Universität - Gesamthochschule Paderborn
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Fachgebiet: Statistik, Ökonometrie und Entscheidungstheorie
Prognosesysteme zur Optimierung der
Verlags-Grossisten-Einzelhändler-Beziehung:
Eine empirische Studie zum
Special Interest Zeitschriftenbereich
Dissertation zur Erlangung des Grades
eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften
vorgelegt von
Markus Greitenevert
Waterbergstr. 28
81827 München
02. November 2000
2
1
2
2.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.3
2.3.1
2.3.1.1
2.3.1.2
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.2.1
3.2.2.2
3.2.3
3.3
3.3.1
3.3.1.1
3.3.1.2
3.3.2
3.3.2.1
3.3.2.2
3.3.2.3
Einleitung
Einführung in das deutsche Pressewesen
Die Vertriebswege des deutschen Pressewesens
Das deutsche Presse-Grosso
Die Geschichte des Presse-Grosso
Die Besonderheiten der Vertriebsform Presse-Grosso
Verfahren der Bezugsregulierung im Presse-Grosso
MBR - Marktorientierte Bezugsregulierung
Grundüberlegungen zur MBR
Das MBR-Grundmodell
BKO - Bezugsregulierung für klein- und mittelauflagige Objekte
Kritische Anmerkungen zu den Verfahren der Bezugsregulierung
Weiterentwicklung der MBR
Ausgangssituation und Problemstellung
Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen
Visuelle Beschreibung der Daten
Beschreibung stationärer Prozesse
Beschreibende Momente von empirischen Zeitreihen
Definition stationärer Prozesse
Schwache Stationarität oder Stationarität zweiter Ordnung
Strenge Stationarität oder Stationarität erster Ordnung
Zwei wichtige stochastische Prozesse
Beschreibung und Identifikation der Verkaufsdaten am Beispiel des Gros-
sisten Lütkemeyer Münster
Überprüfung der Autokorrelation und partiellen Autokorrelation
Autokorrelation (AC) und Korrelogramm
Partielle Autokorrelation (PAC)
Einheitswurzeltests
Dickey-Fuller-Test (DF)
Augmented-Dickey-Fuller-Test (ADF)
Durchführung Augmented-Dickey-Fuller-Test (Lütkemeyer Münster)
5
6
6
9
9
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16
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3
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3.3.3.1
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4.4.2
4.4.3
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4.5.1
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4.5.3
4.5.3.1
4.5.3.2
4.5.3.3
4.6
4.7
4.7.1
4.7.2
4.7.3
Tests auf Normalverteilung
Tests auf Schiefe und Wölbung
Jarque-Bera-Test
Kolmogorov-Smirnov-Test
Studentized-Range-Test
Durchführung der Normalverteilungstests (Lükemeyer Münster)
Tests auf Unabhängigkeit
Portmanteau-Test
Box-Ljung- und Box-Pierce-Test
Turning-Point-Test
Runs-Test
Rank-Version of the von Neumann-Ratio-Test
Durchführung der Unabhängigkeitstests (Lütkemeyer Münster)
Tests auf Nichtlinearität
Asymmetrietest von Neftci
Durchführung des Asymmetrietests von Neftci (Lütkemeyer Münster)
Theoretische Aspekte der Modellentwicklung
Methoden der Zeitreihenzerlegung
Der Trend in der Zeitreihenanalyse
Saisonkomponente
Theoretische Erläuterungen von ARIMA-Prozessen
Der Moving-Average-Prozess (MA)
Der Autoregressive-Prozess (AR)
Gemischte ARIMA(p, d, q)-Modelle
Vorgehensweise bei der ARIMA-Analyse
Spezifikation des Modells
Modellschätzung
Diagnose des geschätzten Modells
Koeffiziententests
Residuen-Tests
Spezifikations- und Stabilitätstests
Regressionsansatz mit ARMA-Term zur Beschreibung der Störgröße
Analyse saisonaler Zeitreihen
Einführung in die saisonale Zeitreihenanalyse
Saisonale Anpassung und SARIMA-Modelle
Stationarität von saisonalen Zeitreihen
60
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117
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5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
6
Modellentwicklung
Beschreibung und Identifikation des gesamten Datensatzes
Durchführung der Modellentwicklung
Klasse 1 - Einfacher Zufallsprozess
Klasse 2 - Vermutlich einfacher Zufallsprozess, nur einzelne lags der
ACF oder PACF besitzen signifikante Ausschläge
Klasse 3 - Signifikante Ausschläge der ACF und PACF auf lag 1
Klasse 4 - Trendverlauf, ACF läuft mit zunehmender lag Länge aus
Klasse 5 - Ausgeprägte Saisonfigur, ACF mit wellenförmigen Verlauf
Klasse 6 - Saisonverlauf, signifikante Ausschläge der ACF und PACF
auf den ersten lags und auf lag 12
Klasse 7 - Saisonverlauf, signifikante Ausschläge der ACF und PACF
auf lag 12
Abschließende Bemerkungen
Anhang
Anhang 1: Graphen der Verkaufszahlen, ACF und PACF für ausge-
wählte Grossisten
Anhang 2: Kritische Grenzen Durbin-Watson-Test
Literatur
132
132
135
137
151
175
202
220
229
242
254
258
259
273
275
1 Einleitung 5
1 Einleitung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung von Verkaufsprognosen im Zeit-
schriftenbereich zur Optimierung der Verlags-Grossisten-Einzelhändler-Beziehung. Zur Opti-
mierung dieser komplexen Beziehung ist es notwendig, die Vertriebswege und den wechselsei-
tigen Fluss von vertriebsrelevanten Daten und Informationen näher zu erläutern.
Die Problematik der Identifikation, Entwicklung und Kontrolle von Prognosesystemen wird
exemplarisch an den realisierten Verkaufszahlen einer im Markt etablierten Special Interest
Zeitschrift erörtert. Die methodische Vorgehensweise bei der Entwicklung von Verkaufsprog-
nosemodellen lässt sich auf andere Zeitschriften aus dem Segment der Special Interest Zeit-
schriften übertragen.
Für die ersten Analyseschritte standen lediglich die Daten von drei Grossisten zur Verfügung,
nämlich Carlsen Kiel, Lütkemeyer Münster und SüdWest Vertrieb Friedrichshafen. Erst zum
späteren Zeitpunkt wurden die Daten der übrigen Grossisten zur Entwicklung der Verkaufs-
prognosemodelle bereitgestellt. Auf die Analyse der Verkaufswerte für die Grossisten aus den
neuen Bundesländern wurde verzichtet, da die betrachtete Zeitschrift in den neuen Bundeslän-
dern ausgesprochen geringe Verkaufszahlen aufwies.
Begonnen wird im Kapitel 2 mit einer thematischen Einführung in die Vertriebsstruktur des
deutschen Pressewesens, wobei der Schwerpunkt auf dem Vertriebsweg über das Presse-
Grosso liegt. Dem schließen sich im Kapitel 3 Verfahren zur Identifikation von Zeitreihen an.
Neben graphischen Verfahren zur ersten Erkennung von Strukturen, wie funktionale Zusam-
menhänge, Ausreißer, Struktursprünge und Wendepunkte, werden verschiedene Testverfah-
ren zur Identifikation von Zeitreihen vorgestellt.
Ein kurzer Abriss der theoretischen Grundlagen der Zeitreihenanalyse erfolgt im Kapitel 4. Ein
Schwerpunkt liegt auf der Vorstellung der SARIMA-Modelle, die für viele der untersuchten
Zeitreihen zur Modellbildung verwendet wurden.
Die Modellentwicklung im Kapitel 5 lässt sich in drei Arbeitsschritte unterteilen. Zuerst werden
die Zeitreihen klassifiziert, daran schließen sich die Identifikationstests an und zum Schluss
erfolgt die Modellentwicklung inklusive Diagnose und Prognose.
Als Zeitreihenanalysetool wurde hauptsächlich das Programm EViews 2.0 verwendet. Einige
Tests, über die das Programm EViews 2.0 nicht verfügt, sind mit dem Programm SPSS/PC
berechnet worden.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 6
2 Einführung in das deutsche Pressewesen
Eine zentrale Rolle innerhalb des deutschen Pressewesens spielt das Presse-Grosso. Seine
historische Entstehung und all seine gewachsenen Besonderheiten werden daher kurz vorge-
stellt.1 Danach erfolgt eine Einführung in die Verfahren zur bedarfsgerechten Verteilung von
Zeitschriften und Zeitungen auf die Einzelhändler (MBR: Marktorientierte Bezugsregulierung).
Zum Schluss wird dem Leser das Konfliktpotential marktorientierter Bezugsregulierung versus
Verlagsprognose vorgestellt.
2.1 Die Vertriebswege des deutschen Pressewesens
In Deutschland gelangen die Presseerzeugnisse über eine Reihe unterschiedlicher Vertriebswe-
ge zum Leser. Die beiden wichtigsten Absatzwege sind das Abonnement und der Einzelheft-
verkauf. Je nach Gattung der Zeitung oder Zeitschrift ergeben sich unterschiedliche Vertriebs-
schwerpunkte. Zum Beispiel werden 64% der Publikumszeitschriften im Einzelverkauf vertrie-
ben. Fachzeitschriften hingegen werden zu 90% im Abonnement verkauft.2
Der Einzelheftverkauf teilt sich in die Absatzwege Bahnhofsbuchhandel, werbender Buch- und
Zeitschriftenhandel und den allgemeinen Einzelhandel auf. Die drei ersten Absatzwege werden
direkt durch die Verlage beliefert. Die Belieferung des allgemeinen Einzelhandels hingegen
erfolgt durch die zwischengeschalteten Großhändler, die Presse-Grossisten.
Neben dem Einzelheftverkauf und dem Abonnement werden aber noch andere Vertriebsfor-
men, wie zum Beispiel die Lesezirkel, die Bordexemplare in Flugzeugen und die Sonderver-
käufe genutzt. Sonderverkäufe werden in der Regel über zwischengeschaltete Vertriebsgesell-
schaften abgewickelt und ermöglichen es den Verlagen, ihre Kooperationspartner zu beson-
ders günstigen Abnahmepreisen zu beliefern.
Zurück zum allgemeinen Einzelhandel, er umfasst die Palette Kaufhaus, Supermarkt, Zeit-
schriftenfachgeschäft, Tankstelle, Kiosk, Spezialzeitschriftenverkaufsstellen usw. Eine genaue
Unterteilung findet man in den Strukturanalysen (EHASTRA) über den Zeitschriften- und Zei-
tungs-Einzelhandel in der Bundesrepublik Deutschland.3
Die Verteilung der Zeitschriften auf die Großhändler kann direkt durch die Vertriebsabteilung
des Verlages erfolgen oder aber über einen zwischengeschalteten Vertriebsser-
1 Vgl. Greitenevert/Kelemen-Rehm 1992, 4-12.
2 VDZ Zeitschriftenpresse in Zahlen 1996, 6.
3 VDZ Mini-Ehastra 1996.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 7
vice, wie ihn zum Beispiel die Großverlage anbieten. In Ausnahmefällen werden Einzelhandels-
geschäfte auch direkt vom Verlag beliefert.4
Zusammenfassend ergeben sich die folgenden Vertriebswege für den Verkauf von Zeitungen
oder Zeitschriften:5
1) Verlag ⇒ Presse-Großhandel ⇒ Einzelhandel ⇒ Leser
2) Verlag ⇒ Bahnhofsbuchhandel ⇒ Leser
3) Verlag ⇒ Einzelhandel ⇒ Leser
4) Verlag ⇒ Werbender Buch- und Zeitschriftenhandel ⇒ Leser
5) Verlag ⇒ Lesezirkel ⇒ Leser
6) Verlag ⇒ Vertriebsgesellschaft ⇒ Kooperationspartner ⇒ Leser
7) Verlag ⇒ Abonnement ⇒ Leser
Die wichtigste Vertriebsschiene für Publikumszeitschriften stellt zweifellos der Weg
„Verlag ⇒ Presse-Großhandel ⇒ Einzelhandel ⇒ Leser“ dar.
Die meisten Unternehmen des selbständigen Presse-Großhandels sind im Verband Deutscher
Buch-, Zeitungs- und Zeitschriftengrossisten e.V. (Grosso-Verband) organisiert. Dieser Ver-
band definiert Grossisten als „Unternehmen, die überwiegend Zeitungen und Zeitschriften
kaufen und wieder verkaufen, Wiederverkäufer nicht am Gewinn beteiligen, nicht als Zeitungs-
und Zeitschriften-Verleger oder überwiegend als Lieferanten des Zeitungs- und Zeitschriften-
Großhandels auftreten oder weder direkt noch über eine Teilhaberschaft mit Verlagen oder
Lieferanten verbunden sind“.6
In der Bundesrepublik gibt es, Stand 31.12.1998, 92 Presse-Großhandelsunternehmen, von
denen 76 dem Presse-Grosso, dem Bundesverband Deutscher Buch-, Zeitungs- und Zeit-
schriften-Grossisten e.V. angeschlossen sind.7
Das deutsche Presse-Grosso teilt sich in 109 Vertriebsräume auf, 91 in den alten und 18 in
den neuen Bundesländern. In den alten Bundesländern gibt es fünf Vertriebsräume, in denen
jeweils zwei Grossisten mit einer eindeutigen Aufteilung nach Objekten tätig sind. Dies sind die
Vertriebsräume Berlin-West, Saarbrücken, Darmstadt, Dortmund und Hamburg.8
Der Bestand an Presse-Einzelhändlern, die durch das Presse-Grosso beliefert werden, um-
fasste zum 31.12.1998 im gesamten Bundesgebiet 119.995 Verkaufsstellen. Auf die
4 Brummund 1985, 25.
5 Fürstner 1985, 139.
6 Brummund 1985, 25.
7 Presse-Grosso Homepage 1999.
8 VDZ Zeitschriftenpresse in Zahlen 1996, 8.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 8
alten Bundesländer entfielen dabei 97.781 Verkaufsstellen und auf die neuen Bundesländer
22.214.
In der Bundesrepublik Deutschland kamen 1998 auf eine Presseverkaufsstelle durchschnittlich
685 Einwohner.9
Die Titelanzahl im Ordersortiment eines Presse-Grossisten umfasst ca. 3700 Titel, die von ca.
150 Verlagen und nationalen Vertriebsfirmen geliefert werden.10
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit den Einzelheftverkäufen einer Special
Interest Zeitschrift über die Vertriebsschiene Verlag-Grossist-Einzelhandel-Leser. Im Gegen-
satz zum Abo-Geschäft können die Einzelheftverkäufe von Ausgabe zu Ausgabe eines Titels
starken Schwankungen unterliegen. Bei jeder Ausgabe trifft der potentielle Leser eine erneute
Kaufentscheidung. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der „täglichen Abstim-
mung am Kiosk“.11
Zusätzlich zu diesen Verkaufsschwankungen muss auch die sogenannte vagabundierende
Nachfrage berücksichtigt werden. Der Leser kauft seine Zeitung oder Zeitschrift nicht immer in
derselben Verkaufsstelle. Die optimale Erfassung und Vorhersage der Nachfrageschwankun-
gen ist die wohl schwierigste Aufgabe im Bereich des Pressevertriebs.
9 Presse-Grosso Homepage 1999.
10 Brummund 1985, 239.
11 Brummund 1985, 29.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 9
2.2 Das deutsche Presse-Grosso
Das Presse-Grosso ist für die meisten Verlage die entscheidende Vertriebsform zum Absatz
ihrer Zeitungen und Zeitschriften. Seine besondere Stellung erklärt sich einerseits aus seiner
geschichtlichen Entstehung, andererseits aus den wirtschaftlichen Interessen der Marktpartner
Verlag, Großhandel und Einzelhandel.
2.2.1 Die Geschichte des Presse-Grosso
Die heutige Form des Presse-Grosso entwickelte sich erst nach dem zweiten Weltkrieg.
Schon vor dem ersten Weltkrieg entstanden in Leipzig und Stuttgart Buchhandelskommissio-
näre auf der Großhandelsstufe. Da sich die Kommissionäre weigerten, andere Einzelhandels-
geschäfte als den traditionellen Buchhandel zu beliefern, gründeten sich die Leipziger Grossis-
ten, die neben dem Buchhandel auch den Papier- und Zeitschriftenhandel belieferten.
Diese zentrale Belieferungsform war sehr zeitintensiv und inflexibel. Aus diesen Überlegungen
heraus bauten die bedeutendsten Verlage ein eigenes Absatznetz für den Vertrieb ihrer Ob-
jekte auf. Diese sogenannten Ortsgrossisten waren in mehr als 100 großen deutschen Städten
vertreten. Die Belieferung der ländlichen Regionen erfolgte weiterhin durch den zentralen
Buch- und Zeitschriftenhandel oder direkt über den Postweg.12
Während der nationalsozialistischen Gewaltherrschaft erlitt das deutsche Pressewesen einen
starken Einschnitt. Gründe waren Pressezensur, Zerschlagung der Verlagshäuser, die sich im
jüdischen Besitz befanden, und die Beschränkung des Pressevertriebs durch Berufschutzan-
ordnungen und Geschäftsgrundsätze für den gesamten Zeitungs- und Zeitschriftenhandel. Der
völlige Zusammenbruch erfolgte zum Ende des zweiten Weltkriegs.13
Unmittelbar nach Kriegsende verhängten die alliierten Besatzungsmächte zunächst ein Verbot
für den Vertrieb von Presseerzeugnissen. Im Herbst 1945 erhielten die ersten Verleger und
Grossisten die Möglichkeit, Lizenzen und Vertriebsgenehmigungen zu bekommen. Dabei
spielte die fachliche Qualifikation der Bewerber eine untergeordnete Rolle, viel wichtiger war
deren politische Eignung.
Die ersten Jahre nach dem zweiten Weltkrieg waren von Papierknappheit und einer enormen
Nachfrage nach Presseerzeugnissen gekennzeichnet. Einen nochmaligen Boom erlebte der
Pressemarkt nach der Währungsreform. Um die Nachfrage decken zu
12 Brummund 1985, 205.
13 Brummund 1985, 206.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 10
können, wurden viele Einzelhändler von mehreren Grossisten gleichzeitig beliefert, deren Sor-
timente sich vielfach überschnitten.
In den fünfziger Jahren trat die erste Marktsättigung ein. Damit tauchte ein zuvor nicht ge-
kanntes Problem auf, die Remission. Der Einzelhandel war nicht in der Lage, die Remittenden
richtig auf die verschiedenen Grossisten, von denen er die Ware erhalten hatte, zu verteilen.
Der auftretende Konkurrenzdruck, die mangelnde Kapitalausstattung und die oft desolate
Organisation der Grossisten führten zu einer Pleitewelle.
In dieser Phase erhielten die leistungsstärksten Grossisten von den großen Verlagen ein Allein-
auslieferungsrecht innerhalb klar abgegrenzter Regionen. Im Zuge von Rationalisierungen, Ko-
operationen und Fusionen reduzierte sich die Zahl der Grossisten immer weiter.
Die Funktionsweise des heutigen Grosso-Systems ruht auf zwei Grundpfeilern, dem Alleinaus-
lieferungsrecht innerhalb und dem Belieferungsverbot außerhalb der Vertragsgrenzen.14
2.2.2 Die Besonderheiten der Vertriebsform Presse-Grosso
Das deutsche Presse-Grosso nimmt eine Sonderstellung im Vergleich zu den übrigen Groß-
handelsbranchen ein. Hinsichtlich seines Servicecharakters lässt es sich lediglich mit den
Dienstleistern der Grundversorgung mit Elektrizität, Gas und Wasser vergleichen, die ebenfalls
Gebietsmonopole besitzen. Der Elektrizitätsbereich ist seit 1999 zu Gunsten eines liberalisier-
ten europäischen Energiemarktes im Umbruch.
Unterschiede zwischen Presse-Grosso und Dienstleistern der Grundversorgung bestehen aber
in der gesetzlichen Stellung. Die kartellrechtliche Erklärung zur Bereichsausnahme für die
Grundversorger ist im § 103 GWB (Gesetz gegen Wettbewerbsbeschränkungen) geregelt.
Eine solche gesetzliche Regelung existiert für das Presse-Grosso nicht.15
Vielmehr beruht die Alleinstellung der Grossisten innerhalb bestimmter Gebietsgrenzen „letzt-
lich auf ihrer Duldung kraft Nicht-Beanstandung“ durch das Bundeskartellamt.16
Die „Duldung“ durch das Bundeskartellamt wird noch heute mit den Besonderheiten des Pres-
semarktes begründet.
14 Brummund 1985. 209-211.
15 Ipsen 1980, 69.
16 Ipsen 1980, 77.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 11
Das historisch gewachsene Alleinauslieferungsrecht der Grossisten bringt die Verpflichtung zur
Neutralität gegenüber allen Verlagen und Titeln mit sich. Auf der Mitgliederversammlung
1976 hat sich der Grosso-Verband per Beschluss ausdrücklich zur Neutralität verpflichtet. Es
darf keine Diskriminierung von Zeitschriften- und Zeitungstiteln aus „politischen, weltanschauli-
chen oder welchen Gründen auch immer“ geben.17
Diese Verpflichtung des Zeitschriften- und Zeitungshandels besitzt laut Bundesverfassungsge-
richt verfassungsrechtliche Bedeutung. Nur durch die Neutralitätspflicht kann in der bestehen-
den Grossovertriebsstruktur das Recht auf Informationsfreiheit (§ 5 Grundgesetz) gewährleis-
tet werden.18
Eine Einschränkung der Neutralitätsverpflichtung kann nur per Gesetz erfolgen, zum Beispiel
aus Gründen des Jugendschutzes, des Verbotes zur Verbreitung rechts- oder linksradikalen
Gedankenguts.
Das Diskriminierungsverbot gewährleistet einen freien Marktzutritt für neue Zeitungs- und
Zeitschriftentitel und für neue Unternehmen des Presse-Einzelhandels (vergl.: § 26 Abs. 2
GWB).19
Ist absehbar, dass ein neues Objekt so gut wie keine Marktchancen besitzt, „hat der Grossist
das Recht, die Aufnahme des Objektes in sein Sortiment zu verweigern“.20
Die Aufrechterhaltung von Pressefreiheit und -vielfalt erfordert es, dass die Grossisten auch
solche Objekte im Sortiment führen, bei denen die Kosten deutlich über den Erlösen liegen.
Diese vertriebliche Besonderheit bezeichnet man als Alimentierung. Der Vertrieb ertrags-
schwacher Titel wird durch großauflagige und gewinnbringende Titel finanziert. Lediglich 20%
aller Titel sind für die Grossisten wirtschaftlich. 80% aller Titel sind hingegen unwirtschaftlich
und müssen daher alimentiert werden.21
Neben der Alimentierung der Titel gibt es laut Kaiser auch eine Alimentierung der
Einzelhändler. Lediglich 28% der Presseverkaufsstellen weisen Verkaufszahlen auf, bei denen
der Erlös des Grossisten die Kosten überschreitet, bei 8% der Einzelhändler werden die
Kosten des Grossisten gerade gedeckt und 64% der Presseverkaufsstellen weisen eine
Kostenunterdeckung auf, die Kosten der Grossisten sind größer als die Erlöse.22
17 Kaiser 1979, 91.
18 Kaiser 1979, 47-48.
19 Kaiser 1979, 50.
20 Greitenevert/Kelemen-Rehm 1992, 9 und vgl. Kaiser 1979, 47.
21 Kaiser 1979, 92.
22 Kaiser 1979, 97.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 12
Brummund hingegen bezweifelt die Daten der Alimentierung von Objekten und Einzelhändlern,
da solche Zahlen nur durch eine objekt- und stellenspezifische Kosten- und Erlösrechnung zu
erzielen sind, über die die Grossisten nicht verfügen.23
Eine weitere Besonderheit des Pressevertriebs ist die vertikale Preisbindung. Im Rahmen
der vertikalen Preisbindung bestimmen die Verlage nicht nur den Abgabepreis, sondern auch
die Preise, die der Groß- und Einzelhandel für den weiteren Verkauf an die Leser zu berech-
nen hat. Eines der wichtigsten Instrumente zur Regulierung des Absatzes obliegt somit den
Verlagen und nicht den nachgelagerten Marktstufen. Der Handel ist somit nur noch Absatz-
mittler. Die vertikale Preisbindung wurde schon 1887 vom Börsenverein des deutschen Buch-
handels durchgesetzt und beruht auf zweiseitigen, privatrechtlichen Verträgen zwischen Verla-
gen und Grossisten und nicht auf einseitigen Weisungen der Verlage. Die Ergebnisse der Ver-
handlungen über die Festschreibung der vertikalen Preisbindung zwischen Verlag und Grossist
hängen in erster Linie von der Stärke der Positionen der jeweiligen Verhandlungspartner ab.
Verlage, die sich der vertikalen Preisbindung bedienen, müssen sie allen Händlern auferlegen.
Ausnahmen sind nicht zulässig.
Auch der Gesetzgeber betrachtet die vertikale Preisbindung im Zeitungs- und Zeitschriftenbe-
reich mehr unter kulturpolitischen als unter ökonomischen Gesichtspunkten. Das Hauptargu-
ment für die vertikale Preisbindung ist der Erhalt der Titelvielfalt. Dürfte der Pressegroß- und
Presseeinzelhandel selbst die Preise festsetzen, so würden nur noch hochauflagige Titel in das
Sortiment gelangen. Vertikale Preisbindung dient somit dem Erhalt der Pressefreiheit und
-vielfalt.24
Preisbindung bedeutet aber auch immer ein Außerkraftsetzen des Marktmechanismusses.
„Festpreise treten in der Regel dann auf, wenn der Verkaufspreis“ oberhalb „des Gleichge-
wichtspreises liegt, der sich auf dem Markt durch Angebot und Nachfrage ergeben würde“.25
Das Argument, Festpreise seien für den Verbraucher vorteilhaft, da sie dem Erhalt der Titel-
vielfalt dienen, trifft sicherlich bis zu einem gewissen Grad für den Konsumenten im Presse-
markt zu. Vergessen sollte man aber nicht, dass die Preisbindung auch immer für diejenigen
vorteilhaft ist, die sie durchgesetzt haben.
Neben der vertikalen Preisbindung spielt die Erstverkaufstagsregelung eine sehr wichtige
Rolle. Erstverkaufstagsregelung bedeutet, dass die Exemplare der Ausgabe eines Objektes
immer ab einem bestimmten Wochentag bundesweit im Einzelhandel zu erhalten sind. Zum Teil
wurde die Erstverkaufstagsregelung auf die Gesamtheit aller Objekte einer Objektgruppe
(z. B. Fernsehzeitschriften, Illustrierte, Wochenpresse usw.)
23 Brummund 1985, 313.
24 Brummund 1985, 153-159.
25 Greitenevert/Kelemen-Rehm 1992, 13 und vgl. Weise/Brandes/Eger/Kraft 1991, 136-146.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 13
ausgedehnt. Kein Objekt einer Objektgruppe kann sich somit einen zeitlichen Wettbewerbs-
vorteil verschaffen.26
Neben dem Verkaufsbeginn wird auch die Angebotsdauer der jeweiligen Presseobjekte gere-
gelt. Die Absatzmittler werden von den Verlagen zur Einhaltung des Verkaufsbeginns und der
Angebotsdauer verpflichtet. Lesezirkel und Abonnements sind der Erstverkaufstagsregel nicht
unterworfen. Vielfach erhalten die Abonnenten ihr Exemplar schon ein bis zwei Tage vor dem
Verkaufsbeginn im Einzelhandel.
Die wohl wichtigste Besonderheit des Pressevertriebs ist das Remissionsrecht der nachgela-
gerten Handelsstufe.
Im Pressehandel ist es üblich, dass die nachgelagerten Handelsstufen die nicht verkauften Ex-
emplare von Zeitungen und Zeitschriften innerhalb bestimmter Fristen an die Verlage zurück-
geben können. Der Einkaufspreis wird ihnen zurückerstattet. Dieser im Pressehandel übliche
Vorgang beruht auf dem Remissionsrecht der nachgelagerten Handelsstufe. Die Remission ist
eine Bringschuld des Einzelhandels, sie kann erst nach Beendigung der Angebotszeit und in-
nerhalb eines festgelegten Zeitraumes erfolgen.
Zur Erleichterung der Remissionsabwicklung holen die Grossisten die angefallenen Remitten-
den an festgelegten Stichtagen aus den Einzelhandelsgeschäften ab.
Zu unterscheiden sind dabei zwei Arten der Remission, die körperliche und die körperlose
Remission. Die körperliche Remission findet zwischen Einzelhandel und Grossist statt.
Zwischen Grossist und Verlag kann die körperliche Remission als Kopf-, Fußleisten- oder
Titelseitenremission erfolgen. Besteht der Verlag aber auf kompletter Zusendung der remit-
tierten Exemplare, so hat er die dafür anfallenden Versandkosten selbst zu tragen.
In den siebziger Jahren entwickelten Grossisten und Verlage ein computergestütztes Verfahren
zur körperlosen Ermittlung der Remission. Dieses Verfahren wurde von der IVW (Informati-
onsgemeinschaft zur Feststellung der Verbreitung von Werbeträgern e.V.) genehmigt. Die
Grossisten werden vertraglich zum Nachweis der körperlosen Remission verpflichtet. Dazu ist
ein bestimmter Verfahrensablauf einzuhalten, der alle Warenbewegungen lückenlos erfasst und
protokolliert. Das Protokoll wird den Verlagen wöchentlich zugesandt.
Die Remission zwischen Einzelhandel und Grossist muss aber weiterhin körperlich erfolgen,
nur so lässt sich eine mögliche unzulässige Verwertung der nicht verkauften Objekte verhin-
dern.
Remission ist das Ergebnis einer vagabundierenden Nachfrage. Sie lässt sich nicht vermeiden,
sondern lediglich auf ein akzeptables Maß reduzieren. Ihre Ursachen sind sehr
26 Greitenevert/Kelemen-Rehm 1992, 12.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 14
vielschichtig, sie reichen von Käufern, die das Objekt nicht mehr kaufen, bis hin zu saisonalen
Einflüssen.
Die Verlage sind daran interessiert, dass ihre Presseobjekte flächendeckend in ausreichender
Menge zur Verfügung stehen. Ohne Remissionsrecht würde der Groß- und Einzelhandel von
vornherein eine geringere Menge an Objekten ordern, um sein Waren-risiko zu minimieren.
Die Folge wäre ein fast vollständiges Verschwinden von kleinauflagigen Objekten und eine
starke Reduzierung der Verkaufschancen neuer Objekte.
Liegt das Warenrisiko aber bei den Verlagen, so sind die Grossisten und Einzelhändler bereit,
kleinauflagige und auch neue Objekte in ihr Sortiment aufzunehmen.27
Das originäre Dispositionsrecht der Verlage gegenüber den Grossisten ist neben dem Re-
missionsrecht eine der wichtigsten Besonderheiten im Presse-Grosso. Aufgrund des Wegfalls
des Warenrisikos behalten sich die Verlage das Recht vor, die Höhe der Liefermenge, die der
Grossist erhält, selbst zu bestimmen.
Wie stark ein Verlag das originäre Dispositionsrecht für sich beanspruchen kann, hängt von
seiner Machtposition gegenüber den Grossisten ab. Großverlage können ihr Dispositionsrecht
ohne Probleme gegenüber den Grossisten durchsetzen. Anders sieht es bei Kleinverlagen aus.
Aufgrund ihrer ökonomischen Position sind sie vielfach nicht in der Lage, ihr Dispositionsrecht
gegenüber den Grossisten durchzusetzen. Erwarten die Grossisten eine hohe Remission, so
behalten sie sich das Recht vor, die Liefermenge an die vermutliche Absatzmenge anzupassen.
Aus dem originären Dispositionsrecht leiten die Grossisten das derivate Dispositionsrecht
gegenüber dem Einzelhandel ab. Der Grossist bestimmt neben Menge auch die Zusammenset-
zung des Portfolios der Objekte, mit denen der Einzelhändler beliefert wird. Auch hier beruht
die Durchsetzung des Dispositionsrechts in erster Linie auf der ökonomischen Macht des
Grossisten gegenüber den Einzelhändlern.28
Dispositions- und Remissionsrecht stehen in enger Beziehung zueinander. Auf das Dispositi-
onsrecht können und werden die großen Verlage auf keinen Fall verzichten, da sie dadurch
ihre wirtschaftlichen Interessen nachhaltig gegenüber dem Groß- und Einzelhandel durchsetzen
können. Im Gegenzug müssen sie den nachgelagerten Handelsstufen aber das Remissionsrecht
einräumen, denn ohne Remissionsrecht wären die Grossisten und Einzelhändler den Verlagen
vollständig ausgeliefert. Kein Grossist oder Einzelhändler würde unter solchen Rahmenbedin-
gungen weiterhin als Absatzmittler zur Verfügung stehen.
27 Brummund 1985, 126-136 und Kaiser 1979, 146.
28 Brummund 1985, 136-143.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 15
Dispositions- und Remissionsrecht sind aus den ökonomischen Interessen der Marktpartner im
Pressevertrieb erwachsen, als Nebeneffekt sichern sie die Pressevielfalt und Informationsfrei-
heit in der Bundesrepublik Deutschland. Gerade diesem Nebeneffekt verdankt es das Presse-
wesen, dass der Gesetzgeber und die Gerichte die vertrieblichen Besonderheiten dulden und
bis heute keinerlei Eingriffe vorgenommen haben.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 16
2.3 Verfahren der Bezugsregulierung im Presse-Grosso
Eine der zentralen Aufgaben im Pressevertrieb ist die marktgerechte Verteilung eines Objektes
auf die Einzelhändler durch den jeweiligen Grossisten. Neben der Festlegung der Beliefe-
rungsmenge pro Einzelhändler muss der Grossist auch die Frage klären, welche Einzelhändler
er mit welchen Objekten beliefern will.
Mit dem aufkommenden Einsatz der EDV Anfang der siebziger Jahre entstand auf Seiten der
Grossisten und Verlage der Wunsch, automatisierte Verfahren zur Bezugsregulierung auf brei-
ter Front einzusetzen. Die Grossisten gründeten den Arbeitskreis MBR (Marktorientierte Be-
zugsregulierung) des Grossoverbandes und die Verlage die Projektgruppe MBR mit dem Ziel,
eine Vereinheitlichung der unterschiedlichen Verfahren der Bezugsregulierung zu erreichen.
Neben den MBR-Verfahren, die in erster Linie für die Bezugsregulierung von Titeln mit grö-
ßerer Auflage gedacht waren, entstand eine reduziertere Version für mittel- und kleinauflagige
Titel, das BKO-Verfahren (Bezugsregulierung für klein- und mittelauflagige Objekte).29
2.3.1 MBR - Marktorientierte Bezugsregulierung
Die MBR ist ein Verfahren, das die Grossisten zur bedarfsgerechten Verteilung von Zeitungen
und Zeitschriften auf die Einzelhändler einsetzen. Der Broschüre „Marktorientierte Bezugsre-
gulierung MBR“, herausgegeben vom Verband Deutscher Zeitschriftenverleger e. V., kann
man folgende Definition entnehmen:
„Unter MBR versteht man die nummernweise Einsteuerung der Einzelhandelsbezüge von peri-
odisch erscheinenden Zeitungen und Zeitschriften nach bestimmten Regeln der EDV durch den
Presse-Großhandel.“ 30
29 VDZ MBR-Broschüre 1981, 1-2.
30 VDZ MBR-Broschüre 1981, 3.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 17
2.3.1.1 Grundüberlegungen zur MBR
Modelltheoretisch basiert das Verfahren der MBR auf einem vereinfachten Lagerhaltungsmo-
dell. Der zukünftige Bedarf eines Einzelhändlers für ein bestimmtes Objekt wird aus den Ver-
gangenheitsdaten bestimmt. Verkaufsbeeinflussende Faktoren, wie Trendentwicklung, Saison-
verläufe, Hefteffekte usw. werden in der klassischen MBR nicht berücksichtigt.
Die Anwendung des MBR erfordert verschiedene Voraussetzungen, wie Nummernremission
pro Einzelhändler und Objekt, feste Erstverkaufstage und Angebotszeiten sowie bestimmte
Anforderungen an die Datenqualität.
Pro Einzelhändler und Titel müssen die gesamte Liefer- oder Bezugsmenge sowie die Remissi-
on genau ermittelt und gespeichert werden. Aus der Differenz von Bezugsmenge und Remissi-
on errechnet sich der Verkauf pro Einzelhändler und Titel. Die Höhe der Verkäufe stellt die
Basis für die zu leistenden monetären Zahlungsströme zwischen Verlag, Grossist und Einzel-
händler dar.
Die MBR eignet sich nur für periodisch erscheinende Objekte mit konstanten Angebotszeit-
räumen und festen Erstverkaufstagen.
Hinsichtlich der Datenqualität muss eine fehlerlose Erfassung und Verarbeitung der Datenbasis,
insbesondere von Liefermenge und Remission, gewährleistet sein.31
Parallel zur Bezugsregulierung durch die Grossisten, führen die Verlage eine vertriebsorien-
tierte Verkaufsprognose pro Objekt und Ausgabe durch. Bei der Bestimmung der Verlags-
prognose ist die Frage nach der marktgerechten Auslieferungsmenge und der erwarteten Ver-
kaufs- bzw. Bezugsmenge zu beantworten. Die Methoden der Prognosen variieren von Verlag
zu Verlag. Sie werden in erster Linie „von den unterschiedlichen Unternehmenszielen und der
daraus resultierenden Vertriebspolitik bestimmt.“32
Die Vertriebspolitik ihrerseits hängt unmittelbar von den Zielen im Anzeigengeschäft ab. In
diesem Kontext unterscheidet man zwei Objekttypen, anzeigenerlösorientierte Objekte und
vertriebserlösorientierte Objekte.
Für vertriebserlösorientierte Objekte besitzt das Anzeigengeschäft eine untergeordnete Rolle.
Qualität und Heftumfang werden so gestaltet, dass die Herstellungskosten recht gering ausfal-
len. Das reine Vertriebsgeschäft (ohne Anzeigengeschäft) führt schon zu einem positiven De-
ckungsbeitrag.33
31 VDZ MBR-Broschüre 1981, 61-63.
32 VDZ MBR-Broschüre 1981, 8.
33 Brummund 1985, 147 und VDZ MBR-Broschüre 1981, 9.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 18
Bei den anzeigenerlösorientierten Objekten wird der größte Teil der Einnahmen durch das
Anzeigengeschäft erzielt. Redaktionell und qualitativ sind diese Objekte sehr aufwendig ges-
taltet. Dies führt zu hohen Herstellungskosten. Das reine Vertriebsgeschäft (ohne Anzeigenge-
schäft) weist in der Regel einen negativen Deckungsbeitrag auf.
Vertriebliches Ziel ist es, die Auflagenhöhe und die Auflagenstruktur so zu steuern, dass die
Menge und die Qualität der Leserschaft einen Anzeigengewinn in einer bestimmten Höhe er-
möglicht.
Eine Auflagensteigerung wird nur dann durchgeführt, wenn sich das Verhältnis aus auflagenab-
hängigen Vertriebs- und Anzeigenerlösen gegenüber den Vertriebs- und Anzeigenkosten ver-
größern lässt. Die Höhe der zusätzlichen Belieferung wird nur solange betrieben, wie die
Grenzerlöse die Grenzkosten noch übersteigen.
Hinsichtlich der Vertriebskosten stehen die Verlage bei anzeigenerlösorientierten Objekten
besonders unter Druck, da die Stückkosten pro Zeitschrift gegenüber vertriebserlösorientier-
ten Objekten um ein vielfaches höher sind. Die Remission sollte daher bei guter Ausschöpfung
des Marktpotentials so gering wie möglich gehalten werden.34
Schon 1981 wurde vom VDZ in einer Broschüre auf die Bedeutung der Entwicklung von
Prognosesystemen der Verlage zur Schätzung der Verkaufsmenge hingewiesen. Parallel dazu
sollten unter Berücksichtigung der Ausverkaufspolitik, die Liefermenge, die Remissionsmenge
und die damit verbundene Höhe der gesamten Druckauflage geschätzt werden. Als Methode
wird allgemein die Zeitreihenanalyse mit den Komponenten Trend, Saison und Zufallseinflüsse
vorgeschlagen. Die wichtigsten Zufallseinflüsse sind neben Hefteffekten und Wetter, die vaga-
bundierende Nachfrage der Leser. Für jede Ausgabe eines Objektes ist eine Prognose der
oben genannten Variablen erforderlich.
Eine getrennte Prognose für jeden einzelnen Grossisten pro Ausgabe und Objekt wurde dabei
nicht in Erwägung gezogen. Vielmehr ging es um die Entwicklung eines Gesamtprognosemo-
dells für ein Objekt über alle Grossisten.
Zwischen Grossisten und Verlagen sollte eine Abstimmung zwischen den durch die Grossisten
berechneten marktorientierten Bezugsmengen und den letztendlich durch die Verlage ausgelie-
ferten Bezugsmengen stattfinden. Dabei sind Diskrepanzen und Spannungen aufgrund unter-
schiedlicher Zahlen und Erwartungen keine Seltenheit.
34 Brummund 1985, 147-148 und VDZ MBR-Broschüre 1981, 8-9.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 19
2.3.1.2 Das MBR-Grundmodell
Das MBR-Grundmodell besteht aus den vier Komponenten: Verkaufsvorhersage, Zuschlags-
menge, Berücksichtigung von Sondereinflüssen und Mengenanpassung.
Zur Berechnung der Verkaufsvorhersage eines Objektes pro Ausgabe und Einzelhändler
hat sich das Verfahren der einfachen exponentiellen Glättung durchgesetzt.35
Verkaufsvorhersage mit exponentieller Glättung erster Ordnung:
VH
V
VH
neu neu alt
=
+
−
α
α
(
)
1
α : Glättungskoeffizient
VHneu : erwarteter Verkauf neu
VHalt : erwarteter Verkauf alt
Vneu : tatsächlicher Verkauf der letzten ausremittierten Nummer
Neben den aktuell ermittelten Verkäufen gehen die erwarteten alten Verkäufe in die Prognose
mit ein. Die Gewichtung zwischen aktuellen und alten Werten hängt von der Wahl des Glät-
tungskoeffizienten α ab, der Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann.
Exponentielle Modelle höherer Ordnung als eins haben in der MBR-Praxis keinen Einzug ge-
funden, da sie angeblich mathematisch zu komplex seien. Ebenfalls unberücksichtigt bleiben
Komponenten wie Trend und Saison.
Aufgrund der vagabundierenden Nachfrage und der mangelnden Händlertreue der Kunden ist
die Einbeziehung von Zuschlägen oder Verkaufsreserven notwendig, um eine mögliche Nach-
frageunterdeckung bei den Einzelhändlern zu vermeiden. Der gesamte Bezug eines Einzel-
händlers mit einem bestimmten Objekt ergibt sich somit als Summe aus Verkaufsvorhersage
und -reserve.
Zur Bestimmung der Verkaufsreserve existieren diverse Verfahren wie das Wurzelwertver-
fahren, das Verfahren der Objekt-Zuschlagswerte und das Verfahren der mittleren absoluten
Abweichung. Das von den meisten Grossisten verwendete Verfahren ist das Verfahren der
mittleren absoluten Abweichungen (MAD).
35 VDZ MBR-Broschüre 1981, 14-20.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 20
Die erwartete MAD wird ebenfalls mit Hilfe der exponentiellen Glättung ermittelt.36
Zuschlagsvorhersage mit exponentieller Glättung erster Ordnung:
MAD VH V MAD
neu alt
= − + −β β( )1
β: Glättungskoeffizient
MADneu : erwartete gewichtete Abweichung neu
MADalt : erwartete gewichtete Abweichung alt
VH : erwarteter Verkauf
V : tatsächlicher Verkauf
Bei der Vertriebsarbeit treten eine Reihe von Ausnahmefällen auf, die sich in objektspezifische
und einzelhandelsspezifische Sonderfälle unterscheiden lassen und die vielfach eine manuelle
Korrektur des Bezuges nach sich ziehen.
Einzelhandelsspezifische Sonderfälle:37
-Erstbelieferung einer Angebotsstelle oder Belieferung mit einem neuen Titel.
-Festbezüge in begründeten Ausnahmefällen (z. B. Buchhandlungen, Redaktionen,
Behörden etc.).
-Ausreißer aufgrund von fehlerhaften Daten oder atypischer Verkaufsentwicklung eines
Einzelhändlers.
-Vorübergehende Geschäftsschließung wegen Urlaub, Umbau etc.
-Bedarfssteigerung bei Umkreishändlern. Umkreishändler sind jene Händler, deren
Bedarf durch Schließung eines benachbarten Händlers vermutlich steigen wird.
36 VDZ MBR-Broschüre 1981, 22-28.
37 VDZ MBR-Broschüre 1981, 29-34.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 21
Objektspezifische Sonderfälle:38
-Treten außergewöhnliche Ereignisse ein, so sollte die Verkaufsvorhersage entspre-
chend korrigiert werden (z.B. Preisänderungen, Sonderteile, regionale Schwerpunkt-
themen, Werbeaktionen etc.).
-Für Titel, die starken saisonalen Schwankungen unterworfen sind, sollten diese
berücksichtigt werden. Wichtig ist die Unterscheidung zwischen regionalen und
überregionalen Saisonschwankungen. Die MBR in der heutigen Form berücksichtigt
keine saisonalen Einflüsse.
-Festlegung von Regeln für die weitere Vorgehensweise bei Einzelhändlern, die für ein Ob-
jekt keine Verkäufe realisieren konnten (Nullverkäufe), wie zum Beispiel:
1) Ein Einzelhändler hat dreimal hintereinander kein Exemplar eines Titels
verkauft, so erfolgt keine weitere Belieferung mit dem Titel.
2) Wenn ein Einzelhändler in einem Angebotszeitraum von fünf aufeinander-
folgenden Ausgaben eines Objektes bei mindestens drei Ausgaben keinen Verkauf rea-
lisieren konnte (Nullverkäufe).
3) Wenn der Verkaufsdurchschnitt (VD) in einem bestimmten Zeitraum unter
einen festgelegten Schwellenwert fällt.
VD
x
j
j
t j
t
=−
∑
Zum Beispiel kann für einen monatlich erscheinenden Titel die Belieferung des
Einzelhändlers eingestellt werden, wenn der VD für die letzten sechs Ausgaben
unter einem Wert von 0,4 liegt. Je nach Titel kann der Grossist den betrachteten
Zeitraum und den Schwellenwert auswählen.
-Ausverkauf: Vertrieblich ist es von entscheidender Bedeutung, wann der Ausverkauf
erfolgte, ob am Ende der Angebotszeit oder schon recht früh nach Angebotsbeginn.
Im letzteren Fall ist anzunehmen, dass die Nachfrage größer als das Angebot war.
Leider berücksichtigen die MBR-Verfahren nicht den Zeitpunkt des Ausverkaufs.
Daher unterstellt man bei Ausverkauf, dass die Nachfrage nicht vollständig abgedeckt
wurde.
Analog zu der Handhabung von Einzelhändlern mit Nullverkäufen sind auch hier
Entscheidungsregeln denkbar, mit deren Hilfe eine Erhöhung der Belieferungsmenge
einzuleiten ist.
Der gesamte Auslieferungsbedarf eines Grossisten für ein bestimmtes Objekt ergibt sich aus
der Addition aller Bezüge der Einzelhändler.
Die gesamte Bedarfsmenge, die der Grossist ermittelt hat, weicht vielfach von der Liefermenge
des Verlages ab. Da das Dispositionsrecht bei den Verlagen liegt, muss der
38 VDZ MBR-Broschüre 1981, 48-55.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 22
Grossist seine Belieferungspläne korrigieren. Dazu haben sich in der Praxis zwei Verfahren
bewährt, das Verfahren der gleitenden Faktoren und das Kombinationsverfahren.
Beim Verfahren der gleitenden Faktoren wird für alle Einzelhändler der ermittelte vorläufige
MBR-Bezug mit einem konstanten Faktor gewichtet. Dieser Faktor wird für jedes Grossoge-
biet aus dem Verhältnis Gesamtliefermenge des Verlages zu Gesamtbedarf des Grossisten laut
MBR berechnet.
Beim Kombinationsverfahren werden zwei Methoden miteinander kombiniert. Zum einen, ein
konstanter prozentualer Zuschlag (genannt Prozentualverteilung) und zum anderen ein kon-
stanter absoluter Zuschlag (genannt Gleichverteilung) über alle zur Belieferung vorgesehenen
Einzelhändler.39
Kombinationsverfahren zur Korrektur der Belieferungsmenge:
AB B
MBR
=
+
PV
+
(1
-
GV
ϑ
ϑ
)
AB: Angepasster Bezug des Einzelhändlers
BMBR: Bezug des Einzelhändlers laut MBR vor der
Mengenanpassung
GV: Anteil je Einzelhändler aus der Gleichverteilung
PV: Anteil je Einzelhändler aus der Prozentualverteilung
ϑ
: Gewichtungsfaktor
(
)
0
1
≤
≤
ϑ
39 VDZ MBR-Broschüre 1981, 35-40.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 23
2.3.2 BKO - Bezugsregulierung für klein- und mittelauflagige Objekte
Im Gegensatz zur MBR wird die Regulierung mit dem BKO-Verfahren für klein- und mittel-
auflagige Objekte in größeren zeitlichen Abständen für kumulierte Liefer- und Remissions-
werte durchgeführt.40
Für den zurückliegenden Zeitraum (Sammelzeitraum) werden die durchschnittlichen Verkäufe
pro Ausgabe für jeden belieferten Einzelhändler ermittelt.
Die Verkaufsvorhersagen berechnen sich aus den aktuellen Durchschnittsverkäufen und den
alten Verkaufsvorhersagen mittels exponentieller Glättung erster Ordnung.
Ähnlich dem MBR-Verfahren werden die Verkaufsvorhersagen mit einer Zuschlagsmenge
versehen. Die Berücksichtigung von Sonderfällen sowie die Mengenanpassung erfolgt analog
dem MBR-Verfahren.
2.3.3 Kritische Anmerkungen zu den Verfahren der Bezugsregulierung
Die stärksten Kritiker der MBR findet man in den Reihen der Einzelhändler. Sie wehren sich
gegen das Dispositionsrecht der Grossisten. Ihr Hauptargument: Die vorgegebenen Liefermen-
gen seien bei umsatzstarken Titeln zu klein und bei umsatzschwachen Titeln zu groß.
Teile des Einzelhandels fordern die Dispositionsfreiheit des Einzelhandels. Brummund bezeich-
net diese Forderung als naiv und von „fachlichem Unverstand“ geprägt. Der Einzelhandel sei
niemals in der Lage, die eigene Disposition von ca. 1500 Pressetiteln zu übernehmen. Der
administrative Aufwand wäre von keinem Einzelhändler nur annähernd zu bewältigen.
Laut Brummund liegt die Hauptquelle für die teilweise falsche Steuerung durch das MBR beim
Einzelhandel selbst. Der größte Teil der Einzelhändler sei nicht in der Lage, die Remittenden-
sendungen und -scheine fehlerfrei zu bearbeiten.41
Probleme haben die MBR-Verfahren mit der Steuerung von kleinauflagigen Titeln. Als Ver-
fahrensmangel kann man dies aber nicht bezeichnen. Ein Titel mit einem geringen Verkaufs-
durchschnitt (VD) pro Einzelhändler ist wesentlich schwieriger zu steuern als ein Titel mit einem
hohen Verkaufsdurchschnitt. Bei einem Titel mit einem VD von zum Beispiel 2 Heften pro
Verkaufsstelle führt eine Verkaufsänderung von plus minus einem Heft zu wesentlich größeren
Schwankungen in der Remission, als bei einem Titel mit einem VD von 20 Heften.
40 VDZ MBR-Broschüre 1981, 64-69.
41 Brummund 1985, 236.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 24
Die wichtigsten Daten, die sich aus dem Einzelheftverkauf ergeben, sind die Remission und die
realisierte Verkaufsmenge, berechnet aus der Differenz von Bezug minus Remission.
Beide Daten werden über alle eingeschalteten Verkaufsstellen eines Grossogebietes aggregiert
und stellen die Datenbasis für die Verlagsprognose dar. Die Abstimmung zwischen Verlag und
Grossist sollte Liefermenge, erwarteten Verkauf und geplante Remission enthalten. Diese
Werte wiederum bilden die Grundlage für die Steuerung der MBR.
Die MBR-Verfahren berücksichtigen aber keinerlei verkaufsbeeinflussende Faktoren wie
Trendentwicklung, Saisonverläufe, Hefteffekte usw. Aus diesem Grund ist die MBR auch nicht
als Substitut der Verkaufsprognose der Verlage denkbar. Vielmehr muss auf beiden Seiten,
Verlage und Grossisten, eine Verbesserung der wechselseitigen Abstimmung zwischen MBR
und Verkaufsprognose erfolgen und parallel die Weiterentwicklung der Verfahren betrieben
werden.
2.3.4 Weiterentwicklung der MBR
Die Nachteile der klassischen MBR wurden im vorherigen Abschnitt schon ausführlich erör-
tert. Aus Sicht der Verlage liegen die Hauptmankos der klassischen MBR in der Nicht-
Berücksichtigung von Trend- und Saisoneinflüssen und in der mangelnden Prognosefähigkeit.
In Anbetracht dieser Nachteile wird von verschiedenen Seiten an der Verbesserung der MBR
gearbeitet. Bei allen Ansätzen spielen Verfahren der Zeitreihenanalyse eine entscheidende
Rolle. Nur so lassen sich mögliche Einflussfaktoren wie Saison, Trend, Werbung, Feiertage,
Schulferien etc. berücksichtigen.
Dabei kommen die unterschiedlichsten statistischen und mathematischen Verfahren zur An-
wendung. Neben speziellen Programmen für Tageszeitungen gibt es auch allgemeine Ansätze,
die die gesamte Zeitungs- und Zeitschriftenpalette umfassen. In einem Artikel von Udo Stein-
metz werden vier Verfahren vorgestellt.42 Das erste Verfahren ist ein Tageszeitungs-
Regulierungsprogramm, welches Trend- und Saisonkomponenten berücksichtigt. Ein weiteres
Verfahren wurde vom Axel Springer Verlag speziell zur Regulierung der Tageszeitung „Bild“
entwickelt. Die systematischen Vergangenheitsstrukturen werden dabei mit Hilfe neuronaler
Netze aufgedeckt und zur Verkaufsprognose verwandt.
42 Steinmetz 1997.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 25
Ein weiterer Ansatz wurde von Dillmann, der Vertriebsabteilung des Bauer Verlages und dem
Grossisten Probst Wuppertal entwickelt und zur Zeit erprobt. Dieses Verfahren basiert auf der
klassischen MBR-Methode und verwendet Verlagsprognose und Richtremission getrennt für
die Berechnung der Verkaufsvorhersage und der Reservemenge. Dabei bedient man sich einer
expost Simulation zur Berechnung des Reserverisikos mit Hilfe Bayes’scher Wahrscheinlich-
keitsmodelle.
Ein weiteres Bezugsregulierungsverfahren wird zur Zeit von IBM entwickelt. Wobei es bisher
nur zu Zwecken der Verlagsprognose verwendet werden kann. Die Prognose erfolgt mit Hilfe
von Markov-Prozessen.
Neben diesen Verfahren, die mehr oder weniger von einzelnen Verlagen oder Grossisten ent-
wickelt wurden, beschäftigten sich die MBR-Kommission des Presse-Grossos und die MBR-
Kommission des Verbandes der Zeitschriften-Verleger mit der Problematik der Optimierung
des Bezugsregulierungssystems und der Verkaufsprognose. Jeder Verband hat zur Zeit eine
eigene Testversion eingeführt. Die beiden Verfahren werden hinsichtlich Prognosequalität,
entgangener Verkauf, Remissionsquote, Ausverkaufsquote und Marktausschöpfungsgrad mit-
einander verglichen.
Ziel dieser ganzen Anstrengung ist die weitere Optimierung der Marktversorgung der Leser mit
Zeitungen und Zeitschriften, unter der Nebenbedingung, dass die Grenzkosten die Grenzerlöse
nicht übersteigen.
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 26
2.4 Ausgangssituation und Problemstellung
In den letzten Jahren ist das bestehende Grossosystem von Seiten der Verlage und des Einzel-
handels immer mehr unter Druck geraten.
Durch die zunehmende Konzentration im Einzelhandel hat sich dessen Marktmacht gegenüber
den Grossisten deutlich geändert. Der Einzelhandel verlangt besseren Service von den Gros-
sisten und eine deutlichere Konzentration auf die rentablen Titel.
Parallel zur Konzentrationsentwicklung im Einzelhandel stagnierte in den letzten Jahren der
Umsatz von Presseerzeugnissen über die Vertriebsschiene Presse-Grosso. Trotz verstärkter
Anstrengungen durch die Grossisten, zum Beispiel durch Steigerung der Anzahl von Verkaufs-
stellen, durch Aufbau eines Fachhandelskonzeptes mit zum Teil einheitlichen Marktauftritt und
Aufbau eines Kundenservices, konnten keine Umsatzsteigerungen erzielt werden. Im Gegen-
teil, einige Grossisten hatten sogar deutliche Umsatzrückgänge zu verzeichnen.
Auch die Verlage und da besonders die Großverlage setzen ihre Marktmacht gegenüber den
Grossisten immer stärker ein, indem sie zum Beispiel bei vielen ihrer Titel die Grossisten zur
Abnahme deutlich größerer Bezugsmengen verpflichten, durch Preissenkungen die Handels-
spannen für den Grossisten deutlich zurückfahren oder sich auf andere Absatzkanäle, wie
Abonnement, Sonderverkäufe, Lesezirkel, Bordexemplare usw. konzentrieren. Das latent
vorhandene Spannungsfeld zwischen den Interessen von Einzelhändlern, Grossisten und Verla-
gen hat zur deutlichen Verschärfung in den Konflikten der Marktteilnehmer im Pressevertrieb
geführt.
Ein erster Schritt zur Reduzierung des Konfliktpotentials könnte durch die Verlage erreicht
werden.
Bei der Wahl ihrer Mittel sollten sich die Verlage weniger von ihrem formalen Recht (wie Dis-
positionsrecht) leiten lassen, als vielmehr vom partnerschaftlichen Miteinander. Eine wichtige
Maßnahme wäre die Förderung der Transparenz in der Steuerung der geplanten mittelfristigen
Bezugsmenge.
Basis für eine Steuerung sollte die getrennte Prognose der Verkäufe für jeden einzelnen Gros-
sisten pro Ausgabe und Titel sein. Denn die inhomogenen Strukturen der einzelnen Grossoge-
biete und damit verbunden das unterschiedliche Kaufverhalten, finden bei einer Gesamtver-
kaufsprognose über alle Grossisten keine Berücksichtigung. Jeder Grossist sollte individuell
behandelt werden. Je genauer die Kennzahlen sind, die ihm vom Verlag zur Verfügung gestellt
werden, desto besser kann er im Sinne des Verlages die Verteilung der Bezugsmenge und den
Verkaufsprozess steuern.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung der oben erwähnten Verlagsmo-
delle zur individuellen Prognose der Verkäufe eines Titels für jeden einzelnen
2 Einführung in das deutsche Pressewesen 27
Grossisten. Die Prognoseergebnisse dienen den Vertriebsdisponenten in den Verlagen als
Hilfsmittel zur Optimierung der Bezugsmengen.
