scieee Science in your language
[en] (orig)
Numerische Simulation aufsteigender Blasen
mit und ohne Stoffaustausch mittels der
Volume of Fluid (VOF) Methode
zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTORS DER INGENIEURWISSENSCHAFTEN (Dr.-Ing.)
der Fakult¨
at f¨
ur Maschinenbau
der Universit¨
at Paderborn
genehmigte
DISSERTATION
von
Dipl.-Ing Mario Koebe
aus Medebach
Tag des Kolloquiums: 26.08.2004
Referent: Prof. Dr.-Ing. H.-J. Warnecke
Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. M. Pahl
HD Dr. rer. nat. D. Bothe
17. September 2004
Die vorliegende Arbeit wurde in der Zeit von Januar 2000 bis Dezember 2003
w¨
ahrend meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl f¨
ur Technische
Chemie und Chemische Verfahrenstechnik der Universit¨
at Paderborn angefertigt.
In dieser Zeit sind zum Thema dieser Arbeit folgenden Ver¨
offentlichungen entstan-
den:
Koebe, M. ; Bothe, D. ; Pr¨
uss, J. ;Warnecke, H.-J.: 3D Direct Numerical
Simulation of Air Bubbles in Water at High Reynolds-Numbers. In: ASME FEDSM
2002, Montreal, Canada ASME (Veranst.), 2002, S. 1-8
Koebe, M. ; Bothe, D. ; Warnecke, H.-J.: Direct Numerical Simulation of
Air Bubbles in Water/Glycerol Mixtures: Shapes and Velocity Fields. In: ASME
FEDSM 2003, Honolulu, USA ASME (Veranst.), 2003, S. 1-7
Bothe, D. ; Koebe, M. ; Wielage, K. ;Warnecke, H.-J.: VOF-Simulations
of Mass Transfer from Bubbles and Bubble Chains Rising in Aqueous Solutions.
In: ASME FEDSM 2003, Honolulu, USA ASME (Veranst.), 2003, S. 1-7
Bothe, D. ; Koebe, M. ; Warnecke, H.-J.: VOF Simulation of the Rise Be-
havior of Single Air Bubbles with Oxygen Transfer to the Ambient Liquid. In:
F.-P. Schindler (Hrsg.): 2nd International Berlin Workshop - IBW2 on Transport
Phenomena with Moving Boundaries, 9th-10th October 2003, Berlin, Germany,
VDI-Verlag, 2004, S. 134 -146
Bothe, D. ; Koebe, M. ; Wielage, K. ; Pr¨
uss, J. ; Warnecke, H.-J.: Direct
Numerical Simulation of Mass Transfer Between Rising Gas Bubbles and Water.
In: Sommerfeld, M. (Hrsg.): Bubbly Flows - Analysis, Modelling and Calculation,
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2003
An dieser Stelle m¨
ochte ich allen danken, die durch ihre sowohl fachliche als auch
moralische Unterst¨
utzung zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt
Herrn Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Warnecke f¨
ur die interessante, fach¨
ubergreifen-
de Themenstellung, seine stete Diskussionsbereitschaft und insbesondere f¨
ur sein
Vertrauen, das mir die freiheitliche Gestaltung und Umsetzung der wissenschaftli-
chen Ziele dieser Arbeit erm¨
oglichte,
Herrn PD Dr. rer. nat. Dieter Bothe f¨
ur seinen großen Einsatz bei der intensiven
Betreuung dieser Arbeit und f¨
ur seine unverzichtbare Unterst¨
utzung bei allen ma-
thematischen Problemstellungen,
Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Manfred Pahl f¨
ur die ¨
Ubernahme des Korreferates,
sowie Prof. Dr.-Ing. Roland Span und Prof. Dr.-Ing. Hans J¨
urgen Maier f¨
ur die
Mitwirkung in der Pr¨
ufungskommission,
Herrn Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weigand f¨
ur die Bereitstellung des Programms FS3D,
Herrn Prof. Dr.-Ing. Norbert R¨
abiger f¨
ur die Bereitstellung von Versuchsapparatu-
ren und die M¨
oglichkeit meines Aufenthalts am IUV, die diese Zeit sehr produktiv
werden ließ.
Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Kollegin Frau Dipl.-Math. Kerstin Wielage.
Sie war mir bei der Bedienung von FS3D und in allen numerischen Fragestellungen
eine große Hilfe und hat sehr zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen.
Weiterhin gilt mein besonderer Dank meinen drei Kollegen vom IUV Herrn Dr.-
Ing. Michael Schl¨
uter f¨
ur seine große Hilfsbereitschaft bei der Durchf¨
uhrung der
Experimente, die fachlichen Diskussionen und seine Gastfreundschaft,
Herrn Dipl.-Ing. Olaf Bork und Herrn Dipl.-Ing. S¨
oren Scheid f¨
ur ihre Hilfe bei der
Auswertung der Experimente und die fachlichen Diskussionen,
Herrn Dipl.-Inf. Axel Keller vom PC2f¨
ur die Unterst¨
utzung bei der Bedienung des
Parallelrechners,
dem Paderborn Center for Parallel Computing PC2f¨
ur die bereitgestellte Rechen-
zeit,
sowie allen anderen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Arbeitskreises Techni-
sche Chemie und Chemische Verfahrenstechnik, die durch das hervorragende Ar-
beitsklima ihren Beitrag zum erfolgreichen Abschluß dieser Arbeit geleistet haben.
Meinen Eltern
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung und Aufgabenstellung 1
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik 3
2.1. Das Bewegungsverhalten von starren Einzelpartikeln ........ 4
2.1.1. Widerstandsgesetze f¨
ur sph¨
arische Einzelpartikel ....... 4
2.1.2. Gleichf¨
ormige Bewegung .................... 6
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen ........... 6
2.2.1. Aufstiegsgeschwindigkeit und Widerstandsbeiwerte ..... 9
2.2.2. Beschleunigte Blasenbewegungen ............... 18
2.2.3. Bewegungsbahnen ........................ 19
2.2.4. Korrelationen f¨
ur die Blasenform ............... 22
2.2.5. Blasenaufstieg in leicht und stark verschmutzten Systemen . 24
2.3. Form und Bewegungsverhalten von Blasenketten ........... 26
2.4. Wirbelschleppenph¨
anomene ...................... 27
2.4.1. Laminare Wirbelschleppen ................... 28
2.4.2. Turbulente Wirbelschleppen .................. 29
2.4.3. Formen der Wirbelschleppen .................. 29
3. Stand des Wissens - Stofftransport 33
3.1. Stoff¨
ubergang durch die Grenzfl¨
ache von Blasen und Tropfen . . . . 34
3.2. Zweifilm-Theorie ............................ 36
3.3. Penetrations-Theorie .......................... 39
3.4. Sherwood Korrelationen ........................ 42
i
Inhaltsverzeichnis
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung 45
4.1. Versuchsaufbau zur Untersuchung des Blasenaufstiegs ........ 45
4.2. Kalibrierung der Kameras ....................... 46
4.3. Versuchsdurchf¨
uhrung ......................... 47
4.4. Methode zur Erfassung der Blasenbewegung ............. 48
5. Experimente 53
6. Stand des Wissens - Simulation 67
6.1. Ans¨
atze zur Simulation von Blasenstr¨
omungen ............ 67
6.2. Simulationen aufsteigender Blasen mit Interface Tracking Methoden 73
6.2.1. Hydrodynamik ......................... 73
6.2.2. Stoffaustausch .......................... 76
7. Kontinuumsmechanische Modellierung 79
7.1. Bilanzierung von Zweiphasenstr¨
omungen ............... 79
7.1.1. Integralen Bilanzen ....................... 79
7.1.2. Differentielle Bilanzen ..................... 83
7.1.3. Sprungbedingungen ....................... 85
7.1.4. Randbedingungen ........................ 85
7.2. Stoffaustausch .............................. 86
8. Numerische Verfahren 89
8.1. Die VOF-Methode ........................... 89
8.2. Parasit¨
are Str¨
omungen ......................... 95
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen 99
9.1. Stoffwerte der verwendeten Systeme .................. 99
9.2. Variationen der Stoffeigenschaften der dispersen Phase ....... 101
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen ................. 105
9.3.1. Blasenform ........................... 106
9.3.2. Geschwindigkeitsfelder ..................... 108
9.4. Einfluß von Gitteraufl¨
osung und Wandabstand ............ 112
9.5. Einzelblasen ............................... 118
ii
Inhaltsverzeichnis
9.5.1. Aufstiegsgeschwindigkeiten ................... 120
9.5.2. Aufstiegsbahnen ......................... 129
9.5.3. Bahnfrequenz .......................... 136
9.5.4. Blasenformen .......................... 138
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene ...................... 145
9.6.1. Helikale Wirbelschleppe .................... 146
9.6.2. Achsensymmetrische Wirbelschleppe ............. 149
9.6.3. Wirbelschleppenl¨
ange ...................... 150
9.6.4. Wirbelschleppenbildung und -abl¨
osung ............ 154
9.7. Blasenkoaleszenz ............................ 157
9.8. Stoff¨
ubergang .............................. 165
9.8.1. Validierung ........................... 167
9.8.2. Gitterabh¨
angigkeit des Stofftransportes ............ 169
9.8.3. Variation der Schmidt-Zahl .................. 170
9.8.4. Vergleich mit experimentellen Daten ............. 175
9.8.5. Blasenketten ........................... 180
10.Zusammenfassung und Ausblick 189
11.Symbolverzeichnis 195
A. Anhang 199
A.1. Festlegung der Wirbelschleppenl¨
ange nach Tsuchiya und Fan . . . . 199
A.2. Einfluß der Blasenerzeugung ...................... 199
A.3. Koeffizienten der Geradengleichungen ................. 201
Tabellenverzeichnis 203
Abbildungsverzeichnis 205
Literaturverzeichnis 211
iii
1. Einleitung und Aufgabenstellung
Gas-Fl¨
ussig (G-L)-Reaktoren mit Auftriebsstr¨
omung wie Blasens¨
aulen, Schlaufen-
reaktoren oder begaste R¨
uhrkessel, werden als Kontaktapparate in der chemischen
Reaktionstechnik, der Bioverfahrenstechnik und der Lebensmitteltechnik eingesetzt.
In der Regel liegt dabei eine kontinuierliche Fl¨
ussigphase mit darin dispergierter
Gasphase vor, wobei zus¨
atzlich suspendierter Feststoff z.B. als Katalysator vorhan-
den sein kann. Die prozeßrelevanten Wechselwirkungen zwischen den beteiligten
Phasen finden insbesondere auf der Gr¨
oßenskala der Partikel (Blasen) statt. Ei-
nige Beispiele sind Kollision oder Koaleszenz von Blasen, Einfluß des Nachlaufs
auf benachbarte Blasen bis hin zum Schwarmverhalten, Auswirkung von (blasen-
induzierter) Turbulenz auf Blasenbewegung und -form sowie Dynamik der Pha-
sengrenzfl¨
achen. Dar¨
uber hinaus finden meist Stoffaustausch und -transport sowie
chemische Reaktion mit weiteren komplexen Wechselwirkungen statt. Um in diesem
Zusammenhang ein sicheres Upscaling zu erm¨
oglichen, besteht ein hoher Bedarf,
die ablaufenden Teilprozesse besser zu verstehen.
Zu den grundlegenden Problemen in Zweiphasenstr¨
omungen geh¨
ort das Verst¨
andnis
der Wechselwirkungen beider Phasen untereinander. Die Wechselwirkungen lassen
sich aufteilen in
(1) die Wirkung der Fl¨
ussigphase auf die Blase,
(2) die Wirkung der Blase auf die Fl¨
ussigphase,
(3) die Rolle der Wechselwirkungen der Blasen untereinander.
In diesem Kontext ist die Kenntnis der Hydrodynamik einzelner Blasen von beson-
derer Bedeutung, da auf diese Weise die Punkte (1) und (2) detailliert untersucht
werden k¨
onnen. Erg¨
anzend zu Experimenten bietet sich die numerische Simulation
zur n¨
aheren Untersuchung der obigen Punkte an. Mit ihr k¨
onnen die wesentli-
1
1. Einleitung und Aufgabenstellung
chen Parameter kosteng¨
unstig untersucht werden. Gleichzeitig sind alle relevanten
Gr¨
oßen wie z.B. Geschwindigkeit oder Konzentration innerhalb des betrachteten
Gebiets vollst¨
andig zug¨
anglich. Insbesondere im Bereich des Nachlaufgebiets einer
Blase ist die genaue Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung von großem Interesse.
Zur Untersuchung der Punkte (1) und (2) m¨
ussen die freien R¨
ander der aufstei-
genden Blasen genau untersucht werden k¨
onnen. Zur numerischen Simulation bie-
ten sich die sogenannten Interface Tracking Methoden an. In dieser Arbeit sollen
ausf¨
uhrliche Untersuchungen an Einzelblasen vorgenommen werden, damit die An-
wendbarkeit numerischer Simulationen auf die Punkte (1) und (2) beurteilt werden
kann. Zur Erfassung von Punkt (3), also der Wechselwirkung der Blasen unterein-
ander, m¨
ussen auch Blasenpaare und Blasenketten n¨
aher betrachtet werden.
Von entscheidender technischer Bedeutung ist jedoch nicht nur die Hydrodynamik
in Zweiphasenstr¨
omungen, sondern auch der Stoffaustausch zwischen den Phasen.
Dazu existieren bisher im Wesentlichen experimentelle Untersuchungen. Publizierte
Resultate numerischer Simulationen beziehen sich haupts¨
achlich auf spezielle Situa-
tionen, wie z.B. sph¨
arische Blasen/Tropfen oder achsensymmetrische Anordnungen,
die letztlich auf zweidimensionale Probleme f¨
uhren. Andererseits belegen aktuell
durchgef¨
uhrte Experimente, daß bei den in der Praxis oft auftretenden h¨
oheren
Reynolds-Zahlen asymmetrische Konzentrationsprofile im Nachlauf der Blasen auf-
treten. Zum Stoffaustausch ¨
uber die dann formdynamischen Phasengrenzfl¨
achen
existieren nur wenige Arbeiten.
Daher soll das in das bereits bestehende Simulationsprogramm FS3Dderart erwei-
tert werden, daß nicht nur ein Dichtesprung an der Phasengrenze, sondern auch ein
oftmals vorliegender Konzentrationssprung an der Grenzfl¨
ache durch die Simulatio-
nen wiedergegeben werden kann. Ziel dieser Erweiterung soll sein, den Stofftrans-
port und -austausch ¨
uber deformierbare und formdynamische Phasengrenzfl¨
achen
in dreidimensional numerisch berechnen zu k¨
onnen.
2
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
In einer Vielzahl von verfahrenstechnischen Apparaten liegen Gas/Fl¨
ussig-Kontakte
vor. Diese Kontaktapparate lassen sich anhand der Str¨
omungsf¨
uhrung und des
Energieeintrags klassifizieren. Die bei den Prozessen vorliegende große Austausch-
fl¨
ache zwischen Gas- und Fl¨
ussigphase erm¨
oglicht einen guten W¨
arme- und Stoff-
austausch bei gleichzeitig geringem Energieeintrag. Je nach Prozeßf¨
uhrung und vor-
liegender Geometrie des verfahrenstechnischen Apparates k¨
onnen durch die Str¨
o-
mungsf¨
uhrung implizit die zur Verf¨
ugung stehende Phasengrenzfl¨
ache und Kon-
taktzeit variiert werden.
Zur Auslegung von Gas/Fl¨
ussig-Kontaktapparaten kommen meist integrale Mo-
delle zur Anwendung, denen in der Regel eine zeitliche Mittelung zugrunde liegt,
wodurch die instation¨
are Hydrodynamik stark vereinfacht wird. Lokale Effekte, wie
z.B. deformierte oder formdynamische Blasen oder Wirbelschleppen hinter den Bla-
sen bleiben in diesen Modellen unber¨
ucksichtigt. Auch nach intensiver Forschung
sind viele dieser Ph¨
anomene noch nicht vollst¨
andig verstanden. Dabei haben j¨
ungste
experimentelle Untersuchungen gezeigt, daß diese Ph¨
anomene einen großen Einfluß
auf die Hydrodynamik und den Stofftransport in Zweiphasenstr¨
omungen haben
(Schl¨
uter 2002;Scheid u. a. 2003;Bork u. a. 2003). Die Vereinfachungen haben ins-
besondere zur Folge, daß Sicherheitszuschl¨
age bei der Reaktorauslegung notwendig
werden.
Mit Hilfe von stark verbesserten optischen Meßmethoden, wie z.B. der Partikel
Tracking Velocimetry (PTV), der Particle Image Velocimetry (PIV) oder der Laser
induzierten Fluoreszenz (LIF) ist es mittlerweile m¨
oglich, lokale Ph¨
anomene quan-
titativ zu untersuchen. Allerdings ist der Dispersphasenanteil bei diesen Methoden
limitiert. Zus¨
atzlich sind nicht alle relevanten Gr¨
oßen wie z.B. Geschwindigkeit,
Konzentrationen und Temperatur immer zeitgleich in drei Dimensionen meßbar.
3
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Hier bietet die hochaufl¨
osende numerische Simulation die M¨
oglichkeit, erg¨
anzend
zu den Experimenten Einzelprozesse n¨
aher zu untersuchen und zu verstehen.
2.1. Das Bewegungsverhalten von starren
Einzelpartikeln
Fluide Partikel, wie z.B. Gasblasen oder Tropfen, sind durch eine bewegliche Pha-
sengrenzfl¨
ache gekennzeichnet. Starre Partikel hingegen besitzen eine feste und da-
mit formstabile Phasengrenzfl¨
ache; somit eine str¨
omungsunabh¨
angige Form. In Ge-
genwart gr¨
oßerer Konzentrationen oberfl¨
achenaktiver Substanzen (Tenside), k¨
onnen
sich auch Gasblasen und Fl¨
ussigkeitstropfen wie starre Partikel verhalten. Die
Kenntnis von Widerstandsgesetzen ist von entscheidender Bedeutung, da sich da-
mit die Bewegung der Partikel beschreiben l¨
aßt. Die Kugelform stellt hierbei die
einfachste aller m¨
oglicher Formen dar. Die Widerstandsgesetze f¨
ur andere Partikel-
formen basieren oft auf den Erkenntnissen f¨
ur Kugeln.
2.1.1. Widerstandsgesetze f¨
ur sph¨
arische Einzelpartikel
¨
Ublicherweise wird der Widerstand eines Partikels durch den Widerstandsbeiwert
beschrieben. Dieser ist als Quotient aus der Widerstandskraft FWund dem dyna-
mischen Druck 1
2ρw2
Pauf die Projektionssfl¨
ache Aqdefiniert
CD=FW
1
2ρw2
PAq
.(2.1)
Die Widerstandskraft FWsetzt sich aus einem Reibungs- und einem Druckanteil zu-
sammen (Brauer 1971a). Der Reibungsanteil greift an der Oberfl¨
ache der Kugel an,
w¨
ahrend der Druckanteil aus der Wirbelschleppe der Kugel resultiert. F¨
ur schlei-
chende Str¨
omungen (Re < 1) k¨
onnen die Komponenten des Widerstandsbeiwertes
explizit als Funktion der Reynolds-Zahl formuliert werden. Die Reynolds-Zahl gibt
das Verh¨
altnis von Tr¨
agheits- zu Z¨
ahigkeitskraft an und ist f¨
ur feste und fluide
Partikel wie folgt definiert:
Re =wPd ρL
ηL
.(2.2)
4
2.1. Das Bewegungsverhalten von starren Einzelpartikeln
Die Anteile des Widerstandsbeiwertes teilen sich f¨
ur feste und fluide Partikel auf
in einen Anteil reduzierter Normalspannungen
CD,1=32
3Re(1 + κ),(2.3)
einen Anteil der Schubspannungen
CD,2=16
Re
κ
(1 + κ),(2.4)
und den Anteil des Drucks (Clift u. a. 1978). Dieser folgt aus einer Integration des
Drucks ¨
uber die Oberfl¨
ache mit
CD,3=8
3Re
2+3κ
(1 + κ).(2.5)
Hierin stellt κ=ηB/ηLden Quotienten der Viskosit¨
aten beider Phasen dar. Der
gesamte Widerstandsbeiwert lautet
CD=8
Re
2+3κ
(1 + κ).(2.6)
Somit ist die Widerstandskraft und mit ihr auch der Widerstandsbeiwert CDvon
den Umstr¨
omungsbedingungen abh¨
angig, die durch die Reynolds-Zahl charakteri-
siert werden. Im Bereich der schleichenden Str¨
omung, also f¨
ur sehr kleine Reynolds-
Zahlen, macht der Reibungswiderstand CD,1,2zwei Drittel und der Druckwiderstand
CD,3ein Drittel des gesamten Str¨
omungswiderstands aus (Brauer 1971a). F¨
ur feste
Partikel geht ηP→ ∞ und damit auch κ. Die obige Gleichung geht damit in den
nach Stokes berechneten Widerstandsbeiwert f¨
ur eine Kugel ¨
uber:
CD=24
Re Re ≤0,1.(2.7)
Im Bereich sehr hoher Reynolds-Zahlen hingegen dominiert der Druckwiderstand
derart, daß der Reibwiderstand vernachl¨
assigt werden kann, da fast ausschließlich
die Tr¨
agheitskr¨
afte f¨
ur das Bewegungsverhalten ausschlaggebend sind. F¨
ur h¨
ohere
Reynolds-Zahlen lassen sich nur noch empirische Relationen f¨
ur den Widerstands-
beiwert angeben. So hat z. B. das N¨
aherungsgesetz von Martin (1980) einen hohen
G¨
ultigkeitsbereich mit
CD=24
Re +8
√2Re +1
30,1< Re ≤3·105.(2.8)
5
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Ab einem kritischen Reynoldswert von Rekrit = 3 ·105, bei dem CD= 0,3 ist,
kommt es zu einem drastischen Abfall von CD. Dies l¨
aßt sich damit begr¨
unden,
daß die auf der str¨
omungsabgewandten Seite der festen Kugel vorhandene Grenz-
schichtstr¨
omung vom laminaren in den turbulenten Zustand ¨
ubergeht. Aufgrund
des erh¨
ohten Impulsaustausches haftet die turbulente Grenzschicht ¨
uber einen wei-
ten Bereich an der Kugel und es kommt zu einer sp¨
aten Abl¨
osung, wodurch das
Wirbelgebiet hinter der Kugel verkleinert wird, was wiederum zu einer drastischen
Reduzierung des Druckanteils im Widerstandsbeiwert f¨
uhrt (Brauer 1971a).
2.1.2. Gleichf¨
ormige Bewegung
F¨
ur einen festen, kugelf¨
ormigen Partikel mit station¨
arer Geschwindigkeit, sprich
gleichf¨
ormiger Bewegung, l¨
aßt sich ein Kr¨
aftegleichgewicht f¨
ur die Auftriebs-, Ge-
wichts- und Widerstandskraft (FA, FG, FW) aufstellen
FW=FA−FG.(2.9)
F¨
ur die Differenz von Auftriebs- und Gewichtskraft gilt:
FA−FG=π
6d3
Pg(ρP−ρL).(2.10)
Ein Gleichsetzen mit der Widerstandskraft FWaus Gleichung (2.1)
FW=π
4CDd2
P
ρL(wP)2
2(2.11)
ergibt die Sink- bzw. Steiggeschwindigkeit wPf¨
ur starre sph¨
arische Einzelpartikel
w2
P=4
31−ρP
ρLg dP
CD
.(2.12)
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
W¨
ahrend bislang nur feste sph¨
arische Partikel betrachtet wurden, sollen jetzt auch
Blasen, sprich fluide Partikel ber¨
ucksichtigt werden. Der Unterschied zu festen Par-
tikeln besteht nicht nur darin, daß Blasen ihre Form ver¨
andern k¨
onnen, sondern
auch darin, daß die bewegliche Phasengrenzfl¨
ache Zirkulationsbewegungen inner-
halb der Blase induzieren kann, die wiederum Einfluß auf das Bewegungsverhalten
6
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
der Blase aus¨
uben k¨
onnen. Zus¨
atzlich k¨
onnen oberfl¨
achenaktive Substanzen das
Verhalten der Blase mitbestimmen.
Die Form der Blase wird durch die physikalischen Eigenschaften der Fl¨
ussigphase
(Dichte, Viskosit¨
at, Oberfl¨
achenspannung) und die daraus resultierende Aufstiegs-
geschwindigkeit bestimmt. Die Blasenform l¨
aßt sich qualitativ gut aus experimen-
tellen Beobachtungen absch¨
atzen. F¨
ur frei aufsteigende Blasen und Tropfen in einer
unendlich ausgedehnten Fl¨
ussigkeit kann dann das Diagramm von Grace u. a. (1976)
oder Clift, Grace und Weber (1978) herangezogen werden. Bei Kenntnis der Stoff-
werte von Gas- und Fl¨
ussigphase (Dichte, Viskosit¨
at und Oberfl¨
achenspannung)
l¨
aßt sich mit Hilfe der E¨
otv¨
os- und Morton-Zahl die Form der Blasen qualitativ
vorausbestimmen. Die E¨
otv¨
os-Zahl (teilweise auch Bond-Zahl genannt) setzt die
Gewichts-, bzw. Auftriebskraft ins Verh¨
altnis zur Oberfl¨
achenkraft
E¨o=g(ρL−ρG)d2
B
σ,(2.13)
mit dem Blasen¨
aquivalentdurchmesser, der sich aus dem Blasenvolumen VBberech-
net zu dB=3
p6VB/π. Die Morton-Zahl ist f¨
ur einphasige Systeme der Kehrwert
der Fl¨
ussigkeitskennzahl KL
KL=ρLσ3
gη4
L
(2.14)
und ist nur von den Stoffwerten des Systems abh¨
angig. F¨
ur zweiphasige Systeme
lautet sie
Mo =gη4
L(ρL−ρG)
ρ2
Lσ3.(2.15)
Sie ist der Parameter in Abbildung 2.1. Hinzu kommt die Reynolds-Zahl, die als
einzige von der Aufstiegsgeschwindigkeit abh¨
angt. Abbildung 2.1 kann nur f¨
ur eine
erste Absch¨
atzung der Aufstiegsgeschwindigkeit herangezogen werden (Clift u. a.
1978). Aus der Abbildung wird deutlich, daß sich die Blasenformen grob in drei
Klassen einteilen lassen: Sph¨
arisch, ellipsoid und schirm- bzw. kappenf¨
ormig.
Peebles und Garber (1953) schlugen f¨
ur Luftblasen in Wasser eine heute weit ver-
breitete und differenzierende Einteilung der Blasenform vor, wie sie in Abbildung 2.2
7
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Abbildung 2.1.: Diagramm zur Absch¨
atzung der Blasenform und Aufstiegsgeschwin-
digkeit (Grace u. a. 1976;Clift u. a. 1978)
(a) Kugelblase ohne
innere Zirkulation
(b) Kugelblase mit
innerer Zirkulation
(c) ellipsoide Blase
(d) irreguläre, pilzförmige Blase
Abbildung 2.2.: Charakteristische Blasenformen nach Peebles und Garber (1953)
gezeigt wird. Mit steigendem Durchmesser der Blase erh¨
oht sich die Auftriebskraft
einer Blase und damit auch ihre Geschwindigkeit. Durch die erh¨
ohte Geschwindig-
keit kommt es zu einer Ver¨
anderung der Blasenform und der Blasenbahn. Geschwin-
digkeit, Form und Bahn sind also direkt miteinander verkn¨
upft. Im Nachfolgenden
8
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
soll jedoch versucht werden, die drei Aspekte einzeln zu beschreiben.
2.2.1. Aufstiegsgeschwindigkeit und Widerstandsbeiwerte
In diesem Abschnitt sollen zun¨
achst die experimentellen Beobachtungen beschrie-
ben werden. Anschließend erfolgt eine ¨
Ubersicht ¨
uber die Modelle zu deren Be-
schreibung.
Basierend auf experimentellen Beobachtungen kommen Peebles und Garber zu dem
Schluß, daß Blasen in Wasser mit einem Durchmesser kleiner als 0,2 mm sich in
str¨
omungstechnischer Hinsicht wie Feststoffpartikel verhalten, sprich die Phasen-
grenze ist starr. Somit ist auch keine Wirbelbildung im Innern der Blase m¨
oglich
(Brauer 1971a) (s. Abbildung 2.2 (a)). Der Blasenaufstieg erfolgt im Stokesschen
Bereich auf einer geradlinigen Bahn, dessen Gesetzm¨
aßigkeiten bereits im Abschnitt
2.1.2 beschrieben wurden.
Mit steigendem Blasendurchmesser dBsinkt der Einfluß der Grenzfl¨
achenspannung
und die Phasengrenze wird zunehmend beweglicher. Im Inneren der Blase setzt
eine Zirkulationsbewegung ein. Dies f¨
uhrt zu einer torusf¨
ormigen Wirbelwalze im
Innern der Blase (Abbildung 2.2). Durch die bewegliche Oberfl¨
ache sinkt auch der
Geschwindigkeitsgradient an der Phasengrenzfl¨
ache, was eine Reduzierung des Rei-
bungswiderstandes mit sich bringt. Dementsprechend ist die Aufstiegsgeschwindig-
keit einer Blase mit beweglicher Phasengrenzfl¨
ache gr¨
oßer als die eines formgleichen
festen Partikels.
Die Aufstiegsgeschwindigkeit einer Blase in Wasser steigt stetig bis zu einem Durch-
messer von dB= 1,3mm. F¨
ur diese Blase betr¨
agt die Aufstiegsgeschwindigkeit
34cm/s (Clift u. a. 1978;Fan und Tsuchiya 1990;Hong und Brauer 1984). Ab einem
bestimmten Blasendurchmesser (f¨
ur Wasser d= 1,0mm) verformen sich die Blasen
zu Ellipsoiden (s. Bild (c) in Abbildung 2.2). Durch den ansteigenden Str¨
omungs-
querschnitt erh¨
oht sich der Str¨
omungswiderstand durch den steigenden Druckanteil.
Zeitlich und r¨
aumlich transiente Str¨
omungsabl¨
osungen auf der Blasenr¨
uckseite re-
sultieren in einer taumelnden oder spiralf¨
ormigen Aufstiegsbewegung, die zus¨
atzlich
zur vertikalen noch eine horizontale Geschwindigkeitskomponente mit sich f¨
uhrt. Da
jedoch nur die vertikale Komponente als Aufstiegsgeschwindigkeit bezeichnet wird
9
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
(Brauer 1971a) kommt es zu einer signifikanten Abnahme der Aufstiegsgeschwin-
digkeit.
Bei einer weiteren Erh¨
ohung des Durchmessers verformt sich die Ellipse zu einer
regellos geformten Blase. (s. Abbildung 2.2 (d)) Innerhalb der Blase treten mehrere
gegensinnig rotierende kleinere Wirbel auf, die eine kontinuierliche Form¨
anderung
der Blase bewirken. Die Aufstiegsgeschwindigkeit nimmt jedoch wieder mit stei-
gendem Durchmesser zu. Ab einem Durchmesser von ca. 20mm nehmen die Blasen
eine schirm¨
ahnliche Form an. Man spricht hier von Schirm- oder Kappenblasen, die
stockend auf einer geradlinigen Bahn aufsteigen. Ihre Aufstiegsgeschwindigkeit ist
weitgehend unabh¨
angig vom Grad der Verschmutzung (Clift u. a. 1978).
In der Literatur liegen viele Messungen ¨
uber die Aufstiegsgeschwindigkeit einzelner
Blasen in Wasser vor. Viele dieser Messungen sind in dem in Abbildung 2.3 vor-
gestellten Diagramm nach Clift, Grace und Weber (1978) zusammengefaßt. Darin
Sphärisches
Kappenregime
Ellipsoides Regime
Oszillationsbeginn
verschmutztes
Wasser
reines
Wasser
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
Sphärisches
Regime
Abbildung 2.3.: Aufstiegsgeschwindigkeiten von Luftblasen in Wasser (Clift u. a. 1978)
stellt die obere Kurve die Blasenaufstiegsgeschwindigkeit von Luftblasen in hochrei-
nem Wasser dar; die untere Kurve in stark kontaminiertem Wasser. Beide Kurven
10
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
basieren auf den Messungen von Gaudin (1957).
Selbst in vermeindlich reinem Wasser k¨
onnen geringste Mengen an Verunreinigun-
gen nicht v¨
ollig ausgeschlossen werden. Kleine Blasen werden durch sie stark in
ihrem Aufstiegsverhalten beeinflußt. Somit l¨
aßt sich erkl¨
aren, das f¨
ur geringe Bla-
sendurchmesser dB.0,5mm beide Kurven ¨
ubereinstimmen. Ein weiterer Aspekt
ist, daß f¨
ur kleine Blasendurchmesser die Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase zunehmend
an Einfluß gewinnt (Saffmann 1956;Clift u. a. 1978).
Ab einer gewissen Gr¨
oße - im Bereich der Schirm- oder Kappenblasen - verschwindet
der Einfluß der Verschmutzungen und beide Kurven laufen wiederum zusammen.
Der grau schraffierte Bereich zwischen den beiden Kurven markiert alle m¨
oglichen
Geschwindigkeiten f¨
ur leichte bis starke Verschmutzungen nach Gaudin. Abbildung
2.3 ist zu entnehmen, daß die Messungen einzelner Autoren um diesen Bereich
streuen, insbesondere um die obere Kurve. Weiterhin wird deutlich, daß die Konta-
mination des Systems mit oberfl¨
achenaktiven Substanzen einen großen Einfluß auf
die Aufstiegsgeschwindigkeit hat.
Die bisherigen Ergebnisse galten f¨
ur das System Wasser/Luft. Wasser weist eniedri-
ge Viskosit¨
at auf. Die Viskosit¨
at hat jedoch einen großen Einfluß auf das Aufstiegs-
verhalten. Je h¨
oher die Viskosit¨
at ηLder Fl¨
ussigkeit, desto geringer ist bei gleichem
Blasendurchmesser die station¨
are Aufstiegsgeschwindigkeit wB. Ein umfangreiche
¨
Ubersicht ¨
uber experimentell gewonnene Aufstiegsgeschwindigkeiten und Wider-
standsbeiwerte in einem großen Wertebereich der Morton-Zahl bieten Maxworthy
u. a. (1996).
Korrelationen zur Bestimmung der Aufstiegsgeschwindigkeit und des
Widerstandsbeiwerts
F¨
ur viele ingenieurtechnische Anwendungen ist die Aufstiegsgeschwindigkeit einer
einzelnen Blase als Funktion des Durchmessers von großem Interesse. Nachfolgend
werden die g¨
angigsten Korrelationen f¨
ur newtonische Fl¨
ussigkeiten vorgestellt.
Wie schon in Kapital 2.1.2 gezeigt, h¨
angen Aufstiegsgeschwindigkeit der Blase wB
und ihr Widerstandsbeiwert voneinander ab. Analog zu Peebles und Garber (1953)
11
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
unterteilt Brauer (1971a) die Blasengr¨
oßen in vier Bereiche (a-d), f¨
ur die er jeweils
Gleichungen f¨
ur Geschwindigkeit und Widerstandsbeiwerte angibt.
Blasen mit einem Durchmesser kleiner 0,2 mm, - sprich Kugelblasen ohne innere
Zirkulation (s. Abschnitt (a) in Abbildung 2.2)- k¨
onnen als feste Partikel angesehen
werden. Gem¨
aß der Theorie f¨
ur starre Kugeln ist ihr Widerstandsbeiwert durch
CSt
D= 24/Re festgelegt. F¨
ur Ihre Aufstiegsgeschwindigkeit gilt dann nach Stokes
(Brauer 1971a)
wSt
(a)=1
18
g(ρL−ρG)
ηL
d2
BReB≤1,4.(2.16)
Hadamard und Rybczynski (Sadhal u. a. 1997) berechneten unabh¨
angig voneinan-
der unter der Annahme einer schleichenden Str¨
omungen innerhalb und außerhalb
der Kugeln den Einfluß der beweglichen Phasengrenzfl¨
ache. Dieser erh¨
oht die Auf-
stiegsgeschwindigkeit der Kugelblasen in Gleichung (2.16) um den Faktor KHR, der
wie folgt definiert ist:
KHR ≡1 + ηG/ηL
2/3 + ηG/ηL
.(2.17)
Dieser Faktor nimmt f¨
ur das System Wasser/Luft einen Wert von 1,46 an. Der
Widerstand von Luftblasen in Wasser reduziert sich somit zu:
CHR
D(a)=24
ReB
1
KHR ≈16
ReB
ReB≤1,4.(2.18)
Diese Korrektur gilt jedoch erst ab einer bestimmten Reynolds-Zahl, ab der sich
der Widerstand sprungartig erniedrigt (Brauer 1971a). Darunter gilt das Stokessche
Gesetz. Die Geschwindigkeit innerhalb dieses Bereiches l¨
aßt sich berechnen als:
wHR
(a)=1
12
g(ρL−ρG)
ηL
d2
BReB≤1,4.(2.19)
Die Berechnungen von Stokes, sowie Hadamard und Rybczynski vernachl¨
assigen
die Tr¨
agheitsglieder in den Bewegungsgleichungen. Erstmals ging Levich (1962) von
einer Grenzschichtstr¨
omung um die Kugelblase aus. Der Geschwindigkeitsgradient
verschwindet an der Blasenoberfl¨
ache. Der Widerstand erh¨
oht sich folglich auf:
CL
D(a)=48
ReB
ReB≤1,4 (2.20)
12
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
was dem doppelten Wert des Stokesschen Widerstandes f¨
ur starre Kugeln ent-
spricht. F¨
ur die Geschwindigkeit gilt dann
wL
(a)=1
36
g(ρL−ρG)
ηL
d2
BReB≤1,4.(2.21)
F¨
ur schleichende Str¨
omungen gibt es eine Vielzahl von Erweiterungen des Sto-
kes’schen Gesetzes. Clift u. a. (1978) zeigt eine umfassende ¨
Ubersicht ¨
uber Korre-
lationen f¨
ur den Widerstandsbeiwert.
F¨
ur Kugelblasen mit innerer Zirkulation (s. Abschnitt (b) in Abbildung 2.2) be-
stimmten Peebles und Garber (1953) die Aufstiegsgeschwindigkeit
w(b)= 0,136 g0,76 d1,28
Bρ0,52
L
η0,52
L
2,2≤Re ≤4,02 ·K0,214
L.(2.22)
Daraus ergibt sich ein Widerstandsgesetz von
CD(b)=18,7
Re0,68
B
2,2≤Re ≤4,02 ·K0,214
L.(2.23)
in dem KFL die Fl¨
ussigkeitskennzahl (2.14) darstellt. Der obere G¨
ultigkeitsbereich
h¨
angt also von den Eigenschaften der Fl¨
ussigkeit ab. Eine neuere Arbeit von Max-
worthy u. a. (1996) zeigt, daß der Bereich (b) ¨
uber einen weiten Bereich der Morton-
Zahlen sehr gut durch
CD(b)=11,1
Re0,71 (2.24)
wiedergegeben werden kann. F¨
ur den Bereich (c) fanden Peebles und Garber die
Beziehungen
w(c)= 1,91 rσ
ρLdB
4,02 ·K0,214
L< ReB≤3,1·K0,25
L,(2.25)
deren G¨
ultigkeitsbereich wiederum von den Eigenschaften der Fl¨
ussigphase abh¨
angen.
Zusammen mit Gleichung (2.12) ergibt sich:
CD(b)= 0,366gρd2
σ= 0,366We
Fr 4,02·K0,214
L< ReB≤3,1·K0,25
L.(2.26)
13
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Da die Weber-Zahl in dem Gebiet (c) konstant ist mit We(c)= 3,64, h¨
angt der
Widerstand also lediglich von der Froude-Zahl
Fr =w2
B
g dB
(2.27)
ab (Brauer 1971a), die Tr¨
agheits- und Schwerkraft ins Verh¨
altnis setzt
CD(c)=1,332
Fr =1,322gdB
w2
B
.(2.28)
W¨
ahrend die Aufstiegsgeschwindigkeit in den Bereichen (a) und (b) von der Visko-
sit¨
at der Fl¨
ussigphase abh¨
angt, wird sie im Bereich (c) von der Oberfl¨
achenspan-
nung bestimmt.
Im Bereich (d) sind nur noch Auftriebs- und Tr¨
agheitskr¨
afte bestimmend (Brau-
er 1971a). Innerhalb dieses Bereiches treten regellos geformte Blasen mit innerer
Zirkulation auf. Aus der Gleichung von Davis und Taylor (Fr = 0,51) folgt daher
w(d)= 0,714pgdB.(2.29)
mit einem konstanten Widerstandsbeiwert von
CD(d)= 2,61,(2.30)
der trotz beweglicher Phasengrenzfl¨
ache etwa dem 6-fachen Wert einer starren Ku-
gel entspricht, was auf den großen Widerstand durch die Form¨
anderung zur¨
uck-
zuf¨
uhren ist.
In der Literatur existieren noch weitere Gleichungen f¨
ur die Geschwindigkeit und
den Widerstandsbeiwert f¨
ur weite Bereiche der Reynolds-Zahl, auf die im Nachfol-
genden n¨
aher eingegangen werden soll.
Ein weiterer Ansatz zur Modellierung nicht-sph¨
arischer Blasen ist die sogenannte
”Wellengleichung” nach Mendelson (1967). Unter Vernachl¨
assigung der Reibungs-
kr¨
afte kann gem¨
aß dieser Theorie die Existenz einer Blase als eine Art von St¨
orung,
angewandt auf eine freie Grenzfl¨
ache eines Gas-Fl¨
ussig Systems angesehen werden.
Tomiyama u. a. (1998a) verwenden die erweiterte Version der Wellengleichung
w2=2σ
ρLd+(ρL−ρG)gd
2ρL
(2.31)
14
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
und geben erstmals eine physikalische Erkl¨
arung f¨
ur diese oft verwendete Erwei-
terung. Die Autoren sind in der Lage, ¨
uber den gesamten Durchmesserbereich die
Aufstiegsgeschwindigkeit und den Widerstandsbeiwert f¨
ur reine und kontaminierte
Systeme zu bestimmen. Der Widerstandsbeiwert lautet f¨
ur reine Systeme:
CD= max min 16
Re 1+0,15Re0,687,48
Re,8
3
E¨o
E¨o+ 4,(2.32)
f¨
ur leicht kontaminierte Systeme:
CD= max min 24
Re 1+0,15Re0,687,72
Re,8
3
E¨o
E¨o+ 4(2.33)
und f¨
ur vollst¨
andig kontaminierte Systeme:
CD= max 16
Re 1+0,15Re0,687,8
3
E¨o
E¨o+ 4.(2.34)
Diese Korrelationen sind ¨
uber einen weiten Bereich der Morton- und E¨
otv¨
os-Zahlen
validiert und geben die Reynolds-Zahlen besser wieder als z.B. das Modell von Pee-
bles und Garber (1953). Die zugeh¨
origen Herleitungen dieser Gleichungen finden
sich in der Originalarbeit von Tomiyama u.a. Die entsprechenden Geschwindigkei-
ten lassen sich durch eine Multiplikation von Gleichung (2.31) mit (ρLdB/ηL)2und
nachfolgender Kombination mit den Gleichungen (2.33-2.34) bestimmen. Das obige
Modell ist f¨
ur eine sehr große Anzahl von Stoffen in sehr guter N¨
aherung g¨
ultig und
ist daher empfehlenswert.
Ein weiterer Ansatz, um die Aufstiegsgeschwindigkeiten von Blasen in reinem und
kontaminiertem Wasser zu beschreiben ist eine Variation der Mendelson’schen Glei-
chung nach Fan und Tsuchiya (1990).
w∗
B="Mo−0,25
K1
d∗2
B−n
+2K2
d∗
B
+d∗
B
2−n/2#1/n
mit (2.35)
w∗
B=wBρL
σg0,25
und d∗
B=dBρLg
σ0,5=E¨o0,5.
Der Exponent nstellt hierin einen empirischen Parameter dar, mit dessen Hilfe
die Gleichung an reine und kontaminierte System angepaßt werden kann. Aus der
15
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Gleichung wird deutlich, daß f¨
ur kleine Blasendurchmesser der viskose Term aus-
schlaggebend ist. F¨
ur große Durchmesser hingegen dominiert der von den Stoffei-
genschaften unabh¨
angige Tr¨
agheitsterm. Zusammen mit dem Parameter nwerden
K1und K2derart bestimmt, daß sie die experimentellen Daten am besten wiederge-
ben. Dabei werden K1und K2unabh¨
angig voneinander f¨
ur spezifische Bereiche des
Durchmessers festgelegt, w¨
ahrend nbei fixierten Werten f¨
ur K1und K2¨
uber den
gesamten Durchmesserbereich bestimmt sind. Eine ausf¨
uhrliche ¨
Ubersicht ¨
uber die
Werte n, K1und K2f¨
ur eine große Anzahl von Fl¨
ussigkeiten findet sich bei Fan und
Tsuchiya (1990). Darin wird vorgeschlagen, den Parameter K2f¨
ur reine Fl¨
ussigkei-
ten auf K2= 1,2 zu setzen und f¨
ur Fl¨
ussigkeitsgemische auf K2= 1,7. Dies spiegelt
die unterschiedlichen Oberfl¨
achenspannungen der zwei Typen von Fl¨
ussigkeitssy-
stemen wieder. Abh¨
angig von der Reinheit der Fl¨
ussigphase variiert nvon 0,8 bis
1,6. Der Faktor K1variiert von Fl¨
ussigkeit zu Fl¨
ussigkeit innerhalb eines Wertebe-
reiches von 12-40. Er kann korreliert werden durch
K1=K0
1Mo−0,038 (K0>12).(2.36)
F¨
ur Wasser und w¨
aßrige L¨
osungen gilt K0
1= 14,7 und f¨
ur organische L¨
osungs-
mittel/Mischungen K0
1= 10,2. Ist der Wert K0
1≤12, dann wird er auf K0
1= 12
gesetzt.
Durch geeignete Wahl der Parameter kann Gleichung (2.35)¨
uber einen weiten Be-
reich der Morton-Zahl (10−12 < Mo < 105) mit einer Genauigkeit von -6 bis 9 %
f¨
ur 20 verschiedene newtonische Fl¨
ussigkeiten angewendet werden.
Jamialahmadi u. a. (1994) liefern f¨
ur den Bereich von ρL= 720 −1040 kg/m3und
ηL= 0,244 −59 mPas eine Gleichung, die die Geschwindigkeit gem¨
aß der Wellen-
gleichung nach Mendelson (1967)wMe mit einem Ansatz f¨
ur die Geschwindigkeit
gem¨
aß einer schleichenden Str¨
omung wSS nach Stokes (vgl. Gleichung (2.16)) oder
Hadamard und Rybczynksi (vgl. Gleichung (2.19)) verkn¨
upft.
wB=wMewSS
p(wMe)2+ (wSS)2.(2.37)
Ein weiterer Ansatz zur Beschreibung der Aufstiegsgeschwindigkeit ¨
uber alle Berei-
che liefert Churchill (1989). Dabei kombiniert er eine große Anzahl von bekannten
16
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
theoretischen Ans¨
atzen f¨
ur die einzelnen Bereiche in einer Korrelation, die durch
empirische Parameter die jeweiligen Bereiche der Theorien stetig miteinander ver-
bindet. F¨
ur die dimensionslose Geschwindigkeit w∗
Bgilt
w∗
B=
"12
(D∗
V)2
1+0,01720(D∗
V)9
4
1+0,00573(D∗
V)9
4#3
+(2/D∗
V)2
3
1+62
3/(D∗
V)3Mo1
2
−1
3
.(2.38)
Die dimensionslose Geschwindigkeit w∗
Bund der dimensionslosen ¨
Aquivalentdurch-
messer D∗
Vwerden berechnet aus:
w∗
B=wBρ2
L
ηLg∆ρ1/3
und D∗
V=dBρLg∆ρ
η2
L1/3
.
F¨
ur den Widerstandsbeiwert liefert Churchill die Gleichung
CD=
"8
ReC
1
2
D
1+0,0233(Re2CD)3
4
1+0,00777(Re2CD)3
4#3
+(4/3)2
3
1 + 961
2/Re2CDMo1
2
−1
3
,
(2.39)
die jedoch nicht explizit nach CDaufl¨
osbar ist.
In dem durch die Oberfl¨
achenspannung dominierten Bereich (vgl. Bereich (c) in
Abbildung 2.2) streuen die gemessenen Aufstiegsgeschwindigkeiten vieler Autoren.
Tomiyama u. a. (2002) geben als Ursache hierf¨
ur die anf¨
angliche Blasenform zum
Zeitpunkt der Blasenerzeugung in den Experimenten an.
Zur Validierung dieser These f¨
uhrten die Autoren eine Reihe von Experimenten in
reinem und kontaminiertem Wasser mit variablen Anfangsdeformationen der Blase
durch, die eine Reihe von interessanten Ergebnissen lieferten. So wies z.B. eine 3
mm Blase mit geringer Anfangsdeformation eine geringere Aufstiegsgeschwindig-
keit, ein hohes Durchmesserverh¨
altnis und eine durchg¨
angige Zickzack Bewegung
auf. Eine 3mm Blase mit starker Anfangsdeformation hingegen stieg wesentlich
schneller mit einem geringeren Durchmesserverh¨
altnis auf. Ihre Bewegungsbahn
¨
anderte sich von einer Zickzack zu einer spiralf¨
ormigen Bahn. Auch waren die Wer-
te der Endgeschwindigkeit f¨
ur geringe Anfangsdeformationen weniger gestreut als
f¨
ur starke. Als m¨
ogliche Ursache nennen die Autoren die freie Oberfl¨
achenenergie
17
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
σA. Eine Blase mit starker Anfangsdeformation weist somit eine gr¨
oßere Ober-
fl¨
achenenergie auf. Eine ad Hoc Absch¨
atzung der Oberfl¨
achenenergie und der ki-
netischen Energien in Luft und Wasser zeigt jedoch, daß die Oberfl¨
achenenergie
in der Gr¨
oßenordnungen der kinetischen Energie der Luft, aber weit unterhalb der
kinetischen Energie des umgebenden Wassers liegt.
Tomiyama u. a. (2002) liefern einen Ansatz, der auf verzerrte, sph¨
aroide, abgeflachte
Blasen bei hoher Reynolds-Zahl beruht. Dem Modell liegen eine Potentialstr¨
omung
um einen abgeflachten Sph¨
aroiden und Sprungbedingungen an der Phasengrenz-
fl¨
ache zugrunde. Mit Hilfe dieses Modells kann gezeigt werden, daß Blasen mit
identischem ¨
Aquivalentdurchmesser, abh¨
angig von ihrer Anfangsdeformation, un-
terschiedliche Aufstiegsgeschwindigkeiten haben k¨
onnen. Das Modell liefert eine
modifizierte Version von Gleichung (2.31) mit der Exzentrizit¨
at E=b/h, einem
St¨
orungsfaktor γ:
wB=F(γE)s8σ
ρLdB
γE3/4+∆ρgdB
2ρL·γE2/3
1−γ2E2(2.40)
mit
F(γE) = sin−1p1−(γE)2−(γE)p1−(γE)2
1−(γE)2.(2.41)
Diese Gleichungen verdeutlichen, daß die Aufstiegsgeschwindigkeit wnicht nur vom
Blasendurchmesser dBund den Stoffeigenschaften der Fl¨
ussigphase abh¨
angt, son-
dern auch mit der Blasenform variiert.
2.2.2. Beschleunigte Blasenbewegungen
F¨
ur eine beschleunigte Bewegung gilt nach dem 2. Newtonischen Gesetz folgender
Ansatz:
Mdw
dt =FA−FG−FW.(2.42)
Im station¨
aren Bereich ist der linke Term der Gleichung gleich null. Wie schon f¨
ur
feste Partikel erw¨
ahnt liegen auch f¨
ur Blasen gravierende Abweichungen der aus
18
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
Gleichung (2.42) bestimmten Masse der Blasen und der aus
MB=ρG
π
6d3
B(2.43)
bestimmten Masse vor. Erkl¨
art werden kann dies durch die zus¨
atzliche Fl¨
ussigkeit,
die bei der Blasenbewegung mit beschleunigt wird. Diese Masse wird als virtuelle
Masse bezeichnet
MV M =M−MB.(2.44)
Ausdruck findet sie im Koeffizieten cV M , der sich bestimmten l¨
aßt aus
M=MB+MV M =VB(ρG+cV M .ρL) (2.45)
In der Literatur liegen nur sehr wenige experimentelle Daten ¨
uber beschleunigte
Blasen vor. F¨
ur einzelne sph¨
arische Blasen in einem unendlich ausgedehnten Gef¨
aß
liefert die Potentialstr¨
omung cV M = 0,5. Die virtuelle Masse h¨
angt zus¨
atzlich vom
Gasgehalt des Systems ab (van Wijngaarden 1976).
cV M ≈1
2+3,32
2ε+O(ε2) (2.46)
Eine Erweiterung dieser Gleichung f¨
ur Gasgehalte bis zu 35 % liefern Niemann und
Laurien (2000) durch direkte numerische Simulation.
cV M ≈1
2+3,32
2ε+7,66
2ε20≤ε≤0,35 (2.47)
Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Abh¨
angigkeit der virtuellen Masse von der
Anstr¨
omfl¨
ache. Je gr¨
oßer die Anstr¨
omfl¨
ache, desto gr¨
oßer auch die virtuelle Mas-
se. Dies illustriert, daß die virtuelle Massenkraft eine Druckkraft ist, die auf die
Anstr¨
omfl¨
ache wirkt (Niemann und Laurien 2000).
2.2.3. Bewegungsbahnen
Eine aufsteigende Blase verrichtet in einem kontinuierlichen Medium Arbeit die
dem Produkt aus Aufstiegsgeschwindigkeit und der Auftriebskraft proportional ist.
In einem viskosen Medium kann diese verrichtete Arbeit, d.h. die durch den Blasen-
aufstieg in der Fl¨
ussigphase erzeugte kinetische Energie, schnell vollst¨
andig durch
19
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
die Viskosit¨
at, sprich innere Reibung, laminar dissipiert werden (Fan und Tsu-
chiya 1990). Somit finden keine Wirbelabl¨
osungen statt, die f¨
ur die horizontale
Auslenkung aus der Bewegungsbahn verantwortlich sind. Daher steigen die Blasen
in viskosen Medien geradlinigen auf. In Wasser-Glycerin Gemischen ist dies ab ei-
ner Viskosit¨
at von ηL= 0,007Pas der Fall (Schl¨
uter 2002). In weniger viskosen
Medien kann die kinetische Energie nicht sofort vollst¨
andig dissipiert werden; eini-
ges an Energie wird durch Wirbelabl¨
osungen freigesetzt (turbulente Dissipation).
Nach dem Abl¨
osen der Wirbel dissipieren diese allm¨
ahlich in der Fl¨
ussigkeit. Die
Wirbelabl¨
osungen induzieren Oszillationen der Blasenbewegung, auch bekannt als
sekund¨
are Bewegung (Fan und Tsuchiya 1990). Oszillationen der Bewegungsbahnen
starten also mit dem Beginn der Wirbelabl¨
osungen auf der Blasenr¨
uckseite (Fan
und Tsuchiya 1990).
Prinzipiell k¨
onnen Blasen auf geradlinigen, zickzackf¨
ormigen, helikalen oder gerad-
linig stockenden Bahnen aufsteigen. ¨
Uber die zugeh¨
origen Bereiche gibt es in der
Literatur unterschiedliche und teilweise widerspr¨
uchliche Angaben.
Die Aufstiegsbahnen h¨
angen stark von der umgebenden Fl¨
ussigkeit und von der
Reinheit des Systems ab (Fan und Tsuchiya 1990;Garner und Hammerton 1954;
Kubota u. a. 1967;Tsuge und Hibino 1971;Duinveld und Fdhila 1996). W¨
ahrend
in schon geringf¨
ugig verschmutzten Fl¨
ussigkeiten die Blasen lediglich auf einer zick-
zack Bahn aufstiegen, lagen in reiner Fl¨
ussigkeit zickzack und helikale Bahnen vor.
In reinen Systemen h¨
angt die Bahnen zus¨
atzlich noch von der Art der Blasenerzeu-
gung ab. (Saffmann 1956;Tomiyama u. a. 2002).
F¨
ur Luftblasen in Wasser beobachten Aybers und Tapucu (1969) f¨
ur dB<1,3mm
einen geradlinigen Aufstieg und f¨
ur 1,3< dB<2,0mm einen helikalen. Im Be-
reich von 2,0< dB<3,6mm liegt zuerst ein zickzackf¨
ormiger Aufstieg vor,
der in einen spiralf¨
ormigen ¨
ubergeht und ein lediglich zickzackf¨
ormiger im Be-
reich von 3,6< dB<4,2mm. Dar¨
uber findet ein geradlinig, stockender Aufstieg
statt. Garner und Hammerton (1954), Kubota u. a. (1967) und Tsuge und Hibi-
no (1971) stellen f¨
ur 1,5≤dB≤3−5mm einen spiralf¨
ormigen Aufstieg und
f¨
ur 3 −5≤dB≤10 −15mm einen zickzackf¨
ormigen Aufstieg fest. Duineveld
20
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
(1995) beobachtet in ultra-gereinigtem Wasser Bahninstabilit¨
aten jedoch erst ab
einem Durchmesser von dB= 1,82mm (We = 3,3) und Forminstabilit¨
aten ab
dB>3,5mm (We = 4,2).
W¨
ahrend der Einfluß der umgebenden Fl¨
ussigkeit und der Tenside umfangreich un-
tersucht wurde, sind wenig Messungen ¨
uber den Einfluß der Anfangsdeformation
bekannt. Neben Tomiyama u. a. (2002) f¨
uhrt auch Saffmann (1956) umfangreiche
Untersuchungen zum Einfluß der Anfangsdeformation durch. Seine, den obigen Au-
toren widersprechenden Ergebnisse f¨
ur 1,0−4,6mm Blasen lassen sich zusammen-
fassen zu:
1. F¨
ur dB<1,4mm steigen Blasen senkrecht ohne Oszillationen auf.
2. F¨
ur 1,4< dB<2,0mm liegt immer eine zickzack Bahn vor.
3. F¨
ur dB>2,0mm liegt eine zickzack Bewegung vor, sofern die Blasen mit mi-
nimaler Anfangsdeformation injiziert werden. Diese Bahn ist jedoch ¨
außerst
instabil. Schon kleinste St¨
orungen oder Hindernisse in der Bahn f¨
uhren zu ei-
ner vertikalen Bahn. Dies deckt sich auch mit den Beobachtungen von Schl¨
uter
(2002). Wenn eine gr¨
oßere Blase bei der Blasenerzeugung zerbricht, steigen
die Fragmente mit dB>2,6mm helikal auf, da die Defragmentierung zu
St¨
orungen auf der Oberfl¨
ache f¨
uhren.
4. Eine zickzack Bewegung kann in eine vertikale umschlagen. Das umgekehrte
ist jedoch nicht der Fall.
Der letzte Punkt best¨
atigt auch die g¨
angige Beobachtung vieler Autoren (Tomiya-
ma u. a. 2002;Lunde und Perkins 1997;Saffmann 1956;Ellingsen und Risso 2001),
daß nur eine ¨
Ubergang einer Zickzack-Bewegung hin zur spiralf¨
ormingen festgestellt
werden kann, nicht umgekehrt. Diese Ergebnisse best¨
atigen die Schlußfolgerungen
von Ellingsen u. a. (1997), die den Aufstieg von 2,5mm Blasen systematisch unter-
suchen. Ausgel¨
ost von kleinen St¨
orungen kommt es zu einer seitlichen Auslenkung
aus der geradlinigen Bahn. Diese St¨
orungen k¨
onnen von der Blasenerzeugung oder
von St¨
orungen in der Fl¨
ussigphase kommen. Die Amplitude der seitlichen Aus-
lenkungen w¨
achst kontinuierlich an. Ab einem gewissen Punkt ist die maximale
21
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Schwingungsamplitude der zickzack Bahn erreicht. Dieses Stadium wiederum ist
ebenfalls instabil und anf¨
allig gegen¨
uber weiteren St¨
orungen. Es kommt zu Aus-
lenkungen aus der Schwingungsebene, deren Amplitude weiter anw¨
achst. Die Blase
erh¨
alt langsam eine spiralf¨
ormige Bahn. Diese Beobachtung deckt sich mit der von
Saffmann (1956). Anders ausgedr¨
uckt beschleunigt die starke Anfangsdeformation
das Anwachsen der sekund¨
aren Bewegungen (Tomiyama u. a. 2002). Dies wiederum
best¨
atigt die zuvor ge¨
außerte Feststellung der Autoren, daß es nicht m¨
oglich ist,
die Aufstiegsbahn anhand des Blasendurchmessers und der Stoffwerte eines Systems
vorherzusagen. Die Art der Blasenerzeugung ist also verantwortlich f¨
ur die Bewe-
gungsbahn. Auf diese Weise lassen sich auch die obigen Klassifizierungen erkl¨
aren,
die den anderen experimentellen Beobachtungen in der Literatur widersprechen
(Tomiyama u. a. 2002).
2.2.4. Korrelationen f¨
ur die Blasenform
Viele existierende Theorien zum Blasenaufstieg gelten nur f¨
ur sph¨
arische Blasen. In
der Literatur existiert eine Vielzahl von empirischen Korrelationen zur Vorhersage
der Blasenform, von denen die drei gel¨
aufigsten nachfolgend kurz vorgestellt wer-
den sollen. Die Blasenform kann von der Blasengr¨
oße, der Aufstiegsgeschwindigkeit
oder von den physikalischen Eigenschaften der Fl¨
ussigkeit abh¨
angig sein.
F¨
ur niedrigviskose Fl¨
ussigkeiten (Mo < 2,5·10−4), frei von Verunreinigungen,
finden Tadaki und Maeda (1963) eine empirische Abh¨
angigkeit der Blasenabmes-
sungen dB/b von einer Kombination der Reynolds-Zahl Re und Morton-Zahl Mo.
Diese Kombination der Form Ta =ReMo0,23 wird auch als Tadaki-Zahl bezeichnet.
