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Fortschritt-Berichte VDI

Michael Schaub, M.Sc.

Berlin

Nr. 162

Wärmetechnik/

Kältetechnik

Reihe 19

Experimentelle

Betrachtung der

Wärmeübertragung

durch instationäre

freie Konvektion an

der vertikalen Platte

Schaub Instationäre konvektive Wärmeübertragung Reihe 19 · Nr. 162

Die Reihen der Fortschritt-Berichte VDI:

1 Konstruktionstechnik/Maschinenelemente

2 Fertigungstechnik

3 Verfahrenstechnik

4 Bauingenieurwesen

5 Grund- und Werkstoffe/Kunststoffe

6 Energietechnik

7 Strömungstechnik

8 Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik

9 Elektronik/Mikro- und Nanotechnik

10 Informatik/Kommunikation

11 Schwingungstechnik

12 Verkehrstechnik/Fahrzeugtechnik

13 Fördertechnik/Logistik

14 Landtechnik/Lebensmitteltechnik

15 Umwelttechnik

16 Technik und Wirtschaft

17 Biotechnik/Medizintechnik

18 Mechanik/Bruchmechanik

19 Wärmetechnik/Kältetechnik

20 Rechnerunterstützte Verfahren (CAD, CAM, CAE CAQ, CIM ...)

21 Elektrotechnik

22 Mensch-Maschine-Systeme

23 Technische Gebäudeausrüstung

ISBN 978-3-18-316219-2

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19 / 162

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Experimentelle Betrachtung der

Wärmeübertragung durch instationäre

freie Konvektion an der vertikalen Platte

vorgelegt von

Jan Michael Schaub, M.Sc.

geboren in Marburg

von der Fakultät III - Prozesswissenschaften

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

- Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Felix Ziegler

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Martin Kriegel

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Clemens Felsmann

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 10.05.2019

Berlin, 2019

Fortschritt-Berichte VDI

Experimentelle

Betrachtung der

Wärmeübertragung

durch instationäre

freie Konvektion an

der vertikalen Platte

Michael Schaub, M.Sc.

Berlin

Wärmetechnik/

Kältetechnik

Nr. 162

Reihe 19

Zugl.: Berlin, Technische Universität, Diss., 2019

Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe

(Fotokopie, Mikrokopie), der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, im Internet und das der Übersetzung,

vorbehalten.

Als Manuskript gedruckt. Printed in Germany.

ISSN 0178-9465

ISBN 978-3-18-316219-2

Schaub, Michael

Experimentelle Betrachtung der Wärmeübertragung durch instationäre

freie Konvektion an der vertikalen Platte

Fortschr.-Ber. VDI Reihe 19 Nr. 162. Düsseldorf: VDI Verlag 2019.

124 Seiten, 56 Bilder, 4 Tabellen.

ISBN 978-3-18-316219-2, ISSN 0178-9465,

¤ 48,00/VDI-Mitgliederpreis ¤ 43,20.

Für die Dokumentation: freie Konvektion – Wärmeübertragung – instationär – vertikale Platte

– Luft – experimentell – analytisches Berechnungsverfahren

In der vorliegenden Dissertation werden die Auswirkungen von instationären Prozessen in freier

Konvektion an der vertikalen Platte auf die Wärmeübertragung an Luft experimentell untersucht.

Die dabei erhobenen Messwerte werden auf der Grundlage einer phänomenologischen Be-

trachtung in ein analytisches Berechnungsverfahren überführt. So legt eine physikalische Interpre-

tation nahe, dass nach einer plötzlichen Veränderung der Wärmestromdichte ein Überschuss an

potentieller Energie in der Strömungsgrenzschicht entsteht, der in einem anschließenden Aus-

gleichsvorgang durch zusätzliche Konvektionsstrukturen (insb. Kelvin-Helmholtz-Wirbel) in kineti-

sche Energie umgewandelt wird. Betrachtet werden zyklische und sprungartige Variationen der

Randbedingungen, deren praktische Anwendung erst durch die Etablierung der elektronischen

Leistungsregelung relevant wurde. Derartige Betriebsweisen erlauben beispielsweise für die

Wärmeübergabe von Raumheizsystemen eine Intensivierung der Übertragungsleistung bei glei-

cher mittlerer Oberflächentemperatur.

Bibliographische Information der Deutschen Bibliothek

Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;

detaillierte bibliographische Daten sind im Internet unter www.dnb.de abrufbar.

Bibliographic information published by the Deutsche Bibliothek

(German National Library)

The Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliographie

(German National Bibliography); detailed bibliographic data is available via Internet at

www.dnb.de.

III

Vorwort

Die nachfolgende Dissertation entstand im Rahmen meiner Tätigkeit als wis-

senschaftlicher Mitarbeiter am Hermann-Rietschel-Institut, dem Fachgebiet

Gebäude-Energie-Systeme der Technischen Universität Berlin.

In verschiedenen Forschungsprojekten des Instituts konnten die Potentiale ei-

ner instationären Betriebsweise von technischen Komponenten zur Steigerung

der Energieeffizienz bei der Klimatisierung von Aufenthaltsräumen aufgezeigt

werden. Die vorliegende Arbeit soll daher einen Beitrag zum Verständnis und

zur Berechnung der damit verbundenen instationären Transportvorgänge leis-

ten.

„Die Endlosigkeit des wissenschaftlichen Ringens sorgt unablässig dafür,

dass dem forschenden Menschengeist seine beiden edelsten Antriebe

erhalten bleiben und immer wieder von neuem angefacht werden: Die

Begeisterung und die Ehrfurcht.“

Max Planck, dt. Physiker (1858 – 1947)

Mein Dank für das entgegengebrachte Vertrauen, die inhaltlichen und metho-

dischen Impulse, das fortdauernde Interesse und für ein stets offenes Ohr gilt

dem Hauptgutachter Prof. Dr.-Ing. Martin Kriegel. Für die konstruktiven fachli-

chen Anregungen und die bereitwillige Übernahme der Mitbegutachtung danke

ich Prof. Dr.-Ing. Clemens Felsmann. Außerdem danke ich meinen Kolleginnen

und Kollegen am Institut für den fachlichen und freundschaftlichen Austausch,

die begeisternde Arbeitsatmosphäre und für die Unterstützung bei der Durch-

führung der Experimente. Insbesondere danke ich jedoch meiner Familie und

meinen Freunden für die fortdauernde Motivation, das Verständnis, die Unter-

stützung in vielerlei Hinsicht und für all das, was Ihr mir ermöglicht habt.

Berlin, im Frühjahr 2019 Michael Schaub

V 
 
Inhalt 
Vorwort ........................................................................................................ III 
Nomenklatur ............................................................................................... VIII 
Kurzfassung ................................................................................................... XI 
Abstract ...................................................................................................... XIII 
Freie Konvektion an der vertikalen Platte ................................................... 1 
1 Konvektive Wärmeübertragung ............................................................... 2 
1.1 Räumlicher Bezug der Wärmeübertragungs-Intensität................... 5 
2 Laminar-turbulente Transition ................................................................. 6 
Instationäre freie Konvektion ..................................................................... 8 
1 Beschreibung von instationären freien Konvektionsströmungen ............. 9 
2 Berechnung von instationären Strömungsgrößen .................................. 11 
2.1 Physikalische Vereinfachungen .................................................... 12 
2.2 Modellbasierte Vereinfachungen ................................................. 14 
3 Weiterführende Betrachtung der instationären Wärmeübertragung ..... 17 
Experimentelle Analyse der Wärmeübertragung durch freie Konvektion  
an der vertikalen Platte ............................................................................. 18 
1 Versuchsaufbau ...................................................................................... 18 
1.1 Konstruktion und Umgebungsbedingungen ................................. 19 
1.2 Sandwich-Heizelemente ............................................................... 22 
1.3 Leistungszufuhr und Regelung ...................................................... 24 
1.4 Messwert-Erfassung ..................................................................... 26 
1.5 Betriebsverhalten ......................................................................... 28 
2 Stationäre Validierung ............................................................................ 29 
2.1 Bestimmung der Wärmeübertragung aufgrund von Strahlung ..... 30 
2.2 Bestimmung der konvektiven Wärmeübertragung ....................... 30 
2.3 Isotherme Oberfläche ................................................................... 31 
2.4 Homogene Wärmestromdichte .................................................... 33 
3 Instationäre Bewertungsmethodik ......................................................... 35 
3.1 Quasi-stationärer Betrachtungsansatz.......................................... 36 
3.2 Bewertung der instationären Wärmeübertragung ....................... 38 

VI 
 
3.3 Thermische Kapazität der Sandwich-Heizelemente ...................... 40 
3.4 Messunsicherheits-Fortpflanzung ................................................ 42 
4 Versuchsreihen mit veränderlichen Randbedingungen .......................... 42 
4.1 Zyklische Variationen.................................................................... 42 
4.2 Sprungartige Änderungen mit anschließender Beharrung ............ 50 
5 Schlussfolgerungen zur instationären Wärmeübertragung .................... 54 
Phänomenologische Betrachtung .............................................................. 55 
1 Strömungsvisualisierung ........................................................................ 55 
1.1 Versuchsaufbau zur Strömungsvisualisierung ............................... 55 
1.2 Strömungsstrukturen ................................................................... 56 
2 Strömungsgeschwindigkeiten ................................................................. 60 
2.1 Versuchsaufbau zur Messung von Strömungsgeschwindigkeiten . 61 
2.2 Geschwindigkeits-Fluktuationen .................................................. 62 
3 Schlussfolgerungen zu instationären Strömungsstrukturen ................... 65 
Analytische Prognose der Wärmeübertragung durch instationäre  
freie Konvektion ........................................................................................ 66 
1 Physikalische Modellvorstellung ............................................................. 66 
1.1 Potentielle und kinetische Energie der freien Konvektion ............ 66 
1.2 Zeitliche Entwicklung der Wärmeübertragung durch  
freie Konvektion ........................................................................... 68 
2 Prognosemodell zur instationären Wärmeübertragung bei  
zyklischer Variation der Randbedingungen ............................................ 69 
2.1 Validierungsmessungen für zyklische Variationen ........................ 70 
2.2 Instationäre Phase bei zyklischen Variationen .............................. 73 
2.3 Momentanwerte von zyklischen Variationen ............................... 76 
2.4 Modellanwendung und Prognosegüte für zyklische Variationen .. 78 
3 Prognosemodell zur instationären Wärmeübertragung bei  
sprungartigen Änderungen mit anschließender  Beharrung ................... 80 
3.1 Validierungsmessungen für sprungartige Änderungen ................. 81 
3.2 Instationäre Phase bei sprungartigen Änderungen ....................... 83 
3.3 Momentanwerte von sprungartigen Änderungen ........................ 85 

VII

5.3.4 Modellanwendung und Prognosegüte für

sprungartige Änderungen ............................................................ 87

6 Zusammenfassung ..................................................................................... 89

7 Ausblick ..................................................................................................... 93

A Anhang ...................................................................................................... 95

A.1 Ergebnisse der Validierungsmessungen für zyklische Variationen .......... 95

A.2 Ergebnisse der Validierungsmessungen für sprungartige Änderungen . 100

Literatur ...................................................................................................... 103

VIII

Nomenklatur

Symbol

Einheit

Bedeutung

Griechische Formelzeichen



W/(m² K)

Wärmeübergangskoeffizient



1/K

isobarer thermischer Volumen-Ausdehnungskoeffizient



Grenzschichtdicke

�

Differenz



Gesamtemissionsgrad

�

°C

Temperatur



W/(m K)

Wärmeleitfähigkeit



kg/(m s)

dynamische Viskosität



m²/s

kinematische Viskosität

�

Verhältnis von Impulsgrößen zu mittleren Größen

�

kg/m³

Massendichte

�

mechanische Spannung

�

Zeitkonstante

Lateinische und sonstige Formelzeichen



m²/s

Temperaturleitfähigkeit

�

m²

Fläche



Regressionsparameter



J/(kg K)

spezifische Wärmekapazität

�

J/K

thermische Kapazität

�

kg/(m s³)

Diffusionsterm



J/m³

spezifische Energie



N/m³

volumenbezogene Kräfte



m/s²

Schwerebeschleunigung



Grashof-Zahl



J/kg

spezifische Totalenthalpie

�

charakteristische Länge des Strömungsgebiets

�

Regressionsparameter

�

Nußelt-Zahl

Symbol

Einheit

Bedeutung



Druck

�

Prandtl-Zahl

󰇗

W/m²

spezifische Leistung

�

Rayleigh-Zahl

�

Reynolds-Zahl



Standardabweichung (Grundgesamtheit)



Zeit

�

Temperatur

�

Turbulenzgrad



m/s

Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung



m/s

Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung

�

m³

Volumen

�󰇗

m³/h

Volumenstrom



m/s

Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung



Richtungskomponente (vertikal in Plattenebene)



Richtungskomponente (normal zur Plattenebene)



Richtungskomponente (horizontal in Plattenebene)

Indices und Abkürzungen

modifiziert (Randbedingung Wärmestromdichte)

dimensionslos



zeitliches Mittel

∞

ungestörtes Umgebungsfluid

Referenzniveau der Stoffwerte

1�

Zeitraum für 63,2 % der Sprungantwort

konvektiv

char

charakteristisch

elektrisch

Fluid

instationär

isPh

instationäre Phase

kin

kinetisch

Symbol

Bedeutung

geometrisches Mittel der charakteristischen Länge

lam

laminar

LSB

Bitwertigkeit (engl. least significant bit)

arithmetisches Mittel

max

Maximum

Messbereich

min

Minimum

Messwert

(Umgebungs-)Oberfläche

bei konstantem Druck

pot

potentiell

radiativ (Wärmestrahlung)

stationär

thermisch

turb

turbulent

(beheizte) Wandoberfläche

Ort auf Richtungskomponente x

Ort auf Richtungskomponente y

Ort auf Richtungskomponente z

Kurzfassung

Die vorliegende Ausarbeitung untersucht den Einfluss von instationären Strö-

mungsstrukturen in freier Konvektion auf die Wärmeübertragung von einer

vertikalen Platte an Luft. Dazu werden die mittlere und die momentane Intensi-

tät der konvektiven Wärmeübertragung für zyklische und sprungartig variie-

rende Betriebsweisen einer direkt-elektrisch beheizten, 2 m hohen Kupferplat-

te experimentell erfasst.

Bei Dauerbetriebstemperaturen von maximal 100 °C und Impuls-Wärme-

stromdichten von bis zu 1.430 W/m² werden sowohl laminare, als auch tran-

siente und turbulente Strömungsformen betrachtet. Im Vergleich zur einer

quasi-stationären Betrachtungsweise tritt im instationären Fall eine mittlere

Intensivierung der konvektiven Wärmeübertragung von maximal 23,8 % bei

zyklischen Variationen der Randbedingungen und von bis zu 30,2 % bei sprung-

artigen Änderungen auf. Die stärkste Beeinflussung der konvektiven Wärme-

übertragung durch eine instationäre Betriebsweise zeigt sich im Bereich der

kritischen Grashof-Zahl, also zu Beginn der laminar-turbulenten Transition. Hin-

sichtlich der zeitlichen Entwicklung der Wärmeübertragungs-Intensität treten

die größten Überschreitungen des quasi-stationären Vergleichsniveaus stets

zum Ende eines Wärmestrom-Impulses auf.

Phänomenologische Betrachtungen der instationären Konvektionsströmung in

Form von Visualisierungen zeigen bei einer impulsartigen Wärmestromzufuhr

eine temporär verstärkte Durchmischung der Grenzschicht. Exemplarische

Messungen zur zeitlichen Entwicklung der Strömungsgeschwindigkeiten inner-

halb der Grenzschicht zeigen dabei ebenfalls stark ausgeprägte irreguläre Fluk-

tuationen. Die phänomenologischen Beobachtungen legen daher nahe, dass

überschüssige potentielle Energie, die durch einen hinreichend intensiven

Wärmestrom-Impuls plötzlich in eine Auftriebsströmung eingebracht wird, zu-

nächst durch das temporäre Aufkommen von großskaligen Rotationsbewegun-

gen in kinetische Energie umgewandelt wird, bevor sich eine quasi-stationäre

Strömungsentwicklung einstellt.

Die Grenzschichtfluktuationen stehen darüber hinaus in guter zeitlicher Über-

einstimmung mit der instationären Phase der Wärmeübertragung. Die vo-

rübergehende Intensivierung des konvektiven Wärmetransports wird dement-

XII

sprechend auf eine kurzzeitig verstärkte Durchmischung der Grenzschicht zu-

rückgeführt.

Auf Grundlage der experimentellen Ergebnisse, für die eine sehr gute quantita-

tive und qualitative Reproduzierbarkeit vorliegt, wird ein analytisches Berech-

nungsmodell vorgestellt. Als zentrale Einflussgrößen werden darin die mittlere

Grashof-Zahl und eine dimensionslose Kennzahl � berücksichtigt, welche als

Maß für den mittleren Überschuss der potentiellen Energie innerhalb der insta-

tionären Phase interpretiert wird.

Das Berechnungsmodell erlaubt sowohl die Prognose der mittleren, als auch

der momentanen Wärmeübertragungs-Intensität durch instationäre freie Kon-

vektionsströmungen an der vertikalen Platte. So eröffnet sich für derartige

Wärmeübertrager durch eine gezielte Variation der Betriebsweise die Möglich-

keit zu einer Intensivierung der Übertragungsleistung bei gleichen mittleren

Oberflächentemperaturen oder zu einer Reduzierung der mittleren Oberflä-

chentemperaturen bei gleicher Übertragungsleistung.

XIII

Abstract

The present elaboration investigates the influence of unsteady flow structures

in natural convection on the heat transfer from a vertical flat plate to air.

Therefore, the mean and momentary intensity of convective heat transfer are

determined experimentally for cyclic and step-like changes in the operation

mode of a direct-electrically heated, 2 m high copper plate.

At continuous operating temperatures of max. 100 °C and impulse heat flux

densities of up to 1,430 W/m², laminar, transitional and turbulent flows are

considered. Compared to a quasi-stationary approach, in the unsteady case, a

maximum increase in the mean convective heat transfer of 23.8% occurs for

cyclic variations of the boundary conditions and of up to 30.2% for step-like

changes. The strongest influence of an unsteady operation mode on the con-

vective heat transfer occurs in the range of the critical Grashof number – i.e. at

the beginning of the laminar-turbulent transition. In terms of the temporal de-

velopment of the heat transfer intensity, the largest exceedances of the quasi-

stationary comparison level consistently occur at the end of a heat flux im-

pulse.

Phenomenological observations of the unsteady convection flow in the form of

visualizations show a temporarily increased mixing of the boundary layer in the

case of an impulse-like heat flux supply. Exemplary measurements of the tem-

poral development of the flow velocities within the boundary layer also show

very distinctive irregular fluctuations. Thus, the phenomenological observations

indicate that surplus potential energy, which is suddenly transferred into a

buoyant flow by a sufficiently intensive heat flux impulse, is initially converted

into kinetic energy through the temporary appearance of large-scale rotational

structures, before a quasi-stationary flow development occurs.

Furthermore, the boundary layer fluctuations are in good temporal agreement

with the unsteady phase of heat transfer. The temporary enhancement of the

convective heat transport is accordingly attributed to a short-time intensified

mixing of the boundary layer.

Based on the experimental results, for which a very good quantitative and qual-

itative reproducibility prevails, an analytical calculation model is presented. The

mean Grashof number and a dimensionless parameter � (which is interpreted

XIV

as a measure of the mean potential energy surplus within the unsteady phase)

are considered as main influencing quantities.

The calculation model allows the prediction of the mean as well as the momen-

tary heat transfer intensity due to unsteady natural convection flows at the

vertical plate. Consequently, for these type of heat exchangers, an unsteady

operation mode allows an increase in the heat transfer intensity for the same

average surface temperatures or a decrease in the average surface tempera-

tures for the same heat transmission rate.

1 Freie Konvektion an der vertikalen Platte

In zahlreichen natürlichen und technischen Prozessen spielen freie (oder natür-

liche) Konvektionsströmungen eine signifikante Rolle für den Transport von

Wärme. Ein für technische Prozesse besonders relevantes Beispiel für einen

derartigen, durch Gravitation und Dichteunterschiede induzierten Mole-

kültransport sind Auftriebs- oder Fallströmungen von Fluiden in der Nähe von

Festkörpern mit abweichender Temperatur.

Der Transport von Wärme zwischen Festkörper und Fluid geschieht dabei in-

nerhalb der Grenzschicht, in der die Strömungsgeschwindigkeit  des Fluids

vom Wert Null an der Festkörperwand (Haftbedingung) über ein Maximum bis

zum Ruhezustand des Umgebungsfluids variiert, wie in Abbildung 1.1 für den

Fall einer isothermen Wand dargestellt.

Abbildung 1.1: Grenzschichtstruktur bei freier Konvektion an der isothermen

vertikalen Platte

Da der Wärmetransport bei einer Fluidgeschwindigkeit von Null in unmittelba-

rer Wandnähe ausschließlich aufgrund von Wärmeleitung erfolgt, charakteri-

siert der Temperaturgradient des Fluids ��F�

⁄ an der Wand gemäß Glei-

chung 1 (Fourier’shes Wärmeleitungsgesetz) zugleich die Intensität der kon-





 

�F 



vektiven Wärmeübertragung 󰇗, sofern Wärmestrahlung unberücksichtigt

bleibt.

󰇗=−W∙󰇡��F

�󰇢=

(Gl. 1)

Bei freien Konvektionsströmungen an der vertikalen Platte weist die Strö-

mungsgrenzschicht  stets eine größere Dicke im Vergleich zur Temperatur-

grenzschicht  auf, da am Grenzschichtrand auch temperatur- und somit dich-

teneutrale Teilchen des Umgebungsfluids eine Impulsübertragung von der Auf-

triebs- oder Fallströmung erfahren.

1.1 Konvektive Wärmeübertragung

Eine analytische Berechnung der Temperatur- und Geschwindigkeitsprofile ge-

lingt bislang aufgrund der Kopplung von Energie- und Impulstransport nicht

(vgl. Kapitel 2.2.1). Die Wärmeübertragung durch Transmission in unmittelba-

rer Wandnähe und der konvektive Molekültransport in der Grenzschicht wer-

den daher bevorzugt in einem konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten 

zusammengefasst (Gleichung 2).

=󰇗

�W − �∞

(Gl. 2)

Der somit beschriebene Zusammenhang von konvektiver Wärmestromdichte 󰇗

und der vorliegenden Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und dem un-

gestörten Umgebungsfluid ∆�W-∞ wird insbesondere zur Quantifizierung der

Wärmeübertragungs-Intensität einer konkreten technischen Anwendung her-

angezogen.

Zur Erarbeitung von Korrelationen, deren Gültigkeit nicht nur auf ein individuel-

les Problem oder ein willkürlich gewähltes Maßsystem beschränkt bleibt, wer-

den darüber hinaus dimensionslose Kennzahlen gebildet. Im Falle des konvekti-

ven Wärmeübergangskoeffizienten  gelingt dies mit Hilfe einer charakteristi-

schen Länge � und der Wärmeleitfähigkeit des Umgebungsfluids F (Glei-

chung 3).

�L= ∙ �

�F

(Gl. 3)

Die dabei resultierende Nußelt-Zahl � kann folglich als dimensionslose Inten-

sität der konvektiven Wärmeübertragung interpretiert werden.

Kennzeichnend für die Intensität von freien Konvektionsströmungen sind ne-

ben den Auftriebskräften aus temperaturbedingten Dichteunterschieden auch

die entgegenwirkenden Reibungskräfte aufgrund von Zähigkeit sowie die Träg-

heitskräfte. Ausgehend von einer linearen Kopplung zwischen Fluidtemperatur

und -dichte sowie unter Berücksichtigung von Dichteunterschieden ausschließ-

lich im Auftriebsterm (Oberbeck-Boussinesq-Approximation, vgl. Kapitel 2.2.1)

kann der Zusammenhang von Auftriebs-, Zähigkeits- und Trägheitskräften mit

der dimensionslosen Grashof-Zahl  gemäß Gleichung 4 beschrieben werden.

L=� ∙ ∞ ∙ 󰇛�W − �∞󰇜 ∙ �

� (Gl. 4)

Für den Fall einer homogenen Wärmestromdichte anstelle einer isothermen

Oberfläche kann die Grashof-Zahl auch in eine modifizierte Form ∗ überführt

werden (Gleichung 5).

L

*=L∙�L=� ∙ ∞ ∙ 󰇗 ∙ �

� ∙ �F

(Gl. 5)

Das Verhältnis von Impuls- und Wärmetransport in einer Grenzschicht wird

durch zustandsabhängige Stoffparameter mit Hilfe der Prandtl-Zahl � nach

Gleichung 6 wiedergegeben.

�=�� (Gl. 6)

Durch eine Kopplung der Kräfteverhältnisse mit den fluidspezifischen Trans-

porteigenschaften gemäß Gleichung 7 resultiert die ebenfalls dimensionslose

Rayleigh-Zahl �.

�L=L∙� (Gl. 7)

Sie wird bei freier Konvektion häufig für eine fluidunabhängige Charakterisie-

rung der Strömungsform herangezogen, soll also u.a. einen Rückschluss darauf

geben, ob eine Strömung geordnet-laminare oder chaotisch-turbulente Struk-

turen aufweist.

Tatsächlich weist die laminar-turbulente Transition jedoch eine Abhängigkeit

vom Impuls- und Wärmetransport innerhalb eines jeweiligen Fluids, also von

dessen Prandtl-Zahl, auf (vgl. [Bejan und Lage 1990] sowie [Vitharana und Ly-

kodis 1994]). Im Folgenden wird daher die fluidspezifische Grashof-Zahl als Sta-

bilitäts-Kriterium herangezogen. Für das Beispiel der freien Konvektion von Luft

an der vertikalen, isothermen Platte vollzieht sich die Transition in einem Be-

reich von ca.  < L < ∙ (vgl. z.B. [Pirovano et al 1970], [Siebers et al.

1985] sowie [Tsuji und Nagano 1989]). Bei einer homogenen Wärmestromdich-

te liegt der Transitionsbereich bei  < L

* < ∙ (vgl. [Miyamoto und

Okayama 1982] sowie [Kitamura et al. 1985]).

Die dargestellten Kennzahlen der Ähnlichkeitstheorie erlauben es schließlich,

die Intensität der konvektiven Wärmeübertragung auf der Basis von empiri-

schen Korrelationen abzuschätzen. Im Bereich der freien Konvektion kommt

dabei den Korrelationen von [Churchill und Chu 1975] in den Gleichungen 8

und 9 die größte Relevanz zu. Sie basieren auf Messdaten zahlreicher Autoren

in einem sehr weiten Anwendungsbereich (ca. - < �L < ) und sind bei

isothermer Oberfläche mit einer Gültigkeit für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

angegeben.

 < �L < :

�L=  +  ∙ ��L



⁄

󰇧 + 󰇡 

��󰇢

⁄󰇨

⁄ (Gl. 8)

�L > :

�L=

(

  +  ∙ ��L



⁄

󰇧 + 󰇡 

��󰇢

⁄󰇨

⁄

)



(Gl. 9)

Für den Fall einer homogenen Wärmestromdichte kann der Faktor 0,492 durch

den Wert 0,437 ersetzt werden. �L ist dann auf Grundlage der Gleichungen 5

und 7 iterativ mit Hilfe von Gleichung 10 zu bestimmen.

�L=�L

* �L

⁄ (Gl. 10)

Eine Übersicht der bekannten Korrelationen für verschiedene Randbedingun-

gen wird beispielsweise in [Khalifa 2001], [Aydin und Guessous 2001] sowie

[Martynenko und Khramtsov 2005] gegeben. Die Intensität der konvektiven

Wärmeübertragung wird dabei vorwiegend als Potenzfunktion in Abhängigkeit

der Grashof- und Prandtl-Zahl approximiert. Für die isotherme vertikale Platte

werden Exponenten in der Größenordnung von 1/5 bis 1/4 im laminaren und

ca. 1/3 bis 2/5 im turbulenten Bereich angegeben (vgl. hierzu auch [Martin

1984]). Bei homogener Wärmestromdichte verringern sich die Exponenten auf

zumeist 1/5 für laminare und etwa 1/4 für turbulente Strömungen.

1.1.1 Räumlicher Bezug der Wärmeübertragungs-Intensität

Für die dargestellte Beschreibung der stationären Wärmeübertragungs-

Intensität durch freie Konvektionsströmungen anhand der Nußelt-Zahl in Ab-

hängigkeit der Grashof-Zahl ist jedoch eine Unterscheidung zwischen globalen

und lokalen Angaben zu beachten. Aus semi-empirischen Korrelations-

Gleichungen, wie z.B. den Gleichungen 8 und 9, gehen stets mittlere globale

Nußelt-Zahlen für das gesamte Strömungsgebiet mit der charakteristischen

Länge � hervor. Für lokale Werte werden in der Literatur hingegen unterschied-

liche Bilanzräume verwendet. So beziehen sich einige Autoren (vgl. z.B. [Piro-

vano et al. 1970] sowie [Miyamoto und Okayama 1982]) bei der Angabe von

lokalen Nußelt-Zahlen tatsächlich auf die Intensität der Wärmeübertragung an

einem bestimmten Ort  innerhalb des Strömungsgebiets �. Davon abwei-

chend ist auch ein Bezug der Wärmeübertragungs-Intensität auf ein Teilgebiet

der betrachteten Strömung etabliert (vgl. z.B. [Warner und Arpaci 1968]). Die

lokalen Nußelt-Zahlen korrespondieren dann mit einer Bilanzierung vom Beginn

der Strömung (leading-edge,  = 0) bis zu einem Ort �

⁄ (siehe auch Abbildung

3.6 in Kapitel 3.1.2). Dieser Vorgehensweise liegt die Annahme zugrunde, dass

stromabwärts befindliche Bereiche keine Rückwirkungen auf das betrachtete

Teilgebiet der Strömung haben.

