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Modellierung für die künstliche Beatmung:

Strömung im Lungenkapillarnetz und Interaktion von

Alveolen

von

Diplom-Ingenieurin

Kerstin Schirrmann

aus Berlin

von der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktorin der Ingenieurwissenschaften

– Dr.-Ing. –

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Marc Kraft

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Christian Oliver Paschereit

Prof. Dr.-Ing. Klaus Affeld

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 30. August 2012

Berlin 2012

D83

Zusammenfassung

Wenn Menschen künstlich beatmet werden müssen, übernimmt ein Atemgerät die

Funktion der Atemmuskulatur und pumpt Luft in die Lunge. Die Hauptaufgabe der

künstlichen Beatmung ist es, den Austausch von Sauerstoff und Kohlendioxid zu

gewährleisten. Allerdings wird dabei das Gewebe gelegentlich zu stark gedehnt, oder

Alveolen, Lungenbläschen, fallen wieder zusammen, nachdem sie aufgepumpt wurden.

Beides kann Lungenschäden verstärken oder gar hervorrufen. Die künstliche Beatmung

bekommt also eine weitere Aufgabe: Sie muss die zusätzliche Lungenschädigung

minimieren. Ziel dieser Arbeit ist es, Vorgänge rund um diese zwei Aufgaben besser

zu verstehen.

Ein Thema dieser Arbeit ist die Mechanik von mehreren miteinander verbundenen

Alveolen. Wie stabil Alveolen sind und wie stark sie gedehnt werden, ist wichtig für

die Schädigung der Lunge. Hier wird ein mathematisches Modell verwendet. In den

Alveolen wirken mehrere Spannungen auf einzigartige Weise zusammen: Die Mem-

branspannung des Gewebes und die Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms, der

die Alveolen auskleidet, stehen mit dem Beatmungsdruck im Gleichgewicht. Dieses

Zusammenspiel beschreiben vereinfachte, theoretisch hergeleitete Druck-Volumen-

Kurven unabhängiger einzelner Alveolen. Durch Variation von Parametern dieses

mathematischen Modells werden neben normalen auch veränderte Alveolen modelliert:

Typisch für Lungenschädigungen sind die Vergrößerung der Oberflächenspannung

und die Versteifung des Gewebes. Mit den Druck-Volumen-Kurven einzelner Alveolen

wird dann die Interaktion mehrerer Alveolen simuliert, die über Luftwege verbun-

den sind; Dehnung und Stabilität werden analysiert. Damit wird die Wirkung von

Beatmungsmanövern auf bereits geschädigte Lungen beurteilt. Der Erfolg von Beat-

mungsmanövern hängt entscheidend von der Art der Schädigung ab: Bei Störungen

der Oberflächenspannung können Beatmungsmanöver die Stoffaustauschfläche ver-

größern. Bei Gewebeversteifung ist der Effekt gering und es besteht die Gefahr der

Überdehnung.

Das zweite Thema ist die Strömung der roten Blutkörperchen im Lungenkapillarnetz.

Sie ist wichtig für den Stoffaustausch, aber im Detail noch nicht gut verstanden. Es

werden experimentelle Modelle für Kapillarblut und für Kapillarnetze entwickelt. Das

Besondere an der Strömung im Kapillarnetz ist, dass die roten Blutkörperchen genauso

groß sind wie die Kapillaren. Daraus ergeben sich spezielle strömungsmechanische

Eigenschaften. Diese stellt ein Blutmodell aus Wassertropfen in Öl nach. Mit dem

Blutmodell wird die ungestörte Strömung in einem vergrößerten Kapillarnetzmodell

untersucht und der Einfluss von Störungen: Blockaden von Verzweigungen oder Aus-

gängen sowie statische und dynamische Dehnung von Teilen des Kapillarnetzmodells.

Bereits in der ungestörten Strömung variieren Geschwindigkeit, Tropfenstrom und

Tropfenanzahl mit der Zeit und sind im Kapillarnetzmodell ungleich verteilt. Die

untersuchten Störungen ändern die Aufenthaltszeiten der Tropfen jedoch nur wenig:

Die Strömung ist hierin robust. Überträgt man dies auf Blut in Kapillarnetzen, hieße

das erstens, Blockaden und Teildehnungen beeinflussen den Aufenthalt der roten Blut-

körperchen im Kapillarnetz und somit den Stoffaustausch nicht wesentlich. Zweitens

kann die unregelmäßige Strömung in natürlichen Kapillarnetzen mit den strömungs-

mechanischen Eigenschaften von Kapillarblut erklärt werden. Darüber hinaus werden

erstmals Experimente mit Blut in einem Mikromodell eines Lungenkapillarnetzen

präsentiert: Sie bestätigen die Ergebnisse der Versuche mit dem Blutmodell.

Die vorgestellten Modelle ermöglichen ein besseres Verständnis der Alveolenstabilität

und der Kapillarblutströmung. Das Modell der verbundenen Alveolen bietet einen An-

satz für eine verbesserte künstliche Beatmung, indem Einflüsse gezeigt werden, die sich

auf den Erfolg oder die zusätzliche Lungenschädigung bestimmter Beatmungsmanöver

auswirken.

Summary

For patients on artificial respiration a ventilator compensates the misfuction of the

respiratory muscels and pumps air into the lung. The major task of artificial respiration

is to provide sufficient transfer of oxygen and carbon dioxide. However, the tissue

is stretched too much sometimes, or alveoli open and kollapse repeatedly. Both is

known to worsen or even induce lung injury. So, artifitial respiration has another task:

Minimize ventilator induced lung injury. This thesis intends to understand processes

connected with these two tasks.

One topic regards the mechanics of several connected alveoli. Their stability and

strain is important for lung injury. Here, a mathematical model is used. Several stresses

interact in a unique way in alveoli: The membrane stress in the tissue and the surface

tension of the fluid lining of the alveoli are balanced by the pressure of the air. This

interaction is described with pressure volume curves of single independend alveoli,

that are theoretically derived. Next to normal alveoli modyfied alveoli are studied

by changing the parameters of the mathematical model: Two typical alterations in

lung injury are a higher surface tension and a stiffening of the tissue. Pressure volume

curves of single alveoli are used to simulate the interaction of several alveoli, that are

connected via airways; strain and stability are analysed. Now, the effect of ventilation

maneuvers on injured lungs is estimated. Their success is critically dependend on

the type of lung injury: If the surface tension is affected, ventilation maneuvers can

enlarge the surface area for mass transfer. If the tissue stiffnes is affected, the effect

on surface area is small and danger of overdistention has to be taken into account.

The other topic regards the flow of red blood cells in the pulmonary capillay network.

This flow is important for the mass transfer, but unfortunately its details are not

known very well. Here, experimental models are used for capillary blood and for

pulmonary capillary networks. A special issue in capillary blood flow is the identical

size of capillaries and red blood cells. This induces special fluid dynamic characteristics.

These characteristics are modeled with a blood model consisting of water droplets and

oil. The blood model is used to study the undisturbed flow in an enlarged model of the

capillary network and the influence of disturbances: blockage of bifurcations or oulets

as well as static and dynamic partial stretching of the model. Velocity, droplet flow

and droplet number vary and are inhomogeneous distributed, even at undisturbed

conditions. The disturbances which where studied hardly alter the transit time of

the droplets: The flow is robust. Transferring these results to blood in real capillary

networks leads to the following conclusions: First, blockage and partial stretching do

not essentially influence the transit time, and thus neither the mass transfer. Second,

the irregularities in the flow of blood in capillary networks can be explained with the

fluid dynamics of capillary blood. In addition, experiments are presented with blood

flowing in a pulmonary capillary network on micrometer scale: These experiments

confirm the results of the experiments with the blood model.

The presented models allow for a better understandig of the blood flow and of

alveolar stability. The first model provides hints, how artificial respiration might be

improved: It shows influences that affect the success or additional lung injury of

ventilation maneuvers.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 9

1.1 Lungenschaden und Protektive Beatmung . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Fragestellungen............................... 12

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Alveolen............................... 13

1.3.2 Kapillarnetz............................. 16

1.3.3 Stoffaustausch ........................... 18

1.4 Blut als Strömungsmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Zusammensetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Hämorheologie ........................... 20

1.5 Modellierung von Alveolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Modellgeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Lokale Spannungen und Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3 Stabilität .............................. 24

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken . . 25

1.6.1 Ähnlichkeit ............................. 25

1.6.2 Kapillarblutmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Vorgänge an Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz . . . . . . . 28

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen 31

2.1 Methoden.................................. 31

2.1.1 Grundidee.............................. 31

2.1.2 Druck-Volumen-Kurve einer einzelnen Alveole . . . . . . . . . . 31

2.1.3 Stabilitätsanalyse von Alveolensystemen . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4 Druck-Volumen-Kurven von Alveolensystemen . . . . . . . . . 36

2.1.5 Modellierung von Lungenschäden . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.6 Validierung ............................. 36

2.2 Ergebnisse.................................. 37

2.2.1 Stabilität eines Systems mit zwei Standardalveolen . . . . . . . 37

2.2.2 Druck-Volumen-Kurven von Standardalveolen . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Druck-Volumen-Kurven bei Lungenschäden . . . . . . . . . . . 41

2.3 Diskussion.................................. 43

2.3.1 Systeme von Standardalveolen mit Hysterese . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Lungenschädigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3 Vereinfachungen .......................... 44

2.3.4 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell 47

3.1 Blutmodell ................................. 47

3.1.1 Aufbau und Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2 Ergebnisse.............................. 49

3.1.3 Diskussion.............................. 51

3.2 Aufteilung von Tropfen an einer Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1 Methoden.............................. 53

3.2.2 Ergebnisse.............................. 53

3.2.3 Diskussion.............................. 54

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz 57

4.1 Methoden.................................. 57

4.1.1 Kapillarnetzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2

Experimentelle Untersuchungen mit dem Wassertropfen-Öl-

Modell in Kapillarnetzmodellen mit künstlich erzeugter Geometrie

4.1.3

Auswertung der Experimente durch Tropfenverfolgung mit MAT-

LAB................................. 63

4.1.4 Experimentelle Untersuchungen mit der Mausgeometrie . . . . 66

4.1.5 Experimentelle Untersuchungen im Mikromodell . . . . . . . . 67

4.2 Ergebnisse.................................. 68

4.2.1 Beschreibung der Strömung im vergrößerten Modell . . . . . . 68

4.2.2 Kontrollversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.3 Variation des Tropfenanteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.4 Änderung des Volumenstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.5 Blockaden.............................. 86

4.2.6 Statische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.7 Dynamische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.8 Mauskapillarnetzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.9 Mikromodell ............................ 100

4.3 Diskussion.................................. 105

4.3.1 Strömung im Kapillarnetzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2 Tropfenanteil ............................ 107

4.3.3 Blockade .............................. 108

4.3.4 Dehnung .............................. 109

4.3.5 Literaturvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.6 Strömung im Mauskapillarnetzmodell . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.7 Strömung im Mikromodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.8 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Schlussfolgerungen und Ausblick 117

Literaturverzeichnis 121

Symbolverzeichnis 131

1 Einleitung

1.1 Lungenschaden und Protektive Beatmung

Künstliche Beatmung ist lebensrettend, wenn die natürliche Atmung nicht mehr funk-

tioniert. Letzteres kann verschiedene Ursachen haben. Rückenmarksverletzungen oder

Medikamente können dazu führen, dass der Atemantrieb nicht ausreichend vorhanden

ist. In diesem Fall ist das Lungengewebe selbst zunächst nicht verändert. Trauma

mit Schock, Lungenentzündungen und das Einatmen von Mageninhalt oder großer

Mengen Wasser können ein akutes Lungenversagen auslösen (acute lung injury, ALI,

oder in der schwereren Form acute respiratory distress syndrome, ARDS). Hier ist das

Lungengewebe direkt von Veränderungen betroffen. Als Folge kann die Lunge ihre

Grundfunkion nicht mehr erfüllen: Der Austausch von Sauerstoff und Kohlendioxid

wird nicht mehr gewährleistet. Zahlen über die Häufigkeit von akutem Lungenversagen

gibt es aus den USA: Rubenfeld u. a. (2005) geben die altersbereinigte Anzahl der

Neuerkrankungen an akutem Lungenversagen in ihrem Untersuchungsgebiet mit

Fälle je

100 000

Einwohner an, und schätzen, dass in den USA jedes Jahr etwa

190 000

Menschen an akutem Lungenversagen erkranken. Die künstliche Beatmung soll die

Zeit überbrücken, bis sich die Lunge wieder erholt. Gleichzeitig belastet die künstliche

Beatmung aber das Lungengewebe: Beim ruhigen Atmen erzeugt das Zwerchfell einen

leichten Unterdruck (ungefähr

200 Pa

) und die Luft strömt ein. Bei der künstlichen

Beatmung wird die Luft mit Überdruck in die Lunge gepumpt: An dem Beatmungs-

gerät werden Parameter wie Atemzugvolumen, Atemfrequenz und Maximaldruck

vorgegeben und das Beatmungsgerät presst die Luft in die Lunge. Die Einstellun-

gen werden anhand von Blutwerten kontrolliert und angepasst. Bei konventioneller

Beatmung werden Spitzendrücke bis

5000 Pa

erreicht (ARDSNetwork, 2000). Solche

hohen Spitzendrücke werden von gesunden Lungen eine gewisse Zeit toleriert. Bei

langer künstlicher Beatmung führt dies jedoch auch bei gesunden Lungen oft zu

Komplikationen (Dreyfuss und Saumon, 1998). Bei Patienten, deren Lunge aufgrund

von Erkrankungen bereits veränderte Eigenschaften hat, wie zum Beispiel beim akuten

Lungenversagen, ist das Risiko eines weiteren beatmungsassoziierten Lungenschadens

besonders groß. Das trägt mit dazu bei, dass die Sterblichkeitsrate in dieser Gruppe

mit circa

40 %

sehr hoch ist. In den USA sterben jedes Jahr geschätzt

74 500

Men-

schen an akutem Lungenversagen (Rubenfeld u. a., 2005). Der beatmungsassoziierte

Lungenschaden ist Gegenstand der aktiven Forschung und tritt in vier Formen auf:

Dazu zählen das Volutrauma, das Barotrauma, das Atelektrauma und das Biotrauma.

Volutrauma und Barotrauma beschreiben Gewebeverletzungen aufgrund von zu ho-

hen Volumen oder Drücken. Diese spielen durch die heutigen Grenzwerteinstellungen

an den Beatmungsgeräten kaum noch eine Rolle. Dagegen wird dem Atelektrauma

eine größere Bedeutung beigemessen. Als Atelektrauma wird eine Lungenschädigung

1 Einleitung

bezeichnet, die durch wiederholtes Öffnen und Schließen der Alveolen, der Lungenbläs-

chen, über mehrere Atemzüge hervorgerufen wird. Die Schädigungsmechanismen, die

hier vermutet werden, sind einerseits eine mechanische Belastung des Gewebes beim

Aufeinandertreffen der Alveolarwände beim Schließen, und andererseits die hohen

mechanischen Spannungen beim Öffnen kollabierter Alveolen. Auch die Spannungen

im Übergangsbereich zwischen geöffneten und kollabierten Alveolen werden als pro-

blematisch angesehen. Es ist festzuhalten, dass in der Fachwelt noch diskutiert wird,

ob oder unter welchen Umständen Alveolen, die nicht am Gasaustausch beteiligt

sind, wirklich zusammengefallen sind oder mit Flüssigkeit gefüllt sind (Hubmayr,

2009). Für die mechanische Belastung des Gewebes ist das ein wesentlicher Unter-

schied. Die letzte Form des beatmungsassoziierten Lungenschadens, das Biotrauma,

ist mit der Dehnung des Lungengewebes verbunden. Bereits kleine Überdehnungen

reichen aus, um dehnungsempfindliche Ionenkanäle zu aktivieren (eine Art natürlicher

Dehnungssensor). Diese wiederum setzen eine Entzündungskaskade in Gang, sodass

eine Lungenentzündung entstehen kann, ohne dass Bakterien oder Viren ursächlich

beteiligt sein müssen.

Die protektive, also schützende Beatmung soll die beschriebenen beatmungsassozi-

ierten Lungenschäden minimieren und gleichzeitig den notwendigen Stoffaustausch

ermöglichen. Problematisch sind hier folgende Aspekte.

•

Die physiologischen Grundlagen sind zum Teil ungeklärt. Beispielsweise ist der

Mechanismus der Volumenveränderung von Alveolen weder im gesunden noch

im kranken Fall abschließend geklärt, sondern Gegenstand reger Diskussionen

(Roan und Waters, 2011)

•

Die genauen Schädigungsmechanismen sind noch nicht bekannt. Zwei verschie-

dene Mechanismen werden jedoch immer wieder genannt: Schädigung durch

wiederholtes Öffnen und Schließen und durch Überdehnung

•

Die postulierten Einflussgrößen für die Schädigung (die Spannungen und Dehnun-

gen im Gewebe), sowie die Einflussgrößen für den Stoffaustausch (die Strömung

der Luft und des Blutes) sind nicht bekannt.

•

Jeder Lungenschaden ist individuell und ändert sich mit der Zeit. Je nach Art

und Fortschritt des Lungenschadens sind die mechanischen und morphologischen

Eigenschaften der Lunge verschieden.

Entsprechend schwierig ist die Einstellung einer protektiven, einer schützenden

Beatmung. Das Wissen um die möglichen Schädigungsmechanismen führte zu der

Entwicklung von verschiedenen protektiven Beatmungsstrategien. In der Klinik wird

von protektiver Beatmung gesprochen, wenn das Atemzugvolumen auf

6 ml kg−1

des

idealen Körpergewichts begrenzt wird: Kleinere Atemzugvolumina beschränken die

Gewebedehnung und damit die Entstehung des Biotraumas. Dies ist bisher der einzige

protektive Ansatz, dessen Nutzen in einer großen randomisierten Studie nachgewiesen

wurde (ARDSNetwork, 2000). Zu den weiteren Ansätzen für eine protekive Beatmung

1.1 Lungenschaden und Protektive Beatmung

gehört der sogenannte open lung approach. Dieser verfolgt die Strategie, das Kol-

labieren und Öffnen von Alveolen zu verhindern: Die Lunge soll belüftet und offen

gehalten werden(Lachmann, 1992). Das wird erreicht, indem zunächst mit hohem

Druck die Alveolen geöffnet werden (Rekrutierungsmanöver) und dann ein positiver

end-expiratorischer Druck (PEEP) angelegt wird. Am Ende der Ausatmung liegt

also immer noch ein Druck an, der ein Kollabieren von Alveolen verhindern soll.

Für die Durchführung des Rekrutierungsmanövers und die Einstellung des richtigen

PEEPs gibt es keine einzelne allgemein akzeptierte sondern viele verschiedene Stra-

tegien (Kacmarek und Kallet, 2007; Mols u. a., 2006). Im Gegensatz dazu gibt es

aber auch den Ansatz, kollabierte Abschnitte der Lunge geschlossen zu lassen – damit

gibt es ebenfalls kein wiederholtes Öffnen und Kollabieren der Alveolen, und auch

keine Überdehnungen. Hintergrund ist die Beobachtung, dass in bestimmten Stadien

des akuten Lungenschadens ein kleiner Teil der Lunge relativ normale Eigenschaften

aufweist (Babylunge), während der Rest kaum beatmet werden kann (Gattinoni und

Pesenti, 2005). Unter welchen Umständen Rekrutierungsmanöver sinnvoll sind, ist

also umstritten (zum Beispiel (Kacmarek und Kallet, 2007)). Ein anderer Ansatz

besteht darin, die künstliche Beatmung weniger gleichförmig sondern variabel und

damit physiologischer zu gestalten: Dazu gehört die Kombination von maschineller

Beatmung und Spontanatmung (BIPAP – biphasic positive airway pressure), und die

stochastische Variation der Beatmungsdrücke und -volumina (de Abreu u. a., 2008),

wobei der zweite Ansatz noch in der klinischen Erprobung ist. Hier werden kurzzei-

tige hohe Drücke und Volumina in Kauf genommen, also auch Überdehnung und

Kollaps, da die Wirkung von hohen Spannungen und Dehnungen nicht nur von ihrer

Stärke sondern auch von ihrer Dauer abhängt. Es gibt weitere Ansätze zur protek-

tiven Beatmung, die jedoch mit höherem apparativen Aufwand verbunden sind und

nicht etabliert sind. Dazu gehören die Flüssigkeitsbeatmung mit Fluorkarbon und die

Hochfrequenzbeatmung. Diese haben gemeinsam, dass eine Überdehnung des Gewebes

vermieden wird – die erhöhte Diffusion im flüssigen Fluorkarbon beziehungsweise die

hohe Beatmungsfrequenz ermöglichen kleinste Atemzugvolumina und somit kleine

Dehnungen.

Die bisher beschriebenen protektiven Beatmungskonzepte konzentrieren sich auf die

Minimierung der schädigenden Einflüsse. Die gleichzeitige Optimierung des Stoffaustau-

sches spielt nur im Hintergrund eine Rolle: Die verminderte Abgabe von Kohlendioxid

mit daraus folgender leichter Übersäuerung gilt als zulässig, wenn dadurch die Über-

dehnung des Gewebes vermieden werden kann (Larsen und Ziegenfuß, 2009). Beim

Sauerstoff gibt es weniger Spielraum, ein ausreichender Sauerstoffaustausch muss ge-

währleistet sein. Beim Stoffaustausch muss neben der Luftströmung auch die Strömung

des Blutes betrachtet werden. Kritisch ist hier vor allem der Shuntvolumenstrom. Das

ist der Blutvolumenstrom, der durch schlecht oder gar nicht belüftete Lungenbereiche

fließt und bei dem das Blut deshalb kaum oder gar nicht mit Sauerstoff versorgt

wird. Bei der Verminderung des Shuntvolumenstroms könnten neue Entwicklungen

im Bereich der Elektroimpedanztomographie (Borges u. a., 2012) helfen: Mit einem

Elektrodengürtel um den Körper werden Bilder der elektrischen Widerstände in einem

Schnitt des Oberkörpers erzeugt. Die neuen Auswertetechniken haben das Potenti-

1 Einleitung

al, Luftströmung und Blutströmung zu unterscheiden (Borges u. a., 2012). Das soll

die Kontrolle des Shuntvolumenstromes am Patientenbett ermöglichen, und so eine

bessere Einschätzung der eingestellten Beatmungsparameter erlauben. Abgesehen

davon gibt es nach aktuellem Kenntnisstand keinen Ansatz, der den Blutfluss im

Lungenkapillarnetz mit in die Beatmungsstrategie einbezieht.

Die deutsche Forschungsgesellschaft (DFG) hat 2005 einen Forschungsschwerpunkt

mit dem Titel Protektive Beatmungskonzepte ins Leben gerufen. Eine Besonderheit

dieses Forschungsschwerpunktes ist, dass in jedem Teilprojekt sowohl Mediziner als

auch Ingenieure oder Naturwissenschaftler beteiligt sind. Die vorliegende Arbeit ist

im Rahmen eines solchen Teilprojektes entstanden. Zusammen mit dem Institut für

Physiologie wurde im Labor für Biofluidmechanik, beide Charité - Universitätsmedizin

Berlin, das Projekt mit dem Titel Strömungsmechanik und Zellphysiologie in der

Alveole und ihren Kapillaren bearbeitet. Ziel war es, sowohl die schädigenden Vorgänge

als auch den Stoffaustausch auf alveolo-kapillärer Ebene besser zu verstehen und so

Vorschläge für eine protektivere Beatmung zu entwickeln.

1.2 Fragestellungen

In dieser Arbeit werden zwei Fragestellungen bearbeitet, die aus dem Themenkomplex

protektive Beatmung heraus entstanden sind.

Die erste Frage wird in Kapitel 2 behandelt und lautet: Unter welchen Umständen

fallen Alveolen zusammen und unter welchen Bedingungen können zusammengefal-

lene Alveolen wieder dauerhaft geöffnet werden? Diese Frage ist für die protektive

Beatmung deshalb wichtig, weil es rege Diskussionen gibt, ob oder unter welchen

Umständen Rekrutierungsmanöver durchgeführt werden sollen oder nicht (Kacmarek

und Kallet, 2007). Hier wird diese Frage als Stabilitätsproblem gestellt: Wann bilden

offene Alveolen einen stabilen Gleichgewichtszustand und wie verschieben sich die

stabilen Gleichgewichtszustände bei typischen Veränderungen? Als Werkzeuge für die

Untersuchung der Alveoleninteraktion dienen ein mathematisches Modell, das Druck-

Volumen-Kurven beschreibt, die theoretisch hergeleitet werden, und ein Verfahren zur

Stabilitätsanalyse, das ursprünglich für die Analyse des Verhaltens von Luftballons

genutzt wurde.

Die zweite Frage wird in Kapitel 4 behandelt und lautet: Wie sieht die Blutströmung

im Lungenkapillarnetz aus und wie verändert sie sich, wenn sich die Randbedingungen

ändern? Diese Frage ist für die protektive Beatmung deshalb wichtig, weil die Blut-

strömung eine von zwei Komponenten für den Stoffaustausch ist: Wo kein Blut fließt,

gibt es auch keinen Stoffaustausch; Blutfluss ohne Luftströmung ist ebenso wenig

sinnvoll. Zunächst führt die Frage jedoch etwas von der protektiven Beatmung weg:

Die Vorgänge bei der Kapillarströmung in der Lunge sind noch nicht gut verstanden

und müssen grundlegend erforscht werden. Die veränderten Randbedingungen, die

untersucht werden, sind jedoch durch den Kontext der protektiven Beatmung motiviert

und modellieren Veränderungen, die durch Lungenschäden entstehen können: Blo-

ckaden wie durch weiße Blutkörperchen, Umverteilung der Strömung bei blockierten

Ausgängen und Dehnung von Teilen des Kapillarnetzmodells. Das wichtigste Werkzeug

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene

für die Untersuchung der Kapillarnetzströmung ist das experimentelle Blutmodell.

Der Untersuchung des Blutmodells widmet sich daher Abschnitt 3.1 des Kapitels über

Voruntersuchungen (Kapitel 3). In Abschnitt 3.2 ist außerdem beschrieben, wie sich

das Blutmodell an einer Verzweigung verhält, dem Grundelement des Netzwerkes.

Zu beiden Fragen existieren bereits Vorveröffentlichungen: Im Forschungsschwer-

punkt Protektive Beatmungskonzepte ist ein Buch entstanden, in dem alle Arbeitsgrup-

pen über ihre Arbeit berichten. Ein Kapitel dieses Buches gibt einen Überblick über die

Forschung im DFG-Teilprojekt Strömungsmechanik und Zellphysiologie in der Alveole

und ihren Kapillaren im Labor für Biofluidmechanik und am Institut für Physiologie

der Charité - Universitätsmedizin Berlin (Schirrmann u. a., 2011). Dort werden unter

anderem die Strömung in den Modellkapillarnetzen und die Modellierung der Alveolen

in kompakter Form beschrieben. Im Vergleich zu dem damaligen Stand sind bei der

Modellierung der Blutströmung die Methoden verbessert worden und neue Ergebnisse

hinzugekommen. Daher geht das Kapitel 4 dieser Arbeit weit über das oben genannte

Buchkapitel hinaus. Eine ausführlichere Beschreibung der Alveolenmodellierung ist

zusätzlich bereits im Journal of Biomechanics veröffentlicht (Schirrmann u. a., 2010).

Diese Veröffentlichung bildet die Grundlage von Kapitel 2. Der Inhalt ist im Wesentli-

chen gleich; der Text wurde teilweise zugunsten einer ingenieurwissenschaftlicheren

Darstellung überarbeitet.

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene

1.3.1 Alveolen

Die Alveolen (Lungenbläschen) sind die Strukturen, in denen der Austausch von

Sauerstoff und Kohlendioxid zwischen der Atemluft und dem Blut stattfindet. Bild 1.1

zeigt ein einfaches Schema mehrerer Alveolen, die miteinander verbunden sind. Die

Innenansicht im Schnitt in der oberen Bildhälfte zeigt die gemeinsamen Wände der

Alveolen. Auch in diesen Wänden befinden sich Kapillaren des Kapillarnetzes. Das

Kapilllarnetz, ein dichtes Netz kleinster Blutgefäße umschließt die Alveolen, wie in

der unteren Hälfte von Bild 1.1 andeutet ist. Die Alveolen sind über die Atemwege in

bis zu

Verzweigungen mit der Luftröhre verbunden und füllen die gesamte Lunge

aus. Bild 1.2 zeigt die Struktur der Alveolen und Luftröhren in einer Aufnahme einer

fixierten Kaninchenlunge mit dem Rasterelektronenmikroskop. Die Alveolen bilden

anders als in der vereinfachten Darstellung in Bild 1.1 keine Trauben, sondern eher

eine schwammähnliche Struktur mit offenen Verbindungen.

Bild 1.3 zeigt schematisch die Elemente einer Alveolarwand: Die Oberfläche der

Alveole ist mit einem Flüssigkeitsfilm (a) bedeckt. In der Flüssigkeit befinden sich ober-

flächenaktive Substanzen, Surfactant (SUFAace ACTive AgeNTs), die die Oberflächen-

spannung des Wassers herabsetzen. Das Surfactant wird von einigen der Endothelzellen

produziert, die die Wandoberfläche bedecken (nicht dargestellt). Eine Alveolarwand

gehört gleichzeitig zu zwei Alveolen. In der Wand (b) befindet sich das Kapillarnetz.

Die Kapillaren (c) ragen auch aus der Wand heraus in die Alveole hinein, wenn

der Druck in den Kapillaren größer ist als in der Alveole. Die Materialeigenschaf-

1 Einleitung

ten der Alveolarwände wird durch die Strukturproteine Elastin und Kollagen in der

Alveolarwand bestimmt (nicht dargestellt). Diese Fasern haben in der Regel keine

bevorzugte Orientierung. Eine Ausnahme hiervon ist die Öffnung der Alveole zu den

Atemwegen. Dort befinden sich in einer Art Ring mehr Kollagenfasern als im Rest der

Alveolarwand (Matsuda u. a., 1987).

Die Alveole als Kugel, wie sie in vielen Physiologiebüchern und auch hier schematisch

in Bild 1.1 gezeigt wird, ist eine Vereinfachung. Die gute Raumfüllung und die gemein-

samen Wände werden durch Polyederform erreicht. Die dabei entstehenden Kanten

und Ecken werden allerdings durch die dortige Konzentration der alveolären Flüssigkeit

abgerundet (Lindert u. a., 2007). In vielen Fällen ist die vereinfachte Betrachtung

ausreichend. Für das Modell in dieser Arbeit wird das an geeigneter Stelle diskutiert

(Abschnitt 2.3.3). Als Größenmaß für die Alveolen wird eine charakteristische Länge

angegeben, die man sich im vereinfachten Modell als Kugeldurchmesser vorstellen

kann. Danach hat die durchschnittliche menschliche Alveole nach dem Ausatmen

eine charakteristische Länge von circa

225 µm

(Mercer u. a., 1994), eine Mäusealveole

hat eine charakteristische Länge von circa

60 µm

(Mercer u. a., 1994; Parameswaran

u. a., 2009). Die genaue Geometrie von Alveolen zu erfassen, ist schwierig. Bei Ex-

perimenten an der nicht fixierten Lunge behindert der große Brechungsindexsprung

zwischen Gewebe und Luft die optischen Messverfahren. Daher können mit den op-

tischen Methoden, die an der Lunge eingesetzt werden, nur oberflächliche Alveolen

erfasst werden. Um die Schwierigkeiten deutlich zu machen, werden die wichtigsten

aktuellen mikroskopischen Verfahren für nicht fixierte Lungen kurz erläutert. Die

Intravitalmikroskopie ist die mikroskopische Untersuchung von lebenden Objekten.

Oft ist die normale Hellfeld- oder Dunkelfeld-Lichtmikroskopie gemeint. Hier führen

die Brechungsindexsprünge an den Alveolen zu Reflexionen und damit zu einer Art

Draufsicht auf die Alveole. Allerdings ist der Ort, an dem der Reflex entsteht nicht

die Grenze der Alveole. Die Zweiphotonenmikroskopie nutzt die Fluoreszenzanregung

eines Farbstoffes durch zwei Photonen in einem Fokus. Durch Verschieben des Fokus

kann das Gewebe in verschiedenen Tiefen abgetastet werden. Die Eindringtiefe des

Bild 1.1:

Schema von Alveolen. Mehrere Alveolen sind um einen Luftweg in der Mitte ange-

ordnet. Ein dichtes Kapillarnetz überzieht die Wände der Alveolen. Die Innenansicht

im Schnitt oben zeigt die gemeinsamen Wände mit angeschnittenen Kapillaren

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene

Bild 1.2:

Kleine Atemwege und Alveolen einer perfusions-fixierten Kaninchenlunge im

Rasterelektronenmikroskop-Bild von E.R. Weibel, Insitut für Anatomie der Univer-

sität Bern.

Bild 1.3:

Schema einer Alveolarwand, die zu zwei Alveolen gehört: (a) Flüssigkeitsfilm mit

Surfactant; (b) Wand mit Strukturproteinen, Flüssigkeit und Kapillarnetz; (c) ange-

schnittene Kapillaren mit verformten roten Blutkörperchen (Strömung nur teilweise

in der Zeichenebene). Bild ähnlich wie in Roan und Waters (2011)

1 Einleitung

Lichts ist allerdings in der Lunge wegen der großen Verluste an der Luft-Gewebe-

Grenze klein. Die optische Kohärenztomographie funktioniert im Prinzip ähnlich wie

Ultraschall, nur mit Licht statt mit Schall: Licht wird in das Gewebe eingestrahlt und

die Laufzeit und Intensität des zurück gestreuten Lichts werden gemessen. Daraus

wird die 3D-Struktur rekonstruiert. Auch hier kann nur die erste Hälfte der obersten

Alveolen gut rekonstruiert werden. Danach nehmen die Abbildungsfehler aufgrund

des Brechungsindexsprungs wieder stark zu. Für andere mikroskopische Verfahren

wird die Lunge entnommen und zum Teil fixiert – diese Verfahren ermöglichen dann

auch die Aufnahme der Struktur der inneren Alveolen (klassische Gewebeschnitte

(Mercer und Crapo, 1987), lebende Lungenschnitte (Ressmeyer u. a., 2006), Röntgen-

Mikro-Computer-Tomographie (Tsuda u. a., 2008)). Allerdings wird bei den genannten

Verfahren nach aktuellem Stand immer die Flüssigkeit-Luft-Grenzschicht aufgelöst, da

die Alveolen mit Flüssigkeit gefüllt werden, zum Beispiel für die Fixierung. Dadurch

ändert sich das Kräftegleichgewicht und damit auch die Geometrie. Neue Einblicke in

die Alveolargeometrie bietet vielleicht die Endoskoptechnik: Bei der Fibered confocal

laser scanning microscopy wird die Optik eines Mikroskops über ein Endoskop direkt

in das Lungengewebe vorgeschoben (Bickenbach u.a., 2009). Der Durchmesser der

Sonde beträgt nur

650 µm

, die Verletzungen sind daher gering. Das System hat ein

kleines Beobachtungsfenster und fasst die Tiefeninformation von

50 µm

-Schichten

zusammen. Noch sind aus diesem Verfahren heraus keine Daten zur Geometrie der

Alveolen veröffentlicht.

