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[en] (orig)
Optimierung in der Flugplanung:
Netzwerkentwurf und Flottenzuweisung
————————–
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
im Fach Informatik
eingereicht an der
Fakult¨
at f¨ur Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Universit¨
at Paderborn
von
Herrn Dipl.-Inform. Georg Kliewer
Tag der m¨
undlichen Pr¨
ufung: 26. August 2005
Mitglieder der Pr¨ufungskommission:
•Prof. Dr. Burkhard Monien (Vorsitzender, Gutachter)
•Prof. Dr. Leena Suhl (Gutachter)
•Prof. Dr. Wilfried Hauenschild
•Dr. Peter Pfahler
•Jun. Prof. Dr. Christian Sohler
Danksagungen
Die vorliegende Arbeit entstand w¨
ahrend meiner T¨
atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter
an der Universit¨
at Paderborn. Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Burkhard Monien f¨
ur
die Betreuung der Arbeit. Er schafft in seiner Arbeitsgruppe eine hervorragende Forschungs-
umgebung und motiviert seine Mitarbeiter stets, neue wissenschaftliche Herausforderungen
anzunehmen.
Die Arbeit wurde im Rahmen eines von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gef¨
orderten
Projekts im Schwerpunktprogramm ”Algorithmik großer und komplexer Netzwerke” und einer
Kooperation mit der Firma Lufthansa Systems durchgef¨
uhrt.
Ich m¨
ochte mich bei allen Kollegen in der Arbeitsgruppe und dem Paderborn Center for
Parallel Computing (PC2)f¨
ur die gute Zusammenarbeit und die vielen interessanten Diskus-
sionen bedanken. Hervorheben m¨
ochte ich die Kollegen, mit denen ich eng wissenschaftlich
zusammengearbeitet habe: Torsten Fahle, Silvia G¨
otz, Sven Grothklags, Achim Koberstein,
Meinolf Sellmann und Larissa Timajev. Stefan Tsch¨
oke war mit seinen Visionen und seiner
kreativen Energie immer ein Vorbild f¨
ur mich.
Weiterer Dank gilt den Mitarbeitern der Lufthansa Systems in Frankfurt und Berlin: Ge-
org F. Bolz, Klaus-Peter Keilmann, Michael Lefeld und Klaus Weber f¨
ur die langj¨
ahrige
Unterst¨
utzung der Paderborner Aktivit¨
aten im Bereich Flugplanung. Mein Dank geht auch
nach Montr´eal an Bernard Gendron und nach Pisa an Antonio Frangioni f¨
ur eine fruchtbare
Zusammenarbeit in den letzten Jahren.
Ich m¨
ochte mich auch bei Prof. Dr. Leena Suhl f¨
ur die Begutachtung dieser Dissertati-
on bedanken. Bei Torsten Fahle und Sven Grothklags bedanke ich mich zus¨
atzlich f¨
ur das
Korrekturlesen der Arbeit.
Schließlich m¨
ochte ich mich bei Natalia, Jan und den vielen Freunden f¨
ur ihre Unterst¨
utzung
und Geduld in den letzten Jahren bedanken – vielen herzlichen Dank!
Paderborn, im Juli 2005 Georg Kliewer
III
IV
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation................................... 1
1.2 ZielederArbeit ................................ 2
1.3 AufbauderArbeit ............................... 3
1.4 Ausgew¨
ahltePublikationen .......................... 4
1.5 GrundlegendeLiteratur............................. 5
2 Netzwerkentwurf 7
2.1 ProzessderFlugplanung............................ 7
2.1.1 Netzwerkplanung............................ 10
2.2 Netzwerkentwurf................................ 13
2.2.1 Modellierung.............................. 13
2.2.2 Das pfadbasierte Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Das Mehrg¨
uter-Fluss-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Modellvarianten ............................ 16
2.2.5 Literatur¨
ubersicht ........................... 17
2.3 ¨
Uberblick ¨
uber das L¨
osungsverfahren ..................... 19
2.4 UntereSchranken ............................... 20
2.4.1 LP-Schranken ............................. 20
2.4.2 Lagrange-Schranken: Rucksack und K¨
urzeste-Wege . . . . . . . . . . 21
2.5 Lagrange-Relaxation.............................. 24
2.5.1 Eigenschaften der Lagrange-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1 Subgradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2 Bundle-Verfahren ........................... 32
2.7 ObereSchranken................................ 40
2.7.1 Das primale Unterproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.2 Dantzig-Wolfe-Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.3 Heuristik f¨
ur das primale Unterproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 Branching-Strategien.............................. 45
2.8.1 Branching mit Variablendichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.2 Branching mit Kardinalit¨
atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Variablenfixierung ............................... 50
2.9.1 Grundidee ............................... 50
2.9.2 Kombinierte Variablenfixierung in der K¨
urzeste-Wege-Relaxation . . . 52
2.9.3 Kombinierte Variablenfixierung in der Rucksack-Relaxation . . . . . . 52
V
2.9.4 Variablenfixierung mit Kardinalit¨
atsbedingungen . . . . . . . . . . . 54
2.10 Heuristische Variablenfixierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.11 Zus¨
atzlicheUngleichungen........................... 58
2.11.1 Schnittungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11.2 ¨
Uberdeckungsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.11.3LokaleSchnitte ............................ 66
2.11.4 Einfluss der Ungleichungen auf die Berechnung unterer Schranken . . 69
2.12 Relax-and-cut-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.12.1 Schnittebenenalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.12.2 Schnittebenen und Lagrange-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12.3 Relax-and-cut-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.13Systemaufbau ................................. 77
2.14Zusammenfassung ............................... 79
3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen 83
3.1 Motivation................................... 83
3.2 Marktmodellierung............................... 84
3.2.1 Discrete-Choice-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.2 Weitere Methoden der Marktmodellierung . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Zusammenfassung........................... 89
3.3 RevenueManagement ............................. 89
3.3.1 Steuerungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Flottenzuweisung................................ 93
3.4.1 Modellierung.............................. 93
3.4.2 Literatur¨
ubersicht ........................... 95
3.4.3 Ein heuristischer Algorithmus f¨
ur das Problem der Flottenzuweisung . 97
3.4.4 Effizienz der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Marktmodellierung und Flottenzuweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5.1 Zielfunktion und Netzwerkeffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5.2 Beschreibung der ersten Integrationsstrategie . . . . . . . . . . . . . 103
3.5.3 Analyse des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Modellierung des Passagierflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6.1 Modell des Passagierflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6.2 Beschreibung der zweiten Integrationsstrategie . . . . . . . . . . . . 106
3.6.3 Analyse des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7 Kopplung von Revenue Management und Flottenzuweisung . . . . . . . . . 108
3.7.1 Passagierprognosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7.2 Beschreibung der dritten Integrationsstrategie . . . . . . . . . . . . 109
3.8 Zusammenfassung ...............................110
4 Experimentelle Ergebnisse 111
4.1 Netzwerkentwurf................................111
4.1.1 Benchmark-Daten ...........................112
4.1.2 Methodik der Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.3 Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.4 Wesentliche Systemkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
VI
4.1.5 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Flottenzuweisung................................148
4.2.1 Beschreibung der Datens¨
atze .....................148
4.2.2 Ergebnisse der Integrationsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2.3 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Zusammenfassung und Ausblick 153
6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 157
VII
VIII
Verzeichnis der Algorithmen
1 Branch-and-Bound f¨
urdasCNDP....................... 19
2 Kontinuierliches Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Subgradientenverfahren ............................ 30
4 Bundle-Verfahren................................ 38
5 Dantzig-Wolfe-Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Column-Generation f¨
urdasMMCF ...................... 45
7 Heuristik f¨
ur das primale Unterproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8 y-Entscheidungsproblem mit Kardinalit¨
atsbedingungen . . . . . . . . . . . . 48
9 Heuristische Variablenfixierung mit β–Fixierung................ 58
10 Lokale Schnitte: Zusammensetzen der Menge T+............... 68
11 Schnittebenenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12 Relax-and-cut-Verfahren f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem . . . . . . . . . . 75
13 Marktmodellierung............................... 85
14 Simulated Annealing Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15 Erste Integrationsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
16 Zweite Integrationsstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
17 Generator f¨
ur den Netzwerkentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IX
X0 Verzeichnis der Algorithmen
1
Einleitung
1.1 Motivation
Der Luftverkehr bildet heute eine wichtige Grundlage f¨
ur die Mobilit¨
at der Menschen ¨
uberall
in der Welt. Seine Bedeutung ist in den letzten Jahrzehnten stark gewachsen. Die Statisti-
ken der IATA (International Air Transport Association) belegen eine stetige Zunahme des
Passagierflugverkehrs (Abbildung 1.1). Die Ereignisse der letzten f¨
unf Jahre wie die Terror-
anschl¨
age vom September 2001, Milit¨
arkonflikte, die Infektionskrankheit SARS, die extrem
hohen Roh¨
olpreise haben diese Wachstumstendenz deutlich gebremst. Die Fluggesellschaf-
ten sehen sich in einem hart umk¨
ampften Markt. Bedingt durch hohe fixe Kosten eines
Fluges und zur¨
uckgehende Einnahmen m¨
ussen die meisten Fluggesellschaften trotz Kapa-
zit¨
atsanpassungen hohe Verluste vermelden. Diese haben bereits dazu gef¨
uhrt, dass einige
Fluggesellschaften ihren Betrieb einstellen mussten oder von anderen ¨
ubernommen wurden.
Die Strategie der Fluggesellschaften kann in dieser Situation vor allem darin liegen, die
Kosten des Flugbetriebs zu senken. Die Planung des Einsatzes der Ressourcen, in erster Linie
der Flugzeuge und der Crews, spielt eine zentrale Rolle bei der Frage der Kosteneffizienz.
Die Planung bei einer Fluggesellschaft wird von mehreren Expertenteams durchgef¨
uhrt, die
die unterschiedlichsten Aufgaben l¨
osen m¨
ussen. Der Zeithorizont erstreckt sich ¨
uber mehrere
Monate bis Jahre vor Beginn einer Flugplanperiode (Sommer/Winter-Flugplan). Die Planer
profitieren bei ihrer Arbeit stark von der Hilfe der Entscheidungsunterst¨
utzungssysteme (De-
cision Support Systems). Diese Systeme stellen die ben¨
otigten Informationen zur Verf¨
ugung
und erm¨
oglichen so einen reibungslosen Ablauf der Planungsprozesse. Einen entscheidenden
Beitrag leisten die in diesen Systemen verwendeten Optimierungskomponenten. Sie ber¨
uck-
sichtigen komplexe Restriktionen und liefern kostenminimale L¨
osungen f¨
ur Planungsszenarien,
die von Experten definiert werden. Auf dieser Grundlage k¨
onnen Entscheidungen getroffen
werden, die den Ressourceneinsatz entscheidend verbessern.
In der Mittel- und Kurzfristplanung der Fluggesellschaften m¨
ussen auch die Aufgaben des
Netzwerkentwurfs und der Flottenzuweisung gel¨
ost werden. Die erste Aufgabe besteht darin,
das Flugnetz m¨
oglichst optimal aufzubauen. Bei der zweiten Aufgabe werden Flugzeugtypen
1
21 Einleitung
die Integration von SAA federführend begleiten. SAA bedient allein in Afrika
48 Ziele und verfügt über eine der jüngsten Flotten der Welt. TAP wird
zusammen mit Spanair und VARIG eine wichtige Rolle innerhalb der Star
Alliance im Europa–Südamerika-Verkehr spielen. US Airways sorgt mit ihren
Drehkreuzen in Philadelphia und Charlotte für eine weitere Verbesserung
des Netz- und Produktangebots der Allianz in den USA und in der Karibik.
Star Alliance hat auch im Regionalbereich an Stärke gewonnen. Die
finnische Fluggesellschaft und SAS-Tochter Blue1 sowie Adria Airways und
Croatia Airlines, beide langjährige Partner der Lufthansa, sind die ersten
Mitglieder des neuen Star-Regionalkonzepts. Damit werden auch regionale
Zielorte in das globale Streckennetz der Allianz integriert.
Die Star Alliance-Partner-Airlines konnten im Jahr 2004 weitere Syner-
gien beim Einkauf realisieren. Ein im Mai geschlossenes Abkommen für
den Media-Einkauf ermöglicht Millionen-Einsparungen für die Fluggesell-
schaften. Zu den gemeinsamen Projekten zählen ferner die gegenseitige
Nutzung und Akzeptanz von elektronischen Tickets und Check-in Auto-
maten sowie das gemeinsame Vorgehen bei Flughafen- und Terminal-
neubauten wie zum Beispiel in Narita (Tokio/Japan).
Die wirtschaftlichen Probleme der amerikanischen Airline Industrie
zwangen die Star Alliance-Partner United Airlines, Air Canada und US Air-
ways Gläubigerschutz zur Restrukturierung nach Chapter 11 bzw. unter dem
CCAA (Kanada) zu suchen. Air Canada konnte das Restrukturierungsver-
Corporate Governance 14 ı Strategie 18 ı Aktionsplan 25 ı Unsere Kunden 28 ı Unsere Mitarbeiter 39 ı Flotte und Innovation 47 ı Nachhaltigkeit 52
66
Die Drehkreuze der Lufthansa und ihrer Partner-Airlines
Im Sommer 2005 umfasst der Lufthansa Flugplan 373 Destinationen in 94 Ländern –
in Deutschland sind es 24, in Europa 134, in Amerika 132, in Asien/Pazifik 50 und in
Afrika/Nahost 33 Zielorte. Sie werden direkt, über die Lufthansa Drehkreuze Frankfurt
und München oder die der Partner-Airlines bedient.
Kopenhagen
Frankfurt
Warschau
Wien
München
Madrid Delhi
Bombay
Lissabon
London
Washington
Philadelphia
Charlotte
Vancouver Toronto
Chicago
San Francisco
S˜ao Paulo Johannesburg
Auckland
Singapur
Bangkok
Tokio
Peking
Seoul
International scheduled passenger traffic (RPKs) IATA airlines total
RPK = Revenue Passenger Kilometres
90.0
100.0
110.0
120.0
130.0
140.0
150.0
160.0
170.0
180.0
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Pro
g
nose
3.6%pa
Trend 1996-99
6.6% pro Jahr
Passagierkilometer
10
9
, monatlich
2005
Safety
2004 was the safest year ever for air transport. The industry-wide
hull loss rate declined by 10% to 0.78 hull losses per million
sectors flown.
IATA Members significantly outperformed the industry on safety.
IATA Member airlines account for 94% of scheduled international
traffic but were only involved in 39% of hull losses. The hull loss
rate for IATA Members stood at 0.57 per million sectors.
Over 1.8 billion people traveled safely in 2004. Despite great
progress, IATA has an aggressive programme to lead the industry
to even safer levels.
News In Brief
Award for Global ATM roadmap
The IATA Industry Global ATM Implementation Roadmap won the
prestigious "Future Systems Award" at the ATC Maastricht
Conference, in February 2005.
The objective of developing the Roadmap is to provide a frame-
work for tomorrow's ATM infrastructure which can eliminate the
costs of unnecessary equipment. The cost of procuring, installing
and certifying new equipment can be as much as US$1 million per
system per aircraft.
The Global ATM Implementation Roadmap will be incorporated into
the Global Air Navigation Plan, to be published in August 2005. It
will also provide an important basis for IATA’s contribution to the
development of a European masterplan known as SESAME.
New Bangkok International Airport Charges
Following meetings with IATA, the Thai Minister of Transport
announced that a 15% increase in landing fees, scheduled to take
effect in October will be deferred until the NBIA opens operation-
ally. An announcement on the opening date has been deferred until
at least June, and airlines will be given six months’ notice of the
date. The Minister also confirmed the establishment of a structured
consultation process involving the Thai authorities and the airlines.
An agenda for Europe
IATA's Director General challenged the new European Commission
to do better on aviation policy during a major speech in Brussels,
March 16. There has been a EUR 5.9 billion annual cost burden
imposed by governments on the European airline industry, whether
from bad regulation, failing to take responsibility for security costs
or inefficient infrastructure. A copy of the speech is available at
www.iata.org/pressroom.
New Names in IATA Management
•General Counsel: Robert McGeorge, formerly Senior Trial
Attorney at the US Department of Justice
•Director Security: Neal Parker, formerly RCMP Superintendent
•Regional VP, North America: Douglas Lavin, formerly Assistant
Administrator at the FAA
•Global Head of Cargo: Aleksander Popovich, formerly Head of
Business Transformation at British Airways
•Director IT & CIO: Sam Sahana, formerly Technical Director at
Cendant
•Director Corporate Communications: Anthony Concil, formerly
head of IATA's communications in Asia
Looking at the Numbers
Jet fuel prices
If rising oil prices made last year financially challenging for the
airline industry, this year looks worse.
Oil prices averaged US$46 a barrel in the first quarter, and ended
March at new highs above US$55. Jet fuel averaged US$1.53 a
gallon. Last year, oil prices averaged US$38.3 a barrel and jet fuel
US$1.27 a gallon. It is hard to foresee an average price 2005
significantly less than the financial markets consensus forecast of
US$43 a barrel for Brent crude oil. There is a hefty refinery margin
to pay for jet fuel on top of this of around US$12, twice the normal
level.
In 2004, some 40% of the industry's fuel bill was hedged. This
year, the proportion is around 20%. As a result we forecast that
the industry's fuel bill will rise from over US$60 billion last year to
US$76 billion or 20% of operating expenses this year. This year
will be even more challenging for industry profitability.
The profit outlook
Last year, entirely because of the rise in the fuel bill, the industry
lost an estimated US$4.8 billion, taking accumulated losses to
over US$36 billion since 9/11. The US airlines faced the brunt of
financial pressures, losing an estimated US$10 billion. By contrast
European and Asia-Pacific airlines saw profits rise in spite of jet
fuel prices.
In 2005, traffic growth will be slower than in 2004 as the pace of
economic activity decelerates from last year's 30-year high.
Downward pressure on yields is unlikely to diminish.
There is no alternative to taking more costs out of the business.
Airlines have been successful in doing this to a greater degree
than expected, with non-fuel unit costs falling an average of 2-3%
annually in recent years. But with expected increases in fuel cost
we are forecasting the industry will see continued large losses in
the US and smaller profits in Asia-Pacific and Europe. Industry-
wide in 2005 we expect losses to total US$5.5 billion.
International Traffic Jan-Feb 2005
IOSA Update
•A total of 59 airlines has been audited to date. 27 are on the
IOSA Registry created 18 months ago. IATA expects 100
airlines to be audited in 2005
•The IOSA Programme should receive ISO:9000 accreditation
by mid 2005
1999 2000 2001 2002 2003 2004E 2005F
8.5 3.7
-13.0 -11.3 -7.2 -4.8 -5.5
Global industry profits in US$
Global industry
losses in US$
US airlines European airlines Asian airlines
US$ billions
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
AAffrriiccaa
AAssiiaa//PPaacciiffiicc
EEuurrooppee
LLaattiinn AAmmeerriiccaa
MMiiddddllee EEaasstt
NNoorrtthh AAmmeerriiccaa
IInndduussttrryy
RReeggiioonnRRPPKK ggrroowwtthhPPLLFFFFTTKK g
grroowwtthh
1111..22%%
44..88%%
66..44%%
1133..66%%
1111..11%%
1100..33%%
77..33%%
7711..22
7722..00
7722..00
7744..77
7733..55
7744..88
7722..77
1100..66%%
66..44%%
55..55%%
--22..7
7%%
1177..66%%
66..11%%
66..55%%
Abbildung 1.1: Internationales Flugnetzwerk, Anzahl der Passagierkilometer und Gewinne
und Verluste in der Luftverkehrsbranche (Quelle: StarAlliance, IATA)
f¨
ur Flugstrecken festgelegt, die auf der einen Seite die Kapazit¨
aten im Netzwerk festlegen und
auf der anderen Seite eine der gr¨
oßten Kostenpositionen darstellen. Eine optimale L¨
osung
dieser Probleme kann einen wichtigen Beitrag zur Kostensenkung bei der Fluggesellschaft
leisten. Weiterhin erlaubt eine Optimierung ¨
uber die Grenzen der Planungsphasen hinweg eine
bessere Abstimmung zwischen diesen und f¨
uhrt damit zu insgesamt besseren Flugpl¨
anen.
1.2 Ziele der Arbeit
Die Zielsetzung dieser Arbeit liegt darin, effiziente Algorithmen zur L¨
osung der zugrunde
liegenden Optimierungsprobleme zu entwickeln, zu untersuchen und in den Entscheidungs-
unterst¨
utzungssystemen einzusetzen.
Das Problem des Netzwerkentwurfs stellt ein schwieriges ganzzahliges Optimierungspro-
blem dar. Von der Forschungsgemeinde wurden daf¨
ur mehrere heuristische und exakte L¨
o-
sungsverfahren entwickelt. Die Laufzeiten der Algorithmen und die Qualit¨
at der L¨
osungen
k¨
onnen aber in vielen F¨
allen verbessert werden. In dieser Arbeit wird ein Beitrag dazu ge-
leistet, die Leistungsf¨
ahigkeit der vorhandenen Algorithmen zu steigern. Es werden weiterhin
1.3 Aufbau der Arbeit 3
neue algorithmische Ideen entwickelt und untersucht.
Die Aufgabe der Flottenzuweisung stellt eine der Aufgaben in der Prozesskette dar. Sie
wird in vielen F¨
allen noch getrennt von anderen Planungsaufgaben betrachtet, obwohl sie
sehr eng mit den anderen verzahnt ist. Zwei dieser Aufgaben - die Marktmodellierung und
das Ertragsmanagement (Revenue Management) - werden im Rahmen dieser Arbeit unter-
sucht und mit der Phase der Flottenzuweisung integriert. Durch diese Integration k¨
onnen
die Qualit¨
at der gelieferten L¨
osungen und die Effizienz der gesamten Prozesskette deutlich
verbessert werden.
1.3 Aufbau der Arbeit
Die Arbeit beginnt mit einem ¨
Uberblick ¨
uber die Planungsprozesse bei einer Fluggesellschaft.
Die zu l¨
osenden Aufgaben werden beschrieben, wobei der Schwerpunkt auf den Aufgaben
des Netzwerkentwurfs, der Marktmodellierung, der Flottenzuweisung und des Revenue Ma-
nagements liegt.
Im Kapitel 2 wird das grundlegende Optimierungsproblem des Netzwerkentwurfs beschrie-
ben, es werden Modelle aufgebaut und L¨
osungsverfahren untersucht. Die wesentlichen Kom-
ponenten des Branch-and-bound Algorithmus - untere und obere Schranken, Verfahren zum
L¨
osen der Lagrange-Relaxationen in den Knoten des Suchbaums, Verzweigungsstrategien
und Strategien zur Variablenfixierung - werden in diesem Kapitel vorgestellt. Wir untersu-
chen anschließend zus¨
atzliche Ungleichungen, die die Qualit¨
at der unteren Schranken ver-
bessern k¨
onnen. Der Relax-and-cut-Algorithmus basiert auf den Lagrange-Relaxationen, die
um die zus¨
atzlichen Ungleichungen erweitert werden. Hauptergebnis des Kapitels stellt das
entwickelte Optimierungssystem f¨
ur den Netzwerkentwurf dar. Der Aufbau des Systems aus
unterschiedlichen algorithmischen Komponenten erlaubt einen flexiblen Einsatz des Systems
in unterschiedlichen Anwendungsf¨
allen.
Im Kapitel 3 werden die Planungsphasen der Marktmodellierung, der Flottenzuweisung
und des Revenue Managements vorgestellt. Anschließend werden die Schwachstellen der
Planungsprozesskette identifiziert und das Potential der Integration der Aufgaben unter-
sucht. Wir entwickeln drei Integrationsstrategien, die die unterschiedlichen Aspekte der
Abh¨
angigkeiten ber¨
ucksichtigen und dadurch eine verbesserte Planung erm¨
oglichen.
Das Kapitel 4 beschreibt die experimentellen Untersuchungen des Optimierungssystems
f¨
ur Netzwerkentwurf. Zun¨
achst werden im Abschnitt 4.1 die benutzten Datens¨
atze vorge-
stellt. Eine erste Reihe von Experimenten vergleicht unser System mit anderen L¨
osungsver-
fahren f¨
ur das Problem des Netzwerkentwurfs, die von anderen Wissenschaftlern entwickelt
wurden. Im zweiten Teil der Experimente untersuchen wir einzelne wichtige Komponenten
des Systems, um die entwickelten Algorithmen zu bewerten. Das Kapitel schließt mit einer
Zusammenfassung der gewonnenen Erkenntnisse.
Im Abschnitt 4.2 stellen wir die benutzten Szenariodaten einiger großer europ¨
aischer und
amerikanischer Fluggesellschaften zu den Aufgaben der Marktmodellierung, Flottenzuweisung
und des Revenue Managements dar. Wir untersuchen die Eigenschaften der Datens¨
atze, die
f¨
ur die Integration wichtig sind. Anschließend pr¨
asentieren wir einige ausgew¨
ahlte Experi-
mente, die die Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren untersuchen.
Im Kapitel 5 werden die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und ein Ausblick f¨
ur die
weitere Forschung gegeben.
41 Einleitung
1.4 Ausgew¨
ahlte Publikationen
Die Ergebnisse dieser Arbeit wurden in folgenden Publikationen ver¨
offentlicht:
Internationale Zeitschriften und begutachtete Konferenzen:
•Georg Kliewer and Larissa Timajev. Relax-and-cut for capacitated network design. In
Proceedings of the 13th Annual European Symposium on Algorithms (ESA-2005),
Springer, LNCS 3669, pages 47-58, Palma der Mallorca, Spain, 2005.
•Weber K.; Sun J.; Sun Z.; Kliewer G.; Grothklags S.; Jung N. Systems integration for
revenue-creating control processes. Journal of Revenue and Pricing Management, July
2003, vol. 2, no. 2, pp. 120-137(18) Henry Stewart Publications.
•Georg Kliewer, Sven Grothklags, and Klaus Weber. Improving revenue by system inte-
gration and co-operative optimization. In Proceedings of the 43rd Annual Symposium
of the Airline Group of the International Federation of Operational Research Societies
(AGIFORS-2002), Honolulu, Hawaii, USA, 2002.
•Meinolf Sellmann, Georg Kliewer, and Achim Koberstein. Lagrangian cardinality cuts
and variable fixing for capacitated network design. In Proceedings of the 10th Annual
European Symposium on Algorithms (ESA-2002), Springer, LNCS 2461, pages 845-
858, Rome, Italy, 2002.
•Georg Kliewer. Integrating market modeling and fleet assignment. In Proceedings of the
2nd international Workshop on the Integration of AI and OR Techniques in Constraint
Programming for Combinatorial Optimization Problems (CP-AI-OR’00), Paderborn,
Germany, 2000.
Internationale Konferenzen und Workshops:
•Georg Kliewer. A Branch-and-Cut System for Capacitated Network Design. In Pro-
ceedings of the 18th International Symposium on Mathematical Programming (ISMP-
2003), Copenhagen, Denmark, 2003.
•Georg Kliewer, Achim Koberstein, and Meinolf Sellmann. Capacitated network design.
In Proceedings of the the sixteenth triennial conference of the International Federation
of Operational Research Societies (IFORS-2002), Edinburgh, Scotland, UK, 2002.
•Georg Kliewer and Achim Koberstein. Solving the capacitated network design problem
in parallel. In Proceedings of the third meeting of the EURO-PAREO working group
on Parallel Processing in Operations Research (PAREO), Guadeloupe, France, 2002.
•Georg Kliewer. Network design: Modeling and solving in an airline alliance context. In
Proceedings of the 14. Meeting of the European Chapter on Combinatorial Optimiza-
tion (ECCO XIV), Bonn, Germany, 2001.
•Georg Kliewer. Cooperative approaches for market modeling and fleet assignment.
In Proceedings of the 17th International Symposium on Mathematical Programming
(ISMP-2000), Atlanta, GA, USA, 2000.
1.5 Grundlegende Literatur 5
•Silvia G¨
otz, Sven Grothklags, Georg Kliewer, and Stefan Tsch¨
oke. Solving the weekly
fleet assignment problem for large airlines. In Proceedings of the Third Metaheuristics
International Conference (MIC-1999), pages 241-246, Angra dos Reis, Brasil, 1999.
1.5 Grundlegende Literatur
In dieser Arbeit werden unterschiedliche algorithmische Konzepte und Optimierungsverfahren
vorgestellt und untersucht. Die meisten Erkl¨
arungen sind in sich abgeschlossen. Zum tieferen
Verst¨
andnis der benutzten Konzepte der linearen (ganzzahligen) Optimierung, Lagrange-
Relaxation, Column Generation, Subgradientenverfahren, Bundle-Methoden, Flussalgorith-
men etc. kann folgende Literatur empfohlen werden:
•R. K. Ahuja, T. L. Magnati, and J.B. Orlin. Network Flows. Prentice Hall, 1993.
•T. H. Cormen, C. E. Leiserson, and R. L. Rivest. Introduction to Algorithms. The MIT
Press, 1990.
•G. L. Nemhauser and L. A. Wolsey. Integer and Combinatorial Optimization. Wiley,
1988.
•G. L. Nemhauser, A. H. G. Rinnooy Kan, M. J. Todd. Optimization. Elsevier Science.
1989.
•C. Papadimitriou and K. Steiglitz. Combinatorial Optimization. Prentice Hall, 1982.
•L. A. Wolsey. Integer Programming. Wiley, 1998.
61 Einleitung
2
Netzwerkentwurf
Dieses Kapitel beginnt mit einem ¨
Uberblick ¨
uber die Planung innerhalb einer Fluggesell-
schaft. Der Schwerpunkt liegt beim Problem des Netzwerkentwurfs. Im Hauptteil des Kapi-
tels beschreiben wir das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Optimierungssystem f¨
ur den
Netzwerkentwurf. Die algorithmischen Komponenten und Strategien werden detailliert vor-
gestellt und untersucht. Das Kapitel schließt mit einem ¨
Uberblick ¨
uber das Gesamtsystem
im Abschnitt 2.14.
2.1 Prozess der Flugplanung
In diesem Abschnitt wird ein ¨
Uberblick ¨
uber die Planungsaufgaben innerhalb einer Flug-
gesellschaft gegeben (siehe Abbildung 2.1).
Der Betrieb einer Fluggesellschaft erfordert die effektive Planung und das Management
des Flugnetzes. Die angebotene Transportleistung muss an die Kunden verkauft werden. Die-
se Aufgaben werden vom Marketing und Revenue Management wahrgenommen. Fliegendes
Personal muss m¨
oglichst optimal eingesetzt werden. In jedem dieser Bereiche sind unter-
schiedliche Zielsetzungen gegeben, die ¨
uber die gesamte Planungsdauer variieren k¨
onnen.
In der Langfristplanung, 3 - 1 Jahr vor dem Start des Flugbetriebs, kann die Maximierung
des Gewinns aus dem Betrieb des Flugnetzwerks als das wichtigste Ziel identifiziert werden.
In der Mittelfristplanung (1 Jahr - 6 Monate) geht es vor allem um eine m¨
oglichst optimale
Abstimmung zwischen dem Flugplan und den Ressourcen. In der Kurzfristplanung (6 Monate
- 4 Wochen) wird der Einsatz der Ressourcen kontinuierlich an die Marktnachfrage angepasst
und die entstehenden Kosten werden minimiert. In der Implementierungsphase (ab 4 Wochen
vor dem Start) und in der Kontrollphase (ab 2 Wochen) werden Ausf¨
alle und Sonderereignisse
unter der Vorgabe der Kostenminimierung behandelt.
Der Prozess der Flugplanung ist in mehrere Schritte unterteilt, die zum Teil zeitlich
¨
uberlappen. Ergebnisse der jeweiligen Planungsschritte werden an die sp¨
ateren Phasen in
7
82 Netzwerkentwurf
Operations
Control
Netzwerkplanung
3 J. 1J. 6M. 4W.8W. 2W. 0
Langfrist Mittelfrist Kurzfrist Implementierung
Kontrolle
Fleet Assignment
Wochenplanung | fully dated
Flugnetz
Revenue
Management
Personal
Flottenplanung
Aircraft Rotation
Marktmodellierung
Pricing
Revenue Management
Crew Pairing
Crew Rostering
IATA-Plan
Offizieller Flugplan
Flugpläne Crew-Plan
Ops-Plan
Budget-Plan
Tagesplan
Abbildung 2.1: ¨
Ubersicht ¨
uber den Prozess der Flugplanung
unterschiedlichsten Formen weitergegeben. Im unteren Bereich der Abbildung 2.1 sind einige
Pl¨
ane dargestellt, die im gewissen Sinne Meilensteine im Prozess bilden.
Der Budget-Plan wird 1 Jahr vor dem Start erstellt und definiert die finanzielle Seite des
Flugplans f¨
ur alle Bereiche der Fluggesellschaft. Der IATA-Plan dient als Grundlage f¨
ur die
halbj¨
ahrliche IATA-Konferenz, bei der Vertreter aller Fluggesellschaften und der Flugh¨
afen
zusammenkommen, um ¨
uber Verkehrs- und Landerechte (slots) zu verhandeln. Die Informa-
tionen im offiziellen Flugplan werden von Passagieren und Reiseb¨
uros zu ihrer Reiseplanung
benutzt. Der Crew-Plan wird 6 Wochen vor dem Start erstellt und dient als Grundlage f¨
ur die
verbindliche Zuteilung der Ressourcen (Flugzeuge und Crews). ¨
Anderungen k¨
onnen ab diesem
Zeitpunkt nur mit relativ hohem Aufwand vorgenommen werden. Der operative Flugplan (4
Wochen vor dem Start) wird zur Flugplanumsetzung ben¨
otigt. Kurzfristige Anpassungen sind
immer notwendig und werden im Tagesverkehrsplan den Bereichen zur Verf¨
ugung gestellt.
Die einzelnen Aufgaben und Planungsphasen werden im Folgenden beschrieben.
Flottenplanung Die Flottenplanung ber¨
ucksichtigt in erster Linie die strategischen Ziele
der Fluggesellschaft: Wachstumsstrategie, angestrebte Marktposition, Zustand der verf¨
ug-
baren Flotte. Langfristige Nachfrageprognosen bilden die Grundlage f¨
ur Entscheidungen in
dieser Phase. Als Ergebnis werden Flugzeuge geordert, die Flughafenstruktur ausgebaut und
2.1 Prozess der Flugplanung 9
neue Regionen als Flugziele ausgew¨
ahlt.
Netzwerkplanung Die Planung umfasst in dieser Phase die Definition der anzufliegenden
Zielorte, die Anzahl der Fl¨
uge zwischen zwei Flugh¨
afen, Flugtage, die Zeiten der Fl¨
uge, die
Struktur des Netzwerks f¨
ur die Umsteigeverbindungen (hub-and-spoke) und die Verkn¨
upfung
von Fl¨
ugen auf großen Flugh¨
afen (Hub-Struktur). Die Szenarien werden von Planungsabtei-
lungen ausgearbeitet und mit Verfahren der Marktmodellierung bewertet.
Marktmodellierung Die Aufgabe der Marktmodellierung besteht darin, die Nachfrage nach
der Transportleistung der Fluggesellschaft vorherzusagen. Die Anzahl der potentiellen Pas-
sagiere aus einzelnen Regionen oder St¨
adten wird anhand historischer Daten gesch¨
atzt und
die Konkurrenzsituation auf Flugstrecken bewertet. F¨
ur ein Flugplanszenario wird der erwar-
tete Passagierfluss im eigenen Netzwerk modelliert und auf diese Weise der m¨
ogliche Ertrag
gesch¨
atzt. Diese Profitabilit¨
atsbewertung liefert dem Planer eine Grundlage f¨
ur weitere An-
passungen des Flugplanszenarios.
Flottenzuweisung (Fleet Assignment) Die Planungsphase der Flottenzuweisung definiert
die Kapazit¨
aten im Netzwerk der Fluggesellschaft. Die vorhandene Flotte wird m¨
oglichst
kostenoptimal eingeplant, um die erwartete Nachfrage zu bedienen. Flugzeugtypen unter-
scheiden sich in vielen Faktoren, wie z.B. in Kapazit¨
at, Reichweite und Kostenstruktur. Zu
beachten sind bei der Planung diverse Restriktionen bez¨
uglich der Flugzeuge, Flugh¨
afen,
Wartungsanforderungen etc. In der Mittelfristplanung wird auf der Basis einer Standardwo-
che geplant. In der Kurzfristplanung wird f¨
ur eine konkrete Zeitperiode geplant (fully-dated).
Der Planungsstand am Anfang der Periode muss dabei ber¨
ucksichtigt werden.
Umlaufplanung der Flugzeuge (Aircraft Rotation) In diesem Planungsschritt werden
konkrete Flugzeuge f¨
ur die einzelnen Strecken eingeplant. Die Struktur der Uml¨
aufe muss
s¨
amtliche Wartungsregeln ber¨
ucksichtigen sowie die Kosten und die Anzahl der ben¨
otigten
Flugzeuge minimieren.
Preis- und Konditionenpolitik (Pricing) Fluggesellschaften verkaufen die Pl¨
atze auf Flug-
strecken nicht zu einem Einheitspreis. Vielmehr werden unterschiedlichen Kundengruppen
(Gesch¨
aftsreisende, Freizeitreisende) differenzierte Produkte angeboten, mit unterschiedli-
chen Konditionen, wie z.B. Vorausbuchungsfristen und Mindestaufenthalten. Die Definition
der Buchungsklassen und der zugeh¨
origen Preise ist die Aufgabe dieses Planungsschrittes.
Ertragsmanagement(RevenueManagement) Unter Revenue Management wird die Steue-
rung der Sitzplatzverf¨
ugbarkeit verstanden. Die spezifischen Eigenschaften eines Sitzes auf
einer Flugstrecke sind: niedrige variable und hohe fixe Kosten, keine Lagerf¨
ahigkeit, schwan-
kende Nachfrage, Knappheit der Ressource. In dieser Situation muss versucht werden, jeden
Platz mit einem m¨
oglichst hohen Erl¨
os zu verkaufen. Die Verfahren dazu sind sehr aus-
gekl¨
ugelt und wirksam und haben ihren Weg aus der Airlinebranche in andere Bereiche
gefunden, wie z.B. Hotel und Mietwagen.
10 2 Netzwerkentwurf
Crew Pairing Die Erzeugung der Arbeitspl¨
ane f¨
ur fliegendes Personal (Piloten und Ka-
binenbesatzung) muss komplizierte Dienst- und Ruhe-Regelungen beachten. Es wird eine
Menge von Crew-Rotationen (pairings) erzeugt, sodass auf jedem Flug das ben¨
otigte Per-
sonal eingeplant ist und dabei die Personalkosten minimiert werden. Die Flugzeugtypen auf
den Strecken sind dabei bereits festgelegt. Die geforderten Eigenschaften der Piloten und
der Kabinenbesatzung (z.B. Sprachkompetenzen) sind zu beachten.
Crew Rostering Die Dienstplanzuordnung weist konkreten Personen die zuvor generierten
Pairings zu, sodass ein g¨
ultiger Monatsdienstplan entsteht. W¨
ahrend in den USA die Dienst-
pl¨
ane nach Seniorit¨
at zugeteilt werden, wird in Europa versucht, m¨
oglichst viele pers¨
onliche
Pr¨
aferenzen unter Einhaltung einer Kostengrenze zu erf¨
ullen.
Operations control W¨
ahrend der Ausf¨
uhrung des Flugplans treten St¨
orungen auf. Flug-
h¨
afen werden wegen schlechter Witterungsverh¨
altnisse geschlossen oder reduzieren ihre Auf-
nahmekapazit¨
at, Fl¨
uge versp¨
aten sich und Personal f¨
allt kurzfristig aus. Auf diese Ereignisse
muss schnell reagiert werden, denn St¨
orungen k¨
onnen sich im ganzen Netzwerk ausbrei-
ten. Dem Operations Manager stehen diverse Handlugsalternativen zur Auswahl, wie z.B.
Verschiebung von Flugstarts, Einsatz von Ersatzcrews oder Streichung von Fl¨
ugen. Die Aus-
wirkungen sollten f¨
ur Passagiere m¨
oglichst gering sein, aber auch die Fluggesellschaft ist
daran interessiert, m¨
oglichst schnell wieder zum Normalbetrieb zur¨
uckzukehren.
Literatur ¨uber Flugplanung
Zwei Werke von [Sterzenbach and Conrady, 2003] und [Maurer, 2003] stellen betriebswis-
senschaftliche Lehr- und Handb¨
ucher ¨
uber den Luftverkehr dar. Weitere Publikationen mit
¨
Ubersichten zum Thema Flugplanung sind: [Barnhart et al., 2003], [Carl and Gesing, 2000],
[Emden-Weinert, 1998], [Fahle, 2002], [Klabjan, 2005], [Leibold, 2001], [Sellmann, 2002],
[Strauß, 2001], [Suhl, 1995], [Yu and Thengvall, 2002], [Yu and Yang, 1998].
2.1.1 Netzwerkplanung
In der langfristigen Planung wird das Flugnetz der Fluggesellschaft entwickelt. Jedes Jahr wird
das Flugnetz an die aktuelle Situation angepasst. Eine kompletter Neuaufbau des Netzwerks
erfolgt selten, in den meisten F¨
allen werden Anpassungen des bestehenden vorgenommen.
Die Anpassungen k¨
onnen alle Parameter des Netzwerks betreffen. Neue St¨
adteverbindungen
werden in den Flugplan aufgenommen, die Anzahl der Fl¨
uge zwischen zwei St¨
adten wird
erh¨
oht oder verringert, neue Flugh¨
afen k¨
onnen zu Hubs ausgebaut werden usw. Im Folgenden
geben wir eine ¨
Ubersicht ¨
uber die einzelnen Aufgaben. Die Hauptursachen f¨
ur Anpassungen
sind Ver¨
anderungen im Passagieraufkommen, die sich in einzelnen M¨
arkten vollziehen oder
globale Ursachen haben (wie z.B. ver¨
anderte Weltwirtschaftslage). Diese Ver¨
anderungen
m¨
ussen durch die Marketingabteilungen erfasst und in einem neuen Flugplan ber¨
ucksichtigt
werden.
Die Aufgaben der Netzwerkplanung im Einzelnen sind (siehe Abbildung 2.2):
Market selection/Auswahl der St¨
adte Welche St¨
adte/Flugh¨
afen sollen angeflogen werden?
Welche neuen M¨
arkte werden durch die Aufnahme einer Stadt erschlossen? Ist der
2.1 Prozess der Flugplanung 11
Frankfurt
→Kuala Lumpur (KUL)
22.20 17:40+1 LH782 -23-5-7 13:20
→London Heathrow (LHR)
07:25 08:05 LH4722 1234567 1:40
09:45 10:25 LH4726 1234567 1:40
15:20 16:00 LH4732 1234567 1:40
17:05 17:45 LH4738 1234567 1:40
19:25 20:05 LH4742 1234567 1:40
AMS
MUC
IST
MAN CPH
PAR
LON
ZRH
FRA
FCO
Market selection
AMS
MUC
IST
MAN CPH
PAR
LON
ZRH
FRA
FCO
Hub selection
AMS
MUC
IST
MAN CPH
PAR
LON
ZRH
FRA
FCO
Route development
Frequency optimization Flight timing Hub bank structure
flight1 flight2 time
demand
Abbildung 2.2: Aufgaben der Netzwerkplanung
Betrieb einer neuen Strecke operationell machbar, m¨
ussen daf¨
ur neue Landerechte
erworben werden?
Hub selection/Auswahl der Hub-Flugh¨
afen Welche bestehenden Flugh¨
afen k¨
onnen die Funk-
tion eines Hub-Flughafens ¨
ubernehmen? Der M¨
unchener Flughafen wurde z.B. in den
letzten Jahren zu einem zweiten Hub der Lufthansa neben Frankfurt ausgebaut. Dieser
b¨
undelt jetzt mehr Passagierverkehr und entlastet dadurch den ersten Hub.
Route development/Aufbau der Streckenverbindungen Die Aufnahme von neuen Flug-
strecken oder sogar neuen St¨
adten in den Flugplan erfordert eine genaue Analyse der
Potentiale f¨
ur die Fluggesellschaft. Auch die Etablierung neuer Code-share Verbindun-
gen (Kooperationsfl¨
uge) f¨
allt in diesen Bereich.
Frequency Optimization/Frequenz einer Verbindung Die Anzahl der Fl¨
uge auf einer Strecke
variiert sehr stark und ist von vielen Faktoren abh¨
angig. Eine Langstreckenverbindung
(z.B. Frankfurt-Kuala Lumpur) kann einmal oder mehrmals pro Woche angeboten wer-
den, eine Verbindung mit hohem Passagieraufkommen (z.B. Frankfurt-London) kann
mit einer st¨
undlichen Frequenz geflogen werden.
Flight Timing/Zeitenlagen der Fl¨uge Die Abflug- und Ankunftszeiten m¨
ussen so gew¨
ahlt
werden, dass die angebotene Verbindung m¨
oglichst attraktiv f¨
ur die Passagiere ist.
Geographische Faktoren und das Angebot der Konkurrenz spielen dabei eine große
Rolle. Die Verteilung des Transportbedarfs ¨
uber den Tag bildet eine weitere Grundlage
f¨
ur die Auswahl der Zeitenlagen.
Hub bank structure/Verbindungsstruktur auf einem Hub-Flughafen Um die Anzahl der
m¨
oglichen Verbindungen f¨
ur Passagiere zu maximieren, versucht jede Airline, die an-
12 2 Netzwerkentwurf
kommenden und abgehenden Fl¨
uge an einem Hub-Flughafen in Gruppen einzuteilen.
Mehrere Ank¨
unfte werden zeitnah platziert, gefolgt von einer ¨
Ubergangszeit f¨
ur den
Wechsel des Fluges und einer Reihe von Abfl¨
ugen. Die Struktur dieser Gruppen spielt
eine große Rolle f¨
ur den wirtschaftlichen Erfolg einer Fluggesellschaft.
Through flight optimization/Fl¨uge ohne Umsteigeverbindungen Passagiere ziehen Ver-
bindungen vor, die ohne Flugzeugwechsel von A nach C ¨
uber B gehen (through flight).
Die Fluggesellschaft kann also versuchen, bestimmte Verbindungen mit einem Flug-
zeug zu fliegen. Operationelle Machbarkeit muss nat¨
urlich, neben einer vorausgesagten
Erh¨
ohung des Passagieraufkommens auf dieser Verbindung, gegeben sein.
Literatur zur Netzwerkplanung
Literatur¨
ubersichten zum Thema Netzwerkplanung findet man z.B. in [Carl and Gesing, 2000],
[Etschmaier and Mathaisel, 1984], [Teodorovic, 1988].
Fr¨
uhe Arbeiten wie z.B. [Etschmaier and Mathaisel, 1984], [Teodorovic, 1988], [Berge, 1994],
[Marsten et al., 1996], [Dobson and Lederer, 1993], [Soumis et al., 1980] l¨
osen das Problem
iterativ. Flugpl¨
ane werden bewertet, danach werden Fl¨
uge ausgew¨
ahlt, gel¨
oscht und neue hin-
zugef¨
ugt. Die Bewertung der ¨
Anderungen erfolgt mit Methoden der Marktmodellierung oder
teilweise mit Modellen der Flottenzuweisung.
Neuere Ans¨
atze arbeiten mit mathematischen Modellen, die Entscheidungen der Netzwerk-
planung mit der Flottenzuweisung verbinden. So k¨
onnen [Lettovsky et al., 1999] Flugpl¨
ane
sowohl neu aufbauen als auch in vordefinierter Weise ver¨
andern. Die Frequenzen k¨
onnen
ver¨
andert werden, Fl¨
uge k¨
onnen zeitlich verschoben oder ganz gestrichen werden.
[Lohatepanont and Barnhart, 2004], [Lohatepanont, 2002] w¨
ahlen aus der Menge der Kan-
didatenfl¨
uge solche aus, die den Profit des modellierten Passagierflusses maximieren.
[Yan and Wang, 2001], [Yan and Tseng, 2002] l¨
osen ¨
ahnliche mathematische Modelle mit
Lagrange-Relaxationen.
Die Arbeit von [Lederer and Nambimadom, 1998] untersucht Eigenschaften des Netz-
werks, wie z.B. Entfernung zwischen St¨
adten, Transportbedarf und Gr¨
oße des Netzwerks,
die die optimale Struktur beeinflussen. So sind bei bestimmten Parametern Hub-and-spoke
Netzwerke optimal, bei anderen sind Direktverbindungen kostenminimal.
Andere Teilaufgaben der Netzwerkplanung werden in folgenden Arbeiten behandelt:
•Hub Location: [Aykin, 1994], [Jaillet et al., 1996]
•Struktur des Netzwerks: [Lederer and Nambimadom, 1998]
•Route Development: [Berdy, 2002]
•Frequenzplanung: [Teodorovic and Krcmar-Nozic, 1989]
•Hub optimization: [Derigs et al., 2001]
•Auswahl der Wartungsflugh¨
afen: [Feo and J.F., 1989]
Verwandte Probleme tauchen bei der Entwicklung eines Netzwerks f¨
ur Luftpostverkehr
[Armacost et al., 2002], [Gr¨
unert et al., 2000] auf. Netzwerke der Charter-Fluggesellschaften
werden in [Erdmann, 1999] untersucht.
2.2 Netzwerkentwurf 13
2.2 Netzwerkentwurf
Beim Netzwerkentwurfproblem geht es darum, f¨
ur einen gegebenen Graphen eine Auswahl von
Kanten zu treffen, wobei ein ebenfalls in der Eingabe spezifizierter Mehr-G¨
uter-Fluss durch
das resultierende Netzwerk geroutet werden soll. Die Kanten des Netzwerks k¨
onnen dabei f¨
ur
einen fixen Betrag installiert werden und besitzen außerdem eine beschr¨
ankte Transportkapa-
zit¨
at. F¨
ur den Transport einer Einheit ¨
uber eine Kante fallen zus¨
atzlich Kosten an, die auch
von der Art des zu transportierendes Gutes abh¨
angen k¨
onnen. Das Ziel besteht darin, mit
m¨
oglichst niedrigen Installations- und Transportkosten die Transportnachfrage zu befriedigen.
Eine ¨
Ubersicht zu diesem Forschungsthema findet man z.B. in [Balakrishnan et al., 1997],
[Magnanti and Wong, 1984], [Crainic, 2000].
Die beschriebene Problematik ist relevant f¨
ur zahlreiche Anwendungsf¨
alle wie Transport,
Verkehr und Telekommunikation. Es sind dabei oft noch viele zus¨
atzliche Randbedingungen
zu beachten, wobei jedoch das oben informal definierte Problem stets den Kern bildet. Netz-
werkentwurfprobleme im Bereich Telekommunikation etwa m¨
ussen zus¨
atzlich Aspekte der
Ausfallsicherheit beachten.
In hier betrachteten Fall stellt sich die Frage des Aufbaus oder der Verbesserung eines
Flugnetzwerks: F¨
ur eine Strecke im Eingabe-Netzwerk muss entschieden werden, ob sie unter
Ber¨
ucksichtigung der Passagierfl¨
usse in den Flugplan aufgenommen wird oder nicht.
2.2.1 Modellierung
Ein Transportnetzwerk wird durch einen ungerichteten Graphen G= (N,A)mit Knoten-
menge Nund Kantenmenge Adefiniert. Mit Cbezeichnen wir die Menge der Trans-
portg¨
uter (commodities). F¨
ur ein Gut ksei O(k)sein Startknoten, D(k)sein Zielknoten und
sein Transportbedarf betrage dk. Die Transportkosten ck
ij fallen an, wenn eine Einheit eines
Gutes kauf einer Kante (i,j)∈Atransportiert wird, und fij sind die Fixkosten f¨
ur die
Benutzung bzw. Installation der Kante (i,j). Jede Kante besitze eine Gesamtkapazit¨
at uij,
die von allen auf Kante (i,j)transportierten G¨
utermengen nicht ¨
uberschritten werden darf.
Die Entscheidungsvariablen des Modells werden bezeichnet mit xk
ij und yij, wobei xk
ij die
auf der Kante (i,j)transportierte Menge des Gutes kdarstellt, und die Bin¨
arvariable yij
entscheidet, ob die Kante (i,j)in einer L¨
osung zum G¨
utertransport benutzt wird oder nicht.
Definition 2.1 (CNDP, kantenbasiertes Modell) Mit den obigen Bezeichnungen lautet
das kantenbasierte Modell des Netzwerkentwurfproblems mit Kantenkapazit¨
aten (engl. Fixed
Charge Capacitated Network Design Problem - CNDP) nun wie folgt:
min ∑
ij ∑
k
ck
ijxk
ij +∑
ij fijyij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C(1)
∑
k∈C
xk
ij ≤uij yij ∀(i,j)∈A(2)
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C(3)
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A(4)
14 2 Netzwerkentwurf
mit bk
i=
dkfalls i=O(k)
−dkfalls i=D(k)
0sonst.
Durch die Zielfunktion wird die Summe der Transportkosten ¨
uber alle transportierten
G¨
utermengen und der Fixkosten f¨
ur alle benutzten Kanten minimiert.
Die Bedingungen in (1)definieren |N||C|Fluss-Bedingungen (flow-constraints), die jeden
Knoten bez¨
uglich jeden Gutes als einen Start-, Ziel- oder Durchgangsknoten definieren. Bei
der vorliegenden Version des CNDP hat jedes Gut genau einen Start- und Zielknoten. Pro-
blemstellungen, in denen ein Gut mehrere Start- und/oder Zielknoten besitzt, k¨
onnen ohne
weiteres in die Formulierung ¨
ubertragen werden, indem z.B. Super-Quellen und Super-Senken
f¨
ur jedes Gut definiert werden.
Die Bedingungen in Zeile (2)beschr¨
anken den Fluss auf jeder Kante. Diese |A|Kapa-
zit¨
atsbedingungen (capacity-,bundle- oder forcing-constraints) verbinden die Flussvariablen
xmit den Designvariablen y. Die Gesamtkapazit¨
at uij jeder Kante (i,j)wird unter einer
Reihe von G¨
utern aufgeteilt. Die |A||C|Nichtnegativit¨
atsbedingungen der Flussvariablen in
Zeile (3)und die |A|Ganzzahligkeitsbedingungen der bin¨
aren Designvariablen in Zeile (4)
vervollst¨
andigen das Modell.
Die in Definition 2.1 vorgestellte Version des kantenbasierten Modells wird auch aggregiert
genannt, keine der Nebenbedingungen sind redundant. Die so genannte deaggregierte Form
erh¨
alt man durch Hinzunahme der folgenden Nebenbedingungen:
xk
ij ≤dk
ijyij ∀(i,j)∈A,∀k∈C(5)
mit dk
ij =min(dk,uij).
Diese |A||C|zus¨
atzlichen Kapazit¨
atsbedingungen sind redundant bez¨
uglich zul¨
assigen
(und optimalen) L¨
osungen des Modells. Deaggregierte Modelle f¨
uhren jedoch oft, so auch in
diesem Fall, zu deutlich besseren Schranken der zugeh¨
origen Relaxationen. Andererseits ver-
gr¨
oßert sich die Anzahl der Nebenbedingungen deutlich: Die aggregierte Version besitzt (oh-
ne Variablenbeschr¨
ankungen) |N||C|+|A|Nebenbedingungen, in der deaggregierte Form
kommen noch einmal |C||A|Nebenbedingungen hinzu.
Die LP-Relaxation beider Varianten des Modells erh¨
alt man, wenn man die Ganzzahlig-
keitsbedingungen (4) durch 0≤yij ≤1und yij ∈
R
f¨
ur alle (i,j)∈Aersetzt. In einer
optimalen L¨
osung der aggregierten Variante werden die Variablen yij nun immer ihren mi-
nimal zul¨
assigen Wert ∑k∈Cxk
ij/uij annehmen. Man kann also die yij streichen und erh¨
alt
ein Mehrg¨
uter-Fluss-Problem. In der deaggregierten Variante der LP-Relaxation kann diese
Neuformulierung des Problems nicht durchgef¨
uhrt werden, da hier f¨
ur die yij in einer opti-
malen L¨
osung gilt: yij =max{(∑k∈Cxk
ij/uij),(maxk∈C(xk
ij/dk
ij))}, was bei der Ersetzung der
yij zu einer nichtlinearen Zielfunktion f¨
uhren w¨
urde.
Aus diesem Grund liefert die LP-Relaxation des deaggregierten Modells deutlich bessere
untere Schranken. Dies wird allerdings erkauft durch die h¨
ohere Komplexit¨
at, die gerade bei
Simplex-basierten L¨
osungsalgorithmen stark von der Anzahl der Nebenbedingungen abh¨
angt.
Trotzdem hat es sich als sinnvoll erwiesen, im Rahmen von L¨
osungsalgorithmen f¨
ur das
CNDP, die auf Branch-and-Bound aufbauen, die unteren Schranken mittels des deaggregier-
ten Modells zu berechnen. Einen ausf¨
uhrlichen Vergleich findet man in [Gendron and Crainic, 1994a].
Das grundlegende Problem des Netzwerkentwurfs ist NP-vollst¨
andig, weil das Steiner-
Baum Problem als ein Spezialfall des Netzwerkentwurfproblems formuliert werden kann.
2.2 Netzwerkentwurf 15
2.2.2 Das pfadbasierte Modell
Eine andere Art, das CNDP zu modellieren, ist die pfadbasierte Formulierung. Die Flussva-
riablen im kantenbasierten Modell definieren den G¨
uterfluss auf einer Kante des Transport-
netzwerks. Die Flussvariablen im pfadbasierten Modell geben die transportierte Menge jedes
Gutes auf jedem m¨
oglichen Pfad von seinem Startknoten zu seinem Zielknoten an. Sei Pk
die Menge der Pfade von O(k)nach D(k)f¨
ur ein Gut k. F¨
ur jeden Pfad p∈Pksei hk
pder
G¨
uterfluss des Gutes k. Sei δp
ij =1, falls der Pfad pdie Kante (i,j)∈Aenth¨
alt, und sonst
δp
ij =0. Bezeichne ck
p=∑(i,j)∈Aδp
ijck
ij die Transportkosten des Pfades pbez¨
uglich des Gutes
k.
Definition 2.2 (CNDP, pfadbasiertes Modell) Mit diesen Bezeichnungen lautet das pfad-
basierte Modell des CNDP wie folgt:
min ∑
k∈C∑
p∈Pk
ck
phk
p+∑
(i,j)∈A
fijyij
u.d.N. ∑
p∈Pk
hk
p=dk∀k∈C(1)
∑
k∈C∑
p∈Pk
δp
ijhk
p≤uijyij ∀(i,j)∈A(2)
hk
p≥0∀k∈C,∀p∈Pk(3)
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A(4)
In Zeile (1)werden die |N||C|Flussbedingungen aus dem kantenbasierten Modell durch
|C|Nebenbedingungen ersetzt, die f¨
ur jedes Gut den Transport der ben¨
otigten G¨
utermenge
garantieren. Zeile (2)stimmt im Wesentlichen mit den Kapazit¨
atsbedingungen im vorher-
gehenden Modell ¨
uberein, die Zuordnung von Kanten zu Pfaden wird durch die bin¨
are δ-
Funktion erreicht. Nichtnegativit¨
atsbedingungen (3)und Ganzzahligkeitsbedingungen (4)
vervollst¨
andigen das Modell. Auch hier kann eine deaggregierte Version angegeben werden,
indem zus¨
atzliche, redundante Kapazit¨
atsbedingungen formuliert werden.
Ein wichtiger Vorteil des pfadbasierten Modells ist die deutlich kleinere Anzahl an Neben-
bedingungen: Statt |N||C|+|A|Nebenbedingungen in der kantenbasierten Version kommt
es mit nur |C|+|A|Nebenbedingungen aus. Dies wird allerdings erkauft mit einer Zahl von
Pfadvariablen, die exponentiell in der Anzahl der Kanten ist. Trotzdem wurde in der Litera-
tur versucht, im Rahmen von Branch-and-Price Verfahren die kleinere Zahl von Nebenbe-
dingungen bei der L¨
osung der LP-Relaxation durch die Anwendung von Column-Generation
auszunutzen (vgl. [Clarke et al., 1996]).
Weitere Vorteile dieser Formulierung k¨
onnen sich bei Erweiterungen der Problemstellung
durch zus¨
atzliche Bedingungen ergeben, die sich direkt auf die Transportpfade beziehen
(z.B. Pfadl¨
angenbeschr¨
ankungen). In diesen F¨
allen muss allerdings ber¨
ucksichtigt werden,
dass das bei der Verwendung von Column-Generation auftretende K¨
urzeste-Wege-Problem
NP-vollst¨
andig sein kann.
2.2.3 Das Mehrg¨uter-Fluss-Problem
Wie in Abschnitt 2.2.1 bereits erw¨
ahnt, ergibt sich f¨
ur die aggregierte Form des CNDP bei
gegebenem Designvektor ydas so genannte Mehrg¨
uter-Fluss Problem (Min Cost Multicom-
16 2 Netzwerkentwurf
modity Flow Problem - MMCF).
Definition 2.3 (MMCF, kantenbasiertes Modell) Mit denselben Bezeichnungen f¨
ur Pa-
rameter und Variablen wie oben lautet eine kantenbasierte Formulierung des Mehrg¨
uter-Fluss
Problems wie folgt:
min ∑
ij ∑
k
ck
ijxk
ij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C(1)
∑
k∈C
xk
ij ≤uij ∀(i,j)∈A(2)
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C(3)
Betrachtet man das MMCF f¨
ur nur ein Gut, so erh¨
alt man das grundlegende Problem, einen
kostenminimalen Fluss in einem kapazitierten Transportnetzwerk zu finden (Min Cost Flow
Problem - MCF). Eine wichtige Eigenschaft des MMCF ist, dass bei der Ber¨
ucksichtigung
mehrerer G¨
uter die Integralit¨
atseigenschaft verloren geht – es muss also nicht notwendiger-
weise eine ganzzahlige L¨
osung existieren. Wenn man allerdings die Kapazit¨
atsbedingungen
(2)streicht, dann zerf¨
allt der Rest des Problems in |C|K¨
urzeste-Wege-Probleme, die un-
abh¨
angig voneinander effizient (z.B. mit Dijkstras Algorithmus) gel¨
ost werden k¨
onnen.
Aufgrund seiner Praxisrelevanz (z.B. in der Telekommunikation), seiner interessanten
Struktur und seiner besonderen Komplexit¨
at wird das MMCF seit langem in der Litera-
tur untersucht (vgl. Kapitel 17 in [Ahuja et al., 1993]). Das in dieser Arbeit verwendete
L¨
osungsverfahren f¨
ur das MMCF wird in Abschnitt 2.7.2 im Detail erl¨
autert.
2.2.4 Modellvarianten
In der Literatur werden in einer Vielzahl von Anwendungen Modellerweiterungen des CNDP
untersucht. F¨
ur die folgenden Varianten haben sich feste Bezeichnungen eingeb¨
urgert:
•Das Uncapacitated Network Design Problem (UNDP) ergibt sich aus dem CNDP, wenn
man die Kapazit¨
atsbedingungen streicht.
•Das Network Loading Problem (NLP) tritt insbesondere in Anwendungen in der Te-
lekommunikation auf, in denen den Kanten Kapazit¨
aten in diskreten Schritten (z.B.
verschiedene Bandbreiten) zugewiesen werden k¨
onnen. In den entsprechenden Modellen
werden f¨
ur den Designvektor yauch Werte >1zugelassen.
•Beim Service Network Design Problem (SNDP) existieren zus¨
atzliche Flussbedingungen
auf den Designvariablen. Diese Problemstellung taucht z.B. auf, wenn die eingesetzten
Transportressourcen (LKWs, Flugzeuge) in jedem Knoten balanciert sein m¨
ussen.
•Schließlich werden Netzwerkentwurfprobleme mit zus¨
atzlichen Restriktionen auf den
Transportpfaden untersucht. Dies k¨
onnen beispielsweise L¨
angenbeschr¨
ankungen, aber
auch Beschr¨
ankungen durch Zeitfenster sein.
2.2 Netzwerkentwurf 17
2.2.5 Literatur¨ubersicht
Die Vorarbeiten im Bereich Netzwerkentwurf sind auf Grund der hohen praktischen Relevanz
der Fragestellung sehr vielf¨
altig. Eine große Anzahl von Erweiterungen des Kernproblems ist
untersucht worden. Die L¨
osungsmethoden reichen von Lagrange-Relaxationsverfahren ¨
uber
Column-Generation-Verfahren bis hin zu Ans¨
atzen basierend auf Metaheuristiken, wie Tabu
Search oder Simulated Annealing.
Crainic, Frangioni und Gendron haben sich in einer Reihe von Arbeiten mit der Generie-
rung von unteren Schranken f¨
ur das CNDP befasst (siehe z.B. [Gendron and Crainic, 1994a],
[Gendron et al., 1998] und [Crainic et al., 2001a]). Ihre wichtigsten Einsichten sind folgen-
de: Die starke LP-Relaxation liefert deutlich bessere untere Schranken als die schwache
LP-Relaxation (s. Abschnitt 2.4.1), ist aber auch sehr viel aufwendiger zu berechnen. La-
grange Relaxationen liefern gute Approximationen der starken Schranke und k¨
onnen sehr
viel schneller berechnet werden als die LP-Relaxation. Zur Optimierung des Lagrange Duals
schneiden Bundle-Methoden bez¨
uglich Konvergenzverhalten, L¨
osungsqualit¨
at und Robust-
heit etwas besser ab als Subgradientenverfahren, Letztere sind aber deutlich einfacher zu
implementieren.
In [Gendron et al., 1998], [Crainic et al., 2001a] haben Gendron und andere das Netzwerk-
entwurfproblem untersucht. Es werden eine kanten- und eine pfadbasierte Formulierung des
CNDP vorgestellt und mehrere Lagrange-Relaxierungen entwickelt. Auf automatisch gene-
rierten Datens¨
atzen mit bis zu 30 Knoten, 700 Kanten und bis zu 400 G¨
utern vergleichen die
Autoren ihre Ans¨
atze mit einem exakten Branch-and-Bound Ansatz in Hinblick auf Laufzeit
und L¨
osungsqualit¨
at.
In [Crainic et al., 2000a] stellen Crainic et al. einen kombinierten Column Generation und
Tabu Search Ansatz vor, bei dem f¨
ur die Definition des Suchraumes zun¨
achst alle Design-
Entscheidungsvariablen yij auf 1gesetzt werden. Das dabei entstehende Problem ist ein
Mehr-G¨
uter-Fluss-Problem, das als ein LP formuliert ist. Die Ecken des Polytops werden mit
Hilfe lokaler Suche durchsucht. Dabei wird der ¨
Ubergang von einer Ecke zur anderen durch
Simplex-Pivot-Schritte vollzogen. Die Tabu-Kriterien beziehen sich auf die Eigenschaften der
Pivot-Variablen. Der Ansatz liefert gute L¨
osungen f¨
ur Netzwerke mit bis zu 100 Knoten. Die
Laufzeiten des Algorithmus bewegen sich zwischen 30 Minuten bei 30 Knoten, 700 Kanten,
100 G¨
utern und 4 Stunden f¨
ur 30 Knoten, 700 Kanten und 400 G¨
utern.
In [Holmberg and Yuan, 2000] pr¨
asentieren die Autoren ein Branch-and-Bound Verfah-
ren f¨
ur das CNDP, das sowohl exakte als auch heuristische L¨
osungen liefert. Sie setzen zur
Schrankenberechnung die Lagrange Rucksack-Relaxation ein. Zur L¨
osung des Lagrange-Duals
setzen sie ein Subgradientenverfahren ein, in das sie sog. penalty tests zur Variablenfixierung
und eine schnelle Heuristik zur Generierung von oberen Schranken integrieren. Durch Tech-
niken der heuristischen Variablenfixierung machen sie aus dem Verfahren eine Heuristik. Sie
pr¨
asentieren sowohl f¨
ur die exakte als auch f¨
ur die heuristische Variante des Verfahrens sehr
vielversprechende Messergebnisse auf einer Reihe von selbst erzeugten Instanzen, die sie mit
Ergebnissen der Standardsoftware CPLEX vergleichen.
In den Arbeiten von Ghamlouche und anderen [Ghamlouche et al., 2003],
[Ghamlouche et al., 2004] werden heuristische Verfahren f¨
ur das CNDP vorgestellt. Aufbau-
end auf einer aufwendigen Nachbarschaft wird ein Tabu Search Ansatz verfolgt. Die Lauf-
zeiten der Verfahren steigen zwar nicht unwesentlich im Vergleich zu anderen heuristischen
18 2 Netzwerkentwurf
Verfahren, die erzielte L¨
osungsqualit¨
at wird aber entscheidend verbessert. Das in der zweiten
Arbeit verfolgte Ansatz des Path Relinking erm¨
oglicht einen weiteren Schritt zur Verbesse-
rung der L¨
osungsqualit¨
at.