Aus zahlreichen Quellen geht die Bilanzierungsart für lokale Angaben nicht ein-

deutig hervor (vgl. [Yang 2001] mit Bezug auf [Saunders 1936], [Cheeswright

1968], [Vliet und Ross 1975], [Kitamura et al. 1985], [Siebers et al. 1985], [Tsuji

und Nagano 1988] und [Tsuji und Nagano 1989] sowie [Hattori et al. 2006]).

Zumeist ist jedoch eine Zuordnung anhand des Verlaufs der einzelnen Daten-

punkte möglich. So wird der Übergangsbereich von der laminaren zur turbulen-

ten Strömungsform insbesondere bei einer Angabe der Nußelt-Zahlen von Ein-

zelpositionen � deutlich (siehe z.B. Abbildung 3.11 in Kapitel 3.2.3). Bei Bi-

lanzierung über einen Teilbereich des Strömungsgebiets �

⁄ resultiert letztlich

ein quasi-globaler Wert �/L, der ggf. laminare, transiente und turbulente

Strömungsformen beinhaltet. In doppelt-logarithmischer Darstellung verstetigt

sich in der Folge die Anordnung der Datenpunkte im Transitionsbereich (siehe

u.a. Abbildung 3.12 in Kapitel 3.2.3).

Um eine eindeutige Unterscheidung der jeweils bilanzierten Strömungsberei-

che zu ermöglichen, werden im Folgenden die Indices L für globale Bilanzen des

gesamten Strömungsgebiets, x/L für quasi-globale Angaben zu einem Teilbe-

reich und x für lokale Einzelwerte eines Ortes verwendet.

1.2 Laminar-turbulente Transition

Der Transitions-Prozess einer stationären freien Konvektionsströmung an der

vertikalen Platte ist in Abbildung 1.2 schematisch sowie interferometrisch dar-

gestellt.

Grenzt ein ruhendes Fluid an eine beheizte vertikale Oberfläche an, so stellen

sich aufgrund der in Gleichung 1 beschriebenen Wärmeleitung Temperatur-

und somit Dichteunterschiede im Fluid ein. Beginnend am unteren Ende der

Platte setzt eine zunächst laminare Auftriebsströmung mit geordneten Stromli-

nien ein (leading-edge-effect). Die resultierenden Geschwindigkeitsunterschie-

de zwischen Strömungsgrenzschicht und ruhendem Umgebungsfluid lassen lo-

kale Trennschichten entstehen. Dort auftretende Scherkräfte stören im weite-

ren Verlauf die laminare Stabilität, weshalb sich vermehrt zweidimensionale

Strukturen, insbesondere Tollmien-Schlichting-Wellen, ausbilden. Mit zuneh-

mender Strömungsweglänge werden diese durch dreidimensionale, Λ-förmige

Wellen überlagert, die in Turbulenzflecken zerfallen und schließlich in eine voll-

turbulente Strömungsform übergehen.

In turbulenten Strömungsgebieten tritt eine verstärkte Durchmischung der

Grenzschicht mit weiter entferntem Umgebungsfluid auf, was u.a. zu einer er-

heblichen Intensivierung der Wärmeübertragung zwischen Oberfläche und Flu-

id führt. Ein Ansatz zur Beschreibung dieses makroskopischen konvektiven Im-

puls- und Energietransports besteht in Analogie zur molekularen Viskosität und

Temperaturleitfähigkeit in der Einführung turbulenter Transportgrößen (siehe

Kapitel 2.2.2).

Abbildung 1.2: Laminar-turbulente Transition bei freier Konvektion an der vertikalen

Platte

(Bildquelle: bearbeitet nach [Oertel jr. 2017])



  



2 Instationäre freie Konvektion

Insbesondere in turbulenten Strömungen müssen die Temperatur- und Ge-

schwindigkeitswerte an jedem Ort einer Grenzschicht als zeitlich fluktuierend

betrachtet werden. Die in den Kapiteln 1.1 und 1.2 dargestellten Zusammen-

hänge, welche für einen vollständig ausgebildeten Strömungszustand gelten,

beziehen sich somit auf zeitlich konstante Mittelwerte der Schwankungsgrößen

(im Folgenden: statistisch stationär). Während der Entstehungs- oder Abkling-

phase einer Strömung sowie bei einer gezielten Variation der Randbedingun-

gen muss jedoch die gesamte Strömung als zeitvariabel angesehen werden (im

Folgenden: instationär).

Die Intensität von Geschwindigkeits-Fluktuationen, die an einem bestimmten

Ort  innerhalb der Strömungsgrenzschicht auftreten, kann mit Hilfe des Turbu-

lenzgrades � gemäß Gleichung 11 quantifiziert werden.

�=󰇛+󰇜 

⁄ (Gl. 11)

Die darin verwendete dimensionsfreie Geschwindigkeit 

+ resultiert gemäß

Gleichung 12 aus einem Bezug der dimensionsbehafteten Grenzschichtge-

schwindigkeit  auf die charakteristische Geschwindigkeit der freien Konvekti-

onsströmung har. Deren Bestimmungsgleichung 13 geht aus einer Gleichset-

zung der Grashof-Zahl mit dem Quadrat der Reynolds-Zahl hervor (vgl. z.B. [O-

ertel jr. 2017]).



+= har

⁄ (Gl. 12)

har =√∙�

⁄∙∞∙∆�W-∞ (Gl. 13)

Weist der so bestimmte Turbulenzgrad im zeitlichen Verlauf Veränderungen

auf, wird die Strömung am betrachteten Ort der Grenzschicht als instationär

interpretiert (siehe Kapitel 4.2).

2.1 Beschreibung von instationären freien Konvektions-

strömungen

In diesem Sinne instationäre freie Konvektionsströmungen wurden v.a. hin-

sichtlich des laminaren Anlaufverhaltens eines anfänglich ruhenden Fluids aus-

führlich betrachtet. Zahlreiche theoretische (vgl. z.B. [Gebhart 1961] und [Geb-

hart 1963]) sowie experimentelle (vgl. z.B. [Gebhart und Adams 1963],

[Sammakia et al. 1985] und [Maranzana et al. 2002]) Untersuchungen hierzu

zeigen hinreichend genaue Berechnungsergebnisse, wenn für die jeweils aktu-

ellen Randbedingungen eines Zeitpunktes die Berechnungs-Korrelationen für

statistisch stationäre Strömungen herangezogen werden (im Folgenden: quasi-

stationär). Voraussetzung ist, dass sich die Temperaturänderung an der Ober-

fläche langsamer vollzieht, als die Ausbildung der Grenzschicht (vgl. [Saha et al.

2012]). Zusammenfassende zeitliche Skalierungs-Korrelationen für die Grenz-

schichtdicken, Strömungsgeschwindigkeiten und Wärmeübergänge von lamina-

ren Strömungen bei sinusförmigen Temperaturschwankungen geben [Lin und

Armfield 2017] an. Für sehr schnelle Temperaturänderungen an der wärme-

übertragenden Oberfläche wurden in der Grenzschicht von laminaren Strö-

mungen hingegen auch Fluktuationen der Temperaturen (vgl. [Patterson et al.

2002] und [Zhao et al. 2016]) und Geschwindigkeiten (vgl. [Zhao et al. 2019])

beobachtet, die deutlich von einem quasi-stationärem Verlauf abweichen.

Im Bereich der (teil-)turbulenten instationären freien Konvektionsströmungen

befasst sich ein Großteil der bisherigen Betrachtungen mit der phänomenologi-

schen und analytischen Beschreibung von Störfrequenzen, die einer statistisch

stationären Strömung (teilweise zeitvariabel) aufgeprägt werden. Sowohl expe-

rimentelle, als auch numerische Untersuchungen kommen zu dem Schluss, dass

bestimmte Störfrequenzen u.a. in Abhängigkeit der Grashof-Zahl entweder ver-

stärkend oder dämpfend wirken (vgl. z.B. [Gebhart 1969], [Mollendorf und

Gebhart 1970], [Cheeswright und Doan 1978] sowie [Paul und Rees 2008]). Ei-

nige Arbeiten interpretieren dies als eine Art Filter-Wirkung der Grenzschicht.

Demnach sei vor allem bei den Störfrequenzen eine Anfachung der Turbulenz

festzustellen, die der charakteristischen Eigenfrequenz der Temperaturgrenz-

schicht entsprechen (vgl. [Joshi und Gebhart 1987] sowie [Zhao et al. 2013]).

Neben Strömungs-Beeinflussungen durch extern aufgeprägte thermische oder

mechanische Störungen konnten einige Untersuchungen auch während des

Aufheiz- und Abkühlvorgangs von beheizten vertikalen Oberflächen instationä-

re Entwicklungen in turbulenten Strömungen nachweisen. So gelang es bei-

spielsweise [Joshi und Gebhart 1987] sowie [Joshi und Gebhart 1988] nach ei-

ner impulsartigen Erhöhung oder Reduktion der Wärmestromdichte temporär

großskalige Wirbelstrukturen zu visualisieren, die im weiteren zeitlichen Ver-

lauf wieder vollständig abklangen. Auch bei Temperatur- und Geschwindig-

keitsmessungen mit Hilfe von reaktionsschnellen Thermoelementen und Faser-

film-Anemometern konnten irreguläre Schwankungen innerhalb der Grenz-

schicht festgestellt werden. Lokale Fluktuationen der Oberflächentemperatur

zeigten darüber hinaus vorübergehende Abweichungen der konvektiven Wär-

meübertragung von einer quasi-stationären zeitlichen Entwicklung. [Inagaki

und Komori 1995] beschreiben in ähnlicher Weise das zufällige Auftreten von

zweidimensionalen turbulenten Strukturen. [Zhao et al. 2015] konnten die zeit-

liche Variation der lokalen Auftriebsgeschwindigkeiten nach einer sprunghaften

Erhöhung der Wärmstromdichte einer beheizten vertikalen Platte auch mit Hil-

fe einer Particle Image Velocimetry quantifizieren. Sie unterteilen die Strö-

mungsentwicklung in einen eindimensionalen Anlaufvorgang (I), gefolgt von

instationären Fluktuationen (II), die schließlich in einen quasi-stationären End-

zustand (III) übergehen. Abbildung 2.1 veranschaulicht dies anhand der Ge-

schwindigkeitskomponente  (Hauptströmungsrichtung).

Zusammenfassend beschreiben die dargestellten Untersuchungen irreguläre

Fluktuationen der Zustandsgrößen in sämtlichen Grenzschichtbereichen (la-

minar, transient und turbulent) von freien Konvektionsströmungen, die selbst

einer zeitlichen Veränderung unterliegen.

Eine Methodik zur Prognose der damit einhergehenden zeitlichen Entwicklung

des Wärmetransports auf der Grundlage einer algebraischen oder analytischen

Herangehensweise ist zum gegenwärtigen Zeitpunkt jedoch nicht bekannt.

Gleichwohl würde eine derartige Methodik zahlreiche prozesstechnische Mög-

lichkeiten eröffnen. Beispielhaft sei die Beeinflussung des Wärmeübertra-

gungsvermögens von beheizten Oberflächen durch eine systematische Variati-

on der Betriebsweise genannt. Das Ziel der nachfolgenden Untersuchung ist

daher die Erarbeitung eines Berechnungsmodells zur Prognose der Wärme-

übertragung durch instationäre freie Konvektion an der vertikalen Platte.

Abbildung 2.1: Lokale Grenzschichtgeschwindigkeit bei instationärer freier

Konvektion

(mit I: Anlauf, II: instationäre Phase, III: quasi-stationärer Endzustand)

(Bildquelle: bearbeitet nach [Zhao et al. 2015])

2.2 Berechnung von instationären Strömungsgrößen

Für die Prognose von Strömungszuständen und den damit verbundenen Trans-

portgrößen werden neben den in Kapitel 1.1 beschriebenen empirischen Korre-

lationen insbesondere bei anspruchsvollen Fragestellungen auch numerische

Strömungssimulationen eingesetzt. Grundsätzlich kann dabei für eine beliebige

Strömungskonfiguration der Transport von Masse, Impuls und Energie voll-

ständig beschrieben werden, weshalb eine simulationsbasierte Analyse der in-

stationären konvektiven Wärmeübertragung naheliegt. Insbesondere für die

Betrachtung von freien Konvektionsströmungen treten unter den zur Durchfüh-

rung derartiger Simulationen erforderlichen Vereinfachungen jedoch methodi-

sche Einschränkungen auf, deren Relevanz nachfolgend diskutiert wird.

Voraussetzung für die vollständige Beschreibung der Transportvorgänge ist ei-

ne zeitliche und räumliche Diskretisierung des gesamten Strömungsgebiets in

Berechnungselemente in der Größenordnung der Kolmogorov-Skalen (� = 1).

Die Austauschvorgänge zwischen den Berechnungselementen resultieren dann

aus einer direkten numerischen Lösung der instationären, dreidimensionalen

Erhaltungsgleichungen (engl. direct numerical simulation – DNS). Mit der Kon-

zeitlicher Verlauf

Grenzschichtgeschwindigkeit

(II) (III)(I)

tinuitätsgleichung (Gleichung 14), den Impulserhaltungsgleichungen (Gleichun-

gen 15 bis 17) und der Energieerhaltungsgleichung (Gleichung 18) entsteht ein

gekoppeltes nichtlineares Differentialgleichungssystem (für eine ausführliche

Herleitung vgl. z.B. [Herwig und Schmandt 2015]).

��

�+�󰇛�∙󰇜

� +�󰇛�∙󰇜

� +�󰇛�∙󰇜

� = (Gl. 14)

�󰇛�∙󰇜

� +�(�∙ +  − �)

� +�(�∙∙ − �)

� +�󰇛�∙∙ − �z󰇜

� −= (Gl. 15)

�󰇛�∙󰇜

� +�(�∙∙ − �)

� +�(�∙ +  − �)

� +�(�∙∙ − �z)

� −= (Gl. 16)

�󰇛�∙󰇜

� +�󰇛�∙∙ − �z󰇜

� +�(�∙∙ − �z)

� +�(�∙ +  − �zz)

� −z= (Gl. 17)

�󰇛�∙� – 󰇜

� +�󰇛�∙∙� + 󰇗󰇜

� +�(�∙∙� + 󰇗)

� +�󰇛�∙∙� + 󰇗z󰇜

� (Gl. 18)

−(∙+∙+∙z)−�=

Darin gibt der erste Index der Spannungen � jeweils die Normalenrichtung der

Oberfläche an, auf der die Spannung wirkt; der zweite Index beschreibt die

Richtung der resultierenden Kraft. Die volumenbezogenen Kräfte  beinhalten

Schwerkraft, Zentrifugalkraft sowie die Lorentz-Kräfte. Ferner sind die Oberflä-

chenkräfte aufgrund von Normal- und Schubspannungen in der Energieglei-

chung durch einen Diffusionsterm � gemäß Gleichung 19 zusammengefasst.

�=�(∙� + ∙� + ∙�z)

� +�(∙� + ∙� + ∙�z)

� +�(∙�z + ∙�z + ∙�zz)

� (Gl. 19)

2.2.1 Physikalische Vereinfachungen

Zur Lösung des Gleichungssystems sind jedoch weitere Randbedingungen zu

definieren (vgl. z.B. [Oertel jr. 2017]). So gelingt die Bestimmung des Druckes

durch eine Betrachtung als ideales Gas. Stoffwerte können aus kalorischen Zu-

standsgleichungen bestimmt und (mit Ausnahme der Dichte) vereinfachend als

konstant angenommen werden. Unter der Voraussetzung eines Fourier’schen

Wärmeleitungsverhaltens gelingt die Kopplung zwischen Wärmestromvektor

und Temperaturfeld, wobei ein Strahlungswärmeaustausch des Fluids selbst

nicht berücksichtigt wird. Außer der Schwerkraft werden darüber hinaus alle

volumenbezogenen Kräfte vernachlässigt. Ferner kann der Spannungstensor für

Newton’she Fluide a das Geshwidigkei sfeld gekoppel werde wodurh

die Navier-Stoke’she Gleihuge e s ehe.

Eine elementare Reduktion der Komplexität der Transportgleichungen ergibt

sich schließlich bei Verwendung der Oberbeck-Boussinesq-Approximation. Sie

ermöglicht es, freie Konvektionsströmungen mit geringen Mach-Zahlen als in-

kompressibel zu behandeln, indem eine Veränderung der Dichte nur noch im

Auftriebsterm der Impulsgleichung berücksichtigt wird. Durch den Abbruch ei-

ner Taylor-Reihe zum Zustand der Dichte � nach dem ersten Glied gelingt eine

lineare, druckunabhängige Kopplung an die Temperatur � gemäß Gleichung 20.

�󰇛�󰇜=�∙[1−∙󰇛�−�󰇜] (Gl. 20)

Zur weiteren Verringerung des Berechnungsaufwandes kann für freie Konvek-

tionsströmungen aufgrund der niedrigen Geschwindigkeiten die viskose Dissi-

pation in der Energiegleichung vernachlässigt werden (vgl. [Schlichting und

Gersten 2006]). Bleiben für den Spezialfall der vertikalen Platte ferner die

Komponenten der -Achse unberücksichtigt, ergeben sich die zweidimensiona-

len Grundgleichungen für freie Konvektionsströmungen gemäß den Gleichun-

gen 21 bis 24.

�

�+�

�= (Gl. 21)

�󰇡�

�+�

�+�

�󰇢+�

�−�∙∙∙󰇛�−�󰇜−󰇡�

�+�

�󰇢= (Gl. 22)

�󰇡�

�+�

�+�

�󰇢+�

�−󰇡�

�+�

�󰇢= (Gl. 23)

�∙p󰇡��

�+��

�+��

�󰇢−󰇡��

�+��

�󰇢= (Gl. 24)

Aus Gleichung 22 wird ersichtlich, dass bei freier Konvektion eine direkte Kopp-

lung zwischen Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld zu berücksichtigen ist.

Energie- und Impulsgleichung können folglich nicht unabhängig voneinander

gelöst werden.

Zur Durchführung von direkten numerischen Simulationen ist jedoch auch mit

den genannten Vereinfachungen und unter Berücksichtigung der rasanten in-

formationstechnologischen Entwicklung auf absehbare Zeit die Verfügbarkeit

von Großrechenanlagen (Super-Computer-Cluster) vorauszusetzen (vgl. z.B.

[Oertel jr. 2017]). Selbst mit deren Rechenleistung sind die Möglichkeiten zur

Betrachtung von Strömungen mit hohen Turbulenzintensitäten (große Grashof-

oder Reynolds-Zahlen) unter heutigen Maßstäben jedoch stark begrenzt. Dar-

über hinaus ergeben sich bzgl. der Verarbeitung der enormen Datenmengen

weitere Problemstellungen.

Die wenigen bislang bekannten direkten numerischen Simulationen zu instatio-

nären freien Konvektionsströmungen an der vertikalen Platte konnten die in

Kapitel 2.1 beschriebenen instationären Phänomene dessen ungeachtet jedoch

mit sehr guter qualitativer und quantitativer Übereinstimmung abbilden (vgl.

[Brooker et al. 2000], [Lin et al. 2008] sowie [Aberra et al. 2012]).

2.2.2 Modellbasierte Vereinfachungen

Um die genannten Restriktionen von direkten numerischen Simulationen zu

umgehen und die Durchführung von Strömungssimulationen auch mit modera-

ten Rechenkapazitäten zu ermöglichen, wurden verschiedene (meist semi-

empirische) Strömungsmodelle erarbeitet, die den Berechnungsumfang zur

Auswertung der strömungsmechanischen Grundgleichungen massiv reduzie-

ren.

Im Fokus dieser Herangehensweise stehen Abstraktionen für den Transport von

turbulenten Strömungsgrößen (Turbulenzmodelle). Einen wesentlichen Ansatz

stellt die Modellierung von turbulenten Spannungen als äquivalente Viskosität

dar (Wirbelviskositäts-Modelle oder Boussinesq-Ansatz). Voraussetzung für

derartige Modelle ist eine (i.d.R. zeitliche) Mittelung von Strömungsparame-

tern, aus der die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (engl. Rey-

nolds-averaged Navier-Stokes – RANS) hervorgehen. Darauf aufbauend existie-

ren sowohl Modelle, die Isotropie voraussetzen, als auch solche, die eine Prog-

nose von anisotropen Strömungen ermöglichen. Erstere approximieren die tur-

bulenten Schubspannungen proportional zum mittleren Geschwindigkeitsgra-

dienten, z.B. in Form von Zweigleichungsmodellen. Anisotrope Transportvor-

gänge werden durch eine Modellierung der Umverteilung der Turbulenz selbst,

u.a. in Reynolds-Stress-Transport-Modellen (RSTM), abgebildet.

Darüber hinaus kann der RANS-Ansatz mit Hilfe einer Ensemblemittelung

grundsätzlich auch in statistisch nicht stationären Strömungen angewendet

werden (engl. unsteady RANS – URANS). Für eine turbulente Strömungsgröße,

die im statistisch stationären Fall typischer Weise eine zufällige Schwankung

um einen Mittelwert aufweist, wird dann anstelle einer zeitlichen Mittelung für

jeden Zeitschritt das arithmetische Mittel aus einer mehrmaligen Berechnung

gebildet. Dies ermöglicht eine Prognose der zeitlichen Entwicklung von mittle-

ren Strömungsgrößen. URANS-Methoden können jedoch folglich nur eine hin-

reichende Grundlage zur Beurteilung von instationären Phänomenen sein, so-

lange eine Trennung zwischen turbulenzbedingten Schwankungen und den in-

stationären Änderungen selbst möglich ist (sog. spektrale Lücke, vgl. z.B. [Wil-

cox 2002]). Anschaulich ausgedrückt, werden durch URANS-Methoden also nur

großräumige Wirbel, nicht jedoch die kleineren Strukturen (Turbulenzballen)

erfasst, da diese durch den Mittelungsprozess verschwinden.

Ein alternatives Vorgehen besteht in der direkten numerischen Simulation von

großskaligen Wirbeln in Kombination mit Modellen für kleinskalige Strukturen

(engl. large-eddy simulation – LES). Dem liegt die Vorstellung zugrunde, dass

die größten Turbulenzelemente am stärksten zur Produktion sowie zur aniso-

tropen Verteilung der turbulenten kinetischen Energie beitragen und maßgeb-

lich für die Strömungsgestalt sind. Kleinskaligen turbulenten Strukturen werden

hingegen hauptsächlich Dissipationsvorgänge zugeordnet; sie weisen daher ei-

nen eher universellen Charakter auf. Da die räumlich gefilterten großskaligen

Turbulenzelemente ohne Modellannahmen simuliert werden, entfallen die

Notwendigkeit einer Mittelung und somit auch die o.g. Restriktionen der

URANS-Methodik.

Als problematisch ist bei derartigen Grobstruktursimulationen jedoch die Be-

rücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den kleinen, nicht numerisch

aufgelösten und den großskaligen, aufgelösten Strömungselementen anzuse-

hen. So liegt den Feinstruktur-Modellen (engl. subgrid-scale – SGS) u.a. die Hy-

pothese einer lokalen Isotropie zugrunde. Im Gegensatz zu ungestörten Strö-

mungsbereichen ergibt sich bei Grenzschicht-Strömungen jedoch insbesondere

im für den Wärmeübergang relevanten wandnahen Bereich aufgrund der fes-

ten Begrenzung zwangsläufig eine Richtungsabhängigkeit. Die turbulenten Be-

wegungen werden dabei in Richtung der Wand aufgrund von Schubspannun-

gen zunehmend gedämpft, bis schließlich die molekulare Viskosität dominiert.

Darüber hinaus findet im Fall von freien Konvektionsströmungen aufgrund des

Energietransports von der Wand an das Fluid eine Umkehr des Energieflusses

statt. So wird im wandnahen Bereich aufgrund von thermischer Instabilität tur-

bulente kinetische Energie in den kleinen, nicht numerisch aufgelösten Skalen

produziert und zu den großen, aufgelösten Skalen transportiert (vgl. z.B. [Fröh-

lich 2006]).

Berücksichtigt werden derartige Strömungsformen durch hybride Ansätze. Die

LES wird dabei im wandnahen Bereich durch zusätzliche Methoden ergänzt.

Beispielhaft seien hier die Wandfunktionen sowie Niedrig-Reynolds-Zahl-

Turbulenzmodelle (engl. low-�) genannt. Für letztere (im Zusammenhang mit

LES oft als DES – engl. detached-eddy simulation – bezeichnet) sind ebenfalls

die Einschränkungen der Reynolds-Mittelung in instationären Strömungen zu

beachten. Die meist algebraischen Zusammenhänge zwischen Wandabstand

und lokaler Geschwindigkeit oder Schubspannung von Wandfunktionen setzen

indessen eine konstante turbulente Wirbelviskosität, also eine vollständig aus-

gebildete, statistisch stationäre Strömung voraus (vgl. [Schlichting und Gersten

2006]). Darüber hinaus weisen beide Ansätze bei einer Anwendung in freier

und Mischkonvektion aufgrund der Kopplung von Temperatur- und Strömungs-

feld bereits im stationären Fall größere Unsicherheiten auf (vgl. [Henkes und

Hoogendoorn 1990] sowie [Xu et al. 1998]) und erfordern zusätzliche Model-

lanpassungen (vgl. z.B. [Kriegel 2005] und [Hölling 2006]).

Alternativ ist bei LES-Methoden eine lokale Anpassung der numerischen Auflö-

sung und der räumlichen Filterung möglich, sodass auch im relevanten wand-

nahen Bereich sehr kleinskalige Strömungselemente ohne weitere Modellan-

nahmen simuliert werden. Eine derartige Verfeinerung der numerischen Dis-

kretisierung führt jedoch ebenfalls zu einem enormen Berechnungsaufwand,

der letztlich in einer quasi-direkten numerischen Simulation mündet.

2.3 Weiterführende Betrachtung der instationären Wärme-

übertragung

Aufgrund der in Kapitel 2.2 genannten Restriktionen einer simulationsbasierten

Untersuchung der Wärmeübertragung durch instationäre freie Konvektions-

strömungen werden mögliche Kausalzusammenhänge zwischen einer gezielten

Variation von Strömungs-Randbedingungen und der instationären Wärmeüber-

tragungs-Intensität im Folgenden experimentell analysiert. Eine Beschreibung

des Versuchsaufbaus und der Bewertungsmethodik sowie eine Darstellung und

Interpretation der Messergebnisse erfolgen in Kapitel 3. Ergänzend werden die

auftretenden Strömungscharakteristika in Kapitel 4 visualisiert und phäno-

menologisch interpretiert. Auf Grundlage der gewonnenen Erkenntnisse wird in

Kapitel 5 schließlich ein analytisches Modell zur Prognose der Wärmeübertra-

gung durch instationäre freie Konvektionsströmungen an der vertikalen Platte

vorgestellt und im Rahmen von gezielten Wiederholungsmessungen validiert.

3 Experimentelle Analyse der Wärmeübertragung

durch freie Konvektion an der vertikalen Platte

Zur experimentellen Analyse der Auswirkungen einer instationären freien Kon-

vektionsströmung auf die Wärmeübertragung von einer vertikalen Platte an

Luft wird eine direkt-elektrisch beheizte Oberfläche nachfolgend stationären

sowie zeitlich variablen (instationären) Betriebsmodi ausgesetzt. Als Bewer-

tungsgrundlage dient dabei der Vergleich zwischen einer quasi-stationären Be-

trachtung und den bilanzierten Größen im instationären Fall (siehe Kapitel 3.3).

Die verwendeten Stoffwerte beziehen sich jeweils auf die arithmetisch gemit-

telte Temperatur der Plattenoberfläche und des ungestörten Umgebungsfluids.

Eine Ausnahme stellt der Volumen-Ausdehnungskoeffizient  dar. Im Sinne ei-

ner Kopplung von Fluiddichte und Fluidtemperatur (vgl. Gleichung 20) ist für

dessen Bestimmung nur das Umgebungs-Temperaturniveau von Relevanz.

3.1 Versuchsaufbau

Insbesondere für die messtechnische Erfassung von instationären Größen lei-

ten sich verschiedene Anforderungen an die Beschaffenheit eines experimen-

tellen Aufbaus ab. Vorrangig ist hier die Berücksichtigung des Einflusses von

thermischen Kapazitäten der wärmeübertragenden Oberfläche sowie der ver-

wendeten Messtechnik zu nennen. Darüber hinaus liegen der konstruktiven

Ausgestaltung des Versuchsaufbaus die nachfolgend aufgeführten funktionel-

len Erfordernisse zugrunde.

• Berücksichtigung sämtlicher Strömungsformen, d.h. laminar, transient und

vollturbulent.

• Erfassung von Momentanwerten der Wärmeübertragung im instationären

Betriebsfall.

• Lokal variabel anpassbare Leistungsdichte oder Oberflächentemperatur

der beheizten Platte.

• Strömungsmechanisch ungestörtes Umgebungsfluid mit nahezu konstan-

tem Stoffzustand.

• Möglichst geringer Einfluss anderer Wärmetransportmechanismen (insbe-

sondere Strahlung).

3.1.1 Konstruktion und Umgebungsbedingungen

Als Umgebungsfluid zur Untersuchung der instationären freien Konvektion

dient feuchte Luft. Der Versuchsaufbau ist dazu in einer ca. 180 m² großen und

etwa 7 m hohen, vollklimatisierten Halle des Hermann-Rietschel-Instituts der

TU Berlin angeordnet. Die thermo-physikalischen Randbedingungen sind für die

Dauer der Versuche konstant auf 20 °C ±1 K und 50 % r.F. ±5 % r.F. gehalten.

