Document [original]

Fakultät für

Elektrotechnik,

Informatik und

Mathematik

Adaptive Digitalfilter f¨

ur die

aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen

Zur Erlangung des akademischen Grades

DOKTORINGENIEUR (Dr.-Ing.)

der Fakult¨

at f¨

ur Elektrotechnik, Informatik und Mathematik

der Universit¨

at Paderborn

genehmigte Dissertation

von

Dipl.-Ing. Tobias Balkenhol

Paderborn

Referent: Prof. Dr.-Ing. Ulrich Hilleringmann

Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Reinhold H¨

ab-Umbach

Tag der m¨

undlichen Pr¨

ufung: 18.08.2009

Paderborn, den 18.08.2009

Diss. EIM-E/254

Inhaltsverzeichnis

Einf¨

uhrung 1

I Akustische Modellierung 5

1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren 7

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre . . . . . . . . . 9

1.1.1 Vorbemerkungen ...................... 10

1.1.2 Zustandsgleichung f¨

ur ein ideales Gas . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Die Kontinuit¨

atsgleichung ................. 12

1.1.4 Die Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 Die W¨

armeleitungsgleichung ............... 13

1.1.6 L¨

osung der Navier-Stokes-Fourier-Gleichungen . . . . . 15

1.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Vereinfachtes Modell nach Kirchhoff . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Vereinfachtes Modell nach Munjal . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Vereinfachtes Modell nach Stinson . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4 Vereinfachtes Modell nach Keefe . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande . . . . . . . . . . 25

1.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande . . . . . . . . . . 29

1.4.1 Vereinfachtes Modell nach Franken et al. . . . . . . . 33

1.4.2 Vereinfachtes Modell nach Keefe . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Bewertung der Approximationen ................. 34

1.5.1 Vorbetrachtungen und Fehlermaße . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande . . . . . . . . . 35

1.5.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande . . . . . . 36

1.5.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande . . . . . . 38

ii Inhaltsverzeichnis

2 Modellierung von R¨

ohrensystemen 40

2.1 Leitungsmodell f¨

ur einen akustischen Wellenleiter . . . . . . . . 40

2.1.1 Charakteristische Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Zweitormodellierung .................... 43

2.2 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache . . . . . . 44

2.2.1 Die Webster-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2 Stufenweise Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Modellierung einer endlichen R¨

ohrenl¨

ange . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 M¨

undung ohne Flansch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 M¨

undung mit unendlich ausgedehntem Flansch . . . . . 52

2.4 Modellierung von Abzweigungen ................. 52

2.5 Modellierung von nicht-idealen Schallquellen . . . . . . . . . . . 54

2.6 Untersuchungen zur Modellierung eines R¨

ohrensystems . . . . . 56

2.6.1 Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.2 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Str¨

omung im R¨

ohrensystem 62

3.1 D¨

ampfungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Zweitormodellierung eines durchstr¨

omten Wellenleiters . . . . . 64

3.3 Konvektive Schallfeldgr¨

oßen .................... 65

3.4 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache . . . . . . 67

3.4.1 Stufenweise Approximation nach Gupta et al. . . . . . 67

3.4.2 Modellierung von Querschnittsspr¨

ungen nach Munjal . 68

II Algorithmen f¨

ur die aktive Schalld¨

ampfung 71

4 Aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen 73

4.1 Blockschaltbild eines ANC-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.1 Feedforward- und Feedback-Verfahren . . . . . . . . . . 76

4.1.2 Optimale ¨

Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.3 Energetische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Sensorik und Aktorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1 Referenzsignalerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.2 Fehlersignalerfassung .................... 78

