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

PhänomenologischeAnalysevonRaumheizsystemen

mittelsobjektorientierterModellbildungundSimulation



ZurErlangungdesakademischenGrades

DOKTOR-INGENIEUR(Dr.-Ing.)

derFakultätfürElektrotechnik,InformatikundMathematik

derUniversitätPaderborn

genehmigteDissertation



von



Dipl.-Ing.MichaelFrigge



ausPaderborn



Referent: Prof.Dr.-Ing.FrankDörrscheidt

Korreferent: Prof.Dr.tech.FelixGausch

TagdermündlichenPrüfung:04.06.2004



Paderborn,imJuni2004



Diss.14-195



Vorwort



DievorliegendeArbeitentstandwährendmeinerTätigkeitalswissenschaftlicherMitarbeiter

im Fachgebiet Regelungstechnik des Fachbereichs Elektrotechnik und Informationstechnik

derUniversitätPaderborn.

AndieserStellemöchteichdemFachgebietsleiterProf.Dr.-Ing.FrankDörrscheidtfürdie

vielenwertvollenHinweise undAnregungen, die zumGelingenmeiner Arbeitbeigetragen

haben,danken.

DesweiterendankeichProf.Dr.FelixGauschfürdieÜbernahmedesKorreferatsundfürdas

derArbeitentgegengebrachteInteresse.

EinbesondererDankgehtandenKooperationspartnerViterraEnergyServicesAGausEssen

und an Dr.-Ing. Günter Mügge als primären Ansprechpartner für die Ermöglichung der

interessantenProjektarbeitenunddiestetsguteZusammenarbeit.

EinherzlichesDankeschöngehtauchanmeineKolleginnenundKollegendesFachgebietes

RegelungstechnikunddesFachbereichs,insbesondereanDipl.-Math.BerndLichteundDr.-

Ing. Klaus Panreck für die vielen interessanten Diskussionen und Anregungen, sowie an

Dipl.-Ing. Andrea Schulte-Thomas, Dipl.-Ing. Thorsten Maschkio, Dr.-Ing. Bernd Reißen-

weber, Dipl.-Ing. Günter Wegener, Herrn Wilhelm Knievel, Frau Angelika Kossmann und

nicht zuletzt an die Studenten, die mir im Rahmen ihrer studentischen Tätigkeiten und

AbschlußarbeitenebenfallshilfreichzurSeitestanden.

SchließlichmöchteichmeinerFamilieundbesondersmeinerFrauKristinadanken,dieauf

ihreWeisedasEntstehendieserArbeitgeförderthaben.



Paderborn,imJuni2004



MichaelFrigge



Inhaltsverzeichnis



Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung.............................................................................................................................. 1

1.1 AusgangssituationundMotivation ................................................................................. 1

1.2 ZielsetzungderArbeit..................................................................................................... 3

2 GrundlagenderHeizkostenverteilung............................................................................... 5

2.1 VerfahrenzurErmittlungdesWärmeverbrauchs ........................................................... 5

2.1.1 Heizkostenverteiler ............................................................................................... 6

2.1.2 VerbrauchsabhängigeHeizkostenverteilung......................................................... 8

2.1.3 Bedeutungdesc-Wertes........................................................................................ 9

2.2 c-Wert-Prüfung ............................................................................................................. 11

2.2.1 Randbedingungen................................................................................................ 11

2.2.2 Prüfumfang.......................................................................................................... 12

2.2.3 Aufwandsanalyse ................................................................................................ 12

2.3 EinsatzpotentialderSimulationstechnik....................................................................... 14

3 ModellierungvonRaumheizsystemen ............................................................................. 15

3.1 GrundlagenundMethodenderobjektorientiertenModellbildung............................... 15

3.1.1 DasModellierungswerkzeugCAMex.................................................................. 15

3.1.2 ObjektorientierteModellbildung......................................................................... 17

3.2 KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung...................................................... 19

3.2.1 RelevanteTeilmodelle(Grobstrukturierung)...................................................... 20

3.2.2 SchnittstellenzwischendenTeilmodellen.......................................................... 20

3.2.3 KennzeichnungrelevanterSystemgrößen........................................................... 23

3.2.4 Modellattribute.................................................................................................... 25

3.2.5 BewertungdesModellkonzepts.......................................................................... 25

3.3 SubstantielleAbstraktion.............................................................................................. 26

3.4 PhänomenologischeAbstraktion .................................................................................. 31

3.4.1 WärmeleitungdurchdieWand ........................................................................... 36

3.4.2 ÄußererWärmeübergang–PhysiknaherModellansatz...................................... 36

3.4.3 InnererWärmeübergang ..................................................................................... 50

3.4.4 Wärmedurchgang–Potenzansatz....................................................................... 59

3.4.5 GegenüberstellungvonphysikalischemAnsatzundPotenzgesetz..................... 69

3.4.6 ModifizierterPotenzansatz ................................................................................. 72

  Inhaltsverzeichnis



3.5 Strömungssimulation(CFD)......................................................................................... 79

3.5.1 DasCFD-WerkzeugSTAR-CD........................................................................... 79

3.5.2 IntegrationderCFD-Simulation ......................................................................... 81

3.5.3 ParametrierteErsatzmodelle ............................................................................... 86

3.6 WeitereModellbausteine .............................................................................................. 89

3.6.1 Kontaktmodell..................................................................................................... 89

3.6.2 c-Wert-Berechnung............................................................................................. 94

3.6.3 Strahlungsanteil................................................................................................... 94

4 Parametrierung.................................................................................................................. 96

4.1 KlassifikationvonModellparametern........................................................................... 96

4.1.1 Geometrieparameter............................................................................................ 97

4.1.2 Stoffparameter..................................................................................................... 98

4.1.3 Heizkörper-Parameter......................................................................................... 99

4.1.4 Montage-Parameter........................................................................................... 101

4.1.5 Strukturparameter.............................................................................................. 101

4.2 ImplementierteParameteridentifikation ..................................................................... 102

4.2.1 IdentifikationunbekannterGeometrieparameter .............................................. 102

4.2.2 ApproximationdesFließkanalquerschnitts....................................................... 103

4.2.3 AutomatisierungderParameteridentifikation................................................... 104

4.3 Parameterverwaltung .................................................................................................. 105

4.4 Parameterwirkungsplan............................................................................................... 107

5 Simulation......................................................................................................................... 109

5.1 AggregationzumProzeßmodell ................................................................................. 109

5.2 SimulationdesProzeßverhaltens ................................................................................ 113

5.3 ValidierungdesProzeßmodells .................................................................................. 116

5.4 Modellbeurteilung....................................................................................................... 118

5.4.1 Anwendungsbereich.......................................................................................... 118

5.4.2 PraktischerNutzendesVirtuellenc-Wert-Prüfstands ...................................... 118

6 Zusammenfassung............................................................................................................ 119

7 Literatur............................................................................................................................ 121

8 Anhang.............................................................................................................................. 124

AnhangA:Formelzeichen ................................................................................................. 124

AnhangB:Modellparameter.............................................................................................. 126

1Einleitung 1



1Einleitung

1.1AusgangssituationundMotivation

Aufgrund der in Deutschland – und in ähnlicher Form auch im benachbarten Ausland –

geltenden Verordnung über die verbrauchsabhängige Abrechnung der Heiz- und Warm-

wasserkostenvon1981istdieErmittlungderimWohnungsbereichanfallendenHeizkosten

mittels verbrauchsorientierter Verfahren vorgeschrieben, wenn die Wohnungen zentral mit

Wärmeversorgtwerden.DiesesogenannteHeizkosten-VerordnunghatgrundsätzlichdasZiel,

denEnergieverbrauchvonGebäudeheizungenzuvermindern[B

ÖT

81].

Das Interesse an der möglichst exakten Erfassung des Wärmeverbrauchs zum Zwecke der

Kostenverrechnung hat aber noch weitere Beweggründe. Neben umweltpolitischen und

ökologischenGründenistauchausvolkswirtschaftlicherSichteinmöglichstsparsamerund

zweckdienlicher Umgang mit Primärenergie sinnvoll. Zusätzlich kann der durch einen

wiederholtenAnstiegderEnergiepreisesensibilisierteEndverbrauchermittelskontrollierter

Verbrauchsmessung auch in eigenem Interesse Verschwendung vermeiden und somit den

EinsatzvonPrimärenergiedeutlichverringern.

Vordergründig ist man allerdings aus betriebswirtschaftlichen Aspekten daran interessiert,

verbrauchte Wärmemengen präzise zu ermitteln, wie dies bereits bei Energieträgern wie

Strom, Heizöl oder Gas der Fall ist. Solche Messungen liefern die Grundlage für eine

„gerechte“AufteilungderangefallenenEnergiekosten.

Zur verbrauchsabhängigen und damit möglichst gerechten Abrechnung von Heizkosten

werden in einer zentral versorgten Nutzergemeinschaft vielfach Heizkostenverteiler einge-

setzt,dieeinebestimmteMeßgrößeliefern,welchemitdervoneinemHeizkörperineiner

bestimmten Zeitspanne abgegebenen Wärmemenge korreliert. Die Verwendung solcher

Geräte im deutschen bzw. europäischen Raum regelt die Europäische Norm Heizkosten-

verteilerfürdieVerbrauchswerterfassungvonRaumheizflächen[EN834](dieseNormersetzt

die [DIN4713] Verbrauchsabhängige Wärmekostenabrechnung, Teil 1-3, des Deutschen

InstitutsfürNormung).IndiesemNormblattwirdalsrechtlicheGrundlagefüreinenEinsatz

von Heizkostenverteilern die Kenntnis und Verwendung bestimmter Bewertungsfaktoren

vorgeschrieben. In diesem Zusammenhang muß auch der sogenannte c-Wert bekannt sein,

dessenmeßtechnischeErmittlunginderPraxisüblicherweisemiteinemnichtunerheblichen

AufwandunddarausresultierendenhohenKostenverbundenist.

FürdieVerwendungeinesHeizkostenverteilersaneinemHeizkörperistdieKenntnisdesc-

WertesgenaudieserKombinationausHeizkörperundHeizkostenverteilerfürdieHeizkosten-

abrechnungzwingendvorgeschrieben[EN834]:

 1Einleitung



Es dürfen nur solche Heizkörper ausgestattet werden, für

diederc-WertzumZeitpunktderAbrechnungbekanntist.

DieZertifizierungund MarkteinführungeinesHeizkostenverteilerserfordertdeshalbinder

PraxisdieErmittlungzahlreicherc-WertefürdieverschiedenstenHeizkörpertypen.

UmdenhierfürerforderlichenzeitlichenundfinanziellenAufwandmöglichstzuverringern,

wurde die Idee verfolgt, durch den Einsatz der Simulationstechnik eine solche c-Wert-

Prüfungvirtuelldurchzuführen.ImRahmeneinerKooperationzwischenderViterraEnergy

Services AG (Essen), einem Dienstleister für verursachergerechte Abrechnung von Wärme

undWasser,unddemFachgebietRegelungstechnikderUniversitätPaderbornwurdedaher

dasForschungsprojekt„Virtuellerc-Wert-Prüfstand“initiiert;dasFachgebietbefaßtsichseit

langem mit der rechnergestützten Modellierung und Simulation komplexer technischer

Prozesse

ZieldesForschungsprojektswardieErarbeitungvonAnsätzen,mitdenensichderAufwand

beiderErmittlungvonc-Wertenreduzierenläßt.DiegrundlegendeIdeebestanddarin,von

einem reellen Prüfstand abzugehen und statt dessen zu versuchen, die spezifischen

EigenschaftenundphänomenologischenVerhaltensweisenineinemmathematischenModell

des Prüfstandes nachzubilden. Eine Lösung dieses Modells mittels Simulation liefert dann

unterbestimmtenRandbedingungendiegewünschtenc-WertealsAusgangsgrößen.

Die konventionelle c-Wert-Prüfung soll dabei nicht grundsätzlich und in vollem Umfang

durchdieSimulationersetztwerden.Esbietetsichjedochan,dieklassischeundkosteninten-

siveVorgehensweisefüreinenGroßteildermarktüblichenHeizkörperdurcheinWerkzeug

zurc-Wert-Simulationzuergänzen.AnsatzpunktistdieFormulierunginderbereitszitierten

Norm[EN834,DIN4713],daßderAntragstellerselbstc-Wertevorlegenkann,dievoneiner

Prüfstellestichprobenartignachgemessenwerden.Dabeiwirdnichtfestgelegt,mittelswelcher

MethodederAntragstellerdieseeigenenc-Wertezuermittelnhat.

1.2ZielsetzungderArbeit



1.2ZielsetzungderArbeit

AnforderungenaneinenvirtuellenPrüfstand

Der „Virtuelle c-Wert-Prüfstand“ soll eine korrekte c-Wert-Bestimmung ohne den Einsatz

real existierender Komponenten wie Heizkörper, Heizkostenverteiler oder einer Prüfkabine

ermöglichen.DiebisherüblicheexperimentelleDurchführungeinerPrüfungsollalsodurch

einerechnerischeNachbildung(Simulation)ersetztwerden.

DerpotentielleAnwenderdesvirtuellenPrüfstandssollimstandesein,einezuuntersuchende

Heizkörper-Heizkostenverteiler-Kombination am Rechner nachzubilden und anschließend

durchSimulationdenzugehörigenc-Wertzuermitteln.

AlsVoraussetzungfüreinsolchesVorgehenmußfürdenPrüfstandeinäquivalentesModell

erstelltwerden,welchesinderLageist,dieinnerenEigenschaftenbzw.dasVerhaltendes

Systems zu reproduzieren. Durch die Anwendung der betreffenden physikalischen Gesetze

kanndastheoretischeSystemverhaltenmittelsmathematischerZusammenhängebeschrieben

werden.

DerEinsatzrechnergestützterVerfahreninmodernenSoftwarewerkzeugenkanndieeffiziente

ModellbildungeinessolchentechnischenSystemserheblichunterstützen.Soexistierenheute

leistungsfähige Programmpakete, welche eine Modellbildung beispielsweise unter Verwen-

dungobjektorientierterMechanismenoderdurchAnwendungderFinite-Elemente-Methode

ermöglichen.ErgänztwerdensolcheWerkzeugedurcheffizienteSimulatoren(Algorithmen

zurLösungvonGleichungssystemen)undvielfältigeMöglichkeitenzurVisualisierungund

WeiterverarbeitungvonSimulationsergebnissen(Postprocessing).

VoraussetzungfüreinenuniversellenEinsatzdesvirtuellenPrüfstandsistderAufbauunddie

Erweiterbarkeit einer Modellbibliothek für Heizkörper- und Heizkostenverteiler-Modelle.

DaheristesfürdieUmsetzungdesGrundkonzeptsauchvongrößterWichtigkeit,dieModell-

bildungsozukonzipieren,daßsowohlweitereHeizkörpertypenalsauchneueHeizkosten-

verteilermitmöglichstwenigAufwandindieModellbibliothekdesPrüfstandsaufgenommen

werdenkönnen.

AufbauderArbeit

DieDurchführungdesForschungsprojekts„Virtuellerc-Wert-Prüfstand“kanninviergrund-

legende Projektphasen aufgeteilt werden, an denen sichauch dieGliederungder einzelnen

KapiteldieserArbeitorientiert:

1.ÜberprüfungdergrundsätzlichenMachbarkeit,

2.phänomenologischeProzeßanalyseundkonzeptionelleModellbildung,

 1Einleitung



3.ParametrierungderModellklassenund

4.RealisierungeineseinsatzfähigenSimulators.

Nach der Sicherstellung der grundsätzlichen Machbarkeit einer virtuellen c-Wert-Prüfung

liegt der Schwerpunkt der Arbeiten in der phänomenologischen Analyse des zugrunde

liegendenProzessessowiederModellbildungunterVerwendungobjektorientierterMethoden

(Kapitel3).

BedingtdurchdieHeizkörpervielfaltmußbeiderVielzahlderzuerwartendenModelleauch

derParametrierungderentstehendenModellklasseneinebesondereBedeutungbeigemessen

werden.DerAnwendereinesSimulatorszurvirtuellenErmittlungvonc-Wertenmußinder

Lage sein, auf alle für eine Berechnung erforderlichen Modellparameter ohne größeren

Aufwandzugreifenzukönnen.ImviertenKapitelwirddieseProblematikeingehendbehan-

delt,indemspezifischeModellparameterangegebensowieStrategienundAutomatismenzur

IdentifikationunbekannterModellparametervorgestelltwerden.

ImfünftenKapitelderArbeitstehtdieAnalysedeszuvorhergeleitetenProzeßmodellsdurch

Simulation im Vordergrund. Der Schwerpunkt liegt in diesem Zusammenhang bei der

VerifikationundValidierungdesModellkonzepts.EineumfassendeModellbeurteilunggibt

denzulässigenGültigkeitsbereichanundbewertetschließlichdiepraktischeEinsetzbarkeit

des„Virtuellenc-Wert-Prüfstands“.

ZunächstsolljedochdasnachfolgendezweiteKapitelinkurzenZügendiezumVerständnis

derArbeiterforderlichenGrundlagenausdemumfangreichenThemenkomplexderHeizungs-

technikmitdemSchwerpunktderHeizkostenverteilungvermitteln.

2GrundlagenderHeizkostenverteilung 5



2GrundlagenderHeizkostenverteilung

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, steht bei dem Exkurs in das Themengebiet der

HeizungstechnikinsbesonderedieVorgehensweisebeiderErmittlungdesWärmeverbrauchs

und der verursachergerechten Verteilung von Heizkosten im Vordergrund. Im weiteren

Verlauf dieses Kapitels wird verdeutlicht, welches Potential der Einsatz der Simulations-

technikindiesemspeziellenAufgabenbereichderHeizkostenabrechnungbesitzt.

2.1VerfahrenzurErmittlungdesWärmeverbrauchs

Die Verordnung über die verbrauchsabhängige Abrechnung der Heiz- und Warmwasser-

kosteninderGrundfassungvom23.Februar1981schreibtbeieinerdurcheinegemeinsame

HeizungsanlageversorgtenNutzergemeinschaft(häufigz.B.verschiedeneParteienineinem

Mehrfamilienhaus)dieVerrechnungderHeizkostendurcheineverbrauchsabhängigeHeiz-

kostenverteilung vor [B

ÖT

81]. Der gesamte Wärmeverbrauch einer solchen Abrechnungs-

einheit wird gewöhnlich durch die als exakt anzusehende Messung der verbrauchten

Brennstoffmenge(meistensÖloderGas)oderauchderWärmemenge(z.B.beiVersorgung

durchFernwärme,dieMessungerfolgtdanndurchWärmezähler)bestimmt.Zuranteiligen

undsomitmöglichst„gerechten“VerteilungdersoermitteltenabsolutenHeizkostenwirdder

WärmeverbrauchdereinzelnenNutzereinheiten(z.B.Wohnungen)benötigt.

FürdieErfassungderWärmeabgabeallerRaumheizflächeneinerNutzereinheitkönnenprin-

zipiell ebenfalls Wärmezähler eingesetzt werden, welche die verbrauchte Heizwärme H





durchMessungdesMassenstromes m

undderTemperaturspreizung∆TdesfluidenWärme-

trägers(Heizmedium)überdenZusammenhang

TcmQ

∆= 



 (2.1)

ermitteln(c

=spezifischeWärmekapazitätdesHeizmediums).DiepraktischeAnwendbarkeit

dieser Meßmethode setzt allerdings voraus, daß sich alle Raumheizflächen dieser Nutzer-

einheitaneinemgemeinsamenVersorgungsstrangbefinden(Wohnungsringbeihorizontaler

Rohrführung), da sonst an jeder einzelnen Raumheizfläche (z.B. Heizkörper, Fußboden-

heizung) Wärmezähler angebracht werden müßten. Eine solche Anordnung eines zentralen

VersorgungsstrangesistinderPraxiseherselten(häufigerbeiNeubauten)anzutreffen,zudem

istdieInstallationvonWärmezählernselbstindiesemFalldurchdieerforderlicheMessung

desMassenstromsvergleichsweisekostspielig.

Inden meistenFällenwerdenzentral versorgte Heizungsanlagenmit vertikalverlaufenden

Steigsträngen ausgerüstet, die übereinander liegende Räume versorgen, die meist nicht zur

gleichenNutzereinheitgehören.BeidieserInstallationsartbietetsichalseinzigeökonomisch

 2GrundlagenderHeizkostenverteilung



sinnvolle Meßmethode die Erfassung der Wärmeabgabe jeder einzelnen Raumheizfläche

durchHeizkostenverteiler(HKV)an.

Während diese Methode der Verbrauchserfassung zwar vergleichsweise kostengünstig ist,

können aus technischen Gründen unterschiedliche Probleme auftreten, welche häufig zu

Meßungenauigkeiten und damit auch zu Abrechnungsfehlern führen. Bevor auf diese

möglichenProblemegenauereingegangenwird,solljedochzunächsteineKlassifizierungder

gängigenHeizkostenverteiler-Typenvorgenommenwerden.

2.1.1Heizkostenverteiler

FüreineeingehendeBetrachtungvonHeizkostenverteilernwirdzunächsteineKlassifizierung

derderzeitamMarktgebräuchlichenMeßsystemevorgenommen[A

91].AlleGeräteaus-

führungenberuhenaufdemgemeinsamenPrinzip,daßdieErfassungdesWärmeverbrauchs

immeraufdieMessungeinerodermehrererTemperaturenzurückgeführtwird.Generellmuß

zwischenzweiphysikalischmöglichenMeßverfahrenunterschiedenwerden.

DiesicherlichkostengünstigsteMethodeistderEinsatzvonHeizkostenverteilernnachdem

Verdunstungsprinzip(KurzbezeichnungHKVV).InAbhängigkeitvonderamMontageortdes

HKVV auftretenden mittleren Temperatur des Heizkörpers verdunstet eine sich in einer

AmpullebefindlichespezielleMeßflüssigkeit.DieAbnahmedesFlüssigkeitsstandesistsomit

ein Maß für die in einem bestimmten Abrechnungszeitraum vom Heizkörper abgegebene

Wärmemenge. Durch die thermische Kopplung der Meßflüssigkeit an die Heizkörper-

oberflächewird,sofernhierüberhauptvoneinerMessunggesprochenwerdenkann,lediglich

einTemperaturwerterfaßt.AufgrundderschlechtenKorrelationzwischenderVerdunstungs-

rateundderWärmeleistungdesHeizkörpers(imSommerkannesz.B.beidirekterSonnen-

bestrahlungdesHKVVtrotzkaltemHeizkörperzurVerdunstungkommen,zusätzlichfindet

eine Kaltverdunstung statt) und dem damit einhergehenden geringen Vertrauen des

VerbrauchersindiesenGerätetypsprecheninderPraxisvorallemdieniedrigenHerstellungs-

kostenfüreinenEinsatzvonHeizkostenverteilernnachdemVerdunstungsprinzip.

Bei den elektronischen Heizkostenverteilern (Heizkostenverteiler mit Hilfsenergie, Kurz-

bezeichnung HKVE) werden charakteristische Temperaturwerte mittels thermoresistiver

Sensoren(z.B.NTC-Sensoren)gemessen.DieDifferenzzwischendermittlerenHeizkörper-

temperaturundderumgebendenRaumlufttemperatur,auchÜbertemperaturgenannt,kannso

meßtechnisch ermittelt werden. Diese Übertemperatur korreliert mit der momentanen

WärmeleistungeinesHeizkörpers,sodaßhierdiezeitlicheIntegrationderÜbertemperaturein

MaßfürdieabgegebeneWärmemengeliefert.DieElektronikdiesesGerätetypsermöglicht

nebendennötigenRechenoperationenauchdieSpeicherungbestimmterWerteinVerbindung

mit einer Datumserfassung (Kalenderfunktion). Die für die Wärmekostenverrechnung rele-

vantenVerbrauchsdateneinesAbrechnungszeitraumskönnenübereineInfrarot-Schnittstelle

oder–beineuerenGerätegenerationen–auchüberFunk(Fernabfrage)ausgelesenwerden.

2.1VerfahrenzurErmittlungdesWärmeverbrauchs



ElektronischeHeizkostenverteilerlassensichgegenwärtignachderAnzahldergemessenen

Temperaturwertewiefolgtdifferenzieren[A

91]:

•Einfühlergeräte messen lediglich die Temperatur des Heizkörpers am Montageort des

Gerätes. Das Ziel ist es (wie auch bei den Verdunstungsgeräten), durch entsprechende

Wahl des Montageortes eine repräsentative Oberflächentemperatur der Heizfläche zu

erfassen. Die Temperatur der Raumluft und der Umschließungswände wird dabei als

konstant angenommen (Referenz-Lufttemperatur). Bei Räumen mit niedrigeren Ausle-

gungs-Innentemperaturen als diese Referenz-Lufttemperatur wird die Leistungsänderung

durcheinenzusätzlichenBewertungsfaktorK

berücksichtigt(sieheAbschnitt2.1.2).

•Zweifühlergeräte nehmen zusätzlich zur Oberflächentemperatur auch den Wert der

Raumlufttemperaturauf

,umsodentatsächlichenWertderÜbertemperaturzuermitteln.

Da der Raumtemperatursensor meist im Inneren des HKVE an der dem Heizkörper

abgewandtenSeiteplaziertwird,kannjedochnureinemitderRaumluftkorrelierteErsatz-

temperaturgemessenwerden.AlsAbhilfekannderRaumluftsensoralssogenannterFern-

fühleringeeigneterEntfernungvomHeizkörpermontiertwerden.Vorgeschriebenistder

EinsatzvonFernfühlern,wennesinderunmittelbarenUmgebungdesHeizkostenverteilers

zueinemWärmestaukommenkann(z.B.durchabdeckendeBlecheoderbeimEinbauin

einemSchacht,wiedieshäufigbeiKonvektorenderFallist).

•Dreifühlergeräte messen neben Vor- und Rücklauftemperatur des Heizkörpers auch die

Raumlufttemperatur. Sie können bei Annahme eines logarithmischen Temperaturprofils

diephysikalischwirksamelogarithmischeÜbertemperaturerfassen(mittelsGleichung2.8

inAbschnitt2.1.3).

•MehrfühlergerätegestattenesbeigeeigneterAnordnungderMeßfühler,zusätzlichzuden

bereitsgenanntenMeßgrößenauchTransmissionswärmeströmezwischeneinzelnenWohn-

einheitenzubestimmen.Sieermöglichenso dieangenäherteMessungdestatsächlichen

Wärmeverbrauchs.AufgrundhoherInvestitions-undInstallationskostenkonntesichdieses

Meßprinzipbisherjedochnichtdurchsetzen.

GemäßdermitdemKooperationspartnerViterraEnergyServicesAGangestrebtenProjekt-

ziele beschränken sich die weiteren Ausführungen der vorliegenden Arbeit allein auf die

BehandlungelektronischerHeizkostenverteiler(HKVE)inderBetriebsartalsEin-oderZwei-

fühlergerät. Das imdritten Kapitel hergeleitete grundlegendeModellkonzept läßtsichaber

prinzipiellauchaufandereSysteme,wiez.B.HeizkostenverteilernachdemVerdunstungs-

prinzipoderMehrfühlergeräte,übertragen

.



1 EineanderekaumverwendeteFormdesZweifühlergerätesmißtVor-undRücklauftemperaturundnimmtdenWertder

RaumlufttemperaturalsFixwertan,worausnachGleichung2.8dielogarithmischeÜbertemperaturberechnetwird.

2 DerMehraufwandliegtdannbeiderModellierungdesneubetrachtetenHeizkostenverteilers,währenddasTeilsystem

Heizkörper(siehe3.2)unverändertVerwendungfindet.

 2GrundlagenderHeizkostenverteilung



2.1.2VerbrauchsabhängigeHeizkostenverteilung

Bewertungsfaktoren

Der reine Anzeigewert eines elektronischen Heizkostenverteilers stellt zunächst nur einen

Näherungswert des Zeitintegrals der gemessenen charakteristischen Temperaturdifferenz

zwischenderHeizflächeunddemumgebendenRaumdar.DieserWertreichtnatürlichnoch

nichtzurErmittlungderWärmeabgabeaus,dadieÜbertemperaturalleinz.B.keineAussage

überspezifischeHeizkörperdaten(insbesonderedessenWärmeleistung)zuläßt.

Daher ist eine Bewertung derAnzeigewerte mitmindestensdenKenndaten desjeweiligen

Heizkörperserforderlich.HierzuwirdderBewertungsfaktorK

eingeführt,derals(dimen-

sionsloser) Zahlenwert die in Watt ausgedrückte Norm-Wärmeleistung eines Heizkörpers

berücksichtigt.SomitwirdderAnzeigewertgrundsätzlichandieindividuellunterschiedlichen

Wärmeleistungen der Heizkörper einer Abrechnungseinheit angepaßt. Um darüber hinaus

etwaigeFehlereinflüssevonHeizkostenverteilernoderbesonderenäußerenRandbedingungen

zu kompensieren, werden gewöhnlich weitere Bewertungsfaktoren bzw. Korrekturfaktoren

zurBewertungderAnzeigewerteherangezogen

.DerGesamtbewertungsfaktorKergibtsich

schließlichausdemProduktdereinzelnenanzuwendendenBewertungsfaktoren[EN834].

Der mit diesem Gesamtbewertungsfaktor bewertete Anzeigewert wird als Verbrauchswert

bezeichnet,welchersichschließlichfürdieverbrauchsabhängigeAbrechnungeignet.

EinerweitererwichtigerKorrekturfaktoristderK

-Faktor.Erberücksichtigtdiephysikalisch

bedingte Tatsache, daß der Temperaturfühler eines Heizkostenverteilers aufgrund seiner

räumlichen Trennung vom Heizkörper nicht in der Lage ist, die exakte Temperatur des

Heizmediums an der Montagestelle zu erfassen. Der Meßwert des Heizkörpersensors wird

vielmehrgeringfügigunterdemwahrenWertliegen,daauchderHKVEüberseinGehäuse

WärmeandieUmgebungsluftabgibtundsomitthermischeVerlusteaufderWärmeleitstrecke

zum Sensor hin auftreten. Obwohl diese Temperaturabweichung meist recht klein ist,

entstehen bei der Verbrauchserfassung nicht zu vernachlässigende Abweichungen. Sollte

insbesondereauchdieUmgebungstemperaturdurcheinenSensorgemessenwerden,sotritt

beiZweifühlergeräteneinenichtunerheblicheAbweichungzwischendemwahrenunddem

gemessenenTemperaturwertauf.DerSensorfürdieUmgebungstemperaturbefindetsichhier

innerhalbdesHKVE-GehäusesundwirddadurchzwangsläufigeinenhöherenWertfürdie

Umgebungstemperatur liefern, weil es am warmen Heizkörper nicht zu vermeiden ist, daß

sichauchdasGehäusedesHKVEunddiesichdarinbefindlicheLufterwärmen.Einhöherer

MeßwertfürdieRaumtemperaturhateinegeringereÜbertemperaturzurFolge,weshalbohne

KorrektureinekleinerealsdiewahreWärmeleistunggemessenwerdenwürde.



3 NebendenBewertungsfaktorenKQ(Heizkörperleistung)undKC(c-Wert)kommenggf.nochderBewertungsfaktorKT(bei

größererAbweichungdertatsächlichenRaumlufttemperaturvon20°C)zurAnwendung.

2.1VerfahrenzurErmittlungdesWärmeverbrauchs



DerK

-KorrekturfaktormußfürjedenHKVEzurBewertungangewandtwerden,wenndie

zuvorbeschriebenenAbweichungenderSensoreninnerhalbeinerAbrechnungseinheitunter-

schiedliche Werte annehmen [DIN4713, EN834]. Dies ist immer dann der Fall, wenn

verschiedeneHeizkörperausführungenineinerAbrechnungseinheitinstalliertsind(z.B.Heiz-

körperverschiedenerHerstelleroderPlattenheizkörpergemeinsammitGliederheizkörpern).

2.1.3Bedeutungdesc-Wertes

ZurBerechnungdesBewertungsfaktorsK

wirdalsgrundlegendeKenngrößedersogenannte

c-Wertherangezogen.Demc-WertkommtdamitinderHeizkostenabrechnungeinezentrale

Bedeutungzu.WieinderEinleitungbereitsangedeutet,mußerfürjedenHeizkostenverteiler

inKombinationmitdemjeweiligenHeizkörper,andemereingesetztwird,genaubekannt

sein.BeiderVielzahlderamMarktüblichenundimEinsatzbefindlichenunterschiedlichen

Heizkörpertypenerfordert diec-Wert-Prüfung gegenwärtig einennicht unerheblichenmeß-

technischenAufwand.

Derc-WertkannalsMaßfürdiethermischeAnkopplungeinesHeizkostenverteilersandie

jeweilige Raumheizfläche angesehen werden. Wünschenswert sind demnach sehr kleine

Werte(naheNull),welcheeineentsprechendgutethermischeAnbindungbedeuten.

Derc-Wertistganzallgemeinwiefolgtdefiniert:

(

)

(

)

cT T T T

T T

m m F L L F

m L

=− − −

−

, , . (2.2)

DieGrößenT

m,F

undT

L,F

sind dieFühlertemperaturendes Heizkörper- und desRaumluft-

sensors, die beim elektronischen Heizkostenverteiler als Meßgrößen ausgelesen werden

können. Bei Einfühlergeräten und bei Zweifühlergeräten, die als Einfühlergerät betrieben

werden, wird nur die Sensortemperatur T

m,F

 als mittlere Oberflächentemperatur der Heiz-

flächegemessen.FürdieLufttemperaturwirdbeidieserBetriebsarteinkonstanterWert

LFL

TT =

 (2.3)

angenommen,sodaßdanndieVereinfachung

Fmm

c−

−

=, (2.4)

gilt.

Diefüreinec-Wert-BestimmungzusätzlichzumessendenGrößensindjenachBetriebsart

desHeizkostenverteilersdie

 2GrundlagenderHeizkostenverteilung



•mittlereTemperaturdesHeizmediumsT

m

(fürEin-undZweifühlerbetrieb)unddie

•TemperaturderUmgebungsluftT

L

alsReferenz-Lufttemperatur.

Gemäß Beziehung (2.2) drückt der c-Wert das Verhältnis der Differenz der Meßabwei-

chungenzurDifferenzderwahrenGrößenaus.

DurchUmformungdieserGleichungerhältmandieinderLiteratur(wieauchinderNorm

zurHeizkostenverteilung[EN834])häufigeranzutreffendeForm

FLFm

∆

−=

−

−= 11 ,,  (2.5)

fürdenwärmeträgerseitigenc-Wert(Indexm).WeiterhinwirdmitderBeziehung

cT T

T T

O F L F

O L

= −

−

, ,

 (2.6)

der weniger gebräuchliche oberflächenabhängigec-Wert (Index O) definiert. Der c

-Wert

stelltdenZusammenhangzwischendermittlerenWärmeträgertemperaturT

bzw.derUmge-

bungstemperaturT

unddenTemperaturenderMeßfühlerT

m,F

undT

L,F

dar.Dagegengibtc



dieGütedesWärmekontaktesalsrelativenTemperaturabfallzwischenHeizkörperoberfläche

undMeßfühlerwieder(c

wirdseitGültigkeitder[EN834]nichtmehrverwendet).

Zur Berechnung des Korrekturfaktors K

schreibt die Norm [DIN4713] bzw. [EN834] die

Verwendungdeswärmeträgerseitigenc-Wertesvor.DortistfolgendeDefinitionfürdenc-

Wertzufinden:

ist

soll

= −1

∆

∆ (2.7)

mit ∆T

ist

 =TemperaturdifferenzderMeßwertaufnehmerT

H,F

–T

L,F

,

∆T

soll

 =Heizmedium-ÜbertemperaturT

–T

oder∆T

ln

.

DabeiwirddielogarithmischgemittelteHeizmedium-Übertemperatur∆T

nachderBezie-

hung

∆TT T

T T

V R

V L

R L

−

 (2.8)

2.2c-Wert-Prüfung



aus der Vorlauftemperatur T

V

, der Rücklauftemperatur T

R

und der Raumlufttemperatur T



bestimmt.GemäßdieserGleichungwirddieDifferenzT

–T

folglichnichtdirektermittelt,

sondernausderVor-undRücklauftemperaturdesHeizmediumsabgeleitet.Diesodefinierte

logarithmische Übertemperatur bildet das vertikale Temperaturprofil des Wärmeträgers im

Heizkörperab[A

91].

ImweiterenVerlaufderArbeitseibeiderVerwendungdesBegriffs„c-Wert“,soweitnicht

andersvermerkt,immerderwärmeträgerseitigec

-Wertverstanden.

2.2c-Wert-Prüfung

2.2.1Randbedingungen

Gemäß der bereits zitierten zuständigen Normen EN834 bzw. DIN4713(3) sind bei der

meßtechnischenErmittlungvonc-WertenfolgendeVoraussetzungeneinzuhalten:

•DiePrüfungderc-WerteistimsogenanntenBasiszustanddurchzuführen,

•dreiHeizkostenverteilerjeTypundHeizkörpersinduntergleichenPrüfbedingungenzu

untersuchen,

•die Montageorte und Montageanweisungen des Antragstellers (Hersteller bzw. Dienst-

leister)sindeinzuhaltenund

•dieFühlertemperaturensinddurch(geeichte)Laborfühleroder,beiKenntnisderFühler-

kennlinien,anhandderFühlersignalezuerfassen.

DefinitiondesBasiszustandes

DerBasiszustandzurFestlegungderBewertungsfaktorenundzurBestimmungderc-Werte

istinbestimmtenGrenzenfreiwählbarundgibtWertefürdieSystemtemperaturenamHeiz-

körperan.AlsBasiszustanddefiniertdieEuropäischeNorm[EN834]:

VorlaufeinführungamHeizkörperoben.

MittlereHeizmediumtemperatur: T

=(40...60)°C

Referenz-Lufttemperatur:  T

=(20±2)°C

Norm-Heizmediumstrombei: T

/T

=(90/70/20)°C

Einen wichtigen Stellenwert nimmt schließlich auch die Prüfumgebung des Systems Heiz-

körper–Heizkostenverteilerein.Sowirdfürdiec-Wert-MessungimBasiszustandeinespe-

zielle Prüfkabine vorgeschrieben. ZulässigeAusführungsformen füreine solchePrüfkabine

schreibtdiehierfürzuständigeNormDIN4704„PrüfungvonRaumheizkörpern“bzw.EN

442„RadiatorenundKonvektoren“vor[DIN4704,EN442].Zuunterscheidenistdemgemäß

 2GrundlagenderHeizkostenverteilung



zwischeneineroffenenPrüfkabinenachDIN4704(2)undeinergeschlossenenPrüfkabine

nachDIN4704(3)bzw.einemReferenz-PrüfstandnachEN442-2.IndiesenNormblättern

werden alle geometrischen Abmessungen,dievorgeschriebene Installation des Heizkörpers

sowiesonstigeAnforderungenandiePrüfumgebungdetailliertaufgeführt.