Abbildung 3.1: Strömungsmechanische Abschirmung der beheizten Platte

(links: geöffnete Abschirmung; rechts: geschlossener Zustand)

Um der Anforderung eines vollturbulenten Strömungsbereichs gerecht zu wer-

den, sind Grashof-Zahlen in der Größenordnung von /L > ∙ erforderlich

(vgl. Kapitel 1.1). Dies kann in Luft beispielweise für Temperaturdifferenzen von

ca. ∆�W-∞ =  K zwischen Oberfläche und Umgebungsfluid und bei einer Strö-

mungsweglänge ab ca. �

⁄     erreicht werden. Um einen ausreichend

großen vollturbulenten Bereich sicherzustellten, ist der Versuchsaufbau auf ei-

ne Strömungsweglänge von � =   und eine maximale Übertemperatur der

� = . 

beheizten Platte von ∆�W-∞ =  K ausgelegt, was einer rechnerischen Grashof-

Zahl von ca. /L =  ∙ an der Plattenoberkante entspricht.

Zur Vermeidung einer Beeinflussung der zu betrachtenden natürlichen Konvek-

tionsvorgänge durch die Raumluftströmungen der klimatechnischen Konditio-

nierung der Versuchshalle, ist die beheizte Platte horizontal allseitig strö-

mungsmechanisch abgeschirmt (Abbildung 3.1). Die Abschirmung besteht aus

einer Dämmschicht mit geringer thermischer Kapazität (120 mm extrudierter

Polystyrol-Hartschaum). Sie ist zudem in Richtung der beheizten Platte mit ei-

ner stark reflektierenden Aluminium-Folie beschichtet, um den Strahlungs-

wärmeaustausch mit der Platte zu minimieren. In Richtung der Versuchshalle

ist die Abschirmung matt schwarz lackiert, um möglichst im thermischen

Gleichgewicht mit den Umgebungsbedingungen zu stehen.

Abbildung 3.2: Abmessungen des Versuchsaufbaus (Draufsicht)

In vertikaler Richtung ist die Abschirmung durch 50 mm hohe Strömungs-

Gleichrichter ausgeführt. Diese bestehen aus extrudiertem Polypropylen und

weisen eine wabenartige Struktur auf, die durch nebeneinander angeordnete,

vertikale Röhren mit einem Innendurchmesser von jeweils 8 mm entsteht und

einen freien Querschnitt von ca. 85 % aufweist. Die Auftriebsströmung der be-

heizten Platte kann so nach oben aus dem abgeschirmten Bereich austreten,

während von unten Umgebungsluft aus der Versuchshalle nachströmt.

Die beheizte Platte besteht aus zehn übereinander angeordneten Kupfer-

Sandwich-Elementen (siehe Kapitel 3.1.2) mit einer Höhe von jeweils 200 mm

und einer Breite von einem Meter.

Abbildung 3.3: Abmessungen des Versuchsaufbaus (Seitenansicht)

Orthogonal zur Plattenebene befindet sich an einer Seite der horizontalen Ab-

schirmung eine 850 mm breite Borosilikat-Glasscheibe mit einer Dicke von

5 mm. Sie ermöglicht die optische Erfassung von Strömungsvorgängen (Kapitel

4.1) bei geringem Brechungsindex (ca. 1,47) und weist ebenfalls einen hohen

Reflexionsgrad im infraroten Bereich auf.

Die Gesamtabmessungen des Versuchsaufbaus sind in Abbildung 3.2 und Ab-

bildung 3.3 dargestellt.

3.1.2 Sandwich-Heizelemente

Zur Bestimmung von Momentanwerten der Intensität der konvektiven Wärme-

übertragung ist eine Berücksichtigung der thermischen Kapazität der beheizten

Platte erforderlich, da ein Teil des bilanzierten Wärmestroms deren Be- oder

Entladung zuzurechnen ist (siehe Kapitel 3.3.2). Im Falle einer einseitig an ein

Umgebungsfluid grenzenden Oberfläche, die rückseitig durch starke Dämmung

als annähernd adiabat betrachtet werden kann, gelänge dies nur mit Kenntnis

des zeitvariablen Temperaturprofils innerhalb der Dämmschicht.

Den durchgeführten experimentellen Untersuchungen liegt daher ein symmet-

rischer Aufbau zu Grunde, der beidseitig an das Umgebungsfluid grenzt. Abbil-

dung 3.4 zeigt die Konstruktion der Sandwich-Heizelemente schematisch.

Abbildung 3.4: Aufbau der Sandwich-Heizelemente

Dabei dient ein ca. 1,1 mm dickes Silikon-Glasgewebe als Trägermaterial für

Edelstahl-Leiterbahnen mit einer Breite von etwa 4,2 mm und einer Dicke von

0,7 mm Kupferplatte

1,1 mm Silikon-Glasgewebe

0,7 mm Kupferplatte

0,05 mm Edelstahl-Leiterbahn





Auftriebs-

strömung

Auftriebs-

strömung

0,05 mm. Die Leiterbahnen sind im Abstand von rund 3,5 mm im ätztechni-

schen Prinzip angeordnet, woraus eine Belegungsdichte von gut 55 % resultiert.

Auf dem Trägermaterial der Heizleiter ist mittels Verklebung beidseitig eine

0,7 mm dicke Kupferplatte (Typ Cu-DHP_CW024A) angebracht, die eine homo-

gene Temperaturverteilung in der Plattenebene bewirkt und ihrerseits einen

sehr geringen Emissionskoeffizienten für Wärmestrahlung aufweist. Die Homo-

genität der Oberflächentemperatur wird für den genannten Aufbau zuvor

messtechnisch mit Hilfe einer Infrarot-Thermografie an einem matt-schwarz

beschichteten Probe-Heizelement überprüft. Dabei sind sowohl im stationären

Fall, als auch während eines Aufheizvorganges keine nennenswerten lokalen

Temperaturunterschiede feststellbar. Aufgrund der geringen Gesamtdicke der

Sandwich-Heizelemente von etwa 2,5 mm und der hohen Wärmeleitfähigkeit

der Kupferschichten wird auch das Temperaturprofil im Plattenquerschnitt (y-

Komponente) als homogen angenommen.

Jedes der zehn Heizelemente weist einen elektrischen Wirkwiderstand von ca.

6 Ω auf und kann mit einer Stromstärke von bis zu 10 A beaufschlagt werden.

Für die dazu erforderliche Gleichspannung von 60 V resultiert eine Leistung von

rund 600 W pro Sandwich-Heizelement. Dies entspricht einer flächen-

spezifischen elektrischen Leistung von etwa 1.500 W/m² (beidseitig).

Abbildung 3.5: Befestigung der Sandwich-Heizelemente

(links: Klemmvorrichtung; rechts: Gesamtaufhängung)

Die Sandwich-Heizelemente sind einzeln mit Hilfe einer Klemmvorrichtung aus

Polycarbonat (Makrolon®) befestigt, das für Temperaturen bis 110 °C dauerhaft

beständig ist und kurzzeitig mit bis zu 135 °C belastet werden kann. Die Lage-

rung der Klemmvorrichtungen ist an einer Seite der Platte beweglich ausge-

führt, um die Längenausdehnung der Kupferplatten aufgrund von Tempera-

turänderungen auszugleichen (Abbildung 3.5). Die Zugkraft einer Feder unter-

stützt dabei auch während eines Aufheiz- oder Abkühlvorgangs eine möglichst

ebene Plattenanordnung.

In vertikaler Richtung sind die einzelnen Sandwich-Heizelemente zur Kompen-

sation der Materialausdehnung jeweils mit einem Abstand von ca. 1 mm ange-

ordnet. Die verbleibenden Spalte sind mit einem etwa 0,06 mm dicken Kupfer-

Klebeband verschlossen, wie in Abbildung 3.6 dargestellt.

Abbildung 3.6: Ansicht der Sandwich-Heizelemente

3.1.3 Leistungszufuhr und Regelung

Die beschriebene Aufteilung der betrachteten vertikalen Platte in zehn Ein-

zelelemente wird vorrangig durch die Anforderung einer lokal individuellen An-

passung der Wärmestromdichte oder der Oberflächentemperatur begründet.

�

⁄ =  

�

⁄ =  

�

⁄ =  

�

⁄ =  

�

⁄ =  

Die Versorgung der Heizelemente erfolgt durch zehn elektronische Labornetz-

geräte (Typ Manson HCS 3404), wie in Abbildung 3.7 dargestellt.

Abbildung 3.7: Struktur des Mess- und Regelungssystems

Die Netzgeräte werden mit Hilfe einer zentralen Mess-, Steuer- und Regelungs-

applikation in der Entwicklungsumgebung LabVIEWTM betrieben. Für jedes der

Sandwich-Heizelemente können somit nahezu beliebige zeitliche Profile der

zugeführten Wärmestromdichte vorgegeben werden. Alternativ kann jedes der

Sandwich-Heizelemente mit Hilfe eines eigenen Regelkreises auf eine individu-

elle Oberflächentemperatur geregelt werden.

Neben der Anpassung der zugeführten elektrischen Leistung dienen die Netz-

geräte auch zur Messung ebendieser. Dabei wird für jede der zehn Kombinati-

onen aus Netzgerät, elektrischer Versorgungsleitung und Heizelement eine Kor-

rektur zwischen der eingestellten Ausgangsleistung des Netzgeräts und der tat-

sächlichen Leistung am Heizelement auf der Basis von individuellen Kalibrie-

rungs-Messungen vorgenommen. Im Mittel beträgt der Spanungsabfall zwi-

schen Netzgerät und Heizelement ca. 2,7 % bei einer Stromstärke von 1 A und

rund 4 % bei 10 A. Die Korrektur der zugeführten Leistung erfolgt dabei mit

sehr guter Regressions-Güte durch Polynome zweiten Grades. Da die Netzgerä-

Regelung und Messung der elektrischen Leistungszufuhr

Labornetzgeräte Kupfer-

Sandwichplatten Temperatur-Messwert-Aufnahme

Temperatur-

Messdaten

ΩW,1

W,20

…Ω∞,1

∞,20

…

Pt100 Dünnschicht-

Sensoren

Pt100 Folien-

Sensoren

te nach dem Konstant-Strom-Prinzip arbeiten, bleibt der relative Spannungsab-

fall unabhängig von einer temperaturabhängigen Veränderung des Wirkwider-

standes der Heizelemente und der Versorgungsleitungen.

3.1.4 Messwert-Erfassung

Zur Bestimmung der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität (siehe Kapitel

3.2 und 3.3) werden die Oberflächentemperaturen der Sandwich-Heizelemente

messtechnisch erfasst. Dies geschieht mit Platin-Widerstandssensoren der Ka-

tegorie Pt100. Sie sind in einer 0,3 mm dicken, folienartigen Polyimid-

Trägerschicht mit einer Breite von 22 mm und einer Länge von 55 mm einge-

fasst (Typ KIMO SFSC50-4-TB-10). Die Sensor-Folien sind mit Hilfe von Wärme-

leitpaste ( = 8,5 W

∙K) auf der Oberfläche der Kupferplatten befestigt und durch

ein ebenfalls 0,06 mm dickes Kupfer-Klebeband überdeckt, um eine erhöhte

Strahlungswärme-Abgabe der Sensorflächen zu vermeiden (siehe auch Abbil-

dung 3.6).

Pro Sandwich-Heizelement befindet sich ein Oberflächentemperatursensor an

jeder der beiden an das Umgebungsfluid grenzenden Seiten. Dies ermöglicht

eine zweifache messtechnische Erfassung der konvektiven Wärmeübertra-

gungs-Intensität bei jedem Einzelversuch.

Die Bestimmung der Temperatur des Umgebungsfluids erfolgt mit Hilfe von

Pt100-Dünnschichtsensoren (Typ Heraeus M222). Bei maximalen Abmessungen

von etwa 1 bis 2 mm weisen diese in Luft eine Zeitkonstante von ca. � =  s auf.

Wie in Abbildung 3.8 dargestellt ist, sind auf jeder Seite der beheizten Platte

fünf Lufttemperatursensoren in einem horizontalen Abstand von ca. 750 mm

gleichmäßig über das Höhenprofil verteilt angeordnet. Außerdem erfasst je-

weils ein Sensor unmittelbar die An- und Abströmtemperaturen der Platte und

die Lufttemperatur außerhalb der strömungsmechanischen Abschirmung. Zur

bilanziellen Berücksichtigung der verbleibenden Strahlungswärmeabgabe der

Sandwich-Heizelemente wird auch die Temperatur der gegenüberliegenden

Innenoberflächen der strömungsmechanischen Abschirmung mit insgesamt

vier Sensoren des gleichen Typs erfasst (vgl. Abbildung 3.8).

Um eine Beeinflussung der Lufttemperatursensoren durch Wärmestrahlungs-

Emissionen der beheizten Platte zu vermeiden, werden diese horizontal umlau-

fend mit einem Strahlungsschutz versehen, wie in Abbildung 3.9 dargestellt.

Die Messwert-Erfassung erfolgt bei allen Temperatursensoren im Vierleiter-

Prinzip mit geschirmten Messleitungen.

Abbildung 3.8: Anordnung der Temperatursensoren

Tabelle 3.1: Messunsicherheiten

Komponente

Messunsicherheit

Oberflächentemperatursensoren

±(0,15 °C + 0,2 % v. MW)

Umgebungstemperatursensoren

±(0,1 °C + 0,17 % v. MW)

Netzgeräte

±0,2 % v. MW ±3 LSB

Multimeter-Datenlogger

±(0,01 % v. MW + 0,004 % v. MB)

�O

�∞

Abbildung 3.9: Strahlungsabschirmung der Lufttemperatursensoren

Als Messwert-Aufnehmer dienen zwei Multimeter-Datenlogger vom Typ

Agilent 34970A mit je zwei Multiplexer-Modulen (Typ Keysight 34901A). Das

Mess- und Regelungs-Intervall liegt für sämtliche Versuchsreihen bei 2 s. Tabel-

le 3.1 gibt eine Übersicht der relevanten Messunsicherheiten; eine Betrachtung

der Messunsicherheits-Fortpflanzung erfolgt in Kapitel 3.3.4.

3.1.5 Betriebsverhalten

In Abbildung 3.10 ist der Aufheizvorgang für die maximale konvektive Wär-

mestromdichte der Sandwich-Heizelemente von ca. 󰇗 s = . W/² (siehe

Gleichung 27 in Kapitel 3.2.2) bis zu einer Oberflächentemperatur von knapp

�W =  °C sowie das anschließende Auskühlverhalten ohne Leistungszufuhr

dargestellt. Die Aufheizdauer beträgt dabei etwa 270 s. Bezogen auf den Zeit-

raum mit der stärksten Änderung (63,2 % von ∆�W innerhalb 1τ) liegt die mitt-

lere Aufheizgeschwindigkeit bei rund ��W�

⁄



τ =   K/s und die mittlere

Auskühlgeschwindigkeit bei ca. ��W�

⁄



τ =   K/s. Die Totzeit der beheiz-

ten Platte liegt bei deutlich unter 1 s.

Abbildung 3.10: Aufheiz- und Auskühlverhalten der Sandwich-Heizelemente

Für die isotherme Oberfläche resultieren im stationären Fall Grashof-Zahlen

von bis zu L ≈  ∙ , wodurch sämtliche Strömungsformen abgebildet

werden können (vgl. Kapitel 1.1). Während des Wärmestrom-Impulses liegen

kurzzeitig Grashof-Zahlen von bis zu L

* ≈ ∙ vor.

Zu Beginn des Aufheizvorgangs weisen zunächst alle zehn Sandwich-

Heizelemente nahezu dieselbe Oberflächentemperatur auf. Für �W   °C so-

wie während des Abkühlvorgangs zeigen sich hingegen deutliche Temperatur-

unterschiede zwischen den einzelnen Heizelementen. Das Maximum tritt rund

12 Minuten nach Beginn des Aufheizvorgangs auf und beträgt ca.

�W /L=  - �W /L=  ≈  K. Dies ist auf die erwartungsgemäße lokale

Variation in der Intensität der konvektiven Wärmeübertragung zurückzuführen,

die in den Kapiteln 3.2.3 und 3.2.4 diskutiert wird (siehe insbesondere Abbil-

dung 3.13 sowie Abbildung 3.16).

3.2 Stationäre Validierung

Zur Überprüfung der Belastbarkeit von Messergebnissen des in Kapitel 3.1 be-

schriebenen Versuchsaufbaus wird zunächst das Wärmeübertragungsvermö-

100

00:00 00:10 00:20 00:30 00:40 00:50 01:00 01:10 01:20 01:30

x/L = 100 mm x/L = 300 mm x/L = 500 mm x/L = 700 mm

x/L = 900 mm x/L = 1.100 mm x/L = 1.300 mm x/L = 1.500 mm

x/L = 1.700 mm x/L = 1.900 mm ∞ 

�W /L = . 

�W /L =  

�W /L =  

�W /L = . 

�W /L = . 

�W /L =   �W /L =  

�W /L = .  �W /L =  

�W /L = . 

�∞

Zeit [hh:mm]

Temperatur in °C

gen im stationären Fall erfasst. Ein Vergleich mit den Daten aus bekannten Lite-

raturquellen dient als Validierungsgrundlage.

3.2.1 Bestimmung der Wärmeübertragung aufgrund von Strahlung

Der Wärmeaustausch zwischen der beheizten Platte und der strömungsmecha-

nischen Abschirmung aufgrund von Strahlung 󰇗r wird gemäß Gleichung 25 nach

dem Prinzip der grauen Strahler bestimmt.

󰇗r=∙ ∙-∙(�W−�O) (Gl. 25)

Dabei werden vereinfachend wellenlängenunabhängige Emissionskoeffizienten

verwendet. So wird für die polierte Kupferoberfläche der Sandwich-

Heizelemente (vgl. Kapitel 3.1.2) ein Emissionskoeffizient von W =   und für

die umgebende strömungsmechanische Abschirmung mit hochglanzpolierter

Aluminium-Oberfläche ein Wert von O =   angenommen (vgl. [VDI 2013]).

Der Gesamtemissionsgrad wird auf der Grundlage der Sichtverhältnisse von

sich umhüllenden Körpern gemäß Gleichung 26 ermittelt und resultiert mit ei-

nem Wert von  ≈  .

= 



�W + �W

�O ∙ (

�O − ) (Gl. 26)

Der berechnete Anteil der Strahlungswärmeabgabe variiert folglich in Abhän-

gigkeit der Übertemperatur der beheizten Platte. Bei einer Oberflächentempe-

ratur der strömungsmechanischen Abschirmung von �O =  °C resultiert für

eine Plattentemperatur von �W =  °C ein spezifischer Strahlungswärmestrom

von ca. 󰇗r =   W/²; bei �W =  °C sind es etwa 󰇗r =   W/². Im Vorgriff

auf Kapitel 3.2.3 entspricht dies einem Anteil der Wärmestrahlung an der Ge-

samtwärmeabgabe der beheizten Platte von 4,3 % bei �W =  °C und 3,8 % bei

�W =  °C (bezogen auf das geometrische Mittel des gesamten Strömungsge-

biets, vgl. Kapitel 1.1.1).

3.2.2 Bestimmung der konvektiven Wärmeübertragung

Die Bestimmung der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität im stationä-

ren Fall 󰇗 s erfolgt auf der Grundlage eines Bilanzierungsansatzes. Dazu wird

die vorhandene Strahlungswärmeabgabe 󰇗r s der Sandwich-Heizelemente von

der zugeführten elektrischen Leistung 󰇗el s subtrahiert, wie in Gleichung 27

dargestellt.

󰇗 s =󰇗el s −󰇗r s (Gl. 27)

Gemäß Kapitel 1.1 resultieren der konvektive Wärmeübergangskoeffizient des

stationären Falls  s schließlich nach Gleichung 2 und die dimensionsfreie

konvektive Wärmeübertragungs-Intensität � gemäß Gleichung 3.

3.2.3 Isotherme Oberfläche

Die im stationären Fall gemessenen konvektiven Wärmeübertragungs-

Intensitäten der isotherm beheizten Platte sind in Abbildung 3.11 als lokale Ein-

zelwerte � s und in Abbildung 3.12 für quasi-globale Teilbereiche �/L s

(vgl. Kapitel 1.1.1) angegeben.

Abbildung 3.11: Lokale Nußelt-Zahlen der isothermen Platte (stationär)

In beiden Fällen ist eine sehr gute Übereinstimmung mit den in der Literatur

verfügbaren Vergleichsdaten festzustellen. Auch die empirischen Korrelationen

y = 0,551x0,238 y = 0,003x0,486 y = 0,220x0,305

100

1.000

1E+06 1E+07 1E+08 1E+09 1E+10 1E+11

[Churchill und Chu 1975] Messung [Pirovano et al. 1970]

[Siebers et al. 1985] [Tsuji und Nagano 1989]

�

 s

/L

laminar

transient turbulent

gemäß der Gleichungen 8 und 9 zeigen eine gute Kongruenz zu den hier erho-

benen Messdaten. Darüber hinaus bestätigen Regressions-Funktionen in Form

von Potenzgleichungen die charakteristischen Exponenten in der Größenord-

nung von etwa 1/4 im laminaren und 1/3 im vollturbulenten Bereich (vgl. Kapi-

tel 1.1).

Abbildung 3.12: Quasi-globale Nußelt-Zahlen der isothermen Platte (stationär)

Wie aus Abbildung 3.13 ersichtlich wird, tritt die größte konvektive Wär-

mestromdichte 󰇗 s am untersten der zehn Sandwich-Heizelemente auf, da

dort der konvektive Wärmeübergang  s aufgrund der Anströmung mit kaltem

Umgebungsfluid am größten ist. Mit zunehmender Strömungsweglänge /�

reduziert sich die Intensität der konvektiven Wärmeabfuhr 󰇗 s zunächst deut-

lich, da die Grenzschicht der betreffenden Bereiche nun mit bereits erwärmtem

Fluid durchströmt wird. Im oberen Bereich der beheizten Platte bewirkt die zu-

nehmend turbulente Strömung hingegen eine verstärkte Durchmischung der

Grenzschicht und somit eine Induktion von kühlerem Umgebungsfluid, weshalb

die konvektive Wärmeabfuhr 󰇗 s dort wieder zunimmt. Die lokalen Gradienten

der konvektiven Wärmeübertragung �󰇗 s �

⁄ nehmen dabei mit steigender

Temperaturdifferenz ∆�W-∞ zu.

y = 0,318x0,277 y = 0,070x0,348 y = 0,052x0,361

100

1.000

1E+06 1E+07 1E+08 1E+09 1E+10 1E+11

[Churchill und Chu 1975] Messung [Cheeswright 1968]

[Warner und Arpaci 1968] [Yang 2001] mod.([Saunders 1936]) [Hattori et al. 2006]

�/L s

/L

laminar transient turbulent

Abbildung 3.13: Lokale Variation der konvektiven Wärmestromdichte

(isotherm, stationär)

3.2.4 Homogene Wärmestromdichte

Ergänzend zur Regelung der Heizelemente auf eine einheitliche Oberflächen-

temperatur wird die stationäre konvektive Wärmeübertragung für den Fall ei-

ner homogenen Leistungszufuhr 󰇗el s in sämtlichen Heizelementen betrachtet.

Dabei zeigt sich sowohl für lokale Messwerte � s (Abbildung 3.14), als auch

für den quasi-globalen Betrachtungsansatz �/L s (Abbildung 3.15) eine ähn-

lich gute Übereinstimmung mit Literaturdaten, wie im isothermen Fall.

Die Variation der Oberflächen-Übertemperatur ∆�W-∞ bei homogener Leis-

tungszufuhr 󰇗el ist in Abbildung 3.16 für die resultierende konvektive Wär-

mestromdichte 󰇗 s nach Gleichung 27 dargestellt. In Analogie zum isothermen

Fall (vgl. Abbildung 3.13) charakterisiert das Maximum der Oberflächen-

Übertemperatur ∆�W-∞ hier den Bereich mit dem geringsten konvektiven

Wärmeübergang  s . Dementsprechend nehmen die lokalen Gradienten der

Oberflächen-Übertemperatur ��W-∞�

⁄ hier mit steigender konvektiver Wär-

mestromdichte ∆󰇗 s zu.

Der beschriebene Verlauf der lokalen konvektiven Wärmeübertragung steht in

guter Übereinstimmung mit vorhergehenden Untersuchungen, wie z.B. [War-

ner und Arpaci 1968], [Pirovano et al 1970] sowie [Miyamoto und Okayama

1982].

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

2.000

050 100 150 200 250 300 350 400 450 500

9,9

19,8

29,6

39,4

49,3

59,2

68,9

∆�W−∞ in K

󰇗

 s in W/m²

⁄

�in mm

Abbildung 3.14: Lokale Nußelt-Zahlen bei homogener Wärmestromdichte (stationär)

Abbildung 3.15: Quasi-globale Nußelt-Zahlen bei homogener Wärmestromdichte

(stationär)

y = 0,394x0,215 y = 0,037x0,306 y = 0,182x0,252

100

1.000

1E+06 1E+08 1E+10 1E+12 1E+14

[Churchill und Chu 1975] Messung

[Miyamoto und Okayama 1982] [Kitamura et al. 1985]

� s

/L

∗

laminar transient turbulent

y = 0,301x0,230 y = 0,187x0,247 y = 0,100x0,269

100

1.000

1E+06 1E+08 1E+10 1E+12 1E+14

[Churchill und Chu 1975] Messung [Vliet und Ross 1975]

�/L s

/L

∗

laminar transient turbulent

Abbildung 3.16: Lokale Variation der Oberflächentemperatur (homogen, stationär)

3.3 Instationäre Bewertungsmethodik

Eine gezielt instationäre Betriebsweise von technischen Einrichtungen zur

Übertragung von Wärme durch freie Konvektion wird davon motiviert, die In-

tensität der konvektiven Wärmeübertragung zu beeinflussen. Für den Fall einer

beabsichtigen Intensivierung der Wärmeübertragung zwischen Oberfläche und

Umgebungsfluid eröffnen sich im Sinne der Energieerhaltung zwei mögliche

Zielpfade:

• eine Reduzierung der mittleren Temperaturen bei gleicher Übertragungs-

leistung oder

• eine verstärke Übertragungsleistung bei gleichen mittleren Temperaturen.

Konkret bezeichnet eine instationäre Betriebsweise im Folgenden eine Ände-

rung der Randbedingungen, d.h. eine zeitliche Variation der Oberflächentem-

peratur oder der Wärmestromdichte. Der Fokus der Betrachtungen liegt dem-

entsprechend auf einer Quantifizierung der Auswirkungen solcher Änderungen

auf die Intensität der konvektiven Wärmeübertragung. Dies erfolgt anhand ei-

nes Vergleichs zwischen einer quasi-stationären und einer instationären Bewer-

tung, wie nachfolgend erläutert.

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

2.000

10 20 30 40 50 60 70 80

50,7

95,7

144,6

195,8

240,3

290,7

346,3

∆�W−∞ in K

󰇗 s in W/m²

⁄

�in mm

3.3.1 Quasi-stationärer Betrachtungsansatz

Die quasi-stationäre Vergleichsgrundlage beruht in Analogie zu Kapitel 2.1 auf

der Annahme, dass eine im zeitlichen Verlauf veränderliche (instationäre)

Strömung zu jedem Zeitpunkt genau die Wärmeübertragungs-Intensität auf-

weist, die in einer vollständig ausgebildeten (statistisch-stationären) Strömung

auftreten würde, in der die Randbedingungen des aktuellen Zeitpunkts dauer-

haft vorliegen. Dementsprechend wird bei der quasi-stationären Bewertung

einer instationären Versuchsreihe für jeden gemessenen Temperaturdiffe-

renzwert ∆�W-∞ (Messintervall 2 s, vgl. Kapitel 3.1.4) die zugehörige konvektive

Wärmestromdichte des stationären Falls 󰇗 s berechnet.

Die Berechnung dieser quasi-stationären Momentanwerte 󰇗 s erfolgt für jeden

Strömungs-Teilbereich /� mit Hilfe eines individuellen Regressions-Polynoms

auf Basis der in Kapitel 3.2 dargestellten stationären Messdaten. In Abbildung

3.17 ist dies beispielhaft für zwei Teilbereiche des Strömungsgebiets darge-

stellt. Die verwendeten Regressions-Polynome dritten Grades repräsentieren

die stationären Betriebspunkte des Versuchsaufbaus dabei mit sehr guter

Übereinstimmung.

Abbildung 3.17: Regression der konvektiven Wärmestromdichte im stationären Fall

Entsprechend der in Kapitel 1.1.1 beschriebenen Konvention handelt es sich bei

der verwendeten Oberflächen-Übertemperatur ∆�W-∞ und der konvektiven

y = -1,198E-04x3+ 4,153E-02x2+ 4,358E+00x - 3,203E+00

R² = 9,999E-01

y = -2,664E-04x3+ 5,937E-02x2+ 2,685E+00x - 2,137E+00

R² = 1,000E+00

100

200

300

400

500

600

010 20 30 40 50 60 70 80

x/L = 100 mm x/L = 1.900 mm

󰇗 s in W/m²

∆�W−∞ in K



/�



 /�= . 

Wärmestromdichte 󰇗 s um quasi-globale Mittelwerte des jeweiligen Strö-

mungs-Teilgebiets �

⁄. Diese Betrachtung auf der Grundlage einer räumlichen

Mittelung begründet sich primär durch eine Egalisierung der Randbedingungs-

art. So ist die Korrelation zwischen der mittleren Platten-Übertemperatur und

der mittleren konvektiven Wärmestromdichte sowohl für den Fall einer iso-

thermen Platten-Oberfläche, als auch bei einer homogenen Wärmestromdichte

identisch, wie Abbildung 3.18 für einen transienten Teilbereich des Strömungs-

gebiets zeigt.

