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Gewichtete Fr´echet-

und (LB)-R¨

aume

holomorpher Funktionen

von

Elke Wolf

Universit¨

at Paderborn

D-33095 Paderborn

Paderborn, November 2004

An dieser Stelle m¨

ochte ich mich bei all denen bedanken, die zum Entste-

hen dieser Arbeit beigetragen haben, insbesondere

•bei Klaus Bierstedt f¨

ur die sehr gute Betreuung, viele anregende Fragen

und die geduldige Beantwortung all meiner Fragen sowie das sehr gute

Arbeitsklima.

•bei Jos´e Bonet f¨

ur seine trotz der r¨

aumlichen Entfernung andauernde

sehr gute Betreuung und alles, was ich von ihm lernen durfte, sowie f¨

die sehr fruchtbaren Diskussionen mit ihm und die nahezu unendliche

Geduld, mit der er jede meiner vielen Fragen beantwortet hat.

•bei Wolfgang Lusky f¨

ur die Beantwortung meiner Fragen.

•bei Alfredo Peris f¨

ur die Angabe von Referenzen und die Beantwortung

meiner Fragen.

•bei Simone Agethen f¨

ur das sehr gute Arbeitsklima in unserem gemein-

samen B¨

uro.

•bei meiner Mutter und meinem Bruder, die mich w¨

ahrend meines gesamten

Studiums stets unterst¨

utzt haben.

•bei meinem Ehemann Andrej Wolf daf¨

ur, daß er seine eigenen W¨

unsche

h¨

aufig hinter meine gestellt hat und mich in den letzten Wochen so sehr

unterst¨

utzt hat, daß ich fast meine gesamte Zeit dieser Arbeit widmen

konnte.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Allgemeine Notationen und Definitionen 6

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 11

3.1 Einf¨

uhrung in die gewichteten

Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Reflexivit¨

at und Monteleigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Reflexivit¨

at und Monteleigenschaft . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Beispiele f¨

ur die angenommenen Voraussetzungen . . . 27

3.2.3 Reflexivit¨

at von Hv0(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Eine notwendige Bedingung f¨

ur Quasinormabilit¨

at und die

Dichtheitsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Schwartz-Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1 Schwartz-Eigenschaft f¨

ur HW(G) . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2 Beispiele f¨

ur die angenommenen Voraussetzungen . . . 39

3.5 Beispiele nicht-distinguierter gewichteter Fr´echetr¨

aume holo-

morpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 49

4.1 Notationen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Quasinormabilit¨

at......................... 51

4.3 Dichtheitsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 70

5.1 Notationen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Die dualen Dichtheitsbedingungen in projektiven H¨

ullen . . . 72

5.3 Die dualen Dichtheitsbedingungen in induktiven Limiten . . . 77

Literaturverzeichnis 90

1 Einleitung

Gewichtete R¨

aume stetiger Funktionen wurden von Nachbin (siehe dazu [56],

[57], [58]) in seinen Arbeiten ¨

uber Approximationstheorie, genauer gesagt in

der Behandlung des gewichteten Approximationsproblems, eingef¨

uhrt.

Gewichtete R¨

aume holomorpher und stetiger Funktionen treten in verschiede-

nen Bereichen der Funktionalanalysis und ihrer Anwendungen auf, beispiel-

sweise in der Distributionstheorie, bei partiellen Differentialgleichungen und

Integraloperatoren, in der Spektraltheorie, in Fourier- und komplexer Anal-

ysis (siehe beispielsweise [30], [31], [32], [34], [36], [66]).

Fr´echetr¨

aume allgemein haben von Beginn an eine wichtige Rolle in der Funk-

tionalanalysis gespielt. Der Begriff der Distinguiertheit stammt von Dieudonn´e

und Schwartz. Eigenschaften wie nuklear, Schwartz und quasinormabel wur-

den von Grothendieck eingef¨

uhrt. Die Dichtheitsbedingung definierte Hein-

rich im Zuge seiner Untersuchungen von Ultrapotenzen in [42]. Sie wurde

dann von Bierstedt und Bonet in [10] im Rahmen von Fr´echetr¨

aumen einge-

hend studiert. Bierstedt und Bonet definierten in [8] die dualen Dichtheits-

bedingungen und untersuchten sie im Rahmen von (DF )-R¨

aumen.

All diese Eigenschaften konnten f¨

ur K¨

othesche Folgenr¨

aume und gewichtete

Fr´echetr¨

aume stetiger Funktionen bereits in Termen von Gewichten charak-

terisiert werden. In dieser Arbeit wird dies im Falle von holomorphen Funk-

tionen vorgenommen. Dabei erweisen sich die in einem Spezialfall von Ander-

sen und Duncan in [2] eingef¨

uhrten und von Bierstedt, Bonet und Taskinen

in [18] eingehend untersuchten sogenannten assoziierten Gewichte als das

geeignete Hilfsmittel.

F¨

ur die Charakterisierung der Quasinormabilit¨

at und der Dichtheitsbedin-

gung spielt die von Bierstedt und Bonet in [14] eingef¨

uhrte Klasse Wvon

radialen Gewichten auf dem Einheitskreis die entscheidende Rolle, da sie

gewissermaßen eine Zerlegung holomorpher Funktionen erm¨

oglicht.

Bierstedt, Bonet und Taskinen untersuchten in [18] induktive Limites und

deren projektive H¨

ullen u.a. auf Eigenschaften wie Schwartz, semi-Montel

und beschr¨

ankt-retraktiv. Dabei beeinflussen die einzelnen Gewichte einan-

der nicht.

Bei der Betrachtung von Fr´echetr¨

aumen ist dies leider nicht gegeben. Da-

her erwies es sich als notwendig, durch Zusatzbedingungen sicherzustellen,

daß die St¨

orung der Gewichte untereinander minimiert wird. Dabei stellen

sich die Bedingungen vom Typ der von Bierstedt, Bonet und Galbis in [12]

und [17] gegebenen als sehr hilfreich heraus. F¨

ur Quasinormabilit¨

at und die

Dichtheitsbedingung bietet die Klasse Wvon Gewichten einen geeigneten

1 Einleitung 4

Rahmen.

Gewichtete induktive Limites treten u.a. in [34] auf. Ehrenpreis’ Frage nach

der analytisch uniformen Struktur gewichteter induktiver Limites von R¨

aumen

holomorpher Funktionen warf das sogenannte Problem der projektiven Darstel-

lung auf. Es stellt sich die Frage, wann VH(G) und HV (G) bzw. V0H(G)

und HV 0(G) algebraisch und topologisch gleich sind. Die topologische Frage

bedeutet, anders ausgedr¨

uckt, die Frage nach einer Beschreibung der induk-

tiven Limes-Topologie durch ein System von gewichteten Halbnormen. F¨

gewichtete induktive Limites von R¨

aumen stetiger Funktionen und ihre pro-

jektiven H¨

ullen konnte eine Charakterisierung der dualen Dichtheitsbedin-

gungen in Termen von Gewichten gegeben werden (siehe dazu [9]).

In dieser Arbeit wird im Rahmen der Klasse Wauf dem offenen Einheit-

skreis sowohl eine Charakterisierung der dualen Dichtheitsbedingungen f¨

die gewichteten induktiven Limites von R¨

aumen holomorpher Funktionen

ebenso wie f¨

ur ihre projektiven H¨

ullen gegeben als auch ein Zusammenhang

zwischen den dualen Dichtheitsbedingungen und der projektiven Darstellung

hergestellt.

Aufbau der Arbeit

In Kapitel 3 werden die gewichteten Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktio-

nen auf Eigenschaften wie Montel, reflexiv, und Schwartz untersucht. Dabei

kann f¨

ur eine wachsende Folge W= (wn)n∈Nstrikt positiver stetiger Funk-

tionen auf einer offenen Teilmenge G⊂CN,N≥1, gezeigt werden, daß die

Gleichheit HW(G) = HW0(G)¨

aquivalent ist zur Reflexivit¨

at von HW0(G)

(Satz 3.3). Desweiteren wird eine Charakterisierung in Termen von Gewicht-

en und assoziierten Gewichten f¨

ur HW(G) = HW0(G) und die Monteleigen-

schaft von HW(G) gegeben (Satz 3.6). Im Rahmen dieser recht allgemeinen

Voraussetzungen werden notwendige Bedingungen f¨

ur die Quasinormabilit¨

(Proposition 3.22) und die Dichtheitsbedingung (Proposition 3.26) des Raumes

HW(G) gegeben. Es stellt sich sp¨

ater heraus, daß sie unter den in Kapitel 4

angenommenen Einschr¨

ankungen sogar hinreichend sind. Schließlich kann die

Schwartz-Eigenschaft in Termen von Gewichten und assoziierten Gewichten

charakterisiert werden (Korollar 3.34).

Kapitel 4 besch¨

aftigt sich im wesentlichen mit der Quasinormabilit¨

at und der

Dichtheitsbedingung f¨

ur R¨

aume HW(D) und HW0(D) im Rahmen der Klasse

W. Zun¨

achst wird in beiden F¨

allen eine Charakterisierung in Termen von

Gewichten und assoziierten Gewichten gegeben (Satz 4.2 und Satz 4.19). F¨

den Raum HW0(D) kann sogar bewiesen werden, daß quasinormabel (bzw.

1 Einleitung 5

die Dichtheitsbedingung) ¨

aquivalent zu der von Peris eingef¨

uhrten Bedingung

(QNo) (bzw. zu der von Peris und Rivera definierten Bedingung (DCo)) ist

(Proposition 4.7 und Proposition 4.24). Dies erm¨

oglicht unter Benutzung

eines Resultates von Bierstedt eine Charakterisierung der Quasinormabilit¨

und die Angabe einer hinreichenden Bedingung f¨

ur die Dichtheitsbedingung

in R¨

aumen HW0(D×D) in Termen von Gewichten (Korollar 4.15 und Ko-

rollar 4.26).

Kapitel 5 ist in zwei Teile unterteilt. Im ersten Teil wird unter relativ allge-

meinen Voraussetzungen eine notwendige Bedingung in Termen von Gewicht-

en und assoziierten Gewichten f¨

ur die dualen Dichtheitsbedingungen in pro-

jektiven H¨

ullen gegeben (Proposition 5.3 und Proposition 5.4). Desweiteren

wird die Metrisierbarkeit der beschr¨

ankten Teilmengen in projektiven H¨

ullen

charakterisiert (Proposition 5.7 und Proposition 5.8).

Im zweiten Teil wird gezeigt, daß die notwendige Bedingung aus dem ersten

Teil im Rahmen der Klasse Wauf dem offenen Einheitskreis hinreichend ist

(Satz 5.12 und Satz 5.13). Unter gewissen Voraussetzungen erh¨

alt man die

Aquivalenz der topologischen Gleichheit VH(D) = HV(D) und der dualen

Dichtheitsbedingung f¨

ur HV (D) oder ¨

aquivalent f¨

ur VH(D) (Korollar 5.19).

Ausblick

Die ersten Fragen, die sich im Zusammenhang mit dieser Arbeit stellen,

ergeben sich in nat¨

urlicher Weise aufgrund der großen Einschr¨

ankungen bez¨

uglich

der Klasse Wvon Gewichten auf dem Einheitskreis:

(a) Inwieweit kann man die hier hergeleiteten S¨

atze auch f¨

ur schw¨

achere

Bedingungen an die Gewichte beweisen?

(b) Kann man allgemeinere Gebiete in Cbzw. CNbehandeln?

Diese Fragen sind nicht nur bez¨

uglich der Charakterisierung von Eigen-

schaften wie quasinormabel und der Dichtheitsbedingung im Fall von Fr´echetr¨

aumen

und den dualen Dichtheitsbedingungen im Fall gewichteter induktiver Lim-

ites von Bedeutung, sondern auch hinsichtlich des Problems der projektiven

Darstellung.

In dieser Arbeit kann gezeigt werden, daß HW(G) = HW0(G) die Mon-

teleigenschaft von HW(G) f¨

ur Gebiete Gin Cimpliziert, die keine Einpunk-

tkomponente in C∗haben. Von Interesse ist, ob diese Aussage f¨

ur alle Gebiete

Gin C, also insbesondere f¨

ur die komplexe Ebene selbst, wahr bleibt.

2 Allgemeine Notationen und Defini-

tionen

Zun¨

achst werden die notwendigen Definitionen und Notationen gegeben. Die

Bezeichnungen bez¨

uglich der lokalkonvexen R¨

aume sind die in der Fachliter-

atur gebr¨

auchlichen. Siehe dazu Floret und Wloka [38], Horv´ath [47], Jarchow

[48], K¨

othe [50], [51] und Schaefer [63].

F¨

ur einen lokalkonvexen Raum Ebezeichne cs(E) das System aller stetigen

Halbnormen auf E. Desweiteren sei

Bp(E) := {e∈E;p(e)≤1}

die abgeschlossene Einheitskugel von Ebzgl. pf¨

ur ein p∈cs(E), U0(E) die

Menge aller abgeschlossenen absolutkonvexen Nullumgebungen von Eund

U◦:= {e0∈E0;|e0(u)| ≤ 1∀u∈U}

die Polare einer Teilmenge Uvon E. Hier ist E0der Dualraum von E, d.h.

der Raum der stetigen Linearformen auf E.

Wenn der Dualraum E0von Emit der starken Topologie β(E0, E) versehen

wird, schreibt man E0

bund spricht vom starken Dual von E. Die Topologie

β(E0, E) wird durch das System (pB)B∈B(E)von Halbnormen mit

pB(e0) := sup

b∈B

|e0(b)|f¨

ur e0∈E0

gegeben, wobei B(E) die Menge aller absolutkonvexen beschr¨

ankten Teil-

mengen von Eist. Das Bidual E00

bb wird mit E00 bezeichnet.

Weitere Topologien, mit denen das Dual E0von Eh¨

aufig versehen wird, sind

die schwache Topologie (also die Topologie der gleichm¨

aßigen Konvergenz

auf den endlichen Teilmengen von E) ebenso wie die Topologie λ(E0, E) der

gleichm¨

aßigen Konvergenz auf den pr¨

akompakten Teilmengen von Eund die

Topologie κ(E0, E) der gleichm¨

aßigen Konvergenz auf den absolutkonvexen

kompakten Teilmengen von E. Die entsprechenden Dualr¨

aume werden mit

E0[σ(E0, E)], E0

λund E0

cbezeichnet. Ist Equasivollst¨

andig, so fallen λ(E0, E)

und κ(E0, E) zusammen. Allgemein gilt

σ(E0, E)≤κ(E0, E)≤λ(E0, E)≤β(E0, E).

Ist Eein Fr´echetraum mit einer wachsenden Fundamentalfolge (k.kn)n∈N

von Halbnormen, so daß (Un)n∈Nmit Un={x∈E;kxkn≤1}f¨

ur jedes

2 Allgemeine Notationen und Definitionen 7

n∈Neine Nullumgebungsbasis bildet, so sind die dualen Halbnormen durch

kuk∗

n:= sup{| < u, x > |;x∈Un}f¨

ur u∈E0definiert. Es bezeichne

n:= {u∈E0;kuk∗

n<∞} die lineare H¨

ulle von U◦

n, versehen mit der Norm

k.k∗

n. Dann wird E0=∪n∈NE0

nmit der st¨

arksten lokalkonvexen Topologie

i(E0, E), die alle Einbettungen in:E0

n→ ∪n∈NE0

nstetig macht, ausgestattet

und induktives Dual E0

ivon Egenannt.

In den Kapiteln 3 und 4 dieser Arbeit werden verschiedene Klassen von

Fr´echetr¨

aumen untersucht, die an dieser Stelle kurz eingef¨

uhrt werden.

Ein lokalkonvexer Raum Ewird Schwartzraum genannt, falls es zu jeder ab-

solutkonvexen Nullumgebung Uin Eeine Nullumgebung Vin Egibt, so daß

zu jedem ε > 0 Punkte x1, ..., xn∈Vmit

V⊂

[

j=1

(xj+εU)

existieren. Eheißt semi-Montelraum, falls jede beschr¨

ankte Menge in Erel-

ativkompakt ist. Einen quasitonnelierten semi-Montelraum nennt man Mon-

telraum.Eist semireflexiv, wenn jede beschr¨

ankte Menge in Eschwach rel-

ativkompakt ist. Ein quasitonnelierter semireflexiver Raum wird als reflex-

iv bezeichnet. Ist ein Fr´echetraum EMontel, so ist er auch reflexiv. Die

Umkehrung gilt i.a. nicht, wie Beispiele von K¨

othe und Grothendieck zeigen.

Ein lokalkonvexer Raum Eist quasinormabel, falls

∀U∈ U0(E)∃V∈ U0(E)∀λ > 0∃B∈ B(E) mit V⊂B+λU.

Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann Schwartz, wenn er Montel und

quasinormabel ist. Jeder normierte Raum ist quasinormabel. Ferner ist ein

normierter Raum genau dann semi-Montel, wenn er endlich dimensional ist.

Ein lokalkonvexer Raum Egen¨

ugt der Dichtheitsbedingung, wenn es f¨

ur jede

Funktion λ:U0(E)→R+\{0}und jedes V∈ U0(E) eine endliche Teilmenge

Uvon U0(E) und ein B∈ B(E) mit

U∈U

λ(U)U⊂B+V

gibt. Die Dichtheitsbedingung wurde von Heinrich im Zuge seiner Unter-

suchungen von Ultrapotenzen lokalkonvexer R¨

aume in [42] erstmals betra-

chtet und von Bierstedt und Bonet in [10] eingehend studiert. Sie zeigten,

daß ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum Egenau dann der Dichtheitsbe-

dingung gen¨

ugt, wenn jede beschr¨

ankte Teilmenge des starken Duals von E

metrisierbar ist (siehe dazu [10] Theorem 1.4).

2 Allgemeine Notationen und Definitionen 8

Ein lokalkonvexer Raum Eheißt distinguiert, wenn das starke Dual E0

bton-

neliert ist. Der Begriff der distinguierten R¨

aume stammt von Dieudonn´e und

Schwartz. Grothendieck zeigte, daß ein Fr´echetraum Egenau dann distin-

guiert ist, wenn E0

b=E0

igilt. F¨

ur Fr´echetr¨

aume Esind folgende Implikatio-

nen bekannt (Pfeile bezeichnen Implikationen):

Schwartz

Montel reflexiv

Dichtheitsbedingungquasinormabel

distinguiert

F¨

ur weitere Informationen wird u.a. auf [10], [11], [24] und [48] verwiesen.

Die Frage nach der Vererbung von Quasinormabilit¨

at und der Dichtheits-

bedingung unter Bildung von injektiven Tensorprodukten f¨

uhrte auf die Eigen-

schaften quasinormabel durch Operatoren (QNo) und Dichtheitsbedingung

durch Operatoren (DCo). Sie gehen auf Peris und Rivera zur¨

uck. Siehe [61]

und [62]. Ein lokalkonvexer Raum Eist (QNo), wenn es eine Basis Uabso-

lutkonvexer abgeschlossener Nullumgebungen in Egibt, so daß gilt:

∀U∈ U ∃V∈ U ∀ε > 0∃P∈L(E,E) :

(i) P(V)∈ B(E),

(ii) (I−P)(V)∈εU.

Ein Fr´echetraum Egen¨

ugt (DCo), falls es eine Nullumgebungsbasis (Un)n∈N

in Egibt, so daß gilt: ∃B∈ B(E)∀m∈N∀B0∈ B(E)∃λ > 0∃P∈

L(E,E) :

(i) P(B0)⊂Um

(ii) (I−P)(B0)⊂λB.

Im f¨

unften Kapitel werden induktive Limites holomorpher Funktionen

und deren projektive H¨

ullen auf unterschiedliche Eigenschaften untersucht.

Daher wird hier eine kurze Einf¨

uhrung gegeben.

Sei (En, τn)n∈Neine Folge lokalkonvexer R¨

aume Enmit den Topologien τn,

wobei jeder Raum Enein linearer Unterraum von E:= ∪n∈NEnund Enf¨

n≤mein linearer Unterraum von Emist, so daß die kanonische Inklusion-

sabbildung in,m : (En, τn)→(Em, τm) stetig ist. Ewird mit der st¨

arksten

lokalkonvexen Topologie τversehen, die alle Einbettungen

τn: (En, τn)→E

2 Allgemeine Notationen und Definitionen 9

stetig macht. (E, τ) wird induktiver Limes der induktiven Folge (En, τn)

genannt und mit (E, τ) := indn(En, τn) bezeichnet. τheißt induktive Limestopolo-

gie.

Jede beschr¨

ankte Teilmenge in Enist wegen der kanonischen Einbettung

beschr¨

ankt in E, aber dies liefert i.a. nicht alle beschr¨

ankten Mengen in E.

(E, τ) = indn(En, τn) heißt regul¨

arer induktiver Limes, falls jede beschr¨

ankte

Teilmenge von Ein einem Enenthalten und beschr¨

ankt ist. Ein induktiver

Limes von Banachr¨

aumen heißt (LB)-Raum.

Ein lokalkonvexer Raum Eist ein (DF )-Raum, wenn er folgende Eigen-

schaften besitzt:

(a) Ebesitzt eine Fundamentalfolge der beschr¨

ankten Teilmengen.

(b) F¨

ur jede Folge (Un)n∈Nabgeschlossener, absolutkonvexer Nullumgebun-

gen in E, so daß U=∩n∈NUnjede beschr¨

ankte Teilmenge von Eab-

sorbiert, ist Ueine Nullumgebung.

(DF)-R¨

aume wurden von Grothendieck in [40] eingef¨

uhrt. Jedes starke Dual

eines Fr´echetraumes und jeder (LB)-Raum ist ein (DF )-Raum. Umgekehrt

ist das starke Dual eines (DF)-Raumes stets ein Fr´echetraum.

Ein lokalkonvexer Raum heißt (gDF)-Raum, falls es eine Fundamentalfolge

(Bn)n∈Nbeschr¨

ankter Teilmengen von Egibt, so daß f¨

ur jede Folge (Un)n∈N

von Nullumgebungen in Eein U∈ U0(E) mit

U⊂\

n∈N

(Un+Bn)

existiert. Jeder (DF )-Raum ist auch ein (gDF )-Raum, die Umkehrung hinge-

gen gilt i.a. nicht. Siehe dazu [48].

Ein lokalkonvexer Raum Egen¨

ugt der abz¨

ahlbaren Umgebungseigenschaft,

falls f¨

ur eine gegebene Folge (Un)n∈Nvon Nullumgebungen in EZahlen an>0

existieren, so daß

U:= \

n∈N

anUn

eine Nullumgebung in Eist. Die abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft wurde

implizit zun¨

achst von Schwartz in [64] auf S. 95 angegeben und von Floret in

[37] mit ihrem Namen versehen. Wegen [59] Korollar 8.3.3 und Proposition

8.3.5 erf¨

ullt jeder (DF )-Raum die abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft.

2 Allgemeine Notationen und Definitionen 10

Die Begriffe der dualen Dichtheitsbedingung und der starken dualen Dichtheits-

bedingung wurden von Bierstedt und Bonet in [8] f¨

ur lokalkonvexe R¨

aume

Edefiniert und f¨

ur (DF)-R¨

aume eingehend studiert.

Bezeichnet Eeinen (Hausdorffschen) lokalkonvexen Raum, B(E) das System

aller abgeschlossenen, absolutkonvexen und beschr¨

ankten Teilmengen von E

und U(E) das System aller abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebun-

gen in E, so gen¨

ugt Eder dualen Dichtheitsbedingung (DDC) (bzw. der

starken dualen Dichtheitsbedingung (SDDC)), wenn gilt:

zu jeder Funktion λ:B(E)→R+\{0}und jedem A∈ B(E) gibt es eine

endliche Teilmenge Bvon B(E) und ein U∈ U(E) mit

A∩U⊂Γ(∪B∈B(E)λ(B)B) (bzw. A∩U⊂Γ(∪B∈B(E)λ(B)B)),

wobei Γ (bzw. Γ) die absolutkonvexe H¨

ulle (bzw. die abgeschlossene abso-

lutkonvexe H¨

ulle) bezeichnet.

Bierstedt und Bonet zeigten in [8], daß f¨

ur das starke Dual E0

beines

Fr´echetraumes die duale Dichtheitsbedingung ¨

aquivalent zur starken dualen

Dichtheitsbedingung ist. Die duale Dichtheitsbedingung gilt in einem (DF )-

Raum Egenau dann, wenn die beschr¨

ankten Teilmengen von Emetrisierbar

sind (siehe dazu [8] 2.Remarks und 5.Theorem). Ein Fr´echetraum Egen¨

ugt

genau dann der Dichtheitsbedingung, wenn sein starkes Dual (DDC) (bzw.

aquivalent (SDDC)) hat.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomor-

pher Funktionen

3.1 Einf¨

uhrung in die gewichteten

Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen

In diesem Kapitel werden, wenn nichts anderes gesagt wird, die folgenden

Voraussetzungen angenommen.

Sei Geine offene Teilmenge von CN,N≥1, und W= (wn)n∈Neine wach-

sende Folge strikt positiver, stetiger Funktionen auf G. Diese Funktionen

werden auch Gewichte genannt. Ferner bezeichne H(G) den Raum aller holo-

morphen Funktionen auf G, der mit der Topologie co der gleichm¨

aßigen Kon-

vergenz auf den kompakten Teilmengen von Gversehen wird.

F¨

ur jedes n∈Nsind

Hwn(G) := {f∈H(G); kfkn:= sup

z∈G

wn(z)|f(z)|<∞} und

H(wn)0(G) := {f∈H(G); wn|f|verschwindet im Unendlichen auf G},

versehen mit der von Hwn(G) induzierten Norm, Banachr¨

aume. Die gewichteten

R¨

aume holomorpher Funktionen seien definiert durch

HW(G) := \

n∈N

Hwn(G) und HW0(G) := \

n∈N

H(wn)0(G).

Unter der Topologie, die von der Folge (k.kn)n∈Nder Normen gegeben wird,

ist HW(G) ein Fr´echetraum.

Als abgeschlossener topologischer Unterraum von HW(G) ist HW0(G) eben-

falls ein Fr´echetraum.

F¨

ur jedes n∈Nbezeichne Bn(bzw. Bn,0) die abgeschlossene Einheitskugel

von Hwn(G) (bzw. H(wn)0(G)). Setze

Cn:= Bn∩HW(G) und Cn,0:= Bn,0∩HW0(G)

f¨

ur jedes n∈N. Dann wird durch (1

nCn)n∈N(bzw. (1

nCn,0)n∈N) eine

Nullumgebungsbasis von HW(G) (bzw. HW0(G)) gegeben. O.B.d.A. gen¨

ugt

es allerdings, (Cn)n∈Nund (Cn,0)n∈Nzu betrachten.

Setze

W:= {w:G→]0,∞[; wstetig, wnwbeschr¨

ankt auf Gf¨

ur jedes n∈N}.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 12

Die Mengen

Cw:= {f∈HW(G); |f(z)| ≤ w(z) f¨

ur jedes z∈G}, w ∈W ,

bilden ein Fundamentalsystem der beschr¨

ankten Teilmengen von HW(G),

die absolutkonvex und kompakt im Raum (H(G), co) sind (siehe dazu [12] S.

123-125).

Sei vein Gewicht auf der Menge G. Dann ist das assoziierte Gewicht definiert

durch ∼

v(z) := sup{|g(z)|;g∈H(G),|g| ≤ v}, z ∈G

gegeben. Assoziierte Gewichte wurden von Andersen und Duncan in [2] eingef¨

uhrt

und von Bierstedt, Bonet und Taskinen in [18] eingehend untersucht.

Ein Gewicht vauf einem kreisf¨

ormigen Gebiet G⊂CN,N≥1, heißt radial,

falls v(z) = v(λz) f¨

ur jedes λ∈Cmit |λ|= 1 gilt.

Es bleibt zu erw¨

ahnen, daß f∈H(G) f¨

ur eine kreisf¨

ormige offene Teilmenge

Gvon CN,N≥1, die Taylorreihendarstellung

f(z) =

∞

k=0

pk(z)

um 0 f¨

ur jedes z∈Ghat, wobei pkein k-homogenes Polynom ist, k∈N. Die

Reihe konvergiert gleichm¨

aßig auf jeder kompakten Teilmenge von Ggegen

f. Die Ces`aro-Mittel der Partialsummen der Taylorreihe von fwerden durch

[Sn(f)](z) := 1

n+ 1

l=0

k=0

pk(z)

f¨

ur jedes z∈Gund jedes n∈N0gegeben. Also ist jedes Sn(f) ein Polynom

(vom Grad ≤n), und Sn(f) konvergiert gegen fgleichm¨

aßig auf jeder kom-

pakten Teilmenge von G. Diese Tatsache wird im Laufe der Arbeit h¨

aufig

verwendet.