F¨
ur ellipsoide Blasen ist die Exzentrizit¨
at dB/b gleich (h/b)1/3. Gleiches gilt f¨
ur
sph¨
arische Kappenblasen. Anhand der Tadaki-Zahl kann f¨
ur Mo < 2,5·10−4gem¨
aß
nachfolgender ¨
Ubersicht die Blasenform und ihre Exzentrizit¨
at vorherbestimmt wer-
den.
22
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
dB
b=
1Ta < 2 (sph¨arisch)
1,14Ta−0,176 2< Ta < 6 (ellipsoid)
1,36Ta−0,28 6< Ta < 16,5 (ellipsoid)
0,62 16,5< Ta (sph¨arische Kappe)
(2.48)
Diese am weitesten akzeptierte Korrelation wird von Vakhrushev und Efremov
(1970) erweitert. F¨
ur das Verh¨
altnis von vertikalem zu horizontalem Blasendurch-
messer h/b gilt f¨
ur Mo < 10−3
h
b=
1Ta ≤1
{0,81 + 0,206 tanh[2(0,8−log Ta)]}31≤Ta < 39,8
0,24 39,8≤Ta .
(2.49)
Ein Vergleich beider Korrelation mit experimentell ermittelten Durchmesserverh¨
alt-
nissen zeigt jedoch, daß beiden obigen Gleichungen besser die Daten innerhalb ver-
schmutzter oder teilverschmutzter Systemen wiedergeben, als die Werte innerhalb
reiner Systeme (Fan und Tsuchiya 1990).
Zur Erfassung von reinen bis hin zu verschmutzten Systemen erweiterten Fan und
Tsuchiya (1990) die Korrelation von Vakhrushev und Efremonv um vier Parameter
c1−c4.
h
b=
1Ta ≤Ta1
{c1+c2tanh[c3(c4−log Ta)]}mTa1≤Ta < Ta2
h
bKappe Ta2≤Ta
(2.50)
Voraussetzung f¨
ur die Anwendung dieser Korrelation ist die Kenntnis
1. des ¨
Ubergangs vom sph¨
arischen zum ellipsoiden Regime (Ta1) und vom el-
lipsoiden zum sph¨
arischen Kappenregime (Ta2)
2. des Durchmesserverh¨
altnisses der sph¨
arischen Kappenregime (h/b)Kappe
erforderlich. Die numerischen Werte f¨
ur die Parameter c1−c4und mk¨
onnen Tabelle
2.1 entnommen werden. Weitere Korrelationen f¨
ur die Blasenform werden von Fan
und Tsuchiya (1990) vorgestellt.
23
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Tabelle 2.1.: Numerische Werte f¨
ur die Parameter in Gleichung (2.50)
System m (h/b)Kappe Ta1Ta2c1c2c2c4
3D verunreinigt ∗3 0,24 1,0 40 0,81 0,20 2,0 0,80
3D rein 3 0,24 0,3 20 0,81 0,20 1,8 0,40
2D verunreinigt 2 0,30 1,0 40 0,77 0,24 2,1 0,80
2D rein 2 0,30 0,3 20 0,77 0,24 1,9 0,40
∗vgl. Gleichung (2.49)
2.2.5. Blasenaufstieg in leicht und stark verschmutzten
Systemen
In technischen Anwendungen liegen in den seltensten F¨
allen reine Stoffsysteme vor.
Die Gegenwart von oberfl¨
achenaktiven Substanzen hat einen großen Einfluß auf die
Beweglichkeit der Phasengrenzfl¨
ache und soll nun n¨
aher betrachtet werden.
Oberfl¨
achenaktive Substanzen, wie z.B. Tenside k¨
onnen schon in geringsten Mengen
einen großen Effekt auf das Verhalten von Blasen haben. Auch wenn die Tensid-
menge so gering ist, daß die physikalischen Eigenschaften der Kernphase unbeein-
flußt bleiben, k¨
onnen Tenside z.B. die innere Zirkulation in Blasen unterdr¨
ucken
und somit einen entscheidenden Einfluß auf das Aufstiegsverhalten, oder Stoff- und
W¨
armeaustausch haben. Die Aufstiegsgeschwindigkeit nimmt mit steigender Ten-
sidkonzentration bis auf einem Minimalwert ab. H¨
ohere Tensidkonzentration f¨
uhren
dann zu keiner weiteren Reduktion der Aufstiegsgeschwindigkeit. Die dem Ph¨
ano-
men zugrunde liegenden physikalischen Mechanismen lassen sich wie folgt erkl¨
aren:
Die Tenside lagern sich an der Blasenoberfl¨
ache an. Durch die Aufstiegsbewegung
der Blase liegt an der Grenzfl¨
ache eine Schubspannung an, die die Tenside auf die
Blasenunterseite transportiert. Dort kommt es zu einer Akkumulation der Tendsid-
molek¨
ule, w¨
ahrend es an der Stirnfl¨
ache zu einer Verarmung kommt. Es bildet sich
also ein Gradient der Fl¨
achenkonzentration des Tensids entlang der Phasengrenz-
fl¨
ache aus. Dadurch entsteht ein Gradient der Oberfl¨
achenspannung. Dies wird als
24
2.2. Form und Bewegungsverhalten von Einzelblasen
Marangoni-Effekt bezeichnet. In Fl¨
ussigkeiten, in denen der Marangoni-Effekt auf-
tritt, werden Str¨
omungen von Orten niedriger zu Orten hoher Oberfl¨
achenspannung
beobachtet. Somit kommt es zu einer Reduktion der Aufstiegsgeschwindigkeit der
Blase. Die Akkumulation der Tenside immobilisiert die Grenzfl¨
ache. Diese verh¨
alt
sich oberhalb einer bestimmten Konzentration wie ein rigider Partikel. Dieser rigi-
de Bereich wird durch den Kappenwinkel Φ (vgl. Abbildung 2.4) gekennzeichnet.
Innerhalb dieses Bereiches sind Stoff- und W¨
armeaustausch ¨
uber die immobile Pha-
c
Tensid
w
L
Abbildung 2.4.: Schematische Darstellung einer teilweise mit Tensiden kontaminierter
Blase
sengrenzfl¨
ache hinweg stark reduziert. Mit steigender Tensidkonzentration w¨
achst
der immobile Bereich an, bis zu einer Konzentration, bei der die gesamte Oberfl¨
ache
immobilisiert ist. Die Blase verh¨
alt sich dann ann¨
ahernd wie ein rigider Partikel.
Durch die vollst¨
andig oder teilweise immobilisierte Blasenoberfl¨
ache gelten andere
Widerstandsgesetze als f¨
ur reine Systeme.
Ein neuer, interessanter Beitrag zum Thema der kontaminierten Blasen stammt von
Tomiyama u. a. (2002). Die Autoren untersuchen das Aufstiegsverhalten von Ein-
zelblasen in Abh¨
angigkeit von der Anfangsdeformation in kontaminierten Fl¨
ussig-
keiten. In dem Bereich, in dem die Oberfl¨
achenspannung dominiert, weisen kon-
taminierte Blasen die gleiche Aufstiegsgeschwindigkeit auf, wie Blasen in reiner
Fl¨
ussigkeit mit geringer Anfangsdeformation. Auch steigen kontaminierte Blasen
nicht auf helikalen Bahnen auf; selbst bei großen Anfangsdeformationen nicht.
25
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Daraus l¨
aßt sich schlußfolgern, daß sich kontaminierte Blasen wie reine Blasen mit
geringer Anfangsdeformation verhalten. Als Erkl¨
arung kann hierf¨
ur die weit be-
kannte Tatsache herangezogen werden, daß Tenside Oberfl¨
achenspannungswellen
oder Kapillarwellen d¨
ampfen (Landau und Lifschitz 1987). Tomiyama u. a. fassen
die Rolle von Tensiden auf die Dynamik aufsteigender Blasen wie folgt zusammen.
(I) Bereich dominierender Reibunskr¨
aft (sph¨
arische Blasen)
Die Anh¨
aufung von Tensiden auf der Phasengrenzfl¨
ache induziert den sogenann-
ten Marangoni-Effekt. Die Oberfl¨
ache wird immobilisiert und verh¨
alt sich wie ein
Festk¨
orper. Die Randbedingung an der Oberfl¨
ache ¨
andern sich also von reibungsfrei
zu reibungsbehaftet, was einen Anstieg des Reibungswiderstandes und eine Redu-
zierung der Aufstiegsgeschwindigkeit mit sich f¨
uhrt.
(II) Bereich dominierender Oberfl¨
achenspannung (ellipsoide Blasen)
Hier d¨
ampfen die Tenside die Volumenschwankungen. Die Aufstiegsgeschwindig-
keit ist ann¨
ahernd identisch mit der von Blasen mit geringer Anfangsdeformation
in reiner Fl¨
ussigkeit. Die Streuung der Geschwindigkeiten ist hier viel geringer als
in reinen Systemen.
(III) Bereich dominierender Auftriebskr¨
afte Bereich (Kappenblasen)
Aufgrund der großen Tr¨
agheit spielt die Oberfl¨
achenspannung eine untergeordnete
Rolle auf die Blasenbewegung und -form.
2.3. Form und Bewegungsverhalten von Blasenketten
Aus experimentellen Arbeiten ist bekannt, daß die Aufstiegsgeschwindigkeit von
Blasen innerhalb einer Kette im Vergleich zu Einzelblasen zunimmt (Miyahara
u. a. 1991;Starke 1998). Je geringer dabei der Abstand zwischen den Blasen ist,
desto gr¨
oßer ist folglich auch die Beeinflussung durch die Anstr¨
omung der voraus-
laufenden Blase. F¨
ur die Beschreibung der Aufstiegsgeschwindigkeiten in Ketten
kann das Modell von Crabtree und Bridgwater (1971) herangezogen werden. Da-
nach kann die Geschwindigkeit als Summe der Aufstiegsgeschwindigkeit einer un-
26
2.4. Wirbelschleppenph¨
anomene
gest¨
orten Einzelblase in einem unendlichen Gef¨
aß und der aus der Str¨
omung der
Wirbelschleppe der vorauslaufenden Blase berechnet werden. F¨
ur geringe Reynolds-
Zahlen (Re < 30) ist dies
wG
abs,BK
wB
=1
2 1 + s1 + π·g·d3
B·fB
6·νL·w2
B!(2.51)
und f¨
ur Re > 30
wabs,BK
wB5/3
−wabs,BK
wB2/3
=KWg
wB·fB1/3dB·f
wB(2.52)
Hierin ist fBdie Blasenbildungsfrequenz und KWein experimentell bestimmter An-
passungsfaktor. F¨
ur Wasser und gering viskose Fl¨
ussigkeiten sowie Blasendurchmes-
ser dB<10 mm gilt KW= 1,425, im Bereich von 10−7< Mo < 10 gilt KW= 2,250
(Miyahara u. a. 1984).
F¨
ur geringe Blasenabst¨
ande weisen Blasen ein konstantes Durchmesserverh¨
altnis
h/b auf, d.h. der Reibungsanteil des Widerstands bleibt konstant. Der Widerstand
wird somit durch den Druckanteil bestimmt. In Ketten reduziert sich der Druckan-
teil aber, sobald sich die Blase im Wirbelgebiet einer vorauslaufenden Blase befin-
det, was zu einer Erh¨
ohung der Geschwindigkeit f¨
uhrt.
Aus den Erkenntnissen f¨
ur Blasenketten wird deutlich, daß die Wirbelschleppe einen
großen Einfluß auf die Hydrodynamik hat. Daher soll im Nachfolgenden n¨
aher auf
diese Ph¨
anomene eingegangen werden.
2.4. Wirbelschleppenph¨
anomene
J¨
ungste experimentelle Ergebnisse haben erneut vor Augen gef¨
uhrt, daß Wirbel-
schleppenph¨
anomene einen großen Einfluß auf die Hydrodynamik und den Stoff-
transport in Zweiphasenstr¨
omungen haben (Br¨
ucker 1999;Lindken und Merzkirch
2001;Bork u. a. 2001,2002;Scheid u. a. 2002;Schl¨
uter 2002;Bork u. a. 2003). Bei
der Umstr¨
omung von festen oder fluiden K¨
orpern l¨
ost sich ab einer hinreichend
hohen Reynolds-Zahl die Str¨
omung im Nachlaufgebiet ab und es bildet sich ei-
ne Wirbelschleppe (engl. wake) aus. In der Literatur existiert eine Vielzahl von
27
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Untersuchungen zu Wirbelschleppenph¨
anomenen hinter Festk¨
orpern, auf die hier
allerdings nicht weiter eingegangen werden soll. Eine ausf¨
uhrliche Beschreibung fin-
det sich bei Fan und Tsuchiya (1990).
F¨
ur fluide Partikel/Blasen wird die Form der Wirbelschleppe von verschiedenen
Faktoren beeinflußt. Neben den Stoffwerten der Fl¨
ussigphase haben auch Verun-
reinigungen wie z.B. Tracer Einfluß auf die Blasenform und -bewegung und folg-
lich auch auf die Wirbelschleppe. Bisher wurden in der Literatur haupts¨
achlich
formstabile Kappenblasen untersucht (s. Fan und Tsuchiya (1990) und die darin
angegebene Literatur). ¨
Uber formdynamische Blasen im praxisrelevanten Bereich
(d= 2 −8mm) liegen nur wenig Informationen vor. Allgemein lassen sich die Wir-
belschleppen in laminar und turbulent klassifizieren. Letztere k¨
onnen wiederum
eine geschlossene oder offene Struktur aufweisen. Weiterhin k¨
onnen sie station¨
ar
oder instation¨
ar ausgebildet sein. Diese Formen der Wirbelschleppen werden auf
den n¨
achsten Seiten n¨
aher beschrieben.
2.4.1. Laminare Wirbelschleppen
Laminare Wirbelschleppen werden oft hinter Kappenblasen in viskosen Medien be-
obachtet. Ihre Schleppe ist hydrodynamisch stabil. Modellhaft kann eine solche
Schleppe wie folgt beschrieben werden:
1. wirbelfreie reibungslose Str¨
omung (Potentialstr¨
omung) vor der Blase und um
die Blasenschleppe
2. reibungsfreie Wirbelstr¨
omung innerhalb der geschlossenen Schleppe
3. d¨
unne Grenzschicht um die Blase und um die Wirbelschleppe
4. externes Nachlaufgebiet entlang der Symmetrieachse.
Die interne und externe Wirbelschleppe, d.h. der Wirbel unmittelbar auf der Bla-
senr¨
uckseite und das Nachlaufgebiet werden durch die Grenzschicht voneinander
getrennt. Fluidelemente, die von der inneren Grenzschicht am r¨
uckw¨
artigen Sta-
gnationspunkt in die innere Schleppe wandern, werden dort von Wirbeln aufw¨
arts
28
2.4. Wirbelschleppenph¨
anomene
transportiert, um auf der Blasenr¨
uckseite wieder in die Grenzschicht zu gelan-
gen. Fluidelemente auf der ¨
außeren Seite der Grenzschicht bewegen sich mit der
Str¨
omung und verlassen die Region der geschlossenen Wirbelschleppe in die exter-
ne Schleppe (Fan und Tsuchiya 1990). Es erfolgt somit kein konvektiver Fl¨
ussig-
keitsaustausch zwischen der ¨
außeren Str¨
omung und der Wirbelschleppe (Fan und
Tsuchiya 1990;Bhaga und Weber 1981). Daher wird die Schleppe als geschlossen
bezeichnet. Die erforderliche Stabilit¨
at wird durch eine hohe Viskosit¨
at oder Wand-
effekte erreicht. Bei erh¨
ohter Reynolds-Zahl konnten Bhaga und Weber (1981) f¨
ur
konstante Blasenvolumina eine abnehmende Stabilit¨
at der Wirbelschleppe und ein
Einsetzen von Wirbelabl¨
osungen beobachten - den ¨
Ubergang zu einer offenen Struk-
tur der Schleppe.
2.4.2. Turbulente Wirbelschleppen
Eine Reduzierung der Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase f¨
uhrt bei großen Blasen zu tur-
bulenten Schleppen. Ob diese als offen oder geschlossen bezeichnet werden k¨
onnen
wird in der Literatur kontrovers diskutiert. Jedoch scheint eine offene Struktur sinn-
voller f¨
ur die Beschreibung turbulenter Schleppen (Fan und Tsuchiya 1990). Mit
Hilfe der Schlierenphotographie gelang es Wegener und Parlange (1973) f¨
ur eine
Blase (mit Re > 3000) eine Schleppe bis weit hinter der Blase zu visualisieren.
Innerhalb der Schleppe erschien die Str¨
omung chaotisch, jedoch mit erkennbaren
Wirbelbewegungen nahe der Blase.
2.4.3. Formen der Wirbelschleppen
Die allgemeine Schleppenstruktur liegt zwischen den beiden Extremen der lamina-
ren und der turbulenten Wirbelschleppe. Fan und Tsuchiya (1990) schlagen eine
Einteilung in zwei Bereiche vor:
1. Die prim¨
are Wirbelschleppe, die sich unmittelbar hinter der Blase befindet,
sich mit ihr bewegt und meist geschlossen ist,
2. Die sekund¨
are Wirbelschleppe, die sich bis weit hinter die Blase erstreckt.-
29
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Schematisch ist diese Einteilung in Abbildung 2.5 dargestellt. Innerhalb der prim¨
aren
a) Geschlossene,
laminare
Schleppe
b) Normale
Schleppe
c) Offene,
turbulente
Schleppe
Blase
Primär-
Schleppe
Sekundär-
Schleppe
Stabiler
Auslauf
Welliger
Auslauf
Wirbel-
straße
Groß-
wirbel
kleine,
lokale
Wirbel
Abbildung 2.5.: Charakteristische Formen der Wirbelschleppe hinter Kugelkappenbla-
sen (Fan und Tsuchiya 1990).
Schleppe kann eine weitere Wirbelstruktur entstehen. Jedoch kann ihre exakte
Grenzschicht nicht immer genau definiert werden. Die sekund¨
are Schleppe hingegen
hat eine offene Struktur und repr¨
asentiert eine weniger definierte Region. Hier hin-
ein k¨
onnen auch abgel¨
oste Wirbel aus der prim¨
aren Schleppe gelangen. F¨
ur geringe
Reynolds-Zahlen kann die Sekund¨
arschleppe ein stabiler oder welliger Auslauf der
prim¨
aren Schleppe sein. Mit steigender Reynolds-Zahl kann sich daraus eine Wir-
belstraße entwickeln (Fan und Tsuchiya 1990).
Die m¨
oglichen Formen der Wirbelschleppen lassen sich in f¨
unf Bereiche einteilen,
die durch steigende Reynolds-Zahlen charakterisiert werden:
1. Im ersten Bereich (Re < Re1; in Abbildung 2.5 nicht dargestellt) existiert
ein stetiger Nachlauf mit einer vernachl¨
assigbaren Region, in der Zirkulation
auftritt.
2. Im zweiten Bereich (s. Abbildung 2.5 a) bildet sich ein stetiger Nachlauf
(Re1< Re < Re2) gefolgt von einem stabilen Auslauf.
30
2.4. Wirbelschleppenph¨
anomene
3. Eine unstetige Schleppe mit welligem Auslauf (Re2< Re < Re3) (Abbildung
2.5 b)
4. Eine unstetige Schleppe mit einem hohen Grad an Turbulenz und sich abl¨
osen-
den Wirbeln (Re3< Re < Re4) (Abbildung 2.5 b).
5. Eine hochturbulente, offene Schleppe (Re > Re4) (Abbildung 2.5 c).
Konkrete Zahlenwerte f¨
ur die begrenzenden Reynolds-Zahlen sind f¨
ur eine Reihe
von festen Partikeln in einer ¨
Ubersicht bei Fan und Tsuchiya (1990) angegeben.
Experimentell untersucht wurden Wirbelschleppenph¨
anomene f¨
ur Blasen sowohl
in zweidimensionalen Flachapparaturen als auch in dreidimensionalen Apparaten.
So beobachtete Lindt (1971) in einer Flachapparatur f¨
ur ellipsoide Blasen mit
Re = 2000 −5000 eine Zickzack Bewegung, bei der sich Wirbel abl¨
osten. Die
Anordnung der Wirbel entsprach der einer Wirbelstraße hinter einem Zylinder. Ei-
ne ¨
ahnliche Wirbelstraße stellten Crabtree und Bridgwater (1971) in einer anderen
Flachapparatur f¨
ur Re = 1020 −24700 und ν= 1,02 −27mm2/s fest. Hill (1894)
beobachtete eine unregelm¨
aßige Wirbelstraße in zweidimensionalen Experimenten.
Diese entstand aber erst, nachdem die Blase eine gewisse Strecke nach ihrer Bildung
aufgestiegen war. Trotz der unregelm¨
aßigen Wirbelstruktur lag um die Blase und in
der unmittelbaren Schleppe eine stabile Str¨
omung vor. Eine umfassende ¨
Ubersicht
¨
uber weitere Experimente in Flachapparaturen liefert Fan und Tsuchiya (1990).
W¨
ahrend f¨
ur Festk¨
orper Wirbelschleppen bis zu einer Reynolds-Zahl von ca. Re =
100.000 untersucht werden k¨
onnen, ist der Bereich f¨
ur zwei- und dreidimensionale
Blasen stark eingeschr¨
ankt, da in einem festgelegten System die Geschwindigkeit
fest an den Durchmesser gekoppelt ist. F¨
ur niedrigviskose Fl¨
ussigkeiten ist die mi-
nimale Reynolds-Zahl ab der sich Wirbelschleppen ausbilden durch die Blasengr¨
oße
auf etwa 100 limitiert. Die obere Grenze ist durch die Blasenstabilit¨
at und die zu-
geh¨
orige Aufstiegsgeschwindigkeit begrenzt (vgl. Kapitel 2.2.4). Der Großteil der
Beobachtungen wurde bis zu einer Reynolds-Zahl von etwa Re3(s.o.) gemacht. Auf
die typischen Formen der Wirbelschleppen - helikal und achsensymmetrisch - wird
in Kapitel 9.6 n¨
aher eingegangen.
31
2. Stand des Wissens - Hydrodynamik
Die Schleppe einer Blase beeinflußt nat¨
urlich auch nachlaufende Blasen. So k¨
onnen
nachlaufende Blasen durch den reduzierten Widerstand in der Blase angezogen
werden und es kann zur Koaleszenz kommen, oder abgel¨
oste Wirbel k¨
onnen nach-
laufende Blasen hin bis zum Zerfall beeinflussen.
32
3. Stand des Wissens - Stofftransport
In diesem Abschnitt soll n¨
aher auf die Mechanismen des station¨
aren und instati-
on¨
aren Stofftransports eingegangen werden. Der Stofftransport erfolgt dabei ¨
uber
eine Phasengrenze Aeines Gas-Fl¨
ussig Systems hinweg. Dabei ist der Stoff¨
ubergang
in entscheidender Weise von den Eigenschaften der Phasengrenzfl¨
ache und von den
innerhalb der Phasen ablaufenden Vorg¨
angen abh¨
angig (Brauer 1971b).
Oberfl¨
achenaktive Substanzen k¨
onnen zus¨
atzlich zur Hydrodynamik auch den Stoff-
transport beeinflussen. Auf der Phasengrenzfl¨
ache kann es zu einem Diffusionsstrom
der angelagerten Tenside kommen (s. Kap. 2.2.5). Zus¨
atzlich verringern die Ten-
side die Oberfl¨
achenspannung. Dabei breiten sich Gebiete geringer Oberfl¨
achen-
spannung aus und solche mit hoher Oberfl¨
achenspannung ziehen sich zusammen.
Somit entsteht auf der Phasengrenzfl¨
ache eine Bewegung, die sich auf die umge-
benden Phasen ¨
ubertr¨
agt. Dabei k¨
onnen sich Wirbelzellen ausbilden, die den Stoff
von der Phasengrenzfl¨
ache in die umgebende Phase transportieren. Diese mitunter
sehr dynamischen und heftigen Vorg¨
ange werden auch als Grenzfl¨
achenturbulenz
bezeichnet.
Bereits hier wird deutlich, daß der Stofftransport durch eine Phasengrenzfl¨
ache ein
¨
außerst komplexen Prozeß darstellt. In der Literatur existieren vereinfachte Model-
le, um den Stoff¨
ubergang beschreiben zu k¨
onnen. Die gel¨
aufigsten sollen nachfolgend
vorgestellt werden. Der Grad der Vereinfachung nimmt dabei stets zu.
33
3. Stand des Wissens - Stofftransport
3.1. Stoff¨
ubergang durch die Grenzfl¨
ache von Blasen
und Tropfen
Im allgemein ist der Stoff¨
ubergang von Blasen (oder Tropfen) mit einer umgeben-
de Phase instation¨
ar. Mit Erreichen der homogenen Gleichgewichtskonzentration
kommt der Stofftransport zum Erliegen.
Sind die Gleichgewichtswerte an der Phasengrenze zeitlich konstant, so liegt ein
station¨
arer Stoffaustausch vor. Dies ist aber nur m¨
oglich, wenn die Blase nur aus
der austauschenden Komponente besteht und eine ¨
Anderung des Durchmessers ver-
nachl¨
assigt werden kann. Dies ist in guter N¨
aherung bei der Absorption eines Gases
von der umgebenden Fl¨
ussigkeit erf¨
ullt (Brauer 1971b). Der zugeh¨
orige Konzentra-
tionsverlauf dazu ist in Abbildung 3.1 ersichtlich. Besteht die Blase nur aus der
Flüssigphase
Gas-
phase
c
A,G,PFG
= konst
c
A,G
c
A,L,PFG
= konst
c
A,L
c
A,L
(t=0) = 0
Abbildung 3.1.: Konzentrationsprofil f¨
ur den station¨
aren Stofftransport aus einer nur
aus Komponente A bestehenden Blase
Komponente A, ist die Konzentration von A im Inneren konstant. Ein Gradient
bildet sich also nur in der umgebenden Phase aus. Im allgemeinen Fall ist der Stoff-
transport an Blasen instation¨
ar. Befinden sich zus¨
atzlich weitere Komponenten in
der Blase, so bildet sich auch im Innern ein Konzentrationsprofil aus. Abbildung
3.2 zeigt den Konzentrationsverlauf zu Beginn (t=t0) und zu einem beliebigem
Zeitpunkt t1> t0.
Wie bereits oben erw¨
ahnt, ist das Ph¨
anomen des Stofftransports ¨
außerst komplex
34
3.1. Stoff¨
ubergang durch die Grenzfl¨
ache von Blasen und Tropfen
Flüssigphase
Gas-
phase
c
A,G,PFG
c
A,G
(t=0)
c
A,L,PFG
c
A,L
c
A,L
(t=0) = 0
D
G
> D
L
c
A,G
(t=t
1
)
Abbildung 3.2.: Konzentrationsprofil f¨
ur den instation¨
aren Stofftransport aus einer
aus mehreren Komponenten bestehenden Blase
und die zugeh¨
origen Modellgleichungen sind im allgemeinen Fall nicht analytisch
l¨
osbar. Unter den vereinfachenden Annahmen, daß
•eine sph¨
arische Blase vorliegt
•Stoffgr¨
oßen, Blasenvolumen und Durchmesser konstant bleiben,
•keine weiteren Stoffquellen in der Fl¨
ussigkeit vorhanden sind,
•die Dichte des Gemisches als konstant angesehen werden kann und die Str¨
omung
nicht durch den Stoff¨
ubergang beeinflußt wird,
•der molekulare Transport durch Fick’sche Diffusion erfolgt und
•das Geschwindigkeitsfeld um die Blase zeitlich konstant und bekannt ist,
kann der instation¨
are Stofftransport durch die Theorie nach Brauer (1971b) be-
schrieben werden. Durch die Annahme der sehr kleinen Stoffstromdichte wird die
Str¨
omung durch den Stofftransport nicht beeinflußt. Daher kann zur Berechnung
des Stofftransports das bekannte Str¨
omungsfeld verwendet werden. Das Str¨
omungs-
feld l¨
aßt sich beispielsweise f¨
ur schleichende Str¨
omungen mit dem Ansatz von Ha-
damard und Rybczynski (s. Kapitel 9.3.2) bestimmen. Brauer gibt f¨
ur beide Phasen
die Diffusionsgleichungen f¨
ur die ¨
ubergehende Spezies an. Das Konzentrationsfeld
35
3. Stand des Wissens - Stofftransport
wird f¨
ur beide Phasen getrennt bestimmt. Dabei werden die dimensionslosen Kon-
zentrationen ξin den Phasen derart gew¨
ahlt, daß an der Phasengrenzfl¨
ache kein
Konzentrationssprung auftritt. Die ausf¨
uhrliche Herleitung dieser Gleichungen und
Hinweise zu deren L¨
osungen findet sich bei Brauer (1971b) und Hong und Brauer
(1984).
Unter der Voraussetzung, daß die lokale Massenstromdichte ˙mA,L,θ mit dem loka-
len Stoff¨
ubergangskoeffizient βL,θ gleich dem ¨
aquvalenten molaren Diffusionsstrom
gem¨
aß des Fick’schen Gesetzes ist, lassen sich die lokalen Stoff¨
ubergangskoeffizi-
enten und die lokale Sherwood-Zahl berechnen (Brauer 1971b). Nach Gleichsetzen
der lokalen Massenstromdichte
˙mA,L,θ =βL,θ(ρA,L,P GF −ρA,L,∞) (3.1)
mit dem ¨
aquimolaren Diffusionsstrom,
˙mA,L,θ =−DL∂ρA,L
∂r P GF
(3.2)
ergibt sich die ¨
ortliche Sh-Zahl zu
ShL,θ =βL,θ ·d
DL
=−2∂ξL
∂r∗PGF
(3.3)
Durch Integration ¨
uber die gesamte Kugeloberfl¨
ache ergibt sich die mittlere Sh-
Zahlen zu:
ShL=1
2Zπ
0
ShL,θ sinθ dθ (3.4)
Hieraus wird leicht ersichtlich, daß sich Sherwood-Zahlen und mit ihnen die Stoff¨
uber-
gangskoeffizienten nur sehr aufw¨
andig und nur f¨
ur einfache F¨
alle direkt berechnen
lassen. Daher wurden eine Reihe von Theorien entwickelt, mit deren Hilfe der Stoff-
transport ¨
uber eine Phasengrenze vereinfachend beschrieben werden kann.
3.2. Zweifilm-Theorie
Die Zweifilm-Theorie oder auch Zweischichtenhypothese geht auf die Arbeit von
Lewis und Whitman (1924) zur¨
uck. Sie geht von stark vereinfachenden Konzen-
trationsverl¨
aufen in beiden Phasen aus. In den Kernphasen ist die Konzentration,
36
3.2. Zweifilm-Theorie
bedingt durch die Turbulenz, als homogen anzusehen. Auf beiden Seiten der Pha-
sengrenzfl¨
ache existieren sehr d¨
unne laminare Grenzschichten der Dicke δi, in der
(ohne chemische Reaktion) jeweils ein linearer Konzentrationsverlauf vorliegt. Die-
ser Ansatz ist mit laminaren Unterschichten an festen W¨
anden bei turbulenten
Einphasenstr¨
omungen vergleichbar (Brauer 1971b).
In den Grenzschichten erfolgt Stofftransport lediglich durch Diffusion. Die Stoff¨
uber-
gangskoeffizienten βisind daher festgelegt durch
βi=Di
δi
mit i=G, L (3.5)
mit den Diffusionskoeffizienten Di. Ein typischer Konzentrationsverlauf f¨
ur einen
gel¨
osten Stoff A ist in Abbildung 3.3 dargestellt. Die Stoffstromdichte l¨
aßt sich also
Flüssigphase
Gasphase
Phasengrenz-
fläche
Flüssigkeits-
schicht
Gas-
schicht
δ
G
δ
L
c
A,L,PFG
c
A,G,PFG
c
A,L,
8
c
A,G,
8
Abbildung 3.3.: Konzentrationsverlauf f¨
ur einen gel¨
osten Stoff A nach der Zwei-Film-
Theorie.
in beiden Phasen bestimmen durch:
˙nA,L =DL
δ(cA,L,PGF −cA,L),(3.6)
˙nA,G =DG
δ(cA,G −cA,G,PGF ).(3.7)
37
3. Stand des Wissens - Stofftransport
Aus Kontinuit¨
atsgr¨
unden ist der Stoffstrom aus der Gasphase gleich dem in die
Fl¨
ussigphase:
˙nA,G = ˙nA,L = ˙nA(3.8)
und somit
βA,G(cA,G −cA,G,PGF ) = βA,L(cA,L,P GF −cA,L) (3.9)
Die Bestimmung der Stoff¨
ubergangskoeffizienten βGund βLerweist sich durch die
unbekannten Grenzschichtdicken δGund δLals schwierig. Diese Problematik wird
durch die Verwendung des Stoffdurchgangskoeffizienten kLbzw. kGumgangen. Da-
zu muß allerdings die Konzentration in der einen Phase derart umgerechnet werden,
daß sie der Konzentration in der anderen Phase entspricht. F¨
ur verd¨
unnte L¨
osun-
gen, d.h. mit einer geringen Konzentration der Komponente A in der Fl¨
ussigkeit
ist der Partialdruck von A an der Phasengrenze pA,G,PGF dem Molbruch von A in
der Fl¨
ussigkeit ˜xA,PGF proportional. Gem¨
aß experimenteller Untersuchungen l¨
aßt
sich diese Gesetzm¨
aßigkeit ausdr¨
ucken durch (Brauer 1971b):
He =pG,A,P GF
˜xA,L,PGF
(3.10)
Die Henry Konstante He h¨
angt von der Temperatur T, der Art der Komponente A
und der Fl¨
ussigkeit ab. Sie ist jedoch weitgehend unabh¨
angig von Gesamtdruck und
der Konzentration weiterer Gemischkomponenten, sofern diese gering ist (Brauer
1971b). Das Henry Gesetz besagt, daß an der Phasengrenzfl¨
ache ein Konzentra-
tionssprung von cA,G,PGF nach cA,L,P GF auftritt (vgl. Abbildung 3.3). Dieser wird
durch die Henry Zahl Hbeschrieben:
H=cA,G,PGF
cA,L,PGF
(3.11)
In der Literatur existieren eine Reihe von weiteren Definitionen f¨
ur die Henry-
Zahlen, so daß diese ggf. umgerechnet werden m¨
ussen. So definiert Brauer (Brauer
1971b) die Henry-Zahl beispielsweise als,
H=(ρA/ρ)G,PGF
(ρA/ρ)L,PGF
(3.12)
38
3.3. Penetrations-Theorie
Unter Zuhilfenahme der Henry-Zahl kann nun eine Umrechnung der Konzentratio-
nen innerhalb einer Phase erfolgen. So l¨
aßt sich der aus einer Blase in die Fl¨
ussigkeit
¨
ubertretende spezifischen Stoffstrom ˙nAmit Hilfe des fl¨
ussigkeitseitigen Stoffdurch-
gangskoeffizienten kLberechnen zu:
˙nA=kLcA,G
H−cA,L(3.13)
F¨
ur den gasseitigen Stoffdurchgangskoeffizienten gilt:
˙nA=kG(cA,G −H·cA,L) (3.14)
Aus einfachen Umrechnungen ergibt sich kLzu
1
kL
=1
βL
+1
H·βG
(3.15)
1
kG
=1
βG
+H
βL
(3.16)
Die Annahme der laminaren Grenzschicht ist jedoch nicht immer gerechtfertigt.
So k¨
onnen in turbulenten Str¨
omungen turbulente Str¨
omungsballen bis an die Pha-
sengrenzfl¨
ache transportiert werden und somit die Bildung einer laminaren Grenz-
schicht verhindern. Ebenfalls kann die laminare Grenzschicht durch Grenzfl¨
achen-
turbulenz verhindert werden (Brauer 1971b). Problematisch erweisen sich auch
die Bestimmung der Grenzschichtdicken δi. Experimentelle Untersuchungen zeigen,
daß der ¨
ubergehende Stoffstrom nicht proportional zu dem Diffusionskoeffizient
ist. Diese Tatsache wird in neueren Theorien ber¨
ucksichtigt. Eine davon ist die
Penetrations-Theorie.
3.3. Penetrations-Theorie
Die Penetrationshypothese basiert auf der Arbeit von Higbie (1935). Ihr liegt die
Vorstellung kurzer Kontaktzeiten zwischen Gas- und Fl¨
ussigkeitsballen zugrunde.
Danach gelangen Fluidballen aufgrund von Turbulenz aus dem Phaseninneren an
die Phasengrenze, verweilen dort f¨
ur eine kurze Zeit und werden durch andere
39
3. Stand des Wissens - Stofftransport
Flüssigphase
Gasphase
Phasengrenz-
fläche
A
t = t
0
t = t
1
y
Abbildung 3.4.: Prinzip der Penetrationshypothese an einer welligen Phasengrenz-
fl¨
ache.
Turbulenzenballen in die Kernphase verdr¨
angt. Der Diffusionsprozeß w¨
ahrend des
Kontakts mit der Phasengrenzfl¨
ache ist instation¨
ar. Verdeutlicht wird das Prinzip
der Penetrationshypothese anhand von Abbildung 3.4. Zum Zeitpunkt t=t0ge-
langt ein Fl¨
ussigkeitselement an die Grenzfl¨
ache. Es hat die Konzentration cA,∞,
die in hinreichend großem Abstand zur Phasengrenzfl¨
ache vorliegt. Bis zum Zeit-
punkt t=t1bleibt das Element an der Phasengrenzfl¨
ache, wo Komponente A
durch instation¨
are Diffusion in das Element eindringt. Danach gelangt das Element
wieder in die tieferen Bereiche der Fl¨
ussigkeit. Die Verweilzeit ist f¨
ur jedes Fl¨
ussig-
keitselement identisch. Daher wird die Penetrationshypothese h¨
aufig nur f¨
ur die
Beschreibung laminarer Str¨
omungen herangezogen (Brauer 1971b). Der Stofftrans-
port in die zur Phasengrenzfl¨
ache normale Richtung y kann mit dem 2. Fick’schen
Gesetz beschrieben werden:
∂cA
∂t =D∂2cA
∂ y2(3.17)
mit den zugeh¨
origen Anfangs- und Randbedingungen:
cA=cA,∞f¨
ur y > 0 und t=t0
cA=cA,PGF f¨
ur y= 0
cA=cA,∞f¨
ur y=∞
40
3.3. Penetrations-Theorie
Als L¨
osung ergibt sich f¨
ur die ¨
ortliche Konzentration:
cA−cA,∞
cA,PGF −cA,∞
= erfc y2
4D∆tPGF
1
2
(3.18)
mit der Verweilzeit an der Phasengrenzfl¨
ache ∆tPGF und dem Komplement der
Fehlerfunktion erfc. Sie lautet f¨
ur ein beliebiges Argument F
erfc(x)≡1−2
√πZF
0
e−x2dx (3.19)
Unter Verwendung des 1. Fick’schen Gesetzes und Gleichung (3.18) ergibt sich nach
Integration ¨
uber die Verweilzeit t0bis t1:
˙nA=4D
π∆tPGF (cA,P GF −cA,∞),(3.20)
bzw.
βL=r4D
π∆tPGF
(3.21)
W¨
ahrend in der Zwei-Film Theorie der Stoffstrom proportional zum Diffusionsko-
effizienten ist, ist er nach der Penetrations-Theorie proportional zu dessen Wur-
zel. H¨
aufig bew¨
ahrt hat sich die Penetrations-Theorie bei der Beschreibung der
Stoff¨
ubertragung in Rieselfilmen, Blasen und Tropfen (Mersmann 1985). F¨
ur auf-
steigende Blasen berechnet sich die Verweilzeit aus ∆tPGF =dB/wB. Eine we-
sentliche Voraussetzung f¨
ur die Penetrations-Theorie ist das Vorhandensein gerin-
ger Penetrationstiefen im Bereich konstanter Fluidgeschwindigkeit. Dies ist bei der
Anreicherung der Fl¨
ussigkeit mit ¨
ubergehendem Stoff jedoch nicht mehr gegeben.
Liegt zus¨
atzlich zum Stoff¨
ubergang noch eine schnelle chemische Reaktion vor, so
nimmt die Penetrationstiefe ab und die physikalischen Vorg¨
ange k¨
onnen i.A. gut
mit der Penetrations-Theorie beschrieben werden (Mersmann 1985).
Oberfl¨
achenerneuerungs-Theorie
Mittlerweile existieren in der Literatur eine Reihe von Erweiterungen der Penetra-
tions-Theorie. In der sogenannten Oberfl¨
achenerneuerungs-Theorie geht Dankwerts
(1951) von unterschiedlichen Verweilzeiten der an der Phasengrenzfl¨
ache in Kon-
takt tretenden Fluidelementen aus. Eine ausf¨
uhrliche mathematische Untersuchung
41
3. Stand des Wissens - Stofftransport
dieses Modells findet sich bei Desch und Pr¨
uß (1994). Ber¨
ucksichtigt werden die un-
terschiedlichen Verweilzeiten mit einer exponentiellen Verteilungsfunktion ψ:
ψ=s·e(−s·∆tPGF )(3.22)
Mit dem Genzfl¨
achenerneuerungsfaktor sergibt sich f¨
ur den fl¨
ussigkeitseitigen Stoff-
¨
ubergangskoeffizient βL:
βL=pDL·s(3.23)
Der Faktor ssetzt die pro Zeiteinheit erneuerte Fl¨
ache zur gesamten Phasengrenz-
fl¨
ache ins Verh¨
altnis, sein Wertebereich liegt zwischen 0 und 1. Aussagen ¨
uber den
Grenzfl¨
achenerneuerungsfaktor sk¨
onnen aus Experimenten oder aus diversen Tur-
bulenzmodellen gewonnen werden, z.B. dem Makrowirbelmodell von Pearson und
Fortescue (1967), dem Mikrowirbelmodell von Lamont und Scott (1970) oder dem
Wirbeldiffusionsmodell von Levich (1962).
In der Film-Penetrationstheorie kombinierten Torr und Marchello (1958) die Filmtheo-
rie nach Lewis und die Oberfl¨
achenerneuerungs-Theorie von Dankwerts (1951). Da-
nach gilt
βL=DL
π∆tPGF 1
2"1+2
∞
X
n=1
exp(−n2δL
DL·∆tPGF
)#(3.24)
F¨
ur kurze Verweilzeiten geht Gleichung(3.24) in Gleichung (3.21) und f¨
ur lange
Verweilzeiten in Gleichung (3.5)¨
uber.
3.4. Sherwood Korrelationen
F¨
ur praktische Anwendungen sind diese Theorien jedoch nicht immer geeignet,
da sie z.T. unbekannte Variablen enthalten, die abgesch¨
atzt oder angepaßt wer-
den m¨
ussen. Daher wird zur Beschreibung des Stoff¨
ubergangs aus einer Blase oder
einem Tropfen h¨
aufig die Sherwood-Zahl durch empirische Gleichungen, beispiels-
weise von der Form Sh = 2 + C1·RemScnwiedergegeben. Nachfolgend sollen hier
einige gel¨
aufige Ans¨
atze vorgestellt werden, die auf analytischen oder experimen-
tellen Untersuchungen basieren.
42
3.4. Sherwood Korrelationen
F¨
ur den Bereich der schleichenden Str¨
omung (Re < 1) gilt f¨
ur Sph¨
aren mit starrer
Oberfl¨
ache nach Brauer (1971b)
Sh = 2 + 0,33(Re ·Sc)0,84
1+0,331(Re ·Sc)0,507 (3.25)
und nach Glaeser und Brauer (1977)
Sh = 2 + 0,651(Re ·Sc)1,72
1+(Re ·Sc)1,22 (3.26)
F¨
ur ReSc →0 ergibt sich der theoretische Grenzwert von Sh = 2. F¨
ur ReSc → ∞
(d.h. Sc → ∞ da Re < 1) liefert Gleichung (3.26) den theoretischen Grenzwert von
Levich (1962)
Sh = 0,65(Re ·Sc)1
2(3.27)
F¨
ur den Fall der Potentialstr¨
omung um eine Kugelblase gilt nach Oellrich u. a.
(1973)
Sh = 2 + 0,232(Re ·Sc)1,72
1+0,205(Re ·Sc)1,22 (3.28)
F¨
ur formdynamische Blasen gilt nach Hong und Brauer (1984)
Sh = 2 + 1,5·10−2Re0,89Sc0,7.(3.29)
Durch Anpassung an eine große Zahl von Meßwerten erh¨
alt Brauer (1971b) eine
empirische Gleichung f¨
ur den Bereich von 1 ≤Re ≤5000 und 480 ≤Sc ≤1,37·107:
Sh = 2 + 9,45 ·10−4Re1,07Sc0,888.(3.30)
Einen guten ¨
Uberblick ¨
uber weitere Korrelationen f¨
ur die Stofftransportkoeffizien-
ten f¨
ur einzelne Tropfen liefern Kumar und Hartland (1999).
43
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung
Zur Validierung der Simulationen von aufsteigenden Blasen dienen Experimente an
Einzelblasen, die in einer Blasens¨
aule in ruhender Fl¨
ussigkeit aufsteigen. Durch-
gef¨
uhrt wurden die Experimente am Institut f¨
ur Umweltverfahrenstechnik (IUV)
der Universit¨
at Bremen.
4.1. Versuchsaufbau zur Untersuchung des
Blasenaufstiegs
Ziel der Versuche ist jeweils die Bestimmung der Aufstiegsgeschwindigkeit, der Bla-
senbahn und der Exzentrizit¨
at von verschiedenen Blasen in ruhender Fl¨
ussigkeit.
Die verwendete Anlage in Abbildung 4.1 besteht aus der Blasens¨
aule (B1) aus
Acrylglas, den Kapillaren zur Blasenerzeugung (D1 und D2) und zweier Schlauch-
pumpen (P1 und P2). Die zylindrische Blasens¨
aule hat einen Innendurchmesser von
190 mm und ist von einem quadratischen Temperiermantel umgeben. Dieser verhin-
dert zus¨
atzlich eine optische Verzerrung. Ein Deckel auf der Blasens¨
aule sorgt daf¨
ur,
daß Staub und andere Verschmutzungen nicht in das Wasser gelangen k¨
onnen. Die
Versuchsfl¨
ussigkeit kann ¨
uber das Ventil V1 abgelassen werden. In der Blasens¨
aule
sind Verschraubungen f¨
ur die beiden Kapillaren angebracht. Die Zuleitungen der
Kapillaren werden mit zwei Dreiwegeventilen versehen, ¨
uber die das Wasser ent-
weder in die Blasens¨
aule oder in den Abfluß geleitet werden kann. Die Aufnahmen
der Blasen und deren Bewegungen erfolgt ¨
uber zwei zueinander senkrecht angeord-
neten CCD-Kameras (K1 und K2), die ¨
uber einen Computer angesteuert werden.
Das Ausl¨
osen der CCD-Kameras erfolgt manuell. Die Beleuchtung der Versuchs-
anlage wird mit dem Durchlichtverfahren realisiert, d.h. zwei zueinander senkrecht
angeordneten Lichtplatten (L1 und L2) befinden sich jeweils hinter der Blasens¨
aule
45
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung
und gew¨
ahrleisteten eine homogene Durchleuchtung der Blasens¨
aule.
B1
P1
P2
D2
D1
V1
K1
K2
L1
V2
V3
Abbildung 4.1.: Versuchsanlage zur Untersuchung aufsteigender Luftblasen
4.2. Kalibrierung der Kameras
Um einen m¨
oglichst großen Bildbereich beider Kameras sicherzustellen, werden die
CCD-Kameras in einem Abstand von jeweils 92cm von den Kapillaren angeord-
net. Zur eigentlichen Kalibrierung wird eine aus zwei Meßleisten bestehende Vor-
richtung (s. Abbildung 4.2 ) in die Blasens¨
aule geh¨
angt. Die Meßleisten sind um
1cm gegeneinander in der Tiefe versetzt. Sie werden im Winkel von jeweils 45ozu
den Kameras positioniert, so daß sie von beiden Kameras simultan erfaßt werden
k¨
onnen. Der Bildausschnitt der Meßleisten, den die beiden Kameras liefern, soll
m¨
oglichst identisch eingestellt werden, um einen maximalen gemeinsamen Meßbe-
reich zu gew¨
ahrleisten.
46
4.3. Versuchsdurchf¨
uhrung
Abbildung 4.2.: Meßleiste und deren Positionierung
4.3. Versuchsdurchf¨
uhrung
Nach gr¨
undlicher, mehrmaliger Reinigung der gesamten Anlage erfolgt das langsa-
me Auff¨
ullen der Blasens¨
aule und der Leitungen mit bidestilliertem Wasser. Dieser
Vorgang dauert ca. 15 Minuten. Zum einen wird somit die durch das Bef¨
ullen ent-
stehende Turbulenz im Wasser gering gehalten, zum anderen wird das Wasser mit
Luft ges¨
attigt. Zus¨
atzlich wird das Wasser einige Minuten mit Luft begast. Da eine
Kontaminierung des Wassers durch Schmutzpartikel in der Luft und die Versuchs-
durchf¨
uhrung (z.B. durch die Temperaturmessung im Wasser) nicht auszuschließen
ist, wird das Wasser alle zwei Tage ausgetauscht. F¨
ur die eigentlichen Versuche
wird die Luft direkt ¨
uber der Wasseroberfl¨
ache eines Vorratsbeh¨
alters derart ange-
saugt, daß abwechselnd große Mengen an Wasser und kleine Mengen an Luft durch
die Schlauchpumpen gef¨
ordert werden. Die Pumpen transportieren die Luft bis in
die N¨
ahe der Dreiwegeventile V1 und V2. Das Wasser gelangt dabei nicht in die
Blasens¨
aule, sondern in den Abfluß. Dies hat den Vorteil, daß das Wasser nicht
in die Blasens¨
aule gelangt und somit dort keine Fl¨
ussigkeitsbewegungen induziert.
Nach Umstellen der Ventile f¨
ordern die Pumpen die Luft bis in die Kapillaren.
Da es sich hierbei nur um kleine Luftmengen handelte und der Zeitraum zwischen
Luftansaugung und der Ausl¨
osung der Blase ca. 5 Minuten betr¨
agt, kann hier von
einer S¨
attigung der Luft mit Wasserdampf ausgegangen werden. Die Steuerung der
Schlauchpumpen erfolgt derart, daß sie die Luft so weit f¨
ordern, daß eine Luftblase
auf den Kapillaren entsteht, die sich jedoch nicht abl¨
ost. Die Abl¨
osung der Luft-
47
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung
blase geschieht durch einen mechanischen Impuls. Gleichzeitig werden die Kameras
manuell aktiviert.
4.4. Methode zur Erfassung der Blasenbewegung
Der Aufstieg von Blasen ist ein transienter Vorgang, in dem lokale Ph¨
anomene eine
starke Rolle spielen. Die Untersuchung erfordert ein ber¨
uhrungsloses Meßverfahren
mit hoher zeitlicher und r¨
aumlicher Aufl¨
osung. Folgende Gr¨
oßen m¨
ussen durch die
Meßtechnik erfaßt werden:
•Blasengr¨
oße und Blasenform,
•Position und Bahnen der Blasen,
•Absolut- und Relativgeschwindigkeiten.
F¨
ur geringe Gasgehalte und f¨
ur die hier durchgef¨
uhrten Untersuchungen mit Ein-
zelblasen bieten sich optische Meßverfahren an. Zeitlich und ¨
ortlich hochaufl¨
osende
Kameras bieten den Vorteil, daß die Blasenform und physikalische Zusammenh¨
ange
qualitativ und Geschwindigkeitsvektoren quantitativ wiedergeben werden k¨
onnen.
Das hier verwendete Meßverfahren beruht auf dem Prinzip der 3D-Particle Tracking
Velocimetry (3D-PTV) und erf¨
ullt alle obigen Anforderungen.
Prinzip der 3D-Particle Tracking Velocimetry (3D-PTV)
Alle hier untersuchten Blasen haben einen Durchmesser von ¨
uber 2mm. Folglich
kann nicht mehr von sph¨
arischen oder rotationssymmetrischen Formen ausgegan-
gen werden. Die Aufstiegsbahnen variierten zwischen spiralf¨
ormigen, zickzackf¨
ormi-
gen Bewegungen oder einer Mischung aus beiden Bewegungsbahnen. Diese Tatsa-
chen erfordern eine r¨
aumlich und zeitlich hohe Aufl¨
osung. Die Erfassung der Bla-
senbewegung erfolgt durch zwei zueinander senkrecht zur Meßstrecke angeordnete
CCD-Kameras vom Typ TM 6701 der Firma Pulnix, die an einen MVFG-Inspecta
Grabber der Firma MIKROTRON, Echingen, angeschlossen sind (vgl. Abbildung
4.2).
48
4.4. Methode zur Erfassung der Blasenbewegung
Die Kameras zeichnen Bilder von jeweils 648x484 Pixeln mit 60 Aufnahmen pro
Sekunde auf. Durch ein in der Programmiersprache C verfaßtes Hilfsprogramm wer-
den die aufgenommenen Bilder in den Bildspeicher geschachtelt. Dabei werden die
CCD-Chips der beiden Kameras abwechselnd ausgelesen und zwei Bilder synchron
in den Bildspeicher geschachtelt. Dadurch k¨
onnen die Bilder abwechselnd chrono-
logisch aufgerufen werden. Eine besondere Implementierung zweier unabh¨
angiger
Bildspeicher erm¨
oglicht eine hohe Aufnahmegeschwindigkeit bei 60 Bildern pro Se-
kunde. Die CPU des Rechners verf¨
ugt st¨
andig ¨
uber uneingeschr¨
ankten, wahlfreien
Zugriff auf die Bilddaten in einem der beiden Speicherbl¨
ocke, w¨
ahrend in dem ande-
ren neue Bilddaten aufgenommen werden. Nachdem aus dem lokalen Bildspeicher
von 32 MB die Daten in den Arbeitsspeicher von ebenfalls 32 MB ¨
ubertragen wor-
den, k¨
onnen die Doppelbilder zur weiteren Verarbeitung abgespeichert werden. Die
Aufnahmezeit von ca. 25 Millisekunden reicht aus, um die Blasen durch den Bild-
ausschnitt vollst¨
andig zu verfolgen.
Bildanalytische Auswertung
Das verwendete System zeichnete pro Kamera jeweils 25 Bilder pro beobachteter
Blase auf. Unter Verwendung des halbautomatischen Programms OPTIMAS der
Firma Bio Scan Incorporation zur Bildanalyse werden folgende Charakteristika der
Blasen ausgewertet:
•Blasen¨
aquivalentdurchmesser,
•Blasenform,
•Blasenaufstiegsgeschwindigkeit,
•Fl¨
achenschwerpunkte.
Das Programm liest die zuvor f¨
ur die Kalibrierung gemachten Aufnahmen der Meß-
leisten ein und vermißt diese bildanalytisch. Das Programm rechnet dann Pixel-
gr¨
oßen in L¨
angenmaße um. Bedingt durch die Tatsache, daß die beiden Meßleisten
um 1cm versetzt angeordnet sind und aus zwei Perspektiven aufgenommen wer-
den, ist der Meßbereich pro Meßleiste unterschiedlich groß auf den Kalibrierbildern
dargestellt. So entspricht auf dem Bild der Meßleiste eine reale Distanz von 8cm
49
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung
auf der vorderen 9,432 und auf der hinteren 9,591 L¨
angeneinheiten. Da eine nicht
geradlinig aufsteigende Blase sich innerhalb eines gr¨
oßeren Bereichs bewegt ist es
nicht m¨
oglich, diesen Fehler zu korrigieren. Folglich sind alle Auswertungen mit
einem Fehler von 1,7% behaftet.
Nach der Kalibrierung wird in einem zuvor festgelegten Bereich in OPTIMAS
anhand eines Grauwertgradienten die Blasenkontur automatisch ermittelt. Ggf.
m¨
ussen falsch erkannte Blasen manuell eingezeichnet oder gel¨
oscht werden. Anhand
der erkannten Blasenform und Position k¨
onnen dann obige Blasencharakteristika
bestimmt und in eine Datei geschrieben werden. Die Auswertungen der Versuche
basieren auf den nachfolgende Grundlagen.
Bestimmung des ¨
Aquivalentdurchmessers
Der ¨
Aquivalentdurchmesser dBgibt den Durchmesser einer volumengleichen Kugel
wieder. Die besondere Problematik der Bestimmung des ¨
Aquivalentdurchmessers
liegt darin, daß sich die Blasen st¨
andig regellos verformen und somit permanent
eine ver¨
anderliche Projektionsfl¨
ache liefern. Unter der Annahme der Rotationssym-
metrie kann mit Hilfe der Projektionsfl¨
achen und der 2. Guldinschen Regel das
Volumen bestimmt werden:
Die 2. Guldinsche Regel besagt, daß das Volumen eines Rotationsk¨
orpers aus dem
Produkt des Fl¨
acheninhaltes AFder durch die Rotationsachse halbierten Fl¨
ache
und dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Fl¨
ache SFbei einer vol-
len Umdrehung beschreibt, berechnet werden kann (s. Abbildung 4.3) (Beitz und
K¨
uttner 1995). Die Rotationsachse verl¨
auft dabei durch das Volumen.
Das Programm OPTIMAS bestimmt den Fl¨
acheninhalt AFdurch Aufsummie-
rung der Pixel innerhalb der zuvor bestimmten Blasenkontur. Die Bestimmung des
Abstandes rzwischen dem Fl¨
achenschwerpunkt SFder halbierten Fl¨
ache und der
Rotationsachse erfolgt durch Subtraktion der vertikalen Schwerpunktkoordinaten
von der Gesamtfl¨
ache und der halbierten Fl¨
ache (vgl. Abbildung 4.3).
Mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel
V=AF2π r (4.1)
50
4.4. Methode zur Erfassung der Blasenbewegung
S
F
r
x
y
b
h
Abbildung 4.3.: Volumenberechnung eines rotationssymmetrischen K¨
orpers aus einer
2D-Ansicht mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel
kann der ¨
aquivalente Durchmesser einer volumengleichen Kugel wie folgt berechnet
werden:
dB=3
r6V
π=3
p12 AFr(4.2)
Bedingt durch die Tatsache, daß Wasser eine geringe Viskosit¨
at aufweist, weisen
Blasen ab einer bestimmten Gr¨
oße formdynamische Oberfl¨
achen auf. Die Guldin-
sche Regel ist hier nur noch beschr¨
ankt anwendbar. Charakterisiert wird die 2D
Projektion der Blasenform durch die Exzentrizit¨
at E, die das Verh¨
altnis der maxi-
male Blasenbreite b zur maximalen H¨
ohe h angibt:
E=b
h(4.3)
Die Differenz zwischen den Absolutwerten der horizontalen Blasendurchmesser bei-
der Kameraansichten liefert die Abweichung xrot von der Rotationssymmetrie gem¨
aß
folgendem Zusammenhang:
xrot =|dhor,A −dhor,B |(4.4)
Je kleiner die Abweichung, desto besser greift die 2. Guldinsche Regel.
51
4. Versuchsaufbau und -durchf¨
uhrung
Ermittlung der Blasenkoordinaten und der Blasenaufstiegsgeschwindigkeit
Die senkrechte Anordnung der beiden Kameras und die Kenntnis der Fl¨
achen-
schwerpunktkoordinaten erm¨
oglichen aufgrund der identischen z-Koordinate ei-
ne eindeutige r¨
aumliche Zuordnung f¨
ur jedes Bilderpaar einer Aufnahmesequenz.
Durch die Kenntnis des Blasenvolumenschwerpunktes k¨
onnen somit die Blasenbe-
wegungsbahnen innerhalb einer Sequenz rekonstruiert werden. Da die Aufnahme-
frequenz der Kamera mit fBW F = 60 Hz bekannt ist, lassen sich aus den bekannten
r¨
aumlichen Koordinatendifferenzen (∆x, ∆y, ∆z) die Absolutgeschwindigkeiten in
allen drei Raumrichtungen nach folgenden einfachen Beziehungen wx=fBW F ∆x,
wy=fBW F ∆yund wz=fBW F ∆zerrechnen. Die mit der Versuchsanlage durch-
gef¨
uhrten Experimente werden im anschließenden Kapitel vorgestellt. Die Auswer-
tungen beruhen auf den obigen Grundlagen.
52
5. Experimente
Mit der zuvor beschriebenen Versuchsanlage werden die Blasen zun¨
achst mit einer
d¨
unnen Glaskapillare (di= 0,38mm) erzeugt. Die so erzeugten Blasen weisen eine
sehr enge Gr¨
oßenverteilung von dB= 3,0−3,5mm auf. Ihre Aufstiegsgeschwindig-
keit ist zwar hoch, doch liegen die Werte unterhalb der f¨
ur reines Wasser zu erwar-
tenden Werte. Nach einer Reihe von Durchl¨
aufen wird ein gr¨
oßerer D¨
usendurchmes-
ser (di= 3,1mm) f¨
ur die Blasenerzeugung gew¨
ahlt, um eine weitere Gr¨
oßenvertei-
lung zu gew¨
ahrleisten. Die mit der dickeren D¨
use erzeugten Blasen zeigen eine viel
breiteres Durchmesserspektrum. Dieser variiert zwischen dB= 2,7−6,5mm. Auch
liegt eine viel gr¨
oßere Streuung der Aufstiegsgeschwindigkeit vor (s. Abbildung
5.1). Ein direkter Vergleich der Geschwindigkeiten f¨
ur Blasen mit einem Durch-
2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
14
16
18
20
22
24
26
d
i
=3,10 mm
d
i
=0,38 mm
Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
Blasendurchmesser d
B
/mm
Abbildung 5.1.: Aufstiegsgeschwindigkeiten von Einzelblasen in reinem Wassers
53
5. Experimente
messer von dB= 3mm zeigt stark unterschiedliche Werte in direkter Abh¨
angigkeit
des D¨
usendurchmessers di. Die Bestimmung der Aufstiegsgeschwindigkeit erfolgt
in einem Bereich von 8 −18cm oberhalb der D¨
use; in diesem Bereich haben alle
untersuchten Blasen ihre station¨
are Geschwindigkeit in guter N¨
aherung erreicht.
Der Unterschied muß folglich mit der Blasenerzeugung verbunden sein. Die sche-
matische Darstellung in Abbildung 5.2 zeigt die Blasenform kurz vor dem Abl¨
osen
von der D¨
use. Bei der d¨
unnen D¨
use ist die Blase stark deformiert und gestreckt.