Abbildung 3.18: Quasi-globale Mittelung bei unterschiedlichen Randbedingungen

Die quasi-stationären Momentanwerte 󰇗 s werden schließlich durch eine zeit-

liche und temperaturdifferenz-bezogene Mittelung zusammengefasst (Glei-

chung 28).

 s =∫󰇗 s 󰇛󰇜 �

∫[�W󰇛󰇜 − �∞󰇛󰇜] � (Gl. 28)

Der resultierende Vergleichswert  s repräsentiert folglich den mittleren kon-

vektiven Wärmeübergangskoeffizienten eines Betriebsintervalls mit beliebigen

zeitlichen Variationen der Oberflächen-Übertemperatur ∆�W-∞ unter der An-

nahme, dass die Intensität der konvektiven Wärmeübertragung ein vollständig

quasi-stationäres Verhalten aufweist.

y = -1,267E-04x3+ 3,859E-02x2+ 2,902E+00x - 2,507E+00

R² = 1,000E+00

100

200

300

400

500

600

010 20 30 40 50 60 70 80

x/L = 900 mm (isotherm) x/L = 900 mm (homogen)

󰇗 s in W/m²

∆�W−∞ in K

/�=  (isotherm) /�=  (homogen)

3.3.2 Bewertung der instationären Wärmeübertragung

Die Ermittlung der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität, in der auch

mögliche Auswirkungen einer instationären Betriebsweise berücksichtigt wer-

den, erfolgt durch eine rein messtechnische Erfassung der relevanten Bilanz-

größen des jeweiligen Betrachtungsintervalls. Dabei ist jedoch zu beachten,

dass die Messgrößen aufgrund von thermischen Kapazitäten im instationären

Fall zeitlich verschoben sind. So erfolgt beispielsweise auch nach einem Ab-

schalten der elektrischen Leistungszufuhr weiterhin eine konvektive Abgabe

der in den Sandwich-Heizelementen gespeicherten Wärme. Folglich ist bei der

Bilanzierung der instationären konvektiven Wärmestromdichte 󰇗 is eine teil-

weise Be- oder Entladung der thermischen Eigenkapazität der wärmeübertra-

genden Oberfläche �W zu berücksichtigen, was durch eine Erweiterung der Bi-

lanzgleichung 27 um einen Speicherterm gemäß Gleichung 29 gelingt.

󰇗 is =󰇗el −󰇗r−��W

� ∙�W

�W

(Gl. 29)

Die messtechnische Erfassung der erforderlichen Momentanwerte der Bilanz-

größen in Gleichung 29 erfolgt durch eine Auswertung der jeweiligen Messgrö-

ßen in möglichst kleinen Zeitabschnitten ∆. Dabei wird die Änderung der ge-

messenen Oberflächentemperatur innerhalb eines solchen Bilanz-Zeitschritts

∆�W∆

⁄ aufgrund der in Kapitel 3.1.5 beschriebenen sehr geringen Reaktions-

zeit des Versuchsaufbaus und der als homogen angenommenen Temperatur-

verteilung innerhalb der Heizelemente (vgl. Kapitel 3.1.2) als repräsentativ für

die Temperaturänderung des gesamten Speicherterms betrachtet. Bei sehr

kleinen Bilanz-Zeitschritten ∆ oder sehr geringen Temperaturänderungen ∆�W

ist jedoch unvermeidbar von einer Zunahme der messtechnischen Unsicherhei-

ten auszugehen. Für den beschriebenen Versuchsaufbau resultieren für Bilanz-

Zeitschritte ab ∆   s auch für sehr langsame Temperaturänderungen plau-

sible Momentanwerte der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is (vgl. Kapitel

3.4). Der Kapazitätsterm aus Gleichung 29 wird ferner ab einer Temperaturän-

derung von ∆�W    K innerhalb des Bilanz-Zeitschritts von ∆ =  s berück-

sichtigt.

Liegt für den Bilanz-Zeitschritt eine Abweichung des instationären Momentan-

werts der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is gemäß Gleichung 29 von dessen

quasi-stationären Pendant 󰇗 s nach Gleichung 27 vor, wird dies als Beeinflus-

sung der Intensität der konvektiven Wärmeübertragung durch eine instationäre

Betriebsweise interpretiert und gemäß Gleichung 30 als relative Abweichung

∆is/s angegeben.

∆is/s =󰇗 is − 󰇗 s

󰇗 s

(Gl. 30)

Beläuft sich die Abweichung ∆is/s eines Bilanz-Zeitschritts ∆ auf mehr als ein

Prozent, so wird der Zeitschritt im Folgenden der instationären Phase ∆isPh zu-

geordnet (Gleichung 31).

∆is/s 󰇛∆󰇜    ⇒∆∈∆isPh (Gl. 31)

Für beliebige Betrachtungszeiträume gelingt eine Quantifizierung des mittleren

instationären konvektiven Wärmeübergangs  is schließlich in Analogie zu

Gleichung 28 durch eine separate zeitliche Integration der Bilanzgrößen gemäß

Gleichung 32.

 is =∫󰇗el󰇛󰇜 � − ∫󰇗r󰇛󰇜 � − ∫��W

��󰇛󰇜 ∙ �W

�W �

∫[�W󰇛󰇜 − �∞󰇛󰇜] � (Gl. 32)

Wird der Integrations-Zeitraum so gewählt, dass eine vollständig ausgeglichene

Be- und Entladung der thermischen Kapazitäten vorliegt, entfällt darin die

Notwendigkeit zur Berücksichtigung des Speicherterms. Dies gelingt beispiels-

weise bei der Bilanzierung einer vollständigen Periode von zyklischen Änderun-

gen.

In Analogie zu Gleichung 30 kann die mittlere relative Abweichung der instatio-

nären Wärmeübertragung von der quasi-stationären Vergleichsgrundlage ∆is/s

für beliebige Betrachtungszeiträume durch eine zeitliche Integration der jewei-

ligen Momentanwerte der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is und 󰇗 s oder

durch eine Auswertung der mittleren konvektiven Wärmeübergangskoeffizien-

ten  is und  s erfolgen, wie in Gleichung 33 dargestellt.

∆is/s =∫󰇗 is󰇛󰇜 � − ∫󰇗 s 󰇛󰇜 �

∫󰇗 s 󰇛󰇜 � = is −  s

 s

(Gl. 33)

Der Strahlungswärmeaustausch zwischen den beteiligten Oberflächen wird un-

ter Vernachlässigung der Strahlungsabsorption von feuchter Luft als unabhän-

gig vom Umgebungsfluid und von dessen Strömungsstrukturen betrachtet. Die

Berücksichtigung der Wärmestrahlung gemäß Kapitel 3.2.1 erfolgt daher in

Analogie zu Kapitel 3.3.1 auch für veränderliche Randbedingungen stets auf der

Grundlage eines quasi-stationären Betrachtungsansatzes.

3.3.3 Thermische Kapazität der Sandwich-Heizelemente

Zur Bestimmung von Momentanwerten der instationären konvektiven Wärme-

übertragung gemäß Kapitel 3.3.2 ist die Kenntnis der thermischen Kapazität der

Sandwich-Heizelemente �W erforderlich. Für das Trägermaterial der Heizleiter-

bahnen liegen jedoch aufgrund eines Werkstoffverbundes (Silikon-Glasgewebe,

vgl. Kapitel 3.1.2) keine gesicherten Stoffdaten zur spezifischen Wärmekapazi-

tät vor. Aus einer Abschätzung auf der Grundlage von Stoffwerten für reine Sili-

kon-Elastomere (90 %) und reines Glas (10 %) resultiert eine spezifische Wär-

mekapazität von ca. 1.400 J/(kg K), welche gut mit Angaben für glasfaserver-

stärkte Kunststoffe übereinstimmt. Für den in Kapitel 3.1.2 beschriebenen Auf-

bau berechnet sich die Gesamtkapazität der zehn Heizelemente somit wie in

Tabelle 3.2 dargestellt.

Tabelle 3.2: Thermische Gesamtkapazität der zehn Sandwich-Heizelemente

Schicht

�

in m³

�

in kg/m³

�

in J/(kg K)

�

in J/K

2 x 0,7 mm Kupfer

[Cu-DHP_CW024A]

∙-

8.940

389,5

9.750

1,1 mm Silikon-

Glasgewebe [kSilTMFA60]

 ∙-

1.250

1.400

(Annahme)

3.754

0,05 mm Leiterbahnen,

Belegung ca. 55 %

[AK Steel 18 SRTM]

∙-

7.450

500

205

Summe

13.709

Darüber hinaus wird im Rahmen einer Versuchsreihe die tatsächlich vorhande-

ne Wärmekapazität näherungsweise messtechnisch ermittelt. Dem liegt die

Annahme zugrunde, dass bei hinreichend langsamen Temperaturänderungen

keine instationären Effekte zu erwarten sind und die konvektive Wärmeabfuhr

zu jedem Zeitpunkt als quasi-stationär betrachtet werden kann. Sämtliche

Heizelemente werden dazu zeitgleich mit einer Temperaturänderungsrate von

��W�

⁄ =  K/Mi kontrolliert isotherm auf eine Übertemperatur von

∆�W-∞ =  K erwärmt. Dabei wird zu jedem Zeitpunkt des Aufheizvorgangs die

Wärmeabfuhr aufgrund von Strahlung 󰇗r (vgl. Kapitel 3.2.1) und Konvektion

󰇗 s (vgl. Kapitel 3.3.1) für den quasi-stationären Vergleichsfall bestimmt und

von der zugeführten elektrischen Leistung 󰇗el subtrahiert. Die verbleibende Dif-

ferenz spiegelt in Analogie zu Gleichung 29 folglich die Wärmemenge zur Bela-

dung der thermischen Kapazitäten wider. Abbildung 3.19 zeigt die Ensemble-

Mittel der Gesamt-Wärmekapazität �W der zehn Heizelemente aus einer fünf-

fach wiederholten Messung für eine Bilanzschrittweite von jeweils 5 K.

Abbildung 3.19: Gemessene thermische Gesamtkapazität der Heizelemente

Das arithmetische Mittel aller Bilanzabschnitte ergibt sich dabei mit

�W = . J/K bei einer Standardabweichung von  =  J/K. Für eine Bilanz

der Wärmemengen im gesamten Aufheizvorgang (75 K) resultiert eine Wärme-

kapazität von �W = . J/K. Die messtechnisch ermittelten Werte weichen

folglich ca. 6 % von der unter Annahmen berechneten Kapazität ab und bestä-

tigen somit deren Plausibilität. Im Folgenden wird daher die Gesamt-

Wärmekapazität der zehn Sandwich-Heizelemente mit einem Wert von

�W = . J/K berücksichtigt.

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

16.000

18.000

020 40 60 80

�Win J/K

∆�W−∞ in K

3.3.4 Messunsicherheits-Fortpflanzung

Mit Hilfe der Angaben zur Genauigkeit der verwendeten Messtechnik (siehe

Kapitel 3.1.4) kann die messtechnische Gesamtunsicherheit aufgrund von Fort-

pflanzungseffekten für die dargestellte Bewertungsmethodik angegeben wer-

den. Diese ist jedoch nicht als konstant zu betrachten, sondern variiert in Ab-

hängigkeit der jeweils vorliegenden Randbedingungen. So beträgt die kombi-

nierte Messunsicherheit aus Sensor und Messwertaufnahme zur Erfassung der

Umgebungstemperatur etwa ±0,14 K bei �∞ =  °C. Für die Oberflächentem-

peratur der Sandwich-Heizelemente liegt bei �W =  °C eine Unsicherheit von

ca. ±0,23 K vor, bei �W =  °C sind es ±0,33 K. Temperaturdifferenzen zwischen

der beheizten Oberfläche und der Umgebung können folglich mit einer Unsi-

cherheit von ca. 1,9 % bei ∆�W-∞ =  K und 0,7 % bei ∆�W-∞ =  K erfasst

werden. Die Messunsicherheit der Leistungszufuhr liegt nach Kalibrierung (vgl.

Kapitel 3.1.3) bei ca. 1,4 % für eine Wärmestromdichte von 󰇗el =  W/² und

bei rund 0,6 % für eine Wärmestromdichte von 󰇗el = . W/².

Die messtechnische Gesamtunsicherheit für Angaben zur Abweichung der In-

tensität der konvektiven Wärmeübertragung des instationären Falls gegenüber

der quasi-stationären Betrachtung ∆is/s gemäß Gleichung 33 bewegt sich somit

in einer Größenordnung von ca. 0,9 % bis 2,4 %.

3.4 Versuchsreihen mit veränderlichen Randbedingungen

Die in Kapitel 3.3 beschriebenen Methoden zur Quantifizierung eines mögli-

chen Einflusses von instationären Strömungsphänomenen auf die konvektive

Wärmeübertragung werden nachfolgend zur Bewertung verschiedenartiger

Änderungen der Strömungs-Randbedingungen herangezogen.

3.4.1 Zyklische Variationen

Im Fokus der experimentellen Untersuchungen stehen zyklische Variationen

der Wärmestromzufuhr mit variablen Frequenzen und Amplituden. Dazu wer-

den zunächst 52 Versuchsreihen mit einer möglichst großen Bandbreite von

Variations-Randbedingungen durchgeführt, die entsprechend der in Kapitel

1.1.1 getroffenen Konvention zur Bilanzierung von Teilabschnitten des Strö-

mungsgebiets und zehn messtechnisch separat erfassten Sandwich-Heizele-

menten (vgl. Kapitel 3.1) zu einer Stichprobe von insgesamt 520 Betrachtungs-

fällen führen. Der prinzipielle Versuchs-Ablauf ist jedoch für alle zyklischen Va-

riationen identisch. So wird den Heizelementen zunächst für eine definierte

Dauer ∆Ipuls eine konstante und homogene Leistung 󰇗el aufgeprägt. Im An-

schluss erfolgt für einen ebenfalls festgelegten Zeitabschnitt ∆Auskhlug eine

Auskühlung ohne aktive Zufuhr von Wärme. Diese Abfolge wird im Rahmen ei-

ner Versuchsreihe so lange wiederholt, bis im Vergleich zum vorherigen Zyklus

keine Änderungen der minimalen, maximalen und mittleren Größen mehr fest-

stellbar sind.

Zur eindeutigen Charakterisierung der instationären Betriebsweise wird für die

zyklischen Variationen anstelle der elektrischen Leistungszufuhr 󰇗el die Impuls-

Wärmestromdichte 󰇗Ipuls als Randbedingung angegeben, die gemäß Gleichung

34 eine um die Strahlungswärmeabgabe 󰇗r bereinigte Leistungszufuhr reprä-

sentiert.

󰇗Ipuls =󰇗el −󰇗r (Gl. 34)

Für den stationären Fall entspricht 󰇗Ipuls folglich der konvektiven Wär-

mestromdichte 󰇗 s (vgl. Gleichung 27). Bei einer instationären Betriebsweise

wird ein Teil der Impulswärmestromdichte 󰇗Ipuls jedoch der thermischen Ka-

pazität der beheizten Platte �W zugeführt (siehe Gleichung 29).

Im Rahmen der 52 Versuchsreihen werden Impuls-Wärmestromdichten in ei-

nem Bereich von  W/²  󰇗Ipuls  . W/ aufgeprägt. Die Zyklendauer

variiert von  s  ∆Zklus  . s und beinhaltet Impulszeiten von  s 

∆Ipuls  . s. Die zeitlichen Mittelwerte der Grashof-Zahlen liegen dabei im

Bereich  ∙8 < 



/L Zklus

* <  ∙.

Ein Vergleich zwischen der gemessenen mittleren Wärmeübertragungs-

Intensität der Zyklen und der quasi-stationären Betrachtungsweise zeigt für die

durchgeführten Versuchsreihen teils deutliche Unterschiede. In Abbildung 3.20

ist dazu eine Übersicht der mittleren prozentualen Abweichung ∆is/s gemäß

Gleichung 33 in Abhängigkeit des zeitlichen Mittelwerts der Grashof-Zahl des

jeweiligen Zyklus 



/L Zklus

* dargestellt. Die Unterschiede belaufen sich, bezo-

gen auf die Gesamtdauer der jeweiligen Zyklen, im Maximum auf ca.

∆is/s =  %. Festzustellen ist dabei insbesondere eine ausgeprägte Abhängigkeit

der mittleren Abweichung ∆is/s vom zeitlichen Mittel der Grashof-Zahl





/L Zklus

*. So treten die größten Abweichungen der instationären konvektiven

Wärmeübertragung vom quasi-stationären Vergleichsfall ∆is/s im Bereich um





/L Zklus

* ≈  auf, also zu Beginn des laminar-turbulenten Transitionsberei-

ches.

Abbildung 3.20: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung bei zyklischen

Variationen

Mit zunehmender Entfernung der mittleren Grashof-Zahl von diesem kritischen

Wert zeigt sich sowohl im laminaren Strömungsgebiet, als auch im transienten

und vollturbulenten Bereich eine Tendenz zu einer weniger starken Intensivie-

rung der konvektiven Wärmeübertragung durch die instationäre Betriebsweise.

Die Bandbreite, in der der Unterschied zwischen der quasi-stationären Betrach-

tung und der tatsächlichen instationären Wärmeübertragung ∆is/s bei gleicher

mittlerer Grashof-Zahl variiert, verdeutlicht jedoch eine zusätzliche Relevanz

weiterer Einflussgrößen.

Ergänzend zur Analyse von zeitlichen Mittelwerten sind in Abbildung 3.21 bei-

spielhaft die Momentanwert-Verläufe der Oberflächentemperatur �W und der

Umgebungstemperatur �∞ als geometrische Mittelwerte des Strömungs-

-1%

1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11 1,0E+12 1,0E+13 1,0E+14

laminar

transient turbulent



/L Zklus

∗

∆is/s

Teilgebiets �

⁄= .  (vgl. Kapitel 1.1.1) sowie des zugeführten Wär-

mestroms 󰇗Ipuls einer zyklischen Variation aufgetragen.

Abbildung 3.21: Temperatur- und Leistungsverlauf bei zyklischen Variationen

(mit 󰇗Ipuls =  W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

In der dargestellten Versuchsreihe wird für eine Impulsdauer von

∆Ipuls =  s eine Wärmestromdichte von 󰇗Ipuls =  W/² aufgeprägt. Im

Anschluss folgt eine Auskühlphase von ∆Auskhlug = . s, wodurch sich ge-

mäß Gleichung 35 eine auf die Gesamtdauer des Zyklus von ∆Zklus = . s

bezogene mittlere Wärmestromdichte von etwa 󰇗Zklus =  W/² ergibt.

󰇗Zklus =󰇗Ipuls ∙ ∆Ipuls

∆Zklus

(Gl. 35)

Betrachtet wird der vierte Zyklus (ca. 01:35 bis 02:07), da die erfassten Mess-

größen für diesen Zyklus erstmals identisch zum vorherigen sind. Die Tempera-

turdifferenz zwischen Wandoberfläche und Umgebungsfluid ∆�W-∞ bewegt

sich dabei bezogen auf das geometrische Mittel des gesamten Strömungsge-

biets zwischen 6,4 K und 30 K; das zeitliche Mittel liegt bei 14,3 K. Die zugehöri-

gen Grashof-Zahlen variieren zwischen  ∙ < /L

* <  ∙ am untersten

100

150

300

450

600

750

900

1.050

1.200

1.350

1.500

00:00 00:15 00:30 00:45 01:00 01:15 01:30 01:45 02:00 02:15

Temperatur in °C

Leistung in W/m²

Zeit [hh:mm]

P_el

ϑ_W_x/L = 1.900 mm

ϑ_∞_m

Temperatur in °C

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗Ipuls �W /L = .  �∞

Heizelement (�

⁄ =  ) und  ∙ < /L

* <  ∙ an der obersten

der zehn Platten (�

⁄ = . ). Die zeitlichen Mittelwerte der Grashof-

Zahlen dieser Versuchsreihe liegen im Bereich ∙ < 



/L Zklus

* <  ∙.

Abbildung 3.22 zeigt den zugehörigen zeitlichen Verlauf der konvektiv von den

Heizelementen abgeführten Wärmestromdichte.

Abbildung 3.22: Konvektive Wärmeübertragung bei zyklischen Variationen

(mit 󰇗Ipuls =  W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

Dargestellt sind in Rot die Werte der quasi-stationären Betrachtung 󰇗 s , wie

sie mit Hilfe der in Kapitel 3.3.1 beschriebenen Regressionspolynome für die

jeweils aktuelle Temperaturdifferenz ∆�W-∞ eines Zeitpunkts resultieren. Auf-

grund der in Kapitel 3.3.2 erläuterten Notwendigkeit zur Bilanzierung eines

Zeitintervalls von min. 90 s bei der messtechnischen Erfassung der grün darge-

stellten Momentanwerte 󰇗 is  s wird in Blau zusätzlich der gleitende Mittel-

wert der letzten 90 s für die quasi-stationäre Vergleichsgrundlage 󰇗 s  s ange-

geben. Dabei ist für die im instationären Fall gemessenen Momentanwerte

󰇗 is  s insbesondere während des Wärmestrom-Impulses sowie einige Zeit da-

nach eine deutlich intensivere konvektive Wärmeabfuhr zu erkennen, als sie

die quasi-stationäre Betrachtung 󰇗 s  s erwarten lassen würde. Im weiteren

100

125

150

175

01:30 01:35 01:40 01:45 01:50 01:55 02:00 02:05

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is (gem) [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

∆Ipuls

∆isPh

⁄

�= . 

Verlauf gleichen sich die gemessenen Momentanwerte 󰇗 is  s asymptotisch

dem quasi-stationären Niveau 󰇗 s  s an. Das Maximum der Abweichung zwi-

schen den instationären Messwerten 󰇗 is  s und der quasi-stationären Be-

trachtungsweise 󰇗 s  s beläuft sich für das dargestellte Strömungsteilgebiet

(�

⁄ = 1.900 mm) auf ca. ∆is/s a =   % und tritt zum Ende des Wär-

mestrom-Impulses auf.

Während des Auskühlvorgangs resultiert am untersten der zehn Sandwich-

Heizelemente zudem eine bilanzielle Unterschreitung der quasi-stationären

Vergleichswerte 󰇗 s  s durch die gemessenen Momentanwerte 󰇗 is  s, wie in

Abbildung 3.23 ersichtlich wird.

Abbildung 3.23: Konvektive Wärmeübertragung am untersten Element bei

zyklischen Variationen

(mit 󰇗Ipuls =  W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

Für die darüber liegenden Heizelemente tritt dieser Effekt nicht auf; lediglich

am obersten Heizelement ist ebenfalls ein ähnlicher Verlauf festzustellen, dort

jedoch in einer deutlich schwächeren Ausprägung (vgl. auch Abbildung 3.22). In

ergänzenden Versuchsreihen ist dasselbe Phänomen auch dann zu beobachten,

wenn nur ein beliebiger Teilbereich der zehn Heizelemente einer zyklischen

Variation der Randbedingungen unterzogen wird. So ist für das unterste und

100

125

150

175

01:30 01:35 01:40 01:45 01:50 01:55 02:00 02:05

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is (gem) [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

∆Ipuls

∆isPh

⁄

�= 

oberste Element des jeweils beheizten Teilbereichs während des Auskühlvor-

gangs stets eine geringfügige Unterschreitung des quasi-stationären Ver-

gleichsniveaus 󰇗 s  s durch die gemessenen Momentanwerte 󰇗 is  s festzu-

stellen. Strömungs-geometrische Ursache, wie z.B. ein möglicher Einfluss der

am unteren und oberen Ende der Platte befindlichen Kanten, können somit

ausgeschlossen werden. Eine detaillierte Analyse der lokalen Temperaturvertei-

lung in Plattenebene ��W�

⁄ zeigt jedoch, dass während des Auskühlvorgangs

in ebendiesen Randbereichen eine nicht vollständig isotherme Oberfläche vor-

liegt. So ergaben stichprobenartige Messungen mit einem reaktionsschnellen

Kontakt-Thermometer während des Auskühlvorgangs in Abhängigkeit des je-

weiligen Temperaturniveaus maximale Unterschiede von 1 K bis 5 K zwischen

der Mitte des untersten Heizelements und dessen unterstem Randbereich. In

der Folge wird die Entladung der thermischen Kapazität �W des untersten Heiz-

elements gemäß Gleichung 29 und somit die lokale konvektive Wärmeabfuhr

󰇗 is  s im Auskühlvorgang unterschätzt. Die Wärmemenge, die während der

scheinbaren Unterschreitung des quasi-stationären Niveaus 󰇗 s  s im Aus-

kühlvorgang am untersten Heizelement gemessen wird, entspricht unter Bezug

auf die Wärmekapazität �W des untersten Heizelements im Mittel aller Ver-

suchsreihen einer Abweichung der mittleren Oberflächentemperatur �W von

rund 3 K und liegt somit in guter Übereinstimmung mit den stichprobenartig

erfassten lokalen Temperaturgradienten ��W�

⁄.

Die Intensität und die räumliche Ausdehnung des nicht-isothermen Bereichs

fällt am untersten Heizelement ebenfalls erkennbar größer aus, als es am

obersten beheizten Element der Fall ist. Dies ist insbesondere auf den im An-

strömbereich (leading-edge) maximalen räumlichen Gradienten der Intensität

der konvektiven Wärmeübertragung �󰇗�

⁄ zurückzuführen (vgl. Abbildung

3.13). Für eine korrekte messtechnische Erfassung der lokalen Momentanwerte

der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is  s des Auskühlvorgangs wäre daher

im unteren Plattenbereich eine feinere räumlich Diskretisierung der Heizele-

mente erforderlich. Für die übrigen Heizelemente sind während der Auskühl-

phase keine lokalen Temperaturunterschiede feststellbar.

Da die Auskühlvorgänge im Vergleich zu den betrachteten Aufheizvorgängen

nur sehr langsame zeitliche Änderungen der Oberflächentemperatur aufweisen

(siehe Kapitel 5.2.2), wird die konvektive Wärmeübertragung nach der asymp-

totischen Annäherung der Momentanwerte des Aufheiz-Impulses 󰇗 is  s an die

quasi-stationäre Vergleichsbasis 󰇗 s  s im Folgenden als quasi-stationär be-

trachtet. Für laminare Auftriebsströmungen, wie sie am untersten Heizelement

ausschließlich vorliegen, wurden quasi-stationäre Verhältnisse bei hinreichend

langsamen Temperaturänderungen der wärmeübertragenden Oberfläche be-

reits mehrfach experimentell bestätigt (vgl. Kapitel 2.1).

Während des Aufheizvorgangs und im stationären Fall sind an keinem Heizele-

ment örtliche Temperaturgradienten feststellbar, was auf die dann vollflächige

Wärmestrom-Zufuhr und eine Homogenisierung durch die Wärmeleitung in der

Plattenebene zurückgeführt wird (vgl. Kapitel 3.1.2 und 3.2.3).

Der Zeitraum einer Überschreitung der quasi-stationären Vergleichswerte

󰇗 s  s durch die Momentanwerte des instationären Falls 󰇗 is  s erstreckt sich

in der betrachteten Versuchsreihe auf ca. 16 % der Gesamt-Zyklusdauer

∆Zklus. Gemäß Kapitel 3.3.2 werden hierfür Abweichungen ∆is/s   % berück-

sichtigt. Mit Bezug auf alle betrachteten zyklischen Versuchsreihen variiert die

Dauer dieser instationären Phase ∆isPh zwischen 12 % und 51 % der Gesamt-

Zyklusdauer ∆Zklus, das arithmetische Mittel liegt bei 25 %.

Abbildung 3.24: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung bei zyklischen

Variationen (isPh)

-3%

13%

17%

21%

25%

1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11 1,0E+12 1,0E+13 1,0E+14

laminar

transient turbulent



/L Zklus

∗

∆is/s isPh

Aufgrund der starken Variation des Anteils der instationären Phase ∆isPh an

der Gesamt-Zyklusdauer ∆Zklus werden nachfolgend ausschließlich die mittle-

ren relativen Abweichungen zwischen instationärer und quasi-stationärer Be-

wertung innerhalb der jeweiligen instationären Phase ∆is/s isPh angegeben. De-

ren Abhängigkeit von den mittleren Grashof-Zahlen des Gesamt-Zyklus





/L Zklus

* zeigt Abbildung 3.24. Aus der entstandenen Anordnung der Daten-

punkte wird zunächst ersichtlich, dass der grundsätzliche Zusammenhang zwi-

schen der Abweichung der instationären Messwerte von der quasi-stationären

Betrachtung ∆is/s isPh und der mittleren Grashof-Zahl 



/L Zklus

* unverändert

bleibt (vgl. Abbildung 3.20). Eine stärkere Differenzierung der bilanzierten Un-

terschiede für ähnliche mittlere Grashof-Zahlen lässt jedoch eine deutlichere

Ausprägung möglicher Kausalzusammenhänge bei der Analyse sonstiger Ein-

flussgrößen erwarten (siehe Kapitel 5).

3.4.2 Sprungartige Änderungen mit anschließender Beharrung

Neben den Versuchsreihen mit zyklisch variierenden Randbedingungen werden

auch Änderungen in Form von Sprungantworten mit anschließender Beharrung

bei einer definierten (isothermen) Oberflächentemperatur �W betrachtet. Hier-

zu werden 29 Versuchsreihen durchgeführt, aus denen entsprechend der Bilan-

zierung von Teilabschnitten gemäß Kapitel 1.1.1 insgesamt 290 Betrachtungs-

fälle resultieren. Die anfangs unbeheizten Sandwich-Heizelemente (�W=�∞)

werden dabei wiederum einer plötzlichen Leistungszufuhr 󰇗el ausgesetzt, die

im weiteren Verlauf jedoch mit Hilfe eines reaktionsschnellen PI-Reglers (Ver-

stärkungsfaktor 2,5; Integrationszeit 15 s) angepasst wird, um einen vorgege-

benen Oberflächen-Übertemperatur-Sollwert ∆�Sprug der Heizelemente zu er-

reichen und beizubehalten.

