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Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom

Grenzwertbegriff beim Ableiten

Dissertation

zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

vorgelegt am Fachbereich 17 Mathematik und Informatik

der Universität Gesamthochschule Paderborn

Hauke Friedrich

Paderborn, Februar 2001

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 2

Vorwort

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den Vorstellungen, die Schülerinnen und

Schüler von einem zentralen Begriff der Differenzialrechnung, dem Grenzwertbegriff

beim Ableiten entwickeln, wenn man ihnen eine anregende Aufgabe zu diesem Be-

griff zur Verfügung stellt.

An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mir in Gesprächen die vielen wertvollen

Anregungen und kritische Hinweise gaben, die zur Entstehung dieser Arbeit uner-

lässlich waren. In erster Linie möchte ich meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr. H.-D.

Rinkens danken, der mir insbesondere dabei geholfen hat, den Überblick zu behal-

ten. Ebenso gilt mein Dank Herrn Prof. Dr. P. Bender, mit dem ich so viele Details

diskutieren konnte. Weiterhin möchte ich meinen Eltern Inka und Dr. Gotthard Fried-

rich danken, die den Grundstein für alles legten, indem sie weise meine Schullauf-

bahn planten und mein Studium in verschiedener Hinsicht erst ermöglichten. Zuletzt

möchte ich meiner Frau Kerstin dafür danken, dass sie meine Launen während der

Arbeit ertragen und mich immer unterstützt hat.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 3

Inhalt:

1. Problemstellung und Ziele der Arbeit...............................................................5

1.1. Differenzialrechnung in der Schule........................................................................5

1.2. Newtons Vorstellungen von Funktionen und Differenzialrechnung..................7

Indivisibilien und das Hauptproblem ...............................................................7

Der Calculus......................................................................................................10

Newtons Vorstellungen vom Grenzwert.......................................................11

Newtons Vorstellungen und Schulanalysis..................................................15

2. Zum Design der Untersuchung........................................................................18

2.1. Die Aufgabe.............................................................................................................18

Diskussion der Teilaufgaben..........................................................................19

Bezüge zur Schulpraxis ..................................................................................26

2.2. Bemerkung zum Begriff der Denkwelt.................................................................27

Denkwelten und Modellbildung ......................................................................27

Die Frage nach einer Physik-Welt.................................................................32

Die Frage nach einer Welt der Graphen......................................................34

2.3. Die Methode............................................................................................................35

Die empirische Methode und die Stoffdidaktik............................................36

Interpretative Forschung .................................................................................40

2.4. Rekrutierung der Probandinnen und Probanden...............................................44

3. Bemerkungen zum Geschwindigkeitsbegriff ...............................................45

3.1. Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit als

Alltagsbegriffe..........................................................................................................45

3.2. Mathematische Beschreibungen von Geschwindigkeit....................................48

Weg-Zeit- oder Orts-Zeit-Funktion? ..............................................................49

Die Momentangeschwindigkeit......................................................................54

Messbarkeit von Momentangeschwindigkeit...............................................60

Gibt es Momentangeschwindigkeit? – Entscheidungskriterien der

Schülerinnen und Schüler...............................................................................64

4. Die isolierende und die einbettende Sichtweise..........................................66

4.1. Die Sichtweisen in der r-Welt................................................................................67

4.2. Einbettung zur Ermittlung des Grenzwerts.........................................................70

4.3. Die isolierende Sichtweise....................................................................................73

4.4. Zwei Bemerkungen zu den Sichtweisen.............................................................75

Prototypische Argumentationen.....................................................................75

Eine Gefahr der einbettenden Sichtweise....................................................77

4.5. Kritik an der lokalen Änderungsrate als Grundvorstellung...............................78

4.6. Statische und dynamische Sichtweise bei Folgen............................................83

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 4

5. Transkriptanalysen..............................................................................................88

5.1. Transkript 06............................................................................................................88

Aufgabenteile a) und b)...................................................................................88

Szene 1; Zeilen 160 - 175...............................................................................89

Szene 2; Zeilen 176 - 199...............................................................................90

Szene 3; Zeilen 200 - 217.............................................................................100

Szene 4; Zeilen 218 - 247.............................................................................103

Szene 5; Zeilen 248 - 272.............................................................................109

5.2. Transkript 14..........................................................................................................114

Zum Aufgabenteil a) und b)..........................................................................114

Szene 1; Zeilen 25 - 45.................................................................................115

Aufgabenteile d) und e).................................................................................121

Szene 2; Zeilen 140 - 172.............................................................................123

6. Ein Blick in Schulbücher..................................................................................130

6.1. Einstiege in die Differenzialrechnung................................................................130

6.2. Sichtweisen und Denkwelten in den Schulbüchern........................................136

6.3. Konsequenzen für die Schulpraxis....................................................................138

Die Sichtweisen – Ein Thema für den Unterricht?....................................138

Die Sichtweisen im Unterricht – ein Vorschlag..........................................142

7. Schlussbemerkung............................................................................................148

8. Literaturverzeichnis...........................................................................................149

9. Anhang..................................................................................................................154

Verzeichnis der Transkripte..........................................................................154

Abbildungsverzeichnis...................................................................................155

Verzeichnis der Tabellen..............................................................................155

CD-ROM..........................................................................................................155

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 5

1. Problemstellung und Ziele der Arbeit

Mit dieser Arbeit werden vier Ziele verfolgt.

• Zum einen sollen Vorstellungen aufgedeckt werden, die Schülerinnen und Schüler

vom Grenzwertbegriff beim Ableiten entwickeln.

• Weiterhin werden mögliche Ursachen für diese Vorstellungen aufgezeigt.

• Zudem soll erarbeitet werden, welche Zusammenhänge Schülerinnen und Schüler

bei anwendungsorientierten Aufgaben zwischen dem Anwendungskontext in der

realen Welt und den mathematischen Methoden zur Bearbeitung sehen.

• Schließlich werden aus den Erkenntnissen Konsequenzen für den Analysisunter-

richt gezogen.

Oft wurde die Entwicklung der Analysis durch den Wunsch, physikalische Probleme

zu lösen, vorangetrieben: Bewegungsprobleme, Schwingungs- und Pendelprobleme,

aber auch Flächen- und Volumenprobleme. In diesem Kapitel werden Newtons Vor-

stellungen von Bewegungsvorgängen vorgestellt, die ihm zur Rechtfertigung seines

Ableitungskalküls dienten.

1.1. Differenzialrechnung in der Schule

In der Schule sollen verstärkt „anwendungsorientierte Aufgaben“ in den Unterricht

einziehen. Das gilt auch und insbesondere für den Analysisunterricht, wie man z.B.

dem neuen Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe bzw. für die Gesamtschule des

Landes Nordrhein-Westfalens entnehmen kann: Im Vergleich zum vorhergehenden

Lehrplan ist die Sekanten-Tangentensteigungs-Vorstellung der Ableitung von der lo-

kalen Änderungsrate abgelöst worden1. Die Sekanten-Tangenten-Vorstellung wird oft

eine innermathematische genannt, während die Vorstellung der lokalen Änderungs-

rate fast immer mit einem außermathematischen Problem verknüpft wird.2

1 vgl. [NRW 1981] und [NRW 1999].

2 Tatsächlich ist die Vorstellung von der Tangentensteigung ein Spezialfall der Vorstellung der lokalen

Änderungsrate, wie ich in 4.3 noch ausführen werde.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 6

Schon 1974 forderte Freudenthal, außermathematische Kontexte als Ausgangspunkt

zur Entwicklung von Mathematik zu nutzen (und nicht umgekehrt):

„Wenn man im traditionellen Mathematikunterricht schon die Anwendungsmöglich-

keiten berührt, so geschieht das immer nach dem Muster der antididaktischen Um-

kehrung. Statt auszugehen von der konkreten Fragestellung, um sie mathematisch

zu erforschen, fängt man mit der Mathematik an, um das konkrete Problem als ‚An-

wendung‘ zu behandeln.“3

Er fordert den umgekehrten Weg: Aus Anwendungen soll Mathematik entstehen. Für

die Analysis bieten sich besonders physikalische Anwendungen an. Wie bei jeder

außermathematischen Einkleidung stellen die außermathematischen Begrifflichkeiten

ein zusätzliches Problem dar. Daher werden für die Einführung in die Differenzial-

rechnung gerne Bewegungsprobleme gewählt, da die zugehörigen Begrifflichkeiten

wohl als anspruchslos angesehen werden können: Da wir Menschen uns täglich zu

Fuß, per Fahrrad und Auto bewegen und ständig bewegte Körper in unserer Umwelt

wahrnehmen, kann man davon ausgehen, dass jede Schülerin und jeder Schüler

Alltagserfahrungen aus der realen Welt (r-Welt) mitbringt. Der r-Welt gegenüber steht

die Welt der mathematischen Beschreibungen der Bewegungsvorgänge, die m-

Welt4. Bewegungsaufgaben scheinen zudem besonders zur Entwicklung von Grenz-

wertvorstellungen der Differenzialrechnung geeignet zu sein. Schließlich hat einer

der Entwickler dieses Kalküls (in einer heute nicht mehr gebräuchlichen Variante)

denselben aus Vorstellungen von Bewegungsvorgängen aufgestellt. Er verfolgte das

Ziel, den Zusammenhang von Weg-Zeit-Funktion und Geschwindigkeit-Zeit-Funktion

mathematisch zu beschreiben. Diese Leistung Isaac Newtons soll nun kurz vorge-

stellt werden.

3 [Freudenthal 1974], S. 126

4 Zum Begriff der Welten vergleiche Kap. 2.2

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1.2. Newtons Vorstellungen von Funktionen und Differenzial-

rechnung

Der Differenzialrechnung werden zwei geistige Väter zugeschrieben: Gottfried Wil-

helm Leibniz (1646 - 1716) und Isaac Newton (1643 - 1727). Newton nutzte Vor-

stellungen von Bewegungsvorgängen zur Entwicklung seines Grenzwertbegriffs und

seiner Differenzialrechnung. Da im empirischen Teil dieser Arbeit Vorstellungen, die

Schülerinnen und Schüler vom Grenzwertbegriff beim Ableiten in der Mathematik

und von Momentangeschwindigkeit realer Körper die zentrale Rolle spielen, soll hier

nur auf Newtons Arbeit eingegangen werden.

Indivisibilien und das Hauptproblem

Hinterlässt ein sich bewegender Punkt eine Spur, erzeugt er eine Kurve. Newton

beschreibt das so:

„Ich betrachte hier die mathematischen Größen nicht als aus äußerst kleinen

Teilen bestehend, sondern als aus durch stetige Bewegung beschrieben. Linien

werden beschrieben und im Beschreiben erzeugt nicht durch Aneinandersetzen

von Teilen, sondern durch stetige Bewegung von Punkten; Flächen durch Bewe-

gung von Linien; Körper durch Bewegung von Flächen; Winkel durch Rotation von

Seiten; Zeiten durch stetiges Fließen; und ebenso ist es in anderen Fällen. Diese

Erzeugungen finden in der Natur tatsächlich statt, und man kann sie täglich bei der

Bewegung von Körpern beobachten. [...]“5

In dieser Eigenschaft nennt man den Punkt, die Strecke und die Fläche eine Indivisi-

bilie. Durch Bewegung erzeugt sie ein geometrisches Objekt, das eine um eins

höhere Dimension als sie selber besitzt. Als indivisibel, also unteilbar wird sie genau

bezüglich der Dimension angesehen, die sie durch die Bewegung erschafft.

Newton bediente sich dieser Vorstellungen ausführlich bei der Entwicklung seines

Verständnisses von Funktionen. So stellt er sich vor, dass ein Funktionsgraph durch

den Fluss eines gewissen Punktes (Indivisibilie) entsteht: Man nimmt zwei zu je einer

Achse des Koordinatensystems parallele Geraden, die sich also (in der Regel senk-

5 Newton: „Abhandlung über die Quadratur der Kurven“, 1704; nach [Becker 1975], S. 152 - 153

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 8

recht) schneiden. Newton betrachtet sie als „geradweise und unbegrenzt wach-

send“6. Der Graph einer Funktion wird durch die Bewegung des Schnittpunktes der

beiden Geraden erzeugt, vgl. Abbildung 1.

„Indem ich nun in Betracht zog, daß in gleichen Zeiten wachsende und wachsend

erzeugte Größe je nach der größeren oder kleineren Geschwindigkeit, mit der sie

wachsen und erzeugt werden, größer oder kleiner ausfallen, suche ich nach einer

Methode zur Bestimmung der Größen aus der Geschwindigkeit der Bewegung

oder des Wachsens, wodurch sie erzeugt werden. Diese Bewegungs- oder

Wachstumsgeschwindigkeiten nannte ich Fluxionen, und die erzeugten Größen

nannte ich Fluenten, [...].“7

Abbildung 1: Newtons Funktionsbegriff mit Indivisibilien, Fluenten und Fluxionen

Newton fragt hier nach einer Methode, die wir heute Integralrechnung nennen. Als er

1670/71 seine „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“ schrieb, formuliert er mit

den Hauptproblemen ebenso die Frage nach der Differenzialrechnung. Den mathe-

6 [Becker 1975], S. 149 sinngemäß auch [Volkert 1988], S. 88

7 Newton: „Abhandlung über die Quadratur der Kurven“, 1704; nach [Becker 1975], S. 153

Indivisibilien, Fluenten und Fluxionen:

Die kräftigen Geraden sind die Achsen eines Koordinatensystems. Der

Schnittpunkt der dünnen zu den Achsen parallelen Geraden ist die Indivi si-

bilie, die die Kurve erzeugt.

Die Doppelpfeile deuten die Fluenten (Größen) an, die ebenfalls durch die

Bewegung der Indivisibilien entstehen. Die Fluxio

nen der Fluenten sind die

Geschwindigkeiten, mit denen sich die schmalen Linien jeweils senkrecht

zu den zugehörigen Achsen bewegen.

Indivisibilie

Fluen-

ten

Koordinatenachsen

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 9

matischen Zusammenhang der Lösungen beider Probleme nennen wir heute den

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung :

„I. Gegeben die Länge des durchmessenen Wegs in jedem Zeitmoment. Zu finden

die Geschwindigkeit der Bewegung zu einer gegebenen Zeit.

II. Wenn die Geschwindigkeit zu jeder Zeit gegeben ist, ist die Länge des be-

schriebenen Wegs zu finden zu einer gegebenen Zeit.“8

Das Zitat kann vermuten lassen, Newton würde ausschließlich den Zusammenhang

zwischen Weg-Zeit-Funktionen und Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen herstellen wol-

len. Tatsächlich aber betrachtete er eine viel allgemeinere Problemstellung:

„Im folgenden betrachte ich die Zeit nicht als wirklich (formaliter), sondern setzte

voraus, daß eine mit den anderen vorkommenden Größen gleichartige Größe mit

diesen in gleichmäßigem Flusse wächst, auf welche, als gleichsam auf die Zeit,

die übrigen Größen bezogen werden. Diese kann folgerichtig Zeit genannt

werden. Wenn also im folgenden das Wort „Zeit“ gebraucht wird ..., ist dieses Wort

nicht so zu verstehen, als ob ich die Zeit in ihrer wirklichen Bedeutung gemeint

hätte, sondern in dem Sinn, daß ich jene von der Zeit verschiedene Größe im

Auge habe, durch deren gleichförmiges Wachsen oder Fließen der Zeit dargestellt

und gemessen wird.“9

Newton betrachtet allgemein gewisse gleichartige Größen, wobei eine dieser Größen

stetig fließen können muss, wie die Zeit. Da die davon abhängigen Größen

gleichartig zur ersten sein sollen, fließen auch sie (in Abhängigkeit von dieser). In

seiner Vorstellung betrachtet Newton die erste Größe wie die Zeit, die für ihn die „na-

türlichste“ stetig fließende Größe zu sein scheint. Die Wachstumsgeschwindigkeit der

abhängigen Größe entspricht nun der lokalen Änderungsrate im Allgemeinen. Man

kann sich die erste Größe, Newton bezeichnet sie oft mit x, durch die Zeit parame-

trisiert vorstellen, x(t). Bedeutet x die Größe „Zeit“ selber und die abhängige Größe

die Weglänge, die eine bewegter Körper in der Zeit zurücklegt, entspricht die Wachs-

tumsgeschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit im üblichen Sinne.

8 nach [Becker 1975], S. 148

9 nach [Becker 1975], S. 148 - 149

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Der Calculus

Der Calculus, den Newton zur Lösung seines ersten Hauptproblems verwendet, war

schon zu seiner Zeit nicht neu. Fermat zum Beispiel nutzte ihn schon. An der folgen-

den Passage kann man erkennen, wie Newton die Idee der linearen Approximation

als Begründung für den Calculus benutzt:

„Die Momente der fließenden Größe (d.h. ihre unendlichen kleinen Teile, durch

deren Hinzukommen in unendlich kleinen Zeitteilen die Größen selbst zugleich

[jugiter] vermehrt werden) verhalten sich wie die Geschwindigkeiten, mit denen sie

fließen oder wachsen.

Wenn daher das Moment der Größe x dargestellt wird durch das Produkt ihrer

Geschwindigkeit x

& mit einer unendlich kleinen Größe o (d.h. durch ox

&), werden

die Momente der anderen Größen u, y, z durch

&&&

darzustellen sein, weil

&&&&

zueinander dasselbe Verhältnis haben werden wie zu

&&&&

,,,

Da nun die Momente, wie z.B. ox

&und

&, unendlich kleine Zuwüchse sind, durch

die die Fluenten x und y in unendlich kleinen Zeitabschnitten vermehrt werden, so

folgt, daß diese Größen x und y nach einem unendlich kleinen Zeitraum zu oxx &

und

werden. Die Gleichung, die die Beziehung zwischen den Fluenten zu

jeder Zeit ausdrücke, wird ebensogut die Beziehung zwischen oxx &

und

wie die zwischen den x und y ausdrücken, so daß man in dieser

Gleichung oxx &

und

für x und y setzen kann. Es sei demnach folgende

Gleichung vorliegend“ 10

y = xx bzw. y – xx = 0

Substituiere darin x durch oxx &

und y durch

oyy

( )( )

0oxx2oxoxxxoyy0oxxoxxoyy =−−−+⇔=++−+ &&&&&&&

Mit y – xx = 0 bleibt:

−

Dividiere durch o:

−

„Da wir aber die Größe o unendlich klein angenommen haben (finxerimus), um die

Momente der Größen ausdrücken zu können, können die mit ihr behafteten Terme

10 [Becker 1975], S. 149; Allerdings habe ich hier ein anderes Beispiel zur Illustration gewählt.

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für nichts geachtet werden im Vergleich zu den anderen Termen. Ich vernachläs-

sige sie also, und es bleibt übrig:“11

xxyxxy &&&& 202 =⇔=−

Die Umformung zur heute üblichen Schreibweise

xyx

xxyxxy 2'2202 =⇔=⇔=⇔=− &

&&&&

kann nur bei geeigneter Interpretation der allgemeinen Größen x und y sinnvoll sein.

An dieser Stelle soll die Betrachtung von Newtons Kalkül beendet werden. Wie oben

angedeutet spielen im empirischen Teil dieser Arbeit Vorstellungen, die Schülerinnen

und Schüler vom Grenzwertbegriff beim Ableiten in der Mathematik und von Momen-

tangeschwindigkeit realer Körper eine zentrale Rolle. Daher sollen hier nun Newtons

zugehörigen Vorstellungen aufgezeigt werden. Diese sind für ihn essentiell bei der

Rechtfertigung seines Kalküls.

Newtons Vorstellungen vom Grenzwert

Zu Beginn des vorhergehenden Zitats spricht Newton von „unendlich kleinen Teilen“:

„Die Momente der fließenden Größe (d.h. ihre unendlichen kleinen Teile, durch

deren Hinzukommen in unendlich kleinen Zeitteilen die Größen selbst zugleich

[jugiter] vermehrt werden) [...].“

Es sieht so aus, als würde Newton mit infinitesimalen Größen rechnen. Folgendes

Zitat zeigt aber, dass Newton sich nicht wirklich infinitesimale Größen vorstellt. Viel-

mehr legt er auf eine Vorstellung des Grenzwerts als erstes und letztes Verhältnis

Wert:

„Wenn ich also im folgenden irgendwelche Größen betrachte, die gleichsam aus

konstanten Partikeln bestehen, oder wenn ich kleine Kurvenstücke als gerade be-

trachte, so möchte ich stets nicht etwa unteilbare, sondern verschwindende teil-

11 [Becker 1975], S. 150

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 12

bare Größen, nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Teilchen, sondern

Grenzwerte von Summen und Verhältnissen verstanden wissen, [...].“ 12

Newton greift wieder auf die Vorstellung von Bewegungsvorgängen zurück, wenn er

versucht, das Wesen des Grenzwerts zu erläutern:

„Es besteht der Einwand, daß es kein letztes Verhältnis verschwindender Größen

gebe, weil, bevor sie verschwunden seien, das Verhältnis kein letztes sei, wenn

sie aber verschwunden seien, kein Verhältnis statthabe. Aber mit demselben Ar-

gument kann man behaupten, es gebe keine letzte Geschwindigkeit eines Kör-

pers, der an einem bestimmten Orte ankommt, wo die Bewegung endet. Denn die-

se Geschwindigkeit sei, bevor der Körper an diese Stelle komme, nicht die letzte,

wenn er sie aber erreicht habe, gebe es keine Geschwindigkeit mehr. Und die Ant-

wort ist leicht: Unter der letzten Geschwindigkeit ist diejenige zu verstehen, mit der

der Körper sich bewegt weder bevor er seine letzte Stellung erreicht hat und die

Bewegung endet noch danach, sondern dann, wenn er sie erreicht, d.h. gerade

diejenige Geschwindigkeit, mit der er an dieser letzten Stelle ankommt und mit der

die Bewegung endet. Ebenso ist unter dem letzten Verhältnis verschwindender

Größen das Verhältnis dieser Größen zu verstehen nicht bevor sie verschwinden

oder nachdem sie verschwunden sind, sondern mit dem sie verschwinden...“13

Die Beschreibung von „Bewegungen, die enden und beginnen“ können die Assozia-

tion eines Körpers nahe legen, der ausrollt und stehen bleibt. Es ist problematisch,

den Zeitpunkt, „mit dem der Körper stehen bleibt“ zu nennen, da man ein (halb-) offe-

nes Zeitintervall betrachtet. Die Geschwindigkeit des Körpers nimmt streng monoton

ab, das Intervall, in dem die Geschwindigkeitswerte des Körpers liegen, ist halboffen

[a ; 0). Die Geschwindigkeitswerte fallen jedoch unter jede Schranke, ihr Grenzwert

ist Null. Man muss gedanklich die Zeit weiterlaufen lassen, also den Körper noch

einige Zeit in Ruhe betrachten, um insbesondere das Intervall der Geschwindigkeits-

werte abschließen zu können. Dies ist ein eher trivialer Fall. Wahrscheinlicher ist,

dass sich Newton z.B. eine Kugel vorstellt, die auf eine Wand trifft und nach deren

Aufprallgeschwindigkeit er fragt. Die Aufprallgeschwindigkeit entspricht der letzten

Geschwindigkeit, da (idealisiert gesehen) die Bewegung der Kugel an der Wand en-

det. In Kapitel 3.2 „Messbarkeit von Momentangeschwindigkeit“ wird der „Röhrenta-

chometer“ vorgestellt, der so eine Aufprallgeschwindigkeit messen könnte.

12 [Becker 1975], S. 151

13 [Becker 1975], S. 151

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Dass es allgemein ein letztes Verhältnis gibt, erklärt Newton also damit, dass es eine

letzte Geschwindigkeit gibt. Hier ist zunächst die Momentangeschwindigkeit eines

bewegten Körpers gemeint. Es wird deutlich, dass Newton hofft, durch den Rückgriff

auf seine Alltagserfahrungen von Geschwindigkeiten und Bewegungsvorgängen die

Sinnhaftigkeit der von ihm entwickelten Mathematik zu untermauern. Da er hofft, so

seinen Kritikern begegnen zu können, muss er wohl davon ausgehen, dass die von

ihm verwendeten Eigenschaften von Bewegungen auch den Alltagserfahrungen an-

derer Menschen entsprechen. Für der Zeit gleichartige (also „stetig fließende“) Grö-

ßen und allgemeine Wachstumsgeschwindigkeiten geht Newton ebenfalls von der

Richtigkeit seiner Überlegungen bzgl. der Grenzwerten aus. Aber: Dass Schüle-

rinnen und Schüler heute durchaus nicht zwangsläufig mit Newtons Vorstellungen

von Bewegungen konform gehen, kann den Transkripten entnommen werden.

In dieser Untersuchung wurde Schülerinnen und Schülern eine Radtour-Situation

vorgelegt und gefragt, ob der Radfahrer so etwas wie eine Momentangeschwindig-

keit haben kann. Newton hätte dem zugestimmt und argumentiert: Die Momentange-

schwindigkeit des Radfahrers ist seine Aufprallgeschwindigkeit auf eine Mauer. Die

Probandinnen und Probanden ersparen dem Radfahrer dieses Schicksal. Dennoch

entwickeln sie z.T. ganz ähnliche Überlegungen: Gedanklich stellen sie sich am Rad-

weg auf und denken über die Geschwindigkeit nach, mit der der Radfahrer vorbei-

fährt.14 Der Ort an dem die Beobachter stehen entspricht der Mauer, auf die die

Kugel prallt. Gelegentlich sagen sie aber auch: Zu einem Zeitpunkt legt man keinen

Weg zurück, daher gibt es keine Momentangeschwindigkeit.15 Diese Argumentation

würde Newton vielleicht so formulieren: Wenn es keine letzten Größen gibt, gibt es

auch kein letztes Verhältnis. Dies entspricht aber nicht Newtons Vorstellung von Be-

wegungsvorgängen. Er würde entgegnen, dass es sehr wohl ein letztes Verhältnis

gibt, obwohl die beiden beteiligten Größen jeweils den Grenzwert Null haben:

„Diese letzten Verhältnisse, mit denen Größen verschwinden, sind nicht wirklich

Verhältnisse letzter Größen, sondern Grenzwerte, denen sich die Verhältnisse von

unbegrenzt abnehmenden Größen fortgesetzt nähern und denen sie näher kom-

14 vgl. z.B. [11]

15 vgl. z.B. [13]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 14

men können als irgend eine vorgegebene Differenz, bevor die Größen unbegrenzt

abgenommen haben.“ 16

Dass es wiederum die letzten Verhältnisse gibt, begründet Newton mit der letzten

(Aufprall-) Geschwindigkeit. Newton warnt davor, die Grenzwerte von Zähler und

Nenner getrennt zu betrachten. Durch die Trennung treten die beiden Grenzwert für

sich auf und können fälschlich für letzte Größen gehalten werden. Beide Grenzwerte

jedoch sind Null. Dieses führt zum 0/0-Problem, mit dem sich auch die Schülerinnen

und Schüler der vorliegenden Untersuchung plagen.

Es bleibt die Frage, welchen Wert der Grenzwert für Newton annimmt. Das macht er

in dem folgenden Lemma I deutlich:

„Lemma I. Größen, wie auch Größenverhältnisse, die zu jeder endlichen Zeit be-

ständig der Gleichheit zustreben und vor dem Ende jener Zeit einander näher

kommen als jede vorgegebene Differenz, werden schließlich gleich.“17

Sein Lemma beweist Newton mit dem naheliegenden Widerspruchsbeweis. Aufgrund

dieser Äußerung nennt Volkert Newton den „Urgroßvater der Grenzwertauffassung,

die im 19. Jahrhundert zum Fundament der Analysis gemacht werden sollte.“18 An

Newtons Lemma I kann man eine Erweiterung des Gleichheitsbegriffs erkennen.

Für Newton als Naturwissenschaftler des 17. Jahrhunderts spielten stetige Vorgänge

eine wesentliche Rolle. Daher geht er prinzipiell von stetigen bzw. differenzierbaren

Kurven und Funktionen aus, wie besonders an der Vorstellung von Größen, die

durch stetig bewegten Indivisibilien erzeugt werden, deutlich wird: „Ich betrachte hier

die mathematischen Größen nicht als aus äußerst kleinen Teilen bestehend, sondern

als aus durch stetige Bewegung beschrieben.“, siehe oben „Indivisibilien und Haupt-

problem“. Durch die Weiterentwicklung des Funktionsbegriffs war es später möglich,

auch unstetige und diskrete Funktionen, wie z.B. Folgen zu betrachten. Die nun not-

wendige mathematische Präzisierung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs (insbe-

sondere für Funktionen) wurden u.a. von Cauchy und Weierstraß geleistet.

16 [Becker 1975], S. 152

17 [Becker 1975], S. 150

18 [Volkert 1988], S. 91

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 15

Neben der Präzisierung von Begriffen spielen aber auch geeignete Schreibweisen

eine wichtige Rolle. Ein großes Problem Newtons ist sicherlich seine Schreibweise

mit dem kleinen „o“, da man einer Zeile der Berechnungen für sich nicht ansehen

kann, ob der Grenzprozess bereits durchgeführt wurde oder nicht; ob mit heutiger

Schreibweise die linke oder rechte Seite folgender Gleichung gemeint ist:

)()(lim 0

xfxf

xx =

→. Möglicherweise hat Newtons Zeitgenosse Berkley diese Doppel-

deutigkeit zum Anlass genommen, dessen Kalkül ironisierend zu kritisieren:

„Bisher habe ich vorausgesetzt, daß x fließt, daß x einen wirklichen Zuwachs hat,

daß o etwas ist. Und ich bin durchweg von dieser Voraussetzung ausgegangen,

ohne die ich nicht imstande gewesen wäre, einen einzigen Schritt zu tun. Von

dieser Voraussetzung aus komme ich zu dem Zuwachs von xn, so daß ich ihn mit

dem Zuwachs von x vergleichen und so das Verhältnis der beiden Zuwüchse

finden kann. Ich bitte dann um die Erlaubnis, eine neue Voraussetzung machen zu

dürfen, die der ersten entgegengesetzt ist; d.h. ich will jetzt voraussetzen, daß es

keinen Zuwachs von x gibt oder daß o nichts ist, welche zweite Voraussetzung

meine erste zerstört und mit ihr unverträglich ist und deshalb mit allem, was sie

voraussetzt. Ich bitte nichtsdestoweniger um die Erlaubnis nxn-1 zurückzubehalten,

welches ein Ausdruck ist, der vermöge meiner ersten Voraussetzung erhalten wur-

de, ja welcher notwendig eine solche Voraussetzung voraussetzt und nicht ohne

sie erhalten werden könnte.

All das scheint mir eine sehr widerspruchsvolle Art von Argumentation zu sein, so

wie sie in der Theologie nicht erlaubt wäre.“19

Newtons Vorstellungen und Schulanalysis

Aus heutiger Sicht hat Newton noch keinen formalen Grenzwertbegriff. Seine Vor-

stellungen könnte man vielleicht mit einem eher intuitiven Grenzwertbegriff, wie er

für den Mathematikunterricht in den 11. Klassen und für Mathematik-Grundkurse in

Nordrhein-Westfalen gefordert wird (vgl. [NRW 1999]), vergleichen. Newtons

Leistung liegt nicht in seinem Kalkül, der zu seiner Zeit ja bereits bekannt und ver-

reitet war, sondern in den zugehörigen Vorstellungen vom Grenzwertbegriff, die im

Lemma I zum Ausdruck kommen. Newton gründet sie auf Vorstellungen von Be-

wegungsvorgängen, insbesondere auf Vorstellungen von der Momentangeschwin-

19 vgl. [Becker 1975], S. 157 - 158

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 16

digkeit. Die Überlegungen zu Bewegungsvorgängen können mit Grundvorstellun-

gen20 des Ableitungsbegriffs, wie sie für den Mathematikunterricht gefordert werden,

in Verbindung gebracht werden.

Wie die Transkripte dieser Untersuchung zeigen, bereiten Schülerinnen und Schü-

lern Überlegungen zur Momentangeschwindigkeit jedoch Probleme. Im Alltag wird

der Begriff „Momentangeschwindigkeit“ bedenkenlos im Sinne Newtons verwendet,

vgl. Kap. 3.1. Denn: Wenn man sich die ganze Zeit bewegt, hat man doch zu jedem

Zeitpunkt eine Geschwindigkeit. Also gibt es letzte Verhältnisse. Aus den Transkrip-

ten ergibt sich auch, dass das intensive Nachdenken über Momentangeschwindigkeit

Menschen dazu bringen kann, diese Alltagsbedeutung in Frage zu stellen: Zu einem

Zeitpunkt legt man schließlich keinen Weg zurück, wie soll man da eine Momentan-

geschwindigkeit haben können? Also gibt es keine letzten Verhältnisse. – Kommt

man zu dem Ergebnis, dass es keine letzten Verhältnisse gibt, schließt sich die Fra-

ge an, ob der Wert der Momentangeschwindigkeit mit Hilfe der Weg-Zeit-Funktion

und der Differenzialrechnung überhaupt berechnet werden kann. Das scheint

wiederum ein Widerspruch dazu zu sein, dass die Differenzialrechnung die Verbin-

dung zwischen Weg-Zeit-Funktion und Geschwindigkeit-Zeit-Funktion zwingend her-

stellt, wie an Newtons Vorstellungen gezeigt wurde.

Im Kapitel 4 dieser Arbeit versuche ich, geeignete Begriffe zur genaueren Beschrei-

bung der gezeigten Denkweisen und für Ursachen für diese zu entwickeln. Dazu wird

im Folgenden zwischen Überlegungen in der realen Alltagswelt (r-Welt) und der Welt

der Mathematik (m-Welt) unterschieden21. Es ist notwendig, sich zunächst mit dem

Begriff der Momentangeschwindigkeit (r-Welt), dem Grenzprozess (r- und m-Welt)

und dem Grenzwertbegriff bei Funktionen (m-Welt) auseinanderzusetzen. In

Abbildung 2 ist der Zusammenhang dieser Begriffe skizziert.

20 Zum Begriff der Grundvorstellung vgl. z.B. [Bender 1991a], [Blum/Törner 1983] und [vom Hofe

1995a]

21 Zu den Denkwelten vgl. Kap. 2.2

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 17

Abbildung 2: Skizze der zentralen Begrifflichkeiten in den Kapiteln 3 und 4

m-Welt

Differenzen-

quotient Differenzial-

quotient

Durchschnitts-

geschwindigkeit Momentan-

geschwindigkeit

r-Welt

Grenz- prozess

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 18

2. Zum Design der Untersuchung

In diesem Kapitel soll zunächst die Aufgabe, die den Schülerinnen und Schülern vor-

gelegt worden war, vorgestellt und diskutiert werden (Kap. 2.1). In Kap. 2.2 finden

sich einige Bemerkungen zum Denkwelt-Begriff. Zur Interpretation und Analyse habe

ich Methoden der empirischen Unterrichtsforschung angewendet, jedoch nicht puris-

tisch, sondern in einer, wie ich meine, fruchtbaren Verbindung mit der Sachanalyse

mathematischer Begrifflichkeiten (Kap. 2.3). Für diese Art der Arbeit gibt es in

jüngerer Zeit vermehrt positive Beispiele in der Gemeinschaft der deutschsprachigen

Mathematikdidaktik, siehe z.B. vom Hofe und Hölzl. Darüber hinaus habe ich die in

der explorativen Sozialforschung bekannte Methode der Grounded Theory herange-

zogen. In Kap. 2.4 folgen schließlich einige Bemerkungen zur Findung und Zusam-

mensetzung der Gruppe der Probandinnen und Probanden zu finden.

2.1. Die Aufgabe

Folgende Aufgabe besteht aus fünf Teilaufgaben. Jede Teilaufgabe soll schriftlich

bearbeitet werden.

a) Jan Ulrich macht eine Radtour. „Zufällig“ fährt er genau so, dass die Funktion f mit

)10(28

)( tt

tf −

= für die ersten 5 Stunden wiedergibt, wie weit er bis zu einem

Zeitpunkt schon vorangekommen ist. Start ist um 14:00 Uhr.

Folgende Wertetabelle gibt einige Entfernungen an, die Jan Ulrich bis zum jeweiligen

Zeitpunkt zurückgelegt hat:

Zeitpunkt 14:30 15:00 15:30 16:00 17:00

Fahrdauer in h 0.5 1 1.5 2

Zurückgelegter

Weg in km 26.6 50.4 71.4 89.6

Wie weit ist er nach 3 Stunden gekommen?

b) Nach den ersten drei Stunden der Tour will der Trainer wissen, wie schnell Jan in

diesen drei Stunden durchschnittlich gefahren ist. Auch interessieren ihn die

Durchschnittsgeschwindigkeiten für die letzten 2 ½ Stunden, die letzten 2

Stunden, die letzten 1 ½ Stunden, die letzte Stunde und die letzte halbe Stunde.

c) Bisher war immer von Durchschnittsgeschwindigkeiten die Rede. Gibt es auch so

etwas wie eine Momentangeschwindigkeit um 16:00 Uhr? Begründe!

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 19

d) Wie kannst Du möglichst genau die Momentangeschwindigkeit berechnen?

e) Überlege, ob und wie Du mit Deiner Methode die Momentangeschwindigkeit ganz

genau berechnen kannst.

Diskussion der Teilaufgaben

Jede der fünf Teilaufgaben der Aufgabe stand auf einem eigenen Blatt Papier. Die

Schülerinnen und Schüler hatten daher immer genügend Raum, ihre Bearbeitungen

unter der Teilaufgabe zu notieren. Außerdem sollten sie die nächste Teilaufgabe erst

dann aufdecken, wenn die vorherige fertig bearbeitet worden war. Dadurch sollte ver-

hindert werden, dass sie Aufgabenteile im Voraus lasen. Wie man an der Aufgaben-

stellung sieht, ist das sinnvoll, da die Aufgabenstellung einer späteren Teilaufgabe

Hinweise auf die Bearbeitung der vorhergehenden Teilaufgaben geben kann. Jeweils

zwei Schülerinnen und Schüler haben die Aufgabe gemeinsam, also nicht im Wett-

kampf bearbeitet. Diese Arbeitsphase wurde gefilmt und später transkribiert.

Zu Aufgabenteil a)

Dieser Aufgabenteil dient hauptsächlich der Einarbeitung in die modellierte Situation.

Insbesondere macht er darauf aufmerksam, dass es zwei Typen von Zeitangaben

gibt: die Uhrzeit und die Fahrdauer, wobei die Uhrzeit einen Zeitpunkt, und die Fahr-

dauer eben eine Zeitdauer wiedergibt22. Die Fahrdauer liefert Werte für das Argu-

ment der Funktion. Durch die Aufgabe werden also erste Zusammenhänge zwischen

r- und m-Welt vorgegeben.

Die Aufgabenstellung, der Auftrag, einen Funktionswert zu berechnen, ist schulüblich

und wurde fast immer schnell erfüllt. Doch manchmal ist den Schülerinnen und

Schülern nicht klar, wie sie den gesuchten Wert ermitteln sollen. Dann treten ver-

schiedene Strategien auf: Den Videoaufnahmen ist zu entnehmen, dass viele Schü-

lerinnen und Schüler, die zumindest eine Ahnung haben, wie sie vorgehen können,

zunächst Fahrdauern in f einsetzen, zu denen die zugehörigen Entfernungen bereits

in der Wertetabelle vorgegeben waren. So testen sie ihr geplantes Vorgehen23. An-

22 Die daraus entstehende Problematik wird in Kap. 3.2 „Weg-Zeit- oder Orts-Zeit-Funktion?“ ausführ-

lich besprochen.

23 vgl. z.B. [01], [02], [05], [10], [12]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 20

dere versuchen, die gesuchte Strecke mit Hilfe der gegebenen Strecken zu berech-

nen. Dabei lässt sich mehrfach die Idee finden, dass die Orts-Zeit-Funktion linear

sein könnte / müsste24. Wieder anderen ist die Bedeutung der Funktion nicht klar.

Wenn sie die Variable t mit dem Wort „time“ in Verbindung bringen, klärt sich die Auf-

gabenstellung25. – Die leeren Spalten der Wertetabelle haben offensichtlich einen ho-

hen Aufforderungscharakter: Gelegentlich beginnen Probandenpaare damit, die Ta-

belle vollständig auszufüllen26.

Ein Grund für (aus Lehrersicht unverständlich) komplizierte Arbeitsansätze könnte

sein, dass die Schülerinnen und Schüler versteckte Fallen und Tricks erwarten, da

ihnen bewusst ist, dass sie Probandinnen und Probanden eines Forschungsversuchs

sind: „Das ist doch ne Falle von ihm.“ 27

Zu Aufgabenteil b)

Die Einführung der nur indirekt gegebenen Durchschnittsgeschwindigkeit (neben den

direkt gegebenen und schon bekannten Entfernungen) erweitert und vertieft die Mo-

dellierung der Situation und stellt eine weitere Verbindung zwischen den Denkwelten

her. Bis hier waren die Schülerinnen und Schüler hauptsächlich gefordert, die durch

die Aufgabenstellung vorgegebene Modellierung nachzuvollziehen. Nun soll ein ers-

ter eigener Schritt, selber eine Entsprechung zwischen r- und m-Welt zu entwickeln,

geleistet werden, da die Berechnungsvorschrift für die Durchschnittsgeschwindigkeit

nicht gegeben ist. Insbesondere die Erkenntnis, dass Durchschnittsgeschwindigkei-

ten der „letzten x Stunden“ berechnet werden sollen, also Wegdifferenzen betrachtet

werden müssen, führt dazu, dass die Probanden selber ein wenig Modellbildung

betreiben müssen.

Um die letzte der geforderten Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnen zu können,

müssen die Probanden einen weiteren Funktionswert berechnen. Hier kann man nun

einen Zweck der beiden ersten Aufgabenteile erkennen: Später werden Grenzwert-

Betrachtungen am Differenzenquotienten gefordert. In Aufgabenteil b) wird der Diffe-

renzenquotient teilweise aufgestellt. Teilweise, da hier im Nenner die Zeitdifferenz

24 vgl. z.B. [02], [12]

25 vgl. z.B. [02], [12]

26 vgl. z.B. [11]

27 [11, 127]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 21

nicht betrachtet werden muss, da der Wert der Differenz im Aufgabentext angegeben

wird. Um Grenzwert-Betrachtungen anstellen zu können, muss unter anderem si-

chergestellt sein, dass man in einer Umgebung um die betrachtete Stelle alle Funk-

tionswerte der gegebenen Funktion f berechnen kann. Dass möglicherweise Funk-

tionswerte berechnet werden müssen, wird durch den Aufgabenteil b) betont. Dass

Funktionswerte berechnet werden können, zeigt Aufgabenteil a).

Die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeitswerte und der Schwierigkeitsgrad

der Modellbildung bewegen sich im Rahmen schulüblicher Aufgaben. Die Videoauf-

nahmen zeigen, dass viele Schülerinnen und Schüler die Aufgabenstellung zunächst

nicht aufmerksam lesen: Oft werden zunächst die Durchschnittsgeschwindigkeiten

der ersten x Stunden berechnet28. Der Begriff der Durchschnittsgeschwindigkeit ist

nicht allen Schülerinnen und Schüler in seiner r-Welt-Bedeutung sofort geläufig.

Daher wird der Differenzenquotient als zugehöriges mathematische Objekt nicht im-

mer aufgestellt: Stattdessen werden die zurückgelegten Kilometer der Spalten der

Wertetabelle aufaddiert, um sie durch die Gesamtzahl der Werte zu dividieren29. Mit

dem Begriff „Durchschnitt“ wird hier wohl das arithmetische Mittel assoziiert, also mit

dem m-Welt-Algorithmus „addieren und durch Anzahl der Summanden teilen“ ver-

bunden. Gelegentlich soll die Summe auch durch die gesamte Fahrdauer geteilt wer-

den.

Die Schülerinnen und Schüler wenden verschiedene Techniken an, um zu überprü-

fen, ob die von ihnen berechneten Werte der Durchschnittsgeschwindigkeiten richtig

sein können. Unter Einbezug der r-Welt wird z.B. gefragt: „Ist so eine Durchschnitts-

geschwindigkeit für einen Radfahrer realistisch?“ Oder: „Warum wird der immer lang-

samer?“ Aber auch in der m-Welt werden Vergleiche mit vorangegangenen Rechen-

ergebnissen angestellt30.

Bis hier werden weder in der r- noch in der m-Welt infinitesimale Denk- und Rechen-

weisen benötigt. Der realen Situation entsprechen konkrete Entfernungen und Durch-

schnittsgeschwindigkeiten, also Werte, die sich mit Hilfe von Kalkülen aus der Sek-

undarstufe I berechnen lassen. Dies ändert sich nun in den Aufgabenteilen c) und d),

28 vgl. z.B. [05], [08]

29 vgl. z.B. [11], [12]

30 vgl. z.B. [05; 66 - 70], [05; 86], [05; 224], [03; 159], [04; 90], [06; 70]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 22

in denen die Schülerinnen und Schüler einen ersten Zusammenhang zwischen

Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit in der r-Welt einerseits

und dem Grenzprozess am Differenzenquotient in der m-Welt andererseits herstellen

sollen. In Aufgabenteil e) schließlich geht es, mathematisch betrachtet, um die Mo-

mentangeschwindigkeit und den Differenzialquotienten.