Dabei wird ein mittelfristiger Zeitraum von mehreren Ausgaben betrachtet. Der Disponent ist
damit in der Lage, nicht nur die nächste Ausgabe, sondern schon weitere zukünftige Ausgaben
zu planen.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 28
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen
Im ersten Schritt erfolgt die Bestandsaufnahme der Daten. Es handelt sich dabei um die Ver-
kaufsmeldung der Grossisten an die Verlage. Der größte Teil dieser Daten ist lediglich in
schriftlicher Form und nicht auf Datenträger verfügbar, da der Verlag, der seine Daten zum
Zwecke der Analyse zur Verfügung stellte, die Verkaufsmeldungen nur auszugsweise langfris-
tig speicherte.
Zum Zeitpunkt des Datenabzuges erhielten die Verlage zwei bis drei Wochen nach Beendi-
gung des Angebotszeitraums aus den Grossogebieten die folgenden Verkaufsmeldungen für
jedes ihrer Objekte:
1. Gesamte Liefermenge (Bezug), unterteilt in tatsächlich ausgelieferte Menge und einem La-
gerrest
2. Gesamtremission (Verlagsremission), unterteilt in Einzelhändlerremission und Lager-
remission
3. Anzahl der eingeschalteten Einzelhändler
4. Ausverkäufe, gegliedert nach der Anzahl der Einzelhändler, die zum erstenmal, zweitenmal,
drittenmal oder sogar zum viertenmal hintereinander ausverkauft waren.
5. Nullverkäufe
6. Gesamtbezugsmenge der Einzelhändler mit Nullverkäufen
7. Verkaufsdurchschnitt der belieferten Einzelhändler
Neben den aktuellen Daten enthält der Computerausschnitt auch einige Daten des Vorjahres.
Dies sind Verlagsremission des Vorjahres, gesamter Verkauf, gesamte Bezugsmenge und An-
teil der Remittenden am gesamten Bezug (in %).
Aus dem oben genannten Satz von Variablen werden die Variablen Verkauf und Bezug he-
rausgegriffen und näher untersucht.
Beispielhaft wird die Vorgehensweise bei der Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen
an den drei Grossisten SüdWest Vertrieb Friedrichshafen, Carlsen Kiel und Lütkemeyer
Münster erörtert.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 29
3.1 Visuelle Beschreibung der Daten
Die graphische Darstellung ermöglicht einen ersten Überblick über die Zeitreihendaten. Trend-
und Saisonverläufe lassen sich erkennen. Zusätzlich erhält man Hinweise über den möglichen
funktionalen Zusammenhang, über Ausreißer, Strukturbrüche und Wendepunkte.
All diese Hinweise sind für die spätere Modellentwicklung und -implementierung von entschei-
dender Bedeutung.
Die graphische Darstellung der Zeitreihenwerte bietet aber noch einen weiteren Vorteil. An-
hand der Graphiken lässt sich gut erkennen, ob eine Transformation der Daten notwendig ist
oder nicht.43 Zeitreihen, die zum Beispiel einen exponentiellen Wachstumsverlauf besitzen,
lassen sich durch Logarithmieren in Zeitreihen mit einfacher linearer Trendentwicklung trans-
formieren.
Die folgenden drei Graphiken stellen die absoluten Verkaufszahlen der untersuchten Special
Interest Zeitschrift für den Zeitraum 1/92 bis 6/96 für die drei Grossisten SüdWest Vertrieb
Friedrichshafen, Carlsen Kiel und Lütkemeyer Münster dar:
Verkauf SüdWest Vertrieb Friedrichshafen
0
50
100
150
200
250
300
1992 1993 1994 1995 1996
43 Chatfield 1985, 7.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 30
Verkauf Carlsen Kiel
0
200
400
600
800
1992 1993 1994 1995 1996
Verkauf Lütkemeyer Münster
0
100
200
300
400
1992 1993 1994 1995 1996
(EViews 2.0)
Bei den Grossisten SWV Friedrichshafen und Carlsen Kiel fällt der Saisonverlauf mit den
Spitzen in den Sommermonaten Juli und August sofort ins Auge. Er scheint bis auf einzelne
Ausnahmen recht stabil zu sein. Beide Grossogebiete liegen in Regionen mit hervorragenden
Freizeitmöglichkeiten und profitieren offensichtlich von der Ferienzeit im Sommer.
Zur Beschreibung der stabilen Saisonverläufe bietet sich als einfaches Modell ein additives
Saisonmodell an. Eine genauere Prüfung der Modellstruktur erfolgt im Kapitel 5. Wende-
punkte, Strukturbrüche und Ausreißer lassen sich nicht in den Graphen der Grossisten SWV
Friedrichshafen und Carlsen Kiel erkennen.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 31
Die visuelle Überprüfung der Verkaufsdaten des Grossisten Lütkemeyer Münster zeigt keinen
Saisoneinfluss. Faktoren wie Ferienzeit scheinen keinen Einfluss auf die Verkaufszahlen zu
haben. Wendepunkte, Strukturbrüche oder Ausreißer sind ebenfalls nicht erkennbar.
Die Trendentwicklung der Verkaufsdaten spielt in allen drei Grossogebieten eine untergeord-
nete Rolle. Auch auf diesen Aspekt gehen wir zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal näher
ein.
Neben den Verkaufszahlen wird die gesamte Bezugsmenge (Liefermenge), die der Grossist
pro Ausgabe und Titel vom Verlag erhält, betrachtet. Verkauf und gesamte Bezugsmenge
stehen in einer Wechselbeziehung zueinander.
Die Bezugsmenge der Grossisten stellt die jeweilige Obergrenze des Verkaufs dar. Diese O-
bergrenze lässt sich praktisch nicht erreichen, da die Verteilung der Bezugsmenge auf die Ein-
zelhändler durch die stark vagabundierende Nachfrage niemals optimal zu lösen ist. 44
Das Verhältnis zwischen Verkauf und Bezug sollte aber einigermaßen stabil sein und keinen
starken Schwankungen unterliegen. Die Planung der Verkaufs- und Bezugsmenge sollte si-
multan mit dem Ziel erfolgen, die Nachfrage flächendeckend zu befriedigen bei gleichzeitiger
Stabilisierung der Remission auf einem möglichst niedrigen Niveau. Die Identifizierung der
Verkaufsschwankungen, resultierend aus Saison, mehrjährigen zyklischen Schwankungen oder
Einzelereignissen stellen dabei eine notwendige Voraussetzung dar.45
44 Brummund 1985, 135-136.
45 VDZ, BDZV und Presse-Grosso 1993, 14-15.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 32
Bezug und Verkauf SüdWest Friedrichshafen
0
100
200
300
400
500
600
1992 1993 1994 1995 1996
BEZUGFRIEDRICHSH VERKFRIEDRICHSH
Bezug und Verkauf Carlsen Kiel
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1992 1993 1994 1995 1996
BEZUGKIELCARLSEN VERKKIELCARLSEN
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 33
Bezug und Verkauf Lütkemeyer Münster
0
100
200
300
400
500
600
1992 1993 1994 1995 1996
BEZUGMUENSTERLUE VERKMUENSTERLUE
(EViews 2.0)
In den Grossogebieten Carlsen Kiel und SWV Friedrichshafen, in denen ein systematischer
Verlauf der Daten erkennbar ist, ist die Abstimmung zwischen Bezugs- und Verkaufsmenge
recht gut ausgefallen. Der Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson46 liegt für beide
Grossisten nahe bei 1. Für Kiel beträgt r = 0,931 und für Friedsrichshafen r = 0,964.
Anders sieht es beim Grossisten Lütkemeyer Münster aus. Hier lassen sich kaum systemati-
sche Strukturen zwischen Verkaufsdaten und Bezugsmenge erkennen. Leichte Veränderungen
der Bezugsmenge scheinen keine erkennbaren Auswirkungen auf die Verkaufszahlen zu haben.
Mit einem Wert von r = 0,331 fällt die Korrelation zwischen Bezug und Verkauf recht gering
aus.
Eine weitere wichtige Größe, die als Maßstab für die Qualität der Verkaufssteuerung verwen-
det wird, ist die Remission. Sie ist als Differenz zwischen Bezugs- und Verkaufsmenge defi-
niert. Für die drei Grossisten werden die Remissionswerte graphisch aufbereitet.
46 Bamberg/Baur 1998, 36-38.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 34
Remission SüdWest Friedrichshafen
0
50
100
150
200
250
1992 1993 1994 1995 1996
REMIFRIEDRICHSH
Remission Carlsen Kiel
0
200
400
600
800
1000
1992 1993 1994 1995 1996
REMIKIELCARLSEN
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 35
Remission Lütkemeyer Münster
0
50
100
150
200
250
300
350
1992 1993 1994 1995 1996
REMIMUENSTERLUE
(EViews 2.0)
Die graphischen Darstellungen der absoluten Remissionswerte liefern keine zusätzlichen Er-
kenntnisse. Die Saisonverläufe für die Grossisten Carlsen und SWV finden sich auch bei den
Darstellungen der Remissionswerte wieder. Der Verlauf der Remissionskurve des Grossisten
Lütkemeyer liefert hingegen keinerlei Erkenntnisse über mögliche systematische Strukturen in
den Daten.
Um unabhängig vom Niveau der absoluten Remissions- und Bezugszahlen zu werden, bietet
sich die Berechnung der Remissionsquote an. Die Remissionsquote ist definiert als das Ver-
hältnis aus Remission zu Bezug. Dieses Verhältnis kann in Anteilswerten oder Prozentwerten
angegeben werden. Ziel des Vertriebes ist es, dieses Verhältnis einigermaßen stabil zu halten.
Dabei geht man von dem funktionalen Zusammenhang aus, dass bei steigenden Verkäufen und
gleichbleibender Einzelhändler-Einschaltquote die Remissionsquote leicht sinkt.
Grosso und Verlage haben dazu die Tabelle der Remissions-Richtwerte aufgestellt, die den
Zusammenhang zwischen Verkaufsdurchschnitt pro Einzelhändler und durchschnittlicher Re-
missionsquote darstellt.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 36
Tabelle der Remissions-Richtwerte: 47
Verkaufs-
durchschnitt *
Remissions-
quote in %
1,0 50
1,5 46
2,0 42
2,5 39
3,0 37
3,5 35
4,0 33
4,5 31
5,0 29
6,0 27
7,0 25
9,0 24
10,0 23
12,5 22
15,0 21
20,0 20
(Die Tabelle gilt nur für EH-regulierte Titel)
* Der Verkaufsdurchschnitt (VD) errechnet sich gebietsindividuell aus dem Gesamtver-
kauf eines Titels dividiert durch die Anzahl der belieferten EH.
47 VDZ, BDZV und Presse-Grosso 1993, 27 ff.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 37
Remissionsquote SüdWest Friedrichshafen
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1992 1993 1994 1995 1996
REMIQUOTFRIEDRIC
Remissionsquote Carlsen Kiel
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
1992 1993 1994 1995 1996
REMIQUOTKIELCARL
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 38
Remissionsquote Lütkemeyer Münster
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
1992 1993 1994 1995 1996
REMIQUOTMUENSTER
(EViews 2.0)
Bei allen drei Grossisten ist das Verhältnis Remission / Bezug recht instabil. Die Höhe der Re-
missionsquoten scheint unabhängig von der verkauften Menge starken Schwankungen unter-
worfen zu sein. Der Verdacht liegt nahe, dass überhöhte Bezüge in den Markt gebracht wur-
den, die jedoch nur zu einem geringen Anstieg der verkauften Menge im Grossogebiet geführt
haben.
Die Gründe könnten in der zu groben Vorhersage der Bezugs- und Verkaufsmengen liegen
oder in den zufälligen Nachfrageschwankungen zu suchen sein.
Resümee der visuellen Beschreibung:
1. Sind systematische Einflüsse in den Graphiken erkennbar, so handelt es sich um saisonale.
Trends, Ausreißer, Strukturbrüche usw. lassen sich nicht erkennen.
2. Die Schwankungen der absoluten Remissionszahlen decken sich nur teilweise mit den Ver-
kaufsschwankungen.
3. Die Remissionsquote (Remission / Bezug) unterliegt sehr starken Schwankungen, die keine
Systematik erkennen lassen.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 39
3.2 Beschreibung stationärer Prozesse
Nach der graphischen Darstellung der Zeitreihen erfolgt die Beschreibung derselben durch
geeignete Maßzahlen. Zur Berechnung der Momente einer Zeitreihe, aber auch für die An-
wendung der meisten Methoden der Zeitreihenanalyse ist eine stationäre Reihe erforderlich.
Ausgehend von der visuellen Betrachtung bedeutet stationär, dass keine regelmäßigen (syste-
matischen) Strukturen zu erkennen sind.48
Eine knappe und sehr schöne verbale Erläuterung der Stationarität findet man bei Chatfield.49
„Broadly speaking a time series is said to be stationary if there is no systematic
change in mean (no trend), if there is no systematic change in variance, and if strictly
periodic variations have been removed.“
Eine vielfach angewandte Methode zur Erzielung der Stationarität stellt die Bereinigung der
beobachteten Zeitreihe um die vorhandenen systematischen Teile, wie Trend, Zyklus und/oder
Saison dar. Recht einfach gestaltet sich die Beschreibung der Zeitreihe, wenn die nach der
Bereinigung übrig gebliebene irreguläre Komponente den Bedingungen eines White-Noise-
Prozesses genügt. Auf Seite 44 findet man die Definition eines White-Noise-Prozesses.
Zum Verständnis der Stationarität einer Zeitreihe ist die theoretische Betrachtung von sto-
chastischen Prozessen von großer Bedeutung. Neben den deterministischen Zeitreihenmodel-
len, bei denen lediglich der Störterm als stochastischer Prozess betrachtet wird, spielt die
Klasse der Zeitreihenmodelle, die sich komplett aus stochastischen Prozessen zusammenset-
zen, eine wichtige Rolle.
Box und Jenkins stellen in ihrem Klassiker „Time Series Analysis“ heraus, dass es in der Zeit-
reihenanalyse kaum möglich ist, ein zeitabhängiges Phänomen exakt mit einem deterministi-
schen Modell zu beschreiben und genaue Kalkulationen für die Zukunft zu erhalten. Als ein
Beispiel nennen Box und Jenkins die monatlichen Verkaufszahlen einer Zeitschrift. Unbekannte
Faktoren treten in den meisten zeitabhängigen Phänomenen auf. Modelle, die diese Unsicher-
heiten berücksichtigen, nennt man stochastische Modelle.50
48 Schlittgen/Streitberg 1989, 3.
49 Chatfield 1985, 14.
50 Box/Jenkins 1970, 7.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 40
Ein stochastischer Prozess in der Zeit unterliegt den Axiomen und Regeln der Wahrscheinlich-
keitsrechnung. Wie alle Zufallsvorgänge51, so lassen sich auch die stochastischen Prozesse in
der Zeit durch Zufallsvariablen beschreiben. Eine Zufallsvariable ist eine „Abbildung
X:
Ω
→
R , die jedem Elementarereignis ω aus Ω genau eine reelle Zahl x ∈ R zuordnet“.52
Ein stochastischer Prozess in der Zeit lässt sich als Folge von Zufallsvariablen auffassen, wobei
jedem Zeitpunkt t eine Zufallsvariable Xt zugeordnet wird . Bei stochastischen Prozessen in
der Zeit sind in der Regel die einzelnen Zufallsvariablen Xt abhängig voneinander. Gerade die-
se Abhängigkeitsstruktur soll mit geeigneten Modellen ausreichend beschrieben und erklärt
werden.53
Bei Vorlage einer konkreten Zeitreihe ist jeder Beobachtungswert xt als Realisation der ent-
sprechenden Zufallsvariable Xt zu verstehen. Die gesamten ermittelten Verkaufsdaten eines
Grossogebietes sind lediglich eine mögliche Realisation des stochastischen Prozesses. Man
unterscheidet dabei zwischen stochastischen Prozessen in diskreter oder stetiger Zeit.54
Die Realisationen der Verkaufszahlen liegen als diskrete Werte vor und werden auch als sol-
che analysiert. Beim eigentlichen Verkaufsprozess handelt es sich aber um einen stetigen Pro-
zess. Betrachtet man den Angebotszeitraum, so müsste die Verteilung der Verkaufszahlen als
stark linkssteil dargestellt werden. Aufgrund langjähriger Erfahrungen des Verlages wird näm-
lich der Großteil des Verkaufs in den ersten Angebotstagen getätigt.
Die Zeitreihenanalyse beschäftigt sich mit den Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmodells,
das den konkreten Realisationen einer Zeitreihe zugrunde liegt.
Ein stochastischer Prozess lässt sich eindeutig über seine endlich-dimensionale Verteilungs-
funktion definieren. Voraussetzung ist nur, dass die Verteilungsfunktion bekannt ist. Dies ist die
Kernaussage des Konsistenztheorems von Kolmogorov. In der praktischen Anwendung inte-
ressiert man sich aber vielmehr für die Momente des stochastischen Prozesses und da beson-
ders für die Momente erster und zweiter Ordnung.55
Die Momente eines stochastischen Prozesses Xt {t ∈ T; mit T definiert auf ΖΖ} in diskreter Zeit
sind Erwartungswert µ(t), Varianz σ(t), Autokovarianz γ(t). Durch Normierung lässt sich aus
der Autokovarianz die Autokorrelation ρ(t) bestimmen.
51 Kraft/Landes 1996, 41.
52 Kraft/Landes 1996, 47.
53 Schlittgen/Streitberg 1989, 76.
54 Chatfield 1985, 33.
55 Schlittgen/Streitberg 1989, 74.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 41
( )
µσγ
γµ µ
ρσ σ
( ) ( ) ;( ) ( ) ( ,)
(,) ( ,) [ ( )][ ( )]
(,)(,)
( ) ( ) (,)
tEXtVar Xt t
stCov X X EXsXt
stCov X X
stmitstT
t t
stst
st
= = =
= = − −
=∈
2
2 2
Die aufgeführten ersten und zweiten Momente sind Grundgesamtheitsparameter. Im Rahmen
der beschreibenden Statistik beschäftigen wir uns mit den Momenten der Zufallsstichprobe.
3.2.1 Beschreibende Momente von empirischen Zeitreihen
Arithmetisches Mittel: x x
Nt
t
N
==
∑
1
1
Varianz: sx x
Nt
t
N
212
1
= −
=
∑( )
Autokovarianzkoeffizient : cx x x x
kNt t k
t
Nk
= − −
+
=
−
∑
1
1( )( ) für das lag k
(mit k = 0, 1, 2, ... , N-1)
Autokorrelationskoeffizient: r
x x x x
x x
k
t t k
t
Nk
t
t
N
=
− −
−
+
=
−
=
∑
∑
( ) ( )
( )
1
2
1
für das lag k
es gilt: rcc
kk
=0
Höhere Momente eines stochastischen Prozesses können zwar gebildet werden, haben aber
kaum praktische Bedeutung.56
Die aufgeführten empirischen Momente sollten nicht unkritisch als Schätzer für die Grundge-
samtheitsparameter einer Zeitreihe verwendet werden. Zum Beispiel ist der Schätzer
c
k für
den Autokovarianzkoeffizienten nur asymptotisch erwartungstreu. Eine Methode bei endlichen
Stichproben die Verzerrung zu reduzieren, besteht zum Beispiel
56 Chatfield 1985, 34-35.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 42
in der Verwendung der „Jackknife“ Methode. Der Bias reduziert sich dabei von
1N
auf
12
N. Die Zeitreihe wird dazu in zwei Teile geteilt. Neben der Schätzung
c
k wird für jeden
Teil eine separate Schätzung
c
k1 und
c
k2 durchgeführt. Die Verknüpfung erfolgt folgender-
maßen:
~
( )c c c c
k k k k
= − +2121 2 .
Die „Jackknife“ Methode lässt sich auch auf die Schätzung des Autokorrelationskoeffizient
übertragen, dadurch wird ebenfalls eine Reduzierung des Bias erreicht.57
3.2.2 Definition stationärer Prozesse
Für das weitere Verständnis, insbesondere der Identifikationstests, ist die genaue Definition
eines stationären Prozesses unerlässlich. Zu unterscheiden ist dabei die schwache Stationarität
(Stationarität zweiter Ordnung) von der strengen (Stationarität erster Ordnung).
Im vorherigen Teil wurde eine Zeitreihe als Folge von Zufallsvariablen vorgestellt. Jede Zufalls-
variable Xt kann maximal eine einzige Realisierung xt (mit t = 1, 2, ... , N) aufweisen. Um eine
solche Folge von N Zufallsvariablen allein mit Erwartungswerten und Varianzen zu beschrei-
ben, müssten 2N Grundgesamtheitsparameter geschätzt werden, ein unmögliches Unterfangen.
Aus diesem Grund müssen Restriktionen formuliert werden. Bei der Modellbildung können nur
solche stochastischen Prozesse verwendet werden, die diese Restriktionen erfüllen.
3.2.2.1 Schwache Stationarität oder Stationarität zweiter Ordnung
Für die schwache Stationarität ist zu fordern, dass die Erwartungswerte und Varianzen im
betrachteten Zeitraum konstant sind. Des weiteren dürfen die Kovarianzen nur noch von den
Abständen zwischen den Zeitpunkten (vom lag k) abhängen und nicht von den einzelnen Zeit-
punkten. „Ein schwach stationärer Prozess wird also, was seine Momente erster und zweiter
Ordnung betrifft, das gleiche Verhaltensmuster zeigen, gleichgültig in welchem Zeitintervall wir
den Prozeß beobachten.“58
57 Chatfield 1985, Kap. 4.1.
58 Schlittgen/Streitberg 1989, 80.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 43
Definition:
Ein stochastischer Prozess Xt (für t = 1, 2, 3, ... , N) erfüllt die Bedingungen für die schwache
Stationarität, wenn er:
1) mittelwertstationär ist:
[
]
E X t( ) =
µ
2) varianzstationär ist:
[
]
Var Xt( ) =
σ
2
3) kovarianzstationär ist:
[
]
Cov XtXtk k(), ( ) ( )+ = γ (mit k = 1, 2, ... , N-1)
(Bemerkung: Ein Prozess der kovarianzstationär ist, muss auch varianzstationär sein.)59
3.2.2.2 Strenge Stationarität oder Stationarität erster Ordnung
Für die Definition der strengen Stationarität reicht im allgemeinen die Mittelwert-, Varianz- und
Kovarianzstationarität nicht aus. Die Definition der strengen Stationarität erfolgt daher nicht
über die Momente, sondern über die gemeinsame Verteilungsfunktion der Folge von Zufalls-
variablen.
Definition:
Eine Zeitreihe wird als streng stationär bezeichnet, wenn die Zufallsvariablen X(t1), .... , X(tN),
dieselbe gemeinsame Verteilungsfunktion besitzen wie die Zufallsvariablen X(t1+k),....., X(tN+k)
für alle Werte von t1,....., tN, k. Die Verschiebung des Ursprungspunktes der Zeitreihe hat
keinen Effekt auf die gemeinsame Verteilung. Diese Definition gilt für beliebige Stichproben-
umfänge N.60
Die Struktur von vielen Prozessen lässt sich ausreichend mit den ersten und zweiten Momenten
beschreiben. Prozesse, deren Verteilung normalverteilt ist, haben dabei eine besonders nützli-
che Eigenschaft. Erfüllen die beiden ersten Momente des Prozesses die Definition der weichen
Stationarität und ist der Prozess obendrein noch multivariat normalverteilt, so ist damit die
Bedingung der strengen Stationarität erfüllt.
Bei nicht normalverteilten Prozessen reichen hingegen µ und γ(k) nicht aus, um den Prozess
ausreichend zu beschreiben.61
59 Schlittgen/Streitberg 1989, 79.
60 Chatfield 1985, 35 und Schlittgen/Streiberg 1989, 83.
61 Chatfield 1985, 35-37.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 44
3.2.3 Zwei wichtige stochastische Prozesse
Zu Beginn dieses Abschnittes hatten wir schon die Idee des stochastischen Prozesses auf die
Zeitreihenanalyse übertragen. Zum weiteren Verständnis ist es hilfreich, den White-Noise-
Prozess und den Random-Walk-Prozess kurz vorzustellen.62
1. White-Noise-Prozess (Einfacher Zufallsprozess)
Def.: Ein White-Noise-Prozess Xt liegt vor, wenn die Zufallsvariablen eines diskreten Prozes-
ses in der Zeit voneinander unabhängig und identisch verteilt sind. Aus der Definition ergibt
sich, dass die Erwartungswerte und die Varianzen eines White-Noise-Prozesses für alle Zu-
fallsvariablen konstant sind und die Autokorrelationsfunktion (ACF) für alle „lags“ (k = ±1,
±2, ±3, ..... ) Null ist.
Für die ACF gilt: ρ( ) , ,........
kk
k
==
= ± ±
1 0
0 1 2
White-Noise-Prozesse (einfache Zufallsprozesse) sind für sich betrachtet eher uninteressant.
Interessant werden sie erst als Bestandteil von komplizierteren Prozessen, z.B. von Moving-
Average-Prozessen. White-Noise-Prozesse erfüllen die Bedingung der strengen Stationarität,
ihre gemeinsame Verteilungsfunktion verändert sich nicht durch Verschiebung auf der Zeitach-
se.
2. Random-Walk-Prozess
Ein Prozess Xt wird als Random-Walk bezeichnet, wenn gilt:
X X
e
t t t
=
+
−1
Dabei ist et ein diskreter einfacher Zufallsprozess mit Erwartungswert µ und Varianz σ2e. Für t
= 0 startet der Prozess in der Regel mit dem Wert 0:
Xeund Xe
t i
i
t
1 1
1
= =
=
∑
Erwartungswert: E(Xt) = t µ Varianz: Var(Xt) = t σ2z
Der Random-Walk-Prozess ist somit nicht stationär, da sich der Erwartungswert und die Va-
rianz mit der Zeit verändern. Um einen Random-Walk-Prozess in eine stationäre Form umzu-
wandeln, bildet man die Differenzen erster Ordnung:
eX
X
t t t
=
−
−1
62 Chatfield 1985, 39-41 und Schlittgen/Streitberg 1989, 71-73.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 45
3.3 Beschreibung und Identifikation der Verkaufsdaten am Beispiel
des Grossisten Lütkemeyer Münster
Die graphische Überprüfung der Verkaufszahlen des Grossisten Lütkemeyer lieferte keinerlei
Anhaltspunkte für systematische Strukturen wie Trend, Zyklus oder Saison.
Aus dieser Erkenntnis heraus erfolgt eine weitere Identifikation der betrachteten Zeitreihe, die
Überprüfung der Stationarität. Sie ist eine der fundamentalen Schritte in der Zeitreihenanalyse.
Wie in vielen Bereichen der Statistik, so gibt es auch hier eine Reihe von möglichen Verfahren
oder Tests, die je nach Datenlage mehr oder weniger geeignet sind.
Die weiteren zu prüfenden Eigenschaften sind die Normalverteilungsannahme, die Abhängig-
keit oder Unabhängigkeit der Zeitreihenwerte voneinander und die Form der Abhängigkeit,
linear oder nicht linear.
Die Erkenntnisse, die aus der Identifikation der Zeitreihe gewonnen werden, beeinflussen
nachhaltig das weitere Vorgehen innerhalb der Zeitreihenanalyse.63
3.3.1 Überprüfung der Autokorrelation und partiellen Autokorrelation
Die Überprüfung der Autokorrelation und der partiellen Autokorrelation liefert erste wichtige
Hinweise über die Struktur der vorliegenden Daten und dem eventuell zugrunde liegenden
Prozess. Besonders anschaulich sind dabei die Korrelogrammdarstellungen.
Anhand des Korrelogramms der Autokorrelationsfunktion lässt sich zum Beispiel feststellen,
ob die empirische Zeitreihe den Bedingungen eines White-Noise-Prozesses genügt oder ob
andere Prozesse wie Moving-Average- oder Autoregressive-Prozesse in Betracht kommen.
Zeitreihen, die trendbehaftet sind, weisen zum Beispiel recht hohe positive Autokorrelations-
werte auf, die mit zunehmenden lag k nur langsam abnehmen. Derartige Zeitreihen verletzen
unter anderem die Bedingung der Mittelwertstationarität.
Bei Zeitreihen, die stark saisonbehaftet sind, finden sich dieselben Frequenzen im Korre-
logramm wieder. Die Dominanz der Saison lässt in der Regel keinerlei weitere strukturelle
Einflüsse erkennen. Erst nach einer Saisonbereinigung kann das Korrelogramm weitere wichti-
ge Informationen liefern.
63 Cromwell/Labys/Terraza 1994.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 46
Alternierende Zeitreihen lassen sich ebenfalls recht gut mit Hilfe des Korrelogramms erkennen.
Das Vorzeichen der Autokorrelationskoeffizienten wechselt dabei von Koeffizient zu Koeffi-
zient.
3.3.1.1 Autokorrelation (AC) und Korrelogramm
Chatfield schlägt folgende vereinfachte empirische Autokorrelationsfunktion (ACF) vor:64
Empirischer Autokorrelationskoeffizient für das lag k:
t -ter Wert der Zeitreihe mit t =1, 2, ... , N
x : arithmetisches Mittel der beobachteten Zeitreihe
k : k -te lag mit k =1, 2, ... , m <N
r
x x x x
x x
x
k
t t k
t
Nk
t
t
N
t
=
− −
−
+
=
−
=
∑
∑
( )( )
( )
:
1
2
1
Für die praktische Anwendung sollte man auf die Berechnung von rk Werten mit zu großen
lags verzichten. Als Faustregel kann gelten: kN4
≤.
Die Berechnung des Autokorrelationskoeffizienten erfolgt in den Programmen EViews 2.065
und SPSS/PC 6.1.366 mit der angegebenen Berechnungsformel.
Für jedes lag k wird der Wert der Autokorrelationskoeffizienten berechnet und graphisch im
Korrelogramm dargestellt.
Das Korrelogramm auf der nächsten Seite enthält die Autokorrelationswerte für die lags k mit
k = 1, ... ,13.
64 Chatfield 1985, 24.
65 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 142.
66 Fieger/Toutenburg 1995, 97.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 47
Autocorrelations: VMUENSTE
Auto- Stand.
Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob.
+----+----+----+----+----+----+----+----+
1 ,078 ,132 . |** . ,343 ,558
2 -,062 ,131 . *| . ,566 ,753
3 ,030 ,130 . |* . ,620 ,892
4 ,194 ,129 . |****. 2,889 ,577
5 ,184 ,127 . |****. 4,971 ,419
6 -,061 ,126 . *| . 5,209 ,517
7 ,158 ,125 . |*** . 6,810 ,449
8 ,157 ,123 . |*** . 8,432 ,392
9 -,094 ,122 . **| . 9,025 ,435
10 -,158 ,121 . ***| . 10,743 ,378
11 ,094 ,119 . |** . 11,367 ,413
12 ,334 ,118 . |****.** 19,383 ,080
13 -,131 ,116 . ***| . 20,653 ,080
Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits .
Total cases: 54 Computable first lags: 53
Hi-Res Chart # 3:Acf für vmuenste
(SPSS/PC 6.1.3)
Die empirische Zeitreihe umfasst 54 Fälle. Je höher die Ordnung des berechneten lags, desto
kleiner wird die Anzahl der Summanden im Zähler, der Nenner bleibt davon unberührt.
Die erste Spalte enthält die lags von 1 bis 13. Die jeweiligen Autokorrelationskoeffizienten
befinden sich in der zweiten Spalte. Die dritte Spalte enthält die zugehörigen Standardfehler.
Unterstellt man hinsichtlich der theoretischen Autokorrelationsfunktion, dass ab einem endli-
chen k alle Autokorrelationskoeffizienten Null sind, so kann approximativ zur Bestimmung der
Standardabweichung (Standardfehler) die Formel von Bartlett verwendet werden.67
Standardfehler der r nach Bartlett:
k
SE r r
kNk
i
k
( ) ( )= +
=
∑
12
1
1 2
67 Box/Jenkins 1970, 34-36.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 48
Geht man davon aus, dass der zugrunde liegende Prozess die Bedingungen eines White-
Noise-Prozesses erfüllt, so vereinfacht sich die Berechnung des Standardfehlers für die rk. Bei
einem White-Noise-Prozess ist die Unabhängigkeit der einzelnen Zeitreihenwerte gegeben,
das heißt, dass die Zeitreihe der Beobachtungswerte N rein zufällig verteilt ist.
Standardfehler von rk nach dem Unabhängigkeitsmodell:
SE rN
k
( ) =1
Für jeden Autokorrelationskoeffizient rk enthält das Korrelogramm die kritischen Grenzen zur
Überprüfung der Hypothese, dass der Koeffizient signifikant von Null verschieden ist.
Hypothesen: H0: rk = 0 H1: rk ≠ 0
Für rein zufällige Zeitreihen genügt die Verteilung der Autokorrelationskoeffizienten approxi-
mativ der Normalverteilung.
Bei einer vorgegebenen Aussagesicherheit von gut 95% ergeben sich somit die Grenzen des
Nicht-Ablehnungsbereichs der H0-Hypothese durch ± = ±2 SE(rk)21N. 68
Das Korrelogramm von Lütkemeyer Münster weist lediglich für das lag 12 einen Wert auf,
der bei einer Aussagesicherheit von 95% im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt. Die
übrigen Werte liegen alle im Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
Die signifikante Abweichung für das lag 12 lässt die Vermutung zu, dass die einzelnen monatli-
chen Ausgaben mit den entsprechenden Ausgaben des nachfolgenden Jahres leicht positiv
korrelieren. In diesem Zusammenhang liefert die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF)
wichtige Erkenntnisse. Sie bereinigt den jeweiligen Autokorrelationskoeffizienten von den Ein-
flüssen niedrigerer lags. Die PACF wird auf der folgenden Seite vorgestellt.
Neben dem Korrelogramm berechnet das Programm SPSS die Werte der Box-Ljung Q-
Statistik mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für den α-Fehler. Die Box-Ljung Q-
Statistik testet die Hypothese, dass keiner der Korrelationskoeffizienten von 1 bis zum lag k
von Null verschieden ist. Die Alternativhypothese lautet dementsprechend, dass mindestens ein
Koeffizient von Null verschieden ist. Für das lag der Ordnung 13 liegt die Wahrscheinlichkeit
für den α-Fehler noch bei 8%. Unterstellt man einen α-Fehler von 5%, so ließe sich die Null-
hypothese nicht verwerfen. Man bliebe bei der
68 Mills 1990, 65.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 49
Aussage, dass alle Koeffizienten, die kleiner gleich 13 sind, nicht signifikant von Null verschie-
den sind.
3.3.1.2 Partielle Autokorrelation (PAC)
Die Berechnung der partiellen Autokorrelation ist notwendig, um festzustellen, ob die Auto-
korrelation der Ordnung k in erster Linie auf das k-te lag zurückzuführen ist oder auf die Au-
tokorrelationen der lags mit niedrigerer Ordnung als k {i < k, mit i = 1, 2, ... , k-1}.
Der partielle Autokorrelationskoeffizient für das lag k ist definiert als der partielle Regressions-
koeffizient einer Autoregression der Ordnung k:
Autoregressionsgleichung
x x x x e
tktktkk tkt
ki
:
= + + + +
− − −
β β β
β
1 1 2 2 K
: Regressionskoeffizienten mit i =1, 2, ... , k
e : t-ter Störterm
t
Die Autoregressionskoeffizienten lassen sich nur schätzen, real beobachtbar sind sie nicht. Die
nachfolgend dargestellte partielle Autokorrelation enthält die Schätzung der Regressionskoeffi-
zienten der Stichprobe (sample partial autocorrelation). Die Schätzung der Koeffizienten $
βkj
erfolgt rekursiv mit folgender Gleichung:
Partielle Autokorrelation der Stichprobe:
: Autokorrelationskoeffizienten mit j=1, 2, ... , k-1
Partielle Autokorrelationskoeffizienten
$
$
$
$:
,
,
β
β
β
β
kk
k k jkj
j
k
kj j
j
k
j
r r
r
r
=
−
−
− −
=
−
−
=
−
∑
∑
1
1
1
1
1
1
1
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 50
Unter der Annahme, dass die betrachtete Zeitreihe einem White-Noise-Prozess genügt, lässt
sich die Varianz der partiellen Autokorrelationskoeffizienten durch folgende Approximation
berechnen: V( kk N
$)β = 1.
Die Nullhypothese, dass die einzelnen partiellen Autokorrelationskoeffizienten Null betragen,
besitzt bei einer Aussagesicherheit von 95% einen Nicht-Ablehnungsbereich von näherungs-
weise ±2N. Dabei wird unterstellt, dass die Verteilung der Zeitreihenwerte approximativ
normalverteilt ist.69
Partial Autocorrelations: VMUENSTE
Pr-Aut- Stand.
Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1
+----+----+----+----+----+----+----+----+
1 ,078 ,136 . |** .
2 -,068 ,136 . *| .
3 ,041 ,136 . |* .
4 ,186 ,136 . |****.
5 ,165 ,136 . |*** .
6 -,066 ,136 . *| .
7 ,188 ,136 . |****.
8 ,094 ,136 . |** .
9 -,166 ,136 . ***| .
10 -,162 ,136 . ***| .
11 ,074 ,136 . |* .
12 ,244 ,136 . |*****
13 -,176 ,136 .****| .
Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error
Limits .
Total cases: 54 Computable first lags: 53
(SPSS/PC 6.1.3)
Die Korrelogramme der Autokorrelationsfunktion und der partiellen Autokorrelationsfunktion
weisen kaum Unterschiede auf. Das bedeutet, dass die einzelnen Korrelationen auf das jewei-
lige k-te lag zurückzuführen sind und nicht auf lags kleinerer Ordnung.
Für das lag 12 liegt der partielle Autokorrelationskoeffizient knapp im Nicht-
Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
Beide Korrelogramme sowie die Werte der Box-Ljung Q-Statistik lassen den Schluss zu,
dass die Verkaufsdaten des Grossisten Lütkemeyer Münster einen geringen saisonalen Effekt
aufweisen. Ansonsten unterscheiden sich die Verkaufsdaten kaum von einem Zufallsprozess
und erfüllen aller Wahrscheinlichkeit die Bedingungen der schwachen Stationarität.
Man sollte sich aber nicht nur auf die Auswertung der Korrelogramme stützen, sondern zu-
sätzlich geeignete Testverfahren zur Überprüfung der Stationarität betrachten.
69 Fieger/Toutenburg 1995, 97 und Mills 1990, 78-81.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 51
3.3.2 Einheitswurzeltests
Einheitswurzeltests (Unit-Root-Tests) spielen in der Zeitreihenanalyse eine sehr wichtige Rol-
le.70
Mit ihnen lässt sich die Stationarität (bzw. der Integrationsgrad) einer Zeitreihe überprüfen.
Besonders wichtig ist dieser Aspekt bei der Konstruktion von ARIMA-Modellen und der
Kointegrationsanalyse.
Grundlage der Einheitswurzeltests bildet die Theorie der Random-Walk-Prozesse:
X X
e
t t t
=
+
−1.
Ob tatsächlich ein Random-Walk-Prozess vorliegt, lässt sich mit der folgenden autoregressi-
ven Gleichung überprüfen:
Xp
X
e
t t t
=
+
−1
Für p < 1 handelt es sich beim Prozess Xt um einen stationären Prozess. Beträgt p = 1, so
liegt ein Random-Walk-Prozess vor. Random-Walk-Prozesse sind nicht stationär, besitzen
eine Einheitswurzel und den Integrationsgrad der Ordnung 1 {I(1) mit
∆X
X
X
t t t
=
−
−1}.
Zeitreihen dieses Typs lassen sich durch Bildung der Differenzen erster Ordnung in einen stati-
onären Prozess transformieren.71
Das Vorhandensein einer Einheitswurzel impliziert, dass die Zeitreihe eine stochastische
Trendkomponente enthält. Neben der stochastischen Trendkomponente können auch deter-
ministische Trendkomponenten vorhanden sein. Wenn dies der Fall ist, dann lässt sich das
Konzept der Differenzenbildung zur Erreichung der Stationarität des Prozesses Xt nicht an-
wenden.
Im Kapitel 4 wird das Einheitswurzelkonzept und die damit verbundene Differenzenbildung zur
Erreichung der Stationarität noch ausführlich erörtert. Neben der Behandlung von Prozessen
höherer Ordnung (höher integriert mit mehr als einer Einheitswurzel), wird auch auf das Prob-
lem der Überdifferenzierung eingegangen.
Einheitswurzeltests lassen sich sehr gut zur Überprüfung der Stationarität einer Zeitreihe ver-
wenden. Besitzt die Zeitreihe mindestens eine Einheitswurzel, so kann sie nicht mehr stationär
sein. Diese Eigenschaft macht man sich bei der Durchführung des Dickey-Fuller-Tests und des
Augmented-Dickey-Fuller-Tests zu nutze.72
70 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 185-190.
71 Granger/Newbold 1986, 8-10.
72 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 12-13.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 52
3.3.2.1 Dickey-Fuller-Test (DF)
Die Prüfgröße des Dickey-Fuller-Tests baut auf der autoregressiven Gleichung eines Random-
Walk-Prozesses auf {
Xp
X
e
t t t
=
+
−1}. Für den Random-Walk-Prozess wird die Differenz
der Ordnung 1 gebildet, dazu wird
p=
+
1
δ
gesetzt. Die Schätzung des Regressionskoeffi-
zienten δ erfolgt nach der Kleinst-Quadrate-Methode (ordinary least square (OLS)).
Regressionsgleichung (DF) der ersten Differenzen:
∆
∆
X
X
e
oder
X
X
e
mit
X
X
X
t t t t t t t t t
=
+
=
+
+
=
−
− − −
δ
δ
1 1 1
1
(
)
(
)
δ
: zu schätzender Regressionskoeffizient {Es gilt:
p=
+
1
δ
}
e
t: Störvariable, unabhängiger u. stochastischer Prozess (White-Noise)
Handelt es sich beim Prozess Xt um einen Random-Walk-Prozess, so weicht der Regressi-
onskoeffizient δ nicht signifikant von Null ab. Das zu testende Hypothesenpaar lautet somit:
H0 :
δ=
0 H1 :
δ≠
0
Zur Durchführung des Tests wird die Verteilung der Prüfgröße benötigt, leider genügt die obi-
ge Gleichung keiner gewöhnlichen Student T-Statistik.
Die kritischen Werte wurden von Dickey/Fuller73 sowie MacKinnon74 mit Hilfe von Monte-
Carlo-Simulationen ermittelt. Die simulierten Werte sind leider nicht verzerrungsfrei.
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn der Wert der Student T-Statistik außerhalb der kriti-
schen Grenzen liegt. Dabei ist zu beachten, dass die von Dickey/Fuller berechneten kritischen
Grenzen jeweils einen Unschärfebereich besitzen. Realisationen von Prüfgrößen, die in den
Unschärfebereich fallen, lassen keine Testentscheidung zu.
Eine Verwerfung der Nullhypothese bedeutet, dass der Prozess keine Einheitswurzel aufweist
und somit kein Random-Walk-Prozess vorliegt.
Dabei lässt sich die Alternativhypothese in zwei Fälle unterteilen. Fällt die Realisation der Prüf-
größe in den unteren (linken) Ablehnungsbereich der Nullhypothese, so schließt man darauf,
dass der Koeffizient δ < 0 ist und somit ein stationärer Prozess vorliegt, der einen Integrati-
onsgrad von Null besitzt.
Fällt hingegen die Realisation der Prüfgröße in den oberen (rechten) Ablehnungsbereich der
Nullhypothese, so schließt man darauf, dass der Koeffizient δ > 0 ist und der Prozess ein ex-
plosives Verhalten aufweist. Ein solcher Prozess lässt sich durch Differenzenbildung nicht in
einen stationären Prozess transformieren.
73 Dickey/Fuller 1979.
74 MacKinnon 1990.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 53
Die im Programm EViews berechneten kritischen Grenzen gehen auf die Simulationen von
MacKinnon75 zurück. EViews gibt nur die kritischen unteren Grenzen ohne Unschärfebereich
an, da hier lediglich die Hypothese getestet wird, ob der Prozess Xt stationär ist oder nicht.
Die Aussagekraft des Tests hängt entscheidend von der Annahme über den Störterm et ab.
Die et sollen den Bedingungen eines reinen Zufallsprozesses genügen.
Neben der Überprüfung eines Random-Walk-Prozesses lassen sich mit dem Dickey-Fuller-
Test auch Random-Walks mit Drift (Bezeichnung in EViews: Intercept) testen
{
∆X
c
X
e
t t t
=
+
+
−
δ
1}. In der praktischen Anwendung ist es aber unklar, wann man den
Dickey-Fuller-Test mit Drift und wann ohne Drift benutzen soll.
Besonders interessant ist die Erweiterung der Regressionsgleichung um eine lineare determinis-
tische Trendkomponente {
∆X
c
t
X
e
t t t
=
+
+
+
−
β
δ
1}. Mit diesem Ansatz ist es möglich,
das Fehlen eines stochastischen Trends (δ < 0) und die Existenz eines deterministischen
Trends (ß ≠ 0) simultan zu testen. Da die Nullhypothese mehr als einen Parameter enthält,
bietet sich zur simultanen Überprüfung der Lagrange-Multiplier-Test an.
Bei beiden Erweiterungen mit Drift und/ohne deterministische Trendkomponente verändert
sich die Verteilung der Prüfgröße und somit die kritischen Grenzen des Nicht-
Ablehnungsbereichs der Nullhypothese.76
3.3.2.2 Augmented-Dickey-Fuller-Test (ADF)
Mit der Erweiterung des Dickey-Fuller-Tests lässt sich eine seiner Schwächen beseitigen. Der
Dickey-Fuller-Test kann die vielfach im Störprozess et auftretende Autokorrelation nicht er-
fassen. Dadurch wird die Unabhängigkeitsannahme des Störprozesses verletzt. Die Kleinst-
Quadrat-Schätzung führt zu ineffizienten Ergebnissen. Um die Korrelationen höherer Ordnung
zwischen den Störgrößen im Zeitverlauf erfassen zu können, wird die Regressionsgleichung im
rechten Teil um eine verzögerte abhängige Variable erweitert.
75 MacKinnon 1990.
76 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 14-15, Charemza/Deadman 1993, 130-135 und Dickey/Fuller 1979.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 54
Regressionsgleichung (ADF) der ersten Differenzen:
∆ ∆X X X e
t t j t j t
j
k
= + +
− −
=
∑
δ δ
11
δ
: Zu schätzender Regressionskoeffizient
δ
j: Zu schätzende Regressionskoeffizienten der verzögerten
Differenzen der Ordnung j = 1, 2, ... , k
e
t: Störvariable, unabhängiger u. stochastischer Prozess
∆
Xt j−: Verzögerte Differenz der
X
t-Werte der Ordnung j = 1, 2, ... , k
Wie zuvor beim Dickey-Fuller-Test, so wird auch beim erweiterten Dickey-Fuller-Test die
Hypothese getestet, ob eine Einheitswurzel existiert oder nicht.
Hypothesen: H0 :
δ=
0 H1 :
δ≠
0
Nicht ganz unproblematisch ist die Bestimmung der Anzahl der lags k. Eine einfache Möglich-
keit besteht darin, solange lags höherer Ordnung zuzulassen, bis die Residuen der Regressi-
onsgleichung einem reinen Zufallsprozess genügen. Eine wichtige Entscheidungshilfe liefert
neben dem Korrelogramm die Durbin-Watson-Statistik. So lang die Durbin-Watson-Statistik
für die Residuen Werte signifikant unter zwei aufweist, sollte der autoregressive Term um ein
lag der nächst höheren Ordnung erweitert werden.
Bei der Wahl der lag Länge sollte die Tatsache berücksichtigt werden, dass mit zusätzlicher
Aufnahme von lags höherer Ordnung die Aussagekraft (Power) des Tests sinkt.
Die Prozedur der Testentscheidung ist identisch mit derjenigen beim einfachen Dickey-Fuller-
Test. Per Simulation werden die kritischen Werte77 für Prüfgrößen mit unterschiedlicher lag
Länge im autoregressiven Term bestimmt.
Mit Hilfe des Augmented-Dickey-Fuller-Tests lassen sich nicht nur Random-Walk-Prozesse
mit Autokorrelation im Störprozess et überprüfen, sondern analog dem einfachen Dickey-
Fuller-Test auch Prozesse, die zusätzlich einen Drift und/oder einen linearen deterministischen
Trend aufweisen.78
77 Charemza/Deadman 1993, 319-333.
78 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 187-190, Cromwell/Labys/Terraza 1994, 14-15
und Charemza/Deadman 1993, 130-135.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 55
3.3.2.3 Durchführung Augmented-Dickey-Fuller-Test (Lütkemeyer Münster)
Die Verkaufsdaten des Grossisten Lütkemeyer Münster werden mit Hilfe des Augmented-
Dickey-Fuller-Tests auf ihre Stationarität überprüft.
In der Prozedur Unit-Root-Test enthält das Programm EViews 2.0 zwei Testtypen, den Aug-
mented-Dickey-Fuller-Test und den Phillips-Peron-Test.
Beide Testverfahren erlauben den Benutzern eine Reihe von wählbaren Einstellungen. Einstell-
bar ist der Grad der Differenzbildung der zu testenden Zeitreihe, die zugrundeliegende Regres-
sionsgleichung und die Anzahl der lags zur Berücksichtigung der Autokorrelation des Stör-
terms.
1. Grad der Differenzbildung:
Drei Einstellungsmöglichkeiten sind beim Grad der Differenzen der betrachteten Zeitreihe
wählbar. Dies sind die ursprüngliche Zeitreihe ohne Differenzen (Level), die Reihe der ersten
Differenzen und die Reihe der zweiten Differenzen.
2. Regressionsgleichungssystem:
Auch hier kann aus drei Möglichkeiten gewählt werden. Wählbar ist die einfache Autoregres-
sionsgleichung ohne Intercept und ohne Deterministic Trend. Bei der zweiten Wahlmöglichkeit
kommt der Intercept hinzu und bei der dritten Intercept und Deterministic Trend.
3. Lag-Struktur:
Zur Berücksichtigung der Autokorrelation des Fehlerterms lässt sich die lag-Struktur in das
Regressionsgleichungssystem einbauen. Ein endliches lag von j = 0, 1, 2,... , k findet somit
seine Berücksichtigung. Bei einem lag von k = 0 reduziert sich der Augmented-Dickey-Fuller-
Test auf den einfachen Dickey-Fuller-Test.
Bei der Durchführung des ADF-Tests wird auf die Bildung der ersten und zweiten Differenzen
verzichtet, wenn der Test zu dem Ergebnis führt, dass die betrachtete empirische Zeitreihe
keine Einheitswurzel besitzt und den Bedingungen eines stationären Prozesses genügt. Dies ist
der Fall, wenn die Realisation der Prüfgröße kleiner als der Wert der kritischen unteren Gren-
ze bei gegebenem Signifikanzniveau α ist und die Residuen der ADF-Testgleichung keinerlei
systematische Strukturen mehr aufweisen.
Stellt sich hingegen heraus, dass die Realisation der Prüfgröße im Annahmebereich der Null-
hypothese liegt, so erfüllt die Zeitreihe nicht die Bedingung der Stationarität. Zu prüfen ist nun,
ob durch Differenzenbildung erster Ordnung ein stationärer Prozess erzielt werden kann. Der
Erfolg der Differenzenbildung lässt sich wiederum mit Hilfe des ADF-Tests überprüfen.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 56
Analog geht man vor, wenn sogar die Differenzenbildung zweiter Ordnung erforderlich wird.
Differenzen höherer Ordnung als zwei sind kaum interpretierbar und als Voreinstellung im Pro-
gramm EViews auch nicht vorgesehen.79
Aufgrund der visuellen Ergebnisse enthält die gewählte ADF-Testgleichung des Grossisten
Lütkemeyer Münster einen Intercept, aber keine lineare deterministische Trendkomponente.
Ein deterministischer Trend war weder bei der graphischen Darstellung der Zeitreihe noch im
Korrelogramm der Autokorrelationsfunktion zu erkennen. Beim ersten Durchlauf des ADF-
Tests wird auf die verzögerte Differenz der Verkaufswerte
δ
j t j
X∆
− verzichtet. Stellt sich heraus, dass die Residuen auf den niedrigen lags noch signifi-
kante Autokorrelation aufweisen, so wird der Test unter Berücksichtigung einer verzögerten
Differenz von j = 1 in der Regressionsgleichung wiederholt. Die ganze Prozedur wird solange
erweitert (mit j = 2, 3 ...), bis die Residuen auf den niedrigen lags keine signifikanten Auto-
korrelationen mehr aufweisen.
Die Überprüfung der Autokorrelation der Residuen erfolgt zum einen mit dem Durbin-
Watson-Test und zum anderen mit den Korrelogrammen der ACF und PACF.
ADF-Test Lütkemeyer Münster:
Testgleichung:
∆X
c
X
e
t t t
=
+
+
−
δ
1
Random-Walk mit Drift bzw. Intercept, Schreibweise im Programm EViews:
∆X
D
VERKAUF
t
=
(
)
und
δ=
−
VERKAUF
(
)
1
Hypothesen:
H0 : δ = 0 (Die Zeitreihe ist nicht stationär.)
H1 : δ ≠ 0 (Für δ < 0 ist die Zeitreihe stationär.)
Untere Grenze des Nicht-Ablehnungsbereichs der H0:
Bei einer Aussagesicherheit von 99% beträgt die kritische untere Grenze -3,557 für den
Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
Prüfgröße und Testentscheidung:
Der Wert der ADF-Prüfgröße beträgt -6,553. Er liegt deutlich im unteren Ablehnungsbereich
der Nullhypothese. Damit genügt die Zeitreihe der Stationaritätsbedingung, wenn die Residuen
der ADF-Testgleichung keinerlei systematische Strukturen mehr aufweisen.
79 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 187-190.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 57
ADF Test Statistic -6.552880 1% Critical Value* -3.5572
5% Critical Value -2.9167
10% Critical Value -2.5958
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
LS // Dependent Variable is D(VERKMUENSTER)
Date: 03/28/97 Time: 16:14
Sample(adjusted): 1992:02 1996:06
Included observations: 53 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
VERKAUF(-1) -0.921210 0.140581 -6.552880 0.0000
C 253.0874 38.80491 6.522046 0.0000
R-squared 0.457102 Mean dependent var -0.245283
Adjusted R-squared 0.446457 S.D. dependent var 32.81235
S.E. of regression 24.41255 Akaike info criterion 6.427200
Sum squared resid 30394.61 Schwarz criterion 6.501551
Log likelihood -243.5245 F-statistic 42.94023
Durbin-Watson stat 1.920087 Prob(F-statistic) 0.000000
Der EViews 2.0 Ausdruck enthält eine große Anzahl von statistischen Berechnungs-
ergebnissen. Nur jene Ergebnisse werden ausführlich erörtert, die für die gegebene Fragestel-
lung eine wichtige Rolle spielen.
Mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode wurde folgende autoregressive Regressionsgleichung
ermittelt:
∆X
X
t t
=
−
−
253
09
0
9212
1
,
,
Einzeln getestet, sind beide Koeffizienten hoch signifikant von Null verschieden, selbst bei ei-
nem Signifikanzniveau von 0,01%.
Die Residuen der ADF-Testgleichung werden mit Hilfe der Korrelogrammdarstelllung und der
Box-Ljung Q-Statistik auf mögliche Autokorrelationen überprüft.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 58
Lütkemeyer Münster: ACF und PACF der Residuen des ADF Tests
Sample: 1992:01 1996:06
Included observations: 53
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. | . | . | . | 1 0.016 0.016 0.0136 0.907
.*| . | .*| . | 2 -0.071 -0.071 0.3016 0.860
. | . | . | . | 3 0.018 0.021 0.3215 0.956
. |*. | . |*. | 4 0.181 0.176 2.2635 0.687
. |*. | . |*. | 5 0.166 0.170 3.9470 0.557
.*| . | .*| . | 6 -0.091 -0.072 4.4556 0.615
. |*. | . |*. | 7 0.144 0.168 5.7648 0.567
. |*. | . |*. | 8 0.162 0.125 7.4718 0.487
.*| . | .*| . | 9 -0.096 -0.147 8.0780 0.526
.*| . | .*| . | 10 -0.171 -0.180 10.071 0.434
. | . | . | . | 11 0.065 0.032 10.367 0.498
. |*** | . |** | 12 0.348 0.270 18.989 0.089
.*| . | .*| . | 13 -0.140 -0.155 20.417 0.085
***| . | **| . | 14 -0.331 -0.305 28.622 0.012
. | . | .*| . | 15 -0.051 -0.080 28.823 0.017
. | . | .*| . | 16 0.032 -0.061 28.905 0.025
. | . | .*| . | 17 -0.051 -0.060 29.119 0.033
**| . | .*| . | 18 -0.211 -0.079 32.844 0.017
. |*. | . |*. | 19 0.092 0.115 33.563 0.021
. | . | .*| . | 20 -0.056 -0.121 33.843 0.027
**| . | .*| . | 21 -0.255 -0.131 39.778 0.008
**| . | .*| . | 22 -0.235 -0.072 44.972 0.003
. |*. | . | . | 23 0.076 0.035 45.526 0.003
. | . | .*| . | 24 0.056 -0.156 45.837 0.005
(EViews 2.0)
Signifikante Autokorrelationswerte treten für die lags 12 und 14 auf, sie bestätigen sich auch in
der Box-Ljung Q-Statistik. Zwischen lag 11 und 12 sinkt die berechnete Wahrscheinlichkeit
für den Wert der Box-Ljung Q-Statistik deutlich von 0,498 auf 0,089 ab. Ab lag 14 liegt der
Wert deutlich unter einem vorgegebenen α-Fehler von 0,05. Dieser Hinweis auf saisonale
Abhängigkeiten wird im Rahmen der Modellbildung im Kapitel 5 aufgegriffen.
Zur Überprüfung der Autokorrelation erster Ordnung weist das Ausgabeprotokoll die Reali-
sation der DW-Statistik aus. Bei einer Aussagesicherheit von 99% betragen die Intervallgren-
zen des Nicht-Ablehnungsbereichs der Nullhypothese [1,427 ; 2,573]80. Die Realisation von
1,92 liegt eindeutig in diesem Bereich, d. h., die Residuen weisen keine erkennbare Autokor-
relation der Ordnung eins auf. Die Anzahl der Regressoren beträgt 2 (einschließlich des kon-
stanten Terms) und der Stichprobenumfang n = 54 ≈ 55. Ausführlicher wird der Durbin-
Watson-Test im Kapitel 4 vorgestellt.
