Dynamik der plastischen
Deformation von Kristallen
Aufbau einer Feldtheorie im Lagrangeformalismus
unter Ber¨
ucksichtigung der dissipativen
Dynamik von Versetzungsklassen
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
vorgelegt dem
Department Physik der Fakult¨
at f¨
ur Naturwissenschaften
der Universit¨
at Paderborn
Martin Schargott
Paderborn, 2003
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation ................................. 1
1.2 DasModell ................................. 3
1.3 Aufbau der Theorie und das Inverse Problem . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Gliederung ................................. 6
2 Grundlagen 7
2.1 Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Noethertheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Die ideale Fl¨
ussigkeit als Modellsystem . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Nichteuklidische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Einf¨
uhrung ............................. 14
2.2.2 Tensoren und Tensordichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Holonome und anholonome Basissysteme . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4 Die geometrischen Objekte der nichteuklidischen Geometrie . . 16
2.2.5 Substantielle Mitf¨
uhrung materieller Objekte . . . . . . . . . . 19
3 Plastizit¨
atstheorie 23
3.1 Verallgemeinertes Cosserat–Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 ¨
Ubersicht .............................. 23
3.1.2 Aufbau der Cosserat–Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Wichtige Definitionen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Der deformierbare Kristall im Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Aufbau aus der idealen Fl¨
ussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Anpassung der Noether–Bilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Die plastische Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
3.2.4 Der Cosserat–Driftstrom als Versetzungsstrom . . . . . . . . . 45
3.3 Theorie der Versetzungsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Einf¨
uhrung der Klassenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Klassentheorie im Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Einbettung der Klassen in das Hintergrundmedium . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Fundamentalgleichung der Klassentheorie . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 Geometrische Eigenschaften des Modells . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.3 Konsistenzbedingung f¨
ur den Cosserat–Driftstrom . . . . . . . 66
3.4.4 Ansatz f¨
ur den Cosserat–Driftstrom . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.5 Separation der Energiedichte des Gesamtsystems . . . . . . . . 75
3.5 Aufbau der Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Modellsystem mit einer Versetzungsklasse . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7 Die Nyesche Strukturkr¨
ummung ..................... 86
3.8 Homogene plastische Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Dissipation im Lagrangeformalismus 99
4.1 Thermodynamik irreversibler Prozesse im Lagrangeformalismus . . . . 99
4.2 Dissipative Prozesse im Lagrangeformalismus . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.1 Aufbau der Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 Einbau der Dissipationsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.3 Modell zweier Fl¨
ussigkeiten mit Reibung . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Dissipative Versetzungsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.1 Ver¨
anderlicher Reibungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 Lagrangedichte f¨
ur die dissipative Versetzungsdynamik . . . . . 116
5 Zusammenfassung und Ausblick 119
A Anhang 121
A.1 Berechnung der Konstanten q0......................121
A.2 Konsistenzbedingung f¨
ur den Cosserat–Strom Jκ
i............122
A.3 Dissipative Systeme in der Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Literaturverzeichnis 131
Danksagung 137
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Motivation
Die plastische Deformation von Materialien spielt eine große Rolle in den Anwen-
dungen der Ingenieurswissenschaften. Bei der bleibenden Deformation von Stoffen in
eine gew¨
unschte Form ist die (kontrollierte) plastische Deformation erw¨
unscht, eben-
so bei der Ber¨
ucksichtigung einer “Knautschzone” bei der Herstellung von Autos.
Bei Geb¨
auden oder Br¨
ucken etwa muß sie hingegen vermieden werden. Dazu werden
Sicherheitsbereiche bei der Auslegung von Tr¨
agern oder Materialien definiert. Eine
Verkleinerung dieser Sicherheitsbereiche kann zur Einsparung von Material f¨
uhren,
setzt aber eine genauere Kenntnis der Vorg¨
ange w¨
ahrend oder vor Einsetzen der
plastischen Deformation voraus.
Speziell in kristallinen Materialien ist der Mechanismus der plastischen Deformation
seit langem bekannt. Es wurde bereits von Orowan (1934), Polanyi (1934) und Taylor
(1934) entdeckt, daß Versetzungen, die topologische Defekte in Kristallen darstellen,
und ihre Bewegungen im Kristall die Ursache makroskopischer plastischer Deforma-
tion sind. Das mikroskopische Bild der Versetzungen l¨
aßt jedoch kaum Berechnungen
der makroskopischen Eigenschaften zu.
In der Kontinuumstheorie hingegen k¨
onnen die Auswirkungen von Versetzungen auf
das sie umgebende elastische Kontinuum berechnet werden, wenn ein mikroskopi-
scher Bereich, der sog. Versetzungskern, aus der Beschreibung ausgenommen wird.
F¨
ur die Beschreibung kontinuierlicher Versetzungsverteilungen wurden insbesondere
die Methoden der Differentialgeometrie verwendet (die z.B. auch in der allgemeinen
Relativit¨
atstheorie von Einstein Anwendung fanden). Die statische Theorie geht u.a.
auf Arbeiten von Kr¨
oner (1958), Kondo (1955) und Bilby, Bullough, Smith (1955)
zur¨
uck. Dazu mußten die diskreten Eigenschaften von Versetzungen mit geometri-
schen Gr¨
oßen verkn¨
upft werden. Zentrale Idee war es, kontinuierliche Uml¨
aufe in
Differentialgeometrien, ¨
uber die die sog. Torsion bestimmt wird, mit entsprechenden
diskreten Uml¨
aufen um Versetzungslinien in einem Kristallgitter zu verkn¨
upfen, die
den Burgersvektor (als Maß f¨
ur die Gr¨
oße des topologischen Defekts dieser Verset-
zung) definiert.
Dies f¨
uhrt zu dem kontinuumstheoretischen Tensor der Versetzungsdichte.¨
Uber
diesen k¨
onnen die Auswirkungen von Versetzungen auf die elastischen Gr¨
oßen be-
1
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