Abbildung 5.2.: Blasenform unmittelbar vor dem Abl¨
osen von den zwei unterschiedli-
chen D¨
usen.
Nach unten bildet sich ein langgestreckter Bereich aus. Hingegen weist die Bla-
se bei gr¨
oßerem D¨
usendurchmesser eine wesentlich rundere Anfangsform auf. Eine
st¨
arkere Anfangsdeformation f¨
uhrt also zu h¨
oherem Aufstiegsgeschwindigkeiten.
Geringere Aufstiegsgeschwindigkeiten werden typischerweise auf Verschmutzungen
im System zur¨
uckgef¨
uhrt. Die hier gezeigten Ergebnisse sind jedoch teilweise am
gleichen Tag in identischer Fl¨
ussigkeit durchgef¨
uhrt worden, so daß das unterschied-
liche Verhalten nicht auf Verschmutzungen zur¨
uckzuf¨
uhren ist.
Diese Beobachtungen decken sich mit denen von Tomiyama u. a. (2002) gemach-
ten. Schl¨
uter (2002) f¨
uhrte an einer ¨
ahnlichen Anlage mit identischer Meßtechnik
Messungen zur Aufstiegsgeschwindigkeit in Leitungswasser durch. Das Bremer Lei-
tungswasser hat einen hohen Reinheitsgrad (1 Grad dt. H¨
arte). Demnach m¨
ußten
die Aufstiegsgeschwindigkeiten nahe denen von reinem Wasser sein. Die Ergebnis-
se von Schl¨
uter sind zusammen mit eigenen Meßwerten in das Diagramm nach
Clift u. a. (1978) eingef¨
ugt. Dargestellt sind nur die beiden Berandungskurven nach
Gaudin (1957). Die experimentellen Werte f¨
ur reines Wasser streuen um die obe-
re Kurve (vgl. Abbildung 2.3). Wie aus Abbildung 5.3 zu entnehmen ist, liegen
Schl¨
uters Meßwerte noch ¨
uber denen von Clift u. a. f¨
ur reines Wasser. Messungen
54
Schl¨
uters in tensidhaltigem Wasser (σ= 0,033N/m) liegen im Bereich der eigenen
Messungen f¨
ur destilliertes Wasser. Da die Luftblasen von Schl¨
uter mit Schnell-
Sphärisches
Regime
Sphärisches
Kappenregime
Ellipsoides Regime
Oszillationsbeginn
verschmutztes
Wasser
reines
Wasser
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
Aufstiegsgeschwindigkeit w
B /
cm/s
Meßergebnisse mit 3D-PTV
Destilliertes Wasser
Leitungswasser (Schlüter)
Leitungswasser mit Tensid (Schlüter)
Abbildung 5.3.: Experimentell ermittelte Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur Luftblasen in
reinem und verschmutzten Wasser.
schlußventilen erzeugt werden, ist anzunehmen, daß beim Schließen der Ventile die
Blasen einer starken Deformation unterworfen werden, was zu diesen f¨
ur Leitungs-
wasser sehr hohen Geschwindigkeiten f¨
uhrt. Diesen Ergebnissen zufolge, hat die Art
der Blasenerzeugung einen wesentlich gr¨
oßeren Einfluß als bisher angenommen. Er
liegt in der Gr¨
oßenordnung des Einflusses der Verschmutzung des Wassers.
Die gemessenen Werte sollen nun mit den Modellen zur Vorausbestimmung der
Aufstiegsgeschwindigkeit verglichen werden. Dazu werden zus¨
atzlich Meßergebnisse
der Aufstiegsgeschwindigkeiten von Einzelblasen f¨
ur unterschiedliche Durchmesser
von Duineveld (1995) in hochreinem Wasser in den drei folgenden Abbildungen
eingef¨
ugt. Zus¨
atzlich sind noch Messungen von Schl¨
uter in w¨
aßriger Tensidl¨
osung
eingezeichnet (σ= 0,033N/m). Die Abbildungen 5.4 bis 5.6 zeigen die in Kapitel
2.2.1 beschriebenen Modelle zur Bestimmung der Aufstiegsgeschwindigkeit. Hierin
55
5. Experimente
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
stat. Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
(1) (2)(3) (4)
(5)
(6)
(7)
Abbildung 5.4.: Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindigkei-
ten und Modellen zu deren Vorausbestimmung.
stellt wiederum die obere Begrenzungskurve des grauen Bereichs die Aufstiegsge-
schwindigkeiten in reinem Wasser dar, w¨
ahrend die untere Begrenzungskurve bei
stark kontaminierten Systemen Anwendung findet. Die obere Begrenzungskurve
kann sehr gut f¨
ur den Bereich dB>1,3mm durch die Wellengleichung nach To-
miyama u. a. (Gleichung 2.31) mit Kurve (1) wiedergegeben werden (s. Abbildung
5.4). F¨
ur schleichende Str¨
omungen (Re < 1) gelten die Modelle nach Stokes (Glei-
chung 2.16) (Kurve 2), Hadamard und Rybczynski (Gleichung 2.19) (Kurve 3) und
Levich (Gleichung 2.21) (Kurve 4). F¨
ur den dargestellten Bereich (dB>0,2mm)
haben diese Modelle keine G¨
ultigkeit mehr. Jamialahmadi u. a. verkn¨
upfen in ihren
beiden Ans¨
atzen (Gleichung 2.37) die Wellengleichung und die Modelle von Stokes
und Hadamard und Rybszynski (s. Kurven 5 und 6). Es wird jedoch deutlich, daß
die gute ¨
Ubereinstimmung zwischen Modell und Meßverwerten bei Jamialahmadi
u. a. auf die Art der Skalierung der Diagramme der Autoren zur¨
uckzuf¨
uhren ist.
Die maximale Geschwindigkeit wird bei beiden Ans¨
atzen f¨
ur viel zu kleine Durch-
56
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
stat. Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
(1) (4)
(8)
(9)
(10)
Abbildung 5.5.: Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindigkei-
ten und Modellen zu deren Vorausbestimmung.
messer vorhergesagt. Auch liegen die Geschwindigkeiten f¨
ur sph¨
arische Blasen weit
oberhalb der Meßwerte. Ein eigener Vorschlag (Kurve 7), die Verkn¨
upfung der Wel-
lengleichung mit dem Modell von Levich (Gleichung 2.21) liefert ¨
uber weite Bereiche
wesentlich bessere Ergebnisse. Jedoch sind alle drei Modelle kaum in der Lage, die
Geschwindigkeiten der Experimente von Duineveld und Clift at al. f¨
ur Durchmesser
dB<2mm gut anzun¨
ahern.
¨
Ahnliche Ergebnisse wie in dem letztgenannten Modell liefert das Modell nach Fan
(Gleichung 2.35) f¨
ur destilliertes Wasser (Kurve 8) in Abbildung 5.5. Durch die
verschiedenen Anpassungsparameter in diesem Modell k¨
onnen zus¨
atzlich die Ge-
schwindigkeiten f¨
ur Leitungswasser (Kurve 9) und kontaminiertes Wasser (Kurve
10) beschrieben werden. Wie der Abbildung zu entnehmen ist, k¨
onnen die Meßwerte
von Schl¨
uter f¨
ur Leitungswasser und die eigenen Messungen in reinem Wasser mit
starker Anfangsdeformation gut mit dem Ansatz von Fan f¨
ur reines Wasser wieder-
gegeben werden. Der einzige Schwachpunkt des Modells liegt darin, daß im Bereich
57
5. Experimente
von dB= 0,7−2,0mm gr¨
oßeren Abweichungen bis zu 10cm/s in den Experimenten
von Duineveld und Clift in hochreinem Wasser vorliegen. Der große Vorteil dieses
Ansatzes ist aber, daß tensidhaltige L¨
osungen gut wiedergegeben werden k¨
onnen
(vgl. Experiment Schl¨
uter und Kurve (10) in Abbildung 5.5). Die eigenen Messun-
gen mit geringen Anfangsdeformationen liegen z.T. unterhalb des Ansatzes von Fan
f¨
ur Leitungswasser (Kurve 9). Abbildung 5.6 zeigt weitere Modelle zur Bestimmung
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
stat. Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
(1)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
Abbildung 5.6.: Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindigkei-
ten und Modellen zu deren Vorausbestimmung.
der Aufstiegsgeschwindigkeit. Kurve (11) stellt den Ansatz von Churchill (Gleichung
2.38) dar. Dieses Modell ist als einziges in der Lage, die angegebenen Aufstiegsge-
schwindigkeiten in Abh¨
angigkeit des Durchmessers von Duineveld, Schl¨
uter, Clift u.
a. und aus eigenen Messungen ann¨
ahernd korrekt wiederzugeben. Allerdings weist
auch dieses Modell f¨
ur kleinere Blasen Abweichungen zu den Experimenten auf.
Gleiches gilt f¨
ur das abschnittsweise definierte Modell nach Brauer (Kurve 12). Das
Modell ist in der Lage, die Geschwindigkeiten in einem Bereich von dBB= 2−4mm
gut wiederzugeben.
Im Bereich von dB= 0,5−2mm und 4 −20mm sagt das Modell zu geringe Ge-
58
schwindigkeiten voraus. Die Kurven (13)-(15) entsprechen den aus den Modellen
von Tomiyama u. a. berechneten Geschwindigkeiten f¨
ur sauberes (Gleichung 2.32),
leicht (Gleichung 2.33)und stark kontaminiertes Wasser (Gleichung 2.34). Abbil-
dung 5.6 ist zu entnehmen, daß der Ansatz f¨
ur reines Wasser f¨
ur dB<1mm die
Meßwerte von Duineveld gut wiedergeben. Die Kurve (14) gibt den von Clift u.
a. angegebenen Verlauf der Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur reines Wasser sehr gut
wieder, obwohl sie f¨
ur leicht kontaminiertes Wasser g¨
ultig ist. Ist das Wasser stark
kontaminiert, lassen sich die Geschwindigkeiten bis zu einem Durchmesser von etwa
1mm sehr gut mit dem Modell f¨
ur stark verschmutzte Systeme bestimmen (Kurve
15). Durchmesser gr¨
oßer als 1mm werden zu hoch vorausgesagt. Ab einem Durch-
messer von ca. 2,5mm sagt das Modell die nach der Wellengleichung berechneten
Geschwindigkeiten voraus.
Zusammenfassend l¨
aßt sich feststellen, daß die Aufstiegsgeschwindigkeiten sich sehr
gut ¨
uber den gesamten Bereich mit dem Ansatz von Churchill (Gleichung 2.38)
vorhersagen lassen. Ebenfalls gute Ergebnisse liefert das Modell von Tomiyama u.
a. vor allem f¨
ur saubere Systeme. Als nachteilhaft erweist sich die Tatsache, daß
die Geschwindigkeiten erst aufwendig aus den abschnittsweise deformierten Wider-
standsbewegungen berechnet werden m¨
ussen, w¨
ahrend die Gleichung von Churchill
direkt anwendbar ist.
Eng an die Geschwindigkeiten gekoppelt sind die Widerstandsbeiwerte CDder Bla-
sen. Abbildung 5.7 gibt die Widerstandsbeiwerte als Funktion der Reynolds-Zahl Re
wieder. Zus¨
atzlich sind noch die Meßwerte von Duineveld, Schl¨
uter und eigene Mes-
sungen dargestellt. Im Gegensatz zur Bestimmung der Aufstiegsgeschwindigkeiten
liegen hierf¨
ur in der Literatur nur wenig Ans¨
atze vor. Das abschnittsweise definierte
Modell von Brauer (Kurve 1) ist in der Lage die experimentellen Widerstandsbei-
werte sehr gut wiederzugeben. Lediglich im Bereich von Re = 400 −700 liegen die
vorhergesagten Werte unter den experimentellen. Das Modell von Tomiyama u. a.
(Kurve 2) f¨
ur reine Systeme ist in der Lage f¨
ur Re < 500 die Widerstandsbeiwer-
te korrekt wiederzugeben. F¨
ur gr¨
oßere Reynolds-Zahlen weichen Experiment und
Modell z.T. stark voneinander ab, obwohl der Trend qualitativ gut wiedergegeben
59
5. Experimente
0,1 1
10
100
1000
10000
0,1
1
10
100
Schlüter
Duineveld
d
i
=3,1 mm
d
i
=0,38 mm
Widerstandsbeiwert C
D
/ -
Reynolds-Zahl Re / -
(1)
(4)
(4)
(2)
(2)
(3)
(3)
Abbildung 5.7.: Vergleich zwischen experimentell ermittelten Widerstandsbeiwerten
und Modellen zu deren Vorausbestimmung.
wird. Mit dem Modell von Fan und Tsuchiya (Kurve 3) werden die Widerstandsbei-
werte bis zu einer Reynolds-Zahl von Re ≈700 zu hoch vorhergesagt. F¨
ur h¨
ohere
Reynolds-Zahlen kann eine gute ¨
Ubereinstimmung mit den Experimenten festge-
stellt werden. Kurve (4) stellt das Modell von Churchill dar. Als sehr nachteilhaft
erweist sich die Tatsache, daß die von Churchill angegebene Gleichung nicht explizit
nach dem Widerstandsbeiwert aufl¨
osbar ist. Wie auch schon f¨
ur Kurve (3) stellen
die dargestellten Werte nur die mit Hilfe der Gleichungen (2.12) berechneten Werte
dar.
Der Einfluß der Blasenerzeugung erstreckt sich jedoch nicht nur auf die Geschwin-
digkeiten, sondern auch auf die Bewegungsbahnen und Blasenform, was aus Ab-
bildung 5.8 ersichtlich wird. Die Abbildung zeigt eine Sequenz der mit den CCD-
Kameras gemachten Aufnahmen f¨
ur nahezu identische Blasen¨
aquivalentdurchmes-
ser. Aus der Abbildung wird nicht nur ersichtlich, daß die Blase mit st¨
arkerer An-
fangsdeformation schneller aufsteigt, sondern auch gr¨
oßere, horizontale Auslenkun-
gen zeigt. Zus¨
atzlich zu der gr¨
oßeren vertikalen Geschwindigkeit kommt also noch
eine gr¨
oßere horizontale Geschwindigkeit. Die Blase hat also eine viel gr¨
oßere ki-
60
Abbildung 5.8.: Auswirkungen der Anfangsdeformation auf Blasenbahn und Bla-
senform einer 3mm Blase. links: starke Anfangsformation, (wB=
25,94cm/s;h/b = 0,53), rechts: geringe Anfangsdeformation (wB=
20,16cm/s;h/b = 0,89).
netische Energie als eine anfangs gering verformte. Eine m¨
ogliche Ursache k¨
onnte
die gr¨
oßere Oberfl¨
achenenergie bei der Blasenerzeugung sein. Weiterhin ist gut zu
erkennen, daß die Blase mit anfangs geringer Deformation eine wesentlich rundere
Form w¨
ahrend des Aufstiegs vorweist, w¨
ahrend die starke Anfangsdeformation sich
in einer abgeflachteren Blasenform ¨
außert.
Die Beobachtung der gr¨
oßeren horizontalen Auslenkung kann auch f¨
ur die anderen
Blasen vergleichbaren Durchmessers best¨
atigt werden. Abbildung 5.9 zeigt in einer
Draufsicht expemplarische Bewegungsbahnen von gemessenen Blasen im Bereich
61
5. Experimente
von dB= 2,7−3,8mm. Alle Blasen werden in der Mitte der S¨
aule erzeugt. Zur
besseren Unterscheidung werden die Trajektorien jeweils in der Abbildung verscho-
ben. Im rechten Teil befinden sich die Blasen mit st¨
arkeren Anfangsdeformationen.
2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
d
i
=3,10 mm
d
i
=0,38 mm
z-Position / cm
y-Position / cm
Abbildung 5.9.: Bewegungsbahnen der Blasen von dB= 2−4mm f¨
ur zwei unterschied-
liche D¨
usendurchmesser di. Links: di= 0,38mm, rechts di= 3,1mm.
Der Abbildung ist zu entnehmen, daß alle anfangs st¨
arker deformierten Blasen ei-
ne st¨
arkere horizontale Auslenkungen erfahren. Alle Blasen bewegen sich auf dem
f¨
ur diesen Bereich ¨
ublichen Zickzack Bahnen. (vgl. Kapitel 2.2.3). Bei einer Blase
dB= 3,8mm kann jedoch bereits der ¨
Ubergang von der Zickzack- zu der helikalen
Aufstiegsbahn beobachtet werden.
Ein weiterer interessanter Aspekt ist die Exzentrizit¨
at der erzeugten Blasen. Nach-
folgend soll dazu der Kehrwert der Exzentrizit¨
at - das Verh¨
altnis von maximaler
Blasenh¨
ohe zum maximalen Blasenbreite - betrachtet werden. Wie bereits in der
Abbildung 5.8 ersichtlich, behalten die anfangs st¨
arker deformierten Blasen ihre
Deformation bei.
Ein Vergleich der Durchmesserverh¨
altnisse der Blasen im Bereich von dB= 2,4−
62
3,8mm zeigt einen signifikanten Einfluß der Blasenerzeugung auf die Blasenform.
Eine tabellarische ¨
Ubersicht ¨
uber Aufstiegsgeschwindigkeit und Form der jeweiligen
Blasen findet sich im Anhang. Wie aus der Tabelle A.1 zu entnehmen ist, steigen
die Blasen aus D¨
use 1 (di= 0,38mm), d.h. mit einer gr¨
oßeren Anfangsdeformation-
nicht nur schneller auf, sondern haben auch ein wesentlich geringeres Durchmes-
serverh¨
altnis h/b. Diese Beobachtung deckt sich auch mit experimentellen Ergeb-
nissen von Tomiyama u. a. (2002). Sie ist insofern verwunderlich, weil die Blasen
breiter sind und somit einen gr¨
oßeren Anstr¨
omquerschnitt, bzw. Str¨
omungswider-
stand darstellen. Demnach m¨
ußten sie langsamer aufsteigen. In Abbildung 5.10 sind
0 2 4 6 8
10 12 14 16
0,25
0,50
0,75
1,00
h
b
Tadaki (rein)
Fan (rein)
Vakhrushev (unrein)
Ta=Re Mo
0,23
d
i
= 3,10 mm
d
i
= 0,38 mm
h / b / -
Tadaki-Zahl Ta / -
Abbildung 5.10.: Vergleich zwischen experimentell ermittelten Durchmesserverh¨
altnis-
se und Modellen zu deren Vorausbestimmung.
die Durchmesserverh¨
altnisse Korrelationen aus der Literatur gegen¨
ubergestellt. Die
Tadaki-Zahl berechnet sich gem¨
aß Ta =Re ·Mo0,23. Der Abbildung ist zu entneh-
men, daß anfangs st¨
arker deformierte Blasen (di= 0,38mm) sich nicht nur in der
Aufstiegsgeschwindigkeit, sondern auch im Durchmesserverh¨
altnis wie Blasen in
reinem Wasser verhalten. Die h/b-Werte sind in guter ¨
Ubereinstimmung mit der
Korrelation von Fan und Tsuchiya (Gleichung 2.50), die f¨
ur reines Wasser gilt. Viele
der Werte der anfangs geringer deformierten Blase k¨
onnen sehr gut mit den Kor-
63
5. Experimente
relationen nach Tadaki (Gleichung 2.48) und Vakhrusev und Efremov (Gleichung
2.49) beschrieben werden. Laut Fan und Tsuchiya gelten diese Korrelationen f¨
ur
verschmutztes Wasser. Die Werte, die auf den oberen beiden Kurven liegen ent-
sprechen den geringeren Geschwindigkeiten in Abbildung 5.1. Der stark gestreute
Bereich innerhalb von Ta ≈4−5 in Abbildung 5.10 entspricht dem ebenfalls stark
gestreuten Bereich der schnelleren aufsteigenden Blasen in Abbildung 5.1. Demnach
m¨
ussen diese Blasen bei ihrer Erzeugung st¨
arker deformiert gewesen sein, was mit
den h¨
oheren Aufstiegsgeschwindigkeiten und den geringeren Durchmesserverh¨
alt-
nissen zu erkl¨
aren ist.
Ein weiterer interessanter Aspekt beim Aufstieg von gr¨
oßeren Blasen ist das Auftre-
ten von Oberfl¨
ache- bzw. Kapillarwellen. Ihre Entstehung l¨
aßt sich nach Tsuchiya
u. a. (2001) wie folgt erkl¨
aren: Wird der untere Rand der Blase von der Str¨
omung
stark nach unten gezogen, wird die Blase dort sehr d¨
unn. Dies geht mit einer star-
ken Erh¨
ohung der lokalen Kr¨
ummung (1/r) und somit auch der Oberfl¨
achenspan-
nungskr¨
afte (σ/r) einher. Reduziert sich die durch die Str¨
omung ausge¨
ubte Kraft
auf diesen Bereich der Blase, schnellt der zuvor gestreckte Bereich zur¨
uck und l¨
ost
damit die Oberfl¨
achenwellen aus, die sich entlang der Blase bis zum obersten Punkt
der Blase ausbreiten. Der kritische Radius l¨
aßt sich aus rkrit =σ/ρw2absch¨
atzen
(Tsuchiya u. a. 2003). F¨
ur den Fall einer Luftblase in Wasser betr¨
agt er etwa 1mm.
Die Wellenl¨
ange betr¨
agt etwa 1/4−1/3 der Blasenh¨
ohe und breitet sich mit etwa
1/4−3/4 der Blasengeschwindigkeit entlang der Blasenoberlf¨
ache aus. Diese Wel-
len werden nur bei Blasendurchmesser gr¨
oßer 4mm beobachtet. F¨
ur eine 6,5mm
Blase konnten diese Wellen in den Experimenten beobachtet werden, wie aus Ab-
bildung 5.11 hervorgeht. Dort ist in einer Bildsequenz die aufsteigende 6,5mm
Blase zu sehen. Im untersten Teil der Abbildung ist die Blase stark deformiert zu
sehen. In diesem Zustand bildet sich beim Zur¨
uckschnellen der starken Deformation
die Oberfl¨
achenwelle (gekennzeichnet durch den Pfeil). Diese bewegt sich entlang
der Blasenoberfl¨
ache zum obersten Punkt der Blase, wo sie schließlich abged¨
ampft
wird. Zu diesem Zeitpunkt ist die Blase durch die Str¨
omung an der gegen¨
uberlie-
genden Seite wiederum stark gestreckt. Das Fortschreiten der Oberfl¨
achenwelle auf
der Blasenvorderseite f¨
uhrt zur Bildung von kleinen Wirbeln in der Fl¨
ussigphase,
64
Abbildung 5.11.: Fortschreiten einer Oberfl¨
achenwelle auf einer 6,5mm Blase.
die zur Verbesserung des Stofftransports beitragen. Mit Hilfe von detaillierten Be-
obachtungen durch eine Hochgeschwindigkeitskamera konnten Tsuchiya u. a. eine
lose Kopplung der Oberfl¨
achenwellenentstehung mit den Bahnzyklen der Blasen
feststellen.
65
6. Stand des Wissens - Simulation
F¨
ur die numerische Simulation zur Berechnung von Zweiphasenstr¨
omungen mit
dispergierten Blasen gibt es eine Reihe von verschiedenen Ans¨
atzen, von denen die
vier g¨
angigsten nachfolgend kurz vorgestellt werden sollen. Auf die Resultate der
Simulation aufsteigender Blasen wird im weiteren Verlauf dieses Kapitels n¨
aher
eingegangen.
6.1. Ans¨
atze zur Simulation von Blasenstr¨
omungen
Tomiyama (1998) schl¨
agt vier unterschiedliche Ans¨
atze bzw. Strategien von numeri-
schen Methoden f¨
ur ”Computational Bubble Dynamics” vor. Als Unterscheidungs-
und Bewertungskriterien gelten die r¨
aumliche Aufl¨
osung und die Anwendbarkeit
auf praktische Probleme. Jede dieser Methoden hat ihre eigenen Vor- und Nachtei-
le und muß als Erg¨
anzung zu den jeweils anderen Methoden betrachtet werden.
Gemittelte Methoden
Die gr¨
oßte Anwendbarkeit auf praktische ingenieurtechnische Probleme bieten die
gemittelten Methoden. Ihre Genauigkeit hingegen h¨
angt stark von den verwendeten
empirischen konstituierenden Gleichungen ab. Typische Vertreter dieser Methoden
sind beispielsweise das Two Fluid, das Euler-Euler oder (N+1) Fluid Modell. Diese
Modelle erm¨
oglichen die Ber¨
ucksichtigung von Grenzfl¨
achen-Kopplungen, Blasen-
gr¨
oßenverteilungen und die Anwendbarkeit auf komplexen Geometrien (Tomiyama
1998). Schwierig ist die Beschreibung der zweiphasigen Turbulenz. Das Euler-Euler
Modell ist ein Spezialfall des Two Fluid Modells. Hier wird von monodispersen
sph¨
arischen Blase mit vorgegebenem Durchmesser ausgegangen.
Die Modelle resultieren aus geeigneten Mittelungen der lokalen, kontinuumsme-
67
6. Stand des Wissens - Simulation
chanischen zweiphasigen Gleichungen und der zugeh¨
origen Sprungbedingungen. Im
Rahmen der Mittelung wird das Verhalten einer physikalischen Gr¨
oße durch einen
Mittelwert und eine die Fluktuationen beschreibende Gr¨
oße ersetzt. Die gemit-
telten Gleichungen bestehen dann aus Korrelationen, die die Fluktuationen der
verschiedenen physikalischen Gr¨
oßen wiedergeben. Der genaue Wert der Fluktua-
tionen ist bekannt. Daher muß der Einfluß der Korrelationen auf die Gleichungen
abgesch¨
atzt und durch entsprechende statistische Modellterme angen¨
ahert werden.
Bedingt durch die Tatsache, daß nur sehr wenige experimentelle Informationen ¨
uber
das transiente Verhalten der Fl¨
ussigphase innerhalb von Zweiphasenstr¨
omungen
vorliegen, gestaltet sich die Bestimmung dieser Modellterme als ¨
außerst schwierig
(Eigenberger und Sokolichin 1997).
Mit Hilfe der angepaßten Modelltherme k¨
onnen experimentelle Messungen in Bla-
sens¨
aulen und Schlaufenreaktoren gut reproduziert werden (s. z.B. Eigenberger und
Sokolichin 1996,1997;Gerigk 2002). Eine allgemeine Vorhersage der Hydrodyna-
mik ist nicht m¨
oglich. Ein weiterer Nachteil dieser Modelle ist die Tatsache, daß
lokale Ph¨
anomene wie z.B. Blasendeformationen oder Wirbelschleppenausbildun-
gen unber¨
ucksichtigt bleiben. Diese haben jedoch einen großen Einfluß auf Bewe-
gungsbahnen, das Schwarmverhalten und Stoffaustausch in Zweiphasenstr¨
omungen
(Schl¨
uter u. a. 2001;Bork u. a. 2001,2002;Schl¨
uter 2002;Scheid u. a. 2003). Die
Zellgr¨
oßen ∆xi,j,k je Raumrichtung ist bei diesen Methoden wesentlich gr¨
oßer als
der Blasendurchmesser.
Bubble Tracking Methode
Eine nur mittelm¨
aßige Anwendbarkeit auf praktische Probleme besitzt die Bubble
Tracking Methode. Zus¨
atzlich zu den Bewegungsgleichungen f¨
ur die Blasen sind
noch konstituierende Gleichungen f¨
ur die Kr¨
afte auf die Blasen ber¨
ucksichtigt. Die
Gr¨
oße einer Rechenzelle liegt in der Gr¨
oßenordnung des Blasendurchmessers oder
darunter. Dadurch kann in gr¨
oßeren Gebieten noch eine relativ hohe Aufl¨
osung
erreicht werden. F¨
ur die meisten Bubble-Tracking Methoden ist das Verh¨
altnis
dB/∆x << 1. Die Blasen werden auf diese Weise zu Punkten reduziert (Dieser
Ansatz ist auch als Euler-Lagrange Verfahren bekannt). Diese punktf¨
ormigen Bla-
sen werden entlang des zuvor f¨
ur die Fl¨
ussigphase berechneten Str¨
omungsfeldes
68
6.1. Ans¨
atze zur Simulation von Blasenstr¨
omungen
transportiert, ohne eine R¨
uckwirkung auf die Fl¨
ussigphase zu haben.
Mittlerweile ist es jedoch bereits m¨
oglich, f¨
ur Verh¨
altnisse von dB/∆x≥1 mit
der Bubble-Tracking Methode die R¨
uckwirkung der Blasen auf die Fl¨
ussigphase
zu simulieren und dabei physikalisch sinnvolle Ergebnisse zu erhalten (Tomiyama
u. a. 1997). Dabei k¨
onnen drei m¨
ogliche Blasenformen Verwendung finden: Sph¨
ari-
sche, ellipsoide oder kappenf¨
ormige Blasen. Ein Vergleich einer ellipsoiden defor-
mierten Blase in einer VOF-Simulation mit einer sph¨
arischen Blase in der Bubble-
Tracking Simulation zeigt, daß die Geschwindigkeiten im Nachlauf der Blase f¨
ur
d/∆x= 2 qualitativ gut wiedergegeben werden k¨
onnen (Tomiyama 1998;Tomiya-
ma u. a. 1997). Mit dieser Methode ist es auch m¨
oglich, die offene Wirbelstrecke
hinter großen Kappenblasen zu erfassen. In einer Studie gelang es Tomiyama u. a.
(1998b) zu zeigen, daß sich eine große Anzahl von Blasen (9, bzw. 18) in der Wir-
belschleppe einer Kappenblase dB/∆x= 2 ansammeln.
Interface Tracking Methode
In einer weiteren Methode wird die freie Phasengrenze der Blasen betrachtet und
direkt verfolgt. Tomiyama bezeichnet dies als Interface Tracking Methode. Die Me-
thode l¨
aßt sich weiter in zwei Kategorien unterteilen: Zum einen in Verfahren zur
direkten Verfolgung der Phasengrenzfl¨
ache (u.a. Front Capturing, Front Tracking)
und zum anderen in Verfahren zur Verfolgung des Phasenvolumens, den sog. Volu-
me Tracking Verfahren (z.B. VOF- oder Level Set Methode).
Aufgrund der hohen notwendigen Aufl¨
osung des betrachteten Gebiets (der Blasen-
durchmesser wird mit ca. 14 bis 60 Zellen aufgel¨
ost) ist ihre Anwendbarkeit auf
praktische Probleme jedoch gering. Den Modellen liegen die Navier-Stokes Glei-
chungen zugrunde. Die Sprungbedingungen an der Phasengrenzfl¨
ache ber¨
ucksichti-
gen den Einfluß der Oberfl¨
achenspannung. Als vorteilhaft erweist sich, daß f¨
ur die
Simulationen keine empirischen, konstituierenden Gleichungen notwendig sind und
genaue Informationen ¨
uber die Umstr¨
omung der Blase gewonnen werden k¨
onnen.
Diese Informationen k¨
onnen von großem Nutzen f¨
ur die Entwicklung konstituieren-
der Gleichungen f¨
ur gemittelten Modelle sein.
Front Capturing Methode
69
6. Stand des Wissens - Simulation
Bei der Front Capturing Methode wird das Gitter an die Kontur der Blase ange-
paßt. Erstmals vorgestellt wurde dieses Prinzip von Ryskin und Leal (1984a,b,c).
Dabei wird innerhalb jedes Zeitschritts das Gitter orthogonal an die Grenzfl¨
ache
konstruiert (s. Abbildung 6.1). Die Grenzfl¨
ache wird dadurch besser als bei der z.B.
VOF Methode erfaßt, weil sie geometrisch explizit verfolgt wird. Dieses Verfahren
Abbildung 6.1.: Konturangepaßtes Gitter einer aufsteigenden Blase (Ponoth und
McLaughlin 2000)
erlaubt die Berechnung deformierter Grenzfl¨
achen. Bisher wurden nur rotations-
symmetrische oder zweidimensionale Simulationen von Einzelblasen durchgef¨
uhrt.
Vorteilhaft an diesem Verfahren ist die Tatsache, daß ¨
uber die Wahl der Randbedin-
gungen an der Grenzfl¨
ache (Schlupf oder Haftung) auf einfache Weise eine kontami-
nierte Oberfl¨
ache angen¨
ahert werden kann (Ellingsen und Risso 2001;Takagi und
Matsumoto 2000). Trotz der bisherigen Einschr¨
ankungen ist diese Methode in der
Lage, experimentellen Messungen gut wiederzugeben (Takagi u. a. 1997;Ellingsen
und Risso 2001).
Front Tracking Methode
Eine Weiterentwicklung des Front Capturing ist das Front Tracking, bei dem die
Grenzfl¨
ache durch ein explizites Netz verfolgt wird. Bei dieser Methode wird f¨
ur
das gesamte Rechengebiet die Navier-Stokes Transportgleichungen auf einem fe-
sten Euler’schen Gitter gel¨
ost. In dieses Gitter wird ein Lagrange’sches Netz (Linie
f¨
ur 2D und Fl¨
ache f¨
ur 3D Simulationen) eingef¨
ugt, um die Grenzfl¨
ache zwischen
70
6.1. Ans¨
atze zur Simulation von Blasenstr¨
omungen
den beiden Fluiden zu verfolgen. Das Netz - auch Front genannt - besteht aus von
der Str¨
omung mitbewegten Punkten. Eine Verbindung dieser Punkte ergibt Ele-
mente, die die Kr¨
ummung und Oberfl¨
ache der dispersen Phase festlegen. W¨
ahrend
der Bewegung der Blase werden Punkte und Elemente hinzugef¨
ugt oder entfernt,
um eine gute Aufl¨
osung zu gew¨
ahrleisten. Zur Veranschaulichung ist ein solches
Gitter in Abbildung 6.2 dargestellt. Bei dieser Methode kann ein scharfer ¨
Uber-
Abbildung 6.2.: Ortsfestes (Euler’sches) kartesisches, ¨
aquidistantes Gitter des Berech-
nungsgebietes mit separatem, unstrukturiertem, zweidimensionalen,
triangul¨
arem bewegtem (Lagrange’schem) Gitter (Unverdi und Trygg-
vason 1992)
gang von Dichte und Viskosit¨
at zwischen beiden Phasen gew¨
ahrleistet werden. Aus
Gr¨
unden der numerischen Stabilit¨
at wird der Dichtesprung demnach ¨
uber zwei bis
drei Zellen verschmiert (Unverdi und Tryggvason 1992). Eine sehr ausf¨
uhrliche Be-
schreibung des Modells findet sich bei Tryggvason u. a. (1998a). Durch diese Art der
Beschreibung der Grenzfl¨
ache ist jedoch eine Koaleszenz zwischen zwei Blasen aus-
geschlossen: Zwei Grenzfl¨
achen k¨
onnen sich beliebig nahe kommen und sich beliebig
lange ber¨
uhren, ohne jemals aufzureißen. Um in einer Simulation eines Tropfenzu-
sammenstoßes die Koaleszenz wiedergeben zu k¨
onnen, muß die ¨
Uberlappungszone
der Grenzfl¨
achen k¨
unstlich entfernt werden (Tryggvason u. a. 1998b). Die genaue
Kenntnis der Phasengrenzfl¨
ache hat jedoch den Vorteil, daß sie mit unterschiedli-
chen Konzentrationen eines Tensids, bzw. unterschiedlicher Grenzfl¨
achenspannung
belegt werden kann. So gelang es Jan und Tryggvason (1991), die Beeinflussung der
inneren Zirkulation durch die Oberfl¨
achenbelegung numerisch zu zeigen.
Volume of Fluid Methode
71
6. Stand des Wissens - Simulation
Wie bereits oben erw¨
ahnt, wird bei der Volume of Fluid Methode nicht explizit die
Phasengrenzfl¨
ache, sondern der Volumenanteil der dispersen Phase innerhalb eines
fixierten Gitters verfolgt. Die Phasengrenze l¨
aßt sich dann aus dem Volumenanteil
rekonstruieren. Das Verfahren wird in Kapitel 8.1 n¨
aher erl¨
autert. Ein großer Vor-
teil ist die M¨
oglichkeit, stark deformierte Oberfl¨
achen oder Blasenzerfall simulieren
zu k¨
onnen. Der Nachteil dieser Methode ist die Tatsache, daß ein Aufeinandertref-
fen zweier Grenzfl¨
achen immer eine numerisch bedingte Koaleszenz mit sich f¨
uhrt.
Molekulardynamische Methode
Der aktuellste Ansatz zur Berechnung aufsteigender Blasen ist nach der Notation
von Tomiyama die molekulardynamische Methode. Hierzu geh¨
oren die Lattice Gas
und Lattice Boltzmann Methoden (LBM). Die Aufl¨
osung ist noch feiner als bei der
Interface Tracking Methode, wodurch ihre Anwendbarkeit auf praktische Probleme
stark begrenzt ist. Der Methode liegt die statistisch-thermdynamisch motivierte
Annahme zugrunde, daß das Fluid aus einer Reihe von virtuellen Partikeln oder
Pseudo-Molek¨
ulen besteht, die Translationen und Kollisionen ausf¨
uhren. Der Vor-
teil liegt in der einfachen numerischen Umsetzung dieser Methode und Parallelisier-
barkeit eines entsprechenden Programms. Die Beschreibung von Randbedingungen
gestaltet sich als schwierig. Bisher sind nur Simulationen mit geringen Dichteunter-
schieden zwischen beiden Phasen durchgef¨
uhrt worden (Takada u. a. 2001;Sanka-
ranarayanan u. a. 2003). Zus¨
atzlich werden beide Phasen als kompressibel betrach-
tet, was den m¨
oglichen Druckabfall bzw. eine maximale H¨
ohe der Fl¨
ussigkeitss¨
aule
in der Fl¨
ussigphase stark einschr¨
ankt (Sankaranarayanan u. a. 2003).
Der Vergleich zwischen LBM-Simulationen und VOF-Simulationen zeigt f¨
ur diver-
se Vergleichsrechnungen (freier Aufstieg, Einzelblasen im Gegenstrom oder Ein-
zelblasen in Scherstr¨
omungen) ¨
ahnliche Ergebnisse f¨
ur die Blasenform und das
Str¨
omungsfeld und fast identische Resultate f¨
ur die Aufstiegsgeschwindigkeit (Ta-
kada u. a. 2001).
Auch im direkten Vergleich zur Front Tracking Methode liefert die LBM fast
identische Ergebnisse bez¨
uglich Aufstiegsgeschwindigkeit, Bahnradien oder Blasen-
form (Sankaranarayanan u. a. 2003). Zusammenfassend l¨
aßt sich festhalten, daß die
LBM-Methoden nicht besser als die Interface Tracking Methoden sind, sondern le-
72
6.2. Simulationen aufsteigender Blasen mit Interface Tracking Methoden
diglich eine m¨
ogliche Alternative mit anderen Vor- und Nachteilen darstellen (San-
karanarayanan u. a. 2003).
6.2. Simulationen aufsteigender Blasen mit Interface
Tracking Methoden
Der Großteil der in der Literatur verf¨
ugbaren numerischen Simulationen ¨
uber Ein-
zelblasen oder kleine Blasenschw¨
arme basiert auf den Interface Tracking Methoden.
Im Folgenden wird eine ¨
Ubersicht ¨
uber den Stand der bisherigen Simulationen auf-
steigender Blasen mit Interface Tracking Methoden vorgestellt. Dabei wird zuerst
nur die reine Hydrodynamik betrachtet, bevor auf die komplexeren Simulationen
des Stoffaustauschs eingegangen wird.
6.2.1. Hydrodynamik
Abgesehen von einigen Simulationen rotationssymmetrischer Probleme mit der Front
Capturing Methode sind fast alle publizierten Ergebnisse mit der Front Tracking
oder der VOF Methode erzielt worden.
Front Tracking Methode
In der Literatur existieren eine Vielzahl von Simulationen mit der Front Tracking
Methode, die fast ausschließlich mit dem Programm von Prof. Tryggvason durch-
gef¨
uhrt wurden. Dabei sind allerdings die Dichte- und Viskosit¨
atsverh¨
altnisse γ
und κsehr klein im Vergleich zu Gas-Fl¨
ussig Systemen. So benutzte Bunner und
Tryggvason (1997); Tryggvason u. a. (1998b) und Esmaeeli und Tryggvason (1999)
Dichteverh¨
altnisse von 10, Esmaeeli und Tryggvason (1998) von 20 und Bunner
und Tryggvason (2000) Verh¨
altnisse von 50. Bei so geringen Dichteverh¨
altnissen
bleiben die Reynolds-Zahlen auf Werte von Re < 30 beschr¨
ankt; die Simulationen
k¨
onnen also eher als Tropfen in Fl¨
ussigkeit (wie z.B. in Extraktionskolonnen) denn
als Blasen in Fl¨
ussigkeit angesehen werden. Validiert wurde das Programm anhand
von Berechnungen aus Potentialstr¨
omungen und schleichenden Str¨
omungen.
Ein Vergleich von 16 aufsteigenden Blasen zwischen Front Tracking Simulation und
73
6. Stand des Wissens - Simulation
einer auf Stokes’scher Str¨
omung basierender Berechnung zeigte f¨
ur Geschwindigkei-
ten und Bewegungsbahnen große Differenzen (Esmaeeli und Tryggvason 1998). In
den zuvor erw¨
ahnten Simulationen sind die Blasen jedoch ausschließlich sph¨
arisch
oder nur leicht ellipsoid. Mit der Front Tracking Methode ist die Mikrostruktur in
einem bidispersen Schwarm aus sph¨
arischen Blasen untersucht worden (G¨
oz u. a.
2002).
Als Begr¨
undung f¨
ur die Tatsache, daß bisher keine Front Tracking Simulationen mit
starken Oberfl¨
achendeformationen gezeigt worden sind, vermuten Sato u. a. (2000)
das Auftreten numerischer Instabilit¨
aten bei gr¨
oßeren Kr¨
ummungsschwankungen
der Grenzfl¨
ache. In einer aktuellen Arbeit (Sankaranarayanan u. a. 2003) sind f¨
ur
eine einzelne Blase in 2D dynamisch deformierbare Oberfl¨
achen m¨
oglich.
Die oben erw¨
ahnten Arbeiten umfassen jeweils eine große Anzahl von Blasen (bis
216 Blasen in Bunner und Tryggvason (2000)) und deren Schwarmverhalten. F¨
ur
kleine Reynold-Zahlen Re=O(1) tendieren die Blasen zur horizontalen Anordnung
(Tryggvason u. a. 1997,1998b;Esmaeeli und Tryggvason 1999;Bunner und Trygg-
vason 2000). Dadurch reduzieren sich die Aufstiegesgeschwindigkeit und damit
die Reynolds-Zahl des Schwarms. (Tryggvason u. a. 1997;Bunner und Tryggvason
2000). Steigt der Gasgehalt, so bedingt dies einen weiteren Abfall der Reynolds-
Zahl (Bunner und Tryggvason 2000).
In praxisrelevanten Zweiphasenstr¨
omungen mit hohen Reynolds-Zahlen hat Schl¨
uter
(2002) abweichende Beobachtungen gemacht. In den experimentell untersuchten
Schw¨
armen ordneten sich die Blasen nicht horizontal, sondern regellos im Schwarm
an. Die Nachl¨
aufe der Blasen reduzieren den Widerstand der nachfolgenden Bla-
sen, was zu einer Erh¨
ohung der Schwarm-Reynolds-Zahl f¨
uhrte. Zus¨
atzlich stieg die
Reynolds-Zahl mit wachsendem Gasgehalt bis zu einem gewissen Wert an, bevor
sie leicht absinkt. Auch zeigen die Blasen f¨
ur diese Str¨
omungsform starke Ober-
fl¨
achendeformationen.
VOF Methode
Schwerpunkt der Simulationen mit der VOF Methode bilden Untersuchungen ¨
uber
den Aufstieg von Einzelblasen. Tomiyama u. a. (1993b) zeigten die Bewegungsbah-
74
6.2. Simulationen aufsteigender Blasen mit Interface Tracking Methoden
nen von 2D Blasen und deren deformierte Oberfl¨
achen ¨
uber einen weiten Bereich der
Morton-Zahlen (Mo = 101−10−6) f¨
ur den freien Aufstieg, Gegenstrom und in Scher-
str¨
omungen. Die numerisch bestimmten Strouhal-Zahlen lagen jedoch weit ¨
uber den
experimentell gemessenen. In einer weiteren Arbeit konnten Tomiyama u. a. (1993a)
f¨
ur symmetrische 3D Simulationen die Form und die Geschwindigkeit von Einzelbla-
sen in einem großen Bereich der Morton-Zahl bestimmen (log(Mo) = −9.26−2.36).
Der Vergleich des Achsenverh¨
altnisses aus einer Simulation mit der empirischen
Korrelation nach Tadaki (Fan und Tsuchiya 1990) zeigte eine gute ¨
Ubereinstim-
mung. Der experimentelle Vergleich der Aufstiegsgeschwindigkeiten und Blasenform
zeigte in den beiden Artikeln von Tomiyama u. a. gute ¨
Ubereinstimmung mit dem
Diagramm nach Grace u. a. (1976), bzw. Clift, Grace und Weber (1978).
Chen u. a. untersuchten den Zerfall von 2D und symmetrischen 3D Blasen (γ=
80; 1000, κ = 80, Re < 50, E¨o= 5) sowie das Ann¨
ahern einer Blase an eine feste
Oberfl¨
ache (Chen u. a. 1996a). Die Untersuchungen erfolgten bei geringen Wand-
abst¨
anden von dW/dB= 2. Delnoij u. a. (1997) zeigten die Blasenbildung von 2D
Einzelblasen an einer D¨
use und das weitere Aufstiegsverhalten der Blasen auf ge-
radlinigen und zickzack-Bahnen (Mo = 2,5·10−11).
Mit Hilfe eines kommerziellen VOF-Programms (CFX 4.1) simulierten Krishna u. a.
(1999a) den Aufstieg von Kappenblasen in Wasser. Der experimentell ermittelte
Korrekturfaktor, der den Wandabstand ber¨
ucksichtigt, konnte dabei in Berechnun-
gen mit Rotationssymmetrie in 2D best¨
atigt werden, obwohl w¨
ahrend der Simu-
lation bis zu 10% Massenverluste auftraten. W¨
ahrend VOF-Simulationen in 2D
(dB= 2 −20mm) noch gut mit experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindigkei-
ten in 2D Flachs¨
aulen ¨
ubereinstimmen (Krishna und van Baten 1999;van Wachem
und Schouten 2002), liegen im Vergleich zwischen 2D Simulationen und Blasen-
aufstieg in einer 3D S¨
aule die experimentellen Aufstiegsgeschwindigkeiten um 100-
150% h¨
oher (Krishna und van Baten 1999).
Mit Hilfe der VOF-Methode kann auch ein Blasenzerfall erfolgreich simuliert wer-
den. So gelingt es Lawson u. a. (1999) mit einer 2D Simulation den experimentellen
Zerfall einer 90 mm Blase wiederzugeben. Der zeitliche Verlauf und die Blasenform
werden qualitativ sehr gut wiedergegeben.
Um numerische Schwierigkeiten bei hohen Dichteverh¨
altnissen zu vermeiden, fix-
75
6. Stand des Wissens - Simulation
ierten Sabisch u. a. (Sabisch 2000;Sabisch u. a. 2001) die E¨
otv¨
os- und Morton-
Zahlen einiger realer Stoffsysteme und rechneten mit stark reduzierten Dichte- und
Viskosit¨
atsverh¨
altnissen (γ= 2, κ = 1). Diese ”k¨
unstlichen” Stoffsysteme liefern
qualitativ gute Ergebnisse, verglichen mit den Werten aus dem Diagramm zur
Absch¨
atzung der Aufstiegsgeschwindigkeit f¨
ur verschiedene Morton-Zahlen nach
Grace u. a. (1976) oder Clift, Grace und Weber (1978). Die schraubenf¨
ormige Auf-
stiegsbahn stimmt qualitativ gut mit Experimenten ¨
uberein; die Bahnradien liegen
aber um mehr als eine Gr¨
oßenordnung unter den experimentell ermittelten. In einer
aktuellen Arbeit gelingt es Rusche (2003) mit einem mitbewegten Koordinatensy-
stem die Bahnradien und die Aufstiegsgeschwindigkeiten von Luftblasen in Wasser
durch Simulationen korrekt wiederzugeben. In den Simulationen ist das Rechenge-
biet um die Blase herum lokal verfeinert.
Da die VOF-Simulationen eine hohe Aufl¨
osung ben¨
otigen, beschr¨
anken sich die
meisten Autoren auf zumeist Einzelblasen oder Blasenpaare. W¨
ahrend Delnoij u. a.
(1998) zwei nebeneinander aus einer D¨
use aufsteigende Blasen simulieren, berech-
nen andere Autoren (Chen u. a. 1996b;Chen und Chou 1998;Delnoij u. a. 1998;
Krishna u. a. 1999a) die Koaleszenz zweier Blasen, die in Reihe aufsteigen. In ersten
Studien sind auch kleine Schw¨
arme von f¨
unf Blasen simuliert worden (Tomiyama
1998;Sabisch 2000).
Bisher liegen noch keine umfangreichen und umfassenden numerischen Untersu-
chungen von Einzelblasen ¨
uber einen weiten Bereich der E¨
otv¨
os- und Morton-Zahlen
vor. Es bedarf daher einer ausf¨
uhrlichen ¨
Uberpr¨
ufung der Ergebnisse der Simulatio-
nen anhand von Aufstiegsgeschwindigkeiten, Bahnradien, Blasenformen und Wir-
belschleppenph¨
anomenen, bevor aus numerischen Str¨
omungssimulationen fundierte
und verl¨
aßliche Ergebnisse entnommen werden k¨
onnen.
6.2.2. Stoffaustausch
Die Mehrzahl der in den letzten Jahren ver¨
offentlichten numerischen Simulationen
besch¨
aftigen sich mit der Hydrodynamik. Simulationen des Stoff¨
ubergangs hingegen
sind erst seit wenigen Jahren zu finden.
76
6.2. Simulationen aufsteigender Blasen mit Interface Tracking Methoden
Der Effekt von Tensiden auf die Aufstiegsgeschwindigkeit und die Stoff¨
ubergang aus
Blasen wurde von Ponoth und McLaughlin (2000) untersucht. Die in der Fl¨
ussig-
phase vorliegenden Tenside lagern sich an die Grenzfl¨
ache an und reduzieren zuneh-
mend die Aufstiegsgeschwindigkeit bis ein unterer Grenzwert erreicht wird (Zhang
u. a. 2001). Paschedag u. a. (2001) simulierten das Str¨
omungs- und Konzentrati-
onsfeld eines Tropfens in einer schleichenden Str¨
omung und verglichen es mit ana-
lytischen L¨
osungen. Die beobachteten Differenzen f¨
uhren sie auf numerische Un-
genauigkeiten zur¨
uck. Piarah u. a. (2001) stellen f¨
ur hohe Fourier-Zahlen eine gu-
te ¨
Ubereinstimmung zwischen der simulierten Sherwood-Zahl und experimentellen
Daten fest. Waheed u. a. (2002) untersuchten den Einfluß der ¨
außeren Str¨
omung
auf den Stoff¨
ubergang einzelner Tropfen. Alle oben genannten Publikationen gehen
von sph¨
arischen Partikeln aus. Leicht abgeflachte Ellipsoide sind in den Simula-
tionen von Mao u. a. (2001) zu finden. In zweidimensionalen Simulationen gelingt
es den Autoren, die station¨
aren Konzentrationsprofile f¨
ur unterschiedliche Peclet-
Zahl zu bestimmen. Der Vergleich der Sherwood-Zahlen von Tropfen in Versuchen
in organischer L¨
osung und numerischer Simulation zeigt befriedigende Ergebnisse.
Bei den oben erw¨
ahnten Simulationen liegt jeweils Rotationssymmetrie vor bzw. die
Systeme k¨
onnen auf zweidimensionale Probleme reduziert werden. Die Berechnun-
gen basieren auf der Front Capturing Methode, d.h. einer exakt durch das Gitter
erfaßten Phasengrenzfl¨
ache.
Nur wenige Autoren simulieren den Stoffaustausch mit einer Volume Tracking Me-
thode. So gelingt es Davidson und Rudmann (2000) in einem zweidimensionalen
Gebiet mit der VOF-Methode den Stofftransport aus einer Fl¨
ussigkeit in eine Gas-
phase bestimmen. Die Ergebnisse stimmen qualitativ gut mit experimentellen Da-
ten ¨
uberein.
In weiteren Arbeiten konnten Sato u. a. (Sato u. a. 2000;Jung und Sato 2001)
den Stoff¨
ubergang von fl¨
ussigem LCO2in Wasser f¨
ur aufsteigende Tropfen mit den
realen Dichte- und Viskosit¨
atsverh¨
altnissen nahe 1 in 3D Rechnungen bestimmen.
Im Nachlaufgebiet des aufsteigenden Tropfens konnten die Autoren den von Yabe
und Kunii (1978) beschriebenen hufeisenf¨
ormigen Wirbel beobachten.
Alle zuvor erw¨
ahnten Arbeiten nehmen eine stetige Konzentrationsverteilung der
Species an der Phasengrenze an, d.h. einen Verteilungskoeffizienten (in diesem Fall
77
6. Stand des Wissens - Simulation
den Henry Koeffizienten) von 1. Dies ist in sehr guter N¨
aherung nur f¨
ur CO2in
Wasser/LCO2der Fall. In den meisten anderen Systemen liegt an der Grenzfl¨
ache
ein Verteilungskoeffizient vor, der sich z.T. erheblich von H= 1 unterscheidet. F¨
ur
Sauerstoff in Luft betr¨
agt der Henry Koeffizient beispielsweise H= 33.
Zus¨
atzlich zu dem Stoffaustausch sind auch chemische Reaktionen von großem tech-
nischen Interesse. Mit Hilfe der Front Capturing Methode gelingt es Khinast (2001;
2003) in einer 2D Simulation erstmals Stofftransport bei gleichzeitig ablaufender
chemischer Reaktion zu berechnen.
78
7. Kontinuumsmechanische Modellierung
7.1. Bilanzierung von Zweiphasenstr¨
omungen
Die betrachteten Gas-Fl¨
ussigkeits-Systeme werden mathematisch auf kontinuums-
mechanischer Ebene modelliert. Die Bilanzierung erfolgt ¨
uber extensiven Gr¨
oßen,
die sich massenadditiv verhalten. In dem betrachteten Volumenelement sei eine
hinreichend große Anzahl von Molek¨
ulen enthalten, so daß die makroskopischen
Gr¨
oßen durch ¨
ortlich st¨
uckweise stetige Funktionen beschreibbar sind. Innerhalb
jeder Phase sind alle betrachteten physikalischen Gr¨
oßen stetig. An der Phasen-
grenze springt mindestens eine dieser Gr¨
oßen, z.B. Dichte oder Konzentration. Die
Phasengrenze wird f¨
ur die Modellierung als unendlich d¨
unne, massenlose ¨
Uber-
gangsschicht angenommen und f¨
ur die mathematischer Betrachtung als st¨
uckweise
glatte Fl¨
ache betrachtet. Nachfolgend werden die integralen und differentiellen Bi-
lanzen f¨
ur Zweiphasenstr¨
omungen in Anlehnung an (Bothe 2002) zusammengestellt.
7.1.1. Integralen Bilanzen
F¨
ur zweiphasige Str¨
omungen lassen sich integrale Bilanzgleichungen f¨
ur die exten-
siven Gr¨
oßen Masse, Impuls und Energie aufstellen. Ihre G¨
ultigkeit erstreckt sich
¨
uber die Phasengrenze hinweg.
Gegeben seien zwei auf molekularen Ebene nicht vermischbare Fluide in den Be-
reichen Ω−(t) und Ω+(t) in einem Gebiet G⊂R3, die durch die Phasengrenzfl¨
ache
Γ(t) voneinander getrennt werden (s. Abbildung 7.1). Diese bewegt sich mit der
Geschwindigkeit uΓ. Ihre Normale nΓzeigt in Richtung von Ω+(t). Der Kontroll-
raum f¨
ur die Bilanzierung sei eine Kugel Br:= Br(x0).
79
7. Kontinuumsmechanische Modellierung
B
R
+
B
R
-
x
0
n
Γ(
t
)
n
Γ(
t+dt
)
Ω
−
(
t
)
φ
−
Ω
+
(
t
)
φ
+
Abbildung 7.1.: Kontrollraum f¨
ur eine Kugel Brim Aufenthaltsort Ω−(t) und Ω+(t)
zweier durch die Phasengrenzfl¨
ache Γ(t) getrennter Phasen.
Massenbilanz
Es sei V ein festes Teilvolumen von Gmit der Masse RvρdV und der Dichte ρ. Durch
ein Fl¨
achenelement dA auf dessen Oberfl¨
ache fließt pro Zeiteinheit die Fl¨
ussigkeits-
menge ρu·ndA. F¨
ur eine massenlose Phasengrenzfl¨
ache ¨
andert sich die Masse im
Volumen V gem¨
aß
d
dt ZV
ρ dV =−Z∂V
ρu·ndA (7.1)
d
dt ZV
ρ dV +Z∂V
J·ndA = 0 mit J=ρu.(7.2)
Der Vektor der Stoffstromdichte zeigt in Richtung der Bewegung der Fl¨
ussigkeit.
Die Fl¨
ussigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine senkrecht zum Geschwindig-
keitsvektor stehende Fl¨
ache tritt, wird durch den Betrag von Jfestgelegt.
Impulsbilanz
F¨
ur ein von der Str¨
omung mitbewegtes Volumen V(t) lautet der Impuls
I(t) = ZV(t)
ρudV. (7.3)
Seine zeitliche ¨
Anderung ist nach dem 2. Newtonschen Gesetz gleich der auf das
80
7.1. Bilanzierung von Zweiphasenstr¨
omungen
Fluid wirkenden Kraft
d
dtI(t) = X
i
Fi,(7.4)
wobei zwei Arten von Kr¨
aften unterschieden werden:
1. Volumenkr¨
afte durch ¨
außere Felder der Kraftdichte f(z.B. Gravitation, elek-
trische oder magnetische Felder),
2. Fl¨
achen- oder Spannungskr¨
afte S∂V (t)(z.B. Druck oder innere Reibung).
Somit gilt f¨
ur die ¨
Anderung des Impulses:
d
dt ZV(t)
ρudV =S∂V (t)+ZV(t)
ρfdV. (7.5)
S∂V (t)kann nur ¨
uber konstituierende Gleichungen mit den ¨
ubrigen Gr¨
oßen des
Fluids in Zusammenhang gebracht werden. So ist beispielsweise f¨
ur ideale Flui-
de in einem einphasigen System die Spannung auf V einzig durch den Druck p(x,t)
festgelegt. Auf die Oberfl¨
ache dA des Volumens dV wirkt dann die Kraft pndA:
S∂V (t)=−Z∂V (t)
pndA. (7.6)
Werden die Einfl¨
usse von Spannungen und Grenzfl¨
achenkr¨
aften in der Impulsbilanz
mitber¨
ucksichtigt, gilt f¨
ur zweiphasige Systeme viskoser Fluide:
d
dt ZV(t)
ρudV =ZV(t)
ρfdV +Z∂V (t)
T·ndA +FΓ(t).(7.7)
In dieser Gleichung stellt T=−pI+Sden Spannungstensor und Iden Einheits-
tensor dar. Der Z¨
ahigkeitsspannungstensor Sverk¨
orpert die Spannungen aufgrund
innere Reibung im Fluid. Auf die Grenzfl¨
ache Γ(t)∩V(t) wirkt die Kraft FΓ(t)
durch die Grenzfl¨
achenspannung. Im Nachfolgenden soll eine Herleitung der Kraft
FAdurch die umgebende Grenzfl¨
ache auf ein aus V ausgeschnittenes Fl¨
achenst¨
uck
der Phasengrenze A=V∩Γ(t) erfolgen (vgl. Abbildung 7.2).
Auf der Grenzf¨
ache Γ(t) befinde sich eine Fl¨
ache A mit der Berandungskurve C.
Auf ein Linienelement dsvon Cwirkt durch die umgebende Grenzfl¨
ache die Kraft
dFtangential an die Fl¨
ache Γ(t). Sie ist senkrecht auf ds, zeigt in Gegenrichtung
81
7. Kontinuumsmechanische Modellierung
n
d
F
d
s
C
A
Γ(
t)
Abbildung 7.2.: Kraft auf ein Linienelement dsauf der Grenzfl¨
ache Γ(t)
zu A und hat den Betrag |σds|. F¨
ur sie gilt: dFA=σds×nΓ. Eine Integration ¨
uber
die Berandungskurve ergibt,
FA(t) = IC
σ(ds×nΓ) = IC
ds×σnΓ.(7.8)
Diese Gleichung kann unter Zuhilfenahme des Stokesschen Satzes von einem Li-
nienintegral f¨
ur den Spezialfall des Vektorprodukts in eine Fl¨
achenkraft umgeformt
werden:
FA=ZA
(nΓ×∇)×σnΓdA. (7.9)
Der Integrand in diesem Ausdruck ist die Fl¨
achendichte der Grenzfl¨
achenspannung
fΓ. Umgeformt geschrieben lautet er:
fΓ=∇σ−nΓ(nΓ·∇σ) + σnΓ·∇nΓ−σnΓ(∇·nΓ).(7.10)
Hierin liefern die ersten beiden Terme durch Substraktion des Normalenanteils vom
Gradienten der Grenzfl¨
achenspannung den Fl¨
achengradienten ∇Γσvon σ. Diese
tangential wirkende Komponente ist f¨
ur einen konstanten Wert von σgleich Null.
