GALOISGRUPPEN VON
EISENSTEINPOLYNOMEN ¨
UBER p-ADISCHEN
K¨
ORPERN
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Fakult¨
at f¨
ur Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
der Universit¨
at Paderborn
vorgelegt von
Christian Greve
Oktober 2010
Ich widme diese Arbeit meiner Verlobten Julia.
Ich liebe Dich.
Abstract
In this thesis, we develop algorithms for the calculation of Galois groups of Eisenstein
polynomials f(x) over a p-adic field. Our main tool is the so-called ramification polygon
of f(x). That is the Newton polygon of f(αx +α)/αnx, where αdenotes a root of f(x)
and nthe degree of f(x). We present a fast algorithm for polynomials with one-sided
ramification polygon and a more expensive method for polynomials with two segments.
In the case of an arbitrary Eisenstein polynomial we use the ramification polygon to speed
up calculations concerning the splitting field. For example, we provide an algorithm for
the determination of the maximal tamely ramified subfield of the splitting field.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Grundlagen 7
2.1 Erweiterungen p-adischer K¨
orper ....................... 7
2.2 Newton-Polygone................................ 12
2.3 Allgemeine Galois- und Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Lokale Klassenk¨
orpertheorie .......................... 16
2.5 Komplexit¨
atvonAlgorithmen......................... 18
3 Zahm verzweigte Erweiterungen 20
3.1 Unverzweigte Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Zahm verzweigte Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Galoisgruppenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Newton-Polygone 28
4.1 Die Faktorisierung zum Newton-Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 AssoziiertePolynome.............................. 30
4.3 Das Verzweigungspolygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
2 INHALTSVERZEICHNIS
4.4 Teilk¨
orper zum Verzweigungspolygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Berechnung der Teilk¨
orper........................... 43
5 Zerf¨
allungsk¨
orper 47
5.1 Ein Segment im Verzweigungspolygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Reduktion zur p-Erweiterung.......................... 53
5.3 Berechnung von Zerf¨
allungsk¨
orpern...................... 63
6 Galoisgruppen 72
6.1 Ein Segment im Verzweigungspolygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Ein ¨
Uberblick: Galoisgruppen als Gruppenerweiterungen . . . . . . . . . . 84
6.3 Ein Algorithmus f¨
urzweiSegmente ...................... 89
7 Beispiele 100
7.1 Polynome mit einem Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Polynome mit zwei Segmenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Bemerkungen zur Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Literaturverzeichnis 108
Kapitel 1
Einleitung
Die Galoistheorie ist knapp 200 Jahre nach ´
Evariste Galois ein fester Bestandteil der
Algebra und der algebraischen Zahlentheorie. Trotzdem ist die konkrete Berechnung der
Galoisgruppe eines Polynoms noch immer ein schwieriges algorithmisches Problem.
Bei Polynomen ¨
uber den rationalen Zahlen wurden in den letzten zehn Jahren große
Fortschritte erzielt. Inzwischen sind in den g¨
angigen Computer-Algebra-Systemen effizi-
ente Verfahren zur Galoisgruppenberechnung implementiert. Sie basieren im Wesentlichen
auf dem im Jahr 1973 vorgestellten Algorithmus von Stauduhar (siehe [40]), bei dem mit
Approximationen der Nullstellen in Cbzw. bei den neueren Varianten in (unverzweigten)
Erweiterungen von Qpf¨
ur eine geeignete Primzahl pgerechnet wird.
Im Gegensatz dazu sind f¨
ur Polynome ¨
uber p-adischen K¨
orpern noch keine allgemeinen
Verfahren zur Bestimmung der Galoisgruppe bekannt. Die Methoden ¨
uber Qlassen sich
nicht ohne Weiteres ¨
ubertragen, weil der Zugriff auf die Nullstellen ¨
uber Approxima-
tionen nicht mehr m¨
oglich ist. Zur Zeit ist daher der Trivialansatz, durch sukzessives
Faktorisieren des Polynoms den Zerf¨
allungsk¨
orper zu bestimmen und dann Automorphis-
men zu berechnen, die einzige M¨
oglichkeit. Dieser Ansatz ist jedoch nicht praktikabel, da
Zerf¨
allungsk¨
orper im Vergleich zum Polynomgrad sehr groß werden k¨
onnen.
Erweiterungen p-adischer K¨
orper haben deutlich mehr Struktur als Erweiterungen globa-
ler K¨
orper und sind theoretisch gut verstanden. Es gibt z.B. nur endlich viele Erweite-
rungen zu jedem Grad, und jede Galoisgruppe ist aufl¨
osbar. Man unterscheidet zahm und
wild verzweigte Erweiterungen. F¨
ur zahm verzweigte Erweiterungen gibt schon Helmut
Hasse in Kapitel 16 seines Buches [12] die Galoisgruppe an.
Bei wilder Verzweigung ist die Situation deutlich komplizierter. Hier sind bisher nur die
3
4 Kapitel 1. Einleitung
Galoisgruppen zu Erweiterungen einiger kleiner Grade ¨
uber Qpbekannt. Eine Online-
Datenbank von John Jones und David Roberts enth¨
alt insbesondere alle K¨
orper vom
Grad 8 ¨
uber Q2und alle K¨
orper vom Grad 9 ¨
uber Q3mit ihren Galoisgruppen (siehe
[18]).
Wir werden uns in der vorliegenden Arbeit haupts¨
achlich mit der Galoisgruppenberech-
nung von Eisensteinpolynomen ¨
uber Erweiterungsk¨
orpern von Qpbefassen, deren Grad
von pgeteilt wird. Sie erzeugen rein verzweigte Erweiterungen mit wild verzweigten Antei-
len. Diese Erweiterungen kommen mit Abstand am h¨
aufigsten unter allen Erweiterungen
des jeweiligen Grades vor.
Wichtigstes Werkzeug zur Untersuchung der Eisensteinpolynome wird ein spezielles New-
ton-Polygon sein. Wenn αeine Nullstelle des Eisensteinpolynoms f(x) vom Grad nist,
dann heißt das Newton-Polygon von
f(αx +α)
αnx
Verzweigungspolygon von f(x). Es wurde erstmalig von Krasner in [22] betrachtet und ist
eng mit der ”Verzweigungsstruktur“ der zugeh¨
origen K¨
orpererweiterung verbunden. Bei
einer galoisschen Erweiterung mit Gruppe Gbeschreibt es exakt die Reihe G≥G1≥G2≥
. . . ≥G`={id}der Verzweigungsgruppen von G. Wir untersuchen ausf¨
uhrlich, welche
Informationen das Verzweigungspolygon zum Zerf¨
allungsk¨
orper und zur Galoisgruppe des
Polynoms liefert, und beschreiben, wie man diese zur Berechnung der Gruppe ausnutzen
kann.
Dabei klassifizieren wir die Eisensteinpolynome nach der Anzahl der Segmente in ih-
rem Verzweigungspolygon. F¨
ur Polynome mit einem oder zwei Segmenten entwickeln wir
komplette Algorithmen zur Bestimmung der Galoisgruppe. F¨
ur Polynome mit mehr als
zwei Segmenten zeigen wir, wie man mit Hilfe des Verzweigungspolygons die Berechnung
des Zerf¨
allungsk¨
orpers beschleunigen kann. Ein Spezialfall der einsegmentigen Situation
wurde schon von David Romano in [36] betrachtet.
Im Folgenden geben wir einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber den Aufbau der Arbeit und die
Hauptergebnisse:
Nach einer kurzen Zusammenfassung der n¨
otigen Grundlagen zu p-adischen K¨
orpern,
Newton-Polygonen und Galoistheorie in Kapitel 2 setzen wir in Kapitel 3 die bekannten
theoretischen Beschreibungen der Galoisgruppe einer zahm verzweigten Erweiterung al-
gorithmisch um. Das Ergebnis ist Algorithmus 3.1, der die Galoisgruppe einer beliebigen
zahm verzweigten Erweiterung als endlich pr¨
asentierte Gruppe berechnet.
In Kapitel 4 untersuchen wir systematisch das Verzweigungspolygon eines Eisensteinpo-
Kapitel 1. Einleitung 5
lynoms zusammen mit den sogenannten assoziierten Polynomen. Das sind Polynome ¨
uber
dem Restklassenk¨
orper, die den einzelnen Segmenten eines Polygons zugeordnet werden
k¨
onnen. Wir zeigen, dass es kanonische Teilk¨
orper zum Verzweigungspolygon gibt und ge-
ben ein explizites Verfahren zu deren Berechnung an (Algorithmus 4.4). Diese Teilk¨
orper
entsprechen bei einer galoisschen Erweiterung den Verzweigungsk¨
orpern und im nicht-
galoisschen Fall den Fixk¨
orpern unter den h¨
oheren Verzweigungsmengen (vgl. z.B. [13]).
Danach befassen wir uns in Kapitel 5 mit den Zerf¨
allungsk¨
orpern von Eisensteinpolyno-
men. Mit Hilfe des Verzweigungspolygons und der assoziierten Polynome k¨
onnen wir den
Zerf¨
allungsk¨
orper bei einem Segment komplett theoretisch beschreiben. Bei Polynomen
mit mehreren Segmenten liefert das Polygon noch gen¨
ugend Informationen, um einen
Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers anzugeben, ¨
uber dem nur noch eine p-Erweiterung zum
Zerf¨
allungsk¨
orper fehlt. F¨
ur diese ”p-Reduktion“ geben wir einen deterministischen Po-
lynomzeitalgorithmus an, der ohne Rechnungen in einem p-adischen K¨
orper auskommt
(Algorithmus 5.1 und Satz 5.9). Darauf aufbauend entwickeln wir dann Verfahren zur
Berechnung des maximalen abelschen Quotienten der Galoisgruppe eines Eisensteinpo-
lynoms und des maximalen zahm verzweigten Teilk¨
orpers des Zerf¨
allungsk¨
orpers (Algo-
rithmen 5.5 und 5.6). Dabei benutzen wir erstmals auch Methoden der lokalen Klas-
senk¨
orpertheorie.
In Kapitel 6 nutzen wir die Ergebnisse zum Zerf¨
allungsk¨
orper und entwickeln Algorithmen
zur Berechnung der Galoisgruppe von Eisensteinpolynomen mit einem oder zwei Segmen-
ten im Verzweigungspolygon. Algorithmus 6.1 f¨
ur ein Segment rechnet ausschließlich in
einem endlichen K¨
orper Fqund bestimmt die Gruppe zu einem Polynom vom Grad pmals
Untergruppe der affin-linearen Gruppe AGL(m, p) bzw. als Gruppe von Permutationen
des Vektorraums (Fp)m(Satz 6.3). Das Verfahren ist polynomiell im Polynomgrad und
in log q, wenn ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe F×
qbekannt ist (Satz 6.5). Damit
l¨
asst sich z.B. die Galoisgruppe des Polynoms
x81 + 3x80 + 3x70 + 3x60 +. . . + 3x10 + 3 ∈Q3[x]
in 0,07 Sekunden Rechenzeit bestimmen. Diese Gruppe hat Ordnung 2592 und ist gleich
ta,v : (F3)4→(F3)4:x7→ xa +va∈ hS, Ti, v ∈(F3)4
mit
S=
1022
2101
1211
1122
und T=
1000
0001
1111
0211
.
Algorithmus 6.3 f¨
ur zwei Segmente ist deutlich aufw¨
andiger. Das Verfahren ben¨
otigt
Kohomologie-Berechnungen sowie lokale Klassenk¨
orpertheorie. Hier ist die Ausgabe eine
6 Kapitel 1. Einleitung
endlich pr¨
asentierte Gruppe. Mit Algorithmus 6.3 ist z.B. die Berechnung der Galoisgrup-
pe von
x25 + 2500x21 + 1380x20 + 40000x17 + 43600x16 + 11875x15 + 240000x13 + 382000x12
+ 192400x11 + 30175x10 + 640000x9+ 1320000x8+ 942000x7+ 266000x6
+ 662400x5+ 1600000x4+ 1440000x3+ 544000x2+ 63500x−4255 ∈Q5[x]
in 4,4 Sekunden m¨
oglich. Sie hat Ordnung 15625 und ist isomorph zum Kranzprodukt
C5oC5.
Alle Algorithmen wurden im Computer-Algebra-System MAGMA [5] implementiert und
getestet. Im letzten Kapitel pr¨
asentieren wir schließlich zahlreiche Beispiele f¨
ur die Ga-
loisgruppenberechnung mit unseren Verfahren inklusive der entsprechenden Laufzeiten.
Danksagungen
Vor allem m¨
ochte ich meinem Doktorvater Prof. Dr. J¨
urgen
Kl¨
uners herzlich danken. Er hat mir dieses interessante Thema
¨
uberlassen, stand jederzeit als Diskussionspartner zur Verf¨
ugung
und war immer meine erste Adresse f¨
ur Fragen aller Art.
Weiter danke ich Prof. Dr. Peter M¨
uller f¨
ur die Anfertigung des
Zweitgutachtens und die Hilfe bei den additiven Polynomen sowie
Prof. Dr. Sebastian Pauli f¨
ur die angenehme Zusammenarbeit und
die Einladung nach Greensboro.
Zu guter Letzt danke ich meinen Eltern, die mich w¨
ahrend meiner
gesamten Studienzeit unterst¨
utzt und gef¨
ordert haben.
Kapitel 2
Grundlagen
2.1 Erweiterungen p-adischer K¨
orper
Wir geben einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber die Theorie der p-adischen K¨
orper bzw. K¨
orper-
erweiterungen und f¨
uhren dabei f¨
ur die gesamte Arbeit g¨
ultige Notationen ein. F¨
ur eine
ausf¨
uhrlichere Einf¨
uhrung verweisen wir auf die B¨
ucher [7] und [12]. In der Literatur
werden die p-adischen K¨
orper meist im allgemeineren Kontext von lokalen K¨
orpern be-
handelt.
Definition 2.1
Eine Funktion νvon einem K¨
orper Knach Q∪{∞} mit den Eigenschaften
a) ν(a) = ∞ ⇔ a= 0,
b) ν(a·b) = ν(a) + ν(b),
c) ν(a+b)≥min{ν(a), ν(b)}
f¨
ur alle a, b ∈Kheißt exponentielle Bewertung auf K.
Eigenschaft c) ist die ultrametrische Dreiecksungleichung und es gilt der Zusatz
ν(a)6=ν(b)⇒ν(a+b) = min{ν(a), ν(b)}.
F¨
ur eine Primzahl pl¨
asst sich jede rationale Zahl a6= 0 als a=pkb
cdarstellen, so dass p
teilerfremd zu bund cist. Die Abbildung νp, die jedem a∈Qden Exponenten kzuordnet,
ist eine exponentielle Bewertung auf Qund heißt p-Bewertung. Vervollst¨
andigt man Q
7
8 Kapitel 2. Grundlagen
bez¨
uglich des Betrages |a|p:= p−νp(a), erh¨
alt man den K¨
orper Qpder p-adischen Zahlen.
¨
Ahnlich gelangt man durch die Vervollst¨
andigung bez¨
uglich des Absolutbetrages zu den
reellen Zahlen.
Definition 2.2
Ein K¨
orper Kheißt p-adischer K¨
orper, wenn er ein Erweiterungsk¨
orper endlichen Grades
vom K¨
orper Qpder p-adischen Zahlen ist.
Auch Kist wieder vollst¨
andig bez¨
uglich einer exponentiellen Bewertung νbzw. bez¨
uglich
des dazu korrespondierenden nicht-archimedischen diskreten Betrages (siehe unten).
Definition 2.3
Sei Kein p-adischer K¨
orper mit Bewertung ν. Wir nennen
OK:= {a∈K|ν(a)≥0}
Bewertungsring von K. Dabei handelt es sich um einen lokalen Ring mit maximalem Ideal
℘:= {a∈K|ν(a)>0}.
Das Ideal ℘heißt auch Bewertungsideal und ist ein Hauptideal. Wir w¨
ahlen einen Erzeuger
πund nennen ihn Primelement von OKbzw. K. Weiter ist
K:= OK/℘
der Restklassenk¨
orper von K.Kist ein endlicher K¨
orper und wir setzen q:= |K|. F¨
ur ein
Element a∈ OKbezeichnen wir mit adie Restklasse a+℘in K.
Unsere exponentielle Bewertung νsei normalisiert, so dass ν(π) = 1 ist. Wie vor Definition
2.3 angedeutet, l¨
asst sich aus νein nicht-archimedischer diskreter Betrag konstruieren,
indem man |a|:= q−ν(a)f¨
ur jedes a∈Kdefiniert. Wir erw¨
ahnen den Betrag nur der
Vollst¨
andigkeit halber. Bei allen Rechnungen in dieser Arbeit benutzen wir direkt die
Bewertung ν.
F¨
ur gew¨
ohnlich betrachtet man die Elemente eines p-adischen K¨
orpers Kals unendliche
Reihen.
Satz 2.4
Sei Rein System von Repr¨
asentanten der Restklassen von Kin OK. Dann kann jedes
Element a6= 0 ∈Keindeutig in der Form
a=
∞
X
i=`
aiπimit ai∈ R, ` =ν(a)∈Zund a`6= 0
dargestellt werden. Wir nennen die Reihe auch p-adische Normalreihe von azum Rest-
klassensystem Rund zum Primelement π.
Kapitel 2. Grundlagen 9
Beispiel 2.1 (Qpund Zp)
Beim K¨
orper Qpist νdie von νpinduzierte Bewertung. Es gilt OQp=Zp,℘=pZp
und Qp=Zp/pZp∼
=Fp. Jedes Element a6= 0 ∈Qpkann als Reihe P∞
i=`aipimit
ai∈ {0,1, . . . , p −1}dargestellt werden. •
Ein sehr wichtiges Werkzeug beim Studium p-adischer K¨
orper ist ”Hensel’s Lemma“. Wir
benutzen auch f¨
ur ein Polynom f(x)∈ OK[x] die Notation f(x) f¨
ur das Polynom ¨
uber K,
dessen Koeffizienten die Restklassen der Koeffizienten von f(x) sind (vgl. Definition 2.3).
Satz 2.5 (Hensel’s Lemma)
Sei f(x)∈ OK[x]. Wenn f(x)Produkt zweier teilerfremder, nicht-konstanter Polynome
g1(x), g2(x)∈K[x]ist, dann existieren auch zwei teilerfremde Polynome f1(x), f2(x)∈
OK[x]mit
Grad(f1(x)) = Grad(g1(x)), f1(x) = g1(x), f2(x) = g2(x)und f(x) = f1(x)·f2(x).
Wenn g1(x)normiert ist, so kann auch f1(x)normiert gew¨
ahlt werden.
Der Beweis von Satz 2.5 ist konstruktiv. Die Konstruktion der Faktorisierung ¨
uber OK,
ausgehend von der Faktorisierung ¨
uber dem Restklassenk¨
orper, wird auch als ”Hensel-
Lifting“ bezeichnet.
Sei nun f(x)∈K[x] ein normiertes, irreduzibles Polynom vom Grad n. Wir erhalten
eine algebraische Erweiterung Lvon Kvom Grad [L:K] = ndurch Adjunktion einer
Nullstelle αvon f(x):
L=K(α)∼
=K[x]/f(x)K[x].
F¨
ur L/K benutzen wir auch die Sprechweise ”von f(x) erzeugte Erweiterung“.
Es gibt genau eine Fortsetzung νLder Bewertung νvon Kauf L. Sie ist durch
νL(a) := νNL/K(a)
n
definiert, wobei NL/K :L→Kdie Normabbildung der K¨
orpererweiterung ist. F¨
ur Bewer-
tungsring, Bewertungsideal, Primelement und Restklassenk¨
orper von L(vgl. Definition
2.3) benutzen wir die Bezeichnungen OL, ℘L, πLund L.
Definition 2.6
•Die Zahl fL/K := [L:K] heißt Tr¨
agheitsgrad der Erweiterung L/K. Betrachtet man
das maximale Ideal von OKin OL, so gilt ℘OL=℘e
Lf¨
ur ein e∈N. Der Exponent
eheißt Verzweigungsindex der Erweiterung und wird mit eL/K bezeichnet.
10 Kapitel 2. Grundlagen
•Den absoluten Tr¨
agheitsgrad (Verzweigungsindex) eines K¨
orpers K¨
uber Qpbe-
zeichnen wir mit fK(eK).
•Die Erweiterung L/K heißt unverzweigt oder tr¨
age, wenn eL/K = 1 ist und total
verzweigt oder rein verzweigt bei fL/K = 1.
•Wir sprechen von einer wild verzweigten Erweiterung, wenn pden Verzweigungsin-
dex teilt. Ansonsten heißt die Erweiterung zahm verzweigt.
Jede Erweiterung p-adischer K¨
orper L/K hat zwei ausgezeichnete Zwischenk¨
orper. Daf¨
ur
stellen wir den Verzweigungsindex als eL/K =e0prmit p-e0dar. Es gibt den maximalen
unverzweigten Teilk¨
orper Umit [U:K] = fL/K und den maximalen zahm verzweigten
Teilk¨
orper Tmit [T:K] = e0fL/K. Es gilt K⊆U⊆T⊆L. Diesen K¨
orperturm nennen
wir auch Standard-K¨
orperturm von L/K (siehe Abbildung 2.1).
K
U
T
L
K
L
fL/K
e0
pr
eL/K
Abbildung 2.1: Standard-K¨
orperturm von L/K
Definition 2.7
Ein Polynom f(x) = xn+an−1xn−1+. . . +a1x+a0∈ OK[x] heißt Eisensteinpolynom,
wenn ν(ai)≥1 f¨
ur 1 ≤i≤n−1 und ν(a0) = 1 gilt.
Eisensteinpolynome sind irreduzibel und jede total verzweigte Erweiterung l¨
asst sich durch
Adjunktion der Nullstelle eines Eisensteinpolynoms erzeugen.
Satz 2.8
Ist L/K total verzweigt, so existiert ein Eisensteinpolynom ¨
uber K, dessen Nullstelle α
die Erweiterung L/K erzeugt. Es gilt zus¨
atzlich OL=OK[α]als Erweiterung von Ringen
und αist Primelement von L. Umgekehrt ist eine von einem Eisensteinpolynom erzeugte
Erweiterung immer total verzweigt.
Kapitel 2. Grundlagen 11
Sehr n¨
utzlich beim Rechnen mit Erweiterungen p-adischer K¨
orper ist das folgende Lemma,
das man z.B. in [29], Kapitel 5, §2 finden kann.
Lemma 2.9 (Abhyankar’s Lemma)
Wenn L/K zahm verzweigt und M/K endlich ist und wenn zus¨
atzlich eL/K |eM/K gilt,
dann ist LM/M unverzweigt.
Wir benutzen den Begriff der Galoisgruppe einer K¨
orpererweiterung in einem etwas all-
gemeineren Sinne, als es sonst in der Literatur ¨
ublich ist. Aut(K) ist unsere Bezeichnung
f¨
ur die Gruppe der Automorphismen des K¨
orpers K.
Definition 2.10
Sei L/K eine nicht notwendig galoissche Erweiterung p-adischer K¨
orper mit normalem
Abschluss N/K. Dann nennen wir die Gruppe
Gal(L/K) := {σ∈Aut(N)|σ(a) = af¨
ur alle a∈K}
Galoisgruppe von L/K. F¨
ur ein irreduzibles Polynom f(x)∈K[x] mit Zerf¨
allungsk¨
orper
Nsetzen wir Gal(f(x)) := Gal(N/K).
Sei nun L/K eine galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe Gund sei OL=OK[α].
Definition 2.11
F¨
ur j= 0,1, . . . ist
Gj={σ∈G|νL(σ(α)−α)≥j+ 1 }
die j-te Verzweigungsgruppe von L/K. Die Gruppe G0heißt auch Tr¨
agheitsgruppe.
Die Verzweigungsgruppen bilden eine Reihe G≥G0≥G1. . . von Untergruppen der
Galoisgruppe, die f¨
ur einen hinreichend großen Index `bei der trivialen Gruppe G`={id}
endet. Der n¨
achste Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Reihe zusammen (vgl.
dazu Abbildung 2.1).
Satz 2.12
a) Der maximale unverzweigte Teilk¨
orper Uvon L/K ist der Fixk¨
orper der Tr¨
agheits-
gruppe G0, es gilt also G0= Gal(L/U).G0ist ein Normalteiler der Ordnung eL/K
mit zyklischer Faktorgruppe der Ordnung fL/K.
b) Der maximale zahm verzweigte Teilk¨
orper Tvon L/K ist der Fixk¨
orper der ersten
Verzweigungsgruppe G1, es gilt also G1= Gal(L/T).G1ist eine p-Gruppe und ein
Normalteiler in G0mit zyklischer Faktorgruppe von zu pteilerfremder Ordnung.
c) F¨
ur j= 1,2, . . . , t ist GjNormalteiler von G. Die Faktorgruppen Gj/Gj+1 k¨
onnen
isomorph in die additive Gruppe von Leingebettet werden.
12 Kapitel 2. Grundlagen
Eine wichtige Folgerung aus Satz 2.12 ist, dass jede Galoisgruppe p-adischer K¨
orper
aufl¨
osbar ist.
Am Ende dieses Abschnitts f¨
uhren wir noch eine Schreibweise f¨
ur zwei Elemente a, b aus
dem algebraischen Abschluss Kvon Kein. Daf¨
ur sei die Bewertung νauf Kfortgesetzt.
Definition 2.13
F¨
ur a, b ∈Kschreiben wir a∼b, wenn ν(a−b)> ν(a) gilt.
2.2 Newton-Polygone
Wie in Abschnitt 2.1 definiert sei Kein p-adischer K¨
orper mit Qp⊆K, sowie πein festes
Primelement von OK. Mit νbezeichnen wir die exponentielle Bewertung auf Kbzw. ihre
eindeutige Fortsetzung auf den algebraischen Abschluss von K.
Definition 2.14
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x]. Das Newton-Polygon von f(x) ist die untere konvexe H¨
ulle
der Punktemenge (i, ν(ai)) 0≤i≤nim R2.
Abbildung 2.2 zeigt ein Beispiel.
i
0 5 10 15 20
ν(ai)
0
2
4
6
8
10
Abbildung 2.2: Newton-Polygon von 64x20 +4x18 +2x13 +8x10 +32x7+16x3+256 ∈Q2[x]
Wir nennen die einzelnen Strecken des Polygonzuges Segmente und bezeichnen sie mit
(k1, ν(ak1)) ↔(k2, ν(ak2)) anhand ihrer Endpunkte. Die Steigungen der Segmente wachsen
streng monoton von links nach rechts.
Kapitel 2. Grundlagen 13
Im Folgenden geben wir einige grundlegende Aussagen zu Newton-Polygonen an. F¨
ur die
Beweise verweisen wir auf [27], Kapitel II, §6.
Das Newton-Polygon stellt einen Zusammenhang zwischen den Bewertungen der Koeffi-
zienten eines Polynoms und den Bewertungen der Nullstellen her:
Satz 2.15
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x]. Hat das Newton-Polygon von f(x)ein Segment (k1, ν(ak1))
↔(k2, ν(ak2)) mit Steigung −m, so besitzt f(x)genau k2−k1Nullstellen α1, . . . , αk2−k1
mit
ν(α1) = . . . =ν(αk2−k1) = m.
Weiterhin gibt es immer eine Faktorisierung eines Polynoms zu seinem Newton-Polygon.
Jedes Segment liefert genau einen (nicht notwendig irreduziblen) Faktor.
Satz 2.16
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x]ein normiertes Polynom mit den Nullstellen α1, . . . , αnund
seien −m1< . . . < −m`die Steigungen des Newton-Polygons von f(x). Es gibt eine
eindeutige Zerlegung
f(x) =
`
Y
j=1
fj(x)∈K[x],mit fj(x) = Y
ν(αi)=mj
(x−αi)∈K[x].
Das Newton-Polygon von fj(x)besteht aus einem Segment mit Steigung −mj.
Aus dem Newton-Polygon l¨
asst sich auch ein Irreduzibilit¨
atskriterium ableiten.
Satz 2.17
Wenn das Newton-Polygon von f(x)∈K[x]nur aus einem Segment besteht, auf dem
abgesehen von den Endpunkten keine ganzzahligen Punkte liegen, dann ist f(x)irreduzibel.
Ein Spezialfall dieser Aussage ist das Eisenstein-Kriterium. Ein Eisensteinpolynom vom
Grad n(Definition 2.7) hat ein einsegmentiges Newton-Polygon, welches die Punkte (0,1)
und (n, 0) verbindet.
2.3 Allgemeine Galois- und Gruppentheorie
In diesem Abschnitt stellen wir einige wichtige Aussagen zur Galoistheorie zusammen.
Wir beginnen mit dem Hauptsatz.
14 Kapitel 2. Grundlagen
Satz 2.18 (Hauptsatz der Galoistheorie)
Sei L/K eine endliche galoissche K¨
orpererweiterung mit Galoisgruppe G= Gal(L/K).
Dann ist die Abbildung
M7→ Gal(L/M)
eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenk¨
orper Mvon L/K und der Menge der
Untergruppen Hvon G. Die Umkehrabbildung ist
H7→ Fix(H) := {a∈L|σ(a) = af¨
ur alle σ∈H}.
Außerdem gilt f¨
ur zwei Zwischenk¨
orper M1, M2die ¨
Aquivalenz
M1⊆M2⇔Gal(L/M2)≤Gal(L/M1).
Die Teilerweiterung M/K ist genau dann galoissch, wenn Gal(L/M)ein Normalteiler von
Gist. In diesem Fall erh¨
alt man per Restriktion die nat¨
urliche Isomorphie Gal(M/K)∼
=
G/Gal(L/M).
Beweis: Siehe z.B. [24], §8.
Zwei f¨
ur die Galoistheorie wichtige Gruppenkonstruktionen sind das Kranzprodukt und das
subdirekte Produkt zweier Gruppen. Wir bezeichnen mit Snf¨
ur ein n∈Ndie symmetrische
Gruppe auf nPunkten.
Definition 2.19
Seien Gund Hzwei Gruppen und ϕ:H→Snein Homomorphismus. Dann ist die Menge
GoH:= {(g1, . . . , gn, h)|g1, . . . , gn∈G, h ∈H}
eine Gruppe mit der Multiplikation
(g1, . . . , gn, h1)·(g0
1, . . . , g0
n, h2) := (g1g0
α(1), . . . , gng0
α(n), h1h2)
f¨
ur α=ϕ(h−1
1)∈Sn. Diese Gruppe heißt Kranzprodukt von Gund H(zum Homomor-
phismus ϕ).
Das Kranzprodukt ist isomorph zum semidirekten Produkt (G×. . . ×G)oHmit genau
nKopien von Gauf der linken Seite. Die Gruppe Hoperiert dabei auf G×. . . ×Gdurch
Permutation der direkten Faktoren ¨
uber den Homomorphismus ϕ.
Satz 2.20
Seien G1und G2Gruppen mit Epimorphismen µ1:G1→Hund µ2:G2→Hauf eine
dritte Gruppe H. Seien N1, N2die Kerne von µ1, µ2. Dann ist
G1×HG2:= {(g1, g2)|g1∈G1, g2∈G2, µ1(g1) = µ2(g2)}
Kapitel 2. Grundlagen 15
eine Untergruppe von G1×G2und heißt subdirektes Produkt von G1und G2¨
uber H.
Weiter gibt es Epimorphismen α1, α2von G1×HG2auf G1bzw. G2mit
Kern(α1) = {(1, n2)|n2∈N2}∼
=N2und
Kern(α2) = {(n1,1) |n1∈N1}∼
=N1.
Beweis: Siehe [16], Kapitel I, §9.
Das subdirekte Produkt G1×HG2zusammen mit den Epimorphismen α1und α2ist
der ”Pullback“ von µ1und µ2, d.h. das Diagramm aus Abbildung 2.3 kommutiert. Der
Pullback ist universell f¨
ur dieses Diagramm (vgl. [23], Kapitel I, §11). Daraus folgt insbe-
sondere, dass jede andere Gruppe mit diesen Eigenschaften isomorph zu G1×HG2sein
muss.
G1×HG2
G1
G2
H
α2
µ1
µ2
α1
Abbildung 2.3: Subdirektes Produkt
Satz 2.21
Seien M/L und L/K endliche galoissche K¨
orpererweiterungen, n= [L:K]und Nder
normale Abschluss von M/K. Dann l¨
asst sich die Gruppe Gal(N/L)in das n-fache direkte
Produkt Gal(M/L)×. . . ×Gal(M/L)einbetten.
Beweis: Seien M=M1, . . . , Mndie zu M/K konjugierten Erweiterungen. Alle diese
Erweiterungen enthalten L/K als Teilerweiterung und es gilt N=M1·. . . ·Mn. Sei
Gi:= Gal(Mi/L). Dann gilt Gi∼
=G1= Gal(M/L) f¨
ur alle i. Wir wenden nun induktiv
die Konstruktion des subdirekten Produktes (Satz 2.20) an. Sei f¨
ur r < n gezeigt, dass
G:= Gal(M1·. . . ·Mr/L)≤G1×. . . ×Grist. Wir setzen S:= (M1·. . . ·Mr)∩Mr+1 und
H:= Gal(S/L). Außerdem bezeichnen wir mit µ:G→G/H und µr+1 :Gr+1 →Gr+1/H
die jeweiligen nat¨
urlichen Homomorphismen. Dann erf¨
ullt ˜
G:= Gal(M1·. . . ·Mr+1/L)
f¨
ur die beiden Gruppen Gund Gr+1 zusammen mit den Epimorphismen µund µr+1 nach
dem Hauptsatz der Galoistheorie alle Voraussetzungen f¨
ur die Kommutativit¨
at des Dia-
gramms aus Abbildung 2.3. Dabei ¨
ubernimmt die Restriktion der Automorphismen von ˜
G
16 Kapitel 2. Grundlagen
auf M1·. . .·Mrbzw. Mr+1 die Rolle des Epimorphismus α1bzw. α2. Aus der Universialit¨
at
des subdirekten Produktes folgt nun, dass ˜
Gisomorph ist zu
G×HGr+1 ={(g, gr+1)|g∈G, gr+1 ∈Gr+1, µ(g) = µr+1(gr+1)}
und nach Satz 2.20 gilt
G×HGr+1 ≤G×Gr+1 ≤G1×. . . ×Gr×Gr+1.