InanalogerWeiseschreibtdieEN 834beiderDefinitiondesBasiszustandesvor,daßdie

Referenz-Lufttemperatur„ineinerklimastabilenPrüfkabine0,75müberdemBodenineinem

Abstandvon1,5mvorderHeizflächezumessenist“.DieseAussagestelltinderPraxishohe

AnforderungenandiePrüfkabine,diemeistdurchaufwendigeInstallationengekühltwerden

muß,umdiegeforderteKlimastabilitätzugewährleisten.

Zum Erreichen des Norm-Heizmediumstroms muß der Heizmediumstrom so lange variiert

werden,bissichbeieinerVorlauftemperaturvonT

=90°CundeinerLufttemperaturvon

=20°CeineRücklauftemperaturvonT

=70°Ceinstellt.DieseVorgehensweisebedarf

einigerErfahrungdesdurchführendenPersonalsderPrüfstelleundführtzusammenmitdem

erforderlichen Installationsaufwand zu einem vergleichsweise hohen Zeitbedarf für eine

einzelne c-Wert-Prüfung. In der Praxis lassen sich selbst durch erfahrene Prüfer meist nur

wenigec-WertejeArbeitstagmessen.

2.2.2Prüfumfang

GrundsätzlichsinddurchMessungendiec-WertefürsiebenGrundheizkörperzubestimmen

(Gußradiator,Stahlradiator,senkrechtprofilierterPlattenheizkörper,nichtprofilierterPlatten-

heizkörper, Röhrenradiator, Rohrregisterheizkörper und Plattenheizkörper mit waagerechter

Wasserführung) [EN843]. Sollten für diese Heizkörper vom Antragsteller eigene c-Werte

vorgelegtwerden,sovergleichtdiePrüfstellediesemitihrenMeßergebnissen.

FürdieAusstattungweitererHeizkörper,derenc-WertenichtdurchdieMessungenanden

siebenGrundheizkörpernbekanntsind,müssendieWertevomAntragstellerderPrüfstellezur

Bestätigungvorgelegtwerden.DieseüberzeugtsichdurchNachmessungeinerStichprobeim

Umfangvon3%derAnzahldervorgelegtenWertevonderRichtigkeitdieserc-Werte.

Dievorgelegtenc-WertedesAntragstellersdürfenvondenMeßwertenderPrüfstelleunsyste-

matisch bis zu ±0,02 abweichen. Zusätzlich sind systematische Abweichungen zulässig,

soferndiesedenBewertungsfaktorK

umnichtmehrals±3%verändern.

2.2.3Aufwandsanalyse

Bei praktischer Betrachtung der zuvor beschriebenen Anforderungen zur Einhaltung des

Basiszustandes (insbesondere die Notwendigkeit einer Prüfkabine) sowie des Prüfumfangs

läßtsichfestzustellen,daßdiedurchdieNormgeforderteVorgehensweisemiteinemhohem

Aufwand verbunden ist. Dieser erstreckt sich sowohl auf die c-Wert-Prüfung durch die

2.2c-Wert-Prüfung



Prüfstelle (zwecks Zertifizierung) als auch auf die eigenen c-Wert-Messungen des Antrag-

stellers.

DieserAspektbegründetdiezwangsläufigentstehendenhohenKostenfürdieDurchführung

einer solchen Prüfung. Weiterhin ist aber auch der zeitliche Aufwand nicht zu vernach-

lässigen,daimZugederMarkteinführungeinesHeizkostenverteilershäufiginnerhalbsehr

kurzerZeitmöglichstvielec-Wertebestimmtwerdenmüssen.

ImeinzelnenläßtsichderAufwandwiefolgtspezifizieren:

•Sach-bzw.Materialaufwand:ZurMessungderc-WerteanmarktüblichenHeizkörpertypen

müssendieseineinementsprechendumfangreichenHeizkörperlagervorgehaltenwerden.

Aufbau,UnterhaltungundeineständigeErweiterungeinessolchenLagersistmithohen

Kostenverbunden,daauchseltenereHeizkörpertypenvorhandenseinmüssen,umsiemit

Heizkostenverteilernausstattenzukönnen.

•KostenderInfrastruktur:AlsPrüfumgebungwirdentsprechendderNormeinespezielle

Prüfkabine vorausgesetzt. Zusätzlich müssen geeignete Installationen und Apparaturen

(z.B. Wärmeerzeuger zur Beheizung der Prüfheizkörper, Pumpe, Rohrleitungsnetzwerk

etc.) sowie eine umfassende meßtechnische Ausstattung (Durchfluß- und Temperatur-

messung)vorhandensein.

•Personalkosten:ZurUnterhaltungdesPrüfstands,PflegeeinesHeizkörperlagerssowiefür

dieDurchführungderPrüfungenselbstwerdengeeignetgeschulteFachkräftebenötigt,was

zuentsprechendhohenPersonalkostenführt.

•Zeitaufwand:Obwohleinec-Wert-MessungzumTeilautomatisiertdurchgeführtwerden

kann,dauerteineeinzelneMessunggewöhnlichca.4-6Stunden.DieseZeitsetztsichaus

üblichenMontage-undUmrüstzeiten,derAufheiz-bzw.EinschwingdauerzumErreichen

desBasiszustandessowiedereigentlichenMessung(andreiVergleichsgerätenjec-Wert)

zusammen.InderRegelkönnendemnachmeistnuretwaeinbiszweic-WerteproTag

gemessenwerden.

Aus diesen Aufwendungen entstehen dem Antragsteller für jede eigene c-Wert-Messung

Kosten in Höhe von einigen Hundert Euro, während für eine externe Prüfung durch ein

FremdunternehmenetwadiedoppelteSummeaufzuwendenist(Stand:2001).

InsbesonderebeiderEinführungeinesneuenHeizkostenverteiler-ModellsmüsseninAnbe-

trachtderVielfaltanmarktüblichenHeizkörpernsehrvieleMessungendurchgeführtwerden,

umfürjedeKombinationHeizkörper–Heizkostenverteilerdenc-Wertzubestimmen.

 2GrundlagenderHeizkostenverteilung



2.3EinsatzpotentialderSimulationstechnik

DurchdieRealisierungderIdeeeinervirtuellenPrüfungkanneineeinzelnec-Wert-Messung

vollständigdurcheineSimulationersetztwerden.AufkostenintensiveEinrichtungenwiedie

InstallationeineraufwendigenPrüfkabineunddieUnterhaltungeinesumfangreichenHeiz-

körperlagers kann möglicherweise ganz verzichtet werden. Diese Perspektive birgt ein

erhebliches Einsparpotential. Neben geringerenSach- bzw.Materialkostenist insbesondere

der vergleichsweise geringe zeitliche Aufwand zu nennen, den eine c-Wert-Ermittlung an

einemvirtuellenPrüfstandinAnspruchnimmt.

DievorangegangeneAufwandsanalyseverdeutlichtdiesesPotential,welchesbeiderc-Wert-

PrüfungdurchdenEinsatzderSimulationstechnikausgeschöpftwerdenkann:

•Der Zeitaufwand für eine c-Wert-Messung läßt sich durch die Simulation auf wenige

Minutenreduzieren,jenachKomplexitätdesModellsunddergefordertenGenauigkeit

dauertdiereineSimulationszeitinderRegelsogarnureinigeSekunden.Wiespäterim

Kapitel4gezeigtwird,liegtauchderZeitaufwandzurErmittlungallerfürdievirtuelle

Prüfung erforderlichen Modellparameter (Parametrierung) im Normalfall im Bereich

wenigerMinuten.

•DerPersonalaufwand beschränktsich bei der virtuellenc-Wert-Prüfungtheoretisch auf

einen Anwender. Bei geeigneter Gestaltung der Oberfläche und Funktionalität der

Anwendersoftware (Mensch-Maschine-Schnittstelle) läßt sich die Handhabung derart

vereinfachen und automatisieren, daß eine Nutzung des „Virtuellen c-Wert-Prüfstands“

auchohneeinezeitaufwendigeSchulungdesAnwendersmöglichist.

•Daessichbeidemvirtuellenc-Wert-PrüfstandletztlichumeineSoftwarehandelt,istals

MaterialaufwandlediglicheinmarktüblichesPC-SystemohnebesondereAnforderungen

andieRechenleistungerforderlich.



3ModellierungvonRaumheizsystemen 15



3ModellierungvonRaumheizsystemen

3.1GrundlagenundMethodenderobjektorientiertenModellbildung

3.1.1DasModellierungswerkzeugCAMex

FürdietheoretischeAnalyseundModellbildungderc-Wert-PrüfungsollinersterLiniedas

am Fachgebiet Regelungstechnik der Universität Paderborn entwickelte Modellierungs-

werkzeug CAMex (Computer-Aided Modeling for experimental Design) eingesetzt werden

97,



98]. CAMex ist ein objektorientiertes, symbolisches Werkzeug zur rechner-

gestütztenModellbildungtechnischerProzesse[P

02].SeineMerkmalesollenimfolgenden

kurzdargestelltwerden.

DasWerkzeugbasiertinseinemKernaufdemComputeralgebra-SystemMapleVRelease3.0

undkannsomitalsMaple-Toolboxangesehenwerden.MathematischeModellelassensich

unabhängig von einem speziellen Simulationssystem beschreiben und gegebenenfalls

erforderliche algebraische Umformungen sehr einfach vornehmen und automatisieren. Den

konzeptionellenAufbauderModellierungsumgebungverdeutlichtdiefolgendeAbbildung:

MapleV

Modelldefinition

Modellbearbeitung

Bibliotheks-

managementsystem

ReMoLiS

Modell-

biblio-

theken

Modell-

editoren

Simulator

Simex

Ergebnis-

analyse

Visualisierung

undAnimation

Modellbildung

Simulation



Bild3.1:StrukturderModellierungsumgebungCAMex

NebendenMechanismenderModellmanipulationmittelsComputeralgebraspieltdieDoku-

mentationundVerwaltungimplementierterModelleeineäußerstwichtigeRolle.Eineüber-

sichtliche,gutverständlicheundleichtaufzufindendeDokumentationistVoraussetzungfür

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



die Transparenz und Wiederverwendbarkeit erstellter Modelle. Zu diesem Zweck stellt

CAMexdasModellbibliotheks-ManagementsystemReMoLiS(Relation-BasedModelLibrary

System) zur Verfügung. Die Modelle werden im verbreiteten HTML-Format (HyperText

Markup Language) implementiert und enthalten neben dem eigentlichen mathematischen

ModellcodestetsaucheineumfangreicheundeinheitlichstrukturierteDokumentation

.Das

schnelle Auffinden gesuchter Modelle wird durch die Verwendung aktiver Querverweise

(Hyperlinks)zusätzlichunterstützt;derAnwenderkannsichsoauchinnerhalbumfangreicher

Modellbibliothekenschnellorientierenundkomfortabelbewegen.

modellspez.

Oberflächen

eingebetteter

symbolischer

Modellcode

(Maple-Syntax)

Integrator-

Oberflächen

Numerischer

Modellcode

Numerischer

Integrator

„Monitor“Modelleditoren

Modellbaustein Modellierungs-

Toolbox

•Aggregation

•Analyse

Oberflächen-

generierung

Modellcode-

generierung

CAMex

Simex

(

Experiment-

definition)

Modell-

anpassung

StoppenStarten

Generierung

Monitor-

funktionen

(Maple-Syntax)

(HTML)

(

Integrator-

setup)

Biblio-

theken

Manage-

mentsyst.

•Codeerzeugung



Bild3.2:VerbindungzwischenModellierungs-undSimulationsumgebung

UnterCAMexerstellteModellekönnensehreffizientmitdemangebundenenProzeßsimulator

Simexsimuliert werden (Bild3.2). Dazuwird ausden insymbolischer Form vorliegenden

Modellgleichungen effizienter Programmcode (in FORTRAN) zur numerischen Lösung

generiert. DanebenstehenweitereRoutinenzurVerfügung,mitdenendiemathematischen

ModelleinDymola

-SyntaxübersetztoderinMatlab

/Simulinkeingebundenwerdenkönnen.

Neben der Erzeugung des numerischen Modellcodes werden zusätzlich modellspezifische

Oberflächen zur menügesteuerten Eingabe von Modell- und Simulationsparametern sowie

demVerlaufderEingangsgrößengeneriert.SpeziellangepaßteMonitorfunktionengestatten

eine kennzahlbasierte Überwachung der numerischen Integration unter Berücksichtigung

gegebenenfalls erforderlicher Modellanpassungen während der Simulation [P

00]. Der

Integrator verwendet drei wahlweise und problemspezifisch einstellbare numerische

Verfahren(BDF-Verfahren,BLEND-MethodeundDASSL-ImplementierungderBDF-Ver-



4 DemModelliererwirdzurGewährleistungeinereinheitlichenStruktureineMaskeeinesModellbausteins(Template)zur

Verfügunggestellt.

3.1GrundlagenundMethodenderobjektorientiertenModellbildung



fahren), welche der kommerziellen Fortran-NAG-Bibliothek (Numerical Algorithm Group)

entnommenwurden.DieseLösungsverfahreneignensichinsbesonderefürsteifeSystememit

dünn besetzter Jacobi-Matrix. Die bei der objektorientierten Modellierung entstehenden

ModellebesitzendurchdieVerkopplungvon Modellbausteinentypischerweiseeinesolche

Struktur, so daß der Prozeßsimulator Simex ein optimales Werkzeug für die numerische

LösungderhiermodelliertenProzessedarstellt.

3.1.2ObjektorientierteModellbildung

Die Vorgehensweise der objektorientierten Modellbildung mit dem Werkzeug CAMex läßt

sichinzweiwesentlicheSchritteaufteilen(Bild3.3):

Zunächst wird der zu analysierende komplexe Prozeß hierarchisch verfeinert und dadurch

sukzessiveineinfacherzumodellierendeTeilkomponentenzerlegt.DurchdieseStrukturie-

rung entstehen einerseits Teilsysteme unterschiedlicher Detaillierungstiefe und andererseits

derenVerknüpfungenuntereinander.AbgegrenzteTeilsystemekönnen wiederumkomplexe

ProzeßkomponentenoderauchfeinaufgelösteSubsystemesein.Dieseauchalssubstantielle

Abstraktion bezeichnete topologische Strukturierung orientiert sich in der Regel am natür-

lichen Aufbau des Prozesses und kann durch einen Hierarchiebaum repräsentiert werden

(Bild3.4).DerartabgegrenzteSubsysteme,diesogenanntenObjekte,werdendurcheingehen-

deAnalyseihrerphysikalischenPhänomeneseparatmodelliert,wobeiObjektemitähnlichen

MerkmalenzuKlassenzusammengefaßtwerden.DurchSchnittstellenkönnendieseKlassen

mit anderen Objekten kommunizieren (Kapselung). Bei dieser phänomenologischen

AbstraktionwirdjedemisoliertenTeilsystemundjederVerknüpfungeinSatzvonModell-

gleichungen zugeordnet. Die Herleitung der Modellgleichungen erfolgt durch Bilanzierung

derphysikalischenGrößenMasse,EnergieundImpuls.JederBilanzgleichungstermstehtfür

einineinerbestimmtenWeisezubeschreibendesodergegebenenfallszuvernachlässigendes

Phänomen und kann weiter verfeinert werden, sofern er sich durch andere Variablen

ausdrückenläßt.WerdenVariablennichtweiterverfeinert,stellensiezwangsläufigentweder

Zustandsgrößen,vorgegebeneEingangsgrößenoderParameterdar.EinsoentstandenerSatz

an Modellgleichungen wird mit einer möglichst gründlichen Dokumentation versehen und

schließlichalsModellbausteinbzw.ModellklasseineinerstrukturiertenBibliothekabgelegt.

DieindividuelleVorgehensweisebeidieserTop-Down-AnalyseeineskomplexenProzesses

istnichteindeutigfestgelegtundwirddahersubjektivdurchdieIntuitionunddasapriori-

Wissen des jeweiligen Modellierers gesteuert. Als Modellierungsstrategie läßt sich nur

allgemeinempfehlen,daßgrundsätzlichjedereinzelneModellbausteinfürsichaussagekräftig

seinsollteunddamiteinabgrenzbaresObjektoderPhänomenbeschreibt.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Prozeß

Hierarchische

Zerlegung

Bottom-Up

Synthese

Aggregationvon

Modellbausteinen

Top-Down

Analyse

Modellbausteine

CharakterisierungdurchSystemgleichungenundSchnittstellen

Modell

zunehmende

Modularität

zunehmende

Abstraktion

Hierarchiebaum



Bild3.3:VorgehensweisebeiderobjektorientiertenModellbildung

IneinemzweitenSchrittwerdendiesoerstelltenModellbausteinerechnergestütztwiederzum

Gesamtprozeßzusammengefügt.DieseBottomUp-Syntheseorientiertsichsinngemäßandem

imerstenModellierungsschrittentstandenenHierarchiebaumdesGesamtprozesses.Ausden

implementierten Modellklassen werden konkrete Modellbausteine, sogenannte Instanzen,

erzeugtundderHierarchieentsprechenddurchVerkopplung(Aggregation)zumModelldes

Gesamtsystemszusammengefügt.DieModellbausteinewerdendurchVerbindungderschon

bei der Modellierung festgelegten physikalischen Schnittstellen der einzelnen Teilsysteme

miteinanderverknüpft.

EinwichtigesMerkmalderobjektorientiertenModellbildungistdieVerwendungspezieller

Vererbungsmechanismen bei der BottomUp-Synthese. Eine neue Modellklasse kann ent-

weder durch Spezifizierung aus einer vorhandenen Klasse abgeleitet (AKO=A Kind Of-

Vererbung) oder durch Aggregation aus mehreren bestehenden Modellklassen gebildet

werden(APO=APartOf-Vererbung).

DieStrukturierungsmethodendersubstantiellenundphänomenologischenAbstraktionbilden

zusammenmitderKlassenbildungsowiedenspeziellenVererbungsmechanismendieGrund-

lage der Objektorientierung. Der Begriff steht ganz allgemein für anpassungsfähige und

wiederverwendbare Komponenten (Software im weiteren Sinne). Einzelne Komponenten

werden als Klassen implementiert, die Instanz einer Klasse bildet ein Objekt. Durch die

topologische Strukturierung wird die Modularität eines Systems als wichtiger Aspekt der

Objektorientierung explizit aufgezeigt. Zusätzlich wird die hierarchische Struktur des

Systems,alsodieAnordnungseinerSubsysteme,durcheinenHierarchiebaumbeschrieben.

3.2KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung



Die entscheidenden Vorteile der objektorientierten Modellbildung lassen sich wie folgt

angeben:

•KomplexeProzessegestaltensichhierarchischüberschaubarundwerdensoingewissem

Maßetransparent.

•Modellbausteinelassensich,ergänztdurcheineausführlicheDokumentation,inModell-

bibliothekenablegen(hierz.B.eineHeizkörperbibliothek).SokannModellierungswissen

weitergegebenwerden,waskürzereEntwicklungszeitenzurFolgehat.

•DerAufbauunddieVerwaltungvonModellbibliothekenunterstütztdieWiederverwend-

barkeit implementierter Modelle. Der Aufwand bei einer späteren Modellbildung

verwandter Prozesse (z.B. ähnlicher Heizkörpertypen) kann dadurch erheblich reduziert

werden.

•RechnergestützteWerkzeugeerlaubeneinesymbolischeVerkopplungderTeilkomponen-

tenundreduzierendadurchdenModellierungsaufwand.DurchVererbungsmechanismen

kann die Struktur auch bei verkoppelten Systemen aufrecht erhalten werden. Zudem

ermöglicht die Rechnerunterstützung die unmittelbare Anbindung eines effizienten

Prozeßsimulators, die komfortable Verwaltung umfangreicher Modellbibliotheken sowie

eineeinfacheRealisierungvielfältigerMöglichkeitenzurErgebnisvisualisierung.

MitderVerwendungdesModellierungswerkzeugsCAMexwerdendieseVorteileundEigen-

schaften auch für die in der Einleitung in Abschnitt 1.2 beschriebene Aufgabenstellung

genutzt. Die weiteren Ausführungen in diesem Kapitel zur Modellbildung des Prüfstandes

und seiner Komponenten orientieren sich daher eng an den zuvor beschriebenen objekt-

orientiertenMethodenundKonzepten.

3.2KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung

DieGrundlagefüreineumfassendeModellierungdesProzesseswirddurchdenEntwurfeines

möglichst allgemeingültigen Modellkonzepts gebildet. Anhand dieser ersten Prozeßanalyse

lassen sich allgemeine und wesentliche Eigenschaften und Attribute des späteren Modells

spezifizieren. Weitere, in bezug auf die jeweiligen Teilsysteme charakteristische Modell-

eigenschaften werden bei der anschließenden Behandlung dieser Komponenten im Detail

betrachtet(Abschnitte3.3bis3.6).

AlsersterwichtigerSchrittderkonzeptionellenModellbildungwirdeinegeeigneteStruktu-

rierungdesGesamtprozessesinFormeinerhierarchischenVerfeinerungvorgenommen.Die

dadurchentstehendenTeilsystemekönnenisoliertbetrachtetunddamiteinfachermodelliert

werden. Diese substantielle Abstraktion orientiert sich eng an der Gestalt des realen

Prozesses,imkonkretenAnwendungsfallalsoandernatürlichenTopologieeinesPrüfstandes

(PrüfkabinemitHeizkörperundHeizkostenverteiler).

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



3.2.1RelevanteTeilmodelle(Grobstrukturierung)

Wird der Aufbau einer Prüfsituation bezüglich seiner Topologie betrachtet, so läßt sich

zunächst die Anordnung Heizkörper mit Heizkostenverteiler von der Prüfkabine, die als

Prüfumgebung bezeichnet werden soll, trennen. Weiterhin ist es naheliegend, auch die

Komponenten Heizkostenverteiler und Heizkörper voneinander zu lösen und getrennt zu

betrachten.Schließlichkannauchdieeigentlichec-Wert-BerechnungaufdieserHierarchie-

ebenealseigenständigesTeilsystemangesehenwerden.Obwohlessichdabeinichtumeine

physikalisch existierende Komponente des Prüfstandes, sondern um eine Berechnungs-

vorschrift (Signalmodell) handelt, sollte diese doch vom System des Heizkostenverteilers

getrenntmodelliertwerden.Diesezwarnochgrobe,aberwichtigeGrundstrukturdesGesamt-

systemskannalsobersteHierarchieebene(ersteVerzweigung)ineinemHierarchiebaumnach

Bild3.4festgehaltenwerden.

Heizkörper HKVEPrüfumgebung

Prüfstand

c-Wert-Berechnung

(Bild3.9) (Bild3.29)



Bild3.4:HierarchiebaumdesGesamtprozessesPrüfstand(ersteHierarchieebene)

BeiderStrukturierungeineskomplexenProzessesineinfachereTeilsystemeistesnebender

IdentifikationderSubsystemeerforderlich,geeigneteSchnittstellenzurBerücksichtigungder

WechselwirkungenzwischendenTeilmodellenzudefinieren.

3.2.2SchnittstellenzwischendenTeilmodellen

DasdurchdietopologischeStrukturierungisolierteTeilmodellderPrüfumgebungsollbereits

an dieser Stelle etwas ausführlicher betrachtet werden. Die Prüfkabine steht als Prüfum-

gebungindirektemWärmeaustauschmitdemHeizkörperunddemsichdaranbefindlichen

Heizkostenverteiler. Diese Wechselwirkungen lassen sich durch folgende Einflußgrößen

spezifizieren:

3.2KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung



•Raumlufttemperatur.HeizkörperundHeizkostenverteilergebenimaufgeheiztenZustand

Wärme durch Konvektion an die sie umgebende Luft ab. Dieser Newtonsche Wärme-

überganghängtdirektvonderLufttemperaturab(wirksameTemperaturdifferenz).

•TemperaturderraumumschließendenWände.DiewärmerenOberflächenvonHeizkörper

und Heizkostenverteiler stehen im Strahlungswärmeaustausch mit den sie umgebenden,

kälterenWandflächenderPrüfkabine.

DiesebeidenSystemtemperaturenliegenallgemeinalsörtlichverteilteZustandsgrößenvor.

NachderDefinitiondesBasiszustandesinAbschnitt2.2.1mußaberfürdieLufttemperatur

der Wert (20±2)°C eingehalten werden. Diese Forderung wird in der Praxis durch eine

klimastabilePrüfkabineerfüllt.Esliegtdahernahe,fürdieTemperaturenderRaumluftund

derWändejeweilseinenrepräsentativenMittelwertalskonzentriertenParameterundsomit

alseingeprägteGrößeanzusetzen.BeideTemperaturwertelassensichmitdieserAnnahmeals

Eingangsgrößen auffassen, mit deren Hilfe die Randbedingung für den geforderten Basis-

zustanddirektvorgegebenwerdenkann.

Weiterhin stellt auch der Anschluß des Heizkörpers an einen geeigneten Wärmeerzeuger

einenTeilderPrüfumgebungdar.DazumüssenfolgendeGrößendesWärmeerzeugersbzw.

derInfrastrukturalsSchnittstellenberücksichtigtwerden:

•Vorlauftemperatur des Heizmediums. Diese Größe liegt nach der Definition direkt am

VorlaufanschlußdesHeizkörpersan.

•MassenstromdesHeizmediums.Eswirddavonausgegangen,daßsichderVolumen-bzw.

MassenstromdesHeizmediumsdurchdenHeizkörpermittelsgeeigneterArmaturenwie

UmwälzpumpeundRegelventilkonstantvorgebenläßt.

DurchdenWärmeerzeugerwerdendieseGrößensovorgegeben,daßsichamHeizkörperder

erforderliche Basiszustand einstellt (Norm-Heizmediumstrom). Für das Modell des Prüf-

standes bzw. für die c-Wert-Messung ist es allerdings unerheblich, wie das Heizmedium

erwärmtwird,eswirdschlichtvoneinerBereitstellungdeserforderlichenAnschlusses(der

physikalischen Schnittstelle) ausgegangen. Aus diesem Grund kann auf eine separate

Modellierung des Wärmeerzeugers in der Prüfumgebung ganz verzichtet werden

. Die

Schnittstellengrößen Vorlauftemperatur und Heizmedium-Massenstrom werden vielmehr

ebenfalls als Eingangsgrößen interpretiert, mit denen der Betriebszustand des Heizkörpers

und damit auch die Randbedingungen zum Erreichen des Basiszustands unmittelbar

vorgegebenwerdenkönnen.



5 Dassetztallerdingsvoraus,daßderthermischeInnenwiderstanddesWärmeerzeugersNullist,d.h.diebeidenGrößen

VorlauftemperaturundMassenstrombelastungsunabhängigsind.Dasistgleichbedeutendmiteinemhinreichendleistungs-

fähigenWärmeerzeuger.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Alle Einwirkungen der Prüfumgebung auf die übrigen Komponenten Heizkörper, Heiz-

kostenverteiler und c-Wert-Berechnung können folglich als Eingangsgrößen für diese

Teilmodelleberücksichtigtwerden,womitdieNotwendigkeiteinesseparatenTeilmodellszur

Beschreibung der Prüfumgebung entfällt. Da eine c-Wert-Messung im stationären Basis-

zustand durchgeführt wird, reduziert sich das Eingangsgrößenmodell auf einen konstanten

EingangsvektormitdenphysikalischenGrößen

VorlauftemperaturT

V

[°C],

Heizmedium-Massenstrom 

mH[kg/s],

RaumlufttemperaturT

L

[°C]und

WandtemperaturT

W

[°C].

AlsSchnittstellezwischendenTeilmodellenHeizkörperundHeizkostenverteilerist primär

die Temperatur zu nennen, die sich im Bereich des Montageortes des Gerätes an der

Heizkörperoberfläche einstellt (Kontakttemperatur T

). Hier besteht zwischen den beiden

physikalischenSystemeneinwärmeleitenderKontakt.DaderHeizkostenverteilergegenüber

dem Heizkörper eine viel geringere Wärmekapazität und kleinere Abmessungen aufweist,

wirddurchdasAnbringendesGerätesdasthermischeVerhaltendesHeizkörperssicherlich

kaumbeeinflußt.DaherkanndiethermischeWechselwirkungzwischenHeizkörperundHeiz-

kostenverteileralsrückwirkungsfreiinbezugaufdenHeizkörperangesehenwerden.Weitere

mögliche Einflüsse werden bei der Modellbildung des Heizkörpers im Abschnitt 3.4 noch

genaueranalysiert.

BeiderOrientierunganderGrobstrukturierungnachBild3.4bleibtnochdieSpezifizierung

der Schnittstellen des letzten Teilmodells, der c-Wert-Berechnung. Wie bereits erwähnt,

repräsentiert dieses Teilmodell die Berechnungsvorschrift für den c-Wert gemäß der

Gleichung2.7.DemnachsindhieralsSchnittstellenzumHeizkörperdiecharakteristischen

Temperaturwerte seines Betriebszustandes (Vorlauftemperatur T

 und Rücklauftemperatur

),alsSchnittstellezumHeizkostenverteilerdieTemperaturdesheizkörperseitigenFühlers

H,F

 und des raumseitigen Fühlers T

L,F

sowie als weitere Einflußgröße die Umgebungs-

temperaturT

zunennen(vgl.Abschnitt2.1.3zurc-Wert-Berechnung).

Den beiden Sensortemperaturen des Heizkostenverteilers, aus denen der c-Wert berechnet

wird, kommt eine besondere Bedeutung zu. Sie bilden die Grundlage für eine spätere

Validierung des Prüfstandes, da sich anhand von Prüfprotokollen konventioneller c-Wert-

Messungennebendemc-WertauchsimulierteundgemesseneTemperaturwertevergleichen

lassen.

ZurVeranschaulichungderphysikalischenVerknüpfungenzwischendenTeilmodellenläßt

sich die Grundstruktur des Gesamtmodells für den virtuellen Prüfstand mit den jeweiligen

SchnittstellengrößenineinemWirkungsplanskizzieren(Bild3.5).

3.2KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung



Zielgrößen

(Basiszustand)

Prüfumgebung

Heizkörper-

Modell

Heizkosten-

verteiler

Modell

Berechnung

Bewertungs-

faktoren

,T

H,F

,T

L,F

,T

Kontakt

,T

,T

)

,T

Kontakt-

Modell

Kontakt



Bild3.5:GrundstrukturundSchnittstellendesGesamtprozesses

AnderSchnittstellezwischenHeizkörper-undHeizkostenverteiler-Modellwirdeinzusätz-

lichesModellzurBerücksichtigungdesKontakteseingeführt.AufdieNotwendigkeitunddie

HerleitungwirdspäterimAbschnitt3.6.1eingegangen.

3.2.3KennzeichnungrelevanterSystemgrößen

NebendenSchnittstellengrößenexistierenweitere,denProzeßundseineTeilkomponenten

kennzeichnendeGrößen,dieineinemzweitenSchrittbetrachtetwerdensollen.

AlsinteressierendeGrößenamHeizkostenverteilersindzusätzlichzudenSensortemperaturen

die Temperaturen und Wärmeströme am Gehäuse des Gerätes zu nennen, die den

Wärmeaustausch mit der Umgebung (Luft, Wände und Heizkörper) kennzeichnen.Welche

Rolle diese Prozeßgrößen einnehmen, wird in den detaillierten Ausführungen zur

Modellbildung des Teilsystems „Heizkostenverteiler“ genauer betrachtet (Abschnitt 3.5).

Tabelle3.1faßtallerelevantenGrößendesHeizkostenverteilerszusammen.

Neben dem Heizkostenverteiler ist die zweite wesentliche Komponente des Prüfstands der

Heizkörper,an demderjeweiligec-Wertermitteltwerdensoll. AlstypischeProzeßgrößen

einesHeizkörperswirdmaninersterLinieseineTemperaturalsverteiltenParameternennen.

Zu unterscheiden ist dabei zwischen den Temperaturen des Heizmediums, welche den

jeweiligenBetriebszustandbeschreiben,unddenTemperaturenanderHeizkörperoberfläche.

FürjedenBetriebszustandwirdsicheincharakteristischesTemperaturfeldausbilden.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Tabelle3.1:SystemgrößendesHeizkostenverteilers

Typ Bezeichnung Formelzeichen

Schnittstellen TemperaturenderSensoren

Kontakttemperatur

Luft-undWandtemperatur

H,F

,T

L,F



,T



Weiterewichtige

Prozeßgrößen

WärmeströmeamGehäuserand

TemperaturenamGehäuserand



DieRücklauftemperaturergibtsichinAbhängigkeitvonderWärmeleistungdesHeizkörpers

und stellt somit eine Ausgangsgröße dar. Für die Gesamtproblematik der Wärmekosten-

abrechnungistdieseabgegebeneWärmeleistung,aufgeteiltinStrahlungs-undKonvektions-

leistung, eine weitere interessierende Prozeßgröße. Obwohl die Wärmeleistung für die c-

Wert-Berechnungnichtunmittelbarbenötigtwird,stelltsiedocheinewichtigeSystemgröße

dar, mit deren Hilfe das Teilmodell Heizkörper validiert werden kann. Abweichend vom

Basiszustand können weitere Betriebszustände simuliert und deren Einflüsse auf die Heiz-

kostenverteilunguntersuchtwerden.

Tabelle3.2:SystemgrößendesHeizkörpers

Typ Bezeichnung Formelzeichen

Schnittstellen Vor-undRücklauftemperatur

Heizmedium-Massenstrom

KontakttemperaturzumHKVE

Luft-undWandtemperatur

,T





mH

O,75%



,T



Weiterewichtige

Prozeßgrößen

Temperaturprofil,allgemein

Wärmeleistung(Konv./Strahl.)

Übertemperatur(log.gemittelt)

m,i

,T

O,i



 

Q Q

K S

, 

∆T



3.2KonzeptionelleModellbildungundStrukturierung



Für das Teilmodell der c-Wert-Berechnung stellt die logarithmisch mittlere Heizmedium-

temperaturnachGleichung2.8eineweitere, wichtigeProzeßgrößederSystemkomponente

Heizkörperdar(Tabelle3.2).

3.2.4Modellattribute

Auf dem Weg zum Modell des Prozesses ist es für die weitere Analyse erforderlich, die

spezifischen Eigenschaften der entstehenden Modellbausteine festzulegen. Als Modellattri-

butewerdenbeispielsweisegeometrischeGrundformenundihreLageineinembestimmten

Koordinatensystem definiert, Zustands- oder Ortsabhängigkeiten von Modellparametern

festgelegtoderdieDimensionalitätörtlichverteilterZuständebestimmt.

Im Abschnitt 3.2.1 wurden für das Modell des Prüfstands als wesentliche Teilsysteme die

ModellbausteineHeizkörperundHeizkostenverteilerherausgestellt,dieesgetrenntvoneinan-

derzuuntersuchengilt.EineSpezifikationderEigenschaftsmerkmaledieserbeidenModell-

bausteinewirdausführlichbeiderAbstraktionderjeweiligenModellklasse„Heizkörper“und

„Heizkostenverteiler“späterindiesemKapiteldurchgeführt.

Für das Teilsystem der Prüfumgebung wurde bereits festgehalten, daß die beschreibenden

Zustandsgrößen als Eingangsgrößen in konzentriert parametrischer Form angenommen

werden können. Eine Zuordnung der global wirkenden Größen in ein festes Koordinaten-

system entfällt daher ebenso wie mögliche Zustandsabhängigkeiten, da es sich um

eingeprägteEingangsgrößenhandelt.

3.2.5BewertungdesModellkonzepts

Durch die topologische Strukturierung des Gesamtmodells in Heizkörper und Heizkosten-

verteiler lassen sich die beiden Submodelle getrennt voneinander untersuchen, wobei die

sequentielleKopplungdenAblaufderModellbildungbestimmt(WirkrichtunginBild3.5).

DerAufwandfürdieModellierungdesGesamtproblemsbleibtsomitüberschaubar,daersich

imwesentlichenaufdieModellbildungdieserTeilkomponentenbeschränkt.DerDetailliert-

heitsgradderModellierungwirddurchdieWahldererforderlichenSchnittstellensowiedurch

denAnwendungszweckfestgelegt.

Eine wichtige Anforderung an das Modellkonzept des Prüfstands ist die leichte Über-

tragbarkeit auf andere Heizkörper- und Heizkostenverteilertypen. Es muß sichergestellt

werden,daßauchvariableBauformendieserKomponentenohnezusätzlichenModellierungs-

aufwand in das Gesamtmodell integriert werden können. Dieser Forderung kommt in

AnbetrachtderenormenHeizkörpervielfalteinesehrgroßeBedeutungzu.

Eine solche Universalität des Modellkonzepts kann dann erreicht werden, wenn man es

schafft, Heizkörper mit ähnlichen Merkmalen durch eine gemeinsame Modellklasse zu

beschreiben. Die Verschiedenartigkeit aller möglichen Heizkörpervarianten reduziert sich

durcheinesolcheKlassifizierungaufnurwenigeModellklassen,mitdenensichjeweilsdurch

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Spezifizierung und Variation charakteristischer Parameter individuelle Heizkörpertypen

beschreibenlassen.ErgänztwirddasModellkonzeptdurchdenAufbauunddieVerwendung

entsprechenderModellbibliothekenzurübersichtlichenImplementierungundVerwaltungder

einzelnenModellklassen.

DurchdieseKlassifizierung,durchdieTrennungderPrüfanordnunginseparateTeilmodelle

sowiedurchdieFestlegunggeeigneterSchnittstellenwirdsichergestellt,daßdieAnzahlder

insgesamt zu modellierenden Module trotz der enormen Vielfalt an möglichen Kombina-

tionenzwischenHeizkörperundHeizkostenverteilerüberschaubarbleibt.

Das Teilsystem Heizkörper bildet aufgrund seiner Variantenvielfalt und Komplexität den

SchwerpunktbeiderModellbildung.InanalogerVorgehensweisezumGesamtsystemwird

diesesSubmodellnunbeidersubstantiellenAbstraktionweiterstrukturiertundanalysiert.Im

zweitenSchrittwerdenanschließendimRahmenderphänomenologischenAbstraktionzwei

verschiedene Modellansätze vorgestellt und miteinander verglichen, um schließlich eine

geeignetemathematischeBeschreibungfürdasSystemverhaltendesHeizkörpersabzuleiten.

3.3SubstantielleAbstraktion

DieweiterenAusführungenderArbeitbeschränkensichzunächstaufdiebeidengängigsten

Heizkörpertypen

•Plattenheizkörperund

•Gliederheizkörper.

ImRahmendersubstantiellenAbstraktionwirdnununtersucht,wiediesebeidenHeizkörper-

typendurchtopologischeZerlegungsinnvollstrukturiertwerdenkönnen.Wegenseinerschon

äußerlichausgeprägtenBauartsollzunächstderGliederheizkörperbetrachtetwerden.