In [Crainic et al., 2004] wird ein Slope Scaling Ansatz f¨
ur das CNDP vorgestellt. Es wird
eine Folge von Multicommodity Flussproblemen gel¨
ost, die gegen die optimale L¨
osung des
CNDP konvergiert. Durch die iterative Anpassung der Kostenparameter f¨
ur den Transport
der G¨
uter im Netzwerk erreicht man die gew¨
unschte Konvergenz. Die Qualit¨
at der L¨
osungen
wird durch den Einsatz von Techniken aus dem Bereich der heuristischen Optimierung, wie
z.B. Langfristged¨
achtnis, verbessert. Außerdem wird die Anpassung der Kostenparameter von
der parallel laufenden Lagrange Relaxation des Problems beeinflusst.
Bienstock et al. beschreiben in [Bienstock et al., 1998] zwei Cutting-Plane Algorithmen
f¨
ur eine Variante des CNDP mit multiplen Kanten (Kanten k¨
onnen mehrfach ge¨
offnet wer-
den). Der erste basiert auf einer Multicommodity Formulierung des CNDP und benutzt sog.
cutset– und three partition– Ungleichungen. Der andere f¨
ugt die folgenden cutting planes
hinzu: total capacity,partition und rounded metric Ungleichungen. Eingebettet in einen
Branch-and-Cut Rahmen liefern beide Verfahren gute Ergebnisse auf realistischen Bench-
mark Daten. In [Bienstock, 1999] wird eine deutliche Verbesserung des Verfahrens auf den
gleichen Benchmarks durch den Einsatz von approximierten linearen Programmen erreicht.
Weitere Branch-and-Cut Ans¨
atze f¨
ur die gleiche Variante des CNDP werden von G¨
unl¨
uk,
Atamt¨
urk et al. in [G¨
unl¨
uk, 1999] und [Atamt¨
urk, 1999] untersucht. Es werden eine Rei-
he von g¨
ultigen Ungleichungen (valid inequalities) betrachtet und es wird festgestellt, dass
Branch-and-Cut im Vergleich mit Branch-and-Bound auf der benutzten Benchmark deut-
lich ¨
uberlegen ist. Durch das Hinzuf¨
ugen von Cuts konnte außerdem der Integrality-Gap am
Wurzelknoten signifikant reduziert und damit auch die Anzahl besuchter Knoten erheblich
vermindert werden.
Sridhar und Park stellen in [Sridhar and Park, 2000] eine Implementierung eines Benders-
and-Cut Algorithmus vor. Das Verfahren besteht aus drei Teilen: einem Cutting-Plane Algo-
rithmus zur Generierung von guten unteren Schranken, einer Heuristik zur Erzeugung von
oberen Schranken und dem Benders-and-Cut Algorithmus selbst. Es werden Messergebnisse
f¨
ur eine große Anzahl von Testinstanzen mit unterschiedlichen Transportbedarfen pr¨
asentiert.
Die Autoren stellen fest, dass die Komplexit¨
at der Testinstanzen stark vom Transportbedarf
abh¨
angt und mit steigendem Transportbedarf zunimmt. Das liegt vor allem an der Ver-
gr¨
oßerung des Integrality Gaps. Die Anwendung ihres Algorithmus empfehlen sie besonders
f¨
ur die schwierigen Instanzen. Um die LP-Relaxation zu verbessern, erwiesen sich flow ine-
qualities als sehr effektiv.
Clark und Gong vergleichen in [Clarke and Gong, 1998] einen Branch-and-Price Ansatz
f¨
ur die pfadbasierte Formulierung des CNDP mit traditionellem Branch-and-Bound f¨
ur die
kantenbasierte Formulierung. Sie stellen fest, dass die pfadbasierte Formulierung etwas effi-
zienter ist und sich dieser Vorsprung durch SOS-Branching noch steigern l¨
asst. Sie erkl¨
aren
diese ¨
Uberlegenheit mit der schnelleren L¨
osbarkeit der Unterprobleme (K¨
urzeste-Wege), die
die effizientere L¨
osung der LP-Relaxationen erlaubt. Messergebnisse werden f¨
ur Instanzen
mit 6, 10 und 15 Knoten pr¨
asentiert.
In [Barnhart and Kim, 1997] stellen Barnhart und Kim das Service Network Design Pro-
blem vor, das als Erweiterung zum oben definierten Netzwerkentwurfproblem eine neue Kom-
2.3 ¨
Uberblick ¨uber das L¨
osungsverfahren 19
ponente beinhaltet: In jedem Knoten des Netzwerkes muss eine Balance der eingesetzten
Transportressourcen sichergestellt werden. Die Autoren stellen einen Branch-and-Bound Al-
gorithmus vor, der Column- und Row-Generation verbindet (Branch-And-Cut-And-Price).
Auf diese Weise wird versucht, die riesige Anzahl von bin¨
aren Entscheidungsvariablen in den
Griff zu bekommen und schwache LP-Schranken zu verst¨
arken. Es m¨
ussen nur wenige Spal-
ten generiert werden und die Qualit¨
at der LP-Relaxationen wird durch hinzugef¨
ugte Cuts
stark verbessert.
In [Jaillet et al., 1996] stellen Jaillet und andere ein Modell f¨
ur den Netzwerkentwurf bei
Fluglinien auf. Die Reisepfade f¨
ur die zu transportierenden Passagiere werden in ihrer L¨
ange
eingeschr¨
ankt: Jeder Passagier darf h¨
ochstens ¨
uber zwei Zwischenstationen fliegen. Die Ar-
beit besch¨
aftigt sich u.a. mit der M¨
oglichkeit, mehrere unterschiedliche Flugzeugtypen im
Netzwerk einzusetzen. Die Ergebnisse werden auf Netzwerken erzielt, die bis zu 39 Knoten
(St¨
adte) haben. Eine Skalierung der Passagierzahlen im Netzwerk spielt neben der Frage,
wie viele Flugzeugtypen eingesetzt werden, eine große Rolle f¨
ur die Laufzeit des Programms.
Der algorithmische Ansatz benutzt mehrere problemspezifische Heuristiken, die Relaxierun-
gen des Problems verwenden und aus den relaxierten L¨
osungen solche f¨
ur das urspr¨
ungliche
Problem finden.
2.3 ¨
Uberblick ¨uber das L¨
osungsverfahren
In diesem Abschnitt geben wir einen ¨
Uberblick ¨
uber den in dieser Arbeit benutzten Branch-
and-Bound Algorithmus f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem. Die Grundstruktur entspricht ei-
nem klassischen Branch-and-Bound Algorithmus, der im Algorithmus 1 beschrieben wird.
Algorithmus 1 Branch-and-Bound f¨
ur das CNDP
1: Initialisierung:Beste bekannte L¨
osung: ˆzCNDP =∞
2: while (es gibt noch nicht untersuchte Knoten) do
3: w¨
ahle einen noch nicht untersuchten Knoten aus (Tiefen- oder Bestensuche)
4: starte primale Heuristik (siehe 2.7.3)
5: if (Heuristik findet keine L¨
osung oder der untersuchte Knoten ist ein Blatt)then
6: starte exaktes Verfahren (Column Generation)
7: berechne untere Schranke zRmittels Subgradient (2.6.1) oder Bundle-Methode (2.6.2)
8: f¨
uhre Variablenfixierung durch (2.9)
9: [starte heuristische α- oder β-Fixierung (2.10)]
10: fixiere Variablen anhand zus¨
atzlicher Ungleichungen (2.11)
11: if (zR<ˆzCNDP)then
12: w¨
ahle eine neue Branchingvariable (2.8)
13: erzeuge zwei neue Knoten
Es wurden zwei Baumsuchstrategien implementiert: die Tiefensuche und die Bestensuche.
In beiden F¨
allen k¨
onnen Informationen aus den Vaterknoten in den Nachfolgerknoten benutzt
werden. F¨
ur die Suche nach zul¨
assigen L¨
osungen werden zwei Verfahren benutzt: Das heuri-
stische wird im Abschnitt 2.7.3 beschrieben, das exakte ist ein Column Generation Ansatz f¨
ur
das pfadbasierte Modell. Die untere Schranke wird alternativ durch die Subgradient-Suche
20 2 Netzwerkentwurf
(siehe Abschnitt 2.6.1) oder die Bundle-Methode (siehe Abschnitt 2.6.2) berechnet. Im Ab-
schnitt 2.9 stellen wir die Strategien zur Variablenfixierung vor, im Abschnitt 2.10 werden die
heuristischen Strategien erl¨
autert. Durch die Generierung zus¨
atzlicher Ungleichungen (cuts)
wird der Branch-and-bound Algorithmus zum Relax-and-cut-Algorithmus (siehe Abschnitt
2.11).
2.4 Untere Schranken
2.4.1 LP-Schranken
In [Gendron and Crainic, 1994a] und [Crainic et al., 2001a] werden von den Autoren eine
Vielzahl von Relaxationen f¨
ur das CNDP untersucht. In unserem Branch-and-Bound Algorith-
mus werden zur Berechnung der unteren Schranke die beiden erfolgversprechendsten Relaxa-
tionen eingesetzt, n¨
amlich die sog. K¨
urzeste-Wege-Relaxation und die Rucksack-Relaxation,
die hier nach den jeweils zu l¨
osenden Unterproblemen benannt wurden. Der Vollst¨
andigkeit
halber werden wir auch auf die m¨
oglichen LP-Relaxationen des Problems sowie auf eine
Variante der K¨
urzeste-Wege-Relaxation eingehen.
Aus Gr¨
unden der ¨
Ubersichtlichkeit m¨
ochten wir noch einmal das allen hier vorgestellten
Relaxationen zugrunde liegende deaggregierte, kantenbasierte Modell aus Abschnitt 2.2.1
wiederholen:
zCNDP =min ∑
ij ∑
k
ck
ijxk
ij +∑
ij fijyij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C(1)
∑
k∈C
xk
ij ≤uij yij ∀(i,j)∈A(2)
xk
ij ≤dk
ijyij ∀(i,j)∈A,∀k∈C(3)
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C(4)
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A(5)
Wir bezeichnen im Weiteren die Nebenbedingungen in Zeile (2)als schwache und jene in Zeile
(3)als starke Kapazit¨
atsbedingungen. Aus der Redundanz der starken Kapazit¨
atsbedingungen
folgen f¨
ur jede prinzipiell m¨
ogliche Relaxation zwei Varianten, n¨
amlich eine schwache, bei
der die starken Kapazit¨
atsbedingungen gestrichen werden, und eine starke, bei der sie in der
Relaxation mitber¨
ucksichtigt werden. Da die starken Relaxationen deutlich bessere Schran-
ken liefern als die schwachen, werden wir hier nur f¨
ur die LP-Relaxation auf beide Varianten
eingehen, w¨
ahrend die Lagrange-Relaxationen allesamt starke Relaxationen sind.
Die schwache LP-Relaxation
Die schwache LP-Relaxation erh¨
alt man, indem man die starken Kapazit¨
atsbedingungen
(3)streicht und die Ganzzahligkeitsbedingungen (5)durch einfache LP-Schranken f¨
ur die
y-Variablen 0≤yij ≤1ersetzt. Da in einer optimalen L¨
osung des neuen Problems die y-
Variablen immer ihren minimalen Wert yij =∑k∈Cxk
ij/uij annehmen, ergibt sich durch Ein-
setzen das Mehrg¨
uter-Fluss-Problem:
2.4 Untere Schranken 21
zWLP =min ∑
ij ∑
k
(ck
ij +fij/uij)xk
ij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C
∑
k∈C
xk
ij ≤uij ∀(i,j)∈A
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C
Das Mehrg¨
uter-Fluss-Problem kann effizient durch Dekompositionsverfahren gel¨
ost werden
(siehe Abschnitt 2.7.2).
Die starke LP-Relaxation
Bei der starken LP-Relaxation, deren Zielfunktionswert wir mit zSLP bezeichnen wollen, wer-
den nur die Ganzzahligkeitsbedingungen (5)relaxiert. Das entsprechende lineare Programm
besitzt damit nicht nur deutlich mehr Nebenbedingungen als die schwache LP-Relaxation,
sondern verliert auch die Eigenschaft, ein Mehrg¨
uter-Fluss-Problem zu sein, wie wir schon im
Abschnitt 2.2.1 er¨
ortert haben. Der h¨
ohere L¨
osungsaufwand wird jedoch gerade im Rahmen
von Branch-and-Bound durch die bessere Qualit¨
at der Schranke mehr als wettgemacht.
2.4.2 Lagrange-Schranken: Rucksack und K¨urzeste-Wege
Um die K¨
urzeste-Wege-Relaxation (shortest-path oder flow relaxation) zu erhalten, wer-
den sowohl schwache als auch starke Kapazit¨
atsbedingungen Lagrange-relaxiert. Ihnen wer-
den dabei |A|+|A||C|Lagrangemultiplikatoren αij ≥0bzw. βk
ij ≥0f¨
ur alle (i,j)∈Aund
k∈Czugeordnet. Die Relaxation lautet dann f¨
ur feste αund βwie folgt 1:
zSP(α,β) = min ∑
(i,j)∈A∑
k∈C
ck
ijxk
ij +∑
ij fijyij +∑
(i,j)∈A
[αij(∑
k∈C
xk
ij −uijyij)
+∑k∈Cβk
ij(xk
ij −dk
ijyij)]
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A
Die Zielfunktion l¨
asst sich folgendermaßen nach den Entscheidungsvariablen xund yzusam-
menfassen:
zSP(α,β) = min ∑
k∈C∑
(i,j)∈A
(ck
ij +αij +βk
ij)xk
ij +∑
(i,j)∈A
(fij −uijαij −∑
k∈C
dk
ijβk
ij)yij
Man sieht nun, dass man das Problem in ein K¨
urzeste-Wege-Problem f¨
ur jedes Gut und ein
Entscheidungsproblem f¨
ur die Designvariablen yzerlegen kann. F¨
ur ein Gut k∈Clautet das
K¨
urzeste-Wege Problem SPk(α,β)wie folgt:
1Die Lagrange-Multiplikatoren αij und βij sollten nicht mit den Parametern αund βder heuristischen
Variablenfixierung verwechselt werden.
22 2 Netzwerkentwurf
zk
SP(α,β) = min ∑
(i,j)∈A
(ck
ij +αij +βk
ij)xk
ij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji =bk
i∀i∈N
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A
Da f¨
ur die Kantenkosten ˜ck
ij =ck
ij +αij +βk
ij ≥0f¨
ur alle (i,j)∈Agilt, handelt es sich dabei
um ein einfaches Single-Source-Shortest-Path Problem, das leicht mit Dijkstras Algorithmus
gel¨
ost werden kann. Nach einem Aufruf von Dijkstras Algorithmus gilt f¨
ur den L¨
osungsvektor
xk:
xk
ij =dkfalls Kante (i,j)auf dem k¨
urzesten Weg von O(k)nach D(k)liegt,
0sonst.
Das Entscheidungsproblem f¨
ur die y-Variablen lautet:
z(i,j)
SP (α,β) = min ∑
(i,j)∈A
(fij −uijαij −∑
k∈C
dk
ijβk
ij)yij
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A
Die L¨
osung dieses Problems l¨
asst sich einfach ablesen:
yij =1falls ˜
fij <0und
0sonst,
wobei ˜
fij =fij −uijαij −∑k∈Cdk
ijβk
ij reduzierte Fixkosten heißen. Insgesamt ergibt sich also
der Wert der Relaxation mit
zSP(α,β) = ∑
k∈C
zk
SP(α,β)+ ∑
(i,j)∈A
z(i,j)
SP (α,β),
und das Lagrange-Multiplikator Problem lautet (siehe auch Abschnitt 2.5):
zSP =max
α≥0,β≥0zSP(α,β)
An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die K¨
urzeste-Wege Relaxation die Integra-
lit¨
atseigenschaft besitzt, denn die y-L¨
osung w¨
urde sich auch dann nicht ¨
andern, wenn man
die Ganzzahligkeitsbedingung im Unterproblem streichen w¨
urde. Der Wert des Lagrange-
Duals zSP stimmt also mit dem optimalen Zielfunktionswert der starken LP-Relaxation zSLP
¨
uberein.
Das Lagrange-Multiplikator Problem (auch Lagrange-Dual genannt) kann z.B. mit dem
Subgradientenverfahren oder dem Bundle-Verfahren gel¨
ost werden. Ein Subgradient f¨
ur die
K¨
urzeste-Wege Relaxation wird berechnet, indem zun¨
achst die |C|K¨
urzeste-Wege Probleme
und das y-Entscheidungsproblem gel¨
ost werden. Mit einer L¨
osung (x,y)lautet der Subgra-
dient (s(α),s(β)) dann wie folgt:
sij(α) = ∑
k∈C
xk
ij −uijyij ∀(i,j)∈A
sk
ij(β) = xk
ij −dk
ijyij ∀(i,j)∈A,∀k∈C
2.4 Untere Schranken 23
In der Rucksack-Relaxation (knapsack relaxation) werden die |C||N|Flussnebenbe-
dingungen (1)Lagrange-relaxiert, indem ihnen Lagrangemultiplikatoren ωk
if¨
ur alle i∈N
und k∈Czugeordnet werden. Da es sich hier um Gleichungen handelt, sind die ωk
inicht
vorzeichenbeschr¨
ankt. Die Rucksack-Relaxation lautet damit f¨
ur ein festes ω:
zKS(ω) = min ∑
(i,j)∈A∑
k∈C
ck
ijxk
ij +∑
(i,j)∈A
fijyij +∑
k∈C∑
i∈N
ωk
i(∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji −bk
i)
u.d.N. ∑
k∈C
xk
ij ≤uij yij ∀(i,j)∈A
xk
ij ≤dk
ijyij ∀(i,j)∈A,∀k∈C
xk
ij ≥0∀(i,j)∈A,∀k∈C
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈A
Wieder formen wir die Zielfunktion um, damit die Struktur des Problems sichtbar wird. Dabei
nutzen wir aus, dass bk
iin unserer Version des CNDP nur zwei Eintr¨
age ungleich Null besitzt:
zKS(ω) = min ∑
(i,j)∈A"∑
k∈C
(ck
ij +ωk
i−ωk
j)xk
ij +fijyij#−∑
k∈C
dk(ωk
O(k)−ωk
D(k))
=min
y∈{0,1}|A|∑
(i,j)∈A
(gij(ω)+ fij)yij −∑
k∈C
dk(ωk
O(k)−ωk
D(k))
Man sieht nun, dass sich das Problem in ein kontinuierliches Rucksackproblem KS(i,j)(ω)und
ein einfaches Entscheidungsproblem f¨
ur yij f¨
ur jede Kante (i,j)∈Aund einen konstanten
Anteil in der Zielfunktion aufspalten l¨
asst. Mit ˜ck
ij =ck
ij +ωk
i−ωk
jlautet das Rucksackproblem
KS(i,j)(ω)f¨
ur die Kante (i,j):
z(i,j)
KS (ω) = min ∑
k∈C
˜ck
ijxk
ij
u.d.N. ∑
k∈C
xk
ij ≤uij
xk
ij ≤dk
ij ∀k∈C
xk
ij ≥0∀k∈C
¨
Ahnlich wie in der K¨
urzeste-Wege-Relaxation kann man nun reduzierte Fixkosten ˜gij =
z(i,j)
KS (ω)+ fij definieren und mit ihnen die Belegung der y-Variablen entscheiden:
yij =1falls ˜gij <0und
0sonst,
Im Fall yij =0muss gleichzeitig xk
ij =0f¨
ur alle k∈Cgesetzt werden, um eine korrekte
L¨
osung (x,y)zu erhalten. Algorithmus 2 l¨
ost das Rucksackproblem gij(ω)und liefert eine
Teill¨
osung (xij,yij)f¨
ur eine Kante (i,j)∈A. Das zugrunde liegende Prinzip ist einfach:
Die Kapazit¨
at uij der Kante wird solange mit dem n¨
achstg¨
unstigsten Gut aufgef¨
ullt, bis
sie entweder ersch¨
opft ist, oder es kein Gut mit negativen Kosten mehr gibt. Alternativ
zu Zeile 3k¨
onnte man auch zu Beginn die G¨
uter nach aufsteigenden Kosten ˜ck
ij sortieren.
Die hier gezeigte Version des Algorithmus hat sich aber bei einem Vergleich als deutlich
24 2 Netzwerkentwurf
Algorithmus 2 Kontinuierliches Rucksackproblem
1: setze ˜gij =fij und xk
ij =0∀k∈C/* l¨
ose Rucksackproblem */
2: repeat
3: w¨
ahle k0=argmink∈C(˜ck
ij)
4: if (˜ck0
ij <0)then
5: if (uij >dk0
ij)then
6: setze xk0
ij =dk0
ij,uij =uij −dk0
ij,˜gij =˜gij +˜ck0
ijxk0
ij und ˜ck0
ij =∞
7: else
8: setze xk0
ij =uij,uij =0und ˜gij =˜gij +˜ck0
ijxk0
ij
9: until (˜ck0
ij <0)UND (uij >0)
10: if (˜gij <0)then
11: setze yij =1/* setze yij */
12: else
13: setze yij =0und xk
ij =0∀k∈C
effizienter erwiesen. Das Lagrange-Multiplikator Problem (Lagrange-Dual) der Rucksack-
Relaxation lautet nun:
zKS =max
ω∈
R
zKS(ω),
und ein Subgradient s(ω)l¨
asst sich aus einer L¨
osung (x,y)wie folgt berechnen:
s(ωk
i) = ∑
j:(i,j)∈A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈A
xk
ji −bk
i.
2.5 Lagrange-Relaxation
F¨
ur die Berechnung der unteren Schranken im Rahmen des Branch-and-Bound-Verfahrens
wird in dieser Arbeit eine Lagrange-Relaxation verwendet. In diesem Abschnitt sollen die
Grundz¨
uge dieser Relaxationstechnik diskutiert werden.2Hierf¨
ur betrachten wir das Opti-
mierungsproblem
(P)min cTx
u.d.N. Ax ≥b(2.1)
x∈X,(2.2)
mit A∈Rm×n,b∈Rm, und c∈Rn. Wir nehmen an, dass es sich bei (2.2) um eher ein-
fache Nebenbedingungen handelt, w¨
ahrend die Einschr¨
ankung (2.1) die Aufgabe stark ver-
kompliziert. Bei der Lagrange-Relaxation werden die ”schwierigen“ Nebenbedingungen (2.1)
gestrichen und die Zielfunktion so modifiziert, dass eine Verletzung dieser Bedingungen mit
h¨
oheren Kosten bestraft wird. Zu diesem Zweck f¨
ugt man der Zielfunktion f¨
ur jede wegge-
lassene Ungleichung ∑n
j=1aijxj≥bieinen Term ωi(bi−∑n
j=1aijxj)mit ωi≥0hinzu, sodass
2Die Darstellung der Grundidee und Eigenschaften der Lagrange-Relaxation orientiert sich an Kapitel II.3
in [Nemhauser and Wolsey, 1988] und Kapitel 16 in [Ahuja et al., 1993].
2.5 Lagrange-Relaxation 25
sich die Minimierungsaufgabe
LR(ω)min cTx+ωT(b−Ax)
u.d.N. x∈X
mit ω∈Rm
+ergibt. Man bezeichnet diese Minimierungsaufgabe als eine Lagrange-Relaxation
von (P) bez¨
uglich der Nebenbedingungen (2.1) und den Vektor ωals einen Lagrange-
Multiplikator.
Sei zLR(ω)der optimale Zielfunktionswert von LR(ω)und zPdie Kosten der optimalen
L¨
osung des originalen Optimierungsproblems (P). Es gilt:
Lemma 2.1 F¨
ur jede f¨
ur das Ausgangsproblem (P)zul¨
assige L¨
osung x0und alle ω∈Rm
+ist
zLR(ω)≤cTx0.
Beweis: Wenn x0eine zul¨
assige L¨
osung von (P) darstellt, ist sie f¨
ur LR(ω)ebenfalls zul¨
assig
und somit gilt zLR(ω)≤cTx0+ωT(b−Ax0). Wegen (2.1) und ω≥0ist ωT(b−Ax0)≤0.
Es folgt zLR(ω)≤cTx0.
Weil dieses Lemma insbesondere auch f¨
ur die optimale L¨
osung von (P) wahr ist, gilt zLR(ω)≤
zPf¨
ur alle ω∈Rm
+. Um die bestm¨
ogliche untere Schranke f¨
ur zPzu berechnen, m¨
usste man
noch den Strafkostenvektor ωfinden, der zLR(ω)maximiert:
zLM =max
ω≥0zLR(ω)(2.3)
Diese Maximierungsaufgabe wird im Weiteren als ein mit (P) assoziiertes Lagrange-Multi-
plikator-Problem bezeichnet. Im g¨
unstigsten Fall stimmt der optimale Zielfunktionswert des
Lagrange-Multiplikator-Problems mit zP¨
uberein. Ist dies nicht der Fall, spricht man von einer
Dualit¨
atsl¨
ucke zP−zLM.
Wenn es sich bei den ”schwierigen“ Nebenbedingungen von (P) nicht um Ungleichun-
gen, sondern um Gleichungen handelt, entf¨
allt die Forderung ω≥0in dem Lagrange-
Multiplikator-Problem. Um dies zu zeigen, betrachte das Optimierungsproblem
min cTx
u.d.N. Ax =b
x∈X.
Die Gleichungen Ax =blassen sich ¨
aquivalent als ein System von Ungleichungen Ax ≥b
und −Ax ≥ −bdarstellen. Wird nun eine Lagrange-Relaxation durchgef¨
uhrt, erh¨
alt man eine
Optimierungsaufgabe
min cTx+(ω+−ω−)T(b−Ax)
u.d.N. x∈X
mit ω+,ω−≥0. Ersetzt man die Differenz ω+−ω−durch einen Vektor ω, bekommt man
einen Lagrange-Multiplikator, der sowohl positive als auch negative Eintr¨
age haben kann.
26 2 Netzwerkentwurf
2.5.1 Eigenschaften der Lagrange-Relaxation
In diesem Abschnitt werden einige wichtige Eigenschaften der Lagrange-Relaxation wie bei-
spielsweise die G¨
ute der mit dieser Technik berechenbaren unterer Schranke diskutiert.
Wir betrachten erneut die Lagrange-Relaxation LR(ω)des Optimierungsproblems (P) und
setzen im Weiteren voraus, dass die Menge Xals
X={x∈Rn
+:Dx ≥q,x1,...,xrsind ganzzahlig}
definiert und beschr¨
ankt ist. In diesem Fall stellt die konvexe H¨
ulle3von Xein konvexes
Polytop dar, dessen Ecken {xi}K
i=1eine Teilmenge von Xbilden. Bezeichne conv(X)die
konvexe H¨
ulle von X. F¨
ur jede Wahl des Vektors ωnimmt die Zielfunktion cTx+ωT(b−
Ax)ihr Minimum auf conv(X)in einer Ecke x∗∈ {xi}K
i=1an, d.h. in einem Punkt aus X.
Wegen X⊆conv(X)stellt dieser Punkt x∗gleichzeitig eine optimale L¨
osung des Lagrange-
Teilproblems zLR(ω) = min{cTx+ωT(b−Ax):x∈X}
dar. Somit kann die Suche nach der optimalen L¨
osung eines Lagrange-Teilproblems LR(ω)
auf die Ecken der konvexen H¨
ulle von Xbeschr¨
ankt werden:
zLR(ω) = min
i=1,...,KcTxi+ωT(b−Axi).(2.4)
Die Gleichung (2.4) zeigt die Abh¨
angigkeit der optimalen Zielfunktionswerte einzelner Lagrange-
Relaxationen von der Wahl des Lagrange-Multiplikators ω. F¨
ur jeden Punkt xih¨
angen die
Kosten z(ω,xi) = cTxi+ωT(b−Axi)linear von ωab, sodass zLR(ω)das Minimum einer
endlichen Menge linearer Funktionen darstellt und somit selbst eine st¨
uckweise lineare kon-
kave Funktion ist. Die Abbildung 2.3 zeigt einen m¨
oglichen Verlauf der Lagrange-Funktion
zLR(ω)f¨
ur den eindimensionalen Fall ω∈R.
Das Lagrange-Multiplikator-Problem ist das Maximieren der Lagrange-Funktion zLR(ω)
zur Bestimmung einer m¨
oglichst guten unteren Schranke f¨
ur zP. Im Abschnitt 2.6 werden
einige der bekanntesten L¨
osungsans¨
atze f¨
ur dieses Problem behandelt. Nun soll die Frage
nach der G¨
ute der mit diesen Verfahren berechenbaren unteren Schranke gekl¨
art werden.
F¨
ur den optimalen Zielfunktionswert zLM des Lagrange-Multiplikator-Problems gilt:
Satz 2.2 zLM =min{cTx:Ax ≥b,x∈conv(X)}
Beweis:4Die Gleichung (2.4) beschreibt zLR(ω)als das Minimum einer endlichen Menge
linearer Funktionen und ist offenbar ¨
aquivalent zu
zLR(ω) = max
vv:v≤cTxi+ωT(b−Axi) (i=1,...,K).
Mit dieser Definition von zLR(ω)l¨
asst sich das Lagrange-Multiplikator-Problem (2.3) als eine
lineare Optimierungsaufgabe formulieren:
zLM =max v
u.d.N. v+ωT(Axi−b)≤cTxi(i=1,...,K)(2.5)
ω≥0
3Das ist die Menge aller Konvexkombinationen der Elemente aus Xund die kleinste konvexe Menge des
Rn, die die Menge Xenth¨
alt.
4Dies ist eine vereinfachte Version des Beweises von [Nemhauser and Wolsey, 1988].
2.5 Lagrange-Relaxation 27
z(w,x )
z(w,x )
z(w,x )
z(w,x )
z(w,x )
z(w,x )
2
z (
LR )w
w*
zLM
z (
LR )w
w
4
6
1
3
5
Abbildung 2.3: Lagrange-Funktion zLR(ω)
Hier ist {xi}K
i=1die Menge der Ecken der konvexen H¨
ulle von X. Das zu (2.5) duale Mini-
mierungsproblem heißt:
min cT∑K
i=1xiαi
u.d.N. A∑K
i=1xiαi≥b∑K
i=1αi(2.6)
∑K
i=1αi=1
α≥0.
Da die beiden Aufgaben (2.5) und (2.6) laut dem Dualit¨
atstheorem der linearen Optimierung
die gleichen optimalen Zielfunktionswerte haben und (2.6) wegen conv(X) = {∑K
i=1xiαi:
∑K
i=1αi=1,α≥0}¨
aquivalent zu
mincTx:Ax ≥b,x∈conv(X)
ist, folgt der Satz.
Eine Alternative zur Verwendung der Lagrange-Relaxation ist das Berechnen einer unteren
Schranke f¨
ur zPdurch die L¨
osung der LP-Relaxation des Problems (P):
(LP)zLP =min{cTx:x∈Rn
+,Ax ≥b,Dx ≥q}.
Es ist interessant, die beiden Schranken zLM und zLP zu vergleichen. Aus dem Satz 2.2 und
conv{x∈Rn
+:Dx ≥q,x1,...,xrsind ganzzahlig} ⊆ {x∈Rn
+:Dx ≥q}folgt
zLP ≤zLM ≤zP.
Das heißt die optimale L¨
osung zLM des Lagrange-Multiplikator-Problems liefert immer eine
mindestens genauso gute untere Schranke f¨
ur zPwie die LP-Relaxation.
28 2 Netzwerkentwurf
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems
Das Lagrange-Multiplikator-Problem, einen Vektor ω∈Rm
+zu finden, der die konkave nicht
¨
uberall differenzierbare Lagrange-Funktion zLR :Rm7→ Rmaximiert, ist eine typische Aufgabe
der nichtdifferenzierbaren Optimierung. In diesem Abschnitt werden einige der bekanntesten
Verfahren f¨
ur diese Klasse von Optimierungsproblemen behandelt.
Sei z:Rm7→ Reine konkave, nicht ¨
uberall differenzierbare Funktion. Man nennt einen
Vektor s∈Rmeinen Subgradienten von zan der Stelle ¯
ω∈Rm, wenn f¨
ur alle ω∈Rmgilt:
z(ω)≤z(¯
ω)+(ω−¯
ω)Ts.(2.7)
Geometrisch gesehen, ist ein Subgradient an der Stelle ¯
ωder Gradient einer Hyperebene, die
die Funktion zin dem Punkt ¯
ωber¨
uhrt und nicht durch den Raum unterhalb von zgeht.
Die Abbildung 2.4 zeigt zwei solche Hyperebenen mit den entsprechenden Subgradienten in
einem Punkt, wo zeinen Knick hat. Die Menge aller Subgradienten von zan der Stelle ¯
ω
bezeichnet man als ein Subdifferenzial ∂z(¯
ω). In den Punkten, in denen zdifferenzierbar ist,
stellt der Gradient
∇z(¯
ω):= (∂z/∂ω1(¯
ω),...,∂z/∂ωm(¯
ω))T
den einzigen Subgradienten der Funktion zdar.
Abbildung 2.4: Zwei Subgradienten s1und s2in einem Knickpunkt
In Unterschied zu dem Gradienten, der immer die Richtung des steilsten Anstiegs von z
in einer kleinen Nachbarschaft von ¯
ωzeigt, ist ein Subgradient nicht notwendigerweise eine
Verbesserungsrichtung (Abbildung 2.5). Trotzdem liefert er genug Information f¨
ur die Suche
nach dem Maximum einer konkaven Funktion. Denn, wie man der Subgradientenungleichung
(2.7) entnimmt, alle Punkte, die besser als ¯
ωsind, liegen in dem durch
(ω−¯
ω)Ts>0
definierten Halbraum. (Das ist die schraffierte Fl¨
ache in der Abbildung 2.5.)
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 29
w
1
w
_
z=z1
z=z2
w2
s
w*
Abbildung 2.5: In einem Punkt, in dem znicht differenzierbar ist, ist ein Subgradient nicht
immer eine Verbesserungsrichtung. Der Verlauf von zist durch Niveaulinien
und die optimale L¨
osung ω∗dargestellt.
Betrachte nun die Lagrange-Funktion zLR :Rm7→ R. Sei ¯xdie optimale L¨
osung eines
Lagrange-Teilproblems
zLR(¯
ω) = min{cTx+¯
ωT(b−Ax):x∈X}.
Weil die Kosten cT¯x+ωT(b−A¯x)von ¯xf¨
ur alle ω∈Rmeine obere Schranke f¨
ur den Wert
zLR(ω)darstellen und zLR(¯
ω) = cT¯x+¯
ωT(b−A¯x)ist, gilt
zLR(ω)≤cT¯x+ωT(b−A¯x) = zLR(¯
ω)+(ω−¯
ω)T(b−A¯x)
f¨
ur alle ω∈Rm. Das heißt der Vektor b−A¯xstellt einen Subgradienten der Lagrange-Funk-
tion zLR an der Stelle ¯
ωdar.
In dieser Arbeit wird zur L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems neben dem Subgra-
dientenverfahren ein von Antonio Frangioni beschriebener und implementierter Algorithmus
eingesetzt [Frangioni, 1997]. Dieser Algorithmus geh¨
ort zu der Familie der Bundle-Verfahren.
Er sammelt die Information ¨
uber die Werte und Subgradienten der zu maximierenden Funk-
tion z, um ein Modell dieser Funktion aufzubauen, und verwendet das Modell f¨
ur die Suche
nach dem Extremum von z.
Die Bundle-Verfahren sind von Lemar´echal vorgeschlagen worden [Lemar´echal, 1978] und
wurden in den n¨
achsten 20 Jahren zu einem wichtigen Forschungsgebiet der nichtdifferen-
zierbaren Optimierung ([Kiwiel, 1985], [Lemar´echal et al., 1995]). Heute haben sie einen so-
liden theoretischen Hintergrund und sind als eine der wichtigsten praktisch anwendbaren
Methoden zur L¨
osung großer nichtdifferenzierbarer Optimierungsprobleme weit anerkannt.
Dennoch werden Bundle-Verfahren nur selten angewendet, weil man in der Praxis meist den
weniger effizienten aber wesentlich einfacher zu implementierenden Subgradientenalgorith-
mus bevorzugt. Wir beschreiben in den n¨
achsten Abschnitten beide Verfahren zur L¨
osung
des Lagrange-Multiplikator-Problems.
30 2 Netzwerkentwurf
2.6.1 Subgradientenverfahren
Das Subgradientenverfahren ist ein iteratives Suchverfahren, um nichtlineare und nichtdiffe-
renzierbare Funktionen zu optimieren. Gestartet wird mit einer Initiall¨
osung ω1, die dann in
jeder Iteration mit Hilfe einer Suchrichtung dund einer Schrittweite taktualisiert wird, bis
ein Abbruchkriterium erf¨
ullt ist. Das Grundkonzept ist in Algorithmus 3 dargestellt:
Algorithmus 3 Subgradientenverfahren
1: initialisiere ω1
2: k=1
3: while kein Abbruch do
4: berechne Suchrichtung dk
5: berechne Schrittweite tk
6: ωk+1=ωk+tkdk
7: k=k+1
8: return ωk
Die Wahl der Suchrichtung, der Schrittweite und der Abbruchkriterien ist entscheidend f¨
ur
Effizienz, Konvergenzverhalten und L¨
osungsqualit¨
at des Verfahrens.
Die Suchrichtung d
F¨
ur die Berechnung der Suchrichtung dkwird zun¨
achst ein Subgradient skan der Stelle ωk
ermittelt, der eine Richtung repr¨
asentiert, in der in einer gewissen Nachbarschaft der aktuellen
L¨
osung die euklidische Distanz zur optimalen L¨
osung verringert wird. Bei der Anwendung
des Subgradientenverfahren f¨
ur das Lagrange-Dual wird skauf den Gradienten von zLR(ωk)
gesetzt, der immer auch ein Subgradient ist:
sk=b−Axk,
wobei xkdie optimale L¨
osung von LR(ωk)ist, die meist schnell durch die L¨
osung von einfa-
chen Unterproblemen (z.B. K¨
urzeste-Wege-Probleme) berechnet werden kann. An den Stel-
len, an denen zLR(ωk)differenzierbar ist (LR(ωk)besitzt eine eindeutige optimale L¨
osung),
ist seine echt verbessernde Richtung (ascent direction) in einer Nachbarschaft von ωk. An
den Stellen jedoch, an denen zLR(ωk)nicht differenzierbar ist (LR(ωk)besitzt mehr als eine
optimale L¨
osung), kann keine Verbesserung der Zielfunktion in der Richtung s, sondern nur
die euklidische Ann¨
aherung an die optimale L¨
osung garantiert werden. Diese Schw¨
ache kann
behoben werden, indem in jeder Iteration ein quadratisches Optimierungsproblem gel¨
ost wird,
dass die beste (und immer echt verbessernde) Richtung sliefert. In der Praxis wird jedoch
aus Effizienzgr¨
unden darauf verzichtet. In den fr¨
uhen Versionen (vgl. [M.Held et al., 1974],
[Polyak, 1969]) des Verfahrens wird nun
dk=sk
gesetzt. Zu dieser Wahl werden in der Literatur unz¨
ahlige Alternativen untersucht und im
Hinblick auf Konvergenzverhalten und L¨
osungsqualit¨
at bewertet. Schnell hat sich die Er-
kenntnis durchgesetzt, dass es g¨
unstig ist, bei der Neuberechnung von dkdie Suchrichtung
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 31
der letzten Iteration zu ber¨
ucksichtigen (vgl. [Crowder, 1976]):
dk=θkdk−1+(1−θk)sk
Die Wahl von θbestimmt die Gewichtung der letzten Suchrichtung und wird in der Stan-
dardvariante auf einen konstanten Wert 0≤θ≤1gesetzt (sog. Crowder Regel).
In [Camerini et al., 1975] schlagen die Autoren eine variable, selbst justierende Wahl von
θkvor:
θk=kskk/kdk−1k,falls skdk−1≤0,
0,sonst.
Diese sog. modifizierte Camerini-Fratta-Maffioli Regel garantiert, dass die neue Suchrichtung
dkmindestens so gut ist wie der Subgradient sk. Diese Regel wird auch in [Crainic et al., 2001a]
empfohlen. Holmberg und Yuan setzen in [Holmberg and Yuan, 2000] dagegen mit gutem
Erfolg folgende Variante der Crowder Regel ein, die auch in unseren Experimenten zu guten
Ergebnissen gef¨
uhrt hat: dk= (sk+θdk−1)/(1+θ).
Die Schrittweite t
Auch f¨
ur die Berechnung der Schrittweite gibt es verschiedene Varianten. F¨
ur die Wahl von
tknach einer divergenten Reihe, f¨
ur die gilt
∞
∑
k=1
tk→∞,lim
k→∞tk→0
ist in der Theorie die Konvergenz des Verfahrens zur optimalen L¨
osung nachgewiesen (vgl.
[Allen et al., 1987], [Hiriart-Urruty and Lemar´echal, 1993], [Lemar´echal, 1989]). Praktisch zeigt
sich bei dieser Wahl der Schrittweite allerdings ein sehr langsames Konvergenzverhalten. In
der Praxis wird tkdeshalb nach einer geometrischen Reihe bestimmt, wobei versucht wird,
die euklidische Entfernung zur optimalen L¨
osung zu ber¨
ucksichtigen. Sei zUB eine obere
Schranke f¨
ur P, dann berechnet man die Schrittweite folgendermaßen:
tk=λkzUB −zLR(ωk)
kdkk2.
Dabei ist λkein Skalierungsparameter, der in der Regel verkleinert wird, wenn das Verfahren in
einer Reihe von aufeinander folgenden Iterationen keine Verbesserung des Zielfunktionswertes
erreicht (stalling). Um Konvergenz zu gew¨
ahrleisten, sollte 0≤λk≤2sein. Statt zUB wird
die Verwendung von ηzUB mit η≈1.05 empfohlen, um bei einer Ann¨
aherung an die optimale
L¨
osung eine zu kleine Wahl von tkzu verhindern, was zu vielen unn¨
otigen Iterationen f¨
uhren
kann.
Abbruchkriterien
Wie bei der Wahl der Suchrichtung gibt es auch bei den Abbruchbedingungen solche, die
dem Verfahren theoretisch zugrunde liegen, und solche, die sich in der Praxis bew¨
ahrt haben.
In der Literatur werden die folgenden Kriterien empfohlen, die auch allesamt in unserem
Optimierungssystem umgesetzt sind:
32 2 Netzwerkentwurf
1. sk=0
2. kdkk<ε
3. tk<ε
4. k>M
5. zUB −zLR(ωk)<ε
Wenn der Subgradient gleich Null ist (Bedingung 1), dann ist mit ωkdie dual optimale
L¨
osung gefunden worden. In diesem Fall ist auch die bei der L¨
osung von LR(ωk)abfallende
primale L¨
osung xkzul¨
assig f¨
ur Pund damit optimal. Aus numerischen Gr¨
unden und weil die
Relaxation oft einen duality gap besitzt, tritt dieser Fall in der Praxis jedoch so gut wie nie
ein.
H¨
aufiger bricht die Suche ab, wenn die Norm der Suchrichtung (Bedingung 2) oder die
Schrittweite (Bedingung 3) einen Wert nahe Null erreichen. Von weiteren Iterationen sind
dann keine großen Verbesserungen von zLR mehr zu erwarten. Die Wahl von εlegt die
Genauigkeit der L¨
osung fest und bestimmt auch maßgeblich die Anzahl der durchgef¨
uhrten
Iterationen. Bei kleinem εk¨
onnen also in manchen F¨
allen immer noch zu viele unn¨
otige
Iterationen durchgef¨
uhrt werden, was daher mit einer Iterationsobergrenze M(Bedingung 4)
verhindert wird. F¨
ur die Wahl von Mund εsind einige Sorgfalt und am besten eine Reihe von
Testl¨
aufen n¨
otig, denn eine zu kleine Wahl von εf¨
uhrt auch bei einfachen Probleminstanzen
zu vielen ¨
uberfl¨
ussigen Iterationen, und ein zu kleiner Wert f¨
ur Mkann die Qualit¨
at der
L¨
osung deutlich verschlechtern. Bedingung 5 darf vor allem nicht fehlen, wenn das Verfahren
in einem Branch-and-Bound Rahmen eingesetzt wird, denn dort f¨
uhrt die Erf¨
ullung dieser
Bedingung sofort zum Abschneiden des entsprechenden Astes im Branch-and-Bound Baum.
2.6.2 Bundle-Verfahren
¨
Ahnlich dem Subgradientenverfahren versucht man in jeder Iteration eines Bundle-Algorithmus
in einer Umgebung der aktuellen L¨
osung ¯
ωeinen besseren Punkt ωzu finden. Doch w¨
ahrend
ein Subgradientenverfahren hierf¨
ur nur den aktuellen Subgradienten und eventuell die Rich-
tung der letzten Iteration benutzt, speichern Bundle-Verfahren die in den vorangegangenen
Iterationen generierten Subgradienten in einem so genannten B¨
undel (bundle) und benutzen
sie mit, um die Suchrichtung zu bestimmen. Wird durch einen Schritt in diese Richtung eine
(deutlich) bessere L¨
osung ωgefunden, wird sie als der neue aktuelle Punkt ¯
ωakzeptiert.
Andernfalls benutzt man einfach die neue Information, um das B¨
undel zu erweitern und in
der n¨
achsten Iteration eine andere und hoffentlich bessere Suchrichtung zu finden.5
Suchrichtung
Betrachte die folgende Situation: In den vorangegangenen Iterationen wurden f¨
ur die Punkte
ω1,...,ωkdie Werte der Funktion zsamt Subgradienten berechnet. Die Menge der aktuell
5Die Darstellung des Bundle-Verfahrens ist an [Frangioni, 1997], [Carraresi et al., 1995] und
[Crainic et al., 2001b] angelehnt.
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 33
verf¨
ugbaren Informationen ist ein B¨
undel β={hωi,zi,sii:i∈Iβ}mit zi=z(ωi),si∈∂z(ωi)
und Iβ⊆ {1,...,k}. Jedem Tripel hωi,zi,sii ∈ βentspricht eine Linearisierung von zin ωi
¯zi(ω) = zi+(ω−ωi)Tsi
mit ¯zi(ω)≥z(ω)f¨
ur alle ω∈Rm. Die durch das Minimum dieser Funktionen definierte
st¨
uckweise lineare Funktion ˆzβ(ω) = min
i∈Iβ
¯zi(ω)
ist das aktuelle Schnittebenenmodell von z. Die Funktion ˆzβn¨
ahert zvon oben an und hat
zumindest in den Punkten ωi,i∈Iβdie gleichen Werte wie z(Abbildung 2.6).
ω
ω1
zβ
^
z
ω2
( )z ω
Abbildung 2.6: Ein Schnittebenenmodell von z
Sucht man nun das Maximum der Funktion z, scheint es eine nat¨
urliche Wahl, als N¨
achstes
immer den Punkt zu nehmen, in dem das aktuelle Modell ˆzβden gr¨
oßten Wert hat. Diese Vor-
gehensweise f¨
uhrt zu dem klassischen Schnittebenenverfahren [Kelley, 1960] und hat einige
Schwachstellen. Zum einen besitzt das Schnittebenenmodell ˆzβnicht immer ein Extremum.
Vor allem am Anfang des Verfahrens, wenn βnur wenige Subgradienten hat, ist diese Funk-
tion h¨
aufig nicht nach oben beschr¨
ankt. Außerdem neigt das Schnittebenenverfahren dazu,
Punkte zu w¨
ahlen, die weit von den im B¨
undel gespeicherten Punkten ωi,i∈Iβliegen, das
heißt in einer Gegend, wo ˆzβvermutlich keine gute Approximation von zist. [Kiwiel, 1985]
Bei der Bundle-Methode versucht man den Schw¨
achen des Schnittebenenverfahrens ent-
gegenzuwirken, indem man ˆzβnur in einer Nachbarschaft der aktuellen L¨
osung ¯
ωmaximiert
oder (wie hier) gr¨
oßere Entfernungen von diesem Punkt durch das Einf¨
uhren von Strafkosten
vermeidet. Das in dieser Arbeit verwendete Verfahren legt den n¨
achsten zu untersuchenden
Punkt ω=¯
ω+ddurch die L¨
osung des quadratischen Optimierungsproblems
max
d∈Rmˆzβ(¯
ω+d)−1
2tkdk2(2.8)
fest. Der Parameter t>0bestimmt die H¨
ohe der Strafkosten f¨
ur die Entfernung von der
aktuellen L¨
osung ¯
ω. Er beeinflusst die Schrittweite und somit auch das Konvergenzverhalten
des Algorithmus.
Sp¨
ater wird auf die L¨
osung der Optimierungsaufgabe (2.8) etwas genauer eingegangen.
Doch zuerst soll das dem Bundle-Verfahren zugrunde liegende Konzept des approximati-
ven Subgradienten er¨
ortert werden. Ein Vektor s∈Rmist ein ε-Subgradient einer konkaven
34 2 Netzwerkentwurf
Funktion z:Rm7→ Rin ω0∈Rm, wenn er die Bedingung
z(ω)≤z(ω0)+(ω−ω0)Ts+ε∀ω∈Rm
erf¨
ullt, das heißt wenn er den Gradienten einer oberhalb von zverlaufenden Hyperebene
darstellt, die in dem Punkt ω0in einem Abstand von h¨
ochstens ε¨
uber der Funktion zliegt
(Abbildung 2.7). Die Menge aller ε-Subgradienten der Funktion zan der Stelle ω0ist das
ε-Subdifferenzial, bezeichnet mit ∂εz(ω0). Ein Punkt ω0ist ε-optimal f¨
ur zgenau dann, wenn
∂εz(ω0)den Vektor 0enth¨
alt.
ω
z
(z ω
’)+ε
(z ω
’)
ω
’
( )z ω
s1
s2
s1
s1
Steigung
ssSteigung 2
Abbildung 2.7: Zwei ε-Subgradienten von zan der Stelle ¯
ω
Der Vorteil der Verwendung approximativer Subgradienten ist, dass man die gesammelte
Information ¨
uber das Verhalten von zin der Umgebung eines Punktes ω0leicht auf jeden
anderen Punkt ω¨
ubertragen kann. Es gilt:
s∈∂εz(ω0)⇒s∈∂µz(ω)∀ω∀µ≥z(ω0)+(ω−ω0)Ts−z(ω)+ε.
Insbesondere l¨
asst sich auch f¨
ur jeden Subgradienten siim B¨
undel βein Wert
αi=zi+( ¯
ω−ωi)Tsi−z(¯
ω) = ¯zi(¯
ω)−z(¯
ω)
angeben, sodass der Vektor sieinen αi-Subgradienten von zin dem aktuellen Punkt ¯
ω
darstellt. Die Gr¨
oße αigibt den in ¯
ωvorliegenden Abstand zwischen der echten Funktion z
und der durch hωi,zi,siidefinierten Linearisierung dieser Funktion an (Abbildung 2.8) und
wird deswegen als ein Linearisierungsfehler bezeichnet. Dr¨
uckt man die Tatsache si∈∂αiz(¯
ω),
i∈Iβdurch
z(ω)≤z(¯
ω)+(ω−¯
ω)Tsi+αi∀i∈Iβ,∀ω∈Rm
aus, ergibt sich mit einer Konvexkombination
z(ω)≤z(¯
ω)+(ω−¯
ω)T∑i∈Iβsiθi+∑i∈Iβαiθi∀ω∈Rm(2.9)
f¨
ur alle θaus Θ={θ:∑i∈Iβθi=1,θ≥0}. Somit stellt ∑i∈Iβsiθif¨
ur alle θ∈Θeinen
∑i∈Iβαiθi-Subgradienten von zin dem aktuellen Punkt ¯
ωdar.
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 35
ω
z
ω
ω
_
i
α
zi
_
( )z ω
i
Abbildung 2.8: Linearisierungsfehler αi
Im Folgenden wird gezeigt, dass sich die Maximierungsaufgabe (2.8) auf die L¨
osung des
quadratischen Optimierungsproblems
(∆βt)minnt
2k∑i∈Iβsiθik2+∑i∈Iβαiθi:θ∈Θo
zur¨
uckf¨
uhren l¨
asst. Mit (2.9) kann dieses Problem wie folgt interpretiert werden: Gesucht
ist eine Hyperebene mit einer m¨
oglichst kleinen Norm des Gradienten ∑i∈Iβsiθi, die ober-
halb von zund deren Schnittebenenmodell ˆzβverl¨
auft und an der Stelle ¯
ωeinen m¨
oglichst
kleinen Abstand ∑i∈Iβαiθizur Funktion zhat. Man betrachtet diese Hyperebene als eine
Linearisierung von zin einer Umgebung der aktuellen L¨
osung ¯
ωund orientiert sich bei der
Wahl der Suchrichtung dan ihren Gradienten.
Betrachte wieder das Optimierungsproblem (2.8). Mit dem oben definierten Linearisie-
rungsfehler αiist
ˆzβ(¯
ω+d) = min
i∈Iβzi+ ( ¯
ω+d−ωi)Tsi=min
i∈IβdTsi+αi+z(¯
ω).
Folglich l¨
asst sich die Optimierungsaufgabe (2.8) ¨
aquivalent als
(Πβt)max
d,vv−1
2tkdk2:v≤dTsi+αi,i∈Iβ[+z(¯
ω)]
formulieren.
Behauptung 2.3 Ist θ∗∈Θdie optimale L¨
osung von (∆βt), kann die optimale L¨
osung
(d∗,v∗)der Maximierungsaufgabe (Πβt)durch
d∗=t∑i∈Iβsiθ∗
i,v∗=tk∑i∈Iβsiθ∗
ik2+∑i∈Iβαiθ∗
i(2.10)
berechnet werden.
Um dies zu zeigen, ben¨
otigt man einige Ergebnisse aus der Theorie der nichtlinearen Opti-
mierung.6Bei der Bestimmung von Extremwerten von Funktionen mit Nebenbedingungen
6Ihre Darstellung ist an [Neumann and Morlock, 1993] angelehnt.
36 2 Netzwerkentwurf
k¨
onnen die Restriktionen in die Zielfunktion mit einbezogen werden. Hierbei ergibt sich f¨
ur
das Optimierungsproblem
max{f(x):gi(x)≥0,i=1,...,m}(2.11)
eine Lagrange-Funktion F(x,u) = f(x)+∑m
i=1uigi(x).
Ein Punkt (x∗,u∗)mit u∗≥0ist ein Sattelpunkt der Lagrange-Funktion F, wenn f¨
ur alle x
und alle u≥0gilt: F(x,u∗)≤F(x∗,u∗)≤F(x∗,u)
Satz 2.4 Ist (x∗,u∗)mit u∗≥0ein Sattelpunkt von F, so ist x∗eine optimale L¨
osung von
(2.11). [Neumann and Morlock, 1993]
Beweis der Behauptung 2.3: Bezeichne θ∗die optimale L¨
osung von (∆βt) und seien d∗
und v∗wie in (2.10) festgelegt. Zun¨
achst wird gezeigt, dass (d∗,v∗)die Nebenbedingungen
des Optimierungsproblems (Πβt)
d∗Tsi+αi≥v∗f¨
ur alle i∈Iβ(2.12)
erf¨
ullt und folglich eine zul¨
assige L¨
osung von (Πβt) darstellt.
Annahme: Es gibt ein k∈Iβmit d∗Tsk+αk<v∗.
F¨
ur ein γ∈[0,1]definiere θ(γ)durch θ(γ)
i= (1−γ)θ∗
if¨
ur i∈Iβ\{k}und θ(γ)
k=γ+(1−γ)θ∗
k.
Wegen
∑i∈Iβθ(γ)=γ+∑i∈Iβ(1−γ)θ∗
i=1
stellt θ(γ)f¨
ur alle γ∈[0,1]eine zul¨
assige L¨
osung von (∆βt) dar. Bezeichne c(γ)den Ziel-
funktionswert von θ(γ)
c(γ) = t
2kγsk+∑i∈Iβsi(1−γ)θ∗
ik2+γαk+∑i∈Iβαi(1−γ)θ∗
i.
Die erste Ableitung von c(γ)lautet
c0(γ) = t(γsk+∑i∈Iβsi(1−γ)θ∗
i)T(sk−∑i∈Iβsiθ∗
i)+αk−∑i∈Iβαiθ∗
i.
Mit (d∗,v∗)aus (2.10) ergibt sich f¨
ur γ=0
c0(0) = t(∑i∈Iβsiθ∗
i)T(sk−∑i∈Iβsiθ∗
i)+αk−∑i∈Iβαiθ∗
i=d∗Tsk+αk−v∗.
Die Annahme d∗Tsk+αk<v∗impliziert c0(0) = limγ→0c(γ)−c(0)
γ<0. Hiermit gilt f¨
ur kleine
γ∈]0,1]c(γ)<c(0). Da der Zielfunktionswert von θ∗gleich c(0)ist, bedeutet dieses, dass
die Aufgabe (∆βt) bessere L¨
osungen als θ∗besitzt. Somit steht die Annahme d∗Tsk+αk<v∗
im Widerspruch zur Optimalit¨
at von θ∗.
Die Lagrange-Funktion der quadratischen Optimierungsaufgabe (Πβt)
lautet
F(d,v,θ) = v−1
2tkdk2+∑i∈Iβθi(dTsi+αi−v).
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 37
Um die Optimalit¨
at von (d∗,v∗)f¨
ur (Πβt) zu beweisen, wird nun gezeigt, dass (d∗,v∗,θ∗)
ein Sattelpunkt der Lagrange-Funktion Fist, das heißt dass f¨
ur alle (d,v)∈Rm+1und alle
θ≥0F(d,v,θ∗)≤F(d∗,v∗,θ∗)≤F(d∗,v∗,θ)(2.13)
gilt. F¨
ur ein festes θist Feine stetig differenzierbare konkave Funktion, die ihr Maximum in
einem Punkt mit (∂F/∂d1,...,∂F/∂dm,∂F/∂v)T=0annimmt. Also ist die erste Unglei-
chung der Sattelpunktbedingung (2.13) erf¨
ullt, wenn
∂F
∂dj(d∗,v∗,θ∗) = −1
td∗
j+∑i∈Iβθ∗
isij=0,j=1,...,m
∂F
∂v(d∗,v∗,θ∗) = 1−∑i∈Iβθ∗
i=0
ist. Diese Bedingung ist offenbar wahr, denn d∗ist als d∗=t∑i∈Iβθ∗
isidefiniert und θ∗stellt
als eine zul¨
assige L¨
osung von (∆βt) ein Element aus Θ={θ:∑i∈Iβθi=1,θ≥0}dar. Da
außerdem
∑i∈Iβθ∗
i(d∗Tsi+αi−v∗) = tk∑i∈Iβsiθ∗
ik2+∑i∈Iβαiθ∗
i−v∗=0
gilt, kann die zweite Ungleichung der Sattelpunktbedingung (2.13) auch als
0≤∑i∈Iβθi(d∗Tsi+αi−v∗)f¨
ur alle θ≥0
formuliert werden. Weil die Summe auf der rechten Seite dieser Ungleichung laut (2.12)
keine negativen Summanden enth¨
alt, ist diese Bedingung ebenfalls erf¨
ullt und (d∗,v∗,θ∗)
ist tats¨
achlich ein Sattelpunkt der Lagrange-Funktion F. Nach dem Satz 2.4 bedeutet dies,
dass (d∗,v∗)eine optimale L¨
osung der Optimierungsaufgabe (Πβt) ist.
Die Wahl der Suchrichtung wird noch etwas komplizierter, wenn der zul¨
assige Bereich wie
in dem Lagrange-Multilikator-Problem auf Rm
+beschr¨
ankt ist. Um die Einschr¨
ankung ω≥0
einzuhalten, werden der Aufgabe (Πβt) zus¨
atzliche Nebenbedingungen dj≥¯
ωj,j=1...,m
hinzugef¨
ugt. Das zu (Πβt) duale Problem (∆βt) bekommt neue Variablen und wird dadurch
etwas schwieriger zu l¨
osen.
In jeder Iteration des Bundle-Algorithmus l¨
ost man, um den n¨
achsten zu untersuchen-
den Punkt zu bestimmen, das quadratische Optimierungsproblem (∆βt). Die L¨
osung die-
ses Problems ist h¨
aufig der aufwendigste Schritt des Bundle-Verfahrens, aufwendiger als
die L¨
osung eines Lagrange-Teilproblems f¨
ur die Berechnung von z(ω). In der Implementie-
rung von Antonio Frangioni [Frangioni, 1997] wird zur Effizienzsteigerung ein spezialisier-
tes L¨
osungsverfahren angewandt, das die Struktur der Optimierungsaufgabe (∆βt) ausnutzt.
Zus¨
atzlich wird ausgenutzt, dass sich die Aufgabe (∆βt) zwischen zwei aufeinander folgenden
Iterationen nur wenig ¨
andert und die L¨
osung des aktuellen Problems (∆βt) stark beschleunigt
werden kann, wenn man auf die Information aus der letzten Iteration zur¨
uckgreift.
Verwaltung des B¨undels
Eine andere M¨
oglichkeit, um den Rechenaufwand f¨
ur die L¨
osung des Problems (∆βt) zu
reduzieren, ist das B¨
undel βklein zu halten. In der Regel entfernt man einen Subgradienten
38 2 Netzwerkentwurf
aus dem B¨
undel, wenn er in einer bestimmten Anzahl aufeinander folgender Iterationen
inaktiv war, das heißt in der optimalen L¨
osung von (∆βt) ein Gewicht θi=0besaß.
Zus¨
atzlich wird auch eine maximale Gr¨
oße des B¨
undels festgelegt. Jedes Mal wenn das
B¨
undel voll ist und ein neuer Subgradient hinzugef¨
ugt werden soll, werden einige der alten
Eintr¨
age gel¨
oscht. Damit das Verfahren trotz dieses Informationsverlustes konvergiert, f¨
ugt
man ein Element h¯
ω,z(¯
ω)+αagr,sagrimit dem aggregierten Subgradienten sagr =∑i∈Iβsiθi
und dem aggregierten Linearisierungsfehler αagr =∑i∈Iβαiθidem B¨
undel βhinzu, immer
wenn Subgradienten mit einem von Null verschiedenen Gewicht θigel¨
oscht werden. Diese
aggregierten Subgradienten werden mit den ”normalen“ Subgradienten von zgleichgesetzt.
Man verwendet sie genauso zum Aufbauen eines Schnittebenenmodells der Funktion zund
f¨
ur die Wahl der Suchrichtung d.
Bundle-Algorithmus von Antonio Frangioni
Der Algorithmus 4 zeigt den allgemeinen Ablauf des in dieser Arbeit verwendeten Bundle-
Verfahrens von Antonio Frangioni. Das Verfahren startet mit einer beliebigen Initiall¨
osung ¯
ω
und einem B¨
undel β, das mit einem Subgradienten der Funktion zan der Stelle ¯
ωinitialisiert
wird.
Algorithmus 4 Bundle-Verfahren
1: w¨
ahle ω1∈Rm,m1∈[0,1],m2>0,t0>0,t∗>0und ε>0
2: bestimme z(ω1)und einen Subgradienten s1∈∂z(ω1)
3: ¯
ω:=ω1,t:=t0,β:={hω1,z(ω1),s1i},i:=1
4: repeat
5: bestimme die optimalen L¨
osungen θund (d,v)von (∆βt) und (Πβt)
6: sagr :=∑j∈Iβsjθj,αagr :=∑j∈Iβαjθj
7: if t∗ksagrk2+αagr ≤εz(¯
ω)then
8: Abbruch
9: else
10: i:=i+1,ωi:=¯
ω+d
11: bestimme z(ωi)und einen Subgradienten si∈∂z(ωi)
12: if z(ωi)−z(¯
ω)≥m1vthen {ernster Schritt}
13: ¯
ω:=ωi
14: if dTsi>0then
15: erh¨
ohe t()
16: else {Nullschritt}
17: bestimme den Linearisierungsfehler αi
18: if αi>m2αagr then
19: verringere t()
20: l¨
osche lange nicht benutzte Subgradienten aus β
21: f¨
uge hωi,z(ωi),siiin βein
22: until Abbruch
In jeder Iteration l¨
ost man die quadratischen Optimierungsprobleme (∆βt) und (Πβt), um
in der Umgebung der aktuellen L¨
osung ¯
ωeinen Probepunkt ωiauszuw¨
ahlen. F¨
ur diesen
2.6 L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems 39
Punkt berechnet man den Wert der Funktion zund einen Subgradienten si∈∂z(ωi). Jetzt
muss entschieden werden, ob man den Punkt ωials die neue aktuelle L¨
osung ¯
ωakzeptiert
(ernster Schritt) oder den aktuellen Punkt ¯
ωunver¨
andert l¨
asst (Nullschritt). Mit diesem Ziel
wird der durch den Schritt nach ωierreichbare Anstieg des Zielfunktionswertes z(ωi)−z(¯
ω)
mit der von dem Schnittebenenmodell ˆzβvorausgesagten Verbesserung v=ˆzβ(ωi)−z(¯
ω)
verglichen. Wenn ˆzβdas Verhalten der Funktion zgut genug modelliert und f¨
ur einen Pa-
rameter m1∈[0,1]z(ωi)−z(¯
ω)≥m1vgilt, wird der aktuelle Punkt ¯
ωnach ωiverlegt.
Andernfalls macht man einen Nullschritt. In diesem Fall sorgt das Hinzuf¨
ugen der neuen In-
formation <ωi,z(ωi),si>zu dem B¨
undel βf¨
ur eine Verbesserung des Schnittebenenmodells
und f¨
ur einen anderen (und hoffentlich besseren) Punkt ωi+1in der n¨
achsten Iteration. F¨
ur
den Parameter m1wird in [Frangioni, 1997] der Wert 0.1empfohlen. Crainic et al. bemerken
in [Crainic et al., 2001b], dass m1=0in einigen F¨
allen etwas besser ist.
Das Verfahren h¨
alt an, wenn f¨
ur den, durch eine Konvexkombination der Subgradienten aus
dem B¨
undel βdefinierten, aggregierten Subgradienten sagr und seinen Linearisierungsfehler
αagr gilt:
t∗ksagrk2+αagr ≤εz(¯
ω).(2.14)
Hier ist εeine (relative) Fehlertoleranz und t∗>0ein problemabh¨
angiger von dem Benutzer
festgelegter Parameter. Die Bedingung (2.14) ist im Grunde nur eine andere Form des h¨
aufig
verwendeten Abbruchkriteriums7
ksagrk ≤ εQund αagr ≤εL,(2.15)
bei dem die Suche beendet wird, sobald ksagrkund αarg klein genug sind. Weil sagr laut (2.9)
einen αagr-Subgradienten von zin ¯
ωdarstellt, ist (2.15) ein Zeichen daf¨
ur, dass
z(ω)≤z(¯
ω)+εQkω−¯
ωk+εL∀ω
gilt. Das heißt: In der Umgebung von ¯
ωmit dem Radius rgibt es keine L¨
osungen mit gr¨
oßeren
Zielfunktionswerten als z(¯
ω) + εQr+εL. Das verwendete Kriterium (2.14) beschreibt die
Situation, in der f¨
ur jeden Punkt ωmit kω−¯
ωk ≤ t∗ksagrk
z(ω)≤z(¯
ω)+t∗ksagrk2+αagr ≤(1+ε)z(¯
ω)
gilt. Wenn tviel kleiner als t∗ist, heißt dieses, dass der Abstand zwischen der aktuellen
L¨
osung ¯
ωund einer eventuell vorhandenen L¨
osung mit einem h¨
oheren Wert als (1+ε)z(¯
ω)
verglichen mit der Schrittweite kdk=tksargksehr groß ist und ein m¨
oglicher Anstieg der
L¨
osungsqualit¨
at in einem schlechten Verh¨
altnis zu dem erwarteten Aufwand steht.
Das Konvergenzverhalten des Bundle-Algorithmus h¨
angt ganz entscheidend von der Wahl
des Parameters tab. Er bestimmt, wie weit der jeweilige Probepunkt ωivon der aktuel-
len L¨
osung ¯
ωentfernt ist. Ein zu kleines tf¨
uhrt dazu, dass das Bundle-Verfahren kurze
Schritte macht, die jeweils eine kleine Verbesserung mit sich bringen. Wird tdagegen zu
groß gew¨
ahlt, kann die Anzahl der Nullschritte zwischen zwei ernsten Schritten zu groß wer-
den. Der ”richtige“ Wert des Parameters th¨
angt davon ab, in welcher Umgebung von ¯
ω
das Schnittebenenmodell eine gute Approximation von zdarstellt. Dieser Wert ¨
andert sich
7Dieses Abbruchkriterium wird beispielsweise in [Hiriart-Urruty and Lemar´echal, 1993] und [Kiwiel, 1985]
angewandt.
40 2 Netzwerkentwurf
im Laufe des Verfahrens und l¨
asst sich nur schwierig absch¨
atzen. In dem Bundle-Verfahren
von Antonio Frangioni werden zum Einstellen des Parameters teinige einfache Heuristiken
eingesetzt.