2.4 Lokale Klassenk¨
orpertheorie
Eine K¨
orpererweiterung heißt abelsch, wenn sie galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist.
Ziel der Klassenk¨
orpertheorie ist die Beschreibung aller abelschen Erweiterungen eines
K¨
orpers.
Wir geben im Folgenden einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber die lokale Klassenk¨
orpertheorie.
Im Wesentlichen geben wir Isomorphie-, Eindeutigkeits- und Existenzsatz der lokalen
Klassenk¨
orpertheorie an. F¨
ur die Beweise verweisen wir auf das Buch [17], inbesondere
auf die Kapitel VI und VII. Unser Grundk¨
orper ist ein p-adischer K¨
orper K. Es gilt
|K|=qund ℘=πOKist das maximale Ideal des Bewertungsrings OK(vgl. Abschnitt
2.1).
In der gesamten Arbeit benutzen wir f¨
ur n∈Ndie Notation ζnf¨
ur eine primitive n-te
Einheitswurzel.
Satz 2.22
F¨
ur die multiplikative Gruppe K×eines p-adischen K¨
orpers Kgilt die Zerlegung
K×=hπi×hζq−1i×(1 + ℘)∼
=πZ×K××(1 + ℘).
Die multiplikative Gruppe 1 + ℘heißt Einseinheitengruppe von K. Eine ausf¨
uhrliche
Untersuchung der Einheitengruppe eines p-adischen bzw. lokalen K¨
orpers findet man in
[12], Kapitel 15.
Sei L/K eine endliche Erweiterung. Wir f¨
uhren f¨
ur die Gruppe NL/K(L×) der Normen
der Elemente von Lin K×die abk¨
urzende Schreibweise N(L/K) ein. Weiter bezeichnen
wir mit Kab die maximale abelsche Erweiterung von Kim algebraischen Abschluss K. Es
existiert ein kanonischer injektiver Homomorphismus
ρK:K×→Gal(Kab/K),
Kapitel 2. Grundlagen 17
der Normrestabbildung oder Artin-Abbildung genannt wird (siehe [17], Abschnitt 6.3).
Satz 2.23 (Isomorphiesatz)
Sei L/K eine endliche abelsche Erweiterung. Dann induziert ρKeinen Isomorphismus
K×/N(L/K)∼
=Gal(L/K)
und es ist
N(L/K) = ρ−1
K(Gal(Kab/L)).
Wir weisen noch auf eine wichtige Eigenschaft von ρKhin, die wir sp¨
ater ben¨
otigen:
Lemma 2.24
Es gilt
ρK(σ(x)) = ˜σ−1·ρK(x)·˜σ
f¨
ur alle x∈K×, alle Automorphismen σvon Kund eine beliebige Fortsetzung ˜σvon σ
auf Kab.
Satz 2.25 (Eindeutigkeitssatz)
F¨
ur zwei abelsche Erweiterungen L/K und M/K gilt
N((L∩M)/K) = N(L/K)·N(M/K)
und
N(LM/K) = N(L/K)∩N(M/K).
Insbesondere ist eine abelsche Erweiterung L/K eindeutig durch ihre Normgruppe N(L/K)
bestimmt.
Satz 2.26 (Existenzsatz)
Sei R≤K×eine Untergruppe mit endlichem Index. Dann existiert eine endliche abelsche
Erweiterung L/K mit
N(L/K) = R.
Aus den Hauptaussagen der Klassenk¨
orpertheorie folgt unter anderem das n¨
achste Lemma
zur Normgruppe einer beliebigen Erweiterung.
Lemma 2.27
F¨
ur die Normgruppe einer endlichen Erweiterung L/K gilt
N(L/K) = N((L∩Kab)/K).
18 Kapitel 2. Grundlagen
2.5 Komplexit¨
at von Algorithmen
Bei der Analyse von Algorithmen ist es ¨
ublich die Komplexit¨
at bzw. die Anzahl der Re-
chenschritte in Abh¨
angigkeit von der Gr¨
oße der Eingabedaten nur bis auf einen konstanten
Faktor zu spezifizieren. Daf¨
ur nutzt man die ”O-Notation“ oder die ”˜
O-Notation“, wenn
man auch noch logarithmische Faktoren unterdr¨
ucken m¨
ochte.
Definition 2.28
a) F¨
ur zwei Funktionen f:N→Rund g:N→Rschreiben wir
f(n) = O(g(n)),
wenn es eine Konstante Cgibt mit |f(n)| ≤ C·g(n) f¨
ur alle n∈N.
b) Wir schreiben
f(n) = ˜
O(g(n)),
wenn es eine positive ganze Zahl `gibt, so dass f(n) = O g(n) log`g(n)ist.
Wir werden an mehreren Stellen in dieser Arbeit Polynome ¨
uber endlichen K¨
orpern fak-
torisieren und f¨
ur den Rechenaufwand folgende Notation verwenden:
Definition 2.29
Wir bezeichnen mit
P(n, q)
die Anzahl der arithmetischen Operationen f¨
ur die Faktorisierung eines Polynoms vom
Grad n¨
uber dem endlichen K¨
orper Fq.
F¨
ur dieses Problem existieren schnelle probabilistische Algorithmen. Nach [19] ist die
Faktorisierung eines Polynoms vom Grad n¨
uber Fqmit einer erwarteten Anzahl von
O(n1,815 log q) Operationen in Fqm¨
oglich. Von zur Gathen und Shoup stellen in [10],
Abschnitt 9 auch einen deterministischen Algorithmus vor. Das Verfahren ben¨
otigt bei
q=pk
˜
O(n2+n3/2k+n3/2k1/2p1/2)
Rechenoperationen in Fq. In unserem Fall wird der Polynomgrad nimmer ein Vielfaches
von psein, weil die zu betrachtenden Polynome ¨
uber Fqaus der wild verzweigten Situation
kommen (vgl. Definition 2.6). Wir benutzen die deterministische Laufzeitabsch¨
atzung im
folgenden Spezialfall:
Lemma 2.30
F¨
ur p≤ngilt
P(n, qn) = ˜
O(n5/2log q).
Kapitel 2. Grundlagen 19
Beweis: Nach der Formel oben gilt P(n, qn) = ˜
O(n2+n5/2k+n2k1/2p1/2). Indem wir p
durch nund kdurch log qnach oben absch¨
atzen, erhalten wir daraus
P(n, qn) = ˜
O(n2+n5/2log q+n5/2log1/2q) = ˜
O(n5/2log q).
Kapitel 3
Zahm verzweigte Erweiterungen
Zahm verzweigte Erweiterungen lassen sich sehr sch¨
on theoretisch beschreiben. Sie beste-
hen immer aus einer Radikalerweiterung ¨
uber der (zyklischen) maximalen unverzweigten
Teilerweiterung. Aus diesem Grund kann man bei galoisschen Erweiterungen leicht erzeu-
gende Automorphismen der Galoisgruppe angeben. Helmut Hasse tut dies in Kapitel 16
seines Buches [12]. Ausgehend von diesem Ergebnis wird hier ein Verfahren entwickelt,
das zu einer durch ein irreduzibles Polynom gegebenen zahm verzweigten Erweiterung
eine Beschreibung der Galoisgruppe als endlich pr¨
asentierte Gruppe bestimmt.
F¨
ur dieses Kapitel sei Kein p-adischer K¨
orper mit Qp⊆Kund K∼
=Fqsowie πein festes
Primelement von OK.
3.1 Unverzweigte Erweiterungen
Eine unverzweigte Erweiterung ist schon durch ihren Grad eindeutig bestimmt.
Satz 3.1
Sei Kein p-adischer K¨
orper mit K∼
=Fq.
a) Es gibt genau eine unverzweigte Erweiterung vom Grad fvon K, n¨
amlich K(ζ)f¨
ur
eine primitive (qf−1)-te Einheitswurzel ζ.
b) Die Erweiterung K(ζ)/K ist galoissch mit zyklischer Galoisgruppe. Die Gruppe wird
erzeugt vom Automorphismus
τ:ζ7→ ζq.
20
Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen 21
Beweis: Siehe [29], Kapitel 5.
Es gilt Gal(K(ζ)/K)∼
=Gal(K(ζ)/K)∼
=Gal(Fqf/Fq), wobei τdem Frobeniusautomor-
phismus entspricht.
3.2 Zahm verzweigte Erweiterungen
Hier nun der oben angesprochene Satz von Hasse:
Satz 3.2
Sei Kein p-adischer K¨
orper mit K∼
=Fqund L/K eine zahm verzweigte Erweiterung
mit Verzweigungsindex eund Restklassengrad f.
a) Die Erweiterung L/K ist konjugiert zu einer der Erweiterungen
K(ζ, e
pζrπ), r ∈ {0, . . . , d(e, f)−1}
f¨
ur eine primitive (qf−1)-te Einheitswurzel ζund d(e, f) := ggT(e, qf−1).
b) Insbesondere sind zwei solche Erweiterungen K(ζ, e
√ζrπ)und K(ζ, e
pζr0π)mit r0≡
rmod d(e, f)konjugiert.
c) Die Erweiterung L/K ist genau dann galoissch, wenn die Bedingungen e|qf−1
und e|r(q−1) erf¨
ullt sind. In diesem Fall hat die Galoisgruppe die Erzeuger
σ:ζ7→ ζ, e
pζrπ7→ ζ`e
pζrπund τ:ζ7→ ζq,e
pζrπ7→ ζke
pζrπ
mit k=r(q−1)
e, ` =qf−1
eund die endliche Pr¨
asentation
hs, t |se= 1, sr=tf, st=sqi.
Beweis: Siehe [12], Kapitel 16.
Um eine durch ein irreduzibles Polynom gegebene zahme Erweiterung wie in Satz 3.2
zu identifizieren, ben¨
otigt man die Parameter e, f und r. Der von Sebastian Pauli in
[33] vorgestellte Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen ¨
uber lokalen K¨
orpern
liefert im Falle eines irreduziblen Polynoms eine Zerlegung in den unverzweigten und
den reinverzweigten Anteil, also eund f. Dabei wird der reinverzweigte Teil durch ein
Eisensteinpolynom angegeben. Anhand dieses Polynoms muss man nun den Parameter r
bestimmen.
22 Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen
Das folgende Lemma beschreibt zun¨
achst etwas allgemeiner, wie man bei einem Poly-
nom, das man anhand seines Newton-Polygones als irreduzibel erkennen kann, den zahm
verzweigten Anteil ”ablesen“ kann. In diesem Kapitel brauchen wir die Aussage nur f¨
ur
Eisensteinpolynome.
Lemma 3.3
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈ OK[x]ein normiertes Polynom vom Grad n=e0pmmit p-e0,
dessen Newton-Polygon aus genau einem Segment der Steigung −h/n mit ggT(h, n) = 1
besteht. Weiter seien αeine Nullstelle von f(x)und a, b ∈Zbeliebig mit ae0+bh = 1.
Dann kann die zahm verzweigte Teilerweiterung von L=K(α)vom Grad e0durch das
Eisensteinpolynom g(x) = xe0+bb
0πe0a∈ OK[x]mit beliebigem b0≡a0mod (πh+1)erzeugt
werden.
Beweis: Das Polynom f(x) ist irreduzibel, weil sein Newton-Polygon aus einem Segment
besteht, das außer den Endpunkten keine ganzzahligen Punkte enth¨
alt (siehe Satz 2.17).
Alle Nullstellen von f(x) haben Bewertung h/n, daher ist L/K total verzweigt vom Grad
nund die maximale zahm verzweigte Teilerweiterung T/K muss Grad e0haben.
Wir zeigen zun¨
achst, dass Tund die von ˜g(x) = xe0+b0erzeugte Erweiterung isomorph
sind. Das Newton-Polygon von ˜g(x) ist ein Segment mit Steigung h/e0und ggT(h, e0) = 1,
daher ist ˜g(x) irreduzibel. Es reicht zu zeigen, dass ˜g(x) eine Nullstelle in Lhat. Wegen
ν(a0) = hund b0≡a0mod (πh+1) gibt es eine Einseinheit 1 + πε ∈ OK, so dass b0=
(1 + πε)a0gilt. Außerdem haben wir αn=−a0−Pn−1
i=1 aiαi=−(1 + πLδ)a0f¨
ur eine
Einseinheit 1 + πLδ∈ OL. Das Polynom ˜g(x) hat genau dann eine Nullstelle in L, wenn
˜g(αpmx) = (αpmx)e0+b0eine Nullstelle in Lhat. Teilen durch αnliefert
xe0+b0
αn=xe0−(1 + πε)a0
(1 + πLδ)a0≡xe0−1 mod πLOL[x].
Das Polynom xe0−1∈L[x] ist quadratfrei wegen ggT(e0, p) = 1 und hat die Nullstelle
1. Mit Hensel-Lifting (siehe Lemma 2.5) erh¨
alt man daher eine Nullstelle von ˜g(αpmx) in
Lund damit auch eine Nullstelle von ˜g(x) in L.
Sei βdiese Nullstelle. Mit βkonstruieren wir jetzt eine Nullstelle des Eisensteinpolynoms
g(x) in T. Wir setzen γ=βbπa. Dann gilt ν(γ) = ν(βbπa) = bh/e0+a= 1/e0und
T=K(β) = K(γ). Da γe0=βe0bπe0a=−bb
0πe0agilt, ist γdie gew¨
unschte Nullstelle von
g(x) = xe0+bb
0πe0a.
Eisensteinpolynome haben ein einsegmentiges Newton-Polygon der Steigung 1/n. Wir
w¨
ahlen a= 0 und b= 1 im obigen Lemma und erhalten f¨
ur zahme Eisensteinpolynome
das
Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen 23
Korollar 3.4
Sei f(x) = Pe
i=0 aixi∈ OK[x]ein Eisensteinpolynom mit p-e. Außerdem sei g(x) =
xe+b0∈ OK[x]f¨
ur ein beliebiges b0∈ OKmit der Eigenschaft b0≡a0mod (π2). Dann
sind die von f(x)und g(x)erzeugten Erweiterungen isomorph.
Das heißt, bei einer zahmen Erweiterung liefert der letzte Koeffizient des zugeh¨
origen
Eisensteinpolynoms direkt die Darstellung als Radikalerweiterung. Von dieser Darstellung
gelangt man jetzt leicht zum Parameter r.
Lemma 3.5
Sei g(x) = xe−b0∈ OK[x]mit b0=επ f¨
ur ein ε∈ OK×, und sei {0, ζ, . . . , ζq−1}das
multiplikative Repr¨
asentantensystem f¨
ur K=OK/πOK, bestehend aus 0und den (q−1)-
ten Einheitswurzeln. Dann gilt ε≡ζrmod πOKf¨
ur ein r∈ {1, . . . , q −1}und die von
g(x)erzeugte total zahm verzweigte Erweiterung von Kist gleich K(e
√ζrπ).
Beweis: Lemma 3.5 ist schon in Satz 3.2 enthalten. Trotzdem soll es hier noch einmal
explizit bewiesen werden: Die erste Aussage ist klar, da εeine Einheit in OKist. Wir
haben ε=ζrηf¨
ur eine Einseinheit η∈ OK×. Nach [12], Kapitel 15 existiert wegen
p-eeine weitere Einseinheit η0∈ OK×mit η=ηe
0. Es gilt also ε=ζrηe
0und somit
K(e
√επ) = K(η0e
√ζrπ) = K(e
√ζrπ) wie behauptet.
Wichtig ist hier die Bemerkung, dass rabh¨
angig von der Wahl von ζund πist. Eine
Klassifikation aller zahmen Erweiterungen mit Verzweigungsindex eund Tr¨
agheitsgrad f
macht daher nur mit festem ζund πSinn (vgl. Satz 3.2).
Mit e, f, r und Satz 3.2 c) k¨
onnen wir jetzt die Galoisgruppe einer galoisschen Erweiterung
hinschreiben. Bei Erweiterungen, die nicht galoissch sind, ist noch etwas Arbeit n¨
otig.
Hier muss zun¨
achst die normale H¨
ulle bestimmt werden. Satz 3.6 zeigt, dass h¨
ochstens
unverzweigte Anteile hinzukommen k¨
onnen. Eine ¨
ahnliche Aussage findet man auch in
[18].
Satz 3.6
Sei L=K(ζ, e
√ζrπ)eine zahm verzweigte Erweiterung wie in Satz 3.2, also ζeine primi-
tive (qf−1)-te Einheitswurzel, und g:= ggT(qf−1, r(q−1)). Sei weiter u∈Nminimal,
so dass die Bedingung
qfu −1≡0 mod e·qf−1
g(3.1)
erf¨
ullt ist. Dann ist
N=K(ξ, e
pξsπ)
der normale Abschluss von L/K, wobei ξprimitive (qfu −1)-te Einheitswurzel und s=
r·qfu−1
qf−1ist.
24 Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen
Beweis: Wir setzen k:= e·qf−1
g. Ein entsprechendes u∈Nexistiert, weil qfeine Einheit
in Z/kZist wegen ggT(qf, k) = 1. Zun¨
achst zeigen wir, dass N/K galoissch ist. Die erste
Bedingung aus Satz 3.2 c) ist offensichtlich erf¨
ullt: Aus (3.1) folgt e|qfu −1. Die zweite
Bedingung
e|s(q−1) = r(q−1)qfu −1
qf−1
gilt ebenfalls, denn (3.1) ist ¨
aquivalent zu
g·qfu −1
qf−1≡0 mod e.
Es bleibt zu zeigen, dass NTeilk¨
orper des normalen Abschlusses Aist. Der K¨
orper Nl¨
asst
sich aus Ldurch Hinzunahme einer primitiven k-ten Einheitswurzel erzeugen (vgl. [27],
Kapitel II, (7.12)). Daher konstruieren wir im Folgenden eine primitive k-te Einheitswurzel
in A. Sei σ:ζ7→ ζqein Erzeuger von Gal(K(ζ)/K) (siehe Satz 3.1). Die Quotienten aus
Nullstellen von xe−σ(ζrπ) und Nullstellen von xe−ζrπ∈K(ζ)[x] liegen in Aund sind
e-te Wurzeln aus ζr(q−1). Sei ω∈Aeine dieser Wurzeln. Dann ist ωwegen ωe=ζr(q−1)
und ζqf−1= 1 die gesuchte primitive k-te Einheitswurzel.
Es reicht im Allgemeinen nicht aus, die e-ten Einheitswurzeln hinzu zu nehmen, um die
rein verzweigte Relativerweiterung zu einer Kummer-Erweiterung zu machen. Dies soll
noch einmal durch das folgende Beispiel illustriert werden.
Beispiel 3.1
Die Erweiterung L=Q2(ζ3,3
√2ζ3) hat Verzweigungsindex 3, Restklassengrad 2 und
der Parameter rist gleich 1. Ist L/Q2galoissch? Die erste Bedingung aus Satz 3.2 ist
erf¨
ullt. Anschaulich bedeutet dies, dass der Tr¨
agheitsk¨
orper U=Q2(ζ3) von Ldie 3.
Einheitswurzeln enth¨
alt und somit die Radikalerweiterung L/U galoisch ist. In diesem
Fall ist allerdings die zweite Bedingung nicht erf¨
ullt, da 3 -1(2 −1). Der Erzeuger τ:
ζ37→ ζ2
3von Gal(U/Q2)”kopiert“ L/U auf eine neue Erweiterung L0=U(3
p2ζ2
3) mit
r0= 2. Mit d(e, f) = ggT(3,3) = 3 gilt r6≡ r0mod d(e, f), also ist L06=L. Unter
diesen Voraussetzungen l¨
asst sich τnicht zu einem Automorphismus von L/K fortsetzen.
Wendet man nun Satz 3.6 an, erh¨
alt man u= 3 und N=Q2(ζ63,3
p2ζ21
63 ) = Q2(ζ63,3
√2)
als Zerf¨
allungsk¨
orper. Es mussten also f¨
ur die normale H¨
ulle noch die 63.Einheitswurzeln
hinzugenommen werden. Durch diese Vergr¨
oßerung des Tr¨
agheitsk¨
orpers hat man die
Vertr¨
aglichkeit der Relativerweiterungen erzwungen. Ein Erzeuger γvon Gal(Q2(ζ63)/Q2)
l¨
asst sich zu einem Automorphismus ¯γvon N/Q2fortsetzen:
¯γ:N→N
ζ63 7→ ζ2
63
3
p2ζ21
63 7→ 3
p2ζ21·2
63 =3
p2ζ21
63 ·3
pζ21
63 =3
p2ζ21
63 ·ζ7
63
Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen 25
Noch ¨
ubersichtlicher wird die Beschreibung von ¯γ, wenn man die Darstellung N=
Q2(ζ63,3
√2) f¨
ur Nbenutzt:
¯γ:N→N
ζ63 7→ ζ2
63
3
√27→ 3
√2
Als Galoisgruppe bekommt man daher in diesem Beispiel
Gal(L/Q2) = hs, t |s3= 1, t6= 1, st=s2i∼
=C3oC2
(vgl. Satz 3.2 und Definition 2.19). •
Man erh¨
alt aus Satz 3.6 eine Absch¨
atzung f¨
ur den Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers ¨
uber K,
weil udurch die Ordnung der Gruppe (Z/kZ)×f¨
ur k=e·(qf−1)/g beschr¨
ankt ist. Durch
eine strukturelle Betrachtung des Zerf¨
allungsk¨
orpers ¨
ahnlich wie im obigen Beispiel l¨
asst
sich aber auch eine obere Schranke angeben, die nicht mehr von qabh¨
angig ist:
Lemma 3.7
F¨
ur die normale H¨
ulle Neiner zahm verzweigten Erweiterung L/K mit Verzweigungsin-
dex egilt
[N:L]≤e·[L(ζe) : L]< e2.
Beweis: Sei f=fL/K und L=K(ζ, e
√ζrπ) die Standard-Darstellung von L/K nach Satz
3.2. Um die rein verzweigte Relativerweiterung galoissch zu machen, f¨
ugen wir die e-ten
Einheitswurzeln zu Lhinzu und setzen M=L(ζe). Der Tr¨
agheitsk¨
orper Uvon M/K hat
dann Grad m=f·[L(ζe) : L]¨
uber Kund es gilt M=U(e
√ζrπ), wobei die Erweiterungen
M/U und U/K beide zyklisch sind. Wir sind nun genau in der Situation von Satz 2.21.
Wenn wir mit σeinen Erzeuger von Gal(U/K) und mit βieine Nullstelle von xe−σi(ζrπ)
f¨
ur 0 ≤i≤m−1 bezeichnen, ist der normale Abschluss Ngleich dem Kompositum der
K¨
orper Mi=U(βi). Dieses Kompositum M1·. . . ·Mmuntersuchen wir im Folgenden mit
Abhyankar’s Lemma (Lemma 2.9). Weil alle Erweiterungen Mi/U total zahm verzweigt
vom Grad esind, ist MiMi+1/Mibzw. MiMi+1/Mi+1 tr¨
age vom einem Grad fimit fi|e
f¨
ur 1 ≤i≤m−1. Da es nur genau eine tr¨
age Erweiterung zu jedem Grad gibt, folgt daraus
insgesamt, dass N/M1tr¨
age mit [N:M1]≤eist, also die erste behauptete Ungleichung.
Die zweite Ungleichung gilt, weil [L(ζe) : L] die Ordnung von qfin (Z/eZ)×ist.
3.3 Galoisgruppenberechnung
Die Ergebnisse des letzten Abschnitts lassen sich nun zu einem Algorithmus zusammenfas-
sen. Es wird eine endliche Pr¨
asentation der Galoisgruppe bestimmt. Zus¨
atzlich kann man
26 Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen
den beiden Erzeugern dieser Gruppe wie in Satz 3.2 explizite Automorphismen zuordnen.
Algorithmus 3.1 (Galoisgruppe einer zahmen Erweiterung)
Input:
Ein irreduzibles Polynom f(x)∈K[x] vom Grad n, das eine zahm verzweigte Erweiterung
L/K definiert.
Output:
Die Galoisgruppe von f(x) als endlich pr¨
asentierte Gruppe.
ZahmeGaloisgruppe(f(x))
(1) bestimme die tr¨
age Teilerweiterung U/K vom Grad fund ein Eisensteinpolynom
Pe
i=0 aixi∈U[x] f¨
ur den verzweigten Anteil L/U
(2) setze d:= ggT(e, qf−1) und w¨
ahle eine primitive (qf−1)-te Einheitswurzel ζ∈U
(3) bestimme r∈ {0, . . . , d −1}mit (r≡r0mod d) f¨
ur r0aus (−a0/π ≡ζr0mod πOU)
(4) setze g:= ggT(qf−1, r(q−1)) und initialisiere u:= 1
(5) solange qfu −16≡ 0 mod e·qf−1
g
(6) setze u:= u+ 1
(7) setze r:= r·qfu−1
qf−1mod eund q:= qmod e
(8) gib die Gruppe hs, t |se= 1, sr=tfu, st=sqizur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Die Werte eund fsowie ein Eisensteinpolynom f¨
ur die total verzweigte Relativerwei-
terung in Schritt (1) k¨
onnen mit dem Verfahren aus [33] bestimmt werden. Weil dabei
Polynome ¨
uber endlichen K¨
orpern faktorisiert werden (vgl. Abschnitt 2.5), ist die Laufzeit
nur erwartet polynomiell im Polynomgrad nund log q(siehe [33], Korollar 7.3).
Zur Bestimmung von ζin Schritt (2) ermittelt man einen Erzeuger der multiplikativen
Gruppe von U∼
=Fqf. Die Standard-Methode f¨
ur dieses Problem berechnet die Ordnung
zuf¨
allig gew¨
ahlter Elemente aus Fqfbis ein Element maximaler Ordnung gefunden ist.
Aus dem Eisensteinpolynom f¨
ur L/U wird dann in Schritt (3) wie in Korollar 3.4 und
Lemma 3.5 der Parameter rberechnet. Um nicht einen (f¨
ur großes qfaufw¨
andigen) dis-
kreten Logarithmus in U∼
=Fqfberechnen zu m¨
ussen, kann man wie folgt vorgehen:
Sei ε=−a0/π und ε=ζr0∈Fqff¨
ur ein r0∈ {0, . . . , qf−2}. Wir sind an r0nur modulo
dinteressiert (vgl. Satz 3.2 b)) und r0ist genau dann durch dteilbar, wenn ε(qf−1)/d = 1
Kapitel 3. Zahm verzweigte Erweiterungen 27
ist. Darum findet man das gesuchte r, indem man f¨
ur r∈ {0, . . . , d −1}abtestet, ob
ε
ζr(qf−1)/d
= 1
gilt. Weil das Potenzieren durch wiederholtes Quadrieren (siehe z.B. [9], Kapitel I, Ab-
schitt 4.3) in O(log qf) Rechenschritten m¨
oglich ist und weil maximal d≤eTests durch-
gef¨
uhrt werden m¨
ussen, ist die Bestimmung von rauf diese Weise in O(nlog q) Schritten
m¨
oglich. Damit ist diese auch f¨
ur große qeffizient.
Es stellt hier kein Problem dar, dass rvon der Wahl der primitiven Einheitswurzel ζ
abh¨
angt (vgl. Bemerkung nach Lemma 3.5). Verschiedene ζf¨
uhren nur zu verschiedenen
Erzeugern der zyklischen Untergruppe hsiin der Relation sr=tfu.
F¨
ur eine Laufzeitabsch¨
atzung der ggT-Berechnungen in den Schritten (2) und (4) verwei-
sen wie auf [9], Kapitel I, Abschnitt 3.3. Sie sind ebenfalls in O(nlog q) m¨
oglich.
In der solange-Schleife (5) wird nach Satz 3.6 der Wert f¨
ur uund damit der Grad der
normalen H¨
ulle ¨
uber Lbestimmt. Nach Lemma 3.7 ist dieser Grad durch e·[L(ζe) : L]
nach oben beschr¨
ankt. Danach wird nach Satz 3.2 die Galoisgruppe angegeben.
Algorithmus 3.1 ist somit ab Schritt (3) polynomiell in nund log q. Die Rechenschritte
(1) und (2) enthalten probabilistische Elemente.
Kapitel 4
Newton-Polygone
Weil Newton-Polygone ohne viel Rechenaufwand Informationen zu den Nullstellen eines
Polynoms liefern (Satz 2.15), sind sie sehr n¨
utzlich bei der Beschreibung und Berechnung
von Zerf¨
allungsk¨
orpern und Galoisgruppen.
In diesem Kapitel werden wir zun¨
achst beschreiben, wie man die Faktorisierung eines
Polynoms zu seinem Newton-Polygon bestimmt (Abschnitt 4.1), und die sogenannten
assoziierten Polynome einf¨
uhren (Abschnitt 4.2). Danach untersuchen wir ein speziel-
les Polygon, das sogenannte Verzweigungspolygon einer total verzweigten Erweiterung,
genauer (Abschnitt 4.3). Inbesondere zeigen wir, dass es kanonische Teilk¨
orper zum Ver-
zweigungspolygon gibt, und wie man diese berechnen kann (Abschnitte 4.4 und 4.5).
4.1 Die Faktorisierung zum Newton-Polygon
Sei f(x) = Pn
i=0 aixiein normiertes Polynom ¨
uber OK, dessen Newton-Polygon mindes-
tens zwei Segmente hat. In diesem Abschnitt wird ein Verfahren angegeben, mit dem
man die Faktorisierung von f(x) aus Satz 2.16, bei der jeder Faktor zu einem Segment
korrespondiert, explizit berechnen kann.
Wir beschreiben nur den ersten Schritt einer Faktorisierung f(x) = f1(x)f2(x), bei der
f2(x) zum letzten Segment des Newton-Polygons geh¨
ort. Danach kann mit f1(x) induktiv
weiter verfahren werden.
Das letzte Segment habe die Steigung −h
eund die L¨
ange n−m. Weil f(x) normiert
ist, hat es die Form (m, h
e(n−m)) ↔(n, 0). Die Idee ist nun, das Polynom f(x) so zu
28
Kapitel 4. Newton-Polygone 29
transformieren, dass das letzte Segment ”nach unten klappt“ und flach auf der x-Achse
liegt. Dann l¨
asst sich mit Hensel-Lifting eine Faktorisierung bestimmen.
Daf¨
ur sei βeine Nullstelle des Polynoms xe−π, also ν(β) = 1
e. Wir transformieren f(x)
zu
˜
f(x) = f(βhx)
βnh =
n
X
i=0
aiβh(i−n)xi=:
n
X
i=0
bixi∈K(β)[x].
Die Bewertung von βh(i−n)ist −h
e(n−i). Weil das letzte Segment maximale Steigung hat,
gilt ν(ai)>h
e(n−i) f¨
ur i<m. Daher teilt βdie Koeffizienten bif¨
ur i<mund wir
erhalten folgende Darstellung von ˜
f¨
uber dem Restklassenk¨
orper K(β):
˜
f(x) =
n
X
i=m
bixi=xm
n
X
i=m
bixi−m
Die Faktoren xmund Pn
i=mbixi−msind teilerfremd aufgrund von ν(bm) = 0. Außerdem ist
der zweite Faktor nicht konstant, weil auch ν(bn) = 0 ist. Darum k¨
onnen wir Hensel-Lifting
(Lemma 2.5) anwenden und erhalten eine Faktorisierung ˜
f(x) = ˜
f1(x)˜
f2(x)∈K(β)[x].
Mit f1(x) := ˜
f1(x
βh)βnh und f2(x) := ˜
f2(x
βh)βnh machen wir die Transformation r¨
uckg¨
angig
und haben f(x) = f1(x)f2(x)∈K(β)[x]. Da das Newton-Polygon von f2(x) ein Segment
mit Steigung −h
eist, muss f2(x) der eindeutige Faktor zum letzten Segment des Newton-
Polygons von f(x) sein (vgl. Satz 2.16). Folglich gilt die Faktorisierung schon ¨
uber K.
Algorithmus 4.1 fasst noch einmal alles zusammen:
Algorithmus 4.1 (Faktorisierung zum Newton-Polygon)
Input:
Ein normiertes Polynom f(x)∈ OK[x] mit mindestens zwei Segmenten im Newton-
Polygon.
Output:
Die Faktorisierung von f(x) zum Newton-Polygon nach Satz 2.16.