SubstantielleAbstraktiondesGliederheizkörpers

Alle Gliederheizkörper setzen sich aus hintereinandergereihten Gliedern zusammen, die

entweder miteinander verschweißt oder zusammengenippelt sind. Die einzelnen Glieder

werden vom Heizmedium vollständig durchflossen. Es liegt also nahe, als erstes das

VerhalteneineseinzelnenGliedeszuanalysieren.EinsolchesGliedbestehtimwesentlichen–

jenachBautiefe–ausbiszusechshintereinanderangebrachtenwasserführendenKanälen,

welcheallgemeinalsSäulenbezeichnetwerden.

Diese Säulen sind je nach Heizkörpertyp entweder baulich miteinander verbunden (z.B.

Gußradiatoren,DIN-Stahlradiatoren)oderoffennebeneinanderausgeführt(z.B.Stahlröhren-

radiatoren). Einen Überblick über die Bauart verschiedener Radiatortypen und anderer

Raumheizflächengibtz.B.[B

94].

3.3SubstantielleAbstraktion



Bei eingehender Betrachtung der Säulen verschiedener Gliederheizkörper fällt auf, daß je

nachHeizkörpertypderFließkanalquerschnittunterschiedlichsteGeometrieformenaufweisen

kann. Während man bei Gußradiatoren keine einheitliche Querschnittsform vorfindet,

besitzen DIN-Stahlradiatoren einen „spitzovalen“ und Stahlröhrenradiatoren einen kreis-

rundenSäulenquerschnitt.Auchhierliefert[B

94]einenÜberblick.

Eine Säule bzw. ein Heizrohr läßt sich topologisch noch weiter verfeinern, indem man es

durch eine Stufendiskretisierung in gleiche „Scheiben“ der Höhe ∆z unterteilt. Diese als

SegmentebezeichnetenAbschnittebildenandieserStellezunächstdieuntersteHierarchie-

ebene im Rahmen der substantiellen Abstraktion und damit den Ausgangspunkt für die

nachfolgendephänomenologischeAbstraktion.Bild3.6verdeutlichtdieSchrittedertopolo-

gischenStrukturierung.

Heizkörper

Glied

Säule

Segment

T-Stücke



Bild3.6:TopologischeStrukturierungeinesGliederheizkörpers

DieFeinheitdieserZerlegunginz-Richtung,alsodieAnzahlN

derRohrsegmentejeSäule

der Bauhöhe B

, wird durch den späteren Anwendungszweck (vertikale Auflösung des

Temperaturprofils)individuellalsModellparametervorgegeben.ImGegensatzdazubestimmt

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



diejeweiligeTopologieeinesGliederheizkörpersdurchAufteilungineinzelneGliederund

Säulen die Anzahl dieser Komponenten in x-Richtung (N

Säulen) und in y-Richtung (N



Glieder).

BeiderZerlegungnachBild3.6tretenalsweitereElementenochdiesogenanntenT-Stücke

auf.Diesesollennäherungsweisesomodelliertwerden,daßsieselbstkeineWärmeabgeben,

sondernnurdieAufteilungbzw.ZusammenführungdesHeizmediumstromesnachbilden.

AlszusätzlicheKomponentedesGesamtprozesses„Heizkörper“könntegenerellauchdasam

VorlaufangebrachteHeizkörperventilangesehenwerden,welchesmeistensalsThermostat-

ventil ausgeführt ist. Da jedoch der Heizmedium-Massenstrom bereits als aufgeprägte

Eingangsgrößevorgegebenwird,entfälltdieNotwendigkeit,dasHeizkörperventilzusätzlich

zumodellieren

.

SubstantielleAbstraktiondesPlattenheizkörpers

BeiderStrukturierungeinesGliederheizkörperskonntemansichdirektandervorgegebenen

Topologieorientieren,welcheauchdieWasserführungdurchdenHeizkörperbestimmt.Dies

scheint bei Betrachtung eines Plattenheizkörpers zunächst nicht der Fall zu sein, da diese

HeizkörperausführungoptischeingeschlossenesFlächenelementdarstellt.

VersuchtmaneinenPlattenheizkörpermitglatterOberflächezustrukturieren,sostelltsichin

AnlehnungandenGliederheizkörperzunächstdieFrage,wiedasHeizmediuminnerhalbdes

Heizkörpersgeführtwird.SelbstwenneineebeneVorderfrontvorhandenist,wirdmanmeist

feststellen,daßdieRückseitederHeizplattenichtebenfallsglatt,sondernhäufigsenkrecht

profiliertist.



Bild3.7:WasserführungimPlattenheizkörper



6 WürdemandasHeizkörperventilberücksichtigen,sowärealsEingangsgrößedieVorgabederDruckdifferenzdesHeiz-

mediumstromsvorzugeben,ausdersichinAbhängigkeitvonderVentilstellungeinresultierenderMassenstromeinstellen

würde(fluidischeLast).

3.3SubstantielleAbstraktion



BeidenmeistenPlattenheizkörpernwirdalsodasWasserähnlichwiebeimGliederheizkörper

durchsenkrechteKanälegeleitet(abgesehenvomoberenundunterenwaagerechtenSammel-

kanal, siehe Bild 3.7). Diese senkrecht ausgeprägten Wasserkanäle entstehen häufig durch

AufschweißeneinerprofiliertenHalbschaleaufeineglatteoderebenfallsentsprechendprofi-

liertevordereHalbschale(Bild3.8).ZurErhöhungderHeizleistungbeigleicherFrontfläche

könnenaufdenrückseitigenwasserführendenKanälenzusätzlicheBlecheangeschweißtsein

(Konvektionsblechreihen, in Bild 3.8 gestrichelt dargestellt). Durch die Vergrößerung der

OberflächeunddiebesondereFormgebung(Schachtwirkungbzw.„Kamineffekt“)wirddie

konvektiveWärmeabgabedesPlattenheizkörpersdeutlichbegünstigt.



Bild3.8:SchnittdurcheineneinseitigprofiliertenPlattenheizkörpermitKonvektionsblechen

(oben)unddurcheinenbeidseitigprofiliertenPlattenheizkörper(unten)

NimmtmandentheoretischenFallan,daßdasWasserzwischenzweiparallelenPlattenohne

ausgeprägteKanälefreihindurchströmenkann,sokönnteaufgrundeiner„fehlendentopolo-

gischenAusprägung“zunächstkeinesinnvolleZerlegungangegebenwerden.Hierwäreeine

AnalysedesStrömungsverhaltensderWasserschichtzwischenZu-undAblauferforderlich

(vergleichbar mit der feldtheoretischen Analyse der Stromverteilung in einer elektrisch

leitendenPlatte).DasolcheHeizkörperaberinderPraxiskaumanzutreffensind,wirddie

UntersuchungvonPlattenheizkörpernaufsolcheAusführungenmitvertikalerWasserführung

beschränkt.

Zur Steigerung der Heizleistung werden häufig mehrere Plattenreihen mit oder ohne Kon-

vektionsblechen (wie in Bild 3.8 skizziert) hintereinander angebracht. Für die theoretische

AnalysesollenzunächstnureinreihigePlattenheizkörper(d.h.Heizkörper,dienurauseiner

Platte bestehen) ohne Konvektionsbleche betrachtet werden. In der einschlägigen Literatur

werden diese Heizkörper mit dem Zusatz Typ10 gekennzeichnet (1.Ziffer: Anzahl der

Platten,2.Ziffer:AnzahlderKonvektionsblechreihen)[B

94].

BeiderFragenacheinergeeignetenStrukturierungdesPlattenheizkörperswärezunächsteine

Unterteilung in wasserführende Bereiche (Kanäle) und nicht wasserführende Bereiche

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



(Sicken) denkbar. Beschreibt man nach einer Stufendiskretisierung eines Kanals jedes

ElementdurcheinenTemperaturwert,sowürdesichdieTemperatureinesSicken-Elementes

näherungsweise als Mittelwert der beiden benachbarten Kanaltemperaturen ergeben.

AufgrunddesrelativkurzenAbstandes(dieBreitevonKanalundSickebeträgtz.B.beiDIN-

Plattenheizkörpern30mm)unddergutenWärmeleitfähigkeitdesHeizkörpermaterialskann

jedochaufeineseparateBerücksichtigungderSickenalsTeilmodellverzichtetwerden.

Aus diesen Gründen wird der (einreihige) Plattenheizkörper durch Orientierung an den

senkrechten Wasserkanälen in unmittelbarer Analogie zum Gliederheizkörper in Säulen

unterteilt.EineSäulewirddabeisodefiniert,daßsieeinenWasserkanalundzudenSeiten

jeweilseineSteghälfteeinschließt(eingekreisterBereichinBild3.8unten).

Aufgrund dieser gleichartigen Strukturierung für die beiden Typen Glieder- und Platten-

heizkörper läßt sich für die topologische Abstraktion nach Bild 3.4 ein verallgemeinerter

HierarchiebaumfürdasTeilsystemHeizkörperaufstellen.

Segment1

Säule1T-Stück“Verzweigung”

Heizkörper

Glied

T-Stück“Vereinigung”

Glied1

...

Säule N

...

Segment N

...

(Bild3.4)



Bild3.9:VerallgemeinerterHierarchiebaumdesTeilsystemsHeizkörper

In der untersten Hierarchieebene verbleibt als kleinstes Subsystem das (Säulen-) Segment.

DieserBausteinsollaufsubstantiellerEbenenichtmehrweiterzerlegtwerden,sodaßdas

Modell eines Segmentes einen elementaren bzw. atomaren Modellbaustein darstellt. Die

3.4PhänomenologischeAbstraktion



sogenanntenT-StückebildenweitereelementareModellbausteine,diestrukturellnichtweiter

zerlegt werden. Sie vervollständigen eine oder mehrere Säulen zu einem kompletten

Heizkörperglied.

3.4PhänomenologischeAbstraktion

Auf den ersten Schritt der substantiellen Abstraktion folgt bei der Top-Down-Analyse der

objektorientierten Modellbildung der zweite Schritt der phänomenologischen Abstraktion.

DabeiwerdendieModellgleichungenderzuvorspezifiziertenelementarenModellbausteine

der untersten Hierarchieebene durch eingehende Analyse der inneren Vorgänge, also ihrer

physikalischenPhänomenologie,aufgestellt.

BeiabgeschlossenenphysikalischenSystemenkönnendieModellgleichungenzurBeschrei-

bungderinnerenVorgängegrundsätzlichdurchAnschreibenderErhaltungssätzefürMasse,

ImpulsundEnergieaufgestelltwerden.AnhandderfolgendenGrafik,welchediephysische

AusdehnungeinesverallgemeinertenSegmentsverdeutlicht(unabhängigvonderdarstellten

kreisrundenQuerschnittsform),sollendieseErhaltungsgleichungenhergeleitetwerden.



Segment





Bild3.10:WärmestrombilanzaneinemHeizkörper-Segment

InbezugaufdenbetrachtetenProzeßHeizkörperkönnenzunächstfolgendeeinschränkende

unddamitvereinfachendeAnnahmengetroffenwerden:

•FürdasHeizmediumwirdWasseralsinkompressiblesFluidangenommen

.

•AlleStoffwertewerdentrotzmehroderwenigerausgeprägterTemperaturabhängigkeitfür

den Gültigkeitsbereich des Basiszustandes als konstant angenommen. Die verwendeten

ZahlenwertekönnenAnhangBentnommenwerden.EinzigdieDichtederLuftmußvon



7 InmanchenHeizungsanlagen(z.B.beiFernwärmenutzung)wirdauchWasserdampfalsHeizmediumeingesetzt.In

Anlehnungandiec-Wert-MessungsolljedochnurWasseralsHeizmediumbetrachtetwerden.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



dieser Annahme ausgeschlossen werden, da sich bei konstanter Dichte keine freie

Konvektioneinstellenkönnte(sieheAbschnitt3.4.2).

DieSystemgrenzendesphysikalischenGebildesSegmentwerdengemäßBild3.10durchdie

obere und untere Schnittfläche (Stirnflächen) sowie durch die äußere Mantelfläche (Ober-

fläche)beschrieben.

Massenerhaltung(Kontinuität)

BedingtdurchdieseSystemgrenzenkommteineMassenbilanzierungnurfürdasHeizmedium

inBetracht.BeidemProzeß„Heizkörper“handeltessichumeinhydraulischgeschlossenes

System.DieMassenbilanzdiesesSystemsbesagt,daßdasamVorlaufanschlußeinströmende

HeizmediumamRücklaufanschlußwiederausströmenmuß,diebeidenMassenströmedaher

gleichsind.AnaloggiltdemnachauchfürdaseinzelneSegmentdesHeizkörpersdieMassen-

bilanz

zufließendeMasse–abfließendeMasse=0

DurchzeitlicheAbleitungderMassenerhältmanfürdenMassenstromdurcheinSegment

bzw.durcheineSäule(IndexS)dietrivialeBilanzgleichung

SAE mmm



== . (3.1)

AufgrunddesinkompressiblenHeizmediumsgiltdieseBeziehungsowohlfürdenstationären

ZustandalsauchbeiveränderlichenMassenströmen(instationärerZustand).

Impulserhaltung(Bewegung)

WegenderInkompressibilitätdesHeizmediumsgiltauchhierdereinfacheImpulssatz

AAEE

vmvm =, (3.2)

erliefertjedochkeineninformativneuenBeitraginbezugaufdasSystemverhalten.

Da die Untersuchung des thermischen Verhaltens der Heizkörper im Vordergrund steht,

sollen die hydrodynamischen Vorgänge beim Fließen des Heizmediums nicht im Detail

analysiertwerden.EsstelltsichhieraberauchfürdieBerücksichtigungder„T-Stücke“die

Frage, wie sich das am Vorlauf einströmende Wasser innerhalb des Heizkörpers auf die

GliederundSäulenaufteilt.InderLiteratur(z.B.in[A

84-2])wirdallgemeinfestgestellt,

daßbeinichtzugroßenBaulängen(unter3m)einmöglicherTemperaturabfallinhorizontaler

Richtungvernachlässigtwerdenkann.ImHinblickaufdieHeizkostenverteilungkommtdie

Tatsache hinzu, daß Heizkostenverteiler bei Baulängen kleiner als 3m in der Mitte der

BaulängemontiertwerdenundsomitausmeßtechnischerSichteineMittelungdeshorizon-

talenTemperaturprofilsstattfindet.AusdiesenGründenwirddaherweiterhinangenommen:

3.4PhänomenologischeAbstraktion



•Das durch einen Heizkörper strömende Wasser teilt sich bei nicht zu kleinen Massen-

strömengleichmäßigaufdieeinzelnenGliederundSäulenbzw.wasserführendenKanäle

auf.

IndiesemZusammenhanginteressiertauchderStrömungszustandineinemKanalbzw.einer

Säule.Imfolgendenwirddaherkurzuntersucht,obdasWasserlaminaroderturbulentdurch

den Heizkörper fließt. Zur Beurteilung des Strömungszustandes einer Rohrströmung wird

allgemeindiedimensionsloseReynoldszahl

Re uD

 (3.3)

verwendet,wobei

denRohrdurchmesser,

diemittlereStrömungsgeschwindigkeitund



die kinematische Viskosität bezeichnet. Für den Umschlag des Strömungszustandes wird

häufig einekritischeReynoldszahl von

=2300angegeben[M

87].DieserGrenzwert

besagt allerdings nur, daß bei ihrer Unterschreitung von einer laminaren Strömung

ausgegangen werden kann (sofern die Strömung nicht ständig gestört wird). Bei größeren

Reynoldszahlen kann eine Rohrströmung weiterhin laminar verlaufen, würde aber bei

EinbringeneinerStörungindenturbulentenZustandübergehen.

Ausgehend von der kritischen Reynoldszahl läßt sich bei bekannter Querschnittsgeometrie

eineresultierendekritischeStrömungsgeschwindigkeitangeben.BeieinemRohrdurchmesser

von beispielsweise

=21mm (für einen DIN-Stahlröhrenradiator) und der kinematischen

Viskosität

=0,55

⋅

-6

m

/sfürWasserbei50°CergibtsicheinekritischeGeschwindigkeit

von

≈

60mm/s. In der Praxis stellt sich die maximale Fließgeschwindigkeit bei Heiz-

körperngroßerBauhöheundbeigrößtmöglichemMassenstromein.Anhanddertechnischen

DatenverschiedenerHerstellerlassensichfürdenNormzustandmittlereStrömungsgeschwin-

digkeitenvon

≤

mm/sfür

 

m m

≤

errechnen.AufgrunddiesertheoretischenÜberlegun-

genkannalsoweiterhinangenommenwerden:

•

DasHeizmediumströmtimBasiszustandlaminardurchdieHeizkörperkanäle.

PraktischwirkenaberdurchdenZulauf,dasVentilunddieVerzweigungenvieleStörungen

auf die Strömung ein. Außerdem kann es innerhalb der laminaren Rohrströmung durch

AbkühlungdesWassersanderRohrinnenwandzuVerwirbelungenbzw.zuRückströmungen

durchzusätzlicheAuftriebsströmungenkommen.

Zur Abschätzung möglicher Einflüsse durch Ausbildung eines laminaren Strömungsprofils

undWärmeleitunginnerhalbderStrömungwurdeimRahmeneinerStudienarbeiteineweitere

substantielle Verfeinerung des Modellbausteins

Segment

 vorgenommen [S

97]. Für den

Spezialfall eines kreisrunden Säulenquerschnitts wurde eine radiale Ortsdiskretisierung

sowohl im Inneren einer Säule für das Heizmedium als auch für die Säulenwand durch-

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



geführt.AufgrunddesbeilaminarerStrömungbekanntenparabelförmigenStrömungsprofils

(Maximale Geschwindigkeit in der Rohrmitte und Haften an der Rohrwand) zeigen die

ErgebnissederArbeitdaszuerwartendeTemperaturgefällevonderRohrmittehinzurRohr-

wand. Diese Erkenntnisse gelten, wie bereits einschränkend erwähnt, lediglich bei einem

kreisrunden Fließkanalquerschnitt, bei beliebigen Querschnittsformen kann eine detaillierte

AnalysederinnerenStrömungsverhältnissenichtmehrstattfinden.AusdiesemGrundewird

der innere Wärmeübergang im Abschnitt 3.4.3 mittels eines halbempirischen Ansatzes

beschrieben.

Energieerhaltung

DurchAnschreibender

Energiebilanzgleichung

läßtsichaufdasTemperaturverhalteneines

einzelnenSegmentesschließen:

gespeicherteWärme=zufließendeWärme–abfließendeWärme–abgegebeneWärme



BetrachtetmandirektdiezeitlicheAbleitungdieserGleichung,sofolgteineBilanzfürdie

Wärmeströmebzw.Wärmeleistungen

   

Q Q Q Q

Sp E A H

= − −

 (3.4)

mitdenBezeichnungengemäßBild3.10.DiesegrundlegendeBilanzgleichungfüreinSäulen-

segmentwirdbeiderweiterenphänomenologischenAbstraktionsukzessiveverfeinert,indem

jederBilanzgleichungstermgetrenntanalysiertwird.

Zunächst sei der Speicherterm der Bilanzgleichung betrachtet. Im

stationären

 Fall, der für

eine

-Wert-Prüfungvorausgesetztwird,istdieimSegmentgespeicherteWärmekonstant,so

daßdieÄnderungNullistunddamitdieAbleitungdiesesTermsverschwindet:



=0

stationär

(

c-Wert-Messung

) (3.5)

Obwohlfürdie

-Wert-Prüfungnichtrelevant,solldennochkurzaufden

instationären

Fall

eingegangenwerden,derfüreineweiterführendeVerwendungderModellklasseHeizkörper

interessantseinkönnte.Wirddavonausgegangen,daßdieTemperaturwertedesHeizmediums

(Index

)undderHeizkörperwand(Index

)ineinemSegmentnurgeringfügigvoneinander

abweichen, läßt sich bei Kenntnis der beteiligten Massen und ihrer spezifischen Wärme-

kapazitäten



derineinemSegmentgespeicherteWärmestromdurchdenAusdruck

( )

cmcmQ

HpHWpWSp

,,  +=





instationär

 (3.6)

3.4PhänomenologischeAbstraktion



mit der mittleren Segmenttemperatur

 annähern. Eine derartige Zusammenfassung der

Speichermassen

 ist aufgrund der gleichförmigen zeitlichen Änderung der Temperatur und

wegen des vergleichsweise guten Wärmeüberganges zwischen dem Heizmedium und der

HeizkörperwandinersterNäherungvertretbar.WirdderSpeichertermindieserFormberück-

sichtigt, kann auch das dynamische Heizkörperverhalten (Aufheiz- und Abkühlvorgänge)

simuliertwerden.

DienächstenBilanzgleichungstermenachGleichung(3.4)sinddiedurchdieSegmentgrenzen

über das Heizmedium zu- und abfließenden Wärmemengen. Der zufließende Wärmestrom

setztsichausdemMassenstromundderEintrittstemperaturdesHeizmediumsindasSegment

nachderBeziehung



Q m c T

E S p W E

=   (3.7)

zusammen,ebensofolgtfürdenaustretendenWärmestrom



Q m c T

A S p W A

=  . (3.8)

DieDifferenzderbeidenGleichungenergibtsomitdiedembetrachtetenSäulensegmentdurch

dasHeizmediumzugeführteWärmeleistung

(

)

   

Q Q Q m c T T

Zu E A S p W E A

= − = −

  . (3.9)

SchließlichfehltbeiderAnalysedereinzelnenBilanzgleichungstermegemäßGleichung(3.4)

nochderTermzurBerücksichtigungdervoneinemSegmentandieUmgebungabgegebenen

Wärmeleistung



.

Konvektion

+Strahlung

Wärme-

leitung

Heiz-

medium

Heiz-

medium Innen-

wand

Innen-

wand Außen-

wand

Außen-

wand Umge-

bung

Umge-

bung

Innerer

Wärmeübergang



Bild3.11:TemperaturabfalldurchWärmeübergangsphänomene

Dieser Wärmestrom führt zu einem Temperaturabfall entlang der „thermischen Strecke“

zwischenHeizmedium,HeizkörperwandundUmgebung,wieinBild3.11verdeutlichtwird.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Es zeichnet sich ab, daß der größte Modellierungsaufwand in der phänomenologischen

BetrachtungdesWärmedurchgangsvomHeizmediumandieäußereUmgebungliegt.Dievon

einem diskreten Segment abgegebene Wärmeleistung (Heizleistung) spielt demnach eine

zentraleRolle.InAnlehnungandieAbbildungwerdenindennachfolgendenAbschnittendie

Phänomene

Wärmeleitung

,

innererWärmeübergang

,

Konvektion

sowie

thermischeStrahlung



einzeln betrachtet. Das Zusammenwirken dieser Phänomene beschreibt insgesamt den

Wärmedurchgang

vomHeizmediumzurUmgebung.

3.4.1WärmeleitungdurchdieWand

DurchdasTemperaturgefällezwischenderInnenwand(Temperatur

)undderäußerenOber-

flächedesSegmentes(Temperatur

)bildetsicheinWärmestromdurchdieSäulenwandaus.

DiesesPhänomender

Wärmeleitung

wirddurchdasFourierscheGrundgesetz



= −

∂



 (3.10)

beschrieben,wobeidieStoffkonstante

dieWärmeleitfähigkeit[W/(m

K)]desHeizkörper-

materials(Metall)charakterisiert.DergesamteabgegebeneWärmestrom



fließtdurchdie

umschließende Wand des wasserführenden Kanals, so daß nach der Integration über die

Wanddicke(Ortskoordinatex)dieBeziehung

( )

OIHH

−=



 (3.11)

mit

alsdermittlerenMantelflächederDickedfolgt.BeibeeigneterMittelungvon

kann

dieBeziehungauchfürdieWärmeleitungdurchgekrümmteOberflächenherangezogenwer-

den. Auf phänomenologischer Ebene bilden die beiden Randtemperaturen T

 und T

 als

TransvariablenzusammenmitdemWärmestromalsPervariablerdiephysikalischenSchnitt-

stellenzudenangrenzendenPhänomenen(innererundäußererWärmeübergang)[D

ÖR

98].

DasPhänomendesäußerenWärmeübergangsdurchKonvektionistsehrkomplexundstelltin

diesemZusammenhangnebendeminnerenWärmeübergangdiegrößteHerausforderungan

dieModellbildungdar.IndenbeidenfolgendenAbschnittensollenzweimöglicheModell-

ansätzezurBerücksichtigungderWärmeübertragungeinesHeizkörpersanseineUmgebung

hergeleitetundanschließendverglichenwerden.

3.4.2ÄußererWärmeübergang–PhysiknaherModellansatz

Esseivorangestellt,daßespraktischunmöglichist,dasPhänomenderWärmeübertragung

eines Heizkörpers an seine Umgebung physikalisch exakt zu beschreiben. Angesichts der

Vielfalt an Heizkörpern und ihren möglichen Einsatzbedingungen ist dies auch gar nicht

3.4PhänomenologischeAbstraktion



sinnvoll. Vielmehr soll ein physikalisch motivierter Ansatz gefunden werden, der unter

BerücksichtigungzweckmäßigerNäherungendieWärmeabgabevonHeizkörpernhinreichend

genaubeschreibt.

Ein Heizkörper gibt an seine Umgebung Wärme grundsätzlich durch die beiden physika-

lischenPhänomeneKonvektionundStrahlungab(Bild3.12).DiesebeidenVorgängesollen

imfolgendendetailliertuntersuchtwerden.

Konv



Str





Bild3.12:

WärmeabgabedurchKonvektionundStrahlung

Die Phänomene der Wärmeübertragung eines Heizkörpers werden nur für den stationären

Beharrungszustand betrachtet, was auch der Anforderung an den Prüfstand (stationärer

Basiszustand) gerecht wird. Zum transienten Verhalten der Wärmabgabe kann zudem

festgestelltwerden:

•



DerStrahlungswärmeaustauschfindetohnezeitlicheVerzögerungstatt.

•



Die Wärmeabgabe durch Konvektion kann wegen des relativ langsamen Aufheizver-

haltenseinesHeizkörpersalsstationärangesehenwerden.

WärmeübertragungdurchKonvektion

AndersenkrechtenFronteinerbeheiztenPlattefindetaufgrunddesTemperaturgefällesein

Ausgleichsvorgang zwischen der wärmeren Heizkörperoberfläche und der kühleren umge-

benden Luft statt. Zunächst erwärmen sich wandnahe Luftteilchen durch die unmittelbare

Wärmeleitung zwischen Festkörper und Fluid. Als Folge dieser Erwärmung entstehen

Dichteunterschiede, die unter Einwirkung der Schwerkraft eine Aufwärtsströmung der

warmenLuftzurFolgehaben.DadurchwirddieWärmemitdenLuftteilchenmitgeführt,eine

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



freieKonvektionstelltsichein.DiesesPhänomenistalsostetsauchaneinenEnergietransport

durchWärmeleitungdirektanderMaterialoberflächegekoppelt.

Die Wärmestromdichte beim Wärmeübergang zwischen einem festen und einem fluiden

MediumläßtsichganzallgemeindurchdieBeziehung

(

)



q T T

O L

= −



 (3.12)

ausgedrücken,welchealsNewtonschesAbkühlungsgesetzbezeichnetwird.DerProportiona-

litätsfaktor

[W/m

K]wirdWärmeübergangskoeffizientgenannt.BeidiesemKoeffizienten

handeltessichnichtumeinenStoffparameter,sondernumeineproblemspezifischeGröße,

die häufig komplizierte Abhängigkeiten von der wirksamen Temperaturdifferenz (T

–T

),

derOberflächengeometrieundweiterenunterschiedlichstenEinflüssenzeigt.Dieeigentliche

ProblemstellungbeiderAnalysedeskonvektivenWärmeübergangsistdieErmittlungdieses

Wärmeübergangskoeffizienten

.ZurKennzeichnungdesäußerenWärmeübergangsander

OberflächewirddemKoeffizientenimweiterenderIndexOangehängt(

).

Setzt man obige Beziehung mit der Wärmestromdichte an der Oberfläche durch reine

WärmeleitunginderLuft(fürdeneindimensionalenFallsenkrechtzurOberfläche)



= − 











λ∂

∂



 (3.13)

nachdemFourierschenWärmeleitungsansatzgleich(vgl.Gleichung3.10)underweitertmit

einerfürdasProblemcharakteristischenLängeL,soergibtsichnachUmformung













































−

−==



∂

. (3.14)

DiesedimensionsloseKennzahlwirdNußeltzahl

genanntundbesitztnachdemAusdruckauf

der rechten Seite der Gleichung (3.14) die Bedeutung eines negativen dimensionslosen

TemperaturgradientenanderWand.Dabeiist

dieWärmeleitfähigkeitderLuftundstellt

im Gegensatz zu

eine Stoffkonstante dar. Bei Kenntnis der charakteristischen Länge L

kannsomitdieAufgabenstellung„ErmittlungdesWärmeübergangskoeffizienten

“inein

Problemder„ErmittlunggeeigneterNußeltzahlen“überführtwerden.



8 WilhelmNußelt(1882–1957)verwendete1915erstmalsdimensionsloseGruppenalsParameter,dieheutealsdieKenn-

größenderÄhnlichkeitstheoriebekanntsind[M

87].

3.4PhänomenologischeAbstraktion



VersuchtmanzueinerphysikalischvollständigenDarstellungderVorgängebeimWärme-

übergangzugelangen,müssenauchfürdenwandnahenBereichderUmgebungsluftzunächst

dieallgemeinenErhaltungssätzeangeschriebenwerden,umeinmathematischesGleichungs-

systemzurBeschreibungdesProblemszuerhalten.

DasGeschwindigkeits-,Temperatur-undDruckfeldwirdfürNewtonscheFluidevollständig

durchdievektorielleKontinuitätsgleichung(Massenerhaltung)

( )

= − ∇

, (3.15)

dieBewegungsgleichung(Impulserhaltung)

ρ τ ρ

pij

= −∇ + ∇ +   (3.16)

unddieEnergiegleichung

ρ β

 cDT

TDp

p Diss

= −∇ + +

Φ (3.17)

beschrieben [M

87]. Zur Vervollständigung dieser auch als Navier-Stokes-Gleichungen

bekanntenBeziehungensollenhiernochdieDissipationsfunktion

ijDiss x

∂

=Φ

, (3.18)

derSchubspannungsansatznachStokes

u∇−













∂

=ij

ij x

ηδητ

2 (3.19)

sowiederbereitsbekannteWärmeleitungsansatznachFourier

∇

−

 (3.20)

angeschriebenwerden.DiesesGleichungssystemistinseinervollständigenFormpraktisch

kaumlösbar,solljedochimfolgendenunterBerücksichtigungzweckmäßigerundzulässiger

NäherungenfürdasPhänomenderfreienKonvektionanalysiertwerden.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



UnterdenteilweisebereitszuvorgetroffenenAnnahmen,daß

•dieDichte

imAuftriebstermderBewegungsgleichungalsFunktionderTemperaturund

inallenübrigenGleichungenalskonstantbetrachtetwerdenkann,

•allesonstigenStoffwerte(c

,

)konstantsind,

•derDissipationstermΦ

Diss

(irreversibleUmsetzungderArbeitderOberflächenkräftedurch

ReibunginWärme)fürdasfluideMediumLuftaufgrundderrelativkleinenStrömungs-

geschwindigkeitenundderdarausannehmbarenInkompressibilitätderLuftvernachlässigt

wird,

•dasProblemnurfüreinenstationärenZustandgelöstund

•dieGleichungenfüreinzweidimensionalesProblem(senkrechteebenePlatte)betrachtet

werden,

erhältmanausdenobigenNavier-Stokes-GleichungendieunterderBezeichnungOberbeck-

Boussinesq-Approximation zusammengefaßten Grundgleichungen für den Wärmeübergang

beifreierKonvektion

∂



+ = 0, (3.21)

( )





TTg

u−+=+

∂

, (3.22)



∂

=+ , (3.23)

mitderTemperaturleitfähigkeita=

c

undderkinematischenViskosität

=

[M

87].

InihrerGesamtheitstellensiediestationärenzweidimensionalenGrenzschichtgleichungenan

der senkrechten Wand dar. Den Gleichungen wurde das kartesische Koordinatensystem x

(AbstandnormalzurPlatte)undz(HöheanderPlatte)mitdemUrsprungimunterenPlatten-

anfangzugrundegelegt(sieheauchAchsenkreuzinBild3.6).

Bringt man dieses Differentialgleichungssystem durch charakteristische Bezugsgrößen auf

eine dimensionslose Form (Normierung), tauchen als Gleichungsparameter nur noch die

beidenebenfallsdimensionslosenKennzahlen

Grashofzahl

( )

Gr gL T T

O L

= −

 (3.24)

3.4PhänomenologischeAbstraktion



und

Prandtlzahl Pr a

 (3.25)

auf.DiedarinenthaltenenStoffparametersind:

g–Erdbeschleunigung[m/s

]

–kinematischeViskosität[m

/s]

–isobarerWärmeausdehnungskoeffizient[1/K]

a–Temperaturleitfähigkeit[m

/s]

DiebeidenKennzahlenlassensichphysikalischwiefolgtinterpretieren:

•Die Prandtlzahl als Quotient aus kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit

vergleicht zwei molekulare Transportkoeffizienten und beschreibt damit das Verhältnis

vomImpuls-zumWärmeaustausch.SiestellteinereineStoffkonstantedar(fürtrockene

LuftgiltPr=0,71).

•DieGrashofzahlkannalsQuotientderAuftriebskraftzurTrägheitskraftgedeutetwerden

undcharakterisiertdamitdenAuftriebseffekt.

Da in den drei Grundgleichungen nach der Normierung nur noch die Prandtl- und die

Grashofzahlauftauchen,kanneineLösungdesProblemsunddamitdieNußeltzahlnurvon

diesenbeidenKennzahlenabhängen,sodaßalsallgemeineLösungfürdenWärmeübergang

beifreierKonvektionfolgt:

(

)

Nu f Pr Gr=, . (3.26)

DieseErkenntniskannfolgendermaßeninterpretiertwerden:DerWärmestrom(Nußeltzahl)

hängt von der Ausbildung des Geschwindigkeitsfeldes durch Auftrieb (Grashofzahl) und

seinerBeziehungzumTemperaturfeld(Prandtlzahl)ab.

Im folgenden soll eine Lösung der Oberbeck-Boussinesq-Approximation und damit eine

BeziehungfürdieNußeltzahlübereinenAnsatzmittelsdersogenanntenGrenzschichttheorie

hergeleitetwerden.

Grenzschichttheorie

DiewesentlichenTransportvorgängefindenbeivielenProblemenderWärmeübertragungin

unmittelbarerNähe vor festen Wänden statt.Dort existiert einedünne Grenzschicht,deren

AbmessungenkleingegenüberdenendesbetrachtetenSystemssind.AneinerWandentste-

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



hendeStrömungenbesitzendahersogenannten„Grenzschichtcharakter“undbildensichnur

innerhalbdieserdünnenGrenzschichtaus.DieseEigenschafttrifftsowohlfürlaminareals

auchfürturbulenteStrömungenzu,daletztereimmereinelaminareUnterschichtbesitzen.

Praktische Untersuchungen haben gezeigt, daß der Anlaufteil einer freien Strömung,

beginnend an der unteren Kante, zunächst laminar ist. Ab einer gewissen Höhe wird die

StrömungimBereicheinesÜbergangsfeldesturbulent,dieHöhedesUmschlagbereichsvon

laminarinturbulenthängtdabeivonmehrerenEinflüssenab.LäßtmanäußereEinwirkungen

wie Störungen außer Betracht, so ist im wesentlichen die mittlere Geschwindigkeit der

Luftströmungentscheidend.InnerhalbderturbulentenGrenzschichtexistiertimunmittelbar

wandnahen Bereich eine laminare Unterschicht [B

72]. Das prinzipielle Aussehen der

StrömungvoreinerbeheiztenWandverdeutlichtBild3.13,wobeidieProportionenbewußt

verzerrtdargestelltsind.

laminare

Unterschicht

turbulente

Strömung

Umschlags-

bereich

laminare

Strömung



Bild3.13:AusbildungeinerGrenzschichtandervertikalenbeheiztenPlatte

WährendbeidererzwungenenKonvektiondurcheineaufgeprägteStrömungdieHöhedes

Umschlags von laminar in turbulent von der Reynoldszahl abhängt, tritt bei der freien

KonvektiondieGrashofzahlalsKennzahlandieStellederReynoldszahl.AlskritischenWert

fürdenUmschlagsbereichwirdetwaGr

≈10

angenommen[G

RÖ

81],sofernkeineäußeren

Störungen(überlagerteStrömungen,grobePlattenunebenheiten)aufdieStrömungeinwirken.

Bei Übertemperaturen zwischen Oberfläche und Umgebung im betrachteten Bereich von

∆T=30...60Kfolgt daraus eine Höhefür den Umschlagvon etwa h

=0,60...0,75m.Für

3.4PhänomenologischeAbstraktion



HeizkörpermiteinergrößerenBauhöheistdaherdasVorliegeneinerÜbergangsströmungzu

beachten. Im weiterensoll von einerrein laminarenStrömungund einer isothermen Platte

ausgegangenwerden,umeinetheoretischeBetrachtungvornehmenzukönnen.

Grundsätzlich müssen je nach physikalischer Größe zwei unterschiedliche Grenzschichten

betrachtet werden. Einerseits gibt es eine Temperaturgrenzschicht

T

(z), innerhalb der die

TemperaturdesströmendenMediumsvonderOberflächentemperaturT

aufdenWertder

UmgebungstemperaturT

abnimmt(Bild3.14links),andererseitsexistierteineStrömungs-

grenzschicht

S

(z),inderdieGeschwindigkeituderströmendenLuftvonNullverschieden

ist(Bild3.14rechts).

T,z

T

(z)

u,z

S

(z)



Bild3.14:PrinzipiellerVerlaufvonTemperatur-undStrömungsgrenzschicht

Diese beiden Grenzschichten und das Profil der zugehörigen Größe Temperatur bzw.

Strömungsgeschwindigkeit seien nun etwas näher betrachtet. Die Dicke der jeweiligen

Grenzschicht(ineinerbestimmtenHöhez)hängtimwesentlichenvonderPrandtlzahlPrab.

SiegibtnachobigerDefinitiondenQuotientenausImpulstransportundEnergietransportan.