Nicht nur die Geometrie der Alveolen wirft noch Fragen auf, auch der Mechanismus

der Volumenänderung der Lunge bei der Atmung wird kontrovers diskutiert. Mögliche

Prozesse sind

1. Volumenänderung der Alveolen durch Dehnung der Alveolarwand,

Volumenänderung der Alveolen durch Faltung und Entfaltung der Alveolarwände,

3. Öffnen und Schließen von Einzelalveolen oder Lungenbereichen und

4. Volumenänderung der Atemwege.

Vermutlich finden alle Prozesse statt, jeder für sich impliziert jedoch andere Mechanis-

men für den beatmungsassoziierten Lungenschaden. Der 4. Prozess ist für die Frage der

Schädigung unproblematisch und wird daher nicht weiter betrachtet. Das Öffnen und

Schließen von ganzen Lungenarealen durch Kollabieren oder Flüssigkeitsfüllung von

Atemwegen (3) hat großen Einfluss auf das Lungenvolumen (Hajari u. a., 2012). Dabei

nehmen Alveolen, die hinter den kollabierten Atemwegen liegen, nicht mehr am Gasaus-

tausch teil. Sie enthalten aber entweder noch etwas Luft und oder Flüssigkeit, sind also

nicht kollabiert im eigentlichen Sinne. Die Kräfte, die beim Öffnen auftreten, können

sehr groß werden und die Zellen in den Atemwegen schädigen. Das ist zum Beispiel von

Ghadiali und Huang (2011) ausführlich zusammengefasst worden und wird hier nicht

weiter betrachtet. Das Öffnen und Schließen von Einzelalveolen oder Alveolargruppen

wird dagegen in dieser Arbeit betrachtet, da dies ein bekannter Schädigungsmecha-

nismus ist, der zum Atelektrauma führen kann. Anders als in geschädigten Lungen

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene

Bild 1.4:

Dichtes Kapillarnetz um Alveolen im Rasterelektronenmikroskop-Bild (Ratenlunge,

Kapillaren mit Latex gefüllt und fixiert; Ausschnitt aus Guntheroth u. a. (1982))

spielt dies für die Volumenänderung der gesunden Lunge nach aktueller Kenntnis

keine Rolle (Mertens u. a., 2009). Die beiden Prozesse Dehnung der Alveolarwände (1)

und Faltung der Alveolarwände (2) unterscheiden sich nur bei kleinen Volumen. Für

mögliche Schädigungsmechanismen heißt das, dass während die Alveolarwände erst

entfaltet werden, dort noch keine erhöhten Spannungen und Dehnungen auftreten. Bei

größeren Volumen ist jedoch die Faltungsmöglichkeit erschöpft und die Wände werden

ebenfalls gedehnt. Es wird angenommen, dass erhöhte Spannungen und Dehnungen

neben der Atelektase die Hauptursache für die Schädigung der Lunge sind. Große

Spannungen und Dehnungen können durch Versteifung oder vergrößertes Volumen

entstehen. Daher wird in den folgenden Kapiteln hauptsächlich die Dehnung und nicht

die mögliche Faltung der Alveolarwände betrachtet.

1.3.2 Kapillarnetz

Das Kapillarnetz der Lunge ist sehr dicht: Die Alveolarwand besteht hauptsächlich

aus Kapillarnetz. Bild 1.4 veranschaulicht das am Beispiel einer Rattenlunge: Es zeigt

das dichte Kapillarnetz rund um Alveolen, das mit Latex gefüllt und fixiert wurde.

Die Kapillaren machen auch die Struktur der Alveolen sichtbar, zu denen sie gehören.

Für die Vermessung der Geometrie des Kapillarnetzes gelten die gleichen Einschrän-

kungen wie für die Alveolen: Die optische Zugänglichkeit ist begrenzt, Fixierung und

Flüssigkeitsfüllung verändert die Geometrie. Diese Einschränkungen gelten auch für die

Betrachtung von Bild 1.4. Folgende Eigenschaften werden jedoch für die Kapillarnetze

angegeben:

•

Der mittlere Kapillardurchmesser liegt beim Menschen bei etwa

7,5µm

(Hogg

u. a., 1994).

•

Das Kapillarnetz in der Lunge ist dicht verzweigt, dichter als im Körper und eher

in Netzstruktur als in Baumstruktur. Fung und Sobin schlagen sogar vor, das

Lungenkapillarnetz als Blutschicht zwischen zwei Zellschichten zu betrachten,

die nur durch Pfosten durchbrochen werden (Fung und Sobin, 1969).

1 Einleitung

•

Direkt an der Lungenoberfläche (Lungenfell, Pleura) ist das Kapillarnetz etwas

weniger dicht als im Inneren, aber die Durchblutung in Abhängigkeit vom

Alveolardruck ist ähnlich (Short u. a., 1996).

•Y-Verzweigungen überwiegen (Huang u. a., 2001).

Genaue Geometrien von individuellen Lungenkapillarnetzen im Inneren der Lunge

unter physiologischen Bedingungen liegen nicht vor. Statistische Daten zu Durchmesser-

und Längenverteilungen können zum Beispiel aus Zweiphotonenmikroskopieaufnahmen

für Kapillarnetze an der Lungenoberfläche gewonnen werden. Solche Daten werden in

dieser Arbeit verwendet, um künstliche Geometrien zu erzeugen. Zusätzlich wird ein

oberflächliches Mauslungenkapillarnetz aus statischen Intravitalmikroskopieaufnahmen

rekonstruiert (Kapitel4.1.1).

Die Kapillaren sind in die Matrix der Alveolarwände eingebunden: Eine Verformung

der Alveolarwand zum Beispiel durch Dehnung wirkt unmittelbar auf die Kapillaren.

Da schon die Geometrie der Lungenkapillarnetze unter physiologischen Bedingungen

nur abgeschätzt werden kann, gibt es auch keine direkten Messungen der Strömung

der roten Blutkörperchen in solchen Netzen. Indirekte Messmethoden und Organprä-

parationen (wie die Isolierung der Lunge) ermöglichen jedoch die Untersuchung von

Schlüsselparametern der Strömung im Lungenkapillarnetz. Betrachtet werden Tran-

sitzeiten, also die Aufenthaltsdauer der roten Blutkörperchen im Lungenkapillarnetz,

und die wechselnde Durchblutung von Segmenten.

Die Transitzeit der roten Blutkörperchen ist für den Stofftransport durch die roten

Blutkörperchen wichtig. Sie wurde zum Beispiel von Hogg u. a. (1994) und von Presson

u. a. (1995) gemessen. Die Transitzeit zeigt eine schiefe Verteilung (im Vergleich zur

Normalverteilung): Es gibt viele rote Blutkörperchen mit kleiner Transitzeit (Minimum

kleiner

1 s

) und wenige mit großen Transitzeiten (bis

14 s

). Der Median lag bei Hogg u. a.

(1994) bei

1,2 s

. Ein Fokus der vorliegenden Arbeit ist die Veränderung des Blutflusses

im Modellkapillarnetz bei Störungen. Die meisten Experimente in Lungenpräparaten

beschäftigen sich mit dem Blutfluss im Lungenkapillarnetz allgemein, nicht in der

geschädigten Lunge. Hogg u. a. (1994) untersuchten allerdings auch die Transitzeit von

roten Blutkörperchen in Lungen mit Emphysem (vergrößerte Alveolen durch zerstörte

Alveolarwände, oft durch Rauchen hervorgerufen) und fanden keine Veränderung der

Transitzeit. Offenbar ist die Strömung um die veränderten emphysematischen Alveolen

ähnlich wie um gesunde Alveolen. Also wurden durch das Emphysem vermutlich

insgesamt nur so viele Kapillaren zerstört, dass der Gesamtquerschnitt nur wenig

kleiner geworden und daher die Geschwindigkeit in den einzelnen Kapillaren nur wenig

gestiegen ist.

Das Lungenkapillarnetz wird nicht stationär durchströmt sondern hat eine Strömung,

die sich ständig ändert; und zwar unabhängig vom Puls. Die Variationen sind auch

in anderen Kapillarnetzwerken zu beobachten (Schmid-Schönbein u. a., 1980), aber

in der Lunge besonders ausgeprägt (Okada u. a., 1994). Dort wurden in der Hälfte

der Gefäße Fluktuationen beobachtet, die nicht mit dem Puls in der zuführenden

Pulmonalarterie erklärt werden können. Die Ursachen für die beobachtete zeitliche

Variation der Kapillarnetzströmung werden schon länger diskutiert. Bereits 1973 führt

1.3 Physiologie der Lunge auf alveolärer Ebene

Fung die Partikeleigenschaften der statistisch verteilten roten Blutkörperchen als

passiven Mechanismus für Strömungsfluktuationen an (Fung, 1973). Die Partikelei-

genschaften führen dazu, dass sich der Strömungswiderstand ändert. Dies wird durch

Schmid-Schönbein u. a. (1980) erweitert, die postulierten, dass eine dadurch hervor-

gerufene Veränderung der Volumenströme wiederum eine Umverteilung der roten

Blutkörperchen bewirkt, sodass eine Art selbstregulierender Regelkreis entsteht. Auch

in numerischen Arbeiten werden Argumente für diese Hypothese gefunden (Carr und

Lacoin, 2000; Obrist u. a., 2010; Pozrikidis, 2009), wobei die weißen Blutkörperchen als

steifere Partikel gerade in der Lunge eine besonders große Rolle spielen könnten (Huang

u. a., 2001). Versuche an isoliert perfundierten Hundelungen lassen vermuten, dass

sich der Strömungswiderstand zusätzlich dadurch verändert, dass Kapillarsegmente

kollabieren (Baumgartner u. a., 2004). Das ist möglich, da Alveolardruck und Kapil-

lardruck in manchen Lungenbereichen vergleichbar sind. Kollaps und Abwesenheit

von roten Blutkörperchen lassen sich allerdings nur schwer auseinanderhalten, da bei

diesen Experimenten nur die Kapillaren als durchblutet angesehen werden, in denen

in einem Zeitraum von

4 s

ein rotes Blutkörperchen beobachtet wurde. Neben den rein

hydrodynamischen Ursachen gibt es eine Reihe von biologischen Einflüssen auf die

Durchblutung von Gefäßen (Griffith, 1996), die hier nicht weiter betrachtet werden. In

der vorliegenden eigenen Arbeit stehen die Fluktuationen durch rote Blutkörperchen

im Vordergrund: Es wird ein Kapillarblutmodell verwendet, in dem die Modellblut-

körperchen eine ähnliche relative Widerstandserhöhung verursachen, wie die roten

Blutkörperchen in den Kapillaren.

1.3.3 Stoffaustausch

Der Stoffaustausch ist die Hauptaufgabe der Lunge: Sauerstoff aus der Atemluft gelangt

in das Blut, das Kohlendioxid aus dem Blut gelangt in die Atemluft. Der Übergang

zwischen dem Blut in den Kapillaren und der Luft in den Alveolen erfolgt durch

Diffusion. Da die Kapillaren in die Alveolarwand eingebettet sind, ist der Weg von

Luft zu Kapillare kurz (circa

0,2µm

(Klinke und Silbernagl, 1996)). Das gilt auch für

die Arteriolen, die kleinen Blutgefäße, die stromaufwärts liegen und das Kapillarnetz

versorgen. Im gesunden Fall ist das Blut bei Ruheatmung bereits in den Arteriolen

mit Sauerstoff gesättigt (persönliche Kommunikation Wolfgang Kübler, Institut für

Physiologie, Charité - Universitätsmedizin Berlin, 2012, Artikel in Vorbereitung).

Ist bei einem Lungenschaden, zum Beispiel bei einer Lungenentzündung, Flüssigkeit

im Alveolarwandgewebe vorhanden, dann erhöht sich die Diffusionsstrecke und der

Stoffaustausch wird erschwert. Dann wird auch die Transitzeit (Residenzzeit) der roten

Blutkörperchen durch das Kapillarnetz interessant: Reicht die Zeit, damit die roten

Blutkörperchen mit Sauerstoff gesättigt werden?

Der Stoffaustausch kann nur funktionieren, wenn sowohl der Blutfluss in den Kapilla-

ren als auch der Luftstrom zu den Alveolen vorhanden ist. Wenn einzelne Lungenareale

oder Alveolen von der Luftzufuhr abgeschnitten sind, ist es für den Stoffaustausch

sinnvoll, wenn der Blutfluss in diesen Gebieten reduziert würde, da das Blut dort kei-

nen Sauerstoff aufnehmen kann. Eine solche Regulierung findet im gesunden Fall auch

1 Einleitung

statt und wird hypoxische pulmonale Vasokonstriktion genannt. Im Körperkapillarnetz

regulieren die präkapillären Sphinkter, kleine Muskeln an den Arteriolen direkt vor den

Kapillaren, in Abhängigkeit vom Sauerstoffbedarf den Blutfluss: Bei Sauerstoffmangel

weiten sie die Arteriolen. In der Lunge findet der gegenteilige Prozess, die hypoxische

pulmonale Vasokonstriktion, deutlich vor der Kapillarebene in den kleinen Arterien

(

200

bis

400 µm

) statt: Deren glatte Muskulatur verringert den Arteriendurchmesser,

wenn der Sauerstoffpartialdruck in den Alveolen gering ist (Klinke und Silbernagl,

1996). Durch die so herbeigeführte Erhöhung des Strömungswiderstandes wird der

Blutfluss von den weniger gut durchlüfteten Lungenbereichen in besser durchlüftete

Bereiche umgelenkt. Im Fall eines Lungenschadens ist diese Regelung oft nicht ausrei-

chend. Wenn die Ventilationsgebiete (mit Luft durchströmte Alveolen) nicht mit den

Perfusionsgebieten (mit Blut durchströmte Kapillarnetzbereiche) übereinstimmen, ist

der Shuntvolumenstrom groß, also der Blutvolumenstrom, der nicht am Stoffaustausch

teilnimmt. Das ist neben der im Lungenschaden oft verringerten Alveolenoberfläche

ein weiteres Problem für den Stoffaustausch.

1.4 Blut als Strömungsmedium

1.4.1 Zusammensetzung

Die zentrale Größe für die Beschreibung der Blutzusammensetzung ist der Hämatokrit

(Hkt). Dieser gibt den Volumenanteil der festen Blutbestandteile am Gesamtblut an.

Für medizinische Fragestellungen wird der Hämatokrit des Blutes der Ellenbogenvene

herangezogen. Dort liegt er im Durchschnitt bei

0,45

, während er in den Kapillaren

deutlich kleiner sein kann (siehe Abschnitt 1.4.2). Unter den festen Blutbestandteilen

haben die roten Blutkörperchen, die Erythrozyten, mit circa 5 Millionen Erythrozyten

pro

µl

den deutlich größten Anteil (

99 %

am Volumen) (Klinke und Silbernagl, 1996), so

dass in den Modellen für den Hämatokrit nur sie herangezogen werden. Unverformt sind

rote Blutkörperchen bikonkave Scheiben mit einem Durchmesser von etwa

8µm

(Klinke

und Silbernagl, 1996). Die weißen Blutkörperchen, die Leukozyten, sind je nach Typ

etwas größer (Durchmesser

bis

20 µm

(Leonhardt, 1981)), sind aber in deutlich

geringerer Konzentration vorhanden (

4000

bis

8000

pro

µl

(Leonhardt, 1981). Die

Blutplättchen, die Thrombozyten, sind mit

bis

3µm

(Leonhardt, 1981) die kleinsten

der festen Bestandteile, pro

µl

Blut gibt es

250 000

bis

300 000

von ihnen (Leonhardt,

1981). Diese festen Blutbestandteile befinden sich im Blutplasma, das aus Wasser und

verschiedenen Stoffen besteht, die für die Funktion des Blutes notwendig sind (zum

Beispiel Gerinnungsfaktoren, Proteine, Elektrolyte, Nährstoffe).

1.4.2 Hämorheologie

Die Hämorheologie beschreibt die Fließeigenschaften des Blutes und seiner Kompo-

nenten. Blut gehört nicht zu den newtonschen Fluiden, das heißt, der Zusammenhang

zwischen Schubspannung und Scherrate ist nicht linear. In größeren Gefäßen und bei

höheren Scherraten kann es oft als newtonsches Fluid modelliert werden, da dann

1.4 Blut als Strömungsmedium

(a)

Unverformtes rotes

Blutkörperchen als

bikonkave Scheibe

(b)

Verformtes rotes

Blutkörperchen in

Pantoffelform

Bild 1.5:

Aussehen roter Blutkörperchen in großen (a) und kleinen Blutgefäßen (b) (Die

Skalierung ist verschieden.)

die Schubspannungs-Scherraten-Relation nahezu linear ist. In kleineren Gefäßen und

breiten Scherratenbereichen ist die lineare Annäherung meist nicht ausreichend, der

nicht-newtonsche Charakter muss beachtet werden (zusammengefasst in (Vennemann,

2008)). In den Kapillaren haben die roten Blutkörperchen eine vergleichbare Größe

wie die Gefäße, in denen sie fließen. Hinzu kommt eine massive Verformung von der

bekannten Scheibenform zu eher fallschirm- oder pantoffelähnlichen Formen (Bild 1.5).

Die roten Blutkörperchen füllen so die Kapillaren fast vollständig aus. Daher kann

das Blut hier nicht mehr als Kontinuum behandelt werden. Die Kontinuumshypothese

ist Teil der Definition eines Fluides – Blut in Kapillaren ist also nach dieser Definition

eigentlich kein Fluid. Das führt zu Besonderheiten in der Beschreibung der Strömungs-

eigenschaften und zusammen mit der Verformbarkeit der roten Blutkörperchen zu

besonderen Strömungseffekten, die im Folgenden kurz beschrieben werden.

Fåhraeus-Effekt, Hämatokritverringerung

In Blutgefäßen kleiner als

300 µm

wandern die roten Blutkörperchen von der Wand

weg in das Innere des Gefäßes. Der Hintergrund für diese Axialmigration sind die

komplexen Zell-Wand-Interaktionen (Goldsmith u. a., 1989). Es bildet sich eine zell-

freie Schicht am Rande der Kapillare (Visualisierung in (Vennemann, 2008)) und die

roten Blutkörperchen bewegen sich mit einer höheren Geschwindigkeit als das Plas-

ma (Goldsmith u. a., 1989). In sehr kleinen Kapillaren (kleiner als

10 µm

) verformen

sich die roten Blutkörperchen, so dass sie Kapillaren bis zu einem Durchmesser von

2,8µm

passieren können. Eine zellfreie Schicht im obigen Sinne gibt es hier nicht, aber

die roten Blutkörperchen berühren die Kapillarwand auch nicht direkt. Dazwischen

befindet sich eine Schicht aus in die Kapillare hineinragenden Proteinen (endothelial

surface layer, ESL) und Plasma. Die verschiedenen Geschwindigkeiten von roten Blut-

körperchen und Plasma bewirken einen Unterschied zwischen dem Volumenanteil der

roten Blutkörperchen in der Kapillare

Hktt

VEry/VBlut

und dem Volumenstromanteil

der roten Blutkörperchen Hktd=˙

VEry /˙

VBlut, siehe Gleichung 1.1.

1 Einleitung

(a) Fåhraeus-Effekt (b) Fåhraeus-Lindqvist-Effekt

Bild 1.6:

Strömungseffekte bei der Strömung von Blut in kleinen Kapillaren für drei Hämatokri-

te (HKT

in der Kapillare) nach Formeln von Pries u. a. (1992): a) Fåhraeus-Effekt:

Der Gefäßhämatokrit (Volumenanteil der roten Blutkörperchen, HKT

) ist kleiner

als der Auslasshämatokrit (Volumenstromanteil der roten Blutkörperchen, HKT

Die Stärke des Effekts ist vom Gefäßdurchmesser und vom Hämatokrit abhängig.

b) Fåhraeus-Lindquist-Effekt: Die relative effektive Viskosität des Blutes (bezogen

auf die Viskosität des Plasmas) ist vom Kapillardurchmesser und vom Hämatokrit

abhängig.

Hktd=˙

VEry

VBlut

=VEry

VBlut

·¯vEry

¯vBlut

= Hktt·¯vEry

¯vBlut

(1.1)

Der Volumenanteil der roten Blutkörperchen in der Kapillare (Hkt

) wird in der

Physiologie als Gefäßhämatokrit (tube hematocrit) bezeichnet. Dagegen ist der Volu-

menstromanteil der roten Blutkörperchen (Hkt

) der Hämatokrit, den man messen

würde, wenn man das Blut hinter der Kapillare auffangen und untersuchen würde.

Hkt

wird in der Physiologie als Auslasshämatokrit (discharge hematocrit) bezeichnet

und wird in einem hinter der Kapillare liegenden Gefäß gemessen, das so groß ist, dass

der Geschwindigkeitsunterschied zwischen roten Blutkörperchen

¯vEry

und dem Blut

¯vBlut vernachlässigbar ist.

Dass der Volumenanteil der roten Blutkörperchen (Hkt

) in der Kapillare kleiner ist

als ihr Volumenstromanteil (Hktd), wird als Fåhraeus-Effekt bezeichnet.

Bild 1.6a zeigt den Fåhraeus-Effekt nach einer empirischen Formel von Pries (Pries

u. a., 1992) in Glaskapillaren in Abhängigkeit vom Kapillardurchmesser und vom

Hämatokrit (Hkt

in der Glaskapillare). Für Kapillaren bis

7µm

ist der Einfluss des

Hämatokrits vernachlässigbar, bei größeren Kapillaren ist der Fåhraeus-Effekt für

kleinere Hämatokrite etwas stärker. Der Unterschied zwischen Hkt

und Hkt

ist in

Kapillaren zwischen

10 µm

und

15 µm

am größten, die Kurve ist dort minimal und

steigt danach wieder an (nicht dargestellt).

1.5 Modellierung von Alveolen

Fåhraeus-Lindqvist-Effekt, effektive Viskosität

Da das Blut im Kapillarbereich kein Kontinuum bildet, verliert auch der Begriff

Viskosität seine Gültigkeit. Stattdessen wird die effektive Viskosität

ηeff

des Blutes

verwendet, um den Einfluss der roten Blutkörperchen auf den Strömungswiderstand

in Kapillaren zu beschreiben. Sie charakterisiert für bestimmte Versuchsbedingungen

(Gefäßlänge

, Gefäßradius

) die Beziehung von Volumenstrom

und Druckdifferenz

∆

und ist analog zum Gesetz von Hagen-Poiseuille für newtonsche Flüssigkeiten

definiert (Gleichung 1.2).

ηeff =π

∆p

VBlut

(1.2)

Wird die effektive Viskosität auf die Viskosität des Plasmas

ηPlasma

bezogen, ergibt sich

die relative effektive Viskosität

ηrel

(Gleichung 1.3). Die Viskosität des Blutplasmas

ist ungefähr ηPlasma = 1,4 mPa s (Rosenson u. a., 1996).

ηrel =ηeff

ηPlasma

(1.3)

Fließt Blut in Glaskapillaren mit verschiedenen Durchmessern, nimmt die relative

effektive Viskosität bis ca.

7µm

mit steigendem Durchmesser ab und steigt dann wieder

(Bild 1.6b), wobei auch der Hämatokriteinfluss stärker wird. Dies wird als Fåhraeus-

Lindqvist-Effekt bezeichnet. In vivo ist die relative effektive Viskosität vermutlich

höher. Für das Rattenmesenterium, die gut durchblutete Bauchfellfalte beim Darm,

wird angenommen, dass sie im Bereich

4µm

bis

10 µm

noch einmal um bis zu Faktor

3 höher ist als in Glaskapillaren (Pries und Secomb, 2005). Das liegt an einer Schicht

von Proteinen und anderen Molekülen an der Gefäßwand, dem endothelial surface

layer (ESL). Die Dicke des ESL wird auf

0,3µm

bis

1µm

geschätzt (Pries und Secomb,

2003), abhängig vom Durchmesser. Wie dick diese Schicht in den Lungenkapillaren

ist, ist nicht bekannt.

1.5 Modellierung von Alveolen

1.5.1 Modellgeometrien

Da die Geometrie der Alveolen bis heute nicht genau bekannt ist, werden meist ver-

einfachte Geometrien für Berechnungen der Stabilität von Alveolen und der Strömung

in Alveolen genutzt. Die Komplexität des Modells richtet sich dabei nach der Frage-

stellung. Bild 1.7 zeigt eine Auswahl von in der Literatur verwendeten Geometrien,

die kurz beschrieben werden:

•

Ein einfaches Modell ist die Alveole als Teil einer Kugel. Die Kugelkalotte ist

über die Alveolaröffnung mit den Atemwegen verbunden (Bild 1.7a). Dieses

Modell wird für einfache Strömungssimulationen (Sznitman u. a., 2009) und für

Stabilitätsanalysen eingesetzt (Clements u. a., 1961; Andreassen u. a., 2010).

•

In einem ähnlichen Modell werden die Alveolen als Kompartimente eines Rohres

modelliert (Bild 1.7b); der verbindende Atemweg besteht aus dem Gewebe, das

1 Einleitung

(a) (b) (c) (d)

Bild 1.7:

Verschiedene Modelle für Alveolen: a) Kugelkalotte nach Sznitman u.a. (2009); b)

Rohrsegment (Wilson u. a., 2001); c) 2D Polyeder (Stamenović und Wilson, 1992);

d) Oktaederstumpf (Polyeder mit 14 Flächen) (Wiechert u. a., 2011)

die Öffnungen der Alveolen umschließt. Hiermit wird die Wirkung von Flüssigkeit

in Alveolen auf ihre Druck-Volumen-Kurve untersucht (Wilson u. a., 2001).

•

Einfache 2D-Modelle bestehen oft aus Polyeder-Netzwerken (Bild 1.7c) und

werden für Stabilitätsanalysen größerer Lungenbereiche (nicht Einzelalveolen)

genutzt (Mead u. a., 1970; Stamenović und Wilson, 1992).

•

Ein komplexes 3D-Modell besteht aus verbundenen Polyedern mit je 14 Oberflä-

chen (Bild 1.7d). Mit einer solchen Geometrie kann das gesamte Volumen der

Lunge mit Modellalveolen gefüllt werden. Es wurde von Fung (1988) beschrieben

und wird für Strömungssimulationen (Burrowes u. a., 2004; Kumar u. a., 2009;

Sznitman u. a., 2009) eingesetzt. Auch das dynamische Verhalten von Lungenge-

webe (Denny und Schroter, 2000) und lokale Verformungen und Spannungen

werden mit einer solchen Modellgeometrie berechnet (Wiechert u. a., 2011).

Inzwischen sind auch erste Arbeiten mit realistischeren Geometrien veröffentlicht:

Wiechert u. a. (2011) nutzen Daten aus der Röntgen-Mikro-Computer-Tomographie

von fixierten Rattenlungen, wie sie auch von Tsuda u. a. (2008) beschrieben werden,

Meissner u. a. (2011) arbeiten mit Daten aus der optischen Kohärenztomographie

von flüssigkeitsgefüllten isoliert perfundierten Kaninchenlungen. Solche Geometrien

kommen nach aktuellem Stand der Technik der Realität am nächsten, sind aber noch

immer kaum verfügbar. Hinzu kommt, dass in beiden Fällen die Flüssigkeits-Luft-

Grenze aufgehoben ist: Die Alveolen sehen also in vivo noch anders aus. Im Vergleich

zu vereinfachten Modellen ist der numerische Aufwand realistischer Geometrien enorm.

1.5.2 Lokale Spannungen und Dehnungen

Ein Artikel von Mead u. a. (1970) wird immer wieder zitiert: Betrachtet wird ein

Bereich, der kollabiert und von offenen Bereichen umgeben ist. Soll dieser Bereich

geöffnet werden, ist die lokale Druckdifferenz über die Wand etwa

14 000 Pa

, obwohl

der global eingestellte Druck nur

3000 Pa

ist. Dies liefert Argumente für Rekrutierungs-

manöver: Da bei der Wiedereröffnung der kollabierten Bereiche sehr hohe Spannungen

auftreten, dürfe es keine wiederholt kollabierenden und sich öffnenden Bereiche geben;

also sollen alle Bereiche geöffnet werden.

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken

Wiechert u. a. (2011) berechnen mit realistischen Geometrien (siehe oben) die lokalen

Dehnungen im Lungengewebe für Zug- und Scherbelastung: Die lokalen Dehnungen

sind im Vergleich zu den global vorgegebenen bis zu viermal größer.

In beiden Arbeiten sind Vereinfachungen und Annahmen über Materialparameter

enthalten. Dadurch werden Zahlenbeispiele möglich, die anschaulich beschreiben, dass

die globalen Drücke zwar eine Orientierung für die Belastungen des Gewebes bieten,

die lokalen Spannungen und Dehnungen aber deutlich darüber liegen können.

1.5.3 Stabilität

Ein Zustand ist stabil, wenn die potentielle Energie dort ein Minimum hat. Das System

kehrt also bei kleinen Veränderungen in den stabilen Zustand zurück. Ist die Druck-

Volumen-Kurve des Systems bekannt, kann das Stabilitätskriterium dahingehend

umformuliert werden, dass die Steigung der Druck-Volumen-Kurve positiv sein muss.

Dieses Kriterium wird von Clements u.a. (1961) und von Andreassen u.a. (2010)

angewendet: Beide modellieren einzelne Alveolen als Kugelkalotten und leiten die

Druck-Volumen-Kurve theoretisch her. Sie betrachten den Einfluss der Größe, der

Elastizität und der Oberflächenspannung auf die Steigung der Druck-Volumen-Kurve

und damit auf die Stabilität von einzelnen Alveolen. Die Lunge besteht aber nicht

aus einzelnen Alveolen, sondern aus vielen verbundenen Alveolen, die miteinander

interagieren. Diese Interaktion ist in den Modellen von Clements u.a. (1961) und

Andreassen u. a. (2010) nicht enthalten.

Andere Modelle betrachten die Stabilität von Bereichen von Lungengewebe, die

deutlich größer sind als Alveolen (Fung, 1975; Mead u. a., 1970; Stamenovic und Smith,

1986; Stamenović und Wilson, 1992). Die wichtigsten Ergebnisse für die vorliegende

Arbeit sind:

•

Kollaps von einzelnen Lungenbereichen ist möglich, ohne dass das Gewebe

drumherum beschädigt ist (Fung, 1975; Stamenović und Wilson, 1992). Allerdings

werden die Alveolen in den angrenzenden Bereichen größer als ohne kollabiertes

Gebiet.

•

Droht ein Bereich zusammen zu fallen, wirkt das umgebende Gewebe stabili-

sierend (Mead u. a., 1970; Stamenović und Wilson, 1992). Dieser Effekt wird

aus den Kräften im Netzwerk der Kollagen- und Elastinfasern hergeleitet, das

verbundene Alveolen durchzieht.

•

Konstante Oberflächenspannung führt zu Inhomogenitäten in der Größe der

Alveolen (Stamenovic und Smith, 1986).

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken

1.6.1 Ähnlichkeit

In Modellexperimenten in der Strömungsmechanik wird die Ähnlichkeit der Strömungs-

bedingungen sichergestellt, indem die problemrelevanten dimensionslosen Kennzahlen

1 Einleitung

eingehalten werden. Sind diese Kennzahlen in zwei Experimenten gleich, dann können

die Ergebnisse auch verglichen werden, wenn in den Experimenten unterschiedliche

Größen und Fluide verwendet werden. Für die Strömungsmodellierung im Lungenka-

pillarnetz sind als Kennzahlen die Reynoldszahl und in gewisser Weise die Strouhalzahl

interessant.

Reynoldszahl Re

Re =

vDρ

mit

charakteristische Geschwindigkeit (hier:

mittlere Geschwindigkeit der roten Blutkörperchen und Tropfen),

charakteristische

Länge (hier: Durchmesser der Kapillare und des Modellgefäßes),

kinematische

Viskosität,

Dichte,

dynamische Viskosität. Die Reynoldszahl ist ein Maß für das

Verhältnis von Trägheits- und Zähigkeitseinflüssen. Für die (effektive) Reynoldszahl

der Blutströmung in Kapillaren wird ein Bereich von

10−2

(Schmid-Schönbein u. a.,

1980) bis

10−4

(Fung, 1969; Yen und Fung, 1973) angegeben. Es sei daran erinnert,

dass der Begriff Viskosität bei Kapillarblut kritisch zu betrachten ist, daher der Zusatz

effektiv auch für die Reynoldszahl im Kapillarblut. Für Reynoldszahlen

Re 

1gilt,

dass die Trägheitskräfte vernachlässigt werden können. Daher ist nicht wichtig, wie

klein die Reynoldszahl wirklich ist, solange sie deutlich kleiner als

ist. Für die

Experimente gilt daher der Richtwert von 10−3.

Strouhalzahl Sr

Sr=

mit

Frequenz,

charakteristische Geschwindigkeit und

charakteristische Länge. Die Strouhalzahl wird meist im Zusammenhang mit der

Ablösefrequenz von Wirbeln an einem Hindernis verwendet. In diesem Fall geht es

jedoch darum, Aussagen zur Skalierung der Zeit zu ermöglichen: Wenn ein rotes

Blutkörperchen in einem Atemzyklus eine bestimmte Anzahl von Segmenten mit einer

dazugehörigen Länge durchquert, dann sollen die Tropfen in einem Modellatemzug

die gleiche Anzahl von Modellsegmenten mit einer entsprechenden Länge durchqueren.

Danach muss die Länge des Modellatemzugs eingestellt werden. Für die Strouhalzahl

gilt daher in diesem speziellen Fall, dass

die Atemfrequenz beziehungsweise die

Frequenz ist, mit der das Kapillarnetzmodell gedehnt wird,

die mittlere Geschwin-

digkeit der roten Blutkörperchen beziehungsweise Tropfen und

der Durchmesser

der Kapillaren und der Modellgefäße. Die Frequenzen und Zeiten können bei gleicher

Strouhalzahl nach Gleichung 1.4 skaliert werden; der rechte Teil der Gleichung ergibt

sich bei gleicher Reynoldszahl durch Multiplikation mit Re1

Re2.

=f2

Sr1=Sr2

=D1

=Re1=Re2

=D2

ν2

ν1

(1.4)

Besonderheiten bei Kapillarblut

Auf Kapillarebene haben die roten Blutkörperchen

die gleiche Dimension wie die Gefäße. Das bedeutet, dass bei vergrößerten Modellen die

nicht-newtonschen Eigenschaften des Kapillarblutes, die Zweiphasigkeit und die daraus

resultierenden Effekte ebenfalls abgebildet werden müssen: Abschnitt 3.1 beschäftigt

sich daher mit der Ähnlichkeit des experimentellen Blutmodells mit dem Blut in

Kapillaren.

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken

1.6.2 Kapillarblutmodelle

Experimentelle Kapillarblutmodelle werden genutzt, um einige der Schwierigkeiten

bei der direkten Arbeit mit Blut zu vermeiden. Durch die Vergrößerung vereinfacht

sich die Handhabung und die Kontrolle der Versuchsbedingungen ebenso wie die

Herstellung der entsprechenden Gefäßmodelle. Blutmodelle können wiederholt mit

den gleichen Eigenschaften hergestellt werden, dagegen ist die Zusammensetzung des

Bluts nicht konstant. Die mit Blutkontakt verbundene gesundheitliche Gefährdung

für die Experimentierenden wird ebenfalls ausgeschlossen. Alle Modelle bilden nur

Teile der Wirklichkeit ab, auch bei Kapillarblutmodellen müssen die Modellgrenzen

beachtet werden.

Frühere experimentelle Kapillarblutmodelle wurden unter anderem in den 70ger

Jahren entwickelt. Fung (1973) nutzte Kugeln für Experimente an Verzweigungen.

Später verwendete er zusammen mit Yen Gelatinepellets von circa

11 mm

Durchmesser

und

3 mm

Dicke, um Aspekte der Schichtströmungstheorie (siehe Abschnitt 1.6.4) zu

verifizieren (Yen und Fung, 1973), und von circa

3,2 mm

Durchmesser und

1 mm

Dicke

für Untersuchungen an Verzweigungen (Yen und Fung, 1978). Kiani und Cokelet (1994)

verwendeten für ihre Untersuchungen zum Druckabfall an Verzweigungen ebenfalls

flexible Plättchen, hier mit einem Durchmesser von

7,5 mm

. Diese Modelle sind relativ

steif, so dass sie in Modellgefäßen gleicher Dimension leicht feststecken. Auch Kapseln

mit Außenhaut und Flüssigkeitsfüllung wurden als Blutmodell verwendet (Lee und

Fung, 1969), deren Herstellung ist jedoch sehr aufwändig.