4.2.3 Str¨

omungsinduzierter St¨

orschall . . . . . . . . . . . . . . 78

Inhaltsverzeichnis iii

5 Adaptive Digitalfilter 80

5.1 Konvergenz und Tracking ..................... 81

5.2 Transversale Filterstruktur .................... 83

5.3 Rekursive Filterstruktur ...................... 84

5.4 Gradientenverfahren ........................ 85

5.4.1 Schrittweite ......................... 86

5.4.2 FxLMS-Algorithmus .................... 87

5.5 LS-Algorithmus ........................... 88

5.6 RLS-Algorithmus .......................... 90

5.6.1 Rekursionsgleichung f¨

ur den Koeffizientenvektor . . . . 91

5.6.2 Eigenschaften des RLS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . 92

5.7 ERLS-Algorithmus ......................... 93

6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads 97

6.1 AN-Verfahren nach Eriksson et al. ............... 98

6.2 AN-Verfahren nach Zhang et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3 OM-Verfahren nach Eriksson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.4 OM-Verfahren nach Lopes et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 OM-Verfahren nach Kohno et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.6 Verbessertes OM-Verfahren .................... 106

6.7 MCERLS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.7.1 Kovarianzmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.7.2 Vereinfachtes Kovarianzmanagement . . . . . . . . . . . 111

6.7.3 Anmerkungen ........................ 111

7 Simulationstechnische Untersuchungen 113

7.1 Aktiver Abgasschalld¨

ampfer .................... 113

7.1.1 Ger¨

auschspektrum eines Verbrennungsmotors . . . . . . 114

7.1.2 Stand der Forschung und Entwicklung . . . . . . . . . . 114

7.2 Simulationsmodell ......................... 116

7.2.1 Implementierung ...................... 118

7.2.2 Simulationsstimulus .................... 119

7.2.3 Referenz- und Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2.4 Quellenparameter der Sekund¨

arquelle . . . . . . . . . . 122

7.3 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3.1 Kovarianzmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3.2 Vergleich der Verfahren zur Online-Modellierung . . . . 128

7.3.3 Bewertung der Online-Modellierung . . . . . . . . . . . 132

7.3.4 Str¨

omungsinduziertes Rauschen . . . . . . . . . . . . . . 134

Zusammenfassung und Ausblick 137

iv Inhaltsverzeichnis

A Thermodynamik von Gasen 141

A.1 Viskosit¨

at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.2 Thermische W¨

armeleitf¨

ahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.3 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A.4 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A.5 Spezifische W¨

armekapazit¨

at .................... 142

B Bestimmung der Quellenparameter 143

B.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B.2 Praktische Durchf¨

uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B.2.1 L¨

angenoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.2.2 Untersuchungen zur Bestimmung der Quellenparameter 146

B.2.3 Quellenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

C MFx-Struktur und Adaptationsalgorithmen 149

C.1 MFx-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C.2 Adaptationsalgorithmen ...................... 150

C.2.1 Normalisierter LMS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . 151

C.2.2 RLS-Algorithmus ...................... 151

C.2.3 ERLS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

D Rekursive Sch¨

atzung statistischer Gr¨

oßen 152

D.1 Rekursive Sch¨

atzung des Mittelwerts . . . . . . . . . . . . . . . 152

D.2 Rekursive Sch¨

atzung der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Literaturverzeichnis 155