Ursache des Impulstransportes ist ein Geschwindigkeitsgefälle, während der thermische

EnergietransportdurcheinTemperaturgefällehervorgerufenwird.SomitistdiePrandtlzahl

maßgebendfürdieBeziehungenzwischenGeschwindigkeits-undTemperaturfeldunddamit

auchfüreineBeziehungzwischen

und

.FürdenspeziellenFallPr=1giltdieGleichheit

derGrenzschichtdicken

=

[J

82].FürdasMediumLuftnimmtdiePrandtlzahldenWert

Pr=0,71an,wofüringuterNäherungimmernoch

≈

angenommenwerdenkann.Erst

bei Werten Pr<<1 wird

≠

. Im weiteren gelte also für die Grenzschichtdicken

näherungsweise

=

.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



DieTemperaturderLuftsinktinnerhalbderGrenzschichtvonderOberflächentemperaturT



aufdenWertderLufttemperaturT

abundgehtstetigindieseüber.ZurBeschreibungeines

solchenVerlaufeseignetsicheinquadratischesPolynomderForm

(

)

T x z a z b z x c z x

, ( ) ( ) ( )= + + 

 (3.27)

Diedreiunbekannten,vonderz-KoordinatenabhängigenParametera,bundcergebensich

ausdenzuerfüllendenRandbedingungen

x T T

x z T T T

= = =

: ,

:   



,

δ∂

∂

( ) ;  (3.28)

undmanerhältfürdasbezogene(dimensionslose)TemperaturprofildieBeziehung

( )

T x z T

T T

O L

,−

−= −











,

(

)

0≤ ≤x z

, (3.29)

welcheinBild3.15graphischdargestelltist.DieseApproximationdesTemperaturverlaufs

kannalsbrauchbareNäherungderexaktenLösungangesehenwerden.

(

)

,z)



Bild3.15:VerlaufdesTemperaturprofilsT(x,z)innerhalbderGrenzschicht

Analog zum Ansatz des Temperaturprofils kann auch der Verlauf der Geschwindigkeit

betrachtetwerden.AufgrundderHaftungsbedingungmußdieGeschwindigkeitanderWand

gleichNullsein,zudemverschwindetuaußerhalbderStrömungsgrenzschicht.Folglichmuß

innerhalb der Grenzschicht ein Maximum existieren, als Ansatz wird daher ein kubisches

PolynomderForm

3.4PhänomenologischeAbstraktion



(

)

u x z a z b z x c z x d z x

, ( ) ( ) ( ) ( )= + + +  

2 3

 (3.30)

gewählt.DieRandbedingungenfürdieGeschwindigkeitlautenhier:

( )

x u u

gT T

x z u u

O L

= = = − −

= = =

0 0

: ;  

,

: ;  



,

∂

δ∂

∂

( )

 (3.31)

wobeisichdiezweiteRandbedingungbeix=0durchAuswertungderImpulsgleichung(3.22)

anderWandergibt.NachdemEinsetzendieserBedingungenfolgtfürdasdimensionslose

GeschwindigkeitsprofilderZusammenhang

( )

( ) ( ) ( )

u x z

u z

1= −











δ δ

,

(

)

0≤ ≤x z

 (3.32)

mitderBezugsgeschwindigkeit

( ) ( )

( )

u z z gT T

O L

= −

. (3.33)

,z)u

max

(

)



Bild3.16:VerlaufderStrömungsgeschwindigkeitu(x)innerhalbderGrenzschicht

DiemaximaleStrömungsgeschwindigkeitu

max

liegtwegenderkubischenFormanderStelle

x=

/3undnimmtdortdenWertu

max

=4u

0

/27an(Bild3.16).

Durch obige Ansatzfunktionen werden das Temperaturprofil T(x,z) und das Geschwindig-

keitsprofil u(x,z) näherungsweise beschrieben. Aus den Gleichungen der Oberbeck-

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Boussinesq-Approximation (3.21) bis (3.23) lassen sich durch partielle Integration zwei

IntegralbedingungenfürdenImpulsundfürdieEnergieherleiten[J

82].WerdendieAnsätze

fürdieTemperatur(3.29)unddieGeschwindigkeit(3.32)darineingesetztundanschließend

integriert,soerhältmanzweigekoppeltegewöhnlicheDifferentialgleichungenfürdiebeiden

Parameteru

und

:

( ) ( )

105

uug T T

O L

  

δ ν δ

= − + − , (3.34)

( )



δδ

=. (3.35)

MitderKenntnisausGleichung(3.33),daß u0

∼

ist,folgtausderzweitenDifferential-

gleichungsofortderAnsatz

(z)=C

z

1/4

undfolglichu

(z)=C

z

1/2

.DurchEinsetzendieser

LösungsansätzeinobigeDifferentialgleichungenfälltdiez-Abhängigkeitheraus(einNach-

weisfürdiekorrekteWahlderAnsätze),undmanerhältzweialgebraischeGleichungen,aus

denendienochfehlendenKonstantenC

undC

2

bestimmtwerdenkönnen.

NachmehrerenUmformungenfolgtfürdiegesuchteGrenzschichtdicke

( )

Pr Gr











3 936 0 952

 (3.36)

mitderlokalenGrashofzahl

( )

Gr g z T T

z O L

= −



νβ

. (3.37)

MitderKenntnisderGrenzschichtdickeunddesTemperaturverlaufsläßtsichnunüberdie

Gleichung (3.14) auch die Nußeltzahl als eigentlich gesuchte Größe für den konvektiven

Wärmeübergangbestimmen.AusderVerknüpfung

( )( ) ( )

LOOLOL

TTTT

q−=











−−−=













−= 



∂



 (3.38)

folgt

( ) ( )

(

)

( )

zzz

δλ

2



2 =

⋅



=. (3.39)

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Durch Einsetzen der nach der Beziehung (3.36) errechneten Grenzschichtdicke ergibt sich

schließlichdielokaleNußeltzahlzu

( )

Nu Pr

Pr Gr Gr

z z z

=+=

0 508

0 952 0 377

1 2

1 4

1 4 1 4

/ /

  (3.40)

mitderPrandtlzahlfürtrockeneLuftPr=0,71.

DieNußeltzahlenkönnenauchdurchnumerischeLösungderGleichungen(3.21)bis(3.23)

bestimmtwerden.IndereinschlägigenLiteraturzumkonvektivenWärmeübergangexistieren

zahlreicheApproximationenexakterLösungenundzugehörigerNußeltzahlen[J

82,M

87,

RÖ

81],denensichdiemittelsderGrenzschichttheoriegefundeneLösungrechtgutannähert.

FürdiekonvektiveWärmeabgabefolgtsomitinsgesamtdieBeziehung

( ) ( )

LOzO

LOOOKonv

TTNuA

TTAQ −=−= 



. (3.41)

Wird die Nußeltzahl Nuzeingesetzt, so erhält man für die örtliche Wärmeabgabe durch

Konvektion

( ) ( )



////

Q A gz T T C A z T T

Konv O L O L K O O L











− = −

− −

0 377

1 4

1 4 5 4 1 4 5 4

   

λβ

 (3.42)

mitdemneueingeführtenParameterCK.MitdenStoffparameternnachAnhangB(Annahme

konstanterStoffwerteumdenArbeitspunkt)folgtfürdiesenParameterderZahlenwert

4/1

073,1



377,0 























. (3.43)

DamitwurdeunterAusnutzungderGrenzschichttheorieeinephysikalischbegründeteBezie-

hungzurBeschreibungderkonvektivenWärmeabgabegefunden.

GemäßderHerleitunggiltdieseBeziehungjedochnurfürdiesenkrechtePlatte.Diesbedeutet

fürdeninAbschnitt3.3beschriebenenModellbausteinSegment,daßGleichung(3.42)nurfür

dasSegmenteinesebenenPlattenheizkörpersGültigkeitbesitzt.FürkreisrundeSegmentewie

inBild3.10istdieAnalysederfreienKonvektionamsenkrechtenZylindererforderlich,um

auchfürdasSegmenteinesStahlröhrenradiatorseinegültigeBeziehungzufinden.

DasPhänomenderfreienKonvektionistamsenkrechtenZylinderstärkerausgeprägtalsan

derPlatte,weshalbhierdieWärmeabgabeentsprechendhöherausfällt.ZurBerücksichtigung

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



diesesSachverhalteswirdimVDI-Wärmeatlas[VDI94]einadditiverKorrekturtermfürdie

NußeltzahlamZylinderangegeben:

Nu Nu z

Zylinder Platte

= + 0 97,  (3.44)

mit dem Durchmesser D des Zylinders bzw. der Säuleund der Ortskoordinaten z (Höhe).

BerücksichtigtmandieseKorrekturinderBeziehungfürdiekonvektiveWärmeleistung,so

folgtstattGleichung(3.42)diemodifizierteGleichungfürdensenkrechtenZylinder

( )

LOO

LLO

KKonv

TTA

CQ −























−

=

97,0

4/1



. (3.45)

Aus den vorangegangenen Untersuchungen läßt sich folgern, daß der Wärmeübergangs-

koeffizient

beilaminarerGrenzschichtströmungeineAbhängigkeitvonderÜbertempera-

turinderForm

4/1

O∆∼

 (3.46)

zeigt.Eswurdebereitsdaraufhingewiesen,daßdiekonvektiveLuftströmungamHeizkörper

beiinderPraxisgebräuchlichenBauhöhen(biszu1m)imoberenBereichturbulentwird.Bei

turbulenterStrömungstelltsichfürdenkonvektivenWärmeübergangjedochallgemeineine

AbhängigkeitderForm

3/1

O∆∼

ein,wiein[A

84-1]gezeigtwird.Überraschenderweise

konntenach[A

87]durchMessungenanHeizkörpernvergleichbarerHöhe,alsoauchmit

turbulentemBereich,einZusammenhanggemäßGleichung(3.46)rechtgenauwiedergegeben

werden.Darausläßtsichfolgern,daßdieWärmeabgabeauchbeiBauhöhen,diegrößersind

als die kritische Höhe hkr für den Umschlag in turbulente Strömung, überwiegend bei

laminarerGrenzschichtströmung erfolgt.Diese Vermutung wurde auch schon recht früh in

66]experimentellbestätigt.

WärmeübertragungdurchStrahlung

DienunfolgendenAusführungenzurAnalysedesphysikalischenPhänomensderthermischen

StrahlunggeltenzunächstebenfallsnurfürdenPlattenheizkörper,daersichaufgrundseiner

ebenen Oberfläche gut für die theoretische Untersuchung eignet. Die Wärmeabgabe durch

StrahlungseiaufdieVorder-undRückseitedesHeizkörpersbeschränkt,Randeffekteanden

schmalenSeitenkönnenaufgrunddervergleichsweisekleinenFlächenvernachlässigtwerden.

Alle Körper emittieren bei einer absoluten Temperatur von T>0 elektromagnetische

StrahlungalsFolgeihrerinnerenEnergie.ImhierbetrachtetenTemperaturbereichwirddiese

3.4PhänomenologischeAbstraktion



langwelligeStrahlungalsWärmeempfundenundliegtnach[B

94]imInfrarotbereichmit

Wellenlängenvon0,75...400µm.

Ein Heizkörper verhält sich aufgrund seines Anstrichs mit speziellen Heizkörperlacken

(Thermolackierung)wieeingrauerStrahler[A

83],fürdessenWärmestrahlungnachdem

Stefan-Boltzmann-Gesetz mit

Oals Emissionsverhältnis des grauen Strahlers und

S als

StrahlungskonstantedesschwarzenKörpers



Q T

O S O

ε σ

 (3.47)

gilt. Dabei ist TOdie mittlere Oberflächentemperatur. Diese Beziehung ergibt sich durch

Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes (Intensität der Strahlung als Funktion der

Wellenlänge)überalleRaumwinkelundalleWellenlängen.FürüblicheHeizkörperlackegibt

91] Werte für die Emissionszahl von

O≈0,95 an (unabhängig von der Farbe des

Heizkörperlackes).

DieobigeBeziehunggiltnurfürdieStrahlungindenunendlichgroßen,leerenRaum.Nach

derDefinitioneinesgrauenKörperswirddieempfangeneStrahlungzumTeilabsorbiertund

derrestlicheAnteilwiederreflektiert.MaßgeblichfürdieeffektiveWärmeabgabeistdeshalb

dieStrahlungswechselwirkungmitdemumgebendenRaumbzw.dereinhüllendenFläche;sie

hängt von dessen Temperatur und den geometrischen Verhältnissen ab. Die umgebende

Flächeistaberimallgemeinennichthomogenundzudemmeistauchnichtbekannt.Fürden

Netto-WärmestromzwischenzweistrahlendenFlächengiltdieBilanz

222

1112,1,

TATAQQQ

SSStStSt

σεσε

−=−=



. (3.48)

Für den Fall, daß eine homogene geschlossene Fläche AW mit der mittleren Oberflächen-

temperaturTWeinenHeizkörpermitderTemperaturTOundderFlächeAOeinhüllt(wiedies

auchbeidergeschlossenenPrüfkabinezutrifft),läßtsichfürdenStrahlungswärmeaustausch

mitdemHeizkörpernach[G

RÖ

81,H

73]dieBeziehung

(

)



Q A T T

St O W S O O W

= −

ε σ

4 4

 (3.49)

mitdemKoeffizienten

ε ε

O W

W W

+ −











1 1 1

 (3.50)

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



anschreiben. Da praktisch immer A A

O W

1 angenommen werden kann (die Heizflächen

sind viel kleiner als die umgebenden Raumflächen, in der Praxis ergibt sich meist ein

VerhältnisvonA

/A

≈0,01...0,05),vereinfachtsichdieserKoeffizientzu

O W O

≈

. (3.51)

DerEinflußderInhomogenitätderraumumschließendenFlächenistdamitinguterNäherung

vernachlässigbar.DieÜberlegungensetzenallerdingsvoraus,daßeinemittlereOberflächen-

bzw.WandtemperaturT

angesetztwerdenkann.

GliederheizkörperweisenaufgrundihresAufbauskeineeinheitlichebeneOberflächeauf.Es

scheint daher sinnvoll, statt der beim Plattenheizkörper direkt verwendbaren Heizkörper-

oberflächeA

eineäquivalente,zumStrahlungsaustauschbeitragendeFlächederGrößeq

⋅



mitq≤1zubenutzen[A

91].IngroberNäherungläßtsichdieHüllflächedesHeizkörpers

als Wert für q

⋅

 heranziehen. Die Größe q ist von der speziellen Bauart des Glieder-

heizkörpers abhängig (Säulenanordnung, Säulenzahl je Glied) und im allgemeinen nicht

bekannt. In der Praxis wird jedoch mit den Kenndaten eines Heizkörpers häufig auch der

leistungsbezogene Strahlungsanteil angegeben. Dieser soll als Kontrollgröße dazu dienen,

denzunächstunbekanntenParameterqinspäterenUntersuchungen(sieheAbschnitt3.4.5)

validierenzukönnen.

Von der äußeren Oberfläche eines Segmentes wird durch die beiden zuvor theoretisch

betrachtetenPhänomeneKonvektionundStrahlungdieWärmeleistung



andieUmgebung

abgegeben.DadieseWärmeübergangsmechanismenunabhängigvoneinanderauftreten,gilt

fürdiegesamtevoneinemSegmentabgegebeneWärmeleistungdieadditiveÜberlagerung

  

Q Q Q

H Konv St

= + . (3.52)

3.4.3InnererWärmeübergang

DerinnereWärmeübergangvomfluidenHeizmediumandiefesteRohrinnenwandläßtsich

zunächstwiederganzallgemeinüberdasNewtonscheAbkühlungsgesetz

(

)

ImiiH

TTAQ −= 

 (3.53)

beschreiben.DabeiistT

derMittelwertausEin-undAustrittstemperatur(T

undT

)des

Heizmediumsund

dielokaleWärmeübergangszahlfürdasjeweilsi-teSegment.Letztere

Größeistjedochzunächstunbekannt.ZuBeginndesvorangegangenenAbschnittswurdebei

der Analyse der konvektiven Wärmeübertragung die aus der Ähnlichkeitstheorie bekannte

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Nußeltzahl Nu=

l/

 als dimensionsloser Temperaturgradient an der Wand [VDI97]

eingeführt.MitHilfedieserKennzahlkanndiegesuchteWärmeübergangszahl

zu

= (3.54)

berechnet werden, sofern eine geeignete Nußeltzahl für das Problem des inneren Wärme-

übergangsbekanntist.IndiesemFallist

dieWärmeleitfähigkeitdesfluidenHeizmediums

(meist Wasser) und l eine für das thermische Problem charakteristische Länge. Bei der

VerwendungvonNußeltzahleniststetsdaraufzuachten,daßdiecharakteristischeLängeals

BezugsgrößebeivergleichbarenthermischenProblemstellungeneinheitlichdefiniertwird.Im

ZusammenhangmitderAnalysevonStrömungendurchRohremitkreisrundemFließkanal-

querschnittwirdfürdiecharakteristischeLängeinderRegelderinnereRohrdurchmesserd



verwendet.BetrachtetmandagegenRohremitnicht-kreisförmigemStrömungsquerschnitt,so

läßt sich als äquivalente Ersatzgröße für die charakteristische Länge der sogenannte

hydraulischeDurchmesser

hyd

4= (3.55)

aus dem Verhältnis von Querschnittsfläche A

Q,i

zum Umfang U

 des Fließkanals angeben.

DamitberechnetsichdielokaleWärmeübergangszahlfürdeninnerenWärmeübergangzu

hyd

dNu⋅=

. (3.56)

NußeltzahlenfürdeninnerenWärmübergang

Die Nußeltzahl hängt von vielfältigen Einflußfaktoren wie Stoffparametern, speziellen

geometrischen Verhältnissen, Beschaffenheit der Strömung etc. ab. Für den konvektiven

Wärmeübergang bei Rohrströmungen ist insbesondere die Geometrie des Fließkanal-

querschnittsausschlaggebend.

FüreinigeQuerschnittsformenfindensichindereinschlägigenLiteraturNußeltzahlenfürdie

RandbedingungeinerthermischundhydraulischvollentwickeltenlaminarenStrömung(z.B.

78], [K

66]). In Anbetracht der Vielfalt der in der Heizkörperpraxis anzutreffenden

Heizkörperbauformen, und damit auch der verschiedenen Strömungsquerschnitte, wird

schnellersichtlich,daßdieErmittlungeinerfüreinespezielleGeometriegeltendenNußelt-

zahläußerstaufwendigistundsolcheNußeltzahlenauchinderLiteraturkaumzufindensind.

Die Aufgabe besteht also darin, eine begrenzte Anzahl an Querschnittsklassen bzw.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Querschnittstypenzufinden,überdiesichvielederinderPraxisanzutreffendenQuerschnitts-

geometriennäherungsweiseapproximierenlassen.

Die generellen Einflüsse auf die Nußeltzahl sollen für den speziellen Anwendungsfall der

„StrömungineinemHeizkörper“analysiertwerden:

•ImüblichenBetriebszustandeinesHeizkörpersbewegtsichderHeizmediumstromdurch

den Heizkörper in der Größenordnung des Norm-Heizmediumstroms (in der Regel gilt



⋅≤ 2 ).DamitliegtdieReynoldszahlderStrömungdurcheineeinzelneSäulestetsim

BereichRe<<2300,womitderkonvektiveWärmeübergangvomHeizmediumzurHeiz-

körperwandstetsbeilaminarerStrömungstattfindet.IndenSammelkanälenkannörtlich

begrenztauchturbulenteStrömungauftreten,soz.B.imZu-undRücklaufbereichdurch

höhereFließgeschwindigkeitensowiebeiÄnderungenderQuerschnittsgeometrieinfolge

derAbzweigungeninGliedernbzw.Säulen.

•Die Strömungsgeschwindigkeit hat erst bei turbulenter Strömung einen nennenswerten

Einfluß auf die Nußeltzahl. Bei einer voll ausgebildeten laminaren Strömung ist die

NußeltzahlunabhängigvonderGeschwindigkeitderHeizmediumströmung[VDI97].

•ImEinlaufbereicheinerHeizkörpersäulehatsichdastypischelaminareStrömungsprofil

desGeschwindigkeits-unddesTemperaturfeldesnochnichtvoll ausgebildet.Indiesem

BereichistderWärmeübergangaufgrunddesturbulentenCharaktersdeseinströmenden

Heizmediumsgrößer,sodaßdieseAbhängigkeitderNußeltzahlvonderOrtskoordinatez

(HöheamHeizkörper)berücksichtigtwerdenmuß.

•Wird der Fließkanalquerschnitt allgemein durch zwei orthogonale Geometrieparameter

(BreiteundTiefe)beschrieben,sohängtdieNußeltzahlvomVerhältnisderbeidenGrößen

zueinander ab. Diese beiden Geometrieparameter sollen im folgenden mit 2a und 2b

bezeichnetundsodefiniertwerden,daßimmera≥bgilt(damitfürdenWertebereichdes

Verhältnisses0≤b/a≤1gilt).BeieinemsymmetrischenSeitenverhältnisvonb/a=1ist

der Wärmeübergang stets schlechter als bei einem kleineren Verhältnis (schmaler

Querschnitt,derGrenzfallb/a→0entsprichtparallelenPlattenmitdemAbstand2b).

ErmittlungcharakteristischerGeometrieparameter

InderLiteraturwerdenNußeltzahlenfürdievollentwickelte,laminareStrömungoftfürdie

RandbedingungenkonstanterTemperaturodereineskonstantenradialenWandwärmestromes

angegeben[S

78].AufgrunddesbekanntenTemperaturprofilsistdieBedingungkonstanter

Temperatursichernichterfüllt,aberaucheinkonstanterWandwärmestromliegtimFallder

vertikalenStrömungimHeizkörpernichtunbedingtvor.Wieu.a.ausParameterstudienzum

„Virtuellenc-Wert-Prüfstand“deutlichwird,sinddieAbweichungendesWandwärmestroms

um seinen Mittelwert dennoch verhältnismäßig gering, so daß diese Randbedingung als

näherungsweiseerfülltangesehenwerdenkann.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



NacheingehenderRechercheundAnalysemarktüblicherHeizkörperläßtsichfeststellen,daß

indenmeistenFällendieauftretendenFließkanalquerschnittefertigungsbedingtdurchwenige

markanteGeometrieformenangenähertwerdenkönnen.Diedreihäufigstensollenandieser

Stellekurzaufgeführtwerden.

Tabelle3.3:ElliptischerStrömungsquerschnittmitNußeltzahlen([S

78],Table65)



Nu

1 4,364

0,75 4,402

0,5 4,558

0,25 4,880

Typ1

0 5,225



SehrvieleFließkanalquerschnitteweiseneineFormauf,diesichnäherungsweisedurcheine

Ellipsebeschreibenläßt.AlskennzeichnendeParameterwerdennebenderWandstärkeddie

beidenHalbmesseraundbangegeben.EinewichtigeSonderformdiesesQuerschnittstypsist

derkreisrundeQuerschnittmitdemRadiusa=b(Stahlröhrenradiatorenundallesonstigen

Rohrheizkörper).DieNußeltzahlenwerdeninTabelle3.3inAbhängigkeitvomVerhältnisder

innerenAbmessungenb

unda

aufgeführt,wobei

a a d

= −

−

 (3.57)

gilt. Aus technischen Datenblättern sind meist nur die äußeren Abmessungen entnehmbar,

währendsichdieNußeltzahlausdeninnerenQuerschnittsmaßenberechnet.

Tabelle3.4:RechteckigerStrömungsquerschnittmitNußeltzahlen([S

78],Table42)



Nu

1 3,608

0,75 3,701

0,5 4,123

0,25 5,331

Typ2

0 8,235



 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Neben der ovalen bzw. elliptischen Form sind oft auch rechteckige Strömungsquerschnitte

anzutreffen(sieheTabelle3.4);dieäußerenKantenlängenwerdenhiermit2aund2bgekenn-

zeichnet. Als eine abgewandelte Geometrieform trifft man häufig auf eine rechteckige

Querschnittsform mit abgerundeten Seiten wie in Tabelle 3.5 abgebildet. Die Geometrie-

parameter werden analog zum Rechteck definiert. Das Längenmaß 2a umfaßt die gesamte

Breite;diehalbeTiefebstelltzugleichdenRadiusderRundungdar.DerSonderfalla=b

entsprichtinAnalogiezurEllipseeinemkreisrundenStrömungsquerschnitt.

Tabelle3.5:NußeltzahlenrechteckigerRohremitRundung([S

78],Table81)



Nu

1 4,36

0,667



4,45

0,5 4,72

0,25 5,77

Typ3

b2b

0 8,24



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

b*/a*

Kreis

Quadrat



Bild3.17:NußeltzahlenverschiedenerStrömungsquerschnitte(vollentwickelteStrömung)

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Mit diesen drei vorgestellten Querschnittstypen 1, 2, 3 lassen sich bereits die meisten der

anzutreffenden Fließkanalquerschnitte berücksichtigen. Die obige Grafik stellt den Verlauf

derNußeltzahlenausdenTabellenvergleichenddar,dieKurvenverläufeergebensichdurch

InterpolationüberdiediskretenDatenpunkte.Erkennbarist fürb

=1derÜbergangder

Querschnittstypen 1 und 3 in den kreisrunden Fließkanal, für den sich die Nußeltzahl zu

Nu=4,364 theoretisch berechnen läßt [VDI97]. Der Querschnittstyp 2 wird für b

=1

quadratisch,in diesemFallwirdNu=3,608.Fürdiemeisten Heizkörperistvorallemder

Bereichvonca.0,2≤b

≤1,0relevant,kleinereSeitenverhältnissesindkaumanzutreffen.

BerücksichtigungdesEinlaufbereichs

EinelaminareStrömungstelltsichineinemRohrerstnacheinerbestimmtenWegstreckein

StrömungsrichtunghinterdemKanaleinlaufein.InnerhalbdieserEinlauflängebildetsichdas

fürlaminareStrömungtypischeparabolischeProfilsowohlderStrömungsgeschwindigkeitals

auchderTemperaturverteilungaus.DiethermischeEinlauflänge,indersichdasTemperatur-

profilausprägt,wirdin[J

82,



73]mit

ith

dL PrRe05,0≈ (3.58)

angegeben,wobeid

fürdeninnerenRohrdurchmessersteht.DieEinlauflängefürdasProfil

der Strömung ist in der Regel kürzer. Für diese hydraulische Einlauflänge findet sich in

82]dieNäherung

ihyd

dL Re05,0≈. (3.59)

FolglichunterscheidetsichdiethermischeEinlauflängevonderhydraulischendurchMulti-

plikationmitderPrandtlzahlPr.InBild3.18wirdzurVeranschaulichungeinVergleichder

Größenordnung von hydraulischer und thermischer Einlauflänge mit der Gesamtbauhöhe

einesHeizkörpersbeispielhaftdargestellt(graueBereiche).

Beide Einlauflängen hängen außer vom Rohrdurchmesser d

grundsätzlich auch von der

ReynoldszahlReunddamitvonderStrömungsgeschwindigkeitdesHeizmediumsab.

FürdenHeizkörperläßtsichannehmen,daßdieHeizmediumströmungdurchdieAbzweigung

vondenhorizontalenSammelrohrenverwirbeltwird;dieeintretendeStrömungkanndaher

näherungsweise als Blockströmung interpretiert werden. Bei diesem Strömungscharakter

findetimEinlaufbereicheinbessererWärmeübergangstattalsimweiterenVerlaufbeivoll

entwickelterlaminarerStrömung.

Unter der bereits zuvor gerechtfertigten Annahme einer konstanten Wärmestromdichte

entlangdesRohresexistierenzurBerücksichtigungdesthermischenundhydrodynamischen

AnlaufsApproximationenfürdielokaleNußeltzahl,derenGültigkeitsichaufdenBereichder

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Einlauflängebeschränkt.ImBild3.18sinddiesdiegestricheltdargestelltenKurvenverläufe

fürNu

undNu

,derenVerlaufsichausdenBeziehungen

PrRe302,1Nu 











 (3.60)

fürdenthermischenAnlaufbeihydrodynamischausgebildeterStrömungund

RePr462,0Nu 











 (3.61)

fürdengleichzeitigenhydrodynamischenundthermischenAnlaufergibt([VDI97],Abschnitt

Ga).DiesebeidenGleichungengeltennurfürgroßeWertedesVerhältnisses zd

,wobeidie

Ortskoordinate

vomEinlaufausinStrömungsrichtungverläuftundsomit

zBz

−=

gilt.

DieAsymptotefürdievollausgebildetelaminareStrömungwirdinderGrafikmitNu

(im

vorangegangenenTextstetsohneIndex)gekennzeichnet.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rohrlänge

Nußeltzahl

ges

hyd

[m]

Beispiel:

=21mm

u =1mm/s

Pr=3,553



Bild3.18:KombinationverschiedenerNußeltzahl-ApproximationenfürdenEinlaufbereich

3.4PhänomenologischeAbstraktion



MitdemZieleinerpraktischenHandhabungsolleinegemeinsame,aufdiegesamteRohrlänge

anwendbareBeziehungfürdielokaleNußeltzahlgefundenwerden.EinesolcheNußeltzahl

kann nur aus einer Kombination der drei Nußeltzahlen Nu

 (Asymptote), Nu

 und Nu



(Einlaufbereich) bestehen. In der Literatur wird dazu die folgende, durch experimentell

ermittelteWerte[S

96]gestützteBeziehungangegeben[VDI97]:

( )

1ges

Nu1Nu1NuNu +−++= . (3.62)

EswerdenweiterhindiebeidenAbschätzungen

( )

112

1Nu1NuNu −++= und (3.63)

113

NuNuNu +=  (3.64)

füreineVerknüpfungausderAsymptoteNu

mitjeweilsnureinerderApproximationenfür

den Einlaufbereich Nu

 oder Nu

 betrachtet. Die graphischen Verläufe der einzelnen

AsymptotenundderenKombinationensindgemeinsaminBild3.18dargestellt.

Beim Vergleich der Verläufe von Nu

 und Nu

 mit der theoretisch „optimalen“ Kombi-

nationNu

ges

fälltauf,daßderGraphvonNu

imEinlaufbereichnurunwesentlichnebendem

VerlaufvonNu

ges

 liegt. Der Einflußvon Nu

 kannalso vernachlässigtwerden, sodaß als

Beziehung für die lokale Nußeltzahl letztlich nur die Gleichung (3.63) von Bedeutung ist.

DamitverringertsichauchderAufwandbeiderModellimplementierung,dieKomplexitätder

Modellgleichungenwirdnichtunnötiggesteigert.

FürdeninnerenWärmeübergangfolgtsomitschließlichdieNußeltzahl

( )

1PrRe302,11NuNu 











−

−

++= zB

, (3.65)

wobeiNu

jenachFließkanaltypundQuerschnittsparameternausTabelle3.3bisTabelle3.5

gewonnenwird.

ÜbersichtallerModellgleichungenderphänomenologischenAbstraktion

Mit dem inneren Wärmeübergang ist schließlich auch der letzte Term der Wärmebilanz-

gleichung(3.4)bestimmtunddieGleichungimSinnederphänomenologischenAbstraktion

vollständigverfeinertworden.

Für eine bessere Übersicht sind alle Modellgleichungen in Tabelle 3.6 noch einmal

zusammengefaßt.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Tabelle3.6:

ModellgleichungenfürdenModellbausteinSegment

Wärmestrombilanz    

Q Q Q Q

Sp E A H

= − − 

Speicherterm Instationär:

( )

cmcmQ

HpHWpWSp ,,

 +=



Stationär:



Sp =0



EintretenderWärmestrom

,

Q m c T

E S p W E

= 



AustretenderWärmestrom

,

Q m c T

A S p W A

= 



Heizmediumtemperatur

=

InnererWärmeübergang

(

)

ImiiH TTAQ −= 



mit

hyd

Nu⋅=



WärmeleitungWand

( )

OIHH TT

Q−=





ÄußererWärmeübergang   

Q Q Q

H Konv St

= + 

Konvektion

( ) ( )

LOOKKonv

TTzACQ −+−=

−



97,0

4/5

4/1



(

)

//

Q C A z T T

Konv K O O L

= −

−

  1 4 5 4

 (Säule/Platte)

Strahlung

(

)

0 WOOSSt TTAqQ −=

σε



  (Platte:q=1)



Zur Berücksichtigung der Wechselwirkungen mit anderen Modellen werden neben den

Modellgleichungen in Tabelle 3.7 alle Schnittstellen und Eingangsgrößen des Modellbau-

steins spezifiziert. Eine Festlegung der Ausgangsgrößen soll an dieser Stelle noch nicht

vorgenommen werden, da prinzipiell alle auftretenden Prozeßgrößen als solche definiert

werdenkönnen.

Alle weiteren, in Tabelle 3.6 aufgeführten Größen stellen als Modellparameter bekannte

Größendar,sodaßsichinsgesamteinlösbares,differential-algebraischesGleichungssystem

ergibt, welches das interessierende physikalische Verhalten eines einzelnen Heizkörper-

segmentesbeschreibt.DieImplementierungdiesesGleichungssystemsalsModellbausteinin

dasModellierungswerkzeugCAMexwirdspäterimviertenKapitelbeschrieben.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Tabelle3.7:

SchnittstellenundEingangsgrößendesModellbausteinsSegment

Koppeleingänge







TemperaturdeseinströmendenHeizmediums

MassenstromdurchdieSäule

Koppelausgänge







TemperaturdesausströmendenHeizmediums

MassenstromdurchdieSäule

Eingangsgrößen

(global)



MittlereTemperaturderumgebendenRaumluft

MittlereTemperaturderumschließendenWände



Die vorangegangenen theoretischen Untersuchungen zum äußeren Wärmeübergang wurden

im Verlauf der Herleitung auf ebene Plattenheizkörper bzw. auf eine Säulenform mit

kreisrundemFließkanalquerschnitt(Stahlröhrenradiator)beschränkt,umdieErmittlungeiner

analytischen(Näherungs-)Lösungüberhaupterstzuermöglichen.Damitzeigtsichallerdings

auchdergravierendeNachteildertheoretischenBetrachtung,nämlichdieEinschränkungauf

nurwenigeSpezialfälle.

3.4.4Wärmedurchgang–Potenzansatz

ImdiesemAbschnittsollausdenzuvorgenanntenGründenversuchtwerden,dievoneinem

SegmentabgegebeneWärmeleistung 

–unddamitdenäußerenWärmeübergang–mittels

einesspeziellenAnsatzeszuapproximieren:demPotenzansatz.

Ein solcher Ansatz geht prinzipiell ebenfalls von der physikalischen Herleitung aus. Dazu

wird die gesamte Wärmeleistung durch Addition der konvektiven Wärmeleistung und der

StrahlungswärmezuderBeziehung

(

)

(

)

4/5

WOStLOKonvH

TTCTTCQ

−+−=



, (3.66)

angeschrieben.DerrechteAusdruckkannmitderDefinitionderOberflächen-Übertemperatur

∆T=T

–T

indasPolynom

(

)

43223

464 TTTTTTT

TTTTT

WWW

WWWO

∆+∆+∆+∆=

−∆+=−  (3.67)

entwickelt werden. Geht man weiterhin in guter Näherung von der Gleichheit der Luft-

temperatur T

 und der Wandtemperatur T

 aus, setzt also T

=T

, so läßt sich die

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Wärmeleistung insgesamt als Quasi-Polynom

 der wirksamen Oberflächen-Übertemperatur

∆T=T

–T

angeben:

4/5 TaTaTaTaTbQH∆+∆+∆+∆+∆=



. (3.68)

DieseGleichungistinihrerHandhabungrechtumständlich,obwohlgezeigtwerdenkann,daß

diebeidenhöchstenPotenzenvernachlässigbarsind,dadiezugehörigenKoeffizientena

und

 vergleichsweise klein gegenüber den übrigen Koeffizienten sind. Um allerdings eine

insgesamtmöglichsteinfacheBeziehungzubekommen,solldieWärmeleistungdurcheinen

einfacherenZusammenhangderForm

TQ ∆∼

 (3.69)

angenähertwerden.TatsächlichgehtdieMotivationfürdiesenAnsatzweitüberdasZielder

Approximationhinaus,stelltdochdiesessogenanntePotenzgesetz

eineinderPraxishäufig

verwendeteMethodezurBeschreibungderWärmeleistungeinesHeizkörpersdar:

UmeinenHeizkörperaufdenMarktzubringen,mußjederHerstellerzuvorbestimmteKenn-

datenerfassen,umdieverschiedenstenmarktüblichenHeizkörpereinordnenundvergleichen

zu können. Diese Vorgehensweise wird durch die betreffenden Normen zur Prüfung von

Raumheizkörpern[DIN4704,EN442]vorgeschrieben.

Es stellt sich damit die Frage, ob unter Berücksichtigung der Tatsache, daß für jeden

Heizkörper bereits bestimmte charakteristische Kennwerte in technischen Datenblättern

dokumentiert sind, diese Parameter nicht auch für ein Heizkörpermodell genutzt werden

können.

DiewichtigstedieserKenngrößenistdiesogenannteNorm-Wärmeleistung 

.Siegibtbei

derPrüfungvonRaumheizkörperndieLeistungan,diederHeizkörperinderPrüfkabine(vgl.

Kapitel2)imNormzustandabgibt.DieserNormzustandistfürdasHeizmediumWasserso

definiert, daß sich für die Vorlauftemperatur von T

=90°C bei einer Lufttemperatur von

=20°C eine Rücklauftemperatur von T

=70°C einstellt (Kurzbezeichnung: 90/70/20)

[DIN4704]. Da moderne Heizungsanlagen heutzutage mit deutlich niedrigeren Vorlauf-

temperaturenbetrieben werden, ist manin neuerenNormenblättern zu einerÄnderungder

Definition des Normzustandes übergegangen: hier werden die Auslegungstemperaturen zu

75/65/20festgelegt[EN442]

.BeiderAngabederNorm-Wärmeleistungmußintechnischen



9 GenaugenommenhandeltessichimstrengmathematischenSinnenichtumeinPolynom,danichtalleExponenten

ganzzahligsind.

10DieBezeichnungGesetzhatsichaufgrundderweitenVerbreitungdurchgesetzt,obwohlessichausphysikalischerSicht

umeinenempirischenAnsatzhandelt.

11BeiHeizkörpernfürmoderneNiedertemperatur-AnlagenwirddieWärmeleistungoftsogarfürdenAuslegungszustand

55/45/20miteinermittlerenÜbertemperaturvon∆T=30Kangegeben.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



DatenblätternaufgrunddermöglichenMehrdeutigkeitdesNormzustandesdiederMessung

zugrundeliegendeNormgenanntwerden.

DerMassenstrom,derjeweilsimNormzustanddurchdenHeizkörperfließt,wirdsinngemäß

alsNorm-Heizmediumstrom



bezeichnet.

DurchAufnahmeweitererMeßpunktebeiverschiedenenÜbertemperaturen∆Terhältmanbei

konstantem Norm-Massenstrom eine Kennlinie zur Darstellung der Wärmeleistung des

Heizkörpers als Funktion der Übertemperatur. Nach der Norm läßt sich dann die Wärme-

leistunginAbhängigkeitvonderÜbertemperaturmitausreichenderGenauigkeitinFormdes

zuvorbeschriebenenPotenzansatzes

TCQ ∆⋅=

 (3.70)

mitzunächstunbekanntemProportionalitätsfaktorCundExponentenndarstellen[DIN4704,

EN442]. Werden die Meßwerte in einem Diagramm mit logarithmisch geteilten Achsen

aufgetragen,sokannderExponentnausderSteigungeinerdurchdieMeßpunktegelegten

Geradenbestimmtwerden.DiesersogenannteHeizkörper-ExponentnunddieNorm-Wärme-

leistung 

 stellen für die Modellbildung des Prozesses Heizkörper sehr aufschlußreiche

Größendar,charakterisierensiedochdasspezifischeVerhaltendesbetreffendenHeizkörpers.