In Analogie zu Kapitel 3.4.1 wird zur Beschreibung der Wärmestrom-

Randbedingungen der um die Strahlungswärmeabgabe 󰇗r bereinigte Wert der

elektrischen Leistungszufuhr 󰇗Ipuls verwendet. Aufgrund der fortlaufenden

Anpassung des Wärmestrom-Impulses 󰇗Ipuls nach Erreichen des Oberflächen-

Übertemperatur-Sollwerts ∆�Sprug wird im Folgenden dessen Maximalwert

󰇗a entsprechend Gleichung 36 zur Charakterisierung der Randbedingungen

angegeben.

󰇗a =max(󰇗Ipuls) (Gl. 36)

Im Rahmen der 29 Versuchsreihen mit einer sprungartigen Änderung der

Randbedingungen wird die Wärmestromzufuhr auf verschiedene Höchstwerte

zwischen  W/²  󰇗a  . W/ begrenzt. Die Sollwerte der Oberflä-

chen-Übertemperatur ∆�Sprug werden ferner mit einer Schrittweite von 15 K

zwischen  K  ∆�Sprug   K variiert.

Abbildung 3.25 zeigt dazu beispielhaft den Verlauf der bereinigten Leistungszu-

fuhr 󰇗Ipuls sowie der Oberflächentemperatur �W bei einer maximalen Wär-

mestromdichte von 󰇗a = . W/² und einem Beharrungs-Sollwert von

�W =  °C.

Abbildung 3.25: Temperatur- und Leistungsverlauf bei sprungartigen Änderungen

(mit 󰇗a = . W/² und ∆�Sprug =  K)

Die Dauer des Aufheizvorgangs beträgt in der dargestellten Versuchsreihe

∆Sprug =  s. Dabei treten mittlere Grashof-Zahlen im Bereich von  ∙ <

/L  <  ∙ auf.

In Abbildung 3.26 ist der zugehörige Vergleich zwischen der quasi-stationären

Betrachtungsweise 󰇗 s  s und den instationären Momentanwerten der kon-

vektiven Wärmeübertragung 󰇗 is  s dargestellt (vgl. Kapitel 3.4.1).

100

150

300

450

600

750

900

1.050

1.200

1.350

1.500

00:10 00:15 00:20 00:25 00:30

q/t_c_L_m

ϑ_W_L_m

ϑ_∞_L_m

Temperatur in °C

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗Ipuls �W /L = .  �∞

Abbildung 3.26: Konvektive Wärmeübertragung bei sprungartigen Änderungen

(mit 󰇗a = . W/² und ∆�Sprug =  K)

In Analogie zu den zyklischen Variationen der Randbedingungen ist auch bei

einer sprungartigen Änderung mit anschließender Beharrung eine ausgeprägte

Überschreitung der quasi-stationären Vergleichswerte 󰇗 s  s durch die im in-

stationären Fall gemessenen Momentanwerte 󰇗 is  s festzustellen. Das Maxi-

mum dieser Abweichung tritt ebenfalls zum Zeitpunkt einer rapiden Reduzie-

rung der zugeführten Wärmestromdichte auf und beläuft sich für das darge-

stellte Strömungsteilgebiet (�

⁄ = 1.900 mm) auf ca. ∆is/s a =   %. Die da-

rauffolgende Angleichung der gemessenen Momentanwerte 󰇗 is  s an das Ni-

veau der quasi-stationären Betrachtungsweise 󰇗 s  s erfolgt bei der hier vor-

liegenden fortdauernden Leistungszufuhr des Beharrungsniveaus jedoch lang-

samer, als es bei einer vollständigen Abschaltung der Heizleistung zu beobach-

ten ist (vgl. Kapitel 3.4.1).

Die Dauer der instationären Phase ∆isPh erstreckt sich in der dargestellten Ver-

suchsreihe auf 332 s und entspricht somit in etwa dem 2,8-fachen des Aufheiz-

vorgangs ∆Sprug. Im Mittel aller 29 Versuchsreihen zu sprungartigen Variatio-

nen der Randbedingungen mit anschließender Beharrung dauert die instationä-

100

150

200

250

00:10 00:15 00:20 00:25 00:30

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is (gem) [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

∆Sprug

∆isPh

⁄

�= . 

re Phase ∆isPh knapp 2,7-mal länger an, als der eigentliche Aufheizvorgang

∆Sprug.

Abbildung 3.27 zeigt eine Übersicht der mittleren Abweichungen zwischen der

im instationären Fall erfassten konvektiven Wärmeübertragung und der quasi-

stationären Vergleichsgrundlage innerhalb der jeweiligen instationären Phase

∆is/s isPh gemäß Gleichung 33 in Abhängigkeit der arithmetischen Mittelwerte

der zugehörigen Grashof-Zahlen /L  für alle 29 Versuchsreihen.

Abbildung 3.27: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung bei sprungartigen

Änderungen (isPh)

Die Anordnung der Datenpunkte stellt sich in prinzipieller Ähnlichkeit zu den

Versuchsreihen mit zyklisch variierenden Randbedingungen dar. Die Höchst-

werte der mittleren Unterschiede zwischen instationären Messwerten und der

quasi-stationären Bilanzierung ∆is/s isPh treten für die sprungartigen Änderun-

gen mit Beharrung jedoch leicht oberhalb der kritischen Grashof-Zahl von

/L  ≈ , also im Transitionsbereich, auf. Diese Verschiebung wird primär

auf die Art und Weise der Versuchsdurchführung zurückgeführt. So werden bei

den hier betrachteten Versuchsreihen nach Abschluss des eigentlichen Auf-

heizvorgangs für die verbleibende Dauer der instationären Phase die Behar-

rungsniveaus bilanziert, während bei den zyklischen Variationen ein Teil des

10%

15%

20%

25%

30%

1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11

laminar transient turbulent

/L 

∆is/s isPh

Auskühlvorgangs innerhalb der instationären Phase vollzogen wird. Für mittlere

Grashof-Zahlen /L  außerhalb des Transitionsbereichs fällt die Steigerung

der konvektiven Wärmeübertragung durch die instationäre Betriebsweise

∆is/s isPh jedoch ebenfalls geringer aus.

Da Auskühlvorgänge für diese Versuchsreihen ohne Relevanz sind, treten fer-

ner keine bilanziellen Unterschreitungen der quasi-stationären Vergleichswerte

󰇗 s  s durch gemessene instationäre Momentanwerte 󰇗 is  s am untersten

und obersten Heizelement auf (vgl. Kapitel 3.4.1).

3.5 Schlussfolgerungen zur instationären Wärme-

übertragung

Die im instationären Fall gemessene Intensität der konvektiven Wärmeübertra-

gung nach einer plötzlichen Erhöhung der Wärmestromzufuhr zeigt signifikante

Abweichungen zu den Erwartungswerten eines quasi-stationären Verlaufs. Die

dabei beobachtete direkte Kopplung dieser Abweichungen an die jeweilige

mittlere Grashof-Zahl wird auf die zu Beginn des Transitionsbereichs besonders

starke Anfälligkeit der Auftriebsströmung für Stabilitätsstörungen und das dor-

tige lokale Minimum der stationären Wärmeübertragungsintensität (vgl. Kapi-

tel 3.2.3 und 3.2.4) zurückgeführt. Das Auftreten der maximalen Momentan-

werte der Abweichungen zum Zeitpunkt einer starken oder vollständigen Redu-

zierung der Wärmestromzufuhr und die anschließende asymptotische Anglei-

chung an einen quasi-stationären Verlauf implizieren zudem eine Kausalität

zwischen der instationären Wärmeübertragungs-Intensität und der jeweiligen

Beschaffenheit eines Wärmestrom-Impulses.

4 Phänomenologische Betrachtung

In Ergänzung zur quantitativen Bewertung von instationären Strömungsphä-

nomenen in Kapitel 3 wird nachfolgend eine phänomenologische Beschreibung

des Strömungsgebiets bei gezielten Variationen der Strömungs-Rand-

bedingungen vorgenommen. Dies erfolgt mit Hilfe von Strömungsvisualisierun-

gen (Kapitel 4.1) sowie beispielhaft anhand von Messungen der Geschwindig-

keits-Fluktuationen innerhalb der Strömungsgrenzschicht (Kapitel 4.2).

4.1 Strömungsvisualisierung

Zur Visualisierung der Strömungsverhältnisse des in Kapitel 3.1 beschriebenen

Versuchsaufbaus wird an der unteren Kante der beheizten vertikalen Platte ein

Propylenglykol-Dampfgemisch (Theater-Nebel) in die Auftriebsströmung einge-

bracht.

4.1.1 Versuchsaufbau zur Strömungsvisualisierung

Die Einbringung des Dampf-Gemisches erfolgt mit Hilfe eines handelsüblichen

Schlitzdurchlasses, wie er in der Raumlufttechnik verwendet wird (siehe Abbil-

dung 4.1).

Abbildung 4.1: Dampf-Einbringung zur Strömungsvisualisierung

Zur Reduktion des Freistrahl-Impulses des verwendeten Dampferzeugers (Typ

hazebase base*prime) und zur Temperaturanpassung wird das Dampfgemisch

vor der Einbringung in die Auftriebsströmung durch ein insgesamt ca. 25 m lan-

ges Aluminium-Wickelfalzrohr (DN 160) geleitet, das außenseitig an die Umge-

bungsluft der Versuchshalle grenzt. Die Rohrlänge wird dabei in einem iterati-

ven Prozess solange variiert, bis sich eine nahezu dichteneutrale und möglichst

impulsarme Austritts-Situation an der Plattenunterkante einstellt. Für eine Er-

höhung des optischen Kontrastes zwischen der dampfhaltigen Grenzschicht-

strömung und der Umgebungsluft werden die Innenwände des Versuchsauf-

baus zudem schwarz ausgekleidet und eine Linienprojektion (Lichtschnitt, Typ

Philips PCV740) orthogonal zur beheizten Plattenoberfläche implementiert.

Darüber hinaus wird aus konstruktiven Gründen die untere Ebene der vertika-

len Strömungs-Gleichrichter (vgl. Kapitel 3.1.1) für die Dauer der Strömungsvi-

sualisierungen entfernt.

4.1.2 Strömungsstrukturen

Zunächst wird die Auftriebsströmung an der vertikalen beheizten Platte im

strömungsmechanisch vollständig ausgebildeten (statistisch stationären) Fall

betrachtet. Wie aus Abbildung 4.2 hervor geht, entsprechen die auftretenden

Strömungsstrukturen dabei der in Kapitel 1.2 erläuterten Phänomenologie. So

folgen auf die geordneten Stromlinien im unteren Plattenbereich zunehmend

mehrdimensionale Strukturen, die schließlich in vollturbulente Elemente zerfal-

len.

Bei einer Veränderung der stationären Strömungs-Randbedingungen in Analo-

gie zu Kapitel 3.4 sind hingegen temporär deutliche Veränderungen der Grenz-

schichtdicke und der lokal auftretenden Strömungsstrukturen festzustellen.

Abbildung 4.3 und Abbildung 4.4 zeigen dazu die Entwicklung einer zunächst

stationären Auftriebsströmung (Abbildung 4.3, links) bei einer Übertemperatur

der isothermen Plattenoberfläche zur Umgebung von ca. ∆�W-∞ =   K, der für

eine Dauer von ∆Ipuls =  s eine sprungartig erhöhte Wärmestromdichte von

etwa 󰇗Ipuls = . W/² aufgeprägt wird.

Der plötzliche Energieeintrag in den Heizelementen wird zunächst durch Wär-

meleitung an die wandnächsten Fluidteilchen abgeführt, wodurch sich deren

Temperatur erhöht und sich deren Dichte entsprechend reduziert. Die gestei-

gerte potentielle Energie der betreffenden Fluidteilchen wird daraufhin durch

Beschleunigung (Abbildung 4.3, Mitte) in kinetische Energie umgewandelt. Die

beschleunigten Teilchen stehen dabei im Impulsaustausch mit ruhendem oder

langsamerem Umgebungsfluid.

Abbildung 4.2: Visualisierte Grenzschichtströmung im stationären Zustand

(links: Plattenansicht; rechts: Strömungsprofil)

Durch Viskositätskräfte und lokale Druckunterschiede aufgrund der verschie-

denen Strömungsgeschwindigkeiten kommt es zu Scherbewegungen

(Abbildung 4.3, rechts), die sich im weiteren Verlauf zu rotierenden Strukturen

fortpflanzen (Abbildung 4.4, links). Besonders häufig sind dabei die für Scher-

schichten zwischen unterschiedlich schnellen Fluiden typischen Kelvin-

Helmholtz-Wirbel zu beobachten (Abbildung 4.4, Mitte). Die verstärkte Durch-

mischung der Strömungsgrenzschicht bewirkt eine erhöhte Induktion von kal-

tem Umgebungsfluid in die Auftriebsströmung, was als ursächlich für die in Ka-

pitel 3.4 festgestellte temporäre Intensivierung der konvektiven Wärmeüber-

tragung interpretiert wird. Mit zunehmendem Abbau des kurzfristig einge-

brachten Energieüberschusses durch konvektive Transportvorgänge wird das

stationäre Verhältnis zwischen potentieller und kinetischer Energie schließlich

wiederhergestellt und die zusätzlichen, großskaligen Rotationsstrukturen bil-

den sich zurück (Abbildung 4.4, rechts).

Abbildung 4.3: Strömungsstrukturen bei Wärmestromimpuls

(mit 󰇗Ipuls = . W/² und ∆Ipuls =  s)

(links: 27,5 °C stationär; Mitte: Impulsbeginn +13 s; rechts: Impulsbeginn +25 s)

Abbildung 4.4: Strömungsstrukturen nach Wärmestromimpuls

(mit 󰇗Ipuls = . W/² und ∆Ipuls =  s)

(links: Impulsende +2 s; Mitte: Impulsende +34 s; rechts: Impulsende +164 s)

Abbildung 4.5: Strömungsstrukturen bei Temperatursprung

(mit 󰇗a =  W/² und ∆�Sprug =  K)

(links: 30 °C stationär; Mitte: Impulsbeginn +9 s; rechts: Impulsbeginn +45 s)

Abbildung 4.6: Strömungsstrukturen nach Temperatursprung

(mit 󰇗a =  W/² und ∆�Sprug =  K)

(links: Impulsbeginn +119 s; Mitte: Impulsbeginn +168 s; rechts: 70 °C stationär)

In Analogie zu Kapitel 3.4 wird neben zyklischen Variationen der Randbedin-

gungen auch die Entwicklung der Strömungsstrukturen bei sprungartigen Rand-

60 
 
bedingungs-Änderungen mit anschließender Beharrung betrachtet.  Abbildung 
4.5 und Abbildung 4.6 zeigen dazu vergleichbare Entwicklungsstadien für eine 
Versuchsreihe  mit  einer  anfangs  isothermen  Übertemperatur  der  beheizten 
Platte von ∆�W-∞ =  K (Abbildung 4.5, links), die dann sprungartig mit einer 
maximalen Wärmestromdichte von ca. 󰇗a =  W/² um ca. ∆�Sprug =  K 
erwärmt  wird.  Grundsätzlich  sind  dabei  die  gleichen  temporären  Durchmi-
schungseffekte  der  Strömungsgrenzschicht  zu  beobachten,  wie  im  Falle  der 
zyklischen Variationen (Abbildung 4.5, Mitte bis Abbildung 4.6, Mitte). In Über-
einstimmung mit den gemessenen Momentanwerten der konvektiven Wärme-
übertragung der Abbildung 3.26 in Kapitel 3.4.2 ist für sprungartige Änderun-
gen der Strömungs-Randbedingungen mit anschließender Beharrung aufgrund 
der fortdauernden Wärmestrom-Zufuhr jedoch eine länger andauernde instati-
onäre Phase zu beobachten, bevor die Auftriebsströmung wieder ausschließlich 
quasi-stationäre Strukturen aufweist (Abbildung 4.6, rechts). 
Die  beschriebene  zeitliche  Entwicklung  der  Strömungsphänomenologie  kann 
für  die  betrachteten  Randbedingungs-Variationen  zuverlässig  reproduziert 
werden.  Für  unterschiedliche  Impuls-Intensitäten,  Zyklusdauern  und  Behar-
rungsniveaus  zeigen  sich  insbesondere  Variationen  in  der  Aus-  und  Rückbil-
dungsdauer  sowie in der räumlichen Ausdehnung der temporären Rotations-
strukturen. 
Darüber  hinaus  zeigen  Visualisierungen  von  [Joshi  und  Gebhart  1987]  sowie 
[Joshi und Gebhart 1988] (siehe auch Kapitel 2.1) für eine Auftriebsströmung in 
Wasser nach einer sprungartigen Erhöhung oder Reduzierung der zugeführten 
Wärmestromdichte eine ähnliche strukturelle und zeitliche Entwicklung. 
4.2 Strömungsgeschwindigkeiten 
Eine messtechnische Erfassung des zeitlichen Verlaufs von Geschwindigkeiten 
innerhalb der Auftriebsströmung an der vertikalen Platte erfolgt mit Hilfe von 
omnidirektionalen Hitzkugel-Anemometern (Typ Dantec 54T21S). Aufgrund ei-
ner möglichen Beeinflussung der auftretenden Strömungsstrukturen durch die 
invasive  Mess-Methodik  liegt  der  Fokus  der  Betrachtungen  jedoch  auf  einer 
exemplarischen  Darstellung  von  Fluktuationen.  Absolute  Geschwindigkeiten 
sind  im  stationären  Fall  bereits  aus  zahlreichen  Betrachtungen  bekannt  (vgl. 

z.B. [Miyamoto und Okayama 1982], [Tsuji und Nagano 1989] sowie zusam-

menfassend [Oertel jr. 2017]). Für eine darüber hinaus gehende quantitative

Bestimmung des zeitlichen Verlaufs von Absolut-Geschwindigkeiten bei einer

gezielten Variation der Strömungs-Randbedingungen erscheint neben einer

nicht-invasiven Mess-Methodik zudem eine statistische Überprüfung der zeitli-

chen und örtlichen Reproduzierbarkeit sinnvoll.

4.2.1 Versuchsaufbau zur Messung von Strömungsgeschwindigkeiten

Die Hitzkugel-Anemometer werden im experimentellen Aufbau gemäß Kapitel

3.1 mit unterschiedlichen Abständen zur beheizten vertikalen Platte ( = 5 mm,

 = 10 mm,  = 25 mm,  = 50 mm und  = 75 mm) sowie bei verschiedenen

Strömungsweglängen (�

⁄ = 700 mm, �

⁄ = 1.300 mm und �

⁄ = 1.900 mm)

positioniert. Die Anordnung in -Richtung erfolgt in Plattenmitte. Abbildung 4.7

veranschaulicht die entsprechende Implementierung im Versuchsaufbau.

Abbildung 4.7: Anordnung der Hitzkugel-Anemometer

Aufgrund der Richtungsunabhängigkeit der verwendeten Hitzkugel-Anemo-

meter beinhalten die dargestellten Geschwindigkeitsfluktuationen Anteile aller

drei Richtungs-Komponenten (,  und ). Aus Gründen der Lesbarkeit werden

die kombinierten Schwankungsgrößen nachfolgend hingegen als Geschwindig-

keitskomponente  der dominierenden -Richtung bezeichnet. Ein quantitati-

ver Vergleich der gemessenen Geschwindigkeitsfluktuationen mit den in Kapi-

tel 2.1 genannten Untersuchungen ist dementsprechend jedoch nicht möglich.

4.2.2 Geschwindigkeits-Fluktuationen

Abbildung 4.8 zeigt beispielhaft den Verlauf der Oberflächentemperatur der

beheizten Platte �W sowie der dimensionslosen Lokalgeschwindigkeit 

+ ge-

mäß Gleichung 12 und des zugehörigen Turbulenzgrades � nach Gleichung

11 an der Strömungsposition  = .  bei einem Plattenabstand von

 = 50 mm für eine zyklische Variation der Wärmestromdichte. Dabei wird für

∆Ipuls =  s ein Wärmestromimpuls von ca. 󰇗Ipuls = . W/² aufge-

prägt, dem eine Auskühlphase von ∆Auskhlug = . s folgt.

Abbildung 4.8: Zeitlicher Verlauf der Strömungsgrößen bei  = 1.300 mm

(mit 󰇗Ipuls = . W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

Die Differenz zwischen der mittleren Oberflächentemperatur des Strömungs-

Teilgebietes und der ungestörten Fluidtemperatur ∆�W-∞ variiert in der be-

trachteten Versuchsreihe von 9,3 K bis 51 K; das zeitliche Mittel liegt bei ca.

23,1 K. Die zugehörigen Grashof-Zahlen variieren dementsprechend in einem

Bereich von  ∙ < /L

* <  ∙ , wobei der zeitliche Mittelwert





/L Zklus

* =  ∙ beträgt.

Die zu erwartende Dicke der lokalen Strömungsgrenzschicht kann im stationä-

ren Fall für eine laminare (siehe z.B. [Oertel jr. 2017]) oder turbulente (vgl. z.B.

100

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

02:05 02:10 02:15 02:20 02:25 02:30 02:35 02:40

u+_y = 50 mm Tu [90 s]

ϑ_W_x/L = 1.300 mm

ϑ_∞_m

�W /L = .  �∞

�  s

  =  

dimensionslose Geschwindigkeit

oder Turbulenzgrad

Temperatur in °C

Zeit [hh:mm]

∆Ipuls

∆isPh

Fluktuationen

[Cheeswright 1968]) Strömungscharakteristik abgeschätzt werden. Für die mi-

nimale Platten-Übertemperatur von ∆�W-∞ =   K liegt diese an der dargestell-

ten Stelle des Strömungsgebiets (�

⁄ = . ) zwischen  =   (la-

minar) und  =   (turbulent). Bei der maximalen Übertemperatur von

∆�W-∞ =  K ist von einer lokalen Grenzschichtdicke zwischen  =   und

 =   auszugehen. Die betrachtete Messposition  = .  mit ei-

nem Plattenabstand von  = 50 mm liegt für die minimale Platten-

Übertemperatur von ∆�W-∞ =   K im stationären Fall folglich eher im äußeren

Bereich der dann überwiegend laminaren Strömungsgrenzschicht. Während

der (stationär) als überwiegend turbulent einzustufenden Strömung der maxi-

malen Übertemperatur von ∆�W-∞ =  K befindet sich das Hitzkugel-

Anemometer hingegen eher im inneren Grenzschichtbereich.

Wie aus Abbildung 4.8 deutlich ersichtlich wird, schwankt die dimensionslose

Geschwindigkeit 

+ für die betrachtete zyklische Variation der Strömungs-

Randbedingungen überwiegend in einem Bereich von unter 0,1. Mit Beginn des

Aufheiz-Impulses ∆Ipuls sowie einige Zeit danach sind hingegen deutlich in-

tensivere Geschwindigkeits-Fluktuationen zu erkennen, deren Momentanwerte

das zeitliche Mittel des gesamten Zyklus um ein Vielfaches (im Maximum ca.

Faktor 6,6) überschreiten.

Der Zeitraum mit den stärksten Geschwindigkeits-Fluktuationen steht in guter

Übereinstimmung mit der Dauer der instationären Phase ∆isPh, die gemäß

Gleichung 31 eine Abweichung von mehr als einem Prozent zwischen dem

Momentanwert der konvektiven Wärmeübertragung und dem quasi-

stationären Vergleichswert aufweist. Für die gesamte instationäre Phase der

betrachteten Versuchsreihe von ca. ∆isPh =  s resultiert nach Gleichung 33

eine mittlere Abweichung der instationären konvektiven Wärmeübertragung

gegenüber der quasi-stationären Betrachtung von ∆is/s isPh =  %.

In Anlehnung an Kapitel 3.3.2 wird die Grenzschichtgeschwindigkeit 

+ zur Be-

stimmung des lokalen Turbulenzgrads � ebenfalls für einen Bilanz-Zeitschritt

von ∆ =  s ausgewertet. In Abbildung 4.8 ist dementsprechend der zeitliche

Verlauf des Turbulenzgrades der jeweils letzten 90 s �  s dargestellt. Bezo-

gen auf die Dauer der instationären Phase ∆isPh liegt der mittlere Turbulenz-

grad bei �



 isPh =  % und damit deutlich über dem zeitlichen Mittel der rest-

lichen Zyklusdauer von �



 =  %. Darüber hinaus treten auch nach Abschluss

der instationären Phase noch vereinzelte, jedoch ähnlich intensive Geschwin-

digkeits-Fluktuationen auf. In der danach verbleibenden Zyklusdauer (ca. 02:21

bis Zyklusende) reduziert sich der mittlere Turbulenzgrad auf �



 =  %.

Während der Fluktuationen, die nach Abschluss der instationären Phase auftre-

ten, liegen an der betrachteten Strömungsposition (�

⁄ = . ) Grashof-

Zahlen von  ∙ > /L

* >  ∙ vor. Im betreffenden Zeitraum befindet

sich die Messstelle also im Kernbereich der laminar-turbulenten Transition. Es

liegt daher die Vermutung nahe, dass die beschriebenen nachgelagerten Fluk-

tuationen auf die lokale, quasi-stationäre Strömungstransition zurückzuführen

sind.

Abbildung 4.9 zeigt in Ergänzung die zeitliche Entwicklung der lokalen Strö-

mungsgeschwindigkeit 

+ und des zugehörigen Turbulenzgrades �  s für ei-

ne identische Versuchsreihe, jedoch bei einer Messposition von  =  

und einem Plattenabstand von  = 5 mm. Irreguläre Schwankungen treten dort

ausschließlich innerhalb der instationären Phase auf. Eine quasi-stationäre Be-

trachtungsweise ließe an der dargestellten Strömungsposition (�

⁄ =  )

hingegen selbst für die maximale Temperaturdifferenz von ∆�W-∞ =  K noch

eine nahezu vollständig laminare Strömung erwarten (/L a

* ≈  ∙).

Die in Abbildung 4.9 ersichtliche Entwicklung einer zunehmenden Lokalge-

schwindigkeit 

+ bei abnehmender Temperaturdifferenz zwischen Plattenober-

fläche und Umgebungsfluid ∆�W-∞ ist auf die zeitliche Veränderung des Ge-

schwindigkeitsprofils (vgl. Abbildung 1.1) an der Messstelle zurückzuführen. So

verschiebt sich die im stationären Fall zu erwartende Position des Geschwin-

digkeitsmaximums innerhalb der Strömungsgrenzschicht von ca.  = 4,2 mm

bei der maximalen Temperaturdifferenz von ∆�W-∞ =  K auf etwa  = 5,9 mm

bei der minimalen Platten-Übertemperatur von ∆�W-∞ =   K (vgl. z.B. [Oertel

jr. 2017]). Dementsprechend liegt die Messposition der dargestellten Versuchs-

reihe ( = 5 mm) bei den hohen Oberflächentemperaturen weiter von der Plat-

tenoberfläche entfernt, als der Punkt der maximalen Grenzschichtgeschwindig-

keit. Mit abnehmender Temperaturdifferenz nimmt die Dicke der laminaren

Strömungsgrenzschicht zu, wodurch sich deren Geschwindigkeitsmaximum zu-

nehmend in Richtung der Messposition (und darüber hinaus) verlagert. In der

Folge steigt die Lokalgeschwindigkeit an der Messposition kontinuierlich an.

Abbildung 4.9: Zeitlicher Verlauf der Strömungsgrößen bei  = 700 mm

(mit 󰇗Ipuls = . W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

Qualitativ sowie bezüglich der zeitlichen Entwicklung zeigen die erfassten Ge-

schwindigkeits-Fluktuationen darüber hinaus eine gute Kongruenz zu bereits

bekannten Messungen (vgl. [Joshi und Gebhart 1987], [Joshi und Gebhart 1988]

sowie [Zhao et al. 2015] in Abbildung 2.1).

4.3 Schlussfolgerungen zu instationären Strömungs-

strukturen

Sowohl die Visualisierung der verstärkten Grenzschicht-Durchmischung, als

auch die gute zeitliche Übereinstimmung der gemessenen Geschwindigkeits-

Fluktuationen mit der instationären Phase der konvektiven Wärmeübertragung

deuten auf eine signifikante Beeinflussung des Strömungsfeldes durch eine

sprungartige Erhöhung der Wärmestromzufuhr hin. In Abhängigkeit von der Art

und Weise der Wärmestromänderung sind dabei temporär instationäre Phä-

nomene zu beobachten, die deutlich von einer quasi-stationären Strömungs-

entwicklung abweichen.

100

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

01:35 01:40 01:45 01:50 01:55 02:00 02:05

u_y = 5 mm Tu [90 s]

ϑ_W_x/L = 700 mm

ϑ_∞_m

�W /L =   �∞

�  s

  =  

dimensionslose Geschwindigkeit

oder Turbulenzgrad

Temperatur in °C

Zeit [hh:mm]

∆Ipuls

∆isPh

5 Analytische Prognose der Wärmeübertragung

durch instationäre freie Konvektion

Für die in Kapitel 4 beobachtete zeitliche Entwicklung von Auftriebsströmungen

nach einer plötzlichen Veränderung der Strömungs-Randbedingungen wird

nachfolgend zunächst eine physikalische Interpretation vorgestellt (Kapitel 5.1),

auf deren Grundlage ein Modellansatz zur Prognose der Wärmeübertragung

durch instationäre freie Konvektion an der vertikalen Platte erarbeitet wird.