So wird tvergr¨
oßert, wenn in einem ernsten Schritt dTsi>0ist, sodass man sich von
einem gr¨
oßeren Schritt in die Richtung deinen weiteren Anstieg der Funktion zverspricht.
Bei einem Nullschritt wird tverkleinert, wenn der neue Subgradient sieinen vergleichsweise
großen Linearisierungsfehler αi=z(ωi)−dTsi−z(¯
ω)hat und so nur wenig zur Verbesserung
des Schnittebenenmodells ˆzβin der N¨
ahe der aktuellen L¨
osung ¯
ωbeitr¨
agt. In diesem Fall sorgt
das Verkleinern des Parameters tdaf¨
ur, dass der n¨
achste Punkt ωi+1”n¨
aher“ zur aktuellen
L¨
osung ¯
ωgew¨
ahlt wird, in einem Bereich, in dem das Schnittebenenmodell (vielleicht) etwas
besser ist. Der bei der Entscheidung ¨
uber das Verringern von t(Zeile 19) benutzte Parameter
m2hat einen großen Einfluss auf das Verhalten des Algorithmus. Setzt man diesen Parameter
wie in [Schramm and Zowe, 1992] gleich 0.9, ist die Bedingung αi>m2αagr sehr h¨
aufig
erf¨
ullt, sodass der Parameter tschnell sehr klein wird und sich die Konvergenz des Algorithmus
nach einer guten Anfangsphase stark verlangsamt. Ein h¨
oherer Wert zum Beispiel m2=3
hemmt das Herabsetzen von tund f¨
uhrt dazu, dass sich dieser Parameter fast nie ¨
andert. In
diesem Fall kann eine gute Wahl des Initialwertes t0wichtig sein. [Crainic et al., 2001b]
Neben Heuristiken, die den Parameter tausgehend von den Ergebnissen der letzten Iterati-
on ver¨
andern, werden in dem Algorithmus von Antonio Frangioni auch so genannte Langzeit-
strategien f¨
ur die Wahl von tumgesetzt. Die harte Langzeitstrategie unterh¨
alt eine minimale
erwartete Verbesserung ¯
ε. Ein Punkt ωi=¯
ω+dwird bei dieser Strategie gar nicht unter-
sucht, wenn die maximale durch den Schritt zu diesem Punkt erreichbare Verbesserung v
kleiner als ¯
εz(¯
ω)ist. Stattdessen erh¨
oht man den Parameter tund l¨
ost die beiden Optimie-
rungsaufgaben (∆βt) und (Πβt) nochmal, um einen Punkt mit einer gr¨
oßeren potentiellen
Verbesserung vzu finden. Der Wert ¯
εwird verringert, wenn die Abbruchbedingung (2.14)
f¨
ur die Fehlertoleranz ¯
εerf¨
ullt ist und man nicht mehr mit einer Verbesserung in dieser Gr¨
oße
rechnet.
Die andere milde Langzeitstrategie f¨
ur tgreift etwas weniger in den Ablauf des Algorithmus
ein. Genau wie bei der harten Langzeitstrategie wird auch hier eine minimale erwartete
Verbesserung ¯
εgespeichert. Doch statt eine Erh¨
ohung von tdurchzusetzen, verbietet man
bei dieser Strategie lediglich das Verkleinern von t, wenn der aktuelle Wert vzu klein ist, das
heißt wenn v≤m3¯
εz(¯
ω)f¨
ur einen festen Parameter m3gilt. [Frangioni, 1997]
In seiner Dissertation [Frangioni, 1997] zeigt Antonio Fragioni, dass der oben beschriebene
Bundle-Algorithmus f¨
ur alle nach oben beschr¨
ankten Funktionen zund jeden Toleranzwert
ε>0nach einer endlichen Anzahl der Iterationen terminiert, wenn der Parameter tin einem
festen Interval [t,¯
t]mit t>0bleibt und das Entfernen von Subgradienten mit θj>0aus dem
B¨
undel βimmer durch das Hinzuf¨
ugen des aggregierten Subgradienten h¯
ω,z(¯
ω)+αagr,sagri
kompensiert wird.
2.7 Obere Schranken
Obere Schranken, also zul¨
assige L¨
osungen, werden in unserem Algorithmus an drei Stellen
ben¨
otigt:
1. im Subgradientenverfahren zur Berechnung der Schrittweite t,
2.7 Obere Schranken 41
2. im Branch-and-Bound-Algorithmus zum Abschneiden von ¨
Asten im Branch-and-Bound
Baum und
3. als beste gefundene L¨
osung, wenn das Verfahren endet.
Besonders f¨
ur den zweiten Punkt ist es wichtig, schnell eine gute obere Schranke parat zu
haben, um fr¨
uhzeitig Bereiche des L¨
osungsraumes ausschließen zu k¨
onnen. Es reicht daher
nicht, obere Schranken nur an den Bl¨
attern des Branch-and-Bound Baums zu berechnen,
sondern man ben¨
otigt auch schnelle Heuristiken, um in jedem Knoten im Verlauf des Sub-
gradientenverfahrens verbessernde zul¨
assige L¨
osungen zu finden.
2.7.1 Das primale Unterproblem
Ein Knoten im Branch-and-Bound Baum bezeichnen wir im Folgenden mit dem Tupel
(A0,A1,A∗), wobei A0die Menge der auf 0 fixierten, A1die Menge der auf 1 fixierten
und A∗die Menge der unfixierten Kanten darstellt. Um in einem Knoten des Branch-and-
Bound Baums eine zul¨
assige L¨
osung f¨
ur das CNDP zu berechnen, betrachten wir das folgende
primale Unterproblem PS( ¯
A), wobei ¯
A=A1∪A∗⊆Adie Teilmenge der offenen (also der
auf 1 oder nicht fixierten) Kanten von Aist.
Definition 2.4 (Primales Unterproblem PS) Das primale Unterproblem PS( ¯
A)lautet
wie folgt:
zPS(¯
A) = min ∑
(i,j)∈¯
A∑
k∈C
ck
ijxk
ij +∑
(i,j)∈A1
fij +∑
(i,j)∈A∗:∑kxk
ij>0
fij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈¯
A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈¯
A
xk
ji =bk
i∀i∈N,∀k∈C
∑
k∈C
xk
ij ≤uij ∀(i,j)∈¯
A
xk
ij ≥0∀(i,j)∈¯
A,∀k∈C
Wie man leicht sieht, handelt es sich dabei um ein Mehrg¨
uter-Fluss-Problem (MMCF) (s.
Definition 2.3), wobei der Zielfunktionswert um die Summe der Fixkosten der benutzten
unfixierten und auf 1 fixierten Kanten erg¨
anzt wird. Als exaktes L¨
osungsverfahren f¨
ur das
MMCF benutzen wir die im n¨
achsten Abschnitt 2.7.2 vorgestellten, auf Column Generation
basierenden Algorithmen. Obwohl sich diese Verfahren besonders f¨
ur die Reoptimierung eines
nur leicht ver¨
anderten Modells als sehr effizient erwiesen haben, lohnt es sich doch nicht, das
MMCF innerhalb des Subgradientenverfahrens mit ihrer Hilfe jedesmal exakt zu l¨
osen. Im
n¨
achsten Abschnitt beschreiben wir daher eine Heuristik, die sehr schnell eine Absch¨
atzung
f¨
ur PS erzeugt.
Die exakte L¨
osung von PS( ¯
A) liefert neben einer oberen auch eine untere Schranke f¨
ur
einen Knoten (A0,A1,A∗), die wie die Lagrange-Schranken f¨
ur alle weiteren Teilprobleme
des Knotens g¨
ultig ist. Sei
zMMCF(¯
A) = zPS(¯
A)−∑
(i,j)∈A1
fij −∑
(i,j)∈A∗:∑kxk
ij>0
fij,
42 2 Netzwerkentwurf
also der reine Routinganteil der Zielfunktion von PS( ¯
A). Dann gilt:
zMMCF(¯
A)+ ∑
(i,j)∈A1
fij ≤zCNDP.
Die G¨
ultigkeit der Schranke folgt aus der Tatsache, dass die Routingkosten durch weitere
Fixierung von Variablen im Verlauf der Baumsuche h¨
ochstens schlechter werden k¨
onnen und
auch der Anteil der auf 1 fixierten Variablen nur zunehmen kann. Einen ausf¨
uhrlichen Beweis
findet man bei Holmberg und Yuan (s. [Holmberg and Yuan, 2000]).
2.7.2 Dantzig-Wolfe-Dekomposition
Das Dekompositionsverfahren nach Dantzig-Wolfe ist ein allgemeines Prinzip, um die L¨
osung
von linearen Programmen zu beschleunigen, die eine spezielle Struktur besitzen. Bei unserer
Darstellung orientieren wir uns an Kapitel 4.4 in [Papadimitriou and Steiglitz, 1982] und
Kapitel 17 in [Ahuja et al., 1993].
Grundprinzip
Im Allgemeinen l¨
asst sich die DW-Dekomposition auf ein lineares Programm P der folgenden
Form anwenden:
zP=min cTx
u.d.N. Ax ≥b(1)
Nx ≥d(2)
x≥0(3)
Dabei nehmen wir an, dass die Nebenbedingungen in Zeile (1) das Problem “schwierig” ma-
chen und es sich bei jenen in Zeile (2) um “einfache” Bedingungen handelt (z.B. ein K¨
urzeste-
Wege Problem). Seien x1,...,xndie Extrempunkte der Menge der zul¨
assigen L¨
osungen
SN={x|Nx ≥d,x≥0}des Unterproblems in Zeile (2). Aus der Theorie der linearen Pro-
grammierung wissen wir, dass wir dann jede zul¨
assige L¨
osung xvon P als Konvexkombination
der Extrempunkte von SNdarstellen k¨
onnen:
x=
n
∑
j=1
λjxj,
n
∑
j=1
λj=1,λ1,...,λn≥0
Durch Einsetzen in unsere Ausgangsproblemstellung P eliminieren wir die Nebenbedingungen
in Zeile (2) und erhalten das so genannte Masterproblem:
Definition 2.5 (Masterproblem der DW-Dekomposition) Seien die {x1,...,xn}und P
definiert wie oben. Dann heißt
zMP =min n
∑
j=1
(cxj)λj
u.d.N.
n
∑
j=1
(Axj)λj≥b(4) π
n
∑
j=1
λj=1(5) π0
λ≥0(6)
2.7 Obere Schranken 43
das Masterproblem MP der Dantzig-Wolfe-Dekomposition von P.
F¨
ur jeden Extrempunkt von SNergibt sich also eine Spalte in MP. F¨
ur die meisten Problem-
stellungen wird es jedoch nicht m¨
oglich sein, die exponentiell vielen Extrempunkte von SN
explizit aufzuz¨
ahlen und MP direkt zu l¨
osen. Das ist aber auch gar nicht n¨
otig, denn zu die-
sem Zweck kann ein sog. Column-Generation-Verfahren eingesetzt werden. Dabei werden nur
solche Spalten bei der L¨
osung von MP ber¨
ucksichtigt, die im Verlauf des Simplex-Verfahrens
die besten reduzierten Kosten besitzen und als Pivotspalten in Frage kommen. Sei πder
Vektor der dualen Variablen zu den Nebenbedingungen in Zeile 4 und π0die duale Variable
zur Nebenbedingung (5). F¨
ur die reduzierten Fixkosten ¯cjeiner Spalte jgilt dann:
¯cj=cTxj−πTAxj−π0
In einer Simplexiteration l¨
asst sich die Spalte mit den geringsten reduzierten Kosten nun mit
folgendem Unterproblem SP bestimmen, dass wegen der Struktur von Nbesonders einfach
zu l¨
osen ist:
zSP =min (cT−πTA)x−π0
u.d.N. Nx ≥d
x≥0
Damit haben wir nun einen L¨
osungsalgorithmus f¨
ur P (s. Algorithmus 5): Im ersten Schritt
stellen wir das Masterproblem MP0von P f¨
ur eine kleine Anzahl explizit generierter Extrem-
punkte von SNund k¨
unstlichen Variablen f¨
ur jede Nebenbedingung auf, die die L¨
osbarkeit
garantieren. In jeder weiteren Iteration il¨
osen wir dann MPimit dem Simplexverfahren, er-
halten duale Variablen π,π0und l¨
osen das Unterproblem SPi. Falls zSPi≥0ist, gibt es keine
lohnende Spalte mehr und wir sind fertig. Im anderen Fall erzeugen wir aus der L¨
osung x∗
von SP eine Spalte f¨
ur das Masterproblem und starten die n¨
achste Iteration.
Algorithmus 5 Dantzig-Wolfe-Dekomposition
1: l=0
2: erzeuge MP0
3: repeat
4: l¨
ose MPl,erhalte Dualvariablen πl
5: l¨
ose SPl
6: if (zSPl<0)then
7: MPl+1=MPl+hAx∗
1i
8: l=l+1
9: until (zSPl−1≥0)
10: return zMPl−1
Column-Generation f¨ur das MMCF
Das kantenbasierte Modell des Mehrg¨
uter-Fluss Problems aus Definition 2.3 besitzt genau die
Struktur, die f¨
ur die Dantzig-Wolfe-Dekomposition ben¨
otigt wird. Die Kapazit¨
atsbedingungen
f¨
ur jede Kante bilden die Menge der schwierigen Nebenbedingungen. Die Flussbedingungen
44 2 Netzwerkentwurf
f¨
ur jeden Knoten und jedes Gut sind die einfachen Nebenbedingungen und es ist SN=
{x|Nxk=bk∀k∈C,x≥0}. Bei der Matrix Nhandelt es sich hier um die Adjazenzmatrix
des Transportnetzwerks G= (A,N). Die Extrempunkte von SNrepr¨
asentieren also Trans-
portwege zwischen den Quellen und Senken der G¨
uter in Cim Graphen G. Die Menge der
Transportwege f¨
ur jedes Gut nennen wir Pkund f¨
uhren f¨
ur jeden Pfad p∈Pkeine Varia-
ble 0≤hk
p≤1ein, die die anteilige Transportmenge des Gutes k∈Cbezeichnet, die auf
ptransportiert wird. Sei δp
ij =1, falls der Pfad pdie Kante (i,j)∈Aenth¨
alt, und sonst
δp
ij =0. Die Transportkosten f¨
ur den gesamten Transportbedarf dkeines Gutes k∈Cauf
einem Pfad pergeben sich damit als ck
p=∑(i,j)∈Aδp
ijck
ijdk. Mit diesen Bezeichnungen lautet
das Masterproblem MP wie folgt:
zMP(P)=min ∑
k∈C∑
p∈Pk
ck
phk
p
u.d.N. ∑
k∈C∑
p∈Pk
δp
ijdkhk
p≤uij ∀(i,j)∈Aπij
∑
p∈Pk
hk
p=1∀k∈Cπk
h≥0
Damit haben wir auch f¨
ur das MMCF eine pfadbasierte Modellvariante definiert. Die redu-
zierten Kosten ¯ck
peines Pfades p∈Pkergeben sich nun folgendermaßen:
¯ck
p=ck
p−∑
(i,j)∈A
δp
ijdkπij −πk
Das Unterproblem SP zerf¨
allt f¨
ur das MMCF in |C|Unterprobleme SPk, eins f¨
ur jedes Gut
k. Zur Verk¨
urzung der Schreibweise definieren wir Kosten ˜ck
ij =ck
ij −πij f¨
ur jede Kante (i,j).
Es gilt ˜ck
ij ≥0, denn πij ≤0. Damit lautet das Unterproblem SPk:
zSPk=min ∑
(i,j)∈A
˜ck
ijxk
ij
u.d.N. Nxk=bk
xk≥0
Es handelt sich offensichtlich um ein K¨
urzeste-Wege Problem, dass sich wegen der positiven
Kosten leicht mit dem Dijkstra Algorithmus l¨
osen l¨
asst. Nach diesen Vorarbeiten k¨
onnen
wir nun unser L¨
osungsverfahren in Algorithmus 6 zusammenfassen. MP(P)ist das Master-
problem, das neben k¨
unstlichen Variablen nur die Spalten enth¨
alt, deren Pfade in Psind.
2.7.3 Heuristik f¨ur das primale Unterproblem
Die Heuristik funktioniert nach dem Greedy-Prinzip. Wir w¨
ahlen ein Gut k∈Cund be-
trachten das MMCF nur f¨
ur dieses Gut. Es ergibt sich ein einfaches Min-Cost-Flow Problem
(MCF) der folgenden Form:
2.8 Branching-Strategien 45
Algorithmus 6 Column-Generation f¨
ur das MMCF
1: setze P=/0
2: erzeuge MP(P)
3: repeat
4: setze count =0
5: l¨
ose MP(P)mit dem primalen Simplexalgorithmus
6: for all (k∈C)do
7: l¨
ose SPkmit Dijkstra’s Algorithmus, erhalte k¨
urzesten Weg p∗
k
8: if (zSPk−πk<0)then
9: setze P=P∪p∗
k
10: setze count =count +1
11: until (count =0)
12: return zMP(P)
zk
MCF(¯
A) = min ∑
(i,j)∈¯
A
ck
ijxk
ij
u.d.N. ∑
j:(i,j)∈¯
A
xk
ij −∑
j:(j,i)∈¯
A
xk
ji =bk
i∀i∈N
xk
ij ≤uij ∀(i,j)∈¯
A
xk
ij ≥0∀(i,j)∈¯
A
Dieses Problem l¨
osen wir mit dem sehr effizienten Network-Simplex von CPLEX ([ILOG, 2003])
und erhalten entweder einen optimalen Flussvektor xkoder die R¨
uckmeldung, dass keine
zul¨
assige L¨
osung existiert. In diesem Fall brechen wir ab. Im ersten Fall reduzieren wir die
Kapazit¨
aten des Transportnetzwerks f¨
ur jede Kante (i,j)um xk
ij, w¨
ahlen das n¨
achste Gut
und fahren fort, bis entweder alle G¨
uter ber¨
ucksichtigt wurden oder Unl¨
osbarkeit festgestellt
wurde. Die Summe der zk
MCF zuz¨
uglich der Fixkosten der benutzten unfixierten und auf 1
fixierten Kanten ergibt die obere Schranke f¨
ur das CNDP. Algorithmus 7 zeigt das Verfahren
im ¨
Uberblick. Die gelieferte L¨
osung h¨
angt nat¨
urlich von der Reihenfolge ab, in der die G¨
uter
ber¨
ucksichtigt werden. F¨
ur die Rucksack-Relaxation hat sich gezeigt, dass es g¨
unstig ist,
die Reihenfolge mittels der aktuellen Lagrangemultiplikatoren festzulegen. Zu diesem Zweck
ordnen wir jedem Gut die Differenz zwischen den Multiplikatoren f¨
ur den Start- und den
Zielknoten des Gutes, multipliziert mit dem Transportbedarf zu, d.h. (ωk
D(k)−ωk
O(k))dk, und
w¨
ahlen die G¨
uter dann in absteigender Reihenfolge.
Unl¨
osbarkeit durch die Heuristik bedeutet nat¨
urlich nicht, dass das MMCF tats¨
achlich
keine zul¨
assige L¨
osung besitzt. Besonders bei eng kapazitierten Problemen kann leicht der Fall
eintreten, dass das MCF f¨
ur ein Gut nicht mehr l¨
osbar ist, weil wichtige Kanten schon durch
andere G¨
uter geblockt sind. In diesem Fall muss das MMCF mit einem exakten Verfahren
gel¨
ost werden, das die Unl¨
osbarkeit zweifelsfrei nachweist oder eine L¨
osung findet.
2.8 Branching-Strategien
F¨
ur jedes Branch-and-Bound Verfahren ist von zentraler Bedeutung, wie die Suche innerhalb
des Branch-and-Bound Baums organisiert wird, nach welchen Kriterien also das n¨
achste
zu behandelnde Teilproblem ausgew¨
ahlt wird, und wie beim Branching neue Teilprobleme
46 2 Netzwerkentwurf
Algorithmus 7 Heuristik f¨
ur das primale Unterproblem
1: initialisiere K=C
2: repeat
3: w¨
ahle k∈Kund setze K=K\{k}
4: berechne zk
MCF(¯
A)und xk
5: if (MCF hat keine zul¨
assige L¨
osung) then
6: break
7: else
8: for all (i,j)∈¯
Ado
9: setze uij =uij −xk
ij
10: until K = /0
11: if K = /0 then
12: return ∑kzk
MCF(¯
A)+∑(i,j)∈A1fij +∑(i,j)∈A∗:∑kxk
ij>0fij
13: else
14: return ∞
generiert werden. Als Baumsuchstrategie haben wir in unserem Verfahren unter anderem
Tiefensuche implementiert. Damit wird zum einen das schnelle Finden von guten oberen
Schranken beg¨
unstigt und zum anderen eine gute Integration des Subgradientenverfahrens
durch die Wiederverwendung der Lagrange-Multiplikatoren des Vaterknotens erm¨
oglicht. Auf
die implementierten Branchingstrategien wollen in den n¨
achsten beiden Abschnitten genauer
eingehen.
2.8.1 Branching mit Variablendichotomie
Variablendichotomie ist die Standardvorgehensweise f¨
ur das Branching bei gemischt-ganz-
zahligen Programmen. Sei (A0,A1,A∗)der aktuelle Knoten (das aktuelle Teilproblem), auf
dem gebrancht werden soll. Wir w¨
ahlen nun eine Designvariable yij aus mit (i,j)∈A∗
und generieren zwei neue Knoten, indem wir in dem einen Teilproblem yij =1setzten
und damit die Kante als ge¨
offnet fixieren, und im zweiten Teilproblem yij =0setzten
und damit die Kante schließen. Die neuen Knoten (A0,A1∪ {(i,j)},A∗\ {(i,j)})und
(A0∪{(i,j)},A1,A∗\{(i,j)})f¨
ugen wir zur Menge Hder noch nicht untersuchten Branch-
and-Bound Knoten hinzu.
Es ergibt keinen Sinn auf einer Kante zu branchen, die in der primalen L¨
osung des aktuellen
Knotens nicht benutzt wird (beschrieben durch die Menge A0={(i,j)∈A∗:yij =0}. Bei
einer solchen Wahl w¨
are in beiden neuen Teilproblemen keine bessere primale L¨
osung zu er-
warten. Um unter den verbleibenden Designvariablen eine Branchingvariable yij auszuw¨
ahlen,
benutzen wir wie in [Holmberg and Yuan, 2000] die reduzierten Fixkosten aus der Berech-
nung der unteren Schranke (hier am Beispiel der Rucksack-Relaxation). F¨
ur das Branching
mit Variablendichotomie haben wir die beiden folgenden Alternativen implementiert:
1. (i,j) = argmin(i,j)∈A∗\A0|˜gij|
2. (i,j) = argmax(i,j)∈A∗\A0|˜gij|
Alternative 1 w¨
ahlt diejenige Variable mit den betragsm¨
aßig kleinsten reduzierten Fixkosten
aus. Bei der L¨
osung der Subprobleme der Lagrange-Relaxation werden die y-Variablen auf
2.8 Branching-Strategien 47
0 bzw. 1 gesetzt, deren reduzierte Fixkosten positiv bzw. negativ sind. Man kann diese
Entscheidung als umso sicherer ansehen, je betragsm¨
aßig gr¨
oßer der entsprechende reduzierte
Fixkostenwert ist. In diesem Fall wird also diejenige Variable zum Branching gew¨
ahlt, deren
Belegung in der L¨
osung des Lagrange-Duals am unsichersten ist.
Alternative 2 folgt der ¨
Uberlegung, solche Variablen fr¨
uhzeitig zum Branching auszuw¨
ahlen,
deren Belegung im Lagrange-Dual sehr sicher ist und somit wahrscheinlich auch in guten pri-
malen L¨
osungen ¨
ahnlich vermutet wird. Auf diese Weise sollen schneller gute obere Schranken
gefunden werden.
Schließlich bleibt noch zu entscheiden, welcher der neu erzeugten Knoten im Rahmen
der Tiefensuche zuerst behandelt werden soll. Hier kann man sich wiederum eine Reihe
von Alternativen vorstellen. Man k¨
onnte beispielsweise immer zuerst den “1-Ast” bzw. den
“0-Ast” verfolgen. Vielversprechender ist es jedoch auch hier, die Wahl von der L¨
osung
des Lagrange-Duals abh¨
angig zu machen. Wenn yij dort auf 1 gesetzt wurde, wird al-
so als N¨
achstes der Knoten (A0,A1∪ {(i,j)},A∗\ {(i,j)})behandelt, sonst der Knoten
(A0∪ {(i,j)},A1,A∗\ {(i,j)}). Unsere Erfahrungen in diesem Punkt stimmen mit denen
von Holmberg und Yuan ¨
uberein.
2.8.2 Branching mit Kardinalit¨
atsbedingungen
Die Grundidee beim Branching mit Kardinalit¨
atsbedingungen besteht darin, durch verbes-
serte Schranken und erweiterte Variablenfixierung schnell die Bereiche des L¨
osungsraumes
auszuschließen, in denen keine guten L¨
osungen enthalten sein k¨
onnen. Die Zerlegung in Teil-
probleme wird hier nicht durch die Fixierung einer Branchingvariablen erreicht, sondern durch
Hinzuf¨
ugen von zwei weiteren Nebenbedingungen der folgenden Form zu jedem Teilproblem:
∑
(i,j)∈A
yij ≥a und ∑
(i,j)∈A
yij ≤b.
Die Parameter a,b∈ {0...|A|} geben jeweils die minimale bzw. maximale Anzahl von
Kanten an, die in einer zul¨
assigen L¨
osung eines Teilproblems mindestens installiert wer-
den m¨
ussen. Sei beispielsweise S[a,b]= (A0,A1,A∗,a,b)ein Knoten im Branch-and-Bound
Baum, auf dem gebrancht werden soll. Mit s∈[a,b]erzeugen wir die neuen Teilprobleme
S[a,s]= (A0,A1,A∗,a,s)und S[s+1,b]= (A0,A1,A∗,s+1,b). Offensichtlich ist dies eine Par-
titionierung von S[a,b]. Mit einem weiteren Parameter c∈
N
legen wir die minimal zul¨
assige
Intervallgr¨
oße fest. Gilt f¨
ur ein Teilproblem s−a≤coder b−s−1≤c, so schalten wir
auf Branching durch Variablendichotomie um. F¨
ur ein Beispielproblem mit 100 Kanten und
s=b(a+b)/2cergibt sich bei dieser Vorgehensweise wieder ein Bin¨
arbaum, wie er in Abbil-
dung 2.9 dargestellt ist.
L¨
osung der Lagrange-Relaxation mit Kardinalit¨
atsbedingungen
Die zus¨
atzlichen Kardinalit¨
atsbedingungen k¨
onnen bei der Berechnung der Lagrange-Relax-
ationen zSP(α,β)und zKS(ω)einfach ber¨
ucksichtigt werden, denn sie haben keine Auswir-
kungen auf die L¨
osung der K¨
urzeste-Wege- und Rucksack-Unterprobleme. In beiden Relaxa-
tionen wird die Belegung der y-Variablen allein aufgrund der reduzierten Fixkosten ˜
fij und
˜gij entschieden (s. Abschnitte 2.4.2 und 2.4.2).
48 2 Netzwerkentwurf
S[50,100]
n n
n n n n
n n n n n n n n
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
aaaaaaaaaaaa
@@@@@@
LLLLLL
LLLLLL
@@@@@@
LLLLLL
LLLLLL
S[0,100]
S[0,12]
a=50,b=100a=0,b=50
a=0,b=25
S[0,25]
S[13,25]
a=26,b=50
S[26,50]
S[25,38]S[39,50]
a=50,b=75 a=76,b=100
S[50,75]S[76,100]
S[50,62]S[63,75]S[76,88]S[88,100]
S[0,50]
n
Abbildung 2.9: Enumerationsbaum beim Branching mit Kardinalit¨
atsbedingungen
F¨
ur die y-Entscheidungsprobleme bedeutet ein Kardinalit¨
atsintervall [a,b], dass mindestens
aund h¨
ochstens b y-Variablen auf 1 gesetzt werden m¨
ussen. F¨
ur die Kanten (i,j)∈A1ist
nat¨
urlich yij =1. Um die Zielfunktion der Relaxation zu minimieren, sortieren wir nun die
reduzierten Fixkosten in aufsteigender Reihenfolge und setzen die ersten a−|A1|y-Variablen
auf 1. Anschließend setzen wir yij =1, solange die entsprechenden reduzierten Fixkosten
negativ sind. Sobald diese f¨
ur eine Kante positiv sind oder b y-Variablen auf 1 gesetzt
wurden, brechen wir ab. Dieses Vorgehen ist in Algorithmus 8 f¨
ur die Rucksack-Relaxation
zusammengefasst. Hier wird nun auch klar, warum sich die untere Schranke vergr¨
oßert. Sei
Algorithmus 8 y-Entscheidungsproblem mit Kardinalit¨
atsbedingungen
1: setze y=0
2: for all ((i,j)∈A1)do
3: setze yij =1
4: setze s=|A1|
5: repeat
6: (i,j) = argmin(i,j)∈A∗˜gij
7: if (s<a)ODER (gij <0)then
8: setze yij =1
9: setze gij =∞
10: setze s=s+1
11: until ((s≥a)UND (gij ≥0)) ODER (s=b)
S={(i,j)|˜gij <0}die Menge der Kanten, f¨
ur die es sich also lohnen w¨
urde, sie auf 1 zu
setzen. Ohne Kardinalit¨
atsbedingungen l¨
asst sich der Anteil der reduzierten Fixkosten an
der Lagrangezielfunktion zKS(ω)bezeichnen mit ˜zKS(ω):=∑(i,j)∈S˜gij. Der konstante Anteil
2.8 Branching-Strategien 49
von zKS(ω)¨
andert sich durch Kardinalit¨
atsbedingungen nicht. Wir k¨
onnen nun drei F¨
alle
unterscheiden:
1. Im Fall |S|<awerden durch Algorithmus 8 auch solche yij auf 1 gesetzt f¨
ur die ˜gij ≥0
ist.
2. Im Fall a≤ |S| ≤ bwird genau yij =1f¨
ur (i,j)∈Sgesetzt.
3. Im Fall b<|S|gibt es Kanten (i,j)∈S, f¨
ur die yij =0gesetzt wird.
In allen drei F¨
allen folgt ˜zKS(ω)≤∑(i,j)∈A˜gijyij, die untere Schranke wird also h¨
ochstens
gr¨
oßer.
Zus¨
atzliche Einschr¨
ankung des Kardinalit¨
atsintervalls
Wenn eine gute obere Schranke ˆzCNDP vorliegt, k¨
onnen wir das Kardinalit¨
atsintervall in ei-
nem Knoten (A0,A1,A∗,a,b)w¨
ahrend der L¨
osung des y-Entscheidungsproblems unabh¨
angig
vom Branching weiter einschr¨
anken. Die Idee basiert auf der Tatsache, dass die Lagrange-
Relaxationen f¨
ur jede Belegung der y-Variablen eine untere Schranke liefern, also auch bei-
spielsweise in jeder Iteration der Repeat-Schleife in Algorithmus 8. Wenn wir eine Sortierung
e1,...,e|A|der Kanten annehmen, sodass f¨
ur k<lund ek,el∈Agilt ˜gek≤˜gel, dann lautet
diese Schranke f¨
ur die Rucksack-Relaxation in einer Iteration v:
zv
KS(ω) = ∑
u≤v˜geu+ωTd
Sie gilt f¨
ur das Kardinalit¨
atsintervall [0,v]. Solange diese untere Schranke gr¨
oßer als die
beste bekannte obere Schranke ist, heißt das, dass in diesem Intervall keine bessere obere
Schranke gefunden werden kann. Falls a<vkann das Kardinalit¨
atsintervall des Knoten
also eingeschr¨
ankt werden auf [v+1,b]. Mit der gleichen Argumentation folgt, dass auch
die andere Intervallgrenze verkleinert werden kann, wenn f¨
ur v>sgilt zv
KS(ω)>ˆzCNDP,
n¨
amlich auf [a,v−1]. Diese ¨
Uberlegungen fassen wir in Satz 2.1 f¨
ur die Rucksack-Relaxation
zusammen.
Satz 2.1 Es sei mit e1,...,e|A|die obige Ordnung auf den Kanten gegeben und außerdem
zKS(ω)<ˆzCNDP. Dann gilt:
a) Es existieren Grenzen
ˆa=argmin0≤v≤|A|{zv
KS(ω)<ˆzCNDP}und
ˆ
b=argmax0≤v≤|A|{zv
KS(ω)<ˆzCNDP},
b) und f¨
ur jede verbesserte obere Schranke gilt
ˆa≤∑
(i,j)∈A
yij ≤ˆ
b.
50 2 Netzwerkentwurf
Beweis. F¨
ur a) reicht es zu zeigen, dass ein 0≤l≤ |A|existiert, sodass zl
KS(ω)<ˆzCNDP.
Sei lso gew¨
ahlt, dass zl
KS(ω) = zKS(ω). Dann gilt zl
KS(ω)≤ˆzCNDP nach Voraussetzung.
b) Sei L>[ˆ
b]:=L[∑(i,j)∈Ayij >ˆ
b]das Optimierungsproblem, das aus Ldurch Hinzuf¨
ugen
der Nebenbedingung ∑(i,j)∈Ayij entsteht und z>[ˆ
b]sein Zielfunktionswert. Aus der Definition
von ˆ
bfolgt, dass z>
KS[ˆ
b]>ˆzCNDP. Angenommen, es existierte eine zul¨
assige L¨
osung (x,y)f¨
ur
CNDP mit ˆ
b<∑(i,j)∈Ayij ≤ |A|. Dann gilt:
cTx+fTy≥z>
CNDP[ˆ
b]≥z>
KS[ˆ
b]>ˆzCNDP.
Der Fall f¨
ur ∑(i,j)∈Ayij <ˆafolgt analog.
2.9 Variablenfixierung
Die Idee von Variablenfixierung (variable fixing) im Rahmen von Branch-and-Bound Ver-
fahren besteht darin, bei der Schrankenberechnung anfallende Informationen zu nutzen, um
den L¨
osungsraum des aktuellen Teilproblems zu verkleinern. Dabei wird versucht, durch ein
Ausschlussverfahren f¨
ur m¨
oglichst viele L¨
osungsvariablen die Werte zu ermitteln, die sie in
einer optimalen L¨
osung des Teilproblems annehmen m¨
ussen. Diese Variablen werden dann
auf die gefundenen Werte fixiert, d.h. sie kommen bei der weiteren L¨
osung des Teilproblems
nicht mehr als Branchingvariable in Frage, was in der Regel zu einer enormen Verkleinerung
des Branch-and-Bound-Baums f¨
uhrt. In der Literatur findet man f¨
ur dieses Vorgehen auch
die Begriffe penalty tests und problem reduction.
Sowohl f¨
ur die K¨
urzeste-Wege-Relaxation als auch f¨
ur die Rucksack-Relaxation sind ein-
fache Strategien zur Variablenfixierung bekannt. Neu ist die Kombination dieser Strategien,
unabh¨
angig von der gerade verwendeten Relaxation. Die Grundidee ist dabei, im Verlauf
des Subgradientenverfahrens immer auch die Lagrange-Multiplikatoren der jeweils anderen
Relaxation zu finden und mit ihrer Hilfe deren Regeln zur Variablenfixierung zus¨
atzlich an-
zuwenden.
2.9.1 Grundidee
Variablenfixierung in der SP-Relaxation
In jeder Iteration des Subgradientenverfahrens werden in der K¨
urzeste-Wege-Relaxation f¨
ur
gegebene Lagrange-Multiplikatoren (¯
α,¯
β)zun¨
achst die |C|K¨
urzeste-Wege-Probleme und
das y-Entscheidungsproblem gel¨
ost, um dann mit der erhaltenen L¨
osung (¯x,¯y)die Lagrange-
Zielfunktion zSP(¯
α,¯
β)auszuwerten:
zSP(¯
α,¯
β) = ∑
k∈C∑
(i,j)∈A
˜ck
ij ¯xk
ij +∑
(i,j)∈A
˜
fij ¯yij.
Wir wissen dass zSP(¯
α,¯
β)eine untere Schranke f¨
ur das aktuelle Teilproblem darstellt. Außer-
dem k¨
onnen wir nun leicht sehen, um welchen Wert sich die Schranke mindestens vergr¨
oßern
w¨
urde, wenn eine Variable yij entgegen der L¨
osung des y-Entscheidungsproblems fixiert w¨
are,
n¨
amlich genau um den Betrag |˜
fij|. Bei festen (¯
α,¯
β)gilt also:
1. Falls ˜
fij ≥0(im y-Entscheidungsproblem wurde ¯yij =0gesetzt):
2.9 Variablenfixierung 51
a) zSPyij=1≥zSP(¯
α,¯
β)yij=1=zSP(¯
α,¯
β)+ ˜
fij
b) zSPyij=0≥zSP(¯
α,¯
β)yij=0≥zSP(¯
α,¯
β)
2. Falls ˜
fij <0(im y-Entscheidungsproblem wurde ¯yij =1gesetzt):
a) zSPyij=1≥zSP(¯
α,¯
β)yij=1=zSP(¯
α,¯
β)
b) zSPyij=0≥zSP(¯
α,¯
β)yij=0≥zSP(¯
α,¯
β)+|˜
fij|
Zu den F¨
allen, in denen yij auf 0fixiert wird (1.(b) und 2.(b)) ist anzumerken, dass hier
der Wert von zSP(¯
α,¯
β)yij=0nur abgesch¨
atzt werden kann, denn das Schließen einer Kante
kann eventuell zu h¨
oheren Kosten in den K¨
urzeste-Wege-Problemen f¨
uhren. Wir erhalten
also Absch¨
atzungen f¨
ur die untere Schranke der Teilprobleme, die durch ein Branching auf
yij entstehen, ohne diese Verzweigung und die exakte Berechnung der Schranken tats¨
achlich
durchf¨
uhren zu m¨
ussen. Die F¨
alle 1.(a) und 2.(b) k¨
onnen wir nun nutzen, um mit Hilfe der
aktuell besten oberen Schranke ˆzCNDP eine m¨
ogliche Fixierung von yij zu pr¨
ufen:
•Fixiere yij auf 0, falls ˜
fij ≥0und zSP(¯
α,¯
β)+ ˜
fij ≥ˆzCNDP
•Fixiere yij auf 1, falls ˜
fij <0und zSP(¯
α,¯
β)+|˜
fij| ≥ ˆzCNDP
Prinzipiell kann dieser Test in jeder Iteration des Subgradientenverfahrens oder des Bundle-
Verfahrens f¨
ur alle unfixierten Variablen yij durchgef¨
uhrt werden, denn die unteren Schranken
sind f¨
ur alle zul¨
assigen Lagrange-Multiplikatoren g¨
ultig. Effizienz¨
uberlegungen legen jedoch
nahe, den Test nur in jeder verbessernden Iteration oder etwa nur am Ende mit den optimalen
Lagrange-Multiplikatoren vorzunehmen. Es stellt sich zudem die Frage, ob es besser ist, die
Variablen schon im Verlauf des Subgradientenverfahrens oder erst bei der Generierung der
neuen Teilprobleme zu fixieren.
Variablenfixierung in der KS-Relaxation
Variablenfixierung in der Rucksack-Relaxation funktioniert analog zur K¨
urzeste-Wege-Relaxation.
Die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation lautet f¨
ur festes ¯
ωund eine L¨
osung (¯x,¯y)der Un-
terprobleme wie folgt:
zKS(¯
ω) = min
y∈{0,1}|A|∑
(i,j)∈A
˜gij ¯yij −∑
k∈C
dk(¯
ωk
O(k)−¯
ωk
D(k))
Wieder ergeben sich die Sch¨
atzungen f¨
ur die unteren Schranken, die f¨
ur die Fixierung ei-
ner Variablen yij gelten, in den F¨
allen, in denen sich die Fixierung von der L¨
osung des y-
Entscheidungsproblems unterscheidet, durch die Addition des Betrags der reduzierten Kosten
und zKS(¯
ω):
1. Falls ˜gij ≥0(im y-Entscheidungsproblem wurde ¯yij =0gesetzt):
a) zKSyij=1≥zKS(¯
ω)yij=1=zKS(¯
ω)+ ˜gij
b) zKSyij=0≥zKS(¯
ω)yij=0=zKS(¯
ω)
2. Falls ˜gij <0(im y-Entscheidungsproblem wurde ¯yij =1gesetzt):
52 2 Netzwerkentwurf
a) zKSyij=1≥zKS(¯
ω)yij=1=zKS(¯
ω)
b) zKSyij=0≥zKS(¯
ω)yij=0=zKS(¯
ω)+|˜gij|
Auch die Bedingungen f¨
ur die Fixierung einer Variablen decken sich mit denen der K¨
urzes-
te-Wege-Relaxation:
•Fixiere yij auf 0, falls ˜gij ≥0und zKS(¯
ω)+ ˜gij ≥ˆzCNDP.
•Fixiere yij auf 1, falls ˜gij <0und zKS(¯
ω)+|˜gij| ≥ ˆzCNDP.
Beide Verfahren zur Variablenfixierung sind nur jeweils in ihrer Relaxation anwendbar. F¨
ur
einen Branch-and-Bound Algorithmus wird man sich jedoch zur Berechnung der unteren
Schranke f¨
ur diejenige der beiden Relaxationen entscheiden, die nach den Gesichtspunkten
Effizienz und Qualit¨
at der Schranke ¨
uberlegen ist. In den n¨
achsten beiden Abschnitten wird
erl¨
autert, wie man im Rahmen eines Branch-and-Bound Algorithmus trotzdem beide Metho-
den der Variablenfixierung nutzen kann.
2.9.2 Kombinierte Variablenfixierung in der K¨urzeste-Wege-Relaxation
Nehmen wir also an, wir berechnen im Branch-and-Bound Algorithmus die unteren
Schranken mit Hilfe der K¨
urzeste-Wege-Relaxation. In einer Iteration ides Subgradi-
entenverfahrens l¨
osen wir mit den aktuellen Lagrange-Multiplikatoren (αi,βi)die |C|
K¨
urzeste-Wege-Probleme SPk(αi,βi)mit Dijkstras Algorithmus, berechnen einen Subgra-
dienten und eine neue Suchrichtung und erhalten schließlich neue Lagrange-Multiplikatoren
(αi+1,βi+1). Eventuell starten wir nach der L¨
osung der Unterprobleme die K¨
urzeste-Wege-
Variablenfixierung.
Um hier nun die Rucksack-Variablenfixierung anwenden zu k¨
onnen, m¨
ussen wir in der
Lage sein, die Zielfunktion der Rucksack-Relaxation zKS(ω)auszuwerten. Zu diesem Zweck
ben¨
otigen wir “sinnvolle” Lagrange-Multiplikatoren ω, d.h. solche, f¨
ur die zKS(ω)konvergiert
und die bei optimalen (α∗,β∗)ebenfalls optimal sind mit zKS(ω∗) = zSP(α∗,β∗). Die Grun-
didee bei der kombinierten Variablenfixierung besteht nun darin, die optimale duale L¨
osung
der Unterprobleme SPk(α,β)als Lagrange-Multiplikatoren ωzu verwenden.
F¨
ur die K¨
urzeste-Wege-Unterprobleme SPk(α,β)liefert der Dijkstra Algorithmus direkt
eine dual optimale L¨
osung als Distanzen ¯
ωk
ivom Startknoten O(k)zu den ¨
ubrigen Knoten
i∈N(f¨
ur einen Beweis siehe z.B. [Papadimitriou and Steiglitz, 1982], Abschnitt 5.4). Wir
l¨
osen nun die entsprechenden Rucksack-Probleme KS(i,j)(¯
ω), erhalten reduzierte Fixkosten
˜gij und einen Wert f¨
ur zKS(¯
ω), und k¨
onnen damit die Bedingungen der Rucksack-Variablen-
fixierung pr¨
ufen.
2.9.3 Kombinierte Variablenfixierung in der Rucksack-Relaxation
Wenn zur Berechnung der unteren Schranke die Rucksack-Relaxation verwendet wird, l¨
osen
wir in jeder Iteration |A|Rucksack-Probleme KS(i,j)(ω)mittels Algorithmus 2. Zur Anwen-
dung der K¨
urzeste-Wege-Variablenfixierung werden wieder Lagrange-Multiplikatoren (¯
α,¯
β)
zur Auswertung der Lagrange-Zielfunktion zSP(¯
α,¯
β)ben¨
otigt. In diesem Fall ist nicht sofort
klar, wie wir aus Algorithmus 2 dual optimale L¨
osungen f¨
ur die KS(i,j)(ω)erhalten.
2.9 Variablenfixierung 53
Mit Hilfe eines Simplextableaus kann man jedoch leicht die gew¨
unschten Dualwerte
(¯
αij,¯
βij)f¨
ur das Rucksackproblem KS(i,j)(ω)der Kante (i,j)∈Aherleiten. Sei s∈
N
die Anzahl der negativen Kostenkoeffizienten ˜ck
ij in KS(i,j)(ω)und seien die entsprechenden
Variablen ¯xk
ij f¨
ur k≤snach aufsteigenden Kostenkoeffizienten sortiert. Sei ˆ
kdas Element,
mit dem der Algorithmus abbricht, also ˆ
k=max{k|¯xk
ij >0}+1. Dann setzen wir (¯
αij,¯
βij)
wie folgt:
1. Falls ˆ
k<s+1, d.h. die Kantenkapazit¨
at uij wird voll ausgesch¨
opft, setze
•¯
αij =−˜cˆ
k
ij und
•¯
βl
ij =˜cˆ
k
ij −˜cl
ij f¨
ur alle l<ˆ
kund ¯
βl
ij =0f¨
ur alle l≥ˆ
k.
2. Falls ˆ
k=s+1, d.h. die Kantenkapazit¨
at uij wird nicht voll ausgesch¨
opft, setze
•¯
αij =0und
•¯
βl
ij =−˜cl
ij f¨
ur alle l<ˆ
kund ¯
βl
ij =0f¨
ur alle l≥ˆ
k.
Satz 2.2 (¯
αij,¯
βij)ist eine dual optimale L¨
osung f¨
ur KS(i,j)(ω).
Beweis. Das duale Problem DKS(i,j)(ω)zu KS(i,j)(ω)lautet:
z(i,j)
DKS(ω) = min −uijαij −∑
k∈C
dk
ijβk
ij
u.d.N. αij +βk
ij ≥ −˜ck
ij ∀k∈C
αij ≥0
βk
ij ≥0∀k∈C
Als Erstes zeigen wir, dass unsere L¨
osung dual zul¨
assig ist:
1. Fall: ˆ
k<s+1.
Wegen ˆ
k≤sist ¯
αij =−˜cˆ
k
ij ≥0. Außerdem ist ¯
βl
ij =˜cˆ
k
ij −˜cl
ij ≥0f¨
ur l<ˆ
k, denn wegen
der Sortierung ist ja ˜cl
ij ≤˜cˆ
k
ij. F¨
ur l≥ˆ
kist ¯
βl
ij =0. Alle Werte sind also nicht-negativ.
Bez¨
uglich der zweiten Nebenbedingung gilt ¯
αij +¯
βl
ij =−˜cˆ
k
ij +˜cˆ
k
ij −˜cl
ij =−˜cl
ij f¨
ur l<ˆ
k
und ¯
αij +¯
βl
ij =−˜cˆ
k
ij ≥ −˜cl
ij f¨
ur l≥ˆ
k.
2. Fall: ˆ
k=s+1.
F¨
ur alle l<ˆ
kgilt ¯
αij =0und ¯
βl
ij =−˜cl
ij ≥0, denn es ist l≤s. F¨
ur alle l≥ˆ
kist ¯
βl
ij =0,
alle Multiplikatoren sind also nicht-negativ. Außerdem ist in diesem Fall ¯
αij +¯
βl
ij =−˜cl
ij
f¨
ur alle 1≤l≤ |C|.
Bleibt f¨
ur den Beweis der Optimalit¨
at der dualen L¨
osung (und gleichzeitig auch der primalen
aus Algorithmus 2) die Gleichheit der Zielfunktionswerte z(i,j)
KS (ω)und z(i,j)
DKS(ω)f¨
ur ¯xij und
(¯
αij,¯
βij)zu zeigen:
1. Fall: ˆ
k<s+1.
Es gilt z(i,j)
KS (ω) = ∑l∈C˜cl
ij ¯xl
ij =∑l<ˆ
k˜cl
ijdl
ij +˜cˆ
k
ij(uij −∑l<ˆ
kdl
ij) = ∑l<ˆ
kdl
ij(˜cl
ij −˜cˆ
k
ij) +
uij ˜cˆ
k
ij =−∑l∈Cdl
ij ¯
βl
ij −uij ¯
αij =z(i,j)
DKS(ω).
54 2 Netzwerkentwurf
2. Fall: ˆ
k=s+1.
Es gilt z(i,j)
KS (ω) = ∑l∈C˜cl
ij ¯xl
ij =∑l≤s˜cl
ijdl
ij =−∑l∈Cdl
ij ¯
βl
ij −uij ¯
αij =z(i,j)
DKS(ω).
Wir sind also nun in der Lage, in beiden Relaxationen die Algorithmen zur Variablenfi-
xierung der jeweils anderen Relaxation zus¨
atzlich anzuwenden. Dies kann in jeder oder nur
in ausgew¨
ahlten Iterationen des Subgradientenverfahrens geschehen. Zur Auswertung der
zus¨
atzlichen Lagrange-Zielfunktion m¨
ussen jeweils auch die entsprechenden Unterprobleme
gel¨
ost werden, was nat¨
urlich zu einem Mehraufwand bei der Berechnung der Schranke f¨
uhrt.
Es gilt also, unter den vielen denkbaren Varianten diejenige Kombination der Variablenfixie-
rungsstrategien zu finden, die den g¨
unstigsten Tradeoff zwischen dem n¨
otigen Mehraufwand
und der erreichten Verkleinerung des Branch-and-Bound Baums liefert.
2.9.4 Variablenfixierung mit Kardinalit¨
atsbedingungen
Eine Hinzunahme der Kardinalit¨
atsbedingungen macht die Verfahren zur Variablenfixierung
etwas aufwendiger, aber auch effektiver. Der Mehraufwand entsteht, wenn sich die L¨
osung
des y-Entscheidungsproblem durch Algorithmus 8 an den Grenzen des Kardinalit¨
atsintervalls
befindet. Nehmen wir also an, zRsei der Zielfunktionswert der verwendeten Relaxation,
also die aktuelle untere Schranke, ˜
fseien die zugeh¨
origen reduzierten Fixkosten, ˆzCNDP die
aktuelle obere Schranke und ydie L¨
osung des Entscheidungsproblems durch Algorithmus 8.
Abbildung 2.10 zeigt eine L¨
osung y, aufsteigend sortiert nach den reduzierten Fixkosten
˜
f, f¨
ur ein gegebenes Kardinalit¨
atsintervall [a,b]und s=∑yei. Mit ekund elbezeichnen wir
im Folgenden Kanten, f¨
ur die gilt:
k=argmax0<i<|A|{˜
fei:yei=1}und
l=argmin0<i<|A|{˜
fei:yei=0}.
Mit diesen Vorbetrachtungen unterscheiden wir nun f¨
ur beide Fixierungsrichtungen drei
m¨
ogliche F¨
alle. F¨
ur yei=1gilt:
1. Fall: a<s<b.
0
111111000000y:
a s b
ei
Abbildung 2.10: L¨
osung yim Fall yei=1und a<s<b
In diesem Fall ¨
andert sich nichts. Hier gilt:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR−˜
fei≥ˆzCNDP.
2.9 Variablenfixierung 55
2. Fall: s=a.
1
1111 000000y:
b
ei
0s=a
el
00
Abbildung 2.11: L¨
osung yim Fall yei=1und s=a
Hier m¨
ussen wir bei der Berechnung der unteren Schranke f¨
ur yei=0zur Einhaltung
der unteren Intervallgrenze adie n¨
achstbeste Kante, n¨
amlich el, auf 1 setzen. F¨
ur die
Variablenfixierung gilt:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR−˜
fei+˜
fel≥ˆzCNDP.
3. Fall: s=b∧˜
fel<0.
a
1111 0000y:
ei
0s=b
el
1111
1
Abbildung 2.12: L¨
osung yim Fall yei=1und s=b
In diesem Fall wurde eine eigentlich lohnende Kante zur Einhaltung der oberen Intervall-
grenze bauf 0 gesetzt. F¨
ur den Test yei=0m¨
ussen wir diese Kante mitber¨
ucksichtigen:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR−˜
fei+˜
fel≥ˆzCNDP.
F¨
ur yei=0gilt analog:
1. Fall: a<s<b.
ei
111111000000y:
a s b 1
Abbildung 2.13: L¨
osung yim Fall yei=0und a<s<b
Dies ist wieder der Standardfall:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR+˜
fei≥ˆzCNDP.
56 2 Netzwerkentwurf
2. Fall: s=b.
0
1111 0000y:
s=b
ek
1111
a
ei
1
Abbildung 2.14: L¨
osung yim Fall yei=0und s=b
Hier streichen wir die schlechteste auf 1 gesetzte Kante, um eihinzunehmen zu k¨
onnen.
Hier gilt also:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR+˜
fei−˜
fek≥ˆzCNDP.
3. Fall: s=a∧˜
fek≥0.
0
1111 000000y:
bs =a
ek
00
ei
1
Abbildung 2.15: L¨
osung yim Fall yei=0und s=a
In diesem Fall musste mindestens eine nicht lohnende Kante hinzugenommen werden,
um die Mindestkantenzahl azu erreichen. Diese Kante k¨
onnen wir streichen, wenn wir
yei=1testen. F¨
ur die Fixierung gilt:
Fixiere yeiauf 1⇐⇒ zR+˜
fei−˜
fek≥ˆzCNDP.
2.10 Heuristische Variablenfixierung
Bisher haben wir unseren Branch-and-Bound Algorithmus immer als exaktes Verfahren dar-
gestellt. Die Erfahrung der letzten Jahre hat jedoch gezeigt, dass gr¨
oßere Probleminstanzen
des CNDP nicht exakt gel¨
ost werden k¨
onnen, und es sind daher eine Reihe von Heuristiken
entwickelt worden. Auch unser Verfahren kann leicht in eine Heuristik umgewandelt werden.
Zu diesem Zweck haben wir zwei Ans¨
atze aus [Holmberg and Yuan, 2000] implementiert,
die beide darauf basieren, zus¨
atzliche Variablen zu fixieren und daf¨
ur die Information aus der
Berechnung der Lagrange-Schranke zu nutzen. Das Verfahren in [Holmberg and Yuan, 2000]
wurde von den Autoren f¨
ur das Subgradientenverfahren pr¨
asentiert. In dieser Arbeit f¨
uhrten
wir eine entsprechende Anpassung f¨
ur das Bundle-Verfahren durch.
2.10 Heuristische Variablenfixierung 57
α–Fixierung
Die Idee des ersten Ansatzes ist folgende: Wenn in der y-L¨
osung der Lagrange-Relaxation
eine Designvariable yij im Verlauf des Subgradientenverfahrens (oder des Bundle-Verfahrens)
st¨
andig auf 1 gesetzt wird, so wird die entsprechende Kante h¨
ochstwahrscheinlich auch in ei-
ner optimalen L¨
osung des Gesamtproblems enthalten sein. Andererseits wird eine Kante (i,j)
wahrscheinlich nicht in der optimalen L¨
osung enthalten sein, wenn yij in den meisten Sub-
gradienteniterationen auf 0 gesetzt wird. Es macht also Sinn, Fixierungsregeln zu definieren,
die auf den H¨
aufigkeiten der yij basieren.
Idealerweise wird man eine Variable fixieren, wenn ihr Wert in allen Iterationen des Sub-
gradientenverfahrens (oder des Bundle-Verfahrens) ¨
ubereinstimmt. Um den Ansatz etwas
flexibler zu machen, wird ein Parameter α∈[0,0.5]eingef¨
uhrt, der eine gewisse Anzahl
von Abweichungen erlaubt. Wenn α=0ist, dann gilt obiger Idealfall. Sonst wird der Wert
(1−α)∗Mals Grenze benutzt, um zu entscheiden, ob eine Variable nach MIterationen
fixiert werden soll. Sei yl
ij der Wert von yij in der l-ten Iteration. Dann k¨
onnen wir diese
Fixierungsregel wie folgt zusammenfassen:
•Fixiere yij auf 1, wenn ∑M
l=1yl
ij ≥(1−α)∗M.
•Fixiere yij auf 0, wenn ∑M
l=1yl
ij ≤α∗M.
Der Parameter αkann auch dynamisch im Verlauf des Branch-and-Bound Verfahrens ver¨
andert
werden. Ein vielversprechende Strategie ist, mit einem relativ großen Wert f¨
ur αzu beginnen,
um schnell eine zul¨
assige L¨
osung zu generieren. Ein guter Kompromiss zwischen Laufzeit und
L¨
osungsqualit¨
at kann dann erreicht werden, indem der Wert von αimmer weiter reduziert
wird.
β–Fixierung
Dieser Ansatz benutzt die reduzierten Fixkosten ˜
f(bzw. ˜g) zur heuristischen Fixierung von
Variablen. Die reduzierten Fixkosten sind eng mit der y-L¨
osung im Lagrange-Unterproblem
verkn¨
upft, denn nach ihrem Vorzeichen wird jeweils die Belegung von ybestimmt. Wenn
f¨
ur eine Kante (i,j)etwa ˜
fij 0oder ˜
fij 0gilt, so deutet dies darauf hin, dass die
Kante wahrscheinlich auch in einer optimalen L¨
osung enthalten bzw. nicht enthalten ist.
β–Fixierung benutzt daher den Wert |˜
fij|, um Variablen zu fixieren.
Der Parameter β∈[0,1]gibt dabei den Anteil an der Gesamtzahl der Designvariablen an,
der in jedem Knoten des Branch-and-Bound Baums fixiert werden soll. Sei ndie Anzahl der
unfixierten Kanten im ersten Knoten (meist ist n=|A|), dann fixieren wir in jedem Knoten
genau dβneVariablen (bzw. |A∗|, falls |A∗|<dβne). Um die Variablen zu bestimmen, die
fixiert werden, akkumulieren wir die reduzierten Fixkosten f¨
ur jede Kante ¨
uber alle Iterationen
zu einem Wert |Rij|. Dazu setzen wir in der ersten Iteration Rij =˜
f1
ij und dann Rij =
γ∗Rij +˜gl
ij. In unserer Implementierung ist γ=0.5. Dieser Parameter sorgt daf¨
ur, dass die
reduzierten Fixkostenwerte umso st¨
arker ber¨
ucksichtigt werden, je besser die untere Schranke
ist. Nach Beendigung des Subgradientenverfahrens (oder des Bundle Verfahrens) fixieren wir
dann Variablen mit Algorithmus 9.
Der Vorteil von β–Fixierung im Vergleich zu α–Fixierung ist, dass mit dem Parameter βdie
maximale Gr¨
oße des Branch-and-Bound Baums festgelegt werden kann. F¨
ur β=0.1werden
58 2 Netzwerkentwurf
Algorithmus 9 Heuristische Variablenfixierung mit β–Fixierung
1: setze m=1
2: repeat
3: w¨
ahle (i0,j0) = argmax(i,j)∈A∗|Rij|
4: if (Ri0j0<0)then
5: fixiere yi0j0auf 1
6: else
7: fixiere yi0j0auf 0
8: setze A∗=A∗\(i0,j0)und m=m+1
9: until (m≥min(|A∗|,dβne)
beispielsweise in jedem Level des Baums 10% aller Kanten fixiert, die maximale Tiefe des
Baums ist also 10 und die maximale Knotenanzahl 210 −1. Außerdem wird der Algorithmus
zu einem exakten Verfahren f¨
ur β=0(keine heuristische Fixierung).
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen
Neben den Kardinalit¨
atsbedingungen werden in unserem Algorithmus weitere zus¨
atzliche Un-
gleichungen benutzt. Dies sind einerseits g¨
ultige Ungleichungen f¨
ur das Netzwerkentwurfpro-
blem, die auf der Tatsache basieren, dass die Kapazit¨
at eines Start- und Zielorte trennenden
Schnitts in jeder zul¨
assigen L¨
osung groß genug sein muss, um den Transportbedarf ¨
uber
den Schnitt zu decken. Weiterhin werden auch Ungleichungen verwendet, die in bestimmten
¨
Asten des Suchbaums L¨
osungen mit zu hohen Kosten abschneiden.
Um die Struktur der Lagrange-Teilprobleme nicht zu zerst¨
oren, gehen diese zus¨
atzlichen
Ungleichungen nicht als Restriktionen in die Lagrange-Relaxation ein, sondern werden mit
neuen Lagrange-Multiplikatoren in die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation aufgenommen.
2.11.1 Schnittungleichungen
Sei die Knotenmenge Ndes Graphen G= (N,A)in zwei nichtleere disjunkte Mengen
Sund ¯
Szerlegt. Die Menge der von Snach ¯
Sf¨
uhrenden Kanten (d.h. der Kanten mit
Anfangsknoten in Sund Endknoten in ¯
S) heißt (Svon ¯
Strennender) Schnitt in Gund wird
mit (S,¯
S)bezeichnet.
Sei C(S,¯
S)⊆Cdie Menge der G¨
uter mit Startorten in Sund Zielorten in ¯
S. In je-
der zul¨
assigen L¨
osung des Netzwerkentwurfproblems m¨
ussen mindestens r(S,¯
S)=∑k∈C(S,¯
S)rk
Einheiten ¨
uber den Schnitt (S,¯
S)fließen. Also muss die Gesamtkapazit¨
at der Kanten von
(S,¯
S)in jeder zul¨
assigen L¨
osung mindestens die Gr¨
oße r(S,¯
S)haben:
∑
(i,j)∈(S,¯
S)
uijyij ≥r(S,¯
S).(2.16)
Diese als Schnittungleichung (cutset inequality) bekannte Ungleichung gilt f¨
ur alle Teilmen-
gen S⊂N.
Da die Schnittungleichung (2.16) nicht nur f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem selbst, son-
dern auch f¨
ur seine LP-Relaxation g¨
ultig ist, h¨
atte das Einbeziehen dieser Ungleichung in die
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 59
Beschreibung des Problems keinen Einfluss auf die G¨
ute der LP- oder Lagrange-Schranke.
Wenn man allerdings die Ganzzahligkeit der y-Variablen ausnutzt, kann man aus Schnitt-
ungleichungen g¨
ultige Ungleichungen f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem herleiten, die diese
Schranken verbessern k¨
onnen. Eine solche auf Schnittungleichungen aufbauende Familie
g¨
ultiger Ungleichungen wird im Abschnitt 2.11.2 behandelt.
Identifizieren verletzter Schnittungleichungen
Im Gegensatz zu den zul¨
assigen L¨
osungen der LP-Relaxation, muss die L¨
osung eines Lagrange-
Teilproblems nicht notwendigerweise alle Schnittungleichungen (2.16) erf¨
ullen. Um Schnit-
tungleichungen zu identifizieren, die in der L¨
osung (x,y)eines Lagrange-Teilproblems verletzt
werden, bietet sich die folgende einfache Prozedur an: F¨
ur jedes Gut k∈Cbestimmt man die
Menge der Knoten Sk⊆N, die von dem Startort o(k)aus ¨
uber die Kanten (i,j)mit yij =1
erreicht werden k¨
onnen (Abbildung 2.16). Ist der Zielort d(k)6∈ Sk, hat man damit einen
3
1
24
5
6
(ω)o
(ω)d
k k
(S ,S )={(1,3),(4,6)}
_
k k
(S’ ,S’
_
)={(3,5),(4,6)}
Sk
k
S’
Abbildung 2.16: Knotenmengen Skund S0
k. Die Kanten (i,j)mit yij =0sind gestrichelt
dargestellt.
Schnitt (Sk,¯
Sk)gefunden, dessen Kapazit¨
at in der aktuellen L¨
osung der Lagrange-Relaxation
gleich Null ist und in jeder zul¨
assigen L¨
osung des Netzwerkentwurfproblems groß genug sein
muss, um rkEinheiten des Gutes kdurchzulassen. Um eine verletzte Schnittungleichung
∑(i,j)∈(Sk,¯
Sk)uijyij ≥r(Sk,¯
Sk)zu formulieren, bleibt jetzt nur noch den Gesamttransportbedarf
r(Sk,¯
Sk)der G¨
uter mit Startorten in Skund Zielorten in ¯
Skauszurechnen.
F¨
ur ein Gut k, f¨
ur das es bei der aktuellen Belegung der y-Variablen keinen Weg von dem
Start- zum Zielknoten gibt, wird zus¨
atzlich zu (Sk,¯
Sk)ein weiterer Schnitt (¯
S0
k,S0
k)definiert.
Die Menge S0
kwird hierbei als die Menge der Knoten festgelegt, von denen es Wege nach
d(k)¨
uber die Kanten (i,j)mit yij =1gibt (Abbildung 2.16).
Weil die L¨
osung eines Lagrange-Teilproblems (vor allem bei einem schlecht gew¨
ahlten
Multiplikator ω) oftmals viele Schnittungleichungen verletzt und wir uns in erster Linie f¨
ur
Ungleichungen interessieren, die typischerweise in den L¨
osungen von Teilproblemen verletzt
werden, die gute untere Schranken liefern, wird diese Prozedur in der Regel nicht direkt
auf die L¨
osungen einzelner Lagrange-Teilprobleme angewandt, sondern auf Vektoren ¯y(l), die
sich jeweils aus den optimalen L¨
osungen y(l)und y(l−1)
best des aktuellen Teilproblems und des
Teilproblems mit dem bisher gr¨
oßten Wert zR(ω)als ¯y(l)
ij =max{y(l)
ij ,yij(l−1)
best } ∀(i,j)∈A
zusammensetzen. Ferner brechen wir die die Suche nach verletzten Schnittungleichungen ab,
sobald die ersten Schnitte (Sk,¯
Sk)und (¯
S0
k,S0
k)mit zu wenigen Kanten gefunden werden.
60 2 Netzwerkentwurf
Eine Schw¨
ache der oben beschriebenen Prozedur zum Identifizieren verletzter Schnittun-
gleichungen ist, dass man damit nur solche Schnitte findet, die bei der aktuellen Belegung der
Designvariablen keine Kanten enthalten. Die Schnitte (S,¯
S), deren Kapazit¨
at gr¨
oßer als Null,
aber kleiner als der Transportbedarf r(S,¯
S)ist, werden ¨
ubersehen. Um die Suche nach verletz-
ten Schnittungleichungen effektiver zu machen, kann die Information aus der Berechnung
oberer Schranken benutzt werden.
Im Laufe der Bundle-Algorithmus wird in regelm¨
aßigen Abst¨
anden die L¨
osung des prima-
len Teilproblems PS(¯
A)mit einer durch y-L¨
osungen der Lagrange-Teilprobleme festgelegten
Kantenmenge ¯
A={(i,j)∈A:y(l)
ij =1oder yij(l−1)
best =1}gestartet. Wir betrachten nun die
folgende Situation: Die im Abschnitt 2.7.3 beschriebene Heuristik f¨
ur das primale Teilproblem
schl¨
agt fehl bei dem Versuch f¨
ur ein Gut keinen Fluss der St¨
arke rkzu finden und bricht
ab. Wegen der in der Heuristik gew¨
ahlten Formulierung des MCF beschreibt der Vektor xk
in dieser Situation einen maximalen Fluss des Gutes kin dem Graphen ¯
G= (N,¯
A)mit
den (nach Festlegen anderer Fl¨
usse) noch vorhandenen Kapazit¨
aten ˆuij. Verringert man die
unbenutzten Kapazit¨
aten ˆuij um die Flusswerte xk
ij, so erh¨
alt man ein Flussnetzwerk, in dem
jeder von dem Startort o(k)zum Zielort d(k)f¨
uhrende Weg mindestens eine Kante (i,j)mit
der Restkapazit¨
at ˆuij =0enth¨
alt. Wir definieren nun Skals die Menge der von dem Startort
o(k)¨
uber die Kanten (i,j)∈¯
Amit ˆuij >0erreichbaren Knoten und S0
kals die Menge der
Knoten, von denen es Wege zu d(k)¨
uber die Kanten (i,j)∈¯
Amit positiven Restkapa-
zit¨
aten ˆuij >0gibt, und betrachten die Schnitte (Sk,¯
Sk)und (¯
S0
k,S0
k)in G= (N,A). In
der von der Heuristik gelieferten (unzul¨
assigen) L¨
osung xist der Transportbedarf von Sk
nach ¯
Sknicht gedeckt, aber die Kapazit¨
aten der Kanten (i,j)∈(Sk,¯
Sk)∩¯
Asind bereits
ausgesch¨
opft. Daher erscheint es naheliegend, zu pr¨
ufen, ob die Gesamtkapazit¨
at der Kanten
aus (Sk,¯
Sk)∩¯
Agen¨
ugt, um den Transportbedarf r(Sk,¯
Sk)zwischen Skund ¯
Skzu decken. Gilt
∑(i,j)∈(Sk,¯
Sk)∩¯
Auij <r(Sk,¯
Sk), so stellt ∑(i,j)∈(Sk,¯
Sk)uijyij ≥r(Sk,¯
Sk)eine in dem primalen Teil-
problem PS(¯
A)sowie in den L¨
osungen y(l)und y(l−1)
best entsprechender Lagrange-Teilprobleme
verletzte Schnittungleichung dar. ¨
Ahnliches gilt auch f¨
ur den Schnitt (¯
S0
k,S0
k).