In dieser Arbeit wird als Blutmodell ein Wassertropfen-Öl-Gemisch verwendet,

das leicht herzustellen ist (siehe Abschnitt 3.1). Grundsätzlich ist die Ähnlichkeit

zwischen roten Blutkörperchen in Kapillaren und Tropfen schon seit längerem be-

kannt (Gauthier u. a., 1972). Zur Untersuchung von Kapillarströmung wurden Tropfen

als experimentelles Blutmodell nach derzeitigem Kenntnisstand bisher nur in der eige-

nen Arbeitsgruppe eingesetzt: Kertzscher u. a. (2008) untersuchten die Blutströmung

in Fischkiemen. Die Modelleigenschaften werden dort nicht ausführlich diskutiert, das

geschieht in dieser Arbeit in Abschnitt 3.1.

Auch in der Numerik werden verschiedene Modelle für rote Blutkörperchen verwen-

det. Die Modellierung von vielen einzelnen roten Blutkörperchen und ihren Interak-

tionen ist allerdings sehr rechenintensiv, so dass für die numerische Modellierung der

Strömung in Kapillarnetzwerken Kontinuumsansätze genutzt werden (Abschnitt 1.6.4).

Wenn die Interaktion der roten Blutkörperchen und ihre Bewegung in Kapillarnetzen

modelliert werden sollen, stößt die Numerik zur Zeit an ihre Grenzen.

1.6.3 Vorgänge an Verzweigungen

Das Grundelement eines Kapillarnetzes ist die Kapillarverzweigung. Über die Wege von

Partikeln im Allgemeinen und roten Blutkörperchen im Besonderen an Verzweigungen

wird schon einige Zeit geforscht. Bereits 1922 beschrieb Krogh, dass an einer Arterien-

verzweigung der Hämatokrit in dem kleineren Ast geringer sein kann als im Hauptast.

Er nennt das Phänomen Plasmaskimming (Krogh, 1922). Schon erwähnt wurde Fung,

1 Einleitung

der theoretisch und mit Blutmodellen die Aufteilung von roten Blutkörperchen an

Verzweigungen untersucht hat. Yen und Fung (1978) geben an, dass die Aufteilung im

Wesentlichen von den Geschwindigkeiten in den Abzweigen abhängt. Ab einem kriti-

schen Geschwindigkeitsverhältnis fließen nahezu alle Gelatine-Blutkörperchen-Modelle

in einen Abzweig. Die Theorie dazu betrachtet scheibenförmige Einzelpartikel und

parabolische Strömungsprofile: Dann bestimmen Druckgradient beziehungsweise Scher-

rate den Weg und die steigen mit der Geschwindigkeit. Schmid-Schönbein u.a. (1980)

studierten Verzweigungen im Kapillarnetz von Kaninchen und leiteten daraus eine

Zell-Verteilungsfunktion ab, um die Verteilung von roten und weißen Blutkörperchen

in einem kleinen Kapillarnetzwerk zu simulieren. Entscheidend ist dort die Position der

Blutkörperchen im Einlass, die über verschiedene Exzentritätsverteilungen modelliert

wird. Klitzman und Johnson (1982) geben eine Gleichung für die Aufteilung der roten

Blutkörperchen in Abhängigkeit der Teilvolumenströme an. Hier gibt es nur noch

einen Parameter, der von ihnen mit in vivo Experimen an Hamstern bestimmt wurde.

Die Arbeitsgruppe um Axel Pries erweitert dies und passt die drei Parameter ihrer

empirischen Formel an eigene experimentelle in vivo Daten an (Pries u. a., 1989).

Diese Formel beschreibt das Verhältnis von Hämatokrit- und Volumenstromaufteilung

anhand von hämatokrit- und geometrieabhängigen Parametern. Beide Formeln nach

Klintzman und Johnson und nach Pries werden von einigen Arbeitsgruppen genutzt,

um Hämatokrit-, Volumenstrom- und Druckverhältnisse in Kapillarnetzwerken zu

berechnen. Davis und Pozrikidis (2011) nutzen den ersteren Ansatz in ihrer Arbeit über

die Bedingungen für instationären Blutfluss und für das Auftreten von Schwingungen

in Kapillarnetzen. Pries u. a. (1990) simulieren mit ihrer Formel Rattenmesenterien.

Auch in anderen numerischen Arbeiten zur Strömung in Kapillarnetzen, insbesondere

in dem der Lunge, werden solche Formeln (leicht modifiziert) zur Aufteilung der

Volumenströme und des Hämatokrits genutzt (Burrowes u. a., 2004; Dhadwal u. a.,

1997; Huang u. a., 2001). Pozrikidis (2009) verfolgt einzelne rote Blutkörperchen durch

ein Netzwerk und gibt die Entscheidung für einen Abzweig an einer Verzweigung

eine Wahrscheinlichkeit an, die auf den empirischen Daten von Pries beruht. Obrist

u. a. (2010) wählen für ihre Netzberechnung eine vereinfachte Verzweigungsregel, die

ohne die experimentellen Daten auskommt: Für jedes rote Blutkörperchen, das an

eine Verzweigung kommt, wird geprüft, in welchem der beiden Abzweige der Druck

niedriger ist. Dorthin bewegt sich dann das rote Blutkörperchen. Dabei wird für die

Berechnung der Druckverteilung nur die Viskosität des Plasmas verwendet, nicht

die des aktuellen Plasma-rote-Blutkörperchen-Gemisches im Segment. Dieser Ansatz

vernachlässigt also die widerstandsändernde Wirkung der roten Blutkörperchen.

Was bestimmt den Weg eines roten Blutkörperchens an der Verzweigung? Für

vereinzelte Partikel, ob verformbar oder nicht, kann das Problem auf die Betrachtung

der Stromlinien der Strömung ohne Partikel zurückgeführt werden. Für jede Volumen-

stromverteilung an jeder Geometrie kann eine Trennfläche zwischen den Abzweigen

berechnet werden. Ein Partikel, zum Beispiel ein rotes Blutkörperchen, fließt in den

Abzweig auf der Seite der Trennlinie, auf der sein Schwerpunkt liegt. In der Regel

ist das der mit dem größeren Volumenstrom, es gibt aber auch Geometrien, wo das

nicht so ist. Ein Beispiel ist ein Abzweig, der schräg nach hinten und damit gegen

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken

die Strömungsrichtung ausgerichtet ist und in dem ein höherer Volumenstromanteil

fließt (Roberts und Olbricht, 2003). Welchen Weg ein einzelnes Partikel nimmt, ist

also durch die Volumenstromverhältnisse und seine Position im zuführenden Kanal

festgelegt und berechenbar.

Die roten Blutkörperchen in Kapillarverzweigungen und Tropfen in den Modellnetzen

kommen jedoch nicht einzeln vor. Selbst wenn sie in den Kapillaren so weit voneinander

entfernt sind, dass sie die Strömung um die anderen roten Blutkörperchen oder Tropfen

nicht beeinflussen, treffen sie in den Verzweigungen aufeinander. Das liegt zum einen an

der Querschnitterweiterung und zum anderen an der Verzögerung beim Auftreffen auf

den Staupunkt. Roberts und Olbricht (2003) beziehen diese gegenseitige Beeinflussung

in ihre Betrachtungen und Experimente mit ein und zeigen, wie ein Partikel von einem

zweiten in den vorher nicht favorisierten Kanal gedrängt wird.

Zusammenfassend lässt sich also festhalten:

•

Das Strömungsverhalten von Einzelpartikeln an Verzweigungen ist soweit ver-

standen, dass anhand der Partikelposition im zuführenden Gefäß und der Volu-

menstromverhältnisse bestimmt werden kann, in welchen Abzweig das Partikel

fließt. In der Regel ist das der Abzweig mit dem höheren Volumenstrom.

•

Für interagierende Partikel ist die Situation komplexer und nicht ausreichend

verstanden. Auch hier ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass ein Partikel in den

Abzweig mit dem höheren Volumenstrom fließt.

•

Für rote Blutkörperchen an Verzweigungen gibt es Formeln für die Aufteilung

und dazugehörige an Experimente angepasste Parameter. Das erlaubt eine

Abschätzung der Verteilung, die sich einstellt, jedoch keine Aussage für den Weg

eines konkreten roten Blutkörperchens. Für Tropfen gibt es solche Formeln nicht.

1.6.4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Fung (1969) beschreibt die Strömung im Kapillarnetz mit dem Schichtströmungs-

Ansatz (sheet flow), welcher auch experimentell nachgestellt wurde (Yen und Fung,

1973). Danach kann das Lungenkapillarnetz aufgrund seiner hohen Segmentdichte als

durchgehender Raum zwischen zwei Gewebeschichten betrachtet werden, der durch

Pfosten durchbrochen wird. Grundlage der geometrischen Modellbeschreibung sind also

nicht mehr die Kapillarsegmente sondern die Zwischenräume. Das führt zu ganz anderen

Gleichungen, mit denen sie Aussagen über Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen im

Lungenkapillarbett und über die Kapillarbettdicke gewinnen. Betrachtungen einzelner

Kapillarsegmente und der zeitlichen und räumlichen Variationen des Hämatokrits,

des Volumenstroms und des Drucks in diesen Segmenten sind auf diese Weise nicht

möglich.

Für solche Untersuchungen wird das Lungenkapillarnetz als Röhrennetz mit kurzen

Segmenten angesehen. Dann ist die Verzweigung das Grundelement. Daher sind viele

Arbeiten zur Modellierung von Kapillarnetzen bereits im vorherigen Abschnitt erwähnt

worden. Die aktuellen Arbeiten zur Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

1 Einleitung

sind numerischer Natur. Die Modellierung von einzelnen roten Blutkörperchen in

größeren Netzen ist aufgrund der nötigen Rechenleistung nicht praktikabel. Statt-

dessen wird für die Modellierung des Lungenkapillarnetzes oft die Analogie zu den

Kirchhoffschen Gesetzen der Elektrotechnik genutzt und das Blut als Kontinuum

mit hämatokritabhängiger Viskosität betrachtet: Der Druckunterschied entspricht

der elektrischen Spannung, der Volumenstrom dem elektrischen Strom und der Strö-

mungswiderstand dem elektrischen Widerstand. Der Strömungswiderstand wird vom

aktuellen Hämatokrit bestimmt, dieser wiederum von den Volumenströmen an der

vorherigen Verzweigung, sodass eine iterative Berechnung nötig wird. Dhadwal u. a.

(1997) berechnen mit diesem Ansatz die Volumenströme, Hämatokrite und Drücke

in einem Lungenkapillarnetzmodell und sehen große segmentweise Unterschiede in

diesen Werten. Huang u. a. (2001), gleiche Arbeitsgruppe, stellen zusätzlich fest, dass

die Transitzeiten von weißen Blutkörperchen in ihrem Modell hauptsächlich vom

arteriellen Druck abhängen, der den Gefäßdurchmesser bestimmt. Für die Transitzeit

der roten Blutkörperchen spielt zusätzlich die Druckdifferenz über der Alveolarwand

eine große Rolle, die die Segmentlänge im Modell beeinflusst. Ein weiteres Ergebnis

dieser Arbeit ist, dass die Blockade von Segmenten zum Beispiel durch weiße Blut-

körperchen kurzzeitig beträchtliche lokale Druckerhöhungen bewirkt und so zeitliche

Unterschiede der Strömungsverhältnisse verursacht, die jedoch nicht simuliert werden.

Die Morphometrie des Modells, das Huang u. a. (2001) nutzen, beruht auf statistischen

experimentellen Daten, wobei sechs kleine Netzwerke sequentiell miteinander verbun-

den werden, um ein Kapillarnetz in einer Alveolarwand abzubilden. Hervorzuheben ist

die Konstruktion der Kapillarwände in diesem Computermodell: Diese bestehen aus

einem relativ steifen Alveolarwandteil, der wie die gesamte Lunge gedehnt wird, und

einem dünnen, dehnbaren Teil, dessen Dehnung von den Drücken in der Kapillare und

in der Alveole bestimmt wird. Burrowes u. a. (2004) nehmen die Arbeit von Huang

u. a. (2001) als Grundlage und erweitern sie, indem sie ein regelmäßiges Kapillarnetz

auf ein Alveolenmodell projizieren und so ein größeres, realistischeres Kapillarnetz

erhalten, das zudem in den alveolären Kontext eingebunden ist. Mit ihrem Modell

schätzen sie den Einfluss der Gravitation auf die Durchblutung einzelner Areale und

die Transitzeiten von roten und weißen Blutkörperchen ab. Sie zeigen, dass je tiefer

das betrachtete Areal liegt, die durchschnittliche Transitzeit sinkt und die Vertei-

lung der Zellen gleichmäßiger wird. Zu erwähnen ist noch die Arbeit von Pozrikidis

(2009), der keinen reinen Kontinuumsansatz verfolgt, sondern die Position aller ro-

ten Blutkörperchen im modellierten künstlichen (Nieren-)Kapillarnetz berechnet und

eine im Vergleich zum Kontinuumsansatz heterogenere Verteilung des Hämatokrits

errechnet. Obrist u. a. (2010) verfolgen ebenfalls einzelne rote Blutkörperchen, hier in

einem idealisierten Rechtecknetz, allerdings mit einer vereinfachten Verzweigungsregel

(siehe Abschnitt 1.6.3). Carr und Lacoin (2000) zeigen numerisch nicht am Lungen-

kapillarnetz, sondern prinzipiell an kleinen Netzen, dass die speziellen rheologischen

Eigenschaften von Kapillarblut zu Schwingungen führen können.

Zusammenfassend lässt sich festhalten:

•

Der Schichtströmungs-Ansatz ermöglicht zeitlich und räumlich gemittelte Aussa-

1.6 Modellierung des Blutflusses in Kapillaren und Kapillarnetzwerken

gen über Drücke und Geschwindigkeiten im Lungenkapillarnetz.

•

Die Kontinuumsansätze zeigen eine starke räumliche Heterogenität von Hämato-

krit und Volumenstrom, lösen diese aber nicht zeitlich auf. Berechnet werden die

Mittelwerte für ein dynamisches Gleichgewicht. Modelliert werden die ungleich-

mäßige Aufteilung an Verzweigungen und der hämatokritabhängige Widerstand.

Diese sind daher als Ursache für die räumliche Heterogenität anzusehen.

•

Die numerischen Modelle greifen auf phänomenologische Approximationen zu-

rück, auf empirische Formeln, deren Parameter an Experimente angepasst werden.

Das betrifft zum Beispiel die Aufteilung der roten Blutkörperchen an Verzwei-

gungen und den Hämatokriteinfluss auf den Strömungswiderstand.

•

Weitere Vereinfachungen der numerischen Modelle betreffen die Berechnung der

Transitzeit, die segmentweise aus dem Gesamtvolumenstrom berechnet wird

(nicht aus der Verfolgung der Zellen), das Verhältnis der Geschwindigkeit von

Plasma und roten Blutkörperchen (das anders als angenommen nicht konstant

ist) und die Vernachlässigung des zusätzlichen Druckabfalls in Verzweigungen.

•

Es fehlen Studien, die die zeitlichen Fluktuationen oder Veränderungen der

Strömung bei Beatmung und Lungenschädigungen untersuchen.

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Unter welchen Umständen kollabieren offene Alveolen und wann können kollabierte

Alveolen geöffnet werden? Diese Frage ist für die Beurteilung von Beatmungskonzepten

essentiell. Sie wird hier als Stabilitätsproblem interpretiert und mit einem mathema-

tischen Modell untersucht. Die Modellierung der Interaktion von Alveolen wurde in

kürzerer Form bereits im Journal of Biomechanics veröffentlicht (Schirrmann u. a.,

2010).

2.1 Methoden

2.1.1 Grundidee

Die Grundidee ist, die Stabilität von Alveolen mit Hilfe von Druck-Volumen-Kurven

zu untersuchen. Zunächst wird die Druck-Volumen-Kurve von einzelnen Alveolen

benötigt. Die Druck-Volumen-Kurve beschreibt, wie sich der Systemdruck bei einer

Volumenänderung verhält und umgekehrt. Die Druck-Volumen-Kurve einer einzelnen

Alveole wird theoretisch hergeleitet, da sie experimentell nicht bestimmt werden kann.

Mit diesen Kurven einzelner Alveolen kann in einem nächsten Schritt ein System von

kommunizierenden Alveolen untersucht werden: Welche Systemzustände sind Gleichge-

wichtszustände und welche von diesen sind stabil? Die stabilen Gleichgewichte bilden

die quasi-statische Druck-Volumen-Kurve des Systems. Aus solchen Kurven können

die Bedingungen abgelesen werden, unter denen Alveolen geöffnet oder kollabiert sind.

Die Druck-Volumen-Kurve der Einzelalveolen wird theoretisch hergeleitet. Daher

können verschiedene Veränderungen, die bei Lungenschäden auftreten können, unab-

hängig voneinander untersucht werden. Das bietet die einzigartige Möglichkeit, die

verschiedenen Einflüsse besser zu verstehen. Zwei Einflüsse werden ausgewählt und die

dazugehörigen Parameter verändert. Untersucht werden dann Systeme, die jeweils eine

veränderte (geschädigte) und eine unveränderte (gesunde) Alveole enthalten. Auf diese

Weise wird nicht nur deutlich, wie sich die veränderten Alveolen verhalten, sondern

auch, welche Nebenwirkungen in unveränderten Alveolen zu erwarten sind.

2.1.2 Druck-Volumen-Kurve einer einzelnen Alveole

Vier Einflüsse bestimmen die Druck-Volumen-Kurve einer einzelnen Alveole: die

Geometrie, die Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms in der Alveole, die elastischen

Eigenschaften der Alveolarwandbestandteile und die Einbettung in das umliegende

Gewebe, wobei Elastin- und Kollagenfasern die Alveolen miteinander verbinden.

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Bild 2.1:

Einflüsse auf die Druck-Volumen-Kurve für eine einzelne Alveole: (a) Kugelkalotte als

Geometrie für die Grenzfläche zwischen Luft und Flüssigkeitsfilm; (b) Prinzipieller

Druckverlauf wegen Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms mit Anstieg (o) bis

Maximum bei Halbkugelform (+) und anschließendem Druckabfall (#); (c) prinzipiel-

ler Druckverlauf durch Gewebeeinflüsse, bei Volumen unterhalb des belastungsfreien

Volumens Null gesetzt.

Geometrie

Wie in Abschnitt 1.3.1 beschrieben, ist die exakte Geometrie der Alveolen nicht bekannt.

Für die Modellierung der Druck-Volumen-Kurve genügt das prinzipielle Verhalten bei

Druck- und Volumenänderung. Daher nähert ein einfaches Modell die Geometrie an: Ein

starrer Ring bildet die Alveolaröffnung (Radius

50 µm

), während die Flüssigkeits-

Luft-Austauschfläche als Kugelkalotte modelliert wird (Bild 2.1 a). Ein ähnliches

Modell wurde bereits von Clements u. a. (1961) verwendet und von Andreassen u. a.

(2010) aufgegriffen.

Oberflächenspannung

Die Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms in der Alveole ändert sich während

eines Atemzugs. Im Modell wird die Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms der

Einfachheit halber als konstant angenommen. In der normalen (gesunden) Alveole

wird die Oberflächenspannung auf

0,02 N m−1

festgelegt. Das entspricht der

minimalen Gleichgewichtsspannung nach Otis u. a. (1994). Die Druckdifferenz über

die Systemgrenze aufgrund der Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms (

pfl

) ist in

Gleichung 2.1 gegeben.

pfl(V)=2γ/r(V)(2.1)

Dafür wird der volumenabhängige Krümmungsradius der Kugelkalotte

(

) über

die Höhe der Kugelkalotte

(

), eine Hilfsgröße

(

)und den Öffnungsradius

0,05 mm berechnet (Gleichungen 2.2 bis 2.4).

r(V) = r2

2h(V)+h(V)

2(2.2)

h(V) = Z(V)−r2

Z(V)(2.3)

Z(V) = 



π+qr6

0π2+ 9V2

π



(2.4)

2.1 Methoden

In Bild 2.1b ist der prinzipielle Verlauf eines so definierten oberflächenspannungbe-

dingten Druckes über dem Volumen dargestellt. Die Kurve hat ein Maximum, wenn

die Grenzfläche die Form einer Halbkugel hat, da dort der Krümmungsradius minimal

ist (Zustand +), und geht mit steigendem Volumen und steigendem Krümmungsradius

gegen Null.

Gewebeelastizität und Einbettung in das Gewebe

Der Einfluss der Gewebeelastizität und die Einbettung der Alveole in das Gewebe

werden zu einer Gewebekomponente kombiniert (

pti

) und in der Druck-Volumen-

Kurve durch eine Gerade abgebildet, die bei einem Volumen größer Null beginnt

(Gleichung 2.5, Bild 2.1c). Dies ist von Druck-Volumen-Kurven von flüssigkeitsgefüllten

Lungen abgeleitet. Dort führen diese beiden Effekte zu einer nur leicht sigmoidalen

Kurve, die bei einem Volumen größer Null beginnen (Hubmayr, 2002). Die vereinfachte

Druck-Volumen-Kurve wird durch zwei Arbeitspunkte bestimmt: die Drücke und

Volumen zu Beginn und am Ende der Einatmung einer menschlichen Lunge bei

Normalatmung. Für deren Berechnung werden folgende Werte angenommen: Die

Anzahl der Alveolen ist

300 000 000

(Weibel, 1963); die funktionelle Residualkapazität,

das Volumen nach dem normalen Ausatmen, ist

3,2 l

; das Totraumvolumen, das immer

in der Lunge bleibt, ist

0,15 l

; das Tidalvolumen, das Volumen je Atemzug ist

0,5 l

;

der end-expiratorische Druck, der Druck am Ende des Ausatmens, ist

500 Pa

und der

end-inspiratorischer Druck, der Druck am Ende des Einatmens ist

700 Pa

(Klinke und

Silbernagl, 1996). Die Drücke unterhalb des Schnittpunktes mit der Volumenachse

werden Null gesetzt, um negative Drücke auszuschließen. Negative Drücke würden

bedeuten, dass die Alveolen zusammengedrückt würden, Alveolarwände sind jedoch

nicht druckstabil (Fung, 1975). Die Druckdifferenz über die Systemgrenze aufgrund

der Gewebeeigenschaften (

pti

) ist also eine Gerade ab einem belastungsfreien Volumen

Vsf mit den Parametern aund b(Gleichung 2.5, Bild 2.1c).

pti(V) = (0 für V < Vsf

aV +bfür V≥Vsf (2.5)

Die zwei Parameter

und

werden aus den Volumen und Drücken zu Beginn und am

Ende der Einatmung einer menschlichen Lunge bei Normalatmung berechnet. Aus

den oben angeführten Werten ergibt sich mit Gleichung 2.6, der Superposition beider

Einflüsse:

1,29 ×1014 Pa m−3

und

−1,11 ×103Pa

. Für das belastungsfreie

Volumen gilt nach Gleichung 2.5 Vsf =−b

a= 8,6×10−3mm3.

Superposition

Die Superposition der Einflüsse der Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms

pfl

(

)

und der Gewebekomponente

pti

ergibt mit den genannten Parametern

und

die Druck-Volumen-Kurve der Modellalveole, die im Folgenden als Standardalveole

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Bild 2.2:

Druck-Volumen-Kurve für eine einzelne Alveole, theoretisch hergeleitet aus den

Einflüssen der Oberflächenspannung und der Gewebeeigenschaften sowie einfachen

Geometrieannahmen (Gleichung 2.6, Bild 2.1). Die beiden Kreise kennzeichnen

Anfang und Ende der Inspiration bei 500 und 700 Pa.

bezeichnet wird (Gleichung 2.6 und Bild 2.2).

p(V) = pfl(V) + pti(V) = (2γ

r(V)für V < Vsf =−b

2γ

r(V)+aV +bfür V≥Vsf =−b

(2.6)

Diese Gleichung 2.6 ist der Ausgangspunkt für die Untersuchung der Interaktion von

Alveolen und der Stabilität von Alveolensystemen sowie für Parameterstudien für

Lungenschädigungen.

2.1 Methoden

Bild 2.3:

Diagramm für die Stabilitätsanalyse eines Systems von zwei Strukturen für ein fest

gewähltes Gesamtvolumen. Die Drücke in den beiden kommunizierenden Strukturen

sind über dem Volumen in Struktur 1 (

) aufgetragen: Die durchgehende Linie

zeigt den Druck in Struktur eins, die gepunktete Linie den Druck in Struktur zwei

(

V0−V1

). Das Gleichgewicht in den Schnittpunkten a und c ist stabil, das

Gleichgewicht im Schnittpunkt b ist instabil. Die Kästchen zeigen die Zustände,

wenn ein wenig Volumen aus Struktur 1 in Struktur 2 verschoben wird.

2.1.3 Stabilitätsanalyse von Alveolensystemen

Die Stabilitätsanalyse wird mit einer grafischen Methode durchgeführt, die von Müller

und Strehlow (2004) für Luftballons entwickelt wurde und hier kurz beschrieben

wird. Die Methode erfordert die Kenntnis aller interagierender (kommunizierender)

Strukturen im System. Ein stabiles Gleichgewicht der Strukturen bedeutet, dass der

Druck

in allen Strukturen gleich ist und kleine Störungen ausgeglichen werden.

Das Gleichgewicht wird grafisch analysiert: Gegeben sei ein System mit zwei verbun-

denen Strukturen mit gleichen Druck-Volumen-Kurven bei einem beliebigen festen

Systemvolumen

. In Bild 2.3 gehört die durchgezogene Linie zum Druck in der

Struktur eins über ihrem Volumen

. Die gepunktete Linie zeigt den Druck in der

Struktur zwei. Da

gerade fest gehalten wird, ist zu jedem

auch

V0−V1

definiert, so dass der Druck in Struktur zwei auch über

aufgetragen werden kann.

Die Schnittpunkte sind die Zustände mit gleichem Druck in beiden Strukturen, also

Gleichgewichtszustände. Aber nicht alle Schnittpunkte sind stabile Gleichgewichte.

Wenn ausgehend von Punkt a etwas Volumen von Struktur eins zu Struktur zwei

verschoben wird, bewegt man sich in Bild 2.3 auf der Kurve nach links (Kästchen),

kleiner wird. Dann ist der Druck in Struktur zwei (gepunktet) höher und

das Volumen wird zurück in Struktur eins verschoben – das Gleichgewicht ist stabil.

Bei dem gleichen Gedankenexperiment an Punkt b wird der Druck in Struktur zwei

(gepunktet) niedriger als in Struktur eins (Kästchen). Das führt dazu, dass noch mehr

Volumen in die zweite Struktur verschoben wird – ein instabiles Gleichgewicht. In

Punkt c ist die Situation wie in Punkt a stabil.

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

2.1.4 Druck-Volumen-Kurven von Alveolensystemen

Die Methode zur Beurteilung der Stabilität von festen Systemvolumen wird genutzt, um

die Druck-Volumen-Kurve eines Systems von zwei verbundenen Alveolen herzuleiten.

Dazu werden zunächst die Aufteilungen des Systemvolumens auf die zwei Alveolen

berechnet, bei denen in beiden Alveolen der gleiche Druck herrscht: [

V1,V2

]mit

(

) =

(

). Die Volumina

und

werden dabei in Schritten von

5×10−15 m3

von

bis

1,5×10−11 m3

variiert. Für die Gleichgewichtspaare [

V1,V2

]wird die Stabilität

wie in Abschnitt 2.1.3 beschrieben für das Systemvolumen

untersucht.

Die stabilen Gleichgewichtszustände bilden die quasi-statische Druck-Volumen-Kurve

des Systems. Bei zwei stabilen Gleichgewichtszuständen (zwei mögliche Drücke) für ein

Systemvolumen kann anhand der benachbarten stabilen Zustände beurteilt werden,

welcher Zustand zum Füllvorgang und welcher zum Leervorgang gehört.

Druck-Volumen-Kurven für beliebig viele

Alveolen können sukzessive aus den

Druck-Volumen-Kurven von (

n−

1) Alveolen und einer einzelnen Alveole gewonnen

werden. Hier werden 15 interagierende Alveolen simuliert, bei denen ein Druckausgleich

möglich ist, die also nahe beieinander liegen. Die genaue räumliche Anordnung ist hier

nicht wichtig, da dynamische Effekte, die von der Entfernung der Alveolen abhängen

würden, nicht modelliert werden.

2.1.5 Modellierung von Lungenschäden

Lungenschädigung und krankheitsbedingte Veränderungen werden modelliert, indem

die Parameter einer Standardalveole nach Gleichung 2.6 verändert werden. Verschiede-

ne Arten der Lungenschädigung können in dem Modell nachgestellt werden, wenn die

Veränderung die Alveolengröße, die Oberflächenspannung oder die Gewebeeigenschaf-

ten betrifft und beschrieben werden kann. In dieser Arbeit werden die grundsätzlichen

Effekte von zwei Parametern untersucht: Zum einen wird die Oberflächenspannung

des Flüssigkeitsfilms auf den Wert von Wasser (

γ1

0,072 N m−1

) erhöht. Das heißt,

es ist kein Surfactant vorhanden, das die Oberflächenspannung herabsetzen würde.

Zum anderen wird die Gewebekomponente aus Gleichung 2.6 verändert (

= 2

Vsf,2

0,5Vsf

). Das Gewebe ist demnach doppelt so steif wie zuvor (Faktor willkürlich

festgelegt). Das kann bei einer Fibrose auftreten oder bei einer ähnlichen Veränderung,

die mit verringerter Lungendehnbarkeit und mit Gewebeumbau einhergeht. Sowohl

Surfactantveränderungen als auch Fibrose gehören zu den wesentlichen Kennzeichen

verschiedener Entwicklungsstufen des Akuten Lungenversagens (Matute-Bello u. a.,

2008; Ware und Matthay, 2000). Um Auswirkungen von Lungenschädigungen auf noch

unveränderte Alveolen zu untersuchen, werden eine Standardalveole und eine Alveole

mit veränderten Parametern kombiniert.

2.1.6 Validierung

Die beschriebene Methode beruht auf der Herleitung von Druck-Volumen-Kurven von

Einzelalveolen. Die Einflüsse der verschiedenen Eigenschaften einer Alveole werden

parametrisch einzeln untersucht. Weder die Untersuchung von Einzelalveolen noch die

2.2 Ergebnisse

Parameterstudie ist in Tierexperimenten möglich, sodass eine direkte Validierung des

Modells an sich nicht möglich ist. Statt dessen werden die Ergebnisse der Modellierung

anhand der Literatur auf Plausibilität geprüft.

2.2 Ergebnisse

2.2.1 Stabilität eines Systems mit zwei Standardalveolen

Die Stabilitätsanalyse eines Systems von zwei Standardalveolen reduziert sich auf die

Fälle in Bild 2.4: Es zeigt typische Diagramme bei verschiedenen Gesamtvolumen des

Systems und die stabilen und instabilen Gleichgewichtszustände. In Bild 2.4 a gibt es

nur einen Gleichgewichtszustand mit gleichem Volumen in beiden Alveolen und dieser

ist stabil. In Bild 2.4 b gibt es zwei stabile Zustände, wobei entweder in Alveole 1

oder in Alveole 2 deutlich mehr Volumen enthalten ist als in der jeweils anderen.

Diese Zustände sind äquivalent, da die Alveolen identische Eigenschaften haben. Der

Gleichgewichtszustand, in dem beide Alveolen das gleiche Volumen haben, ist hier

instabil. In Bild 2.4 c gibt es vier stabile und drei instabile Gleichgewichtszustände.

Bei dem instabilen Gleichgewicht in der Mitte haben die Alveolen das gleiche Volumen,

in den anderen Zuständen nicht. Auch hier gibt es je zwei zueinander äquivalente

Zustände. Die zwei prinzipiellen stabilen Zustände sind mit + und # gekennzeichnet.

Bei dem Zustand + ist eine Alveole kleiner als die Halbkugel, also geschlossen. Bei

dem Zustand # sind beide Alveolen offen. Der dazugehörige Druck ist kleiner als beim

Zustand +. Welcher Gleichgewichtszustand, welche Verteilung wird wann erreicht? In

die Zuständen + gelangt das System, indem der Schnittpunkt, der bereits in Bild 2.4 b

vorhanden ist, durch Volumenzunahme weiter nach oben wandert. Zustand + gehört

also zum Füllen. Nach Erreichen des Maximums verschwindet der mit + gekennzeich-

nete stabile Zustand und es findet eine plötzliche Umverteilung des Volumens statt.

Danach ist die zweiten Alveole auch offen. Die Zustände # werden von Bild 2.4 d

kommend durch Volumenabnahme erreicht, gehören also zum Leeren. Wenn dieser

stabile Zustand verschwindet, weil das Volumen weiter abnimmt, gibt es wieder einen

Sprung – allerdings bei einem anderen Gesamtvolumen. In Bild 2.4 d gibt es wieder

nur einen prinzipiellen stabilen und einen instabilen Zustand. In dem stabilen Zustand

sind die Alveolen verschieden groß, im instabilen Zustand wären sie gleich groß. In

Bild 2.4 e gibt es nur noch einen stabilen Zustand mit gleich großen Alveolen.

2.2.2 Druck-Volumen-Kurven von Standardalveolen

Aus der Stabilitätsanalyse wird die quasi-statische Druck-Volumen-Kurve gewonnen,

die Bild 2.5 zeigt. Auf der y-Achsen ist die Druckdifferenz über die Systemgrenze

aufgetragen, auf der x-Achse das Gesamtvolumen

des Systems. Die Grafiken a

bis k verdeutlichen an ausgewählten Punkten die Aufteilung des Volumens auf die

beiden einzelnen Alveolen. Die Alveolen öffnen sich bei den Druckmaxima. Offen

heißen Alveolen hier, wenn sie größer sind als die Halbkugel. Die Öffnung der zweiten

Alveole ist mit einem Drucksprung und einer Umverteilung des Volumens zwischen

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Bild 2.4:

Typische Diagramme für die Stabilitätsanalyse eines Systems von zwei Alveolen

für größer (a

→

e) oder kleiner (e

→

a) werdendes Gesamtvolumen. Die Drücke in

den beiden kommunizierenden Alveolen sind für verschiedene konstante Gesamtvo-

lumen (

in (a) bis (e)) über dem Volumen einer Alveole (

) aufgetragen: Die

durchgehende Linie zeigt den Druck in Alveole eins, die gepunktete Linie den Druck

in Alveole zwei (

V0−V1

). Die Schnittpunkte kennzeichnen die möglichen

Gleichgewichtszustände: Gefüllte Kreise zeigen stabile Zustände, leere Kreise zeigen

instabile Zustände. Im Diagramm (c) gibt es vier stabile Volumenverteilungen (+ und

#), wobei zwei jeweils äquivalent sind. Die Zustände + werden nur im Füllvorgang

erreicht, Zustände # nur beim Leeren.

2.2 Ergebnisse

Bild 2.5:

Druck-Volumen-Kurve für zwei interagierende Standardalveolen aus der Druck-

Volumen-Kurve zweier Einzelalveolen (Bild 2.2) und der Stabilitätsanalyse mit

Bild 2.4. Auf der x-Achse ist das Systemvolumen aufgetragen. Die Skizzen zeigen

beispielhaft die Volumenaufteilung auf die beiden Alveolen: (a) beide Alveolen

geschlossen; (b–f) eine Alveole geschlossen, eine offen; (g–k) beide Alveolen offen;

→

h) Öffnen der zweiten Alveole; (g

→

e) Schließen einer Alveole. Der graue Teil der

Kurve wird nur beim Leeren des Systems durchfahren. Unterhalb von

300 Pa

sind

beide Alveolen geschlossen, zwischen

300

und

800 Pa

können die beiden Alveolen

verschiedene Größen haben, über 800 Pa sind beide Alveolen geöffnet.

den Alveolen verbunden. Bis zum Zustand f befindet sich fast das gesamte Volumen

in einer Alveole. Von f über h zu i wird die größere Alveole kleiner (links) und die

kleinere Alveole größer (rechts). Bei dem Minimum sind beide Alveolen gleich groß.

Von j bis k werden beide Alveolen gleichmäßig größer.

Die Füll- und Leerprozesse unterscheiden sich. Der graue Bereich der Kurve wird

nur beim Leeren durchfahren (Bereich unter dem zweiten Maximum). Es gibt eine

schwache Hysterese.