Anhand der in Kapitel 3 für verschiedenartige Randbedingungs-Variationen ex-

perimentell erfassten Abweichungen zwischen einer instationären Betriebswei-

se und einer quasi-stationären Betrachtung erfolgt im Anschluss die mathema-

tische Gestaltung einer analytischen Berechnungsmethodik. Die relevanten

Modellparameter werden schließlich mit Hilfe von mehrfach reproduzierten,

systematischen Validierungsmessungen bestimmt (Kapitel 5.2 und 5.3).

5.1 Physikalische Modellvorstellung

Die in Kapitel 2.2 dargestellten Transport-Gleichungen für Masse, Impuls und

Energie setzen für die Beschreibung von freien Konvektionsströmungen sowohl

im stationären, als auch im instationären Fall eine unmittelbare Kopplung zwi-

schen Geschwindigkeits- und Temperaturfeld voraus. So wird ein Teil der durch

Wärmeleitung von der beheizten Oberfläche abgeführten Energie im Fluid von

potentieller in kinetische Energie umgewandelt (vgl. Kapitel 4.1.2). Die verblei-

bende Energiemenge dissipiert aufgrund von Zähigkeits- und Trägheitskräften.

5.1.1 Potentielle und kinetische Energie der freien Konvektion

Für den Fall einer vollständig ausgebildeten, statistisch stationären Strömung

ist von einem konstanten Verhältnis zwischen potentieller und kinetischer

Energie der Fluidteilchen auszugehen (vgl. z.B. [Wagner 2011]). Die phäno-

menologischen Beobachtungen aus Kapitel 4.1.2 begründen demgegenüber die

Annahme, dass das Verhältnis von potentieller zu kinetischer Energie im Falle

einer plötzlichen Änderung der Strömungs-Randbedingungen temporär variiert.

So muss die zusätzlich in das Fluid eingebrachte potentielle Energie zunächst

durch Beschleunigung in kinetische Energie umgewandelt werden, bevor sich

das stationäre Verhältnis (wieder) einstellt. Vereinfacht ausgedrückt wird dies

als Abbau von überschüssiger potentieller Energie durch das vorübergehende

Aufkommen von instationären Strömungsstrukturen interpretiert.

Zur Beschreibung der Wärmeübertragung durch eine solche instationäre freie

Konvektionsströmung mit Hilfe einer analytischen Berechnungsmethodik liegt

es daher nahe, neben der in Kapitel 3.4 als Regressionsparameter identifizier-

ten mittleren Grashof-Zahl auch die zeitliche Variabilität des Verhältnisses von

potentieller zu kinetischer Energie zu berücksichtigen.

Die spezifische potentielle Energie im Gravitationsfeld po kann dabei gemäß

Gleichung 37 als Funktion der Dichtedifferenz zwischen dem ungestörten Um-

gebungsfluid und der Wandoberfläche ∆�∞-W bestimmt werden. Eine Beschrei-

bung der spezifischen kinetischen Energie ki gelingt in Abhängigkeit der Fluid-

dichte �∞ und der Strömungsgeschwindigkeit  gemäß Gleichung 38.

po =∙�∙󰇛�∞−�W󰇜 (Gl. 37)

ki =�∞

∙ (Gl. 38)

Für die charakteristische Geschwindigkeit har nach Gleichung 13 resultiert aus

den Gleichungen 37 und 38 unmittelbar ein konstantes Verhältnis der potenti-

ellen zur kinetischen Energie von po ki

⁄= . In einer idealen (d.h. reibungs-

und trägheitsfreien) Strömung würde die von der wärmeübertragenden Ober-

fläche eingebrachte potentielle Energie hingegen vollständig in kinetische

Energie umgewandelt werden, was gleichbedeutend mit einem Verhältnis von

po ki

⁄=  ist. Für Auftriebsströmungen in Luft wurden tatsächliche Werte

von po ki

⁄ im stationären Fall mit 4,88 (vgl. [Kast 1972]) bis 5 (vgl. [Schlünder

1970]) ermittelt.

Zur Bestimmung des im instationären Fall als variabel angenommenen Verhält-

nisses von potentieller zu kinetischer Energie erscheint entsprechend den Glei-

chungen 37 und 38 insbesondere die örtliche und zeitliche Variation der Fluid-

dichte von zentraler Relevanz, da bei einer Beschleunigung der Auftriebsströ-

mung durch das Gravitationsfeld Änderungen der Strömungsgeschwindigkeit 

ebenfalls durch Dichtevariationen initiiert werden.

5.1.2 Zeitliche Entwicklung der Wärmeübertragung durch freie

Konvektion

Im Umkehrschluss wird eine Änderung der mittleren Geschwindigkeit von in-

stationären freien Konvektionsströmungen als direkte Auswirkung der Um-

wandlung von potentieller in kinetische Energie interpretiert. Daher wird für

die analytische Prognose der zeitlichen Änderung der konvektiven Wärmeüber-

tragung ergänzend der Zusammenhang zwischen der Wärmeübertragungs-

Intensität und der Strömungsgeschwindigkeit betrachtet. Abbildung 5.1 zeigt

dazu die dimensionslose konvektive Wärmeübertragung �/L gemäß den Glei-

chungen 8 und 9 in Abhängigkeit der charakteristischen Geschwindigkeit har

nach Gleichung 13 sowie als Funktion des Auftriebs-Volumenstroms �󰇗 auf der

Basis von empirisch ermittelten Korrelationsgleichungen (vgl. [Kriegel 1973]).

Abbildung 5.1: Konvektive Wärmeübertragung in Abhängigkeit der Strömungs-

Intensität

Für die dargestellten Strömungsgrößen (L <  ∙) ist jeweils eine annä-

hernd lineare Kopplung der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität er-

kennbar. Da für Geschwindigkeitsänderungen bei konstanter Schwerebe-

schleunigung ebenfalls von einer kontinuierlichen (d.h. zeitlich linearen) Ent-

wicklung auszugehen ist, wird in den nachfolgend beschriebenen Prognosemo-

050 100 150 200

100

150

200

250

300

350

400

450

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

u_lam u_turb V/t_lam V/t_turb

har la

Volumenstrom in m³/h

Geschwindigkeit in m/s

�/L

har ur 󰇗�la [Kriegel 1973] 󰇗� ur [Kriegel 1973]

69 
 
dellen (siehe Kapitel 5.2 und 5.3) in erster Näherung auch die zeitliche Ände-
rung der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität als linear betrachtet. 
Sowohl die messtechnisch erfassten Momentanwerte der konvektiven Wärme-
übertragung  (vgl.  Abbildung  3.22 und  Abbildung  3.26),  als  auch  die  phäno-
menologischen Beobachtungen in den Kapiteln 4.1.2 und 4.2.2 lassen darüber 
hinaus  das  Maximum  der  instationären  Wärmeübertragungs-Intensität  zum 
Ende eines Wärmestrom-Impulses oder bei einer starken Reduzierung der zu-
geführten Wärmestromdichte erwarten. 
5.2 Prognosemodell zur instationären Wärmeübertragung 
bei zyklischer Variation der Randbedingungen 
Aus  den  in  Kapitel  3.4  beschriebenen  experimentellen  Versuchsreihen  wird 
deutlich, dass für die Prognose von Abweichungen zwischen der tatsächlichen 
konvektiven  Wärmeübertragung  innerhalb  der  instationären  Phase  und  der 
quasi-stationären Betrachtungsweise neben dem zeitlichen Mittel der Grashof-
Zahl weitere Einflussgrößen von Relevanz sind. 
Für die grundlegende Gestaltung eines Regressionsmodells kommen daher als 
mögliche  charakteristische  Größen  sowohl  minimale,  maximale  und  mittlere 
Werte  sowie  zeitliche  Gradienten  von  Grashof-Zahlen,  Wärmestromdichten 
und  Temperaturdifferenzen,  als  auch  diverse  dimensionslose  und  -behaftete 
Parameter-Kombinationen  in  Betracht.  Ein  eindeutiger  Kausalzusammenhang 
zeigt sich jedoch erst für den in Kapitel 5.1 vorgestellten physikalischen Ansatz. 
Abbildung 5.2 stellt dazu nochmals die Ergebnisse der Versuchsreihen aus Ab-
bildung  3.24  dar,  jedoch  kategorisiert  in  Abhängigkeit  der  dimensionslosen 
Größe �* entsprechend Gleichung 39. 
 �*=�Zklus s  ∙ ∆Zklus
�Ipuls s  ∙ ∆isPh
  (Gl. 39) 
In der Größe �* werden die Fluiddichte, die sich für den Wärmestrom-Impuls 
im stationären Fall einstellen würde �Ipuls s , dessen Pendant für den zeitlichen 
Mittelwert der Wärmezufuhr innerhalb der zyklischen Variation �Zklus s  sowie 
die Dauer der instationären Phase ∆isPh und die gesamte Zyklusdauer ∆Zklus 
ausgedrückt. 

Abbildung 5.2: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung für �*-Kategorien

Für ansteigende Werte von �* ist in Abbildung 5.2 auch bei gleicher mittlerer

Grashof-Zahl 



/L Zklus

* eine deutliche Tendenz zu größeren Abweichungen zwi-

schen der im instationären Fall gemessenen Wärmeübertragung und der quasi-

stationären Betrachtungsweise ∆is/s isPh zu erkennen. So zeigt sich für die jewei-

ligen quadratischen Regressionsfunktionen der �*-Kategorien eine deutlich

ausgeprägte Verschiebung entlang der Ordinate.

Eine derartige Betrachtung von Impulsgrößen im Verhältnis zu mittleren Grö-

ßen steht in prinzipieller Analogie zur Definition des Turbulenzgrades nach

Gleichung 11. Gemäß der physikalischen Modellvorstellung aus Kapitel 5.1 wird

�* dabei als Maß für die Abweichung des mittleren Verhältnisses von potenti-

eller zu kinetischer Energie innerhalb der instationären Phase vom Verhältnis

po ki

⁄ im stationären Fall interpretiert.

5.2.1 Validierungsmessungen für zyklische Variationen

Zur Überprüfung einer direkten Abhängigkeit zwischen den festgestellten Aus-

wirkungen von instationären Strömungsstrukturen auf die konvektive Wärme-

übertragung und der Größe �* nach Gleichung 39 werden in Ergänzung zu den

Versuchsreihen aus Kapitel 3.4.1 insgesamt 17 Validierungsmessungen mit zyk-

-3%

13%

17%

21%

25%

8910 11 12 13 14

  Π* <    Π* <    Π* <    Π* <    Π* < 

  Π* <    Π* <    Π* <  Π*  

laminar transient turbulent

log /L Zklus

∗

∆is/s isPh

  Π∗<    Π∗<    Π∗<    Π∗<    Π∗< 

  Π∗<    Π∗<    Π∗< Π∗

lisch variierten Randbedingungen durchgeführt. Die Definition der Variations-

Randbedingungen erfolgt dabei anhand der zu erwartenden Verhältnisse von

Impulsgrößen zu mittleren Größen, sodass eine möglichst große Bandbreite

von �* berücksichtigt wird. So werden �*-Werte zwischen 2 und ca. 10,8 be-

trachtet, wobei die Untersuchungs-Schrittweite bei ca. ∆�* ≈   liegt. Zur Re-

duktion der zufälligen Messunsicherheits-Anteile der in Kapitel 3.3.4 aufgeführ-

ten messtechnischen Gesamtunsicherheit sowie zur Überprüfung der Reprodu-

zierbarkeit der Ergebnisse werden sämtliche Validierungsmessungen jeweils

fünffach wiederholt.

Abbildung 5.3 zeigt die arithmetischen Mittel der resultierenden Abweichun-

gen zwischen der im instationären Fall gemessenen konvektiven Wärmeüber-

tragung und der quasi-stationären Betrachtung ∆is/s isPh für die 17 Validie-

rungsmessungen sowie die jeweilige Standardabweichung .

Abbildung 5.3: Ergebnisübersicht der Wiederholungsmessungen zu zyklischen

Variationen

Die festgestellte Standardabweichung der fünffachen Wiederholungsmessun-

gen liegt dabei zwischen   %      %, ihr arithmetisches Mittel für alle 170

Einzelergebnisse beträgt  =   %. In Analogie zur Messunsicherheits-

Fortpflanzung (vgl. Kapitel 3.3.4) ist dabei eine Tendenz zu großen relativen Ge-

-3%

13%

17%

21%

25%

1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11 1,0E+12 1,0E+13 1,0E+14

laminar transient turbulent

/L Zklus

∗

∆is/s isPh

samtunsicherheiten bei geringen Grashof-Zahlen 



/L Zklus

* festzustellen. Er-

höhte Standardabweichungen zeigen sich außerdem im Übergangsbereich (bei

ca. ∙ < 



/L Zklus

* < 󰇜.

Abbildung 5.4 zeigt die zugehörigen Abweichungen der instationären konvekti-

ven Wärmeübertragung der Validierungsmessungen gegenüber der quasi-

stationären Betrachtungsweise ∆is/s isPh in Abhängigkeit des Verhältnisses von

Impulsgrößen zu mittleren Größen �*.

Abbildung 5.4: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung als Funktion von �*

Für ähnliche mittlere Grashof-Zahlen 



/L Zklus

* ist dabei in Analogie zu Abbil-

dung 5.2 für zunehmende �* ein monotoner Anstieg des Einflusses der instati-

onären Betriebsweise ∆is/s isPh zu erkennen.

Zur Prognose der Abweichungen zwischen der tatsächlichen konvektiven Wär-

meübertragung innerhalb der instationären Phase einer zyklischen Variation

der Randbedingungen und der quasi-stationären Betrachtungsweise ∆is/s isPh

wird daher ein logarithmisches Regressionsmodell entsprechend Gleichung 40

vorgeschlagen.

-3%

13%

17%

21%

25%

02 4 6 8 10 12

Gr* < 2E9 E  Gr* < E E  Gr* < E

E  Gr* < E E  Gr* < E E  Gr* < E

E  Gr* < E E  Gr* <  E  E  Gr* < E

Gr*  E

Π∗

∆is/s isPh

/L Zklus

∗<∙

∙ /L Zklus

∗<  ∙

∙/L Zklus

∗<  /L Zklus

∗< ∙

∙ /L Zklus

∗<1 /L Zklus

∗< ∙ ∙ /L Zklus

∗< ∙

∙ /L Zklus

∗< ∙  ∙ /L Zklus

∗< ∙

/L Zklus

∗ ∙

∆is/s isPh =�∙ln(�*)+ (Gl. 40)

Für den Regressionsparameter � liegt im Falle der zyklisch variierten Randbe-

dingungen ein konstanter Wert von ca. 0,0798 vor, während  eine Abhängig-

keit von 



/L Zklus

* entsprechend Gleichung 41 aufweist.

={  ∙ln(



/L Zklus

*)−  fr 



/L Zklus

*  

−  ∙ln(



/L Zklus

*)+  fr 



/L Zklus

* >  (Gl. 41)

Eine umfangreiche Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen bei zyklisch

variierten Strömungs-Randbedingungen ist zudem in Anhang A.1 aufgeführt.

5.2.2 Instationäre Phase bei zyklischen Variationen

Für die Dauer der instationären Phase ∆isPh, innerhalb der die Momentanwer-

te der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is  s entsprechend Gleichung 31 um

mehr als ein Prozent vom quasi-stationären Vergleichswert 󰇗 s  s abweichen,

zeigt sich eine Abhängigkeit von der Dauer des jeweiligen Wärmestrom-

Impulses ∆Ipuls und der Zyklus-Gesamtdauer ∆Zklus gemäß Gleichung 42.

∆isPh

∆Zklus =  ∙(∆Ipuls

∆Zklus) 

(Gl. 42)

Abbildung 5.5 zeigt die zugrunde liegenden Regressionsdaten der Validie-

rungsmessungen aus Kapitel 5.2.1. Die Dauer der instationären Phase variiert

bei einem arithmetischen Mittel von ∆isPh  =  % zwischen  % 

∆isPh   % und steht somit in sehr guter Übereinstimmung zu den Versuchs-

reihen in Kapitel 3.4.1.

Gemäß der in Kapitel 5.1.1 beschriebenen physikalischen Modellvorstellung

erscheint für die instationäre Wärmeübertragung insbesondere die Änderung

der Fluiddichte von Relevanz. Dabei liegt zunächst die Vermutung nahe, dass

auch ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen der Dauer der instationären

Phase und dem zeitlichen Gradienten der Oberflächentemperatur an der wär-

meübertragenden Platte besteht. Letzterer wird maßgeblich durch die zuge-

führte Wärmestromdichte, die Wärmekapazität der Platte und durch die aktu-

elle Wärmeabfuhr selbst geprägt (vgl. Gleichung 29).

Abbildung 5.5: Dauer der instationären Phase bei zyklischen Variationen

Dementsprechend werden Versuchsreihen mit sehr unterschiedlichen zeitli-

chen Gradienten der Oberflächentemperatur durchgeführt. Dabei treten wäh-

rend des Aufheizvorgangs Gradienten zwischen   K/s  ��W�

⁄



τ    K/s

auf und während des Abkühlens Werte zwischen   K/s 

��W�

⁄



τ    K/s, wobei ��W�

⁄



τ den Mittelwert des Zeitraums repräsen-

tiert, in dem 63,2 % der Temperaturänderung ∆�W des Zyklus vollzogen werden

(1�). Für die Dauer der instationären Phase ∆isPh zeigt sich jedoch keinerlei

Abhängigkeit vom zeitlichen Temperaturgradienten ��W�

⁄



τ. In Abbildung 5.6

ist dazu die Dauer der instationären Phase ∆isPh für zwei unterschiedliche Im-

puls-Wärmestromdichten 󰇗Ipuls bei gleicher Impulsdauer (∆Ipuls =  s) und

gleichem Auskühlzeitraum (∆Auskhlug = . s) dargestellt. Für den Wär-

mestromimpuls von 󰇗Ipuls =  W/² liegt während der Aufheizphase ein

zeitlicher Oberflächentemperaturgradient von ��W�

⁄



τ =   K/s vor; bei

󰇗Ipuls = . W/² sind dies ��W�

⁄



τ =   K/s. Unabhängig von der Inten-

sität der Abweichung der instationären Wärmeübertragung von der quasi-

stationären Betrachtungsweise ∆is/s isPh zeigt sich die Dauer der instationären

Phase dabei mit ∆isPh =  s bei 󰇗Ipuls =  W/² und ∆isPh =  s bei

y = 7,0716x0,3563

R² = 0,9745

10%

20%

30%

40%

50%

60%

1,0E-05 1,0E-04 1,0E-03

⁄∆Ipuls ∆Zklusin 1/s

⁄∆isPh ∆Zklus

󰇗Ipuls = . W/² vor dem Hintergrund eines Messintervalls von 2 s als na-

hezu identisch.

Abbildung 5.6: Dauer der instationären Phase bei variabler Wärmestromdichte

(mit ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

Für zyklische Variationen der Randbedingungen ist daher von einer Unabhän-

gigkeit der Regressionsfunktion nach Gleichung 42 von der thermischen Kapazi-

tät der beheizten Platte und der Impuls-Wärmestromdichte auszugehen.

Ferner verhält sich die Dauer der instationären Phase unabhängig von der mitt-

leren Grashof-Zahl. So weisen alle betrachteten Strömungs-Teilgebiete (vgl.

Kapitel 1.1.1) einer Versuchsreihe stets den gleichen Anteil der instationären

Phase an der gesamten Zyklusdauer auf.

Der in Kapitel 5.1 vorgestellten physikalischen Modellvorstellung folgend, wird

die beobachtete (ausschließliche) Abhängigkeit der Dauer der instationären

Phase von der Impulsdauer und der gesamten Zyklusdauer derart interpretiert,

dass für die Dauer des Wärmestrom-Impulses ein Aufbau des Überschusses an

potentieller Energie im Fluid stattfindet und dieser darüber hinaus kontinuier-

lich wieder abgebaut wird. Ein Gedankenexperiment, bei dem nach dem Ende

des Wärmestrom-Impulses plötzlich die beheizte Oberfläche aus dem Fluid ent-

fernt wird, verdeutlicht ferner, dass der darauffolgende Ausgleichsvorgang zwi-

100

150

200

250

300

0300 600 900 1.200 1.500 1.800

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit in s

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

⁄

�= . 

∆isPh = s

󰇗Ipuls = . W/²

∆isPh = s

󰇗Ipuls = W/²

schen potentieller und kinetischer Energie lediglich eine Funktion des Fluids

und der Zeit sein muss.

Aufgrund des medienspezifischen Verhältnisses von Impuls- und Wärmetrans-

port liegt für die Dauer der instationären Phase jedoch eine Fluid-Abhängigkeit,

also ein Einfluss der Prandtl-Zahl nahe. So erscheint die Temperaturleitfähigkeit

 insbesondere für den Aufbau des Überschusses an potentieller Energie von

Relevanz, während für den anschließenden Ausgleichsvorgang von einem be-

sonderen Einfluss der kinematischen Viskosität ν auszugehen ist.

5.2.3 Momentanwerte von zyklischen Variationen

Entsprechend der in Kapitel 5.1.2 dargestellten Annahme einer linearen zeitli-

chen Zuwachs- und Abklingrate der Intensität der konvektiven Wärmeübertra-

gung wird zur Bestimmung der Momentanwerte innerhalb der instationären

Phase ein vereinfachtes lineares Berechnungsmodell vorgeschlagen. Darin wird

die mittlere Abweichung der instationären konvektiven Wärmeübertragung

von der quasi-stationären Betrachtungsweise ∆is/s isPh gemäß Gleichung 33 so

auf die Dauer der instationären Phase ∆isPh verteilt, dass für die Momentan-

werte ∆is/s vom Beginn eines jeweiligen Zyklus ein kontinuierlicher zeitlicher

Zuwachs bis zum Ende des Wärmestrom-Impulses ∆Ipuls resultiert. Vom dort

befindlichen Maximum ∆is/s a wird wiederum ein kontinuierliches Abklingen

der Momentanwerte der (zusätzlich durch die instationäre Betriebsweise ver-

ursachten) Wärmeübertragungs-Intensität ∆is/s bis zum Ende der instationären

Phase ∆isPh angenommen, wie in Abbildung 5.7 schematisch dargestellt.

Abbildung 5.7: Prognose-Modell zur instationären konvektiven Wärmeübertragung

∆

Ipuls

∆isPh

∆is/s isPh

Momentanwerte



∆is/s

Der beschriebene zeitliche Verlauf wird entsprechend durch Gleichung 43 aus-

gedrückt.

∆is/s ={ ∙ ∆is/s isPh

∆Ipuls ∙ fr ≤∆Ipuls

∙∆is/s isPh −[ ∙ ∆is/s isPh

∆isPh − ∆Ipuls ∙(−∆Ipuls)] fr >∆Ipuls

(Gl. 43)

Die insgesamt prognostizierte konvektive Wärmeübertragungs-Intensität des

instationären Falls 󰇗 is resultiert schließlich für jeden Zeitpunkt gemäß Glei-

chung 44.

󰇗 is =󰇗 s +󰇗 s ∙∆is/s (Gl. 44)

Darin repräsentiert 󰇗 s den quasi-stationären Momentanwert der konvektiven

Wärmestromdichte entsprechend Kapitel 3.3.1. Für beliebige Randbedingun-

gen kann 󰇗 s alternativ aus den Gleichungen 2 bis 10 ermittelt werden.

Abbildung 5.8 zeigt die Versuchsreihe aus Abbildung 3.22 nochmals, jedoch er-

gänzt um die Prognose der Momentanwerte der instationären konvektiven

Wärmeübertragung 󰇗 is gemäß Gleichung 44.

In Analogie zu Kapitel 3.4.1 handelt es sich bei den in Grün dargestellten, ge-

messenen Momentanwerten 󰇗 is  s jeweils um gleitende Mittelwerte der letz-

ten 90 s. Ein direkter Vergleich zu dem in Blau dargestellten Pendant der prog-

nostizierten Momentanwerte 󰇗 is  s zeigt eine sehr gute Übereinstimmung für

den gesamten zeitlichen Verlauf des betrachteten Zyklus.

Für eine derartige Prognose der Momentanwerte der konvektiven Wärmeüber-

tragung innerhalb der instationären Phase zeigt sich darüber hinaus für sämtli-

che der durchgeführten Versuchsreihen mit zyklisch variierten Randbedingun-

gen eine gute grafische Übereinstimmung zu den gemessenen Momentanwer-

ten. Lediglich für sehr kurze Impulsdauern (∆Ipuls   s) übersteigen die ge-

messenen Momentanwerte die Prognose zum Zeitpunkt des Impulsendes nen-

nenswert. Aufgrund des in Kapitel 3.3.2 beschriebenen Mittelungs-Intervalls

von 90 s zur Messung von Momentanwerten der konvektiven Wärmeübertra-

gung ist für Versuchsreihen mit Impulsdauern ∆Ipuls <  s jedoch eher von

einer eingeschränkten Aussagekraft der gemessenen Momentanwerte auszu-

gehen.

für   ∆Ipuls

für  > ∆Ipuls

Abbildung 5.8: Momentanwert-Prognose für zyklische Variationen

(mit 󰇗Ipuls =  W/², ∆Ipuls =  s und ∆Auskhlug = . s)

5.2.4 Modellanwendung und Prognosegüte für zyklische Variationen

Für das in den Gleichungen 39 bis 44 vorgestellte Modell zur Prognose der in-

stationären konvektiven Wärmeübertragung bei zyklisch variierten Strömungs-

Randbedingungen zeigt Abbildung 5.9 eine schematische Übersicht der zu-

grunde liegenden Vorgehensweise.

Abbildung 5.9: Anwendungsschema des Regressionsmodells für zyklische

Variationen

100

125

150

175

01:30 01:35 01:40 01:45 01:50 01:55 02:00 02:05

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is (gem) [90 s]

q/t_c_is (Prog) q/t_c_is (Prog) [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

󰇗 is (Prognose) 󰇗 is  s (Prognose)

∆Ipuls

∆isPh

⁄

�= . 

󰇛�∞󰇜

Gl. 

Gl.  is 

󰇗Ipuls

󰇗Zklus

∆Ipuls

∆Zklus

Gl. 

∆isPh ∆Zklus

⁄

∆�Ipuls s

∆�



Zklus s





/L Zklus

�Ipuls s

�Zklus s

∆is/st

�, 

�*

Gl. 

Gl. 

∆is/st,isPh

Gl. 

󰇗c,is

Gl. 

Gl. 

Dabei stellen die Wärmestromdichte 󰇗Ipuls und die Dauer des Aufheizimpulses

∆Ipuls sowie die gesamte Zyklusdauer ∆Zklus die bekannten Eingangsgrößen

dar. Mit Hilfe der etablierten Berechnungskorrelationen (vgl. Kapitel 1.1) wer-

den zunächst die Temperaturdifferenzen ∆�Ipuls s und ∆�



Zklus s ermittelt, die

sich im stationären Fall für den Impulswärmestrom 󰇗Ipuls und den mittleren

Wärmestrom 󰇗Zklus einstellen würden. Die zugehörigen mittleren Fluiddichten

�Ipuls s und �Zklus s werden im Anschluss mit der Dauer der instationären

Phase ∆isPh in der dimensionslosen Kennzahl �* ausgedrückt. Zusammen mit

den an das zeitliche Mittel der Grashof-Zahl 



/L Zklus

* angepassten Regressi-

onsparametern � und  folgt daraus die mittlere Abweichung der konvektiven

Wärmeübertragungs-Intensität des instationären Falles von der quasi-

stationären Betrachtungsweise innerhalb der instationären Phase ∆is/s isPh. Die

mittlere Abweichung ∆is/s isPh kann durch einen charakteristischen zeitlichen

Verlauf in Momentanwerten ∆is/s ausgedrückt werden. Durch Addition der

quasi-stationären Vergleichswerte resultiert schließlich die Prognose der für

jeden Zeitpunkt insgesamt vorhandenen konvektiven Wärmeübertragungs-

Intensität im instationären Fall 󰇗 is.

Abbildung 5.10 zeigt einen Vergleich zwischen den Berechnungsergebnissen

des analytischen Regressionsmodells und den jeweiligen Validierungsmessun-

gen des Kapitels 5.2.1.

Abbildung 5.10: Prognosegüte des Regressionsmodells für zyklische Variationen

y = 1,031x - 0,003

R² = 0,970

-3%

13%

17%

21%

25%

-3% 1% 5% 9% 13% 17% 21% 25%

∆is/s isPh (Messung)

∆is/s isPh (Prognose)

Wie aus der Anordnung der Vergleichspunkte ersichtlich wird, zeigt sich dabei

insgesamt eine gute Übereinstimmung. So beträgt die Differenz zwischen Prog-

nose und Messwerten für die 170 Einzelergebnisse der Validierungsmessungen

zwischen 0 % und maximal 3,5 %, das arithmetische Mittel beläuft sich auf

0,7 %. Zwischen dem Ausmaß der Prognosefehler und den Regressionsparame-

tern �* oder 



/L Zklus

* ist dabei keine eindeutige Kausalität erkennbar. Die

größten Differenzen treten jedoch entsprechend der Gesamtunsicherheit (vgl.

Kapitel 5.2.1) bei sehr kleinen Grashof-Zahlen (



/L Zklus

* < ) auf.