V¨

ollig analog definiert man gewichtete Fr´echetr¨

aume stetiger Funktionen. Sei

W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver stetiger Funktionen auf

einem vollst¨

andig regul¨

aren Hausdorff-Raum X.C(X) bezeichne die Menge

aller stetigen Funktionen auf X. Dann sind

Cwn(X) := {f∈C(X); kfkn:= sup

x∈X

wn(x)|f(x)|<∞} und

C(wn)0(X) := {f∈C(X); wn|f|verschwindet im Unendlichen auf X},

versehen mit der von Cwn(X) induzierten Norm, Banachr¨

aume. Desweiteren

erh¨

alt man die gewichteten Fr´echetr¨

aume stetiger Funktionen

CW(X) := \

n∈N

Cwn(X) ebenso wie CW0(X) := \

n∈N

C(wn)0(X).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 13

Gewichtete Fr´echetr¨

aume stetiger Funktionen wurden von Bierstedt und Meise

([19]) ebenso wie von Bastin ([3]) auf Eigenschaften wie Schwartz, Montel,

quasinormabel, Dichtheitsbedingung und Distinguiertheit untersucht.

In diesen Artikeln traten einige Bedingungen an die Gewichte auf, die auch

in dieser Arbeit in abge¨

anderter Form eine Rolle spielen. So gen¨

ugt W=

(wn)n∈Nder Bedingung (S0), falls

∀n∈N∃m > n :wn

verschwindet im Unendlichen auf X.

Dies ist eine ziemlich starke Bedingung. Die folgenden schw¨

acheren Bedin-

gungen wurden ebenfalls eingehend untersucht.

W= (wn)n∈Nhat Bedingung (QN0), falls

∀n∈N∃m≥n, so daß ∀Y⊂Xmit inf

y∈Y

wn(y)

wm(y)>0 auch

inf

y∈Y

wn(y)

wk(y)>0,∀k=m+ 1, m + 2, ... gilt.

Bedingung (M0) ist erf¨

ullt, wenn

∀n∈N∀Ynicht relativkompakt in X∃m=m(n, Y )> n mit

inf

y∈Y

wn(y)

wm(y)= 0.

Bedingung (S0) impliziert nun sowohl (M0) als auch (QN0). Bierstedt und

Meise zeigten in [12], daß unter gewissen Voraussetzungen an den Raum X

und die Folge W= (wn)n∈Nvon Gewichten die Bedingung (M0) f¨

ur die Folge

W= (wn)n∈N¨

aquivalent zu CW(X) = CW0(X) ist ebenso wie die ¨

Aquiv-

alenz von (QN0) und der Tatsache, daß CW(X) (oder ¨

aquivalent CW0(X))

quasinormabel ist. Bastin [3] schließlich konnte zeigen, daß CW(X) bzw.

CW0(X) genau dann distinguiert ist (oder ¨

aquivalent, der Dichtheitsbedin-

gung gen¨

ugt), wenn W= (wn)n∈Nder Bedingung (D0) erf¨

ullt:

Es existiert eine wachsende Folge J= (Xm)m∈Nvon Teilmengen von Xmit

(N, J0) zu jedem m∈Ngibt es nm∈Nmit infx∈Xm

wnm(x)

wk(x)>0,

k=nm+ 1, nm+ 2, ... und

(M, J0) f¨

ur jedes n∈Nund jede Teilmenge Yvon Xmit Y∩(X\Xm)6=∅

f¨

ur alle m∈Ngibt es ein n0=n0(n, Y )> n mit infy∈Y

wn(y)

wn0(y)= 0.

Die inverse Form (D) der Bedingung (D0) wurde von Bierstedt und Meise

in [12] im Zuge ihrer Untersuchungen der sogenannten projektiven Darstel-

lung eingef¨

uhrt. N¨

ahere Informationen zur projektiven Darstellung werden

in Kapitel 5 gegeben.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 14

Die Einf¨

uhrung der assoziierten Gewichte erm¨

oglicht es nun, Eigenschaften

wie Schwartz, Montel und Reflexivit¨

at auch f¨

ur gewichtete Fr´echetr¨

aume

holomorpher Funktionen zu charakterisieren.

F¨

ur die Charakterisierung von Quasinormabilit¨

at und der Dichtheitsbedin-

ung wird zus¨

atzlich noch die von Bierstedt und Bonet in [14] eingef¨

uhrte

Klasse Wvon Gewichten auf dem offenen Einheitskreis ben¨

otigt, die eine

Zerlegung der holomorphen Funktionen erm¨

oglicht.

Zuletzt seien einige Beispiele gewichteter Fr´echetr¨

aume holomorpher Funk-

tionen erw¨

ahnt.

(I) Das folgende Beispiel wurde in [35] untersucht.

Betrachte ein beschr¨

anktes konvexes Gebiet Gin CN,N≥1, und eine

fallende Folge (ϕn)n∈Nbeschr¨

ankter nicht negativer konvexer Funktio-

nen auf G. Dann definiere die Folge W= (wn)n∈Ndurch

wn(z) = e−ϕn(z), z ∈G, n ∈N.

Epifanov zeigte in [35], daß das starke Dual von HW(G) unter bes-

timmten Voraussetzungen topologisch isomorph zu VH(CN) ist, wobei

V= (vn)n∈Ndurch

vn(z) = e−sup{Re<z,t>−ϕn(t); t∈G}, z ∈CN, n ∈N

gegeben wird. (Zur Definition von VH(CN) siehe Kapitel 4.)

(II) W¨

ahle G=Cund W= (wn)n∈Nmit wn(z) = e−1

n|z|ρf¨

ur jedes z∈C.

Dann ist HW(C) der Fr´echetraum der ganzen Funktionen der Ordnung

ρ,ρ > 0, und vom Typ 0. Man kann leicht nachrechnen, daß die Folge

W= (wn)n∈Nder Bedingung (S0) gen¨

ugt. Wie man sp¨

ater noch sehen

wird, ist HW(C) ein Schwartzraum.

Es bleibt zu erw¨

ahnen, daß HW(C) isomorph zu dem Raum der Dif-

ferentialoperatoren unendlicher Ordnung ist.

(Siehe dazu [5] S. 178.)

(III) In [25] wurden (LF )-R¨

aume im Zusammenhang mit Ultradistributio-

nen vom Roumieu-Typ betrachtet. Dabei treten die folgenden gewichteten

Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen auf.

Es bezeichne dazu Ω eine nichtleere offene konvexe Teilmenge von RN

mit 0 ∈Ω. Ferner sei (Kn)n∈Neine Fundamentalfolge der konvexen

kompakten Teilmengen von Ω mit 0 ∈◦

K1und Kn⊂◦

Kn+1 f¨

ur jedes

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 15

n∈N. F¨

ur jedes n∈Ndefiniere hn(x) := supy∈Kn< x, y >,x∈RN.

Betrachte jetzt die wachsende Folge Wn= (wn,k)k∈N,n∈N, mit

wn,k(z) := exp −hn(Im(z)) −1

kω(z), z ∈CN, n, k ∈N,

wobei ωeine nicht-quasianalytische Funktion ist. F¨

ur Informationen ¨

uer

nicht-quasianalytische Funktionen siehe [25]. ¨

Uber die so entstandenen

Fr´echetr¨

aume HWn(CN) wird dann der induktive Limes gebildet.

3.2 Reflexivit¨

at und Monteleigenschaft

In diesem Abschnitt wird zun¨

achst gezeigt, daß der Raum HW0(G) unter

gewissen Voraussetzungen an die wachsende Folge W= (wn)n∈Nstrikt pos-

itiver stetiger Funktionen auf Ggenau dann reflexiv ist, wenn HW(G) =

HW0(G) gilt. Ferner wird eine Bedingung in Termen von Gewichten und as-

soziierten Gewichten angegeben, die ¨

aquivalent zu HW(G) = HW0(G) und

HW(G) Montel ist. Eine Zusammensetzung dieser Ergebnisse liefert dann,

daß unter bestimmten Voraussetzungen die Monteleigenschaft von HW(G)

aquivalent zu der bereits erw¨

ahnten Bedingung in Termen von Gewichten und

assoziierten Gewichten ist. Ferner kann f¨

ur offene und zusammenh¨

angende

Teilmengen Gvon C, die keine Einpunkt-Komponente in C∗:= C∪ {∞}

haben, bewiesen werden, daß besagte Bedingung auch ¨

aquivalent zu HW(G) =

HW0(G) ist.

Nach einem kurzen Abschnitt, in dem Beispiele f¨

ur die angenommenen Vo-

raussetzungen gegeben werden, wird die Reflexivit¨

atsfrage f¨

ur Banachr¨

aume

vom Typ Hv0(G) und Hv(G) betrachtet. Es wird gezeigt, daß Hv0(G) iso-

morph zu einem abgeschlossenen Unterraum von c0ist. Ist daher Hv0(G)

unendlich dimensional, so sind Hv0(G) und Hv(G) nicht reflexiv.

3.2.1 Reflexivit¨

at und Monteleigenschaft

Wie bereits gesagt, wird zun¨

achst untersucht, unter welchen Bedingungen

HW0(G) reflexiv ist. Dazu wird das folgende Lemma ben¨

otigt.

3.1 Lemma. F¨

ur eine Folge (fj)j∈N⊂HW0(G)sind folgende Aussagen

aquivalent:

(a) fj→0bzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0).

(b) (fj)j∈Nist beschr¨

ankt, und es gilt fj→0bzgl. co.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 16

Beweis. (a) =⇒(b):

Es konvergiere (fj)j∈Ngegen 0 bzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0). Dies impliziert,

daß (fj)j∈Nσ(HW0(G), HW0(G)0)-beschr¨

ankt ist. Da die beschr¨

ankten und

die schwach beschr¨

ankten Teilmengen identisch sind (siehe [50] 20.11.(7)), ist

(fj)j∈Nbeschr¨

ankt in HW0(G).

Nach dem Satz von Montel f¨

allt co auf den beschr¨

ankten und daher erst

recht auf den co-beschr¨

ankten Teilmengen von HW0(G) mit der Topologie

der punktweisen Konvergenz zusammen.

Offensichtlich geh¨

ort jedes δzaber zu HW0(G)0,z∈G. Daher liefert

fj→0 bzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0) sofort fj(z)→0 f¨

ur jedes z∈G, also

auch fj→0 bzgl. co.

(b) =⇒(a):

Sei (fj)j∈N⊂HW0(G) beschr¨

ankt, und es gelte fj→0 bzgl. co. Nach dem

Satz von Hahn-Banach und dem Rieszschen Darstellungssatz (siehe dazu

[65]) gibt es zu jedem l∈HW0(G)0ein n∈Nund ein beschr¨

anktes Radon-

Maß µauf Gmit

l(f) = ZG

fwndµ

f¨

ur jedes f∈HW0(G).

Nun folgt wegen der inneren Regularit¨

at von µ, daß

l(fj) = ZG

fjwndµ →l(0) = ZG

0wndµ = 0.

bzgl. co. (Siehe dazu [12] Ausf¨

uhrungen vor Proposition 10.) Dies impliziert

fj→0 bzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0).

3.2 Folgerung. Auf einer beschr¨

ankten Teilmenge Bvon HW0(G)ist co

st¨

arker als die schwache Topologie.

Beweis. Zu zeigen ist, daß jede bzgl. co konvergente Folge in Bauch schwach

konvergiert. Fixiere dazu eine konvergente Folge (fj)j∈N⊂B, die bzgl. co

gegen f∈Bkonvergiert. Dann ist (fj−f)j∈Neine beschr¨

ankte Folge in

HW0(G), die bzgl. co gegen 0 konvergiert. Eine Anwendung von Lemma 3.1

liefert dann, daß (fj−f)j∈Nbzgl. der schwachen Topologie gegen 0 kon-

vergiert. Also konvergiert (fj)j∈Nbzgl. der schwachen Topologie gegen f.

Beispiele f¨

ur die im folgenden Satz angenommene Voraussetzung werden

im Anschluß an diesen Abschnitt gegeben.

3.3 Satz. Es gelte Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W. Dann sind folgende Aus-

sagen ¨

aquivalent:

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 17

(a) HW(G) = HW0(G).

(b) HW0(G)ist reflexiv.

Beweis. (b) =⇒(a):

Fixiere ein f∈HW(G). Dann gibt es ein w∈Wmit f∈Cw. Wegen

Cw=Cw,0

co existiert eine Folge (fj)j∈N⊂Cw,0⊂HW0(G) mit fj→fbzgl.

co. Also konvergiert (fj)j∈Nauch punktweise gegen f.

Weil mit w∈Wwie oben (fj)j∈N⊂Cw,0gilt, ist (fj)j∈Nbeschr¨

ankt in

HW0(G). Daher liefert (b), daß (fj)j∈Nauch relativ schwach kompakt ist. Al-

so gibt es eine Teilfolge (fjk)k∈Nvon (fj)j∈N, die bzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0)

gegen ein g∈HW0(G) konvergiert. Damit konvergiert (fjk)k∈Nauch punk-

tweise gegen g. Es folgt g=f∈HW0(G) und damit HW(G) = HW0(G).

(a) =⇒(b):

Sei dazu (fj)j∈N⊂HW0(G) beschr¨

ankt. Es ist zu zeigen, daß (fj)j∈Neine

schwach konvergente Teilfolge hat. Dann liefert ein Korollar des Satzes von

Smulian (siehe [48] Korollar 9.8.3), daß HW0(G) reflexiv ist. Nach Voraus-

setzung existiert ein w∈Wmit (fj)j∈N⊂Cw,0⊂Cw.Cwis co-kompakt,

und es gibt eine Teilfolge (fjk)k∈Nvon (fj)j∈N, die gegen ein Element g∈

HW(G) = HW0(G) konvergiert. Man hat fjk−g→0 bzgl. co. Wegen Lem-

ma 3.1 impliziert dies fjk→gbzgl. σ(HW0(G), HW0(G)0).

Im folgenden soll eine andere Beweism¨

oglichkeit f¨

ur die Implikation

(a) =⇒(b) gegeben werden, die den Satz von ˘

Smulian und damit die Fr´echet-

Eigenschaft nicht ben¨

otigt, so daß diese Beweismethode auch f¨

ur beliebige

Nachbin-Familien angewandt werden kann.

(a) =⇒(b): Es gelte HW(G) = HW0(G). Gem¨

aß Definition ist zu zeigen,

daß jede beschr¨

ankte Teilmenge von HW0(G) relativ schwach kompakt ist.

Fixiere dazu eine beschr¨

ankte Teilmenge Bvon HW0(G). Dann existiert ein

w∈Wmit B⊂Cw,0. Wegen HW (G) = HW0(G) gilt Cw=Cw,0, und Cw,0

ist co-kompakt. Wie bereits erw¨

ahnt, ist co auf Bst¨

arker als die schwache

Topologie. Wegen des Satzes von Montel fallen auf Bdie schwache Topologie

und co zusammen. Daher ist Brelativ schwach kompakt.

Im folgenden wenden wir uns der Frage nach der Monteleigenschaft von

HW(G) und dem Zusamenhang zwischen Monteleigenschaft und der Re-

flexivit¨

at zu. Dazu wird zun¨

achst die folgende Hilfsaussage bewiesen.

3.4 Lemma. Folgende Aussagen sind ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist ein Montelraum.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 18

(b) Auf jeder beschr¨

ankten Teilmenge Bvon HW(G)fallen die Topologie

von HW(G)und die Topologie co zusammen.

Beweis. (a) =⇒(b): Sei dazu HW(G) ein Montelraum. Dann ist nach Def-

inition jede beschr¨

ankte Teilmenge Bvon HW(G) relativkompakt. Wegen

[50] 3.2.(6) f¨

allt auf Bdie Topologie von HW(G) mit jeder schw¨

acheren

Hausdorff Topologie - also insbesondere mit der Topologie co - zusammen.

Es folgt demnach die Aussage (b).

(b) =⇒(a): Fixiere dazu eine beschr¨

ankte Teilmenge Avon HW(G). Dann

gibt es ein w∈Wmit A⊂Cw, und Cwist co-kompakt. Daher ist A co-

relativkompakt und wegen (b) auch relativkompakt in HW(G). Gem¨

aß Def-

inition ist HW(G) damit ein Montelraum.

Es bezeichne K+(G) die Menge aller stetigen Funktionen auf G, die einen

kompakten Tr¨

ager haben. Mit der Konvention 1/0 = +∞ist die im folgenden

auftretende Funktion min w, 1

ϕdefiniert und stets eine positive und stetige

Funktion auf Gf¨

ur w∈Wund ϕ∈ K+(G). Im folgenden Satz, dessen Be-

weisidee aus [18] stammt, wird eine Charakterisierung der Monteleigenschaft

von HW(G) gegeben. Diese hat allerdings den Nachteil, daß die Bedingung

nicht nur von den Gewichten und assoziierten Gewichten, sondern auch von

einer Funktion ϕ∈ K+(G) abh¨

angt.

3.5 Satz. Die folgenden Aussagen sind ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist ein Montelraum.

(b) F¨

ur jedes w∈Wund jedes n∈Ngibt es ein ϕ∈ K+(G)mit

min w, 1

ϕ∼

≤1

auf G.

Beweis. Weil HW(G) ein Fr´echetraum ist, (Cw)w∈Wein Fundamentalsystem

der beschr¨

ankten Teilmengen von HW(G) bildet und jedes Cwkompakt in

(H(G), co) ist, ist HW(G) genau dann Montel, wenn HW(G) und co dieselbe

Topologie auf Cwf¨

ur jedes w∈Winduzieren (siehe dazu vorangegangenes

Lemma). Dies ist ¨

aquivalent zu der Aussage

(∗) F¨

ur jedes w∈Wund jedes n∈Ngibt es ein ϕ∈ K+(G) mit

Cw∩ {f∈H(G); ϕ|f| ≤ 1 auf G} ⊂ Cn.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 19

(b) =⇒(∗): Fixiere g∈Cw∩ {f:ϕ|f| ≤ 1 auf G}. Dann ist g∈HW(G)

und |g| ≤ min w, 1

ϕauf G. Wegen (b) und [18] 1.2.(iii) hat man auch

|g| ≤ min w, 1

ϕ∼

≤1

auf G

und damit g∈Cn.

(∗) =⇒(b): Fixiere dazu ein f∈H(G) mit |f| ≤ min w, 1

ϕ∼auf G.

Dann gilt auch |f| ≤ min w, 1

ϕauf G. Folglich ist fein Element von

Cw∩ {f∈H(G); ϕ|f| ≤ 1 auf G}und geh¨

ort nach (∗) damit auch zu

Cn. Demnach ist |f| ≤ 1

wnauf G. W¨

ahlt man das Supremum ¨

uber all diese

Funktionen, so folgt die Behauptung.

Der folgende Satz bietet gegen¨

uber dem Vorherigen den Vorteil, daß man

eine Bedingung bekommt, die nur von Gewichten und assoziierten Gewichten

bestimmt ist.

3.6 Satz. Folgende Aussagen sind ¨

aquivalent:

(a) Es gilt HW(G) = HW0(G), und HW(G)ist ein Montelraum.

(b) F¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Wverschwindet wn(w)∼im Un-

endlichen auf G.

Beweis. (a) =⇒(b): Es sei HW(G) ein Montelraum, und es gelte HW(G) =

HW0(G).

Fixiere ein n∈N. Dann ist die Menge A:= {wn(z)δz;z∈G}gleichstetig

in HW(G)0, weil Aeine Teilmenge von C◦

nist. Demnach hat man

σ(HW(G)0, HW(G))|A=λ(HW(G)0, HW(G))|A,

wobei λ(HW(G)0, HW(G)) die Topologie der gleichm¨

aßigen Konvergenz auf

den (pr¨

a-)kompakten Teilmengen von HW(G) bezeichnet. Wegen HW(G) =

HW0(G) existiert zu jedem U∈ U(HW(G)0, σ(HW(G)0, HW(G))) ein K⊂⊂

Gmit

wn(z)δz∈U∀z∈G\K.

Weiterhin ist Cwwegen der Monteleigenschaft von HW(G) kompakt in

HW(G). Deshalb gibt es zu der λ(HW(G)0, HW(G))-Nullumgebung εC◦

w⊂

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 20

HW(G)0ein K⊂⊂ Gmit wn(z)δz∈εC◦

wf¨

ur jedes z∈G\K, d. h. zu jedem

ε > 0 existiert ein K⊂⊂ Gmit

ε≥wn(z) sup{|f(z)|;f∈Cw}=wn(z)(w)∼(z)

f¨

ur jedes z∈G\K. Also folgt Bedingung (b).

(b) =⇒(a):

1. Schritt: Zeige zun¨

achst, daß HW(G) = HW0(G) gilt. Fixiere dazu ein

f∈HW(G). Dann existiert ein w∈Wmit |f| ≤ wauf G. Nat¨

urlich gilt

dann auch |f| ≤ (w)∼auf G. Fixiere nun ein n∈Nund erhalte

wn|f| ≤ wn(w)∼auf G.

Eine Anwendung von Aussage (b) liefert, daß wn|f|im Unendlichen auf G

verschwindet. Da nbeliebig gew¨

ahlt war, folgt f∈HW0(G).

2. Schritt: Damit bleibt zu beweisen, daß HW(G) ein Montelraum ist.

Fixiere dazu zun¨

achst ein w∈W. Es ist zu zeigen, daß HW(G) und

(H(G), co) dieselbe Topologie auf Cwinduzieren. Da (Cw)w∈Wein Fundamen-

talsystem der beschr¨

ankten Teilmengen von HW(G) bildet, liefert Lemma

3.4 dann, daß HW(G) ein Montelraum ist.

Fixiere n∈Nund ε > 0. Nach Voraussetzung existiert eine Menge K⊂⊂ G

mit

wn(z)(w)∼(z)≤ε

f¨

ur jedes z∈G\K.

Setze U:= {g∈HW(G); wn(z)|g(z)| ≤ εf¨

ur jedes z∈G}. Dann ist zu

zeigen, daß es eine Nullumgebung Vin (H(G), co) gibt mit

V∩Cw⊂U∩Cw.

Definiere V:= {g∈H(G); |g(z)| ≤ ε

maxy∈Kwn(y)f¨

ur jedes z∈K}und fixiere

ein f∈V∩Cw. Dann hat man

* f¨

ur z∈K:

wn(z)|f(z)| ≤ max

y∈Kwn(y)ε

maxy∈Kwn(y)=ε.

* f¨

ur z∈G\K:

Falls (w)∼(z)>0 ist, so erh¨

alt man wegen wn(z)(w)∼(z)≥εf¨

ur jedes

z∈G\Kund |f| ≤ (w)∼auf Gdie Absch¨

atzung

wn(z)|f(z)| ≤ wn(z)(w)∼(z)|f(z)|

(w)∼(z)≤ε.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 21

Falls (w)∼(z) = 0 ist, so folgt auch g(z) = 0, da gnach Voraussetzung

ein Element von Cwist. Demnach gilt dann auch wn(z)|f(z)|= 0 < ε.

Also geh¨

ort fzu U∩Cw.

3.7 Korollar. Es gelte Cw=Cw

co f¨

ur jedes w∈W. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist Montel.

(b) F¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Wverschwindet wn(w)∼im Un-

endlichen auf G.

Beweis. Wegen Satz 3.6 ist offensichtlich, daß (b) Aussage (a) impliziert. F¨

die Umkehrung beachte, daß mit HW(G) auch HW0(G) ein Montelraum ist.

Dies liefert, daß HW0(G) reflexiv ist. Mit Satz 3.3 folgt dann HW(G) =

HW0(G). Daher liefert der Beweis von Satz 3.6 die Behauptung.

Interessant ist nun die Frage, ob die Gleichheit HW(G) = HW0(G) stets

die Monteleigenschaft von HW(G) nach sich zieht. Diese Frage kann leider

nur f¨

ur Folgen W= (wn)n∈Npositiv beantwortet werden, die auf einem

Gebiet G⊂Cdefiniert sind, so daß C∗\Gkeine Einpunkt-Komponente hat.

F¨

ur alle anderen Teilmengen von Ceinschließlich der komplexen Ebene selbst

ist dieses Problem noch offen.

3.8 Proposition. Sei Geine offene und zusammenh¨

angende Teilmenge von

C, so daß C∗\Gkeine Einpunkt-Komponente hat. Dann impliziert HW(G) =

HW0(G)bereits die Bedingung (b) aus Satz 3.6.

Beweis. Der Beweis wird indirekt gef¨

uhrt. Dazu sei angenommen, daß die

Eigenschaft (b) nicht erf¨

ullt ist. Dann gibt es ein w∈W, ein n∈Nund ein

ε > 0 sowie eine Folge von Punkten (zk)k∈N⊂G, die gegen einen Punkt z0

im Rand von Gin C∗konvergiert, mit

wn(zk)(w)∼(zk)≥ε. (3.1)

Weiterhin existiert wegen [18] 1.2.(iv) zu jedem k∈Nein fk∈H(G) mit

|fk| ≤ wauf Gund

|fk(zk)|= (w)∼(zk).

Die Funktion fkist auch ein Element von HW (G), denn die Ungleichung

|fk| ≤ wauf Gliefert f¨

ur jedes n∈N

wn|fk| ≤ wnw < ∞auf G.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 22

O.B.d.A. kann angenommen werden, daß z0in einer abgeschlossenen, zusam-

menh¨

angenden Menge L⊂C∗\Gvon mehr als einem Punkt liegt. Dann ist

U:= C∗\Lkonform ¨

aquivalent zu D, wie nun per Fallunterscheidung gezeigt

wird:

1. Fall: Der Punkt ∞ist kein Element von U, d.h. ∞muß in Lliegen. In

diesem Fall ist Ueine Teilmenge von C, und Lwird nicht auf den Punkt

∞reduziert, weil Laus mehr als einem Punkt besteht. Daher ist Ueinfach

zusammenh¨

angend. Eine Anwendung des Riemannschen Abbildungssatzes

liefert, daß Ukonform ¨

aquivalent zu Dist.

2. Fall: Der Punkt ∞geh¨

ort zu U. W¨

ahle nun ein a∈Lbeliebig, aber fest,

und definiere

T:C∗→C∗, z →1

z−a.

Dann ist Tbiholomorph und bildet Lauf eine zusammenh¨

angende,

abgeschlossene Menge L0in C∗ab, die ∞enth¨

alt, und Uauf eine offene

zusammenh¨

angende Menge U0mit ∞ 6∈ U0. Außerdem ist U0=C∗\L0. Weil

U0zusammenh¨

angend und das Komplement L0ebenfalls zusammenh¨

angend

ist und aus mehr als einem Punkt besteht, ist U0einfach zusammenh¨

angend

und wegen des Riemannschen Abbildungssatzes konform ¨

aquivalent zu D.

Durch ¨

Ubergang zu einer Teilfolge von (zk)k∈Nerh¨

alt man eine H∞(U)-

interpolierende Folge (siehe dazu [44] S. 195). O.B.d.A. kann angenommen

werden, daß die Teilfolge durch (zk)k∈Ngegeben wird. Dann liefert der Beweis

von [69] III.E.4 die Existenz einer Folge von Funktionen (ϕj)j∈N⊂H∞(U)

mit ϕj(zk) = δjk und P∞

j=1 |ϕj| ≤ M < ∞. Setze f:= P∞

k=1 ϕkfk.Dann ist f

wegen |f(z)|=|P∞

k=1 ϕk(z)fk(z)| ≤ Mw(z) f¨

ur jedes z∈Gund der daraus

resultierenden gleichm¨

aßigen Konvergenz auf den den kompakten Teilmen-

gen von Gein Element von H(G).

Zu zeigen bleibt f∈HW(G)\HW0(G). Beweise zun¨

achst, daß fzu HW(G)

geh¨

ort. F¨

ur jedes z∈Gund jedes m∈Nhat man

wm(z)|f(z)| ≤ wm(z)

∞

k=1

|ϕk(z)||fk(z)|

≤wm(z)Mw(z)<∞,

weil nach Voraussetzung wmwauf Gbeschr¨

ankt ist.

Es bleibt zu zeigen, daß fkein Element von HW0(G) ist. Zun¨

achst gilt

|f(zj)|=

∞

k=1

ϕk(zj)fk(zj)

=|fj(zj)|= (w)∼(zj).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 23

Wegen (3.1) gibt es ein n∈Nmit

wn(zk)|f(zk)|=wn(zk)(w)∼(zk)≥ε

f¨

ur jedes k∈N. Demnach geh¨

ort fnicht zu H(wn)0(G) und damit auch

nicht zu HW0(G). Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung HW(G) =

HW0(G).