Danksagung 175

Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen

Mathematische Operatoren und Definitionen

δ(·) Delta-Funktion

det{·} Determinante

DFT{·} Diskrete Fourier-Transformation

diag{x}Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen x

div{·} Divergenz

~erEinheitsvektor in r-Richtung

~ezEinheitsvektor in z-Richtung

e(·)Exponentialfunktion

E{·} Erwartungswert

grad{·} Gradient

IDFT{·} Diskrete inverse Fourier-Transformation

Im{·} Imagin¨

arteil

j Imagin¨

are Einheit

Jn(·)Bessel-Funktion erster Art der Ordnung n

M{·} Mittelwert

O{·} Mathematische Komplexit¨

Re{·} Realteil

rot{·} Rotation

{·}TTransposition

Tn(·)Tschebyscheff-Polynom erster Art der Ordnung n

Yn(·)Bessel-Funktion zweiter Art der Ordnung n

∗Diskrete Faltung

{·}∗Komplexe Konjugation

△{·} Laplace-Operator

∇{·} Nabla-Operator

k·kkk-Norm eines Vektors

0nNullelementvektor der L¨

ange noder Nullmatrix der Dimension n×n

InEinheitsmatrix der Dimension n×n

vi Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen

Allgemeines

fFrequenz

fSAbtastfrequenz

hImpulsantwort

H¨

Ubertragungsfunktion

λWellenl¨

ange

ωKreisfrequenz

ωSAbtastkreisfrequenz

rRadius

tZeit

z z-Koordinate oder komplexe Variable

Fluideigenschaften

κThermische Leitf¨

ahigkeit eines Fluids

µ,ηDynamische Viskosit¨

νKinematische Viskosit¨

ζVolumenviskosit¨

Gaseigenschaften

CpSpezifische W¨

arme pro Einheitsmasse bei konstantem Druck

CvSpezifische W¨

arme pro Einheitsmasse bei konstantem Volumen

Cpv Verh¨

altnis Cpv =Cp/Cv

DvViskose Verlustrate

RIndividuelle Gaskonstante

Schallfeldgr¨

oßen

cSchallgeschwindigkeit

PSchalldruck

P0Statischer Druck

φAkustisches Potenzial

Dichte

ρ0Dichte im Gleichgewichtszustand

sEntropie

S0Entropie im Gleichgewichtszustand

TTemperatur in Kelvin

T0Temperatur im Gleichgewichtszustand in Kelvin

vSchallschnellenvektor

V0Schallschnelle im Gleichgewichtszustand

˜p, ˜ρ, ˜s,˜

T,˜

vZeitabh¨

angige Schallfeldgr¨

oßen

ˆp, ˆρ, ˆs,ˆ

T,ˆ

vKomplexe Amplituden der Schallfeldgr¨

oßen

Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen vii

Akustischer Wellenleiter

αD¨

ampfungsmaß

βPhasenmaß verlustbehafteter Wellenleiter

β0Phasenmaß verlustfreier Wellenleiter

cpPhasengeschwindigkeit

γAusbreitungsmaß

pnGemittelte komplexe Amplitude des Schalldrucks am Tor n

qnGemittelte komplexe Amplitude des Schallflusses am Tor n

rn,rwR¨

ohrenradius

ρnGemittelte komplexe Amplitude der Dichte am Tor n

vnGemittelte komplexe Amplitude der Schallschnelle am Tor n

ZLCharakteristische Impedanz verlustbehafteter Wellenleiter

ZL0 Charakteristische Impedanz verlustfreier Wellenleiter

Eigenschaften der R¨

ohrenw¨

ande

CwSpezifische W¨

armekapazit¨

at der R¨

ohrenw¨

ande

dDicke der R¨

ohrenw¨

ande

κwW¨

armeleitf¨

ahigkeit der R¨

ohrenw¨

ande

ρwDichte der R¨

ohrenw¨

ande

TwKomplexe Amplitude der Wandtemperatur

ZwWandimpedanz

Str¨

omendes Medium

FnReibungsfaktor

MnMach-Zahl

RnReynolds-Zahl

VnStr¨

omungsgeschwindigkeit des Mediums

Zweitormodellierung

KKettenmatrix

Knm (n, m)-Element der Kettenmatrix K

ZImpedanzmatrix

ZZweitor

Adaptives ANC-System

dAusgangssignal des Prim¨

arpfads

DSt¨

orsignald¨

ampfung

eFehler

epRestschall

εAdaptationsparameter des MCERLS-Algorithmus

FPhysikalischer R¨