Esliegtalsonahe,diesebeideninderRegelfürjedenHeizkörperbekanntenParameterfür

eineModellbeschreibungaufderBasisdesPotenzansatzeszunutzen.InderLiteraturwirddie

Anwendbarkeit dieser heuristischen Gesetzmäßigkeit vielfach diskutiert und für bestimmte

RandbedingungeninFragegestellt[A

84-1].BesondersbeiniedrigenHeizmediumströmen

(Drosselzustände)weichtdasrealeVerhaltenvonderPotenzfunktionzunehmendstärkerab.

ImHinblickaufdengewünschtenAnwendungszweckdesModells(c-Wert-Messung)kann

allerdingsfestgestelltwerden,daßdieRandbedingungeneinerHeizkörperprüfungundeiner

c-Wert-Prüfungnahezuidentischsind:

•



AlsPrüfumgebungwirdinbeidenFälleneinePrüfkabinenachDIN4704(2),(3)vorge-

schrieben.

•



Die kennzeichnenden Heizkörperparameter werden beim Norm-Heizmediumstrom

ermittelt, dieser ist auch Voraussetzung für eine c-Wert-Prüfung (Festlegung des

Basiszustands).

DereinzigbedeutendeUnterschiedbestehtbeidenAuslegungstemperaturen(Vor-undRück-

lauf), die bei der c-Wert-Prüfung niedriger sind als im Normzustand. Liegt die Über-

temperatur jedoch im Bereich ∆T≥20K (Normzustand: ∆T≈60K [DIN4704] bzw.

∆T≈50K [EN442], mittlerer Basiszustand: ∆T≈30K), so kann das Potenzgesetz als

hinreichendgenauangesehenwerden[A

83].

 3ModellierungvonRaumheizsystemen





Tm,i

TI,i

TO,i

(Zwischengröße

lokalerWärmestrom)

ges

(Potenzgesetz)

innen

Wand

außen

Tm,i

(phys.sehr

komplex)

Umgebungs-

Temperatur

Außenwand

Temperatur

Innenwand

Mittlere

Heizmedium-

Temperatur



Bild3.19:

GegenüberstellungWärmeübergänge–Wärmedurchgang

Ein wichtiger Unterschied in bezug auf die Übertemperatur muß allerdings verdeutlicht

werden:DieÜbertemperaturhatindemPotenzansatznachGleichung(3.70)nichtmehrdie

Bedeutung der Oberflächen-Übertemperatur wie zuvor in Gleichung (3.68). Sie stellt

vielmehrdiemittlereHeizmedium-ÜbertemperaturnachGleichung(2.8)dar.Diewirksame

TemperaturdifferenzbestehtalsozwischenHeizmediumundderUmgebung(∆T=T

–T

).

Dieser Ansatz beschreibt somit nicht nur den äußeren Wärmeübergang wie in Bild 3.11

dargestellt,sonderndengesamtenWärmedurchgangvomHeizmediumzurUmgebung,siehe

Bild3.19.MitdemBegriffderÜbertemperaturwerdeimweiterenVerlaufderArbeitimmer

dieletztgenannteHeizmedium-Übertemperaturbezeichnet.

MitHilfedesPotenzgesetzessollnuneinAnsatzzurBeschreibungderWärmeleistung



eines Heizkörpers sowie in einem weiteren Schritt für ein diskretes Heizkörper-Segment

hergeleitetwerden.

Wird die obige Gleichung (3.70) für den Normzustand angeschrieben, so folgt sofort die

zuvordefinierteNorm-Wärmeleistung

NNNNormHK

TCQQ ∆⋅== 

. (3.71)

Die(logarithmische)ÜbertemperaturistfürdenNormzustanddurchGleichung(2.8)ebenfalls

festgelegtundnimmtnachDIN4704(90/70/20)denkonstantenWert∆T

=59,44Kan(für

den Normzustand gemäß EN442 folgt ∆T

=49,83K). Damit könnte C

 für jeden

Heizkörper anhand seiner charakteristischen Kenndaten bestimmt werden. Werden diese

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Beziehungen mit Gleichung (3.70) ins Verhältnis gesetzt, so folgt der exponentielle

Zusammenhang

NHK

QQ 













∆



. (3.72)

fürdieWärmeleistungdesHeizkörpersaußerhalbdesNormzustandesinAbhängigkeitvon

seinerÜbertemperatur∆T.

IneinigenAufsätzenwie[A

84-1]werdenderkonstanteFaktorC/C

undderExponentn

ausdemphysikalischmotiviertenAnsatz(Polynomin∆TgemäßGleichung(3.68))ermittelt,

indemübereinenOptimierungsansatzversuchtwird,dasZahlenpaar(C/C

N

,n)fürdiebeste

Approximation des physikalischen Ansatzes zu gewinnen. Diese Vorgehensweise

widersprichtjedochderobenbeschriebenenMotivationzurVerwendungdesPotenzansatzes:

EssollenjadieüblicherweisebereitsverfügbarenParametereinesHeizkörpersgenutztund

nichtneuermitteltwerden.DerExponentnistalsobekannt,sodaßlediglichderVorfaktor

C/C

unbestimmtbleibt.

HäufigwirdbeiderVerwendungvonGleichung(3.70)vonderKonstanzdesParametersC

übereinenbestimmtenBetriebsbereichausgegangen,sodaßauchC

=Cgiltunddamitder

unbekannteVorfaktorinGleichung(3.72)entfällt.DieseBeziehungfindetsichdannhäufigin

dentechnischenDatenblätternzurBerechnungderWärmeleistungbeianderenAuslegungs-

temperaturen als im Normzustand. Das Potenzgesetz findet sich in dieser einfachen Form

ebenfalls in den betreffenden Normblättern, in den Katalogen und Datenblättern der Heiz-

körperherstellersowieindereinschlägigenLiteraturwieder.

Das Potenzgesetz soll nun dazu genutzt werden, um die Wärmeabgabe des diskreten

Teilmodells Segment zu beschreiben und damit eine alternative Beschreibung für den

Gleichungsterm



derWärmestrombilanz(3.4)zuerhalten.EinersterAnsatzfolgtausder

einfachenAufteilungdesGesamt-Wärmestroms,sodaßalsNorm-Wärmeleistungfürjedes

einzelneSegmentdergleicheAnteil



/Q N

N A

eingesetztwird,



A N

=









∆

∆, (3.73)

wobei N

 die Anzahl der Segmente je Glied angibt (vertikale Diskretisierung). Die Über-

temperatur∆TwirddementsprechendauchnurfürdieseseineSegmentberechnet:

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



∆TT T

T T

E A

E L

A L

−

. (3.74)

An einem einzelnen Segment ist bei einer Diskretisierung von N

>>1 die Differenz

zwischenderTemperaturT

deseinströmendenundT

desausströmendenHeizmediumsund

damit die TemperaturspreizungT

–T

 relativ klein (Beispiel: T

=55°C, T

=45°C,

=10 Segmente  Temperaturspreizung eines Segments ≈1K). Daher kann für die

BerechnungderÜbertemperatureinesSegmentesinguterNäherungauchdiearithmetische

Übertemperatur

∆TT T T

E A

−

 (3.75)

eingesetztwerden.BeisehrkleinenTemperaturspreizungendesHeizmediumsstimmtdiese

mitderlogarithmischenÜbertemperaturpraktischüberein.

FüreinekorrekteAnwendungdesPotenzansatzesmußeinweitererwichtigerAspektbeachtet

werden.FüreinenGliederradiatorbeschreibtdielokaleWärmeabgabenachGleichung(3.73)

jetzt nicht mehr nur ein Segment einer einzelnen Säule, sondern ein Segment bzw. eine

Schicht des gesamten Gliedes mit N

 Säulen (Bild 3.20). Das widerspricht zwar der

ursprünglichen Strukturierung nach Abschnitt 3.3, wo die Glieder zunächst in Säulen und

diesedann ineinzelne Segmentezerlegt wurden.Andererseits erweist sich dieEinführung

solcher kompletten „Gliedsegmente“ als zweckmäßig und sogar erforderlich, weil in den

DatenblätternfürGliederheizkörperdieParameterNorm-Wärmeleistung



undHeizkörper-

ExponentnüblicherweisejeGliedangegebenwerden.WürdedennochdieAufteilungeines

GliedesinSäulendurchgeführt,sokönntederPotenzansatznichtmehrohneweiteresfürjede

einzelneSäuleangewandtwerden.SicherlichunterscheidetsichbeimehrerenSäulenjeGlied

die Phänomenologie des Wärmeübergangs zwischen den inneren und äußeren Säulen

(Strahlung, Konvektion). Daher bleibt fraglich, ob die Anwendung des Potenzansatzes auf

einzelneSegmenteinnerhalbdesGliedessinnvollundüberhauptzulässigwäre.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Bild3.20:

VollständigeSchichteinesGliedesals„Gliedsegment“

Für den Plattenheizkörper muß eine ähnliche Betrachtung erfolgen. Hier wird die Norm-

WärmeleistungüblicherweisejelaufendemMeterBaulängeangegeben.SolldieGleichung

(3.73)jeweilsfüreinSegmenteineswasserführendenKanalsangesetztwerden,sowirdals

zusätzliche Information noch die Anzahl der senkrechten Wasserkanäle je Meter benötigt.

Dieser Wert ist für den Plattenheizkörper ebenfalls bekannt und wird aus der Teilung p



bestimmt [B

94]. Damit folgt für die lokale Wärmeabgabe des Segmentes eines Platten-

heizkörpersdieBeziehung

NBez

Q













∆

=



. (3.76)

Übliche DIN-Plattenheizkörper weisen eine Säulenteilung von p

T

=30mm bei einer

BezugslängevonL

Bez

=1mauf,d.h.durchdieProfilierungwerdenjeMeterBaulänge33





wasserführende senkrechte Kanäle ausgeprägt. Alternativ kann eine Unterteilung des

Plattenheizkörpersin„Meterstücke“erfolgen,sodaßdieTeilungalsParameterwegfällt,daja

dieNorm-WärmeleistungjeMeterangegebenwird.EindiskretesSegmentwürdedanneine

SchichtmiteinerBreitevon1mdarstellen.DieMotivationfüreinesolche,zunächstgrob

erscheinende Strukturierung wird im Zusammenhang mit der anschließenden Modellierung

derbeiden„T-Stücke“verdeutlicht.

Bei der Festlegung des Heizmedium-Massenstromes als Schnittstelle bzw. Koppeleingang

wirdbeimStahlröhrenradiatornunderMassenstromdurchdasgesamteGliedberücksichtigt,

während er beim Plattenheizkörper entsprechend der Strukturierung je wasserführendem

Kanalbzw.jeMeterBaulängeangesetztwird(Tabelle3.9).

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Tabelle3.8:

ModellgleichungenfürdieWärmeleistungbeimPotenzansatz

LokaleWärmeabgabe

andieUmgebung



A N

=









∆

∆  (Glieder-HK:jeGlied)

NBez

Q













∆

=



 (Platten-HK:jeKanal)

LokaleÜbertemperatur

T−

=∆

  (arithmetischesMittel)



Tabelle3.9:

SchnittstellenundEingängeeinesSegmentsbeimPotenzansatz

Koppeleingänge







TemperaturdeseinströmendenHeizmediums

Massenstromdurch:Glied/Kanal/jemBaulänge

Koppelausgänge







TemperaturdesausströmendenHeizmediums

Massenstromdurch:Glied/Kanal/jemBaulänge

Eingangsgrößen T

MittlereTemperaturderumgebendenLuft/Wände



Im Vergleich zum physikalisch motivierten Ansatz (Tabelle 3.6) fällt auf, daß die globale

Eingangsgröße WandtemperaturderPrüfkabinebeimPotenzansatznichtmehrauftritt.Die

getrennte Modellierung der Phänomene Konvektion (Einflußgröße T

) und Strahlung

(EinflußgrößeT

)findetnunnichtmehrstatt,indenGleichungendesPotenzansatzestrittals

wirksamePotentialdifferenzdieÜbertemperatur∆Tauf,fürderenBerechnungdieverallge-

meinerteUmgebungstemperaturT

verwendetwird.Diesemüßtegenaugenommenausder

Luft- und der Wandtemperatur gemittelt werden, da beide einen Einfluß auf den Wärme-

überganghaben.HältmansichwiederumdiePrüfbedingungennachderNorm[EN834]vor

Augen(Abschnitt2.2.1),soistdortvoneiner„klimastabilen“PrüfkabinedieRede,beiderin

guterNäherungvonderGleichheitderLuft-undWandtemperaturausgegangenwerdenkann.

AusdiesenGründenstimmeindenweiterenAusführungenzumPotenzansatzderWertder

UmgebungstemperaturT

mitdemderLufttemperaturT

überein,sodaßzurBerechnungder

ÜbertemperaturstetsdieLufttemperaturT

=T

herangezogenwird(Tabelle3.8).

3.4PhänomenologischeAbstraktion



Modellierungder„T-Stücke“zurVerzweigung/Vereinigung

EineSäulewirdbiszumErreichenderkomplettenBauhöhedesHeizkörpersB

auseinzelnen

Segmentenzusammengesetzt.Damitwirdbereitsdiegesamte„vertikale“Wärmeabgabeeiner

Heizkörpersäulemodelliert.EinT-Stückkanndeshalbvereinfachtsomodelliertwerden,daß

esselbstkeineWärmeabgibt,sondernlediglichdieAufteilungdesMassenstromsbeschreibt;

die Wärmeabgabe der kurzen horizontalen Abschnitte wird also vernachlässigt. Zu Beginn

des Abschnitts 3.4 wurde zudem bereits angenommen, daß sich der Heizmedium-Massen-

stromgleichmäßigaufalleGliederundSäulenbzw.wasserführendenKanäleaufteilt.

UnterdieserVoraussetzunggiltfürdenMassenstromdurcheinGlied

 

mNm

=1 (3.77)

undingleicherWeisefürdenMassenstromdurcheineSäule

  

mNmN N m

S G

= =

1 1 . (3.78)

FürdasobereT-StückVerzweigungkannausderEnergiebilanzdieBilanzgleichungfürdie

beteiligtenWärmeströme

   

Q Q Q Q

Sp Ein Aus Glied

= − −

 (3.79)



angeschrieben werden. Durch eine ähnliche Approximation des Speicherterms wie in

Gleichung (3.6) könnte das instationäre Verhalten durch Berücksichtigung der beteiligten

Speichermassen beschrieben werden, für den c-Wert-Prüfstand wird jedoch wieder die

stationäreBedingung



Sp =0

eingesetzt.

Da das T-Stück selbst keine Wärme abgeben soll, folgt für die Differenz aus ein- und

austretendemWärmestrom

(

)

    ,

Q Q m m c T

Ein Aus Ein Aus p W E

− = −  

, (3.80)

dasHeizmediumerfährtalsoinhorizontalerRichtungkeineAbkühlung.DerWärmestromin

dasGliedwirddurch

,

Q m c T

Glied G p W E

= 

 (3.81)

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



beschrieben.SomitführtdieWärmebilanzgleichungbeidieserBetrachtungzuderMassen-

strombilanz

  

m m m

Ein G Aus

 (3.82)

fürdasobereT-StückVerzweigung.

In gleicher Vorgehensweise wird auch das untere T-Stück betrachtet und modelliert. Die

BilanzgleichungfürdieWärmeströmelautethier

   

Q Q Q Q

Sp Ein Aus Glied

= − +

. (3.83)

DurchEinsetzenderjeweiligenWärmeströmefolgtmit



Sp =0

undDivisiondurchc

p,W



  

m T m T m T

Aus Aus Ein Ein G G

  

. (3.84)

DieAusgangstemperaturausdemT-StückT

Aus

stelltsichaufgrundeinerDurchmischungder

beiden eintretenden Massenströme mit den jeweiligen Temperaturwerten T

als Austritts-

temperaturdesaktuellenGliedesundT

Ein

alsTemperaturdesHeizmediumsvomvorherigen

T-Stückein.

Um eine spätere Verkopplung der T-Stücke untereinander und mit den Säulen zu

ermöglichen, werden als Koppelgrößen wieder die Temperatur und der Massenstrom des

HeizmediumsanderjeweiligenphysikalischenSchnittstellefestgelegt.

DiebisherigeBetrachtungderT-StückewurdeaufgrundderanschaulichenTopologienurauf

den Stahlröhrenradiator bezogen. Für den Plattenheizkörper lassen sich jedoch die unteren

undoberenVerbindungselementezwischenzweiwasserführendenKanälenebenfallsalsT-

StückeberücksichtigenunddemnachauchingleicherWeisemodellieren.Esentstehendaher

insgesamt nur die beiden Modellklassen T-Stück Verzweigung und T-Stück Zusammen-

führung, welche durch entsprechende Parameterwahl für verschiedene Heizkörpertypen

verwendet werden können. Zusammen mit den Modellbausteinen Gliedersegment und

Plattensegment lassen sich die beiden Heizkörpertypen Gliederheizkörper und Plattenheiz-

körper vollständig nachbilden. Hier werden wiederum die Vorteile der objektorientierten

VorgehensweisebeiderModellbildungdeutlich.

Eswurdebereitsangedeutet,daßsichinderPraxisim stationärenZustandinhorizontaler

Richtung für nicht zu große Baulängen und bei Norm-Massenstrom ein nahezu konstantes

Temperaturniveau einstellt. Diese Beobachtung wird auch in der Literatur (z.B. [A

91,

CHL

76]) beschrieben und durch Messungen und Wärmebilder (Thermographieaufnahmen)

vonHeizkörpernbestätigt.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



FürdieUntersuchungdesthermischenVerhaltensimstationärenBasiszustandgenügtdaher

prinzipiell die Betrachtung eines einzelnen Heizkörpergliedes, da für die c-Wert-Messung

lediglichdasvertikaleTemperaturprofilvonBedeutungist.

3.4.5GegenüberstellungvonphysikalischemAnsatzundPotenzgesetz

ZurAbschätzungderModellgütesollalsVorgriffaufdieSimulationeinVergleichzwischen

dem vorgestellten Potenzansatz und dem zuvor beschriebenen physikalisch motivierten

AnsatzinVerbindungmiteinererstenValidierungdurchgeführtwerden.AlsResümeedieses

VergleichswirdeinweitererAnsatzvorgestellt,dersichdurcheinegeeigneteErweiterung

aus dem einfachen Potenzansatz herleitet und im weiteren als modifizierter Potenzansatz

bezeichnetwird.

SimulationsstudienzumphysikalischmotiviertenAnsatz

Zur ersten Validierung des physiknahen Ansatzes nach Abschnitt 3.4.2 wurden mit dem

ModellierungswerkzeugCAMexzweiverschiedeneHeizkörpermodellefürdenHeizkörpertyp

Stahlröhrenradiator und ein Modell für den Plattenheizkörper erzeugt. Die Wahl dieser

exemplarischenHeizkörpertypenfolgtzwangsläufigausdenbeiderHerleitunggetroffenen

Annahmen und Beschränkungen (ebene Platte bzw. kreisrunder Fließkanalquerschnitt).

DetailszurImplementierungundVerkopplungverschiedenerModellbausteinezumSimula-

tionsmodellwerdenspäterinKapitel5beschrieben.

Für das Teilmodell Heizkörper wurden zur Analyse der verschiedenen Ansätze separate

ParameterstudiendurchSimulationderModelledurchgeführt.

IneinererstenStudiewerdenzweiunterschiedlicheDiskretisierungsstufeneinesStahlröhren-

radiatorsuntersucht.Beieinemaus10GliedernmiteinerSäulejeGliedbestehendenModell

wird jede Säule in 5, 10 und 20 Segmente zerlegt. Als reale Vorlage für diesen Modell-

heizkörper dient der Einsäuler-Stahlröhrenradiator



des Herstellers



Zehnder. Unter Vorgabe

der entsprechenden Geometrie- und allgemeinen Stoffparameter werden die Modelle im

Normzustand simuliert. Als Kenngrößen für die Validierung werden Rücklauftemperatur,

Norm-WärmeleistungundStrahlungsanteilausdentechnischenDatenblätternderHersteller

herangezogen. Aus der Studie lassen sich die folgenden wesentlichen Schlußfolgerungen

ziehen:

•



DiebeidenModellparameterC

(KonstantedesKonvektionsterms)undq(strahlungswirk-

samerFlächenanteil)stellensichals„kritische“bzw.„unsichere“Parameterheraus.Um

die Norm-Wärmeleistung unter Einhaltung des vom Hersteller angegebenen Strahlungs-

anteils zu erreichen, muß insbesondere die Konvektionskonstante C

 im allgemeinen

größeralsderinderHerleitungberechneteWertgewähltwerden.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



•



FürdenstrahlungswirksamenFlächenanteilwerdenanhandderStudieWerteimBereich

von q=[0,63...0,52] identifiziert, während C

 im Bereich [1,8...2,8]Wm

-7/4

-5/4

 liegt.

DabeiwurdedieBauhöheineinemIntervallB

=[0,2...3,0]mvariiert.

•



Auffällig ist vor allem die Abhängigkeit des Parameters C

 von der Bauhöhe des

Heizkörpers, da sich dieser nach der Herleitung lediglich aus Konstanten und Stoff-

parametern zusammensetzt. Dagegen kann die Bauhöhenabhängigkeit des Parameters q

anschaulich dadurch erklärt werden, daß Gliederheizkörper durch den Einfluß der

horizontalenSammelkanäletatsächlicheinenhöherenstrahlungswirksamenFlächenanteil

beiniedrigerenBauhöhenaufweisen.FüreinenSäulendurchmesservon23mmwerdenbei

einerGliedbaulängevon36mmallerdingsallgemeinhöhereWertealsdieidentifizierten

erwartet.

•



BeimVergleichderverschiedenenDiskretisierungsstufen(5/10/20Segmente)fälltauf,

daßdiemodellierteKonvektionsleistungbeieinerfeinerenDiskretisierungleichtansteigt

(umetwa2,8%beidoppelterFeinheit).EineähnlicheTendenzzeigtauchdieStrahlungs-

leistung (Anstieg um ca. 1,5%). Demnach bleibt der Strahlungsanteil nahezu konstant,

während sich die Gesamtleistung des Heizkörpers bei konstanten Werten für C

 und q

durch eine feinere Diskretisierung leicht erhöht (um etwa 1,8% bei Verdoppelung der

AnzahlderDiskretisierungsstufen).

DieErgebnisseder Parameterstudiezeigen, daß fürdiebeidenParameter C

undqkeine

konstanten, von der Heizkörper-Bauhöhe unabhängigen Werte eingesetzt werden können.

Dies widerspricht jedoch der theoretischen Herleitung des Konvektionsparameters C

 aus

Gleichung3.42 (Konstanz vonC

). Dieleichte Bauhöhenabhängigkeit desstrahlungswirk-

samenFlächenanteilsqerscheintdagegennochplausibel.

In einer zweiten Studie wird der physikalisch motivierte Ansatz am Modell eines Platten-

heizkörpersuntersucht.FürdenModellheizkörperwerden10wasserführendeKanälemit5

Segmenten je Kanal zu einem Plattenheizkörper verkoppelt. Zur Validierung des Modells

eignen sich einreihige Plattenheizkörper ohne Konvektionsbleche (Bezeichnung „Typ10“).

Verglichen werden abermals die simulierte Norm-Wärmeleistung und der Strahlungsanteil

mitdenjeweiligenHerstellerangaben(Buderus,Zehnder).

•



DerstrahlungswirksameFlächenanteilnimmtbeieinemPlattenheizkörperdenWertq=1

an,dadiegesamtesichtbareOberflächestrahlungswirksamist.DasModellkannfolglich

nurdurchdenKonvektionsparameterC

beeinflußtwerden.

•



ZumErreichenderNorm-WärmeleistungmußfürBauhöhenvonB

=[0,35...0,9]mder

Parameter C

=[0,79...0,82]Wm

-7/4

-5/4

 vorgegeben werden. Die Abhängigkeit von der

Bauhöhescheintrechtgering,eswerdenhierjedochnurBauhöhenbiszu0,9mbetrachtet.

DieWertefürC

liegendamitnurgeringfügigunterdemtheoretischhergeleitetenWert

vonC

=1,037Wm

-7/4

-5/4

.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



•



Wird unter Berücksichtigung der korrekten Norm-Wärmeleistung der Strahlungsanteil

betrachtet,soliefertdasModellhierWertebiszu70%.LautHerstellerangabenbesitzen

dieHeizkörperjedochnureinenStrahlungsanteilvonmaximal35%.

AufdenStrahlungstermkannbeimModellansatzfürdenPlattenheizkörperkeinEinflußmehr

genommenwerden.WährenddieGesamt-Wärmeleistungdurchdentheoretischhergeleiteten

WertfürC

nochrelativgutnachgebildetwird,tritteinnichtzuvernachlässigenderFehlerim

VerhältnisvonStrahlungs-zuKonvektionsleistungauf.

Zur Auswertung der Parameterstudien sei noch angemerkt, daß bei der Verwendung der

Datenblätter von Heizkörperherstellern davon ausgegangen wurde, daß der angegebene

Strahlungsanteil das tatsächliche Verhältnis der Strahlungsleistung zur Gesamtleistung

wiedergibt

.

InsgesamtläßtsichausdenParameterstudienAundBdieSchlußfolgerungziehen,daßsich

diedetaillierte,physikalischmotivierteModellierungdesäußerenWärmeübergangsnursehr

eingeschränktanwendenläßt,zumaldieHerleitungnurfürzweispezielleGeometrieformen

vorgenommen werden konnte. Damit scheidet dieser Ansatz insbesondere im Hinblick auf

den Wunsch nach einem möglichst allgemeingültigen Modellansatz für verschiedene

Heizkörpertypenaus.

SimulationsstudienzumPotenzansatz

IndenModellgleichungenzumeinfachenPotenzansatztretennebenStoff-undGeometrie-

parametern nur noch die bekannten charakteristischen Heizkörperparameter Norm-Wärme-

leistung



undHeizkörper-Exponentnauf.EineParameterstudieentfälltsomit,dastruktur-

bedingtkeineunbekanntenbzw.„unsicheren“Parameterexistieren,sodaßhiernureineerste

ValidierungdesModellserfolgt.

DieSimulationenverschiedener,nachdemeinfachenPotenzansatzgeneriertenHeizkörper-

modellekommenzudemgemeinsamenErgebnis,daßdieKontrollgrößenRücklauftemperatur

undNorm-Wärmeleistungerreichtwerden.DieBeschreibungderlokalenWärmeabgabeeines

SegmentesnachGleichung(3.73)liefertsomitauchfürdasGesamtmodelleinesHeizkörpers

einkorrektesErgebnis.DerStrahlungsanteilkannnichtüberprüftwerden,dajadiegesamte

WärmeleistungdurchdenPotenzansatzbeschriebenwirdundsomitdiePhänomeneStrahlung

undKonvektionstrukturbedingtnichtohneweiteressepariertwerdenkönnen.

Zum Vergleich des physikalisch motivierten Ansatzes mit dem einfachen Potenzansatz

werdeninderfolgendenGrafikdieTemperaturprofilegegenübergestellt.AlsRandbedingung

wurdejeweilsdergleicheHeizkörperimNormzustandsimuliert.



12DieErmittlungundDokumentationdesStrahlungsanteilsinHersteller-DatenblätternwirddurchdieNormnichtexplizit

vorgeschrieben.SomitgibtesauchkeineverläßlichenAussagenzurMeßmethodeunddamitzurGenauigkeitderange-

gebenenZahlenwerte,mitdenendersimulierteStrahlungsanteilverglichenwird.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



0 1

NormierteBauhöhe

Heizmitteltemperatur

0.40.2 0.6 0.8

[°C]

physiknaherAnsatz

Potenzansatz



Bild3.21:

VertikalesTemperaturprofilamHeizkörperzumVergleichderbeidenAnsätze

3.4.6ModifizierterPotenzansatz

Als fundamentale Eigenschaften der beiden bisher vorgestellten Ansätze können folgende

Punktehervorgehobenwerden:

•



AusdemphysikalischmotiviertenAnsatzwirddiegrundsätzlicheErkenntnisgewonnen,

daß die konvektive Wärmeabgabe eines diskreten Segmentes außer von der Über-

temperatur auch von der aktuellen Höhe z dieses Segmentes abhängt. Gemäß dem

Konvektionsterm aus Tabelle 3.6 gilt die Abhängigkeit



Konv

∼

−1 4/

. Die Wärmeabgabe

durchKonvektionverhältsichumgekehrtproportionalzurGrenzschichtdicke

(z)∼

1 4/

,

d.h. je dünner die Grenzschicht an einem Segment ist, desto höher ist auch die lokale

Konvektionsleistung. Die Wärmeabgabe durch Strahlung hängt dagegen nur von der

Übertemperaturab.

•



BeimeinfachenPotenzansatznachGleichung(3.73)werdenbereitsbekannte,charakteris-

tischeHeizkörper-Parametergenutzt,dasiefürnahezujedengebräuchlichenHeizkörper

verfügbar sind (Hersteller-Datenblätter) und bereits eine bestimmte Charakteristik des

Heizkörperswiderspiegeln.

DasPotenzgesetzistinderPraxiszurErmittlungderHeizkörperleistungbeiverschiedenen

SystemtemperaturenallgemeinverbreitetundwirdindenbetreffendenNormenblätternzitiert

[DIN4704;EN442].WährendalsodieAnwendbarkeitdesPotenzgesetzesfürdenHeizkörper

BezogeneOrtskoordinate



3.4PhänomenologischeAbstraktion



„inseinerGesamtheit“inderLiteraturmehrfachbestätigtwurde,istdieGültigkeitdesAn-

satzesbeimÜbergangaufeindiskretesSegmentbishernochnichtnäheruntersuchtworden.

Nach den vorangegangenen Ausführungen wird für die diskrete Normleistung jedes

SegmentesdergleicheAnteilandergesamtenNorm-Wärmeleistungangesetzt.Dajedochdie

konvektiveWärmeabgabe,wieausderphysikalischenPhänomenologiegeschlossenwerden

kann, grundsätzlich von der Höhe z am Heizkörper als Ortskoordinate abhängt, muß die

vorgenommene Vereinfachung C/C

=1 prinzipiell in Frage gestellt werden. Zusätzlich

werdendiePhänomeneStrahlungundKonvektionauchdurchdasvertikaleTemperaturprofil

beeinflußt.

WährendalsobeimeinfachenPotenzansatzdielokaleNorm-Wärmeleistungjedeseinzelnen

Segmentes gleichgesetzt wird, soll nun wieder der zunächst unbekannte Faktor C

=C/C

N



eingeführtwerden.DabeiwirddieStrukturdesGewichtungsfaktorsC

sogewählt,daßsich

dieprinzipiellenUnterschiedederWärmeabgabe durchdiebeidenPhänomeneKonvektion

undWärmestrahlunginderStrukturdesAnsatzeswiederfinden.Ausgehendvonderzuvor

gewonnenenStrukturinformation,daßdiekonvektiveWärmeabgabevonderaktuellenHöhe

inderForm



Konv

∼

−1 4/

abhängt,wirdfürdenGewichtungsfaktordieBeziehung

C z C B

*( ) =











 (3.85)

angesetzt (B

 = Bauhöhe des Heizkörpers), so daß für die lokale Wärmeabgabe eines

SegmentesderneueAnsatz

( )



Q C z Q

A N

= ⋅ 









∆

∆ (3.86)

folgt.DurchdieseWahldesGewichtungsfaktorswerdendiezweiunbekannten,dimensions-

losenParameterC

undC

eingeführt

.

DiesebeidenParameterkönnenjedochnichtunabhängigvoneinandergewähltwerden.Ein

physikalischgültigerAnsatzmußdieBedingungerfüllen,daßimNormzustanddieSumme

allerlokalenWärmeleistungendereinzelnenSegmentederNorm-Gesamtwärmeleistungdes

betreffendenGliedesentspricht:

( )

KGes















∆

⋅



























4/1

 (3.87)



13DerParameter

KstehtindiesemAnsatzfüreinenneuen,aprioriunbekanntenParameterundhatmitderzusammen-

gefaßtenKonstanten

KdesphysikalischmotiviertenAnsatzesausGleichung(3.42)nichtsgemein.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



DieAuswertungdieserBedingungfürdenNormzustandlieferteineBeziehungzwischenC



undC

,sodaßalsFreiheitsgradeininbestimmtenGrenzenfreiwählbarerParameterübrig

bleibt.Mit derfiniten HöheeinesSegmentes∆zundder darausfolgendenDiskretisierung

=B

H

/∆zergibtsichnachderDivisiondurchdieNorm-WärmeleistungderAusdruck

( )

zCz

T z

zH N









+













⋅







=

1 4

∆

∆ ∆

∆. (3.88)

Wird nun der Grenzübergang ∆z→0 betrachtet, indem unendlich viele Segmente ange-

nommenwerden (N

→



), so läßtsichdie Summenauswertungin eine Integralbedingung

überführen. Nach Einführung der bezogenen Ortskoordinate

z z B

 folgt damit für die

beidenParameterdieIntegralbedingung

( )