Wie viele Alveolen in den verschiedenen Druckbereichen offen sein können, steht in

Tabelle 2.1; für dieses und für alle anderen simulierten Systeme.

Für 15 verbundene Standardalveolen ist die Druck-Volumen-Kurve in Bild 2.6

dargestellt. Auch hier verursacht das Öffnen und Schließen von Alveolen Sprünge in

der quasi-statischen Druck-Volumen-Kurve: Das Volumen verteilt sich neu. Je mehr

Alveolen offen sind, desto weniger deutlich sind die Sprünge. Die Hysterese ist stärker

als bei zwei Alveolen.

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Tabelle 2.1:

Anzahl der möglichen offenen Alveolen in den betrachteten Druckbereichen

in Systemen mit zwei Standardalveolen, mit 15 Standardalveolen, mit einer

Standardalveole und einer Alveole mit erhöhter Oberflächenspannung sowie mit

einer Standardalveole und einer Alveole mit erhöhter Steifigkeit und verringertem

belastungsfreien Volumen.

Druck (Pa) 2 Standard 15 Standard 1 Standard, 1 γ1↑1 Standard, 1 a↑,Vsf ↓

0–300 0 0 0 0

300–390 0, 1 oder 2 0–15 0 oder 1 (Standard) 0 oder 1 (Standard)

390–700 0, 1 oder 2 (0–x) oder 15 0 oder 1 (Standard) 0, 1 oder 2

x druckabhängig

700–800 0, 1 oder 2 0-15 0 oder 1 (Standard) 0, 1 oder 2

800–1100 2 15 1 (Standard) 2

1100–2880 2 15 1 (Standard) oder 2 2

> 2880 2 15 2 2

Bild 2.6:

Druck-Volumen-Kurve für 15 interagierende Standardalveolen. Die obere Kurve zeigt

den Füllvorgang (Inflation). Die Alveolen öffnen sich bei den Maxima, denen ein

Druckabfall mit Umverteilung des Volumens folgt. Die untere Kurve zeigt das Leeren

(Deflation). Bei den Drucksprüngen schließen sich Alveolen und das Volumen wird

umverteilt. Bei

500 Pa

sind entweder 0 (a), 1 (b, c), 2 (d, e), 3 (f, g), 4 (h) oder 15 (i)

Alveolen offen. Verschiedene Alveolargrößen können bei (b), (d) und (f) existieren.

Bei

700 Pa

sind zwischen 0 und 15 Alveolen geöffnet, wobei alle offenen Alveolen die

gleiche Größe haben.

2.2 Ergebnisse

Bild 2.7:

Druck-Volumen-Kurve für ein System aus einer Standardalveole (links in den kleinen

Grafiken,

0,02 N m−1

) und einer Alveole mit erhöhter Oberflächenspannung

(rechts,

γ1

0,072 N m−1

) mit Volumenverteilung bei ausgewählten Zuständen:

(a) beide Alveolen geschlossen; (b) nur Standardalveole offen; (d

→

g) Öffnen der

veränderten Alveole bei

2880 Pa

mit folgendem Drucksprung, größter Anteil des

Volumens in der Standardalveole; (e

→

c) Schließen der veränderten Alveole; (f)

Systemoberfläche ist gleich der von zwei Standardalveolen bei

700 Pa

; (h) veränderte

Alveole so groß wie eine Standardalveole bei

700 Pa

, Standardalveole größer; (i)

großes Volumen in beiden Alveolen.

2.2.3 Druck-Volumen-Kurven bei Lungenschäden

Bild 2.7 zeigt die quasi-statische Druck-Volumen-Kurve eines Systems mit einer

Standardalveole (links in den kleinen Grafiken) und einer Alveole mit erhöhter Ober-

flächenspannung (

γ1

0,072 N m−1

, rechts in den kleinen Grafiken). Bemerkenswert

ist hier, dass im Druckbereich

500

bis

700 Pa

, also bei normaler Atmung, die Alveole

mit erhöhter Oberflächenspannung nicht geöffnet sein kann (a, b in Bild 2.7, Tabel-

le 2.1). Der Punkt f bezeichnet den Zustand, in dem die Gesamtoberflächen der beiden

Alveolen genauso groß ist wie die von zwei Standardalveolen bei 700 Pa.

Bild 2.8 zeigt die quasi-statische Druck-Volumen-Kurve eines Systems mit einer

Standardalveole (links in den kleinen Grafiken) und einer Alveole mit verringerter

Compliance (größerer Steifheit) und einem verschobenen belastungsfreien Volumen

(

Vsf

), rechts in den kleinen Grafiken. Wenn beide Alveolen geöffnet sind, ist die

steifere Alveole kleiner als die Standardalveole (b bis d). Wenn dieses System so weit

aufgepumpt wird, dass die Gesamtoberfläche so groß ist wie bei zwei Standardalveolen

bei 700 Pa, ist die unveränderte Standardalveole im System vergrößert (c).

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

Bild 2.8:

Druck-Volumen-Kurve für ein System aus einer Standardalveole (links in den kleinen

Grafiken) und einer Alveole mit verringerter Dehnbarkeit (Compliance) und verrin-

gertem belastungsfreien Volumen (

= 2

Vsf,2

0,5Vsf

) mit Volumenverteilung bei

ausgewählten Zuständen: (a) offene Standardalveole, veränderte Alveole ist geschlos-

sen (

700 Pa

); (b) beide Alveolen offen, veränderte Alveole kleiner; (c) Oberfläche des

Systems ist gleich der zweier Standardalveolen bei

700 Pa

; (d) veränderte Alveole so

groß wie eine Standardalveole bei 700 Pa, Standardalveole größer.

2.3 Diskussion

2.3.1 Systeme von Standardalveolen mit Hysterese

Bei Seifenblasen bläst die kleine immer die große auf. Im Gegensatz dazu können

Alveolen mit identischen Eigenschaften sowohl mit gleichen als auch mit verschiedenen

Größen nebeneinander existieren. Welche Gleichgewichtszustände stabil sind, hängt

vom Druck und vom Füllzustand des Systems ab. Bei sehr kleinen und sehr großen

Volumen sind nur die Zustände mit zwei gleich großen Alveolen stabil. Im mittleren

Füllungsbereich können die Alveolen unterschiedliche Größen haben. Gleiche Größen

können hier sogar zu Instabilitäten führen (Bild 2.4b bis d). Das gilt sowohl für das

Modellsystem mit zwei Alveolen als auch für 15 Alveolen (Bilder 2.5 und 2.6). Für

realistischere heterogenere Geometrien und Gewebeeigenschaften ergäbe das Modell

eine Bandbreite von Größen der offenen Alveolen im stabilen Zustand, wie sie auch im

Tierexperiment beobachtet wurde (Weibel, 1963; Mertens u.a., 2009). Die Bedingungen

dafür, dass im Modell zwei Alveolen offen sind, ergeben sich aus dem Verlauf der

Druck-Volumen-Kurve in Bild 2.5. Zur Erinnerung, Alveolen gelten in diesem Modell

als offen, wenn sie ein größeres Volumen haben als die Halbkugel. Wenn der Druck

bereits einmal höher als

800 Pa

gewesen ist, also beide Alveolen geöffnet wurden,

und der Druck danach nicht unter

300 Pa

gesunken ist, dann sind beide Alveolen

offen. Das Kollabieren einer Alveole und Gesamtvolumen unter

0,018 mm3

können

nur auftreten, wenn das Druckminimum von

300 Pa

erreicht wird. Für 15 Alveolen

ist die Situation vergleichbar (Bild 2.6). Die Druckdifferenz, die vom menschlichen

Brustkorb durch Unterdruck erzeugt wird, ist im Allgemeinen höher als der simulierte

Minimaldruck von

300 Pa

. Zyklisches Öffnen und Schließen von Alveolen treten daher

im normalen Atemzyklus nicht auf. Die Hysterese, die im Modell auftritt, ergibt

sich aus den verschiedenen stabilen Zuständen, die beim Füllen und Leeren erreicht

werden können. Die Hysterese trennt Öffnen und Schließen der Alveolen und macht

das System unempfindlich gegen kleinere Änderungen in Druck und Volumen. Auf

diese Weise öffnen und schließen sich die Alveolen seltener. Zur Erinnerung, die

zusätzliche mechanische Belastung durch das Öffnen und Schließen gilt als eine mögliche

Ursache für beatmungsassoziierte Lungenschädigung. Die Hysterese ist jedoch nicht

Teil der Lungenhysterese, die in statischen Druck-Volumen-Kurven zwischen

500

und

700 Pa

auftritt. Die wird durch die variable Oberflächenspannung hervorgerufen,die

hier nicht modelliert ist. Im Modell mit 15 Alveolen ändert sich das Volumen der

einzelnen Alveolen nicht immer kontinuierlich, sondern auch in Sprüngen durch Öffnen

(Volumenbereich

0,004

bis

1,9 mm3

, Bild 2.6) oder durch Schließen (Volumenbereich

1,3

bis

0,004 mm3

, Bild 2.6). Die Ergebnisse der Simulation von 15 Alveolen legen

nahe, dass sich das sukzessive Öffnen oder Schließen von Einzelalveolen kaum in

den Druck-Volumen-Kurven von ganzen Lungen widerspiegelt. Je mehr Alveolen

simuliert werden, desto geringer ist der Drucksprung beim Öffnen einzelner Alveolen.

Hinzu kommt, dass realistischere heterogenere Eigenschaften der einzelnen Alveolen zu

einem Bereich von Öffnungsdrücken führen. Das liefert eine Erklärung für eine frühere

experimentelle Beobachtung: Der Wendepunkt der statischen Druck-Volumen-Kurve

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

ganzer Lungen ist nicht notwendigerweise gleichbedeutend mit Rekrutierungs- und

Derekrutierungsvorgängen, da diese nicht an einem Punkt sondern über einen weiten

Volumenbereich stattfinden (DiRocco u. a., 2007).

2.3.2 Lungenschädigung

Typischerweise beeinflussen Krankheiten und Lungenschädigungen nicht nur eine

sondern diverse Eigenschaften der Alveolen. Das hier gewählte Vorgehen hat den

Vorteil, dass die Parameter und ihre Auswirkungen auf die Alveoleninteraktion ein-

zeln untersucht werden können. Erhöhte Oberflächenspannung verursacht höhere

Öffnungsdrücke und höhere Druckgrenzwerte unterhalb derer die Alveolen geschlos-

sen sind. Das bedeutet, dass Alveolen mit hoher konstanter Oberflächenspannung

bei normalen Atmungsdrücken nicht geöffnet sind (Bild 2.7). Das gilt unter den

vorgestellten Modellbedingungen für Oberflächenspannungen von

γ≥0,045 N m−1

Dieses Ergebnis stimmt mit experimentellen Beobachtungen (Luecke u. a., 2006) und

mit Ergebnissen der Stabilitätsanalyse für größere Lungenbereiche (Stamenović und

Wilson, 1992) überein. Das Modell sagt voraus, dass solche Alveolen mit erhöhter

Oberflächenspannung durch höhere Drücke (

p≥2880 Pa

) geöffnet werden können,

und auch geöffnet bleiben, solange der Druck nicht unter

1100 Pa

fällt. Die Alveolen

mit erhöhter Oberflächenspannung selber sind nach der Rekrutierung nicht überdehnt,

wenn der positive end-expiratorische Druck (PEEP) auf ungefähr

1500 Pa

gesetzt wird

(Bild 2.7, Punk h). Das impliziert, dass Rekrutierungsmanöver in dem Sinne erfolgreich

sein können, dass die Oberfläche für den Stoffaustausch wieder hergestellt wird, wenn

ein ausreichender PEEP eingestellt wird. Das wiederum stimmt mit klinischen Studien

überein, in denen Öffnungsdrücke zwischen

3000

und

5000 Pa

(Kacmarek und Kallet,

2007; Mols u. a., 2002) und PEEP-Werte um

900 Pa

(ARDSNetwork, 2000) eingestellt

wurden. Die verwendeten PEEP-Werte sind etwas niedriger als sie sich aus dem Modell

ergäben, allerdings wird mit dem Oberflächenspannungswert von Wasser auch ein

Extremwert modelliert. Weiterhin sagt das Modell voraus, dass parallel existierende

Standardalveolen sowohl während des Rekrutierungsmanövers als auch unter dem

eingestellten PEEP überdehnt werden. Auch das stimmt mit klinischen Überlegungen

überein (Gattinoni und Pesenti, 2005; Hubmayr, 2002; Kacmarek und Kallet, 2007).

Änderungen der Gewebeeigenschaften verändern die Druck-Volumen-Kurven auf

andere Weise (Bild 2.8). In dem simulierten Fall von verringerter Dehnbarkeit (Com-

pliance) und vergrößertem belastungsfreien Volumen verschiebt sich das zweite Druck-

minimum etwas zu größeren Werten (von

300

390 Pa

). Das bedeutet, dass Kollaps

von Alveolen möglich ist, aber unwahrscheinlich. Zusätzlich sagt die Simulation voraus,

dass hohe Drücke nötig sind, um die gleiche Oberfläche zu erhalten wie beim Standard-

fall für

700 Pa

. In diesem Fall bleiben die Alveolen nach einem Rekrutierungsmanöver

und PEEP-Einstellung klein (aber offen), parallele unveränderte Standardalveolen

werden jedoch überdehnt.

2.3 Diskussion

2.3.3 Vereinfachungen

Vereinfachungen bedeuten Modellgrenzen, die im Folgenden diskutiert werden. Das

geometrische Modell der Alveole ist einfach, der Einsatz komplexerer Geometrien

bringt jedoch in Bezug auf die Interaktion von Alveolen keine neuen Informationen,

wie im Folgenden gezeigt wird: Die Alveolaröffnung wird im Modell als starr angesehen.

Hintergrund hierfür ist, dass die Verformung wegen der erhöhten Faserdichte in der

Öffnung im Vergleich zu den Alveolarwänden gering ist (Matsuda u. a., 1987). Bei

größeren Volumen spielt die genaue Geometrie keine Rolle, solange der Krümmungsra-

dius mit dem Volumen steigt. Bei kleinen Volumen ist im Modell die Geometrie der

Alveolarwand selbst gar nicht festgelegt, lediglich die Grenzfläche zwischen Flüssig-

keitsauskleidung und Luft wird als Kugelkalotte modelliert: Das entspricht eher einer

Flüssigkeitsfüllung bei kleinen Volumen als einem echten Kollaps.

Das Kugelkalottenmodell für Alveolen wurde vor einiger Zeit mit folgenden Argu-

menten kritisiert (Prange, 2003): (1.) Alveolen hätten in Histologieschnitten die Form

von Polygonen. (2.) Die Anwendung des Laplace-Gesetzes würde zu falschen Schlüssen

und Widersprüchen führen. (3.) Alveolen seien voneinander abhängig und verbunden.

Allerdings wurde gezeigt, dass (1.) die Alveolen sowohl in der Intravitalmikrosko-

pie (Mertens u. a., 2009), als auch in der Optischen Kohärenztomographie (Mertens

u. a., 2009), als auch in der Konfokalmikroskopie (Perlman und Bhattacharya, 2007;

Namati u. a., 2008) rund erscheinen. Insbesondere haben Lindert und Kollegen gezeigt,

dass sich die alveoläre Flüssigkeit überwiegend in den Ecken der Alveolwände befin-

det und so die Struktur glättet (Lindert u.a., 2007). (2.) Die angenommen falschen

Schlussfolgerungen und Widersprüche treten nur auf, wenn die Oberflächenspannung

des Flüssigkeitsfilms als einziger Effekt für die Lungenmechanik angenommen wird.

(3.) Die gegenseitige Abhängigkeit der Alveolen umfasst den verbundenen Hohlraum,

also gleichen Druck, und das Fasernetzwerk in gemeinsamen Alveolarwänden, also

geometrische Abhängigkeit von direkt benachbarten Alveolen. Gemeinsame Alveolar-

wände sind im vorgestellten Modell nicht berücksichtigt. Für nicht direkt benachbarte

Alveolen wird angenommen, dass die geometrische Abhängigkeit vernachlässigt werden

kann. Die Gewebeelastizität und der Einfluss des Fasernetzwerkes sind jedoch im

Modell enthalten.

Neben der Geometrie liegt eine weitere Vereinfachung in der Annahme einer konstan-

ten Oberflächenspannung im Flüssigkeitsfilm der Alveole während Ein- und Ausatmung.

Das führt bei einer Einzelalveole zu einer gemeinsamen Druck-Volumen-Kurven für

den gesamten Atemvorgang. Variable Oberflächenspannung, zum Beispiel abhängig

von der Änderung der Oberfläche, ändert zwar den Verlauf der Kurve, die für die

Fragestellung wichtigen Eigenschaften ändern sich aber nicht: geringer Öffnungsdruck,

Existenz eines abfallenden Astes, Minimaldruck für offene Alveolen unter 500 Pa.

Das Gewebeverhalten wird vereinfacht als linear angenommen. Die nichtlinearen Ei-

genschaften sind vor allem bei großen Volumen wichtig (Navajas u. a., 1995). Bei großen

Volumen ist das Risiko der Überdehnung wichtig, das wäre bei einem nichtlinearen

Modell mit begrenzter Dehnung nicht anders.

Der Kollaps von Atemwegen wird nicht untersucht. Dieser Mechanismus ist für

2 Modellierung der Interaktion von Alveolen

die Derekrutierung von größeren Lungenbereichen wichtig, für die hier betrachtete

Interaktion von Einzelalveolen nicht.

2.3.4 Schlussfolgerungen

Das parametrische Modell simuliert und veranschaulicht die Interaktion von Alveo-

len unter Normalatmung. Es zeigt auch, wie unterschiedlich Rekrutierungsmanöver

auf die Rekrutierung und Dehnung von Alveolen wirken, je nachdem, welche Art

von Lungenschädigung oder Lungenkrankheit vorliegt. Wenn die Schädigung der Al-

veolen hauptsächlich durch ein Versagen des Surfactantsystems gekennzeichnet ist,

können Rekrutierungsmanöver erfolgreich sein, solange der PEEP richtig eingestellt

ist. Ist der Lungenschaden wegen Änderungen der Gewebeeigenschaften vor allem

mit erhöhter Steifigkeit des Gewebes verbunden, sind Rekrutierungsmanöver weniger

erfolgversprechend und können sogar kontraproduktiv sein. Während und nach Rekru-

tierungsmanövern ist der Druck sehr hoch. Das Modell macht noch einmal deutlich,

dass dadurch die unveränderten oder nur teilweise geschädigten Alveolen sehr stark

gedehnt werden können.

Die Ergebnisse der Simulationen zeigen, dass es eine generelle optimal protektive

Beatmung nicht gibt. Es werden Beatmungsstrategien gebraucht, die an die Patienten

angepasst werden und den zugrunde liegenden Lungenschaden und die aktuellen

Eigenschaften der individuellen Lunge berücksichtigen. Das Modell dient dabei dem

besseren Verständnis der Alveolarmechanik als ein Schritt zu einer individuellen

protektiven Beatmung.

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell

Das experimentelle Blutmodell ist ein wichtiges Werkzeug für die Versuche zur Strö-

mung im Lungenkapillarnetz, die in Kapitel 4 dieser Arbeit beschrieben werden. Die

Voruntersuchungen sind daher dem Blutmodell gewidmet: Was haben Kapillarblut

und das Blutmodell gemeinsam und was nicht? Zunächst werden Untersuchungen im

geraden Rohr beschrieben. Dem folgt die Beschreibung von Experimenten in einer

Y-Verzweigung, dem Grundelement von Netzwerken.

3.1 Blutmodell

3.1.1 Aufbau und Methoden

In vergrößerten Verzweigungs- und Kapillarnetzmodellen wird ein Blutmodell ver-

wendet. Dieses Blutmodell besteht aus Wassertropfen in Öl. Das Wasser ist mit

dem Farbstoff Patentblau V in einer Konzentration von

0,3 g l−1

angefärbt, bei dem

Öl handelt es sich um Sonnenblumenöl (Vitea D’Or). Ein Wasser-Öl-Emulgator

(Polyglycerin-Polyricinoleat (E

476

), CMD Naturprodukte) in einer Konzentration

von

1 g

pro

100 ml

Öl erhöht die Stabilität der Wassertropfen. Das Blutmodell wird

kontinuierlich mit Hilfe von Spritzenpumpen in einem Tropfengenerator produziert

(Bild 3.1). Eine Doppelspritzenpumpe fördert das gefärbte Wasser und das Öl, so dass

sie zunächst mit demselben Volumenstrom fließen. Eine zweite Sprizenpumpe fördert

nur Öl. Da sich die Tropfen vor der Einspeisung des Öls aus der zweiten Pumpe bilden,

kann das Volumenstromverhältnis von Wasser und Öl unabhängig von der Tropfengrö-

ße verändert werden. Der Volumenstrom von Öl und Wasser sowie der Durchmesser

des Modellgefäßes geben die Größe der Tropfen grob vor. Die Feineinstellung findet

im Tropfengenerator statt: Der Tropfengenerator besteht aus einer Kanüle, aus der

das Wasser in das Öl fließt, und einer Rohrverengung stromabwärts. Die Position

der Kanüle zur Rohrverengung ist veränderbar und bestimmt, wie groß die Tropfen

sind, die sich an der Kanüle bilden. Je nach verwendetem Kapillarmodell beträgt der

idealisierte Tropfendurchmesser (Durchmesser bei angenommener Kugelform) zwischen

0,8 mm

und

2,2 mm

. Mit der Lichtschranke kann über die Tropfenfrequenz und den

Wasservolumenstrom das Tropfenvolumen kontrolliert werden.

Das Blutmodell bildet den zweiphasigen Charakter von Blut in Kapillaren nach: Die

Wassertropfen entsprechen den roten Blutkörperchen, das Öl dem Plasma. Sonstige

Bestandteile des Blutes, insbesondere weiße Blutkörperchen und Plättchen, werden vom

Modell nicht berücksichtigt. Bild 3.2 zeigt das Blutmodell in einem

1,2 mm

-Modellgefäß

(a, b) und rote Blutkörperchen in einem

7,5µm

Kanal (c). Im Blutmodell

bilden sich bei kleinen Tropfen und hohen Tropfenanteilen manchmal Doppelreihen

aus (Bild 3.2b). Wie im Bild 3.2 c gezeigt, verformen sich die roten Blutkörperchen

stark, um die Kapillaren in der Lunge zu passieren, da sie im nicht verformten Zustand

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell

Bild 3.1: Erzeugung des Wassertropfen-Öl-Blutmodells mit Sprizenpumpen

(a)

(b)

(c)

Bild 3.2:

Blutmodell im

1,2 mm

-Modellgefäß mit (a) etwa

1,05 mm

idealer Tropfendurchmesser

beziehungsweise (b) etwa

0,9 mm

idealer Tropfendurchmesser (Übergang zu Doppel-

reihen) und (c) rote Blutkörperchen in einem

7,5µm

-Kanal. Strömung von

links nach rechts.

größer als viele Lungenkapillaren sind. Die Tropfen verformen sich auch, sind aber

nicht größer als der durchschnittliche Durchmesser der Modellgefäße. Entscheidend

für die Wahl der Tropfengröße ist nicht, ob die Tropfen größer oder kleiner als das

Modellgefäß sind: Die Tropfengröße wird so eingestellt, dass die Strömungseffekte,

die die Tropfen erzeugen, mit denen vergleichbar sind, die rote Blutkörperchen in

Kapillaren bewirken.

Die wesentlichen Strömungseffekte bei Kapillarblut stehen in Zusammenhang mit der

Zweiphasigkeit. Das sind vor allem der Fåhraeus-Effekt und der Fåhraeus-Lindqvist-

Effekt (vergleiche Abschnitt 1.4.2). Beide werden für das Blutmodell untersucht.

Betrachtet werden die Fälle, bei denen Tropfen- und Modellgefäßdurchmesser in der

gleichen Größenordnung liegen und die Tropfen in einer Reihe vorliegen oder gerade

zu Doppelreihen übergehen, analog zu Gefäßdurchmessern bis circa 10 µm.

Fåhraeus-Effekt, Reduktion des Tropfenanteils

In den Versuchen zum Fåhraeus-Effekt im Blutmodell variiert das Volumen der

Tropfen und der Anteil der Tropfen am Volumenstrom (H

VH2O

). Gemessen

wird der Tropfenanteil am Volumen (H

VH2O

). Für die Strömungseffekte ist das

Verhältnis des idealisierten Tropfendurchmessers zum Modellgefäßdurchmesser (hier

1,2 mm

) entscheidend. Da das Blutmodell mit dem Kapillarblut verglichen werden soll,

wird der idealisierte Tropfendurchmesser in äquivalente Gefäßdurchmesser umgerechnet:

Kleine Tropfen entsprechen großen Kapillaren, große Tropfen entsprechen kleinen

3.1 Blutmodell

Kapillaren. Der Tropfenanteil am Volumen (H

) wird für verschieden große Tropfen aus

dem mittleren Tropfenabstand (

) und dem Tropfenvolumen (

VTr

) berechnet, letzteres

ergibt sich aus dem Volumenstrom des Wassers (

VH2O

) und der Tropfenfrequenz (

fTr

)

(Gleichung 3.1,

ist der Querschnitt des Modellgefäßes, Index M steht für Modell,

Index Tr für Tropfen und Index H2Ofür Wasser).

Ht=VH2O

=VTr

A¯

l=˙

VH2O/fTr

A¯

l(3.1)

Fåhraeus-Lindqvist-Effekt, effektive Viskosität

Die dynamische Viskosität des verwendeten Sonnenblumenöls beträgt bei

21,5◦C

ηOel

0,06 Pa s

. Wie Blut in Kapillaren ist auch das Blutmodell kein Kontinuum.

Daher treten die effektive Viskosität

ηeff,M

und die relative effektive Viskosität

ηrel,M

die Stelle der Viskosität, um die Erhöhung des Widerstands durch die Wassertropfen

zu erfassen. Diese sind analog zu den Gleichungen 1.2 und 1.3 definiert. Gemessen

werden mit einem Differenzdrucksensor die Druckabfälle über eine Strecke von

114 mm

in einem

1,2 mm

-Modellgefäß für Öl (∆

pOel

) und für das Blutmodell (∆

) mit

verschiedenen Tropfengrößen und Tropfenanteilen am Volumenstrom (H

). Bei gleichem

Volumenstrom in der reinen Ölströmung und in der Modellströmung ergibt sich aus

diesen Drücken mit Gleichung 1.2 die relative effektive Viskosität des Blutmodells

ηrel,M(Gleichung 3.2).

ηrel,M=ηeff,M

ηOel

=∆pM

∆pOel

(3.2)

3.1.2 Ergebnisse

Fåhraeus-Effekt, Reduktion des Tropfenanteils

Je nachdem, wie groß der idealisierte Tropfendurchmesser im Vergleich zum Modellge-

fäß ist, bewegen sich die Wassertropfen schneller oder langsamer als das Öl; damit

sind sie auch schneller oder langsamer als das gesamte Blutmodell. Dadurch stimmt

der Volumenanteil der Tropfen nicht mehr mit dem Volumenstromanteil der Tropfen

überein (Gleichung 3.3). In Analogie zu den Hämatokritbegriffen kann der Volumen-

stromanteil der Tropfen auch als Auslass-Tropfenanteil (H

) betrachtet werden und

der Volumenanteil als Modellgefäß-Tropfenanteil (Ht).

Hd=˙

VH2O

=VH2O

·¯vH2O

¯vM

= Ht·¯vH2O

¯vM

(3.3)

Im Blutmodell ist die mittlere Geschwindigkeit der Wassertropfen (

¯vTr

) in der Regel

höher als die Durchschnittsgeschwindigkeit des Modells (

¯vM

), so dass der Modellgefäß-

Tropfenanteil kleiner ist als der Auslass-Tropfenanteil. Im

1,2 mm

-Modellgefäß eignet

sich ein idealisierter Tropfendurchmesser von etwa 1,08 mm.

Bild 3.3 zeigt den Fåhraeus-Effekt im Blutmodell (Symbole) und im Blut (Linien)

für verschiedene Tropfengrößen beziehungsweise den (äquivalenten) Gefäßdurchmesser.

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell

Bild 3.3:

Verringerung des Tropfenanteils (äquivalenter Hämatokrit) für das Blutmodell im

1,2 mm

-Modellgefäß aufgrund von Geschwindigkeitsunterschieden zwischen Wasser-

tropfen und Öl in Abhängigkeit vom äquivalenten Kapillardurchmesser und vom

Auslass-Tropfenanteil H

. Zum Vergleich sind die Kurven für Blut aus Bild 1.6a

nach Pries u. a. (1992) eingezeichnet.

Das Tropfenanteilverhältnis sinkt, je kleiner die Tropfen werden, also je größer der

äquivalente Gefäßdurchmesser wird. Erst mit der Ausbildung von Doppelreihen bei

sehr kleinen Tropfen und hohen Tropfenanteilen steigt die Kurve wieder an. Ein solches

Verhalten zeigt auch die Hämatokritreduktion in Kapillaren (siehe Abschnitt 1.4.2 und

Linien in Bild 3.3). Der Unterschied zwischen Volumenanteil und Volumenstromanteil

liegt in der gleichen Größenordnung. Der (negative) Anstieg ist im Modell stärker

als im Kapillarblut. Für Blut liegen die Kurven dicht beieinander, im Blutmodell ist

bis auf die erhöhten Werte bei Doppelreihenausbildung (Tropfenanteil H

d0,5

) keine

Abgrenzung der einzelnen Verläufe möglich.

Fåhraeus-Lindqvist-Effekt, effektive Viskosität

Bild 3.4 zeigt den Verlauf der relativen effektiven Viskosität für verschiedene Auslass-

Tropfenanteile und Tropfengrößen in einem Modellgefäß mit einem Durchmesser

von

1,2 mm

(umgerechnet in äquivalente Gefäßdurchmesser). Die relative effektive

Viskosität des Blutmodells sinkt mit abnehmendem Auslass-Tropfenanteil, ebenso

wie die von Blut bei abnehmendem Hämatokrit. Sie sinkt mit kleiner werdenden

Tropfen (größerem äquivalenten Gefäßdurchmesser) und steigt erst wieder an, wenn

sich Doppeltropfenreihen ausbilden. Das entspricht dem Fåhraeus-Lindqvist-Effekt bei

3.1 Blutmodell

Bild 3.4:

Veränderung der relativen effektiven Viskosität für das Blutmodell im

1,2 mm

Modellgefäß in Abhängigkeit vom äquivalenten Kapillardurchmesser und vom Auslass-

Tropfenanteil. Die Fehlerbalken spiegeln die Standardabweichung aufgrund der

Schwankungen der gemessenen Druckdifferenz wieder. Zum Vergleich sind die Kurven

für Blut aus Bild 1.6b nach Pries u. a. (1992) eingezeichnet. Zur Berechnung der

relativen effektiven Viskosität vergleiche Gleichungen 1.3 und 3.2.

Blut in Glaskapillaren kleiner als

10 µm

(siehe Abschnitt 1.4.2 und Linien in Bild 3.4).

Die relative effektive Viskosität liegt im Modell zwischen

und

1,3

und im Kapillarblut

zwischen

2,5

und

1,15

(

4µm

bis

10 µm

). Allerdings ist die Kurve für das Blutmodell

im Vergleich zu Blut zu größeren äquivalenten Kapillardurchmessern verschoben: In

Modellgefäßen, die

6,5µm

-Kapillaren entsprächen, ist die relative effektive Viskosität

so hoch wie im Blut bei 4,5µm-Kapillaren.

3.1.3 Diskussion

Modellgrenzen

Bei der Anwendung des Modells in Verzweigungen und Kapillarnetzmodellen sind die

folgenden Grenzen zu beachten.

•

Die Vergleichbarkeit des Blutmodells und des Kapillarbluts bezüglich Fåhraeus-

und Fåhraeus-Lindqvist-Effekt ist für Durchmesserverhältnisse vermessen wor-

den, die Kapillaren von

bis

9,2µm

entsprechen. Da

1,2 mm

im Modell

7,5µm

in der Kapillare entsprechen, erfasst der vermessene Bereich Modelldurchmesser

von

0,96

bis

1,47 mm

. Für etwas kleinere und größere Durchmesser kann die

Gültigkeit aber ebenfalls angenommen werden, solange sich die Tropfen nicht

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell

vereinigen. Hintergrund ist, dass wie gezeigt die effektive Viskosität und das

Tropfenanteilverhältnis steigen, wenn die Tropfen viel größer als das Modellgefäß

sind oder wenn sich Doppelreihen ausbilden.

•

Die gezeigten Ähnlichkeiten gelten zu Blut in Glaskapillaren. Die in vivo vorhan-

dene Proteinschicht (ESL, siehe Abschnitt 1.4.2) wird nicht berücksichtigt. Das

schränkt die Übertragbarkeit von Ergebnissen ein, wenn die in vivo-Situation

betrachtet wird.

•

Ein wesentlicher Unterschied zwischen Modell und Blut besteht darin, dass

die Phasengrenze im Modell durch die Grenzflächenspannung bestimmt wird,

während im Blut die roten Blutkörperchen durch eine Membran begrenzt sind.

Das bewirkt Unterschiede in der Form der Tropfen und roten Blutkörperchen.

Das beeinflusst die umgebende Strömung, so dass sich die Strömungsfelder um

die Tropfen und um die roten Blutkörperchen unterscheiden. Eine Auswirkung

sind Unterschiede in der Wandschubspannung in Modell und Gefäß. Hinzu

kommt auch hier der nicht vollständig geklärte Einfluss der Proteinschicht und

der Glykokalix. Das Modell bildet lediglich ab, dass die Wandschubspannung

bei der Passage von roten Blutkörperchen erhöht ist, nicht den genauen Verlauf.

Das Ausmaß der Erhöhung spiegelt sich im Fåhraeus-Lindqvist-Effekt wieder.

Wie beschrieben ist die entsprechende Kurve leicht verschoben: Auch hier ist

vermutlich die unterschiedliche Verformung der Grund.

Schlussfolgerungen

Das Blutmodell bildet den Fåhraeus- und den Fåhraeus-Lindqvist-Effekt in Kapillar-

blut ab. Es ist also für die Modellierung der Widerstandserhöhung durch die roten

Blutkörperchen in Kapillaren geeignet.

Die Segmentdurchmesser im Modellnetz liegen zu 88 Prozent in dem auf Gültigkeit

untersuchten Bereich, für die übrigen zwölf Prozent wird die Gültigkeit eingeschränkt

angenommen. In dem bei der Auswertung genutzten Ausschnitt A (Bild 4.9 in Ab-

schnitt 4.2.1) liegen die mit MATLAB festgelegten Durchmesser zwischen

0,99 mm

und

1,47 mm

; die Maße der Kapillarnetzmodelle aus Silikonkautschuk können hiervon

fertigungsbedingt leicht abweichen. In diesem Ausschnitt ist das Blutmodell gültig.

3.2 Aufteilung von Tropfen an einer Verzweigung

3.2.1 Methoden

Das in Abschnitt 3.1 beschriebene Blutmodell aus Wassertropfen und Öl wird in zwei

verschiedenen Y-Verzweigungen eingesetzt: Ein durchsichtiges Modell aus Silikonkau-

tschuk (Elastosil 601, Wacker Chemie, München) mit einem Öffnungswinkel von

60°

und einem Durchmesser von

2,4 mm

dient der Visualisierung. Die Tropfenverteilung

wird für verschiedene Volumenstromaufteilungen fotografiert. Die genaue Aufteilung

der Tropfen wird in einem Y-Schlauchverbinder (Novodirekt GmbH, Kehl) untersucht,

der bis auf Herstellungsungenauigkeiten symmetrisch ist. Der Durchmesser des Y-

Verbinders beträgt

1,6 mm

und der Öffnungswinkel

60°

. Die Volumenströme werden

mit Sprizenpumpen am Eingang und an einem Ausgang vorgegeben; am Ausgang wird

gezogen. Mit Lichtschranken werden die Tropfendurchgänge am Eingang und an den

Ausgängen gezählt und anschließend mit MATLAB (2010) ausgewertet.