NewtonPolygonFaktoren(f(x))
(1) bestimme die Segmente S1, . . . , S`des Newton-Polygons von f(x)
(2) initialisiere F:= ∅
(3) f¨
ur ivon `bis 2
(4) bestimme die Werte f¨
ur n, m, h und eanhand von Si
(−h
e: Steigung, m, n:x-Koordinate des Start- bzw. Endpunktes)
(5) sei βNullstelle von xe−π
30 Kapitel 4. Newton-Polygone
(6) setze ˜
f(x) = Pn
i=0 bixi:= f(βhx)
βnh ∈K(β)[x]
(7) setze ˜
f1(x) := xm,˜
f2(x) := Pn
i=mbixi−m∈K(β)[x]
(8) f¨
uhre Hensel-Lifting f¨
ur ˜
f(x) und ˜
f1(x),˜
f2(x) durch und erhalte ˜
f1(x),˜
f2(x)
(9) setze f1(x) := ˜
f1(x
βh)βnh und f2(x) := ˜
f2(x
βh)βnh
(10) f¨
uge f2(x) zu Fhinzu
(11) setze f(x) := f1(x)
(12) gib Fin umgekehrter Reihenfolge zur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Beim Schleifendurchlauf f¨
ur i=jist f(x) der Faktor des urspr¨
unglichen Polynoms,
der zu den noch nicht behandelten Segmenten S1, . . . , Sj−1korrespondiert. Die Segmente
entsprechen dem Newton-Polygon von f(x) bis auf eine Verschiebung in y-Richtung. Diese
Verschiebung wird im Algorithmus implizit durchgef¨
uhrt. In jedem Schleifendurchlauf
wird das letzte Segment so interpretiert, als l¨
age es mit dem rechten Endpunkt auf der
x-Achse auf.
Hensel-Lifting f¨
ur Polynome ¨
uber lokalen K¨
orpern wird z.B. in [9], Kapitel II, Abschnitt
15 beschrieben. Es ist im Computer-Algebra-System MAGMA [5] implementiert.
Die Reihenfolge der Faktoren in der Ausgabe entspricht der Reihenfolge der Segmente des
Newton-Polygons von links nach rechts.
4.2 Assoziierte Polynome
Sogenannte assoziierte Polynome sind Polynome ¨
uber dem Restklassenk¨
orper, die man
den einzelnen Segmenten eines Newton-Polygons zuordnet. Sie wurden von Ore in [30]
eingef¨
uhrt und werden aktuell wieder von Montes, Nart und Guardia zur Ganzheitsba-
senberechnung und Polynomfaktorisierung ¨
uber lokalen K¨
orpern genutzt (siehe [11]. Sie
enthalten arithmetische Informationen zu den K¨
orpererweiterungen, die von den irredu-
ziblen Faktoren des zugrundeliegenden Polynoms erzeugt werden. In dieser Arbeit sind
assoziierte Polynome ein wichtiges Hilfsmittel zur Beschreibung von Zerf¨
allungsk¨
orpern
von Eisensteinpolynomen.
Definition 4.1
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈ OK[x] ein normiertes Polynom und sei S= (u, v)↔(u+E, v−H)
f¨
ur nicht negative ganze Zahlen u, v, E, H ein Segment seines Newton-Polygons. Mit d=
Kapitel 4. Newton-Polygone 31
ggT(E, H) hat Sdie Steigung −h
e:= −H/d
E/d . Das assoziierte Polynom zu Sist
AS(y) :=
d
X
j=0
(au+jeπ−v+jh)yj∈K[y].
Die Punkte (u+je, v −jh) sind die ganzzahligen Punkte auf S. Ein solcher Punkt f¨
uhrt
zu einem Koeffizienten ungleich 0 von AS(y), wenn ν(au+je) = v−jh gilt. Daher sind
insbesondere der 0-te und der d-te Koeffizient ungleich 0, das assoziierte Polynom hat also
Grad dund ist nicht durch yteilbar.
Die assoziierten Polynome sind vertr¨
aglich mit der Faktorisierung zum Newton-Polygon
aus Satz 2.16:
Satz 4.2
Sei f(x)∈ OK[x]ein normiertes Polynom und sei f(x) = Q`
j=1 fj(x)die Faktorisierung
zu den Segmenten S1, . . . , S`des Newton-Polygons von f(x). Dann ist f¨
ur 1≤j≤`das
Newton-Polygon von fj(x)ein Segment und das assoziierte Polynom zu diesem Segment
ist gleich ASj(y).
Beweis: Siehe [30].
Im Folgenden wollen wir das assoziierte Polynom noch etwas genauer untersuchen und
insbesondere seine Nullstellen mit Hilfe der Nullstellen von f(x) beschreiben. F¨
ur jeden
Erweiterungsk¨
orper Lvon Kk¨
onnen wir AS(y) als Polynom ¨
uber Lbetrachten.
Lemma 4.3
Sei f(x)∈ OK[x]ein normiertes Polynom vom Grad nmit einsegmentigem Newton-
Polygon Sder Steigung −h/e. Wir bezeichnen mit α=α1, . . . , αndie Nullstellen von
f(x)und setzen L=K(α)und γ=αe
πh∈ OL.
a) Es gilt
AS(γxe) = f(αx)
πnh/e mod πLOL[x].
b) Sei Nder Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x)und γi=αe
i
πh∈Nf¨
ur 1≤i≤n. Jede
Nullstelle von AS(y)in Nhat die Form γif¨
ur ein i∈ {1, . . . , n}.
Beweis: Nach dem Newton-Polygon haben wir ν(α) = h/e und ν(γ) = ν(γi) = 0. Es gilt
f(αx)
πnh/e =
n
X
i=0
aiαi
πnh/e xi≡
n/e
X
j=0
ajeαje
πnh/e xje mod πLOL[x].
32 Kapitel 4. Newton-Polygone
Denn wegen
νaiαi
πnh/e =ν(ai)−h
e(n−i)
k¨
onnen nur die ganzzahligen Punkte auf dem Polygon zu Koeffizienten mit Bewertung 0
f¨
uhren, und die x-Koordinaten dieser Punkte sind Vielfache von e. Ersetzen wir nun αe
durch γπhund stellen etwas um, erhalten wir
f(αx)
πnh/e ≡
n/e
X
j=0
ajeπjh(γxe)j
πnh/e =
n/e
X
j=0
ajeπ−nh/e+jh(γxe)jmod πLOL[x].
und damit Behauptung a).
Die Nullstellen von f(αx)
πnh/e haben die Form αi
α. Darum haben nach a) die Nullstellen von
AS(y) die Form γ(αi
α)e=γi.
Jetzt l¨
asst sich mit den S¨
atzen 4.2 und 2.16 die entsprechende Aussage f¨
ur mehrsegmentige
Polygone folgern:
Korollar 4.4
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈ OK[x]ein normiertes Polynom mit den Nullstellen α1, . . . , αn
und seien S1, . . . , S`die Segmente des Newton-Polygons von f(x)mit den Steigungen
−h1/e1< . . . < −h`/e`. Weiter sei Nder Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x). Dann hat f¨
ur
j∈ {1, . . . , `}jede Nullstelle von ASj(y)in Ndie Form
αej
i
πhj
f¨
ur ein αimit ν(αi) = hj/ej.
Mit Lemma 4.3 ist klar, dass eine Faktorisierung des zu einem Segment assozierten Poly-
noms ASj(y) in teilerfremde Faktoren zu einer weiteren Faktorisierung des Faktors fj(x)
von f(x) f¨
uhrt. Außerdem folgt aus der Darstellung der Nullstellen des assoziierten Poly-
noms, dass die Grade der irreduziblen Faktoren von ASj(y) Teiler der Tr¨
agheitsgrade der
von den Nullstellen von fj(x) erzeugten Erweiterungen sind.
Definition 4.5
Wir nennen den Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers von AS(y)∈K[y]¨
uber Kassoziierte
Tr¨
agheit zum Segment S.
Kapitel 4. Newton-Polygone 33
4.3 Das Verzweigungspolygon
Wir wollen in dieser Arbeit Newton-Polygone benutzen, um Informationen ¨
uber die Ga-
loisgruppe von Eisensteinpolynomen zu erhalten. Das normale Newton-Polygon eines je-
den Eisensteinpolynoms vom Grad nbesteht aus einem Segment mit Steigung −1
nund ist
damit wenig hilfreich bei der Unterscheidung verschiedener Polynome bzw. der entspre-
chenden Galoisgruppen.
Transformiert man jedoch das Eisensteinpolynom geeignet und betrachtet dann das Po-
lygon des neuen Polynoms, l¨
asst sich einiges zur Struktur der Galoisgruppe ablesen. Dies
f¨
uhrt zum Begriff des Verzweigungspolygons (siehe auch [38] und [36]).
Definition 4.6
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x] ein normiertes Eisenstein-Polynom, αeine Nullstelle von
f(x) und L=K(α). Wir nennen das Polynom
g(x) =
n−1
X
i=0
bixi:= f(αx +α)
αnx∈L[x]
Verzweigungspolynom von f(x) und das Newton-Polygon von g(x)Verzweigungspolygon
von f(x). Wir bezeichnen das Verzweigungspolygon mit Vf(x).
Da 0 eine Nullstelle von f(αx +α) ist, ist das Teilen durch xin der Definition erlaubt.
Durch das Teilen durch αnist g(x) wieder normiert, also bn−1= 1. Die Bezeichnung
Verzweigungspolygon wird klar, wenn man sich noch einmal die Definition der Verzwei-
gungsgruppen (Definition 2.11) ins Ged¨
achtnis ruft und g(x) etwas umschreibt. Mit den
Nullstellen α=α1, . . . , αnvon f(x) gilt
g(x) =
n
Y
i=2 x−αi−α
α∈K[x]
und νL(αi−α
α) = νL(αi−α)−1. Ist die Erweiterung L/K galoissch mit Gruppe G, treten
die gleichen Werte νL(αi−α) in der Definition der j−ten Verzweigungsgruppe auf:
Gj={σ∈G|νL(σ(α)−α)≥j+ 1}.
Somit kann man also nach Satz 2.15 anhand des Verzweigungspolygons die Reihe G=
G0≥G1≥. . . ≥G`={id}beschreiben, denn die Steigungen der Segmente liefern die
Werte νL(σ(α)−α) f¨
ur alle σ∈Gund die L¨
angen der Projektionen auf die x-Achse die
Gr¨
oße der Faktoren Gi/Gi+1. Insbesondere impliziert ein Segment mit Steigung −mim
Verzweigungspolygon einen Sprung bei min der Filtration von G, d.h. es gilt Gm6=Gm+1.
34 Kapitel 4. Newton-Polygone
Es existiert auch eine nicht-galoissche Verzweigungstheorie f¨
ur lokale K¨
orper (siehe z.B.
[13]). Darin wird anstelle der Galoisgruppe die Menge Γ der Einbettungen einer K¨
orper-
erweiterung L/K in Kuntersucht und es k¨
onnen analog zum galoisschen Fall u-te Ver-
zweigungsmengen Γudefiniert werden:
Γu={σ∈Γ|νL(σ(α)−α)≥u}f¨
ur u≥0∈R.
Die Mengen Γubilden eine Filtration von Γ und man spricht von einem Sprung bei
u, wenn Γu+ε6= Γuf¨
ur ein ε > 0 gilt. Die Spr¨
unge 0 ≤u1< u2< . . . < u`sind
rationale Zahlen. In diesem allgemeineren Kontext beschreibt das Verzweigungspolygon
die Filtration Γ = Γu1)Γu2). . . )Γu`={id}, wobei Γu= Γuif¨
ur ui−1< u ≤uiist.
Die Zusammenh¨
ange zwischen Vf(x)und den Verzweigungsgruppen bzw. -mengen der
von f(x) erzeugten Erweiterung L/K legen nahe, dass das Verzweigungspolygon eine
Invariante der Erweiterung L/K darstellt und nicht von der Wahl des Eisensteinpolynoms
abh¨
angt. Dies wird im n¨
achsten Satz bewiesen.
Satz 4.7
Sei f(x)∈K[x]ein Eisensteinpolynom, αeine Nullstelle von f(x)und L=K(α). Das
Polygon Vf(x)und die assoziierte Tr¨
agheit der einzelnen Segmente (vgl. Definition 4.5)
sind Invarianten der Erweiterung L/K.
Beweis: Sei β=δα mit δ∈ OL×ein weiteres Primelement von L. Wir k¨
onnen δin der
Form δ=δ0+δ1α+δ2α2+. . . schreiben, wobei δi∈ OK×f¨
ur alle iist. Seien β=β1, . . . , βn
die Konjugierten von β. Wir m¨
ussen die beiden Verzweigungspolynome
g(x) =
n
Y
i=2 x−αi−α
α=
n
Y
i=2 x−(−1 + αi
α)∈K[x] und
˜g(x) =
n
Y
i=2 x−βi−β
β=
n
Y
i=2 x−(−1 + βi
β)∈K[x]
bzw. ihre Nullstellen vergleichen. Mit einer Polynomdivision erh¨
alt man f¨
ur 1 ≤i≤n:
−1+ βi
β=−1+ δ0αi+δ1α2
i+δ2α3
i+. . .
δ0α+δ1α2+δ2α3+. . . =−1+ αi
α+δ1(αi−α)αi+δ2(α2
i−α2)αi+. . .
δ0α+δ1α2+δ2α3+. . . .
Die L-Bewertung von −1 + αi/α ist gleich mf¨
ur eine der Steigungen −mvon Vf(x).
Wegen νL(αi−α) = m+1 und da (αi−α) nach der dritten binomischen Formel ein Teiler
von (αu
i−αu) f¨
ur alle u∈Nist, ist die Bewertung des letzten Summanden oben gr¨
oßer
gleich m+ 1 und es folgt (−1 + βi/β)∼(−1 + αi/α) (vgl. Definition 2.13). Damit gilt
νL(−1+βi/β) = mund wir haben gezeigt, dass Vf(x)nicht von der Wahl des Primelements
abh¨
angt, also eine Invariante der Erweiterung ist.
Kapitel 4. Newton-Polygone 35
F¨
ur die Aussage zur assoziierten Tr¨
agheit betrachten wir f¨
ur beide Verzweigungspolynome
das Segment der Steigung −m=−h/e. Das Polynom A(y)∈L[y] sei das entsprechende
assoziierte Polynom zum Verzweigungspolynom g(x) und ˜
A(y)∈L[y] sei das entspre-
chende assoziierte Polynom zum Verzweigungspolynom ˜g(x). Nach Korollar 4.4 k¨
onnen
wir mit den Nullstellen −1 + αi/α bzw. −1 + βi/β der Bewertung mdie Nullstellen der
assoziierten Polynome beschreiben. Wir haben wegen (−1 + βi/β)∼(−1 + αi/α) den
Zusammenhang
(−1 + βi/β)e
βh∼(−1 + αi/α)e
αh·1
δh.
Die Nullstellen von ˜
A(y) unterscheiden sich also von den Nullstellen von A(y) nur um den
Faktor δ−him Grundk¨
orper L. Damit sind die Zerf¨
allungsk¨
orper von A(y) und ˜
A(y) gleich
und wir haben auch f¨
ur die assoziierten Tr¨
agheiten der Segmente die Unabh¨
angigkeit von
der Wahl des Eisensteinpolynoms gezeigt.
Definition 4.8
Nach Satz 4.7 k¨
onnen wir vom Verzweigungspolygon einer total verzweigten Erweiterung
sprechen. Wir definieren VL/K := Vf(x)f¨
ur ein beliebiges Eisensteinpolynom f(x), das
L/K erzeugt.
In einem Kompositum mit einer zahm verzweigten Erweiterung verh¨
alt sich VL/K genauso
wie ein ”normales“ Newton-Polygon:
Lemma 4.9
Sei L/K total verzweigt vom Grad prund seien −m1,...,−m`die Steigungen von VL/K.
Weiter sei T/K zahm verzweigt mit Verzweigungsindex eund N=LT. Dann entspricht
VN/T dem um den Faktor e”gestreckten“ Polygon VL/K, d.h. VN/T hat die Steigungen
−e·m1,...,−e·m`.
Beweis: Sei f(x) eisenstein vom Grad pr¨
uber Kmit den Nullstellen α=α1, . . . , αpr
und L=K(α). Sei βein Primelement von T.¨
Uber Tist f(x) immer noch irreduzi-
bel, weil sein Newton-Polygon aus einem Segment der Steigung e/prbesteht (siehe Satz
2.17). Wir w¨
ahlen a, b ∈N, so dass ae −bpr= 1 gilt, und erhalten νT(αa/βb) = 1/pr.
Das Element αa/βbist also ein Primelement und ein primitives Element f¨
ur N/T. Das
Verzweigungspolynom g(x)∈ ON[x] vom Minimalpolynom von αa/βbist
g(x) =
pr
Y
i=2 x−(−1 + αa
i
βb
βb
αa)=
pr
Y
i=2 x−(−1 + αa
i
αa)∈K[x].
Jeder Quotient αi/α ist von der Form 1 + δαmjmit δ∈ O×
Kf¨
ur ein 1 ≤j≤r. We-
gen ggT(a, p) = 1 folgt daraus (αi/α)a= (1 + δαmj)a= 1 + aδαmj+. . . und somit
νN−1 + αa
i
αa=e·mj.
36 Kapitel 4. Newton-Polygone
Wir wollen jetzt die Form von VL/K noch etwas genauer untersuchen. Es wird sich her-
ausstellen, dass es ausreicht, nur bestimmte Koeffizienten des Verzweigungspolynoms zu
betrachten, um das Polygon zu zeichnen. Das folgende Lemma findet man auch in [38].
Lemma 4.10
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x]ein Eisensteinpolynom und n=e0prmit p-e0. Weiter sei
αeine Nullstelle von f(x)sowie L=K(α). Dann gilt f¨
ur die Koeffizienten des Polynoms
h(x) = Pn
i=0 cixi:= f(αx +α)∈L[x], dass
a) νL(ci)≥nf¨
ur alle i.
b) νL(cpr) = νL(cn) = n.
c) νL(ci)≥νL(cps)f¨
ur ps≤i < ps+1 und s < r.
Beweis: Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes erh¨
alt man aus h(x) = Pn
i=0 ai(αx +α)i
die Koeffizienten ci=Pn
j=ij
iajαj. Weil f(x) eisenstein ist, wird νL(aj) von ngeteilt.
Außerdem teilt nauch νL(j
i) wegen j
i∈Z. Damit gilt νL(j
iajαj)≡jmod nf¨
ur alle
j. Die einzelnen Summanden in cihaben also verschiedene Bewertungen und es gilt
νL(ci) = min
i≤j≤nνLj
iajαj
nach der ultrametrischen Dreiecksungleichung. Es ist νLj
iajαj≥nν(aj) + jmit
ν(aj)≥1 f¨
ur j < n. Daraus folgt a). Wegen p-n
prund an= 1 gilt νLn
pranαn=nund
damit b). Sei nun i∈ {ps, . . . , ps+1 −1}und νL(ci) = νL(j
iajαj) f¨
ur ein j∈ {i, . . . , n}.
Wegen νp(j
i)≥νp(j
ps) f¨
ur j≥iist νL(ci)≥νL(j
psajαj) und somit auch νL(ci)≥
νL(cps).
Will man das Newton-Polygon von g(x) = Pn−1
i=0 bixi=h(x)
αnxzeichnen, reicht es nach
Lemma 4.10 aus, die Koeffizienten bps−1f¨
ur 0 ≤s≤rsowie bn−1= 1 zu betrachten.
Das Teilen durch xbewirkt die Indexverschiebung und das Teilen durch αnsetzt alle
Bewertungen um den Wert nherab. Damit l¨
asst sich das Verzweigungspolygon wie im
folgenden Korollar beschreiben.
Korollar 4.11
Das Verzweigungspolygon von f(x) = Pn
i=0 aiximit n=e0prund p-e0ist die untere
konvexe H¨
ulle der Menge
n(ps−1,min
ps≤j≤n{νL(j
ps) + νL(aj) + j−n})0≤s < ro∪n(pr−1,0),(n−1,0)o
im R2.
Kapitel 4. Newton-Polygone 37
Aus Korollar 4.11 kann man n¨
utzliche Absch¨
atzungen zu Lage und Form des Verzwei-
gungspolygons folgern. Wir beschr¨
anken uns auf den Fall n=pr.
Korollar 4.12
Sei f(x)∈K[x]eisenstein vom Grad pr. Dann gilt:
a) Die konvexe H¨
ulle der Menge
{(ps−1, pr·(r−s)·ν(p) ) |0≤s≤r} ⊂ R2
ist eine obere Absch¨
atzung f¨
ur Vf(x), das heißt, die Segmente des Verzweigungspoly-
gons liegen unter oder maximal auf dieser konvexen H¨
ulle.
b) Besteht Vf(x)nur aus einem Segment der Steigung −m, so ist
m≤p·ν(p)
p−1.
Beweis: Sei f(x) = Ppr
i=0 aixi. Es ist apr= 1. Darum gilt f¨
ur die y-Koordinaten der
Punkte aus Korollar 4.11
min
ps≤j≤pr{νL(j
ps) + νL(aj) + j−pr} ≤ νL(pr
ps) + νL(1) + pr−pr=νL(pr
ps)
f¨
ur 0 ≤s≤r. Mit
νL(pr
ps) = prν(pr
ps) = prν(p)νp(pr
ps)
und νp(pr
ps) = r−s(siehe z.B. [32], Abschnitt 3.7) folgt Behauptung a).
Wenn Vf(x)nur aus einem Segment besteht, liefert uns die Steigung der Strecke zwischen
den beiden niedrigsten Punkten (pr−1−1, prν(p)) und (pr−1,0) eine obere Schranke f¨
ur
die Steigung des Polygons. Sie ist gleich
prν(p)
pr−1(p−1) =p·ν(p)
p−1.
Beispiel 4.1
David Romano betrachtet in seiner Arbeit [36] sogenannte ”starke Eisensteinpolynome“.
Das sind Eisensteinpolynome, bei denen auch der Koeffizient von xein Primelement ist.
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x] stark eisenstein vom Grad n=prund L=K(α) f¨
ur eine
Nullstelle αvon f(x). Weil f(x) eisenstein ist, gilt νL(j
ps) + νL(aj) + j−n≥1 f¨
ur
1≤j≤nund 0 ≤s<r. Wegen νL(a1) = nwird das Minimum 1 f¨
ur j= 1 und s= 0
angenommen: νL(1
1) + νL(a1) + 1 −n= 1. Daraus folgt mit Korollar 4.11, dass Vf(x)aus
genau einem Segment besteht, welches die Punkte (0,1) und (n−1,0) verbindet. •
38 Kapitel 4. Newton-Polygone
Wir legen folgende allgemeine Notation fest:
Das Eisenstein-Polynom f(x) habe Grad n=e0prund `+ 1 Segmente im Verzweigungs-
polygon. Das heißt, es existieren nat¨
urliche Zahlen 0 = s0< s1< . . . < s`=r, so
dass das i-te Segment Sidie Form (psi−1−1, νL(bpsi−1−1)) ↔(psi−1, νL(bpsi−1)) hat
f¨
ur 1 ≤i≤`. Das letzte horizontale Segment ist S`+1 = (pr−1,0) ↔(n−1,0). Mit
−m1<−m2< . . . < −m`+1 = 0 bezeichnen wir die Steigungen der Segmente (vgl.
Abbildung 4.1).
i
νL(bi)
0ps1−1ps2−1ps`−1−1ps`−1n−1
−m1
−m2
−m`
Abbildung 4.1: Allgemeine Form des Verzweigungspolygons
Wir werden nun noch beschreiben, wie man das assoziierte Polynom AS(y)∈L[y]∼
=K[y]
zu einem Segment Svon Vf(x)berechnen kann (vgl. Definition 4.1). ¨
Ahnlich wie bei der
Bestimmung des Polygons selbst, m¨
ussen wir daf¨
ur nicht das Verzweigungspolynom be-
trachten bzw. Berechnungen in der Erweiterung Ldurchf¨
uhren. Wir beschr¨
anken uns auf
die ersten `Segmente, da wir das assoziierte Polynom zum letzten Segment im Weiteren
nicht ben¨
otigen. Sei nun Seines der Segmente S1, . . . , S`.
Nach Definition 4.1 und Lemma 4.10 f¨
uhren nur Punkte Ps= (ps−1, νL(bps−1)) auf Szu
Koeffizienten ungleich 0 von AS(y). Der gesuchte Koeffizient ist dann die Restklasse von
bps−1/ανL(bps−1)in L.
Es ist
bps−1=
n
X
j=psj
psajαj−n,
wobei alle Summanden verschiedene Bewertung haben (Beweis von Lemma 4.10). Sei
Kapitel 4. Newton-Polygone 39
j=mder Index des Summanden mit der minimalen Bewertung. Dann gilt
bps−1∼m
psamαm−n
(vgl. Definition 2.13). Wir untersuchen den Ausdruck auf der rechten Seite weiter. Weil
f(x) eisenstein ist, existiert ein ε0∈ OK×mit π=−ε0a0. Daraus folgt, dass π=ε0(αn+
an−1αn−1+. . .+a1α) und daher π∼ε0αngilt. Weiter seien die Einheiten ε1, ε2, ε3∈ OK×
durch p=ε1πeK,am=ε2πr2und m
ps=ε3pr3f¨
ur r2=ν(am) und r3=νp(m
ps) bestimmt.
Damit erhalten wir
m
psamαm−n∼εr3eK+r2
0εr3
1ε2ε3αr3ekn+nr2+m−n.
Beim Teilen durch ανL(bps−1)muss genau der α-Anteil des Produktes wegfallen. Folglich
ist die Restklasse von bps−1/ανL(bps−1)in Lgleich
ε0r3eK+r2·ε1r3·ε2·ε3.
Algorithmus 4.2 (Verzweigungspolygon und assoziierte Polynome)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x) = Pn
i=0 aixi∈K[x] vom Grad n=e0pr(p-e0).
Output:
Das Polygon Vf(x)und die assoziierten Polynome ¨
uber Fqzu den Segmenten S1, . . . , S`
von Vf(x)mit negativer Steigung.
VerzweigungspolygonPlus(f(x))
(1) bestimme die Punkte
Ps=ps−1,min
ps≤j≤nnν(j
ps) + nν(aj) + j−n f¨
ur 1 ≤s≤r
(2) speichere zu jedem Punkt Psden Index j, f¨
ur den das Minimum angenommen wird
in der Variable ms
(3) bestimme Vf(x)als untere konvexe H¨
ulle von {Ps|0≤s≤r}∪{(pr−1,0),(n−1,0)}
und erhalte so die Segmente S1, . . . , S`+1
(4) setze δ0:= (−π/a0) und δ1:= (p/πeK)∈Fq
(5) f¨
ur 1≤i≤`
(6) f¨
ur jeden Punkt Psauf Si
(7) setze r2:= ν(ams) und r3:= νp(ms
ps)
40 Kapitel 4. Newton-Polygone
(8) setze δ2:= (ams/πr2) und δ3:= (ms
ps/pr3)∈Fq
(9) berechne den Koeffizienten δr3eK+r2
0·δr3
1·δ2·δ3von ASi(y)
(10) konstruiere aus den berechneten Koeffizienten das Polynom ASi(y)∈Fq[y] nach
Definition 4.1
(11) gib Vf(x)und AS1(y), . . . , AS`(y)zur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Die ”Unterstrich-Abbildung“ in den Schritten (4) und (8) entspricht der Restklassenab-
bildung von OKnach K. Die Elemente δ0, . . . , δ3∈Fqsind die Restklassen der Einheiten
ε0, . . . , ε3aus den vorbereitenden Erl¨
auterungen. Wegen K∼
=Lk¨
onnen die assoziierten
Polynome ¨
uber K∼
=Fqinterpretiert werden.
Satz 4.13 (Aufwand von Algorithmus 4.2)
Zur korrekten Berechnung von Vf(x)und den Polynomen AS1(y), . . . , AS`(y)zu einem
Eisensteinpolynom f(x)∈K[x]ben¨
otigt man zu jedem Koeffizienten von f(x)nur den
ersten Summanden seiner p-adischen Normalreihe sowie eine Darstellung p=επeKmit
ε∈ OK×der Primzahl p.
Aus diesen Eingabedaten lassen sich das Polygon und die assoziierten Polynome mit einem
Aufwand von O(nlog n)Rechenoperationen in Zund O(log n)Rechenoperationen in Fq
bestimmen, wobei nder Grad von f(x)ist.
Beweis: Am ersten Summanden der Reihe eines Koeffizienten ail¨
asst sich seine Bewertung
sowie die Restklasse von ai/πν(ai)ablesen (Schritte (1), (4), (7) und (8)). Zur Bestimmung
von δ1(Schritt (4)) ben¨
otigt man die Darstellung von p. Daraus folgt die erste Aussage.
Die Berechnung der Punkte Psin (1) braucht O(nlog n) Rechenoperationen in Z. Zusam-
men mit den Operationen in Zf¨
ur r3und δ3ist das immer noch O(nlog n). Wir gehen
davon aus, dass das Polygon bekannt ist, wenn wir die entsprechende Punktemenge ken-
ne, veranschlagen also keinen Aufwand f¨
ur das Bestimmen der konvexen H¨
ulle. Die Werte
f¨
ur δ0, δ1und δ2in jedem Durchlauf der Schleifen (5) und (6) lesen wir direkt aus den
Eingabedaten ab. Schließlich wird die Rechnung in Schritt (9) maximal νp(n) = rmal
durchgef¨
uhrt, weil es maximal rPunkte der Form Psauf Vf(x)geben kann.
4.4 Teilk¨
orper zum Verzweigungspolygon
Im vorherigen Abschnitt wurde erl¨
autert, dass das Verzweigungspolygon einer total ver-
zweigten K¨
orpererweiterung eng mit der Reihe der Verzweigungsgruppen (bzw. -mengen
Kapitel 4. Newton-Polygone 41
im nicht-galoisschen Fall) zusammenh¨
angt. Dieser Zusammenhang l¨
asst sich zur Beschrei-
bung und Berechnung der Fixk¨
orper unter den Verzweigungsgruppen bzw. -mengen aus-
nutzen. Wichtigstes Hilfsmittel sind dabei sogenannte Bl¨
ocke der Galoisgruppe.
Die Galoisgruppe Geines irreduziblen Polynoms f(x)∈K[x] vom Grad noperiert tran-
sitiv auf der Menge der Nullstellen Ω = {α1, . . . , αn}von f(x).
Definition 4.14
Eine nicht-leere Teilmenge ∆ von Ω heißt Block, wenn σ(∆) ∩∆∈ {∅,∆}f¨
ur alle σ∈G
gilt. Mit G∆:= {σ∈G|σ(∆) = ∆}bezeichnen wir den Stabilisator von ∆. Die Menge
{σ(∆) |σ∈G}=: {∆ = ∆(1),...,∆(k)}ist das Blocksystem zu ∆. Es bildet eine Partition
von Ω, daher gilt n=k·|∆|.
Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen Bl¨
ocken und Teilk¨
orpern. F¨
ur eine Un-
tergruppe Hder Galoisgruppe bezeichnen wir mit Fix(H) den Fixk¨
orper unter Hnach
dem Hauptsatz der Galoistheorie (Satz 2.18).
Satz 4.15
Sei f(x)∈K[x]irreduzibel vom Grad n,f(α) = 0,L=K(α)und G= Gal(f(x)).
a) Die Korrespondenz ∆7→ Fix(G∆)ist eine Bijektion zwischen der Menge der Bl¨
ocke
von G, die αenthalten, und der Menge der Teilk¨
orper von L/K.
b) Seien ∆1,∆2zwei Bl¨
ocke, die αenthalten, und seien L1, L2die zugeordneten Teilk¨
or-
per. Dann gilt L1⊆L2genau dann, wenn ∆2⊆∆1gilt.
Beweis: Siehe z.B. [20].
Fix(G∆) ist Teilk¨
orper von L/K, da Gα≤G∆≤Gaufgrund der Blockeigenschaft von ∆
gilt. Dabei bezeichnen wir mit Gαden Stabilisator von α. Bei einem Block der L¨
ange d
hat der zugeh¨
orige Teilk¨
orper den Grad n/d ¨
uber K.
Zu einem Teik¨
orper Esei H≤Gdie Gruppe mit E= Fix(H). Dann ist der zugeh¨
orige
Block ∆ die Bahn von αunter H, also ∆ = {τ(α)|τ∈H}.
Wir wollen in dieser Arbeit Teilk¨
orper bei der Berechnung von Gzur Hilfe nehmen und
k¨
onnen daher nicht anhand von Definition 4.14 Bl¨
ocke bestimmen. Es stellt sich aber
heraus, dass das Verzweigungspolygon bestimmte Bl¨
ocke und damit Teilk¨
orper liefert.
Seien α=α1, . . . , αndie Nullstellen von f(x) im algebraischen Abschluss von Ksowie
L=K(α). Wir w¨
ahlen die Nummerierung der αipassend zum Verzweigungspolygon, das
42 Kapitel 4. Newton-Polygone
heißt, es gilt νL(α2−α
α) = . . . =νL(αps1−α
α) = m1,νL(αps1+1−α
α) = . . . =νL(αps2−α
α) = m2
und so weiter (vgl. Abbildung 4.1).
Lemma 4.16
Die Galoisgruppe von f(x)hat die Bl¨
ocke ∆i={α1, . . . , αpsi}f¨
ur 1≤i≤`. Wir k¨
onnen
die Nullstellen α1, . . . , αnso anordnen, dass die konjugierten Bl¨
ocke von ∆ivon der Form
∆(r)
i=α(r−1)psi+1, . . . , αrpsif¨
ur 1≤r≤kund k=n/psisind.
Beweis: Sei σ∈Gal(f(x)). Wir zeigen, dass σ(∆i)∩∆ileer oder gleich ∆iist.
Fall 1: Es gelte σ(α1)∈∆i, also νL(σ(α1)−α1)≥mi+1 nach dem Verzweigungspolygon.