3.9 Korollar. Sei G⊂Coffen und zusammenh¨

angend, so daß C∗\Gkeine

Einpunkt-Komponente hat. Ferner gelte Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W. Dann

sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G) = HW0(G)

(b) HW0(G)ist reflexiv.

(d) F¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Wverschwindet wn(w)∼im Un-

endlichen auf G.

(e) HW(G)ist ein Montelraum.

(f) HW0(G)ist ein Montelraum.

Beweis. Eine Anwendung von Satz 3.3 liefert die ¨

Aquivalenz der Aussagen

(a) und (b), w¨

ahrend diejenige von (a) und (d) unmittelbar aus Proposition

3.8 und Satz 3.6 folgt.

Weil HW0(G) ein abgeschlossener topologischer Unterraum von HW(G) ist,

impliziert (c) die Aussage (b) gem¨

aß [48] Proposition 11.4.5 ebenso wie (e)

Bedingung (f) nach [48] Proposition 11.5.4.

Satz 3.6 liefert, daß (d) die Bedingung (e) nach sich zieht.

Weil schließlich HW (G) und HW0(G) Fr´echetr¨

aume sind, ergeben sich

(e) =⇒(c) ebenso wie (f) =⇒(b).

Im folgenden werden Beispiele f¨

ur Folgen W= (wn)n∈Ngegeben, die

HW(G) = HW0(G) liefern.

3.10 Proposition. Gen¨

ugt die Folge W= (wn)n∈Nder Bedingung (M0), so

ist HW0(G) = HW(G).

Beweis. Nach [19] Proposition 5.5 folgt aus Bedingung (M0) sofort

CW0(G) = CW (G). Dies liefert

HW0(G) = CW0(G)∩H(G) = CW(G)∩H(G) = HW(G).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 24

In Anbetracht der Tatsache, daß Bedingung (M0) bei der Untersuchung

der gewichteten Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen eine gewisse Rolle

gespielt hat, ist es angebracht, einen Zusammenhang zwischen (M0) und der

Bedingung (b) aus Satz 3.6 herzustellen.

3.11 Bemerkung. Sei W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver,

stetiger Funktionen auf G. Dann sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) CW(G) = CW0(G).

(b) F¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Wverschwindet wnwim Unendlichen

auf G.

ugt der Bedingung (M0).

Beweis. (a) =⇒(b): Fixiere n∈Nund w∈W. Nach Definition gilt

w∈CW(G), w¨

ahrend man gem¨

aß Voraussetzung CW(G) = CW0(G) hat.

Also verschwindet wnwim Unendlichen auf G.

(b) =⇒(a): W¨

ahle f∈CW(G) beliebig, aber fest. Dann existiert ein w∈W

mit |f| ≤ wauf G. Fixiere ein n∈Nund erhalte

wn|f| ≤ wnwauf G,

so daß wn|f|im Unendlichen auf Gverschwindet. Da nbeliebig gew¨

ahlt war,

folgt f∈CW0(G).

(a)⇐⇒ (c): Dies ist [19] Proposition 5.5.

Die Bemerkung zeigt also deutlich, daß sich die beiden Bedingungen genau

durch Verwendung der assoziierten Gewichte voneinander unterscheiden.

Aufgrund der vorhergehenden Untersuchungen ist eine weitere interes-

sante Frage, ein Beispiel f¨

ur die Gleichheit von HW(G) = HW0(G) zu finden,

aber derart, daß CW(G) und CW0(G) nicht gleich sind.

Die Idee zur Konstruktion dieses Beispieles stammt aus [18].

3.12 Lemma. Sei G1eine offene Teilmenge von Cund setze G:= G1×C.

Ferner seien T= (tn)n∈Nund U= (un)n∈Nwachsende Folgen von Gewichten

auf G1bzw. C. Sei 0<p<1, und es sei angenommen, daß f¨

ur jedes n∈N

und jedes z∈C

1≤un(z)≤(1 + |z|)p

gilt. W¨

ahle S= (sn)n∈Nmit sn(z) := un(z)

(1+|z|)p,z∈C. Dann gilt f¨

ur beliebiges

z∈C1

(1 + |z|)p≤sn(z)≤1.(3.2)

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 25

Betrachte jetzt W= (wn)n∈Nmit wn(z1, z2) = tn(z1)sn(z2)f¨

ur (z1, z2)∈G,

n∈N. Dann gilt

(a) Jedes f∈HW(G)ist in der zweiten Koordinate konstant, d.h. es gilt

f(z1, z2) = f(z1, z0

2)f¨

ur jedes z2, z0

2∈C.

(b) HW(G)und HT(G1)sind kanonisch topologisch isomorph.

Beweis. (a) W¨

ahle f∈HW(G) beliebig, aber fest. Dann existiert nach Def-

inition ein M > 0 mit wn(z1, z2)|f(z1, z2)|=tn(z1)sn(z2)|f(z1, z2)| ≤ M

f¨

ur jedes (z1, z2)∈G. Unter Benutzung von (3.2) folgt also |f(z1, z2)| ≤

tn(z1)

sn(z2)≤M

tn(z1)(1 + |z2|)p.Dann liefert eine verallgemeinerte Version des

Satzes von Liouville das Gew¨

unschte.

(b) Definiere dazu zun¨

achst die Abbildungen

ψ:HW(G)→HT(G1), f →(z1→f(z1,0))

ψ−1:HT(G1)→HW(G), g →((z1, z2)→g(z1)).

Es bleibt zu zeigen, daß ψund ψ−1stetig sind.

Stetigkeit von ψ:

sup

z1∈C

tn(z1)|[ψ(f)](z1) = sup

z1∈C

tn(z1)|f(z1,0)|

= sup

z1∈C

tn(z1)sn(0)|f(z1,0)|

≤sup

(z1,z2)∈G

tn(z1)sn(z2)|f(z1, z2)|

= sup

(z1,z2)∈G

wn(z1, z2)|f(z1, z2)|;

folglich ist ψstetig.

Stetigkeit von ψ−1:

wn(z1, z2)|[ψ−1(f)](z1, z2)|=tn(z1)sn(z2)|f(z1,0)| ≤ tn(z1)|f(z1,0)|.

Daher hat man

sup(z1,z2)∈Gwn(z1, z2)|[ψ−1(f)](z1, z2)| ≤ supz1∈Gtn(z1)|f(z1,0)|und damit

die Stetigkeit von ψ−1.

Also sind HW(G) und HT(G1) kanonisch topologisch isomorph.

3.13 Lemma. Falls eine wachsende Folge W= (wn)n∈Nstrikt positiver

stetiger Funktionen auf Gder Bedingung (M0)gen¨

ugt, so hat sie auch (D0).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 26

Beweis. Es ist zu zeigen, daß W= (wn)n∈Ndie Eigenschaften (N, J0) und

(M, J0) hat. W¨

ahle dazu J= (Km)m∈NFundamentalfolge der kompakten

Teilmengen von G. Fixiere m. W¨

ahle nm=m. Dann gilt selbstverst¨

andlich

infz∈Km

wm(z)

wk(z)>0 f¨

ur jedes k≥m. Um (M, J)0zu zeigen, fixiere n∈Nund

Y⊂Gmit Y∩(G\Km)6=∅f¨

ur jedes m∈N. Dies liefert, daß Ynicht

relativkompakt ist. Daher existiert wegen (M0) ein n0> n mit infz∈Y

wn(z)

n(z)=

0. Also ist (N, J0) und damit (D0) erf¨

ullt.

Die zur obigen Bedingung gewissermaßen inverse Bedingung (ND) wurde

von Bierstedt und Meise in [19] eingef¨

uhrt.

3.14 Definition. Die Folge W= (wn)n∈Ngen¨

ugt der Bedingung (ND0), falls

ein n∈Nund eine fallende Folge (Jk)k∈Nvon Teilmengen von Gexistieren,

so daß f¨

ur jedes k≥ngilt:

(i) infz∈Jk

wn(z)

wk(z)>0, und

(ii) es gibt l(k)> k mit infz∈Jk

wn(z)

wl(k)(z)= 0.

3.15 Lemma. Falls W= (wn)n∈Nder Bedingung (ND0)gen¨

ugt, so hat sie

nicht (D0).

Beweis. Dies verl¨

auft v¨

ollig analog zum Fall mit einer fallenden Folge strikt

positiver stetiger Funktionen.

3.16 Beispiel. Sei nun G1=Cund w¨

ahle eine wachsende Folge T= (tn)n∈N

von Gewichten tnauf Cmit tn(0) = 1 f¨

ur jedes n∈N, so daß Tder Bedingung

(S0) gen¨

ugt. Dann gilt HT(C) = HT0(C). F¨

ur jede wachsende Folge S=

(sn)n∈Nauf Cmit limz→∞ sn(z) = 0 f¨

ur jedes n∈N, die den Voraussetzungen

von Lemma 3.12 gen¨

ugt, definiere jetzt W= (wn)n∈Nauf C2=C×C

wie in Lemma 3.12. Dann gilt zun¨

achst HW(C2) = HW0(C2), wie man

durch Fallunterscheidung (|z1| → ∞ bzw. |z2| → ∞) zeigt. F¨

ur den Fall

|z1| → ∞ ist aufgrund von Lemma 3.12 nichts zu zeigen. Daher gen¨

ugt es,

|z2| → ∞ zu betrachten. Wegen Lemma 3.12 gilt HW(C2)∼

=HT(C). Da

limz→∞ sn(z) = 0 ist, kann man K⊂⊂ C2und m > 0 finden, so daß

wn(z1, z2)|f(z1, z2)|=tn(z1)sn(z2)|f(z1,0)| ≤ mε f¨

ur jedes z∈C2\K

gilt.

Konstruiere jetzt eine Folge S= (sn)n∈N, so daß W= (wn)n∈Nnicht der Be-

dingung (D0) und damit nach Lemma 3.13 nicht der Bedingung (M0) gen¨

ugt.

Wegen [19] Proposition 5.5 gilt dann CW (G)6=CW0(G).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 27

F¨

ur n∈N, n ≥3 und beliebige k∈N0sei un:R+→R+zun¨

achst auf

[2k, 2k+ 2] gegeben durch

un(r) := (1 f¨

ur r∈[2k, 2k+ 2−n] und r∈[2k+ 1,2k+ 2]

(1 + r)n−1

2nf¨

ur r∈[2k+ 3 ·2−(n+1),2k+ 1 −2−(n+1)]

mit unaffin auf [2k+ 2−n,2k+ 3 ·2−(n+1)] und [2k+ 1 −2−(n+1),2k+ 1].

Unterscheidet man mehrere F¨

alle, so kann man leicht nachrechnen, daß

(un)n∈N,n≥3eine wachsende Folge ist.

Nun setze unradial fort, un(z) = un(|z|) f¨

ur z∈C,n∈N, um eine wachsende

Folge (un)n∈Nauf Czu erhalten, f¨

ur die die Bedingung in Lemma 3.12 mit

p=1

2erf¨

ullt ist. Setze jetzt

sn(z) := un(z)

(1 + |z|)1

f¨

ur jedes n∈N, n ≥3.

Wegen Lemma 3.15 gen¨

ugt es nun zu zeigen, daß Wdie Bedingung (ND0)

hat.

F¨

ur beliebiges n∈Nw¨

ahle Jn:= {(0,2k+ 2−m), k, m ≥n} ⊂ C2. F¨

ur ein

gegebenes n≥n0:= 3 und f¨

ur jedes (0,2k+ 2−m)∈Jngilt

wn0(0,2k+ 2−m) = tn0(0)sn0(2k+ 2−m) = 1

(1 + 2k+ 2−m)1

und

wn(0,2k+ 2−m) = tn(0)sn(2k+ 2−m) = 1

(1 + 2k+ 2−m)1

weil m≥nist. Folglich gilt infJn

wn0

wn= 1 >0.Aber f¨

ur ln:= n+ 1, k≥n

wn+1(0,2k+ 2−n) = tn+1(0)sn+1(2k+ 2−n) = (1 + 2k+ 2−n)n

2n+2

(1 + 2k+ 2−n)1

und daher wn0(0,2k+ 2−n)

wln(0,2k+ 2−n)= (1 + 2k+ 2−n)−n

2n+2 .

Somit gilt infJn

wn0

wln≤(1 + 2k+ 2−n)−n

2n+2 →0 (k→ ∞).Also erf¨

ullt W

die Bedingung (ND0).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 28

3.2.2 Beispiele f¨

ur die angenommenen Voraussetzun-

gen

Es gibt viele Beispiele f¨

ur Folgen W= (wn)n∈Nstrikt positiver, stetiger

Funktionen auf G⊂CN,N≥1, so daß Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈Werf¨

ullt

ist. Im folgenden werden einige zusammengestellt.

3.17 Bemerkung. (Bierstedt, Bonet, Galbis, [17], Proposition 1.2.(c))

Sei W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver stetiger und radialer

Funktionen auf einer kreisf¨

ormigen Menge G⊂CN,N≥1. Dann gilt f¨

jedes w∈W

Cw=Cw∩HW0(G)co =Cw,0

co.

3.18 Proposition. (Holtmanns, [45], Proposition 4.2.8)

Seien G={z∈C; Im(z)>0}und W= (wn)n∈Neine wachsende Folge

strikt positiver stetiger Funktionen auf G, derart daß limIm(z)→0wn(z) = 0

und wn(z)≤wn(z+ip)f¨

ur jedes 0<p<1und jedes n∈Nerf¨

ullt sind.

Dann gilt Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W.

3.19 Proposition. (Holtmanns, [45], Proposition 4.2.9)

Seien Gein Streifen der Form G:= {z∈C;|Im(z)|< δ}f¨

ur δ > 0und

W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver stetiger Funktionen auf

G, derart daß lim|Im(z)|→δwn(z) = 0 und wn(z)≤wn(rz)f¨

ur jedes 0< r < 1

und jedes n∈Ngilt. Dann hat man Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W.

3.2.3 Reflexivit¨

at von Hv0(G)

Wie bereits erw¨

ahnt, basiert dieser Abschnitt auf [29] und soll die Ergebnisse

des vorigen Abschnittes erg¨

anzen. Zum Beweis der folgenden Proposition

wird eine Methode von Kalton und Werner benutzt (siehe dazu den Beweis

von Korollar 4.9 in [49]).

3.20 Proposition. Seien G⊂CN,N≥1, offen und veine strikt positive

und stetige Funktion auf G. Dann ist Hv0(G)isomorph zu einem abgeschlosse-

nen Unterraum von c0(versehen mit der ¨

ublichen Norm).

Tats¨

achlich ist Hv0(G)fast isometrisch eingebettet in c0, d.h. zu jedem ε > 0

gibt es einen Isomorphismus Tvon Hv0(G)in c0, so daß

(1 −ε)kfkv≤ kT(f)kco ≤ kfkv(3.3)

f¨

ur jedes f∈Hv0(G)gilt.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 29

Beweis. Fixiere ε∈(0,1). Zu zeigen ist, daß es eine Folge (zn)n∈N⊂G

mit (zn)n∈Nkonvergiert gegen einen Punkt des Randes von Ggibt, so daß

der Operator T:Hv0(G)→c0, definiert durch T(f) = (v(zn)f(zn))n∈N,

Ungleichung (3.3) f¨

ur jedes f∈Hv0(G) erf¨

ullt.

W¨

ahle eine Fundamentalfolge (Kk)k∈Nder kompakten Teilmengen von Gmit

Kk⊂◦

Kk+1 f¨

ur jedes k∈Nund fixiere ein k∈N. Bezeichne mit ddie Metrik,

die von der Supremumsnorm in CNinduziert wird, d.h. d(z, w) := max(|z1−

w1|, ..., |zN−wN|), z, w ∈CN, und mit D(z, r) := {w∈CN;d(w, z)≤r}den

Polydisk mit Mittelpunkt z∈CNund Radius r > 0. F¨

ur jedes k∈Ndefiniere

Mk:= supz∈Kkv(z), ak:= min 1

2d(Kk,CN\Kk+1),1und w¨

ahle z(k)∈Kk

mit v(z(k)) = minz∈Kkv(z). F¨

ur ein jedes f∈Hv0(G) mit kfkv= 1 hat man

1 =kfkv= sup

z∈G

v(z)|f(z)| ≥ sup

z∈Kk

v(z)|f(z)| ≥ v(z(k)) sup

z∈Kk

|f(z)|.

Also ist supz∈Kk|f(z)| ≤ 1

v(z(k))f¨

ur jedes k∈N. Dann hat man f¨

ur jedes

z∈Kkdie folgende Absch¨

atzung:

|f(ξ)| ≤ 1

v(z(k+1))

f¨

ur jedes ξ∈D(z, ak)⊂Kk+1. Mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichungen

(siehe dazu beispielsweise [46] Theorem 2.2.7) liefert dies

|Dαf(z)| ≤ 1

akv(z(k+1))

f¨

ur jeden Multiindex α∈NNmit |α|= 1 und jedes z∈Kk. Betrachte die

Menge Ak:= Kk\◦

Kk−1. Dann hat man nat¨

urlich

Ak⊂[

z∈Ak

{z0∈G;|z0−z|< δkund |v(z0)−v(z)|< δk},

wobei δkso gew¨

ahlt sei, daß

1

v(z(k))+Mk+1N

ak+1v(z(k+2))δk< ε und δk< ak

gilt. Weil Akkompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge Fkvon Akmit

Ak⊂[

z∈Fk

{z0∈G;|z0−z|< δkund |v(z0)−v(z)|< δk}.

Insbesondere existiert zu jedem z∈Akein w∈Fkmit

|w−z|< δkund |v(w)−v(z)|< δk.(3.4)

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 30

Falls wein Element der Menge D(z, δk) ist, so liegen alle unten auftretenden

Punkte ebenfalls in D(z, δk).

Wegen der Wahl von δkfolgt D(z, δk)⊂D(z, ak)⊂Kk+1 f¨

ur jedes z∈Ak.

Dies liefert dann f¨

ur Punkte z, w wie in Relation (3.4)

|f(z)|=|f(z1, ..., zN)|

≤ |f(z1, ..., zN)−f(w1, z2, ..., zN)|

+|f(w1, z2, ..., zN)−f(w1, w2, z3, ..., zN)|

+... +|f(w1, w2, ..., wN−1, zN)−f(w1, ..., wN)|+|f(w1, ..., wN)|

≤Z[z1,w1]

Dα1f(t, z2, ..., zN)dt

+... +Z[zN,wN]

DαNf(w1, ..., wN−1, t)dt

+|f(w)|

≤sup

ξ∈D(z,δk)

|Dα1f(ξ)||z1−w1|

+... + sup

ξ∈D(z,δk)

|DαNf(ξ)||zN−wN|+|f(w)|

≤Nδk

ak+1v(z(k+2))+|f(w)|

wobei αi= (0, ..., 0,1

i-te Koordinate,0, ..., 0) ∈NNf¨

ur jedes 1 ≤i≤N. Schließlich

hat man f¨

ur Punkte z, w wie in (3.4)

v(z)|f(z)| ≤ |v(z)−v(w)||f(z)|+v(w)|f(z)|

≤ |v(z)−v(w)||f(z)|+v(w)N

ak+1v(z(k+2))δk+|f(w)|

≤δk

v(z(k))+Mk+1N

ak+1v(z(k+2))δk+v(w)|f(w)|

< ε +v(w)|f(w)|,

weil wzu Kk+1 geh¨

ort. Dies impliziert

sup

z∈Ak

v(z)|f(z)| ≤ ε+ max

w∈Fk

v(w)|f(w)|.

Mit F:= ∪k∈NFkfolgt daraus

1≤ε+ sup

w∈F

v(w)|f(w)|.

Schreibe Fals Folge (zn)n∈N⊂Gund beachte, daß Fnicht von der Funktion

fabh¨

angt und (zn)n∈Ngegen einen Punkt des Randes von Gkonvergiert, d.h.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 31

die Folge (zn)n∈Nist diskret in G. Falls f∈Hv0(G), f6= 0, hat man



kfkv



v

= 1 ≤ε+



Tf

kfkv



c0

Also folgt

(1 −ε)kfkv≤k T(f)kc0.

Weil kT(f)kc0≤ kfkvebenfalls erf¨

ullt ist, folgt die Behauptung.

3.21 Korollar. Sei G⊂CN,N≥1, offen und veine strikt positive und

stetige Funktion auf G. Ist Hv0(G)unendlich dimensional, so sind Hv0(G)

und Hv(G)nicht reflexiv.

Beweis. [52] Proposition 2.a.2 liefert, daß jeder unendlich dimensionale Un-

terraum von c0einen Unterraum enth¨

alt, der topologisch isomorph zu c0und

komplementiert in c0ist. Daher kann Hv0(G) wegen Proposition 3.20 nicht

reflexiv sein. Nach [48] Proposition 11.4.5 (a) ist dann auch Hv(G) nicht

reflexiv.

3.3 Eine notwendige Bedingung f¨

ur Quasinorma-

bilit¨

at und die Dichtheitsbedingung

In diesem Abschnitt wird unter den in diesem Kapitel angenommenen all-

gemeinen Voraussetzungen jeweils eine notwendige Bedingung in Termen

von Gewichten und assoziierten Gewichten daf¨

ur gegeben, wann HW(G)

bzw. HW0(G) quasinormabel ist. Dasselbe wird f¨

ur die Dichtheitsbedingung

durchgef¨

uhrt. In Kapitel 4 wird unter st¨

arkeren Einschr¨

ankungen gezeigt,

daß die notwendige Bedingung in beiden F¨

allen auch hinreichend ist.

3.22 Proposition. Falls HW(G)quasinormabel ist, so ist die folgende Be-

dingung erf¨

ullt:

Zu jedem n∈Ngibt es m > n, so daß f¨

ur jedes α > 0ein w∈Wmit

1

wm∼

≤w+α

auf G(3.5)

existiert.

Beweis. Sei also HW(G) quasinormabel. Nach Definition gibt es dann zu

jedem n∈Nein m > n, so daß es f¨

ur jedes α > 0 ein w∈Wmit

Cm⊂Cw+αCn(3.6)

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 32

gibt. Dann gen¨

ugt es zu zeigen, daß (3.6) die Bedingung (3.5) impliziert.

W¨

ahle dazu f∈HW(G) mit |f| ≤ 1

wmauf Gbeliebig, aber fest. Dann

geh¨

ort fzu Cmund nach (3.6) auch zu Cw+αCn, d.h. fkann in der Form

f=g1+g2mit g1∈Cwund g2∈αCndargestellt werden. Es folgt

|f| ≤ |g1|+|g2| ≤ w+α

auf G.

Nimmt man das Supremum all dieser Funktionen, so folgt (3.5).

3.23 Proposition. Bedingung (3.5) aus Satz 3.22 impliziert die folgende

Bedingung:

Zu jedem n∈Ngibt es m > n, so daß f¨

ur jedes k > n und jedes µ > 0ein

ξ > 0mit

1

wm∼

≤ξ

+µ

auf G(3.7)

existiert.

Beweis. Es sei also (3.5) erf¨

ullt. Fixiere n∈Nund w¨

ahle m > n gem¨

aß (3.5).

W¨

ahle nun k > n und µ > 0 beliebig, aber fest. Eine Anwendung von (3.5)

liefert dann w∈Wmit

1

wm∼

≤w+µ

auf G.

Nach Definition gibt es ξ > 0, so daß w≤ξ

wkauf Ggilt. Also folgt

1

wm∼

≤w+µ

≤ξ

+µ

auf G

und damit (3.7).

3.24 Proposition. Es gelte Cw=Cw

co f¨

ur jedes w∈W. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist quasinormabel.

(b) HW0(G)ist quasinormabel.

Beweis. Zun¨

achst gilt nach [12] Proposition 10 die topologische Gleichheit

HW(G) = HW0(G)00

bb.

Desweiteren ist bekannt, daß ein Fr´echetraum Egenau quasinormabel ist,

wenn das starke Dual E00 quasinormabel ist (siehe z.B. [15] Theorem 3).

Damit folgt das Gew¨

unschte.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 33

3.25 Korollar. Es gelte Cw=Cw

co f¨

ur jedes w∈W. Ist HW0(D)quasi-

normabel, so folgen die Bedingungen (3.5) und (3.7).

3.26 Proposition. Falls HW(G)die Dichtheitsbedingung erf¨

ullt, so gen¨

ugt

die Folge W= (wn)n∈Nder folgenden Bedingung:

Zu jeder Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Ngibt es m∈N

mit m > n und w∈Wmit

min

1≤k≤m

λk

wk∼

≤w+1

auf G. (3.8)

Beweis. Es habe HW(G) die Dichtheitsbedingung. Dann existiert nach Def-

inition zu jeder Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Nein

m∈Nmit m > n und w∈Wmit

k=1

λkCk⊂Cw+Cn.(3.9)

Es gen¨

ugt zu zeigen, daß (3.9) die Bedingung (3.8) impliziert. Fixiere dazu

f∈H(G) mit |f| ≤ min1≤k≤mλk

wkauf G. Dann ist fElement von Tm

k=1 λkCk

und nach (3.9) auch von Cw+Cn, d.h. fkann in der Form f=g1+g2mit

g1∈Cwund g2∈Cndargestellt werden. Es folgt

|f| ≤ |g1|+|g2| ≤ w+1

auf G.

Nimmt man nun das Supremum all dieser Funktionen, so folgt das Gew¨

unschte.

3.27 Proposition. (3.8) impliziert die folgende Bedingung:

Zu jeder Folge (µk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Nexistiert

m(n)> n ebenso wie eine Folge (µ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

min

1≤k≤m(n)

µk

wk∼

≤min

1≤k≤s

µ(n)

auf Gf¨

ur jedes s∈N.(3.10)

Beweis. Fixiere eine Folge (µk)k∈Nstrikt positiver Zahlen ebenso wie ein

n∈N. W¨

ahle dann m∈N,m > n gem¨

aß (3.8) und setze m=m(n). Nach

(3.8) gibt es w∈Wmit

min

1≤k≤m(n)

µk

wk∼

≤w+1

auf G.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 34

Zu wgibt es eine Folge (µ(n)

k)n∈Nstrikt positiver Zahlen, so daß

w≤min1≤k≤s

µ(n)

wkauf Gf¨

ur jedes s∈N. Damit folgt dann

min

1≤k≤m(n)

µk

wk∼

≤w+1

≤min

1≤k≤s

µ(n)

auf Gf¨

ur jedes s∈N.

3.28 Lemma. Falls Eein (DF )-Raum ist, der der dualen Dichtheitsbedin-

gung gen¨

ugt, so hat F=E0

bdie Dichtheitsbedingung.

Beweis. Da Eein (DF)-Raum ist, hat Eeine Fundamentalfolge (Bn)n∈Nder

abgeschlossenen absolutkonvexen beschr¨

ankten Teilmengen. Weil Enach Vo-

raussetzung der dualen Dichtheitsbedingung gen¨

ugt, so existiert nach Def-

inition zu jeder Folge (λl)l∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Nein

m∈Nund U∈ U(E) mit

Bn∩U⊂Γ (∪m

k=1λkBk).

Polarenbildung liefert nun

k=1

λkB◦

k= m

[

k=1

λkBk!◦

=Γ (∪m

k=1λkBk)◦⊂(Bn∩U)◦⊂B◦

n+U◦.

Dabei ist offenbar jedes B◦

leine Nullumgebung und U◦gleichstetig und damit

beschr¨

ankt in E0

b. Damit gen¨

ugt E0

bder Dichtheitsbedingung.

3.29 Proposition. Es gelte Cw=Cw

co f¨

ur jedes w∈W. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G)hat die Dichtheitsbedingung.

(b) HW0(G)gen¨

ugt der Dichtheitsbedingung.

Beweis. Wie zu Beginn des Beweises von Proposition 3.24 hat man HW(G) =

HW0(G)00

bb.

(a) =⇒(b): Dies folgt aus [60] Corollary 3.

(b) =⇒(a): Dies ergibt sich aus [8] Theorem 1.5. Falls HW0(G) n¨

amlich die

Dichtheitsbedingung hat, so folgt, daß HW0(G)0

bder dualen Dichtheitsbe-

dingung gen¨

ugt. Das vorhergehende Lemma impliziert dann, daß HW(G) =

HW0(G)00

bb die Dichtheitsbedingung erf¨

ullt.

3.30 Korollar. Es gelte Cw=Cw

co f¨

ur jedes w∈W. Erf¨

ullt HW0(G)die

Dichtheitsbedingung, so gen¨

ugt W= (wn)n∈Nden Bedingungen (3.8) und

(3.10).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 35

3.4 Schwartz-Eigenschaft

3.4.1 Schwartz-Eigenschaft f¨

ur HW (G)

F¨

ur diesen Abschnitt seien, wenn nichts anderes gesagt wird, vund wstrikt

positive, stetige Funktionen auf G. Sie werden als Wachstumsbedingungen

im Sinne von [18] aufgefaßt. Es sei Bv(bzw. Bv,0) die abgeschlossene Ein-

heitskugel von Hv(G) (bzw. Hv0(G)).