3.2.2 Ergebnisse

Bild 3.5 zeigt die Tropfen im Modell aus Silikonkautschuk. Das Volumenstromverhälnis

der Abzweige links:rechts (im Bild) ist vorgegeben: In (a) beträgt es 50:50, in (b) 80:20

und in (c) 90:10. Die Aufteilung der Tropfen ist regelmäßig, aber nicht immer so wie

das Volumenstromverhältnis. Nur bei gleicher Aufteilung des Volumenstroms ist teilen

sich auch die Tropfen gleich auf (Bild 3.5a). Dagegen gibt es in dem rechten Abzweig

in Bild 3.5c keinen Tropfen, obwohl dort entlang noch

10 %

des Volumenstroms fließen.

(a) (b) (c)

Bild 3.5:

Beispiele für die Aufteilung von Tropfen an einer Verzweigung (Strömung von unten

nach oben). Das vorgegebene Verhältnis der Volumenströme in den beiden Abzweigen

links:rechts ist 50:50 (a), 80:20 (b) und 90:10 (c). In c strömt also durch den rechten

Abzweig zwar Öl, aber keine Tropfen.

Bild 3.5 vermittelt einen optischen Eindruck, genauere Untersuchungen werden

in einem Y-Verbinder mit einem Durchmesser von

1,6 mm

durchgeführt. Bild 3.6

zeigt die Aufteilung der Tropfen an dem Y-Verbinder für verschiedene Vorgaben des

Volumenstroms: Auf der x-Achse ist das Verhältnis des Volumenstroms des Blutmodells

im jeweiligen Abzweig zum Gesamtvolumenstrom des Blutmodells aufgetragen (Öl

und Wassertropfen); auf der y-Achse das Verhältnis der entsprechenden Tropfenströme.

3 Voruntersuchungen zum Blutmodell

Bild 3.6:

Aufteilung der Tropfen an einer Y-Verzweigung. Die Achsenhalbierende repräsen-

tiert den Zustand, bei dem sich die Tropfen so wie der Volumenstrom aufteilen

würden. Die durchgezogene Linie zeigt die Simulation nach Pries u. a. (1989) für

rote Blutkörperchen an einer entsprechenden Y-Verzweigung mit einem Durchmesser

von 8 µm.

Die Verteilung ist in den beiden Abzweigen nicht gleich: Wird eine Aufteilung auf die

Abzweige 1:2 von 10:90 vorgegeben, fließen keine Tropfen in Abzweig 1, wie auch in

Bild 3.5c. Ist das Verhältnis andersherum, also 90:10, fließen dagegen noch Tropfen

in Abzweig 2. Bei der Aufteilung 50:50 fließen auch jeweils etwa

50 %

der Tropfen

in die Abzweige. Zusätzlich zu den experimentellen Daten mit dem Blutmodell aus

Tropfen sind Simulationsergebnisse nach (Pries u. a., 1989) für Blut aufgetragen: Für

eine Verzweigung mit drei gleichen Durchmessern (

8µm

) ist die Aufteilung der roten

Blutkörperchen in beiden Abzweigen gleich.

3.2.3 Diskussion

Wie erwartet gibt es eine Grenze, ab der alle Tropfen in einen Abzweig fließen. Das

entsppricht dem Verhalten von roten Blutkörperchen. Unerwartet ist, dass diese Grenze

unterschiedlich ist, je nachdem, in welchem Abzweig der höhere Volumenstrom fließt. In

der Simulation nach der Formel von Pries u. a. (1989) gibt es diesen Unterschied nicht,

da in dem zugrunde liegenden Modell die Verzweigung ideal symmetrisch ist. In den

Experimenten mit dem Blutmodell (Tropfen) sind die Y-Verbinder nicht ideal. Eine

mögliche Ursache für das unterschiedliche Verhalten der beiden Abzweige ist daher die

Ungenauigkeit bei der Herstellung des Y-Verbinders. Eine andere mögliche Ursache

ist eine leicht asymmetrische Anströmung: Zwar ist der Vorlauf mehrere Zentimeter

lang, allerdings besteht er aus Schläuchen, die eine leichte Krümmung haben können.

Falsche Förderraten der Pumpe scheiden als Ursache aus, da der Volumenstrom in

manchen Versuchen mal an dem einen und mal an dem anderen Abzweig angeschlossen

war.

3.2 Aufteilung von Tropfen an einer Verzweigung

Die Verhältnisse der Tropfenströme liegen jenseits oder auf der Achsenhalbierenden:

In den Abzweig mit dem höheren Volumenstrom fließen auch mehr Tropfen – und zwar

meist mehr als es das Verhältnis des Volumenstroms vorgibt. Das gleiche Verhalten

zeigt die Simulation für rote Blutkörperchen in einer entsprechenden Verzweigung.

Die Phasenseparation, die im Kapillarblut auftritt, gibt es also auch bei den Tropfen.

Damit ist eine weitere wichtige Voraussetzung für die Eignung des Tropfenmodells

in Kapillarnetzmodellen erfüllt. Darüber hinaus liefert die Pries’sche Formel mit

einer entsprechenden Skalierung einen guten Ausgangspunkt, um die Aufteilung der

Tropfen an einer Verzweigung zu modellieren, falls die Strömung des Blutmodells in

Kapillarnetzmodellen in einer anderen Arbeit einmal numerisch berechnet werden soll.

Für eine bessere Anpassung der Formel sind dann weitere Versuche nötig.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Die Strömung im Lungenkapillarnetz ist ein Aspekt im größeren Zusammenhang

von Stofftransport, Biotrauma und protektiver Beatmung. Bisher ist sie nicht so gut

verstanden, dass Schlussfolgerungen über die Auswirkung verschiedener Beatmungs-

konzepte möglich sind. Die Strömung in Lungenkapillarnetzen wird nicht in vivo

untersucht, sondern in vergrößerten Kapillarnetzmodellen. Die Fragen dieses Kapitels

lauten daher genauer: Wie sieht die Verteilung der Strömung im Modell im stationären

Fall aus? Wie ändert sie sich unter verschiedenen Randbedingungen?

4.1 Methoden

4.1.1 Kapillarnetzmodelle

Geometrie

Da die Kapillarnetzgeometrie in der Lunge im Detail nicht bekannt ist (vergleiche

Abschnitt 1.3.2), wird eine künstliche Kapillarnetzgeometrie verwendet. Die Grundlage

dieses Netzes bilden 2-Photonen-Mikroskopie-Aufnahmen von isoliert perfundierten

Rattenlungen, die von Jens Lindert an der Columbia University in New York zur

Verfügung gestellt wurden. Das Endothel ist mit Calcin red angefärbt; zu sehen

sind die oberflächennahen Kapillaren (Bild 4.1a). Diese Netze wurden nicht direkt

übertragen, da sie zum einen nicht vollständig erfasst werden können und zum anderen

die Zu- und Abläufe nicht unterscheidbar und zum Teil auch nicht zu erkennen sind.

Die 2-Photonen-Mikroskopie-Aufnahmen zeigen jedoch die statistische Verteilung der

Längen und Dicken der Kapillarsegmente und ein Sechseckgrundmuster. Aus diesen

Informationen erstellt ein MATLAB-Programm künstliche Kapillarnetzgeometrien

(Bild 4.1b).

Zusätzlich wird ein Kapillarnetz einer Mauslunge rekonstruiert, um eine realisti-

schere Geometrie zu erhalten. Die Rekonstruktion basiert auf Intravitalmikroskopie-

Aufnahmen am in vivo Mausmodell mit wieder verschlossenem Brustraum. Dort wird

durch ein Fenster aus transparenter Folie hindurch die Lungenoberfläche mit dem

Mikroskop beobachtet (Tabuchi u.a., 2008). Die Videoaufnahmen, die von Michael

Mertens vom Institut für Physiologie an der Charite – Universitätsmedizin Berlin ange-

fertigt wurden, zeigen die Kapillarnetze an der Lungenoberfläche. Teile davon wurden

rekonstruiert (Bild 4.2). Im Einzelbild verschwimmen die Umrisse der Kapillaren, so

dass die Kapillaren schlecht abgezeichnet werden können. Im Video sind die Kapillaren

jedoch durch die Bewegung der roten Blutkörperchen besser zu erkennen. Wie bei der

ersten Geometrie sind die Zu- und Abflüsse künstlich, da der reale Anschluss direkt

an größere Arteriolen und Venolen im Video nicht immer eindeutig und zudem für

das Blutmodell ungeeignet ist.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a)

Kapillarnetzaufnahme einer Rattenlun-

ge (2-Photonen-Mikroskopie), von Jens

Lindert, Columbia University, New

York (invertiert)

(b)

Ausschnitt aus einem künstlich gene-

rierten Kapillarnetz

Bild 4.1: Künstliche Kapillarnetzgeometrie: Vorbild und Ergebnis

(a)

Oberflächennahes Ka-

pillarnetz der Maus,

Intravitalmikroskopie-Bild

(b)

Intravitalmikroskopie-Bild und

nachgezogene Kapillaren

(c)

Modellgeometrie

mit Anschlüssen

Bild 4.2: Kapillarnetzgeometrie Maus: Vorbild und Ergebnis

Modelle

Künstliche Kapillarnetzgeometrie

Eine künstliche Kapillarnetzgeometrie aus MAT-

LAB wurde in das Konstruktionsprogramm SolidWorks übertragen. Dort wird es als

Rohrnetz umgesetzt und mit Zu- und Abläufen versehen. Für die Versuche mit dem

Wasser-Öl-Blutmodell wird das Kapillarnetz vergrößert. Der mittlere Durchmesser

der Segmente des Kapillarnetzmodells beträgt

1,2 mm

. Mit einer rechnergesteuerten

Fräse wird das Lumen der Gefäße als Positiv als Halbform für Ober- und Unterseite

gefräst. Diese werden mit Silikonkautschuk (Elastosil 601, Wacker, München) ab-

gegossen und ergeben dann eine Form mit hohlem Lumen. Die gegossenen Hälften

werden zusammengeklebt. Bild 4.3a zeigt ein solches Kapillarnetzmodell. In einigen

4.1 Methoden

Segmenten dieses Kapillarnetzmodells befindet sich Öl; diese Kanäle sind kaum zu

erkennen, da die Brechungsindexanpassung gut ist. In den anderen Segmenten befindet

sich Luft; diese zeichnen sich wegen des großen Brechungsindexsprungs deutlicher ab.

Die gleiche Kapillarnetzgeometrie wurde mittels Softlithographie (McDonald u. a.,

2000) als Mikromodell mit rechteckigem Querschnitt aus Silikonkautschuk ausgeführt

(Fertigung am Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik der RWTH Aachen). Die

mittlere Kanalbreite und die Kanaltiefe betragen 7,5µm (Bild 4.3b).

(a)

Vergrößertes Kapillarnetzmodell aus Si-

likonkautschuk (Bildkontrast angepasst).

Die Kanäle, in denen sich Luft befindet,

zeichnen sich deutlich ab.

(b)

Zeichnung vom Mikromodell mit Zu-

lauf

Bild 4.3: Modelle mit der künstlichen Kapillarnetzgeometrie

Kapillarnetzgeometrie Maus

Das Mauskapillarnetzmodell wird als Rechteckmodell

ausgeführt, da erstens keine Tiefeninformationen vorhanden sind und zweitens die

Umsetzung als Röhrenmodell mit SolidWorks sehr aufwändig ist. Dieses Netzwerk wird

auf

1,6 mm

skaliert in Silikonkautschuk ausgeführt. Dieses Modell ist etwas größer,

um die Fertigung zu erleichtern.

4.1.2 Experimentelle Untersuchungen mit dem Wassertropfen-Öl-Modell in

Kapillarnetzmodellen mit künstlich erzeugter Geometrie

Experimenteller Aufbau

Die Anordnung zur Untersuchung der Strömung in den Kapillarnetzmodellen ist in

Bild 4.4 dargestellt. Eine Doppelspritzenpumpe erzeugt im Tropfengenerator das Blut-

modell aus gefärbten Wassertropfen und Öl (Abschnitt 3.1). Die Tropfengröße wird

im Tropfengenerator eingestellt und mittels Lichtschranke kontrolliert. Eine zweite

Spritzenpumpe pumpt weiteres Öl in das Blutmodell und bestimmt so den Wasseran-

teil beziehungsweise den Tropfenanteil. Das Blutmodell wird über Verzweigungen auf

die vier Eingänge des Modells verteilt. Ein transparentes Kapillarnetzmodell (Ab-

schnitt 4.1.1) wird von unten mit einer Flächenleuchte beleuchtet und kann gedehnt

werden (Dehnvorrichtung nicht abgebildet). Die Strömung wird mit einer Videokamera

(uEye Kamera UI 6250SE-C von IDS, Obersulm) aufgenommen.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.4: Aufbau zur Untersuchung der Strömung in transparenten Kapillarnetzmodellen

In einigen Versuchen werden die Kapillarnetze gedehnt. Christian Hitzel (2011)

entwickelte dafür im Rahmen einer Bachelorarbeit eine Dehnvorrichtung. Das Kapil-

larnetz wird am Rand in Teilbereichen eingeklemmt und kann statisch oder zyklisch

um bis zu 22 % gedehnt werden.

Parameter zur Beurteilung der Strömung

Um die Strömung im Kapillarnetzmodell zu beschreiben, werden Geschwindigkeiten,

Tropfenströme und die Tropfenanzahl sowohl in einzelnen Segmenten als auch in

größeren Bereichen untersucht. Auch der Verlauf dieser Werte wird betrachtet.

Der Volumenstrom beziehungsweise der Tropfenstrom ist für die Beurteilung der

Strömung im Lungenkapillarnetz nur in Kombination mit dem Tropfenanteil aussage-

kräftig: Wegen der inhomogenen Tropfenaufteilung kann ein bestimmter Tropfenstrom

durch dicht gepackte langsame oder durch weniger dicht gepackte schnelle Tropfen

entstehen. Auf den Stofftransport im realen System mit Blut hätte das unterschiedli-

che Auswirkungen: Sind die roten Blutkörperchen sehr schnell, ist der Stoffaustausch

unter Umständen noch nicht abgeschlossen, wenn sie das Lungenkapillarnetz wieder

verlassen. Sind die roten Blutkörperchen sehr langsam, ist für den Stoffaustausch auch

in weniger gut belüfteten Alveolen genug Zeit, aber das System ist vielleicht nicht sehr

effizient. Eine Größe, die in erster Näherung mit dem Stofftransport korreliert, ist die

Transitzeit, auch Residenzzeit genannt. Die Häufigkeitsverteilungen (Histogramme)

verdeutlichen die vielen unterschiedlichen Transitzeiten. Der Median liefert eine robuste

Vergleichsmöglichkeit der mittleren Transitzeit unter verschiedenen Bedingungen.

Referenzversuche und Kontrollversuche

Die Strömung im Kapillarnetz wird in Referenzversuchen untersucht, die auch als

Ausgangspunkt für Parametervariationen dienen. Die Referenzversuche finden bei

folgenden Bedingungen statt: Der Volumenstrom ist

12 ml h−1

, der Tropfenanteil daran

ist

0,33

. Diese Bedingungen ergeben im Kapillarnetzmodell eine mittlere Geschwindig-

keit von etwa

vTr

0,07 mm s−1

und eine effektive Reynoldszahl Re

von etwa

0,001

(

ReM

vTrD

νM

mit

νM

ηOel ·ηrel,M/ ρM

0,06 Pa s ·1,4/930 kg m−3≈90 mm2s−1

Die Strömung in einem solchen Versuch wird ausführlich untersucht.

4.1 Methoden

In Kontrollversuchen wird getestet, wie vergleichbar die Ergebnisse aus mehreren

Experimenten bei gleichen Bedingungen sind. Dafür werden drei Modelle mit gleicher

Geometrie eingesetzt.

Meist wird nur ein Ausschnitt des Modells betrachtet. Dadurch verlieren Randef-

fekte an Einfluss. Der untersuchte Ausschnitt muss allerdings in den verschiedenen

Experimenten wieder gefunden werden. Dafür werden die Verzweigungen (Knoten)

festgelegt, die in dem Ausschnitt enthalten sein sollen. Die Lage der äußersten Knoten

bestimmt dann in jedem Versuch den Ausschnitt, wobei noch ein kleiner Rand hinzu-

gefügt wird. Der Standardausschnitt liegt im Inneren des Kapillarnetzes und enthält

sowohl Bereiche in der Nähe der Ein- und Ausgänge als auch entferntere Bereiche. Die

Segmente in diesem Ausschnitt fallen alle in den nachgewiesenen Gültigkeitsbereich

des Blutmodells (Abschnitt 3.1).

Parametervariationen

Tropfenanteil

In diesen Experimenten wird der Tropfenanteil H am Volumenstrom

variiert: Er beträgt

0,15

0,2

0,25

0,3

oder

0,4

, und in den Referenzversuchen

0,33

. Der

Gesamtvolumenstrom ist bei allen Experimenten

12 ml h−1

. Für jeden Tropfenanteil

werden mindestens drei Versuche durchgeführt.

Volumenstrom

In diesen Experimenten wird der Volumenstrom variiert: Mit Vo-

lumenströmen von

10,6 ml h−1

12 ml h−1

und

16 ml h−1

werden je mindestens drei

Versuche durchgeführt. Der Tropfenanteil ist hier niedriger als in den Referenzversuchen

und beträgt 0,25.

Blockade

Weiße Blutkörperchen sind größer und steifer als rote Blutkörperchen

und blockieren daher kurzzeitig Kapillaren. Im Kapillarnetzmodell wird das durch

Luftblasen nachgestellt: Luftblasen gelangen beim Füllen zu Versuchsbeginn immer ins

Kapillarnetzmodell. In diesen (drei) Versuchen werden vier Luftblasen nicht entfernt,

sondern bleiben während des ganzen Versuchs an einer Stelle.

In natürlichen Kapillarnetzen an Alveolen mit wenig Sauerstoff wird der Blutstrom

durch Verengung von Arteriolen oder Venolen verändert und so eine bessere Oxyge-

nierung des Blutes erreicht (siehe Abschnitt 1.3.3). Im Modell wird der Volumenstrom

in jeweils zwei Ausgängen verringert (je drei Versuche): An diesen Schlauchausgängen

herrscht ein höherer Druck als an den anderen, da sie höher gelagert werden.

Statische Teildehnung

Eine mögliche Ursache für einen beatmungsassoziierten Lun-

genschaden sind die Spannungen und Dehnungen, die im Übergangsbereich zwischen

nicht gedehnten steifen und stark gedehnten Alveolen auftreten. Hier wird unter-

sucht, wie sich der Blutfluss in einem Kapillarnetz in einem solchen Übergangsbereich

verändert.

Das Kapillarnetzmodell wird dafür in die Dehnvorrichtung eingespannt: Eine Hälfte

des Modells wird geklemmt und gedehnt (Bild 4.5). Die Dehnung in der Modellhälfte

mit dem Ausschnitt ist in den Versuchen unterschiedlich und nicht gleichmäßig. Um das

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.5:

Dehnprinzip. Eine Hälfte des Kapillarnetzmodells wird eingespannt und gedehnt

(Dehnvorrichtung nicht dargestellt). An den gestrichelten Linien wird die tatsächliche

Dehnung in den Versuchen gemessen. Die dargestellten Endpunkte wurden gewählt,

da sie in den Aufnahmen der verschiedenen Versuche leicht identifiziert werden

können.

zu quantifizieren werden die Dehnungen zwischen Ein- und Ausgang ganz rechts und

im Ein- und Ausgangsbereich links daneben betrachtet, da diese in den verschiedenen

Versuchen gut ermittelt werden können (Bild 4.5). Tschumperlin u. a. (2000) zeigen,

dass Dehnungen der Zelloberfläche um

25 %

in ihren Versuchen kaum Zellsterben

verursacht, während Dehnungen zwischen

und

50 %

zum Zelltod führen. Birukov

u. a. (2003) übersetzen das in lineare Dehnungen: Der physiologische (normale) Bereich

liegt zwischen

und

12 %

, der pathologische (schädliche) zwischen

und

22 %

. Die

Dehnungen des Kapillarnetzmodells liegen in den Versuchen mit statischer Teildehnung

zwischen 6,8 % und 11,3 %, und somit im physiologischen Bereich.

Dynamische Teildehnung

In der Lunge werden die Kapillarnetze nicht nur einmal

gedehnt und bleiben dann so: Sowohl bei der Atmung als auch bei der Beatmung

wechseln sich Dehnung und Entspannung ab. Der Einfluss auf den Blutfluss im

Kapillarnetz wird hier modelliert. Wie zuvor wird nur eine Hälfte des Kapillarnetzes

gedehnt (Bild 4.5).

Der Einfluss der Beatmungsfrequenz wird anhand von zwei Frequenzen untersucht:

0,004 Hz

entspricht über die Strouhal-Ähnlichkeit (siehe Abschnitt 1.6.1) der phy-

siologischen Frequenz von etwa

2 Hz

(Gleichung 1.4 mit

νOel

ηOel/930 kg m−3

65 mm2s−1

νPlasma

1,4 mm2s−1

1,2 mm

8µm

). Das liegt für Mäuse

und Ratten im Normbereich (Ewringmann und Glöckner, 2008); die verwendeten

Geometrien stammen von solchen Versuchstieren. Die zweite untersuchte Frequenz ist

mit 0,008 Hz doppelt so hoch.

Der Einfluss der Dehnungsamplitude wird ebenfalls untersucht: Die Strömung ohne

Dehnung wird mit der unter physiologischer Teildehnung und unter pathologischer

Teildehnung verglichen. Dafür wird die Dehnung auf der Dehnvorrichtung auf

9,5 %

(physiologisch) beziehungsweise

19 %

(pathologisch) eingestellt. Diese Versuche werden

durch den prinzipiellen Ansatz zur Verringerung des beatmungsinduzierten Lungen-

schadens motiviert: Dieser besteht darin, die Dehnung in den Alveolarwänden zu

4.1 Methoden

reduzieren. Die Wirkung der Dehnung auf die Strömung in den Kapillarnetzen ist

bisher nicht bekannt und wird daher untersucht.

4.1.3 Auswertung der Experimente durch Tropfenverfolgung mit MATLAB

Die Videos werden mit einem in MATLAB (2010) geschriebenen Programm ausgewer-

tet. Die grundlegende Idee besteht darin, die Tropfen zu erkennen und zu verfolgen; es

handelt sich also um einen klassischen Particle-Tracking-Ansatz. Idealerweise ist so die

Position und damit die Geschwindigkeit jedes Tropfens zu jedem Zeitpunkt bekannt.

Daraus können Größen wie die Transitzeit, die Tropfenanzahl in den Segmenten und

Tropfenströme in Segmenten abgeleitet werden.

Es gibt bereits diverse Programme für die Verfolgung von Partikeln. Dazu gehö-

ren zum Beispiel Programme wie der IDL Particle Tracker von Crocker und Grier

(1996)(auch in MATLAB implementiert von Maria Kilfoil (Kilfoil, 2011)), der Po-

lyParticleTracker (MATLAB) von Rogers u. a. (2007) die ImageJ plugins MTrack2

und MTrackJ (Meijering u.a., 2012), die Module der MOSAIC-Gruppe der Eidge-

nössischen Technischen Hochschule Zürich, implementiert in C oder Java (ImageJ

plugin) (Sbalzarini und Koumoutsakos, 2005). Bei Tests mit den vorhandenen Daten

hatten diese Programme insbesondere mit der Trennung der einzelnen dicht aneinander

liegenden Tropfen Probleme. Hinzu kommt, dass bis zu 14 000 aufeinander folgende

Bilder untersucht werden sollen. Einige der Programme können die Bilder jedoch

nicht einzeln nacheinander verarbeiten, sondern laden alle, was mit den vorhandenen

Speichern nicht möglich ist.

Das im Labor für Biofluidmechanik entstandene MATLAB-Programm ist speziell

auf die Tropfen zugeschnitten, nutzt aber sonst die üblichen Algorithmen. Es bezieht

Vorwissen wie Kanalgeometrie, Tropfenform und Tropfengröße sowie Lage der Ein-

und Ausgänge in die Auswertung ein und kann so Fehler bei der Tropfenerkennung

reduzieren. Die einzelnen Schritte, die für die Tropfenverfolgung wichtig sind, werden

im Folgenden kurz beschrieben: Segmentierung (Tropfenerkennung), Verfolgung sowie

Zuordnung der Tropfen zu Kapillarnetzsegmenten. Außerdem werden die Organisation

der Daten und die Darstellung der Strömung thematisiert.

Segmentierung (Tropfenerkennung)

In diesem Schritt müssen die einzelnen Tropfen

erkannt werden. Wenn die Tropfen dicht beieinander liegen, ist das nicht trivial. Die

Tropfen lassen sich nicht einfach trennen, indem ein Schwellwert gesetzt wird: Im

Schwarz-Weiß-Bild würden sich die Tropfen überschneiden. Hier schafft der Watershed-

Algorithmus Abhilfe; das ist der grundlegende Algorithmus für die Segmentierung.

In der hier verwendeten Variante werden die Gebiete um vorher markierte Punkte

Schritt für Schritt erweitert, bis sie an ein anderes Gebiet stoßen. Das ist vergleichbar

mit der Flutung einer Landschaft von den tiefsten Punkten her: Die Linie, wo sich

die Wassermassen treffen heißt Wasserscheide – daher der Name für den Algorithmus.

Der Watershed-Algorithmus ist in MATLAB bereits implementiert. Als markierte

Punkte, von denen der Algorithmus startet, eignen sich Punkte im Vordergrund

(Tropfen) und im Hintergrund (Zwischenräume des Netzes ohne Tropfen). Um das

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Innere der Tropfen zu finden, wird ausgenutzt, dass die Tropfen meist rund sind: Die

einzelnen Graustufenbilder werden mit einem Gauß-Filter gefiltert (korreliert); die

beste Übereinstimmung zwischen Gauß-Filter und Bild ist da, wo der Filter genau über

einem runden Tropfen liegt. Die Maxima des gefilterten Bildes sind daher mögliche

innere Punkte von Tropfen. Der Hintergrund ist leichter zu finden: Das Bild wird

binarisiert und alles, was nicht schwarz wie die Tropfen geworden ist, gehört zum

Hintergrund. Bild 4.6a veranschaulicht die verwendeten Markierungen für Vordergrund

und Hintergrund: Die inneren Punkte der Tropfen (Vordergrund) sind gelb markiert,

die Umrisse der Tropfen oder Tropfengruppen sind grün und markieren die Grenze

zum Hintergrund. In sehr dünnen Modellsegmenten sind die Tropfen aufgrund des

kleinen Durchmessers sehr lang gezogen – hier ergibt die Gauß-Filterung mehrere

innere Punkte und der Watershed-Algorithmus in der Folge mehrere Tropfen. Die

Anzahl der inneren Punkte kann in einem Zwischenschritt in solchen kritischen dünnen

Segmenten reduziert werden, um fehlerhafte Trennungen zu vermeiden. Das Ergebnis

des Watershed-Algorithmus wird verbessert, indem zunächst falsch markierte große

Bereiche, sehr kleine Bereiche und Randbereiche entfernt werden. Außerdem werden

nicht getrennte Doppeltropfen, die zwei konkave Stellen haben, automatisch geteilt (rot

ausgefüllt in Bild 4.6b). Die einzelnen als Tropfen erkannten Bereiche werden mit einer

Identifikationsnummmer versehen, und können so zum Beispiel mit unterschiedlichen

Farben gekennzeichnet werden (Bild 4.6c).

(a)

Potentielle innere Punkte

der Tropfen gelb (Maxi-

ma der Gaußkorrelation),

Grenze zwischen Tropfen

und Bildhintergrund grün

(Umrisse der Tropfen oder

Tropfengruppen)

(b)

Ergebnis des Watershed-

Algorithmus mit rot um-

randeten Tropfen. Der rot

ausgefüllte Doppeltropfen

wird in einem weiteren

Schritt geteilt.

(c)

Ergebnis der Segmentie-

rung mit farblicher Kenn-

zeichnung

Bild 4.6: Zwischenschritte bei der Tropfenerkennung

Fehler bei der Tropfenerkennung sind besonders kritisch, da sie alle weiteren Mess-

größen beeinflussen. Der häufigste Fehler ist, dass zwei oder mehr Tropfen als ein

verbundener Tropfen interpretiert werden. Dies zieht fehlerhafte Schwerpunkte, also

fehlerhafte Geschwindigkeiten nach sich. Außerdem wird die Tropfenanzahl, also auch

der Wasseranteil und der Wasservolumenstrom unterschätzt. Werden die falsch ver-

4.1 Methoden

Bild 4.7: Segmente in einem Bildausschnitt (grau hinterlegt) ohne die Knotenbereiche

bundenen Tropfen in späteren Bildern wieder als einzelne, dann neue Tropfen erkannt,

fehlen sie in der Transitzeitbestimmung, da sie nicht durch den ganzen Ausschnitt ver-

folgt werden können. Fehler in der Tropfenerkennung zeigen sich in den farbkodierten

Auswertebildern (siehe unten). Sie geschehen also nicht unbemerkt und können falls

nötig bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt werden.

Verfolgung

Verfolgung der Tropfen bedeutet, dass jeder Tropfen in einem Bild zu dem

passenden Tropfen im vorherigen Bild zugeordnet wird. Dafür kann im vorliegenden

Fall eine einfache Grundidee genutzt werden, da die Bewegungen der Tropfen von

Bild zu Bild sehr gering sind: Für jeden Tropfen wird geprüft, welcher Tropfen im

vorherigen Bild seinen Schwerpunkt im Bereich des untersuchten Tropfens hatte. Im

Idealfall ist das innerhalb des Netzes genau ein Tropfen und an den Eingängen kein

Tropfen. Höhere Geschwindigkeiten und vor allem Fehler in der Segmentierung führen

jedoch zu Abweichungen vom Idealfall. Durch Einbeziehung vorheriger Bilder können

einige der betroffenen Tropfen richtig zugeordnet werden. Segmentierungsfehler können

zum Teil korrigiert werden, indem Tropfen geteilt werden, denen zwei Tropfen aus

dem vorherigen Bild zugeordnet wurden.

Zuordnung zu den Kapillarnetzsegmenten

Für die Kapillarnetzmodelle liegen die

Koordinaten der Knoten (Verzweigungen) vor. Linien (Segmente) sind durch die

Angabe der verbundenen Knoten und einen Rohrdurchmesser definiert. Die aus

SolidWorks bekannten Koordinaten der Knoten werden für jeden Versuch skaliert

und wenn nötig entzerrt. Mit Hilfe der skalierten Durchmesser kann in jedem Bild zu

jeder Linie angegeben werden, welche Pixel zu dem entsprechenden Segment gehören.

Von den Segmenten werden die Knotenbereiche abgezogen, die als Kreise mit dem

größten der drei angrenzenden Segmentdurchmesser definiert sind (siehe Bild 4.7). Da

die Schwerpunktkoordinaten der Tropfen bekannt sind, können sie den Segmenten

zugeordnet werden.

Wenn die Netze dynamisch gedehnt werden, ändert sich die Position der Knoten von

Bild zu Bild. Hier wird eine mittlere Position gewählt und die entsprechenden Segment-

gebiete inklusive Knotenbereich werden verbreitert. Dies erlaubt eine grobe Zuordnung

zu den Segmenten; sie ist aber nicht so fein aufgelöst wie bei den Experimenten ohne

Dehnung.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Tabelle 4.1: Einträge in der Ergebnismatrix der Tropfenverfolgung

x (in px) y (in px) Bild Tropfen Fläche (in px) Geschwindigkeit (in mm s−1)

Organisation der Daten

Die sinnvolle Organisation der Daten aus der Tropfenver-

folgung ist wegen der vielen Tropfen in den vielen Bildern wichtig für die weitere

Auswertung. Hier sind die Tropfendaten ähnlich wie beim PolyParticleTracker (Rogers

u. a., 2007) gespeichert: Für jeden Tropfen in jedem Bild wird ein Eintrag in einer

Matrix angelegt, der Schwerpunktkoordinaten in Pixel (px), Bildnummer und Tropfeni-

dentifikationsnummer enthält (Tabelle 4.1). Zusätzlich wird in dieser Matrix noch die

Größe des Tropfens (projizierte Fläche) und die später errechnete Geschwindigkeit ge-

speichert. Die so aufgebaute Matrix ist sehr groß (bis zu

8×106

Partikeleinträge), lässt

sich jedoch gut nach den verschiedenen Aspekten durchsuchen und weiterverarbeiten.

Darstellung der Strömung mittels Farbkodierung der Tropfen

Während der Aus-

wertung der Experimente erhält jeder Tropfen eine Nummer, anhand der er in der

Ergebnismatrix gefunden werden kann, um den Weg, den Geschwindigkeitsverlauf und

die Transitzeit zu berechnen. Diese Nummer wird auch genutzt, um den zeitlichen

Verlauf der Strömung darzustellen: Anders als im Video ist es bei Einzelbildern kaum

möglich, einen Tropfen von einem Bild zum nächsten wieder zu finden. Das wird durch

die Farbkodierung möglich: Jeder Tropfen bekommt bei seinem ersten Auftauchen eine

Farbe zugeordnet, die er von Bild zu Bild behält (Bild 4.8). Die Farbskala erstreckt

sich dabei über

800

Tropfen (ganzes Bild) beziehungsweise

Tropfen (Ausschnitt)

von Blau über Grün und Gelb zu Rot und beginnt dann von vorn. Da die Farbe

zum Zeitpunkt des ersten Auftauchens zugeordnet wird, bietet die Farbverteilung der

Tropfen im Netz idealerweise auch einen Eindruck von der Geschwindigkeitsverteilung

im Netz: Befinden sich entlang einer horizontalen Linie rote und blaue Tropfen, waren

die blau markierten Tropfen schneller als die rot markierten Tropfen, da sie zu einem

späteren Zeitpunkt in das Netz (oder den Ausschnitt) eingetreten sind (Bild 4.8). Das

stimmt allerdings nicht, wenn durch Segmentierungsfehler Tropfen irrtümlich in der

Mitte des Netzes als neu eingeordnet werden.

Mit der farblichen Darstellung wird hauptsächlich die Segmentierung kontrolliert.

4.1.4 Experimentelle Untersuchungen mit der Mausgeometrie

In den Experimenten mit den vergrößerten Kapillarnetzmodellen der oberflächennahen

Mauskapillaren (Abschnitt 4.1.1) wird ebenfalls das Blutmodell eingesetzt. Der idea-

lisierte Tropfendurchmesser ist wegen des größeren Modelldurchmessers auch etwas

größer und beträgt hier

1,35 mm

. Der Volumenstrom ist auf

24 ml h−1

eingestellt, mit

einem Tropfenanteil von

0,33

. Als mittlere Geschwindigkeit ergibt sich

0,09 mm s−1

die effektive Reynoldszahl beträgt circa

0,002

. Der Versuchsaufbau und die Auswerte-

methoden sind die gleichen wie in den Experimenten mit den Kapillarnetzmodellen

mit der künstlich erzeugten Geometrie.

4.1 Methoden

(a) (b)

Bild 4.8:

Farbkodierung der Tropfen: Ein Tropfen hat in verschiedenen Bildern die gleiche

Farbe. a) Die blauen Tropfen an der Linie sind später in den Kapillarnetzausschnitt

eingetreten, also schneller gewesen, als der rote und der orangene Tropfen. b) Im

Vergleich zu a haben sich die Tropfen weiter bewegt (Strömung im Bild von unten

nach oben).

4.1.5 Experimentelle Untersuchungen im Mikromodell

Fluid

Im Mikromodell wird mit gewaschenen roten Blutkörperchen in Pufferlösung

(DPBS ohne Kalzium und Magnesium von Life Technologies, Paisley) gearbeitet. Die

Suspension mit roten Blutkörperchen wird folgendermaßen gewonnen: Das Vollblut

wird mit Citrat versetzt und zentrifugiert. Aus der untersten Schicht des Zentri-

fugats werden die rotenn Blutkörperchen pipettiert und in Pufferlösung gegeben.

Dieser Vorgang wird noch einmal wiederholt. Je nachdem, wieviel von der untersten

Schicht nach dem Zentrifugieren entnommen wird, sind neben den gewünschten roten

Blutkörperchen auch mehr oder weniger weiße Blutkörperchen enthalten.