Zu den Aufgabenteilen c) und d)

In Aufgabenteil c) wird gefragt, ob es auch so etwas wie eine Momentangeschwindig-

keit gibt. Es bleibt offen, in welcher Denkwelt diese Frage beantwortet werden soll.

In der r-Welt ist diese Frage verwirrend. Jeder, der schon einmal Fahrrad, Auto oder

Zug gefahren ist, weiß, dass es eine Momentangeschwindigkeit gibt. Geschwindig-

keit ist eine Alltagserfahrung, die jede Schülerin und jeder Schüler gemacht hat (vgl.

3.1). Die Momentangeschwindigkeit kann sogar mit einem Alltagsinstrument, einem

Tachometer, gemessen werden (vgl. 3.2). Die Erfahrung „Geschwindigkeit" und die

Messbarkeit der Momentangeschwindigkeit lassen also die Frage nach der Existenz

derselben verwirrend und überflüssig erscheinen. Dies empfinden wohl auch die Pro-

bandinnen und Probanden, wie man an verschiedenen Stellen der Transkripte er-

kennen kann. Sie stehen vor dem Problem, etwas zu begründen, das so alltäglich ist,

dass es eigentlich keiner Begründung bedarf. Die Alltagserfahrung und die Messbar-

keit sind aber Elemente der r-Welt.

Die Transkripte zeigen, dass das Problem, etwas in der r-Welt Selbstverständliches

begründen zu müssen, die Probanden dazu bringt, die Begründung außerhalb der r-

Welt zu suchen. Als der Versuchsleiter die Schülerinnen und Schüler für seinen Ver-

such geworben hat, hat er sich als angehender Mathematiklehrer vorgestellt und die

Untersuchung in den Kontext „Schülerinnen, Schüler und Mathematik“ eingebettet.

Da den Schülerinnen und Schülern der mathematische Charakter der Untersuchung

und der Aufgabe bewusst ist, und ihnen die Fragestellung in der r-Welt überflüssig

erscheint, fühlen sie sich wohl angehalten, die Begründung in der m-Welt zu suchen.

Schülerinnen und Schüler stellen für sich Annahmen auf, was sie meinen, was von

ihnen erwartet wird. Diese Annahmen unterstützen wohl diesen Wechsel in die m-

Welt. – Die Aufgabe heißt „Begründe!“. Natürlich sind auch in der m-Welt Begründun-

gen möglich. Allerdings werden oft zunächst Berechnungsversuche als Bearbeitung

dieses Aufgabenteils angeboten. Die Schülerinnen und Schüler interpretieren die

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 23

Aufgabenstellung um: von „Gibt es eine Momentangeschwindigkeit?“ in „Wie können

wir die Momentangeschwindigkeit berechnen?“ Dieser Wechsel zeigt, welches Bild

von Mathematik die Schule bei den Schülerinnen und Schülern erzeugen kann:

Mathematik kann eng mit „Rechnen“ verbunden, oder sogar gleichgesetzt werden.

Zudem kann die Erwartungshaltung, die dem Versuchsleiter von den Schülerinnen

und Schülern möglicherweise zugeschrieben wird, eine Rolle spielen: Sie meinen

vielleicht, dass in einer mathematischen Untersuchung Rechenfertigkeiten gefordert

seien. Für die Frage nach der Existenz der Momentangeschwindigkeit mag der Ge-

danke dahinterstecken, dass die Berechnung des Wertes die Existenz der Momen-

tangeschwindigkeit sicherstellt. Schülerinnen und Schüler, die von dieser Annahme

ausgehen, können diesen Aufgabenteil natürlich durch die Berechnung des Werts

der Momentangeschwindigkeit beantworten.

Eine alternative Formulierung dieses Aufgabenteils könnte etwa so aussehen:

„Bisher war von Durchschnittsgeschwindigkeiten die Rede.

i) Begründe, warum es auch eine Momentangeschwindigkeit gibt.

ii) Berechne diese möglichst genau.“

Allerdings halte ich diese Formulierung für die vorliegende Untersuchung für nicht

geeignet, da die zweite Frage die m-Welt, und somit die erste (als Alternative ge-

sehen) die r-Welt betont. Diese alternative Aufgabenstellung würde vermutlich eine

Trennung der beiden Welten hervorheben, so dass die Bemühungen der Schüle-

rinnen und Schüler, die Welten in Einklang zu bringen, möglicherweise gemindert

oder sogar verhindert worden wäre, so nach der Idee: Die Antworten zu zwei ge-

trennten Fragen müssen nichts miteinander zu tun haben. Diese Haltung wäre der

Untersuchung abträglich gewesen.

Die Transkripte zeigen, dass die Probandinnen und Probanden bei der Bearbeitung

dieser Teilaufgabe in einem ständigen Spannungsverhältnis der beiden Denkwelten

stehen31. Dieses Spannungsverhältnis wird vom Versuchsleiter als produktiv und im

positiven Sinne als provokativ empfunden. Den Transkripten der Vor- und Hauptun-

tersuchung ist zu entnehmen, dass den Probandinnen und Probanden intuitiv sehr

31 vgl. [06] und dessen Interpretation in Kap. 5.1

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 24

wohl der Unterschied zwischen den beiden Denkwelten klar ist, und es gibt auch

Gegenüberstellungen der Welten. Aber vor allem gibt es die Bemühungen, die

Welten in Einklang zu bringen.

Die Untersuchung zeigt auch, dass die Frage der Teilaufgabe c) gelegentlich zu-

nächst nicht beantwortet werden kann. Manchmal wird ein Berechnungsversuch

auch dann angeboten, wenn den Probandinnen und Probanden intuitiv klar ist, dass

die Aufgabe nicht explizit eine Berechnung fordert.

Der Aufgabenteil d) fordert nun eine möglichst genaue Berechnung der Momentan-

geschwindigkeit, betont also die m-Welt. Hier stutzen viele Schülerinnen und Schü-

ler, da sie hier eine Aufgabenstellung finden, die sie zu dem auffordert, was sie als

Bearbeitung der vorhergehenden Teilaufgabe bereits getan haben. Durch die

Bearbeitung des Aufgabenteils c) aber ist für alle Schülerinnen und Schüler klar,

dass es einen Zusammenhang zwischen r- und m-Welt geben muss. Daher kommt

es nicht zu den oben befürchteten Auswirkungen, zu separaten Betrachtungen in

beiden Welten. Allerdings wird wohl die Existenz der beiden Denkwelten so ins Be-

wusstsein der Schülerinnen und Schüler gehoben, dass oft eine erneute Bearbeitung

des Aufgabenteils c) angeregt wird. Das hat einerseits den Vorteil, dass nun zu

beiden Aufgabenteilen Antworten aufgeschrieben werden können. Andererseits gibt

die Neubearbeitung den Mut, als Antwort von Aufgabenteil c) eine Begründung durch

intensive Beschreibung der Alltagserfahrung „Geschwindigkeit“ zu geben, wobei

dazu oft mathematische Vokabeln gebraucht werden.

Die typischen Denkweisen, die die Schülerinnen und Schüler hier an den Tag legen,

sollen ausführlich in Kapitel 4 beschrieben werden. Es zeigte sich jedoch, dass die

Schwierigkeiten dieser Aufgabenteile darin bestehen, einerseits den r-Welt-Begriff

„Momentangeschwindigkeit" zu klären, andererseits in der m-Welt den Grenzprozess

am Differenzenquotienten zu initiieren, dann dessen Bedeutung für die r-Welt zu

klären, und schließlich die jeweils zugehörigen Begrifflichkeiten beider Denkwelten

zu verbinden.

Solche Begründungsaufgaben tauchen eher selten in Schulbüchern der Sekundar-

stufe I und II auf. Daher kann die Bearbeitung nicht auf Routine-Tätigkeiten zurück-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 25

geführt werden. Ein Paar32, eine Schülerin und ein Schüler, die beide sehr gute No-

ten im Mathematik-Leistungskurs erzielten, berechnete im Aufgabenteil c) bereits

den Wert der Ableitung. Mit den beiden letzten Aufgabenteilen konnten die beiden

nichts anfangen. Daher beklagten sich im abschließenden Gespräch mit dem Ver-

suchsleiter darüber, dass dreimal die selbe Aufgabe gestellt wurde. Zwar gelang es

diesem, den unterschiedlichen Charakter der Aufgabenteile zu verdeutlichen, aber

anschließend beurteilten die Schülerin und der Schüler die Teile c) und d) so: Das

hat nichts mit Mathematik zu tun. - Eine Dreier-Kandidatin33 eines Grundkurses ant-

wortete auf die Klagen ihrer Mitstreiterin über die blöde Begründungsaufgabe: „Das

ist doch gut, das machen wir in der Schule nie.“ Aus der Bemerkung der Dreier-

Kandidatin kann man den Schluss ziehen, dass einige Lehrerinnen und Lehrer viel-

leicht zu starke Bedenken gegenüber Begründungsaufgaben haben, die im Vergleich

zu Berechnungsaufgaben als deutlich schwerer angesehen werden.

Aufgabenteil e)

Der Aufgabenteil e) regt an, noch einmal über das Verhältnis von r- und m-Welt ent-

lang eines Bogens zwischen Momentangeschwindigkeit und Differenzenquotient

nachzudenken. Leider wird dieser Aufgabenteil der ihm zugedachten Funktion nicht

immer gerecht. Oft kommt es nur zu einer Wiederholung von Argumenten, die bereits

in den vorhergehenden Aufgabenteilen genannt wurden. Gelegentlich geben die

Probanden nach der Bearbeitung von Aufgabenteil d) auf. Oft haben die Schü-

lerinnen und Schüler schon 40 Minuten konzentriert gearbeitet, bis sie zu dieser Teil-

aufgabe gelangen. Daher haben sich bei e) wahrscheinlich Ermüdungserscheinun-

gen und ein Nachlassen der Motivation bemerkbar gemacht.

Manchmal jedoch regt der Aufgabenteil e) die Schülerinnen und Schüler dazu an,

zuvor begonnene Gedanken wieder aufzunehmen und weiter zu treiben. Weil nun

alle Aufgabenteile bekannt sind, können die Schülerinnen und Schüler die Intentio-

nen, die sie dem Versuchsleiter bzgl. der einzelnen Aufgabenteilen zuschreiben, neu

interpretieren. Das führt vielleicht dazu, dass Begründungen in den Bearbeitungen zu

c) und d) noch einmal verbessert werden, da ja nun klar ist, dass am ehesten im

letzten Aufgabenteil gerechnet werden soll.

32 vgl. [16]

33 vgl. [06]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 26

Bezüge zur Schulpraxis

In dieser Arbeit zeigt sich das persönliche Interesse des Autors an den Fragen nach

den Vorstellungen vom Grenzwertbegriff bei Schülerinnen und Schüler. Folgen und

Reihen mit ihren Grenzwerten werden inzwischen eher selten an Gymnasien unter-

richtet34. Aus diesem Grund wurde die oben aufgeführte Aufgabe aus dem Bereich

der Differenzialrechnung gewählt, bei der der Grenzwertbegriff immer noch eine zen-

trale Rolle spielt.

In der didaktischen Literatur werden oft drei Grundvorstellungen für den Grenzpro-

zess der Differenzialrechnung vorgestellt: die Sekanten-Tangenten-Vorstellung, die

Vorstellung von der durchschnittlichen und lokalen Änderungsrate und die Vorstel-

lung der linearen Approximation35. In Kap. 4.3 wird gezeigt, dass es letztlich nur zwei

verschiedene Grundvorstellungen gibt, da die Vorstellung der Tangentensteigung ein

Spezialfall der Vorstellung der lokale Änderungsrate ist. Der bis August 1999 gültige

Lehrplan für Mathematik für die gymnasiale Oberstufe des Landes Nordrhein-

Westfalen ([NRW 1981]) betont als Zugang zur Differenzialrechnung ausschließlich

die Tangentensteigungsvorstellung der Ableitung36. Der Zugang über diese Vorstel-

lung wird oft als geometrisch und innermathematisch bezeichnet37, da er zur Begrün-

dung des Differenzenquotienten und des Grenzprozesses ausschließlich mit mathe-

matischen Objekten auskommt: Graphen von Funktionen, Sekanten, Tangenten und

Steigungsdreieck, Differenzen- und Differenzialquotient und lim-Operator. Dem ge-

genüber steht der sogenannte außermathematische Zugang, der mit der Vorstellung

der lokalen Änderungsrate in Verbindung gebracht wird. „Außermathematisch“ ist

hier im Vergleich zum innermathematischen Zugang nur die zusätzliche Einkleidung

in einen außermathematischen Kontext. Als Anwendung der Differenzialrechnung

findet man im genannten Lehrplan38 für Grundkurse im Unterthema „3. Anwendun-

gen“ nur die Kurvendiskussion, die Bestimmung von Funktionsvorschriften von Funk-

tionen mit gegebenen Eigenschaften und die Charakterisierung einfacher Funktio-

nenklassen. Das entsprechende Unterthema für Leistungskurse sieht zudem eine

34 Das kann der Autor aus eigener Erfahrung sagen, die z.B. von Bender geteilt wird, vgl. [Bender

1991b]. Seit kurzem unterstützt auch der Lehrplan des Landes Nordrhein-Westfalens die Vernach-

lässigung von Folgen und Reihen. Für Leistungskurse wird vorgeschlagen, Folgen und Reihen im

Anschluss an die Differenzialrechnung zu betrachten, vgl. [NRW 1999].

35 vgl. z.B. [Blum/Törner 1983]

36 [NRW 1981], S. 36, 38

37 vgl. [Blum/Törner 1983] Kap. A5

38 [NRW 1981], S. 37

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 27

„exemplarische Anwendung in einer außermathematischen Wissenschaft“ vor39. Hier

kann man Ansätze jener antididaktischen Umkehrung erkennen, die Freudenthal be-

schreibt, vgl. Kap 1.1.

Im neuen, seit August 1999 gültigen Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe [NRW

1999] hat aber nun ein Tausch stattgefunden. Als primäre Grundvorstellung wird nun

die lokale Änderungsrate vorgeschlagen, die mit Hilfe der Tangentensteigung visuali-

siert werden kann. Dies ist ein Grund dafür, dass in der Aufgabe dieser Untersu-

chung die lokale Änderungsrate an einem Bewegungsproblem thematisiert wird. Die

Schülerinnen und Schüler wurden zwar noch nach dem alten Lehrplan unterrichtet,

jedoch gab es zwei Paare aus zwei Kursen (derselben Lehrerin), die den Einstieg in

die Differenzialrechung über ein Bewegungsproblem kennengelernt hatten.

2.2. Bemerkung zum Begriff der Denkwelt

Denkwelten und Modellbildung

Mehrfach war von Denkwelten die Rede. Im Folgenden wird geklärt, wie dieser

Begriff hier verstanden wird. Ähnlich wie in der Modellbildungstheorie sollen die reale

Alltagswelt und die Mathematik-Welt gedanklich einerseits gegenübergestellt und an-

dererseits miteinander verbunden werden. In einer Denkwelt denkt man über einen

bestimmten Gegenstandsbereich nach. Die beiden Gegenstandsbereiche dieser Ar-

beit sind Bewegungsvorgänge in der realen Alltagswelt und die Differenzialrechnung

in der Mathematik. Die Denkwelten zu diesen Gegenstandsbereichen sollen r- und

m-Welt genannt werden. Sie „enthalten“ Vorstellungen und gedachte Strukturen des

jeweiligen Gegenstandsbereichs und können mit Modellen der Modellbildungstheorie

verglichen werden. Ähnlich, wie hier ein Gegenstandsbereich und die zugehörige

Denkwelt gegenübergestellt werden, ist in der Modellbildungstheorie oft von dem „re-

alen Problem“ und dem „realen Modell“, sowie von dem „mathematischen Modell“

39 [NRW 1981], S. 39

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 28

und der „mathematischen Lösung“ u.ä. die Rede40. Modelle im Sinne der Modellbil-

dungstheorie charakterisiert Stachowiak so:

„1. Abbildungsmerkmal:

Modelle sind stets Modelle von etwas, nämlich Abbildungen und damit Repräsen-

tationen gewisser natürlicher und künstlicher Originale, die selbst wieder Modelle

sein können.“41

Stachowiaks „natürliche und künstliche Originale“ entsprechen den, in der r-Welt

eher natürlichen, in der m-Welt eher künstlichen Situationen. Modelle zu diesen Ori-

ginalen finden sich in den Denkwelten. Der m-Welt können sowohl künstliche

Originale als auch Modelle zugeschrieben werden. Das r-Welt-Modell „Weg-Zeit-

Funktion“ einer realen Situation „Bewegungsvorgang“ kann Original in der m-Welt

sein. Hier deutet sich an, dass es sehr schwer sein wird, Äußerungen der

Schülerinnen und Schüler genau einer Denkwelt zuzuschreiben. Mehr als eine

Betonung einer Denkwelt wird man selten feststellen können.

„2. Verkürzungsmerkmal:

Modelle erfassen nicht alle Eigenschaften des durch sie repräsentierten Original-

(system)s, sondern nur solche, die den jeweiligen Modellerschaffern und –benut-

zern relevant erscheinen.“ 42

Verkürzungen lassen sich in den Transkripten finden. Über triviale wie die Unerheb-

lichkeit der Farbe des Fahrrads soll nichts weiter gesagt werden. – Im Alltag und

somit auch für die Schülerinnen und Schüler wird unter dem Begriff „Geschwindig-

keit“ der physikalische Begriff des „Tempos“ verstanden. Zum physikalischen Ge-

schwindigkeitsbegriff gehört neben dem Tempo auch die Richtung, die für die Schü-

lerinnen und Schüler keine Rolle spielt. Oft stellen sie sich geradlinige Bewegungen

vor, wie Handbewegungen einiger Schülerinnen und Schüler auf den Videofilmen43

vermuten lassen. Andere Schülerinnen und Schüler stellen sich gedanklich an dem

Ort auf, an dem der Radfahrer um 16 Uhr vorbei kommt, „wie Jan Ullrich nun

angeradelt kommt“44. Hier wiederum kann man unterstellen, dass dieser sich nicht

40 vgl. z.B. [Blum 1985]

41 [Stachowiak 1973], S. 131 - 133

42 [Stachowiak 1973], S. 131 - 133

43 z.B. [06, 190], [14, 170]

44 [11, 291]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 29

geradlinig bewegt. Das wird in den Transkripten aber nicht thematisiert. In der Physik

kann die Geschwindigkeit durch einen Vektor repräsentiert werden, dessen Fußpunkt

sich an dem Punkt eines Koordinatensystem befindet, der den Ort des Radfahrers zu

einem Zeitpunkt darstellt. Die Richtung des Vektors entspricht der momentanen

Richtung des Radfahrers, seine (absolute) Länge dem Tempo. Im Alltagsverständnis

wird die Geschwindigkeit durch eine Zahl repräsentiert. Indem die Schülerinnen und

Schüler den Geschwindigkeitsbegriff in seiner Alltagsbedeutung benutzen, verkürzen

sie ihn aus Sicht des Physikers. – Der Radfahrer bewegt sich auf einer Kurve durch

den dreidimensionalen Raum. Für Schülerinnen und Schüler ist die Länge eines

Kurvenabschnitts oder ein Ort, an dem der Radfahrer vorbei fährt, intuitiv existent.

Der Mathematiker müsste, um die Länge eines Kurvenabschnitts im R³ zu be-

stimmen, rektifizieren, und um einen Ort im Raum zu beschreiben, einen Vektor und

ein Koordinatensystem bemühen. Eine Verkürzung findet hier also nur aus der Sicht

des Mathematikers statt, nicht aus der Alltagssicht.

„3. Pragmatisches Merkmal:

Modelle sind ihren Originalen nicht per se eindeutig zugeordnet. Sie erfüllen ihre

Repräsentations- und Erzeugungsfunktion vielmehr immer nur

a) für bestimmte Subjekte

b) unter Einschränkungen auf bestimmte gedankliche oder tatsächliche Opera-

tionen und

c) innerhalb bestimmter Zeitspannen.“ 45

Zu Aspekt a): Tatsächlich zeigt sich in den Transkripten, dass verschiedene Schüler-

innen und Schüler verschiedene Vorstellungen z.B. von Bewegungsvorgängen ent-

wickeln: Sie stellen sich am Straßenrand auf, betrachten den Radfahrer über eine

gewisse Zeitdauer der Radtour oder nur zu dem Zeitpunkt 16 Uhr46. Andere stellen

sich vor, sie säßen in einem Auto und beobachteten den Tachometer47. Wieder an-

dere verdeutlichen sich Bewegungsvorgänge anhand von Handbewegungen48. Von

diesen Vorstellungen hängt ab, wie sie den Aufgabenteil c) beantworten.

45 [Stachowiak 1973], S. 131 - 133

46 vgl. [06; 210], [11, 291], [14; 171], [13; 245]

47 z.B. [06; 210 - 216]

48 z.B. [14; 168 - 172]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 30

Zu Aspekt b): Aus der Weg-Zeit-Funktion kann durch eine Operation leicht die Ge-

schwindigkeit-Zeit-Funktion gewonnen werden. Dafür ist die Weg-Zeit-Funktion als

Modell eines Bewegungsvorgangs gut geeignet. Völlig ungeeignet ist sie dagegen,

wenn man z.B. herausfinden will, ob die Radtour in einem gewissen Abschnitt beson-

ders anstrengend war oder nicht: Wird dort eine große Weglänge zurückgelegt, kann

sich der Radfahrer besonders angestrengt haben, oder aber er ließ sich entspannt

einen steilen Berg herabrollen.

Zu Aspekt c): In Kapitel 4 werden zwei Sichtweisen vorgestellt, die die Schülerinnen

und Schüler unabhängig von den Denkwelten entwickeln. Diese Sichtweisen bezie-

hen sich auf die Vorstellung von Momentangeschwindigkeit und vom Grenzwert-

begriff. Zu jeder Sichtweise gehören typische Vorstellungen in r- und m-Welt. Im

Laufe der Bearbeitung der Teilaufgaben c) bis e) kann man gelegentlich beobachten,

wie eine Schülerin oder ein Schüler einen Sichtweisenwechsel vornimmt. Solche

Sichtweisenwechsel werden in den Transkriptanalysen in Kapitel 5 herausgearbeitet.

Zu Beginn und am Ende der Partnerarbeitsphase hat diese Schülerin / dieser Schü-

ler also verschiedene Vorstellungen bzw. Modelle von Momentangeschwindigkeit.

Der Aspekt a) des pragmatischen Merkmals wird besonders betont, wenn man wie

Busse49 versucht, das Konzept der subjektiven Erfahrungsbereiche (SEBe) nach

Bauersfeld50 auf die Modellbildung zu übertragen. Die Denkwelten gehen in verschie-

denen SEBen auf, welche die „...Gesamtheit des als subjektiv wichtig Erfahrenen

und Verarbeiteten, einschließlich der Gefühle, der Körpererfahrung usw. also nicht

nur der kognitiven Dimension“51 umfassen. r- und m-Welt als Teile von SEBen kön-

nen nach Bauersfeld völlig getrennt voneinander vorliegen. Die Herstellung von Zu-

sammenhängen zwischen den SEBen erfordert die Ausbildung eines dritten SEBs.

„Die Bildung eines Modells kann man als Konstituierung eines dritten SEBs interpre-

tieren, der den Blick auf das reale Problem einerseits und auf dessen Mathemati-

sierung andererseits zulässt und diese beiden integriert.“52 Diese Überlegungen sind

für diese Untersuchung nicht uninteressant:

49 vgl. [Busse 1999]

50 vgl. [Bauersfeld 1983]

51 [Bauersfeld 1983], S. 2

52 [Busse 1999], S. 244

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 31

Zusammenhänge zwischen Gegenstandsbereichen können vermutlich nur auf der

Denkwelt-Ebene hergestellt werden, insbesondere wenn die Gegenstandsbereiche

so unterschiedlich sind wie in dieser Arbeit. Wenn also hier die Frage gestellt wird,

welche Zusammenhänge Schülerinnen und Schüler zwischen Bewegungsvorgängen

und Differenzialrechnung sehen, muss man zunächst versuchen, die Denkwelten der

Schülerinnen und Schüler so gut es geht, offen zu legen. Aber: Denkwelten sind

subjektiv und daher von Mensch zu Mensch verschieden (vgl. Aspekt a)). Nur unter

der Prämisse, dass Denkwelten verschiedener Menschen von gewissen Alltagssitua-

tionen eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen, kann diese Arbeit akzeptiert werden.

Oevermann beschreibt diese Voraussetzung bezüglich seiner objektiven Hermeneu-

tik in der Sozialforschung so:

„Kriterium für die Gültigkeit der Auslegung dieser Sinnstrukturen sind genau jene

Regeln, die in der Realität selbst an der Erzeugung der Sinnstrukturen beteiligt

waren und über die der Interpret mehr oder weniger gut per Sozialisation in seiner

gesellschaftlichen Lebenspraxis verfügt... Da die Sinnstrukturiertheit von sozialen

Abläufen und Objektivationen regelgeleitetes Handeln zwingend voraussetzt, grün-

det sich die methodologische Geltungsbegründung von Interpretationen auf die

Geltung von Regeln und auf deren naturwüchsige Existenz, zudem darauf, daß die

Regeln, da von Naturgesetzen wesensmäßig unterschieden, einen von diesen

unabhängigen, eigenständigen Anspruch auf Geltung erheben.“53

Oevermann geht davon aus, dass Denkwelten als Sinnstrukturen eines Gegenstand-

bereichs (z.B. Bewegungsvorgänge) nach gewissen Regeln aufgebaut werden. Ziel

seiner objektiven Hermeneutik ist, die Bedeutung einer Situation aufgrund geltender

Regeln zu erfassen. Auch die Nutzung der in Kap. 2.3 vorgestellten Grounded

Theory setzt eine gewisse Ähnlichkeit der Denkwelten bezüglich Bewegungsvorgän-

gen voraus. Man kann in dieser Arbeit ein Indiz dafür sehen, dass diese Ähnlichkei-

ten auftreten: Gäbe es neben aller subjektiver Wahrnehmung und subjektiver kogniti-

ver Verarbeitung diese Ähnlichkeiten nicht, hätten die in Kap. 4 vorgestellten Sicht-

weisen als Oberbegriffe für die Schülerinnen- und Schüler-Vorstellungen in beiden

Denkwelten wahrscheinlich nicht entwickelt werden können. Die gefundenen Sicht-

weisen haben sich bei der Analyse und Einordnung aller Schülerinnen- und Schüler-

53 [Oevermann 1983], S. 97

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 32

Äußerungen bewährt, die sich auf das Wesen der Momentangeschwindigkeit und

des Grenzwerts beziehen, sie „passen“ und „funktionieren“ (vgl. 2.3).

Bei der Interpretation der Transkripte hat sich gezeigt: Wenn Schülerinnen und Schü-

ler versuchen, Zusammenhänge zwischen r- und m-Welt herzustellen, kommt es auf-

grund des Versuchs, Verbindungen aufzuzeigen, zwangsläufig dazu, dass an ihren

Äußerungen nicht klar zu erkennen ist, ob diese der einen oder anderen Denkwelt

zugeordnet werden können. Erst der Gesprächskontext zeigt an, welche Welt jeweils

stärker betont wird.

Die Frage nach einer Physik-Welt

Bei Bewegungsaufgaben, Vorstellungen und Beschreibungen von Bewegungsvor-

gängen kann man die Frage nach einer Physik-Welt mit der zugehörigen Denkwelt

(p-Welt) stellen. Gegenstandsbereich des hier wichtigen Teils der Physik sind Bewe-

gungsvorgänge. Das ist aber auch Gegenstandsbereich der r-Welt. Es wird nun

gezeigt, eine p-Welt in dieser Arbeit kaum auszumachen ist:

• Der Begriff der Momentangeschwindigkeit als physikalischer Begriff ist hier zentral.

Daneben gibt es aber auch die Alltagsbedeutung des Worts „Momentangeschwin-

digkeit“. Wie im vorhergehenden Abschnitt „Verkürzungsmerkmal“ angedeutet, unter-

scheiden sich die Begriffe der Momentangeschwindigkeit in der Physik (Geschwin-

digkeit = Tempo und Richtung; Repräsentation durch einen Vektor) und im Alltag

(Geschwindigkeit bei geradlinigen Bewegungen; Repräsentation durch eine Zahl) er-

heblich. Die Schülerinnen und Schüler verwenden „Momentangeschwindigkeit“ aus-

schließlich in der Alltagsbedeutung.

• Zur Beschreibung einer physikalischen Theorie wird oft eine mathematische Spra-

che verwendet, wie bei den Gesetzen der Bewegungslehre, z.B. S = v ⋅ t. Physikali-

sche Beschreibungen von Bewegungsvorgängen sind in ihrer äußeren Form von ma-

thematischen Schreibweisen kaum zu unterscheiden. Kann aber die Verwendung

mathematischer Objekte und Kalküle zur Beschreibung von Bewegungsvorgängen

durch die Schülerinnen und Schüler bzw. der Wunsch sie zu nutzen, ein Zeichen da-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 33

für sein, dass sie sich gedanklich in der p-Welt aufhalten? – Die Schreibform S = v ⋅ t

kann wohl erst der p-Welt zugeordnet werden, wenn unter S (Weg), v ((Momentan-)

Geschwindigkeit) und t (Zeit) die physikalische und nicht die alltagsweltliche Bedeu-

tung verstanden wird. Dies ist bei den Schülerinnen und Schülern aber, wie gesagt,

nicht der Fall. Die in der Aufgaben gegebene Weg-Zeit-Funktion wird von den ihnen

wohl eher in der m-Welt genutzt: In die Funktionsgleichung werden für t Zahlen

eingesetzt (Aufgabenteil a)), mit Hilfe der Funktionsgleichung werden „Formeln“

hergestellt (Aufgabenteil b)) und sie wird z.T. abgeleitet (Aufgabenteile d) und e)).

Sie wird also eher für mathematische Tätigkeiten genutzt, vgl. „pragmatisches Merk-

mal, Aspekt b)“

• In den Transkripten äußern einige Schülerinnen und Schüler die Idee des Messens

von Weg, Zeit und Geschwindigkeit „Ja, man müsste die ganze Zeit messen.“54 Mes-

sungen und Abschätzungen von Größen finden im Alltag ständig statt. Gemessen

oder geschätzt wird etwas, von dem man eine Alltagsvorstellung hat. Messungen

nach wissenschaftlichen Standards gehören aber auch zu den Tätigkeiten des Physi-

kers, zumindest des Experimentalphysikers, der das Gemessene unter physikali-

schen Gesichtspunkten betrachtet. Da Schülerinnen und Schüler unter dem, was sie

messen, die Alltagsbedeutung verstehen, kann man aufgrund dieser Tätigkeit alleine

nicht auf ein gedankliches Verweilen in der p-Welt schließen.

• Spielt eine explizite p-Welt eine Rolle für die Schülerinnen und Schüler? Das Wort

„Physik“ fällt nur sehr selten in den Gesprächen und wenn, kann vermuten, dass die

Physik gerne als „Formel-Lieferant“ für die m-Welt gesehen wird:

„S: Wie gut, dass ich Physik habe.

A: Ja ok. Sag mir, wie man Geschwindigkeit errechnet!

S: Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit.“55

„S: Momentangeschwindigkeit.

A: Ehm, das haben wir in Physik gemacht. [...] ... da musst du aber, glaube ich,

eine andere Formel nehmen“56

54 [03; 417]

55 [04; 20 - 22]

56 [13; 26 - 27]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 34

Als Hilfe für die Suche nach der Antwort auf die Frage, ob es eine Momentange-

schwindigkeit gibt, wird die Physik nur einmal herangezogen, als ein Schüler über

den Energieerhaltungssatz zu einer Erkenntnis über das Wesen der Momentange-

schwindigkeit gelangen will, vgl. [13]. Nur hier versuchen zwei Schüler, einen physi-

kalischen Begriff in seiner physikalischen Bedeutung zu nutzen. Da die p-Welt in den

Transkripten kaum ausgemacht werden kann, soll sie auch in dieser Arbeit nicht wei-

ter beachtet werden.

Die Frage nach einer Welt der Graphen

In den Transkripten lässt sich aber eine weitere Denkwelt finden, die g-Welt der

(Funktions-) Graphen und Kurven. Daher müsste man die m-Welt in eine g-Welt und

eine algebraisch-arithmetische a-Welt aufteilen. Die g-Welt lässt sich in 7 von 16

Transkripten finden, jedoch in nur zwei Transkripten ([01] und [04]) werden Überle-

gungen am Graphen herangezogen, um die Frage nach dem Wesen der Momentan-

geschwindigkeit oder dem Grenzwertbegriff zu klären.

• Für diese Untersuchung nicht uninteressant, aber weniger zentral ist die bloße

Feststellung, dass die Steigung des Graphs der Geschwindigkeit des Radfahrers ent-

spricht und umgekehrt, (vgl. [01], [04] und [16]), wobei aber in nur zwei Fällen nach

einer Methode gefragt wird, mit der man die Steigung ermitteln kann. Zumeist wer-

den Momentangeschwindigkeit bzw. Steigung des Graphs an einer Stelle als intuitiv

existent angenommen.

• Einmal wird der Graph einer Treppenfunktion betrachtet, wobei in den Funktions-

werten Durchschnittsgeschwindigkeitswerte gesehen werden, vgl. [14]. Überlegun-

gen bzgl. eines Grenzprozesses am Graphen werden nicht durchgeführt. Weiterhin

wird zweimal die Möglichkeit geäußert, einen Graphen erstellen zu können, vgl. [07]

und [10]. Der Graph selber wird dann aber nicht gezeichnet.

• Zuletzt sind noch zwei Schülerinnen zu nennen, die eine Art Leiste erstellen, an der

sowohl Uhrzeiten als auch die Entfernungen eingetragen wurden, die der Radfahrer

bis zu diesen Zeitpunkten zurückgelegt hatte, vgl. [11].

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 35

Festzustellen ist: In drei Fällen wird der Zusammenhang Steigung-Geschwindigkeit

explizit genannt. Interessant für diese Untersuchung sind im Wesentlichen nur die

beiden Fälle, in denen Überlegungen über Sekanten und Tangenten am Graphen

herangezogen werden, um dem Wesen der Momentangeschwindigkeit und des

Grenzwertbegriffs näher zu kommen. Daher spreche ich im Folgenden weiterhin von

der r- und der m-Welt, wobei die m-Welt der a-Welt entspricht. Nur in den Fällen, in

denen explizit zwischen a- und g-Welt unterschieden werden soll, komme ich auf

diese zurück.

Fazit: In der weiteren Arbeit werden im Wesentlichen nur die r- und die m-Welt eine

Rolle spielen. Um Schülerinnen- und Schüler-Äußerungen einer Denkwelt zuordnen

zu können, muss der gesamte Kontext des Gesprächs berücksichtigt werden. Dazu

gehören neben der Sprache die verwendeten Bilder, Metaphern und Vorstellungen.

2.3. Die Methode

Ähnlich wie in der vorliegenden Untersuchung beschäftigt sich auch Rudolf vom Hofe

mit Vorstellungen, die Schülerinnen und Schüler vom Grenzwertbegriff beim Ableiten

entwickeln57. Vom Hofes primäres Anliegen besteht allerdings in verschiedenen

Aspekten des Computereinsatzes im Mathematikunterricht, wie z.B. die Auswirkun-

gen des Computereinsatzes auf Lehr- und Lernprozesse oder Kommunikations-

prozesse. In seinem Schulunterricht hat vom Hofe u.a. Schülerinnen und Schüler mit

Hilfe eines Funktionenplotters Untersuchungen zum Ableiten durchführen lassen. Auf

einem Arbeitsblatt erhielten sie eine Funktionsgleichung und die Aufgabe, den

Graphen und einige Sekanten durch einen Punkt des Graphs vom Computer

erstellen zu lassen. Er verwendet für den Differenzialquotienten die Schreibweise

h)x(f)hx(f

lim

−

→ und fordert die Schülerinnen und Schüler auf, für h verschiedene

Werte einzusetzen. Der Computer erzeugt sofort den Graphen der Funktion f und der

Sekante durch (x+h; f(x+h)) und (x; f(x)). Den Schülerinnen und Schülern wird also

die Möglichkeit gegeben, mit der Situation auf der symbolischen und auf der

graphischen Darstellungsebene zu experimentieren. Bei diesem heuristischen Arbei-

57 [vom Hofe 1998]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 36

ten versuchen die Schülerinnen und Schüler nun die Bedeutung des Parameters h

herauszufinden. Vom Hofe hat einige Paare von Schülerinnen und Schülern gefilmt

und anschließend die Videofilme transkribiert.

Im Unterschied zu vom Hofes Arbeit, bei der die Schülerinnen und Schüler zunächst

eine Funktionsgleichung ohne Anwendungsbezug erhalten58, arbeiten die Schülerin-

nen und Schüler in der vorliegenden Untersuchung nicht an einer innermathema-

tische Aufgabe. Zudem liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit nicht nur bei den Vorstel-

lungen an sich, sondern darauf, wie sie sich beeinflussen. Ein wichtiger Aspekt ist bei

vom Hofe die Visualisierung, die hier eine geringere Rolle spielt.

Die empirische Methode und die Stoffdidaktik

Wenn man so will, kann man zwei große Methodenkomplexe der deutschsprachigen

Mathematikdidaktik gegenüberstellen: die Stoffdidaktik und die etwas jüngere empiri-

sche Unterrichtsforschung. Thomas Jahnke charakterisierte diese Komplexe 1998

so:

„Der Mathematikdidaktik in Deutschland wird schon seit mindestens zwei Jahr-

zehnten ihre Konzentration, ihre Zentrierung auf den Stoff vorgehalten und vorge-

worfen. Der am häufigsten vergessene Existenzsatz der Mathematikdidaktik, heißt

es zum Beispiel schon fast kalauerhaft, sei der Satz von der Existenz der Schüle-

rinnen und Schüler. [... und der] Lehrer übrigens auch, sollte man hinzufügen,

auch wenn das erst neuerdings wieder stärker betont wird.“ [...]

„Es gab und gibt auch eine Gegenreaktion auf die Stoffdidaktik, die darin besteht,

deren Arbeiten und Ergebnisse zu ignorieren, etwa unter dem Motto, in der

Schule, also im Mathematikunterricht gehe es wesentlich um Sozialformen und

nicht um Gleichheitszeichen oder Termumformungen. So wie die Stoffdidaktik in

Gefahr steht, die Schüler und den Unterricht aus dem Blickfeld zu verlieren, so

kann solche Unterrichtsmethodik ihren Stoff verlieren. Eine offensichtlich unsinni-

ge Alternative.“59

58 Später wird die Funktion als Bakterien-Wachstumfunktion gedeutet.

59 [Jahnke 1998], S. 63; Jahnke macht darauf aufmerksam, dass die Bezeichnung „Stoffdidaktik“

zumeist von deren Kritikern verwendet wird.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 37

Die Ziele der Stoffdidaktik sind kurz gesagt die schulgerechte Aufbereitung mathe-

matischer Inhalte. Die dazu genutzte Methode wird im Allgemeinen die Sachanalyse

genannt. Die Ziele und Methoden der empirischen Unterrichtsforschung beschreibt

Hölzl so: Es

„ist die methodisch kontrollierte Analyse von Transkripten (Verschriftlichungen),

die aus dem audio- oder videodokumentierten Unterrichtsgeschehen hervorge-

hen.“ [...]

„Ziel dieser interpretativen Analysen ist,

• das Unterrichtsgeschehen aus der Binnenperspektive der Beteiligten (Lernende,

Lehrende) zu verstehen, und

• die Regelhaftigkeiten, denen die Interaktion zwischen den Beteiligten unterliegt,

zu rekonstruieren.“60

Stoffdidaktik interpretative

Unterrichtsforschung

normativ (präskriptiv) deskriptiv - interpretativ

Methode didaktisch orientierte Sachanalyse

qualitativ-empirische Methoden

(Fallstudien: Interpretation von

Transkripten von Videos aufge-

zeichneter Unterrichtsstunden)

a priori

dient der Unterrichtsvorbereitung

a posteriori

„Unterrichtsnachbereitung“

macht Geschehenes verstehbar

Sicht

Da eine Unterrichtsnachbereitung zugleich die Vorbereitung auf nachfolgenden Unterricht

und insbesondere auf die erneute Lehre desselben Inhalts in anderen Kursen sein sollte,

sind die obenstehenden Charakterisierungen als Betonung zu verstehen.

geht aus

vom mathematischen Inhalt von der Schülerin / vom Schüler

Grenzen der einzelne Schüler

die einzelne Schülerin Verallgemeinerbarkeit

Tabelle 1: Stoffdidaktik und empirische Unterrichtsforschung (angelehnt an Über-

legungen von D. Maczey in Siegen)

60 [Hölzl 1994], S. 88

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 38

Hölzl und vom Hofe unternehmen in ihren Untersuchungen einen Brückenschlag, mit

dem sie die beiden methodischen Ansätze61 verbinden wollen. Hölzl erhebt den An-

spruch, in seinen Untersuchungen wie folgt vorzugehen62: Zunächst fordert er eine

Sachanalyse der Problemaufgabe, um den mathematischen Inhalt zu explizieren.

Dabei soll mindestens eine Lösungsvariante aufgezeigt werden. Dann ist anhand der

Transkripte Stück für Stück das Geschehen aus der „Binnenperspektive der Han-

delnden“ nachzuzeichnen. Dabei kommt es nicht auf eine Beurteilung des Verhaltens

und der Äußerungen der Handelnden an, zu der die Sachanalyse als Maßstab

herangezogen werden könnte. Vielmehr geht es um die „subjektive Schlüssigkeit“

des Problemlösevorgangs. In einem dritten Schritt soll der Problemlösevorgang unter

„Einbezug sachlogischer und stoffdidaktischer Aspekte“ analysiert werden. Am Ende

steht der „Entwurf einer Gesamtdeutung“, zu dem auch die „subjektbezogene Re-

konstruktion des Geschehens“ aus sachlogischer Sicht beurteilt wird.

Ähnlich arbeitet vom Hofe: Nachdem er in seiner Dissertationsschrift63 anhand einer

von G. Malle erstellten Fallstudie64 zeigt, dass nur normative, also sachanalytische

Überlegungen zur Ergründung des Verhaltens einer Schülerin oder eines Schülers

nicht ausreichen, betont er, dass ihm die Klärung der Vorstellungen des Schülers

wichtig sind, die zu dem von ihm eingeschlagenen Lösungsweg führen. So kommt er

zu einer Vorgehensweise, bei der sich normative und deskriptive Methoden zu Vor-

schlägen konstruktiver Maßnahmen vereinigen können:

„Eine umfassende Erklärung der Schülerstrategie und der Mißverständnisse, die

sich angesichts des vom Lehrer erwarteten bzw. vom Schüler eingeschlagenen

Lösungsversuchs ergeben, bringt eine Analyse der normativ verwendeten Grund-

vorstellungen und der deskriptiv feststellbaren Individualvorstellungen, etwa unter

den Leitfragen:

- Welche Grundvorstellungen sind zur Lösung des Problems aus Sicht des

Lehrenden adäquat? (Normativer Aspekt)

- Welche individuellen Vorstellungen lassen sich im Lösungsversuch des

Schülers erkennen? (Deskriptiver Aspekt)

61 z.B. [Hölzl 1994], [vom Hofe 1998], [vom Hofe 1999]

62 vgl. [Hölzl 1994], S. 95 - 110

63 [vom Hofe 1995a]

64 vgl. [Malle 1988]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 39

- Worauf sind etwaige Divergenzen zurückzuführen, und wie lassen sich diese

beheben? (Konstruktiver Aspekt)“65

Unter diesen Leitfragen kann auch die vorliegende Arbeit betrachtet werden: In

Kapitel 3 werden normative Aspekte der Begriffe „Momentangeschwindigkeit“ und

„Grenzwert des Differenzenquotienten“ betrachtet und Schülerinnen- und Schüler-

Äußerungen gegenübergestellt. In Kapitel 4 werden Ursachen möglicher Divergen-

zen aufgezeigt. Mit der Ermittlung von Ursachen für die Divergenzen treten zugleich

Vorschläge zur Lösung derselben auf. Die gewonnenen Erkenntnisse werden in

Kapitel 5 genutzt, um individuelle Vorstellungen einiger Schülerinnen und Schülern

ausführlich vorzustellen und zu analysieren.

Die eigentliche Interpretation der Transkripte findet bei vom Hofe auf zwei Ebenen

statt. Zunächst nähert er sich den Schüleräußerungen auf der Beschreibungsebene,

um dann auf die Erklärungsebene überzugehen. Seine Analysen basieren auf dem

Wechselspiel von deskriptiven und präskriptiven Betrachtungen, zu denen er die fol-

genden Leitfragen heranzieht:

„• Nachzeichnen der subjektiven Schülerlogik. Welche Vorstellungen und Ideen

werden in den Lösungsversuchen der Schüler deutlich? Inwieweit lassen sich

Denkmuster bzw. Lösungsstrategien nachzeichnen?

