ”

folgt via GleichheitsAxiom:x−1[{q}] = {ω: (ω, q)∈x}.

306 MENGENLEHRE #12

12-11. q∈ran xist genau dann der Fall, wenn 0 6=x−1[{q}]:

12-11(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) q∈ran x.

ii) 06=x−1[{q}].

Beweis 12-11 i) ⇒ii) VS gleich q∈ran x.

1: Via 11-7 gilt: ran x=dom (x−1).

2: Aus VS gleich “ q∈ran x” und

aus 1“ran x=dom (x−1) ”

folgt: q∈dom (x−1).

3: Aus 2“q∈dom (x−1) ”

folgt via 9-19: 0 6=x−1[{q}].

ii) ⇒i) VS gleich 0 6=x−1[{q}].

1.1: Aus VS gleich “ 0 6=x−1[{q}] ”

folgt via 9-19:q∈dom (x−1).

1.2: Via 11-7 gilt: dom (x−1) = ran x.

2: Aus 1.1“q∈dom (x−1) ” und

aus 1.2“dom (x−1) = ran x”

folgt: q∈ran x.

#12 MENGENLEHRE 307

12-12. Via Negation ergibt sich aus 12-11 ein Kriterium f¨

ur x−1[{q}] = 0:

12-12(Satz)

Die Aussagen i),ii) sind ¨

aquivalent:

i) q /∈ran x.

ii) x−1[{q}] = 0.

Beweis 12-12

1: Via 12-11 gilt: (q∈ran x)⇔(0 6=x−1[{q}]).

2: Aus 1

folgt: (¬(q∈ran x)) ⇔(¬(0 6=x−1[{q}])).

3: Aus 2

folgt: (q /∈ran x)⇔(x−1[{q}] = 0).

308 MENGENLEHRE #12

12-13. Wie vermutlich erwarten werden konnte ist die Relation invers zu x×y

gleich y×x, siehe a). Bei nochmaligem “ Invertieren” ergibt sich wieder x×y,

siehe b):

12-13(Satz)

a) (x×y)−1=y×x.

b) ((x×y)−1)−1=x×y.

Beweis 12-13 a)

Thema1.1 α∈(x×y)−1.

2: Aus Thema1.1“α∈(x×y)−1”

folgt via 11-3:

∃Ω,Ψ : (α= (Ψ,Ω)) ∧((Ω,Ψ) ∈x×y).

3: Aus 2“...(Ω,Ψ) ∈x×y”

folgt via 6-6: (Ω ∈x)∧(Ψ ∈y).

4: Aus 3“...Ψ∈y” und

aus 3“ Ω ∈x . . . ”

folgt via 6-6: (Ψ,Ω) ∈y×x.

5: Aus 2“. . . α = (Ψ,Ω) ...” und

aus 4“ (Ψ,Ω) ∈y×x”

folgt: α∈y×x.

Ergo Thema1.1:∀α: (α∈(x×y)−1)⇒(α∈y×x).

Konsequenz via 0-2(Def):A1



“ (x×y)−1⊆y×x”

#12 MENGENLEHRE 309

Beweis 12-13 a) ...

Thema1.2 α∈y×x.

2: Aus Thema1.2“α∈y×x”

folgt via 6-6:∃Ω,Ψ : (Ω ∈y)∧(Ψ ∈x)∧(α= (Ω,Ψ)).

3: Aus 2“...Ψ∈x” und

aus 2“...Ω∈y . . . ”

folgt via 6-6: (Ψ,Ω) ∈x×y.

4: Aus 3“ (Ψ,Ω) ∈x×y”

folgt via 11-4: (Ω,Ψ) ∈(x×y)−1.

5: Aus 2“. . . α = (Ω,Ψ) ” und

aus 4“ (Ω,Ψ) ∈(x×y)−1”

folgt: α∈(x×y)−1.

Ergo Thema1.2:∀α: (α∈y×x)⇒(α∈(x×y)−1).

Konsequenz via 0-2(Def):A2



“y×x⊆(x×y)−1”

Thema1.3: Aus A1 gleich “ (x×y)−1⊆y×x” und

aus A2 gleich “ y×x⊆(x×y)−1”

folgt via GleichheitsAxiom: (x×y)−1=y×x.

1: ((x×y)−1)−1a)

= (y×x)−1a)

=x×y.

2: Aus 1

folgt: ((x×y)−1)−1=x×y.

310 MENGENLEHRE #12

12-14. Die folgenden drei Aussagen ergeben sich als Kombination von 9-12 und

12-14. Gem¨

aß a) ist das Urbild jeder Klasse unter x×yeine TeilKlasse von x.

Falls 0 6=x∩y, so ist f¨

ur jede Klasse Edas Urbild von yunter E×xgleich E,

siehe b). Wie in c) gesagt, folgt aus x∩y= 0, dass das Urbild von yunter E×x

gleich der leeren Menge ist:

12-14(Satz)

a) (x×y)−1[E]⊆x.

b) Aus “ 06=y∩E” folgt “ (x×y)−1[E] = x” .

c) Aus “ y∩E= 0” folgt “ (x×y)−1[E] = 0” .

Beweis 12-14 a)

1: (x×y)−1[E]12−13

= (y×x)[E]

9−23

⊆x.

2: Aus 1

folgt: (x×y)−1[E]⊆x.

b) VS gleich 0 6=y∩E.

1: Aus VS gleich “ 0 6=y∩E”

folgt via 9-23: (y×x)[E] = x.

2: (x×y)−1[E]12−13

= (y×x)[E]1

=x.

3: Aus 2

folgt: (x×y)−1[E] = x.

c) VS gleich y∩E= 0.

1: Aus VS gleich “ y∩E= 0 ”

folgt via 9-23: (y×x)[E] = 0.

2: (x×y)−1[E]12−13

= (y×x)[E]1

= 0.

3: Aus 2

folgt: (x×y)−1[E] = 0.

Literatur Essays 0-90 311

•N. Dunford & J.T. Schwartz,Linear Operators. Part I: General Theory,

Wiley, 1988(6).

•H. Federer,Geometric Measure Theory, Springer, 1996.

•Th. Jech,The Axiom of Choice, North-Holland, 1973.

•J. Kelley,General Topology, Springer, 1961.

•A. Levy,Basic Set Theory, Springer, 1979.

•W. Rudin,Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987(3).

•J. Schmidt,Mengenlehre. Band 1: Grundbegriffe,

B.I. Mannheim/Wien/Z¨

urich, 1974(2).

•H-P. Tuschik & H. Wolter,Mathematische Logik - kurzgefasst, BI Wis-

senschaftsverlag, 1994.