Aufbau

Die Experimente im Mikromodell werden an einem Umkehrmikroskop (Fluo-

vert FU von Leitz, Wetzlar) bei Raumtemperatur durchgeführt. Die Strömung wird mit

einer Videokamera (uEye Kamera UI 2230SE-M von IDS, Obersulm) aufgenommen

und anschließend mit MATLAB ausgewertet. Ein Bandpassfilter (

420 nm

, Halbwert-

breite

10 nm

von Melles Griot, Albuquerque) bewirkt, dass die roten Blutkörperchen

dunkel erscheinen: Somit können die Videos analog zu den Wassertropfen ausgewertet

werden. Diese Versuchsanordnung wurde von Mirko Spitalny (2011) im Rahmen einer

Diplomarbeit im Labor für Biofluidmechanik aufgebaut und beschrieben.

Die Strömungsbedingungen im Mikromodell einzustellen ist schwierig, da die fol-

genden Probleme auftreten: 1) Der Hämatokrit schwankt im Untersuchungsbereich,

weil sich die roten Blutkörperchen absetzen und weil sich das Blut im Zuleitungs-

bereich trennt. 2) Der Volumenstrom in den gängigen Mikropumpen schwankt. 3)

Der Widerstand in den Zuleitungen ändert sich mit dem Hämatokrit und durch abla-

gerungsbedingte Verengungen. Daher wird 1) eine lange Vorlaufzeit gewählt, damit

genügend rote Blutkörperchen im System sind. Weiterhin wird durch kurzzeitige

Druckerhöhungen das Blut in den Zuläufen wiederholt neu gemischt. 2) Statt Pumpen

zu nutzen, die einen Volumenstrom vorgeben, wird eine Druckdifferenz zwischen Ein-

gängen und Ausgängen eingestellt. Wegen 3) führt dies ebenfalls nicht zu definierten

Volumenströmen. Allerdings ändert sich der Volumenstrom nur langsam und kann

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.9:

Tropfen im Kapillarnetzmodell (Tropfenanteil

0,33

, Volumenstrom

12 ml h−1

, keine

Dehnung). Das Rechteck zeigt den Ausschnitt A, der im Folgenden meist betrachtet

wird.

daher für ein Experiment in einem begrenzten Zeitraum als konstant angenommen

werden. Letztendlich werden in der verwendeten Versuchsanordnung weder der Häma-

tokrit noch die Geschwindigkeit der roten Blutkörperchen genau vorgegeben. Statt

dessen werden die Druckrandbedingungen variiert, während die Strömung im Mikro-

skop beobachtet wird. Erst wenn Geschwindigkeit und Hämatokrit in der angestrebten

Größenordnung liegen, wird die Aufnahme gestartet.

4.2 Ergebnisse

4.2.1 Beschreibung der Strömung im vergrößerten Modell

Verteilung der Tropfen

Bild 4.9 zeigt eine Momentaufnahme der Tropfen im Kapil-

larnetzmodell mit rundem Querschnitt unter den Referenzbedingungen (Tropfenanteil

0,33

, Volumenstrom

12 ml h−1

). Die Pfeile zeigen die Strömungsrichtung und die Zu-

und Abläufe. Die Tropfen sind nicht gleichmäßig verteilt: In den Regionen zwischen

sich gegenüberliegenden Zu- und Abläufen sind tendenziell mehr Tropfen als in den

Regionen, wo keine Zu- und Abläufe liegen. Bild 4.10 zeigt einen Ausschnitt des Bildes

(Ausschnitt A) zu drei verschiedenen Zeitpunkten. Die Tropfen sind entsprechend ihrem

Erkennungszeitpunkt farbkodiert wie in Abschnitt 4.1.3 beschrieben. Einige Segmente,

wie das durch ein + markierte, enthalten zu den drei Zeitpunkten mehrere, keinen

oder einen Tropfen. Die Strömung in diesen Segmenten ist unregelmäßig. In anderen

Segmenten, wie in dem mit # markierten, ist die Anzahl der Tropfen konstant und

hoch. Die Farbkodierung zeigt auch, dass die Tropfen in den unteren Quersegmenten

(markiert) über den betrachteten Zeitraum von 25 Sekunden dort bleiben.

4.2 Ergebnisse

(a) Zeit t0(b) Zeit t0+ 12,5 s (c) Zeit t0+ 25 s

Bild 4.10:

Ausschnitt aus Bild 4.9 zu drei Zeitpunkten mit farbkodierten Tropfen. Im Segment

+ ändert sich die Anzahl der Tropfen, im Segment # bleibt sie konstant hoch.

Die Tropfen in den unteren markierten Quersegmenten verbleiben dort in den

betrachteten 25 s.

Bild 4.11: Mittlerer Tropfenstrom im Ausschnitt (Bild 4.9)

Bild 4.12: Bildausschnitt aus Bild 4.9 mit ausgewählten Segmenten

Tropfenstrom

Bild 4.11 zeigt die mittleren Tropfenströme in den Segmenten des

Ausschnitts A: Besonders viele Tropfen fließen am rechten Rand des Ausschnitts, durch

die Quersegmente fließen wenige Tropfen. Die Änderung des Tropfenstromes und auch

der Tropfenanzahl mit dem Ort im Netzausschnitt wird in Abschnitt 4.2.2 genauer

betrachtet. Im Folgenden steht die Änderung im Verlauf der Zeit im Vordergrund.

Die Änderung der Tropfenströme wird der Übersicht halber nur für einige Segmente

dargestellt. Diese Segmente sind in Bild 4.12 markiert. Insbesondere wurden die

Segmente

und

ausgewählt. Sie werden beide von dem darunter liegenden Segment

versorgt und bilden zusammen mit dem gemeinsamen Zulauf eine Y-Verzweigung,

wie sie in Abschnitt 3.2 beschrieben wurde. Der Tropfenstrom teilt sich nicht ganz

gleichmäßig auf: Die Mittelwerte sind in dem dargestellten Experiment

13,4

Tropfen je

200

Sekunden in Segment

und

14,1

Tropfen je

200

Sekunden in Segment

. Bild 4.13

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.13:

Aufteilung der Tropfen auf die Segmente

und

. Die Tropfen sind nach dem

Zeitpunkt geordnet, zu dem sie das gemeinsame zuführende Segment verlassen.

Meist wechseln die Tropfen zwischen den Segmenten tropfenweise, so dass sich

bei dieser Darstellung ein Zick-Zack-Muster ergibt. Die Pfeile kennzeichnen das

Umschlagen der Strömung zwischen den beiden Segmenten mit mindestens zwei

aufeinander folgenden Tropfen in jedem Segment.

zeigt, wie sich die ankommenden Tropfen auf die beiden Segmente verteilen. Meist

wird abwechselnd Segment

und

gewählt. In der Darstellung in Bild 4.13 ergibt das

ein Zick-Zack-Muster. Die Tropfenaufteilung ist nicht komplett regelmäßig: Manchmal

gehen zwei Tropfen nacheinander in den gleichen Abzweig. An den mit den Pfeilen

gekennzeichneten Stellen gibt es einen Umschlag der Strömung: Gehen hier zunächst

mindestens zwei aufeinander folgende Tropfen in das eine Segment, gehen dann auch

mindestens zwei aufeinander folgende Tropfen in das andere Segment.

Bild 4.14 zeigt den mittleren Volumenstrom in den eben betrachteten Segmenten

und

und zusätzlich in den Segmenten

und

(Bild 4.12). Die Segmente

und

haben keinen gemeinsamen Zulauf, liegen aber auf gleicher Höhe nebenein-

ander. Der Volumenstrom wird ermittelt, indem die Tropfen gezählt werden, die in

einem 200 Sekundenintervall das Segment verlassen. Das wird wiederum über ein

gleitendes 200 Sekundenintervall gemittelt. In allen vier gezeigten Segmenten schwankt

der Tropfenstrom mit einer Frequenz von ungefähr

1/500 Hz

±1

Tropfen. Die

Tropfenströme in den Segmenten

und

(gleicher Zulauf) schwanken gegenläufig:

Ist der Tropfenstrom in Segment

hoch, ist er in Segment

niedrig, und umgekehrt

(Bild 4.14 unten). Ganz symmetrisch ist diese Aufteilung aber nicht. In den Segmen-

ten

und

(verschiedene Zuläufe) gibt es die Gegenläufigkeit vereinzelt (

1500 s

bis

2200 s), ist aber im Allgemeinen nicht so ausgeprägt (Bild 4.14 oben).

4.2 Ergebnisse

Bild 4.14:

Gleitender Mittelwert (

200 s

) über Tropfenströme im 200 Sekundenintervall in den

Segmenten 6, 10 (gleicher Zulauf), 20 und 28 (benachbart, verschiedene Zuläufe)

nach Bild 4.12. Die Tropfenströme schwanken hier um

±1

Tropfen um ihren

Mittelwert. Steigt der Tropfenstrom in Segment

, fällt er in Segment

und

umgekehrt (Ausnahmen um

1600 s

und

2600 s

). In den Segmenten

und

gibt es diese Gegenläufigkeit im Allgemeinen nicht (Ausnahme zum Beispiel

t= 1500 s bis t= 2200 s).

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Tropfenbewegungen

Bild 4.15 zeigt für vier verschiedene Segmente die Positionen

von Tropfenzentren in einem ausgewählten Zeitraum. Bild 4.15a zeigt die x-Koordinaten

der Tropfenzentren in Segment

(Bild 4.12), einem horizontal verlaufenden Segment

mit kleinem Volumenstrom. Die Tropfen bewegen sich in diesem Segment von rechts

nach links (im entsprechenden Diagramm entspricht das von oben nach unten), manch-

mal aber auch von links nach rechts (im Diagramm von unten nach oben). Das heißt,

der Tropfen bewegt sich im Segment hin und her. Das geschieht vor allem kurz nachdem

der Tropfen das Segment erreicht hat (um Pixel 65) und kurz bevor er es verlässt (um

Pixel 48). Bild 4.15b zeigt die y-Koordinaten der Tropfenzentren in Segment 10, einem

eher vertikal verlaufenden Segment. Die Tropfen bewegen sich im Bild 4.12 von unten

nach oben, ebenso im Diagramm 4.15b, da die y-Koordinate dem Bild entsprechend

dargestellt ist. In Bildern liegt der Koordinatenursprung traditionell in der oberen

linken Ecke, so dass die y-Koordinate der Pixel von oben nach unten zunimmt. Um

die Pixel 136 und 128 werden einige Tropfen langsamer, einige wechseln hier auch

kurz die Richtung. In den Segmenten 20 und 43 gibt es solche Richtungswechsel nicht

(Bilder 4.15c und 4.15d). In Segment 20 (Bild 4.15c) und auch in den beiden vorigen

Segmenten 7 und 10 reisen die Tropfen in Gruppen. In den Diagrammen zeigt sich die

Gruppenbildung durch mehr oder weniger große horizontale weiße Streifen, die die

Lücken markieren. In Segment 43 ist keine Gruppenbildung zu erkennen (Bild 4.15d),

die Tropfen folgen dicht nacheinander.

Unter Standardbedingungen werden keine Segmente beobachtet, die von den Tropfen

in beiden Richtungen durchquert werden. Vereinzelt verlassen Tropfen die Querseg-

mente mit geringem Fluss wieder auf der gleichen Seite, wo sie hinein gekommen

sind.

4.2 Ergebnisse

(a) Segment 7 (b) Segment 10

Bild 4.15:

Zeitlicher Verlauf der Tropfenposition in verschiedenen Segmenten (nach Bild 4.14).

In a ist nur die x-Koordinate der Schwerpunktsposition dargestellt, da die Tropfen

hauptsächlich von rechts nach links fließen (Segment 7). Die Darstellung der Position

eines einzelnen Tropfens beginnt in a daher bei großen x-Werten. In b bis d ist die y-

Koordinate der Schwerpunktsposition dargestellt, da die Tropfen hauptsächlich von

unten nach oben fließen (Segmente 10, 20 und 43). Zu beachten ist, dass in Bildern

die y-Koordinate traditionell von oben nach unten gezählt wird. Die Darstellung

der Position eines einzelnen Tropfens beginnt daher hier bei großen y-Werten unten

im Diagramm. In den Segmenten

und

bewegen sich die Tropfen manchmal

zurück (a, b). In den drei Ausschnitten a bis c sind Tropfengruppen zu erkennen:

Die Positionsverläufe liegen dicht beieinander; die Gruppen sind voneinander oder

von Einzeltropfen durch Lücken getrennt. In d (Segment 43) ist die Tropfendichte

so hoch, dass die Positionsverläufe kaum auseinander gehalten werden können

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Geschwindigkeiten

Bild 4.16 zeigt für einen Versuch alle Positionen (Schwerpunkte)

von Tropfen, die durch den in Bild 4.9 markierten Ausschnitt A verfolgt werden

können. Farbkodiert ist die jeweilige momentane absolute Geschwindigkeit der einzelnen

Tropfen, errechnet aus der aktuellen Position und der Position desselben Tropfens im

nächsten Bild. Der Geschwindigkeitsverlauf für die einzelnen Tropfen ist geglättet.

In dem hier dargestellten Experiment wurden 890 Tropfen in 2000 Sekunden durch

den Bildausschnitt verfolgt. Bild 4.16 vermittelt einen Eindruck von der Variabilität

der Geschwindigkeiten im Ausschnitt: Es zeigt schnellere und langsamere Bereiche

im Ausschnitt, schnellere und langsamere Bereiche in den einzelnen Segmenten und

in den Verzweigungen. In den Verzweigungsbereichen ist die Geschwindigkeit meist

gering, was wegen der Rohrerweiterung zu erwarten ist. Allerdings gibt es in einigen

Knoten auch Pfade, auf denen sich Tropfen schnell bewegen. Durch drei Segmente

strömt kein Tropfen, wobei nur Tropfen dargestellt sind, die im betrachteten Zeitraum

über den ganzen Bildausschnitt verfolgt werden können. Hohe Geschwindigkeiten

sind überwiegend in den vertikalen Segmenten zu finden, aber nicht ausschließlich,

wie das linke untere Quersegment

zeigt. In den einzelnen Segmenten variiert die

Geschwindigkeit ebenfalls: Entlang der Segmentachse sind die Tropfen unterschiedlich

schnell; quer zur Achse sind die Tropfen an einem Rand oft schneller als am anderen.

Für einen festen Ort im Ausschnitt gibt es zwar eine Tendenz für eine Geschwindigkeit,

jedoch gibt es auch hier zeitliche Schwankungen.

Als Beispiel sind die Geschwindigkeitsverläufe von

Tropfen im Segment

Bild 4.17 dargestellt. Die Geschwindigkeiten schwanken um

±50 %

. Das gilt sowohl

für einzelne Tropfen als auch für verschiedene Tropfen an einer Stelle. Bild 4.18a zeigt,

dass diese Schwankungen keinem klaren zeitlichen Muster folgen: Dargestellt sind die

Zeit, zu der die Tropfen in das Segment fließen, und die mittleren Geschwindigkeiten

der einzelnen Tropfen (mehr als in Bild 4.17). Gemittelt werden die Geschwindig-

keiten, die ein einzelner Tropfen hat, während er das Segment 11 durchquert. Die

dazugehörige Transitzeitverteilung für dieses Segment zeigt Bild 4.18b: Viele Tropfen

haben Transitzeiten um

16 s

; es gibt aber Tropfen, die mit über

20 s

deutlich mehr

Zeit benötigen.

4.2 Ergebnisse

Bild 4.16:

Alle Positionen der Schwerpunkte der Tropfen während sie den Ausschnitt durchque-

ren. Für jede Position wird aus der Verschiebung des Tropfens zum nächsten Bild

und der Bildrate die momentane Geschwindigkeit ermittelt. Diese wird für jeden

Tropfen geglättet (gleitender Mittelwert von 19 Werten) und die entsprechende

Position farblich markiert. Da viele Tropfenpositionen dargestellt sind, werden

manche Punkte verdeckt. Die Geschwindigkeiten der Tropfen im Segment 11 sind

in Bild 4.17 dargestellt; die Grenzen des Segments sind markiert. Das Segment 6

ist eines der wenigen Quersegmente mit hohen Geschwindigkeiten.

Bild 4.17:

Geschwindigkeitsverläufe von 70 Tropfen im Segment 11 aus Bild 4.16 aufgetragen

über der y-Komponente ihrer Position. Daneben ist der dazugehörige vergrößerte

Ausschnitt der Tropfenpositionen mit Geschwindigkeitsangabe dargestellt.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a)

Mittlere Geschwindigkeit der einzelnen

Tropfen über ihrem Eintrittszeitpunkt

(b)

Transitzeiten der Tropfen durch das Seg-

ment

Bild 4.18:

Die mittlere Geschwindigkeit der einzelnen Tropfen, mit der sie das Segment 11

aus Bild 4.16 durchqueren, schwankt; der zeitliche Verlauf zeigt kein Muster (a).

Entsprechend ist die Transitzeit breit verteilt (b).

Transitzeiten

In Bild 4.19a sind fünf der Pfade eingezeichnet, auf denen sich die

Tropfen unter Standardbedingungen durch den Bildausschnitt bewegen. Bild 4.19b

zeigt als Histogramm zunächst die Transitzeiten aller Tropfen, die vom Eintritt in

das Bild an einer unteren Grenze bis zum Austritt aus dem Bild an einer oberen

Grenze verfolgt werden konnten. Darüber sind die Transitzeiten der Tropfen auf

den Pfaden in Bild 4.19a in der entsprechenden Farbe aufgetragen. Das Histogramm

hat typischer Weise für diesen Bildausschnitt zwei Hauptmaxima und zeigt einzelne

Tropfen (hier auf dem schwarzen Pfad), die bis zu sechs mal mehr Zeit brauchen,

um den Netzausschnitt zu passieren, als die schnellsten Tropfen. Auch innerhalb der

einzelnen Pfade unterscheiden sich die Transitzeiten zum Teil erheblich: Auf dem

gelben Pfad reichen die Transitzeiten von

112

bis

164

Sekunden, auf dem grünen von

163

bis

272

. Das erste Maximum im Histogramm wird hauptsächlich von den Tropfen

im roten Pfad verursacht – dort fließen viele Tropfen sehr schnell. Das ist ein Pfad in

unmittelbarer Nähe zu den Ein- und Ausgängen (siehe Bild 4.19a). Die Tropfen im

gelben Pfad, ebenfalls in der Nähe von Ein- und Ausgängen, sind dagegen im Vergleich

langsam, ihre Transitzeit ist bis zu drei mal so groß wie die des roten Pfades. Der

blaue Pfad ist wie der rote ein Pfad mit geringer Transitzeit, aber breiterer Verteilung

und weniger Tropfen. Er befindet sich nicht direkt zwischen den Ein- und Ausgängen

(siehe Bild 4.19a).

Wählt man einen anderen Ausschnitt, sieht meist auch die Transitzeitverteilung

anders aus: Bild 4.20 gibt Beispiele. In dem hier gezeigten Versuch wurden je über

1000

Tropfen durch die kleineren Ausschnitte verfolgt und über

4000

durch den Ausschnitt,

der sich über die gesamte Breite des Kapillarnetzmodells zieht.

4.2 Ergebnisse

(a)

Bildausschnitt aus Bild 4.9 und betrachtete Pfa-

de. Pfeile zeigen die x-Positionen der Ein- und

Ausgänge des gesamten Kapillarnetzes.

(b)

Transitzeiten von allen Tropfen im Hintergrund. Die verschiedenen

Farben fassen jeweils die Tropfen eines Pfades zusammen.

Bild 4.19:

Transitzeiten von Tropfen auf verschiedenen Pfaden durch einen Ausschnitt des

Netzes.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.20: Transitzeithistogramme in verschiedenen Ausschnitten des Kapillarnetzmodells

4.2.2 Kontrollversuche

Wiederholbarkeit, verschiedene Modelle gleicher Geometrie

In den Kontrollversuchen wird geprüft, ob gleiche Bedingungen zu gleichen Ergebnissen

führen. Dafür werden

Versuche in drei Kapillarnetzmodellen durchgeführt, die die

gleiche Geometrie haben. Der Volumenstrom beträgt

12 ml h−1

und der Tropfenanteil

daran ist

0,33

. Die Versuche

bis

sind Versuche in einem Kapillarnetzmodell mit

einer Gesamtdicke von

7 mm

(Modell

). Die Versuche

und

finden in einem

Kapillarnetzmodell mit einer Gesamtdicke von

5,5 mm

statt, das mit einer Hälfte in

die Dehnvorrichtung eingespannt ist (Modell

). Bei den Versuchen

bis

wird ein

weiteres Kapillarnetzmodell benutzt: Die Dicke beträgt ebenfalls

5,5 mm

(Modell

);

dieses Kapillarnetzmodell ist nicht eingespannt.

Bild 4.21 zeigt, wie die Transitzeit der Tropfen durch den Ausschnitt A aus Bild 4.9

in den 14 Kontrollversuchen verteilt ist. Die Histogramme besitzen in allen Versuchen

zwei (Haupt-)Maxima. Im Modell

ist das erste Maximum etwa doppelt so hoch wie

das zweite, im Modell

etwas weniger. Die Lage der zwei Maxima bei

80 s

und bei

140 s

ist bei den Modellen 1 und 3 jeweils gleich. Der Median der Transitzeiten ist in

Modell 1 etwas höher als in Modell 3 (

136 s

und

125 s

). Die Verteilung in Modell 2

unterscheidet sich von den anderen beiden: Die Tropfen brauchen länger (Median

158 s

) als in den anderen Modellen und die beiden Maxima sind etwa gleich ausgeprägt.

Die Modelle sind durch die Einspannung leicht gedehnt: Die beiden Ausgänge in der

gedehnten Hälfte sind von den gegenüberliegenden Eingängen

6,2 %

weiter entfernt

als im nicht eingespannten Zustand.

In dem Netzausschnitt befinden sich durchschnittlich

oder

Tropfen, je

nach Modell. Um die Verteilung der Tropfen zu quantifizieren, wird der Bildausschnitt

4.2 Ergebnisse

Bild 4.21:

Transitzeithistogramme für verschiedene Versuche bei gleichen Einstellungen. Die

Quadrate zeigen den Median, die Kreuze jeweils das fünfte und das

. Perzentil.

Die Balkenlängen sind so skaliert, dass die Maximallängen gleich sind, damit die

Form der Histogramme verglichen werden kann. Versuche 1 bis 7, Versuche 8 und

9 sowie Versuche 10 bis 14 fanden jeweils im selben Kapillarnetzmodell statt.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Streifenabschnitte aufgeteilt: Sie sind gleich breit und enthalten jeweils einen

vertikalen Hauptstrompfad (Bild 4.22a). Die dort markierten Segmente werden genutzt,

um einen ausgewählten mittleren Tropfenstrom eines Abschnitts zu ermitteln: Es wird

gezählt, wie viele Tropfen sich im Laufe des Versuchs in dem Segment aufgehalten

haben, und diese Zahl wird durch die Versuchszeit geteilt.Weiterhin wird gezählt, wie

viele Tropfen sich in jedem Bild in jedem der

Abschnitte aufhalten. Die Tropfen-

anzahl in jedem Abschnitt wird auf die Gesamtzahl in jedem Bild bezogen und über

die Bilder für jeden Abschnitt gemittelt. Diese mittleren relativen Tropfenanzahlen

sind zusammen mit den mittleren Tropfenströmen in Bild 4.22b eingezeichnet. Die

relative Tropfenanzahl und der Tropfenstrom sind in allen Modellen im Abschnitt 6

besonders hoch, wobei sich der Tropfenstrom deutlicher von den anderen Abschnitten

unterscheidet als die relative Tropfenanzahl. Der Tropfenstrom in Abschnitt 5 ist in

allen Versuchen besonders klein. Die relative Tropfenanzahl ist dort ebenfalls klein,

mit Unterschieden zwischen den Modellen. Der Tropfenstrom ist in allen Modellen in

den Abschnitten 1 bis 4 etwa gleich groß. Dagegen ist die relative Tropfenanzahl in den

Abschnitten 1 bis 4 innerhalb der Modelle und im Modellvergleich verschieden. Auch

diese Darstellung erlaubt eine grobe Abschätzung der Geschwindigkeitsverhältnisse der

Tropfen in den verschiedenen Abschnitten, wie für das Modell 1 beispielhaft gezeigt

wird: In Abschnitt 3 sind die Tropfen weiter auseinander (weniger Tropfen) als in

Abschnitt 2. Die Tropfen in Abschnitt 3 müssen daher schneller sein als die Tropfen

in Abschnitt 2, um den gleichen Tropfenstrom zu erzeugen.

Bild 4.23 gibt einen Überblick über die Schwankungen des Tropfenstroms in den

Segmenten

und

sowie

und

(nach Bild 4.12) in allen Kontrollversuchen. Die

Tropfenströme sind hier normiert und in Paaren zusammengefasst, damit die Schwan-

kungen leichter verglichen werden können. Schwankungen treten in allen Versuchen

auf. Die vorherrschende Periode ist etwa

500 s

, aber auch größere Perioden sind zu

finden, zum Beispiel in Versuch

. In allen Versuchen schwingen die Tropfenströme in

den Segmenten

und

zumindest zeitweise entgegengesetzt (gleicher Zulauf). In den

Segmenten

und

schwingen sie in den meisten Versuchen nicht entgegengesetzt.

4.2 Ergebnisse

(a)

Netzausschnitt aus Bild 4.9: Der Ausschnitt

ist in sechs Streifen unterteilt; die Segmente

für die Berechnung des Tropfenstroms in

jedem Abschnitt sind markiert.

(b) Tropfenstrom und Tropfenanteil in den Streifenabschnitten.

Bild 4.22:

Relative Tropfenanzahlen und Tropfenströme für 14 Versuche in drei Modellen

mit gleicher Geometrie. Der Bildausschnitt wird in sechs Streifen unterteilt (a).

Die unteren Kurven (b, linke y-Achse) zeigen den Tropfenstrom der markierten

Segmente im jeweiligen Abschnitt. Die oberen Kurven (b, rechte y-Achse) zeigen die

gemittelte relative Tropfenanzahl in den Abschnitten bezogen auf die Gesamtzahl

der Tropfen im Bild. Die Mittelwerte und Standardabweichungen sind aus allen

Bildern eines Versuchs berechnet.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.23:

Verlauf des Tropfenstroms in den Segmenten 6 und 10 sowie 20 und 28 für verschie-

dene Versuche bei gleichen Einstellungen. Die Tropfenströme der Segmente sind

jeweils auf ihren Mittelwert normiert.

4.2 Ergebnisse

Bild 4.24:

Transitzeithistogramme für verschiedene Tropfenanteile. Die Quadrate zeigen den

Median, die Kreuze jeweils das fünfte und das

. Perzentil. Die Balkenlängen sind

auf die Maximallängen normiert.

4.2.3 Variation des Tropfenanteils

Bild 4.24 zeigt die Transitzeiten der Tropfen durch den Ausschnitt aus Bild 4.9 für

Tropfenanteile zwischen

0,15

und

0,4

. Die Histogramme der jeweiligen Versuche ähneln

sich, so dass sie hier zusammengefasst sind. Die Mediane liegen dicht beieinander, nur

der Wert für die Versuche mit einem Tropfenanteil von H =

0,2

ist etwas kleiner. Das

erste Maximum verschiebt sich mit steigendem Tropfenanteil zu kürzeren Transitzeiten.

Das Verhältnis des erstes Maximums zum zweiten wird kleiner. Das Histogramm für

H =

0,15

hat im Gegensatz zu den anderen Verteilungen kein zweites Maximum.

Die Streuung ist bei diesem sehr geringen Tropfenanteil am größten: Es gibt anteilig

mehr Tropfen, die lange im Netz bleiben. Das 95. Perzentil sinkt mit steigendem

Tropfenanteil.

Bild 4.25 zeigt den Ausschnitt A aus Bild 4.9 mit einem Tropfenanteil von

0,15

(a)

und

0,4

(b). Bei kleinem Tropfenanteil konzentrieren sich die Tropfen an den Rändern

des Ausschnitts (zwischen den Ein- und Ausgängen); bei größerem Tropfenanteil

befinden sie sich in allen Segmenten.

In Bild 4.26 ist die Tropfenverteilung im Ausschnitt A als Diagramm dargestellt.

Gezeigt werden die mittleren Tropfenvolumenströme und die relative Tropfenanzahl

in den sechs Streifenabschnitten bezogen auf die Tropfenanzahl im gesamten Bild

(Bild 4.22a) für verschiedene Tropfenanteile. Bei niedrigen Tropfenanteilen sind sowohl

der Tropfenvolumenstrom als auch die relative Tropfenanzahl in den mittleren Ab-

schnitten 3 und 4 gering im Vergleich zu den äußeren Abschnitten 1 und 6; sie steigen

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Tropfenanteil 0,15 (b) Tropfenanteil 0,4

Bild 4.25:

Bildausschnitte bei Variation des Tropfenanteils: Lücken bei kleinem Tropfenanteil

und gleichmäßige Füllung bei großem Tropfenanteil

mit höheren Tropfenanteilen. Die Abschnitte 3 und 4 liegen nicht auf den direkten

Wegen zwischen den Zu- und Abläufen des Netzwerkmodells. In den Abschnitten 5 und

6 ist die relative Tropfenanzahl bei niedrigem Tropfenanteil hoch und wird bei höheren

Tropfenanteilen kleiner. Die relative Tropfenanzahl und der Tropfenvolumenstrom sind

in dem betrachteten Ausschnitt bei höherem Tropfenanteil gleichmäßiger verteilt. Der

Tropfenvolumenstrom in Abschnitt 5 bleibt niedrig. In allen Abschnitten steigt der

Tropfenstrom mit dem Tropfenanteil am Volumenstrom.

Eine andere Darstellung der Veränderung der Strömung mit zunehmendem Tropfen-

anteil zeigt Bild 4.27. Dort ist die Anzahl der Segmente aufgetragen, in denen es

50 s

beziehungsweise

200 s

-Zeiträume gibt, in denen das Segment keinen Tropfen enthält.

Für beide Zeiträume sinkt diese Zahl mit steigendem Tropfenanteil am Volumenstrom.

4.2 Ergebnisse

Bild 4.26:

Verteilung der Tropfen und Tropfenströme im Netzausschnitt für verschiedene

Tropfenanteile am Volumenstrom. Der Bildausschnitt wird in sechs Streifen unter-

teilt (Bild 4.22a). Die unteren Kurven (linke y-Achse) zeigen die Tropfenströme

in den markierten Segmenten im jeweiligen Abschnitt. Die Standardabweichungen

beziehen sich auf die Tropfenströme im markierten Segment eines Abschnitts in

allen Experimenten gleichen Tropfenanteils. Die oberen Kurven (rechte y-Achse)

zeigen die gemittelte relative Tropfenanzahl in den Abschnitten bezogen auf die Ge-

samtzahl der Tropfen im Bild. Die Mittelwerte und Standardabweichungen beziehen

sich auf alle Bilder für den jeweiligen Tropfenvolumenstromanteil.

Bild 4.27:

Anzahl der Segmente in denen es

50 s

beziehungsweise

200 s

-Zeiträume gibt, in

denen sie nicht durchströmt werden.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Transitzeithistogramme (b)

relative Tropfenanzahl (oben, rechte Ach-

se) und Tropfenstrom (unten, linke Achse)

Bild 4.28:

Verschiedene Volumenströme bei einem Tropfenanteil von

0,25

. a) Transitzeithisto-

gramme; die Quadrate zeigen den Median, die Kreuze jeweils das fünfte und das

. Perzentil. Die Balkenlängen sind auf die Maximallängen normiert. b) relative

Tropfenanzahl in den Streifenabschnitten (Bild 4.22a) und Tropfenströme in den

dort markierten Segmenten.

4.2.4 Änderung des Volumenstroms

Bild 4.28a zeigt die Transitzeiten für verschiedene Volumenströme; die Versuche für

einen Volumenstrom sind jeweils zusammengefasst. Mit steigendem Volumenstrom

werden die Tropfen schneller (Mediane

140 s

124 s

und

90 s

), und die Verteilungen

enger (Abstände zwischen 95. und 5. Perzentil

217 s

176 s

und

125 s

. Abgesehen davon

bleibt die Form des Transitzeithistogramms gleich.

Die Verteilung der Tropfen auf die sechs Abschnitte des Ausschnitts (Bild 4.22a)

ändert sich nicht (Bild 4.28b, oben). Der Tropfenstrom steigt erwartungsgemäß leicht,

allerdings in den Randbereichen stärker als in der Mitte (Bild 4.28b unten).

4.2.5 Blockaden

Blockade durch Luftblasen

In diesen Experimenten blockieren vier Luftblasen vier Verzweigungen: Im Ausschnitt A

sitzt die Luftblase oben rechts (Bild 4.29) und blockiert den Weg mit dem höchsten

Volumenstrom. Eine weitere Luftblase sitzt links außerhalb des Ausschnittes A.

Die Auswirkung auf die Verteilung der Tropfen und des Tropfenstroms in diesem

Ausschnitt zeigt Bild 4.30: Der Tropfenstrom sinkt in Abschnitt 6 (Bild 4.22a),

steigt in Abschnitt 1 und bleibt in den anderen Abschnitten nahezu gleich. Die

Tropfenverteilung ändert sich ein wenig: In den mittleren Abschnitten 3 und 4 ist die

relative Tropfenanzahl vermindert, in den Abschnitten 5 und 6 erhöht.

Die Tropfen im Abschnitt 6 weichen der Blockade aus und fließen links vorbei; sie

4.2 Ergebnisse

Bild 4.29:

Luftblasen blockieren Verzweigungen. In Ausschnitt A1 sitzt eine Luftblase oben

rechts und blockiert den Pfad mit den höchsten Volumenströmen. Die Ausschnitte L1

und L2 sind so gewählt, dass eine Luftblase in der Mitte sitzt.

Bild 4.30:

Blockade durch Luftblasen: relative Tropfenanzahl (oben, rechte Achse) in den

Streifenabschnitten aus Bild 4.22a und Tropfenstrom (unten, linke Achse) in den

dort markierten Segmenten.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Transitzeithistogramm Ausschnitt L1 (b) Transitzeithistogramm Ausschnitt L2

Bild 4.31:

Verteilung der Transitzeiten in den Ausschnitten L1 (a) und L2 (b) aus Bild 4.29

mit Luftblase (gelb) und in den Referenzversuchen ohne Luftblase (blau). Bei

dem kleinen Ausschnitt L1 unterscheiden sich die Verteilungen, bei dem größeren

Ausschnitt L2 nicht.

verlassen den Bildausschnitt an der linken Seite und würden bei der Transitzeitbestim-

mung nicht verfolgt werden. Daher werden zwei andere Bildausschnitte gewählt, um

den lokalen Einfluss der Luftblase auf die Transitzeit zu untersuchen: Ausschnitt L1

schließt die Segmente ein, die direkt neben der Luftblase liegen. Der Ausschnitt L2

ist breiter und umfasst auch Segmente, die links und rechts weiter von der Luftblase

entfernt sind (Bild 4.29). Der Median der Transitzeit im kleinen Ausschnitt L1 ist

147 s

, wenn die Luftblasen die Strömung behindern. Der Referenzwert ist für diesen

Ausschnitt

117 s

. Im großen Ausschnitt L2 ist der Median der Transitzeit mit Luft-

blockade

124 s

und ohne

123 s

. Die dazugehörigen Verteilungen der Transitzeiten in

beiden Ausschnitten zeigt Bild 4.31. In Bild 4.31a (kleiner Ausschnitt L1) fehlen die

schnellen Tropfen mit einer Transitzeit von

100 s

, die es in den Referenzversuchen

gibt. Dafür durchqueren mehr Tropfen den Ausschnitt in circa

150 s

. Die Verteilungen

in Bild 4.31b (großer Ausschnitt L2) können kaum unterschieden werden. Bild 4.32

zeigt die Umverteilung des Tropfenstroms: Viele Tropfen schwenken auf den Pfad links

neben der Luftblase um; der Pfad von ganz rechts unten zu den Segmenten über der

Luftblase wird ebenfalls verstärkt gewählt.