• Vergleichende Einbeziehung präskriptiver Kategorien. Inwieweit lassen sich

Denkprozesse der Lernenden mit vorhandenen didaktischen Begriffen und Mo-

dellen erfassen und erklären?“66

Nach diesen Leitfragen sollen auch die Transkripte der vorliegenden Arbeit interpre-

tiert und analysiert werden. Als „präskriptive Kategorien“ bzgl. des Grenzwertbegriffs

bei Folgen, Reihen und Funktionen sollen die hier in Kapitel 4 entwickelten Sichtwei-

sen genauso herangezogen werden, wie diejenigen, die aus einer Anzahl von Ver-

öffentlichungen bekannt sind67. Auch zu Schülerinnen- und Schüler-Vorstellungen

der genannten Begriffe, gibt es einige Literatur68.

65 [vom Hofe 1995a], S. 116 - 117, Hervorhebung wie im Original

66 [vom Hofe 1999], S. 196, Hervorhebungen wie im Original

67 Exemplarisch seinen hier [Bender 1991b], [Bivens 1986], [Blum/Törner 1983], [Hering 1989], [Kirsch

1960], [Weigand 1988], [Weigand 1993] genannt.

68 Exemplarisch seinen hier [Bender 1991a], [Fischbein u.a. 1979], genannt. Eine Übersicht über die

Erforschung von Grundvorstellungen gibt [vom Hofe 1996].

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 40

Vom Hofe schätzte 1998 diesen Ansatz so ein:

„Qualitative Forschungsmethoden haben sich in den letzten Jahren zunehmend

auch im Bereich der Mathematikdidaktik etabliert und werden inzwischen neben

den herkömmlichen quantitativen Methoden innerhalb der empirischen Unter-

richtsforschung weitgehend akzeptiert. Ihr Einsatzbereich liegt insbesondere dort,

wo sich das Erkenntnisinteresse auf ein Gebiet richtet, das sich nicht mit direkt

ablesbaren metrischen Daten beschreiben lässt. Dies ist insbesondere der Fall,

wenn es darum geht, individuelle Strategien und Vorstellungen bzw. subjektive

Wirklichkeiten von Menschen möglichst genau zu erfassen bzw. zu rekonstruieren.

[...] Ganz besonders bieten sich solche Forschungsmethoden an, wenn man sich

aus deskriptiver Sicht dafür interessiert, ob Erklärungsmodelle, mit denen man

Lern- bzw. Problemlöseprozesse beschreibt, tatsächlich in den Denkprozessen

der Schüler die Rolle spielen, die man aus theoretischer Sicht vermutet.

Solche Fragestellungen sind für das Lehren und Lernen aller Schulstufen von gro-

ßem Interesse, auch und insbesondere für die Oberstufenanalysis. Dennoch sind

qualitative Methoden bislang nur wenig in diesen Bereich vorgedrungen, ihre Ver-

treter befassen sich bislang im wesentlichen mit elementaren Fragestellungen aus

der Grundschule und der Sekundarstufe I. “69

Interpretative Forschung

Nach den Herangehensweisen, wie vom Hofe und Hölzl beschrieben, versuchte ich

zunächst auch, meine Arbeit durchzuführen: Mein Interessensgebiet und somit die

zentralen mathematischen Begrifflichkeiten standen fest, und ich führte eine Sach-

analyse durch. Wie sich später zeigte, sollte das eine erste und vorläufige sein. Dann

entwickelte ich die Aufgabe und führte eine Voruntersuchung mit vier Probanden-

paaren durch. Nach einer kleinen Modifizierung der Aufgabenstellung rekrutierte ich

16 Paare von Schülerinnen und Schülern für die Hauptuntersuchung, videographierte

sie bei der Bearbeitung der Aufgabe und fertigte die Transkripte an.

Im Rückblick fällt mir an der nun folgenden Arbeitsphase auf, dass bei mir Beobach-

tungen aus den Transkripten zu neuen theoretischen Überlegungen führten, die sich

wiederum auf die Sachanalyse auswirkten. Die dadurch neu entstandenen Erkennt-

nisse und Beobachtungsschwerpunkte veränderten wiederum den Blick auf die Tran-

69 [vom Hofe 1998], S. 258 - 259

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 41

skripte, u.s.f. Man kann sagen, dass die Sachanalyse sowie die Entwicklung der in

Kapitel 4 vorgestellten Sichtweisen mit den Analysen der Transkripte eng verzahnt

sind (anders als wie bei vom Hofe beschrieben). Diese Arbeitsweise ist in der explo-

rativen und qualitativen Sozialforschung in Deutschland seit mindestens 30 Jahren

unter dem Namen „gegenstandsbezogene Theorie“ bekannt und wird als Methode

erforscht und angewendet. In den USA erlebte die Grounded Theory in den 40er und

50er Jahren des letzten Jahrhunderts eine erste Hochzeit. Auch in der deutsch-

sprachigen Mathematikdidaktik wird diese Methode verwendet: Es lassen sich z.B.

Ähnlichkeiten zwischen Voigts „empirisch gestützter Theoriebildung“70, Beck/Jung-

wirths „Deutungshypothesen“71, Oevermanns „objektiver Hermeneutik“72 und der

Grounded Theory feststellen.

Glaser und Strauss charakterisierten 1979 diese Methode in einem Aufsatz73, dessen

erster Abschnitt den Titel „Die Gleichzeitigkeit der Sammlung und Analyse von

Daten“ trägt. In der Sozialforschung ist „die Gleichzeitigkeit von Sammlung und Ana-

lyse“ wörtlich zu nehmen, da sich die Forscher über längere Zeiträume in dem zu un-

tersuchenden Milieu bewegen. Bei mir lagen alle Transkripte vor, dann erst begann

ich sie mit den Augen des Forschers zu lesen und interessante Textstellen heraus-

zusuchen. Wenn man darunter auch „Sammeln von Daten“ verstehen will, beschrei-

ben Glaser und Strauss meine Herangehensweise an die Transkripte:

„Ganz gleich, ob der Feldforscher zunächst noch sehr orientierungslos damit be-

ginnt, alles, was er sieht, aufzuzeichnen, weil alles bedeutsam sein könnte, oder

ob er mit einer genau definierten Zielsetzung ins Feld geht: seine Beobachtungen

werden sehr rasch von Hypothesenbildungen begleitet sein. Wenn dieser Prozeß

der Hypothesenbildung beginnt, kann der Forscher nicht mehr, selbst wenn er dies

wünscht, ein passiver Empfänger von Eindrücken bleiben; er wird ganz automa-

tisch dazu übergehen, aktiv solche Daten zu sammeln, die für die Entwicklung und

Verifizierung seiner Hypothesenbildung bedeutsam sind.“74

70 In [Voigt 1984], Kap. 3.1.3 wird zwischen Theoriebildung durch Deduktion, Induktion und Abduktion

unterschieden. Man kann Ähnlichkeiten zwischen abduktiven Theorien und Grounded Theories

erkennen. In [Voigt 1996] werden auf Seite 393 die Abduktion und die „empirisch gestützte Theorie-

bildung“ verbunden. Dadurch werden Parallelen zur Grounded Theory noch deutlicher.

71 [Beck/Jungwirth 1999]

72 [Oevermann 1983]

73 [Glaser/Strauss 1979a]

74 [Glaser/Strauss 1979a], S. 92 - 93

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 42

Bei der vorliegenden Arbeit stand die Zielsetzung von Anfang an fest: Das Augen-

merk sollte auf die Vorstellungen zum Grenzwertbegriff gerichtet werden. Das Stu-

dieren der Transkripte ermöglichte eine Hypothesenbildung, die zur Ausarbeitung der

besagten Sichtweisen führte. Auch das aktive Sammeln von Daten gab es: Es gibt

Kopien der Transkripte, die ausschließlich nach Textstellen bzgl. der Sichtweisen

durchgearbeitet wurden.

Ziel dieser Herangehensweise ist die Entwicklung von Hypothesen und Theorien aus

Daten:

„Deutungshypothesen in der interpretativen Forschung zielen auf das „Verstehen“

der Phänomene;“ „Das erklärungsbedürftige Phänomen wird nicht aus mehr oder

minder Allgemeinem hergeleitet, sondern es wird gleichsam umgekehrt versucht,

neue Prinzipien zu entwickeln, unter deren Annahme dann das Phänomen plausi-

bel erscheint.“ „Es werden „Typen“ gebildet – Konstruktionen, in denen ein Mo-

ment der Abstraktion enthalten ist, und die deswegen nicht unbedingt beschränkt

sind auf die in die Untersuchung eingegangenen Daten.“ 75

Die besagten Sichtweisen wurden tatsächlich als Abstraktion aus Beobachtungen

aus den Transkripten entwickelt. Die Schlüsselstellen für meine Erarbeitung der

Sichtweisen stammen aus zwei verschiedenen Transkripten und werden in Kapitel 4

vorgestellt. – Über den Wert so entstandener Hypothesen und Theorien sagen

Glaser und Strauss:

„Wie wir zu zeigen versuchen, ‚paßt‘ nämlich eine solche Theorie auf empirische

Situationen, und ist für Soziologen wie für Laien verständlich. Vor allem aber: sie

funktioniert - sie liefert uns relevante Vorhersagen, Erklärungen, Interpretationen

und Anwendungen!“

„Mit ‚passen‘ meinen wir, daß [gefundene] Kategorien leicht (nicht mit Gewalt) auf

die untersuchten Daten anwendbar und durch sie angezeigt sein müssen; mit

‚funktionieren‘ meinen wir, daß sie in sinnvoller Weise für das untersuchte Verhal-

ten relevant sind und es erklären können.“76

Es mag wie ein Ringschluss erscheinen, dass man aus Daten eine Theorie ent-

wickelt, um dann zu sehen, dass die Daten zur Theorie passen. Dies ist aber keine

Schwäche, sondern eine Stärke dieses Ansatzes. Schließlich müssen die beobach-

75 [Beck/Jungwirth 1999], S. 232, S. 235, S. 243

76 [Glaser/Strauss 1979b], S. 63 und 64

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 43

teten Phänomene nicht in vorgegebene Kategorien hinein gesehen werden. Zudem

werden ja auch Forderungen an die Qualität der Theorie gestellt: Sie muss für das zu

untersuchende Phänomen relevant sein und es erklären können.

Die Relevanz von Beobachtungen für eine Theorie kann durch die Hinzunahme von

Vergleichsgruppen geprüft werden. Ähnlichkeiten und Unterschiede werden heraus-

gearbeitet. Ähnliche Beobachtungen in verschiedenen Gruppen deuten auf Relevanz

hin. In der vorliegenden Arbeit gab es 16 Vergleichsgruppen. Der Vergleich von Ähn-

lichkeiten und Unterschieden ermöglicht eine „generalisierende Analyse der Bezie-

hungen zwischen den Kategorien, aus welcher dann Hypothesen folgen, die in die

gegenstandsbezogene Theorie integriert werden“77. Dass eine so entwickelte Theo-

rie diesen Ansprüchen genügen kann, begründen Glaser und Strauss weiterhin so:

„Darüber hinaus lassen strategisch bemerkenswerte Ereignisse neue Kategorien

und Hypothesen entstehen oder erzeugen Zweifel an der Tragfähigkeit bestimmter

Kategorien oder stellen früher formulierte Hypothesen in Frage. Solche bemer-

kenswerten Ereignisse werden entweder sofort, wenn sie geschehen, analysiert;

andernfalls tauchen sie immer wieder mit unerträglich werdender Hartnäckigkeit in

der Erinnerung auf, bis sie systematisch bei der Anfertigung von Vermerken aus-

gewertet werden.“78

Der Entwicklungsprozess einer Theorie wird als abgeschlossen betrachtet, wenn sich

neue empirische Fälle unter die Theorie fassen lassen. Ein Indiz für eine Art Sätti-

gung bei der Theoriebildung sehen Glaser und Strauss darin, dass dem Forscher

aus diesem Grunde langweilig wird, er entdeckt nichts Neues mehr. Aus diesem

Grund werden im 5. Kapitel dieser Arbeit auch nicht alle vorhandenen Transkripte

und ihre Analysen vorgestellt. Vielmehr wurde versucht, an einigen Szenen einer

Auswahl von Transkripten typische Denk- und Argumentationsweisen der Schülerin-

nen und Schüler aufzuzeigen. Die Entwicklung der Theorie, hier der Sichtweisen,

wird durch Hinzunahmen von Beispielen verschiedener Transkripte illustriert und

nachvollzogen.

77 [Glaser/Strauss 1979a], S. 98

78 [Glaser/Strauss 1979a], S. 94

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 44

Also kann man den Aufbau dieser Arbeit auch so verstehen: In Kapitel 3 findet eine

Sachanalyse, in 4 eine Theorieentwicklung statt. Die Theoriebildung wird mittels

Beispielen aus Transkripten durchgeführt und begründet. Die Transkriptanalysen in

Kapitel 5 dienen dem empirischen Nachweis der Theorie. Sie zeigen, dass man mit

den entwickelten Begriffen Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler adäquat be-

schreiben und erklären kann, dass die Theorie passt und funktioniert.

2.4. Rekrutierung der Probandinnen und Probanden

Um einen Einblick in die oben genannten Vorstellungen in den Denkwelten und das

Verhältnis der Denkwelten zueinander erhalten zu können, wurde 16 Paaren von

Schülerinnen und Schülern aus verschiedenen Gymnasien die oben angeführte

Aufgabe gestellt. Zwei Paare besuchten zum Zeitpunkt der Videoaufnahme die 10.

Klasse, ein Paar die 11. Klasse, die restlichen 13 Paare die 12. Klasse. Fünf Paare

belegten einen Leistungskurs, neun Paare einen Grundkurs. Es nahmen 23 Mäd-

chen und neun Jungen teil.

Die Probandinnen und Probanden wurden aus verschiedenen Klassen bzw. Kursen

in Mathematikstunden rekrutiert. Der Versuchsleiter stellte sich als angehender

Mathematiklehrer vor, der z.Z. „in der Mathematikdidaktik an der Uni“ arbeitet und

eine Untersuchung mit Schülerinnen und Schülern durchführen will. Er informierte die

Schülerinnen und Schüler darüber, dass immer Paare von Probanden gesucht seien,

und dass diese gemeinsam und nicht im Wettbewerb gegeneinander eine Aufgabe

bearbeiten sollen. Auch wurde den Schülerinnen und Schülern verdeutlicht, dass

weniger eine perfekte „Lösung“ von Interesse sei, sondern der Weg der Bearbeitung.

So konnte auch begründet werden, dass die Probandinnen und Probanden bei der

Arbeit gefilmt werden sollten.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 45

3. Bemerkungen zum Geschwindigkeitsbegriff

In diesem Kapitel soll der Geschwindigkeitsbegriff, insbesondere die Begriffe der

Durchschnittsgeschwindigkeit und der Momentangeschwindigkeit unter verschieden-

en Gesichtspunkten betrachtet werden. Dabei spielt die mathematische Beschrei-

bung von Bewegungsvorgängen eine wichtige Rolle, insbesondere der Zusammen-

hang zwischen Weg-Zeit-Funktionen und Geschwindigkeits-Zeit-Funktionen. In Ab-

schnitt 3.1 wird der alltägliche Geschwindigkeitsbegriff analysiert und mit dem physi-

kalischen Geschwindigkeitsbegriff verglichen. Im zweiten Unterkapitel geht es um

mathematische Beschreibungen von Bewegungsvorgängen. Zunächst werden zwei

Sichtweisen bezüglich der Weg-Zeit-Funktion entwickelt. Anschließend findet sich

eine Analyse des Begriffs der Momentangeschwindigkeit. Weiterhin werde ich zei-

gen, dass die bekanntesten (alltäglichen) Messinstrumente für die Momentange-

schwindigkeit diese genau genommen gar nicht messen. Zuletzt stelle ich die Krite-

rien vor, die Schülerinnen und Schüler nutzen, wenn sie versuchen für sich zu ent-

scheiden, ob es so etwas wie eine Momentangeschwindigkeit überhaupt gibt oder

nicht.

3.1. Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit

als Alltagsbegriffe

Das, was man mit „Momentangeschwindigkeit“ und „Durchschnittsgeschwindigkeit“

bezeichnet, taucht in Alltagssituationen auf. Im Folgenden werden einige dieser Situ-

ationen aufgezeigt und mit dem Typ von Geschwindigkeit in Verbindung gebracht,

der aus meiner Sicht stärker betont wird.

• „Geblitzt werden“: „Ich war so 63 (Sachen, Kilometer, km/h, ...) schnell.“ Gemeint ist

die Momentangeschwindigkeit, mit der man zu dem Zeitpunkt unterwegs war, als

man geblitzt wurde. Ob tatsächlich eine Momentangeschwindigkeit gemessen

wurde, ist hier unwichtig, es kommt hier darauf an, als was der Wert angesehen

wird.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 46

• Skispringen: Ist der Springer über den Schanzentisch gekommen, wird im Fern-

sehen oft eine Geschwindigkeit (z.B. 89,6 km/h) eingeblendet. Da der Springer,

solange er sich auf der Schanze befindet, ständig an Geschwindigkeit zunimmt,

wird man unter diesem Wert wohl die maximale Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des

Absprungs verstehen, also eine Momentangeschwindigkeit.

• Beim Tennis wird nach einem Aufschlag gelegentlich die Aufschlaggeschwindigkeit

angezeigt. Auch diese versteht man als Momentangeschwindigkeit.

• Eisschnelllauf / 100m-Lauf / Radrennen / Formel 1: Am Ende des Wettkampfes

werden nicht nur die Wettkampfzeiten (benötigte Zeit) angezeigt, sondern öfter

auch Geschwindigkeitswerte. Damit sind Durchschnittsgeschwindigkeiten gemeint.

• Formel 1: "Fahrer A war der schnellste, weil er das Rennen gewonnen hat, Fahrer

B hat die schnellste Runde hingelegt, und Fahrer C war der schnellste bei der Top-

Speed-Messung." Hier liegt kein Widerspruch vor, da sich die Schnelligkeit bei

Fahrer A auf die Durchschnittsgeschwindigkeit über das gesamte Rennen bezieht,

bei Fahrer B auf die Durchschnittsgeschwindigkeit einer Rennrunde, und die

Schnelligkeit bei Fahrer C auf eine Momentangeschwindigkeit bei der Top-Speed-

Messung.

Man sieht, dass man sich zu beiden Begriffen lebensweltliche Situationen vorstellen

kann. Beide Begriffe haben eine Alltagsbedeutung. In jedem der Beispiele kann die

Geschwindigkeit durch eine Zahl beschrieben werden. Für einige Schülerinnen und

Schüler kann dieser Wert auch negativ sein. Für sie entscheidet das Vorzeichen des

Werts, ob der Radfahrer vorwärts oder rückwärts fährt79.

In der klassischen Bewegungslehre, bei der man relativistische und quantenphysika-

lische Überlegungen nicht berücksichtigt, wird die Momentangeschwindigkeit durch

einen Vektor beschrieben. Der Fußpunkt des Vektors befindet sich gewöhnlich an

dem Ort (im R³), an dem sich der beobachtete Körper gerade befindet. Die Richtung

des Vektors gibt die Bewegungsrichtung an. In ihr versteckt sich das Vorzeichen, das

die Schülerinnen und Schüler z.T. berücksichtigen. Dem Wert der Momentange-

79 vgl. z.B. [14; 136 - 137] und [16; 184]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 47

schwindigkeit entspricht die Länge des Vektors. Die Länge des Vektors wird in der

klassischen Physik mit „Tempo“ bezeichnet. Dort spielt der Unterschied zwischen

Geschwindigkeit und Tempo eine bedeutende Rolle: Jede Krafteinwirkung (≠ 0) auf

einen Körper muss eine Änderung seiner Geschwindigkeit (aber nicht zwangsläufig

seines Tempos) bedeuten. Einem Gegenstand, den man mit gleichbleibender Kraft

über dem Kopf schleudert, würde man im Alltagsverständnis eine konstante Ge-

schwindigkeit zumessen. In der Tat hat er aufgrund der konstanten Winkelgeschwin-

digkeit bei festem Radius ein konstantes Tempo. Dadurch, dass man aber beim

Schleudern ständig der Zentrifugalkraft des Steins entgegenwirken muss, übt man

eine ständige Kraft (≠ 0) auf den Stein aus. Diese Kraft hält den Stein auf der

Kreisbahn, bewirkt also eine permanente Richtungsänderung bei gleichbleibendem

Tempo.

In der vorliegenden Aufgabe spielt der Begriff der Momentangeschwindigkeit eine

zentrale Rolle. Eigentlich müsste nach dem Momentantempo gefragt werden. Da

aber die Schülerinnen und Schüler unter Geschwindigkeit das Tempo verstehen,

spielen die Namen der Begriffe für die Vorstellungen von der lokalen Änderungsrate

keine Rolle. Handbewegungen auf den Videos lassen vermuten, dass sich die Schü-

lerinnen und Schüler geradlinige Bewegungen bei ihren Überlegungen vorstellen. Die

Geradlinigkeit der Bewegung bedeutet die Vernachlässigung der Richtung der Bewe-

gung. Auch diese Vereinfachung ändert nichts an den für diese Untersuchung rele-

vanten Vorstellungen, die man von der Momentangeschwindigkeit als lokale Änder-

ungsrate entwickeln kann. Eine geradlinige Bewegung, wie sie sich die Schülerinnen

und Schüler wohl zumeist vorstellen, hat i.A. eine Orientierung, die einige Teilneh-

merinnen und Teilnehmer mit Hilfe eines Vorzeichens des Geschwindigkeitswerts

beschreiben wollen. Weiterhin reden die Schülerinnen und Schüler oft von positiver

Momentangeschwindigkeit oder „Geschwindigkeit haben“, womit sie zum Ausdruck

bringen wollen, dass sich der Radfahrer bewegt und nicht steht. Die außermathe-

matische Einkleidung der verwendeten Aufgabe beschreibt eine Radtour des Rad-

rennfahrers Jan Ullrich. Theoretisch könnte dieser auf seiner Radtour anhalten oder

umdrehen, also die Orientierung der ihm unterstellten geradlinigen Bewegung inver-

tieren. Niemand erwartet das von einem Radrennfahrer. Aus diesem Grunde spielt

auch die Orientierung in dieser Aufgabe keine Rolle, zumal sie wiederum keinen Ein-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 48

fluss auf die relevanten Vorstellungen vom Grenzwert und der Momentangeschwin-

digkeit hat.

Eine Vorabklärung der physikalischen Bedeutungen der Begriffe hätte bezüglich die-

ser Untersuchung zu unnötigen Präzisierungen geführt und hätte die Schülerinnen

und Schülern wahrscheinlich verwirrt. Auch hier soll von nun an die ungerichtete

Größe Tempo gemeint sein, wenn von Geschwindigkeit die Rede ist.

Die alltägliche Beobachtung von Körpern, die sich in einem Zeitraum ohne anzuhal-

ten bewegen, legen es nahe, anzunehmen, dass die Körper in diesem Zeitraum zu

jedem Zeitpunkt eine (positive) Geschwindigkeit haben. Denn hätten sie zu keinem

Zeitpunkt positive Geschwindigkeit, würden sie sich nicht bewegen, wie ein Schüler

bemerkt:

„Du kannst doch schreiben, dass [wenn] es keine Momentangeschwindigkeit

geben würde, gibt’s auch keine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil dann wird er

sich ja gar nicht bewegen.“80

Weil natürliche Bewegungsvorgänge stetig verlaufen, lässt es die Alltagsvorstellung

nicht zu, dass eine Bewegung nur zu gewissen zueinander diskreten Zeitpunkten

keine Geschwindigkeit hat (Betrag der Geschwindigkeit ist Null): Es kann also z.B.

nicht vorkommen, dass eine Bewegung mit einer konstanten positiven Geschwin-

digkeit über einen Zeitraum, an einigen zueinander diskreten Zeitpunkten die Mo-

mentangeschwindigkeit mit Wert Null hat. Den Fall, dass ein Körper ausrollt, anhält

und sich dann sofort wieder in Bewegung setzt, lässt die Vorstellung eines natür-

lichen Bewegungsvorgangs selbstverständlich zu.

3.2. Mathematische Beschreibungen von Geschwindigkeit

Bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen sind physikalische Begriffe und

mathematische Methoden kaum zu trennen. Bei der Bearbeitung der Aufgaben stel-

len sich viele Schülerinnen und Schüler einen über einen Zeitraum bewegten Körper

80 [03; 281 - 283]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 49

vor. Ihnen ist intuitiv klar, dass seine Bewegung durch eine Weg-Zeit-Funktion be-

schrieben werden kann. Wäre das nicht der Fall, hätte ihnen die Interpretation der

Bedeutung der Funktion f der Aufgabe wahrscheinlich deutlich mehr Probleme berei-

tet, als es in den Transkripten zu erkennen ist.

Weg-Zeit- oder Orts-Zeit-Funktion?

Grundsätzlich ist es möglich, die Funktion f der Aufgabe als Orts-Zeit-Funktion oder

als Weg-Zeit-Funktion zu interpretieren. Eine Orts-Zeit-Funktion gibt an, an welchem

Ort sich der Radfahrer zu einem Zeitpunkt befindet, eine Weg-Zeit-Funktion, wie weit

er in dem Zeitraum gefahren ist. Die Interpretation hängt im Wesentlichen davon ab,

ob man unter dem Symbol t einen Zeitpunkt oder eine Zeitdauer versteht. Die Aufga-

benstellung (vgl. 2.1) selber lässt das offen:

In Aufgabenteil a) taucht das Symbol t in beiden Bedeutungen auf: t als Fahrdauer in

Stunden (vgl. Wertetabelle), und t als Zeitpunkt: Die Funktion f gibt an, „wie weit er

bis zu einem Zeitpunkt schon vorangekommen ist.“ Den Transkripten ist zu ent-

nehmen, dass die Schülerinnen und Schüler unter f(t) die Länge des Weges verste-

hen, der in diesem Zeitraum zurückgelegt wurde, bzw. der bis zu diesem Zeitpunkt

zurückgelegt wurde. Für diejenigen, die die Ableitungsfunktion f‘ von f betrachten, ist

diese in jedem Fall die zu f gehörige Geschwindigkeit-Zeit-Funktion. Auch hier sind

wieder zwei Denkweisen möglich: Die Schülerinnen und Schüler überlegen in Aufga-

benteil c), wie schnell der Radfahrer zum Zeitpunkt 16 Uhr der Radtour ist. Man

könnte aber auch fragen, wie schnell der Radfahrer genau zwei Stunden nach dem

Start war.

Folgende typische Formulierung zeigt, dass Schülerinnen und Schüler t bezüglich f

als Zeitdauer, bezüglich f‘ als Zeitpunkt interpretieren: „A: Wir wolln ja wissen, wie

schnell, wie schnell er fährt, um 16 Uhr, das ist mir klar. [...] J: [...] 16 Uhr, ... in zwei

Stunden hat er 89,6 Kilometer zurückgelegt.“81 Da der Start der Radtour um 14 Uhr

ist, beschreibt 16 Uhr den Zeitpunkt 2 Stunden nach dem Start. Dieser Transkript-

auszug zeigt, wie in der Alltagssprache Zeitdauern und Zeitpunkte anhand der Ein-

81 [02, 77 - 80] ; aber auch z.B. [06 ; 258 - 259]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 50

heiten „Uhr“ und „Stunde“ unterschieden werden. Im Alltag bezeichnet man mit „16

Uhr 12 Minuten und 35 Sekunden“ einen Zeitpunkt, mit „16 Stunden 12 Minuten und

35 Sekunden“ eine Zeitdauer. Schülerinnen und Schüler, die in ihrer Bearbeitung tat-

sächlich f‘ berechnen, setzen für t dann ganz selbstverständlich 2 und nicht 16 ein82.

Auf die Problematik, dass mit dem Symbol t in der Bewegungslehre sowohl Zeitpunk-

te, als auch Zeitdauern beschrieben werden, macht auch Arons aufmerksam. Dazu

führt er in seinem Buch „A guide to introductory physics teaching“ insbesondere das

Fallgesetz (1) und das Gesetz für die Durchschnittsgeschwindigkeit (2) an.

(1) 2

d= (2) t

Nach Arons wird beim Fallgesetz t üblicherweise als Zeitpunkt, beim Gesetz für die

Durchschnittsgeschwindigkeit als Zeitdauer gesehen. Er spricht sich dafür aus, t

grundsätzlich als Zeitpunkt zu betrachten und bei dem Gesetz für die Durchschnitts-

geschwindigkeit entsprechend ∆t und ∆S zu verwenden. Er empfiehlt, zu Beginn

eines Lehrgangs geradlinige Bewegungsvorgänge zu betrachten und führt aus:

„The concept of acceleration is inextricably connected to instantaneous velocity. It

is impossible to deal clearly and correctly with instantaneous quantities without

discriminating between instants (or “clock readings”) and time intervals. It is im-

possible to deal with back-and-forth motion without discriminating between

positions, changes in position, and distances travelled by the body [...].“83

Seiner Erfahrung nach stellen sich Studienanfängerinnen und Studienanfänger die

Momentangeschwindigkeit als eine (Durchschnitts-) Geschwindigkeit in einem sehr

kurzem Zeitintervall vor.84 Vermutlich führt Arons diese Vorstellungen darauf zurück,

dass seine Studierenden mit dem Symbol t einen Zeitraum verbinden, denn dann

wird seine Forderung, t von Anfang an als Zeitpunkt zu betrachten, klar.

Diese Beobachtung kann an den vorliegenden Transkripten teilweise nachvollzogen

werden. Eine für viele Schülerinnen und Schüler übliche Argumentation in dieser

Untersuchung ist: Da zu einem (t =) Zeitpunkt keine Zeit vergeht, kann man keinen

82 vgl. z.B. [14] und [16]

83 [Arons 1990], S. 21

84 vgl. [Arons 1990], S. 22

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 51

Weg zurücklegen, also keine Momentangeschwindigkeit haben. Auch die positive

Formulierung dieser Aussage lässt sich finden: Bewegung findet nur in einem

(t =) Zeitraum statt, daher kann man keine Momentangeschwindigkeit haben. Ander-

erseits sagt die Alltagserfahrung, dass ein bewegter Körper zu jedem Zeitpunkt der

Bewegung einen Momentangeschwindigkeit haben muss. Das Problem scheint zu

sein, dass sich die Schülerinnen und Schüler einerseits eine Bewegung zu einem

Zeitpunkt nicht vorstellen können, ihnen aber andererseits das beschriebene Auswei-

chen auf einen Zeitraum auch nicht weiter hilft. Dieses Phänomen soll später genau-

er untersucht werden, vgl. Kapitel 4. Weichen Schülerinnen und Schüler der Zeit-

punktsvorstellung aus, kann der von Arons beschriebene Effekt auftreten:

„A: Wenn t = 0 wird, (VL: Ja.) aber t wird ja nicht = 0.

[...]

S: Also kriegt man einen ganz knapp davon abweichenden Näherungswert.

A: Grenzwert eben.“85

Ob die Doppeldeutigkeit von t (alleinige) Ursache für dieses Phänomen ist, kann

meines Erachtens aus den Transkripten nicht gefolgert werden: Z.B. betrachtet be-

sagter Schüler A durchaus auch Zeitpunkte und Orte, bezüglich derer er die Länge

einer Ortsänderung berechnet:

„Ehm, ja. Muss man, ... den Punkt, äh, S

2 minus den Punkt S

1 nehmen. [...]

Genauso mit dem Zeitpunkt.“86

Dennoch lehnt er mit der oben genannten Argumentation die Existenz einer ganz ge-

nauen Momentangeschwindigkeit ab.

Betrachtet man t als Zeitpunkt, schlägt Arons vor, f als Orts-Zeit-Funktion zu betrach-

ten und f(t) als Ort anzusehen. Ein zwischen zwei Zeitpunkten zurückgelegter Weg

muss dann als Ortsänderung gesehen werden:

„One can, for example, start with a rolling ball or moving cart on the laboratory

table; make (or imagine) a “flash picture” that shows the object at uniform time

intervals; place a scale behind the object; lead the students to see that the

85 [13; 371 - 375]

86 [13; 34 - 35]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 52

numbers on the scale do not represent distances travelled by the object; that, as

distances they are distances from an arbitrary origin at which the object may never

have been located; that it takes two such numbers to give information about a

change of position within a specified time interval; that we give such numbers the

name “position numbers”“87

Der Betrachtung von Orten mittels Vektoren im R³ geht Arons zu Beginn seiner Lehr-

gänge (sowohl in seinem Didaktik-Buch wie in seinem Lehrbuch zur Physik) aus dem

Weg. Er reduziert die Komplexität, indem er zunächst nur „back-and-forth motions“

zulässt: Er betrachtet geradlinige Bewegungen, „a motion of a particle along our

reference line“88, die eine Einheitsstrecke („scale“, s.o.) enthält. Zu jedem Zeitpunkt

befindet sich der Körper an einem Punkt der Geraden. Auf dem eindimensionalem

Objekt „Gerade“ wird durch f(t) genau ein Ort beschrieben. Ähnliche Vorstellungen

sind bei den Schülerinnen und Schülern dieser Untersuchung zu finden. Z.B. zeich-

net sich ein Probandenpaar eine Art „reference line“ auf. Sie enthält sowohl Orts- als

auch Zeitangaben, vgl. Abbildung 3.

Abbildung 3 : Skizze aus Transkript 11, Bearbeitung zu Aufgabenteil c)

Ihrem Gespräch ist zu entnehmen, dass sich die beiden Schülerinnen gedanklich an

dem Ort aufstellen, an dem der Radfahrer um 16 Uhr sein wird. Dann stellen sie sich

vor, „wie Jan Ullrich nun angeradelt kommt“89. – Wenn die Route der Radtour fest-

steht, benötigt man keine geradlinige Bewegung, denn f(t) kann als der Ort auf der

Route gesehen werden, der auf dieser f(t) Kilometer vom Start entfernt ist. Jedoch

87 [Arons 1990], S. 22

88 [Arons 1965], S. 3

89 [11, 291]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 53

lassen Handbewegungen einiger Schülerinnen und Schüler auf den Videos90 ver-

muten, dass diese sich auch geradlinige Bewegungen vorstellen. Vektorielle Reprä-

sentationen von Orten sind in der vorliegenden Aufgabe nicht beabsichtigt und wur-

den von den Schülerinnen und Schülern auch nicht gezeigt.

Betrachtet man t als Zeitpunkt und S bzw. s(t) als Ort, also eine Orts-Zeit-Funktion,

kann das Gesetz für die Durchschnittsgeschwindigkeit t

v= nicht mehr ohne Zu-

satzüberlegungen gelesen werden, da der Quotient aus einem Ort und einem Zeit-

punkt nur schwerlich interpretierbar ist. Besser sollte man Ät

ÄS

v= schreiben. Die

Aufschlüsselung

12 tt

v−

−

∆

= ist jedoch immer noch problematisch: Was soll

z.B. unter der Differenz von zwei Orten verstanden werden? Erst wenn man wie

Arons einen „arbitrary origin“ (s.o.), also einen willkürlich wählbaren Bezugspunkt in

der Zeit t0 und den zugehörigen örtlichen Bezugspunkt S0 hinzunimmt, kann man

Weglängen und Zeitdauern notieren, da Orts-Differenzen bzgl. des Bezugszeitpunkts

als Längen gesehen werden: )tt()tt(

)SS()SS(

0102

−−−

=. t0 und S0 sind in der vorlie-

genden Aufgabe sinnvoller Weise 14 Uhr und der Startort der Radtour. Betrachtet

man den Raum seiner Lebens-Umwelt als Punktmenge mit Koordinatensystem,

kommt durch die Möglichkeit der freien Wahl des Bezugspunkts nichts anderes als

die Möglichkeit der freien Wahl des Ursprungs des Koordinatensystems zum Aus-

druck.

Auch wenn man eine Weg-Zeit-Funktion betrachtet, benötigt man einen Bezugspunkt

S0: Werden S1 und S2 in der Gleichung

12 tt

v−

−

= als Längen aufgefasst, kann man

nach einem Startort der Bewegung fragen, bzgl. dessen die Entfernungen angege-

ben werden.

90 z.B. [06, 190], [14, 170]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 54

Die Transkripte zeigen, dass die Interpretation von S und t offensichtlich davon ab-

hängig ist, was die Schülerinnen und Schüler (gedanklich) zu tun beabsichtigen91: In

Rechnungen ist es angenehmer, Zeitdauern und Entfernungen zu betrachten, bei

Vorstellungen in der r-Welt werden Orte (an denen man sich gedanklich aufstellt) und

Zeitpunkte (zu denen der Radfahrer irgendwo ist) bevorzugt. Bei (gedanklichen)

Messvorgängen scheinen sich die Interpretationen zu treffen: Mit einem Maßband

misst man die Entfernung S2 - S1 zwischen zwei Orten S1 und S2.

Betrachtet man t als Zeitpunkt und f(t) als Ort, muss man konsequenterweise von

einer Orts-Zeit-Funktion und nicht von einer Weg-Zeit-Funktion sprechen. Entspre-

chend ist eine Durchschnittsgeschwindigkeit als Orts-Änderungs-Rate, eine Momen-

tangeschwindigkeit als lokale Orts-Änderungs-Rate zu sehen. Die Schülerinnen und

Schüler interpretieren bei der Bearbeitung der Aufgabe f jedoch zumeist als Weg-

Zeit-Funktion mit t als Zeitdauer. Unter Momentangeschwindigkeit verstehen sie fast

immer, „wie viel er genau um 16 Uhr fährt“92, wobei t also als Zeitpunkt gesehen wird.

Aus diesem Grund soll im Folgenden von der Weg-Zeit-Funktion die Rede sein, aber

auch von den (lokalen) Orts-Änderungs-Raten.

Die sechs in dieser Diskussion zentralen Begriffe können wie folgt gegenübergestellt

werden:

Ort vs. Weglänge, Strecke, Entfernung

Zeitpunkt vs. Zeitraum, Zeitdauer

Momentangeschwindigkeit vs. Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Momentangeschwindigkeit

Wie in der Aufgabe soll jetzt als Information über die Bewegung nur eine Weg-Zeit-

Funktion s zur Verfügung stehen. Dann kann man die Orts-Änderungs-Rate des

Körpers, also seine Durchschnittsgeschwindigkeit wie üblich berechnen:

91 Dies ist ein schönes Beispiel dafür, dass verschiedene Modelle einer Situation in Abhängigkeit von

der geplanten Operation gebildet werden, vgl. 2.2.

92 [11; 263]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 55

„Ortsänderung / zugehörige Zeitdauer“:

12 tt

)t(s)t(s

−

Eine Bewegung wird aber durch die Angabe von s(t1) und s(t2), sowie t1 und t2 nicht

vollständig beschrieben. Auch die Hinzunahme der Durchschnittsgeschwindigkeit lie-

fert nicht alle Informationen, die man über eine Bewegung erlangen kann. Z.B. lässt

sich so nicht feststellen, ob sich der Körper zu Beginn der Bewegung schnell oder

langsam bewegt.

Zu jedem Zeitpunkt der Bewegung befindet sich ein solcher Körper an einem Ort zwi-

schen Start- und Zielort. Zu jedem Zeitpunkt, also an jedem Ort hat er eine positive

Momentangeschwindigkeit oder positive lokale Ortsänderungsrate. Bei gegebener

Weg-Zeit-Funktion s = s(t), kann die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 mit

Hilfe der Infinitesimalrechnung berechnet werden:













−

→0

tt tt

)t(s)t(s

lim 0

Bei einer linearen Weg-Zeit-Funktion kommt man auch ohne Infinitesimalrechnung

aus, da sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, die Durchschnittsge-

schwindigkeit also denselben Wert hat, wie die Momentangeschwindigkeiten zu allen

Zeitpunkten der Bewegung. Ein Körper, der über einen Zeitraum unbewegt bleibt, hat

in diesem Zeitraum eine Durchschnittsgeschwindigkeit vom Wert Null. Ebenso haben

seine Momentangeschwindigkeiten zu jedem Zeitpunkt des Zeitraums den Wert Null.

Im Alltag wird hier oft formuliert, dass der Körper in diesem Fall keine Geschwindig-

keit hat.

Eine Weg-Zeit-Funktion liefert hinreichend viel Informationen, um Durchschnittsge-

schwindigkeiten

12 tt

)t(s)t(s

−

− berechnen zu können. Das bereitet Schülerinnen und

Schüler (ab 10. Jahrgangsstufe wie in dieser Untersuchung) nur in den seltensten

Fällen Probleme, zumal für die Berechnung nur elementare Arithmetik benötigt wird.

Oft sind t

1 = 0 und s(t1) = 0, so dass die Differenzenbildung nicht durchgeführt

werden muss. Wie die Einheiten z.B. „km/h“ bzw. „m/s“ anzeigen, geben (Durch-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 56

schnitts-) Geschwindigkeiten ein Verhältnis an. Damit sie einfach vergleichbar sind,

werden gewöhnlich gleichnamige Nenner gewählt, in der Regel ist der Betrag des

Nenners sogar gleich Eins. Somit brauchen beim Vergleich nur noch die Zähler be-

trachtet werden, was sich in der letztlich unpräzisen Alltagssprache „ich war 160 Kilo-

meter schnell“ niederschlägt. Wählt man die Weglängen als Maß für die Geschwin-

digkeit, kann man die Vorstellung des Verhältnisses umgehen. Der Quotient als sol-

cher wird vielleicht gar nicht mehr wahrgenommen, da aufgrund der Eins im Nenner

gar nicht gerechnet werden muss. Weglänge und Durchschnittsgeschwindigkeit wer-

den identifiziert. Diese Identifikation wurde eine Zeit lang auf Verkehrsschildern ge-

nutzt, die die zulässige Höchstgeschwindigkeit (= maximale Momentangeschwindig-

keit) begrenzten, vgl. Abbildung 4. Heute wird die Einheit „km“ nicht mehr auf die

Schilder aufgebracht.

Abbildung 4: Identifikation von Weglänge und Momentangeschwindigkeit93

Die Geschwindigkeitsbegrenzung 30 km/h bedeutet nicht, dass durchschnittlich

maximal 30 km/h gefahren werden dürfen, sondern, dass zu jedem Zeitpunkt die

maximale Geschwindigkeit 30 km/h betragen darf, dass also eine konstante Ge-

schwindigkeit von maximal 30 km/h erlaubt ist. Interessant ist, dass sowohl die

Durchschnittsgeschwindigkeit als auch die Momentangeschwindigkeit auf die kon-

stante Geschwindigkeit zurückgeführt werden können, also auf den trivialen Bewe-

gungsvorgang: Durchschnittsgeschwindigkeit 30 km/h bedeutet, dass, wenn man die

ganze Zeit gleich schnell gewesen wäre, jede Stunde 30 km zurückgelegt hätte. Mo-

mentangeschwindigkeit 30 km/h bedeutet, dass, wenn man die ganze Zeit so schnell

fährt, in einer Stunde 30 km zurücklegt. In diesem Sinne ist die konstante Geschwin-

digkeit grundlegend.94

93 [Duden 1984], S. 577

94 Fragt man allerdings weiter, was bei der konstanten Geschwindigkeit „immer gleich schnell sein“

bedeuten soll, wird man wohl als Antwort erhalten, dass man zu jedem Zeitpunkt gleich schnell ist

(immer = zu jedem Zeitpunkt). Hier deutet sich an, dass die Begriffe der Momentangeschwindigkeit,

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 57

Soll aus einer Weg-Zeit-Funktion die Momentangeschwindigkeit ermittelt werden, tre-

ten bei Schülerinnen und Schüler oft Probleme auf: Im Vergleich zu der elementaren

Arithmetik werden die Infinitesimalrechnung und insbesondere Grenzprozesse oft als

unnatürlich und schwer durchschaubar angesehen. Unterstützung sollen die Schüle-

rinnen und Schüler u.a. von Grundvorstellungen für das Ableiten, z.B. die „lokale Än-

derungsrate“ erhalten. Wie die Transkripte zeigen, bereitet aber die Momentange-

schwindigkeit als lokale Orts-Änderungs-Rate selber bereits große Probleme. Oft be-

trachten Schülerinnen und Schüler Zähler und Nenner des Differenzen- und des

Differenzialquotienten getrennt. Es ist natürlich richtig, dass zu einem Zeitpunkt keine

Ortsänderung stattfindet, da keine Zeit vergeht. Daraus schließen einige Schülerin-

nen und Schüler, dass es auch keine (positive) lokale Orts-Änderungs-Rate geben

kann, dass es also in diesem Sinne keine Momentangeschwindigkeit geben kann.

Bei Alexander klingt das so:

„Genau, weil in dem Augenblick keine Zeit vergeht. So. Und äh, theoretisch be-

wegt sich das Auto zu diesem Zeitpunkt nicht vorwärts. Sondern genau zu dieser

Zeit bleibt es ja genau da stehen, wo ich hin gucke. [...] Ne Sekunde später ist

das Auto woanders. Und dann kann ich den Weg, dann habe ich einmal den Weg,

den Weg, den es zurückgelegt hat und die Zeit, und daraus ich irgendwie da die

Geschwindigkeit berechnen. Also hat ne Geschwindigkeit, oder ne Beschleuni-

gung oder wie auch immer, oder eine Verzögerung in diesem Zeitraum bestanden.