Dies ist jedoch nicht immer der Fall, da die Grenzfl¨
achenspannung u.a. von der
Temperatur oder der Konzentration oberfl¨
achenaktiver Substanzen abh¨
angt. Eine
Ver¨
anderung von σdurch Temperatur- oder Konzentrationsschwankungen bewirkt
den sogenannten Marangoni-Effekt. Da der dritte Summand in (7.10) gleich Null
ist, vereinfacht sich diese Gleichung zu:
fΓ=∇Γσ−σnΓ(∇·nΓ).(7.11)
82
7.1. Bilanzierung von Zweiphasenstr¨
omungen
Mit der Kr¨
ummung
κΓ=−∇·nΓ(7.12)
ergibt sich als Kraft auf die Grenzfl¨
ache
FΓ=ZA
fΓdA mit fΓ=∇Γσ+σκΓnΓ.(7.13)
F¨
ur die Impulsbilanz f¨
ur ein ortsfestes Volumenelement V gilt somit:
d
dt ZV
ρudV +Z∂V
J·ndA =ZV
ρfdV +ZV∩Γ(t)
fΓdA (7.14)
mit dem Fluß J=ρu⊗u−T.
7.1.2. Differentielle Bilanzen
Die integrale Bilanzen an ortsfesten Volumenelementen k¨
onnen durch Lokalisie-
rung in differentiellen Bilanzen mit den zugeh¨
origen Sprungbedingungen ¨
uberf¨
uhrt
werden. Es ist dazu erforderlich, die Oberfl¨
achenintegrale ¨
uber ∂V in Volumenin-
tegrale umzuformen. Dann wird f¨
ur das Phaseninnere durch den Betrag |V|des
Bilanzvolumens V=Br(x0) dividiert und die Kugel Brzum Punkt x0zusammen-
gezogen (r→0+). Die Herleitung der Sprungbedingungen an Γ(t) erfolgt durch
Aufspaltung des jeweiligen Volumenintegrals in Phasenanteile und Erg¨
anzung um
die entsprechende fehlende Fl¨
ache der Phasengrenzfl¨
ache. Die differentiellen Bi-
lanzgleichungen werden nun im Inneren beider Phasen verwendet. Eine Division
durch die Fl¨
ache |Γr|im Bilanzraum und Kontraktion der Kugel um den Punkt
x0,r→0+ liefert die Sprungbedingungen. Innerhalb jeder Phase gelten die dif-
ferentiellen Bilanzgleichungen. Die Sprungbedingungen geben die Verh¨
altnisse an
der Grenzfl¨
ache wieder. Diese sind durch konstituierende Gleichungen zu erg¨
anzen.
Massenbilanz
Durch Anwendung des Divergenztheorems auf die rechte Seite der Gleichung (7.1)
kann das Oberfl¨
achenintegral in ein Volumenintegral ¨
uberf¨
uhrt werden. Daraus folgt
die differentielle Form der Kontinuit¨
atsgleichung
∂
∂tρ+ div (ρu) = 0.(7.15)
83
7. Kontinuumsmechanische Modellierung
F¨
ur inkompressible Fluide ergibt sich folgende Formulierung:
div u= 0 und ∂
∂tρ+u·∇ρ= 0.(7.16)
Diese vereinfacht sich f¨
ur Fluide konstanter Dichte zu:
div u= 0.(7.17)
Impulsbilanz
Ein analoges Vorgehen liefert die differentielle Form der Impulsbilanz. Wirkt als
einzige K¨
orperkraft lediglich die Gravitation (in Richtung der negativen z-Achse),
so gilt
∂
∂t(ρu) + div (ρu⊗u−T) = −ρgez(7.18)
mit dem Spannungstensor T=−pI+S. F¨
ur newtonische Fluide l¨
aßt sich der
Z¨
ahigkeitsspannungstensor Sdurch folgende konstituierende Gleichung ausdr¨
ucken:
S=λ(div u)I+η(∇u+ (∇u)T) (7.19)
mit der Viskosit¨
at in der Kernphase λund der dynamischen Viskosit¨
at η. F¨
ur
dichtebest¨
andige Fluide l¨
aßt sich die Impulsbilanz vereinfachen zu:
∂
∂tu+∇·(u⊗u) = −1
ρ∇p+η
ρ∆u.(7.20)
Der Quotient η/ρ =νwird auch als kinematische Viskosit¨
at bezeichnet. Die Glei-
chungen (7.20) und (7.17) werden als Navier-Stokes Gleichungen bezeichnet. F¨
ur
reibungsfreie Fluide, d.h. ohne innere Reibung (Z¨
ahigkeit) und damit verbunde-
ner Energiedissipation, ergeben sich aus den Navier-Stokes Gleichungen die Euler
Gleichungen:
∂
∂tu+∇·(u⊗u) = −1
ρ∇p. (7.21)
84
7.1. Bilanzierung von Zweiphasenstr¨
omungen
7.1.3. Sprungbedingungen
Der Sprung einer beliebigen Gr¨
oße Ψ an der Phasengrenze Γ(t) wird als [Ψ] := Ψ+−
Ψ−abgek¨
urzt. Sofern kein Phasen¨
ubergang vorliegt, sind die Normalkomponenten
der Geschwindigkeiten an der Grenzfl¨
ache identisch, d.h. es gilt u±·nΓ=uΓnΓ.
Ohne konstituierende Gleichungen sind die Bedingungen an der Grenzfl¨
ache jedoch
unvollst¨
andig, da Informationen ¨
uber die Tangentialkomponente fehlen. F¨
ur viskose
Systeme wird Haftbedingung an der Phasengrenze herangezogen. F¨
ur jeden Tan-
gentialvektor t⊥nΓfolgt somit: u+·t=u−·t. Hierdurch ist allerdings die Tangen-
tialkomponente des Geschwindigkeitsvektors der Grenzfl¨
ache noch nicht festgelegt,
da durch die Tangentialkomponenten die massenlose Grenzfl¨
ache lediglich in sich
verschoben wird. Durch die Festlegung uΓ·t:= u±·tergibt sich u+=u−=uΓ
auf Γ(t). F¨
ur den Impulserhalt lautet die Sprungbedingung
[ρu⊗(u−uΓ)−T]·nΓ=∇Γσ+σκΓnΓ.(7.22)
F¨
ur eine r¨
aumlich konstante Grenzfl¨
achenspannung σvereinfacht sie sich zu:
(p+−p−)nΓ−[S]·nΓ=σκΓnΓ.(7.23)
Darin stellt der Drucksprung den dominierenden Term an der Grenzfl¨
ache dar.
Unter Vernachl¨
assigung der Z¨
ahigkeitspannungen Swird aus Gleichung (7.23) die
Young-Laplace-Gleichung:
(p+−p−) = σκΓ=σ1
r1
+1
r2.(7.24)
In ruhenden Fluiden ist u= 0 und somit auch S=0. Hier ist diese Gleichung
exakt. Eine ausf¨
uhrliche Herleitung der Sprungbilanzen findet sich bei Ishii (1975);
Slattery (1999)
7.1.4. Randbedingungen
Die eindeutige L¨
osung eines Systems von Differentialgleichungen ist erst durch
die Randbedingungen festgelegt. Differentialgleichungen und Randbedingungen zu-
sammen werden als Randwertproblem bezeichnet. Unterschieden wird zwischen
Dirichlet-Bedingungen, bei denen ein fester Wert von Str¨
omungsgr¨
oßen am Rand
85
7. Kontinuumsmechanische Modellierung
vorgegeben wird und Neumann-Bedingungen, die einen Gradient von Str¨
omungs-
gr¨
oßen senkrecht zum Rand vorgeben. F¨
ur die Geschwindigkeiten an den R¨
andern
des Gebiets gibt es sowohl Schlupf- als auch Haftbedingungen.
Schlupf-Randbedingungen: Die Wand ist f¨
ur das Fluid undurchdringlich. An der
Wand gibt es keine Haftung und somit keinen Gradienten der Tangentialgeschwin-
digkeit uτ:
un(x, y) = 0 und ∂uτ(x, y)
∂n = 0.
Die Tangentialgeschwindigkeit berechnet sich aus
uτ=u−(u·n)·n.
Haft-Randbedingungen: Die Wand ist wiederum f¨
ur das Fluid undurchdringlich.
An der Wand haftet das Fluid, d.h.
un(x, y) = 0 und uτ(x, y) = 0.
7.2. Stoffaustausch
F¨
ur die molare Konzentration einer verd¨
unnten Komponente gilt die Bilanz:
∂c
∂t +∇·(cu) + ∇·J= 0.(7.25)
L¨
aßt sich die molekulare Stoffstromdichte Jdurch das Fick’sche Gesetz J=−D∇c
mit konstantem Diffusionskoeffizienten D ausdr¨
ucken, so kann die obige Gleichung
f¨
ur inkompressible Str¨
omungen in die Advektions-Diffusions-Gleichung,
∂c
∂t +u·∇c=D∆c(7.26)
¨
uberf¨
uhrt werden. Diese gilt jeweils innerhalb der Phasen. An der Phasengrenze
sind die ¨
ubergehenden Stoffstr¨
ome gleich:
[−D∇c]·nΓ= 0.(7.27)
86
7.2. Stoffaustausch
Zur Bestimmung der Konzentrationsprofile ist eine weitere konstituierende Glei-
chung notwendig. Zu diesem Zweck wird angenommen, daß auch an der Phasen-
grenzfl¨
ache lokal ein thermodynamisches Gleichgewicht vorliegt. Dies bedeutet ste-
tige chemische Potentiale. F¨
ur geringe Konzentrationen der ¨
ubergehende Kompo-
nente l¨
aßt sich dann das Gleichgewicht durch das Henry Gesetz ausdr¨
ucken:
H=cG
cL
.(7.28)
Darin ist H der feste Henry Koeffizient. Durch den Konzentrationssprung an der
Grenzfl¨
ache f¨
ur H6= 1 liegt kein stetiges Konzentrationsfeld vor.
87
8. Numerische Verfahren
Bei dem Aufstieg von Blasen in niedrigviskosen Medien, z.B. Wasser, kann es zu
starken und dynamischen Verformungen der Phasengrenzfl¨
ache kommen. Treffen
zwei Blasen aufeinander, so k¨
onnen sie zu einer einzigen verschmelzen, d.h. ko-
aleszieren. ¨
Ubersteigt die Blasengr¨
oße einen kritischen Wert k¨
onnen sich kleine
Fragmente von der Blase abtrennen, bis hin zum kompletten Zerfall der Blase.
Das numerische Verfahren muß daher insbesondere die in ihrer Lage und Form
ver¨
anderliche Phasengrenze wiedergeben k¨
onnen. Diese Anforderung wird von den
Interface Tracking Methoden erf¨
ullt. Mit den Lagrange’schen Methoden, d.h. einem
mitbewegtem, konturangepaßten Gitter (Front Capturing) lassen sich nur einzelne
Blasen simulieren. Daher wird auf die Euler’schen Methoden mit fixiertem Gitter,
in dem sich die Phasengrenze bewegt, zur¨
uckgegriffen. Da starke und dynamische
Oberfl¨
achendeformationen und Koaleszenzen Gegenstand der Untersuchungen sein
sollen, stellt die Volume of Fluid Methode den geeignetsten Typ dar.
8.1. Die VOF-Methode
Erstmals vorgestellt wurde das VOF-Modell von Hirt und Nichols (1981). Seither
wurde es kontinuierlich weiterentwickelt und verbessert (Kothe und Mjolsness 1992;
Rider und Kothe 1998). Die dem Modell zugrunde liegenden Annahmen sind zwei
nicht mischbare, fluide Phasen, die als inkompressibel betrachtet werden. Basierend
auf der phasenbezogenen Bilanzierung des Gebiets wird bei dem VOF-Verfahren
eine Bilanzgleichung f¨
ur eine Marker- oder Volumenanteilsfunktion fgel¨
ost. Die-
se Bilanzgleichung beschreibt die zeitliche Ausbreitung der Phasen abh¨
angig vom
Str¨
omungsfeld. Die Transportgleichung f¨
ur flautet:
∂f
∂t +∇·(fu) = 0.(8.1)
89
8. Numerische Verfahren
Zus¨
atzlich zu der Volumenanteilsfunktion werden die Bilanzgleichungen f¨
ur Mas-
se und Impuls f¨
ur beide Phasen gemeinsam gel¨
ost. Die Volumenanteilsfunktion
kann auch als Phasenindikator angesehen werden. Innerhalb jeder Zelle nimmt der
Volumenanteil diskrete Werte zwischen 0 und 1 an. Daraus ergeben sich f¨
ur eine
Rechenzelle folgende potentielle Zust¨
ande:
•f= 0 die Zelle enth¨
alt nur die kontinuierliche Phase.
•f= 1 die Zelle enth¨
alt nur die disperse Phase.
•0< f < 1 die Zelle enth¨
alt beide Phasen.
Eine Zelle mit beiden Phasen, sprich mit 0 < f < 1, enth¨
alt also einen Teil der
Phasengrenze. F¨
ur den Fall von Luftblasen in einer Fl¨
ussigkeit ist f¨
ur f= 0 eine
Zelle mit Fl¨
ussigkeit und f¨
ur f= 1 eine Zelle mit Luft gef¨
ullt. Abbildung 8.1 ver-
deutlicht noch einmal diesen Zusammenhang:
Bestimmt wird der Volumenanteil fdes aktuellen Zeitschritts aus Konvektion
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,14
0,38
0,56
0
0,29
0,87
1
1
0,02
0,76
1
1
1
0,15
1
1
1
1
Abbildung 8.1.: Zellenbelegung des Rechengitters f¨
ur eine Luftblase (f= 1) in Fl¨
ussig-
keit (f= 0) nach der VOF-Methode und Rekonstruktion der Phasen-
grenze nach der PLIC-Methode.
der f-Werte des vorherigen Zeitschritts durch das aktuellen Geschwindigkeitsfeld
u. Die Diskretisierung der Transportgleichungen f¨
ur Masse, Impuls und Spezies be-
ruht auf dem Finite Volumen Verfahren. In dem verwendeten Simulationsprogramm
FS3D werden die Geschwindigkeitskomponenten u, v, w des Geschwindigkeitsvek-
tors uauf den Zellfl¨
achen versetzt abgespeichert. Das L¨
osen der Impulsbilanz erfolgt
90
8.1. Die VOF-Methode
auf der Basis eines konservativen Godunov-Projektionsverfahrens zweiter Ordnung
(Tau 1994). Der auf den Zellmitten abgespeicherte Druck wird aus der Druck-
Poisson-Gleichung errechnet. Dazu wird ein Mehrgitterverfahren (Wesseling 1992)
verwendet, daß die ben¨
otigte Robustheit f¨
ur die Behandlung von großen Dichte-
unterschieden aufweist. Eine ausf¨
uhrliche Beschreibung der im Programm FS3D
verwendeten numerischen Verfahren findet sich bei Frohn (1999).
Die Rekonstruktion der Phasengrenzfl¨
ache einer Zelle erfolgt anhand des Volumen-
anteils finnerhalb dieser Zelle, sowie deren Nachbarzellen. Die wohl einfachste
Methode ist die ”Simple Line Interface Construction”(SLIC) Methode, wie sie von
Hirt und Nichols (1981) angewandt wird. Dabei liegt die rekonstruierte Phasen-
grenzfl¨
ache jeweils parallel zum Rechengitter (vgl. Abbildung 8.2 Mitte).
Die Lage der Fl¨
ache wird durch den Volumenanteil ffestgelegt. Wie aus Abbil-
Abbildung 8.2.: Vergleich zwischen realer (oben) und nach SLIC (Mitte) und PLIC
(unten) rekonstruierten Phasengrenzfl¨
ache.
dung 8.2 deutlich wird, ist diese Methode relativ grob und f¨
uhrt schnell zu einer
starken Verschmierung der Phasengrenzfl¨
ache. Eine wesentliche Verbesserung stellt
die “Piecewise Linear Interface Construction“(PLIC) Methode nach Puckett und
Saltzmann (1992) (vgl. Abbildung 8.2 unten). Aus dem Gradienten von fl¨
aßt sich
die Normale nder Grenzfl¨
ache bestimmen. Die Grenzfl¨
ache wird nun iterativ derart
innerhalb der jeweiligen Rechenzelle entlang der Normalen verschoben, daß der Vo-
lumenanteil der dispersen Phase dem f-Wert gen¨
ugt. Diese Art der Rekonstruktion
91
8. Numerische Verfahren
erm¨
oglicht es, Fl¨
usse ¨
uber die Zellfl¨
achen genauer zu berechnen. Hierdurch wird
eine Verschmierung der Phasengrenzfl¨
ache durch numerische Diffusion verhindert.
Grenzfl¨
achenspannung
In der VOF-Methode wirkt die Grenzfl¨
achenspannungskraft im Bereich der Pha-
sengrenze als eine Volumenkraft. Dies erweist sich als notwendig, da bei der numeri-
schen Umsetzung der VOF-Methode keine scharfe Phasengrenzfl¨
ache vorliegt, son-
dern ein kontinuierlicher ¨
Ubergangsbereich der Dicke l. Diese Dicke ist aufl¨
osungs-
abh¨
angig. F¨
ur die korrekte Wiedergabe des Drucksprungs zwischen den beiden
Phasen muß die Kr¨
ummung der Phasengrenzfl¨
ache berechnet werden. Diese Anfor-
derung wird von dem sogenannte Continuum Surface Force (CSF) - Modell nach
Brackbill u. a. (1992) erf¨
ullt. Dieses nichtkonservative Modell dr¨
uckt die fl¨
achenbe-
zogene Grenzfl¨
achenkraft fΓ(xΓ) auf der Grenzfl¨
ache Γ durch eine volumenbezogene
Kraft fΓ,V (x) innerhalb eines kleinen ¨
Ubergangsbereiches um die Grenzfl¨
ache Γ her-
um aus. Geht die Dicke ldes ¨
Ubergangsbereiches gegen Null, k¨
onnen beide Kr¨
afte
gleichgesetzt werden zu:
ZA
fΓ(xΓ)dA = lim
l→0ZV
fΓ,V (x)dV (8.2)
Mit Hilfe der Dirac’schen Deltafunktion δkann das Fl¨
achenintegral in ein Volu-
menintegral umgeformt werden.
ZA
fΓ(xΓ)dA =ZV
fΓ(x)δ[(x−xΓ)·ˆnΓ]dV (8.3)
F¨
ur eine Filmdicke l→0 l¨
aßt sich formal die Deltafunktion durch den Betrag des
Gradienten der VOF-Funktion fbeschreiben zu:
f(x) = H[(x−xΓ)·ˆnΓ]
∇f(x) = δ[(x−xΓ)·ˆnΓ]ˆnΓ
|∇f(x)|=δ[(x−xΓ)·ˆnΓ].(8.4)
Darin ist H die Heaviside’sche Sprungfunktion. Der Sprung der f-Funktion wird
bei der Diskretisierung automatisch ¨
uber mehrere Zellen verschmiert, damit die f-
Funktion im ¨
Ubergangsbereich leine endliche Steigung aufweist. Daraus folgt f¨
ur
92
8.1. Die VOF-Methode
die Volumenkraft,
ZA
fΓ,V dA =σκΓ∇f(x) (8.5)
mit der Kr¨
ummung der Phasengrenzfl¨
ache κΓ=−∇ · ˆnΓ. Der Einheitsnormalen-
vektor berechnet sich aus:
ˆnΓ=nΓ
|nΓ|.(8.6)
Durch die Verschmierung der f-Funktion ¨
uber mehrere Zellen liefert die Finite-
Differenzen-Diskretisierung von Gleichung (8.5) Beitr¨
age von den R¨
andern des
¨
Ubergangsbereiches der Grenzfl¨
ache. Da die Dichtewerte in den Zellzentren ge-
speichert werden, liefert eine indirekte Differentiation der Normalenvektoren durch
eine Umformulierung der Berechnung der Kr¨
ummung eine Verbesserung der nume-
rischen Ann¨
aherung (mit n=nΓ):
κ=1
|n|n
|n|·∇|n|−∇·n(8.7)
Der Schwachpunkt des CSF-Modells liegt in seinem nicht-konservativen Charakter.
Dadurch kann eine Impulserhaltung nicht sichergestellt werden, was unphysikalische
Effekte bewirken kann. Eine Verbesserung stellt das konservative Modell von Laf-
aurie u. a. (1994) dar. Darin ergibt sich die diskrete Form der konservativen Grenz-
fl¨
achenkraft durch die Berechnung des Normalenvektors und der Grenzfl¨
achendichte
nach derselben Approximation von ∇f. Die volumenspezifische Grenzfl¨
achenkraft
fst l¨
aßt sich somit formulieren als:
fst =−σ∇·n⊗n
|n|−I|n|.(8.8)
Die Anwendung der Quotientenregel hierauf liefert die Gleichung:
fst =−σn
|n|(∇·n−n
|n|·∇|n|) + n
|n|·∇n−∇|n|,(8.9)
die sich durch die letzten beiden Terme von der nichtkonservativen Form unter-
scheidet. Alle in dieser Arbeit vorgestellten Simulationen erfolgten nach der kon-
servativen Methode nach Lafaurie u. a. (1994)
93
8. Numerische Verfahren
Numerische Implementierung der Grenzfl¨
achenkraft
Wie bereits oben erw¨
ahnt, liegen nicht alle Str¨
omungsvariablen bei den Berechnun-
gen auf den Zellmitten. Innerhalb einer Zelle erfolgt die Berechnung entsprechend
der Marker and Cell (MAC)-Diskretisierung auf einem versetzten Gitter. In einem
diskreten Volumenelement ∆V= ∆x∆y∆zwerden Druck und die VOF-Funktion
fin dem Zentrum der jeweiligen Zelle abgespeichert, die Geschwindigkeiten u, v, w
auf den Zentren der jeweils zugeh¨
origen Zellfl¨
achen und die Normalenvektoren n
auf den zur Berechnung des Impulsflußes jeweils sinnvollen Zellecken (vgl. Abbil-
dung 8.3). Die Grenzfl¨
achenkraft fst,i,j,k wird ebenfalls in den Zellzentren f¨
ur alle
f
i,j,k
p
i,j,k
u
i+1/2,j,k
v
i,j+1/2,k
w
i,j,k+1/2
n
i+1/2,j+1/2,k-1/2
Abbildung 8.3.: Versetzte Anordnung der verwendeten Str¨
omungsvariablen nach den
Marker und Cell-Verfahren in FS3D.
drei Raumrichtungen berechnet. Die Diskretisierung des verwendeten Modells von
Lafaurie u. a. (1994) erfolgt nach der Methode der zentralen Differenzen. Eine Mit-
telung der Normalenvektoren aus den Zellecken liefert die ben¨
otigten Normalenvek-
toren. Diese bestimmen sich gem¨
aß n=∇faus 27 benachbarten Zellen. F¨
ur die
Fl¨
achenmitten werden die Normalenvektoren der Ecken arithmetisch gemittelt.
Numerische Implementierung des Stofftransportes
Wie schon in Kapitel 7.2 erw¨
ahnt, liegt an der Phasengrenze bedingt durch den
Konzentrationssprung f¨
ur H6= 1 ein unstetiges Konzentrationsfeld vor. Unter Aus-
nutzung der linearen Struktur der Gleichungen (7.26), (7.27) und (7.28) wird unter
94
8.2. Parasit¨
are Str¨
omungen
Einbeziehung des Henry’schen Gesetzes eine neue Konzentration ˜ceingef¨
uhrt:
˜c=(cLin der F¨
ussigphase
cG/H in der Gasphase ).(8.10)
Damit k¨
onnen der Konzentrationssprung und die damit verbundenen numerischen
Schwierigkeiten bei der Umsetzung von Gleichung (7.26) abgemildert werden. Diese
neue Funktion ist stetig und der Sprung ist in die Ableitung verschoben. Analog zu
Gleichung (7.26) gilt dann innerhalb jeder Phase
∂˜c
∂t +u·∇˜c=D∆˜c, (8.11)
mit den zugeh¨
origen Sprungbedingungen:
[˜c] = 0 (8.12)
DL∇˜cL·nΓ=HDG·∇˜cG·nΓ(8.13)
Wie schon bei der Massen- und Impulsbilanz so basiert auch die numerische L¨
osung
der Stoffbilanzen auf der Finiten Volumen Methode. Erg¨
anzend dazu wird inner-
halb jedes Zeitschritts folgende Prozedur durchgef¨
uhrt: Innerhalb jeder Zelle die
ein St¨
uck der Grenzfl¨
ache enth¨
alt werden vor die Berechnung der Diffusion die
Werte von ˜cderart berechnet , daß die resultierenden diffusiven Str¨
ome ¨
uber die
Grenzfl¨
ache die beiden obigen Sprungbedingungen erf¨
ullen.
8.2. Parasit¨
are Str¨
omungen
Eine große Schwierigkeit bei der Simulation von zweiphasigen Str¨
omungen mit frei-
en Grenzfl¨
achen sind die sogenannten parasit¨
aren Str¨
omungen. Sie resultieren aus
Ungenauigkeiten in der Berechnung der Kr¨
ummung κΓund der Normalen nΓ. Die-
se Str¨
omungen induzieren in der N¨
ahe der Phasengrenzfl¨
ache Wirbel (s. Abbildung
8.4). Parasit¨
are Str¨
omungen k¨
onnen einen Tropfen oder eine Blase deformieren oder
sogar zerreißen. Diese Probleme treten insbesondere bei geringen Geschwindigkei-
ten und dem Fehlen ¨
außerer Kr¨
afte auf. Besonders stark ist das Problem bei einer
Blase in Schwerelosigkeit. In einer Simulation wird dazu der zeitliche Verlauf des
Geschwindigkeitsfeldes einer 2mm Blase betrachtet. Das Geschwindigkeitsfeld ist
95
8. Numerische Verfahren
zum Zeitpunkt t= 0 vollst¨
andig gleich null. Entgegen den Erwartungen bleibt das
Geschwindigkeitsfeld nicht null, wie in Abbildung 8.4 zu erkennen ist. Statt des-
sen entwickeln sich ausgepr¨
agte Wirbel im Berechnungsgebiet. Eine Betrachtung
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
32 Zellen
16 Zellen
64 Zellen
8 Zellen
spez. kin. Energie e / gcm
2
/s
2
Zeit t / s
Abbildung 8.4.: Durch parasit¨
are Str¨
omungen induziertes Str¨
omungsfeld um eine 2mm
Luftblase (2D) in Wasser in Schwerelosigkeit (links). Zeitlicher Verlauf
der spezifischen kinetischen Energie f¨
ur unterschiedliche Diskretisie-
rungen des Blasendurchmessers (rechts).
der zeitlichen ¨
Anderung der Blasenform f¨
ur eine 2D Simulation verdeutlicht, daß
die Blase durch das k¨
unstliche Str¨
omungsfeld kontinuierlich deformiert wird. Zum
dargestellten Zeitpunkt ist die Blase leicht abgeflacht (h/b = 0,92). Die maxima-
le Geschwindigkeit innerhalb des Rechengebiets betr¨
agt in etwa 25cm/s, liegt also
im Bereich der Aufstiegsgeschwindigkeit der Blase im Gravitationsfeld. Sie kann
nach einem auf numerischen Experimenten beruhenden empirischen Ansatz von
Scardovelli und Zaleski (1999) im Vorfeld abgesch¨
atzt werden zu:
|uparas| ≃ 0,01σ/ηL.(8.14)
Durch Gl¨
atten der f-Verteilung kann die Amplitude der parasit¨
aren Str¨
omungen
um einen Faktor von 2 bis 4 reduziert werden Lafaurie u. a. (1994). In FS3D wird
eine quadratischen Gl¨
attung verwendet. Die Intensit¨
at der parasit¨
aren Str¨
omun-
gen ist zus¨
atzlich von der Aufl¨
osung des Rechengebietes abh¨
angig. Im rechten Teil
96
8.2. Parasit¨
are Str¨
omungen
von Abbildung 8.4 ist die spezifische kinetische Energie innerhalb des gesamten
Rechengebietes dargestellt. Variiert wird die Anzahl der Rechenzellen pro Blasen-
durchmesser. Mit steigender Aufl¨
osung sinkt die durch die parasit¨
aren Str¨
omungen
hervorgerufene kinetische Energie im System zun¨
achst ab. W¨
ahrend f¨
ur 8 Zellen
pro Durchmesser eine sehr hohe kinetische Energie zu verzeichnen ist, ist sie f¨
ur 32
Zellen stark reduziert. Ab einer Aufl¨
osung von 64 Zellen pro Durchmesser nimmt
die Intensit¨
at der parasit¨
aren Str¨
omungen wieder zu.
Prinzipiell treten parasit¨
are Str¨
omungen bei hohen Oberfl¨
achenspannungen und
hohen Dichteunterschieden auf, insbesondere bei Blasen mit kleinem Durchmesser
wenn die Oberfl¨
achenspannungskr¨
afte im Vergleich zur Viskosit¨
at groß ist (Scardo-
velli und Zaleski 1999). Dann liegt entweder eine kleine Kapillar-Zahl
Ca =η|u|
σ,(8.15)
oder eine hohe Laplace-Zahl
La =σρdB
2η2(8.16)
vor. Aus numerischen Experimenten geht hervor, daß f¨
ur geringe Kapillar-Zahlen
und moderaten Laplace-Zahlen keine zerst¨
orerischen Instabilit¨
aten, aber signifikan-
te Beeinflussungen durch parasit¨
are Str¨
omungen auftreten. Wenn die Laplace-Zahl
groß genug wird (La ≈100000), kann es zur Zerst¨
orung einer Blase oder eines Trop-
fens kommen. Weitere Probleme mit parasit¨
aren Str¨
omungen treten laut Scardovelli
und Zaleski (1999) auch bei kleinen Weber-Zahlen auf .
97
9. Numerische Simulation aufsteigender
Blasen
Die nachfolgend aufgef¨
uhrten Ergebnisse numerischer Simulationen wurden mit
dem VOF-Programm FS3D durchgef¨
uhrt. Rieber und Frohn (1997) entwickelten
und validierten das Programm f¨
ur die numerische Simulation von Tropfenkollisio-
nen. N¨
ahere Einzelheiten zu FS3D finden sich bei Frohn (1999). Das Rechengebiet
besteht aus einem Quader mit kartesischem Gitter. Das Programm ist hochgra-
dig parallelisiert, was hochaufl¨
osende Simulationen erm¨
oglicht. Die Simulationen
erfolgten f¨
ur kleinere Rechengitter auf Einzelprozessormaschinen. F¨
ur gr¨
oßere Re-
chengitter konnte auf einem Siemens hpcLine Parallelrechner im Paderborn Center
for Parallel Computing (PC2) zur¨
uckgegriffen werden. Dieser Parallelrechner be-
steht aus 96 Knoten mit jeweils zwei 850 MHz Pentium III Prozessoren mit 512 MB
Arbeitsspeicher und erm¨
oglicht Berechnungen auf extrem großen Rechengittern von
bis zu 16 Mio. Zellen im Vergleich zu 1 Mio. Zellen auf Einzelprozessormaschinen.
9.1. Stoffwerte der verwendeten Systeme
In der Literatur existiert eine Vielzahl von Messungen des Aufstiegsverhaltens von
Luftblasen in Wasser, z.B. von Clift u. a. (1978), Duineveld (1995), Schl¨
uter (2002)
¨
Otzkurt (2000) oder Scheid u. a. (2003). Diese sind eine gute Grundlage f¨
ur den
Vergleich mit eigenen numerischen Simulationen. Zus¨
atzlich zu den Simulationen
von Einzelblasen in Wasser (System S1) sollen auch andere newtonische Stoffsyste-
me, in diesem Fall Wasser/Glycerin Mischungen, betrachtet werden. Auch f¨
ur diese
Systeme gibt es in der Literatur Messungen, mit denen die numerischen Simula-
tionen verglichen werden k¨
onnen. Um die Anzahl freier Parameter zu reduzieren,
wurde meistens nur Luft als disperse Phase verwendet. Die Luft hat eine Dichte
99
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
von ρG= 1,12kg/m3und eine dynamische Viskosit¨
at von ηG= 18,24 ·10−4kg/ms.
Tabelle 9.1.: Stoffwerte der verwendeten Fl¨
ussigkeiten.
Glycerin- Oberfl¨
achen- Dichte Viskosit¨
at Morton- System
anteil spannung Zahl Mo
σ[N/m]ρ[kg/m3]η[Pa s] - -
00,0 Gew-% 0,0720 1000,0 0,001000 2,651 ·10−11 S1
20,0 Gew-% 0,0709 1046,9 0,001775 2,605 ·10−10 S2
40,0 Gew-% 0,0696 1099,3 0,003840 5,749 ·10−09 S3
60,0 Gew-% 0,0678 1153,8 0,009450 2,174 ·10−07 S4
80,0 Gew-% 0,0655 1208,5 0,060100 3,769 ·10−04 S5
82,0 Vol-% 0,064 1205,0 0,075 9,0·10−04 S6
88,0 Vol-% 0,063 1222,0 0,160 2,3·10−02 S7
93,0 Vol-% 0,063 1230,0 0,240 1,1·10−01 S8
98,0 Vol-% 0,063 1245,0 0,460 1,4·10+00 S9
H2O/CMC 0,072 1000,0 0,015 1,331 ·10−06 S10
H2O/CMC 0,072 1000,0 0,025 1,027 ·10−05 S11
In der Literatur liegen umfangreiche Messungen f¨
ur Wasser/Glycerin Mischungen in
unterschiedlichen Mischungsverh¨
altnissen vor. So f¨
uhrten Maxworthy u. a. (1996)
aufwendige Messungen in hochreinen Systemen durch. Der Anteil des Glycerins
variierte zwischen 1 und ann¨
ahernd 100 Gewichtsprozent (Gew-%) bzw. Massen-
prozent, was Morton-Zahlen von Mo = 7,71 ·10−12 bis 2,97 ·100entspricht. F¨
ur
den Vergleich mit den Simulationen dienen die Systeme mit jeweils 20, 40, 60 und
80 Massenprozent Glycerin (S2-S5). Weitere Messungen von Glycerin/Wasser Ge-
mischen f¨
uhrten Raymond und Rosant (2000) durch. Die Autoren variierten den
Glycerinanteil von 60 auf ann¨
ahernd 100 Volumenprozent (Vol-%). Die zugeh¨
origen
Morton-Zahlen variieren zwischen 9,0·10−7und 7,0·100. Zum Vergleich mit den
Simulationen dienten Glyceringehalte von jeweils 82, 88, 93 und 98 Vol-% (Syste-
me S6-S9). Tabelle 9.1 faßt alle Stoffdaten der f¨
ur die Simulationen verwendeten
Fl¨
ussigkeiten zusammen. Zus¨
atzlich sind die Systeme S10 und S11 aufgef¨
uhrt, das
100
9.2. Variationen der Stoffeigenschaften der dispersen Phase
aus einer Wasser/CMC (Carboxylmethycellulose) Mischung besteht. Diese Systeme
werden ausschließlich bei den Simulationen des Stofftaustauschs verwendet.
Das System S1 (ausgef¨
ulltes Symbol) besteht aus reinem Wasser. Die Systeme nach
Maxworthy u. a. S2-S5 sind mit offenen Symbolen gekennzeichnet, w¨
ahrend die Sy-
steme nach Raymond und Rosant (S6-S9) mit halboffenen Symbolen gekennzeichnet
sind.
9.2. Variationen der Stoffeigenschaften der dispersen
Phase
In einer ersten Studie wurde untersucht, welche Auswirkung eine Ver¨
anderung der
Stoffeigenschaften der dispersen Phase auf die Aufstiegsgeschwindigkeit einer 2mm
Blase in Wasser hat. Parameter sind die Viskosit¨
at und die Dichte der Gasphase
sowie die Grenzfl¨
achenspannung.
Je h¨
oher der Dichtesprung von der kontinuierlichen zur dispersen Phase ist, de-
sto schwieriger wird dessen numerische Handhabung mittels des VOF-Codes. Nur
wenige CFD-Werkzeuge sind in der Lage, das reale Dichteverh¨
altnis γ=ρL/ρG
von 1000 f¨
ur Wasser/Luft zu bew¨
altigen. Daher ist es interessant, wie stark sich
eine Erh¨
ohung der Dichte der Gasphase, bzw. eine Reduzierung des Dichteverh¨
alt-
nisses γauf die Aufstiegsgeschwindigkeit auswirkt, um ggf. das Dichteverh¨
altnis
reduzieren zu k¨
onnen.
Der linke Teil der Abbildung 9.1 zeigt die Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur Dichte-
verh¨
altnisse von 10-1000. F¨
ur ein reales Stoffsystem (γ= 1000) betr¨
agt die simulier-
te Aufstiegsgeschwindigkeit wB= 24,84cm/s. Eine Erh¨
ohung der Dichte der Gas-
phase um den Faktor 10 (γ= 100) reduziert die Geschwindigkeit auf 24,45cm/s.
Eine weitere Erh¨
ohung reduziert sie auf 23,71cm/s (γ= 50), 23,12cm/s (γ= 25)
und 22,42cm/s (γ= 10). Dies verdeutlicht, daß eine Dichteerh¨
ohung in der Gas-
phase um den Faktor 10 noch physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefert. Weitere
Erh¨
ohungen f¨
uhren zu unphysikalischen Werten.
Im rechten Teil der Abbildung 9.1 sind die Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur ver-
101
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
0,00 0,05 0,10 0,15
0
5
10
15
20
25
30
=
G
/
L
= 555 = 5
= 55
t / s
w
B
/ cm/s
κ
κ
κ
κη η
0,00 0,05 0,10 0,15
0
5
10
15
20
25
30
=
G
/
L
= 1000
= 100
= 50
= 25
= 10
t / s
w
B
/ cm/s
ρ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
ρ
Abbildung 9.1.: Einfluß des Dichte- und Viskosit¨
atsverh¨
altnis auf die Aufstiegsge-
schwindigkeit einer 2mm Blase.
Tabelle 9.2.: Aufstiegsgeschwindigkeit einer 2,0mm Luftblase bei Variation der Dichte-
und Viskosit¨
atsverh¨
altnisse und der Oberfl¨
achenspannung.
Blasen- Dichte- Viskosit¨
ats Oberfl¨
achen- Aufstiegs-
durchmesser verh¨
altnis verh¨
altnis spannung geschwindigkeit
dB[mm]γ=ρG/ρL[-] κ=ηL/ηG[-] σ[N/m]wB[cm/s]
2,0 1000 55 0,073 24,84
2,0 100 55 0,073 24,45
2,0 50 55 0,073 23,71
2,0 25 55 0,073 23,12
2,0 10 55 0,073 22,42
2,0 1000 555 0,073 23,79
2,0 1000 50,073 24,42
1,0 1000 55 0,400 28,97
1,0 1000 55 0,200 21,84
1,0 1000 55 0,073 20,13
1,0 1000 55 0,050 17,33
1,0 1000 55 0,001 6,52
102
9.2. Variationen der Stoffeigenschaften der dispersen Phase
schiedene Viskosit¨
atsverh¨
altnisse κ=ηL/ηGgezeigt. F¨
ur das reale Stoffsystem gilt
κ= 55 mit der zugeh¨
origen Aufstiegsgeschwindigkeit von wB= 24,84cm/s. Eine
Ver¨
anderung von κauf die Werte von 5 und 555 ver¨
andert die Geschwindigkeit nur
gering (wB= 24,42cm/s, bzw. 23,79cm/s).
Einen wesentlich st¨
arkeren Einfluß auf die Aufstiegsgeschwindigkeit hat eine ¨
Ande-
rung der Oberfl¨
achenspannung σ, wie Tabelle 9.2 zeigt. Schon eine leichte Redu-
zierung der Oberfl¨
achenspannung von 0,073N/m auf 0,050 f¨
uhrt zu einer starken
Verringerung der Aufstiegsgeschwindigkeit. Durch die geringere Oberfl¨
achenkraft
wird die Blase breiter und stellt der Str¨
omung einen gr¨
oßeren Widerstand durch
den vergr¨
oßerten Anstr¨
omungsquerschnitt entgegen. Besonders stark ausgepr¨
agt ist
dieser Effekt bei σ= 0,001N/m. Eine h¨
ohere Oberfl¨
achenspannung wiederum re-
duziert den Anstr¨
omungsquerschnitt und bringt h¨
ohere Aufstiegsgeschwindigkeiten
mit sich.
In der Literatur werden in einigen F¨
allen Stoffsysteme nicht durch reale Stoffwerte,
sondern lediglich durch die sie charakterisierenden Kennzahlen (Morton, Reynolds,
E¨
otv¨
os) beschrieben (Sabisch u. a. 2001). Dies hat den Vorteil, daß Dichteverh¨
altnis-
se von γ= 1000 und Viskosit¨
atsverh¨
altnisse von κ= 55 umgangen werden k¨
onnen,
sofern die relevanten Kennzahlen fixiert bleiben. Diese Vereinfachung bringt er-
hebliche Vorteile f¨
ur die Numerik. Daher soll untersucht werden, ob diese Verein-
fachung dieselben Ergebnisse liefert, wie eine Rechnung mit realen Stoffwerten.
Zun¨
achst muß ein fiktives Stoffsystem festgelegt werden, das dieselbe Morton-Zahl
von log(Mo) = −10,59 aufweist wie Wasser/Luft. Wie bei Sabisch soll das Dichte-
verh¨
altnis γ= 0,5 betragen. Die Oberfl¨
achenspannung, die Dichte des Wassers und
die in der Morton-Zahl nicht erfaßte Viskosit¨
at der dispersen Phase (hier Luft) sol-
len den realen Stoffwerten entsprechen. Die Stoffwerte von Wasser werden f¨
ur Fluid
1¨
ubernommen, die f¨
ur Fluid 2 werden so gew¨
ahlt, daß die Morton-Zahl identisch
bleibt. Somit ergeben sich f¨
ur das Stoffsystem Fluid 1/Fluid 2 folgende Stoffwerte:
Fluid1ρ∗
L= 998,2kg/m3η∗
L= 1191 ·10−6kg/ms σ = 0,073N/m
Fluid2ρ∗
G= 0,5·ρ∗
Lη∗
L= 18,24 ·10−6kg/ms
Anhand von zwei verschiedenen Blasengr¨
oßen sollen nun die beiden ”identischen”
103
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Stoffsysteme verglichen werden. Als Bezugswerte gelten die Ergebnisse des Auf-
stiegs zweier Luftblasen in Wasser. Ihre Durchmesser betragen jeweils 1 und 2mm,
was E¨
otv¨
os-Zahlen von 0,13 bzw. 0,53 entspricht. Daraus folgen Blasen des fiktiven
Systems Fluid1/Fluid2 mit Durchmessern von 1,4 und 2,8mm.
Die Ergebnisse der vier Simulationen sind in Tabelle 9.3 dargestellt. Daraus wird
deutlich, daß trotz identischer Morton- und E¨
otv¨
os-Zahlen stark unterschiedliche
Reynolds-Zahlen f¨
ur die Aufstiegsgeschwindigkeit simuliert werden.
Tabelle 9.3.: Vergleich von simulierten Blasen mit identischen Morton- und E¨
otv¨
os-
Zahlen aber unterschiedlichen Stoffwerten.
log Mo= -10.59
Wasser/Luft Fluid 1/Fluid 2 Wasser/Luft Fluid 1/Fluid 2
E¨
o / - 0,13 0,13 0,53 0,53
dB/mm 1,0 1,4 2,0 2,8
wB/cm/s 20,13 12,88 22,15 12,51
Re / - 201 151 441 294
cV M / - 0,549 0,628 0,579 0,641
W¨
ahrend f¨
ur reale Stoffwerte die experimentell gewonnenen Reynolds-Zahlen von
Reexp(1mm)≈270 und Reexp(2mm)≈640 noch ann¨
ahernd wiedergegeben werden
k¨
onnen, liefern die Simulationen mit fiktiven Stoffwerten unphysikalische Ergebnis-
se.
Ein weiterer Aspekt ist das Beschleunigungsverhalten der Blase. In Zweiphasen-
str¨
omungen kommt es immer wieder zu Beschleunigungen einer Blase, z.B. in der
Wirbelschleppe einer weiteren Blase.
Wie bereits in Abschnitt 2.2.2 erw¨
ahnt, wird bei der Beschleunigung der Blase auch
die umgebende Fl¨
ussigkeit mitbeschleunigt. Dieser Effekt wird durch den virtuel-
len Massenkoeffizient cV M ber¨
ucksichtigt. Dieser berechnet sich aus der maximalen
anf¨
anglichen Beschleunigung der Blase. Mit Hilfe der Auftriebskraft FA= ∆ρVBg,
Gleichung (2.45) und des ersten Newton’schen Gesetzes kann der virtuelle Massen-
104
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen
koeffizient unter Vernachl¨
assigung der Widerstandskraft berechnet werden gem¨
aß:
cV M =∆ρ
ρLg
a−ρG
ρL
.(9.1)
In dieser Gleichung ist adie maximale Beschleunigung zu Beginn in Bewegungsrich-
tung. Sie berechnet sich f¨
ur nicht ¨
aquidistante Zeitschritte aus folgender Gleichung
(Ferziger und Peric 2002):
ax(t) = ∂2x
∂t2i
=xi+1(ti−ti−1) + xi−1(ti+1 −ti)−xi(ti+1 −ti−1)
(ti+1 −ti)2(ti−ti−1).(9.2)
F¨
ur das hohe Dichteverh¨
altnis von Luft zu Wasser wird aus Gleichung (9.1)cV M ≈
g/a.
Die aus den Simulationen gewonnenen Koeffizienten sind ebenfalls in Tabelle 9.3
aufgef¨
uhrt. Die Abweichungen der virtuellen Massenkoeffizienten cV M der fiktiven
Systeme von den realen betragen 14,4% (E¨
o=0,13) bzw. 9,7% (E¨
o=0,53). Dieser
Vergleich zeigt, daß weder f¨
ur die Endgeschwindigkeit noch f¨
ur das Beschleuni-
gungsverhalten der Blasen m¨
oglich ist, den realen physikalischen Zusammenhang
nur durch die Fixierung der Kennzahlen korrekt wiederzugeben. Daher werden den
Simulationen in dieser Arbeit ausschließlich reale Stoffwerte zugrunde gelegt.
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen
Bedingt durch die hohen Viskosit¨
aten in der Fl¨
ussigphase und die damit verbunde-
nen niedrigen Aufstiegsgeschwindigkeiten in den Systemen (S6-S9) nach Raymond
und Rosant (2000) sinken die Reynolds-Zahlen f¨
ur kleinere Durchmesser auf sehr
kleine Werte. Dies erm¨
oglicht den Vergleich der Blasenform und der Geschwin-
digkeitsfelder mit analytischen L¨
osungen, die im Bereich Re =1 g¨
ultig sind.
W¨
ahrend f¨
ur Wasser bei kleinen Reynolds-Zahlen parasit¨
are Str¨
omungen die nu-
merischen Ergebnisse stark verf¨
alschen, spielen sie f¨
ur hohe Viskosit¨
aten kaum eine
Rolle. Die Amplitude der parasit¨
aren Str¨
omungen kann im Vorfeld nach dem An-
satz von Scardovelli und Zaleski (1999) abgesch¨
atzt werden (vgl. Gleichung 8.14).
Auch sind die Laplace und Kapillar-Zahlen weit von den kritischen Werten entfernt.
105
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
F¨
ur eine 4mm Blase des Systems S9 betragen sie beispielsweise La(4mm) = 0,18
und Ca(4mm)=0,74. Diese sind weit außerhalb des kritischen Bereiches, so daß
eine starke Beeinflussung durch die parasit¨
aren Str¨
omungen ausgeschlossen wer-
den kann. Die Gr¨
oßenordnung der parasit¨
aren Str¨
omungen betr¨
agt mit 0,16cm/s
etwa 6% der Aufstiegsgeschwindigkeit der Blase. Die folgenden Ergebnisse wurden
bereits z.T. in (Koebe u. a. 2003) ver¨
offentlicht.
9.3.1. Blasenform
F¨
ur geringe Deformationen und kleine Reynolds-Zahlen kann die Kontur einer Blase
in Kugelkoordinaten mit dem Ansatz von Taylor und Acrivos (1964) analytisch
berechnet werden:
ζ(θ) = −1
2λ We P2(cosθ)−3λ(11κ+ 10)
70(κ+ 1)
We2
4P3(cosθ) + ... (9.3)
mit
λ=1
4(1 + κ)381
80 κ3+57
20 κ2+103
40 κ+3
4−(γ−1)
12 (κ+ 1),(9.4)
mit ζ=−1 + r(θ)/rB, dem Winkel θ, dem Viskosit¨
atsverh¨
altnis κ=ηL/ηG, dem
Dichteverh¨
altnis γ=ρL/ρGund den Legendre Polynomen P2(X) = (3x2−1)/2
und P3(X) = (5x3−3x)/2. Unter Verwendung der aus den numerischen Simulatio-
nen gewonnenen Reynolds- und Weber-Zahlen k¨
onnen mit Hilfe von Gleichung 9.3
die analytischen Durchmesserverh¨
altnisse bestimmt werden. Abbildung 9.2 stellt
diese Durchmesserverh¨
altnisse den numerisch gewonnenen gegen¨
uber. Der Abbil-
dung ist zu entnehmen, daß oberhalb eines Durchmesserverh¨
altnisses von etwa 0,8
die Abweichung zwischen numerischer und analytischer L¨
osung kleiner als 5% ist.
Die numerischen Werte sind also in gutem Einklang mit den analytischen L¨
osun-
gen. Einzige Ausnahme innerhalb dieses Bereiches ist eine Simulation des Systems
S9 (h/bnumerisch = 0,84). F¨
ur diese Simulation sind die numerisch und analytisch
gewonnenen Blasenkonturen in Abbildung 9.2 explizit dargestellt. Trotz der Abwei-
chungen im Durchmesserverh¨
altnis ist eine sehr gute qualitative ¨
Ubereinstimmung
zu erkennen. F¨
ur Durchmesserverh¨
altnisse kleiner als 0,8 ist die Abweichung zu
106
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen
den analytischen L¨
osungen wesentlich gr¨
oßer, insbesondere f¨
ur die niedrigvisko-
sen Systeme S1 und S2. Allerdings ist es auch fraglich, ob f¨
ur die relativ hohen
Reynolds-Zahlen innerhalb dieser Systemen (Re > 300) die Gleichung nach Taylor
und Acrivos noch g¨
ultig ist.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
- 5%
+ 5%
S1
S6
S2
S7
S3
S8
S4
S9
S5
(h/b) analytisch
(h/b) numerisch
FS3D
analyt.
Abbildung 9.2.: Vergleich der numerischen mit analytisch bestimmten Durchmesser-
verh¨
altnissen f¨
ur geringe Reynolds-Zahlen und kleine Deformationen.
Kleines Bild: Vergleich zwischen numerischen und analytischen Bla-
senkontur.
Bei der Betrachtung der Durchmesserverh¨
altnisse der Blasen des Systems S1 wird
deutlich, daß die numerisch gewonnenen Durchmesserverh¨
altnisse systematisch zu
klein im Vergleich zu den analytischen sind. Die Blasen sind also zu flach bzw. zu
breit. Dies wiederum bedeutet, daß die Blasen in den Simulationen einen zu großen
Str¨
omungsquerschnitt aufweisen und somit auch einen gr¨
oßeren Widerstand, der
die Geschwindigkeit der Blasen reduziert. F¨
ur die Stoffsysteme der in Abbildung
9.2 nicht dargestellten Simulationen lieferte Gleichung (9.3) unphysikalische Bla-
senformen in Form einer liegenden Acht.
107
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
9.3.2. Geschwindigkeitsfelder
Analytische L¨
osungen der nichtlinearen Navier-Stokes Gleichungen existieren nur in
wenigen F¨
allen. Im Bereich der schleichenden oder Stokes’schen Str¨
omung (Re →0)
kann der Beschleunigungsterm in den Navier-Stokes Gleichungen vernachl¨
assigt
werden. Hadamard und Rybczynski leiteten unabh¨
angig voneinander die L¨
osung
der Navier-Stokes Gleichungen f¨
ur eine fluide Sph¨
are her (Clift u. a. 1978;Sadhal
u. a. 1997). Daraus folgen die Stromfunktionen ψin Polarkoordinaten f¨
ur die ¨
außere
Umstr¨
omung der Kugel
ψH,R(r, θ) = 1
2uR2sin2θr
R2−(2 + 3κ)
2(1 + κ)r
R+κ
2(1 + κ)R
r,(9.5)
und f¨
ur die Str¨
omung innerhalb der Kugel
ˆ
ψH,R(r, θ) = 1
4uR2sin2θ1
1 + κr
R2−r
R4.(9.6)
Diese Gleichungen gelten f¨
ur den rotationssymmetrischen Fall. Darin stellt κ=
ηB/ηLdas Viskosit¨
atsverh¨
altnis und Rden Blasenradius dar. Die Geschwindigkei-
ten in axialer und radialer Richtung urund uθlassen sich berechnen aus:
ur(r, θ) = −1
r2sin θ
∂ψ(r, θ)
∂θ (9.7)
uθ(r, θ) = 1
rsin θ
∂ψ(r, θ)
∂θ .(9.8)
Der Ansatz nach Hadamard und Rybczynski wurde von Taylor und Acrivos (1964)
aufgegriffen und erweitert. Taylor und Acrivos ber¨
ucksichtigen Tr¨
agheitseffekte in
den Navier-Stokes Gleichungen durch eine singul¨
are St¨
orung mit dem Parameter
= 0,5Re (Sadhal u. a. 1997). F¨
ur die Stromfunktionen gilt:
ψT,A(r, θ) = ψH,R + ψ1(r, θ),(9.9)
ˆ
ψT,A(r, θ) = ˆ
ψH,R +ˆ
ψ1(r, θ).(9.10)
108
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen
Die Korrekturterme ψ1und ˆ
ψ1k¨
onnen der Literatur entnommen werden (z.B. Tay-
lor und Acrivos 1964;Sadhal u. a. 1997). Mit Hilfe dieses Ansatzes k¨
onnen auch die
Str¨
omungsfelder um leicht deformierte Blasen berechnet werden.
Mit Gleichung (9.6) wird ein Hill’schen Wirbel beschrieben. Darin wird der kon-
vektive Anteil der Navier-Stokes Gleichungen mitber¨
ucksichtigt. Durch Ber¨
ucksich-
tigung der Zust¨
ande an der Phasengrenzfl¨
ache kann der Hill’sche Wirbel, der nor-
malerweise eine reibungsfreie Str¨
omung beschreibt, auch f¨
ur eine viskose Str¨
omung
im Inneren der Blase angewandt werden (Sadhal u. a. 1997). Durch die Reibung
reduziert sich die maximale St¨
arke des Hill’schen Wirbels.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
A
B
Abbildung 9.3.: Vergleich zwischen dem numerisch (links) und analytisch (rechts) be-
stimmten Str¨
omungsfeldes einer 4mm Blase im Gegenstrom.
Die aus diesen Gleichungen gewonnenen Str¨
omungsfelder innerhalb und außerhalb
der Blase bieten eine gute Validierungsm¨
oglichkeit f¨
ur die Ergebnisse der nume-
109
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
rischen Simulation. Gew¨
ahlt wird eine 4mm Blase des Systems S9, die mit ei-
ner Geschwindigkeit von 2,71cm/s aufsteigt. Die zugeh¨
orige Reynolds-Zahl betr¨
agt
Re = 0,29 und die Blasenform kann mit h/b = 0,985 als kugelf¨
ormig angenom-
men werden. Der qualitative Vergleich des numerisch und analytisch bestimm-
ten Str¨
omungsfeldes in Abbildung 9.3 zeigt eine sehr gute ¨
Ubereinstimmung der
Str¨
omungsstruktur und der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren. Eine n¨
ahere
Betrachtung zeigt jedoch, daß die jeweiligen Wirbelzentren im Innern der Blase
leicht gegeneinander verschoben sind. F¨
ur einen quantitativen Vergleich werden
zwei Schnitte durch das Str¨
omungsfeld n¨
aher betrachtet. Schnitt A geht durch das
Zentrum der Blase, und Schnitt B liegt am unteren Ende der Blase. Die axialen und
normalen Geschwindigkeitskomponenten innerhalb dieser Schnitte werden in Ab-
bildung 9.4 gegen¨
ubergestellt. Die Symbole kennzeichnen die numerischen Werten,
w¨
ahrend die Linien die analytischen L¨
osungen wiedergeben.
0.2 0.4 0.6 0.8
-3
-2
-1
1
2
3
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8
-3
-2
-1
1
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Schnitt A Schnitt B
y
y
y
y
w
x
w
x
w
y
w
y
FS3D
Hadamard u. Rybczynski
Taylor und Acrivos
0.2 0.4 0.6 0.8 y
-0.6
-0.4
-0.2
v
0.2 0.4 0.6 0.8
y
-3
-2
-1
1
w
0.2 0.4 0.6 0.8 y
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1v
Schnitt B
0.2 0.4 0.6 0.8 y
-3
-2
-1
1
2
3w
FS3D
Hadamard u. Rybczynski
Taylor und Acrivos
Schnitt A
Abbildung 9.4.: Vergleich zwischen numerisch (Punkte) und analytisch (Linien)
bestimmten Geschwindigkeiten in axialer (wx, oben) und radialer
(wy, unten) Richtung.
Bei der Betrachtung der Geschwindigkeitsprofile kann nur eine semiquantitative
110
9.3. Vergleich mit analytischen L¨
osungen
¨
Ubereinstimmung festgestellt werden. Die axialen und radialen Profile sind vom
selben Typ. Bedingt durch die unterschiedlichen Zentren der Wirbel liegen Diffe-
renzen von bis zu 100% der radialen und axialen Geschwindigkeit im Schnitt A
vor. Im Schnitt B kann noch von einer befriedigenden Wiedergabe der Geschwin-
digkeitsprofile gesprochen werden. Außerhalb der Blase werden die Differenzen zwi-
schen numerisch und analytisch bestimmten Geschwindigkeiten zunehmend kleiner.
Generell sind nur kleine Differenzen zwischen den beiden analytischen Ans¨
atzen
feststellbar. Bei den axialen Geschwindigkeitsprofilen kann eine bessere ¨
Uberein-
stimmung mit dem Ansatz von Taylor und Acrivos festgestellt werden. Innerhalb
der Blase und in ihrer unmittelbaren N¨
ahe liegt f¨
ur den Ansatz von Taylor und
Acrivos eine geringf¨
ugig bessere ¨
Ubereinstimmung der radialen Geschwindigkeit
mit den numerischen Werten vor. Mit zunehmendem Abstand von der Blase stim-
men die numerischen Werte besser mit dem Ansatz von Hadamard und Rybczynski
¨
uberein.
Innerhalb eines Blocks von zwei Blasendurchmessern um das Blasenzentrum herum
betr¨
agt die mittlere Abweichung zwischen den numerisch und analytisch bestimm-
ten Geschwindigkeiten 0,61cm/s, was einem Wert von 23% der Aufstiegsgeschwin-
digkeit entspricht. Bedingt durch die geringere Viskosit¨
at der Gasphase betr¨
agt die
Reynolds-Zahl dort etwa Re = 10. Daher kann in der Gasphase nicht mehr von einer
schleichenden Str¨
omung ausgegangen werden. Sie liegt also außerhalb des Geltungs-
bereiches der analyischen L¨
osungen. Eine Erh¨
ohung der Viskosit¨
at der Gasphase
um den Faktor 100 reduziert die mittlere Abweichung zwischen beiden Ans¨
atzen
auf einen Wert von 0,53cm/s, also auf weniger als 20% der Aufstiegsgeschwindigkeit.
F¨
ur diese Differenzen gibt es eine Reihe von Erkl¨
arungen. M¨
ogliche Fehlerquellen
sind der Geschwindigkeitseinlaß und die Randbedingungen in den Simulationen, die
nur N¨
aherungen der wahren Physik wiedergeben. Die analytischen L¨
osungen sind
nur N¨
aherungsl¨
osungen der Navier-Stokes Gleichungen. Sie gelten f¨
ur ein unendlich
ausgedehntes Gebiet, w¨
ahrend die Simulationen innerhalb eines quaderf¨
ormigen
Bereiches mit einem Wandabstand von vier Blasendurchmessern erfolgen. Daher
bedarf es noch weiterer Untersuchungen mit erh¨
ohtem Wandabstand, um diesen
m¨
oglichen Fehler zu minimieren. Weiterhin ist eine Beeinflussung durch parasit¨
are
111
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Str¨
omungen nicht v¨
ollig auszuschließen.
9.4. Einfluß von Gitteraufl¨
osung und Wandabstand
Die Aufstiegsgeschwindigkeiten und das Aufstiegsverhalten von Blasen in Fl¨
ussig-
keiten h¨
angt bei numerischen Simulationen von der Aufl¨
osung des Rechengebiets
und dem Wandabstand ab. Bei der sogenannten Direkten Numerischen Simulation
(DNS) wird eine r¨
aumlich und zeitlich diskretisierte Form der relevanten Bilanz-
gleichungen gel¨
ost, wobei keine zus¨
atzliche Modellierung der vom Gitter nicht mehr
aufgel¨
osten Skalen erfolgt. Um alle relevanten Gr¨
oßen erfassen zu k¨
onnen, m¨
ussen
die jeweiligen L¨
angenskalen durch die Diskretisierung aufgel¨
ost werden. In der Wir-
belschleppe hinter der Blase befindet sich die Str¨
omung im ¨
Ubergangsbereich zur
turbulenten Str¨
omung. Daher ist zu erwarten, daß die Kolmogorov’sche L¨
angens-
kala λKeine Rolle spielt. Sie ist definiert als:
λK=ν3
εD
1
4
(9.11)
mit der auf die Masse bezogenen Rate der Energiedissipation εD. F¨
ur den Fall der
aufsteigenden Blasen kann sie abgesch¨
atzt werden zu εD=wBg. Um eine wahre
Direkte Numerische Simulation durchzuf¨
uhren muß die Kolmogorov’sche L¨
angens-
kala fein genug aufgel¨
ost werden. Dies erweist sich bei niedrigviskosen Systemen als
problematisch, da die L¨
angenskala dort sehr klein wird. Auf den folgenden Seiten
soll untersucht werden, ob auch eine weniger feine Aufl¨
osung des Rechengebietes
physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefern kann. Weiterhin soll der Einfluß des Wan-
dabstandes n¨
aher untersucht werden.