Hier wird zun¨

achst eine Charakterisierung f¨

ur die Kompaktheit der Abbil-

dung j:Hv(G),→Hw(G) in Termen der Funktionen vund wgegeben, die

dann im Anschluß eine Charakterisierung der Fr´echet-Schwartz-Eigenschaft

des Raumes HW(G) erm¨

oglicht.

Dazu wird zun¨

achst das folgende Lemma ben¨

otigt, das in [33] in einer etwas

anderen Form zu finden ist.

3.31 Lemma. (Cowen, MacCluer [33] Proposition 3.11) Folgende Aussagen

sind ¨

aquivalent:

(a) j:Hv(G),→Hw(G)ist kompakt.

(b) F¨

ur jede beschr¨

ankte Folge (fn)n∈N⊂Hv(G)mit fn

→0folgt

j(fn)→0in Hw(G).

Beweis. (a) =⇒(b): Der Beweis wird indirekt gef¨

uhrt. Dazu sei angenom-

men, daß es eine beschr¨

ankte Folge (fn)n∈N⊂Hv(G) mit fn

→0 gibt, derart

daß (j(fn))n∈Nin Hw(G) nicht gegen 0 konvergiert. Dann gibt es eine Teil-

folge (fnk)kvon (fn)nebenso wie ein ε > 0 mit j(fnk)6∈ εBwf¨

ur jedes k∈N.

Da jjedoch kompakt ist und (fnk)kin einem Vielfachen von Bvliegt, gibt es

eine Teilfolge (j(fnkl))l, die in Hw(G) gegen eine Funktion gkonvergiert.

Nun gilt aber j(fnkl)co

→0 in H(G). Daher muß g≡0 sein und j(fnkl)→0

in Hw(G). Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme.

(b) =⇒(a): Es sei (gn)n∈Neine beliebige beschr¨

ankte Folge in Hv(G). Weil

(gn)n∈Neine normale Familie ist, gibt es eine Teilfolge (gnk)k∈N, die gle-

ichm¨

aßig auf den kompakten Mengen gegen eine Funktion g∈H(G) kon-

vergiert. Fixiere ein nk. Dann existiert M > 0, so daß |gnk(z)|<M

v(z)f¨

ur jedes

z∈Ggilt. Dies liefert |g(z)| ≤ M

v(z)f¨

ur jedes z∈G. Also liegt gin Hv(G),

und (gnk−g)k∈Nist eine beschr¨

ankte Folge in Hv(G), die bzgl. co gegen 0

konvergiert. Die Voraussetzung liefert dann j(gnk)→j(g) in Hw(G). Also

ist jkompakt.

Beispiele f¨

ur die im folgenden angenommenen Voraussetzungen werden

im Anschluß an diesen Abschnitt gegeben.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 36

3.32 Satz. Es gelte Hv0(G)⊂Hw0(G)und Bv=Bv,0

co. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) j:Hv(G),→Hw(G)ist kompakt.

(b) i:Hv0(G),→Hw0(G)ist kompakt.

ur jedes ε > 0existiert K⊂⊂ G, so daß f¨

ur jedes z∈G\Kgilt:

w(z)< ε∼

v(z).

Beweis. (a) =⇒(b): Hier ist nichts zu zeigen.

ahle dazu eine Folge (fn)n∈N⊂Bvmit fn

→0 auf G. Fix-

iere dann ein ε > 0. Nach Voraussetzung (c) gibt es eine kompakte Menge

K⊂⊂ Gmit w(z)≤ε∼

v(z) f¨

ur jedes z∈G\K. Da (fn)n∈Nbzgl. co gegen 0

konvergiert, existiert ein n0∈N, so daß f¨

ur jedes n≥n0und jedes ζ∈K

|fn(ζ)| ≤ ε

maxz∈Kw(z)(3.11)

gilt. Schließlich hat man f¨

ur n≥n0

kj(fn)kw= sup

z∈G

w(z)|fn(z)| ≤ max sup

z∈G\K

w(z)|fn(z)|,sup

z∈K

w(z)|fn(z)|!< ε,

weil (3.11) die Ungleichung supz∈Kw(z)|fn(z)| ≤ εliefert und f¨

ur z∈G\K

wegen (c) w(z)|fn(z)| ≤ ε∼

v(z)|fn(z)|< ε gilt.

Sei n∈Nbeliebig, aber fest. Dann ist nach Voraussetzung |fn| ≤ 1

vauf G.

Weil fnholomorph ist, impliziert [18] 1.2.(iii), daß |fn| ≤ 1

v∼=1

∼

vauf G

und damit schließlich auch ∼

v|fn| ≤ 1.

(b) =⇒(c): Sei i:Hv0(G),→Hw0(G) kompakt. Dann ist die transponierte

Abbildung it:Hw0(G)0,→Hv0(G)0ebenfalls kompakt. Weiterhin gilt f¨

z∈Gnach Definition

it(δz)(f) = (δz◦i)(f) = δz(i(f)) = f(z)

f¨

ur jedes f∈Hv0(G).

Zeige nun, daß die Menge {w(z)δz;z∈G}beschr¨

ankt in Hw0(G)0ist: Nach

Definition ist {w(z)δz;z∈G}in B◦

w,0enthalten. Daher ist {w(z)δz;z∈G}

gleichstetig und also auch beschr¨

ankt in Hw0(G)0.

Weil it:Hw0(G)0,→Hv0(G)0eine kompakte Abbildung ist, ist die Menge

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 37

{it(w(z)δz); z∈G}=: Brelativkompakt in Hv0(G)0, so daß auf ihr die

Normtopologie mit σ(Hv0(G)0, Hv0(G)) zusammenf¨

allt.

Sei im folgenden ε > 0 beliebig, aber fest. Dann liefert Obiges die Existenz

einer endlichen Menge (f1, ..., fs)⊂Hv0(G) mit

B∩(f1, ..., fs)◦⊂ {y∈B;kykHv0(G)0< ε}.(3.12)

Setze jetzt V:= (f1, ..., fs)◦. Da Vzu U(Hv0(G)0, σ(Hv0(G)0, Hv0(G))) geh¨

ort,

gibt es nach Definition von Hv0(G) ein K⊂⊂ G, so daß w(z)δzf¨

ur jedes

z∈G\Kein Element der Menge Vist.

Folglich ist |< it(w(z)δz), fk>| ≤ 1 f¨

ur jedes 1 ≤k≤sund jedes z∈G\K

und damit nach (3.12) kit(w(z)δz)kHv0(G)0< ε f¨

ur z∈G\K. Also gibt es zu

jedem ε > 0 ein K⊂⊂ Gmit w(z)kδzkHv0(G)0< ε f¨

ur jedes z∈G\K.

Wegen der Voraussetzung Bv=Bv,0

co erh¨

alt man

kδzkHv0(G)0= sup{|f(z)|;f∈Bv,0}= sup{|f(z)|;f∈Bv,0

co}

= sup{|f(z)|;f∈Bv}=kδzkHv(G)0=1

∼

v(z),

und man kann schließen: F¨

ur jedes ε > 0 existiert K⊂⊂ Gmit w(z)< ε∼

v(z)

f¨

ur jedes z∈G\K.

3.33 Lemma. Es gelte Cn

co =Bnf¨

ur jedes n∈N. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist ein (F S)-Raum.

(b) F¨

ur jedes n∈Nexistiert m∈Nmit m > n, so daß Hwm(G),→

Hwn(G)kompakt ist.

Beweis. (a) =⇒(b): Sei dazu HW(G) ein (F S)-Raum. Gem¨

aß Definition

existiert f¨

ur jedes n∈Nein m∈Nmit m > n, so daß es f¨

ur jedes ε > 0 eine

endliche Menge F⊂HW(G) mit Cm⊂F+εCngibt. Dies impliziert aber

Cm⊂F+εCn⊂F+εBn.

Da εBnco-kompakt und F co-abgeschlossen ist, liefert [47] Proposition 2.10.5,

daß F+εBnebenfalls co-abgeschlossen ist. Es folgt

Bm=Cm

co ⊂F+εBn.

Damit erh¨

alt man (b).

(b) =⇒(a): Dies ist [47] Proposition 3.15.9.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 38

3.34 Korollar. Es gelte Cn

co =Bnebenso wie Bn=Bn,0

co f¨

ur jedes n∈N.

Dann sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW(G)ist ein (F S)-Raum.

(b) F¨

ur jedes n∈Nexistiert m∈Nmit m > n, so daß

Hwm(G),→Hwn(G)kompakt ist.

ur jedes n∈Ngibt es m∈Nmit m > n, so daß

H(wm)0(G),→H(wn)0(G)kompakt ist.

(d) F¨

ur jedes n∈Ngibt es m∈Nmit m > n, so daß f¨

ur jedes ε > 0

K⊂⊂ Gmit

wn(z)< ε ∼

wm(z)

f¨

ur jedes z∈G\Kexistiert.

Beweis. Die ¨

Aquivalenz von (a) und (b) folgt unmittelbar aus Lemma 3.33,

w¨

ahrend Satz 3.32 die ¨

Aquivalenz von (b), (c) und (d) liefert.

Dieses Resultat ist in gewisser Weise invers zu dem Resultat [18] The-

orem 2.1.(a). In diesem Theorem wird eine Charakterisierung der (DFS)-

Eigenschaft gewichteter induktiver Limites holomorpher Funktionen gegeben.

Allerdings hat das vorliegende Resultat den Vorteil, daß die Bedingung auss-

chließlich in Termen von Gewichten und assoziierten Gewichten gegeben wird,

w¨

ahrend das Ergebnis in [18] noch Funktionen ϕ∈ K+(G) enth¨

alt. Wloka be-

wies in [68] Abschnitt I.4.2 Satz 2, daß Bedingung (c) aus Satz 3.32 ohne die

assoziierten Gewichte bereits hinreichend f¨

ur die Kompaktheit der Einbet-

tung ist. Im Beweis der Umkehrung kann allerdings nicht auf das assoziierte

Gewicht verzichtet werden, wie der Beweis des Satzes zeigt.

3.35 Bemerkung. Es gelte Cn

co =Bnebenso wie Bn=Bn,0

co f¨

ur jedes

n∈N. Ist HW(G) ein (F S)-Raum, so gilt HW(G) = HW0(G).

Beweis. Fixiere dazu f∈HW(G) und n∈N. Dann existiert m > n, so daß

es zu jedem ε > 0 ein K⊂⊂ Gmit

wn(z)< ε∼

wm(z)≤εwm(z)

f¨

ur jedes z∈G\Kgibt. Nach Voraussetzung ist fElement von Hwm(G)

und daher existiert ein α > 0 mit |f| ≤ α

wmauf G. Es folgt wn|f| ≤ αwn

auf G, und wn|f|verschwindet mit wn

wmim Unendlichen auf G. Da nbeliebig

gew¨

ahlt war, folgt f∈HW0(G).

Die Umkehrung gilt i.a. jedoch nicht. Wie bereits erw¨

ahnt, impliziert Be-

dingung (M0) die Gleichheit HW(G) = HW0(G), nicht aber die Bedingung

(S0) oder die vorliegende Version mit den assoziierten Gewichten.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 39

3.4.2 Beispiele f¨

ur die angenommenen Voraussetzun-

gen

Im folgenden werden zun¨

achst Beispiele f¨

ur die Bedingung Bn=Bn,0

co f¨

jedes n∈Ngegeben.

3.36 Lemma. (Bierstedt, Bonet, Galbis [17] Lemma1) Sei Geine offene

und kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1. F¨

ur f∈H(G)und z∈Ghat

man stets

|[Sn(f)](z)| ≤ max

|λ|=1 |f(λz)|

f¨

ur jedes n∈N0, wobei mit Sn(f)die Ces`aro-Mittel der Partialsummen der

Taylorreihe von fum 0 bezeichnet werden.

Die folgende Proposition und ihr Beweis sind ebenfalls [17] entnommen.

Der Beweis wird hier notiert, da er im folgenden ben¨

otigt wird.

3.37 Proposition. (Bierstedt, Bonet, Galbis [17]) Seien Geine offene und

kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1, und W= (wn)n∈Neine wachsende

Folge nicht negativer stetiger und radialer Funktionen auf G. Es sei angenom-

men, daß HW0(G)alle Polynome enth¨

alt. Dann gilt Bn⊂Bn,0

co f¨

ur jedes

n∈N.

Beweis. Fixiere zun¨

achst n∈Nund w¨

ahle dann ein beliebiges, aber festes

f∈Bn. Wie bereits erw¨

ahnt, konvergiert (Sk(f))k∈Ngegen fgleichm¨

aßig

auf jeder kompakten Teilmenge von G. Lemma 3.36 und die Tatsache, daß

wnradial ist, liefern nun die Absch¨

atzung

wn(z)|[Sk(f)](z)| ≤ wn(z)max

|λ|=1 |f(λz)|= max

|λ|=1 wn(λz)|f(λz)| ≤ 1,

da fnach Voraussetzung ein Element von Bnist. Schließlich folgt Sk(f)∈

Bn∩HW0(G) f¨

ur jedes k∈Nund damit auch f∈Bn∩HW0(G)co ⊂

Bn,0

co.

Bei der folgenden Proposition handelt es sich um einen Spezialfall des

eben Betrachteten.

3.38 Proposition. (Bierstedt, Bonet, [12] Proposition 11) Sei weine strikt

positive stetige radiale und schnell fallende Funktion auf C. Dann ist Bweine

Teilmenge von Bw,0

co.

Im folgenden werden Beispiele f¨

ur Bn=Cn

co f¨

ur jedes n∈Ngegeben.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 40

3.39 Proposition. (Bierstedt, Bonet, Galbis [17]) Seien Geine offene und

kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1, und W= (wn)n∈Neine wachsende

Folge nicht negativer stetiger und radialer Funktionen auf G. Es sei angenom-

men, daß HW(G)alle Polynome enth¨

alt. Dann gilt Bn⊂Cn

co f¨

ur jedes

n∈N.

Beweis. Fixiere zun¨

achst n∈Nund w¨

ahle dann ein beliebiges, aber festes

f∈Bn. Mit Hilfe derselben Argumentation wie im Beweis des vorhergehen-

den Satzes erh¨

alt man schließlich Sk(f)∈Bn∩HW(G) f¨

ur jedes k∈Nund

damit auch f∈Bn∩HW(G)co =Cn

co.

Die Ideen zu den folgenden beiden Propositionen stammen aus [45] (siehe

dort Theorem 4.2.1 und 4.2.3).

3.40 Proposition. Sei G⊂Cdie obere Halbebene. Ferner sei W= (wn)n∈N

eine wachsende Folge stetiger strikt positiver und beschr¨

ankter Funktionen

auf G, die zus¨

atzlich noch die folgenden Bedingungen erf¨

ullen:

(i) Jedes wnverschwindet auf der reellen Achse.

(ii) F¨

ur jedes n∈Nund jedes δ > 0ist infIm(z)>δ wn(z)>0.

(iii) F¨

ur jedes n∈Ngibt es 0< r0=r0(n)<1mit wn(z)≤wn(z+ir)f¨

jedes z∈Gund jedes 0< r ≤r0.

Dann gilt Bn=Bn∩HW(G)co =Cn

co f¨

ur jedes n∈N.

Beweis. Fixiere dazu n∈N,k0∈Nmit 1

k0≤r0und f∈Bn. Definiere

fk(z) := fz+i

k

f¨

ur jedes k∈N. Dann ist jedes fkmit fholomorph auf Gund wegen i

k→0

f¨

ur k→ ∞ konvergiert (fk)k∈Ngleichm¨

aßig auf jeder kompakten Teilmenge

von Ggegen f. W¨

ahle k∈Nmit k≥k0beliebig, aber fest, und beweise,

daß fkzu HW(G) geh¨

ort.

Dazu ist zu zeigen, daß fkf¨

ur jedes m∈Nin Hwm(G) liegt. Fixiere also

m∈N. Da wmnach Voraussetzung auf Gbeschr¨

ankt ist, gibt es M > 0 mit

wm(z)≤Mf¨

ur jedes z∈G. Ferner existiert wegen (ii) zu jedem n∈Nein

ξn>0 mit wn(z)≥ξnf¨

ur jedes z∈G. Damit hat man

sup

z∈G

wm(z)|fk(z)|= sup

z∈G

wm(z)

fz+i

k

≤sup

z∈G

wm(z)

wnz+i

kwnz+i

k

fz+i

k

≤sup

z∈G

wm(z)

wn(z+i

k)≤M

ξn

<∞.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 41

Folglich ist fkein Element von Hwm(G) und damit auch von HW(G).

Es bleibt zu zeigen, daß fkzu Bngeh¨

ort. Es gilt wegen (iii)

sup

z∈G

wn(z)|fk(z)|= sup

z∈G

wn(z)

fz+i

k

≤sup

z∈G

wnz+i

k

fz+i

k

≤sup

z∈G

wn(z)|f(z)| ≤ 1,

weil fnach Voraussetzung ein Element von Bnist. Also gilt fk∈Bn∩HW(G)

und damit f∈Bn∩HW(G)co.

3.41 Beispiel. Sei G={z∈C; Im(z)>0}und W= (wn)n∈Ndurch

wn:G→C;z→(f(Im(z))enIm(z),Im(z)≤1

f(1)en,Im(z)>1,

wobei f:R+→Reine beliebige stetige strikt positive monoton wachsende

Funkton mit f(0) = 0 ist.

Dann ist W= (wn)n∈Ngem¨

aß Definition eine wachsende Folge strikt posi-

tiver, stetiger Funktionen auf G, so daß jedes wnauf der reellen Achse ver-

schwindet.

Fixiere jetzt n∈N. Dann hat man f¨

ur beliebiges δ > 0 die Absch¨

atzung

infIm(z)>δ wn(z) = |f(δ)|enδ >0.Es bleibt zu pr¨

ufen, ob Bedingung (iii) aus

Proposition 3.40 erf¨

ullt ist. W¨

ahle r0:= 2

3und 0 < r < r0beliebig, aber fest.

1. Fall: Sei Im(z)≤1 und damit wn(z) = f(Im(z))enIm(z).

Falls Im(z+ir)≤1 und wn(z+ir) = f(Im(z+ir))enIm(z+ir)gilt, so hat

man wn(z+ir) = f(Im(z) + r)en(Im(z)+r)≥f(Im(z))enIm(z)=wn(z).Wenn

aber Im(z+ir)>1 und daher wn(z+ir) = f(1)enerf¨

ullt ist, so folgt

wn(z+ir) = f(1)en≥f(Im(z))enIm(z)=wn(z).

2. Fall: Es gelte Im(z)>1 und damit wn(z) = f(1)en.

Dies impliziert wn(z+ir) = f(1)en=wn(z).

Damit sind alle Voraussetzungen zur Anwendung der Proposition erf¨

ullt.

3.42 Proposition. Sei Gein Streifen der Form G={z∈C;|Im(z)|< δ}

f¨

ur δ > 0, und W= (wn)n∈Neine wachsende Folge stetiger strikt positiver

beschr¨

ankter Funktionen auf G, die zus¨

atzlich die folgenden Eigenschaften

hat:

(i) Jedes wnverschwindet auf dem Rand von G.

(ii) F¨

ur jedes n∈Nund jedes 0< ε < δ ist infδ−ε>Im(z)>−δ+εwn(z)>0.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 42

(iii) F¨

ur jedes n∈Nexistiert 0< r0=r0(n)<1mit wn(z)≤wn(rz)f¨

jedes r0≤r≤1und jedes z∈G.

Dann ist Bn=Bn∩HW(G)co =Cn

co f¨

ur jedes n∈N.

Beweis. Fixiere n∈N,k0∈Nmit 1 −1

k0≥r0und f∈Bn. Definiere

fk(z) := f1−1

kz

f¨

ur k∈Nund z∈G. Dann ist jedes fkmit fholomorph auf G, und

wegen (1 −1

k)→1 f¨

ur k→ ∞ konvergiert (fk)k∈Nauf jeder kompakten

Teilmenge von Ggegen f. Fixiere jetzt k∈N,k≥k0und zeige, daß fk

zu HW(G) geh¨

ort. W¨

ahle dazu ein beliebiges, aber festes m∈N. Da wm

nach Voraussetzung auf Gbeschr¨

ankt ist, gibt es M > 0 mit wm(z)≤Mf¨

jedes z∈G. Ferner existiert wegen (ii) zu jedem n∈Nein ξn>0, so daß

wn(z)≥ξnf¨

ur jedes z∈G. Es gilt demnach:

sup

z∈G

wm(z)|fk(z)|= sup

z∈G

wm(z)

f1−1

kz

= sup

z∈G

wm(z)

wn1−1

kzwn1−1

kz

f1−1

kz

≤sup

z∈G

wm(z)

wn((1 −1

k)z)≤M

ξn

<∞.

Folglich ist fkein Element von HW (G). Es bleibt zu zeigen, daß fkzu Bn

geh¨

ort. Es gilt wegen (iii)

sup

z∈G

wn(z)|fk(z)| ≤ sup

z∈G

w1−1

kz

f1−1

kz

≤sup

z∈G

wn(z)|f(z)| ≤ 1,

weil f∈Bnnach Voraussetzung ist. Damit folgt die Behauptung.

3.43 Beispiel. Sei Gein Streifen der Form G={z∈C;|Im(z)|< δ},δ > 0,

und W= (wn)n∈Ndurch wn:G→C, z →(f(δ)−f(|Im(z)|))en(δ−| Im(z)|),

wobei f:R+→Reine beliebige, aber feste, strikt positive stetige und streng

monoton wachsende Funktion ist.

Dann ist W= (wn)n∈Ngem¨

aß Definition eine wachsende Folge strikt positiver

stetiger und beschr¨

ankter Funktionen auf G.

Desweiteren erh¨

alt man f¨

ur jedes n∈N

wn(z) = (f(δ)−f(|Im(z)|))en(δ−| Im(z)|)

≤(f(δ)−f(r|Im(z)|))en(δ−r|Im(z)|)=wn(rz)

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 43

f¨

ur jedes 0 <r<1 und jedes z∈G. Ferner ist lim|Im(z)|→δwn(z) = 0.

Außerdem gilt f¨

ur jedes ε > 0 die Absch¨

atzung

inf−δ+ε<Im(z)<δ−εwn(z) = (f(δ)−f(|δ−ε|))enε >0.Eine Anwendung von

Proposition 3.42 liefert dann Bn=Bn∩HW(G)co f¨

ur jedes n∈N.

3.5 Beispiele nicht-distinguierter gewichteter

Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen

Die Idee zur Konstruktion des folgenden Beispiels wurde [28] entnommen.

F¨

ur eine kompakte Menge K⊂C, die der Abschluß ihres Inneren ist, beze-

ichne A(K) die (sup-Norm-)Banachalgebra aller auf Kstetigen Funktionen,

die auf dem Inneren von Kholomorph sind.

Desweiteren wird in diesem Abschnitt angenommen, daß die folgenden Vo-

raussetzungen erf¨

ullt sind.

(a) Sei G⊂Cein beschr¨

anktes Gebiet mit Abschluß Kund Rand ∂G.

(b) Es gibt eine diskrete Folge (zj)j∈N⊂∂G verschiedener Peak-Punkte

von A(K) in ∂G, die gegen ein Element z∞von ∂G konvergiert.

Funktionen auf G, derart daß jedes wneine stetige Fortsetzung unauf

K\{z∞}hat und daß zu jedem n∈Nein bn>0 mit |un| ≤ bnauf

K\{z∞}existiert.

(d) Die K¨

othematrix A= (an)n∈Nist definiert durch an(j) := un(zj) f¨

jedes j, n ∈N. O.B.d.A. wird a1(j)≤1 f¨

ur jedes j∈Nangenommen.

Es bezeichne

λ∞(A) := x= (xj)j∈N;pn(x) := sup

j∈N

an(xj)|xj|<∞f¨

ur jedes n∈N.

Unter der Topologie, die durch die Folge (pn)n∈Nvon Halbnormen gegeben

wird, ist λ∞(A) ein Fr´echetraum. Eine Nullumgebungsbasis ist bestimmt

durch (1

nEn)n∈N, wobei

En:= {x∈λ∞(A); pn(x)≤1}, n ∈N.

O.B.d.A. gen¨

ugt es allerdings, (En)n∈Nzu betrachten.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 44

Der folgende Satz stammt von Garnir, de Wilde und Schmets (siehe dazu

[39]). In der hier angef¨

uhrten Form ist er allerdings in [23] Theorem 2.10 zu

finden.

3.44 Satz. (Garnir, de Wilde, Schmets)

Sei Eein vollst¨

andiger lokalkonvexer Raum. Sei T∈L(E)ein Operator

derart, daß es ein U∈ U0(E)gibt, so daß (T−Id)(U)beschr¨

ankt in Eist

und (T−Id)(U)⊂αU f¨

ur ein 0<α<1gilt. Dann ist Tein Isomorphismus

auf.

Die im Anschluß angegebene Proposition wurde [47] entnommen und

entspricht dort Proposition 2.7.3.

3.45 Proposition. Seien Eund Ftopologische Vektorr¨

aume und feine

stetige Abbildung von Ein F. Dann gibt es genau dann eine Abbildung gvon

Fin E, so daß g◦fdie Identit¨

at IdEvon Eauf sich selbst ist, wenn fein

injektiver strikter Morphismus ist und f(E)ein topologisches Supplement in

Fhat.

3.46 Satz. Der Raum λ∞(A)ist isomorph zu einem komplementierten Un-

terraum von HW(G).

Beweis. Aufgrund der Stetigkeit der Gewichte kann man f¨

ur jedes j∈Neine

abgeschlossene Umgebung Ujvon zjin Kw¨

ahlen, so daß Uj∩Ui=∅f¨

i6=j, limj→∞ diam Uj= 0 und

2un(zj)≤wn(z)≤2un(zj) f¨

ur jedes 1 ≤n≤jund jedes z∈Uj∩G.

(3.13)

W¨

ahle jetzt eine Folge (εj)j∈Nmit

0< εj< a1(j)2−j−1f¨

ur jedes j∈Nund X

j∈N

εj=: ε < ∞.(3.14)

Wegen (b) gibt es zu jedem j∈Nein gj∈A(K) mit gj(zj) = 1 und

|gj(z)|<1 f¨

ur jedes z∈Kmit z6=zj. Bezeichnet man mit Cjden Abschluß

von K\Uj, so ist gjeine stetige Funktion auf der kompakten Menge Cj, und

die Folge der Potenzen (|gj|k)k∈Nist eine fallende Folge stetiger Funktionen

auf Cj, so daß limk→∞ gk

j(z) = 0 f¨

ur jedes z∈Cj.

Nach dem Satz von Dini existiert zu jedem j∈Nein k(j)∈Nmit

|gk(j)

j(z)| ≤ εjf¨

ur jedes z∈Cj.

Setze f¨

ur jedes j∈Njetzt ej:= gk(j)

j. Dann gilt f¨

ur jedes j∈N

ej∈A(K), ej(zj) = 1 und |ej(z)| ≤ εjf¨

ur jedes z∈K\Uj.(3.15)

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 45

Wegen limz→zjej(z) = ej(zj) = 1 f¨

ur jedes j∈Nkann man eine offene

Teilmenge Vjvon Uj∩Gmit



µ(Vj)ZVj

ej(z)dµ(z)−1

≤εjund inf

z∈Vj

wk(z)>0 (3.16)

finden. Hier bezeichnet µdas Lebesgue-Maß. Aus den Voraussetzungen zusam-

men mit Ungleichung (3.13) erh¨

alt man die folgenden Eigenschaften:

(i) F¨

ur jedes k, j ∈Ngilt: supz∈Uj∩Gwk(z)≤2ak(j).

(ii) F¨

ur jedes k, j ∈Ngilt: ak(j)≤2 infz∈Vjwk(z).