Wir starten die Suche nach verletzten Schnittungleichungen in jeder M-ten Iteration des
Bundle-Algorithmus und speichern diese Ungleichungen ab, um sie sp¨
ater zur Formulierung
g¨
ultiger ¨
Uberdeckungsungleichungen oder zum Fixieren von Variablen zu nutzen.
2.11.2 ¨
Uberdeckungsungleichungen
In jedem Start- und Zielorte trennenden Schnitt (S,¯
S)in Ggibt es Teilmengen der Kanten C⊆
(S,¯
S)mit folgender Eigenschaft: Die Gesamtkapazit¨
at der Kanten aus (S,¯
S)\Cist kleiner als
der Transportbedarf von Snach ¯
S. In einer zul¨
assigen L¨
osung des Netzwerkentwurfproblems
muss mindestens eine Kante aus Czum G¨
utertransport benutzt werden. Das Einbeziehen
der f¨
ur solche Kantenmengen g¨
ultigen Ungleichungen ∑(i,j)∈Cyij ≥1in die Berechnung der
unteren Schranke kann zu einer Verbesserung der Schranke und damit auch zum Verkleinern
des Branch-and-Bound-Baums beitragen.
F¨
ur eine gegebene Schnittungleichung ∑(i,j)∈(S,¯
S)uijyij ≥r(S,¯
S)sei Y(S,¯
S)die Menge der sie
erf¨
ullenden Belegungen der y-Variablen,
Y(S,¯
S)=ny∈ {0,1}|(S,¯
S)|:∑(i,j)∈(S,¯
S)uijyij ≥r(S,¯
S)o.
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 61
Wir bezeichnen eine Kantenmenge C⊆(S,¯
S)als ¨
Uberdeckung in Bezug auf (S,¯
S), wenn die
Gesamtkapazit¨
at der Kanten aus (S,¯
S)\Cnicht ausreicht, um den Transportbedarf von S
nach ¯
Szu decken, das heißt wenn
∑
(i,j)∈(S,¯
S)\C
uij <r(S,¯
S)
ist. Eine ¨
Uberdeckung C⊆(S,¯
S)ist minimal, wenn das ¨
Offnen jeder beliebigen Kante aus C
(zus¨
atzlich zu den Kanten von (S,¯
S)\C) die Kapazit¨
at des Schnitts soweit erh¨
oht, dass der
Transportbedarf von Snach ¯
Serf¨
ullt werden kann, das heißt wenn f¨
ur alle (p,q)∈Cgilt
∑
(i,j)∈(S,¯
S)\C
uij +upq ≥r(S,¯
S).
Behauptung 2.5 Sei C⊆(S,¯
S)eine ¨
Uberdeckung bez¨
uglich (S,¯
S), so gilt f¨
ur jedes y∈Y(S,¯
S)
und somit auch f¨
ur alle zul¨
assigen L¨
osungen des Netzwerkdesignproblems die ¨
Uberdeckungs-
ungleichung8
∑
(i,j)∈C
yij ≥1.(2.17)
Ist Cminimal, so definiert die Ungleichung (2.17) eine Facette der konvexen H¨
ulle von
Y0
(S,¯
S)=Y(S,¯
S)∩y:yij =1∀(i,j)∈(S,¯
S)\Cund eine (|C| − 1)-dimensionale Randfl¨
ache
von conv(Y(S,¯
S)). (vgl. [Nemhauser and Wolsey, 1988], [Klose, 2002])
Die Idee der ¨
Uberdeckungsungleichung (2.17) ist einfach: Wenn die Gesamtkapazit¨
at der
Kanten aus (S,¯
S)\Cnicht ausreicht, um den Transportbedarf ¨
uber den Schnitt (S,¯
S)zu
decken, muss mindestens eine Kante aus Czum G¨
utertransport ge¨
offnet werden. Ist die
¨
Uberdeckung Cnicht minimal, so ist die entsprechende ¨
Uberdeckungsungleichung f¨
ur die
Beschreibung der konvexen H¨
ulle von Y(S,¯
S)redundant, weil sie offenbar als die Summe
der ¨
Uberdeckungsungleichung ∑(i,j)∈C0yij ≥1f¨
ur eine minimale ¨
Uberdeckung C0und der
Schrankenbedingungen yij ≥0f¨
ur (i,j)∈C\C0ausgedr¨
uckt werden kann.
Nun stellt sich die Frage, ob das Einbeziehen einer ¨
Uberdeckungsungleichung in die Ziel-
funktion der Lagrange-Relaxation zum Versch¨
arfen der besten mit dieser Relaxation bere-
chenbaren Schranke zLM beitragen kann. Wie im Abschnitt 2.12.2 erkl¨
art wird, trifft dieses
nur f¨
ur solche Ungleichungen zu, die ein St¨
uck des zul¨
assigen Bereichs der zum Lagrange-
Multiplikator-Problem dualen Aufgabe (L)abschneiden. Im Falle der Rucksack-Relaxation
(2.4.2) stimmt diese Aufgabe mit der LP-Relaxation des Netzwerkentwurfproblems ¨
uberein
(vgl. [Gendron and Crainic, 1994b]). Das heißt dass das Einbeziehen einer zus¨
atzlichen Un-
gleichung in die Lagrange-Relaxation nur in dem Fall eine Verbesserung der Schranke zLM
bewirken kann, wenn diese Ungleichung f¨
ur die LP-Relaxation nicht redundant ist. Wir zeigen:
8Die in dieser Arbeit verwendete Definition der ¨
Uberdeckung wurde auch von Chouman et al.
[Chouman et al., 2003] verwendet. Im Standardfall werden ¨
Uberdeckungsungleichungen (cover inequali-
ties) f¨
ur L¨
osungsmengen bin¨
arer Rucksackprobleme Y={y∈ {0,1}n:∑n
i=1aiyi≤b}mit a≥0und b≥0
definiert und haben die Form ∑i∈Cyi≤ |C| − 1. Durch Komplementierung der Variablen, d.h. Ersetzen
von yidurch 1−¯yi, kann eine solche Menge Yin die Form ¯
Y={¯y∈ {0,1}n:∑n
i=1ai¯yi≥∑n
i=1ai−b}und
die ¨
Uberdeckungsungleichung ∑i∈Cyi≤ |C|−1in die Form ∑i∈C¯yi≥1gebracht werden.
62 2 Netzwerkentwurf
Behauptung 2.6 Sei (S,¯
S)ein beliebiger Schnitt in Gmit r(S,¯
S)>0. F¨
ur die ¨
Uberdeckung
C= (S,¯
S)stellt (2.17) eine f¨
ur die LP-Relaxation des Netzwerkentwurfproblems redundante
Ungleichung dar.
Beweis: Sei k∈Cein Gut mit o(k)∈Sund d(k)∈¯
S. In jeder zul¨
assigen L¨
osung des
Netzwerkentwurfproblems (oder seiner LP-Relaxation) fließen mindestens rkEinheiten des
Gutes k¨
uber die Kanten von C= (S,¯
S), somit ist ∑(i,j)∈Cxk
ij ≥rk. Aus der Kapazit¨
ats-
Nebenbedingung folgt damit ∑(i,j)∈Cyij ≥∑(i,j)∈Cxk
ij
dk
ij ≥∑(i,j)∈Cxk
ij
rk≥1.
Beispiel
Wir zeigen nun an einem Beispiel, dass minimale ¨
Uberdeckungen die LP-Relaxation (und
damit auch die beste mit der Lagrange-Relaxation berechenbare Schranke zLM) verbessern
k¨
onnen.
In dem in der Abbildung 2.17, a gezeigten Netzwerk sollen r1=5Einheiten eines Gutes
mit m¨
oglichst kleinen Kosten von 1nach 4transportiert werden. Die Kapazit¨
aten, Transport-
und Fixkosten sind an den Kanten in der Form uij,c1
ij,fij geschrieben. In einer kostenminima-
len L¨
osung der LP-Relaxation dieses Netzwerkentwurfproblems fließen vier Einheiten ¨
uber die
Kante (1,4)und eine ¨
uber die Kanten (1,3)und (3,4)(Abbildung 2.17, b). Das Aufheben
der Ganzzahligkeitsforderung f¨
ur Designvariablen in der LP-Relaxation f¨
uhrt dazu, dass die
y-Variablen die kleinsten zul¨
assigen Werte yij =max{x1
ij/uij,x1
ij/r1}annehmen. Mit y14 =1,
2 4
31
0
4
31
0
2
0
4
31
0
2
00
5
-5
5 5
-5-5
5,1,5
4,1,5
4,1,5
4,1,5
5,1,5
1,1
0,0
0,0
1,0.2
1,0.2
0,0
0,0
5,1
0,0
a) c)b)
z’LP=zCNDP=20
LP
z =13
bi
1b1
j
uij,1
ij,c fij
ij
bi
1b1
j
ij
1
ij,x ij
y
5,1
Abbildung 2.17: Ein Netzwerkentwurfproblem (a) und die optimalen L¨
osungen seiner LP-
Relaxation (b) ohne zus¨
atzliche Ungleichungen und (c) mit der Ungleichung
y13 +y24 ≥1.
y13 =y34 =0.2und y12 =y24 =0ist das keine zul¨
assige L¨
osung des Netzwerkentwurfpro-
blems. Betrachte nun die Zerlegung der Knotenmenge Nin S={1,2}und ¯
S={3,4}.
Die Gesamtkapazit¨
at der von Snach ¯
Sf¨
uhrenden Kanten muss in jeder zul¨
assigen L¨
osung
mindestens so groß sein wie der Transportbedarf von 1nach 4:
5y13 +4y14 +4y24 ≥5.(2.18)
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 63
Mit dieser Schnittungleichung k¨
onnen f¨
ur (S,¯
S)zwei minimale ¨
Uberdeckungen C1={(1,3),(1,4)}
und C2={(1,3),(2,4)}identifiziert werden. Ein gleichzeitiges Sperren aller Kanten einer
¨
Uberdeckung Ci,i=1,2verletzt die Forderung (2.18) und ist deshalb unzul¨
assig. Also muss
jede zul¨
assige L¨
osung des Netzwerkentwurfproblems die ¨
Uberdeckungsungleichungen
y13 +y14 ≥1und y13 +y24 ≥1
erf¨
ullen. Die in der Abbildung 2.17, b gezeigte optimale L¨
osung der LP-Relaxation des Pro-
blems verletzt die ¨
Uberdeckungsungleichung y13 +y24 ≥1und kann durch Hinzuf¨
ugen dieser
Ungleichung zur Problembeschreibung ausgeschlossen werden. Die kostenminimale L¨
osung
der um y13 +y24 ≥1erweiterten LP-Relaxation ist in der Abbildung 2.17, c dargestellt. Sie
erf¨
ullt mit y13 =y34 =1und y12 =y14 =y24 =0die Ganzzahligkeitsforderung f¨
ur Designva-
riablen und ist somit auch f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem optimal.
Wir bemerken noch, dass auch Ungleichungen, die den Wert der besten durch die L¨
osung
des Lagrange-Multiplikator-Problems berechenbaren Schranke zLM nicht ¨
andern, einen Ein-
fluss auf die Konvergenz des Bundle-Verfahrens zu diesem Wert und die tats¨
achliche G¨
ute
der durch dieses Verfahren gelieferten Schranke haben k¨
onnen.
Identifizieren verletzter ¨
Uberdeckungsungleichungen
W¨
ahrend der L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems durch das Bundle-Verfahren wird
in unserem Algorithmus in regelm¨
aßigen Abst¨
anden die Suche nach ¨
Uberdeckungsungleichungen
angestoßen, die von den im B¨
undel gespeicherten y-L¨
osungen verletzt werden. Solche Un-
gleichungen werden (gegebenenfalls nach dem Versch¨
arfen durch eine Liftingprozedur) mit
einem neuen Lagrange-Multiplikator in die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation aufgenom-
men, sodass ihr Verletzen in den nachfolgenden Iterationen mit h¨
oheren Kosten bestraft
werden kann.
Seien hωp,zp,sp,ypi,p∈Iβdie aktuellen Eintr¨
age des B¨
undels β. Um den Wert des
Lagrange-Multiplikators ωf¨
ur die n¨
achste Iteration festzulegen, wird im Bundle-Verfahren
von Frangioni das quadratische Optimierungsproblem (∆βt) gel¨
ost. Die optimale L¨
osung
dieses Problems θ∗∈ {θ:θ≥0,∑p∈Iβθp=1}bestimmt die Gewichte der Subgradienten sp
bei der Wahl der Suchrichtung d(vgl. Abschnitt 2.6.2). F¨
ur eine bekannte Schnittungleichung
∑(i,j)∈(S,¯
S)uijyij ≥r(S,¯
S)(2.19)
sei B={p∈Iβ:∑(i,j)∈(S,¯
S)uijyp
ij <r(S,¯
S)}die Menge der Indizes der im B¨
undel gespei-
cherten y-L¨
osungen, die diese Schnittungleichung verletzen, und θ∗
B=∑p∈Bθ∗
pdas Gesamt-
gewicht der Subgradienten spmit p∈Bbei der Festlegung der Suchrichtung d. In dem
Fall θ∗
B>0werden in unserem Algorithmus die L¨
osungen ypmit p∈Bzu einem Punkt
˜y=∑p∈Bθ∗
p
θ∗
Bypzusammengefasst und wir suchen eine in ˜yverletzte ¨
Uberdeckungsungleichung
f¨
ur den Schnitt (S,¯
S). Weil ˜yals eine Konvexkombination der Punkte ypmit p∈Bdie
Schnittungleichung (2.19) verletzt, ist die Wahrscheinlichkeit, eine in diesem Punkt verletzte
¨
Uberdeckungsungleichung zu finden, vergleichsweise hoch. Außerdem hat ˜ywie alle Konvex-
kombinationen der L¨
osungen aus dem B¨
undel βdie Eigenschaft, dass jede in diesem Punkt
verletzte ¨
Uberdeckungsungleichung auch in einigen im B¨
undel gespeicherten L¨
osungen ver-
letzt wird.
64 2 Netzwerkentwurf
Gesucht ist eine ¨
Uberdeckung f¨
ur (S,¯
S)mit einer in dem Punkt ˜yverletzten ¨
Uberdeckungs-
ungleichung, das heißt, eine ¨
Uberdeckung C⊆(S,¯
S)mit ∑(i,j)∈C˜yij <1. Mit der Einf¨
uhrung
bin¨
arer Variablen zij mit zij =0f¨
ur (i,j)∈Cund zij =1f¨
ur (i,j)∈(S,¯
S)\Ckann die
Bestimmung einer solchen ¨
Uberdeckung Cauf die L¨
osung der Optimierungsaufgabe
Z=min ∑
(i,j)∈(S,¯
S)
˜yij(1−zij)
u.d.N. ∑
(i,j)∈(S,¯
S)
uijzij <r(S,¯
S)(2.20)
zij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈(S,¯
S).
zur¨
uckgef¨
uhrt werden. Eine exakte L¨
osung dieser Aufgabe liefert entweder eine ¨
Uberdeckung
mit der am st¨
arksten verletzten ¨
Uberdeckungsungleichung oder (im Falle Z≥1) einen Beweis
daf¨
ur, dass ˜yalle ¨
Uberdeckungsungleichungen f¨
ur den Schnitt (S,¯
S)erf¨
ullt.
Die Aufgabe (2.20) hat die Form eines bin¨
aren Rucksackproblems und ist im Allgemeinen
N P-hart. Zu ihrer approximativen L¨
osung wird in unserer Implementierung eine Heuristik
eingesetzt, bei der man versucht, aus der Menge C= (S,¯
S)m¨
oglichst viele Kanten mit
großen ˜yij auszuschließen, um eine ¨
Uberdeckung mit einem m¨
oglichst kleinen Wert ∑(i,j)∈C˜yij
zu erhalten. Die Heuristik l¨
auft wie folgt ab9: Nach der Initialisierung zij :=0∀(i,j)∈
(S,¯
S)werden die Kanten aus (S,¯
S)nach den Werten ˜yij fallend und in den Gruppen mit
gleichen ˜yij nach Kapazit¨
aten uij aufsteigend sortiert. Wir betrachten die Kanten in dieser
Reihenfolge und setzen f¨
ur eine Kante (p,q)zpq :=1, wenn ihre Kapazit¨
at upq zuz¨
uglich
der Gesamtkapazit¨
at der Kanten mit den bereits auf eins festgelegten Variablen zij kleiner
als r(S,¯
S)ist. Am Ende des Verfahrens liefert C:={(i,j)∈(S,¯
S):zij =0}eine minimale
¨
Uberdeckung f¨
ur den Schnitt (S,¯
S).
Die mit dieser ¨
Uberdeckung assoziierte Ungleichung ∑(i,j)∈Cyij ≥1kann mit einer Lifting-
prozedur versch¨
arft werden. (Selbst wenn diese Ungleichung in dem Punkt ˜ynicht verletzt ist,
ist es in manchen F¨
allen m¨
oglich, durch das Lifting eine verletzte Ungleichung zu erhalten.)
Lifting
Das Lifting ist eine oft verwendete Technik zum Versch¨
arfen g¨
ultiger Ungleichungen. Um
die Grundidee zu erl¨
autern, betrachten wir eine Menge Y⊆ {0,1}nmit ihren Teilmengen
Y0={y∈Y:y1=0}und Y1={y∈Y:y1=1}. Sei
n
∑
i=2
πiyi≥π0(2.21)
eine g¨
ultige Ungleichung f¨
ur Y1. Das Liftingproblem ist, einen Liftingkoeffizienten γ1zu finden,
sodass
γ1y1+
n
∑
i=2
πiyi≥π0+γ1(2.22)
eine g¨
ultige Ungleichung f¨
ur die gesamte Menge Ydarstellt.
9Eine ¨
ahnliche Heuristik wurde in [Chouman et al., 2003] verwendet.
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 65
Satz 2.7 (Down-Lifting) Sei Y06=/0 und (2.21) eine g¨
ultige Ungleichung f¨
ur Y1. F¨
ur alle
γ1≤ε1−π0mit
ε1=min{∑n
i=2πiyi:y∈Y0}
ist (2.22) eine g¨
ultige Ungleichung f¨
ur Y. Gilt γ1=ε1−π0und beschreibt (2.21) eine k-
dimensionale Randfl¨
ache von conv(Y1), so definiert (2.22) eine (k+1)-dimensionale Rand-
fl¨
ache der konvexen H¨
ulle von Y.
Beweis: Wir beweisen nur die erste Aussage des Satzes und verweisen f¨
ur einen vollst¨
andigen
Beweis auf [Nemhauser and Wolsey, 1988].
F¨
ur y1=1sind die Ungleichungen (2.21) und (2.22) offenbar ¨
aquivalent. Daher bedeutet
die vorausgesetzte G¨
ultigkeit von (2.21) f¨
ur die Menge Y1zugleich die G¨
ultigkeit der Unglei-
chung (2.22) f¨
ur alle y∈Ymit y1=1. Ferner folgt aus der Definition von ε1und γ1f¨
ur alle
y∈Ymit y1=0
γ1y1+
n
∑
i=2
πiyi=
n
∑
i=2
πiyi≥ε1≥π0+γ1.
Damit ist die G¨
ultigkeit der Ungleichung (2.22) f¨
ur Ygezeigt.
Nach der Bestimmung einer ¨
Uberdeckungsungleichung ∑(i,j)∈Cyij ≥1f¨
ur einen Schnitt
(S,¯
S)wird in unserem Algorithmus das Down-Lifting aller Variablen yij mit (i,j)∈(S,¯
S)\C
durchgef¨
uhrt. Wir betrachten die Berechnung eines Liftingkoeffizienten γpq f¨
ur eine Variable
ypq. Bezeichne L={(i,j)∈(S,¯
S)\C:yij wurde bereits geliftet}
die Menge der in vorherigen Schritten gelifteten Variablen und sei
∑(i,j)∈Lγijyij +∑(i,j)∈Cyij ≥1+∑(i,j)∈Lγij (2.23)
die dadurch gewonnene g¨
ultige Ungleichung f¨
ur Y(S,¯
S). Der Liftingkoeffizient f¨
ur ypq berechnet
sich als γpq =εpq −1−∑(i,j)∈Lγij aus der L¨
osung der Optimierungsaufgabe
εpq =min ∑
(i,j)∈L
γijyij +∑
(i,j)∈C
yij
u.d.N. ∑
(i,j)∈(S,¯
S)\{(p,q)}
uijyij ≥r(S,¯
S)(2.24)
yij ∈ {0,1} ∀(i,j)∈(S,¯
S).
Hat diese Aufgabe keine zul¨
assige L¨
osung (d.h. reicht die Kapazit¨
at von (S,¯
S)ohne die Kante
(p,q)nicht aus, um den Transportbedarf zu erf¨
ullen), so gilt in jeder zul¨
assigen L¨
osung des
Netzwerkentwurfproblems ypq =1. Das Fixieren der Variablen ypq auf diesen Wert macht ihr
Lifting ¨
uberfl¨
ussig.
Weil die Ungleichung (2.23) ebenso wie die urspr¨
ungliche ¨
Uberdeckungsungleichung
∑
(i,j)∈C
yij ≥1
f¨
ur jedes y∈Y(S,¯
S)und somit f¨
ur alle zul¨
assigen L¨
osungen von (2.24) g¨
ultig ist, gilt εpq ≥
1+∑(i,j)∈Lγij. Demzufolge ist der Liftingkoeffizient γpq =εpq −1−∑(i,j)∈Lγij nicht negativ.
66 2 Netzwerkentwurf
Das Gleiche gilt nat¨
urlich f¨
ur alle Koeffizienten γij. Damit wird klar, dass ∑(i,j)∈Lγijyij auf
der linken Seite der Ungleichung (2.23) f¨
ur alle ykleiner oder gleich dem Term ∑(i,j)∈Lγij
auf ihrer rechten Seite ist und dass diese Art des Liftings in der Tat zum Versch¨
arfen der
¨
Uberdeckungsungleichung beitr¨
agt. Außerdem sind aufgrund der Ganzzahligkeit von Koeffi-
zienten der ¨
Uberdeckungsungleichung offenbar auch alle Liftingkoeffizienten ganzzahlig.
Das bei der Berechnung des Koeffizienten γpq zu l¨
osende Liftingproblem (2.24) hat eine
¨
ahnliche Struktur wie das bin¨
are Rucksackproblem und kann mit einer Modifikation des
bekannten Verfahrens der dynamischen Programmierung f¨
ur das Rucksackproblem10 in der
Zeit O(εpq|(S,¯
S)|)gel¨
ost werden. Bezeichne πij den Koeffizienten der Variablen yij in der
Zielfunktion von (2.24) und sei a1,...,ameine Nummerierung der Kanten von (S,¯
S)mit
πij 6=0. Wir definieren Fj(ξ)als den gr¨
oßten Transportbedarf von Snach ¯
S, der mit Kanten
eines Gesamtwerts ξerf¨
ullt werden kann, wenn man die Kanten a1,...,ajbenutzen darf,
Fj(ξ) = maxn∑j
i=1uaiyai:∑j
i=1πaiyai=ξ,y∈ {0,1}mo.
Mit der Initialisierung
F0(ξ) = 0f¨
ur ξ=0
−∞f¨
ur ξ>0
k¨
onnen die Werte Fj(ξ)mit j=1,...,mund ξ=0,...,∑m
i=1πaidurch sukzessive Anwendung
der Bellmanschen Optimalit¨
atsgleichung
Fj(ξ) = Fj−1(ξ)f¨
ur ξ<πaj
max{Fj−1(ξ),Fj−1(ξ−πaj)+ uaj}f¨
ur ξ≥πaj
nacheinander berechnet werden. Das kleinste ξmit
Fm(ξ)≥r(S,¯
S)−∑(i,j)∈(S,¯
S)\{(p,q)}:πij=0uij
ergibt den Wert der optimalen L¨
osung εpq der Aufgabe (2.24).
Im Allgemeinen h¨
angen die Werte der Liftingkoeffizienten γij von der Liftingsequenz (d.h.
der Reihenfolge, in der die Variablen geliftet werden) ab. Der Koeffizient γij ist maximal, wenn
man das Lifting mit yij beginnt, und wird immer kleiner, je mehr Variablen vor yij geliftet
werden.11 Um eine g¨
ultige Ungleichung mit einer m¨
oglichst großen Verletzung in dem Punkt
˜y(Seite 63) zu erhalten, werden in unserer Implementierung Variablen aus (S,¯
S)\Cin der
Reihenfolge aufsteigender Werte ˜yij und bei gleichen ˜yij in der Reihenfolge aufsteigender
Kapazit¨
aten uij geliftet.
2.11.3 Lokale Schnitte
Neben den bekannten g¨
ultigen Ungleichungen f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem werden in
unserem Branch-and-Cut-Verfahren auch Ungleichungen generiert, die in einzelnen ¨
Asten
des Suchbaums zul¨
assige L¨
osungen mit zu hohen Kosten abschneiden. Hierzu wird genauso
wie in der im Abschnitt 2.9 beschriebenen Methode der Variablenfixierung eine Absch¨
atzung
10Siehe die Beschreibung des pseudopolynomiellen exakten Algorithmus f¨
ur das Rucksackproblem in
[Kellerer et al., 2004], Kapitel 6.
11F¨
ur einen Beweis dieser Aussage siehe [Nemhauser and Wolsey, 1988, Seite 264].
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 67
der unteren Schranke beim Fixieren einiger y-Variablen entgegen ihren Werten in der aktuellen
Lagrange-Relaxation unternommen.
Betrachte eine mit dem Knoten (A0,A1,A∗)assoziierte Rucksack-Relaxation ohne Kardi-
nalit¨
atsbedingungen. Nach der Berechnung der reduzierten Kosten ˆgij kann diese Lagrange-
Relaxation als eine Optimierungsaufgabe in y-Variablen
zR(ω) = min
y∈{0,1}|A∗|∑
(i,j)∈A∗
ˆgijyij +∑
(i,j)∈A1
ˆgij −ωTb(2.25)
aufgefasst werden. Bezeichne ¯zCNDP die Kosten der besten bekannten zul¨
assigen L¨
osung des
Netzwerkentwurfproblems. Wir zeigen:
Behauptung 2.8 a) Sei T+⊆ {(i,j)∈A∗: ˆgij >0}eine Teilmenge der unfixierten Kanten
mit positiven reduzierten Kosten, f¨
ur die gilt:
zR(ω)+ ˆgpq +ˆgrs ≥¯zCNDP ∀(p,q),(r,s)∈T+mit (p,q)6= (r,s).(2.26)
Alle zul¨
assigen L¨
osungen des mit dem Knoten (A0,A1,A∗)assoziierten Teilproblems, in
denen mehr als eine Designvariable aus T+den Wert eins annimmt, haben mindestens die
Kosten ¯zCNDP.
b) Sei T-⊆ {(i,j)∈A∗: ˆgij <0}eine Teilmenge der unfixierten Kanten mit negativen
reduzierten Kosten mit der Eigenschaft
zR(ω)−ˆgpq −ˆgrs ≥¯zCNDP ∀(p,q),(r,s)∈T-mit (p,q)6= (r,s),(2.27)
so hat jede zul¨
assige L¨
osung des mit dem Knoten (A0,A1,A∗)assoziierten Teilproblems,
in der mehr als eine Designvariable aus T-den Wert Null annimmt, mindestens die Kosten
¯zCNDP.
Beweis: a) Seien (p,q)und (r,s)zwei beliebige Kanten aus T+und bezeichne y0die optimale
L¨
osung der Lagrange-Relaxation (2.25) und y00 die kostenminimale L¨
osung dieser Aufgabe
mit ypq =yrs =1.
In y0werden die Werte aller unfixierten y-Variablen abh¨
angig von den Vorzeichen ihrer
reduzierten Kosten festgelegt:
y0
ij =1,falls ˆgij <0
0sonst ∀(i,j)∈A∗.
F¨
ur die Kanten (p,q)und (r,s)gilt deshalb y0
pq =y0
rs =0. Die L¨
osung y00 erh¨
alt man, indem
man f¨
ur alle Kanten (i,j)∈A∗\{(p,q),(r,s)}y00
ij =y0
ij und y00
pq =y00
rs =1setzt. Folglich
lassen sich die Kosten von y00 als
z(ω,y00) = z(ω,y0)+ ˆgpq(y00
pq −y0
pq)+ ˆgrs(y00
rs −y0
rs) = zR(ω)+ ˆgpq +ˆgrs
berechnen. Weil z(ω,y00)eine untere Schranke f¨
ur die Kosten aller zul¨
assigen L¨
osungen des
Teilproblems (A0,A1,A∗)mit ypq =yrs =1darstellt, folgt aus
zR(ω)+ ˆgpq +ˆgrs ≥¯zCNDP ∀(p,q),(r,s)∈T+mit (p,q)6= (r,s),
68 2 Netzwerkentwurf
dass jede zul¨
assige L¨
osung des Teilproblems (A0,A1,A∗)mit ypq =yrs =1mindestens die
Kosten ¯zCNDP hat. Weil dies ebenso f¨
ur jedes andere Kantenpaar aus T+zutrifft, kann es an
dem Knoten (A0,A1,A∗)keine verbessernden L¨
osungen mit mehr als einer auf eins gesetzten
Variablen ypq,(p,q)∈T+geben.
b) Der zweite Teil der Behauptung folgt analog.
Folgerung 2.9 Sind T+und T-Kantenmengen aus der Behauptung 2.8, so kann der zul¨
assige
Bereich des Teilproblems (A0,A1,A∗)durch Hinzuf¨
ugen der Ungleichung
∑
(i,j)∈T+
yij ≤1(2.28)
bzw. der Ungleichung ∑
(i,j)∈T-
yij ≥ |T-|−1(2.29)
eingeschr¨
ankt werden, ohne hierbei verbessernde L¨
osungen zu verlieren.
Bezeichne D=¯zCNDP−zR(ω)die Differenz zwischen der besten bekannten oberen Schran-
ke und dem Wert der aktuellen Rucksack-Relaxation. Wir gehen davon aus, dass D>0ist
(andernfalls kann der aktuelle Knoten (A0,A1,A∗)sicher keine L¨
osungen mit kleineren Ko-
sten als ¯zCNDP enthalten und wird ohne weitere Untersuchung aus dem Suchbaum entfernt).
Ferner wird angenommen, dass alle Designvariablen yij mit |ˆgij| ≥ Dbereits durch das im
Abschnitt 2.9 geschilderte Verfahren auf die richtigen Werte fixiert worden sind.
Um Ungleichungen zu generieren, die m¨
oglichst viele uninteressante L¨
osungen abschneiden,
wird nun nach gr¨
oßtm¨
oglichen Mengen T+und T-gesucht. Das bei der Wahl der Menge
T+verwendete Verfahren ist im Algorithmus 10 dargestellt. Man startet mit der Menge
T+:={(i,j)∈A∗: ˆgij ≥1
2D}und bestimmt die Menge der Kanten, deren Hinzuf¨
ugen zu
T+keine Verletzung der Bedingung (2.26) bewirkt. Danach w¨
ahlt man per Zufall eine dieser
Kanten aus und f¨
ugt sie der Menge T+hinzu. Die Wahl der Menge T-erfolgt analog: Man
Algorithmus 10 Lokale Schnitte: Zusammensetzen der Menge T+
1: setze T+:={(i,j)∈A∗: ˆgij ≥1
2D}
2: if T+6=/0 then
3: setze (p,q):=argmin(i,j)∈T+ˆgij
4: setze W:={(i,j)∈A∗\T+: ˆgij +ˆgpq ≥D}
5: if W6=/0 then
6: w¨
ahle (r,s)∈RW{zuf¨
allige Wahl}
7: setze T+:=T+∪ {(r,s)}
beginnt mit der Menge T-:={(i,j)∈A∗:−ˆgij ≥1
2D}und sucht eine Kante, mit der diese
Menge erg¨
anzt werden kann, ohne eine Verletzung der Bedingung (2.27) hervorzurufen.
Enth¨
alt T+bzw. T-am Ende dieser Prozedur mehr als eine Kante, nutzen wir diese Menge,
um eine f¨
ur verbessernde L¨
osungen g¨
ultige Ungleichung (2.28) bzw. (2.29) zu generieren.
Um m¨
oglichst viele L¨
osungen mit hohen Kosten abzuschneiden, wird dieses Verfahren in
jeder Iteration des Bundle-Algorithmus ausgef¨
uhrt. Die hierbei gewonnenen Ungleichungen
werden gespeichert, um sp¨
ater zum Versch¨
arfen der unteren Schranke oder zum Variablen-
fixieren benutzt zu werden.
2.11 Zus¨
atzliche Ungleichungen 69
2.11.4 Einfluss der Ungleichungen auf die Berechnung unterer
Schranken
W¨
ahrend der L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems durch das Bundle-Verfahren wird
in regelm¨
aßigen Abst¨
anden die Suche nach g¨
ultigen Ungleichungen gestartet, die in den
L¨
osungen einzelner Lagrange-Teilprobleme verletzt werden. Sei Yβdie Menge der im B¨
undel
βeingetragenen L¨
osungen ypmit einem von Null verschiedenen Gewicht θ∗
p>0in der
optimalen L¨
osung von (∆βt). Wir pr¨
ufen, ob die Punkte aus Yβalle bekannten f¨
ur ver-
bessernde L¨
osungen g¨
ultigen Ungleichungen nach Abschnitt 2.11.3 erf¨
ullen, und versuchen
aus bekannten Schnittungleichungen geliftete ¨
Uberdeckungsungleichungen herzuleiten, die
in einigen Punkten aus Yβverletzt werden.
Identifiziert man solche in den Punkten aus Yβverletzten g¨
ultigen Ungleichungen, die
noch keine Lagrange-Multiplikatoren haben, wird der Zielfunktion der Lagrange-Relaxation
f¨
ur jede solche Ungleichung ∑(i,j)∈Aak
ijyij ≥qkein Term υk(qk−∑(i,j)∈Aak
ijyij)mit ei-
nem neuen Lagrange-Multiplikator υk≥0hinzugef¨
ugt. Das Lagrange-Multiplikator-Problem
bekommt neue Variablen und damit vielleicht auch einen h¨
oheren Maximalwert zLM. Um
die im B¨
undel gespeicherte Information der neuen Lagrange-Funktion anzupassen, wird
f¨
ur jeden Eintrag h(ωp,υp),zp,(sp,tp),ypiund jeden neuen Lagrange-Multiplikator υkdie
mit diesem Lagrange-Multiplikator assoziierte Komponente des Subgradienten tp
k=qk−
∑(i,j)∈Aak
ijyp
ij bestimmt. Der Eintrag h(ωp,υp),zp,(sp,tp),ypiwird zu h(ωp,υp,0,...,0),zp,
(sp,tp,tp
k1,...,tp
km),ypiund das Bundle-Verfahren wird fortgesetzt.
Nach Einbeziehen zus¨
atzlicher Ungleichungen in die Zielfunktion der Rucksack-Relaxation
l¨
asst sich diese als
zR(ω,υ) = min ∑(i,j)∈Ah∑k∈C(ck
ij +ωk
i−ωk
j)xk
ij +fij −∑k∈Kυkak
ijyiji
−∑k∈C∑i∈Nωk
ibk
i+∑k∈Kυkqk
unter den Nebenbedingungen des Netzwerkentwurfproblems formulieren. Die reduzierten Ko-
sten auf der Kante (i,j)berechnen sich als ˆgij =gij(ω)+ fij −∑k∈Kυkak
ij. Hierbei bezeichnet
gij(ω)den durch die L¨
osung des kontinuierlichen Rucksackproblems (Rij) errechneten Wert
der kostenminimalen Belegung der x-Variablen f¨
ur yij =1.
Zum Versch¨
arfen der unteren Schranke wird in unserem Algorithmus in jedem Knoten
(A0,A1,A∗)nach Beendigung des Bundle-Verfahrens eine Anpassung der mit zus¨
atzlichen
Ungleichungen assoziierten Lagrange-Multiplikatoren vorgenommen. Seien (¯
ω,¯
υ)die besten
im Laufe des Bundle-Verfahrens gefundenen Werte der Lagrange-Multiplikatoren und (¯x,¯y)
die kostenminimale L¨
osung des entsprechenden Lagrange-Teilproblems. Wir beziehen die
¨
Uberdeckungsungleichungen und die lokal g¨
ultigen Ungleichungen aus dem Abschnitt 2.11.3,
die in ¯yverletzt werden und noch keine Lagrange-Multiplikatoren haben, mit einem neuen
mit Null initialisierten Lagrange-Multiplikator in die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation
LR(¯
ω,¯
υ)ein. Wir versuchen anschließend durch Variieren einzelner mit zus¨
atzlichen Unglei-
chungen assoziierter Lagrange-Multiplikatoren υkeine Erh¨
ohung der unteren Schranke zu
erreichen, ohne dabei den Bereich im Raum (ω,υ)zu verlassen, in dem (¯x,¯y)eine optimale
L¨
osung der Lagrange-Relaxation LR(ω,υ) darstellt 12.
12Eine ¨
ahnliche Methode zum Versch¨
arfen der unteren Schranke wurde von Balas und Christofides in
[Balas and Christofides, 1981] verwendet.
70 2 Netzwerkentwurf
Hierf¨
ur wird in jedem Schritt ein Lagrange-Multiplikator υkmit einer von Null verschie-
denen Komponente des Subgradienten tk=qk−∑(i,j)∈Aak
ij ¯yij gew¨
ahlt. Eine Modifikation
dieses Multiplikators durch υk:=υk+δkerh¨
oht die Kosten von (¯x,¯y)um δktkund ver¨
andert
die reduzierten Kosten jeder Kante (i,j)∈Aentsprechend ˆgij :=ˆgij −δkak
ij. W¨
ahlt man δk
so, dass
(a) ˆgij −δkak
ij ≥0f¨
ur alle (i,j)∈A∗mit ¯yij =0und
(b) ˆgij −δkak
ij ≤0f¨
ur alle (i,j)∈A∗mit ¯yij =1gilt,
so bleibt (¯x,¯y)bei dieser ¨
Anderung des Lagrange-Multiplikators υkoptimal. Die Kosten
dieser L¨
osung stellen in der neuen Lagrange-Relaxation eine untere Schranke f¨
ur die Kosten
aller f¨
ur den Knoten (A0,A1,A∗)zul¨
assigen L¨
osungen des Netzwerkentwurfs dar. Um den
Anstieg der unteren Schranke δktkzu maximieren, wird in dem Fall tk>0der gr¨
oßte Wert
δk∈[0,∞[gew¨
ahlt, der die Bedingungen (a) und (b) erf¨
ullt, und in dem Fall tk<0der kleinste
diese Bedingungen erf¨
ullende Wert δk∈[−υk,0]. Wir setzen υk:=υk+δk, bestimmen die
neuen reduzierten Kosten und fahren mit dem n¨
achsten Lagrange-Multiplikator fort, bis
alle mit zus¨
atzlichen Ungleichungen assoziierten Lagrange-Multiplikatoren υkmit von Null
verschiedenen Komponenten des Subgradienten behandelt worden sind.
Bei einer Verzweigung des Branch-and-Bound-Baums werden die Werte der Lagrange-
Multiplikatoren (ω,υ), die im Vaterknoten f¨
ur den gr¨
oßten Wert der unteren Schranke
zR(ω,υ)sorgten, an die Nachfolgerknoten weitergegeben, um sp¨
ater zum Initialisieren des
Bundle-Verfahrens benutzt zu werden. Die zus¨
atzlichen Ungleichungen, deren Lagrange-Mul-
tiplikatoren υkden Wert Null haben, werden hierbei aus der Zielfunktion der Lagrange-Re-
laxation entfernt, um den Aufwand des Bundle-Algorithmus in den Nachfolgerknoten zu
reduzieren.
2.12 Relax-and-cut-Algorithmus
Eine zurzeit sehr oft verwendete L¨
osungsmethode f¨
ur (gemischt) ganzzahlige lineare Optimie-
rungsprobleme kombiniert ein auf LP-Relaxation basierendes Branch-and-Bound-Verfahren
mit einem Schnittebenenalgorithmus. Bei diesem so genannten Branch-and-cut-Ansatz wird
in jedem Knoten des Suchbaums vor einer Verzweigung zun¨
achst eine Versch¨
arfung der ak-
tuellen LP-Relaxation durch Hinzuf¨
ugen neuer Nebenbedingungen vorgenommen. In diesem
Abschnitt beschreiben wir den Branch-and-cut-Algorithmus, der auf Lagrange-Relaxationen
als untere Schranken basiert und in der Literatur als Relax-and-cut-Algorithmus bezeichnet
wird.
2.12.1 Schnittebenenalgorithmus
Das ganzzahlige lineare Optimierungsproblem
(G)zG=min{cTx:x∈S}mit S=M∩Zn,M={x∈Rn
+:Ax ≥b}
mit A∈Zm×nund b∈Zmkann auf die L¨
osung eines, auf der konvexen H¨
ulle von Sdefinierten,
linearen Programms
2.12 Relax-and-cut-Algorithmus 71
(G0)min{cTx:x∈conv(S)}
zur¨
uckgef¨
uhrt werden. Weil conv(S)ein Seinschließendes konvexes Polyeder ist, dessen Ecken
Elemente aus Sund zul¨
assige L¨
osungen von (G) darstellen, ist eine optimale Basisl¨
osung von
(G0) auch f¨
ur (G) optimal.
Demzufolge k¨
onnte eine optimale L¨
osung des ganzzahligen Optimierungsproblems (G) zum
Beispiel mit der Simplexmethode berechnet werden, wenn eine Beschreibung von conv(S)
durch Ungleichungen bekannt w¨
are. Dieses ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall. Selbst
wenn man die Struktur der ben¨
otigten Ungleichungen kennt, ist es meist ein aussichtsloses
Unterfangen, eine komplette polyedrische Beschreibung von conv(S)finden zu wollen, weil
eine solche Beschreibung in der Regel eine extrem große (mit nexponentiell wachsende)
Anzahl Ungleichungen hat.
Statt unmittelbar eine Beschreibung von conv(S)zu suchen, wird bei der Schnittebenenme-
thode eine Folge konvexer Polyeder Q1,Q2,... mit M=Q1⊃Q2⊃...⊇conv(S)konstruiert.
In jeder Iteration wird ein St¨
uck des bisherigen zul¨
assigen Bereichs Qidurch Hinzuf¨
ugen einer
oder mehrerer f¨
ur conv(S)g¨
ultiger Ungleichungen weggeschnitten, bis eine optimale L¨
osung
des vorliegenden linearen Optimierungsproblems
(Li)min{cTx:x∈Qi}
ganzzahlig und damit auch f¨
ur (G) optimal ist.
Der generelle Ablauf eines Schnittebenenverfahrens ist im Algorithmus 11 dargestellt (siehe
auch [Marchand et al., 2002]). Man startet mit der L¨
osung der LP-Relaxation von (G)
(L1)min{cTx:x∈Q1=M}.
Wenn (L1) keine optimale L¨
osung besitzt, weil der zul¨
assige Bereich Mleer ist oder weil die
Zielfunktion cTxauf Mnach unten unbeschr¨
ankt ist, hat auch die ganzzahlige Aufgabe (G)
keine optimale L¨
osung [Klose, 2002], das Verfahren terminiert. Andernfalls bezeichne x1die
optimale L¨
osung von (L1).
Algorithmus 11 Schnittebenenverfahren
Gegeben: eine Menge f¨
ur conv(S)g¨
ultiger Ungleichungen
αkT x≥βk,k∈K
1: initialisiere Q1:={x∈Rn
+:Ax ≥b}
2: bestimme eine optimale L¨
osung x1von min{cTx:x∈Q1}
3: if Q16=/0 and −∞<min{cTx:x∈Q1}then
4: i:=1
5: while Qi6=/0 and xi/∈Znand ∃k∈Kmit αkTxi<βkdo
6: w¨
ahle Ki⊆Kmit Ki6=/0 und αkT xi<βkf¨
ur alle k∈Ki
7: Qi+1:=Qi∩{x∈Rm
+:αkT x≥βkf¨
ur alle k∈Ki}
8: bestimme eine optimale L¨
osung xi+1von min{cTx:x∈Qi+1}
9: i:=i+1
Solange die optimale L¨
osung xider aktuellen linearen Aufgabe (Li) nichtganzzahlig ist,
sucht man in jeder Iteration aus einer gegebenen Menge
αkT x≥βk,k∈K
72 2 Netzwerkentwurf
g¨
ultiger Ungleichungen f¨
ur conv(S)eine oder mehrere aus, die in xiverletzt sind (Zeile 6).
Diese Ungleichungen werden der Beschreibung des zul¨
assigen Bereiches hinzugef¨
ugt (Zeile
7), sodass der nichtganzzahlige Punkt xiaus dem neuen zul¨
assigen Bereich Qi+1ausge-
schlossen wird. Danach bestimmt man eine kostenminimale L¨
osung xi+1der neuen linearen
Optimierungsaufgabe (Li+1) und geht zur n¨
achsten Iteration ¨
uber. Findet man keine Un-
gleichung, die den aktuellen nichtganzzahligen Punkt xivon conv(S)trennt, terminiert das
Verfahren. Der Wert cTxiliefert eine untere Schranke f¨
ur die Kosten der optimalen L¨
osung
von (G). Wenn die optimale L¨
osung der aktuellen linearen Aufgabe (Li) ganzzahlig und somit
auch f¨
ur (G) optimal ist, terminiert das Verfahren. Hat (Li) keine zul¨
assige L¨
osung, bricht
der Algorithmus ab, weil in diesem Fall auch die ganzzahlige Aufgabe (G) keine zul¨
assige
L¨
osung besitzt.
2.12.2 Schnittebenen und Lagrange-Relaxation
In dem oben skizzierten Schnittebenenverfahren wird die LP-Relaxation eines ganzzahligen
Optimierungsproblems (G) durch Hinzuf¨
ugen zus¨
atzlicher Nebenbedingungen versch¨
arft, so-
dass man eine bessere untere Schranke f¨
ur den optimalen Zielfunktionswert von (G) oder
sogar die optimale L¨
osung dieses Problems erh¨
alt. In dieser Arbeit wird eine ¨
ahnliche Technik
zum Versch¨
arfen der Lagrange-Relaxation angewendet.
Betrachtet wird ein ganzzahliges Optimierungsproblem
(P)zP=min cTx
u.d.N. Ax ≥b(2.30)
x∈X={x∈Zn:Dx ≥q}.(2.31)
Wir nehmen an, dass (2.31) eher einfache Nebenbedingungen darstellt, w¨
ahrend die Ein-
schr¨
ankung (2.30) die Aufgabe sehr kompliziert, sodass die Lagrange-Relaxation von (P)
bez¨
uglich der Nebenbedingungen (2.30)
zLR(ω) = min{cTx+ωT(b−Ax):x∈X}(2.32)
f¨
ur jedes ω≥0eine leicht zu l¨
osende Aufgabe darstellt. Weiter sei f¨
ur den zul¨
assigen Bereich
von (P) eine Menge g¨
ultiger Ungleichungen
αkT x≥βk,k∈K
gegeben. Diese f¨
ur die Beschreibung von (P) redundanten Ungleichungen k¨
onnen benutzt
werden, um die Dualit¨
atsl¨
ucke zwischen zPund dem optimalen Zielfunktionswert zLM des
Lagrange-Multiplikator-Problems
zLM =max{zLR(ω):ω≥0}(2.33)
zu verkleinern.
Mit diesem Ziel werden w¨
ahrend der L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems durch
ein Subgradienten- oder Bundle-Verfahren die Ungleichungen αkTx≥βk,k∈Kidentifiziert,
die in den L¨
osungen einzelner Lagrange-Teilprobleme verletzt werden. Solche Ungleichun-
gen werden mit einem neuen Multiplikator νkin die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation
2.12 Relax-and-cut-Algorithmus 73
aufgenommen, sodass ihr Verletzen in den sp¨
ateren Iterationen mit zus¨
atzlichen Kosten
νk(βk−αkT x)bestraft und ihr Einhalten belohnt wird. Das Lagrange-Multiplikator-Problem
(2.33) bekommt neue Variablen νk≥0und damit vielleicht auch einen neuen (gr¨
oßeren)
Maximalwert zLM.
Es stellt sich nun die Frage, unter welchen Bedingungen das Einbeziehen einer neuen
Ungleichung in die Lagrange-Relaxation eine Versch¨
arfung der Schranke zLM bewirkt. Das
Lagrange-Multiplikator-Problem (2.33) besitzt den gleichen optimalen Zielfunktionswert wie
die Minimierungsaufgabe
(L)zL=min{cTx:Ax ≥b,x∈conv(X)}.
F¨
uhrt man eine weitere f¨
ur den zul¨
assigen Bereich von (P) g¨
ultige Ungleichung αTx≥βin das
Modell ein, um sie anschließend in die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation aufzunehmen,
¨
andert sich auch die Aufgabe (L). Sie erh¨
alt eine neue Nebenbedingung αTx≥βund wird
zu
(L0)z0
L=min{cTx:Ax ≥b,αTx≥β,x∈conv(X)}.
Die zul¨
assigen Bereiche beider Optimierungsaufgaben (L) und (L0) sind in der Abbildung
2.18 schraffiert dargestellt. Das Einbeziehen der Ungleichung αTx≥βin die Zielfunktion
des Lagrange-Teilproblems (2.32) sorgt immer dann f¨
ur ein gr¨
oßeres Optimum des Lagrange-
Multiplikator-Problems, wenn die Aufgabe (L0) einen gr¨
oßeren optimalen Zielfunktionswert
als (L) besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle optimalen L¨
osungen von (L) in dem
Halbraum mit αTx<βliegen und durch die Einschr¨
ankung αTx≥βaus dem zul¨
assigen
Bereich von (L0) ausgeschlossen werden.
Ax b
≥
opt
x(P)
opt
x(L)
≥
Dx q
(conv X)
c
Ax b
≥
≥
Dx q
(conv X)
c
opt
x(P)
opt
x(L’)
αTx≥β
zulässiger Bereich für (L) zulässiger Bereich für (L')
Punkte aus X
Abbildung 2.18: ¨
Anderung der zum Largange-Multiplikator-Problem dualen Aufgabe (L)
beim Einbeziehen einer neuen Ungleichung αTx≥βin die Kostenfunkti-
on der Lagrange-Relaxation
Sei x∗∈Xdie optimale L¨
osung eines Lagrange-Teilproblems (2.32) und bezeichne Qden
zul¨
assigen Bereich von (L). Weil jeder Punkt aus Q∩Xeine zul¨
assige L¨
osung von (P)
darstellt, kann eine f¨
ur (P) g¨
ultige Ungleichung nur in solchen Punkten aus Xverletzt sein,
die sich außerhalb der Menge Qbefinden. Das heißt wenn man eine f¨
ur den zul¨
assigen Bereich
74 2 Netzwerkentwurf
von (P) g¨
ultige Ungleichung αTx≥βfindet, die in x∗verletzt ist, gilt x∗6∈ Qund es ist
nicht sicher, ob die Ungleichung αTx≥βzusammen mit x∗auch einen Teil des zul¨
assigen
Bereichs von (L) abschneidet (vgl. [Guignard, 1998, Ralphs and Galati, 2005]).
In der Abbildung 2.19 sind zwei Schnittebenen αkTx≥βk,k=1,2dargestellt, die den
Punkt x∗∈Xvon den zul¨
assigen L¨
osungen des Optimierungsproblems (P) trennen. W¨
ahrend
die erste Ungleichung α1Tx≥β1eine optimale L¨
osung von (L) abschneidet und so zu einer
Verbesserung der Schranke zLM beitr¨
agt, verl¨
auft der zweite Schnitt außerhalb des zul¨
assigen
Bereichs von (L), sodass die Ungleichung α2Tx≥β2keinen Einfluss auf die L¨
osung der
Minimierungsaufgabe (L) und die Qualit¨
at der Schranke zLM hat.
Ax b
≥
x
≥
Dx q
(conv X)
copt
x(L1)
opt
x(L2)
opt
x=
opt
x(P)
αx≥β
2T
α1Tx≥β
2
1
(L)
Abbildung 2.19: Eine Ungleichung, die die L¨
osung x∗eines Lagrange-Teilproblems von den
zul¨
assigen L¨
osungen der Aufgabe (P) trennt, muss nicht zwangsl¨
aufig einen
Teil des zul¨
assigen Bereichs von (L) abschneiden.
Wie man an diesem Beispiel sieht, f¨
uhrt das Einbeziehen einer in der L¨
osung des aktu-
ellen Lagrange-Teilproblems verletzten g¨
ultigen Ungleichung in die Kosten der Lagrange-
Relaxation nicht immer zu einer Verringerung der Dualit¨
atsl¨
ucke zP−zLM. Jedoch konnte
diese Vorgehensweise bei einer Reihe ganzzahliger Optimierungsprobleme f¨
ur eine deutli-
che Verbesserung der berechenbaren Schranke sorgen. In Kombination mit einem Branch-
and-Bound-Verfahren wurde diese Technik bereits erfolgreich auf das Steiner-Baum-Problem
[Lucena, 1992], das Cliquen-Problem mit Kantengewichten [Hunting et al., 2001], die Tou-
renplanung [Martinhon et al., 2000] und einige weitere schwierige ganzzahlige Optimierungs-
aufgaben angewandt.
2.12.3 Relax-and-cut-Verfahren
Dieser Abschnitt behandelt die in unserer Implementierung gew¨
ahlten Strategien f¨
ur den
Aufbau und die Abarbeitung des Branch-and-Bound-Baums. Der Ablauf unseres Relax-and-
cut-Verfahrens ist im Algorithmus 12 gezeigt. Es folgt dem allgemeinen Schema aus dem Ab-
schnitt 2.3, erg¨
anzt um eine Heuristik zum schnelleren Auffinden guter zul¨
assiger L¨
osungen,
heuristische Variablenfixierung, problemspezifische Verzweigungsstrategie und Kriterien zum
Abschneiden uninteressanter Knoten.
Als Suchstrategie wurde in unserem Branch-and-Bound-Verfahren die Bestensuche imple-
mentiert. Als n¨
achster zu untersuchender Knoten wird hierbei ein Knoten mit der kleinsten
2.12 Relax-and-cut-Algorithmus 75
Algorithmus 12 Relax-and-cut-Verfahren f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem
1: initialisiere H:={(/0,/0,A)},¯zCNDP :=∞,z(/0,/0,A):=−∞
2: while (H6=/0)and (min(A0
0,A0
1,A0
∗)∈Hz(A0
0,A0
1,A0
∗)<¯zCNDP)do
3: w¨
ahle (A0,A1,A∗):=argmin(A0
0,A0
1,A0
∗)∈Hz(A0
0,A0
1,A0
∗){Bestensuche}
4: setze H:=H\{(A0,A1,A∗)}
5: fixiere Variablen anhand zus¨
atzlicher Ungleichungen
6: if (A∗=/0)then
7: starte das exakte Verfahren f¨
ur PS(A1)
8: else
9: starte die Heuristik (Algorithmus 7) f¨
ur PS(A1∪A∗)
10: if (die Heuristik findet keine L¨
osung) then
11: starte das exakte Verfahren f¨
ur PS(A1∪A∗)
12: if (das Problem PS(A1∪A∗)hat keine zul¨
assige L¨
osung) or
(∑k∈C∑(i,j)∈A1∪A∗ck
ijxk
ij +∑(i,j)∈A1fij ≥¯zCNDP)then
13: continue {Cut off}
14: berechne mit Bundle-Verfahren eine neue untere Schranke z(A0,A1,A∗)
15: [starte α- oder β-Fixierung ]
16: fixiere Variablen anhand zus¨
atzlicher Ungleichungen
17: if (z(A0,A1,A∗)≥¯zCNDP)or (eine zus¨
atzliche Ungleichung wird
bei jeder Belegung der unfixierten Variablen verletzt) then
18: continue {Cut off}
19: if (das Problem PS(A1∪A∗)wurde noch nicht exakt gel¨
ost) then
20: starte das exakte Verfahren f¨
ur PS(A1∪A∗)
21: if (das Problem PS(A1∪A∗)hat keine zul¨
assige L¨
osung) or
(∑k∈C∑(i,j)∈A1∪A∗ck
ijxk
ij +∑(i,j)∈A1fij ≥¯zCNDP)then
22: continue {Cut off}
23: E:=hMenge der in der L¨
osung von PS(A1∪A∗)benutzten Kanteni
24: w¨
ahle (i,j):=argmin(i0,j0)∈E∩A∗|ˆgi0j0|
25: generiere neue Knoten W0:= (A0∪{(i,j)},A1,A∗\{(i,j)})und
W1:= (A0,A1∪{(i,j)},A∗\{(i,j)})
26: setze H:=H∪{W0,W1}und zW0:=zW1:=z(A0,A1,A∗)
76 2 Netzwerkentwurf
unteren Schranke ausgew¨
ahlt (Zeile 3). Die Bestensuche zeichnet ein im Vergleich zu ande-
ren Suchstrategien kleinerer Rechenaufwand aus, weil man bei dieser Strategie nur Knoten
untersucht, die nicht durch eine Verbesserung der oberen Schranke abgeschnitten werden
k¨
onnen und untersucht werden m¨
ussen.
Die zul¨
assigen L¨
osungen werden in unserem Algorithmus nicht nur an den Bl¨
attern, sondern
an jedem Knoten des Suchbaums generiert. Die Untersuchung eines Knotens (A0,A1,A∗)
mit einer nichtleeren Menge A∗f¨
angt mit der Suche nach einer zul¨
assigen L¨
osung an. Zu
diesem Zweck l¨
osen wir das primale Teilproblem PS(A1∪A∗)mit der im Abschnitt 2.7.3
beschriebenen Heuristik (Zeile 9). Liefert die Heuristik keine L¨
osung, l¨
osen wir PS(A1∪A∗)
nochmal mit einem exakten Verfahren (Zeile 11), um entweder eine zul¨
assige L¨
osung zu fin-
den, oder nachzuweisen, dass der Knoten (A0,A1,A∗)keine zul¨
assigen L¨
osungen enth¨
alt und
nicht weiter untersucht werden muss. Bei einer exakten L¨
osung von PS(A1∪A∗)erh¨
alt man
neben einer zul¨
assigen L¨
osung auch eine untere Schranke f¨
ur den Knoten (A0,A1,A∗). Ein
Vergleich dieser Schranke mit den Kosten der besten bekannten L¨
osung (Zeile 12) tr¨
agt dazu
bei, die f¨
ur die Suche nach verbessernden L¨
osungen uninteressanten Knoten zu erkennen.
Nach der ¨
Uberpr¨
ufung der L¨
osbarkeit des mit dem Knoten (A0,A1,A∗)assoziierten Teil-
problems starten wir das Bundle-Verfahren, um eine untere Schranke f¨
ur die Kosten seiner
optimalen L¨
osung zu finden (Zeile 16). Um eine kontinuierliche Verbesserung der unteren
Schranke bei der Bewegung von der Wurzel des Suchbaums zu seinen Bl¨
attern zu sichern,
wird das Bundle-Verfahren an dem Knoten (A0,A1,A∗)mit den Werten der Lagrange-
Multiplikatoren initialisiert, die in seinem Vaterknoten f¨
ur den besten Wert der Lagrange-
Schranke sorgten. Zum Verbessern der oberen Schranke wird in jeder M-ten Iteration des
Bundle-Algorithmus die L¨
osung eines primalen Teilproblems PS(¯
A)mit einer von den y-
L¨
osungen der Lagrange-Relaxation abh¨
angigen Menge ¯
Aangestoßen (s. Abschnitt 2.7.1).
Außerdem werden im Laufe des Bundle-Verfahrens Algorithmen zur Variablenfixierung, Ein-
schr¨
ankung des Kardinalit¨
atsintervalls und zum Identifizieren g¨
ultiger Ungleichungen aus-
gef¨
uhrt. Die in einzelnen Lagrange-Teilproblemen verletzten g¨
ultigen Ungleichungen werden
mit neuen Lagrange-Multiplikatoren in die Zielfunktion der Lagrange-Relaxation einbezogen,
in der Hoffnung, die untere Schranke zu versch¨
arfen.
Liefert die L¨
osung der Rucksack-Relaxation in einer Iteration des Bundle-Algorithmus eine
untere Schranke z(A0,A1,A∗), die die Kosten der besten bekannten zul¨
assigen L¨
osung ¯zCNDP
¨
ubersteigt, wird das Bundle-Verfahren abgebrochen und der Knoten (A0,A1,A∗)eliminiert,
weil dieser Knoten keine zul¨
assigen L¨
osungen mit kleineren Kosten als ¯zCNDP enth¨
alt. Tritt
diese Abbruchbedingung nie ein, so h¨
alt das Bundle-Verfahren an, wenn
•alle Designvariablen fixiert worden sind,
•das Abbruchkriterium (2.14) erf¨
ullt ist oder
•ein Iterationslimit Lerreicht ist.
Nach der Berechnung der unteren Schranke wird in der heuristischen Version des Algorithmus
eine der im Abschnitt 2.9 beschriebenen Heuristiken zur Variablenfixierung aufgerufen (Zeile
17). Anschließend wird ¨
uberpr¨
uft, ob man aus den am Knoten (A0,A1,A∗)gespeicherten
zus¨
atzlichen Ungleichungen die richtigen Werte f¨
ur einige y-Variablen folgern kann (Zeile 18)
und ob es f¨
ur jede dieser Ungleichungen eine Belegung der unfixierten y-Variablen gibt, die
sie erf¨
ullt (Zeile 19). Findet man eine f¨
ur verbessernde L¨
osungen g¨
ultige Ungleichung, die am
2.13 Systemaufbau 77
Knoten (A0,A1,A∗)nicht erf¨
ullt werden kann, bricht man die Untersuchung des Knotens
ab.
Andernfalls l¨
osen wir das primale Teilproblem PS(A1∪A∗)mit einem exakten Verfahren
(sofern das nicht bereits bei der Suche nach einer zul¨
assigen L¨
osung geschah) und teilen
den zul¨
assigen Bereich von (A0,A1,A∗)zur weiteren Untersuchung auf, indem wir eine
Verzweigungsvariable yij mit (i,j)∈A∗w¨
ahlen und zwei Nachfolgerknoten von (A0,A1,A∗)
erzeugen, einen mit yij =1(die Kante (i,j)ist offen) und einen mit yij =0(die Kante (i,j)
ist gesperrt). Die neuen Knoten werden der Menge Hder noch nicht untersuchten Knoten
hinzugef¨
ugt und die Bearbeitung des Knotens (A0,A1,A∗)wird abgeschlossen.
Bei der Auswahl einer Verzweigungsvariablen nutzen wir eine in [Holmberg and Yuan, 2000]
vorgeschlagene Strategie, bei der man f¨
ur die Verzweigung stets eine Kante (i,j)∈A∗w¨
ahlt,
die
(a) in der L¨
osung des primalen Teilproblems PS(A1∪A∗)zum Transport der G¨
uter benutzt
wird und
(b) unter allen die Voraussetzung (a) erf¨
ullenden Kanten den kleinsten Betrag der redu-
zierten Kosten |ˆgij|in einer Rucksack-Relaxation besitzt.
Die Verzweigung auf einer in der optimalen L¨
osung des primalen Teilproblems f¨
ur den Trans-
port der G¨
uter benutzten Kante macht diese L¨
osung in einem der beiden Nachfolgerknoten
unzul¨
assig und erm¨
oglicht so das Auffinden alternativer primaler L¨
osungen. Geh¨
oren alle in
der L¨
osung des primalen Teilproblems benutzten Kanten der Menge A1an, k¨
onnte keine Ver-
zweigung in dem Knoten (A0,A1,A∗)zu einer besseren primalen L¨
osung f¨
uhren. Die Wahl
einer Kante mit betragsm¨
aßig kleinen reduzierten Kosten basiert auf einer in vielen Branch-
and-Bound-Algorithmen benutzten Idee, solche Variablen f¨
ur die Verzweigung zu w¨
ahlen,
deren Werte in der L¨
osung der aktuellen Relaxation unsicher zu sein scheinen. In der L¨
osung
der Rucksack-Relaxation (2.4.2) bestimmt das Vorzeichen der reduzierten Kosten ˆgij den
optimalen Wert einer Designvariablen yij. Ist |ˆgij|groß, so ist der Wert von yij fast sicher
und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Variable durch eines der im Abschnitt 2.9 beschriebe-
nen Verfahren fixiert wird, relativ hoch. Dagegen erscheint der Wert einer Designvariablen
mit einem kleinen Betrag der reduzierten Kosten eher unsicher, weswegen die Untersuchung
der beiden F¨
alle yij =0und yij =1f¨
ur eine solche Variable yij angemessen erscheint.
Das Verfahren bricht ab, wenn der Branch-and-Bound-Baum vollst¨
andig abgearbeitet ist
(d.h. wenn die Menge Hleer ist), oder wenn man f¨
ur jeden noch nicht untersuchten Knoten
eine untere Schranke aus seinem Vorg¨
anger kennt, die gr¨
oßer bzw. gleich den Kosten der
besten bis dahin bekannten zul¨
assigen L¨
osung ¯zCNDP ist.
2.13 Systemaufbau
Zur approximativen L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems wird in dieser Arbeit der
im Abschnitt 2.6.2 beschriebene Bundle-Algorithmus von Antonio Frangioni eingesetzt. Um
dieses Verfahren in unseren Relax-and-cut-Algorithmus zu integrieren, wurden Spezialisierun-
gen der von Frangioni eingef¨
uhrten Klassen implementiert. Die Abbildung 2.20 zeigt einige
an der Berechnung der unteren Schranken beteiligte Klassen. Hierbei sind die von Antonio
Frangioni eingef¨
uhrten Klassen fett eingerahmt.
78 2 Netzwerkentwurf
SolveMMCF()
GetSubG()
GetPSol()
ND_BC_Lagrange_Solver
MMCFClass
MMCFKskBase
Solve()
QPBundle
MMFCBundle
Fi()
GetGi()
AggrPrimalSol()
Knapsacks_Solver
SolveMMCF()
MMCFKskDcmp
GetSubG()
relaxViolatedInequalities()
insertInequality()
reduceCosts()
ExtraInequalities ND_BC_Bundle
EveryIteration()
getSubgradient()
Abbildung 2.20: Klassendiagramm
Die Klasse QPBundle realisiert den im Abschnitt 2.6.2 beschriebenen Bundle-Algorithmus,
bei dem der n¨
achste Vektor ωin jeder Iteration durch die L¨
osung der quadratischen Opti-
mierungsprobleme (∆βt)und (Πβt)festgelegt wird. Die Klasse MMCFBundle ist eine Spe-
zialisierung des Bundle-Verfahrens auf die L¨
osung von Lagrange-Multiplikator-Problemen.
Sie bestimmt die Interaktion zwischen dem Bundle-Algorithmus und der f¨
ur die L¨
osung von
Lagrange-Teilproblemen zust¨
andigen Klasse. Eine wesentliche Funktion der Klasse MMCFBundle
ist das Speichern der mit Subgradienten des B¨
undels βassoziierten L¨
osungen der Lagrange-
Relaxation. Wir nutzen diese Funktionalit¨
at von MMCFBundle, um die y-L¨
osungen zu spei-
chern.
F¨
ur unser Branch-and-Cut-Verfahren wurde eine von MMCFBundle abgeleitete Klasse
ND BC Bundle eingef¨
uhrt. Neben der Abwicklung des Bundle-Algorithmus hat diese Klas-
se die Aufgabe, das Einbeziehen zus¨
atzlicher Ungleichungen in die Lagrange-Funktion zu
leiten. W¨
ahrend der L¨
osung des Lagrange-Multiplikator-Problems startet ND BC Bundle
in regelm¨
aßigen Abst¨
anden die Suche nach g¨
ultigen Ungleichungen, die in den im B¨
undel
gespeicherten L¨
osungen yverletzt werden. F¨
ur solche Ungleichungen werden neue Lagrange-
Multiplikatoren (mit dem Initialwert 0) eingef¨
uhrt, die Subgradienten aus βwerden um neue
Komponenten erweitert und das Bundle-Verfahren wird fortgesetzt. Eine andere Funktion
der Klasse ND BC Bundle ist das Entfernen ung¨
ultiger Subgradienten aus dem B¨
undel β
nach einer durch Variablenfixierung verursachten ¨
Anderung der Lagrange-Funktion.