80 Johnston 1987, 554-557.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 59
Auf die Durchführung eines ADF-Tests mit verzögerten Differenzen der Beobachtungswerte
kann aufgrund der Residuen der DF-Testgleichung verzichtet werden. Die ACF und die
PACF enthalten keinerlei Hinweise auf eine verzögerte lag Struktur. Führt man trotzdem einen
ADF-Test mit einem verzögerten Koeffizienten von eins durch, so stellt man fest, dass dieser
Koeffizient nicht signifikant von Null verschieden ist.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 60
3.3.3 Tests auf Normalverteilung
Die Normalverteilung ist zweifellos die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik.
Von den vielen Gründen, die für ihre Ausnahmestellung sprechen, sollen daher einige genannt
werden:
Die Verteilungen vieler praktischer Anwendungen besitzen näherungsweise die Form der
Normalverteilung.
Bei unbekannter Verteilung kann für hinreichend große Stichprobenumfänge approximativ die
Normalverteilung unterstellt werden (Zentraler Grenzwertsatz).
Erst durch die Normalverteilung wird die approximative Bestimmung einer Vielzahl anderer
Verteilungen möglich.81
Auch in der Zeitreihenanalyse spielt die Normalverteilung eine wichtige Rolle. Zeitreihen, die
die Definition der schwachen Stationarität (mittelwert-, varianz- und kovarianzstationär) und
zusätzlich die Annahme der Normalverteiltheit erfüllen, genügen damit den Bedingungen der
strengen Stationarität. Die Momente erster und zweiter Ordnung reichen dann aus, um den
zugrunde liegenden Prozess exakt zu beschreiben.
Zeitreihen, die die Bedingungen der schwachen Stationarität und der Normalverteilung erfüllen,
lassen sich durch lineare Modelle adäquat beschreiben.
Die Residuen eines Zeitreihenmodells sollten nach Möglichkeit stationär, normalverteilt und
unabhängig sein. Residuen, die die Normalverteilungshypothese nicht erfüllen, besitzen zum
Beispiel Ausreißer oder weisen Probleme wie Heteroskedastie auf.82
Es existieren eine Vielzahl von Tests zur Überprüfung der Normalverteilung. Die wichtigsten
werden am praktischen Beispiel vorgestellt und erörtert. Da kein optimaler Test existiert, soll-
ten unterschiedliche Testverfahren auf Überprüfung der Normalverteilung zu denselben Ergeb-
nissen gelangen.
Einen ersten Eindruck darüber, ob die Zeitreihe näherungsweise normalverteilt ist, liefert das
Häufigkeitshistogramm. Das Programm EViews verfügt über eine Funktion, die neben dem
Histogramm auch die wichtigsten Kenngrößen, wie Skewness (Schiefe), Kurtosis (Wölbung)
und Jarque-Bera-Statistik berechnet, die bei einigen Normalverteilungstests von Bedeutung
sind.
81 Bamberg/Baur 1998, 109.
82 Franses 1996, 10.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 61
3.3.3.1 Tests auf Schiefe und Wölbung
Diese Tests gehen von der Grundidee aus, dass bei einem normalverteilten Prozess die unge-
raden Momente, die eine Ordnung größer als zwei aufweisen, Null sind. Allgemein lautet die
Definition des r-ten zentralen Moments:
Definition: r-te zentrale Moment
µ µ
rNtr
t
Nx= −
∑
1( )
mit r =1, 2, 3, . . . , ∞ und t = 1, 2, 3, . . . , N
Mit Hilfe dieser Definition lassen sich die Koeffizienten Skewness (Schiefe) und Kurtosis
(Wölbung) bestimmen.83
Definition:
1) Skewness:/
β
µ
µ
11/23
23 2
= 2) Kurtosis: β
µ
µ
24
2
=
gilt die NV-Annahme ⇒
( )
(
)
β11 2 0 6
/~;NV N und
(
)
β23 24~;NV N
Normalverteilungstests:
1) Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist NV
H1: Die Zeitreihe xt ist nicht NV
2) Prüfgrößen:
( )
ϑβ
111 2 0
6
=−
/
N und
( )
ϑ
β
223
24
=
−
N
3) Nicht-Ablehnungsbereiche der H0:
[
]
− +t t
α α
;
4) Testentscheidung:
[
]
ϑ ϑ α α1 2 0
und t t Hverwerfen∉− + ⇒;
83 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 20-22.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 62
Die kritischen Werte tα stammen aus der Standardnormalverteilung mit dem vorgegebenen
Signifikanzniveau α.
Signifikant negative Skewness-Werte deuten darauf hin, dass die Zeitreihe einen ausgeprägten
Schweif auf der linken Seite und positive Werte, dass sie einen ausgeprägten Schweif auf der
rechten Seite besitzt.
Kurtosis-Werte, die signifikant vom Wert drei abweichen, sind ein Indikator für ausgeprägte
Wölbung. Die Ablehnung der Nullhypothese sollte erst dann erfolgen, wenn beide Prüfgrö-
ßenwerte im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegen.
3.3.3.2 Jarque-Bera-Test
Dieser Test stellt eine Erweiterung der Normalverteilungstests auf Schiefe und Wölbung dar.
Neben den Prüfgrößen Skewness und Kurtosis wird eine dritte Prüfgröße S eingeführt. Die
Prüfgröße S setzt sich additiv aus den quadrierten standardisierten Koeffizienten für Skewness
und Kurtosis zusammen. Die Prüfgröße S genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem
Freiheitsgrad von zwei.
Jarque-Bera-Test:
Prüfgröße: SN N V= + − =( ) ( ) ( ) ~( )6 24 3 2
1 2 2 2
β β χ υ
Nicht-Ablehnungsbereich der H0:
[
]
0 599
2
;,
.
χkrit =
Testentscheidung: SHverwerfen
krit
>⇒χ.
20
Die zu testenden Hypothesen sind identisch mit den Hypothesen der Tests auf Schiefe und
Wölbung. Alle drei Prüfgrößen
ϑ
ϑ
1 2
,
und
S
werden berechnet. Erst wenn alle drei Prüf-
größen in die jeweiligen Ablehnungsbereiche der Nullhypothese fallen, verwirft man die An-
nahme der Normalverteilung der Zeitreihenwerte.84
84 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 20-22.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 63
3.3.3.3 Kolmogorov-Smirnov-Test
Getestet wird die Abweichung zwischen der empirischen Verteilung einer Zeitreihe und der
unterstellten Grundgesamtheitsverteilung. Der Test lässt sich neben der hier interessierenden
Normalverteilung auch auf andere Verteilungen anwenden.
Die kritische Grenze (dkrit.) ist abhängig vom Stichprobenumfang N und vom vorgegebenen
Signifikanzniveau α. Die Werte für die Testgrenzen findet man zum Beispiel bei Kanji85.
Der Kolmogorov-Smirnov-Test führt bei größeren Stichprobenumfängen (N > 100) sehr
leicht zur Verwerfung der Normalverteilungshypothese. Sehr gute Ergebnisse erzielt man für
kleinere Stichproben (N < 100).86
Kolmogorov-Smirnov-Test: (Goodness of Fit)
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist NV
H1: Die Zeitreihe xt ist nicht NV
Prüfgröße: DFxSx
DN
= −max. ( ) ( )
mit F(x): Verteilungsfunktion der angenommenen Grundgesamt-
heitsverteilung
SN(x): Verteilungsfunktion der Stichprobe, berechnet als Trep-
penfunktion
Nicht-Ablehnungsbereiche der H0-Hyp.:
[
]
0;.
dkrit
Testentscheidung:
Dd
H
verwerfen
krit
>
⇒
.0
85 Kanji 1993, 186.
86 Sauerwein/Hönekoop 1992, 304-306 und Kanji 1993, 67.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 64
3.3.3.4 Studentized-Range-Test
Die zuvor betrachteten Testverfahren zur Überprüfung der Normalverteilung der beobacht-
baren Zeitreihenwerte reagieren sehr empfindlich auf Ausreißer. Einzelne Ausreißer besitzen in
den Realisationen der Prüfgrößen einen deutlichen überproportionalen Effekt. Geringer, als bei
den vorherigen Testverfahren, fällt der Ausreißereffekt beim Studentized-Range-Test aus.
Ausreißer führen hier nicht so schnell zu einer Verwerfung der Nullhypothese auf Normalver-
teiltheit.87
Studentized-Range-Test:
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist NV
H1: Die Zeitreihe xt ist nicht NV
Prüfgröße:
{
}
{
}
SR x x
x
t t
Ntx
t
=−
−
−∑
max min
( )
112
µ
Nicht-Ablehnungsbereiche der H0:
[
]
0;.
τkrit
Testentscheidung:
SR
H
verwerfen
krit
>
⇒
τ
.0
Die Verteilung der Prüfgröße und die kritischen Werte findet man bei Pearson und Hartley 88
oder bei Kanji.89
87 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 23-24.
88 Pearson/Hartley 1970.
89 Kanji 1993, 183.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 65
3.3.3.5 Durchführung der Normalverteilungstests (Lütkemeyer Münster)
Das Programmpaket EViews 2.0 enthält eine Reihe deskriptiver Maße. Neben der graphi-
schen Darstellung des Häufigkeitshistogramms werden Maße wie Skewness ( )β11/2, Kurtosis
( )β
2 und Jarque-Bera-Prüfgröße (S) berechnet. Alle drei werden bei der Durchführung des
Jarque-Bera-Tests benötigt.
0
2
4
6
8
230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340
Series: VERKMUENSTER
Sample 1992:01 1996:06
Observations 54
Mean 274.5741
Median 275.0000
Maximum 338.0000
Minimum 227.0000
Std. Dev. 24.05779
Skewness 0.283639
Kurtosis 2.769635
Jarque-Bera 0.843463
Probability 0.655910
(EViews 2.0)
Das Histogramm lässt keine sichere Aussage darüber zu, ob die Beobachtungswerte einer
Normalverteilung genügen oder nicht.
Bei den folgenden Tests wird durchweg ein Signifikanzniveau von α = 0,05 vorgegeben. Wie
schon erwähnt, lassen sich mit dem Programm EViews 2.0 die notwendigen Maße zur
Durchführung des Jarque-Bera-Tests bestimmen.
Das Programm SPSS/PC 6.1.3 enthält unter der Prozedur nichtparametrische Tests den Kol-
mogorov-Smirnov-Test. Auf die Berechnung des Studentized-Range-Test wird verzichtet, da
die graphische Darstellung der Verkaufsdaten des Grossisten Lütkemeyer keine Hinweise
über das Vorhandensein von Ausreißern lieferte.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 66
Jarque-Bera-Test
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist NV
H1: Die Zeitreihe xt ist nicht NV
Prüfgrößen: 1) ϑβ
111 2 0
6
0 284 0
6 54 0852=−=−=
/,,
N
2) ϑ
β
223
24
2 770 3
24 54 0 345=
−
=
−
= −
N
,,
3) SN N= + − =( ) ( ) ( ) ,6 24 3 0843
1 2 2
β β
{mit: ϑ ϑ χυ
1 2 2
0 1 2und NV und SV~(;)~( )=}
Nicht-Ablehnungsbereiche der H0:
zu 1) und zu 2)
[
]
[
]
− + = − +t t
α α
;,;,196 196
zu 3)
[
]
0 599
2
;,
.
χkrit =
Testentscheidung:
{
}
[
]
ϑ ϑ
1 2
0
0852 0345 196 196 0843 599= = − ∈− + = ≤
⇒
, , , ;, , ,und und S
Hnicht verwerfen
Die Verkaufsdaten des Grossisten Lütkemeyer genügen der NV.
Kolmogorov-Smirnov-Test
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist NV H1: Die Zeitreihe xt ist nicht NV
Kolmogorov - Smirnov Goodness of Fit Test
VMUENSTE
Test distribution - Normal Mean: 274,5741
Standard Deviation: 24,0578
Cases: 54
Most extreme differences
Absolute Positive Negative K-S Z 2-Tailed P
,06375 ,06375 -,05393 ,4685 ,9806
(SPSS/PC 6.1.3)
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 67
Im Programm SPSS wird die Prüfgröße des Kolmogorov-Smirnov-Tests, gegenüber der auf
Seite 63 definierten Formel, mit der Wurzel des Stichprobenumfangs multipliziert. Es gilt somit:
K-S = = =D N 06375 54 0 4685, , .
Die kritische Obergrenze wird im SPSS-Ausdruck nicht ausgewiesen, sondern das maximale
Signifikanzniveau, welches gerade noch zu einer Bestätigung von H
0 führt. Es beträgt hier
0,9806. Dieser Wert ist wesentlich größer als das maximal vorgegebene Signifikanzniveau von
α = 0,05, somit wird H0 nicht verworfen.
3.3.4 Tests auf Unabhängigkeit
Zeitreihen, die den Bedingungen der Unabhängigkeit genügen, weisen zum Beispiel keinerlei
Autokorrelation auf. Der zugrunde liegende Prozess ist somit ein reiner Zufallsprozess, der sich
durch Modelle mit deterministischen Komponenten nicht mehr beschreiben lässt.
Trotzdem ist Vorsicht angebracht. Man sollte nämlich die Möglichkeit in Betracht ziehen, dass
eine Zeitreihe den Eindruck vermittelt, sie sei rein zufällig, tatsächlich enthält sie aber noch de-
terministische Komponenten. Dieses Verhalten bezeichnet man als chaotisch.90
Unabhängige Zeitreihen sind für die Modellspezifikation eher uninteressant. In der Zeitreihen-
analyse ist man ja gerade an den Abhängigkeiten, insbesondere an der Erfassung und der Au-
tokorrelationen der Zeitreihenwerte interessiert. Ziel ist es, die Abhängigkeiten adäquat durch
Modelle zu beschreiben, um sich zum einen die Wirkungszusammenhänge zu erklären und zum
anderen sinnvolle Vorhersagen zu treffen. Die Residuen des gefundenen Modells sollten hinge-
gen keinerlei Abhängigkeiten mehr aufweisen.
3.3.4.1 Portmanteau-Test
Der Portmanteau-Test ist ein visuelles Testverfahren, das schon bei der Darstellung der Kor-
relogramme verwendet wurde. Wenn eine Zeitreihe unabhängig verteilt ist, dann sind alle Au-
tokorrelationskoeffizienten p(k) der Zeitreihe für alle lags k nicht signifikant von Null verschie-
den. Als approximative Formel zur Abschätzung des Standardfehlers schlagen Kendall u. Stu-
art91 vor:
( )
SE p k N
()=1
90 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 24.
91 Vgl. Kendall und Stuart 1979.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 68
3.3.4.2 Box-Ljung- und Box-Pierce-Test
Zur Überprüfung der Unabhängigkeit bieten sich diese beiden Tests an. Die Prüfgrößen sind
asymptotisch Chi-Quadrat verteilt mit dem Freiheitsgrad k. Die richtige Wahl von k ist nicht
ganz unproblematisch, da sich k nicht eindeutig bestimmen lässt. Die korrekte Identifikation
von k hängt von den a priori Kenntnissen über das „Gedächtnis“ des zugrunde liegenden Pro-
zesses ab. Darunter versteht man die Korrelation zwischen der laufenden Periode und den
vorherigen Perioden.
Box-Ljung- und Box-Pierce-Test:
Auswahl des lags k zur Schätzung des empirischen Autokorrelationskoeffizienten p(1)
bis p(k).
Hyp.: H0: p(1) = p(2) = . . . . . = p(k) = 0 (kein Abhängigkeit).
H1: Mindestens ein p(k) ist signifikant von Null verschieden
(Abhängigkeit).
Prüfgrößen:
QkN N NkpmVkLjung Box
m
k
12
1
2
21
( ) ( ) ( ) ~( )= + −= −
=
∑χυ
QkNpmVkBox Pierce
m
k
22
1
2
( ) ( ) ~( )= = −
=
∑χυ
Nicht-Ablehnungsbereich von H0:
[
]
02
;.
χkrit
Testentscheidung:
[
]
Qkbzw QkHverwerfen
krit1 2 20
0( ) .( ) ;.
∉⇒χ
Diese Tests prüfen die empirische Korrelation unter den Annahmen, dass die Daten normal-
verteilt und stationär sind. Bei Verletzung einer oder sogar beider Annahmen sinkt die Aussa-
gekraft des Tests sehr stark.92
92 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 25-27 und Ljung/Box 1978.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 69
3.3.4.3 Turning-Point-Test
Eine Möglichkeit die Unabhängigkeit der Beobachtungswerte zu überprüfen, bietet die Anzahl
der Wendepunkte einer Zeitreihe.
Beispielhaft betrachten wir eine Zeitreihe x1, x2, . . . , xt, . . . , xN. Ein Wendepunkt i in der
Zeitreihe liegt vor, wenn gilt: (xt-1 < xt und xt > xt+1) oder (xt-1 > xt und xt < xt+1). Wenn die
Werte der Zeitreihe zufällig verteilt sind, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Wen-
depunkt in der Zeit 2/3. Der Test führt aber nur zu sinnvollen Ergebnissen, wenn die betrach-
tete Zeitreihe mehr als 15 Werte umfasst und die Zeitreihe den Bedingungen der Stationarität
genügt. Die Prüfgröße ist standardnormalverteilt und berechnet sich aus der Standardisierung
der Anzahl von Wendepunkten in der realisierten Zeitreihe.93
Turning-Point-Test:
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist unabhängig
H1: Die Zeitreihe xt ist abhängig
Prüfgröße: ZVEV NV
V
= − ( ) ~(;)σ0 1
mit:EV N und N
V
( ) ( ) ( )= − = −
2
32 16 29 90
2
σ
N: Anzahl der Beobachtungswerte
V: Die Anzahl von Wendepunkten in der realisierten Zeitreihe
E(V): Erwartete Anzahl von Wendepunkten
σV: Standardabweichung der erwarteten Anzahl von
Wendepunkten
Nicht-Ablehnungsbereich der H0-Hyp.:
[ ]
0; tα
Testentscheidung: ZtHverwerfen>⇒
α0
93 Kanji 1993, 104 und Cromwell/Labys/Terraza 1994, 27-28.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 70
3.3.4.4 Runs-Test
Die Unabhängigkeit einer Zeitreihe wird durch Überprüfung der Frequenz verschiedener sich
wiederholender Muster getestet. Prozesse mit ähnlichen sich wiederholenden Mustern sind
keine Zufallsprozesse und somit nicht unabhängig. Unabhängige Prozesse dürfen keinerlei
systematisch sich wiederholende Muster aufweisen.
Jeder Beobachtungswert wird durch sein Vorzeichen ersetzt. Dies erfordert entweder eine
Zeitreihe, die zuvor differenziert wurde oder eine Zeitreihe, die durch Subtraktion des Medians
transformiert wurde. Die Anzahl der Läufe (Runs) mit positivem bzw. negativem Vorzeichen
werden gezählt und in die Prüfgröße eingebaut.94
Runs-Test:
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist unabhängig
H1: Die Zeitreihe xt ist abhängig
Prüfgröße:
[
]
ZRmNV
m
= + −(,)~(;)05 0 1σ
Es gilt:
R: Realisierte Anzahl von Läufen im Datensatz
mNN N n
mit nAnzahl der Vorzeichen ipositive negative Null
i
i
i
= + −
=
∑
11
1 2 3
2
( )
:{(), (), ()}
σm
i i
ii i
i
n n N N N nN
N N
2
2 2 3 3
2
1 2
1
=
+ +
− −
−
∑∑ ∑
( )
( )
Nicht-Ablehnungsbereich der H0-Hyp.:
[
]
−t t
α α
;
Testentscheidung:
[
]
Zt t Hverwerfen∉−⇒
α α
;0
94 Kanji 1993, 108-109 und Cromwell/Labys/Terraza 1994, 28-30.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 71
3.3.4.5 Rank-Version of the von Neumann-Ratio-Test
Bei diesem Test wird die Unabhängigkeit der Zeitreihe xt mit Hilfe der Differenzen erster Ord-
nung überprüft. Für jeden differenzierten Beobachtungswert wird der Rang bestimmt und dar-
aus die Prüfgröße RVN konstruiert.
Rank-Version of the von Neumann-Ratio-Test:
Hyp.: H0:
∆
1x(t) ist unabhängig
H1:
∆
1x(t) ist abhängig
Die
∆
1x(t)-Werte werden in aufsteigender Reihenfolge zur neuen Variable R(i) sor-
tiert.
Prüfgröße: RVN R R
R
i i
i
ir
i
=
−
−
+
∑
∑
( )
( )
12
2
µ mit $( )µrxt=∆1 (arithmetisches Mittel)
Kritische Grenze τ: Siehe Bartels
Entscheidung: RVN > τ ⇒ H0. verwerfen
Bartels lieferte eine recht einfache Erklärung, unter welchen Bedingungen der Rank- Version-
Test zu besseren Ergebnissen führt als die Runs-Tests. Die Runs-Tests ignorieren völlig die
Größe der Beobachtung. Mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation stellte er fest, dass der
Rank-Version of the von Neumann-Ratio-Test bei autoregressiven Prozessen erster Ordnung
eine wesentlich größere Mächtigkeit besitzt als der Runs-Test.95
95 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 31-32 und Bartels 1982, 40-46.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 72
3.3.4.6 Durchführung der Unabhängigkeitstests (Lütkemeyer Münster)
Die Ergebnisse des Portmanteau-Tests finden sie im SPSS Korrelogrammausdruck, Seite 47.
Bis auf den Wert für k = 12 sind alle Korrelationskoeffizienten nicht signifikant von Null ver-
schieden.
Das Korrelogramm auf Seite 47 enthält auch die berechneten Prüfgrößenwerte der Box-Ljung
Q-Statistik. Getestet wird dabei die Nullhypothese, dass alle Autokorrelationskoeffizienten
von lag 1 bis lag k nicht signifikant von Null verschieden sind.
Der SPSS Ausdruck enthält die Realisationen der Prüfgrößen und die zugehörigen Wahr-
scheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten geben die Höhe des möglichen maximalen α-
Fehlers an. Erst wenn diese Wahrscheinlichkeit unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau von
α = 0,05 fällt, wird die Nullhypothese verworfen. Ab lags der Ordnung k = 14 führt der Box-
Ljung-Test zu einer Annahme der Alternativhypothese auf Abhängigkeit. Schon für k = 12
sinkt die berechnete Wahrscheinlichkeit für die Box-Ljung Q-Statistik von 0,413 (k = 11)
auf 0,08 ab. Die Vermutung liegt nahe, dass eine leichte saisonale Abhängigkeit vorliegt.
Der Box-Pierce-Test unterscheidet sich vom Box-Ljung-Test lediglich in der Berechnung der
Prüfgröße. Auch hier wird ein Signifikanzniveau von α = 0,05 verwendet.
lag k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ACF 0,078 -0,062 0,030 0,194 0,184 -0,061 0,158 0,157 -0,094 -0,158 0,094 0,334 -0,131 -0,335
Box-Pierce 0,329 0,536 0,585 2,617 4,445 4,646 5,994 7,325 7,802 9,151 9,628 15,65 16,57 22,64
krit.Grenze 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,69
Die berechneten Box-Pierce-Prüfgrößen fallen alle in den Nicht-Ablehnungsbereich der Null-
hypothese.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 73
Eine weitere Möglichkeit, die Unabhängigkeit der Beobachtungswerte zu testen, bietet der
Turning-Point-Test. Zur Durchführung des Tests benötigt man lediglich die Anzahl der Wen-
depunkte in der beobachteten Zeitreihe und den Stichprobenumfang.
Turning-Point-Test:
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt ist unabhängig
H1: Die Zeitreihe xt ist abhängig
Es gilt:
V = 37 (Anzahl der Wendepunkte)
EV N( ) ( ) ( ) ,= − = − =
2
322
354 2 34 67
σVN
216 29 90 16 54 29 90 9 28= − = − =( ) ( *),
Prüfgröße: ZVEV NV
V
= − = − =( ) , , , ~(;)σ37 34 67 928 0 765 0 1
Nicht-Ablehnungsbereich der H0-Hyp.:
[
]
0 196;,mit α = 0,05
Testentscheidung:
[
]
0 765 0 196 0
,;,∈⇒Hnicht verwerfen
Dieser Test führt zum Ergebnis, dass die Zeitreihe der Verkaufsdaten des Grossisten Lütke-
meyer Münster den Bedingungen der Unabhängigkeit genügt.
Das Programm SPSS enthält unter der Prozedur nichtparametrische Tests / Sequenz-analyse
den Runs-Test.
Runs Test VMUENSTE
Runs: 25 Test value = 275,000 (Median)
Cases: 26 LT Median
28 GE Median Z = -,8153
--
54 Total 2-Tailed P = ,4149
(SPSS/PC 6.1.3)
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 74
Zuerst wird der Median ermittelt und von allen 54 Verkaufswerten abgezogen. Zur Berech-
nung der Prüfgröße des Runs-Test benötigt man nicht die um den Median bereinigten Ver-
kaufswerte, sondern lediglich deren Vorzeichen. Bei der Auflistung der Vorzeichen muss die
ursprüngliche zeitliche Reihenfolge erhalten bleiben. Neben der Anzahl der Läufe (Runs) er-
mittelt SPSS auch die Anzahl der negativen (LT Median) und positiven (GE Median) Vorzei-
chen und summiert sie getrennt voneinander auf: ni
2
∑
( (
),
i
positive
=1
2(
))
negative
. Im
Gegensatz zum zuvor auf Seite 70 vorgestellten Runs-Test erfasst die im Progamm SPSS ver-
wendete Prüfgröße die Differenzen von Null in der um den Median bereinigten Zeitreihe nicht
extra. Differenzen von Null werden als positive Abweichungen mitgezählt. Somit treten Unter-
schiede zwischen der mit dem Programm SPSS berechneten Prüfgröße (Z = -0,814) und der
zuvor vorgestellten Prüfgröße (Z = -1,15) auf. Des Weiteren wird bei der verwendeten Prüf-
größe auch auf die Addition mit dem Wert 0,5 verzichtet. Sollte sich bei der praktischen An-
wendung des Runs-Test herausstellen, dass die um den Median bereinigte Zeitreihe eine grö-
ßere Anzahl von Nullwerten aufweist, erfolgt eine zweite von Hand korrigierte Rechnung.
SPSS Runs-Test:
Hyp.: H0: Die Zeitreihe xt der Verkaufsdaten ist unabhängig
H1: Die Zeitreihe xt der Verkaufsdaten ist abhängig
Es gilt:
R (Realisierte Anzahl von Läufen) = 25
n n
i
ii
i
2 2 2 3 3 3
26 28 1460 26 28 39528
∑ ∑
= + = = + =;
[ ]
mNN N ni
i
= + −
= − =
∑
111
54 54 55 1460 27 96
2
( ) * ,
[
]
[ ]
σmi i i
n n N N TnN
N N
2
2 2 3 3
2
3
2
1 2
1
1460 1460 54 55 2 54 39528 54
54
53
1321
=+ + − −
−
=+ − − =
∑∑ ∑
( )
( )
* * *
*
,
Prüfgröße:
[
]
[
]
ZRmNV
m
= − = − = −σ25 2796 1321 0814 0 1, , , ~(;)
Nicht-Ablehnungsbereich der H0-Hyp. (α = 0,05):
[
]
−196 196, ;,
Testentscheidung:
[
]
−∈−⇒0814 196 196 0
, , ;,Hnicht verwerfen
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 75
Mit dem Runs-Test gelangt man zu der Entscheidung, dass die Verkaufsdaten des Grossisten
Lütkemeyer keine signifikante Abhängigkeit aufweisen.
Anstelle des Medians kann auch das arithmetische Mittel zur Bereinigung der Verkaufswerte
verwendet werden. Dabei gelangt man zu derselben Testaussage, dass keine signifikante Ab-
hängigkeit festzustellen ist.
Runs Test VMUENSTE
Runs: 25 Test value = 274,5741 (Mean)
Cases: 26 LT Mean
28 GE Mean Z = -,8153
--
54 Total 2-Tailed P = ,4149
(SPSS/PC 6.1.3)
Bis auf den Box-Ljung-Test kommt es bei allen anderen Tests für den Grossisten Lütkemeyer
Münster zu einer Verwerfung der Hypothese auf Abhängigkeit der Zeitreihenwerte.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 76
3.3.5 Tests auf Nichtlinearität
Zeitreihen, die nicht unabhängig sind, besitzen eine bestimmte Form der Abhängigkeit, die sich
je nach Datenstruktur mit linearen oder nichtlinearen Modellen beschreiben lassen. Lineare
Modelle reichen dabei von einfachen deterministischen Trendmodellen bis hin zur Klasse der
SARIMA-Modelle.
Viele nichtlinearen Prozesse können durch geeignete Transformationen in eine Form gebracht
werden, die die Anwendung linearer Schätzmethoden auf die transformierte Zeitreihe ermög-
licht.96
Die Hypothesentests zur Unterscheidung zwischen linearen bzw. nichtlinearen Abhängigkeits-
strukturen lassen sich in drei Teststrategien einteilen:
„Chow-Tests, Tests mit Spezifizierung eines linearen Modells in der Nullhypothese und Tests,
die spezifische Eigenschaften eines endlichen Markoff-Prozesses ausnutzen.“ 97
Chow-Tests besitzen einige Nachteile, unter anderem führen sie zu verzerrten Ergebnissen und
stellen laut Neftci keine korrekte Strategie zur Überprüfung der Asymmetriehypothese dar.98
Die Tests mit Spezifizierung von linearen Modellen erfordern die exakte Formulierung der
Modelle in Null- und Alternativhypothese und beziehen sich in der Regel auf die Überprüfung
der Residuen.99
Zur dritten Teststrategie gehört der Asymmetrietest von Neftci, der nachfolgend zur Anwen-
dung kommt. Er lässt sich sowohl auf die Residuen nach erfolgter Modellschätzung, aber auch
auf die ursprüngliche Zeitreihe anwenden. Voraussetzung ist aber, dass die Zeitreihe stationär
ist.
3.3.5.1 Asymmetrietest von Neftci
Bei diesem Testverfahren wird die Symmetrie bzw. Asymmetrie von Zeitreihenwerten über-
prüft.
Liegt ein systematisches asymmetrisches Verhalten der Zeitreihe vor, so benötigt man Model-
le, die dieses Verhalten endogen erzeugen können. Lineare Modelle sind dazu nicht geeignet.
Der Test von Neftci baut auf die Übergangswahrscheinlichkeiten der Wendepunkte in den
Daten auf.
96 Cromwell/Labys/Terraza 1994, 37.
97 Kraft 1997, 109.
98 Neftci 1984, 310.
99 Kraft 1997, 109.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 77
Theoretische Teststruktur:
Aus den Beobachtungswerten einer Zeitreihe x
t werden die ersten Differenzen gebildet
( )∆11
x x x
t t t
= − −. Die differenzierte Reihe wird in den Prozess It umgewandelt, wobei gilt:
Iwenn x
wenn x
tt
t
=+ >
− ≤
1 0
1 0
1
1
,
,
∆
∆
Zyklen weisen oft asymmetrische Strukturen auf, dies bedeutet zum Beispiel, dass der Prozess
It wesentlich öfter den Wert +1 annimmt als -1. Die Übergangswahrscheinlichkeiten von +1 zu
+1 ist wesentlich größer als die Übergangswahrscheinlichkeit von -1 zu -1. Für den Prozess It
werden folgende Restriktionen unterstellt: Erstens der Prozess ist stationär und zweitens er
genügt einem Markoff-Prozess zweiter Ordnung.
Die Übergangswahrscheinlichkeiten werden für die Realisationen einer Zufallsstichprobe S =
(i1, i2, ... iT) mit Hilfe einer Maximum-Likelihoodschätzung ermittelt100.
Likelihoodfkt.: LSij n n n n
(,,) ( ) ( ) ( ) ( )λ π π λ λ λ λ
0 0 00 00 11 11
00 01 11 10
1 1= − −
mit ii i
πλ
λ λ
0 1
=P(I = = −
− −
− −
11 1
00 11
1
21 1
),
Die von Kraft101 entwickelte Prozedur MCycle wird auf die stationären Zeitreihen angewandt.
Als Ausgabeprotokoll erhält man in einer Graphik die einzelnen Konfidenzintervalle der ge-
schätzten Parameter
λ
λ
00
und
11 sowie das gemeinsame Konfidenzellipsoid der beiden Pa-
rameter.
Darüber hinaus wird die Matrix m der geschätzten Parameter aufgeführt:
m=
λ λ
λ λ
00 01
10 11
Getestet werden die Hypothesen: H0: Symmetrische Zeitreihe
H1: Asymmetrische Zeitreihe
Auf die Alternativhypothese (Asymmetrie) wird entschieden, wenn die Diagonale
λ
λ
00 11
=
das Konfidenzellipsoid nicht schneidet. Die Größe des Konfidenzellipsoids hängt vom Stich-
probenumfang N ab.
„Gerade für kleine Stichprobenumfänge ist die Mächtigkeit des Tests aber gering, wie Simula-
tionsstudien zeigten, d.h., H0 (Symmetrie) wird mit großer Wahrscheinlichkeit fälschlich beibe-
halten. Auch werden durch die Definition der Prüfgröße It die absoluten
100 Kraft 1997, 110.
101 Kraft 1997, 110-111.
3 Beschreibung und Identifikation von Zeitreihen 78
Werte der Differenzen x(t) - x(t-1) nicht berücksichtigt. Größere oder kleinere Richtungs-
wechsel können so nicht unterschieden werden und führen deshalb zu einer Überschätzung der
Zahl der Wendepunkte in der Originalreihe.“102
3.3.5.2 Durchführung des Asymmetrietests von Neftci (Lütkemeyer Münster)
Das Ergebnis des ADF-Tests auf Seite 57 ließ für den Grossisten Lütkemeyer Münster die
Annahme der Stationarität zu. Damit ist eine Grundvoraussetzung zur Durchführung des Neft-
ci-Tests erfüllt. Die Matrix der geschätzten Parameter lautet:
m = 042 058
091 0 09
, ,
, ,
Die gesamte Fläche des Konfidenzellipsoids mit α = 0,2 und N = 54 liegt eindeutig unter der
Diagonalen
λ
λ
00 11
=
. Damit wird die Nullhypothese auf Symmetrie der Zeitreihe verworfen
und auf die Alternativhypothese entschieden.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
102 Kraft 1997, 112.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 79
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung
Im vorherigen Abschnitt wurden verschiedene Verfahren zur Beschreibung und Identifikation
von Zeitreihen ausführlich erörtert.
Die meisten Verfahren der Zeitreihenanalyse sind nur dann anwendbar, wenn die Bedingung
der schwachen Stationarität erfüllt ist. Zeitreihen, die dieser Bedingung nicht genügen, müssen
in geeigneter Weise transformiert werden, bis die schwache Stationarität vorliegt. Erfüllen die
Zeitreihen bzw. transformierten Zeitreihen neben der schwachen Stationarität auch die
Bedingung auf Normalverteiltheit, Abhängigkeit und Symmetrie, dann lässt sich die vorliegende
Abhängigkeitsstruktur durch ein lineares Modell beschreiben.103
Eine Möglichkeit, abhängige Zeitreihen zu beschreiben, bietet der deterministische
Modellansatz, bei dem ein stochastischer Prozess lediglich in einer Restkomponente auftritt.
Dabei kann die Form der Abhängigkeit von einem einfachen linearen Trendmodell bis zu
komplexen nichtlinearen Modellen reichen. Hinweise über die Form der Abhängigkeit liefern
die Testverfahren, die im Kapitel 3 ausführlich vorgestellt werden.
Neben den deterministischen Modellen darf die Klasse der rein stochastischen Modelle nicht
vergessen werden. Beide Konzepte werden erörtert, gegenübergestellt und auf die realisierten
Daten übertragen.
Ob ein Modellansatz als gelungen zu betrachten ist, wird anhand von Gütekriterien überprüft,
dabei spielen bei der Untersuchung der Residuen die Bedingungen der Stationarität,
Normalverteiltheit und Unabhängigkeit wiederum eine wichtige Rolle.
4.1 Methoden der Zeitreihenzerlegung
Die meisten ökonomischen Zeitreihen weisen im Zeitverlauf mittel- bis langfristige
Veränderungen auf und verletzen somit die Stationaritätsbedingung. Eine Möglichkeit,
derartige Zeitreihen in den Griff zu bekommen, kann durch die Zerlegung derselben in
verschiedene systematische Teile erreicht werden. Bei unterjährigen ökonomischen Daten
erfolgt zum Beispiel per Definition eine Unterteilung in die Ursachenkomplexe Trend,
Konjunktur und Saison. Übrig bleibt lediglich ein unerklärter Rest, die irreguläre Komponente,
die nicht zu erklärende Einflüsse enthält.
103 Cromwell/Labys/Terrarza 1994, 19.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 80
Schäffer verwendet folgendes Schaubild zur Darstellung der Komponenten einer Zeitreihe:104
Komponenten von Zeitreihen
Saison-
komponente
Trend-Konjunktur-
Komponente
Konjunktur-
komponente
Zyklische
Komponenten Kalender-
komponente Ausreißer Rest-
komponente
Systematische Komponenten
Trend-
komponente
Irreguläre Komponenten
Realwissenschaftlich besteht keine Möglichkeit, die Phänomene wie Trend, Konjunktur und
Saison isoliert zu messen, da sie nicht einzeln zu beobachten sind. Sie stellen Bestandteile der
formalen Definition der Komponenten dar und keine realen ökonomischen Vorgänge. Für
diese Phänomene bietet sich lediglich eine verbale Umschreibung an. Eine Ausnahme stellt der
Kalendereffekt dar. Er lässt sich explizit erklären, da er einerseits von der Anzahl der Tage
eines Monats abhängt und andererseits von deren Zusammensetzung. Unter der
Zusammensetzung versteht man zum Beispiel die Anzahl der Werktage eines Monats.
Der Trend einer Zeitreihe wird als die „langfristige systematische Veränderung des mittleren
Niveaus der Zeitreihe“ verstanden.105
Was unter langfristigen Veränderungen zu verstehen ist, hängt entscheidend von der Länge der
betrachteten Zeitreihen ab. Chatfield erläutert den Effekt an einem Beispiel aus der
Klimaforschung. In der Klimatologie lassen sich langfristige Zyklen von ca. 50 Jahren
beobachten. Analysiert man lediglich einen Zeitraum von höchstens 20 Jahren,
104 Schäffer 1997, 31.
105 Schlittgen/Streitberg 1989, 9.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 81
so kann der langfristige Zyklus nicht identifiziert werden, sondern stellt sich als Trend dar.106
Saison, darunter versteht man wiederkehrende jahreszeitliche Schwankungen. Neben der
Saison lassen sich gegebenenfalls noch andere zyklische Schwankungen definieren, wie zum
Beispiel Konjunkturschwankungen. Konjunkturschwankungen umfassen einen mehrjährigen
Zyklus, wobei sich die Intervalllänge im Zeitverlauf verändern kann. Alle Arten von zyklischen
Schwankungen lassen sich aber nur feststellen, wenn in eine Zykluslänge mindestens zwei
Beobachtungswerte fallen.
Die irreguläre Komponente lässt sich in Ausreißer und Restkomponente unterteilen. Auf die
Problematik der Ausreißer wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen. Die kurze
Betrachtung der Restkomponente ist dagegen unerlässlich, da sie zur Beurteilung der Qualität
einer Zeitreihenzerlegung eine entscheidende Rolle spielt. Die Rest-komponente sollte keine
strukturellen Einflüsse aufweisen, sondern nur noch unsystematische Störungen, die sich nicht
weiter erklären lassen.
Die aufgeführte Komponentenzerlegung stellt eine Zerlegungsmöglichkeit dar. Bei anderen
Zerlegungen verzichtet man gänzlich auf die Konjunkturkomponente oder fasst Trend- und
Konjunkturkomponente zur glatten Komponente zusammen.
Die Verknüpfung der Komponenten kann auf unterschiedlichste Art und Weise erfolgen.
Beeinflussen sich die Komponenten nicht gegenseitig, so bietet sich das additive Grundmodell
an. Stellt man hingegen fest, dass proportional zum Trend oder zur glatten Komponente auch
die Schwankungsausschläge der Saisonkomponente zu- bzw. abnehmen, so bietet sich die
multiplikative Verknüpfung an. Rein multiplikative Grundmodelle lassen sich durch
logarithmische Transformation in additive Modelle umwandeln.
Neben den rein additiven bzw. multiplikativen Verknüpfungsmöglichkeiten sind auch andere
Formen denkbar.
Als Beispiel führt Schäffer die Reihe der Arbeitslosenzahlen in der Bundesrepublik
Deutschland an. Bei einem rein additiven Grundmodell wird die Saisonkomponente
unterschätzt und bei einem rein multiplikativen Modell überschätzt. In diesem Fall wird eine
Lösung durch Transformation erzielt. Schäffer erwähnt in diesem Zusammenhang die Klasse
der Box/Cox-Transformationen. Denkbar wäre aber auch eine Lösung mit gemischten
Modellen, die sowohl additive als auch multplikative Verknüpfungen enthalten.107
106 Chatfield 1985, 13.
107 Schäffer 1991, 28.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 82
Bei der Modellierung eines Komponentenmodells sollten die einzelnen Komponenten explizit
definiert werden. Leider wird bei vielen praktischen Anwendungen auf die explizite
Modellbeschreibung der Komponenten verzichtet. Ein Beispiel ist die Census Methode X-
11.108 Bei der Entstehung dieser Methode, die eine Ansammlung von Verfahrensprozeduren
darstellt, machte man sich keinerlei Gedanken über die implizit zugrunde liegenden
Komponentenmodelle. Eine methodologische Beurteilung der Verfahren ist aber nur möglich,
wenn die implizit zugrunde liegenden Komponentenmodelle eindeutig identifiziert werden. W.
P. Cleveland und G. C. Tiao gelang es, für ein additives Grundmodell der Census Methode
X-11, den stochastischen Prozess zu beschreiben, der zu optimalen Ergebnissen führt.109 Für
die multiplikativen Grundmodelle ist dieser Nachweis bis heute nicht gelungen. Schäffer nennt
in seinem Aufsatz drei Gründe, die gegen die Anwendung des multiplikativen Grundmodells
der Census Methode X-11 sprechen:
Das Komponentenmodell, auf dem die multiplikativen Grundmodelle beruhen, konnte nicht
identifiziert werden, einige Arbeitsschritte sind inkonsistent und die glatte Komponente ist
systematisch verzerrt.
Eine besonders detaillierte und kritische Beurteilung der Census Methode X-11 findet man bei
Winfried Stier.110
Andere Autoren wie zum Beispiel Makridakis, Reschke und Wheelwright präferieren gerade
die Census Methode. „Die Gültigkeit dieses Verfahrens und die Genauigkeit seiner Ergebnisse
sind durch die Anwendung auf Hunderttausende von Reihen empirisch nachgewiesen
worden“.111 Makridakis, Reschke und Wheelwright beziehen sich bei ihren Ausführungen auf
die Census II Methode. Die Census Methode X-11 ist eine Weiterentwicklung der Census II
Methode.112
Schon 1936 hatte A. Wald gefordert, „daß die Annahmen für die Berechnung der
Komponenten explizit zu spezifizieren sind.“113
Aber erst Mitte der sechziger Jahre setzte sich diese Erkenntnis in der Zeitreihenanalyse durch.
Zu unterscheiden sind zwei Gruppen von explizit formulierten Modellen, die lokalen und die
globalen Modelle.
108 Shiskin/Young/Musgrave 1965.
109 Cleveland/Tiao 1976.
110 Stier 1980, Kap. 1.
111 Makridakis/Reschke/Wheelwright 1980, 128.
112 Weiterführende Literatur: Monatsberichte der Deutschen Bundesbank 1970 und 1987.
113 Schäffer 1991, 30 und Lüüs 1993.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 83
Wie der Name schon sagt, beschreiben lokale Modelle immer nur einen Teil der Zeitreihe. Die
Beschreibung erfolgt durch geeignete Filtertechniken. Der Vorteil der lokalen Modelle liegt in
der zumeist einfachen Anwendung und dem geringen Rechenaufwand. Als besonders nachteilig
erweist sich die Zerlegung an den Rändern, besonders am aktuellen Rand der Zeitreihe. Eine in
der Praxis oft verwendete Filtertechnik sind die gleitenden Durchschnitte. Bei den gleitenden
Durchschnitten lassen sich die geglätteten Werte nur mit einer deutlichen zeitlichen
Verzögerung berechnen. Bei monatlichen Daten und einem Stützbereich von 12 Monaten liegt
die zeitliche Verzögerung bei sechs Monaten.
Als ein komplexes Beispiel für ein lokales Komponentenmodell führt Schäffer das Berliner
Verfahren an.114
Globale Modelle beschreiben die Eigenschaften einer gesamten Zeitreihe. Sie lassen sich in
zwei Gruppen einteilen. Zum einen in die Gruppe der strukturellen Modelle und zum anderen in
die Gruppe der kompakten Modelle. Bei den strukturellen Modellen werden die
Komponenten der Zeitreihe einzeln modelliert und abschließend zum Gesamtmodell
zusammengefasst. Kompakte Modelle hingegen werden nicht in einzelne Komponenten
zerlegt, sondern die Schätzung der Modellkoeffizienten erfolgt simultan.
Als Beispiel für ein kompaktes Modell führt Schäffer die rekursiven Filter an, die zur
Aufdeckung der glatten Komponente bzw. zur Eliminierung der Saisonkomponente geeignet
sind. Eine andere Klasse von kompakten Modellen stellen die ARIMA-Modelle dar. Dabei
wird von der Grundidee ausgegangen, dass sich eine Zeitreihe „als Realisation eines speziellen
stochastischen Prozesses aus der Klasse der ARIMA-Prozesse“ darstellen lässt.115
114 Schäffer 1991, 31-32.
115 Schäffer 1991, 34-35.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 84
4.2 Der Trend in der Zeitreihenanalyse
In diesem Abschnitt werden zuerst einige globale aber auch lokale Techniken zur Ermittlung
und Bereinigung eines deterministischen Trends kurz vorgestellt. Danach wird als Gegenpol
zum Konzept des deterministischen Trends die Differenzenbildung zur Erfassung eines
stochastischen Trends erwähnt. Im Rahmen der ARIMA-Modelle schlagen Box und Jenkins
die Differenzenbildung zur Entfernung des Trends vor.116
Zum Schluss werden noch verschiedene Filtertechniken aufgeführt, mit denen der Trend
lokalisiert werden kann.
Zeitreihen, die trendbehaftet sind, egal ob mit unterstelltem deterministischen oder
stochastischen Trend, erfüllen nicht mehr die Definition der Stationarität, da sich ihr
Erwartungswert mit der Zeit verändert.117
Des Weiteren weisen trendbehaftete Reihen, je nach Trendverlauf, eine positive oder negative
Autokorrelation auf. Die Autokorrelationsfunktion kann daher nicht mehr zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen den einzelnen Zeitpunkten benutzt werden, da sie vom Trend
überlagert wird.118
Deterministisches Trendkonzept durch Anpassung an die Kurve:
Mit Hilfe einfacher Funktionen (lineare, quadratische, kubische, logarithmische usw.) lassen
sich für viele Zeitreihen ohne Saisonschwankungen eine gute Beschreibung des Trends
erreichen. Für einen polynomialen Trend der Ordnung (k-1) gilt allgemein:
m t t t t
kk
( ) = + + + +
−
β β β β
1 2 3 2 1
K
Eine Alternative zu den Polynomkurven liefert die Gompertz Kurve119: log xabr
tt
= −
Diese Kurve hat eine S-förmige Form, wobei t gegen unendlich strebt, a, b und r Parameter
darstellen und r folgenden Wertebereich annimmt: 0 < r < 1
Stochastisches Trendkonzept durch Differenzenbildung:
Um den Trend zu entfernen, bildet man so lange Differenzen, bis die Zeitreihe stationär ist. Oft
kommt man schon mit der Differenzierung erster Ordnung aus.120 Die Differenzenbildung wird
im Rahmen der ARIMA-Modelle im Kapitel 4.4 kurz vorgestellt.
116 Box/Jenkins 1970.
117 Wei 1990, 67-69.
118 Schlittgen/Streitberg 1989, 13.
119 Chatfield 1985, 16.
120 Chatfield 1985, 21.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 85
Weisen die Daten neben dem Trendeffekt auch einen Saisoneffekt auf, so besteht eine
einfache Möglichkeit der Trendbeschreibung in der Berechnung von aufeinander folgenden
jährlichen arithmetischen Mittelwerten.
In diesem Abschnitt wurden verschiedene Möglichkeiten der Trendbereinigung von Zeitreihen
vorgestellt, die implizit eine bestimmte Form des Trends unterstellen. Zum Beispiel reagieren
Differenzenbildung und linearer Trend sehr sensibel auf den zugrunde liegenden Trend. Die
Anpassung an eine lineare Trendfunktion ist nur geeignet, wenn der zugrunde liegende Trend
wirklich eine deterministische Funktion darstellt und stochastische Schocks lediglich eine
kurzlebige Auswirkung besitzen. Die Bildung von Differenzen ist dann optimal, wenn die
Nicht-Stationarität in der Serie vom Typ eines Random-Walk-Prozesses ist. In diesem Fall
haben Schocks einen permanenten Effekt.
Bildet man zum Beispiel Differenzen im Falle eines deterministischen Trends, dann wird der
Hochfrequenzbereich gegenüber dem Niedrigfrequenzbereich völlig überzeichnet.
Die Anpassung eines deterministischen Trends an einen Random-Walk-Prozess führt zu
falschen Zyklen in der bereinigten Reihe.
Ist man sich über den zugrunde liegenden Trend im Unklaren, dann hat man die Möglichkeit,
die Form des Trends mit Hilfe geeigneter Tests zu prüfen. Im Kapitel 3.3.2 wurde der
Augmented-Dickey-Fuller-Test vorgestellt. Dabei lassen sich durch Überprüfung der
Stationaritätsbedingung die folgenden Formen des Trends in der Zeitreihe testen: Kein Trend,
linearer deterministischer Trend oder stochastischer Trend (Entfernung durch
Differenzenbildung) vorhanden.
In einer Studie überprüften Hillinger, Reiter und Woitek121 die Robustheit einiger weit
verbreiteter Trendbereinigungsverfahren. Bei der Beurteilung der Qualität der angewandten
Prozeduren wurde darauf geachtet, dass sich die zyklische Komponente durch die
Trendbereinigung sauber isolieren lässt.
Als ein Ergebnis der Studie lässt sich festhalten, dass die am meisten auseinander liegenden
Methoden, Differenzenbildung und Anpassung an einen linearen Trend, in einigen Fällen zu
jeweils optimalen Ergebnissen führen. Sie sind aber nicht robust, da sie nur für einen Teil der
unterstellten Modelle gute Ergebnisse erzielen. Oft kommt es zu Verzerrungen in der
Spektraldichte der Residuen, das heißt, die Zyklen werden durch die Trendbereinigung
verfälscht.
Unabhängig von der exakten Natur des trenderzeugenden Prozesses führt hingegen der
Hodrick-Prescott-Filter zu robusteren Ergebnissen für die verschiedenen Zeitreihenmodelle.
Ausnahme stellt der Random-Walk-Prozess dar, wo der HP-Filter zu falschen Zyklen führt.
121 Hillinger/Reiter/Woitek 1992.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 86
HP-Filter:
( )
HP y y y y y y
t t t t t t
t
T
i
T
= − + − − −
+ −
=
−
=∑∑(~) (~ ~ ) (~ ~ )
21 1 2
2
1
1λ
mit yOriginalwert
yTrendwert
t
t
:~=
=
Der HP-Filter besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil ist ein Maß für die Güte der Anpassung
(„Goodness of fit“). Die Trendwerte werden so ermittelt, dass der erste Ausdruck minimiert
wird. Der zweite Teil ist ein Maß für die Variation des Trends.
Für jährliche Daten wird ein Gewichtungsfaktor von 100 empfohlen. Hillinger, Reiter und
Woitek hatten auch kleinere Werte für den Gewichtungsfaktor getestet, sie empfehlen aber
den Wert 10 nicht zu unterschreiten, da sonst bei der Schätzung des Trends zuviel von der
Fluktuation absorbiert wird.122
Das Programm EViews verfügt über den HP-Filter. Standardmäßig wird bei Zeitreihen mit
jährlichen Daten ein Gewichtungsfaktor von 100 verwendet, bei Quartalsdaten von 1600 und
bei monatlichen Daten 14400. Dies entspricht den von Hodritt und Prescott vorgeschlagenen
Werten. EViews erlaubt es dem Benutzer, jeden beliebigen Gewichtungsfaktor frei
einzugeben.
Weitere vielfach angewandte Filtertechniken sind zum Beispiel die gleitenden Durchschnitte
(Moving Average), die Spline-Funktionen oder die Verfahren der exponentiellen Glättung.
Bei der Verwendung von gleitenden Durchschnitten lässt sich durch Verwendung linearer Filter
die Zeitreihe xt in yt umwandeln.
Der lineare Filter sieht wie folgt aus: yax
trtr
rq
s
=+
=−
+
∑
Die ar stellen einen Satz von Gewichten dar. Die Gewichte sollten so gewählt sein, dass ihre
Summe 1 ergibt.
Für viele Fragestellungen ist es sinnvoll, die Gewichte so zu wählen, dass sie annähernd
normalverteilt sind. Die Funktion lautet zum Beispiel:
yqx
t t r
rq
q
=++
=−
+
∑
1
2 1
122 Hillinger/Reiter/Woitek 1992.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 87
Zur Berechnung der Gewichte dient folgende Formel
{
}
( )
12122
+q, wobei q eine positive
ganze Zahl ist. Für große q nähern sich die Gewichte der Normalverteilung an.123
In der Literatur begegnet man einer ganzen Reihe weiterer Filter, wie zum Beispiel „Spencer’s
15 point moving average“124 oder „Henderson moving average“125.
Eine andere Möglichkeit der Filterung besteht in der stückweisen Anpassung durch
Polynomkurven. Dabei wird nicht die gesamte Zeitreihe, sondern immer nur ein bestimmter
Teil angepasst.
Die Klasse von „spline functions“ stellt ein Beispiel für die Anpassung durch stückweise
Polynomzüge dar.126
Eine in der praktischen Anwendung vielfach angewandte Filtertechnik ist die exponentielle
Glättung. Das Polynom hat dabei folgende Grundform:
$( )xaxmit a
t j t j
j
q
jj
= = −
−
=
∑
0
1α α
wobei q = ∞ und die Glättungskonstante α auf den Wertebereich 0 < α < 1 definiert ist.
Die Auswahl eines geeigneten Filters erfordert neben der intensiven Kenntnis des
Frequenzaspektes von Zeitreihen ein beachtliches Maß an Erfahrungen.
Mit Hilfe von Filtertechniken lassen sich beliebige Frequenzprofile herausfiltern. Zwei extreme
Filter stellen dabei „low-pass filter“ und „high-pass filter“ dar. Mit Hilfe der „low-pass filter“
sollen die lokalen Schwankungen beseitigt werden, so dass lediglich die langfristige
Komponente erhalten bleibt. Bei einem „high-pass filter“ ist es genau umgekehrt; der
langfristige Einfluss soll entfernt werden.
Oft werden Filter in Serie geschaltet, das bedeutet, dass die Glättung in mehreren Schritten
erfolgt.127
123 Kendall 1976, Kap. 3 u. 4.
124 Tetley 1946.
125 Kenny/Durbin 1982.
126 Wold 1974.
127 Chatfield 1985, 17-20.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 88
4.3 Saisonkomponente
In diesem Abschnitt werden einfache Prozeduren zur Handhabung von saisonalen Effekten in
deterministischen und stochastischen Modellen vorgestellt. Eine Testprozedur, die es
ermöglicht, zwischen bestimmten Formen von deterministischer und stochastischer Saison zu
unterscheiden, wird in Kapitel 4.7.3 gesondert vorgestellt.
Welche Verfahren letztendlich bei der Modellierung des Saisoneffektes zu guten Ergebnissen
führen, hängt im hohen Maße von der Art des Trends ab.
Bei Zeitreihen, die einen geringen oder keinen Trend aufweisen und deren Saisonverlauf über
die Zeit konstant bleibt, genügt vielfach ein Vergleich zwischen den arithmetischen Mitteln der
einzelnen Monate
( )x
s mit dem gesamten arithmetischen Mittel
( )x
der Zeitreihe, um den
Saisoneffekt erfassen zu können. Der Vergleich kann dabei durch Differenz- oder
Quotientenbildung erfolgen.
x x
x
s
−
oder
x
smit s = 1, 2, ... 12 für Monatsdaten.
Für Zeitreihen, die einen deutlichen Trend aufweisen, sind aufwendigere Verfahren zur
Erfassung der Saison notwendig.
Ein mögliches Verfahren stellen die gleitenden Durchschnitte dar. Bei einer geraden Anzahl von
t Werten pro Saison nimmt man t+1 Werte, wobei der erste und der letzte Wert durch zwei
dividiert werden.
Gleitende Durchschnitte bei monatlichen Daten:
$
xx x x x x
tt t t t t
=+ + + + + +
− − + +
126 5 5 126
12
K K
Der Saisoneffekt kann additiv oder multiplikativ geschätzt werden, entweder
Beobachtungswert minus geglätteten Wert oder Beobachtungswert dividiert durch geglätteten
Wert.
Die additive Methode verwendet man, wenn die Höhe der Saisonausschläge über die Zeit
konstant bleibt. Wachsen hingegen die Saisonausschläge proportional zum Mittelwert an, so ist
die multiplikative Methode die geeignetere.128
128 Weiterführende Literatur.: Box/Jenkins 1970, Pierce 1980, Cleveland/Tiao 1976
und Shiskin/Plewes 1978.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 89
Die Methode der gleitenden Durchschnitte lässt sich sehr gut in ein deterministisches
Komponentenmodell integrieren. Autoren, wie zum Beispiel Bamberg und Baur sprechen in
diesem Zusammenhang von einer Saisonbereinigung mit konstanter Saisonfigur. Dabei
unterstellen sie ein additives verknüpftes Zeitreihenmodell. Es besteht aus einer
Trendkomponente, einer zyklischen Komponente, einer Saisonkomponente und einer
irregulären Komponente. Die Verknüpfung all dieser Komponenten erfolgt additiv.129
yT
Z
S
U
für
t
N
t t t t t
=
+
+
+
=
(
,
,
,
.
.
.
,
)
1
2
3
Die Trendkomponente T
t misst die „langfristig wirkenden Ursachen“. Sie kann monoton
fallend oder steigend sein. Wenn der Untersuchungszeitraum nicht gerade mehrere Jahrzehnte
umfasst, wird der Trend in der Regel als lineare Funktion der Zeit betrachtet.
Die zyklische Komponente Z
.t. besitzt einen wellenförmigen Verlauf und spiegelt den
Konjunkturzyklus wider.
Die Saisonkomponente S
t beschreibt den jahreszeitlichen Einfluss auf den Verlauf der
Zeitreihe.
Unter der irregulären Komponente Ut versteht man den durch das additive Zeitreihenmodell
nicht zu erklärenden Restteil. Die irregulären Schwankungen sollten den folgenden
Anforderungen genügen: sie sollten unsystematisch um ihren Erwartungswert schwanken, der
Erwartungswert sollte Null betragen. Man bezeichnet die irreguläre Komponente auch als
Störterm. Sie stellt keine deterministische, sondern eine stochastische Größe dar und wird von
daher als Zufallsvariable aufgefasst.