C z C T z

Tdz

K S

⋅ + ⋅ 







=

−



~~~

/1 4

∆

∆. (3.89)

Um die Integration ausführen zu können, fehlt nochein Ausdruck für die Übertemperatur

(

)

∆T z

, die ja von der Höhe z bzw.

 abhängt. Im betrachteten Normzustand mit den

definiertenAuslegungstemperaturenT

=90°C,T

=70°CundT

=20°CwirdderBereich

(

)

50 70K K≤ ≤∆T z

überstrichen.FürdieÜbertemperatur∆Tlassensichmit

0...1zwei

möglicheAnsätzeangeben:

(

)

( )

∆

T z a b z z

T z c d

= + = + ⋅

= = ⋅ 









 K K (linear)

  K (logarithmisch)

50 20

50 7

 (3.90)

DieGrafikinBild3.22veranschaulichtdenUnterschiedzwischendiesenbeidenAnsätzenfür

dasÜbertemperatur-Profil

(

)

∆

T z

.

3.4PhänomenologischeAbstraktion



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

NormierteBauhöhe

Übertemperatur∆T

lin.

log.

[K]



Bild3.22:

AnsätzefürdasProfilderÜbertemperatur

(

)

∆

T z



Aus den zuvor beschriebenen Simulationsstudien und der einschlägigen Literatur wie z.B.

91]kannallgemeindieErkenntnisgezogenwerden,daßdasTemperaturprofilauchim

Normzustandnichtlinearist,sondernehereinemlogarithmischenVerlaufentspricht.

Wirdalsofür

(

)

∆

T z

daslogarithmischeTemperaturprofileingesetzt,folgtzusammenmitden

Zahlenwerten für die logarithmische Übertemperatur ∆T

 im Normzustand die Integral-

bedingung

( )

=























−



4/1 1



zdCzC

SK . (3.91)

Indieser Beziehung tauchtallerdings noch der Heizkörper-Exponent nauf.DieGleichung

mußsomitmehrfachinnerhalbeinesinderPraxissinnvollenWertebereichsdesExponentenn

ausgewertetwerden,umdieAbhängigkeitvomHeizkörper-Exponentenfestzustellen.

Die numerische Auswertung des symbolisch nicht geschlossen lösbaren Integrals liefert

zwischendenParameternC

undC

deninBild3.23graphischdargestelltenZusammenhang.

DerHeizkörper-ExponentnwurdefürdieseAuswertungindenpraktischrelevantenGrenzen

von n=1,20...1,33 variiert, ohne daß der Verlauf der Kurve erkennbare Abweichungen

zeigte.

BezogeneOrtskoordinate



 3ModellierungvonRaumheizsystemen



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

ParameterC

CK0=0.7714



Bild3.23:AuswertungderIntegralbedingungnachGleichung(3.91)fürC

undC



DerZusammenhangzwischendenbeidenParameternläßtsichsehrgutdurcheineGerade

approximieren.AusderGrafikkannsofortdieGleichungdieserGeradenzu

(

)

C C C

K K S

= −

mitC

K0

=0,7714 (3.92)

abgelesenwerden,womitfürdenzuvoreingeführtenGewichtungsfaktorC

(z)dieBeziehung

( )

C z C C B

K S

*( ) = −











1 (3.93)

folgt,inderjetztnurnochderunbekannteParameterC

auftaucht.

DurchdieseModifikationdesallgemeinenPotenzansatzeswirdindenGleichungenfürdas

TeilmodellHeizkörpereinneuerModellparametereingeführt.DieserunbekannteParameter

soll im folgenden eingehend betrachtet werden, indem sein Einfluß zunächst theoretisch

untersuchtundanschließendmittelseinergeeignetenParameterstudieanalysiertwird.

DerdimensionsloseParameterC

läßtsichnachBild3.23grundsätzlichindemWertebereich

vonC

S

=[0...1]variieren.DieseGrenzwertelassensichinAnlehnungandiePhänomene

desWärmeübergangswiefolgtinterpretieren:

•FürC

S

=1wirdauchderFaktorC

(z)=1,dermodifizierteAnsatzgehtdamitwiederin

denklassischenPotenzansatznachGleichung(3.70)über.Dadurchwirddiephysikalisch

3.4PhänomenologischeAbstraktion



begründete z-Abhängigkeit der lokalen Konvektionsleistung nicht mehr berücksichtigt.

Die Wärmeleistung besitzt also einen „eher strahlenden Charakter“, was einer höheren

StrahlungsleistungdesbetreffendenHeizkörpersentspricht.

•FürdenGrenzwertC

S

=0hängtderGewichtungsfaktorC

„größtmöglich“vonderHöhe

zabundbekommtdadurcheinen„starkkonvektivenCharakter“.

•ÜberdenModellparameterC

kannalsoindirektdasspezifischeVerhalteneinesHeiz-

körpers in bezug auf das Verhältnis von Strahlung zu Konvektion auf das Modell

übertragenwerden.GrundsätzlichdarfderParameterC

jedochnichtdirektmitdemin

Hersteller-DatenblätternoftangegebenenStrahlungsanteilvonHeizkörpern(prozentuales

VerhältnisderStrahlungsleistungzurGesamtleistung)verwechseltwerden.

DanachderDefinitiondesHeizkörpertypsRadiatorWärmesowohldurchKonvektionals

auchdurchStrahlungabgegebenwird,kannfürsolcheHeizkörperzunächstkeinebestimmte

TendenzbezüglichnaheliegenderZahlenwertedesParametersC

angegebenwerden.

ZurVeranschaulichungdesParametereinflusseszeigtdasnachfolgendeBild3.24alsVorgriff

aufdieSimulationdasvertikaleTemperaturprofileineseinzelnenGliedesimNormzustand

(Vorlauftemperatur 90°C und Lufttemperatur 20°C bei Norm-Heizmediumstrom) für die

dreiausgewähltenParameterwerteC

S

=0,0,5und1.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

[°C]

BezogeneBauhöhe

Temperatur

=1

=0

=0.5



Bild3.24:VertikalesTemperaturprofilbeiVariationdesModellparametersC



BezogeneOrtskoordinate



 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Zur detaillierten Analyse des Einflusses des Parameters C

 wurde eine weitere Parameter-

studiedurchgeführt.DabeisolldieserParameterdurcheinenAbgleichderHeizkörpermodelle

mitexperimentellenDaten(Meß-undPrüfprotokollederViterraEnergyServices)identifi-

ziert und anschließend klassifiziert werden. Folgende Erkenntnisse wurden aus dieser

Parameterstudiegewonnen:

•DerParameternimmttendenziellbeiPlattenheizkörpernhöhereWerteanalsbeiGlieder-

heizkörpern. Diese grundsätzliche Eigenschaft bestätigt den zuvor bereits theoretisch

vermuteten Charakter des Modellparameters C

. Bei einer Vorlauftemperatur von 60°C

undNorm-Heizmediumstrom(EinstellungenfürdenBasiszustand)werdenfürPlattenheiz-

körperWertevonC

=[0,7...0,9]ermittelt,füreinenDIN-StahlradiatorliegendieWerte

beiC

=[0,1...0,4].

•DieTemperaturwerteausdenMeßprotokollenlagenfürverschiedeneVorlauftemperaturen

und Massenströme vor. Bei hohen Vorlauftemperaturen und geringen Massenströmen

bleibt der identifizierte Parameterwert für C

 relativ konstant. Dagegen zeigt sich bei

niedrigerenVorlauftemperaturendieTendenz,daßauchderParameterwertkleinerwird.

DieseAbhängigkeitvonderVorlauftemperaturmußalsobeiderVorgabevonC

berück-

sichtigtwerden.

•WirddermodifiziertePotenzansatzmitdemphysikalischmotiviertenAnsatzverglichen,

sostimmendiesimuliertenTemperaturprofilefürdenStahlröhrenradiatorbeieinemWert

vonC

≈0,5annäherndüberein.

TheoretischeModellbildung

BekannteApproximation

EinfachesHK-Modell

(Potenzgesetz)

Simulation:

Modellvergleich

Modifizierter

Potenzansatz

Heizkörperwird

charakterisiertdurch:



Strukturinformation

ParameterCS

Bewertung

Heizkörper-Klassifizierung

BHSA

DetailliertesHK-Modell

(PhysikalischePhänomene)



Bild3.25:ZurEntstehungdesmodifiziertenPotenzansatzes

3.5Strömungssimulation(CFD)



Zusammenfassend läßt sich festhalten, daß durch die vorgenommene Modifikation des

Potenzansatzes das Modell für den Heizkörper insofern verbessert werden konnte, daß es

universellerverwendbarist.DiegeringeTemperaturabhängigkeitdesParametersC

kannbei

Beschränkungaufdenfürdiec-Wert-PrüfungrelevantenBasiszustandvernachlässigtwerden,

so daß sich innerhalb des Definitionsbereichs dieser Randbedingung konstante Werte

vorgebenlassen.

DurchdenmodifiziertenPotenzansatzwurdefürdasTeilsystemHeizkörpereinuniverselles

Modellkonzeptgefunden,welchesmittelsgeeigneterParametrierung(Kapitel4)eineVielzahl

unterschiedlicher Heizkörpertypen zu beschreiben ermöglicht. Die damit modellierbaren

Heizkörperklassen können zusammengefaßt werden als Radiatoren mit vertikaler Durch-

strömungdesHeizmediums.

3.5Strömungssimulation(CFD)

3.5.1DasCFD-WerkzeugSTAR-CD

Lassen sich interessierende physikalische Größen wie Temperatur oder Strömung je nach

AnforderungandenDetailliertheitsgradnichtmehrmitkonzentriertenParameternbeschrei-

ben,soistmanaufeinenAnsatzdurchpartielleDifferentialgleichungenangewiesen.Deren

Lösung mittels Ortsdiskretisierung kann häufig aufgrund komplexer Geometrieverhältnisse

kaum„manuell“berechnetwerden,sodaßmanaufrechnergestützteVerfahrenunddamitoft

aufkommerzielleWerkzeugeausweichenmuß.

FürderartdetaillierteUntersuchungenthermischerundströmungsphysikalischerZusammen-

hängewurdeim RahmenderArbeitdaskommerzielleWerkzeugSTAR

-CDderCompu-

tational Dynamics Ltd. eingesetzt. Es handelt sich dabei um ein leistungsfähiges CFD-

Programm(ComputationalFluidDynamics)zurFinite-Volumen-ModellierungundSimula-

tionthermodynamischerProzessemitkomplexenGeometrieverhältnissen.



14

STAR

=

imulationof

urbulentflowin

rbitrary

egion

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Anwender(GUI),

Programmierung

PROSTAR

Pre-undPostprocessing

STAR

NumerischeAnalyse

STAR-CD

Externe

CAD/CAE-Systeme



Bild3.26:SoftwarestrukturdeskommerziellenCFD-ProgrammsSTAR-CD

DiegrundsätzlicheSystemstrukturunddiewesentlichenLeistungsmerkmaledesProgramms

STAR-CDlassensichwiefolgtcharakterisieren[S

99]:

1. BandbreiteberechenbarerphysikalischerPhänomene:

•VielfältigeStrömungsarten(laminar/turbulent,kompressibel/inkompressibel,Mehrfach-

strömungen,Multiphasen-Strömungen,StrömungendurchporöseMedien,Diffusion).

•WärmetransportdurchWärmeleitung,Konvektion(frei/erzwungen),Wärmestrahlung.

2. ModellvorbereitungdurchGittererzeugungundGittermanipulation(Preprocessing):

•Programmeigener Netzgenerator PROSTAR mit Kommandoeingabe und graphischer

Benutzerschnittstelle(GUI).

•ImportvonCAD-GeometrienundGitternexternerCFD-/FEM-Tools(Bild3.26).

•UnstrukturierteGitter:NichtorthogonaleGitterunterschiedlicherZellenformen.

•AutomatischeGitterverfeinerung(Zellteilunglokaloderglobal).

•BewegteGitter:TransienteGitterstrukturen,rotierendeGitter,Gitterverformung.

3. NumerischeBerechnung(Simulation):

•OrtsdiskretisierungnachderFinite-Volumen-Methode.

•ErzeugungeffizientenSimulationscodesinFORTRANfürdeneigenständigenSimulator

STAR(Bild3.26),dadurchTrennungvonPre-/PostprocessingundSimulation.

•Einsatz problemspezifischer Lösungsalgorithmen (Prädiktor-Korrektor-Verfahren) mit

diversenManipulationsmöglichkeiten(Fehlertoleranz,Relaxation,Monitoringetc.).

3.5Strömungssimulation(CFD)



4. ModellnachbereitungundErgebnisvisualisierung(Postprocessing):

•ZugriffaufspezifizierteErgebnisdatensätze,registerorientierteRechenoperationen.

•VielfältigeMöglichkeitenzurVisualisierung:Konturplots(Temperatur,Druck,Dichte),

Isoplots,Vektorplots(Strömungen),TrajektorienundDiagrammesowieAnimationen

zurVisualisierungtransienterErgebnisdaten.

•ExportvonGitterdatenundSimulationsergebnissen.

Diese Zusammenstellung dokumentiert die Leistungsfähigkeit deseingesetzten CFD-Werk-

zeugs.ÜblicherweisebringtallerdingsdieModellbildungundSimulationkomplexerProzesse

mit solchen CFD-Werkzeugen einen nicht unerheblichen Aufwand mit sich. Neben der

personellenundzeitlichenInvestitionindieModellerstellungistweiterhinzubedenken,daß

vergleichsweisemächtigeModellbeschreibungenentstehen,derennumerischeLösungselbst

auf modernen Computersystemen relativ große Simulationszeiten erfordern und häufig

speicherintensiveErgebnisdatensätzeentstehenlassen[M

98].

AusdiesenGründenwirddasWerkzeugSTAR-CDimHinblickaufdenvirtuellenc-Wert-

Prüfstandnurbegrenzteingesetzt,umdetaillierteKenntnisseüberdasthermischeVerhalten

komplexer Teilkomponenten zu erlangen. Aus diesem Wissen werden in einem weiteren

Schritt geeignete Ersatzmodelle hergeleitet, welche für den jeweiligen Anwendungszweck

eine hinreichend genaue Modellbeschreibung liefern. Diese Ersatzmodelle werden in dem

ursprünglichverwendetenModellierungswerkzeugCAMeximplementiert,sodaßdergesamte

Prüfstand zur Wahrung der Modellkontinuität letztlich mit diesem einen Werkzeug

beschriebenwird.

3.5.2IntegrationderCFD-Simulation

FürdiethermischeBewertungvonHeizkostenverteilernistdieKenntnisderbeidenSensor-

temperaturen des Heizkörper- und des Raumluftfühlers T

H,F

 und T

L,F

erforderlich (vgl.

Abschnitt 2.1.3). Aufgrund des komplexen Aufbaus der Geräte (Gehäusegeometrie, innere

Komponenten wie Leiterplatte, Bauteile und Batterie) ist es nahezu unmöglich, das

Temperaturverhalten der Sensoren durch einen Ansatz mit konzentrierten Parametern zu

modellieren.UnterschiedlichsteEinflüssedurchLuftströmungensowiediedreidimensionale

WärmeleitungdurchverschiedeneMaterialiensinddabeiebensozuberücksichtigenwieder

WärmeaustauschdesGerätesdurchthermischeStrahlung.AusdiesenGründenistmanfürdie

AnalysedesthermischenVerhaltensvonHeizkostenverteilern,insbesondereimHinblickauf

die dabei interessierenden Zielgrößen der Sensortemperaturen, auf den Einsatz der CFD-

Simulationangewiesen.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



GittererstellungundVernetzung

DieErstellungeinesGittersfüreinFinite-Volumen-ModellbasiertmeistaufCAD-Datender

zumodellierendenGeometrie.SolcheCAD-DatenlassensichunterSTAR-CDdurcheinen

Import-FilterindasWerkzeugportieren,wobeieinigeGrundsätzezubeachtensind:

•CAD-DatensolltenfüreineneffizientenImportindasCFD-Werkzeugaufbereitetwerden,

sodaßnurrelevanteGeometriedaten(Kanten,Blöcke,SplinesstatteinzelnerKnotenetc.)

übernommenwerden.

•DieGeometrieinformationeninCAD-DatenbeschreibeninderRegelnurdieFestkörper

(Solids).FürdieStrömungssimulation(mitkonvektivemWärmeaustausch)interessieren

aberinsbesondereauchdieumgebendenbzw.beiHohlkörpernenthaltenenflüssigenoder

gasförmigenRaumbereiche(Fluids).

Markante Koordinatenpunkte bzw. Kanten bilden Blöcke, deren Oberflächen oft System-

grenzenzwischenFestkörpernundfluidenMediendarstellen.SolcheBlöckelassensichje

nachGenauigkeitsanforderungautomatisiertverfeinern,wodurchalsfiniteVolumenelemente

Zellenentstehen.DieSchwierigkeitbeidieserArtderModellbildungliegtinderBerücksich-

tigungkomplizierterGeometrieverhältnisseaufgrundderverschiedenenGerätekomponenten

wieMetallrückwand,Kunststoffgehäuse,LCD-Display,BatterieundLeiterplattemitweiteren

Bauteilen.

ImRahmenderProjektarbeitenwurdendreiHeizkostenverteiler-SystemederViterraEnergy

ServicesAGmitdemWerkzeugSTAR-CDmodelliertundanalysiert[M

98,



99].Die

detaillierte Vorgehensweise bei der Gittererzeugung und Simulation wird in diesen beiden

Arbeitendokumentiert.

Randbedingungen–SchnittstellenzumHeizkörper

Um die Simulation des Heizkostenverteilers unter möglichst real nachgebildeten Verhält-

nissendurchführenzukönnen,isteineAnalysedieseräußerenBedingungenerforderlich.

EinHeizkostenverteilerwirdimmerinVerbindungmiteinemHeizkörperbetrachtet.Daher

istdieKontaktstellezumHeizkörpervonbesondererBedeutung.AndenBerührungsflächen

wird die Oberflächentemperatur des Heizkörpers in der Höhe des Montageortes als feste

Randtemperaturvorgegeben(DirichletscheRandbedingung).BeiderhierbetrachtetenHeiz-

körper-Klasse werdenHeizkostenverteilernach der Norm in 75% der Heizkörper-Bauhöhe

montiert

.FürdieTemperaturkopplungwerdenfolgendeAnnahmengetroffen:

•Entlang der Ausdehnung der Kontaktfläche wird kein Temperaturprofil, sondern ein

einzelnerWertalskonzentrierterParametervorgegeben.DieseAnnahmeistvertretbar,da

dieAbmessungendesHeizkostenverteilersdeutlichkleinersindalsdieBauhöhederhier



15AbweichungeninderMontagehöhegibtesbeianderenHeizkörperartenwiez.B.Handtuchheizkörpern,Konvektorenetc.

3.5Strömungssimulation(CFD)



betrachtetenHeizkörpertypen.ZudembefindensichdieSensoreninderMittedesGerätes,

wodurch quasi eine Mittelung stattfindet. Als Kontakttemperatur wird die Oberflächen-

temperaturamHeizkörperherangezogen,dieamOrtdergeometrischenMittederHeiz-

kostenverteiler-Rückwandanliegt.

•BeiderMontageeinesHeizkostenverteilersaneinenPlattenheizkörpererfolgtdieTempe-

raturvorgabe an der gesamten Fläche der Rückseite des Gerätes. Findet die Montage

dagegen an einem Gliederheizkörper statt, sind die Kontaktflächen in der Regel sehr

schmal(„Linienkontakt“). Indiesem Fallwerden zur Nachbildung realistischer Verhält-

nissezweiZellreihen(entsprichteinerBreitevonetwa1mm)mitderTemperaturvorgabe

versehen.

DaHeizkörpereinenTeilderWärmedurchKonvektionabgeben,existiertinunmittelbarer

Nähe der Oberfläche eine aufsteigende Luftströmung. Im Abschnitt 3.4.2 wurde diese

GrenzschichtströmungdurcheincharakteristischesTemperatur-undGeschwindigkeitsprofil

gekennzeichnet.WirdderHeizkostenverteileramHeizkörperangebracht,sobefindetersich

zwangsläufig teilweise oder ganz innerhalb dieser Grenzschicht und wird von der

aufsteigendenLuftangeströmt.DieseUmströmungmußalsäußereRandbedingungebenfalls

berücksichtigtwerden,dasiedenthermischenZustanddesHeizkostenverteilersbeeinflußt.

ZudemkönntenohnedieseUmströmungkeineAussagenzurWärmeübertragungdesGerätes

anseineUmgebunggemachtwerden(z.B.Wärmeübergangskoeffizienten).

DasGittermodelleinesHeizkostenverteilersmußausdiesemGrundderarterweitertwerden,

daßeinhinreichendgroßerLuftrauminseinerunmittelbarenUmgebungmodelliertwird(Bild

3.27). Als äußere Randbedingung für diesen Luftraum wird die am Rand vorliegende

Umgebungstemperatur T

vorgegeben, an der Unterseite muß dann zusätzlich die am

Heizkörper in der Montagehöhe vorhandene Grenzschichtströmung in Form einer Einlaß-

randbedingung berücksichtigt werden. Die Temperatur- und Strömungsgrenzschicht lassen

sichausgehendvonderlokalenkonvektivenWärmeabgabedurchdieGrenzschichtdickenach

Gleichung(3.39)zu

αλ

= =

Konv

A T



∆



 (3.94)

bestimmen.DamitistdasTemperaturprofilmiteinemVerlaufgemäßGleichung(3.29)bereits

eindeutigbestimmt.

ZurFestlegungdesGeschwindigkeitsprofilsfehltnochderWertdermaximalenStrömungs-

geschwindigkeitu

max

,dersichausGleichung(3.33)zu

u u gT

max = =

∆ (3.95)

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



ergibt(sieheSeite45).MitdemkubischenAnsatzausGleichung(3.32)istdamitauchdas

Geschwindigkeitsprofil eindeutig bestimmt. Ausgehend von diesen Parametern wird die

GrenzschichtströmungalsEinlaßrandbedingungfürdieSimulationvorgegeben,indemeine

DiskretisierungderbeidenProfileinAnlehnungandasGittermodellvorgenommenwird.

Heizkörper

Simulationsraum

fürSTAR-CD

VorgabedesProfils

derLuftströmung

,T

,u

max,75

,δ

)

StrömungstemperaturT

Einlaßrandbedingung:

Grenzschichtströmung

Kontakt-

temperaturT

max,75

xδ

Strömungsgeschwindigkeitu

u=0

Umgebungs-

temperaturT



Bild3.27:SimulationsraumumeinenHeizkostenverteilermitRandbedingungen

Schließlich wird auch der Strahlungswärmeaustausch des Heizkostenverteilers mit seiner

Umgebungberücksichtigt,dadasGehäuseauchdurchthermischeStrahlungWärmeandie

umgebendenWändeabgibtundsichsomitebenfallsabkühlt.

3.5Strömungssimulation(CFD)



CFD-Simulation

Auf eine detaillierte und damit farbintensive graphische Darstellung der Simulationsergeb-

nissesollandieserStelleweitgehendverzichtetwerden,dainersterLiniedieMethodikder

KennfeldermittlungimVordergrundsteht.ExemplarischseijedochdiesimulierteLuftbewe-

gung(UmströmungundStrömungimGehäuse)alsVektorplotsowiedieGehäusetemperatur

alsKonturplotdargestellt,umdasprinzipielleAussehenunddieAussagefähigkeitderErgeb-

nissezuverdeutlichen.ImBild3.28repräsentiertdieLängederVektorpfeiledieStrömungs-

geschwindigkeitunddieGraustufendieverschiedenenTemperaturwerte.

Gehäuse-

Temperatur[°C]

Luft-

Temperatur[°C]

Randbedingung

Grenzschichtströmung



Bild3.28:VisualisierungderCFD-SimulationsergebnisseeinesHeizkostenverteilers

DasBeispielzeigteinenHeizkostenverteilerinKontaktmiteinemebenenPlattenheizkörper.

ErkennbaristnebenderEinlaßrandbedingungderGrenzschichtströmunggemäßBild3.27die

weitere Ausprägung der Luftströmung durch freie Konvektion und die Umströmung des

Gehäuses.ImGeräteinneren(hiereinSchnittdurcheinebauteilfreieEbene)bildetsichdurch

dieTemperaturdifferenzzwischenwarmerRückseite(KontaktzumHeizkörper)undkühlerer

VorderseiteeineZirkulationsströmungaus,dienebenderWärmeleitungallerfestenKompo-

nenteneinenzusätzlichenEinflußaufdieSensortemperaturenhat.

Bei der Auswertung einer CFD-Simulation werden zur Gewinnung der interessierenden

Sensortemperaturwerte diejenigen Zellen aus dem Gittermodell herangezogen, welche die

geometrischeLagederSensorenimModellrepräsentieren.FürdieErmittlungeineskonzen-

trierten Temperaturwertes wird dann eine arithmetische Mittelung über die betreffenden

Zellendurchgeführt.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



3.5.3ParametrierteErsatzmodelle

InAnlehnungandenHierarchiebaumausAbschnitt3.2.1(Bild3.4)sollimAnschlußandie

zweiteHierarchieebeneauchdasTeilsystemHeizkostenverteilersinnvollstrukturiertwerden,

umrelevanteTeilmodellezuabstrahieren.WichtigsterAspektdieserStrukturierungistwie

zuvordiespätereWiederverwendbarkeitderentstehendenSubmodellealsInstanzineinem

individuellaggregiertenGesamtprozeßdesPrüfstands.

SubstantielleAbstraktion

BeiderModellbildungundSimulationeinesHeizkostenverteilerswirddasGerätimmerim

ZusammenhangmiteinemHeizkörperbetrachtet.DiejeweiligeMontagemußdaherneben

möglichenRandbedingungenineineModellbeschreibungintegriertwerden.Umdiesestets

vorhandene Kopplung zwischen Heizkörper und der Gehäuserückseite bei verschiedenen

Gerätennichtjedesmalneumodellierenzumüssen,wirdeineTrennungineinthermisches

Heizkostenverteiler-ModellundeinKoppelmodellvorgenommen(Bild3.29).DieÄhnlichkeit

der geometrischen Kontur der Rückseite auch verschiedener Geräteausführungen gewähr-

leistetdiegewünschteWiederverwendbarkeitderbeidenSubmodelle.

Ankopplung

/Montage

HKVE

Thermisches

Ersatzmodell

(Bild3.4)



Bild3.29:HierarchiebaumdesTeilmodellsHeizkostenverteiler

ModellbausteinHeizkostenverteiler–ThermischesErsatzmodell

Daessichbeiderc-Wert-PrüfungumeinenstationärenVorganghandelt,genügtauchfür

möglicheErsatzmodellediealleinigeBerücksichtigungdesstationärenSystemverhaltens.Um

verallgemeinerte nichtlineare Zusammenhänge erfassen zu können, liegt es nahe, das

thermischeVerhaltendurchgeeigneteKennlinienfelderzuapproximieren.ImeinfachstenFall

läßtsicheinnichtlinearesSystemverhaltenineinerUmgebung∆umeinenArbeitspunktAP

durch einen quadratischen Ansatz annähern, die Ausgangsgröße dieser Kennlinie folgt der

Beziehung

3.5Strömungssimulation(CFD)



(

)

z f x a x b x c= = + + 

2. (3.96)

Werden durch Messung oder Simulation drei Punkte dieser gesuchten Kennlinie ermittelt

(AP,AP+∆x,AP–∆x),sokönnendiedreiunbekanntenParametera,b,calsLösungdes

entstehenden Gleichungssystems eindeutig bestimmt werden. Als Arbeitspunkt wird im

Hinblick auf die Randbedingungen bei der c-Wert-Prüfung der Basiszustand bei einer

mittleren Heizmediumtemperatur von T

=50°C definiert. Die Abweichungen (AP±∆)

werden derart gewählt, daß die gesamte Kennlinie um den Arbeitspunkt herum für den

zulässigen Bereich der mittleren Heizmediumtemperatur von T

=40...60°C Gültigkeit

erlangt (durch Extrapolation sind auch randnahe Bereiche außerhalb der Meßpunkte noch

zulässig).

Hängt die Ausgangsgröße von mehreren Eingangsgrößen ab, so führt dies zu mehrdimen-

sionalen Kennlinienfeldern. Wie zuvor bereits herausgestellt wurde, findet die wesentliche

thermischeBeeinflussungdesHeizkostenverteilersüberdiebeidenSchnittstellengrößendes

Heizkörpers, die KontakttemperaturT

 und die Grenzschichtdicke

, statt. Ein dafür

erforderlichesKennlinienfeldmitzweiEingangsgrößenkannbeiquadratischemAnsatzdurch

dieBeziehung

(

)

z f x y a x b x c y d y e

= = + + + +,    

2 2  (3.97)

beschriebenwerden,diefünfunbekanntenParameterwerdendurchAuswertungfünfdiskreter

ZuständeumdeninteressierendenArbeitspunkt(AP,AP+∆x,AP-∆x,AP+∆y,AP-∆y)er-

mittelt.GeometrischläßtsicheinsolcheszweidimensionalesKennlinienfeldalsparabolische

Flächeveranschaulichen,dieüberdieverschiedenenArbeitszuständegelegtwird(Bild3.30).



Bild3.30:BeispieleineszweidimensionalenKennlinienfeldsumeinenArbeitspunktAP

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



Die Lage und Größe der Kontaktfläche zwischen Heizkörper und Heizkostenverteiler

unterscheidet sich mit jedem Heizkörpertyp, weshalb theoretisch beliebig viele Variations-

möglichkeitenexistieren.UmdieseVielfaltmitdemZielderkonzentriertenModellbildung

handhaben zu können, wird die Kontur der Geräte-Rückseite in diskrete Kontaktzonen

aufgeteilt.DadieBerührungstetsvollständiginvertikalerRichtungstattfindet(Linien-bzw.

Flächenkontakt),erstreckensichdiesedurchStufendiskretisierungentstandenenZonenüber

diegesamteBauhöhederGeräterückseite.

Zur Parametrierung thermischer Kennfeld-Ersatzmodelle werden somit detaillierte und mit

hohemAufwandverbundeneCFD-SimulationenjeweilsnurfüreinediskreteZoneerforder-

lich.AllerdingsmüssenfürjedederbetrachtetenZonenzurvollständigenErmittlungeines

quadratischapproximiertenKennlinienfeldesmindestensfünfZuständezurBerechnungder

charakterisierendenKennfeldparameterermitteltwerden.

Die Verschaltung und Implementierung der ermittelten Kennlinienfelder bildet schließlich

einenModellbausteinderKlasseHeizkostenverteiler,dieprinzipielleStrukturdieserModell-

bausteinewirdinBild3.31veranschaulicht.AlsSchnittstellenfürdieVerkopplungwerden

dieKontakttemperaturT

undGrenzschichtdicke

alsKoppeleingängesowiediebeiden

interessierenden Sensortemperaturen T

H,F

für die Heizkörper- und T

L,F

 für die Raumluft-

temperaturalsKoppelausgängespezifiziert.PraktischwirdfürjedeberücksichtigteKontakt-

zoneeineigenerModellbausteinimplementiert.Das„Umschalten“zwischenverschiedenen

ZonenentsprichtdamitderAuswahldeszugehörigenModellbausteinsfürdieseZone.Die

KontaktzonekannalsModellparameterangesehenwerdenundläßtsichimGesamtprozeßdes

virtuellenPrüfstandsindieParameterklassederStrukturparametereinordnen(ähnlichwieder

ParameterQuerschnittstypausAbschnitt3.4.3,mehrzurParametrierungimAbschnitt4.1).

Kontaktzone(1

...n

)

L,F

(T75,

75,Zone)

(a)

(n)

(1)

H,F

(T75,

75,Zone)



Bild3.31:StrukturelleEinbindungthermischerErsatzmodelledurchKennlinienfelder

3.6WeitereModellbausteine



Bei der Verwendung einer Instanz des Modellbausteins Heizkostenverteiler im Prozeß der

Modellaggregation (Bottom-Up-Synthese) wird zunächst angenommen, daß der Kontakt

immer nur in einer Zone stattfindet. Eine zusätzliche Verfeinerung läßt sich jedoch ohne

größerenAufwanddurchInterpolationzwischenzweibenachbartenZonenerreichen(wenn

derKontaktbeispielsweisegenauzwischenzweidiskretenZonenstattfindet).

Implementierung

DieVerwendungderErsatzmodellefürdasSubsystemHeizkostenverteilerimGesamtmodell

des Prüfstandes erfolgt durch Implementierung eines Kennlinienfeldes als CAMex-Modell-

bausteinModKLFeld5P.ZurSpezifizierungdesKennlinienfeldesmüssendieKoeffizienten

der Gleichung (3.97) nicht explizit berechnet werden. Statt dessen werden der simulierte

Arbeitspunktund die ausgewählten Zuständein seinerUmgebung(±∆x, ±∆y)angegeben.

Die Koeffizienten des Kennlinienfeldes werden erst später bei der Instanzierung eines

Objektes durch Auswerten und Lösen des entstehenden Gleichungssystems automatisch

bestimmt

.

Ein Modellbaustein für die Hierarchie Heizkostenverteiler läßt sich durch Aggregation aus

zwei Kennlinienfeldern vererben, wobei für jede Sensortemperatur ein entsprechender

Modellbaustein implementiert wird. Damit läßt sich das stationäre thermische Verhalten

schließlichdurcheinenSatznichtlineareralgebraischerGleichungenbeschreiben.

3.6WeitereModellbausteine

3.6.1Kontaktmodell

DieErfahrungenbzw.diemitderbisherigenHeizkörperauswahldurchgeführtenSimulatio-

nenhabengezeigt,daßmancheHeizkörpertypen,wiez.B.Guß-HeizkörperoderFaltwellen-

Radiatoren, in der Simulation tendenziell zu niedrige c-Werte aufweisen. So war es u.a.

Gegenstand des Projektes, diese Abweichungen genauer zu analysieren und die Ursachen

möglichst einzugrenzen. Bei den c-Werten fällt allgemein auf, daß insbesondere bei den

sogenanntenSchmalsäulernundbeiGußradiatorenAbweichungendesc

1,F

-Wertesauftreten.

BeidenGußradiatorenlassensichdieseAbweichungendamitbegründen,daßsieinderRegel

durchdenHerstellungsprozeßbedingteinerauhereOberflächeaufweisenalsausStahlblech

oderStahlröhrengefertigteHeizkörper.BeiderMontageeinesHeizkostenverteilerskommtes

demzufolgezueinemvergleichbarschlechterenWärmeübergang.DieseGegebenheitläßtsich

imModellkonzeptdesvirtuellenc-Wert-PrüfstandsdurchdieEinführungeineszusätzlichen

thermischenKontaktwiderstandes berücksichtigen, der im Folgenden mit R

 bezeichnet

werdensoll.



16AufderBasisdesverwendetenComputeralgebraprogramms

MapleV

läßtsichdieBerechnungderKennfeldkoeffizienten

besondersgutautomatisieren(geeigneteLösungsalgorithmen,algebraischeOperationen,EinsetzenderLösung).

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



PhysikalischeBetrachtung

InAnalogiezumohmschenGesetzderElektrotechnikU=IR,welchesdenSpannungsabfall

UübereinenvomStromIdurchflossenenelektrischenWiderstandRbeschreibt,kannauchin

der Thermodynamik ein Temperaturabfall ∆T über einen thermischen Widerstand R

mit

HilfedesgesamtenWärmestromesQ



beschriebenwerden,

QRT K



⋅=∆ , (3.98)

wobei der thermische Widerstand R

die physikalische Einheit Kelvin pro Watt [K/W]

besitzt

.MitdieserKonventionläßtsichdieresultierendeKontakttemperaturT

amHeiz-

kostenverteiler-UnterteilmitderGleichung

QRTT



⋅−= 75  (3.99)

berechnen(Bild3.32).DabeiistT

dieOberflächentemperaturdesHeizkörpersin75%der

Bauhöhe(Montageort)undstellteinephysikalischeSchnittstelledesTeilmodellsHeizkörper

dar(Koppelausgang).

Kontakt



Kontaktwiderstand

HKVE

Heizkörper



Bild3.32:ZurDefinitiondesKontaktwiderstandes

AlsVoraussetzungzurImplementierungderGleichung(3.99)mußderWärmestrombekannt

sein,derindenHeizkostenverteilerhineinfließt.

WärmeströmeamHeizkostenverteiler

Da sich ein Heizkostenverteiler durch seinen Kontakt zur warmen Heizkörperoberfläche

erwärmt,gibterselbstwiederWärmedurchKonvektionandiestetskühlereUmgebungsluft

bzw.durchthermischeStrahlungandieumgebendenWändeab.DiesergesamteWärmestrom



17GebräuchlichistoftauchderKehrwertdesthermischenWiderstandes.Dieser

thermischeLeitwert

mitderEinheit

Watt

proKelvin

besitztdieBedeutungeinerWärmeübergangszahl(z.B.

beiKonvektionoder

d

beiWärmeleitung).

3.6WeitereModellbausteine



mußnäherungsweisedurchdieKontaktflächezumHeizkörperfließen,sofernmandensehr

geringen Strahlungswärmaustausch zwischen Heizkostenverteiler und Heizkörper vernach-

lässigt. Diese Kontaktfläche fällt dabei je nach Montage mehr oder weniger groß aus: an

Plattenheizkörpern mit ebener Frontseite (ohne Profilierung) entspricht sie annähernd der

FlächederRückseitedesGerätegehäusesinderGrößenordnungwenigerQuadratzentimeter

(sieistaufgrundvonMontagebohrungenstetsetwaskleiner),währendz.B.beiderMontage

an Gliederheizkörpern nur ein „linienförmiger“ Kontakt in der Größenordnung einiger

Quadratmillimeterzustandekommt(beiverkanteterMontageggf.nochweniger).Zusätzlich

fließt immer auch ein kleiner Wärmestrom durch die Montagebolzen, die ebenfalls im

thermischen Kontakt zum Heizkörper stehen und als Metall eine relativ gute Wärmeleit-

fähigkeit besitzen. Dieser Anteil kann allerdings gegenüber dem Wärmestrom durch die

Kontaktfläche als gering angesehen werden, da der „Wärmeleitweg“ durch einen solchen

Bolzen(beiderMontageamGliederheizkörper)relativlangist.

Als Ergebnis einer CFD-Simulation sind neben den oft interessierenden Temperatur- und

StrömungsverhältnissenweiterecharakteristischeGrößenderFluiddynamik,wiez.B.Druck,

Dissipation und auch Wärmeströme, zugänglich. Aus den Simulationsergebnissen der

Heizkostenverteiler (Abschnitt 3.5) können somit neben den für die c-Wert-Berechnung

notwendigen Temperaturen auch die interessierenden Wärmeströme extrahiert werden. Als

OptiondesProgrammsSTAR-CDlassensichbeiderSimulationdieBilanzgleichungenfür

jedes Material ausgeben. Alternativ können beim Postprocessing der Ergebnisdaten die

Wärmestromdichten an den Grenzen zwischen zwei Materialien visualisiert werden. Über

diese Größen ist dann durch Multiplikation mit den finiten Flächenelementen der

Kontaktfläche und anschließender Aufsummierung der gesuchte Wärmestrom ebenfalls

berechenbar.

DiesimuliertenWärmeströme,dieeinHeizkostenverteilervomHeizkörperaufnimmt,liegen

generell in der gleichen Größenordnung um etwa 1 Watt. Diese Feststellung ist insofern

bemerkenswert,dasichdieAbmessungenderKontaktflächenjenachHeizkörperartoftsehr

deutlich voneinander unterscheiden. Die Größe der Kontaktfläche selbst hat damit keinen

derartgroßenEinflußaufdieinteressierendenZielgrößen„c-Werte“,wiemanzunächsthätte

vermutenkönnen.DieWärmestromdichtevergrößertsichalsVerhältnisvonWärmestromzur

Fläche mit kleiner werdender Kontaktfläche, sie beträgt z.B. für T

=50°C bei ebenem,

großflächigem Kontakt etwa 0,4kW/m

, während sie bei näherungsweise linienförmigem