Aufl¨
osung des Blasendurchmessers und des Rechengebietes
Erste Richtwerte f¨
ur die Aufl¨
osung des Blasendurchmessers und damit auch des
Rechengebietes k¨
onnen der Literatur entnommen werden. Tomiyama u. a. (1998a)
l¨
oste den Blasendurchmesser f¨
ur dreidimensionale Simulationen mit wenigstens
14 Zellen auf, um physikalisch sinnvolle Aufstiegsgeschwindigkeiten zu erreichen.
Unverdi und Tryggvason (1992) sowie Sabisch u. a. (2001) nahmen 16 Zellen zur
112
9.4. Einfluß von Gitteraufl¨
osung und Wandabstand
Aufl¨
osung des Durchmessers.
In einer weiteren Studie sollen die Aufl¨
osungen f¨
ur zwei unterschiedliche Durch-
messer variiert und die zugeh¨
orige Aufstiegsgeschwindigkeit der Blase bestimmt
werden. Der Wandabstand betr¨
agt wie bei Sabisch u. a. vier Blasendurchmesser.
Der Durchmesser der Luftblasen in Wasser ist auf dB= 1,3mm festgelegt. Aus
Experimenten ist bekannt, daß eine Blase diesen Durchmessers mit etwa 35cm/s
geradlinig aufsteigt. Daher kann das Rechengebiet durch 2 Symmetrieebenen ver-
kleinert werden. Als Randbedingungen werden Schlupfbedingungen an der Unter-
seite und den W¨
anden, sowie eine Druckrandbedingung am Auslaß gew¨
ahlt. Die
Blase steigt in ruhender Fl¨
ussigkeit auf. Zu Beginn der Simulation ist sie sph¨
arisch.
Bis zum Erreichen ihrer station¨
aren Aufstiegsgeschwindigkeit muß die Blase eine
ausreichende Strecke zur¨
ucklegen, das Gebiet muß also hinreichend lang gew¨
ahlt
werden. Im vorliegenden Fall erweist sich ein Gebiet von 2,08cm x 0,26cm x 0,26cm
als ausreichend groß. Tabelle 9.4 faßt alle Aufl¨
osungen und Einstellungen der Si-
mulationen f¨
ur die 1,3mm Blase zusammen.
Betr¨
agt die Aufl¨
osung des Durchmessers lediglich 8 Zellen, so ist die Aufstiegs-
geschwindigkeit mit wB(8Zellen) = 19,0cm/s verglichen mit der experimentellen
Geschwindigkeit von 35cm/s viel zu klein. Daher wird die Aufl¨
osung nun sukzessi-
ve so lange erh¨
oht, bis eine Gitterunabh¨
angigkeit vorliegt. Der Mehrgitterl¨
oser des
verwendeten Programmes l¨
aßt nur eine Verdoppelung der Zellenzahl pro Raumrich-
tung zu. Daher wird der Durchmesser nun mit 16 Zellen aufgel¨
ost. Die Aufstiegs-
geschwindigkeit erh¨
oht sich auf diese Weise auf wB(16Zellen) = 23,95cm/s. Eine
weitere Erh¨
ohung auf 32 und 64 Zellen pro Durchmesser bringt Geschwindigkei-
ten von wB(32Zellen) = 25,48cm/s und wB(64Zellen) = 30,58cm/s mit sich. Zu
diesem Zeitpunkt ist noch keine Gitterunabh¨
angigkeit zu erkennen. Die Zellgr¨
oße
ist jetzt erstmals mit 0,02mm Kantenl¨
ange geringf¨
ugig unterhalb der Kolomogo-
rov’sche L¨
angenskala mit λK= 0,027mm. Es liegt also noch keine hinreichend
hohe Aufl¨
osung vor. F¨
ur diese gr¨
oßte maximale Aufl¨
osung in 3D befinden sich 2563
Zellen im Rechengebiet. Die Rechenzeit betr¨
agt auf einem Parallelrechner mit 128
Prozessoren mehrere Tage. F¨
ur den dreidimensionalen Fall ist daher keine weitere
113
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Erh¨
ohung der Zellenzahl m¨
oglich.
Tabelle 9.4.: Aufstiegsgeschwindigkeit einer 1,3mm Luftblase in Wasser in Abh¨
angig-
keit von der Aufl¨
osung des Rechengebiets.
Blasen- Aufl¨
osung des Dimen- Zellen pro Aufstiegs-
durchmesser Rechengebiets sionen Durchmesser geschwindigkeit
dB[mm] [-] [-] [-] wB[cm/s]
1,3 128x16x16 3D 8 19,04
1,3 256x32x32 3D 16 23,95
1,3 512x64x64 3D 32 25,48
1,3 1024x128x128 3D 64 30,58
1,3 256x64x1 2D 16 18,30
1,3 512x128x1 2D 32 20,40
1,3 1024x256x1 2D 64 22,36
1,3 2048x512x1 2D 128 23,29
Im zweidimensionalen Fall kann eine weitere Gitterverfeinerung vorgenommen wer-
den. Wie aus der Tabelle ersichtlich wird, ist selbst f¨
ur eine Aufl¨
osung von 128 Zellen
pro Durchmesser noch keine Gitterinvarianz zu erkennen. Zwar ist die Kolmogorov
L¨
angenskala hier mit etwa 2,5 Zellen aufgel¨
ost, aber es ist v¨
ollig unklar, ob die Kri-
terien f¨
ur den 3D auf den 2D Fall ¨
ubertragbar sind. Da die Zeitschrittweite in den
Simulationen quadratisch proportional zur Zellgr¨
oße ist, betr¨
agt die Rechenzeit f¨
ur
diesen Fall fast eine Woche, so daß auf eine weitere Verfeinerung verzichtet wurde.
Auch ist aus Tabelle 9.4 erkennbar, daß die Geschwindigkeiten im zweidimensiona-
len Fall weit unter den Werten in 3D liegen, so daß eine vereinfachende Reduzierung
der Raumdimensionen nicht sinnvoll ist. Die starke Abh¨
angigkeit von der Diskre-
tisierung ist nur bei kleineren Blasendurchmessern gegeben. Bei einer 8mm Blase
erh¨
oht sich die Aufstiegsgeschwindigkeit bei einer Erh¨
ohung der Diskretisierung
von 16 auf 32, bzw. 64 Zellen pro Durchmesser nur um ca. 6% von 20,69cm/s auf
21,91cm/s, bzw. um 11% auf 23,06cm/s. Warum sich die Aufstiegsgeschwindigkeit
der 8mm Blase nur sehr gering im Vergleich zu der 1,3mm Blase erh¨
oht hat, konnte
114
9.4. Einfluß von Gitteraufl¨
osung und Wandabstand
nicht gekl¨
art werden und bedarf noch weiterer Untersuchungen.
Im zweiten Teil der Studie wird der Aufstieg einer 4mm Blase in einer viskosen
CMC-L¨
osung (S10) untersucht (ηL= 15mPas). Die Aufl¨
osungen und die zugeh¨
ori-
gen Geschwindigkeiten k¨
onnen Tabelle 9.5 entnommen werden. F¨
ur dieses System
liegt bereits ab einer Aufl¨
osung von 64 Zellen pro Durchmesser praktisch Gitter-
invarianz vor. Bei einer Aufl¨
osung von 32 Zellen pro Blasendurchmesser ist die
Kolmogorov’sche Skala bereits mit 2 Zellen aufgel¨
ost.
Tabelle 9.5.: Aufstiegsgeschwindigkeit einer 4,0mm Luftblase in einer CMC-L¨
osung in
Abh¨
angigkeit von der Aufl¨
osung des Rechengebiets.
Blasen- Aufl¨
osung des Dimen- Zellen pro Aufstiegs-
durchmesser Rechengebiets sionen Durchmesser geschwindigkeit
dB[mm] [-] [-] [-] wB[cm/s]
4,0 256x64x1 2D 16 14,90
4,0 512x128x1 2D 32 15,92
4,0 1024x256x1 2D 64 16,36
4,0 2048x512x1 2D 128 16,43
Obwohl das Ergebnis f¨
ur h¨
ohere Aufl¨
osungen das physikalisch sinvollste ist, muß
aufgrund der limitierten Rechenkapazit¨
at und -zeit ein sinnvoller Kompromiß ge-
w¨
ahlt werden. Die Kolmogorov’sche L¨
angenskala kann nur f¨
ur h¨
oherviskose Syste-
me hinreichend genau aufgel¨
ost werden. Solange nichts anderes angegeben ist, wird
die Aufl¨
osung des Blasendurchmessers f¨
ur alle nachfolgenden Simulationen auf 16
Zellen limitiert. Dies reduziert die Dauer der Simulation insbesondere bei langen
Rechengebieten auf ein ertr¨
agliches Maß und liefert trotzdem physikalisch durchaus
sinnvolle Resultate, insbesondere bei gr¨
oßeren Blasendurchmessern (s.o.).
Variation der Wandabst¨
ande
Aus der Anschauung ist klar, daß ein geringer Wandabstand Einfluß auf die Auf-
stiegsgeschwindigkeiten einer Blase hat. W¨
ahrend in Experimenten der Wandabstand
fast ausschließlich deutlich gr¨
oßer als der Blasendurchmesser ist (dWdB), so ist
115
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
er in den Simulationen auf wenige Blasendurchmesser begrenzt.
Tabelle 9.6 zeigt den Einfluß des Wandabstandes auf die Aufstiegsgeschwindigkeit
einer 4, 5 und 8 mm Luftblase in Wasser. Der Aufstieg der Blase erfolgt in diesem
Fall ohne Symmetriebedingungen in einem Gebiet mit Schlupfrandbedingungen an
den W¨
anden und wiederum einer Druckrandbedingung. Ein Wandabstand von nur
2 Blasendurchmessern f¨
uhrt f¨
ur eine 4mm Blase zu einer Aufstiegsgeschwindigkeit
von lediglich 17,47cm/s (Experiment etwa 25cm/s). Dieser Wert steigt bei einer
Verdopplung des Abstandes auf 22,79cm/s. Eine weitere Verdoppelung erh¨
oht die-
sen Wert um 2,0% auf 23,24cm/s und eine Vervierfachung um 2,5% auf 23,35cm/s.
F¨
ur die 5 und 8mm Blase ergeben sich ¨
ahnliche Ergebnisse. Somit l¨
aßt sich fest-
stellen, daß bei einem Wandabstand von vier Blasendurchmessern die Aufstiegsge-
schwindigkeit sinnvoll wiedergeben wird.
Tabelle 9.6.: Einfluß des Wandabstandes auf die Aufstiegsgeschwindigkeit. (Schlupf-
Randbedingungen, 16 Zellen pro Durchmesser).
Blasen- Wand- Aufstiegs-
durchmesser abstand geschwindigkeit
dB[mm]dW/dB[−]wB[cm/s]
4,0 2 18,31
4,0 4 22,79
4,0 8 23,24
4,0 16 23,35
5,0 2 17,01
5,0 4 22,20
5,0 8 22,69
8,0 2 14,33
8,0 4 20,69
8,0 8 21,13
Durch die Wahl der Schlupf-Randbedingungen liegt an den W¨
anden kein Geschwin-
116
9.4. Einfluß von Gitteraufl¨
osung und Wandabstand
digkeitsgradient der tangentialen Geschwindigkeitskomponente vor. Diese Konstel-
lation entspricht einem sehr großen Wandabstand. Reale Wandungen sind jedoch
an der Oberfl¨
ache rauh, so daß das Fluid dort haftet. Um diese Tatsache in den
Simulationen wiederzugeben, m¨
ussen Haftbedingungen an den W¨
anden gew¨
ahlt
werden. Die Simulationen entsprechen dann einem engen Rechteckkan¨
alen in de-
nen die Blasen aufsteigen.
Zur Untersuchung des Einflusses des Wandabstands von rauhen W¨
anden wird der
Aufstieg von Blasen mit 4 bzw. 5mm Durchmesser untersucht. Die Wandabst¨
ande
betragen 2 und 4 Blasendurchmesser f¨
ur die 5 mm Blase und 2, 4 und 8 Blasen-
durchmesser f¨
ur die 4mm Blase. Der Vergleich von Tabelle 9.6 und 9.7 zeigt, daß
die Aufstiegsgeschwindigkeit erwartungsgem¨
aß signifikant durch die Haftungsbedin-
gungen an der Wand reduziert wird. Die Herabsetzung der Aufstiegsgeschwindigkeit
mit sinkendem Wandabstand ist allerdings geringer als bei Schlupfbedingungen.
Die Reduzierung der Aufstiegsgeschwindigkeit l¨
aßt sich auch anhand experimentell
gewonnener Reduzierungsfaktoren vorausbestimmen, mit denen die Aufstiegsge-
schwindigkeiten multipliziert werden. Krishna u. a. (1999b) geben folgende Faktoren
SF an, mit der die Geschwindigkeiten in engen Gef¨
aßen reduziert werden:
SF = 1 dB/dW<0,125
SF = 1,13 exp(−dB/dW) 0,125 < dB/dW<0,6
SF = 0,496pdW/dBdB/dW>0,6.
(9.12)
Ein weiterer Ansatz findet sich bei Clift u. a. (1978):
wB
wB,∞
="1−dB
dW2#3/2
.(9.13)
In Tabelle 9.7 sind die vorrausberechneten Geschwindigkeiten nach den beiden
Ans¨
atzen aufgef¨
uhrt. Als Bezugsgeschwindigkeit gilt die numerisch ermittelte Ge-
schwindigkeit f¨
ur einen Wandabstand von 4 Blasendurchmessern mit Schlupfbedin-
gungen. Der Tabelle ist zu entnehmen, daß sich die Reduzierung der Geschwindig-
keit f¨
ur Abst¨
ande von 4 und 8 Durchmessern geringf¨
ugig besser mit dem Ansatz von
Clift u. a. (1978) wiedergeben l¨
aßt als mit dem Ansatz von Krishna u. a. (1999b).
F¨
ur einen Wandabstand von nur 2 Durchmessern liegen die vorhergesagten Werte
117
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Tabelle 9.7.: Einfluß des Wandabstandes auf die Aufstiegsgeschwindigkeit. (Haft-
Randbedingungen, 16 Zellen pro Durchmesser).
Blasen- Wandabstand / Durchmesser- Aufstiegs- skalierte Geschwindigkeit
durchmesser Blasendurchm. verh¨
altnis geschwindigkeit Krishna u. a. Clift u. a.
dB[mm]dW/dB[−]h/b [−]wB,rauh [cm/s]wB,glattSFKwB,glattSFCGW
4,0 2 0,40 17,96 15,52 14,71
4,0 4 0,47 20,14 19,92 20,53
4,0 8 0,46 21,64 22,58 22,11
5,0 2 0,38 16,91 15,01 14,25
5,0 4 0,46 19,33 19,87 19,28
f¨
ur beide Blasendurchmesser unterhalb der numerischen Werte f¨
ur rauhe W¨
ande.
Hier erweist sich jedoch der Ansatz nach Krishna u. a. als der bessere.
Die Betrachtung des Durchmesserverh¨
altnisses h/b in Tabelle 9.7 zeigt, daß f¨
ur
geringe Wandabst¨
ande (dW/dB= 2) eine andere Blasenform vorliegt; die Blasen
sind insgesamt flacher als f¨
ur gr¨
oßere Wandabst¨
ande. Oberhalb eines Wandabstands
von dW/dB>4 kann kein Einfluß des Wandabstands auf das Durchmesserverh¨
alt-
nis festgestellt werden. Die hier untersuchten Blasen sind alle formstabil. Ob diese
Aussage auch f¨
ur formdynamische Blasen gilt, wird in Kapitel 9.5.4 n¨
aher unter-
sucht.
9.5. Einzelblasen
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Simulation von einzelnen Blasen.
Die Resultate sind auf den nachfolgenden Seiten dargestellt. Sofern nichts ande-
res erw¨
ahnt ist, sind die Randbedingungen bei den Simulationen stets Schlupfbe-
dingungen mit einer Druckrandbedingung am Auslaß. Der Wandabstand betr¨
agt
4 Blasendurchmesser. Obwohl feine Aufl¨
osungen des Blasendurchmessers physika-
lisch sinnvolle Ergebnissen liefern, wird dessen Aufl¨
osung auf 16 Zellen begrenzt, da
bei gr¨
oßeren Blasendurchmessern als 1,3 mm f¨
ur Blasen in Wasser kein geradliniger
118
9.5. Einzelblasen
Aufstieg mehr vorliegt und somit eine komplette 3D Simulation ohne Symmetrie
notwendig ist. Eine Aufl¨
osung mit 32 Zellen pro Durchmesser w¨
are aufgrund sehr
langer Rechenzeiten nicht praktikabel. Ab einer Viskosit¨
at von ηL>7mPas stei-
gen die Blasen nur noch senkrecht auf (Schl¨
uter 2002), so daß f¨
ur die Simulationen
wiederum 2 Symmetriebedingungen gew¨
ahlt werden k¨
onnen.
Anfangsbedingungen
In den Experimenten ist die Fl¨
ussigkeit bei freiem Aufstieg der Blase nie vollst¨
andig
in Ruhe. Durch die Blasenerzeugung, Temperaturdifferenzen oder leichte Ersch¨
utte-
rungen k¨
onnen geringe Fl¨
ussigkeitsbewegungen verursacht werden, die das Auf-
stiegsverhalten der Blase beeinflussen k¨
onnen. In den numerischen Simulationen
hingegen fehlen diese Einfl¨
usse. Um die Simulation daher realistisch zu gestal-
ten, wird dem Geschwindigkeitsfeld der Fl¨
ussigkeit ein anf¨
angliches Grundrauschen
¨
uberlagert. Die Werte des Rauschens unterliegen einer Gauß’schen Normalvertei-
lung. Verdeutlicht wird der Einfluß des Grundrauschens in Abbildung 9.5.
Dort sind zwei 6mm Blasen in einem anf¨
anglichen vertikalen Abstand von 4dB
dargestellt. Der linke Teil der Abbildung zeigt die Blasen ohne verrauschte An-
fangsbedingungen. Der Verlauf der Geschwindigkeitskonturen ist absolut symme-
trisch. Dieser Fall ist jedoch, verglichen mit Experimenten, eher unrealistisch. Bei
einem leichten Anfangsrauschen von 0,5cm/s verlieren die Geschwindigkeitsfelder
ihre Symmetrie, wie im rechten Teil der Abbildung zu erkennen ist. Diese Asym-
metrie beeinflußt auch die nachlaufende Blase. W¨
ahrend sie ohne Grundrauschen
noch in Linie mit gleicher Ausrichtung zu ersten Blase aufsteigt, ist sie im Fall mit
Rauschen leicht aus der Horizontalen geneigt, was wesentlich realistischer ist. In
einer Studie wird die Standardabweichung des anf¨
anglichen Grundrauschens von
0,25 −1,0cm/s variiert.
Abbildung 9.6 zeigt die mittlere Geschwindigkeit ¯wLin der Fl¨
ussigphase. Hieraus
wird deutlich, daß bereits nach wenigen Millisekunden kaum noch ein Einfluß des
Anfangsrauschens erkennbar ist, da die ¨
uberlagerte, stark anwachsende mittlere
Geschwindigkeit im System durch den Blasenaufstieg auf wesentlich h¨
ohere Werte
ansteigt. Allerdings entstehen in Simulationen mit Anfangsrauschen von mehr als
0,5cm/s teilweise unphysikalische Ergebnisse, wie z.B. eine zu starke Beeinflussung
119
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung 9.5.: Einfluß des ¨
uberlagerten Grundrauschens innerhalb der Fl¨
ussigpha-
se auf das Aufstiegsverhalten zweier 6mm Blasen in Wasser. links:
wL,SD(t= 0) = 0,0cm/s , rechts: wL,SD(t= 0) = 0,5cm/s .
der zweiten Blase in ihrem Aufstiegsverhalten. Daher ist das Rauschen auf 0,5cm/s
begrenzt. Allen in dieser Arbeit vorgestellten Simulationen von Luftblasen in Was-
ser liegt ein Rauschen von 0,5cm/s zugrunde.
9.5.1. Aufstiegsgeschwindigkeiten
In dieser Arbeit sind eine Reihe von Stoffsystemen untersucht worden. Zun¨
achst
sollen die Ergebnisse f¨
ur das System Wasser/Luft (S1) vorgestellt werden. Den Si-
mulationen von Luftblasen in Wasser (S1) schließen sich solche in Wasser/Glycerin
Gemischen (S2-S9) an.
120
9.5. Einzelblasen
-0,025
0,000 0,025 0,050 0,075
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1,00 cm/s
0,75 cm/s
0,50 cm/s
0,25 cm/s
0,00 cm/s
w
L,SD
(t=0)=
Mittlere Geschwindigkeit w
L
/ cm/s
Zeit t / s
Abbildung 9.6.: Zeitlicher Verlauf der mittleren Geschwindigkeit in der Fl¨
ussigphase
in Abh¨
angigkeit des Anfangsrauschens.
Luftblasen in Wasser
In diesem Abschnitt wird f¨
ur eine Reihe von Blasengr¨
oßen das Aufstiegsverhalten
und die Aufstiegsgeschwindigkeit n¨
aher betrachtet. Der Durchmesser der Blase va-
riiert zwischen 0,2-18mm. Die Blasen mit einem Durchmesser von 0,2 und 0,5mm
steigen mit sehr geringer Aufstiegsgeschwindigkeit von wB<15cm/s auf. Die gerin-
gen Geschwindigkeiten, in Kombination mit der geringen Viskosit¨
at und der hohen
Oberfl¨
achenspannung des Wassers f¨
uhren dazu, daß verst¨
arkt parasit¨
are Str¨
omun-
gen (vgl. Kapitel 8.2) auftreten, die zu unphysikalischen Resultaten f¨
uhren. F¨
ur
diese beiden Blasengr¨
oßen liegen Kapillar-Zahlen von Ca(0,2mm)=3,48 ·10−4
und Ca(0,5mm) = 1,23 ·10−3, sowie Laplace-Zahlen von La(0,2mm) = 7,5·104
bzw. La(0,5mm)=1,83 ·105vor. Innerhalb dieses Bereiches der Kennzahlen ist
mit starken Beeinflussungen der Blasen durch parasit¨
are Str¨
omungen zu rechnen
(Scardovelli und Zaleski 1999). So wandert die 0,5mm Blase in einer vollen 3D
Simulation nach einem anf¨
anglichen Aufstieg teilweise wieder seitlich nach unten
entgegen ihrer Aufstiegsrichtung. Wird die Blase jedoch durch die Verwendung von
zwei Symmetrieebenen auf eine geradlinige Aufstiegsbahn gezwungen, kann noch
ein physikalisch sinnvolles Ergebnis erreicht werden.
121
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung 9.7 zeigt die numerisch bestimmten Aufstiegsgeschwindigkeiten in dem
Diagramm nach Gaudin (Gaudin 1957;Clift u. a. 1978). Zus¨
atzlich sind noch die
in Kapitel 5bereits erw¨
ahnten Meßwerte nach Duineveld, Schl¨
uter und eigenen
Messungen in die Abbildung eingezeichnet. Der Abbildung ist zu entnehmen, daß
der Verlauf f¨
ur reines Wasser (obere Begrenzungskurve des grau hinterlegten Be-
reichs) in den Simulationen qualitativ gut wiedergegeben wird. Blasen mit einem
Durchmesser kleiner als 1 −3mm steigen in den Simulationen zu langsam auf. Wie
schon in Tabelle 9.4 gezeigt, ist dies auf die zu geringe Aufl¨
osung des Rechengitters
zur¨
uckzuf¨
uhren. F¨
ur Blasen gr¨
oßer als 3mm k¨
onnen die Geschwindigkeiten auch
quantitativ gut wiedergegeben werden. Die gemessenen Blasengeschwindigkeiten
mit geringer Anfangsdeformation liegen jedoch teilweise unterhalb denen der Simu-
lationen.
Blasendurchmesser d
B
/ mm
Eötvös-Zahl Eö / -
Aufstiegsgeschwindigkeit w
B
/ cm/s
Destilliertes Wasser
Leitungswasser (Schlüter)
Destilliertes Wasser (Duineveld)
Simulationen
Abbildung 9.7.: Vergleich zwischen simulierten Aufstiegsgeschwindigkeiten und expe-
rimentellen Werte.
Tomiyama u. a. (2002) geben als Grund f¨
ur die z.T. großen Abweichungen zwischen
Experiment und Simulation die anf¨
anglich sph¨
arische Form der Blasen in den Si-
122
9.5. Einzelblasen
mulationen an. Dem gegen¨
uber stehen anf¨
anglich unterschiedlich stark deformierte
Blasen in den Experimenten. Die aus den Simulationen gewonnenen Geschwindig-
keiten sind oft viel niedriger als im Vergleich mit reinen Systemen zu erwarten w¨
are.
Sie liegen oft im Bereich von kontaminierten Systemen, obwohl in den Simulatio-
nen ”reinste” Fl¨
ussigkeiten vorliegen. Daher soll nun untersucht werden, ob eine
anf¨
anglich stark deformierte Blase in den Simulationen eine h¨
ohere Aufstiegsge-
schwindigkeit liefert als eine sph¨
arische. Um eine m¨
oglichst gute Vergleichbarkeit
mit den Experimenten von Tomiyama u. a. zu gew¨
ahrleisten, wird ebenfalls eine
3mm Blase gew¨
ahlt. Der Erfassungsbereich der Autoren liegt etwa 20cm ober-
halb der D¨
use. Als Simulationsbereich dient ein 38,2cm ×1,2cm ×1,2cm langes
Gebiet (2048×64×64 Zellen). Als Referenz diente die Simulation einer anf¨
anglich
sph¨
arischen Blase mit h/b(t= 0) = 1. Die Blase erreicht schnell ihre konstante
Aufstiegsgeschwindigkeit von 23,7cm/s. Die zweite Blase ist zu Beginn l¨
anglich
stark deformiert mit h/b(t=0)=3,0. Wie dem zeitlichen Verlauf der Geschwin-
digkeiten in Abbildung 9.8 zu entnehmen ist, erreichen beide Blasen - trotz stark
unterschiedlicher Anfangsform - nn¨
ahernd die gleiche Endgeschwindigkeit. Die an-
fangs deformierte Blase zeigt jedoch in den ersten 0,08s eine stark schwankende
Geschwindigkeit, was mit ihren Formschwankungen zu erkl¨
aren ist. Auch sind die
Deformationen nach Erreichen der Endgeschwindigkeit ann¨
ahernd identisch mit
(h/b)sph¨arisch = 0,47 und (h/b)deformiert = 0,46.
Es l¨
aßt sich also festhalten, daß im Gegensatz zu Experimenten die Anfangsdefor-
mation so gut wie keinen Einfluß auf das Aufstiegsverhalten der Blase hat. Dies legt
die Schlußfolgerung nahe, daß einige physikalische Effekte mit der VOF-Methode
nicht erfaßt werden. Da die Phasengrenzfl¨
ache im Gegensatz zur Front Tracking Me-
thode nicht explizit erfaßt wird, sondern nur aus der Verteilung der VOF-Variablen
fberechnet wird, k¨
onnen auch leichte St¨
orungen auf der Oberfl¨
ache nicht verfolgt
werden. Es w¨
are daher interessant, ob die Front Tracking Methode auch f¨
ur unter-
schiedliche Anfangsformen ¨
ahnliche Ergebnisse liefert.
Einteilung in Blasenregime nach Maxworthy u.a.
Brauer (1971a) schl¨
agt f¨
ur die Blasenform und das Aufstiegsverhalten vier typische
123
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
0,00 0,05 0,10
0,8 1,0
0
5
10
15
20
25
30
runde Anfangsform
deformierte Anfangsform
Geschwindigkeit w
B
/ cm/s
Zeit t / s
Abbildung 9.8.: Aufstiegsgeschwindigkeiten von zwei 3mm Luftblasen in Wasser mit
unterschiedlicher Anfangsdeformation.
Regime vor (vgl. Kapitel 2.2.1). Maxworthy u. a. (1996) hingegen liefern eine dif-
ferenziertere Einteilung f¨
ur das Aufstiegsverhalten, das sich nicht nur anhand der
Blasenform, sondern auch mit Hilfe der Weber- und Froude-Zahlen charakterisieren
l¨
aßt (s. Abbildung 9.9). Maxworthy u. a. teilen die Blasengr¨
oßen in 6 verschiedene
Bereiche, bzw. Regime ein, die anhand der Weber- und Froude-Zahl charakteri-
siert werden k¨
onnen. Die Froude-Zahl setzt die Tr¨
agheits- und die Schwerkraft ins
Verh¨
altnis (Fr =w2
B/gdB). Blasen kleinen Durchmessers verhalten sich wie feste
Partikel. Dieser Bereich (B1) ist in Abbildung 9.9 nicht dargestellt. Mit steigendem
Durchmesser erfolgt eine Mobilisierung der Grenzfl¨
ache. Der Bereich innerhalb dem
die zuvor immobile Grenzfl¨
ache der Blase mobil wird, bezeichnen Maxworthy u.a.
als ¨
Ubergangsbereich (B2). Die Aufstiegsgeschwindigkeit in den Regimen (B1) und
(B2) h¨
angt lediglich von der Viskosit¨
at der Fl¨
ussigkeit und der Erdbeschleunigung
ab. Dem ¨
Ubergangsbereich (B2) schließt sich ein Regime konstanter Weber-Zahl
an (B3). Die trennende Bereichsgrenze zwischen (B2) und (B3) wird durch das
Maximum der Froude-Zahl festgelegt (vgl. Abbildung 9.9). Die konstante Weber-
Zahl innerhalb des Bereiches (B3) h¨
angt f¨
ur beliebige Systeme nur schwach von
124
9.5. Einzelblasen
der Morton-Zahl, sprich der Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase ab, jedoch stark von der
Oberfl¨
achenspannung σ. Der darin dominierende Einfluß der Oberfl¨
achenspannung
nimmt mit steigender E¨
otv¨
os-Zahl immer st¨
arker ab. An diesen Bereich schließt
sich ein mittleres ¨
Ubergangsregime (B4) bis zu einer E¨
otv¨
os-Zahl von E¨o≈7 an.
Darin lassen sich alle experimentellen Daten gut durch
We = 2,5E¨o1/3(9.14)
wiedergeben. Danach erfolgt ein weiteres ¨
Ubergangsregime (B5) hin zu dem Bereich
der Schirmblasen (B6), die ab E¨o= 40 auftreten. Die Froude-Zahl n¨
ahert sich hier
dem aus der Literatur bekannten asymptotischen Wert von 0,5 f¨
ur Schirmblasen
an. F¨
ur die Weber-Zahl gilt hier
We = 1,25 + 0,5E¨o7.E¨o.40 (9.15)
Der Einfluß der Oberfl¨
achenspannung kann hier als gering eingesch¨
atzt werden.
Der Bereich der Schirmblasen kann als unabh¨
angig von den Stoffeigenschaften an-
gesehen werden. Hier gilt Fr = 0,5 und CD= 8/3 (Clift u. a. 1978). Mit dieser
Einteilung in 6 Regime gehen Maxworthy u. a. (1996)¨
uber die in der Literatur
h¨
aufig anzutreffende Einteilung in 3 oder 4 Bereiche (Haberman und Morton 1956;
Clift u. a. 1978) bzw. (Brauer 1971a) hinaus.
Abbildung 9.9 zeigt die experimentell und numerisch bestimmten Weber- und Froude-
Zahlen als Funktion der E¨
otv¨
os-Zahl. Daraus wird deutlich, daß im ¨
Ubergangsbe-
reich (B2) (E¨o < 0,2) die Weber-Zahl quantitativ gut wiedergegeben wird. Der
Bereich konstanter Weber-Zahl (0,2< E¨o.1,3) l¨
aßt sich jedoch in den Simu-
lationen nicht wiederfinden. Innerhalb dieses Bereiches f¨
allt die Geschwindigkeit
in den Experimenten quadratisch mit steigendem Durchmesser ab. In den Simula-
tionen ist der Abfall der Geschwindigkeit nicht so stark ausgepr¨
agt. In dem sich
anschließenden mittleren ¨
Ubergangsbereich (B4) (1,3.E¨o.7) stimmen die nu-
merischen Werte sowohl mit den experimentellen als auch mit denen aus Gleichung
(9.14) gut ¨
uberein.
Im ¨
Ubergangsbereich zu den Kappenblasen (7 .E¨o.40) liegt qualitativ wieder-
um eine gute ¨
Ubereinstimmung mit dem Experiment sowie mit Gleichung (9.15)
vor. Quantitativ liegen die Werte unterhalb der experimentellen Werte.
125
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
0,01
0,1
1
10
0
5
10
15
B6
B5
B4
B3
B2
We = 2,5 Eö
1/3
We = 1,25 + 0,5 Eö
We (Simulation)
Fr (Simulation)
We (Experiment)
Fr (Experiment)
Fr, We / -
Eötvös-Zahl Eö / -
Abbildung 9.9.: Weber- und Froude-Zahl als Funktion der E¨
otv¨
os-Zahl. Vergleich zwi-
schen Experiment (Maxworthy u. a. 1996) und Simulation.
Der Vergleich mit dem Quadrat der Froude-Zahl zeigt z.T. erhebliche Differenzen
zwischen Experiment und Simulation f¨
ur die ersten beiden Regime (1 .E¨o), die
sich wiederum mit den numerisch zu gering bestimmten Aufstiegsgeschwindigkei-
ten innerhalb dieses Bereichs erkl¨
aren lassen. F¨
ur h¨
ohere E¨
otv¨
os-Zahlen (E¨o > 1)
hingegen kann eine gute ¨
Ubereinkunft zwischen Experiment und Simulationen fest-
gestellt werden.
Zusammenfassend l¨
aßt sich aus der Betrachtung des Verlaufs der Weber- und der
Froude-Zahl feststellen, daß die experimentellen Daten f¨
ur 1 .E¨o.8 gut mit den
Simulationen wiedergegeben werden k¨
onnen. W¨
ahrend f¨
ur gr¨
oßere E¨
otv¨
os-Zahlen
die Froude-Zahl immer noch in guter ¨
Ubereinstimmung mit den Experimenten ist,
zeigen sich systematische Differenzen zwischen numerisch und experimentell be-
stimmten Weber-Zahlen. Die Froude-Zahl beschreibt das Verh¨
altnis von Tr¨
agheits-
zu Gewichtskraft. Daraus geht hervor, daß die Tr¨
agheitskr¨
afte gut wiedergegeben
werden k¨
onnen. Da die Weber-Zahl das Verh¨
altnis von Tr¨
agheitskraft zu Ober-
126
9.5. Einzelblasen
fl¨
achenspannungskraft angibt, l¨
aßt sich vermuten, daß die Oberfl¨
achenspannungs-
kraft f¨
ur E¨o&8 nicht korrekt wiedergegeben wird.
Luftblasen in Wasser/Glycerin Gemischen
In den Simulationen der von Maxworthy u. a. (1996) untersuchten Systeme variier-
te der Blasendurchmesser zwischen 0,8 und 10mm. Da Blasen ab einer Viskosit¨
at
der Fl¨
ussigkeit von ηL>7mPas geradlinig aufsteigen (Schl¨
uter 2002), konnte das
Rechengebiet f¨
ur h¨
ohere Viskosit¨
aten durch zwei Symmetrieebenen reduziert wer-
den. Der geradlinige Aufstieg kann auch durch Simulationen ohne Symmetrie in 3D
best¨
atigt werden. Der linke Teil der Abbildung 9.10 zeigt die berechneten Aufstiegs-
geschwindigkeiten (Symbole) im Vergleich zu den Messungen nach Maxworthy u.
a., die durch die durchgezogenen Anpassungskurven repr¨
asentiert sind. Die Abbil-
1 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
S2
S3
S4
S5
Geschwindigkeit w / cm/s
Durchmesser d / mm
(2) Mo = 2,605 x 10
-10
(2)
(3)
(4)
(5)
(3) Mo = 5,749 x 10
-09
(4) Mo = 2,174 x 10
-07
(5) Mo = 3,769 x 10
-04
0 2 4 6 8
10 12
0
5
10
15
20
25
S6
S7
S8
S9
Geschwindigkeit w / cm/s
Durchmesser d / mm
(6) Mo = 0,009
(7) Mo = 0,023
(8) Mo = 0,106
(9) Mo = 1,409
(9)
(8)
(7)
(6)
Abbildung 9.10.: Vergleich zwischen experimentell bestimmten Aufstiegsgeschwindig-
keiten (Linien) und numerischen Simulationen f¨
ur Wasser/Glycerin
Gemische (Symbole); links: nach (Maxworthy u. a. 1996); rechts nach
(Raymond und Rosant 2000).
dung zeigt, daß die bereits beim System Wasser/Luft gemachten Beobachtungen
f¨
ur die Differenzen der Aufstiegsgeschwindigkeit zwischen Experiment und Simu-
lation auch f¨
ur h¨
ohere Viskosit¨
aten der Fl¨
ussigphase zutreffen: Im Bereich kleiner
Blasendurchmesser d≤1,2mm und f¨
ur gr¨
oßere Durchmesser dB&4mm k¨
onnen
die experimentellen Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur Systeme mit 20-60 Gew-% Gly-
cerin (S2-S4) zufriedenstellend wiedergegeben werden. In dem Bereich zwischen
127
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
1,2mm und 4mm, in dem die experimentellen Werte ein deutliches lokales Maxi-
mum annehmen, liegen z.T. Abweichungen von bis 35% vor. Dies ist auf die zu
geringe Aufl¨
osung zur¨
uckzuf¨
uhren. Dennoch k¨
onnen in den Simulationen sowohl
das lokale Maximum als auch das lokale Minimum der Aufstiegsgeschwindigkeiten
in Abh¨
angigkeit vom Durchmesser wiedergefunden werden.
F¨
ur h¨
ohere Viskosit¨
aten (ηL= 60mPas, 80 Gew-% Glycerin) weist der Verlauf der
experimentellen Aufstiegsgeschwindigkeiten mit zunehmendem Durchmesser keine
lokalen Extrema mehr auf, sondern w¨
achst monoton. Qualitativ kann auch dieser
Verlauf gut durch die Simulation wiedergegeben werden. Der quantitative Vergleich
zeigt jedoch, daß die Geschwindigkeiten f¨
ur kleinere Durchmesser (2 −3mm) fast
exakt wiedergegeben werden k¨
onnen, es aber f¨
ur gr¨
oßere Durchmesser eine stei-
gende Abweichung zwischen Experiment und Simulation gibt. (Die Differenz steigt
von 0,5 auf 5cm/s.) Diese Abweichungen lassen sich wiederum mit der zu geringen
Aufl¨
osung des Rechengebietes erkl¨
aren. Die Zellengr¨
oße betr¨
agt innerhalb dieses Be-
reiches f¨
ur große Blasendurchmesser bis zu einem f¨
unffachen der Kolmogorov’schen
Skala . Diese Abweichungen k¨
onnen auch in weiteren Simulationen mit h¨
oheren
Viskosit¨
aten beobachtet werden. Der rechte Teil der Abbildung 9.10 zeigt die be-
rechneten Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur 4, 6, 8 und 10mm Blasen im Vergleich
zu Messungen von Raymond und Rosant (2000) f¨
ur vier verschiedene Glycerin-
gehalte (82, 88, 93 und 98 Volumenprozent). Die Glyceringehalte entsprechen den
Systemen S5-S9 in Tabelle 9.1. Auch hier wird deutlich, daß f¨
ur h¨
ohere Viskosit¨
aten
bzw. Glyceringehalte f¨
ur kleine Blasendurchmesser Experiment und Simulation sehr
gut ¨
ubereinstimmen. Mit steigendem Blasendurchmesser hingegen nimmt die Dif-
ferenz zwischen Experiment und Simulation stetig zu. Mit steigender Viskosit¨
at
der Fl¨
ussigphase wird die Differenz zunehmend kleiner, so daß die experimentellen
Geschwindigkeiten f¨
ur Viskosit¨
aten ηL>160mPas (S7-S9) ann¨
ahernd korrekt wie-
dergegeben werden.
Je h¨
oher die Viskosit¨
at, desto langsamer steigen die Blase auf. H¨
ohere Viskosit¨
at
und geringere Aufstiegsgeschwindigkeit f¨
uhren zu einer starken Vergr¨
oberung der
hydrodynamisch relevanten L¨
angenskala, so daß diese mit der vorliegenden Gitter-
aufl¨
osung hinreichend erfaßt wird.
128
9.5. Einzelblasen
Bei den im rechten Teil von Abbildung 9.10 gezeigten Systemen ist bereits mit 16
Zellen pro Durchmesser eine Gitterinvarianz bzgl. der Geschwindigkeit erreicht. So-
mit l¨
aßt sich die Differenz zwischen Experiment und Simulation nicht auf zu grobe
Diskretisierung des Gebietes zur¨
uckf¨
uhren.
In einem Bereich von Mo = 9·10−7−7·100fanden Raymond und Rosant eine direkte
Abh¨
angigkeit der Reynolds- und Weber-Zahl, die sich durch folgende Korrelation
ausdr¨
ucken l¨
aßt:
We = 0,42Mo0,35Re5/3.(9.16)
Wie aus Abbildung 9.11 ersichtlich ist, lassen sich mit dieser, aus experimentellen
Daten gewonnenen Korrelation, die Simulationen f¨
ur hohe Morton-Zahlen (S6-S9)
gut wiedergeben. Oberhalb einer Morton-Zahl von etwa Mo = 9,0·10−4(S6) werden
die Weber-Zahlen zunehmend schlechter wiedergegeben.
9.5.2. Aufstiegsbahnen
Neben den Aufstiegsgeschwindigkeiten sind auch die Blasenbahnen von großem In-
teresse. Allerdings liegen in der Literatur so gut wie keine Informationen ¨
uber die
Bahnradien vor. Die hier vorgestellten Blasenbahnen zeigen entweder eigene Mes-
sungen oder Meßwerte des Instituts f¨
ur Umweltverfahrenstechnik IUV der Univer-
sit¨
at Bremen. Da Blasen f¨
ur Viskosit¨
aten innerhalb der Fl¨
ussigphase von mehr als
7mPas geradlinig aufsteigen, werden hier nur Luftblasen in Wasser betrachtet.
Wie schon in Kapitel 2.2.3 erw¨
ahnt, f¨
uhren St¨
orungen zu Auslenkungen aus der
geradlinigen Bahn hin zu zickzack Bahnen, die wiederum in spiralf¨
ormige Bahnen
¨
ubergehen k¨
onnen. Anfangs steigen die Blasen geradlinig auf, bevor sie durch an-
wachsende St¨
orungen aus der Bahn ausgelenkt werden.
W¨
ahrend die Abmaße der experimentellen Vorrichtungen ein Vielfaches der Bla-
sendurchmesser betragen, ist die L¨
ange des Rechengebietes in den Simulationen
stark eingeschr¨
ankt. Zur Reduzierung der Gebietsgr¨
oße in den Simulationen und der
129
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
0,1
1
10 100 1000 10000
0,1
1
10
We=0,42Mo
0,35
Re
5/3
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
We
Re
Abbildung 9.11.: Weber-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl f¨
ur verschiedene Werte
der Morton-Zahl.
damit großen Rechenzeit werden die Blasen im Gegenstrom gehalten. Als Gegen-
stromgeschwindigkeit wird die station¨
are Endgeschwindigkeit der Blasen im freien
Aufstieg verwendet, die zuvor separat ermittelt wurde. Da das Rechengebiet nur
einen Ausschnitt aus einem sehr großen Fl¨
ussigkeitsvolumen darstellt, gelten an
den seitlichen R¨
andern Schlupf-Randbedingungen.
Nachfolgend soll die Aufstiegsbahn einer 4mm Blase n¨
aher beschrieben werden.
F¨
ur eine physikalisch sinnvolle Wiedergabe der Aufstiegsgeschwindigkeit hat sich
ein Wandabstand von 4 Blasendurchmessern als ausreichend erwiesen. Die L¨
ange
des Rechengebiets betr¨
agt hier 16 Blasendurchmesser (256 Zellen) mit einer Grund-
fl¨
ache von 64×64 Zellen. Die Aufstiegszeit betr¨
agt 1,0 Sekunden, was einer Strecke
von etwa 21cm entspricht. Innerhalb dieser Strecke k¨
onnen in den Experimenten
schon signifikante Auslenkungen aus der geradlinigen Aufstiegsbahn beobachtet
werden. Abbildung 9.12 zeigt, daß die Blase in der numerischen Simulation nur
130
9.5. Einzelblasen
eine leichte seitliche Bewegung ausf¨
uhrt. Der geringe Wandabstand unterdr¨
uckt
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01
0,00 0,01 0,02 0,03
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
dW
=4d
B
dW
=8d
B
dW
=16d
B
Grundfläche
d
W
= 4d
B
d
W
= 8d
B
d
W
= 16d
B
z-Position / cm
y-Position / cm
Abbildung 9.12.: Bewegungsbahnen einer 4 mm Blase in Wasser f¨
ur unterschiedliche
Wandabst¨
ande mit Schlupfbedingungen an der Wand (Draufsicht).
-0,04 -0,02
0,00 0,02 0,04
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
4d
B
8d
B
Grundfläche
d
W
= 4d
B
d
W
= 8d
B
z-Position / cm
y-Position / cm
Abbildung 9.13.: Bewegungsbahnen einer 4 mm Blase in Wasser f¨
ur unterschiedliche
Wandabst¨
ande mit Haftbedingungen an der Wand (Draufsicht).
131
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
die seitlichen Bewegungen der Blase. Eine Verdoppelung des Wandabstandes auf
8 Blasendurchmesser (128×128 Zellen Grundfl¨
ache) best¨
atigt diese Beobachtung.
Die Blase bewegt sich auf einer Zickzack Bahn diagonal zum Rechengitter. Die
Auslenkungen sind um ein Vielfaches h¨
oher als bei dem geringeren Wandabstand.
Es zeigt sich also eine starke Abh¨
angigkeit der Bewegungsbahn vom Wandabstand.
Daher stellt die Frage, ob sich eine zus¨
atzliche Erh¨
ohung des Wandabstands noch
Auswirkungen auf die Bewegungsbahn hat.
Wie aus Abbildung 9.12 ersichtlich ist, unterscheidet sich die Bewegungsbahn f¨
ur
einen Wandabstand von 16 Blasendurchmessern stark von einem Abstand von nur
8 Durchmessern. Die Blase bewegt sich erst auf einer zickzack Bahn und geht dann
in eine helikale Bahn ¨
uber. Experimentelle Beobachtungen ergeben f¨
ur eine 4 mm
Blase sowohl eine reine zickzack als auch eine zickzack Bahn, die in eine helikale
¨
ubergeht (vgl. Kapitel 2.2.3). Der ¨
Ubergang zur helikalen Bahn ist in den Experi-
menten am h¨
aufigsten zu beobachten. Bei dieser Simulation erweist sich die Gr¨
oße
des Rechengebietes als problematisch. Mit einer Gr¨
oße von 256×256×256 Zellen
ist es die maximal m¨
ogliche Aufl¨
osung des Gebietes, die mit dem zur Verf¨
ugung
stehenden Parallelrechner m¨
oglich ist. Die hier gezeigte Simulation ben¨
otigt mehr
als 5 Tage Rechenzeit auf dem oben beschriebenen Parallelrechner, was intensive
Studien mit derartigen Aufl¨
osungen in ihrer Anzahl stark begrenzt.
Durch das Festlegen von Schlupfbedingungen an den seitlichen W¨
anden liegt dort
nicht zwangsl¨
aufig eine Tangentialgeschwindigkeit von null wie an realen W¨
anden
vor. Durch die Wahl von Haftbedingungen an den W¨
anden sollen nachfolgend die
Bewegungsbahnen einer 4mm Blase in einem verengten realen Kanal untersucht
werden. In der N¨
ahe der W¨
ande bildet sich durch den Gegenstrom ein Geschwin-
digkeitsprofil aus, welches zus¨
atzlich die Blasen beeinflußt. F¨
ur einen Wandabstand
von lediglich 4 Durchmessern ist auch in diesem Fall die Blase stark in ihrer hori-
zontalen Bewegung gehemmt, wie aus Abbildung 9.13 ersichtlich wird. Bei einem
Wandabstand von nur 4 Durchmessern bewegt sich die Blase auf einer spiralf¨
ormi-
gen Bahn. Der Vergleich mit Abbildung 9.12 verdeutlicht den starken Einfluß der
Randbedingungen auf die Aufstiegsbahn. W¨
ahrend bei Schlupfbedingungen die Bla-
se nach dem geraden Aufstieg in eine zickzack Bewegung ¨
ubergeht, bewegt sie sich
132
9.5. Einzelblasen
bei Haftbedingungen auf einer Spiralbahn. Der Bahnradius ist f¨
ur den geringen
Wandabstand (dW= 4dB) sehr klein. Wie schon bei Schlupfbedingungen bringt
eine Verdopplung des Wandabstandes auf 8 Blasendurchmesser einen wesentlich
gr¨
oßeren Bahnradius mit sich, wie aus Abbildung 9.13 ersichtlich wird. Eine weite-
re Verdoppelung des Wandabstandes auf 16 Blasendurchmesser bei Schlupfbedin-
gungen f¨
uhrte zu einem Umschlag von einer Zickzack- zu einer Spiralbahn, nicht
aber zu einer Erh¨
ohung des Bahnradius. Da sich eine einmal entwickelte Spiralbahn
nicht in eine Zickzack Bahn ver¨
andern kann (vgl. Kapitel 2.2.3), wird f¨
ur diesen
Fall auf eine weitere Verdopplung des Wandabstandes verzichtet.
Qualitativ kann bisher eine gute ¨
Ubereinstimmung mit experimentellen Aufstiegs-
bahnen festgestellt werden. Im n¨
achsten Schritt sollen die Bahnen auch quantitativ
verglichen werden. Als problematisch erweist sich hier die Tatsache, daß die experi-
mentellen Daten in sehr großen Beh¨
altnissen gewonnen werden, w¨
ahrend den Simu-
lationen wesentlich kleinere Wandabst¨
ande zugrunde liegen (dW/dB=2,4,8 u. 16).
Aus den eigenen Experimenten sind f¨
ur eine 4mm Blase Zickzack und spiralf¨
ormi-
ge Bahnen bekannt. Dabei ergab sich als halbe Amplitude der Zickzack Bahn ein
Wert von 2mm und als Bahnradius f¨
ur die Spiralbahn ein Wert von 2,7mm. Diese
Werte liegen wesentlich h¨
oher als die numerisch gewonnenen Daten, sind allerdings
auch f¨
ur wesentlich gr¨
oßere Wandabst¨
ande gemessen worden. Um mit den Simula-
tionen vergleichbare Meßwerte zu erlangen, wurden f¨
ur diesen Zweck Experimente
an einem Rechteckkanal (20×20mm) am Institut f¨
ur Umweltverfahrenstechnik der
Universit¨
at Bremen (IUV) durchgef¨
uhrt 1. Die Auswertung der Experimente er-
folgt nach dem in Kapitel 4.4 beschriebenen Verfahren der PTV. Die Blasengr¨
oße
variiert zwischen 4 und 5mm. Auch f¨
ur diese Blasengr¨
oße k¨
onnen sowohl Zickzack
als auch spiralf¨
ormige Bahnen beobachtet werden. In den Abbildungen 9.14 und
9.15 sind zwei Simulationen f¨
ur einen Wandabstand von 8 Durchmessern (32mm)
mit jeweils Haft- oder Schlupfrandbedingungen zwei exemplarische Bahnen einer
4,09mm, bzw. 4,13mm Blase (Wandabstand Experiment 20mm) gegen¨
ubergestellt.
Wie den beiden Abbildungen zu entnehmen ist, unterscheiden sich die Bahnradien,
1An dieser Stelle meinen herzlichen Dank an Herrn Dipl.-Ing. S. Scheid f¨
ur die Durchf¨
uhrung
der Experimente
133
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
bzw. Auslenkungen um etwa einen Faktor 4 f¨
ur die Spiralbahn und etwa einen Fak-
tor 8 f¨
ur die Zickzackbahn. So betr¨
agt das Verh¨
altnis der maximalen Auslenkung
zum Blasendurchmesser f¨
ur die Zickzack Bahn im Experiment 2rBahn/dB= 1,43
und in der Simulation 0,175. F¨
ur eine Spiralbahn betr¨
agt das Verh¨
altnis 1,08 vergli-
chen mit 0,32. Solch geringe Auslenkungen f¨
ur numerische Simulationen sind auch
aus der Literatur bekannt. So ist f¨
ur einen geringen Wandabstand von dW/dB= 4
die Auslenkung einer von Sabisch u. a. (2001) in 3D simulierten Blase ¨
ahnlich den
hier gezeigten Werten.
In einer aktuellen Arbeit werden die Auslenkungen einer aufsteigenden Blase in 2D
in einem direkten Vergleich zwischen der Front Tracking und der Lattice Boltzmann
Methode untersucht (Sankaranarayanan u. a. 2003). Dabei zeigt sich, daß beide Me-
thoden Verh¨
altnisse von maximaler Auslenkung zu Blasendurchmesser von jeweils
0,5 liefern. Allerdings sei hier angemerkt, daß die maximale horizontale Auslen-
kung in 2D Simulationen wesentlich gr¨
oßer ist als in 3D Simulationen. F¨
ur eine
4mm Blase erh¨
oht sich die maximale relative Auslenkung von 0,175 in 3D auf 0,82
in 2D. Der Grund f¨
ur diese großen Differenzen zwischen Experiment und Simula-
tion ist noch nicht gekl¨
art und bedarf weiterer Untersuchungen. Es ergeben sich
einige m¨
ogliche Ursachen. Gem¨
aß Gleichung (9.11) ergibt f¨
ur die obige Simulation
ein Wert von λK= 0,13mm f¨
ur die Kolmogorov Skala. In den Simulationen be-
tr¨
agt die Zellgr¨
oße jedoch 0,25mm. Folglich k¨
onnen lokale Turbulenzph¨
anomene in
der N¨
ahe der Phasengrenzfl¨
ache nicht richtig erfaßt werden. Ein weiterer m¨
oglicher
Grund k¨
onnte die Tatsache sein, daß bei der VOF-Methode die Phasengrenzfl¨
ache
nicht explizit erfaßt wird, somit auch im Gegensatz zu den Experimenten nicht in
scharfer Form vorliegt. Dem widersprechen aber die mit der Front Tracking Me-
thode bestimmten Bahnradien, die in der gleichen Gr¨
oßenordnung wie die mit der
VOF- oder Lattice Boltzmann-Methode bestimmten Werte liegen (s. Kapitel 6).
Sowohl f¨
ur die Schlupf- als auch f¨
ur die Haft-Randbedingungen ist die Wand f¨
ur
beide Phasen undurchdringlich. Eine seitliche Bewegung der Blase wird dadurch
gehemmt. Auch die Verwendung von periodischen Randbedingungen an den seit-
lichen W¨
anden f¨
uhrt zu keiner nennenswerten Erh¨
ohung der maximalen seitlichen
134
9.5. Einzelblasen
-0,4 -0,2
0,0 0,2 0,4
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
d
B
=4,13 mm (Exp. IUV Bremen)
d
B
=4,0 mm (Sim.)
z-Position / cm
y-Position / cm
Abbildung 9.14.: Vergleich der Trajektorie einer 4mm Blase in Experiment und Simu-
lation mit Schlupfbedingungen an der Wand (Draufsicht).
-0,4 -0,2
0,0 0,2 0,4
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
d
B
=4,09 mm (Exp. IUV Bremen)
d
B
=4,0 mm (Sim.)
z-Position / cm
y-Position / cm
Abbildung 9.15.: Vergleich der Trajektorie einer 4mm Blase in Experiment und Simu-
lation mit Haftbedingungen an der Wand (Draufsicht).
135
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Auslenkung.
Ein weiterer Aspekt ist die Kompressibilit¨
at der Gasphase, die in der VOF-Methode
nicht ber¨
ucksichtigt wird. Folglich treten in den Simulationen keine Volumenschwin-
gungen auf, die in den Experimenten vorhanden sind. Darauf wird im nachfolgenden
Kapitel noch n¨
aher eingegangen. Dies kann ausgeschlossen werden, denn es ist mit
einer Interface Tracking Methode m¨
oglich ist, die Bahnradien in ihrer realen Gr¨
oße
korrekt wiederzugeben, wie in den Simulationen von Rusche (2003) deutlich wird.
Dort ist der Blasendurchmesser mit lediglich 15 Zellen diskretisiert. Die Zellgr¨
oße
ist also auch weit oberhalb der Kolmogorov’sche L¨
angenskala. Weiter von der Blase
entfernt ist die Aufl¨
osung noch gr¨
ober. Der wesentliche Unterschied zu den eigenen
Simulationen ist ein mitbewegtes Rechengitter. Das Gitter wird dabei so verscho-
ben, daß die Blase stets an einem bestimmten Punkt fixiert ist, um den das Gitter
lokal verfeinert ist. Dieser Unterschied scheint einen großen Einfluß auf die Be-
wegungsbahn zu haben. N¨
ahere Details zu dem Verfahren finden sich bei Rusche
(2003).
9.5.3. Bahnfrequenz
Ein weiterer Aspekt ist die Bahnfrequenz fBder Blase. Die Bahnfrequenz gibt
den Kehrwert der Zeit an, die die Blase f¨
ur eine vollst¨
andige Taumelbewegung bei
einer zickzack Bewegung oder einen vollst¨
andigen Umlauf auf der helikalen Bahn
ben¨
otigt. Charakterisiert werden kann sie wiederum durch die Strouhal-Zahl Sr
Sr =fBdB
wB
.(9.17)
F¨
ur dreidimensionale Systeme liegen nur wenige experimentelle Informationen ¨
uber
die Strouhal-Zahl vor. Im Bereich von 1800 < Re < 2700 fand Lindt (1972) eine
starke Abh¨
angigkeit von der Reynolds-Zahl. F¨
ur h¨
ohere Reynolds-Zahlen 2700 <
Re < 6200 ist die Strouhal-Zahl nur eine schwache Funktion von Re mit dem mitt-
leren Wert von Sr = 0,3. F¨
ur Luftblasen in Wasser, Glycerin und CMC L¨
osungen
gilt ¨
uber einen weiten Viskosit¨
atsbereich der Ansatz von Miyahara und Yamanaka
(1993)
Sr = 2,29(Re0Mo0,26)2,18 −0,3821 ln(Re0Mo0,26)(9.18)
136
9.5. Einzelblasen
mit der modifizierten Reynolds-Zahl
Re0=b wBρL
ηL
.(9.19)
In den Simulationen sind nichtlineare Aufstiegsbewegungen erst ab einem Blasen-
durchmesser von dB= 3mm zu finden. Der Vergleich der numerischen Strouhal-
Zahlen mit denen aus Gleichung (9.18) nach Miyahara u. a. zeigt z.T. relative
Unterschiede bis 50% zwischen Korrelation und Simulation f¨
ur Blasendurchmesser
zwischen 3 und 10mm.
Tabelle 9.8.: Vergleich der Strouhal-Zahlen Sr f¨
ur die Bahnfrequenzen nach Miyahara
und Yamanaka (1993) mit numerisch gewonnenen Werten.
Blasen- Strouhal- Strouhal- Abweichung
durchmesser Zahl Zahl SrSim−SrMiy
SrMiy
dB[mm]SrMiy [-] SrSim [-] [%]
3 0,06 0,09 +48,6
4 0,10 0,12 +24,3
5 0,13 0,16 +28,4
6 0,15 0,18 +16,1
8 0,26 0,20 -22,3
10 0,33 0,25 -26,5
Da innerhalb dieses Bereiches f¨
ur die gegebenen Blasendurchmesser die Aufstiegs-
geschwindigkeiten gut mit den experimentellen Werten ¨
ubereinstimmen (vgl. Ab-
bildung 9.7), bleibt als einzige Fehlerquelle der Bahnradius. Wie schon in den Ab-
bildungen 9.14 und 9.15 gesehen, sind die simulierten Bahnradien f¨
ur kleine Blasen-
durchmesser geringer als die realen. Dies bringt eine zu hohe Umlauffrequenz und
somit auch zu hohe Strouhal-Zahlen mit sich. In den Experimenten steigen Bla-
sen ab einer Gr¨
oße von etwa 6mm laut Clift u. a. geradlinig, bzw. mit einem sehr
geringen Bahnradius auf, der mit wachsendem Blasendurchmesser stetig abnimmt.
Durch die Reduktion des Bahnradius vergr¨
oßert sich auch die Bahnfrequenz. In
den Simulationen f¨
uhren Blasen mit einem Durchmesser von 10mm noch einen
137
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
ausgepr¨
agten helikalen Aufstieg aus. Daher sind hier die numerisch bestimmte Um-
lauffrequenzen gr¨
oßer als die experimentellen. Trotz dieser Differenzen wird jedoch
erkennbar, daß sich Korrelation und Simulation dem von Lindt angegebenen Wert
von Sr = 0,3 ann¨
ahern.
9.5.4. Blasenformen
Zus¨
atzlich zu den Aufstiegsgeschwindigkeiten und den Bewegungsbahnen sollen
auch die Formen der Blasen mit experimentellen Ergebnissen verglichen werden.
Charakterisiert werden die Blasen oft mit Hilfe ihrer Durchmesserverh¨
altnisse h/b.
Dazu liegen aber in der Literatur nur wenig Informationen vor.
Wie bereits oben erw¨
ahnt ist ein großer Unterschied der Simulationen zu den Ex-
perimenten die Inkompressibilit¨
at der Gasphase. Starke Formschwankungen wie in
den Experimenten k¨
onnen in den Simulationen nicht beobachtet werden. Daher
sollen im folgenden die transienten Blasenformen von Blasen in Wasser n¨
aher be-
trachtet werden. Die oben beschriebene 4mm Blase wird nun hinsichtlich ihres An-
stellwinkels und des Durchmesserverh¨
altnis n¨
aher untersucht (s. Abbildung 9.16).
W¨
ahrend die Blase in der Simulation ein konstantes Durchmesserverh¨
altnis von ca.
0,46 annimmt, f¨
uhrt die Blase im Experiment starke Volumenschwankungen durch,
die mit zwischen 0,46 und 0,87 schwankenden Werten des Durchmesserverh¨
altnisses
einhergehen.