[...] Aber genau zu dem Augenblick, wo ich kucke [...], ist es für mich gleich 0.“95

Alexanders Argumentation zeigt das 0/0-Problem in der r-Welt. Positive Geschwin-

digkeiten sind für ihn nur über einen Zeitraum vorhanden. Er scheint nicht in der

Lage zu sein, den Zeitpunkt innerhalb des Zeitraums der Bewegung zu sehen. Be-

züglich des Zeitraums kann er aber nur Aussagen über die Durchschnittsgeschwin-

digkeit treffen, da sich die Geschwindigkeit des Radfahrers ständig ändern kann, wie

andere Schülerinnen und Schüler bemerken96. Der „Moment“ wird bedeutungslos,

daher kann es auch keine Momentangeschwindigkeit geben. Das steht aber im

Gegensatz zur Alltagsvorstellung dieser Größe, nach der ein bewegter Körper zu

jedem Zeitpunkt der Bewegung eine positive Momentangeschwindigkeit hat. Im Tran-

der Durchschnittsgeschwindigkeit und der konstanten Geschwindigkeit einen Begriffskomplex bilden,

dessen Teilbegriffe kaum getrennt voneinander verstanden werden können.

95 [13; 245 - 253]

96 vgl. z.B. [09; 86] und [12; 63 und 78]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 58

skript 06 kann man zwei Schülerinnen beobachten, die in genau diesen Konflikt

geraten.

Im mathematischen Wortgebrauch stellt sich das 0/0-Problem so dar: Obwohl die

lokale Ortsänderung und die lokale Zeitänderung jeweils den Wert Null haben, kann

es zu dem Zeitpunkt eine positive lokale Orts-Änderungs-Rate geben.

Da sowohl Durchschnitts- als auch Momentangeschwindigkeit Verhältnisse angeben,

dürfen Zähler und Nenner nicht getrennt betrachtet werden, jedenfalls nicht beim

Grenzprozess. Also sind auch nicht zwei getrennte Grenzprozesse für eine Zähler-

und eine Nennerfolge zu betrachten, sondern der Grenzwert der Folge der Differen-

zenquotienten ist gesucht. Die getrennte Betrachtung kann eine Ursache für das 0/0-

Problem in der m-Welt sein, wie der folgende Dialog zeigt:

„A: Wenn t = 0 wird, (VL: Ja.) aber t wird ja nicht = 0.

VL: Wenn t = 0 wird, also einsetzen darfst du das nicht, dann hast du ja 0/0. (A:

Ja, ja.)

S: Also kriegt man einen ganz knapp davon abweichenden Näherungswert.

A: Grenzwert eben.“97

Eine Folge von Alexanders Vorstellung ist, dass ein Grenzwert als etwas „unendlich

Genaues, aber nicht ganz Genaues“ angesehen wird, da man ja nicht 0/0 rechnen

kann. An dem Transkriptauszug kann man zudem erkennen, dass nicht die oben

genannte Doppeldeutigkeit des Symbols t für Alexanders Vorstellung verantwortlich

ist. Bereits Newton unterschied sorgfältig zwischen „letzten Größen“ und „letzten

Verhältnissen“, vgl. Kap. 1.2.

Betrachtet man einen bewegten Körper ist intuitiv klar, dass es neben einer Weg-

Zeit-Funktion auch eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion geben muss, die zu jedem

Zeitpunkt die Momentangeschwindigkeit des Körpers angibt. So eine Funktion taucht

in der Alltagswelt z.B. bei Fahrtenschreibern von LKW auf. Hier tritt die Vorstellung

der Momentangeschwindigkeit als lokale Orts-Änderungs-Rate in den Hintergrund.

Da das Augenmerk meiner Untersuchung auf den Vorstellungen liegt, die Schülerin-

nen und Schüler vom Grenzwertbegriff beim Ableiten entwickeln, ist die Betrachtung

97 [13; 371 - 375]; A = Alexander, S = Sebastian, VL = Versuchsleiter

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 59

der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion für mich zweitrangig. Dennoch ist es auch interes-

sant zu sehen, wie z.B. ein Schüler der Jahrgangsstufe 10 in naiver Weise die Idee

des Integrals als verallgemeinerten Mittelwert entwickelt, indem er die Durchschnitts-

geschwindigkeit als verallgemeinerten Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten

sieht: ∫

−

dt)t(v

v. Zur Erinnerung noch einmal das Zitat von oben:

„Du kannst doch schreiben, dass es keine Momentangeschwindigkeit geben

würde, gibt’s auch keine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil dann wird er sich ja

gar nicht bewegen.“98

Oder anders formuliert: Wenn man sich zu keinem Zeitpunkt bewegt, bewegt man

sich auch in dem Zeitraum, den die Zeitpunkte bilden, nicht. Diese Formulierung ver-

weist auf die viel grundsätzlichere erkenntnistheoretische Diskussion über die Topo-

logie des Kontinuums, auf die in Kapitel 4.5 eingegangen wird.

Ist eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion gegeben, bereitet es Schülerinnen und Schü-

lern wohl keine Probleme, Momentangeschwindigkeiten als Funktionswerte zu be-

rechnen. Im Gegensatz dazu wird nun die Berechnung von Durchschnittsgeschwin-

digkeiten wohl als schwer empfunden, da infinitesimale Mathematik benötigt wird.

Die Beschreibung von Bewegungsvorgängen durch Geschwindigkeit-Zeit-Funktionen

(wie schnell man gerade ist) und Weg-Zeit-Funktionen (wo man gerade ist, bzw. wie

weit man schon gefahren ist) lehnen sich eng an Alltagserfahrungen an und bereiten

im Alltag keine Probleme. Das zeigen auch die Transkripte, in denen sich niemand

über die gegebene Weg-Zeit-Funktion verwundert. Will man aus einer Weg-Zeit-

Funktion die Momentangeschwindigkeit ermitteln, rückt die Idee der lokalen Orts-Än-

derungs-Rate ins Zentrum der Aufmerksamkeit. Diese wird als unnatürlich empfun-

den. Es treten also Probleme auf, wenn man sich die Bewegung eines Körper nur zu

einem Zeitpunkt und nicht über einen Zeitraum vorstellt. Da man keine Informationen

über den Körper bezüglich seiner Lage vor oder nach diesem Zeitpunkt hat, kann

man nicht entscheiden, ob dieser Körper ruht oder in Bewegung ist. Ein Foto als Mo-

mentaufnahme gibt keine Information über eine Bewegung. Die Vorstellung eines

98 [03; 281 - 283]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 60

Zeitpunkts im Sinne eines Fotos verbietet die Vorstellung von Bewegung zu diesem

Zeitpunkt und damit auch die Vorstellung von Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt.

Selbst wenn man wüsste, dass sich das Auto zum Zeitpunkt der Aufnahme bewegte,

könnte man dem Foto die zugehörige Geschwindigkeit nicht entnehmen. („Ver-

wischte“ Fotos z.B. einer Radarfalle sollen hier nicht berücksichtigt werden, siehe un-

ten „Messbarkeit von Momentangeschwindigkeit“.) Die Vorstellung einer Bewegung

oder einer Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt erscheint sinnlos, bei der Bewegung

zu Recht, bei der Geschwindigkeit zu Unrecht: Auch wenn zu einem Zeitpunkt keine

lokale Orts-Änderung stattfindet, kann ein Körper eine positive lokale Orts-Än-

derungsrate haben. – Betrachtet man die Weg-Zeit-Funktion zu einem bestimmten

Zeitpunkt, so weiß man, an welchem Ort sich der Körper zu diesem Zeitpunkt be-

findet, aber nicht, wie er dort hin gelangt ist. – Man kann sich Bewegungsvorgänge

über Zeiträume vorstellen. Wenn man die Vorstellung von Bewegung zu einem

Zeitpunkt ablehnt, werden Zeitpunkte bedeutungslos. Man kann nur noch Aussagen

über Wegstrecken und Durchschnittsgeschwindigkeiten treffen.

Fazit: Ob im Mathematikunterricht die Berechnung und Vorstellungen von der Durch-

schnitts- und der Momentangeschwindigkeit als schwer oder leicht empfunden wer-

den hängt davon ab, welcher funktionale Zugang vorgegeben ist, eine Weg-Zeit-

Funktion oder eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion.

Anhand von Transkriptauszügen wurden hier Schülerinnen- und Schüler-Vorstellun-

gen vom Grenzwertbegriff und von Geschwindigkeiten (insbesondere Momentange-

schwindigkeit) als Phänomene gezeigt, wie sie im Mathematikunterricht auftreten

können. Sie wurden in der r-Welt als auch in der m-Welt genauer beschrieben. In

Kapitel 4 wird versucht, Ursachen für die Vorstellungen aufzuzeigen.

Messbarkeit von Momentangeschwindigkeit

In Aufgabenteil c) der Untersuchung werden die Schülerinnen und Schüler u.a. ge-

fragt, ob es eine Momentangeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt gibt. Oft argumentie-

ren sie wie folgt: Wenn man die Momentangeschwindigkeit messen kann, gibt es sie

auch. Daher soll hier der Frage der Messbarkeit der Momentangeschwindigkeit nach-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 61

gegangen werden. Zunächst sollen vier Beispiele angeführt werden, wie die Momen-

tangeschwindigkeit nicht gemessen werden kann. Diese vier Beispiele wurden mir in

Gesprächen mehrmals angeboten:

Abbildung 5: Ein Drehspulmessinstrument erzeugt Wechselstrom

Ein Tachometer misst nicht die Momentangeschwindigkeit! Bei digitalen Fahrrad-

tachometer wechselt die Anzeige in gewissen festen Zeitintervallen. Mit Hilfe eines

Magneten, der in den Speichen eines Rades befestigt ist und Impulse in einem am

Rahmen montierten Leiter erzeugt, wird die Anzahl der Radumdrehungen in jedem

Zeitintervall erfasst. Mittels des vorprogrammierten Radius des Rades wird der Weg

berechnet und durch das Zeitintervall geteilt. Aufgrund der Zählung der vollen Rad-

umdrehungen ist das ein diskretes Verfahren, das eben nur Durchschnittsgeschwin-

digkeiten misst. – Auch ein Zeigertachometer im Auto oder am Fahrrad zeigt keine

Momentangeschwindigkeit an. Durch die Tachowelle wird im Gehäuse ein Perma-

nentmagnet in einer Spule gedreht und dadurch ein Wechselstrom erzeugt. Der Zei-

ger des Tachos zeigt die Stromstärke an, die in einem streng monoton wachsendem

Verhältnis zur Umdrehungszahl der Welle steht, die wiederum der Umdrehungszahl

der Räder des Autos entspricht, also seiner Geschwindigkeit. Eigentlich müsste der

Zeiger nun ständig entsprechend der sinusartig verlaufenden Ströme der Spule hin

und her pendeln, siehe Abbildung 5 links. Die Größe der Amplituden wie die Fre-

quenz (Periodenlänge) ist hier von der Umdrehungszahl, also von dem Tempo ab-

hängig. Um das Pendeln zu vermeiden, setzt man einen Gleichrichter aus Dioden

ein, der, bildlich gesprochen, die „negativen Ströme positiv macht“, siehe Abbildung

5, rechts. Man sieht aber, dass auch hier der Tachometerzeiger noch schwanken

müsste. Ob aufgrund der Trägheit der Nadel oder aufgrund einer weiteren elektroni-

schen Schaltung, auf jeden Fall zeigt die Nadel einen Wert an, der zwischen 0 und

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 62

der Amplitudengröße liegt, eine Art Mittelwert. In einer ersten Näherung entspricht

der Mittelwert der Höhe eines Rechtecks mit gleichem Flächeninhalt, wie die Kurve in

Abbildung 5, rechts zwischen zwei Nullstellen beschreibt. (Da sich aber die Frequenz

und die Amplitudenhöhe mit wechselnder Geschwindigkeit ständig ändern, kann das

nur eine Näherung sein.) Jedenfalls wird für die Ermittlung der Position der Tacho-

nadel die Zeitdauer der halben Periode der ursprünglichen sinusartigen Kurve be-

nötigt.

Beim digitalen Fahrradtacho wird zu einer festen Zeitdauer die Anzahl der Radum-

drehungen ermittelt, beim Zeigertacho wird zu einer festen Ortsänderung (= eine

halbe Radumdrehung = eine halbe Spulenumdrehung) die benötigte Zeit (= Perio-

denlänge) ermittelt. Beides führt zu einer Diskretisierung der Messdaten.

Auch ein „Blitzgerät“, wie es die Polizei zur Tempokontrolle einsetzt, gibt nicht die

Momentangeschwindigkeit wieder. Auf dem Foto kann man zwei Dinge erkennen:

Die „Schlieren“ des Fahrzeugs aufgrund seines Tempos (bei Urlaubsfotos würde

man sagen, sie seien verwackelt) und die weißen dünnen Markierungen auf der

Fahrbahn (die natürlich nicht verwackelt sind). Anhand der Länge der Schlieren und

den Abständen der Markierungen kann man ermitteln, wie weit sich das Auto in der

Verschlusszeit der Kamera bewegt hat. Der Quotient ergibt die Durchschnittsge-

schwindigkeit.

Abbildung 6: Der Röhrentacho

Fahrtwind

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 63

Ebenso ermittelt die Radarpistole nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Sie arbeitet

nach dem Dopplerprinzip. Hier ist es also notwendig, mindestens eine volle Periode

der reflektierten Radarwelle wieder zu empfangen, um an der Differenz der Aus-

gangsfrequenz und der reflektierten Frequenz die (Durchschnitts-) Geschwindigkeit

des Fahrzeugs zu berechnen.

Es gibt aber ein analoges Messinstrument, mit dessen Hilfe sich im Prinzip die Mo-

mentangeschwindigkeit messen lässt, auf das mich Lutz Führer (Universität Frank-

furt) in einer Diskussion aufmerksam machte, und den ich „Rohrtacho“ nennen will:

Man stelle sich ein waagerecht liegendes Rohr rechteckigen Querschnitts vor. An der

„Decke“ befindet sich ein Scharnier an dem eine Klappe befestigt ist (siehe

Abbildung 6 mit einen Längsschnitt durch das Rohr). Hängt die Klappe lotrecht her-

unter, verschließt sie das Rohr vollständig. Durch dieses Rohr bläst der Fahrtwind. In

Abhängigkeit von der Stärke des Fahrtwinds wird nun die Klappe verschieden weit

geöffnet. Der Anstellwinkel oder die Bogenlänge von der Fußstrecke der Klappe bis

zur augenblicklichen Position sind Maße für die Momentangeschwindigkeit. Diese Art

von Messgerät wird in Segelflugzeugen eingesetzt. Hier kann man von einem konti-

nuierlichen Fahrtwind ausgehen. Allerdings zeigt dieses Messinstrument die Ge-

schwindigkeit des Segelflugzeugs bzgl. der Luftströmungen außerhalb des Fliegers

an. Interessant ist, dass beim Röhrentacho weder Ortsänderungen noch Zeitspannen

eine Rolle spielen.

Den Fahrtwind, der für den Öffnungswinkel der Klappe verantwortlich ist, kann man

auch sinnlich wahrnehmen, wenn man z.B. bei einer Autofahrt die Hand aus dem

Fenster hält. Da die Durchschnittsgeschwindigkeit über einem Zeitraum gebildet

wird, kann man sie nicht sinnlich wahrnehmen. Vielleicht kann man sich aber diesen

Zeitraum ins Gedächtnis rufen, sich das in diesem Zeitraum Wahrgenommene als

Ganzes zugleich präsent machen. Ginge das, könnte man sich zumindest die Durch-

schnittsgeschwindigkeit denken, sie (nur) mittelbar wahrnehmen. Als sinnliche Wahr-

nehmung wie den Luftdruck auf der Hand kann das aber nicht mehr bezeichnet

werden.

Das Prinzip des Röhrentachos lässt sich auch für Messungen von Momentange-

schwindigkeit bewegter Körper nutzen: Prallt eine bewegte Kugel auf die Klappe,

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 64

wird diese in Abhängigkeit der Aufprallgeschwindigkeit, das ist eine Momentange-

schwindigkeit, entsprechend weit geöffnet. So könnte Newtons „letzte Geschwin-

digkeit“ gemessen werden, vgl. 1.2.

Gibt es Momentangeschwindigkeit? – Entscheidungskriterien der Schülerinnen

und Schüler

Im Aufgabenteil c) werden die Schülerinnen und Schüler gefragt, ob es so etwas wie

eine Momentangeschwindigkeit gibt. Die Transkripte lassen mindestens vier ver-

schiedene Grundlagen erkennen, auf denen die Schülerinnen und Schüler ihre Ent-

scheidung treffen:

Vorstellung eines Bewegungsvorgangs in der r-Welt:

Oft wird die Frage aufgrund der Vorstellung eines Bewegungsvorgangs entschieden.

Dabei können die Schülerinnen und Schüler zu unterschiedlichen Ergebnissen kom-

men: „Sicher hat der auch ne Momentangeschwindigkeit. Weil, der ist ja zwischen-

durch nicht angehalten.“99; bzw.: Zu einem Zeitpunkt wird kein Weg zurückgelegt,

also gibt es keine Momentangeschwindigkeit.100; bzw. Bewegungen finden nur in

Zeiträumen statt, Aussagen über Momentangeschwindigkeiten sind nicht möglich.

Diese Entscheidungsgrundlage kann man der r-Welt zuschreiben.

Messbarkeit:

Die Messbarkeit der Momentangeschwindigkeit bildet eine weitere Entscheidungs-

grundlage. Auch sie kann der r-Welt zugeordnet werden, oder, wenn man Messvor-

gänge der Physik zuschreibt, auch einer Physik-Welt. Auch hier kommen verschie-

dene Schülerinnen und Schüler zu verschiedenen Ergebnissen: „Doch, das muss es

geben. Wenn das ja, wenn er um 16 Uhr fährt, muss da auf seinem Tacho irgend

etwas stehen, wie viel Kilometer er fährt.“101 bzw. „Wie gesagt, er muss ja um 16 Uhr,

... irgend ne Geschwindigkeit gehabt haben ... Das heißt nein. Geschwindigkeit kann

man nur messen, wenn man einen Zeitraum hat.“102

99 [01; 33 - 34]

100 vgl. z.B. [13; 245 - 253] und [14; 157 - 158]

101 [02; 64 - 65]

102 [08; 243 - 245]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 65

Berechenbarkeit:

Oft, wenn versucht wird, den Aufgabenteil c) mit Hilfe der Berechnung der Momen-

tangeschwindigkeit zu beantworten, wird die Berechenbarkeit der Momentange-

schwindigkeit als Entscheidungsgrundlage gewählt103. Kann die Momentangeschwin-

digkeit nicht berechnet werden, folgt aber für die Schülerinnen und Schüler nicht

automatisch, dass es die Momentangeschwindigkeit nicht gibt: „Es gibt eine Mo-

mentangeschwindigkeit, wir können sie jedoch nicht ermitteln, da nicht genügend

Informationen gegeben sind.“104 Mit Informationen sind Funktionswerte der Weg-Zeit-

Funktion gemeint105. Einige Schülerinnen und Schüler sind aber auch der Meinung,

dass man die Momentangeschwindigkeit prinzipiell nicht berechnen kann: „S: Ja hier

steht doch mit deiner Methode. A: Ja, vielleicht gibt’s ja mehrere, aber du kannst es

mit keiner richtig machen.“106 Weiterhin gibt es Schülerinnen und Schüler, die nur ihr

eigenes mathematisches Vermögen anzweifeln: „Es gibt eine Momentangeschwin-

digkeit, aber wir können sie nicht ermitteln.“107

Interpretation der Aufgabenstellung:

Einige Schülerinnen und Schüler versuchen die Frage aufgrund der Aufgabenstel-

lung und aufgrund von Reaktionen des Versuchsleiters zu beantworten: „Beide lesen

Aufgabenteil d), lachen. S: Hähä... A: Also gibt’s die doch!“108 „Das, das ist,... Wenn

ses dieses fragen, dann muss es eine Momentangeschwindigkeit geben.“109 „H: Bist

Du sicher, dass es die gibt? ... Tja. VL: Deckt doch mal die nächste Teilaufgabe auf!

K: Also gibt’s die!“110

103 vgl. z.B. [01]

104 [10], schriftliche Bearbeitung zu Aufgabenteil c)

105 vgl. z.B. [10; 117]

106 [11; 163 - 165]

107 [10; 111 - 112]

108 [13; 75 - 76]

109 [06; 322 - 323]

110 [05; 411 - 414]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 66

4. Die isolierende und die einbettende Sichtweise

Wie im vorhergehenden Kapitel angedeutet, bereitet die Vorstellung von Momentan-

geschwindigkeit in der Alltags- oder realen Welt einerseits keine Probleme („Ja,

muss es ja geben. Er fährt ja immer weiter.“111), andererseits sehr wohl (Zu einem

Zeitpunkt bewegt sich ein Körper nicht, hat also keine Momentangeschwindigkeit,

siehe oben, Alexander). In der Mathematik-Welt kann es passieren, dass dieselben

Schülerinnen und Schüler den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen und

dennoch in ihren Vorstellungen das 0/0-Problem haben, wenn sie die Grenzwerte

von Zähler und Nenner des Differenzenquotienten getrennt betrachten.

In diesem Abschnitt werden zwei Sichtweisen als Erklärungsversuch für diese Phä-

nomene entwickelt. Die Sichtweisen sollen die „isolierende Sichtweise“ und die „ein-

bettende Sichtweise“ genannt werden. Folgende Tabelle 2 zeigt die bereits bekann-

ten typischen Argumentationen, den Sichtweisen und Denkwelten zugeordnet. An-

schließend zeige ich, dass die Sichtweisen das Grundparadoxon des infinitesimalen

Denkens beschreiben und daher die lokale Änderungsrate als Grundvorstellung

dieses Grundparadoxon vollständig enthält.

Denkwelten

r-Welt m-Welt

isolierende

Sichtweise

Zu einem Zeitpunkt legt man

keinen Weg zurück, daher gibt

es keine Momentangeschwin-

digkeit. – Bewegung findet nur

in einem Zeitraum statt.

Die lokalen Änderungen von

Weg und Zeit sind Null, daher

ist die lokale Änderungsrate

auch Null, bzw. 0/0-Problem

Sichtweisen

einbettende

Sichtweise

Wenn man sich bewegt, hat

man zu jedem Zeitpunkt der

Bewegung eine positive

Momentangeschwindigkeit.

Die lokale Änderungsrate ist

der Grenzwert des

Verhältnisses t

∆

Tabelle 2: Typische Argumentationen, den Sichtweisen und Denkwelten zugeordnet

111 [03; 273 - 275]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 67

4.1. Die Sichtweisen in der r-Welt

Bei einer Bewegung eines Körpers über einen Zeitraum ohne (vorübergehenden)

Stillstand, kann man annehmen, dass er zu jedem Zeitpunkt der Bewegung eine po-

sitive Momentangeschwindigkeit hat. Wie die Transkripte zeigen, ist diese Schluss-

folgerung jedoch nicht für alle Schülerinnen und Schüler zwingend. Obwohl ihnen

wahrscheinlich klar ist, dass der von ihnen betrachtete Zeitpunkt innerhalb des

Zeitraums der Bewegung liegt, scheint es so, als versuchten sie, sich die Bewegung

nur zu einem bestimmten Zeitpunkt vorzustellen. Daraus resultiert wahrscheinlich

das oben beschriebene Problem: Die Vorstellung einer Bewegung oder einer Ge-

schwindigkeit zu einem Zeitpunkt erscheint sinnlos.

Für jeden Zeitpunkt der Bewegung kann man aber auch versuchen, die Bewegung

nicht nur in diesem Moment zu sehen, sondern sie zudem als Ganzes ins Auge zu

fassen: Wenn man sich die ganze Zeit bewegt, bewegt man sich auch zu jedem

Zeitpunkt der Bewegung, hat also zu jedem Zeitpunkt eine Momentangeschwin-

digkeit. – Betrachtet man eine Bewegung über einen Zeitraum als Ganzes, bereitet

es wohl keine Mühe, sich vorzustellen, dass zu jedem Zeitpunkt eine Momentange-

schwindigkeit vorliegt. Bei der Schülerin Claudia hört sich das so an:

„Weil ich ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit (klopft mit einem Stift

auf den Tisch und lässt die Stiftspitze auf einem Punkt), zu diesem Zeitpunkt, ich

habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke zurückgelegt, (bewegt den Stift

über den Tisch) aber wenn ich das im Ganzen betrachte, würd ich, bin ich in dem

Moment so schnell.“112

Fasst man die Bewegung zudem als Ganzes ins Auge, setzt man von vorne herein

die Existenz der Momentangeschwindigkeit zu allen Zeitpunkten der Bewegung vor-

aus. Wenn es einem also gelingt, die Bewegung als Ganzes ins Auge zu fassen,

kann einem klar werden, dass es auch zu dem vorübergehend isoliert betrachteten

Zeitpunkt der Bewegung eine Momentangeschwindigkeit geben muss. Denn die Be-

wegung findet von „vor bis nach dem Zeitpunkt“ statt, also auch an dem Zeitpunkt.

Dieser wird nun in der Menge der Zeitpunkte des Zeitraums eingebettet gesehen.

Ebenso kann auch die zeitweilig problematisch erscheinende, weil isoliert betrachtete

112 [14; 168 - 172]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 68

Momentangeschwindigkeit in die der Menge aller Momentangeschwindigkeiten über

den gesamten Zeitraum eingebettet gesehen werden. Es ist also eine Frage der

Sichtweise, ob man einem bewegten Körper zu einem Zeitpunkt eine Momentange-

schwindigkeit zuschreibt, oder nicht.

Für die gedankliche Einbettung einer vormals isoliert betrachteten Momentange-

schwindigkeit ist die Alltagsvorstellung, dass Geschwindigkeitsänderungen nicht

sprunghaft stattfinden, von Bedeutung. Denn dann kann man in der m-Welt von einer

stetigen Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ausgehen. Die „benachbarten“ Funktionswer-

te bilden nun eine Art Referenzmenge für die betrachtete Momentangeschwindigkeit,

die in dieser Wertemenge integriert ist. Sie bilden eine Art Rahmen für die speziell

betrachtete Momentangeschwindigkeit und lassen aufgrund der r-Welt-Situation kei-

ne sprunghafte Veränderung zu.

Die Beschreibung der Sichtweise, bei der man die jeweiligen Größen (Zeitpunkt und

Momentangeschwindigkeit) in ihren Referenzmengen eingebettet sieht, kann die

Vermutung nahe legen, dass diese Größen zunächst gar nicht eingebettet sind. Das

ist aus mathematisch-physikalischer Sicht natürlich falsch. Aber das Eingebettet-

Sehen oder das "Einbetten" (wenn man zuerst isoliert betrachtet hat) ist eine Aktivität

des denkenden Subjekts. In der r-Welt bedeutet das folgendes: Sobald man die Be-

wegung als Ganzes sieht, geht man davon aus, dass sie sich stetig (im Alltagssinn)

verhält und dass zu jedem Zeitpunkt der Bewegung eine positive Momentange-

schwindigkeit vorliegt. Also sind alle Momentangeschwindigkeiten (also auch die

speziell betrachtete) von vorne herein vorhanden. Jede speziell betrachtete Momen-

tangeschwindigkeit ist in die anderen eingebettet, sie betten sich in diesem Sinne

gegenseitig ein. Sie werden aber nicht immer so gesehen. Einige Schülerinnen und

Schüler isolieren nämlich sowohl den Zeitpunkt als auch die zugehörige Momentan-

geschwindigkeit von ihren jeweiligen Referenzmengen. Einen bewegten Körper zu

einem Zeitpunkt isoliert zu betrachten bedeutet, gedanklich den Rest der Bewegung

(wieder) auszublenden. Einer so isoliert betrachteten Momentangeschwindigkeit fehlt

die Referenzmenge. Beim Sichtweisenwechsel zur einbettenden Sichtweise muss

der Rest der Bewegung wieder in den Blick genommen werden und der spezielle

Zeitpunkt mit der zugehörigen Momentangeschwindigkeit in diesem Sinne erst noch

hinzugefügt und eingebettet werden. Natürlich kann es aufgrund eines außermathe-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 69

matischen Kontextes sinnvoll oder gar notwendig sein, gewisse Situationen lokal zu

betrachten. Lokal bedeutet aber eben nicht isolierend hinzuschauen. Einbettend

bedeutet eben auch nicht, die Situation ausschließlich als Ganzes zu betrachten. Um

eine lokale Eigenschaft wie Momentangeschwindigkeit mittels der einbettenden

Sichtweise begreifen zu können, muss man sowohl den Zeitpunkt als auch die

Bewegung als Ganzes im Blick behalten.

In der m-Welt, der formalen Sprache Mathematik, ist mit einer differenzierbaren

Funktion auch die Ableitungsfunktion gegeben. Somit ist mit der gegebenen Funktion

bereits die Menge der Werte der Momentangeschwindigkeiten und auch die Ge-

schwindigkeit zu dem besagten Zeitpunkt vorhanden. In dem Sinne muss keine Ein-

bettung mehr stattfinden, es muss nur „mit der richtigen Sicht“ hingeschaut werden.

Sichtweisen müssen eingenommen werden. Da dies eine Aktivität des denkenden

Subjekts ist, sollen sie „einbettende Sichtweise“ bzw. „isolierende Sichtweise“ und

nicht „eingebettete“ bzw. „isolierte Sichtwiese“ genannt werden. Schließlich werden

auch nicht die Sichtweisen eingebettet oder isoliert, sondern Größen, hier Zeitpunkte

und Momentangeschwindigkeiten.

Das bedeutet: Liegt als Beschreibung eines Bewegungsvorgangs „nur“ eine Weg-

Zeit-Funktion vor und soll eine Momentangeschwindigkeit bestimmen werden, muss

man einen Zeitpunkt der Bewegung in den Blick nehmen, ohne die Bewegung als

Ganzes aus den Augen zu verlieren. Meine These ist, dass die einbettende Sicht-

weise wesentlich dazu beiträgt, die Existenz der Momentangeschwindigkeit in der r-

Welt plausibel erscheinen zu lassen.

Über den Wert der erwarteten Momentangeschwindigkeit wird hier noch nichts ge-

sagt, da man die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion auch nicht näher kennt, sondern ihr

Vorhandensein nur intuitiv voraussetzt und gedanklich ausnutzt. Man erwartet je-

doch, dass es eine Zahl gibt, die ihren Wert angibt. Diese müsste man ja z.B. an

einem Tacho ablesen können113. Es bleibt also die Frage, welche Vorstellungen in

der m-Welt geeignet sein könnten, damit der übliche Ableitungskalkül sinnhaft für die

113 Im Alltagsverständnis zeigt dieser ja die Momentangeschwindigkeit an, unabhängig davon, was er

tatsächlich anzeigt, vgl. 3.2.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 70

Ermittlung des Werts der Momentangeschwindigkeit aus der Weg-Zeit-Funktion er-

scheint.

4.2. Einbettung zur Ermittlung des Grenzwerts

Was bedeutet die einbettende Sichtweise in der r-Welt für die m-Welt? Was passiert,

wenn man „nur“ eine Weg-Zeit-Funktion als Informationsquelle über eine Bewegung

zur Verfügung hat und speziell die Frage nach der Geschwindigkeit zu einem Zeit-

punkt und nach deren Wert stellt? In der Alltagsvorstellung ist klar, dass es eine Ge-

schwindigkeit-Zeit-Funktion geben muss. Sie könnte z.B. durch einen Fahrtenschrei-

ber, wie im einem LKW gebräuchlich, aufgezeichnet werden. Man erwartet in der r-

Welt also die Existenz eines Werts, der die Momentangeschwindigkeit angibt. Dieser

Wert soll in der m-Welt ermittelt werden, eine „gute“ Mathematik sollte die Berech-

nung ermöglichen.

Der zur einbettenden Sichtweise in der r-Welt adäquate Kalkül sollte natürlich der

Grenzprozess am Differenzenquotienten

tt )t(f)t(f

)t(d−

−

= der Weg-Zeit-Funktion f

sein: Mit der Schreibweise

tt tt )t(f)t(f

lim

0−

−

→ wird der gesuchte Wert beschrieben.

Warum? Und: Welcher Wert ist gemeint? Und vor allem: Gibt es in der m-Welt eine

einbettende und eine isolierende Sichtweise, die, ähnlich wie in der r-Welt, adäquate

und ungeeignete Vorstellungen von dem Kalkül nahe legen?

Mit dem m-Welt-Objekt „Differenzenquotientenfunktion an der Stelle t

0“ kann man

Durchschnittsgeschwindigkeiten bzgl. des Zeitpunkts t

0 berechnen. Man kann nun

eine Umgebung um t0 betrachten, indem man gedanklich mit t in der Umgebung über

t0 hin- und herwandert und dabei die Werte des Differenzenquotienten beobachtet.

Die Differenzenquotientenfunktion an der Stelle t0 hat bei t0 eine stetig hebbare Defi-

nitionslücke. In der m-Welt kann man solche hebbaren Lücken bzgl. der Definitions-

menge (hier Zeit) und der Wertemenge (hier Durchschnittsgeschwindigkeiten) als

eingebettet betrachten. Bedenkt man die r-Welt-Bedeutung der Differenzenquotien-

tenfunktionswerte bei t0, wenn man z.B. „von links mit t an t0 heranwandert“, stellt

man fest, dass sich die Durchschnittsgeschwindigkeitswerte dem erwarteten Momen-

tangeschwindigkeitswert (den man nicht kennt aber für existent hält) immer weiter

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 71

nähern, in diesem Sinne genauer werden. „Geht man über t0 hinaus“, werden die

Werte wieder ungenauer. Die Intuition der Einbettung (in der r-Welt) fordert die Exis-

tenz eines Werts der Momentangeschwindigkeit bei t0, und die eben aufgeführten

Betrachtungen legen nahe, dass der fehlende Lückenwert der Differenzenquotienten-

funktion (in der m-Welt) genau dieser Wert ist. Die Einbettung bezieht sich nicht wie

bei den reinen r-Welt-Überlegungen nur auf die Wertemenge der intuitiv vorhanden-

en Geschwindigkeit-Zeit-Funktion. In der m-Welt kann der Grenzwert (bzw. die Defi-

nitionslücke) zudem als eindeutiger Häufungspunkt der Wertemenge der Differen-

zenquotientenfunktion bzgl. der Umgebung um t0 eingebettet gesehen werden. Man

kann also von einer doppelten Einbettung sprechen, vgl. Abbildung 7. Die Interpreta-

tion des Grenzprozesses in der r-Welt sichert die Sinnhaftigkeit des mathematischen

Tuns.

Abbildung 7: Die doppelte Einbettung von Lückenwerten

6420-2

0.5

-0.5

-1

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion und Abschnitte

von Durchschnittsgeschwindigkeitsfunktionen an den Stellen 1, 2, 3 und 4. Die Schnitt-

punkte der Graphenabschnitte mit der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion sind die Lücken.

Da sich der Graph und die Graphenabschnitte schneiden, kann man erkennen, wie sich

die Werte der Durchschnittsgeschwindigkeitsfunktionen dem Wert der jeweiligen

Momentangeschwindigkeit (= Lückenwert) nähern, wenn bzgl. der jeweiligen Lücken-

stelle immer näherliegende Stellen betrachtet werden. Der Lückenwert ist sowohl in die

Geschwindigkeit-Zeit-Funktion als auch in die Durchschnittsgeschwindigkeitsfunk

tion

eingebettet.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 72

Die Idee, den Grenzwert der Differenzenquotienten als Lückenwert der zugehörigen

Differenzenquotientenfunktion zu betrachten, ist nicht neu. Sie wird gelegentlich als

eine Variante der Definition der Differenzierbarkeit angeführt:

„Definition Die reelle Funktion f sei auf dem (völlig beliebigen) Intervall I definiert.

Wir sagen, f sei differenzierbar im Punkte ξ ∈ I, wenn [...] die Funktion











ξ−

)('f

)(f)x(f

:)x(F in ξ stetig ist.“114

(Zuvor wurde natürlich f’(ξ) als Grenzwert des Differenzenquotienten von f an der Stelle ξ definiert

und die Existenz des Grenzwerts vorausgesetzt.)

Die zur Einbettung in der m-Welt benötigten Objekte kann man (natürlich) den

Schreibweisen der heute gebräuchlichen Kalküle ansehen: Bei der ε-δ-Definition des

Grenzwerts des Differenzenquotienten stellen die gleichnamigen Umgebungen die

oben genannten Referenzmengen dar. Beim lim-Kalkül bedeutet „t → t0“ bei der

Schreibweise 0

lim

→ den All-Quantor „für alle Folgen mit Grenzwert t0“. Betrachtet man

nun alle Folgenwerte aller Folgen zugleich, dann kann man diese Menge wieder als

eine Art δ-Umgebung auffassen und somit auch die ε-Umgebung erhalten.

Auch in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik findet sich z.B. bei Griesel die

Idee des Lückenwerts bei der Differenzenquotientenfunktion. Ausführliche Vorüberle-

gungen und Veranschaulichungen (in der g-Welt) münden in die Definition:

Definition: Die (Ausgangs-) Funktion f heißt an der Stelle a differenzierbar, falls die

Differenzenquotientenfunktion von f an der Stelle a eine Lücke hat.

Bei dieser Definition wird der Begriff „Lücke“ naiv anschaulich gefasst. Eine Präzi-

sierung soll später erfolgen. Der Begriff „Lückenwert“ wird ebenfalls nur anschau-

lich gefasst. Er stellt die Zahl dar, durch welche die Lücke „vollgestopft“ wird.

Der Lückenwert gibt die Steigung der Tangente an. Das ist kein Satz, sondern eine

Definition.“115

114 [Heuser 1990], S. 261

115 [Griesel 1976], S. 30

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 73

Da man sich hier der Lücke der Quotientenfunktion bewusst ist, vermeidet man viel-

leicht das 0/0-Problem, da man ständig den Quotienten im Blick behält und nicht die

Grenzwerte von Zähler und Nenner getrennt betrachtet.

Die Stetigkeit der intuitiv vorhandenen Geschwindigkeit-Zeit-Funktion erleichtert

einerseits die einbettende Sichtweise, birgt aber andererseits auch die Gefahr, dass

bei Schülerinnen und Schülern der Eindruck entsteht, Ableitungsfunktionen seien

grundsätzlich stetig. Auf dieses Problem wird in Kapitel 4.4 eingegangen.

4.3. Die isolierende Sichtweise

In beiden Welten ist die einbettende Sichtweise für Schülerinnen und Schüler nicht

selbstverständlich, wie die Transkripte zeigen. Durch ihre isolierende Sichtweise un-

terliegen sie einer Fehlvorstellung. Steht „nur“ eine Weg-Zeit-Funktion zur Verfügung,

kann die Frage nach der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt Probleme hervorrufen,

wenn aufgrund der Formulierung „zu einem Zeitpunkt“ die Bewegung nicht mehr als

Ganzes gesehen wird. Wird der Zeitpunkt nicht mehr in seinem Zeitraum eingebettet

sondern isoliert gesehen, kann man der Weg-Zeit-Funktion nur noch entnehmen, wo

sich der Körper zu einem Zeitpunkt befindet, bzw. welche Strecke er in dem Zeitraum

zurückgelegt hat. Nicht nur der Zeitpunkt wird isoliert gesehen, sondern da nun auch

die Intuition keine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion zur Verfügung stellt (zu einem Zeit-

punkt kann man sich ja nicht bewegen), kann die Momentangeschwindigkeit dort

nicht eingebettet gesehen werden. In der r-Welt werden bei dieser isolierenden Sicht-

weise der Zeitpunkt und der zugehörige Ort isoliert betrachtet. Ist „nur“ eine Weg-

Zeit-Funktion gegeben, betrachtet man in der m-Welt die Differenzenquotientenfunk-

tion. Sie ist an der besagten Stelle jedoch nicht definiert. Die isolierende Sichtweise

führt aber dazu, nur diese nicht definierte Stelle zu betrachten. Man kann also keine

Aussagen über irgendwelche Eigenschaften dieser Funktion treffen.

Aber nicht nur der Zeitpunkt wird isoliert betrachtet, sondern auch der Zeitraum,

wenn Schülerinnen und Schüler sagen, dass Bewegungen und somit Geschwindig-

keiten nur über Zeiträume stattfinden. Dann werden die Zeitpunkte des Zeitraums

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 74

ausgeblendet, da für diese ja keine Aussagen getroffen werden können. „Isolierende

Sichtweise“ heißt also, dass Zeitpunkt und Zeitraum voneinander isoliert betrachtet

werden. Beide Isolationsvorgänge hängen eng zusammen, da sich die charakteristi-

schen Argumentationen und die Schlussfolgerungen daraus entsprechen: Da zu

einem Zeitpunkt keine Bewegung stattfindet, gibt es keine Momentangeschwindig-

keit; bzw.: Da Bewegung nur in einem Zeitraum stattfindet, gibt es nur Durchschnitts-

geschwindigkeit. Letztlich liegt also nur ein Isolationsvorgang vor.

Wird die Weg-Zeit-Funktion als einzige Informationsquelle über die Bewegung ge-

nutzt, muss man auf die Orts-Änderungs-Rate zurückgreifen und den zugehörigen

Grenzprozess betrachten. Da es nach der isolierenden Sichtweise keine Momentan-

geschwindigkeit gibt, messen Schülerinnen und Schüler, die dennoch den zugehö-

rigen Wert des Differenzialquotienten berechneten, diesem Wert keinerlei außerma-

thematische Bedeutung zu oder sie weichen gedanklich dem Zeitpunkt wieder aus

und betrachten unendlich kleine Zeitintervalle: „Also, wir haben jetzt, hier ist es nicht

gleich Null, sondern es geht gegen Null, unendlich klein.“ 116

Eine Verstärkung der Fehlvorstellung findet dann statt, wenn die lokalen Änderungs-

raten der Zähler- und Nennerfunktion des Differenzenquotienten getrennt betrachtet

werden. Die Vorstellung einer Bewegung und einer Momentangeschwindigkeit als

lokale Änderungsrate erscheinen sinnlos, da nun Orts- und Zeitänderung beide Null

sind. Das 0/0-Problem drängt sich auf. Weil man zu einem Zeitpunkt keinen Weg zu-

rücklegt, kann man auch keine Momentangeschwindigkeit haben. Somit können die

Referenzmengen, in denen die Momentangeschwindigkeit und ihr Wert eingebettet

gesehen werden können, verloren gehen.

Das im Unterricht oft gewählte Sekanten-Tangenten-Problem ist „nur“ eine Einklei-

dung der lokale Änderungsrate und schützt vor der isolierenden Sichtweise nicht: Ein

Punkt kann keine Steigung haben und schon gar nicht eine eindeutig bestimmte. Erst

als „Mitglied einer Kurve“ (und hier geschieht die Einbettung!!) kann man der Kurve in

dem Punkt (nicht dem Punkt selber!!) die Eigenschaft „Steigung“ zuschreiben.

116 [14; 218 - 218]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 75

Fazit: An den Überlegungen wurde deutlich, dass Differenzierbarkeit an einer Stelle

eine lokale, aber keine punktuelle Eigenschaft ist. Zur Berechnung der lokalen

Änderungsrate an nur einer Stelle müssen die Funktionswerte in einer ganzen Um-

gebung um die Stelle herum bekannt sein. Die lokale Eigenschaft „lokale Änderungs-

rate“ ist aus der alleinigen Kenntnis der punktuellen Eigenschaft „Funktionswert an

der Stelle“ nicht zu ermitteln, die zugehörige Differenzenquotientenfunktion hat dort

eine Definitionslücke. Und obwohl die (stetige) Funktion an einer Stelle keine lokale

Änderung hat, kann sie an derselben Stelle eine positive lokale Änderungsrate

haben.

4.4. Zwei Bemerkungen zu den Sichtweisen

Prototypische Argumentationen

Die Ausschärfung der beiden Sichtweisen war bei mir nicht von Anfang an vorhan-

den, sondern wurde durch die intensive Beobachtung der Arbeitsphasen der Schüle-

rinnen und Schüler anhand der Transkripte erheblich gefördert. Die Beiträge von

Claudia und Alexander gaben mir den ersten Anstoß, die Überlegungen anzustellen,

aus denen schließlich die Sichtweisen hervorgingen. Aus jetziger Sicht, also mit der

Kenntnis der Sichtweisen, lesen sich die Äußerungen wie Prototypen für die Auswir-

kungen der Sichtweisen auf das Bewegungsproblem. Alexander und Claudia haben

zwar nicht gemeinsam an der Aufgabe gearbeitet, dennoch liest sich Claudias Bei-

trag (einbettende Sichtweise) wie eine Antwort auf Alexanders Stellungnahme (isolie-

rende Sichtweise).