F¨
ur die L¨
osung der Lagrange-Relaxation (2.4.2) wird bei Antonio Frangioni die Klas-
se MMCFKskDcmp verwendet. In unserer Implementierung wird zur L¨
osung der Rucksack-
Relaxation eine von MMCFKskDcmp abgeleitete Klasse Knapsacks Solver eingesetzt.
Sie ¨
ubernimmt die Datenstruktur und die meisten Methoden wie zum Beispiel die Berech-
nung von Subgradienten aus der Klasse MMCFKskDcmp und l¨
ost die Rucksackprobleme nach
dem Schema des Algorithmus 2.
2.14 Zusammenfassung 79
Die Berechnung unterer Schranken wird in unserem Branch-and-Cut-Verfahren mit ei-
ner Reihe weiterer Operationen, wie Variablenfixierung, Berechnung zul¨
assiger L¨
osungen
und Generieren zus¨
atzlicher Ungleichungen, kombiniert. Zudem wird auch die Lagrange-
Relaxation durch Kardinalit¨
atsbedingungen und das Einbeziehen zus¨
atzlicher Ungleichun-
gen in die Zielfunktion modifiziert. F¨
ur die L¨
osung dieser modifizierten Rucksack-Relaxation
und zum Integrieren der oben erw¨
ahnten Operationen in die Lagrange-Heuristik wurde die
Klasse ND BC Lagrange Solver eingef¨
uhrt. Ihre Definition als eine Unterklasse von
MMCFClass sichert die Kompatibilit¨
at mit MMCFBundle.
Die Klasse ExtraInequalities speichert die aus den Vorg¨
angerknoten bekannten
und im Laufe der Bundle-Optimierung generierten g¨
ultigen Ungleichungen f¨
ur den aktuellen
Knoten des Branch-and-Bound-Baums. Neben der Verwaltung zus¨
atzlicher Ungleichungen
hat ExtraInequalities die Aufgabe, die Kostenkoeffizienten der Rucksack-Relaxation
entsprechend den Werten der mit zus¨
atzlichen Ungleichungen assoziierten Lagrange-Mul-
tiplikatoren zu variieren und die mit diesen Ungleichungen assoziierten Komponenten des
Subgradienten zu bestimmen.
2.14 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt m¨
ochten wir die entwickelten Ideen und Algorithmen zusammenfassen.
Die Abbildung 2.21 bietet einen ¨
Uberblick ¨
uber das Optimierungssystem f¨
ur Netzwerkent-
wurf. Die Methoden und Algorithmen wurden als Komponenten entworfen, die miteinander
kombiniert werden k¨
onnen. Die Branch-and-bound Algorithmen ben¨
otigen untere und obere
Schranken, sowie Strategien f¨
ur Branching, Baumsuche und Variablenfixierung.
Algorithmen: Branch-and-bound (2.3, Seite 19) und Relax-and-cut (2.12, Seite 70) bilden
die beiden Hauptkomponenten des Systems. Die zus¨
atzlichen ¨
Uberdeckungsungleichungen
(2.11.2, Seite 60) und lokalen Schnitte (2.11.3, Seite 66) k¨
onnen im Relax-and-cut-
Algorithmus benutzt werden.
Untere Schranken: Zwei Lagrange Relaxationen stehen wahlweise zur Verf¨
ugung (2.4.2,
Seite 21). Wir verwenden standardm¨
aßig die Rucksack-Relaxation, weil sie deutlich
schneller als die K¨
urzeste-Wege Relaxation ist.
Lagrange-Dual: Die Berechnung der unteren Schranken kann alternativ mit dem Subgra-
dientenverfahren (2.6.1, Seite 30) oder der Bundle-Methode (2.6.2, Seite 32) erfolgen.
Obere Schranken: Zul¨
assige L¨
osungen werden mittels Column Generation (2.7.2, Seite
43) oder mit der primalen Heuristik (2.7.3, Seite 44) berechnet.
Branching: Zwei Branchingstrategien stehen alternativ zur Auswahl: Variablendichotomie
(2.8.1, Seite 46) und Branching mit Kardinalit¨
atsbedingungen (2.8.2, Seite 47).
Baumsuche: Sowohl die Tiefensuche als auch die Bestensuche k¨
onnen eingesetzt werden.
Variablenfixierung: Exakte Strategien zur Variablenfixierung (2.9, Seite 50) sind: Rucksack-
Fixierung, K¨
urzeste-Wege Fixierung (shortest path), kombinierte Strategie, sowie die
Variablenfixierung mit Kardinalit¨
atsbedingungen (CIT: cardinality interval tightening,
80 2 Netzwerkentwurf
Obere Schranken
Branching
Variablen-
fixierung
exakte
CIT
Shortest path
Rucksack
heuristische
α-Fixierung β-Fixierung
Column generation
Primale Heuristik
Variablentaxonomie Kardinalitäten
Branch & Bound
Cover Cuts
Lokale Cuts
Relax & Cut
Untere Schranken Lagrange-Relaxation
Rucksack Shortest path
Algorithmen
Baumsuche Tiefensuche Bestensuche
Subgradient Bundle method
Lagrange-Dual
Abbildung 2.21: ¨
Uberblick ¨
uber die implementierten Algorithmen
2.9.4, Seite 54). Die beiden heuristischen Strategien - α- und β- Fixierung - verwan-
deln den jeweiligen Algorithmus in einen heuristischen Algorithmus f¨
ur Netzwerkentwurf
(2.10, Seite 56).
Jede Komponente verf¨
ugt weiterhin ¨
uber mehrere Parameter, die durch den Benutzer
eingestellt werden k¨
onnen, wobei jeweils auch Standardparameter vorgegeben werden.
Mehrere Konfigurationen des Systems sind nun m¨
oglich. Im Prinzip k¨
onnen die Kompo-
nenten beliebig miteinander kombiniert werden. Die in der Abbildung 2.21 nebeneinander
stehenden Komponenten k¨
onnen jeweils alternativ eingesetzt werden; die ¨
ubereinander ste-
henden k¨
onnen miteinander kombiniert werden.
Zwei Konfigurationen m¨
ochten wir gesondert hervorheben. Die erste ist in der Abbildung
2.22 dargestellt und wird im Folgenden als der NDBB-Solver bezeichnet.
Der NDBB-Solver besteht aus dem Branch-and-bound Algorithmus, der auf der Rucksack-
Relaxation basiert (ohne zus¨
atzliche Ungleichungen). Die unteren Schranken werden durch
die Subgradientenmethode berechnet, die oberen sowohl exakt als auch heuristisch gesucht.
Das Branching wird nach der Variablendichotomie durchgef¨
uhrt. Die Rucksack-Variablenfi-
xierung wird noch um die CIT-Fixierung erg¨
anzt. Der NDBB-Solver wurde in Zusammenarbeit
mit Meinolf Sellmann und Achim Koberstein entwickelt [Koberstein, 2002], [Sellmann, 2002].
2.14 Zusammenfassung 81
exakte
CIT
Shortest path
Rucksack
heuristische
α-Fixierung β-Fixierung
Column generation
Primale Heuristik
Variablentaxonomie Kardinalitäten
Branch & Bound
Cover Cuts
Lokale Cuts
Relax & Cut
Lagrange-Relaxation
Rucksack Shortest path
Tiefensuche Bestensuche
Subgradient Bundle method
Abbildung 2.22: NDBB Solver: Network Design Branch-and-bound Solver
exakte
CIT
Shortest path
Rucksack
heuristische
α-Fixierung β-Fixierung
Column generation
Primale Heuristik
Variablentaxonomie Kardinalitäten
Branch & Bound
Cover Cuts
Lokale Cuts
Relax & Cut
Lagrange-Relaxation
Rucksack Shortest path
Tiefensuche Bestensuche
Subgradient Bundle method
Abbildung 2.23: NDBC Solver: Network Design Relax-and-cut Solver
82 2 Netzwerkentwurf
Die Ergebnisse des NDBB-Solvers wurden u.a. in der folgenden Publikation ver¨
offentlicht:
•Meinolf Sellmann, Georg Kliewer, and Achim Koberstein. Lagrangian cardinality cuts
and variable fixing for capacitated network design. In Proceedings of the 10th Annual
European Symposium on Algorithms (ESA-2002), Springer, LNCS 2461, pages 845-
858, Rome, Italy, 2002.
Der NDBC-Solver (Abbildung 2.23) implementiert den Relax-and-cut-Algorithmus, in-
dem er zur Rucksack-Relaxation ¨
Uberdeckungsungleichungen (cover cuts) und die lokalen
Schnitte hinzuf¨
ugt. Die Bundle-Methode wird zur Lagrange-Optimierung eingesetzt. Die an-
deren Komponenten entsprechen dem NDBB-Solver. Statt der Tiefensuche wird aber die
Bestensuche benutzt. Der NDBC-Solver wurde in Zusammenarbeit mit Larissa Timajev ent-
wickelt [Timajev, 2004] und u.a. in der folgenden Arbeit vorgestellt:
•Georg Kliewer, and Larissa Timajev. Relax-and-cut for capacitated network design.
In Proceedings of the 13th Annual European Symposium on Algorithms (ESA-2005),
2005.
Im Kapitel 4.1 werden wir die Leistungsf¨
ahigkeit des Optimierungssystems bewerten. Es
werden Vergleiche mit anderen Systemen vorgenommen sowie die Performance einzelner
Komponenten untersucht.
3
Flottenzuweisung: Integration der
Planungsphasen
Dieses Kapitel beginnt wir mit einer Motivation zur Integration unterschiedlicher Planungs-
schritte in der Flugplanung. Wir gehen genauer auf die Aufgaben der Marktmodellierung,
der Flottenzuweisung und des Revenue Managements ein. Anschließend stellen wir drei Inte-
grationsstrategien vor, die die Flottenzuweisung mit anderen Planungsphasen verbinden und
auf diese Weise die Qualit¨
at des Planungsprozesses erh¨
ohen.
3.1 Motivation
Der Prozess der Flugplanung findet, wie bereits im Kapitel 2.1 beschrieben, auf vielen Ebe-
nen statt. Das Flugnetz, die Flugzeuge, das Personal und die Ticketverk¨
aufe werden zeitlich
parallel geplant und weisen hohe Abh¨
angigkeiten untereinander auf. Diese Tatsache f¨
uhrt
dazu, dass keine der Planungsaufgaben f¨
ur sich alleine gel¨
ost werden kann. Interaktion zwi-
schen den Aufgaben und den zust¨
andigen Planungsabteilungen ist notwendig, um zu einer
guten Gesamtplanung zu gelangen. Eine vollst¨
andige Integration wird aber alleine schon we-
gen der enormen Anzahl der zu planenden Freiheitsgrade und Parameter kaum m¨
oglich sein.
Das Potential der kooperierenden Planung wird in vielen F¨
allen aber noch nicht vollst¨
andig
ausgesch¨
opft.
In dieser Arbeit besch¨
aftigen wir uns mit der Integration der Planungsphase der Flottenzu-
weisung mit anderen benachbarten Planungsaufgaben. In den n¨
achsten Abschnitten wird die
Kopplung der Marktmodellierung und der Flottenzuweisung, sowie des Revenue Management
und der Flottenzuweisung untersucht.
Verwandte Arbeiten zur Integration der Planungsphasen sind u.a.:
Flottenzuweisung und Aircraft Rotation ([Barnhart et al., 1998], [Grothklags, 2003]),
Flottenzuweisung und Schedule Design ([Lohatepanont, 2002]),
Flottenzuweisung und Crew Scheduling ([Shenoi, 1996]),
83
84 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
AMS
MUC
IST
MAN CPH
PAR
LON
ZRH
FRA
AMS
MUC
IST
MAN CPH
PAR
LON
ZRH
FRA
MAN-IST: 100 Passagiere
Passagierfluss:
MAN-CPH-IST: x1
MAN-MUC-IST: x2
MAN-AMS-IST: x3
MAN-FRA-IST: x4
MAN-ZRH-IST: x5
MAN-PAR-IST: x6
MAN-LON-IST: x7
Profit: E €
Marktmodell
Abbildung 3.1: Beispiel: Ein Markt wird modelliert
Aircraft Rotation und Crew Pairing ([Klabjan et al., 2002], [Cohn and Barnhart, 2003]),
Flottenzuweisung und Pricing/Revenue Management ([Jacobs et al., 2000a]).
3.2 Marktmodellierung
Das Marktmodell wird in der lang- bis mittelfristigen Planung eingesetzt (siehe Abbildung 2.1
auf Seite 8). Dort ist der Flugplan noch nicht endg¨
ultig festgelegt und der Planer ben¨
otigt
in dieser Enwicklungsphase eine Entscheidungsunterst¨
utzung. Die Aufgabe der Marktmodel-
lierung besteht darin, f¨
ur ein gegebenes Flugnetzwerk die erwartete Anzahl der Passagiere
auf jeder Flugstrecke vorauszusagen. Damit kann die Profitabilit¨
at des Flugplans abgesch¨
atzt
werden. Auf dieser Grundlage werden eine Analyse und Bewertung von Flugplanungsszena-
rien durchgef¨
uhrt. Die nachfolgende Planung der Ressourcen greift immer wieder auf das
Marktmodell zur¨
uck, um Ver¨
anderungen zu bewerten.
Marktmodellierung
Eingabe Flugplan (Fl¨
uge mit zugewiesener Flotte)
M¨
arkte (St¨
adtepaare und Nachfragen)
Parameter Regeln f¨
ur den Aufbau der Reiserouten
Parameter f¨
ur die Verteilung der Marktnachfrage
Definition der Kosten
Definition der Ertr¨
age (Revenues)
Ausgabe Passagierfluss
Profite = Ertr¨
age - Kosten des Flugplans
Das Marktmodell soll auch voraussagen, wie sich die Passagiere auf die eigenen Fl¨
uge und
Fl¨
uge der anderen Fluggesellschaften aufteilen werden.
3.2.1 Discrete-Choice-Modelle
Modelle des Passagierverhaltens (passenger choice models) basieren auf Pr¨
aferenzen der
Passagiere und erlauben Voraussagen, f¨
ur welche der angebotenen Reisealternativen ein Pas-
sagier sich entscheiden wird.
3.2 Marktmodellierung 85
L¨
osungsverfahren
Das Problem der Marktmodellierung wird von vielen Fluggesellschaften mit Hilfe von Ver-
haltensmodellen gel¨
ost.
Zun¨
achst wird die Nachfrage f¨
ur alle St¨
adtepaare (M¨
arkte) im Flugnetzwerk gesch¨
atzt.
Historische Daten werden dabei in die Prognose einbezogen. Im zweiten Schritt werden alle
relevanten Reiseverbindungen (itineraries) f¨
ur diese M¨
arkte aufgebaut. Die Modellierung des
Reiseverhaltens der Passagiere ben¨
otigt Informationen ¨
uber die Pr¨
aferenzen der Passagiere.
Die Aufteilung der Passagiere auf die alternativen Reiseverbindungen erfolgt nach Prinzipien
der Discrete-Choice-Theorie. Das Ergebnis liefert die gesch¨
atzte Anzahl der Passagiere auf
jeder der zuvor generierten Reiseverbindungen. An dieser Stelle wird die Sitzkapazit¨
at auf den
Flugstrecken noch nicht ber¨
ucksichtigt (unconstrained demand). Die berechnete Anzahl der
Passagiere ¨
ubersteigt evtl. die Anzahl der verf¨
ugbaren Pl¨
atze. In diesem Fall m¨
ussen einige
Passagiere einen anderen Reiseweg w¨
ahlen. Im Modell wird vorausgesagt, wie sich abgewiese-
ne Passagiere verhalten (spill and recapture). Im letzten Schritt werden die voraussichtlichen
Ertr¨
age und die durch den Flugplan verursachten Kosten berechnet. Als Ergebnis erh¨
alt man
die erwartete Profitabilit¨
at des Flugplans.
Algorithmus 13 Marktmodellierung
1: Aufbau der Reiserouten (connection builder)
2: while (Maerkte 6=/0)do
3: Berechne zul¨
assige Pfade zwischen Ound D: Menge IOD
4: Verteilung der Marktnachfrage (market share)
5: while (Maerkte 6=/0)do
6: Berechne die Aufteilung der Passagiere im Markt OD auf die Pfade p∈IOD
7: Anwendung des Multinomial Logit Modells
8: Ber¨
ucksichtigung der Kapazit¨
aten (spill and recapture)
9: while (Fluege 6=/0)do
10: Berechne f¨
ur den Flug fdie Anzahl der abgewiesenen Passagiere (spill)
11: Verteile diese Passagiere auf alternative Reiserouten (recapture)
12: Kosten- und Ertragsrechnung
13: Berechne f¨
ur jeden Flug die entstehenden fixen und variablen Kosten
14: Berechne f¨
ur jeden Flug den erzielbaren Ertrag
15: return Passagierfluss und die Profitabilit¨
atsbewertung des Flugplans
Der Algorithmus 13 beschreibt die Vorgehensweise der Marktmodellierung. Als Ergebnis
wird der Passagierfluss berechnet, der als Grundlage f¨
ur die Profitabilit¨
atsbewertung des Flug-
plans und gleichzeitig als Ausgangspunkt f¨
ur die Einplanung der Flugzeugtypen im Netzwerk
(Flottenzuweisung) dient.
Grundlagen der Discrete-Choice-Theorie
Die nachfolgende Darstellung der Discrete-Choice-Theorie lehnt sich an das Buch von Ben-
Akiva und Lerman [Ben-Akiva and Bierlaire, 1985]. Die Grundlagen werden auch im Buchka-
pitel in [Ben-Akiva and Bierlaire, 1999] vorgestellt. In [Koppelman and Sethi, 2000] werden
diverse Logit Modelle behandelt und deren St¨
arken und Schw¨
achen miteinander verglichen.
86 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Der Entscheidungsprozess eines Passagiers wird von vier Komponenten beschrieben: Ent-
scheider, Alternativen, Attributen und Entscheidungsregel. Das Szenario ist wie folgt: Der
Entscheider hat aus einer Menge der Alternativen eine auszuw¨
ahlen. Die Entscheidung wird
nach der Entscheidungsregel vorgenommen, die die Attribute der Alternativen auswertet.
Jeder Entscheider besitzt eine Nutzenfunktion, die von den Attributen abh¨
angt. Da dem
Entscheider nicht unbedingt vollst¨
andige Informationen vorliegen, beeinflusst eine Zufalls-
komponente die ansonsten deterministische Nutzenfunktion.
Eingabedaten und Parameter
CnAuswahlmenge des Entscheiders n
i∈CnAlternative iaus der Auswahlmenge n
Vin deterministischer Anteil der Nutzenfunktion des Entscheiders nbei der Alternative i
βkGewichtsparameter f¨
ur Attribut k der Alternative i
xink Attribut k f¨
ur die Kombination (i,n)
εin Zufallsterm
Uin Nutzenfunktion des Entscheiders nbei der Alternative i
Vin =∑
k
βkxink
Uin =Vin +εin
P(i|Cn) = P(Uin ≥Ujn∀j∈Cn) = P(Uin =maxj∈CnUjn)
Der deterministische Nutzen Vin ist eine Summe der gewichteten Attribute einer Alterna-
tive. In der Nutzenfunktion Uin des Entscheiders nkommt noch zus¨
atzlich eine Komponente
εin vor, die die Zuf¨
alligkeit der Entscheidung abbilden soll. Der Passagier entscheidet sich
damit f¨
ur die wertvollste Alternative Uin =maxj∈CnUjn.
Die Annahme ¨
uber Verteilung der Zufallskomponente εin definiert zwei große Familien der
Discrete-Choice-Modelle. Die Logit-Familie benutzt Gumbel-verteilte Variablen, normalver-
teilte Variablen f¨
uhren zu der Familie der Probit Modelle. Beide Modelle haben Vorteile und
Nachteile, auf die wir im sp¨
ateren Verlauf des Kapitels eingehen werden.
Logit und verwandte Modelle
Bei der folgenden Annahme ¨
uber die Zufallskomponente εin
F(ε) = e−e−µ(ε−η),µ>0(scale),η(location)
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Entscheider die Alternative iaus der Menge Cnausw¨
ahlt,
relativ einfach zu berechnen:
P(i|Cn) = eµVin/∑
j∈Cn
eµVjn
Vorteile der Logit-Modelle sind ihre einfache Implementierbarkeit und vorliegende effizi-
ente Sch¨
atzalgorithmen. Nachteil ist: explizite Annahme ¨
uber Unabh¨
angigkeit der Zufalls-
komponenten. Um dieses Nachteil auszumerzen, sind mehrere Erweiterung des Logit-Modells
untersucht worden, z.B. die Probit- und Dogit-Modelle.
Probit-Modelle k¨
onnen die gegenseitigen Abh¨
angigkeiten der Alternativen abbilden. Nach-
teilig sind die aufwendigen Sch¨
atzalgorithmen, die keinen Praxiseinsatz in großen Systemen
erlauben. Dogit-Modelle sind in der Diplomarbeit von M¨
uller-Bungart untersucht worden und
verhalten sich besser als Logit-Modelle ([M¨
uller-Bungart, 2003]).
3.2 Marktmodellierung 87
Marktmodell der Lufthansa Systems
01.10.2002
Slide 8 Grothklags, Kliewer, Weber: Improving Revenue by System Integration and Co-operative Optimization
AGIFORS 42nd Annual Symposium 2002
Strategic Profitability Evaluation Model (cont)
Fleet AssignmentProfitability Evaluation Model
objective function for fleet assignment
assignment
Simulated
Annealing
Market Share Model
Connection Builder
Spill & Recapture
Revenue & Cost
Estimation
constrained passenger flow
prelim. capacity assignment
schedule
av. revenues
market demand
itineraries
unconstrained demand
Abbildung 3.2: Die Vorgehensweise des Marktmodellierung
Das Logit-Marktmodell der Lufthansa Systems ist Bestandteil des Produkts NetLine/Plan
und wird von mehreren Fluggesellschaften eingesetzt1.
Uns stand f¨
ur diese Arbeit eine Version von NetLine/Plan zur Verf¨
ugung [LufthansaSystems, 2005].
Die Experimente wurden auf Realdaten von Fluggesellschaften durchgef¨
uhrt. In einigen Ex-
perimenten war eine Anpassung oder Selektion der Daten notwendig, um die wesentlichen
Effekte besser darstellen zu k¨
onnen.
Auf die detaillierten Angaben der Parameter des Marktmodells m¨
ussen wir in dieser Ar-
beit verzichten, weil diese nicht ver¨
offentlicht werden d¨
urfen. Es gibt z.B. eine Vielzahl von
Parametern, die die Regeln festlegen, nach denen die zul¨
assigen Reiseverbindungen gebildet
werden. Die Parameter des Logit-Modells m¨
ussen so kalibriert werden, dass die Voraussagen
eine m¨
oglichst gute Qualit¨
at haben. Die Kosten- und Ertragsparameter sind spezifisch f¨
ur
jede Fluggesellschaft und stellen das vielleicht am st¨
arksten geh¨
utete Betriebsgeheimnis dar.
Die Dissertation von Radicke [Radicke, 1994] stellt L¨
osungsverfahren f¨
ur das Fleet Assi-
gnment Problem vor, die auf Informationen aus dem Marktmodell der Lufthansa Systems
beruhen. Die Bewertung des Marktmodells wird im Fleet Assignment Algorithmus simuliert.
In einem internen Dokument von Lufthansa Systems [Lefeld and P¨
olt, 1995] werden die
sechs Bestandteile des Marktmodells detailliert beschrieben: Connection-Builder, das Logit-
Modell, das Spill-and-Recapture Modul, das Kosten-Modul und die Profitabilit¨
atsbewertung.
1NetLine/Plan unterst¨
utzt die mittel- und langfristige Streckennetzplanung von Fluggesellschaften. Auf der
Basis der Airline-eigenen Flugpl¨
ane sowie der Flugpl¨
ane der Mitbewerber werden Prognosen f¨
ur Passa-
gierstr¨
ome, Ertr¨
age und Kosten erstellt. Damit k¨
onnen geplante ¨
Anderungen des Flugplans analysiert und
Flugpl¨
ane optimiert werden. Die M¨
oglichkeit, interaktiv neue Verbindungen, Zeit-, Equipment- und Code-
Share ¨
Anderungen zu analysieren und evaluieren, z¨
ahlt zu den besonderen St¨
arken von NetLine/Plan.
Zusatzmodule f¨
ur die automatisierte Optimierung erlauben es, komplexe Szenarien zu evaluieren. Dies
erm¨
oglicht es der planenden Airline, die Umsatz- und Ertragspotentiale ihres Netzwerks voll zu erschlie-
ßen. Quelle: www.lhsystems.com
88 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
In [Sieber, 1995] wird die Spill-and-Recapture Komponente genauer vorgestellt. In der tech-
nischen Dokumentation [LufthansaSystems, 1997] werden Eingabedaten, Parameter und das
Verhalten des Marktmodells beschrieben. Im Projektbericht 2[PARALOR, 1997] wird das
Marktmodell und dessen Parallelisierung im Rahmen des BMBF-Projekts beschrieben.
In zwei Arbeiten [M¨
uller-Bungart, 2003], [Scheidler, 2003] werden die im Marktmodell be-
nutzten Logit-Modelle untersucht. Beide stellen fest, dass einige Annahmen, die das multino-
miale Logit-Modell trifft, in der Praxis oft nicht zutreffen. Als Abhilfe werden neue Modelle
vorgestellt. M¨
uller-Bungart untersucht das sog. Dogit-Modell und stellt fest, dass die IIA-
Annahme (Unabh¨
angigkeit von irrelevanten Alternativen) in vielen M¨
arkten nicht haltbar ist
und die Passagiere sich nicht immer an ihrem Nutzen orientieren (Loyalit¨
at). Das Dogit-
Modell behandelt explizit die Loyalit¨
at der Passagiere und geht nicht von der IIA-Eigenschaft
der M¨
arkte aus. Scheidler erweitert das Logit-Modell ebenfalls so, dass die IIA-Eigenschaft
nicht gegeben sein muss.
3.2.2 Weitere Methoden der Marktmodellierung
In seiner Dissertation3gibt Kniker einen guten ¨
Uberblick ¨
uber die Probleme und L¨
osungsverfahren
im Bereich Marktmodellierung (airline passenger itinerary selection process)[Kniker, 1998].
Im ¨
Ubersichtsartikel [Etschmaier and Mathaisel, 1984] wird im Abschnitt Schedule Eva-
luation Models der Stand der Technik bis 1984 beleuchtet.
Der aktuellere Beitrag von Viswanathan (Sabre)[Viswanathan, 1999] gibt einen ¨
Uberblick
¨
uber Techniken in diesem Bereich an.
In der Dissertation von Ramming [Ramming, 2002] werden Modelle f¨
ur die Wahl von
Reiserouten im Straßenverkehr diskutiert.
In der Literatur findet man weitere Verfahren f¨
ur die Vorhersage des Passagierverhaltens:
•QSI-Modelle (quality of service index) teilen die Menge der Passagiere auf die Alter-
nativen rein nach ihrer Attraktivit¨
at auf. Ber¨
ucksichtigt werden dabei z.B. die Dauer
der Verbindung, Anzahl der Umsteigeverbindungen etc.
•Zeitreihenmodelle (time series models) basieren auf historischen Daten und versu-
chen, Trends in der Entwicklung zu erkennen und damit eine Zukunftsprognose zu
machen.
•Regressionsmodelle versuchen, Abh¨
angigkeiten zwischen relevanten Faktoren zu fin-
den und durch Abbildung von weiteren Faktoren eine Prognose zu machen.
•Simulationsmodelle werden z.B. in den Arbeiten zu PODS von Boeing [Parker, 2003],
in den Dissertationen von Farkas[Farkas, 1996] und Carrier[Carrier, 2003] behandelt.
Die Simulation generiert Buchungsanfragen von Passagieren und wird in erster Linie
f¨
ur die Evaluation von Methoden des Revenue Managements benutzt. PODS kann
aber auch zum Bewerten von Flugpl¨
anen verwendet werden.
•Analytische Methoden f¨
ur User-Equilibrium. In den Arbeiten von Soumis wird im
Gegensatz zu einem Systemoptimum nach einem User-Equilibrium gesucht. Die Passa-
giere entscheiden sich f¨
ur eine Reiseverbindung abh¨
angig von ihrer Attraktivit¨
at. Diese
2Seiten 88 - 92.
3Kapitel 3.3, Seiten 56 - 60
3.3 Revenue Management 89
Entscheidungen werden in einem Markov-Prozess berechnet. Nichtlineare Bedingungen
bringen den Passagierfluss ins Gleichgewicht mit den angebotenen Kapazit¨
aten. (Siehe
[Soumis and Nagurney, 1993], [Dumas and Soumis, 2004])
•Kommerzielle Systeme: Lufthansa Systems entwickelte das bereits beschriebene
NetLine/Plan System. Sabre AirFlite Profit Manager[Sabre, 2004] und United Airlines
Profitability Forecasting Model[Usman, 2002], [Sivakumar, 2003] benutzen ebenfalls
ein Logit-Modell f¨
ur die Marktmodellierung. O&D FAM von Sabre[Jacobs et al., 2000b]
bewertet Flugpl¨
ane mit einem vereinfachten O&D (origin-destination) Revenue Mana-
gement Modell.
3.2.3 Zusammenfassung
Marktmodelle werden in der Flugplanung eingesetzt, um Flugplanszenarien zu bewerten. Wir
haben einige Klassen von Marktmodellen vorgestellt, u.a. Discrete-Choice-Modelle. In den
folgenden Kapiteln werden wir untersuchen, wie die Aufgabe der Marktmodellierung mit der
Planungsphase der Flottenzuweisung integriert werden kann.
3.3 Revenue Management
In diesem Abschnitt geben wir einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber die Verfahren im Bereich Revenue
Management. Die Beschreibung ist an die Darstellung im Buch von Talluri und van Ryzin
angelehnt [Talluri and van Ryzin, 2005].
Die Aufgaben des Revenue Managements (oder Ertragsmanagements) beinhalten die Auf-
teilung der Pl¨
atze auf einem Flug in unterschiedliche Kategorien, die Festlegung der Ticket-
preise und die Steuerung der Ticketverk¨
aufe. Diese Aufgaben werden w¨
ahrend der ganzen
Buchungsperiode wahrgenommen, d.h. zwischen der Ver¨
offentlichung des Flugplans f¨
ur eine
Periode (Sommer-/Winterflugplan) und dem jeweiligen Flug. Das Ziel des Revenue Mana-
gement (RM) kann so beschrieben werden:
Verkaufe das richtige Flugticket zum richtigen Zeitpunkt an die richtige Person zum rich-
tigen Preis.
Wesentliche Merkmale eines RM-Systems sind:
•Differenzierung der Tickets nach Verkaufs- und Umbuchungsbedingungen (Business,
Economy, Discount) mit bis zu 10 unterschiedlichen Preisklassen (product differentia-
tion).
•W¨
ahrend des Buchungszeitraums werden die Preise dynamisch an die Nachfrage an-
gepasst (dynamic pricing).
•Steuerung der Verf¨
ugbarkeit der einzelnen Preisklassen unter Ber¨
ucksichtigung der
Buchungsprognosen (inventory control).
Im Bild 3.3 ist der Aufbau eines typischen Revenue Management Systems dargestellt.
Die Abbildung 3.4 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Flugplanung, Pricing und
Revenue Management.
90 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Abbildung 3.3: Ein Revenue Management System (Quelle: [Talluri and van Ryzin, 2005])
Relevante historische Daten werden zun¨
achst gesammelt und f¨
ur die Prognosen aufbereitet.
Die Passagiernachfrage wird modelliert und daraus werden Buchungsprognosen erstellt, die
laufend angepasst und verfeinert werden m¨
ussen.
Bei der Optimierung geht es darum, eine optimale Steuerung des Ticketverkaufs zu orga-
nisieren. Aktuelle Preise und Regeln f¨
ur die Annahme oder Abweisung von Buchungsanfragen
werden aufgestellt.
Das Reservierungssystem empf¨
angt ¨
uber s¨
amtliche Verkaufskan¨
ale (Reiseb¨
uros, Call-Center,
Internet) Anfragen und bedient sie nach der aktuell g¨
ultigen Steuerungsstrategie.
Die wichtigsten Bestandteile eines RM-Systems sind die Prognosemodelle f¨
ur Buchungen
und die Optimierungsverfahren zur Kapazit¨
atssteuerung.
Prognosemodelle m¨
ussen der Tatsache Rechnung tragen, dass unterschiedliche Kunden-
gruppen unterschiedliches Buchungsverhalten aufweisen. Im Bild 3.5 sind die zeitlichen Verl¨
aufe
beispielhaft dargestellt. Business-Kunden buchen typischerweise erst ein Paar Tage vor Abflug
und m¨
ochten vor allem flexible Umbuchungsm¨
oglichkeiten erhalten. Economy- und Discount-
3.3 Revenue Management 91
Revenue
Management
Flugplanung
Preispolitik
Strecken
Flugzeiten
Produkt
Nachfrage
Märkte,
Marketing,
Vertrieb
Preise,
Konditionen
Verfügbarkeit
Kapazität
Service
Buchungen,
Passagiere
Erlöse
Abbildung 3.4: Der Zusammenhang von Flugplanung, Pricing und Revenue Management
(Quelle: [Sterzenbach and Conrady, 2003, P¨
olt, 2001])
Kunden buchen lange vor Abflug und nehmen diverse Restriktionen (z.B. Wochenende-Regel)
in Kauf, vorausgesetzt der Ticketpreis bleibt niedrig.
3.3.1 Steuerungsstrategien
Die grunds¨
atzliche Frage des Revenue Managements lautet deswegen:
Soll eine Economy- oder Discount-Buchungsanfrage jetzt akzeptiert werden oder lohnt es
sich, den betreffenden Platz f¨
ur eine sp¨
atere Business-Anfrage zu reservieren?
Im einfachen Fall von nur zwei Klassen mit Preisen p1und p2mit p1>p2und gesch¨
atzten
Bedarfen D1und D2(Wahrscheinlichkeitsfunktionen) kann der Platz xan die Anfrage zum
Preis p2vergeben werden, falls gilt:
p2≥p1·P(D1≥x)
Der Preis p2¨
ubersteigt also den gesch¨
atzten erzielbaren Preis f¨
ur diesen Sitz in der Klasse
1. Da die Funktion P(D1≥x)fallend in xist, existiert ein optimaler Wert y∗
1mit:
p2=p1·P(D1≥y∗
1)
Bei einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsfunktion F1(x)kann dieser optimale Wert
berechnet werden (Littlewood’s Regel [Littlewood, 1972]):
y∗
1=F−1(1−p2/p1)
Entsprechend dieser Regel kann eine Buchungsgrenze von y∗
1Pl¨
atzen definiert werden, die
die Klasse-1vor Klasse-2Buchungen sch¨
utzt.
92 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Verlauf der Buchungen
0
25
50
75
100
Tag des Flugs
% der Buchungen
Discount
Economy
Business
Abbildung 3.5: Buchungsverhalten unterschiedlicher Kundengruppen
Eine Verallgemeinerung dieser Regel auf nKlassen wurde von Belobaba in [Belobaba, 1989]
vorgeschlagen. Die heuristische Strategie EMSR-b (expected marginal seat revenue - version
b) findet eine sehr breite Verwendung in RM-Systemen vieler Fluggesellschaften.
Die Klassenanfragen mit Preisen p1>p2> ... > pnmit Bedarfsfunktionen Fj(x)erreichen
in der Reihenfolge n,...,2,1das RM-System.
In der Runde j+1betrachten wir die Anfrage mit dem Preis pj+1und suchen nach
einer Buchungsgrenze yjf¨
ur die Klassen j,j−1,...,2,1. Der Gesamtbedarf dieser Klassen ist
Sj=∑j
k=1Dk. Der gewichtete Durchschnittspreis der Klassen 1,..., jist
¯pj=∑j
k=1pk·E[Dk]
∑j
k=1E[Dk]
Die Buchungsgrenze wird festgelegt auf
P(Sj>yj) = pj+1
¯pj
In jeder Runde kann so bestimmt werden, wie viele Buchungsanfragen in der jeweiligen
Preisklasse akzeptiert werden k¨
onnen.
Wie bereits im Abschnitt 3.5.1 beschrieben wurde, k¨
onnen Ressourcen, wie z.B. Pl¨
atze auf
einem Flug, nicht unabh¨
angig von anderen Fl¨
ugen optimal zugeteilt werden. In diesem Fall
muss die Kontrolle auf der Netzwerkebene ausgef¨
uhrt werden (O&D-RM: origin-destination
revenue management).
Von den existierenden Arten der Netzwerkkontrolle m¨
ochten wir in diesem Abschnitt auf
die bid-price Steuerung erw¨
ahnen.
Ein bid-price definiert eine Preisschwelle f¨
ur jede Ressource im Netzwerk. Bei einer Bu-
chungsanfrage f¨
ur eine Reiseverbindung (die evtl. aus mehreren Fl¨
ugen besteht) wird deren
Preis mit der Summe der bid-prices der einzelnen Fl¨
uge verglichen und die Anfrage akzeptiert,
falls dieser Preis h¨
oher ist.
3.4 Flottenzuweisung 93
Bid-price Kontrollstrategien sind nicht immer optimal, liefern aber eine gute Approximation
der optimalen Kontrolle [Talluri and van Ryzin, 1998].
Bid-prices k¨
onnen mit unterschiedlichen Methoden berechnet werden:
•Globale Approximationsmethoden:
–deterministisches lineares Modell
–probabilistisches oder randomisiertes lineares Modell
•Dekompositionsmethoden:
–OD factors Methode
–prorated EMSR
–DAVN: displacement-adjusted virtual nesting
–Dynamische Programmierung
–iterative DAVN
–iterative prorated EMSR
Im Abschnitt 3.6 gehen wir genauer auf das deterministische lineare Modell ein.
Das Ergebnis dieser Methoden ist ein bid-price f¨
ur jeden Flug im Netzwerk. Die Berechnung
des Passagierflusses erfolgt als n¨
achster Schritt. Die Buchungsanfragen k¨
onnen z.B. simuliert
werden. In der vereinfachten Version k¨
onnen die Passagierzahlen in den einzelnen Preisklassen
gleich den Erwartungswerten angenommen werden. Aus dem so berechneten Passagierfluss
kann der Gesamtertrag im Flugnetz berechnet werden.
Diese Ertragssch¨
atzung wird an die Flottenzuweisung weitergegeben, damit die Optimie-
rung darauf reagieren und eine bessere L¨
osung berechnen kann.
3.4 Flottenzuweisung
Bei der Flottenzuweisung (Fleet Assignment) wird f¨
ur jeden Flug der Typ des zugeh¨
origen
Flugzeugs bestimmt. Dieser bestimmt unter anderem die Zahl der Passagiere, die auf dieser
Strecke bef¨
ordert werden k¨
onnen. Dabei ist die Anzahl der Flugzeuge je Flugzeugtyp be-
schr¨
ankt. Der Gewinn der Flottenzuweisung soll maximiert werden. Die einzelnen Gewinne
f¨
ur jede m¨
ogliche Zuweisung eines Flugzeugtyps zu einem Flug wurden vor der Berechnung
der Flottenzuweisung durch die Marktmodellierung gesch¨
atzt.
3.4.1 Modellierung
Das Problem wird als ein Mehr-G¨
uter-Fluss-Problem im Flugnetzwerk modelliert. Die unter-
schiedlichen Flotten entsprechen dabei den zu transportierenden G¨
utern. Es wird ein time-
space-Netzwerk definiert, in dem f¨
ur jede m¨
ogliche Flugbewegung auf einem Flughafen ein
Knoten und f¨
ur jede Flugverbindung eine ”Flug-Kante“ existiert. Außerdem gibt es in die-
sem Netzwerk noch ”Bodenkanten“, die zwei aufeinander folgende Flugereignisse auf einem
Flughafen verbinden. Ein Beispiel mit drei Flugh¨
afen ist im Bild 3.7 dargestellt.
94 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
01.10.2002
Slide 9 Grothklags, Kliewer, Weber: Improving Revenue by System Integration and Co-operative Optimization
AGIFORS 42nd Annual Symposium 2002
Fleet Assignment - Optimisation Algorithm
Fleet Assignment
fleet
schedule
restrictions
Accept/Reject
Generate
Neighbor Solution
Update
Solution
final
assignment
Simulated
Annealing
Objective Function
Profitability Evaluation
Model
Abbildung 3.6: Der Algorithmus f¨
ur die Flottenzuweisung
CCC
BBB
AAA
Bodenkante
Flugkante Flugereignis
(Leg)
Periodenende schneidende Kante Periodenende
Flughafen
Abbildung 3.7: Time-Space Netzwerk f¨
ur das Fleet Assignment Problem
Eingabedaten und Parameter
NTS Knoten des Time-Space Netzwerks
AMenge der Flugh¨
afen
EFFlugkanten des Time-Space Netzwerks
EG,fBodenkanten des Time-Space Netzwerks
EF0,EG0,fFlugkanten und Bodenkanten, die ¨
uber die Null-Uhr-Linie gehen
FMenge der Flugzeugtypen (subfleets)
sizefAnzahl der verf¨
ugbaren Flugzeuge in der subfleet f
v∈NTS v= (time,a,f)ein Flugereignis zum Zeitpunkt time, Flughafen a, subfleet f∈F
v−,v+∈NTS Vorg¨
anger- und Nachfolgeflugereignis von v
pl f Profit f¨
ur ein Passagier auf dem Flug l∈EFmit der subfleet f∈F
3.4 Flottenzuweisung 95
Entscheidungsvariablen
yl f Die Flugkante l∈EFwird vom Flugzeugtyp f∈Fbedient
zv,v+Anzahl der Flugzeuge auf einer Bodenkante zwischen vund v+
Das mathematische Modell f¨
ur das Flottenzuweisungsproblem mit Hilfe des Time-Space
Netzwerks sieht wie folgt aus ([Hane et al., 1995]):
Maximize ∑
l∈EF∑
f∈F
pl f yl f
∀l∈EF:∑
f∈F
yl f =1(FA1)
∀v∈NTS :∑
arr(l,f)=vyl f −∑
dep(l,f)=vyl f +zv−,v−zv,v+=0(FA2)
∀f∈F:∑
lf∈EF0
yl f +∑
(v,v+)∈EG0,f
zv,v+≤sizef(FA3)
∀l∈EF,∀f∈F:yl f ∈{0,1}(FA4)
∀(v,v+) ∈EG,f:zv,v+≥0(FA5)
Die Gleichungen (FA 1) garantieren, dass jede Flugkante von genau einer subfleet geflogen
wird. Die Gleichungen (FA 2) stellen sicher, dass die Flusseigenschaft im Graphen erhalten
bleibt. Die Bedingung (FA 3) schr¨
ankt die Anzahl der einsetzbaren Flugzeuge ein.
3.4.2 Literatur¨ubersicht
F¨
ur die Bestimmung einer Flottenzuweisung wurden in der Literatur mehrere exakte und
heuristische Methoden entwickelt. Bei den exakten Ans¨
atzen wird eine optimale L¨
osung
mittels Branch-and-Bound berechnet.
Die ersten Arbeiten im Bereich Flottenzuweisung von [Ferguson and Dantzig, 1956] er-
schienen bereits 1956. Sie entwickelten mathematische Modelle f¨
ur die Zuweisung von Flug-
zeugen zu Fl¨
ugen, erfassten die wichtigsten Problemeigenschaften und begr¨
undeten damit
jahrzehntelange Forschung auf diesem Gebiet. Fr¨
uhe Ans¨
atze f¨
ur das Fleet Assignment Pro-
blem (FAP) arbeiteten mit heuristischen Varianten des Frank-Wolfe Algorithmus und nutz-
ten die Netzwerk-Struktur des Problems aus [Soumis et al., 1980]. Im ¨
Ubersichtsartikel von
[Etschmaier and Mathaisel, 1984] werden die fr¨
uhen Arbeiten beschrieben.
Abara formulierte das FAP als ein Multicommodity Flussproblem mit zus¨
atzlichen
Constraints [Abara, 1989]. Das von ihm vorgestellte Modell wurde das connection-network
Modell genannt.
In [Daskin and Panayotopoulos, 1989] wird ein auf Lagrange-Relaxation basierter Ansatz
f¨
ur das FAP vorgestellt, bei dem Routen, die von einem Hub ausgehen, mehrere Zwischen-
flugh¨
afen besuchen und zum Hub zur¨
uckkehren, Flugzeugtypen zugewiesen werden.
Das time-space network Modell aus [Hane et al., 1995] wurde zum Standardmodell
f¨
ur das Fleet Assignment Problem. Der vorgestellte Ansatz wird bei mehreren großen
amerikanischen Fluggesellschaften eingesetzt. Die betrachteten Probleme basieren auf einer
Tagesplanung, die dann ¨
uber die ganze Woche unver¨
andert realisiert wird, mit kleineren
¨
Anderungen am Wochenende. Im Rahmen des Branch-and-Bound Algorithmus werden die
96 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
LP-Probleme in jedem Knoten mit einem Interior-Point Algorithmus oder einem Steepest-
Edge Simplex-Algorithmus gel¨
ost. Einen sehr wichtigen Bestandteil bilden problemspezifische
Reduktionsverfahren, wie z.B. die Inselbildung oder die Wahl der Branching-Variablen.
In [Berge and Hopperstad, 1993] werden verschiedene heuristische Techniken f¨
ur das time-
space network Modell entwickelt. Außerdem werden Strategien vorgestellt, wie man auf
Schwankungen der Passagiernachfrage kurzfristig reagieren kann.
In [Desaulniers and Desrosiers, 1997] wird die Flottenzuweisung auf Wochenbasis durch-
gef¨
uhrt.
Der Einsatz der exakten mathematischen Optimierung und insbesondere von komm-
erziellen L¨
osern wie z.B. CPLEX f¨
uhrte zu einem durchschlagenden Erfolg bei vielen Airli-
nes. Die Ergebnisse von Abara [Abara, 1989] wurden in Zusammenarbeit mit American Air-
lines erreicht. [Hane et al., 1995] entwickelten ihre Modelle und L¨
osungsverfahren f¨
ur Delta
Air Lines. [Subramanian et al., 1994] berichten ¨
uber ihre Erfahrungen mit den großen FAP
Modellen bei Delta Air Lines.
Die Arbeiten bei USAir in diesem Bereich werden in [Rushmeier and Kontogiorgis, 1997]
dargestellt.
Die Komplexit¨
at des FAP wurde in der Arbeit von [Gu et al., 1994] untersucht. Das FAP
ist bereits f¨
ur drei Flugzeugtypen NP-vollst¨
andig.
Ans¨
atze, die neben dem Finden einer guten L¨
osung einen Beweis der Optimalit¨
at durchf¨
uhren,
stoßen bei gr¨
oßeren Probleminstanzen oder bei zus¨
atzlichen Nebenbedingungen oft schnell
an ihre Grenzen. Eine optimale L¨
osung anzustreben ist in der Praxis angesichts langer Be-
rechnungszeiten oft nicht sinnvoll, insbesondere wenn es sich – wie bei der Flottenzuweisung
– bei den zugrunde liegenden Daten nur um Sch¨
atzungen handelt. Deswegen wird in der
Praxis auch ein potentiell exakter Ansatz nach Berechnung einer guten L¨
osung abgebrochen,
um akzeptable Rechenzeiten zu erzielen. Heuristische Ans¨
atze verzichten generell darauf, den
Beweis der Optimalit¨
at zu f¨
uhren. Ihnen geht es vielmehr darum, in kurzer Zeit m¨
oglichst
gute zul¨
assige L¨
osungen zu liefern.
In diesem Bereich sind zun¨
achst Verfahren zu nennen, die eine FAP L¨
osung geringf¨
ugig
ver¨
andern, um sie an die neuen ¨
außeren Bedingungen anzupassen. Von den bereits erw¨
ahnten
Arbeiten stellen z.B. [Berge and Hopperstad, 1993] Heuristiken vor, die mehrfach ein Mini-
mum Cost Flow Problem l¨
osen oder DELPRO-Methode, die die Zuweisung von zwei Flug-
sequenzen tauscht. Neuere Arbeiten, die ebenfalls fertige FAP L¨
osungen anpassen, sind z.B.
[Klincewicz and Rosenwein, 1995], [Yan and Young, 1996], [Talluri, 1996], [Jarrah et al., 2000],
[Sharma et al., 2000].
In der Dissertation von Radicke [Radicke, 1994] wurden heuristische Algorithmen f¨
ur das
FAP entwickelt, die Kreise im Graphen suchen und die Zuweisung der Flugzeugtypen auf die-
sen Kreisen ver¨
andern. Zun¨
achst wird der Algorithmus f¨
ur zwei Flugzeugtypen vorgestellt, der
dann auf mehrere erweitert wird. Die Diplomarbeit von [Nitschke, 1997] untersucht mehrere
exakte Verfahren f¨
ur das Problem der Flottenzuweisung.
In Paderborn wurden im Rahmen von mehreren Projekten heuristische Verfahren f¨
ur das
FAP entwickelt. In der Diplomarbeit von [Grothklags, 2000] sind Simulated Annealing Algo-
rithmen vorgestellt worden, die zur Zeit im industriellen Einsatz bei Kunden der Lufthansa Sy-
stems sind. Weitere Publikationen ¨
uber das Paderborner FAP System sind: [G¨
otz et al., 1999,
G¨
otz et al., 2004]. Eine genauere Beschreibung des Systems ist im Abschnitt 3.4.3 zu finden.
In [Grothklags, 2003] wird ein MIP-basierter Ansatz vorgestellt, der akzeptable Laufzeiten
auch bei gr¨
oßeren FAP Datens¨
atze liefert. Außerdem wird auch ein exakter Ansatz erarbeitet,
3.4 Flottenzuweisung 97
der eine Kombination aus dem time-space network Modell mit dem connection-network
Modell darstellt, um die Phasen des Fleet Assignment und Aircraft Rotation zu verbinden. In
der nach Fleet Assignment folgenden Phase des Aircraft Routing werden Flugzeugrotationen
gebildet. Diese m¨
ussen ausreichend viele Wartungsereignisse beinhalten. Eine weitere wichtige
Besonderheit besteht darin, dass die Mindestpausen zwischen zwei aufeinander folgenden
Fl¨
ugen (Bodenzeiten oder ground times) nicht unabh¨
angig von den Eigenschaften der beiden
Fl¨
uge berechnet werden k¨
onnen. Ein mathematisches Modell, das diese Anforderungen erf¨
ullt,
wurde in [Grothklags, 2003] entwickelt.
Sosnowska pr¨
asentiert in [Sosnowska, 1999], [Sosnowska and Rolim, 2000] Simulated An-
nealing und GRASP-Algorithmen, die auf kleineren Flugpl¨
anen getestet werden.
In den letzten Jahren wurden in der Literatur Erweiterungen des Grundproblems untersucht:
In der Arbeit von Brian Rexing [Rexing, 1997] werden die im klassischen FAP Modell
festen Abflugzeiten der Fl¨
uge als variabel modelliert. Es werden alternative Abflugzeiten
definiert. Dieser neue Freiheitsgrad erlaubt es, durch relativ geringe ¨
Anderungen im Flugplan
die Zielfunktion im FAP zu verbessern.
Die amerikanische Firma SABRE Inc., ein Anbieter f¨
ur Softwarel¨
osungen f¨
ur Fluggesell-
schaften, entwickelte zusammen mit der Georgia Institute of Technology in Atlanta, USA
ein sog. O&D Fleet Assignment System [Jacobs et al., 2000b], [Jacobs and G¨
unther, 2000],
[Jacobs et al., 2000a]. Das mathematische Modell f¨
ur das FAP wird periodisch mit approxi-
mierten Werten f¨
ur die erzielbaren Profits auf Fl¨
ugen im Netzwerk aktualisiert. Das System
ber¨
ucksichtigt somit durch die implizite Behandlung des Passagierflusses die im Flugnetz auf-
tretenden Netzwerkeffekte. Es werden allerdings keine Ergebnisse ¨
uber die Laufzeiten oder
die Qualit¨
at der berechneten L¨
osungen ver¨
offentlicht.
In der Dissertation von Manoj Lohatepanont [Lohatepanont, 2002] werden ebenfalls meh-
rere Erweiterungen des Fleet Assignment Modells vorgestellt. Zum einen wird ein Itinerary
Based Fleet Assignment Modell (IFAM) entwickelt. Dieses Modell ber¨
ucksichtigt durch Hin-
zunahme von Passagierfl¨
ussen Netzwerkeffekte im Flugnetz. Das IFAM System wird in einer
Simulationsumgebung betrieben und zur L¨
osung von Tagesproblemen einiger nordamerika-
nischer Fluggesellschaften eingesetzt. Die Leistungsf¨
ahigkeit erreicht nicht den gew¨
unschten
Grad, sodass aufwendige Analysen zur Clusterung des Flugnetzes durchgef¨
uhrt werden m¨
ussen.
Europ¨
aische Flugplanung erfolgt typischerweise auf Wochenbasis bzw. sogar f¨
ur einen Zeit-
raum von 4 - 6 Wochen in der taktischen Planungsphase. Daraus resultierende Modelle sind
entsprechend gr¨
oßer und komplexer. Ein weiteres Modell in der Arbeit ist ein integriertes
Modell f¨
ur Netzwerkentwurf und Itinerary Based Fleet Assignment. Die Laufzeiten werden
mit 20 Stunden auf einem parallelen System mit 6 Prozessoren f¨
ur ein Problem mit 2000
Fl¨
ugen angegeben. Es besteht also ein großer Bedarf an der Reduktion der Laufzeiten f¨
ur
den Einsatz in der Praxis.
3.4.3 Ein heuristischer Algorithmus f¨ur das Problem der
Flottenzuweisung
Der Simulated Annealing Algorithmus startet mit einer (beliebigen) initialen L¨
osung. Zu-
erst erfolgt eine Berechnung der Starttemperatur, durch die bei klassischem SA die Un-
abh¨
angigkeit des Verfahrens von der Wahl der Initiall¨
osung sichergestellt werden soll. Von
diesem Punkt des L¨
osungsraumes aus betrachtet und bewertet der Algorithmus eine benach-
98 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Algorithmus 14 Simulated Annealing Algorithmus
1: S= initiale L¨
osung
2: T= Starttemperatur
3: repeat
4: repeat
5: Snew = Nachbarl¨
osung von S
6: ∆=f(Snew)-f(S)
7: if (∆<0oder r<e−∆
T)then
8: S=Snew
9: until Gleichgewichtszustand erreicht
10: until keine Verbesserungen mehr erreichbar
barte L¨
osung. Hat diese eine bessere Bewertung, so wird sie zur neuen aktuellen L¨
osung. Eine
schlechtere L¨
osung kann auch zur neuen aktuellen werden, dies geschieht mit einer gewis-
sen Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch das Akzeptanzkriterium gegeben
und h¨
angt bei den meisten SA-Varianten von dem Maß der Verschlechterung und von der
aktuellen Temperatur (Steuerungsparameter) ab.
Dieser Schritt wird iteriert, wobei die Temperatur abgesenkt wird, sodass ein ¨
Ubergang
zur schlechteren L¨
osung immer unwahrscheinlicher wird. Am Ende wird die beste gefundene
L¨
osung zum Ergebnis der Optimierung.
Der sequentielle Algorithmus f¨
ur die Flottenzuweisung wurde von Sven Grothklags in
[Grothklags, 2000] entwickelt. Eine Software-Bibliothek f¨
ur sequentielles und paralleles Si-
mulated Annealing wurde in der Diplomarbeit [Kliewer and Unruh, 1998] entwickelt und in
vielen Anwendungen, unter anderem in der Flottenzuweisung, eingesetzt.
Die Anwendung des Simulated Annealing Algorithmus in der Flottenzuweisung basiert in
der Definition der geeigneten Struktur der Nachbarschaft f¨
ur den vorliegenden L¨
osungsraum.
Die Komplexit¨
at und die Zahl der unterschiedlichen Restriktionen erschwert die Suche nach
zul¨
assigen L¨
osungen, die sich nur geringf¨
ugig von der aktuellen L¨
osung unterscheiden. F¨
ur
das Problem wurden zwei Nachbarschaften definiert, die in der Abbildung 3.8 schematisch
dargestellt sind.
subfleet f
subfleet g
subfleet f
subfleet g
Change Swap
A
A
A
B
B
A
Abbildung 3.8: Nachbarschaftsdefinition f¨
ur den Simulated Annealing Algorithmus
3.4 Flottenzuweisung 99
Operationen change und swap Diese zwei Operationen sind in der Abbildung 3.8 zu fin-
den. Die Aufgabe besteht darin, eine neue L¨
osung zu finden, die sowohl die Balanciertheit
des Flugplans sicherstellt als auch keine zus¨
atzlichen Flugzeuge ben¨
otigt. Gesucht werden Se-
quenzen von Fl¨
ugen (Legsequenzen) (l0,...,lk), die einem Flugzeugtypen zugewiesen sind und
der Ankuftsflughafen eines Fluges dem Startflughafen des n¨
achsten entspricht. Die change-
Operation ver¨
andert die Zuweisung bei einer Sequenz, die am Flughafen A beginnt und auch
dort endet. Die Zuweisung dieser Sequenz wird in der Abbildung von fzu gver¨
andert. Die
swap-Operation sucht nach zwei Sequenzen, die beide auf dem Flughafen A starten und
auf dem Flughafen B enden. Die Zuweisung dieser zwei Legsequenzen wird anschließend
getauscht.
Die Effizienz der Operationen change und swap bilden den Schl¨
ussel f¨
ur die Anwendbarkeit
des Simulated Annealing Algorithmus in der Flottenzuweisung. Mehrere hundert Operationen
pro Sekunde werden ausgef¨
uhrt, sodass das Verfahren schnell konvergieren kann. Die Qualit¨
at
der gefundenen L¨
osungen kann angegeben werden, indem ein Vergleich mit einer oberen
Schranke durchgef¨
uhrt wird. Diese oberen Schranken werden von einem Branch-and-cut
Algorithmus von CPLEX geliefert.
3.4.4 Effizienz der Verfahren
Waren die auf Simulated Annealing basierenden heuristischen Methoden den exakten in
der Laufzeit weit ¨
uberlegen, so schrumpfte dieser Vorteil in den letzten Jahren. Fortschritt
im Bereich der exakten Methoden zum L¨
osen gemischt-ganzzahliger linearer Probleme be-
schleunigte die Branch-and-cut Algorithmen von CPLEX enorm. Zusammen mit intensiven
Preprocessing Techniken machte es dieser Fortschritt m¨
oglich, auch große Probleme aus der
Praxis der Flugplanung zu l¨
osen. Die wichtigsten Techniken sind u.a.:
•Durch eine Zusammenfassung der Knoten des Time-Space Netzwerks erreicht man
eine signifikante Reduktion der Gr¨
oße des mathematischen Modells.
•Die Definition einer Wartefunktion auf den Flugh¨
afen und die daraus resultierenden
Inseln spiegeln die besondere Struktur des Flugpl¨
ane wider. Durch getrennte Behand-
lung der Inseln im mathematischen Modell reduziert sich die Modellgr¨
oße noch einmal
betr¨
achtlich.
•Die SOS-Branching Entscheidung (special ordered sets) ergibt besser ausbalancierte
Branch-and-bound B¨
aume und somit insgesamt k¨
urzere Laufzeiten.
•Die Auswahl der Branching Variable in einem Knoten kann nach sog. Priorit¨
aten getrof-
fen werden. Durch eine nach der Zielfunktion ausgerichtete Definition der Priorit¨
aten
wird erreicht, dass in den h¨
oheren Branch-and-bound Ebenen die wichtigen Variablen
zuerst betrachtet werden.
Einen Laufzeitvergleich der drei vorgestellten Verfahren sehen wir im Bild 3.9. Auf der
x-Achse ist die Problemgr¨
oße in der Anzahl der Fl¨
uge und der Flugzeugtypen angegeben.
Die Qualit¨
at der L¨
osungen ist in der Tabelle 3.1 gegen¨
ubergestellt worden.
In unseren weiteren Untersuchungen benutzen wir den Simulated Annealing Algorithmus
f¨
ur die Flottenzuweisung.
100 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
116x2
288x3
3337x4
3991x10
4558x8
4477x9
4477x9
4311x11
4452x11
9007x9
17387x10
9929x23
Instanz (#Flüge x #Flugzeugtypen)
Zeit (Sekunden)
Hill Climber Simulated Annealing Mixed-integer programming
Abbildung 3.9: Vergleich der SA- und MIP-basierter Verfahren f¨
ur das FAP
Algorithmus Hill Climber(HC) Simulated Annealing (SA) Mixed-Integer (MIP)
L¨
osungsqualit¨
at 98,5% 99,7% ca. 99,9%
Tabelle 3.1: Vergleich der L¨
osungsqualit¨
aten f¨
ur das Fleet Assingnment Problem
3.5 Marktmodellierung und Flottenzuweisung 101
3.5 Marktmodellierung und Flottenzuweisung
Das im Abschnitt 3.4 beschriebene Modell f¨
ur die Flottenzuweisung (Fleet Assignment)
ben¨
otigt neben den Modellrestriktionen die eigentliche Zielfunktion, die es zu optimieren
gilt. Wir erl¨
autern im Folgenden wie diese Zielfunktion vom Marktmodell aufgebaut und
berechnet wird.
3.5.1 Zielfunktion und Netzwerkeffekte
Zun¨
achst existiert im Planungssystem eine zul¨
assige Startl¨
osung, die z.B. die L¨
osung aus der
letzten Planungsperiode darstellt. Diese L¨
osung beinhaltet insbesondere eine g¨
ultige Flot-
tenzuweisung f¨
ur jeden Flug (Leg). Diese Zuweisung definiert die zur Verf¨
ugung stehenden
Kapazit¨
aten im Flugnetzwerk. Das Marktmodell kann eine Profitabilit¨
atsbewertung des Flug-
plans vornehmen (siehe Abschnitt 3.2). Der dazu berechnete Passagierfluss definiert im We-
sentlichen die voraussichtlichen Ertr¨
age, die eingesetzten Flugzeugtypen (Flottenzuweisung)
bestimmen die anfallenden Kosten.
Die Planungsphase der Flottenzuweisung bekommt einen neuen Freiheitsgrad: F¨
ur jede
Flugstrecke (Leg) stehen mehrere Flugzeugtypen zur Auswahl. Die Alternativen unterschei-
den sich im wesentlichen durch unterschiedliche Kosten und Kapazit¨
aten (Anzahl der Pl¨
atze).
Die Kosten und Ertr¨
age m¨
ussen vom Marktmodell zur Verf¨
ugung gestellt werden.
Bemerkung: Die Berechnung der Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuweisung erfolgt rein lokal.
Das bedeutet, dass bei einer ¨
Anderung der Kapazit¨
at auf einem Flug die Berech-
nung des Gewinns ausschließlich auf diesem Flug vorgenommen wird. Es wird lokal
entschieden, welche Passagiere einen Platz auf dem Flug bekommen und welche ab-
gewiesen werden (local spill). Insbesondere werden auftretende Netzwerkeffekte nicht
ber¨
ucksichtigt.
Das folgende Beispiel soll die Vorgehensweise des Marktmodells bei der Aufstellung dieser
Daten verdeutlichen.
In der Abbildung 3.10 ist ein Netzwerk mit zwei kapazit¨
atsbeschr¨
ankten Fl¨
ugen dargestellt.
Es sind drei Passagierstr¨
ome vorhanden: LHR-BOS mit 200 Passagieren und einem Ertrag
von 150 e, TXL-BOS mit 100 Passagieren und 200 eals Ertragswert, sowie 50 PAD-ATL
Passagiere mit einem Ertragswert von 100 e. Die Flottenzuweisung ist bei der Anfangsl¨
osung
wie folgt: FRA-JFK mit dem Typ A bei einer Kapazit¨
at von 80 Pl¨
atzen, JFK-BOS wird vom
Typ C mit 150 Pl¨
atzen bedient. Das Marktmodell berechnet den Passagierfluss wie im oberen
Teil der Abbildung 3.10 dargestellt: 120 – 30 – 50 Passagiere mit einem Gesamtprofit von
29.000 e(die Flugkosten werden in diesem Beispiel außer Acht gelassen).
F¨
ur die erste Alternative wird auf dem Flug FRA-JFK der Typ B mit 50 Pl¨
atzen einge-
setzt. Im ersten Schritt werden die zwei auf dem Flug vorhandenen Passagierstr¨
ome mitein-
ander verglichen. Die Passagiere TXL-BOS bekommen wegen der h¨
oheren Ertr¨
age (200 e
gegen 100 e) den Vorzug vor den PAD-ATL Passagieren. Es werden 50 TXL-BOS und keine
PAD-ATL Passagiere transportiert. Somit erh¨
alt der Flug FRA-JFK einen Gewinnwert von
10.000 e. Das restliche Netzwerk wird nicht betrachtet und demzufolge bleiben die Passa-
gierstr¨
ome unver¨
andert.
102 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Typ Kapazit¨
at Gewinn
FRA JFK A 80 8.000 e
FRA JFK B 50 10.000 e
JFK BOS C 150 21.000 e
JFK BOS D 200 35.000 e
Tabelle 3.2: Beispiel f¨
ur die Berechnung der Zielfunktion in der Flottenzuweisung
Bei der zweiten Alternative setzt man den Typ D auf dem Flug JFK-BOS mit 200 Pl¨
atzen
ein. In diesem Fall wird nach der Greedy-Strategie den h¨
oherwertigen Passagieren TXL-
BOS Vorrang vor den LHR-BOS Passagieren gew¨
ahrt. Es werden jeweils 100 Passagiere
transportiert. Der Gesamtgewinn auf dem Flug JFK-BOS betr¨
agt 35.000 e.
In der Tabelle 3.2 ist als Ergebnis dieser Berechnung die Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuwei-
sung dargestellt. Die Aufgabe der Flottenzuweisung besteht darin, unter Ber¨
ucksichtigung
der Restriktionen die gewinnmaximale Zuordnung der Typen zu Fl¨
ugen zu finden (siehe auch
Abschnitt 3.4).
Zielfunktion in Fleet Assignment
PAD (50, 100€)
TXL (100, 200€)
FRA
JFK
BOS
ATL
LHR (200, 150€)
80
PAD
TXL
FRA
JFK
BOS
ATL
LHR
50
50 50
30
30
100 120
100
80
150
PAD
TXL
FRA
JFK
BOS
ATL
LHR
50
50 0
30
50
30 120
50
150
BC Greedy AD Greedy
200
5050
50
30
30
30
120
120
100
PAD
TXL
FRA
JFK
BOS
ATL
LHR
50
50 50
80
30
30 170
170
80
PAD
TXL
FRA
JFK
BOS
ATL
LHR
50
50 50
0
0
0150
50
150
BC Optimal AD Optimal
200
150
AC Optimal: 29.000
Abbildung 3.10: Beispiel f¨
ur Netzwerkeffekte
Die beiden unteren Bilder in der Abbildung 3.10 zeigen eine optimale Aufteilung der Pas-
sagierstr¨
ome aus der globalen Netzwerksicht. Die lokale Sicht bei der Generierung der Ziel-
3.5 Marktmodellierung und Flottenzuweisung 103
funktion f¨
ur die Flottenzuweisung erzeugt insbesondere keine g¨
ultigen Passagierfl¨
usse sondern
lediglich lokale Sch¨
atzungen der Gewinne.
Fazit: Die Ungenauigkeit der Zielfunktion und die nicht ber¨
ucksichtigten Netzwerkeffekte
stellen eine H¨
urde dar und erlauben keine zufriedenstellende Behandlung der beiden
Planungsphasen der Marktmodellierung und der Flottenzuweisung. In den n¨
achsten
Abschnitten stellen wir mehrere M¨
oglichkeiten dar, diese beiden Planungsphasen auf-
einander abzustimmen und insgesamt zu einer besseren L¨
osung zu kommen.
3.5.2 Beschreibung der ersten Integrationsstrategie
Als erste M¨
oglichkeit zur Abstimmung der Planungsphasen der Marktmodellierung und der
Flottenzuweisung wird eine periodische Kommunikation zwischen den Planungsschritten un-
tersucht.
Wie im vorhergehenden Abschnitt 3.5.1 beschrieben, erfolgt zun¨
achst eine initiale Berech-
nung, deren Ergebnis die Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuweisung darstellt.
01.10.2002
Slide 17 Grothklags, Kliewer, Weber: Improving Revenue by System Integration and Co-operative Optimization
AGIFORS 42nd Annual Symposium 2002
Current System Integration - Cooperative Approach
Profitability Evaluation Model
Market Share Model
Connection Builder
Spill & Recapture
Revenue & Cost
Estimation
constrained passenger flow
capacity assignment
itineraries
unconstrained demand
Fleet Assignment
Accept/Reject
Fleet Change
on a Leg Sequence
Update
Solution
1
2
3Simulated
Annealing
Final
Assignment
Objective Function
4
5
6
Abbildung 3.11: Kopplung der Marktmodellierung und der Flottenzuweisung
Die Abbildung 3.11 und der Algorithmus 15 stellen die von uns untersuchte Kopplung
zwischen dem Maktmodell und der Flottenzuweisung dar.