Eng mit den Bahnradien verkn¨
upft sind auch die Bahnfrequenz und der Anstellwin-
kel Θ der Blase. In Abbildung 9.16 ist der Winkel der ersten Hauptachse der Blase
zur Horizontalen f¨
ur die 4mm Blase dargestellt, die auf einer Spiralbahn aufsteigt
(dW/dB= 8). Nach etwa 0,3 Sekunden des ungest¨
orten Aufstiegs beginnt die Blase
mit dem spiralf¨
ormigen Aufstieg. Nach etwa 0,5 Sekunden erreicht die Blase ihre
endg¨
ultige helikale Bewegungsbahn. In der Schnittdarstellung ¨
außert sich dies dem
in der Abbildung dargestellten sinusf¨
ormigen zeitlichen Verlauf des Anstellwinkels.
Da in der Abbildung jedoch nur ein Schnitt durch diese Bewegungsbahnen gezeigt
ist, schwingt der Winkel. Die Schwingungsfrequenz ist gleich der Bahnfrequenz mit
fBahn = 1/TBahn = 6,25 Hz bei einer Umlaufzeit von 0,16s. Ebenfalls dargestellt in
Abbildung 9.16 ist der Anstellwinkel zur Horizontalen der in Abbildung 9.15 dar-
138
9.5. Einzelblasen
0,4
0,6
0,8
1,0
Simulation
Experiment
h/b / -
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-40
-20
0
20
40
60
Experiment
Simulation
Winkel
/ °
Zeit t / s
Θ
Abbildung 9.16.: Aufstieg einer 4mm Blase in Experiment (dW= 20mm) und Si-
mulation (dW= 32mm), oben: Durchmesserverh¨
altnis h/b, unten:
Anstellwinkel Θ zur Horizontalen.
gestellten 4,1mm Blase. Es wird deutlich, daß die experimentelle Umlaufzeit mit
TBahn = 0,1snicht korrekt durch die Simulation wiedergegeben wird. Zus¨
atzlich
hat die Blase im Experiment einen wesentlich steileren Anstellwinkel Θ. W¨
ahrend
der Winkel in den Simulationen zwischen ±5oschwankt, betr¨
agt er in den Ex-
perimenten bis zu 40o. (Der steile Abfall von +50oauf −45oresultiert aus einer
Wandkollision.)
In den Experimenten zeigen Blasen mit einem Durchmesser von 4mm bereits form-
dynamisches Verhalten. In den Simulationen hingegen liegen erst ab einem Durch-
messer von 8mm realistische Formschwankungen vor, die im linken Teil von Abbil-
dung 9.17 f¨
ur eine 8mm Blase im freien Aufstieg gezeigt sind. Im rechten Teil der
139
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung sind experimentelle Aufnahmen einer 6,5mm Blase zu sehen. Hier wird
ersichtlich, daß die Simulation in der Lage ist, die Formdynamik der Blasenober-
fl¨
ache realistisch wiederzugeben.
Abbildung 9.17.: Fotosequenzen einer aufsteigenden Blase mit formdynamischer Ober-
fl¨
ache; links: Simulation dB= 8,0mm, rechts: Experiment dB=
6,5mm .
Ein großer Unterschied zu den Experimenten ist das Fehlen von Oberfl¨
achenwellen
bzw. Kapillarwellen, wie sie nach Tsuchiya u. a. (2001) bie Blasen gr¨
oßer 4mm zu
beobachten sind. Sie bilden sich an den unteren R¨
andern der Blase wenn dort die
lokale Kr¨
ummung sehr stark ist und breiten sich entlang der Blasenoberfl¨
ache bis
zur Blasenspitze aus (vgl. Kapitel 5). Diese Wellenbewegung korrespondiert grob
mit der Zickzack- oder Helixbewegung der aufsteigenden Blasen.
Die starken Deformationen in der Simulation liegen allerdings nur bei einem ge-
ringen Wandabstand von 2 Blasendurchmessern vor. Bei gr¨
oßeren Wandabst¨
anden
zeigen die Blasen wesentlich weniger Formschwankungen w¨
ahrend ihres taumeln-
den Aufstiegs. Verdeutlicht wird dies durch Abbildung 9.18. Dort wird der Ein-
fluß des Wandabstands auf das Verhalten der 8mm Blase n¨
aher betrachtet. F¨
ur
den Anstellwinkel Θ ist f¨
ur Wandabst¨
ande von 2, 4, und 8 Blasendurchmessern
so gut wie kein Einfluß zu erkennen. Gleiches gilt f¨
ur die Bahnfrequenz. Anders
140
9.5. Einzelblasen
hingegegen beim Durchmesserverh¨
altnis h/b; hier wird deutlich, daß die Blase mit
dem geringsten Wandabstand die gr¨
oßten Formschwankungen aufweist. Auch der
mittlere Wert des Durchmesserverh¨
altnisses ist mit (h/b)dW=2dB= 0,42 gr¨
oßer als
f¨
ur den vierfachen und achtfachen Wandabstand mit jeweils (h/b)dW=4dB= 0,38
bzw. (h/b)dW=8dB= 0,35. Diese Tendenz l¨
aßt sich durch die Abw¨
artsstr¨
omung der
Fl¨
ussigphase zwischen der Blase und der Wand erkl¨
aren.
Wie aus Tabelle 9.9 hervorgeht, ist das gemittelte Durchmesserverh¨
altnis und sei-
ne Standardabweichung f¨
ur die 8mm f¨
ur die beiden gr¨
oßeren Wandabst¨
ande ¨
ahn-
lich. F¨
ur den geringen Wandabstand von 2 Durchmessern betr¨
agt die Standard-
abweichung des Durchmesserverh¨
altnisses σSD(2dB)=0,047. Eine Verdoppelung
bzw. Vervierfachung des Wandabstandes reduziert die Standardabweichung auf
σSD(4dB) = 0,030 und σSD(8dB) = 0,035.
Die Auslenkung der Blase senkrecht zur Aufstiegsrichtung unterscheidet sich auch in
Abh¨
angigkeit des Wandabstandes wie aus dem rechten Teil der Abbildung 9.18 her-
vorgeht. So betragen die Bahnradien 1,5mm f¨
ur einen Wandabstand von 2 Durch-
messern, 1,3mm f¨
ur 4 Durchmesser und 0,65mm f¨
ur 8 Durchmesser. Somit wird
der Radius der Blasenbahn mit zunehmendem Wandabstand geringer.
F¨
ur den geringen Wandabstand beschreibt die Blase nach ihrem Start kurz eine
Zickzack Bahn, die sofort in eine helikale Bahn ¨
ubergeht. Nach ca. 4 Uml¨
aufen ist
die helikale Bahn vollst¨
andig ausgepr¨
agt. Bei einem Wandabstand von 4 Durchmes-
sern kann eine ausgepr¨
agte helikale Bahn erst nach etwa 12 Uml¨
aufen festgestellt
werden. F¨
ur den maximalen Wandabstand bewegt sich die Blase nach 12 Uml¨
aufen
immer noch auf der stark abgeflachten helikalen Bahn. F¨
ur die Charakterisierung
der Bahn bietet sich die Verwindungszahl ξan, welche die Gesamtl¨
ange der Bewe-
gungsbahn, angen¨
ahert durch Polygonz¨
uge (xi, yi, zi)i=0,..,n, ins Verh¨
altnis zu ihrem
vertikalen Anteil (x-Richtung) setzt. Schl¨
uter und R¨
abiger (1998) verwenden die
Verwindungszahl f¨
ur dreidimensionale Bewegungsbahnen:
ξ=Pn
i=1 p(xi−xi−1)2+ (yi−yi−1)2+ (zi−zi−1)2
xi−xi−1
(9.20)
Bei der Verwindungszahl ξwird die r¨
aumliche Aufstiegsbahn in Einzelvektoren
141
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
d
W
=2d
B
d
W
=4d
B
d
W
=8d
B
-30
-20
-10
0
10
20
30
d
W
= 2d
B
d
W
= 4d
B
d
W
= 8d
B
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
h/b / -
Zeit t / s Position / cm
Winkel
Θ
/ °
0 1 2 3 4
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
Zeit t / s
d
W
= 8d
B
d
W
= 4d
B
Abbildung 9.18.: Einfluß des Wandabstandes auf den Anstellwinkel (links oben), das
Durchmesserverh¨
altnis (links unten) und die Bewegungsbahn einer
8mm Blase.
zerlegt und deren L¨
ange bestimmt. Die Summe aller Vektorl¨
angen wird auf die
vertikale Aufstiegsbahn bezogen. Je geringer die horizontale Auslenkung der Blase
desto mehr n¨
ahert sich die Verwindungszahl dem Wert 1 an. F¨
ur eine geradlinige
Aufstiegsbahn gilt ξ= 1.
Wie aus Tabelle 9.9 zu erkennen ist, sinkt die Verwindungszahl mit steigendem
Wandabstand von 1,0638 auf 1,0053. Gem¨
aß Clift u. a. (1978) steigt eine 8mm Blase
stockend auf einer geradlinigen Bahn auf. Ein großer Wandabstand gibt somit die
Experimente am realistischsten wieder. Dies deckt sich mit den zuvor gemachten
Beobachtungen f¨
ur eine 4mm Blase.
142
9.5. Einzelblasen
Tabelle 9.9.: Einfluß des Wandabstandes auf den Aufstieg einer 8mm Blase.
Wandabstand dW2dB4dB8dB
Geschwindigkeit wB14,33cm/s 20,69cm/s 21,13cm/s
Durchmesserverh¨
altnis h/b 0,420 0,385 0,348
Standardabw. σSD,h/b 0,047 0,030 0,035
Bahnradius rBahn 1,5mm 1,3mm 0,65mm
Verwindungszahl ξ1,0638 1,0057 1,0053
Zeitlich gemittelte Durchmesserverh¨
altnisse
Die zeitlich gemittelten Durchmesserverh¨
altnisse k¨
onnen auch mit experimentellen
Werten aus den eigenen Messungen und der Literatur nach Raymond und Rosant
(2000) verglichen werden. Abbildung 9.19 zeigt die Durchmesserverh¨
altnisse der Si-
mulationen als Funktion des Blasendurchmessers. Die Ergebnisse der Simulationen
f¨
ur Luft/Wasser im linken Teil der Abbildung stimmen sehr gut mit den experi-
mentellen Werten f¨
ur die anfangs stark deformierten Blasen ¨
uberein, obwohl die
Blasen in den Simulationen sph¨
arisch vorgegeben waren.
Der Verlauf der Durchmesserverh¨
altnisse f¨
ur die Systeme S6-S9 ¨
ahnelt bez¨
uglich
der Abweichungen zu den Experimenten dem der Aufstiegsgeschwindigkeiten. F¨
ur
hohe Viskosit¨
aten liegt eine sehr gute ¨
Ubereinstimmung mit den Meßwerten vor.
Mit abnehmender Viskosit¨
at (S6) weichen Experiment und Simulation zunehmend
voneinander ab. Die Blasen sind verglichen mit den Experimenten zu schmal und
haben einen zu geringen Anstr¨
omquerschnitt. Folglich m¨
ußten sie zu hohe Aufstiegs-
geschwindigkeiten aufweisen. Trotz dieser Tatsache sind die Aufstiegsgeschwindig-
keiten zu gering (vgl. Abbildung 9.10). Dies legt die Schlußfolgerung nahe, daß die
numerische Umsetzung noch verbessert werden muß und eventuell physikalische
Ph¨
anomene noch nicht erfaßt sind.
Abbildung 9.20 zeigt noch einmal die Durchmesserverh¨
altnisse aller berechneten
Blasen der Systeme S1-S9 als Funktion der Tadaki-Zahl. Zus¨
atzlich sind die drei
in Abschnitt 2.2.4 beschriebenen Korrelationen f¨
ur die Vorhersage der Durchmes-
143
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
0 2 4 6 8 10 12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Durchmesserverhältnis h/b / -
Durchmesser d / mm
(6) Mo = 0,009
(6)
(7)
(8)
(9)
(7) Mo = 0,023
(8) Mo = 0,106
(9) Mo = 1,409
S6
S7
S8
S9
0 2 4 6 8 10 12
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 d
i
=0,38mm
d
i
=3,10mm
Sim.: S1
Durchmesserverhältnis h/b / -
Blasendurchmesser d / mm
Exp.:
Exp.:
Abbildung 9.19.: Vergleich zwischen experimentellen Durchmesserverh¨
altnissen und
numerischen Werten (Systeme S1, S5-S9). links: eigene Messungen
in Wasser (offene Symbole); rechts: Wasser/Glycerin Gemische nach
(Raymond und Rosant 2000) (Linien).
serverh¨
altnisse nach Tadaki und Maeda (1963), Vakhrushev und Efremov (1970)
sowie Fan und Tsuchiya (1990) dargestellt. Fast alle Werte k¨
onnen sehr gut mit
dem Ansatz von Fan und Tsuchiya (1990) f¨
ur reines Wasser beschrieben werden.
Hier wird deutlich, daß die simulierten Durchmesserverh¨
altnisse f¨
ur die Systeme
S6-S9 oberhalb der Werte aus dem Ansatz von Fan und Tsuchiya liegen und sich
in einigen F¨
allen den Werten von kontaminierten Systemen (Tadaki und Maeda,
Vakhrushev und Efremov) ann¨
ahern. ¨
Ahnliches gilt f¨
ur das System S5 nach Max-
worthy u. a. (1996) In diesem System steigt die Aufstiegsgeschwindigkeit monoton
als Funktion des Durchmessers an. In den Systemen S2-S4, in denen der Verlauf
der Aufstiegsgeschwindigkeit dem von Wasser ¨
ahnelt, liegen die Werte f¨
ur gr¨
oßere
Reynolds-Zahlen, sprich gr¨
oßere Blasendurchmesser unterhalb deren von Fan vor-
hergesagten.
Zusammenfassend l¨
aßt sich feststellen, daß die starke Formdynamik und die großen
Anstellwinkel, wie sie bei Luftblasen in Wasser festzustellen sind, nicht mit der
numerischen Simulation wiedergegeben werden k¨
onnen. Das zeitliche Mittel der
Durchmesserverh¨
altnisse ist in sehr gutem Einklang mit dem Ansatz von Fan und
144
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
0 5
10 15 20 25
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
h
b
Tadaki (rein)
Fan (rein)
Vakhrushev (unrein)
Ta=Re Mo
0,23
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
h / b / -
Tadaki-Zahl Ta / -
Abbildung 9.20.: Vergleich der Durchmesserverh¨
altnisse der System S1-S9 als Funkti-
on der Tadaki-Zahlen mit Korrelationen aus der Literatur.
Tsuchiya. Die Durchmesserverh¨
altnisse f¨
ur formstabile Blasen lassen sich ebenfalls
in guter N¨
aherung mit diesem Ansatz wiedergeben. F¨
ur die Vorhersage des Durch-
messerverh¨
altnisses bei bekannter Reynolds-Zahl bzw. Tadaki-Zahl ist also Glei-
chung (2.50) zu empfehlen.
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
W¨
ahrend bisher nur die Blasen selbst betrachtet wurden (Geschwindigkeit, Form
und Bahn) sollen jetzt auch die Einfl¨
usse der Blasen auf die umgebende Fl¨
ussigkeit
n¨
aher untersucht werden. Wie schon in Kapitel 2.4 beschrieben, bilden sich hinter
Blasen Wirbelschleppen aus. Diese k¨
onnen laminar oder turbulent, offen oder ge-
schlossen sein. F¨
ur geringe Reynolds-Zahlen ist die Blase noch laminar umstr¨
omt,
ohne daß sich eine Wirbelschleppe hinter der Blase ausbildet. In den Simulatio-
nen f¨
ur Luftblasen in Wasser ist dies z.B. bis etwa zu einem Durchmesser von
dB= 2mm (Re=496) der Fall. In den turbulenten Schleppen k¨
onnen sich Wir-
145
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
bel von der R¨
uckseite oder dem tiefgelegenen ”Rand”, bzw. ”Kanten” der Blase
abl¨
osen. Diese abgel¨
osten Wirbel erzeugen lokal turbulenzartige Str¨
omungen in der
Fl¨
ussigphase und k¨
onnen die Bewegung anderer Blasen beeinflussen. Diese groß-
skalige Turbulenz (die Skala liegt in der Gr¨
oßenordnung des Blasendurchmessers)
wird auch als ”Pseudo-Turbulenz” bezeichnet (Lance und Bataille 1991;Lindken
und Merzkirch 2001). F¨
ur h¨
ohere Reynolds-Zahlen k¨
onnen in den Simulationen so-
wohl helikale als auch achsensymmetrische Wirbelschleppen beobachtet werden. Im
nachfolgenden werden diese beiden Schleppenformen n¨
aher untersucht. Da eine ho-
he Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase f¨
ur eine schnelle Dissipation der kinetischen Energie
sorgt, sind Wirbelschleppenph¨
anomene haupts¨
achlich in niedrigviskosen Fl¨
ussigkei-
ten zu beobachten. Daher sind die nachfolgenden Untersuchungen zum großen Teil
f¨
ur das System Wasser/Luft gemacht worden. Sofern nicht anders erw¨
ahnt, bezie-
hen sich die Ergebnisse auf das letztgenannte System.
9.6.1. Helikale Wirbelschleppe
Eine helikale Wirbelschleppe kann bei ellipsoiden oder kappenf¨
ormigen Blasen, die
auf Schraubenbahnen aufsteigen in ruhender Fl¨
ussigkeit f¨
ur Re < 5000 beobach-
tet werden (Miyahara u. a. 1988). Aus experimentellen Beobachtungen geht hervor,
daß der helikale Wirbel eine Zeit lang stabil bleibt bevor er sich abl¨
ost (Lindt
1972;Lindt und de Groot 1974;Miyahara u. a. 1988). Der helikale Wirbel stellt
das Gegenst¨
uck zu der zweidimensionalen von K´arm´an’schen Wirbelstraße dar. In
Abbildung 9.21 sind die experimentellen Beobachtungen von Miyahara u. a. (1988)
schematisch dargestellt. Zus¨
atzlich ist in einem zweidimensionalen Schnitt die Wir-
belschleppe hinter einer simulierten 10mm Blase (Re=2147) dargestellt. Die Blase
ist im Gegenstrom gehalten. Aus der Abbildung wird die starke Asymmetrie der
Schleppe deutlich, sowohl im Experiment als auch in der Simulation. Zus¨
atzlich
liegen innerhalb dieses Str¨
omungsregimes noch starke Form¨
anderungen der Blase
vor. Diese und die periodisch wechselnde Orientierung der Blase k¨
onnen zu unre-
gelm¨
aßigen Str¨
omungsabl¨
osungen an dem Rand der Blase f¨
uhren. Diese wiederum
f¨
uhren zu einer starken Wirbelbildung, die eventuell einen Wirbelfaden bildet, der
sich kontinuierlich von dem am st¨
arksten umstr¨
omten Rand der Blase abl¨
ost (Fan
146
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
Abbildung 9.21.: links: Schematische Darstellung der Str¨
omung in der helikalen Wir-
belschleppe und der L¨
ange hPW der prim¨
aren Wirbelschleppe einer
sph¨
arischen Kappenblase (Miyahara u. a. 1988); rechts: Helikale Wir-
belschleppe hinter einer 10mm Blase.
und Tsuchiya 1990). Aus experimentellen Beobachtungen der Abl¨
oseregionen wird
deutlich, daß diese um die Blase rotieren. Die Abl¨
osefrequenz stimmt mit der Bahn-
frequenz der Blase ¨
uberein (Miyahara u. a. 1988).
F¨
ur hohe Reynolds-Zahlen besteht das Nachlaufgebiet aus einem kurzen helika-
len Wirbel in Blasenn¨
ahe und unregelm¨
aßigen Wirbeln im entfernten Bereich. Die
Wirbel, die sich aus der Blasenn¨
ahe gel¨
ost haben, werden als Zerfallsprodukte ei-
ner instabilen helikalen Konfiguration betrachtet (Lindt 1972;Lindt und de Groot
1974). Auch diese experimentelle Beobachtung kann in den Simulationen wieder-
gefunden werden (s. Abbildung 9.21). Physikalisch kann diese Schleppenstruktur
nach Fan und Tsuchiya folgendermaßen beschrieben werden: Vor der Blase bildet
sich eine Grenzschicht aus. Diese l¨
ost sich entlang des Randes der Blase ab und
formt einen Wirbel. Dieser dort entstandene Wirbel bewegt sich auf einem Wir-
belfaden stromabw¨
arts. Infolge des Druckminimums in der Schleppe tendiert der
Wirbel hin zur zentralen Achse der Schleppe. Durch die Rotation der Abl¨
osung
entlang des Blasenrands formt der Wirbelfaden gleichzeitig eine Spirale. Die re-
sultierende Schleppenstruktur ist ein kontinuierlicher Wirbelfaden um die vertika-
147
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
len Aufstiegsachse, dessen Neigung durch die Rotationsfrequenz der Blase und die
Aufstiegsgeschwindigkeit der Blase bestimmt wird. Das periodische Abl¨
osen von
Wirbeln von den Blasenr¨
andern einer helikal aufsteigenden Blase wird auch von
Schl¨
uter (2002) f¨
ur Luftblasen in Wasser und von Miyahara u. a. (1988) in einem
fest/fl¨
ussig fluidisiertem Bett best¨
atigt.
Aus den Simulationen f¨
ur eine 8 bzw. 10mm Blase ist erkennbar, daß sich eine
große Anzahl von Wirbeln auf der Blasenunterseite von den R¨
andern bzw. ”Kan-
ten” der Blasen abl¨
ost. Da in den Simulationen das komplette dreidimensionale
Str¨
omungsfeld berechnet wird, ist ein einfacher Vergleich mit den experimentel-
len Beobachtungen m¨
oglich. Zur Erfassung der Position der Wirbel werden vier
Blase
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,5 1,0 1,5
2,0
2,5
3,0 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5 3,0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Abbildung 9.22.: Position der abgel¨
osten Wirbel einer 8mm Blase.
Ebenen durch das Simulationsgebiet gelegt. Die Ebenen schneiden sich in der ver-
tikale Aufstiegsachse und sind zueinander in einem Winkel von 45˚ angeordnet.
148
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
Innerhalb jeder Ebene kann die Position der einzelnen Wirbel bestimmt werden.
Abbildung 9.22 zeigt diese Positionen f¨
ur eine 8mm Blase zum Zeitpunkt t= 1,46s.
Die in der Abbildung dargestellte Blase ist stark verkleinert dargestellt, um eine
Verdeckung der Wirbelpositionen zu vermeiden. Wie der Abbildung zu entnehmen
ist, liegen die Wirbel auf einer helikalen Bahn mit einem Radius von ungef¨
ahr von
etwa rWirbel = 9mm. Dieser ist wesentlich gr¨
oßer als der vorliegende Bahnradius
von rBahn = 1,5mm. Da die experimentellen Bahnradien h¨
oher liegen, kann hiermit
die Beobachtung von Schl¨
uter und Mayahara qualitativ best¨
atigt werden.
9.6.2. Achsensymmetrische Wirbelschleppe
F¨
ur geradlinig aufsteigende Kappenblasen bildet sich eine andere charakteristische
Wirbelform aus - der achsensymmetrische Wirbel, der gem¨
aß den Experimenten von
Miyahara u. a. (1988) schematisch in Abbildung 9.23 dargestellt ist. Daneben ist
die Simulation einer 13mm Luftblase in Wasser zu sehen. Aus der Abbildung wird
Abbildung 9.23.: Links: Schematische Darstellung der Str¨
omung in einer achsensym-
metrischen Wirbelschleppe einer sph¨
arischen Kappenblase (Miyahara
u. a. 1988); rechts: Achsensymmetrische Wirbelschleppe hinter einer
13mm Blase.
deutlich, daß die Str¨
omung bez¨
uglich der Aufstiegsachse als symmetrisch betrachtet
149
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
werden kann. W¨
ahrend in der Abbildung von Miyahara eine offenen Wirbelschlep-
pe zu sehen ist, ist die Schleppe in der Simulation geschlossen. In der Simulation
hat sich hinter der Blase ein rotationssymmetrischer Wirbelring ausgebildet. In
Experimenten sind sowohl rotationssymmetrische Wirbelringe als auch zwei konti-
nuierliche helikale Wirbel beobachtet worden.
9.6.3. Wirbelschleppenl¨
ange
Ein weiterer interessanter Aspekt ist die L¨
ange der Wirbelschleppe. Abbildung
9.24 zeigt die auf den Blasendurchmesser normierte Wirbelschleppenl¨
ange hPW
des prim¨
aren Wirbels in Abh¨
angigkeit der Reynolds-Zahl f¨
ur die Systeme S1-S6.
Bedingt durch die h¨
ohere Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase sind f¨
ur Wasser/Glycerin
Gemische andere Wirbelschleppen zu erwarten als f¨
ur reines Wasser. In den Syste-
men S7-S9 mit hoher Viskosit¨
at werden die Blasen bis zu einem Durchmesser von
10mm vollst¨
andig laminar umstr¨
omt und es bildet sich keine Wirbelschleppe aus.
Ab Viskosit¨
aten von ηL≤75Pas bilden sich Wirbel hinter den Blasen, allerdings
erst oberhalb eines Durchmessers von 10mm f¨
ur die Systeme S5 und S6. Je weiter
die Viskosit¨
at abnimmt, desto kleiner wird der Blasendurchmesser, bei dem sich
eine Wirbelschleppe ausbildet. Wie der Kurve f¨
ur reines Wasser (S1) zu entnehmen
ist, w¨
achst die normierte Schleppenl¨
ange bis zu einer Reynolds-Zahl von Re ≈2100
(dB= 10mm) ann¨
ahernd linear an. F¨
ur gr¨
oßere Reynolds-Zahlen sinkt die bezogene
Schleppenl¨
ange von 2,64 zun¨
achst wieder bis auf 2,21 ab (dB= 12mm, Re = 2667).
Danach steigt sie weiter an, n¨
ahert sich asymptotisch aber einem Wert von etwa 3
an (dB= 15mm, Re = 3749). Bei Blasen mit dB>15mm tritt ein zunehmender
Zerfall w¨
ahrend des Aufstieges auf, so daß die exakte L¨
ange der Schleppe kaum
noch zu bestimmen ist, da die einzelnen Fragmente in der Schleppe starke Verwir-
belungen verursachen.
Die 8, 9 und 10mm Blasen (Re=1773, 1895, 2116) steigen helikal auf. Hinter ihnen
bildet sich eine offene und turbulente Schleppe aus. Durch die fortlaufenden Ober-
fl¨
achendeformationen und die Pendelbewegung kommt es zu kontinuierlichen und
unregelm¨
aßigen Wirbelabl¨
osungen und stark variierenden Schleppenl¨
angen. Daher
150
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
0
1000 2000 3000 4000
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
S1
S2
S3
S4
S5
S6
h
PW
/ d
B
/ -
Reynolds-Zahl Re / -
Abbildung 9.24.: Normierte L¨
ange der prim¨
aren Wirbelschleppe als Funktion der
Reynoldszahl
sind in Abbildung 9.24 die maximalen Schleppenl¨
angen bei noch geradlinigem Auf-
stieg eingezeichnet. Ein typisches Beispiel f¨
ur solch eine turbulente Schleppe ist in
Abbildung 9.25 zu erkennen. Dort sind f¨
ur zwei verschiedene Zeitpunkte zweidimen-
sionale Schnitte durch das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld einer 8mm Blase
dargestellt. Deutlich zu sehen ist die stark deformierte Blasenoberfl¨
ache und die
offene, stark turbulente Schleppe, in der ein abgel¨
oster Wirbel zu erkennen ist. Die
Bestimmung der Wirbelschleppenl¨
ange der prim¨
aren Schleppe f¨
ur diese turbulen-
ten Nachlaufgebiete erfolgt in Anlehnung an die Definition nach Fan und Tsuchiya
(s. Anhang). Zur Auswertung ihrer Versuche in einer Flachapparatur verwendeten
die Autoren das Verh¨
altnis von Blasen- zu Schleppenvolumen. Wie aber aus den
Abbildungen 9.25 und 9.21 hervorgeht, ist das Schleppenvolumen nur sehr schwer
zu bestimmen. Daher wird im Nachfolgenden nur das Verh¨
altnis des ¨
Aquivalent-
durchmessers dBzur H¨
ohe der prim¨
aren Schleppe hPW verwendet.
Die auf dBbezogenen Schleppenl¨
angen f¨
ur eine 10 mm Blase sind in Abbildung 9.26
zu sehen. Zus¨
atzlich ist der Anstellwinkel Θ zur Horizontalen aufgef¨
uhrt. Der Abbil-
151
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung 9.25.: 2D Schnitte durch einen Ausschnitt aus dem Geschwindigkeitsfeld
einer 8 mm Blase im Gegenstrom.
dung ist zu entnehmen, daß die L¨
ange des prim¨
aren Wirbels der Blase unmittelbar
nach ihrer Entstehung bis auf einen Wert von 2,64 kontinuierlich anw¨
achst. Die
Blase steigt noch geradlinig auf und es bildet sich ein torusf¨
ormiger Wirbel entlang
der Blasenunterseite. Nach 0,5 Sekunden erfolgt der ¨
Ubergang vom geradlinigen
zum helikalen Aufstieg, d.h. der ¨
Ubergang von symmetrischer zu asymmetrischer
Schleppe. Mit dem Einsetzen der helikalen Bewegung nach etwa 0,5 Sekunden be-
ginnt die Blase mit einer taumelnden Bewegung in der Schnittebene, was sich durch
einen kontinuierlichen Wechsel des Anstellwinkels Θ bemerkbar macht (s. Abbil-
dung 9.26 oben). Durch die helikale Bewegung kann sich die prim¨
are Wirbelschleppe
nicht mehr so weit ausbilden und es kommt zu Wirbelabl¨
osungen durch die exter-
ne Umstr¨
omung der Blase, was sich durch abrupte Verk¨
urzungen der L¨
ange der
prim¨
aren Wirbelschleppe ¨
außert (s. Abbildung 9.26 unten). Das Nachlaufgebiet
der Blase nimmt stark asymmetrische Formen an (vgl. Abbildung 9.25) und weist
152
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
einen hohen Grad an Turbulenz auf. Durch das permanente Abl¨
osen von einzel-
nen Wirbeln auf der Blasenr¨
uckseite unterliegt die L¨
ange des prim¨
aren Wirbels
schnellen Schwankungen. Zus¨
atzlich sind in der Abbildung die Ergebnisse zu ei-
0,0 0,5 1,0 4 5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
h
PW
/ mm
Zeit t / s
-20
0
20
Winkel
Θ
/ °
Abbildung 9.26.: Unten: auf den Blasendurchmesser bezogene H¨
ohe der prim¨
aren
Schleppe einer 10 mm Luftblase in Wasser; oben: Anstellwinkel Θ
Blase.
nem sp¨
ateren Zeitintervall (≈3,75 −4,75s) dargestellt. Die Blase steigt auf einer
gleichm¨
aßigen Spiralbahn auf, wie der Anstellwinkel erkennen l¨
aßt. Trotz dieser
gleichm¨
aßigen Bewegung ist die Lage der prim¨
aren Schleppe noch starken, unre-
gelm¨
aßigen Schwankungen unterworfen, die einer s¨
agezahnf¨
ormigen Kurve ¨
ahneln.
Die obigen Beobachtungen wurden auch schon von Tsuchiya und Fan (1988) bei
der experimentellen Untersuchung aufsteigender Luftblasen in einem fest/fl¨
ussig
fluidisierten Bett gemacht. Allerdings benutzten die Autoren eine Flachapparatur,
um die Wirbelschleppe besser visualisieren zu k¨
onnen. Wie aus Abbildung 9.27 her-
vorgeht, liegt eine sehr gute qualitative ¨
Ubereinstimmung zwischen Experiment und
153
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung 9.27.: Auf das Blasenvolumen bezogenes Volumen der prim¨
aren Wirbel-
schleppe in einem fest/fl¨
ussig fluidisierten Bett einer aufsteigenden
Blase in einer Flachapparatur (Tsuchiya und Fan 1988).
Simulation vor. Ein quantitativer Vergleich ist nicht m¨
oglich, da die Autoren das
Verh¨
altnis von Blasenvolumen zu Schleppenvolumen angeben. Letzteres ist in den
Simulationen aufgrund der komplexen, unregelm¨
aßigen Form der Wirbelschleppe
nicht bestimmbar.
9.6.4. Wirbelschleppenbildung und -abl¨
osung
Die Mechanismen der Wirbelschleppenbildung und -abl¨
osung lassen sich gut an-
hand des Modells von Fan und Tsuchiya erkl¨
aren. Demnach k¨
onnen zweidimensio-
nale Wirbelschleppen n¨
aherungsweise als Schnitte durch dreidimensionale Schlep-
pen betrachtet werden. Das Entstehen der Wirbelschleppe und der Abl¨
oseph¨
ano-
mene lassen sich nach Fan und Tsuchiya durch zwei Faktoren erkl¨
aren:
1. Hinter der Blase liegt ein geringer Druck vor. Dies f¨
uhrt zu einer Aufw¨
arts-
str¨
omung an der Blasenunterseite f¨
ur hinreichend große Reynolds-Zahlen.
2. Nach der Blasenbildung durchl¨
auft die Blase große Formschwankungen. Dies
f¨
uhrt zu einem hohen Geschwindigkeitsgradienten an den Blasenkanten und
damit verbundener Wirbelbildung.
154
9.6. Wirbelschleppenph¨
anomene
Diese Wirbel und die darin teilweise nach außen gerichtete Str¨
omung k¨
onnen zu
Abl¨
oseerscheinungen der externen Str¨
omung f¨
uhren. Der gesamte Prozeß ist inner-
halb kurzer Zeit nach der Blasenbildung abgeschlossen. Wirbelabl¨
osungen k¨
onnen
symmetrisch oder asymmetrisch erfolgen, wobei der letztere Fall h¨
aufiger auftritt.
Dies kann durch nichtlineare Wechselwirkungen zwischen den gegenl¨
aufigen Wir-
beln auf der Blasenr¨
uckseite und durch asymmetrische St¨
orungen des externen
Str¨
omungsfeldes erkl¨
art werden. Abbildung 9.28 beschreibt ph¨
anomenologisch die
periodische, asymmetrische Wirbelbildung und -abl¨
osung hinter einer Kappenblase.
Ausgangspunkt f¨
ur die Wirbelabl¨
osung ist die Abl¨
osung der externen Str¨
omung an
den Blasenkanten. Dort bilden sich kleine Verwirbelungen. Durch die Str¨
omungs-
abl¨
osung bildet sich nach Fan und Tsuchiya eine freie Scherschicht aus. Infolge der
unterschiedlichen charakteristischen Geschwindigkeiten an dem inneren und ¨
auße-
ren Rand der Scherschicht und des Druckdefektes in der Wirbelschleppe kommt
es zu einem spiralf¨
ormigen Aufrollen der Scherschicht an der Blasenr¨
uckseite bis
hin zu einem Wirbel. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich der Wirbel immer noch
an der Blasenkante. Durch die Scherung w¨
achst er stetig. Ab einer bestimmten
Gr¨
oße und Wirbelst¨
arke beginnt er die externe Str¨
omung und Scherschicht von der
gegen¨
uberliegenden Blasenseite anzuziehen. Wenn dies eintritt, schneidet die ange-
zogene Str¨
omung die Versorgung des Wirbels ab, so daß sein Wachstum beendet
wird und er sich von der Kante abl¨
ost. Die Str¨
omung transportiert den Wirbel
stromabw¨
arts wo er durch Reibung zunehmend an Energie verliert. Jetzt beginnt
die zweite H¨
alfte des Wirbelbildungsprozesses auf der gegen¨
uberliegenden Seite der
Blase. Findet im Fall eines geradlinigen Aufstiegs die Wirbelbildung nicht nur an
einer, sondern an beiden Blasenkanten gleichzeitig statt, kommt es zum symmetri-
schen oder simultanen Abl¨
osen von Wirbeln.
Eine n¨
ahere Betrachtung der in den Simulationen vorliegenden Str¨
omung um ei-
ne Blasenkante und im Nachlaufgebiet zeigt, daß die zeitliche Entwicklung der
Str¨
omung und die Wirbelabl¨
osungen gut mit dem in Abbildung 9.28 gezeigten,
schematischen, zeitlichen Str¨
omungsverlauf f¨
ur eine Kappenblase ¨
ubereinstimmt.
Im linken Teil der Abbildung sind in einer Schnittebene Ausschnitte aus den Ge-
schwindigkeitsfeldern f¨
ur eine 10 mm Blase dargestellt.
155
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Abbildung 9.28.: Modell f¨
ur die instation¨
are Wirbelabl¨
osung hinter Kappenblasen
(Fan und Tsuchiya 1990) im Vergleich mit numerischer Simulation.
156
9.7. Blasenkoaleszenz
Modellvorstellung und Simulation unterscheiden sich jedoch in der Blasenform
(Kappenblase gegen¨
uber stark abgeflachtem Ellipsoid) und in der Anfangsphase
der Instationarit¨
aten. In der Simulation ist die Wirbelschleppe w¨
ahrend des gerad-
linigen Aufstiegs in der Anfangsphase der Simulation noch v¨
ollig symmetrisch. Die
Schleppe w¨
achst an, ggf. l¨
osen sich Wirbelringe ab, bevor die Blase ihre geradli-
nige Bahn verl¨
aßt und durch die beginnende helikale Bewegung Asymmetrien in
der Schleppe auftreten. Diese treten bei Fan und Tsuchiya bereits zu Beginn auf
(vgl. Abbildung 9.28). Nachdem die Blase ihre geradlinige Bahn verlassen hat und
helikal aufsteigt, liegt eine gute ¨
Ubereinstimmung zwischen Modell und Simulation
vor: Es kommt ebenfalls zur Wirbelbildung, dessen Abtrennung und zum viskosen
Zerfall abgetrennter Wirbel.
9.7. Blasenkoaleszenz
Die bisher gezeigten Ergebnisse beschr¨
anken sich auf die Simulation von Einzelbla-
sen. In anwendungsrelevanten Zweiphasenstr¨
omungen liegen fast ausschließlich meh-
rere Blasen vor. Als ersten Schritt zum Verst¨
andnis von Blasen-Blasen-Wechselwir-
kungen wird hier im folgenden Abschnitt der Aufstieg von Blasenpaaren betrachtet.
Koaleszenz ist ein in fl¨
ussig-fl¨
ussig oder gas-fl¨
ussig Str¨
omungen auftretendes Ph¨
ano-
men und bezeichnet die Vereinigung zweier fluider Partikel. Hierbei finden Wech-
selwirkungen zwischen der kontinuierlichen Phase und den beiden fluiden Partikeln
statt. N¨
ahern sich zwei aufsteigende Blasen an, steigt der Druck zwischen ihnen. Die
Druckerh¨
ohung bewirkt eine abstoßende Kraft zwischen den beiden Blasen. Gleich-
zeitig kommt es zu einer Abplattung der Oberfl¨
achen. Diese Erh¨
ohung der freien
Energie durch Oberfl¨
achenvergr¨
oßerung des Systems geht mit der Reduzierung der
Ann¨
aherungsgeschwindigkeit der Blasen einher. Der sich zwischen den Blasen bil-
dende Film beginnt auszufließen und wird dadurch d¨
unner. Ist die Ann¨
aherungs-
geschwindigkeit der Blasen auf null reduziert bevor der Film seine Rißdicke unter-
schritten hat, werden die Blasen durch den erh¨
ohten Druck innerhalb des Films
auseinandergetrieben, d.h. sie prallen voneinander ab; andernfalls koaleszieren sie
(Chesters und Hofman 1982;Duineveld 1998). Dieser Vorgang ist haupts¨
achlich
durch die Ann¨
aherungsgeschwindigkeit und die Kontaktzeit charakterisiert. F¨
ur
157
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
hohe Weber-Zahlen We =ρLw2
BrB/σ bezogen auf die Ann¨
aherungsgeschwindigkeit
wB,H ist die Wahrscheinlichkeit einer Koaleszenz klein und die Blasen prallen von-
einander ab, bevor der sich zwischen den beiden Blasen ausbildende Film komplett
drainiert ist (Chesters 1991;Duineveld 1998). Je h¨
oher die Viskosit¨
at der konti-
nuierlichen Phase, umso geringer ist die Ann¨
aherungsgeschwindigkeit, bzw. umso
l¨
anger sind auch die Kontaktzeiten der Blasen und umso h¨
oher ist auch die Wahr-
scheinlichkeit einer Koaleszenz (Otake u. a. 1976).
Wird der Film hinreichend d¨
unn, wirken intermolekulare Kr¨
afte, die zum Aufriß
des Films und somit zur Koaleszenz f¨
uhren (Chesters 1991). F¨
ur reine Fl¨
ussig-
keiten bestehen die intermolekulare Kr¨
afte nur aus der van der Waals-Kraft. Die
van der Waals-Kraft hat eine anziehende Wirkung, die den Film destabilisiert und
die Koaleszenz beschleunigt (Chesters 1991). Liegen an der Phasengrenze elek-
trisch geladene Teilchen vor, so ziehen sie entgegengesetzt geladene Teilchen aus
der umgebenden Phase an und bilden eine elektrische Doppelladungsschicht an der
Phasengrenze. Treffen zwei derart ”belegte” Grenzfl¨
achen aufeinander, so verlang-
samen die elektrischen Kr¨
afte durch ihre Abstoßung die Koaleszenz (Chen u. a.
1988;Yiangtsios und Davis 1991). Die abstoßenden elektrischen Kr¨
afte durch die
Doppelladungsschicht sind jedoch nur bei geringer Oberfl¨
achenspannung signifikant
(Li 1994). In der Gegenwart von Tensiden kann der Marangoni Effekt die van der
Waals-Kraft kompensieren und zu einer Stabilisierung des d¨
unnen Films f¨
uhren
(Rubinstein und Leshansky 2000).
In der Literatur existieren sowohl experimentelle als auch theoretische Untersu-
chungen zur Koaleszenz von in Linie aufsteigenden Blasen (Crabtree und Bridgwa-
ter 1971;de Nevers und Wu 1971;Narayanan u. a. 1974;Bhaga und Weber 1980;
Komasawa u. a. 1980), nebeneinander (Duineveld 1998) aufsteigenden Blasen oder
f¨
ur Blasenketten (de Nevers und Wu 1971). Gem¨
aß den Beobachtungen der mei-
sten dieser Autoren l¨
aßt sich der Koaleszenzprozeß von nacheinander aufsteigenden
Blasen in folgenden Schritten beschreiben:
1. Beide Blasen ordnen sich vertikal an,
158
9.7. Blasenkoaleszenz
2. Beschleunigung und Strecken der nachlaufenden Blase in Richtung der vor-
auslaufenden,
3. Die nachlaufende Blase holt die vorauslaufende ein,
4. Drainage und Riß des d¨
unnen Films zwischen den beiden Blasen, was zur
Koaleszenz f¨
uhrt.
0123456
0
1
2
3
4
5
0123456
0
1
2
3
4
5
0123456
0
1
2
3
4
5
0123456
0
1
2
3
4
5
Abbildung 9.29.: Schnittdarstellung der Koaleszenz zweier 8mm Luftblasen in Wasser.
Dieser Prozeß kann auch in den Simulationen beobachtet werden. In Abbildung
9.29 sind zwei 8mm Blasen zu verschiedenen Zeitpunkten zu sehen. Die Blasen ha-
ben einen anf¨
anglichen Abstand von 3 Blasendurchmessern (24mm) in vertikaler
und von 2 Durchmessern (16mm) in horizontaler Richtung. Die Blasen sind im
Gegenstrom fixiert. Zu sehen ist ein zweidimensionaler Schnitt durch das Berech-
nungsgebiet. In der Abbildung finden sich die o.g. Schritte wieder.
In den in der Literatur vorliegenden Simulationen wurde bisher ausschließlich die
Koaleszenz von nacheinander aufsteigenden Blasen untersucht (s. Kapitel 6). In
Blasens¨
aulen kommt es aber auch zur Koaleszenz von Blasen, die nebeneinander
oder vertikal versetzt aufsteigen. In diesem Abschnitt soll daher die Koaleszenz von
nebeneinander aufsteigenden Blasen n¨
aher untersucht werden.
Versuche zur Dynamik zweier nebeneinander aufsteigenden sph¨
arischen Gasbla-
sen (dB= 0,5mm) von Kok (1993) in hyperfiltriertem Wasser (spez. Widerstand
159
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
18,2MΩ, weniger als 10ppb. organische Partikel) zeigten, daß die Blasen bei je-
dem Aufeinandertreffen koaleszieren. Duineveld (1998) f¨
uhrte zu diesem Thema
detaillierte Experimente mit Luftblasen von 1-2 mm Durchmesser durch. Als Ver-
suchsfl¨
ussigkeit w¨
ahlte Duineveld ebenfalls hyperfiltriertes Wasser. Die Verwendung
des hochreinen Wassers erm¨
oglicht den sinnvollen Vergleich mit VOF Simulationen,
da Oberfl¨
acheneffekte etwa durch Tenside nahezu auszuschließen sind. Als Krite-
rium f¨
ur die Koaleszenz zweier Blasen fand Duineveld eine kritische Weber-Zahl
WeH,krit =ρLw2
B,H rB/σ = 0,18 die auf der horizontalen Ann¨
aherungsgeschwindig-
keit wB,H der Blase basiert. Liegt die Weber-Zahl unterhalb des kritischen Wertes
so koaleszieren die Blasen, andernfalls prallen sie voneinander ab.
Die Hochgeschwindigkeitsaufnahmen von Duineveld erlauben zus¨
atzlich eine gute
qualitative Vergleichsm¨
oglichkeit. Als erste Vergleichsrechnung wird die Koales-
zenz von zwei 1,8 mm großen Luftblasen gew¨
ahlt. Die Simulationen erfolgen in
einem 1,6cm ×1,8cm ×0,4cm (H×B×T) großen Rechengebiet mit Aufl¨
osungen
von 128×64×32, 256×128×64 und 512×256×128 Zellen, so daß der Blasendurch-
messer mit ca. 15, 29 und 58 Zellen aufgel¨
ost wird.
Die Position der Blasen zum Ausgangszeitpunkt wird aus den Photographien von
Duineveld (1998)¨
ubernommen. Zu Beginn der Simulation sind die Blasen in Ruhe
und haben eine sph¨
arische Form. W¨
ahrend des Aufstiegs n¨
ahern sich die Blasen wie
im Experiment einander an. Nach 16ms ber¨
uhren sich die Blasenoberfl¨
achen und es
kommt zur Koaleszenz. Abbildung 9.30 zeigt die Koaleszenz der beiden Blasen als
Vergleich zwischen Simulation und Experiment. Deutlich zu erkennen ist die sehr
gute qualitative ¨
Ubereinstimmung. Die w¨
ahrend der Koaleszenz auftretenden For-
men der einzelnen Blasen und des Koaleszenzkomplexes k¨
onnen mit der Simulation
gut wiedergegeben werden. Der Vergleich der Zeitskalen ergibt jedoch leichte Dif-
ferenzen zwischen Experiment und Simulation. Durch die Blasenerzeugung in den
Experimenten ist die umgebende Fl¨
ussigkeit im Gegensatz zu der Simulation nicht
vollst¨
andig in Ruhe. Dadurch unterscheidet sich der Zeitpunkt des Aufeinandertref-
fens der Blasen. F¨
ur einen quantitativen Vergleich wird die Zeit t∗eingef¨
uhrt, in-
dem das zweite Bild aus der Sequenz in Abbildung 9.30 als identischer Bezugspunkt
gew¨
ahlt wird. Daraus wird ersichtlich, daß die Simulation in den ersten 6ms ein fast
identisches Resultat liefert. Im weiteren Verlauf der Sequenz ergeben sich leichte
160
9.7. Blasenkoaleszenz
t*=0 ms t*=5 ms t*=6 ms t*=9 ms
t*=13 ms t*=19 ms
t*=0 ms t*=5 ms t*=6 ms t*=8 ms
t*=11 ms t*=16 ms
Abbildung 9.30.: Koaleszenz zweier 1,8 mm Luftblasen in Wasser, Vergleich zwischen
Experiment (Duineveld 1998) und Simulation.
zeitliche Differenzen von bis zu 3ms. Da dieser hochdynamische Prozeß innerhalb
weniger Millisekunden abl¨
auft, k¨
onnen schon leichte St¨
orungen in der Fl¨
ussigpha-
se Auswirkungen auf die Koaleszenz haben. So l¨
aßt sich diese zeitliche Differenz
zumindest teilweise erkl¨
aren. Aus den Abbildungen von Duineveld l¨
aßt sich eine
Weber Zahl f¨
ur die Ann¨
aherungsgeschwindigkeit von WeH,exp = 0,038 absch¨
atzen.
Die Simulation liefert eine Weber Zahl von WeH,sim = 0,056. Beide Werte liegen
unter der von Duineveld angegebenen kritischen Weber Zahl von 0,18 bis zu der
Koaleszenz auftritt. Eine genaue Betrachtung der Phasengrenzen der beiden Blasen
in der Simulation kurz vor dem Einsetzen der Koaleszenz zeigt jedoch nicht die von
Duineveld beschriebenen Oberfl¨
achenabplattung. Folglich wird die Aufl¨
osung des
Rechengebietes sukzessive gem¨
aß den oben aufgef¨
uhrten Werten verdoppelt. Selbst
bei einer Aufl¨
osung von 512×256×128 Zellen konnte eine Abflachung der Blaseno-
berfl¨
ache nicht beobachtet werden. Lediglich der Beginn der Koaleszenz verschob
sich bei jeweils feinerer Aufl¨
osung von 15 auf 16 bzw. 19ms.
161
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Sind die Grenzfl¨
achen der sich ann¨
ahernden Blasen noch ausreichend voneinander
entfernt, so wird die Phasengrenze mit dem PLIC Algorithmus physikalisch korrekt
wiedergegeben. Befinden sich hingegen die Grenzfl¨
achen von zwei Blasen innerhalb
einer einzigen Zelle, so k¨
onnen die beiden Grenzfl¨
achen von der Numerik nicht
mehr separat erfaßt werden und werden zu einer einzigen neuen Grenzfl¨
ache kom-
biniert (vgl. Abbildung 9.31). Somit l¨
aßt sich festhalten, daß bei der vorliegenden
Aufl¨
osung die realen Vorg¨
ange im Film nicht wiedergegeben werden, sondern die
Koaleszenz lediglich aufgrund der Ber¨
uhrung der numerischen Phasengrenzfl¨
achen
erfolgt. Zur Best¨
atigung dieser Vermutung wird ein weiteres Experiment von Dui-
0 0 0
0 0 0
0
0,09 0,28
0,15 0,81
1
0,60
0,37 0,85
1
0,32
1
0,24 0,42
1
1
0,64
0
0 0 0
0 0 0
0
0,09 0,28
0,15 0,81
1
0,60
0,37 0,85
1
0,32
1
0,24 0,42
1
1
0,64
0
Abbildung 9.31.: Links: Zellenbelegung des Rechengitters nach der VOF-Methode;
Rechts: Numerische Koaleszenz durch die PLIC-Rekonstruktion der
Phasengrenze.
neveld (1998) numerisch nachgestellt - ein Abprallen zweier parallel aufsteigender
Blasen mit nachfolgender Koaleszenz beim erneuten Zusammentreffen. Die geome-
trische Anordnung des Experiments wurde wiederum der Abbildung entnommen.
Die Gr¨
oße des Berechnungsgebiets betr¨
agt 1,92cm ×0,96cm ×0,96cm bei einer
Aufl¨
osung von 256×128×128 Zellen. Der Abstand der Blasen in seitlicher Richtung
betr¨
agt 3,9 mm bei einer H¨
ohendifferenz von 0,15 mm. Der Vergleich zwischen Ex-
periment und Simulation in Abbildung 9.32 zeigt hier deutliche Differenzen. Die
Blasen koaleszieren sofort beim ersten Ber¨
uhren ohne - wie im Experiment - erst
voneinander abzuprallen und beim zweiten Aufeinandertreffen zu koaleszieren. Die
sich aus der Simulation ergebende Weber-Zahl betr¨
agt WeH,sim = 0,493. Sie liegt
also deutlich oberhalb des von Duinveld angegebenen kritischen von 0,18, bis zu
162
9.7. Blasenkoaleszenz
dem eine Koaleszenz eintritt.
Zur Kl¨
arung der Frage, ob eine Koaleszenz mit der VOF Methode korrekt wie-
t=38 ms t=39 ms
t=29 ms t=38 ms t=42 ms t=54 ms
Abbildung 9.32.: Abprall und nachfolgende Koaleszenz zweier 2,4 mm Luftblasen in
Wasser, Vergleich zwischen Experiment (Duineveld 1998) und Simu-
lation.
dergegeben werden kann, bedarf es einer genauen Untersuchung der beteiligten
physikalischen Prozesse: Wie eingangs bereits erw¨
ahnt, ist die Filmdrainage und
das Aufreißen des Films der entscheidende Prozeß f¨
ur die Koaleszenz (Chesters
1991). F¨
ur den Rißmechanismus gibt es in der Literatur zwei unterschiedliche Er-
kl¨
arungsans¨
atze.
1. Intermolekulare Kr¨
afte
Bei Unterschreitung einer gewissen Filmdicke kommen intermolekulare Kr¨
afte zum
Tragen, die einen Filmaufriß herbeif¨
uhren k¨
onnen (Chesters und Hofman 1982;Dui-
neveld 1998). ¨
Uber die kritische Filmdicke, ab der molekulare Kr¨
afte dominieren,
gibt es in der Literatur unterschiedliche Angaben. W¨
ahrend Chesters und Hofman
sowie Duinveld von einer Reichweite in der Gr¨
oßenordnung von 10nm sprechen,
geben Runowski (2002), Witelski und Bernoff (2000), und Goodall u. a. (1998) hin-
163
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
gegen eine Reichweite von mehr als 100 nm an.
2. Fluktuationen
Doubliez (1991) untersuchte die Drainage und den Filmaufriß beim Aufprall einer
Blase auf eine freie Oberfl¨
ache. Gem¨
aß dieser Beobachtungen erfolgt die Koales-
zenz in drei aufeinanderfolgenden Stufen: einer schnellen Filmausd¨
unnung, einer
Verlangsamung bis hin zu einer kurzzeitig gleichbleibenden Filmdicke und schließ-
lich eine Filmverdickung. In den meisten F¨
allen reißt der Film w¨
ahrend der letzten
Phase, d.h. w¨
ahrend der Filmverdickung. Die Filmdicke w¨
ahrend des Filmaufrisses
variierte f¨
ur eine 0,1 mm Blase zwischen 110 und 435 nm, lag also deutlich oberhalb
der in der Literatur angegebenen Bereiche, in denen die van der Waals-Kr¨
afte ihre
anziehende Wirkung zeigen. Die beobachtete Filmdicke f¨
ur destilliertes Wasser oder
alkoholische L¨
osungen unterschritt niemals 80nm. Ein Auftreten von hydrodyna-
mischen Instabilit¨
aten, das oftmals als Erkl¨
arung f¨
ur das Aufreißen herangezogen
wird, wurde nicht beobachtet.
¨
Ahnliche Untersuchungen, jedoch f¨
ur ein fl¨
ussig/fl¨
ussig System, wurden von Goo-
dall u. a. (1998) durchgef¨
uhrt. Auch hier wurden kritische Filmdicken von 195nm bis
395,5nm in Abh¨
angigkeit von der Filmviskosit¨
at beobachtet. Bei diesen Filmdicken
wurde ein Filmriß durch van der Waals-Kr¨
afte ausgeschlossen. Als Rißmechanismus
wird der Kontakt von Kapillarwellen von zwei gegen¨
uberliegenden Phasengrenzen
aufgef¨
uhrt. Mit abnehmendem Abstand der beiden Grenzfl¨
achen f¨
uhren van der
Waals-Kr¨
afte zu einer Verst¨
arkung dieser Kapillarwellen. Ohne signifikante absto-
ßende Kraft zwischen den beiden Tropfen kommt es zu einer Drainage des Films
und zur Koaleszenz beim Kontakt der Kapillarwellen.
Runowski (2002) untersuchte die Str¨
omung drainierender, dicker Lamellen (d >
1µm). Als Rißursache stellte er wachsende hydrodynamische und thermische Fluk-
tuationen fest. Die Brownsche Molekularbewegung gilt als Ursache f¨
ur die Fluktua-
tionen und f¨
uhrt zu makroskopischen Auslenkungen der Grenzfl¨
ache.
Zusammenfassend l¨
aßt sich feststellen, daß es zumindest prinzipiell m¨
oglich ist, die
164
9.8. Stoff¨
ubergang
oben genannten Ph¨
anomene auf der Basis der VOF Methode zu berechnen, wenn
von hydrodynamischen oder thermischen Fluktuationen ausgel¨
oste St¨
orungen als
Rißursache des Filmes zwischen den Blasen angenommen werden. Dies w¨
urde al-
lerdings eine hinreichend genaue Aufl¨
osung des ca. 100nm dicken Filmes vorausset-
zen. Bei den oben aufgef¨
uhrten numerische Simulationen betrug die Zellgr¨
oße aber
31000nm. Eine dreidimensionale Simulation der Koaleszenz ist selbst mit heutigen
Hochleistungsparallelrechnern nicht realisierbar. Auch w¨
urde bei so feinen Gittern
die Zeitschrittweite so klein, daß von sehr langen Rechenzeiten ausgegangen wer-
den muß. Mit der VOF-Methode tritt also bei noch sinnvollen Aufl¨
osungen des
Rechengebiets Koaleszenz bei jedem Aufeinandertreffen von zwei Grenzfl¨
achen sich
ann¨
ahernder Blasen innerhalb einer Rechenzelle auf. Diese Koaleszenz ist daher
lediglich auf die numerische Kombination zweier Grenzfl¨
achen innerhalb einer ein-
zigen Zelle zur¨
uckzuf¨
uhren. Eine real vorliegende Koaleszenz kann somit durch eine
Simulation reproduziert werden, ein Abprallen jedoch nicht.
Werden mehr als nur eine Blase in dem Simulationsgebiet betrachtet, so muß der
Abstand zwischen den Blasen w¨
ahrend der Simulation hinreichend groß bleiben,
um Koaleszenz zu vermeiden. Dadurch ist auch der Gasgehalt im Rechengebiet
stark begrenzt, was eine Simulation von z.B. Ausschnitten aus Blasens¨
aulen mit
hohen Gasgehalten nahezu unm¨
oglich macht. Aus experimentellen Beobachtungen
ist bekannt, daß es dort fast ausschließlich zum Abprallen der Blasen kommt (Otake
u. a. 1976;Jamialahmadi und Steinhagen 1989).
9.8. Stoff¨
ubergang
Die der Simulation zugrunde liegenden Gleichungen sind in Abschnitt 7.2 angege-
ben. Der Stoff¨
ubergang hat keine Einfluß auf die Hydrodynamik. An der Phasen-
grenze soll jeweils thermodynamisches Gleichgewicht herrschen. Der dortige Kon-
zentrationssprung l¨
aßt sich durch das Henry’schen Gesetz H=cG/cLausdr¨
ucken.
Die ¨
ubergehende Spezies liegt nur in einer verd¨
unnten Konzentration vor. Das Bla-
senvolumen bleibt trotz Stoffaustausch konstant.
165
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Die f¨
ur die Simulationen verwendeten Stoffdaten der Fl¨
ussigkeiten sind in Tabel-
le 9.1 angegeben. Der Diffusionskoeffizient einer Komponete A in einem bin¨
aren
Gasgemisch aus den Komponenten A und B berechnet sich nach dem empirischen
Ansatz von Fuller und Giddings (s. Weiss 1986) zu
DA,B =
0,1013 ·10−7T1,75 h(˜
MA+˜
MB)/(˜
MA·˜
MB)i1/2
ph(Pν)1/3
A+ (Pν)1/3
Bi2,(9.21)
mit den Inkrementen zur Berechnung der Diffusionsvolumina Pν. Sie geben das
Volumen (in cm3) pro Mol des Gases an. Diese Werte sind in der g¨
angigen Literatur
zu finden, z.B. in Weiss (1986). F¨
ur Sauerstoff betragen die Diffusionsvolumina 16,6,
f¨
ur Luft 20,1 und f¨
ur Helium 2,88. Die verwendeten Diffusionskoeffizienten sind in
Tabelle 9.10 aufgelistet. F¨
ur die Diffusion einer gel¨
osten Spezies in einer Fl¨
ussigkeit
gilt f¨
ur unendlich verd¨
unnte L¨
osungen nach Wilke und Chang (s. Weiss 1986)
DA,L =7,4·10−15(Φ ˜
ML)0,5T
ηL˜
V0,6
A
.(9.22)
Die daraus errechneten Diffusionskoeffizienten sind ebenfalls in der Tabelle auf-
gef¨
uhrt. Da bereits geringe Konzentrationen von CMC ausreichen, um die Vis-
kosit¨
at des Wassers deutlich zu erh¨
ohen, wird auch in den Simulationen f¨
ur die
Systeme S1, S10 und S11 von einem konstanten Henry-Koeffizienten von H= 33
ausgegangen.
Tabelle 9.10.: Diffusionskoeffizienten.
Diffusionskoeffizient von O2in D[m2/s]
Luft 1,92 ·10−5
Helium 6,97 ·10−5
Wasser (S1) 2,01 ·10−9
Wasser/CMC (S10) 1,34 ·10−10
Wasser/CMC (S11) 8,04 ·10−11
166
9.8. Stoff¨
ubergang
9.8.1. Validierung
Nachfolgend werden die Validierung des Modells und eine Studie zur Gitterabh¨
angig-
keit vorgestellt. Die Validierung soll anhand von einfachen Problemstellungen erfol-
gen. In den ersten beiden F¨
allen werden die Simulationen mit analytischen N¨
ahe-
rungsl¨
osungen verglichen. Zur Vereinfachung wird jeweils von einem ein- bzw. zwei-
dimensionalen symmetrischen Problem mit ruhender Fl¨
ussigphase ausgegangen.
Die Simulationen der reinen Diffusion zeigten sehr gute ¨
Ubereinstimmung mit ana-
lytischen L¨
osungen f¨
ur beide F¨
alle. Weitere Details zu diesen beiden Testf¨
allen
finden sich in Bothe u. a. (2003b).