Alexander:

„Genau, weil in dem Augenblick keine Zeit vergeht. So. Und äh, theoretisch bewegt

sich das Auto zu diesem Zeitpunkt nicht vorwärts. Sondern genau zu dieser Zeit

bleibt es ja genau da stehen, wo ich hin gucke. [...] Ne Sekunde später ist das Auto

woanders. Und dann kann ich den Weg, dann habe ich einmal den Weg, den Weg,

den es zurückgelegt hat und die Zeit, und daraus ich irgendwie da die Geschwin-

digkeit berechnen. Also hat ne Geschwindigkeit, oder ne Beschleunigung oder wie

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 76

auch immer, oder eine Verzögerung in diesem Zeitraum bestanden. [...] Aber

genau zu dem Augenblick, wo ich kucke [...], ist es für mich gleich 0.“117

Claudia:

„Weil ich ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit (klopft mit einem Stift

auf den Tisch und lässt die Stiftspitze auf einem Punkt), zu diesem Zeitpunkt, ich

habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke zurückgelegt, (bewegt den Stift

über den Tisch) aber wenn ich das im Ganzen betrachte, würd ich, bin ich in dem

Moment so schnell.“118

Die hier aufgezeigten Zusammenhänge zwischen r- und m-Welt, zwischen Momen-

tangeschwindigkeit und Grenzwert am Differenzenquotienten sind die, die Newton

wahrscheinlich dazu gebracht haben, die Differenzialrechnung so zu entwickeln, wie

er es getan hat. Es wird eine Mathematik entwickelt, in die man bei der Modellbildung

etwas bezüglich der r-Welt Sinnvolles hineinsehen kann: Was da getan wird, ist sinn-

voll (da es eine Momentangeschwindigkeit / lokale Änderungsrate gibt), wie es getan

wird, ist sinnvoll (der Grenzprozess bringt immer genauere Durchschnittsgeschwin-

digkeiten / Änderungsraten im oben genannten Sinne) und die Bedeutung des Er-

gebnisses des Kalküls ist sinnvoll (das ist der Wert der Momentangeschwindigkeit /

der lokale Änderungsrate) und auch die Güte (der Grenzwert ist ganz genau und

nicht nur beliebig genau). Auch auf das Phänomen, dass Zähler und Nenner des

Differenzenquotienten getrennt betrachtet werden, ist er in seinen Ausführungen

über letzte Größen und letzte Verhältnisse eingegangen. Auch wenn weder Newton

geschweige denn die Schülerinnen und Schüler in dieser Untersuchung eine formal

ausgereifte Mathematik entwickeln, bietet die Aufgabe eine gute Möglichkeit, mathe-

matisch im Sinne Freudenthals zu arbeiten, vgl. 1.1: Freudenthal fordert, aus Anwen-

dungen Mathematik entstehen zu lassen. In diesem Sinne ist der Vorschlag der Vor-

stellung des Hin- und Herwanderns gemeint: Nachdem die einbettende Sichtweise

eine plausible Vorstellung von Momentangeschwindigkeit in der r-Welt sicherte, wur-

de von Newton eine Mathematik entwickelt, die eine mathematische Beschreibung

des Bewegungsproblems unter Berücksichtigung der einbettenden Sichtweise dar-

stellt. Im Sinne Freudenthals können auch Schülerinnen und Schüler Newtons intui-

tiven Grenzwertbegriff nachentdecken.

117 [13; 245 - 253]

118 [14; 168 - 172]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 77

Eine Gefahr der einbettenden Sichtweise

Wenn man sich nicht gerade vorstellt, dass der Radfahrer in der Aufgabe gegen eine

Wand fährt, kann man von einer stetigen Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ausgehen.

Da die Erarbeitung des intuitiven Grenzwertbegriffs an Zusammenhängen zwischen

r- und m-Welt ansetzt, besteht die Gefahr, dass Schülerinnen und Schüler den Ein-

druck gewinnen, Ableitungsfunktionen seien grundsätzlich stetig. Der Nachweis der

Tatsache, dass Ableitungsfunktionen keine Sprungstelle haben können, wird Gaston

Darboux (1842 – 1917) zugesprochen. (Idee des Widerspruchsbeweises, „graphisch“

gesprochen: Hätte die Ableitungsfunktion f’ der differenzierbaren Funktion f eine

Sprungstelle, so hätte f selber dort einen „Knick“ haben müssen, wäre dort also nicht

differenzierbar gewesen.) Es kommt also nur die zweite Art von Unstetigkeit in Frage,

„beliebig starkes Oszillieren“. Ein bekanntes Beispiel für eine differenzierbare Funk-

tion, deren Ableitungsfunktion nicht stetig ist, ist:











≠

0xfalls,0

0xfalls),sin(x

)x(fx

, vgl. Abbildung 8.

Abbildung 8: Der Graph von f, eingeschlossen in eine „Parabelschere“ aus x

x²

und x

-x²

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 78

Für x ≠ 0 ist f natürlich differenzierbar, aber auch für x = 0, und zwar ist:

0))sin(h(lim

0)sin(h

lim h

0h =⋅=

−

→→ .

Somit gilt: 









≠−⋅

0xfalls,0

0xfalls),cos()sin(x2

)x('fx

Man sieht, dass f’ in 0 nicht stetig ist: Zwar „verschwindet“ der vordere Summand

)sin(x2x

⋅ an der Stelle 0, aber )cos(x

1 oszilliert um diese Stelle herum beliebig stark

zwischen -1 und 1.

Um den skizzierten Beweis genau führen zu können, muss neben einem intuitiven

Grenzwertbegriff auch ein formaler beherrscht werden. Im empirischen Teil dieser

Untersuchung steht aber der intuitive Grenzwertbegriff im Vordergrund. Das zeigt

schon die Aufgabe. Sie kann meines Erachtens im Rahmen eines Einstiegs in die

Differenzialrechnung eingesetzt werden. Mit ihrer Hilfe können („nur“) Vorstellungen

und Intuitionen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten gewonnen werden. Letztlich

muss die Lehrperson entscheiden, in wieweit der Grenzwertbegriff im Unterricht prä-

zisiert und formalisiert werden soll. Nach der Einführung in die Differenzialrechnung

würde ich meine Schülerinnen und Schüler zudem zunächst mit Positiv-Beispielen,

also mit stetig differenzierbaren Funktionen arbeiten lassen, bevor ich sie mit einem

Funktionsmonster wie dem oben angeführten konfrontieren würde.

4.5. Kritik an der lokalen Änderungsrate als Grundvorstellung

Wenn Schülerinnen und Schüler über die Momentangeschwindigkeit diskutieren,

entwickeln sie fast zwangsläufig beide Sichtweisen. Da ihnen plausible Argumenta-

tionen für bei zwei gegensätzliche Standpunkte zur Verfügung stehen, befinden sie

sich in einem inneren Konflikt, der durch die Sichtweisen beschrieben und erläutert

werden kann. Im weiteren soll dieser innere Konflikt etwas grundsätzlicher betrachtet

werden.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 79

Kann man einen Zeitraum als aus Zeitpunkten zusammengesetzt betrachten? Fol-

gender Schüler scheint dies zu versuchen:

„Du kannst doch schreiben, dass es keine Momentangeschwindigkeit geben

würde, gibt’s auch keine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil dann wird er sich ja

gar nicht bewegen.“119

Wie in Kapitel 3.2 bemerkt, verweist diese Frage auf die viel grundsätzlichere er-

kenntnistheoretische Diskussion über die Topologie des Kontinuums. Denn hier zeigt

sich vielleicht das Grundparadoxon des infinitesimalen Denkens (in geometrischer

Fassung): Man betrachte eine Strecke. Wahrscheinlich kann man sich leichter einen

Punkt der Strecke, z.B. als Schnittpunkt mit einer anderen Strecke vorstellen, also

diesen Punkt als Element der gegebenen Punktmenge „Strecke“ (als Kontinuum)

sehen, als dass man sich vorstellen kann, die Strecke als Kontinuum endlicher

Länge (größer Null) aus Punkten ohne Ausdehnung „zusammenzusetzen“. Folgen-

des Schülerinnen-Zitat zeigt, wie sich das Problem des Zusammensetzens bezüglich

einer Bewegungssituation auswirken kann:

„Hör mal, wenn da, wenn da eine Momentangeschwindigkeit ist, muss er da immer

ja gleich fahren. ... Oder nicht?“120

Die Schülerin scheint die Wertemenge einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion aus Ge-

schwindigkeitswerten zusammengesetzt und nicht als „fertiges Kontinuum“ zu sehen:

Da für sie die Geschwindigkeitswerte diskret vorliegen (isolierende Sichtweise),

scheint sie sich Geschwindigkeitsänderungen nur als Sprünge vorstellen zu können.

Aufgrund von r-Welt-Vorstellungen erwartet sie aber, dass die Geschwindigkeit-Zeit-

Funktion der Radfahr-Situation stetig ist, zwischen den Geschwindigkeitswerte also

kein Sprung auftreten darf. So kommt sie zum Schluss, dass der Radfahrer „da

immer gleich fahren muss“. – Die Geschwindigkeitswerte scheinen für sie also

diskret zu sein. Sie weiß aber sehr wohl, dass der Radfahrer seine Geschwindigkeit

ändern kann. Es bleibt die Frage, was „zwischen den Werten“ passiert. Die geometri-

sche Version der Frage (Was passiert zwischen den Punkten?) hat auch die führen-

den Köpfe der Zeit der mathematischen Grundlagenkrise beschäftigt. 1921 stellte

119 [03; 281 - 283]

120 [06; 217 - 218]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 80

Weyl seine „atomistische Auffassung des Kontinuums“ vor und beantwortete die

Frage z.B. so: „die kontinuierliche „Raumsauce“, welche zwischen ihnen ergossen

ist, tritt gar nicht in die Erscheinung;“121

Auch andere bekannte Paradoxien lassen sich auf die Denkweisen „fertiges Konti-

nuum“ und „Zusammensetzen aus diskreten Punkten“ zurückführen. Drei Beispiele

werden nun aufgeführt, zunächst das Pfeilflug-Paradoxon von Zenon:

• Ein Pfeil wird auf eine Zielscheibe geschossen. Der Pfeil wird nicht ankommen, er

wird nicht mal den Bogen verlassen, denn: Man erwartet, dass der Pfeil den Mittel-

punkt zwischen dem Schützen und der Zielscheibe erreichen muss. Dazu muss er

aber den Mittelpunkt des Mittelpunkts und dem Schützen erreichen usf. – Die Wort-

wahl legt die isolierende Sichtweise nahe. Dieses wiederum suggeriert, dass man

anschließend die Flugbahn (Kontinuum) aus Orten (ohne Ausdehnung) zusammen-

setzen muss, so dass die Flugbahn die Länge Null haben muss. Dennoch: Niemand

würde sich als Zielscheibe zur Verfügung stellen!!

• Das Paradoxon des unbegrenzten Teilens und Zusammensetzens von Zenon (vgl.

[Becker 1975, S. 42]): Zenon beginnt mit einer Strecke endlicher Länge größer Null.

Er setzt voraus und behauptet, dass, wenn man diese Strecke in zwei Teile teilt,

diese Teile wiederum eine endliche Länge größer Null besitzen. Nun teilt er

fortgesetzt die Teilstrecken:

„Und von dem vor jedem liegenden Teile, d.h. dem Teil jeden Teiles, gilt dieselbe

Behauptung. Auch dieser wird nämlich Größe haben, und es wird ein anderer vor

ihm liegen. Dieselbe Behauptung gilt nun ein für allemal. Denn kein derartiger Teil

desselben (des Ganzen) wird die äußerste Grenze bilden, und nie wird der eine

ohne Verhältnis zum anderen sein. Wenn so viele Dinge sind, so müssen sie

notwendig zugleich klein und groß sein: so klein, daß sie keine Größe haben, so

groß, daß sie unbegrenzt viele sind.“122

Und darin liegt das Paradoxon: Durch das fortgesetzte Teilen einer Strecke (man

beginnt mit einem „fertigen Kontinuum“) erhält man unbegrenzt viele Teile mit Länge

121 [Weyl 1921], S. 47

122 [Becker 1975], S. 42

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 81

größer Null. Setzt man aber unbegrenzt viele Teile größer Null zusammen, müssen

sie zusammen unbegrenzte Länge haben. Da man aber mit einer endlichen Länge

begann, müssen die Teile die Länge Null haben.

• Ein letztes Beispiel:

„Wenn ein Kegel parallel der Grundfläche von einer Ebene geschnitten wird, wie

soll man sich die entstehenden Schnittflächen denken, gleich oder ungleich (kon-

gruent oder inkongruent)? Sind sie ungleich, dann werden sie den Kegel ungleich-

mäßig machen, da er viele stufenartige Einschnitte und Vorsprünge erhält; sind sie

dagegen gleich, so werden auch die Schnitte gleich sein und der Kegel wird die

Erscheinung des Zylinders darbieten, da er aus gleichen, nicht aus ungleichen

Kreisen bestehen wird, was doch sehr ungereimt ist.“123

Wieder beginnt man mit einem „fertigen Kontinuum“, dem Kegel, den man schneidet.

Dann denkt man sich den Kegel aus den Schnittflächen zusammengesetzt, was zum

Paradoxon führt. Die „Stufen“ und „Vorsprünge“ erinnern an die Vorstellungen der

Schülerin von oben: Zwischen zwei Werten einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion darf

es ebenso wenig Sprünge geben, wie zwischen den Radien der Kreise.

Die Sichtweisen beschreiben die beiden gegensätzlichen Denkweisen des Grundpa-

radoxons: Die einbettende Sichtweise kann man nur einnehmen, wenn man gedank-

lich mit einem „fertigen Kontinuum“ beginnt. Dieses stellt nämlich die Referenzmenge

dar, in die eingebettet werden kann. Einen Zeitpunkt kann man z.B. in das Kontinu-

um eines Zeitraums eingebettet sehen. Will man weiterhin einen Momentange-

schwindigkeitswert einbetten, sind die Wertemengen einer Geschwindigkeit-Zeit-

Funktion oder einer Durchschnittsgeschwindigkeit-Zeit-Funktion mögliche Kontinua,

wobei im letzten Fall die Momentangeschwindigkeit den Lückenwert darstellt, was

den Einbettungsgedanken jedoch nicht behindert. – Das Zusammensetzen eines

Kontinuums kann mit der isolierenden Sichtweise in Verbindung gebracht werden,

wenn z.B. isoliert betrachtete Zeitpunkte zusammengefasst werden müssen, damit

ein im Alltag beobachteter Bewegungsvorgang beschrieben werden kann. Dann

kommt es jedoch zu den Problemen, die die oben angeführten Schülerinnen- und

Schüler-Zitate andeuten. Man kann das Auftreten der Sichtweisen also als Indikator

123 [Becker 1975], S. 56

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 82

für das Auftreten des Grundparadoxons ansehen. Das Grundparadoxon ist jedoch

„nur“ ein erkenntnistheoretisches, wie die Maßtheorie zeigt. Diese verbindet beide

Sichtweisen und zeigt letztlich, dass beide innerhalb dieser Theorie akzeptabel sind.

Die Untersuchung zeigt, dass Schülerinnen und Schüler beide Sichtweisen ent-

wickeln, wenn sie intensiv über den Begriff der Momentangeschwindigkeit nachden-

ken. Da die Sichtweisen die Denkweisen des Grundparadoxons beschreiben, kann

man vermuten, dass beide Sichtweisen ebenso auftreten, wenn Schülerinnen und

Schüler lokale Änderungsraten in beliebigen Kontexten studieren: So ist z.B. aus

dem Analysis-Unterricht bekannt, dass die Sichtweisen auch bei Überlegungen zur

Steigung eines Graphen in einem Punkt auftauchen. – Die ausführlichen Transkript-

analysen in Kapitel 5 zeigen, wie Schülerinnen und Schüler durch intensives Nach-

denken über die lokale Änderungsrate (in dem Fall Momentangeschwindigkeit) in

einen inneren Konflikt geraten, der durch die Sichtweisen beschrieben und durch das

Grundparadoxon ausgelöst und begründet wird.

Die Sichtweisen beschreiben zwei erkenntnistheoretisch zueinander paradoxe Denk-

weisen bezüglich der lokalen Änderungsrate. Der Begriff der lokalen Änderungsrate

trägt also das Grundparadoxon bereits in sich. Der didaktische Ansatz, der die lokale

Änderungsrate dem Ableitungsbegriff als Grundvorstellung unterlegt, ist daher in der

gängigen Form nur bedingt brauchbar. Wie die Grundvorstellung der linearen

Approximation einzuordnen ist, bleibt dahingestellt. Da aber eine Infinitesimalrech-

nung ohne Grenzprozesse und Grenzwerte ein Widerspruch in sich darstellt, ist zu

erwarten, dass bei Vorstellungen von der linearen Approximation zu den Sichtweisen

verwandte Denkweisen gefunden werden können.

Meine Untersuchung hat ergeben, dass für Schülerinnen und Schüler die einbetten-

de Sichtweise diejenige ist, die den Zusammenhang von Prozessen in der Umwelt

und lokalen Änderungsraten zur Beschreibung lokaler Eigenschaften der Prozesse in

der Mathematik besonders deutlich und plausibel macht. Weiterhin wurde in Kapitel

4.2 gezeigt, wie die einbettende Sichtweise genutzt werden kann, den Grenzwert zu

ermitteln. Damit ist die Frage klar, welche Sichtweise für den Analysisunterricht die

wünschenswerte ist. Dass im Analysisunterricht die einbettende Sichtweise auch

bedenkenlos betont werden darf, wird durch die Maßtheorie sichergestellt. Kapitel 6

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 83

beschäftigt sich ausführlich mit dem Umgang mit beiden Sichtweisen im Ana-

lysisunterricht.

4.6. Statische und dynamische Sichtweise bei Folgen

In diesem Unterkapitel soll auf Peter Benders Artikel „Fehlvorstellungen und -ver-

ständnisse bei Folgen und Grenzwerten“ 124 eingegangen werden. Zunächst soll ge-

zeigt werden, dass auch Bender eine Art einbettende Sichtweise für adäquate Vor-

stellungen vom Grenzwert bei Folgen für notwendig hält. Er nennt sie die statische

Sichtweise. Seiner statischen Sichtweise stellt er die dynamische gegenüber, die

allerdings der hier entwickelten isolierenden Sichtweise nicht entspricht. Weiterhin

sollen die Grenzwertbegriffe bei Folgen und am Differenzenquotienten diskutiert wer-

den. Wenn von einer dynamischen Sichtweise oder Vorstellung die Rede ist, ist

natürlich nicht gemeint, dass die Vorstellung an sich dynamisch ist, sondern dass

sich jemand über dynamische Vorgänge Gedanken macht.

In seinem Artikel führt Bender Fehlvorstellungen vom Grenzwert bei Folgen unter an-

derem auf eine dynamische Sichtweise von Folgen zurück. Darunter versteht er das

gliedweise Durchwandern einer Folge mit dem Ziel, den Grenzwert zu bestimmen.

Dazu setzt man (bei explizit vorgegebenen Folgen) der Reihe nach die natürlichen

Zahlen ein, um die Werte der Folgenglieder zu bestimmen. Der Wunsch, so tat-

sächlich an den Grenzwert gelangen zu können, führt zu Vorstellungen, es könne

eine Art letztes Folgenglied geben, das den Index ∞ trägt, und welches man mittels

des Durchwanderns auch erreichen könne. Natürlich stellt die Betrachtung eines An-

fangsstücks einer Folge einen wichtigen Schritt der Analyse einer Folge dar. Durch

die Betrachtung kann man zu einer Vermutung gelangen, welche Zahl der Grenzwert

sein könnte. Bender schreibt das so:

„Für konvergente Folgen (besonders deutlich bei Reihen) ist charakteristisch, daß

das numerisch Wesentliche am Anfang ‚geschieht‘ und die Folgenglieder sich mit

wachsenden Nummern immer weniger voneinander unterscheiden.“125

124 [Bender 1991b], Hervorhebungen wie im Original

125 [Bender 1991b], S. 240, Hervorhebungen wie im Original

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 84

Dann macht Bender auf die Unmöglichkeit aufmerksam, dass das Durchwandern,

also der Grenzprozess zum Grenzwert führen könne: In den meisten Fällen ist der

Grenzwert nicht zugleich auch Wert eines Folgenglieds. Da es aber kein letztes Fol-

genglied gibt, da die natürlichen Zahlen über jede Schranke wachsen, kann der

Grenzwert i.A. auch nicht erreicht werden. Es liegt also am Wesen der Folge (als

Funktion von den natürlichen Zahlen in die reellen), dass man weder die Definitions-

menge vollständig durchlaufen, noch in der Wertemenge den Grenzwert erreichen

kann: In der Wertemenge der konvergenten Folge (in der Schulmathematik sind das

zumeist die reellen Zahlen) nähert man sich sehr wohl dem Grenzwert beliebig an,

aber in der Definitionsmenge (den natürlichen Zahlen) findet keine Näherung irgend-

einer Art statt, da es keine Zahl ∞ gibt, und selbst wenn es eine solche gäbe, was

sollte dann Nähern heißen126?

Im 11. Absatz seines Artikels betont Bender, dass es für ein mathematisch adäqua-

tes Verständnis vom Grenzwert bei Folgen unerlässlich ist, unter der Schreibweise

„lim“ (wie bei jedem algebraischen Term) zwischen der Handlungsaufforderung, den

Grenzwert zu berechnen, und dem Ergebnis der Berechnung, dem Grenzwert als

Zahl, zu unterscheiden. Beides wird durch diese Schreibweise repräsentiert. Die Tat-

sache, dass eine Schreibform zugleich Handlungsaufforderung und Ergebnis dar-

stellt, sollte für Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe nicht neu sein. Nur wird

beim lim-Operator die Handlungsaufforderung oft missverstanden, nämlich als Auf-

forderung, die Folge (endlos) zu durchwandern, anstatt den Grenzwert zu berech-

nen. Es ist aber angemessen, den lim-Operator als Abbildung der Menge der konver-

genten Folgen in die Menge der reellen Zahlen anzusehen.

Hier wird der Zusammenhang zu der zuvor entwickelten einbettenden Sichtweise

sichtbar: Das Argument des lim-Operators ist eine Folge als Ganzes! Genau wie für

den Begriff der Momentangeschwindigkeit die Bewegung als Ganzes betrachtet wer-

den muss, muss auch die Folge als Ganzes betrachtet werden. Insbesondere ein

126 Unter „sich Nähern“ soll hier „Abstand verringern“ verstanden werden. Der Abstand kann mittels

des Betrags der Differenz von zwei Zahlen notiert werden. Daher kann z.B. der Abstand von ∞ und n

nicht betrachtet werden, da ∞ keine Zahl ist, somit |∞ - n| eine sinnfreie Schreibform ist. Der Abstand

von 0 und 1/n, also |0 – 1/n| kann dagegen betrachtet werden: Durchwandert man gedanklich ein An-

fangsstück der Folge (0 - 1/n)n, kann man beobachten, dass der Wert der Folgenglieder „von rechts

gegen Null strebt“. Hier passiert das numerisch Wesentliche, hier kann die Vermutung entstehen,

dass 0 der Grenzwert der Abstands-Folge ist. Diese Beobachtung ist bei Abstands-Folgen von diver-

genten Folgen eben nicht möglich, da ∞ keine Zahl, also auch kein Grenzwert ist.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 85

Hauptteil einer Folge als Ganzes gesehen ermöglicht es erst, eine Vermutung über

den Grenzwert zu verifizieren. Denn das beliebig kleine

der üblichen formalen De-

finition des Grenzwerts einer Folge erzwingt beliebig große Indizes der Folgenglie-

der, von denen an alle Folgenglieder in der

-Umgebung um den vermuteten Grenz-

wert zu liegen haben.

Durchläuft man eine Folge in Gedanken, kann man sie nie als Ganzes sehen, und

der für den Grenzwert wesentlichen Teil der Folge tritt nicht in Erscheinung, denn

„Gegen dieses numerisch Wesentliche ist das infinitesimal Wesentliche (s.o.) einer

Folge deutlich abzugrenzen: Ersteres ist an Anfangsstücke, letzteres (insbeson-

dere auch die Eigenschaft der Konvergenz selbst) an Hauptstücke der Folge ge-

bunden. (der Ausdruck ‚Hauptstück‘ o.ä. ist m.E. der Wendung ‚Endstück‘ vorzuzie-

hen, damit nicht wieder der Gedanke an ein Ende der Folge aufkommt.)“127

Bolzano bemerkt dazu: „D.h. um mir die Vorstellung eines Ganzen aus unendlich

vielen Teilen zu machen, ist es unnötig (und unmöglich), mir deren unendlich vielen

Teile vorzustellen.“128 Genau das aber versucht der Denker beim Durchwandern der

Folge.

Die Bezeichnung „statische Sichtweise“ für die Sicht der Folge als Ganzes taucht in

Benders Artikel nur einmal auf, als Bender das Verhältnis der Sichtweisen zuein-

ander diskutiert. Dort heißt es:

„Die Hauptthese der vorliegenden Arbeit lautet aber, daß diese sog. dynamische

Auffassung von Folgen, die Schülern schon immer, also unabhängig vom Arbeits-

mittel ‚Computer‘, nahegebracht werden sollte, mit verantwortlich ist für verbreitete

Fehlvorstellungen und -verständnisse (FVV) vom Begriff des Grenzwerts. Mit

dieser These ist nicht die Konsequenz verbunden, die dynamische Sichtweise

gänzlich zu eliminieren, die ja als Einstieg und bei Anwendungen überaus erfolg-

reich ist. Aber es gibt eine (nicht zeitliche, sondern epistemologische) Phase bei

der Ausbildung des Grenzwertbegriffs, wo eine eher statische Betrachtungsweise

geboten ist, weil die vordergründig dynamische in die Irre führt. [...] Es ist nicht

ausgemacht, daß es gelingt, in den Lernprozessen der Schüler die dynamischen

127 [Bender 1991b], S. 240, Hervorhebungen wie im Original

128 Bolzano: „Wissenschaftslehre“ Neudruck Leipzig 1929-31; zitiert nach Spalt, D.D. „Die

Unendlichkeiten bei Bernard Bolzano“ in: [König 1990]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 86

Vorstellungen in den entscheidenden Phasen der Begriffsbildung auszuschalten

und sie dann wieder zuzulassen. Dies ist m.E. die Hauptaufgabe des Analysis-

Unterrichts,...“129

Hier kann man nun einen Unterschied zwischen Benders und dem hier gezeigten

Ansatz sehen: Geht es um das Verständnis des Grenzwertbegriffs bei Folgen (nicht

um eine Vermutung, was Grenzwert sein könnte), lehnt Bender jede dynamische

Vorstellung ab. Zur intuitiven Erfassung der Bedeutung des Lückenwerts gehört hier

die Betrachtung der Differenzenquotientenfunktion einer Funktion f an einer Stelle x0,

wobei man mit x (dynamisch!) gedanklich mehrmals über die Definitionslücke x0 hin-

und herwandern sollte, um anhand von Überlegungen „Wie genau sind die Werte der

einzelnen Durchschnittsgeschwindigkeiten bzgl. der Momentangeschwindigkeit?“ zu

schließen, dass der Lückenwert den Wert der Momentangeschwindigkeit angibt.

Dazu muss hier sowohl eine Umgebung in der Definitionsmenge als Ganzes ins

Auge genommen werden, als auch eine Umgebung der Wertemenge der Funktion f‘

an besagter Stelle (die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion f‘ existiert intuitiv und liefert die

Referenzmenge, in die der Lückenwert eingebettet wird). Das Zusammenspiel der

Vorstellung von den Umgebungen als Ganzes mit der dynamischen Vorstellung des

Hin- und Herwanderns soll bei diesem Ansatz Vorteile beim Entwickeln des Grenz-

wertbegriffs am Differenzenquotienten verschaffen.

Die Möglichkeit des Wanderns in der Definitionsmenge über die „kritische Stelle“ hin-

aus ist zentral bei dieser Überlegung. Diese Art von Wanderung ist bei Folgen nicht

möglich! Wie sollte man zuerst bis zu einer Zahl ∞ gelangen und, wenn das ginge,

über diese hinaus und wieder zurück? Damit steht der unüberwindliche Unterschied

zwischen Benders und dem hier gezeigten Ansatz fest: Der Unterschied liegt in der

Beschaffenheit der beteiligten mathematischen Objekte, insbesondere der Defini-

tionsmengen begründet. Nur wenn endliche Intervalle betrachtet werden, wie bei

dem Bewegungsproblem, kann man hin- und herwandern. Das gilt auch für den Fall

des einseitigen Grenzwerts, bei dem man sich immerhin gedanklich der zu untersu-

chenden Stelle x

0 beliebig nähern kann. Sobald man aber unendliche Intervalle be-

trachten muss ( ∞→x

limbei Funktionen bzw. ∞→n

limbei Folgen), ist dieses Nähern in der De-

finitionsmenge nicht mehr möglich. Da die für Folgen typische Problematik mit den

129 [Bender 1991b], S. 239, Hervorhebungen wie im Original

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 87

natürlichen Zahlen (die sich nicht in einem endlichen Intervall einschließen lassen)

hier nicht auftritt, kann man gegen die dynamische Vorstellung des Hin- und Herwan-

derns nichts einwenden.

1991 beginnt Bender seinen Artikel mit den Worten „Auch wenn Folgen und Grenz-

werte in den Analysis-Kursen heutzutage knapper behandelt werden, spielt die Be-

grifflichkeit nach wie vor eine zentrale Rolle im Zusammenhang mit infinitesimalem

Denken.“ 130 Später fährt er fort:

„Allerdings stellt der Abbau der ersten beiden Gebiete [Folgen / Grenzwerte und

Stetigkeit, d. A.] eine didaktische Milchmädchenrechnung dar, jedenfalls wenn man

meint, daß sich ohne einen eigens und ordentlich behandelten Grenzwertbegriff (in

irgendeiner Form) als Fundament später mehr als nur vage und letztlich falsche

und ungeeignete Vorstellungen und Verständnisse von zentralen Fragen, Metho-

den und Begriffen der Analysis wie lokale Änderungsrate u. v. a. m. ausbilden.“131

Interessant wären Untersuchungen und Diskussionen, ob der hier angeführte Zu-

gang zum Grenzwertbegriff am Differenzenquotienten ebenfalls zu brauchbaren Vor-

stellungen und Verständnissen desselben führen könnte, die dann anders herum die

Begriffsbildung des Grenzwerts von Folgen unterstützen können, die im Curricu-

lum132 nur noch eine Ergänzung darstellen und z.B. nach den Ableitungsregeln oder

nach der Integralrechnung behandelt werden können. Es ist denkbar, dass Schüle-

rinnen und Schülern die Sichtweise „als Ganzes“, angewendet auf endliche Inter-

valle, leichter fällt, als wenn sie bzgl. der natürlichen Zahlen, die sich nicht in ein end-

liches Intervall einschließen lassen, benutzt werden soll.

130 [Bender 1991b], S. 238

131 [Bender 1991b], S. 239

132 vgl. [NRW 1999]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 88

5. Transkriptanalysen

5.1. Transkript 06

Datum : 30.5.1999, 16:15 – 17:12

Ort : Büro D2.326 in der Uni Paderborn

Teilnehmerinnen : Katharina S. (links im Bild) und Christine D. (rechts im Bild);

beide besuchen einen Mathe-GK der Jahrgangsstufe 12

Aus dem Transkript 06 soll die Partnerarbeitsphase zu Aufgabenteil c) analysiert

werden. Dazu wurde diese Arbeitsphase in fünf Szenen unterteilt. In der ersten Sze-

ne klären K und C für sich die Begriffe Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentan-

geschwindigkeit. In der zweiten Szene zeigen sie, vor welchem Erfahrungshinter-

grund sie die Aufgabenstellung interpretieren, was ihre wichtigsten Argumentations-

muster für und wider die Existenz der Momentangeschwindigkeit sind und was für sie

diese Existenz überhaupt heißt. Dabei gerät C in einen Konflikt widersprüchlicher

Argumentationen (Grundparadoxon). Szene 3 wird u.a. zeigen, wie auch K in diesen

Konflikt kommt. In der vierten Szene beschäftigen die Mädchen sich u.a. mit der

Frage, welche der beiden Geschwindigkeiten die grundlegendere ist. Die Analyse der

letzten Szene zeigt, wie die Argumente präzisiert werden und was K unter „unendlich

kleinen Einheiten“ versteht.

Über die gesamte Arbeitsphase ändern die Mädchen ihre Meinungen, ob es Momen-

tangeschwindigkeit gibt, oder nicht. Es wird versucht, diese Veränderung nachzu-

zeichnen und nachzuvollziehen.

Zunächst wird kurz zusammengefasst, wie C und K die Aufgabenteile a) und b)

bearbeiteten.

Aufgabenteile a) und b)

Die Bearbeitung des Aufgabenteils a) bereitet C und K einige Probleme. Zuerst ver-

suchen sie den Funktionsterm zu interpretieren. Es kommt ihnen komisch vor, dass

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 89

dieser eine 5 im Nenner enthält, sie aber eine Entfernung für 3 Stunden berechnen

sollen. Dann setzen sie den Term mit Null gleich und wollen ihn nach t auflösen.

Schließlich setzen sie für t den Wert 3 ein.

Der Aufgabenteil b) bereitet ihnen keine Schwierigkeiten. Sofort erkennen sie, dass

die Formulierung "Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten x Stunden" die Berech-

nung einer Wegdifferenz erfordert.

Nach insgesamt ca. 17 Minuten Arbeitszeit decken sie den Aufgabenteil c) auf:

Szene 1; Zeilen 160 - 175

Beide lesen die Aufgabe, holen Blatt b) wieder hervor. 160

C: 16 Uhr. Das war die letzte Stunde, ne? ... Ja doch, ja aber 161

K: Ehm, aber um 16 Uhr, genau um 16 Uhr... 162

C: Ja, haben wir jetzt hier eigentlich eben auch die Durchschnittsgeschwindigkeit 163

berechnet oder gehabt? (meint b)) 164

K: Ja, also hier ja, also Durchschnittsgeschwindigkeit (C: Ja.) ... ja ... (nuschelt) 165

C: Ja, dann haben wir doch, das ist doch dann, ... wenn wir das genauso ausgerech-166

net haben, dann muss das doch was anderes sein, als das, weil wir den Durch-167

schnitt- Momentangeschwindigkeit gesprochen. 168

K: Ja. 169

C: Das kann ja nicht, das ist doch dann die Momentangeschwindigkeit. (zeigt auf b)) 170

K: Nein, das ist die Durchschnittsgeschwindigkeit. 171

172

(17:45) K erklärt, was sie unter dem Begriff Durchschnittsgeschwindigkeit versteht. C 173

stimmt ihr zu. (18:10) 174

C setzt Momen-

tangeschwindig-

keit mit Durch-

schnittsge-

schwindigkeit

gleich

Nachdem C und K die Aufgabe gelesen haben, vergleichen sie diese mit

dem Aufgabenteil b). C bezieht die

Zeitangabe 16 Uhr auf Aufgabe b) (Zl.

161): "16 Uhr. Das war die letzte Stunde, ne?" und versucht auch den

Begriff "Durchschnittsgeschwindig

keit" dem Aufgabenteil b) zuzuordnen

(Zl. 163 - 164). Sie erkennt einerseits, dass es einen Unterschied zwische

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den Aufgabenteilen b) und c) geben muss, andererseits ist ihr der Unter-

schied zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwin-

digkeit nicht klar (Zl. 166 - 168, 170). K scheint zumindest der Durch-

schnittsgeschwindigkeitsbegr

iff klar zu sein. Sie erklärt C, was sie unter

Durchschnitts

geschwindigkeit versteht. Weiterhin denkt sie gleich von

Beginn an über die Bedeutung des Zeitpunkts (für die Momentangeschwin-

digkeit?) nach, vgl. Zl. 162.

Szene 2; Zeilen 176 - 199

C: (K murmelt, C zeigt auf Funktionsgleichung) Ja dann müssen wir das einfach durch 176

irgendwas rechnen, weil ... (Pause 7s) ... 177

K: (nuschelt, dann) Momentangeschwindigkeit heißt ja, dass er in dem Moment so viel fährt. 178

... Also müsste es so was geben. Ob man, wie man so etwas ausrechnet..? (nuschelt, C: 179

Ja.) ... Hier steht ja eigentlich auch gar kein nicht, keine Rechenaufgabe. Hier steht nur, 180

gibt es auch so etwas wie eine Momentangeschwindigkeit um 16 Uhr? ... Und wenn ja, 181

begründet. Ja, er muss ja ne,... ne bestimmte Geschwindigkeit draufgehabt haben. 182

C: Ja, das ist klar. Also, er muss eine gehabt haben. Ich meine, durchschnittlich könn wir 183

das ausrechnen, würd ich das auch sagen (unverständlich) 184

K: Wie viel er genau gefahren ist, willst du schreiben? 185

C: Die Momentangeschwindigkeit ... 186

K: Wenn das.. 187

C: Ja genau um 16 Uhr kann man das ja eigentlich nicht rechnen, weil er genau um 16 Uhr 188

(macht eine Armbewegung, die wohl eine Bewegung andeuten soll), 16 Uhr ist ja nicht 189

lange, ne? Ist ja nur ne Sekunde... 190

K: (unterbrechen sich gegenseitig) Ja, wenn das jetzt... 191

C: Ja das ist.. 192

K: Er fährt ja durch. Er unterbricht (???) ja nicht die Fahrt. Ja ehm, das sind, in jeder 193

Sekunde muss er ja ne bestimmte Geschwindigkeit draufhaben. ... Kann man ja bis in die 194

Tausendstel (unverständlich) 195

C: Also in sofern kann’s das ja dann nicht geben, also,... kannst aber nicht ... anhalten ... 196

Oder du musst durch irgendwas rechnen, dann geht’s ja. ... Aber du kannst ja nicht 197

genau ausrechnen, wie viel er genau in dieser Sekunde fährt. ... 198

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 91

C’s und K’s Vor-

erfahrungen mit

den Geschwin-

digkeitsbegriffen

Erfahrungshintergründe

In diesem Abschnitt soll analysiert werden, in welchen Zusammenhängen

K und C den Begriff Momentangeschwindigkeit kennen, welchem Kontext

sie ihn zuschreib

en. Beiden scheint das Wort Momentangeschwindigkeit

bekannt zu sein. Sie verwun

dern sich nicht über dieses Wort. C möchte

sofort den Wert der Momentangeschwindig

keit berechnen, wie man ihren

ersten beiden Redebeiträgen (Zl. 176 - 177; 184 - 185) ent

nehmen kann.

Vielleicht kennt sie dieses Wort aus einem mathematisch-

physikalischen

Zusammen

hang. Vielleicht zeigt sich hier auch nur, dass sie versucht, der

Erwartung, die sie dem Versuchsleiter ihr gegenüber zuschreibt, gerecht zu

werden. C weiß, dass der Versuchsleiter „von der Mathematik an der Uni-

versität“ kommt, und dass sie an einer mathema

tischen Untersuchung

teilnimmt. Zudem wurde sie in einer Mathematikstun

de in der Schule durch

den Versuchsleiter rekrutiert. C’s Sicht: Es geht hier u

m Mathematik, also

muss gerechnet werden. Ihre Formulie

rung „Ja dann müssen wir das

einfach durch irgendwas rechnen,...“ (Zl. 176 -

177) zeigt an, dass sie die

in Aufgabenteil b) erfolgreich genutzte Strategie „Weglänge / Zeit

dauer“

weiter nutzen will.

Während C den Begriff der Momentangeschwindigkeit eher einem physika-

lisch-mathematischen Kontext (m-Welt) zuschreibt, deren Wert zu berech-

nen ist, erkennt K, dass die Aufgabenstellung eine Berechnung der Mo-

mentangeschwindigkeit gar nicht erfordert (Zl. 180 -

182). Sie scheint den

Begriff zunächst aus dem Wort selber heraus zu interpretieren (Zl. 178 -

179): „Momentangeschwindigkeit heißt ja, dass er in dem Moment so viel

fährt.“ Die Formulierung „dass er so viel fährt“ zeigt an, dass sie sich den

Radfahrer vorstellt. Sie interpretiert den Begriff Momentangeschwindig

keit

in der Erfahrungswelt, in der r-Welt.

Argumentationsmuster

Hier sollen die beiden Argumentationsmuster von C und K aufgezeigt wer-

den, mit denen sie begründen, warum es die Momentangeschwindigkeit

gibt, bzw. nicht gibt.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 92

Durchschnittsge-

schwindigkeit in

r- und m-Welt

Zunächst zu C:

In den Zeilen 184 und 185 antwortet C auf ein Argument für die Existenz

der Momentangeschwindigkeit von K: „Ja, das ist klar. Also, er mus

s eine

gehabt haben. Ich meine, durchschnittlich

könn wir das ausrechnen, würd

ich das auch sagen.“ Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob C die

Existenz der Momentangeschwindigkeit in der r-

Welt befürwortet („er muss

eine gehabt haben“), sie aber in der m-

Welt nicht berechnen kann

(„durchschnittlich könn wir das ausrechnen“). Aber in der Analyse von Sze-

ne 1 wurde gezeigt, dass C die Bedeutung der Begriffe „Durchschnittsge-

schwindigkeit“ und „Momentangeschwindigkeit“ noch vermischt. Nach wie

vor könnte sie hier unter beiden Begriffen die Durchschnittsgeschwindigkeit

verstehen. Unter dieser Voraussetzung existiert für sie die Durchschnitts-

geschwindigkeit in beiden Welten: „er muss eine gehabt haben“, „durch-

schnittlich könn wir das ausrechnen“, nämlich wie in Aufgaben

teil b). K’s

Argumente für die Existenz der Momentangeschwin

digkeit, denen sie

zustimmt, sind eher der r-Welt zuzuordnen (s.u.). C’s Schlussfol

gerungen

passen in der r- und m-Welt zusammen: Die Momentangeschwindigkeit

(was auch immer sie darunter versteht) gibt es, und man kann ihren Wert

berechnen: Also „würd ich das auch sagen.“ (Zl. 185) Das „auch“ bezöge C

auf sich selber: Auch ich bin der Meinung. Das „auch“ kann sich aber

ebenso auf „durchschnittlich“ (Zl. 185) in folgendem Sinn beziehen: Mo-

mentangeschwindigkeit gibt es ja, aber auch Durchschnittsgeschwindig

keit,

die kann man nämlich berechnen. In diesem Fall würde C zwischen Durch-

schnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit unterscheiden.

Andererseits könnte C‘s Antwort auch so gemeint sein: Ja, die Momentan-

geschwindigkeit gibt es auch, aber ausrechnen können wir nur die Durch-

schnitts

geschwindigkeit. Wahrscheinlich ist ihr schon klar, dass es einen

Unterschied gib

t, auch wenn sie den Begriff der Momentangeschwindigkeit

noch nicht richtig fassen kann. Wichtig für die Frage nach der Existenz der

Momentangeschwindigkeit scheint ihr die Berechenbarkeit zu sein. Durch-

schnittsgeschwindigkeit gibt es, da man sie berechnen kann (Zl. 184 -

185). Die Momentangeschwindigkeit möchte sie auch berechnen (Zl. 176 -

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 93

177). Das wird auch an ihrem folgenden Redebeitrag deutlich (Zl. 189 -

191):

C will die Mo-

mentange-

schwindigkeit

berechnen

"Ja genau um 16 Uhr kann man das ja eigentlich nicht rech

nen, weil er

genau um 16 Uhr, [...] 16 Uhr ist ja nicht lange...", und (Zl. 197): "Also in

sofern kann’s das ja dann nicht geben,..." Dass sich C hier auf die Momen-

tangeschwindigkeit bezieht und nicht auf die Durchschnittsges

chwindigkeit,

kann man so begründen: In Aufgabenteil b) hat sie gezeigt, dass sie die

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen kann. Wenn also eine Geschwin-

digkeit nicht berechenbar ist, dann die Momentangeschwindigkeit.

C’s Existenzbe-

griff Unterstellt man C die Alltagsvorstellung "Genau wenn sich ein Körper be-

wegt, hat er auch eine (positive) Momen

tangeschwindigkeit." und fügt

hinzu "Genau wenn ein Körper eine (positive) Momen

tangeschwindigkeit

hat, ist diese berechenbar.", so verwendet sie hier die Argumentationsrich-

tung: "Weil die Momentangeschwindigkeit nicht berechenbar ist, gibt es sie

nicht." In dieser Argumentation vermischen sich Argumente aus der r-

und

Welt, da man einerseits die Vorstellung des sich bewegenden Körpers

bemüht und andererseits die Frage nach der Existenz aufgrund der Bere-

chenbarkeit entschieden wird. Offen bleibt bis hier, warum C die Momen-

tangeschwindigkeit für nicht berechenbar hält. Man kann aber erken

nen,

dass das mit dem Zeitpunkt 16 Uhr zusammenhängen muss.

Der Zeitpunkt ist

Ursache von C’s

Berechnungs-

problem in der

m-Welt

C behauptet, dass man die Momentangeschwindigkeit um genau 16 Uhr

nicht berechnen kann (Zl.

189). Dabei formuliert sie "Man kann nicht" und

nicht "Ich kann nicht". Das deutet darauf hin, dass die Nicht-Berechenbar-

keit für sie ein prinzi

pielles und kein persönliches Problem zu sein scheint.

Das ist nicht uninteressant, wenn man die Unsicherheiten bei der Bearbei-

tung der Teilaufgabe a) berücksich

tigt. Dann versucht sie zu erklären,

warum die Berechnung prinzi

piell nicht möglich ist. Dazu macht sie eine

Armbewegung, um eine Bewegung um 16 Uhr zu verdeutlichen (Zl. 190 –

191): "16 Uhr ist ja nicht lange, ne? Ist ja nur eine Sekunde..." Die Arm-

bewegung soll vielleicht die Vorstellung von einer Bewe

gung unterstützen.