Die Zeitreihe wird zuerst um die glatte Komponente (Trend und zyklische Komponente)
bereinigt. Zu deren Ermittlung bieten sich zum Beispiel die gleitenden Durchschnitte an.
Die um Trend und zyklische Komponente bereinigte Zeitreihe enthält nur noch die saisonale
Komponente und den Störterm.
Die Saisonbereinigung erfolgt im additiv verknüpften Modell zum Beispiel mit konstanter
Saisonfigur. Man berechnet für jede der 12 Ausgaben, die pro Jahr erscheinen, den
entsprechenden durchschnittlichen Wert. Für die vorliegenden Zeitreihen bedeutet dies, dass
für jeden einzelnen Monat die bereinigten Werte der Jahre 92 bis 96 aufaddiert werden, um
sie abschließend durch die Anzahl der betrachteten Jahre zu dividieren.
129 Bamberg/Baur 1998, 63.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 90
~( )
*
Smy y
jjij ij
iMj
= −
=
∑
1
yBeobachtun
ij
=
gswert
y=gleitender 12-Monats-Durchschnitt
i = Laufindex Jahr
j = Laufindex Monat
ij
*
~
Sj liefert schon eine recht gute Schätzung für die Saisonfaktoren. Damit von jedem
~
Sj
dasselbe Korrekturglied subtrahiert wird, ist eine Normierung notwendig, d.h., die Summe der
~
Sj-Werte werden auf den Wert Null normiert.
$~ ~
S S S
j j j
j
= −
=
∑
1
12 1
12
Wächst die Amplitude der Saisonschwankungen parallel zur glatten Komponente an, so
verwendet man nicht das Komponentenmodell mit konstanter, sondern mit variabler
Saisonfigur.130
Liegt hingegen ein stochastischer Saisoneffekt vor, so kann analog der Vorgehensweise bei
den stochastischen Trends die saisonale Differenz der Zeitreihe gebildet werden. Die genaue
Vorgehensweise wird im Kapitel 4.7.2 erläutert.
130 Bamberg/Baur 1998, 63-73.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 91
4.4 Theoretische Erläuterungen von ARIMA-Prozessen
Entwickelt wurden die ARIMA-Modelle von Box und Jenkins. Die Abkürzung ARIMA steht
für ein Autoregressives-Integriertes-Moving-Average-Modell. Zur praktischen Anwendung
dieser Ansätze ist ein Computerprogramm unerlässlich. Die Berechnungen in diesem Kapitel
erfolgen mit dem Programm EViews. Alternativ könnte auch SPSS/PC+ Trends verwendet
werden.
Die Berechnungen erstrecken sich von der Identifizierung, Schätzung bis hin zur Diagnose von
ARIMA-Modellen.
ARIMA-Modelle bestehen aus drei verschiedenen Prozessen von Zufallsschwankungen und
Schocks. Jeder dieser drei Prozesse besitzt seine Ordnung. Die Variable p steht für die
Ordnung des Autoregressiven-Prozesses, d für den Grad der Differenzenbildung und q für die
Ordnung des Moving-Average-Prozesses.
Die ARIMA-Modelle lassen sich sowohl für Daten mit und ohne Saisoneffekt berechnen.
Zuerst beschäftigen wir uns mit der Theorie der nicht saisonalen ARIMA-Modelle.
4.4.1 Der Moving-Average-Prozess (MA)
Ein Moving-Average-Prozess (MA(q)) der Ordnung q besitzt folgende Form:
XZ Z Z
t t t qtq
=
+
+
+
− −
θ
θ
θ
0 1 1 .....
Zt ist ein einfacher Zufallsprozess, die θ sind Konstanten und X
t der MA-Prozess. Der
Erwartungswert ist gleich Null, die anderen Parameter wie Varianz, Autokovarianzfunktion
und Autokorrelationsfunktion werden nicht explizit angegeben, man findet sie zum Beispiel bei
Chatfield.131
Ein MA-Prozess erfüllt die Bedingung der schwachen Stationarität, da der Erwartungswert
konstant ist und die Autokovarianzfunktion (ACVF) nicht von dem Zeitpunkt t abhängt,
sondern lediglich vom „lag“. Sind die Z’s NV, so genügt der MA-Prozess den Bedingungen
der strengen Stationarität. Die Gleichung kann ohne Probleme um einen konstanten Wert µ
erweitert werden, dies hat keinen Einfluss auf die Eigenschaften des MA-Prozesses.
131 Chatfield 1985, 42.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 92
Im allgemeinen lässt sich ein MA-Prozess nicht eindeutig aus seiner Autokorrelationsfunktion
bestimmen. Box und Jenkins versehen daher die θ mit einer Restriktion, sie nennen diese
Restriktion „Invertibility“.132
Betrachten wir dazu die beiden MA-Prozesse erster Ordnung:
1
21
1
1
)
)
XZ Z
XZ Z
t t t
t t t
= +
= +
−
−
θ
θ
Beide MA-Prozesse haben dieselbe Autokorrelationsfunktion (ACF); zur Identifikation reicht
die ACF nicht aus. Formt man die beiden Gleichungen nach Zt um, für |θ| < 1 konvergiert
X
t
in der ersten Gleichung im Gegensatz zur zweiten Gleichung. Umgeformt gilt:
1
21 1
122
122
).....
).....
ZX X X
ZX X X
t t t t
t t t t
= − + −
= − + −
− −
− −
θ θ
θ
θ
Modell 1 wird im Gegensatz zu Modell 2 als invertierbar bezeichnet. Invertierbare Modelle
zeichnen sich dadurch aus, dass die ACF des MA-Prozesses eindeutig identifizierbar ist.
Recht anschaulich lässt sich die Bedingung der Invertierbarkeit mit Hilfe des „backward shift
operator“ erläutern.
Der „backward shift operator“ (Rückwärtsverschiebungsoperator) ist wie folgt definiert:
BX X für alle jXB B ZBZ
jt t j t qqt t
=⇒= + + + =
−(..... ) ( )θ θ θ θ
0 1
Ein MA-Prozess mit der Ordnung q ist invertierbar, wenn die Wurzel aus folgender Gleichung:
θ θ θ θ( ) .....B B B
qq
= + + + =
0 1 0
außerhalb des Einheitskreises liegt.133
Zum Beispiel werden ökonomische Indikatoren von einer Reihe von zufälligen Ereignissen
beeinflusst (z.B.: Streiks, Regierungsentscheidungen, .... ). Solche Störungen haben nicht
immer einen unmittelbaren Effekt. Viele haben einen Effekt in abgeschwächter Form, der sich
erst zu einem späteren Zeitpunkt auswirkt.
132 Box/Jenkins 1970, 50 und Chatfield/Prothero 1973.
133 Chatfield 1985, 43-44.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 93
Zwischen dem MA-Prozess und dem im nächsten Abschnitt vorgestellten AR-Prozess besteht
eine Dualität. Der AR lässt sich auch als MA-Prozess umformen, dies gilt natürlich auch
umgekehrt.
4.4.2 Der Autoregressive-Prozess (AR)
Für einen Autoregressiven-Prozess {AR(p)} gilt: X X X Z
t t ptpt
=
+
+
+
− −
ϕ
ϕ
1 1 ..... .
Dabei wird angenommen, dass Zt ein einfacher Zufallsprozess mit Erwartungswert Null und
Varianz σz
2 ist.
Jede Zufallsvariable Xt ist eine lineare Funktion der vorherigen Zufallsvariablen.
Der große Unterschied zu einem multiplen Regressionsmodell liegt darin, dass X
t nicht aus
unabhängigen Variablen entwickelt wird, sondern aus Vergangenheitsdaten der Zufallsvariable
Xt. Daher auch der Name Autoregressiver-Prozess.
Autoregressiver-Prozess erster Ordnung (AR(p=1)):
X
X
Z
t t t
=
+
−
ϕ
1
Der AR(1) lässt sich durch sukzessive Substitution in einen MA-Prozess mit unbegrenzter
Ordnung umwandeln:
X X Z Z XZ Z Z
Z Z Z
t t t t t t t
t t t
= + + = + + +
= + + +
− − − − −
− −
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
[ ] [ ]
2 1 23 2 1
122.....
Auch hier lässt sich die Gleichung wieder durch den „backward shift operator B“ formulieren:
( )
/( )
(.....)
.....
1
1
12 2
122
−
=
⇒
= −
= + + +
= + + +
− −
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
BXZ
XZB
B B Z
Z Z Z
t t
t t
t
t t t
Der Erwartungswert (E(Xt) = 0) für Xt ist 0, für (-1 < ϕ < +1) ist die Varianz begrenzt:
Var XtZX
( ) /( )= − =σ ϕ σ
2 2 2
1 .
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 94
Berechnet man die ACVF und die ACF, so ergibt sich für den AR-Prozess folgende
Eigenschaft. Der AR-Prozess erster Ordnung erfüllt die Bedingungen für die schwache
Stationarität, wenn |ϕ| < 1. Der Verlauf der ACF hängt entscheidend vom Parameter ϕ ab.
Für ϕ-Wert zwischen 0 und 1 liegt eine positive Autokorrelation vor. Konvergiert ϕ gegen
Null, so nähert sich die Autokorrelation für sehr kleine lags dem Wert 0 an. Je größer ϕ, desto
langsamer erfolgt diese Annäherung, das heißt, die weiter zurückliegenden Werte haben noch
einen recht großen Einfluss auf den aktuellen Xt Wert.
Nimmt ϕ Werte zwischen -1 und 0 an, so haben wir es mit einer alternierenden Auto-
korrelationsfunktion zu tun.134
Ist der Wert für den Koeffizienten ϕ größer als +1 oder kleiner als -1, dann nimmt der Einfluss
vorheriger Werte exponentiell zu. In dieser Hinsicht besteht eine Ähnlichkeit zwischen einem
Autoregressiven-Prozess und der exponentiellen Glättung, obwohl sich die
Berechnungsalgorithmen grundlegend unterscheiden.
Autoregressiver-Prozess beliebiger Ordnung (AR(p)):
Zur Darstellung des AR-Prozesses mit beliebiger Ordnung p wird direkt die Schreibweise mit
dem backward shift operator B verwendet:
( )
/( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1
1
1
1
111
1
− − − = ⇒
= − − − =
= − − − = + + +
⇒= + + +
−
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕϕϕ θ θ
θ θ
B B XZ
XZB B B Z
mit B B B B B
XB B Z
PPt t
t t PPt
PPPP
tPPt
K
K
K K
K
Auch hier macht man sich die Dualität zwischen AR- und MA-Prozessen zu Nutze. Für Xt in
der MA-Gleichung (unterste Gleichung) gilt:
EXt
( ) =∑
0 und die Varianz ist endlich, wenn endlich ist.
i
2
i=1
Pθ
Die Formel der Autokorrelationsfunktion wird explizit nicht extra aufgeführt. Nur soviel, die
ACF erfüllt die Bedingung der Konvergenz und damit die Stationaritätsbedingung, wenn
θi
i
P
=
∑
1 die Bedingung auf Konvergenz erfüllt. Die θi sind
134 Chatfield 1985, 45-47.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 95
aber sehr schwer zu ermitteln. Deutlich einfacher geht die Ermittlung durch das Yule-Walker-
Gleichungssystem, die Darstellung des Gleichungssystems findet man zum Beispiel bei
Box/Jenkins.135
135 Box/Jenkins 1970, Kap. 3.2, Mills 1990, Kap. 5.3 und Chatfield 1985, 47-50.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 96
4.4.3 Gemischte ARIMA(p, d, q)-Modelle
Eine wichtige Modellklasse im Bereich der linearen Zeitreihenmodelle ist die Klasse der
Autoregressiven-Moving-Average-Modelle (ARMA-Modelle). ARMA-Modelle lassen sich
anwenden, wenn die zu analysierende Zeitreihe stationär ist und eine symmetrische
Abhängigkeitsstruktur aufweist. Um dies feststellen zu können, sind die im Kapitel 3
ausführlich vorgestellten Identifikationstests notwendig.
Ein allgemeiner Autoregressiver-Moving-Average-Prozess hat die folgende Form:
X
X
X
Z
Z
Z
t t ptpt t qtq
=
+
+
+
+
+
+
− − − −
ϕ
ϕ
θ
θ
1 1 1 1
K K
mit backward shift operator formuliert:
ϕ
θ
( )
(
)
BX
B
Z
t t
=
mit: ϕ ϕ ϕ ϕ( )B B B B
pp
= − − − −11 2 2K (AR-Teil)
θ θ θ θ( )B B B B
qq
= + + + +11 2 2K(MA-Teil)
Die Werte der Koeffizienten ϕi und θi müssen so ausfallen, dass zum einen die Lösungen für
die Funktion
ϕ( )B
=
0
für den AR(p)-Teil und zum anderen die Funktion
θ( )B
=
0
für den
MA(q)-Teil alle außerhalb des Einheitskreises liegen. Ist dies der Fall, dann ist zum einen der
AR(p)-Teil stationär und der MA(q)-Teil erfüllt die „invertible“ Bedingung.
Eine der wichtigsten Bedingungen bei der Anwendung der ARMA(p, q)-Modelle ist die
Erfüllung der Stationarität der analysierten Zeitreihen. Die meisten ökonomischen Zeitreihen
sind aber nicht stationär, sondern besitzen einen Trend. Box und Jenkins schlagen als Lösung
die Differenzenbildung der Zeitreihe vor. Die Differenzenbildung soll danach solange
durchgeführt werden, bis die Zeitreihe die Bedingung der schwachen Stationarität erfüllt. Den
Grad der Differenzierung bezeichnet man auch als Integrationsgrad der Ordnung d. Der
ARIMA(p, d, q)-Prozess lautet dann:
W
W
W
Z
Z
Z
t t ptpt t qtq
=
+
+
+
+
+
+
− − − −
ϕ
ϕ
θ
θ
1 1 1 1
K K
mit: WX
tdt
=∆
Bei den ARIMA-Modellen handelt es sich um die Kombination dreier Arten von
Zufallsprozessen, wobei es keinen Algorithmus gibt, der die Ordnung eines Modells korrekt
spezifizieren kann.136 Mit Hilfe von mathematischen Prozeduren lassen sich
136 Chatfield 1985, 50-52 und Mills 1990, Kap. 6.3.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 97
lediglich mögliche Modelle bestimmen. Box und Jenkins haben eine Prozedur entwickelt, die
zur Findung eines geeigneten Modells in die Schrittfolgen Identifikation, Schätzung und
Diagnose unterteilt wird.137
Die Schritte Identifikation, Schätzung und Diagnose werden im nächsten Abschnitt ausführlich
diskutiert. Dabei spielt die von Box und Jenkins entwickelte Prozedur nur eine geringe Rolle.
Vielmehr wird eine Vorgehensweise vorgestellt, die die neueren Erkenntnisse berücksichtigt,
praktisch leicht anwendbar und im Modellpaket EViews verfügbar ist.
137 Box/Jenkins 1970.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 98
4.5 Vorgehensweise bei der ARIMA-Analyse
Die Analyse linearer Modelle mit Hilfe des Box-Jenkins-Ansatzes wird in drei Analyseschritte
unterteilt. Im ersten Schritt wird sich mit der Spezifikation der Ordnung des ARIMA-Modells,
im zweiten mit der Schätzung und im dritten mit der Diagnose des geschätzten Modells
beschäftigt.
Zuvor wird die Zeitreihe aber graphisch dargestellt, um Hinweise über Ausreißer, Trend,
Saison, Wendepunkte, Strukturbrüche etc. zu erhalten. Die ebenfalls vorab durchgeführten
Identifikationstests sollten folgende Ergebnisse gebracht haben:
Die Zeitreihe erfüllt die Bedingungen der weichen Stationarität, gegebenenfalls ist eine
Transformation erforderlich, die Realisationen sind annähernd normalverteilt, voneinander
abhängig und symmetrisch. Erst wenn alle diese Bedingungen hinreichend erfüllt sind, kann ein
ARIMA-Modell zur Erklärung der Abhängigkeitsstrukturen verwendet werden.138
4.5.1 Spezifikation des Modells
Die Spezifikation des ARIMA-Modells beschäftigt sich mit der Bestimmung der Ordnung des
AR(p)-Teils, des MA(q)-Teils und des Differenzengrades d. Der Differenzengrad d ist positiv,
wenn die Zeitreihe die Bedingung der Stationarität nicht erfüllt.
Die Sample Autokorrelationsfunktion (SACF) liefert erste wichtige Erkenntnisse über den
Grad d der Differenzenbildung. Ein langsamer und fast linearer Rückgang der SACF ist ein
erster Indikator für eine nicht stationäre Zeitreihe. Der Grad der Differenzierung lässt sich auf
diese Weise aber nicht sicher bestimmen. Zur sicheren Bestimmung des Differenzierungsgrades
wird daher der Augmented-Dickey-Fuller-Test auf die Verkaufsdaten der Grossisten
angewendet. Eine visuelle Überprüfung der Zeitreihe führt in der Regel nicht zu dem
gewünschten Ziel.139
Beide Methoden zur Überprüfung des Differenzengrades SACF und ADF-Test wurden im
Kapitel 3 „Beschreibung und Identifikation“ schon durchgeführt. Auf diese Ergebnisse wird im
Rahmen der Modellbildung nun zurückgegriffen.
138 Schmitz 1989, Kap. 4, Pflaumer 1981 und Cromwell/Labys/Terraza 1994, Kap. 6.
139 Mills 1990, 120-126.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 99
Für die Bestimmung der Ordnung des Autoregressiven-Teils (AR(p)) und/oder des Moving-
Average-Teils (MA(q)) existieren neben dem traditionellen Box-Jenkins-Ansatz, eine Vielzahl
weiterer Methoden.
Beim Box-Jenkins-Ansatz werden die Muster der SACF und der SPACF mit den
theoretischen Mustern von bekannten Modellen verglichen. Durch diesen Vergleich erhält man
die passende Modellordnung.
Neben der SACF und der SPACF kann auch die inverse Autokorrelationsfunktion (IACF)
bei der Spezifikation der Ordnung des ARIMA-Modells nützlich sein. Die IACF ist nichts
anderes als die ACF des inversen Prozesses:
IACF(ARMA(p,q)) = ACF(ARMA(q,p)). Mit Hilfe der IACF lassen sich nicht stationäre
autoregressive Prozesse erkennen, denn ihre inverse Autokorrelation weist Merkmale von
nicht invertierbaren MA-Prozessen auf.140
In der Literatur findet man weitere Methoden wie die extendierte Autokorrelation, die Corner-
Methode, die Vektorkorrelation, R- und S-array.141
Eine standardisierte und halbautomatische Vorgehensweise zur Spezifikation der
Modellordnung bieten die Modellselektionskriterien. Das zur Analyse verwendete Programm
EViews 2.0 berechnet bei der Schätzung des spezifizierten ARIMA-Modells die
Modellselektionskriterien von Akaike und von Schwarz.142
Akaike-Informations-Kriterium: AIC k
N N u u= − +
2 1
log '
Schwarz-Kriterium: SC kN
N N u u= +
log log '
1
mit: N : Anzahl der Beobachtungswerte
k : Anzahl der Regressoren
u u'
: Quadratsumme der Residuen
Beide Kriterien verwenden die geschätzte Varianz für den Fehlerterm und bestrafen die
zusätzliche Aufnahme von weiteren Parametern. Jenes Modell wird favorisiert, das das
gewählte Kriterium minimiert. Hannan hat gezeigt, dass das SC zu konsistenten Ergebnissen
führt. Das AIC hingegen neigt zu einer Überparametrisierung.
140 Schmitz 1989, 76.
141 Schmitz 1989, 78-82 und Mills 1990, 130ff.
142 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 160ff.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 100
Dies bedeutet, dass die Strafe durch Aufnahme eines zusätzlichen Parameters zu gering
ausfällt.143
Mit Hilfe des Modellselektionskriteriums nach Schwarze lässt sich ein Modell-Portfolio
aufstellen.
Zuerst werden die Werte des SC für alle Modelle, die eine Ordnung kleiner gleich den
vorgegebenen maximalen Koeffizienten pmax und qmax aufweisen, bestimmt. Die Ergebnisse
lassen sich gut in Matrixform darstellen. Aus der Matrix wird jenes Modell mit der Ordnung
(p1, q1) bestimmt, das den minimalsten Wert für das SC besitzt. Mit Hilfe dieses Wertes
werden die „posteriori odds ratios“ für jeden Wert der Matrix aufgestellt. Die von Poskitt /
Tremayne144 entwickelte Formel lautet:
{ }
RNSC(p q SC(p q= − −
exp ;);)
1
21 1
Poskitt und Tremayne schlagen vor, dass erst bei einem Wert von R>10 das zu prüfende
Modell gegenüber dem favorisierten Modell mit der Ordnung (p1, q1) verworfen werden kann.
Alle Modelle, deren R-Werte zwischen 1 < R < 10 fallen, bilden ein Modellportfolio.145
Aus den Modellen, die im Modellportfolio enthalten sind, wird jenes gewählt, das die
robustesten Ergebnisse bei der Überprüfung der Modell- und Koeffizientenstabilität, der
Residuen und der mittelfristigen Prognose erzielt.
4.5.2 Modellschätzung
Sind der Differenzierungsgrad d und die Ordnung der AR- und MA-Polynome bekannt, steht
die Schätzung der Modellparameter an. Die Kleinst-Quadrate-Methode lässt sich auf
ARIMA-Modelle nur bedingt anwenden.
Reine AR-Prozesse lassen sich mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode bestimmen. Bei
einem AR(1)-Prozess stimmt der Schätzer exakt mit jenem überein, den wir erhalten, wenn
eine autoregressive Gleichung erster Ordnung mit einem einfachen Regressionsansatz geschätzt
wird.
Die Parameter von AR-Prozessen höherer Ordnung als 1 lassen sich durch Substitution der
AC-Koeffizienten der Stichprobe in die ersten p Yule-Walker-Gleichungen schätzen.
143 Hannan 1980.
144 Poskitt/Tremayne 1987.
145 Mills 1990, 140-142.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 101
Die Parameter eines MA-Prozesses lassen sich dagegen nur iterativ ermitteln. Die Kleinst-
Quadrate-Methode kann bei MA-Prozessen nicht verwendet werden, da die „residual sum of
squares“ keine quadratische Funktion der Parameter ist. Es existieren eine Reihe von iterativen
Verfahren, um eine Lösung der Koeffizientenschätzung zu erhalten. Ein mögliches iteratives
Verfahren wurde von Box und Jenkins entwickelt. Dabei müssen verschiedene Werte für µ
und θ vorgegeben werden. Die Quadratsumme der Residuen wird dann mit den verschiedenen
Werten rekursiv berechnet. Man erhält so ein Punktenetz im (µ, θ)-Raum, aus dem sich die
Kombination mit der geringsten Quadratsumme ermitteln lässt.146
Bei einem anderen Schätzverfahren nutzt man die Dualität zwischen AR- und MA-Prozess und
passt einen AR-Prozess höherer Ordnung an einen MA-Prozess an.
Die Schätzungen der Parameter eines ARIMA-Modells, bei dem die Ordnung des MA-Terms
mindestens 1 beträgt, lassen sich ebenfalls nur iterativ ermitteln.
Genügt der Fehlerterm ut einem White-Noise-Prozess, d.h., die ut sind unabhängig und NV,
dann lässt sich die Likelihoodfunktion zur Schätzung der Parameter aus der NV bestimmen.
Die ML-Schätzer sind aber nur selten eindeutig bestimmbar. Die Lösung erfolgt deshalb mit
approximativen oder iterativen Verfahren.
Das Programm EViews verwendet den Marquardt-Algorithmus zur Schätzung der Parameter
eines AR-, MA- oder ARMA-Prozesses.147
Bei Wahl der Kleinst-Quadrate-Methode erkennt das Programm selbständig, ob das
Gleichungssystem linear oder nichtlinear in den Parametern ist. Ist es linear in den Parametern,
so erfolgt die Schätzung nach der voreingestellten Kleinst-Quadrate-Methode. Ist es
nichtlinear in den Parametern, wird es automatisch mit dem Marquardt-Algorithmus geschätzt.
Nichtlineare Schätztechniken wie der Marquardt-Algorithmus erfordern Startwerte für alle zu
schätzenden Modellparameter.
In der Regel braucht man sich um dieses Problem aber nicht zu kümmern, da EViews
automatisch Startwerte berechnet. Mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode wird eine
vorläufige Schätzung des ARMA-Terms vorgenommen. Die ermittelten Parameter werden als
Startwerte für die nichtlineare Schätzung verwendet. Man hat aber auch die Möglichkeit, die
Voreinstellung zu verändern. Man hat die Wahl, die mit der Kleinst-Quadrat-Methode
ermittelten Startwerte mit dem Wert 0,8 , 0,5 oder 0,3 zu multiplizieren. Des Weiteren steht
die Möglichkeit zur Verfügung, alle Startwerte gleich Null zu setzen. Die Möglichkeit zur
Korrektur der Startwerte sollte aber nur dann benutzt werden, wenn der Algorithmus nach der
gewählten Anzahl der Iterationen abbricht, ohne eine Lösung gefunden zu haben.
146 Box/Jenkins 1970, Kap. 7.2.
147 Vgl. Schlittgen/Streitberg 1989, 196.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 102
Bei jedem Iterationsschritt werden approximativ die partiellen Ableitungen nach jedem zu
schätzenden Parameter gebildet. Dann wird überprüft, inwieweit sich die einzelnen Parameter
gegenüber den Parametern des vorherigen Iterationsschrittes verändert haben. Die abhängige
Variable wird dann auf die Ableitungen regressiert. Die Regression führt zu einem Vektor, der
die vorgeschlagenen Änderungen der Parameter enthält. EViews evaluiert die Parameter dann
neu, wenn die vorgeschlagenen Änderungen zu einer Reduzierung der Summe der
quadratischen Residuen führt. Dieser Prozess wird solange fortgesetzt bis sich die Parameter
nicht mehr nennenswert verändern. Das voreingestellte Konvergenzkriterium für die Parameter
beträgt 0,001. Falls gewünscht, kann diese Voreinstellung vom Anwender verändert werden.
Auf jeder Iterationsstufe überprüft das Programm, ob durch die neu ermittelten Parameter eine
Verbesserung der Modellschätzung eingetreten ist. Überprüft wird dies durch die Summe der
quadratischen Abweichung der Residuen („sum of squared residuals“). Ist auf einer höheren
Iterationsstufe keine Verbesserung der Summe der quadratischen Residuen möglich, dann
sucht das Programm automatisch nach einer Schrittfolge, die zu einer Reduzierung führt. Erst
wenn eine solche Schrittfolge nicht zu finden ist, bricht das Programm die Prozedur ab. Im
Ausgabenfenster werden die Werte jener Parameter angegeben, bei denen die Iteration
abgebrochen wurde.
Bei der Durchführung der nichtlinearen Kleinst-Quadrat-Methode unterstellt das Programm
implizit einen additiven Störterm.148
4.5.3 Diagnose des geschätzten Modells
Die Modellspezifikation führt oft zu einer Reihe alternativer Modelle. Mit Hilfe der
Modelldiagnose soll die Qualität der geschätzten Modelle überprüft werden, um das am
besten passende Modell auswählen zu können. Erste Hinweise über die Qualität der
Modellschätzung liefert das Ausgabeprotokoll, das nach Beendigung der Schätzung
ausgegeben wird. (Siehe EViews Menü: „QUICK, ESTIMATE EQUATION (LS)“.)
148 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, Kap. 8.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 103
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Date: 12/01/99 Time: 13:14
Sample(adjusted): 1992:02 1996:12
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 16 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C719.671 2498.111 0.288 0.774
AR(1) 0.993 0.001 1093.372 0.000
MA(1) -0.975 0.038 -25.876 0.000
R-squared 0.681 Mean dependent var 175.542
Adjusted R-squared 0.675 S.D. dependent var 26.839
S.E. of regression 15.297 Akaike info criterion 5.489
Sum squared resid 13338.160 Schwarz criterion 5.559
Log likelihood -243.632 F-statistic 121.548
Durbin-Watson stat 1.670 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.99
Estimated AR process is nonstationary
Inverted MA Roots 0.97
(EViews 2.0)
Neben Datum, Uhrzeit, Stichprobenzeitraum und -größe gibt der erste Teil des
Ausgabeprotokolls Auskunft über die abhängige Variable, die gewählte Schätzmethode und
bei iterativen Verfahren über die Anzahl der Iterationsschritte. Das gewählte Verfahren (per
Voreinstellung) ist LS (Kleinst-Quadrate-Methode). Da die betrachtete Gleichung aber einen
MA-Term enthält, schätzt EViews das Modell automatisch mit dem Marquardt-Algorithmus.
Im zweiten Teil des Ausgabeprotokolls werden die geschätzten Koeffizienten angegeben. Die
Gleichung setzt sich aus dem deterministischen Teil, hier lediglich die Konstante C, und dem
stochastischen Teil, bestehend aus AR- und MA-Teil, zusammen.
Die geschätzte Gleichung für den Verkauf $
y
lautet:
$
,
,
,
y
u
e
t t
=
+
−
− −
719
671
0
993
0
975
1 1
Es gilt:
u
y
t t− −
=
−
1 1
719
671
,
(Verkauf minus deterministischen Teil)
e
y
y
t t t− − −
=
−
1 1 1
$(Differenz Verkauf zu geschätztem Verkauf)
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 104
Zu jedem Koeffizienten gibt EViews den Standardfehler an. Der Standardfehler ist ein Maß
für die Reliabilität der geschätzten Koeffizienten. Je größer der Standardfehler, desto größer
ist die statistische Unsicherheit über den Wert des Koeffizienten.
Aus dem Verhältnis zwischen Koeffizient und Standardfehler berechnet sich der Wert der T-
Statistik. Je größer der Betrag dieses Wertes ist, desto höher ist die statistische
Wahrscheinlichkeit, dass der Koeffizient signifikant von Null verschieden ist. Die T-Statistik ist
zumindest approximativ normalverteilt, wenn der Stichprobenumfang mindestens 30 Elemente
umfasst .
In der rechten Spalte wird die zugehörige Wahrscheinlichkeit für die t-Statistik angegeben.
Unterstellt man einen α-Fehler von maximal 5%, dann muss die angegebene
Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% sein, damit auf die Alternativhypothese, dass der Koeffizient
signifikant von Null verschieden ist, entschieden wird.
Im dritten Teil wird die gesamte Schätzung überprüft. Neben dem Bestimmtheitsmaß (R2)
wird das bereinigte Bestimmtheitsmaß (RA
2) ermittelt. Das bereinigte Bestimmtheitsmaß wird
im Programm EViews wie folgt berechnet:
R R N
Nk
A
2 2
1 1 1
= − −
−
−
( ) ,
mit dem Stichprobenumfang N und der Anzahl der Regressoren k, einschließlich der
Konstanten C.
Diese Definition hat sich in der Praxis durchgesetzt. Zwar ist das RA
2 keine erwartungstreue
Schätzfunktion für das Bestimmtheitsmaß der Grundgesamtheit, die Verzerrung ist aber
wesentlich geringer als bei R2.
Der Vorteil des korrigierten Bestimmtheitsmaßes liegt darin, dass die Aufnahme zusätzlicher
Parameter immer mit einer Bestrafung verbunden ist, die nur dann kompensiert werden kann,
wenn der zusätzliche Parameter einen deutlichen Beitrag zur Erhöhung des Erklärungsgehalts
beiträgt. Mit anderen Worten: Der Nutzen, den die Aufnahme eines weiteren Parameters mit
sich bringt, muss den Effekt der Bestrafung kompensieren.149
Neben der Summe der quadratischen Residuen wird auch der Standardfehler der Regression
S2N*-1 bestimmt. N* entspricht der Anzahl der Residuen. Für einen einfachen ARMA(1, 1)-
Prozess lassen sich zum Beispiel nur N* = N-1 Residuen bilden.
SNx x
Nt t
t
N
**
*
*( )
−=
=−−
∑
1
2 2
1
1
1 mit den Beobachtungswerten x
t und den durch die
Schätzung ermittelten Werten x*t.
149 Hübler 1989, 56.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 105
Zur Berechnung der Log-Likelihood-Statistik kommt in EViews folgende Formel zur
Anwendung:
LL Nu u
N
= − + +
21 2log( )log '
π eine sehr ausführliche Erläuterung der Log-
Likelihood-Statistik findet man bei Hamilton150.
Die Durbin-Watson-Statistik misst die Korrelation erster Ordnung. Die Test-Statistik ist
definiert auf den Bereich von 0 bis 4. Werte, signifikant kleiner als 2, sind der Beweis für
positive Korrelation erster Ordnung, Werte, signifikant größer als 2, für negative Korrelation
erster Ordnung. Bei Werten um 2 liegt keine Korrelation erster Ordnung vor, dies ist die
Nullhypothese des Tests.
Der Durbin-Watson-Test besitzt in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang, der Anzahl der
geschätzten Regressoren und dem vorgegebenen Signifikanzniveau zwei Unschärfebereiche.
Fällt die Realisation der Testgröße in einen dieser Unschärfebereiche, so kann keine statistisch
gesicherte Aussage über das mögliche Vorhandensein der Autokorrelation der Ordnung 1
getroffen werden. Die Testgrenzen sind in vielen statistischen Veröffentlichungen151 und im
Anhang dokumentiert.
Im Ausgabeprotokoll folgen dann zwei beschreibende Variablen, das arithmetische Mittel und
die Standardabweichung der abhängigen Variablen.
Die daran anschließenden Informationskriterien von Akaike und Schwarz wurden schon unter
dem Punkt Modellspezifikation ausführlich behandelt.
Wichtig zur Überprüfung der Robustheit der Schätzung ist der abschließende F-Test. Der F-
Test überprüft die Hypothese, dass alle Regressionskoeffizienten mit Ausnahme der Konstante
Null sind. Neben der F-Statistik weist EViews auch die zugehörige Wahrscheinlichkeit aus. Ist
die ausgewiesene Wahrscheinlichkeit kleiner als der vorgegebene α-Fehler, dann wird die
Hypothese, dass alle Regressionskoeffizienten Null sind, verworfen.
Der vierte Teil im Ausgabeprotokoll wird nur dann ausgewiesen, wenn die Überprüfung der
Einheitswurzel sinnvoll ist. In dem gewählten Beispiel wird die invertierte Einheitswurzel des
AR- und des MA-Prozesses angegeben. Im vorliegenden Ausgabeprotokoll ist die Meldung
aufgeführt, dass der geschätzte AR-Prozess nicht die Stationaritätsbedingung erfüllt. Es kann
nicht ausgeschlossen werden, dass der AR-Schätzer auch Werte größer gleich 1 annimmt und
somit ein Random-Walk- oder sogar ein explosiver Prozess vorliegt.152
150 Hamilton 1994, 296-298.
151 Judge/Hill/Griffiths/Lütkepohl/Lee 1988, Charemza/Deadman 1993 und Kanji 1993.
152 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, Kap. 7. u. 8.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 106
Neben dem Ausgabeprotokoll der Modellschätzung bietet das Programm EViews eine
Vielzahl von zusätzlichen diagnostischen Testverfahren, die in drei Kategorien eingeteilt
werden: Koeffizienten-Tests, Residuen-Tests und Stabilitäts-Test.
„The tests available as views of an equation are:“
1) „Coefficient Tests
- Wald test of coefficient restrictions
- Omitted variables
- Redundant variables“
2) „Residual tests
- Correlograms and Q-statistics
- Histogram and normality test
- Serial correlation LM test
- ARCH LM test
- White's heteroskedasticity test without cross terms
- White's heteroskedasticity test with cross terms“
3) „Specification and Stability Tests
- Chow's breakpoint test
- Chow's forecast test
- Ramsey's RESET test
- Recursive estimates
Recursive residuals
CUSUM test
CUSUM of squares test
One-step forecast test
N-Step forecast test
Recursive coefficients
In addition, some other tests you may want to use are discussed elsewhere in the
User’s Guide. There are the ADF and Phillips-Perron tests for unit roots“, „the
Granger causality test“, „and the Johansen test for cointegration“.153
153 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 215-216.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 107
Die Tests werden nur sehr kurz vorgestellt. Dabei beziehen sich die Ausführungen in erster
Linie auf die Darstellungen im EViews User’s Guide, Kapitel 10. An den wenigen Stellen, an
denen auf weiterführende Literaturquellen verwiesen wird, werden diese auch explizit
angegeben.
4.5.3.1 Koeffiziententests
Koeffiziententests behandeln die Restriktionen von Variablen, ausgelassenen Variablen und
Variablen, deren Bedeutungen gegenstandslos sind. 154
1) Wald-Test („Wald test of coefficient restrictions“):
Mit dem Wald-Test lassen sich mehrere Restriktionen der Variablen simultan prüfen. Die
Restriktionsgleichungen können sowohl linear als auch nichtlinear sein. Bei linearen
Restriktionsgleichungen genügt die Prüfgröße einer F-Verteilung, bei nichtlinearen
Restriktionsgleichungen muss approximativ auf die χ2-Verteilung als Verteilung der Prüfgröße
zurückgegriffen werden.
2) Test auf ausgelassene Variablen („Omitted variables“):
Dieser Test ermöglicht die Überprüfung von zusätzlichen Variablen, die in das
Gleichungsmodell aufgenommen werden können. Dabei wird geprüft, ob eine Variable einen
signifikanten Erklärungsbeitrag leistet oder nicht. Der Output des Tests liefert neben der F-
Statistik auch die Likelihood-Ratio-Statistik.
3) Test auf Freisetzung von Variablen („Redundant variables“):
Im Gegensatz zum Test auf ausgelassene Variablen wird getestet, ob eine Variable oder eine
Teilmenge von Variablen keinerlei Einfluss auf die Modellschätzung ausübt und somit aus der
Gleichung entfernt werden kann.
154 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 216-221.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 108
4.5.3.2 Residuen-Tests
Der Überprüfung der Residuen kommt eine ganz besondere Bedeutung zu. Ihre Identifikation
liefert wichtige Hinweise über die Qualität der Schätzung. Neben den in EViews unter dem
Untermenü aufgeführten Residuen-Tests werden die im Kapitel 3.3 vorgestellten
Identifikationstests auf die Residuen angewandt. Die Residuen sollten stationär, normalverteilt
und unabhängig sein. Darüber hinaus bietet EViews die folgenden Testmöglichkeiten:155
1) Korrelogramme und Q-Statistik:
Neben der ACF und der PACF werden die Werte der Ljung-Box Q-Statistik berechnet und
zusätzlich deren Wahrscheinlichkeiten. Die gesamte Prozedur kann auch für die quadrierten
Residuen durchgeführt werden. Die Residuen sollten dabei keine signifikant von Null
abweichenden Werte aufweisen.
2) Histogramm und Normalverteilungstest:
Die Verteilung der Residuen wird in Form eines Histogrammes dargestellt. Die Hypothese der
Normalverteilung der Residuen lässt sich somit visuell überprüfen. Zusätzlich werden die
Werte für Schiefe, Wölbung und die Jarque-Bera-Statistik berechnet.
3) LM-Test auf Korrelation in der Zeitreihe:156
Der LM-Test ist eine Alternative zur Ljung-Box Q-Statistik sowie zu den Korrelogrammen
der ACF und PACF. LM-Test und Q-Statistik testen beide die Korrelation der Residuen bis
zu einem maximal vorgegeben lag k.
Der LM-Test wurde unabhängig voneinander von Breusch und Godfrey zur Überprüfung von
autokorrelierten Störungen entwickelt
(z. B.:
u
u
u
u
t t t ktkt
=
+
+
+
+
− − −
ϕ
ϕ
ϕ
ε
1 1 2 2 K).
Dabei ist es egal, ob die Störung einem AR- oder MA-Prozess genügt. Der Störvektor u ist
dabei additiver Bestandteil eines linearen Modells
yX
u
=
+
β
, das auch verzögerte
Variablen enthalten kann.
In der Nullhypothese wird dabei getestet, ob der Störvektor u einer NV(0, σ2u I) genügt. Sind
die einzelnen Störterme NV, so bedeutet dies zugleich, Unabhängigkeit der einzelnen
Störungen und damit keinerlei signifikante Korrelationen für beliebige lags k mit k > 0.
Als Alternativhypothesen kommen zwei Hypothesen in Frage, die aber dieselbe Teststatistik
besitzen.
155 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 222-224.
156 Johnston 1987, 319-321 und Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 184-185.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 109
Wurden die ut aus einem AR-Prozess erzeugt, so lautet die Alternativhypothese:
H1: ut + ϕ1ut-1 + ..... + ϕkut-k = εt
Ist der erzeugende Prozess hingegen ein MA-Prozess, so ergibt sich die folgende
Alternativhypothese: H1: ut = εt + θ1εt-1 + ..... + θkεt-k
Vereinfachte Teststatistik: l=⋅TRk
2 2
~( )χ
mit: T = Anzahl der Beobachtungswerte
R2 = Bestimmtheitsmaß
Unter dem Menü „RESIDUAL TEST / SERRIAL CORRELATION LM TEST“ muss im
Programm EViews die höchste Ordnung des AR- oder MA-Prozesses, die zur Beschreibung
der Serienkorrelation nötig ist, spezifiziert werden. Für den LM-Test lassen sich zwei
Prüfgrößen bestimmen, eine F-Statistik und eine χ2-Statistik. Beide testen die Hypothese,
dass die Koeffizienten aller verzögerten Residuen Null sind.
Die exakte Verteilung der F-Statistik ist nicht bekannt. Die Verteilung der χ2-Statistik ist
asymptotisch χ2(k) verteilt. Der EViews Output gibt beide Statistiken mit den entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten an. In der Nullhypothese wird getestet, dass alle verzögerten Residuen
Null sind. Diese Behauptung kann erst verworfen werden, wenn die angegebenen
Wahrscheinlichkeiten der F-Statistik und der χ2-Statistik kleiner als die maximale
Wahrscheinlichkeit für den vorgegebenen α-Fehler sind.
EViews verfügt über weitere Residuen-Tests, die sich mit dem Phänomen der
Heteroskedastie der Residuen beschäftigen. Unter dem Menüpunkt „RESIDUEN TEST“
findet man neben dem ARCH-LM-Test, den White’s Heteroskedasticity-Test unterteilt in
cross terms und no cross terms. Diese Tests kommen natürlich nur dann zur Anwendung,
wenn die Residuen aller Wahrscheinlichkeit nach dem Phänomen der Heteroskedastie
unterliegen. Da dieses Problem bei den vorliegenden Zeitreihen nur eine untergeordnete Rolle
spielt, werden die Residuen der Zeitreihen lediglich mit Hilfe graphischer Methoden auf
Heteroskedastie untersucht.157
157 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 222-224.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 110
4.5.3.3 Spezifikations- und Stabilitätstests
Mit dieser Gruppe von Tests lässt sich die Spezifikation und die Stabilität des geschätzten
Modells überprüfen. EViews verfügt über drei Typen von Spezifikations- und
Stabilitätstests:158
1) Chow-Tests159: Sie überprüfen die Stabilität der Beziehung für unterschiedliche
Zeiträume oder für unterschiedliche Stichproben bei Querschnittsdaten.
2) Ramsey-Reset-Test: Ist ein allgemeiner Test auf Fehlspezifikation des Modells
durch Überprüfung der Variablen, des funktionellen Zusammenhangs und
der Modellannahmen.
3) Rekursive Schätzmethoden: Diese Tests geben Auskunft über die Entwicklung der
geschätzten Modellparameter, wenn die Stichprobe um weitere Beobachtungen
vergrößert wird.
zu 1) Chow’s Vorhersage- und Strukturbruchtest:
Dabei wird die Stichprobe in zwei Teile unterteilt. N
1 Beobachtungswerte dienen zur
Schätzung des Modells. Mit den restlichen N2 = N - N1 Beobachtungswerte wird der Chow-
Test durchgeführt.
Bei Verwendung aller zur Verfügung stehenden Beobachtungswerte wird zwar die beste
Modellanpassung erzielt, eine Überprüfung der Vorhersagequalität, der Konstanz der
Parameter und der Stabilität (Robustheit) ist damit aber nicht mehr möglich.
Als Vorschlag zur Unterteilung der Beobachtungswerte in zwei Stichproben verwendet man
bei der empirischen Arbeit folgende Faustregel: 85-90% der Beobachtungsdaten sollten zur
Schätzung und 10-15% zur Validierung verwendet werden.
- Chow’s Vorhersagetest:
Die ersten N
1-Beobachtungswerte werden dazu genutzt, die restlichen N
2-Werte
vorherzusagen. Die Größe des Vektors der Differenzen zwischen vorhergesagten und
beobachtbaren Werten stellt ein Maß für die Qualität der Schätzung dar.
Die Nullhypothese beim Chow-Vorhersagetest lautet: Die vorhergesagten Werte stammen von
demselben Modell ab wie die Werte der geschätzten Gleichung. In der Prüfgröße wird der
realisierte Vorhersagefehler der Varianz gegenübergestellt, die bei Gültigkeit der
Nullhypothese zu erwarten wäre.
Als Output gibt EViews die Prüfgrößenwerte und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten der
F-Statistik und der LR-Statistik an.
158 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 224-235.
159 Weiterführende Literatur: Chow 1960.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 111
F-Statistik: F
u u u u
q
u u
N
k
=
−
−
~
'
~
'
'
~
'
~
u u
: Summe der quadratischen Abweichungen, wenn die Gleichung aus allen N
Beobachtungswerten angepasst wurde.
u u'
: Summe der quadratischen Abweichungen, wenn die Gleichung aus N
1 Werten
angepasst wird.
Die Chow-Vorhersagetests lassen sich auf Modelle anwenden, die mit Hilfe der Kleinst-
Quadrate- oder der zweistufigen Kleinst-Quadrate-Methode geschätzt wurden.
- Chow’s Strukturbruchtest:
Beim Strukturbruchtest werden die Daten in zwei oder mehr Gruppen unterteilt. Die Anzahl
der Beobachtungswerte in jeder Gruppe muss größer als die Anzahl der zu schätzenden
Koeffizienten in der Gleichung sein. Dabei wird getestet, dass sich die Vektoren der
Koeffizienten aller Untergruppen nicht signifikant voneinander unterscheiden.
Zu diesem Zweck wird für jede Untergruppe die Koeffizientengleichung ermittelt. Die
„unbeschränkte“ Summe der quadrierten Residuen berechnet sich aus der Addition der
Summe der quadrierten Residuen jeder Untergruppe. In der Prüfgröße wird die
„unbeschränkte“ mit der „beschränkten“ Summe der quadrierten Residuen verglichen. Die
„beschränkte“ Summe der quadrierten Residuen wird aus der Schätzung über alle
Beobachtungswerte ermittelt.
Auch bei diesem Test gibt EViews den Wert der F-Statistik und der LR-Statistik an. Die F-
Statistik basiert auf dem Vergleich zwischen beschränkter und unbeschränkter Summe der
quadratischen Residuen. Die LR-Statistik berechnet sich aus dem beschränkten und
unbeschränkten Maximum der Likelihood-Funktion.
Auch dieser Test lässt sich auf Modellschätzungen anwenden, die mit Hilfe der Kleinst-
Quadrate- oder zweistufiger Kleinst-Quadrate-Methode erfolgen.
zu 2) Ramsey’s Reset-Test
Die folgenden Spezifikationsfehler lassen sich mit dem Ramsey’s Reset-Test überprüfen:
- Weggelassene Variablen (Das Modell enthält nicht alle relevanten Variablen).
- Falscher Funktionstyp (evtl. sollten einige oder sogar alle Variablen y und X
transformiert werden).
- Korrelation zwischen X und ε (Ursache können sein: Messfehler in den Variablen X,
simultane Gleichungssysteme, Kombinationen von verzögerten Variablen und
Serienkorrelation im Störterm).
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 112
Liegen derartige Spezifikationsfehler vor, dann führt die Kleinst-Quadrate-Schätzung zu
verzerrten und inkonsistenten Ergebnissen. Ramsey zeigte, dass alle genannten Typen von
Spezifikationsfehlern zu einem Vektor ε führen, dessen Erwartungswert signifikant von Null
abweicht.160
Null- und Alternativhypothese lauten:
H NV
H NV
02
1
2
0
0
:~(,)
:~(,),
εσ
εµσµ
Ι
Ι≠
Der Test basiert auf einer erweiterten Regressionsgleichung:
yX
Z
=
+
+
β
α
ε
Der Spezifikationsfehler lässt sich durch Untersuchung von α überprüfen. Bei der
Durchführung des Tests ist die entscheidende Frage, welche Variablen in der Z-Matrix
enthalten sind.
- Im Falle von ausgelassenen Variablen gibt es mit der Ausgestaltung der Matrix Z
keine Probleme. Die ausgelassenen Variablen bilden die Z-Matrix. Durch Testen der
Hypothese α = 0 wird der Einfluss der ausgelassenen Variablen auf das Modell
ermittelt. Weicht α signifikant von Null ab, so besitzen die ausgelassenen Variablen
einen signifikanten Einfluss.
- Bei Tests auf inkorrekter Funktionsform wird der weggelassene Teil der Regression
als Funktion der Regressoren X formuliert (Z = f(X)).
Beim Ramsey-Reset-Test gibt EViews ebenfalls die Werte der F- und der LR-Statistik an.
Die Nullhypothese lautet dabei, dass die Koeffizienten von Z nicht signifikant von Null
verschieden sind.
In einer 1984 veröffentlichten Studie haben Ramsey und Alexander161 gezeigt, dass der Reset-
Test Spezifikationsfehler in einer Gleichung aufdecken kann, wo a priori schon bekannt war,
dass eine Fehlspezifikation vorlag, aber alle traditionellen Tests zu einer Modellannahme
geführt hatten.
Dieser Test lässt sich nur auf Gleichungssysteme anwenden, die nach der Kleinst-Quadrate-
Methode geschätzt wurden.
160 Ramsey 1969, 350-371.
161 Ramsey/Alexander 1984, 347-356.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 113
zu 3) Rekursive Kleinst-Quadrate-Tests
Bei der Anwendung der rekursiven Kleinst-Quadrate-Methode werden die Gleichungen
mehrmals geschätzt. Nach jeder Schätzung wird die Stichprobe um den nächsten
Beobachtungswert erweitert. Sind k Koeffizienten des Koeffizientenvektors b zu schätzen, so
benötigt man für die erste Schätzung die ersten k Beobachtungswerte. Für jede Schätzung
wird ein weiterer Beobachtungswert aufgenommen. Man erhält so N - k Schätzungen für den
Koeffizientenvektor b.
Mit Xt-1 wird der Vektor t-1 der Matrix k der Regressoren bezeichnet. Die Periodenlänge
beträgt dabei 1 bis t-1. Yt-1 stellt den entsprechenden Vektor der Beobachtungswerte der
abhängigen Variablen dar. Die Kleinst-Quadrate-Methode angewandt auf die obigen
Variablen liefert den geschätzten Koeffizientenvektor bt-1. Der Koeffizientenvektor ermöglicht
die Vorhersage der Werte der abhängigen Variablen für die Periode t. Vorhersage:
x b
t t
'
−1,
wobei
x
t
'
der Vektor der Beobachtungen der Regressoren in Periode t ist.
Definition
Vorhersagefehler:
ε
t t t t
y
x
b
=
−
−
'
1
Rekursive Residuen: wy x b
xX X x
tt t t
t t t t
=
−
+
−
− − −
'
'(')
1
1 1 1
1
Die Residuen lassen sich berechnen für t = k+1, . . . , N.
Bei Gültigkeit des behaupteten Modells sind die rekursiven Residuen unabhängig und
normalverteilt mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz.
Die rekursiv berechneten Residuen werden zum Testen von strukturellen Modelländerungen
verwendet.
Das Programm EViews verfügt über sechs verschiedene Plots, die hier nicht einzeln vorgestellt
werden. Die Berechnung dieser Plots ist nur möglich, wenn die Schätzung nach der Kleinst-
Quadrate-Methode durchgeführt wurde. Das Modell muss dabei frei von AR- und MA-
Termen sein. 162
162 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 230-235.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 114
4.6 Regressionsansatz mit ARMA-Term zur Beschreibung der
Störgröße
Ausgangspunkt bildet das klassische Regressionsmodell. Eine der Grundannahmen dieses
Modells ist die Unkorreliertheit in der Störgröße. Verwendet man den Regressionsansatz aber
in der Zeitreihenanalyse, so ist gerade die Annahme der Unkorreliertheit oft verletzt. Betrachtet
man die Störgröße als Anzahl ausgelassener Variablen, so ist die Autokorrelation als recht
wahrscheinlich anzusehen. Folgt man dieser Argumentation, dann ist es vernünftig, die
Störgröße mit einem ARMA(p; q)-Modell zu beschreiben.
In einer Studie von Harvey und McAvinchey163 wurden verschiedene Schätzverfahren mittels
Monte-Carlo-Experimenten miteinander verglichen. Das untersuchte Modell lautete:
y
x
u
t t t
=
+
+
β
β
1 2
Wobei u
t durch einen AR(1)-Prozess generiert wird und zwei Formen für die erklärende
Variable x
t betrachtet wurden. Die erste Form für x
t bestand aus einem exponentiell
wachsenden Trend mit der Zeit t und die zweite aus einer Variable xt, die zufällig verteilt und
stationär ist. Das Modell in seinen beiden Varianten wurde mit vier verschiedenen Verfahren
geschätzt: Kleinst-Quadrate (1), Cochrane-Orcutt (2), Iteratives Cochrane-Orcutt (3),
vollständige Transformation (4).
Ein Ergebnis der Studie soll besonders hervorgehoben werden. In kleineren Stichproben
führte die Kleinst-Quadrate-Methode bei trendbehafteten Daten zu sehr guten Ergebnissen.
Die Leistungsfähigkeit fällt aber deutlich geringer aus, wenn die Daten stationär sind.
Die oben benutzte AR(1)-Störgröße ist in ihrer Wirksamkeit aber begrenzt, auch wenn mit
Hilfe der DW-Statistik auf eine signifikante Autokorrelation der Ordnung 1 entschieden wird.
Besonders für saisonbehaftete Daten oder zyklische Effekte kommt es zu schlechten
Schätzergebnissen.
Bei Monatsdaten kann die serielle Korrelation zum Beispiel durch einen AR(12)- Störterm
modelliert werden.
Bei der Verwendung eines Regressionsansatzes, bei dem der strukturelle Teil der Gleichung
korrekt spezifiziert werden kann, sollte man für den Störterm einen ARMA(p, q)-Prozess in
Betracht ziehen. Wie letztendlich die Ordnung des ARMA(p, q)-Prozesses ausfällt, hängt vom
Verlauf der ACF und der PACF, der um den
163 Vgl. Harvey/McAvinchey 1978.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 115
strukturellen Teil bereinigten Zeitreihe ab. Als Entscheidungskriterium wird die Stabilität der
geschätzten Koeffizienten und der Wert des Schwarz-Kriteriums benutzt.
Allgemein lässt sich sagen, dass erstens die Aggregation von Variablen generell zu einem
ARMA-Prozess führt und zweitens, dass jeder stochastische Prozess durch ein sparsames
ARMA-Modell angemessen wiedergegeben werden kann.164
Die vorgestellten Regressionsmodelle mit ARMA(p; q)-Störterm gehören zur Klasse der
statischen Modelle, das heißt, die erklärenden Variablen sind zum Prognosezeitpunkt t schon
bekannt.
Bei vielen statistischen Fragestellungen kennt man die Werte der erklärenden Variablen aber
nicht zum Zeitpunkt t. Die Lösung findet man in der Modellierung dynamischer Modelle. Ein
Möglichkeit zur Modellierung dynamischer Modelle bietet das Konzept der adaptiven
Erwartungen. Harvey führt dazu das folgende Beispiel an. Geschätzt werden soll eine
landwirtschaftliche Angebotsfunktion, bei der die Menge y vom Preis x abhängt. Ein Landwirt
muss eine Entscheidung darüber treffen, ob er eine bestimmte Frucht anbaut und wie groß die
mögliche angebaute Menge yt werden soll, ohne den tatsächlich zu erzielenden Preis für den
Absatz des Produktes zu kennen. Folglich wird der Landwirt die Produktion auf der Basis des
für die nächste Periode zu erwarteten Preises xt+1
* planen.
Es gilt: y x u
t t t
= +
+
β1
*
Der Wert für xt+1
* ist nicht bekannt, folglich muss eine Hypothese formuliert werden, die die
Erwartungen adäquat ausdrückt. Eine Möglichkeit besteht in der Formulierung einer adaptiven
Erwartung, das heißt, dass der Entscheidungsträger seine Erwartungen auf der Basis der
Differenz zwischen der Prognose des Wertes der Periode t und dem tatsächlich realisierten
Wert revidiert: x x x x mit
t t t t+= + − < <
10 1
* * *
( ) ,γ γ
Der Parameter γ drückt aus, in welchem Umfang auf die Diskrepanz zwischen Prognose und
tatsächlichem Wert zum Zeitpunkt t reagiert wird.
Eine andere Möglichkeit der Modellierung von dynamischen Modellen stellt das Konzept des
partiellen Anpassungs-Mechanismus (partial adjustment) dar. Die meisten ökonomischen
Sachverhalte reagieren mit Verzögerungen auf Veränderungen, die Anpassungen sind vielfach
nur in partiellen Teilschritten möglich. Zum Beispiel verändert sich das Konsumverhalten von
Personen nicht schlagartig, wenn die Person ein höheres Einkommen erhält. Vielmehr passt
sich das Konsumverhalten recht langsam dem höheren Einkommen an. Modellieren lässt sich
der Sachverhalt mit einer Reaktionsfunktion:165
164 Harvey 1994, Kap. 6.
165 Harvey 1994, 233-236.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 116
bestimmt. Parameterden durch gkeit wirdgeschwindiAnpassungs
die Optimums, des Teil einnur Periodefolgendender inerreicht ent Der Konsum
tZeitpunkt zum Konsum: y
tZeitpunkt zum eau KonsumnivewünschtesG: y
tZeitpunkt zum Einkommen:x
10undxymitu)yy(yy
t
*
t
t
t
*
tt
*1t
*
t1tt
γ
<γ<β=+−γ+= −−
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 117
4.7 Analyse saisonaler Zeitreihen
4.7.1 Einführung in die saisonale Zeitreihenanalyse
In diesem Kapitel wird zuerst eine Definition von Saisonalität vorgestellt. Danach werden
einige Hilfsmittel zur Erkennung saisonaler Schwankungen beschrieben. Den Schluss in diesem
einführenden Kapitel bildet die Vorstellung zweier kontroverser Konzepte, der SARIMA-
Modelle und der unbeobachtbaren Komponentenmodelle.
Definition von Saisonalität
Franses beschreibt eine Reihe von saisonalen Beobachtungswerten wie folgt:
„A seasonally observed time series is a time series that is regularly observed during a
time interval that is shorter than a year. It can relate to quarterly and monthly
observations as well as hourly or daily observations.“ 166
Nicht alle saisonal beobachtbaren Zeitreihen weisen tatsächlich saisonale Schwankungen auf.