Dann gilt f¨
ur beliebiges αj∈∆i, dass
νL(σ(αj)−α1) = νL(σ(αj)−σ(α1) + σ(α1)−α1) = νL(σ(αj−α1)+(σ(α1)−α1))
≥min{νL(σ(αj−α1)), νL(σ(α1)−α1)} ≥ mi+ 1
ist. Denn νL(σ(αj−α1)) ist ebenfalls gr¨
oßer oder gleich mi+1, weil die Automorphismen
der Galoisgruppe die Bewertung erhalten. Da nach dem Verzweigungspolygon nur die
Differenzen αk−α1f¨
ur k≤psieine Bewertung gr¨
oßer oder gleich mi+ 1 haben, folgt
daraus σ(αj)∈∆i.
Fall 2: Nun gelte σ(α1)/∈∆i, also νL(σ(α1)−α1)< mi+ 1 nach dem Polygon. Jetzt
haben wir f¨
ur beliebiges αj∈∆i, dass
νL(σ(αj)−α1) = νL(σ(αj−α1)+(σ(α1)−α1)) = min{νL(σ(αj−α1)), νL(σ(α1)−α1)}
=νL(σ(α1)−α1)< mi+ 1
gilt und daher ist σ(αj)/∈∆i.
Die Nummerierung der Nullstellen passend zu Vf(x)und die Umnummerierung passend
zu den Blocksystemen {∆(1)
i,...,∆(k)
i}sind konsistent wegen ∆1⊂∆2⊂. . . ⊂∆`.
Der n¨
achste Satz gibt die Teilk¨
orper zu den soeben bestimmten Bl¨
ocken an.
Satz 4.17
Sei f(x)∈K[x]ein Eisensteinpolynom mit einem Verzweigungspolygon wie in Abbildung
4.1 und L/K die von f(x)erzeugte K¨
orpererweiterung. Dann existieren f¨
ur 0≤i≤`
Teilk¨
orper Li=K(βi)mit βi=α1·. . . ·αpsi. Es gilt L=L0⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃Kmit
[Li:Li+1] = psi+1−sif¨
ur i≤`−1und [L`:K] = e0.
Beweis: Wir zeigen, dass Li= Fix(G∆i) f¨
ur ∆i={α1, . . . , αpsi}ist (vgl. Lemma 4.16).
Das Element βibleibt invariant unter der Operation von G∆i, es gilt also Li⊆Fix(G∆i).
Wegen νL(βi) = psiund weil L/K total verzweigt ist, haben wir aber auch [L:Li] = psi=
[L: Fix(G∆i)] und damit die behauptete Gleichheit. Die Inklusions- und die Gradaussage
folgen nun direkt aus Satz 4.15.
Kapitel 4. Newton-Polygone 43
Im Fall L/K galoissch entsprechen die Block-Stabilisatoren G∆ih¨
oheren Verzweigungs-
gruppen von L/K. Daher sind ihre Fixk¨
orper Ligenau die Verzweigungsk¨
orper von L/K.
Genauer gesagt ist G∆1gleich der kleinsten nicht-trivialen Verzweigungsgruppe und damit
L1der gr¨
oßte echt in Lenthaltene Verzweigungsk¨
orper. G∆2ist gleich der n¨
achstgr¨
oßeren
Verzweigungsgruppe und L2der zweitgr¨
oßte Verzweigungsk¨
orper und so weiter.
¨
Ahnlich lassen sich die Teilk¨
orper Liim Kontext der nicht-galoisschen Verzweigungstheo-
rie als Fixk¨
orper unter den Verzweigungsmengen interpretieren. Daf¨
ur sei noch einmal auf
die Zusammenfassung [13] verwiesen.
4.5 Berechnung der Teilk¨
orper
Satz 4.17 liefert nur eine theoretische Beschreibung der Teilk¨
orper Li, da uns die Null-
stellen α=α1, . . . , αnvon f(x) im Allgemeinen nicht bekannt sind. F¨
ur eine explizite
Berechnung ben¨
otigt man die Elemente βiin der K¨
orpererweiterung L=K·1 + K·α+
. . . +K·αn−1, also eine Darstellung der βiin der K-Basis 1, α, . . . , αn−1von L. Dann ist
man in der Lage ein Minimalpolynom von βi¨
uber Kzu berechnen und hat den Teilk¨
orper
Liinklusive Einbettung in L/K.
Wir benutzen die Faktorisierung des Verzweigungspolynoms g(x) zum Verzweigungspoly-
gon, die wie in Abschnitt 4.1 berechnet werden kann:
g(x) = g1(x)·. . . ·g`+1(x)∈L[x] mit gj(x) = Y
νL(αi−α
α)=mj
(x−αi−α
α)∈L[x].
Jetzt machen wir die Transformation von f(x) zu g(x) bei den einzelnen Faktoren r¨
uck-
g¨
angig und definieren
fj(x) := gj(x−α
α)αGrad(gj)f¨
ur 2 ≤j≤`+ 1 und
f1(x) := (x−α)g1(x−α
α)αGrad(g1).
Damit gilt f(x) = f1(x)·. . . ·f`+1(x)∈L[x], wir haben also eine Faktorisierung von
f(x)¨
uber L”zum Verzweigungspolygon“. Genauer gesagt gilt ¨
uber dem algebraischen
Abschluss von L
fj(x) = gj(x−α
α)αGrad(gj)=Y
νL(αi−α
α)=mj
(x−α
α−αi−α
α)αGrad(gj)=Y
νL(αi−α
α)=mj
(x−αi)
44 Kapitel 4. Newton-Polygone
f¨
ur 2 ≤j≤`+ 1 bzw.
f1(x) = (x−α)Y
νL(αi−α
α)=m1
(x−αi).
Algorithmus 4.3 (Faktorisierung zum Verzweigungspolygon)
Input: Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output: Die Faktorisierung von f(x) zu Vf(x)wie oben beschrieben.
VPFaktoren(f(x))
erzeuge L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x)
berechne das Verzweigungspolynom g(x)∈L[x] von f(x)
g1(x), . . . , g`+1(x) :=NewtonPolygonFaktoren(g(x))
setze f1(x) := (x−α)g1(x−α
α)αGrad(g1)
f¨
ur 2≤j≤`+ 1
setze fj(x) := gj(x−α
α)αGrad(gj)
gib f1(x), . . . , f`+1(x)∈L[x]zur¨
uck
Die gesuchte Darstellung f¨
ur βi=α1·. . . ·αpsiin Ll¨
asst sich jetzt aus den Faktoren fj(x)
bestimmen. Das Element βiist gleich dem absoluten Koeffizienten von f1(x)·. . . ·fi(x),
denn es gilt
f1(x)·. . . ·fi(x) = Y
1≤j≤psi
(x−αj)∈L[x].
Wir geben zwei Algorithmen zur Berechnung der Teilk¨
orper zum Verzweigungspolygon
aus Satz 4.17 an, die sich in der Art ihrer Ausgabe unterscheiden. Algorithmus 4.4 be-
stimmt f¨
ur jeden K¨
orper ein erzeugendes Polynom und die Darstellung einer Nullstelle
des Polynoms in L/K. Algorithmus 4.5 konstruiert rekursiv den K¨
orperturm L⊃L1⊃
. . . ⊃L`⊃K. Beide Verfahren nutzen die Faktorisierung zum Verzweigungspolygon
(Algorithmus 4.3).
Algorithmus 4.4 (Teilk¨
orper zum Verzweigungspolygon)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output:
Die Teilk¨
orper zu Vf(x). F¨
ur jeden Teilk¨
orper wird ein erzeugendes Polynom sowie seine
Einbettung in L/K angegeben. Dabei ist L/K die von f(x) erzeugte Erweiterung.
Kapitel 4. Newton-Polygone 45
VPTeilk¨
orper(f(x))
erzeuge L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x)
f1(x), . . . , f`+1(x) :=VPFaktoren(f(x))
f¨
ur 1≤j≤`+ 1
setze dj:= absoluter Koeffizient von fj(x)
initialisiere T:= ∅
f¨
ur 1≤i≤`
berechne das Minimalpolynom mi(x)∈K[x] von d1·. . . ·diin L/K
f¨
uge [ mi(x), d1·. . . ·di] zu Thinzu
gib Tzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Die Berechnung des Minimalpolynoms eines Elementes in einer Erweiterung p-adischer
K¨
orper ist im Computer-Algebra-System MAGMA [5] implementiert.
Die Elemente d1·. . . ·dientsprechen den βiin Satz 4.17 und sind nach Konstruktion
Primelemente von Lif¨
ur 1 ≤i≤`. Daher sind die Polynome mi(x) Eisensteinpolynome
¨
uber K.
Algorithmus 4.5 (Teilk¨
orperturm zum Verzweigungspolygon)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output:
Die von f(x) erzeugte Erweiterung L/K als K¨
orperturm L⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃K. Die
Zwischenk¨
orper Lisind die Teilk¨
orper zu Vf(x)(vgl. Satz 4.17).
VPTeilk¨
orperturm(f(x))
erzeuge L=K(α) f¨
ur den Koeffizientenk¨
orper Kund eine Nullstelle αvon f(x)
f1(x), . . . , fi+1(x) :=VPFaktoren(f(x))
falls igleich 0 ist
gib Lzur¨
uck
setze h(x) := f1(x)·. . . ·fi(x)∈L[x] und d:= absoluter Koeffizient von h(x)
berechne das Minimalpolynom m(x) von d¨
uber K
46 Kapitel 4. Newton-Polygone
erzeuge Li:= K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon m(x)
interpretiere h(x) als Polynom ¨
uber Li
gib VPTeilk¨
orperturm(h(x)) zur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Entscheidend f¨
ur die Rekursion ist der letzte Schritt, in dem das Polynom h(x)∈L[x]¨
uber
Liinterpretiert wird. Dass h(x) tats¨
achlich in Li[x] liegt, folgt aus der Block-Teilk¨
orper-
Korrespondenz. Denn es gilt h(x) = Qαj∈∆i(x−αj)∈L[x] und Liist genau der Fixk¨
orper
des Block-Stabilisators G∆i(vgl. Satz 4.17).
VPTeilk¨
orperturm wird genau `mal rekursiv aufgerufen. Dabei wird der K¨
orperturm von
unten nach oben konstruiert. Im ersten Durchlauf wird von VPFaktoren die komplette
Faktorisierung f(x) = f1(x)·. . . ·f`+1(x)∈L[x] von f(x) zu Vf(x)berechnet. Danach
enth¨
alt f(x) mit jedem neuen Durchlauf einen Faktor weniger, das Verzweigungspoly-
gon verliert also jeweils ein Segment. Zu Beginn des j-ten rekursiven Aufrufes ist der
K¨
orperturm L⊃L`−j+1 ⊃L`−j+2 ⊃. . . ⊃L`⊃Kkonstruiert. Im `-ten Durchlauf be-
steht Vf(x)nur noch aus einem Segement, VPFaktoren berechnet nur einen Faktor und
die Rekursion bricht ab.
Kapitel 5
Zerf¨
allungsk¨
orper
In diesem Kapitel werden die Zerf¨
allungsk¨
orper von Eisensteinpolynomen untersucht. Da-
bei nutzen wir die im vorherigen Abschnitt entwickelte Theorie der Verzweigungspolygo-
ne. Die Steigungen der einzelnen Segmente liefern uns Informationen zur Verzweigung
des Zerf¨
allungsk¨
orpers und die assoziierten Polynome liefern Informationen zu dessen
Tr¨
agheit.
Besteht das Verzweigungspolygon nur aus einem Segment, dann reichen diese Informatio-
nen aus, um den Zerf¨
allungsk¨
orper komplett theoretisch zu beschreiben (Abschnitt 5.1).
Bei mehreren Segmenten kann man anhand des Polygons einen wichtigen Teilk¨
orper des
Zerf¨
allungsk¨
orpers angeben (Abschnitt 5.2). Dar¨
uber hinaus ist etwas Rechenaufwand
n¨
otig (Abschnitt 5.3).
5.1 Ein Segment im Verzweigungspolygon
Sei Kein p-adischer K¨
orper und f(x)∈ OK[x] ein Eisensteinpolynom vom Grad n, bei
dem Vf(x)aus genau einem Segment besteht. Aus Lemma 4.10 folgt, dass entweder p-n
oder n=pmf¨
ur ein m∈Ngelten muss. Bei einem gemischten Grad e0pmgibt es immer
den ”Knick“ bei pm−1 (vgl. Abbildung 4.1). Der zahme Fall p-nwurde schon in Kapitel
3 behandelt, daher untersuchen wir in diesem Abschnitt Polynome vom Grad n=pm.
Der n¨
achste Satz beschreibt zun¨
achst etwas allgemeiner den Zerf¨
allungsk¨
orper von Poly-
nomen mit einsegmentigem Newton-Polygon, die einige Zusatzbedingungen erf¨
ullen. Es
soll danach auf das Verzweigungspolynom von f(x) angewandt werden.
47
48 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Satz 5.1
Sei g(x)∈ OK[x]nicht notwendig irreduzibel mit einsegmentigem Newton-Polygon der
Steigung −h/e 6= 0 mit ggT(h, e) = 1 = ae +bh f¨
ur a, b ∈Zund p-e. Weiter sei das
assoziierte Polynom A(y)∈K[y]quadratfrei und fder Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers von
A(γxe)∈K(γ)[x]¨
uber Kf¨
ur eine Nullstelle γvon A(y). Dann ist
Ue
p−(εb)π
der Zerf¨
allungsk¨
orper von g(x), wobei U/K die unverzweigte Erweiterung vom Grad f
und ε∈ O×
Ubeliebig mit A(−ε) = 0 ist.
Beweis: Sei αeine Nullstelle von g(x), so dass γ=αe/πhist (vgl. Lemma 4.3 b)), und
sei L=K(α). Wir nutzen den Zusammenhang
A(γxe) = g(αx)
πnh/e mod πLOL[x]∈L[x] (5.1)
aus Lemma 4.3 a), der genauso in jeder Erweiterung von Lgilt. Der Zerf¨
allungsk¨
orper von
g(x)¨
uber Kist gleich dem Zerf¨
allungsk¨
orper von g(αx)/πnh/e ¨
uber L. Wir bestimmen
letzteren und setzen daf¨
ur N:= UL. Nach Voraussetzung an Uzerf¨
allt das Polynom
A(γxe)¨
uber Nin Linearfaktoren. Wenn wir mit γ=δ1, . . . , δn/e die Nullstellen von A(y)
in Nbezeichnen, gilt
A(γxe) =
n/e
Y
i=1
(γxe−δi)∈N[x].(5.2)
Weil A(y) als quadratfrei vorausgesetzt war, und weil die einzelnen Polynome γxe−δi
wegen p-eebenfalls quadratfrei sind, besteht unsere Faktorisierung von A(γxe)¨
uber N
somit aus paarweise verschiedenen Linearfaktoren. Mit Hensel’s Lemma (Lemma 2.5) und
(5.1) k¨
onnen wir jetzt folgern, dass auch g(αx)/πnh/e ¨
uber Nin Linearfaktoren zerf¨
allt.
Der K¨
orper Nist minimal mit dieser Eigenschaft, weil U/K minimal ist, so dass A(γxe)∈
U[x] zerf¨
allt.
Wir m¨
ussen nun die Erweiterung N=U(α) weiter untersuchen und zeigen, dass sie von
der behaupteten Form ist. Hensel’s Lemma liefert uns wegen Gleichung (5.2) auch eine
Zerlegung
g(αx)
πnh/e =
n/e
Y
i=1
˜gi(x)∈N[x]
mit ˜gi(x) = γxe−δi∈N[x]. Durch Resubstituieren und Multiplizieren mit πnh/e erhalten
wir daraus die Faktorisierung
g(x) =
n/e
Y
i=1
πh˜gi(x/α) =:
n/e
Y
i=1
gi(x)∈U[x],
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 49
wobei gi(x)≡xe+εiπhmod (πh+1) f¨
ur ein εi∈ OK×mit εi=−δiist. Jeder Faktor gi(x)
ist irreduzibel, weil sein Newton-Polygon ein Segment mit Steigung −h/e ist, also keine
(inneren) Punkte durchl¨
auft (siehe Satz 2.17). Damit ist die Erweiterung N/U total zahm
verzweigt vom Grad e. Sie wird von jedem der Polynome gi(x) erzeugt. Aus Lemma 3.3
folgt schließlich, dass das Polynom xe+ (ε1πh)bπae =xe+εb
1π∈U[x] f¨
ur ganze Zahlen
a, b mit ae +bh = 1 die gleiche Erweiterung erzeugt wie g1(x).
F¨
ur den Beweis des folgenden Satzes zum Zerf¨
allungsk¨
orper eines (wilden) Eisensteinpo-
lynoms mit einsegmentigem Verzweigungspolygon brauchen wir das
Lemma 5.2
Sei ueine p-Potenz und F(x) = Pr
i=0 aixpi∈Fu[x]ein additives Polynom (vgl. z.B. [7],
Kapitel 5, Abschnitt 2). Weiter sei e∈Nein Teiler von u−1und von pi−1f¨
ur alle imit
ai6= 0. Das Polynom G(x) = Pr
i=0 aix(pi−1)/e habe die Nullstelle 1. Dann zerf¨
allt F(x)
genau dann in Linearfaktoren ¨
uber Fu, wenn G(x)in Linearfaktoren ¨
uber Fuzerf¨
allt.
Beweis: – Der Beweis stammt von Prof. Peter M¨
uller. – Die eine Richtung der ¨
Aquivalenz
ist klar. Wenn F(x) zerf¨
allt, dann zerf¨
allt auch G(x), weil die Nullstellen von G(x)e-te
Potenzen der Nullstellen von F(x) sind.
F¨
ur die andere Richtung sei Eder Zerf¨
allungsk¨
orper von xe−1¨
uber Fpund Mdie Menge
der Nullstellen von F(x) im algebraischen Abschluss von Fp. Wegen der Additivit¨
at von
F(x) ist Madditiv abgeschlossen. Außerdem liegt λv f¨
ur λ∈E, v ∈ M wieder in M, weil
nach Voraussetzung an eder K¨
orper ETeilk¨
orper von Fpif¨
ur alle imit ai6= 0 ist, also
λpi=λf¨
ur die entsprechenden iund alle λ∈Egilt. Folglich ist Mein E-Vektorraum.
F¨
ur 0 6=v∈ M ist veeine Nullstelle von G(x), es ist also ve∈Fu. Daraus folgt ve(u−1) = 1
und damit vu−1∈E×, weil Ealle e-ten Einheitswurzeln enth¨
alt. F¨
ur alle 0 6=v∈ M
gibt es demnach ein λv∈E×mit vu=vλv. Wegen e|u−1 gilt E⊆Fu. Darum sei nun
v∈ M aber v /∈E. Wegen G(1) = 0 gilt auch 1 ∈ M. Aus
(v+ 1)λv+1 = (v+ 1)u=vu+ 1u=vλv+ 1
und der linearen Unabh¨
angigkeit von 1 und v¨
uber Efolgt 1 = λv+1 =λv, also vu=v
und damit v∈Fu. Daher gilt M ⊆ Fuund F(x) zerf¨
allt in Linearfaktoren ¨
uber Fu.
Satz 5.3
Sei f(x)∈ OK[x]eisenstein vom Grad pmmit einsegmentigem Verzweigungspolygon Vf(x)
der Steigung −h/e mit ggT(h, e) = 1 = ae +bh f¨
ur a, b ∈Z. Weiter sei αeine Nullstelle
von f(x),L=K(α)und A(y)∈L[x]das assoziierte Polynom von Vf(x)mit assoziierter
Tr¨
agheit f1. Dann ist
N=Ue
p−(εb)α
der Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x), wobei U/L die unverzweigte Erweiterung vom Grad f=
kgV (f1,[L(ζe) : L]) und ε∈ O×
Ubeliebig mit A(−ε) = 0 ist.
50 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Beweis: Nach Konstruktion des Verzweigungspolynoms g(x) ist der Zerf¨
allungsk¨
orper von
g(x)¨
uber L=K(α) der Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x)¨
uber K. Wir wollen Satz 5.1 auf
g(x)∈L[x] anwenden. Der Nenner eder Steigung von Vf(x)ist ein Teiler von Grad(g(x)) =
pm−1 und somit teilerfremd zu p. Als letzte Voraussetzungen f¨
ur Satz 5.1 brauchen wir
die Quadratfreiheit des assoziierten Polynoms A(y)∈L[y]∼
=Fq[y].
Sei n=pm,g(x) = Pn−1
i=0 bixiund
A(y) =
(n−1)/e
X
j=0
Ajyj=
(n−1)/e
X
j=0
(bjeα−(n−1)h/e+jh)yj
(siehe Definition 4.1). Wir betrachten das Polynom B(x) = Pn
i=0 Bixi:= xA(γxe)∈
Fq(γ)[x] f¨
ur eine Nullstelle γvon A(y). Nach Konstruktion von A(y) gilt Aj6= 0 nur
dann, wenn der entsprechende Koeffizient bje von g(x) zu einem Punkt auf dem Polygon
f¨
uhrt (vgl. Abschnitt 4.2). Daraus folgt mit Lemma 4.10, dass Bi6= 0 nur f¨
ur i=psmit
s∈ {0, . . . , m}gilt, B(x) ist also ein additives Polynom. Es gilt B0(x) = B1=A0und
ggT(B(x), B0(x)) = 1, denn es ist A06= 0 nach Definition 4.1. Folglich ist B(x) und damit
auch A(y) quadratfrei.
Es bleibt zu zeigen, dass f= kgV (f1,[L(ζe) : L]) gleich dem Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers
von A(γxe)∈Fq(γ)[x]¨
uber Fqist (vgl. Satz 5.1). Weil die assoziierte Tr¨
agheit f1gerade
der Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers von A(y)¨
uber Fqist (Definition 4.5) und wegen e|qf−1,
folgt diese Aussage aus Lemma 5.2 f¨
ur u:= qf,F(x) := B(x) und G(x) := A(γx).
Korollar 5.4
F¨
ur den Zerf¨
allungsk¨
orper Neines Eisensteinpolynoms f(x)∈ OK[x]vom Grad pmmit
einsegmentigem Verzweigungspolygon der Steigung −h/e gilt
[N:K]≤pm(pm−1) e≤pm(pm−1)2.
Beweis: Sei L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x). Wir zeigen f≤pm−1, wobei
f= [U:L] f¨
ur den K¨
orper Uaus Satz 5.3 ist. Daraus folgt die erste Ungleichung. Die
zweite ist klar wegen e|pm−1.
Wie im Beweis von Satz 5.3 sei γeine Nullstelle des assoziierten Polynoms A(y)∈Fq[y]
und B(x) = xA(γxe)∈Fq(γ)[x]. Der K¨
orper Fqfist der Zerf¨
allungsk¨
orper des additiven
Polynoms B(x). F¨
ur die Absch¨
atzung von fbetrachten wir ein weiteres additives Poly-
nom D(x) := xA(xe)∈Fq[x] und bezeichnen die Nullstellen von A(y) im algebraischen
Abschluss von Fqmit γ=δ1, . . . , δdf¨
ur d= (pm−1)/e (vgl. Beweis von Satz 5.1). Dann
sind B(x) und D(x)¨
uber dem Zerf¨
allungsk¨
orper von A(y) von der Form
B(x) = x
d
Y
i=1
(δ1xe−δi) und D(x) = x
d
Y
i=1
(xe−δi).
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 51
Es folgt, dass der Zerf¨
allungsk¨
orper von B(x) ein Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers von
D(x) ist, wir also dessen Grad ¨
uber Fqabsch¨
atzen k¨
onnen. Weil D(x) additiv ist (die
Begr¨
undung funktioniert wie bei B(x)), bilden die Nullstellen einen Fp-Vektorraum der
Dimension mund man erh¨
alt ¨
uber die Operation der Galoisgruppe auf den Nullstellen
eine Einbettung von G= Gal(Fqf/Fq) in die Gruppe GL(m, p). Die Gruppe Gmuss als
Galoisgruppe endlicher K¨
orper zyklisch sein und die maximale Ordnung eines Elementes in
GL(m, p) ist pm−1 (siehe z.B. [26], Proposition 2.8.9). Folglich gilt f= [Fqf:Fq]≤pm−1
wie behauptet.
Beispiel 5.1
Wir wollen Satz 5.3 auf ein starkes Eisensteinpolynom f(x)∈ OK[x] vom Grad pman-
wenden. Wir benutzen die Bezeichnungen des Satzes. Nach Beispiel 4.1 besteht Vf(x)aus
genau einem Segment der Steigung −1
pm−1. Außer den beiden Endpunkten liegen keine
ganzzahligen Punkte auf dem Segment, daher ist das assoziierte Polynom von der Form
A(y) = y+d∈L[y] (Definition 4.1) und die assoziierte Tr¨
agheit ist 1. Nach Satz 5.3 ist
der Zerf¨
allungsk¨
orper Ngleich U(pm−1
√−εα), wobei U/L die unverzweigte Erweiterung
vom Grad [L(ζpm−1) : L] und ε∈ O×
Umit ε=dist. In diesem Fall kann man zumindest
die Struktur des K¨
orpers Nauch leichter erkennen. Weil keine (inneren) Punkte auf Vf(x)
liegen, ist das Verzweigungspolynom g(x)∈L[x] irreduzibel (Satz 2.17) und erzeugt eine
total zahm verzweigte Erweiterung vom Grad pm−1. Den Zerf¨
allungsk¨
orper von g(x)¨
uber
Lund damit den Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x)¨
uber Kerh¨
alt man jetzt durch Hinzuf¨
ugen
der (pm−1)-ten Einheitswurzeln (vgl. Abschnitt 3.2). •
In der Regel baut man Erweiterungen lokaler K¨
orper genau andersherum auf. Man m¨
ochte
den Standard-K¨
orperturm kennen, der aus einer total wild verzweigten Erweiterung ¨
uber
der maximalen zahm verzweigten Teilerweiterung besteht (vgl. Abbildung 2.1). Dieser
K¨
orperturm wird im n¨
achsten Korollar bestimmt und ist in Abbildung 5.1 schematisch
dargestellt.
Korollar 5.5
Das Eisensteinpolynom f(x) = Ppm
i=0 aixi∈ OK[x]erf¨
ulle die Voraussetzungen von Satz
5.3. Das Polynom A(y)und die Zahlen bund fseien ebenfalls wie in Satz 5.3 definiert.
Dann ist
T=V(e
p(−1)p−1εba0)
der maximale zahm verzweigte Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers N, wobei V/K die un-
verzweigte Erweiterung von Grad fund ε∈ O×
Vbeliebig mit A(−ε)=0ist. Außerdem
gilt
N=T(α)
f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x).
Beweis: Wir haben aus Satz 5.3 die Darstellung N=U(e
p−(εb)α) f¨
ur ein ε∈ O×
U. F¨
ur
52 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
L=K(α) gilt U=LV . Weil U/V total verzweigt ist, k¨
onnen wir sogar ein ε∈ O×
V
benutzen, welches die Bedingung A(−ε) = 0 erf¨
ullt. Das Minimalpolynom von e
√−εbα
¨
uber Vist dann gleich h(x) = NU/V (xe+εbα) = . . . +εbpm(−1)pma0. (Im Allgemeinen
ist h(x) nur das charakteristische Polynom. Hier ist allerdings e
√−εbαaus Verzweigungs-
gr¨
unden ein primitives Element f¨
ur N/V .) Es hat Grad epmund ist als Minimalpolynom
eines Primelementes einer total verzweigten Erweiterung eisenstein. Nach Lemma 3.3 wird
daher die zahme Teilerweiterung T/V von N/V von xe+ (−1)pmεbpma0erzeugt. Wegen
pm≡1 mod e= ggT(e, qf−1) gilt schließlich T=V(e
p(−1)pm+1εba0) (siehe Satz 3.2
b)) und damit die erste Behauptung.
N=T(α) ist klar, da f(x)¨
uber Tein einsegmentiges Newton-Polygon der Steigung
−e/pmmit e-phat, also nach Satz 2.17 irreduzibel ¨
uber Tist.
N=U(e
√−εbα)
U
K
L=K(α)
pm
f
e
N=T(α)
T=V(e
p(−1)p−1εba0)
K
V
f
e
pm
Abbildung 5.1: Zwei K¨
orpert¨
urme f¨
ur den Zerf¨
allungsk¨
orper N.
Die konkrete Berechnung der beschriebenen Zerf¨
allungsk¨
orper auf einem Computer ist
anhand von Satz 5.3 bzw. Korollar 5.5 mit wenig Rechenaufwand m¨
oglich. Es muss ledig-
lich das Polynom A(y)¨
uber einem endlichen K¨
orper faktorisiert werden (vgl. Abschnitt
2.5). Danach kann man den Zerf¨
allungsk¨
orper mit Hilfe der Informationen aus dem Poly-
gon direkt konstruieren. Insbesondere sind keine Faktorisierungen ¨
uber einem p-adischen
K¨
orper n¨
otig!
Wichtig f¨
ur die folgenden Abschnitte ist noch, dass die Erweiterung N/T aus Korollar 5.5
elementar-abelsch ist.
Lemma 5.6
Sei f(x)∈ OK[x]eisenstein vom Grad pmmit einsegmentigem Verzweigungspolygon der
Steigung −h/e. Seien Nder Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x)und Tsein maximal zahm ver-
zweigter Teilk¨
orper wie in Korollar 5.5. Dann hat die Reihe der Verzweigungsgruppen
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 53
(vgl. Definition 2.11) von G= Gal(f(x)) die Form
G≥G0≥G1=G2=. . . =Gh> Gh+1 ={id}
und G1= Gal(N/T)ist elementar-abelsch.
Beweis: Sei πNein Primelement von N. Wenn wir νN(πg
N−πN) = h+ 1 f¨
ur alle g∈G1
zeigen k¨
onnen, folgt G1=G2=. . . =Gh> Gh+1 ={id}. Daf¨
ur sei αNullstelle von f(x)
und L=K(α). Nach Satz 5.3 und Korollar 5.5 ist klar, dass N=LT gilt. Darum besteht
das Polygon νN/T nach Lemma 4.9 aus einem Segment der Steigung −e·h
e=−h, wir
haben also νN(πg
N−πN
πN) = hf¨
ur alle g∈G1. Daraus folgt direkt
νN(πg
N−πN) = νN(πg
N−πN
πN
) + νN(πN) = h+ 1
f¨
ur alle g∈G1. Die Gruppe G1ist elementar-abelsch, weil G1=Gh=Gh/Gh+1 ist und
weil die Quotienten Gi/Gi+1 f¨
ur i≥1 in die additive Gruppe des Restklassenk¨
orpers von
Neinbetten (vgl. Satz 2.12 c)).
Das Verzweigungspolygon VL/K liefert uns also im einsegmentigen Fall eine genaue Be-
schreibung der Reihe der Verzweigungsgruppen, auch wenn die Erweiterung L/K nicht
galoissch ist. Das werden wir in Kapitel 6 bei der Galoisgruppenberechnung ausnutzen.
5.2 Reduktion zur p-Erweiterung
Nun wollen wir die Ergebnisse f¨
ur ein Segment auch im allgemeinen Fall einer total ver-
zweigten Erweiterung L/K mit mehrsegmentigem Verzweigungspolygon nutzen. Nach Ab-
schnitt 4.4 kennen wir einen K¨
orperturm L=L0⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃L`+1 =K, der eng
mit dem Verzweigungspolygon verbunden ist.
Es stellt sich heraus, dass die einzelnen Relativerweiterungen Li−1/Lijeweils einsegmen-
tige Verzweigungspolygone haben, die zu den entsprechenden Segmenten von VL/K kor-
respondieren. Im Fall einer galoisschen Erweiterung folgt dies aus der Hilbertschen Ver-
zweigungstheorie. Der folgende Satz beschreibt den Zusammenhang f¨
ur eine allgemeine
rein verzweigte Erweiterung und bezieht auch die assoziierten Polynome mit ein.
Satz 5.7
F¨
ur 1≤i≤`+ 1 besteht VLi−1/Liaus genau einem Segment, das im folgenden Sinne zum
i-ten Segment Sivon VL/K korrespondiert:
1) Die Steigungen von VLi−1/Liund Sisind gleich.
54 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
2) Die assoziierte Tr¨
agheit von VLi−1/Liund Siist gleich. F¨
ur jede Nullstelle δvon
ASi(y)im algebraischen Abschluss von Kist δpsi−1eine Nullstelle von AVLi−1/Li(y).
Beweis: Wir benutzen in diesem Beweis f¨
ur zwei Einseinheiten η, η0die Notation η≈η0,
wenn (η−1) ∼(η0−1) gilt, d.h. wenn die ersten beiden Summanden der p-adischen
Normalreihen ¨
ubereinstimmen (vgl. Definition 2.13). Das Eisensteinpolynom f(x) vom
Grad nerzeuge L/K.
Die Nullstellen α1, . . . , αnvon f(x) seien wie in Lemma 4.16 geordnet. ∆1= ∆(1)
1,...,∆(k)
1
f¨
ur k=n/ps1ist das Blocksystem zum kleinsten Block. Das Minimalpolynom von α1¨
uber
L1ist gleich Qps1
i=1(x−αi), weil es invariant unter G∆1und ein Teiler von f(x) ist und den
richtigen Grad ps1hat. Damit ist Behauptung 1) f¨
ur das erste Segment und VL/L1klar.
Behauptung 2) gilt ebenfalls f¨
ur i= 1, denn es ist AS1(y) = AVL/L1(y) nach Satz 4.2. Wir
zeigen nun, dass VL1/K genau `Segmente mit den Steigungen −m2,...,−m`,−m`+1 = 0
hat, dass die assoziierte Tr¨
agheit dieser Segmente der von S2, . . . , S`+1 entspricht, und
dass die Nullstellen des assoziierten Polynoms zum (i−1)-ten Segment von VL1/K gerade
ps1-te Potenzen der Nullstellen von ASi(y) sind f¨
ur 2 ≤i≤`+ 1. Induktiv folgt daraus
die Behauptung.