Nachdem zun¨
achst eine initiale Stufe der Marktmodellierung durchgef¨
uhrt wurde (Algorith-
mus 15:1-5), beginnt die Optimierung der Flottenzuweisung durch den Simulated Annealing
Algorithmus. Die Kommunikation findet jeweils nach einer abgeschlossenen Temperaturstufe
des Simulated Annealing Algorithmus statt. Die empfangene L¨
osung wird im Marktmodell
neu bewertet, indem die neuen Kapazit¨
aten auf den Fl¨
ugen bei der Berechnung des Passa-
gierflusses ber¨
ucksichtigt werden. Da die L¨
osungen aus der Flottenzuweisung keine Flugzeiten
ver¨
andern, sind eine erneute Berechnung der Reiserouten und die Aufteilung der Passagie-
re nicht notwendig. Die Kosten- und Ertragsrechnung mit der empfangenen L¨
osung bildet
104 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Algorithmus 15 Erste Integrationsstrategie
1: Aufbau der Reiserouten (connection builder)
2: Verteilung der Marktnachfrage (market share)
3: Ber¨
ucksichtigung der Kapazit¨
aten (spill and recapture)
4: Kosten- und Ertragsrechnung
5: Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuweisung
6: repeat
7: repeat
8: ¨
Anderung der Zuweisung bei einer Legfolge (Schritt 1)
9: Neue L¨
osung akzeptieren oder verwerfen (Schritt 2)
10: ¨
Ubergang durchf¨
uhren (Schritt 3)
11: until Temperaturstufe beendet
12: L¨
osung an das Marktmodell schicken (Schritt 4)
13: Ber¨
ucksichtigung der Kapazit¨
aten der empfangenen L¨
osung (Schritt 5)
14: Neue Kosten- und Ertragsrechnung (Schritt 6)
15: Ge¨
anderte Zielfunktion an die Flottenzuweisung schicken
16: until Anzahl der Kommunikationsrunden
17: Beste L¨
osung als Ergebnis ausgeben
erneut die Grundlage f¨
ur die Zielfunktion der Flottenzuweisung. Diese wird an das Fleet
Assignment System geschickt und auf die n¨
achste Kommunikationsrunde gewartet.
Die H¨
aufigkeit der Kommunikation und die Anzahl der Kommunikationsrunden ist ver¨
anderbar:
•Beginn der Kommunikation: Nach Erreichen einer vorgegebenen Akzeptanzrate im
Simulated Annealing Algorithmus. Dadurch kann z.B. vorgegeben werden, dass in der
Anfangsphase der Optimierung, in der die L¨
osung noch sehr stark ver¨
andert wird, keine
Kommunikation stattfinden soll. Der Standardwert f¨
ur die Akzeptanzrate liegt bei 20%.
•H¨
aufigkeit der Kommunikation: Anzahl der Temperaturstufen zwischen zwei Kommu-
nikationsphasen. Das Kommunikationsmuster kann auch dynamisch ver¨
andert werden.
In der Anfangsphase kann z.B. nach jeder 10. Temperaturstufe kommuniziert werden,
sp¨
ater wird immer h¨
aufiger kommuniziert, bis am Ende der Optimierung nach jeder
Stufe die L¨
osung verschickt wird.
•Schwelle f¨
ur die Kommunikation: Die Kommunikation soll erst stattfinden, wenn ei-
ne vorgegebene Anzahl von Fl¨
ugen eine andere Flotte zugewiesen bekommen hat.
Dadurch wird erreicht, dass eine zeitintensive Kommunikation nicht f¨
ur ganz wenige
Ver¨
anderungen in der Flottenzuweisung angestoßen wird.
•Anzahl der Kommunikationsrunden: Die Anzahl kann vom Systembenutzer vorgege-
ben werden. Damit kann erreicht werden, dass f¨
ur bestimmte Analysen eine schnelle
Antwort geliefert wird und nicht unbedingt die vollst¨
andige Konvergenz des Verfahrens
abgewartet werden muss.
3.6 Modellierung des Passagierflusses 105
3.5.3 Analyse des Verfahrens
Als Haupvorteil dieser Kopplung kann die bessere Ber¨
ucksichtigung der Netzwerkeffekte ge-
nannt werden. Diese Effekte werden vom Marktmodell ber¨
ucksichtigt und explizit modelliert.
Durch die angepasste Zielfunktion kann das Fleet Assignment System die Auswirkung der
Flotten¨
anderung im Netzwerk erkennen und durch weitere Optimierung darauf reagieren. Die
Ergebnisse der Experimente mit dem neuen System werden im Abschnitt 4.2 pr¨
asentiert.
Die Nachteile des Verfahrens liegen haupts¨
achlich in der zeitintensiven Kommunikation
zwischen dem Marktmodell und dem Fleet Assignment System. Neben der ¨
Ubermittlung
der neuen Flottenzuweisung und anschließend der neuen Zielfunktion muss im Marktmodell
selbst die entsprechende Neuberechnung durchgef¨
uhrt werden. Typischerweise werden ca. 10-
20% der Fl¨
uge mit einer anderen Flotte geflogen und dementsprechend m¨
ussen Passagiere
auf s¨
amtlichen Reiserouten, die diese Fl¨
uge benutzen, neu bewertet werden. Die im n¨
achsten
Abschnitt vorgestellte Vorgehensweise versucht, einen Kompromiss zwischen der Genauigkeit
der Voraussagen ¨
uber den Passagierfluss und der Berechnungsgeschwindigkeit zu finden. Wir
m¨
ochten nun auf diese zweite Integrationsstrategie genauer eingehen.
3.6 Modellierung des Passagierflusses
Die zweite Strategie zur Kopplung der Marktmodellierung und der Flottenzuweisung f¨
uhrt
eine neue Komponente ein, die zwischen den beiden Planungsphasen eingesetzt wird. Der
Passagierfluss im Netzwerk wird dabei als ein lineares Mehrg¨
uterflussproblem aufgefasst. Die
L¨
osung dieses Problems liefert Informationen, die die Optimierung in der Flottenzuweisung
steuern. Wir beschreiben zun¨
achst das Modell des Passagierflusses außerhalb des Marktmo-
dells und gehen danach auf die besonderen Integrationsaspekte ein.
3.6.1 Modell des Passagierflusses
Die Verteilung der Passagiere auf die Fl¨
uge des Flugnetzwerks kann mit einem Netzwerkfluss
modelliert werden. Das Passenger Flow Modell (PFM) bildet den Passagierfluss im Netz-
werk als ein Mehrg¨
uterflussproblem (multicommodity flow) ab. Die G¨
uter entsprechen den
Passagieren in den untersuchten M¨
arkten (Reiseverbindungen zwischen zwei St¨
adten). Die
Kanten des Netzwerks werden von den Fl¨
ugen gebildet. Die Kapazit¨
aten sind durch die Ka-
pazit¨
at der eingesetzten Flugzeuge definiert. Gesucht ist ein g¨
ultiger Fluss im Netzwerk mit
dem maximalen Gewinn als Zielfunktion. An dieser Stelle verweisen wir auf einen wichtigen
Unterschied zu Modellen des Passagierverhaltens hin: die Passagiere entscheiden sich nicht
f¨
ur die f¨
ur sie g¨
unstigste Verbindung. Es wird vielmehr angenommen, dass die Fluggesell-
schaft durch Steuerung der Buchungen die Passagiere auf die Verbindungen bringen kann,
die ihren Gewinn maximieren.
Modelldefinition
Bei der Definition der Transportg¨
uter k¨
onnen unterschiedliche Detaillierungsgrade gew¨
ahlt
werden. Das St¨
adtepaar definiert immer eine commodity. Des Weiteren k¨
onnen zus¨
atzlich
ber¨
ucksichtigt werden: Reiseroute (itinerary), Klasse (Economy, Business, First), Buchungs-
klasse (fare), Punkt des Ticketverkaufs (point of sale).
106 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Wir definieren an dieser Stelle das Passenger Flow Modell f¨
ur die gr¨
obste Detaillierungs-
stufe: auf ODI Basis (origin, destination, itinerary).
Eingabedaten und Parameter
AMenge der Flugh¨
afen
EFlugkanten des Netzwerks
OD ⊆A2Menge aller Passagier-M¨
arkte
dod Gesch¨
atzte Anzahl der Passagiere im Markt od
Pod M¨
ogliche Reiserouten f¨
ur Passagiere aus dem Markt od
(δlp =1)⇔Pfad pbenutzt die Kante l∈E
fod Ertrag pro Passagier aus dem Markt od
clKapazit¨
at der Kante l
Entscheidungsvariablen
xod
pAnzahl der Passagiere aus dem Markt od auf dem Pfad p∈Pod
Maximize ∑
od ∑
p∈Pod fod
pxod
p
∀od ∈OD :∑
p∈Pod xod
p≤dod (PFM1)
∀l∈E:∑
od ∑
p∈Pod xod
pδlp ≤cl(PFM2)
∀od ∈OD,∀p∈Pod :xod
p≥0(PFM3)
Die Zielfunktion maximiert den voraussichtlichen Gewinn der Fluggesellschaft. Die Restrik-
tionen (PFM1) stellen sicher, dass auf allen m¨
oglichen Reiserouten, die im Markt od liegen
(die St¨
adte ound dverbinden), nicht mehr Passagiere transportiert werden als gesch¨
atzt
wurde. Die Ungleichungen (PFM2) erzwingen, dass die Kapazit¨
at auf den Fl¨
ugen nicht
¨
uberschritten wird. Die Entscheidungsvariablen xod
pwerden nicht als ganzzahlig vorausge-
setzt, da es sich bei den Passagierzahlen um Sch¨
atzungen handelt. Wegen einer inh¨
arenten
Ungenauigkeit der Prognosen der Passagierzahlen wird an dieser Stelle auf die Ganzzahligkeit
verzichtet und mit fraktionalen Fl¨
ussen gearbeitet.
Literatur
Lineare Passagierflussmodelle werden in der Literatur f¨
ur unterschiedliche Zwecke benutzt
[Glover et al., 1982], [Phillips et al., 1991], [Farkas, 1996]. Neben einer Modellierung des
Passagierflusses im Netzwerk werden ¨
ahnliche Modelle im Bereich des Ertragsmanagements
(Revenue Management) dazu benutzt, Buchungsanfragen zu verarbeiten und ¨
uber die Ver-
f¨
ugbarkeit von Pl¨
atzen auf Fl¨
ugen zu entscheiden [Boyd, 2002], [Boer et al., 2002],
[Williamson, 1988], [Williamson, 1992](Seiten 56 - 59)
3.6.2 Beschreibung der zweiten Integrationsstrategie
Bei dieser Variante modellieren wir den Passagierfluss mit Hilfe des Passenger Flow Modells
(PFM) und koppeln diese neue Komponente an das Fleet Assignment System.
Die ersten Schritte im Algorithmus 16 entsprechen der initialen Marktmodellierung, zu-
sammen mit der ersten Vorgabe der Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuweisung. Anstatt an das
3.6 Modellierung des Passagierflusses 107
01.10.2002
Slide 20 Grothklags, Kliewer, Weber: Improving Revenue by System Integration and Co-operative Optimization
AGIFORS 42nd Annual Symposium 2002
System Integration – Internal Feedback
Fleet Assignment
Profitability Evaluation Model
Accept/Reject
Passenger Flow
LP-Model
Dual Variables
for Legs
Fleet Change
on a Leg Sequence
Update
Solution
Final
Assignment
1
2
3
Simulated
Annealing
Market Share Model
Connection Builder
Spill & Recapture
Revenue & Cost
Estimation
passenger flow
capacity assignment
itineraries
unconstrained demand
Objective Function
4
5
Abbildung 3.12: Passenger Flow Modell als Zwischenkomponente
Marktmodell werden in den Kommunikationsrunden die L¨
osungen der Flottenzuweisung an
die neue Komponente geschickt.
Das Passenger Flow Modell berechnet neben einem Passagierfluss zus¨
atzliche Informatio-
nen und schickt diese als neue Zielfunktion an die Flottenzuweisung.
Algorithmus 16 Zweite Integrationsstrategie
1: Aufbau der Reiserouten (connection builder)
2: Verteilung der Marktnachfrage (market share)
3: Ber¨
ucksichtigung der Kapazit¨
aten (spill and recapture)
4: Kosten- und Ertragsrechnung
5: Zielfunktion f¨
ur die Flottenzuweisung
6: repeat
7: repeat
8: ¨
Anderung der Zuweisung bei einer Legfolge (Schritt 1)
9: Neue L¨
osung akzeptieren oder verwerfen (Schritt 2)
10: ¨
Ubergang durchf¨
uhren (Schritt 3)
11: until Temperaturstufe beendet
12: Flottenzuweisung an das PFM schicken (Schritt 4)
13: (Inkrementelle) L¨
osung des Passenger Flow Modells
14: Berechnung der dualen Variablen des Modells
15: Ge¨
anderte Zielfunktion an die Flottenzuweisung schicken (Schritt 5)
16: until Anzahl der Kommunikationsrunden
17: Beste L¨
osung als Ergebnis ausgeben
Integration: Die Kernidee besteht nun darin, f¨
ur jede Netzwerkkante die dualen Variablen
zu berechnen und diese der Flottenzuweisung zur Verf¨
ugung zu stellen. Die Nebenbe-
108 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
dingungen (PFM 2) begrenzen den Fluss auf den Kanten. Der Wert einer dualen Va-
riable gibt f¨
ur die Kante an, wie groß die ¨
Anderung der Zielfunktion bei einer ¨
Anderung
der Kapazit¨
at um genau eine Einheit ist. Im Bereich Revenue Management werden die
dualen Werte h¨
aufig als bid-prices benutzt.
∀l∈E:∑
od ∑
p∈Pod xod
pδlp ≤cl(PFM2)
Kanten, deren Kapazit¨
at vom Passagierfluss nicht komplett ausgesch¨
opft wurde, haben
einen dualen Wert von Null. Der Simulated Annealing Algorithmus f¨
ur die Flottenzuweisung
bekommt die dualen Werte aller Kanten im Netzwerk und erh¨
alt dadurch die Information,
welche Kante einen Engpass darstellt. Die Zielfunktion wird entsprechend angepasst. Konkret
wird der duale Wert bei den Koeffizienten der Flugzeugtypen aufaddiert, die eine h¨
ohere
Kapazit¨
at besitzen als die aktuelle Zuweisung. Bei Flugzeugtypen mit geringerer Kapazit¨
at
wird der Zielfunktionskoeffizient um den dualen Wert reduziert.
3.6.3 Analyse des Verfahrens
Die ¨
Anderung der Zielfunktion im Simulated Annealing Algorithmus soll bewirken, dass die
Typzuweisung besser dem gesch¨
atzten Passagierfluss entspricht. Wie der Algorithmus auf die
Anpassung der Zielfunktion reagiert, wird im Ergebnisteil dieser Arbeit (4.2) untersucht.
Der Vorteil der zweiten Integrationsstrategie im Vergleich zu der ersten ist die schnellere
Berechnung des Flusses durch das Passenger Flow Modell (PFM). Außerdem steuert das
PFM das L¨
osungsverfahren der Flottenzuweisung. Dadurch werden insbesondere die Netz-
werkeffekte besser ber¨
ucksichtigt. Die Kommunikationsstruktur l¨
asst sich ebenfalls in Bezug
auf Beginn, H¨
aufigkeit und Anzahl der Kommunikationsrunden steuern.
3.7 Kopplung von Revenue Management und Flottenzuwei-
sung
Die dritte Integrationsstrategie verbindet Systeme f¨
ur Revenue Management (RM) und Flot-
tenzuweisung. Die Motivation kommt aus der Tatsache, dass in einer Planungsphase, die
zwischen drei und einem Monat vor Start des Flugplans liegt, bereits einige Buchungen im
RM-System vorliegen und dadurch eine genauere Absch¨
atzung der Gewinne m¨
oglich wird. Die
kurzfristige ¨
Anderungsplanung der Flottenzuweisung kann entscheidend von dieser besseren
Gewinnsch¨
atzung profitieren.
Wir vergleichen in diesem Abschnitt die Qualit¨
at der Prognosen in den jeweiligen Pla-
nungsschritten. Danach beschreiben wir die Kopplung der beiden Systeme.
3.7.1 Passagierprognosen
Das im Abschnitt 3.2 vorgestellte Marktmodell berechnet ca. ein halbes Jahr vor dem Start
der n¨
achsten Flugplanperiode Prognosen zu den Passagierzahlen im Netzwerk. Diese Pro-
gnosen werden zur Sch¨
atzung der erzielbaren Ertr¨
age herangezogen. Neben der Ertragsrech-
nung ber¨
ucksichtigt das Marktmodell auch die Kosten f¨
ur die Ausf¨
uhrung des Flugplans,
3.7 Kopplung von Revenue Management und Flottenzuweisung 109
die haupts¨
achlich vom eingesetzten Flugzeugtyp abh¨
angig sind. Die Zielsetzung der Flot-
tenzuweisung besteht in der Maximierung der Gewinnfunktion unter Einhaltung s¨
amtlicher
operationeller Restriktionen.
Zur Sch¨
atzung der Ertr¨
age geht das Verfahren von Reiserouten (itineraries) aus, die kei-
ne Unterscheidung nach Klassen (First, Business, Economy) beinhaltet. Vielmehr wird ein
Durchschnittsertrag f¨
ur alle drei Klassen berechnet. Die Nachfrage-Prognosen werden ledig-
lich als Mittelwerte verwendet, der Prognosefehler bleibt in diesem Fall unber¨
ucksichtigt.
Im O&D-Revenue-Management werden Steuer-Parameter zur Bestimmung der Verf¨
ugbarkeit
von Fl¨
ugen und zur Entscheidung von Buchungsanfragen berechnet. Im Gegensatz zur lokalen
Steuerung ber¨
ucksichtigt die O&D-Steuerung Verdr¨
angungseffekte innerhalb des Flugnetzes
(Netzwerkeffekte). Die Nachfrage-Prognose ber¨
ucksichtigt nicht nur die Reiserouten, sondern
auch die Buchungsklassen, die eine genauere Betrachtung als die Klassen (First, Business,
Economy) erlaubt. Weiterhin werden auch Prognose-Fehler erfasst und in die Sch¨
atzung
eingearbeitet.
Auch durch eine sp¨
atere Bereitstellung der Prognosen wird die Qualit¨
at dieser deutlich ge-
steigert. Mit einer viel detaillierteren und genaueren Ertragssch¨
atzung f¨
ur ein Flugnetzwerk
kann die L¨
osung des Problems der Flottenzuweisung besser angegangen werden. Die Kapa-
zit¨
at im Netzwerk wird besser an die erwartete Nachfrage angepasst. Auf der anderen Seite
werden durch die kurzfristigere Planung keine umfangreichen ¨
Anderungen m¨
oglich sein. Die-
se h¨
atten Auswirkungen auf weitere Planungsschritte (z.B. Crewplanung) und k¨
onnen relativ
kurz vor Start des Flugplans nicht mehr realisiert werden.
3.7.2 Beschreibung der dritten Integrationsstrategie
01.10.2002
Slide 21 Grothklags, Kliewer, Weber: Improving Revenue by System Integration and Co-operative Optimization
AGIFORS 42nd Annual Symposium 2002
Profitability Evaluation Model
System Integration – External Feedback by O&D RMS
Fleet Assignment
Accept/Reject
Fleet
Change
on a Leg
Sequence
Update
Solution
Simulated
Annealing
Final
Assignment
O&D Revenue
Management
O&D
Forecast Engine
O&D Optimiser
O&D Forecasts
O&D Control Parameters
Revenue
Estimation
Objective Function
Capacity Assignment
Market Share Model
Connection Builder
Spill & Recapture
Cost
Estimation
passenger flow
capacity assignment
itineraries
unconstrained demand
Abbildung 3.13: Einbeziehung von genaueren Profitprognosen im taktischen Fleet Assi-
gnment
Wie auch in den beiden bereits beschriebenen Integrationsstrategien erfolgt zun¨
achst die
initiale Bewertung des Ausgangsflugplans durch das Marktmodell. Die Kommunikation des
110 3 Flottenzuweisung: Integration der Planungsphasen
Systems f¨
ur die Flottenzuweisung erfolgt in diesem Fall mit dem O&D Revenue Management
System (siehe Abbildung 3.13).
Zun¨
achst l¨
adt das Revenue Management System Prognosen (einschließlich Prognose-
Fehler) aus der Forecast Datenbank. Der O&D Optimizer berechnet daraus mit Hilfe der
Methode iterative prorated EMSR die Steuerparameter (bid-prices) und ¨
ubermittelt sie an
die Gesamt-Revenue-Sch¨
atzung. Im letzten Schritt wird unter Ber¨
ucksichtigung der aktuel-
len Flottenzuweisung eine Ertragssch¨
atzung ermittelt. Diese Information wird dem Flotten-
zuweisungssystem zur Verf¨
ugung gestellt. Die Kostenberechnung erfolgt weiterhin auf der
Grundlage der vom Marktmodell ermittelten Daten.
Die beschriebene dritte Integrationsstrategie wurde in einer Vorstudie gemeinsam mit Luft-
hansa Systems erarbeitet. Die ersten beiden Integrationsstrategien und die konzeptuellen
Ergebnisse dieser Studie wurden in folgenden Arbeiten ver¨
offentlicht:
•Weber K.; Sun J.; Sun Z.; Kliewer G.; Grothklags S.; Jung N. Systems integration for
revenue-creating control processes. Journal of Revenue and Pricing Management, July
2003, vol. 2, no. 2, pp. 120-137(18) Henry Stewart Publications
•Georg Kliewer, Sven Grothklags, and Klaus Weber. Improving revenue by system inte-
gration and co-operative optimization. In Proceedings of the 43rd Annual Symposium
of the Airline Group of the International Federation of Operational Research Societies
(AGIFORS), Honolulu, Hawaii, USA, 2002.
•Georg Kliewer, Sven Grothklags, and Klaus Weber. Improving revenue by system in-
tegration and co-operative optimization. In Proceedings of the Reservations and Yield
Management Study Group meeting, AGIFORS, Berlin, Germany, 2002.
3.8 Zusammenfassung
In diesem Kapitel haben wir uns mit der Integration der Planungsaufgabe der Flottenzuwei-
sung besch¨
aftigt. Das Verbesserungspotential wurde untersucht und die zeitlich benachbarten
Planungsphasen beschrieben. In der Mittelfristplanung erfolgt die Integration mit der Auf-
gabe der Marktmodellierung. Dadurch werden die im Flugnetz auftretenden Netzwerkeffekte
besser ber¨
ucksichtigt. In der Kurzfristplanung werden wesentlich genauere Passagierprogno-
sen und Ertragssch¨
atzungen aus dem Revenue Management benutzt, um die Kapazit¨
aten
durch ver¨
anderte Flottenzuweisung besser auf den Passagierfluss anzupassen.
Insgesamt wurden im Rahmen dieser Arbeit drei Integrationsstrategien entwickelt, die zum
Teil in der industriellen Praxis zum Einsatz kommen. Einige Vorschl¨
age wurden von unseren
Partnern noch nicht in den Planungssystemen umgesetzt, sodass weiteres Verbesserungspo-
tential der Flugplanungsprozesse besteht.
4
Experimentelle Ergebnisse
4.1 Netzwerkentwurf
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Optimierungssystem f¨
ur die Aufgabe des Netzwerk-
entwurfs entwickelt. Das System ist modular aufgebaut und kann sowohl als ein exakter als
auch ein heuristischer Planungsalgorithmus eingesetzt werden. Wir beschreiben zun¨
achst den
Grundabgabe des Systems und gehen dann genauer auf die einzelnen Komponenten ein.
Im Bild 4.1 ist das Gesamtsystem hierarchisch dargestellt. Auf der obersten Ebene befinden
sich die beiden Hauptalgorithmen f¨
ur das CNDP (capacitated network design problem):
Branch-and-bound und Relax-and-cut. Beide basieren auf der Lagrange-Relaxation als untere
Schranke in der Baumsuche. Der Relax-and-cut benutzt zus¨
atzlich zwei Typen von g¨
ultigen
Ungleichungen: die ¨
Uberdeckungsungleichungen (cover inequalities - cover cuts) und die
lokalen Schnitte (local cuts). F¨
ur die L¨
osung des Lagrange-Dualen Problems wird ein von
uns implementiertes Subgradient-Verfahren eingesetzt. Als Alternative dazu haben wir einen
Bundle-method Solver von Antonio Frangioni in das System eingebunden [Frangioni, 1997].
Die Systemkonfiguration mit dem Bundle-method Solver bildet die Standardvariante. Wir
haben g¨
ultige Ungleichungen f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem untersucht und f¨
ur den Relax-
and-cut-Algorithmus implementiert. Dabei haben wir Algorithmen zum Finden von verletzten
Ungleichungen und Methoden zur Verst¨
arkung dieser implementiert (lifting). Die von der
aktuellen L¨
osung im Suchbaum verletzten Ungleichungen werden dann mit neuen Lagrange-
Multiplikatoren versehen und in der Lagrange-Zielfunktion ber¨
ucksichtigt. Die Verwaltung
der Ungleichungen wird dynamisch vorgenommen, d.h. dass die Ungleichungen in einem
Gesamtwohl verwaltet und nur bei Bedarf ber¨
ucksichtigt werden.
Der Aufbau dieses Kapitels ist wie folgt. Zun¨
achst beschreiben wir die Eingabedaten
f¨
ur das Netzwerkentwurfproblem, den Datengenerator und die Eigenschaften der benutz-
ten Benchmarks (Abschnitt 4.1.1). Danach f¨
uhren wir eine Untersuchung der Komplexit¨
at
der vorliegenden Datens¨
atze durch und stellen erste Experimente dazu vor. Im n¨
achsten Un-
terabschnitt beschreiben wir die Vergleichsmethodik f¨
ur die entwickelten Algorithmen (Ab-
111
112 4 Experimentelle Ergebnisse
Obere Schranken
Branching
Variablen-
fixierung
exakte
CIT
Shortest path
Rucksack
heuristische
α-Fixierung β-Fixierung
Column generation
Primale Heuristik
Variablentaxonomie Kardinalitäten
Branch & Bound
Cover Cuts
Lokale Cuts
Relax & Cut
Untere Schranken Lagrange-Relaxation
Rucksack Shortest path
Algorithmen
Baumsuche Tiefensuche Bestensuche
Subgradient Bundle method
Lagrange-Dual
Abbildung 4.1: ¨
Uberblick ¨
uber die implementierten Algorithmen
schnitt 4.1.2). Danach kommen wir zu den Ergebnissen, die mit unserem System erreicht
wurden. Wir vergleichen im Abschnitt 4.1.3 das System mit anderen Solvern und bewerten
die Leistungsf¨
ahigkeit einzelner wichtiger Systemkomponenten (Abschnitt 4.1.4). Im letzten
Unterabschnitt 4.1.5 fassen wir die Erkenntnisse aus den Experimenten zusammen.
Die meisten Experimente in diesem Kapitel wurden auf einem Pentium 4 Prozessor (3
GHz, 1 GByte Hauptspeicher) durchgef¨
uhrt.
4.1.1 Benchmark-Daten
Die Bewertung der Leistungsf¨
ahigkeit der Algorithmen f¨
ur Netzwerkentwurf wird anhand von
Benchmarkdaten vorgenommen. Diese Benchmarks stellen eine Auswahl von Daten dar, die
bereits in mehreren Ver¨
offentlichungen f¨
ur die Bewertung von anderen Algorithmen benutzt
wurde. Dadurch wird eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse sichergestellt. Im Folgenden be-
schreiben wir den Datengenerator und die Eigenschaften der Daten, die beeinflusst werden
k¨
onnen. Danach betrachten wir die Gr¨
oße der Datens¨
atze, die von kleinen und sehr einfach
l¨
osbaren Instanzen bis zu relativ großen und nur mit großem Rechenaufwand l¨
osbaren Da-
tens¨
atzen reicht. Eine Betrachtung der Schwierigkeit der Instanzen wird durch die L¨
osung
der LP-Relaxationen mit Hilfe von CPLEX erm¨
oglicht.
Beschreibung des Generators
Ein Generator f¨
ur das Problem des Netzwerkentwurf wurde von dem kanadischen Wissen-
schaftler Bernard Gendron entwickelt und in mehreren Ver¨
offentlichungen f¨
ur Experimente
4.1 Netzwerkentwurf 113
benutzt [Gendron and Crainic, 1994a], [Gendron and Crainic, 1996]. Es handelt sich dabei
um ein Fortran-Programm, das eine Parameterdatei als Eingabe verarbeitet und eine In-
stanzdatei f¨
ur Netzwerkentwurf generiert.
In Tabelle 4.1 ist eine m¨
ogliche Parameterdatei f¨
ur den Generator abgebildet. Durch Vor-
gabe von Netzwerkeingenschaften k¨
onnen die Struktur und die Komplexit¨
at der Netzwerke
beeinflusst werden.
Parameter Wert Bedeutung
nocca Keine spezifischen Kapazit¨
aten f¨
ur Commodities
inseed 0 Initialisierung des Zufallszahlgenerators
ctight 3.0 Kapazit¨
atswert (siehe Definition)
fixvar 0.02 Verh¨
altnis der fixen zu variablen Kosten (siehe Definition)
noprll 10 Keine parallelen Kanten
scalex 6 Gr¨
oße des Netzes in x-Richtung
scaley 2 Gr¨
oße des Netzes in y-Richtung
commod 50 Anzahl der Commodities
addarc 50 Anzahl der Kanten
minsrc 1 Minimale Anzahl der Quelle-Knoten pro Commodity
maxsrc 1 Maximale Anzahl der Quelle-Knoten pro Commodity
minsnk 1 Minimale Anzahl der Senke-Knoten pro Commodity
maxsnk 1 Maximale Anzahl der Senke-Knoten pro Commodity
minfct 10 Minimale fixe Kosten f¨
ur eine Kante
maxfct 100 Maximale fixe Kosten f¨
ur eine Kante
mincst 5 Minimale Kosten f¨
ur den Transport von Commodities
maxcst 50 Maximale Kosten f¨
ur den Transport von Commodities
minsup 150 Minimaler Transportbedarf pro Commodity
maxsup 750 Maximaler Transportbedarf pro Commodity
mincap 100 Minimale Kapazit¨
at einer Kante
maxcap 500 Maximale Kapazit¨
at einer Kante
outfil A3.dat Name der Instanzdatei
end
Tabelle 4.1: Eine Parameterdatei f¨
ur den Datengenerator f¨
ur den Netzwerkentwurf
Das Vorgehen des Generators kann durch den Algorithmus 17 beschrieben werden:
Algorithmus 17 Generator f¨
ur den Netzwerkentwurf
1: Erzeuge ein zuf¨
alliges Netz (Knoten und Kanten), indem die vorgegebene Anzahl von
Kanten zwischen Zufallsknoten gezogen wird,
2: W¨
ahle zuf¨
allig Quellen und Senken f¨
ur die Commodities,
3: Passe die Kapazit¨
aten der Kanten dem Transportbedarf an (nach Vorgabe des Kapa-
zit¨
atswertes),
4: Passe das Verh¨
altnis der fixen zu variablen Kosten an,
5: Ausgabe der Instanzdatei.
Die beiden wichtigsten Parameter f¨
ur die Schwierigkeit einer Instanz sind neben der Gr¨
oße
des Netzwerks der Kapazit¨
atswert Cund das Verh¨
altnis der fixen zu variablen Kosten F, die
folgendermaßen definiert werden (dabei ist T=∑k∈Cdkals der Gesamttransportbedarf im
Netzwerk definiert):
114 4 Experimentelle Ergebnisse
Definition 4.1 (Capacity ratio)
C=|A|T
∑(i,j)∈Auij
Der Kapazit¨
atswert ist das Verh¨
altnis des Transportbedarfs f¨
ur alle Commodities zu der
durchschnittlichen Kapazit¨
at einer Kante. Gr¨
oßere Kapazit¨
atswerte definieren demzufolge
ein engeres Netzwerk, in dem es schwieriger ist, den Transportbedarf zu befriedigen.
Definition 4.2 (Fixvar ratio)
F=|C|∑(i,j)∈Afij
T∑k∈C∑(i,j)∈Ack
ij
Bei Werten von Fnahe 0sind die fixen Installationskosten f¨
ur Kanten gering im Vergleich
zu den Transportkosten. Bei gr¨
oßeren Werten von Fsteigt deren Bedeutung.
Wir untersuchen in diesem Kapitel unter anderem auch, wie die Laufzeit und L¨
osungsqualit¨
at
von diesen Parametern abh¨
angt.
Gr¨
oße der Datens¨
atze
Die Gr¨
oße der Datens¨
atze stellen wir zun¨
achst nach Anzahl der Knoten, Kanten und Com-
modities gegen¨
uber:
Canad-R1 Canad-R2 PAD Canad-C PAD-S
Knoten 10 20 12-24 20-30 40-60
Kanten 35-83 120-318 50-440 230-700 500-2500
Commodities 10-50 40-200 50-160 40-400 100-500
Anzahl der Instanzen 72 81 41 31 54
Tabelle 4.2: ¨
Uberblick ¨
uber die Datens¨
atze. (siehe auch 6.1–6.4 auf den Seiten 158–161)
Die Tabelle 4.2 gibt einen ¨
Uberblick ¨
uber die verwendeten Instanzen. Die Instanzen der
Klassen Canad-R1 und PAD lassen sich sowohl mit CPLEX als auch mit unseren beiden
Solvern (NDBB und NDBC) exakt l¨
osen. Die Instanzen der Klassen PAD und CANAD-
R2 bilden die Grundlage f¨
ur die Vergleiche unserer exakter Verfahren mit CPLEX. Die Klasse
Canad-C besteht aus relativ schweren Instanzen, die sich nicht optimal l¨
osen lassen. Diese
Klasse dient den Vergleichen der heuristischen Verfahren. Die Klasse PAD-S besteht aus
den gr¨
oßten Instanzen unserer Benchmarks und zeigt die Grenzen der exakten Verfahren auf.
Die heuristischen Verfahren liefern auf diesen Instanzen noch akzeptable L¨
osungen, deren
Qualit¨
at sich aber nicht genau absch¨
atzen l¨
asst, weil gute untere Schranken nur sehr schwer
berechnet werden k¨
onnen.
Die Abbildung 4.2 soll die Komplexit¨
at der Probleminstanzen grafisch veranschaulichen.
Sie stellt auf der x-Achse die Anzahl der Knoten und auf der y-Achse die Anzahl der Kanten
der Instanzen dar, wobei die Gr¨
oße der Kreise der Anzahl der Commodities entspricht. Die
zweite Grafik zeigt die Anzahl der Nichtnull-Elemente (nonzeros) in der MIP-Formulierung
des Netzwerkentwurfproblems, die oft ein Indiz f¨
ur die Komplexit¨
at der LP-Relaxation des
Problem ist.
4.1 Netzwerkentwurf 115
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
0 10203040506070
Anzahl der Knoten
Anzahl der Kanten
CANAD R1
CANAD R2
PAD
CANAD C
PAD S
20763
349236
1370685
3223500
8081
77550
466061
1658527
1636
12242
44494
270540
1000.00
10000.00
100000.00
1000000.00
10000000.00
CANAD R PAD CANAD C CANAD S
Anzahl nonzeros
MAX MITTELWERT MIN
Abbildung 4.2: Gr¨
oßen der Benchmarkdaten
LP- und Lagrange-Relaxationen
In diesem Abschnitt betrachten wir Relaxationen f¨
ur das Netzwerkentwurf Problem (CNDP).
Die LP-Relaxation wird in einem LP-basierten Branch-and-bound Algorithmus einmal in der
Wurzel des B&B-Baums gel¨
ost und bestimmt oft ganz wesentlichen die Laufzeit des gesamten
B&B-Algorithmus. In einem Lagrange-Relaxation Ansatz wird eine die Lagrange-Relaxation
statt der LP-Relaxation gel¨
ost. Es wird eine m¨
oglichst gute Ann¨
aherung an den Wert der
LP-Relaxation gesucht.
Wir vergleichen im Folgenden die Laufzeiten unterschiedlicher Algorithmen, die die LP-
Relaxation f¨
ur Datens¨
atze unterschiedlicher Gr¨
oße l¨
osen. Die Laufzeiten des Subgradient-
Verfahrens und des Bundle-Verfahrens sowie die Qualit¨
at der berechneten Lagrange-Schranken
werden miteinander verglichen.
Best upper-lower CPLEX weak LP CPLEX strong LP Lagrangean Subgradient Lagrangean Bundle
Ø gap in % Ø gap in % Ø gap in % Ø gap in % Ø gap in %
CANAD R1 optimal 17.80 2.98 5.30 2.47
CANAD R2 3.38 25.71 3.62 5.14 3.50
PAD optimal 41.75 0.86 1.01 0.97
CANAD C 1.74 17.29 2.08 1.98 2.10
PAD S 16.17 - - 17.27 17.22
CPLEX time CPLEX time NDBB time NDBC time
Ø in sec Ø in sec Ø in sec Ø in sec
CANAD R1 0.02 0.14 0.14 0.09
CANAD R2 2.80 267.99 1.70 1.01
PAD 0.08 3.97 1.24 0.74
CANAD C 4.88 1985.69 5.53 3.29
PAD S - - 36.34 12.06
Tabelle 4.3: Vergleich der unteren Schranken
In der Tabelle 4.3 ist in der oberen H¨
alfte die durchschnittliche Qualit¨
at der unteren
Schranken f¨
ur unterschiedliche Algorithmen angegeben. Die erste Spalte gibt die untersuch-
ten Benchmarks an. In der zweiten Spalte ist der Abstand zwischen der besten bekannten
unteren und der besten bekannten oberen Schranke angegeben. Die Klassen CANAD-R1
116 4 Experimentelle Ergebnisse
und PAD sind komplett optimal gel¨
ost, d.h. dass der Abstand zwischen diesen beiden Schran-
ken geschlossen wurde. W¨
ahrend f¨
ur die Klassen CANAD-R2 und CANAD-C eine relativ
kleine L¨
ucke und somit eine gute L¨
osungsqualit¨
at berechnet werden konnte (3.38% und
1.74%), ist f¨
ur die Klasse PAD-S die L¨
ucke relativ groß: 16.17%.
In der dritten Spalte ist die Qualit¨
at der schwachen LP-Schranke f¨
ur das CNDP angegeben.
Diese ist im Vergleich zu der starken LP-Schranke in der vierten Spalte sehr schlecht. Die
schwache LP-Schranke kann in einem B&B-Algorithmus nicht sinnvoll verwendet werden.
In der f¨
unften und sechsten Spalte der Tabelle 4.3 ist die Qualit¨
at der Lagrange-Schranken
angegeben. Die von der Bundle-Methode gelieferten Schranken ¨
ubertreffen in der Qualit¨
at
die Schranken der Subgradient-Suche.
In der unteren H¨
alfte der Tabelle sind die durchschnittlichen Zeiten f¨
ur die Berechnung der
jeweiligen Schranke angegeben. Wir beobachten dabei, dass die Lagrange-Schranken deutlich
schneller als die starke LP-Schranke berechnet werden k¨
onnen. Sie liefern dabei eine gute
Absch¨
atzung der LP-Schranke und eignen sich daher hervorragend f¨
ur den B&B-Algorithmus.
Dieser Vergleich liefert eine sehr gute Ausgangsbasis f¨
ur die Leistungsf¨
ahigkeit des auf der
Lagrange-Relaxation basierten B&B-Algorithmus. F¨
ur die Klasse der gr¨
oßten Instanzen PAD-
Skonnten die LP-Schranken aufgrund der Problemgr¨
oße nicht in einer vorgegebenen Zeit
von 2 Stunden berechnet werden. Damit konnte der B&C-Algorithmus von CPLEX f¨
ur diese
Instanzen ¨
uberhaupt keine zul¨
assigen L¨
osungen liefern.
In der Abbildung 4.3 stellen wir die Konvergenz der Verfahren bei der Berechnung der
unteren Schranke in der Wurzel des B&B-Baums dar (zwei Instanzen aus PAD: K1 und L1).
Deutlich zu sehen ist die schnelle Konvergenz der beiden Lagrange-Schranken im Vergleich
zu den LP-Schranken (dualer und primaler Simplex, sowie der Interior-Point Algorithmus
CPLEX-baropt).
CPLEX-Experimente
Der auf der LP-Relaxation basierte Branch-and-cut Algorithmus von CPLEX wird in diesem
Abschnitt auf der Benchmark PAD gestartet. Das Tuning der Parameter soll Aufschluss
dar¨
uber geben, welche Strategien von CPLEX die besten Ergebnisse liefern.
CPLEX verf¨
ugt ¨
uber eine Vielzahl von Einstellungen, die die Leistungsf¨
ahigkeit beeinflussen
k¨
onnen. Wir beschr¨
anken uns in diesem Abschnitt allerdings auf einige wenige, die die gr¨
oßten
Auswirkungen in unseren Experimenten hatten.
Folgende Parameter sind ber¨
ucksichtigt worden:
•Heuristik f¨
ur primale L¨
osungen
•Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts)
•Suchstrategie im B&C-Algorithmus (Emphasis)
Die Heuristik f¨
ur die Suche nach primalen L¨
osungen kann ein- oder ausgeschaltet wer-
den. Die H¨
aufigkeit, mit der sie gestartet wird, wird von CPLEX automatisch ermittelt. Es
gibt mehrere Typen von zus¨
atzlichen Ungleichungen, die die Qualit¨
at der unteren Schranken
w¨
ahrend der B&B-Suche verbessern sollen. Auch hier k¨
onnen sie ein- oder ausgeschaltet
werden. Bei der Suchstrategie k¨
onnen mehrere Ziele verfolgt werden. Es existieren zwei ex-
treme Einstellungen, n¨
amlich die vorrangige Suche nach g¨
ultigen ganzzahligen L¨
osungen
4.1 Netzwerkentwurf 117
300000
800000
1300000
1800000
2300000
2800000
3300000
3800000
0 5 10 15 20 25 30 35
sec
Zielfunktion
NDBB K1 NDBC K1 CPLEX_dual CPLEX_primal CPLEX_baropt
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
0 102030405060708090100
sec
Zielfunktion
NDBB L1 NDBC L1 CPLEX_dual CPLEX_primal CPLEX_baropt
Abbildung 4.3: Konvergenz der Verfahren bei der Berechnung der unteren Schranke
(EMPINT) oder der Versuch, m¨
oglichst schnell die Optimalit¨
at der gefundenen L¨
osung
nachzuweisen (EMPOPT). Die Balance zwischen diesen beiden Zielen wird mittels EMP-
BAL erreicht.
Im Vorgriff auf den n¨
achsten Abschnitt nutzen wir in diesem Vergleich bereits das Kon-
zept der Leistungsprofile. In der Tabelle 4.4 sind die durchschnittlichen Leistungswerte der
untersuchten Konfigurationen von CPLEX dargestellt. Die Gruppierung erfolgte nach der
Suchstrategie. Dadurch konnte die EMPOPT als die schlechtere und EMPINT als die bes-
sere identifiziert werden. Außerdem zeigen diese Experimente auch, dass das Zuschalten der
Heuristik und der zus¨
atzlichen Ungleichungen keine Verbesserung der Laufzeit bewirken. In
der Grafik 4.4 ist die Konfiguration HEU1 CUTS1 EMPBAL als die Standardeinstellung
von CPLEX schwarz markiert.
118 4 Experimentelle Ergebnisse
HEU 0 CUTS 0 HEU 1 CUTS 0 HEU 0 CUTS 1 HEU 1 CUTS 1
EMP INT 1.05 1.33 1.52 2.01
EMP BAL 2.60 2.80 3.86 4.14
EMP OPT 3.67 3.59 5.37 5.45
HEU Heuristik für zullässige Lösungen 0 = abgeschaltet 1 = automatische Frequenz
CUTS Cuts, alle Klassen 0 = abgeschaltet 1 = automatische Frequenz
EMP Ziel der MIP Optimierung INT = integer feasibility OPT = optimality BAL = balanciert
PAD
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Leistungsprofil
Anzahl der Instanzen
HEU0_CUTS0_EMPINT
HEU0_CUTS1_EMPINT
HEU1_CUTS0_EMPINT
HEU1_CUTS1_EMPINT
HEU0_CUTS0_EMPBAL
HEU0_CUTS1_EMPBAL
HEU1_CUTS0_EMPBAL
HEU1_CUTS1_EMPBAL
HEU0_CUTS0_EMPOPT
HEU0_CUTS1_EMPOPT
HEU1_CUTS0_EMPOPT
HEU1_CUTS1_EMPOPT
Abbildung 4.4: CPLEX Varianten auf der PAD Benchmark
4.1.2 Methodik der Auswertung
Wenn eine Netzwerkentwurf Probleminstanz von einem Solver gel¨
ost wird, kann eine Vielzahl
von Kenngr¨
oßen gesammelt und ausgewertet werden. Diese Kenngr¨
oßen k¨
onnen in mehreren
Hierarchieebenen angeordnet werden. Auf der obersten Ebene interessieren wir uns f¨
ur die
Gesamtperformance eines Solvers:
•erzielter Wert der Zielfunktion,
•ben¨
otigte Laufzeit (Prozessorzeit),
•evtl. Speicherbedarf.
Anhand dieser Werte bestimmen wir den besten Solver f¨
ur eine Klasse von Benchmarkda-
ten.
Formal erhalten wir f¨
ur jeden Solver si∈Seine Reihe von Tupeln (Zielfunktion, Laufzeit)
(op,s,tp,s)f¨
ur ein p∈Paus der Menge von Datens¨
atzen.
4.1 Netzwerkentwurf 119
Summe der Laufzeiten Wir betrachten zun¨
achst den Fall wenn das CNDP exakt gel¨
ost
wird und die Laufzeiten tp,sverglichen werden sollen. Da bietet sich zun¨
achst die Summe der
Laufzeiten als Vergleichskriterium an: ts=∑ptp,s. Bei vergleichbaren Laufzeiten eines Solvers
auf einer Benchmark ist dieser Wert geeignet, den besten Solver zu identifizieren. Bei st¨
arker
schwankenden Laufzeiten wird oft zus¨
atzlich die mittlere Laufzeit und die Standardabwei-
chung hinzugezogen.
Ranking Das Ranking der Verfahren eignet sich gut f¨
ur einen groben Vergleich der Solver,
wenn nur die Reihenfolge der Solver, nicht aber die quantitativen Unterschiede von Interesse
sind. Das Ranking eines Solvers auf einer Instanz ist 1 falls er der schnellste auf dieser Pro-
bleminstanz war. Der Durchschnitt ¨
uber die gesamte Benchmark l¨
asst dann den schnellsten
Solver ermitteln.
Leistungsprofile Wir definieren an dieser Stelle die Leistungswerte (performance ratios)
sowie Leistungsprofile (performance profiles) (vgl. [Dolan and More, 2002]) und vergleichen
diese Kriterien mit dem Durchschnitt bzw. der Summe der Laufzeiten.
Sei Sdie Menge der zu vergleichenden Verfahren und Pdie Menge der Testinstanzen und
bezeichne
tp,s=die von dem Verfahren sf¨
ur die L¨
osung des Problems paufgewendete Zeit.
Anstelle der Zeit kann auch ein anderes Vergleichskriterium, z.B. die Anzahl der Knoten
im B&B-Baum benutzt werden.
Definition 4.3 Der Leistungswert (performance ratio) ist definiert als
rp,s=tp,s
min{tp,s0:s0∈S}
das Verh¨
altnis des gegebenen Solvers szum besten Solver auf dieser Probleminstanz.
Zus¨
atzlich wird ein Parameter rM≥rp,s0∀p,s0definiert f¨
ur den Fall wenn ein Solver eine
Probleminstanz nicht l¨
osen konnte: rp,s=rM.
Definition 4.4 Das Leistungsprofil (performance profile) des Verfahrens s∈Sauf der
Testmenge Pist die Funktion Qs(r), die f¨
ur alle r∈Rdie Anzahl der Probleme in Panzeigt,
f¨
ur deren L¨
osung das Verfahren seinen Leistungswert von h¨
ochstens raufweist:
Qs(r) = p∈P:rp,s≤r.
Die Funktion Qsist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨
ur die Leistungswerte des
Solvers s.
Motivation und Vergleich der Performance-Maße In unserem Szenario werden drei Solver
(CPLEX 9.0, NDBB, NDBC) auf der PAD-Benchmark bzgl. ihrer Laufzeiten verglichen. Die
kompletten Ergebnisse sind in der Tabelle 6.5 auf der Seite 162 zu finden.
120 4 Experimentelle Ergebnisse
CPLEX 9.0 NDBB NDBC
Summe 3684.40 9329.80 1941.34
Summe ohne J4,K1,L1 1951.23 3611.77 877.32
Summe mit Aussreisser bei L1 9086.80 9329.80 1941.34
Faktor in der Laufzeit 1.90 4.81 1.00
Faktor in der Laufzeit ohne J4,K1,L1 2.22 4.12 1.00
Faktor in der Laufzeit mit Aussreisser bei L1 4.68 4.81 1.00
Ranking 2.17 2.59 1.24
Ranking ohne J4,K1,L1 2.16 2.58 1.26
Ranking mit Aussreisser bei L1 2.20 2.56 1.24
Ø performance ratio 2.72 4.85 1.83
Ø performance ratio ohne J4,K1,L1 2.77 4.89 1.90
Ø performance ratio mit Aussreisser bei L1 2.94 4.85 1.83
Tabelle 4.4: Motivation zu Leistungsprofilen
PAD benchmark
.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
12345678910
und größer
performance ratio
Kummulierte Verteilung
NDBCSolver
NDBC ohne J4,K1,L1
CPLEX 9.0
CPLEX 9.0 ohne J4,K1,L1
CPLEX 9.0 mit L1_long
NDBBSolver
NDBB ohne J4,K1,L1
Abbildung 4.5: Diagramm zu performance profiles
In der ersten Zeile der Tabelle 4.4 ist die Summe der Laufzeiten auf der gesamten Bench-
mark angegeben. CPLEX 9.0 ist dabei um einen Faktor von 1.9 langsamer als NDBC, NDBB
hat einen Faktor von 4,81 erzielt.
In der Grafik 4.5 sind die Leistungsprofile der drei Solver dargestellt. Im Bild k¨
onnen viele
Informationen abgelesen werden, z.B.:
•NDBC ist auf 75% der Probleminstanzen der schnellste Solver gewesen.
4.1 Netzwerkentwurf 121
•CPLEX 9.0 war auf den restlichen 25% der schnellste.
•NDBC konnte auf 85% der Probleminstanzen ein Leistungswert von ≤2erreichen,
CPLEX 9.0 nur auf 45%.
•Der Leistungswert der Solver auf 90% der Instanzen ist wie folgt: NDBC - 3, CPLEX
9.0 - 5, NDBB - 8.
•Zus¨
atzlich berechnen wir noch die durchschnittlichen Leistungswerte: NDBC - 1.83,
CPLEX 9.0 - 2.72, NDBB - 4.85.
Insgesamt stellen wir fest, dass der Solver NDBC der beste in diesem Experiment ist,
gefolgt von CPLEX 9.0 und NDBB.
Stabilit¨
at der Performance-Maße Ein Performance-Maß, das zum Vergleich von unter-
schiedlichen L¨
osungsverfahren benutzt wird, sollte eine verl¨
assliche Aussage aus einem Expe-
riment liefern. Die Entscheidung zugunsten eines Verfahrens sollte sich nicht ¨
andern, wenn
sich die Ergebnisse geringf¨
ugig ¨
andern. Ver¨
andert sich z.B. auf einer Probleminstanz die Lauf-
zeit eines Verfahrens stark, sollte sich das Gesamtbild im Vergleich nicht wesentlich ¨
andern.
Eine geringe Schwankung der Laufzeiten auf der ganzen Benchmark sollte ebenfalls keine
¨
Anderung des Vergleichs bewirken.
Wir formulieren zwei Aussagen ¨
uber die Leistungsprofile, die anschließend im experimen-
tellen Vergleich best¨
atigt werden sollen.
Behauptung 4.1 Seien zwei Verfahren sund s0auf Instanzen p∈P\qgleich schnell: tp,s=
tp,s0. Daraus folgt, dass ∀p∈P\qgilt: rp,s=rp,s0. Da sich nur der Leistungswert rq,s0¨
andert,
gilt f¨
ur beliebiges r∈R:
|Qs(r)−Q0
s(r)| ≤ 1/np
wenn npdie Anzahl der Probleminstanzen ist. Die Leistungswerte unterscheiden sich also nur
gering voneinander.
Weiterhin kann folgende Aussage ¨
uber die Leistungsprofile getroffen werden:
Behauptung 4.2 Unterscheiden sich die Leistungswerte von zwei Verfahren bei jeder Pro-
bleminstanz nur leicht:
|rp,s−r1
p,s0| ≤ ε,1≤p≤np
f¨
ur ein ε>0, so ist der Unterschied der Leistungsprofile ebenfalls klein:
Z∞
1|Qs(t)−Q0
s(t)|dt ≤ε
Der Beweis dieser Behauptung kann in [Dolan and More, 2002] gefunden werden.
Wir ver¨
andern nun die Grunddaten in unserem Experiment auf folgende Weise (siehe
Tabelle 4.4 und 6.5 auf Seite 162):
122 4 Experimentelle Ergebnisse
•Es wird eine Teilmenge der Datens¨
atze betrachtet (ohne die Langl¨
aufer J4, K1, L1),
•Es wird ein k¨
unstlicher Ausreißer bei CPLEX 9.0 produziert (Laufzeit auf L1 um Faktor
10 erh¨
oht).
Die Summe der Laufzeiten reagiert im ersten Fall mit einer relativ kleinen Ver¨
anderung
mit Faktoren von 2,22 und 4,12. Der Ausreißer bei L1 ver¨
andert das Ergebnis des Vergleichs
sehr stark: CPLEX 9.0 bekommt eine Gesamtlaufzeit von ca. 9000 sec und einen Faktor von
4,68 statt 1,90 ohne den Ausreißer.
Die durchschnittlichen Leistungswerte werden durch die Ver¨
anderungen viel weniger gest¨
ort:
2,72 auf 2,77 und dann auf 2,94 bei CPLEX 9.0. Die Ver¨
anderung der Leistungsprofile f¨
allt
ebenfalls sehr gering aus: Die Profile von CPLEX 9.0 liegen nach wie vor sehr eng beieinander
(siehe Grafik 4.5).
Fazit zur Methodik der Auswertung Wir stellen fest: Auch nach einer St¨
orung der Grund-
daten ist eine genaue Analyse der Leistungsf¨
ahigkeit der Algorithmen m¨
oglich. Eine starke
¨
Anderung bei wenigen Datens¨
atzen einer Benchmark oder eine geringe Ver¨
anderung bei ei-
nigen Datens¨
atzen wird von Leistungsprofilen abgefangen und das Gesamtbild wird dadurch
nicht zerst¨
ort.
Aufgrund dieser Stabilit¨
atseigenschaft der Leistungswerte und Leistungsprofile verwenden
wir diese Vergleichskriterien zur Leistungsbewertung von Algorithmen oder Varianten im
weiteren Verlauf dieses Ergebnis-Kapitels.
4.1.3 Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren
In der Tabelle 6.1 sind die Experimente in diesem Abschnitt im ¨
Uberblick aufgef¨
uhrt.
Nr. Benchmark Verfahren im Vergleich Art des Vergleichs
1.1 PAD NDBB, NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.2 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.3 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.4 CANAD-C NDBC-α, NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.5 CANAD-C NDBB-α, NDBB-β, NDBC-α, NDBC-βheuristisch
1.6 PAD-S NDBC-α, NDBC heuristisch
Tabelle 4.5: ¨
Uberblick ¨
uber die Experimente in diesem Abschnitt
Wir vergleichen die in dieser Arbeit entwickelten Solver NDBB und NDBC mit anderen
Solvern f¨
ur das Problem des Netzwerkentwurfs. Zum einen l¨
osen wir die Instanzen mit Hilfe
des Branch-and-cut Algorithmus von ILOG CPLEX 9.0 ([ILOG, 2003]). Weiterhin konnten
wir auf Ergebnisse der kanadischen Wissenschaftler zur¨
uckgreifen (Bernard Gendron).
In den Arbeiten von Ghamlouche und anderen [Ghamlouche et al., 2003], [Ghamlouche et al., 2004]
werden drei heuristische Verfahren f¨
ur das Capacitated Network Design Problem (CNDP)
vorgestellt. Der TABU-PATH Solver aus [Ghamlouche et al., 2003] implementiert einen heu-
ristischen Tabu Search Algorithmus, der auf einer aufwendigen Nachbarschaft f¨
ur das CNDP
4.1 Netzwerkentwurf 123
basiert. Eine Erweiterung dieses Ansatzes um Path Relinking ist im Solver PATH-RELINKING
[Ghamlouche et al., 2004] implementiert. Eine relativ einfache, kantenbasierte Nachbarschaft
wird innerhalb eines Tabu Search Ansatzes (TABU-ARC) benutzt.
In [Crainic et al., 2004] wird der Slope Scaling Ansatz SS/PL/ID f¨
ur das CNDP vorgestellt.
Es wird eine Folge von Multicommodity Flussproblemen gel¨
ost, die gegen die optimale L¨
osung
des CNDP konvergiert.
Experiment 1.1 In diesem Experiment werden die Solver NDBB, NDBC und CPLEX 9.0
auf der Benchmark PAD verglichen.
PAD benchmark
.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
und größer
performance ratio
Kummulierte Verteilung
CPLEX 9.0 NDBBSolver NDBCSolver
CPLEX 9.0 NDBB NDBC
Summe in sec 3684.40 9329.80 1941.34
Faktor in der Laufzeit 1.90 4.81 1.00
Ø performance ratio 2.72 4.85 1.83
Abbildung 4.6: Experiment 1.1: exaktes L¨
osen der PAD Benchmark (siehe auch 6.5, Seite
162).
Experimentaufbau. Bei diesem Experiment wird jeder Solver mit einem Zeitlimit von 4
Stunden gestartet. Gemessen wird die Zeit zum Finden der optimalen L¨
osung und
Beweis der Optimalit¨
at dieser. Wir berechnen anschließend die Kenngr¨
oßen, die in der
Grafik und Tabelle 4.6 dargestellt sind.
Ergebnis. Der NDBC Solver l¨
ost alle Probleminstanzen in 1941 Sekunden, deutlich schneller
als CPLEX (3684 Sek.) und der NDBB Solver (9329 Sek.). Der durchschnittliche
Leistungswert liegt beim NDBC Solver bei 1.83, beim CPLEX bei 2.72 und beim NDBB
bei 4.85. Auf 75% der Probleminstanzen ist NDBC der schnellste Solver, CPLEX auf
25%. Das Leistungsprofil von NDBC liegt deutlich h¨
oher als die der beiden anderen
Solver.
124 4 Experimentelle Ergebnisse
Auswertung. NDBC kann als besserer Solver f¨
ur das exakte L¨
osen der Benchmark PAD
identifiziert werden. Alle drei Vergleichsgr¨
oßen (Summe der Laufzeiten, durchschnitt-
licher Leistungswert und das Leistungsprofil) sind besser als bei den beiden anderen
Solvern NDBB und CPLEX. Damit bew¨
ahrt sich die Konfiguration unseres Systems,
die auf der Bundle-Methode und dem Relax-and-cut-Algorithmus basiert.
Experiment 1.2 In diesem Experiment werden die Solver NDBC und CPLEX 9.0 auf der
Benchmark CANAD-R2 verglichen. Diese Benchmark zeichnet sich dadurch aus, dass nicht
jede Probleminstanz in 4 Stunden Zeitlimit optimal gel¨
ost werden kann. Deswegen unter-
scheiden wir bei der Auswertung nach Instanzen, die optimal gel¨
ost werden konnten und
anderen, bei denen wir die Qualit¨
at der gefundenen L¨
osungen vergleichen.
Experimentaufbau. Jeder Solver bekommt f¨
ur jede der 81 Instanzen 4 Stunden (14400
Sek.) Rechenzeit. Protokolliert werden der Wert der Zielfunktion und die Laufzeit
(max. 14400 Sek.). Die L¨
osungsqualit¨
at wird zur besten bekannten unteren Schranke
berechnet.
Ergebnis. In den Grafiken 4.7(1)-(3) und Tabelle 4.7 sind folgende Informationen enthalten.
Grafik (1): Die kumulierte Verteilung der sortierten L¨
osungszeit. NDBC konnte f¨
ur 40
Instanzen die optimale L¨
osung finden und die Optimalit¨
at beweisen. CPLEX fand 47
optimale L¨
osungen. Grafik (2): F¨
ur 44 Instanzen, die von einem der beiden Solvern
nicht optimal gel¨
ost wurden, ist die L¨
osungsqualit¨
at im Leistungsprofil angegeben.
Grafik (3) ist eine andere Darstellung der Grafik (1): Es wurden die Leistungswerte
berechnet und als Leistungsprofil dargestellt. CPLEX zeigt dabei das bessere Verhalten.
In der Tabelle zu 4.7 ist die Gesamtzeit zum L¨
osen der 37 Instanzen, die von beiden
Solvern optimal gel¨
ost wurden, angegeben. NDBC ben¨
otigte daf¨
ur 2% mehr Zeit. Der
durchschnittliche Leistungswert spricht an dieser Stelle f¨
ur NDBC: 2.72 gegen 3.00 bei
CPLEX. Die durchschnittliche L¨
osungsqualit¨
at bei nicht optimal gel¨
osten Instanzen ist
bei CPLEX deutlich besser: 1.73 gegen 3.40 bei NDBC.
Auswertung. CPLEX zeigt eine bessere Performance beim exakten L¨
osen der Benchmark
CANAD-R2 mit einem Zeitlimit von 4 Stunden. CPLEX konnte mehr Instanzen optimal
l¨
osen, war auf diesen Instanzen geringf¨
ugig schneller als NDBC und lieferte bei nicht
optimal gel¨
osten Instanzen eine bessere L¨
osungsqualit¨
at.
4.1 Netzwerkentwurf 125
CANAD-R2
40
47
81
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Zeit (sec)
Anzahl der Instanzen
CPLEX NDBC
CANAD-R2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
Lösungsqualität (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
CPLEX NDBC
CANAD-R2
56 %
43 %
.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
und größer
performance ratio
Kummulierte Verteilung
CPLEX NDBC
CPLEX 9.0 NDBC
Optimal gelöste Instanzen
Summe in sec 37715.19 38571.72
Faktor in der Laufzeit 1.00 1.02
Ø performance ratio 3.00 2.72
Nach 4 Std. nicht gelöste Instanzen
Ø Lösungsqualität 1.73 3.40
Abbildung 4.7: Experiment 1.2. 14400 sec Zeitlimit (siehe auch 6.6, Seite 163).
126 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 1.3 In der Grafik 4.8 ist ein Vergleich auf der Benchmark Canad-R2 darge-
stellt. Folgende Verfahren aus den Publikationen zum Thema Netzwerkentwurf werden mit
unseren heuristischen Verfahren verglichen:
•TABU-CYCLE und TABU-ARC [Ghamlouche et al., 2003],
•TABU-PATH [Crainic et al., 2000b],
•PATH-RELINKING [Ghamlouche et al., 2004],
•SS/PL/ID [Crainic et al., 2004].
Die Ergebnisse dieser Verfahren wurden uns von den Autoren der entsprechenden Publika-
tionen zur Verf¨
ugung gestellt. Eine Tabelle mit genauen Daten ist im Anhang (Tabelle 6.7)
zu finden. Die Zeiten wurden bei diesem Vergleich nicht ber¨
ucksichtigt, weil die Verfahren
auf unterschiedlichen Rechenplattformen gestartet wurden.
Experimentaufbau. S¨
amtliche 81 Instanzen der Benchmark CANAD-R2 werden hier unter-
sucht. Der Vergleich basiert auf der erreichten L¨
osungsqualit¨
at bez¨
uglich der besten
bekannten unteren Schranke. Die Alpha-Fixierung des NDBC Solvers wird nach 300 Se-
kunden gestoppt. Der B&C-Algorithmus von CPLEX wird in der heuristischen Variante
gestartet und die L¨
osungsqualit¨
at nach 300 Sekunden protokolliert. Die Einstellungen
wurden so vorgenommen, dass m¨
oglichst schnell eine zul¨
assige L¨
osung gefunden wer-
den kann, ohne den Optimalit¨
atsbeweis zu f¨
uhren.
Ergebnis. Das Ergebnis des Vergleichs ist in der Grafik und Tabelle 4.8 dargestellt. Grafik
(1) zeigt die kumulierte Verteilung der L¨
osungsqualit¨
at. Dabei liefert NDBC das beste
Ergebnis im Vergleich zu allen anderen Verfahren. CPLEX konnte f¨
ur 11 Instanzen
keine zul¨
assige L¨
osung innerhalb von 300 Sekunden liefern, bei 10 Instanzen lag die
Qualit¨
at zwischen 25% und 95%. Bei 23 Instanzen liefert CPLEX die beste Qualit¨
at, bei
49 gewinnt NDBC, bei 9 Instanzen sind die Ergebnisse gleich. Die kanadischen Solver
liefern eine L¨
osungsqualit¨
at von durchschnittlich 5-15% und k¨
onnen f¨
ur alle Instanzen
eine zul¨
assige L¨
osung finden. In der Grafik (2) sind die Daten in der logarithmischen
Darstellung zu sehen: CPLEX kann in 300 Sek. 17 Instanzen optimal l¨
osen und liefert
bei diesen Instanzen eine sehr gute untere Schranke.
Auswertung. Die heuristische Konfiguration des NDBC Solvers konnte bessere Ergebnisse
auf der Benchmark CANAD-R2 liefern als alle anderen Solver. Obwohl die ben¨
otigte
Zeit bei diesem Experiment nicht verglichen wurde, sollte man anmerken, dass die
heuristischen kanadischen Solver wesentlich l¨
angere Laufzeiten aufweisen und trotzdem
schlechtere L¨
osungsqualit¨
aten liefern. Die heuristische Konfiguration eignet sich durch
Stabilit¨
at und gute L¨
osungsqualit¨
at besonders gut f¨
ur Probleminstanzen dieser Gr¨
oße.
Ein ¨
ahnliches Ergebnis l¨
asst sich bei der gr¨
oßeren Benchmark CANAD-C feststellen
(siehe das n¨
achste Experiment 1.4).
4.1 Netzwerkentwurf 127
CANAD-R2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0
Lösungsqualität in % (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
CPLEX NDBC
TABU-PATH (m2) TABU-ARC (400) (m2)
SS/PL/ID (400) (m1) TABU-CYCLE (m1)
PATH-RELINKING (m1)
CANAD-R2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.0001 0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000
Lösungsqualität in % (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
CPLEX NDBC
TABU-PATH (m2) TABU-ARC (400) (m2)
SS/PL/ID (400) (m1) TABU-CYCLE (m1)
PATH-RELINKING (m1)
Ø solution quality
TABU-PATH (m2) 15.20
TABU-ARC (400) (m2) 6.25
SS/PL/ID (400) (m1) 8.18
TABU-CYCLE (m1) 6.40
PATH-RELINKING (m1) 5.32
NDBC-Alpha 300 sec 2.38
CPLEX 9.0 300 sec 21.26
Abbildung 4.8: Experiment 1.3. 300 sec Zeitlimit (siehe auch 6.7, Seite 164).
128 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 1.4 In der Grafik 4.9 ist ein Vergleich auf der Benchmark Canad-C dargestellt.
Folgende Verfahren aus den Publikationen zum Thema Netzwerkentwurf werden mit unseren
heuristischen Verfahren verglichen:
•TABU-CYCLE und TABU-ARC [Ghamlouche et al., 2003],
•TABU-PATH [Crainic et al., 2000b],
•PATH-RELINKING [Ghamlouche et al., 2004],
•SS/PL/ID [Crainic et al., 2004].
Wie auch im Experiment 1.3 k¨
onnen wir auf Ergebnisse der kanadischen Autoren zur¨
uckgreifen.
Vollst¨
andige Daten finden sich im Anhang (Tabelle 6.8).
Experimentaufbau. Die Alpha-Fixierung des NDBC Solvers wird nach 600 Sekunden ge-
stoppt. Die exakte Variante des NDBC Solvers wird f¨
ur 1800 Sekunden gestartet. Zum
Vergleich sind noch zwei Varianten des Branch-and-cut Algorithmus von CPLEX 9.0
angegeben. Die erste, heuristische Variante wurde ebenfalls f¨
ur 600 Sekunden gestar-
tet. Die Einstellungen wurden so vorgenommen, dass m¨
oglichst schnell eine zul¨
assige
L¨
osung gefunden werden kann, ohne den Optimalit¨
atsbeweis zu f¨
uhren. Die andere
Variante sollte innerhalb von 4 Stunden eine m¨
oglichst gute L¨
osung finden.