Eine ausführlichere Definition wählte Hyllberg. Er präzisiert die Gründe für saisonale
Schwankungen. Diese Definition wird von anderen Autoren wie zum Beispiel Franses ebenfalls
favorisiert:
„Seasonality is the systematic, although not necessarily regular, intra-year movement
caused by changes of the weather, the calendar, and timing of decisions, directly or
indirectly through the production and consumption decisions made by the agents of the
economy. These decisions are influenced by the endowments, the expectations and the
preferences of agents, and the production techniques available in the economy.“ 167
In dieser Definition finden sich sowohl die deterministischen als auch die stochastischen
Aspekte von saisonalen Schwankungen wieder. Die deterministischen Aspekte sind zum
Beispiel Kalendereffekt wie Anzahl der Werktage pro Monat oder jahreszeitliche Effekte wie
Frühjahr, Sommer, Herbst und Winter. Die eher stochastischen Aspekte liegen im Verhalten
der ökonomisch handelnden Personen und der ökonomischen Rahmenbedingungen. Für die
untersuchte Zeitschrift ergibt sich damit die Fragestellung, inwieweit saisonale Schwankungen
auf Kalendereffekt und jahreszeitlichen Effekt zurückzuführen sind oder inwieweit das
Kaufverhalten beeinflusst wird durch heftspezifische Effekte, das Verhalten der
Einzelheftkäufer, den Entscheidungen von Verlagen, Grossisten und Einzelhändlern.
Fragestellungen, wie
166 Franses 1996, 32.
167 Hylleberg 1992, 4.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 118
stark der Verkauf durch die gesamtwirtschaftliche Situation, dem Freizeit- und Leseverhalten
der potentiellen Leser oder der Konkurrenzsituation beeinflusst werden, sollten zusätzlich
analysiert werden.
Diese Fragestellungen führen automatisch zu der Schlussfolgerung, dass die saisonalen
Schwankungen nicht konstant über die Zeit sein können. Die Stärke aber auch der Zeitpunkt
des Auftretens der angeführten Effekte von saisonalen und anderen Schwankungen werden
über den betrachteten Zeitraum mehr oder weniger starken Veränderungen unterworfen
sein.168
Hinweise auf saisonale Schwankungen lassen sich recht gut graphisch erkennen. Dabei sind
verschiedene Darstellungsformen denkbar. Eine Möglichkeit wäre die Darstellung der
absoluten Verkaufswerte über den betrachteten Zeitraum, eine andere die Darstellung von
relativen Verkaufswerten (z.B. als Indexwerte). Sehr nützlich zur Erkennung von saisonalen
Effekten zum Beispiel für Monatsdaten ist die Betrachtung der Verkaufswerte getrennt nach
den einzelnen Monaten Januar bis Dezember. Für jeden Monat wird im Zeitverlauf eine eigene
Verlaufskurve geplottet.
4.7.2 Saisonale Anpassung und SARIMA-Modelle
Den Verfahren der saisonalen Anpassung liegt die Annahme zugrunde, dass die Saisonalität
eine Form von Datenverschmutzung darstellt, die entfernt werden sollte, um eine Analyse zu
ermöglichen. Im Rahmen dieses Konzepts lässt sich eine saisonale Zeitreihe in die
unbeobachtbaren Komponenten wie Trend, zyklische Schwankungen und Saison zerlegen.
Franses nennt drei Beispiele für Methoden, mit denen die saisonalen Fluktuationen von
Zeitreihen erfasst werden können.
Die erste Methode ist die Regression einer Zeitreihe als Funktion der Zeit.
Die zweite Methode ist die Filterung der saisonalen Schwankungen durch eine Folge von
Moving-Average-Filtern (Gleitende Durchschnitte). Die Moving-Average-Filter kommen zum
Beispiel in der Census X-11 Methode zur Anwendung.
Die dritte, für die weitere Vorgehensweise sehr wichtige Methode, ist die Klasse der
saisonalen ARIMA-Modelle, sie impliziert die Betrachtung der verschiedenen
unbeobachtbaren Komponenten, einschließlich der saisonalen Komponente.
168 Franses 1996, 33.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 119
Franses betrachtet in seinem 1996 erschienenen Buch „Periodicity and Stochastic Trends In
Economic Time Series“ die Darstellung des stochastischen Trends in saisonalen Zeitreihen als
einen Schlüsselpunkt zur Analyse saisonaler Zeitreihen. Ein falsches Trendmodell führt
automatisch zu falschen zyklischen Verläufen.
Bei der Zerlegung von Zeitreihen in die beiden Komponenten saisonal und nicht saisonal, kann
je nach Datenlage, die Zusammensetzung der Komponenten additiv oder multiplikativ erfolgen.
Dabei können die folgenden Kombinationen auftreten: 169
- Trend und Saison sind beide deterministische Größen.
- Stochastischer Trend und deterministische Saison.
- Stochastischer Trend und stochastische Saison.
Die Klasse von ARIMA-Modellen wurde zuvor schon ausführlich dargestellt. Ihre Konzeption
lässt sich auch auf Zeitreihen mit saisonalen Schwankungen übertragen, da
in saisonalen Zeitreihen die einzelnen Beobachtungswerte mit den entsprechenden saisonalen
Werten des Vorjahres eine hohe Abhängigkeit aufweisen.
Die so entstehenden Modelle bezeichnet man als SARIMA-Modelle. Auf die theoretische
Darstellung wird im Rahmen dieser Arbeit nur kurz eingegangen. Das theoretische Konzept
geht auf die grundlegenden Arbeiten von Box und Jenkins170 zurück.
Weitere Erläuterungen findet man bei Franses171, Chatfield172, Granger/Newbold173,
Hylleberg174, Mills175.
Die Gleichung beschreibt das allgemeine multiplikative Saisonmodell für Monatsdaten (S =
12).
SARIMA(p, d, q) (P, D, Q)S=12 -Prozess:
ϕφ θ ϑ
pPtqQt
B B WB B Z( ) ( ) ( ) ( )
12 12
=
169 Franses 1996, 49-50.
170 Box/Jenkins 1970.
171 Franses 1996, Kap. 3.2.
172 Chatfield 1985, Kap. 4.6.
173 Granger/Newbold 1986, Kap. 3.7.
174 Hylleberg 1986, Kap. 7.
175 Mills 1990, Kap. 10.2-10.3.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 120
mit: ϕ ϕ ϕ ϕ( )B B B B
pp
= − − − −11 2 2K (AR-Teil)
θ θ θ θ( )B B B B
qq
= + + + +11 2 2K(MA-Teil)
φ φ φ φ( ) , , ,
B B B B
SSSSP S PS
= − − − −11 2 2K(SAR-Teil)
ϑ ϑ ϑ ϑ( ) , , ,
B B B B
SSSSQSQS
= + + + +11 2 2K(SMA-Teil)
ϕ
φ
θ
ϑ
pPqQ
,
,
,
sind Polynome der Ordnung p, P, q, und Q. Die Polynome lassen sich sehr
einfach durch den „backward shift operator“ B darstellen. Für Zt handelt es sich um einen
reinen Zufallsprozess mit Erwartungswert Null und konstanter Varianz über die Zeit t. Die
Zufallsvariable Wt erhält man durch Differenzenbildung der Zeitreihe Xt, dabei wird zwischen
nicht saisonaler und saisonaler Differenzenbildung unterschieden.
Es gilt: WX
tdS
Dt
=∆ ∆
mit: ∆Ν
d: nicht saisonale Differenzenbildung der Ordnung d 0
∈
∆Ν
S
D: saisonale Differenzenbildung der Ordnung D 0
∈
und
S=12 für Monat
sdaten
Die SARIMA-Modelle bestehen aus zwei getrennten Zeitreihenmodellen. Ein Teil für die
saisonalen und der andere für die nicht saisonalen Schwankungen. Auch beim SARIMA-
Modell lässt sich unter Umständen durch Vergleich von theoretischer mit empirischer ACF
bzw. PACF die Modellordnung identifizieren. Praktisch ist die Identifikation aber recht
schwierig, da eine riesige Anzahl von typischen ACF und PACF denkbar sind.
Zusätzlich ist bei nicht stationären Zeitreihen eine Entscheidung über die Ordnung der
Differenzen des Modells zu treffen, was die Komplexität der Modelle nochmals erhöht.
Die Box-Jenkins SARIMA-Methode liefert vernünftige Modelle zur Beschreibung von
saisonalen Schwankungen in ökonomischen Zeitreihen, wenn die Zeitreihe keinerlei Trend
enthält und somit stationär ist. Zur Trendbereinigung wird die Differenzenbildung verwendet mit
dem Filter
∆
d, in der Regel mit d = 1. Für saisonale Daten bietet sich der Differenzen-Filter
∆S
D an. Auch bei diesem Filter genügt in der Regel eine Differenzenbildung der Ordnung D =
1. Neben der Beseitigung der stochastischen Saison bereinigt dieser Filter zum Teil auch den
stochastischen Trend. Die mögliche Doppeldifferenzierung ∆ ∆
dS
D von saisonalen Zeitreihen
sollte mit Bedacht eingesetzt werden, da die Gefahr der Überdifferenzierung des
stochastischen Trends besteht. Nur wenn der Trend nichtlinear ist, dann ist zusätzlich zur
saisonalen Differenzenbildung ∆S
D die einfache Differenzenbildung
∆
d notwendig.176
176 Charemza/Deadman 1993, 129.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 121
Ein in vielen Analysen verwendetes Modell ist das „Airline-Modell“. Es wurde 1970 erstmals
von Box und Jenkins auf einen Datensatz aus der zivilen Luftfahrt (Meilen der weltweiten
Airline-Passagiere pro Monat für die Periode 1951-1960) angewandt und liefert für viele
Untersuchungen ökonomischer saisonaler Zeitreihen gute Ergebnisse. Es handelt sich um ein
SARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1)s Modell.177
∆ ∆
1 1 1 1
1 1 1 1
StStSt
xB B xB B= − − = + +( )( ) ( )( )
,S
θϑε
Der Hauptgrund für die häufige Verwendung liegt in der recht einfachen Identifikation des
Modells.178 Die Autokorrelationsfunktion der doppelt differenzierten Zeitreihe
WX
tSt
=∆ ∆
1 1 besitzt signifikant von Null abweichende Werte lediglich für lag 1, S-1, S und
S+1.
Das Airline-Modell weist aber ein theoretisches Problem auf. Die saisonale Differenzenbildung
( )1−BS geht von der Annahme aus, dass die saisonale Fluktuation durch einen saisonalen
stochastischen Trend generiert wird, wenn gilt:
ϑ
11
,S
≠
−
.
Zum Beispiel Bxmit xfür jS
y
St t j
t t t St
:( ) ( , , , )1 0 1 2
2S
− = =
⇒= + + +
−
− −
ε
ε ε ε
K
K
Dies impliziert, dass bestimmte Schocks eine permanente Änderung im saisonalen Muster
verursachen können.
Eine Alternative zum Airline-Modell besteht in der Verwendung einer deterministischen
Saison, generiert durch Dummies, als Ersatz für den saisonalen stochastischen Trend.
ARIMA(p, d, q) mit saisonalen Dummies DSt,:
ϕδθε
pdtS S tqt
s
S
B B xDB( )( ) ( )
,
11
− = +
=
∑
177 Box/Jenkins 1970 und Franses 1996, 41-42.
178 Eine Vielzahl von Autoren verwendeten das Airline Modell in ihren statistischen Untersuchungen
ökonomischer Zeitreihen, zum Beispiel: Nelson 1973, Kap. 7, Abraham/Ledolter 1983, Kap. 6
und Granger/Newbold 1986, Kap. 3.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 122
Ob dieses Modell vernünftig ist, kann anhand der ACF und PACF der differenzierten
Zeitreihe ( )1−Bx
dt überprüft werden. Zuvor muss aber eine Regression zur Bestimmung der
Koeffizienten der saisonalen Dummies durchgeführt und die Zeitreihe um den deterministischen
saisonalen Effekt, falls erforderlich auch um die Differenzenbildung, bereinigt worden sein.179
179 Franses 1996, 41-42.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 123
4.7.3 Stationarität von saisonalen Zeitreihen
Die Untersuchung der Stationarität ist bei saisonalen Zeitreihen wesentlich komplexer als bei
nicht saisonalen Zeitreihen.
Box und Jenkins stellten als eine Lösung zur Erzielung der Stationarität die
Doppeldifferenzenbildung vor (z.B. für Monatsdaten: ∆ ∆
112
1, d.h. einfache Differenz erster
Ordnung und einfache saisonale Differenz von 12 Monaten).
Für viele saisonale Zeitreihen erzielt man durch saisonale Differenzenbildung mit der
Periodenlänge s schon eine stationäre Reihe. Vorsicht ist aber angebracht, wenn der Trend
einen nichtlinearen Verlauf besitzt. Die saisonale Differenzenbildung führt in diesem Fall nicht
zur Entfernung des Trends. In einem solchen Fall sollte die Doppeldifferenzierung als mögliche
Lösung des Stationaritätsproblems berücksichtigt werden. 180
Definition einer saisonal integrierten Zeitreihe:181
„Definition: A nonstationary series is said to be seasonally integrated of order(d, D),
denoted SIS(d, D), if it can be transformed to a stationary series by applying s-
differences D times and then differencing the resulting series d times using first
differences.“
Die Definition wird im folgenden zur Beschreibung der Integrationsgrade von saisonalen
Zeitreihen verwendet. Die Länge der Saison S beträgt zum Beispiel für Quartalsdaten S = 4
und für Monatsdaten S = 12.
180 Franses 1996, 61.
181 Charemza/Deadman 1993, 129.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 124
Tests zur Überprüfung der Ordnung der saisonalen und/oder nicht saisonalen Integration
Für Zeitreihen mit stochastischen saisonalen Schwankungen lassen sich, analog dem im Kapitel
3.3.2 vorgestellten ADF-Test zur Bestimmung des nicht saisonalen Differenzengrades d, Tests
zur Identifikation des saisonalen Differenzengrades D formulieren. Auch bei diesen Tests spielt
das Einheitswurzelkonzept eine zentrale Rolle.
In diesem Abschnitt werden die theoretischen Aspekte der verschiedenen saisonalen
Einheitswurzeltests kurz vorgestellt und zu einer Vorgehensweise fokussiert, die sich auf die
praktische Analyse der Zeitreihen der Verkaufszahlen übertragen lässt. Als Basisliteratur
dienen dabei die Autoren Charmeza/Deadman182 und Franses183, ergänzt durch diverse andere
Autoren.
Der einfachste Test, der DHF-Test, wurde 1984 von Dickey, Hasza und Fuller entwickelt. Er
ähnelt einer Verallgemeinerung des ADF-Tests.
Der DHF-Test prüft in der Nullhypothese die Existenz der Einheitswurzeln gegen die
Alternativhypothese, dass keine Einheitswurzel vorliegt. Für Quartalsdaten werden zum
Beispiel vier Einheitswurzeln auf ihre Existenz geprüft, eine nicht saisonale und drei saisonale.
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf Zeitreihen mit monatlichen Beobachtungswerten
übertragen. Analog wird dann die Existenz von 12 Einheitswurzeln getestet.
Eine überdifferenzierte Zeitreihe erhält man zum Beispiel, wenn der einfache Differenzenfilter
(1-B) schon eine stationäre Zeitreihe ergibt, und wenn die Saisonalität mit saisonalen Dummies
erfasst werden kann. Überdifferenzierung verkompliziert die Konstruktion von univariaten
Zeitreihen, da das Muster der PACF in diesem Fall kaum noch zu interpretieren ist. Des
Weiteren können Schätzprobleme auftreten, da bei der Verwendung von MA-Polynomen ein
Teil der Einheitswurzeln auf dem Einheitskreis liegen.
Bei Unterdifferenzierung hingegen erhält man zu wenig Einheitswurzeln im autoregressiven Teil.
Die Gefahr besteht darin, dass falsche Beziehungen zwischen zwei univariaten Zeitreihen
auftreten, wenn relevante saisonale Einheitswurzeln nicht berücksichtigt werden.
Für eine Zeitreihe, die S Beobachtungswerte pro Jahr aufweist, basiert der Test für den
Parameter δ in der Regressionsgleichung auf der Student T-Statistik.:
182 Charmeza/Deadman 1993, 136ff.
183 Franses 1991, 199-208 und Franses 1996, Kap.5.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 125
SIS (0,1): ∆ ∆
St t SiSt i t
i
k
yzy
1 1
1
= + +
− −
=
∑
δ δ ε (a)
Zuerst regressiert man ∆St
y
1auf seine eigenen Werte zurück (∆St t t S
y y y
1= − −), verzögert
um k Perioden. Daraus folgt: ∆ ∆
St i St i t
i
k
y y
1 1
1
= +
−
=
∑λξ.
Danach werden die Parameter
λ
λ
λ
1 2
, ,
.
.
.
.
,
k mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode
geschätzt, um im nächsten Schritt die Variable zt aus yt, yt-1, .... , yt-k zu konstruieren. Es gilt:
zy y
t t i t i
i
k
= − −
=
∑$
λ
1
(
)
Umgeformt zB B B y
tkkt
:($ $ $ )= − − −11 2 2
λ λ λK
Zum Schluss substituiert man den verzögerten Wert zt-s in der Ausgangsgleichung (a), schätzt
die Gleichung und berechnet den Wert der Student-t Statistik für δ.
Die kritischen Werte für den Test findet man zum Beispiel bei Dickey, Hasza und Fuller184.
Liefert die Schätzung von δ einen signifikant negativen Wert, so wird die Nullhypothese, dass
ein saisonaler integrierter Prozess vorliegt, verworfen und auf die Alternativhypothese
entschieden. Das bedeutet, dass keine stochastische Saisonalität vorliegt, die durch
Berechnung von S-Differenzen entfernt werden könnte. Der mögliche Grad der nicht
saisonalen Differenzenbildung zur Erreichung der Stationarität muss aber noch überprüft
werden. Als Testverfahren wurde dazu der ADF-Test schon ausführlich vorgestellt.
Wenn die Nullhypothese für den Test von SIS(0,1) nicht abgelehnt wird, so bedeutet dies aus
statistischer Sicht nicht, dass die saisonale Differenzenbildung erster Ordnung SIS(0,1) schon
zu einer stationären Zeitreihe führt. Bevor man die Ordnung der saisonalen Differenzen erhöht,
sollten die verschiedenen nicht-saisonalen Differenzen geprüft werden. Das heißt, man würde
nun SIS(1,1) testen.
Bei ökonomischen Daten mit saisonaler Struktur erwartet man in der Regel, dass die
Integration die folgende Ordnung aufweist: SIS (0,0), SIS (0,1) und SIS (1,1).
Für die Vorgehensweise zur Erzielung von Stationarität bei saisonalen Zeitreihen bedeutet dies,
dass zuerst SIS (0,0) überprüft wird. Dazu verwendet man den ADF-Test. Kommt es dabei
zu einer Nicht-Ablehnung der Nullhypothese, so wird SIS (0,1) getestet. Führt dieser Test
wiederum zu einer Nicht-Ablehnung der Nullhypothese, so testet man SIS (1,1). Sind weitere
Tests mit höherer Ordnung notwendig, so sollten nur noch die nicht saisonale Differenz erhöht
werden SIS (d,1). Dabei ist zu beachten, dass sich Differenzen mit einer Ordnung größer als 2
kaum noch interpretieren lassen.
184 Dickey/Hasza/Fuller 1984, 355-367.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 126
Die Ausgangsgleichungen für die Tests lauten dann:
SIS (1,1): ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
1 1 11 1
1
StSt i St i t
i
k
y y y= + +
− −
=
∑
δ δ ε
SIS (2,1): ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
2 1 1 1 2 1
1
StStSiSt i t
i
k
y y y= + +
− −
=
∑
δ δ ε
Zu beachten ist weiterhin, dass die konstruierte Variable z
t beim DHF Test nur bei der
saisonalen Integration zur Anwendung kommt. Für die Tests auf nicht saisonale Integration
benötigt man zt nicht.185
Der DHF-Test lässt sich recht gut vereinfachen. Dabei wird die konstruierte Variable z
t-S
ersetzt durch yt-S.
Wird unterstellt, dass alle Parameter δi Null sind, dann erhält man den Dickey-Fuller-
Seasonal-Integration-Test (DFSI-Test).
∆St t St
y y
1= +
−
δε
Andernfalls erhält man den Augmented-Dickey-Fuller-Seasonal-Integration-Test (ADFSI-
Test).
∆ ∆
St t SiSt i t
i
k
y y y
1 1
1
= + +
− −
=
∑
δ δ ε
Die kritischen Werte für den DFSI- und den ADFSI-Test sind identisch. Man darf aber nicht
vergessen, dass die beiden letzten Tests nur eine Vereinfachung darstellen und damit eine recht
grobe Approximation.186
Zur Überprüfung der Frage, ob der von Box-Jenkins erstmals vorgeschlagene Doppel-
Differenzenfilter (Airline-Modell) zu einer geeigneten Entfernung des stochastischen Trends
führt, entwickelte Osborn 1988 am Beispiel von Quartalsdaten einen eigenen methodischen
Testansatz. Er verwendet folgende Hilfsregression zur Überprüfung der saisonalen
Stationarität:
φδβ β ε
ktS S t
st t t
ByDy y( ) ,
∆ ∆ ∆ ∆
14
1
1
4
1 4
11 2 14
= + + +
=− −
∑
mit
φ
k
B( )
einem Polynom mit der Ordnung k und einer saisonalen Dummy Variable DSt,.
185 Charemza/Deadman 1993, 139ff.
186 Charemza/Deadman 1993, 319-333.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 127
Die Regression kann dabei für Zeitreihen mit deterministischem Trend oder saisonalem
deterministischen Trend durchgeführt werden.
Es gilt:
1)
β
β
1
0
0
=
<
⇒
und
Station
a
rer Prozes
s durch Ve
rwendung d
es
Filters
2 1
&&
∆
2) β β
1 4
1
0 0< = ⇒ und Stationarer Prozess durch Verwendung des Filters
2&& ∆
3) β β
1 4
1
0 0= = ⇒ und Stationarer Prozess durch Verwendung des Filters
2 1
&& ∆ ∆
4)
β
β
1
0
0
<
<
⇒
und
Station
a
rer Prozes
s ohne Dif
ferenzenfi
lter
2&&
Die kritischen Werte für die relevanten t- und F-Statistiken der Hilfsregression findet man bei
Osborn187 und für eine erweiterte Version bei Franses/Koehler188.
Anhand der beschreibenden Hilfsregression überprüfte Osborn viele ökonomische Zeitreihen
auf ihren möglichen Differenzengrad (∆ ∆
1 1
S). Er gelang zu dem Ergebnis, dass es keinen
klaren Beweis dafür gab, dass die Doppeldifferenzierung notwendig sei. Bei vielen saisonalen
Zeitreihen reicht der saisonale Differenzenfilter ∆S
1 aus, um den stochastischen Trend aus einer
saisonalen Zeitreihe y
t zu entfernen. Eine solche Zeitreihe bezeichnet man als saisonal
integriert.189
Tests auf saisonale Integration und stochastischer Saisonalität sind äquivalent zueinander. Die
einfachste Form stochastischer Saisonalität liegt vor, wenn die saisonale Differenz stationär ist
oder wenn der Prozess wie folgt beschrieben werden kann: y y oder y
t t StSt t
= + =
−ε ε∆1
mit εt als unabhängige Zufallsvariable.
Ein solcher Prozess weist ein saisonales Muster auf, das sich mit der Zeit verändert. Diese
Betrachtungsweise steht im Kontrast zur deterministischen Saisonalität.
Der prinzipielle Unterschied zwischen den beiden Konzepten liegt in der Betrachtung von
Schocks. In deterministischen saisonalen Modellen sterben die Schocks mit der Zeit aus. In
stochastischen saisonalen Modellen haben sie hingegen einen permanenten Effekt. Charemza
und Deadman interpretieren deterministische Saisonalität als einfache Approximation der
stochastischen Saisonalität.190
Welches dieser beiden Konzepte letztendlich am besten auf die vorliegenden Daten passt,
sollte man eingehend überprüfen. Dabei gibt es recht hilfreiche Testverfahren, die einen guten
Einblick in die Struktur der Daten erlauben, so dass eine Entscheidung für eines der beiden
Konzepte mit guter Sicherheit getroffen werden kann.
187 Osborn 1990, 327-336.
188 Franses/Koehler 1994.
189 Osborn/Chui/Smith/Birchenhall 1988, 361-377.
190 Charemza/Deadman 1993, 140.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 128
Eine Testmethode, die eine Entscheidung zwischen den beiden Konzepten ermöglicht, wurde
1990 von Hylleberg, Engle, Granger und Yoo vorgeschlagen (HEGY-Test).
∆ ∆
4
1 4 1 4
1
11
4
1
4
1y ByDb y cy
t t S S t i i t i t i t
i
k
ii
= − = + + +
− −
=== ∑∑∑
( ) , ,
δεmit:
k:
:
:
Anzahl der verzögerten Terme
D Saisonale Dummy Variablen
y Die Variablen werden wie folgt konstruiert:
S,t
i,t
yB B y y y y y
yB B y y y y y
yB B y y y
yBBBy y y y
t t t t t t
t t t t t t
t t t t
t t t t t
12123
221 2 3
3 2
4 3 1 1 3
1 1
1 1
1 1
1 1
,
,
,
, ,
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
= + + = + + +
= − − + = − + − +
= − − + = − +
= − − + = = − +
− − −
− − −
−
− − −
Es gilt: 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2
− = − + + = − + − +B B B B B B iBiB( )( )( ) ( )( )( )( )
Das Modell wird nach der Kleinst-Quadrate-Methode geschätzt. Für eine stochastische
Saisonalität würde man sich entscheiden, wenn die Koeffizienten δi alle denselben Wert
besitzen und die Koeffizienten bi alle gleich Null sind. Weisen hingegen die Koeffizienten δi alle
verschiedene Werte auf und einer der bi Werte ist signifikant von Null verschieden, dann geht
man von einer Kombination zwischen deterministischer und stochastischer Saisonalität aus.
Jeder negative bi Wert besitzt eine eigene Interpretation. Zum Beispiel, wenn lediglich b
1
negativ ist, dann liegt keine nicht saisonale stochastische stationäre Komponente in der
Zeitreihe vor. Ist hingegen lediglich b2 negativ, dann liegt kein halbjährlicher Zyklus vor. Die
Koeffizienten b3 und b4 hängen beide mit dem jährlichen Zyklus zusammen und werden daher
gemeinsam getestet. Die kritischen Werte für diesen Test findet man bei Hylleberg.191
191 Hylleberg/Engle/Granger/Yoo 1990, 215-238 und Charemza/Deadman 1993, 140-142.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 129
Beaulieu und Miron192 sowie Franses193 haben diesen Test auf Monatsdaten übertragen. Die
Testversion von Franses wird auf den nächsten Seiten ausführlich vorgestellt, dabei werden
zwei verschiedene Modellansätze gegeneinander getestet.
Beim ersten Modell (von Franses mit MSBJ bezeichnet) wurden die Zeitreihenwerte durch die
Verwendung des Doppeldifferenzenfilters ∆ ∆
112
1 bereinigt. Dieser Modellansatz geht auf das
1970 von Box und Jenkins vorgestellte Airline-Modell zurück.
Dem wird ein ARMA-Modell (von Franses mit FDSD bezeichnet) gegenübergestellt, dessen
Zeitreihenwerte lediglich durch die Differenz erster Ordnung ∆1 bereinigt wurden und bei dem
die Saisonalität durch elf saisonale Dummies plus einer Konstante erfasst wurden.
Franses stellt eine Testmethode dar, die es ermöglicht, aus den beiden alternativen Modellen
das passende zu selektieren. Die Überprüfung der Ergebnisse erfolgt auf zwei Arten, zum
einen empirisch und zum anderen durch Simulation.
In einer empirischen Studie hat Osborn aufgezeigt, dass das Problem der Überdifferenzierung
bei Modellen mit Doppeldifferenzierung (MSBJ) des öfteren eintritt.194
Der Differenzenfilter ∆12
1 unterstellt die Präsenz von 12 Einheitswurzeln, die sich mit Hilfe des
lag-operators B herleiten lassen.
Franses entwickelte eine Testprozedur, die es erlaubt, aus den beiden Modellen den jeweils
optimalen Differenzenfilter zu bestimmen. Getestet wird dabei, ob man zur Erzielung eines
stationären Prozesses den Doppeldifferenzenfilter benötigt oder ob der einfache
Differenzenfilter vollkommen ausreichend ist.
Es gilt:
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
∆12
1 12
1 1 1 1 1
1 3 2 1 3 2
1 3 2 1 3 2
1 3 1 2 1 3 1 2
1 3 1 2 1 3 1 2
= − = − + − +
× + + + −
× − + − −
× + + − −
× − + + −
B B B iBiB
iBiB
iBiB
iBiB
iBiB
( )( )( )( )
( ) /( ) /
( ) /( ) /
( ) /( ) /
( ) /( ) /
192 Beaulieu/Miron 1993, 305-328.
193 Franses 1991, 199-208.
194 Osborn 1990, 327-336.
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 130
Der Test baut auf die folgende Hilfsregression, dabei wird die Äquivalenz zwischen der
Signifikanz der Regressionsparameter und den Einheitswurzeln genutzt.
ϕ
π
π
π
π
π
π
π
π
π π π π µε
*( ) , , , , , , , , ,
, , , ,
By y y y y y y y y
y y y y
t t t t t t t t t
t t t t t t
8 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 3 2 5 4 1 6 4 2 7 5 1 8 5 2
9 6 1 10 6 2 11 7 1 12 7 2
=
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + +
− − − − − − − −
− − − −
ε
t: White-Noise-Prozess wird unterstellt
µ
t: Deterministischer Teil, je nach Datenlage Konstante, Trend und/oder saisonale
Dummies
ϕ*( )B
: Polynominale Funktion des „lag operators“ B, wobei gilt:
yB B B B y
t t12 4 8
1 1 1
,( )( )( )= + + + +
yB B B B y
t t22 4 8
1 1 1
,( )( )( )= − − + + +
yB B B y
t t32 4 8
1 1
,( )( )= − − + +
yB B B B B y
t t44 2 2 4
1 1 3 1
,( )( )( )= − − − + + +
yB B B B B y
t t54 2 2 4
1 1 3 1
,( )( )( )= − − + + + +
yB B B B B y
t t64 2 4 2
1 1 1
,( )( )( )= − − − + − +
yB B B B B y
t t74 2 4 2
1 1 1
,( )( )( )= − − − + + +
yBy
t t812
1
,( )= −
Die Nebenrechnung der Regressionsgleichung erfolgte mit EViews 2.0. Die Gleichungen
mussten dazu transformiert werden. Die folgenden Umformungen gingen in die
Regressionsgleichung ein:
y y y y y y y y y y y y y
t t t t t t t t t t t t t1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
− − − − − − − − − − −
y y y y y y y y y y y y y
t t t t t t t t t t t t t2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
− − − − − − − − − − −
y y y y y y y
ttttttt3 2 4 6 8 10,
=
−
+
−
+
−
+
−−−−−
y y y y y y y y y y y
t t t t t t t t t t t4 1 2 3 4 6 7 8 9 10
3 2 3 3 2 3
,= − + − + − + − + − +
− − − − − − − − −
y y y y y y y y y y y
t t t t t t t t t t t5 1 2 3 4 6 7 8 9 10
3 2 3 3 2 3
,= − − − − − + + + + +
− − − − − − − − −
y yyyyyyyy
t t t t t t t t t6 1 3 4 6 7 9 10,
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−−−−−−−
y y y y y y y y y
t t t t t t t t t7 1 3 4 6 7 9 10,
=
−
−
+
+
−
−
+
+
− − − − − − −
y y y
t t t8 12,
=
−
−
4 Theoretische Aspekte der Modellentwicklung 131
Bevor die eigentliche Regressionsgleichung nach der Kleinst-Quadrate-Methode berechnet
werden kann, müssen die Gleichungen y1, t bis y8, t ermittelt werden.
Besitzt die Reihe Einheitswurzeln, dann muss der entsprechende Koeffizient πi den Wert Null
aufweisen. Aufgrund der Tatsache, dass Paare von komplexen Einheitswurzeln konjungiert
sind, sollte beachtet werden, dass eine Einheitswurzel nur dann vorhanden ist, wenn das Paar
πi gleichzeitig Null ist. Zum Beispiel sind die Einheitswurzeln von i und -i nur dann präsent,
wenn beide π3 und π4 den Wert Null aufweisen. (Detaillierte Herleitung siehe Franses195). Es
gibt keine saisonale Einheitswurzel, wenn alle Koeffizienten π2 bis π12 signifikant von Null
verschieden sind.
Besitzt lediglich der Koeffizient π1 den Wert Null, dann kann die Präsenz von der ersten
Einheitswurzel nicht verworfen werden.
Gilt π1 = 0 und π2 bis π12 sind signifikant von Null verschieden und lässt sich zusätzlich die
Saisonalität mit saisonalen Dummies modellieren, dann sollte das FDSD-Modell verwendet
werden.
Sind hingegen alle Koeffizienten nicht signifikant von Null verschieden, dann ist es vernünftig
den ∆12 Filter zur Erfassung der Saisonalität zu verwenden und ein MSBJ-Modell wäre zu
bevorzugen.
Mittels 5000 Monte-Carlo-Simulationen hat Franses die kritischen Grenzen für die t-
Prüfgrößen ermittelt. Der Test für die beiden ersten Koeffizienten ist ein linksseitiger Test. Die
übrigen 10 Koeffizienten werden mittels zweiseitiger Tests überprüft. Zusätzlich hat Franses
die kritischen Werte für den F-Test, für Paare von πi Werten berechnet und für den multiplen
Test der Koeffizienten π3 bis π12.
Franses testet die beiden Methoden in seinen Ansatz an der Entwicklung der
Flugpassagierzahlen, dem Industrieproduktionsindex der Niederlande und den Pkw-
Registrationszahlen in den Niederlanden. Er kommt dabei zu den Ergebnissen, dass der ∆12
1-
Filter und insbesondere der ∆ ∆
112
1-Filter nicht geeignet sind, die Zeitreihen vernünftig zu
beschreiben.196
Diese Ergebnisse decken sich mit den Untersuchungen von Osborn197 und Beaulieu/Miron198.
Bei der sich anschließenden Modellentwicklung zur Beschreibung und Prognose der
Zeitschriftenverkäufe werden diese Erkenntnisse berücksichtigt.
195 Franses 1990.
196 Franses 1991, 199-208.
197 Osborn 1990, 327-336.
198 Beaulieu/Miron 1993, 305-328.
5 Modellentwicklung 132
5 Modellentwicklung
Im ersten Schritt der Modellentwicklung erfolgt eine grobe Einteilung der Zeitreihen jedes
einzelnen Grossisten in sieben verschiedene Klassen. Als Entscheidungsgrundlage zur
Einteilung werden die graphischen Darstellungen der Verkaufszahlen sowie die
Korrelogramme der ACF und der PACF der Verkaufszahlen verwendet.
Die Prüfung der Zeitreihen auf Stationarität, Normalverteiltheit und Unabhängigkeit schließt
sich im zweiten Schritt an.
Danach werden im dritten Schritt Modelle zur Beschreibung und Prognose der Abverkäufe
entwickelt, interpretiert und kritisch analysiert.
Zusätzlich zu den entwickelten Modellen wird eine Prognose der Verkaufszahlen mit den
Verfahren der exponentiellen Glättung vorgenommen und den entwickelten Modellen zum
Vergleich gegenübergestellt.
5.1 Beschreibung und Identifikation des gesamten Datensatzes
Im Kapitel 3 wurden die wichtigsten Verfahren und Tests zur Identifikation von Zeitreihen
vorgestellt. In diesem Abschnitt erfolgt die Analyse der Verkaufszahlen einer Special Interest
Zeitschrift. Von den insgesamt 91 westdeutschen Grossisten konnten 87 analysiert werden.
Nicht analysiert wurden die Grossisten: DPV Düsseldorf, Richter Essen, NPV Bayreuth und
Trunk München. Ihre Verkaufszahlen enthielten Datenfehler (wie negative Verkaufswerte)
oder starke Sprünge, da es im Analysezeitraum zum Zusammenschluss mit anderen
Grossogebieten gekommen war. Zum Beispiel wies der Grossist Richter die Verkaufszahlen
der Grossogebiete Essen und Leichlingen nicht mehr getrennt aus.
Mitte 1997 wurde für alle Grossisten ein Teil der ISPC Verkaufsmeldungen auf Datenträger
zur Verfügung gestellt. Der Datensatz besteht aus den Variablen: Anzahl der eingeschalteten
Einzelhandelsgeschäfte, Anzahl der Einzelhandelsgeschäfte mit Nullverkauf, Anzahl der
Einzelhandelsgeschäfte mit Ausverkauf, Gesamtbezug der Einzelhandelsgeschäfte mit
Nullverkauf und Gesamtbezug der Einzelhandelsgeschäfte mit Ausverkauf. Die folgende
Tabelle enthält exemplarisch den Datensatz für den Grossisten Lütkemeyer Münster.
5 Modellentwicklung 133
Jahr/Monat Bezug Verkauf Bezug Bezug Einzelhd. Einzelhd. Einzelhd.
Nullverkauf Ausverkauf Nullverkauf Ausverkauf eingeschaltet
92/01 550 265
92/02 550 306
92/03 550 276
: : :
: : :
93/07 500 282
93/08 500 275 53 105 29 45 144
93/09 500 304 38 127 22 60 146
93/10 500 290 44 123 29 54 153
93/11 500 231 69 81 31 35 141
93/12 500 267 46 76 27 37 146
: : : : : : : :
: : : : : : : :
96/10 500 237 62 68 33 36 148
96/11 550 246 77 49 33 30 153
96/12 550 238 69 45 29 28 150
97/01 550 307
97/02 500 280
97/03 470 243
97/04 470 257
Die Bezugs- und Verkaufszahlen wurden vom Verlag zur Verfügung gestellt und die übrigen
Daten von dem Zeitschriftenvertriebsunternehmen IPV, das seit Mitte 96 mit dem Vertrieb des
untersuchten Objektes beauftragt ist. Der Verlag lieferte die Bezugs- und Verkaufszahlen für
64 Ausgaben von Januar 1992 bis einschließlich April 1997. Die IPV Verkaufsmeldungen
konnten für die meisten Grossisten von August 1993 bis Dezember 1996 rekonstruiert
werden. Bei einigen Grossisten sind die Angaben aber nur noch unvollständig vorhanden. Aus
Platzgründen wird auf die Darstellung der restlichen 90 Datenmatrizen verzichtet.
Die Datenmatrizen wurden in Excel bearbeitet und dann per Datentransfer in das Programm
EViews geladen. Für jeden Grossisten wurde ein eigenes „Workfile“ angelegt, das die
verschiedenen Variablen, aber auch die Ergebnisse der Identifikationstests und die
entwickelten Modelle enthält.
Im ersten Schritt der Analyse erfolgt die Betrachtung der Verkaufszahlen jedes einzelnen
Grossisten. Dazu werden die Verkaufszahlen aller Grossisten einzeln geplottet und zusätzlich
die Korrelogramme der ACF und der PACF berechnet. Anhand der Graphen der
Verkaufszahlen und deren Korrelogramme erfolgt eine erste grobe Sortierung der Grossisten.
Dabei lassen sich die folgenden groben Klassifizierungen herausstellen:
5 Modellentwicklung 134
Klasse Graph Korrelogramme (lag 1 bis 25)
1Reiner Zufallsprozess, keinerlei
systematische Strukturen lassen sich
erkennen.
Für keine lags weisen die ACF und
PACF signifikante Abweichungen
von Null auf.
2Vermutlich reiner Zufallsprozess,
keinerlei systematische Strukturen
lassen sich erkennen.
Einzelne lags der ACF- und PACF-
Werte sind signifikant von Null
verschieden.
3Systematische Strukturen lassen
sich nicht erkennen
Signifikant von Null verschiedene
AC- und PAC-Werte für lag 1;
teilweise geringe Signifikanz auf lag
12 der ACF.
4Deutlicher Trendverlauf Hohe Werte der ACF und PACF
für lag 1, Werte der ACF nehmen
mit zunehmendem lag ab. Bei
einigen Zeitreihen liegt ein geringer
Ausschlag auf lag 12 der ACF vor.
5Sehr starke Saisonfigur Die Saisonfigur spiegelt sich im
Verlauf der ACF wider. PACF
weist sehr hohe Werte für lag 1 auf.
6Saisonverlauf Leichte signifikante Ausschläge auf
lag 1 der ACF und der PACF.
Deutlich stärkere Ausschläge auf lag
12 der ACF und PACF.
7Saisonverlauf Deutlich signifikante Ausschläge nur
auf lag 12 der ACF und der PACF.
Es handelt sich um eine erste grobe Einteilung der Zeitreihen, wobei eine eindeutige
Abgrenzung nicht immer möglich ist. Die ACF und PACF einiger Zeitreihen weisen weitere
einzelne signifikante Ausschläge auf, hinter denen sich aber keine Systematik erkennen lässt.
Diese Fälle wurden bei der Beschreibung der Klassen nicht explizit aufgeführt. Im Anhang
wurden für jeweils einen Grossisten aus jeder der 7 Klassen der Graph der Verkaufszahlen
und die Korrelogramme der Verkaufszahlen dargestellt.
5 Modellentwicklung 135
5.2 Durchführung der Modellentwicklung
Innerhalb der sieben Klassen wird die Zeitreihe jedes Grossisten mit den in Kapitel 3
vorgestellten Testverfahren auf Stationarität, Normalverteiltheit und Unabhängigkeit überprüft.
Der Test von Neftci zur Überprüfung der Linearität wird nur auf die Zeitreihen der Klassen 1
bis 4 angewendet, da er als eine Grundvoraussetzung die Stationarität der Zeitreihe verlangt.
Zwar erfüllen nicht alle Zeitreihen der Klassen 1 bis 4 die Stationaritätsbedingung, aber durch
Anwendung des HP-Filters lassen sich die entsprechenden Zeitreihen in stationäre Reihen
transformieren. Nur bei vereinzelten Zeitreihen führt der Neftci-Test zu einer Verwerfung der
Nullhypothese auf Linearität.
Die Zeitreihen der Klasse 5 bis 7 verletzen durchweg die Stationaritätsbedingung, alle besitzen
eine recht ausgeprägte saisonale Struktur. Sie lässt sich nicht so einfach entfernen, da damit
schon eine Entscheidung über die Form der Saison, deterministische oder stochastische
getroffen werden muss. Die dazu notwendigen Testverfahren, vorgestellt im Kapitel 4.7,
können leider nicht verwendet werden, da bei Zeitreihen mit monatlichen Daten mindestens
120 Beobachtungswerte vorliegen sollten, zur Verfügung stehen aber nur 64.
Im zweiten Schritt werden je nach Datenlage und Ergebnissen der Identifikationstests
geeignete Modelle zur kurz- bis mittelfristigen Prognose der Verkaufszahlen entwickelt.
Die Modellvarianten reichen von einfachen deterministischen Modellen, über Modelle mit
Dummy-Variablen zur Beschreibung der Saison, bis hin zu SARIMA-Modellen. Auf die
Implementierung von nichtlinearen Modellen wird aber verzichtet.
Recht uninteressant sind dabei jene Zeitreihen, die alle drei Identifikationskriterien erfüllen und
somit den Bedingungen eines reinen Zufallsprozesses genügen. Reine Zufallsprozesse besitzen
keinerlei systematische Strukturen und eignen sich leider nicht zu Erstellung von
Prognosemodellen.
Neben der Modellschätzung liefert das Programm EViews auch die Möglichkeit der
Modellprognose. Es stehen dabei zwei Ansätze zur Verfügung, die statische und die
dynamische Prognose. Der Unterschied zwischen den beiden Ansätzen erklärt sich in der
Behandlung von verzögerten abhängigen Variablen in der Prognosegleichung. Bei der
statischen Prognose benötigt man jeweils die aktuellen Realisationen der verzögerten
abhängigen Variablen, um die nächsten Werte prognostizieren zu können. Die dynamische
Prognose kommt ohne die aktualisierten Realisationen der verzögerten abhängigen Variablen
aus. Die Werte der verzögerten Variablen werden durch die zuvor prognostizierten Werte
geschätzt.
5 Modellentwicklung 136
Alternativ wird für jede Zeitreihe eine Prognose mit Hilfe der exponentiellen Glättung199
erstellt. Je nach Datenlage wird die einfache oder doppelte exponentielle Glättung, die
exponentielle Glättung nach Holt-Winter ohne Saison, mit additiv verknüpfter Saison oder mit
multiplikativ verknüpfter Saison verwendet. 200
EViews weist eine Reihe von Prognosefehlermaßen aus, unter anderem auch den RMSE
(Root Mean Squared Error):
( )
RMSE y y
Nt t
t
N
= −
∑
−=
−
12
1
υ
υ$
Der RMSE ist definiert als die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den
realisierten und den prognostizierten Werten, dividiert durch die Anzahl der Zeitreihenwerte N,
die um die Freiheitsgrade υ reduziert werden. Dieser Fehler wird als Vergleichsmaß zwischen
den geschätzten Modellen und den Verfahren der exponentiellen Glättung verwendet.201
Die Darstellung der Ergebnisse der Identifikationstests erfolgt in tabellarischer Form.
Kompakt und übersichtlich werden die Ergebnisse der Modellentwicklungen und der
Prognosen dargestellt. Angegeben werden im einzelnen:
1. Das geschätzte Prognosemodell mit den Koeffizienten, berechnet auf einen Stützbereich
von maximal fünf Jahren (01/1992 bis 12/1996).
2. Der Vergleich zwischen Prognose und Realisationen für den Zeitraum 01/1997 bis
04/1997. Der RMSE (Root Mean Squared Error) des Modells für den Stütz- und
Prognosezeitraum.
3. Die Prognose mit der exponentiellen Glättung inklusive RMSE.
4. Das Modellprotokoll mit den wichtigsten Kenngrößen zur Beurteilung der Modellqualität:
-) M.D.: Arithmetisches Mittel der abhängigen Variablen.
-) S.D.: Standardabweichung der abhängigen Variablen.
-) S.E.: Standardfehler der Schätzung.
-) RA
2:Bereinigtes Bestimmtheitsmaß.
-) F-ST: Realisation der F-Statistik.
-) W(F): Maximale Wahrscheinlichkeit für den α-Fehler der
F-Statistik. Es gilt: W(F) < 0,05 => H1.
5. Die graphische Darstellung der Verkaufszahlen, der Prognosewerte (Modell und
exponentielle Glättung) und der durch den HP-Filter geglätteten Verkaufszahlen.
199 Weiterführende Lit.: Mertens 1994, 61-78 und Lewandowski 1974.
200 Hall/Lilien/Sueyoshi/Engle/Johnston/Ellsworth 1995, 237-248.
201 Rudolph 1998, 7-15.
5 Modellentwicklung 137
5.2.1 Klasse 1 - Einfacher Zufallsprozess
Die Verkaufsreihen, die zur Klasse 1 zusammengefasst wurden, erfüllen bis auf zwei
Ausnahmen die Bedingungen, die an einen reinen Zufallsprozess zu stellen sind. Die Zeitreihen
sind stationär, normalverteilt und besitzen keine erkennbare Abhängigkeitsstruktur.
Für alle Zeitreihen der Klasse 1 führt der ADF-Test mit Intercept zu einer klaren Annahme
der Alternativhypothese auf Stationarität und das schon bei einer lag Länge von Null im
verzögerten Teil der ADF-Testgleichung. Die Residuen der ADF-Testgleichungen weisen
keine systematischen Strukturen mehr auf.
Alle Zeitreihen schwanken mehr oder weniger zufällig um ihre jeweiligen arithmetischen
Mittelwerte. Nur für die Zeitreihe des Grossisten Jost Gersthofen lässt sich ein geringer Teil
der Variation der Verkaufswerte durch einen deterministischen linearen Trend erklären.
Zur Absicherung dieser Ergebnisse wurde auf alle Zeitreihen die HP-Filtertechnik angewandt.
Die Abweichungen zwischen den mit dem HP-Filter geglätteten Zeitreihenwerten und dem
arithmetischen Mittelwert fielen nur minimal aus.
Zusätzlich wurden die um den HP-Filterwert bereinigten Zeitreihen betrachtet. Wie zu
erwarten, stellten sich die bereinigten Zeitreihen als reiner Zufallsprozess dar.
Auf den nächsten Seiten werden die Ergebnisse der Identifikationstests dargestellt, danach
folgen Modellbildung und Prognose. Die gewählte Vorgehensweise bei der Modellbildung und
-diagnose wird ausführlich am Beispiel des Grossisten Jost Gersthofen erläutert.
5 Modellentwicklung 138
Klasse 1 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Test von Neftci
H0: Symmetrie
H1: keine
Symmetrie
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Mende
Eggenstein
ADF = -6,60 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,28 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,33 ≤ tα = 1,96
S = 0,19 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,66 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,30 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
039 0 61
084 016
, ,
, ,
⇒ H1
PVG
Fulda
ADF = -7,21 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,30 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,51 ≤ tα = 1,96
S = 2,36 < χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,83 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,82 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
037 0 63
080 00 2
, ,
, , ,
⇒ H0
Jost
Gersthofen
ADF = -6,91 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,10 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,13 ≤ tα = 1,96
S = 0,03 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,96 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,20 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
040 0 60
076 0 24
, ,
, ,
⇒ H0 (mit HP)
Tonollo
Göttingen
ADF = -7,68 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,99 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,01 ≤ tα = 1,96
S = 0,99 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,70 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,45 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
035 0 65
066 0 34
, ,
, ,
⇒ H0
Doll
Gummersbach
ADF = -8,04 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 1,74 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,42 ≤ tα = 1,96
S = 5,04 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,88 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,58 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
032 0 68
0 81 019
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 139
Klasse 1 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Rübartsch &
Reiners
Mönchengladb.
ADF = -7,06 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,68 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,55 ≤ tα = 1,96
S = 0,76 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,28 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,09 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
046 0 54
064 0 36
, ,
, ,
⇒ H0
Trunk
Oberau
ADF = -6,99 < k(1%) = -3,56
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 1,54 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,03 ≤ tα = 1,96
S = 2,37 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,91 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k < 24 gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,02 < α =
0,05 ⇒ H1
046 0 54
0 83 017
, ,
, ,
⇒ H1
5 Modellentwicklung 140
Die Ergebnisse der Identifikationstests der Grossisten Mende Eggenstein und Trunk Oberau
weichen bei den Unabhängigkeitstests und dem Symmetrietest von denen der übrigen
Grossisten der Klasse 1 ab.
Beim Grossisten Mende Eggenstein führt der Test von Neftci zu einer Verwerfung der
Nullhypothese auf Symmetrie in den Daten. Alle anderen Tests deuten aber darauf hin, dass
die Verkaufszahlen des Grossisten Mende hinreichend stationär, normalverteilt und unabhängig
sind.
Etwas anders sehen die Testergebnisse für den Grossisten Trunk Oberau aus. Neben der
Verwerfung der Nullhypothese beim Test von Neftci führt auch der Runs-Test zur
Überprüfung der Unabhängigkeit/Abhängigkeit zu einer Verwerfung der Unab-
hängigkeitshypothese. Die ACF und die PACF sowie die Ljung-Box Q-Statistik lassen
hingegen keinerlei Abhängigkeiten erkennen. Inwieweit zur Beschreibung der
Abhängigkeitsstruktur nichtlineare Modelle in Frage kommen, müsste detailliert geprüft
werden. Der Beobachtungszeitraum für die monatlichen Verkäufe umfasst lediglich die Jahre
1992 bis 1996. Für so wenige Beobachtungswerte ist es sehr schwierig, die asymmetrische
Struktur der Auf- und Abschwünge mit geeigneten Techniken zu modellieren und daraus eine
stabile Prognose abzuleiten. Außerdem lassen sich nur sehr wenige Grossisten finden, deren
Zeitreihen eine asymmetrische Struktur aufweisen. Daher wird auf die Entwicklung von
nichtlinearen Modellen zur Prognose der Abverkäufe verzichtet.
Systematische Strukturen zur Beschreibung der Zeitreihen der Klasse 1 lassen sich lediglich für
den Grossisten Jost Gersthofen finden. Für diesen Grossisten beobachtet man eine geringe
Zunahme der Verkaufswerte, diese Trendentwicklung kann durch eine deterministische lineare
Trendgerade beschrieben werden. Bestätigt wird die richtige Wahl der linearen Trendgeraden
durch den auf die Zeitreihe angewandten HP-Filter. Die Abweichungen sind nur minimal.
Die nachfolgenden Erläuterungen zur Schätzung der Testgeraden sollen in erster Linie zur
Vorstellung des Programms EViews genutzt werden, um die Möglichkeiten und
Leistungsfähigkeiten des Programms darzustellen, die Qualität und Effektivität der Schätzung
spielt dabei eine untergeordnete Rolle, da der lineare Trend nur einen sehr geringen Teil der
Variationen erklären kann.
5 Modellentwicklung 141
Verkauf Grossist Jost Gersthofen
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-04/97)
Verkauf linearer Trend HP-Filter
Die beiden Koeffizienten der Trendgeraden wurden mit der KQ-Methode geschätzt. Das
Ausgabeprotokoll enthält neben den Schätzwerten der Koeffizienten eine Vielzahl von
Maßzahlen und statistischen Testergebnissen.
GERSTHOFEN
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C205.485 4.372 47.001 0.000
NUMMER -0.443 0.125 -3.556 0.001
R-squared 0.179 Mean dependent var 191.967
Adjusted R-squared 0.165 S.D. dependent var 18.297
S.E. of regression 16.721 Akaike info criterion 5.666
Sum squared resid 16216.700 Schwarz criterion 5.736
Log likelihood -253.120 F-statistic 12.644
Durbin-Watson stat 1.850 Prob(F-statistic) 0.001
Grob lassen sich die Ergebnisse in zwei Teile aufteilen. Im ersten Teil werden die geschätzten
Koeffizienten einzeln untersucht. Dabei werden die Parameterschätzer, deren
Standardabweichungen und die Realisationen der Studentized T-Statistiken einschließlich der
Wahrscheinlichkeiten ausgewiesen. Mit der Studentized T-Statistik wird die
Alternativhypothese getestet, dass der jeweilige Koeffizient signifikant von Null verschieden ist.
5 Modellentwicklung 142
Ist die angegebene Wahrscheinlichkeit kleiner als ein vorgegebener α-Fehler, so liegt die
Realisation der Studentized T-Statistik im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, das heißt,
der getestete Koeffizient ist signifikant von Null verschieden.
Die Maßzahlen und Testergebnisse im zweiten Teil des Ausgabeprotokolls beziehen sich auf
das Gesamtmodell.
Schon die graphische Darstellung verdeutlichte, dass nur ein geringer Teil der Variation der
Verkaufswerte durch die Trendgerade erklärt werden kann. Dieses Ergebnis wird durch das
Bestimmtheitsmaß R2 und das korrigierte Bestimmtheitsmaß RA
2 bestätigt. Insgesamt erklärt
die Regression nur 16,5% der Variation in den Verkaufswerten.
Zur Berechnung des korrigierten Bestimmtheitsmaßes wird im Programm EViews folgende
Definition verwendet:
R R N
Nk
A
2 2
1 1 1
= − −
−
−
( ) mit: N = Anzahl der Verkaufswerte
k = Anzahl der Regressoren (inklusive der Konstante C)
Des Weiteren weist das Protokoll die Standardabweichung der Regression, die Summe der
quadrierten Residuen, den Log-Likelihood-Wert und das arithmetische Mittel sowie die
Standardabweichung der abhängigen Variablen aus.
Ein Maß zur Beurteilung der Korrelation erster Ordnung ist die Durbin-Watson-Statistik. Die
Durbin-Watson-Statistik kann Werte zwischen 0 und 4 annehmen. Werte um 2 sind ein Indiz
dafür, dass die Residuen keine nennenswerte Autokorrelation der Ordnung eins aufweisen.
Zur Ermittlung der kritischen Grenzen benötigt man neben dem Stichprobenumfang die Anzahl
der geschätzten Koeffizienten, einschließlich der Konstanten c. Der betrachtete Datensatz
enthält 60 Beobachtungswerte und zwei Regressoren. Bei einer vorgegebenen
Aussagesicherheit von 95% ergibt sich der Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese als
Intervall von [1,616 ; 2,384]202. Der Wert der Prüfgröße von 1,850 liegt im Nicht-
Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Die Residuen weisen somit keine positive
Autokorrelation der Ordnung 1 auf.
Die Bedeutung der Informationskriterien von Akaike und Schwarze für die Modellauswahl
wurde in Abschnitt 4.5.1 schon ausführlich erörtert.
Als letzte statistische Maßzahl weist das Ausgabeprotokoll die F-Statistik mit der
dazugehörigen Wahrscheinlichkeit aus.
202 Judge/Hill/Griffiths/Lütkepohl/Lee 1988, 992.
5 Modellentwicklung 143
Die F-Statistik ist ein Maß zur simultanen Überprüfung der Nullhypothese, dass kein
Koeffizient der Regressionsgleichung signifikant von Null verschieden ist. Mit 12,644 liegt der
Wert der F-Statistik mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit (0,0008 < α = 0,05) im Bereich der
Alternativhypothese. Das heißt, dass es in der Regressionsgleichung mindestens einen
Koeffizienten gibt, der signifikant von Null verschieden ist.
Zur Überprüfung der Qualität der Schätzung sind neben der kritischen Interpretation der
Ergebnisse des Ausgabeprotokolls, die Prognosefähigkeit des geschätzten Modells und die
Untersuchung der Residuen von elementarer Bedeutung. Erst wenn die Residuen keinerlei
systematische Strukturen mehr aufweisen und die Prognose eine bestimmte Güte und Stabilität
erzielt, kann von einem geeigneten Modell ausgegangen werden.
EViews stellt zur Beurteilung der Qualität der Residuen eine Reihe von Prozeduren zur
Verfügung, die im Abschnitt 4.5.3 schon eingehend vorgestellt wurden.
Eine zentrale Bedeutung nimmt die Überprüfung der Autokorrelation und partiellen
Autokorrelation der Residuen ein. Neben den Korrelogrammen kann im Programm EViews
die Box-Ljung Q-Statistik der Residuen für beliebig vorgegebene endlich lange lags berechnet
werden. Die beiden Korrelogramme sollten nur wenige signifikante unsystematische
Abweichungen vom Wert Null besitzen. Die berechneten Wahrscheinlichkeiten der Ljung-Box
Q-Statistik sollten für die vorab gewählte Länge k der lags größer als das vorgegebene
Signifikanzniveau α = 0,05 sein, damit die Nullhypothese auf Unabhängigkeit der Residuen
nicht verworfen werden kann.