In einem weiteren Schritt werden die Simulationsergebnisse mit experimentellen
Daten verglichen. Mit einer Mikroelektrode bestimmten Riethues u. a. (1986) die
lokale Sauerstoffkonzentration in der N¨
ahe der Phasengrenzfl¨
ache einzelner Bla-
sen. Dazu wurde eine einzelne Sauerstoffblase mit einem Platindraht fixierten. Die
Messungen erfolgten in ruhendem oder str¨
omendem Wasser oberhalb der Blase in
definierten Abst¨
anden. Die Validierung des Stofftransportes erfolgt anhand einer
3,94mm Blase in ruhendem, mit Stickstoff ges¨
attigtem Wasser. Auch hier wurden
zur Vermeidung parasit¨
arer Str¨
omungen die Geschwindigkeiten auf Null gesetzt.
Die Simulation erfolgte unter Verwendung zweier Symmetrieebenen in einem Ge-
biet mit 128×128×128 Zellen. Der Blasendurchmesser ist mit 32 Zellen aufgel¨
ost.
Die auf die Grenzfl¨
achenkonzentration normierten Werte der Konzentrationen in-
nerhalb der Fl¨
ussigphase sind in Abbildung 9.33 im senkrechten Abstand zur Grenz-
fl¨
ache gezeigt. Aus der zeitlichen Entwicklung des Konzentrationsverlaufs ist er-
sichtlich, daß nach 0,8 Sekunden der experimentelle Verlauf durch die Simulation
sehr gut wiedergegeben wird. Beide Verl¨
aufe sind jedoch steiler als Riethues u. a.
(1986) f¨
ur reine Diffusion berechnet haben. Erst f¨
ur h¨
ohere Viskosit¨
aten der Fl¨
ussig-
phase konnten die Autoren eine gute ¨
Ubereinstimmung zwischen den gemessenen
und dem nach dem Fick’schen Diffusionsgesetz berechneten Konzentrationen fest-
stellen.
Unter dem Mikroskop war w¨
ahrend der Experimente eine Konvektionsstr¨
omung
zu beobachten - m¨
oglicherweise Marangoni Konvektion - die zu einer Erh¨
ohung
des Stofftransportes f¨
uhrt. Die gemessenen Str¨
omungsgeschwindigkeiten lagen zwi-
167
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
-0,1
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Phasengrenzfläche
Riethues et. al
t=0,1 s
t=0,2 s
t=0,3 s
t=0,5 s
t=0,7 s
t=0,8 s
cL
/ c
L,PGF
/ -
r / mm
Abbildung 9.33.: Normierte Sauerstoff-Konzentration normal zur Phasengrenfl¨
ache ei-
ner fixierten 4mm Blase.
schen 0,1 und 0,3mm/s. Da die Abbildung 9.33 nur Konzentrationsverh¨
altnisse
angibt, ist ein quantitativer Vergleich der Konzentrationen oder der sich daraus be-
rechnenden ¨
ubergehenden Stoffstr¨
ome hier schlecht m¨
oglich. Dazu kann jedoch der
fl¨
ussigkeitsseitige Stoff¨
ubergangskoeffizient βLherangezogen werden. Dieser berech-
net sich gem¨
aß der Filmtheorie aus βL=DL/δL. Die Filmdicke der Grenzschicht
kann gem¨
aß der Autoren durch der Tangente an den normierten Konzentrations-
verlauf an der Stelle r= 0 abgesch¨
atzt werden. Da die Autoren dazu die normierten
Konzentrationen verwenden, m¨
ußten sich demnach f¨
ur Experiment und Simulation
identische ¨
Ubergangskoeffizienten ergeben. F¨
ur verschiedene Str¨
omungsgeschwin-
digkeiten der Fl¨
ussigphase werden in dem Artikel zus¨
atzlich Werte f¨
ur die ¨
Uber-
gangskoeffizienten angegeben. Eine Extrapolation dieser Werte auf den fehlenden
Wert f¨
ur eine ruhende Blase in stagnanter Fl¨
ussigphase liefert f¨
ur eine 2,8mm Blase
etwa 2 ·10−3cm/s und f¨
ur eine 4,9mm Blase etwa 1,8·10−3cm/s. Aus den nume-
rischen Simulationen lasse sich die Stoff¨
ubergangskoeffizienten direkt berechnen:
168
9.8. Stoff¨
ubergang
βL=˙
NL
A(cA,L,PGF −cA,L).(9.23)
Da der Diffusionskoeffizient in der Gasphase wesentlich gr¨
oßer ist als in der Fl¨
ussig-
phase, ist der Konzentrationsgradient in der Gasphase, bedingt durch die gleichen
Stoffstromdichten ¨
uber die Grenzfl¨
ache, wesentlich kleiner als in der Fl¨
ussigphase
(Brauer 1971b). Die explizite Betrachtung der numerisch bestimmten Konzentra-
tionswerte innerhalb der Blase zeigt, daß hier in guter N¨
aherung eine konstante
Konzentration angenommen werden kann. Aus dem Henry’schen Gesetz folgt da-
mit:
cA,L,PGF =cA,G,P GF
H=¯cA,G
H.(9.24)
Das Programm liefert die mittleren Konzentrationen ¯cA,L und ¯cA,G, sowie den Stoff-
strom ˙
NLund die Fl¨
ache A. Zu dem Zeitpunkt t=0,85s ergibt sich gem¨
aß Gleichung
(9.23) ein fl¨
ussigkeitsseitiger Stoff¨
ubergangskoeffizient von βL= 1,77 ·10−2cm/s,
der somit eine Gr¨
oßenordnung oberhalb des experimentell bestimmten Werts liegt.
Hierzu kommt weiterhin, daß in den Experimenten eine leichte Konvektion vorlag,
die den experimentellen Wert zus¨
atzlich erh¨
ohte. Folglich muß davon ausgegan-
gen werden, daß die Differenz zwischen experimentell und numerisch bestimmtem
fl¨
ussigkeitsseitigen Stoff¨
ubergangskoeffizient noch gr¨
oßer ist. Bei wesentlich feinerer
Aufl¨
osung des Gebietes reduziert sich der Stoffstrom und damit auch der Stoff¨
uber-
gangskoeffizient um mehr als 50 % (vgl. Tabelle 9.11).
9.8.2. Gitterabh¨
angigkeit des Stofftransportes
Wie bei der Hydrodynamik, so muß auch beim Stoff¨
ubergang von einer starken
Gitterabh¨
angigkeit der numerischen Simulationen ausgegangen werden. Betrachtet
wird eine 4mm Luftblase, die in einem Wasser/CMC-Gemisch (System S10) auf-
steigt. Die zur Hydrodynamik geh¨
origen Stoffdaten sind in Tabelle 9.1 angegeben.
F¨
ur eine physikalisch sinnvolle Beschreibung der Hydrodynamik in dreidimensiona-
len Simulationen ist eine minimale Aufl¨
osung 16 Zellen pro Durchmesser notwendig.
Die Aufl¨
osung wird in den Simulationen sukzessiv erh¨
oht. F¨
ur die Aufl¨
osung von
169
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
16, 32, 64 und 128 Zellen sind die zugeh¨
origen Aufstiegsgeschwindigkeiten und sich
ergebenden Stoffstr¨
ome in Tabelle 9.11 zusammengefaßt. Die Rechnungen erfolgten
f¨
ur den zweidimensionalen Fall. Wie aus der Tabelle hervorgeht, ist die Aufstiegs-
Tabelle 9.11.: Aufstiegsgeschwindigkeit und ¨
ubergehender, Stoffstrom einer 4,0mm
Luftblase in einer CMC-L¨
osung in Abh¨
angigkeit von der Aufl¨
osung des
Rechengebiets.
Blasen- Gebiets- Dimen- Zellen pro Aufstiegs- Stoff-
durchm. aufl¨
osung sionen Durchmesser geschwind. strom
dB[mm] [-] [-] [-] wB[cm/s]˙
NL[mol/s]
4,0 256x64x1 2D 16 14,90 7,15 ·10−9
4,0 512x128x1 2D 32 15,92 4,25 ·10−9
4,0 1024x256x1 2D 64 16,36 3,14 ·10−9
4,0 2048x512x1 2D 128 16,43 1,95 ·10−9
geschwindigkeit ab einer Aufl¨
osung von 64 Zellen pro Durchmesser gitterinvariant.
Der Stoffstrom sinkt jedoch weiter mit steigender Aufl¨
osung. F¨
ur eine Aufl¨
osung
von 128 Zellen pro Durchmesser ist der ¨
ubergehende Stoffstrom auf fast 25% des
Wertes reduziert, der bei 16 Zellen pro Durchmesser vorliegt. Eine weitere Verfei-
nerung der Aufl¨
osung war aufgrund der zu hohen Rechenzeit nicht m¨
oglich.
Die Verringerung des Stoffstromes bei steigender Aufl¨
osung und auch steigender
Aufstiegsgeschwindigkeit (somit auch besserem Abtransport der Spezies von der
Grenzfl¨
ache) l¨
aßt sich physikalisch nicht erkl¨
aren. Die Ursachen m¨
ussen numerisch
bedingt sein. Durch die feinere Diskretisierung wird der Film besser aufgel¨
ost und
die Gradienten zwischen den benachbarten Zellen werden geringer. Dies hat großen
Einfluß auf den Stofftransport und bedarf weiterer Untersuchungen.
9.8.3. Variation der Schmidt-Zahl
An der Blasenoberfl¨
ache liegen beim Stoff¨
ubergang fl¨
ussigseitig sehr d¨
unne Konzen-
trationsfilme vor. Zun¨
achst wird untersucht, ob diese Filme durch praktikable Gitter
170
9.8. Stoff¨
ubergang
genau genug aufgel¨
ost werden k¨
onnen. Eine entscheidende Gr¨
oße dabei ist der Diffu-
sionskoeffizient in der Fl¨
ussigphase. F¨
ur konstante hydrodynamische Bedingungen
wird deshalb der Diffusionskoeffizient systematisch variiert. Charakterisiert wird
das System durch die Schmidt-Zahl Sc =ν/D, die pro Phase das Verh¨
altnis der
Diffusivit¨
aten von Impuls zu Stoff angibt. Je kleiner die Schmidt-Zahl, desto st¨
arker
ist der diffusive Stofftransport. Per Simulation wird der Einfluß der Schmidt-Zahl
n¨
aher untersucht. Gew¨
ahlt wird dazu eine formstabile Blase (dB= 4mm), die in
einer Wasser/Glycerin-Mischung (S6, ηL= 0,075Pas) aufsteigt. Als Henry Koef-
fizienten f¨
ur dieses System wird H= 33 angenommen. Der Diffusionskoeffizient
innerhalb der Fl¨
ussigphase wird gem¨
aß DL=νL/Sc festgesetzt. Die Aufl¨
osung des
Blasendurchmessers betr¨
agt 32 Zellen. Die Simulation erfolgt in drei Dimensionen.
Aufgrund der hohen Viskosit¨
at der Fl¨
ussigphase sind die f¨
ur die Hydrodynamik
relevanten L¨
angenskalen hinreichend genau aufgel¨
ost. In insgesamt 13 Simulatio-
nen wird die Schmidt-Zahl zwischen 1 und 100000 variiert. Abbildung 9.34 zeigt
drei typische Konzentrationsfelder um die Blase. Zu dem gezeigten Zeitpunkt liegt
eine station¨
are Str¨
omung mit Re = 7,61 vor. Aus der Abbildung wird deutlich,
-0.5
0.0
0.5
-0.5
0.0
0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-0.5
0.0
0.5
Sc=1 Sc=10 Sc=100
Abbildung 9.34.: Konzentrationsfeld des ¨
ubergegangenen Sauerstoff aus einer 4mm
Blase (freier Aufstieg) in Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl Sc.
171
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
daß sich f¨
ur Sc = 1 zu dem dargestellten Zeitpunkt eine sehr lange und auch breite
Konzentrationsschleppe der ¨
ubergegangenen Species hinter der Blase ausbildet hat.
Selbst vor dem vorderen Staupunkt der Blase hat sich ein Film von etwa der Dicke
des Blasenradius gebildet.
F¨
ur eine Schmidt-Zahl von 10 ist das Konzentrationsfeld der Spezies weniger stark
ausgepr¨
agt im Vergleich zu Sc = 1. Die sich vor und neben der Blase ausgebildeten
Filme sind schmaler. Auch die Konzentrationsschleppe der Blase ist schmaler und
k¨
urzer geworden. Diese Effekte verst¨
arken sich mit zunehmender Schmidt-Zahl. So
bildet sich f¨
ur Schmidt-Zahlen gr¨
oßer 100 ein typisches Nachlaufgebiet aus, wie
es aus Experimenten f¨
ur Fl¨
ussigkeiten mit erh¨
ohter Viskosit¨
at, z.B. Wasser/CMC-
Gemische, bekannt ist (z.B. Bork u. a. 2001). Die sich ausbildenden Konzentrati-
onsfilme werden mit steigender Schmidt-Zahl zunehmend d¨
unner. Daher stellt sich
die Frage, ob diese Filme noch fein genug durch das vorhandene Gitter aufgel¨
ost
sind.
Dieser Frage wird im folgenden nachgegangen. Dazu sind in Abbildung 9.35 die
simulierten fl¨
ussigkeitsseitigen Sauerstoffprofile an der Phasengrenzfl¨
ache f¨
ur ver-
schiedene Winkel Θ dargestellt. Dabei wird deutlich, daß am vorderen Staupunkt
der Blase (Θ = 0˚) die Profile den st¨
arksten Gradienten aufweisen. Mit steigender
Schmidt-Zahl w¨
achst der Gradient an. Es stellt sich heraus, daß der Konzentrati-
onsfilm bei der verwendeten Aufl¨
osung am vorderen Staupunkt f¨
ur Sc > 50 mit
nur noch 1-2 Zellen nicht mehr hinreichend aufgel¨
ost wird. Bei ansteigenden Win-
keln (Θ = 45˚ und 90˚) ist ein Zuwachs der Filmdicke dFzu verzeichnen, da die
Str¨
omung hier zus¨
atzliche Spezies von der Vorderseite der Blase mit sich f¨
uhrt. Die
Werte an der Position 180˚ befinden sich innerhalb der Konzentrationsschleppe
der Blase. Hier kann nicht mehr von Konzentrationsfilmen gesprochen werden.
Eine Betrachtung der Konzentrationsprofile f¨
ur 0˚, 45˚ und 90˚ legt nahe, daß
hier ein exponentieller Abfall vom Typ exp(−xn/dF) der Konzentration vorliegt.
Daher wird versucht, die Konzentrationsprofile f¨
ur unterschiedliche Winkel Θ und
Schmidt-Zahlen durch exponentielle Kurven anzupassen. Oberhalb von Θ = 90˚ ist
eine Anpassung f¨
ur Schmidt-Zahlen von Sc > 5 nicht mehr befriedigend m¨
oglich.
Die aus den Anpassungen erhaltenen Filmdicken dFsind in Abbildung 9.36 darge-
stellt. Die Abnahme der Filmdicke mit steigender Schmidt-Zahl variiert außerhalb
172
9.8. Stoff¨
ubergang
0 1 2 3
0,0
2,0x10
-7
4,0x10
-7
6,0x10
-7
8,0x10
-7
1,0x10
-6
Sc=1
Sc=2
Sc=5
Sc=10
Sc=20
Sc=50
Sc=100
Konzentration c / mmol/l
0 1 2 3
0,0
2,0x10
-7
4,0x10
-7
6,0x10
-7
8,0x10
-7
1,0x10
-6
1,2x10
-6
Normaler Abstand x
n
zur Phasengrenzfläche / mm
0 1 2 3
0,0
2,0x10
-7
4,0x10
-7
6,0x10
-7
8,0x10
-7
0 1 2 3
0,0
2,0x10
-7
4,0x10
-7
6,0x10
-7
n
0°
45°
90°
180°
O
I
Abbildung 9.35.: Sauerstoffprofile innerhalb der Fl¨
ussigphase in Abh¨
angigkeit des
Winkels Θ und der Schmidt-Zahl.
der Wirbelschleppe zwischen -0,65 und -0,67. Lediglich innerhalb der Schleppe re-
duziert sich die Abnahme erwartungsgem¨
aß auf einen deutlich geringeren Wert von
-0,07. F¨
ur die ¨
Aquatorialebene der Blase l¨
aßt sich die Filmdicke in Abh¨
angigkeit
der Schmidt-Zahl ausdr¨
ucken:
dF,Sc =dF,Sc=1 ·Sc−0,65 f¨
ur 1 ≤Sc ≤100.(9.25)
Mit den Gleichungen (9.23) und (9.24) lassen sich Stoff¨
ubergangskoeffizienten und
Sherwood-Zahlen der Blase f¨
ur die verschiedenen Schmidt-Zahlen bestimmen. Bis
zu einer Schmidt-Zahl von 100 kann in der logarithmischen Darstellung der fl¨
ussig-
keitsseitige Stoff¨
ubergangskoeffizient βLin Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl durch
die Funktion βL=konst(Re)Sc−0,74 approximiert werden. F¨
ur hohe Schmidt-
Zahlen (Sc > 2000) n¨
ahert sich βLasymptotisch einem Wert von 0,3cm/s an.
Aus den Stoff¨
ubergangskoeffizienten lassen sich die Sherwood-Zahlen bestimmen.
173
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
1
10 100 1000
1E-3
0,01
0,1
0°
45°
135°
90°
180°
Ausgleichsgeraden:
y = -0,67x - 1,289
y = -0,65x - 1,093
y = -0,65x - 0,057
y = -0,66x - 0,589
y = -0,07x - 0,671
Filmdicke d
F
/ mm
Schmidt-Zahl Sc / -
Abbildung 9.36.: Filmdicke dFf¨
ur unterschiedliche Winkel Θ in Abh¨
angigkeit der
Schmidt-Zahl Sc.
Der dazugeh¨
orige Verlauf in Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl ist in Abbildung 9.37
dargestellt. Bis zu einer Schmidt-Zahl von 100 kann in der logarithmischen Dar-
stellung die Sherwood-Zahl als Funktion der Schmidt-Zahl durch die Gerade y=
0,22x+ 0,229 approximiert werden. Daraus folgt f¨
ur die integrale Sherwood-Zahl:
ShL= 1,69 Sc0,22 =konst(Re)Sc0,22 f¨
ur 1 ≤Sc ≤100.(9.26)
Im Bereich des konstanten Stoff¨
ubergangskoeffizienten (Sc > 2000) kann folgende
Ausgleichsgerade verwendet werden: y= 0,91x−1,300. Dies wiederum kann in die
Gleichung
ShL= 0,05 Sc0,94 =konst(Re)Sc0,94 f¨
ur Sc > 2000 (9.27)
¨
uberf¨
uhrt werden. Diese Gleichungen gelten nur f¨
ur die vorliegende Reynolds-Zahl
(Re=7,61) und einem Henry Koeffizienten von H=33. Sinnvoll f¨
ur zuk¨
unftige Ar-
beiten sind weitere Simulationen unter Variation der Reynolds-Zahlen an, um eine
allgemein g¨
ultige Korrelation zu erhalten.
174
9.8. Stoff¨
ubergang
1
10 100 1000 10000 100000
10
100
1000
y = 0,22x + 0,229
y = 0,91x - 1,30
Re=7,61
Sherwood-Zahl Sh / -
Schmidt-Zahl Sc / -
Abbildung 9.37.: Sherwood-Zahl in Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl Sc.
9.8.4. Vergleich mit experimentellen Daten
Da nur f¨
ur Spezialf¨
alle analytische L¨
osungen existieren, erfolgt die Bewertung des
simulierten Stoff¨
ubergangs anhand experimenteller Daten. Zun¨
achst soll ein quali-
tativer Vergleich mit experimentell bestimmten Konzentrationsschleppen erfolgen,
bevor ein quantitativer Vergleich mit integralen Gr¨
oßen wie z.B. der Sherwood-Zahl
erfolgt. Dank der Fortschritte in der Lasermeßtechnik ist es mittlerweile m¨
oglich,
mit Hilfe der laserinduzierten Fluoreszenz (LIF) die Konzentration des in die Fl¨
ussig-
phase ¨
ubergegangenen Sauerstoffs zu visualisieren. Vertikale Lichtschnitte zeigen
den qualitativen Konzentrationsverlauf innerhalb der Wirbelschleppe. Mit Hilfe von
horizontalen Lichtschnitten kann das komplette Konzentrationsfeld innerhalb der
Wirbelschleppe f¨
ur formstabile Blasen quantitativ erfaßt werden. N¨
ahere Details
zu dem Verfahren finden sich bei Bork u. a. (2003).
In der Abbildung 9.38 ist die experimentell und numerisch bestimmte Konzentra-
tionsschleppe hinter einer formdynamischen Blase gegen¨
ubergestellt. (Eine dunkle
F¨
arbung innerhalb der Fl¨
ussigphase entspricht einer hohen Sauerstoffkonzentrati-
175
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
on). Die Abbildung verdeutlicht, daß der Stoffaustausch in Wasser ein hochdyna-
Abbildung 9.38.: Konzentrationsfeld des ¨
ubergegangenen Sauerstoffs hinter einer
formdynamischen Blase. oben: Simulation, unten: Experiment (Bork
u. a. 2003).
mischer Prozeß ist. Die Blase steigt auf einer nichtlinearen Bahn auf und unterliegt
großen Formschwankungen. Dies verursacht Wirbel in der Fl¨
ussigphase, die zu ei-
nem guten konvektiven Abtransport des Sauerstoffs von der Phasengrenze und aus
der unmittelbaren Blasenn¨
ahe f¨
uhren. Aus der Abbildung ist eine gute qualitative
¨
Ubereinstimmung zwischen Experiment und Simulation zu erkennen. Ein quanti-
tativer Vergleich wird durch die große Formdynamik des Systems erschwert. Daher
sollen in einem ersten Schritt formstabile Blasen betrachtet werden. Dazu bietet
sich das Stoffsystem Wasser/CMC (S11) an (vgl. Tabelle 9.1), da f¨
ur dieses System
umfangreiche LIF Messungen von Bork u. a. (2003) vorliegen. F¨
ur dieses Stoffsy-
stem ist der Henry Koeffizient bekannt (H=33). Neben qualitativen Visualisierun-
gen der Konzentrationsverteilung innerhalb der Konzentrationsschleppe bestimmte
176
9.8. Stoff¨
ubergang
Bork auch die hydrodynamischen Kenngr¨
oßen und die integralen Sherwood-Zahlen
in Abh¨
angigkeit der Fourier-Zahl Fo = 4D·t/d2
B. In den Simulationen ist der
Blasendurchmesser mit 32 Zellen aufgel¨
ost, so daß f¨
ur dieses h¨
oherviskose System
(ηL= 0,025Pas) die relevanten L¨
angenskalen bez¨
uglich der Hydrodynamik hinrei-
chend aufgel¨
ost werden. Die Blasen sind unter diesen Bedingungen formstabil.
Die horizontalen Laserschnitte durch die Schleppe der Blasen erm¨
oglichen einen
guten qualitativen Vergleich. F¨
ur die 4,5mm Blase in Abbildung 9.39 l¨
aßt sich eine
gute ¨
Ubereinstimmung feststellen. Bei der 5,6mm Blase zeigen sich jedoch deut-
d)b) c)
a)
Abbildung 9.39.: Vergleich des Konzentrationsfeldes des gel¨
osten Sauerstoffs zwischen
Experiment (Bork 1999) und Simulation. a) dB= 4,5mm, b) dB=
5,6mm, c) Exp.: dB= 7,2mm, Sim.: dB= 8,0mm, d) dB= 10,0mm,
liche Differenzen. W¨
ahrend in der Simulation das Nachlaufgebiet noch eine Form
aufweist, die einem Ast einer Hyperbel ¨
ahnelt, ist in dem zugeh¨
origen Experiment
bereits eine wirbelf¨
ormige Struktur hinter der Blase zu erkennen. Diese Form kann
in Simulationen erst ab einem Durchmesser von 8,0mm beobachtet werden (Ab-
bildung 9.39 c). Bei dieser Blasengr¨
oße hat sich in den Experimenten bereits ein
komplexes Konzentrationsprofil innerhalb der Wirbelschleppe gebildet. Mit Hilfe
der Simulationen ist es m¨
oglich, diese Konzentrationsprofil qualitativ wiederzuge-
ben, jedoch erst f¨
ur einen gr¨
oßeren Blasendurchmesser von 10mm. Neben diesem
qualitativen Vergleich erfolgt auch ein quantitativer Vergleich. Tabelle 9.12 stellt die
wichtigsten Gr¨
oßen aus Experiment und Simulation gegen¨
uber. Wie aus der Tabelle
deutlich wird, liegen die numerisch bestimmten Aufstiegsgeschwindigkeiten ca. 20%
177
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Tabelle 9.12.: Vergleich der Simulationen mit experimentellen Daten (Bork 1999).
dB/mm 4,5 5,6 8,0 7,2
Sim. Exp. Sim. Exp. Sim. Exp.
wB/ cm/s 20,2 24,9 21,7 27,2 22,1 28,1
b/mm 5,1 5,8 7,0 8,2 11,5 12,9
h/mm 3,5 3,4 3,6 2,8 3,8 2,8
α/o120 120 118 112 91 95
Sh/−37520 3843 59475 10757 103130 37148
Fo/−1,0·10−52,9·10−58,1·10−61,7·10−54,9·10−61,3·10−5
unter den experimentellen Werten. Da der Blasendurchmesser hier bereits mit 32
Zellen aufgel¨
ost ist, kann diese Differenz nicht nur auf einer zu geringen Aufl¨
osung
beruhen. Zus¨
atzlich haben die Blasen eine rundere Form und somit auch einen gerin-
geren Str¨
omungswiderstand. Ein wichtiger Unterschied zu den Simulationen ist das
nicht-newtonische Fließverhalten der Wasser/CMC-L¨
osung in den Experimenten.
Dies wird in den Simulationen nicht ber¨
ucksichtigt. Trotz dieser Differenzen bzgl.
der Hydrodynamik ergibt sich eine recht gute ¨
Ubereinstimmung f¨
ur den Abl¨
osewin-
kel der Konzentrationsschleppe α. Die aus den Simulationen gewonnen Sherwood-
Zahlen liegen jedoch um bis zu einem Faktor 10 oberhalb der Meßwerte. Ein Grund
ist der bereits in Kapitel 9.8.1 erw¨
ahnte fl¨
ussigkeitsseite Stoff¨
ubergangskoeffizient,
der in den Simulationen f¨
ur reine Diffusion um ca. einen Faktor 10 oberhalb der
Meßwerte liegt.
Die 4,5mm Blase wurde in einer Langzeitrechnung im Gegenstrom fixiert, um ver-
gleichbare Fourier-Zahlen zu erhalten, aber Sherwood-Zahl ist w¨
ahrend der gesam-
ten Simulation konstant, so daß auch die unterschiedlichen Aufstiegszeiten zwi-
schen Experiment und Simulation als m¨
ogliche Ursache auszuschließen sind. Die in
Tabelle 9.12 aufgef¨
uhrten Sherwood-Zahlen aus Experiment und Simulation wer-
den in Abbildung 9.40 einigen in Abschnitt 3.4 aufgef¨
uhrten Korrelationen f¨
ur die
Vorhersage der Sherwood-Zahl gegen¨
ubergestellt. Zus¨
atzlich sind aus weiteren Si-
mulationen bestimmte Sherwood-Zahlen f¨
ur ein zweites Stoffsystem hinzugef¨
ugt.
Aus der Abbildung wird deutlich, daß f¨
ur die 1mm Blase (Re=0,75) die berech-
178
9.8. Stoff¨
ubergang
0,1
1
10 100 1000
100
1000
10000
100000
1000000
y = 2,06x + 0,8531
y = 2,06x + 1,307
Brauer
Levich
Simulation (S10)
Simulation (S11)
Experimente Bork
Anpassung
Sherwood-Zahl Sh / -
Reynolds-Zahl Re / -
Abbildung 9.40.: Vergleich der numerisch berechneten Sherwood-Zahlen aus den Si-
mulationen (S10, S11) als Funktion der Reynolds-Zahl mit experi-
mentellen Werten (S11) und Korrelationen aus der Literatur f¨
ur ein
Wasser/CMC Gemisch (S11).
nete Sherwood-Zahl sehr gut mit der Korrelation nach Levich ¨
ubereinstimmt. Die-
se Korrelation gilt f¨
ur sph¨
arische Blasen in schleichender Str¨
omung. Die ebenfalls
ann¨
ahernd sph¨
arische 2mm Blase (Re=8,01) kann recht gut mit dieser Korrela-
tion wiedergegeben werden. Die an Meßwerte angepaßte Korrelation nach Brauer
verl¨
auft wesentlich flacher als die numerischen und experimentellen Werte. Im Be-
reich von 6 < Re < 170 lassen sich Sherwood-Zahlen f¨
ur das System S11 gut
durch die Gerade y= 2,06x+ 1,307 approximieren. Dies f¨
uhrt wiederum zu einer
Beziehung vom Typ ShL= 20,28 Re2,06 bzw. ShL=konst(Sc)Re2,06.
Durch Variation der Viskosit¨
at der Fl¨
ussigkeit lassen sich in weiteren Simulatio-
nen auch n¨
ahere Informationen ¨
uber den Vorfaktor konst(Sc) erhalten. Dazu wird
das System S10 herangezogen. W¨
ahrend das System S11 eine Schmidt-Zahl von
Sc = 312810 hat, so reduziert sich die Schmidt-Zahl im System S10 auf einen Wert
179
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
von Sc = 112610. Hier sei angemerkt, daß f¨
ur diese hohen Schmidt-Zahlen die Film-
dicken in den Simulationen nicht fein genug durch das Gitter aufgel¨
ost werden. Wie
aus Abbildung 9.40 hervorgeht, lassen sich die Simulationen des Systems S10 eben-
falls mit einer Gerade der Steigung 2,06 wiedergeben. Aus den unterschiedlichen
Schnittpunkten der angepaßten Geraden mit der Ordinate l¨
aßt sich berechnen, daß
die Sherwood-Zahl durch eine Korrelation vom Typ Sh =konst Sc Re2,06 beschrie-
ben werden kann. Die Differenz des hier bestimmten Exponents der Schmidt-Zahl
von 1,0 zu dem Exponenten von 0,94, der aus den Simulationen mit variierter
Schmidt-Zahl in Abschnitt 9.8.3 folgt, ist relativ gering. Dies l¨
aßt vermuten, daß
sich m¨
oglicherweise beide Korrelationen mit einem gemeinsamen Exponenten f¨
ur
die Schmidt-Zahl beschreiben lassen. Zur Kl¨
arung dieser Vermutung bedarf es noch
weiterer Simulationen in zuk¨
unftigen Arbeiten.
9.8.5. Blasenketten
Von großem technischen Interesse ist das Schwarmverhalten von Blasen. Ein Zwi-
schenschritt hin zur Simulation von Schw¨
armen sind Blasenketten. Bei der Bega-
sung von h¨
oherviskosen Fl¨
ussigkeiten bilden sich Blasenketten, in denen die Blasen
geradlinig aufsteigen. Eine m¨
ogliche Anwendung ist beispielsweise das Einbringen
von Sauerstoff in Bioreaktoren. Daher sollen hier hydrodynamisches Verhalten und
Stoff¨
ubergang f¨
ur Blasenketten n¨
aher untersucht werden. Die sinnvollste Herange-
hensweise w¨
are die Simulation einer einzelnen Blase in einem periodischen Gebiet.
Hat die neu in das Gebiet eintretende Blase die gleiche Konzentration der das Ge-
biet verlassende Blase, so ließe sich die Abreicherung der ¨
ubergehenden Spezies aus
einer einzelnen Blase verfolgen. Tritt allerdings stets eine Blase mit gleichbleibender
Eingangskonzentration an Species in das Gebiet ein, so ließe sich die Anreicherung
der ¨
ubergehenden Spezies in einem bestimmten Bereich der Fl¨
ussigphase beobach-
ten. Das Programm FS3D erlaubt diese Form der Randbedingungen nicht, so daß
ein sehr langes Rechengebiet oberhalb der D¨
use betrachtet werden muß. Da f¨
ur
den Stofftransport eine sehr hohe Diskretisierung erforderlich ist, lassen sich solche
Simulationen bis auf wenige Ausnahmen nur in 2D durchf¨
uhren.
Nur f¨
ur ein in der L¨
ange stark begrenztes Rechengebiet ist es m¨
oglich, eine 3D
180
9.8. Stoff¨
ubergang
Simulation eines Gebiets oberhalb einer D¨
use durchzuf¨
uhren. Exemplarisch wird
eine 2mm D¨
use betrachtet. Die D¨
use ragt 0,3cm in das Rechengebiet hinein. Der
D¨
usendurchmesser ist mit 16 Zellen diskretisiert. Aus der D¨
use str¨
omt Luft mit
einer Geschwindigkeit von 5,5cm/s. Die H¨
ohe des Rechengebiets betr¨
agt 6,4cm.
Das Gebiet ist ab einer H¨
ohe von 5,8cm mit Luft gef¨
ullt. Der Wandabstand betr¨
agt
0,8cm. Als Fl¨
ussigphase dient eine Wasser/CMC-L¨
osung (System S11).
Abbildung 9.41 zeigt einen 2D-Schnitt durch das 3D-Konzentrationsfeld um ei-
ne der Blasen. Die Blase steigt in der Schleppe einer vorauslaufenden Blasen auf.
Im rechten Teil der Abbildung ist in einer LIF-Aufnahme von Bork u. a. (2002) das
Konzentrationsprofil einer Blase in einer Blasenkette zu sehen. Qualitativ kann hier
eine gute ¨
Ubereinstimmung festgestellt werden. Da die Blase in der Simulation nur
wenige Zentimeter aufsteigt, ist hier kein quantitativer Vergleich mit den Werten
von Bork u.a. m¨
oglich. Dieselbe Simulation wird auch in 2D durchgef¨
uhrt. Tabel-
2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
-0.30
-0.20
-0.10
-0.00
0.10
0.20
0.30
Abbildung 9.41.: Gel¨
oster Sauerstoff um eine aufsteigende Blase innerhalb einer Bla-
senkette. Links: Simulation, Rechts: Experiment (Bork u. a. 2002).
le 9.13 stellt die Ergebnisse der beiden Simulationen gegen¨
uber. Aus der Tabelle
wird deutlich, daß sich die 2D Resultate sehr stark von denen in 3D unterscheiden.
181
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
Tabelle 9.13.: Vergleich der Blasenbildung und des Blasenaufstiegs an einer 2mm D¨
use
in 2D und 3D.
2D 3D
Blasendurchmesser dB/mm 5,9 4,1
Blasenbildungsfrequenz fB/Hz 2,6 0,82
Blasengeschwindigkeit wB/ cm/s 4,8 15,8
¨
Anderung Konz. Blase 1 ∆cB/∆t / g/mol s −9,21 ·10−8−8,36 ·10−7
¨
Anderung Konz. Blase 2 ∆cB/∆t / g/mol s −7,77 ·10−8−7,24 ·10−7
Der Unterschied f¨
allt wesentlich st¨
arker aus als f¨
ur den Aufstieg einzelner Blasen.
Im 2D Fall liegt eine wesentlich h¨
ohere Blasenbildungsfrequenz vor. Die umgeben-
de Fl¨
ussigkeit kann die Blasen nur an zwei Seiten umstr¨
omen, vergleichbar mit
einem unendlich langem aufsteigenden zylinderf¨
ormigen Objekt. Im 3D Fall kann
die Fl¨
ussigkeit rund um die gesamte Blase str¨
omen. Durch die h¨
ohere Aufstiegs-
geschwindigkeit ist auch der zugeh¨
orige Stoffstrom ¨
uber die Grenzfl¨
ache und die
damit verbundene zeitliche ¨
Anderung der Konzentration ∆cB/∆tder jeweiligen
Blasen gr¨
oßer. Da die L¨
ange des Rechengebiets in den 3D Simulationen, erfolgen
die weiteren Simulationen in 2D. Nur in einem ausreichend langen Gebiet kann eine
Anreicherung der Spezies in der Fl¨
ussigphase und der damit verbundene Einfluß
auf den Stoffaustausch der Blasen untersucht werden.
Hydrodynamik
Simuliert wird wieder eine 2mm D¨
use in einem 25,6cm langen Gebiet mit drei un-
terschiedlichen Wandabst¨
anden von jeweils 0,8, 1,6 und 3,2cm. Der D¨
usendurch-
messer ist mit 8 Zellen diskretisiert. Als Fl¨
ussigkeit wird eine Wasser/CMC L¨
osung
(S11) verwendet. Die Einstr¨
omgeschwindigkeit betr¨
agt 5cm/s.
Wie bereits in Abschnitt 9.4 gezeigt, hat der Wandabstand einen starken Einfluß
auf die Aufstiegsgeschwindigkeit. Dies wirkt sich am meisten bei dem kleinen Wan-
dabstand von 0,8cm bemerkbar. Die Geschwindigkeit der ersten, ungest¨
ort auf-
steigenden Blase betr¨
agt hier lediglich 4,97cm/s im Vergleich zu 12,3cm/s bzw.
16,5cm/s f¨
ur Wandabst¨
ande von 1,6cm bzw. 3,2cm. Allerdings ist die Blasenbil-
182
9.8. Stoff¨
ubergang
dungsfrequenz f¨
ur alle drei Wandabst¨
ande etwa gleich groß (2,3−2,5Hz). Auch
der Blasen¨
aquivalentdurchmesser ist mit etwa 5,5mm unabh¨
angig vom Wandab-
stand. Der unterschiedliche Wandabstand hat jedoch einen großen Einfluß auf die
sich ausbildende Blasenform. Diese ist f¨
ur die beiden gr¨
oßeren Wandabst¨
ande (1,6
bzw. 3,2cm) mit einer H¨
ohe von 3,6mm und einer Breite von 8,3mm ann¨
ahernd
identisch. F¨
ur den geringen Wandabstand kann sich die Blase aufgrund der an den
W¨
anden vorliegenden Abw¨
artsstr¨
omung nicht so weit seitlich ausdehnen, so daß
ihre Form weniger abgeplattet ist (h= 4,5mm,b= 6,8mm): Dies ist in Abbildung
9.42 zu erkennen. Die Abbildung zeigt die Blasen zusammen mit der Konzentration
der ¨
ubergehenden Spezies. Bedingt durch das Nachlaufgebiet der vorherigen Blasen
0 2 4 6 8 10
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
-0.5
0.0
0.5
0 2 4 6 8 10
-0.4
0.0
0.4
0 2 4 6 8 10
-0.4
0.0
0.4
a) t = 1,75 s b) t = 1,6 s d) t = 5,0 sc) t = 1,6 s
Abbildung 9.42.: Einfluß des Wandabstandes auf das Aufstiegsverhalten und den Stof-
faustausch in einer Blasenkette. a) dW= 3,2cm, b) dW= 1,6cm, c,d)
dW= 0,8cm.
steigen die Blasen innerhalb einer Kette schneller auf als Einzelblasen. Der star-
ke Wandeinfluß f¨
ur dW= 0,8cm kompensiert diese Geschwindigkeitserh¨
ohung fast
183
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
v¨
ollig. Die Geschwindigkeit der Blasen innerhalb der Kette liegt nur 1-2 % h¨
oher als
die der ersten Blase. Bei einer Verdoppelung des Wandabstandes auf 1,6cm kann
der Ketteneinfluß auf die Geschwindigkeit beobachtet werden, wie aus Abbildung
9.43 hervorgeht. Dort sind auf die Geschwindigkeit der ersten Blase bezogene Ge-
0,0 0,5 1,0 1,5
1,0
1,1
1,2
1,3
Blase 6
Blase 4
Blase 1
Blase 2
bez. Geschwindigkeit w
B,i
/ w
B1
/ -
normierte Zeit t
*
/ s
Abbildung 9.43.: Auf die Geschwindigkeit der ersten Blase bezogene Aufstiegsge-
schwindigkeit der Blasen innerhalb einer Kette.
schwindigkeiten f¨
ur verschiedene Blasen innerhalb der Kette als Funktion der auf
den Zeitpunkt der Blasenerzeugung normierten Zeit t∗dargestellt. Deutlich zu er-
kennen ist die starke Beschleunigung der 2. Blase in Richtung der ersten Blase, bis
es zu einer Koaleszenz zum Zeitpunkt t∗= 1,15skommt. Durch die aufsteigenden
Blasen wird die umgebende Fl¨
ussigkeit ebenfalls beschleunigt. Die Geschwindigkeit
der vierten Blase liegt im Mittel bereits um ca. 11% h¨
oher als die der Ersten. Ab
der sechsten Blase ist die Geschwindigkeit der Blasen innerhalb der Kette station¨
ar.
Die durchschnittliche Blasengeschwindigkeit ist um ca. 14% erh¨
oht. F¨
ur den Wan-
dabstand von 3,2cm ist eine Untersuchung ¨
uber so einen l¨
angeren Zeitraum nicht
m¨
oglich, da es beim Aufeinandertreffen zweier Blasen zu numerischen Instabilit¨
aten
kommt.
184
9.8. Stoff¨
ubergang
Die Geschwindigkeit der Blasen innerhalb der Kette l¨
aßt sich auch mittels Glei-
chung (2.52) bestimmen. Als Bezugsgr¨
oße gilt die Geschwindigkeit der ungest¨
ort
aufsteigenden ersten Blase. F¨
ur den Wandabstand von 1,6cm sind dies 12,3cm/s.
Der Durchmesser der zweidimensionalen Blase errechnet sich aus dem Zusammen-
hang πd2
B=πbh2f¨
ur eine volumengleiche Ellipse zu 5,5mm. Daraus resultiert eine
Reynolds-Zahl von 27,1. Aus Gleichung (2.52) ergibt sich hiermit eine theoretische
Blasengeschwindigkeit innerhalb der Kette von 19,5cm/s. Die Geschwindigkeit in-
nerhalb der Kette betr¨
agt nur etwa 13,5cm/s. Die Differenz k¨
onnte daran liegen,
daß Gleichung (2.52) aus Experimenten gewonnen wurde, w¨
ahrend die Simulatio-
nen nur in 2D vorliegen.
Stoffaustausch
Wie schon aus Abbildung 9.42 hervorgeht, hat der Wandabstand einen deutlichen
Einfluß auf den Stofftransport. Ein geringer Wandabstand bringt eine schnellere
Aufkonzentrierung der ¨
ubergehenden Spezies in der Fl¨
ussigphase mit sich. In Ab-
bildung 9.44 sind die zeitlichen Konzentrationsverl¨
aufe innerhalb der einzelnen Bla-
sen f¨
ur Wandabst¨
ande von 0,8 und 1,6cm gegen¨
ubergestellt. F¨
ur den Wandabstand
0 1 2 3 4 5 6
3,9x10
-5
4,0x10
-5
4,1x10
-5
4,2x10
-5
4,3x10
-5
4,4x10
-5
Blase 9
Blase 7
Blase 5
Blase 3
Blase 1
Konzentration c / mmol/l
Zeit t / s
0 1 2 3 4
Blase 7
Blase 5
Blase 3
Blase 1
Zeit t / s
Abbildung 9.44.: Zeitlicher Konzentrationsverlauf der Blasen innerhalb einer Kette.
Links: dW= 0,8cm, rechts: dW= 1,6cm.
von 0,8cm ist eine lineare Abnahme der Konzentration der einzelnen Blasen mit
der Zeit erkennbar. Durch die Aufkonzentrierung innerhalb der Fl¨
ussigphase ver-
185
9. Numerische Simulation aufsteigender Blasen
schlechtert sich der Stoff¨
ubergang f¨
ur die jeweils nachfolgende Blase. W¨
ahrend die
zeitliche Abnahme f¨
ur die erste Blase noch 7,95·10−3mol/l s betr¨
agt, ist es bei der
Neunten nur noch etwa 3,57 ·10−3mol/l s. Die Koeffizieten der Ausgleichsgeraden
sind im Anhang A.3 aufgef¨
uhrt.
Der erwartungsgem¨
aß andere Verlauf f¨
ur den Wandabstand von 1,6cm ist im rech-
ten Teil von Abbildung 9.44 zu erkennen. Bedingt durch die gr¨
oßere Aufstiegsge-
schwindigkeit liegt ein besserer konvektiver Abtransport der ¨
ubergegangenen Spe-
cies von der Phasengrenzfl¨
ache vor. W¨
ahrend f¨
ur den geringen Wandabstand die
zeitliche Abnahme f¨
ur die erste Blase noch 7,95·10−3mol/l s betr¨
agt, hat sich dieser
Wert jetzt auf 22,5·10−3mol/l s erh¨
oht. Die zeitliche Abnahme der Konzentration
der nachfolgenden Blasen verl¨
auft nicht mehr linear, sondern n¨
aherungsweise expo-
nentiell. Eine systematische Ver¨
anderung der zeitlichen Abnahme ist f¨
ur einzelnen
der Blasen nicht erkennbar.
Der zeitliche Verlauf des fl¨
ussigkeitsseitigen Stoff¨
ubergangskoeffizient βList in Ab-
bildung 9.45 f¨
ur die beiden Wandabst¨
ande dargestellt. In erster N¨
aherung kann
die Blasenkette als ein Ausschnitt aus einer Blasens¨
aule betrachtet werden. Darin
l¨
aßt sich der fl¨
ussigkeitsseitige Stoff¨
ubergangswiederstand kLf¨
ur Blasen gr¨
oßer als
2,5mm mit dem Ansatz nach Calderbank und Moo-Young (Deckwer 1992) berech-
nen:
kL= 0,42 ηL
ρLDL−1/2(ρL−ρG)ηLg
ρ2
L1/3
.(9.28)
Einen weiteren Ansatz liefern Akita und Yoshida (Deckwer 1992) mit
kL= 0,5DL
dBνL
DL1/2g d3
B
ν2
L1/4g d2
BρL
σ3/8
.(9.29)
Diese beiden Ans¨
atze ergeben zeitlich konstante Werte von kL= 0,4cm/s bzw.
kL= 0,24cm/s. Ein Vergleich mit den Werten f¨
ur die beiden Simulationen zeigt,
daß sich f¨
ur den geringen Wandabstand die numerischen Werte dem Wert von
kL= 0,24cm/s nach Akita und Yoshida ann¨
ahern. Die lokalen Minima im Ver-
lauf des kLWertes entstehen durch jeweils einen Blasenabriß an der D¨
use. Bedingt
durch die geringeren Aufstiegsgeschwindigkeiten sind die Blasen zum Zeitpunkt
186
9.8. Stoff¨
ubergang
012345
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
Blasen verlassen
Gebiet
Akita u. Yoshida
Calderbank
u. Moo-Young
d
W
= 0,8 cm
d
W
= 1,6 cm
k
L
/ cm/s
Zeit t / s
Abbildung 9.45.: Fl¨
ussigkeitsseitiger Stoff¨
ubergangskoeffizient kLals Funktion der
Zeit.
t= 5snoch nicht am Ende des Rechengebietes angelangt. Daher wird der Wert
von kLnoch weiter sinken. F¨
ur den Wandabstand von 1,6cm erreichen die Blasen
bereits nach 2,6sdas Ende des Rechengebietes. F¨
ur diesen Wandabstand l¨
aßt sich
der kLWert besser mit dem Ansatz von Calderbank und Moo-Young wiederge-
ben. Diese zweidimensionalen Ergebnisse ¨
uber den Stofftransport in Blasenketten
k¨
onnen nur zum Aufzeigen erster Tendenzen dienen. Erst Simulationen in 3D in
einem periodischen Gebiet k¨
onnen physikalisch sinnvolle Resultate liefern.
187
10. Zusammenfassung und Ausblick
In vielen technischen Apparaten wie z. B. Blasens¨
aulen, Schlaufenreaktoren oder
begasten R¨
uhrkesseln liegen Gas-Fl¨
ussig-Str¨
omungen vor. Zur Auslegung solcher
Kontaktapparate werden oftmals vereinfachende Modelle herangezogen. In diesen
Modellen bleiben lokale Ph¨
anomene wie z.B. formdynamische Grenzfl¨
achen oder
Wirbelschleppen unber¨
ucksichtigt. Andererseits haben j¨
ungste experimentelle Er-
gebnisse gezeigt, daß diese Ph¨
anomene einen großen Einfluß auf die Hydrodynamik
und den Stofftransport in Mehrphasenstr¨
omungen haben (Schl¨
uter 2002;Bork u. a.
2003;Scheid u. a. 2003). Komplement¨
ar zu den experimentellen Untersuchungen
lokaler Ph¨
anomene mit optischen Methoden bietet sich die numerische Simulation
als Werkzeug an. In den Simulationen k¨
onnen die gew¨
unschten Parameter gezielt
festgelegt und variiert werden.
Die in dieser Arbeit vorgestellten numerischen Simulationen wurden mit dem CFD-
Programm FS3D (Rieber und Frohn 1997) auf einem Parallelrechner durchgef¨
uhrt.
FS3D basiert auf der Volume of Fluid (VOF) Methode und kann reale Dichte-
verh¨
altnisse von bis zu 1300 numerisch handhaben. Eine Validierung anhand von
analytischen L¨
osungen im Bereich der schleichenden Str¨
omung zeigt eine sehr gu-
te quantitative ¨
Ubereinstimmung der simulierten Blasenformen mit den analytisch
vorhergesagten. Ein Vergleich der numerisch und analytisch bestimmten Geschwin-
digkeitsfelder zeigt eine befriedigende quantitative ¨
Ubereinstimmung.
Zur Erfassung aller Ph¨
anomene m¨
ussen die relevanten L¨
angenskalen durch das Git-
ter hinreichend fein genug aufgel¨
ost werden. F¨
ur die Hydrodynamik ist dies f¨
ur die
Berechnung turbulenten Str¨
omungsverhaltens die Kolmogorov L¨
angenskala. Die-
se ist f¨
ur niedrigviskose Fluide wie beispielsweise Wasser aufgrund der begrenzten
Rechnerkapazit¨
at des Parallelrechners nur schwer aufzul¨
osen. In Simulationen wird
gezeigt, daß sich die Aufstiegsgeschwindigkeit f¨
ur eine kleine Luftblase in Wasser um
189
10. Zusammenfassung und Ausblick
¨
uber 50% erh¨
ohen kann, wenn die Aufl¨
osung des Rechengitters stark erh¨
oht wird.
Um einen dreidimensionalen Blasenaufstieg simulieren zu k¨
onnen, muß ein Kom-
promiß zwischen hoher Aufl¨
osung und limitierter Rechenkapazit¨
at gew¨
ahlt werden.
F¨
ur die physikalisch sinnvolle Wiedergabe der Aufstiegsgeschwindigkeit hat sich ein
Wandabstand von vier Blasendurchmessern innerhalb des Rechengebietes als aus-
reichend erwiesen. Der Blasendurchmesser sollte dabei mit mindestens 16 Zellen
diskretisiert werden.
Der Verlauf der simulierten Aufstiegsgeschwindigkeiten von Luftblasen f¨
ur verschie-
dene Blasendurchmesser in Wasser zeigt im Bereich von 0,8−15mm eine gute qua-
litative ¨
Ubereinstimmung mit eigenen Experimenten und Daten aus der Literatur.
Blasen gr¨
oßer als 3mm zeigen zus¨
atzlich eine gute quantitative ¨
Ubereinstimmung
mit den Experimenten. Die Differenzen zu den Experimenten sind auf die zu gerin-
ge Aufl¨
osung des Rechengitters zur¨
uckf¨
uhrbar. Die simulierten Bahntrajektorien
geben ebenfalls die experimentell beobachteten (geradlinig, zickzack, helikal und
geradlinig stockend) qualitativ gut wieder. Allerdings zeigt sich hier der große Ein-
fluß des Wandabstandes auf die Bahnen. Um m¨
oglichst realistische Resultate zu
erhalten, sollte der Wandabstand mindestens 8 Blasendurchmesser betragen. Ein
Vergleich mit experimentellen Bahnradien zeigt, daß die numerisch bestimmten
Bahnen um bis zu einer Gr¨
oßenordnung zu gering ausfallen. Das f¨
ur Blasen gr¨
oßer
4mm beobachtete stark formdynamische Verhalten kann in den Simulationen erst
ab einem Blasendurchmesser von 8mm wiedergefunden werden.
Zus¨
atzlich zu den Simulationen in Wasser werden auch Blasen in diversen, vis-
kosen Glycerin/Wasser Mischungen betrachtet. F¨
ur Viskosit¨
aten ηL>0,075Pas
liegt eine sehr gute ¨
Ubereinstimmung der simulierten Geschwindigkeiten mit den
experimentellen Werten aus der Literatur vor. Die numerisch erhaltenen Werte sind
innerhalb dieses Viskosit¨
atsbereiches Gitterinvariant. Eine Betrachtung der f¨
ur die
Hydrodynamik relevanten L¨
angenskala zeigt, daß diese f¨
ur die h¨
oherviskosen Fluide
hinreichend durch das Gitter aufgel¨
ost wird.
Oberhalb einer bestimmten Blasengr¨
oße bilden sich hinter den Blasen in niedrig-
190
viskosen Fl¨
ussigkeiten Wirbelschleppen aus. In ¨
Ubereinstimmung mit den Expe-
rimenten k¨
onnen sowohl symmetrische als auch asymmetrische Wirbelschleppen
beobachtet werden. Die Wirbelbildung und Abl¨
osung stimmen sehr gut mit der
mechanistischen Beschreibung nach Fan und Tsuchiya (1990)¨
uberein. Durch das
Abl¨
osen von Wirbeln aus der Schleppe ¨
andert sich die L¨
ange der prim¨
aren Wir-
belschleppe kontinuierlich. Der zeitliche Verlauf der L¨
ange einer asymmetrischen
Schleppe in den Simulationen kann durch eine S¨
agezahnkurve angen¨
ahert werden.
Dies ist in guter, qualitativer ¨
Ubereinstimmung mit experimentellen Beobachtun-
gen.
Die Simulation von Blasenpaaren zeigt, daß es bei jedem Aufeinandertreffen von
zwei Blasen zu einer Koaleszenz kommt, die lediglich auf die Rekonstruktion der
Phasengrenzfl¨
ache zur¨
uckzuf¨
uhren ist. Auf diese Weise k¨
onnen zwar in Experimen-
ten vorliegende Koaleszenzen sehr gut durch die Simulation wiedergegeben werden,
ein Abprallen zweier Blasen ist jedoch mit der VOF-Methode mit heutigen Rech-
nerkapazit¨
aten nicht machbar.
Mit Hilfe einer Erweiterung des Simulationsprogramms FS3D ist es m¨
oglich, den
Stofftransport f¨
ur formdynamische Blasen qualitativ erfolgreich zu simulieren. Ein
Vergleich mit dem fl¨
ussigkeitsseitigen Stoff¨
ubergangskoeffizienten βLf¨
ur reine Dif-
fusion zeigt jedoch, daß die numerischen Werte ca. eine Gr¨
oßenordnung oberhalb
der experimentellen Werte liegen. Trotz dieser Einschr¨
ankung kann eine gute prin-
zipielle ¨
Ubereinstimmung der Konzentrationsverteilung in der Wirbelschleppe mit
den Experimenten nach Bork (1999) festgestellt werden. Ein quantitativer Vergleich
offenbart gr¨
oßere Differenzen der numerisch bestimmten Sherwood-Zahlen der Bla-
sen im Vergleich zu den Werten nach Bork. Dies kann zum Teil mit der zu groben
Diskretisierung des Gitters erkl¨
art werden, da die f¨
ur den Stofftransport relevante
Batchelor Skala, je nach Schmidt-Zahl, noch weit unterhalb der Kolmogorov’schen
Skala liegt.
F¨
ur geringe Reynolds-Zahlen und sph¨
arische Blasen kann eine gute ¨
Ubereinstim-
mung der Sherwood-Zahl mit Korrelationen aus der Literatur festgestellt werden.
F¨
ur ellipsoide Blasen kann ein eigener, empirischer Ansatz die numerisch bestimm-
191
10. Zusammenfassung und Ausblick
ten Sherwood-Zahlen gut wiedergeben. In ersten Studien k¨
onnen in zweidimensiona-
len Rechnungen die Tendenzen des Stofftransportes in Blasenketten gezeigt werden.
Ausblick
Das große Problem bei den bisherigen Simulationen ist die oftmals zu geringe
Aufl¨
osung des Rechengebietes. Mit feinerer Aufl¨
osung lassen sich Ergebnisse er-
zielen, die die Physik noch besser wiedergeben. Da die Kapazit¨
at des vorhandenen
Parallelrechners begrenzt ist, m¨
ussen andere Ans¨
atze verwendet werden:
Durch die Implementierung periodischer Randbedingungen l¨
aßt sich das Rechen-
gebiet verk¨
urzen. Damit kann die Aufl¨
osung innerhalb des Gebiets weiter erh¨
oht
werden. Dadurch lassen sich auch f¨
ur h¨
ohere Schmidt-Zahlen die an der Grenz-
fl¨
ache vorliegenden Filmprofile noch ausreichend aufl¨
osen. Gleichzeitig bieten die
periodischen Randbedingungen die M¨
oglichkeit, die Abreicherung der Spezies in
einer einzelnen Blase aus einer Kette oder alternativ die Anreicherung innerhalb
eines gewissen Bereichs der Fl¨
ussigphase zu untersuchen. Weiterhin bieten periodi-
sche Randbedingungen die M¨
oglichkeit, das Schwarmverhalten mehrerer Blasen zu
untersuchen, besonders vor dem Hintergrund, daß die bisherigen in der Literatur
bekannten Simulationen nur geringe Reynolds-Zahlen und kleine Deformationen
beinhalten. Mit FS3D lassen sich hingegen starke Oberfl¨
achendeformationen bei
hohen Reynolds-Zahlen und hohen Dichteunterschieden simulieren.
Ein weiterer Aspekt ist die Implementierung des mitbewegten Koordinatensystems,
wie es von Rusche (2003) vorgestellt wird. Durch die ortsfeste Fixierung der Bla-
se kann das Gitter dort mit bestehenden M¨
oglichkeiten von FS3D lokal verfeinert
werden. Somit ließe sich auch untersuchen, ob sich durch das mitbewegte Koordi-
natensystem realistischere Bahnradien mit FS3D simulieren lassen.
Ebenfalls von Interesse sind ver¨
anderte Einstr¨
ombedingungen f¨
ur aufsteigende Bla-
sen im Gegenstrom. Bisher liegt am Einlaß nur eine homogene Geschwindigkeitsver-
teilung vor. In realen Zweiphasenstr¨
omungen sind aber fast ausschließlich inhomo-
gene Geschwindigkeitsverteilungen zu finden. Daher k¨
onnen beispielsweise Scher-
str¨
omungen, oder die von Schl¨
uter (2002) beschriebene ungeordnete Str¨
omungsfor-
men hinter einem Partikelgitter als Einlaß gew¨
ahlt werden.
192
In Bezug auf die Simulation des Stofftransportes besteht noch großer Bedarf an
Verbesserungen der Simulationsmethoden und -werkzeuge, um die im Vergleich mit
den Experimenten zu hoch simulierten Stoffstr¨
ome ¨
uber die Phasengrenze zu re-
duzieren. F¨
ur eine weitere Validierung des implementierten Modells bieten die von
(Brauer 1971b) vorgestellten Gleichungen zur analytischen Bestimmung des Stoff-
transportes f¨
ur schleichende Str¨
omungen eine gute M¨
oglichkeit. Die Untersuchung
der Filmdicke in Abh¨
angigkeit von der Schmidt-Zahl erfordert noch weitere Simula-
tionen mit ver¨
anderten Reynolds-Zahlen, sprich anderen Blasendurchmessern und
Stoffsystemen, um die bisher erhaltenen Informationen zu untermauern. Gleiches
gilt f¨
ur die Abh¨
angigkeit der Sherwood-Zahl von der Reynolds- und Schmidt-Zahl
f¨
ur deformierte, formstabile Blasen.
193
11. Symbolverzeichnis
Symbol Einheit Bedeutung
A[m2] Fl¨
ache
b[m] Blasenbreite
Br[m3] Kugelvolumen
c[kmol/m3] Konzentration
cV M [−] Virtueller Massenkoeffizient
CD[−] Widerstandsbeiwert
D[m2/s] Diffusionskoeffizient
dB[m] Blasen¨
aquivalentdurchmesser
dP[m] Partikelquivalentdurchmesser
di[m] D¨
usendurchmesser
E[−] Exzentrizit¨
at
f[−] Volumenanteilsfunktion
f[1/s] Frequenz
D∗
V[−] Dimensionsloser ¨
Aquivalentdurchmesser
f[N] Kraftdichte
F[−] Argument
F[N] Kraft
g[m/s2] Erdbeschleunigung
G[−] Gebiet
h[m] Blasenh¨
ohe
H [−] Heaviside’sche Sprungfunktion
H, H∗[−] Henry Zahl
195
11. Symbolverzeichnis
He [bar] Henry-Konstante
I[−] Einheitstensor
J[kg/m2s] Fluß
K[−] Faktor
˙m[kg/m3s] Massenstromdichte
˜
M[kg/kmol] Molmasse
n[m] Oberfl¨
achennormale
˙n[mol/m3s] Stoffstromdichte
p[N/m2] Druck
r[m] Radius
R[−] Blasenradius
rBahn [m] Bahnradius
s[−] Grenzfl¨
achenerneuerungsfaktor
SF[−] Fl¨
achenschwerpunkt
S[−] Z¨
ahigkeitsspannungstensor
t[s] Zeit
T[−] Spannungstensor
u[m/s] Geschwindigkeitsvektor
wB[m/s] Aufstiegsgeschwindigkeit
w∗
B[−] normierte Aufstiegsgeschwindigkeit
˜x[−] Molbruch
x, y, z [m] Koordinate
196
Griechische Symbole
Symbol Einheit Bedeutung
α[o] Abl¨
osewinkel der Str¨
omung
β[m/s] Stoff¨
ubergangskoeffizient
γ[−] Dichteverh¨
altnis, St¨
orungsfaktor
Γ [m2] Grenzfl¨
ache
δ[−] Dirac’sche Deltafunktion
δi[m] Filmdicke
[−] Gasgehalt
ζ[−] Verwindungszahl
η[kg/ms] Dynamische Viskosit¨
at
λK[m] Kolmogorov L¨
angenskala
µ[−] Chemisches Potential
ν[m2/s] Kinematische Viskosit¨
at
ξ[−] Verwindungszahl
ρ[kg/m3] Dichte
σ[N/m] Oberfl¨
achenspannung
σSD [−] Standardabweichung
Θ, θ [o] Winkel
φ[−] Str¨
omungsvariable
ϕ[o] Winkel
κ[1/m] Kr¨
ummung, Viskosit¨
atsverh¨
altnis
ψ[−] Str¨
omungsfunktion, Verteilungsfunktion
Ω [−] Phasenraum, Bilanzraum
197
11. Symbolverzeichnis
Indices und Symbole
+,- Phasenindex
* Dimensionslos
Aq Fl¨
ache
A Auftrieb
B Blase
BK Blasenkette
eq ¨
Aquivalent
G Gas
G Gewichtskraft
H Horizontal
HR Hadamard u. Rybczynski
i,j,k Zellindizierung in (x,y,z)-Richtung
P Partikel
PGF Phasengrenzfl¨
ache
PW Prim¨
are Wirbelschleppe
st Grenzfl¨
achenspannung
V Volumen
VM Virtuelle Masse
W Widerstand
Γ Grenzfl¨
ache
198
A. Anhang
A.1. Festlegung der Wirbelschleppenl¨
ange nach
Tsuchiya und Fan
Stagnations-
punkt
Stagnationsregion
Quer-
strömung
Sattel
punkt
Chaotisch,
turbulente
Region
Stabile
Grenz-
schicht
Abbildung A.1.: Schematische Festlegung der Grenze der prim¨
aren Wirbelschleppe
(Tsuchiya und Fan 1988).