Es gilt νL(α−α1) = mλ+ 1 < m1+ 1 f¨
ur α∈∆(r)
1,r > 1 und ein λ∈ {2, . . . , ` + 1}.
Damit haben wir f¨
ur α∈∆(r)
1, r > 1 in Kdie allgemeine Darstellung
α=α1+εαmλ+1
1(5.3)
f¨
ur ein ε∈ O×
K. Aus Symmetriegr¨
unden gilt f¨
ur zwei Nullstellen α, α0aus dem selben Block
∆(r)
1, dass νL(α−α0) = m1+ 1 ist. Darum ist der erste Summand der p-adischen Reihe
von εaus (5.3) f¨
ur alle αeines Blockes gleich. Analog gilt f¨
ur αaus ∆1die Darstellung
α=α1+δαm1+1
1f¨
ur ein δ∈ O×
K. Durch Bildung des Quotienten dieser beiden Ausdr¨
ucke
erhalten wir (in der Nummerierung der αinach Lemma 4.16), dass zu r∈ {2, . . . , k}ein
ε∈ O×
Kexistiert mit α(r−1)ps1+i
αi≈1 + εαmλ
1(5.4)
f¨
ur alle 1 ≤i≤ps1und ein λ∈ {2, . . . , ` + 1}.
F¨
ur 1 ≤r≤ksei βr=Qα∈∆(r)
1α. Damit gilt L1=K(β1) und das Eisensteinpolynom
g(x) = Qk
r=1(x−βr) ist das Minimalpolynom von β1¨
uber K. Das Verzweigungspolynom
von g(x) ist
g(β1x+β1)
βk
1x=
k
Y
r=2 x−(−1 + βr
β1
)=
k
Y
r=2 x−(−1 + α(r−1)ps1+1 ·. . . ·αrps1
α1·. . . ·αps1
).
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 55
Nach (5.4) gibt es ein ε∈ O×
Kund ein λ∈ {2, . . . , ` + 1}, so dass
βr
β1
=α(r−1)ps1+1 ·. . . ·αrps1
α1·. . . ·αps1≈(1 + εαmλ
1)ps1= 1 + εps1αmλps1
1+
ps1−1
X
i=1 ps1
iεiαmλi
1
gilt. Wenn wir nun βr
β1≈1 + εps1αmλps1
1(5.5)
zeigen k¨
onnen, dann ist −1+ βr
β1∼εps1αmλps1
1. Damit h¨
atte das Verzweigungspolynom von
g(x) genau (psλ−psλ−1)/ps1Nullstellen mit L1-Bewertung mλf¨
ur alle λ∈ {2, . . . , ` + 1},
das Polygon VL1/K demnach Segmente mit den Steigungen −m2,...,−m`+1. Außerdem
w¨
aren dann die Behauptungen zu den Nullstellen der assoziierten Polynome und zur
assoziierten Tr¨
agheit korrekt. Um das einzusehen, untersuchen wir die Situation f¨
ur das
zweite Segment S2und das erste Segment T1von VL1/K genauer. F¨
ur die anderen Segmente
funktioniert alles analog.
Die Nullstellen des Verzweigungspolynoms von f(x) zum Segment S2sind von der Form
−1 + αi/α1∼εiαm2
1f¨
ur ps1+ 1 ≤i≤ps2.
Damit haben wir Elemente εi∈ O×
Kfestgelegt, mit denen wir nach (5.5) auch die Null-
stellen des Verzweigungspolynoms von g(x) zu T1beschreiben k¨
onnen:
−1 + βr
β1∼εps1
rps1αm2ps1
1f¨
ur 2 ≤r≤ps2−s1.
Es sei m2=h2/e2. Nach Korollar 4.4 f¨
uhrt die Nullstelle −1 + αi/α1zur Nullstelle
(εiαm2
1)e2
αh2
1=εie2
von AS2(y)∈Fq[y]. Sei eine dieser Nullstellen εie2vorgegeben. Dann gibt es eine Nullstelle
des Verzweigungspolynoms von g(x) mit −1 + βr
β1∼εps1
iαm2ps1
1. Daraus berechnen wir die
entsprechende Nullstelle von AT1(y)∈Fq[y]:
(εps1
iαm2ps1
1)e2
βh2
1!= εe2ps1
iαh2ps1
1
βh2
1!= (εie2)ps1.
Die letzte Gleichheit gilt, da αh2ps1
1
βh2
1
=(αps1
1)h2
(α1·...·αps1)h2∼1 ist, wegen α1/αk=α1/(α1+
δkαm1+1
1)∼1 f¨
ur k∈ {1, . . . , ps1}und δk∈ O×
K(siehe oben). Somit sind die Nullstellen
von AT1(y)ps1-te Potenzen der Nullstellen von AS2(y) wie behauptet. Weil die Abbildung
56 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
ϕ:a7→ apAutomorphismus eines jeden endlichen K¨
orpers ¨
uber Fpist, folgt daraus, dass
die Zerf¨
allungsk¨
orper von AS2(y) und AT1(y)¨
uber Fq¨
ubereinstimmen. Damit stimmt auch
die assoziierte Tr¨
agheit ¨
uberein.
Es bleibt zu zeigen, dass (5.5) korrekt ist. Daf¨
ur m¨
ussen wir die Ungleichung
νL ps1−1
X
i=1 ps1
iεiαmλi
1!> mλps1
beweisen. Nach der ultrametrischen Dreiecksungleichung (Definition 2.1) gen¨
ugt es,
νLps1
iεiαmλi
1> mλps1f¨
ur 1 ≤i≤ps1−1 (5.6)
zu zeigen. Mit νp(ps1
i) = s1−νp(i) (siehe z.B. [32], Abschnitt 3.7) vereinfachen wir zu
νL(p)(s1−νp(i)) + mλi > mλps1⇐⇒ νL(p)(s1−νp(i))
ps1−i> mλ.
Nun f¨
uhren wir das Problem auf den einsegmentigen Fall zur¨
uck, indem wir m1> mλ
und die Absch¨
atzung aus Korollar 4.12 b) f¨
ur m1benutzen. Es gilt
νL(p)
ps1−1(p−1) ≥m1> mλ
und wir zeigen im Folgenden mit elementaren Methoden, dass
νL(p)(s1−νp(i))
ps1−i≥νL(p)
ps1−1(p−1) (5.7)
ist. Ungleichung (5.7) l¨
asst sich zu
p(ps1−i)
ps1(p−1)(s1−νp(i)) ≤1
umstellen. Wir untersuchen den Bruch auf der linken Seite weiter und schreiben daf¨
ur i
als i=apvmit p-aund v < s1. Es ergibt sich
p(ps1−apv)
ps1(p−1)(s1−v)≤p(ps1−pv)
ps1(p−1)(s1−v)=p
p−1·ps1−v−1
ps1−v(s1−v)=p
p−1·1−(1/p)s1−v
s1−v
=1−(1/p)s1−v
1−(1/p)·1
s1−v= (1 + (1/p) + . . . + (1/p)s1−v−1)·1
s1−v≤1
und damit (5.7). Daraus k¨
onnen wir wie beschrieben (5.6) folgern und es gilt (5.5) wie
behauptet.
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 57
Aufgrund von Satz 5.7 k¨
onnen wir die Informationen der einzelnen Segmente von VL/K
wie im Abschnitt 5.1 nutzen, um einen Teilk¨
orper Tdes Zerf¨
allungsk¨
orpers Nanzugeben,
so dass N/T eine p-Erweiterung ist. Dieser K¨
orper Tenth¨
alt demnach die maximale
Teilerweiterung von N/K deren Grad teilerfremd zu pist.
Wir benutzen die Bezeichnungen aus den Abschnitten 4.3 und 4.4 zur Beschreibung der
allgemeinen Form des Verzweigungspolygons. Insbesondere ist das i−te Segment Sivon
der Form (psi−1−1, νL(bpsi−1−1)) ↔(psi−1, νL(bpsi−1)), wobei die Elemente bjdie Ko-
effizienten des Verzweigungspolynoms sind. S`+1 ist das letzte horizontale Segment (vgl.
auch Abbildung 4.1).
Satz 5.8
Sei f(x) = Pn
i=0 aixi∈ OK[x]ein Eisensteinpolynom vom Grad n=e0pmmit p-e0und
m > 0. Das Polygon Vf(x)habe `+ 1 Segmente S1, . . . , S`+1. F¨
ur 1≤i≤`sei
• −hi/eidie Steigung von Simit ggT(hi, ei) = 1 = diei+bihif¨
ur di, bi∈Z,
•Ai(y)das assoziierte Polynom und fidie assoziierte Tr¨
agheit zu Si,
•εi∈ O×
Kbeliebig mit Ai(εi) = 0 und
•vi=bi·e0·pm−si−1+n+ 1.
Außerdem bezeichnen wir mit U/K die unverzweigte Erweiterung vom Grad
f= kgV(f1, . . . , f`,[K(ζe1e0) : K],...,[K(ζe`e0) : K])
und mit Nden Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x). Schließlich sei L0⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃Kder
kanonische Teilk¨
orperturm zu Vf(x)(vgl. Abschnitt 4.4). Dann gilt:
a) Der K¨
orper
T=Ue1e0
q(−1)v1εb1n
1a0,..., e`e0
q(−1)v`εb`n
`a0
ist ein Teilk¨
orper von N/K, so dass N/T eine p-Erweiterung ist.
b) Die Erweiterungen TLi−1/TLisind elementar-abelsch f¨
ur 1≤i≤`−1.
c) Die Erweiterung T/K ist galoissch und zahm verzweigt mit Verzweigungsindex
e0·kgV(e1, . . . , e`). F¨
ur ihren Grad gilt die obere Schranke
[T:K]< n2.
58 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Beweis: Sei L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x) und sei L=L0⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃K
der Teilk¨
orperturm zu VL/K aus Satz 4.17. Es gilt Li=K(βi) mit βi=α1·. . . ·αpsiin
der Nummerierung der Nullstellen αivon f(x) nach Lemma 4.16. Die Konjugierten von
βi¨
uber Ksind von der Form β(j)
i=α(j−1)psi+1 ·····αjpsif¨
ur 1 ≤j≤n/psi.
Jedes Teilst¨
uck Li−1/Lif¨
ur 1 ≤i≤`hat p-Potenz-Grad und genau ein Segment im
Verzweigungspolygon, daher k¨
onnen wir mit Satz 5.3 die normale H¨
ulle Nivon Li−1/Li
beschreiben. Wegen der Korrespondenz aus Satz 5.7 und d¨
urfen wir daf¨
ur die Werte ei, bi
und fides Segmentes Sibenutzen. Wir erhalten Ni=Uiei
q−(δbi
i)βi−1, wobei Ui/Li−1
unverzweigt vom Grad kgV(fi,[Li−1(ζei) : Li−1]) und δi∈ O×
Kist, so dass −δiNullstelle
des assoziierten Polynoms zu VLi−1/Liist. Nach Satz 5.7 k¨
onnen wir anstatt δiauch ein
beliebiges εi∈ O×
Kmit Ai(εi) = 0 w¨
ahlen und bekommen
Ni=Uiei
q−((−1)biεbipsi−1
iβi−1)=Ui(ϑi) f¨
ur 1 ≤i≤`
mit Ni/Ligaloissch. Nach Lemma 5.6 ist die erste Verzweigungsgruppe und damit der wild
verzweigte Teil von Ni/Lielementar-abelsch. F¨
ur die zahm verzweigte Erweiterung L`/K
setzen wir N`+1 =U`+1 =L`(ζe0). Wir k¨
onnen nun alle unverzweigten Erweiterungen
Ui/Li−1¨
uber K”sammeln“ indem wir den neuen K¨
orperturm UL ⊃UL1⊃. . . ⊃
UL`⊃U⊃Kbetrachten. Nach Definition von Usind f¨
ur 1 ≤i≤`die Erweiterungen
UNi/ULigaloissch und rein verzweigt und ihr zahm verzweigter Anteil UNi/ULi−1wird
vom Polynom xei+ (−1)biεbipsi−1
iβi−1erzeugt.
¨
Ahnlich wie bei den unverzweigten Teilst¨
ucken, wollen wir nun diese zahm verzweigten
Anteile ¨
uber Ubetrachten. Genauso wie im Beweis von Korollar 5.5 ist das Minimalpo-
lynom von ϑi¨
uber Ugleich
NULi−1/U xei+ (−1)biεbipsi−1
iβi−1=. . . + [(−1)biεbipsi−1
i][ULi−1:U](−1)na0.
Dabei haben wir εi∈ O×
Uvorausgesetzt. Das Produkt der Konjugierten von βi−1(siehe
oben) entspricht bis auf Vorzeichen dem Produkt Qn
i=1 αiund damit dem Koeffizienten
a0. Das Minimalpolynom ist eisenstein und hat Grad eie0pm−si−1. Mit Lemma 3.3 und
[ULi−1:U] = e0pm−si−1erhalten wir die galoissche Erweiterung
Ti=Ueie0
q(−1)viεbin
ia0
als maximale zahm verzweigte Teilerweiterung von UNi/U f¨
ur 1 ≤i≤`(vgl. Abbildung
5.2). Alle diese Erweiterungen enthalten UL`/U vom Grad e0. Das Kompositum der Ti
ist gleich T. Im wiederum neuen K¨
orperturm
TL =TL0⊃TL1⊃. . . ⊃TL`−1⊃T⊃U⊃K
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 59
L
Ni
Li−1
Li
K
psi−si−1
L
UNi
ULi−1
ULi
Ti
U
K
ei
psi−si−1
e0·ei
f
Abbildung 5.2: K¨
orpert¨
urme im Beweis von Satz 5.8.
ist T/K als Kompositum galoisscher Erweiterungen galoissch und die Erweiterungen
TLi−1/TLif¨
ur 1 ≤i≤`−1 sind elementar-abelsche p-Erweiterungen (Aussage b)).
Durch induktive Anwendung von Satz 2.21 l¨
asst sich jetzt folgern, dass N/T eine p-Erwei-
terung ist (Aussage a)). Im ersten Schritt betrachten wir den normalen Abschluss M`−1
von TL`−1/T/K. Der Satz besagt, dass wir Gal(M`−1/T) in ein direktes Produkt
Gal(TL`−1/T)×. . . ×Gal(TL`−1/T)
einbetten k¨
onnen. Weil Gal(TL`−1/T) eine p-Gruppe ist, muss somit auch Gal(M`−1/T)
eine p-Gruppe sein. Im n¨
achsten Schritt w¨
urden wir jetzt Satz 2.21 auf die Erweiterung
M`−1L`−2/M`−1/T anwenden und so weiter.
c) Der Verzweigungsindex von T/K ergibt sich mit Abhyankar’s Lemma (Lemma 2.9),
weil Tdas Kompositum der zahmen Erweiterungen Ti/K ist (vgl. auch Lemma 3.7).
Eine erste offensichtliche obere Schranke f¨
ur [T:K] ist e0·[K(ζe0) : K]·
`
Q
i=1
nimit
ni=eifi·[K(ζei) : K]. F¨
ur 1 ≤i≤`k¨
onnen wir zur Absch¨
atzung von ninach Satz
5.7 die einsegmentige Erweiterung Li−1/Libetrachten. Es gilt [Li−1:Li] = psi−si−1(Satz
4.17) und somit ist nach Korollar 5.4 ni≤(psi−si−1−1)2<(psi−si−1)2. Wir erhalten
`
Q
i=1
ni<(ps1ps2−s1·. . . ·ps`−s`−1)2= (ps`)2= (pm)2. Außerdem ist e0·[K(ζe0) : K]< e2
0
60 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
und wir haben [T:K]<(e0pm)2=n2wie behauptet.
Satz 5.8 l¨
asst sich auch in algorithmischer Form ausdr¨
ucken. Wir benutzen die gleichen
Bezeichnungen.
Algorithmus 5.1 (p-Reduktion)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x) = Pn
i=0 aixi∈ OK[x] vom Grad n=e0pmmit p-e0.
Output:
Ein Erweiterungsk¨
orper Tvon K,¨
uber dem der Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x) eine p-
Erweiterung ist.
p-Reduktion(f(x))
(1) wenn p-n
(2) erzeuge T=K(ζn,n
√−a0) und gib Tzur¨
uck
(3) berechne Vf(x)und die assoziierten Polynome A1(y), . . . , A`(y)∈Fq[y] der ersten `
Segmente mit VerzweigungspolygonPlus(f(x))
(4) f¨
ur 1≤i≤`
(5) berechne die Steigung hi/eides i-ten Segmentes sowie die ggT-Darstellung diei+
bihi= 1 und den Wert vi
(6) bestimme die assoziierte Tr¨
agheit fivon Si, eine Nullstelle δivon Ai(y)∈Fqfi[y]
und ˜
fi= [K(ζeie0) : K]
(7) erzeuge die unverzweigte Erweiterung U/K vom Grad
f= kgV(f1, . . . , f`,˜
f1,..., ˜
f`)
(8) f¨
ur 1≤i≤`
(9) bestimme εi∈ O×
Umit εi=δi
(10) erzeuge T=Ue1e0
q(−1)v1εb1n
1a0,..., e`e0
q(−1)v`εb`n
`a0
(11) gib Tzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Der Vollst¨
andigkeit halber wird in Schritt (2) der Fall eines zahmen Eisensteinpolynoms
abgehandelt (vgl. Korollar 3.4 und Satz 3.6). Hier ist Tder Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x).
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 61
Danach berechnet Algorithmus 5.1 anhand des Verzweigungspolygons die f¨
ur die Aussage
von Satz 5.8 n¨
otigen Daten und erzeugt daraufhin die unverzweigte Erweiterung U/K
sowie die Erweiterung T/U. Ausgew¨
ahlte Rechenschritte werden im Folgenden genauer
erl¨
autert:
(3) Siehe Algorithmus 4.2.
(6) Der Zerf¨
allungsk¨
orper von Ai(y)¨
uber Fql¨
asst sich durch eine Faktorisierung er-
mitteln. Sein Grad fi¨
uber Fqist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der
Grade der irreduziblen Faktoren von Ai(y). Eine Nullstelle δibekommt man z.B.
durch eine erneute Faktorisierung von Ai(y)¨
uber Fqfi. Der Grad ˜
fiist die kleinste
nat¨
urliche Zahl mit eie0|q˜
fi−1.
(9) Zur Bestimmung von εiinterpretiert man den Zerf¨
allungsk¨
orper von Ai(y) als Teil-
k¨
orper von U=OU/πUOUund w¨
ahlt einen beliebigen Repr¨
asentanten der von δi
bestimmten Nebenklasse.
(10) Die Erweiterung T/U l¨
asst sich durch Adjunktion je einer Nullstelle der Eisenstein-
polynome xeie0−(−1)viεbin
ia0f¨
ur 1 ≤i≤`erzeugen. Weil alle n¨
otigen Einheitswur-
zeln per Konstruktion in Uenthalten sind, handelt es sich bei den Erweiterungen
Ti/U mit
Ti=Ueie0
q(−1)viεbin
ia0
um zyklische Erweiterungen. Eine zweite M¨
oglichkeit zur Konstruktion von Tist
daher, Tals Kompositum der K¨
orper Timit Methoden der Klassenk¨
orpertheorie
(siehe Abschnitt 2.4) zu erzeugen. Der K¨
orper Tist Klassenk¨
orper zur Normgruppe
`
\
i=1 N(Ti/U)≤U×
(vgl. Satz 2.25). Die Konstruktion eines Klassenk¨
orpers zu gegebener Normgruppe
wird von Sebastian Pauli in [31] beschrieben und ist im Computer-Algebra-System
MAGMA [5] implementiert.
Satz 5.9 (Komplexit¨
at von Algorithmus 5.1)
F¨
ur die Berechnung des K¨
orpers Tben¨
otigt Algorithmus 5.1 von jedem Koeffizienten von
f(x)∈ OK[x]nur den ersten Summanden seiner p-adischen Normalreihe, sowie eine Dar-
stellung p=επeKmit ε∈ OK×der Primzahl p.
Aus diesen Eingabedaten berechnet Algorithmus 5.1 den K¨
orper Tmit O(nlog n)Rechen-
operationen in Zund O(log nP(n, qn)) Rechenoperationen im endlichen K¨
orper Fqn(vgl.
Definition 2.29).
62 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Beweis: Nach Satz 4.13 reichen die ersten Summanden und die Darstellung von pzur
Berechnung von Vf(x)und der assoziierten Polynome aus. Damit haben wir alle n¨
otigen
Informationen f¨
ur den weiteren Ablauf des Verfahrens.
Schritt (3) ben¨
otigt nach Satz 4.13 O(nlog n) Rechenoperationen in Zund O(log n) Ope-
rationen in Fq⊂Fqn. Die Schleife (4) wird O(log n) mal durchgef¨
uhrt. Weil die L¨
ange
der Projektion auf die x-Achse eines Segmentes durch n−1 beschr¨
ankt ist, k¨
onnen wir
den Aufwand f¨
ur die Berechnung des erweiterten ggT’s in (5) durch O(n) nach oben
absch¨
atzen. Die Berechnung von vik¨
onnen wir vernachl¨
assigen. Die Anzahl der Rechen-
operationen f¨
ur die zwei Faktorisierungen in Schritt (6) sch¨
atzen wir mit O(P(n, qn))
nach oben ab, weil Grad(Ai(y)) < n und fi< n gilt. Außerdem braucht man f¨
ur die
Bestimmung von ˜
fiweniger als eie0, also O(n), Teilbarkeitstests in Z. Wenn wir f¨
ur die
Berechnung des kgV zweier Zahlen wie beim ggT einen Aufwand von O(n) annehmen,
kommen wir auch bei Schritt (7) auf O(nlog n) in Z. F¨
ur Schritt (9) ber¨
ucksichtigen wir
keinen Rechenaufwand, da es sich nur um das W¨
ahlen eines geeigneten Repr¨
asentanten
handelt (vgl. Bemerkungen zum Algorithmus).
Insgesamt erhalten wir nach Definition 2.28 und den Rechenregeln f¨
ur die O-Notation
den behaupteten Aufwand von O(nlog n) Rechenoperationen in Zund O(log nP(n, qn))
Rechenoperationen in Fqn.
Korollar 5.10
Algorithmus 5.1 ist polynomiell in nund log q.
Beweis: Nach Lemma 2.30 gilt P(n, qn) = ˜
O(n5/2log q). Damit folgt aus Satz 5.9 die
Behauptung.
Korollar 5.11
F¨
ur ein Eisensteinpolynom f(x)∈ OK[x]kann in polynomieller Zeit verifiziert werden,
ob Gal(f(x)) eine p-Gruppe ist oder nicht.
Zusammen mit Algorithmus 4.5 aus Abschnitt 4.5 l¨
asst sich jetzt auch leicht der K¨
orper-
turm TL =TL0⊃TL1⊃. . . ⊃TL`−1⊃T⊃Kaus dem Beweis von Satz 5.8 berechnen.
Er hat die sch¨
one Eigenschaft, dass die Relativerweiterungen TLi−1/TLif¨
ur 1 ≤i≤`
elementar-abelsch sind.
Algorithmus 5.2 (p-Reduktion und K¨
orperturm zum Verzweigungspolygon)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output:
Der K¨
orperturm TL =TL0⊃TL1⊃. . . ⊃TL`−1⊃T⊃K. Die K¨
orper Lisind die
K¨
orper zu Vf(x)(vgl. Abschnitt 4.4) und Tist der Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers aus
Satz 5.8.
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 63
p-ReduktionPlus(f(x))
T:= p-Reduktion(f(x))
berechne mit VPTeilk¨
orperturm(f(x)) den K¨
orperturm L=L0⊃. . . ⊃L`⊃K
sei gi(x) das Eisensteinpolynom f¨
ur die Erweiterung Li/Li+1 f¨
ur 0 ≤i≤`−1
erzeuge TL`−1=T(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon g`−1(x)
f¨
ur ivon `−2 bis 0
erzeuge TLi=TLi+1(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon gi(x)
gib den K¨
orperturm TL0⊃TL1⊃. . . ⊃TL`−1⊃T⊃Kzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Sei e0pmder Grad von f(x) und L/K die von f(x) erzeugte K¨
orpererweiterung. Dann ist
L`/K die zahme Teilerweiterung vom Grad e0(vgl. Satz 4.17). Sie ist nach Satz 5.8 in
T/K enthalten und muss daher bei der Konstruktion im Algorithmus nicht ber¨
ucksichtigt
werden.
Die Polynome gi(x)∈Li+1[x], die in VPTeilk¨
orperturm (Algorithmus 4.5) zur Konstruk-
tion des K¨
orperturmes L=L0⊃. . . ⊃L`⊃Kbenutzt werden, sind Minimalpolynome
von Primelementen und damit eisenstein.
Die Erweiterung TLi=TLi+1 kann durch Adjunktion einer Nullstelle von gi(x)∈Li+1[x]
erzeugt werden, weil das Polynom auch ¨
uber TLi+1 irreduzibel ist. Dies wird klar, wenn
man das Newton-Polygon von gi(x) betrachtet: ¨
Uber Li+1 besteht es aus einem Segment
der Steigung 1/[Li:Li+1], die ¨
uber TLi+1 zu e0·kgV(e1, . . . , e`)/[Li:Li+1] transformiert
wird (vgl. Satz 5.8 c)). Da [Li:Li+1] eine p-Potenz und e0·kgV(e1, . . . , e`) teilerfremd zu
pist, folgt mit Satz 2.17 die Behauptung.
5.3 Berechnung von Zerf¨
allungsk¨
orpern
Das Verzweigungspolygon liefert im Allgemeinen nicht genug Informationen, um den
Zerf¨
allungsk¨
orper eines Eisensteinpolynoms komplett theoretisch zu beschreiben. Es bie-
tet allerdings die M¨
oglichkeit, die Berechnung des Zerf¨
allungsk¨
orpers auf einem Compu-
ter zu beschleunigen. Dabei werden die Reduktion zur p-Erweiterung (Satz 5.8) und der
Teilk¨
orperturm zum Polygon (Abschnitt 4.4) ausgenutzt.
64 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Der Standard-Algorithmus zur Berechnung des Zerf¨
allungsk¨
orpers durch sukzessives Fak-
torisieren ist von der folgenden Form. Er funktioniert f¨
ur beliebige Grundk¨
orper Kund
ein beliebiges Polynom f(x)∈K[x].
Algorithmus 5.3 (Zerf¨
allungsk¨
orper ¨
uber Trivialansatz)
Input: Ein Polynom f(x)∈K[x].
Output: Der Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x).
Zerf¨
allungsk¨
orper(f(x))
initialisiere L:= Kund g(x) := f(x)
solange g(x) ungleich 1 ist
faktorisiere g(x)¨
uber L, bezeichne mit m(x) einen irreduziblen Faktor maxima-
len Grades und mit g1(x), . . . , gk(x) die linearen Faktoren
setze g(x) := g(x)/(g1(x)·. . . ·gk(x))
erzeuge L:= L(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon m(x)
gib Lzur¨
uck
Ist nder Grad des Polynoms, ben¨
otigt Algorithmus 5.3 im schlimmsten Fall, wenn in
jedem Durchlauf der Schleife nur ein Linearfaktor abgespalten wird, n−1 Faktorisierungen.
Außerdem w¨
achst in diesem Fall der Grad der K¨
orper, ¨
uber denen faktorisiert wird, schnell
an, was die Faktorisierungen sehr aufw¨
andig macht.
Satz 5.8 bzw. Algorithmus 5.1 liefert uns im Falle eines Eisensteinpolynoms mit wenig
Aufwand einen wichtigen Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers. Die Tatsache, dass der ge-
suchte K¨
orper eine p-Erweiterung ¨
uber Tist, schr¨
ankt das Faktorisierungsverhalten von
f(x) stark ein. Es k¨
onnen ¨
uber Tbzw. Erweiterungen von Tnur noch Faktoren von
p-Potenz-Grad auftreten. Der oben beschriebene worst case ist nicht mehr m¨
oglich. Da-
her w¨
are eine Kombination aus Algorithmus 5.1 und Algorithmus 5.3 ¨
uber Tein erster
verbesserter Ansatz zur Zerf¨
allungsk¨
orperberechnung.
Algorithmus 5.4 geht noch etwas weiter. Er nutzt den K¨
orper Tsowie den Teilk¨
operturm
zum Verzweigungspolygon (Abschnitt 4.4). Außerdem werden Methoden der lokalen Klas-
senk¨
orpertheorie (Abschnitt 2.4) angewandt.
Algorithmus 5.4 (Zerf¨
allungsk¨
orper ¨
uber Verzweigungspolygon)
Input: Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output: Der Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x).
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 65
VPZerf¨
allungsk¨
orper(f(x))
(1) berechne mit VPTeilk¨
orper(f(x)) erzeugende Polynome f(x) = f0(x), . . . , f`(x)
f¨
ur die Teilk¨
orper zu Vf(x)
(2) T:= p-Reduktion(f(x))
falls Grad(f(x)) eine p-Potenz ist
(3) erzeuge N:= T(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f`(x)
sonst
(4) setze N:= T
f¨
ur ivon `−1 bis 0
(5) faktorisiere fi(x)¨
uber N:fi(x) = g1(x)·. . . ·gr(x)∈N[x]
(6) erzeuge die K¨
orper Mj:= N(αj) f¨
ur eine Nullstelle αjvon gj(x) f¨
ur 1 ≤j≤r
(7) berechne R:=
r
T
j=1 N(Mj/N)≤N×
(8) erzeuge die abelsche Erweiterung M/N mit N(M/N) = R
(9) setze N:= M
gib Nzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Sei L=L0⊃L1⊃. . . ⊃L`⊃Kder Teilk¨
orperturm zu Vf(x)(siehe Satz 4.17).
Das Eisensteinpolynom fi(x)∈K[x] erzeugt die Erweiterung Li/K f¨
ur 0 ≤i≤`. Der
Algorithmus VPZerf¨
allungsk¨
orper konstruiert sukzessive die Zerf¨
allungsk¨
orper der Poly-
nome f`(x), f`−1(x), . . . , f1(x), f(x)¨
uber Tund damit im letzten Schritt den gesuchten
Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x)¨
uber K, weil TTeilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers ist (Satz
5.8). Es folgen genauere Erl¨
auterungen der einzelnen Schritte:
(1) Siehe Algorithmus 4.4.
(2) Siehe Satz 5.8 bzw. Algorithmus 5.1.
(3) Sei Grad(f(x)) = e0pmmit p-e0. Bei e0= 1 ist f`(x) irreduzibel ¨
uber T(vgl.
Algorithmus 5.2). Weil L`/K galoissch ist, ist auch der erzeugte K¨
orper N:= TL`
galoissch ¨
uber T. Daher reicht es aus, die anschließende f¨
ur-Schleife mit f`−1(x)¨
uber
Nzu beginnen.
(4) Bei e06= 1 enth¨
alt Tden kleinsten Teilk¨
orper L`vom Grad e0¨
uber K. Darum reicht
es in diesem Fall ebenfalls aus in der f¨
ur-Schleife bei i=`−1 zu beginnen.
66 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
(5) Faktorisieren von Polynomen ¨
uber p-adischen K¨
orpern ist im Computer-Algebra-
System MAGMA implementiert. Es werden die Methoden von Sebastian Pauli (siehe
[33]) genutzt.
(6) Wichtig f¨
ur den n¨
achsten Schritt ist, dass die Erweiterungen Mj/N abelsch sind. Es
folgt ein kurzer Beweis:
Per Induktion nehmen wir an, dass Nder Zerf¨
allungsk¨
orper von fi+1(x)¨
uber T, also
der normale Abschluss von TLi+1 ¨
uber Tist. Weil TLi/TLi+1 abelsch ist (Satz 5.8
b)), muss auch NLi/N abelsch sein. Daraus folgt mit Satz 2.21, dass der normale
Abschluss von NLi/T (das ist der Zerf¨
allungsk¨
orper von fi(x)¨
uber T) abelsch ¨
uber
Nist. Daher m¨
ussen die Erweiterungen Mj/N ebenfalls abelsch sein.
(7) Die Gruppe Rentspricht nach Satz 2.25 der Normgruppe des Kompositums der
abelschen Erweiterungen Mj/N f¨
ur 1 ≤j≤r.
(8) Der Klassenk¨
orper zu einer gegebenen Normgruppe kann in MAGMA erzeugt wer-
den. Das Verfahren wird in [31] beschrieben.
(9) Der K¨
orper Mist der Zerf¨
allungsk¨
orper von fi(x)¨
uber Tund wird Grundk¨
orper
f¨
ur die Betrachtung von fi−1(x) im n¨
achsten Schleifendurchlauf.
Zum Abschluss dieses Kapitels geben wir noch ein Verfahren an, das die Normgruppe
des Zerf¨
allungsk¨
orpers im Grundk¨
orper Kund damit nach der Klassenk¨
orpertheorie ei-
ne Beschreibung des maximalen abelschen Quotienten der Galoisgruppe bestimmt. Man
beachte, dass Galoisgruppen p-adischer K¨
orpererweiterungen immer einen nicht-trivialen
abelschen Quotienten haben, da sie aufl¨
osbar sind (vgl. Satz 2.12). Außerdem liefert der
Algorithmus eine obere Schranke f¨
ur den Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers. Er kommt ohne
Faktorisieren aus und ist daher deutlich schneller als die Algorithmen 5.3 und 5.4.