Definiere jetzt die offenbar linearen Abbildungen

ψ:λ∞(A)→HW(G), ψ(x) = X

j∈N

xjej,

φ:HW(G)→λ∞, φ(f) := 1

µ(Vj)ZVj

f(z)dµ(z)!j∈N

Beide Abbildungen sind wohldefiniert und stetig. Dies wird zun¨

achst f¨

ur ψ

gezeigt. Fixiere x∈λ∞(A). Dann gibt es C > 0 mit |xj| ≤ Ca1(j)−1f¨

jedes j∈N. F¨

ur jedes z0∈K,z06=z∞, gibt es j0und eine Umgebung W

von z0mit W∩Uj=∅f¨

ur j≥j0. Falls zzu Wgeh¨

ort, so hat man

j≥j0

|xjej(z)| ≤ CX

j≥j0

a1(j)−1εj≤CX

j≥j0

2−j−1,

und die Reihe, die ψ(x) definiert, konvergiert (absolut und) gleichm¨

aßig

auf W. Dies impliziert ψ(x)∈H(G), und ψ(x) ist stetig auf K\{z∞}f¨

jedes x∈λ∞(A). Um ψ(x)∈HW(G) ebenso wie die Stetigkeit von ψ

nachzuweisen, fixiere ein n∈N. Es gelte f¨

ur x∈λ∞(A) die Ungleichung

supj∈Nan(j)|xj| ≤ 1. F¨

ur z∈Gsind die folgenden F¨

alle zu unterscheiden:

(a) zgeh¨

ort zu keiner der Umgebungen Uj. Dies liefert die Absch¨

atzung:

wn(z)X

j∈N

xjej(z)

≤wn(z)X

j∈N

|xj||ej(z)| ≤ bnX

j∈N

|xj|εj

≤bnX

j∈N

|xj|a1(j)2−j−1≤bnsup

j∈N

a1(j)|xj|X

j∈N

2−j−1

≤bnsup

j∈N

a1(j)|xj|.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 46

(b) Es gibt ein j0∈Nmit z∈Uj0. Dann gilt mit einer ¨

ahnlichen Ab-

sch¨

atzung wie im ersten Fall wegen (i):

wn(z)X

j∈N

xjej(z)

≤wn(z)|xj0ej0(z)|+wn(z)X

j6=j0

|xjej(z)|

≤2an(j0)|xj0|+bnX

j6=j0

|xj|εj

≤2Ca1(j0)|xj0|+bnsup

j6=j0

a1(j)|xj|

≤(2 + bn) sup

j∈N

a1(j)|xj|.

Zeige nun, daß φebenfalls wohldefiniert und stetig ist. F¨

ur ein gegebenes f∈

HW(G) zeige φ(f)∈λ∞(A) (die Absch¨

atzungen liefern auch die Stetigkeit).

F¨

ur jedes k∈Nund jedes j∈Nhat man

ak(j)1

µ(Vj)ZVj

f(z)dµ(z)

≤

(ii)

µ(Vj)ZVj

wk(z)|f(z)|dµ(z)

≤2 sup

z∈G

wk(z)|f(z)|<∞.

Im folgenden soll Satz 3.44 auf T=φψ angewandt werden. Dazu ist nachzurech-

nen, daß Tdie Voraussetzungen des Satzes erf¨

ullt. F¨

ur x= (xj)j∈N∈λ∞(A)

gilt (φψ −Id)(x) =: (yj)j∈Nmit

yj= 1

µ(Vj)ZVj

ej(z)dµ(z)−1!xj+X

k6=j

µ(Vj)ZVj

ek(z)dµ(z)

f¨

ur jedes j∈N. Mit (3.15) und (3.16) erh¨

alt man

|yj| ≤ 

µ(Vj)ZVj

ej(z)dµ(z)−1

|xj|+X

k6=j

|xj|

µ(Vj)ZVj

ek(z)dµ(z)

≤εj|xj|+X

k6=j

|xk|sup

z∈Vj

|ek(z)| ≤ X

k∈N

εk|xk|,

und die letzte Reihe konvergiert wegen (3.14) und x∈λ∞(A):

k∈N

εk|xk| ≤ X

k∈N

2−k−1|xk|a1(k)≤1

2p1(x).

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 47

Zeige zun¨

achst, daß (φψ −Id)(E1) beschr¨

ankt in λ∞(A) ist.

Fixiere dazu ein x∈E1ebenso wie ein k∈N. Dann folgt

sup

j∈N

ak(j)|yj| ≤ bksup

j∈N

|yj| ≤ bk

2p1(x)≤bk

Also folgt (φψ −Id)(E1)⊂2

bkEk, und damit ist (φψ −Id)(E1) in λ∞(A)

beschr¨

ankt.

Zeige jetzt (φψ −Id)(E1)⊂1

2E1. W¨

ahle ein x∈E1beliebig, aber fest. Dann

folgt

sup

j∈N

a1(j)|yj| ≤ sup

j∈N

|yj| ≤ X

k∈N

εk|xk| ≤ 1

2p1(x).

Damit ergibt sich (φψ −Id)(E1)⊂1

2E1. Wegen Id|λ∞(A)= (φψ)(φψ)−1=

φ(ψ(φψ)−1) und Proposition 3.45 folgt dann das Gew¨

unschte.

3.47 Satz. Zu jedem Raum λ∞(A)existiert eine Folge W= (wn)n∈Nstrikt

positiver stetiger Funktionen auf D, so daß λ∞(A)ein komplementierter Un-

terraum von HW(D)ist.

Beweis. Es sei eine K¨

othematrix A= (an)n∈Nmit an= (an(j))j∈Ngegeben

und setze a:= (an(n))n∈N. Definiere nun eine K¨

othematrix A0= (a0

n)n∈N

durch

n:= an

a=an(j)

aj(j)j

f¨

ur jedes n∈N. Dann gilt an(j)

aj(j)≤1 f¨

ur jedes j≥n. Daher ist jedes a0

beschr¨

ankt durch

λn:= max 1,an(1)

a1(1), ..., an(n−1)

an−1(n−1)und a0

1(j)≤1 f¨

ur jedes j∈N.

Nat¨

urlich gilt λ∞(A)∼

=λ∞(A0). Da die K¨

othematrix A0= (a0

n)n∈Nalle am

Anfang dieses Abschnitts geforderten Voraussetzungen erf¨

ullt und Dden an

Ggestellten Anforderungen gen¨

ugt, kann nun eine Folge W= (wn)n∈Nstrikt

positiver, stetiger Funktionen auf Dkonstruiert werden, derart daß jedes wn

eine stetige Fortsetzung unauf D\{z∞}mit un(zj) = a0

n(j) hat und daß zu

jedem n∈Nein bn>0 mit |un| ≤ bnauf D\{z∞}existiert. Eine Anwendung

von Satz 3.46 liefert dann das Gew¨

unschte.

3.48 Satz. Sei A= (an)n∈Neine K¨

othematrix auf einem diskreten Raum X.

Dann sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) λ∞(A)ist distinguiert.

3 Gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher Funktionen 48

(b) λ1(A)ist distinguiert.

ugt der Bedingung (D).

Beweis. Die ¨

Aquivalenz der Aussagen (a) und (b) folgt unmittelbar aus [4]

Korollar 5, w¨

ahrend [19] Theorem 2.3 die Implikation (c) =⇒(b) liefert.

(b) =⇒(c) ergibt sich aus [10] Theorem 2.6.

Ein Beispiel ist das K¨

othe-Grothendieck-Beispiel (siehe dazu z.B. [50]).

3.49 Satz. Sei die K¨

othematrix A= (an)n∈Nauf N×Ndurch

an= (an(k, j))k,j∈Nmit

an(k, j) := (jk,f¨

ur n≤k

jn,f¨

ur n > k.

gegeben. Dann ist λ∞(A)nicht distinguiert.

3.50 Bemerkung. Der Vollst¨

andigkeit halber sei gesagt, daß die Bidualit¨

HW(G) = HW0(G)00

bb f¨

ur eine offene Menge G⊂CN,N≥1, nach [12]

Proposition 10 die Distinguiertheit des Raumes HW0(G) nach sich zieht.

An dieser Stelle sei erw¨

ahnt, daß man mit Hilfe einer Methode von Mat-

tila, Saksman und Taskinen (siehe [54]) zeigen kann, daß unter gewissen Vo-

raussetzungen an die Gewichte gewichtete Fr´echetr¨

aume holomorpher und

harmonischer Funktionen komplementierte Unterr¨

aume von K¨

otheschen Fol-

genr¨

aumen sind. Dies wird hier allerdings nicht ausgef¨

uhrt.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheits-

bedingung

4.1 Notationen und Definitionen

Die folgende Konstruktion stammt aus [14]. Sei Weine Klasse strikt pos-

itiver, stetiger und radialer Gewichte vauf dem Einheitskreis D, so daß

limr→1−v(r) = 0 erf¨

ullt ist und die Einschr¨

ankung von vauf [0,1) nicht

wachsend ist. Es sei angenommen, daß endliche Minima und Multiplikation

von Funktionen aus der Klasse Wmit Skalaren ebenfalls in Wliegen. Wir

nehmen weiter an, daß eine Folge Rn:H(D)→H(D), n∈N, linearer Op-

eratoren existiert, die stetig bzgl. der kompakt-offenen Topologie sind und

derart, daß das Bild jedes Rnein endlichdimensionaler Unterraum der Poly-

nome ist. Es sei auch angenommen, daß RnRm=Rmin(n,m)f¨

ur n, m mit

n6=mgilt und daß f¨

ur jedes Polynom pein n∈Nmit Rnp=pexistiert.

Dann folgt Rmp=pf¨

ur jedes m≥n. Außerdem sei vorausgesetzt, daß es ein

c > 0 mit sup|z|=r|Rnp(z)| ≤ csup|z|=r|p(z)|f¨

ur jedes n∈N, jedes r∈(0,1)

und jedes Polynom pgibt.

Setze schließlich R0:= 0 und rn:= 1 −2−n,n∈N∪ {0}. Dann sei angenom-

men, daß die Klasse Wdie folgenden Bedingungen erf¨

ullt:

(P1) Es gibt C≥1 mit

Csup

n sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!v(rn)≤ kpkv

≤Csup

n sup

|z|=rn

|(Rn+1 −Rn)p(z)|!v(rn)

f¨

ur jedes v∈ W und jedes Polynom p.

(P2) F¨

ur jedes v∈ W existiert D(v)≥1, so daß man f¨

ur jede Folge (pn)n∈N

von Polynomen, von denen nur endlich viele ungleich null sind, die

Ungleichung

sup

z∈D

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pn(z)

v(z)≤D(v) sup

k sup

|z|=rk

|pk(z)|!v(rk)

erh¨

alt.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 50

Ein Beispiel f¨

ur die obige Konstruktion findet sich in [14] Abschnitt 4:

Dort bezeichnet f¨

ur gegebenes ε0>0 und k(0) ∈N,W=W(ε0, k(0))

die Menge aller strikt positiven, stetigen und radialen Gewichte auf D, die

limr→1−v(r) = 0 erf¨

ullen, nicht wachsend auf [0,1) sind und den folgenden

Bedingungen gen¨

ugen:

(L1) infk∈N

v(rk+1)

v(rk)≥ε0,

(L2) lim supk→∞

v(rk+k(0))

v(rk)<1−ε0.

Wie in [53] S. 310 wird der Operator Rn,n∈N, f¨

ur eine holomorphe Funktion

fauf D,f(z) = P∞

k=0 akzk, als Faltung mit dem de la Vall´ee-Poussin-Kern

definiert, d. h.

Rn(f) :=

k=0

akzk+

2n+1

k=2n+1

2n+1 −k

2nakzk.

Dabei ist Rnnichts anderes als das arithmetische Mittel der Partialsummen

der Indizes 2n, ..., 2n+1 −1 der Taylorreihe von f. F¨

ur einen Beweis, daß diese

Wahl tats¨

achlich alle verlangten Eigenschaften hat, siehe [14] Abschnitt 4.

Im folgenden bezeichne W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver

stetiger Funktionen auf D, derart daß jedes wnein Element von Wist.

Wie in Kapitel 3 werden nun die gewichteten Fr´echetr¨

aume holomorpher

Funktionen

HW(D) = {f∈H(D); kfkn:= sup

z∈D

wn(z)|f(z)|<∞ ∀n∈N},

HW0(D) = {f∈H(D); wn|f|verschwindet in ∞auf D∀n∈N}

betrachtet.

Betrachte nun die folgenden Beispiele. Man kann leicht nachrechnen,

daß jedes dieser Beispiele alle oben verlangten Eigenschaften hat. Sei W=

(wn)n∈Ngegeben durch

(a) wn(z) = (1 − |z|)αe(1−|z|)1

n,n∈N,z∈D,α > 0.

Fixiere n∈Nund m > n. Wegen wn(z)

wm(z)=e(1−|z|)1

e(1−|z|)1

m=e(1−|z|)1

n−(1−|z|)1

gilt lim|z|→1wn(z)

wm(z)=e0= 1, d.h. wn

wmverschwindet nicht im Unendlichen

auf D. Daher ist Bedingung (S0) nicht erf¨

ullt.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 51

(b) wn(z) = (1 − |z|)β+1

n,n∈N,z∈D,β > 0.

F¨

ur beliebiges, aber festes n∈Nund m > n gilt wn(z)

wm(z)= (1−|z|)1

n−1

(1−|z|)m−n

mn . Daher verschwindet wn

wmim Unendlichen auf D, und What

(S0). Der zugeh¨

orige Fr´echetraum ist also Schwartz.

Fixiere n∈Nund m > n. Dann ergibt sich wn(z)

wm(z)=|ln(1−|z|)n|

|ln(1−|z|)m|=n

und dies verschwindet nicht im Unendlichen auf D. Daher ist (S0) in

diesem Fall nicht erf¨

ullt.

4.2 Quasinormabilit¨

In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die in Abschnitt 1.3 angegebenen

notwendigen Bedingungen f¨

ur die Quasinormabilit¨

at unter den in diesem

Kapitel angenommenen Voraussetzungen auch hinreichend (und damit ¨

aquiv-

alent zueinander) sind. Desweiteren kann unter gewissen Zusatzvoraussetzun-

gen gezeigt werden, daß Quasinormabilit¨

at und (QNo) f¨

ur HW0(G)¨

aquiva-

lente Bedingungen sind.

4.1 Lemma. Seien Eein lokalkonvexer Raum und Fein dichter Unterraum

von E. Ist Fquasinormabel, so hat auch Ediese Eigenschaft.

Beweis. Fixiere eine Nullumgebungsbasis Uin F. Dann ist durch

U:= {U;U∈ U}

eine Nullumgebungsbasis in Edefiniert, da nach Voraussetzung Fdicht in

Eliegt.

Weil Fquasinormabel ist, gibt es nach [48] Proposition 10.7.1 zu jedem

U∈ U ein V⊂U, V ∈ U, so daß f¨

ur jedes λ > 0 eine beschr¨

ankte Menge

B⊂Fmit V⊂B+λU existiert. Dann folgt V⊂B+λU ⊂B+λU. Da B

in Ebeschr¨

ankt ist, ist Equasinormabel.

Die Umkehrung der Aussage der Proposition 4.1 ist nicht richtig. In [24]

Abschnitt 5 (siehe dazu S. 207) konstruierten Bonet und Dierolf, ausgehend

von einem klassischen Beispiel von Amemiya (siehe [1]), Beispiele reflexiver

quasinormabler Fr´echetr¨

aume mit einem dichten Unterraum, der nicht dis-

tinguiert ist, also auch nicht quasinormabel sein kann.

Im folgenden wird Lemma 4.1 ebenso wie die von Bierstedt und Bonet in

[14] entwickelte Methode zur Zerlegung holomorpher Funktionen dazu be-

nutzt, eine Charakterisierung der Quasinormabilit¨

at des Raumes HW(D) zu

geben.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 52

4.2 Satz. Sei W= (wn)n∈N⊂ W eine wachsende Folge strikt positiver

stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome Pin HW0(D)enthalten

sind. Dann sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW0(D)ist quasinormabel.

(b) Zu jedem n∈Ngibt es m > n, so daß f¨

ur jedes k > n und jedes ε > 0

ein λ > 0mit

Cm,0⊂λCk,0+εCn,0existiert.

ur jedes k > n und jedes µ > 0

ein ξ > 0mit

1

wm∼

≤ξ

+µ

auf Dexistiert.

(d) Zu jedem n∈Ngibt es m > n, so daß f¨

ur jedes α > 0ein w∈Wmit

1

wm∼

≤w+α

auf Dexistiert.

Beweis. (a) ⇐⇒ (b): Dies ist [22] Theorem.

(a) =⇒(d): Dies wurde bereits unter allgemeineren Voraussetzungen gezeigt.

Siehe dazu Proposition 3.22.

(d) =⇒(c): Siehe dazu Proposition 3.23.

HW0(D).Es sei Aussage (c) erf¨

ullt. Fixiere n∈N. Dann gibt es wegen (c)

m∈Nmit m > n. W¨

ahle außerdem k∈N,k > n, und ε > 0 beliebig,

aber fest. Setze µ:= ε

(2c2+D2)2C, wobei cund Cdie Konstanten aus Ab-

schnitt 4.1 sind und D2=D(wn) wie in Bedingung (P2) gew¨

ahlt ist. (c)

liefert zu dem so gew¨

ahlten µdann ξ. Da Pdicht in HW0(D) liegt, gen¨

ugt

es wegen Lemma 4.1, die Polynome zu betrachten. Fixiere p∈ P ∩ Cm,0.

Dann ist |p| ≤ 1

wmund damit auch |p| ≤ 1

wm∼auf D. (c) impliziert daher

1

wm∼≤ξ

wk+µ

wn≤max 2ξ

wk,2µ

wnauf D.

Setze jetzt u= min wk

2ξ,wn

2µ. Gem¨

aß der Voraussetzung an Wist uein El-

ement der Klasse W, und es gilt |p| ≤ 1

wm∼≤max 2ξ

wk,2µ

wn=1

uund

damit u|p| ≤ 1 auf D.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 53

Zur Vereinfachung der Notation schreibe κ1:= 1

2ξ, κ2:= 1

2µ, u1:= wk, u2:=

wn. Also u= min (κ1u1, κ2u2).

Man hat p=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)p=R1p+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p, und die Summe

ist endlich.

Wegen der Bedingung vor (P1) und der Absch¨

atzung von u|p|erh¨

alt man

u(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)| ≤ cu(r1) sup

|z|=r1

|p(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1,2}mit u(r1) = κiui(r1). Mit der zweiten Ungleichung

in (P1), angewandt auf das Polynom R1pund wiund noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man

sup

z∈D

ui(z)|R1p(z)| ≤ Csup

ui(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+1 −Rn)R1p(z)|!

=Cui(r1) sup

|z|=r1

|(R2−R1)R1p(z)|

=C(κi)−1u(r1) sup

|z|=r1

|(R2−R1)R1p(z)|

≤2cC(κi)−1u(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)|

≤2c2C(κi)−1.

Also ist R1p∈2Cc2(κi)−1Ci,0, d.h. R1p∈4Cc2ξCk,0bzw. R1p∈4Cc2µCn,0.

Betrachte jetzt den anderen Term p−R1p=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p. Wende

die erste Ungleichung in (P1) f¨

ur uan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur u|p|,

um die Absch¨

atzung

u(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!≤C(4.1)

zu erhalten. Nkann als disjunkte Vereinigung J1∪J2mit

u(rj) = κ1u1(rj) f¨

ur j∈J1und u(rj) = κ2u2(rj) f¨

ur j∈J2

dargestellt werden. Setze jetzt gi=Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)pf¨

ur i= 1,2. Dann

ist jedes giein Polynom und p−R1p=g1+g2. Fixiere i∈ {1,2}. Sei

n:= (Rn+2 −Rn−1)pf¨

ur n∈Jiund pi

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

gi=X

n∈Ji

(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)p=

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 54

und alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)|= sup

z∈D

ui(z)

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

n

Da nur endlich viele pi

nungleich null sind und alle Gewichte zur Klasse W

geh¨

oren, liefert eine Anwendung von (P2) und (4.1)

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)| ≤ Disup

n sup

|z|=rn

|pi

n(z)|!ui(rn)

≤Disup

n∈Ji sup

|z|=rn

|pi

n(z)|!ui(rn)

=Disup

n∈Ji sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!ui(rn)

≤Di(κi)−1sup

n∈Ji sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!ui(rn)

≤Di(κi)−1C.

Folglich ge¨

ort g1zu 2ξD1CCk,0und g2zu 2µD1CCn,0. Also folgt

p=R1p+g1+g2∈(2c2+D1)2ξCCk,0+ 2D2µCCn,0

⊂(2c2+D1)2ξCCk,0+ (2c2+D2)2µCCn,0

= (2c2+D1)2ξCCk,0+εCn,0bzw.

p=R1p+g1+g2∈2D1ξCCk,0+ (2c2+D2)2µCCn,0

⊂(2c2+D1)2ξCCk,0+εCn,0.

Setze λ:= (2c2+D1)2ξC. Dies impliziert die Behauptung.

4.3 Korollar. Es seien die Voraussetzungen von Satz 4.2 gegeben. Ferner

sei Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W. Dann sind die ¨

aquivalenten Aussagen

(a),(b),(c),(d)aus Satz 4.2 genau dann erf¨

ullt, wenn HW(D)quasinormabel

ist.

Beweis. Nach Proposition 3.24 ist HW(D) genau dann quasinormabel, wenn

HW0(D) quasinormabel ist.

4.4 Beispiel. Die Folge W= (wn)n∈Nmit wn(z) = (1−|z|)αe(1−|z|)1

n,n∈N,

z∈D, erf¨

ullt zwar -wie bereits gezeigt wurde- nicht die Bedingung (S0) (vgl.

Beispiel (a)), aber sie gen¨

ugt der Bedingung (d) aus dem obigen Korollar.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 55

Fixiere dazu n∈Nund w¨

ahle m=n+ 1. F¨

ur ein beliebiges, aber festes

k∈N,k > n, und µ > 0 w¨

ahle ξ=e. Dann gilt

e(1−|z|)1

n+1

≤1≤e

e(1−|z|)1

+µ

e(1−|z|)1

Damit ist (d) erf¨

ullt.

4.5 Beispiel. Betrachte W= (wn)n∈Nmit wn(z) = (1 − |z|)|ln(1 − |z|)n|,

n∈N,z∈D(vgl. Beispiel (c)). W¨

ahle dazu n∈Nbeliebig, aber fest und

setze m:= n+ 1. Fixiere dann k∈N,k > n, ebenso wie µ > 0 und w¨

ahle

ξ=k. Dann gilt

|ln(1 − |z|)n+1|≤1

|ln(1 − |z|)|=1

|ln(1 − |z|)k

k|=1

k|ln(1 − |z|)k|

≤k

|ln(1 − |z|)k|+µ

|ln(1 − |z|)n|

Das folgende Lemma stammt aus [61] und ist dort unter Proposition

3.3.(5) zu finden:

4.6 Lemma. (Peris) Falls Eein lokal vollst¨

andiger lokalkonvexer Raum und

Fein dichter Unterraum von Eist, der (QNo)ist, so ist auch E(QNo).

Im folgenden wird mit Hilfe der Methode, die bereits zum Beweis des

vorhergehenden Satzes verwandt wurde, gezeigt, daß unter gewissen Zusatzvo-

raussetzungen die Eigenschaften (QNo) und quasinormabel ¨

aquivalent sind.

Letztendlich erm¨

oglicht es diese ¨

Aquivalenz, dann eine Aussage f¨

ur die Quasi-

normabilit¨

at von R¨

aumen HW0(D×D) zu beweisen.

4.7 Proposition. Sei W= (wn)n∈N⊂ W eine wachsende Folge strikt pos-

itiver stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome Pin HW0(D)liegen

und V:= {1

w;w∈W}eine Teilmenge von Wist. Dann sind die folgenden

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW0(D)ist quasinormabel.

(b) HW0(D)ist (QNo).

Beweis. (b) =⇒(a): Dies folgt aus der Definition (siehe dazu auch [61] Be-

merkungen nach Definition 3.2).

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 56

(a) =⇒(b): Gem¨

aß [17] liegen die Polynome dicht in HW0(D). Nach Propo-

sition 4.2 folgt aus (a) die Bedingung:

(∗) zu jedem n∈Ngibt es m > n, so daß f¨

ur jedes λ > 0 ein w∈Wmit

1

wm∼

≤w+λ

auf D

existiert. Fixiere also zun¨

achst n∈N. Dann liefert (∗) ein m > n. W¨

ahle

ε > 0 beliebig, aber fest. Setze λ:= ε

(2c2+D2)2C, wobei D2=D(wn) ist,

und erhalte gem¨

aß (∗) ein w∈W. Da Pdicht in HW0(D) liegt, gen¨

ugt

es nach Lemma 4.6, die Polynome zu betrachten. Fixiere p∈ P ∩ Cm,0.

Dann ist |p| ≤ 1

wmund damit auch |p| ≤ 1

wm∼auf D. (∗) impliziert daher

1

wm∼≤w+λ

wn≤max 2w, 2λ

wnauf D.

Setze u:= min 1

2w,wn

2λ.Gem¨

aß Voraussetzung ist uein Element der Klasse

W, und es gilt u|p| ≤ 1 auf D. Zur Vereinfachung der Notation schreibe

κ1:= 1

2, κ2:= 1

2λ, u1:= 1

w, u2:= wn. Also u:= min(κ1u1, κ2u2).

Man hat p=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)p=R1p+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p, und die Summe

ist endlich.

Betrachte zun¨

achst den Term R1p. Wegen der Bedingung vor (P1) und der

Absch¨

atzung von u|p|erh¨

alt man

u(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)| ≤ cu(r1) sup

|z|=r1

|p(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1,2}mit u(r1) = κiui(r1). Mit der zweiten Ungleichung

in (P1), angewandt auf das Polynom R1pund ui, und noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|R1p(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Demnach ist R1p∈4c2CCw,0oder R1p∈4c2CλCn,0.

Betrachte jetzt den anderen Term p−R1p=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p. Wende

die erste Ungleichung in (P1) f¨

ur uan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur u|p|,

u(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!≤C(4.2)

f¨

ur jedes n∈Nzu erhalten. Nkann als disjunkte Vereinigung J1∪J2mit

u(rj) = κ1u1(rj) f¨

ur j∈J1und u(rj) = κ2u2(rj) f¨

ur j∈J2

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 57

dargestellt werden. Setze jetzt Tip:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)pf¨

ur i∈ {1,2}. Dann

ist jedes Tipein Polynom mit p−R1p=T1p+T2p. Fixiere i∈ {1,2}. Sei

n:= (Rn+2 −Rn−1)pf¨

ur n∈Jiund pi

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

Tip=X

n∈Ji

(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)p=

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

und alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

ui(z)|Tip(z)|= sup

z∈D

ui(z)

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

n

Da nur endlich viele pi

nungleich null sind, und alle Gewichte zur Klasse W

geh¨

oren, liefert eine Anwendung von (4.5) und (P2) wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|Tip(z)| ≤ Disup

n sup

|z|=rn

|pi

n(z)|!ui(rn)

≤Di(κi)−1C.

Folglich ist T1pElement von 2D1Cw,0, w¨

ahrend T2pzu 2λCCn,0geh¨

ort. Also

folgt

p∈(2c2+D1)2CCw,0+ 2D2CλCn,0oder

p∈2D1CCw,0+ (2c2+D2)2λCCn,0

F¨

uhre nun eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: Es gilt u(r1) = κ1u1(r1). Definiere dann T:P → P durch T(p) =

R1p+T1p. Dann gilt wegen obiger Rechnungen

T(Cm,0∩ P)⊂(2c2+D1)2C(Cw,0∩ P)∈ B(P) und

(Id −T)(Cm,0∩ P)⊂2D2Cλ(Cn,0∩ P)⊂ε(Cn,0∩ P).

2. Fall: Man hat u(r1) = κ2u2(r1). Definiere dann T:P → P durch T(p) =

T1p. Dann erh¨

alt man

T(Cm,0∩ P)⊂2D1C(Cw,0∩ P)∈ B(P) und

(Id −T)(Cm,0∩ P)⊂(2c2+D2)2Cλ(Cn,0∩ P)⊂ε(Cn,0∩ P).

Folglich ist Pund damit auch HW0(D) (QNo).

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 58

Zun¨

achst wird mit Hilfe des folgenden Lemmas die Frage beantwortet,

wann die ”Zusatzvoraussetzung“ des vorhergehenden Satzes erf¨

ullt ist.

4.8 Lemma. Sei W= (wn)n∈Neine wachsende Folge strikt positiver, stetiger

Funktionen auf D. Ferner gebe es Zahlen ε0>0und k0∈Nderart, daß die

folgenden Bedingungen erf¨

ullt sind:

(L1) infk

wn(rk+1)

wn(rk)≥ε0f¨

ur jedes n∈N.

(L2) Es gibt k1∈Nmit

wn(rk+k0)<(1 −ε0)wn(rk)

f¨

ur jedes k≥k1und jedes n∈N.