5.3 Prognosemodell zur instationären Wärmeübertragung

bei sprungartigen Änderungen mit anschließender

Beharrung

Für die Prognose der konvektiven Wärmeübertragung nach einer sprungartigen

Änderung der Strömungs-Randbedingungen mit anschließender Beharrung

wird im Grundsatz der gleiche Regressionsansatz vorgeschlagen, wie im Falle

der zyklischen Variationen (vgl. Kapitel 5.2). Im Unterschied dazu existiert je-

doch keine definierte Zyklusdauer ∆Zklus, weshalb ersatzweise der Zeitraum

vom Beginn der Wärmestromzufuhr bis zum Erreichen des Oberflächentempe-

ratur-Sollwertes ∆Sprug herangezogen wird. Ferner beziehen sich die Angaben

zu mittleren Größen anstelle einer zeitlichen Mittelung auf das arithmetische

Mittel der Oberflächentemperatur vor und nach dem Sprung �W . Der resul-

tierende Regressionsparameter � wird durch Gleichung 45 ausgedrückt.

�= � s ∙ ∆isPh

�a s ∙ ∆Sprug

(Gl. 45)

Abbildung 5.11 zeigt dazu die entsprechende Kategorisierung der Messdaten

aus Abbildung 3.27 in Abhängigkeit der dimensionslosen Größe �. In Analogie

zu Abbildung 5.2 ist mit zunehmenden Werten von � bei gleicher mittlerer

Grashof-Zahl /L  eine kontinuierliche Verschiebung der Regressionsfunktio-

nen für ∆is/s isPh entlang der Ordinate zu erkennen. Aufgrund des geringeren

Stichprobenumfangs der sprungartigen Randbedingungs-Variationen (vgl. Kapi-

tel 3.4.2) wird im Vergleich zu Kapitel 5.2 eine entsprechend gröbere Kategori-

sierung vorgenommen.

Abbildung 5.11: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung für �-Kategorien

5.3.1 Validierungsmessungen für sprungartige Änderungen

Zur Bestimmung der Regressionsparameter für ein Prognosemodell der instati-

onären konvektiven Wärmeübertragung bei einer sprungartigen Variation der

Randbedingungen werden elf Validierungsmessungen durchgeführt, die gemäß

der in Kapitel 1.1.1 beschriebenen Bilanzierung von Strömungs-Teilgebieten zu

einer Regressions-Grundlage von insgesamt 110 Einzelergebnissen führen.

Betrachtet werden dabei �-Werte zwischen etwa 0,8 und ca. 11,4. Die Unter-

suchungs-Schrittweite beträgt ca. ∆� ≈ . Zu Zwecken der Reduktion von zufäl-

ligen Messunsicherheiten und zur Überprüfung der Reproduzierbarkeit der Er-

gebnisse werden die Validierungsmessungen für sprungartige Randbedingungs-

Variationen ebenfalls fünffach wiederholt.

Die so erfassten Unterschiede zwischen instationärer Wärmeübertragung und

dem quasi-stationären Vergleichsfall ∆is/s isPh sowie deren Standardabweichun-

gen  sind für sprungartige Änderungen mit anschließender Beharrung in Ab-

bildung 5.12 dargestellt. Die Standardabweichung bewegt sich dabei zwischen

  %      %, der Mittelwert beträgt  =   %. Auch hier zeigen sich die

größten relativen Unsicherheiten bei geringen Grashof-Zahlen (/L  < )

und im transienten Übergangsbereich (ca.  < /L  < ∙󰇜.

10%

15%

20%

25%

30%

678910 11

Π < 

  Π < 

  Π < 

  Π < 

  Π < 

Π  

laminar transient turbulent

log /L 

∆is/s isPh

Π<    Π<    Π<    Π<    Π<  Π 

Abbildung 5.12: Ergebnisübersicht der Wiederholungsmessungen zu sprungartigen

Änderungen

Die Beeinflussung der konvektiven Wärmeübertragung durch eine instationäre

Betriebsweise ∆is/s isPh in Abhängigkeit des Verhältnisses von Impulsgrößen zu

mittleren Größen � zeigt Abbildung 5.13. Für ähnliche mittlere Grashof-Zahlen

/L  wird dabei erneut eine direkte Korrelation zur Größe � deutlich.

Zur Prognose der instationären konvektiven Wärmeübertragung bei sprungar-

tig veränderten Oberflächentemperaturen an der vertikalen Platte wird daher

ebenfalls ein logarithmisches Regressionsmodell entsprechend Gleichung 46

vorgeschlagen.

∆is/s isPh =�∙ln󰇛�󰇜+ (Gl. 46)

Der Regressionsparameter � resultiert dabei mit einem konstanten Wert von

etwa 0,0715, während für  ebenfalls eine Abhängigkeit von der Grashof-Zahl

/L  auftritt (Gleichung 47).

={  ∙ln(/L )−  fr /L   

−  ∙ln(/L )+  fr /L  >  (Gl. 47)

10%

15%

20%

25%

30%

1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11

laminar transient turbulent

/L 

∆is/s isPh

Abbildung 5.13: Zusätzliche konvektive Wärmeübertragung als Funktion von �

Zu den Validierungsmessungen mit sprungartiger Änderung der Randbedingun-

gen und anschließender Beharrung ist eine ausführliche Ergebnisübersicht im

Anhang A.2 aufgeführt.

5.3.2 Instationäre Phase bei sprungartigen Änderungen

Die Dauer der instationären Phase ∆isPh, in der die konvektive Wärmeübertra-

gung gemäß Gleichung 31 um mehr als ein Prozent vom quasi-stationären Ver-

gleichsniveau der Randbedingungen eines Zeitpunktes abweicht, kann für

sprungartige Änderungen im Verhältnis zur jeweiligen Sprungdauer ∆Sprug

gemäß Gleichung 48 bestimmt werden.

∆isPh

∆Sprug =  ∙(󰇗a

∆�Sprug ∙ �W�W

⁄) 

(Gl. 48)

Der verwendete Regressionsparameter berücksichtigt die maximale Impuls-

Wärmestromdichte 󰇗a, die Temperaturdifferenz des Sprunges ∆�Sprug und

die flächenbezogene Wärmekapazität der vertikalen Platte �W�W

⁄. Er weist in

Analogie zum Regressionsparameter der instationären Phase für zyklische

10%

15%

20%

25%

30%

0 2 4 6 8 10 12

Gr < 5E7 E  Gr <  E  E  Gr <  E

 E  Gr < E E  Gr <  E  E  Gr <  E

 E  Gr <  E  E  Gr <  E  E  Gr <  E

Gr   E

∆is/s isPh

/L  <∙

 ∙/L  <  ∙

∙/L  <  ∙ ∙/L  <  ∙

 ∙/L  </L  <  ∙ ∙/L  <  ∙

 ∙/L  <  ∙ ∙/L  <  ∙

/L    ∙

Randbedingungs-Variationen (vgl. Gleichung 42) die Einheit 1/s auf und reprä-

sentiert im physikalischen Sinne die (reziproke) Dauer des Temperatursprunges

∆Sprug

⁄. Die dabei getroffene Vereinfachung einer Vernachlässigung der

wärmeabgebenden Terme der Gleichung 29 ist nur dann zulässig, wenn die zu-

geführte elektrische Leistung 󰇗el vergleichsweise groß ist. So beträgt die mittle-

re elektrische Leistungszufuhr 󰇗el während des Temperatursprunges ∆Sprug in

den durchgeführten Validierungsmessungen stets mindestens das Doppelte der

mittleren Wärmeabgabe aufgrund von Konvektion 󰇗 und Strahlung 󰇗r. Kann

diese Voraussetzung nicht erfüllt werden, ist eine iterative Vorgehensweise er-

forderlich, die die tatsächliche (instationäre) Wärmeabgabe 󰇗 is bei der Ermitt-

lung der Dauer des Temperatursprunges ∆Sprug berücksichtigt.

Für die in Abbildung 5.14 dargestellten Regressionsdaten der Validierungsmes-

sungen beläuft sich die Dauer der instationären Phase ∆isPh in etwa auf das 0,7

bis 8,0-fache der Sprungdauer ∆Sprug ; das arithmetische Mittel beträgt

∆isPh ∆Sprug

⁄ =  .

Abbildung 5.14: Dauer der instationären Phase bei sprungartigen Änderungen

y = 98,0279x0,7624

R² = 0,9861

1,0E-03 1,0E-02 1,0E-01

󰇗a

∆�Sprug ∙⁄

�W�W

in 1/s

⁄

∆isPh ∆Sprug

Eine Abschätzung der dimensionsbehafteten Dauer des Temperatursprunges

∆Sprug gelingt unter den genannten Vereinfachungen mit Hilfe desselben Re-

gressionsparameters nach Gleichung 49.

∆Sprug =  ∙(󰇗a

∆�Sprug ∙ �W�W

⁄)− 

(Gl. 49)

Gemäß der physikalischen Modellvorstellung aus Kapitel 5.1.1 wird die Sprung-

dauer in Analogie zur Impulsdauer (vgl. Kapitel 5.2.2) als der Zeitraum interpre-

tiert, in dem ein Überschuss an potentieller Energie im Fluid aufgebaut wird.

Die Angleichung von po ki

⁄ an das stationäre Verhältnis erfolgt wiederum

nach einer (starken) Reduzierung der Leistungszufuhr. Dementsprechend liegt

auch für die Versuchsreihen mit sprungartiger Änderung der Randbedingungen

keine direkte Abhängigkeit der Dauer der instationären Phase von den Eigen-

schaften der wärmeübertragenden Oberfläche vor.

Ferner zeigt sich für die sprungartigen Änderungen in Übereinstimmung mit

Kapitel 5.2.2 kein Zusammenhang zwischen der Dauer der instationären Phase

und der mittleren Grashof-Zahl. Voraussetzung hierfür ist ebenfalls, dass die

Leistungszufuhr während des Temperatursprunges hinreichend groß ist (d.h. im

Vergleich zur Wärmeabgabe dominiert), um an jeder Stelle der beheizten Ober-

fläche die gleiche Sprungdauer zu ermöglichen. Als mögliche Einschränkung der

Regressionsfunktionen der Gleichungen 48 und 49 auf die individuellen Gege-

benheiten des konkreten Versuchsaufbaus verbleibt daher auch für die sprung-

artigen Änderungen primär die Prandtl-Zahl.

5.3.3 Momentanwerte von sprungartigen Änderungen

Zur Prognose des zeitlichen Verlaufs der instationären konvektiven Wärme-

übertragung bei sprungartigen Änderungen der Strömungs-Randbedingungen

wird ebenfalls die bereits in Kapitel 5.2.3 für zyklische Variationen beschriebe-

ne Methodik vorgeschlagen. Dabei ist die Impulsdauer ∆Ipuls jedoch gemäß

Gleichung 50 durch die Dauer des Temperatur-Sprunges ∆Sprug zu ersetzen.

∆is/s ={ ∙ ∆is/s isPh

∆Sprug ∙ fr   ∆Sprug

∙∆is/s isPh −[ ∙ ∆is/s isPh

∆isPh − ∆Sprug ∙(−∆Sprug)] fr  > ∆Sprug

(Gl. 50)

für   ∆Sprug

für  > ∆Sprug

Den Beobachtungen aus den Kapiteln 3.4.2 und 4.1.2 entsprechend, wird das

Maximum der Momentanwerte ∆is/s dabei zum Ende eines Temperatur-

Sprunges ∆Sprug erwartet, da zu diesem Zeitpunkt eine starke Reduzierung der

Wärmestromzufuhr 󰇗Ipuls erfolgt.

Eine Prognose der Momentanwerte der insgesamt vorliegenden instationären

konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität 󰇗 is gelingt in Übereinstimmung

mit Kapitel 5.2.3 gemäß Gleichung 44. Abbildung 5.15 zeigt die resultierende

Ergänzung der Versuchsreihe aus Abbildung 3.26 um die prognostizierten Mo-

mentanwerte der konvektiven Wärmeübertragung 󰇗 is gemäß Gleichung 44.

Abbildung 5.15: Momentanwert-Prognose für sprungartige Änderungen

(mit 󰇗a = . W/² und ∆�Sprug =  K)

Wie im Falle der Versuchsreihen mit zyklischen Variationen ist für den darge-

stellten Beispielfall sowie für alle betrachteten Versuchsreihen zu sprungarti-

gen Randbedingungs-Änderungen eine gute grafische Übereinstimmung der

prognostizierten Momentanwerte 󰇗 is  s mit den jeweils gemessenen Werten

󰇗 is  s festzustellen. Dabei gilt die in Kapitel 5.2.3 diskutierte eingeschränkte

Vergleichbarkeit von Prognose- und Messwerten für Impulse mit ∆Ipuls   s

analog für Sprung-Dauern ∆Sprug   s.

100

150

200

250

00:10 00:15 00:20 00:25 00:30

q/t_c_st q/t_c_st [90 s] q/t_c_is (gem) [90 s]

q/t_c_is (Prog) q/t_c_is (Prog) [90 s]

Wärmestromdichte in W/m²

Zeit [hh:mm]

󰇗 s 󰇗 s  s 󰇗 is  s (Messung)

󰇗 is (Prognose) 󰇗 is  s (Prognose)

∆Sprug

∆isPh

⁄

�= . 

In Gleichung 50 bleibt hingegen unberücksichtigt, dass der konvektive Wärme-

übergang  im Falle einer anfangs vollständig ausgekühlten Plattenoberfläche

(�W = �∞) gemäß Gleichung 2 unmittelbar nach dem Beginn einer Wär-

mestromzufuhr (sobald �W > �∞) unendlich groß bilanziert wird. Dieser physi-

kalisch unbegründete Effekt, der dem Konzept des Bezugs von Wär-

mestromdichten auf Temperaturdifferenzen im stationären Fall geschuldet ist,

wird durch das verwendete Mittelungsintervall von 90 s jedoch ohnehin egali-

siert.

5.3.4 Modellanwendung und Prognosegüte für sprungartige

Änderungen

Abbildung 5.16 zeigt schematisch die Vorgehensweise des vorgestellten Prog-

nosemodells zur instationären konvektiven Wärmeübertragung bei sprungarti-

gen Änderungen der Randbedingungen mit anschließender Beharrung.

Abbildung 5.16: Anwendungsschema des Regressionsmodells für sprungartige

Änderungen

Als Eingangsgrößen dienen dabei die maximale Wärmestromdichte 󰇗a, die

Temperaturdifferenz des Sprunges ∆�Sprug sowie die flächenspezifische Wär-

mekapazität der Plattenoberfläche �W�W

⁄. In Übereinstimmung mit Kapitel

5.2.4 werden zunächst die maximalen und mittleren Temperaturdifferenzen

∆�a s ud ∆� s des stationären Vergleichsfalls mit bekannten Berechnungs-

Korrelationen ermittelt, aus denen anschließend die zugehörigen Fluiddichten

�a s und � s resultieren. Unter Hinzunahme der Dauer der instationären

Phase im Verhältnis zur Dauer des Sprunges ∆isPh ∆Sprug

⁄ kann die dimensi-

Gl. 

is 

Gl. 

󰇛�∞󰇜

󰇗a

∆�Sprug

∆�a s

∆� s

/L 

�a s

� s

∆is/st

�, 

�

∆is/st,isPh

Gl. 

Gl. 

Gl. 

Gl. 

∆isPh ∆Sprug

⁄

Gl. 

�W�W

⁄

󰇗c,is

Gl. 

onslose Größe � berechnet werden, die zusammen mit den Regressionspara-

metern � und  zur mittleren Abweichung zwischen der instationären konvek-

tiven Wärmeübertragung und dem quasi-stationären Vergleichsfall ∆is/s isPh

führt. Unter der Annahme einer kontinuierlichen, linearen zeitlichen Zuwachs-

und Abklingrate der konvektiven Wärmeübertragungs-Intensität können die

zugehörigen Momentanwerte ∆is/s bestimmt werden. Wie im Falle der zyklisch

variierten Randbedingungen werden für die Prognose der insgesamt vorhande-

nen instationären konvektiven Wärmestromdichte eines Zeitpunkts 󰇗 is

schließlich die quasi-stationären Vergleichswerte addiert.

Ein Vergleich zwischen den Validierungsmessungen für sprungartige Änderun-

gen und den zugehörigen Prognosewerten des Berechnungsmodells der Glei-

chungen 45 bis 50 ist in Abbildung 5.17 dargestellt.

Abbildung 5.17: Prognosegüte des Regressionsmodells für sprungartige Änderungen

Dabei wird insgesamt ebenfalls eine gute Übereinstimmung deutlich. Die abso-

luten Differenzen zwischen Prognose und Messung liegen für die 110 Einzeler-

gebnisse zwischen 0 % im Minimum und 3,1 % im Maximum, wobei das arith-

metische Mittel 0,8 % beträgt. Die größten Prognosefehler treten in Überein-

stimmung mit der Standardabweichung der Wiederholungsmessungen (vgl.

Kapitel 5.3.1) wiederum für kleine Grashof-Zahlen (/L  < ) auf.

y = 1,012x - 0,001

R² = 0,975

10%

15%

20%

25%

30%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

∆is/s isPh (Messung)

∆is/s isPh (Prognose)

6 Zusammenfassung

Im Rahmen der dargestellten Untersuchungen wird die konvektive Wärme-

übertragung durch instationäre, natürliche Auftriebsströmungen an der verti-

kalen Platte betrachtet. Für derartige Strömungsformen ist aufgrund einer

Kopplung von Energie- und Impulstransport bislang keine Möglichkeit zur ana-

lytischen Berechnung des Temperatur- und Geschwindigkeitsfeldes bekannt. Im

Falle von vollständig ausgebildeten Strömungen werden daher semi-empirische

Näherungs-Korrelationen zur Berechnung der Wärmeübertragungs-Intensität

herangezogen.

Bisherige Betrachtungen von zeitlich veränderlichen freien Konvektionsströ-

mungen deuten bei hinreichend langsamen Änderungen auf ein quasi-

stationäres Verhalten der Wärmeübertragung hin. Für schnelle Änderungen

werden hingegen irreguläre Schwankungen der Grenzschichtgrößen beschrie-

ben (vgl. Kapitel 2.1). Der Fokus dieser Ausarbeitung liegt daher auf einer

Quantifizierung der Auswirkungen derartiger instationärer Strömungsfluktuati-

onen auf die konvektive Wärmeübertragung.

Mit Ausnahme von direkten Ansätzen lassen numerische Simulationen bei ei-

ner Analyse der beschriebenen Strömungsart aufgrund von verschiedenen Ein-

schränkungen der zugrundeliegenden Modellannahmen größere Unsicherhei-

ten erwarten (vgl. Kapitel 2.2). Die durchgeführten Betrachtungen beruhen da-

her auf einer experimentellen Herangehensweise. Dazu wird die Intensität der

konvektiven Wärmeübertragung an einer direkt-elektrisch beheizten Kupfer-

platte messtechnisch erfasst (vgl. Kapitel 3.1). Eine symmetrische Wärmeabga-

be und eine geringe thermische Eigenkapazität der beheizten Platte ermögli-

chen dabei auch die Messung von Momentanwerten der Wärmeübertragungs-

Intensität im instationären Fall. Der insgesamt 2 m hohen und 1 m breiten Plat-

te werden Impuls-Wärmestromdichten von bis zu 1.430 W/m² aufgeprägt, was

kurzfristigen Grashof-Zahlen von etwa L

* ≈  ∙ entspricht. Oberflächen-

temperaturen von maximal 100 °C im Dauerbetrieb führen im Maximum zu sta-

tionären Grashof-Zahlen von L ≈  ∙. Betrachtet werden dementspre-

chend sämtliche Strömungsformen (laminar, transient und vollturbulent). Eine

Validierung der stationären Wärmeübertragungs-Intensität zeigt eine sehr gute

Übereinstimmung zu bisherigen Literaturdaten.

Die instationäre Bewertung erfolgt im Vergleich zu einer quasi-stationären Be-

trachtungsweise, bei der der Strömung zu jedem Zeitpunkt die Wärmeübertra-

gungs-Intensität unterstellt wird, die sich für die jeweils aktuellen Randbedin-

gungen im stationären Fall einstellen würde (vgl. Kapitel 3.3).

Für eine grundlegende Analyse von Kausalzusammenhängen zwischen der kon-

vektiven Wärmeübertragung und variablen Strömungs-Randbedingungen einer

zyklischen Betriebsweise werden zunächst 52 Versuchsreihen mit Wär-

mestromdichten zwischen 57 W/m² und 1.430 W/m² bei Impulszeiten von 15 s

bis 1.800 s und einer Gesamt-Zyklusdauer von 510 s bis 2.700 s durchgeführt.

Der Verlauf der Momentanwerte der konvektiven Wärmeabfuhr zeigt dabei

während eines plötzlichen Wärmestrom-Impulses sowie einige Zeit danach eine

deutliche Überschreitung der quasi-stationären Vergleichswerte. Im zeitlichen

Mittel dieser instationären Phase wird eine Intensivierung der konvektiven

Wärmeübertragung von bis zu 23,8 % festgestellt. Nach dem Ende eines Wär-

mestromimpulses zeigt sich zunächst eine asymptotische Annäherung der

Momentanwerte an das quasi-stationäre Vergleichsniveau. Der Auskühlvor-

gang erfolgt schließlich in sämtlichen Versuchsreihen aufgrund der verhältnis-

mäßig langsamen zeitlichen Änderung der Oberflächentemperatur mit guter

Näherung quasi-stationär.

Für sprungartige Änderungen der Strömungs-Randbedingungen mit anschlie-

ßender Beharrung zeigt sich grundsätzlich eine sehr ähnliche Beeinflussung der

Wärmeübertragungs-Intensität. Aufgrund der Beharrung der Wärmezufuhr ver-

läuft die asymptotische Annäherung der Momentanwerte an das quasi-

stationäre Vergleichsniveau jedoch langsamer, als bei der plötzlichen Beendi-

gung der Beheizung im Falle der zyklischen Variationen. In 29 Versuchsreihen

mit maximalen Wärmestromdichten zwischen 74 W/m² und 1.430 W/m² und

Beharrungsniveaus der Oberflächentemperatur von 30 °C bis 90 °C bei einer

Umgebungstemperatur von 20 °C zeigen sich für die sprungartigen Änderungen

mittlere Abweichungen der Wärmeübertragungs-Intensität gegenüber dem

quasi-stationären Vergleichsniveau von bis zu 30,2 % innerhalb der instationä-

ren Phase.

Für beide Arten der Randbedingungsvariation liegt eine ausgeprägte Abhängig-

keit der Intensivierung der konvektiven Wärmeübertragung von der mittleren

Grashof-Zahl vor. So treten die Maximalwerte der instationären Wärmeüber-

tragung stets zu Beginn des laminar-turbulenten Transitionsgebiets auf, da die

Strömung dort am anfälligsten für Stabilitätsstörungen ist und ein lokales Mi-

nimum in der Wärmeübertragungsintensität aufweist.

Die Beeinflussung der freien Konvektionsströmung durch eine instationäre Be-

triebsweise wird darüber hinaus phänomenologisch mit Hilfe von Strömungsvi-

sualisierungen und Messungen der Geschwindigkeitsfluktuationen untersucht

(vgl. Kapitel 4). Auch dabei zeigen sich nach einer impulsartigen Variation der

Wärmestromzufuhr der beheizten Platte temporär deutliche Veränderungen

der Strömungsstrukturen. So bewirkt eine Beschleunigung von wandnahem

Fluid im Übergangsbereich zu ruhendem Umgebungsfluid Scherbewegungen,

die sich zu großskaligen Rotationsstrukturen (insbesondere Kelvin-Helmholtz-

Wirbeln) fortpflanzen und so eine verstärkte Durchmischung der Strömungs-

grenzschicht verursachen. Im weiteren zeitlichen Verlauf bilden sich die instati-

onären Strukturen wieder vollständig zurück, sodass eine quasi-stationäre

Strömung verbleibt.

Die exemplarische Messung von Strömungsgeschwindigkeiten innerhalb der

Grenzschicht lässt während eines Wärmestrom-Impulses sowie einige Zeit da-

nach ebenfalls stark ausgeprägte, irreguläre Fluktuationen erkennen. Diese

stehen sowohl in guter Übereinstimmung mit den bisherigen Literaturdaten, als

auch mit der gemessenen Dauer der instationären Phase der konvektiven

Wärmeübertragung.

Die experimentellen Erkenntnisse legen die physikalische Modellvorstellung

nahe, dass nach einer plötzlichen Erhöhung der Wärmeübertragung von der

Wand an das Fluid ein Überschuss an potentieller Energie in der Auftriebsströ-

mung vorliegt, der durch das vorübergehende Aufkommen von instationären

Strömungsstrukturen abgebaut wird, bis sich wieder ein stationäres Verhältnis

zwischen potentieller und kinetischer Energie einstellt.

Zur Prognose des Einflusses der instationären Strömungsstrukturen auf die

mittlere konvektive Wärmeübertragung wird eine dimensionslose Kennzahl �

vorgestellt (vgl. Kapitel 5), die gemäß der physikalischen Modellvorstellung den

mittleren Überschusses der potentiellen Energie innerhalb der instationären

Phase ausdrückt. Für das Berechnungsmodell, das außerdem die jeweilige mitt-

lere Grashof-Zahl berücksichtigt, werden die erforderlichen Regressionspara-

meter anhand von fünffach wiederholten Versuchsreihen bestimmt. Die erar-

beiteten Prognosemodelle weisen gegenüber den Messwerten mittlere Ge-

samtfehler von ca. 1,1 % bei zyklisch variierten Randbedingungen und von etwa

0,9 % bei sprungartigen Änderungen auf.

Neben der Prognose von mittleren Werten wird auch ein Modell zur Berech-

nung von Momentanwerten der instationären konvektiven Wärmeübertragung

vorgestellt. Dies beruht auf der Annahme, dass die zeitliche Änderung der

Wärmeübertragungs-Intensität bei konstanter Beschleunigung im Gravitations-

feld in erster Näherung linear verläuft. Der so prognostizierte zeitliche Verlauf

der instationären Wärmeübertragungs-Intensität zeigt eine gute grafische

Übereinstimmung mit gemessenen Momentanwerten.

7 Ausblick

Die dargestellten Erkenntnisse zur Wärmeübertragung durch instationäre freie

Konvektion an der vertikalen Platte beruhen ausschließlich auf Untersuchun-

gen, die in Luft durchgeführt werden. Dementsprechend stellt sich für weiter-

führende Betrachtungen zunächst die grundsätzliche Frage, ob die vorgestell-

ten analytischen Berechnungsmethoden in abweichenden Fluiden ihre Gültig-

keit behalten.

Damit einhergehend erscheint insbesondere eine Betrachtung zur Abhängigkeit

der Dauer der instationären Phase der konvektiven Wärmeübertragung von der

Prandtl-Zahl sinnvoll. So zeigt sich im Rahmen der hier durchgeführten Ver-

suchsreihen eine ausschließliche Abhängigkeit der Dauer der instationären

Phase von der Dauer eines Wärmestrom-Impulses und von der Gesamtdauer

eines Zyklus oder Sprungs (vgl. Kapitel 5.2.2 und 5.3.2). Aufgrund des individu-

ellen Verhältnisses von Impuls- und Wärmetransport innerhalb eines Fluids

liegt jedoch auch eine individuelle Dauer der Umwandlung von plötzlich einge-

brachter potentieller Energie in kinetische Energie durch instationäre Strö-

mungsstrukturen nahe.

Weitere Fragestellungen resultieren zudem bezüglich des Vorkommens und der

Intensität einer instationären konvektiven Wärmeübertragung bei abweichen-

den Strömungs-Geometrien und Strömungs-Arten (z.B. Mischkonvektion).

Zur Entwicklung von Modellen für die numerische Simulation von instationären

freien Konvektionsströmungen ist ferner eine Untersuchung der zeitlichen

Entwicklung der Geschwindigkeiten im Strömungsfeld erforderlich, da im Rah-

men dieser Untersuchung aufgrund einer invasiven Messmethodik lediglich ei-

ne phänomenologische Analyse der Fluktuationen erfolgt (vgl. Kapitel 4.2).

Für die vertikale Platte erscheint darüber hinaus eine Betrachtung von weiteren

Randbedingungs-Variationen sinnvoll. Beispielsweise wäre die gezielt instatio-

näre Betriebsweise einer Raumheizfläche mit wasserbasierter Wärmezufuhr

vergleichbar mit der impulsartigen Aufprägung einer inhomogenen Wär-

mestromdichte. Die verzögerte asymptotische Annäherung der Momentanwer-

te der instationären konvektiven Wärmeübertragung an das quasi-stationäre

Vergleichsniveau bei sprungartigen Änderungen mit anschließender Beharrung

im Vergleich zur vollständigen Beendigung der Wärmestromzufuhr bei zykli-

schen Variationen (vgl. Kapitel 3.4.2) legt außerdem eine Betrachtung weiterer

Signalformen nahe. Beispielhaft sei hier eine Kombination aus zyklischen Varia-

tionen und einer zeitlich begrenzten Beharrung genannt.

A Anhang

Nachfolgend werden die Ergebnisse der Validierungs-Versuchsreihen zur insta-

tionären Betriebsweise in tabellarischer Form aufgeführt. Angegeben ist jeweils

das arithmetische Mittel aus fünf Wiederholungsmessungen (vgl. Kapitel 5.2.1

und 5.3.1). Gemäß der in Kapitel 1.1.1 beschriebenen Konvention zur Auswer-

tung von Teilbereichen des Strömungsgebiets liegen für jede Versuchsreihe

zehn Bilanzergebnisse vor. Die Zeilen der aufgelisteten Versuchsreihen bezie-

hen sich somit jeweils auf die Strömungs-Teilbereiche � =  

⁄,

� =  

⁄, � =  

⁄, � =  

⁄, � =  

⁄, � = . 

⁄,

� = . 

⁄, � = . 

⁄, � = . 

⁄ und � = . 

⁄.

A.1 Ergebnisse der Validierungsmessungen für zyklische

Variationen

Tabelle A.1 enthält die Betrachtungsergebnisse der Validierungs-Versuchs-

reihen für zyklisch variierte Randbedingungen (Kapitel 5.2.1). Die Randbedin-

gungen werden im Format hh:mm:ss sowie in den Einheiten W/m², K und K/s

angegeben.