5 Modellentwicklung 144
Grossist Jost Gersthofen: ACF und PACF der Residuen
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. | . | . | . | 1 0.051 0.051 0.1624 0.687
. | . | . | . | 2 0.055 0.053 0.3593 0.836
.*| . | .*| . | 3 -0.182 -0.188 2.5102 0.473
. |*. | . |*. | 4 0.075 0.095 2.8832 0.578
.*| . | .*| . | 5 -0.066 -0.059 3.1789 0.672
. |*. | . |*. | 6 0.124 0.094 4.2332 0.645
. | . | . | . | 7 0.027 0.051 4.2841 0.747
. |*. | . |*. | 8 0.169 0.131 6.3369 0.610
.*| . | .*| . | 9 -0.122 -0.108 7.4308 0.592
.*| . | .*| . | 10-0.073 -0.083 7.8269 0.646
. | . | . |*. | 11-0.006 0.079 7.8297 0.728
. |*. | . | . | 12 0.091 0.027 8.4774 0.747
.*| . | .*| . | 13-0.101 -0.125 9.2801 0.751
.*| . | .*| . | 14-0.137 -0.161 10.789 0.703
.*| . | .*| . | 15-0.127 -0.085 12.126 0.669
. | . | . | . | 16 0.041 0.036 12.270 0.725
. | . | . | . | 17-0.024 -0.013 12.318 0.780
.*| . | .*| . | 18-0.123 -0.174 13.664 0.751
. | . | . | . | 19-0.041 -0.032 13.817 0.794
.*| . | . | . | 20-0.066 -0.055 14.220 0.819
.*| . | .*| . | 21-0.112 -0.068 15.416 0.801
. | . | . | . | 22-0.036 0.021 15.541 0.838
. |** | . |** | 23 0.209 0.203 19.941 0.645
. | . | .*| . | 24 0.019 -0.066 19.978 0.698
. |*. | . |*. | 25 0.078 0.109 20.629 0.713
.*| . | . | . | 26-0.162 -0.041 23.489 0.605
.*| . | **| . | 27-0.127 -0.208 25.307 0.557
.*| . | .*| . | 28-0.107 -0.097 26.628 0.539
Die Korrelogramme der ACF und der PACF der Residuen enthalten für den Grossisten
Gersthofen keinerlei Hinweise auf weitere Abhängigkeiten. Zu demselben Ergebnis gelangt
man bei Betrachtung der Ljung-Box Q-Statistik. Alle ausgewiesenen Wahrscheinlichkeiten
sind größer als das vorgegebene Signifikanzniveau von α = 0,05.
Zusätzlich wurde der LM-Test auf die Residuen angewandt, dabei wurde eine lag Länge von k
= 12 (entspricht dem Zeitraum einer Saison) gewählt. Es trat bei den Residuen keine
signifikante Autokorrelation auf. Auch höhere lags, wie zum Beispiel k = 24, ändern an diesem
Ergebnis nichts.
Die Überprüfung der Normalverteilungshypothese führt ebenfalls zu einer Nicht-Ablehnung
derselben.
(Schiefe: ϑ1 = 0,69 ≤ tα = 1,96 , Wölbung: ϑ2 = 1,05 ≤ tα = 1,96 und Jarque-Bera:
S = 1,57 ≤ χ2k = 5,99 liegen alle im Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypo-
these ⇒ Entscheidung auf H0: Residuen genügen der NV).
5 Modellentwicklung 145
Das untersuchte Trendmodell kann nur einen geringen Teil der Variation in den Daten erklären.
Daher sollte geklärt werden, ob das Modell im Zeitverlauf wenigstens stabil bleibt. Dazu wird
der Chow-Breakpoint-Test zweimal durchgeführt. Bei der Durchführung des ersten Tests
werden die Residuen in die beiden Intervalle 1992:01 bis 1993:12 und 1994:01 bis 1996:12
aufgesplittet. Beim zweiten Testlauf erfolgt die Unterteilung der Zeitreihe in die Intervalle
1992:01 bis 1994:12 und 1995:01 bis 1996:12.
Erster Chow-Test:
(Chow Breakpoint Test: 1994:01)
F-statistic 2.371491 Probability 0.102653
Log likelihood ratio 4.877992 Probability 0.087248
Zweiter Chow-Test:
(Chow Breakpoint Test: 1995:01)
F-statistic 1.206945 Probability 0.306770
Log likelihood ratio 2.532121 Probability 0.281940
Die H
0-Hypothese kann nicht verworfen werden, da die Wahrscheinlichkeiten für die
Prüfgrößen in beiden Testläufen größer als α = 0,05 sind und damit die Realisationen in den
Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese fallen, das heißt, dass das einfache lineare
Trendmodell innerhalb des betrachteten Zeitfensters keine Strukturbrüche aufweist.
Als Ergebnis für die Zeitreihen der Klasse 1 lässt sich festhalten, dass die
Verkaufsschwankungen in erster Linie vom Zufall abhängen. Lediglich für den Grossisten Jost
Gersthofen könnte bei der Prognose der deterministische Trend berücksichtigt werden.
Die ersten Hinweise über die Struktur der Zeitreihe, die aus der graphischen Betrachtung und
den Ergebnissen der Korrelogramme gewonnen wurden, bestätigten sich bei der genaueren
Analyse der Zeitreihen der Klasse 1.
Auf die Implementierung von nichtlinearen Modellen für die Grossisten Trunk Oberau und
Mende Eggenstein wird verzichtet.
5 Modellentwicklung 146
Prognose
Eine Hauptzielsetzung dieser Arbeit ist die kurz- bis mittelfristige Prognose der
Abverkaufszahlen pro Grossogebiet. Für die kurzfristige Auflagenplanung sind die ersten drei
bis vier Vorhersagemonate von entscheidender Bedeutung. Alle drei bis vier Monate sollte
daher die durchgeführte Prognose durch die neuesten realisierten Verkaufszahlen aktualisiert
und auf ihre Vorhersagequalität überprüft werden. Als Prognosezeitraum werden jeweils die
kommenden 12 Ausgaben betrachtet.
Da bis auf den Grossisten Gersthofen die Zeitreihen der Klasse 1 keinerlei systematische
Strukturen erkennen ließen, wird zur Prognose der Verkaufswerte der arithmetische
Mittelwert, berechnet auf Basis der Daten der Ausgaben 01/1992 bis 12/1996, herangezogen.
In der statistischen Literatur wird diese Vorgehensweise auch als naive Methode bezeichnet.
Zusätzlich zum arithmetischen Mittel werden zwei Verfahren der exponentiellen Glättung auf
die Zeitreihen angewandt (einfache und doppelte exponentielle Glättung). Verfahren der
exponentiellen Glättung sind einfach durchführbar und den Verlagen aufgrund der MBR
hinreichend bekannt.
Prognosen, ermittelt mit Verfahren der exponentiellen Glättung, reagieren je nach Wahl des
Parameters α sehr empfindlich auf die letzten Beobachtungswerte. Weicht die Prognose
mittels der exponentiellen Glättung stärker vom arithmetischen Mittel ab, so sollte man diese
Zeitreihen bei der späteren Überprüfung der Prognosequalität genauer analysieren. Zu
überprüfen ist dabei, ob die Abweichung zwischen arithmetischem Mittelwert und
exponentieller Glättung eher zufälliger Natur ist, auf eine Änderung des Niveaus hindeutet oder
sogar ein Strukturbruch wahrscheinlich geworden ist.
5 Modellentwicklung 147
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Mende Eggenstein $
y
t = 172 Realisationen:
157 ; 175 ; 168 ; 151
alle im Intervall
RMSE = 17,9
Einfache exp. Glättung
mit Mittelwert = 173,7
RMSE = 18,0
Modellprotokoll:
M.D. = 172
S.D. = 18,3
S.E. = 18,3
DW = 1,63
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
PVG Fulda $
y
t = 84 Realisationen:
74 ; 91 ; 81 ; 88
alle im Intervall
RMSE = 10,0
Einfache exp. Glättung
mit Mittelwert = 83,0
RMSE = 10,1
Modellprotokoll:
M.D. = 84
S.D. = 10,3
S.E. = 10,3
DW = 1,88
0
20
40
60
80
100
120
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
5 Modellentwicklung 148
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Jost Gersthofen $
y
t= 205,5 - 0,443 t
(mit t = 1 für 1992:01)
Realisationen:
188 ; 180 ; 181 ; 186
alle im Intervall
RMSE = 16,0
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Trendmodell
RMSE = 16,8
Modellprotokoll:
M.D. = 192
S.D. = 18,3
S.E. = 16,7
DW = 1,85
RA
2= 0,16
F-ST = 12,6
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Tonollo Göttingen $
y
t = 67 Realisationen:
79 ; 81 ; 76 ; 79
alle im Intervall
RMSE = 7,5
Einfache exp. Glättung
mit Mittelwert = 67,4
RMSE = 7,5
Modellprotokoll:
M.D. = 67
S.D. = 7,2
S.E. = 7,2
DW = 1,97
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
5 Modellentwicklung 149
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Doll Gummersbach $
y
t = 48 Realisationen:
58 ; 51 ; 43 ; 59
alle im Interval
RMSE = 8,0
Einfache exp. Glättung
mit Mittelwert = 48,3
RMSE = 8,0
Modellprotokoll:
M.D. = 48
S.D. = 8,0
S.E. = 8,0
DW = 2,12
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
Rübartsch & Reiners
Mönchengladbach
$
y
t = 244 Realisationen:
273 ; 255 ; 233 ; 248
alle im Intervall
RMSE = 21,7
Einfache exp. Glättung
unterhalb von 244
RMSE = 21,9
Modellprotokoll:
M.D. = 244
S.D. = 22,2
S.E. = 22,2
DW = 1,84
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
5 Modellentwicklung 150
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Trunk Oberau $
y
t = 83 Realisationen:
81 ; 77 ; 108 ; 77
alle im Intervall
RMSE = 13,1
Einfache exp. Glättung
unterhalb von 83
RMSE = 13,1
Modellprotokoll:
M.D. = 83
S.D. = 13,2
S.E. = 13,2
DW = 1,85
0
20
40
60
80
100
120
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
5 Modellentwicklung 151
5.2.2 Klasse 2 - Vermutlich einfacher Zufallsprozess, nur einzelne lags der ACF
oder PACF besitzen signifikante Ausschläge
Die Modelle der Klasse 2 sind recht interessant. Die Betrachtung der Plots der
Verkaufszahlen lässt kaum Einflüsse wie Trend, Saison, Wendepunkte, Strukturbrüche oder
Ausreißer erkennen. Dieser erste Eindruck wird durch die Korrelogramme der ACF und
PACF bestätigt. Nur einzelne Werte sind signifikant von Null verschieden.
Bei der Berechnung der ADF-Tests stellt sich ein deutlich differenzierteres Bild der in Klasse 2
zusammengefassten Zeitreihen dar. Die ADF-Testgleichungen einiger Zeitreihen führen bereits
durch Berücksichtigung des Intercepts und der passenden Ordnung der verzögerten
Differenzen der Verkaufswerte zu stationären Zeitreihen.
Bei weiteren Zeitreihen erreicht man erst durch zusätzlicher Berücksichtigung eines
deterministischen linearen Trends in den ADF-Testgleichungen das Ziel der Stationarität. Man
bezeichnet diese Zeitreihen auch als trendstationär. Bei einigen Zeitreihen führt die
Berücksichtigung von Intercept und der verzögerten Differenzen der Verkaufswerte zu
akzeptablen Ergebnissen auf Stationarität. Die zusätzliche Aufnahme des deterministischen
linearen Trends in der Testgleichung bringt aber eine deutliche Verbesserung der Testaussage.
Besonders interessant sind die Zeitreihen, die erst durch Anwendung der Differenzenbildung
den Bedingungen der Stationarität genügen. Dabei kann die Testgleichung durchaus verzögerte
Differenzen der Verkaufswerte aufweisen, damit die Residuen keinerlei systematische
Strukturen mehr enthalten.
Bis auf die Zeitreihen der Grossisten Schulte Bremen und B&P Hamburg wird die
Nullhypothese auf Normalverteiltheit nicht verworfen. Dabei gelangt man mit den verwendeten
Tests zu unterschiedlichen Ergebnissen. Der Kolmogorov-Smirnov-Test führt bei den
Zeitreihen Schulte Bremen und B&P Hamburg nicht zur Verwerfung der Hypothese auf
Normalverteiltheit. Der Jarque-Bera-Test und die Tests auf Schiefe und Wölbung hingegen
führen zu einer Verwerfung der Nullhypothese auf Normalverteiltheit. Die Diskrepanz der
Testergebnisse geht auf die unterschiedliche Berücksichtigung von Ausreißern in den
Prüfgrößen zurück. Beide Zeitreihen besitzen für einzelne Ausgaben Verkaufswerte, die sehr
stark vom Niveau der übrigen Realisationen abweichen. Der Kolmogorov-Smirnov-Test
berücksichtigt den Betrag der maximalen Abweichung zwischen empirischer Verteilung und
unterstellter Grundgesamtheitsverteilung. In den Prüfgrößen der anderen
Normalverteilungstests wird die durchschnittliche Summe der um drei bzw. vier potenzierten
Abweichungen zwischen empirischen Werten und arithmetischem Mittel berechnet.
5 Modellentwicklung 152
Einzelne Realisationen, die sehr stark vom arithmetischen Mittel der Zeitreihe abweichen,
führen damit zu einer überproportionalen Vergrößerung des Prüfgrößenwertes.
Unterschiedliche Ergebnisse erzielt man auch bei den Tests zur Beurteilung der Abhängigkeit
bzw. Unabhängigkeit der Zeitreihenwerte.
Der Runs-Test, der lediglich die Vorzeichenwechsel in der Differenz der Zeitreihenwerte
berücksichtigt, führt zu dem Ergebnis, dass keine der betrachteten Zeitreihen eine signifikante
Abweichung von der Nullhypothese auf Unabhängigkeit besitzt.
Mit der Box-Ljung Q-Statistik gelangt man bei den meisten Zeitreihen zu einer signifikanten
Testentscheidung auf Abhängigkeit der Zeitreihenwerte. Hinsichtlich der Signifikanz der
betrachteten ersten 25 lags gibt es aber leichte Unterschiede. Bei einigen Zeitreihen sind nicht
alle 25 lags signifikant von Null verschieden.
Die Zeitreihen mit erkennbaren Abhängigkeiten lassen sich sehr gut durch lineare Modelle
beschreiben. Diese Aussage lässt sich aus den Ergebnissen des Tests von Neftci gewinnen.
Nur für den Grossisten Lütkemeyer Münster kommt der Test von Neftci zu einer Verwerfung
der Hypothese auf Symmetrie und damit zur Empfehlung, mit nicht- linearen Modellen zu
arbeiten.
Die Modelle, die auf den nächsten Seiten für die Zeitreihen der Klasse 2 vorgestellt werden,
sind zum Teil recht unterschiedlich. Grob lassen sie sich zu drei Modelltypen zusammenfassen.
Modelltyp 1 besteht aus Zeitreihen, die sehr stark von zufälligen und unsystematischen
Schwankungen der Realisationen dominiert werden. Sie enthalten keine saisonalen Strukturen,
sondern Strukturen, die sich höchstens mit linearen deterministischen Trendmodellen oder
ARIMA-Modellen beschreiben lassen.
Modelltyp 2 besteht aus Zeitreihen, die sich durch SARIMA- und Kombinationen aus
SARIMA- und deterministischen Trendkomponenten beschreiben lassen.
Der letzte Modelltyp, der Typ 3, enthält Zeitreihen, bei denen die einfache Differenzenbildung
der Ordnung eins erforderlich ist. Die entwickelten Modelle beziehen sich folglich auf die
differenzierten Zeitreihen.
5 Modellentwicklung 153
Klasse 2 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Test von Neftci
H0: Symmetrie
H1: keine
Symmetrie
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Staab
Bad Kreuznach
ADF = -6,18 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,74 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,62 ≤ tα = 1,96
S = 0,94 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,60 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,77 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
034 0 66
068 0 32
, ,
, ,
⇒ H0
Müller & Schultz
Bremen
ADF = -6,12 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 2,01 > tα = 1,96
ϑ2 = 3,36 > tα = 1,96
S = 15,32 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,59 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,30 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
040 0 60
072 0 28
, ,
, ,
⇒ H0
Grade
Elmshorn
ADF = -6,79 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend
ϑ1 = 1,76 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,12 ≤ tα = 1,96
S = 4,36 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,46 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lags 3 bis 5 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,97 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
0 25 0 75
070 0 30
, ,
, ,
⇒ H0
PVP
Frankenthal
ADF = -2,66 ≥ k(1%) = -3,55
⇒ H0 (lag 3)
Differenzenbildung (d = 1):
ADF = -5,88 < k(1%) = -2,61
⇒ H1 (lag 4)
ϑ1 = 2,02 > tα = 1,96
ϑ2 = 0,18 ≤ tα = 1,96
S = 4,10 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,34 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lag 12 und ab 15 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,94 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
038 0 62
074 0 26
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 154
Klasse 2 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Kaschewitz
Gelsenkirchen
ADF = -6,31 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
ϑ1 = 1,14 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,05 ≤ tα = 1,96
S = 1,29 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,61 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags ab 7 gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,20 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
048 0 52
0 71 0 29
, ,
, ,
⇒ H0 (mit HP)
B & B
Hamburg
ADF = -6,45 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 2,73 > tα = 1,96
ϑ2 = 9,54 > tα = 1,96
S = 30,47 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,63 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lag 2 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,12 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
038 0 62
074 0 26
, ,
, ,
⇒ H0
Jost
Ingolstadt
ADF = -2,40 ≥ k(1%) = -4,12
⇒ H0 (lag 3 u. det. Trend)
Differenzenbildung (d = 1):
ADF = -10,1 < k(1%) = -2,60
⇒ H1 (lag 2)
ϑ1 = 1,06 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,59 ≤ tα = 1,96
S = 1,48 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,89 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 1 u. 3
gilt: W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,19 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
036 0 64
0 71 0 29
, ,
, ,
⇒ H0
Schmitz
Remscheid
ADF = -7,49 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,15 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,44 ≤ tα = 1,96
S = 2,09 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,85 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags ab 4 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,07 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
054 0 46
0 63 037
, ,
, ,
⇒ H0
Kossman
Reutlingen
ADF = -5,33 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 2 u. det. Trend)
ϑ1 = 1,11 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,29 ≤ tα = 1,96
S = 2,89 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,42 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 24 gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,80 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
035 0 65
077 0 23
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 155
Klasse 2 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Siegerland
Scheuerfeld
ADF = -5,98 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 1)
ϑ1 = 0,90 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,68 ≤ tα = 1,96
S = 2,57 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,76 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags ab 10 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,79 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
046 0 54
069 031
, ,
, ,
⇒ H0
Mügge
Stade
ADF = -2,52 ≥ k(1%) = -3,55
⇒ H0 (lag 5)
Differenzenbildung (d = 1):
ADF = -4,11 < k(1%) = -2,60
⇒ H1 (lag 6)
ϑ1 = 0,82 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,40 ≤ tα = 1,96
S = 2,63 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,78 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,04 < α =
0,05 ⇒ H1
040 0 60
072 0 28
, ,
, ,
⇒ H0
Kirschner
Troisdorf
ADF = -6,43 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,03 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,08 ≤ tα = 1,96
S = 1,17 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,90 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 4 gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,07 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
035 065
063 037
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 156
Klasse 2 - Modelltyp 1 (Starker Zufallseinfluss)
Zum Typ 1 wurden die Zeitreihen der Grossisten Staab Bad Kreuznach, Müller&Schultz
Bremen, Grade Elmshorn und Kirschner Troisdorf zusammengefasst. Bis auf den Grossisten
Kirschner unterscheiden sich die Zeitreihen kaum von einem reinen Zufallsprozess.
Für den Grossisten Grade Elmshorn führt die Berücksichtigung eines deterministischen Trends
zu signifikanten Schätzkoeffizienten. Der Erklärungsgehalt des Trendmodells fällt aber sehr
gering aus, nur knapp 9% der Variation der Zeitreihenwerte lassen sich durch den
deterministischen Trend erklären (bereinigtes Bestimmtheitsmaß RA
2= 0,086). Bei der
Modellbildung wird aber nicht auf die Berücksichtigung des deterministischen Trends
verzichtet, da die Zeitreihe erst durch Hinzunahme des linearen Trends die
Stationaritätsbedingung erfüllt.
Andere Modelle, zum Beispiel aus der Klasse der ARIMA-Modelle führen für den Grossisten
Grade zu keinerlei Modellverbesserung und kommen daher zur Beschreibung nicht in Betracht.
Die Zeitreihe des Grossisten Schulte Bremen liefert recht interessante Ergebnisse für die
Glättung mit dem HP-Filter. Bis Mitte 94 steigen die HP-Werte leicht an, um dann ab Mitte
94 zu stagnieren und ab Ende 94 zu fallen. Der Abschwung verstärkt sich bis Ende 96 stetig.
Die Prognosen mit Hilfe der Verfahren der exponentiellen Glättung (einfache, doppelte und
Holt-Winter-Methode) fallen sehr unterschiedlich aus. Eine verlässliche Prognose ist daher
äußerst schwierig. Die Zeitreihe stellt ein gutes Beispiel für starke Instabilität am rechten
Prognoserand dar.
Nach eingehender Prüfung bleiben zwei Modellvarianten übrig. Bei der einen wird der
Stützbereich zur Modellentwicklung eines einfachen deterministischen Trendmodells auf die
Jahre 1995 und 1996 reduziert. Die andere Möglichkeit besteht in der Verwendung des
arithmetischen Mittels, berechnet auf Basis der Beobachtungswerte der Jahre 1992 bis 1996.
Letztendlich fiel die Entscheidung auf die Variante mit dem arithmetischen Mittel, da der
Stützbereich des Trendmodells zum einen sehr kurz ist und es zum anderen eher ungewiss ist,
ob die starke negative Entwicklung der Verkaufszahlen auch in den kommenden Jahren so
anhalten wird.
Die Zeitreihe des Grossisten Kirschner Troisdorf lässt sich durch eine Kombination aus
linearem Trend und ARIMA-Fehlerterm schätzen, wobei der Erklärungsgehalt des Modells
mit RA
2036=, nicht sehr hoch ausfällt.
Die Prognosefähigkeit des Modells unterscheidet sich im Prognosezeitraum Januar 97 bis
Dezember 97 kaum von einer linearen Trendgeraden. Der Grund liegt in der gegenseitigen
Neutralisierung der geschätzten AR- und MA-Koeffizienten.
5 Modellentwicklung 157
Für alle vier Grossisten lassen sich mit den Verfahren der exponentiellen Glättung ebenfalls
geeignete Prognosen formulieren. Je nach Datenlage werden die folgenden Verfahren
verwendet: einfache sowie doppelte exponentielle Glättung.
5 Modellentwicklung 158
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Staab
Bad Kreuznach
$
y
t = 239 Realisationen:
246 ; 272 ; 257 ; 244
alle im Intervall
RMSE = 23,3
Einfache exp. Glättung
mit Mittelwert = 241
RMSE = 23,6
Modellprotokoll:
M.D. = 239
S.D. = 23,7
S.E. = 23,7
DW = 1,62
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
Müller &
Schultz Bremen
$
y
t = 512 Realisationen:
529 , 501 , 439 , 480
alle im Intervall
RMSE = 47,4
Einfache u. doppelte
exp. Glättung klar
unterhalb von 512
RMSE = 46,0 (einf.
exp. Glättung)
Modellprotokoll:
M.D. = 512
S.D. = 48,2
S.E. = 48,2
DW = 1,55
0
100
200
300
400
500
600
700
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 159
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Grade
Elmshorn
$
y
t= 219,5 + 0,326 t
(mit t = 1 für 1992:01)
Realisationen:
249 ; 240 ; 235 ; 256
alle im Intervall
RMSE = 16,8
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 16,5
Modellprotokoll:
M.D. = 229
S.D. = 17,9
S.E. = 17,1
DW = 1,82
RA
2= 0,09
F-ST = 6,6
W(F) = 0,013
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Kirschner
Troisdorf
$
y
t= 323,0 - 0,685 t
- 0,118
u
t−1 - 0,806
u
t−2
+ 0,288
e
t−1 + 0,960
e
t−2
(Linearer Trend +
ARIMA(2, 0, 2))
Realisationen 313 ;
306 ; 288 ; 314
alle im Intervall
RMSE = 21,9
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 23,7
Modellprotokoll:
M.D. = 301
S.D. = 25,5
S.E. = 20,4
DW = 1,93
RA
2= 0,36
F-ST = 7,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 160
Klasse 2 - Modelltyp 2 (Mit Saison)
Zu diesem Typ gehören alle Zeitreihen der Klasse 2, die neben einem linearen Trend auch
einen saisonalen ARMA-Term enthalten. Der Trendeinfluss fällt meistens sehr gering und von
seinem Verlauf nicht immer ganz eindeutig aus.
Trotzdem wird auf die Implementierung des linearen Trends in den geschätzten
Modellgleichungen nicht verzichtet. Nicht zuletzt erfüllt ein Teil der Zeitreihen die
Stationaritätsbedingung erst durch Aufnahme eines linearen Trends in die Testgleichung des
ADF-Tests. Alle Zeitreihen des Modelltyps 2 besitzen leichte positive Ausschläge in der ACF
auf lag 12, die sich aber nicht in der PACF wiederfinden.
Zur Beschreibung der saisonalen Einflüsse werden die um ein Jahr verzögerten Verkaufszahlen
als Variable untersucht. Dies entspricht einem autoregressiven Prozess der Ordnung 12
(SAR(12)). Darüber hinaus wird die Alternative eines saisonalen Moving-Average-Prozesses
(SMA(12)) geprüft. Bei einigen Zeitreihen erzielt man die besten Ergebnisse, indem beide
Alternativen zur Beschreibung der Saisoneinflüsse in die Modellgleichungen implementiert
werden.
Ausführlich wird die Modellentwicklung am Beispiel des Grossisten Kossmann Reutlingen
erläutert.
5 Modellentwicklung 161
Kossmann Reutlingen
Die graphische Darstellung bringt keinerlei Hinweise über die mögliche Modellstruktur. Anders
sieht es mit dem Korrelogramm aus. Auf lag 12 und lag 24 der ACF lassen sich signifikant
positive Ausschläge erkennen, die eine Implementierung von saisonal verzögerten
Komponenten in die Modellgleichung nahe legen.
Grossist Kossmann: ACF und PACF der Residuen
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |*. | . |*. | 1 0.066 0.066 0.2756 0.600
. |*. | . |*. | 2 0.074 0.070 0.6284 0.730
**| . | **| . | 3 -0.204 -0.215 3.3402 0.342
. |*. | . |*. | 4 0.103 0.134 4.0423 0.400
. |*. | . |*. | 5 0.131 0.153 5.1969 0.392
. |*. | . | . | 6 0.128 0.043 6.3256 0.388
. |*. | . |*. | 7 0.083 0.102 6.8063 0.449
. | . | . | . | 8 0.007 0.029 6.8097 0.557
.*| . | **| . | 9 -0.177 -0.211 9.1077 0.427
.*| . | .*| . | 10-0.106 -0.094 9.9395 0.446
. | . | . | . | 11 0.036 0.057 10.037 0.527
. |** | . |** | 12 0.287 0.220 16.442 0.172
. | . | .*| . | 13-0.002 -0.066 16.443 0.226
.*| . | .*| . | 14-0.139 -0.133 18.002 0.207
**| . | .*| . | 15-0.208 -0.062 21.588 0.119
. | . | . |*. | 16 0.060 0.082 21.898 0.147
. |*. | . | . | 17 0.110 0.060 22.943 0.151
. | . | .*| . | 18 0.038 -0.067 23.073 0.188
. | . | . | . | 19 0.029 0.032 23.148 0.231
. |*. | . |*. | 20 0.078 0.171 23.711 0.255
.*| . | .*| . | 21-0.164 -0.145 26.292 0.196
. | . | . | . | 22 0.003 0.041 26.293 0.239
. | . | . | . | 23-0.027 -0.023 26.367 0.284
. |*** | . |*. | 24 0.329 0.154 37.569 0.038
.*| . | .*| . | 25-0.112 -0.167 38.902 0.038
. | . | . | . | 26-0.020 0.053 38.945 0.049
**| . | .*| . | 27-0.226 -0.071 44.705 0.017
. | . | **| . | 28-0.050 -0.214 44.991 0.022
Der erste Versuch einer Modellschätzung beruht auf einem reinen linearen Trendmodell, ad die
Zeitreihe erst durch Hinzunahme des linearen Trends in der ADF-Testgleichung die
Stationaritätsbedingung erfüllt.
5 Modellentwicklung 162
Reutlingen (Kossmann)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C106.432 3.416 31.161 0.000
NUMMER -0.257 0.097 -2.637 0.011
R-squared 0.107 Mean dependent var 98.600
Adjusted R-squared 0.092 S.D. dependent var 13.707
S.E. of regression 13.063 Akaike info criterion 5.172
Sum squared resid 9897.757 Schwarz criterion 5.242
Log likelihood -238.308 F-statistic 6.954
Durbin-Watson stat 1.952 Prob(F-statistic) 0.011
Die Koeffizienten sind zwar signifikant von Null verschieden, aber der Erklärungsgehalt des
Modells ist recht gering, nur 9,2% der Variation der Verkaufswerte kann durch den Trend
erklärt werden. Das Korrelogramm der Residuen enthält weiterhin die signifikanten
Abweichungen von Null für die lags 12 und 24 der ACF.
Im nächsten Schritt wird eine saisonal um ein Jahr verzögerte autoregressive Komponente zur
Erklärung der saisonalen Einflüsse in das Modell aufgenommen.
Reutlingen (Kossmann)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:01 1996:12
Included observations: 48 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C111.348 8.473 13.142 0.000
NUMMER -0.358 0.184 -1.938 0.059
AR(12) 0.364 0.126 2.882 0.006
R-squared 0.247 Mean dependent var 97.500
Adjusted R-squared 0.214 S.D. dependent var 12.475
S.E. of regression 11.062 Akaike info criterion 4.867
Sum squared resid 5506.401 Schwarz criterion 4.984
Log likelihood -181.928 F-statistic 7.386
Durbin-Watson stat 1.983 Prob(F-statistic) 0.002
Inverted AR Roots 0.92 .80+.46i .80 -.46i .46 -.80i
.46+.80i .00+.92i -.00 -.92i -.46 -.80i
-.46+.80i -.80 -.46i -.80+.46i -0.92
5 Modellentwicklung 163
Der zusätzlich aufgenommene saisonale autoregressive Koeffizient ist zwar signifikant von Null
verschieden, der Erklärungsgehalt des Modells ist aber immer noch recht gering.
Alternativ wird daher neben dem autoregressiven saisonalen Koeffizienten noch ein saisonaler
Moving-Average-Koeffizient getestet.
Reutlingen (Kossmann)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:01 1996:12
Included observations: 48 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 20 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C243.647 142.803 1.706 0.095
NUMMER -1.738 1.056 -1.646 0.107
AR(12) 0.802 0.114 7.055 0.000
MA(12) -0.866 0.043 -20.006 0.000
R-squared 0.554 Mean dependent var 97.500
Adjusted R-squared 0.523 S.D. dependent var 12.475
S.E. of regression 8.614 Akaike info criterion 4.386
Sum squared resid 3264.968 Schwarz criterion 4.542
Log likelihood -169.384 F-statistic 18.189
Durbin-Watson stat 2.098 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.98 .85+.49i .85 -.49i .49+.85i
.49 -.85i .00 -.98i -.00+.98i -.49 -.85i
-.49+.85i -.85 -.49i -.85+.49i -0.98
Inverted MA Roots 0.99 .86+.49i .86 -.49i .49+.86i
.49 -.86i -.00 -.99i -.00+.99i -.49 -.86i
-.49+.86i -.86+.49i -.86 -.49i -0.99
Die Ergebnisse des obigen Modells enthalten einige kritische Punkte. Zwar verringert sich der
Wert des SC gegenüber dem vorherigen Modell von 4,984 auf 4,484, die ersten beiden
Koeffizienten sind bei einer vorab unterstellten Aussagesicherheit von 95% aber nicht
signifikant von Null verschieden.
Ebenso weist das Korrelogramm der Residuen eine positive signifikante Autokorrelation auf
lag 2 der ACF und PACF auf.
Neben dem saisonalen Teil wird die zusätzliche Berücksichtigung von nicht saisonalen
ARIMA-Kombinationen in der Modellgleichung getestet.
Ausgangspunkt für die Modellerweiterung bildet dabei das saisonale ARIMA(0, 0, 0) (1, 0,
1)-Modell, dessen Schätzergebnisse im vorherigen Ausgabeprotokoll festgehalten wurden.
Gesucht wird nun der optimale ARMA(p,q)-Term. Getestet werden alle
Koeffizientenkombinationen für p und q von 0 bis 3. Für jede Kombination wird das SC
5 Modellentwicklung 164
berechnet. Modelle, die zu nicht invertierbaren Prozessen führen, werden vorab aus dem
Modellportfolio entfernt.
Reutlingen MA(q)
0 1 2 3
0 4,542 4,531 4,517 4,592
AR(p) 1 4,614 4,852 4,880 5,090
2 4,504 4,754 4,908 4,806
3 4,591 4,819 4,915 4,861
Zur Unterstützung der Modellentscheidung wird der Test von Poskitt und Tremayne
durchgeführt. Es gilt:
{ }
RNSC p q SC p q= − −
exp (;) ( ;)
1
21 1 . Für )q;p(SC 11 wird die
Kombination mit dem geringsten SC-Wert in der Matrix ausgewählt.
Das Portfolio bilden alle Modelle, deren R-Werte zwischen 1 < R < 10 = 3,16 liegen.203
Die Entscheidung fällt auf jenes Modell, das robuste Ergebnisse bei der Stabilität der
Koeffizienten erzielt, dessen Residuen zufällig verteilt sind und der Normalverteilung genügen
und das gemessen am RMSE eine gute mittelfristige Prognoseleistung aufweist.
Für den Test von Poskitt und Tremayne gilt das Grundmodell: Linearer Trend plus
SARIMA(p, 0, q)(1, 0, 1)
Reutlingen MA(q)
0 1 2 3
0 2,69 2,02 1,40 9,86
AR(p) 1 17,46 >100 >100 >100
2 1,00 >100 >100 >100
3 9,60 >100 >100 >100
203 Mills 1990, 140-142.
5 Modellentwicklung 165
Neben dem ARMA(2, 0)-Term stellen die (0, 0), (0, 1) und (0, 2) mögliche Alternativen eines
Modellportfolios dar, da gilt: R < 3,16.
Die Modelle mit einem ARMA(0, 1) und (0, 2) Term weisen deutlich signifikante
Autokorrelationen der Residuen für lag 1 der ACF und PACF auf. Das Modell mit dem
ARMA(0, 0)-Term besitzt dagegen signifikante Werte der ACF auf lag 2. Am geeignetsten
erscheint das Modell mit dem ARMA(2, 0)-Term, es besitzt lediglich auf lag 7 der PACF eine
leichte negative Autokorrelation der Residuen. Darüber hinaus erfüllen die Residuen die
Normalverteilungsannahme.
Reutlingen (Kossmann)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:03 1996:12
Included observations: 46 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 14 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C210.018 86.752 2.421 0.020
NUMMER -1.592 0.860 -1.851 0.072
AR(1) -0.098 0.152 -0.644 0.524
AR(2) 0.378 0.149 2.538 0.015
SAR(12) 0.750 0.097 7.694 0.000
MA(12) -0.873 0.042 -20.565 0.000
R-squared 0.653 Mean dependent var 97.326
Adjusted R-squared 0.610 S.D. dependent var 12.719
S.E. of regression 7.943 Akaike info criterion 4.266
Sum squared resid 2523.390 Schwarz criterion 4.504
Log likelihood -157.380 F-statistic 15.080
Durbin-Watson stat 2.019 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.98 .85+.49i .85 -.49i 0.57
.49+.85i .49 -.85i -.00 -.98i -.00+.98i
-.49 -.85i -.49+.85i -0.67 -.85+.49i
-.85 -.49i -0.98
Inverted MA Roots 0.99 .86+.49i .86 -.49i .49+.86i
.49 -.86i -.00 -.99i -.00+.99i -.49 -.86i
-.49+.86i -.86+.49i -.86 -.49i -0.99
Mit dem Modell lassen sich gut 60% der Variation der Zeitreihenwerte erklären, die
Koeffizientenschätzer sind bis auf den AR(1)-Koeffizienten mit hoher Wahrscheinlichkeit von
Null verschieden.
Bei der Interpretation der Ergebnisse ist zu beachten, dass ein Entwicklungszeitraum von fünf
Jahren sehr kurz ist. In der Literatur findet man die Empfehlung, zum Beispiel im SPSS User
Guide Trends, zur Schätzung saisonaler ARIMA-Terme eine Saisonlänge von mindestens acht
Jahren zu verwenden, um stabile Parameterschätzer zu erhalten.
5 Modellentwicklung 166
Alternativ wurde auch die Modellierung der Saison durch saisonale Dummies untersucht. Als
Ergebnis lässt sich dabei festhalten, dass der Erklärungsgehalt deutlich geringer ist als beim
obigen saisonalen ARIMA(2, 0, 0)(1, 0, 1)-Modell. Die Residuen des Modells mit saisonalen
Dummies besitzen einen deutlich negativen Ausschlag für lag 12 der ACF und PACF. Viele
der Dummy-Schätzer weisen eine sehr große Varianz auf, was zur Folge hat, dass die meisten
Schätzer nicht signifikant von Null verschieden sind. Der Verdacht liegt nahe, dass das
Dummy-Modell für die kurze Zeitreihe überparametrisiert ist.
Die Modelle der übrigen fünf Grossisten, die dem Modelltyp 2 angehören, enthalten alle neben
der saisonalen ARIMA-Komponente eine lineare Trendkomponente. Unterschiede treten
jedoch bei dem nicht saisonalen ARIMA-Teil auf. Lediglich die Grossisten Schmitz
Gelsenkirchen und Kossmann Reutlingen weisen einen nicht saisonalen ARIMA-Teil in ihren
Modellgleichungen auf.
Sehr gute Anpassungen aber auch Prognosen, erzielt man mit der exponentiellen Glättung.
Dabei wurde das Verfahren nach Holt-Winter mit Berücksichtigung einer additiven Saison
favorisiert, da es neben der Trendentwicklung auch die saisonalen Schwankungen
berücksichtigt.
Als Vergleichsmaß zwischen den geschätzten SARIMA-Modellen und den Verfahren der
exponentiellen Glättung nach Holt-Winters mit additiver Saison werden die RMSE-Werte
ausgewiesen.
Die RMSE-Werte der beiden Prognosemethoden unterscheiden sich nur geringfügig
voneinander. Eine eindeutige Empfehlung für eine Methode lässt sich somit nicht abgeben.
Vielmehr sollten beide Methoden zuerst parallel zur Anwendung kommen. Erst nach intensiver
Validierung kann eine Entscheidung getroffen werden.
5 Modellentwicklung 167
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
PVP
Frankenthal
$
y
t= 400,2 - 2,255 t
+ 0,694
u
t−12 - 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
237 ; 238 ; 228 ; 256
alle im Intervall
RMSE = 13,26
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 13,28
Modellprotokoll:
M.D. = 253
S.D. = 21,3
S.E. = 13,4
DW = 2,10
RA
2= 0,60
F-ST = 24,9
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
VERKAUF Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Kaschewitz
Gelsenkirchen
$
y
t= 398,6 - 1,202 t
+ 0,396
u
t−1 + 0,490
u
t−12
- 0,194
u
t−13 - 0,285
e
t−1
- 0,245
e
t−2 - 0,856
e
t−12
+ 0,244
e
t−13 + 0,210
e
t−14
(Linearer Trend +
SARIMA(1, 0, 2)(1, 0, 1))
Realisationen:
381 ; 405 ; 362 ; 320
Wert 97:2 u. 97:3
nicht im Intervall
RMSE = 23,7
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 21,4
Modellprotokoll:
M.D. = 350
S.D. = 31,7
S.E. = 18,4
DW = 1,79
RA
2= 0,66
F-ST = 16,2
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 168
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
B & B
Hamburg
$
y
t= 1657,9 - 3,920 t
+ 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0 , 1))
Realisationen: 1357 ;
1440 ; 1382 ; 1392
alle im Intervall
RMSE = 98,1
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 118,3
Modellprotokoll:
M.D. = 1525
S.D. = 146,6
S.E. = 101,3
DW = 1,68
RA
2= 0,52
F-ST = 33,3
W(F) = 0,000
0
500
1000
1500
2000
2500
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Schmitz
Remscheid
$
y
t= 73,4 - 0,281 t
+ 0,879
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
63 ; 62 ; 56 ; 45
alle im Intervall
RMSE = 5,9
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 6,4
Modellprotokoll:
M.D. = 64
S.D. = 8,7
S.E. = 6,1
DW = 2,43
RA
2= 0,51
F-ST = 31,2
W(F) = 0,000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 169
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Kossmann
Reutlingen
$
y
t= 210,0 - 1,592 t
-0,098
u
t−1 + 0,378
u
t−2
+0,750
u
t−12 + 0,074
u
t−13
-0,284
u
t−14 - 0,873
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(2, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
90 ; 80 ; 79 ; 89
alle im Intervall
RMSE = 7,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 8,4
Modellprotokoll:
M.D. = 97
S.D. = 12,7
S.E. = 7,9
DW = 2,02
RA
2= 0,61
F-ST = 15,1
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Siegerland
Scheuerfeld
$
y
t= 226,8 + 0,744
u
t−12
- 0,839
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0; 0; 0)(1; 0; 1))
Realisationen:
280 ; 232 ; 217 ; 244
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 14,6
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 12,8
Modellprotokoll
M.D. = 227
S.D. = 19,3
S.E. = 14,0
DW = 1,41
RA
2= 0,47
F-ST = 22,0
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 170
Es gilt: 1) t = 1 für 01/92
2)
e
y
y
t t t− − −
=
−
12 12 12
$
3)
u
y
c
c
t
t t− −
=
−
−
12 12
1
2
(
(
)
(
)
)
oder
u
y
c
t t− −
=
−
12 12
1
(
)
(Linearer Trend) (Intercept)
Im Vergleich zu den Prognoseverfahren der exponentiellen Glättung (Holt-Winters mit
additiver Saison) muss die Frage gestellt werden, ob sich die Implementierung der Modelle
(linearer Trend plus saisonalem ARIMA-Term) überhaupt lohnt, da die Prognoseleistung
(gemessen am RMSE) der beiden Methoden nur geringfügig voneinander abweicht. Eine
Antwort kann erst in ein paar Jahren durch eine Validierung der Modelle gegeben werden,
wenn deutlich mehr Beobachtungswerte vorliegen. Bis dahin ist es sinnvoll, beide Modelle zu
verwenden.
Fraglich ist zum Beispiel die Stabilität des verwendeten linearen Trends im Modell des
Grossisten B&P Hamburg, die Trendfilterung mit Hilfe des HP-Filters ergibt einen nicht
linearen Verlauf der Zeitreihe, sie enthält einen Wendepunkt. Bis Anfang 1994 steigt die HP-
Kurve minimal an, danach stagniert sie, um ab Anfang 1995 leicht zu sinken. Das Problem
ließe sich dadurch umgehen, dass lediglich die Zeitreihenwerte von 94 bis 96 bei der
Modellbildung berücksichtigt werden. Der Zeitraum von drei Jahren ist aber zu kurz, um einen
MA(12)-Koeffizienten in die Modellschätzung aufzunehmen. Der Schätzwert wäre recht
instabil.
5 Modellentwicklung 171
Klasse 2 - Modelltyp 3 (Mit einfacher Differenzenbildung)
Zu diesem Typ werden die Zeitreihen der zwei Grossisten Jost Ingolstadt und Mügge Stade
zusammengefasst, die erst durch Bildung von Differenzen der ersten Ordnung die
Stationaritätsbedingung erfüllen. Zur Modellierung der Zusammenhänge bietet sich die Klasse
der ARIMA(p,1,q)-Modelle an, da die beobachteten Zeitreihenwerte annähernd
normalverteilt sind und einen symmetrischen Verlauf aufweisen.
Die Bestimmung der ARIMA(p,1,q)-Ordnung erfolgt recht pragmatisch mit dem
Informationskriterium von Schwarz (SC). Dabei werden wiederum alle 16 Kombinationen der
Parameter p und q von 0 bis 3 getestet. Auf die Matrix der SC Werte wird dann der Test von
Poskitt und Tremayne angewandt. Als Ergebnis des Tests erhält man ein Modellportfolio, aus
dem das geeignete Modell ausgewählt wird. Das ausgewählte Modell muss invertierbar und
plausibel sein und die Parameterschätzer sollten signifikant von Null verschieden sein.
In den ARIMA-Gleichungsmodellen für die differenzierten Zeitreihen weicht der Intercept
nicht signifikant von Null ab und wird daher aus den Gleichungen ausgeschlossen.
Mügge Stade
Als erstes werden die Ergebnisse des Grossisten Mügge Stade dargestellt. Die Identifikation
der Ordnung des ARIMA(p,1,q)-Modells gestaltet sich recht einfach. Das Korrelogramm der
differenzierten Zeitreihe verdeutlicht, dass die Reihe keinerlei saisonale Einflüsse aufweist,
signifikante Abweichungen der ACF und PACF gibt es aber für die lags 1, 3 und 7.
Auch für diesen Grossisten werden alle ARIMA-Modelle bis zur dritten Ordnung berechnet.
Als Selektionskriterium gilt wiederum das SC. Der minimalste Wert des SC liegt für das
ARIMA(0,1,1)-Modell vor.
Stade MA(q)
0 1 2 3
0/5,423 5,480 5,530
AR(p) 1 5,692 5,480 5,504 5,480
2 5,746 5,560 5,467 5,081 1)
3 5,481 5,550 5,517 5,496
zu 1) Prozess ist nicht invertierbar und damit nicht stationär.
5 Modellentwicklung 172
Als zusätzliche Entscheidungshilfe wird der Poskitt-Tremayne-Test durchgeführt. Das
Modellportfolio enthält lediglich das ARIMA(0; 1; 1)-Modell, da für alle anderen Modelle der
Wert R > 3,162 ist.
Stade MA(q)
0 1 2 3
0/1,00 5,374 23,488
AR(p) 1>100 5,374 10,908 5,374
2>100 56,912 3,662 /
3 5,534 42,373 16,007 8,615
Die Residuen des berechneten ARIMA(0,1,1)-Modells genügen der Normalverteilung (J.B. =
2,84 (W(J.B.) = 0,24 ≥ α = 0,05)). Das Korrelogramm der Residuen besitzt noch leichte
positive Korrelation für die ACF und PACF des lags 4 und negative Korrelation für lag 7 der
ACF. Das Ergebnis ist aber durchaus akzeptabel, da alternative Modelle nicht existieren. Bei
der Betrachtung der Tabelle mit den SC-Werten fällt das ARIMA(2; 1; 3)-Modell ins Auge.
Der Wert des SC ist deutlich der geringste, aber das Modell liefert Koeffizienten, die zu einem
nicht invertierbaren Prozess führen.
Jost Ingolstadt
Die Zeitreihe des Grossisten Jost Ingolstadt erfordert ebenfalls zur Erfüllung der
Stationaritätsbedingung die Differenz der Ordnung 1.
Das Korrelogramm der differenzierten Zeitreihe besitzt besonders deutliche Ausschläge für die
ersten lags. Signifikant negative AC- und PAC-Werte werden für lag 1 und 3 erzielt. Lag 4
besitzt nur für die ACF einen signifikant positiven Wert. Hinweise auf saisonale Einflüsse
lassen sich nicht erkennen.
Mit dem Test von Poskitt und Tremayne gelangt man zu dem Ergebnis, dass ein
ARIMA(3,1,3)-Modell zu einer recht guten Anpassung führt.
5 Modellentwicklung 173
Ingolstadt
LS // Dependent Variable is D(VERKAUF)
Sample(adjusted): 1992:05 1996:12
Included observations: 56 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 40 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1) -0.737 0.129 -5.716 0.000
AR(2) -0.866 0.106 -8.138 0.000
AR(3) -0.491 0.129 -3.797 0.000
MA(1) -0.039 0.084 -0.467 0.643
MA(2) 0.426 0.103 4.156 0.000
MA(3) -0.749 0.001 -899.462 0.000
R-squared 0.657 Mean dependent var -0.339
Adjusted R-squared 0.623 S.D. dependent var 21.823
S.E. of regression 13.395 Akaike info criterion 5.291
Sum squared resid 8971.396 Schwarz criterion 5.508
Log likelihood -221.601 F-statistic 19.196
Durbin-Watson stat 1.884 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots -.06+.89i -.06 -.89i -0.62
Inverted MA Roots 0.76 -.36 -.92i -.36+.92i
Bis auf den MA(1)-Parameter sind alle Parameter des ARIMA(3,1,3)-Modells hoch
signifikant von Null verschieden. Die Residuen der Modellschätzung genügen der
Normalverteilung (J.B. = 0,70 (W(J.B.) = 0,71 ≥ α = 0,05)) und besitzen keine signifikanten
AC- und PAC-Parameter.
5 Modellentwicklung 174
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Jost
Ingolstadt
D( $
y
t)1;0 = - 0,737
u
t−1
- 0,866
u
t−2 - 0,491
u
t−3
- 0,039
e
t−1 + 0,426
e
t−2
- 0,749
e
t−3
(Diff.
∆
1 + ARIMA(3, 1, 3))
Realisationen:
123 ; 138 ; 125 ; 116
alle im Intervall
RMSE = 13,36
Exp. Glättung Holt-
Winters ohne Saison
RMSE = 15,64
Modellprotokoll:
M.D. = -0,34
S.D. = 21,8
S.E. = 13,9
DW = 1,88
RA
2= 0,62
F-ST = 19,2
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. H.W. Exp. HP
Mügge
Stade
D( $
y
t)1;0 = -0,884
e
t−1
(Diff.
∆
1 + ARIMA(0, 1, 1))
Realisationen:
189 ; 164 ; 168 ; 201
alle im Intervall
RMSE = 14,64
Exp. Glättung Holt-
Winters ohne Saison
RMSE = 14,2
Modellprotokoll:
M.D. = -0,07
S.D. = 18,5
S.E. = 14,7
DW = 1,77
RA
2= 0,37
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. H.W. Exp. HP
5 Modellentwicklung 175
5.2.3 Klasse 3 - Signifikante Ausschläge der ACF und PACF auf lag 1
Die Zeitreihen, die zur Klasse drei zusammengefasst wurden, lassen kaum systematische
Strukturen in ihrer graphischen Darstellung erkennen, besitzen aber alle ein ähnliches Profil in
den Korrelogrammen. Alle Zeitreihen weisen einen signifikant positiven Wert auf lag 1 der
ACF und der PACF auf. Darüber hinaus wurde bei einem Teil der Zeitreihen eine leichte
positive signifikante Abweichung auf dem lag 12 der ACF festgestellt.
Der Haupteffekt im Korrelogramm liegt aber auf lag 1, was sich auch in der Q-Statistik zeigt.
Die meisten der Zeitreihen besitzen deutlich signifikante Werte schon für das erste lag, die zur
Verwerfung der Nullhypothese auf Unabhängigkeit der Zeitreihenwerte führen.
Bei den Zeitreihen der Klasse 3 handelt es sich, bis auf die Zeitreihe für den Grossisten
Wehling Bielefeld, um stationäre Zeitreihen.
Zwei der Zeitreihen sind trendstationär, die restlichen genügen schon mit Berücksichtigung des
Intercepts der Stationaritätsbedingung. Interessant ist dabei die Zeitreihe des Grossisten NPV
Würzburg. Um einen stationären Prozess zu erhalten, ist der Einbau eines verzögerten Terms
für die differenzierten Zeitreihenwerte in der Testgleichung des ADF-Tests mit einer lag Länge
von 9 erforderlich. Nur so erhält man eine Testgleichung, deren Residuen keinerlei
systematische Strukturen mehr enthalten. Für die anderen Zeitreihen genügt ein verzögerter
Term der lag Länge von höchstens 1. Die Autokorrelationsproblematik der Residuen ist bei
ihnen von untergeordneter Bedeutung.
Neben der Stationaritätsbedingung erfüllen fast alle Zeitreihen der Klasse 3 die Annahme auf
Normalverteilung. Lediglich für den Grossisten Umbreit Bietigheim muss die Annahme der
Normalverteilung verworfen werden. Die Realisationen der Prüfgrößen für die Schiefe,
Wölbung und Jarque-Bera-Statistik liegen eindeutig im Ablehnungsbereich der
Normalverteilungshypothese.
Der Test von Neftci führt lediglich für den Grossisten Wehling Bielefeld zu einer Verwerfung
der Hypothese auf Symmetrie der Zeitreihenwerte.
Bei vielen Zeitreihen der Klasse 3 weichen die Ergebnisse der beiden Unabhängigkeitstests
(Box-Ljung- und Runs-Test) sehr stark voneinander ab. Mit der Ljung-Box Q-Statistik
gelangt man bis auf den Grossisten Umbreit Bietigheim zur Verwerfung der Nullhypothese auf
Unabhängigkeit der Zeitreihenwerte. Mit dem Runs-Test hingegen lassen sich nur für drei der
vierzehn Zeitreihen die Ergebnisse des Box-Ljung-Tests bestätigen.
5 Modellentwicklung 176
Klasse 3 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Test von Neftci
H0: Symmetrie
H1: keine
Symmetrie
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Falter
Aachen
ADF = -5,45 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 1,24 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,14 ≤ tα = 1,96
S = 2,84 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,84 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für die meisten lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT)= 0,002 < α =
0,05 ⇒ H1
033 0 67
071 0 29
0
, ,
, ,
⇒H
Stemmler
Aachen
ADF = -5,11 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 4 u. 8 signif.
ϑ1 = 0,654 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,046 ≤ tα = 1,96
S = 0,43 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,69 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT)= 0,002 ≤ α =
0,05 ⇒ H1
035 065
063 037
, ,
, ,
⇒ H0
Wehling
Bielefeld
ADF = -5,36 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,98 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,19 ≤ tα = 1,96
S = 1,00 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,97 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,30 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
049 051
074 0 26
, ,
, ,
⇒ H1
Umbreit
Bietigheim
ADF = -5,51 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 2,32 > tα = 1,96
ϑ2 = 4,97 > tα = 1,96
S = 30,1 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,15 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 1 gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,94 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
032 0 68
0 66 0 34
0
, ,
, ,
⇒H
Pest
Bonn
ADF = -5,60 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,08 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,72 ≤ tα = 1,96
S = 0,52 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,72 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,12 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
036 0 64
067 033
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 177
Klasse 3 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Muggenthaler
Cham
ADF = -5,69 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,30 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,72 ≤ tα = 1,96
S = 0,60 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,69 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für lag 1, 2, 3, 4, 6 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,07 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
0 45 055
075 025
0
, ,
, ,
⇒H (mit HP)
Oechelhaeuser
Denkendorf
ADF = -4,33 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,94 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,11 ≤ tα = 1,96
S = 2,18 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,43 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 23, 24
gilt:W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,19 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
028 072
070 030
0
, ,
, ,
⇒Hmit HP ( )
Zöttl
Ergolding
ADF = -5,91 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,06 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,77 ≤ tα = 1,96
S = 0,60 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,52 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 3
gilt:W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,48 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
0 55 0 45
057 0 43
, ,
, ,
⇒ H0
PVG
Frankfurt
ADF = -5,77 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,04 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,19 ≤ tα = 1,96
S = 1,13 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,58 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,02 < α =
0,05 ⇒ H1
0 44 056
0 66 0 34
0
, ,
, ,
⇒Hmit HP ( )
PV-Saar
Saarbrücken
ADF = -5,09 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 1,10 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,05 ≤ tα = 1,96
S = 1,22 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,32 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,48 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
034 0 66
065 0 35
, ,
, ,
⇒ H0
Esser
Hürth
ADF = -5,69 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 2 u. det. Trend)
.
ϑ1 = 1,34 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,41 ≤ tα = 1,96
S = 1,96 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,77 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 3 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,09 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
036 0 64
084 016
, ,
, ,
⇒ H0
5 Modellentwicklung 178
Klasse 3 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Ifoton
Limburgerhof
ADF = -3,68 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,87 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,36 ≤ tα = 1,96
S = 2,62 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,64 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,04 < α =
0,05 ⇒ H1
0 46 0 54
056 0 44
0
, ,
, ,
⇒H
Lehmann
Oldenburg
ADF = -3,83 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 1)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,75 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,08 ≤ tα = 1,96
S = 0,57 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,90 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,61 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
038 0 62
074 0 26
, ,
, ,
⇒ H0
Wehling
Paderborn
ADF = -5,29 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 1,94 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,70 ≤ tα = 1,96
S = 4,26 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,89 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 4, 5, 23,
24 gilt: W(Q-Stat.) < α =
0,05 ⇒ H1
W(RT) = 0,02 < α =
0,05 ⇒ H1
0 41 059
058 0 42
0
, ,
, ,
⇒H
Schiessl
Regensburg
ADF = -5,80 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,58 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,09 ≤ tα = 1,96
S = 0,34 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,77 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 3 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,61 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
038 0 62
070 0 30
, ,
, ,
⇒ H0
Haberer
Schopfheim
ADF = -5,20 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,32 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,16 ≤ tα = 1,96
S = 0,13 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,66 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags außer 8, 9, 10
gilt:W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,10 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
0 46 054
0 65 0 35
0
, ,
, ,
⇒H
NPV
Würzburg
ADF = -4,16 < k(1%) = -3,57
⇒ H1 (lag 9)
ϑ1 = 1,74 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,95 ≤ tα = 1,96
S = 3,93 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,34 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 49 0 51
0 53 0 47
0
, ,
, ,
⇒H
5 Modellentwicklung 179
Die Modelle dieser Klasse lassen sich in zwei Typen unterteilen, Modelltyp 1 ohne und
Modelltyp 2 mit Berücksichtigung der Saison.
Klasse 3 - Modelltyp 1 (Ohne Saison)
Zu diesem Typ werden die Zeitreihen der sechs Grossisten Falter Aachen, Stemmler Aachen,
Wehling Bielefeld, Umbreit Bietigheim, Muggenthaler Cham und Schiessl Regensburg
zusammengefasst. Alle Zeitreihen besitzen einen positiven signifikanten Wert auf lag 1 der
ACF und PACF.
Keine der sechs Zeitreihen enthält in ihrer ACF und PACF Hinweise auf einen saisonalen
Einfluss.
Vier der sechs Zeitreihen lassen einen Wendepunkt in der mittelfristigen Entwicklung der
Verkaufszahlen vermuten. Die Identifikation der Wendepunkte erfolgte anhand des HP-Filters,
der sich unabhängig von dem Modellkonzept sehr gut zur Beschreibung der Trendentwicklung
von Zeitreihen eignet. An dieser Stelle sei noch einmal auf die Arbeiten von Hillinger204
verwiesen, der herausfand, dass unabhängig vom Modellkonzept, der HP-Filter zu sehr guten
Ergebnissen in der Trendbeschreibung führt.
Bei allen vier Zeitreihen, bei denen ein Wendepunkt identifiziert wurde, fällt dieser zeitlich in
die erste Hälfte des Jahres 1994.