Ergebnis. In der Grafik (1) vergleichen wir die durchschnittlichen L¨
osungsqualit¨
aten der
Verfahren. Das Leistungsprofil des NDBC Solvers liegt deutlich oberhalb aller anderen
Verfahren. CPLEX liefert ebenfalls sehr gute L¨
osungen, ist aber nicht stabil. Die heuri-
stische Variante konnte f¨
ur 10 Instanzen keine zul¨
assige L¨
osung finden, die exakte f¨
ur
5 Instanzen (entspricht einer L¨
osungsqualit¨
at von 100% zur besten unteren Schranke).
Die durchschnittliche L¨
osungsqualit¨
at von CPLEX leider darunter. Die durchschnittli-
che L¨
osungsqualit¨
at von Alpha-NDBC ist die beste in diesem Vergleich: 2.46%. Die
Qualit¨
at der exakten Konfiguration von NDBC ist mit 11.92% unterdurchschnittlich.
Die kanadischen Solver liefern auch auf dieser Benchmark eine L¨
osungsqualit¨
at von
durchschnittlich 5-15% und k¨
onnen f¨
ur alle Instanzen eine zul¨
assige L¨
osung finden.
Auswertung. Als Erstes bewerten wir den Unterschied zwischen der exakten und der heuristi-
schen Version des NDBC Solvers. Ohne die heuristische Variablenfixierung (Alpha Stra-
tegie) ist die gelieferte L¨
osungsqualit¨
at schlecht im Vergleich zu allen anderen Solvern.
Dieses Ergebnis betont die Wichtigkeit und die Leistungsf¨
ahigkeit der Alpha-Fixierung.
Aus der Grafik wird deutlich, dass die heuristische Konfiguration Alpha-NDBC klar die
anderen Systeme in puncto L¨
osungsqualit¨
at dominiert. Sowohl die durchschnittliche
L¨
osungsqualit¨
at als auch die kumulierte Verteilungsfunktion sind besser. Somit k¨
onnen
auch auf dieser gr¨
oßeren Benchmark in kurzer Zeit sehr gute L¨
osungen berechnet
werden.
4.1 Netzwerkentwurf 129
CANAD-C
0
5
10
15
20
25
30
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0
Lösungsqualität in % (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
CPLEX 600sec CPLEX 14400sec NDBC Alpha 600sec
NDBC 1800sec TABU-PATH (m2) TABU-ARC (400) (m2)
SS/PL/ID (400) (m1) TABU-CYCLE (m1) PATH-RELINKING (m1)
CANAD-C
0
5
10
15
20
25
30
0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000
Lösungsqualität in % (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
CPLEX 600sec CPLEX 14400sec NDBC Alpha 600sec
NDBC 1800sec TABU-PATH (m2) TABU-ARC (400) (m2)
SS/PL/ID (400) (m1) TABU-CYCLE (m1) PATH-RELINKING (m1)
Ø solution quality
TABU-PATH (m2) 14.07
TABU-ARC (400) (m2) 6.82
SS/PL/ID (400) (m1) 9.75
TABU-CYCLE (m1) 6.77
PATH-RELINKING (m1) 5.70
NDBC-Alpha 600 sec 2.46
NDBC 1800 sec 11.92
CPLEX 9.0 600 sec 36.71
CPLEX 9.0 14400 sec 21.21
Abbildung 4.9: Experiment 1.4. (siehe auch 6.8, Seite 165).
130 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 1.5 In diesem Experiment vergleichen wir unterschiedliche Konfigurationen
unserer Solver NDBC und NDBB auf der Benchmark Canad-C.
Experimentaufbau. Jede Konfiguration wurde f¨
ur 300 Sekunden gestartet. Wir vergleichen
die L¨
osungsqualit¨
at zur besten bekannten unteren Schranke.
Ergebnis. In der Grafik und Tabelle 4.10 zeigt sich, dass der NDBC generell eine bessere
L¨
osungsqualit¨
at liefert als der NDBB Solver. Auch l¨
asst sich feststellen, dass die Alpha-
Fixierung besser als die Beta-Fixierung ist.
Auswertung. Die heuristische Variante Alpha-NDBC wurde unter anderem als Ergebnis
dieses Experiments als die Standard-Konfiguration unseres Systems ausgew¨
ahlt.
Canad-C
.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Lösungsqualität
Kummulierte Verteilung
NDBC-Alpha 300 sec 0.25 NDBC-Beta 300 sec
NDBB-Alpha 300 sec NDBB-Beta 300 sec
Ø solution quality
NDBC-Alpha 300 sec 2.51
NDBC-Beta 300 sec 2.70
NDBB-Alpha 300 sec 3.19
NDBB-Beta 300 sec 4.13
Abbildung 4.10: Experiment 1.5 (siehe auch 6.9, Seite 166).
Experiment 1.6 In diesem Experiment vergleichen wir unterschiedliche exakte und heuri-
stische Konfigurationen unserer Solver NDBC und NDBB auf der gr¨
oßten Benchmark PAD-
S. CPLEX konnte auf dieser Benchmark auch nach einem Zeitlimit von 4 Stunden keine
zul¨
assigen L¨
osungen finden. Der Grund daf¨
ur ist die Gr¨
oße und Komplexit¨
at der LP-Relaxation
der vorliegenden Probleminstanzen. Kanadische Solver konnten wir nicht auf dieser Bench-
mark testen.
4.1 Netzwerkentwurf 131
Experimentaufbau. Folgende Varianten wurden hier verglichen: Alpha-NDBC Solver mit
unterschiedlichen Zeitlimits (300, 1800, 7200 Sekunden pro Probleminstanz), sowie
zwei exakte NDBC L¨
aufe: mit 24 und 70 Stunden Zeitlimit pro Instanz.
Ergebnis. In der Grafik 4.11(1) sind die L¨
osungsqualit¨
aten zur besten bekannten zul¨
assigen
L¨
osung dargestellt. Die Grafik (2) zeigt die Ergebnisse zur besten bekannten unteren
Schranke. Wir erinnern uns an die durchschnittliche L¨
ucke von 16% zwischen diesen
beiden Werten (siehe Tabelle 4.3). In beiden Grafiken l¨
asst sich sehr gut die zeitliche
Konvergenz der Verfahren beobachten. Die exakten Verfahren berechneten fast immer
die besten bekannten zul¨
assigen L¨
osungen. Die Alpha-Verfahren konvergieren bereits
nach 1800 Sekunden fast gegen diese L¨
osungen. Nach 300 Sekunden sind die L¨
osungen
noch deutlich schlechter als nach 1800 Sekunden.
Auswertung. Als Ergebnis stellen wir fest, dass f¨
ur s¨
amtliche Probleminstanzen dieser gr¨
oßten
Benchmark zul¨
assige L¨
osungen berechnet werden konnten. Die Konvergenz des heuri-
stischen Alpha-NDBC Solvers tritt bereits nach 1800 Sekunden ein, eine l¨
angere Lauf-
zeit von 7200 Sekunden liefert nur eine geringf¨
ugig bessere L¨
osungsqualit¨
at. Negativ
zu erw¨
ahnen ist die große L¨
ucke zu den unteren Schranken, die durchschnittlich bei
16% liegt. An dieser Stelle kann durch sch¨
arfere untere Schranken eine Verbesserung
erzielt werden.
Zusammenfassung: Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren auf unterschiedlichen Bench-
marks
1. Der NDBC Solver ist der beste exakte Solver auf der Benchmark PAD.
2. CPLEX kann die Benchmark CANAD-R2 besser exakt l¨
osen als der NDBC Solver.
3. NDBC ist der beste heuristische Solver auf der Benchmark CANAD-R2.
4. NDBC ist der beste heuristische Solver auf der Benchmark CANAD-C.
5. Die heuristische Konfiguration Alpha-NDBC dominiert andere heuristische Konfigura-
tionen des NDBC Solvers.
6. Die gr¨
oßten Probleminstanzen (PAD-S) konnten von unserem Solver Alpha-NDBC im
Gegensatz zu CPLEX gel¨
ost werden.
Als Ergebnis k¨
onnen wir ein sehr leistungsf¨
ahiges System f¨
ur den Netzwerkentwurf vor-
weisen. Bei der exakten L¨
osung der Netzwerkentwurfprobleme zeigen unsere Experimente
bessere Performance als das auf der Subgradient-Suche basierte System und auch als der
Branch-and-Cut Algorithmus von CPLEX 9.0. Das System konnte auch andere heuristi-
sche L¨
osungsverfahren f¨
ur das Problem des Netzwerkentwurfs in der Qualit¨
at der gelieferten
L¨
osungen und der Laufzeit ¨
ubertreffen.
Nach der Auswertung der Leistungsf¨
ahigkeit des Gesamtsystems gehen wir im n¨
achsten
Abschnitt auf die Leistungsf¨
ahigkeit der einzelnen Komponenten ein.
132 4 Experimentelle Ergebnisse
PAD-S
0
10
20
30
40
50
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0
Lösungsqualität in % (zur besten bekannten Lösung)
Anzahl der Instanzen
ALPHA 7200sec ALPHA 1800sec ALPHA 300sec NDBC 70h NDBC 24h
PAD-S
0
10
20
30
40
50
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0
Lösungsqualität in % (zur besten unteren Schranke)
Anzahl der Instanzen
ALPHA 7200sec ALPHA 1800sec ALPHA 300sec NDBC 70h NDBC 24h
Abbildung 4.11: Experiment 1.6. (siehe auch 6.10, Seite 167).
4.1 Netzwerkentwurf 133
4.1.4 Wesentliche Systemkomponenten
In Tabelle 6.2 sind die Experimente in diesem Abschnitt im ¨
Uberblick aufgef¨
uhrt.
Nr. Benchmark Komponente Art des Experiments
2.1 CANAD-C Erste Phase heuristisch
2.2 PAD Primale Heuristik exakt
2.3 PAD Variablenfixierung exakt
2.4 CANAD-C Variablenfixierung heuristisch
2.5 PAD Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.6 CANAD-R2 Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.7 CANAD-C Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) heuristisch
2.8 CANAD-C αund βWerte heuristisch
Tabelle 4.6: ¨
Uberblick ¨
uber die Experimente in diesem Abschnitt
Experiment 2.1: Auswirkungen der ersten Phase
In der ersten Phase des B&B- oder B&C-Algorithmus verwenden wir die heuristische β-
Variablenfixierung. Das Ziel dieser kurzen ersten Phase ist das schnelle Finden einer m¨
oglichst
guten zul¨
assigen L¨
osung. Der Wert der Zielfunktion dieser L¨
osung wird in der zweiten Phase
helfen, den Suchbaum klein zu halten und die Variablenfixierung m¨
oglichst effektiv zu betrei-
ben. Die β-Heuristik eignet sich gut f¨
ur diesen Zweck, weil sie in jeder Ebene des Suchbaums
eine relativ große Zahl der Variablen fixiert und eine kurze Laufzeit garantiert. Die erste Pha-
se wird f¨
ur einige Knoten durchgef¨
uhrt, deren Anzahl von der Gr¨
oße der Probleminstanz
abh¨
angt. F¨
ur große Probleminstanzen liegt diese Anzahl bei ca. 300 Suchknoten.
Experimentaufbau. Der Vergleich wird auf der Benchmark CANAD-C mit dem heuristischen
Alpha-NDBC Solver durchgef¨
uhrt. Die erste Variante benutzt die 1. Phase, die zwei-
te nicht. Zwei Varianten bekommen jeweils 1800 Sekunden pro Probleminstanz. Die
L¨
osungsqualit¨
at zur besten bekannten unteren Schranke ist das Vergleichskriterium.
Ergebnis. Das Leistungsprofil liegt f¨
ur die Variante 1.+2. deutlich oberhalb der Variante 2.
Phase (siehe Grafik 4.12). Die Variante 2. Phase liefert f¨
ur 20 von 31 Instanzen eine
L¨
osungsqualit¨
at von ¨
uber 10%. Die schlechteste L¨
osungsqualit¨
at der Variante 1.+2.
liegt bei 7.54%.
Auswertung. Die 1. Phase verbessert die Qualit¨
at der L¨
osungen ganz entscheidend. Ohne
diese heuristische Phase liefert die zweite, exakte Phase keine brauchbaren Resultate.
Der B&B-Algorithmus kann ohne gute obere Schranken nicht effektiv arbeiten und die
Variablenfixierung ist ebenfalls weniger effizient.
Experiment 2.2: Primale Heuristik
Die primale Heuristik wurde im Abschnitt 2.7 auf Seite 40 beschrieben. Die Heuristik hat
eine große Bedeutung f¨
ur die B&B-Suche, da mit neuen guten L¨
osungen Suchknoten abge-
schnitten werden k¨
onnen und neue Variablen fixiert werden k¨
onnen.
134 4 Experimentelle Ergebnisse
Canad-C
7.54
1
6
11
16
21
26
31
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00
Lösungsqualität in % (zur unteren Schranke)
Anzahl Instanzen
NDBC-1800sec (1.+2. Phase)
NDBC-1800sec 2. Phase
Abbildung 4.12: Experiment 2.1 (siehe auch 6.11, Seite 168).
Experimentaufbau. In diesem Experiment soll untersucht werden, wie stark die Leistungsf¨
ahigkeit
des Systems von der H¨
aufigkeit abh¨
angt, mit der diese Heuristik aufgerufen wird. Die
H¨
aufigkeit wird als die Anzahl der Iterationen der Subgradient-Suche oder des Bundle-
Algorithmus definiert, nach der die Heuristik gestartet wird. Wir variieren diesen Wert
zwischen 5 und 50 Iterationen, wobei der Standardwert in unserem System bei 20
Iterationen liegt. Wir verwenden f¨
ur diesen Vergleich die PAD Benchmark.
Ergebnis. In der Grafik 4.13(1) ist auf der x-Achse die H¨
aufigkeit der primalen Heuristik
angegeben (5–50). Auf der linken (prim¨
aren) y-Achse ist der Leistungswert einer Kon-
figuration angegeben. Auf der rechten (sekund¨
aren) y-Achse ist die f¨
ur die gesamte
Benchmark Laufzeit angegeben. In der Grafik sind drei Linien dargestellt: Die Erste (in
Rot) ist der durchschnittliche Leistungswert einer Konfiguration, die Zweite (in Blau)
der maximale (schlechteste) Leistungswert und die Dritte (in Schwarz), die sich auf
die sekund¨
are y-Achse bezieht und die Laufzeit angibt. In der Grafik 4.13(2) sind die
Leistungsprofile der verglichenen Konfigurationen dargestellt. Die ersten drei Linien (in
Blau) entsprechen den Werten 5,10,15. Die vierte (rote) Linie entspricht der Standard-
Einstellung von 20 Iterationen zwischen zwei aufeinander folgenden Heuristik-Aufrufen.
Die anderen Werte liegen sehr eng beieinander und sind alle in Schwarz dargestellt.
Auswertung. Die Grafik 4.13(1) zeigt, dass der Wert 20 einen guten Kompromiss zwischen
Leistungswert und Laufzeit darstellt. Diese Einstellung liefert einen guten durchschnitt-
lichen Wert von 1.43 und keine Ausreißer in der Laufzeit (schlechtester Wert: 2.30). Die
Laufzeit liegt dabei mit 7220 Sekunden im Mittelfeld. Beim Vergleich der Leistungs-
profile in der Grafik 4.13(2) zeigt sich, dass die Werte 5,10 und 15 eine schlechte
Performance liefern, die deutlich unter der aller anderen Einstellungen liegt. Das Lei-
stungsprofil der Einstellung 20 liegt deutlich oberhalb dieser Werte und ist vergleich-
bar mit den anderen sehr guten Einstellungen. Die Wahl des Parameters 20 bei der
4.1 Netzwerkentwurf 135
Standard-Konfiguration wurde auch aufgrund dieses Experiments vorgenommen.
PAD
2.51 1.82 1.62 1.43 1.49 1.41 1.36 1.43 1.36 1.45
5.09 4.56
2.47 2.30
4.33 4.44
2.20
3.17 3.05
4.63
10015.19
11249.54
8746.05
7220.02 7909.69 7475.50
5492.39
6604.78 7029.66 6472.84
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
5 101520253035404550
performance ratio
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
12000.00
Sekunden
MITTELWERT MAXIMUM Zeit (sec)
HEUR_5
HEUR_10
HEUR_15
HEUR_20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50
performance ratio
Anzahl der Instanzen
HEUR_5
HEUR_10
HEUR_15
HEUR_20
HEUR_25
HEUR_30
HEUR_35
HEUR_40
HEUR_45
HEUR_50
Abbildung 4.13: Experiment 2.2. Primale Heuristik
Auswirkungen der Variablenfixierung
Das Konzept und verschiedene Strategien der Variablenfixierung wurden im Abschnitt 2.9 auf
der Seite 50 vorgestellt. In diesem Abschnitt untersuchen wir die Leistungsf¨
ahigkeit folgender
Strategien der Variablenfixierung:
•Knapsack-Fixierung (siehe Abschnitt 2.9.1, Seite 51)
•Einschr¨
ankung der Kardinalit¨
atsintervalle (Cardinality cuts) (siehe Abschnitt 2.9.4, Sei-
te 54)
•Die zus¨
atzlichen Ungleichungen (Cover cuts und local cuts) (siehe Abschnitt 2.11, Seite
58) bleiben dabei immer eingeschaltet. Diese werden in einem der n¨
achsten Abschnitte
genauer untersucht.
136 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 2.3: Variablenfixierung, exakter Vergleich In diesem Experiment wird die
Benchmark PAD exakt mit unterschiedlichen Konfigurationen des NDBC Solvers gel¨
ost.
Experimentaufbau. Die untersuchten acht Varianten sind in der Tabelle 4.14 aufgef¨
uhrt.
Das Experiment basiert auf dem Vergleich der Leistungsprofile der Varianten.
Ergebnis. In der Grafik 4.14 sind drei Varianten grafisch dargestellt. Bei der Standard-
Variante (311) werden die beiden untersuchten Komponenten nacheinander abgeschal-
tet. Dabei entstehen die Varianten ohne Cardinality cuts (301) und ohne Knapsack-
Fixierung (011). In der Tabelle 4.14 sind durchschnittliche Leistungswerte, Laufzeit
und die Anzahl der B&B-Suchknoten dargestellt.
Bei den Leistungsprofilen kann man feststellen, dass die Variante ohne die Cardinality
cuts (301) zu einem schlechteren Ergebnis f¨
uhrt. Noch schlechter wird das Leistungs-
profil bei der Variante ohne Knapsack-Fixierung (011). Dies ist gleichzeitig die lang-
samste Variante von allen - mit 3122 Sekunden. Die Standard-Variante (311) ist sowohl
die schnellste mit 2148 Sekunden als auch die mit den wenigsten B&B-Suchknoten:
16383. In Prozent ausgedr¨
uckt, kostet das Abschalten der Cardinality cuts (301) 7%
mehr Laufzeit und 8% mehr Knoten. Durch das Abschalten der Knapsack-Fixierung
(011) vergr¨
oßert sich die Laufzeit um 45% und die Anzahl der Knoten um 46%.
Auswertung. Die Knapsack-Fixierung kann als eine sehr wichtige Systemkomponente iden-
tifiziert werden, die zu starken Laufzeitverk¨
urzungen beim exakten L¨
osen des Netz-
werkentwurf Problems f¨
uhrt. Das Konzept der Cardinality cuts leistet ebenfalls einen
Beitrag zur Verbesserung der Leistungsf¨
ahigkeit des Systems, auch wenn dieser etwas
kleiner ausf¨
allt.
Experiment 2.4: Variablenfixierung, heuristischer Vergleich In diesem Experiment wird
die Benchmark CANAD-C heuristisch mit unterschiedlichen Konfigurationen des NDBC Sol-
vers gel¨
ost.
Experimentaufbau. Wie auch im exakten Vergleich untersuchen wir acht Varianten, die in
der Tabelle 4.15 aufgef¨
uhrt sind. Der Vergleich basiert auf der L¨
osungsqualit¨
at der
Varianten.
Ergebnis. Die Linien der Verfahren liegen in der Grafik 4.15 sehr eng beieinander. Auch die
durchschnittliche L¨
osungsqualit¨
at der Varianten 311,301 und 011 ist fast identisch.
Eine deutliche Verbesserung der L¨
osungsqualit¨
at l¨
asst sich bei der Hinzunahme der
zus¨
atzlichen Ungleichungen erzielen: von 1.4% auf 0.7%.
Auswertung. Die Knapsack-Fixierung und die Cardinality cuts zeigen in diesem Szenario
praktisch keine Wirkung. Die positive Auswirkung der zus¨
atzlichen Ungleichungen wird
im n¨
achsten Abschnitt untersucht.
4.1 Netzwerkentwurf 137
PAD
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
performance ratio
Kummulierte Verteilung
311: mit Knapsack Fixing und Cardinality Cuts
301: ohne Cardinality Cuts
011: ohne Knapsack Fixing
3 - - Knapsack fixing eingeschaltet
- 1 - Cardinality cuts eingeschaltet
- - 1 Cover cuts und local cuts eingeschaltet
Ø performance ratio time nodes
000 1.50 2945.60 26019
001 1.57 2710.18 23597
010 1.52 2506.03 23876
011 1.52 3122.01 23911
300 1.29 2458.66 19744
301 1.30 2300.60 17660
310 1.24 2625.22 18977
311 1.26 2148.30 16383
Abbildung 4.14: Experiment 2.3. Variablenfixierung - Knapsack Fixing (siehe auch 6.12, Seite
169).
CANAD-C
.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Lösungsqualität in % (zur besten bekannten Lösung)
Kummulierte Verteilung
311: mit Knapsack Fixing und Cardinality Cuts
301: ohne Cardinality Cuts
011: ohne Knapsack Fixing
3 - - Knapsack fixing eingeschaltet
- 1 - Cardinality cuts eingeschaltet
- - 1 Cover cuts und local cuts eingeschaltet
Ø solution quality
000 1.38
001 0.69
010 1.41
011 0.71
300 1.38
301 0.69
310 1.41
311 0.71
Abbildung 4.15: Experiment 2.4. Variablenfixierung - Knapsack Fixing (siehe auch 6.13, Seite
170).
138 4 Experimentelle Ergebnisse
Auswirkungen der zus¨
atzlichen Ungleichungen
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Auswirkungen der zus¨
atzlichen Ungleichungen, die
im Kapitel 2.11 auf der Seite 58 pr¨
asentiert wurden. Die zwei Typen der Ungleichungen sind
die ¨
Uberdeckungsungleichungen (cover inequalities) und die lokalen Schnitte (local cuts).
Diese zus¨
atzlichen Ungleichungen bilden die Grundlage des Relax&Cut-Algorithmus f¨
ur das
Problem des Netzwerkentwurfs.
Wir pr¨
asentieren hier drei Experimente: Zwei in einem exakten Szenario und eines in einem
heuristischen. Wir benutzen den NDBC Solver und bezeichnen dabei die unterschiedlichen
Varianten wie folgt:
Konfiguration Generierung von Ungleichungen
NDBC 00 keine zus¨
atzlichen Ungleichungen,
NDBC 01 nur ¨
Uberdeckungsungleichungen,
NDBC 10 nur lokale Schnitte,
NDBC 11 beide Typen von Ungleichungen.
Experiment 2.5: zus¨
atzliche Ungleichungen, exakter Vergleich auf der PAD Benchmark
In diesem Experiment werden die vier Varianten des NDBC Solvers auf der PAD Benchmark
miteinander verglichen.
Experimentaufbau. In den Abbildungen 4.16 und 4.17 sind zwei unterschiedliche Szenarien
dargestellt. Im ersten Szenario sollte der NDBC Solver sowohl die heuristische erste
als auch die exakte zweite Phase des Relax&Cut-Algorithmus ausf¨
uhren. Im zweiten
Szenario wollten wir ohne eine gute Startl¨
osung in die exakte Phase einsteigen und
schalten deswegen die erste Phase ab. In diesem Fall vergr¨
oßert sich die Laufzeit der
Verfahren, wir k¨
onnen aber genauer die Effekte durch die zus¨
atzlichen Ungleichungen
beobachten.
Ergebnis. In den Grafiken 4.16 und 4.17 sind die Leistungsprofile der vier Varianten dar-
gestellt. Die Tabellen enthalten die durchschnittlichen Leistungswerte, Gesamtlaufzeit
auf der Benchmark PAD und die Anzahl der Suchknoten im Relax&Cut-Algorithmus.
Sowohl bei der Laufzeit als auch bei der Anzahl der Knoten dominiert die Variante
ohne Ungleichungen (NDBC 00) alle andere Varianten. Auch die durchschnittlichen
Leistungswerte sind bei NDBC 00 besser. Alleine die Summe der Laufzeiten und der
Gesamtanzahl der Knoten spricht f¨
ur die Variante NDBC 11: 16% Zeitersparnis und
14% weniger Knoten.
Im zweiten Szenario ist die Dominanz der Variante ohne die Ungleichungen nicht so
deutlich. Die Leistungsprofile der Laufzeit liegen eng zusammen, bei den Knoten ist die
Variante NDBC 11 deutlich besser. Auch bei den durchschnittlichen Leistungswerten
liegt die Variante mit Ungleichungen leicht vorn: 1.13 gegen 1.14. Die Laufzeit konnte
um 22% reduziert werden, die Anzahl der Knoten um 20%.
Auswertung. Auf der Benchmark PAD hat sich die Generierung der zus¨
atzlichen Ungleichun-
gen nicht gelohnt. Die Probleminstanzen k¨
onnen alle in einer relativ kurzen Zeit gel¨
ost
werden. Der zeitliche Aufwand f¨
ur die Ungleichungen konnte zwar eine Reduzierung der
Suchbaumgr¨
oße und der Gesamtlaufzeit mit sich bringen, die Leistungsprofile zeigen
4.1 Netzwerkentwurf 139
aber, dass Variante ohne sie eindeutig im Vorteil liegt. Bei der gr¨
oßeren Probleminstan-
zen aus der Benchmark CANAD-R2 konnten wir ein ganz anderes Bild beobachten.
Auf diese Ergebnisses gehen wir im n¨
achsten Abschnitt ein.
Zeit
63.41%
19.51%
.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
performance ratio
Kummulierte Verteilung
00 01 10 11
Anzahl Knoten
63.41%
41.46%
.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
performance ratio
Kummulierte Verteilung
00 01 10 11
time Ø performance ratio nodes Ø performance ratio
NDBC 00 2577.93 1.11 18977 1.22
NDBC 01 2141.81 1.17 16998 1.28
NDBC 10 2731.27 1.15 19444 1.30
NDBC 11 2167.99 1.16 16383 1.24
Abbildung 4.16: Experiment 2.5. Exakt (siehe auch 6.14, Seite 171).
Zeit
51%
10%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
Klasse
Kummulierte Verteilung
00 01 10 11
Anzahl Knoten
49%
63%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
Klasse
Kummulierte Verteilung
00 01 10 11
time Ø performance ratio nodes Ø performance ratio
NDBC 00 9503.10 1.15 43977 1.19
NDBC 01 7368.19 1.14 35564 1.11
NDBC 10 9355.33 1.17 43987 1.19
NDBC 11 7355.54 1.13 35049 1.09
Abbildung 4.17: Experiment 2.5. Exakt (siehe auch 6.15, Seite 172).
140 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment2.6: zus¨
atzlicheUngleichungen,exakterVergleichaufder CANAD-R2 Bench-
mark In diesem Experiment werden die vier Varianten des NDBC Solvers auf ausgew¨
ahlten
Instanzen der CANAD-R2 Benchmark miteinander verglichen.
Experimentaufbau. Untersuchte Probleminstanzen konnten alle in einem Zeitrahmen zwi-
schen 2 Minuten und 4 Stunden gel¨
ost werden. Damit wurde sichergestellt, dass die
Suchb¨
aume nicht zu klein werden. Auf diesen schweren Probleminstanzen wurden wie
auch im vorigen Experiment die vier Varianten des NDBC-Solvers gestartet. Diese Ex-
perimente wurden auf einer anderen Rechnerarchitektur ausgef¨
uhrt, sodass ein direkter
Zeitvergleich zu anderen Experimenten nicht m¨
oglich ist.
Ergebnis. Die Abbildung 4.18(1) zeigt die Leistungsprofile der vier Varianten in logarith-
mischer Darstellung. Zun¨
achst stellen wir fest, dass das Leistungsprofil der Variante
NDBC 11, die beide Typen der zus¨
atzlichen Ungleichungen generiert alle anderen Vari-
anten deutlich dominiert. An zweiter Stelle liegt die Variante mit ¨
Uberdeckungsungleichungen
(ohne die lokalen Schnitte) NDBC 01. An letzter Stelle liegen die Varianten NDBC
00 und NDBC 10 mit einigen Ausreißern mit Leistungswerten von ¨
uber 10. In 13 von
21 F¨
allen lieferte NDBC 11 das optimale Ergebnis am schnellsten.
Bei der Anzahl der Knoten zeigt die Grafik 4.18(2) ein ¨
ahnliches Bild. Die Varianten
NDBC 11 und NDBC 01 liegen klar vorne.
Die Gesamtlaufzeiten und Gesamtanzahl der Knoten der Varianten liegen weit aus-
einander. NDBC 11 reduziert die Laufzeit von NDBC 00 um 28%, die Anzahl der
Knoten um fast 50%. Die durchschnittlichen Leistungswerte sind ebenfalls deutlich
besser: 1.18 gegen 3.15 und 1.11 gegen 3.57.
Die Hinzunahme der lokalen Schnitte verschlechtern in diesem Experiment alle Krite-
rien (NDBC 10 sogar schlechter als NDBC 00). Eine Beobachtung sollte man aber
erw¨
ahnen: Die Variante nur mit ¨
Uberdeckungsungleichungen NDBC 01 ist schw¨
acher
als die Variante mit den zus¨
atzlichen lokalen Schnitten NDBC 11. In diesem direkten
Vergleich reduzieren die lokalen Schnitte die Gesamtlaufzeit um 6%. Die Leistungspro-
file in der Grafik 4.18(1) belegen diese Verbesserung ebenfalls deutlich.
Auswertung. Die Ergebnisse auf den schwierigeren Instanzen der Benchmark CANAD-R2
sind sehr aussagekr¨
aftig. Die Generierung der zus¨
atzlichen ¨
Uberdeckungsungleichungen
reduziert die Laufzeiten deutlich und halbiert sogar die Anzahl der Suchknoten im B&B-
Baum. Die Leistungsprofile belegen, dass diese Variante stets die schnellere war. Die
lokalen Schnitte sind f¨
ur sich alleine nicht lohnenswert, verbessern aber das Gesamter-
gebnis noch deutlich.
Im n¨
achsten Abschnitt untersuchen wir die Leistungsf¨
ahigkeit der zus¨
atzlichen Unglei-
chungen in einem heuristischen Vergleich auf der Benchmark CANAD-C.
4.1 Netzwerkentwurf 141
CANAD-R2 Zeit
0
3
6
9
12
15
18
21
1 10 100
performance ratio
Anzahl der Instanzen
00 01 10 11
CANAD-R2 Anzahl der Knoten
0
3
6
9
12
15
18
21
1 10 100
performance ratio
Anzahl der Instanzen
00 01 10 11
time Ø performance ratio nodes Ø performance ratio
NDBC 00 65752.58 3.15 272377 3.57
NDBC 01 50308.22 1.22 137039 1.12
NDBC 10 68700.64 4.07 275880 3.66
NDBC 11 47274.12 1.18 137707 1.11
Abbildung 4.18: Experiment 2.6. Exakt, Zeiten auf dem PSC2-Cluster (Pentium 3, 850 MHz)
(siehe auch 6.16, Seite 173).
142 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 2.7: zus¨
atzliche Ungleichungen, heuristischer Vergleich Dieses Experi-
ment soll die Leistungsf¨
ahigkeit der zus¨
atzlichen Ungleichungen in einem heuristischen Szena-
rio untersuchen. Wir startet dazu jeweils vier Varianten des Alpha-NDBC und des Beta-NDBC
Solvers auf der Benchmark CANAD-C.
Experimentaufbau. F¨
ur jede Probleminstanz wurden 300 Sekunden zur Verf¨
ugung gestellt.
Die L¨
osungsqualit¨
at dient als Grundlage f¨
ur die kumulierte Verteilungsfunktion.
Ergebnis. In der Grafik 4.19 sind die Linien der zwei Varianten des Alpha-NDBC Solvers
zu sehen: NDBC 00 und NDBC 01. Die Variante NDBC 10 f¨
allt zusammen mit
der Linie NDBC 00 und die Linien von NDBC 01 und NDBC 11 verlaufen eben-
falls identisch. Wir sehen eine deutlich bessere L¨
osungsqualit¨
at bei der Variante mit
¨
Uberdeckungsungleichungen (NDBC 01).
In der Grafik 4.20 sind die Ergebnisse der Beta-Fixierung dargestellt. Die Variante
NDBC 01 hat auch hier einen Vorteil gegen¨
uber der Variante ohne zus¨
atzliche Un-
gleichungen.
Auswertung. Die ¨
Uberdeckungsungleichungen konnten in diesem Experiment eine bessere
L¨
osungsqualit¨
at liefern. Die lokalen Schnitte haben keinerlei Verbesserung gebracht.
Der Grund daf¨
ur liegt darin, dass die heuristischen Variablenfixierungen bereits sehr
stark eingreifen und sehr viele Variablen fixieren. Die lokalen Schnitte stellen eine
Verallgemeinerung der Knapsack-Variablenfixierung dar und konnten keine zus¨
atzlichen
Teilb¨
aume in der B&B-Suche abschneiden.
4.1 Netzwerkentwurf 143
CANAD-C
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
0.10 1.00 10.00
Lösungsqualität in %
Kummulierte Verteilung
00 01
Ø solution quality
NDBC 00 1.41
NDBC 01 0.71
NDBC 10 1.41
NDBC 11 0.71
Abbildung 4.19: Experiment 2.7. Heuristisch (siehe auch 6.17, Seite 174).
CANAD-C
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
1.2
1.35
1.5
1.65
1.8
1.95
Lösungsqualität in %
Kummulierte Verteilung
00 01
Ø solution quality
NDBC OO 1.41
NDBC O1 0.88
NDBC 1O 1.41
NDBC 11 0.88
Abbildung 4.20: Experiment 2.7. Heuristisch (siehe auch 6.18, Seite 175).
144 4 Experimentelle Ergebnisse
Experiment 2.8: Variation der α- und β-Werte
In diesem Abschnitt m¨
ochten wir die heuristischen Variablenfixierungen genauer untersuchen,
die im Abschnitt 2.10 auf der Seite 56 vorgestellt wurden. Wir starten dazu die heuristischen
Varianten Alpha-NDBC und Beta-NDBC auf der Benchmark CANAD-C.
Experimentaufbau. F¨
ur jede Instanz wird ein Zeitlimit von 300 Sekunden gesetzt. Wir proto-
kollieren f¨
ur jeden Lauf die Gesamtlaufzeit auf der Benchmark und die durchschnittliche
L¨
osungsqualit¨
at. Die Alpha-Heuristik wird f¨
ur unterschiedliche Werte von αgestartet:
Insgesamt 40 L¨
aufe f¨
ur Werte zwischen 0.01 und 0.4. Genauso wird auch der Parameter
βvariiert.
Ergebnis. Die Ergebnisse sind entsprechend in der Grafiken 4.21 dargestellt. Auf der x-Achse
ist der eingestellte Wert abgetragen. Auf der linken (prim¨
aren) y-Achse ist die ver-
brauchte Gesamtzeit f¨
ur alle Instanzen angezeigt. Auf der rechten (sekund¨
aren) y-Achse
ist die durchschnittliche L¨
osungsqualit¨
at zu sehen. Die durchgezogene rote Linie ent-
spricht dabei der Laufzeit, die blauen Quadrate der durchschnittlichen L¨
osungsqualit¨
at
und blauen Dreiecke der Summe der durchschnittlichen L¨
osungsqualit¨
at und der Stan-
dardabweichung (bei 31 Instanzen). In der Grafik 4.21(2) sind die blauen Punkte zur
besseren ¨
Ubersicht mit einer Linie verbunden. Die Standardwerte der Parameter αund
βsind in den Grafiken mit einem roten Quadrat und einer roten Verbindung nach ober
markiert.
Bei der Alpha-Fixierung beobachten wir eine relativ schlechte L¨
osungsqualit¨
at bei Wer-
ten von αzwischen 0.01 und 0.2 sowie einen starken Einbruch der Qualit¨
at bei Werten
gr¨
oßer von 0.3. Der stabile Bereich liegt zwischen 0.23 und 0.29: es gibt dort fast
keine Ausreißer in der L¨
osungsqualit¨
at. Die Laufzeit bei der Standardeinstellung von
0.25 liegt in etwa im Durchschnitt (4500 Sekunden).
Die Beta-Fixierung ist von der Definition her etwas aggressiver als die Alpha-Fixierung.
Es werden in jeder Ebene des B&B-Baums eine vorgegebene Anzahl von Variablen
fixiert. Dementsprechend instabil sind auch die beobachteten Ergebnisse. Die Laufzeit
f¨
allt stetig bei Vergr¨
oßerung des β-Wertes. Die L¨
osungsqualit¨
at ist im Intervall zwischen
0.08 und 0.15 sehr gut. Der stabile Bereich ohne Ausreißer befindet sich in etwa
zwischen 0.1 und 0.14. Der Standardwert f¨
ur βin unserem System liegt bei 0.25.
Auswertung. Bei diesem Experiment lassen sich sehr gut die Vorteile der heuristischen Varia-
blenfixierung beobachten. Die Laufzeit wird deutlich reduziert und die L¨
osungsqualit¨
at
entscheidend verbessert. Dieses Ergebnis konnten wir bereits in fr¨
uheren Experimenten
feststellen. Weiterhin stellen wir fest, dass die Alpha-Fixierung deutlich stabiler in Bezug
auf die L¨
osungsqualit¨
at ist als die Beta-Fixierung. Mit Hilfe dieses Experiments (und
noch weiterer) konnten die Standardwerte f¨
ur Parameter αund βgew¨
ahlt werden,
sodass das System f¨
ur den Netzwerkentwurf zuverl¨
assig arbeitet und gute L¨
osungen
liefern kann.
4.1 Netzwerkentwurf 145
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0.01
0.05
0.09
0.13
0.17
0.21
0.25
0.29
0.33
0.37
Wert von Alpha
Zeit (Sekunden)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
durchschnitt.
Lösungsqualität
time MEAN SQ MEAN+STDABW
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0.01
0.05
0.09
0.13
0.17
0.21
0.25
0.29
0.33
0.37
Wert von Beta
Zeit (Sekunden)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
durchschnitt.
Lösungsqualität
time MEAN SQ MEAN+STDABW
Abbildung 4.21: Experiment 2.8 (siehe auch 6.19, Seite 176, und 6.20, Seite 177).
146 4 Experimentelle Ergebnisse
4.1.5 Zusammenfassung der Ergebnisse
In diesem Abschnitt fassen wir die Erkenntnisse der experimentellen Untersuchungen zusam-
men. Die Abbildungen 4.7 und 4.8 geben einen ¨
Uberblick ¨
uber die ausgef¨
uhrten Experimente.
Nr. Benchmark Verfahren im Vergleich Art des Vergleichs
1.1 PAD NDBB, NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.2 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.3 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.4 CANAD-C NDBC-α, NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.5 CANAD-C NDBB-α, NDBB-β,NDBC-α, NDBC-βheuristisch
1.6 PAD-S NDBC-α, NDBC heuristisch
Tabelle 4.7: Vergleiche mit anderen Verfahren
Im Experiment 1.1 konnte der Solver NDBC als bester exakter Solver identifiziert werden.
Das Experiment 1.2 zeige CPLEX ein besseres Verhalten als der NDBC Solver.
Bei den Experimenten 1.3 und 1.4 lieferte der NDBC (bzw. Alpha-NDBC) Solver bessere
Ergebnisse als alle anderen untersuchten Solver.
Im Experiment 1.5 zeigte sich der Alpha-NDBC Solver als der Solver mit der besten
L¨
osungsqualit¨
at.
Das Experiment 1.6 zeigte, dass auch auf der gr¨
oßten Benchmark unser System sehr gute
L¨
osungen liefern kann.
Nr. Benchmark Komponente Art des Vergleichs
2.1 CANAD-C Erste Phase heuristisch
2.2 PAD Primale Heuristik exakt
2.3 PAD Variablenfixierung exakt
2.4 CANAD-C Variablenfixierung heuristisch
2.5 PAD Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.6 CANAD-R2 Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.7 CANAD-C Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) heuristisch
2.8 CANAD-C αund βWerte heuristisch
Tabelle 4.8: Untersuchung der Systemkomponenten
Die unterschiedlichen Komponenten des Systems wurden in acht weiteren Experimenten
untersucht.
Die erste heuristische Phase im Branch-and-bound Algorithmus ist notwendig zum Errei-
chen einer guten Performance (Experiment 2.1). Die H¨
aufigkeit der primalen Heuristik wurde
im Experiment 2.2 variiert und ein stabiler Standardwert auf dieser Grundlage gew¨
ahlt. Die
Experimente 2.3 und 2.4 untersuchten die Auswirkungen der Variablenfixierung. Im exakten
Fall erreicht die Variablenfixierung eine starke Reduktion der Laufzeiten. Im heuristischen Fall
zeigt diese Komponente praktisch keine Wirkung. Die Leistungsf¨
ahigkeit der zus¨
atzlichen Un-
gleichungen wurde in exakten Experimenten 2.5 und 2.6 untersucht. Auf der Benchmark PAD
4.1 Netzwerkentwurf 147
hat sich der zus¨
atzliche Aufwand f¨
ur die Generierung der Ungleichungen nicht ausgezahlt.
Ein deutlich besseres Ergebnis konnte auf der gr¨
oßeren Benchmark CANAD erzielt werden:
Sowohl die Laufzeit als auch die Gr¨
oße des Suchbaums konnten sehr stark verringert werden.
Im heuristischen Vergleich 2.7 konnten die ¨
Uberdeckungsungleichungen als hilfreich identi-
fiziert werden, die lokalen Schnitte zeigten keine Wirkung. Durch die Variation der α- und
β-Werte konnten wir im Experiment 2.8 feststellen, dass die α-Variablenfixierung deutlich
stabiler ist. Die Leistungsf¨
ahigkeit der β−Heuristik ist entsprechend ihrer sehr aggressiven
Art der Variablenfixierung sehr stark vom Wert βabh¨
angig.
Erkenntnisse aus den durchgef¨
uhrten Experimenten erlauben es, eine Konfiguration des
Systems zu definieren, die als Standardkonfiguration verwendet werden kann. Diese Konfi-
guration, sowohl im exakten als auch im heuristischen Fall, liefert L¨
osungen mit einer hohen
Qualit¨
at und verh¨
alt sich in unterschiedlichen Szenarien des Netzwerkentwurfs stabil und
zuverl¨
assig.
Als Ergebnis k¨
onnen wir ein sehr leistungsf¨
ahiges System f¨
ur den Netzwerkentwurf vor-
weisen. Bei der exakten L¨
osung der Netzwerkentwurfprobleme zeigen unsere Experimente
eine bessere Performance als das auf der Subgradient-Suche basierte System und auch als
der Branch-and-Cut Algorithmus von CPLEX 9.0. Das System konnte auch andere heuristi-
sche L¨
osungsverfahren f¨
ur das Problem des Netzwerkentwurfs in der Qualit¨
at der gelieferten
L¨
osungen und der Laufzeit ¨
ubertreffen.
148 4 Experimentelle Ergebnisse
4.2 Flottenzuweisung
4.2.1 Beschreibung der Datens¨
atze
F¨
ur Experimente in diesem Abschnitt w¨
ahlten wir zwei Datens¨
atze von Fluggesellschaften,
die im Folgenden beschrieben werden. Die Datens¨
atze werden stellvertretend f¨
ur eine Reihe
von Szenarien benutzt, die bei mehreren Kunden von Lufthansa Systems ausgewertet wurden.
Eingangs sei angemerkt, dass die Experimente in diesem Kapitel nicht in der Ausf¨
uhrlichkeit
durchgef¨
uhrt werden, wie die Experimente im Kapitel 4.1. Wir beschr¨
anken uns auf eini-
ge typische Experimente, die die Leistungsf¨
ahigkeit der entwickelten Integrationsstrategien
untersuchen.
Zun¨
achst beschreiben wir die zugrunde liegenden Netzwerke und die Passagierdaten, die
f¨
ur die Experimente benutzt wurden.
Anzahl Datensatz A Datensatz B
Flugh¨
afen 97 160
Fl¨
uge 6287 9228
M¨
arkte 20358 6680
Itineraries (Reiseverbindungen) 34963 160635
Direkte itineraries 6740 14240
Single-connections (1 Zwischenstopp) 26573 140160
Double-connections (2 Zwischenstopps) 1650 5440
Der Datensatz A basiert auf einem kleineren Netzwerk als der Datensatz B, es wurden
aber mehr M¨
arkte ber¨
ucksichtigt. Die Anzahl der Reiseverbindungen h¨
angt stark von den
Einstellungen des Marktmodells ab.
Als N¨
achstes geben wir die Eigenschaften der Passagiernachfrage an. Dazu definieren wir
einige Parameter, die Aufschluss ¨
uber die vorliegenden Datens¨
atze liefern.
Eingabedaten und Parameter
AMenge der Flugh¨
afen
EFlugkanten des Netzwerks
OD ⊆A2Menge aller Passagier-M¨
arkte
PDie Menge der m¨
oglichen Itineraries
PcDie Menge der Itineraries, die ¨
uber mindestens eine Zwischenstation f¨
uhren
Pod M¨
ogliche Itineraries f¨
ur Passagiere aus dem Markt od
dpGesch¨
atzte Anzahl der Passagiere auf der Itinerary p
(δlp =1)⇔Itinerary pbenutzt die Kante l∈E
clKapazit¨
at der Kante l
xod
pAnzahl der Passagiere aus dem Markt od auf dem Pfad p∈Pod
Um die H¨
ohe des Nachfrage zu beschreiben, wird der Nachfragefaktor (Demand Factor)
folgendermaßen definiert:
Definition 4.5 (Demand Factor) Der Demand Factor gibt das Verh¨
altnis der angefragten
Passagierpl¨
atze zu der Kapazit¨
at des Netzwerks an:
DF =∑p∈Pdp∑l∈Eδlp
∑l∈Ecl
4.2 Flottenzuweisung 149
Der gesch¨
atzte Bedarf auf einer Itinerary wird mit der Anzahl der Kanten in der Itinerary
multipliziert, um die Gesamtanzahl der ben¨
otigten Passagierpl¨
atze zu ermitteln. Die Gesamt-
kapazit¨
at des Netzwerks berechnet sich als die Summe der Kapazit¨
aten ¨
uber alle Kanten.
Die Auslastung des Netzwerks (System Load Factor) gibt an, wie viele der potentiellen
Passagiere einen Platz auf den Flugstrecken bekommen haben. Die Auslastung dient oft
als Maß f¨
ur die Qualit¨
at der Kapazit¨
atssteuerung durch das Revenue Management und die
Flottenzuweisung. Typische Werte, die in der Praxis gemessen werden, liegen bei ca. 70%.
Definition 4.6 (System Load Factor) Der System Load Factor ist das Verh¨
altnis der An-
zahl der insgesamt verkauften Passagierpl¨
atze zu der Gesamtkapazit¨
at des Netzwerks:
SLF =∑p∈Pod xod
p∑l∈Eδlp
∑l∈Ecl
Eine weitere wichtige Kennzahl, die Passenger Connectivity Ratio, gibt an, wie groß der
Anteil der Passagiere ist, die ¨
uber mehrere Zwischenstationen zu ihrem Zielflughafen reisen.
Definition 4.7 (Passenger Connectivity Ratio) Das Passenger Connectivity Ratio ist das
Verh¨
altnis der Anzahl der Verbindungs-Passagiere zu der Gesamtanzahl der Passagiere im
Netzwerk:
PCR =∑p∈Pcdp
∑p∈Pdp
Gerade die Passagiere, die nicht direkt fliegen, sondern umsteigen, verursachen die zu-
vor beschriebenen Netzwerkeffekte, die es zu ber¨
ucksichtigen gilt. Der Wert PCR in einem
Netzwerk gibt im Wesentlichen an, wie h¨
aufig die im Abschnitt 3.5.1 beschriebenen Netz-
werkeffekte auftreten k¨
onnen.
Folgende Tabelle enth¨
alt Angaben zu diesen drei Kennzahlen, die bei den beiden unter-
suchten Datens¨
atzen festgestellt wurden.
Kennzahl Datensatz A Datensatz B
Demand Factor 3.04 0.56
System Load Factor 79% 63%
Passenger Connectivity Ratio 0.57 0.36
Der Datensatz A besitzt einen deutlich h¨
oheren Demand Factor als der Datensatz B. Dies
ist auch der wesentliche Grund f¨
ur die h¨
ohere Netzwerkauslastung: 79% im Vergleich zu 63%.
Der Anteil der Verbindungs-Passagiere ist ebenfalls deutlich gr¨
oßer: 0.57 gegen 0.36.
Eine weitere Untersuchung gibt eine detailliertere Auskunft ¨
uber die Wichtigkeit der Netz-
werkeffekte bei den vorliegenden Datens¨
atzen. Betrachtet man die Kapazit¨
aten der m¨
oglichen
Flugzeugtypen auf einer Flugstrecke und die gesch¨
atzte Anzahl der Passagiere auf dieser
Flugstrecke, so lassen sich vier Klassen von Flugstrecken definieren:
•uncapacitated: Die Nachfrage auf der Flugstrecke liegt unterhalb der kleinsten Kapa-
zit¨
at der m¨
oglichen Flugzeugtypen.
•capacitated: Die Nachfrage auf der Flugstrecke liegt oberhalb der kleinsten Kapazit¨
at
der m¨
oglichen Flugzeugtypen.
150 4 Experimentelle Ergebnisse
•potentially capacitated: Die Nachfrage auf der Flugstrecke liegt oberhalb der klein-
sten Kapazit¨
at der m¨
oglichen Flugzeugtypen, aber unterhalb der gr¨
oßten m¨
oglichen
Kapazit¨
at auf der Strecke.
•overcapacitated: Die Nachfrage auf der Flugstrecke liegt oberhalb der gr¨
oßten Kapa-
zit¨
at der m¨
oglichen Flugzeugtypen.
Die Menge der capacitated Flugstrecken ist die Vereinigung der beiden Mengen potentially
capacitated und overcapacitated.
Flugstrecken Datensatz A Datensatz B
uncapacitated 1312 (21%) 2835 (30%)
potentially capacitated 1588 (25%) 3805 (41%)
overcapacitated 3345 (54%) 2591 (29%)
Auch in dieser Tabelle kann beobachtet werden, dass der Datensatz A deutlich mehr stark
ausgelastete Flugstrecken besitzt als der Datensatz B.
4.2.2 Ergebnisse der Integrationsstrategien
In der Abbildung 4.22 sind 15 Szenarien mit der ersten Integrationsstrategie dargestellt. Der
Gewinnwert der Startl¨
osung wird in diesem Experiment mit 100% angegeben. Das Ergebnis
der Flottenzuweisung ohne die Interaktion mit dem Marktmodell (Fleet Assignment) erzielt
im Durchschnitt eine Verbesserung von knapp einem Prozent gegen¨
uber der Startl¨
osung. Die
in dieser Arbeit vorgestellte erste Integrationsstrategie erzielt eine durchschnittliche Verbes-
serung von 8%. Die absoluten Gewinnzahlen k¨
onnen nicht angegeben werden, weil sie eine
vertrauliche Information der jeweiligen Fluggesellschaft darstellen.
Die zweite Integrationsstrategie implementiert das Modell des Passagierflusses (PFM: Pas-
senger Flow Model) als eine zus¨
atzliche Komponente an der Schnittstelle zwischen der Markt-
modellierung und der Flottenzuweisung. Das lineare Programm steuert die Zielfunktion der
Flottenzuweisung mittels der dualen Werte der Kapazit¨
atsrestriktionen der Flugstrecken (sie-
he Abschnitt 3.6).
In der Abbildung 4.23 ist das Konvergenzverhalten der Integration des Modells des Passa-
gierflusses (PFM) mit der Flottenzuweisung auf dem Datensatz B dargestellt.
Im oberen Bild der Abbildung 4.23 sind die dualen Werte ¨
uber die gesamte Laufzeit zu
sehen. Bei den ersten Iterationen sind die dualen Werte relativ groß und steuern den Si-
mulated Annealing Algorithmus entsprechend stark an. Zum Ende der Berechnung werden
die dualen Werte deutlich kleiner. Die Kapazit¨
atszuweisung im Fleet Assignment wurde an
den vorhergesagten Fluss angepasst. Die Erh¨
ohung der Kapazit¨
aten auf den entsprechenden
Flugstrecken w¨
urde keinen gr¨
oßeren Zugewinn mehr bedeuten.
Im unteren Bild der Abbildung 4.23 wurde die Differenz in der Zielfunktion des Simulated
Annealing Algorithmus jeweils vor und nach einer Iteration mit dem PFM protokolliert. Auch
hier ist die Konvergenz des Verfahrens deutlich zu sehen. Die Bewertung der aktuellen L¨
osung
durch das System der Flottenzuweisung und das Modell des Passagierflusses n¨
ahern sich im
Verlauf der Optimierung stark an.
4.2 Flottenzuweisung 151
Datensatz A
98
100
102
104
106
108
110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Szenario
Gewinn im %
Startlösung Fleet Assignment Integration: Fleet Assignment und Marktmodellierung
Integration:
Szenario Startlösung Fleet Assignment Fleet Assignment und Marktmodellierung
1 100% 100.8% 107.3%
2 100% 100.8% 109.3%
3 100% 101.0% 107.0%
4 100% 101.0% 108.5%
5 100% 100.9% 106.8%
6 100% 100.9% 108.1%
7 100% 100.9% 108.2%
8 100% 101.1% 107.9%
9 100% 101.0% 107.7%
10 100% 101.0% 108.4%
11 100% 100.8% 109.2%
12 100% 100.8% 107.3%
13 100% 100.8% 108.1%
14 100% 100.8% 108.0%
15 100% 100.8% 108.8%
Mittelwert 100.9% 108.0%
Abbildung 4.22: Ergebnisse der ersten Integrationsstrategie
4.2.3 Zusammenfassung und Ausblick
Anhand der Experimente kann festgestellt werden, dass die Integration der Phasen der Markt-
modellierung und der Flottenzuweisung erfolgreich durchgef¨
uhrt wurde. Die implementierte
Strategie wird bei mehreren Fluggesellschaften im Produktionsbetrieb eingesetzt und leistet
einen Beitrag zur Steigerung der Profitabilit¨
at der Flugpl¨
ane.
Die zweite Integrationsstrategie wurde als ein Forschungsprototyp implementiert und mit
realen Daten der Fluggesellschaften getestet. Die ¨
Ubernahme der Erkenntnisse in die Pla-
nungssysteme der Fluggesellschaften steht noch bevor.
Die dritte Integrationsstrategie wird in naher Zukunft im Rahmen einer umfangreicheren
Studie evaluiert. Die hohen Aufw¨
ande f¨
ur die Anpassung des Revenue Management Systems
konnten im Rahmen dieser Arbeit nicht geleistet werden. Eine Auswertung der Ergebnisse
dieser Integrationsstrategie steht bevor. Die vorbereitenden Analysen seitens der Lufthansa
Systems lassen auf ein hohes Potential der vorgeschlagenen Vorgehensweise schließen.
152 4 Experimentelle Ergebnisse
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
400000
500000
0 1000 2000 3000 4000 5000
Iterationen
Duale Werte
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Iterationen
Differenz in der Zielfunktion
Abbildung 4.23: Konvergenz der dualen Werte und der Differenz in der Zielfunktion
5
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Optimierung in der Flugplanung untersucht. Wir ent-
wickelten effiziente Algorithmen zur L¨
osung der zugrunde liegenden Optimierungsprobleme
und untersuchten die Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren. Die Ergebnisse der Arbeit kommen in
Entscheidungsunterst¨
utzungssystemen zum Einsatz, verbessern die Qualit¨
at der berechneten
L¨
osungen und leisten auf diese Weise einen Beitrag zur Kostensenkung bei Fluggesellschaften.
Wir besch¨
aftigten uns zun¨
achst mit dem Problem des Netzwerkentwurfs. Das zugrunde lie-
gende lineare ganzzahlige Optimierungsproblem zeichnet sich durch seine hohe Komplexit¨
at
aus. Zur L¨
osung dieses Problems entwickelten und implementierten wir mehrere Algorith-
men. Das entstandene Optimierungssystem beinhaltet sowohl exakte als auch heuristische
L¨
osungsverfahren.
Daf¨
ur wurde auf der Basis einer Lagrange-Relaxation ein Branch-and-bound und ein Relax-
and-cut-Algorithmus entwickelt. Das Lagrange-Multiplikator-Problem wird mit Hilfe des von
uns entwickelten Subgradientenverfahrens oder alternativ durch die von A. Frangioni imple-
mentierte Bundle-Methode gel¨
ost.
Wir implementierten mehrere aus der Literatur bekannte Baumsuchverfahren, Branching-
Strategien und Algorithmen zur Bestimmung von zul¨
assigen L¨
osungen innerhalb der Baum-
suche.
Weiterhin untersuchten wir Strategien zur Variablenfixierung. Neben klassischen Stra-
tegien wurden erweiterte kombinierte Verfahren entwickelt, die zwei Arten von Lagrange-
Relaxationen verbinden.
Es wurden heuristische Variablenfixierungen f¨
ur das Subgradientenverfahren aus der Lite-
ratur untersucht. Wir erweiterten diese Strategien so, dass sie auch im Zusammenspiel mit
der Bundle-Methode eingesetzt werden k¨
onnen.
Einen wichtigen Beitrag stellt auch die Entwicklung des Relax-and-cut-Algorithmus dar.
Wir untersuchten bekannte zul¨
assige Ungleichungen (cuts), wie z.B. die ¨
Uberdeckungsungleichungen,
153
154 5 Zusammenfassung und Ausblick
und implementierten effiziente Algorithmen zum Finden und Verbessern dieser Ungleichun-
gen.
Die neu entwickelten lokalen Schnitte stellen eine Verallgemeinerung der Variablenfixierung
dar. Sie erlauben es, zus¨
atzliche g¨
ultige Ungleichungen zu finden, die mehrere Variablen
beinhalten und auf diese Weise die Baumsuche deutlich beschleunigen.
Ein wesentlicher Beitrag dieser Arbeit ist auch die implementierte dynamische Verwaltung
der zus¨
atzlichen Ungleichungen im Relax-and-cut-Algorithmus. Sie w¨
urden die Struktur der
Unterprobleme zerst¨
oren und m¨
ussen deswegen mit neuen Lagrange-Multiplikatoren in die
Zielfunktion aufgenommen werden.
Die experimentellen Ergebnisse belegen die Leistungsf¨
ahigkeit des Systems. Hervorheben
m¨
ochten wir die ¨
Uberlegenheit gegen¨
uber anderen L¨
osungsverfahren, die in der Literatur
entwickelt wurden, und auch gegen¨
uber einem Standard-Solver f¨
ur Optimierungsprobleme
CPLEX.
Die einzelnen Komponenten k¨
onnen wie folgt bewertet werden: Der Relax-and-cut-Algorithmus
profitiert stark von den zus¨
atzlichen Ungleichungen und ¨
ubertrifft dadurch den Branch-and-
bound Algorithmus. Die Bundle-Methode verh¨
alt sich besser als das Subgradientenverfahren.
Die Strategien zur Variablenfixierung liefern eine deutliche Verk¨
urzung der Laufzeiten.
Besonders die heuristischen Variablenfixierungen erlauben eine sehr schnelle L¨
osung auch
von gr¨
oßeren Probleminstanzen und liefern L¨
osungen von hoher Qualit¨
at.
Insgesamt wurde im Rahmen dieser Arbeit ein leistungsstarkes Optimierungssystem f¨
ur
den Netzwerkentwurf entwickelt, das in vielen Anwendungsf¨
allen zum Einsatz kommen kann.
Den zweiten Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Planungsaufgabe der Flottenzuweisung.
Diesem Planungsschritt kommt eine zentrale Bedeutung innerhalb einer Fluggesellschaft zu,
weil hier die wesentlichen Eigenschaften des Flugplans festgelegt werden und dadurch die
Betriebskosten definiert werden. Eine verbesserte Flottenzuweisung erh¨
oht deutlich die Pro-
fitabilit¨
at eines Flugplans.
Die benachbarten Aufgaben der Marktmodellierung und des Revenue Managements sind
stark mit der Flottenzuweisung verzahnt. Wir untersuchen die Abh¨
angigkeiten zwischen die-
sen Planungsschritten und stellen einen großen Verbesserungspotential f¨
ur eine integrierte
Planung fest.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden drei Integrationsstrategien entwickelt, die zum Teil bereits
im industriellen Einsatz sind.
Die erste Strategie verbindet die Phasen der Marktmodellierung und der Flottenzuwei-
sung. Die Kommunikation erfolgt durch den Austausch der L¨
osungen und die Anpassung der
Zielfunktion in der Flottenzuweisung.
Die zweite Strategie implementiert ein Modell des Passagierflusses und erlaubt dadurch ei-
ne schnellere Interaktion mit der Flottenzuweisung. Die dualen Werte der Kapazit¨
atsrestriktionen
liefern wichtige Informationen ¨
uber den Passagierfluss und erm¨
oglichen eine genauere An-
passung der Flottenzuweisung an die Passagiernachfrage.
Zusammenfassung und Ausblick 155
Die dritte vorgeschlagene Strategie kann in der Kurzfristplanung eingesetzt werden und
verbindet das Revenue Management System mit der Flottenzuweisung. Durch die genauen
Prognosen der Passagierzahlen im Netzwerk und eine viel detailliertere Sch¨
atzung der er-
zielbaren Erl¨
ose wird die L¨
osung des Flottenzuweisungsproblems gesteuert. Eine kurzfristige
Anpassung der Kapazit¨
aten im Netzwerk an die vorliegende Nachfrage erm¨
oglicht einen ko-
stenminimalen Einsatz der Flugzeuge und einen gesteigerten Gewinn durch zus¨
atzlich trans-
portierte Passagiere.
Ausblick
Die Erkenntnisse aus dieser Arbeit f¨
uhren uns zu neuen Fragestellungen und neuen Anwen-
dungsm¨
oglichkeiten:
•Erweiterung der Problemdefinition des Netzwerkentwurfs um zus¨
atzliche Restriktionen
oder Freiheitsgrade. Die Leistungsf¨
ahigkeit der entwickelten Verfahren kann in weiteren
komplexeren Szenarien unter Beweis gestellt werden.
•Untersuchung weiterer Klassen von zus¨
atzlichen Ungleichungen, die die Lagrange-
Schranken noch weiter verbessern k¨
onnen.
•Ein exaktes Verfahren f¨
ur die Flottenzuweisung kann durch seine verbesserte Leis-
tungsf¨
ahigkeit in unseren Integrationsstrategien an die Stelle des Simulated Annealing
Algorithmus treten.
•Definition eines integrierten mathematischen Modells f¨
ur die Marktmodellierung und
die Flottenzuweisung kann angesichts der Fortschritte im Bereich der ganzzahligen
Optimierung eine weitere M¨
oglichkeit darstellen.
•Die Integration der Flottenzuweisung mit dem Revenue Management System muss
weiter untersucht werden. Eine offene Frage ist z.B., ob ein Konvergenzverhalten bei
der Optimierung auch in diesem Fall erreicht werden kann.