Dann existiert zu jedem v∈Wein w∈Wmit v≤wund der folgenden

Eigenschaft:

Es gibt eine Folge (βn)n∈Npositiver Zahlen, so daß f¨

ur jedes r > 0ein k(r)∈

Nmit 1

w(z) = 1

min1≤n≤k(r)βn

wn(z)

= max

1≤n≤k(r)

βn

wn(z) (4.3)

f¨

ur jedes z∈Dmit |z| ≤ rexistiert. Ferner gibt es ε2>0und k2∈Nmit

(L1) infk(1

w)(rk+1)

w)(rk)≥ε2.

(L2) lim supk→∞

w)(rk+k2)

w)(rk)<1−ε2.

Dies bedeutet also, daß f¨

ur eine Folge W= (wn)n∈Nmit (L1) und (L2) auch

W⊂ W gilt.

Beweis. Fixiere v∈Wmit v≤wund (4.3). Zeige nun, daß 1

wdie Eigen-

schaften (L1) und (L2) hat. W¨

ahle ε2:= ε0und k2:= k0. Um (L1) zu zeigen,

w¨

ahle k∈Nbeliebig, aber fest und beweise

ε21

w(rk)≤1

w(rk+1).

W¨

ahle nun 0 < rk+1 < s < 1. Dann gilt

w(z)= max

1≤n≤k(s)

βn

wk(z) f¨

ur z∈Dmit |z| ≤ s.

F¨

uhre eine Fallunterscheidung durch:

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 59

(i) Es gelte 1

w(rk) = 1

βjwj(rk) und 1

w(rk+1) = 1

βjwj(rk+1). Dann erh¨

alt

man ε21

w(rk) = ε2

βjwj(rk)≤1

βjwj(rk+1) = 1

w(rk+1).

(ii) Man habe 1

w(rk) = 1

βjwj(rk) und 1

w(rk+1) = 1

βlwl(rk+1).

Es folgt ε21

w(rk) = ε2

βjwj(rk)≤1

βjwj(rk+1)≤1

βlwl(rk+1) = 1

w(rk+1).

Damit ist infk(1

w)(rk)

w)(rk+k1)≥ε2, so daß (L1) erf¨

ullt ist. Es bleibt (L2) zu

zeigen. Dazu ist zu beweisen, daß es N0∈Ngibt, so daß f¨

ur jedes k≥N0

die Ungleichung

1

w(rk+k2)<(1 −ε0)1

w(rk)

erf¨

ullt ist. Nach Voraussetzung existiert k1∈N, so daß f¨

ur jedes k≥k1und

f¨

ur jedes n∈N

wn(rk+k2)<(1 −ε2)wn(rk)

gilt. Fixiere nun k≥k1und w¨

ahle 0 < k +k2< s < 1. Dann gilt

1

w(z) = max

1≤n≤k(s)

βn

wn(z)

f¨

ur jedes z∈Dmit |z| ≤ s.

Setze jetzt N0:= k1und unterscheide die folgenden beiden F¨

alle:

(i) Man habe 1

w(rk+k2) = 1

βjwj(rk+k2) und 1

w(rk) = 1

βjwj(rk). Dies im-

pliziert 1

w(rk+k2) = 1

βjwj(rk+k2)≤(1−ε2)1

βjwj(rk) = (1−ε2)1

w(rk).

(ii) Es gelte 1

w(rk+k2) und 1

w(rk) = 1

βlwl(rk).Dann folgt 1

w(rk+k2) =

βjwj(rk+k2)≤(1 −ε2)1

βjwj(rk)≤(1 −ε2)1

βlwl(rk) = (1 −ε2)1

w(rk).

Daher ist Bedingung (L2) erf¨

ullt. Es folgt die Behauptung.

4.9 Beispiel. Betrachte die Folge W= (wn)n∈Nmit

wn(z) := (1 − |z|)|ln(1 − |z|)n|, z ∈D, n ∈N.

W¨

ahle ε0=1

4und k0= 4. Dann gelten

wn(rk+1)

wn(rk)=2−k−1ln(2−n(k+1))

2−kln(2−nk)=1

k+ 1

k≥1

2>1

4>1

und wn(rk+4)

wn(rk)=2−k−4ln(2−n(k+4))

2−kln(2−nk)=1

k+ 4

k≤5

16 <3

Damit sind (L1) und (L2) erf¨

ullt.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 60

4.10 Definition. Seien U > 0 und V > 0 Nachbin-Familien auf den vollst¨

andig

regul¨

aren R¨

aumen X1bzw. X2. Bezeichne mit u⊗vf¨

ur u∈Uund v∈V

die Funktion (x1, x2)→u(x1)v(x2) auf dem topologischen Produkt X1×X2

und

W:= U⊗V={u⊗v;u∈U, v ∈V}.

Dann ist Webenfalls eine Nachbin-Familie auf X1×X2mit W > 0.

4.11 Definition. Sei Xein vollst¨

andig regul¨

arer Hausdorffraum. Dann setze

W(X) := {λχK;λ > 0, K kompakt in X}.

Der folgende Satz stammt aus [6] (siehe dort Satz 3.5.(1)).

4.12 Satz. (Bierstedt) Seien X1⊂Cnund X2⊂Cmoffen (n, m ≥1), U

bzw. VNachbin-Familien auf X1bzw. X2mit W(X1)≤Uund W(X2)≤V.

Mit W=U⊗Vgilt dann

HW0(X1×X2) = HU0(X1)∼

⊗εHV0(X2),

falls HU0(X1)oder HV0(X2)die Approximationseigenschaft hat.

4.13 Korollar. Seien U= (un)n∈N⊂ W und V= (vn)n∈N⊂ W wachsende

Folgen strikt positiver stetiger Funktionen auf D, derart daß die Polynome in

HU0(D)bzw. HV0(D)liegen. Dann gilt

HW0(D×D) = HU0(D)∼

⊗εHV0(D).

Beweis. Nach [17] Theorem 1.5 haben HU0(D) und HV0(D) unter den gegebe-

nen Voraussetzungen die beschr¨

ankte Approximationseigenschaft. Eine An-

wendung von Satz 4.12 liefert dann das Gew¨

unschte.

Die folgenden Aussagen stammen aus [61] und sind dort unter Proposition

3.3.(1) und 3.4.(1) zu finden.

4.14 Proposition. (Peris [61])

(i) Die komplementierten Unterr¨

aume eines lokalkonvexen Raumes Emit

(QNo)sind ebenfalls (QNo).

(ii) Sei αeine Tensornorm. Falls die lokalkonvexen R¨

aume Eund F(QNo)

sind, so ist auch E⊗αF(QNo).

4.15 Korollar. Seien U= (un)n∈N⊂ W und V= (vn)n∈N⊂ W wachsende

Folgen strikt positiver stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome in

HU0(D)und HV0(D)liegen. HU0(D)und HV0(D)sind genau dann (QNo),

wenn HW0(D×D) = HU0(D)∼

⊗εHV0(D) (QNo)ist.

Beweis. Dies folgt aus Proposition 4.14.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 61

4.3 Dichtheitsbedingung

Hier wird gezeigt, daß die in Abschnitt 3.3 angegebenen notwendigen Be-

dingungen auch hinreichend (und damit ¨

aquivalent) sind. Ferner wird be-

wiesen, daß unter bestimmten Voraussetzungen Dichtheitsbedingung und

(Dco)¨

aquivalente Eigenschaften f¨

ur HW0(D) sind.

4.16 Lemma. Seien Eein lokalkonvexer Raum und Fein dichter Un-

terraum von E. Hat Fdie Dichtheitsbedingung, so gen¨

ugt Eebenfalls der

Dichtheitsbedingung.

Beweis. Fixiere eine Nullumgebungsbasis Uin F. Dann ist durch U:=

{U;U∈ U} eine Nullumgebungsbasis in Edefiniert, da nach Vorausset-

zung Fdicht in Eliegt.

Weil Fdie Dichtheitsbedingung hat, gibt es f¨

ur jede Funktion λ:U →

R+\{0}und f¨

ur jedes V∈ U eine endliche Teilmenge U0von Uund eine

beschr¨

ankte absolutkonvexe und o.B.d.A. abgeschlossene Teilmenge Bvon

Fmit TU∈U0λ(U)U⊂B+1

2V.

Dann folgt TU∈U0λ(U)U=TU∈U0λ(U)U⊂B+1

2V⊂B+V. Da Bin E

beschr¨

ankt ist, erf¨

ullt Edie Dichtheitsbedingung.

Die Umkehrung der Aussage der vorangehenden Proposition ist nicht

richtig. Die von Bonet und Dierolf in [24] konstruierten Beispiele decken

auch diesen Fall ab.

Mit Hilfe des Lemmas und der von Bierstedt und Bonet in [14] entwickel-

ten Methode zur Zerlegung holomorpher Funktionen wird im folgenden eine

Charakterisierung der Dichtheitsbedingung in Termen von Gewichten und

assoziierten Gewichten f¨

ur HW0(D) gegeben. Zunachst werden jedoch einige

Hilfsaussagen ben¨

otigt.

4.17 Proposition. (Peris [60] Proposition 1) Seien Eein Fr´echetraum und

(Un)n∈Neine fallende Fundamentalfolge von Nullumgebungen in E. Dann

sind die folgenden Aussagen ¨

aquivalent:

(a) Ehat die Dichtheitsbedingung.

(b) F¨

ur jede Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedes n∈Ngibt es

m(n)> n und eine Folge (λ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

m(n)

k=1

λkUk⊂

k=1

λ(n)

kUk+Unf¨

ur jedes s∈N.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 62

4.18 Lemma. Betrachte zun¨

achst die folgende Bedingung:

(∗)zu jeder Folge (ξk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈N

existieren m(n)> n und eine Folge (ξ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

m(n)

k=1

ξkCk,0⊂

k=1

ξ(n)

kCk,0+ (2c2+D2)2CCn,0f¨

ur jedes s∈N.

Dabei seien cdie Konstante aus der Ungleichung vor (P1),Cdie Konstante

aus (P1) und D2=D(wn)wie in (P2).

Falls (∗)erf¨

ullt ist, hat HW0(D)die Dichtheitsbedingung.

Beweis. Fixiere dazu eine Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen ebenso wie

n∈N. Setze ξk:= (2c2+D2)2Cλkf¨

ur jedes k∈N. Dann liefert (∗)m(n)> n

und eine Folge (ξ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

m(n)

k=1

(2c2+D2)2CλkCk,0=

m(n)

k=1

ξkCk,0

⊂

k=1

ξ(n)

kCk,0+ (2c2+D2)2CCn,0

⊂

k=1

(2c2+D2)2Cξ(n)

kCk,0+ (2c2+D2)2CCn,0

f¨

ur jedes s∈Nwegen (2c2+D2)2C≥1. Setze λ(n)

k:= ξ(n)

kf¨

ur jedes k∈N.

Weil ((2c2+D2)2CCk,0)k∈Neine Nullumgebungsbasis in HW0(D) ist, liefert

Proposition 4.17 das Gew¨

unschte.

O.B.d.A. kann im Folgenden angenommen werden, daß endliche Maxima

von Elementen aus Webenfalls zu Wgeh¨

oren.

4.19 Satz. Sei W= (wn)n∈N⊂ W eine wachsende Folge strikt positiver

stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome in HW0(D)liegen. Dann

sind die folgenden Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW0(D)hat die Dichtheitsbedingung.

(b) Zu jeder Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈Ngibt

es m(n)> n und eine Folge (λ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

m(n)

k=1

λkCk,0⊂

k=1

λ(n)

kCk,0+Cn,0f¨

ur jedes s∈N.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 63

ur jede Folge (µk)k∈Nmit µk>0f¨

ur jedes k∈Nund f¨

ur jedes n∈N

gibt es m(n)> n und eine Folge (µ(n)

k)k∈Nstrikt positiver Zahlen mit

min

1≤k≤m(n)

µk

wk∼

≤min

1≤k≤s

µ(n)

auf Df¨

ur jedes s∈N.

(d) Zu jeder Folge (ξk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Ngibt es

m∈Nmit m > n und w∈Wmit

min

1≤k≤m

ξk

wk∼

≤w+1

auf D.

Beweis. (a) ⇐⇒ (b): Dies ist Proposition 4.17.

(a) =⇒(d): Siehe dazu Proposition 3.26.

(d) =⇒(c): Dies ist Proposition 3.27.

aß [17] liegen die Polynome dicht in HW0(D). Wegen Lem-

ma 4.18 gen¨

ugt es zu zeigen, daß (c) die Aussage (∗) dort impliziert.

Es sei Aussage (c) erf¨

ullt. W¨

ahle dazu eine beliebige, aber feste Folge (λk)k∈N

strikt positiver Zahlen und setze µk:= λkf¨

ur jedes k∈N. Fixiere jetzt

gem¨

aß (c) n, m(n),(µ(n)

k)n∈Nund s. Da Pdicht in HW0(D) liegt, gen¨

ugt

es, die Polynome zu betrachten. W¨

ahle also ein beliebiges, aber festes, p∈

PT∩m(n)

k=1 µkCk,0.

Dann ist |p| ≤ min1≤k≤m(n)µk

wkund damit auch

|p| ≤ (min1≤k≤m(n)µk

wk)∼auf D. (c) liefert

min1≤k≤m(n)µk

wk∼≤min1≤k≤s

µ(n)

wk+1

wn≤max min1≤k≤s

2µ(n)

wk,2

wnauf D.

Setze jetzt u:= min max1≤k≤swk

2µ(n)

,wn

2. Gem¨

aß Definition ist uElement

der Klasse W, und es gilt

|p| ≤ min1≤k≤m(n)µk

wk)∼≤max min1≤k≤s

2µ(n)

wk,2

wn=1

uund damit u|p| ≤ 1

auf D.

Zur Vereinfachung der Notation schreibe u1:= max1≤k≤swk

µ(n)

,u2:= wn,

κ1:= 1

2und κ2:= 1

2. Also u= min(κ1u1, κ2u2).

Man hat p=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)p=R1p+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p, und die Summe

ist endlich.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 64

Betrachte zun¨

achst den Term R1p. Wegen der Bedingung vor (P1) und der

Absch¨

atzung von u|p|erh¨

alt man

u(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)| ≤ cu(r1) sup

|z|=r1

|p(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1,2}mit u(r1) = κiui(r1). Mit der zweiten Ungleichung

in (P1), angewandt auf das Polynom R1pund uiund noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|R1p(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Demnach ist R1p∈4Cc2Ts

k=1 µ(n)

kCk,0bzw. R1p∈4c2CCn,0.

Betrachte jetzt den anderen Term p−R1p=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p. Wende

die erste Ungleichung in (P1) f¨

ur uan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur u|p|,

um Folgendes zu erhalten:

u(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!≤C. (4.4)

Nkann als disjunkte Vereinigung J1∪J2mit

u(rj) = κ1u1(rj) f¨

ur j∈J1und u(rj) = κ2u2(rj) f¨

ur j∈J2

dargestellt werden. Setze jetzt gi:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)pf¨

ur i= 1,2. Dann

ist jedes giein Polynom und p−R1p=g1+g2. Fixiere i∈ {1,2}. Sei

n:= (Rn+2 −Rn−1)pf¨

ur n∈Jiund pi

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

gi=X

n∈Ji

(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)p=

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

und alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)|= sup

z∈D

ui(z)

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

n

Da nur endlich viele pi

nungleich null sind und alle Gewichte zur Klasse W

geh¨

oren, liefert eine Anwendung von (P2) und (4.4) wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)| ≤ Disup

n sup

|z|=rn

|pi

n(z)|!ui(rn)≤Di(κi)−1C.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 65

Also ist g1Element von 2D1C∩s

k=1 µ(n)

kCk,0, w¨

ahrend g2zu 2D2CCw,0geh¨

ort.

Zusammen mit den vorigen Ergebnissen liefert dies

p=R1p+g1+g2∈(4c2C+ 2D1C)∩s

k=1 µ(n)

kCk,0+ 2D2CCn,0

⊂ ∩s

k=1(4c2C+ 2D1C)µ(n)

kCk,0+ 2C(2c2+D2)Cn,0

oder

p=R1p+g1+g2∈2D1C∩s

k=1 µ(n)

kCk,0+ (4c2C+ 2D2C)Cn,0

=∩s

k=12D1Cµ(n)

kCk,0+ (4c2C+ 2D2C)Cn,0

Setze jetzt λ(n)

k:= (4c2C+ 2D1C)µ(n)

kf¨

ur jedes k∈N. Dann folgt die Be-

hauptung.

4.20 Korollar. Es gelte Cw=Cw,0

co f¨

ur jedes w∈W. Unter den Voraus-

setzungen von Satz 4.19 sind die ¨

aquivalenten Aussagen (a),(b),(c),(d)aus

Satz 4.19 genau dann erf¨

ullt, wenn HW(D)die Dichtheitsbedingung hat.

Beweis. Proposition 3.29 liefert, daß HW(D) genau dann die Dichtheitsbe-

dingung, wenn HW0(D) sie erf¨

ullt.

4.21 Bemerkung. Sei Fein metrisierbarer Raum und (Uk)k∈Neine abz¨

ahlbare

Basis absolutkonvexer Nullumgebungen in F. Heinrichs zeigte in [43], daß die

folgende Bedingung ¨

aquivalent zur von Peris und Rivera in [62] eingef¨

uhrten

Bedingung (DCO) ist.

(DCo) Zu jeder Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Ngibt

es m∈Nund einen beschr¨

ankten Operator T∈L(F) mit

(Id −T) m

k=1

λkUk!⊂Un.

Aus den Vererbungseigenschaften der Dichtheitsbedingung folgt das fol-

gende Lemma.

4.22 Lemma. (Peris) Falls Eein separabler Fr´echetraum mit einem dichten

Unterraum Fist, der (DCo)gen¨

ugt, so hat Eebenfalls (DCo).

Mit Hilfe derselben Beweismethode wie in Satz 4.19 kann nun unter

Zusatzvoraussetzungen die ¨

Aquivalenz von Dichtheitsbedingung und (DCo)

f¨

ur HW0(D) gezeigt werden.

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 66

4.23 Lemma. Betrachte die folgende Bedingung:

(∗∗)zu jeder Folge (ξk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈N

existieren m∈Nund ein beschr¨

anktes T∈L(HW0(D)), so daß

(Id −T) (∩m

k=1ξkCk,0)⊂(2c2+D2)2CCn,0.

Dabei sind cdie Konstante aus der Ungleichung vor (P1),Cdie Konstante

aus (P1) und D2=D(wn)wie in (P2). Falls (∗∗)erf¨

ullt ist, so hat HW0(D)

(DCo).

Beweis. Fixiere eine Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen ebenso wie n∈N.

Setze ξk:= (2c2+D2)2Cλkf¨

ur jedes k∈N. Dann liefert (∗∗) ein m∈Nund

ein beschr¨

anktes T∈L(HW0(D)) mit

(Id −T) (∩m

k=1ξkCk,0) = (Id −T)∩m

k=1(2c2+D2)2CλkCk,0

⊂(2c2+D2)2CCn,0.

Da ((2c2+D2)2CCk,0)k∈Neine Nullumgebungsbasis in HW0(D) ist, folgt das

Gew¨

unschte.

4.24 Proposition. Sei W= (wn)n∈N⊂ W eine wachsende Folge strikt

positiver stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome Pin HW0(D)

liegen und V:= 1

w;w∈Weine Teilmenge von Wist. Dann sind folgende

Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HW0(D)hat die Dichtheitsbedingung.

(b) HW0(D)gen¨

ugt (DCo).

Beweis. (b) =⇒(a): Dies folgt aus der Definition (siehe auch [62] Bemerkung

nach Definition 8).

(a) =⇒(b): Nach [17] liegen die Polynome unter den gegebenen Voraus-

setzungen dicht in HW0(D).

Sei nun also angenommen, daß HW0(D) die Dichtheitsbedingung erf¨

ullt.

Es ist zu zeigen, daß Bedingung (∗∗) aus Lemma 4.23 erf¨

ullt ist. Nach Propo-

sition 3.26 gilt:

(∗ ∗ ∗) zu jeder Folge (ξk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈N

existieren m∈Nund w∈Wmit

min

1≤k≤m

ξk

≤w+1

auf D.

Fixiere also n∈Nebenso wie (ξk)k∈N. Dann liefert (∗ ∗ ∗) ein m > n und

ein w∈W. Da Pdicht in HW0(D) liegt, gen¨

ugt es nach Lemma 4.22, die

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 67

Polynome zu betrachten.

Fixiere p∈ P T(∩m

k=1ξkCk,0). Dann ist |p| ≤ min1≤k≤mξk

wkund damit auch

|p| ≤ (min1≤k≤mξk

wk)∼auf D. (∗∗∗) impliziert

min1≤k≤mξk

wk∼≤w+1

wn≤max 2w, 2

wnauf D.

Setze u:= min 1

2w,wn

2.Gem¨

aß Voraussetzung ist uein Element der Klasse

W, und es gilt u|p| ≤ 1 auf D. Zur Vereinfachung der Notation schreibe

κ1:= 1

2, κ2:= 1

2, u1:= 1

w, u2:= wn. Also u= min(κ1u1, κ2u2).

Man hat p=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)p=R1p+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p, und die Summe

ist endlich.

Betrachte zun¨

achst den Term R1p. Wegen der Bedingung vor (P1) und der

Absch¨

atzung von u|p|erh¨

alt man

u(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)| ≤ cu(r1) sup

|z|=r1

|p(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1,2}mit u(r1) = κiui(r1). Mit der zweiten Ungleichung

in (P1), angewandt auf das Polynom R1pund ui, und noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|R1p(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Demnach ist R1p∈4c2CCw,0oder R1p∈4c2CCn,0.

Betrachte jetzt den anderen Term p−R1p=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p. Wende

die erste Ungleichung in (P1) f¨

ur uan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur u|p|,

u(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!≤C(4.5)

f¨

ur jedes n∈Nzu erhalten. Nkann als disjunkte Vereinigung J1∪J2mit

u(rj) = κ1u1(rj) f¨

ur j∈J1und u(rj) = κ2u2(rj) f¨

ur j∈J2

dargestellt werden. Setze jetzt Tip:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)pf¨

ur i∈ {1,2}. Dann

ist jedes Tipein Polynom mit p−R1p=T1p+T2p. Fixiere ein i∈ {1,2}. Sei

n:= (Rn+2 −Rn−1)pf¨

ur n∈Jiund pi

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

Tip=X

n∈Ji

(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)p=

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 68

und alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

ui(z)|Tip(z)|= sup

z∈D

ui(z)

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

n

Da nur endlich viele pi

nungleich null sind, und alle Gewichte zur Klasse W

geh¨

oren, liefert eine Anwendung von (4.5) und (P2) wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|Tip(z)| ≤ Disup

n sup

|z|=rn

|pi

n(z)|!ui(rn)≤Di(κi)−1C.

Daher ist g1∈2D1CCw,0und g2∈2D2CCn,0. Dies liefert

p∈(2c2+D1)2CCw,0+ 2D2CCn,0oder

p∈2D1CCw,0+ (2c2+D2)2CCn,0

F¨

uhre nun eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: Es gilt u(r1) = κ1u1(r1).

Definiere dann T:P → P durch T(p) = R1p+T1p. Dann gilt wegen obiger

Rechnungen

(Id −T)(∩m

k=1ξkCk,0∩ P)⊂2D2C(Cn,0∩ P) und

T(∩m

k=1ξkCk,0∩ P)⊂(2c2+D1)2C(Cw,0∩ P) ist beschr¨

ankt.

2. Fall: Man hat u(r1) = κ2u2(r1).

Definiere dann T:P → P durch T(p) = T1p. Dann erh¨

alt man

(Id −T)(∩m

k=1ξkCk,0TP)⊂(2c2+D2)2C(Cn,0∩ P)⊂ε(Cn,0∩ P) und

T(∩m

k=1ξkCk,0TP)⊂2D1C(Cw,0∩ P) ist beschr¨

ankt.

Folglich hat Pund damit auch HW0(D) (DCo).

Um eine Aussage f¨

ur injektive Tensorprodukte zu erhalten, betrachte

zun¨

achst die aus [62] stammende Proposition.

4.25 Proposition. (Peris, Rivera [62] Proposition 11) Seien αeine Ten-

sornorm und Eund FFr´echetr¨

aume mit (DCo). Ferner seien die beschr¨

ank-

ten Teilmengen von E∼

⊗αFlokalisierbar (d.h. zu jeder beschr¨

ankten Teil-

menge Bvon E∼

⊗αFexistieren C∈ B(E)und D∈ B(F)mit B⊂α(C, D)).

Dann gen¨

ugt E∼

⊗αFebenfalls (DCo).

4.26 Korollar. Seien U= (un)n∈N⊂ W und V= (vn)n∈N⊂ W wachsende

Folgen strikt positiver stetiger Funktionen auf D, so daß die Polynome in

HU0(D)und HV0(D)liegen. Falls HU0(D)und HV0(D)(DCo) haben, so hat

HW0(D×D) = HU0(D)∼

⊗εHV0(D)ebenfalls (DCo).

4 Quasinormabilit¨

at und die Dichtheitsbedingung 69

Beweis. Nach [51] Abschnitt 44.3 sind die beschr¨

ankten Teilmengen von

HU0(D)∼

⊗εHV0(D) stets lokalisierbar. Daher liefert eine Anwendung von

Proposition 4.25 das Gew¨

unschte.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher

Funktionen

5.1 Notationen und Definitionen

Zun¨

achst werden die notwendigen Definitionen und Bezeichnungen eben-

so wie ein kurzer ¨

Uberblick ¨

uber die Geschichte der projektiven Darstel-

lung gewichteter induktiver Limites von R¨

aumen holomorpher Funktionen

gegeben.

F¨

ur eine fallende Folge V= (vn)n∈Nstrikt positiver stetiger Funktionen

(Gewichte) auf einer offenen Teilmenge G⊂CN,N≥1 definiere

Hvn(G) := {f∈H(G); kfkn:= sup

z∈G

vn(z)|f(z)|<∞},

H(vn)0(G) := {f∈H(G); vn|f|verschwindet in ∞auf G},

VH(G) := indnHvn(G) und V0H(G) := indnH(vn)0(G).

Es bezeichne Bn(bzw. Bn,0) die abgeschlossene Einheitskugel von Hvn(G)

(bzw. H(vn)0(G)). Das System von Gewichten Vwurde eingef¨

uhrt als

V:= {v:G→]0,∞[ stetig auf G;∀k∃rk>0 : v≤inf

krkvkauf G}.

Die entsprechenden gewichteten R¨

aume f¨

ur Vsind

HV (G) := {f∈H(G); k.kv:= sup

z∈G

v(z)|f(z)|<∞ ∀v∈V},

HV 0(G) := {f∈H(G); v|f|verschwindet in ∞auf G∀v∈V}.

Setze

Cv:= {f∈HV(G); kfkv≤1}und Cv,0:= {f∈HV0(G); kfkv≤1}

f¨

ur jedes v∈V.

Das Problem der projektiven Darstellung f¨

ur gewichtete (LB)-R¨

aume

holomorpher Funktionen auf Gist herauszufinden, wann

(1) V0H(G) = HV 0(G) algebraisch und topologisch bzw.

(2) VH(G) = HV (G) algebraisch und topologisch gilt.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 71

Eine positive Antwort auf die Frage nach der topologischen Gleichheit ist

von besonderer Bedeutung, weil es in diesem Fall m¨

oglich ist, die Topologie

des jeweiligen gewichteten (LB)-Raumes holomorpher Funktionen durch das

System (k.kv)v∈Vgewichteter sup-Halbnormen zu beschreiben.

Das Hauptresultat von Bierstedt, Meise, Summers [20] liefert, daß die pro-

jektive Darstellung algebraisch und topologisch gilt, falls V= (vn)n∈Nder

Bedingung

(S)∀n∈N∃m > n mit vm

verschwindet im Unendlichen auf G

gen¨

ugt. (S) ist die invertierte Form der in den vorigen Kapiteln vorkom-

menden Bedingung (S0). Analog sind (M) und (D) als invertierte Darstel-

lungen von (M0) und (D0) definiert.

Positive Ergebnisse f¨

ur gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen auf

Dk¨

onnen auch in [54] gefunden werden. Dort wird die Bedingung (S) nicht

ben¨

otigt, aber jedes Gewicht muß normal sein.

I.a. hat das Problem der projektiven Darstellung f¨

ur gewichtete induktive

Limites von (B)-R¨

aumen holomorpher Funktionen eine negative Antwort,

siehe [26], [27], [28].

Taylor ebenso wie Bierstedt, Meise und Summers ([66] oder [67] Proposition

2 bzw. [20]) zeigten, daß HV(G) und VH(G) stets algebraisch zusammen-

fallen und dieselben beschr¨

ankten Teilmengen haben. VH(G) ist stets ein

regul¨

arer induktiver Limes.