C müsste aus Aufgabenteil b) klar sein, dass sie die Durchschnittsge-

schwindigkeit für den Zeitraum einer Sekunde berechnen kann. Wahr-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 94

Die Identifikation

von „Zeitpunkt“

und „Sekunde“

schwindigkeit für den Zeitraum einer Sekunde berechnen kann. Wahr-

scheinlich verwendet sie hier "Sekunde" und "Zeit

punkt" synonym, da ihr

Kommentar ja ein Argument gegen die Berechenbarkeit der Momentan-

geschwindigkeit sein soll. – Die Identifikation von Zeit

punkt und Sekunde

kann verschiedene Gründe haben. Zum einen ist die Maß

einheit Sekunde

die kleinste Einheit für Zeit im Alltagsgebrauch („pünktlich auf die Sekun-

de“) und wird daher mit dem Zeitpunkt identifiziert. Hinzu kommt die Art

und Weise, wie man Zeitpunkte im Alltag aufschreibt, z.B

. 16:00:00. Erst

für den Zeitpunkt 16:00:01 hat man eine neue Schreib

form. Daran könnte

es liegen, dass der Zeitpunkt 16:00:00 mit dem Zeitraum 16:00:00 -

16:00:01 identifiziert wird. Interessant für die Mathematik- und Physikdidak-

tik wäre die verallgemeinerte Frage, ob sich Jugendliche des „Digitalzeit-

alters“ verschiedene kon

tinuierliche Größen zunehmend digitalisiert oder

diskretisiert vorstel

len. In diesem Zusammenhang könnte man die Frage

untersuchen, ob Jugendliche Größen, die in der jeweils kleinsten (alltags-

gebräuchlichen) Einheit gegeben sind, mit „unendlich klein“, identifizieren.

Die Armbewe-

gung klärt nicht

auf

Die Armbewegung kann zur Klärung der Frage, ob Sekunde und Zeitpunkt

identifiziert werden, nicht beitragen. C

könnte die Armbewegung wie folgt

verstehen: Man kann hier nur die Durchschnittsgeschwindigkeit eines kur-

zen Zeitraums (Sekunde) be

rechnen (ganze Armbewegung), oder: Die

Hand befindet sich zu jedem Zeitpunkt der Armbewegung an genau einem

Ort.

Das 0/0-Problem;

Hinweis auf die

isolierende Sicht-

weise

C’s Behauptung, dass man die Momentangeschwindigkeit nicht berechnen

kann, kann als Indiz für die Identifikation von Sekunde und Zeitpunkt gese-

hen werden. Wie oben gezeigt, will sie die erfolgreiche Strategie „Weg-

länge / Zeitdauer“ fortsetzen. Für Durchschnittsgeschwindigkeiten mit Weg-

längen größer Null in einem Zeitraum bereitet das kein Problem. Da es

aber für Zeitpunkte keine lokale Änderung des Orts und der Zeit gibt,

könnte sie auf das Problem gest

oßen sein, dass sowohl Zähler als auch

Nenner ihres Quotienten Null sind, und daher eine Berechnung nicht

möglich ist. Das 0/0-

Problem, das sie hier noch nicht explizit formuliert,

kann aber als Indiz für die isolierende Sichtweise in der r- und in der m-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 95

Welt angesehen werden (vgl. 3.2 „Momentangeschwindigkeit“ und 4.3

): In

der r-Welt wird die momentane Weg-

und Zeitänderung in den Vordergrund

gestellt, der Rest der Bewegung (die Bewegung als Ganze

s) ausgeblendet.

Das hat direkte Auswirkungen auf die m-

Welt, wenn die Grenzwerte für

Zähler und Nenner des Differenzialquotienten ge

sucht werden, wegen der

isolierenden Sicht nicht gefunden werden können und daher gleich Null ge-

setzt werden. Einen Grenzprozess in der m-Welt als Ganzes (ein

bettend)

zu betrachten bedeutet zudem, den Differenzen- und den Differenzialquo-

tienten als Ganzes zu sehen und nicht Zähler und Nenner ge

trennt. Denn

dann kann man erkennen, dass der Grenzwert der Differenzenquotienten-

folge einen Wert an

nimmt, der auch ungleich Null sein kann. Für C steht

aber der Zeitpunkt 16 Uhr stark im Vordergrund, so stark, dass sie viel-

leicht den Zähler aus den Augen verliert, ganz bestimmt aber den Bewe-

gungsvorgang als Ganzes. Die isolierende Sicht in der r-

Welt zeigt hier

eine große Auswirkung auf die Vorstellungen in der m-

Welt. C stellt einen

Zusammenhang zwischen den Welten her. –

Nimmt man die isolierende

Sichtweise ein, werden Zeitpunkt und Zeitraum voneinander isoliert gese-

hen. Bis hier wurde auf die Betonung des Zeitpunkts eingegangen. C’s

Formulierung (Zl. 191) „ist ja nur eine Sekunde“ könnte auf eine Zeitraum-

Betonung hinweisen. Jedoch aufgrund der Identifikation von Zeitpunkt und

Sekunde erscheint dies als unwahrscheinlich.

C’s r-Welt-Über-

legungen;

einbettende

Sichtweise

Von K angeregt, kann C aber auch die einbettende Sichtweise einnehmen.

K bietet ihr eine r-Welt-Vorstellung in einbettender Sichtweise an (Zl. 194 -

196): "Er fährt ja durch. Er unterbricht (???)

ja nicht die Fahrt. Ja ehm, das

sind, in jeder Sekunde muss er ja ne bestimmte Geschwindigkeit drauf-

haben. ... Kann man ja bis in die Tausendstel (unverständlich)". C antwor-

tet (Zl. 197 - 198): "Also in sofern kann’s das

ja dann nicht geben, also, ...

kannst aber nicht ... anhalten".

K benutzt die Einheit tausendstel Sekunde. Wahrscheinlich setzt C das

wie

der mit einem Zeitpunkt gleich, denn dann kann ihre Schlussfolgerung

(Zl. 197) „Also in sofern kann’s das ja dann

nicht geben“ mit den oben

angeführten Argumenten als für sie schlüssig angesehen werden. Dann

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 96

C gerät in einen

Widerspruch

greift C K’s Überlegung in der einbettenden Sichtweise auf: Nicht-Anhalten-

Können entspricht K‘s Durchfahren, was den Bewe

gungsvorgang über

einen Zeitraum in den Blick rückt. C’s Formulierung (Zl. 198) „... kannst

aber

nicht ... anhalten“ zeigt, dass sie hier ein Argument hat, das gegen

ihre zuvor geäußerte Meinung (die Momentangeschwindigkeit gibt es nicht)

spricht. Dieses neue Argument lautet so: Wenn es die Momentangeschwin-

digkeit nicht gäbe, würde keine Bewegung stattfinden. Also müsste die Be-

wegung des Radfahrers für einen Zeitpunkt unterbrochen wor

den sein, er

müsste angehalten haben. Da der Radfahrer sich aber insge

samt bewegt

(er befindet sich auf seiner Radtour), kann er nicht angehalten haben.

Zenons Pfeil-

Paradoxon C und K haben hier letztlich das Pfeil-Paradoxon von Zenon für sich formu-

liert. Es kann so gesehen werden, dass eine kontinuierliche Bewe

gung

nicht aus Bewegungen zu Zeitpunkten zusammengesetzt wer

den kann.

Sehr deutlich bringt C das Grundparadoxon in der schriftli

chen Bearbeitung

zu Papier (vgl. Abbildung 9): "Nein, da man nur wenn man in Be

wegung ist

ein

e Geschwindigkeit erreichen kann. Wenn man aber in Bewegung ist,

läuft dies in einem Zeitraum ab und man legt einen Weg zu

rück. Deswegen

gibt es nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit." Hier zeigt sich die Beto-

nung des Zeitraums bei der isolierenden

Sichtweise. Man kann vermuten,

dass die Existenz der Momentangeschwindigkeit mit ei

nem positiven Wert

gleichgesetzt wird.

C’s Rückkehr in

die m-Welt

Das Grundpara-

doxon in den

Denkwelten

Dieser Widerspruch, der durch r-Welt-Überlegungen offenbar wurde, ver-

anlasst C vielleicht, wieder zur m-

Welt zurückzukehren, was ihr aber auch

nicht weiterhilft (Zl. 198 - 199): „... Oder du musst durch irgendwas rech-

nen, dann geht’s ja. ... Aber du kannst ja nicht genau ausrechnen, wieviel

er genau

in dieser Sekunde fährt. ...“ Das „durch etwas Rechnen“ bringt sie

bzgl. der Momentangeschwindigkeit sofort wieder zum 0/0-Problem.

Es zeigt sich hier das Grundparadoxon, allerdings nicht innerhalb einer

Denkwelt: In der m-Welt gibt es für C keine Momentangeschwin

digkeit, da

man sie nicht berechnen kann. In der r-Welt gibt es sie, da der Rad

fahrer

nicht anhält. Die Folgerungen aus Vorstellun

gen der Denkwelten passen

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 97

nicht zusammen. Das liegt daran, dass C zwei verschiedene von den

Denkwelten abh

ängige Existenzbegriffe hat. Zum einen entscheidet sie

aufgrund der Berechenbarkeit „Was man nicht berech

nen kann, gibt es

nicht.“, zum anderen aufgrund der Alltagserfah

rung „Nur was sich bewegt,

hat Momentangeschwindigkeit, also gibt es die.“

Abbildung 9: Zwei alternative Antworten zu Aufgabenteil c

C’s Wechsel und

Zusammenhänge

der Denkwelten,

Überblick

Gedanklich startet C in der m-Welt (Zl. 176 – 177): Sie will die Momentan-

geschwindigkeit berechnen. Es si

eht so aus, als könne die Entstehung und

Festigung der isolierenden Sichtweise der m-

Welt zugeschrieben werden,

da C in beiden Welten argumentiert, sich die einbettende aber nur in der r-

Welt nachweisen lässt. In Zl. 184 bestätigt sie K’s r-Welt-Argument (einbet-

tende Sichtweise), fragt aber sofort nach einer Berech

nungsmöglichkeit in

der m-Welt. Genauso bringt sie in ihren beiden folgen

den Redebeiträgen

die Welten in einen Zusammenhang: Zl. 189 – 191: Arm

bewegung als

Unterstützung einer r-Welt Vorstellung mit der Feststellung, dass „Ja genau

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 98

Unterstützung einer r-Welt Vorstellung mit der Fest

stellung, dass „Ja genau

um 16 Uhr kann man das ja eigentlich nicht rechnen“ (isolierende Sichtwei-

se). Ebenso in den Zeilen 197 –

199: „nicht anhalten können“ (einbettende

Sichtweise) in der r-Welt wird dem „nicht rechnen können in

genau dieser

Sekunde“ (isolierende Sichtweise) in der m-Welt gegenüber gestellt.

K’s Argumente in

der r-Welt;

einbettende

Sichtweise

K will nicht in die

m-Welt

einbettende

Sichtweise

Nun zu K:

Nachdem K in Szene 1 den Unterschied zwischen den Teilaufga

ben a) und

b) analysiert hat, überlegt sie nun, was sie unter dem Wort Momentange-

schwindigkeit verstehen will und ob es diese gibt (Zl. 178 - 183): "Momen-

tangeschwindigkeit heißt ja, dass er in dem Mo

ment so viel fährt.... Also

müsste es so was geben. Ob man, wie man so etwas ausrech

net..? [...] ...

Hier steht ja eigentlich auch gar kein nicht, keine Rechen

aufgabe. Hier

steht nur, gibt es auch so etwas wie eine Momentangeschwin

digkeit um 16

Uhr?

... Und wenn ja, begründet. Ja, er muss ja ne,... ne bestimmte

Geschwindigkeit draufgehabt haben."

Für sich beantwortet sie die Frage nach der Existenz der Momentange-

schwindigkeit sofort positiv: „Also müsste es so was geben.“ Die Formulie-

rung "...dass er in dem Mo

ment so viel fährt." lässt darauf schließen, dass

sie sich den Radfahrer vorstellt, gedanklich wahrscheinlich in der r-

Welt ist.

Dann will sie vielleicht C's Frage nach der Berechenbar

keit aufgreifen (Zl.

179): „Ob man, wie man so etwas ausrechnet..?“, blockt die Frage aber ab.

Ihre Analyse der Aufgabe führt nämlich zu dem Ergebnis, dass die Be-

rechnung der Momentangeschwindigkeit nicht gefordert wird. Sie bekräf

tigt

noch einmal, dass es die Momentangeschwindigkeit gibt,

wobei sie sich

wieder auf den Rad

fahrer bezieht. C setzt ihre Überlegungen bezüglich der

Berechenbarkeit fort und lenkt K's Aufmerksam

keit auf kleine Zeiträume

oder Zeitpunkte (Zl. 189 -

191). K will oder kann sich zunächst aufgrund

einer deutlich ausgeprägten r-Welt-

Sicht auf C's Problem nicht einlassen.

Ihre dort einbettende Sicht

weise wird an der Zeile 194 deutlich, die zudem

als Begründung für K's Meinung gesehen werden kann, dass es eine Mo-

mentangeschwindigkeit gibt: "Er fährt ja durch. Er unterbricht (???)

ja nicht

die Fahrt." Unabhängig von der Radfahrsituation lautet ihre Argu

mentation

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 99

so: Ein Körper, der sich in einem gewis

sen Zeitraum bewegt, hat zu jedem

Zeitpunkt des Zeitraum eine positive Momentangeschwindigkeit.

dieser Stelle ist K für sich zu einer Antwort mit einer für sie logischen

Begrün

dung gekommen. Vielleicht trägt dieser gedankliche Abschluss

dazu bei, dass sie sich nun C’s Problem der Berechnung zuwenden kann

(Zl. 194): "Ja ehm, das sind, [...]". Eine kon

krete Antwort kann sie jedoch

nicht liefern. Vielleicht erkennt sie schon ansatz

weise C’s inneren Konflikt

und flüchtet auf sicheren Boden zurück, zu ihrer logi

schen Argumentation

(Zl. 195): "in jeder Sekunde muss er ja ne bestimmte Geschwindigkeit

draufhaben....".

K sieht „Zeit-

punkt“ und „Se-

kunde“ differen-

zierter

Man kann hier sehen, dass sie aber auf C‘s Wortwahl „Sekunde“ eingeht:

Vielleicht versteht auch K in diesem Sprechabschnitt unter einer Sekunde

einen Zeitpunkt. Kurz darauf zeigt s

ich jedoch, dass für K auch kürzere

Zeiteinheiten eine Rolle spielen (Zl. 195 -

196): "... Kann man ja bis in die

Tau

sendstel". Daher klappt die oben angeführte Argumentation „Sekunde

= Zeitpunkt, da Sekunde = kleinste Zeiteinheit des Alltags“ nicht. Diese ge-

dankliche Entwicklung von Sekunden zu tausend

stel Sekunden kann man

vielleicht als Beginn eines Grenzprozes

ses sehen. In dem Fall will wohl

auch K die erfolgreiche „Weglänge / Zeitdauer“-Strategie aus Aufgaben

teil

b) übernehmen und überlegt, wie genau sich die Momentangeschwindig-

keit berechnen lässt.

Entscheidungsgrundlagen

Wie schon angedeutet, treten in dieser Szene zwei Entscheidungsgrundla-

gen zu Tage, die die Basis der Entscheidung der Frage nach der Existenz

der Momentangeschwindigkeit bilden. In der r-Welt ist die Basis die Alltags-

vorstellung: Bewegte Körper haben eine positive Momentangeschwindig-

keit. In der m-Welt stellt die Berechenbarkeit die Ba

sis: Nur wenn man die

Momentangeschwindigkeit berechnen kann,

gibt es sie auch. C, die

Überlegungen in beiden Welten anstellt, kommt bezüglich der verschie-

denen Entscheidungsgrundlagen zu verschiedenen Antworten und ge

rät in

einen inneren Konflikt.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 100

Szene 3; Zeilen 200 - 217

K: Hmm... Ja, ob man’s ausrechnen kann, weiß ich nicht. ... Nur, ich mein ja, hier 200

steht ja nicht, wir müssen ja hier nichts rechnen. Es ist, es gibt, es ist ja hier nur 201

die Frage, ob es so was gibt, oder ob’s so was nicht gibt. ... Ich weiß es nicht. Ich 202

würd sagen, es gibt so was, nur ... Aber obwohl, meistens so nen Tachometer und 203

so rechnen auch immer mit Durchschnittsgeschwindigkeiten. ... (murmeln, Pause 204

19s) ... Moment, Tausendstel ... kleinen Moment ... 205

C: (flüstert) Weitermachen (meint nächsten Zettel) 206

K: Ja? Wart erst mal. Ist ja eigentlich ... Ist logisch, wenn’st Auto fährst.. 207

C: Wenn’st Auto fährst.. 208

K: (lacht) Ja, ok, wenn du Auto fährst 209

C: Kommst aus Bayern? 210

K: Ne, ich komm nicht aus Bayern. Aber wenn du Auto fährst, dann fährst du 50, ... 211

fährst du 60 (lacht), ich versuche mir das irgendwie vorzustellen, weil ... wie der 212

Tachometer da reagiert. Er misst ja, sagen wir mal in 100 m, ich weiß nicht ob 213

(nuschelt) in 100, in Kilometern, ... wie viel man, ... wie schnell man ist und ... 214

muss ja auch irgendeine Geschwindigkeit, beziehungsweise und rechnet das dann 215

um. ... Aber er gibt die auch nicht ... ehm so ganz genau die Geschwindigkeit, ne 216

keine Ahnung.217

K’s Weg in den inneren Konflikt

In C‘s vier längeren Redeabschnitten der vorherigen Szene wirft diese

immer wieder die Frage nac

h der Berechenbarkeit auf: Zl. 177, 185, 189,

198, 199. Bei der ersten Stelle reagiert K so (Zl. 179 -

181): „Ob man, wie

man so etwas ausrechnet..? (nuschelt,

C: Ja.) ... Hier steht ja eigentlich

auch gar kein nicht, keine Rechenaufgabe.“ Einerseits w

eiß auch K nicht,

ob und wie man die Momentangeschwindigkeit berechnen könnte, anderer-

seits interessiert es sie auch nicht so sehr, weil die Aufgabenstellung eine

Berechnung nicht verlangt. C‘s zweiten und dritten Versuch, auf das Be-

rechnungsproblem aufmerksam zu machen, ignoriert sie mehr oder we-

niger.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 101

Der Tachometer

als Messinstru-

ment der Mo-

mentange-

schwindigkeit

Diese Szene beginnt damit, dass K auf den vierten Versuch wie beim

ersten reagiert (Zl. 200 - 202): „Ja, ob man’s ausrechnen

kann, weiß ich

nicht. ... Nur, ich mein ja, hier steht ja nicht, wir müssen ja hier nichts

rechnen. Es ist, es gibt, es ist ja hier nur die Frage, ob es so was gibt, oder

ob’s so was nicht gibt.“ Wahrscheinlich hat sie schon gemerkt, dass C hier

ein echtes

Problem, das Grundparadoxon, aufwirft. Aus ihrer Sicht hat K

aber eine logische Begründung dafür, dass es Momentangeschwindigkeit

gibt: Der Radfahrer ist in Bewegung. Diesen sicheren Grund will sie

vielleicht nicht verlassen. Daher versucht sie, ihre Posi

tion zu stärken,

indem sie ein Alltagsinstrument zur Messung von Momentangeschwin-

digkeit heranzieht, einen Tacho (Zl. 203 -

204): „Aber obwohl, meistens so

nen Tachometer und so rechnen auch immer mit Durchschnittsgeschwin-

digkeiten.“

K’s Vorstellun-

gen, wie ein

Tacho funktio-

niert

Ihre Äußerung, dass ein Tacho die Durchschnittsgeschwindigkeit berech-

net, erstaunt ein wenig. Im anschließenden Gespräch, auf das in dieser

Analyse nicht weiter eingegangen werden soll, fragte der Versuchs

leiter

nach und erfuhr, dass sich K zunächst einen digitalen Fahrradtacho vor-

stellte, wahrscheinlich auf Grund der in der Aufgabe angebotenen Radfahr-

situation. In einer längeren Pause scheint K weiter über die Genauigkeit

der Berechnungen nachzudenken, wobei kurze Zeiträume eine beson

dere

Rolle spielen (Zl. 205). Digitale Fahrradtachos berechnen in der Regel die

Durchschnittsgeschwindigkeiten für feste Zeitintervalle, üblicherweise der

jeweils vergangenen Sekunde. Vielleicht zeigen diese Zeitinterval

le K auf,

dass diese Art von Tacho die Momentangeschwindigkeit nicht an

zeigen

kann. Daher wechselt sie gedank

lich zu einem anderen Tachotyp, dem

Zeigertacho im Auto, bei dem die Anzeige nicht so umspringt, wie beim

digitalen Tacho. Offenbar ist sie der Überzeugung, dass auch dieser Ta-

chotyp die Geschwindigkeit berechnet, da sie sich über

legt, nach wie viel

zurückgelegten Metern eine neue Berechnung angestellt wer

den könnte

(Zl. 213 - 214). Hier nimmt K Weglängen in den Blick (Zl. 213 -

215): „Er

misst ja, sagen wir mal in 100 m, [...] ... wie schnell man ist und ... [...] und

rechnet das um.“ Sie kommt zu dem Ergebnis, dass ein Tacho, der nach

ihren Vorstellungen funktioniert, die Momentangeschwindig

keit nicht

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 102

anzeigen kann (Zl. 216 -

217): „Aber er gibt auch nicht ... ehm so ganz

genau die Geschwindigkeit, ne keine Ahnung.“ Auch hier kann man das

0/0-Problem unterstellen. Die Fahrradtachos scheiden aufgrund einer Dis-

kretisierung der Zeit, die Autotachos aufgrund einer

Diskretisierung der

Wegstrecke aus.

Die aus den

Überlegungen

zur Funktions-

weise des Ta-

chos resultieren-

de Sichtweise

K stellt sich die Frage nach der m-Welt-

Methode, nach der ein Tacho die

Momentangeschwindigkeit berechnet. Das lässt auch bei i

hr die isolierende

Sichtweise dominieren, obwohl sie in der r-Welt schon eingehend die ein-

bettende Sichtweise verwen

det hat. Da aufgrund ihrer Vorstellung der

Funktionsweise eines Tachos dieses Instrument die Existenz der Momen-

tangeschwindigkeit nicht, wie vielleicht erwartet, unter

stützen kann, wird sie

wohl verunsichert sein.

Bei C war es nicht klar, ob sie "Tausendstel" und "Zeitpunkt" synonym ver-

wen

det. In den Zeilen 196 und 205 denkt K über diese Begriffe nach (Zl.

205): "Moment, Tausendstel ... kleinen Moment". Ich interpretiere den Ge-

dankengang so: "Sind ein Moment und eine Tausendstel dasselbe? -

Nein,

ein Tausendstel ist ein kleiner Moment, also ein Zeitraum." Das würde be-

deuten, dass K sehr wohl einen Unterschied zwischen Zeitpunkt und Zeit-

raum sieht. Das wird in der folgenden Szene in den Zeilen 220 und 221 be-

stätigt.

Fazit: Auch K muss sich nun mit dem Grundparadoxon plagen. Es stehen

sich zwei jeweils logisch erscheinende aber unvereinbare Argumenta

tionen

gegenüber.

Die Momentangeschwindigkeit gibt es, denn wenn sich eine Körper

über einen Zeitraum bewegt, so hat er zu jedem Zeitpunkt des Zeit-

raums eine positive Momentangeschwindigkeit drauf. (vgl. Zl. 194 –

195; einbettende Sichtweise)

b) 0/0-Problem: Die Momentangeschwindigkeit gibt es nicht, denn zu ei-

nem Zeitpunkt bewegt sich ein Körper nicht, er legt keinen Weg zu

rück.

Daher hat er auch keine Momentangeschwindigkeit drauf. Diese expli-

zite Formulierung wurde bis hier von keinem der Mädchen verwend

et,

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 103

wird aber in der 5. Szene genannt und in der schriftlichen Antwort zu

Aufgabenteil c) verwendet. (isolierende Sichtweise)

C will weiter-

machen

C’s erster Ausbruchsversuch

Bis hier wurden bzgl. dieser Szene fast nur K’s Gedanken an

alysiert. Das

liegt daran, dass C hier keinen inhaltlichen Beitrag zur Diskussion leistet.

Es soll jetzt gezeigt werden, dass sie sogar versucht, aus der Diskussion

auszusteigen:

Mit ihrem Redebeitrag (Zl. 197 -

199) in der vorherigen Szene schließt C

ihre Argumen

tation zum Aufgabenteil c) ab. Sie befindet sich in ihrem

inneren Konflikt, den sie für unlösbar hält, der sie vielleicht auch Frust ver-

spüren lässt. Darin mögen Gründe liegen, dass sie in Zeile 206 nicht

Willens ist, K’s neuen Gedankenansatz über Tacho

meter zu verfolgen. Sie

fordert auf (Zl. 206): „Weitermachen“. Damit könnte sie K einerseits animie-

ren, die Überlegung „Moment, Tausendstel, kleiner Moment“ im Sinne

eines Grenzprozesses fortzuführen. Wahrscheinlich will sie aber die Bear-

bei

tung der Teilaufgabe beenden und die nächste beginnen. K scheint

darüber erstaunt zu sein (Zl. 207) „Ja?“ und lehnt ab (Zl. 207): „Wart erst

mal.“ Sie will ihren Gedanken weiterführen und erhofft sich vom Wech

sel

vom Fahrrad- zum Autotacho Klärung (Zl. 20

7): „Ist logisch, wenn’st Auto

fährst.“ Diese For

mulierung nutzt C für einen weiteren Versuch, aus den

Überlegungen zu dieser Teilaufgabe auszubrechen (Zl. 208 -

210), indem

sie K einen bayri

schen Dialekt unterstellt. Doch davon lässt sich K nicht

beeindrucken (Zl. 211 - 217).

Szene 4; Zeilen 218 - 247

C: (unterbricht K) Hör mal, wenn da, wenn da eine Momentangeschwindigkeit ist, muss er 218

da immer ja gleich fahren. ... Oder nicht? 219

K: Ja, in ner Sekunde. ... Ja, sagen wir mal, wenn (verhaspelt) es in ner Sekunde ist. Aber 220

wenn’s jetzt genau 16 Uhr ist? ... (Pause 6s) ... 221

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 104

C: Ja, du, du, ich find, du kannst nur die Durchschnittsgeschwin, ich find (haspeln) ich habe 222

keine Ahnung, aber ich glaub, du kannst nur die Durchschnittsgeschwindigkeit 223

berechnen, weil, äh. 224

K: Berechnen ja. 225

C: Ja oder so. 226

K: Das hätt ich jetzt auch gesagt: Berechnen ja. ... Dass man immer die Durchschnittsge-227

schwindigkeit in der Zeit angibt. ... Aber ob es ne Momentangeschwindigkeit gibt.. 228

C: (fällt K ins Wort) Also er wird eine Geschwindigkeit meinetwegen um genau 16 Uhr 229

haben. ... ehm 230

K: Ja. (murmelt) Ja ich könnt mir das gut vorstellen, dass es so was gibt. ... (C: Hm) ... 231

(unverständlich, vielleicht) Müssen zu Konsens kommen. ... Aber meines Erachtens, weiß 232

ich nicht, wenn ich mir das so mit nem Auto vorstelle, irgendwo muss du eine 233

Geschwindigkeit haben, in einer bestimmten Zeit. ... (C: Ja, ehm) Du bist ja, ich sag mal, 234

du bist in Bewegung, ... dann musst du die Geschwindigkeit irgendwo ausdrücken 235

können. Oder ob man das so drücken tut, das da ist ehm.. 236

C: Drücken tun.. (K lacht) 237

K: Ehmmm, Durchschnittsgeschwindigkeit aus, aber, ... und errechnen kann man auch die 238

Durchschnittsgeschwindigkeit, aber ... Momentangeschwindigkeit ... (Pause 15s) 239

C: Also ich könnte jetzt, ehm, keine genaue Antwort geben... 240

K: Wir könn ja jetzt um den heißen Brei, also so drum herum reden. (lacht) Es könnte so 241

was geben, muss es aber nicht. ... Also für mich wäre es plausibel, wenn es so was 242

geben würde. ... Allein schon weil, wenn man sich das vorstellt, man kann ja nicht nur 243

Durchschnittsgeschwindigkeit fahren. Wenn man jetzt, man kann ... den kleinsten Weg 244

nehmen. Das ist ja auch Durchschnittsgeschwindigkeit. 245

In der Betrachtung dieser Szene soll weiter verfolgt werden, wie die Schülerinnen mit dem

Grundparadoxon weiter umgehen, wie sich der innere Konflikt weiter entwickelt und wie K

mit der Frage der Berechnung der Momentangeschwindigkeit umgeht. Doch zunächst soll

aufgedeckt werden, welche Art von Geschwindigkeit den Schülerinnen als die

grundlegendere erscheint.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 105

Die konstante

Geschwindigkeit;

das Problem der

Vorstellung loka-

ler Änderungs-

raten;

r-Welt

Zu den Arten von Geschwindigkeit

C unterbricht K bei ihren Überlegungen zum Tachometer (Zl. 218 -

219):

"Hör mal, wenn da, wenn

da eine Momentangeschwindigkeit ist, muss er

da immer ja gleich fahren." Wahrschein

lich kann sich C eine positive lokale

Geschwindigkeitsänderungs

rate ebenso wenig vorstellen, wie sie sich eine

positive lokale Ortsänderungsrate vorstellen kann. Dah

er ist sie in ihrer

Vorstellung auf kleine Zeiträume angewiesen. Bei diesem Gedan

kengang

geht C von einer Momentangeschwindigkeit aus. Da sie keine Informa

tion

über die Geschwindigkeit in dem kleinen Zeitraum um den betrachte

ten

Zeitpunkt hat, aber

kleine Zeiträume für ihre Vorstellung braucht, bleibt ihr

nichts ander

es übrig, als die bekannte Momentangeschwindigkeit für den

ganzen betrachteten kleinen Zeitraum anzunehmen, also eine konstante

Geschwindigkeit. In ihrer Vorstellung hat ein Radfahr

er in allen kleinen

Zeiträumen eine konstante Geschwindigkeit, so dass die Durchschnittsge-

schwindigkeiten den Momentangeschwindigkeiten entsprechen. Be

trachtet

C aber kleine Zeiträume mit den zugehörigen Durchschnittsgeschwindig-

keiten, müsste sie diese Zeiträume anschließend zusammen

setzen, um an

eine Beschreibung der Bewegung des Radfahrers über die gesamte Tour

zu kommen. Damit es an den "Naht

stellen" nicht zu Sprüngen kommt,

müssen alle Durchschnittsgeschwindigkeiten den g

leichen Wert haben.

Denn solche Sprünge verbietet die r-Welt-

Vorstellung einer Radtour. Daher

sieht C sich gezwungen, auf eine konstante Geschwindig

keit über die

ganze Radtour zu schließen.

konstante Ge-

schwindigkeit

und Zeitpunkte in

der r-Welt

stimmt C's These "..., muss er da immer ja gleich fahren." zu, schränkt

aber ein (Zl. 220 -

221): "Ja, in ner Sekunde. ... [...] ... Aber wenn's jetzt

genau 16 Uhr ist?" Das kann wie folgt interpretiert werden:

1. Damit der Radfahrer überhaupt eine Geschwind

igkeit haben kann,

muss er in Bewegung sein. Bewegung findet aber in einem Zeitraum,

hier einer Sekunde, statt. Aber bewegt er sich auch um genau 16 Uhr?

2. Es könnte sein, dass sie ihre Gedanken zu den Tachometern weiter-

führt. Für sie zeigt ein Tachometer immer nur Durchschnittsgeschwin-

digkeiten für gewisse feste Orts

änderungen oder feste kleine Zeiträume

an. Spätestens bei den Tachoüberlegungen ist ihr die Wichtigkeit des

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 106

Unterschieds zwischen Zeitpunkten und kleinen Zeiträumen klar gewor-

den. In diesem Fall könne ihre Antwort bedeu

ten: Für eine Sekunde gibt

es eine Art konstante Durchschnittsgeschwindigkeit, nämlich die, die

ein Tacho anzeigt. Aber was passiert an einem Zeitpunkt wie 16 Uhr?

3. Andererseits könnten ihre ausgeprägten r-Welt-Vorstellungen ihre Re-

aktion hervorrufen. Erfahrungsge

mäß fährt man auf einer Radtour nicht

mit einer konstan

ten Geschwindigkeit. Für eine Sekunde der Radtour

kann das schon mal vorkommen. Hier könnte eine All

tagserfahrung

eine Rolle zu spielen, dass e

in Radfahrer in einer Sekunde kaum eine

wesentliche Beschleunigung erzie

len kann. (K geht nicht davon aus,

dass der Radfahrer gegen einen Baum fährt.) Auch hier bleibt aber un-

klar, ob zu einem Zeitpunkt eine Momentangeschwindigkeit vorliegen

kann.

die konstante

Geschwindigkeit

ist grundlegend

In dem Versuch, C’s Gedankengang nachzuzeichnen, taucht ein dritter Typ

von Geschwindigkeit auf, die konstante Geschwindigkeit. Den Gedanken-

gängen meine ich entnehmen zu können, dass die konstante Geschwin-

digkeit als grundlegend angesehen wird: Die Überlegungen begin

nen mit

der Momentangeschwindigkeit (Zl. 218) „..., wenn da eine Momentange-

schwindigkeit ist,“. Wie gezeigt, wird dann versucht, die Momentange-

schwindigkeit (auf kleinen Zeiträumen) mit Hilfe der konstanten Geschwin-

digkeit zu erklären. (Zl. 219) „..., muss er ja immer gleich fahren.“ Da C in

ihren Vorstellungen einen Zeitraum benötigt, braucht sie auch die konstan-

te Geschwindigkeit, um sich Momentangeschwindigkeit erklären zu kön-

nen.

Obwohl die Momentangeschwindigkeit diejenige ist, die den Mädchen das

Kopfzerbrechen bereitet, scheint sie in diesen Überlegungen doch der Aus-

gangspunkt zu sein und daher grundlegender als die Durchschnittsge-

schwindigkeit. Wichtig erscheint mir hier, dass die genannten Gedanken-

gänge im Wesentlichen die r-Welt bemühen. Eine weitere Bestätigung die-

ser „Rangordnung“ der Geschwindigkeiten sehe ich in K’s folgendem Re-

debeitrag am Ende dieser Szene (Zl. 245 -

246): „Allein schon weil, wenn

man sich das vorstellt, man kann ja nicht nur Durchschnittsgeschwindigkeit

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 107

fahren.“ Also muss man immer eine Momentangeschwindigkeit fahren,

damit eine Durchschnittsgeschwindigkeit irgendwie zustande kommen

kann. Die Durchschnittsgeschwindigkeit könnte als verallgemeinerter Mit-

telwert im Sinne der Integralrechnung gesehen werden.

Fazit: lokale

Änderungsraten C begegnet dem Problem der lokalen Änderungsrate in zwei verschieden-

en Gestalten: lokale Weg- und lokale Geschwindigkeitsänderungsra

te. In

beiden Fällen bereitet ihr die Vorstellung der positiven lokalen Änderungs-

te Probleme. Vermutlich kann sie sich lokale Änderungsraten an sich

nicht vorstellen. Das würde bedeuten, dass ihr die Grundvorstellung „lokale

Änderungsrate“ vom Ab

leiten an sich Probleme bereitet, unabhängig vom

Kontext (Momentangeschwindigkeit, Beschleunigung, Tangentensteigung,

...), in den sie einge

bettet ist. Die Grundvorstellung, die Schülerinnen und

Schülern eine Hilfe bei der Begriffsbildung sein soll, ist vermutlich ihr Pro-

blem.

Zu den Argumentationsmustern

Bis hier folgert K aus ihren r-Welt-Vorstellungen, die die einbettende Sicht-

weise bemü

hen, dass es eine Momentangeschwindigkeit gibt. C hat das

Ziel, die Momentangeschwindigkeit zu berechnen, wobei sie r- und m-Welt-

Vorstellungen in der isolierenden Sichtweise heranzieht. Erstaunlicherwei-

se scheinen beide in dieser Szene die Meinung zu ändern und jeweils die

Position der anderen einzunehmen:

C und K ändern

scheinbar ihre

anfangs vertre-

tene Meinung

C leitet diesen Vorgang mit einer längst bekannten Aussage ein (Zl. 222 -

224): „Ja, du, du, ich find, du kannst nur die Durchschnittsgeschwin, ich

find (haspeln)

ich habe keine Ahnung, aber ich glaub, du kannst nur die

Durchschnittsgeschwindig

keit berechnen, weil, äh.“ Dennoch scheint für

sie in dieser Aussage eine neue Erkennt

nis vorzuliegen, da sie vielleicht

vor Aufregung etwas stottert und sich verhaspelt. K scheint sich jetzt so

weit auf das Berechnungsproblem eingelassen zu haben,

dass sie diese

Äußerung bestätigen kann (Zl. 227): „Das hätt ich jetzt auch gesagt: Be-

rechnen ja.“ Dann kommt der Seitenwechsel: Bis hier hatte sich K mit einer

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 108

für sie logischen Argumentation die Existenz der Momentangeschwindig-

keit gesichert. Nun fragt sie (Zl. 228 - 229): „Aber ob es ne Momentange-

schwindigkeit gibt..“ Und auch C, die bisher die Existenz der Momentange-

schwindigkeit abgelehnt hat, ändert nun ihre Meinung, wenn sie direkt auf

K’s Frage entgegnet (Zl. 230 - 231): „Also wird er ei

ne Geschwindigkeit

meinetwegen um genau 16 Uhr haben.“ Dem stimmt K jetzt wieder zu (Zl.

232): „Ja ich könnt mir das gut vorstellen, dass es so was gibt.“

Wahrscheinlich wechseln beide nicht wirklich ihre Meinungen. Oben wurde

schon vom inneren Konflikt,

dem Grundparadoxon berichtet. Die einzelnen

Äußerungen spiegeln dann nur ein Hin- und Herpendeln zwischen den bei-

den Positionen wieder. Dass sich die Mädchen beider Positio

nen bewusst

sind, wird an der schriftlichen Bearbeitung der Aufgabe deutlich,

in der

beide Positionen getrennt wiedergegeben werden, vgl. Abbildung 9

. Auch

die Fortsetzung von K’s Redebeitrag zeigt das (Zl. 233): „Müssen zu einem

Konsens kommen.“

K resümiert Dann führt K noch einmal die beiden Positionen für sich an: Die r-Welt-

Vorstellung einer Autofahrt bekräftigt die Existenz der Momentangeschwin-

dig

keit, aber ob man die „ausdrücken kann“ (vgl. Zl. 237). Wahrscheinlich

bedeutet „ausdrücken können“ für sie, dass man eine Zahl angeben kön-

nen muss, die den Wert der Momentangeschwin

digkeit wiedergibt. Diese

Zahl könnte berechnet oder gemessen werden, wie die vorangegangenen

Überlegungen zeigten. Ähnliche Überlegungen wie in den Zeilen 232 bis

237 führt K noch einmal in den Zeilen 243 bis 247 an. Im letztgenann

ten

Absatz macht sie sich über „kleinste Wege“ (Zl. 247) Gedanken. Diese Ge-

danken wer

den in der folgenden Szene wieder aufgenommen und dort

analysiert.

K stellt eine For-

derung an die

Mathematik

Interessant scheint mir hier noch K’s Formulierung zu sein (Zl. 236 -

237):

Man muss die Momentangeschwindigkeit ausdrücken können. Nachdem

sie zuvor die Existenz der Momentangeschwindigkeit mit r-Welt-Überlegun-

gen gesichert hat, fordert sie nun von der Mathematik (im Fall, dass sie die

Momen

tangeschwindigkeit berechnen will) oder der Physik (im Fall, dass

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 109

sie die Momentangeschwindigkeit messen will und ein Messvorgang der

Physik zugeschrieben wird) eine Möglichkeit, den Wert der Momentange-

schwindigkeit zu bestimmen. Diese Forderung zeigt an, dass sie die Erfah-

rungswelt über die Mathematik- oder Physik-

Welt stellt. Die letztgenannten

haben also die Aufgabe, die Erlebniswelt zu beschrei

ben oder dieser zu

dienen. Diese Einstellung insbeson

dere zur Mathematik ist nicht allgemein

verbreitet, wie andere Transkripte zeigen. Dort wird schon mal die m-

Welt

über die r-Welt gestellt, wenn aus Überlegungen in der m-

Welt hervorgeht,

dass die Momentangeschwindigkeit nur approximativ berechen

bar ist, es

sie daher in der r-Welt nicht gibt.

C’s zweiter Ausbruchsversuch

In der vorherigen Szene hat C durch ihren Ausbruchsversuch gezeigt, dass

sie aus ihrem Widerspruch nicht herauskommt und daher keine Lust mehr

hat, die Teilaufgabe zu bearbeiten und nun eine neue Teilaufgabe begin-

nen wi

ll. Trotz des Widerspruchs entwickelt sie zu Beginn dieser Szene

neue Gedanken (Zl. 218 -

219; „Er muss immer gleich fahren.“) und schöpft

daraus vielleicht Hoffnung, doch noch weiter kommen zu können, wie ihre

Aufregung in Zl. 222 zeigt. Doch bereits in Z

l. 224 erfährt sie eine

Ernüchterung. Sie zieht sich etwas zurück, wie der zweite Teil der Szene

zeigt, in dem sie von 21 Dialogzeilen nur einen Redeanteil von 4 Zeilen

hat. Zudem kann man einen weiteren Ausbruchsversuch erkennen: K

formuliert etwas ungesc

hickt (Zl. 237) „Ob man das so drücken tut,“.

Analog zu der „Kommst aus Bayern“-

Szene versucht C daraus einen

kleinen Witz zu machen (Zl. 238): „Drücken tun..“ worauf K auch lacht, aber

dann ihre Gedanken weiter führt.

Szene 5; Zeilen 248 - 272

C: (fällt K ins Wort) Ja das muss ja auch ehm ... Ja, ja, das ja nen Bruch, das muss genau 248

um 16 Uhr sein. Das ist.. 249

K: Ja, das muss genau wissen wie ... (C: Genau um 16 Uhr.) Wie viel Zentimeter eh man da 250

durch gefahren ist. ... Haben 251

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 110

C: Ja eben ja noch nicht mal. Weil dann hast ja (K: Ja.) schon wieder 2 Sekunden, die Zeit 252

läuft doch weiter. ... (K: Ja.) Die bleibt ja nicht stehen. (K lacht) Die kann ja nicht genau 253

um 16 Uhr... 254

K: Den Punkt haben. ... 255

C: Ach, schreib was hin. Also ich würd sagen, nein, aber hm ... (Pause 8s) ... 256

K: Ich weiß es auch nicht, (unverständlich) 257

C: Weil du kannst doch die Geschwindigkeit nicht messen, wenn du keine Zeit hast. ... Und 258

momentan ist ja um eine bestimmte Zeit, und das muss doch genau an diesem Punkt 259

sein. ... Aber du brauchst ja auch, ehm, wenn ein Weg zurücklegst, die Zeit. Und das 260

wäre ja dann, wenn’s ein Zeitraum ist durchschnittlich. Er fährt meinetwegen in ner 261

Sekunde durchschnittlich so und so weit. ... (K: Man könnt ja..) Wenn du keine Zeit hast, 262

wenn (K: Unendlich kleinste Einheit.) du genau 16 Uhr hast, wenn du da ehm die 263

Geschwindigkeit messen willst, hast du doch keine Zeit, weil das ist genau 16 Uhr, und 264

du darfst ja nicht weiter rechnen, weil du sonst wieder ne Durchschnittsgeschwindigkeit 265

hast. ... 266

K: Ja, irgendwie ist das auch logisch. ... Ach, das ist, ich weiß es nicht, warum ... 267

C: Ganz am Anfang hab ich auch gedacht, das gibt es nicht. (Durcheinander) 268

K: Ganz spontan hätt ich gesagt, es gibt so was, aber wenn man ehrlich (???) ... 269

(25:40) C macht den Vorschlag, beide Meinungen jeweils mit Begründung aufzuschreiben. 270

Zunächst wird die „Es gibt eine Momentangeschwindigkeit“-Antwort geschrieben. K schreibt 271

und lässt die Antwort von C kontrollieren. (27:20) 272

kleine und klein-

ste Größen in der

m-Welt

Zusammenhang von Ort und Zeit

Die vorherige Szene endete damit, dass K sich einen Bewegungsvorgang

vorstellte (r-

Welt) und überlegte, dass auch zu dem kleinsten Weg eine

Durchschnittsgeschwindigkeit gehört (Zl. 245 -

247). Diese Szene beginnt

damit, dass C einen Bogen zur m-

Welt schlägt (Zl. 248): „Ja, ja, das ja nen

Bruch, das muss genau um 16 Uhr sein.“ Vielleicht hat sie sich von K’s

kleinsten Wegen anregen lassen, wieder über die Bedeutung des Zeit-

punkts 16 Uhr Gedanken zu machen. K versucht nun, mit Hilfe der Vorstel-

lung der Radfahrsituation die Ortsänderung zu ermitteln, damit C rechnen

kann (Zl. 250 -

251): „Ja, das muss genau wissen wie... Wie viel Zentimeter

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 111

eh man da durch gefahren ist.“ Damit ist C nicht zufrieden (Zl. 252): „Ja

eben ni

cht mal.“ Sie ist sich der Bedeutung des Zeitpunkts nun wirklich

bewusst geworden. Schon in K’s Redeabschnitt hat sie eingewor

fen (Zl.