156 5 Zusammenfassung und Ausblick
6
Anhang: Tabellen zu den
experimentellen Ergebnissen
Nr. Benchmark Verfahren im Vergleich Art des Vergleichs
1.1 PAD NDBB, NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.2 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0 exakt
1.3 CANAD-R2 NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.4 CANAD-C NDBC-α, NDBC, CPLEX 9.0, Kanadische Solver heuristisch
1.5 CANAD-C NDBB-α, NDBB-β, NDBC-α, NDBC-βheuristisch
1.6 PAD-S NDBC-α, NDBC heuristisch
Tabelle 6.1: Experimente zur Untersuchung der Leistungsf¨
ahigkeit der Verfahren
Nr. Benchmark Komponente Art des Vergleichs
2.1 CANAD-C Erste Phase heuristisch
2.2 PAD Primale Heuristik exakt
2.3 PAD Variablenfixierung exakt
2.4 CANAD-C Variablenfixierung heuristisch
2.5 PAD Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.6 CANAD-R2 Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) exakt
2.7 CANAD-C Zus¨
atzliche Ungleichungen (Cuts) heuristisch
2.8 CANAD-C αund βWerte heuristisch
Tabelle 6.2: Experimente zur Untersuchung der Effizienz der Systemkomponenten
157
158 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
Knoten Kanten Commodities fixvar ctight
A1 12 50 50 0.02 1.5
A2 12 50 50 0.04 1.5
A3 12 50 50 0.02 1
A4 12 50 50 0.04 1
B1 12 100 50 0.03 1
B2 12 100 50 0.06 1
B3 12 100 50 0.03 1
B4 12 100 50 0.06 1
C1 12 50 100 0.06 1
C2 12 50 100 0.12 1
C3 12 50 100 0.06 1
C4 12 50 100 0.12 1
D1 12 100 100 0.01 1.5
D2 12 100 100 0.015 1.5
D3 12 100 100 0.01 1
D4 12 100 100 0.015 1
E1 18 120 60 0.024 4.3
E2 18 120 60 0.048 4.3
E3 18 120 60 0.024 8.6
E4 18 120 60 0.048 8.6
F1 18 240 60 0.016 1
F2 18 240 60 0.02 1
F3 18 240 60 0.016 1
F4 18 240 60 0.02 1
G1 18 120 120 0.012 2.15
G2 18 120 120 0.015 2.15
G3 18 120 120 0.012 4.3
G4 18 120 120 0.015 4.3
H1 18 240 120 0.012 1.5
H2 18 240 120 0.015 1.5
H3 18 240 120 0.012 1
I1 24 220 80 0.008 2.65
I2 24 220 80 0.012 2.65
I3 24 220 80 0.008 5.3
I4 24 220 80 0.012 5.3
J1 24 440 80 0.008 5.3
J2 24 440 80 0.012 5.3
J3 24 440 80 0.008 10.6
J4 24 440 80 0.012 10.6
K1 24 220 160 0.004 1
L1 24 440 160 0.002 1
Abbildung 6.1: Datensatz PAD
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 159
Knoten Kanten Commocities fixvar ctight
c33 20 230 40 0.02 8
c34 20 230 40 0.08 8
c35 20 230 40 0.02 16
c36 20 230 40 0.08 16
c37 20 230 200 0.5 16
c38 20 230 200 1 16
c39 20 230 200 0.5 20
c40 20 230 200 1 22
c41 20 300 40 0.02 8
c42 20 300 40 0.08 10
c43 20 300 40 0.02 16
c44 20 300 40 0.08 16
c45 20 300 200 0.5 25
c46 20 300 200 1 25
c47 20 300 200 0.5 28
c48 20 300 200 1 28
c49 30 520 100 0.1 20
c50 30 520 100 0.5 20
c51 30 520 100 0.1 30
c52 30 520 100 0.5 30
c53 30 520 400 0.2 40
c54 30 520 400 0.4 40
c55 30 520 400 0.2 50
c56 30 520 400 0.4 50
c57 30 700 100 0.1 20
c58 30 700 100 0.2 20
c59 30 700 100 0.1 30
c60 30 700 100 0.2 30
c61 30 700 400 0.2 40
c62 30 700 400 0.4 40
c63 30 700 400 0.2 50
c64 30 700 400 0.4 50
Abbildung 6.2: Datensatz CANAD-C
160 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
Knoten Kanten Commodities
r01 10 35 10
r02 10 35 25
r03 10 35 50
r04 10 60 10
r05 10 60 25
r06 10 60 50
r07 10 82 10
r08 10 83 25
r09 10 83 50
r10 20 120 40
r11 20 120 100
r12 20 120 200
r13 20 220 40
r14 20 220 100
r15 20 220 200
r16 20 314 40
r17 20 318 100
r18 20 315 200
fixvar ctight
1 0.01 1
2 0.05 1
3 0.1 1
4 0.01 2
5 0.05 2
6 0.1 2
7 0.01 8
8 0.05 8
9 0.1 8
Abbildung 6.3: Datensatz CANAD-R
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 161
Knoten Kanten Commodities
s1 40 500 100
s2 40 500 250
s3 40 500 500
s4 40 1000 100
s5 40 1000 250
s6 40 1000 500
s7 40 1250 100
s8 40 1250 250
s9 40 1250 500
s10 60 1000 100
s11 60 1000 250
s12 60 1000 500
s13 60 2000 100
s14 60 2000 250
s15 60 2000 500
s16 60 2500 100
s17 60 2500 250
s18 60 2500 500
fixvar ctight
1 0.01 1
2 0.05 2
3 0.1 8
4 0.01 1
5 0.05 2
6 0.1 8
7 0.01 1
8 0.05 2
9 0.1 8
Abbildung 6.4: Datensatz CANAD-S
162 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
CPLEX 9.0 CPLEX 9.0 NDBB NDBB NDBC NDBC
time (sec) nodes time (sec) nodes time (sec) nodes
A1 0.01 1 0.43 1 0.21 1
A2 0.26 2 0.86 5 0.49 5
A3 0.06 1 0.62 3 0.39 3
A4 0.32 2 1.1 15 0.75 7
B1 1.82 3 1.39 11 1.38 25
B2 13.71 16 4.82 75 2.34 41
B3 7.59 11 2.52 39 1.75 21
B4 3.23 1 1.33 15 0.89 9
C1 3.56 2 2.77 19 2.14 17
C2 37.61 93 100.2 1531 13.76 375
C3 5.35 18 7.27 77 2.98 33
C4 41.09 199 81.48 1205 16.73 483
D1 5.74 5 4.98 41 3.04 23
D2 20.87 24 17.1 141 5.91 41
D3 8.65 7 5.32 29 4.56 36
D4 29.14 114 94.97 837 35.36 563
E1 28.83 52 46.57 575 13.06 271
E2 67.31 122 245.48 4102 18.24 480
E3 19.62 62 35.53 547 10.31 275
E4 205.06 309 247.66 3738 43.01 1190
F1 16.76 1 9.25 43 4.64 33
F2 218.64 360 468.22 4116 83.79 1149
F3 77.72 109 68.29 535 28.92 365
F4 41.08 4 6.3 41 4.11 39
G1 28.35 17 26.35 117 8.52 63
G2 74.99 115 179.04 1009 38.4 455
G3 25.22 14 18.52 91 7.36 55
G4 113.09 166 545.89 3685 135.51 1701
H1 3.43 2 8.08 13 8 15
H2 126.24 26 83.36 299 17.68 87
H3 2.91 1 7.51 13 6.95 17
I1 1.01 1 5.09 15 3.67 7
I2 59.93 37 46.96 245 15.35 119
I3 60.71 57 110.02 557 47.57 413
I4 93.98 61 385.19 2071 31.93 343
J1 36.34 2 19.44 57 8.53 54
J2 360.1 70 397.02 1463 80.62 640
J3 110.9 49 324.84 1106 168.47 1609
J4 1018.8 286 2374.6 8979 428.53 3459
K1 116.77 15 72.53 163 42.01 149
L1 597.6 126 3270.9 4575 593.48 1611
Summe 3684.4 2563 9329.8 42199 1941.34 16282
Abbildung 6.5: Experiment 1.1: exaktes L¨
osen der PAD Benchmark (siehe Seite 123).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 163
CPLEX 9.0 CPLEX 9.0 CPLEX 9.0 NDBC NDBC NDBC
PROB BEST LOWER BEST UPPER solution sec nodes solution sec nodes
r10.1 200087.00 200087.00 200087 0.60 71 200087 1.87 108
r10.2 346812.10 346813.50 346813.5 80.18 1831 346813.5 66.21 2769
r10.3 488006.59 488015.00 488015 123.92 1160 488015 30.98 1579
r10.4 229195.91 229196.00 229196 22.63 2063 229196 264 11305
r10.5 411663.66 411664.00 411664 838.20 13345 411664 1255.8 46890
r10.6 609103.86 609104.00 609104 4474.02 29200 609104 2791.6 105453
r10.7 486847.34 486895.00 486895 28.77 1344 487530 6407.53 49
r10.8 950977.81 951056.00 951056 41.75 1267 963728 2.65 67
r10.9 1421607.00 1421746.00 1421746 43.16 2263 1489233 1.39 73
r11.1 714429.45 714431.00 714431 37.50 227 714431 61.02 1073
r11.2 1263712.80 1263713.00 1263713 7223.34 7817 1263713 6393.9 107312
r11.3 1830829.39 1846295.00 1846295 14400.00 8637 1866891 9.5 111
r11.4 870450.88 870451.00 870451 728.33 2937 870451 1441.5 24439
r11.5 1623639.98 1623640.00 1623640 3553.45 3943 1623640 6598.5 103844
r11.6 2413822.22 2414060.00 2414060 9167.19 7932 2433587 2.14 121
r11.7 2294912.00 2294912.00 2294912 6.07 24 2294912 3036.6 45207
r11.8 3506968.95 3507100.00 3507100 13.36 79 3507100 248.14 200
r11.9 4579353.00 4579353.00 4579353 10.42 38 4579353 1245.9 20259
r12.1 1639442.64 1639443.00 1639443 779.32 788 1639443 465.38 3608
r12.2 3368442.73 3403901.00 3403901 14400.00 2754 3426893 22.77 169
r12.3 5181106.99 5279872.00 5279872 14400.00 2155 5363192.222 25.22 121
r12.4 2303556.23 2303557.00 2303557 243.35 183 2303557 4257 34931
r12.5 4669795.17 4669799.00 4669799 411.28 237 4669799 1154.4 9434
r12.6 7100016.36 7100019.00 7100019 413.25 225 7100019 1372.4 11771
r12.7 7635270.00 7635270.00 7635270 7.76 6 7635270 61.53 378
r12.8 10067732.88 10067742.00 10067742 6.03 3 10067742 150.06 1190
r12.9 11967768.00 11967768.00 11967768 5.52 0 11967768 16.31 78
r13.1 142947.00 142947.00 142947 0.59 13 142947 1.01 47
r13.2 263799.18 263800.00 263800 133.31 408 263800 61.33 1736
r13.3 365833.65 365836.00 365836 277.36 432 365836 37.19 1361
r13.4 150976.48 150977.00 150977 7.69 461 150977 115.25 4818
r13.5 282681.84 282682.00 282682 1677.66 7254 282682 381.2 11637
r13.6 406789.92 406790.00 406790 10414.67 16900 406790 1120.2 28930
r13.7 208067.23 208088.00 208088 11680.30 203324 209684 10.23 200
r13.8 436264.36 446764.00 446764 14400.00 53035 458377 4.78 194
r13.9 681259.03 698000.00 698000 14400.00 37738 732623 2.05 141
r14.1 403413.36 403414.00 403414 42.66 197 403414 72.56 1367
r14.2 749430.44 749503.00 749503 12269.46 4541 760447 6.84 200
r14.3 1057434.70 1072504.00 1072504 14400.00 2327 1096342 13.16 200
r14.4 437606.74 437607.00 437607 110.18 450 437607 670.77 8299
r14.5 844870.07 851944.00 853062 14400.00 4367 864870 14.61 200
r14.6 1208160.84 1215904.00 1223074 14400.00 1942 1223899 11.08 200
r14.7 662281.33 669848.54 669848.5424 14400.00 17752 676290.9697 4.02 200
r14.8 1577351.14 1624540.33 1624540.333 14400.00 6686 1643254 17.36 139
r14.9 2572429.42 2623288.00 2623288 14400.00 6950 2737598 15.9 123
r15.1 1000786.84 1000787.00 1000787 654.45 420 1000787 590.08 3770
r15.2 1952335.91 1971622.50 1991646 14400.00 776 1981107 21.17 200
r15.3 2829297.13 2887544.00 2926793 14400.00 225 2940386 38.84 200
r15.4 1147196.34 1148604.00 1148604 14400.00 4240 1150218.5 43.66 200
r15.5 2445116.07 2488910.00 2539170 14400.00 601 2539396 56.15 200
r15.6 3751570.63 3846435.00 3940899 14400.00 375 3909492 40.56 200
r15.7 2293888.23 2297919.00 2297919 14400.00 3823 2309079.125 32.64 167
r15.8 5573316.24 5573412.83 5573412.833 2692.63 1006 5600443 17.55 200
r15.9 8696930.81 8696932.00 8696932 659.08 36 8696932 3596.9 22253
r16.1 136161.00 136161.00 136161 0.45 0 148837 0.19 0
r16.2 239500.00 239500.00 239500 444.96 443 239500 192.58 5425
r16.3 325670.42 325671.00 325671 683.57 561 325671 122.78 3879
r16.4 138531.92 138532.00 138532 3.73 40 138532 5.37 134
r16.5 241796.20 241801.00 241801 201.24 254 241801 21.03 628
r16.6 337761.91 337762.00 337762 2836.31 2903 337762 195.81 5544
r16.7 167773.86 169284.00 169284 14400.00 180141 173796 2.62 200
r16.8 338667.39 350229.00 350229 14400.00 20948 362634 11.58 200
r16.9 510101.49 537419.00 547030 14400.00 13796 579435 8.53 187
r17.1 354119.57 354138.00 354138 49.72 42 354138 4.33 59
r17.2 645488.00 645488.00 647696 14400.00 2318 645488 1970.7 20063
r17.3 896987.36 915823.00 931218 14400.00 1097 936938 19.38 200
r17.4 370589.98 370590.00 370590 552.39 1038 370590 718.18 8000
r17.5 704997.65 706876.00 713637 14400.00 2225 715361 10.05 200
r17.6 1001639.15 1021162.00 1058112 14400.00 1027 1048152 9.46 200
r17.7 496518.01 502469.50 502469.5 14400.00 8485 507385 23.89 200
r17.8 1082067.58 1108263.00 1121588 14400.00 2357 1158692 25.46 200
r17.9 1727562.81 1794487.78 1794487.783 14400.00 1489 1866253 25.26 200
r18.1 827673.34 828117.00 828117 14400.00 2563 831436 49.15 200
r18.2 1533674.72 1533675.00 1544539 14400.00 159 1533675 1345.4 6663
r18.3 2152469.22 2214574 0 14400.00 69 2214574 18.65 200
r18.4 913631.22 921163.00 921216 14400.00 2223 925983 41.28 200
r18.5 1795617.87 1871773 0 14400.00 116 1871773 26.74 200
r18.6 2583876.72 2765264 0 14400.00 59 2765264 37.05 200
r18.7 1460582.61700 1484412.03 1487354.524 14400.00 1073 1488726.178 69.44 200
r18.8 3782429.63400 3931727.80 3935970 14400.00 533 4031701 65.91 191
r18.9 6177754.14100 6435842.00 6435842 14400.00 620 6733707 60.31 177
Abbildung 6.6: Experiment 1.2: CANAD-R2 (siehe Seite 125).
164 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
TABU-PATH TABU-ARC SS/PL/ID TABU-CYCLE PATH-RELINKING CPLEX 9.0 CPLEX 9.0 NDBC NDBC
(m2) (400) (m2) (400) (m1) (m1) (m1) 300 sec 300 sec
best lower bound best solution solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ
r10.1 200087.00 200087.00 201350 0.63 200613 0.26 201744 0.83 200484 0.20 200147 0.03 200087 0.0000 202094 1.0031
r10.2 346812.10 346813.50 362848 4.62 350573 1.08 368195 6.17 350407 1.04 347459 0.19 346813.5 0.0004 380501 9.7139
r10.3 488006.59 488015.00 568114 16.42 507118 3.92 560787 14.91 502724 3.02 502724 3.02 488015 0.0017 626707 28.4218
r10.4 229195.91 229196.00 231546 1.03 232473 1.43 232482 1.43 231302 0.92 229196 0.00 229196 0.0000 229388 0.0838
r10.5 411663.66 411664.00 439802 6.84 432913 5.16 440435 6.99 430254 4.52 425230 3.30 411664 0.4927 411794 0.0317
r10.6 609103.86 609104.00 659189 8.22 640621 5.17 673263 10.53 646107 6.08 628353 3.16 609104 2.0320 613552 0.7303
r10.7 486847.34 486895.00 489385 0.52 488737 0.39 487695 0.17 490034 0.65 487235 0.08 486895 0.0098 491563.25 0.9687
r10.8 950977.81 951056.00 993363 4.46 980010 3.05 967696 1.76 977346 2.77 963914 1.36 951056 0.0082 957432 0.6787
r10.9 1421607.00 1421746.00 1454329 2.30 1487270 4.62 1442600 1.48 1469020 3.34 1439320 1.25 1421746 0.0098 1426139 0.3188
r11.1 714429.45 714431.00 726155 1.64 725416 1.54 722956 1.19 726585 1.70 720236 0.81 714431 0.0002 714981 0.0772
r11.2 1263712.80 1263713.00 1408514 11.46 1306090 3.35 1298610 2.76 1323620 4.74 1296050 2.56 1263713 1.2123 1269835.5 0.4845
r11.3 1830829.39 1846295.00 2392241 30.66 1914040 4.54 1984400 8.39 1933560 5.61 1940180 5.97 1846295 9.9651 1850215 1.0588
r11.4 870450.88 870451.00 888165 2.04 876894 0.74 879109 0.99 879445 1.03 875908 0.63 870451 0.0619 871275 0.0947
r11.5 1623639.98 1623640.00 1846121 13.70 1694860 4.39 1706510 5.10 1715040 5.63 1674340 3.12 1623640 4.5421 1623640 0.0000
r11.6 2413822.22 2414060.00 2732989 13.22 2607690 8.03 2543000 5.35 2593590 7.45 2546730 5.51 2414060 2.3216 2420779 0.2882
r11.7 2294912.00 2294912.00 2308694 0.60 2295790 0.04 2295360 0.02 2294912 0.00 2294912 0.00 2294912 0.0000 2294912 0.0000
r11.8 3506968.95 3507100.00 3585266 2.23 3568430 1.75 3518830 0.34 3540730 0.96 3529530 0.64 3507100 0.0037 3508521 0.0443
r11.9 4579353.00 4579353.00 4901168 7.03 4621900 0.93 4617850 0.84 4616190 0.80 4592820 0.29 4579353 0.0000 4579353 0.0000
r12.1 1639442.64 1639443.00 1728210 5.41 1713670 4.53 1658640 1.17 1700170 3.70 1668370 1.76 1639443 0.0361 1639565 0.0075
r12.2 3368442.73 3403901.00 4037454 19.86 3746250 11.22 3510110 4.21 3741660 11.08 3717800 10.37 3403901 26.0648 3445991.667 2.3022
r12.3 5181106.99 5279872.00 6415405 23.82 6070200 17.16 5623070 8.53 6055670 16.88 6037960 16.54 5279872 31.8431 5325234 2.7818
r12.4 2303556.23 2303557.00 2339682 1.57 2326230 0.98 2322660 0.83 2331290 1.20 2326930 1.01 2303557 0.0000 2306253 0.1171
r12.5 4669795.17 4669799.00 4950073 6.00 4967940 6.38 4750290 1.72 4942920 5.85 4954250 6.09 4669799 4.1723 4669799 0.0001
r12.6 7100016.36 7100019.00 7781907 9.60 7638050 7.58 7427170 4.61 7562660 6.52 7638050 7.58 7100019 2.4569 7103503 0.0491
r12.7 7635270.00 7635270.00 7666421 0.41 7637250 0.03 7636930 0.02 7638050 0.04 7638050 0.04 7635270 0.0000 7635270 0.0000
r12.8 10067732.88 10067742.00 10175690 1.07 10121700 0.54 10086500 0.19 10106800 0.39 10085000 0.17 10067742 0.0001 10067742 0.0001
r12.9 11967768.00 11967768.00 12958760 8.28 12079300 0.93 11980100 0.10 12064300 0.81 12042800 0.63 11967768 0.0000 11967768 0.0000
r13.1 142947.00 142947.00 143588 0.45 144138 0.83 145007 1.44 143778 0.58 142947 0.00 142947 0.0000 142947 0.0000
r13.2 263799.18 263800.00 284943 8.02 270316 2.47 312434 18.44 272019 3.12 273853 3.81 263800 0.0003 264356 0.2111
r13.3 365833.65 365836.00 439085 20.02 374999 2.51 442663 21.00 375628 2.68 378922 3.58 365836 0.0006 369594 1.0279
r13.4 150976.48 150977.00 152873 1.26 151513 0.36 155283 2.85 151875 0.60 150977 0.00 150977 0.0003 151484 0.3362
r13.5 282681.84 282682.00 308081 8.99 291510 3.12 322230 13.99 290150 2.64 289706 2.48 282682 1.1154 285698 1.0670
r13.6 406789.92 406790.00 462407 13.67 420028 3.25 481111 18.27 430246 5.77 435724 7.11 406790 4.6700 414820 1.9740
r13.7 208067.23 208088.00 214345 3.02 212451 2.11 217623 4.59 213650 2.68 210898 1.36 208088 0.7660 209995 0.9265
r13.8 436264.36 446764.00 491210 12.59 484112 10.97 472086 8.21 485018 11.18 469035 7.51 446764 5.7836 454012 4.0681
r13.9 681259.03 698000.00 772063 13.33 758715 11.37 792368 16.31 787477 15.59 761505 11.78 698000 7.0889 707082 3.7905
r14.1 403413.36 403414.00 420837 4.32 415119 2.90 424280 5.17 416932 3.35 410430 1.74 403414 0.0002 403414 0.0002
r14.2 749430.44 749503.00 961760 28.33 803356 7.20 847412 13.07 775023 3.41 778492 3.88 749503 1.4023 761275 1.5805
r14.3 1057434.70 1072504.00 1386426 31.11 1155840 9.31 1234250 16.72 1133420 7.19 1127980 6.67 1072504 3.8649 1094623 3.5168
r14.4 437606.74 437607.00 452971 3.51 453204 3.56 470819 7.59 448725 2.54 444170 1.50 437607 0.1472 438798 0.2722
r14.5 844870.07 851944.00 1003389 18.76 912456 8.00 898722 6.37 890914 5.45 883241 4.54 853062 36.1959 869130 2.8714
r14.6 1208160.84 1215904.00 1630263 34.94 1333440 10.37 1317020 9.01 1309970 8.43 1335170 10.51 1223074 44.1559 1231155 1.9032
r14.7 662281.33 669848.54 728766 10.04 702226 6.03 685912 3.57 698381 5.45 689762 4.15 669848.5424 2.2445 672173.5 1.4937
r14.8 1577351.14 1624540.33 1873897 18.80 1748930 10.88 1694680 7.44 1782720 13.02 1740600 10.35 1624540.333 26.4699 1645693 4.3327
r14.9 2572429.42 2623288.00 3006180 16.86 2882710 12.06 2824250 9.79 2901140 12.78 2939990 14.29 2623288 27.2122 2668006.667 3.7154
r15.1 1000786.84 1000787.00 1087543 8.67 1049360 4.85 1050460 4.96 1044180 4.34 1027930 2.71 1000787 0.0666 1000861 0.0074
r15.2 1952335.91 1971622.50 2912747 49.19 2158720 10.57 2194510 12.40 2164870 10.89 2135640 9.39 1991646 100.0000 2051772 5.0932
r15.3 2829297.13 2887544.00 4729421 67.16 3135760 10.83 3196590 12.98 3156520 11.57 3131640 10.69 2926793 100.0000 2951269 4.3110
r15.4 1147196.34 1148604.00 1253329 9.25 1215130 5.92 1201200 4.71 1211560 5.61 1184780 3.28 1148604 0.2008 1151305 0.3581
r15.5 2445116.07 2488910.00 3348931 36.96 2756680 12.74 2690650 10.04 2736570 11.92 2732310 11.75 2539170 100.0000 2548908 4.2449
r15.6 3751570.63 3846435.00 5505598 46.75 4384640 16.87 4080930 8.78 4393650 17.11 4264090 13.66 3940899 100.0000 3908093.333 4.1722
r15.7 2293888.23 2297919.00 2454883 7.02 2355730 2.70 2329480 1.55 2355980 2.71 2350730 2.48 2297919 1.0822 2305383.667 0.5011
r15.8 5573316.24 5573412.83 5839188 4.77 5926330 6.33 5761700 3.38 5941080 6.60 5830430 4.61 5573412.833 6.4216 5597469 0.4334
r15.9 8696930.81 8696932.00 9547358 9.78 9180920 5.57 8869500 1.98 9140060 5.10 9123020 4.90 8696932 100.0000 8700994 0.0467
r16.1 136161.00 136161.00 139134 2.18 136538 0.28 143938 5.71 136851 0.51 136161 0.00 136161 0.0000 136161 0.0000
r16.2 239500.00 239500.00 261086 9.01 247682 3.42 265913 11.03 245003 2.30 244070 1.91 239500 0.3933 240242 0.3098
r16.3 325670.42 325671.00 372377 14.34 338807 4.03 372088 14.25 346724 6.46 330138 1.37 325671 0.0002 329341 1.1271
r16.4 138531.92 138532.00 139301 0.56 139973 1.04 147230 6.28 140433 1.37 139131 0.43 138532 0.0001 138532 0.0001
r16.5 241796.20 241801.00 257779 6.61 246014 1.74 275935 14.12 250332 3.53 248717 2.86 241801 0.0020 243740 0.8039
r16.6 337761.91 337762.00 371043 9.85 355610 5.28 384183 13.74 352450 4.35 343165 1.60 337762 3.4797 341524 1.1138
r16.7 167773.86 169284.00 173354 3.33 172268 2.68 180511 7.59 173164 3.21 171651 2.31 169284 2.1089 170755 1.7769
r16.8 338667.39 350229.00 381866 12.76 365214 7.84 384932 13.66 374372 10.54 371129 9.59 350229 11.7276 352877 4.1957
r16.9 510101.49 537419.00 570012 11.74 569874 11.72 585508 14.78 587242 15.12 564151 10.60 547030 15.5696 543137 6.4763
r17.1 354119.57 354138.00 383719 8.36 370090 4.51 388664 9.76 367923 3.90 364325 2.88 354138 0.0052 354138 0.0052
r17.2 645488.00 645488.00 816660 26.52 688554 6.67 776748 20.34 693482 7.44 669935 3.79 647696 3.8733 669207 3.6746
r17.3 896987.36 915823.00 1323708 47.57 971151 8.27 1056580 17.79 990967 10.48 973486 8.53 931218 94.7099 974998 8.6970
r17.4 370589.98 370590.00 395645 6.76 380850 2.77 401140 8.24 382868 3.31 378905 2.24 370590 0.0086 371237 0.1746
r17.5 704997.65 706876.00 865932 22.83 753188 6.84 831923 18.00 761476 8.01 743173 5.41 713637 1.5910 710212 0.7396
r17.6 1001639.15 1021162.00 1370038 36.78 1108180 10.64 1141400 13.95 1104380 10.26 1084280 8.25 1058112 58.7273 1054871 5.3145
r17.7 496518.01 502469.50 534490 7.65 524038 5.54 528399 6.42 530313 6.81 521468 5.02 502469.5 2.4595 508408 2.3947
r17.8 1082067.58 1108263.00 1332873 23.18 1195140 10.45 1213600 12.16 1249440 15.47 1191580 10.12 1121588 25.9075 1112935.167 2.8526
r17.9 1727562.81 1794487.78 2246433 30.03 1945080 12.59 1980780 14.66 2017720 16.80 1985220 14.91 1794487.783 30.7980 1835051 6.2220
r18.1 827673.34 828117.00 923006 11.52 872888 5.46 908872 9.81 866838 4.73 858043 3.67 828117 0.9472 844129 1.9882
r18.2 1533674.72 1533675.00 2247779 46.56 1716680 11.93 1769740 15.39 1671810 9.01 1649730 7.57 1544539 100.0000 1540297 0.4318
r18.3 2152469.22 2214574 3542160 64.56 2377560 10.46 2458240 14.21 2383760 10.75 2418190 12.34 0 100.0000 2280780 5.9611
r18.4 913631.22 921163.00 1017002 11.31 975396 6.76 968334 5.99 980992 7.37 964367 5.55 921216 15.3125 947171 3.6710
r18.5 1795617.87 1871773 2225384 23.93 2037950 13.50 2014130 12.17 2033500 13.25 1980170 10.28 0 100.0000 1921457.5 7.0082
r18.6 2583876.72 2765264 4054910 56.93 2966370 14.80 3070830 18.85 2981980 15.41 2928930 13.35 0 100.0000 2854452.5 10.4717
r18.7 1460582.61700 1484412.03 1633508 11.84 1622520 11.09 1559600 6.78 1611800 10.35 1568050 7.36 1487354.524 100.0000 1497683.25 2.5401
r18.8 3782429.63400 3931727.80 4454958 17.78 4576750 21.00 4085010 8.00 4379870 15.80 4553560 20.39 3935970 100.0000 4024891.8 6.4102
r18.9 6177754.14100 6435842.00 7125415 15.34 7504310 21.47 7014430 13.54 7562480 22.41 7639160 23.66 6435842 100.0000 6602176.333 6.8702
Abbildung 6.7: Experiment 1.3: CANAD-R2 (siehe Seite 127).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 165
TABU-PATH TABU-ARC SS/PL/ID TABU-CYCLE PATH-RELINKING CPLEX 9.0 CPLEX 9.0 NDBC NDBC
(m2) (400) (m2) (400) (m1) (m1) (m1) 600 sec 14400 sec 600 sec 1800 sec
best lower bound best solution solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ
c33 423848 423848 425046 0.28 424778 0.22 426020 0.51 425091 0.29 424385 0.13 423848 0.00 423848 0.00 423848 0.00 423848 0.00
c35 371467.0847 371475 371816 0.09 371893 0.11 371642 0.05 371893 0.11 371475 0.00 371475 0.00 371475 0.00 372470 0.27 371475 0.00
c36 643036 643036 644172 0.18 645812 0.43 651100 1.25 643774 0.11 644464 0.22 643036 0.00 643036 0.00 649352 0.98 647370 0.67
c37 91333.66015 94218 122592 34.22 98995 8.39 106709 16.83 100620 10.17 100205 9.71 96085 5.20 95191 4.22 94300 3.25 101066 10.66
c38 132315.7426 137854 188590 42.53 146535 10.75 152957 15.60 149715 13.15 148044 11.89 190091 43.66 139732 5.60 138107 4.38 154299 16.61
c39 95675.94029 97914 118057 23.39 104752 9.49 109622 14.58 103945 8.64 104128 8.83 98991 3.46 98159 2.60 97914 2.34 106343 11.15
c40 131545.752 136067 182829 38.99 147385 12.04 152880 16.22 147385 12.04 144857 10.12 196276 49.21 138451 5.25 136567 3.82 164443 25.01
c41 429398 429398 429912 0.12 429535 0.03 430373 0.23 429535 0.03 429398 0.00 429398 0.00 429398 0.00 429398 0.00 429398 0.00
c42 585998.1248 586077 589190 0.54 593322 1.25 600648 2.50 592043 1.03 593304 1.25 586077 0.01 586077 0.01 590930 0.84 586077 0.01
c43 464509 464509 464509 0.00 464724 0.05 464818 0.07 464767 0.06 464509 0.00 464509 0.00 464509 0.00 465336 0.18 464509 0.00
c44 604198 604198 606364 0.36 607100 0.48 611481 1.21 609511 0.88 604828 0.10 604198 0.00 604198 0.00 604821 0.10 604198 0.00
c45 73130.90357 74902 88398 20.88 80819 10.51 82666 13.04 80266 9.76 79128.5 8.20 92005 25.81 75122 2.72 74970.66667 2.52 83659 14.40
c46 110929.4482 115754 151317 36.41 123347 11.19 134532 21.28 122072 10.04 123179 11.04 - 100.00 120395.25 8.53 116006 4.58 138016 24.42
c47 74025.16598 74991 82724 11.75 79619 7.56 82301 11.18 79600 7.53 77839.5 5.15 75112 1.47 74991 1.30 75588 2.11 86903 17.40
c48 103714.0588 107102 135593 30.74 114484 10.38 118712 14.46 116106 11.95 111590 7.59 130037 25.38 109767 5.84 107521.5 3.67 141246.5 36.19
c49 53714.15788 53964 56426 5.05 54958 2.32 59015 9.87 54877 2.16 54282 1.06 54012 0.55 53958 0.45 54007 0.55 54845 2.11
c50 90207.66494 94119 104117 15.42 99586 10.40 107956 19.67 100646 11.57 102016 13.09 126366 40.08 95061 5.38 94588 4.86 108213 19.96
c51 51768.33327 52070 53288 2.94 52985 2.35 53065 2.50 52786 1.97 52510 1.43 52442 1.30 52103 0.65 52170 0.78 55360 6.94
c52 94216.68396 97881 107894 14.52 105523 12.00 107638 14.25 104346 10.75 104188 10.58 124039 31.65 99126 5.21 98481 4.53 106730 13.28
c53 111763.0914 112830 125831 12.59 120652 7.95 118976 6.45 120652 7.95 118873 6.36 - 100.00 113219.6548 1.30 112986.7308 1.09 142616 27.61
c54 146693.242 149798 177409 20.94 161098 9.82 163897 11.73 161098 9.82 159007 8.39 - 100.00 - 100.00 149696.3793 2.05 167489 14.18
c55 114083.2571 114680 125518 10.02 121588 6.58 119414 4.67 121588 6.58 119744 4.96 - 100.00 114786.2788 0.62 114841.1538 0.66 127571 11.82
c56 149772.3093 152690 174526 16.53 167939 12.13 166745 11.33 167939 12.13 163352 9.07 - 100.00 - 100.00 153422.2222 2.44 192577.5 28.58
c57 47602.9153 47603 48984 2.90 48398 1.67 50227 5.51 48553 2.00 47924 0.67 47603 0.00 47603 0.00 47612 0.02 47603 0.00
c58 58229.46348 60195 65356 12.24 62471 7.28 68097 16.95 62611 7.52 62349 7.07 60978 4.72 60419 3.76 60464 3.84 64538 10.83
c59 45222.45428 45880 47083 4.11 47025 3.99 48300 6.81 46685 3.23 46565 2.97 46108 1.96 46051 1.83 51043 12.87 50293 11.21
c60 53809.67879 54974 58804 9.28 57886 7.58 61689 14.64 56534 5.06 56246 4.53 55627 3.38 55018 2.25 55156 2.50 57245 6.38
c61 96605.02529 98030.1 110000 13.87 106777 10.53 104929 8.62 104860 8.55 103138 6.76 - 100.00 - 100.00 98355 1.81 106186.5 9.92
c62 130723.5808 135403 165484 26.59 148950 13.94 155936 19.29 149583 14.43 144615 10.63 - 100.00 - 100.00 135877.3226 3.94 157096 20.17
c63 94012.32584 95536.9 103768 10.38 101672 8.15 101116 7.56 101623 8.10 99606 5.95 - 100.00 - 100.00 96139.44444 2.26 107015 13.83
c64 127572.1129 130689.8462 150919 18.30 142778 11.92 144487 13.26 143324 12.35 138777 8.78 - 100.00 - 100.00 131574.5 3.14 148393.5 16.32
Ø SQ 14.07 Ø SQ 6.82 Ø SQ 9.75 Ø SQ 6.77 Ø SQ 5.70 Ø SQ 36.71 Ø SQ 21.21 Ø SQ 2.46 Ø SQ 11.92
Abbildung 6.8: Experiment 1.4: CANAD-C (siehe Seite 129).
166 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
NDBC-Alpha NDBC-Beta NDBB-Alpha NDBB-Beta
best lower bound best solution solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ
c33 423848 423848 423848 0.00 424241 0.09 425200 0.32 424890 0.25
c35 371467.0847 371475 372470 0.27 372197 0.20 371961 0.13 371995 0.14
c36 643036 643036 649352 0.98 647829 0.75 645259 0.35 647419 0.68
c37 91333.66015 94218 94300 3.25 94828.33333 3.83 94530 3.50 96031 5.14
c38 132315.7426 137854 138107 4.38 140352 6.07 139723.5 5.60 141909.5 7.25
c39 95675.94029 97914 97914 2.34 97914 2.34 98370 2.82 99751 4.26
c40 131545.752 136067 136567 3.82 137145 4.26 138505.5 5.29 138419 5.22
c41 429398 429398 429398 0.00 429398 0.00 429398 0.00 429398 0.00
c42 585998.1248 586077 590930 0.84 591056 0.86 589508 0.60 593742 1.32
c43 464509 464509 465336 0.18 465008.5 0.11 464509 0.00 466105.5 0.34
c44 604198 604198 604821 0.10 604208 0.00 604208 0.00 606657 0.41
c45 73130.90357 74902 74970.66667 2.52 75812.5 3.67 75263 2.92 76589 4.73
c46 110929.4482 115754 116006 4.58 117511 5.93 117845.6 6.23 119464.5 7.69
c47 74025.16598 74991 75588 2.11 74995 1.31 75102.66667 1.46 75616 2.15
c48 103714.0588 107102 107521.5 3.67 109081 5.17 107745 3.89 110046 6.11
c49 53714.15788 53964 54007 0.55 54246 0.99 54117 0.75 55100 2.58
c50 90207.66494 94119 94588 4.86 95926 6.34 95194 5.53 101232 12.22
c51 51768.33327 52070 52170 0.78 52462 1.34 52354.5 1.13 53004 2.39
c52 94216.68396 97881 98481 4.53 100068 6.21 99443 5.55 103035 9.36
c53 111763.0914 112830 113062.5 1.16 113263.859 1.34 114011.2857 2.01 113264.4838 1.34
c54 146693.242 149798 150063 2.30 150973.5 2.92 151595.3333 3.34 153703.2545 4.78
c55 114083.2571 114680 114841.1538 0.66 114875.05 0.69 114864.5758 0.68 114886.7379 0.70
c56 149772.3093 152690 153466.8511 2.47 153426 2.44 156249.125 4.32 153821.2222 2.70
c57 47602.9153 47603 47612 0.02 47671 0.14 47652 0.10 47671 0.14
c58 58229.46348 60195 60464 3.84 61893 6.29 60785 4.39 65886 13.15
c59 45222.45428 45880 51043 12.87 46587 3.02 51043 12.87 47312 4.62
c60 53809.67879 54974 55156 2.50 56194 4.43 55426 3.00 56909 5.76
c61 96605.02529 98030.1 98796.4 2.27 98122 1.57 100276.5 3.80 99145.5 2.63
c62 130723.5808 135403 136108.7938 4.12 136738.25 4.60 142553.5714 9.05 147490 12.83
c63 94012.32584 95536.9 96370.46154 2.51 96587.07143 2.74 97615 3.83 96977.67442 3.15
c64 127572.1129 130689.8462 131933.1667 3.42 132575 3.92 134610 5.52 132490.0175 3.85
Ø SQ 2.51 Ø SQ 2.70 Ø SQ 3.19 Ø SQ 4.13
Abbildung 6.9: Experiment 1.5: CANAD-C (siehe Seite 130).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 167
NDBC 70h NDBC 24h NDBC 7200 sec NDBC 1800 sec NDBC 300 sec
best lower bound best solution solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ solution SQ
s01.1 515581.94 515582.00 515582 0.00 515582 0.00 522700 1.38 528970 2.60 533332 3.44
s01.2 917096.41 975501.00 975501 6.37 990957 8.05 1011982 10.35 1040569 13.46 1052798 14.80
s01.3 1279836.60 1394648.00 1394648 8.97 1416852 10.71 1453459 13.57 1456472 13.80 1480561 15.68
s02.1 1420812.74 1434958.00 1434958 1.00 1434958 1.00 1475633 3.86 1493623 5.12 1507758 6.12
s02.2 2615306.69 2844352.00 2844352 8.76 2844352 8.76 3080439 17.79 3116558 19.17 3126235 19.54
s02.3 3666073.77 4133726.00 4133726 12.76 4181785 14.07 4269129 16.45 4322416 17.90 4352958 18.74
s03.1 3036404.42 3122679.00 3122679 2.84 3122679 2.84 3230086 6.38 3270529 7.71 3297768 8.61
s03.2 5330266.37 6036406.00 6036406 13.25 6036406 13.25 6686365 25.44 6729390 26.25 9564349 79.43
s03.3 7411882.32 8989067.00 8989067 21.28 8989067 21.28 9629184 29.92 9899454 33.56 13604349 83.55
s04.1 383177.32 388186.00 388186 1.31 388186 1.31 388186 1.31 391004 2.04 393186 2.61
s04.2 720998.90 840705.00 840705 16.60 840705 16.60 840705 16.60 850102 17.91 856709 18.82
s04.3 1023021.85 1308408.00 1308408 27.90 1308408 27.90 1308408 27.90 1308408 27.90 1318040 28.84
s05.1 1076860.32 1140134.00 1140134 5.88 1140134 5.88 1167704 8.44 1171330 8.77 1185830 10.12
s05.2 1977564.49 2483342.00 2483342 25.58 2483342 25.58 2483342 25.58 2486019 25.71 2620220 32.50
s05.3 2769734.86 3433615.00 3433615 23.97 3433615 23.97 3433615 23.97 3454679 24.73 3860701 39.39
s06.1 2345824.39 2503826.00 2503826 6.74 2503826 6.74 2787552 18.83 2787552 18.83 3404093 45.11
s06.2 4172669.63 5248396.00 5248396 25.78 5248396 25.78 5248396 25.78 5248396 25.78 9330719 123.62
s06.3 5817707.80 7669945.00 7669945 31.84 7669945 31.84 7733974 32.94 7766806 33.50 17236472 196.28
s07.1 364960.98 383975.00 383975 5.21 383975 5.21 383975 5.21 386260 5.84 387588 6.20
s07.2 694920.66 806134.00 806134 16.00 806134 16.00 806134 16.00 822288 18.33 827751 19.11
s07.3 986634.44 1214597.00 1214597 23.11 1214597 23.11 1214597 23.11 1233450 25.02 1262219 27.93
s08.1 1015003.36 1139985.00 1139985 12.31 1139985 12.31 1139985 12.31 1139985 12.31 1187755 17.02
s08.2 1869051.47 2359041.00 2359041 26.22 2359041 26.22 2359041 26.22 2359041 26.22 2666709 42.68
s08.3 2607713.17 3383331.00 3383331 29.74 3383331 29.74 3383331 29.74 3400667 30.41 3583665 37.43
s09.1 2151850.60 2418872.00 2418872 12.41 2418872 12.41 2519507 17.09 2556609 18.81 3222099 49.74
s09.2 3821142.68 4782815.00 4782815 25.17 4782815 25.17 4782815 25.17 4797239 25.54 10708110 180.23
s09.3 5309683.93 6564164.00 6564164 23.63 6564164 23.63 6564164 23.63 6789202 27.86 15621222 194.20
s10.1 527003.42 536431.00 536431 1.79 536431 1.79 543118 3.06 545082 3.43 545138 3.44
s10.2 1009636.33 1143975.00 1143975 13.31 1143975 13.31 1733344 71.68 1733344 71.68 1733344 71.68
s10.3 1436495.85 1792603.00 1792603 24.79 1792603 24.79 4351725 202.94 4351725 202.94 4351725 202.94
s11.1 1485993.28 1636475.00 1636475 10.13 1636475 10.13 1741951 17.22 1745435 17.46 1842814 24.01
s11.2 2802131.87 3674166.00 3674166 31.12 3674166 31.12 3674166 31.12 3743322 33.59 4742866 69.26
s11.3 3978919.22 5178881.00 5178881 30.16 5178881 30.16 5178881 30.16 5251655 31.99 6515765 63.76
s12.1 3022774.72 3299068.00 3299068 9.14 3307161 9.41 3546826 17.34 3554882 17.60 4397424 45.48
s12.2 5633799.36 7020229.00 7020229 24.61 7020229 24.61 7196256 27.73 7270757 29.06 10935427 94.10
s12.3 8026995.20 10426534.00 10426534 29.89 10426534 29.89 10689099 33.16 10689099 33.16 21294873 165.29
s13.1 417013.46 430187.00 430187 3.16 430187 3.16 430187 3.16 430588 3.26 432886 3.81
s13.2 807030.00 967448.00 967448 19.88 967448 19.88 967448 19.88 967448 19.88 1050417 30.16
s13.3 1143843.17 1858254.00 1858254 62.46 1923337 68.15 1967471 72.01 1967471 72.01 1967471 72.01
s14.1 1189728.11 1415378.00 1415378 18.97 1415378 18.97 1415378 18.97 1423513 19.65 1777615 49.41
s14.2 2246472.17 2861844.00 2861844 27.39 2861844 27.39 2861844 27.39 2903666 29.25 4144993 84.51
s14.3 3197920.96 4381562.00 4381562 37.01 4381562 37.01 4381562 37.01 4396445 37.48 6589810 106.07
s15.1 1867246.76 2057513.00 2057513 10.19 2060893 10.37 2090923 11.98 2133342 14.25 2577232 38.02
s15.2 2995702.86 4049877.00 4049877 35.19 4049877 35.19 4154875 38.69 4321261 44.25 7477998 149.62
s15.3 3938047.69 5465210.00 5465210 38.78 5465210 38.78 5465210 38.78 5587692 41.89 10963547 178.40
s16.1 381339.18 401783.00 401783 5.36 401783 5.36 401783 5.36 412588 8.19 412683 8.22
s16.2 739755.17 904185.00 904185 22.23 904185 22.23 904185 22.23 909578 22.96 944337 27.66
s16.3 1059838.81 1320124.00 1320124 24.56 1320124 24.56 1320124 24.56 1329522 25.45 1610407 51.95
s17.1 1083953.20 1269909.00 1269909 17.16 1269909 17.16 1269909 17.16 1275353 17.66 1635627 50.89
s17.2 2083872.03 2725406.00 2725406 30.79 2725406 30.79 2725406 30.79 2733432 31.17 4001454 92.02
s17.3 2980622.02 4126209.00 4126209 38.43 4126209 38.43 4126209 38.43 4139265 38.87 6398735 114.68
s18.1 1305864.97 1320195.00 1320195 1.10 1320195 1.10 1320195 1.10 1321022 1.16 1343682 2.90
s18.2 1861959.52 2193615.00 2193615 17.81 2193615 17.81 2193615 17.81 2273356 22.09 3178667 70.72
s18.3 2267621.54 2828850.00 2828850 24.75 2828850 24.75 2828850 24.75 3008523 32.67 5042919 122.39
Abbildung 6.10: Experiment 1.6: PAD-S (siehe Seite 132).
168 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
NDBC-1800sec NDBC-1800sec
best lower bound best solution nur 2. Phase SQ 1.+2. Phase SQ
c33 423848 423848 423848 0.00 423848 0.00
c35 371467.0847 371475 371475 0.00 371475 0.00
c36 643036 643036 647370 0.67 647829 0.75
c37 91333.66015 94218 101066 10.66 94853.5 3.85
c38 132315.7426 137854 154299 16.61 139053 5.09
c39 95675.94029 97914 106343 11.15 98833 3.30
c40 131545.752 136067 164443 25.01 138133 5.01
c41 429398 429398 429398 0.00 429398 0.00
c42 585998.1248 586077 586077 0.01 586077 0.01
c43 464509 464509 464509 0.00 464509 0.00
c44 604198 604198 604198 0.00 604198 0.00
c45 73130.90357 74902 83659 14.40 75362 3.05
c46 110929.4482 115754 138016 24.42 116819.6667 5.31
c47 74025.16598 74991 86903 17.40 75382.66667 1.83
c48 103714.0588 107102 141246.5 36.19 108835 4.94
c49 53714.15788 53964 54845 2.11 54355 1.19
c50 90207.66494 94119 108213 19.96 96339 6.80
c51 51768.33327 52070 55360 6.94 52565 1.54
c52 94216.68396 97881 106730 13.28 101317 7.54
c53 111763.0914 112830 142616 27.61 113294 1.37
c54 146693.242 149798 167489 14.18 151057.2 2.97
c55 114083.2571 114680 127571 11.82 114803 0.63
c56 149772.3093 152690 192577.5 28.58 153336 2.38
c57 47602.9153 47603 47603 0.00 47603 0.00
c58 58229.46348 60195 64538 10.83 61612 5.81
c59 45222.45428 45880 50293 11.21 46604 3.05
c60 53809.67879 54974 57245 6.38 56020 4.11
c61 96605.02529 98030.1 106186.5 9.92 98517.75 1.98
c62 130723.5808 135403 157096 20.17 136704.3784 4.58
c63 94012.32584 95536.9 107015 13.83 96325.27273 2.46
c64 127572.1129 130689.8462 148393.5 16.32 132272.5714 3.68
Abbildung 6.11: Experiment 2.1: CANAD-C (siehe Seite 134).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 169
NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC
000 001 010 011 300 301 310 311
sec sec sec sec sec sec sec sec
A
1 0.42 0.44 0.42 0.42 0.17 0.16 0.21 0.21
A2 0.78 0.68 0.49 0.6 0.61 0.52 0.45 0.43
A3 0.39 0.52 0.32 0.53 0.32 0.34 0.34 0.36
A4 0.62 0.88 0.74 0.61 0.46 0.63 0.69 0.66
B1 1.26 1.29 1.09 1.18 1.21 1.13 0.75 1.31
B2 2.09 2.27 1.95 1.99 2.09 2.3 1.86 2.17
B3 1.69 1.34 1.51 1.5 1.73 1.35 1.55 1.32
B4 0.86 1.27 0.91 1.29 0.77 0.99 0.9 0.89
C1 2.16 2.14 2.17 2.24 1.76 2.04 1.79 2
C2 12.96 12.4 14.5 12.61 14.34 13.55 14.92 13.8
C3 2.81 2.97 3 2.96 2.69 2.96 2.85 2.91
C4 12.37 14.14 12.84 15.44 12.73 15.6 11.76 15
D1 4.26 3.78 3.83 3.84 3.45 3.33 3.24 2.91
D2 6.22 8.12 6.02 6.69 6.09 8.04 5.73 5.95
D3 3.38 3.87 5.08 4.98 2.82 3.56 4.31 4.27
D4 36.64 39.21 20.46 24.47 37.29 37.31 19.2 27.04
E1 15.72 16.97 16.89 12.55 15.36 19.56 16.8 15.93
E2 35.12 20.67 29.18 25.94 34.84 23.09 26.66 26.8
E3 15.39 16.7 19.85 12.31 14.43 15.11 14.98 12.22
E4 67.17 41.44 66.6 40.93 67.24 43.98 69.76 33.78
F1 3.55 4.57 4.52 7.45 3.65 4.27 3.64 5.33
F2 125.01 85.39 67.11 94.06 117.63 75.32 68.88 82.73
F3 28.99 21.53 29.76 26.79 31.97 24.16 30.55 23.44
F4 5.07 4.2 3.16 4.19 6.5 3.5 3.22 3.77
G1 13.9 12.21 7.79 10.03 12.75 10.88 6.11 7.55
G2 36.97 34.14 46.4 46.04 39.34 38.19 47.08 41.31
G3 10.32 9.76 7.88 8.87 8.75 8.86 6.62 6.91
G4 180.98 154.41 173.69 108.89 185.03 113.68 155.96 110.98
H1 10.14 10.17 11.01 10.96 8.1 8.18 7.83 7.51
H2 20.18 21.33 24.3 21.99 21.17 18.36 23.1 19.86
H3 7.12 7.51 9.52 9.52 3.95 4.9 6.48 6.9
I1 4.77 5.15 4.87 5.48 2.96 3.45 3.29 3.55
I2 23.44 12.68 18.14 21.44 13.39 10.99 11.67 16.83
I3 32.98 24.72 48.67 36.1 33.07 21.85 37.57 46.19
I4 29.14 67.76 65 37.28 26.2 61.31 52.62 28.99
J1 12.91 16.06 14.79 12.96 9.49 10.91 9.53 8
J2 68.02 77.48 78.66 75.34 59.49 98.19 58.73 64.58
J3 239.32 475.4 362.53 302.23 72.05 191.05 117.01 166.49
J4 433.02 408.09 393.76 529.82 347.32 437.26 339.41 490.11
K1 27.66 33.92 34.72 34.19 44.35 28.29 29.07 34.08
L1 1409.8 1032.6 891.9 1545.3 1191.1 931.45 1408.1 803.23
Summe 2945.6 2710.18 2506.03 3122.01 2458.66 2300.6 2625.22 2148.3
Abbildung 6.12: Experiment 2.3: PAD (siehe Seite 137).
170 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC
000 001 010 011 300 301 310 311
best lower bound best solution SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ SQ
c33 423848 423848 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
c35 371467.0847 371475 0.06 0.34 0.14 0.14 0.06 0.34 0.14 0.27
c36 643036 643036 0.42 1.27 0.82 0.98 0.42 1.27 0.82 0.98
c37 91333.66015 94218 0.08 0.08 0.08 0.09 0.08 0.08 0.08 0.09
c38 132315.7426 137854 1.46 0.18 1.46 0.18 1.46 0.18 1.46 0.18
c39 95675.94029 97914 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
c40 131545.752 136067 0.36 0.37 0.36 0.37 0.36 0.37 0.36 0.37
c41 429398 429398 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
c42 585998.1248 586077 0.59 0.59 0.59 0.83 0.59 0.59 0.59 0.83
c43 464509 464509 0.20 0.18 0.20 0.18 0.20 0.18 0.20 0.18
c44 604198 604198 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.10
c45 73130.90357 74902 0.04 0.09 0.04 0.09 0.04 0.09 0.04 0.09
c46 110929.4482 115754 0.24 0.22 0.24 0.22 0.24 0.22 0.24 0.22
c47 74025.16598 74991 0.16 0.67 0.16 0.80 0.16 0.67 0.16 0.80
c48 103714.0588 107102 0.69 0.39 0.69 0.39 0.69 0.39 0.69 0.39
c49 53714.15788 53964 10.80 0.08 10.80 0.08 10.80 0.08 10.80 0.08
c50 90207.66494 94119 1.02 0.50 1.02 0.50 1.02 0.50 1.02 0.50
c51 51768.33327 52070 8.53 0.19 8.53 0.19 8.53 0.19 8.53 0.19
c52 94216.68396 97881 2.02 0.61 2.02 0.61 2.02 0.61 2.02 0.61
c53 111763.0914 112830 0.11 0.11 0.19 0.21 0.11 0.11 0.19 0.21
c54 146693.242 149798 0.37 0.19 0.37 0.18 0.37 0.19 0.37 0.18
c55 114083.2571 114680 0.10 0.10 0.14 0.14 0.10 0.10 0.14 0.14
c56 149772.3093 152690 0.55 0.51 0.55 0.51 0.55 0.51 0.55 0.51
c57 47602.9153 47603 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02
c58 58229.46348 60195 0.02 0.45 0.02 0.45 0.02 0.45 0.02 0.45
c59 45222.45428 45880 11.25 11.25 11.25 11.25 11.25 11.25 11.25 11.25
c60 53809.67879 54974 1.06 0.33 1.06 0.33 1.06 0.33 1.06 0.33
c61 96605.02529 98030.1 0.74 0.62 0.65 0.78 0.84 0.62 0.65 0.78
c62 130723.5808 135403 0.70 0.57 0.86 0.52 0.70 0.57 0.86 0.52
c63 94012.32584 95536.9 0.60 0.58 0.90 0.87 0.60 0.58 0.90 0.87
c64 127572.1129 130689.8462 0.45 0.88 0.61 0.95 0.45 0.88 0.61 0.95
Ø SQ 1.38 0.69 1.41 0.71 1.38 0.69 1.41 0.71
Abbildung 6.13: Experiment 2.4: CANAD-C (siehe Seite 137).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 171
NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC
00 00 01 01 10 10 11 11
sec nodes sec nodes sec nodes sec nodes
A1 0.2 1 0.21 1 0.2 1 0.2 1
A2 0.45 5 0.49 5 0.45 3 0.48 5
A3 0.28 3 0.38 3 0.33 3 0.37 3
A4 0.68 15 0.68 7 0.67 15 0.67 7
B1 0.75 9 1.29 27 0.75 9 1.33 27
B2 1.81 41 2.16 43 1.82 41 2.21 41
B3 1.5 25 1.23 19 1.57 29 1.35 21
B4 0.81 9 0.85 9 0.84 9 0.91 9
C1 1.76 13 1.99 15 1.76 13 2.04 15
C2 14.69 459 13.62 335 14.38 449 14.38 331
C3 2.81 29 2.88 41 2.81 31 2.94 41
C4 11.76 281 15.34 443 11.6 275 15.68 435
D1 3.2 32 2.97 17 3.18 32 3.06 17
D2 5.64 87 5.96 39 5.71 89 5.94 39
D3 4.22 31 4.33 29 4.16 31 4.5 29
D4 19.14 341 26.56 451 18.1 329 27.27 459
E1 16.35 335 16.87 378 16.82 349 15.94 341
E2 26.23 805 26.78 747 26.79 829 26.41 761
E3 14.7 413 13.68 459 18.96 553 12.41 443
E4 68.82 1831 45.87 1319 68.54 1803 35.04 940
F1 3.6 21 5.95 42 4.26 39 4.75 20
F2 66.81 1005 84.81 1231 70.59 1026 82.87 1165
F3 29.69 541 23.64 351 31.92 551 23.81 326
F4 3.11 29 3.8 37 3.17 29 3.85 37
G1 5.96 33 7.77 51 5.88 33 7.72 51
G2 44.26 441 36.36 425 44.46 445 41.34 511
G3 6.57 35 6.55 45 7.06 45 6.88 51
G4 151.57 2001 114.77 1491 149.17 1983 113.76 1446
H1 7.48 11 7.74 11 7.29 11 7.49 11
H2 22.7 85 19.9 111 22.64 85 20.1 113
H3 6.4 9 6.44 9 6.8 17 6.98 17
I1 3.09 5 3.52 5 3.08 5 3.55 7
I2 11.65 87 18.57 147 12.58 101 16.84 137
I3 36.41 293 45 409 36.76 297 45.73 405
I4 50.57 733 28.95 331 51.18 729 29.42 333
J1 9.41 31 10.15 63 11.17 47 7.99 35
J2 58.09 313 68.24 553 65.4 371 64.55 473
J3 115.2 1184 166.31 1682 105.29 986 166.94 1538
J4 335.75 2885 451.04 3110 409.44 3104 492.9 3267
K1 28.91 131 34.2 125 29.39 139 34.37 125
L1 1384.9 4339 813.96 2382 1454.3 4508 813.02 2350
Summe 2577.93 18977 2141.81 16998 2731.27 19444 2167.99 16383
Abbildung 6.14: Experiment 2.5a: PAD (siehe Seite 139).
172 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC
00 00 01 01 10 10 11 11
sec nodes sec nodes sec nodes sec nodes
A1 0.17 1 0.17 1 0.17 1 0.16 1
A2 0.24 5 0.32 7 0.23 5 0.31 7
A3 0.22 3 0.24 3 0.21 3 0.25 3
A4 0.38 13 0.31 9 0.38 13 0.32 9
B1 0.8 19 0.67 21 0.83 19 0.69 21
B2 2.25 75 1.83 59 2.25 75 1.82 59
B3 1.11 31 1.34 37 1.14 31 1.36 37
B4 0.61 15 0.61 15 0.61 15 0.64 15
C1 0.99 15 1.06 15 0.96 15 1.09 15
C2 19.25 553 16.23 407 19.41 549 16.5 407
C3 1.75 35 2.08 44 1.8 35 2.08 44
C4 30.1 746 16.02 426 29.92 744 16.25 429
D1 2.01 33 1.99 27 2.1 33 2.03 27
D2 4.4 71 4.45 73 4.5 71 4.31 73
D3 2.33 43 2.73 39 2.35 43 2.67 39
D4 37.37 882 43.7 775 38.26 882 44.41 775
E1 23.57 539 19.48 459 23.87 539 19.85 459
E2 26.51 763 25.37 695 26.8 763 25.5 687
E3 12.22 502 6.58 246 12.35 434 6.36 210
E4 38.14 1211 37.5 947 38.5 1205 37.36 947
F1 3.65 61 2.05 23 3.83 63 2.11 23
F2 144.23 2456 102.48 1728 148.54 2368 104.68 1728
F3 33.53 613 42.63 657 34.96 613 43 651
F4 2.66 33 3.62 45 2.75 33 3.64 45
G1 7.9 85 11.4 119 8.01 85 11.37 119
G2 54.84 633 50.49 585 55 633 51.32 585
G3 5.52 55 5.99 59 5.64 55 6.15 59
G4 211.95 2457 154.44 1921 219.49 2457 156.43 1921
H1 5.85 37 6.06 37 5.92 37 6.05 37
H2 40.42 293 28.18 253 40.39 293 28.08 253
H3 3.35 23 3.4 23 3.42 23 3.48 23
I1 2.07 19 1.64 13 2.14 20 1.71 13
I2 10.43 125 20.39 229 10.73 125 20.9 229
I3 29.8 331 33.05 319 30.67 333 33.06 319
I4 69.13 791 61.12 845 71.23 791 61.81 845
J1 5.1 31 7.37 43 5.39 31 7.56 49
J2 66.36 573 67.32 533 76.33 603 68.29 533
J3 55.68 683 111.52 1125 60.18 682 63.52 652
J4 596.63 4511 682.58 5033 711.99 4663 694.86 5055
K1 50.78 287 76.28 347 52.88 287 76.96 347
L1 7898.8 24325 5713.5 17322 7599.2 24317 5726.6 17299
Summe 9503.10 43977 7368.19 35564 9355.33 43987 7355.54 35049
Abbildung 6.15: Experiment 2.5b: PAD (siehe Seite 139).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 173
NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC NDBC
00 00 01 01 10 10 11 11
optimal sec nodes sec nodes sec nodes sec nodes
r10.2 346813.5 3660.9 45713 322.6 2629 7834.8 47034 357.73 3145
r10.3 488015 4278.6 45207 169.08 1706 5234.8 47102 234.59 2076
r11.4 870451 11653 34367 13649 40208 11768 34173 13588 40102
r11.9 4579353 4245.6 13959 8396.5 24924 4422.6 14289 8410.7 25323
r12.1 1639443 10375 16509 5971.4 4446 10977 16967 2901.2 4297
r12.5 4669799 5512.6 9623 6662.4 10292 5663.1 9702 6418.5 10281
r12.7 7635270 296.24 392 411.61 503 309.56 392 410.3 504
r12.8 10067742 796.99 1279 803.29 1279 841.99 1288 816.04 1288
r13.2 263800 313 2098 242.08 1782 332.43 2096 175.58 1205
r13.3 365836 176.09 1079 232.82 1211 188.49 1076 236.07 1210
r13.4 150977 547.54 5220 428.37 4044 527.88 4918 502.5 4269
r13.5 282682 5247.7 44514 1982.1 12435 5673.7 44584 2126.7 12572
r14.1 403414 603.7 2288 534.84 1618 636.31 2346 496.78 1448
r14.4 437607 4388.7 9648 2425 5573 4086.9 9618 2552.5 5753
r15.1 1000787 3019.8 4483 2644.9 3549 2993.2 4734 2692.7 3617
r16.2 239500 486.43 3260 770.1 3315 516.83 3194 706.26 3317
r16.3 325671 491.18 3657 422.02 2601 483.24 3503 446.87 2533
r16.5 241801 302.39 1621 158.64 645 320.11 1626 181.74 710
r16.6 337762 2665.9 18876 1130.8 7055 2683.6 19061 1276.3 7290
r17.1 354138 115.02 281 149.37 377 279.7 365 132.66 338
r17.4 370590 6576.2 8303 2801.3 6847 2926.4 7812 2610.4 6429
Summe 65752.58 272377 50308.22 137039 68700.64 275880 47274.12 137707
Abbildung 6.16: Experiment 2.6: CANAD-R2 (siehe Seite 141).
174 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
NDBC NDBC NDBC NDBC
00 01 10 11
best lower bound best solution SQ SQ SQ SQ
c33 423848 423848 0.00 0.00 0.00 0.00
c35 371467.0847 371475 0.14 0.27 0.14 0.27
c36 643036 643036 0.82 0.98 0.82 0.98
c37 91333.66015 94218 0.08 0.09 0.08 0.09
c38 132315.7426 137854 1.46 0.18 1.46 0.18
c39 95675.94029 97914 0.00 0.00 0.00 0.00
c40 131545.752 136067 0.36 0.37 0.36 0.37
c41 429398 429398 0.00 0.00 0.00 0.00
c42 585998.1248 586077 0.59 0.83 0.59 0.83
c43 464509 464509 0.20 0.18 0.20 0.18
c44 604198 604198 0.00 0.10 0.00 0.10
c45 73130.90357 74902 0.04 0.09 0.04 0.09
c46 110929.4482 115754 0.24 0.22 0.24 0.22
c47 74025.16598 74991 0.16 0.80 0.16 0.80
c48 103714.0588 107102 0.69 0.39 0.69 0.39
c49 53714.15788 53964 10.80 0.08 10.80 0.08
c50 90207.66494 94119 1.02 0.50 1.02 0.50
c51 51768.33327 52070 8.53 0.19 8.53 0.19
c52 94216.68396 97881 2.02 0.61 2.02 0.61
c53 111763.0914 112830 0.19 0.21 0.19 0.21
c54 146693.242 149798 0.37 0.18 0.37 0.18
c55 114083.2571 114680 0.14 0.14 0.14 0.14
c56 149772.3093 152690 0.55 0.51 0.55 0.51
c57 47602.9153 47603 0.02 0.02 0.02 0.02
c58 58229.46348 60195 0.02 0.45 0.02 0.45
c59 45222.45428 45880 11.25 11.25 11.25 11.25
c60 53809.67879 54974 1.06 0.33 1.06 0.33
c61 96605.02529 98030.1 0.65 0.78 0.65 0.78
c62 130723.5808 135403 0.86 0.52 0.86 0.52
c63 94012.32584 95536.9 0.90 0.87 0.90 0.87
c64 127572.1129 130689.8462 0.61 0.95 0.61 0.95
Ø SQ 1.41 0.71 1.41 0.71
Abbildung 6.17: Experiment 2.7: CANAD-C (siehe Seite 143).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 175
NDBC NDBC NDBC NDBC
00 01 10 11
best lower bound best solution SQ SQ SQ SQ
c33 423848 423848 0.05 0.00 0.00 0.09
c35 371467.0847 371475 0.17 0.19 0.17 0.19
c36 643036 643036 0.59 0.75 0.59 0.75
c37 91333.66015 94218 0.07 0.65 0.07 0.65
c38 132315.7426 137854 3.37 1.81 3.37 1.81
c39 95675.94029 97914 0.79 0.00 0.79 0.00
c40 131545.752 136067 0.92 0.79 0.92 0.79
c41 429398 429398 0.00 0.00 0.00 0.00
c42 585998.1248 586077 1.27 0.85 1.27 0.85
c43 464509 464509 0.23 0.11 0.23 0.11
c44 604198 604198 0.11 0.00 0.11 0.00
c45 73130.90357 74902 0.79 1.22 0.79 1.22
c46 110929.4482 115754 0.43 1.52 0.43 1.52
c47 74025.16598 74991 1.44 0.01 1.44 0.01
c48 103714.0588 107102 2.95 1.85 2.95 1.85
c49 53714.15788 53964 1.05 0.52 1.05 0.52
c50 90207.66494 94119 2.17 1.92 2.17 1.92
c51 51768.33327 52070 2.20 0.75 2.20 0.75
c52 94216.68396 97881 4.53 2.23 4.53 2.23
c53 111763.0914 112830 0.55 0.38 0.55 0.38
c54 146693.242 149798 0.47 0.78 0.47 0.78
c55 114083.2571 114680 0.14 0.17 0.14 0.17
c56 149772.3093 152690 0.48 0.48 0.48 0.48
c57 47602.9153 47603 0.34 0.14 0.34 0.14
c58 58229.46348 60195 6.16 2.82 6.16 2.82
c59 45222.45428 45880 3.75 1.54 3.75 1.54
c60 53809.67879 54974 5.83 2.22 5.83 2.22
c61 96605.02529 98030.1 0.55 0.09 0.55 0.09
c62 130723.5808 135403 0.80 0.99 0.80 0.99
c63 94012.32584 95536.9 0.65 1.10 0.65 1.10
c64 127572.1129 130689.8462 0.92 1.44 0.92 1.44
Ø SQ 1.41 0.88 1.41 0.88
Abbildung 6.18: Experiment 2.7: CANAD-C (siehe Seite 143).
176 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
Alpha MEAN SQ MAX SQ STDABW MEAN+STDABW time
0.01 7.63 21.26 10.26 17.89 7350.92
0.02 6.85 19.37 9.32 16.17 7286.82
0.03 6.47 19.96 8.72 15.19 7300.12
0.04 6.05 17.06 8.04 14.09 7183.05
0.05 5.16 15.52 6.96 12.11 7148.99
0.06 4.57 15.25 6.07 10.64 7153.84
0.07 4.19 13.45 5.61 9.80 7123.45
0.08 4.14 13.64 5.72 9.86 7093.01
0.09 3.76 13.31 5.16 8.91 6776.64
0.1 3.60 12.27 5.04 8.64 6746.77
0.11 3.07 12.41 4.48 7.56 6760.84
0.12 2.90 11.25 4.21 7.11 6703.10
0.13 2.72 11.25 4.08 6.81 6693.29
0.14 2.38 11.25 3.70 6.08 6675.27
0.15 2.01 11.25 3.31 5.32 6517.24
0.16 1.95 11.25 3.30 5.24 6553.85
0.17 1.59 11.25 2.98 4.56 6285.66
0.18 1.46 11.25 2.70 4.16 6180.09
0.19 1.37 11.25 2.63 4.00 6328.95
0.2 1.03 11.25 2.31 3.33 6060.05
0.21 0.98 11.25 2.27 3.25 5795.89
0.22 0.97 11.25 2.27 3.24 5665.86
0.23 0.80 11.25 2.17 2.97 5414.40
0.24 0.72 11.25 2.12 2.84 4921.79
0.25 0.75 11.25 2.12 2.87 4387.86
0.26 0.74 11.25 2.13 2.86 4248.53
0.27 0.68 11.25 2.11 2.79 3587.12
0.28 0.69 11.25 2.12 2.81 3346.05
0.29 0.71 11.25 2.13 2.84 2801.11
0.3 0.80 11.25 2.21 3.00 2624.27
0.31 4.87 90.89 17.74 22.61 2309.51
0.32 4.90 90.89 17.74 22.64 2327.56
0.33 4.92 90.89 17.74 22.67 2014.55
0.34 5.31 90.89 17.81 23.11 1457.06
0.35 5.26 90.89 17.80 23.06 1106.39
0.36 5.80 90.89 17.97 23.76 774.70
0.37 8.58 90.89 23.29 31.87 512.19
0.38 17.66 133.49 39.90 57.57 406.58
0.39 20.12 133.49 41.42 61.54 239.04
0.4 20.22 133.49 41.43 61.65 235.67
Abbildung 6.19: Experiment 2.8 (siehe Seite 145).
Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen 177
Beta MEAN SQ MAX SQ STDABW MEAN+STDABW time
0.01 12.83 53.95 17.93 30.76 8210.39
0.02 13.50 52.14 19.42 32.92 8193.95
0.03 12.62 47.55 17.32 29.94 8106.44
0.04 9.94 47.03 15.89 25.83 8026.20
0.05 5.99 47.03 11.89 17.87 8008.26
0.06 2.32 20.10 4.78 7.11 7774.75
0.07 1.21 10.63 2.39 3.60 7416.42
0.08 0.54 3.08 0.88 1.42 7255.29
0.09 0.54 1.98 0.76 1.30 6904.80
0.1 0.50 1.44 0.65 1.15 5859.09
0.11 0.53 2.66 0.83 1.36 4332.30
0.12 0.75 2.82 1.01 1.77 3593.99
0.13 0.63 3.01 0.88 1.50 3350.90
0.14 1.33 6.28 1.93 3.25 2125.70
0.15 0.81 3.12 1.13 1.94 1914.58
0.16 1.56 14.88 3.09 4.65 1405.05
0.17 1.95 7.51 2.81 4.75 1105.70
0.18 1.24 4.65 1.82 3.06 985.28
0.19 2.81 16.05 5.36 8.17 859.05
0.2 5.08 22.90 8.31 13.38 584.15
0.21 3.14 15.34 4.92 8.06 601.77
0.22 1.94 9.00 3.15 5.08 589.34
0.23 1.40 7.37 2.22 3.62 549.41
0.24 5.47 34.20 10.44 15.91 471.52
0.25 9.45 32.44 14.01 23.46 361.12
0.26 7.81 26.71 11.57 19.38 359.62
0.27 6.01 21.55 9.00 15.01 367.59
0.28 3.61 17.67 5.61 9.22 358.70
0.29 2.68 9.92 3.90 6.57 358.04
0.3 4.84 56.95 12.86 17.70 338.36
0.31 6.61 56.73 16.74 23.36 319.44
0.32 10.66 50.46 19.46 30.13 297.07
0.33 16.59 47.03 22.97 39.56 237.32
0.34 15.68 45.34 21.63 37.31 236.19
0.35 14.30 41.94 20.02 34.32 235.06
0.36 13.10 39.36 18.60 31.70 238.02
0.37 12.02 35.05 16.71 28.73 235.31
0.38 10.02 30.23 13.78 23.79 238.60
0.39 10.23 28.70 13.68 23.91 233.51
0.4 8.40 24.08 11.19 19.59 234.54
Abbildung 6.20: Experiment 2.8 (siehe Seite 145).
178 6 Anhang: Tabellen zu den experimentellen Ergebnissen
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