4.2 Ergebnisse

(a) Ohne Luftblase (b) Mit Luftblase

Bild 4.32:

Mittlere Tropfenströme in Ausschnitt L2 ohne und mit Luftblase (Der Tropfenstrom

in den Segmenten vor der Luftblase wurde manuell auf Null korrigiert, da dort

die Tropfenerkennung versagte. Aus dem gleichen Grund wurde ein Tropfenstrom

entfernt.)

Blockade von Ausgängen

In diesen Experimenten sind jeweils zwei Ausgänge nahezu blockiert: Folglich fließt

entweder weniger durch die beiden mittleren Ausgänge oder weniger durch die beiden

linken Ausgänge. Bild 4.33 verdeutlicht das: Es zeigt die mittleren Tropfenströme in

den Segmenten in der Mitte des Modells (horizontal).

Wie zuvor wird nun die Strömung im Ausschnitt A aus Bild 4.9 näher untersucht.

In sechs Segmenten des Ausschnittes fließen die Tropfen wegen der Blockade der

mittleren Ausgänge in eine andere Richtung als bei offenen Ausgängen: Das sind die

rot gepunkteten Pfeile in Bild 4.34. In einem Segment fließen die Tropfen sogar nach

unten, gegen die Hauptströmungsrichtung.

Bild 4.35a zeigt die Transitzeiten durch den Ausschnitt A, wenn der Fluss in den

jeweiligen Ausgängen teilweise blockiert ist: Die schnellsten Tropfen werden noch

schneller. Betrifft die Einschränkung die mittleren Ausgänge, wird die Verteilung

breiter; der Median bleibt im Vergleich zur Referenz gleich (

127 s

im Vergleich zu

125 s

). Betrifft die Einschränkung die linken Ausgänge, dann wird der Median kleiner

(

106 s

). Hier sind die beiden Ausgänge offen, die sich direkt neben dem Ausschnitt

befinden: Der Querfluss ist geringer und die Tropfen sind wegen des erhöhten Flusses

in den beiden benachbarten Ausgängen schneller.

Bild 4.35b zeigt die Verteilung der Tropfen und der Tropfenströme im Ausschnitt A.

Bei beiden Blockaden gibt es im linken Bereich (1 und 2) und in Abschnitt 4 anteilig

weniger Tropfen als in den Referenzversuchen. Die Konzentration der Tropfen im

Abschnitt 6 bleibt. In den Bereichen 3 und 5 gibt es anteilig mehr Tropfen. Die

Verteilung des Tropfenstroms ist bei der Blockade von Ausgängen heterogener als

ohne; besonders bei der Blockade der mittleren Ausgänge. Dort bricht der Tropfenstrom

in den Abschnitten 1 und 3 ein.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Wenig Tropfen durch die mittleren Ausgänge

(b) Wenig Tropfen durch die linken äußeren Ausgänge

Bild 4.33:

Tropfenströme bei Beschränkungen in zwei Ausgängen und ohne Beschränkungen.

Um den Tropfenstrom zu bestimmen, wurde jeweils gezählt, wieviele Tropfen ein

Segment in

50 s

-Zeiträumen verlassen, und diese Zahlen über die Versuchszeit

gemittelt.

4.2 Ergebnisse

Bild 4.34:

Bei Blockade Richtungswechsel (Ausschnitt A): Ist der Fluss in den mittleren Aus-

gängen eingeschränkt, fließen die Tropfen in den Segmenten mit den rot gepunkteten

Pfeilen in die andere Richtung als in den Referenzversuchen.

(a) Transitzeithistogramme (b)

relative Tropfenanzahl (oben, rechte Ach-

se) und Tropfenstrom (unten, linke Achse)

Bild 4.35:

Blockade von jeweils zwei Ausgängen des Kapillarnetzmodells, wobei die Ausgänge

nicht ganz geschlossen sind. a) Transitzeithistogramme, die Balken sind auf die

Maximallängen normiert. b) Relative Tropfenanzahl in den Streifenabschnitten

(Bild 4.22a) und Tropfenstrom in den dort markierten Segmenten.

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Transitzeithistogramme (b)

relative Tropfenanzahl (oben, rechte

Achse) und Tropfenstrom (unten, linke

Achse)

Bild 4.36:

Auswirkung von statischer Dehnung (

6,8 %

bis

11,3 %

) auf die Transitzeitverteilung

(a, Balkenlänge auf das jeweilige Maximum normiert) sowie auf die Aufteilung der

Tropfen und Tropfenströme (b) auf die sechs Streifenabschnitte aus Bild 4.22a. Das

Modell 2 der Referenzversuche ist ebenfalls leicht gedehnt; allerdings im Vergleich

weniger und (im Ausschnitt) gleichmäßiger. Zusätzlich sind die Werte aus den

Referenzversuchen im ungedehnten Modell 1 dargestellt.

4.2.6 Statische Dehnung

In den Versuchen zur statischen Dehnung ist das Netzmodell auf beiden Seiten mit

der Hälfte der langen Seite eingespannt; dann wird daran gezogen und die Dehnung

gehalten (Bild 4.5). Die Strecken zwischen den Eingängen und Ausgängen ganz rechts

in der gedehnten Hälfte sind um

11 %

beziehungsweise

11,3 %

gedehnt; die Dehnung

zwischen den Ein- und Ausgängen links daneben beträgt

9,1 %

beziehungsweise

6,8 %

Die Segmente werden in der gleichen Richtung durchströmt wie in den Versuchen ohne

Dehnung.

Bild 4.36a zeigt die Verteilung der Transitzeiten durch Ausschnitt A, der komplett in

der gedehnten Hälfte liegt. Diese Versuche mit statischer Dehnung wurden in demselben

Modell (M2) durch geführt, wie die Versuche

und

aus der Kontrollversuchsreihe

(Abschnitt 4.2.2): In diesen Referenzversuchen ist das Modell durch die Einspannung

ebenfalls gedehnt; allerdings ist die Dehnung hier kleiner und gleichmäßig (

6,2 %

zwischen den Ein- und Ausgängen). Im Vergleich zu diesen Referenzversuchen (im

Modell 2) ist die Transitzeit bei ungleichmäßiger Dehnung kürzer. Im Vergleich zu

den Referenzversuchen im Modell 1 ändert sie sich jedoch kaum.

Bild 4.36b zeigt die Verteilung der Tropfen und des Tropfenstroms im Ausschnitt A:

Die Tropfen sind im Rahmen der Genauigkeit so verteilt, wie in den Referenzversuchen,

mit leichter Verschiebung zu den Abschnitten 1 und 2. Links, wo diese Abschnitte

liegen, ist die Dehnung kleiner als rechts. Der Tropfenstrom ist in den betrachteten

Segmenten nahezu unverändert.

4.2 Ergebnisse

(a) f= 0,004 Hz, Dehnung 8,4 % bis 9 % (b) f

0,004 Hz

, Dehnung

13,4 %

bis

15,7 %

0,008 Hz

, Dehnung

13,4 %

bis

15,7 %

Bild 4.37:

Tropfenpositionen und lokale Geschwindigkeiten im Ausschnitt A bei Dehnung.

Angegeben sind die verwendeten Frequenzen und die Dehnungen für die Strecken

zwischen den Ein- und Ausgängen links und rechts vom Ausschnitt im gedehnten

Bereich des Modells (siehe Bild 4.5).

4.2.7 Dynamische Dehnung

In den Versuchen mit dynamischer Dehnung ist wie in den Versuchen mit statischer

Dehnung eine Hälfte des Kapillarnetzmodells eingespannt (Bild 4.5). Das Kapillarnetz-

modell wird zyklisch gedehnt und wieder entspannt. Die Frequenzen

sind

0,004 Hz

und

0,008 Hz

(Periode

4 min

und

2 min

). Es gibt Versuche mit großer und kleiner

Dehnung, allerdings variieren auch hier die Dehnungen innerhalb des Ausschnitts A.

Die Strecke zwischen den Eingängen und Ausgängen ganz rechts in der gedehnten

Hälfte ist um

15,7 %

bei großer Dehnung beziehungsweise

9 %

bei kleiner Dehnung

gedehnt (Einstellungen auf der Dehnvorrichtung

19 %

beziehungsweise

9,5 %

). Die

Dehnung zwischen den Ein- und Ausgängen links daneben beträgt

13,4 %

(große

Dehnung) beziehungsweise

8,4 %

(kleine Dehnung). Die großen Dehnungen wurden

nicht in dem Maße erreicht, wie sie eingestellt wurden.

Bild 4.37 zeigt die Positionen der Schwerpunkte der Tropfen auf ihrem Weg durch

den Ausschnitt und die lokale Geschwindigkeit an den verschiedenen Positionen. Die

Bilder 4.37a und 4.37b zeigen Versuche mit kleiner und großer Dehnung bei kleiner

Frequenz, die Bilder 4.37c und 4.37d bei großer Frequenz. Die Segmente des Kapil-

larnetzmodells werden beim Dehnen bewegt. Dadurch erhalten die Tropfen in den

Segmenten eine zusätzliche vertikale Verschiebung. Diese ist in den Bildern daran zu

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

erkennen, dass die Wege, die die Tropfen zeichnen, breiter werden. Größere Dehnung

bedeuten größere Bewegungen des Kapillarnetzes und breitere Trajektorienbänder

in Bild 4.37. Die Kanten der Trajektorienbänder entstehen in den Extremlagen, bei

minimaler Dehnung (untere Kante) oder maximaler Dehnung (obere Kante). Dazwi-

schen sind die Übergangsbereiche, in denen das Kapillarnetzmodell gedehnt wird

und die Tropfen durch diese Bewegung des Kapillarnetzmodells beschleunigt oder

abgebremst werden. Diese Trajektorien können den Entspannungs- und Dehnungvor-

gängen zugeordnet werden: Im Allgemeinen sind die Trajektorien bei der Entspannung

horizontaler und bei der Dehnung vertikaler. Die Bewegungsrichtung und der Winkel

der Trajektorien geben ebenfalls Hinweise für die Zuordnung. Die Geschwindigkeiten

bei der Entspannung des Kapillarnetzmodells sind oft größer als bei der Dehnung.

Bild 4.38 zeigt die Transitzeitverteilungen für verschiedene Einstellungen für die

Frequenz und die Amplitude der Dehnung. Der Median der Transitzeit ist bei ver-

schiedenen Dehnungseinstellungen und im Vergleich zu den Referenzversuchen im

gleichen Modell (M2) kleiner. Im Vergleich zu den Referenzversuchen im Modell M1

ändert sich der Median nicht. Das zweite Maximum ist bei großer Dehnung stärker

ausgeprägt als bei kleiner Dehnung. Ein Einfluss der Frequenz ist kaum zu erkennen.

Dass überhaupt zyklisch gedehnt wird, scheint jedoch einen Einfluss zu haben: Die

Verteilung der Transitzeiten ist bei zyklischer Dehnung ein wenig gleichmäßiger als bei

statischer Dehnung und in den Referenzversuchen. Das erste Maximum ist nicht so

stark abgesetzt. Unter dem Einfluss der Dehnung durchqueren die schnellsten Tropfen

den Ausschnitt des Kapillarnetzmodells in kürzerer Zeit als ohne Dehnung.

Bild 4.39 zeigt die Verteilung der Tropfen im Bildausschnitt A (oben, rechte Achse)

und die Tropfenströme in den mittleren Segmenten jedes Abschnittes (unten, linke

Achse, Segmente nach Bild 4.22a). Die Verteilung der Tropfen ist in allen Versuchen

mit Dehnung gleich. Der Tropfenstrom in den ausgewählten Segmenten ändert sich

nur in den Abschnitten

und

: In Abschnitt

steigt der Tropfenstrom mit größerer

dynamischer Dehnung. In Abschnitt

ist der Tropfenstrom bei kleiner Dehnung so

groß wie in den Referenzversuchen und bei statischer Dehnung. Bei großer Dehnung

steigt der Tropfenstrom in Abschnitt

. Da die relative Tropfenanzahl gleich bleibt,

bedeutet das, dass in diesen Segmenten (

und

) die Geschwindigkeit der Tropfen

steigt.

4.2 Ergebnisse

Bild 4.38:

Transitzeithistogramme bei verschiedenen Dehnungen. Die Balken sind auf das

jeweilige Maximum normiert. Angegeben sind die verwendeten Frequenzen und die

Dehnungen für die Strecken zwischen den Ein- und Ausgängen links und rechts

vom Ausschnitt im gedehnten Bereich des Modells (siehe Bild 4.5).

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.39:

Verschiedene Dehnungen: Relative Tropenanzahl (oben, rechte Achse) in den Strei-

fenabschnitten (Bild 4.22a) und Tropfenstrom (unten, linke Achse) in den dort

markierten Segmenten.

4.2.8 Mauskapillarnetzmodell

In diesen Experimenten fließt das Blutmodell im Kapillarnetzmodell mit der Mausgeo-

metrie. Bild 4.40 zeigt, dass an manchen Stellen des Modells nur Öl fließt, aber kein

Tropfen.

Für den markierten Ausschnitt zeigt Bild 4.41, wo die Tropfen im Versuch ihre

Schwerpunkte haben und mit welcher Geschwindigkeit sie an diesen Stellen fließen.

Wie im künstlich erzeugten Kapillarnetzmodell fließen die Tropfen an manchen Stellen

sehr schnell und an anderen eher langsam. Geschwindigkeiten nahe Null treten selten

auf. Innerhalb eines Segments gibt es große Geschwindigkeitsunterschiede. An drei

Stellen gibt es Sackgassen: Dort sind zwar Tropfen, diese bleiben aber stecken und

können daher nicht durch das ganze Bild verfolgt werden; deshalb sind dort keine

Schwerpunkte eingezeichnet.

Die Geschwindigkeitsverläufe von 70 Tropfen durch den kleinen Ausschnitt aus

Bild 4.41 sind in Bild 4.42 zu sehen; gemeinsam mit einer vergrößerten Darstellung

der Schwerpunkte und Geschwindigkeiten. In diesem Ausschnitt liegen die Wege,

die die Tropfen wählen, sehr dicht beieinander – die Geschwindigkeiten variieren

jedoch um

±50 %

. Das Geschwindigkeitsmaximum entsteht durch die Verengung des

Querschnitts an dieser Stelle (Bild 4.40). Bild 4.43a zeigt die mittlere Geschwindigkeit

einzelner Tropfen geordnet nach ihrer Eintrittszeit in den Ausschnitt: Die mittlere

Geschwindigkeit schwankt die ganze Zeit; außerdem ist eine kleinere Frequenz (circa

4.2 Ergebnisse

Bild 4.40:

Blutmodell im Modell des Mauskapillarnetzes (Strömung von unten nach oben,

Kontrast angepasst). Überlagert ist die Geometrie des Netzes. Die großen Tropfen

in der Mitte des Mauskapillarnetzmodells stecken fest. Das Rechteck markiert den

Ausschnitt, der in den Bildern 4.41 und 4.44 ausgewertet wird.

900 Hz

) mit ähnlicher Amplitude zu erkennen. Die Transitzeit für den kleinen

Ausschnitt ist in Bild 4.43b dargestellt: Nimmt man hier Normalverteilung an, ist die

relative Standardabweichung

11 %

. Die Transitzeiten im großen Ausschnitt (Bild 4.41)

zeigen eine schiefe Verteilung (Bild 4.44).

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.41:

Alle Positionen der Tropfen, die durch den ganzen Ausschnitt verfolgt werden

können. Farbkodiert sind die jeweiligen lokalen Geschwindigkeiten (gleitender

Mittelwert über 19 Bilder für jeden Tropfen). Der markierte Ausschnitt wird

genauer untersucht.

Bild 4.42:

Geschwindigkeitsverläufe von 70 Tropfen im Ausschnitt aus Bild 4.41 aufgetragen

über der y-Komponente ihrer Position. Daneben ist der dazugehörige vergrößerte

Ausschnitt der Tropfenpositionen mit Geschwindigkeitsangabe dargestellt.

100

4.2 Ergebnisse

(a)

Mittlere Geschwindigkeit der Tropfen

über ihrem Eintrittszeitpunkt

(b)

Transitzeithistogramm der Tropfen durch

das Segment

Bild 4.43:

Die mittlere Geschwindigkeit der Tropfen, mit der sie den Ausschnitt aus Bild 4.41

durchqueren, schwankt (a). Entsprechend ist die Transitzeit breit verteilt (b).

Bild 4.44:

Transitzeithistogramm der Tropfen, die durch den ganzen Ausschnitt (Bild 4.41)

verfolgt werden können. Alle Werte größer als 600 s werden zusammengefasst.

101

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

4.2.9 Mikromodell

Bild 4.45 zeigt die roten Blutkörperchen im Mikromodell. In den Bereichen zwischen

den Eingängen und Ausgängen fließen mehr rote Blutkörperchen als in den Zwischen-

bereichen. Zu sehen sind auch Blockaden durch weiße Blutkörperchen (zum Beispiel

in der weißen Umrandung) und durch Ansammlungen von roten Blutkörperchen (zum

Beispiel in der schwarzen Umrandung). Die Ränder des Kapillarnetzmodells sind nicht

zu sehen, da das Sichtfeld für das ganze Kapillarnetzwerk zu klein ist.

Die roten Blutkörperchen sind öfter verschwommen oder verformt, haben helle und

dunkle Stellen und liegen auch öfter übereinander als die Tropfen im vergrößerten

Modell. Bild 4.46 zeigt das Ergebnis der Segmentierung im Ausschnitt A (definiert

wie in den vergrößerten Kapillarnetzmodellen mit Tropfen): Gruppen von roten

Blutkörperchen werden oft nicht richtig segmentiert, einige werden falsch getrennt. In

den Segmenten, in denen die roten Blutkörperchen nicht so dicht schwimmen, ist eine

Auswertung mit den vorhandenen Methoden möglich. In dem markierten Ausschnitt

(Bild 4.46) können rote Blutkörperchen durchgehend verfolgt werden. Bild 4.47 zeigt

den Geschwindigkeitsverlauf von 39 roten Blutkörperchen in diesem Ausschnitt (a) im

Vergleich zu der Geschwindigkeit der Tropfen im gleichen Abschnitt im vergrößerten

Modell (b): Die roten Blutkörperchen stoppen wie die Tropfen an den Knoten. Die

Geschwindigkeiten schwanken von rotem Blutkörperchen zu rotem Blutkörperchen im

gleichen Maße wie von Tropfen zu Tropfen. Die roten Blutkörperchen sind im unteren

Segment im Verhältnis etwas langsamer als die Tropfen.

Die Reynoldszahl ist im Mikromodell in diesem Versuch in der Größenordnung von

10−4

, im vergrößerten Modell

10−3

. Die Strömungen sind also ähnlich und können

verglichen werden.

Bild 4.48 zeigt zwei Momentaufnahmen eines Versuches ohne quantitative Aus-

wertung. Hier sind sehr viele weiße Blutkörperchen im Kapillarnetz. Diese stecken

vorübergehend fest, blockieren Segmente oder Verzweigungen und fließen in vielen

Fällen nach einiger Zeit weiter. Die Geschwindigkeiten der roten Blutkörperchen sind

in diesem Versuch sehr groß. Dadurch entstehen größere Druckdifferenzen und die

weißen Blutkörperchen fließen leichter weiter. Die beiden Bilder 4.48a und 4.48b zeigen

die Umverteilung des Blutflusses (Zeitabstand

163 s

): Die Blockade, die in Bild 4.48a

schwarz umrandet ist, gibt es in Bild 4.48b nicht mehr. Statt dessen gibt es neue Blocka-

den (Beispiele schwarz umrandet). Weiß markiert sind in beiden Bildern Segmente, die

im Bild von oben nach unten durchströmt werden: gegen die Hauptströmungsrichtung.

Bild 4.49 zeigt Momentaufnahmen eines weiteren Versuchs, ebenfalls ohne quantita-

tive Auswertung. Bei diesem Versuch sind vorübergehend zwei Eingänge blockiert. In

Bild 4.49a (Eingänge im Prinzip offen, leichte Einschränkungen in den beiden Eingän-

gen rechts im Bild) sind die bevorzugten Pfade zwischen den Ein- und Ausgängen zu

erkennen und weniger rote Blutkörperchen in den Zwischenbereichen. In der rechten

Kapillarnetzhälfte sind weniger rote Blutkörperchen als in der linken. Sie sind auch

langsamer und zeigen daher weniger Bewegungsunschärfe. In Bild 4.49b sind die beiden

Zuläufe unten rechts zufällig fast vollständig blockiert. Die rechte Netzhälfte wird nun

von dem benachbarten Eingang versorgt. Die wenigen roten Blutkörperchen in der

102

4.2 Ergebnisse

Bild 4.45:

Rote Blutkörperchen strömen im Mikromodell (von unten nach oben, Bildkontrast

angepasst). Schwarze Markierung: Rote Blutkörperchen sammeln sich hinter ei-

ner Blockade; Weiße Markierung: Weißes Blutkörperchen blockiert Segment. Der

markierte Ausschnitt entspricht dem Ausschnitt A im vergrößerten Modell

Bild 4.46:

Ergebnis der Bilderkennung im Mikromodell (Ausschnitt aus Bild 4.45). Dem

Bildausschnitt (Kontrast angepasst) sind die farbkodierten erkannten roten Blut-

körperchen überlagert. Einige Gruppen roter Blutkörperchen werden nicht getrennt

(zum Beispiel orange), einige rote Blutkörperchen werden als zwei interpretiert

(zum Beispiel gelb-grün oben).

103

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Mikromodell mit Blut (b) Vergrößertes Modell mit Blutmodell

Bild 4.47:

Geschwindigkeitsverläufe von 39 roten Blutkörperchen beziehungsweise Tropfen

durch den in Bild 4.46 markierten Bereich beziehungsweise im äquivalenten Bereich

im vergrößerten Modell (nicht geglättet). Die y-Koordinaten in den Diagrammen

entsprechen denen des jeweiligen Bildes.

unteren rechten Hälfte fließen langsam und sind daher im Bild scharf. Die bevorzugten

Pfade verlagern sich: Die roten Blutkörperchen aus dem zweiten Eingang von links

fließen auch in die rechten Ausgänge, rote Blutkörperchen aus dem Eingang ganz links

fließen auch in den zweiten Ausgang von links. Der Bereich zwischen den beiden linken

Eingängen wird weiterhin nur von wenigen roten Blutkörperchen versorgt.

104

4.2 Ergebnisse

(a)

(b)

Bild 4.48:

Weiße Blutkörperchen im Mikromodell (schwarz umrandet) verändern ihre Position

und die Verteilung der roten Blutkörperchen (Bildkontrast angepasst). In den

weißen Markierungen strömen die roten Blutkörperchen im Bild von oben nach

unten.

105

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

(a) Alle Eingänge offen

(b) Eingänge rechts unten blockiert.

Bild 4.49:

Rote Blutkörperchen im Mikromodell ohne und mit Blockade von Eingängen

(Bildkontrast angepasst)

106

4.3 Diskussion

4.3.1 Strömung im Kapillarnetzmodell

Unregelmäßige Strömung

Die Versuche zeigen deutlich, dass die Strömung der Trop-

fen im Kapillarnetzmodell stark schwankt: Innerhalb eines Segments gibt es zeitlich

und räumlich nicht eine einzelne Geschwindigkeit, sondern einen Geschwindigkeitsbe-

reich. In manchen Segmenten stoppen die Tropfen kurz und fließen sogar ein Stück

zurück. Die Tropfenanzahl und damit auch der Tropfenanteil in einem Segment ändert

sich; auch der Tropfenstrom schwankt. An Verzweigungen mit ähnlichen Volumen-

strömen in beiden Abzweigen wechseln größere und kleinere Volumenströme zwischen

den Abzweigen; die Tropfen reisen in Gruppen. All dies wird auch in natürlichen

Kapillarnetzen beobachtet. Das Modell bildet nicht das ganze biologische System ab,

sondern nur rheologische Eigenschaften: Es sind rote Blutkörperchen oder Tropfen, die

den Strömungswiderstand erhöhen. In numerischen Simulationen findet man solche

Fluktuationen ebenfalls: Sun u. a. (2007) betrachten zwar keine Kapillarnetze, aber

Verzweigungen mit und ohne rote Blutkörperchen. Sie berechnen die Geschwindigkeit

an festen Stellen in Verzweigungen bei konstant vorgegebenem Volumenstrom. Mit

roten Blutkörperchen in der Simulation schwanken die Geschwindigkeiten in den

beiden Ästen entgegengesetzt und symmetrisch. Diese Systeme – Blut in natürlichen

Kapillarnezten, Blutmodell in vergrößertem Kapillarnetz und Blutmodelle in numeri-

schen Simulationen – haben gemeinsame rheologische Eigenschaften. In einphasigen

Experimenten mit newtonschen Fluiden treten die beschriebenen Effekte nicht auf.

Es ist daher naheliegend, die Ursache für die Fluktuationen der Strömung in der

vorübergehenden Veränderung des Strömungswiderstandes zu suchen.

Dafür werden die Schwankungen des Tropfenstroms näher diskutiert, die in den

hier beschriebenen Experimenten mit dem Blutmodell in vergrößerten Kapillarnetzen

auftreten. Der Verlauf des Tropfenstroms in den einzelnen Segmenten ist nicht chaotisch.

Meist wird er von einer oder mehreren Frequenzen dominiert. Das Verständnis der

Schwingungsperiode ist der Schlüssel zum Verständnis der Strömungsfluktuationen.

Wie bereits erwähnt, wird die Änderung des Strömungswiderstandes der Segmente

durch die Tropfen als Ursache vermutet. Die Widerstandsänderung in einem Segment

für sich ist jedoch nicht entscheidend für die Schwankung des Tropfenstroms. Das

sieht man an der Aufteilung auf die Segmente 6 und 10 (Bild 4.13): Die Tropfen

wählen meist abwechselnd das eine und das andere Segment; nur selten gibt es die

Abfolge zwei hier – zwei da. Ein Muster in der Variation wird erst dann deutlich,

wenn eine längere Zeit betrachtet wird; ein Zeitraum, der länger ist, als die Tropfen

für den Weg durch ein Segment benötigen. Eine mögliche Erklärung ist daher, dass

der Tropfenstrom an einer Verzweigung durch den Strömungswiderstand in allen

möglichen nachfolgenden Pfaden bestimmt wird. Diese Hypothese wird durch die

dominante Schwankungsperiode

der Tropfenstromschwankung gestützt: Die Tropfen

brauchen ungefähr

480 s

um zunächst den Rest des Kapillarnetzes von den Segmenten

bis zum Netzausgang zu durchqueren (Median circa

100 s

) und dann den Auslauf vom

Ende des eigentlichen Netzes bis zum Abfallbehälter zu passieren (circa

380 s

). Das

107

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Bild 4.50:

Bildausschnitt aus Bild 4.9 mit ausgewählten Segmenten und ihren dominanten

Perioden

bei der Schwankung des Tropfenstroms. Strömung von unten nach oben.

Je weiter oben das Segment liegt, desto kürzer ist die Periode. Auf dem Pfad mit

kleineren Tranisitzeiten (nach Bild 4.19) sind die Schwankungsperioden kleiner als

auf dem Pfad mit größeren Transitzeiten.

ist ungefähr die beobachtete dominante Schwankungsperiode. Der Zusammenhang

zwischen Schwankungsperiode in einem Segment und Transitzeit bis zum Auslauf kann

folgendermaßen hergestellt werden: Wenn in einigen Pfaden (a) viele Tropfen sind,

ist dort der Strömungswiderstand hoch. Dann wählen die Tropfen andere Pfade (b)

mit zunächst geringerem Strömungswiderstand. Die vorher gut durchströmten Pfade

(a) erhalten weniger Tropfen, bis der Strömungswiderstand wieder kleiner als in den

Pfaden (b) ist. Das ist der Fall, wenn die vielen Tropfen in den Pfaden (a) aus dem

Auslauf hinaus geflossen sind. Somit ist die Schwankungsperiode in einem Segment

ungefähr so lang, wie die Tropfen brauchen, um das Ende des Auslaufs zu erreichen.

Für diese Erklärung sprechen auch die dominierenden Schwankungsperioden, die durch

Fourieranalyse für ausgewählte Segmente ermittelt wurden (Bild 4.50): Die Segmente

9 und 13 liegen unten und oben im Kapillarnetzmodell auf einem Pfad, auf dem die

Tropfen eher langsam unterwegs sind. Die Transitzeiten durch den Bildausschnitt A

liegen nach Bild 4.19 bei circa

130 s

. Die Segmente 41 und 45 liegen unten und oben

auf einem Pfad, auf dem die Tropfen schneller sind; die Transitzeiten liegen bei circa

70 s

. Die Schwankungsperioden in den oberen Segmenten sind jeweils kürzer als in

den unteren Segmenten, die Schwankungsperioden im Pfad mit kleinen Transitzeiten

etwas kleiner als im Pfad mit größeren Transitzeiten.

Für die große Bandbreite an Geschwindigkeiten innerhalb eines Segments ist unter

anderem der variable Tropfenstrom verantwortlich; aber nicht ausschließlich. Entschei-

dend für die Tropfenstromschwankungen sind die Y-Verzweigungen; also die Stellen,

an denen sich der Strom aus einem Segment auf zwei Segmente aufteilt. Für die

Geschwindigkeitsunterschiede sind auch die Stellen wichtig, an denen zwei Segmente

zusammenfließen. Dort gibt es zwischen den Tropfen Interaktionen wie die folgende:

Tropfen aus einem Segment mit geringerem Volumenstrom drängen in das gemeinsame

Segment flussabwärts. An der Verzweigung werden sie von Tropfen aus dem Segment

mit dem höheren Volumenstrom verdrängt und zurück in das Segment geschoben, aus

108

4.3 Diskussion

dem sie kommen. Dadurch entsteht in diesem Segment eine Geschwindigkeitskom-

ponente in der Richtung, die der eigentliche Strömungsrichtung in diesem Segment

entgegengesetzt ist. Dieses Phänomen kann nur entstehen, weil das Blutmodell (wie

das Kapillarblut) kein Kontinuum bildet: Wo ein Tropfen ist, kann zum gleichen

Zeitpunkt kein anderer Tropfen sein. In den numerischen Simulationen, die einen

Kontinuumsansatz verfolgen, treten solche Effekte daher nicht auf, auch wenn sie die

Widerstandsänderung durch die roten Blutkörperchen berücksichtigen.

Wiederholbarkeit

Die Strömung der Tröpfchen im Kapillarnetzmodell variiert inner-

halb eines Versuches; aber in verschiedenen Versuchen ändert sie sich auf die gleiche

Art und Weise und die Mittelwerte sind vergleichbar: Die Tropfenanzahl und die

Tropfenströme in verschiedenen Bildabschnitten liegen im Mittel eng beieinander

(Bild 4.22b), die Strömungsrichtung in den Segmenten ist gleich (ohne Bild), die Vertei-

lungen der Transitzeiten sehen gleich aus (Bild 4.21) und der Tropfenstrom schwankt

zwischen den Segmenten in vergleichbarer Größenordnung (Bild 4.23). Zwischen den

verschiedenen Modellen gleicher Geometrie sind die Unterschiede größer als innerhalb

eines Modells. Eine erste mögliche Ursache ist, dass die beiden Hälften der Modelle mit

runder Geometrie zusammengeklebt werden: Dabei kann trotz großer Sorgfalt etwas

Kleber in die Segmente gelangen und den Strömungswiderstand dort erhöhen. Eine

zweite mögliche Ursache ist die unterschiedliche Dicke der Modelle: Dünnere Wände

bewirken, dass sich die Segmente mit dem Pumpendruck stärker ausdehnen können als

bei dicken Wänden; der Strömungswiderstand ist bei größeren Segmentdurchmessern

kleiner. Dieser Effekt wurde nicht vermessen. Eine dritte mögliche Ursache ist, dass

die Netzkanten nicht immer parallel zu den Bildkanten liegen: Dann führt die Wahl

der äußeren Knoten als Grenzen für die Transitzeit zu unterschiedlich langen Strecken.

Allerdings gilt das auch für Experimente in demselben Modell an verschiedenen Tagen,

wo keine Unterschiede gemessen wurden. Die wiederholten Messungen unter gleichen

Bedingungen führen zu zwei Schlussfolgerungen:

Es gibt ein dynamisches Gleichgewicht; die untersuchten Größen schwanken um

einen Mittelwert, der in allen Versuchen mit gleichen Bedingungen gleich ist.

Parametervariationen sollten in einem Modell untersucht werden, da es zwischen

den Modellen geringe Unterschiede gibt.

4.3.2 Tropfenanteil

Der Tropfenanteil am Gesamtvolumenstrom ist der modellierte Auslass-Hämatokrit.

Die mittlere Transitzeit der Wassertropfen ist unabhängig vom Tropfenanteil am

Volumenstrom. Das ist im geraden Rohr ebenso der Fall: Mit Gleichung 3.3 als

Ausgangspunkt kann die Transitzeit der Tropfen durch ein Rohr (

tTr

) in Abhängigkeit

der Transitzeit des gesamten Blutmodells (

) und des Verhältnisses von Volumenanteil

(Ht) und Volumenstromanteil (Hd) der Tropfen angegeben werden (Gleichung 4.1).

tTr =Ht

tM(4.1)

109

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Da das Verhältnis H

im Blutmodell nicht vom Tropfenanteil abhängt (siehe

Bild 3.3), ist auch die Transitzeit im Rohr davon unabhängig. Auch im Kapillarnetz-

modell ist die mittlere Transitzeit bei verschiedenen Tropfenanteilen gleich. Allerdings

ändern sich die Verteilung und die kleinste Transitzeit (Bild 4.24).

In den Abschnitten, in denen bei kleinem Tropfenanteil bereits viele Tropfen sind

(5 und 6), ändert sich die Tropfenanzahl kaum (anders als die relative Tropfenan-

zahl) während die Geschwindigkeit mit dem Tropfenanteil steigt. In den Abschnitten,

in denen bei kleinem Tropfenanteil wenig Tropfen sind (2 bis 4), steigt mit dem

Tropfenanteil die Tropfenanzahl, aber die Geschwindigkeit sinkt (ohne Bild).

Der Tropfenanteil am Volumenstrom hat großen Einfluss auf die Verteilung der

Tropfen im Netz: Die Bilder 4.25 und 4.26 veranschaulichen, wie ganze Modellabschnitte

für die Tropfenströmung gewonnen werden, wenn der Tropfenanteil erhöht wird.

Woran liegt das? Möglicherweise hängt dieser Effekt wie auch die Schwankungen

des Tropfenstroms mit der Widerstandserhöhung durch die Tropfen zusammen: Es

gibt Pfade zwischen den Ein- und Ausgängen, deren Strömungswiderstand niedrig

ist – entweder weil sie kurz sind, oder weil die Durchmesser groß sind. Diese Pfade

werden zuerst mit Tropfen gefüllt. Dadurch steigt der Widerstand an. Folglich wird

der Widerstand auf anderen Pfaden im Vergleich geringer und diese werden mit mehr

Tropfen durchströmt.

4.3.3 Blockade

Die Blockaden durch Luftblasen beeinflussen die Strömungsverteilung mehr als die

Änderungen des Strömungswiderstandes durch einzelne Tropfen: Einige Segmente

werden nicht durchströmt und die Strömung in anderen Segmenten steigt. Die Wirkung

der Luftblasen-Blockade auf die Transitzeitverteilung ist lokal begrenzt: Die Strömung

um die Blockade gleicht deren Einfluss aus. Die Übersetzung der Ergebnisse aus

den Modellversuchen in die Realität lautet: Die weißen Blutkörperchen blockieren

zwar Segmente, aber nicht in einem Maße, dass sie den Stofftransport beeinflussen.

Modelliert wurde die Wirkung vereinzelter Blockaden. Die Wirkung sehr vieler weißer

Blutkörperchen auf die Umverteilung der Strömung und den Stofftransport wurde

nicht untersucht.