150) „Genau um 16 Uhr“. Sie begründet ihre Unzufriedenheit so (Zl. 252 -

254): Zentimeter sind nicht zugelassen, „we

il dann hast ja (K: Ja.) schon

wieder 2 Sekunden, die Zeit läuft doch weiter. ... (K: Ja.) Die bleibt ja nicht

stehen. (K lacht.)

Die kann ja nicht genau um 16 Uhr...“ Das heißt, dass

auch die kleinste Ortsänderung nur in einem Zeitraum ablaufen kann.

bestätigt jeden Absatz der Argumentation. Sie scheint C gut folgen zu

kön

nen. An einer Stelle lacht sie sogar. Vielleicht ist das die Stelle, an der

ihr klar wird, dass „kleine Wege“ hier nicht weiterhelfen. In dem Fall wäre

das Lachen eines, das vielle

icht etwas Resignation anzeigt, nach dem

Motto: Du hast ja recht.

C bringt sich und K durch ihre Argumentation an einen Punkt der Resigna-

tion (Zl. 256 -

257): C: „Ach, schreib was hin. Also ich würd sagen, nein,

aber hm... K: Ich weiß es auch nicht.“ I

n den vorhergehenden Szenen habe

ich versucht, C‘s inneren Konflikt zu beschreiben. Dabei habe ich ihr das

0/0-Problem zugeschrieben, aus dem sie die Nichtexistenz der Momentan-

geschwindigkeit schloss. Dabei habe ich auch auf die schriftliche Bearbei-

ng hingewiesen. In C’s folgendem Redebeitrag stellt sie erstmals explizit

den Zusammenhang zwischen einer Ortsänderung der Größe Null zu

einem Zeitpunkt (der Länge Null) her, der das 0/0-Problem offenbar wer-

den lässt (Zl. 258 - 266):

das 0/0-Problem

explizit;

Was kann man

messen?

unendlich

kleinste Größen

„Weil du kannst doch die Geschwindigkeit nicht messen, wenn du keine

Zeit hast. ... Und momentan ist ja um eine bestimmte Zeit, und das muss

doch genau an diesem Punkt sein. ... Aber du brauchst ja

auch, ehm, wenn

ein Weg zurücklegst, die Zeit. Und das wäre ja dann, wenn’s ein Zeitraum

ist, durchschnittlich. Er fährt meinetwegen in ner Sekunde durchschnittlich

so und so weit. ... (K: Man könnt ja..) Wenn du keine Zeit hast, wenn (K:

Unendlich kleinst

e Einheit.) du genau 16 Uhr hast, wenn du da ehm die

Geschwindigkeit messen willst, hast du doch keine Zeit, weil das ist genau

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 112

Wann kann man

rechnen?

r- und m-Welt

16 Uhr, und du darfst ja nicht weiter rechnen, weil du sonst wieder ne

Durchschnittsge

schwindigkeit hast. ...“ Das Messen dient der Ermittlung

des Wertes der Ortsänderung. Die Betrachtung eines Zeitpunkts unterbin-

det die Messung, ein Ort (Punkt) kann nicht gemessen werden.

Noch einmal das

Grundparadoxon

in den Sichtwei-

sen

K versuch

t logisch zu denken und ist für Argumente zugänglich. In Szene 3

sagt sie, dass sie ihre Argumentation (ein bewegter Körper hat zu jedem

Zeitpunkt der Bewegung eine Momentangeschwindig

keit) plausibel findet

(Zl. 244). C’s Argumentation hier gesteht s

ie auch eine Logik zu (Zl. 267):

„Ja, irgendwie ist das auch logisch.“ Schon während C argumentiert hat K

das Problem verstanden, denn sie versucht, ihren Gedanken der „kleinsten

Wege“ zu verbessern (Zl. 262 -

263): „Man könnt ja.. Unendlich kleinste

Einh

eit.“ Hier erfindet sie für sich ein Objekt aus der Welt des unendlich

Kleinen. Vermutlich schreibt sie ihrem Objekt „unendlich kleinste Einheit“

folgende Eigenschaften und Bedeutungen zu: Für die Berechnung braucht

man Einheiten, daher die Wortwahl „Einh

eit“. Die Größe der Einheit muss

aber so klein sein, dass man mit ihr eine Momentangeschwindigkeit und

nicht nur eine Durchschnitts

geschwindigkeit ermitteln kann. Andererseits

muss sie groß genug sein, damit man überhaupt mit ihr rechnen kann.

Beide st

ehen nun in einem inneren Konflikt, der in den Zeilen 268 und 269

zum Ausdruck kommt:

C: Ganz am Anfang hab ich auch gedacht, das gibt es nicht. (Durchein-

ander)

K: Ganz spontan hätt ich gesagt, es gibt so was, aber wenn man ehrlich

(???) ...

der naive Ge-

schwindigkeits-

begriff wird in

Frage gestellt

Bezeichnend ist, dass beide ihre eingangs eingenommene Position jeweils

in Frage stellen. Es scheint, als habe die Bearbeitung des Aufgabenteils c)

bei den Mädchen zu einem Prozess der Bedeutungsveränderung des Be-

griffs Momentan

geschwindigkeit geführt. (Zl. 269) „Ganz spontan hätt ich

gesagt, es gibt so was, aber wenn man ehrlich (???)

...“ Die Spontaneität

am Anfang bringt einen Begriff der Momentangeschwindigkeit an den Tag,

der vielleicht naiven Vors

tellungen der Alltagswelt entspringt. Die intensive

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 113

Auseinandersetzung mit diesem Begriff führt zu einem Prozess der Bedeu-

tungsänder

ung, wobei die Naivität in Frage gestellt wird („...aber wenn man

ehrlich (???)...“).

Fazit Am Ende dieser Szene verfügen die Schülerinnen über zwei in sich logi-

sche Argumen

tationen, die zu verschiedenen Antworten bzgl. der Frage

nach der Existenz der Momentangeschwindigkeit führen. Es wurde ver-

sucht, das Auftreten des Grundparadoxons mit Hilfe Sichtweisen aufzu-

decken. Für diese beiden Schülerinnen hat sich gezeigt, dass die isolieren-

de Sichtweise sowohl in der r- also auch m-Welt ein

genommen werden

konnte, die einbettende nur in r-Welt-Vorstellungen anzutreffen war.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 114

5.2. Transkript 14

Datum : 9.6.1999, 15:30 – 16:33

Ort : Pelizaeus Gymnasium, A308

Teilnehmer : Claudia B. (links im Bild) und David K. (rechts im Bild);

Jahrgangsstufe 12 des Pelizaeus Gymnasiums, beide LK

Aus diesem Transkript sollen nur zwei Szenen vorgestellt werden. Die erste Szene gibt

wieder, wie C und D den Aufgabenteil c) bearbeiten. Die zweite Szene zeigt einen

Ausschnitt des Gesprächs, das der Versuchsleiter im Anschluss an die Partnerarbeitsphase

mit C und D geführt hat. In diesem Ausschnitt greift der Versuchsleiter die schriftliche

Lösung zu Aufgabenteil c) noch einmal auf.

Zunächst wird beschrieben, wie C und D die Aufgabenteile a) und b) bearbeiten.

Zum Aufgabenteil a) und b)

Beide lesen sich den Aufgabentext zu Aufgabenteil a) durch und überlegen schweigend.

Nach 40 Sekunden macht D den Vorschlag, einen in der Tabelle gegebenen Wert zu

überprüfen. C wertet mit dem Taschenrechner die Funktion an einer Stelle aus. Die

Überprüfung war erfolgreich, daher wird nun f(3) berechnet.

Dann wird Aufgabenteil b) aufgedeckt. Wieder lesen beide 40 Sekunden lang den Auf-

gabentext. Dann wird Blatt a) noch einmal herangezogen. D hat die Idee „Weg durch Zeit“

zu berechnen. Er fordert C auf, 117.6 durch 3 zu teilen. Im Anschluss werden auch die

Durchschnittsgeschwindigkeiten der jeweils ersten x Stunden berechnet. Auch der in der

Wertetabelle fehlende Funktionswert wird ermittelt. Dann erst fällt D auf, dass sie fälschlich

die Durchschnittsgeschwindigkeit der ersten x Stunden berechneten. C will diesen Einwand

übergehen, aber der Versuchsleiter ermuntert, darüber nachzudenken. Nun will D die

Durchschnittsgeschwindigkeit für jede einzelne Stunde berechnen. C ist nicht

einverstanden, hat aber zunächst keinen besseren Vorschlag. Dann sagt sie etwas mit

„Abziehen“, worauf D die Berechnung der Wegdifferenz erläutert. Nun werden die richtigen

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 115

Berechnungen durchgeführt und die Ergebnisse notiert. Nur beim Wert für die letzten 1 ½

Stunden haben sie sich verrechnet.

Szene 1; Zeilen 25 - 45

Nach ca. 13 Minuten Gesamtarbeitszeit decken sie Aufgabenteil c) auf. Ungefähr 30

Sekunden lang lesen sie die Aufgabe und denken nach.

D: Also, natürlich hat er ne Geschwindigkeit drauf, aber die können wir nicht bestim-25

men. ... (Pause 10s) ... Ja, würd ich auch so aufschreiben. ... Also... oder was 26

meinst Du? 27

C: Weiß nicht. ... (Pause 9s) ... nein, eigentlich... 28

D: Also, ich würd sagen, eine Momentangeschwindigkeit gibt es ja immer. Also, 29

wenn du Fahrrad fährst, hast du ja immer ne Momentangeschwindigkeit, aber in 30

diesem Fall können wir die ja nicht ausrechnen. Aber das gibt es ja trotzdem. Also 31

würd ich sagen: natürlich gibt es eine Momentangeschwindigkeit, nur lässt sie sich 32

mit diesen Werten nicht berechnen. 33

C: Na gut. (beide lachen, C schreibt das auf) 34

D: Berechnen können wir es ja nicht, ne. Er konnte ja vielleicht... . Am Anfang konnte 35

er ja vielleicht mal, wir haben ja bisher nur Durchschnittsgeschwindigkeit berech-36

net. Es kann ja sein, dass er die ersten zwei Stunden, was weiß ich, 60 gefahren 37

ist und dann nochmals 20 getrottet hat. 38

C: Hm! ... Wir haben ja nur die Formel für einen Zeitraum ... zu einem Zeitpunkt. ... 39

(D: Hm! Pause 5s) ... nicht für einen Zeitpunkt... 40

D: Nach der Funktion lässt sie sich bestimmt nicht ... berechnen, zeigt nur an wie 41

weit er gekommen ist. 42

C: Ja ... (Pause 6 s; beide beschließen, den zweiten Teil der Bearbeitung aufzu-43

schreiben. C schreibt und murmelt dabei) ... Müssen wir bestimmt gleich berech-44

nen. (Beide lachen) 45

In dieser Szene hat C nur einen geringen Redeanteil. Daher soll hier nur D’s Argumentation

aufgezeigt werden.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 116

D’s einbettende

Sicht in der r-

Welt

D’s Argumente

Zunächst trifft D zwei Aussagen, ohne sie zu begründen (Zl. 25 - 26):

„Also, natürlich hat er ne Geschwindigkeit drauf, aber die können wir nicht

bestimmen.“ Zudem ist nicht klar, ob D mit dem Wort „Geschwindigkeit“

die Durchschnittsgeschwindigkeit oder die Momentangeschwindigkeit

meint. Sein nächster Redeabschnitt, in dem er auch eine Begründung für

die Existenz der Momentangeschwindigkeit anführt, zeigt, dass er die Mo-

mentangeschwindigkeit meint (Zl. 29 -

30): „Also, ich würd sagen, eine

Momentangeschwin

digkeit gibt es ja immer. Also, wenn du Fahrrad

fährst, hast du ja immer ne Momentangeschwindigkeit,...“. D stellt sich

vor, wie man Rad fährt. Das Wort „immer“ zeigt an, dass er sich einen

Zeitraum vorstellt, in dem man immer Momentangeschwindigkeit hat. Weil

er sich so einen Abschnitt der Radtour vorstellt, kann er sich auch die

Bewegung des Radfahrers in diesem Zeitraum vorstellen. Es zeigt sich,

dass D in der r-

Welt eine ausgeprägte einbettende Sichtweise an den Tag

legt.

Für D gibt es

Momentange-

schwindigkeit,

obwohl man

diese nicht be-

rechnen kann

Im Anschluss an diese Argumentation bekräftigt D noch einmal, dass er

die Momentangeschwindigkeit nicht berechnen kann (Zl. 30 - 31): „...aber

in diesem Fall können wir die ja nicht ausrechnen.“ Zum zweiten Mal

betont D, dass er bzw. C und er die Momentangeschwindigkeit nicht be-

rechnen können (vgl. Zl. 25). Es scheint für ihn kein generelles Problem

vorzuliegen. Als Bestätigung dieser Interpretation kann auch die Formu-

lierung „in diesem Fall“ gesehen werden. Erst nachdem D noch einmal

die Existenz der Momentangeschwindigkeit bekräftigt hat (Zl. 31 - 32)

„Aber das gibt es ja trotzdem. [...] natürlich gibt es eine Momentange-

schwindigkeit“ begründet er, worin in diesem Fall das Problem liegt,

nämlich dass die Momentangeschwindigkeit nicht berechen

bar ist (Zl. 32

- 33): „...nur lässt sie sich mit diesen Werten nicht berechnen.“ Mit „diesen

Werten“ meint D wahrscheinlich die in der Wertetabelle gegebenen. Auf

der Videoaufnahme kann man erkennen, dass direkt vor ihm das Blatt a)

liegt, er deutet jedoch nicht darauf. Andererseits könnte er auch die Wer

meinen, die mit Hilfe der Funktionsgleichung berechenbar sind. Auch die

Funktionsgleichung ist auf Blatt a) abgebildet. In keinem Fall wird an

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 117

dieser Argumentation deutlich, warum die gegebenen Werte für D die

Berechnung nicht ermöglichen. Die Begründung dafür gibt D in seinem

nächsten Redebeitrag (Zl. 36 - 38):

D unterscheidet

Durchschnittsge-

schwindigkeit

und

Momentange-

schwindigkeit

„...wir haben ja bisher nur Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet. Es

kann ja sein, dass er die ersten zwei Stunden, was weiß ich, 60 gefahren

ist und dann nochmals 20 getrottet hat.“ – Bis hier konnte man nur anneh-

men, dass D einen Unterschied zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit

und Momentangeschwindigkeit sieht. Hier wird diese Annahme bestätigt,

denn D sagt (sinngemäß): „Bisher haben wir nur die Durchschnittsge-

schwindigkeit berechnet. Jetzt soll etwas anderes getan werden.“ Dann

vergleicht D Werte, die 60 (für die ersten zwei Stunden) und die 20 (für

die dritte Stunde). Es wird nicht deutlich, ob die Zahlen zurückgele

gte

Weglängen oder Durchschnittsgeschwindigkeiten der jeweiligen Zeitab-

schnitte sein sollen. Da D zuvor von Durchschnittsgeschwindigkeiten ge-

sprochen hat, ist anzunehmen, dass er auch jetzt Durchschnittsgeschwin-

digkeiten meint. Auf den Punkt gebracht, bedeutet D’s Argumentation:

D kann Momen-

tangeschwindig-

keit trotz einbet-

tender Sichtwei-

se nicht berech-

nen

D hat das 0/0-

Problem nicht

14 Uhr beginnt die Radtour. Nach zwei Stunden Fahrt ist man an dem in

Aufgabenteil c) zu betrachtenden Zeitpunkt 16 Uhr angelangt. Man kann

mit den Werten der Werte

tabelle die Momentangeschwindigkeit um 16

Uhr nicht berechnen, weil die Durchschnittsgeschwindigkeiten der be-

nachbarten Zeiträume 14 bis 16 Uhr und 16 bis 17 Uhr verschieden sein

können. An dem Zeitpunkt 16 Uhr zwischen den beiden Zeiträumen kann

also ein Sprung der Durchschnittsgeschwindigkeitswerte entstehen. Man

kann also keine Aussage über die Momentangeschwindigkeit um 16 Uhr

treffen.

Interessant erscheint hier, dass D im Vergleich zu anderen Schülerinnen

und Schülern nicht die isolierende Sichtweise mit Zeitpunkt-

Betonung

einnehmen muss, um die Nicht-Berechenbarkeit zu zeigen. Zwar überlegt

auch er, was zum Zeitpunkt 16 Uhr passiert. Dabei behält er

aber die

Radtour über die ersten drei Stunden als Ganzes im Auge. Er argumen-

tiert insbesondere nicht über das 0/0-Problem, dass also zu einem

Zeitpunkt (Nenner = 0) keine Ortsänderung stattfinden kann (Zähler = 0).

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 118

Zeitpunkt (Nenner = 0) keine Ortsänderung stattfinden kann (Zähler = 0).

D’s Problem liegt eher darin, dass die

Wertetabelle nur Werte für jede

halbe Stunde liefert. Das könnte er mit seinen Worten „in diesem Fall“

gemeint haben. Da die Wertetabelle Ursache für die Beschränkung der

Betrachtung auf Zeiträume zu sein scheint, soll D auch nicht die isolieren-

de Sichtweise mit Zeitraum-Betonung unterstellt werden. Es wird aller-

dings nicht klar, was für Werte er meint zu benötigen, um die Momentan-

geschwindigkeit berechnen zu können.

C hat offenbar mitgedacht und überlegt auch, was zur Berechnung der

Momentangeschwindigkeit zur Verfügung steht und was benötigt wird (Zl.

39): „Wir haben ja nur die Formel für einen Zeitraum ... zu einem Zeit-

punkt.“ Es ist nicht ganz klar, ob sie mit der Formel die Gleichung Durch-

schnittsgeschwindigkeit v = ∆S/∆t oder die Gleichung der Weg-Zeit-Funk-

tion meint. Beide Gleichungen geben Werte für Zeiträume (unterschiedli-

chen Charakters) an: Für die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das unmit-

telbar klar; die Weg-Zeit-Funktion gibt laut Aufgabenteil a) an, wie weit

Jan Ullrich bis zu einem Zeitpunkt schon vor

angekommen ist. Hier wird

also die Zeitspanne vom Start bis zu einem Zeitpunkt betrachtet. Nach

wie vor überlegt D, wie er die Momentangeschwindigkeit berechnen könn-

te. Durch C’s Beitrag wird er angeregt, die Funktionsgleichung zu be-

trachten. Doch das hilft ihm nicht weiter (Zl. 40 - 41): „Nach der Funktion

lässt sie sich bestimmt nicht ... berechnen, zeigt nur an wie er weit er

gekommen ist.“ Die hier aufgeführten Argumente sind auch so in die

schriftliche Bearbeitung eingegangen (vgl. Abbildung 10

). Bis zum Ende

dieser Szene wurden nur die ersten drei Zeilen geschrieben, die später

durchgestrichen wurden.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 119

Abbildung 10: Die Bearbeitung von Aufgabenteil c)

D und die Denkwelten

Aufgabenteil c) fordert zu einer Entscheidung (Gibt es so etwas wie eine Mo-

mentangeschwindigkeit?) und Begründung auf. Betrachtet man die ersten drei

großen Redeabschnitte von D, fällt auf, dass er die Entscheidung aufgrund von r-

Welt-Vorstellungen trifft und den Wunsch nach einer Berechnungsmöglichkeit in

der r- oder m-Welt gegenüberstellt. Begründungen dafür, dass er den Wert der

Momentangeschwindigkeit nicht berechnen kann, sucht er in beiden Welten. Fol-

gende Tabelle soll das Pendeln zwischen den Welten aufzeigen. Insbesondere

das Argument, dass die Momentangeschwindigkeit nicht berechenbar ist, weil

der Radfahrer verschieden schnell sein kann, zeigt, dass D versucht,

Zusammenhänge zwischen den Welten aufzuzeigen. Der Wunsch nach einer

Berechnungsmöglichkeit ist nicht ohne weiteres einer Denkwelt alleine zuzus-

chreiben. Daher kann man keine seiner Äußerungen jeweils eindeutig einer

Denkwelt zuordnen. Das dichte Zusammenspiel der Welten halte ich aber hier für

interessant genug, um eine Tabelle mit meinen Einschätzung zu erstellen,

welche Welt D an welcher Stelle wohl stärker betonen mag, vgl. Tabelle 3. In der

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 120

linken Spalte befinden sich Aussagen, die ich eher der r-Welt zuordne, in der

rechten Spalte die, die ich der m-Welt zuordne. Es wird nur dann die Spalte

gewechselt, wenn es eine Aussage erfordert. Füllsätze, die sich keiner Welt

eindeutig zuordnen lassen, werden der vorherigen Aussage einfach angehängt:

Zl. eher r-Welt eher m-Welt

Also, natürlich hat er ne Geschwindig-

keit drauf,

Also, ich würd sagen, eine Momentan-

geschwindigkeit gibt es ja immer. Also,

wenn du Fahrrad fährst, hast du ja

immer ne Momentangeschwindigkeit ,

Aber das gibt es ja trotzdem. Also

würd ich sagen: natürlich gibt es eine

Momentangeschwindigkeit,

Am Anfang konnte er ja vielleicht mal,

Es kann ja sein, dass er die ersten

zwei Stunden, was weiß ich, 60

gefahren ist und dann nochmals 20

getrottet hat.

aber die können wir nicht bestimmen.

... (Pause 10s) ... Ja, würd ich auch so

aufschreiben. ... Also ... oder was

meinst Du?

aber in diesem Fall können wir die ja

nicht ausrechnen.

nur lässt sie sich mit diesen Werten

nicht berechnen.

Berechnen können wir es ja nicht, ne.

Er konnte ja vielleicht... .

wir haben ja bisher nur Durchschnitts-

geschwindigkeit berechnet.

Tabelle 3: D und die Denkwelten

Das Pendeln zwischen den Denkwelten

selber kann als Indiz angesehen

werden, dass D enge Verbindungen zwischen den Welten sieht. Seine Re-

debeiträge zeigen aber deutlich an, dass es Ungereimtheiten gibt. In der r-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 121

Welt gibt es für ihn die Momentangeschwindigkeit (Zl. 25, 29, 31, 32), de

Berechnungs-Wunsch ist für ihn aber weder in r- noch in m-

Welt erfüllbar

(Zl. 25, 31, 33, 35). Die Nicht-

Berechenbarkeit war für andere Probanden

Grund genug, die Existenz der Momentangeschwindigkeit zu bestreiten.

Für D gilt das nicht (Zl. 31): „Aber das gibt es ja trotzdem.“

D ist in dieser

Szene der

Wortführer

In dieser Szene ist D der Wortführer. Schnell hat er eine in der r-

Welt

schlüssige Begrün

dung für die Existenz gefunden. (Ein Körper, der sich

bewegt, hat eine Momentangeschwindigkeit.) Dem hat C nichts entgegen-

zusetzen. Wie die folgende Szene zeigt, hat D sie sogar überzeugt. Viel-

leicht spricht D auch nur Gedanken aus, die C eh schon hatte, und bekräf-

tigt sie also nur.

Die längeren Pausen im ersten Abschnitt der Szene und D’s direktes Nach-

fragen bei C (vgl. Zl. 27), ob sie mit seinen Äußerungen übereinstimmt,

zeigen, dass D zwar Wortführer ist, C aber dennoch Möglichkeiten der

Meinungsäußerung gibt.

Aufgabenteile d) und e)

Zwischen der ersten und zweiten Szene bearbeiten C und D die Aufgabenteile d) und e).

Um den roten Faden nicht zu verlieren, sollen ihre Herangehensweisen kurz beschrieben

werden.

Zu Aufgabenteil d)

Beide lesen die Aufgabe und lachen (vgl. Szene 1, Zl. 44 - 45). C will die Bearbeitung von c)

durchstreichen, wird aber von D daran gehindert. D betrachtet Blatt a). Nun argumentiert er,

dass die Funktion für jeden Zeitpunkt wiedergibt, wie weit Jan Ulrich gefahren ist und die

Geschwindigkeit von diesen Strecken irgendwie abhängig ist. Das sieht C sofort ein. Nun

wird auch Blatt b) zu Rate gezogen. Nun macht C den Vorschlag, auch die Strecke für

15:59 Uhr zu berechnen, die Wegdifferenz zu 16 Uhr zu berechnen und dann zu teilen. Sie

kann allerdings nicht angeben, wodurch sie teilen will. Sie meint schließlich, die

Durchschnittsgeschwindigkeit einer Minute berechnet zu haben (19:30). David stimmt ihr zu:

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 122

„D: Ja, klar geht auch, klar, weil wenn wir uns hier die Funktion so aufzeichnen würden.

(zeichnet Treppenfunktion, vgl. Abbildung 11) Was wir hier haben wäre Durchschnittsge-

schwindigkeit, fängt an erste halbe Stunde hier oben... (zeigt auf Treppenfunktion). Nur

für diese Zeiträume und so ausgerechnet. Jetzt können wir diese so klein wie möglich

machen dann bekämen wir eine immer

genauere Durchschnittsgeschwindigkeit.

Dann hätten wir einen Näherungswert,

der genau damit übereinstimmt. Das wäre

die Lösung für die nächste Aufgabe.“133

Abbildung 11: D’s Treppenfunktion

Dem kann C folgen. Diese Idee wird nun als neue Bearbeitung für Aufgabe c) notiert, die

alte Bearbeitung durchgestrichen. C schreibt die ersten 1 ½ Zeilen der neuen Bearbeitung.

D formuliert jetzt noch einmal, dass er eine Grenze des Zeitintervalls „gegen 16 Uhr streben

lassen“ will, weil das „genau möglichste“ ist. Nun ergänzt D die neue Antwort auf c).

Gemeinsam wird die Formulierung erarbeitet.

C macht nun den Vorschlag, sich von beiden Seiten zu nähern und den beidseitigen

Grenzwert zu berechnen. D ist noch nicht zufrieden und betrachtet Blatt a). Nun erläutert C

ihm noch einmal ihre Idee, die zurückgelegten Wege bzgl. 15:59 Uhr und 16 Uhr zu

berechnen und die Differenz zu bestimmen. Dabei beschränkt sie sich nun auf das Nähern

von einer Seite. D erinnert sich an Aufgaben aus dem Unterricht, wo der beidseitige Grenz-

wert berechnet wurde. Der Abstand aus dem Unterricht, der verringert wurde, wird nun mit

der Zeit dieser Aufgabe identifiziert. C notiert nun die erste Zeile der Lösung auf Blatt d) und

gerät ins Stocken. D beschreibt daraufhin noch einmal präzise das Näherungsverfahren,

wobei er die Differenzenbildung im Zähler des Differenzenquotienten explizit erwähnt. C will

eine Funktion aufstellen, die die Geschwindigkeit angibt, da man in die Differenz 16 Uhr

nicht einsetzen kann. D liest die Aufgabe noch einmal laut vor und C stellt fest, dass sie gar

nichts berechnen sollen. Also wird nun die Strategie der Verkleinerung des Zeitintervalls von

C notiert.

133 [14; 60 - 66]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 123

Zu Aufgabenteil e)

D liest die Aufgabe vor. C schlägt vor, „das jetzt mit dem Limes zu machen“134. D weist

darauf hin, dass die gegebene Funktion f eine bedeutende Rolle spielt und C notiert sie

noch einmal auf Blatt e). Dann wird zunächst die Wegdifferenz mit der Durchschnitts-

geschwindigkeit gleichgesetzt. Verbal formuliert D nun die folgende Sichtweise des

Differenzenquotienten: h)x(f)hx(f

lim

−

→. Nun beginnt D erneut, die Wegdifferenz zu notieren.

C erkennt, dass die Differenz von zwei Wegen nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit sein

kann. D ergänzt ihre Lösung um den Nenner, den ihm C diktiert. Dann will er weiter eine

allgemeine Lösung mit dem Limes notieren.

C will lieber ein Beispiel rechnen und beginnt, das Beispiel aufzuschreiben, indem sie die

beiden Zeitgrenzen notiert. Rechts daneben wird nun der Abstand h berechnet und in einer

neuen Zeile der Differenzenquotient aufgeschrieben. Dann wird die Funktion eingesetzt, t2

durch t

1-h ersetzt, ausmultipliziert und h wird gekürzt. Ein h verbleibt im Zähler. C weiß

sofort, dass das nicht stört. D will nun für h wieder t1-t2 einsetzten. C hält ihn davon ab. Nun

wird h gleich 0 gesetzt, und für t1 wird 2 eingesetzt. Das Ergebnis ist negativ. Der VL lobt die

beiden für den Rechenweg und vermutet, dass irgendwo ein Rechenfehler aufgetreten ist.

Diesen Vorzeichenfehler wollen die beiden unbedingt finden, was ihnen auch gelingt.

Anhand des Terms nach der Grenzwertbildung erkennt C, dass die Werte für große t wieder

negativ werden. D weist darauf hin, dass die gegebene Funktion nur für t kleiner als 5

Stunden definiert ist. C setzt 5 ein und erhält 0.

Szene 2; Zeilen 140 - 172

Nach der Partnerarbeitsphase hat der Versuchsleiter in den meisten Fällen noch ein

Gespräch mit den Schülerinnen und Schülern geführt. Dort nahm er gelegentlich Argumente

der Schülerinnen und Schüler aus der Partnerarbeitsphase auf und hakte nach, so auch in

der folgenden Szene. Zwischen dem Ende der ersten Szene und diesem Abschnitt des

Gesprächs liegen 33 Minuten. Insgesamt beschäftigen sich C und D jetzt schon über 50

Minuten mit der Aufgabe.

134 [14, 110]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 124

Gespräch zu Aufgabenteil c): Der VL lobt, dass sich D zunächst überlegt hat, dass es 140

eine Momentangeschwindigkeit gibt und erst dann eine Berechnungsmöglichkeit 141

sucht. Der VL liest die Bearbeitung vor (vgl. Abbildung 10) und fragt im Hinblick auf 142

diese, warum Jan Ulrich denn eine Momentangeschwindigkeit haben muss. 143

VL: Ja, wieso muss er das denn haben? 150

D: Aber.. Ja, eigentlich, Momentangeschwindigkeit gibt’s ja in dem Sinne ja nicht, 151

weil, eine Geschwindigkeit gibt es ja immer erst dann, wenn man einen Weg 152

zurücklegt. 153

C: Eine Zeit schon längst wieder vorbei. 154

VL: Ja, zu einem Zeitpunkt, (D: Ja.) ne, zu einem Zeitpunkt vergeht keine Zeit. Kann 155

ich da überhaupt eine Geschwindigkeit haben? 156

D: Ich glaub nicht, weil äh, eine Geschwindigkeit ergibt sich erst daraus, dass man 157

eine Strecke zurücklegt. 158

VL: Ja, aber was hast du denn dann da gerade ausgerechnet? 159

C: Ja, aber in dem Moment ist er dann ja, in dem Moment wo er,.. zu dem Zeitpunkt 160

hat er je ne gewisse Geschwindigkeit drauf. ... Weg hat er vielleicht zurückgelegt, 161

aber die zeigt vielleicht ein Tacho (D: Ja.) würd das anzeigen. (VL: Aha.) Und der, 162

in dem Moment. (VL: Ehm. D: Ja, hatten wir..) Das hatten wir ausgerechnet.... 163

D: (nuschelt) ... 164

VL: Ja ist es nun die Momentangeschwindigkeit oder nicht? 165

C: Doch! 166

D: (nuschelt) Ist es die,.. ja 167

C: Ist es. ... Weil ich ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit (klopft mit 168

einem Stift auf den Tisch und lässt die Stiftspitze auf einem Punkt), zu diesem 169

Zeitpunkt, ich habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke zurückgelegt, 170

(bewegt den Stift über den Tisch) aber wenn ich das im Ganzen betrachte, würd 171

ich, bin ich in dem Moment so schnell. 172

Diese Szene soll unter den folgenden Gesichtspunkten betrachtet werden: Zunächst soll D’s

Wechsel der Sichtweise und die damit verbundene Meinungsänderung bzgl. der Existenz

der Momentangeschwindigkeit betrachtet werden. Damit zusammen hängen C’s

Redebeiträge, die eine stark ausgeprägte einbettende Sichtweise erkennen lassen. In

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 125

einem zweiten Abschnitt soll die Rolle des Versuchsleiters in dieser Szene betrachtet

werden.

D ändert seine

Meinung; isolie-

rende Sichtweise

D’s Wechsel der Sichtweise und C’s einbettende Sicht

Der VL liest inzwischen die Bearbeitung zu Aufgabenteil c) vor (vgl.

Abbildung 10): „Da der Fahrer um 16:00 Uhr eine bestimmte Geschwindig-

keit haben musste, gibt es auch eine Momentangeschwindigkeit.“ und

fragt

(Zl. 150): „Ja, wieso muss er das denn haben?“ Vergleicht man D’s Antwort

mit der Meinung, die er in Szene 1 vertreten hat, ist man erstaunt (Zl. 151):

„Aber.. Ja, eigentlich, Momentangeschwindigkeit gibt’s ja in dem Sinne ja

nicht...“ In Szene 1 hat er die gegenteilige Meinung vertreten. Er begrün

det

seine neue Einstellung so (Zl. 152): „...weil, eine Geschwindigkeit gibt es ja

immer erst dann, wenn man einen Weg zurücklegt.“

Hier erkennt man den zweiten Teil der für die isolierende Sichtweise typi-

sche Argumentation in der r-Welt. Dabei wird „keine Momentangeschwin-

digkeit haben“ mit „Momen

tangeschwindigkeit = 0“ identifiziert: Zu einem

Zeitpunkt legt man keinen Weg zu

rück. Wenn man keinen Weg zurücklegt,

hat man keine Momentangeschwindigkeit. (m-Welt-

Version: Da die lokale

Änderung gleich Null ist, gilt dies auch für die lokale Änderungsrate.)

Vielleicht liefert C den ersten Teil der Begründung, als sie di

rekt auf D’s

Argument antwortet (vgl. Zl. 154): „Eine Zeit, schon längst wieder vorbei.“

Gründe für D’s

Sichtweisen-

wechsel

Es stellt sich die Frage, ob man an dem Video erkennen kann, ob es eine

Stelle gibt, an dem D seinen Sichtweisenwechsel vornimmt. Der Wechsel

lässt sich aber nicht explizit ausmachen. Allerdings gibt es zwei

Stellen

zwischen den vorgestellten Szenen, die einen Anlass zum Sichtweisen-

wechsel bieten: Bei der Bearbeitung von Aufga

benteil d) zeichnet D eine

Treppenstufenfunktion, die verschiedene Durch

schnittsgeschwindigkeiten

in gewissen Zeiträumen angibt, vgl. Abbildung 11. Seine Zeichnung kom-

men

tiert er so (vgl. D’s Zitat im Abschnitt zu Aufgabenteil d)): „Jetzt können

wir diese so klein wie möglich machen dann bekämen wir eine immer ge-

nauere Durchschnittsgeschwindigkeit. Dann hätten wir einen Näherungs-

wert, der genau damit übereinstimmt.“ Hier formuliert D einen Grenzpro-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 126

zess, der damit endet, dass ein Näherungswert mit der Momentange-

schwindigkeit genau überein

stimmt. Etwas später sagt er, dass das „das

genau mög

lichste“ sei. Es scheint ihm klar zu sein, dass er nicht einfach

den Zeitpunkt in seine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit ein-

setzen kann, was zu der Idee führen kann, dass es die Momentange-

schwindigkeit nicht gibt, da man sie nicht berechnen kann. Die zweite Stel-

le schließt inhaltlich und auch im zeitlichen Ablauf direkt daran an: C

möchte eine Geschwindigkeit-Zeit-Funk

tion aufstellen, da man „16 Uhr

nicht in die Differenz einsetzen kann.“ Sie macht damit D’s Problem

explizit.

Bei der Bearbeitung von Aufgabenteil c) behauptet D, dass man die Mo-

mentangeschwindigkeit nicht berechnen kann. Aufgrund der beiden aufge-

führten Stellen des Aufgabenteils d) kann man vermuten, dass die Bemü-

hungen, eine Berechnungsmöglichkeit zu finden, zu dem Sichtweisen-

wechsel geführt haben.

Nun greift der Versuchsleiter C’s Bemerkung über die Zeit auf und fragt, ob

es zu einem Zeitpunkt eine Momentangeschwindigkeit geben kann, vgl. Zl.

155 - 156. Daraufhin wiederholt D seine Argumentation (Zl. 157 -

158): „Ich

glaub nicht, weil äh, eine Geschwindigkeit ergibt sich erst daraus, dass

man eine Strecke zurücklegt.“ Mit Bezug auf die Bearbeitung von

Aufgabenteil e) fragt dann der Versuchsleiter, was C und D denn ausge-

rechnet haben.

Für C gibt es die

Momentange-

schwindigkeit;

Jetzt schaltet sich C ins Gespräch ein, indem sie zunächst an D’s Argu-

mente aus der ersten Szene erinnert (Zl. 160 - 161): „Ja, aber in dem Mo-

ment ist er dann ja, in dem Moment wo er,.. zu dem Zeitpunkt hat er je

wisse Geschwindigkeit drauf. ...“ Dann fährt sie fort (Zl. 161): „Weg hat

er vielleicht zurückgelegt,“. Sie erkennt D’s Problem, dass es zu einem

Zeitpunkt keine Ortsänderung gibt. Ihre Vorstellung von dem sich bewe-

genden Radfahrer ist aber so mäc

htig, dass die lokale Ortsänderung keine

Rolle für sie spielt: Ob Weg zurückgelegt wurde? -

„Vielleicht“, vielleicht im

Sinne von „Ich will mich nicht festlegen.“ C braucht sich auch nicht fest-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 127

legen, denn sie kann die Frage des Versuchsleiters nach dem, was be-

rechnet wurde, beantwor

ten: Die Zahl, die ein Tacho anzeigen würde,

wurde berechnet, vgl. Zl. 162 - 163.

D ist verwirrt Auch D befindet sich nun im inneren Konflikt: Zu einem Zeit

punkt, zu dem

die Ortsänderung Null ist, kann es sehr wohl eine positive lokale Orts-

Änderungs-Rate geben, vgl. Zl. 164 und 167.

C’s Argumente;

Prototyp der ein-

bettenden Sicht-

weise

Wegen D’s Nuscheln fragt der Versuchsleiter noch einmal nach (Zl. 165):

„Ja ist es nun die Momentangeschwindigkeit oder nicht?“ C ist s

ich sicher

(Zl. 166): „Doch!“, D nicht (Zl. 167): „(nuschelt)

Ist es die,.. ja“ C versucht

in ihrer folgenden Argumentation auf das scheinbare Paradoxon einzuge-

hen. Zunächst zeigt sie D an, dass sie sein Problem verstanden hat (Zl.

168 - 179): „Weil ic

h ja in dem Moment, die genau diese Geschwindigkeit

(klopft mit einem Stift auf den Tisch und lässt die Stift

spitze auf einem

Punkt), zu diesem Zeit

punkt, ich habe in diesem Moment vielleicht keine

Strecke zurückgelegt,“. Nicht nur mit Worten, sondern au

ch mit der

Stiftspitze bedeutet sie einen Punkt bzw. Zeitpunkt. Die Formulierung „zu

diesem Zeit

punkt, ich habe in diesem Moment vielleicht keine Strecke

zurückgelegt“ zeigt noch einmal deutlich, dass sie D verstanden hat, dass

sein Argument für sie aber

keine Rolle spielt, denn, so fährt sie fort (Zl. 170

- 172): „(bewegt den Stift über den Tisch)

aber wenn ich das im Ganzen

betrachte, würd ich, bin ich in dem Moment so schnell.“ Mit neuen Worten

wiederholt sie D’s Argument aus der ersten Szene („Also, we

nn du Fahrrad

fährst, hast du ja immer ne Momentangeschwindigkeit.“. Auch diesen

Redebeitrag unterstreicht sie durch eine Geste: Wurde zur Verdeutlichung

eines Zeitpunkts (oder Orts) die Stiftspitze auf einer Stelle des Tisches

gelassen, fährt sie nun mit ihr über den Tisch, um eine Bewegung aufzu-

zeigen.

C’s Formulierung (Zl. 171 -

172) „aber wenn ich das im Ganzen betrachte,

[...]

, bin ich in dem Moment so schnell.“ kann als Prototyp der einbettenden

Sichtweise angesehen werden. Erst vor dem Hintergrund

einer Bewegung

über einem Zeitraum (als Ganzes) kann man sinnvoll von einer Momentan-

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 128

schwindigkeit zu einem Zeitpunkt denken und reden. Ihre ausgeprägte

einbettende Sichtweise scheint sie gegen das Grundparadoxon „immun“ zu

machen.

C und die

Denkwelten Besonders wichtig erscheint mir hier, dass es C gelingt, die beiden Denk-

welten in Einklang zu bringen: In der r-Welt gibt es Momentangeschwin-

digkeit, weil etwas, das sich bewegt, Momentangeschwindigkeit hat. Die

Momentangeschwindigkeit würde so

gar von einem Tacho angezeigt. In der

m-Welt kann sie mit Hilfe der Differenzialrechnung die lokale Änderungsra-

te der Orts-Zeit-Funktion berechnen. Dieser theoretisch ermittel

te Wert hat

aber eine Bedeutung in der Realität. Er muss mit der Tachoanzeige über-

einstimmen. D hat einen Sichtweisenwechsel zur isolierten Sichtweise hin-

ter sich. Er hat nun Probleme, den berechneten Wert zu deuten: In den

Zeilen 164 und 167 nuschelt er nur noch, was als Unsicher

heit gedeutet

werden kann, zumal

er gerade in eine Falle des Versuchsleiters getappt ist,

s.u. Man kann hier erkennen, dass es einen Zusammenhang zwi

schen der

Wahl der Sichtweise und dem Vermögen, der m-Welt Sinnhaftigkeit zuzu-

schreiben, gibt. Die einbettende Sichtweise ermöglicht es, r- und m-

Welt in

Einklang zu bringen, die isolierende verbietet es, oder erschwert es zumin-

dest deutlich.

Die Rolle des Versuchsleiters in dem Gespräch

Obwohl die Versuchsanordnung dieser Untersuchung eine klinische ist,

nimmt der Versuchsleit

er einen großen Einfluss auf die Schülerinnen und

Schüler. Sie wissen, dass der Versuchsleiter „von der Mathematik an der

Universität“ kommt und dass er eine mathematische Untersuchung vor hat.

Der VL beein-

flusst das Ge-

spräch

Wahrscheinlich b

eeinflusst dieses Wissen das Denken und Handeln der

Schülerinnen und Schüler, da sie vielleicht versuchen zu berück

sichtigen,

welche Erwartungen der Versuchsleiter an sie hat.

In dieser Szene nimmt der Versuchsleiter aber nachweislich deutlicher Ein-

luss. Zunächst greift er die schriftliche Antwort zu Aufgabenteil c) auf und

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 129

fordert eine weitere Begründung, vgl. Zl. 150. D’s Reaktion ist die Beto-

nung der isolierenden Sichtweise. C denkt an Zeitpunkte. Den Zeitpunkt

greift der Versuchsleiter wieder auf und fragt (Zl. 157 -

158): „Kann ich da

überhaupt eine Geschwindigkeit haben?“ Selbst wenn er das Wort „über-

haupt“ weggelassen hätte, kann sich D an dieser Stelle in seiner Meinung

nur bestärkt sehen. Die Formulierung mit dem „überhaupt“ fordert die Ant-

wort „Nein“ heraus. Der Versuchsleiter suggeriert, dass es keine Momen-

tangeschwindigkeit gibt.

Wie sich im Weiteren zeigt, kann diese Frage auch als das Aufstellen einer

Falle interpretiert werden, denn diese lässt der Versuchsleiter zuschnap-

pen,

wenn er weiter fragt (Zl. 159): „Ja, aber was hast du denn dann da

gerade ausgerechnet?“ Der Hinweis auf den berechneten Wert legt nahe,

dass der Versuchsleiter meint, es gäbe doch eine Momentangeschwin-

digkeit.

Die vierte Nachfrage durch den Versuchslei

ter kann in diesem Sinne als

neutral angesehen werden. C hat den berechneten Wert mit der Tachoan-

zeige in Verbindung gebracht, D befindet sich in dem inneren Konflikt. Der

Versuchsleiter wiederholt inhaltlich die letzte Frage und richtet sie wohl an

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 130

6. Ein Blick in Schulbücher

In diesem Abschnitt werden zunächst bei einigen Schulbüchern die Kapitel zur Einfüh-

rung in die Differenzialrechnung im Hinblick auf die isolierende und einbettende Sicht-

weise betrachtet. Anschließend werden aus den in dieser Arbeit gewonnenen Erkennt-

nissen Konsequenzen für die Schulpraxis gezogen.