Induktive Limites gewichteter R¨

aume holomorpher Funktionen treten

beispielsweise im Zusammenhang mit Distributionen und den Paley-Wiener-

Schwartz-Theoremen auf. Im folgenden werden einige Beispiele herausgegrif-

fen, die hier n¨

aher erl¨

autert werden.

(I) Dieses Beispiel wurde [20] entnommen und ist dort unter Abschnitt 4.1

zu finden.

Betrachte W=E=E(RN), den Raum aller unendlich oft differenzier-

baren Funktionen auf RN, unter seiner ¨

ublichen (F)-Raum-Topologie.

Eine geeignete Version des Paley-Wiener-Schwartz-Theorems liefert,

daß die Fourier-Transformation ein topologischer Isomorphismus von

W0=E0, dem Raum der Distributionen mit kompaktem Tr¨

ager, verse-

hen mit der starken Topologie β(E0,E), auf ˆ

W0=VH(CN) ist, wobei

V= (vn)n∈Nmit

vn(z) =

j=1

exp(−n|Im(zj)|)

(1 + |zj|)n, z = (z1, ..., zN)∈CN.

Hier hat man VH(CN) = V0H(CN) = HV 0(CN) = HV (CN).

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 72

(II) Betrachte nun die Folge V= (vn)n∈Nstrikt positiver stetiger Funktio-

nen auf der Einheitskreisscheibe D, definiert durch

vn(z) = (1 − |z|2)n, z ∈D, n ∈N.

Der induktive Limes VH(G) wird oftmals auch mit A−∞ bezeichnet

und ist ein Raum vom Bergman-Typ. F¨

ur n¨

ahere Informationen zu

diesem Raum wird auf [41] Abschnitt 4.3 verwiesen.

(III) Das folgende Beispiel wurde in [55] eingehend untersucht.

Betrachte ein beschr¨

anktes konvexes Gebiet Gin Cebenso wie dG(z) =

inft∈∂G |z−t|, z ∈G. Dann definiere die fallende Folge V= (vn)n∈N

durch

vn(z) := (min(1,(dG(z))n)), z ∈G, n ∈N.

In [55] wird der induktive Limes VH(G) mit A−∞(G) bezeichnet.

In dieser Arbeit werden -wie bereits erw¨

ahnt- Charakterisierungen in Ter-

men von Gewichten und assoziierten Gewichten f¨

ur die dualen Dichtheitsbe-

dingungen gegeben. Andere Eigenschaften wie semi-Montel wurden bereits

von Bierstedt und Bonet untersucht (siehe [16]).

5.2 Die dualen Dichtheitsbedingungen in pro-

jektiven H¨

ullen

In diesem Abschnitt wird untersucht, wann die projektiven H¨

ullen HV (G)

und HV 0(G) (DDC) (bzw. (SDDC)) erf¨

ullen. Es werden Bedingungen in

Termen von Gewichten und assoziierten Gewichten gegeben.

Wie bereits erw¨

ahnt, gilt VH(G) = HV (G) algebraisch, beide R¨

aume haben

dieselben beschr¨

ankten Mengen, und o.B.d.A. ist (Bn)n∈Neine Fundamental-

folge der beschr¨

ankten Teilmengen von HV (G) (siehe dazu z.B. [7] Propo-

sition 1). Offensichtlich ist jedes Bnkompakt bzgl. der kompakt-offenen

Topologie co.

Zun¨

achst werden einige Hilfsaussagen bewiesen.

5.1 Lemma. Sei Eein lokalkonvexer Raum mit der Fundamentalfolge

(Bn)n∈Nbeschr¨

ankter Teilmengen. Ehat genau dann (DDC)

(bzw. (SDDC)), wenn gilt:

zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈Ngibt es

m > n und U∈ U(E)mit

Bn∩U⊂

j=1

λjBj bzw. Bn∩U⊂

j=1

λjBj!.(5.1)

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 73

Beweis. Eerf¨

ulle (DDC). Dann gibt es nach Definition zu jeder Folge (λj)j∈N

strikt positiver Zahlen und zu jedem n∈Nein m > n und U∈ U(E) mit

Bn∩U⊂ΓSm

j=1 λjBj⊂Pm

j=1 λjBj.

Umgekehrt fixiere eine Folge (µj)j∈Nstrikt positiver Zahlen und n∈N. Setze

λj:= µj

2jf¨

ur jedes j∈Nund wende (5.1) an. Dann existieren m > n und

U∈ U(E) mit

Bn∩U⊂

j=1

λjBj=

j=1

µj

2jBj⊂Γ m

[

j=1

µjBj!.

Folglich gen¨

ugt Eder dualen Dichtheitsbedingung. Der Beweis wird f¨

ur die

starke duale Dichtheitsbedingung v¨

ollig analog gef¨

uhrt.

5.2 Lemma. Unter den in diesem Abschnitt angenommenen Voraussetzun-

gen erf¨

ullt der Raum HV (G)genau dann (DDC), wenn er (SDDC)gen¨

ugt.

Beweis. Das vorhergehende Lemma und die Tatsache, daß HV (G) dieselben

beschr¨

ankten Teilmengen wie der regul¨

are induktive Limes VH(G) hat, im-

pliziert, daß HV (G) genau dann die duale Dichtheitsbedingung hat, wenn

zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈Nein

m > n und v∈Vmit Bn∩Cv⊂Pm

j=1 λjBjexistieren. Pm

j=1 λjBjist

aber co-kompakt und daher auch abgeschlossen in HV(G). Folglich hat man

j=1 λjBj=Pm

j=1 λjBj. Eine erneute Anwendung von Lemma 5.1 liefert

das Gew¨

unschte.

Mit Hilfe der zuvor bewiesenen Lemmata gelangt man nun zu der folgen-

den Proposition.

5.3 Proposition. Falls HV (G) (DDC)(oder ¨

aquivalent (SDDC)) hat, so

ist die folgende Bedingung erf¨

ullt:

(∗)zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver Zahlen und zu jedem n∈Ngibt

es m > n und v∈Vderart, daß

min 1

v∼

≤

j=1

λj

auf G.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver

Zahlen und jedem n∈Nein m > n und v∈Vmit

(∗∗)Bn∩Cv⊂

j=1

λjBj.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 74

Es gen¨

ugt zu zeigen, daß (∗∗) die Bedingung (∗) impliziert. W¨

ahle dazu ein

f∈HV (G) mit |f| ≤ min 1

vn,1

v∼auf G.

Nach [18] 1.2.(iii) gilt auch |f| ≤ min 1

vn,1

v, d.h. |f| ≤ 1

vnund |f| ≤ 1

auf G. Damit geh¨

ort fzu Bn∩Cv. Wegen (∗∗) ist fdann Element der

Menge Pm

j=1 λjBjund kann in der Form f=Pm

j=1 λjgjmit gj∈Bjf¨

jedes j∈ {1, ..., m}, dargestellt werden. Es gilt also

|f|=

j=1

λjgj

≤

j=1

λj|gj| ≤

j=1

λj

auf G.

Nimmt man nun das Supremum ¨

uber all diese Funktionen f, so ergibt sich

(∗).

Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen an die Menge Gund die Folge V=

(vn)n∈Nder Gewichte kommt man f¨

ur den Fall der o-Gewichtsbedingungen

zu einem ¨

ahnlichen Ergebnis.

5.4 Proposition. Sei Geine kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1. Fern-

er sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger und radialer

Funktionen auf G, so daß H(v1)0(G)die Polynome enth¨

alt.

Falls nun HV 0(G)der dualen Dichtheitsbedingung gen¨

ugt, so ist (∗)erf¨

ullt.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver

Zahlen und jedem n∈Nein m > n und v∈Vmit

(∗∗∗)Bn,0∩Cv,0⊂

j=1

λjBj,0.

Es gen¨

ugt zu zeigen, daß (∗ ∗ ∗) die Bedingung (∗) impliziert. Fixiere dazu

f∈H(G) mit |f| ≤ min 1

vn,1

v∼auf G. Dann gilt |f| ≤ 1

vnund |f| ≤ 1

auf G. O.B.d.A. kann v∈Vstrikt positiv, stetig und radial gew¨

ahlt werden.

(Siehe dazu [17].)

Betrachte jetzt die Folge (Skf)k∈Nder Ces`aro-Mittel (der Partialsummen) der

Taylorreihe von fum 0. Wie zuvor erh¨

alt man |Skf| ≤ 1

vnund |Skf| ≤ 1

vauf

G. Außerdem ist jedes Skfals Polynom ein Element von HV 0(G) und daher

von Bn,0∩Cv,0. Dann impliziert (∗∗∗), daß Skf∈Pm

j=1 λjBj,0⊂Pm

j=1 λjBj

f¨

ur jedes k∈N. Folglich kann jedes Skfin der Form Skf=Pm

j=1 λjgj

dargestellt werden, wobei gj∈Bjf¨

ur jedes j∈ {1, ..., m}. Man erh¨

alt

|Skf| ≤

j=1

λj

auf Gf¨

ur jedes k∈N.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 75

Weil Skff¨

ur k→ ∞ punktweise gegen fkonvergiert, ergibt sich |f| ≤

j=1

λj

vjauf G. Nimmt man schließlich das Supremum ¨

uber alle Funktionen

f, so folgt (∗).

Es gibt Beispiele f¨

ur Folgen V= (vn)n∈Nstrikt positiver stetiger Funktio-

nen auf einer offenen Teilmenge G⊂CN,N≥1, mit Bedingung (∗), derart

daß die R¨

aume HV (G) und VH(G) topologisch nicht zusammenfallen:

Bonet und Taskinen konstruierten in [27] Abschnitt 3 eine Folge V= (vn)n∈N

strikt positiver stetiger Funktionen auf einer offenen Menge G⊂C2mit Be-

dingung (M), derart daß die R¨

aume HV (G) und VH(G) topologisch nicht

zusammenfallen. Es ist bekannt, daß (M) die Bedingung (D) impliziert,

welche nach [3] Proposition I.2.4 zu

(V2) zu jeder Folge (λj)j∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Ngibt

es m > n und v∈Vmit

min 1

v≤

j=1

λj

auf G

aquivalent ist. Nun folgt (∗) unmittelbar aus (V2).

Beachte, daß der einzige Unterschied zwischen (∗) und (V2) die Verwendung

des assoziierten Gewichtes auf der linken Seite ist.

Nach [8] Theorem 1.5 gen¨

ugt ein (DF)-Raum genau dann der dualen Dichtheits-

bedingung, wenn er metrisierbare beschr¨

ankte Mengen hat. Letztere Eigen-

schaft kann f¨

ur HV(G) charakterisiert werden. Dazu sind jedoch einige Vor-

bereitungen notwendig.

5.5 Proposition. Sei Eein lokalkonvexer Raum mit der abz¨

ahlbaren Umge-

bungseigenschaft und einer Fundamentalfolge (Bn)n∈Nder beschr¨

ankten Men-

gen. Dann hat Egenau dann metrisierbare beschr¨

ankte Mengen, wenn

es U∈ U(E)gibt, so daß f¨

ur jedes n∈Nund f¨

ur jedes V∈ U(E)ein a > 0

mit

Bn∩aU ⊂V(5.2)

existiert.

Beweis. Es sei zun¨

achst Aussage (5.2) erf¨

ullt. Da dann 1

mUm∈Neine Nul-

lumgebungsbasis in Bnf¨

ur die von Einduzierte Topologie ist, n∈Nbeliebig,

folgt sofort das Gew¨

unschte.

Umgekehrt habe Emetrisierbare beschr¨

ankte Mengen. Fixiere n∈Nund

w¨

ahle eine fallende Folge (Vn,k)k∈Nabsolutkonvexer Nullumgebungen in E,

so daß f¨

ur jedes V∈ U(E) ein k∈Nmit Bn∩Vn,k ⊂Vexistiert. Wende die

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 76

abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft an, um Zahlen an,k >0 zu finden, so daß

U:= Tn,k∈Nan,kVn,k ebenfalls eine Nullumgebung ist. Diese Nullumgebung

erf¨

ullt alle geforderten Eigenschaften.

5.6 Lemma. HV (G)hat die abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft.

Beweis. Nach [21] Theorem 1.6 ist CV (G) unter den gegebenen Voraus-

setzungen ein (DF )-Raum und hat daher wegen [59] Proposition 8.3.5 die

abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft. Dies impliziert, daß HV (G) als topologis-

cher Unterraum von CV (G) ebenfalls die abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft

besitzt.

Es bleibt zu erw¨

ahnen, daß dann HV 0(G) als topologischer Unterraum

von HV (G) ebenfalls die abz¨

ahlbare Umgebungseigenschaft hat.

5.7 Proposition. HV (G)hat genau dann metrisierbare beschr¨

ankte Men-

gen, wenn v∈Vexistiert, so daß es f¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Vein

a > 0mit min 1

v∼

≤1

wauf G(5.3)

gibt.

Beweis. Nach Proposition 5.5 hat HV(G) genau dann metrisierbare beschr¨

ank-

te Mengen, wenn v∈Vexistiert, so daß es f¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈V

ein a > 0 mit

Bn∩aCv⊂Cw(5.4)

gibt. Zu zeigen ist demnach die ¨

Aquivalenz der Aussagen (5.3) und (5.4).

(5.3) =⇒(5.4): W¨

ahle f∈Bn∩aCvbeliebig, aber fest. Dann ist fElement

der Menge HV(G) und gen¨

ugt der Absch¨

atzung |f| ≤ min 1

vn,a

v∼≤1

auf Gwegen (5.3). Daher ist fElement von Cw.

(5.4) =⇒(5.3): Fixiere f∈H(G) mit |f| ≤ min 1

vn,a

v∼auf G. Dann

gilt aber auch |f| ≤ min 1

vn,a

vauf G. Folglich ist fElement von Bn∩aCv

und geh¨

ort nach Voraussetzung daher auch zu Cw, d.h. |f| ≤ 1

wauf G.

Nimmt man das Supremum ¨

uber all diese Funktionen, so folgt (5.3).

Unter Einschr¨

ankungen erh¨

alt man ein ¨

ahnliches Ergebnis f¨

ur HV 0(G).

5.8 Proposition. Betrachte die folgenden Aussagen:

(a) HV 0(G)hat metrisierbare beschr¨

ankte Mengen.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 77

(b) Bedingung (5.3) ist erf¨

ullt.

Dann folgt aus (b) stets (a). Falls zus¨

atzlich noch angenommen wird, daß

G⊂CN,N≥1, kreisf¨

ormig und V= (vn)n∈Nfallende Folge strikt positiver

stetiger und radialer Funktionen ist, derart daß die Polynome in H(v1)0(G)

enthalten sind, so impliziert (a) auch (b).

Beweis. Nach Proposition 5.5 hat HV 0(G) genau dann metrisierbare beschr¨

ank-

te Mengen, falls es v∈Vgibt, so daß f¨

ur jedes n∈Nund jedes w∈Vein

a > 0 mit

Bn,0∩aCv,0⊂Cw,0(5.5)

existiert. Um den Beweis zu beenden, bleibt die ¨

Aquivalenz der Aussagen

(5.5) und (5.3) zu zeigen.

(5.3) =⇒(5.5): Dies ist analog zum Beweis der Proposition 5.7.

(5.5) =⇒(5.3): Sei im folgenden angenommen, daß G⊂CN,N≥1, kre-

isf¨

ormig und V= (vn)n∈Nfallende Folge strikt positiver stetiger und radialer

Funktionen auf Gist. Fixiere f∈H(G) mit |f| ≤ min 1

vn,a

v∼auf G.

Dann gilt |f| ≤ 1

vnund |f| ≤ a

vauf G.

O.B.d.A. kann v∈Vwieder strikt positiv, stetig und radial gew¨

ahlt werden.

Der Rest des Beweises verl¨

auft analog zu dem von Proposition 5.4.

5.3 Die dualen Dichtheitsbedingungen in in-

duktiven Limiten

In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen die

duale Dichtheitsbedingung f¨

ur die R¨

aume HV (D), HV 0(D), VH(D) und

V0H(D)¨

aquivalent ist und genau dann erf¨

ullt ist, wenn die Folge V= (vn)n∈N

Bedingung (∗) erf¨

ullt. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn VH(D) =

HV (D) topologisch gilt. Man erh¨

alt also unter Einschr¨

ankungen ein ¨

ahn-

liches Ergebnis wie im Fall von R¨

aumen stetiger Funktionen. Zum Beweis

einiger S¨

atze wird die bereits in Kapitel 4 mehrfach angewandte Methode

zur Zerlegung holomorpher Funktionen, die von Bierstedt und Bonet in [10]

eingef¨

uhrt wurde, in verschiedenen Variationen benutzt. Im folgenden werde

o.B.d.A. angenommen, daß vn≥2vn+1 auf Gist. Zun¨

achst werden einige

Hilfsaussagen bewiesen.

5.9 Lemma. Sei Geine kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1. Ferner

sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver, stetiger und radialer

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 78

Funktionen auf G, so daß H(v1)0(G)die Polynome enth¨

alt und V0H(G)ein

topologischer Unterraum von HV 0(G)ist. Dann liefert (Cn)n∈N,

Cn:= Bn∩V0H(G)f¨

ur jedes n∈N, eine Fundamentalfolge der beschr¨

ankten

Mengen in V0H(G).

Beweis. Nat¨

urlich ist jede beschr¨

ankte Menge Bin V0H(G) auch beschr¨

ankt

in HV (G). Daher gibt es n∈Nmit B⊂Cn.

Umgekehrt ist jedes Cnbeschr¨

ankt in HV (G) und damit auch in VH(G).

Dar¨

uber hinaus ist Cnenthalten in V0H(G). Weil V0H(G) ein topologischer

Unterraum von VH(G) ist, ist Cnauch beschr¨

ankt in V0H(G).

5.10 Proposition. Sei Geine kreisf¨

ormige Teilmenge von CN,N≥1. Fern-

er sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger Funktionen auf

G, derart daß H(v1)0(G)die Polynome enth¨

alt und V0H(G)ein topologischer

Unterraum von HV 0(G)ist.

Dann gen¨

ugt der Raum Pder Polynome (versehen mit der von V0H(G)

induzierten Topologie) der dualen Dichtheitsbedingung genau dann, wenn

V0H(G)sie erf¨

ullt.

Beweis. 1. Schritt: Es ist zu zeigen, daß Pin V0H(G) groß ist, d.h. daß jede

beschr¨

ankte Menge in V0H(G) im Abschluß einer beschr¨

ankten Teilmenge

von Pbzgl. V0H(G) liegt.

Fixiere dazu n∈Nund dann f∈Cn. Die Folge (Skf)k∈Nkonvergiert gegen

fin HV 0(G) und damit nach Voraussetzung auch in V0H(G). Außerdem

geh¨

ort jedes Polynom Skfzu Bn∩ V0H(G) = Cn. Folglich liegt jedes Cnin

P ∩ Bn

V0H(G).

2. Schritt: Es bleibt zu zeigen, daß Pgenau dann die duale Dichtheitsbe-

dingung erf¨

ullt, wenn V0H(G) dies ebenfalls tut. Da V0H(G) als induktiver

Limes von Banachr¨

aumen ein (DF )-Raum und Pgroß in V0H(G) ist, fol-

gt aus [59] 8.3.24, daß Pebenfalls ein (DF )-Raum ist. Eine Anwendung

von [8] Bemerkung 1.10(b) liefert schließlich, daß Pgenau dann die duale

Dichtheitsbedingung hat, wenn V0H(G) ihr gen¨

ugt.

5.11 Korollar. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger

Funktionen auf Din der Klasse W, derart daß H(v1)0(D)die Polynome

enth¨

alt.

Dann gen¨

ugt der Raum Pder Polynome (versehen mit der von V0H(D)

induzierten Topologie) der dualen Dichtheitsbedingung genau dann, wenn

V0H(D)sie erf¨

ullt.

Beweis. Nach [14] Theorem 1 ist V0H(D) unter den gegebenen Voraussetzun-

gen ein topologischer Unterraum von HV 0(D). Dann folgt das Gew¨

unschte

aus Lemma 5.9 und Proposition 5.10.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 79

5.12 Satz. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger Funk-

tionen auf Din der Klasse W, derart daß H(v1)0(D)die Polynome enth¨

alt.

Dann sind die folgenden Aussagen ¨

aquivalent:

(a) V0H(D)erf¨

ullt die duale Dichtheitsbedingung.

(b) VH(D)hat die duale Dichtheitsbedingung.

ugt der dualen Dichtheitsbedingung.

(d) Die Folge V= (vn)n∈Nerf¨

ullt die Bedingung (∗).

Beweis. (a) ⇐⇒ (b): Nach [13] Proposition 4 gilt unter den gegebenen Vo-

raussetzungen zun¨

achst VH(D) = (V0H(D)0

b)0

(a) =⇒(b): V0H(D) habe die duale Dichtheitsbedingung. Dann ist nach [8]

Theorem 1.5.(a) jede beschr¨

ankte Teilmenge von V0H(D) metrisierbar. Fol-

glich hat V0H(D)0

bwegen [10] Theorem 1.4 die Dichtheitsbedingung und ist

daher auch distinguiert. Also folgt VH(D) = (V0H(D)0

b)0

i= (VH(D)0

b)0

b,und

VH(D) hat die duale Dichtheitsbedingung.

(b) =⇒(a): VH(D) gen¨

uge der dualen Dichtheitsbedingung. Wegen

VH(D) = (V0H(D)0

b)0

ierf¨

ullt V0H(D)0

bnach [60] Korollar 2 die Dichtheitsbe-

dingung. Eine erneute Anwendung von [10] Theorem 1.4 und Theorem 1.5(a)

liefert dann, daß V0H(D) die duale Dichtheitsbedingung haben muß.

(a) ⇐⇒ (c): Wegen [14] Theorem 1 ist V0H(D) ein dichter topologischer

Unterraum von HV0(D). Insbesondere ist HV 0(D) ein (DF)-Raum (siehe

dazu [48] Theorem 12.4.8(d)). Daher liefert eine Anwendung von [8] 1.10.(a)

und 1.10.(b) die gew¨

unschte ¨

Aquivalenz.

(d) =⇒(c): Es sei also Aussage (d) erf¨

ullt.

Dann ist gem¨

aß Lemma 5.1 folgendes zu zeigen:

zu jeder Folge (µk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Nexistieren

m > n und v∈Vmit Bn,0∩Cv,0⊂Pm

k=1 µkBk,0.W¨

ahle n∈Nebenso wie

eine Folge (µk)k∈Nbeliebig, aber fest. Dann setze

λk:= µk

(2c2+ max1≤i≤mDi)Cm f¨

ur jedes k∈N.

(d) liefert m > n und v∈V. Wegen Proposition 5.11 und der bereits

gezeigten ¨

Aquivalenz der Aussagen (a) und (c) gen¨

ugt es, die Polynome

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 80

zu betrachten. Fixiere p∈(Bn,0∩Cv,0)∩ P. Dann gilt vn|p| ≤ 1 und

v|p| ≤ 1 und daher auch |p| ≤ min 1

vn,1

vauf D. Wegen [18] Proposi-

tion 1.2 (iii) gilt sogar |p| ≤ min 1

vn,1

v∼auf D. (d) liefert desweiteren

min 1

vn,1

v∼≤Pm

k=1

λk

vk≤max mλ1

v1, ..., mλm

vmauf D.

Setze w:= min v1

mλ1, ..., vm

mλm. Dann ist wgem¨

aß Definition ein Element

der Klasse W, und es gilt w|p| ≤ 1 auf D. Zur Vereinfachung der Notation

schreibe κi:= 1

mλif¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}. Also w= min(κ1v1, ..., κmvm).

Man hat p=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)p=R1p+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)p, und die Summe

ist endlich.

Wegen der Bedingung vor (P1) und der Absch¨

atzung von w|p|erh¨

alt man

w(r1) sup

|z|=r1

|R1p(z)| ≤ cw(r1) sup

|z|=r1

|p(z)| ≤ c.

W¨

ahle i∈ {1, ..., m}mit w(r1) = κivi(r1). Mit der zweiten Ungleichung in

(P1), angewandt auf das Polynom R1pund vi, und noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

vi(z)|R1p(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Demnach ist R1p∈2Cc2(κi)−1Bi,0, d.h. R1p∈2Cc2mλ1B1,0bzw. ... bzw.

R1p∈2Cc2mλmBm,0.

Betrachte jetzt den Term p−R1p=P∞

k=1(Rn+1 −Rn)p. Wende die erste

Ungleichung in (P1) f¨

ur wan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur w|p|, um

folgendes zu erhalten:

w(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)p(z)|!≤C(5.6)

f¨

ur jedes n∈N.Nkann dargestellt werden als disjunkte Vereinigung ∪m

i=1Ji

mit

w(rj) = κivi(rj) f¨

ur j∈Ji,1≤i≤m.

Setze jetzt gi:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)pf¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}. Dann ist jedes

giein Polynom und p−R1p=Pm

i=1 gi. Fixiere i∈ {1, ..., m}und setze

n:= (Rn+2 −Rn−1)pf¨

ur n∈Jiund pi

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

gi=X

n∈Ji

(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)p=

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)pi

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 81

und alle Summen sind endlich. Daher ist

supz∈Dvi(z)|gi(z)|= supz∈Dvi(z)|P∞

n=1(Rn+1 −Rn)pi

n|.Da nur endlich viele

nungleich null sind und alle Gewichte zur Klasse Wgeh¨

oren, liefert eine

Anwendung von (P2) und (5.6) wie zuvor

sup

z∈D

vi(z)|gi(z)| ≤ Di(κi)−1C.

Daher ist gi∈mλiDiCBi,0f¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}. Also folgt

p=R1p+Pm

i=1 gi∈(2c2+D1)Cλ1mB1,0+Pm

i=2 DiCλimBi,0⊂Pm

i=1 µiBi,0

bzw. ... bzw.

p=R1p+Pm

i=1 gi∈Pm−1

i=1 DiCλimBi,0+(2c2+Dm)CλmmBm,0⊂Pm

i=1 µiBi,0.

Folglich erf¨

ullt der Raum HV 0(D) die starke duale Dichtheitsbedingung und

daher auch die duale Dichtheitsbedingung.

5.13 Satz. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger Funk-

tionen auf Din der Klasse W. Dann sind folgende Aussagen ¨

aquivalent:

(a) HV (D)erf¨

ullt die duale Dichtheitsbedingung (oder ¨

aquivalent die starke

duale Dichtheitsbedingung).

(b) Die Folge V= (vn)n∈Ngen¨

ugt der Bedingung (∗).

Beweis. (a) =⇒(b): Dies folgt unmittelbar aus Lemma 5.3.

(b) =⇒(a): Es sei also (b) gegeben. Dann ist gem¨

aß Lemma 5.1 und Lemma

5.2 folgendes zu zeigen:

zu jeder Folge (µk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und jedem n∈Nexistieren

m > n und v∈Vmit Bn∩Cv⊂Pm

k=1 µkBk.

Fixiere dazu (µk)k∈Nebenso wie n∈N. Setze dann

λk:= µk

C(2c2+ max1≤j≤mDj)f¨

ur jedes k∈N.

(b) liefert m > n und v∈V. W¨

ahle jetzt ein beliebiges, aber festes f∈

Bn∩Cv. Dann gilt |f| ≤ min 1

vn,1

vund wegen [18] 1.2.(iii) auch |f| ≤

min 1

vn,1

v∼auf D.

(b) impliziert daher |f| ≤ Pm

k=1

λk

vk≤max mλ1

v1, ..., mλm

vmauf D.

Setze w:= min v1

mλ1, ..., vm

mλm. Dann ist wgem¨

aß Definition ein Element der

Klasse W, und es gilt w|f| ≤ 1 auf D.

Zur Vereinfachung der Notation schreibe κi:= 1

mλif¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 82

Also w= min(κ1v1, ..., κmvm). Unter Benutzung der Ces`aro-Mittel (der Par-

tialsummen) der Taylorreihe von fum 0 erh¨

alt man eine Folge (Skf)k∈N

von Polynomen mit w|Skf| ≤ w|f| ≤ 1 f¨

ur jedes k∈Nund Skf→fin

(H(D), co).

Man hat Skf=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)Skf=R1Skf+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)Skf, und

die Summe ist endlich.

Betrachte zun¨

achst den Term R1Skf. Wegen der Bedingung vor (P1) und

der Absch¨

atzung von w|Skf|erh¨

alt man

w(r1) sup|z|=r1|R1Skf(z)| ≤ cw(r1) sup|z|=r1|Skf(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1, ..., m}mit w(r1) = κivi(r1). Mit der zweiten Ungleichung

in (P1), angewandt auf das Polynom R1Skfund viund noch einmal mit der

Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

vi(z)|R1Skf(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Demnach ist R1Skf∈2Cc2(κi)−1Bi, d. h.