Kontaktbisauf9,2kW/m

ansteigt(ZahlenbeispieleinesAnwendungsfalls).

VergleichtmandenthermischenWiderstandeinesHeizkostenverteilersR

HKVE

bezüglichdes

Wärmeflusses, der über die Kontaktflächen hineinfließt und über alle sonstigen Flächen

wieder an die Umgebung abgeführt wird, mit dem Kontaktwiderstand R

, so gilt das

Verhältnis KHKVE RR >> .DieWärmeabfuhrüberdasGehäuseistdeutlichschlechteralsder

wärmeleitendeKontaktzumHeizkörper.DadiebeidenWiderständeeinethermischeReihen-

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



schaltung gemäß Bild 3.33 bilden, wird der Wärmestrom Q

 im wesentlichen durch den

größerenderbeidenWiderständebestimmt

(wieauchimelektrischenAnalogon),hieralso

durchdenthermischenWiderstandR

HKVE

desHeizkostenverteilers.

Kontakt

Umgebung

HKVE



Kontakt/Montage

Heizkostenverteiler



Bild3.33:ThermischeErsatzwiderständebeimHeizkostenverteiler

AusdieserTatsacheläßtsichschließen,daßdieGrößederKontaktzoneaufgrunddesstets

kleinerenWiderstandesR

gegenüberR

HKVE

nureinensehrgeringenEinflußaufdenWärme-

strom Q

 durch einen Heizkostenverteiler und damit auch auf die Temperatur am Ort des

Heizkörper-bzw.Raumluftfühlershat.EntscheidendistvielmehrderOrtdesKontaktesbzw.

dieZone,inderdieBerührungstattfindet.BeilinienförmigemKontakt(unddamitkleinerer

Fläche)istderWärmstrominderRegelsogargrößeralsbeigroßflächigemKontakt.Diese

Beobachtungkanndamitbegründetwerden,daßbeieinemKontaktindenäußerenZonender

mittlere, relativ große Bereich von der Luft der Grenzschichtströmung überstrichen und

dadurchabgekühltwird.DiesbewirkteineVerringerungdesdominantenthermischenWider-

standesdesHeizkostenverteilersR

HKVE

undführtsomitbeikonstanterTemperaturdifferenz

–T

Umgebung

zueinemgrößerenWärmestrom.

AnwendungdesKontaktwiderstandesimGesamtprozeß

Der thermische Kontaktwiderstand R

stellt einen neuen, zunächst unbekannten Modell-

parameter dar. Aus diesem Grunde wurden dessen Auswirkungen auf die Ausgangsgrößen

des Prozeßmodells detailliert untersucht. In entsprechenden Parameterstudien wird als

Ergebnisdokumentiert,welchenEinflußderthermischeKontaktwiderstandaufdiec-Werte

hatundinwelcherphysikalischplausiblenGrößenordnungsichderWertebereichbewegt.

DieMotivationfürdieEinführungdesthermischenKontaktwiderstandesalsneuenModell-

parameterstütztsichauchaufdieSchaffungneuerAnwendungsmöglichkeiten,welchedie

universelleVerwendbarkeitdesGesamtmodellsgewährleistenbzw.erweitern:

•Der (wenn auch meist kleine) Wärmewiderstand einer Heizkörperlackschicht kann

berücksichtigtwerden.MitderWärmeleitfähigkeit

Lack

undderDickederLackschicht



18DergrößereWiderstandentsprichtderkleinerenWärmeübergangszahlunddamitderschlechterenWärmeleitung.

3.6WeitereModellbausteine



Lack

berechnetsichderthermischeWiderstandunterBerücksichtigungderKontaktfläche

Kontakt

zu

KontaktLack

Lack

= (3.100)

DieserWärmewiderstand kannvorabermittelt undalsZahlenwerteingegebenoderauf

derBasisdieserGleichungalseigenerModellbausteinimplementiertwerden

.

•Bei der bisher untersuchten Heizkörperklasse ist stets davon ausgegangen worden, daß

sichderHeizkostenverteilerdirektgegenübereineswasserführendenKanalsbefindet,da

dieTemperaturT

fürdieäußereOberflächederSäuleberechnetwird.OftwirddasGerät

jedoch nicht unmittelbar an einer wasserführenden Säule, sondern je nach Heizkörper-

bauartweiteraußenmontiert(z.B.beiHeizkörpernmitRippen,Konvektionsblechenoder

beim Einsatz eines Verbreiterungsteils bei Gliederradiatoren). In diesem Fall existiert

durchdieMetallanordnungzwischenHeizkostenverteilerundwasserführendemKanalin

bezug auf den Kontaktwiderstand ein zusätzlicher Wärmeleitwiderstand. Häufig kann

diesesWärmeleitproblemaufzweidimensionalerEbenesoanalysiertwerden,daßessich

durcheinenäquivalententhermischenErsatzwiderstandrepräsentierenläßt. Ansätzefür

einfache Geometrieformen finden sich beispielsweise in den Berechnungsblättern des

VDI-Wärmeatlas[VDI97].

Bei geeigneter Strukturierung (Verallgemeinerung, Definition von Schnittstellen etc.) läßt

sichsomitdieProblematikeineszusätzlichzuberücksichtigendenWärmeleitproblemsdurch

einenneuenModellbausteinindenVirtuellenc-Wert-Prüfstandintegrieren.

Implementierung

DieAuswertungderCFD-SimulationsergebnissezurErmittlungdesWärmestromsliefertdie

Erkenntnis,daßdieGrenzschichtdicke

nureinengeringenEinflußaufdenWärmestrom

hatunddamitderWärmestromindasGerätnurvonderTemperaturdifferenzzurUmgebung

–T

abhängt. Zur Implementierung genügt deshalb für jeden Heizkostenverteiler eine

3-Punkt-Kennlinie,umdenfunktionalenZusammenhang

(

)

TTfQ

−= 75

durcheinquadra-

tischesPolynomanzunähern.

DieModellbausteine der Klasse Heizkostenverteiler lassen sich gemäß dieser Anforderung

erweitern, indem bei der Vererbung als zusätzliches Submodell die 3-Punkt-Kennlinie

ModKL3Paggregiertwird.BeidieserSpezifikationwirdweiterhinderneueModellparameter

„Thermischer Kontaktwiderstand[K/W]“ hinzugefügt, der sich zur Abgrenzung von den

allgemeinen Heizkörper-Parametern in eine neue Parametergruppe „Montage-Parameter“



19AlsZahlenbeispielergibtsichfüreineangenommeneLackschichtdickevon

Lack≈0,3mm,einerKontaktflächevon

130mm2undeiner(geschätzten)Wärmeleitfähigkeitvon

Lack≈5W/mKeinKontaktwiderstandvon

K=0,46K/W.

 3ModellierungvonRaumheizsystemen



einordnenläßt(dieGruppierungvonModellparameternwirdinAbschnitt4.1durchgeführt).

DadieSchnittstellenderHKVE-Modellbausteinestrukturellunverändertbleiben,lassensich

dieseauchnachderModifikationwiegewohntverwenden,sodaßeineAnpassunganderer

Modellbausteinenichterforderlichist.

Die Stützstellen der 3-Punkt-Kennlinie werden analog wie bei der Implementierung der

KennlinienfelderfürdieSensortemperaturenumeinenArbeitspunktherum(AP±∆)ausge-

wertet.DieentstehendendreiWertepaaredienenzurSpezifikationderKennlinieundwerden

indiejeweiligenModellbausteinefürdieParameterderKennlinieeingesetzt.

3.6.2c-Wert-Berechnung

Zur Ermittlung der Zielgröße c-Wert wird die Berechnungsvorschrift gemäß EN834 nach

Gleichung (2.7) als separater Modellbaustein in den virtuellen Prüfstand implementiert.

DiesesTeilmodellbestehtdaherlediglichausdenbeidenalgebraischenGleichungen:

1.c-Wert-Berechnung:

cT T

H F L F

= −

−

1, ,

∆ (3.101)

2.LogarithmischeÜbertemperatur: ∆TT T

T T

V R

V L

R L

−

 (3.102)

Als Schnittstellen (Koppeleingänge) dieses Modellbausteins treten die Systemtemperaturen

desHeizkörpers(VorlauftemperaturT

,RücklauftemperaturT

),dieRaumlufttemperaturder

PrüfumgebungT

sowiedieSensortemperaturendesHeizkostenverteilers(Heizkörperfühler

H,F

undRaumluftfühlerT

L,F

)auf.DieseSchnittstellenstehenalsKoppelausgängederSub-

modelle Heizkörper und Heizkostenverteiler sowie des Eingangsgrößenmodells Prüfumge-

bungzurVerfügung(Bild3.5).

Der Modellbaustein c-Wert-Berechnung gilt für den allgemeinen Zweifühlerbetrieb eines

entsprechendausgestattetenHeizkostenverteilers(Zweifühlergerät).FürdieErmittlungvonc-

WertenimEinfühlerbetriebbzw.füreinbaugleichesEinfühlergerätwirdbeiderVerkopplung

des Modellbausteins die Schnittstelle Raumluftfühlertemperatur mit der konstanten Raum-

lufttemperaturT

desEingangsgrößenmodellsgleichgesetzt.

3.6.3Strahlungsanteil

AlseinederphysikalischenEinflußgrößenaufdasthermischeVerhalteneinesHeizkosten-

verteilers (Abschnitt 3.5) ist die Kenntnis der Grenzschichtdicke

am Ort der Montage

erforderlich. Diese läßt sich anhand der Gleichungen (3.39) und (3.41) aus der lokalen

konvektivenWärmeleistungzu

3.6WeitereModellbausteine



( ) ( )

Konv

OL TT

z−= 



 (3.103)

bestimmen. Da der Potenzansatz die insgesamt (lokal) abgegebene Wärmeleistung liefert,

muß der konvektive Anteil aus der Berechnung des (lokalen) Strahlungsanteils ermittelt

werden.DerStrahlungsanteilselbstläßtsichüberdasStefan-Boltzmann-GesetznachGlei-

chung (3.47) berechnen. Bei Gliederheizkörpern muß zusätzlich der strahlungswirksame

Flächenanteilbekanntsein,derausdenverfügbarenGeometrieparameternSäulenbreiteund

Gliedbaulängeerrechnetwerdenkann.

ObgleichnuralsZwischengrößeerforderlich,stelltdersoberechneteStrahlungsanteileine

zusätzliche interessante Ausgangsgröße des gesamten Prozeßmodells dar. Er kann z.B. für

einenVergleichmitHerstellerangaben(sofernverfügbar)herangezogenwerden.

 4Parametrierung



4Parametrierung

Eine explizit interessierende Prozeßvariante (Ausprägung) wird erst durch die Festlegung

einesbestimmtenSatzesanModellparameternspezifiziert.EinderartfestgelegterProzeßwird

dann als Experiment bezeichnet. Komplexe Prozeßmodelle, deren Verhaltensweisen durch

sehrvieleDifferentialgleichungenundalgebraischeSystemgleichungenbeschriebenwerden,

besitzeninderFolgehäufigeineunüberschaubargroßeAnzahlanModellparametern.Eine

wichtige Aufgabe des Modellierers ist somit auch die Sicherstellung einer möglichst

einfachen und transparenten Parameterstruktur, um eine anwenderfreundliche und sichere

ParametrierbarkeitderProzeßmodellezugewährleisten.

Die folgenden Abschnitte betrachten diesen Aspekt in bezug auf das Prozeßmodell des

„Virtuellen c-Wert-Prüfstands“ und verdeutlichen die spezielle Vorgehensweise bei der

Parametrierung.

4.1KlassifikationvonModellparametern

UnabhängigvommodelliertenProzeßunterscheidetdasobjektorientierteModellierungswerk-

zeugCAMexzwischendreiverschiedenenParametertypen[J

97]:

Typ0:KonstanterParameter.DerWertwirdbereitsbeiderModelldefinitionfestgelegtund

kann ohne Manipulation eines Modellbausteins (bei der Vererbung) nicht mehr

verändertwerden(z.B.Erdbeschleunigungg=9,81m/s

).

Typ1:PrimärerParameter.DieZahlenwertedieserModellparameterwerdenunmittelbar

vor der Simulation vom Benutzer eingegeben, um ein bestimmtes Experiment zu

spezifizieren(kalibrierbarerParameter).

Typ2:Sekundärer Parameter. Diese Parameter errechnen sich mittels einer im Modell-

bausteinabgelegtenBerechnungsvorschriftausdenKonstanten(Typ0)und/oderden

primärenParametern(Typ1).DieBerechnungdesZahlenwertesfindetunmittelbar

nachderParametereingabestatt,alsonochvorderSimulation(off-line).

In einer Eingabemaske des Simulators (Bild 4.1) werden die Bezeichner und Zahlenwerte

allerParameterderausgewähltenParametergruppe(s.u.)tabellarischaufgelistet.Dieprimären

Modellparameter sind editierbar, während alle Konstanten und sekundären Parameter zwar

angezeigtwerden,aberkeineDateneingabezulassen(inaktiveDarstellung).DasBeispielin

Bild4.1zeigtdieAnzahlderSegmente(=20)alskonstantenParameter,dieMantelflächedes

Segmentes(=600cm

)errechnetsichalssekundärerParameterausdenübrigenGeometrie-

parametern.

FürdenAnwendersindalsotatsächlichnurdieprimärenModellparameter(Parametertyp1)

relevant,diezurFestlegungeinervirtuellenPrüfsituationindenSimulatoreingegebenwerden

4.1KlassifikationvonModellparametern



müssen.ImRahmeneinerParametrierungistinersterLiniedieErmittlungdieserModell-

parametererforderlich.



Bild4.1:MaskezurEingabevonGeometrieparametern(BeispielPlattenheizkörper)

Zur besseren Übersichtlichkeit und Handhabung werden die Parameter eines komplexen

Prozeßmodells zunächst in Gruppen gegliedert. Diese Unterteilung kann sowohl anhand

strukturelleralsauchphänomenologischerGesichtspunkteerfolgen.CAMexunterstütztdiese

Gruppierung, indem ein Modellparameter zwingend einer Parametergruppe zugeordnet

werden muß. Der Gruppenname kann dabei vom Modellierer vorgegeben oder auch

automatischfestgelegtwerden.

BeiderModellbildungdesVirtuellenc-Wert-PrüfstandswurdeninsgesamtfünfParameter-

gruppendefiniert,umalleauftretendenModellparameterstrukturierteinordnenzukönnen.Es

sinddiesdieGruppenderGeometrie-,Stoff-,Heizkörper-,Montage-undStrukturparameter.

Die Parameter der einzelnen Gruppen werden im folgenden kurz aufgeführt und der Weg

ihrerErmittlung(Identifikation)angegeben.

4.1.1Geometrieparameter

IndieserZusammenstellungwerdenallegeometrischenAbmessungenundEigenschaftendes

TeilmodellsHeizkörperzusammengefaßt:

 -BauhöhedesHeizkörpers

 -BaulängedesHeizkörpers(Plattenheizkörper)

 -Teilung(Plattenheizkörper)

 -StrahlungswirksameGliedbaulänge(Gliederheizkörper)

d -DickederHeizkörperwand(ggf.Mittelwert,z.B.beiGuß-Heizkörpern)

a,b -AbmessungendesFließkanalquerschnitts(vgl.Abschnitt3.4.3zurTypisierung)

 4Parametrierung



 -WasserinhalteinesGliedes(nurzurTypisierungerforderlich)

 -AnzahlSäulen(Gliederheizkörper)bzw.Reihen(Plattenheizkörper)

IdentifikationderGeometrieparameter:

B

,B

,N

,d,V

,p

T

←Hersteller-Datenblätter(alternativ:Messung)

a,b   ←Datenblätter,ggf.durchTypisierung(3.4.3)

In einigen Fällen (häufiger bei älteren Heizkörpern) kann es vorkommen, daß nicht alle

Geometrieparameter aus den technischen Daten der Hersteller hervorgehen. Dann müssen

Messungen an den betreffenden Heizkörpern vorgenommen oder Erfahrungswerte heran-

gezogenwerden.

DieSäulenzahlN

stelltstrenggenommeneinenStrukturparameterdar,dasieausderTopo-

logie eines Gliederheizkörpers hervorgeht. Wie im Kapitel 3 zur Modellbildung erläutert,

wird statt einzelner Säulen die Wärmeabgabe einer vollständigen Schicht eines Gliedes

beschrieben,sodaßdieSäulenzahlnurphänomenologisch,nichtjedochstrukturellaufdas

Modell wirkt. Die Säulenzahl wird daher als primärer Modellparameter behandelt und der

GruppederGeometrieparameterzugeordnet.

4.1.2Stoffparameter

In dieser Parametergruppe werden die Stoffwerte der beteiligten Medien spezifiziert. Es

handeltsichdabeiüberwiegendumthermischeMaterialeigenschaftenwiez.B.dieWärmeleit-

fähigkeit.

p,W

 -SpezifischeWärmekapazitätdesHeizmediums

p,H

 -SpezifischeWärmekapazitätdesHeizkörpermaterials

Pr -Prandtl-ZahldesHeizmediums

 -WärmeleitfähigkeitdesHeizmediums

 -WärmeleitfähigkeitdesHeizkörpermaterials

 -WärmeleitfähigkeitderUmgebungsluft

IdentifikationderStoffparameter:

 (alleStoffwerte) ←Literatur,Datenbanken

DieErmittlungvonStoffwertenstelltdankumfangreicherLiteraturstellen(z.B.VDI-Wärme-

atlas[VDI97];[B

89])undDatenbankennormalerweisekeinProblemdar.DieinderRegel

vorhandenen Temperaturabhängigkeiten der Stoffwerte können aufgrund der geringen

TemperaturspreizungeniminteressierendenAnwendungsbereichvernachlässigtwerden.Die

ZahlenwertesolltenallerdingsimHinblickaufdenbetrachtetenBetriebszustandfürgeeignete

Referenztemperaturen angegeben werden (im Basiszustand z.B.bezogen auf50°C fürdas

Heizmedium).

4.1KlassifikationvonModellparametern



4.1.3Heizkörper-Parameter

AlleParameterdieserGruppecharakterisiereninErgänzungzurGeometriedasthermische

VerhalteneinesHeizkörpers.DieseParametersinddaherüblicherweisedenDatenblätternder

Herstellerentnehmbar.

 -Norm-Wärmeleistung(jeGliedbzw.jeMeterBaulänge)beiNorm-Übertemperatur

n -Heizkörper-Exponent

∆T

 -Norm-Übertemperatur(legtNormzustandfest)

∆T

 -Norm-Temperaturspreizung(legtNormzustandfest)

 -Norm-Heizmediumstrom

 -Strahlungsanteil

 -Strahlungsparameter(ausmodifiziertemPotenzansatz)

IdentifikationderHeizkörper-Parameter:

N

,n,∆T

←TechnischeDatendesHerstellers

N

  ←Direktberechenbaraus N

und∆T



S

  ←z.T.Herstellerdaten,aberauchberechenbar(3.6.3)

C

  ←KlassifizierunginVerbindungmiteinerIdentifikationdurchMeß-

werte(Validierung,Parameterstudien)

Die Normdaten eines Heizkörpers sind bei nicht zu alten Ausführungen immer in den

Hersteller-Datenblätternzufinden,daderenMessungnachderDINbzw.ENvorgeschrieben

wird. Anders verhält es sich mit dem Strahlungsanteil S

. Da diese freiwillige Hersteller-

angabe

vergleichsweiseseltenzufindenist,wirdderStrahlungsanteilimModellzusätzlich

berechnet, wozu bei Gliederheizkörpern die strahlungswirksame Gliedbaulänge qB

 (s.o.)

herangezogen wird. Die Berechenbarkeit des Strahlungsanteils hat sich bei entsprechenden

Untersuchungen in Form von Parameterstudien gezeigt (siehe Abschnitt 3.6.3). Dazu wird

wiederum das Stefan-Boltzmann-Gesetz nach Gleichung (3.47) herangezogen und der

Strahlungsanteil als prozentuales Verhältnis der Strahlungs- zur Gesamtleistung berechnet.

BenötigtwirdderStrahlungsanteilzurBerechnungderGrenzschichtdickealsKoppelgröße

zwischen den Teilmodellen Heizkörper und Heizkostenverteiler (weitere Details bei der

ImplementierunginAbschnitt5.1).

Der Norm-Heizmittelstrom ist als Bezugsgröße für die Eingangsgröße Heizmediumstrom

eingeführt worden. Er läßt sich mit der zugehörigen Norm-Temperaturspreizung ∆T

 sehr

leichtausderBeziehung



20DerStrahlungsanteilvonHeizkörpernspielteineimmergrößerwerdendeRolle.BeimodernenNiedertemperatur-

HeizungsanlagenisteingroßerStrahlungsanteilwichtigfüreineeffektiveWärmeabgabe,erfördertzudemdiesog.

thermischeBehaglichkeit(angenehmesWärmeempfindentrotzgeringererRaumlufttemperatur).

 4Parametrierung

100



SpNN

TcmQ

∆=



 (4.1)

berechnen.

ZurVorgabedesParametersC



Als zunächst unbekannter Modellparameter wurde der Heizkörper-Parameter C

 bei der

ModellbildungüberdenmodifiziertenPotenzansatzeingeführt.Daessichhierbeiumeinen

abstraktenParameterohnedirektephysikalischeBedeutunghandelt,stelltseineErmittlungim

Rahmen der Parametrierung eine gewisse Besonderheit dar. Im Abschnitt 3.4.6 wurde der

Parameter im Zusammenhang mit dem Verhältnis zwischen Strahlung und Konvektion

charakterisiert,derjedochnichtdirektmitdemStrahlungsanteilgleichgesetztwerdendarf.

BeiderParametrierungeinerumfangreichenHeizkörperauswahlwurdederParameterC

in

seinen physikalisch sinnvollen Grenzen zwischen 0 und 1 (vgl. 3.4.6) variiert und die

AuswirkungenaufbestimmteProzeßgrößenwieauchaufdieZielgrößec-WertimVergleich

zu den gemessenen Werten bestimmt. Eine Analyse der validierten Parameterwerte läßt

bestimmte Trends erkennen, die für die Festlegung des Modellparameters C

bei der

ParametrierungalsLeitfadendienen.FolgendeMerkmalelassensichdabeiherausstellen:

•BeiderHeizkörperklassePlattenheizkörperhängtdieWahldesParametershauptsächlich

von der Ausführung

 (Zweistellige Typenbezeichnung) ab. Beim Typ 10 (maximaler

Strahlungsanteil)liegtdereinzustellendeParameterwertimBereichvonetwa0,7...1,0;bei

denAusführungenmithöheremkonvektivenAnteil(Typen11,22,33)dagegenimeinem

Bereichvon0,2...0,5.

•InAnalogiezudenPlattenheizkörpernistbeiGliederheizkörperneinZusammenhangmit

derAnzahlderSäulenN

erkennbar.HierzeigtsichallerdingseinumgekehrterTrend:Für

denDIN-StahlradiatorwurdenbeieinerSäulenanzahlvonN

=2...4Parameterwerteim

Bereich von C

=0,7...0,9 eingestellt, beim DIN-Röhrenradiator für eine Säulenanzahl

von N

=1...6 Werte im Bereich von C

=0,2...0,5. Die insgesamt größeren Werte des

StahlradiatorssindmiteinemhöherenStrahlungsanteildiesesHeizkörperszubegründen

(beikleinererSäulenzahlistdieserUnterschiedstärkerausgeprägt).

AlsErgebniseinerStudiezumöglichenParameterempfindlichkeitendesVirtuellenc-Wert-

Prüfstandshatsichherausgestellt,daßeineUnsicherheitdesParametersC

von∆C

=±0,1

eine Veränderung der c-Werte um etwa ∆c

1,F

=±0,003 und ∆c

2,F

=±0,002 bewirkt. Diese

Abweichungen sind derart gering, daß eine Unsicherheit bei der Parameterfestlegung von

∆C

=±0,1 durchaus vertretbar ist. Damit können die zuvor herausgestellten Trends für

Platten-undGliederheizkörperalsLeitfadenfürdieFestlegungdiesesParametersdienen.



21DieAusführungeinesPlattenheizkörperswirdüblicherweisedurcheinezweistelligeTyp-Nr.angegeben,wobeidieerste

ZifferdieAnzahlderPlatten(Reihen)unddiezweiteZifferdieAnzahlderKonvektorblechreihenangibt[R

95].

4.1KlassifikationvonModellparametern



101



4.1.4Montage-Parameter

Die Parameter dieser Gruppe charakterisieren die Art der Ankopplung eines Heizkosten-

verteilersaneinenHeizkörper.

HKV

 -MontagehöhedesHeizkostenverteilersamHeizkörper(meist0,75⋅B

)

 -ThermischerKontaktwiderstandzwischenHeizkörperundHKVE

IdentifikationderMontage-Parameter:

h

HKV

  ←VorgabenachNorm(Montagein75%derHeizkörper-Bauhöhe)

R

  ←Berechnung/AbschätzungüberLackschichtundKontaktgüte

Strenggenommen müßte auch die Kontaktzone, die den geometrischen Ort der Berührung

zwischen Heizkostenverteiler und Heizkörper kennzeichnet, dieser Gruppe zugeordnet

werden.DaesjedochfürjedeKontaktzoneeineneigenenModellbausteingibt,mußdieZone

vor der Generierung eines Prozeßsimulators festgelegt werden, weshalb sie in die nächste

GruppederStrukturparametereingeordnetwird.

4.1.5Strukturparameter

EineBesonderheitstelltdieGruppederStrukturparameterdar.DadieseModellparameterdie

Gleichungsstruktur des entstehenden mathematischen Prozeßmodells beeinflussen, müssen

sie im Modellierungswerkzeug spezifiziert werden, bevor aus dem Gleichungssystem ein

Prozeßsimulator generiert wird. Bei der anschließenden Verwendung dieses Simulators

könnendieStrukturparameternichtmehrvariiertwerden.

TYP -TypdesFließkanalquerschnitts

HKTYP -ArtdesHeizkörpers(GHK=Gliederheizkörper,PHK=Plattenheizkörper)

ZONE -Kontaktzonebzw.BerührungsortzwischenHeizkörperundHeizkostenverteiler

 -AnzahlanSegmentenjeBauhöhe(vertikaleDiskretisierung)

IdentifikationderStrukturparameter:

TYP  ←FestlegungderbestenApproximationdurchAnwender/Monteur

(Typisierung,vgl.Abschnitt3.4.3)

ZONE  ←ResultiertgeometrischausderKonturdesHeizkörperquerschnitts

undderKonturdesHeizkostenverteiler-Unterteils

N

  ←VorgabedurchdenAnwender(Genauigkeit/Rechenaufwand)

BeiderBottom-Up-SynthesederobjektorientiertenModellbildungwerdeninAbhängigkeit

von der Wahl der Strukturparameter unterschiedliche Modellbausteine verwendet und

dadurch verschiedene Gleichungs- und Parametersätze generiert und eingebunden (Quer-

schnittstyp,Heizkörpertyp,Kontaktzone).BeiVariationdervertikalenDiskretisierungwird

die Anzahl der Modellgleichungen des Prozeßsimulators manipuliert. Mit dem Ziel einer

 4Parametrierung

102



feineren Auflösung der (vertikal) ortsverteilten Prozeßgrößen und damit einer höheren

GenauigkeitderLösungerhöhtsichunmittelbarauchdieAnzahlderautomatischgenerierten

Systemgleichungen.

4.2ImplementierteParameteridentifikation

4.2.1IdentifikationunbekannterGeometrieparameter

FürdieBerechnungdesinnerenWärmeübergangsinAbschnitt3.4.3werdenzweiGeometrie-

parameterbenötigt,diedenjeweiligenQuerschnittstypcharakterisieren.InderPraxiskommt

es häufig vor, daß aus den Heizkörper-Datenblättern der Hersteller nur einer der beiden

Geometrieparameter (a oder b) als Halbmesser eindeutig hervorgeht. Folglich muß der

fehlende zweite Parameter auf eine andere Art und Weise ermittelt werden, wozu sich

generellzweiMöglichkeitenanbieten:

Sollte der zu parametrierende Heizkörper zugänglich sein (beim Vorhandensein eines

Heizkörperlagers oder im Falle der Parameteraufnahme vor Ort), so können praktisch alle

erforderlichenGeometrieparameterdirektamHeizkörpergemessenwerden.Diesistjedoch

nurseltenderFallundbedeuteteinenzusätzlichenArbeitsaufwandimAblaufderParame-

trierung.AusdiesenGründenkanndieMessungalsalleinigeMöglichkeitzurErmittlungder

fehlendenGeometrieparameterausgeschlossenwerden.

DiefolgendezweiteMethodebedientsicheinerHilfsgröße,diealsParameterpraktischfür

jeden Heizkörper in den Herstellerangaben zu finden ist, nämlich dem Wasserinhalt eines

Gliedes.ÜberdiesesVolumenV

einesHeizkörpergliedeskannzusammenmitderBauhöhe

 undder Anzahl an Säulenje Glied N

zunächstdieQuerschnittsflächedes Fließkanals

abgeschätztwerden:

hlSäulenanzaBauhöhe

GliedjeltWasserinha

i⋅

⋅

=]m[

]m[ 3

* (4.2)

DiesoberechneteFlächeA

stellttatsächlichjedochnureineArt„durchschnittlichenFließ-

kanalquerschnitt“desGliedesdar.DurchdieobereunduntereQuerverbindung(„T-Stücke“)

wirddertatsächlicheWertverfälscht,dadieseT-StückeimmereinengrößerenQuerschnitt

aufweisen.Der„wahreFließkanalquerschnitt“kannallerdingssehreinfachberechnetwerden,

soferndieDifferenzzwischenzweiunterschiedlichenBauhöhenbetrachtetwird:

⋅∆

∆

=mit

1,2,

WWW

HHH

VVV

BBB

−=∆

−

∆

. (4.3)

4.2ImplementierteParameteridentifikation



103



VorzugsweisesolltebeidieserVorgehensweiseeinenichtzukleineDifferenzderBauhöhe

gewähltwerden, um denwahren Fließkanalquerschnitt möglichst gutzu ermitteln (bedingt

durchmöglicheUngenauigkeitenindenHerstellerdaten).

Andererseits läßt sich aus den Geometrieparametern a, b und d die approximierte innere

QuerschnittsflächeA

durchdieallgemeineFunktion

A f a b d

( , , )

 (4.4)

berechnen, als Beispiel für den Querschnittstyp 2 (rechteckig):

A a d b d

−

4( )( )

. Sind

alsoz.B.dieabsoluteTiefe2bunddieWandstärkedbekannt,sokannderfehlendeParameter

adurchAuflösenvonGleichung(4.4)unterVerwendungderausGleichung(4.3)berechneten

FlächeA

zu

a g A b d

( , , )

 (4.5)

bestimmtwerden(imBeispielfürTyp2:aA

b d d

=−+

4( ) ).

4.2.2ApproximationdesFließkanalquerschnitts

Die Berechnung des fehlenden Geometrieparameters über die innere Querschnittsfläche ist

insbesondere auch dann vorteilhaft anwendbar, wenn bei der Parameteraufnahme ein

vorliegenderFließkanalquerschnittnichtgenaumiteinemderimplementiertenQuerschnitts-

typenübereinstimmt.IndiesemFallistdieeindeutigeZuordnungdeszweitenParametersoft

nichtmöglich.

AlstypischesBeispielwerdeeinDIN-Stahlradiatorbetrachtet.BeiderFertigungdiesesHeiz-

körpertypsentstehtdurchdasVerschweißenzweiergezogenerHalbschalenausStahlblechein

„spitzovaler“ Fließkanalquerschnitt (Bild 4.2). Für diese sehr spezielle Form ist in der

Literatur keine experimentell ermittelte Nußeltzahl zu finden; eine theoretische Herleitung

wäre,sofernüberhauptmöglich,nurmiterheblichemAufwanddenkbar.Esliegtdahernahe,

dieseQuerschnittsformdurcheinederimplementiertenQuerschnittsformenzuapproximieren.

Die spitzovale Querschnittsform läßt sich beispielsweise durch eine Ellipse geometrisch

relativgutannähern.

 4Parametrierung

104



DIN-Stahlradiator Approximation

2a=?



Bild4.2:ApproximationdesFließkanalquerschnittsamBeispieleinesDIN-Stahlradiators

WährenddieTiefe2balscharakteristischesMaßvomHerstellerangegebenwird,kannüber

die Breite 2a der „am besten approximierenden Ellipse“ zunächst keine Aussage gemacht

werden.DieserfehlendeGeometrieparameterläßtsichnachderzuvorbeschriebenenMethode

über die Ermittlung der Querschnittsfläche bestimmen. Das Beispiel soll anhand einiger

konkretenZahlenwertevervollständigtwerden(DatendesHerstellersBuderus[B

95]):

Herstellerdaten: b=10mm;d=1,25mm (allgemeineParameter)

=1000mm V

=1,72 (N

=3) (bauhöhenabhängige

=450mm V

=0,98 (N

=3) Parameter)

Der Fließkanalquerschnitt errechnet sich nach Gleichung 4.3 zu A

=448mm

. Aus der

geometrischenBeziehungfürdieFlächeeinerEllipse

dbdaA

−

=⇔

∆

=−−= )(

))((

 (4.6)

folgtnachEinsetzenobigerZahlenwertefürdieParameterb,dundA

schließlichderfehlende

Parametera18mm.

4.2.3AutomatisierungderParameteridentifikation

DieTypisierung–ApproximationdesFließkanalquerschnittsundgegebenenfallsErmittlung

des unbekannten Querschnittsparameters – läßt sich sehr gut automatisieren, indem die

notwendigenBerechnungengemäßobigerGleichungenanpassenderStelleindasGesamt-

konzeptdes„Virtuellenc-Wert-Prüfstands“implementiertwerden.FürdieVerwaltungund

Dokumentation aller Modellparameter wird ein Tabellen-Kalkulationsprogramm verwendet

(siehe folgenden Abschnitt 4.3). Mit Hilfe eines solchen Werkzeugs können Parameter-

berechnungenwiedieIdentifikationbereitsbeiderEingabederParameterwerteautomatisiert

durchgeführtwerden.

4.3Parameterverwaltung



105



4.3Parameterverwaltung

Die Eingabe und Verwaltung aller Modellparameter läßt sich mit den Programmen

Microsoft

ExceloderStarCalc

(StarDivision)durchführen.DieseinderAnwendungsehr

ähnlichenTabellen-KalkulationsprogrammeeignensichinmehrfacherHinsichtrechtgutfür

diebeiderParametrierunganstehendenAufgaben.Sokönnen

•alleModellparameterübersichtlichdargestellt,Eingabefeldererstelltundbeschriftetsowie

Kommentare,GrafikenoderausführlichereDokumentationenhinzugefügtwerden;

•Berechnungen innerhalb eines Parameterblattes durchgeführt werden (z.B. Norm-Über-

temperatur,Norm-HeizmediumstromundinsbesonderedieBerechnungenzurParameter-

identifikationimRahmenderTypisierung);

•EingabewertehinsichtlichPlausibilitätundWertebereicheüberprüftwerden.

Mittels einer implementierten Script-Sprache läßt sich bei beiden Programmen relativ

problemloseinkomfortablerParameterexportindasanCAMexangebundeneSimulationstool

SimExrealisieren.BeidiesemParameterexportwerdenallezueinemExperimentgehörenden

Modellparameter und Eingangsgrößen in einem bestimmten Format in eine Parameterdatei

geschrieben.FürdenAnwenderreduziertsichdamitdiemanuelleParametereingabeinden

SimulatorSimEx auf einen einfachen Import der zuvor generierten Parameterdatei,um ein

Experimentvollständigzuparametrieren.

Da das Modellierungswerkzeug CAMex nur auf den Betriebssystemen UNIX oder LINUX

lauffähigist,wurdefürdieRealisierungdasStar-Office-ProduktStarCalcgewählt.



22BezeichnungdesTabellen-KalkulationsprogrammesausdemStar-Office-Paketder

StarDivision

.NeuereProgramm-

versionenmögenabweichendeNamenbesitzen.

 4Parametrierung

106



Tabelle4.1:BeispieleinesParameterblattes

AllgemeineAngaben: 



Heizkörper-Art: 1.1.0



 Bezeichnung: DIN-Stahlradiator



HerstellerspezifischeAngaben: 



Hersteller,Fabrikat



Buderus



Buderus



Buderus



Buderus



B02



B02



B02



B02



Simuliertec-Werte:  (1F) 0,002



0,002



0,003



0,006



 (2F) 0,391



0,390



0,392



0,394



Geometrie-Parameter:



Bauhöhe



[mm] 600



1000



600



600



Wandstärke



[mm] 1,25



1,25



1,25



1,25



Halbmessera (a>b) [mm] 18,0



18,0



18,0



18,0



Halbmesserb (a>b) [mm] 10,0



10,0



10,0



10,0



AnzahlSäulenjeGlied  3



WasserinhaltjeGlied [] 1,18



1,72



1,57



0,88



StrahlungswirksameGliedbaulänge [mm] 20,0



20,0



20,0



20,0



Heizkörper-Parameter:



Norm-Zustand



[°C] 90/70/20



90/70/20



90/70/20



90/70/20



Norm-WärmeleistungjeGlied [W] 99,0



157,0



128,0



73,0



Heizkörper-Exponent



 1,30



1,30



1,30



1,30



StrahlungsparameterCS 0,8



0,9



0,9



0,7



Norm-Übertemperatur [K] 59,44



59,44



59,44



59,44



#DIV/0! #DIV/0!

Norm-Temperaturspreizung [K] 20



Struktur-Parameter:



Querschnittstyp (Grafik)  1



Kontaktzonedoprimo  4



KontaktzonedoprimoII/picco 4



EingangsgrößenfürBasiszustand:



Vorlauftemperatur



[°C] 54,31



54,31



54,31



54,31



Norm-Heizmediumstrom [kg/h] 4,26



6,76



5,51



3,14



#DIV/0! #DIV/0!

Raumlufttemperatur



[°C] 20,00



20,00



20,00



20,00



0,00



0,00



Gemessenec-Werte:



doprimo,1F 0,01  Typisierung:



doprimo,2F 0,39  Approximation



doprimoII,1F -  durch:Ellipse



doprimoII,2F -  Typ=



1 



doprimopicco,1F- 



 



 



Stoffparameter:



 Wert



Einheit Ref.Temp. Material: 



WärmekapazitätHeizmedium  4180



[J/kg.K] (50°C) Wasser 



WärmekapazitätHeizkörpermaterial 450



[J/kg.K] (50°C) Stahl 



WärmeleitfähigkeitHeizmedium  0,644



[W/m.K] (50°C) Wasser 



WärmeleitfähigkeitHeizkörpermaterial 57,0



[W/m.K] (50°C) Stahl 



WärmeleitfähigkeitUmgebungsluft 0,028



[W/m.K] (50°C) Luft,trocken



PrandtlzahlHeizmedium  3,553



- (50°C) Wasser 



4.4Parameterwirkungsplan



107



Eine Excel- bzw. StarCalc-Arbeitsmappe setzt sich üblicherweise aus mehreren Arbeits-

blättern zusammen. Diese Möglichkeit der Unterteilung wird dazu genutzt, um einzelne

Parameterblätter innerhalb einer Arbeitsmappe (Datei) anzulegen. Ein einzelnes Datenblatt

erlaubtdieAufnahmevonmaximalsechsParametersätzeneinerbestimmtenHeizkörper-Art.

FürdenFallderParameteridentifikationbeiderTypisierung(4.2.1)istdieAufnahmezweier

ParametersätzebeiunterschiedlicherBauhöhezwingenderforderlich,andererseitskönnenso

simuliertec-WerteverschiedenerAusführungeneinerHeizkörperartverglichenwerden

.

Tabelle4.1zeigtexemplarischeinsolchesExcel-Parameterblatt,dargestelltistdieParame-

trierung eines DIN-Stahlradiators mit vier Parametersätzen für verschiedene Ausführungen

desHerstellersBuderus[B

95](zweiverschiedeneBauhöhen,unterschiedlicheSäulenzahl).

DieParameterwerdenindiebekanntenParametergruppeneingeteilt(vgl.Abschnitt4.1)und

zusammenmitdenEingangsgrößenindererstenSpalteaufgeführt.EinigeParameterweichen

von der Auflistung der Modellparameter in Abschnitt 4.1 ab. So werden z.B. die Norm-

Übertemperatur,dieNorm-TemperaturspreizungsowiedieEingangsgrößeRaumlufttempera-

tur automatisch aus der Angabedes Normzustandes imfestgelegten FormatT

(z.B.

55/45/20) extrahiert und selbständig an den vorgesehenen Stellen in das Datenblatt

eingetragen. Im Parameterblatt sind in einer leeren Vorlage (Maske) die Felder zwingend

einzugebenderParametereinesDatensatzesschraffiertdargestellt(Tabelle4.1).