Stemmler Aachen
Beispielhaft für die Grossisten, deren Verkaufszahlen einen Wendepunkt aufweisen, wird die
Modellentwicklung für den Grossisten Stemmler Aachen ausführlich dargestellt. Die folgende
Graphik enthält neben den Verkaufswerten die um den HP-Filter geglätteten Werte.
204 Hillinger/Reiter/Woitek 1992.
5 Modellentwicklung 180
0
20
40
60
80
100
120
140
1992 1993 1994 1995 1996 1997
VERKAUF HPTREND1
Der Trend steigt für die Jahre 92 und 93 konstant an. Anfang bis Mitte 94 kehrt er sich dann
um, die Verkaufszahlen nehmen seitdem konstant ab. Der Stützbereich für die
Modellentwicklung wird daher auf die Jahre 94 bis 96 eingeschränkt. Der Wendepunkt kann
bei der Modellberechnung nicht modelliert werden, da sich aus dem kurzen Zeitraum von fünf
Jahren keine Gesetzmäßigkeit über das zukünftige Auftreten weiterer Wendepunkte ableiten
lässt.
Die Zeitreihe ist im Stützbereich von 94 bis 96 trendstationär, die Normalverteilungs-
hypothese für die Verkaufswerte wird nicht verworfen (J.B. = 1,02 (W(J.B.) = 0,60 ≥ α =
0,05)) und das Korrelogramm weist hohe signifikant positive Werte für lag 1 der ACF und
der PACF auf.
Ausgangspunkt der Modellentwicklung ist das deterministische Trendmodell. Da seine
Residuen aber noch systematische Strukturen aufweisen, wird es um einen ARMA(p, q)-
Fehlerterm erweitert. Berechnet werden die SC-Werte für alle Modellkombinationen bis zu
einem ARMA(3, 3)-Fehlerterm:
$
(
)
(
)
(
,
)
yc
c
t
ARMA
p
q
=
+
+
1
2
Stemmler
Aachen
MA(q)
0 1 2 3
0 4,345 4,334 4,433 4,254
AR(p) 1 4,381 4,433 4,532 4,054 1)
2 4,389 4,486 4,470 3,669 1)
3 4,484 4,575 3,673 1) 4,435
zu 1) MA-Prozess ist nicht invertierbar.
5 Modellentwicklung 181
Test von Poskitt Tremayne:
Stemmler
Aachen
MA(q)
0 1 2 3
0 5,15 4,22 25,08 1,00
AR(p) 1 9,84 25,08 149,01 /
2 11,36 65,11 48,81 /
3 62,80 323,11 /26,00
Die drei Kombinationen, die die niedrigsten SC-Werte aufweisen, sind als Modell leider nicht
geeignet, da die MA-Teile zu nicht invertierbaren Prozessen führen.
Als invertierbarer Prozess mit geringem SC-Wert kommt der ARMA(0,3)-Prozess zur
Beschreibung des Fehlerterms in Frage. Der Test von Poskitt Tremayne bestätigt die
signifikanten Unterschiede für den Wert des ARMA(0,3)-Fehlerterms gegenüber den anderen
Kombinationen.
Aachen (Stemmler)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1994:01 1996:12
Included observations: 36
Convergence achieved after 14 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C133.045 2.599 51.181 0.000
NUMMER -0.571 0.060 -9.541 0.000
MA(1) 0.137 0.134 1.024 0.314
MA(2) -0.501 0.112 -4.456 0.000
MA(3) -0.608 0.142 -4.279 0.000
R-squared 0.579 Mean dependent var 108.861
Adjusted R-squared 0.524 S.D. dependent var 10.221
S.E. of regression 7.050 Akaike info criterion 4.034
Sum squared resid 1540.796 Schwarz criterion 4.254
Log likelihood -118.699 F-statistic 10.641
Durbin-Watson stat 1.953 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted MA Roots 0.99 -.56 -.54i -.56+.54i
5 Modellentwicklung 182
Bis auf den MA(1)-Parameter sind alle Koeffizientenschätzer signifikant von Null verschieden.
Die MA-Wurzeln sind alle invertierbar und die DW-Statistik weicht nur geringfügig vom Wert
2 ab, die Residuen besitzen keinerlei signifikante Auto-korrelationswerte in den
Korrelogrammen der ACF und PACF.
Auch genügt die Verteilung der Residuen mit hinreichender Genauigkeit der Normalverteilung
(J.B. = 0,43 (W(J.B.) = 0,81 ≥ α = 0,05)).
Letztendlich entscheidend für die praktische Qualität des Modells ist dessen Prognose-
fähigkeit. Dabei stellt sich heraus, dass eine Reduzierung des obigen Modells auf einen
ARMA(0, 1)-Fehlerterm zu deutlich besseren Prognoseergebnissen führt.
Aachen Stemmler (deter.Trend + ARMA(0, 1)) Aachen Stemmler (deter.Trend + ARMA(0, 3))
Actual: VERKAUF Forecast: VERK_EQ2S Actual: VERKAUF Forecast: VERK_EQ2S
Sample: 1994:01 1997:12 Sample: 1994:01 1997:12
Include observations: 40 Include observations: 40
Root Mean Squared Error 7.898 Root Mean Squared Error 10.109
Mean Absolute Error 6.356 Mean Absolute Error 8.642
Mean Absolute Percentage Error 5.800 Mean Absolute Percentage Error 8.204
Theil Inequality Coefficient 0.036 Theil Inequality Coefficient 0.045
Bias Proportion 0.011 Bias Proportion 0.402
Variance Proportion 0.118 Variance Proportion 0.000
Covariance Proportion 0.870 Covariance Proportion 0.597
5 Modellentwicklung 183
Alle Fehlermaße besitzen für das Modell mit dem ARMA(0,1)-Term geringere Werte und
unterstreichen damit die bessere Prognosefähigkeit des reduzierten Modells.
Aachen (Stemmler)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1994:01 1996:12
Included observations: 36
Convergence achieved after 5 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C134.407 7.325 18.350 0.000
NUMMER -0.602 0.167 -3.603 0.001
MA(1) 0.347 0.165 2.105 0.043
R-squared 0.443 Mean dependent var 108.861
Adjusted R-squared 0.409 S.D. dependent var 10.221
S.E. of regression 7.854 Akaike info criterion 4.202
Sum squared resid 2035.718 Schwarz criterion 4.334
Log likelihood -123.713 F-statistic 13.135
Durbin-Watson stat 1.990 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted MA Roots -0.350
Neben der voraussichtlich besseren Prognosefähigkeit und der höheren Stabilität durch
Reduzierung der Anzahl der Variablen auf der rechten Seite der Schätzgleichung besitzt das
Modell zufällig verteilte Residuen. Lediglich lag 10 der PACF hat einen leicht signifikant
negativen Wert. Mit hoher Wahrscheinlichkeit genügen die Residuen der Normalverteilung.
Die Realisation des Jarque-Bera-Tests liegt bei 0,741 und damit klar unterhalb der kritischen
Grenze von 5,99.
Zusätzlich zu den Modellprognosen wurden die Verfahren der exponentiellen Glättung
angewandt. Gemessen am mittleren quadratischen Fehler liefert das Verfahren der
exponentiellen Glättung nach der Holt-Winter-Methode mit additiver Saison besonders gute
Anpassungen, obwohl das Korrelogramm keinerlei Hinweise auf einen saisonalen Einfluss
enthielt. Der Wert für den RMSE liegt mit 7.967 nur geringfügig über dem Wert für das
Modell mit dem ARMA(0, 1)-Fehlerterm. Dabei wurde die exponentielle Glättung nach der
Holt-Winter-Methode über den gesamten Zeitbereich der Jahre 92 bis 96 berechnet. Würde
man hingegen den Zeitraum auf die Jahre 94 bis 96 einengen, so reduziert sich der RMSE auf
4,751.
5 Modellentwicklung 184
Auch hier zeigt sich wiederum die hervorragende kurzfristige Prognosefähigkeit der Methoden
der exponentiellen Glättung für Zeitreihen mit geringen systematischen Einflussfaktoren.
Die drei anderen Zeitreihen, die einen Wendepunkt in den Daten aufweisen, sind die
Grossisten Falter Aachen, Wehling Bielefeld und Schiessl Regensburg. Bei allen dreien wird
der Analysezeitraum ebenfalls auf die Jahre 94 bis 96 eingeengt. Aus der genannten Gruppe
werden die Analyseergebnisse der Grossisten Falter Aachen und Wehling Bielefeld
ausführlicher vorgestellt.
Falter Aachen
Die Identifikation des Wendepunktes erfolgt ebenfalls mit Hilfe des HP-Filters. Bis Ende 1993
ist ein stetiger Anstieg der Verkaufswerte zu beobachten. Ab 1994 schwächt sich der Anstieg
ab, die Verkaufswerte sind ab Mitte 94 schwach rückläufig. Hier ergeben sich die gleichen
Probleme wie für den Grossisten Stemmler Aachen, über den gesamten Zeitraum von 92 bis
96 kann für die Zeitreihe keine stabile Schätzung ermittelt werden. Der Stützbereich wird
daher auf die Jahre 94 bis 96 eingeschränkt. Inwieweit diese Vorgehensweise richtig ist, lässt
sich nur an der späteren Validierung des entwickelten Modells feststellen.
Die Berechnungen der ACF und PACF für den verkleinerten Stützbereich weisen lediglich auf
lag 1 einen schwach signifikanten Ausschlag auf, alle anderen Werte sind nicht signifikant von
Null verschieden. Die Werte der Box-Ljung Q-Statistik liegen alle im Nicht-
Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf Unabhängigkeit, das deutet darauf hin, dass die
Zeitreihe keine weiteren linearen Abhängigkeitsstrukturen aufweist.
Auch kann von einer Normalverteilung der Zeitreihenwerte ausgegangen werden, die
Realisation der Prüfgröße der Jarque-Bera-Statistik liegt deutlich im Annahmebereich der
Nullhypothesen (J.B. = 1,32 (0,52 ≥ α = 0,05)).
Für den Grossisten Falter Aachen wird als Ausgangsmodell ebenfalls eine Gleichung mit
deterministischem Trend favorisiert. Im Gegensatz zum Grossisten Stemmler Aachen bringt die
Erweiterung des deterministischen Trendmodells um einen ARMA-Fehlerterm keine
Verbesserung des Modells. Die schrittweise Überprüfung aller Fehlerterme bis zu einem
ARMA(3, 3)-Fehlerterm führt zu keiner Reduzierung des SC gegenüber dem
Ausgangsmodell.
Der Vergleich der Korrelogramme der Zeitreihen der Grossisten Falter Aachen und Stemmler
Aachen bringt schon erste entscheidende Hinweise auf das obige Ergebnis. Die
Korrelogramme der beiden Grossisten unterscheiden sich für lag 1 der ACF und PACF schon
deutlich voneinander.
5 Modellentwicklung 185
Der Grossist Stemmler Aachen weist hoch signifikante Werte für lag 1 der ACF und PACF
auf. Für den Grossisten Falter Aachen hingegen ist die Signifikanz nur knapp erfüllt. Dieses
Ergebnis bestätigt sich auch in den beiden Box-Ljung Q-Statistiken. Alle Realisationen der Q-
Statistiken liegen für den Grossisten Falter Aachen im Nicht-Ablehnungsbereich der
Nullhypothese. Für Stemmler Aachen liegen aufgrund der starken Autokorrelation des ersten
lags die Realisationen der Q-Statistik von lag 1 bis lag 10 deutlich im Bereich der
Alternativhypothese auf Abhängigkeit. Das Resultat der unterschiedlichen
Abhängigkeitsstruktur spiegelt sich folglich in den jeweilig gewählten Modellen wider.
Wehling Bielefeld
Der ADF-Test für die Zeitreihe des Grossisten Wehling Bielefeld führte zum Ergebnis, dass
die Reihe nicht stationär ist. Folglich wurde die Differenz der Zeitreihenwerte überprüft.
Der ADF-Test für die um die Ordnung 1 differenzierten Zeitreihe führt ebenfalls zu keinem
befriedigenden Ergebnis auf Stationarität. Das Korrelogramm der Residuen weist auf lag 12
der ACF und der PACF einen starken positiven Ausschlag auf.
Die Untersuchung des langfristigen Verlaufs der Zeitreihe mittels HP-Filter verdeutlicht den
Grund für die Stationaritätsprobleme. Die Zeitreihe besitzt 94 einen Wendepunkt. Bis Ende 93
ist ein klarer Aufwärtstrend zu beobachten. Ab 94 kehrt sich der Aufwärtstrend um in einen
Abwärtstrend.
Der für die weitere Betrachtung relevante Stützbereich der Zeitreihe wird daher auf die Jahre
94 bis 96 eingeengt. Wendet man auf die Verkaufswerte dieses Zeitraums den ADF-Test an,
so erzielt man als Testergebnis eine klare Annahme der Stationaritätshypothese.
5 Modellentwicklung 186
Bielefeld (Wehling)
ADF Test Statistic -5.369097 1% Critical Value* -4.2324
5% Critical Value -3.5386
10% Critical Value -3.2009
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
LS // Dependent Variable is D(VERKAUF)
Sample: 1994:01 1996:12
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
VERKAUF(-1) -0.940 0.175 -5.369 0.000
C582.042 108.782 5.351 0.000
@TREND(1:1994) -3.214 0.897 -3.585 0.001
R-squared 0.469 Mean dependent var -3.528
Adjusted R-squared 0.437 S.D. dependent var 60.380
S.E. of regression 45.321 Akaike info criterion 7.707
Sum squared resid 67781.500 Schwarz criterion 7.839
Log likelihood -186.811 F-statistic 14.562
Durbin-Watson stat 1.759 Prob(F-statistic) 0.000
Auf Basis des obigen Ergebnisses wurde ein Modell entwickelt, das den abnehmenden
Trendverlauf und den beobachtbaren Anstieg der Verkaufszahlen zu Beginn eines jeden Jahres
beschreiben kann. Die Wahl fiel auf ein Modell mit deterministischem Trend und zwei Dummy-
Variablen zur Erfassung der Verkaufssprünge in den Monaten Januar und Februar.
5 Modellentwicklung 187
Bielefeld (Wehling)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1994:01 1996:12
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C667.045 25.465 26.195 0.000
NUMMER -2.813 0.567 -4.960 0.000
DUMMY1 101.380 21.224 4.777 0.000
DUMMY2 43.194 21.133 2.044 0.049
R-squared 0.662 Mean dependent var 559.528
Adjusted R-squared 0.630 S.D. dependent var 56.763
S.E. of regression 34.517 Akaike info criterion 7.187
Sum squared resid 38126.390 Schwarz criterion 7.363
Log likelihood -176.454 F-statistic 20.884
Durbin-Watson stat 2.011 Prob(F-statistic) 0.000
Das Modell führt im Vergleich zu den anderen Modellschätzungen der Klasse drei zu einem
recht guten Ergebnis. Das bereinigte RA
2063=, liegt deutlich über den Werten der meisten
anderen Modellschätzungen. Die einzelnen Modellparameter sind alle mit hoher
Wahrscheinlichkeit signifikant von Null verschieden. Die Residuen weisen keinerlei
systematische Strukturen auf. Sie sind mit hoher Aussagesicherheit normalverteilt
(J.B. = 1,267 (W(J.B.) = 0,531 ≥ α = 0,05)). Alle bis zum lag 16 untersuchten Werte der
ACF und PACF der Residuen sind nicht signifikant von Null verschieden.
Bietigheim
Zum Schluss wird noch der Grossist Bietigheim näher untersucht, er nimmt eine Sonderstellung
unter den Grossisten dieses Modelltyps ein. Bei den Identifikationstests kommt als Ergebnis
heraus, dass die Zeitreihe stationär, abhängig und symmetrisch aber nicht normalverteilt ist. Die
Zeitreihe besitzt mehrere sehr starke Schwankungen und Sprünge (siehe Graph auf Seite 188).
Ein besonders starker Sprung tritt zwischen den Ausgaben 11/94 und 12/94 auf. Der
Verkaufswert der Ausgabe 11/94 stellt sich als Ausreißer dar. Dieses Phänomen lässt sich in
keinem Modell erfassen. Man hat daher nur zwei Möglichkeiten. Entweder betrachtet man die
gesamte Zeitreihe von 1/92 bis 12/96. Dies bedeutet, dass der Werte von 11/94 als Ausreißer
zu betrachten und dementsprechend zu bereinigen ist. Die andere Möglichkeit besteht in der
Einschränkung des Stützbereichs auf den Zeitraum 12/94 bis 12/96. Dieser Zeitraum ist
5 Modellentwicklung 188
zwar sehr kurz, die Reduzierung des Stützbereichs könnte aber eine mögliche Alternative
darstellen. Der Ausreißer ist ein tatsächlich realisierter Verkaufswert und sollte deshalb nicht
so einfach geglättet werden. In der folgenden Graphik wird die Problematik der drastischen
Niveauveränderung sehr deutlich. Neben dem HP-Filter für den gesamten Zeitraum von 01/92
bis 12/96 werden die HP-Filterwerte für die Stützbereiche 01/92 bis 11/94 und 12/94 bis
12/96 berechnet. Die unterschiedlichen Verläufe der HP-Filterwerte fallen sofort auf. Für den
Zeitraum 01/92 bis 11/94 liegt ein positiv steigender Trend vor und für den Zeitraum 12/94 bis
12/96 ein fallender Trend. Weitere starke Schwankungen treten zwischen den Ausgaben
05/95 und 8/95 auf.
Für den Grossisten Bietigheim lässt sich kein vernünftiges Modell finden. Zur Prognose wird
daher nur das arithmetische Mittel über alle Zeitreihenwerte verwendet.
0
100
200
300
400
1992 1993 1994 1995 1996
Verkauf
HP (01/92-12/96) HP (01/92-11/94)
HP (12/94-12/96)
(EViews 2.0)
Die Tabellen auf den nächsten Seiten enthalten die Modellschätzungen aller Zeitreihen der
Klasse 3, die keine saisonalen Komponenten aufweisen.
5 Modellentwicklung 189
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Falter
Aachen
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t = 261,1 - 0.902 t Realisationen:
228 ; 221 ; 232 ; 222
alle im Intervall
RMSE = 17,4
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Trendmodell
RMSE = 21,1
Modellprotokoll:
M.D. = 223
S.D. = 19,5
S.E. = 17,3
DW = 1,61
RA
2= 0,21
F-ST = 10,5
W(F) = 0,003 0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Stemmler
Aachen
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t = 134,4 - 0,602 t
+ 0,347
e
t−1
(Linearer Trend +
ARIMA(0, 0, 1))
Realisationen:
115 ; 110 ; 107 ; 99
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 7,9
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 11,2
Modellprotokoll:
M.D. = 109
S.D. = 10,2
S.E. = 7,9
DW = 1,99
RA
2= 0,41
F-ST = 13,1
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 190
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Wehling
Bielefeld
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t = 667,0 - 2,813 t
+ 101,4 dJan + 43,2 dFeb
(Linearer Trend +
Dummies: dJan , dFeb)
Realisationen:
594 ; 565 ; 536 ; 496
alle im Intervall
RMSE = 32,1
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 53,0
Modellprotokoll:
M.D. = 560
S.D. = 56,8
S.E. = 34,5
DW = 2,01
RA
2= 0,63
F-ST = 20,9
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Umbreit
Bietigheim
$
y
t = 259,1 Realisationen:
257 ; 277 ; 230 ; 257
alle im Intervall
RMSE = 31,6
Doppelte exp. Glättung
liegt unterhalb der
Modellprognose
RMSE = 33,0
Modellprotokoll:
M.D. = 259
S.D. = 32,6
S.E. = 32,6
DW = 1,42
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 191
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Muggenthaler
Cham
$
y
t= 18,7 - 0,054 t Realisationen:
25 ; 17 ; 21 ; 17
alle im Intervall
RMSE = 2,7
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Trendmodell
RMSE = 2,7
Modellprotokoll:
M.D. = 20
S.D. = 2,8
S.E. = 2,6
DW = 1,54
RA
2= 0,10
F-ST = 7,6
W(F) = 0,008
0
5
10
15
20
25
30
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Schiessl
Regensburg
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t = 355,1- 1,865 t +
0,746
u
t−1+ 0,380
u
t−2
- 0,973
e
t−1
(Linearer Trend +
(ARIMA(2, 0, 1))
Realisationen:
274 ; 277 ; 274 ; 250
alle im Intervall
RMSE = 24,7
Doppelte exp. Glättung
RMSE = 24,8
Modellprotokoll:
M.D. = 275
S.D. = 29,1
S.E. = 19,0
DW = 1,95
RA
2= 0,57
F-ST = 12,7
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 192
Klasse 3 - Modelltyp 2 (Mit Saison)
Alle Zeitreihen, die zum Typ 2 zusammengefasst wurden, besitzen in den hier favorisierten
Modellgleichungen einen saisonalen MA(12)-Term. Bei allen Modellgleichungen führt er zu
einer deutlichen Verbesserung der Modellschätzung und Prognose, obwohl die ersten
Identifikationsschritte nur auf recht geringe saisonale Effekte schließen ließen. Die graphischen
Darstellungen der Zeitreihen des Typs 2 gaben keine erkennbaren Hinweise auf einen
saisonalen Effekt und im Korrelogramm sind nur leicht signifikante Ausschläge auf lag 12 der
ACF zu beobachten. In der Trenddarstellung mit Hilfe des HP-Filters treten in den Zeitreihen
keine Wendepunkte auf, so dass eine Reduzierung des Stützbereichs bei keiner der Zeitreihen
notwendig war. Bei sechs der zehn Zeitreihen wird ein linearer deterministischer Trend in die
Modellgleichungen implementiert. Neben der Trendkomponente gibt es Zeitreihen, die zu sehr
guten Ergebnissen durch Aufnahme eines zusätzlichen ARMA(p, q)-Fehlerterms gelangen. Bei
zwei Zeitreihen gelangt man durch zusätzliche Implementierung eines AR(12)-Terms zu
signifikanten Verbesserungen der jeweiligen Modelle. Exemplarisch werden die Grossisten
Pest Bonn und PV-Saar Saarbrücken etwas ausführlicher vorgestellt.
Pest Bonn
Die Zeitreihe der Verkaufswerte des Grossisten Pest Bonn ist stationär und normalverteilt und
besitzt eine eindeutige Abhängigkeitsstruktur. Für alle untersuchten lags von 1 bis 25 der Box-
Ljung Q-Statistik liegen die Realisationen im Bereich der Alternativhypothese auf
Abhängigkeit.
Die Analyse des Trendverlaufs der Verkaufszahlen mit Hilfe des HP-Filters weist einen
konstanten Anstieg bis Anfang 94 auf. Danach flacht der Anstieg immer mehr ab, bis die
geglätteten Werte ab 95 parallel zur Zeitachse verlaufen.
Analog der Vorgehensweise beim Typ 1 bietet sich eine Reduzierung des Stützbereichs auf
den Zeitraum 94 bis 96 an. Aus zwei Gründen wird aber auf diese Vorgehensweise verzichtet.
Der erste Grund liegt in dem geringen Erklärungsgehalt, den die getesteten Modelle aufweisen.
Getestet wurden verschiedene ARMA(p,q) mit Intercept, mit oder ohne Hinzunahme eines
deterministischen linearen Trends.
Der zweite Grund: Die Betrachtung des Korrelogramms weist für die Zeitreihe mit dem
reduzierten Stützbereich lediglich auf lag 12 der ACF einen positiven signifikanten Ausschlag
auf. Ein möglicher saisonaler Effekt lässt sich bei einer Zeitreihe, die lediglich drei Jahre
umfasst, aber nicht stabil modellieren.
5 Modellentwicklung 193
Bei der Betrachtung des Korrelogramms für die Zeitreihenwerte von 92 bis 96 lässt sich der
signifikante Ausschlag auf lag 12 der ACF ebenfalls beobachten. Darüber hinaus gibt es noch
weitere Ausschläge auf lag 1 (+), lag 4 (+), lag 5 (+) der ACF. Die PACF weist signifikante
Abweichungen von Null auf lag 1 (+), lag 4 (+) und lag 14 (-) auf. Selbst der Zeitraum von
fünf Jahren ist sehr kurz, um saisonale Effekte in die entwickelten Modelle aufnehmen zu
können. Bei der Interpretation der Ergebnisse ist es daher nicht verwunderlich, wenn die
saisonalen Schätzer recht instabil sind. Zur Modellierung des saisonalen Effektes werden zwei
Kategorien von Modellen getestet, saisonale Dummies und saisonale ARIMA-Modelle,
deterministischer versus stochastischer Ansatz.
Bonn (Pest)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C280.200 10.798 25.949 0.000
DUMMY2 -23.400 15.271 -1.532 0.132
DUMMY3 -26.800 15.271 -1.755 0.086
DUMMY4 -36.400 15.271 -2.384 0.021
DUMMY5 -20.800 15.271 -1.362 0.180
DUMMY6 -19.800 15.271 -1.297 0.201
DUMMY7 -16.000 15.271 -1.048 0.300
DUMMY8 -1.800 15.271 -0.118 0.907
DUMMY9 2.600 15.271 0.170 0.866
DUMY10 -29.200 15.271 -1.912 0.062
DUMY11 -40.400 15.271 -2.646 0.011
DUMY12 -35.600 15.271 -2.331 0.024
R-squared 0.293 Mean dependent var 259.567
Adjusted R-squared 0.132 S.D. dependent var 25.910
S.E. of regression 24.146 Akaike info criterion 6.545
Sum squared resid 27984.800 Schwarz criterion 6.964
Log likelihood -269.489 F-statistic 1.813
Durbin-Watson stat 1.081 Prob(F-statistic) 0.078
Das Modell ist ausgesprochen schlecht, die meisten Dummy-Parameter sind nicht signifikant
von Null verschieden, der Erklärungsgehalt der Regression fällt mit einem R2A = 0,132 sehr
gering aus. Bei einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art fällt der F-Test in
den Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese, das heißt, die Hypothese, dass alle
Parameter mit Ausnahme des Intercepts nicht signifikant von Null abweichen, kann nicht
verworfen werden.
5 Modellentwicklung 194
Die Residuen enthalten noch sehr starke positive Korrelationen. Die Werte der ACF sind für
lag 1 bis 9 und die Werte der PACF für lag 1 und 2 deutlich signifikant von Null verschieden.
Die Modellierung mit saisonalen Dummies führt erwartungsgemäß zu einem sehr schlechten
Modell.
Als andere Alternative empfiehlt sich die Modellierung eines SARIMA(p,d,q) (P,D,Q)12-
Modells. Da ein leichter saisonaler Effekt im Korrelogramm der Zeitreihe zu beobachten ist,
wird mit der Bestimmung des saisonalen Terms begonnen. Dabei wird recht pragmatisch
vorgegangen. Getestet werden die beiden Schätzer MA(12) und AR(12). Zuerst jeweils
einzeln und dann gemeinsam. Bei allen drei Modellkombinationen wird als ein Parameter der
Intercept verwendet. Die beste Modellanpassung erzielt man mit einem MA(12)-Term.
Zusätzlich wurden ARMA-Kombinationen bis zum ARMA(3, 3)-Term getestet. Keine der
ARMA(p,q)-Kombinationen konnte einen zusätzlichen Beitrag liefern. Somit ergibt sich das
folgende Modell zur Schätzung der Verkaufszahlen für den Grossisten Pest Bonn.
Bonn (Pest)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Convergence achieved after 41 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C265.004 4.524 58.579 0.000
MA(12) 0.886 0.000 8405.454 0.000
R-squared 0.514 Mean dependent var 259.567
Adjusted R-squared 0.506 S.D. dependent var 25.910
S.E. of regression 18.219 Akaike info criterion 5.838
Sum squared resid 19251.230 Schwarz criterion 5.907
Log likelihood -258.266 F-statistic 61.333
Durbin-Watson stat 1.661 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted MA Roots .96+.26i .96 -.26i .70 -.70i .70+.70i
.26 -.96i .26+.96i -.26+.96i -.26 -.96i
-.70 -.70i -.70 -.70i -.96 -.26i -.96+.26i
Die Residuen des Modells genügen der Normalverteilung (J.B. = 1,50 und (W(J.B.) = 0,472
≥ α = 0,05)) und das Korrelogramm besitzt nur leichte positive signifikante Ausschläge auf lag
4 und 5 der ACF und PACF.
5 Modellentwicklung 195
PV-Saar Saarbrücken
Die Zeitreihe für den Grossisten PV-Saar erfüllt die folgenden Bedingungen: Die Zeitreihe ist
stationär, normalverteilt, besitzt eine klare Abhängigkeitsstruktur, die durch ein lineares Modell
adäquat beschrieben werden kann, und der HP-Filter offenbart einen leichten negativen
Trendverlauf der Werte. Analog der Vorgehensweise beim Grossisten Pest Bonn wurden drei
Kombinationen des saisonalen ARIMA-Ansatzes getestet (AR(12), MA(12) und die
Kombination von beiden). Als Selektionskriterium wurde zum einen die Signifikanz der
jeweiligen Parameter und zum anderen die Höhe des SC verwendet. Das folgende Modell
erwies sich unter den getesteten Modellen als optimal. Es besitzt Parameter, die sich signifikant
von Null unterscheiden. Es weist den geringsten Wert für das SC aller getesteten Modelle auf
und erzielt darüber hinaus eine gute Prognosequalität.
Saarbrücken PV Saar
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:01 1996:12
Included observations: 48 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 16 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C339.158 12.033 28.186 0.000
NUMMER -1.997 0.261 -7.644 0.000
AR(12) 0.367 0.068 5.403 0.000
MA(12) -0.886 0.000 -6838.168 0.000
R-squared 0.691 Mean dependent var 253.688
Adjusted R-squared 0.670 S.D. dependent var 29.083
S.E. of regression 16.698 Akaike info criterion 5.710
Sum squared resid 12268.720 Schwarz criterion 5.866
Log likelihood -201.156 F-statistic 32.858
Durbin-Watson stat 1.853 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.92 .80+.46i .80 -.46i .46 -.80i
.46+.80i .00 -.92i -.00+.92i -.46+.80i
-.46 -.80i -.80 -.46i -.80+.46i -0.92
Inverted MA Roots 0.99 .86+.49i .86 -.49i .49+.86i
.49 -.86i .00 -.99i -.00+.99i -.49 -.86i
-.49+.86i -.86 -.49i -.86+.49i -0.99
Die Ergebnisse der Überprüfung der Residuen bestätigen die Qualität der gefundenen
Schätzung. Erstens besitzen die untersuchten Korrelogramme der ACF und der PACF für die
untersuchten lags von k = 1 bis 25 keinerlei signifikante Abweichungen von 0 und zweitens
genügen die Residuen mit hinreichender Genauigkeit der Normalverteilung. (J.B. = 0,61 und
(W(J.B.) = 0,737 ≥ α = 0,05)).
5 Modellentwicklung 196
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Pest Bonn $
y
t= 265,0 + 0,886
e
t−12
(SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
272 ; 301 ; 268 ; 292
Wert 97:4 nicht im
Intervall
RMSE = 18,9
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 15,4
Modellprotokoll:
M.D. = 260
S.D. = 25,9
S.E. = 18,2
DW = 1,66
RA
2= 0,51
F-ST = 61,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Oechelhaeuser
Denkendorf
$
y
t = 134,0 - 0,556 t
+ 0,885
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
119; 107 ; 111 ; 105
alle im Intervall
RMSE = 10,2
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 10,9
Modellprotokoll:
M.D. = 117
S.D. = 17,5
S.E. = 10,1
DW = 1,83
RA
2= 0,67
F-ST = 59,9
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 197
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Zöttl
Ergolding
$
y
t= 93,8 - 0,307 t
+ 0,313
u
t−1 - 0,391
u
t−2
+ 0,869
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(2, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
68 ; 74 ; 64 ; 64
Wert 97:3 nicht im
Intervall
RMSE = 7,2
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 7,4
Modellprotokoll:
M.D. = 84
S.D. = 10,3
S.E. = 6,7
DW = 1,96
RA
2= 0,58
F-ST = 20,4
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
PVG Frankfurt $
y
t = 515,1 - 1,858 t
+ 0,166
e
t−1 + 0,863
e
t−12
+ 0,143
e
t−13
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1))
Realisationen:
424; 410 ; 363 ; 371
alle im Intervall
RMSE = 26,1
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 26,7
Modellprotokoll:
M.D. = 455
S.D. = 47,4
S.E. = 27,2
DW = 1,80
RA
2= 0,67
F-ST = 41,0
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 198
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Esser Hürth $
y
t= 628,9 - 3,210 t
+ 0,606
u
t−12 - 0,864
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0) (1, 0, 1))
Realisationen 467 ;
457 ; 437 ; 476
alle im Intervall
RMSE = 29,8
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 31,6
Modellprotokoll:
M.D. = 477
S.D. = 49,6
S.E. = 29,3
DW = 2,19
RA
2= 0,65
F-ST = 30,4
W(F) = 0,000 0
100
200
300
400
500
600
700
1 13 25 37 49 61
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Lehmann
Oldenburg
$
y
t= 260,5 + 0,885
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
261;245; 226; 254
alle im Intervall
RMSE = 19,0
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 17,7
Modellprotokoll:
M.D. = 258
S.D. = 27,3
S.E. = 19,1
DW = 1,56
RA
2= 0,51
F-ST = 62,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
VERKAUF Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 199
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Wehling
Paderborn
$
y
t = 155,8 + 0,227
u
t−1
+ 0,883
e
t−12
(SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
209; 176 ; 173 ; 162
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 13,2
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 11,0
Modellprotokoll:
M.D. = 154
S.D. = 15,9
S.E. = 12,5
DW = 1,88
RA
2= 0,39
F-ST = 19,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog.stat. (2) add. sai. Exp. HP
PV-Saar
Saarbrücken
$
y
t= 339,2 - 1,997 t
+ 0,367
u
t−12
+ 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
233 ; 228 ; 223 ; 237
alle im Intervall
RMSE = 16,6
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 20,7
Modellprotokoll:
M.D. = 254
S.D. = 29,1
S.E. = 16,7
DW = 1,85
RA
2= 0,67
F-ST = 32,9
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 200
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Haberer
Schopfheim
$
y
t = 117,3 + 0,846
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen:
101 ; 112 ; 105 ; 111
alle im Intervall
RMSE = 13,4
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 12,4
Modellprotokoll:
M.D. = 118
S.D. = 16,1
S.E. = 13,4
DW = 1,81
RA
2= 0,30
F-ST = 26,8
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
NPV Würzburg $
y
t= 289,9 + 0,392
e
t−1
+ 0,789
e
t−12 + 0,309
e
t−13
SARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1)
Realisationen:
227 ; 260 ; 266 ; 302
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 27,1
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 22,2
Modellprotokoll:
M.D. = 285
S.D. = 33,6
S.E. = 24,0
DW = 1,87
RA
2= 0,49
F-ST = 29,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 201
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Ifoton
Limburgerhof
$
y
t = 204,0 + 0,572
u
t−1
+ 0,885
e
t−12
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1)}
Realisationen:
193 ; 191 ; 155 ; 182
alle im Intervall
RMSE = 15,4
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 15,6
Modellprotokoll:
M.D. = 207
S.D. = 24,9
S.E. = 15,1
DW = 2,26
RA
2= 0,63
F-ST = 50,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 202
5.2.4 Klasse 4 - Trendverlauf, ACF läuft mit zunehmender lag Länge aus
Ausschlaggebend für die Zuordnung der Zeitreihen zu dieser Klasse waren die Plots der ACF
und der PACF der Verkaufszahlen. Bei allen Zeitreihen dieser Klasse laufen die ACF mit
zunehmender lag Länge langsam aus und die PACF besitzen hoch signifikante Werte auf dem
ersten lag.
Die untersuchten Werte der Box-Ljung Q-Statistik liegen alle im Ablehnungsbereich der
Nullhypothese auf Unabhängigkeit. Alle Zeitreihen weisen somit eine deutliche
Abhängigkeitsstruktur auf.
Diese Ergebnisse decken sich mit denen der graphischen Darstellung der Verkaufszahlen. Fast
alle Zeitreihen lassen einen linearen Trendverlauf erkennen.
Die meisten Zeitreihen erfüllen die Stationaritätsbedingung, wenn in der Testgleichung neben
dem Intercept auch der lineare Trend mit einbezogen wird. Bei den Grossisten Weidmann
Göppingen, Wehling Hamm und Mölk Osnabrück ist die Bedingung auf Stationarität auch
ohne linearen Trend in der Testgleichung erfüllt.
Nur für den Grossisten Mauch & Dettling Tuttlingen kann die Stationarität nur durch
Differenzenbildung der Ordnung 1 erzielt werden.
Für diese Klasse zeigt sich die Wichtigkeit der Überprüfung der Stationarität. Aufgrund der
Verläufe der ACF und PACF könnte man zu dem Schluss kommen, dass die Zeitreihen einen
stochastischen Trend besitzen und erst durch Differenzenbildung die Stationaritätsbedingung
erfüllen. Viele nicht stationäre Zeitreihen weisen nämlich mit steigendem lag ein sehr langsames
Auslaufen der signifikant von Null abweichenden AC-Werte auf. Die PACF besitzt dabei
einen signifikanten positiven Wert auf lag 1.
Bei der Interpretation der ACF und der PACF muss beachtet werden, dass der Trend die
beiden Funktionen stark dominiert. Erst eine trendbereinigte Zeitreihe ermöglicht eine
Interpretation der ACF und PACF zum Zweck der Entdeckung weiterer Abhängigkeits-
strukturen.
Die Tabellen auf den folgenden Seiten liefern einen guten Überblick über die Ergebnisse der
Identifikationstests der Klasse 4.
Für alle Zeitreihen führen der Box-Ljung- und der Runs-Test zu einer Annahme der
Alternativhypothese auf Abhängigkeit. Bis auf zwei Ausnahmen lassen sich die Abhängigkeiten
durch lineare Modelle beschreiben. Die Zeitreihen für die Grossisten Voigt Stuttgart und
Schmitz Dortmund führen im Test von Neftci zu einer Ablehnung der Hypothese auf
Symmetrie und damit zur Favorisierung nichtlinearer Modelltypen.
5 Modellentwicklung 203
Die entwickelten Modelle wurden in die Modelltypen ohne und mit Saison unterteilt. Bei den
saisonalen Modelltypen erfolgt die Erfassung der Saison mit geeigneten saisonalen AR- und
MA-Koeffizienten.
5 Modellentwicklung 204
Klasse 4 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
Stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Test von Neftci
H0: Symmetrie
H1: keine
Symmetrie
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
PVB
Berlin
ADF = -6,44 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,91 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,37 ≤ tα = 1,96
S = 0,96 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,90 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0,35 0,65
0,63 0,37
H (mit HP)
0
⇒
Schmitz
Dortmund
ADF = -7,54 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det.Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,41 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,19 ≤ tα = 1,96
S = 0,20 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,89 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 43 0 57
079 021
1
, ,
, ,
⇒H
Schwarz
Fallingbostel
ADF = -5,17 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,81 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,62 ≤ tα = 1,96
S = 1,05 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,60 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 43 0 57
0 64 036
0
, ,
, ,
⇒H
Weidmann
Göppingen
ADF = -5,70 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,85 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,45 ≤ tα = 1,96
S = 2,83 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,78 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
034 0 66
084 016
0
, ,
, ,
⇒H (mit HP)
Wehling
Hamm
ADF = -4,76 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 1,25 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,74 ≤ tα = 1,96
S = 2,10 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,63 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,01 < α =
0,05 ⇒ H1
0 41 059
0 66 034
0
, ,
, ,
⇒H
5 Modellentwicklung 205
Klasse 4 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Crämer
Hannover
ADF = -5,13 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 1,95 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,57 ≤ tα = 1,96
S = 4,13 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,87 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 41 059
070 030
0
, ,
, ,
⇒H
Schmidt &
Hampe
Hannover
ADF = -6,86 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,29 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,24 ≤ tα = 1,96
S = 1,62 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,84 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
051 0 49
071 0 29
0
, ,
, ,
⇒H (mit HP)
Jost
München
ADF = -6,95 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,25 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,28 ≤ tα = 1,96
S = 0,14 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 1,00 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,02 < α =
0,05 ⇒ H1
0 49 051
0 65 0 35
0
, ,
, ,
⇒H
Mölk
Osnabrück
ADF = -6,07 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,10 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,50 ≤ tα = 1,96
S = 2,26 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,87 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 43 0 57
0 64 036
0
, ,
, ,
⇒H
Voigt
Stuttgart
ADF = -6,92 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,39 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,63 ≤ tα = 1,96
S = 0,55 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,44 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 55 0 45
072 0 28
1
, ,
, ,
⇒H
Becker &
Winarek Trier
ADF = -8,14 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,81 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,66 ≤ tα = 1,96
S = 1,09 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,77 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
032 0 68
0 81 019
0
, ,
, ,
⇒H
5 Modellentwicklung 206
Klasse 4 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit Test von Neftci
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-
Smirnov-Test
(K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Matrix der ge-
schätzten Über-
gangswahrsch.
Fergg
Tübingen
ADF = -7,51 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,74 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,56 ≤ tα = 1,96
S = 0,87 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,97 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
032 0 68
0 63 0 37
0
, ,
, ,
⇒H
Mauch &
Dettling
Tuttlingen
ADF = -2,08 ≥ k(1%) = -3,54
⇒ H0 (lag 1)
Differenzenbildung (d = 1):
ADF = -13,5 < k(1%) = -2,60
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,21 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,43 ≤ tα = 1,96
S = 0,23 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,92 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,07 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
0 44 056
058 0 42
0
, ,
, ,
⇒H
Heuser
Velbert
ADF = -8,58 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,83 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,73 ≤ tα = 1,96
S = 1,22 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,72 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,00 ⇒ H1
026 074
082 018
0
, ,
, ,
⇒H
Küpper
Wrestedt
ADF = -4,99 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
ϑ1 = 0,45 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,47 ≤ tα = 1,96
S = 0,42 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,37 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,12 ≥ α =
0,05 ⇒ H0
033 0 67
071 0 29
0
, ,
, ,
⇒H
Probst
Wuppertal
ADF = -5,10 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 2 u. det. Trend)
ϑ1 = 0,52 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,30 ≤ tα = 1,96
S = 1,97 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,73 ≥ α
= 0,05 ⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α =
0,05 ⇒ H1
0 46 0 54
0 69 0 31
0
, ,
, ,
⇒H
5 Modellentwicklung 207
Klasse 4 - Modelltyp 1 (Ohne Saison)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Weidmann
Göppingen
$
y
t = 129,2- 0,575t
- 0,541
u
t−1+ 0,858
e
t−1
+ 0,385
e
t−2
(Linearer Trend +
ARIMA(1, 0, 2))
Realisationen:
95 ; 100 ; 102 ; 89
alle im Intervall
RMSE = 10,1
Dopp. exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 12,1
Modellprotokoll:
M.D. = 112
S.D. = 16,2
S.E. = 10,8
DW = 1,94
RA
2= 0,56
F-ST = 19,5
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. dopp. Exp. HP
Wehling
Hamm
Stützb.: (01/93-12/96)
$
y
t= 199,1 - 1,094 t
+ 0,339
e
t−1
(Linearer Trend +
ARIMA(0; 0; 1))
Realisationen:
172 ; 174 ; 156 ; 139
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 13,8
Dopp. exp. Glättung
weicht vom Modell ab
RMSE = 15,2
Modellprotokoll:
M.D. = 159
S.D. = 20,2
S.E. = 12,7
DW = 2,02
RA
2= 0,60
F-ST = 36,9
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/91-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 208
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Crämer
Hannover
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t= 709,6 - 4,466 t Realisationen:
249 ; 240 ; 235 ; 256
alle im Intervall
RMSE = 47,0
Doppelte exp. Glättung
RMSE = 46,7
Modellprotokoll:
M.D. = 520
S.D. = 66,8
S.E. = 48,1
DW = 1,58
RA
2= 0,48
F-ST = 33,5
W(F) = 0,000 0
100
200
300
400
500
600
700
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Becker &
Winarek Trier
$
y
t= 226,9 - 1,258 t Realisationen:
169 ; 134 ; 147 ; 202
Wert 97:4 nicht im
Intervall
RMSE = 17,2
Doppelte exp. Glättung
ähnlich Modell
RMSE = 17,7
Modellprotokoll:
M.D. = 189
S.D. = 27,2
S.E. = 16,2
DW = 2,15
RA
2= 0,65
F-ST = 108,8
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 209
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Mauch &
Dettling
Tuttlingen
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t= 73,3 - 0,683 t Realisationen:
32 ; 40 ; 27 ; 36
alle im Intervall
RMSE = 6,5
Doppelte exp. Glättung.
weicht vom Modell ab
RMSE = 7,2
Modellprotokoll:
M.D. = 44
S.D. = 9,8
S.E. = 6,8
DW = 1,78
RA
2= 0,52
F-ST = 39,2
W(F) = 0,000
0
10
20
30
40
50
60
70
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
Heuser
Velbert
$
y
t= 227,9 - 1,314 t Realisatonen:
181 ; 177 ; 166 ; 180
Wert 97:1 und 97:4
nicht im Intervall
RMSE = 16,7
Doppelte exp. Glättung.
ähnlich Modell
RMSE = 16,0
Modellprotokoll:
M.D. = 188
S.D. = 27,7
S.E. = 15,6
DW = 2,25
RA
2= 0,68
F-ST = 127,7
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. dopp. Exp. HP
5 Modellentwicklung 210
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Küpper
Wrestedt
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t= 67,4 Realisationen:
59 ; 71 ; 54 ; 68
alle im Intervall
RMSE = 7,6
Einfache exp. Glättung.
weicht vom Modell ab
RMSE = 8,4
Modellprotokoll:
M.D. = 67
S.D. = 7,7
S.E. = 7,7
DW = 1,39
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. einf. Exp. HP
5 Modellentwicklung 211
Klasse 4 - Modelltyp 2 (Mit Saison)
Die Modellentwicklung dieses Typs wird am Beispiel der Verkaufszahlen von Berlin erörtert.
Im ehemaligen West-Berlin erfolgte der Vertrieb bis Ende 1996 über den Grossisten VV
Berlin. Danach übernahm der Grossist BPV Berlin den Vertrieb. Zum Zweck der Analyse
wurden die Daten beider Grossisten zusammengespielt.
Die Verkaufszahlen für West-Berlin sind trendstationär, normalverteilt und besitzen eine
Abhängigkeitsstruktur, die sich durch ein lineares Modell adäquat beschreiben lässt.
Schon die graphische Darstellung der Zeitreihe verdeutlicht den klaren Abwärtstrend der
Verkaufszahlen im Beobachtungszeitraum. Die mit dem HP-Filter geglättete Zeitreihe für
Berlin weicht nur leicht von der linearen Trendgeraden ab.
0
500
1000
1500
2000
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF HPTREND TREND
(EViews 2.0)
Als erstes Modell wird ein einfaches Regressionsmodell zur Beschreibung der linearen
Trendentwicklung geschätzt. Die beiden Koeffizienten der Trendgerade sind hoch signifikant
von Null verschieden. Mit einem bereinigten RA
2 von 0,561 erfasst der deterministische Trend
schon einen recht hohen Teil der Variation in den Verkaufszahlen.
5 Modellentwicklung 212
Mit einem Wert von 1,443 liegt die Realisation der DW-Statistik eindeutig im unteren
Ablehnungsbereich [0; 1,549]205 der Nullhypothese, bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau
von 5%, basierend auf 60 Beobachtungswerten und einem Freiheitsgrad von 2 (Anzahl der zu
schätzenden Regressionskoeffizienten einschließlich der Konstante C). Der Test führt somit zu
der Entscheidung, dass die Residuen eine signifikant positive Autokorrelation der Ordnung 1
besitzen. Der Plot der ACF der Residuen bestätigt das Ergebnis des DW-Tests.
BERLIN (VV und BPV)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C1869.537 29.658 63.036 0.000
NUMMER -7.390 0.846 -8.739 0.000
R-squared 0.568 Mean dependent var 1644.150
Adjusted R-squared 0.561 S.D. dependent var 171.186
S.E. of regression 113.434 Akaike info criterion 9.495
Sum squared resid 746298.200 Schwarz criterion 9.565
Log likelihood -367.992 F-statistic 76.371
Durbin-Watson stat 1.443 Prob(F-statistic) 0.000
Eine deutliche Verbesserung der Modellanpassung und der Autokorrelation in den Residuen
erhält man durch Hinzunahme der um ein Jahr verzögerten Verkaufszahlen. Ein solches Modell
lässt sich analog durch den saisonalen AR(12)-Term formulieren.
Zwar weisen ACF und PACF der Verkaufszahlen keine hohen Ausschläge für lag 12 auf. Die
Qualität der Schätzung verbessert sich aber nachhaltig. Das bereinigte RA
2 steigt von 0,561
auf 0,651, die Standardabweichung des erweiterten Modells sinkt von einem mittleren Wert
von 113,4 auf 98,7. Auch der Wert für das SC reduziert sich von 9,565 auf 9,362.
Die Residuen der Modellschätzung genügen einem reinen Zufallsprozess. Sie weisen keine
erkennbaren systematischen Zusammenhänge mehr auf, die Normalverteilungshypothese lässt
sich nicht verwerfen und die Box-Ljung Q-Statistik führt zu einer Ablehnung der Hypothese
auf Abhängigkeiten in den Residuen.
205 Judge/Hill/Griffiths/Lütkepohl/Lee 1988, 992.
5 Modellentwicklung 213
BERLIN (VV und BPV)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:01 1996:12
Included observations: 48 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C2015.822 70.648 28.533 0.000
NUMMER -10.749 1.582 -6.795 0.000
AR(12) 0.216 0.129 1.669 0.102
R-squared 0.666 Mean dependent var 1612.000
Adjusted R-squared 0.651 S.D. dependent var 167.153
S.E. of regression 98.704 Akaike info criterion 9.245
Sum squared resid 438411.100 Schwarz criterion 9.362
Log likelihood -286.982 F-statistic 44.895
Durbin-Watson stat 1.647 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.88 .76+.44i .76 -.44i .44 -.76i
.44+.76i .00+.88i -.00 -.88i -.44+.76i
-.44 -.76i -.76+.44i -.76 -.44i -0.88
Bei einem vorab gewählten α-Fehler von 5% sind die beiden ersten Koeffizienten mit sehr
hoher Wahrscheinlichkeit von Null verschieden. Problematisch ist der dritte, um eine Periode
verzögerte Koeffizient. Dieser Koeffizient liegt im Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese
und ist somit nicht signifikant von Null verschieden.
Alternativ wurde eine Erweiterung der obigen Modellvariante um einen SMA-Term getestet.
Das erweiterte Modell liefert eine hervorragende Modellanpassung und Koeffizienten, die alle
hoch signifikant von Null verschieden sind.
Die Residuen genügen der Normalverteilung (J.B. = 3,75 (W(J.B.) = 0,153 ≥ α = 0,05)) und
besitzen keine signifikanten Werte in der ACF und PACF.
5 Modellentwicklung 214
BERLIN (VV und BPV)
LS // Dependent Variable is VERKAUF
Sample(adjusted): 1993:01 1996:12
Included observations: 48 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 25 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C2210.583 88.947 24.853 0.000
NUMMER -14.115 1.672 -8.442 0.000
AR(12) 0.441 0.067 6.607 0.000
MA(12) -0.886 0.000 -6690.607 0.000
R-squared 0.819 Mean dependent var 1612.000
Adjusted R-squared 0.807 S.D. dependent var 167.153
S.E. of regression 73.502 Akaike info criterion 8.674
Sum squared resid 237709.200 Schwarz criterion 8.830
Log likelihood -272.292 F-statistic 66.357
Durbin-Watson stat 1.882 Prob(F-statistic) 0.000
Inverted AR Roots 0.93 .81 -.47i .81+.47i .47 -.81i
.47+.81i .00+.93i .00 -.93i -.47 -.81i
-.47+.81i -.81+.47i -.81 -.47i -0.93
Inverted MA Roots 0.99 .86 -.49i .86+.49i .49 -.86i
.49+.86i .00+.99i -.00 -.99i -.49+.86i
-.49 -.86i -.86+.49i -.86 -.49i -0.99
5 Modellentwicklung 215
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
PVB Berlin $
y
t= 2210,6 - 14,115 t
+ 0,441
u
t−12
- 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen: 1297 ;
1363 ; 1247 ; 1355
alle im Intervall
RMSE = 69,8
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saion
RMSE = 95,3
Modellprotokoll:
M.D. = 1612
S.D. = 167,2
S.E. = 73,5
DW = 1,88
RA
2= 0,81
F-ST = 66,4
W(F) = 0,000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Schmitz
Dortmund
$
y
t= 500,2 - 2,046 t
+ 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
421 ; 399 ; 392 ; 381
alle im Intervall
RMSE = 29,2
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 30,0
Modellprotokoll:
M.D. = 432
S.D. = 49,0
S.E. = 29,4
DW = 2,06
RA
2= 0,64
F-ST = 53,2
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 216
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Schwarz
Fallingbostel
$
y
t= 408,2 + 0,590 t
+ 0,590
u
t−12 + 0,155
e
t−1
- 0,829
e
t−12 - 0,129
e
t−13
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 1))
Realisationen:
377 ; 398 ; 379 ; 391
alle im Intervall
RMSE = 18,3
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 19,8
Modellprotokoll:
M.D. = 373
S.D. = 34,0
S.E. = 20,1
DW = 1,61
RA
2= 0,65
F-ST = 30,1
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Schmidt &
Hampe
Hannover
$
y
t= 156,7 - 0,691 t
+ 0,619
u
t−12 - 0,854
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisatonen:
113 ; 122 ; 120 ; 114
alle im Intervall
RMSE = 6,4
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 6,5
Modellprotokoll:
M.D. = 135
S.D. = 15,5
S.E. = 7,0
DW = 2,25
RA
2= 0,80
F-ST = 62,6
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 217
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Jost München $
y
t= 600,9 - 2,212 t
- 0,876
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
489 ; 520 ; 505 ; 449
alle im Intervall
RMSE = 30,9
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 30,4
Modellprotokoll:
M.D. = 533
S.D. = 62,6
S.E. = 31,2
DW = 1,93
RA
2= 0,75
F-ST = 90,2
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Mölk
Osnabrück
$
y
t= 369,9 + 0,657
u
t−12
- 0,854
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)
Realisatonen:
384 ; 355 ; 308 ; 348
Wert 97:3 nicht im
Intervall
RMSE = 18,6
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 19,6
Modellprotokoll:
M.D. = 330
S.D. = 31,4
S.E. = 18,8
DW = 1,70
RA
2= 0,64
F-ST = 43,0
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 218
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Voigt Stuttgart $
y
t= 215,7 - 1,306 t
+ 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
131 ; 166 ; 148 ; 135
alle im Intervall
RMSE = 12,2
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 10,9
Modellprotokoll:
M.D. = 176
S.D. = 26,7
S.E. = 11,4
DW = 1,82
RA
2= 0,82
F-ST = 132,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Fergg
Tübingen
$
y
t= 55,6 - 0,415 t
+ 0,221
u
t−1 + 0,849
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
33 ; 33 ; 34 ; 30
alle im Intervall
RMSE = 5,4
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 5,0
Modellprotokoll:
M.D. = 42
S.D. = 9,7
S.E. = 5,8
DW = 1,94
RA
2= 0,64
F-ST = 35,4
W(F) = 0,000
0
10
20
30
40
50
60
70
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prod. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 219
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Probst
Wuppertal
$
y
t= 212,7 - 1,482 t
+ 0,659
u
t−12 - 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
136 ; 132 ; 117 ; 125
alle im Intervall
RMSE = 12,0
Exp. Glättung Holt-
Winters add. Saison
RMSE = 13,0
Modellprotokoll:
M.D. = 148
S.D. = 24,0
S.E. = 12,6
DW = 1,84
RA
2= 0,72
F-ST = 42,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 220
5.2.5 Klasse 5 - Ausgeprägte Saisonfigur, ACF mit wellenförmigen Verlauf
Die Zeitreihen, die zur Klasse 5 zusammengefasst wurden, weisen sehr ausgeprägte saisonale
Verläufe auf, die im zeitlichen Ablauf recht stabil bleiben. Neben der graphischen Darstellung
der Verkaufszahlen spiegelt sich der saisonale Effekt in den Plots der ACF wieder. Die ACF
verlaufen wellenförmig. Auf lag 1 ist die AC stark signifikant positiv. Mit zunehmender lag
Länge verringern sich die AC-Werte. Für lag 5 oder 6 weisen sie den höchsten negativen
signifikanten Wert auf. Danach steigen die Werte wiederum an, um ein erneutes Maximum auf
lag 12 zu erreichen. Für die folgende Periode (lag 13 bis lag 24) wiederholt sich diese
Wellenbewegung, wobei das absolute Niveau der Wellenbewegung mit zunehmender lag
Länge zurück geht.
Alle Zeitreihen der Klasse 5 besitzen folglich eine sehr starke Abhängigkeitsstruktur, die sich in
den hoch signifikanten Realisationen der Prüfgrößen der Ljung-Box Q-Statistik und des Runs-
Tests wiederfindet.
Die Zeitreihen der beiden Grossisten Carlsen Flensburg und SWV Konstanz verletzen die
Annahme auf Normalverteiltheit. Für die Modellschätzung wird diese Problematik aber
vernachlässigt.
Im Kapitel 4.7 wurden verschiedene Testverfahren zur simultanen Entscheidung über die
Bestimmung der Differenzengrade ∆ ∆
dS
D von saisonalen Zeitreihen vorgestellt. Auf die
Anwendung der vorgestellten Testverfahren muss leider verzichtet werden, da der
Beobachtungszeitraum nur 64 Beobachtungswerte umfasst. Zur stabilen Berechnung der
kritischen Testgrenzen mittels Monte-Carlo-Simulation ist aber eine deutlich längere Zeitreihe
erforderlich. Dickey, Hasza und Fuller206, aber auch Franses207 berechnen die kritischen
Grenzen bei Monatsdaten erst für Zeitreihen, die mindestens 120 Beobachtungswerte
aufweisen. Beaulieu und Miron208 weisen die kritischen Grenzen bei Monatsdaten erst für
mindestens 240 Beobachtungswerte aus.
Zur Überprüfung des Differenzengrades wurde daher ein pragmatischer Ansatz verwendet.
Zuerst werden die Zeitreihen mit Hilfe des Augmented-Dickey-Fuller-Tests auf die nicht-
saisonale Stationarität getestet. Wie der Tabelle auf Seite 222-223 zu entnehmen ist, erfüllen
alle Zeitreihen der Klasse 5 die Bedingung der nicht saisonalen Stationarität, ohne dass eine
Differenzenbildung der Ordnung 1 erforderlich wäre. Wie zu erwarten, besitzen die Residuen
der ADF-Testgleichungen auf lag 12 der ACF und PACF hoch signifikant positive
Ausschläge.
206 Dickey/Hasza/Fuller 1984.
207 Franses 1991.
208 Beaulieu/Miron 1993.
5 Modellentwicklung 221
Zur Prüfung des saisonalen Differenzengrades werden die saisonalen Differenzen ∆12
1 der
Zeitreihen gebildet. Auf die differenzierte Zeitreihe wird der einfache Dicky-Fuller-Test
angewandt. Eine Entscheidung auf H1 bedeutet, dass die saisonale Differenzenbildung zu einer
stationären Zeitreihe führt und einen möglichen Ansatz zur Erfassung der Saisonalität darstellt.