Wichtig f¨
ur die Korrektheit des Verfahrens ist die folgende Aussage, die sich aus den
Hauptergebnissen der lokalen Klassenk¨
orpertheorie (siehe Abschnitt 2.4) folgern l¨
asst.
Lemma 5.12
Seien M/L und L/K galoissche Erweiterungen p-adischer K¨
orper und sei Nder normale
Abschluss von M/K. Dann gilt
N(N/L) = \
σ∈Gal(L/K)
σ(N(M/L)).
Beweis: Es sei G= Gal(Lab/K) und H= Gal(Lab/(M∩Lab)). Der normale Abschluss
˜
Nvon (M∩Lab)/K liegt nach Satz 2.21 in Lab. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 67
und weil Gal(Lab/L) abelsch ist, gilt
Gal(Lab/˜
N) = \
g∈G
Hg=\
σ∈Gal(L/K)
H˜σ,(5.8)
wobei ˜σeine beliebige Fortsetzung von σauf Lab bezeichnet. Sei ρL:L×→Gal(Lab/L)
die Normrestabbildung von L. Sie hat die Eigenschaft, dass
ρL(σ(x)) = ˜σ−1·ρL(x)·˜σ=ρL(x)˜σ(5.9)
f¨
ur alle x∈L×und alle Automorphismen σvon Lgilt (Lemma 2.24). Wieder bezeichnet
˜σeine Fortsetzung von σauf Lab. Nun k¨
onnen wir die behauptete Gleichheit zeigen:
Mit Satz 2.23 und Lemma 2.27 erhalten wir
N(N/L) = N(N∩Lab/L) = N(˜
N/L) = ρ−1
L(Gal(Lab/˜
N)).
Weiter gilt nach (5.8) und (5.9)
ρ−1
L(Gal(Lab/˜
N)) = ρ−1
L
\
σ∈Gal(L/K)
H˜σ
=\
σ∈Gal(L/K)
σ(N(M/L))
und damit die Behauptung.
Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir den K¨
orperturm TL =TL0⊃TL1⊃
. . . ⊃TL`−1⊃T⊃Kaus dem Beweis von Satz 5.8, der mit p-ReduktionPlus (Algorith-
mus 5.2) berechnet werden kann mit K0⊃K1⊃. . . ⊃K`−1⊃K`⊃K. Die Erweiterun-
gen Ki/Ki+1 f¨
ur 0 ≤i≤`−1 sind demnach total wild verzweigt und elementar-abelsch.
Die Erweiterung K`/K ist zahm verzweigt und galoissch.
Algorithmus 5.5 (Normgruppe des Zerf¨
allungsk¨
orpers)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output:
Die Normgruppe des Zerf¨
allungsk¨
orpers von f(x) in K×und eine obere Schranke f¨
ur den
Grad des Zerf¨
allungsk¨
orpers ¨
uber K.
NormgruppeZerf¨
allungsk¨
orper(f(x))
berechne mit p-ReduktionPlus den K¨
orperturm K0⊃K1⊃. . . ⊃K`⊃K`+1 =K
gib RekursivesKopieren(K0, . . . , K`+1)zur¨
uck
68 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
RekursivesKopieren(K0, . . . , Kj)
(1) initialisiere i:= j−1
solange Ki/Kjgaloissch und i≥0 ist
(2) setze i:= i−1
falls i= 0 ist
(3) gib N(K0/Kj) und [K0:Kj] zur¨
uck
(4) R1, n := RekursivesKopieren(K0, . . . , Ki)
(5) setze d1:= |K×
i/R1|
(6) berechne die Automorphismen von Ki/Kjund speichere sie in der Liste A
(7) berechne R2:= T
σ∈A
σ(R1)≤K×
i
(8) setze d2:= d[Ki:Kj]
1
|K×
i/R2|und n:= [Ki:Kj]·n[Ki:Kj]
d2
(9) berechne R3:= NKi/Kj(R2)≤K×
j
gib R3und nzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
Der Algorithmus NormgruppeZerf¨
allungsk¨
orper arbeitet mit seiner Unterfunktion Rekur-
sivesKopieren den K¨
orperturm K0⊃K1⊃. . . ⊃K`⊃K`+1 =Krekursiv von oben nach
unten ab. Die einzelnen Schritte von RekursivesKopieren werden jetzt genauer erl¨
autert:
(1) Die Funktion startet beim K¨
orper Kj. Die Erweiterung Kj−1/Kjist galoissch nach
Satz 5.8.
(2) Weil die Relativerweiterungen im K¨
orperturm abelsch sind, kann die Abbruchbe-
dingung der solange-Schleife mit klassenk¨
orpertheoretischen Methoden ¨
uberpr¨
uft
werden. Setzen wir voraus, dass Ki+1/Kjgaloissch ist, so ist die Erweiterung Ki/Kj
genau dann galoissch, wenn N(Ki/Ki+1)≤K×
i+1 unter allen Automorphismen von
Gal(Ki+1/Kj) invariant bleibt.
(3) Wenn K0/Kjgaloissch ist, bricht die Rekursion ab. Der Algorithmus terminiert,
weil die falls-Bedingung sp¨
atestens beim Aufruf RekursivesKopieren(K0, K1) erf¨
ullt
ist.
(4) Rekursiv erhalten wir hier die gesuchten Parameter f¨
ur die Erweiterung K0/Ki. Die
Gruppe R1≤K×
iist die Normgruppe der normalen H¨
ulle Nivon K0/Kiund n∈N
ist eine obere Schranke f¨
ur den Grad [Ni:Ki].
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 69
(5) Die Ordnung der Faktorgruppe K×
i/R1entspricht dem Grad der maximalen abel-
schen Teilerweiterung von Ni/Ki.
(6) Die Automorphismen der galoisschen Erweiterung Ki/Kjk¨
onnen durch die Berech-
nung der Nullstellen des erzeugenden Polynoms in Kibestimmt werden.
(7) Sei Njdie normale H¨
ulle von K0/Kj. Nach Lemma 5.12 ist R2die Normgruppe von
Nj/Ki.
(8) Zur Absch¨
atzung des Grades von Nj/Kjbetrachten wir Njals Kompositum der
zu Ni/Kjkonjugierten Erweiterungen N(k)
i/Kjf¨
ur 1 ≤k≤[Ki:Kj]. Der Grad
kann maximal gleich [Ki:Kj]·n[Ki:Kj]sein, wenn der Schnitt Sder konjugierten
K¨
orper gleich Kiist. Mit dem Wert d2ber¨
ucksichtigen wir den maximalen abelschen
Teilk¨
orper von S/Ki, der uns nach (5) und (7) bekannt ist. Wenn es einen nicht-
trivialen Schnitt der N(k)
i¨
uber Kigibt, dann gibt es auch einen abelschen Schnitt,
denn die Gruppe Gal(S/Ki) muss einen echten abelschen Faktor haben.
Nat¨
urlich kann es ¨
uber Kinicht abelsche Schnitte der konjugierten K¨
orper geben,
die wir im Algorithmus nicht erkennen k¨
onnen. Darum ist nim Allgemeinen nur
eine obere Schranke f¨
ur den Grad [Nj:Kj].
(9) F¨
ur den n¨
achsten rekursiven Schritt ben¨
otigen wir die Normgruppe von Nj¨
uber Kj.
Es gilt N(Nj/Kj) = NKi/Kj(N(Nj/Ki)) = NKi/Kj(R2).
Beispiel 5.2
Anhand des Polynoms f(x) = x8+ 4x6+ 8x5+ 2x4+ 12x2+ 8x+ 2 ∈Q2[x] soll noch
einmal der Ablauf des Algorithmus erl¨
autert werden. Die relevanten K¨
orperdiagramme
sind in Abbildung 5.3 dargestellt. Das Diagramm links unten zeigt den tats¨
achlichen
Zerf¨
allungsk¨
orper und die f¨
ur den Algorithmus wichtigen Unterk¨
orper. Das Diagramm
rechts oben zeigt den Zerf¨
allungsk¨
orper, so wie er im Algorithmus erkannt wird.
Das Polygon Vf(x)besteht aus drei Segmenten. Die Segmente haben alle ganzzahlige
Steigungen und die zugeordneten assoziierten Polynome zerfallen in Linearfaktoren ¨
uber
Q2∼
=F2. Damit ist der K¨
orper Taus Satz 5.8 gleich Q2und der von p-ReduktionPlus
berechnete K¨
orperturm K0⊃K1⊃K2⊃Q2entspricht dem K¨
orperturm L0⊃L1⊃
L2⊃Q2zum Verzweigungspolygon aus Abschnitt 4.4. Dieser K¨
orperturm ist in beiden
Diagrammen durch fett gedruckte Linien hervorgehoben. Man beachte, dass alle anderen
K¨
orper im Algorithmus nicht konstruiert werden, sondern nur ihre Normgruppen.
Der Algorithmus startet mit RekursivesKopieren(L0, L1, L2,Q2). Weil L1/Q2und L0/L2
nicht galoissch sind, wird N(NL/L2),8 :=RekursivesKopieren(L0, L1, L2) mit Hilfe von
N(L0/L1),2 :=RekursivesKopieren(L0, L1) berechnet. Der K¨
orper NList die normale
H¨
ulle von L0/L2. Bis zu diesem Zeitpunkt sind die berechneten Daten noch exakt: Der
70 Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper
Q2
L2
M1A1L1
M0
0M0AL0L0
0
N
Q2
L2
M1A1L1
M0
0M0AL0L0
0
NMNL
N
Abbildung 5.3: Zerf¨
allungsk¨
orper von f(x) = x8+4x6+ 8x5+2x4+12x2+8x+2 ∈Q2[x]
Grad von NL¨
uber L2ist gleich 8 und durch die Gruppe R:= N(NL/L2) mit L×
2/R ∼
=
C2×C2wird der maximale abelsche Teilk¨
orper Avon NL/L2beschrieben. Die Erweiterung
L0
0/L2ist konjugiert zu L0/L2.
Im ersten Durchlauf von RekursivesKopieren wird nun der Grad des Kompositums NMNL
abgesch¨
atzt und die Normgruppe bestimmt (Schritte (5) bis (9)). M0/Q2bzw. M0
0/Q2sind
zu L0/Q2konjugierte Erweiterungen und NMist deren normaler Abschluss ¨
uber L2. Von
diesem linken ”Teilbaum“ des K¨
orperdiagrammes kennen wir den Grad [NM:L2]=8
und die Normgruppe σ(R)≤L×
2f¨
ur Gal(L2/Q2) = hσi. Wir erkennen, dass σ(R) = R
ist, also dass NMund NLdenselben maximal abelschen Teilk¨
orper A¨
uber L2haben. Wir
erkennen im Algorithmus nicht, dass der Schnitt in Wirklichkeit noch gr¨
oßer ist, n¨
amlich
dass NM=NL=Ngilt (linkes K¨
orperdiagramm). Unsere Absch¨
atzung f¨
ur [N:Q2]
(nach dem rechten Diagramm) f¨
allt daher mit [N:Q2]≤32 um den Faktor 2 zu groß
aus.
Als Normgruppe von Nin Q×
2erh¨
alt man nun NL2/Q2(R). Sie korrespondiert zum maxi-
malen abelschen Teilk¨
orper A1von N/Q2mit Gal(A1/Q2)∼
=C2×C2. Die Galoisgruppe
von f(x) ist in diesem Beispiel die Gruppe 8T6in der Nummerierung der transitiven Per-
mutationsgruppen nach [4]. Ihr Normalteiler Gal(N/L2) ist isomorph zur Gruppe D8, der
Kapitel 5. Zerf¨
allungsk¨
orper 71
Diedergruppe mit 8 Elementen. •
Weil der maximale abelsche Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers die maximale unverzweig-
te Teilerweiterung enth¨
alt (vgl. Satz 3.1), kann man diese an der Normgruppe able-
sen. Zusammen mit Algorithmus 5.1 zur p-Reduktion gibt uns darum das eben vorge-
stellte Verfahren die M¨
oglichkeit, auch den maximalen zahm verzweigten Teilk¨
orper des
Zerf¨
allungsk¨
orpers zu berechnen:
Algorithmus 5.6 (Maximaler zahm verzweigter Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers)
Input: Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x].
Output: Der maximale zahm verzweigte Teilk¨
orper des Zerf¨
allungsk¨
orpers von f(x).
ZahmerZerf¨
allungsk¨
orper(f(x))
(1) berechne die Normgruppe R≤K×des Zerf¨
allungsk¨
orpers mit
AQZerf¨
allungsk¨
orper(f(x))
(2) T:= p-Reduktion(f(x))
(3) bestimme das maximale f∈Nmit
R≤ hπfi×hζq−1i×(1 + ℘)≤K×
(4) erzeuge die unverzweigte Erweiterung ˜
T/T vom Grad f
fT/K
(5) gib ˜
Tzur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
(2) Der K¨
orper Tenth¨
alt nach Satz 5.8 schon alle total zahm verzweigten Anteile des
Zerf¨
allungsk¨
orpers. Es kann nur noch Tr¨
agheit zum maximalen zahm verzweigten
Teilk¨
orper fehlen. Diese Tr¨
agheit wird im n¨
achsten Schritt ermittelt.
(3) Es ist K×=hπi×hζq−1i×(1 + ℘) (vgl. Satz 2.22). Die Untergruppen Rf:= hπfi×
hζq−1i×(1 + ℘) f¨
ur f∈Nsind die Normgruppen der unverzweigten Erweiterungen
vom Grad f¨
uber K(siehe z.B. [31]). Eine abelsche Erweiterung L/K enth¨
alt genau
dann die unverzweigte Erweiterung vom Grad f, wenn N(L/K)≤Rfist (vgl. Satz
2.25).
(4) ˜
Tist gleich dem Kompositum von Tund der unverzweigten Erweiterung vom
Grad f¨
uber Kund damit der gesuchte maximale zahm verzweigte Teilk¨
orper des
Zerf¨
allungsk¨
orpers.
Kapitel 6
Galoisgruppen
In diesem Kapitel bestimmen wir, ausgehend von den Resultaten zum Zerf¨
allungsk¨
orper
in Kapitel 5, Galoisgruppen von Eisensteinpolynomen. Wichtig ist die Bemerkung, dass
daf¨
ur nicht der komplette Zerf¨
allungsk¨
orper ausgerechnet werden soll. Wir unterscheiden
die Polynome nach der Anzahl der Segmente in ihrem Verzweigungspolygon. Je mehr
Segmente es gibt, desto komplizierter ist die ”Verzweigungsstruktur“ der Galoisgruppe
bzw. des Zerf¨
allungsk¨
orpers (vgl. Abschnitt 4.3 und Abschnitt 4.4).
Bei einem Segment zeigen wir, wie man eine Beschreibung der Galoisgruppe als Untergrup-
pe einer affin-linearen Gruppe bzw. als Gruppe von Permutationen eines Fp-Vektorraums
mit wenig Aufwand berechnen kann (Abschnitt 6.1). Das Ergebnis stellt eine Verallge-
meinerung der Arbeit [36] von D. Romano dar.
Danach bauen wir auf dem Resultat f¨
ur ein Segment auf und k¨
onnen die Galoisgruppe im
Fall von zwei Segmenten als Gruppenerweiterung und letztendlich als endlich pr¨
asentierte
Gruppe konstruieren (Abschnitte 6.2 und 6.3). Daf¨
ur ist schon deutlich mehr Rechenauf-
wand n¨
otig.
6.1 Ein Segment im Verzweigungspolygon
Sei f(x)∈K[x] ein Eisensteinpolynom vom Grad pm, dessen Verzweigungspolygon aus ge-
nau einem Segment besteht. Ausgehend von den theoretischen Resultaten zum Zerf¨
allungs-
k¨
orper von f(x) in Abschnitt 5.1 k¨
onnen wir nun eine Beschreibung von G= Gal(f(x))
herleiten, ohne den Zerf¨
allungsk¨
orper zu berechnen.
72
Kapitel 6. Galoisgruppen 73
Wir erinnern an die Notation aus Abschnitt 5.1:
Das Polygon Vf(x)habe die Steigung −h/e mit ggT(h, e)=1=ae +bh f¨
ur a, b ∈Z, das
assoziierte Polynom A(y)∈K[y] und assoziierte Tr¨
agheit f1(vgl. Definition 4.5).
Der Zerf¨
allungsk¨
orper Nist ein K¨
orperturm N/U/L/K mit L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle
αvon f(x), U/L unverzweigt vom Grad f= kgV(f1,[L(ζe) : L]) und N=U(e
√−εbα) f¨
ur
ε∈ O×
Ubeliebig mit A(−ε) = 0 (vgl. Satz 5.3).
Das folgende Lemma fasst zusammen, was wir schon ¨
uber die Gruppe Gwissen:
Lemma 6.1
a) Gist ein semidirektes Produkt G1oH, wobei G1die erste Verzweigungsgruppe von
Gund H= Gal(N/L)ist (siehe auch Abbildung 6.1).
b) Die Reihe der Verzweigungsgruppen von Ghat die Form
G≥G0≥G1=G2=. . . =Gh> Gh+1 ={id}
und es gilt G1∼
=Cm
p.
c) Sei ζeine (qf−1)-te Einheitswurzel in U. Wir k¨
onnen die zahme Erweiterung N/L
wie in Satz 3.2 als N=L(ζ, e
√ζrα)f¨
ur ein 0≤r < e mit ζr≡ −εbmod αOU
schreiben. Die Gruppe Hwird von den Automorphismen
σ:ζ7→ ζ, e
pζrα7→ ζ`e
pζrαund τ:ζ7→ ζq,e
pζrα7→ ζke
pζrα
mit k=r(q−1)
eund `=qf−1
eerzeugt.
Beweis: Sei Tder maximale zahm verzweigte Teilk¨
orper von N/K. Aus Verzweigungs-
gr¨
unden gilt L∩T=K. Außerdem ist LT =Nund T/K galoissch nach Korollar 5.5.
Daraus folgt die Aussage a) mit dem Hauptsatz der Galoistheorie (vgl. Abbildung 6.1).
Behauptung b) wurde in Lemma 5.6 bewiesen.
Zu c): Weil Udie e-ten Einheitswurzeln enth¨
alt, ist ggT(e, qf−1) = e. Damit ist N/L
nach Satz 3.2 konjugiert zu einer der Erweiterungen L(ζ, e
√ζrα) f¨
ur 0 ≤r < e. Der Para-
meter rist nach Lemma 3.5 durch ζr≡ −εbmod αOUbestimmt. Da N/L galoissch ist,
kann man schließlich wie in Satz 3.2 c) die Automorphismen angeben.
Wir kennen also die Struktur des Normalteilers G1von Gals abelsche Gruppe und haben
eine explizite Beschreibung eines Komplementes Hzu G1durch erzeugende Automorphis-
men. Es fehlt noch die Operation von Hauf G1im semidirekten Produkt G=G1oH.
74 Kapitel 6. Galoisgruppen
K
L T
N
pme·f
HG1
Abbildung 6.1: Gal(f(x)) als semidirektes Produkt G1oH
F¨
ur die in den Beispielen 4.1 und 5.1 betrachteten starken Eisensteinpolynome vom Grad
pmzeigt D. Romano in [36], dass die Galoisgruppe isomorph zu
F+
pmo(F×
pmoGal(Fpm/Fpm∩K))
ist. Die Operationen der semidirekten Produkte sind die kanonischen Operationen.
In unserem allgemeineren Kontext werden wir die Gruppe F×
pmoGal(Fpm/Fpm∩K),
die unserer Gruppe Hentspricht, in Form einer Matrixgruppe aus GL(m, p) angeben.
Insgesamt erhalten wir so die Gruppe Gals Untergruppe der affinen Gruppe AGL(m, p).
F¨
ur den Rest des Abschnitts sei πein Primelement im Bewertungsring ONdes Zerf¨
allungs-
k¨
orpers und ℘=πONdas maximale Ideal. Die Galoisgruppe Goperiert sowohl auf den
Faktoren Gi/Gi+1 (per Konjugation) als auch auf den Faktoren ℘i/℘i+1 f¨
ur i≥1. Diese
beiden Operationen setzen wir nun in Beziehung.
Lemma 6.2
Die Abbildungen
Θi:Gi/Gi+1 →(℘i/℘i+1,+) : σGi+1 7→ σ(π)
π−1+℘i+1
f¨
ur i≥1sind
a) Monomorphismen,
b) unabh¨
angig von der Wahl des Primelementes,
c) vertr¨
aglich mit der Operation von Gauf Gi/Gi+1 bzw. ℘i/℘i+1. Das heißt, es gilt
τ(Θi(σGi+1)) = Θi(στGi+1)
f¨
ur alle σ∈Giund alle τ∈G.
Kapitel 6. Galoisgruppen 75
Beweis: a) Wir zeigen zun¨
achst, dass
Φi:Gi→(℘i/℘i+1,+) : σ7→ σ(π)
π−1+℘i+1
ein Homomorphismus ist. Daf¨
ur seien σ1, σ2∈Gimit σ1(π) = π(1 + b1) und σ2(π) =
π(1 + b2) f¨
ur b1, b2∈℘i(vgl. Definition 2.11). Es gilt Φi(σ1)+Φi(σ2) = (b1+b2) + ℘i+1.
F¨
ur Φi(σ1σ2) erhalten wir
Φi(σ1σ2) = σ2(σ1(π))
π−1+℘i+1 =σ2(π(1 + b1))
π−1+℘i+1
=π(1 + b2)(1 + σ2(b1))
π−1+℘i+1 = (σ2(b1) + b2) + ℘i+1.
Per Definition der Verzweigungsgruppen gilt νN(σ2(b1)−b1)≥i+1 und damit σ2(b1)≡b1
mod ℘i+1. Daraus folgt Φi(σ1σ2) = Φi(σ1)+Φi(σ2).
Die Injektivit¨
at von Θisieht man jetzt leicht ein, denn Gi+1 ist gerade der Kern von Φi.
b) Sei σ∈Giund π0=επ f¨
ur ein ε∈ O×
Nein weiteres Primelement von N. Es gelte
σ(π) = π(1 + b) und σ(π0) = π0(1 + b0) = επ(1 + b0) f¨
ur b, b0∈℘i. Behauptung b) ist
¨
aquivalent zu b0≡bmod ℘i+1. Wir k¨
onnen das Bild von π0auch als σ(π0) = σ(επ) =
σ(ε)π(1 + b) schreiben. Gleichsetzen ergibt, dass
σ(ε)−ε=εb0−σ(ε)b
gelten muss. Wegen σ(ε)≡εmod ℘i+1 (nach der definierenden Eigenschaft von σ∈Gi)
folgt daraus, dass b0≡bmod ℘i+1 ist.
Zum Beweis von c) sei σ∈Giund τ∈G. Es gelte σ(π) = π(1+b), τ(π) = επ und τ−1(π) =
ηπ f¨
ur b∈℘iund Einheiten ε, η von ONmit τ(η)·ε= 1. Dann ist τ(Θi(σGi+1)) =
τ(b) + ℘i+1. Zur Bestimmung von Θi(στGi+1) berechnen wir
τ(σ(τ−1(π)))
π−1 = τ(σ(ηπ))
π−1 = τ(σ(η)) ·τ(π)·(1 + τ(b))
π−1
=τ(σ(η)) ·επ ·(1 + τ(b))
π−1 = τ(σ(η)) ·ε·(1 + τ(b)) −1.
Mit der gleichen Begr¨
undung wie oben gilt σ(η)≡ηmod ℘i+1 und damit τ(σ(η)) ·ε≡
τ(η)·ε= 1 mod ℘i+1. Insgesamt folgt daraus
Θi(στGi+1) = τ(σ(τ−1(π)))
π−1+℘i+1 =τ(b) + ℘i+1
wie behauptet.
76 Kapitel 6. Galoisgruppen
Damit k¨
onnen wir jetzt die Galoisgruppe von f(x) als Untergruppe der AGL(m, p) bzw.
als Gruppe von Permutationen des Vektorraumes (Fp)mangeben. Man beachte, dass in
unserem Fall f¨
ur die erste Verzweigungsgruppe G1=Gh/Gh+1 gilt (Lemma 6.1 b)), wir
also den Homomorphismus Θhauf G1anwenden d¨
urfen.
Satz 6.3
Sei f(x)∈K[x]ein Eisensteinpolynom vom Grad pmmit einsegmentigem Verzweigungs-
polygon der Steigung −h/e. Dann ist Gal(f(x)) isomorph zur Gruppe
˜
G={ta,v : (Fp)m→(Fp)m:x7→ xa +v|a∈H0≤GL(m, p), v ∈(Fp)m}
von Permutationen des Vektorraums (Fp)m. Es gilt H0=hS, Ti, wobei die Matrizen S, T
die Operation der Automorphismen σ, τ aus Lemma 6.1 c) auf Θh(G1) = Θh(Gh/Gh+1)≤
(℘h/℘h+1,+) beschreiben (vgl. Lemma 6.2).
Beweis: G= Gal(f(x)) ist nach Lemma 6.1 a) ein semidirektes Produkt G1oH, dabei ist
G1die erste Verzweigungsgruppe und Hdie zahme von den Automorphismen σ, τ erzeugte
Untergruppe. Die Gruppe ˜
Gist ebenfalls ein semidirektes Produkt ˜
G1o˜
Hmit ˜
G1={sv:
x7→ x+v|v∈(Fp)m}und ˜
H={ua:x7→ xa |a∈H0}. Die Operation von ˜
Hauf
˜
G1entspricht der Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix: sua
v:x7→ (xa−1+v)a=
x+va. Es gilt G1∼
=Θh(G1)∼
=˜
G1nach Lemma 6.2 und H∼
=H0∼
=˜
Hnach Konstruktion
von H0bzw. ˜
H. (Hoperiert treu auf Θh(G1)∼
=Cm
pund bettet so in GL(m, p) ein.)
Betrachten wir nun ˜
G1bzw. Θh(G1) und G1als H-Moduln, dann sind die zerfallenden
Erweiterungen Gund ˜
Ggenau dann isomorph, wenn Θhein Modulisomorphismus ist
(siehe z.B. [1], Kapitel XIII, Abschnitt 1). Genau diese Eigenschaft der Homomorphismen
Θiwurde in Lemma 6.2 c) gezeigt.
F¨
ur die Beschreibung der Galoisgruppe nach Satz 6.3 ben¨
otigen wir den Teilmodul Θh(G1)
∼
=F+
pmdes H-Moduls (℘h/℘h+1,+) ∼
=F+
qf, denn im Allgemeinen gilt nat¨
urlich qf≥pm. Im
folgenden Lemma zeigen wir, dass man Θh(G1) leicht aus den Nullstellen des assoziierten
Polynoms A(y) berechnen kann. Daf¨
ur erinnern wir an die Darstellung N=L(ζ, π) mit
π=e
√ζrαdes Zerf¨
allungsk¨
orpers (Lemma 6.1) und bezeichnen mit d=pm−1
eden Grad
von A(y) (vgl. Definition 4.1).
Lemma 6.4
Seien u1, . . . , uddie Nullstellen von A(y)in Nund a, b ∈Nmit ae −bpm= 1. Es gilt:
a) F¨
ur 1≤i≤dexistieren die e-ten Wurzeln aus ui/(ζrh)in N; wir bezeichnen sie
mit ui,1, . . . , ui,e.
b) Die Bilder von G1unter Θhsind
{0 + ℘h+1, aui,jπh+℘h+1 |1≤i≤d, 1≤j≤e}.
Kapitel 6. Galoisgruppen 77
Dabei bezeichnet ui,j einen Lift von ui,j ∈Nnach ON.
Beweis: Die Nullstellen −1 + αi
α(2 ≤i≤pm) des Verzweigungspolynoms g(x) haben
N-Bewertung hund damit die Form γπhf¨
ur ein γ∈ O×
N. Daraus folgt mit Lemma 4.3
b), dass die Nullstellen von A(y) von der Form
(γπh)e
αh= (γe
√ζrαh)e
αh!=γeζrh
sind. Das zeigt Behauptung a).
Der Homomorphismus Θhist unabh¨
angig von der Wahl des Primelements (Lemma 6.2
b)), darum k¨
onnen wir wie im Beweis von Lemma 4.9 auch das Primelement π0=αa/βb
zur Untersuchung der Bilder benutzen. Die Zahlen a, b ∈Nerf¨
ullen obige Bedingung und
βist ein Primelement des maximal zahm verzweigten Teilk¨
orpers Tvon N. Ebenfalls
wie bei Lemma 4.9 nutzen wir jetzt eine Darstellung der Nullstellen von g(x) in K:
αi/α = 1 + δαh/e f¨
ur ein δ∈ O×
K. Die Elemente δund αh/e m¨
ussen im Allgemeinen nicht
in Nliegen! Nach diesen Vorbereitungen gilt f¨
ur σ∈G1
σ(π0)
π0−1 = αa
i
βb
βb
αa−1 = αi
αa−1 = aδαh/e +. . .
wegen p-a. Das Bild Θh(σ) ist also die Nebenklasse von aδαh/e +. . . in ℘h/℘h+1. Um
einen sch¨
oneren Repr¨
asentanten (δund αh/e sind i.A. nicht in N) f¨
ur diese Klasse zu
finden, setzen wir die beiden verschiedenen Darstellungen der Nullstellen von g(x) gleich:
γe
pζrαh=δαh/e ⇔δ=γe
pζrh.
Daraus folgt
σ(π0)
π0−1 = aγ e
pζrhe
√αh+. . . =aγ e
pζrαh+. . . =aγπh+. . .
mit γ∈ O×
N, also
σ(π0)
π0−1≡aγπhmod ℘h+1.
Damit erh¨
alt man Behauptung b). Jede der d= (pm−1)/e Nullstellen von A(y) liefert uns
eElemente γ(e-te Wurzeln aus γe). Somit haben wir zusammen mit 0 + ℘h+1 = Θh(id)
alle pmBilder von Θhbeschrieben.
Jetzt k¨
onnen wir ein Verfahren zur Bestimmung der Galoisgruppe eines Eisensteinpoly-
noms mit einsegmentigem Verzweigungspolygon nach Satz 6.3 angeben. Der Algorithmus
78 Kapitel 6. Galoisgruppen
konstruiert nicht den Zerf¨
allungsk¨
orper. Er bestimmt mit Algorithmus 4.2 das Polygon
und das assoziierte Polynom, danach wird nur noch im endlichen K¨
orper Ngerechnet.
Daher reichen die ersten Summanden der p-adischen Normalreihen der Koeffizienten von
f(x) sowie eine Darstellung der Primzahl pin OKals Eingabedaten aus (vgl. Satz 4.13).
Algorithmus 6.1 (Galoisgruppe bei einem Segment)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x] vom Grad pmmit einsegmentigem Polygon Vf(x).
Output:
Die Gruppe Gal(f(x)) als Untergruppe der AGL(m, p) bzw. Gruppe von Permutationen
des Vektorraums (Fp)m.
GaloisGruppeEinSegment(f(x))
(1) berechne Vf(x)und das Polynom A(y)∈Fq[y] mit VerzweigungspolygonPlus(f(x))
(2) berechne die Steigung −h/e von Vf(x)
(3) bestimme die assoziierte Tr¨
agheit f1zu Vf(x)und setze f:= kgV(f1,[K(ζe) : K])
(4) berechne a, ˜a, b,˜
b∈Nmit ae −˜apm= 1 und bh −˜
be = 1
(5) erzeuge Fqfund fixiere einen Erzeuger ζvon F×
qf
(6) berechne die Nullstellen u1, . . . , udvon A(y) in Fqf
(7) bestimme r∈ {0, . . . , e −1}mit r≡r0mod ef¨
ur r0aus ζr0=−((−u1)b)
(8) initialisiere M:= h1i ≤ F+
qfund i:= 1
wiederhole
(9) berechne die e-ten Wurzeln ui,1, . . . , ui,e aus ui/ζrh
(10) erzeuge M:= hM, aui,1, . . . , aui,ei ≤ F+
qf
(11) setze i:= i+ 1
bis |M|=pmist
(12) w¨
ahle eine Fp-Basis B={b1, . . . , bm}von M
(13) setze `:= (qf−1)/e und k:= r(q−1)/e
(14) bestimme den von ζi7→ ζ`h+iinduzierten Automorphismus svon M
(15) bestimme die Darstellungsmatrix S∈GL(m, p) von szur Basis B
(16) bestimme den von ζi7→ ζhk+qi induzierten Automorphismus tvon M
(17) bestimme die Darstellungsmatrix T∈GL(m, p) von tzur Basis B
(18) gib G={ta,v : (Fp)m→(Fp)m:x7→ xa +v|a∈ hS, Ti, v ∈(Fp)m}zur¨
uck
Kapitel 6. Galoisgruppen 79
Bemerkungen zum Algorithmus:
Algorithmus 6.1 rechnet zur Bestimmung der Operation der zahmen Untergruppe H
auf G1in F+
qf∼
=(℘h/℘h+1,+). Es wird dabei implizit der Isomorphismus ψ:F+
qf→
(℘h/℘h+1,+) : u7→ uπh+℘h+1 benutzt (vgl. [29], Kapitel 1, Lemma 1.17).
(1) Siehe Algorithmus 4.2. Das assoziierte Polynom A(y) ist eigentlich ein Polynom ¨
uber
L, wobei L=K(α) f¨
ur eine Nullstelle αvon f(x) ist. Es gilt aber L∼
=K∼
=Fq.
(3) Vgl. Algorithmus 5.1, Schritt (4).
(4) Die Zahl bwird f¨
ur Schritt (7) und af¨
ur Schritt (10) ben¨
otigt (vgl. Lemma 6.4).