Folgende Schulbücher wurden gesichtet (chronologische Reihenfolge der Veröffentli-

chung): [Athen/Griesel 1979], [Glaser/Scheid/Wellstein 1983], [Kroll 1985], [Schmid/

Schweizer 1990], [Hahn/Dzewas 1994], [Baumann 1998], [Griesel/Postel 1999].

6.1. Einstiege in die Differenzialrechnung

Einleitend kann festgehalten werden, dass das Sekanten-Tangentensteigungsproblem

in jedem Werk auftaucht. In allen Werken, bis auf [Schmid/Schweizer 1990] bildet die

Frage nach der Tangentensteigung den Einstieg in die Differenzialrechnung. Schmid

und Schweizer stellen die Frage nach der Momentangeschwindigkeit und visualisieren

die Situation anschließend sofort mittels des Graphs der Weg-Zeit-Funktion und mit

Tangenten. In einigen anderen Werken lassen sich Bewegungsaufgaben als

Anwendungen finden. Drei Konzepte lassen sich in den berücksichtigten Schulbüchern

ausmachen:

Konzept 1: Tangentensteigung ([Kroll 1985], [Hahn/Dzewas 1994], [Griesel/Postel

1999]):

Der aus der Mittelstufe bekannte Tangentenbegriff wird wiederholt und auf Kreise und

Parabeln angewendet, vgl. Abbildung 12. Die Frage nach der Steigung oder der

Richtung von beliebigen Kurven öffnet das eigentliche Problemfeld. Dass eine Kurve in

einem Punkt überhaupt eine Richtung hat, wird nicht in Frage gestellt, sondern voraus-

gesetzt:

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 131

„Bekanntlich spricht man auch bei krummlinigen Kurven von einer Richtung, etwa

wenn man sagt, daß man ‚eine bestimmte Richtung gerade eingeschlagen hat’ oder

daß man ‚in einer bestimmten Richtung im Augenblick fährt oder fliegt’.“ [...] Versucht

man, „in diesen Punkten die jeweilige Kurvenrichtung so genau wie möglich zu

bestimmen, so wird jeder vermutlich mit Hilfe eines Pfeils bzw. eines kleinen

Geradenstücks, das im betreffenden Punkt ansetzt, dem Kurvenverlauf möglichst gut

zu folgen suchen.“135

„Die Steigung eines Graphen verändert sich von Punkt zu Punkt.“136

Abbildung 12: Tangenten an Parabeln und Kreisen, [Griesel/Postel 1999], S. 146

Es wird also versucht, Intuitionen bezüglich der Eigenschaft „Steigung einer Kurve“ zu

unterstützen. Weiterhin werden diese Intuitionen genutzt, um die Existenz der Tangen-

tensteigung zu begründen. Es wird vorausgesetzt, dass Schülerinnen und Schüler

Kurven in jedem Punkt intuitiv eine Steigung bzw. Richtung zugestehen und sich somit

Tangenten in jedem Punkt vorstellen können.

Anschließend wird der Begriff der Tangente erweitert: Zunächst „darf“ eine Tangente

nun auch den Graphen schneiden (Standard-Beispiel: Der Graph von x

x3 an der

Stelle x = 0). Weiterhin wird die Eigenschaft „Tangente-sein“ als lokale Eigenschaft

gesehen (Eine Gerade kann an einer Stelle Tangente sein und den selben Graphen

an anderer Stelle schneiden.), vgl. Abbildung 13.

135 [Kroll 1985], S. 31

136 [Griesel/Postel 1999], S. 147

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 132

Der Wert der Ableitung einer Funktion an einer Stelle wird mit dem Wert der Tangen-

tensteigung identifiziert, vgl. Abbildung 14, untere Definition. Dann stellt sich die Frage

nach der Berechnung der Tangentensteigung. Dazu wird ein Grenzprozess der Sekan-

tensteigungen betrachtet. Ein „intuitiver Grenzwertbegriff“ hilft, den Wert zu bestim-

men. Zum formalen Grenzwertbegriff heißt es z.B.: „Im Anhang auf Seite 246 wird der

Begriff der Ableitung mithilfe von Folgen präzisiert.“137

Abbildung 13: Erweiterung des Tangentenbegriffs, [Griesel/Postel 1999], S. 148

Abbildung 14: Der Zusammenhang von Ableitung und Tangentensteigung,

[Hahn/Dzewas 1994], S. 136

137 [Griesel/Postel 1999], S. 152

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 133

Zu Verwirrung kann es bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn (wie z.B. bei

Hahn und Dzewas) zunächst die Tangente, bzw. ihre Steigung mit Hilfe des Werts der

Ableitung definiert wird, wobei die Ableitung (intuitiv) als Steigung des Graphs in einem

Punkt eingeführt wurde, dann aber die Steigung des Graphs wiederum mit Hilfe der

Tangentensteigung erklärt wird, vgl. Abbildung 14. Der Unterschied zwischen einer

Definition und der Beschreibung einer Intuition muss klar herausgearbeitet werden.

Ähnlich, wie die r-Welt-Vorstellungen die Existenz der Momentangeschwindigkeit si-

chern, werden hier Eigenschaften einer intuitiv immer vorhandenen Tangente bemüht.

Dass aber Schülerinnen und Schüler aufgrund einer isolierenden Sichtweise Probleme

mit dem Tangentenbegriff haben können, bleibt unberücksichtigt. Es wird davon

ausgegangen, dass die Schülerinnen und Schüler wie für die Momentange-

schwindigkeit auch einen Wert für die Tangentensteigung erwarten und berechnen.

Konzept 2: Lückenwert ([Athen/Griesel 1978], [Glaser/Scheid/Wellstein 1983]):

In beiden Lehrwerken findet man ausführliche Kapitel zu den Themen Grenzwerte von

Folgen und Funktionen. Athen und Griesel führen der Wert der Tangentensteigung als

Lückenwert der Sekantensteigungsfunktion, also der Differenzenquotientenfunktionen

ein, vgl. Abbildung 16. Der Grenzwert wird als Lückenwert an der besagten Stelle

gesehen. Glaser, Scheid und Wellstein definieren den Grenzwert von stetigen

Funktionen als Lückenwert schon im Kapitel „Stetigkeit“, vgl. Abbildung 15.

Abbildung 15: Der Grenzwert stetiger Funktionen als Lückenwert,

[Glaser/Scheid/Wellstein 1983], S. 30

Die Formulierung „benachbarte Stellen“ (vgl. Abbildung 15) kann jedoch höchstens auf

einer intuitive Ebene genutzt werden: Schülerinnen und Schüler kennen benachbarte

Zahlen aus der Grundschule bezüglich der natürlichen Zahlen. 4 und 6 sind die

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 134

Nachbarn der Zahl 5. andererseits haben sie gelernt, dass zwischen zwei verschiede-

nen rationalen Zahlen immer eine weitere rationale Zahl liegt, man also in dieser

Zahlenmenge und allen, die diese enthalten, nicht mehr von Nachbarschaft reden

kann.

Abbildung 16: Der Wert der

Tangentensteigung als Lückenwert,

[Athen/Griesel 1978], S. 118

Die Idee des Lückenwerts habe ich ebenfalls in Kapitel 4.2 entwickelt. Im Vergleich zu

den rein innermathematischen Darstellungen in den Schulbüchern spielt bei mir jedoch

die r-Welt für die Ausbildung notwendiger Intuitionen eine wichtige Rolle.

Konzept 3: Momentangeschwindigkeit ([Schmid/Schweizer 1990]):

Auch in diesem Schulbuch gehen der Differenzialrechnung Kapitel über Grenzwerte

bei Folgen und Reihen voran. Als Einstiegsproblem in die Differenzialrechnung wird

nach der Momentangeschwindigkeit einer Kugel, die eine schiefe Ebene hinunter läuft,

gefragt. Die Frage, ob es für die Schülerinnen und Schüler so etwas wie eine Momen-

tangeschwindigkeit gibt, wird nicht diskutiert. Offensichtlich wird diese Einsicht in die

Existenz der Momentangeschwindigkeit bei den Schülerinnen und Schülern als

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 135

gegeben vorausgesetzt. Der Wert der gesuchten Momentangeschwindigkeit wurde

jedoch zuvor mit dem Tachostand eines Autos in Verbindung gebracht. Dann wird der

Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeiten-Funktion berechnet.

Abbildung 17: Der Wert der Ableitung als Momentangeschwindigkeit,

[Schmid/Schweizer 1990], S. 83

Das Buch von Baumann ist kein Unterrichtswerk im Sinne eines Lehrbuchs. Der Unter-

titel heißt „Ein Arbeitsbuch mit Derive“. Der Autor stellt einen Vorschlag vor, wie das

CAS Derive in den Analysisunterricht durchgängig eingebunden werden kann. Auf

dieses Buch wird in Kapitel 6.2 eingegangen.

Beachtet man die Erscheinungsdaten der Schulbücher, kann man folgendes erken-

nen: Je weiter die „Strengewelle“ der 70er Jahre zurückliegt, desto weniger wird auf

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 136

einen formalen Grenzwertbegriff Wert gelegt. Als Beispiel für diese Entwicklung

können die Schulbücher [Griesel/Postel 1988] und [Griesel/Postel 1999] gesehen

werden: Die Unterrichtseinheiten über Folgen, Reihen und ihre Grenzwerte sowie

Stetigkeit stellen in dem Werk von 1988 eigenständige Kapitel dar, die sich im Buch an

den Stellen einordnen, die der kanonische Aufbau der Analysis nahe legt. In dem

Schulbuch von 1999 wird das Kapitel über Folgen, Reihen und Grenzwerte in den

Anhang verdrängt, Stetigkeit wird gar nicht mehr behandelt.

6.2. Sichtweisen und Denkwelten in den Schulbüchern

Die Rolle der r-Welt übernimmt in den hier betrachteten Büchern zumeist die g-Welt

der Kurven und Funktionsgraphen. Intuitionen über die Eigenschaft „Steigung“ in die-

ser Welt werden durchaus angesprochen. Ohne dass ein der einbettenden Sichtweise

entsprechender Begriff verwendet wird, soll durch die Intuitionen die Existenz der loka-

len Steigung einer Kurve gesichert werden.

Klar ist, dass man in jedem Schulbuch Formulierungen und Visualisierungen finden

kann, die als einbettende Sichtweise interpretiert werden können. Das ist im Wesen

der betrachteten Mathematik begründet. Beispiele dafür sind folgende, schulbuch-

präzise Formulierungen: „Kurvenrichtung“ (Es heißt richtigerweise nicht „Punktrich-

tung“), „Steigung des Funktionsgraphs“, „Steigung des Graphs in einem Punkt“,

„Steigung der Tangenten am Graphen“ 138. Stets wird die Kurve als Referenz betont.

Auf die isolierende Sichtweise und die damit verbundenen Probleme wird in nur einem

der betrachteten Werke eingegangen. Baumann problematisiert sie mit Hilfe der

„Steigung eines Punktes“. Die fiktive Schülerin Mathilde erklärt dem ebenso fiktiven

Schüler Nikolaus, was unter der „Grenzlage der Sekante“ zu verstehen ist:

„Nikolaus und Mathilde führen anlässlich der Tangentendefinition folgendes

Gespräch:

• Nikolaus: Heute haben wir „Tangente“ als „Grenzlage von Sekanten“ definiert,

aber ich raff‘ das irgendwie nicht.

138 [Athen/Griesel 1979], Kap. 9.1; [Kroll 1985], S. 32; [Kroll 1985], S. 33; [Griesel/Postel 1999], S. 147

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 137

• Mathilde: Was verstehst du denn nicht?

• Nikolaus: Ja ... - solange Q mit P nicht zusammenfällt, ist die Sekante keine

Tangente. Sobald aber Q wirklich „in P hineingerückt“ ist, wie Lehrer Höfler

sich auszudrücken liebt, gibt es keine zwei Punkte mehr - dann gibt es aber

auch keine Richtung mehr!

• Mathilde: Willst Du damit sagen, dass die Richtung der Tangente unbestimmt

ist?

• Nikolaus (zögernd): Ja ... wenn nur noch ein Punkt P da ist, kann man durch ihn

Geraden in beliebiger Richtung zeichnen ... -

• Mathilde: - ... die alle Anspruch darauf erheben könnten, aus jenen Sekanten

hervorgegangen zu sein. Das wolltest du doch sagen?

• Nikolaus: Ja, genau ... - die sich also alle mit gleichem Recht „Tangente“ nen-

nen dürften.

• Mathilde: Du hättest recht, wenn es nur darauf ankäme, dass aus P und Q der

eine Punkt P entsteht.

• Nikolaus: Freut mich, dass ich recht hätte ...

• Mathilde: Aber darauf kommt‘s eben nicht an!

• Nikolaus: Schade! Worauf kommt’s denn an?

• Mathilde: Es kommt darauf an, wie der Nachbarpunkt Q an P heranrückt!

• Nikolaus: Aha ... -?-

• Mathilde: Q rückt doch wohl nicht beliebig an P heran - oder?

• Nikolaus: Nee - beliebig wohl nicht ... -

Ü1: Auf welche Weise rückt Q an P heran? (Rekapitulieren Sie die Arbeitsaufträ-

ge 2 und 3.)

• Mathilde: Richtig, durch stetige Führung längs des Kurvenbogens PQ.

• Nikolaus: „Stetige Führung“ ... - klingt gut - aber was heißt denn das?

• Mathilde: Pass‘ aus. Wie zeichnest du von Hand eine Tangente an einen Kreis

im Punkt P?

• Nikolaus: Ich nehme das Lineal und lasse die Linealkante durch P gehen.

• Mathilde: Vermutlich wird sie zuerst den Kreis in einem weiteren Punkt

schneiden?

• Nikolaus: Kann sein. Solange dies der Fall ist, drehe ich das Lineal, bis... -

• Mathilde: - ... bis beide Schnittpunkte mit dem Auge nicht mehr zu

unterscheiden sind.

• Nikolaus: Dann mache ich Halt.

• Mathilde: Dieses Haltmachen in der Drehung aber ist etwas ganz anderes, als

wenn Du gesagt hättest: ich will nur den Punkt P!

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 138

• Nikolaus: Mit diesem „Haltmachen in der Drehung“ ist die Tangente also

festgelegt?

• Mathilde: Richtig. Ihr habt es (in der Schule) als „Grenzlage“ bezeichnet,

• Nikolaus: So ist das also - na schön ...“139

Hier tritt die isolierende Sichtweise in dem Gewand „Steigung eines Punktes“ auf. Die

Einbettung soll durch die „stetige Führung“ des Lineals an der Kurve stattfinden. Es

bleibt festzuhalten, dass die Phänomen-Ebene nicht verlassen wird, das heißt, dass

beide Sichtweisen in einer Einkleidung aufgeführt, aber selber nicht thematisiert wer-

den. Im folgenden Kapitel wird begründet, warum sie thematisiert werden sollten.

6.3. Konsequenzen für die Schulpraxis

In den in Kap. 5 vorgestellten Transkripten zeigen Katharina und David folgendes Phä-

nomen: Bei der ersten Bearbeitung des Aufgabenteils c) nutzen sie spontan die ein-

bettende Sichtweise. In den Interpretationen habe ich das den „naiven Geschwindig-

keitsbegriff“ genannt. Auf ähnlich naiven Vorstellungen von Steigung und Geschwin-

digkeit bauen offensichtlich auch die Schulbücher auf. Aufgrund der Aufgabenstellung

dieser Untersuchung und durch das Gespräch mit dem Versuchsleiter findet ein inten-

sives Nachdenken über den Geschwindigkeitsbegriff statt. Das führt bei Katharina und

David in das Grundparadoxon, den inneren Konflikt zwischen zwei logischen Argu-

mentationsmustern in den beiden Sichtweisen. Es ist offensichtlich die Aufgabe, die

die Schülerinnen und Schüler in diese Verwirrung stürzt. In den Schulbüchern (abge-

sehen von [Baumann 1998]) wird versucht, die isolierende Sichtweise gar nicht erst

aufkommen zu lassen.

Die Sichtweisen – Ein Thema für den Unterricht?

Es stellen sich folgende Fragen: Sollten die Sichtweisen als Phänomene in der Schul-

praxis thematisiert werden? Sollten Schülerinnen und Schüler zeitweilig auch die

isolierende Sichtweise kennen lernen, was unweigerlich mit einer zeitweiligen Ver-

139 [Baumann 1998], S. 137 - 138

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 139

wirrung durch den Konflikt zwischen den Sichtweisen einher ginge? Ist dieser ein not-

wendiges geistiges Hindernis oder eine Denkhürde140, die bei der Erarbeitung des

Grenzwertbegriffs genommen werden muss? Sollen die Sichtweisen auf einer Meta-

ebene selber im Unterricht auftauchen, und wenn ja, wann?

Meiner Meinung nach sollte auf eine Diskussion der Sichtweisen auf der Phänomen-

und der Metaebene im Unterricht nicht verzichtet werden. Gründe dafür sind:

(1) Die isolierende Sichtweise tritt auf:

Nicht nur in den ausführlich besprochenen Transkripten legen Schülerinnen und Schü-

ler die isolierende Sichtweise an den Tag. Sie ist ein uraltes Phänomen: Man kann

verschiedene Paradoxien auf die isolierende Sichtweise zurückführen, vgl. 4.5 und

5.1. Auch Newton warnt davor, Zähler- und Nenner des Differenzenquotienten

getrennt zu betrachten, was für die isolierende Sichtweise typisch ist. Er muss gegen

den Einwand argumentieren, dass es kein letztes Verhältnis gibt, da es keine letzten

Größen gibt, vgl. 1.2. Beide Sichtweisen, die isolierende und die einbettende, scheinen

dem menschlichen Denken nahe zu liegen. Selbst wenn man die isolierende Sicht-

weise im Unterricht vermeidet, muss man damit rechnen, dass aufmerksame

Schülerinnen und Schüler sie z.B. im Rahmen von Hausaufgaben selbständig ent-

wickeln. Auch die im Unterricht unvermeidlichen Wortfaulheiten können die isolierende

Sicht betonen und den Konflikt auslösen: Aus „Steigung des Graphs in einem Punkt“

über „Steigung in einem Punkt“ wird z.B. schnell „Steigung des Punkts“.

Die isolierende Sichtweise kann also meines Erachtens nicht vermieden und sollte

daher nicht ignoriert werden. Daher sollten Lehrpersonen in der Lage sein, sie zu

erkennen, um angemessen reagieren zu können. Auch Schülerinnen und Schüler soll-

ten die beiden Sichtweisen erkennen können, wenn der verständige Umgang mit

Mathematik ein Ziel des Mathematikunterrichts sein soll. Denn wenn die Sichtweisen

nicht nur als Phänomene auftreten, sondern mit eigenen Namen als Begriffe expliziert

werden, können die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, auf einer Metaebene

über die Phänomene nachzudenken. Dann wiederum können sie bewusst die

einbettende Sichtweise einnehmen.

140 Zu den Begriffen „geistiges Hindernis“ und „Denkhürde“ vgl. z.B. [vom Hofe 1998] und [Sierpinska

1992], aber auch [Hefendehl-Hebeker 1989]; der Begriff „geistiges Hindernis“ geht auf [Brousseau 1983]

zurück.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 140

(2) Zusammenhänge zwischen r- und m-Welt

(2a) adäquate Vorstellungen:

Auch unabhängig von Mathematik ist die Idee, dass es positive lokale Änderungsraten

gibt, auch wenn keine lokale Änderung stattfindet, Teil eines möglichen Weltbildes,

das von heute akzeptierten physikalischen Vorstellungen (nicht-relativistisch, nicht-

quantenphysikalisch) getragen wird und zur Wahrnehmung alltäglicher Bewegungs-

vorgänge passt. Dafür ist die einbettende Sichtweise notwendig: Man muss einen Vor-

gang an einer Stelle beobachten, ohne ihn als Ganzes aus den Augen zu verlieren.

Auch die Frage nach der jeweiligen Bedeutung der lokale Änderungsrate gehört zur

Erschließung der Lebensumwelt: Welche Bedeutung hat der Lückenwert der Durch-

schnittswerte-Funktion (Differenzenquotientenfunktion) in dieser Situation? Wie genau

ist der Lückenwert? – Durch die Analyse mit Hilfe der Sichtweisen erhoffe ich mir eine

Vertiefung des Verständnisses des Zusammenhangs von r-Welt und dem zugehörigen

Modell in der m-Welt, der Differenzialrechnung, bei den Schülerinnen und Schülern.

Falls diese später überhaupt noch einmal in einen Konflikt geraten sollten, können sie

sich aufgrund des Metawissens selber fragen, welcher Sichtweise welche ihrer Argu-

mente zugehören, und welche Sichtweise der betrachteten außermathematischen Si-

tuation angemessen ist.

(2b) Bedeutung von Vorstellungen:

Von der Kenntnis der Sichtweisen erhoffe ich mir eine Verbesserung der Vorstellungen

in beiden Denkwelten mit den beschriebenen Vorteilen für Schülerinnen und Schüler.

Mit einer „verbesserten Vorstellung“ in der m-Welt ist insbesondere nicht eine formale

Grenzwertdefinition gemeint. Würde man die hier gestellte Aufgabe für einen Einstieg

in die Differenzialrechnung verwenden, so würde man durch die dadurch angeregten

Überlegungen auch keine formale Grenzwertdefinition gewinnen. Über die Bedeutung

einer tragfähigen Vorstellung sagt vom Hofe:

„Nach heutigem Wissensstand sind - wie insbesondere Fischbein in zahlreichen

Untersuchungen gezeigt hat - mathematische Problemlöseprozesse, auch auf höhe-

rem Niveau, stets mit intuitiven Vorstellungen und Begleitannahmen verbunden, die

den Lösungsweg mehr oder weniger unbewußt beeinflussen. Insofern gibt es kein

Denken ohne Vorstellungen. Im günstigen Falle können solche Vorstellungen

mathematisches Denken positiv beeinflussen. Sie können jedoch auch [...] in die Irre

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 141

führen, wenn sich Fehlvorstellungen zu unbewußt wirksamen „tacit models“

verfestigen. Es stellt sich daher die Frage, wie man mit diesem intuitiven Bereich um-

geht, ob man etwa annimmt, daß sich adäquate Vorstellungen bei einem angemes-

senen formalen Umgang mit Mathematik von selbst einstellen, oder ob man die

Ausbildung adäquater Vorstellungen bewußt begleitet und fördert.

Vieles spricht dafür, sich gründlicher als bisher mit der Entwicklung des intuitiven Be-

reichs zu befassen.“141

Eine Vertiefung des Verständnisses des im Lehrplan geforderten „anschaulichen

Grenzwertbegriffs“142 kann meines Erachtens durch die Thematisierung der Sichtwei-

sen erreicht werden.

(2c) Das Bild von Mathematik:

Die Differenzialrechnung ist ein schönes Beispiel dafür, wie aus außermathematischen

Situationen Mathematik entstehen kann, wie eine Alltagssituation Eigenschaften

mathematischer Objekte und Eigenschaften nahe legt. Da Schülerinnen und Schüler

die Mathematik oft als die Disziplin ewiger, festgeschriebener Wahrheiten sehen, als

Formelgebäude ohne Bedeutung, müssen sie die r-Welt „verbiegen“. Z.B. bei der

Rückinterpretation eines Rechenergebnisses einer Anwendungsaufgabe kann man

gelegentlich beobachten, dass Schülerinnen und Schüler Vorstellungen von der r-Welt

„verbiegen“, damit ein Rechenergebnis „passt“. Nur selten wird in Frage gestellt, ob

die verwendete Mathematik problemangemessen war, oder ob ein Rechenfehler

vorliegt. – Auch in dieser Untersuchung tritt dieses „Verbiegen“ auf: Fast alle

Schülerinnen und Schüler sind zunächst der Meinung, dass es Momentangeschwin-

digkeit gibt („naiver Geschwindigkeitsbegriff, vgl. 5. Szene in Kap. 5.1). Im Laufe der

Bearbeitung kommen sie gelegentlich zum Schluss, dass es sie doch nicht gibt, weil

sie diese nicht berechnen können. In diesem Sinn wird dann die m-Welt über die r-

Welt gestellt. Dominiert jedoch die r-Welt, wird das Verbiegen unterbunden: „Es gibt

eine Momentangeschwindigkeit, aber wir können sie nicht ermitteln.“143

Die Erschließung von Mathematik aus außermathematischen Problemen entspricht

der in Kapitel 1.1 zitierten Forderung Freudenthals. Hier kann ein Bild von Mathematik

entstehen, das sie nicht als starres Gebäude aus feststehenden Regeln und Formeln

141 [vom Hofe 1995b], S. 42

142 [NRW 1999], S. 16

143 [10; 111 - 112]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 142

darstellt. Die Mathematik kann als vom Menschen geschaffenes Gedankengebäude

verstanden werden, das u.a. Werkzeuge zur Problemlösung bereit stellt.

Die Sichtweisen im Unterricht – ein Vorschlag

Es bleibt die Gretchen-Frage, wie die Sichtweisen im Mathematikunterricht berücksich-

tigt werden könnten. In diesem Absatz möchte ich einige Ideen vorstellen.

Wenn die Sichtweisen beim Erwerb eines intuitiven Grenzwertbegriff helfen sollen,

müssen sie recht früh in einer Unterrichtseinheit „Differenzialrechnung“ auftauchen.

Wie oben angedeutet, könnte ich mir vorstellen, die Jan-Ullrich-Aufgabe aus meiner

Untersuchung zu Beginn der Unterrichtsreihe bearbeiten zu lassen. Das könnte z.B. in

einer Partnerarbeitsphase geschehen. Meine Erfahrungen lassen mich erwarten, dass

die Sichtweisen in Form der in meiner Arbeit beschriebenen Phänomene auftauchen.

Beim Vergleich der Arbeitsergebnisse zum Teil c) der Jan-Ullrich-Aufgabe sollten also

Argumentationen für und gegen die Existenz der Momentangeschwindigkeit aufeinan-

derprallen. Sind die Positionen auf der Phänomenebene bekannt, könnte sich eine

zweite Einzel- oder Partnerarbeitsphase anschließen, in der alle Schülerinnen und

Schüler Argumente für beide Positionen erarbeiten. Dadurch könnte man eine weitere

intensive Auseinandersetzung mit den Positionen erreichen.

Beim anschließenden Sammeln der Argumente kann eine Sortierung nach den Krite-

rien „Momentangeschwindigkeit gibt es.“ bzw. „Momentangeschwindigkeit gibt es

nicht“, vorgenommen werden. Je nach Diskussionskompetenz und -freudigkeit des

Kurses könnte die Phase des Sammelns der Argumente verschieden ablaufen:

• Die Lehrperson behält die Diskussionsleitung und sammelt die Argumente.

• Je eine Vertreterin bzw. ein Vertreter der beiden Positionen treten an die Tafel und

sammeln Argumente ihrer Mitschülerinnen und -schüler für ihre bzw. seine Position.

• Die Einzel- oder Partnerarbeitsphase kann auch mit der Sammelphase zusammen-

fallen, wenn die Schülerinnen und Schüler ihre Argumente sofort und zunächst

kommentarlos an die Tafel schreiben. Der Tafelanschrieb ermöglicht es den anderen

Teilnehmerinnen und Teilnehmer des Kurses, in Ruhe auf die neuen Argumente

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 143

einzugehen. Auch dadurch kann vielleicht erreicht werden, dass sich die Schülerin-

nen und Schüler intensiv mit den Positionen auseinandersetzen.

• In einem schwachen Grundkurs könnten Argumentationsanstätze durch die Lehrerin

bzw. den Lehrer vorgegeben werden, die zu ergänzen sind. Eine weitere Er-

leichterung könnte eine Sammlung möglicher Argumentationsstränge sein, die

lediglich noch den Positionen zuzuordnen wären.

Anhand der Sammlung der Argumente können im späteren Verlauf die Eigenschaften

der Sichtweisen abstrahiert werden. Wahrscheinlich kann der Abstraktionsprozess er-

leichtert werden, wenn eine große Anzahl von Argumenten für beide Positionen zur

Verfügung steht. Da die Sichtweisen unabhängig von der Einkleidung der Situation

auftreten, könnten die Positionen z.B. auch anhand der Frage, ob eine Kurve an einer

Stelle eine Steigung hat, diskutiert werden. In Kasten 1 ist die zur Untersuchungs-

aufgabe entsprechende „Steigungs“-Version der Aufgabe notiert. Natürlich müssten

die Teilaufgaben wie in dieser Untersuchung nach und nach aufgedeckt werden, damit

Aufgabenteil c) sinnvoll bleibt. Aufgrund der außermathematischen Situation in der

Jan-Ullrich-Aufgabe der Untersuchung konnte das von mir als positiv empfundene

Spannungsverhältnis zwischen den Denkwelten erzeugt werden, vgl. Kapitel 2.1. Die

„Steigungs“-Version ist innermathematisch. Die g-Welt ist ein Teil der m-Welt. Ob mit

der „Steigungs“-Version der Aufgabe das besagte Spannungsverhältnis aufgebaut

werden kann, bezweifle ich. Will man dennoch an dem Steigungsgedanken festhalten,

bietet sich die Idee einer Höhe-Zeit-Funktion eines Flugzeugs während eines Flugs an.

Verbindet man die Steigung des Funktionsgraphs mit der Steigung des Flugzeugs und

diese wiederum mit der Richtung der Längsachse des Flugzeugs (als Gerade), ist die

Frage nach der Steigung des Graphs in einem Punkt fast trivial: Natürlich hat das

Flugzeug zu jedem Zeitpunkt einen Steigung, die der Steigung der besagten Geraden

entspricht. Die Frage nach der Steigung kann unabhängig von der Tatsache, dass die

lokale Höhen-Änderung Null ist, beantwortet werden. Wie bei der Bewegungsaufgabe

trennt man sich von Überlegungen bezüglich der lokalen Änderung der

Funktionswerte, die der isolierenden Sichtweise zugeschrieben werden können. Die

Vorstellung vom Flugzeug erleichtert diese Trennung. Genauso, wie man bei der

Bewegungsaufgabe intuitiv von der Existenz einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion aus-

geht, hilft die Vorstellung vom Flugzeug, ebenso die Existenz der Steigungsfunktion

(des Flugzeugs sowie bzgl. des Graphs der Höhe-Zeit-Funktion) zu akzeptieren.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 144

Kasten 1: Die Aufgabe im Gewand „Steigung einer Kurve an einer Stelle“

Natürlich kann auch die bekannte „Badewannen-Aufgabe“ herangezogen werden, bei

der nach Wasser-Zulauf- und -ablaufgeschwindigkeiten gefragt wird. Eine Sammlung

von Situationen für die sich entsprechende Aufgaben formulieren lassen, findet man in

[Blum/Törner 1983, S. 92].

Die Sammlung von Argumenten zu den beiden Positionen anhand verschiedener Si-

tuationen (Momentangeschwindigkeit, Kurvensteigung an einer Stelle, Zuflussge-

schwindigkeiten,...) kann aufzeigen, dass die Positionen unabhängig von den Phäno-

menen in den verschiedenen Situationen auftreten. Die Frage nach den von den kon-

kreten Situationen unabhängigen Ausprägungen der Positionen leitet den Abstrak-

tionsprozess von den Phänomenen zu den Sichtweisen ein. Die Schülerinnen und

Schüler haben die Aufgabe, nach den von den konkreten Situationen unabhängigen

Eigenschaften (das Eingebettet- und Voneinander-isoliert-Sehen) der Positionen zu

suchen und zu benennen. Ein Schritt der Abstraktion besteht darin, dass den Positio-

Aufgabe:

Folgende Aufgabe besteht aus fünf Teilaufgaben. Jede Teilaufgabe soll schriftlich

bearbeitet werden.

a) Gegeben ist eine Funktion f mit 5)t10(t28

)t(f

−

= für t ∈ [0 ; 5].

Folgende Wertetabelle gibt einige Funktionswerte an:

t 0.5 1 1.5 2

f(t) 26.6 50.4 71.4 89.6

Berechne den Funktionswert für t = 3.

b) Nun sollen einige Durchschnittsteigungen des Funktionsgraphs von f bezüglich der

Stelle t = 3 berechnet werden. Berechne die Durchschnittssteigungen zwischen 0 und 3,

zwischen 0.5 und 3, zwischen 1 und 3, 1.5 und 3, 2 und 3, 2.5 und 3.

c) Bisher war immer von Durchschnittssteigung die Rede. Gibt es auch so etwas wie eine

Steigung an der Stelle t = 2? Begründe!

d) Wie kannst Du möglichst genau die Steigung an einer Stelle berechnen?

e) Überlege, ob und wie Du mit Deiner Methode die Steigung an einer Stelle ganz genau

berechnen kannst.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 145

nen Namen gegeben werden, etwa „isolierende“ und „einbettende Sichtweise“. An-

schließend sollten weitere Übungen durchgeführt werden, z.B. die Umkehrung der

Denkrichtung: Man könnte von verschiedenen Situationen ausgehend die Sichtweisen

unter der Fragestellung betrachten: Isolierend bzw. oder einbettend Sehen bedeutet in

dieser Situation...

Es schließt sich die Frage an, welche Sichtweise zu bevorzugen ist. Wie in Kapitel 4

beschrieben, sollte die einbettende Sichtweise betont werden: Sie liegt dem Denken

der Schülerinnen und Schüler nahe (vgl. Kapitel 4.1); Sie kann bei der Ermittlung des

Grenzwerts helfen (vgl. Kapitel 4.2); Sie ist aus mathematischer Sicht akzeptabel (vgl.

Kapitel 4.5). Diese Frage wird also durch diese Arbeit beantwortet, und nicht von den

Schülerinnen und Schülern, die weder Maßtheorie noch Ergebnisse der Mathe-

matikdidaktik kennen. Die Entscheidung für die einbettende Sichtweise als die besser

passende kann durch die Lehrperson durch folgende Argumente vor dem Kurs ver-

treten werden: „Wenn man zu keinem Zeitpunkt Geschwindigkeit hätte, würde man

sich überhaupt nicht bewegen, da man ja nie Geschwindigkeit hätte, auch über einem

Zeitraum nicht.“144 Da aber Bewegungen über Zeiträume stattfinden, muss es auch zu

den Zeitpunkten eine Geschwindigkeit geben, obwohl zu einem Zeitpunkt keine

Bewegung möglich ist. – Zenons Pfeil fliegt und wird ankommen, das ist eine

Alltagserfahrung. Es wird niemanden geben, der sich freiwillig als Zielscheibe für den

Pfeil zur Verfügung stellt, und das, obwohl der Pfeil zu keinem Zeitpunkt einen Weg

zurücklegt. – Jan Ullrich wird vom Start bis in das Ziel fahren, auch er wird ankommen.

– Eine Kurve hat in jedem Punkt eine Richtung: Hinterlässt ein Bus (ohne Gelenk in

der Mitte) eine Reifenspur, kann die Richtung in jedem Punkt der Spur mit der

Richtung der Längsachse des Busses an jeder Stelle identifiziert werden. Das alles

sind keine Beweise für die Existenz lokaler Änderungsraten in verschiedenen Situatio-

nen. Aber sie lassen sie höchst plausibel erscheinen. Darauf stützt sich die Ent-

scheidung, dass die einbettende Sichtweise die für die Beschreibung der Alltagswelt in

der r-Welt adäquat ist.

Zuletzt bleibt die Frage, wie man eine lokale Änderungsrate berechnen kann, die Fra-

ge nach einem Kalkül, der die gängigen Konvention berücksichtigt. Aufgrund der

144 Hier zeigt sich wieder das Grundparadoxon „Zusammensetzen von kontinuierlichen aus diskreten

Größen“, vgl. Kap. 4.5.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 146

Aufgabenteile d) und e) werden wahrscheinlich einige der Schülerinnen und Schüler

auf die Idee des Grenzprozesses gestoßen sein. Diese Idee kann nun aufgenommen

werden. Fast automatisch stellt sich die Frage, „wie genau“ er ist. Nun können die

Schülerinnen und Schüler die erarbeiteten Sichtweisen nutzen, um sowohl die

Bedeutung des Grenzwerts als Wert der Momentangeschwindigkeit zu erkennen, als

auch dessen Exaktheit, vgl. Kapitel 4.2.

Der Mathematikunterricht sollte meiner Meinung nach ermöglichen, Mathematik nicht

als „vom Himmel gefallene“ Wahrheit zu erleben, sondern als vom Menschen günstig

gewähltes und ausgehandeltes Gedankengebäude. Hier liegt ein dazu geeignetes Bei-

spiel vor.

Die Sichtweisen – zu schwer für den Unterricht?

Der Grenzwertbegriff stellt vielleicht den anspruchvollsten Begriff der Oberstufen-

mathematik dar. Gelegentlich wird die Frage gestellt, ob die Begriffe der Infinitesimal-

rechung für die durchschnittliche Schülerin bzw. den durchschnittlichen Schüler unter

den üblichen Unterrichtsbedingungen nicht zu schwierig sei145. Wenn man diese Frage

für sich positiv beantwortet, muss man sich weiter fragen, ob die Hinzunahme der

Sichtweisen als eigene Begriffe statt zu einer Klärung des Grenzwertbegriffs zu einer

(zusätzlichen) Überforderung führt.

An der vorliegenden Untersuchung haben Schülerinnen und Schüler der Jahrgangs-

stufen 10 und 12 teilgenommen. Die Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 12

besuchten Mathematik-Grund- und -Leistungskurse. Ihre Leistungen im Unterricht

erstreckten sich von „mangelhaft“ im Grundkurs bis „sehr gut“ im Leistungskurs. – Die

Transkripte zeigen, dass alle Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, die

Phänomene, die zu den Sichtweisen führen können, auf eben der Phänomenebene zu

diskutieren. Aus meiner Sicht unterscheidet sich das Niveau der Diskussion auf der

Jahrgangsstufe 10 kaum von dem auf der Jahrgangsstufe 12. Man kann also

erwarten, dass im Unterricht eine Sammlung von Argumenten für beide Sichtweisen

auf der Phänomenebene erstellt werden kann. Weitere Prognosen lassen sich auf-

grund der Transkripte nicht aufstellen: In meiner Untersuchung endete die Partner-

145 vgl. [Bender 1991b]

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 147

arbeitsphase oft mit dem in Kapitel 5.1 beschriebenen inneren Konflikt. Das an-

schließende Gespräch mit dem Versuchsleiter kann nicht als eine Art Unterrichts-

gespräch aufgefasst werden und daher nicht weiterhelfen, und das schon deswegen,

weil zum Zeitpunkt der Gespräche die Sichtweisen beim Versuchsleiter noch nicht

ausgeschärft waren146, er also keine Hilfen, die auf den Sichtweisen basieren, hat

anbieten können. Es werden wohl Unterrichtsversuche benötigt, damit die Aus-

wirkungen der Sichtweisen auf die Begriffsbildung im Analysisunterricht eingeschätzt

werden können.

146 Sie entstanden schließlich erst als Deutungshypothesen bei der Interpretation der Transkripte, vgl.

Kapitel 2.3.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 148

7. Schlussbemerkung

Bei meiner Arbeit waren mir drei grundlegende Gesichtspunkte wichtig:

• Die Schulpraxis betreffend: Die Kategorien der einbettenden und der isolierenden

Sichtweise macht einen besonderen inhaltlichen Aspekt des Denkens in funktio-

nalen Abhängigkeiten zugänglich. Sie liefern damit sowohl ein Instrument zur Ana-

lyse von Schülerinnen- und Schüleräußerungen und den dahinter stehenden

Denkweisen im Analysisunterricht als auch für den Entwurf für Unterrichtseinheiten

insbesondere zur Einführung in die Differenzialrechnung

• Die Didaktik der Mathematik betreffend: Mit Hilfe der Kategorien der Sichtweisen

konnte gezeigt werden, dass der didaktische Ansatz, die lokale Änderungsrate dem

Ableitungsbegriff als Grundvorstellung zu unterlegen, in sich das Grundparadoxon

infinitesimalen Denkens als geistiges Hindernis trägt, und daher in der gängigen

Form nur bedingt geeignet ist. Die Auseinandersetzung mit beiden Sichtweisen und

anschließende Betonung der einbettenden Sichtweise könnte dazu beitragen, das

geistige Hindernis zu überwinden.

• Die Forschungsmethode betreffend: Nicht zuletzt kann diese Arbeit als Beleg für

die Möglichkeit dienen, Stoffdidaktik und empirische Unterrichtsforschung gewinn-

bringend miteinander zu verbinden.

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 149

8. Literaturverzeichnis

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[Wolfers 1872]: J. Ph. Wolfers: „Isaac Newton: Mathematische Prinzipien der

Naturlehre“; mit Bermerkungen und Erläuterungen und herausgegeben

von J. Ph. Wolfers; unveränderter Nachdruck der Ausgabe Berlin 1872;

wahrscheinlich Übersetzung der 3. lateinischen Ausgabe, da ein Vorwort

zur 3. Ausgabe vorhanden ist; Wiss. Buchgesellschaft; Darmstadt 1963

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 154

9. Anhang

Verzeichnis der Transkripte

Die Transkripte sind Abschriften der von mir videographierten Arbeits- und Gesprächs-

phasen der Schülerinnen und Schüler, die die von mir gestellte Aufgabe bearbeiteten.

Die Videoaufnahmen wurden nach der zeitlichen Reihenfolge der Aufnahmen von 01

bis 16 durchnumeriert. Die Dialoge und die Beschreibungen der Handlungen zwischen

zwei Gesprächsabschnitten wurden zeilenweise nummeriert. Somit sind z.B. mit [03;

23-25] die Zeilen 23 bis 25 des dritten Transkripts gemeint.

Alle vollständigen Transkripte befinden sich auf der beiliegenden CD-ROM.

[01]: Hüseyin und Tobias; Jahrgangsstufe 11.2 LK

[02]: Anika und Juliane; Jahrgangsstufe 10

[03]: Christian und Heiko; Jahrgangsstufe 10

[04]: Annika und Sandra; Jahrgangsstufe 12 LK

[05]: Heike und Kathrin ; Jahrgangsstufe 12 GK

[06]: Christine und Kathrin; Jahrgangsstufe 12 GK

[07]: Sven und Thomas; Jahrgangsstufe 12 GK

[08]: Anne und Petra; Jahrgangsstufe 12 GK

[09]: Barbara und Isabelle; Jahrgangsstufe12 GK

[10]: Alexandra und Alexandra; Jahrgangsstufe 12 GK

[11]: Angela und Christina; Jahrgangsstufe 12 GK

[12]: Maren und Nadia; Jahrgangsstufe 12 GK

[13]: Alexander und Sebastian; Jahrgangsstufe 12 LK

[14]: Claudia und David; Jahrgangsstufe 12 LK

[15]: Ann-Kathrin und Julia; Jahrgangsstufe 12 GK

[16]: Haug und Mareike; Jahrgangsstufe 12 LK

H. Friedrich Uni-GH Paderborn 155

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Newtons Funktionsbegriff mit Indivisibilien, Fluenten und Fluxionen....8

Abbildung 2: Skizze der zentralen Begrifflichkeiten in den Kapiteln 3 und 4 ............17

Abbildung 3 : Skizze aus Transkript 11, Bearbeitung zu Aufgabenteil c)..................52

Abbildung 4: Identifikation von Weglänge und Momentangeschwindigkeit...............56

Abbildung 5: Ein Drehspulmessinstrument erzeugt Wechselstrom............................61

Abbildung 6: Der Röhrentacho..........................................................................................62

Abbildung 7: Die doppelte Einbettung von Lückenwerten............................................71

Abbildung 8: Der Graph von f, eingeschlossen in eine „Parabelschere“ aus x

x²

und x

-x² ....................................................................................................77

Abbildung 9: Zwei alternative Antworten zu Aufgabenteil c.........................................97

Abbildung 10: Die Bearbeitung von Aufgabenteil c)....................................................119

Abbildung 11: D’s Treppenfunktion................................................................................122

Abbildung 12: Tangenten an Parabeln und Kreisen....................................................131

Abbildung 13: Erweiterung des Tangentenbegriffs......................................................132

Abbildung 14: Der Zusammenhang von Ableitung und Tangentensteigung...........132

Abbildung 15: Der Grenzwert stetiger Funktionen als Lückenwert...........................133

Abbildung 16: Der Wert der Tangentensteigung als Lückenwert..............................134

Abbildung 17: Der Wert der Ableitung als Momentangeschwindigkeit.....................135

Verzeichnis der Tabellen

Tabelle 1: Stoffdidaktik und empirische Unterrichtsforschung......................................37

Tabelle 2: Typische Argumentationen..............................................................................66

Tabelle 3: D und die Denkwelten.....................................................................................120

CD-ROM

Auf der CD-ROM befindet sich die Dissertationsschrift sowie alle Transkripte als .pdf-

Dateien. Starten der CD-ROM mit X:\index.html (X = Laufwerksbuchstabe des CD-

ROM-Laufwerks). Von der CD-ROM kann zudem den AcrobatReader 4.0.5 für

Windows, Macintosh und LINUX installieren.

Tim Rinkens hat die kleine Fahrrad-Animation zur einbettenden Sichtweise program-

miert.