Tabelle A.1: Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für zyklische Variationen

Randbedingungen

�



/L,Zkl.

�



/L,Zkl.

�*

��



st,/L,Zkl.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

4,44E+07

1,90E+09

1,99

-1,7%

±0,5%

∆Zklus

00:07:58

3,74E+08

2,94E+10

2,01

5,7%

±0,3%

∆isPh

00:04:12

1,31E+09

1,46E+11

2,03

105

8,7%

±0,2%

󰇗Zklus

316

3,17E+09

4,54E+11

2,03

135

9,2%

±0,3%

󰇗isPh

358

6,24E+09

1,10E+12

2,02

170

6,9%

±0,3%

󰇗Ipuls

843,1

1,07E+10

2,30E+12

2,02

212

4,4%

±0,5%

∆�L i

49,0

1,69E+10

4,29E+12

2,01

254

3,2%

±0,5%

∆�L a

73,1

2,49E+10

7,36E+12

2,00

294

3,4%

±0,4%

�W L τ Ipuls

⁄

0,145

3,53E+10

1,18E+13

2,00

334

3,6%

±0,4%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,091

4,81E+10

1,81E+13

2,00

374

3,7%

±0,3%

Tabelle A.1 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

zyklische Variationen

Randbedingungen

�



/L,Zkl.

�



/L,Zkl.

�*

��



st,/L,Zkl.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

1,42E+07

4,67E+08

2,42

-3,5%

±0,9%

∆Zklus

00:14:40

1,21E+08

7,36E+09

2,43

4,5%

±0,8%

∆isPh

00:06:55

4,28E+08

3,70E+10

2,44

7,6%

±0,7%

󰇗Zklus

1,05E+09

1,17E+11

2,44

105

9,5%

±0,5%

󰇗isPh

2,11E+09

2,84E+11

2,44

128

9,6%

±0,4%

󰇗Ipuls

175,6

3,69E+09

5,88E+11

2,44

153

8,9%

±0,5%

∆�L i

12,6

5,91E+09

1,09E+12

2,44

179

7,4%

±0,6%

∆�L a

21,5

8,85E+09

1,86E+12

2,44

205

7,3%

±0,8%

�W L τ Ipuls

⁄

0,033

1,26E+10

2,98E+12

2,44

234

6,3%

±1,1%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,018

1,72E+10

4,54E+12

2,44

263

5,8%

±1,1%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

2,41E+07

8,93E+08

2,85

-1,1%

±0,9%

∆Zklus

00:08:48

2,04E+08

1,40E+10

2,89

7,1%

±0,3%

∆isPh

00:03:41

7,21E+08

7,01E+10

2,92

9,6%

±0,3%

󰇗Zklus

121

1,77E+09

2,20E+11

2,92

117

10,7%

±0,4%

󰇗isPh

149

3,52E+09

5,35E+11

2,91

145

9,6%

±0,4%

󰇗Ipuls

726,7

6,13E+09

1,11E+12

2,90

175

7,8%

±0,7%

∆�L i

23,0

9,75E+09

2,05E+12

2,89

207

6,1%

±0,7%

∆�L a

37,3

1,45E+10

3,51E+12

2,88

240

5,7%

±0,7%

�W L τ Ipuls

⁄

0,166

2,05E+10

5,63E+12

2,88

275

5,2%

±0,7%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,038

2,79E+10

8,60E+12

2,87

309

4,9%

±0,6%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

1,08E+07

3,39E+08

3,35

0,7%

±2,6%

∆Zklus

00:19:52

9,25E+07

5,36E+09

3,37

8,4%

±1,4%

∆isPh

00:05:51

3,28E+08

2,68E+10

3,39

9,4%

±0,9%

󰇗Zklus

8,08E+08

8,46E+10

3,39

101

11,4%

±0,9%

󰇗isPh

1,62E+09

2,06E+11

3,39

122

11,8%

±0,6%

󰇗Ipuls

217,3

2,85E+09

4,28E+11

3,39

145

11,4%

±0,6%

∆�L i

8,3

4,57E+09

7,93E+11

3,39

170

10,3%

±0,8%

∆�L a

18,7

6,87E+09

1,35E+12

3,38

192

10,4%

±0,7%

�W L τ Ipuls

⁄

0,049

9,77E+09

2,17E+12

3,38

219

9,3%

±0,8%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,014

1,34E+10

3,31E+12

3,38

247

8,3%

±0,7%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

1,77E+07

6,11E+08

3,77

2,0%

±1,2%

∆Zklus

00:12:18

1,50E+08

9,61E+09

3,83

9,2%

±0,5%

∆isPh

00:03:55

5,31E+08

4,83E+10

3,87

12,1%

±0,6%

󰇗Zklus

1,30E+09

1,52E+11

3,87

111

13,1%

±0,5%

󰇗isPh

108

2,61E+09

3,70E+11

3,86

135

12,8%

±0,3%

󰇗Ipuls

724,5

4,57E+09

7,66E+11

3,85

162

11,7%

±0,2%

∆�L i

15,3

7,29E+09

1,42E+12

3,84

191

9,7%

±0,3%

∆�L a

29,3

1,09E+10

2,42E+12

3,81

219

9,4%

±0,4%

�W L τ Ipuls

⁄

0,177

1,55E+10

3,88E+12

3,81

250

8,6%

±0,5%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,026

2,10E+10

5,92E+12

3,81

282

8,1%

±0,5%

Tabelle A.1 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

zyklische Variationen

Randbedingungen

�



/L,Zkl.

�



/L,Zkl.

�*

��



st,/L,Zkl.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

9,21E+06

2,79E+08

4,27

1,2%

±3,0%

∆Zklus

00:24:04

7,87E+07

4,43E+09

4,30

9,6%

±2,3%

∆isPh

00:05:28

2,79E+08

2,23E+10

4,32

11,4%

±1,1%

󰇗Zklus

6,89E+08

7,00E+10

4,33

12,8%

±0,5%

󰇗isPh

1,38E+09

1,71E+11

4,33

119

13,9%

±0,3%

󰇗Ipuls

276,3

2,43E+09

3,55E+11

4,32

142

14,0%

±0,8%

∆�L i

6,2

3,91E+09

6,58E+11

4,32

165

13,0%

±0,7%

∆�L a

17,5

5,88E+09

1,12E+12

4,31

186

13,0%

±0,8%

�W L τ Ipuls

⁄

0,067

8,37E+09

1,79E+12

4,31

211

11,5%

±0,9%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,012

1,14E+10

2,73E+12

4,30

238

10,7%

±0,8%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug =  s

1,37E+07

4,51E+08

4,70

1,9%

±1,4%

∆Zklus

00:15:52

1,17E+08

7,11E+09

4,77

9,5%

±1,0%

∆isPh

00:04:09

4,14E+08

3,58E+10

4,83

13,2%

±0,6%

󰇗Zklus

1,02E+09

1,13E+11

4,83

106

14,7%

±0,3%

󰇗isPh

2,04E+09

2,75E+11

4,82

129

14,6%

±0,5%

󰇗Ipuls

723,5

3,58E+09

5,69E+11

4,81

154

14,0%

±1,2%

∆�L i

10,8

5,73E+09

1,05E+12

4,79

180

12,8%

±1,1%

∆�L a

24,3

8,58E+09

1,80E+12

4,76

205

12,6%

±1,5%

�W L τ Ipuls

⁄

0,182

1,22E+10

2,88E+12

4,76

235

11,5%

±1,6%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,020

1,66E+10

4,39E+12

4,76

265

10,8%

±1,6%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

8,27E+06

2,47E+08

5,18

2,5%

±1,4%

∆Zklus

00:28:04

7,07E+07

3,92E+09

5,23

10,2%

±1,3%

∆isPh

00:05:02

2,51E+08

1,98E+10

5,27

13,0%

±1,0%

󰇗Zklus

6,21E+08

6,24E+10

5,28

15,1%

±0,6%

󰇗isPh

1,25E+09

1,52E+11

5,28

117

15,3%

±0,7%

󰇗Ipuls

343,3

2,20E+09

3,16E+11

5,27

140

15,1%

±0,8%

∆�L i

5,0

3,53E+09

5,85E+11

5,26

163

14,1%

±1,0%

∆�L a

17,2

5,32E+09

9,98E+11

5,24

182

14,6%

±0,8%

�W L τ Ipuls

⁄

0,086

7,57E+09

1,60E+12

5,24

207

13,0%

±0,7%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,011

1,04E+10

2,43E+12

5,24

233

12,0%

±0,7%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

1,12E+07

3,56E+08

5,62

4,7%

±1,0%

∆Zklus

00:19:20

9,59E+07

5,62E+09

5,72

12,8%

±0,5%

∆isPh

00:03:46

3,40E+08

2,83E+10

5,79

14,9%

±1,0%

󰇗Zklus

8,40E+08

8,93E+10

5,79

103

16,3%

±0,6%

󰇗isPh

1,69E+09

2,17E+11

5,78

125

15,8%

±0,8%

󰇗Ipuls

743,6

2,96E+09

4,51E+11

5,76

148

14,9%

±1,3%

∆�L i

8,2

4,75E+09

8,35E+11

5,74

173

13,8%

±1,3%

∆�L a

21,2

7,14E+09

1,42E+12

5,70

196

13,7%

±1,2%

�W L τ Ipuls

⁄

0,191

1,02E+10

2,28E+12

5,70

225

12,1%

±1,1%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,016

1,39E+10

3,48E+12

5,69

253

11,3%

±1,0%

Tabelle A.1 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

zyklische Variationen

Randbedingungen

�



/L,Zkl.

�



/L,Zkl.

�*

��



st,/L,Zkl.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

9,76E+06

3,02E+08

6,66

5,0%

±1,7%

∆Zklus

00:22:40

8,34E+07

4,77E+09

6,78

12,5%

±1,2%

∆isPh

00:04:05

2,96E+08

2,41E+10

6,87

15,8%

±0,8%

󰇗Zklus

7,31E+08

7,58E+10

6,88

17,1%

±0,3%

󰇗isPh

1,47E+09

1,85E+11

6,86

120

17,2%

±0,2%

󰇗Ipuls

828,0

2,58E+09

3,83E+11

6,83

143

16,7%

±0,5%

∆�L i

6,6

4,14E+09

7,09E+11

6,81

167

15,5%

±0,8%

∆�L a

19,6

6,22E+09

1,21E+12

6,76

188

15,6%

±0,8%

�W L τ Ipuls

⁄

0,216

8,86E+09

1,94E+12

6,76

214

14,6%

±0,9%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,014

1,21E+10

2,95E+12

6,75

241

13,7%

±0,9%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

1,21E+07

3,85E+08

7,30

6,7%

±3,2%

∆Zklus

00:17:44

1,03E+08

6,08E+09

7,47

13,2%

±1,8%

∆isPh

00:03:35

3,65E+08

3,07E+10

7,62

16,6%

±0,8%

󰇗Zklus

8,99E+08

9,66E+10

7,61

103

17,8%

±0,2%

󰇗isPh

1,80E+09

2,35E+11

7,57

125

17,5%

±0,4%

󰇗Ipuls

1.405,7

3,17E+09

4,88E+11

7,53

149

16,6%

±0,5%

∆�L i

9,0

5,09E+09

9,03E+11

7,49

175

14,6%

±0,7%

∆�L a

22,7

7,64E+09

1,54E+12

7,40

199

14,4%

±1,0%

�W L τ Ipuls

⁄

0,362

1,09E+10

2,47E+12

7,40

227

13,3%

±1,3%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,017

1,48E+10

3,76E+12

7,38

255

12,6%

±1,2%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

8,76E+06

2,66E+08

7,69

6,6%

±1,0%

∆Zklus

00:26:06

7,49E+07

4,20E+09

7,84

14,0%

±1,3%

∆isPh

00:04:07

2,66E+08

2,12E+10

7,95

17,0%

±1,2%

󰇗Zklus

6,57E+08

6,69E+10

7,96

18,4%

±0,5%

󰇗isPh

1,32E+09

1,63E+11

7,93

118

18,7%

±0,5%

󰇗Ipuls

893,3

2,33E+09

3,38E+11

7,90

141

18,0%

±0,7%

∆�L i

5,5

3,74E+09

6,26E+11

7,87

164

16,6%

±1,3%

∆�L a

18,8

5,63E+09

1,07E+12

7,81

183

17,0%

±1,4%

�W L τ Ipuls

⁄

0,234

8,02E+09

1,71E+12

7,81

208

16,2%

±1,5%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,013

1,10E+10

2,61E+12

7,80

233

15,4%

±1,3%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

1,12E+07

3,55E+08

8,50

6,7%

±1,6%

∆Zklus

00:24:47

9,54E+07

5,60E+09

8,70

13,5%

±0,1%

∆isPh

00:03:38

3,39E+08

2,83E+10

8,88

17,1%

±0,7%

󰇗Zklus

8,36E+08

8,91E+10

8,86

103

18,6%

±0,4%

󰇗isPh

1,68E+09

2,17E+11

8,82

125

18,8%

±0,4%

󰇗Ipuls

1.405,3

2,95E+09

4,50E+11

8,77

149

17,5%

±0,4%

∆�L i

6,9

4,73E+09

8,33E+11

8,72

174

16,3%

±0,5%

∆�L a

24,3

7,09E+09

1,42E+12

8,61

198

16,4%

±0,9%

�W L τ Ipuls

⁄

0,368

1,01E+10

2,28E+12

8,61

227

15,5%

±1,5%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,018

1,38E+10

3,47E+12

8,60

256

14,9%

±1,6%

Tabelle A.1 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

zyklische Variationen

Randbedingungen

�



/L,Zkl.

�



/L,Zkl.

�*

��



st,/L,Zkl.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

7,83E+06

2,36E+08

8,78

11,1%

±1,5%

∆Zklus

00:29:44

6,70E+07

3,72E+09

8,95

16,1%

±0,8%

∆isPh

00:04:02

2,38E+08

1,88E+10

9,09

18,3%

±0,9%

󰇗Zklus

5,89E+08

5,92E+10

9,10

19,9%

±0,8%

󰇗isPh

1,18E+09

1,44E+11

9,07

118

19,8%

±0,3%

󰇗Ipuls

961,8

2,08E+09

2,99E+11

9,03

140

19,5%

±0,5%

∆�L i

4,4

3,34E+09

5,54E+11

8,99

163

18,3%

±0,6%

∆�L a

18,0

5,03E+09

9,45E+11

8,92

181

19,0%

±0,6%

�W L τ Ipuls

⁄

0,255

7,17E+09

1,51E+12

8,91

205

17,9%

±0,9%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,012

9,82E+09

2,31E+12

8,90

230

17,1%

±1,0%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

1,00E+07

3,15E+08

9,12

8,2%

±2,0%

∆Zklus

00:30:54

8,55E+07

4,97E+09

9,32

14,8%

±0,5%

∆isPh

00:04:08

3,04E+08

2,51E+10

9,49

18,5%

±0,2%

󰇗Zklus

7,51E+08

7,91E+10

9,48

102

19,7%

±0,4%

󰇗isPh

1,51E+09

1,93E+11

9,44

124

20,1%

±0,4%

󰇗Ipuls

1.268,0

2,65E+09

4,00E+11

9,39

148

19,7%

±0,7%

∆�L i

5,4

4,25E+09

7,40E+11

9,34

172

18,8%

±0,9%

∆�L a

24,3

6,38E+09

1,26E+12

9,24

194

19,2%

±1,1%

�W L τ Ipuls

⁄

0,333

9,08E+09

2,02E+12

9,24

222

18,2%

±1,1%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,017

1,24E+10

3,09E+12

9,23

251

17,3%

±1,1%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

7,72E+06

2,32E+08

9,62

9,2%

±1,2%

∆Zklus

00:30:44

6,61E+07

3,66E+09

9,83

15,2%

±1,3%

∆isPh

00:04:09

2,35E+08

1,85E+10

10,00

18,8%

±1,4%

󰇗Zklus

5,82E+08

5,84E+10

9,99

20,5%

±0,9%

󰇗isPh

1,17E+09

1,42E+11

9,96

115

20,8%

±0,3%

󰇗Ipuls

1.109,0

2,06E+09

2,95E+11

9,91

137

20,5%

±0,6%

∆�L i

4,3

3,31E+09

5,46E+11

9,86

159

19,9%

±0,6%

∆�L a

18,2

4,98E+09

9,32E+11

9,77

178

20,1%

±0,9%

�W L τ Ipuls

⁄

0,292

7,10E+09

1,49E+12

9,77

202

18,8%

±1,1%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,012

9,72E+09

2,28E+12

9,75

228

17,8%

±1,3%

∆Ipuls =  s, ∆Auskhlug = . s

7,62E+06

2,30E+08

10,51

11,1%

±1,8%

∆Zklus

00:30:36

6,53E+07

3,62E+09

10,76

17,3%

±2,4%

∆isPh

00:03:56

2,32E+08

1,83E+10

10,97

19,4%

±1,3%

󰇗Zklus

5,75E+08

5,77E+10

10,96

21,8%

±0,4%

󰇗isPh

1,16E+09

1,41E+11

10,91

113

22,0%

±0,4%

󰇗Ipuls

1.319,2

2,04E+09

2,92E+11

10,85

135

21,2%

±0,6%

∆�L i

4,2

3,27E+09

5,40E+11

10,79

157

19,9%

±1,2%

∆�L a

18,0

4,92E+09

9,21E+11

10,66

177

19,5%

±1,1%

�W L τ Ipuls

⁄

0,347

7,02E+09

1,48E+12

10,66

201

17,9%

±1,0%

�W L τ Auskhlug

⁄

-0,012

9,60E+09

2,25E+12

10,65

226

17,2%

±1,1%

100

A.2 Ergebnisse der Validierungsmessungen für sprungartige

Änderungen

Tabelle A.2 zeigt die Ergebnisse der Validierungs-Versuchsreihen für sprungar-

tig veränderte Randbedingungen (Kapitel 5.3.1). Die Randbedingungen werden

hier im Format hh:mm:ss sowie in den Einheiten W/m², K, 1/s und K/s angege-

ben.

Tabelle A.2: Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für sprungartige

Änderungen

Randbedingungen

�



/L,Spr.

�/L,m

�

��



st,/L,Spr.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆�Sprug =  K

3,09E+07

2,08E+07

0,81

0,8%

±1,5%

∆Sprug

00:23:44

2,54E+08

1,68E+08

0,82

6,6%

±1,1%

∆isPh

00:15:26

8,72E+08

5,69E+08

0,82

9,7%

±0,7%

󰇗Sprug

168

2,09E+09

1,35E+09

0,83

125

10,2%

±1,1%

󰇗isPh

129

4,09E+09

2,64E+09

0,83

154

9,7%

±1,9%

󰇗a

316,2

7,09E+09

4,57E+09

0,82

189

8,8%

±1,8%

∆�L i

0,0

1,12E+10

7,26E+09

0,82

227

7,5%

±1,5%

∆�L a

50,1

1,68E+10

1,08E+10

0,82

263

7,3%

±1,1%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

1,74E-03

2,38E+10

1,54E+10

0,82

300

7,1%

±0,9%

�W L τ Sprug

⁄

0,065

3,26E+10

2,12E+10

0,82

337

6,9%

±0,8%

∆�Sprug =  K

2,20E+07

1,81E+07

1,59

8,1%

±0,6%

∆Sprug

00:05:27

1,78E+08

1,46E+08

1,62

11,5%

±0,7%

∆isPh

00:09:08

6,05E+08

4,97E+08

1,64

12,5%

±0,6%

󰇗Sprug

113

1,44E+09

1,18E+09

1,64

116

13,4%

±0,5%

󰇗isPh

149

2,82E+09

2,31E+09

1,64

141

13,9%

±0,7%

󰇗a

587,0

4,88E+09

3,99E+09

1,63

170

13,7%

±0,8%

∆�L i

0,0

7,75E+09

6,34E+09

1,63

202

13,1%

±0,9%

∆�L a

41,4

1,16E+10

9,47E+09

1,62

235

12,5%

±0,7%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,004

1,65E+10

1,35E+10

1,62

270

12,0%

±0,5%

�W L τ Sprug

⁄

0,143

2,26E+10

1,85E+10

1,62

305

11,8%

±0,5%

∆�Sprug =  K

1,75E+07

1,51E+07

2,44

11,8%

±1,1%

∆Sprug

00:03:00

1,41E+08

1,22E+08

2,48

15,2%

±0,8%

∆isPh

00:07:01

4,78E+08

4,12E+08

2,52

16,2%

±0,7%

󰇗Sprug

1,14E+09

9,78E+08

2,52

111

17,1%

±0,8%

󰇗isPh

125

2,22E+09

1,91E+09

2,52

135

17,6%

±1,0%

󰇗a

766,5

3,84E+09

3,30E+09

2,51

161

17,8%

±1,2%

∆�L i

0,0

6,10E+09

5,25E+09

2,50

189

17,6%

±1,4%

∆�L a

32,6

9,12E+09

7,84E+09

2,48

218

17,3%

±1,4%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,006

1,30E+10

1,12E+10

2,48

251

16,6%

±1,3%

�W L τ Sprug

⁄

0,196

1,78E+10

1,53E+10

2,48

284

16,0%

±1,1%

101

Tabelle A.2 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

sprungartige Änderungen

Randbedingungen

�



/L,Spr.

�/L,m

�

��



st,/L,Spr.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆�Sprug =  K

1,46E+07

1,29E+07

3,28

14,1%

±1,7%

∆Sprug

00:02:02

1,17E+08

1,03E+08

3,35

18,1%

±0,7%

∆isPh

00:05:32

3,96E+08

3,48E+08

3,40

18,8%

±0,7%

󰇗Sprug

9,43E+08

8,27E+08

3,41

108

19,0%

±0,5%

󰇗isPh

102

1,83E+09

1,61E+09

3,40

132

19,6%

±0,3%

󰇗a

893,3

3,17E+09

2,79E+09

3,38

157

19,6%

±0,7%

∆�L i

0,0

5,04E+09

4,44E+09

3,37

183

19,3%

±0,8%

∆�L a

26,6

7,55E+09

6,63E+09

3,34

208

19,4%

±0,9%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,009

1,08E+10

9,44E+09

3,34

239

18,7%

±0,9%

�W L τ Sprug

⁄

0,236

1,48E+10

1,29E+10

3,34

271

17,8%

±1,0%

∆�Sprug =  K

1,16E+07

1,04E+07

4,17

14,4%

±0,3%

∆Sprug

00:01:30

9,34E+07

8,29E+07

4,26

17,7%

±0,8%

∆isPh

00:05:14

3,15E+08

2,80E+08

4,33

18,4%

±1,3%

󰇗Sprug

7,51E+08

6,66E+08

4,34

104

19,5%

±1,2%

󰇗isPh

1,46E+09

1,30E+09

4,33

126

20,5%

±0,6%

󰇗a

937,2

2,52E+09

2,25E+09

4,31

150

20,5%

±0,7%

∆�L i

0,0

4,01E+09

3,57E+09

4,29

175

20,3%

±0,3%

∆�L a

20,7

6,01E+09

5,33E+09

4,26

197

20,5%

±0,3%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,013

8,56E+09

7,59E+09

4,25

226

19,7%

±0,5%

�W L τ Sprug

⁄

0,252

1,17E+10

1,04E+10

4,25

255

18,8%

±0,5%

∆�Sprug =  K

1,01E+07

9,05E+06

5,15

14,0%

±1,7%

∆Sprug

00:01:10

8,12E+07

7,22E+07

5,27

18,7%

±2,2%

∆isPh

00:04:51

2,73E+08

2,44E+08

5,36

20,7%

±1,2%

󰇗Sprug

6,51E+08

5,79E+08

5,37

101

21,6%

±0,9%

󰇗isPh

1,26E+09

1,13E+09

5,35

121

22,5%

±0,7%

󰇗a

1.031,2

2,18E+09

1,95E+09

5,33

143

22,2%

±0,4%

∆�L i

0,0

3,47E+09

3,10E+09

5,30

167

21,9%

±1,0%

∆�L a

17,6

5,20E+09

4,63E+09

5,26

187

22,2%

±1,8%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,016

7,42E+09

6,59E+09

5,25

214

21,6%

±1,9%

�W L τ Sprug

⁄

0,279

1,02E+10

9,04E+09

5,25

242

20,6%

±1,7%

∆�Sprug =  K

8,52E+06

7,63E+06

6,05

13,5%

±2,4%

∆Sprug

00:00:58

6,88E+07

6,11E+07

6,19

18,4%

±2,1%

∆isPh

00:05:02

2,31E+08

2,07E+08

6,30

19,8%

±1,4%

󰇗Sprug

5,51E+08

4,91E+08

6,31

21,3%

±0,8%

󰇗isPh

1,07E+09

9,58E+08

6,29

117

22,8%

±0,7%

󰇗a

1.054,3

1,85E+09

1,66E+09

6,26

139

23,7%

±1,0%

∆�L i

0,0

2,93E+09

2,63E+09

6,23

162

23,7%

±1,1%

∆�L a

14,7

4,41E+09

3,93E+09

6,17

181

23,8%

±1,6%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,020

6,28E+09

5,60E+09

6,17

205

23,2%

±2,0%

�W L τ Sprug

⁄

0,285

8,62E+09

7,68E+09

6,16

231

22,0%

±1,9%

102

Tabelle A.2 (Fortsetzung): Ergebnisübersicht der Validierungsmessungen für

sprungartige Änderungen

Randbedingungen

�



/L,Spr.

�/L,m

�

��



st,/L,Spr.

∆is/st,isPh



(5 Wdh.)

∆�Sprug =  K

7,35E+06

6,67E+06

6,80

15,9%

±1,7%

∆Sprug

00:00:50

5,94E+07

5,34E+07

6,95

20,7%

±1,6%

∆isPh

00:04:30

1,99E+08

1,80E+08

7,08

22,1%

±1,2%

󰇗Sprug

4,76E+08

4,27E+08

7,08

23,4%

±0,6%

󰇗isPh

9,20E+08

8,34E+08

7,06

112

25,5%

±0,6%

󰇗a

1.053,8

1,59E+09

1,44E+09

7,03

134

25,5%

±1,2%

∆�L i

0,0

2,53E+09

2,29E+09

7,00

157

24,7%

±1,9%

∆�L a

12,7

3,80E+09

3,42E+09

6,93

175

23,8%

±1,6%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,023

5,43E+09

4,87E+09

6,93

198

22,8%

±1,3%

�W L τ Sprug

⁄

0,284

7,44E+09

6,69E+09

6,92

222

21,2%

±1,4%

∆�Sprug =  K

6,25E+06

5,66E+06

7,91

17,5%

±2,9%

∆Sprug

00:00:43

5,07E+07

4,52E+07

8,09

22,0%

±3,4%

∆isPh

00:04:17

1,70E+08

1,53E+08

8,24

24,1%

±1,2%

󰇗Sprug

4,07E+08

3,64E+08

8,25

23,7%

±0,9%

󰇗isPh

7,86E+08

7,12E+08

8,22

108

26,3%

±0,6%

󰇗a

1.076,7

1,36E+09

1,23E+09

8,18

130

26,0%

±0,9%

∆�L i

0,0

2,16E+09

1,95E+09

8,14

152

25,8%

±0,8%

∆�L a

10,7

3,25E+09

2,92E+09

8,07

169

26,5%

±1,5%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,028

4,64E+09

4,16E+09

8,06

191

25,4%

±2,0%

�W L τ Sprug

⁄

0,289

6,36E+09

5,71E+09

8,05

214

24,4%

±2,2%

∆�Sprug =  K

5,77E+06

5,18E+06

8,90

15,9%

±1,5%

∆Sprug

00:00:38

4,67E+07

4,13E+07

9,11

22,7%

±1,7%

∆isPh

00:04:35

1,56E+08

1,40E+08

9,27

22,8%

±1,3%

󰇗Sprug

3,75E+08

3,32E+08

9,28

25,0%

±0,7%

󰇗isPh

7,24E+08

6,51E+08

9,25

105

27,2%

±0,5%

󰇗a

1.128,0

1,25E+09

1,13E+09

9,21

127

27,5%

±0,9%

∆�L i

0,0

1,99E+09

1,79E+09

9,16

149

27,1%

±1,8%

∆�L a

9,7

2,99E+09

2,67E+09

9,07

164

27,5%

±1,4%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,032

4,27E+09

3,80E+09

9,07

186

26,5%

±2,1%

�W L τ Sprug

⁄

0,298

5,86E+09

5,22E+09

9,05

208

25,3%

±1,5%

∆�Sprug =  K

6,04E+06

5,20E+06

10,88

15,8%

±1,8%

∆Sprug

00:00:34

4,87E+07

4,15E+07

11,16

21,2%

±2,4%

∆isPh

00:04:32

1,63E+08

1,41E+08

11,40

23,9%

±2,1%

󰇗Sprug

-3

3,91E+08

3,34E+08

11,40

26,4%

±1,7%

󰇗isPh

7,56E+08

6,54E+08

11,35

105

29,1%

±1,1%

󰇗a

1.393,9

1,31E+09

1,13E+09

11,29

126

30,2%

±0,4%

∆�L i

0,0

2,08E+09

1,79E+09

11,22

148

29,6%

±0,7%

∆�L a

9,7

3,12E+09

2,67E+09

11,09

164

30,0%

±0,6%

󰇗a (∆�Sprug ∙�W�W

⁄)

⁄

0,040

4,46E+09

3,80E+09

11,08

186

28,5%

±0,6%

�W L τ Sprug

⁄

0,361

6,11E+09

5,21E+09

11,06

208

26,9%

±0,8%

103

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