ZusammenmiteinemvollständigenParametersatzkönnenauchdiec-WertefürdenEin-und

Zweifühlerbetrieb angegeben werden, die mit dem Virtuellen c-Wert-Prüfstand simuliert

wurden. Für einen Vergleich zwischen gemessenen und simulierten Werten lassen sich

herkömmlichgemesseneWertezurDokumentationineinweiteresFeldaufnehmen.Weichen

diesimuliertenWerteummehrals±0,02vondiesenMeßwertenab(ToleranznachDINbzw.

EN, siehe c-Wert-Prüfung im Abschnitt 2.2.2), so werden sie automatisch in roter Farbe

dargestellt,umaufdieseAbweichungvisuellhinzuweisen.

Im Umfeld der zum virtuellen c-Wert-Prüfstand entstandenen Dokumentation wird die

allgemeineVorgehensweisebeiderParametrierungeinerPrüfsituationinFormeinesleicht

verständlichen„Standard-Rezepts“fürdenAnwenderSchrittfürSchrittbeschrieben.

4.4Parameterwirkungsplan

DiefolgendeAbbildungverdeutlichtabschließendnochmalsgrafischdieVorgehensweiseder

Parametrierung,dieParameterverwaltungineinerDatenbanksowiedieWirkungsweiseder

ModellparameteraufdasProzeßmodell.



23DiebetreffendeNorm[DIN4713bzw.EN834]schreibtfürdieErmittlungvon

-WertenandenGrundheizkörpernkeine

festeHeizkörperausführungvor.SomitistfürdieSimulationrepräsentativer

-WertesicherlichdieWahleinerStandard-

Bauhöhe(z.B.60cm)und-Reihenzahl(z.B.2)sinnvoll.AndererseitskannderEinflußunterschiedlicherBauhöhenoder

Säulenzahlenaufden

-Wertdirektanalysiertunddokumentiertwerden.

 4Parametrierung

108



Teil-

modell

Teil-

modell

HKVE

An-

koppel-

Modell

Typisierung

c=

()

Typ Zone

T,Q

,T

T

Heizkörper-

Parameter

Erfahrungswissen

Vorgabe Basiszustand

Datenbank

,c

c-Werte

-Werte

,n,S

,m

∆

,C

,a,b,d

,c

,K

Geometrie-

Parameter

Struktur-

Parameter

Stoff-

Parameter

H,F

T

L,F

Techn.Daten

(Hersteller)

Tabellen,

Datenblätter

Anwender

Monteur

Montage-

Methode

Montage-

Geometrie



Bild4.3:Struktur-undWirkungsplanderModellparameter

5Simulation 109



5Simulation

Erstdie(innere)VerifikationderModellimplementierungunddie(äußere)Validierungdes

ProzeßmodellsermöglicheneineBewertungdesGesamtkonzeptesimHinblickaufdasZiel

einer möglichst universellen Verwendbarkeit. Das Kapitel verdeutlicht daher zunächst den

WegvonderAggregationderModellbausteinezumProzeßmodellbishinzurSimulationdes

Prozesses. Anschließend werden die Simulationsergebnisse ganzheitlich betrachtet und

validiert.

5.1AggregationzumProzeßmodell

DieVerknüpfungeinzelnerModellbausteinezueinemProzeßmodell(Bottom-Up-Synthese)

führtmitzunehmendemAbstraktionsgradzuimmerkomplexerenModellbausteinen(Ober-

klassen).WährendbeiderTop-Down-AnalysediehierarchischeZerlegungundanschließende

ErzeugungelementarerModellbausteineüberwiegend„vonHand“vorgenommenwird,läßt

sichderProzeßderModellaggregationsehrgutrechnergestütztabarbeiten.

DieseFunktionalitätstelltauchdasobjektorientierteModellierungswerkzeugCAMexdurch

sein verkopplungsorientiertes Konzept zur Verfügung. Die Verkopplung findet dabei

automatisiertimRahmeneinerVererbungstatt,wobeiinjedemAggregationsschrittgenerell

ein neuer Modellbaustein als Oberklasse entsteht. Dabei kommen die beiden Vererbungs-

mechanismen Spezifikation (AKO-Vererbung) und Aggregation (APO-Vererbung) zur

Anwendung,diebereitsbeiderEinführunginAbschnitt3.1vorgestelltwurden.

FürdieGenerierungdesProzeßmodellsdesVirtuellenc-Wert-Prüfstandswirdüberwiegend

die Verkopplung einzelner Modellbausteine durch Aggregation durchgeführt. Im gleichen

Schritt werden häufig zusätzliche Spezifikationen vorgenommen, indem z.B. die Schnitt-

stellendesaggregiertenBausteinsangepaßtundBezeichnerumbenanntwerden.Entsprechend

der Hierarchie des Gesamtprozesses werden so aus den elementaren Modellbausteinen der

untersten Hierarchieebene sukzessive neue Oberklassen bis hin zum vollständigen Prozeß-

modellgebildet.

DieseVorgehensweisesollexemplarischamTeilsystemHeizkörpergliedverdeutlichtwerden.

AlselementareModellbausteinewurdendasSäulensegmentunddieT-StückedurchAngabe

allerSystemgleichungenundSchnittstellenexplizitmodelliertundimplementiert.Ausdiesen

GrundbausteinenläßtsichgemäßderStrukturdeszughörigenHierarchiebaums(Bild3.9)das

Modell einesvollständigenHeizkörpergliedes zusammensetzen.Dasnachfolgende Bild5.1

veranschaulicht die Verkopplung der physikalischen Schnittstellen Temperatur des Heiz-

mediums an der Segmentgrenze und Massenstromdurch das Segment. Durch Aggregation

vonNSäulensegmentenzueinerSäule(ersterSchritt)entstehtzusammenmitzweiT-Stücken

(zweiterSchritt)dasModelleinesEinsäuler-Gliedes.

 5Simulation

110



id1

id2

id3

idN

yko

idn

Ein

Aus

id(N+1)

id(N+2)

Säulensegment

T-StückOben

T-StückUnten



Bild5.1:VerkopplungelementarerModellbausteinezueinemHeizkörperglied

UmmehrereModellbausteinederKlasseSegmentmiteinanderverkoppelnzukönnen,werden

zunächstentsprechendvieleInstanzen(Objekte)dieserModellklasseerzeugt.ZurIndividu-

alisierungdereinzelnenInstanzenwerdensiemiteinemeindeutigenBezeichner(Identifier,

Kürzelid)gekennzeichnet.DieSchnittstellengleichungenzurBeschreibungderAggregation

werdenunterCAMexinderfolgendenSchreibweisespezifiziert:



yko.id1[3]=yko.id2[1]

 StetigkeitderTemperatur: T

Aus

(id1)=T

Ein

(id2)



yko.id1[4]=yko.id2[2]

 Massenstrombilanz: 

mAus

(id1)= 

mEin

(id2)



yko.id2[3]=yko.id3[1]

 StetigkeitderTemperatur: T

Aus

(id2)=T

Ein

(id3)



yko.id2[4]=yko.id3[2]

 Massenstrombilanz: 

mAus

(id2)= 

mEin

(id3)



Mit diesen Anweisungen werden automatisch die physikalischen Per- und Transvariablen

ÖR

98] der einzelnenSubmodelle miteinander verknüpft. Schließlich müssen die verblei-

bendenSchnittstellendesneuentstandenen,abstrakterenModellbausteinsspezifiziertwerden.

SieergebensichüblicherweiseausdenjenigenSchnittstellenderbeteiligtenSubmodelle,die

bei der Aggregation nicht verkoppelt wurden (im obigen Beispiel der Säule: Eingangs-

temperatur und Massenstrom des obersten Segmentes

yko.id1[1..2]

 sowie Ausgangs-

temperatur und Massenstrom des untersten Segmentes

yko.idN[3..4]

). Es können aber

auchnichtmehrbenötigteSchnittstellenganzeliminiertoderneuegeschaffenwerden.

5.1AggregationzumProzeßmodell



111



Tabelle5.1:KlassendefinitioneinerHeizkörpersäule,AuszugausderHTML-Dokumentation







EswirdfolgendeaggregierteKlassedefiniert:



Class(

 [ModSegment$NA],  #NASubmodelle

 

 APO,   #Vererbungsattribut

 

 `ModSaeule`,  #neueElternklasse

 

 cat(`Saeule`.NA),  #neueKlassenbezeichnung



DefinitionderphysikalischenVerkopplungen(TemperaturundMassenstrom):



 [cat(seq(`yko.id`.j.`[3..4]=yko.id`.(j+1).`[1..2],`,j=1..NA-2),

  `yko.id`.(NA-1).`[3..4]=yko.id`.NA.`[1..2]`)],

 

 [`uki.id1[1..2]`],



 [`yko.id1[1..2]`,`yko.id`.NA.`[3..4]`],

 

ModifizierungenanParametern("Einsetzen"deraktuellenHöhez,hinzufügenvonN

):



 EliminateParameter=[

  cat(seq(`zh.ch`.j.`=(`.(NA+1-j).`-1/2)*BH/N,`,j=1..NA-1),

   `zh.ch`.NA.`=BH/N/2`),

  cat(seq(`N.ch`.j.`=`.NA.`,`,j=1..NA-1),`N.ch`.NA.`=`.NA)],

  

 AddParameter=[[N,`AnzahlSegmente`,

  `Heizkörper-Geometrien`,[1,50],1,0,N=NA]],

  

DurchnumerierenundÄndernderBezeichnerderAusgangsgrößen:

 

 AddOutput=[[vout0],[vout0-uki[1]],

  [`TemperaturHeizmittel0[°C]`]],

 

 EliminateOutput=[vout[1..NA]],

 

 AddOutput=[[seq(vout.j,j=1..NA)],

  [seq(vout.j-x[5*j-4],j=1..NA)],

  [seq(`TemperaturHeizmittel`.j.`[°C]`,j=1..NA)]],



NeueAusgangsgrößen(Oberflächentemperaturen,Wärmeleistung,Rücklauftemperatur):

 

 AddOutput=[[seq(TO.j,j=1..NA)],

  [seq(TO.j-x[5*j-3],j=1..NA)],

  [seq(`TemperaturOberfläche`.j.`[°C]`,j=1..NA)]],



 AddOutput=[[Qout,TR],

  [cat(`Qout`,seq(`-x[`.(5*j).`]`,j=1..NA)),TR-x[5*NA-4]],

  [`WärmeleistungSäule[W]`,`Rücklauftemperatur[°C]`]]



EndederSpezifikationslisteundderKlassendefinition:



);   #endofClass()



 5Simulation

112



Auf diese Weise entstehen durch wiederholte Aggregation zunächst die beiden relevanten

TeilmodelleHeizkörperundHeizkostenverteiler.DasProzeßmodelldesgesamtenVirtuellen

c-Wert-Prüfstands wird schließlich durch Aggregation der Oberklassen Heizkörper,

Heizkostenverteiler und c-Wert-Berechnung sowie Definition der Prüfumgebung als

Eingangsgrößenmodellgebildet.NachdiesemSchrittnochvorhandeneSchnittstellenbesitzen

entweder die Bedeutung von Eingangsgrößen und werden als solche spezifiziert oder sie

tauchenbereitsalsAusgangsgrößenaufundwerdendanneliminiert.

Als Grundlage für die Simulation enthält das vollständige Prozeßmodell neben allen

ZustandsgrößenundModellparameternnurnochEin-undAusgangsgrößen.

Nebenstehende Tabelle 5.1 zeigt beispielhaft einen Auszug aus der Dokumentation zum

ModellbausteinSäule.AbgebildetistderImplementationsteilderDokumentation,derneben

erläuternden Kommentaren den eigentlichen Modellcode in Maple-Syntax enthält (prä-

formatierter Text). In dem Beispiel wird die neue Modellklasse „ModSaeule“ aus N



InstanzenderKlasse„ModSegment“durcheineA-Part-Of-Vererbungaggregiert.ImGegen-

satzzureinzelnenIndizierungderInstanzenwieimBeispielzuvorwerdenalsBasisfüreine

AutomatisierunghäufigSequenzenverwendet(Syntaxseq()),umz.B.dieDiskretisierungs-

feinheitortsverteilterGrößenvariabelzuhalten.ImClass-Befehl

zurDefinitioneinerneuen

Modellklasse schließen sich an die erforderlichen Klassen-Informationen die Listen der

physikalischen Verkopplungen und Schnittstellen sowie optional beliebige Spezifikations-

anweisungenan.DieseermöglichendurchdieKombinationausMethodeundSpezifikation

(z.B.AddParameter,EliminateOutput)eineumfangreicheSpezifizierungderneuenModell-

klassebeizunehmenderAbstraktion.

Diese Vorgehensweise der Bottom-Up-Synthese verdeutlicht nochmals die wesentlichen

Vorteile der objektorientierten Modellbildung für den virtuellen Prüfstand und dessen

angestrebtenuniversellenCharakter:

•AlleModellbausteinesindderartausgelegt,daßsiesichbeliebigwiederverwendenlassen

(Modulverhalten,physikalischeSchnittstellen,Modellparameter).

•Durch Spezifikation (Konkretisierung) eines bestehenden, verallgemeinerten Modellbau-

steinslassensichbeiderVererbungohnegrößerenAufwandverschiedeneAusprägungen

definieren.

•NachderErstellungneuerelementarerModellbausteine(z.B.fürdasSäulensegment)kann

diebereitsfestgelegteHierarchie(z.B.dieTopologiedesHeizkörpers)durchWiederver-

wendungbereitsbestehenderOberklassen(aggregierendeModellbausteine)nachgebildet

werden.



24DiespezielleSyntaxdes

Class

-BefehlsmitdenverschiedenenSpezifikationsanweisungenwirdim

CAMex

-Handbuch

detailliertbeschrieben[J

97].

5.2SimulationdesProzeßverhaltens



113



•BeigleicherSchnittstellentopologielassensichinjederHierarchieebeneeinzelneKompo-

nenten problemlos austauschen (Modularität). Damit wird die Implementierung und

Verwendung neuer Heizkörpertypen oder Heizkostenverteiler-Ausführungen erheblich

vereinfacht.

5.2SimulationdesProzeßverhaltens

ZurnumerischenLösungdesauseinemkomplexenGleichungssystembestehendenProzeß-

modells wird aus dem Werkzeug CAMex heraus ein an das Prozeßmodell angepaßter,

eigenständig lauffähiger Simulator erzeugt. Dieser Vorgang vollzieht sich in mehreren

Schritten:

•Auf der Maple-Ebene des Modellierungswerkzeugs werden zunächst alle Struktur-

parameter definiert. Mit dieser Information wird ein Objekt der Oberklasse Prüfstand

instanziert,welchesdievollständigeInformationdesProzeßmodellsenthält.

•DurchdieobjektorientierteModellierungentstehenbeiderBottom-Up-Syntheseeinfache

algebraische Koppelgleichungen. Diese oft trivialen Beziehungen lassen sich mittels

Formelmanipulationeliminieren

,wodurchdieDimensiondesModellsdeutlichreduziert

werdenkann.

•NachdieseroptionalenOptimierungundAnalysedesProzeßmodellswerdendieModell-

gleichungen in FORTRAN-Code konvertiert und in speziellen Dateien abgelegt und

zusammen mit den numerischen Algorithmen schließlich zu einem eigenständigen

Simulatorzusammengebunden.

DieeinzelnenStufenderSimulatorgenerierungwerdenübereineSkriptspracheautomatisiert

abgearbeitet.BeidieseranwenderfreundlichenVorgehensweiselassensichdieerforderlichen

StrukturparameterübereingrafischesEingabefensterspezifizieren,wodurchEingabefehler–

ähnlichwiebeimSimulatorselbst–durchBereichsbegrenzungenundPlausibilitätskontrollen

weitgehendvermiedenwerden.

Anfangswertberechnung

ZurnumerischenLösungeinesdifferential-algebraischenGleichungssystems(DAE)wirdfür

den Zeitpunkt t=t

 zunächst ein Startzustand

[

]

000

,, uxx  benötigt, der alle System-

gleichungen erfüllt und damit eine konsistente Initialisierung des DAE-Systems gewähr-

leistet, wobei der Zustand der Systemänderung

 von Null verschieden sein kann. Die

klassische Problemstellung wird aber durch die Berechnung stationärer Anfangswerte mit

 vorgegeben, um das System aus seinem Ruhezustand heraus zu simulieren. Diese



25

CAMex

stelltzurEliminierungeinfacheralgebraischerGleichungeneinesModellsdieRoutine

MinDescriptor()

zur

Verfügung.

 5Simulation

114



Aufgabenstellung entspricht der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems von häufig

hoherSystemordnung.

BeikomplexennichtlinearenProzeßmodellenmithöheremIndex-Problem

bereitetgerade

dasAuffindenkonsistenterAnfangswertehäufigSchwierigkeitenundstellteineersteHeraus-

forderung an den verwendeten Simulator. CAMex bietet für die klassische Berechnung

stationärer Anfangswerte ein modifiziertes Newtonverfahren an (Kopplung mit einem

Bisektionsalgorithmus), zusätzlich ist auch eine konsistente Initialisierung sowie die Ver-

wendungeinesHomotopieverfahrens

möglich.

DieIndexanalysedesProzeßmodellsdesvirtuellenPrüfstandsliefert(auchfürdiemöglichen

Varianten bei Verwendung verschiedener Modellbaustein-Spezifizierungen) einen differen-

tiellenIndexvonEins,sodaßsowohldieAnfangswertberechnungalsauchdieSimulation

mittelsgeeigneterAlgorithmenproblemlosdurchführbarseinsollte.

Bei der direkten Anwendung des modifizierten Newton-Verfahrens zur Berechnung

stationärerAnfangswertestelltesichjedocheineDivergenzdesVerfahrensein.Erstdurchdie

VorgabegeeigneterStartwerteinderNähedererwartetenLösungkonnteeineKonvergenz

des Newton-Algorithmus sichergestellt werden. Diese Schwierigkeiten bei der Ermittlung

stationärerAnfangswertesindaufdieungeeignetenDefault-StartwerteinVerbindungmitden

in den Systemgleichungen des Prüfstandmodells vorhandenen Nichtlinearitäten zurückzu-

führen(Potenzansatz,lokaleNußeltzahl,Strahlungsanteil,logarithmischeÜbertemperatur).

Simulation

ImAnschlußandieAnfangswertberechnungfindetdiedynamischeSimulationdesSystems

mitdemberechnetenAnfangszustandsvektorstatt.DieLösungsstrategievonCAMexbasiert

auf drei wahlweise und problemspezifisch einstellbaren Integrationsverfahren, wobei das

ProzeßmodelldesPrüfstandsmitdemBDF-Verfahrenproblemlossimuliertwerdenkonnte.

DasVerfahrenwirdanAlgorithmengekoppelt,welchedenUmgangmitsteifenSystemenund

dünn besetzter Jacobi-Matrix unterstützen, so daß sie das optimale Hilfsmittel für das

vorliegendeProzeßmodelldarstellen.

Der Lösungsvektor x(t) wird in einem vorgegebenen Zeitintervall ermittelt (meist durch

Schrittweitensteuerung, je nach Integrationsalgorithmus und optionalenEinstellungen). Die

Ausgangsgrößen y des Systems werden dagegen mit einer vorgegebenen, äquidistanten



26MitdemBegriffdesIndexvonDAE-SystemenistmeistderdifferentielleIndexgemeint.ErstellteinMaßfürden

Aufwanddar,einDAE-SystemaufZustandsformzutransformieren.DiedirekteLösunghöhererIndex-Problememit

einemIndex>1istproblematisch,alsAbhilfewirdhäufigeineIndex-Reduktiondurchgeführt[P

02].

27DasHomotopieverfahrenzurBerechnungstationärerAnfangswerteinsbesonderenichtlinearerSystemestandals

CAMex

ErweiterungzumAbschlußderProjektarbeitennochnichtvollständigzurVerfügungundkonntedahernichtdurchgängig

verwendetwerden.ErsteAnwendungenließenaberbereitsimVorfelddieEignungfürnichtlineareSystemeerkennen.

5.2SimulationdesProzeßverhaltens



115



ZeitschrittweiteineineDateiausgegeben,indemdieLösungx(t)zusammenmitEingangs-

undParametervektorindasAusgangsgleichungssystem

(

)

(

)

(

)

(

)

puxgy ,,

ttt =

eingesetztwird.

Da die c-Wert-Prüfung im stationären Basiszustand des Systems erfolgt, genügt für die

Ermittlungderc-WertestrenggenommenbereitsdieBerechnungstationärerAnfangswerte.In

diesemSchrittwerdenjedochnurdieSystemgleichungengelöst,dasEinsetzenderLösungin

dieAusgangsgleichungerfolgterstimzweitenSchritt,derSimulation.AusdiesemGrundeist

esauchfürdiec-Wert-Simulationerforderlich,wenigstenszweiZeitschritteauszuführen,um

dieAusgangsgrößeneinmalvollständigzuberechnen.

Ergebnisvisualisierung

FürdiegrafischeDarstellungvonSimulationsergebnissenstelltCAMexeineToolboxfürdas

ProgrammpaktMatlab

zurVerfügung.NebenüblichenZeitverläufenlassensichauchein-

oderzweidimensionalortsverteilteGrößenalsKurvendarstellen,letzterekönnenzusätzlich

alsKonturplotvisualisiertundzurWiedergabedesZeitverhaltensanimiertwerden[J

97,

00].



Bild5.2:BeispielezurErgebnisvisualisierung:Werteverlauf,Konturplot

FürdasProjektdesVirtuellenc-Wert-PrüfstandswurdejedereigenständiglauffähigeProzeß-

simulatorumeineeigenegrafische(Zeitverläufe)undtextuelle(c-Werte)Ergebnisdarstellung

erweitert, um die anfallenden Lizenzkosten bei der Verwendung von Matlab

 als Visuali-

sierungs-Toolzuvermeiden.

 5Simulation

116



5.3ValidierungdesProzeßmodells

ImRahmendesProjekteswurdeninersterLinieHeizkörperderModellklasse„Radiatormit

vertikalerWasserführung“modelliertundfürdieVerwendungimeinemvirtuellenPrüfstand

implementiert. Für einen Vergleich der simulierten Daten dieser Heizkörperklasse wurden

daherMeßdatensolcherHeizkörperherangezogen,diesichindieseKlasseeinordnenlassen.

Zu diesen Heizkörpertypen zählen beispielsweise glatte oder profilierte Plattenheizkörper

(ein-odermehrreihig,mitundohneKonvektionsblechreihen),DIN-Stahl-undGußradiatoren,

Stahlröhrenradiatoren,FaltwellenradiatorenundweiterebauähnlicheAusführungen.

Aus dieser Heizkörperklasse wurden für die Validierung 24 repräsentative Heizkörper

ausgewähltundparametriert.FürdieseAuswahlstandenjeweilsdiec-Wertefürdreiunter-

schiedlicheHeizkostenverteilerzurVerfügung.FürbestimmteHeizkörperausderReiheder

sieben Grundheizkörper gemäß [EN843] (vorgeschriebener Prüfumfang, siehe Abschnitt

2.2.2)konntezusätzlichdieOberflächentemperaturamMontageortdesHeizkostenverteilers

füreineValidierungherangezogenwerden.

AlsBewertungskriteriumfürdieValidierungdienteinefestgelegteToleranzgrenzeinHöhe

von ∆c=±0,02. Eine Abweichung innerhalb dieser Toleranzgrenze bezeichnet eine gute

Übereinstimmung,alssehrguteÜbereinstimmungwirdeineAbweichungbiszu∆c=±0,01

gewertet.DieToleranzgrenzeistdenbetreffendenNormenentnommen[DIN4713,EN834]

und besagt, daß bei einer stichprobenartigen Nachmessung vorgelegter c-Werte durch die

bestätigende Prüfstelle keine unsystematischen Abweichungen größer als ±0,02 auftreten

dürfen. Dieser Toleranzbereich wird deshalb als Bewertungsmaßstab für den Vergleich

zwischen Meßwerten und der Simulation herangezogen, da schließlich auch simulierte c-

WertedieseForderungerfüllenmüssen.

Beidendreibetrachteten HeizkostenverteilernhandeltessichumeinEinfühler-undzwei

Zweifühlergeräte. Letztere können grundsätzlich auch als Einfühlergerät betrieben werden

(Abschnitt2.1),sodaßbeiZweifühlergeräteninderRegelfürbeidemöglichenBetriebsarten

diezugehörigenc-Werteermitteltwerden(c

1,F

-undc

2,F

-Wert).

DerVergleichdersimuliertenc-Wertemit denMeßdatender24 ausgewähltenHeizkörper

liefertzusammengefaßtfolgendeErgebnisse:

•In der Klasse der Plattenheizkörper werden überwiegend gute bis sehr gute Überein-

stimmungenbeobachtet.SowohlbeiprofiliertenwieauchbeiglattenOberflächenliegen

diemittlerenAbweichungeninnerhalbderzulässigenToleranzgrenze.

•AuchbeidenGliederheizkörpernwiedenDIN-Stahl-undStahlröhrenradiatorenlassen

sichinsgesamtzufriedenstellendeErgebnissefesthalten.

•BeidenGuß-HeizkörpernlassensichtendenzielletwasgrößereAbweichungenaußerhalb

der Toleranzgrenze erkennen (höhere Meßwerte). Diese liegen in der Oberflächen-

5.3ValidierungdesProzeßmodells



117



rauhigkeit dieses Heizkörpertyps begründet, wodurch sich der thermische Kontakt zum

Heizkostenverteilerverschlechtertundfolglichderc-Wertvergrößert.DieserSachverhalt

läßt sich jedoch im Modell durch einen zusätzlichen thermischen Kontaktwiderstand

berücksichtigen (siehe Abschnitt 3.6.1), dessen Wert sich bei Gußradiatoren in der

GrößenordnungumR

≈0,6K/Wbewegt.

•BeiallendreiHeizkostenverteilernkommtesinderKlassedersogenanntenFaltwellen-

radiatorenzugrößerenAbweichungenaußerhalbderToleranzgrenze

.Faltwellen-oder

LamellenheizkörperbesitzendurchdenHerstellungsprozeß(FaltungvonBlechen)einen

sehr schmalen Fließkanalquerschnitt. Bei der Modellbeschreibung mit konzentrierten

Parametern führt nach [S

78] ein solch ungleichmäßiges Seitenverhältnis zu einem

besseren inneren Wärmeübergang zwischen Heizmedium und Heizkörper, was in der

Simulationinkleinerenc-Wertenresultiert.DetaillierteUntersuchungendesthermischen

Verhaltens eines Faltwellenradiators mittels CFD-Simulation [N

99] haben jedoch

gezeigt,daßesimäußerenRandbereichzueinemstärkerenTemperaturabfallkommtals

beiehergleichförmigenFließkanalquerschnitten.DieFaltwellenwirkenwieRippenund

kühlen sich daher nach außen hin im Luftstrom stärker ab. Am Montageort des

Heizkostenverteilers (an der außenliegenden Längsseite) liegt dadurch eine niedrigere

TemperaturanalsdiemittlereHeizmediumtemperatur,wodurchesbeiderMessungzu

höherenc-WertenkommtalsinderSimulation.UmdiesemUmstandgerechtzuwerden,

müßte eine deutlich komplexerer Modellansatz gewählt werden, der jedoch der

geforderten Universalität des Modellkonzepts widerspricht. Als Abhilfe kann für die

KlassederFaltwellenradiatoreneinthermischerErsatzwiderstand(Abschnitt3.6.1)heran-

gezogenwerden,dessenGrößenordnungvonderAusprägungderFaltwellen(Seitenver-

hältnisdesFließkanals)abhängt(fürdiebetrachtetenRadiatorenR

≈2,3...3,1K/W).

Insgesamtzeigendiesimuliertenc-WertemitAusnahmederKlassederFaltwellenradiatoren

eineguteÜbereinstimmungmitdenMeßwerten,sodaßdiegrundsätzlicheVerwendbarkeit

desvirtuellenPrüfstandszurc-Wert-Simulationnachgewiesenwerdenkonnte.Aufgrundder

besonderenGeometrie-undStrömungsverhältnissemüssendieFaltwellenradiatorenausder

Klasse der parametrierbaren Heizkörper prinzipiell ausgeschlossen werden, sofern der

besonderen Phänomenologie dieses Heizkörpertyps nicht durch einen thermischen Ersatz-

widerstandRechnunggetragenwird.





28InnerhalbderHeizkörper-AuswahlwurdenzweiFaltwellenradiatorenbetrachtet.

 5Simulation

118



5.4Modellbeurteilung

5.4.1Anwendungsbereich

Unter Berücksichtigung der zuvor diskutierten Ergebnisse und Anmerkungen bei der

ValidierungläßtsichderimRahmendesProjektesentstandene„Virtuellec-Wert-Prüfstand“

fürsolcheHeizkörperverwenden,dieindieModellklasse„RadiatormitvertikalerWasser-

führung“eingeordnetwerdenkönnen.DamitwirdbereitseinüberwiegenderAnteilvoninder

PraxiseingesetztenHeizkörpertypenabgedeckt.

DerTrendmodernerHeizkörpergehthinzuimmerausgefallenerenDesignsundexklusiveren

Bauformen. Trotzdem werden zur Gewichts- und Kostenreduktion sowie aus fertigungs-

technischenGründenmeisteinfacheStrömungsquerschnittefürdieWasserführunggewählt,

so daß bei vertikaler Wasserführung auch solche Heizkörpertypen berücksichtigt werden

können.

DarüberhinausgestattetdasoffeneModellkonzeptdesvirtuellenPrüfstandsinVerbindung

mit der objektorientierten Modellbildung eine einfache Erweiterung um neue Heizkörper-

klassen (Modellbaustein Heizkörper) sowie neue Heizkostenverteiler-Gerätegenerationen

(ModellbausteinHeizkostenverteiler).

5.4.2PraktischerNutzendesVirtuellenc-Wert-Prüfstands

Die Ermittlung von c-Werten wird immer dann erforderlich, wenn auf der Grundlage der

verbrauchsabhängigenWärmekostenverrechnungdiezentralversorgteHeizungsanlageeiner

NutzergemeinschaftmitHeizkostenverteilernausgestattetwerdensoll.Dieskannsowohlbei

neugeschaffenemWohnraum,nacheinerModernisierung(AustauschvonHeizkörpern)oder

auchbeidererstmaligenAusrüstungbestehenderWohnanlagenmitHeizkostenverteilernder

Fallsein.

EinbesondersgroßesEinsatzpotentialbietetdieVerwendungdesvirtuellenPrüfstandsbeider

MarkteinführungneuerHeizkostenverteiler.Unumgänglichistzunächstdiebeijederneuen

Zertifizierung von Heizkostenverteilern erforderliche Messung der c-Werte an den sieben

Grundheizkörpern gemäß [DIN4704], welche an einer amtlichen Meßstelle durchgeführt

werdenmuß.Alleweiterenc-WertewerdenderzulassendenStellevorgelegtundstichproben-

artignachgemessen.DabeibleibtesdemAntragstellerüberlassen,wiediesec-Werteermittelt

werden,sodaßhieraucheinmodellbasiertesVerfahrenwiedervirtuellePrüfstandverwendet

werdenkann.

AufdieseWeiseläßtsichdersonstüblichemeßtechnischeAufwandbeiderEinführungneuer

HeizkostenverteilerdurchdenEinsatzdesvirtuellenPrüfstandserheblichreduzieren.

6Zusammenfassung 119



6Zusammenfassung

Im Rahmen dieser Arbeit ist ein „Virtueller Prüfstand“ entstanden, mit dessen Hilfe sich

bestimmte Bewertungsfaktoren im Bereich von Raumheizsystemen durch Simulation eines

umfangreichenProzeßmodellsrechnerischermittelnlassen.

DieMotivationzudieserArbeitresultiertauseinemForschungsprojektzwischenderViterra

Energy Services GmbH (Essen) und dem Fachgebiet Regelungstechnik der Universität

Paderborn.ImVordergrunddieserKooperationstehtdasZiel,KostenundAufwandfürdie

Ermittlung der zuvor erwähnten Bewertungsfaktoren im Bereich von Raumheizsystemen

durch den intelligenten Einsatz von Simulationstechnik zu verringern und das System-

verständniszuerweitern.

Den Schwerpunkt bildet die phänomenologische Analyse von Raumheizsystemen unter

VerwendungneuerobjektorientierterMethodenundMechanismenderModellbildung.Dabei

wirdzunächstimRahmeneinertopologischenAbstraktiondergesamteabzubildendeProzeß

in eine Vielzahl kleinerer Modellbausteine strukturiert. Diese hierarchische Zerlegung

charakterisiert als wesentliche Teilsysteme den Heizkörper als wärmeabgebendes Element

und den Heizkostenverteiler als bewertende Systemkomponente des Gesamtprozesses. Im

zweitenSchrittderphänomenologischenAbstraktionwerdendiefundamentalenVerhaltens-

weisen der beteiligten Phänomene und Prozeßeigenschaften auf der Grundlage einer

physikalischenModellbildungeingehendanalysiertundmathematischbeschrieben.

ZurCharakterisierungdesProzeßverhaltensdesTeilsystemsHeizkörperwirdeinphysikalisch

basierterAnsatzmitdeminderHeizungstechnikbekanntenPotenzgesetzverglichen,woraus

sich schließlich ein modifizierter Ansatz auf der Basis des Potenzgesetzes ableitet. Mittels

dieses Ansatzes läßt sich das thermische Verhalten der Heizkörperklasse „Radiator mit

vertikalerWasserführung“hinreichendgenaunachbilden.DasSystemHeizkörperbeeinflußt

denHeizkostenverteilerdurchdieanderMontagestelleauftretendeKontaktflächemitderdort

vorliegenden Temperatur sowie durch eine auf dem Phänomen der freien Konvektion

beruhendenGrenzschichtströmung.

DasTeilsystemdesHeizkostenverteilerserfordertaufgrundseinerkomplexenGeometrieund

derForderungnacheinereingehendenthermischenAnalyseeinedetaillierteFinite-Volumen-

Modellierung und CFD-Simulation. Die letztlich interessierenden Systemgrößen hängen

zusätzlichvonäußerenEinflüssenwieKontaktfläche,Kontakttemperatur,Luftströmungund

Umgebungstemperatur ab. Um das Modellkonzept nicht an ein kommerzielles CFD-

Werkzeugzubinden,werdendieanalysiertenthermischenVerhaltensweisendurchgeeignete

ErsatzmodelleinFormvonnichtlinearenKennlinienfeldernbeschrieben.Dieselassensichauf

der Modellbeschreibungsebene des Teilmodells Heizkörper in das Gesamtkonzept des

Prüfstandsimplementieren.

 6Zusammenfassung

120



ZusammenmitderPrüfumgebungalsEingangsgrößenmodellundderBerechnungsvorschrift

fürdieBewertungsfaktorenkanndasVerhaltendesgesamtenPrüfstandsdurcheinkomplexes

mathematischesModellbeschriebenwerden.DiesesistindervorliegendenForminderLage,

die interessierenden Bewertungsfaktoren für drei implementierte Heizkostenverteiler an

HeizkörpernderKlasse„RadiatormitvertikalerWasserführung“zuermitteln.

Die Modellbausteine Heizkörper und Heizkostenverteiler sind durch die Verwendung des

objektorientierten Modellierungswerkzeugs CAMex derart konzipiert, daß eine Erweiterung

des virtuellen Prüfstands einfach vorgenommen werden kann. Unter Berücksichtigung der

definiertenSchnittstellenstrukturunddesfestgelegtenHierarchiebaumeslassensichweitere

HeizkörperklassenoderauchneueHeizkostenverteileralsModellbausteinbeschreibenundin

dasvorhandeneProzeßmodellimplementieren.

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Teil1:TechnischeSpezifikationenundAnforderungen,1996,

Teil2:PrüfverfahrenundLeistungsangabe,1997.

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

 8Anhang

124



8Anhang

AnhangA:FormelzeichenundIndizes

Zeichen Bedeutung

a,b,c,d Gleichungskoeffizienten,Querschnittsparameter

a Temperaturleitfähigkeit

A Fläche

 mittlereMantelfläche(bzgl.Wärmeleitung)

 BauhöheeinesHeizkörpers

c,c

,c

, c-Wert(wärmeträgerseitig,oberflächenabhängig)

 SpezifischeWärmekapazität

C Konstante

d Wandstärke

D Rohrdurchmesser

g(g)Erdbeschleunigung(Vektor)

Gr Grashofzahl

K,K

,K

 Bewertungsfaktoren(allg.,bzgl.c-Wert,bzgl.Wärmeleistung)

L,l charakteristischeLängeamHeizkörper

m Masse



,

 Massenstrom,Heizmedium-Massenstrom

n Heizkörper-Exponent

,N

 Anzahl(Segmente,Säulen,Glieder)

Nu Nußeltzahl

p,p

,p Druck,Teilung,Parametervektor

Pr Prandtlzahl

q StrahlungswirksamerFlächenanteil



(q) Wärmestromdichte(Vektor)

 Wärmeleistung,Wärmestrom

R Widerstand,thermischerWiderstand

Re Reynoldszahl

t Zeit

T Temperatur(Kelvin)

u Geschwindigkeitsvektor,Eingangsvektor

uki Koppeleingangsvektor

u GeschwindigkeitderLuftinx-Richtung

 MittlereStrömungsgeschwindigkeit

v GeschwindigkeitderLuftiny-Richtung

x Zustandsvektor

x OrtskoordinatesenkrechtzurHeizkörperoberfläche

yko Koppelausgangsvektor

y,y OrtskoordinatederHeizkörperlänge,Ausgangsvektor

z OrtskoordinatederHeizkörperhöhe

8Anhang



125



 Wärmeübergangskoeffizient

 isobarerWärmeausdehnungskoeffizient

 Grenzschichtdicke

 Emissionsverhältnis

 Wärmeleitfähigkeit

 Viskosität

 kinematischeViskosität

 Dichte

i,j

 Scherspannungstensor

∆T Temperaturspreizung,Übertemperatur

∆z HöheeinesSegmentes

Diss

 Energiedissipation

Index Bedeutung

0 Referenz-/Bezugsgröße

75 in75%derBauhöhe

ar arithmetisch

A Ausgang

Cc-Wert-bezogen(Bewertungsfaktor)

E Eingang

F Fühler,Sensor

G Glied

H,HK Heizkörpermaterial,Heizkörper

i,j Zählerindizes

I Innenfläche

kr kritisch

K,Konv Kontakt,Konvektion

ln logarithmisch

L Luft

m Mittelwert

N Normzustand

O Oberfläche

Q leistungsbezogen,Querschnitt

R Rücklauf

SSäule,Segment,Strahlung,Strömung

Sp Speicherung

St Strahlung

T Temperatur,Teilung

V Vorlauf

W Heizmedium(Wasser),umschließendeWand

zz-Abhängig(örtlicheKennzahl)

 8Anhang

126



AnhangB:Modellparameter

ImBasiszustandliegendieHeizkörpertemperaturen(Heizmedium,Wandmaterial)aufgrund

der geringen Temperaturspreizung bei Norm-Heizmediumstrom nur ca. ±5K neben dem

mittleren Referenzwert. Wegen der meist geringen Temperaturabhängigkeit können die

StoffwertedaheringuterNäherungalskonstantangesehenwerden.

Die folgenden Tabellen geben die Stoffwerte der beteiligten Materialien für den mittleren

Basiszustand(T

=50°C)an.Quellen:[B

89],[R

95].

TabelleB.1:Wasser(Heizmedium)bei

≅



Dichte

W

=984kg/m



SpezifischeWärmekapazität c

p,W

=4186J/(kg⋅K)

Wärmeleitfähigkeit

 =0,66W/(m⋅K)

kinematischeViskosität

 =0,4⋅10

-6

m

/s



TabelleB.2:TrockeneLuftbeip=1013mbarundT

=40°C

Dichte

L

=1,29kg/m



SpezifischeWärmekapazität c

p,L

=10

J/(kg⋅K)

Wärmeleitfähigkeit

 =27,2⋅10

-3

W/(m⋅K)

KinematischeViskosität

 =17,26⋅10

-6

m

/s

IsobareWärmeausdehnung

=3,2⋅10

-3

1/K



TabelleB.3:Stahl(Heizkörpermaterial)bei

≅



Dichte

H

=7,84⋅10

kg/m



SpezifischeWärmekapazität c

p,H

=480J/(kg⋅K)

Wärmeleitfähigkeit

 =50W/(m⋅K)



TabelleB.4:Gußeisen(Heizkörpermaterial)bei

≅



Dichte

H

=7,25⋅10

kg/m



SpezifischeWärmekapazität c

p,H

=540J/(kg⋅K)

Wärmeleitfähigkeit

 =55W/(m⋅K)



8Anhang



127



TabelleB.5:Aluminium(Heizkörpermaterial)bei

≅



Dichte

H

=2,7⋅10

kg/m



SpezifischeWärmekapazität c

p,H

=942J/(kg⋅K)

Wärmeleitfähigkeit

 =215W/(m⋅K)



TabelleB.6:AllgemeineKonstantenundsonstigeParameter

Erdbeschleunigung g



=9,81m/s



Stefan-Boltzmann-Konstante

=5,67⋅10

-8

W/(m

⋅K)

Emissionskoeffizient

technischerHeizkörperlacke

o,H

=0,93...0,95