Die Wirkung einer verringerten Strömung in den Ausgängen ist weniger lokal

begrenzt als die Wirkung von Luftblasen. Hier wechselt in einigen Segmenten die

Strömungsrichtung. Gebiete mit großem und kleinem Tropfenstrom sind deutlich

voneinander getrennt. Die Übersetzung vom Modell in die Realität lautet: Durch

Behinderung des Flusses in den Venolen kann die Strömung der roten Blutkörperchen

umgeleitet werden. Für Arteriolen, die hauptsächlich für die pulmonale hypoxische

Vasokonstriktion verantwortlich sind, kann Entsprechendes angenommen werden. In

den Gebieten nahe der Blockade fließen weniger rote Blutkörperchen langsamer durch

das Netz als ohne Blockade; in den anderen Gebieten fließen mehr rote Blutkörper-

chen schneller durch das Kapillarnetz. Ist der Fluss in Bereichen mit unzureichender

Belüftung eingeschränkt, können die wenigen roten Blutkörperchen, die dort strö-

men, den noch vorhandenen Sauerstoff maximal aufnehmen, da sie sich lange dort

110

4.3 Diskussion

befinden. Andererseits wird die Aufenthaltszeit der roten Blutkörperchen in den rest-

lichen gut durchbluteten Gebieten kleiner. Hier besteht eventuell die Gefahr, dass

sie sich nicht lange genug im Kapillarnetz aufhalten um mit Sauerstoff gesättigt

zu werden; insbesondere, wenn gleichzeitig die Diffusionsstrecke verlängert ist, zum

Beispiel durch Wassereinlagerungen im Gewebe. Dann würden weitere Strömungsver-

schiebungen durch pulmonale hypoxische Vasokonstriktion den Stofftransport nicht

weiter verbessern.

4.3.4 Dehnung

Frequenz und Amplitude der Dehnung beeinflussen die Transitzeiten der Tropfen durch

das Kapillarnetzmodell kaum. Der Median ist bei allen untersuchten Einstellungen

der Dehnung annähernd konstant. Auch die Form der Transitzeitverteilung bleibt

weitestgehend gleich. Der Vergleich mit den Referenzversuchen ist bei den Dehnversu-

chen problematisch, da für das gleiche Kapillarnetzmodell keine Versuche ganz ohne

Dehnung vorliegen. In den durchgeführten Referenzversuchen ist das Kapillarnetz-

modell durch die Einspannung verformt und die Ergebnisse weichen von denen in

den anderen Referenzversuchen ab. Der Median in den Versuchen mit Dehnung ist

kleiner als in dem Referenzversuch mit Einspannung, aber so groß wie in den anderen

Referenzversuchen in den anderen Kapillarnetzmodellen ohne Einspannung. Unterein-

ander können die Versuche mit Dehnung gut verglichen werden: Der Median ändert

sich nicht. Das ist insofern interessant, als dass der Abstand der Grenzen, zwischen

denen die Transitzeit gemessen wird, mit der Dehnung steigt. Dass die Transitzeit

dadurch nicht ebenfalls steigt, liegt daran, dass sich zwei Einflüsse überlagern und

ausgleichen: Einerseits wird der Weg länger und andererseits steigt durch den kleineren

Querschnitt die Geschwindigkeit der Tropfen. Es gibt Tropfen, die den Ausschnitt A

des Kapillarnetzmodells im Vergleich zu den Referenzversuchen schneller durchqueren.

Deren Anteil am Gesamtstrom ist aber vernachlässigbar klein.

Wie die Transitzeiten, ergeben auch die Geschwindigkeiten der Tropfen in den

verschiedenen Dehnversuchen ein ähnliches Bild (Bild 4.37). Im Vergleich mit den

Referenzversuchen ohne Dehnung werden die Tropfen an den Verzweigungen etwas we-

niger stark abgebremst, wenn das Kapillarnetzmodell zyklisch gedehnt wird. Insgesamt

ist der Einfluss der Dehnung auf die Geschwindigkeit der Tropfen jedoch gering.

Die Verteilung der Tropfen in dem untersuchten Ausschnitt A bleibt gleich, unab-

hängig davon, wie gedehnt wird. Hier haben Amplitude und Frequenz keinen Einfluss.

Die Amplitude beeinflusst jedoch den Tropfenstrom: Er steigt in einigen Abschnitten

mit der Amplitude der Dehnung, unabhängig von der Frequenz.

Überträgt man diese Ergebnisse auf die natürlichen Lungenkapillarnetze und ver-

schiedene Beatmungsformen, gibt es aus diesen Versuchen keine Hinweise, welches

Konzept für den Stoffaustausch günstiger ist: Weniger Dehnung und höhere Frequenz

ändert die Transitzeitverteilung der roten Blutkörperchen genauso wenig wie die große

Dehnung bei hohen Beatmungsdrücken.

111

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

4.3.5 Literaturvergleich

Zeiträume mit und ohne rote Blutkörperchen

Baumgartner u. a. (2004) haben beschrieben, dass es in isoliert perfundierten Hunde-

lungen Kapillarsegmente gibt, die nur zeitweilig mit roten Blutkörperchen durchströmt

sind. Sie teilen ihre Versuche in

4 s

-Zeiträume ein, und notieren, in welchen Segmen-

ten in dieser Zeit mindestens ein rotes Blutkörperchen ist. Die Anzahl der Wechsel

zwischen Perioden mit und ohne rote Blutkörperchen dient als Maß für die heterogene

Durchblutung. Ihre Vermutung ist, dass die Segmente kollabiert sind, wenn in

4 s

kein rotes Blutkörperchen hindurch strömt. Weiterhin wird ausgeführt, dass eventuell

die Lücken zwischen den roten Blutkörperchen den Kollaps fördern. Dass in ihren

Experimenten bei höherem Hämatokrit die Wechsel seltener werden, sehen sie als

Argument für diese Hypothese.

In den Tropfenexperimenten gibt es ebenfalls Perioden, in denen einige Segmente

nicht durchströmt werden. Allerdings kollabieren die Segmente nicht, sondern werden

nur mit Öl durchströmt; manchmal mit recht hohen Geschwindigkeiten. Bild 4.27

zeigt, dass die Anzahl der Segmente, in denen es solche tropfenfreien Perioden gibt,

mit zunehmendem Tropfenanteil abnimmt. Das entspricht den Beobachtungen von

Baumgartner und Kollegen, nur dass im Modell keine Segmente kollabiert sind. Die

Möglichkeit zum Kollaps ist ein wesentlicher Unterschied zwischen Modell und isolierten

Lungen. Allerdings ist aus Experimenten von König u. a. (1993) bekannt, dass auch

Kapillarsegmente, die keine roten Blutkörperchen enthalten, trotzdem mit Plasma

durchströmt werden; das entspricht den Vorgängen im Kapillarnetzmodell. Es gibt

weitere Unterschiede zwischen den Experimenten im Kapillanetzmodell und den

Experimenten von Baumgartner u. a. (2004): Der Druck wurde von Baumgartner und

Kollegen so eingestellt, dass etwa die Hälfte der Segmente immer durchblutet wird – das

ist im Modell nicht möglich. Im Modell sind die betrachteten Zeiträume

50 s

und

200 s

Die Strömungsbedingungen in den Organexperimenten sind nicht bekannt, so dass auch

Reynoldszahl und Strouhalzahl nicht berechnet werden können. Nimmt man jedoch an,

dass die Reynoldszahl und Strouhalzahl in den Experimenten in der Hundelunge die

gleichen wie im Modell sind, ergibt Gleichung 1.4 mit

νOel

65 mm2s−1

νPlasma

1,4 mm2s−1

1,2 mm

8µm

) einen Skalierungsfaktor für die Zeit von

500

Die

50 s

und

200 s

im Modell entsprechenden in echten Kapillaren

0,1 s

und

0,4 s

; also

deutlich weniger als

4 s

. Den

4 s

im Tierexperiment entsprächen

2000 s

-Zeiträume im

Modell; solche langen Zeiträume ohne Tropfen gibt es im Modell nicht. Allerdings gibt

es dort auch einzelne Segmente, in denen gar kein Tropfen fließt.

Zusammenfassend kann in Bezug auf die Experimente von Baumgartner u.a. (2004)

Folgendes festgehalten werden:

1. Zeiträume mit und ohne Tropfen gibt es auch ohne Kollaps von Segmenten.

Mit höherem Tropfenanteil sinkt auch im Modell die Anzahl der Zeiträume ohne

Tropfen; die Segmente kollabieren jedoch nicht.

Die Zeiträume sind im Modell kürzer als in den Experimenten in isoliert per-

112

4.3 Diskussion

fundierten Lungen. Ein Kollaps als Ursache für die wechselnde Strömung im

Tierexperiment kann nicht ausgeschlossen werden.

4. Der Tropfenstrom schwankt auch in Segmenten, die viele Tropfen enthalten.

Volumenstrom

Burrowes u. a. (2004) stellen in ihren numerischen Simulationen in Übereinstimmung

mit experimentellen Daten (Presson u. a., 1995) fest, dass bei höheren Volumenströmen

nicht nur die Transitzeiten kürzer sind, sondern auch deren Verteilung schmaler

wird. Die Versuche mit dem Blutmodell im vergrößerten Kapillarnetzmodell zeigen

das gleiche Verhalten (Bild 4.28a). Ein Teil des Effekts relativiert sich, wenn die

Verteilungsbreite jeweils auf den Median bezogen wird; dadurch allein kann die

Änderung der Verteilung jedoch nicht erklärt werden. Burrowes u. a. (2004) führen

die gleichmäßigere Verteilung auf vergrößerte Durchmesser und auf die Öffnung von

Kapillaren zurück, die vorher zusammengedrückt waren. Dass die Durchmesser größer

werden, kann bei den Silikonmodellen auch vorkommen. Öffnen von Kapillaren kann

aber nur in dem Sinne stattfinden, dass mehr Tropfen durch ein Segment fließen. Im

gewählten Ausschnitt steigt der Tropfenstrom hauptsächlich in den Abschnitten am

Rand; also in den Abschnitten in der Nähe der Ein- und Ausgänge. Dort befinden sich

die Hautpstrompfade und daher die Segmente, in denen sich viele Tropfen aufhalten;

dort steigt die Geschwindigkeit der Tropfen. Die Verteilung der Tropfen im Ausschnitt

bleibt dagegen etwa gleich.

Transitzeitverteilung

Die in der Literatur angegebenen Transitzeitverteilungen von roten Blutkörperchen in

der Lunge sind schiefe Verteilungen mit vielen schnellen und wenigen sehr langsamen

Tropfen (Hogg u. a., 1994; Presson u. a., 1995). Die Transitzeitverteilungen der Tropfen

im Modell zeigen ebenfalls viele schnelle und wenige langsame Tropfen. Je nachdem,

wie der Ausschnitt gewählt wird, tritt ein zweites Maximum auf. Beispiele für die

Transitzeiten in verschiedenen Ausschnitten sind in Bild 4.20 dargestellt: In allen

Fällen ist die Verteilung schief, ähnlich wie in der Literatur angegeben.

Die konkreten Zeiten sind aufgrund der Skalierung nur schlecht vergleichbar. Man

kann jedoch die mittlere Pfadlänge im Kapillarnetzmodell (Ausschnitt A:

20,2 mm

Modell entsprechen

0,126 mm

in der Realität) auf die durchschnittliche Pfadlänge in

der Lunge (

1,08 mm

(Burrowes u. a., 2004)) skalieren, und die Zeitskalierung (Faktor

500) berücksichtigen. Dann entspricht die Transitzeit der schnellsten Tropfen im

Kapillarnetzmodell (

80 s

) einer realen Transitzeit von

1,4 s

und die mittlere Transitzeit

im Kapillarnetzmodell (Median

139 s

) entspricht

2,35 s

in der Realität. In der Literatur

liegt das Minimum unter

1 s

; der Median wird mit

1,2 s

angegeben (Hogg u. a., 1994).

Angesichts der vielen Annahmen für diese Berechnung ist die Übereinstimmung gut.

113

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

4.3.6 Strömung im Mauskapillarnetzmodell

Vergleich zum Tierexperiment

Leider kann die Strömung im Modellnetz nicht quantitativ mit der Strömung im

Tiermodell verglichen werden; das ist mit den Aufnahmen aus dem Tierexperiment nicht

möglich. Ein Detail fällt aber auf: Die Geschwindigkeit ist im Ausschnitt ganz rechts

deutlich kleiner als im übrigen Kapillarnetzmodell – hier sind im echten Kapillarnetz

noch weitere Verbindungen zum Gefäßnetz, die nicht mit modelliert wurden (Bild 4.41).

Vergleich zur künstlichen Kapillarnetzgeometrie

In dem Mauskapillarnetzmodell gibt es wie in dem Kapillarnetzmodell mit der künst-

lich erzeugten Kapillarnetzgeometrie sehr schnelle und sehr langsame Tropfen. Auch

innerhalb eines Segments sind die Tropfen mal schneller und mal langsamer: Die

Geschwindigkeiten schwanken und die Transitzeiten durch ein Segment sind breit

verteilt. Anders als bei der künstlich erzeugten Kapillarnetzgeometrie treten in der

Mauskapillarnetzgeometrie die hohen Geschwindigkeiten aber nicht vorwiegend in

vertikalen Segmenten auf: Die künstlich erzeugte Kapillarnetzgeometrie hat eine gleich-

mäßigere Struktur als das Mauskapillarnetzmodell; das ist vermutlich der Grund

für den Unterschied. Die Tropfen werden an den Knoten meist nicht so stark abge-

bremst wie in der künstlich erzeugten Kapillarnetzgeometrie: Die Knotenbereiche sind

im Mauskapillarnetzmodell sehr groß; die Tropfen werden nur langsamer, wenn sie

tatsächlich in die Nähe des Staupunktes gelangen.

Die Transitzeiten im Mauskapillarnetzmodell bilden eine schiefe Verteilung. Gleiches

gilt für die Transitzeiten in den Ausschnitten der künstlich erzeugten Kapillarnetz-

geometrie. Die in der Literatur aufgeführten Messungen von Transitzeiten in Lungen

ergeben ebenfalls schiefe Verteilungen (siehe Abschnitt 1.3.2).

Fazit

Wie in den Experimenten in der künstlich erzeugten Kapillarnetzgeometrie treten

in den Modellen mit der Mausgeometrie Schwankungen der Geschwindigkeit und

des Tropfenstroms auf. Gleichzeitig gibt dieses Modell Hinweise auf Schwächen der

künstlich erzeugten Kapillarnetzgeometrie: Die Struktur ist sehr gleichmäßig und die

Ein- und Ausgänge sind jeweils relativ weit voneinander entfernt.

4.3.7 Strömung im Mikromodell

Probleme

Das Hauptproblem bei den Versuchen mit dem Mikromodell ist, dass die Strömungs-

bedingungen nicht gut eingestellt werden können: Hämatokrit, Volumenstrom und

Blockaden durch weiße Blutkörperchen können nicht definiert eingestellt werden; viele

Experimente sind nötig, um die gewünschten Einstellungen zu erreichen. Es kann daher

kein Experiment unter identischen Bedingungen wiederholt werden. Hinzu kommt,

114

4.3 Diskussion

dass der Erkennungsalgorithmus auf die Tropfen zugeschnitten ist und bei den roten

Blutkörperchen nicht ausreichend gut funktioniert.

Vergleich mit der Strömung im vergrößerten Modell

In beiden Versuchsanordnungen gibt es bevorzugte Pfade; es gibt Bereiche mit vie-

len und Bereiche mit wenigen Tropfen beziehungsweise roten Blutkörperchen. Der

Verlauf der Geschwindigkeiten der roten Blutkörperchen wurde in einem Teilbereich

gemessen und zeigt Ähnlichkeit mit dem Verhalten der Tropfen im gleichen Bereich.

Gruppenbildung wurde in beiden Fällen beobachtet. Die Aufteilung der Strömung

auf verschiedene Abschnitte konnte im Mikromodell nicht gemessen werden und kann

daher nicht verglichen werden.

Das Blut, das im Mikromodell verwendet wurde, enthielt neben roten auch wei-

ße Blutkörperchen. Dadurch verringert sich die Ähnlichkeit zum Blutmodell. Dafür

kann die Blockadewirkung der weißen Blutkörperchen untersucht werden. Diese wird

qualitativ mit der Wirkung der Blockaden durch Luftblasen im Modell verglichen:

In beiden Fällen kommt es zur Umverteilung der Strömung. Im Mikromodell werden

Segmente auch gegen die Hauptströmungsrichtung durchströmt. Das wurde im Trop-

fenmodell nur bei der Blockade von Ausgängen beobachtet. Im Mikromodell wirken

die Blockaden in einem größeren Bereich, allerdings befinden sie sich hier auch im

Eingangsbereich und es gibt sehr viele Blockaden. Im vergrößerten Modell ist die

Wirkung einzelner Blockaden lokal begrenzt.

Im vergrößerten Modell wurden zwei Ausgänge blockiert; im Mikromodell gibt es

Blockaden in zwei Eingängen. In beiden Fällen ändert sich die Strömung in qualitativ

ähnlicher Weise: Die bevorzugten Pfade ändern sich; es findet ein Ausgleich zwischen

den blockierten und nicht blockierten Abschnitten statt. In den nicht blockierten

Abschnitten steigt die Geschwindigkeit, das Strömungsmuster ändert sich kaum. Die

blockierten Bereiche werden weniger und langsamer durchströmt; es gibt deutlich

abgesetzte Gebiete mit hohen und niedrigen Geschwindigkeiten.

Fazit

Bei dem derzeitigen Stand des Versuchsaufbaus und der Auswertealgorithmen lassen

die Experimente im Mikromodell hauptsächlich qualitative Aussagen zu. Die Ergebnisse

ermutigen zu weiteren Experimenten. Vorerst kann festgestellt werden: Ergebnisse der

Versuche im Mikromodell bestätigen die Ergebnisse im vergrößerten Modell.

4.3.8 Schlussfolgerungen

Die Modelle sind zur Untersuchung der Strömungsmechanik der roten

Blutkörperchen im Kapillarnetz geeignet.

Die Ergebnisse der Versuche mit dem Blutmodell im vergrößerten Kapillarnetzmo-

dell werden durch die Ergebnisse der Versuche mit Blut im Mikromodell bestätigt.

Das Wassertropfen-Öl-Gemisch ist als Modell für Kapillarblut sehr gut geeignet, die

115

4 Modellierung der Strömung im Lungenkapillarnetz

Verteilung und die Bewegung von roten Blutkörperchen im Kapillarnetz nach zu

stellen. Biologische Effekte werden nicht erfasst. Die Versuche mit zwei verschiedenen

Geometrien (künstlich erzeugt und dem Mauskapillarnetz nachempfunden) zeigen in

der Variabilität der Strömung und in der Transitzeitverteilung Übereinstimmungen.

Die Strömung ist sehr variabel.

Der Zweiphasen-Charakter des Blutmodells allein bewirkt, dass sich die Strömung

ständig ändert. Daher ist zu vermuten, dass auch im Kapillarblut diese Eigenschaft zu

den beobachteten Unregelmäßigkeiten führt. Alternative Hypothesen für die Unregel-

mäßigkeiten sind: Segmente kollabieren, der Blutfluss ist pulsatil, die Atembewegung

dehnt das Kapillarnetz zyklisch oder weiße Blutkörperchen blockieren vorübergehend

die Kapillarsegmente. All dies tritt im Blutmodell nicht auf und dennoch schwankt die

Strömung. Die anderen Mechanismen sind für die Variabilität der Strömung nicht zwin-

gend, können jedoch auch nicht ausgeschlossen werden. Für Blockaden wurde zudem

gezeigt, dass sie die Unregelmäßigkeiten verstärken, bis hin zur Strömungsumkehr.

Der Tropfenanteil beeinflusst die Variabilität: Segmente, die vorübergehend gar

nicht von Tropfen durchströmt werden, gibt es erwartungsgemäß häufiger bei kleinem

Tropfenanteil. Der Tropfenstrom schwankt auch bei höheren Tropfenanteilen.

Die Strömung ändert sich ständig, die Mittelwerte der Geschwindigkeit, des Stroms

und der Anzahl der Tropfen sind jedoch in wiederholten Versuchen gleich. Daher ist

die Berechnung des dynamischen Gleichgewichtes, wie sie in numerischen Berechnun-

gen erfolgt, durchaus sinnvoll. Es soll jedoch noch einmal betont werden, dass die

Geschwindigkeit der Tropfen an einer Stelle im Segment um

±50 %

schwankt und dass

innerhalb eines Segments sogar kurzzeitige Richtungswechsel auftreten können.

Die Strömung ist nicht gleichmäßig im Kapillarnetz verteilt.

Es gibt bevorzugte Pfade, die besonders stark von roten Blutkörperchen beziehungs-

weise Tropfen durchströmt werden. Die Geschwindigkeit ist aber auch in einigen

der anderen Pfade hoch. Entsprechend hoch ist dort auch der Gesamtvolumenstrom

(inklusive Öl oder Plasma), obwohl der Volumenstrom der Tropfen oder der roten Blut-

körperchen klein ist. Die Strömung der Tropfen beziehungsweise roten Blutkörperchen

ist um so gleichmäßiger auf das Netz verteilt, je größer ihr Anteil am Volumenstrom

ist. Blockaden stören die Strömung im vergrößerten Kapillarnetzmodell nur lokal; im

Mikrokapillarnetzmodell mit Blut führen sie zu starken Umverteilungen, wenn sie sich

in der Nähe der Eingänge des Mikrokapillarnetzmodells befinden.

Die Transitzeit ist heterogen aber robust.

Die Transitzeiten der Tropfen zeigen eine ausgedehnte schiefe Verteilung. Manche

Tropfen sind sechsmal länger im Modell als andere, wobei die schnelleren Tropfen

in der Überzahl sind. Je höher der Volumenstrom ist, desto ähnlicher und kürzer

sind die Transitzeiten. Der Tropfenanteil beeinflusst das Verhältnis von schnellen und

langsamen Tropfen.

116

4.3 Diskussion

Dagegen ist die Transitzeit im Kapillarnetzmodell unabhängig von lokalen Blocka-

den, wenn der betrachtete Ausschnitt groß genug ist. Die Dehnung von Teilen des

Kapillarnetzmodells ändert die Transitzeitverteilung ebenfalls nicht wesentlich. Die

Transitzeitverteilung ist also robust.

Von allen modellierten Störungen bewirken lediglich Blockaden von Ausgängen grö-

ßere Veränderungen der Transitzeitverteilung. Die Blockaden der Ausgänge verändern

die Strömung derart, dass die Transitzeit in den blockierten Bereichen steigt und in

den nicht blockierten Bereichen sinkt. Insbesondere gibt es mehr sehr schnelle Tropfen.

Die strömungsmechanischen Effekte der Kapillarblutströmung sind für die

Beatmungskonzepte kaum von Bedeutung.

Die Strömung im Kapillarnetzmodell ändert sich wenig, wenn mit verschiedenen Fre-

quenzen oder statisch gedehnt wird, oder wenn die Dehnung verstärkt oder verringert

wird. Die strömungsmechanischen Effekte bewirken in den genannten Fällen keine

nennenswerte Umverteilung der Strömung. Sie müssen daher nicht in die Beurteilung

von Beatmungskonzepten einbezogen werden.

Dagegen könnte die Kombination von biologischen und strömungsmechanischen

Vorgängen im Lungenkapillarnetz doch für die künstliche Beatmung relevant sein:

Die pulmonale hypoxische Vasokonstriktion darf nicht kontraproduktiv für den Stof-

faustausch werden. Die Lunge sollte soweit rekrutiert sein, dass nur eine beschränkte

Anzahl von Bereichen schlecht belüftet und dadurch für den Blutfluss gesperrt ist: Falls

die Wirksamkeit der pulmonale hypoxischen Vasokonstriktion tatsächlich begrenzt

ist und so erhebliche Probleme hervorrufen kann, liefert dies neue Argumente für

Rekrutierungsmanöver; diesmal aus der Sicht der Kapillarströmung.

117

5 Schlussfolgerungen und Ausblick

Modellierung

Zwei Modelle bilden die Grundlage der Arbeit. Beide sind einfach in den Grundannah-

men, werden aber im Detail schnell komplex. Beide Modelle sind insofern erfolgreich,

dass mit ihnen im Rahmen ihrer Grenzen physiologische Vorgänge besser erklärt

werden können.

Das erste Modell ist ein mathematisches Modell der Stabilität von Alveolen, die

über Luftwege miteinander verbunden sind. Hier wird die Frage der Rekrutierung von

Lungenbereichen aus der Sicht der Schädigungsmechanismen betrachtet, insbesondere

der Dehnungen. Sowohl die Modellannahmen für die Alveolen als auch die Methoden für

die Stabilitätsanalyse sind bereits bekannt. Neu ist die Kombination, die Anwendung

der Stabilitätsanalyse auf Alveolen. Im Modell ist es anders als im Experiment möglich,

Parameter einzeln zu variieren, und so die Wirkung der einzelnen beteiligten Effekte

zu zeigen.

Das zweite Modell ist ein experimentelles Blutmodell aus Wassertropfen in Öl. Das

Modell wird zunächst untersucht und dann in vergrößerten Kapillarnetzmodellen einge-

setzt. Diese Arbeit zeigt zum ersten Mal, dass die besonderen strömungsmechanischen

Effekte, die Blut in Kapillaren erzeugt, auch im Blutmodell aus Wassertropfen und Öl

auftreten: Erstens der Unterschied zwischen Volumenanteil und Volumenstromanteil

der roten Blutkörperchen (Fåhraeus-Effekt) und zweitens die Viskositätsabhängig-

keit vom Hämatokrit und vom Gefäßdurchmesser (Fåhraeus-Lindqvist-Effekt). Beim

Blutmodell werden statt der Anteile der roten Blutkörperchen die Tropfenanteile

betrachtet. Wenn Blut in Kapillargefäßen fließt, beeinflussen biologische Prozesse den

Blutfluss: Muskeln, Ionenkanäle, Konzentrationsgradienten von im Plasma gelösten

Stoffen und Hormone können zum Beispiel an solchen Prozessen beteiligt sein. Das

Blutmodell ermöglicht es nun, rein strömungsmechanische Effekte von biologischen

Einflüssen zu trennen. Hinzu kommt, dass für diese Art von Experiment keine zusätz-

lichen Tierversuche nötig sind: Das prinzipielle Strömungsverhalten und verschiedene

Schädigungsszenarien werden nur im Modell untersucht. Die Ergebnisse werden aber

soweit wie möglich mit veröffentlichten Daten aus Tierversuchen und entnommenen

Organen verglichen.

Künstliche Beatmung

Wenn die Sauerstoffsättigung im Blut eines künstlich beatmeten Patienten nicht aus-

reicht, ist eine mögliche Reaktion ein Rekrutierungsmanöver: Der Beatmungsdruck

wird kurzzeitig stark erhöht, um zusammengefallene Lungenbereiche zu öffnen. An-

schließend wird ein positiver end-expiratorischer Druck eingestellt, so dass am Ende

des Ausatmens die Lungenbereiche nicht wieder zusammenfallen. Die Simulation von

119

5 Schlussfolgerungen und Ausblick

verbundenen Alveolen mit und ohne Schädigung zeigt nun, dass Rekrutierungsmanöver

nicht immer sinnvoll sind: Das Verhältnis von gewonnener Stoffaustauschfläche und

zusätzlich erzeugter Dehnung hängt von der Art der Schädigung ab. Bei der Beatmung

muss also genauer darauf geachtet werden, welche Lungenschädigung vorliegt. Diese

Ergebnisse bestärken den Ruf nach individuellen Beatmungsstrategien; nur müssen

zunächst Möglichkeiten gefunden werden, die Art der Schädigung schnell und am

Patientenbett zu identifizieren.

Diejenigen, die sich mit Lungenschädigung in der künstlichen Beatmung beschäftigen,

diskutieren verschiedene Beatmungsmethoden in Hinblick darauf, wie sie die Dehnung

des Gewebes beeinflussen. Zwei Parameter sind dabei die Amplitude und die Frequenz

des Beatmungsdrucks. In dieser Arbeit steht die Strömung der roten Blutkörperchen

und damit der Stoffaustausch im Vordergrund: Wie beeinflussen Amplitude und Fre-

quenz der Dehnung die Verteilung der roten Blutkörperchen beziehungsweise der

Tropfen? Das Hauptergebnis der Versuche im vergrößerten Kapillarnetzmodell ist, dass

die Strömung sehr robust ist. Für die Beatmung bedeutet das: Die Strömung im Kapil-

larnetzmodell liefert keine Argumente für oder gegen bestimmte Beatmungsfrequenzen,

für oder gegen bestimmte Dehnungen.

Strömung im vergrößerten Kapillarnetzmodell

Ganz unabhängig von der künstlichen Beatmung ist die Strömung auf Kapillarebene

interessant, da besondere nicht-newtonsche Effekte auftreten. Diese wirken auf die

räumliche und zeitliche Verteilung der Strömung in Netzwerken.

Die strömungsmechanischen Effekte, die im Blutmodell auftreten, bewirken, dass

sich die Strömung im Kapillarnetzmodell ständig ändert. Strömungsänderungen treten

auch in verschiedenen natürlichen Kapillarnetzen auf: Bisher gibt es quantitative

Beschreibungen der Schwankungen, in denen gezählt wird, wie oft rote Blutkörper-

chen in Segmenten fließen oder nicht fließen. Neu ist in dieser Arbeit, dass mit dem

Modell die Schwankungen quantitativ beschrieben werden, auch wenn die Segmente

die ganze Zeit von Tropfen durchströmt werden. Allerdings gibt es zwischen Modell

und Tierexperiment Unterschiede in der Zeitskala der Phänomene; die strömungsme-

chanischen Effekte sind daher wahrscheinlich nicht allein für die in vivo beobachteten

Schwankungen verantwortlich. Neu ist außerdem, dass die Wirkung von Blockaden

und Dehnungen von Teilen des Netzes untersucht wird. Das Resultat ist, dass die

Strömung im Lungenkapillarnetzmodell sehr robust ist: Auch ohne Dehnung ändert sie

sich ständig; lokale Blockaden werden ausgeglichen; Dehnung hat kaum eine Wirkung

auf die Transitzeit der Wassertropfen.

Blutströmung im Mikrokapillarnetzmodell

In dieser Arbeit wurde erstmals die Strömung von Blut in Mikrokapillarnetzmodellen

beobachtet. Dadurch wird die Validierung der Versuche mit dem Blutmodell aus

Wassertropfen und Öl möglich, die im Tiermodell nach derzeitigem Stand der Technik

nicht möglich ist: Die Versuche im Mikrokapillarnetzmodell bestätigen das vergrößerte

120

Blutmodell. Darüber hinaus bietet sich hier ein Ansatzpunkt für weitere Projekte:

Der Abstraktionsgrad eines Blutmodells aus Wassertropfen in Öl ist hoch, auch wenn

das Modell in seinen Grenzen gut ist. Experimente mit Blut in Mikrokapillarnetz-

modellen bieten die Möglichkeit, den Abstraktionsgrad zu senken. Allerdings ist der

Umgang mit dem Mikrokapillarnetzmodell zur Zeit noch mit Problemen verbunden.

Die nächsten Schritte zur Lösung dieser Probleme sind: 1. Verbesserung der Kontrolle

der Strömungsbedingungen und 2. Anpassung der Auswertungsalgorithmen.

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132

Symbolverzeichnis

Symbol Beschreibung Einheit

AQuerschnittsfläche des Rohres oder Gefäßes m2

Parameter für die Geradengleichung der Druck-Volumen-

Kurve, die den Gewebeeinfluss abbildet.

Pa m−3

Parameter für die Geradengleichung der Druck-Volumen-

Kurve, die den Gewebeeinfluss abbildet, a2= 2a.

Pa m−3

Parameter für die Geradengleichung der Druck-Volumen-

Kurve, die aus dem Gewebeeinfluss entsteht.

DDurchmesser m

DBmittlerer Durchmesser der Blutkapillargefäße m

DM(mittlerer) Durchmesser der Modellgefäße m

fFrequenz Hz

fTr Tropfenfrequenz Hz

hHöhe der Kugelkalotte im Alveolarmodell m

HdTropfenanteil am Volumenstrom, Auslass-Tropfenanteil -

HtTropfenanteil am Volumen, Modellgefäß-Tropfenanteil -

Hktd

Auslasshämatokrit, Volumenstromanteil der roten Blutkör-

perchen am Blut

Hktt

Gefäßhämatokrit, Volumenanteil der roten Blutkörperchen

am Blut

lGefäßlänge m

lmittlerer Tropfenabstand m

nAnzahl von verbundenen Alveolen -

pDruck Pa

pfl

Druck in der Alveole aufgrund der Oberflächenspannung

des Flüssigkeitsfilms (fl: fluid)

pti

Druck in der Alveole aufgrund der Gewebeelasitizität und

der Einbettung der Alveole in das umgebende Gewebe (ti:

tissue)

PEEP

postitiver end-expiratorischer Druck: Druck, der nach dem

Ausatmen an den Atemwegen der Patienten anliegt

rRadius m

r0Radius der Alveolaröffnung m

Re Reynoldszahl -

Sr Strouhalzahl -

133

Symbolverzeichnis

dominante Schwankungsperiode des Tropfenstroms in einem

Segment

tMTransitzeit des gesamten Blutmodells s

tTr Transitzeit der Tropfen s

vGeschwindigkeit m s−1

¯vBlut mittlere Geschwindigkeit des Blutes m s−1

¯vEry

mittlere Geschwindigkeit der roten Blutkörperchen (Ery-

throzyten)

m s−1

¯vMmittlere Geschwindigkeit des Blutmodells m s−1

¯vTr mittlere Geschwindigkeit der Tropfen m s−1

VVolumen m3

Gesamtvolumen des Alveolensystems (zum Beispiel aus zwei

Alveolen bestehend)

V1Volumen der Alveole 1 m3

V2Volumen der Alveole 2 m3

VBlut Volumen des Blutes m3

VEry Volumen der roten Blutkörperchen (Erythrozyten) m3

Vsf

belastungsfreies Volumen: größtes Volumen, bei dem in der

Alveolarwand keine Zugspannung vorliegt (sf: stress free)

Vsf,2

belastungsfreies Volumen: größtes Volumen, bei dem in der

Alveolarwand keine Zugspannung vorliegt (sf: stress free);

Vsf,2= 0,5Vsf

VTr Volumen eines Tropfens ml, m3

VH2OVolumen des Wassers m3

VMVolumen des Blutmodells m3

VVolumenstrom ml h−1, m3s−1

VBlut Volumenstrom des Blutes ml h−1, m3s−1

VEry Volumenstrom der roten Blutkörperchen (Erythrozyten) ml h−1, m3s−1

VH2OVolumenstrom des Wassers beziehungsweise der Tropfen ml h−1, m3s−1

VMVolumenstrom des Blutmodells ml h−1, m3s−1

Hilfsgröße zur Berechnung der Höhe der Kugelkalotte aus

ihrem Volumen

Oberflächenspannung des Flüssigkeitsfilms, der die Alveolen

auskleidet

N m−1

γ1Oberflächenspannung von Wasser N m−1

∆pDruckdifferenz Pa

∆pMDruckabfall in einem Rohr, wenn das Blutmodell strömt Pa

∆pOel Druckabfall in einem Rohr, wenn nur Öl strömt Pa

ηdynamische Viskosität Pa s, kg m−1s−1

134

Symbolverzeichnis

ηrel

relative effektive dynamische Viskosität des Blutes (bezogen

auf Plasmaviskosität)

ηOel dynamische Viskosität des Sonnenblumenöls Pa s

ηPlasma dynamische Viskosität von Plasma Pa s

ηeff effektive dynamische Viskosität des Blutes Pa s, kg m−1s−1

ηeff,Meffektive dynamische Viskosität des Blutmodells Pas, kg m−1s−1

ηrel,M

relative effektive dynamische Viskosität des Blutmodells

(bezogen auf Ölviskosität)

νkinematische Viskosität m2s−1

νMkinematische Viskosität des Blutmodells m2s−1

νOel kinematische Viskosität des Sonnenblumenöls m2s−1

ρDichte kg m−3

ρMDichte des Blutmodells kg m−3

135