R1Skf∈2Cc2mλ1B1bzw. ... bzw. R1Skf∈2Cc2mλmBm.

Betrachte jetzt den anderen Term Skf−R1Skf=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)Skf.

Wende die erste Ungleichung in (P1) f¨

ur wan ebenso wie die Absch¨

atzung

f¨

ur w|Skf|, um folgendes zu erhalten

w(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)Skf(z)|!≤C(5.7)

f¨

ur jedes n∈N.Nkann dargestellt werden als disjunkte Vereinigung ∪m

i=1Ji

mit w(rj) = κivi(rj) f¨

ur jedes j∈Ji,1≤i≤m.

Setze jetzt gi:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)Skff¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}. Dann ist

jedes giein Polynom mit Skf−R1Skf=Pm

i=1 gi. Fixiere i∈ {1, ..., m}.

Sei (Skf)i

n:= (Rn+1 −Rn−1)Skff¨

ur n∈Jiund (Skf)i

n:= 0 sonst.

Die Eigenschaften der Folge (Rn)n∈Nimplizieren

gi=Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)Skf=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)(Skf)i

n,und

alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

vi(z)|gi(z)|= sup

z∈D

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)(Skf)i

n

Da nur endlich viele (Skf)i

nungleich null sind, und alle Gewichte zur Klasse

Wgeh¨

oren, liefert eine Anwendung von (P2) und (5.7)

sup

z∈D

vi(z)|gi(z)| ≤ Di(κi)−1C.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 83

Daher ist gi∈mλiDiCBif¨

ur jedes i∈ {1, ..., m}. Also folgt

Skf=R1Skf+Pm

i=1 gi∈(2c2+D1)Cλ1mB1+Pm

i=2 DiCλimBi⊂Pm

i=1 µiBi

bzw. ... bzw.

Skf=R1Skf+Pm

i=1 gi∈Pm−1

i=1 DiCλimBi+ (2c2+Dm)CλmmBm⊂

i=1 µiBi.

Es folgt, daß jedes Skfzu Pm

i=1 µiBigeh¨

ort. Nun ist aber jedes Bikompakt

in (H(D), co), und wegen Skf→fin der kompakt-offenen Topologie kann

man schließen, daß auch fein Element der Menge Pm

i=1 µiBiist. Folglich

hat HV(D) die starke duale Dichtheitsbedingung und daher auch die duale

Dichtheitsbedingung.

Im folgenden wird eine Verbindung zwischen der dualen Dichtheitsbedin-

gung f¨

ur HV (D) bzw. VH(D) und der topologischen Gleichheit HV (D) =

VH(D) hergestellt. Betrachte dazu den folgenden Satz.

5.14 Satz. (Bierstedt, Bonet [14] Theorem 7) Sei V= (vn)n∈Neine fallende

Folge strikt positiver stetiger Funktionen auf Din der Klasse W. Dann gilt

die topologische Gleichheit VH(D) = HV(D)genau dann, wenn es zu jeder

Folge (λj)j∈Nstrikt positiver Zahlen ein v∈Vgibt, so daß f¨

ur jedes n∈N

und jedes M > 0ein m > n mit

(+) min M

v∼

≤

j=1

λj

existiert.

Es wird nun die ¨

Aquivalenz der Bedingungen (∗) und (+) gezeigt. Dazu

wird zun¨

achst bewiesen, daß HV (D) unter bestimmten Voraussetzungen stets

ein (DF)-Raum ist. Zun¨

achst werden einige Hilfsaussagen ben¨

otigt.

5.15 Lemma. (Bierstedt, Bonet [9] Lemma A in Abschnitt 4) Sei Eein

lokalkonvexer Raum mit einer Fundamentalfolge (Bn)n∈Nder beschr¨

ankten

Mengen und U0eine feste Basis absolutkonvexer Nullumgebungen in E. Dann

ist Eein (DF)-Raum genau dann, wenn f¨

ur jede Folge (λn)n∈Nstrikt posi-

tiver Zahlen und f¨

ur jede Folge (Wn)n∈N⊂ U0der Durchschnitt

n∈N Wn+

k=1

λkBk!

eine Nullumgebung in Eist.

5.16 Lemma. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger

Funktionen auf Din der Klasse W, so daß V⊂ W gilt.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 84

Dann hat man f¨

ur jedes n∈N, jedes wn∈Vund jede Folge (λk)k∈Nstrikt

positiver Zahlen

2B⊂ Cwn+

k=1

λkBk!,

wobei B:= nf∈HV(D); |f| ≤ 1

C(D1+2c2)wn+Pn

k=1

λk

C(Dk+1+2c2)

2k+1vkauf Do.

Beweis. Fixiere zun¨

achst n∈N,wn∈Vund eine Folge (λk)k∈Nstrikt

positiver Zahlen. W¨

ahle dann ein beliebiges, aber festes f∈1

2B. Es gilt

f∈HV(D) und

|f| ≤ 1

2 1

C(D1+ 2c2)

k=1

λk

C(Dk+1 + 2c2)

2k+1vk!

≤max 1

C(D1+ 2c2)

,λ1

C(D2+ 2c2)

, ..., 1

C(Dn+1 + 2c2)

vn.

Setze u:= min C(D1+ 2c2)wn,C(D2+2c2)

λ1v1, ..., C(Dn+1+2c2)

λnvn. Dann ist u

gem¨

aß Definition ein Element der Klasse W, und es gilt u|f| ≤ 1 auf D. Zur

Vereinfachung der Notation schreibe κ1:= C(D1+ 2c2), κi:= C(Di+2c2)

λi−1f¨

2≤i≤n+ 1, u1:= wnund ui:= vi−1f¨

ur 2 ≤i≤n+ 1.

Unter Benutzung der Ces`aro-Mittel (der Partialsummen) der Taylorreihe von

fum 0 erh¨

alt man eine Folge (Skf)k∈Nvon Polynomen mit

u|Skf| ≤ u|f| ≤ 1 f¨

ur jedes k∈Nund Skf→fin (H(D), co).

Nach Voraussetzung liegt jedes Skfin HV (D). Man hat

Skf=P∞

n=0(Rn+1 −Rn)Skf=R1Skf+P∞

n=1(Rn+1 −Rn)Skf, und die

Summe ist endlich.

Betrachte zun¨

achst den Term R1Skf. Wegen der Bedingung vor (P1) und

der Absch¨

atzung von u|Skf|erh¨

alt man

u(r1) sup

|z|=r1

|R1Skf(z)| ≤ cu(r1) sup

|z|=r1

|Skf(z)| ≤ c.

W¨

ahle jetzt i∈ {1, ..., n + 1}mit u(r1) = κiui(r1). Mit der zweiten Ungle-

ichung in (P1), angewandt auf das Polynom R1Skfund uiund noch einmal

mit der Bedingung vor (P1) schließt man wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|R1Skf(z)| ≤ 2c2C(κi)−1.

Also

R1Skf∈2c2C

C(D1+2c2)Cwnbzw. R1Skf∈2c2C

C(D2+2c2)λ1B1bzw. ... bzw. R1Skf∈

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 85

2c2C

C(Dn+1+2c2)λnBn.

Betrachte jetzt den anderen Term

Skf−R1Skf=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)Skf. Wende die erste Ungleichung in (P1)

f¨

ur uan ebenso wie die Absch¨

atzung f¨

ur u|Skf|, um Folgendes zu erhalten

u(rn) sup

|z|=rn

|(Rn+2 −Rn−1)Skf(z)|!≤C(5.8)

f¨

ur jedes n∈N.Nkann dargestellt werden als disjunkte Vereinigung ∪n+1

i=1 Ji

mit

u(rj) = κiui(rj) f¨

ur jedes j∈Ji, i ∈ {1, ..., n + 1}.

Setze jetzt gi:= Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)Skff¨

ur i∈ {1, ..., n+1}. Dann ist jedes gi

ein Polynom mit Skf−R1Skf=g1+g2. Fixiere i∈ {1, ..., n+1}. Sei (Skf)i

n:=

(Rn+2 −Rn−1)Skff¨

ur n∈Jiund (Skf)i

n:= 0 sonst. Die Eigenschaften der

Folge (Rn)n∈Nimplizieren

gi=Pn∈Ji(Rn+1 −Rn)(Rn+2 −Rn−1)Skf=P∞

n=1(Rn+1 −Rn)(Skf)i

n,und

alle Summen sind endlich. Daher ist

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)|= sup

z∈D

ui(z)

∞

n=1

(Rn+1 −Rn)(Skf)i

n

Da nur endlich viele (Skf)i

nungleich null sind, und alle Gewichte zur Klasse

Wgeh¨

oren, liefert eine Anwendung von (5.8) und (P2) wie zuvor

sup

z∈D

ui(z)|gi(z)| ≤ Di(κi)−1C.

Daher geh¨

ort g1zu CD1

C(D1+2c2)Cwn, w¨

ahrend giElement von CDiλi−1

C(Di+2c2)Bif¨

jedes i∈ {2, ..., n + 1}ist.. Also folgt

Skf∈C(D1+2c2)

C(D1+2c2)Cwn+D2C

C(D2+2c2)λ1B1+...+Dn+1C

C(Dn+1+2c2)λnBn⊂Cwn+Pn

k=1 λkBk

bzw. ... bzw.

Skf∈CD1

C(D1+2c2)Bwn+... +C(Dn+1+2c2)

C(Dn+1+2c2)λnBn⊂Cwn+P∞

k=1 λkBk.

Schließlich hat man

Skf∈Cwn+

∞

k=1

λkBk.

Cwnund Bi(1 ≤i≤n) sind co-kompakt, und wegen Skf→fin der

kompakt-offenen Topologie kann man schließen, daß auch fein Element der

Menge Cwn+Pn

k=1 λkBkist.

Der Beweis der folgenden Proposition entspricht dem von [9] Proposition

B aus Abschnitt 4. Allerdings wird hier der Ernst-Schnettler-Trick durch die

obige Proposition ersetzt.

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 86

5.17 Proposition. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver,

stetiger Funktionen auf Din der Klasse W, so daß V⊂ W gilt. Dann ist

HV (D)ein (DF)-Raum.

Beweis. Fixiere eine Folge (λk)k∈Nstrikt positiver Zahlen und eine Folge

(wn)n∈Nvon Gewichten in V. Nach Lemma 5.15 gen¨

ugt es zu zeigen, daß

W:= \

n∈N Cwn+

k=1

λkBk!

eine Nullumgebung in HV(D) ist.

Gem¨

aß Lemma 5.16 gilt 1

2B⊂Cwn+Pn

k=1 λkBk.An dieser Stelle sei

an=1

2 1

C(D1+ 2c2)

k=1

λk

C(Dk+1 + 2c2)

2k+1vk!,

vn:= 1

, n ∈N,und v:= sup

n∈N

vn.

Es gilt

vn≤2 inf C(D2+ 2c2)22

λ1

v1, ..., C(Dn+1 + 2c2)2n+1

λn

vn, C(D1+ 2c2)wn

(5.9)

f¨

ur jedes n∈N, und daher geh¨

ort vn:G→R+zum Nachbin-System

V=V(V), das assoziiert mit Vauf Gmit der diskreten Topologie ist. (5.9)

liefert ein w∈Vund man erh¨

alt

{f∈HV (D); w|f| ≤ 1 auf G} ⊂ Cwn+

k=1

λkBk

f¨

ur n∈N. Wegen [19] Abschnitt 4.2 existiert ein v∈Vmit w≤v, und

{f∈HV (G); v|f| ≤ 1 auf D}ist eine Nullumgebung in HV (G) und enthal-

ten in W. Daher folgt die Behauptung.

5.18 Proposition. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver

stetiger Funktionen auf Din der Klasse W, so daß V⊂ W gilt. Dann sind

die Bedingungen (∗)und (+) zueinander ¨

aquivalent.

Beweis. Nat¨

urlich impliziert (+) die Bedingung (∗).

(∗) =⇒(+): Wegen Satz 5.13 folgt aus Bedingung (∗), daß HV (D) die duale

Dichtheitsbedingung hat. Proposition 5.17 liefert, daß HV (D) ein (DF )-

Raum ist. Also folgt mit [17] die algebraische und topologische Gleichheit

VH(D) = HV (D) und damit (+) (siehe dazu Proposition 5.14).

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 87

5.19 Korollar. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver stetiger

Funktionen auf Din der Klasse W, so daß V⊂ W gilt. Betrachte die fol-

genden Aussagen

(a) Es gilt HV (D) = VH(D)topologisch.

(b) HV (D)gen¨

ugt der dualen Dichtheitsbedingung.

ullt die starke duale Dichtheitsbedingung.

(d) HV (D)hat metrisierbare beschr¨

ankte Mengen.

(e) HV 0(D)erf¨

ullt die duale Dichtheitsbedingung.

(f) V0H(D)gen¨

ugt der dualen Dichtheitsbedingung.

Dann sind die Aussagen (a) bis (d) zueinander ¨

aquivalent. Falls zus¨

atzlich

noch vorausgesetzt wird, daß H(v1)0(D)die Polynome enth¨

alt, so sind alle

Aussagen zueinander ¨

aquivalent.

Beweis. Nach den obigen Ausf¨

uhrungen sind die Bedingungen (+) und (∗)

aquivalent.

Im folgenden werden Beispiele f¨

ur Folgen Vgegeben, die V⊂ W im-

plizieren.

5.20 Proposition. Sei V= (vn)n∈Neine fallende Folge strikt positiver,

stetiger Funktionen auf D. Ferner gebe es Zahlen ε0>0und k0∈Nde-

rart, daß die folgenden Bedingungen erf¨

ullt sind:

(L1) infk

vn(rk+1)

vn(rk)≥ε0f¨

ur jedes n∈N.

(L2)Es gibt ein k1∈Nmit

vn(rk+k0)<(1 −ε0)vn(rk)

f¨

ur jedes k≥k1und jedes n∈N.

Dann existiert zu jedem v∈Vein w∈V,v≤wmit der folgenden Eigen-

schaft:

Es gibt eine Folge (βn)n∈Npositiver Zahlen, so daß f¨

ur jedes r > 0ein

k(r)∈Nmit

w(z) = min

1≤n≤k(r)βnvn(z) (5.10)

f¨

ur jedes z∈Dmit |z| ≤ rexistiert. Ferner gibt es ε2>0und k2∈Nmit

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 88

(L1) infk

w(rk+1)

w(rk)≥ε2.

(L2) lim supk→∞

w(rk+k2)

w(rk)<1−ε2.

Falls Valso den Bedingungen (L1) und (L2) gen¨

ugt, so gilt V⊂ W.

Beweis. Fixiere v∈V. Dann gibt es w∈Vmit v≤wund (5.10). Zeige nun,

daß wdie Eigenschaften (L1) und (L2) hat. W¨

ahle ε2:= ε0und k2:= k0.

Um (L1) zu zeigen, fixiere k∈Nund beweise

ε2w(rk)≤w(rk+1).

W¨

ahle nun 0 < rk+1 < s < 1. Dann gilt

w(z) = min

1≤n≤k(s)βkvk(z) f¨

ur z∈Dmit |z| ≤ s.

F¨

uhre eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: Es gelte w(rk) = βjvj(rk) und w(rk+1) = βjvj(rk+1). Dann erh¨

alt

man

ε2w(rk) = ε2βjvj(rk)≤βjvj(rk+1) = w(rk+1).

2. Fall: Man habe w(rk) = βjvj(rk) und w(rk+1) = βlvl(rk+1). Es folgt

ε2w(rk) = ε2βjvj(rk)≤βjvj(rk+1)≤βlvl(rk+1) = w(rk+1).

Daher ist infk

w(rk)

w(rk+1)≥ε2. Damit ist (L1) erf¨

ullt.

Es bleibt, (L2) zu zeigen. Dazu ist zu beweisen, daß es N0∈Ngibt, so

daß f¨

ur jedes k≥N0die Ungleichung

w(rk+k2)<(1 −ε0)w(rk)

erf¨

ullt ist. Nach Voraussetzung existiert k1∈N, so daß f¨

ur jedes k≥k1und

jedes n∈N

vn(rk+k2)<(1 −ε2)vn(rk)

gilt. Fixiere nun k≥k1und w¨

ahle 0 < k +k2< s < 1. Dann gilt

w(z) = min

1≤n≤k(s)βnvn(z) f¨

ur jedes z∈Dmit |z| ≤ s.

Setze jetzt N0:= k1und unterscheide die folgenden beiden F¨

alle:

1. Fall:

Man habe w(rk+k2) = βjvj(rk+k2) und w(rk) = βjvj(rk). Dies impliziert

w(rk+k2) = βjvj(rk+k2)≤(1 −ε2)βjvj(rk) = (1 −ε2)w(rk).

5 Gewichtete (LB)-R¨

aume holomorpher Funktionen 89

2. Fall:

Es gelte w(rk+k2) = βjvj(rk+k2) und w(rk) = βlvl(rk). Dann folgt

w(rk+k2) = βjvj(rk+k2)≤(1 −ε2)βjvj(rk)≤(1 −ε2)βlvl(rk) = (1 −ε2)w(rk).

Folglich hat wdie Bedingung (L2).

5.21 Beispiel. Betrachte die Folge V= (vn)n∈Nmit

vn(z) := (1 − |z|)k1

|ln((1 − |z|)n)|, z ∈D, n ∈N, k ∈N.

W¨

ahle ε0=1

4und k0= 1. Dann gilt

vn(rk+1)

vn(rk)=2−k−1ln(2−nk)

2−kln(2−n(k+1))=1

k+ 1 ≥1

und mit k1:= 1 erh¨

alt man

vn(rk+1)

vn(rk)=1

k+ 1 ≤1

2<1−1

4.

Damit sind (L1) und (L2) erf¨

ullt.

Literaturverzeichnis

[1] I. Amemiya. Some examples of (F) and (DF) spaces. Proc.Japan Acad.,

33:169–171, 1957.

[2] J.M. Andersen and J.Duncan. Duals of Banach spaces of entire func-

tions. Glasgow Math. J., 32:215–220, 1990.

[3] F. Bastin. Weighted spaces of continuous functions. Bull. Soc. Roy. Sci.

Li`ege, 59(1):1–81, 1990.

[4] F. Bastin. Distinguishedness of weighted Fr´echet spaces of continuous

functions. Proc. Edinb. Math. Soc.(2), 35(2):271–283, 1992.

[5] C.A. Berenstein and R. Gay. Complex Analysis and Special Topics in

Harmonic Analysis. Springer-Verlag Berlin, 1995.

[6] K.D. Bierstedt. Injektive Tensorprodukte und Slice-Produkte

gewichteter R¨

aume stetiger Funktionen. J. Reine Angew. Math.,

266:121–131, 1974.

[7] K.D. Bierstedt. A survey of some results and open problems in weight-

ed inductive limits and projective description for spaces of holomorphc

functions. Bull. Soc. Roy. Sci. Li`ege, 70(4-6):167–182, 2002.

[8] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Dual density conditions in (DF )-spaces I.

Results Math, 14(3-4):242–274, 1988.

[9] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Dual density conditions in (DF)-spaces

II. Bull. Soc. Roy. Sci. Li`ege, 57(6):567–589, 1988.

[10] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Stefan Heinrich’s density condition and

the characterization of the distinguished K¨

othe echelon spaces. Math.

Nachr., 135:149–180, 1988.

[11] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Density conditions in Fr´echet and (DF )-

spaces. Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid, 2(Num. suplem.):59–75, 1989.

[12] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Biduality in Fr´echet and (LB)-spaces.

Progress in Functional Analysis, Proc. Int. Meet. Occas. 60th Birthd.

M. Valdivia, Pe˜n´ıscola/Spain, North-Holland Math. Studies, 170:113–

133, 1992.

LITERATURVERZEICHNIS 91

[13] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Biduality in (LF)-spaces. RACSAM Rev.

R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math., 95(2):171–180, 2001.

[14] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Projective description of weighted (LF)-

spaces of holomorphic functions on the disc. Proc. Edinb. Math. Soc.

(2), 46(2):435–450, 2003.

[15] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Some aspects of the modern theory of

Fr´echet spaces. RACSAM Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser.

A Math., 97(2):159–188, 2003.

[16] K.D. Bierstedt and J. Bonet. Manuskript. in Vorbereitung, 2004.

[17] K.D. Bierstedt, J. Bonet, and A. Galbis. Weighted spaces of holomorphic

functions on balanced domains. Michigan Math. J., 40(2):271–297, 1993.

[18] K.D. Bierstedt, J. Bonet, and J. Taskinen. Associated weights and spaces

of holomorphic functions. Studia Math., 127(2):137–168, 1998.

[19] K.D. Bierstedt and R. Meise. Distinguished echelon spaces and the pro-

jective description of weighted inductive limits of type VdC(X). Aspects

of Mathematics and its Applications, pages 169–226, 1986.

[20] K.D. Bierstedt, R. Meise, and W.H. Summers. A projective description

of weighted inductive limits. Trans. Amer. Math. Soc., 272:107–160,

1982.

[21] J. Bonet. On weighted inductive limits of spaces of continuous functions.

Math. Z., 192:9–20, 1986.

[22] J. Bonet. A question of Valdivia on quasinormable Fr´echet spaces.

Canad. Math. Bull, 34(3):301–304, 1991.

[23] J. Bonet and J.A. Conejero. The sets of monomorphisms and of almost

open operators between locally convex spaces. Proc. Am. Math. Soc.,

129(12):3683–3690, 2001.

[24] J. Bonet and S. Dierolf. On distinguished Fr´echet spaces. Progress in

Functional Analysis, Proc. Int. Meet. Occas. 60 th Birthd. M. Valdivia,

Pe˜n´ıscola/Spain, North-Holland Math. Stud., 170:201–214, 1992.

[25] J. Bonet and R. Meise. Ultradistributions of Roumieu type and projec-

tive description. J. Math. Anal. Appl., 255(1):122–136, 2001.

LITERATURVERZEICHNIS 92

[26] J. Bonet and S.N. Melikhov. Interpolation of entire functions and pro-

jective descriptions. J. Math. Anal. Appl., 205:454–460, 1997.

[27] J. Bonet and J. Taskinen. The subspace problem for weighted inductive

limits of spaces of holomorphic functions. Mich. Math. J., 42(2):259–268,

1995.

[28] J. Bonet and D. Vogt. Weighted spaces of holomorphic functions and

sequence spaces. Note Mat., 17:87–97, 1997.

[29] J. Bonet and E. Wolf. A note on weighted Banach spaces of holomorphic

functions. Arch. Math., 81(6):650–654, 2003.

[30] R.W. Braun, R. Meise, and B.A. Taylor. Ultradifferentiable functions

and Fourier analysis. Results Math., 17:206–237, 1990.

[31] R.W. Braun, R. Meise, and D. Vogt. Existence of fundamental solutions

and surjectivity of convolution operators on classes of ultradifferentiable

functions. Proc. London Math. Soc., 61:344–370, 1990.

[32] R.W. Braun, R. Meise, and D. Vogt. Characterization of linear partial

differential operators with constant coefficients which are surjective on

non-quasianalytic classes of Roumieu type on Rn.Math. Nachr., 168:19–

54, 1994.

[33] C. Cowen and B. MacCluer. Composition Operators on Spaces of Ana-

lytic Functions. CRC Press, 1995.

[34] L. Ehrenpreis. Fourier Analysis in Several Complex Variables. Pure and

Applied Mathematics. 17. New York etc.: Wiley-Interscience Publishers

a division of John Wiley & Sons. XIII, 1970.

[35] O.E. Epifanov. Duality of some pair of spaces of analytic functions of

restricted growth. Dokl. Akad. Nauk SSSR., 319(6):1297–1300, 1991.

[36] J.-P. Ferrier. Spectral Theory and Complex Analysis. Notas de

Matem´atica 49, North-Holland Math. Studies 4, 1973.

[37] K. Floret. Some aspects of the theory of locally convex inductive limits.

North-Holland Math. Stud., 38:205–237, 1980.

[38] K. Floret and J. Wloka. Einf¨

uhrung in die Theorie der lokalkonvexen

R¨

aume, volume 56. Springer Lecture notes, 1968.

LITERATURVERZEICHNIS 93

[39] H.G. Garnir, M. De Wilde, and J. Schmets. Analyse fonctionnelle I.

Birkh¨

auser Verlag, Basel und Stuttgart, 1968.

[40] A. Grothendieck. Sur les espaces (F) et (DF). Summa Brasil Math.,

3:57–123, 1954.

[41] H. Hedenmalm, B. Korenblum, and K. Zhu. Theory of Bergman Spaces.

Graduate Texts in Mathematics 199 New York, Springer-Verlag, 2000.

[42] S. Heinrich. Ultrapowers of locally convex spaces and applications I.

Math. Nachr., 118:285–315, 1984.

[43] W.D. Heinrichs. The density condition and the dual density condition

by operator. Collect. Math., 48(3):321–337, 1997.

[44] K. Hoffman. Banach Spaces of Analytic Functions. Prentice-Hall, Inc.,

1962.

[45] S. Holtmanns. Operator Representation and Biduals of Weighted Func-

tion Spaces, dissertation. 2000.

[46] L. H¨

ormander. An Introduction to Complex Analysis in Several Vari-

ables. North-Holland Mathematical Library 7, Amsterdam, 1990.

[47] J. Horv´ath. Topological Vector Spaces and Distributions. Addison-

Wesley Publishing Company, 1966.

[48] H. Jarchow. Locally Convex Spaces. Teubner Stuttgart, 1981.

[49] N. Kalton and D. Werner. Property (M), M-ideals and almost isometric

structure of Banach spaces. J. Reine Angew. Math., 461:137–178, 1995.

[50] G. K¨

othe. Topologische lineare R¨

aume I. Grundlehren der Mathematis-

chen Wissenschaften 107, Springer-Verlag, 1966.

[51] G. K¨

othe. Topological Vector Spaces II. Grundlehren der mathematis-

chen Wissenschaften 237, Springer-Verlag, 1979.

[52] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri. Classical Banach Spaces I. Berlin,

1977.

[53] W. Lusky. On weighted spaces of harmonic and holomorphic functions.

J. London Math. Soc.(2), 51(2):309–320, 1995.

LITERATURVERZEICHNIS 94

[54] P. Mattila, E. Saksman, and J. Taskinen. Weighted spaces of harmonic

and holomorphic functions: Sequence space representations and projec-

tive desriptions. Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 40(1):41–62, 1997.

[55] S.N. Melikhov. (DF S)-spaces of holomorphic functions invariant under

differentiation. Preprint, 2004.

[56] L. Nachbin. On weighted polynomial approximation in a locally compact

space. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 47:1055–1957, 1961.

[57] L. Nachbin. Weighted approximation for algebras and modules of con-

tinuous functions: real and self-adjoints complex cases. Ann.of Math.,

81(2):289–302, 1965.

[58] L. Nachbin. Elements of Approximation Theory. Math. Studies 14, Van

Nostrand, 1967.

[59] P. P´erez-Carreras and J. Bonet. Barrelled Locally Convex Spaces. North-

Holland Mathematics Studies, 131. Notas de Matem´atica (113). Ams-

terdam etc., 1987.

[60] A. Peris. Some results on Fr´echet spaces with the density condition.

Arch. Math. (Basel), 59:286–293, 1992.

[61] A. Peris. Quasinormable spaces and the problem of topologies of

Grothendieck. Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I, Math., 19(1):167–203,

1994.

[62] A. Peris and M.J. Rivera. Localization of bounded sets in tensor prod-

ucts. Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid, 9(1):111–130, 1996.

[63] H.H. Schaefer. Topological Vector Spaces. Graduate Texts in Mathe-

matics 3, Springer-Verlag, 1971.

[64] L. Schwartz. Espaces de foncions diff´erentiables `a valeurs vectorielles.

Journal d’Analyse Math., 4:88–148, 1954-1956.

[65] W.H. Summers. Dual spaces of weighted spaces. Trans. Amer. Math.

Soc., 151:323–333, 1970.

[66] B.A. Taylor. Some locally convex spaces of entire functions. Proc. Sym-

pos. Pure Math., 11:431–467, 1968.

[67] B.A. Taylor. A seminorm topology on some (DF)-spaces of entire func-

tions. Duke Math.J., 38:379–385, 1971.

LITERATURVERZEICHNIS 95

[68] J. Wloka. Grundr¨

aume und verallgemeinerte Funktionen, volume 82.

Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag Berlin-New York, 1969.

[69] P. Wojtaszczyk. Banach Spaces for Analysts. Cambridge University

Press, 1991.