uckkopplungspfad

viii Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen

F{·} ¨

Ubergangsmatrix

κKalman-Verst¨

arkung

µSchrittweite bei den LMS-basierten Algorithmen

nDiskreter Zeitindex

pImpulsantwort des physikalischen Prim¨

arpfads

ˆpGesch¨

atzte Impulsantwort des Prim¨

arpfads

pKoeffizientenvektor des adaptiven Prim¨

arfilters

PPhysikalischer Prim¨

arpfad

PAdaptives Prim¨

arfilter

q{·} Skalierungsfaktor bei den ERLS-basierten Algorithmen

Q{·} Kovarianzmatrix bei den ERLS-basierten Algorithmen

r{·} Systemrauschen

sImpulsantwort des physikalischen Sekund¨

arpfads

ˆsGesch¨

atzte Impulsantwort des Sekund¨

arpfads

sKoeffizientenvektor des adaptiven Sekund¨

arfilters

SPhysikalischer Sekund¨

arpfad

SAdaptives Sekund¨

arfilter

ϑ0Temperatur in ◦C

uSt¨

orschall beziehungsweise St¨

orsignal

v{·} Messrauschen

V0Str¨

omungsgeschwindigkeit des Abgases in der Zuleitung

ˆwImpulsantwort des Kompensationsfilters

wKoeffizientenvektor des Kompensationsfilters

WKompensationsfilter

WFensterl¨

ange

xAusgangssignal des Referenzsensors

yAusgangssignal des Kompensationsfilters

ysAusgangssignal des Sekund¨

arpfads

yˆsAusgangssignal des adaptiven Sekund¨

arfilters

yˆpAusgangssignal des adaptiven Prim¨

arfilters

Abk¨

urzungen und Indizes

{·}app Approximation

{·}AAusgang

{·}BAbzweigung

{·}cKonvektive Gr¨

oße

{·}eFehlersignal

{·}EEingang

{·}Fr N¨

aherung nach Franken et al.

{·}ges Gesamt

{·}Hu N¨

aherung nach Hudde et al.

{·}iIsotherme R¨

ohrenw¨

ande

{·}Ke N¨

aherung nach Keefe

Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen ix

{·}Ki N¨

aherung nach Kirchhoff

{·}mMessung

{·}min Minimal

{·}M, M{·} Mikrofon

{·}Mu N¨

aherung nach Munjal

{·}nR¨

ohrenelement n

{·}nNicht-isotherme R¨

ohrenw¨

ande

{·}opt Optimal

{·}pPhysikalischer Prim¨

arpfad

{·}ˆpGesch¨

atzter Prim¨

arpfad

{·}QQuerschnittssprung

{·}ref Referenz

{·}sPhysikalischer Sekund¨

arpfad

{·}ˆsGesch¨

atzter Sekund¨

arpfad

{·}sSimulation

{·}St N¨

aherung nach Stinson

{·}tTurbulenter Einfluss

{·}TR¨

ohrenabschluss

{·}VVerst¨

arker

{·}wPhysikalisches System

{·} ˆwKompensationsfilter

{·}xReferenzsignal

Weitere Abk¨

urzungen

ANC Active-Noise-Control

FIR Finite-Impulse-Response

FL Full-Load

IIR Infinite-Impulse-Response

RL Road-Load

AN Added-Noise

ERLS Extended-Recursive-Least-Squares

FxLMS Filtered-x-Least-Mean-Square

LMS Least-Mean-Square

LS Least-Squares

MCERLS Modified-Covariance-Extended-Recursive-Least-Squares

MFx Modified-Filtered-x

MSE Mean-Square-Error

NLMS Normalized-Least-Mean-Square

OM Overall-Modeling

RLS Recursive-Least-Squares

x Ausgew¨

ahlte Formelzeichen und Abk¨

urzungen

Einf¨

uhrung

Der von technischen Ger¨

aten oder Maschinen erzeugte L¨

arm wird h¨

aufig durch

Ausnutzung von passiven D¨

ampfungsmechanismen in Form von Reflexion und

Absorption reduziert. Die D¨

ampfung von tieffrequentem St¨

orschall ist jedoch

mit passiven Methoden oft nur unzureichend m¨

oglich und kann zus¨

atzlich auf-

grund der erforderlichen geometrischen Abmessungen einen großen baulichen

und finanziellen Aufwand beanspruchen.

Zunehmend an Bedeutung gewinnen in den letzten Jahren die aktiven

D¨

ampfungsmaßnahmen, die vor allem tieffrequenten L¨

arm effektiver mindern.