A.2. Einfluß der Blasenerzeugung
199
A. Anhang
Tabelle A.1.: Aufstiegsgeschwindigkeit und Durchmesserverh¨
altnis h/b f¨
ur Blasen von
dB= 2,7−3,8mm f¨
ur zwei unterschiedliche D¨
usendurchmesser.
D¨
usen- Blasen- Geschwin- h/b
durchmesser durchmesser digkeit
di/mm dB/mm wB/ cm/s -
3,1 0,31 20,20 0,89
3,1 3,8 20,32 0,85
3,1 3,2 19,33 0,90
3,1 3,1 20,20 0,89
3,1 2,7 18,64 0,93
0,38 3,4 25,41 0,50
0,38 3,2 24,96 0,53
0,38 3,0 25,94 0,53
0,38 3,3 25,36 0,51
0,38 3,5 25,45 0,50
0,38 3,3 25,76 0,48
0,38 3,2 25,66 0,52
0,38 3,2 25,43 0,51
0,38 3,3 25,94 0,50
0,38 3,1 25,98 0,49
0,38 3,3 25,67 0,50
200
A.3. Koeffizienten der Geradengleichungen
A.3. Koeffizienten der Geradengleichungen
Tabelle A.2.: Koeffizienten der Geradengleichungen der einzelnen Blasen f¨
ur die Be-
stimmung des Stoff¨
ubergangs aus einer 2mm D¨
use; Wandabstand dW=
0,8cm .
Blasen- Steigung Achsen-
nummer abschnitt
nB[−]/10−7[mmol/ls]/10−5[mmol/l]
1 -7,948 4,403
2 -6,740 4,423
3 -6,179 4,442
4 -5,601 4,452
5 -5,285 4,466
6 -4,932 4,478
7 -4,576 4,485
8 -4,163 4,489
9 -3,567 4,481
201
Tabellenverzeichnis
2.1. Numerische Werte f¨
ur die Parameter in Gleichung (2.50) ...... 24
9.1. Stoffwerte der verwendeten Fl¨
ussigkeiten. ............... 100
9.2. Aufstiegsgeschwindigkeit einer 2,0mm Luftblase bei Variation der
Dichte- und Viskosit¨
atsverh¨
altnisse und der Oberfl¨
achenspannung. . 102
9.3. Vergleich von simulierten Blasen mit identischen Morton- und E¨
otv¨
os-
Zahlen aber unterschiedlichen Stoffwerten. .............. 104
9.4. Aufstiegsgeschwindigkeit einer 1,3mm Luftblase in Wasser in Abh¨
angig-
keit von der Aufl¨
osung des Rechengebiets. .............. 114
9.5. Aufstiegsgeschwindigkeit einer 4,0mm Luftblase in einer CMC-L¨
osung
in Abh¨
angigkeit von der Aufl¨
osung des Rechengebiets. ........ 115
9.6. Einfluß des Wandabstandes auf die Aufstiegsgeschwindigkeit. (Schlupf-
Randbedingungen, 16 Zellen pro Durchmesser). ........... 116
9.7. Einfluß des Wandabstandes auf die Aufstiegsgeschwindigkeit. (Haft-
Randbedingungen, 16 Zellen pro Durchmesser). ........... 118
9.8. Vergleich der Strouhal-Zahlen Sr f¨
ur die Bahnfrequenzen nach Miya-
hara und Yamanaka (1993) mit numerisch gewonnenen Werten. . . 137
9.9. Einfluß des Wandabstandes auf den Aufstieg einer 8mm Blase. . . . 143
9.10. Diffusionskoeffizienten. ......................... 166
9.11. Aufstiegsgeschwindigkeit und ¨
ubergehender, Stoffstrom einer 4,0mm
Luftblase in einer CMC-L¨
osung in Abh¨
angigkeit von der Aufl¨
osung
des Rechengebiets. ........................... 170
9.12. Vergleich der Simulationen mit experimentellen Daten (Bork 1999). 178
9.13. Vergleich der Blasenbildung und des Blasenaufstiegs an einer 2mm
D¨
use in 2D und 3D. ........................... 182
203
Tabellenverzeichnis
A.1. Aufstiegsgeschwindigkeit und Durchmesserverh¨
altnis h/b f¨
ur Blasen
von dB= 2,7−3,8mm f¨
ur zwei unterschiedliche D¨
usendurchmesser. 200
A.2. Koeffizienten der Geradengleichungen der einzelnen Blasen f¨
ur die
Bestimmung des Stoff¨
ubergangs aus einer 2mm D¨
use; Wandabstand
dW= 0,8cm ............................... 201
204
Abbildungsverzeichnis
2.1. Diagramm zur Absch¨
atzung der Blasenform und Aufstiegsgeschwin-
digkeit (Grace u. a. 1976; Clift u. a. 1978) ............... 8
2.2. Charakteristische Blasenformen nach Peebles und Garber (1953) . . 8
2.3. Aufstiegsgeschwindigkeiten von Luftblasen in Wasser (Clift u. a. 1978) 10
2.4. Schematische Darstellung einer teilweise mit Tensiden kontaminier-
ter Blase ................................. 25
2.5. Charakteristische Formen der Wirbelschleppe hinter Kugelkappen-
blasen (Fan und Tsuchiya 1990). .................... 30
3.1. Konzentrationsprofil f¨
ur den station¨
aren Stofftransport aus einer nur
aus Komponente A bestehenden Blase ................ 34
3.2. Konzentrationsprofil f¨
ur den instation¨
aren Stofftransport aus einer
aus mehreren Komponenten bestehenden Blase ........... 35
3.3. Konzentrationsverlauf f¨
ur einen gel¨
osten Stoff A nach der Zwei-Film-
Theorie. ................................. 37
3.4. Prinzip der Penetrationshypothese an einer welligen Phasengrenz-
fl¨
ache. .................................. 40
4.1. Versuchsanlage zur Untersuchung aufsteigender Luftblasen ..... 46
4.2. Meßleiste und deren Positionierung .................. 47
4.3. Volumenberechnung eines rotationssymmetrischen K¨
orpers aus einer
2D-Ansicht mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel ............ 51
5.1. Aufstiegsgeschwindigkeiten von Einzelblasen in reinem Wassers . . . 53
5.2. Blasenform unmittelbar vor dem Abl¨
osen von den zwei unterschied-
lichen D¨
usen. .............................. 54
205
Abbildungsverzeichnis
5.3. Experimentell ermittelte Aufstiegsgeschwindigkeiten f¨
ur Luftblasen
in reinem und verschmutzten Wasser. ................. 55
5.4. Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindig-
keiten und Modellen zu deren Vorausbestimmung. .......... 56
5.5. Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindig-
keiten und Modellen zu deren Vorausbestimmung. .......... 57
5.6. Vergleich zwischen experimentell ermittelten Aufstiegsgeschwindig-
keiten und Modellen zu deren Vorausbestimmung. .......... 58
5.7. Vergleich zwischen experimentell ermittelten Widerstandsbeiwerten
und Modellen zu deren Vorausbestimmung. .............. 60
5.8. Auswirkungen der Anfangsdeformation auf Blasenbahn und Blasen-
form einer 3mm Blase. links: starke Anfangsformation, (wB= 25,94cm/s;
h/b = 0,53), rechts: geringe Anfangsdeformation (wB= 20,16cm/s;
h/b = 0,89). .............................. 61
5.9. Bewegungsbahnen der Blasen von dB= 2 −4mm f¨
ur zwei un-
terschiedliche D¨
usendurchmesser di. Links: di= 0,38mm, rechts
di= 3,1mm............................... 62
5.10. Vergleich zwischen experimentell ermittelten Durchmesserverh¨
altnis-
se und Modellen zu deren Vorausbestimmung. ............ 63
5.11. Fortschreiten einer Oberfl¨
achenwelle auf einer 6,5mm Blase. . . . . 65
6.1. Konturangepaßtes Gitter einer aufsteigenden Blase (Ponoth und McLaugh-
lin 2000) ................................. 70
6.2. Ortsfestes (Euler’sches) kartesisches, ¨
aquidistantes Gitter des Be-
rechnungsgebietes mit separatem, unstrukturiertem, zweidimensio-
nalen, triangul¨
arem bewegtem (Lagrange’schem) Gitter (Unverdi und
Tryggvason 1992) ............................ 71
7.1. Kontrollraum f¨
ur eine Kugel Brim Aufenthaltsort Ω−(t) und Ω+(t)
zweier durch die Phasengrenzfl¨
ache Γ(t) getrennter Phasen. ..... 80
7.2. Kraft auf ein Linienelement dsauf der Grenzfl¨
ache Γ(t)....... 82
206
Abbildungsverzeichnis
8.1. Zellenbelegung des Rechengitters f¨
ur eine Luftblase (f= 1) in Fl¨
ussig-
keit (f= 0) nach der VOF-Methode und Rekonstruktion der Pha-
sengrenze nach der PLIC-Methode. .................. 90
8.2. Vergleich zwischen realer (oben) und nach SLIC (Mitte) und PLIC
(unten) rekonstruierten Phasengrenzfl¨
ache. .............. 91
8.3. Versetzte Anordnung der verwendeten Str¨
omungsvariablen nach den
Marker und Cell-Verfahren in FS3D. ................. 94
8.4. Durch parasit¨
are Str¨
omungen induziertes Str¨
omungsfeld um eine 2mm
Luftblase (2D) in Wasser in Schwerelosigkeit (links). Zeitlicher Ver-
lauf der spezifischen kinetischen Energie f¨
ur unterschiedliche Diskre-
tisierungen des Blasendurchmessers (rechts). ............. 96
9.1. Einfluß des Dichte- und Viskosit¨
atsverh¨
altnis auf die Aufstiegsge-
schwindigkeit einer 2mm Blase. .................... 102
9.2. Vergleich der numerischen mit analytisch bestimmten Durchmesser-
verh¨
altnissen f¨
ur geringe Reynolds-Zahlen und kleine Deformationen.
Kleines Bild: Vergleich zwischen numerischen und analytischen Bla-
senkontur. ................................ 107
9.3. Vergleich zwischen dem numerisch (links) und analytisch (rechts)
bestimmten Str¨
omungsfeldes einer 4mm Blase im Gegenstrom. . . . 109
9.4. Vergleich zwischen numerisch (Punkte) und analytisch (Linien) be-
stimmten Geschwindigkeiten in axialer (wx, oben) und radialer (wy, unten)
Richtung. ................................ 110
9.5. Einfluß des ¨
uberlagerten Grundrauschens innerhalb der Fl¨
ussigpha-
se auf das Aufstiegsverhalten zweier 6mm Blasen in Wasser. links:
wL,SD(t= 0) = 0,0cm/s , rechts: wL,SD(t= 0) = 0,5cm/s .. . . . . 120
9.6. Zeitlicher Verlauf der mittleren Geschwindigkeit in der Fl¨
ussigphase
in Abh¨
angigkeit des Anfangsrauschens. ................ 121
9.7. Vergleich zwischen simulierten Aufstiegsgeschwindigkeiten und ex-
perimentellen Werte. .......................... 122
9.8. Aufstiegsgeschwindigkeiten von zwei 3mm Luftblasen in Wasser mit
unterschiedlicher Anfangsdeformation. ................ 124
207
Abbildungsverzeichnis
9.9. Weber- und Froude-Zahl als Funktion der E¨
otv¨
os-Zahl. Vergleich
zwischen Experiment (Maxworthy u. a. 1996) und Simulation. . . . 126
9.10. Vergleich zwischen experimentell bestimmten Aufstiegsgeschwindig-
keiten (Linien) und numerischen Simulationen f¨
ur Wasser/Glycerin
Gemische (Symbole); links: nach (Maxworthy u. a. 1996); rechts nach
(Raymond und Rosant 2000). ..................... 127
9.11. Weber-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl f¨
ur verschiedene Werte
der Morton-Zahl. ............................ 130
9.12. Bewegungsbahnen einer 4 mm Blase in Wasser f¨
ur unterschiedliche
Wandabst¨
ande mit Schlupfbedingungen an der Wand (Draufsicht). . 131
9.13. Bewegungsbahnen einer 4 mm Blase in Wasser f¨
ur unterschiedliche
Wandabst¨
ande mit Haftbedingungen an der Wand (Draufsicht). . . . 131
9.14. Vergleich der Trajektorie einer 4mm Blase in Experiment und Simu-
lation mit Schlupfbedingungen an der Wand (Draufsicht). ...... 135
9.15. Vergleich der Trajektorie einer 4mm Blase in Experiment und Simu-
lation mit Haftbedingungen an der Wand (Draufsicht). ........ 135
9.16. Aufstieg einer 4mm Blase in Experiment (dW= 20mm) und Si-
mulation (dW= 32mm), oben: Durchmesserverh¨
altnis h/b, unten:
Anstellwinkel Θ zur Horizontalen. ................... 139
9.17. Fotosequenzen einer aufsteigenden Blase mit formdynamischer Ober-
fl¨
ache; links: Simulation dB= 8,0mm, rechts: Experiment dB=
6,5mm .................................. 140
9.18. Einfluß des Wandabstandes auf den Anstellwinkel (links oben), das
Durchmesserverh¨
altnis (links unten) und die Bewegungsbahn einer
8mm Blase. ............................... 142
9.19. Vergleich zwischen experimentellen Durchmesserverh¨
altnissen und
numerischen Werten (Systeme S1, S5-S9). links: eigene Messungen
in Wasser (offene Symbole); rechts: Wasser/Glycerin Gemische nach
(Raymond und Rosant 2000) (Linien). ................ 144
9.20. Vergleich der Durchmesserverh¨
altnisse der System S1-S9 als Funkti-
on der Tadaki-Zahlen mit Korrelationen aus der Literatur. . . . . . 145
208
Abbildungsverzeichnis
9.21. links: Schematische Darstellung der Str¨
omung in der helikalen Wir-
belschleppe und der L¨
ange hPW der prim¨
aren Wirbelschleppe einer
sph¨
arischen Kappenblase (Miyahara u. a. 1988); rechts: Helikale Wir-
belschleppe hinter einer 10mm Blase. ................. 147
9.22. Position der abgel¨
osten Wirbel einer 8mm Blase. ........... 148
9.23. Links: Schematische Darstellung der Str¨
omung in einer achsensym-
metrischen Wirbelschleppe einer sph¨
arischen Kappenblase (Miyaha-
ra u. a. 1988); rechts: Achsensymmetrische Wirbelschleppe hinter ei-
ner 13mm Blase. ............................ 149
9.24. Normierte L¨
ange der prim¨
aren Wirbelschleppe als Funktion der Reynolds-
zahl ................................... 151
9.25. 2D Schnitte durch einen Ausschnitt aus dem Geschwindigkeitsfeld
einer 8 mm Blase im Gegenstrom. ................... 152
9.26. Unten: auf den Blasendurchmesser bezogene H¨
ohe der prim¨
aren Schlep-
pe einer 10 mm Luftblase in Wasser; oben: Anstellwinkel Θ Blase. . 153
9.27. Auf das Blasenvolumen bezogenes Volumen der prim¨
aren Wirbel-
schleppe in einem fest/fl¨
ussig fluidisierten Bett einer aufsteigenden
Blase in einer Flachapparatur (Tsuchiya und Fan 1988). ...... 154
9.28. Modell f¨
ur die instation¨
are Wirbelabl¨
osung hinter Kappenblasen (Fan
und Tsuchiya 1990) im Vergleich mit numerischer Simulation. . . . 156
9.29. Schnittdarstellung der Koaleszenz zweier 8mm Luftblasen in Wasser. 159
9.30. Koaleszenz zweier 1,8 mm Luftblasen in Wasser, Vergleich zwischen
Experiment (Duineveld 1998) und Simulation. ............ 161
9.31. Links: Zellenbelegung des Rechengitters nach der VOF-Methode;
Rechts: Numerische Koaleszenz durch die PLIC-Rekonstruktion der
Phasengrenze. .............................. 162
9.32. Abprall und nachfolgende Koaleszenz zweier 2,4 mm Luftblasen in
Wasser, Vergleich zwischen Experiment (Duineveld 1998) und Simu-
lation. .................................. 163
9.33. Normierte Sauerstoff-Konzentration normal zur Phasengrenfl¨
ache ei-
ner fixierten 4mm Blase. ........................ 168
209
Abbildungsverzeichnis
9.34. Konzentrationsfeld des ¨
ubergegangenen Sauerstoff aus einer 4mm
Blase (freier Aufstieg) in Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl Sc. . . . . 171
9.35. Sauerstoffprofile innerhalb der Fl¨
ussigphase in Abh¨
angigkeit des Win-
kels Θ und der Schmidt-Zahl. ..................... 173
9.36. Filmdicke dFf¨
ur unterschiedliche Winkel Θ in Abh¨
angigkeit der
Schmidt-Zahl Sc. ............................ 174
9.37. Sherwood-Zahl in Abh¨
angigkeit der Schmidt-Zahl Sc. ........ 175
9.38. Konzentrationsfeld des ¨
ubergegangenen Sauerstoffs hinter einer form-
dynamischen Blase. oben: Simulation, unten: Experiment (Bork u. a.
2003). .................................. 176
9.39. Vergleich des Konzentrationsfeldes des gel¨
osten Sauerstoffs zwischen
Experiment (Bork 1999) und Simulation. a) dB= 4,5mm, b) dB=
5,6mm, c) Exp.: dB= 7,2mm, Sim.: dB= 8,0mm, d) dB= 10,0mm,177
9.40. Vergleich der numerisch berechneten Sherwood-Zahlen aus den Si-
mulationen (S10, S11) als Funktion der Reynolds-Zahl mit experi-
mentellen Werten (S11) und Korrelationen aus der Literatur f¨
ur ein
Wasser/CMC Gemisch (S11). ..................... 179
9.41. Gel¨
oster Sauerstoff um eine aufsteigende Blase innerhalb einer Bla-
senkette. Links: Simulation, Rechts: Experiment (Bork u. a. 2002). . 181
9.42. Einfluß des Wandabstandes auf das Aufstiegsverhalten und den Stof-
faustausch in einer Blasenkette. a) dW= 3,2cm, b) dW= 1,6cm, c,d)
dW= 0,8cm............................... 183
9.43. Auf die Geschwindigkeit der ersten Blase bezogene Aufstiegsgeschwin-
digkeit der Blasen innerhalb einer Kette. ............... 184
9.44. Zeitlicher Konzentrationsverlauf der Blasen innerhalb einer Kette.
Links: dW= 0,8cm, rechts: dW= 1,6cm................ 185
9.45. Fl¨
ussigkeitsseitiger Stoff¨
ubergangskoeffizient kLals Funktion der Zeit.187
A.1. Schematische Festlegung der Grenze der prim¨
aren Wirbelschleppe
(Tsuchiya und Fan 1988). ....................... 199
210
Literaturverzeichnis
Aybers und Tapucu 1969 Aybers, N. M. ; Tapucu, A.: Studies on the Drag
and Shape of Gas Bubbles Rising Through a Stagnant Liquid. In: W¨
arme- und
Stoff¨
ubertragung 2 (1969), S. 171–177
Beitz und K¨
uttner 1995 Beitz, W. ; K¨
uttner, G. H.: Dubbel-Taschenbuch
f¨
ur den Maschinenbauch, 18. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 1995
Bhaga und Weber 1980 Bhaga, D. ; Weber, M. E.: In-Line Interaction
of a Pair of Bubbles in a Viscous Liquid. In: Chemical Engineering Science 35
(1980), S. 2467–2474
Bhaga und Weber 1981 Bhaga, D. ; Weber, M. E.: Bubbles in Viscous
Liquids: Shapes, Wakes and Velocities. In: Journal of Fluid Mechnanics 105
(1981), S. 61–85
Bork 1999 Bork, O.: Untersuchung zum lokalen Stoffaustausch in praxis-
relevanten Zweiphasenstr¨
omugen durch Visualisierung des Konzentrations- und
Str¨
omungsfeldes, IUV Universit¨
at Bremen, Diplomarbeit, 1999
Bork u. a. 2001 Bork, O. ; Schl¨
uter, M. ; Scheid, S. ; R¨
abiger, N.: New
Phenomena of Mass Transfer in Gas/Liquid Flows. In: Proceedings of ASME
HTD, Fluid-Physics and Heat transfer for Macro- and Micro-Scale Gas-Liquid
and Phase Change Flows ASME HTD (Veranst.), 2001, S. 1–6
Bork u. a. 2002 Bork, O. ; Schl¨
uter, M. ; Scheid, S. ; R¨
abiger, N.: Influ-
ence of wake mixing on mass transfer in gas-liquid reactors. In: 15th International
Congress of Chemical and Process Engineering CHISA (Veranst.), 2002
211
Literaturverzeichnis
Bork u. a. 2003 Bork, O. ; Schl¨
uter, M. ; Scheid, S. ; R¨
abiger, N.: Analy-
sis of the Effect of Local Hydrodynamics on Mass Transfer from Bubbles by Laser
Induced Fluorescence. In: ASME FEDSM 2003, Honolulu, USA, 2003, S. 1–6
Bothe 2002 Bothe, D.: Vorlesungsskript: Computational Fluid Dynamics, Mo-
dellierung und Anwendung. Universit¨
at Paderborn, Technische Chemie, 2002
Bothe u. a. 2004 Bothe, D. ; Koebe, M. ; Warnecke, H.-J.: VOF Simulati-
on of the Rise Behavior of Single Air Bubbles with Oxygen Transfer to the Am-
bient Liquid. In: Schindler, F.-P. (Hrsg.): 2nd International Berlin Workshop
- IBW2 on Transport Phenomena with Moving Boundaries, 9th-10th October,
VDI-Verlag, 2004, S. 134–146
Bothe u. a. 2003a Bothe, D. ; Koebe, M. ; Wielage, K. ; Pr¨
uss, J. ;
Warnecke, H.-J.: Direct Numerical Simulation of Mass Transfer Between Rising
Gas Bubbles and Water. In: Sommerfeld, M. (Hrsg.): Bubbly Flows - Analysis,
Modelling and Calculation, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2003
Bothe u. a. 2003b Bothe, D. ; Koebe, M. ; Wielage, K. ; Pr¨
uss, J. ;
Warnecke, H.-J. ; Sommerfeld, M. (Hrsg.): Direct Numerical Simulation of
Mass Transfer Between Rising Gas Bubbles and Water. Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, 2003
Bothe u. a. 2003c Bothe, D. ; Koebe, M. ; Wielage, K. ; Warnecke, H.-J.:
VOF-Simulations of Mass Transfer from Bubbles and Bubble Chains Rising in
Aqueous Solutions. In: ASME FEDSM 2003, Honolulu, USA ASME (Veranst.),
2003, S. 1–7
Brackbill u. a. 1992 Brackbill, J. U. ; Kothe, D. B. ; Zemach, C.: A
Continuum Method for Modeling Surface Tension. In: Journal of Computational
Physics 100 (1992), S. 335–354
Brauer 1971a Brauer, H.: Grundlagen der Ein- und Mehrphasenstr¨
omungen.
Verlag Sauerl¨
ander, AArau und Frankfurt am Main, 1971
Brauer 1971b Brauer, H.: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktion.
Verlag Sauerl¨
ander, AArau und Frankfurt am Main, 1971
212
Literaturverzeichnis
Br¨
ucker 1999 Br¨
ucker, C.: Structure and Dynamics of the Wake of Bubbles
and its Relevance for Bubble Interaction. In: Physics of Fluids 11 (1999), Nr. 7,
S. 1781–1796
Bunner und Tryggvason 1997 Bunner, B. ; Tryggvason, G.: Simulation of
Large Bubble Systems. In: ASME Fluid Engineering Division Summer Meeting
ASME (Veranst.), 1997, S. 1–5
Bunner und Tryggvason 2000 Bunner, B. ; Tryggvason, G.: Dynamics
of Homogeneous Bubbly Flows, Part I: Rise Velocity and Microstrucure of the
Bubbles. In: Journal of Fluid Mechnanics 466 (2000), S. 17–52
Chen u. a. 1988 Chen, J. D. ; Hahn, P. S. ; Slattery, J. C.: Effects of
Electrostatic Double-Layer Forces on Coalescence. In: AIChE Journal 34 (1988),
Nr. 1, S. 140–143
Chen u. a. 1996a Chen, L. ; Reizes, J. A. ; Leonardi, E. ; Garimella, S. V.:
Analysis of Bubble Rise Using the VOF Method: I Isolated Bubbles. In: Proc.
31st National Heat Transfer Conference, Houston, Vol. 4 ASME (Veranst.), 1996
Chen u. a. 1996b Chen, L. ; Reizes, J. R. ; Garimella, S. V. ; Leonardi, E.:
Analysis of Bubble Rise Using the VOF Method: II. Bubble Interactions, Wall
Effects and Evaporation. In: ASME 31st National Heat Transfer Conference,
HTD-Vol.326 ASME (Veranst.), 1996, S. 175–181
Chen und Chou 1998 Chen, R. C. ; Chou, I. S.: Wake Structure of a Single
Bubble Rising in a Two-Dimensional Column. In: Experimental Thermal and
Fluid Science 17 (1998), S. 165–178
Chesters 1991 Chesters, A. K.: The Modelling of Coalescence Processes in
Fluid-Liquid Dispersions: A Review of Current Understanding. In: Transaction
of the Institution of Chemical Engineers 69, A (1991), S. 259–270
Chesters und Hofman 1982 Chesters, A. K. ; Hofman, G.: Bubble Coale-
scence in Pure Liquids. In: Applied Scientific Research 38 (1982), S. 353–361
213
Literaturverzeichnis
Churchill 1989 Churchill, S. W.: A Theoretical Structure and Correlating
Equation for the Motion of Single Bubbles. In: Chemical Engineering and Pro-
cessing 26 (1989), S. 269–279
Clift u. a. 1978 Clift, R. ; Grace, J. R. ; Weber, M. E.: Bubbles, Drops,
and Particles. Academic Press, 1978
Crabtree und Bridgwater 1971 Crabtree, J. R. ; Bridgwater, J.: Bubble
Coalescence in Viscous Water. In: Chemical Engineering Science 26 (1971),
S. 839–851
Dankwerts 1951 Dankwerts, P. V.: Significance of Liquid-Film Coefficients
in Gas Absorption. In: Industrial and Engineering Chemistry 43 (1951), Nr. 6,
S. 1460–1467
Davidson und Rudmann 2000 Davidson, M. R. ; Rudmann, M. J.: A Nu-
merical Method for Mass Transfer in Two-Fluid Flow with Interfaces. In: Pro-
ceedings of the 7th Australasian Heat and Mass Transfer Conference - 7AHMTC,
2000
Deckwer 1992 Deckwer, W.-D. ; Field, R. W. (Hrsg.): Bubble Column
Reactors. J. Wiley and Sons, 1992
Delnoij u. a. 1998 Delnoij, E. ; Kuipers, J. A. M. ; Swaaij, W. P. M.:
Numerical Simulation of Bubble Coalescence Using a Volume of Fluid (VOF)
Model. In: 3rd International Conference on Multiphase Flow, ICMF’98, 1998
Delnoij u. a. 1997 Delnoij, E. ; Kuipers, J. A. M. ; Swaaij, W. P. M. van:
Dynamic Simulation of Gas-Liquid Two-Phase Flow: Effect of Column aspect
Ratio on the Flow Structure. In: Chemical Engineering Science 52 (1997),
Nr. 21/22, S. 3759–3772
Desch und Pr¨
uß1994 Desch, W. ; Pr¨
uß, J.: Dynamical Behavior of a Two-
Phase Chemical Reacting System Including Mass Transfer. In: Differential and
Integral Equations 7 (1994), Nr. 3-4, S. 767–793
214
Literaturverzeichnis
Doubliez 1991 Doubliez, L.: The Drainage and Rupture of a Non-Foaming
Liquid Film Formed Upon Bubble Impact with a Free Surface. In: International
Journal of Multiphase Flow 17 (1991), Nr. 6, S. 783–803
Duineveld 1995 Duineveld, P. C.: The Rise Velocity and Shape of Bubbles
in Pure Water at High Reynolds Number. In: Journal of Fluid Mechanics 292
(1995), S. 325–332
Duineveld 1998 Duineveld, P. C.: Bouncing and Coalescence of Bubble Pairs
Rising at High Reynolds Number in Pure Water or Aqueous Surfactant Solutions.
In: Applied Scientific Research 58 (1998), S. 409–439
Duinveld und Fdhila 1996 Duinveld, P. C. ; Fdhila, R. B.: The Effect
of Surfactant on the Rise of Spherical Bubbles at High Reynolds and Peclet
Numbers. In: Physics of Fluids 8 (1996), Nr. 2, S. 310–321
Eigenberger und Sokolichin 1996 Eigenberger, G. ; Sokolichin, A.: Mo-
dellierung und effiziente numerische Simulation von Gas-Fl¨
ussigkeits-Reaktoren
mit Blasenstr¨
omungen nach dem Euler-Euler Konzept, Zwischenbericht / Uni-
versit¨
at Stuttgart. 1996. – Forschungsbericht
Eigenberger und Sokolichin 1997 Eigenberger, G. ; Sokolichin, A.: Mo-
dellierung und effiziente numerische Simulation von Gas-Fl¨
ussigkeits-Reaktoren
mit Blasenstr¨
omungen nach dem Euler-Euler Konzept, Zwischenbericht / Uni-
versit¨
at Stuttgart. 1997. – Forschungsbericht
Ellingsen und Risso 2001 Ellingsen, K. ; Risso, F.: On the Rise of an
Ellipsoidal Bubble in Water: Oscillatory Paths and Liquid Induced Velocity. In:
Journal of Fluid Mechanics 440 (2001), S. 235–268
Ellingsen u. a. 1997 Ellingsen, K. ; Roig, V. ; Risso, F. ; Suzanne, C.:
Improvements fo Velocity Measurements in Bubbly Flows by Comparison of Si-
multaneous Hot-Film and Laser Doppler Anemometry Signals. In: ASME Fluids
Engineering Summer Division meeting, FEDSM’97 ASME (Veranst.), 1997, S. 1–
6
215
Literaturverzeichnis
Esmaeeli und Tryggvason 1998 Esmaeeli, A. ; Tryggvason, G.: Direct
Numerical Simulation of Bubbly Flows. Part 1. Low Reynolds Number Arrays.
In: Journal of Fluid Mechanics 377 (1998), S. 313–345
Esmaeeli und Tryggvason 1999 Esmaeeli, A. ; Tryggvason, G.: Direct
Numerical Simulation of Bubbly Flows. Part 1. Moderate Reynolds Number. In:
Journal of Fluid Mechanics 385 (1999), S. 325–358
Fan und Tsuchiya 1990 Fan, L. S. ; Tsuchiya, K.: Bubble Wake Dynamics
in Liquids and Liquid-Solid Suspensions. Butterworth-Heinemann, 1990
Ferziger und Peric 2002 Ferziger, J. H. ; Peric, M.: Computational Me-
thods for Fluid Mechanics. 3rd Edition. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 2002
Frohn 1999 Frohn, A.: Numerische Modellierung der Dynamik freier Ober-
fl¨
achen in Zweiphasenstr¨
omungen / DFG - Bericht zum Forschungsvorhaben
Fr-235/43-1. 1999. – Forschungsbericht
Garner und Hammerton 1954 Garner, F. H. ; Hammerton, D.: Circula-
tion Inside Gas Bubbles. In: Chemical Engineering Science 3 (1954), S. 1–11
Gaudin 1957 Gaudin, A. M.: Flotation, 2nd Edition. McGraw-Hill, New York,
1957
Gerigk 2002 Gerigk, U.: Zur numerischen Simulation des Mischungsverhal-
tens einer zweiphasigen Blasens¨
aule. TC-Schriftenreihe. Shaker Verlag, 2002
(Band 13)
Glaeser und Brauer 1977 Glaeser, H. ; Brauer, H.: Berechnung des
Impuls- und Stoffaustausch durch die Grenzfl¨
ache einer formver¨
anderlichen Bla-
se. In: VDI-Forschungsheft (1977), Nr. 581
Goodall u. a. 1998 Goodall, D. G. ; Lee, M. L. ; Stevens, G. ; Pera, J. ;
Beaglehole, D.: An Investigation of the Critikal Thickness of Film Ruptures
and Dranaige Phenomena Using Dual Wavelength Ellipsometry. In: Colloids and
Surfaces 143 (1998), S. 41–51
216
Literaturverzeichnis
G¨
oz u. a. 2002 G¨
oz, M. F. ; Sommerfeld, M. ; Bunner, B. ; Tryggvason,
G.: Microstructure of a Bidisperse Swarm of Spherical Bubbles. In: ASME
FEDSM 2002, Montreal, Kanada, 2002
Grace u. a. 1976 Grace, J. R. ; Wairegi, T. ; Nguyen, T. H.: Shapes
and Velocities of Single Drops and Bubbles Moving Freely Through Immicible
Liquids. In: Transaction of the Institution of Chemical Engineers 54 (1976),
S. 167–173
Haberman und Morton 1956 Haberman, W. L. ; Morton, R. K.: An Ex-
perimental Study of Bubbles Moving in Liquid. In: Transactions of the American
Society of Civil Engineers 121 (1956), S. 227–251
Higbie 1935 Higbie, R.: The Rate of Absorption of a Pure Gas into a Still
Liquid During Short Periods of Exposure. In: Transaction of the Institution of
Chemical Engineers 31 (1935), S. 365–389
Hill 1894 Hill, M. J. M.: On a Spherical Vortex. In: Phil. Transactions Roy.
Soc. London 185 (1894), S. 213–245
Hirt und Nichols 1981 Hirt, C. W. ; Nichols, B. D.: Volume of Fluid (VOF)
Method for the Dynamics of Free Boundaries. In: Journal of Computational
Physics 39 (1981), S. 201–225
Hong und Brauer 1984 Hong, W.-H. ; Brauer, H.: Stoffaustausch zwischen
Gas und Fl¨
ussigkeit in Blasens¨
aulen. In: VDI-Forschungsheft (1984), Nr. 624
Ishii 1975 Ishii, M.: Themo-Fluid Dynamic Theory of Two Phase Flow. Eyrol-
les, Paris, 1975
Jamialahmadi u. a. 1994 Jamialahmadi, M. ; Branch, C. ; Steinhagen,
H. M.: Terminal Bubble Rise Velocity in Liquids. In: Transaction of the Institu-
tion of Chemical Engineers 72 (1994), Nr. A, S. 119–122
Jamialahmadi und Steinhagen 1989 Jamialahmadi, M. ; Steinhagen,
H. M.: Bubble Formation and Coalescence in Bubble Columns. In: Chemie
Ingenieur Technik 61 (1989), Nr. 9, S. 715–718
217
Literaturverzeichnis
Jan und Tryggvason 1991 Jan, Y. J. ; Tryggvason, G.: Computational
Studies of Contaminated Bubbles. In: Dynamics of Bubble and Vortices Near a
Free Surface ASME (Veranst.), AMD, 1991
Jung und Sato 2001 Jung, R.-T. ; Sato, T.: Direct Numerical Simulation of
Single-Droplet Flow with Mass Transfer. In: Chemical Engineering Technology
24 (2001), Nr. 10, S. 1071–1075
Khinast 2001 Khinast, J. G.: Impact of 2-D Bubble Dynamics on the Se-
lectivity fo Fast Gas-Liquid Reactions. In: AIChE Journal 47 (2001), Nr. 10,
S. 2304–2319
Khinast u. a. 2003 Khinast, J. G. ; Koynov, A. A. ; Leib, T. M.: Reactive
Mass Transfer at Gas-Liquid Interfaces: Impact of Micro Scale Fluid Dynamics
on Yield and Selectivity of Liquid Phase Cyclohexane Oxidation. In: Chemical
Engineering Science 58 (2003), S. 3961–3971
Koebe u. a. 2002 Koebe, M. ; Bothe, D. ; Pr¨
uß, J. ; Warnecke, H.-J.: 3D
Direct Numerical Simulation of Air Bubbles in Water at High Reynolds-Numbers.
In: ASME FEDSM 2002, Montreal, Canada ASME (Veranst.), 2002, S. 1–8
Koebe u. a. 2003 Koebe, M. ; Bothe, D. ; Warnecke, H.-J.: Direct Nume-
rical Simulation of Air Bubbles in Water/Glycerol Mixtures: Shapes and Velocity
Fields. In: ASME FEDSM 2003, Honolulu, USA ASME (Veranst.), 2003, S. 1–7
Kok 1993 Kok, J. B. W.: Dynamics of a Pair of Gas Bubbles Moving Through
a Liquid; Part II. Experiment. In: European Journal of Mechanics, B/Fluids 12
(1993), Nr. 4, S. 541–560
Komasawa u. a. 1980 Komasawa, I. ; Otake, T. ; Komojima, M.: Wake
Behavior and its Effects on Interaction Between Spherical-Cap Bubbles. In:
Journal of Chemical Engineering of Japan 13 (1980), Nr. 2, S. 103–109
Kothe und Mjolsness 1992 Kothe, D. B. ; Mjolsness, R. C.: RIPPLE: A
New Model for Incompressible Flows with Free Surfaces. In: AIAA Journal 30
(1992), Nr. 11, S. 2694–2700
218
Literaturverzeichnis
Krishna und van Baten 1999 Krishna, R. ; Baten, J. M. van: Rise Cha-
racteristics of Gas Bubbles in a 2D Rectangular Column: VOF Simulation vs.
Experiment. In: International Communications in Heat and Mass Transfer 26
(1999), Nr. 7, S. 965–974
Krishna u. a. 1999a Krishna, R. ; Urseanu, M. I. ; Baten, J. M. van ;
Ellenberger, J.: Rise Velocity of Swarm of Large Gas Bubbles in Liquids. In:
Chemical Engineering Science 54 (1999), S. 171–183
Krishna u. a. 1999b Krishna, R. ; Urseanu, M. I. ; Baten, J. M. van ;
Ellenberger, J.: Wall Effects on the Rise Velocity of Single Gas Bubbles in
Liquids. In: International Communications in Heat and Mass Transfer 26 (1999),
Nr. 6, S. 781–790
Kubota u. a. 1967 Kubota, M. ; Akehata, T. ; Shirai, T.: The Rise Behavior
of Single Air Bubbles in Liquids of Small Viscosities. In: Kagaku Kogaku 31
(1967), S. 1074–1080
Kumar und Hartland 1999 Kumar, A. ; Hartland, S.: Correlations for Pre-
dicition of Mass Transfer Coefficients in Single Drop Systems and Liquid-Liquid
Extraction Columns. In: Transaction of the Institution of Chemical Engineers,
Part A 77 (1999), S. 372–384
Lafaurie u. a. 1994 Lafaurie, B. ; Scardovelli, C. N. ; Scardovelli, R. ;
Zaleski, S. ; Zanetti, G.: Modelling Merging and Fragmentation in Multiphase
Flows with SURFER. In: Journal of Computational Physics 113 (1994), S. 134–
147
Lamont und Scott 1970 Lamont, J. C. ; Scott, D. S.: An Edd Cell Model
Mass Transfer into the Surface of a Turbulent Liquid. In: American Institute of
Chemical Engineers Journal 16 (1970), S. 513–519
Lance und Bataille 1991 Lance, M. ; Bataille, J.: Turbulence in the Liquid
Phase of a Uniform Bubbly Air-Water Flow. In: Journal of Fluid Mechanics 222
(1991), S. 95–118
219
Literaturverzeichnis
Landau und Lifschitz 1987 Landau, L. D. ; Lifschitz, E. M.: Fluid Mecha-
nics, 2nd Edition. Pergamon Press, Oxford, 1987
Lawson u. a. 1999 Lawson, N. J. ; Rudman,M;Guerra, A. ; Liow, J. L.:
Experminental and Numerical Comparsion of the Break-Up of a Larbe Bubble.
In: Experiments in Fluids 26 (1999), S. 254–534
Levich 1962 Levich, V. G.: Physicochemical Hydrodynamics. N. J. Enlewood
Cliffs: Prentice Hall, 1962
Lewis und Whitman 1924 Lewis, W. K. ; Whitman, W. G.: Prinziples of
Gas Absorption. In: Industrial and Engineering Chemistry 16 (1924), Nr. 12,
S. 1215–1220
Li 1994 Li, D.: Coalescence Between Two Small Bubbles or Drops. In: Journal
of Colloid and Interface Science 163 (1994), S. 108–119
Lindken und Merzkirch 2001 Lindken, R. ; Merzkirch, W.: Velocity
Measurements of Liquid and Gaseous Phase for a System ob Bubbles Rising in
Water. In: Experiments in Fluids 29 (Suppl.) (2001), S. 194–201
Lindt 1971 Lindt, J. T.: Note on the Wake Behind a Two-Dimensional Bubble.
In: Chemical Engineering Science 26 (1971), Nr. 1776-1777
Lindt 1972 Lindt, J. T.: On the Periodic Nature of the Drag of a Rising
Bubble. In: Chemical Engineering Science 27 (1972), S. 1775–1781
Lindt und de Groot 1974 Lindt, J. T. ; Groot, R. G. F. de: The Drag
of a Single Bubble Accompanied by a Periodic Wake. In: Chemical Engineering
Science 29 (1974), S. 957–962
Lunde und Perkins 1997 Lunde, K. ; Perkins, R. J.: Observations on Wakes
Behind Spheroidal Bubbles and Particles. In: Proceedings of the ASME FEDSM,
1997, S. 1–8
Mao u. a. 2001 Mao, Z. S. ; Li, T. ; Chen, J.: Numerical Simulation of Steady
and Transient Mass Transfer to a Single Drop Dominated by External Resistance.
In: International Journal of Heat and Mass Transfer 44 (2001), S. 1235–1247
220
Literaturverzeichnis
Martin 1980 Martin, H.: W¨
arme- und Stoff¨
ubertragung in der Wirbelschicht.
In: Chemie Ingenieur Technik 52 (1980), Nr. 3, S. 199–209
Maxworthy u. a. 1996 Maxworthy, T. ; Gnann, C. ; K¨
urten, M. ; Durst,
F.: Experiments on the Rise of Air Bubbles in Clean Viscous Liquids. In: Journal
of Fluid Mechanics 321 (1996), Nr. 421-441
Mendelson 1967 Mendelson, H. D.: The Prediction of Bubble Terminal
Velocities from Wave Theory. In: AIChE 13 (1967), Nr. 2, S. 250–253
Mersmann 1985 Mersmann, A. ; Grigull, U. (Hrsg.): Stoff¨
ubertragung.
Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985
Miyahara u. a. 1984 Miyahara, T. ; Kaseno, S. ; Takahasi, T.: Studies
on chains ob bubbles rising through quiescent liquids. In: Canadian Journal of
Chemical Engineering 62 (1984), S. 186–193
Miyahara u. a. 1988 Miyahara, T. ; Tsuchiya, K. ; Fan, L. S.: Wake
Properties of a Single Gas Bubble in a Three-Dimensional Liquid-Solid Fluidized
Bed. In: International Journal of Multiphase Flows 14 (1988), Nr. 6, S. 749–763
Miyahara u. a. 1991 Miyahara, T. ; Tsuchiya, K. ; Fan, L. S.: Effect of
Turbulent Wake on Bubble-Bubble Interaction in a Gas-Liquid-Solid Fluidized
Bed. In: Chemical Engineering Science 46 (1991), Nr. 9, S. 2368–2373
Miyahara und Yamanaka 1993 Miyahara, T. ; Yamanaka, S.: Mecha-
nics of Motion and Deformation of a single Bubble Rising Through Quiescent
Highly Viscous Newtonian and Non-Newtonian Media. In: Journal of Chemical
Engineering of Japan 26 (1993), Nr. 3, S. 297–302
Narayanan u. a. 1974 Narayanan, S. ; Goossens, L. H. J. ; Kossen, N.
W. F.: Coalescence of Two Bubbles Rising in Line a Low Reynolds Numbers.
In: Chemical Engineering Science 29 (1974), S. 2071–2082
de Nevers und Wu 1971 Nevers, N. de ; Wu, J. L.: Bubble Coalescence in
Viscous Fluids. In: AIChE Journal 17 (1971), Nr. 1, S. 182–186
221
Literaturverzeichnis
Niemann und Laurien 2000 Niemann, J. ; Laurien, E.: The Virtual Mass
of Gas-Bubbles in a Liquid at High Void Fractions. In: ERCOFTAC Conference
on Dynamics of Particle-Laden Flows, Switzerland, 2000
Oellrich u. a. 1973 Oellrich, L. ; Schmidt-Traub, H. ; Brauer, H.: Theo-
retische Berechnung des Stofftransports in der Umgebung einer Einzelblas. In:
Chemical Engineering Science 28 (1973), S. 711–721
Otake u. a. 1976 Otake, T. ; Tone, S. ; Nakao, N. ; Mitsuhashi, Y.: Coale-
scence and Breakup of Bubbles in Liquids. In: Chemical Engineering Science 32
(1976), S. 377–383
¨
Otzkurt 2000 ¨
Otzkurt, M.: Blasenaufstieg mit Stoffaustausch unter Betriebs-
bedingungen der Getr¨
ankeindustrie, Universit¨
at Paderborn, Dissertation, 2000
Paschedag u. a. 2001 Paschedag, A. ; Piarah, W. Y. ; Kraume, M.: Grenz-
betrachtung zum Stofftransport am Einzeltropfen - Validierung numerischer Er-
gebnisse. In: Chemie Ingenieur Technik 73 (2001), Nr. 11, S. 1431–1435
Pearson und Fortescue 1967 Pearson, J. R. ; Fortescue, G. E.: On Gas
Absorption into a Turbulent Liquid. In: Chemical Engineering Science 22 (1967),
S. 1163–1176
Peebles und Garber 1953 Peebles, F. N. ; Garber, H. J.: Studies on the
Motion of Gas Bubbles in Liquids. In: Chemical Engineering Progress 49 (1953),
Nr. 2, S. 88–99
Piarah u. a. 2001 Piarah, W. H. ; Paschedag, A. ; Kraume, M.: Numerical
Simulation of Mass Transfer between a Single Drop and an Ambient Flow. In:
AIChE Journal 45 (2001), S. 1701–1704
Ponoth und McLaughlin 2000 Ponoth, S. S. ; McLaughlin, J. B.: Nume-
rical Simulation of Mass Transfer for Bubbles in Water. In: Chemical Engineering
Science 55 (2000), S. 1237–1255
222
Literaturverzeichnis
Raymond und Rosant 2000 Raymond, F. ; Rosant, J. M.: A numerical
and experimental study of the terminal velocity and shape of bubbles in viscous
liquid. In: Chemical Engineering Science 55 (2000), S. 943–955
Rider und Kothe 1998 Rider, W. J. ; Kothe, D. B.: Reconstruking Volume
Tracking. In: Journal of Computational Physics 141 (1998), S. 112–152
Rieber und Frohn 1997 Rieber, M. ; Frohn, A.: Navier-Stokes Simulation
of Droplet Collision Dynamics. In: Zhuang, F. G. (Hrsg.): Proc. 7th Int. Symp.
on Comp. Fluid Dynamics, Bejing, China, 1997, S. 520–525
Riethues u. a. 1986 Riethues, M. ; Buchholz, R. ; Onken, U. ;
Buamg¨
artl, H. ; L¨
ubbrs, D. W.: Determination of Oxygem Transfer from
Single Air Bubbles to Liquids by Oxygen Micorelectrodes. In: Chemical Engi-
neering 20 (1986), S. 331–337
Rubinstein und Leshansky 2000 Rubinstein, B. Y. ; Leshansky, A. M.:
Dynamic of Thin Liquid Films with Nonsoluble Surfactants: Weakly Nonlinear
Analysis. In: Langmuir 16 (2000), Nr. 5, S. 2049–2051
Runowski 2002 Runowski, T.: Lineare Stabilit¨
atsanalyse der Str¨
omung einer
drainierenden Schaumlamelle, Universit¨
at Paderborn, Dissertation, 2002
Rusche 2003 Rusche, H.: Computational Fluid Dynamics of Dispersed Two-
Phase Flows at High Phase Fractions, University of London, Dissertation, 2003
Ryskin und Leal 1984a Ryskin, G. ; Leal, G.: Numerical Solution of Free-
Boundary Problems in Fluid Mechanics. Part 1. The Finite Difference Technique.
In: Journal of Fluid Mechanics 148 (1984), S. 1–17
Ryskin und Leal 1984b Ryskin, G. ; Leal, G.: Numerical Solution of Free-
Boundary Problems in Fluid Mechanics. Part 2. Buoyancy-Driven Motion of a
Gas Bubble through a Quiescent Liquid. In: Journal of Fluid Mechanics 148
(1984), S. 19–35
223
Literaturverzeichnis
Ryskin und Leal 1984c Ryskin, G. ; Leal, G.: Numerical Solution of Free-
Boundary Problems in Fluid Mechanics. Part 3. Bubble Deformation in an Axi-
symmetric Straining Flow. In: Journal of Fluid Mechanics 148 (1984), S. 37–43
Sabisch 2000 Sabisch, W.: Dreidimensionale numerische Simulation der Dy-
namik von aufsteigenden Einzelblasen und Blasenschw¨
armen mit einer Volume-
of-Fluid Methode, Forschungszentrum Karlsruhe, Dissertation, 2000
Sabisch u. a. 2001 Sabisch, W. ; W¨
orner, M. ; Gr¨
otzbach, G. ; Caccuci,
D. G.: Dreidimensionale numerische Simulation von aufsteigenden Einzelblasen
und Blasenschw¨
armen mit einer Volume-of-Fluid-Methode. In: Chemie Ingenieur
Technik 73 (2001), Nr. 4, S. 368–373
Sadhal u. a. 1997 Sadhal, S. S. ; Ayyaswamy, P. S. ; Chung, J. N.: Transport
Phenomena with Drops and Bubbles. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New
York, 1997
Saffmann 1956 Saffmann, P. G.: On the Rise of Small Air Bubbles in Water.
In: Journal of Fluid Mechanics 1 (1956), S. 249–275
Sankaranarayanan u. a. 2003 Sankaranarayanan, K. ; Kevrekidis, I. G. ;
Sundaresan, S. ; Lu, J. ; Tryggvason, G.: A Comparative Study of Lattice
Boltzmann and Front-Tracking Finite-Difference Methods for Bubble Simulati-
ons. In: International Journal of Multiphase Flow 29 (2003), S. 109–116
Sato u. a. 2000 Sato, T. ; Jung, R. T. ; Abe, S.: Direct Simulation of Droplet
Flow with Mass Transfer at Interface. In: Transaction of the ASME 122 (2000),
S. 510–516
Scardovelli und Zaleski 1999 Scardovelli, R. ; Zaleski, S.: Direct Nume-
rical Simulation of Free-Surface Flow and Interfacial Flow. In: Annual Review of
Fluid Mechanics 31 (1999), S. 567–603
Scheid u. a. 2003 Scheid, S. ; John, S. ; Bork, O. ; Parchmann, H. ;
Schl¨
uter, M. ; R¨
abiger, N. ; Sommerfeld, M. (Hrsg.): Improved Model
for the Calculation of Homogeneous Gas-Liquid Flows. Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, 2003
224
Literaturverzeichnis
Scheid u. a. 2002 Scheid, S. ; Schl¨
uter, M. ; R¨
abiger, N.: Improved model
for homgeneous bubble flow. In: 15th International Congress of Chemical and
Process Engineering CHISA (Veranst.), 2002
Schl¨
uter 2002 Schl¨
uter, M.: Blasenbewegung in praxisrelevanten Zweipha-
senstr¨
omungen. Fortschritt-Bericht VDI, Nr. 432, 2002
Schl¨
uter u. a. 2001 Schl¨
uter, M. ; John, S. ; Scheid, S. ; Parchmann, H. ;
Bork, O. ; R¨
abiger, N.: Local Effects of Hydrodynamiks and Mass Transfer
in Multiphase Flows. In: Chemie Ingenieur Technik, Sonderausgabe ECCE 2001
73 (2001), Nr. 6, S. 747–751
Schl¨
uter und R¨
abiger 1998 Schl¨
uter, M. ; R¨
abiger, N.: Bubble swarm
velocity in two phase flows. In: HTD-Vol. 361, Proceedings of the ASME Heat
Transfer Division ASME (Veranst.), 1998
Slattery 1999 Slattery, J. C.: Advanced Transport Phenomena. Cambrigde
University Press, 1999
Starke 1998 Starke, J.: Blasenbewegung in Ketten und viskoelastischen
Fl¨
ussigkeiten, Universit¨
at Bremen, Dissertation, 1998
Tadaki und Maeda 1963 Tadaki, T. ; Maeda, S.: On the Shape and Velocity
of Single Air Bubbles in Various Liquids. In: Chemical Engineering of Japan 25
(1963), S. 254–264
Takada u. a. 2001 Takada, N. ; Misawa, M. ; Tomiyama, A. ; Hosokawa,
S.: Simulation of Bubble Motion Under Gravity by Lattice Boltzmann Method.
In: Journal of Nuclear Science and Technology 38 (2001), Nr. 5, S. 330–341
Takagi und Matsumoto 2000 Takagi, S. ; Matsumoto, Y.: Contami-
nant Effekt on the Motion of a Rising Bubble. In: Proceedings of the ASME
FEDSM’00, 2000, S. 667–672
Takagi u. a. 1997 Takagi, S. ; Matsumoto, Y. ; Huang, H.: Numerical
Analysis of a Single Rising Bubble Using Boundary-Fitted Coordinate System.
In: JSME International Journal 40 (1997), Nr. 1, S. 42–50
225
Literaturverzeichnis
Tau 1994 Tau, E. Y.: A Second-Order Projection Method for Incompressible
Navier-Stokes Equations in Abritrary Domains. In: Journal of Computational
Physics 115 (1994), Nr. 147-152
Taylor und Acrivos 1964 Taylor, T. D. ; Acrivos, A.: On the Deformation
and Drag of a Falling Viscous Drop at Low Reynolds Number. In: Journal of
Fluid Mechanics 18 (1964), S. 466–476
Tomiyama 1998 Tomiyama, A.: Struggle with Computational Bubble Dy-
namics. In: 3rd International Conference on Multiphase Flow, ICMF’98, 1998,
S. 1–18
Tomiyama u. a. 2002 Tomiyama, A. ; Celata, G. P. ; Hosokawa, S. ;
Yoshida, S.: Terminal Velocity of Single Bubbles in Surface Tension Force
Dominated Regime. In: International Journal of Multiphase Flow 28 (2002),
S. 1497–1519
Tomiyama u. a. 1998a Tomiyama, A. ; Kataoka, I. ; Zun, I. ; Sakagushi,
T.: Drag Coefficient of Single Bubbles under Normal and Micro Gravity Condi-
tions. In: JSME International Journal Series B, 41 (1998), Nr. 2, S. 472–479
Tomiyama u. a. 1998b Tomiyama, A. ; Makino, Y. ; Zun, I. ; Sakahuchi,
T.: Bubble Shape Modelling for a 3D Two-Way Bubble Tracking Method. In:
3rd International Conference on Multiphase Flow, ICMF’98, 1998
Tomiyama u. a. 1993a Tomiyama, A. ; Sou, A. ; Minagawa, H. ; Saka-
guchi, T.: Numerical Analysis of a Single Bubble by VOF Method. In: JSME
International Journal 36 (1993), Nr. 1, S. 51–56
Tomiyama u. a. 1997 Tomiyama, A. ; Zun, I. ; Higaki, H. ; Makino, Y. ;
Sakaguchi, T.: A Three-Dimensional Particle Tracking Method for Bubbly
Flow Simulation. In: Nuclear Enginnering and Design 175 (1997), S. 77–86
Tomiyama u. a. 1993b Tomiyama, A. ; Zun, I. ; Sou, A. ; Sakaguchi, T.:
Numerical Analysis of Bubble Motion with VOF Method. In: Nuclear Enginne-
ring and Design 141 (1993), S. 69–82
226
Literaturverzeichnis
Torr und Marchello 1958 Torr, H. ; Marchello, I. M.: Film-Penetration
for Mass and Heat Transfer. In: American Institute of Chemical Engineers Jour-
nal 5 (1958), S. 97–101
Tryggvason u. a. 1998a Tryggvason, G. ; Bunner, B. ; Ebrat, O. ; Tau-
ber, W.: Computations of Multiphase Flows by a Finite Difference/Front
Tracking Method: I Multi-Fluid Flows. In: 29th Computational Fluid Dynamics.
Lecture Series 1998-03, 1998, S. 1–44
Tryggvason u. a. 1997 Tryggvason, G. ; Bunner, B. ; Mortazavi, S. ;
Esmaeeli, A.: Direct Numerical Simulation of Dispersed Multiphase Flows. In:
JSME Conference, December 1997
Tryggvason u. a. 1998b Tryggvason, G. ; Esmaeeli, A. ; Mortanzavi,
S. ; Han, J. ; Homma, S.: Computations of Multiphase Flows by a Finite Dif-
ference/Front Tracking Method: II. Applications. In: 29th Computational Fluid
Dynamics. Lecture Series 1998-03, 1998, S. 1–18
Tsuchiya und Fan 1988 Tsuchiya, K. ; Fan, L.-S.: Near Wake Structure of
a Single Gas Bubble in a Two-Dimensional Liquid Solid Fluidized Bed: Vortex
Shedding and Wake Size Variation. In: Chemical Engineering Science 43 (1988),
S. 1167–1181
Tsuchiya u. a. 2003 Tsuchiya, K. ; Ishida, T. ; Saito, T. ; Kajishima, T.:
Dynamics of Interfacial Mass Transfer in a Gas-Dispersed System. In: Canadian
Journal of Chemical Engineering 81 (2003), Nr. 3, S. 647–654
Tsuchiya u. a. 2001 Tsuchiya, K. ; Saito, T. ; Kajishima, T. ; Kosugi,
S.: Coupling between Mass Transfer from Dissolving Bubbles and Formation of
Bubble-Surfce Wave. In: Chemical Engineering Science 56 (2001), S. 6411–6417
Tsuge und Hibino 1971 Tsuge, H. ; Hibino, S. I.: The Motion of Gas Bubbles
in Rising in Various Liquids. In: Kagaku Kogaku 35 (1971), S. 66–71
Unverdi und Tryggvason 1992 Unverdi, S. O. ; Tryggvason, G.: A Front-
Tracking Method for Viscous, Incompressible, Multi-Fluid Flows. In: Journal of
Computational Physics 100 (1992), S. 25–37
227
Literaturverzeichnis
Vakhrushev und Efremov 1970 Vakhrushev, I. A. ; Efremov, G. I.: Inter-
polation Formula for Computing the Velocities of Single Gas Bubbles in Liquids.
In: Chemistry and Technology of Fuels and Oils 5/6 (1970), S. 376–379
van Wachem und Schouten 2002 Wachem, B. G. M. van ; Schouten, J. C.:
Experimental Validation of 3-D Lagrangian VOF Model: Bubble Shape and Rise
Velocity. In: AIChE Journal 48 (2002), Nr. 12, S. 2744–2753
Waheed u. a. 2002 Waheed, M. A. ; Henschke, M. ; Pfennig, A.: Mass
Transfer by Free and Forced Convection from Single Spherical Liquid Drops. In:
International Journal of Heat and Fluid Flow 45 (2002), S. 4507–4514
Wegener und Parlange 1973 Wegener, P. P. ; Parlange, J.-P.: Spherical
Cap Bubbles. In: Annual Review of Fluid Mechanics 5 (1973), S. 79–100
Weiss 1986 Weiss, S.: Verfahrenstechnische Berechnungsmethoden, Teil 7,
Stoffwerte. VCH, 1986
Wesseling 1992 Wesseling, P. ; Wiley, John (Hrsg.) ; Sons, Chichester
(Hrsg.): An Introduction to Multigrid Methods. 1992
van Wijngaarden 1976 Wijngaarden, L. van: Hydrodynamic Interaction
Between Gas Bubbles in Liquid. In: Journal of Fluid Mechanics 44 (1976),
S. 27–44
Witelski und Bernoff 2000 Witelski, T. P. ; Bernoff, A. J.: Dynamics of
Three-Dimensional Thin Film Rupture. In: Physica D 147 (2000), S. 155–176
Yabe und Kunii 1978 Yabe, K. ; Kunii, D.: Dispersion of Molecules Diffusing
from a Gas Bubble into a Liquid. In: Journal of Chemical Engineering of Japan
18 (1978), Nr. 4, S. 666–671
Yiangtsios und Davis 1991 Yiangtsios, S. G. ; Davis, R. H.: Close Approach
and Deformation of Two Viscous Drops Due to Gravity and van der Waals Forces.
In: Journal of Colloid and Interface Science 144 (1991), Nr. 2, S. 412–433
228
Zhang u. a. 2001 Zhang, Y. ; McLaughlin, J. B. ; J.A.Finch: Bubble
Velocity Profile and Model of Surfactant Mass Transfer to Bubble Surface. In:
Chemical Engineering Science 56 (2001), S. 6605–6616