Darüber hinaus sollte geprüft werden, ob die saisonal differenzierte Zeitreihe der
Normalverteilung genügt und ob die ACF und PACF noch signifikante Werte, speziell auf lag
12 und 24, aufweisen.
Alternativ wird die Erfassung der Saisonalität durch ein Regressionsmodell mit saisonalen
Dummies überprüft. Bei einigen Zeitreihen kommt es vor, dass beide Konzepte zur Erfassung
der Saisonalität, stochastisches und deterministisches, zu akzeptablen Modellschätzungen
führen. In solchen Fällen wird dann jener Modellansatz gewählt, der die beste
Prognosefähigkeit besitzt.
Interessant wird die Beurteilung der Stationarität, wenn zusätzlich zur Saison der HP-Filter
einen Verlauf aufweist, der auf eine nichtlineare Trendentwicklung hindeutet. In diesen Fällen
wird alternativ die Doppeldifferenzenbildung (∆ ∆
112
1) geprüft. Die Überprüfung erfolgt
wiederum durch Verwendung des DF-Tests und durch Überprüfung der
Normalverteilungsannahme sowie der ACF und PACF der Residuen.
Bei den meisten Zeitreihen der Klasse 5 führt der Regressionsansatz mit saisonalen Dummies
zu sehr guten Prognosemodellen. Nicht so bei den Grossisten Carlsen Kiel, Maurer Lübeck
und Beutz Wilhelmshaven, hier sind die Ergebnisse unbefriedigend. Die Korrelogramme der
Residuen weisen hoch signifikant von Null abweichende Werte in den ACF und PACF auf.
Für den Grossisten Kiel wird zusätzlich die Normalverteilungshypothese der Residuen deutlich
verletzt. Als Modelle werden daher SARIMA-Modelle für die zuvor saisonal- (∆12
1) bzw.
doppeltdifferenzierten (∆ ∆
112
1) Zeitreihen entwickelt.
5 Modellentwicklung 222
Klasse 5 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Nolte
Bremerhaven
ADF = -4,47 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,27 > tα = 1,96
ϑ2 = 0,63 ≤ tα = 1,96
S = 5,28 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,40 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Carlsen
Flensburg
ADF = -5,45 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 3,86 > tα = 1,96
ϑ2 = 1,23 ≤ tα = 1,96
S = 16,41 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,08 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
SWV
Friedrichshafen
ADF = -4,07 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 4,62 > tα = 1,96
ϑ2 = 2,45 > tα = 1,96
S = 27,33 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,01 < α = 0,05
⇒ H1
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Carlsen
Kiel
ADF = -5,11 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 3,88 > tα = 1,96
ϑ2 = 1,17 ≤ tα = 1,96
S = 16,41 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,07 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Keppel
Koblenz
ADF = -4,64 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 2)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,80 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,30 ≤ tα = 1,96
S = 3,34 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,66 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
5 Modellentwicklung 223
Klasse 5 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
SWV
Konstanz
ADF = -4,03 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 5,22 > tα = 1,96
ϑ2 = 3,79 > tα = 1,96
S = 41,59 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,01 < α = 0,05
⇒ H1
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Maurer
Lübeck
ADF = -5,39 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 3,90 > tα = 1,96
ϑ2 = 1,23 ≤ tα = 1,96
S = 16,72 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,04 < α = 0,05
⇒ H1
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Olsson
Tinnum
ADF = -5,36 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,63 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,45 ≤ tα = 1,96
S = 2,87 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,39 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Beutz
Wilhelmshaven
ADF = -4,96 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 3)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,30 > tα = 1,96
ϑ2 = 0,77 ≤ tα = 1,96
S =5,89 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,81 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
5 Modellentwicklung 224
Klasse 5 - Modelltyp 1 (Mit saisonalen Dummies)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Nolte
Bremerhaven
$
y
t = 242 - 26,6 dFeb - 35,2 dMrz
- 14,6 dApr - 4,0 dMai + 10,6 dJun
+ 24,8 d
Jul + 57,8 d
Aug + 33,2
dSep - 17,8 dOkt - 43,6 dNov - 51,0
dDez
Realisationen:
211 ; 192 ; 196 ; 218
alle im Intervall.
RMSE = 19,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 18,8
Modellprotokoll:
M.D. = 237
S.D. = 37,2
S.E. = 21,7
DW = 1,94
RA
2= 0,66
F-ST = 11,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Carlsen
Flensburg
$
y
t = 238,4 - 42,4 d
Feb - 47,4
dMrz - 1,8 dApr + 24,8 dMai + 58,8
dJun + 174,8 dJul + 231,8 d
Aug +
55,4 dSep + 12,8 dOkt - 47,6 dNov
- 63,2 dDez
Realisationen:
240 ; 176 ; 178 ; 225
alle im Intervall
RMSE = 21,8
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 21,4
Modellprotokoll:
M.D. = 268
S.D. = 90,8
S.E. = 24,9
DW = 1,76
RA
2= 0,9
F-ST = 67,1
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 225
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
SWV
Friedrichshafen
$
y
t = 106,7 - 0,756 t - 5,4 dFeb +
0,1 dMrz + 11,3 dApr + 20,8 dMai
+ 51,4 d
Jun + 83,1 d
Jul + 178,7
dAug + 93,0 dSep + 37,0 dOkt - 5,2
dNov - 8,7 dDez
Realisationen:
75 ; 71 ; 77 ; 86
alle im Intervall
RMSE = 15,7
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 15,7
Modellprotokoll:
M.D. = 122
S.D. = 57,5
S.E. = 17,6
DW = 1,56
RA
2= 0,91
F-ST = 48,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Keppel
Koblenz
$
y
t = 339,6 - 36,0 d
Feb - 17,4
dMrz - 26,4 d
Apr + 20,0 d
Mai +
37,2 dJun + 59,2 dJul + 94,6 dAug
+ 76,4 dSep + 5,2 dOkt - 47,2 dNov
- 59,2 dDez
Realisationen:
345 ; 305 ; 271 ; 461
Wert 97:4 nicht im
Intervall
RMSE = 30,3
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 30,9
Modellprotokoll:
M.D. = 348
S.D. = 53,7
S.E. = 26,7
DW = 1,90
RA
2= 0,75
F-ST = 17,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 226
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
SWV Konstanz $
y
t = 73,3 - 0,435 t - 3,0 dFeb +
1,3 dMrz + 0,9 dApr + 18,1 dMai +
31,8 dJun + 46,0 dJul + 113,0 dAug
+ 54,3 d
Sep + 14,7 d
Okt + 2,2
dNov - 1,2 dDez
Realisationen:
74 ; 63 ; 66 ; 71
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 11,2
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 11,2
Modellprotokoll:
M.D. = 83
S.D. = 35,1
S.E. = 11,3
DW = 1,94
RA
2= 0,90
F-ST = 43,8
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Olsson Tinnum $
y
t = 93,4 - 44,4 dFeb - 44,4 dMrz
- 19,6 dApr - 30,4 dMai - 1,2 d
Jun
+ 21,0 d
Jul + 42,0 d
Aug + 11,2
dSep + 0,0 dOkt - 43,8 dNov - 49,0
dDez
Realisationen:
79 ; 42 ; 36 ; 74
alle im Intervall
RMSE = 10,6
Exp. Glättung Holt-
Winter mit add. Saison
RMSE = 10,7
Modellprotokoll:
M.D. = 80
S.D. = 30,8
S.E. = 11,9
DW = 1,80
RA
2= 0,85
F-ST = 31,4
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 227
Klasse 5 - Modelltyp 2 (Mit saisonaler Differenzenbildung)
Grossist Prognosemodell
(1997:01 - 1997:12)
Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Carlsen
Kiel
D( $
y
t)0;12 = + 0,266
u
t−1
+ 0,409
u
t−2 - 0,886
e
t−12
(Saisonale Diff. ∆12
1 ;
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1 , 1))
Realisationen:
328 ; 308 ; 295 ; 377
alle im Intervall
RMSE = 43,0
Exp. Glättung Holt-
Winter mit mult. Saison
RMSE = 34,2
Modellprotokoll:
M.D. = -0,30
S.D. = 64,2
S.E. = 46,1
DW = 2,13
RA
2= 0,48
F-ST = 22,1
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. mult. sai. Exp. HP
Maurer
Lübeck
D( $
y
t)1;12 = - 0,527
e
t−1
- 0,886
e
t−12 + 0,467
e
t−13
(Doppelte Diff. ∆ ∆
112
1 ;
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1))
Realisationen:
355 ; 296 ; 288 ; 395
alle im Intervall
RMSE = 46,7
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 38,2
Modellprotokoll:
M.D. = -0,64
S.D. = 74,0
S.E. = 49,3
DW = 2,30
RA
2= 0,56
F-ST = 58,7
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add.. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 228
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Beutz
Wilhelmshaven
D( $
y
t)1;12 = - 0,845
e
t−1
(Doppelte Diff. ∆ ∆
112
1 ;
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 0))
Realisationen:
498 ; 441 ; 395 ; 522
alle im Intervall
RMSE = 50,1
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 39,6
Modellprotokoll:
M.D. = -3,30
S.D. = 71,4
S.E. = 51,3
DW = 2,17
RA
2= 0,48
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 229
5.2.6 Klasse 6 - Saisonverlauf, signifikante Ausschläge der ACF und PACF auf
den ersten lags und auf lag 12
Die graphische Darstellung der Zeitreihen zeigt stärkere zum Teil periodisch schwankende
Verläufe über die Zeit. Die Saisonfiguren sind aber nicht so eindeutig und konstant, wie die der
Klasse 5.
Eindeutiger fällt die Identifikation der Klasse 6 anhand der ACF, der PACF und der Box-
Ljung Q-Statistik aus. Eine Reihe von lags k (mit k = 1, 2, ... 25) sind deutlich von Null
verschieden. Besonders stark fällt der Effekt für lag 12 aus. Hier liegt durchweg eine
signifikant positive Abweichung von der Nullhypothese vor.
Schon ab sehr kleinem lag, vielfach ab lag 1, sind die Werte der Box-Ljung Q-Statistik
signifikant von Null verschieden, d.h. alle Zeitreihen der Klasse 6 besitzen eine deutliche
Abhängigkeitsstruktur. Der Runs-Test führt zu einer nicht so eindeutigen Entscheidung auf
Abhängigkeit der Zeitreihenwerte. Nur für 5 der 13 Zeitreihen wird auf die
Abhängigkeitshypothese entschieden.
Bis auf zwei Ausnahmen genügen alle Zeitreihen der Normalverteilungshypothese.
Besondere Aufmerksamkeit verdient der ADF-Test. Alle Zeitreihen erfüllen die Bedingung der
nicht saisonalen Stationarität.
Die Residuen der ADF-Regressionsgleichung besitzen aber auf lag 12 der ACF und PACF
deutlich signifikante Ausschläge.
Die saisonale Stationarität wird analog der bei der Klasse 5 verwendeten Vorgehensweise
überprüft.
Als Ergebnis lässt sich festhalten, dass nur bei 2 der 13 Zeitreihen eine saisonale
Differenzenbildung vor der Modellbildung zu akzeptablen Ergebnissen in der Prognose führt.
Unter Modelltyp 2 werden die beiden Zeitreihen aufgeführt.
Bei den übrigen Zeitreihen wurde ein SARIMA(q; 0; q) (Q; 0; P)12-Modell verwendet
(Modelltyp 1), wobei bei einigen Zeitreihen zusätzlich ein linearer deterministischer Trend in
die Modellgleichung implementiert wurde. Regressionsmodelle mit saisonalen Dummies führten
zu Modellen mit geringem Erklärungsgehalt.
Es soll aber nicht verschwiegen werden, dass bei dieser pragmatischen Vorgehensweise eine
Prämisse verletzt wurde, die Zeitreihen sind saisonal nicht stationär. Die Prognoseergebnisse
sind aber so überzeugend, dass diese Verletzung akzeptiert werden kann.
5 Modellentwicklung 230
Klasse 6 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
Stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Schmitz
Bochum
ADF = -9,06 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,55 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,68 ≤ tα = 1,96
S = 0,77 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,77 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags ab k > 1 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT)= 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Salzmann
Braunschweig
ADF = -6,87 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,17 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,27 ≤ tα = 1,96
S = 0,10 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,99 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags k gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT)= 0,19 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Giesdorf
Detmold
ADF = -6,64 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend).
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 4,11 > tα = 1,96
ϑ2 = 5,55 > tα = 1,96
S = 47,73 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,30 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags ab k > 3 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,00 < α = 0,05
⇒ H1
Merkur
Frankfurt
ADF = -7,37 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,91 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,95 ≤ tα = 1,96
S = 7,47 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,68 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags k = 1 und k > 3:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,20 ≥ α = 0,05
⇒ H0
SWV
Freiburg
ADF = -5,48 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,47 > tα = 1,96
ϑ2 = 0,05 ≤ tα = 1,96
S = 6,12 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,20 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags k ≤ 3 und k > 11:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,40 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 231
Klasse 6 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Könemann
Hagen
ADF = -6,22 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,06 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,18 ≤ tα = 1,96
S = 0,04 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,56 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k > 2 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,43 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Dittmann
Kassel
ADF = -6,08 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,32 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,42 ≤ tα = 1,96
S = 1,93 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,53 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,02 < α = 0,05
⇒ H1
Doll
Köln
ADF = -7,31 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,59 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,41 ≤ tα = 1,96
S = 0,51 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,99 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,19 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Liebig
Kolbermoor
ADF = -4,80 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,26 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,00 ≤ tα = 1,96
S = 1,59 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,69 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,01 < α = 0,05
⇒ H1
Lütkemeyer
Münster
ADF = -6,16 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,28 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,46 ≤ tα = 1,96
S = 1,85 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,82 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k > 4 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,12 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Hebeisen
Offenbach
ADF = -5,96 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,69 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,68 ≤ tα = 1,96
S = 0,94 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,92 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,85 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 232
Klasse 6 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
VPV-Lamich
Rendsburg
ADF = -5,42 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,55 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,27 ≤ tα = 1,96
S = 2,49 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,55 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lags k = 1 und k > 7:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,01 < α = 0,05
⇒ H1
Strobel
Sindelfingen
ADF = -5,84 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 1 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,16 > tα = 1,96
ϑ2 = 2,91 > tα = 1,96
S = 13,2 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,47 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für lag k = 1 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1 ?
W(RT) = 0,22 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Bümmer
Weiterstadt
ADF = -4,68 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,61 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,29 ≤ tα = 1,96
S = 2,03 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,59 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,33 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 233
Klasse 6 - Modelltyp 1 (Mit saisonalem ARMA-Teil)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Schmitz
Bochum
$
y
t= 270,5 - 0,831 t
- 0,301
u
t−1 + 0,876
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
271 ; 229 ; 237 ; 241
Wert 97:4 nicht im
Intervall
RMSE = 15,2
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 14,5
Modellprotokoll:
M.D. = 243
S.D. = 23,7
S.E. = 14,5
DW = 1,94
RA
2= 0,63
F-ST = 33,4
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Salzmann
Braunschweig
$
y
t= 532,0 - 1,511 t
+ 0,860
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0; 0; 0) (0; 0; 1))
Realisationen:
492 ; 455 ; 442 ; 442
alle im Intervall
RMSE = 25,8
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 25,2
Modellprotokoll:
M.D. = 486
S.D. = 41,6
S.E. = 26,1
DW = 1,88
RA
2= 0,61
F-ST = 46,5
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 234
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Giesdorf
Detmold
$
y
t= 180,4 + 0,886
e
t−12
SARIMA(0; 0; 0) (0; 0; 1)
Realisationen:
208 ; 181 ; 181 ; 177
alle im Intervall
RMSE = 13,9
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 12,6
Modellprotokoll:
M.D. = 178
S.D. = 21,3
S.E. = 13,8
DW = 1,85
RA
2= 0,58
F-ST = 82,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
SWV
Freiburg
$
y
t = 120,4 + 0,630
u
t−12
- 0,885
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)
Realisationen:
106 ; 97 ; 112 ; 132
alle im Intervall
RMSE = 9,5
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 10,2
Modellprotokoll:
M.D. = 112
S.D. = 17,4
S.E. = 9,5
DW = 2,09
RA
2= 0,70
F-ST = 56,6
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 235
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Könemann
Hagen
$
y
t= 399,7 - 1,010 t
+ 0,865
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0 1))
Realisationen:
409 ; 348 ; 324 ; 319
Wert 97:2 nicht im
Intervall
RMSE = 25,2
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 23,6
Modellprotokoll:
M.D. = 369
S.D. = 34,2
S.E. = 24,8
DW = 1,64
RA
2= 0,47
F-ST = 27,5
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Doll Köln $
y
t = 389,5 - 1,317 t
+ 0,861
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
317; 314 ; 313 ; 318
alle im Intervall
RMSE = 23,9
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 23,4
Modellprotokoll:
M.D. = 348
S.D. = 38,5
S.E. = 24,3
DW = 1,81
RA
2= 0,60
F-ST = 45,5
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 236
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Liebig
Kolbermoor
$
y
t= 147,0 + 0,413
u
t−1
+ 0,200
u
t−12 - 0,083
u
t−13
+ 0,867
e
t−12
SARIMA(1, 0, 0)(1, 0, 1)
Realisationen:
167 ; 132 ; 159 ; 153
alle im Intervall
RMSE = 15,4
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 14,5
Modellprotokoll:
M.D. = 151
S.D. = 26,0
S.E. = 15,4
DW = 2,08
RA
2= 0,65
F-ST = 29,3
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Lütkemeyer
Münster
$
y
t= 269,9 + 0,280
u
t−1
+ 0,886
e
t−12
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen:
307 ; 280 ; 243; 257
alle im Intervall
RMSE = 16,5
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 17,2
Modellprotokoll:
M.D. = 272
S.D. = 24,6
S.E. = 17,3
DW = 1,99
RA
2= 0,50
F-ST = 30,5
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 237
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
VPV-Lamich
Rendsburg
(1) $
y
t = 272,4 + 0,438
u
t−12
+ 0,859
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)
(2) $
y
t = 295,2 - 40,2 dFeb
- 35,2 dMrz - 46,6 dApr
- 30,0 dMai - 16,6 dJun
+ 2,6 dJul + 18,2 dAug
+ 4,0 dSep - 16,4 dOkt
- 49,8 dNov - 71,8 dDez
Realisationen:
288 ; 249 ; 224 ; 246
alle im Intervall
(1) RMSE = 19,1
(2) RMSE = 18,7
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 18,6
Modellprotokoll:
(zu Modell 1)
M.D. = 273
S.D. = 32,6
S.E. = 19,4
DW = 1,97
RA
2= 0,65
F-ST = 44,0
W(F) = 0,000 0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat (1) Prog. stat. (2) add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 238
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Hebeisen
Offenbach
$
y
t= 255,1 - 0,622 t
+ 0,383
u
t−1 + 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1))
Realisationen:
220 ; 232 ; 212 ; 222
alle im Intervall
RMSE = 15,8
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 16,5
Modellprotokoll:
M.D. = 234
S.D. = 26,3
S.E. = 16,1
DW = 2,09
RA
2= 0,63
F-ST = 33,8
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Strobel
Sindelfingen
$
y
t= 192,3 - 0,705 t
+ 0,306
u
t−12 + 0,838
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
148 ; 173 ; 156 ; 153
alle im Intervall
RMSE = 10,5
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 9,9
Modellprotokoll:
M.D. = 165
S.D. = 15,9
S.E. = 11,2
DW = 1,90
RA
2= 0,50
F-ST = 17,0
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 239
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Brümmer
Weiterstadt
$
y
t = 1084,1 - 8,389 t
+ 0,788
u
t−12 - 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
378 ; 388 ; 369 ; 380
alle im Intervall
RMSE = 21,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 22,6
Modellprotokoll:
M.D. = 430
S.D. = 43,4
S.E. = 21,9
DW = 1,79
RA
2= 0,75
F-ST = 46,8
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 240
Klasse 6 - Modelltyp 2 (Mit saisonaler Differenzenbildung)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Merkur
Frankfurt
(1) D( $
y
t)0;12 = -18,1
- 0,867
e
t−12
(Saisonale Diff. ∆12
1 ;
SARIMA(0, 0, 0)(0, 1, 1))
(2) $
y
t = 466,5 - 1,301 t
- 25,3 dFeb - 39,2 dMrz
- 40,1 dApr - 15,2 dMai
- 34,5 dJun - 28,0 dJul
- 18,7 dAug + 35,6 dSep
- 47,3 dOkt - 68,2 dNov
- 86,5 dDez
Realisationen:
386 ; 395 ; 368 ; 343
alle im Intervall
(1) RMSE = 25,2
(2) RMSE = 24,2
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 24,2
Modellprotokoll:
(Modell 1)
M.D. = -13,4
S.D. = 36,2
S.E. = 26,1
DW = 2,22
RA
2= 0,48
F-ST = 44,2
W(F) = 0,000 0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. (1) Prog. stat. (2) add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 241
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Dittmann
Kassel
D( $
y
t)1;12 = - 0,975
e
t−1
+ 0,573
e
t−2
(Doppelte Diff. ∆ ∆
112
1 ;
SARIMA(0, 1, 2)(0, 1, 0))
Realisationen:
259 ; 234 ; 242 ; 245
alle im Intervall
RMSE = 20,4
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 14,9
Modellprotokoll:
M.D. = -0,55
S.D. = 33,6
S.E. = 21,4
DW = 2,17
RA
2= 0,59
F-ST = 67,7
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 242
5.2.7 Klasse 7 - Saisonverlauf, signifikante Ausschläge der ACF und PACF
auf lag 12
Die Zeitreihen, die zur Klasse 7 zusammengefasst wurden, weisen ähnliche graphische
Verläufe wie die Zeitreihen der Klasse 6 auf. Unterschiede zwischen den beiden Klassen gibt
es hinsichtlich der ACF, der PACF und der Box-Ljung Q-Statistik. Stark signifikant von Null
abweichende Werte der ACF und der PACF treten für die Klasse 7 nur für lag 12 auf. Die
Q-Statistik weist erst ab lag 12 signifikant von Null abweichende Prüfgrößenwerte auf.
Alle Zeitreihen erfüllen die Bedingung der nicht saisonalen Stationarität. Analog der Zeitreihen
der Klasse 6 treten auch hier Probleme auf lag 12 der Residuen der ADF-Testgleichung auf.
Die ACF- und PACF-Werte auf lag 12 sind hoch signifikant größer als Null. Bei diesen
Zeitreihen werden ebenfalls der saisonale Differenzierungsgrad und die Regressionsansätze mit
saisonalen Dummies überprüft. Dabei kristallisierten sich drei Modellvarianten heraus.
Modelltyp 1 enthält jene Zeitreihen, die durch rein deterministische Modellansätze zu guten
Anpassungen und Prognosen führen. Zeitreihen, bei denen man mit SARIMA(p, 0, q)(P, 0,
Q)12-Modellen zu guten Anpassungen und Prognoseergebnissen gelangt, werden zum
Modelltyp 2 zusammengefasst. Dabei darf nicht vergessen werden, dass dabei die Bedingung
der saisonalen Stationarität der Zeitreihen nicht erfüllt ist.
Der Modelltyp 3 enthält eine Zeitreihe, bei der die saisonale Differenzenbildung zu akzeptablen
Ergebnissen in der Modellanpassung und Prognose führt.
5 Modellentwicklung 243
Klasse 7 Stationarität
H0: Zeitreihe ist nicht
stationär
H1: Zeitreihe ist
stationär
Tests auf Normalverteilung
H0: Zeitreihe ist NV
H1: Zeitreihe ist nicht NV
Tests auf Unabhängigkeit
H0: Zeitreihe ist unabhängig
H1: Zeitreihe ist abhängig
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Trunk
Betzigau
ADF = -6,87 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 3,57 > tα = 1,96
ϑ2 = 1,73 ≤ tα = 1,96
S = 15,72 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,13 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,01 < α = 0,05
⇒ H1
Leistner
Düsseldorf
ADF = -6,57 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 7,17 > tα = 1,96
ϑ2 = 10,58 > tα = 1,96
S = 163,4 > χ2k = 5,99 ⇒ H1
W(K-S) = 0,03 < α = 0,05
⇒ H1
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,05 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Schmitz
Duisburg
ADF = -6,11 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,15 > tα = 1,96
ϑ2 = 0,42 ≤ tα = 1,96
S = 4,81 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,83 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,61 ≥ α = 0,05
⇒ H0
PVG
Giessen
ADF = -6,27 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,39 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,44 ≤ tα = 1,96
S = 0,35 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 1,00 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,45 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Schmitt
Heidelberg
ADF = -5,95 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,87 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,46 ≤ tα = 1,96
S = 0,97 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,91 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,45 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 244
Klasse 7 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov-
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 24)
Runs-Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Wertgen
Minden
ADF = -1,95 ≥ k(1%) = -3,55
⇒ H0 (lag 3)
Saisonale Differenz (D = 1):
ADF = -6,38 < k(1%) = -2,61
⇒ H1 (lag 4)
ϑ1 = 1,33 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 4,33 > tα = 1,96
S = 20,54 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,71 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für 4, 8, 9 und lags k ≥ 12
gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,12 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Finsterbusch
Mühldorf
ADF = -5,28 < k(1%) = -3,55
⇒ H1 (lag 2)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,75 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,17 ≤ tα = 1,96
S = 0,60 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,99 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,43 ≥ α = 0,05
⇒ H0
NPV
Nürnberg
ADF = -6,43 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,85 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 2,38 > tα = 1,96
S = 9,09 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,27 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k gilt:
W(Q-Stat.) ≥ α = 0,05
⇒ H0
W(RT) = 0,20 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Schmitt
Pforzheim
ADF = -6,00 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 2,67 > tα = 1,96
ϑ2 = 1,26 ≤ tα = 1,96
S = 8,69 > χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) =0,23 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für 12, 13, 22, 23, 24:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,12 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Schmitt
Schutterwald
ADF = -5,80 < k(1%) = -3,54
⇒ H1 (lag 0)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 1,43 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,15 ≤ tα = 1,96
S = 2,08 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,55 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,40 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 245
Klasse 7 Stationarität Tests auf Normalverteilung Tests auf Unabhängigkeit
Grossist ADF-Test Schiefe;
Wölbung;
Jarque Bera
Kolmogorov-Smirnov
Test (K-S)
Ljung-Box (Q-Stat.)
(Von lag k = 1 bis 15)
Runs Test (RT)
(Berechnung mit
arith. Mittel)
Getzkow
Ulm
ADF = -6,65 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+
ϑ1 = 0,49 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 0,26 ≤ tα = 1,96
S = 0,30 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,89 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für 12, 16, 19, 20, 21 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,60 ≥ α = 0,05
⇒ H0
PVG
Wiesbaden
ADF = -6,93 < k(1%) = -4,12
⇒ H1 . (lag 0 u. det. Trend)
Resid. lag 12: AC+ u. PAC+
ϑ1 = 0,84 ≤ tα = 1,96
ϑ2 = 1,06 ≤ tα = 1,96
S = 1,83 ≤ χ2k = 5,99 ⇒ H0
W(K-S) = 0,79 ≥ α = 0,05
⇒ H0
Für alle lags k ≥ 12 gilt:
W(Q-Stat.) < α = 0,05
⇒ H1
W(RT) = 0,13 ≥ α = 0,05
⇒ H0
5 Modellentwicklung 246
Klasse 7 - Modelltyp 1 (Deterministische Ansätze)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Trunk
Betzigau
$
y
t = 168,5 - 0,243 t
- 41,2 dFeb - 40,7 dMrz
- 56,7 dApr - 64,8 dMai
- 65,4 dJun - 59,1 dJul
- 49,7 dAug - 42,9 dSep
- 61,8 dOkt - 69,6 dNov
- 69,5 dDez
Realisationen:
134 ; 116 ; 121 ; 112
alle im Intervall
RMSE = 10,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 10,6
Modellprotokoll:
M.D. = 109
S.D. = 22,4
S.E. = 11,7
DW = 2,07
RA
2= 0,73
F-ST = 14,1
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 247
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Leister
Düsseldorf
$
y
t = 307,6 - 0,993 t
+ 55,0 dJan + 170,8 dFeb
Realisationen:
276 ; 419 ; 263 ; 275
alle im Intervall
RMSE = 25,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 24,0
Modellprotokoll:
M.D. = 296
S.D. = 59,4
S.E. = 26,7
DW = 2,05
RA
2= 0,80
F-ST = 78,7
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Schmitz
Duisburg
Stützb.: (01/94-12/96)
$
y
t= 631,2 - 2,536 t Realisationen:
564 ; 541 ; 490 ; 541
Wert 97:1 nicht im
Intervall
RMSE = 42,1
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 32,0
Modellprotokoll:
M.D. = 523
S.D. = 47,2
S.E. = 39,5
DW = 1,64
RA
2= 0,30
F-ST =16,0
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 248
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
PVG Giessen $
y
t = 203,3 - 0,275 t
- 15,7 dFeb - 18,7 dMrz
- 33,6 dApr - 20,9 dMai
- 26,2 dJun - 27,0 dJul
- 19,7 dAug + 2,8 dSep
- 37,5 dOkt - 44,7 dNov
- 27,2 dDez
Realisationen:
186 ; 175 ; 163 ; 169
alle im Intervall
RMSE = 9,6
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 9,7
Modellprotokoll:
M.D. = 173
S.D. = 17,6
S.E. = 10,9
DW = 1,97
RA
2= 0,62
F-ST = 8,86
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 249
Klasse 7 - Modelltyp 2 (Mit saisonalem ARMA-Teil)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Schmitt
Heidelberg
$
y
t= 245,9 + 0,536
u
t−12
+ 0,879
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)
Realisationen:
249 ; 258 ; 253 ; 231
alle im Intervall
RMSE = 13,3
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 14,1
Modellprotokoll:
M.D. = 261
S.D. = 23,8
S.E. = 13,6
DW = 1,50
RA
2= 0,67
F-ST = 49,2
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Finsterbusch
Mühldorf
$
y
t= 163,7 + 0,873
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen:
166 ; 165 ; 180; 153
alle im Intervall
RMSE = 14,1
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 13,7
Modellprotokoll:
M.D. = 165
S.D. = 20,0
S.E. = 14,4
DW = 1,80
RA
2= 0,48
F-ST = 56,0
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 250
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
NPV Nürnberg $
y
t= 569,1 + 0,879
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen 468 ;
558 ; 559 ; 530
alle im Intervall
RMSE = 37,5
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 36,8
Modellprotokoll:
M.D. = 570
S.D. = 46,8
S.E. = 33,7
DW = 1,78
RA
2= 0,48
F-ST = 55,7
W(F) = 0,000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Schmitt
Pforzheim
$
y
t= 115,0 + 0,885
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen:
113 ; 120 ; 114; 130
alle im Intervall
RMSE = 9,1
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 8,8
Modellprotokoll:
M.D. = 114
S.D. = 12,5
S.E. = 9,2
DW = 1,82
RA
2= 0,45
F-ST = 50,2
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 251
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Schmitt
Schutterwald
$
y
t= 195,0 + 0,389
u
t−12
+ 0,875
e
t−12
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1)
Realisationen:
194 ; 203 ; 177 ; 209
alle im Intervall
RMSE = 12,0
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 12,7
Modellprotokoll:
M.D. = 197
S.D. = 20,8
S.E. = 12,9
DW = 1,80
RA
2= 0,62
F-ST = 38,9
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
Getzkow
Ulm
$
y
t= 200,6 - 1,282 t
+ 0,542
u
t−12 - 0,886
e
t−12
(Linearer Trend +
SARIMA(0, 0, 0)(1, 0, 1))
Realisationen:
132 ; 142 ; 137; 129
alle im Intervall
RMSE = 11,8
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 12,0
Modellprotokoll:
M.D. = 135
S.D. = 17,7
S.E. = 10,2
DW = 1,82
RA
2= 0,67
F-ST = 32,4
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 252
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
PVG
Wiesbaden
$
y
t= 314,7 + 0,242
u
t−1
+ 0,860
e
t−12
SARIMA(1, 0, 0)(0, 0, 1)
Realisationen:
298 ; 312 ; 268 ; 307
alle im Intervall
RMSE = 22,4
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 19,9
Modellprotokoll:
M.D. = 319
S.D. = 32,7
S.E. = 23,2
DW = 1,97
RA
2= 0,50
F-ST = 29,6
W(F) = 0,000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. dyn. Prog. stat. add. sai. Exp. HP
5 Modellentwicklung 253
Klasse 7 - Modelltyp 3 (Mit saisonaler Differenzenbildung)
Grossist Prognosemodell Vergleich: Prognose
und Realisationen
(1997:01 - 1997:04)
Prognose mit der
exponentiellen
Glättung
Wertgen
Minden
D( $
y
t)0;12 = -0,094
e
t−1
+ 0,149
e
t−2 + 0,196
e
t−3
- 0,886
e
t−12 + 0,083
e
t−13
- 0,132
e
t−14 - 0,174
e
t−15
(Saisonale Diff. ∆12
1 ;
SARIMA(0, 0, 3)(0, 1, 1))
Realisationen:
169 ; 145 ; 129 ; 126
alle im Intervall
RMSE = 10,4
Exp. Glättung Holt-
Winters mit add. Saison
RMSE = 11,7
Modellprotokoll:
M.D. = 3,17
S.D. = 16,8
S.E. = 11,3
DW = 1,80
RA
2= 0,55
F-ST = 20,0
W(F) = 0,000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jan 92 Jan 93 Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97
Ausgaben (01/92-12/97)
Verkauf Prog. stat. add. sai. Exp. HP
6 Abschließende Bemerkungen 254
6 Abschließende Bemerkungen
Die hier vorgestellten Zeitreihenanalysen wurden in mehreren Schritten durchgeführt. Der erste
Schritt bestand in der Beschreibung der Verkaufszahlen einer Special Interest Zeitschrift. Dazu
wurden die absoluten Verkaufszahlen pro Grossist für die Jahre 92 bis 96 graphisch
dargestellt, die Korrelogramme der ACF und PACF der Verkaufszahlen ermittelt und die
Box-Ljung Q-Statistiken berechnet. Zeitreihen mit ähnlichen Korrelogrammen und
graphischen Verläufen wurden zusammengefasst. Insgesamt wurden daraus sieben
unterschiedliche Klassen gebildet.
Im zweiten Schritt erfolgte die genaue Identifikation der Zeitreihen mit geeigneten
Testverfahren. Dadurch erhielt man gegenüber der ersten Klassierung ein deutlich
differenzierteres Bild der Zeitreihen.
Als ein Ergebnis lässt sich festhalten, dass die graphische Darstellung der Verkaufszahlen und
die Korrelogramme erste wichtige Hinweise über die Struktur der Daten liefern.
Trendverläufe, starke saisonale Verläufe, Ausreißer, Wendepunkte, Strukturbrüche und erste
Hinweise über funktionale Zusammenhänge lassen sich erkennen. Zur alleinigen Identifikation
der Zeitreihen reichen sie aber nicht aus, da in der Regel die beschriebenen Effekte nicht
isoliert auftreten, sondern sich vielfach überlagern und damit schwer erkennbar sind. Zum
anderen fallen die Unterschiede in den graphischen Darstellungen und den Korrelogrammen
zwischen vielen Zeitreihen recht gering aus.
So erklärt sich auch, dass innerhalb der Klassen zum Teil verschiedene Modelltypen, rein
deterministische, rein stochastische, gemischte, mit oder ohne Saison, zur Modellierung
verwendet wurden.
Die zum Teil enormen Unterschiede in den Prognosequalitäten der Modelle liefern das
Hauptargument für die Richtigkeit der Vorgehensweise, die Verkaufszahlen individuell für
jeden einzelnen Grossisten mit einem geeigneten Modell zu prognostizieren. Es gibt Zeitreihen,
die keinerlei erkennbare Zusammenhänge in den Daten aufweisen. Für die Prognose derartige
Zeitreihen wird das arithmetische Mittel verwendet, das keinen Erklärungsgehalt für die
Variation der Verkaufswerte besitzt. Demgegenüber gibt es Zeitreihen, für die sich Modelle
entwickeln lassen, die mehr als 90% der Variation der Verkaufswerte, gemessen mit dem
bereinigten Bestimmtheitsmaß, erklären können.
6 Abschließende Bemerkungen 255
Im Kapitel 5.1 wurden die von den Verlagen gelieferten Daten vorgestellt. Neben den reinen
Verkaufsdaten pro Grossist und Ausgabe wurden auch eine Reihe von weiteren Variablen zur
Verfügung gestellt. Dazu zählen die Variablen Bezug (bezug), Bezug aller Einzelhändler mit
Nullverkauf (beznull), Bezug aller Einzelhändler mit Ausverkauf (bezaus = verkaus), Anzahl
der Einzelhändler mit Nullverkauf (ehnull), Anzahl der Einzelhändler mit Ausverkauf (ehaus)
und Anzahl aller eingeschalteten Einzelhändler (eheing). Daraus konnten weitere Variablen
gebildet werden:
Remission: remi = bezug- verkauf,
Restlicher Bezug: bezrest = bezug - (beznull + bezaus),
Restlicher Verkauf: verkrest = verkauf - bezaus,
Restliche Anzahl eingeschalteter Einzelhändler: ehrest = eheing - (ehnull + ehaus).
Aus den obigen Variablen wurden eine Reihe von Verhältnissen berechnet, zum Beispiel: Der
Durchschnittsverkauf pro Einzelhändler (verkauf / eheing), der Durchschnittsverkauf pro
Einzelhändler mit Ausverkauf (bezaus / ehaus) oder die Remissionsquote (remi / bezug).
Zur Prognose der Verkaufszahlen kann keine der von den Verlagen zusätzlich gelieferten
Variablen und der daraus neu gebildeten Variablen verwendet werden. Sie eignen sich
lediglich zur ex-post Betrachtung.
Die Verlage prognostizieren die Verkäufe pro Grossist. Daraus wird die Bezugsmenge
disponiert. Die Verteilung der Bezugsmenge auf die Einzelhändler ist Aufgabe der Grossisten.
Sie bestimmen die einzuschaltenden Einzelhändler und die pro Einzelhändler ausgelieferte
Bezugsmenge.
Die Prognose der Verkäufe ist schon komplex genug. Eine Prognose von Ausverkäufen oder
Nullverkäufen ist so gut wie unmöglich, da sich die Komplexität dieser Prozesse um ein
Vielfaches erhöht. Die Frage nach der Sinnhaftigkeit einer solchen Prognose für die Verlage
stellt sich ebenfalls.
Wie oben erwähnt, können die meisten Variablen nur zur ex-post Betrachtung verwendet
werden. Mit ihnen kann unter Umständen die Dispositionsleistung der Grossisten bewertet
werden, immer unter der Voraussetzung, dass die Verlage nicht zu hohe Bezugsmengen an die
Grossisten liefern.
Zur Prognose zukünftiger Verkaufszahlen sind diese Variablen aber nicht geeignet.
6 Abschließende Bemerkungen 256
Soweit bekannt, prognostizieren die Verlage nur die gesamte Verkaufsmenge mit Methoden
der Zeitreihenanalyse und berechnen durch Zuschläge die pro Auflage zu erstellende und zu
verteilende Bezugsmenge. In dieser Arbeit wurde bewußt eine andere deutlich differenzierte
Vorgehensweise gewählt. Für jeden Grossisten wurde aus seinen vergangenen Verkäufen ein
separates Modell zur kurz- bis mittelfristigen Prognose entwickelt. Die Prognoseergebnisse
dienen den Vertriebsdisponenten in den Verlagen als Hilfsmittel zur Optimierung der
Bezugsmengen für jeden Grossisten.
Gerade die individuelle Behandlung jedes einzelnen Grossisten liefert für Verlage und
Grossisten große Vorteile.
Die Verlage sind damit in der Lage, den Grossisten über die geplanten Bezugsmengen der
kommenden Ausgaben vorab zu informieren. Den Grossisten wird eine deutlich verbesserte
und konstantere Planung ermöglicht. Sie sind die Vertriebsspezialisten in ihrem Gebiet und
verfügen über die besten Kenntnisse hinsichtlich der Struktur der Einzelverkaufsstellen. Die
Entscheidungen über die möglichen einzuschaltenden Verkaufsstellen können nun mittelfristig
geplant werden, ebenso die Höhe der zu beliefernden Bezugsmengen pro Einzelhändler. Durch
die optimierte Verteilung der Bezugsmenge ließe sich der tatsächliche Verkauf verbessern und
folglich die Remission verringern.
Das latent vorhandene Konfliktpotential zwischen den Interessen von Verlagen und Grossisten
könnte durch die bessere Transparenz deutlich verringert werden. Die oft durch starken
Aktionismus gekennzeichnete Vertriebsarbeit von Grossisten und Verlagen ließe sich dadurch
beruhigen.
Die Verlage könnten sich ein deutlich verbessertes Erfolgs-Kontroll-System aufbauen. Bei
einem guten Reporting und einer permanenten Aktualisierung der Modelle ließen sich
Abweichungen zwischen prognostizierten und tatsächlich realisierten Verkäufen schnell
erkennen.
Zusätzlich ergibt sich für die Verlage die Möglichkeit von Quervergleichen zwischen den
Grossisten. Grossisten mit ähnlichen Gebiets- und Verkaufsstrukturen ließen sich miteinander
vergleichen. Negative Verkaufsentwicklungen könnten frühzeitig erkannt und korrigiert
werden.
Bei der Implementierung der Verkaufsprognosen sollten im hohen Maße die Möglichkeiten zur
Automatisierung der Abläufe genutzt werden. Dazu ist ein leistungsfähiges Zeitreihen-
Analysetool wie EViews erforderlich, um schnell und komfortabel für jeden Grossisten ein
adäquates Modell entwickeln zu können. Besonders wichtig ist aber die Validierung und das
Reporting der Modelle.
6 Abschließende Bemerkungen 257
Das Einlesen der neuen Verkaufsdaten, die Überprüfung zwischen Prognose und den
tatsächlichen Verkaufswerten und die Darstellung der Ergebnisse sollten automatisch nach
Eingang der neuen Zahlen ablaufen. Neuschätzungen sind erforderlich, wenn die Prognose
vorab definierte Gütekriterien nicht mehr erfüllt.
Schrittweise besteht die Möglichkeit, die Modelle zu verfeinern. Eine besondere Verbesserung
verspricht die Erfassung von Heft- und Titeleffekten. Dies könnte durch Implementierung eines
Systems von Dummy-Variablen geschehen, mit dem zum Beispiel die unterschiedlichen Effekte
von Titelbildern erfasst werden. Da dazu Expertenwissen unerlässlich ist, kann dieser Schritt
nur in direkter Zusammenarbeit mit den Verlagen erfolgen.
Anhang 258
Anhang
Anhang 1
Für jede Klasse von 1 bis 7 werden exemplarisch für einen Grossisten die Verkaufszahlen
graphisch aufbereitet sowie die Korrelogramme der ACF und PACF dargestellt.
Anhang 2
Tabelle mit den kritischen Grenzen des Durbin-Watson-Tests.
Anhang 259
Anhang 1
Klasse 1: Tonollo Göttingen
0
20
40
60
80
100
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 260
Klasse 1: Tonollo Göttingen
Date: 10/25/99 Time: 17:50
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. | . | . | . | 1 -0.002 -0.002 0.0003 0.986
. | . | . | . | 2 0.004 0.004 0.0015 0.999
.*| . | .*| . | 3 -0.109 -0.109 0.7766 0.855
. |*. | . |*. | 4 0.106 0.107 1.5296 0.821
.*| . | .*| . | 5 -0.141 -0.145 2.8791 0.719
. |*. | . |*. | 6 0.096 0.092 3.5090 0.743
.*| . | .*| . | 7 -0.136 -0.126 4.8102 0.683
. | . | . | . | 8 0.014 -0.015 4.8247 0.776
. | . | . | . | 9 -0.023 0.022 4.8620 0.846
. |*. | . |*. | 10 0.151 0.092 6.5669 0.766
. | . | . | . | 11 -0.011 0.035 6.5760 0.832
. | . | . | . | 12 0.043 0.004 6.7212 0.875
.*| . | .*| . | 13 -0.121 -0.084 7.8877 0.851
.*| . | .*| . | 14 -0.130 -0.173 9.2623 0.814
. | . | . |*. | 15 0.039 0.088 9.3887 0.856
. | . | . | . | 16 0.011 -0.046 9.3998 0.896
. | . | . | . | 17 0.003 0.048 9.4009 0.927
.*| . | .*| . | 18 -0.156 -0.170 11.569 0.869
.*| . | .*| . | 19 -0.124 -0.162 12.957 0.841
. | . | . | . | 20 -0.017 -0.010 12.983 0.878
. |*. | . | . | 21 0.120 0.041 14.359 0.854
.*| . | .*| . | 22 -0.125 -0.114 15.879 0.822
. |*. | . |*. | 23 0.068 0.085 16.342 0.840
. | . | . | . | 24 -0.054 -0.033 16.640 0.864
. | . | .*| . | 25 -0.048 -0.136 16.882 0.886
Anhang 261
Klasse 2: B & B Hamburg
0
500
1000
1500
2000
2500
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 262
Klasse 2: B & B Hamburg
Date: 10/25/99 Time: 18:47
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |*. | . |*. | 1 0.186 0.186 2.1757 0.140
. |** | . |** | 2 0.287 0.261 7.4436 0.024
. | . | .*| . | 3 -0.011 -0.109 7.4508 0.059
. |*. | . | . | 4 0.102 0.050 8.1373 0.087
. | . | . |*. | 5 0.065 0.084 8.4193 0.135
. | . | .*| . | 6 0.005 -0.069 8.4210 0.209
. |*. | . |*. | 7 0.120 0.117 9.4341 0.223
.*| . | .*| . | 8 -0.059 -0.086 9.6811 0.288
. |*. | . | . | 9 0.104 0.061 10.466 0.314
. | . | . | . | 10 -0.011 0.025 10.476 0.400
. |*. | . |*. | 11 0.158 0.101 12.376 0.336
. |*. | . |*. | 12 0.174 0.167 14.734 0.256
. | . | .*| . | 13 0.018 -0.126 14.761 0.323
. | . | .*| . | 14 -0.006 -0.091 14.764 0.394
. | . | . | . | 15 -0.037 0.047 14.880 0.460
. |*. | . |*. | 16 0.102 0.076 15.766 0.469
.*| . | .*| . | 17 -0.078 -0.116 16.293 0.503
. | . | . | . | 18 -0.012 -0.057 16.305 0.571
. | . | . | . | 19 -0.036 0.040 16.424 0.629
.*| . | .*| . | 20 -0.147 -0.172 18.428 0.559
.*| . | .*| . | 21 -0.103 -0.081 19.440 0.557
.*| . | . | . | 22 -0.090 0.048 20.232 0.569
. |*. | . |*. | 23 0.151 0.165 22.532 0.488
.*| . | .*| . | 24 -0.100 -0.174 23.564 0.487
. | . | .*| . | 25 -0.055 -0.113 23.885 0.526
Anhang 263
Klasse 3: Wehling Paderborn
0
50
100
150
200
250
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 264
Klasse 3: Wehling Paderborn
Date: 10/25/99 Time: 20:40
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |*** | . |*** | 1 0.351 0.351 7.7469 0.005
. |*. | . | . | 2 0.088 -0.039 8.2463 0.016
. | . | . | . | 3 0.058 0.046 8.4690 0.037
. |*. | . |*. | 4 0.101 0.079 9.1523 0.057
.*| . | .*| . | 5 -0.080 -0.164 9.5800 0.088
**| . | .*| . | 6 -0.222 -0.169 12.976 0.043
**| . | .*| . | 7 -0.194 -0.072 15.607 0.029
. | . | . |*. | 8 -0.026 0.078 15.655 0.048
**| . | **| . | 9 -0.210 -0.234 18.878 0.026
.*| . | . | . | 10 -0.164 0.016 20.875 0.022
. |*. | . |** | 11 0.098 0.203 21.601 0.028
. |** | . |*. | 12 0.266 0.152 27.076 0.008
. |*. | . | . | 13 0.189 0.063 29.909 0.005
. |*. | . | . | 14 0.079 -0.026 30.409 0.007
. | . | .*| . | 15 0.057 -0.083 30.674 0.010
. |*. | .*| . | 16 0.080 -0.058 31.211 0.013
. | . | . | . | 17 -0.014 0.015 31.228 0.019
.*| . | . | . | 18 -0.107 -0.035 32.243 0.021
. | . | . |*. | 19 0.012 0.125 32.256 0.029
. | . | . | . | 20 -0.035 -0.019 32.368 0.040
.*| . | . | . | 21 -0.099 0.017 33.298 0.043
.*| . | . | . | 22 -0.094 0.016 34.165 0.047
. |*. | . |*. | 23 0.080 0.094 34.802 0.054
. |*. | .*| . | 24 0.071 -0.097 35.316 0.064
. | . | .*| . | 25 0.016 -0.062 35.342 0.082
Anhang 265
Klasse 4: Schmidt & Hampe Hannover
0
50
100
150
200
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 266
Klasse 4: Schmidt & Hampe Hannover
Date: 10/25/99 Time: 20:47
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |***** | . |***** | 1 0.644 0.644 26.155 0.000
. |**** | . |** | 2 0.553 0.236 45.762 0.000
. |***** | . |*** | 3 0.613 0.342 70.284 0.000
. |**** | . |*. | 4 0.564 0.111 91.403 0.000
. |**** | . |*. | 5 0.561 0.162 112.68 0.000
. |*** | .*| . | 6 0.451 -0.134 126.70 0.000
. |*** | . |*. | 7 0.457 0.068 141.35 0.000
. |*** | . | . | 8 0.440 -0.041 155.20 0.000
. |*** | . | . | 9 0.378 -0.012 165.63 0.000
. |** | **| . | 10 0.277 -0.208 171.33 0.000
. |*** | . |*. | 11 0.338 0.175 180.00 0.000
. |*** | . |** | 12 0.423 0.197 193.86 0.000
. |** | .*| . | 13 0.266 -0.116 199.48 0.000
. |** | .*| . | 14 0.203 -0.131 202.81 0.000
. |*. | .*| . | 15 0.164 -0.166 205.04 0.000
. |*. | . | . | 16 0.186 0.014 207.98 0.000
. |** | . |*. | 17 0.209 0.098 211.76 0.000
. |*. | .*| . | 18 0.084 -0.068 212.39 0.000
. |*. | . | . | 19 0.096 0.002 213.23 0.000
. |*. | .*| . | 20 0.082 -0.076 213.85 0.000
. | . | . | . | 21 0.011 -0.049 213.86 0.000
.*| . | **| . | 22 -0.109 -0.234 215.03 0.000
.*| . | . | . | 23 -0.069 0.020 215.52 0.000
. | . | . |*. | 24 0.031 0.145 215.62 0.000
.*| . | . | . | 25 -0.087 -0.008 216.43 0.000
Anhang 267
Klasse 5: SWV Friedrichshafen
0
50
100
150
200
250
300
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 268
Klasse 5: SWV Friedrichshafen
Date: 10/25/99 Time: 20:53
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |***** | . |***** | 1 0.627 0.627 24.766 0.000
. |** | **| . | 2 0.203 -0.312 27.411 0.000
.*| . | **| . | 3 -0.157 -0.234 29.025 0.000
**| . | . | . | 4 -0.312 -0.044 35.491 0.000
***| . | .*| . | 5 -0.359 -0.154 44.202 0.000
***| . | **| . | 6 -0.412 -0.299 55.921 0.000
***| . | .*| . | 7 -0.352 -0.064 64.635 0.000
**| . | **| . | 8 -0.278 -0.213 70.175 0.000
.*| . | .*| . | 9 -0.122 -0.103 71.269 0.000
. |*. | . |*. | 10 0.144 0.169 72.820 0.000
. |**** | . |*** | 11 0.494 0.368 91.319 0.000
. |****** | . |**** | 12 0.779 0.479 138.30 0.000
. |**** | ***| . | 13 0.511 -0.409 158.97 0.000
. |*. | . |*. | 14 0.165 0.090 161.18 0.000
.*| . | . | . | 15 -0.165 0.057 163.44 0.000
**| . | .*| . | 16 -0.302 -0.069 171.16 0.000
**| . | . |*. | 17 -0.309 0.123 179.40 0.000
***| . | . |*. | 18 -0.330 0.066 189.05 0.000
**| . | .*| . | 19 -0.279 -0.066 196.12 0.000
**| . | . | . | 20 -0.209 0.045 200.20 0.000
.*| . | .*| . | 21 -0.098 -0.063 201.11 0.000
. |*. | .*| . | 22 0.086 -0.059 201.84 0.000
. |** | .*| . | 23 0.326 -0.144 212.50 0.000
. |**** | .*| . | 24 0.524 -0.063 240.90 0.000
. |*** | . | . | 25 0.348 -0.023 253.80 0.000
Anhang 269
Klasse 6: Brümmer Weiterstadt
0
100
200
300
400
500
600
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 270
Klasse 6: Brümmer Weiterstadt
Date: 10/25/99 Time: 21:05
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |**** | . |**** | 1 0.462 0.462 13.467 0.000
. |** | . | . | 2 0.258 0.056 17.727 0.000
. |*. | .*| . | 3 0.084 -0.070 18.183 0.000
. |** | . |** | 4 0.204 0.227 20.937 0.000
. |*. | . | . | 5 0.171 0.016 22.914 0.000
. |** | . |*. | 6 0.252 0.149 27.275 0.000
. |*. | . | . | 7 0.148 -0.021 28.805 0.000
. |*. | . | . | 8 0.144 0.032 30.285 0.000
. |*. | . | . | 9 0.074 -0.006 30.682 0.000
. |*. | . |*. | 10 0.173 0.108 32.903 0.000
. |** | . |*. | 11 0.234 0.139 37.064 0.000
. |*** | . |** | 12 0.403 0.254 49.661 0.000
. |*. | **| . | 13 0.141 -0.219 51.228 0.000
. | . | .*| . | 14 -0.007 -0.140 51.232 0.000
.*| . | .*| . | 15 -0.179 -0.188 53.870 0.000
. | . | . | . | 16 -0.056 -0.042 54.133 0.000
. | . | . | . | 17 -0.019 -0.003 54.162 0.000
.*| . | **| . | 18 -0.076 -0.243 54.668 0.000
.*| . | . | . | 19 -0.124 0.005 56.060 0.000
.*| . | . | . | 20 -0.067 0.045 56.476 0.000
.*| . | .*| . | 21 -0.144 -0.141 58.441 0.000
. | . | . |*. | 22 -0.032 0.105 58.539 0.000
. | . | . |*. | 23 0.044 0.074 58.735 0.000
. |*. | . |*. | 24 0.133 0.081 60.575 0.000
. | . | . | . | 25 -0.049 -0.002 60.826 0.000
Anhang 271
Klasse 7: Schmidt Pforzheim
0
40
80
120
160
1992 1993 1994 1995 1996
VERKAUF
Anhang 272
Klasse 7: Schmidt Pforzheim
Date: 10/25/99 Time: 21:10
Sample: 1992:01 1996:12
Included observations: 60
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |** | . |** | 1 0.215 0.215 2.9078 0.088
. |*. | . |*. | 2 0.115 0.073 3.7609 0.153
. | . | . | . | 3 0.008 -0.032 3.7652 0.288
. |*. | . |*. | 4 0.094 0.095 4.3490 0.361
. | . | .*| . | 5 -0.053 -0.093 4.5388 0.475
.*| . | .*| . | 6 -0.165 -0.164 6.4085 0.379
.*| . | . | . | 7 -0.094 -0.013 7.0331 0.425
. | . | . | . | 8 -0.041 -0.001 7.1531 0.520
. | . | . | . | 9 -0.038 -0.017 7.2577 0.610
.*| . | .*| . | 10 -0.139 -0.108 8.7052 0.560
. |*. | . |*. | 11 0.068 0.125 9.0547 0.617
. |*** | . |*** | 12 0.405 0.412 21.777 0.040
. |*. | .*| . | 13 0.113 -0.094 22.793 0.044
. | . | .*| . | 14 0.014 -0.097 22.808 0.063
. | . | . | . | 15 0.028 0.042 22.874 0.087
. | . | .*| . | 16 0.035 -0.098 22.977 0.114
. | . | . | . | 17 -0.055 -0.043 23.241 0.142
.*| . | . | . | 18 -0.178 -0.057 26.038 0.099
.*| . | . | . | 19 -0.135 -0.054 27.687 0.090
. | . | . |*. | 20 0.016 0.118 27.711 0.116
.*| . | .*| . | 21 -0.162 -0.185 30.204 0.088
**| . | .*| . | 22 -0.275 -0.162 37.583 0.020
.*| . | . | . | 23 -0.074 0.036 38.137 0.025
. |*. | .*| . | 24 0.098 -0.104 39.120 0.027
. | . | . | . | 25 0.032 0.026 39.229 0.035
Anhang 273
Anhang 2
Durbin-Watson-Test: Kritische Grenzen (5% Signifikanzniveau)
(Quelle: Judge / Hill / Griffiths / Lütkepohl / Lee 1988, S. 991-994)
K=2 K=3 K=4
Nd*UL d*UR D*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR
36 1,411 1,525 2,475 2,589 1,354 1,587 2,413 2,646 1,295 1,654 2,346 2,705
45 1,475 1,566 2,434 2,525 1,430 1,615 2,385 2,570 1,383 1,666 2,334 2,617
50 1,503 1,585 2,415 2,497 1,462 1,628 2,372 2,538 1,421 1,674 2,326 2,579
60 1,549 1,616 2,384 2,451 1,514 1,652 2,348 2,486 1,480 1,689 2,311 2,520
K=5 K=6 K=7
Nd*UL d*UR D*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR
36 1,236 1,724 2,276 2,764 1,175 1,799 2,201 2,825 1,114 1,877 2,123 2,886
45 1,336 1,720 2,280 2,664 1,287 1,776 2,224 2,713 1,238 1,835 2,165 2,762
50 1,378 1,721 2,279 2,622 1,335 1,771 2,229 2,665 1,291 1,822 2,178 2,709
60 1,444 1,727 2,273 2,556 1,408 1,767 2,233 2,592 1,372 1,808 2,192 2,628
Anhang 274
K=12 K=13 K=14
Nd*UL d*UR d*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR d*UL d*UR d*OL d*OR
36 0,808 2,306 1,694 3,192 0,748 2,398 1,602 3,252 0,689 2,492 1,508 3,311
45 0,988 2,156 1,844 3,012 0,938 2,225 1,775 3,062 0,887 2,296 1,704 3,113
50 1,064 2,103 1,897 2,936 1,019 2,163 1,837 2,981 0,973 2,225 1,775 3,027
60 1,184 2,031 1,969 2,816 1,145 2,079 1,921 2,855 1,106 2,127 1,873 2,894
N: Anzahl der Beobachtungswerte K: Anzahl der Regressoren, einschließlich des konstanten Terms
Anhang 275
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