(5) Die Gruppe F×
qfist zyklisch von der Ordnung qf−1. Die Standard-Methode zur
Bestimmung eines Erzeugers ζberechnet die Ordnung zuf¨
allig gew¨
ahlter Elemente
aus Fqfbis ein Element maximaler Ordnung gefunden ist. Im Weiteren kann mit der
Fp-Basis 1, ζ, . . . , ζνp(q)f−1f¨
ur Fqfgerechnet werden. Dies erleichtert die Verifikation
der Automorphismen in den Schritten (14) und (16).
(6) Die Nullstellen k¨
onnen z.B. durch eine Faktorisierung von A(y)¨
uber Fqfbestimmt
werden. Nach Definition 4.5 zerf¨
allt A(y)¨
uber Fqfin Linearfaktoren.
(7) Siehe Lemma 6.1 c). Die Zahl rkann wie in Algorithmus 3.1 ohne die Berechnung
eines diskreten Logarithmus bestimmt werden.
(9) Die e-ten Wurzeln existieren nach Lemma 6.4 a). Sie k¨
onnen z.B. durch Faktorisieren
der Polynome xe−ui/ζrh ∈Fqf[x] berechnet werden.
(10) Aufgrund von Lemma 6.4 b) ist Mbei jedem Schleifendurchlauf eine Untergruppe
des H-Moduls Θh(G1)≤(℘h/℘h+1,+). (Wir identifizieren (℘h/℘h+1,+) und F+
qf
¨
uber den oben angegebenen Isomorphismus ψ.) Sp¨
atestens bei i=d= Grad(A(y))
ist die Abbruchbedingung der Schleife erf¨
ullt. Dann gilt M= Θh(G1)∼
=Cm
p.
(13) Die Werte `und kwerden f¨
ur die Operation der Automorphismen σund τmit
H=hσ, τiauf Mben¨
otigt (vgl. Lemma 6.1 c)).
(14) Der (Gruppen-)Automorphismus sbeschreibt die Operation des K¨
orperautomor-
phismus σauf M. Es gilt σ((ζ)iπh+℘h+1) = (ζ)`h+iπh+℘h+1 f¨
ur 0 ≤i≤qf−2
nach Lemma 6.1 c).
(15) Die Bilder der Basiselemente sind durch die Bilder der Elemente ζif¨
ur 0 ≤i≤qf−2
eindeutig bestimmt.
80 Kapitel 6. Galoisgruppen
(16) Der (Gruppen-)Automorphismus tbeschreibt die Operation des K¨
orperautomor-
phismus τauf M. Es gilt τ((ζ)iπh+℘h+1) = (ζ)hk+qiπh+℘h+1 f¨
ur 0 ≤i≤qf−2
nach Lemma 6.1 c).
(18) Siehe Satz 6.3.
F¨
ur die Absch¨
atzung der Laufzeit von Algorithmus 6.1 klammern wir die vom Zufall
abh¨
angige Suche eines Erzeugers der multiplikativen Gruppe F×
qfin Schritt (5) aus. Es sei
nur bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Erzeuger zu treffen bei ϕ(qf−1)/(qf−1)
liegt, wobei ϕdie Eulersche ϕ-Funktion bezeichnet. Die Berechnung der Ordnung ist dann
durch wiederholtes Quadrieren in O(nlog q) Rechenschritten m¨
oglich (vgl. Algorithmus
3.1).
Satz 6.5
Unter der Voraussetzung, dass ein Erzeuger von F×
qfbekannt ist, ist Algorithmus 6.1 zur
Galoisgruppenberechnung bei einem Segment polynomiell im Grad ndes Eingabepolynoms
und log q.
Beweis: Kritisch sind nur die Polynomfaktorisierungen in den Schritten (3), (6) und
(9) sowie Schritt (7). Die ersten beiden Faktorisierungen zur Berechnung der assozi-
ierten Tr¨
agheit und der Nullstellen des assoziierten Polynoms lassen sich wegen d=
Grad(A(y)) = (n−1)/e und f < n (vgl. Korollar 5.4) durch P(n, qn) = ˜
O(n5/2log q)
absch¨
atzen (siehe Lemma 2.30). Gleiches gilt f¨
ur die Faktorisierungen der Grad ePolyno-
me in Schritt (9). Schließlich ist mit dem gleichen Trick wie bei Algorithmus 3.1 auch die
Berechnung des diskreten Logarithmus ”modulo e“ in Schritt (7) in polynomieller Zeit
m¨
oglich.
Beispiel 6.1
Wir demonstrieren den Ablauf von Algorithmus 6.1 am Beispiel des Polynoms
f(x) = x81 + 3x80 + 3x70 + 3x60 +. . . + 3x10 + 3 ∈Q3[x].
Das Verzweigungspolygon Vf(x)besteht aus genau einen Segment, welches die Punkte
(0,10) und (80,0) verbindet, hat also Steigung −h/e =−1/8. Als assoziiertes Polynom
erh¨
alt man A(y) = y10 + 2 ∈F3[x] und eine Faktorisierung ¨
uber F3liefert y10 + 2 =
(y+ 1)(y+ 2)(y4+. . .)(y4+. . .). Die assoziierte Tr¨
agheit ist demnach gleich 4 und wegen
[Q3(ζ8) : Q3] = 2 haben wir f= 4 und rechnen in F34. Sei ζein Erzeuger von F×
34, also eine
primitive (34−1)-te Einheitswurzel. Wir nehmen die 1 als Nullstelle u1von A(y), w¨
ahlen
b= 9 in Schritt (4) und erhalten r= 0 in Schritt (7). Daraus folgt `= 10 und k= 0
in Schritt (13). In diesem Beispiel m¨
ussen wir keine e-ten Wurzeln berechnen, um Mzu
bestimmen. Denn wegen Grad(f(x)) = 34, gilt M=F+
34. Daher erhalten wir die Matrix
Kapitel 6. Galoisgruppen 81
S∈GL(4,3) als Darstellungsmatrix des von ζi7→ ζ10+iinduzierten Automorphismus von
F+
34. Bez¨
uglich der Basis 1, ζ, ζ2, ζ3ist das
S=
1022
2101
1211
1122
.
Analog ergibt sich die Matrix T∈GL(4,3) ¨
uber den von ζi7→ ζ3iinduzierten Automor-
phismus:
T=
1000
0001
1111
0211
.
Gal(f(x)) ist damit isomorph zur Gruppe
G=ta,v : (F3)4→(F3)4:x7→ xa +va∈ hS, Ti, v ∈(F3)4
∼
=C4
3ohS, Ti
der Ordnung 34·8·4 = 2592. Anschaulich haben wir ausgenutzt, dass der Zerf¨
allungsk¨
orper
von f(x) nach Satz 5.3 von der Form N=L(ξ, 8
√α) ist. Dabei bezeichnet ξeine primitive
(34−1)-te Einheitswurzel in N,L/Q3die von f(x) erzeugte Erweiterung und αeine Null-
stelle von f(x). Die Matrizen Sund Tentsprechen der Operation der Automorphismen
σ:ξ7→ ξ, 8
√α7→ ξ10 8
√αund τ:ξ7→ ξ3,8
√α7→ 8
√α
von Gal(N/L) auf (℘N/℘2
N,+) ∼
=F+
34.•
F¨
ur die sp¨
atere Anwendung bei der Galoisgruppenberechnung im zweisegmentigen Fall
betrachten wir nun noch eine etwas allgemeinere Situation:
Sei αNullstelle eines Eisensteinpolynoms f(x) vom Grad pmmit einsegmentigem Poly-
gon Vf(x)und L=K(α). Weiter sei T=K(ζ, e
√ζrπ) f¨
ur eine primitive (qf−1)-te Ein-
heitswurzel ζeine galoissche zahm verzweigte Erweiterung in ihrer Standard-Darstellung
nach Satz 3.2 a). Als zus¨
atzliche Bedingung setzen wir voraus, dass das Kompositum
N:= LT =K(α, ζ, e
√ζrπ) ebenfalls galoissch ¨
uber Kist.
Wir verallgemeinern nun die von H. Hasse in [12], Kapitel 16 verwendete Methode zur
Bestimmung von erzeugenden Automorphismen und einer endlichen Pr¨
asentation f¨
ur die
Galoisgruppe einer zahmen Erweiterung (vgl. Satz 3.2) auf die etwas kompliziertere Er-
weiterung N/K. Dabei geben wir die Automorphismen anhand ihrer Wirkung auf den drei
Elementen α, ζ und e
√ζrπan. In der endlichen Pr¨
asentation benutzen wir die Notation
[g1, g2] := g−1
1g−1
2g1g2f¨
ur den Kommutator zweier Gruppenelemente g1, g2.
82 Kapitel 6. Galoisgruppen
K
L T
N
G1
Abbildung 6.2: Gal(N/K) ist ein semidirektes Produkt G1oGal(N/L)
F¨
ur den folgenden Algorithmus brauchen wir noch einige weitere Vorbemerkungen:
Weil die K¨
orper Tund Laus Verzweigungsgr¨
unden trivialen Schnitt haben, ist G=
Gal(N/K) ein semidirektes Produkt Gal(N/T)oGal(N/L), bei dem der Normalteiler
G1= Gal(N/T) die erste Verzweigungsgruppe von Gund die Untergruppe Gal(N/L) iso-
morph zur Faktorgruppe Gal(T/K) ist (vgl. Lemma 6.1 und Abbildung 6.2). Das Polygon
VN/T besteht aus einem Segment mit ganzzahliger Steigung nach Lemma 4.9, was genau
einen Sprung in der Filtration der h¨
oheren Verzweigungsgruppen von G1impliziert (siehe
Lemma 5.6). Sei −hdiese Steigung und ℘das maximale Ideal von ON. Wir werden im
Algorithmus den Monomorphismus Θhaus Lemma 6.2 nutzen, der G1in (℘h/℘h+1,+)
einbettet.
Algorithmus 6.2 (Galoisgruppe bei einem Segment mit Automorphismen)
Input:
Eine galoissche Erweiterung N=K(α, ζ, e
√ζrπ) mit den oben beschriebenen Eigenschaf-
ten. Insbesondere ist αNullstelle eines Eisensteinpolynoms f(x)∈K[x] vom Grad pm
mit einsegmentigem Verzweigungspolygon und ζist (qf−1)-te Einheitswurzel.
Output:
Die Gruppe Gal(N/K) als endlich pr¨
asentierte Gruppe, sowie eine Liste von Automorphis-
men von N/K, die zu jedem Erzeuger der endlichen Pr¨
asentation einen Automorphismus
enth¨
alt.
GaloisGruppeEinSegmentPlus(N/K,f(x))
(1) berechne die Nullstellen α=α1, . . . , αpmvon f(x) in N
(2) setze k:= r(q−1)
eund `:= qf−1
eund erzeuge die Automorphismen
σ:α17→ α1, ζ 7→ ζ, e
pζrπ7→ ζ`e
pζrπund τ:α17→ α1, ζ 7→ ζq,e
pζrπ7→ ζke
pζrπ
von N/K
Kapitel 6. Galoisgruppen 83
(3) erzeuge G:= hs, t |se= 1, tf=sr, st=sqiund initialisiere A:= [σ, τ]
(4) w¨
ahle aus den Automorphismen
σi:α17→ αi, ζ 7→ ζ, e
pζrπ7→ e
pζrπ(2 ≤i≤pm)
mErzeuger σ1, . . . , σmvon G1= Gal(N/T) und f¨
uge sie zu Ahinzu
(5) berechne die Erzeuger Θh(σ1),...,Θh(σm) von Θh(G1)≤(℘h/℘h+1,+)
(6) f¨
uge der Pr¨
asentation Gdie Erzeuger a1, . . . , amund die Relationen [ai, aj] = ap
i= 1
f¨
ur 1 ≤i < j ≤mhinzu, identifiziere aimit Θh(σi) f¨
ur 1 ≤i≤m
(7) bestimme f¨
ur 1 ≤i≤mdie Worte siund tiin a1, . . . , am, die σ(Θh(σi)) bzw.
τ(Θh(σi)) entsprechen
(8) f¨
uge die Relationen as
i=siund at
i=tif¨
ur 1 ≤i≤mzu Ghinzu
(9) gib die Gruppe Gund die Liste Azur¨
uck
Bemerkungen zum Algorithmus:
(1) Die Nullstellen k¨
onnen z.B. durch eine Faktorisierung in N[x] bestimmt werden. Das
Polynom f(x) ist auch irreduzibel ¨
uber T, es gilt also N=T(α1) und die Elemente
von G1= Gal(N/T) sind durch α17→ αi(1 ≤i≤pm) bestimmt (vgl. Schritt (4)).
(2) Die Automorphismen σ, τ k¨
onnen in dieser Form angegeben werden, weil Gal(N/K)
ein semidirektes Produkt ist (siehe Vorbemerkungen). Sie sind (triviale) Fortsetzun-
gen der entsprechenden Automorphismen der Teilerweiterung T/K (vgl. Satz 3.2 c))
und erzeugen die Untergruppe Gal(N/L).
(3) Die endliche Pr¨
asentation Gbeschreibt diese Untergruppe bei Identifizierung von
s, t mit σ, τ. Es gilt Gal(N/L)∼
=Gal(T/K)∼
=G.
(4) Es ist G1∼
=Cm
p. Weil wir die Automorphismen von G1explizit gegeben haben lassen
sich mlinear unabh¨
angige Elemente leicht ermitteln.
(5) F¨
ur die Berechnung von Θh(G1) k¨
onnen wir ein beliebiges (Lemma 6.2 b)) Primele-
ment πNvon Nw¨
ahlen. Es gilt dann Θh(σi) = (σi(πN)/πN−1) + ℘h+1.
(6) Es ist ha1, . . . , am|[ai, aj] = ap
i= 1 f¨
ur 1 ≤i < j ≤mi∼
=G1.
(8) Jetzt ist ha1, . . . , amiNormalteiler in der neuen endlichen Pr¨
asentation G. Wegen
Lemma 6.2 c) entspricht die in (7) festgelegte Operation von hs, tiauf diesem Nor-
malteiler der Operation von Gal(N/L) auf G1(vgl. auch Satz 6.3).
84 Kapitel 6. Galoisgruppen
Die von Algorithmus 6.2 ermittelte endlich pr¨
asentierte Gruppe ist von der Form
hs, t, a1, . . . , am|
se= 1, tf=sr, st=sq,[ai, aj] = ap
i= 1, as
i=si, at
i=tif¨
ur 1 ≤i < j ≤mi.
Wir merken an, dass diese Gruppe ohne die zugeh¨
origen Automorphismen wie in Algo-
rithmus 6.1 mit deutlich weniger Aufwand bestimmt werden kann. F¨
ur die Anwendung in
den n¨
achsten Abschnitten sind aber gerade explizite Automorphismen zu jedem Erzeuger
wichtig.
6.2 Ein ¨
Uberblick: Galoisgruppen als Gruppenerwei-
terungen
F¨
ur die Beschreibung und Konstruktion von Galoisgruppen als Gruppenerweiterungen im
n¨
achsten Abschnitt stellen wir hier die n¨
otige Theorie zusammen. Ein ¨
ahnlicher Ansatz
wurde schon von I. Shavarevich in [37] verfolgt.
F¨
ur eine abelsche Gruppe Aund eine Gruppe Hsowie Homomorphismen µund κheißt
eine exakte Sequenz
1→Aµ
−→ Gκ
−→ H→1
Erweiterung von Amit H. Man spricht auch bei der Gruppe Gvon einer Erweiterung
von Amit H. Dabei identifiziert man den Normalteiler µ(A) von Gmit Aund die Fak-
torgruppe G/µ(A) mit H. Wir benutzen im Folgenden die Schreibweisen ,→f¨
ur einen
Monomorphismus und f¨
ur einen Epimorphismus und sparen uns meist die Bezeichnun-
gen µund κ. Unsere Gruppenerweiterung hat damit die Form
A ,→GH.
Zu jeder Gruppenerweiterung geh¨
ort eine nat¨
urliche Operation von Hauf A, die der Ope-
ration der Faktorgruppe G/µ(A) auf dem Normalteiler µ(A) per Konjugation entspricht.
Sie l¨
asst sich durch einen Homomorphismus ϕ:H→Aut(A) beschreiben. ¨
Uber ϕwird
die Gruppe Azu einem H-Modul.
Definition 6.6
Zwei Gruppenerweiterungen A ,→GHund A ,→˜
GHheißen ¨
aquivalent, wenn es
einen Homomorphismus βgibt, so dass das Diagramm
Kapitel 6. Galoisgruppen 85
A H
G
˜
G
β
kommutiert. Die Abbildung βist dann ein Isomorphismus und beide Erweiterungen in-
duzieren die gleiche H-Modul Struktur auf A.
Den folgenden Satz und eine ausf¨
uhrliche Behandlung der Erweiterungstheorie von Grup-
pen findet man z.B. in [35], Kapitel 11.
Satz 6.7
Sei Heine Gruppe und Aein H-Modul. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge
der ¨
Aquivalenzklassen von Erweiterungen von Amit Hzur vorgegebenen Modulstruktur
und der zweiten Kohomologiegruppe H2(H, A) = Z2(H, A)/B2(H, A).
Die Elemente der Gruppe Z2(H, A) sind Abbildungen γ:H×H→Aund heißen Ko-
zykel. Sie legen die Multiplikation von Elementen der Faktorgruppe Hin Gfest. W¨
ahlt
man zu jedem h∈Heinen festen Repr¨
asentanten h∈Gder zu hkorrespondierenden
Nebenklasse, so gilt
h1·h2=γ(h1, h2)·h1h2.
Eine wichtige Abbildung zwischen Kohomologiegruppen ist die sogenannte Inflation:
Definition 6.8
Sei Aein H-Modul und Nein Normalteiler der Gruppe H. Dann ist die Untergruppe
der N-invarianten Elemente von A(wir bezeichnen sie mit AN) ein H/N-Modul. Der
nat¨
urliche Epimorphismus HH/N und die Injektion AN,→Ainduzieren einen Ho-
momorphismus
inf : H2(H/N, AN)→H2(H, A),
der Inflation genannt wird (vgl. [28], Kapitel I, §5).
Wir untersuchen nun die folgende Situation:
Es sei F/K eine galoissche Erweiterung p-adischer K¨
orper. Die Gruppe H= Gal(F/K)
sei in Form von erzeugenden Automorphismen bekannt. Weiter sei M/F eine abelsche
Erweiterung, gegeben ¨
uber ihre Normgruppe N(M/F) in der multiplikativen Gruppe F×
(vgl. Abschnitt 2.4). Was ist die Galoisgruppe von M/K?
Nach Satz 2.21 ist der normale Abschluss Nvon M/K abelsch ¨
uber F. Sei R=N(N/F)
86 Kapitel 6. Galoisgruppen
die entsprechende Normgruppe. Die Gruppe G= Gal(M/K) ist jetzt als Gruppenerwei-
terung
F×/R ,→GH
darstellbar. Zur Bestimmung der Erweiterung Gbis auf ¨
Aquivalenz (Definition 6.6) ben¨
o-
tigt man die folgenden Daten:
•Die Gruppe R≤F×.
•Die Operation von Hauf F×/R in Form eines Homomorphismus
ϕ:H→Aut(F×/R).
•Die korrekte Nebenklasse von Kozykeln in der Gruppe H2(H, F×/R) (vgl. Satz 6.7).
Direkt mit Lemma 5.12 erhalten wir, dass man Rals
\
σ∈H
σ(N(M/F))
berechnen kann. Diese Gruppe ist invariant unter allen Automorphismen von H. Allge-
meiner gilt, dass die Invarianz der Normgruppe N(M/F) unter den Automorphismen von
F/K ¨
aquivalent zur Eigenschaft ”galoissch“ von M/K ist.
F¨
ur die Bestimmung der Operation ϕist die folgende Eigenschaft der Normrestabbildung
ρF:F×→Gal(Fab/F) (vgl. Abschnitt 2.4) entscheidend, die wir schon im Beweis von
Lemma 5.12 benutzt haben. Es gilt
ρF(σ(x)) = ˜σ−1·ρF(x)·˜σ=ρF(x)˜σ(6.1)
f¨
ur alle x∈F×und alle Automorphismen σvon F, wobei ˜σeine beliebige Fortsetzung
von σauf Fab bezeichnet.
Jetzt k¨
onnen wir ϕbeschreiben bzw. berechnen, wenn wir die Normrestabbildung modulo
Rbzw. ρF(R) = Gal(Fab/N) betrachten:
ρN/F :F×/R →Gal(N/F),
und so F×/R und Gal(N/F) identifizieren. Nach Gleichung (6.1) und wegen der Invarianz
von Rentspricht die nat¨
urliche Operation von σ∈Hauf F×/R der Konjugation mit σ
in Gal(M/F) und wir haben
ϕ:H→Aut(F×/R) : σ7→ (x·R7→ σ(x)·R)
Kapitel 6. Galoisgruppen 87
als Beschreibung von ϕ.
Zur Bestimmung der korrekten Klasse in H2(H, F×/R) werden wir tiefliegende Resulta-
te aus der Klassenk¨
orpertheorie und der Galois-Kohomologietheorie benutzen. F¨
ur eine
¨
Ubersicht zur Galois-Kohomologietheorie sei auf das Buch [28] verwiesen.
F¨
ur die folgenden S¨
atze betrachten wir auch die komplette Gruppe F×als Gal(F/K)-
Modul. Die Aussagen gelten allgemein f¨
ur galoissche Erweiterungen lokaler oder globaler
K¨
orper, sollen hier aber nur f¨
ur den Spezialfall von p-adischen K¨
orpern betrachtet werden.
Satz 6.9
Sei F/K eine endliche galoissche Erweiterung p-adischer K¨
orper mit Galoisgruppe H.
Dann ist die Gruppe H2(H, F×)zyklisch von der Ordnung |H|. Sie hat einen kanonischen
Erzeuger cF/K, der kanonische Klasse genannt wird.
Beweis: Siehe [21], Kapitel 2, §4.
Die kanonische Klasse legt die ¨
Aquivalenzklasse unserer Gruppenerweiterung fest:
Satz 6.10 (Shavarevich-Weil)
Sei F/K eine galoissche und N/F eine abelsche Erweiterung p-adischer K¨
orper, so dass
N/K ebenfalls galoissch ist. Weiter sei R≤F×die Normgruppe von N¨
uber Fund H=
Gal(F/K). Dann ist das Bild von cF/K unter der Abbildung H2(H, F×)→H2(H, F×/R)
die Klasse der Gruppenerweiterung
F×/R ,→Gal(N/K)H.
Beweis: Siehe [1], Kapitel 15.
Wir geben nun noch einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber den Standard-Ansatz zur Berechnung
der kanonischen Klasse, der z.B. in [3] beschrieben wird. Im n¨
achsten Abschnitt wird
dieses Verfahren dann bei der Berechnung der Galoisgruppe eines Eisensteinpolynoms mit
zwei Segmenten angewandt. Dort werden die einzelnen Rechenschritte deutlich expliziter
angegeben.
Die Idee ist, das Kompositum FV mit der unverzweigten Erweiterung V/K vom Grad
[F:K] zu konstruieren und die Tatsache auszunutzen, dass man die kanonische Klasse
f¨
ur unverzweigte Erweiterungen leicht angeben kann (siehe z.B. §30 und §31 in [25]).
Abbildung 6.3 zeigt das entsprechende K¨
orperdiagramm.
88 Kapitel 6. Galoisgruppen
K
F∩V
F V
FV
B
HCΓ
Abbildung 6.3: K¨
orperdiagramm zur kanonischen Klasse I
Sei ℘das maximale Ideal in OF. Wir bezeichnen mit U(d)
F:= 1 + ℘df¨
ur d= 1,2, . . . die
Einseinheiten d-ter Stufe von Fund setzen U(0)
F:= O×
F. Es gilt F×/U(d)
F∼
=πZ
F×(F)××
U(1)
F/U(d)
F(vgl. Satz 2.22) und wegen σ(U(d)
F) = U(d)
Ff¨
ur alle σ∈Hinduziert die nat¨
urliche
Operation auf F×auch eine H-Modul-Struktur f¨
ur F×/U(d)
F.
Im n¨
achsten Lemma und im darauf folgenden Rechenverfahren werden die Bezeichnungen
Γ = Gal(FV/K), B= Gal(FV/F) und C= Gal(V/K) verwendet (vgl. Abbildung 6.3).
Lemma 6.11
F¨
ur alle d≥1induziert die Inklusion F×⊆(FV )×einen H-Modulisomorphismus
F×/U(d)
F∼
=(FV )×/U(d)
FV B
und der Homomorphismus
inf : H2H, F×/U(d)
F→H2Γ,(FV )×/U(d)
FV
aus Definition 6.8 ist injektiv.
Beweis: Siehe [3].
Der Algorithmus aus [3] bestimmt das Bild der kanonischen Klasse unter dem Homo-
morphismus H2(H, F×)→H2(H, F×/U(d)
F) f¨
ur gegebenes d≥1 und beruht auf dem
kommutativen Diagramm in Abbildung 6.4. Darin stimmen das Bild der kanonischen
Klasse in H2(C, V ×) unter inf1und das Bild der kanonischen Klasse in H2(H, F×) unter
inf2¨
uberein. Außerdem ist inf3nach Lemma 6.11 injektiv.
Man ben¨
otigt drei Rechenschritte (genauere Erl¨
auterungen folgen in Abschnitt 6.3):
Kapitel 6. Galoisgruppen 89
(1) Bestimme die kanonische Klasse von V/K in H2(C, V ×).
(2) Berechne ihr Bild unter dem zusammengesetzten Homomorphismus
H2(C, V ×)inf1
−−→ H2(Γ,(FV )×)→H2Γ,(FV )×/U(d)
FV .
(3) Bestimme davon das Urbild unter der Abbildung
inf3: H2H, F×/U(d)
F→H2Γ,(FV )×/U(d)
FV .
Das Urbild existiert wegen der Kommutativit¨
at in Abbildung 6.4 und ist eindeutig
aufgrund der Injektivit¨
at von inf3nach Lemma 6.11.
H2H, F×/U(d)
FH2Γ,(FV )×/U(d)
FV
H2(H, F×) H2(Γ,(FV )×)
H2(C, V ×)
inf3
inf2
inf1
Abbildung 6.4: Kommutatives Diagramm zur kanonischen Klasse
6.3 Ein Algorithmus f¨
ur zwei Segmente
Sei f(x)∈K[x] ein Eisensteinpolynom vom Grad n=e0pmmit p-e0, dessen Verzwei-
gungspolygon aus genau zwei Segmenten besteht. Das Ziel dieses Abschnitts ist ein Algo-
rithmus, der Gal(f(x)) als endlich pr¨
asentierte Gruppe berechnet. Daf¨
ur beschreiben wir
zun¨
achst einige Unterfunktionen, die dann am Ende zum Algorithmus zusammengef¨
ugt
werden.
Wir m¨
ussen zwei verschiedene F¨
alle unterscheiden. Die entsprechenden Polygone sind in
Abbildung 6.5 und die zugeh¨
origen K¨
orpert¨
urme in Abbildung 6.6 dargestellt.
Wenn e06= 1 ist, dann hat das zweite Segment von Vf(x)Steigung 0, liegt also flach auf der
x-Achse. Der K¨
orperturm zum Polygon (vgl. Abschnitt 4.4) besteht dann aus einer wild
90 Kapitel 6. Galoisgruppen
n=e0pmn=pm
Abbildung 6.5: Zwei M¨
oglichkeiten bei zwei Segmenten
verzweigten Erweiterung L/L1vom Grad pm¨
uber der zahmen Teilerweiterung L1/K vom
Grad e0. Der zahme Teilk¨
orper Tdes Zerf¨
allungsk¨
orpers aus Satz 5.8 enth¨
alt L1, daher
berechnet uns p-ReduktionPlus(f(x)) (Algorithmus 5.2) den K¨
orperturm LT/T/K, in
dem LT/T elementar-abelsch und T/K galoissch ist (Satz 5.8). In diesem Fall betrachten
wir nach Abschnitt 6.2 die Gruppe G= Gal(f(x)) als Gruppenerweiterung
T×/R ,→GGal(T/K),
wobei R=N(N/T) und Nder normale Abschluss von LT ¨
uber Kist.
Wenn e0dagegen gleich 1, also n=pmist, haben wir zwei Segmente mit negativen
Steigungen. Der K¨
orperturm zu Vf(x)besteht aus zwei wild verzweigten Erweiterungen
und p-ReduktionPlus(f(x)) berechnet den K¨
orperturm LT/L1T/T/K, in dem LT/L1T
und L1T/T elementar-abelsch sind und L1T/K galoissch ist. Dies ist der interessantere
Fall. Hier wollen wir Gals Erweiterung
(L1T)×/R ,→GGal(L1T/K)
bestimmen, wobei R=N(N/L1T) und Nder normale Abschluss von LT ¨
uber Kist.
K
T=F
LT
n=e0pm
gal. H
el.-ab.
K
T
L1T=F
LT
n=pm
gal.
el.-ab.
el.-ab.
H
Abbildung 6.6: K¨
orpert¨
urme bei zwei Segmenten
Kapitel 6. Galoisgruppen 91
Wir notieren die folgende Funktion zur Berechnung der relevanten K¨
orpert¨
urme, in der
auch eine einheitliche Notation f¨
ur beide F¨
alle geschaffen wird. Die unverzweigte Erwei-
terung V/K brauchen wir sp¨
ater zur Berechnung der kanonischen Klasse (vgl. Abschnitt
6.2).
K¨
orpert¨
urme(f(x))
wenn e06= 1 ist
berechne mit p-ReduktionPlus(f(x)) den K¨
orperturm LT/T/K
setze F:= T
wenn e0= 1 ist
berechne mit p-ReduktionPlus(f(x)) den K¨
orperturm LT/L1T/T/K
setze F:= L1T
konstruiere die unverzweigte Erweiterung V/K vom Grad [F:K] und das
Kompositum FV
gib LT/F/K und FV/K zur¨
uck
Jetzt wollen wir f¨
ur die Gruppe Gal(FV/K) eine endliche Pr¨
asentation bestimmen und
Gal(F/K) und Gal(V/K) als Faktorgruppen dieser endlich pr¨
asentierten Gruppe dar-
stellen. Wir beschreiben das Verfahren f¨
ur den Fall e0= 1. Der andere Fall funktioniert
analog. Sei u= [F:K] und g(x) das Eisensteinpolynom f¨
ur die Erweiterung L1/K mit
Grad(g(x)) = pw. Es gilt w < m, genauer gesagt ist wdurch die Position des ”Knickes“
im Polygon bestimmt (vgl. Abbildung 6.5).
Das Kompositum FV ist galoissch ¨
uber Kund l¨
asst sich wie in den Erl¨
auterungen vor
Algorithmus 6.2 als FV =K(α, ζ, e
√ζrπ) schreiben, wobei αNullstelle von g(x) und ζeine
(qu−1)-te Einheitswurzel ist. Die Paramter eund rsind durch die Standard-Darstellung
der zahmen Erweiterung T/K bestimmt (vgl. Satz 3.2).
Mit Algorithmus 6.2 k¨
onnen wir nun eine endliche Pr¨
asentation von Gal(FV/K) inklusive
Automorphismen zu den einzelnen Erzeugern berechnen. Die Gruppe ist isomorph zu
Γ := hs, t, a1, . . . , aw|
se= 1, tu=sr, st=sq,[ai, aj] = ap
i= 1, as
i=si, at
i=tif¨
ur 1 ≤i < j ≤wi.
Zu sund tkorrespondieren die Automorphismen
σ:α7→ α, ζ 7→ ζ, e
pζrπ7→ ζ`e
pζrπund τ:α7→ α, ζ 7→ ζq,e
pζrπ7→ ζke
pζrπ,
wobei `und kdie ¨
ubliche Bedeutung haben (vgl. Abschnitt 3.2).
92 Kapitel 6. Galoisgruppen
Sei fder Tr¨
agheitsgrad von T/K. Mit v=qu−1
qf−1und r0=r
vl¨
asst sich der K¨
orper Fals
Teilk¨
orper von FV wie folgt darstellen:
F=K(α, ζv,e
pζvr0π).
Der Parameter rist durch vteilbar, weil e
√ζrπin Tliegt und darum ζrPotenz einer
primitiven (qf−1)-ten Einheitswurzel sein muss (vgl. erneut Satz 3.2).
Lemma 6.12
Die Gruppe Gal(FV/F)wird als Untergruppe von Gal(FV/K)vom Element
τf·σe−r0
erzeugt.
Beweis: Durch f- bzw. r0-maliges Hintereinanderausf¨
uhren und einige Umformungen erh¨
alt
man
τf:α7→ α, ζ 7→ ζqf,e
pζrπ7→ ζr0qu−1
ee
pζrπ
und
σr0:α7→ α, ζ 7→ ζ, e
pζrπ7→ ζr0qu−1
ee
pζrπ.
Daraus ergibt sich f¨
ur τfσe−r0=τf(σr0)−1die Beschreibung
τfσe−r0:α7→ α, ζ 7→ ζqf,e
pζrπ7→ e
pζrπ.
Es folgt, dass τfσe−r0die Elemente α,e
pζvr0π=e
√ζrπund auch die (qf−1)-te Einheits-
wurzel ζvfixiert, also in Gal(FV/F) liegt. Außerdem hat τfσe−r0Ordnung u/f = [FV :F]
und erzeugt somit die ganze Gruppe.
Mit Hilfe des Lemmas gelangen wir jetzt leicht von der endlichen Pr¨
asentation Γ f¨
ur
Gal(FV/K) zu einer endlichen Pr¨
asentation Hf¨
ur deren Faktorgruppe Gal(F/K), die
uns eigentlich interessiert:
H:= Γ/htfse−r0i.
Analog erhalten wir eine Gruppe Cf¨
ur die unverzweigte Teilerweiterung V/K:
C:= Γ/hs, a1, . . . , awi.
F¨
ur die Gruppe Hbrauchen wir f¨
ur die n¨
achsten Schritte wieder explizite Automorphis-
men zu den Erzeugern. Diese bekommen wir durch Einschr¨
ankung der entsprechenden
Automorphismen von FV/K auf Fnach dem Hauptsatz der Galoistheorie.
Im Fall e06= 1 k¨
onnen wir eine Beschreibung der zahmen Gruppe Gal(F/K) wie in Satz
3.2 bestimmen. Dabei gibt es nur die zwei erzeugenden Automorphismen σund τund
man erh¨
alt genau die gleiche Aussage wie in Lemma 6.12.
Wir fassen zusammen:
Kapitel 6. Galoisgruppen 93
GruppenPlusAutomorphismen(FV/K)
wenn F/K zahm verzweigt ist
bestimme die endlich pr¨
asentierte Gruppe Γ f¨
ur Gal(FV/K) und die zu-
geh¨
origen Automorphismen AΓ:= [σ, τ] wie in Satz 3.2
setze C:= Γ/hsi(∼
=Gal(V/K))
sonst
Γ,AΓ:= GaloisGruppeEinSegmentPlus(FV/K,g(x))
setze C:= Γ/hs, a1, . . . , awi(∼
=Gal(V/K))
setze H:= Γ/htfse−r0i(∼
=Gal(F/K))
schr¨
anke die Automorphismen in AΓauf Fein und speichere sie in AH
gib Γ,AΓ, H, AHund Czur¨
uck
Nachdem wir nun die Faktorgruppe f¨
ur unsere Gruppenerweiterung und deren Operation
im Griff haben, m¨
ussen wir uns um die Berechnung der korrekten Klasse von Kozykeln
k¨
ummern. Daf¨
ur wollen wir die kanonische Klasse (vgl. Satz 6.9 und Satz 6.10) mit dem
Ansatz aus Abschnitt 6.2 bestimmen. Alle relevanten K¨
orper und die zugeh¨
origen Galois-
gruppen sind noch einmal in Abbildung 6.7 dargestellt.
K
F∩V
F V
FV
HCΓ
Abbildung 6.7: K¨
orperdiagramm zur kanonischen Klasse II
Methoden zur Berechnung der endlich erzeugten abelschen Gruppe F×/U(d)
Ff¨
ur d≥1
(siehe [14] und [31]) sind im Computer-Algebra-System MAGMA [5] implementiert. Wir
m¨
ussen uns jetzt ¨
uberlegen, welches df¨
ur unsere Zwecke ausreicht. Weil wir die elementar-
abelsche Erweiterung N/F per Klassenk¨
orpertheorie in F×identifizieren wollen, gen¨
ugt
das kleinste dmit N(N/F)≥U(d)
F. Eine etwas gr¨
obere Absch¨
atzung f¨
ur derhalten wir,
wenn wir die Bedingung N(N/F)≥(F×)p≥U(d)
Fbenutzen, also alle elementar-abelschen
Erweiterungen von Fber¨
ucksichtigen. Das n¨
achste Lemma gibt ein geeignetes dan. Es
folgt aus der ”p-Potenzierungsregel“ f¨
ur Einseinheiten (siehe z.B. [12], Kapitel 15).
94 Kapitel 6. Galoisgruppen
Lemma 6.13
F¨
ur d:= bp·eF
p−1c+ 1 gilt F×≥(F×)p≥U(d)
F.
Beweis: Nach [7], Kapitel I, Abschnitt 5 gilt U(1)
Fp≥U(i)
Ff¨
ur jedes i > p·eF
p−1.
In der n¨
achsten Unterfunktion bestimmen wir die relevanten Kohomologiegruppen. Wir
benutzen die in MAGMA [5] vorhandenen Verfahren zur Berechnung von Gruppen des
Typs Hi(G, A) f¨
ur eine Gruppe G, eine endlich erzeugte abelsche Gruppe Aund i∈
{0,1,2}. Es muss zun¨
achst die Gruppe Amittels der Operation von Gauf Azu einem
G-Modul gemacht werden. Alle daf¨
ur n¨
otigen Informationen haben wir in GruppenPlus-
Automorphismen(FV/K) ermittelt.
F¨
ur eine ¨
Ubersicht ¨
uber die Methoden zur Kohomologieberechnung verweisen wir auf die
Zusammenfassung [15].
KohomologieGruppen(Γ,AΓ, H, AH, FV, F)
setze d:= bp·eF
p−1c+ 1
berechne (FV )×/U(d)
FV und mache daraus einen Γ-Modul ¨
uber die Operation
der Automorphismen aus AΓauf FV
berechne F×/U(d)
Fund mache daraus einen H-Modul ¨
uber die Operation der
Automorphismen aus AHauf F
berechne die Gruppen H2Γ,(FV )×/U(d)
FV und H2H, F×/U(d)
F
gib H2Γ,(FV )×/U(d)
FV und H2H, F×/U(d)
Fzur¨
uck
Die drei Schritte aus Abschnitt 6.2 zur Berechnung der kanonischen Klasse k¨
onnen in
unserer Situation wie folgt konkretisiert werden. Dabei bezeichnen wir mit [γ] die Koho-
mologieklasse eines Kozykels γin der entsprechenden zweiten Kohomologiegruppe.
Zu Schritt (1):
Der Erzeuger τvon Gal(FV/K) eingeschr¨
ankt auf Ventspricht dem Frobenius-Automor-
phismus und wir identifizieren damit die Nebenklasse von tin der endlich pr¨
asentierten
Gruppe C∼
=Gal(V/K). Die Abbildung γ1:C×C→V×wird definiert durch
γ1(ti, tj) := (1 wenn i+j < [V:K]
πwenn i+j≥[V:K].(6.2)
Sie ist ein Kozykel und repr¨
asentiert die kanonische Klasse in H2(C, V ×) (siehe z.B. §30
und §31 in [25]).
Kapitel 6. Galoisgruppen 95
Zu Schritt (2):
Ein Repr¨
asentant f¨
ur das Bild von [γ1] unter dem Homomorphismus
H2(C, V ×)inf1
−−→ H2(Γ,(FV )×)→H2Γ,(FV )×/U(d)
FV
l¨
asst sich als Komposition von mehreren Abbildungen konstruieren:
γ2: Γ ×Γ→C×Cγ1
−→ V×→(FV )×→(FV )×/U(d)
FV .
Der erste und der letzte Pfeil stehen f¨
ur den jeweiligen nat¨
urlichen Homomorphismus von
der Gruppe auf die Faktorgruppe. Der dritte Pfeil ist die Inklusion V⊆FV . Wir m¨
ussen
also f¨
ur Schritt (2) keine der Gruppen H2(C, V ×) und H2(Γ,(FV )×) berechnen.
Zu Schritt (3):
Wir m¨
ussen einen Kozykel γ3mit inf3([γ3]) = [γ2] f¨
ur die Inflations-Abbildung
inf3: H2H, F×/U(d)
F→H2Γ,(FV )×/U(d)
FV
finden, wobei wir die beiden Kohomologiegruppen explizit gegeben haben. Daf¨
ur sei
[µ1],...,[µh] ein Erzeugendensystem der abelschen Gruppe H2(H, F×/U(d)
F). Wir rech-
nen multiplikativ, weil die Verkn¨
upfung in H2(H, F×/U(d)
F) von der Multiplikation in F×
induziert wird. Wegen Lemma 6.11 hat [γ2]∈H2(Γ,(FV )×/U(d)
FV ) eine eindeutige Darstel-
lung
[γ2] = inf3([µ1])e1·. . . ·inf3([µh])eh
f¨
ur geeignete ganze Zahlen ei. Damit gilt f¨
ur die gesuchte Klasse [γ3]∈H2(H, F×/U(d)
F),
dass
[γ3] = [µ1]e1·. . . ·[µh]eh
ist. Die Bilder inf3([µi]) lassen sich wie in Schritt (2) ¨
uber die Komposition
Γ×Γ→H×Hµi
−→ F×→(FV )×→(FV )×/U(d)
FV
ermitteln.
Wir fassen das Verfahren zu einer letzten Unterfunktion zusammen:
KanonischeKlasseH2Γ,(FV )×/U(d)
FV ,H2H, F×/U(d)
F, C
konstruiere γ1:C×C→V×wie in (6.2)
konstruiere die Komposition
γ2: Γ ×Γ→C×Cγ1
−→ V×→(FV )×→(FV )×/U(d)
FV
96 Kapitel 6. Galoisgruppen
finde einen Kozykel γ3:H×H→F×/U(d)
Fmit inf3([γ3]) = [γ2]
gib γ3zur¨
uck
Aus der Gruppe H, dem H-Modul F×/U(d)
Fund dem Kozykel γ3k¨
onnen wir jetzt die
Erweiterung
F×/U(d)
F
µ
,→EH
als endlich pr¨
asentierte Gruppe erzeugen. Auch hierf¨
ur benutzen wir die in MAGMA [5]
vorhandenen Methoden (vgl. noch einmal [15]). Sei µder Epimorphismus von F×/U(d)
F
nach E.
Nach Abschnitt 6.2 beschreibt
R:= \
σ∈Gal(F/K)
σ(N(LT/F)) ≤F×
per Klassenk¨
orpertheorie die Erweiterung N/F. Um zu unserer Gruppe G∼
=Gal(f(x)) =
Gal(N/K) zu gelangen, berechnen wir die Gruppe N(LT/F) als Untergruppe von F×/U(d)
F
und f¨
uhren die entsprechende Rechnung in der Gruppe Edurch: Wir setzen
˜
R:= \
h∈H
(h−1·µ(N(LT/F)) ·h),
wobei Hein Repr¨
asentantensystem der Faktorgruppe Hin Eist. ˜
Rist Normalteiler von
Eund wir definieren G:= E/ ˜
R. Jetzt ist Gdie Erweiterung
F×/R ,→GH,
die nach Abschnitt 6.2 ¨
aquivalent ist zu
Gal(N/F),→Gal(f(x)) Gal(F/K),
wenn wir Gal(N/F) mit F×/R und Gal(F/K) mit Hidentifizieren.
Insgesamt haben wir den folgenden Algorithmus entwickelt:
Algorithmus 6.3 (Galoisgruppe bei zwei Segmenten)
Input:
Ein Eisensteinpolynom f(x)∈K[x] mit zweisegmentigem Verzweigungspolygon.
Output:
Eine endlich pr¨
asentierte Gruppe G, die isomorph zu Gal(f(x)) bzw. ¨
aquivalent zu Gal(f(x))
ist als Gruppenerweiterung im Sinne von Abschnitt 6.2.
Kapitel 6. Galoisgruppen 97
GaloisGruppeZweiSegmente(f(x))
(1) bestimme mit K¨
orpert¨
urme(f(x)) den Turm LT/F/K anhand von Vf(x)und das
Kompositum FV/K mit der unverzweigten Erweiterung V/K vom Grad [F:K]
(2) bestimme mit GruppenPlusAutomorphismen(FV/K) die endlichen Pr¨
asentationen
Γ∼
=Gal(FV/K), H ∼
=Gal(F/K) und C∼
=Gal(V/K),
sowie Automorphismen zu den Erzeugern von Γ und H(Listen AΓund AH)
(3) bestimme mit KohomologieGruppen(Γ,AΓ, H, AH, FV, F) die Gruppen
H2Γ,(FV )×/U(d)
FV und H2H, F×/U(d)
F
(4) bestimme mit
KanonischeKlasse H2Γ,(FV )×/U(d)
FV ,H2H, F×/U(d)
F, C
einen Repr¨
asentanten γ3der kanonischen Klasse in H2H, F×/U(d)
F
(5) konstruiere die Erweiterung F×/U(d)
F
µ
,→EHzu γ3
(6) berechne
˜
R:= \
h∈H
(h−1·µ(N(LT/F)) ·h)≤E,
wobei Hein Repr¨
asentantensystem von Hin Eist, und setze G:= E/ ˜
R
(7) gib Gzur¨
uck
Zum besseren Verst¨
andnis von Algorithmus 6.3 diskutieren wir ein ausf¨
uhrliches Beispiel:
Beispiel 6.2
Wir betrachten das Eisensteinpolynom f(x) = x9+ 3x6+ 9x+ 3 ∈Q3[x]. Mit L/Q3
bezeichnen wir wie immer die von f(x) erzeugte Erweiterung. Das Verzweigungspolygon,
die assoziierten Polynome ¨
uber F3und der entsprechende K¨
orperturm sind in Abbildung
6.8 dargestellt.
Beide Segmente haben assoziierte Tr¨
agheit 2 und ganzzahlige Steigungen, darum ist der
K¨
orper Taus Satz 5.8 die unverzweigte Erweiterung vom Grad 2. Im K¨
orperturm sind
die Erweiterungen F/Q3und LT/F galoissch. Sei g(x)∈T[x] das Eisensteinpolynom f¨
ur
die Erweiterung F/T mit den Nullstellen α1, α2, α3und V/Q3die unverzweigte ”Hilfser-
weiterung“ vom Grad 6. Dann k¨
onnen wir das Kompositum FV vom Grad 18 ¨
uber Q3
98 Kapitel 6. Galoisgruppen
10
6
28
m1= 2
m2= 1
AS1(y) = y2+ 1
AS2(y) = y6+ 1 = (y2+ 1)3
Q3
T
L1T=F
LT
V
f= 2
3
g(x)
3
Abbildung 6.8: f(x) = x9+ 3x6+ 9x+ 3 ∈Q3[x]
als FV =Q3(α1, ζ) darstellen f¨
ur eine primitive (36−1)-te Einheitswurzel ζ. Algorithmus
6.2 berechnet nun die endliche Pr¨
asentation
Γ = ht, a1|t6=a3
1= 1, at
1=a2
1i∼
=C3oC6
f¨
ur Gal(FV/Q3) mit den zugeordneten Automorphismen τ:α17→ α1, ζ 7→ ζ3und σ1:
α17→ α2, ζ 7→ ζ. Mit F=Q3(α1, ζ 36−1
32−1) als Teilk¨
orper von FV und Lemma 6.12 erhalten
wir
H= Γ/ht2i=ht, a1|t2=a3
1= 1, at
1=a2
1i∼
=C3oC2∼
=S3
mit den entsprechenden auf Feingeschr¨
ankten Automorphismen als Beschreibung von
Gal(F/Q3), sowie C= Γ/ha1i=ht|t6= 1if¨
ur Gal(V/Q3). Damit kennen wir die Faktor-
gruppe f¨
ur unsere Gruppenerweiterung samt Operation. Als H- bzw. Γ-Modul nehmen
wir in diesem Beispiel die Gruppe F×/U(5)
Fbzw. (FV )×/U(5)
FV , weil d=b3·3
2c+ 1 = 5 ist
(vgl. Lemma 6.13). MAGMA berechnet
F×/U(5)
F∼
=C4
3×C2
9×C32−1×C∞und (FV )×/U(5)
FV ∼
=C12
3×C6
9×C36−1×C∞.
Dabei werden die unendlichen Anteile vom Primelement erzeugt und die Gruppen C32−1
und C36−1korrespondieren zur multiplikativen Gruppe des jeweiligen Restklassenk¨
orpers
(vgl. Satz 2.22). F¨
ur die Kohomologiegruppen erh¨
alt man
H2H, F×/U(5)
F∼
=C3×C6und H2Γ,(FV )×/U(5)
FV ∼
=C3×C18.
Jetzt bestimmen wir anhand des Diagrammes in Abbildung 6.4 das Bild der kanonische
Klasse unter
H2(H, F×)→H2H, F×/U(5)
F
Kapitel 6. Galoisgruppen 99
und damit den korrekten Kozykel f¨
ur unsere Erweiterung. Einen Repr¨
asentanten γ1:
C×C→V×der kanonischen Klasse in H2(C, V ×) kann man direkt hinschreiben:
γ1(ti, tj) := (1 wenn i+j < 6
3 wenn i+j≥6.
Daraus wird nun wie beschrieben in zwei Schritten der gew¨
unschte Kozykel γ3:H×
H→F×/U(5)
Fbestimmt. F¨
ur γ2und γ3lassen sich leider keine sch¨
onen geschlossenen
Formeln angeben. Es sei nur bemerkt, dass γ3nicht in B2H, F×/U(5)
Fliegt, also nicht
zur zerfallenden Erweiterung f¨
uhrt. Die Gruppe Eist nun eine Erweiterung der Form
C4
3×C2
9×C32−1×C∞,→ES3.
Die Normgruppe N(LT/F) hat Index 3 in F×, weil die Erweiterung LT/F abelsch vom
Grad 3 ist. Außerdem ist nach Lemma 6.13 N(LT/F)≥U(5)
F. F¨
ur die Normgruppe
R≤F×der normalen H¨
ulle Nvon LT/K gilt in unserem Beispiel F×/R ∼
=C3×C3. Das
heißt, LT/F wird von den Automorphismen in Gal(F/Q3) einmal echt ”kopiert“. Dieses
Kopieren f¨
uhren wir bei der Berechnung von ˜
Rin der Gruppe Edurch. Unser Ergebnis
G=E/ ˜
Rist nun eine Gruppenerweiterung
C3×C3,→GS3.
Es handelt sich jetzt sogar um die zerfallende Erweiterung (C3×C3)oS3, weil der zu-
geh¨
orige Kozykel (das Bild von γ3unter H2(H, F×/U(5)
F)→H2(H, F×/R)) trivial ist in
H2(H, F×/R). Die Gruppe Gist isomorph zur Galoisgruppe 9T11 von f(x) als Permuta-
tionsgruppe auf den Nullstellen, die man in der Datenbank [18] finden kann.
Die in MAGMA implementierte Version von Algorithmus 6.3 ben¨
otigt f¨
ur dieses Beispiel
eine Rechenzeit von 1,77 Sekunden (vgl. Kapitel 7). •
Kapitel 7
Beispiele
Die in dieser Arbeit vorgestellten Algorithmen zur Galoisgruppenberechnung wurden im
Computer-Algebra-System MAGMA [5] implementiert und in zahlreichen Beispielen ge-
testet. Die meisten Beispiele sind der Online-Datenbank [18] von John Jones und David
Roberts entnommen. Sie enth¨
alt komplette Tabellen aller Erweiterungen vom Grad nvon
Qp, teilweise mit Angabe der Galoisgruppe in der Nummerierung der transitiven Permu-
tationgruppen nach [4]. F¨
ur p|nund n6=pwird maximal Grad n= 10 unterst¨
utzt. Mit
unseren Verfahren l¨
asst sich f¨
ur alle zahm verzweigten Erweiterungen (Algorithmus 3.1)
sowie f¨
ur alle rein verzweigten Erweiterungen (Algorithmen 6.1 und 6.3) der Datenbank
die Galoisgruppe berechnen. Einzige Ausnahme bilden Grad-8-Erweiterungen ¨
uber Q2,
die drei Segmente im Verzweigungspolygon haben.
Andererseits geht die Reichweite der Algorithmen 6.1 und 6.3 f¨
ur Eisensteinpolynome
mit ein- bzw. zweisegmentigem Verzweigungspolygon aber auch weit ¨
uber die Datenbank
hinaus. Es kann z.B. die Galoisgruppe eines beliebigen Eisensteinpolynoms vom Grad p2
¨
uber K⊇Qpbestimmt werden.
In diesem Kapitel betrachten wir konkrete Eisensteinpolynome ¨
uber p-adischen K¨
orpern
und geben die von unseren Algorithmen berechnete Galoisgruppe zusammen mit der
ben¨
otigten Rechenzeit an. Dabei legen wir keinen Wert darauf, alle Erweiterungen ei-
nes Grades abzuarbeiten, sondern m¨
ochten m¨
oglichst viele verschiedene und interessante
Galoisgruppen treffen. Alle Berechnungen wurden auf einem 2,26 GHz Prozessor unter
Linux durchgef¨
uhrt.
100
Kapitel 7. Beispiele 101
7.1 Polynome mit einem Segment
Die Tabellen 7.1, 7.2, 7.3 und 7.4 enthalten Polynome f(x)∈Qp[x] vom Grad pm, bei
denen Vf(x)aus genau einem Segment besteht. Zu jedem Polynom werden der Verzwei-
gungsindex eund der Tr¨
agheitsgrad fdes Zerf¨
allungsk¨
orpers sowie die Laufzeit der Be-
rechnung in Sekunden angegeben. Die Zahl 0 steht f¨
ur eine Laufzeit unter einer hundertstel
Sekunde. Zur Bestimmung der Galoisgruppe wurde Algorithmus 6.1 benutzt. In den Ta-
bellen geben wir Erzeuger der Gruppe H0≤GL(m, p) an, die das semidirekte Produkt
Gal(f(x)) = Cm
poHeindeutig bestimmt (vgl. Satz 6.3). Zus¨
atzlich stellen wir bei Polyno-
men vom Grad kleiner gleich 30 die Beschreibung der Galoisgruppe in der Klassifizierung
der transitiven Permutationgruppen nach [4] zur Verf¨
ugung.
Polynom e f Gruppe Laufz.
x4+ 2x+ 2 3 ·2220 1
1 1,1 0
1 14T50
x4+ 2x3+ 2x2+ 2 2230 1
1 14T40
x4+ 2x3+ 2 2221 0
1 14T30
x8+ 2x+ 2 7 ·233
010
001
110
,
100
001
011
8T36 0
x8+ 2x7+ 2 233
100
001
011
8T13 0
x8+ 2x7+ 2x6+ 2 237
011
100
010
8T25 0,01
x8−6x7+ 70x6+
372x5+ 638x4+
504x3+192x2+32x+2
234
010
101
001
8T19 0
x16 + 4x7+ 2 15 ·244
1010
0101
1110
0111
,
1000
0010
1100
0011
16T1079 0
Tabelle 7.1: Beispiele ¨
uber Q2mit einem Segment
102 Kapitel 7. Beispiele
Polynom e f Gruppe Laufz.
x9+ 3x2+ 3 4 ·3221 1
1 2,0 1
2 09T14 0
x9+ 3x2+ 6 4 ·3221 1
1 2,1 0
1 29T16 0
x9+ 3x4+ 6 2 ·3222 0
0 2,0 1
2 09T90
x9+ 6x4+ 6x3+ 3 2 ·3232 0
0 2,1 2
0 19T11 0
x9+ 3x4+ 3x3+ 3 2 ·3242 0
0 2,1 2
2 09T15 0
x9+ 3x7+ 6x6+ 6 8 ·3222 1
1 0,2 1
1 19T19 0
x9+ 3x8+ 3x6+ 3 3231 2
0 19T70
x81 + 3x80 + 3x70 + 3x60 +
3x50 +3x40 +3x30 +3x20 +
3x10 + 3
8·344
1022
2101
1211
1122
,
1000
0001
1111
0211
0,07
x81 + 3x80 + 3x70 + 3x60 +
3x50 +3x40 +3x30 +3x20 +
3x10 + 6
8·344
1022
2101
1211
1122
,
0100
1001
1112
1022
0,07
Tabelle 7.2: Beispiele ¨
uber Q3mit einem Segment
Polynom e f Gruppe Laufz.
x5+ 5x2+ 5 2 ·5 2 4,25T50
x5+ 5x4+ 5 5 2 45T20
x25 + 5x15 + 10x4+ 10 6 ·5222 2
1 4,3 1
0 225T28 0,01
x25 + 5x20 + 5x2+ 5 12 ·5223 1
3 4,0 1
2 025T25 0,01
x25 + 5x11 + 5 24 ·5222 3
4 0,1 0
1 425T56 0,01
Tabelle 7.3: Beispiele ¨
uber Q5mit einem Segment
Kapitel 7. Beispiele 103
Polynom e f Gruppe Laufz.
x2809 + 53x+ 53 ∈Q53[x] 2808 ·53220 1
51 4,1 0
4 522,06
x2809 + 53x13 + 53 ∈Q53[x] 216 ·53226 23 38
30 16,15 0
7 3815,82
x3481 + 59x+ 59 ∈Q59[x] 3480 ·59220 1
57 1,1 0
1 582,78
x3481 + 59x348 + 59 ∈Q59[x] 10 ·59258 16 2
55 18,17 0
17 4210,6
Tabelle 7.4: Beispiele ¨
uber Q53 und Q59 mit einem Segment
104 Kapitel 7. Beispiele
7.2 Polynome mit zwei Segmenten
Bei Polynomen mit zwei Segmenten (Tabellen 7.5, 7.6 und 7.7) wurde mit Algorithmus 6.3
eine endliche Pr¨
asentation der Galoisgruppe berechnet. Damit ist nur der Isomorphietyp
der Gruppe bestimmt. Hier beschreiben wir die Gruppe anhand ihrer Nummer in der
”Small Groups Library“ (siehe [2]), die in MAGMA und GAP [8] implementiert ist. Sie
enth¨
alt alle Gruppen der Ordnung nf¨
ur n≤2000. Jede Gruppe hat eine Bezeichnung
der Form < n, k >, wobei kzu einer Nummerierung der Gruppen innerhalb der Ordnung
geh¨
ort. Wurden endlich pr¨
asentierte Gruppen konstruiert, deren Ordnung 2000 ¨
ubersteigt,
schreiben wir nur ”< n, ?>“.
Auch in diesem Fall geben wir zus¨
atzlich die Beschreibung der Galoisgruppe als Permu-
tationsgruppe an, wenn sie bekannt ist.
Polynom e f Gruppe Laufzeit
x4+ 6x2+ 4x+ 6 221<4,2>4T20,08
x4+ 2x2+ 4x+ 6 222<8,3>4T30,1
x6+ 10 3 ·2 2 <12,4>6T30,68
x6+ 2x+ 2 3 ·222<24,12 >6T80,62
x6+ 6x4+ 6 3 ·232<48,48 >6T11 0,7
x8+ 4x5+ 2x4+ 10 232<16,13 >8T11 0,49
x8+ 4x5+ 6x4+ 2 242<32,6>8T19 0,48
x8+ 2x4+ 4x3+ 2 3 ·232<48,48 >8T24 23,57
x8+ 8x+ 2 252<64,138 >8T29 0,44
x8+ 4x5+ 2x4+ 4x2+ 2 253<96,70 >8T33 0,85
x8+ 2x6+ 2 262<128,928 >8T35 3,76
x8−4x7−16x6−8x5+98x4−128x3+
76x2−20x+ 2
3·252<192,955 >8T41 23,77
x10 + 2x6−2 5 ·254<640,21536 >10T29 34,61
x16 +240x15 +57350x14 +25932x13 +
741408x12 +626024x11 +884632x10 +
288320x9+ 912360x8+ 330656x7+
431352x6+ 615248x5+ 776x4+
675664x3+ 935604x2+ 512344x+
358762
273<384,5833 >618,87
x16 −2x14 + 2 211 3<6144,?>522,51
Tabelle 7.5: Beispiele ¨
uber Q2mit zwei Segmenten
Kapitel 7. Beispiele 105
Polynom e f Gruppe Laufzeit
x9+ 3x8+ 3x7+ 6x3+ 6 2 ·321<18,3>9T43,36
x9+ 9x7+ 6x6+ 18x5+ 3 323<27,4>9T60,31
x9+ 3x6+ 9x+ 3 332<54,5>9T11 1,77
x9+ 6x6+ 9x+ 3 333<81,7>9T17 0,3
x9+ 6x5+ 3x3+ 3 2 ·332<108,17 >9T18 46,42
x9+ 6x6+ 18x+ 6 336<162,10 >9T20 1,79
x9+ 3x3+ 9x2+ 3 2 ·342<324,39 >9T24 47,39
x18 + 47928x16 + 92898x14 +
73497x12 + 31635x10 + 8181x8+
783x6+ 270x4+ 3
2·323<54,10 >0,94
x27 + 13122x25 + 58452x24 +
26244x23 + 2106x22 + 30456x21 +
57105x20 + 21321x19 + 45441x18 +
1215x17 + 44766x16 + 6561x15 +
33804x14 + 36612x13 + 19116x12 +
41391x11 + 31104x10 + 51111x9+
30618x8+ 40824x7+ 49329x6+
44469x5+ 7533x4+ 1620x3+
2187x2+ 33534x+ 15738
374<8748,?>1125
x27 + 6561x25 + 3x24 + 6561x23 +
81x22 + 81x21 + 243x20 + 9x19 +
243x18 + 243x17 + 27x16 + 6561x15 +
27x14 + 81x13 + 81x12 + 81x11 +
243x10 + 81x9+ 2187x8+ 729x7+
243x6+ 729x5+ 243x4+ 81x3+
2187x2+ 729x+ 3
384<26244,?>2683
Tabelle 7.6: Beispiele ¨
uber Q3mit zwei Segmenten
106 Kapitel 7. Beispiele
Polynom e f Gruppe Laufz.
x10 + 5x2+ 5 4 ·5 1 <20,3>10T40,33
x10 −20x5+ 15x4+ 5 2 ·5 5 <50,3>10T60,1
x10 −15x6−20x5+ 5 4 ·521<100,12 >10T10 0,36
x10 −5x6−10x5+ 5 4 ·522<200,42 >10T17 5,91
x25 + 75x23 + 180x20 + 9764275x19 +
75x18 + 9760450x16 + 6200x15 +
9760000x13 + 30375x12 + 2025x11 +
9763250x10 + 50625x9+ 5775x8+
33750x6+ 2850x5+ 7800x3+ 9765620
535<625,7>4,47
x25 + 2500x21 + 1380x20 + 40000x17 +
43600x16 + 11875x15 + 240000x13 +
382000x12 + 192400x11 + 30175x10 +
640000x9+ 1320000x8+ 942000x7+
266000x6+ 662400x5+ 1600000x4+
1440000x3+544000x2+63500x−4255
555<15625,?> C5oC54,4
x25 +2500x21 +1120x20 +9725625x17 +
9729225x16+9757350x15+240000x13+
338000x12 + 168600x11 + 29275x10 +
9125625x9+8525625x8+8787625x7+
9404625x6+ 588850x5+ 1600000x4+
1760000x3+ 1036000x2+ 325500x+
43245
5510 <31250,?>38,95
Tabelle 7.7: Beispiele ¨
uber Q5mit zwei Segmenten
Kapitel 7. Beispiele 107
7.3 Bemerkungen zur Implementierung
Zur Berechnung der Beispiele bei zwei Segmenten wurde eine leicht modifizierte Version
von Algorithmus 6.3 verwendet. Darin wird die kanonische Klasse (vgl. Satz 6.9) nicht
mit dem in Abschnitt 6.2 beschriebenen Standard-Ansatz bestimmt, sondern es wird
ein gerade neu entwickeltes Verfahren von Ruben Debeerst benutzt (siehe [6]). Dadurch
konnten deutlich bessere Laufzeiten erreicht werden.
Die Komplexit¨
at von Algorithmus 6.1 f¨
ur Polynome mit einsegmentigem Verzweigungs-
polygon wurde in Satz 6.5 angegeben. Die tats¨
achliche Laufzeit ist abh¨
angig von der
Gr¨
oße des endlichen K¨
orpers, in dem die Berechnungen stattfinden, und vom Grad des
assoziierten Polynoms, das faktorisiert werden muss. Hat der Grundk¨
orper einen zu Fq
isomorphen Restklassenk¨
orper, so wird im Algorithmus im K¨
orper Fqfgerechnet, wobei f
nach Korollar 5.4 durch den Grad des Polynoms nach oben beschr¨
ankt ist. Weil keinerlei
Rechenoperationen in einem p-adischen K¨
orper durchgef¨
uhrt werden, ist Algorithmus 6.1
deutlich schneller als Algorithmus 6.3 f¨
ur zwei Segmente.
Bei Algorithmus 6.3 hat der Grad des Zwischenk¨
orpers F(vgl. Abschnitt 6.3) ¨
uber Qp
den gr¨
oßten Einfluss auf die Laufzeit. Denn f¨
ur Fmuss die multiplikative Gruppe F×/U(d)
F
und die kanonische Klasse in H2(Gal(F/K), F×/U(d)
F) bestimmt werden. Dieser Grad ist
wiederum abh¨
angig vom Grundk¨
orper, von der L¨
ange des zweiten Segmentes und von der
Gr¨
oße des K¨
orpers T, der von Algorithmus 5.1 (p-Reduktion) ermittelt wird. Am schnells-
ten ist das Verfahren bei Polynomen ¨
uber Qp, deren Polygon ganzzahlige Steigungen und
zerfallende assoziierte Polynome hat, so dass nur noch eine p-Gruppe berechnet werden
muss (vgl. Satz 5.8).
F¨
ur Polynome, bei denen [F:Qp] gr¨
oßer als 40 ist, ist Algorithmus 6.3 nicht mehr prak-
tikabel. In diesen F¨
allen dauern die Kohomologie-Berechnungen mehrere Tage. Daher ist
es ratsam, bei Polynomen h¨
oheren Grades zun¨
achst das Verzweigungspolygon zu bestim-
men und die p-Reduktion durchzuf¨
uhren (beides ist in polynomieller Zeit m¨
oglich), um
[F:Qp] zu ermitteln. Danach kann entschieden werden, ob Algorithmus 6.3 oder z.B. eine
Zerf¨
allungsk¨
orperberechnung durchgef¨
uhrt wird.
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