Das aktive Prinzip basiert auf der ¨

Uberlagerung des durch prim¨

are Schall-

quellen verursachten St¨

orschallfelds mit einem von sekund¨

aren Schallquellen

gezielt erzeugten Gegenschallfeld. Das Sekund¨

arschallfeld wird durch einen

oder mehrere Lautsprecher dergestalt erzeugt, dass sich am gew¨

unschten Ort

der L¨

armminderung prim¨

are und sekund¨

are Feldanteile durch Interferenz de-

struktiv ¨

uberlagern.

Die praktische Umsetzung des auch als Gegen- oder Antischallverfahren

bezeichneten Prinzips gestaltet sich bei dreidimensionalen Feldern wesentlich

aufw¨

andiger als f¨

ur den eindimensionalen Fall. Erste Anwendungen widmeten

sich daher der eindimensionalen Betrachtung von in Kan¨

alen oder R¨

ohren ge-

f¨

uhrten Schallwellen. Diese werden beispielsweise im Bereich der Klimatechnik

von Ventilatoren erzeugt oder durch Abgasleitungen von Verbrennungsmoto-

ren geleitet.

Zielsetzung

In dieser Arbeit stehen Verfahren f¨

ur die aktive D¨

ampfung von schmal- und

breitbandigem L¨

arm in R¨

ohrensystemen im Mittelpunkt. Ein Algorithmus be-

rechnet gem¨

aß Abbildung 1nach dem Feedforward-Prinzip aus einer gemesse-

nen Referenz- und Fehlergr¨

oße ein Gegenschallsignal, welches schließlich vom

Lautsprecher abgestrahlt wird. Der Algorithmus ben¨

otigt dazu die ¨

Ubertra-

gungseigenschaften des Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfads. Diese k¨

onnen im Betrieb,

beispielsweise aufgrund von ¨

Anderungen der Gastemperatur, fortlaufend vari-

2 Einf¨

uhrung

Prim¨

arpfad

Sekund¨

arpfad

St¨

orschall Restschall

Referenzsignal

Mikrofon Mikrofon

Algorithmus

Verst¨

arker

Lautsprecher

Fehlersignal

Abbildung 1: Schematische Darstellung der aktiven Schalld¨

ampfung in einem R¨

oh-

rensystem nach dem Feedforward-Prinzip

ieren, so dass Verfahren w¨

unschenswert sind, die dem zeitvarianten Verhalten

der ¨

Ubertragungspfade gerecht werden und beim so genannten Tracking das

Nachf¨

uhren der Filterkoeffizienten erm¨

oglichen. Von Interesse sind Algorith-

men f¨

ur adaptive Digitalfilter, die neben der Berechnung des Gegenschallsig-

nals zus¨

atzlich im Rahmen einer Online-Modellierung die Ber¨

ucksichtigung

eines zeitvarianten Sekund¨

arpfads erlauben.

In nicht-station¨

arer Umgebung empfiehlt sich f¨

ur die Sch¨

atzung der Fil-

terkoeffizienten ein erweitertes Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate. Diese

Verfahren lassen sich als eine spezielle Form des Kalman-Filters interpretie-

ren, bei denen mit Hilfe von Adaptationsparametern die Kovarianzmatrizen

und damit das Tracking-Verhalten beziehungsweise die resultierende St¨

orsig-

nald¨

ampfung direkt beeinflusst werden k¨

onnen. Das Ziel dieser Arbeit ist es

daher, neue Ans¨

atze vorzustellen und zu untersuchen, die mit Hilfe eines Kova-

rianzmanagements ein verbessertes Tracking und zudem eine geringere Anzahl

von abzustimmenden Adaptationsparametern aufweisen.

Die Untersuchung der erarbeiteten sowie der aus der Literatur bekannten

Verfahren erfolgt bez¨

uglich des Trackings entsprechend dem Entwicklungs-

trend simulationstechnisch. Die bisherigen Arbeiten zu dieser Thematik ver-

wendeten zur Simulation eines zeitvarianten Systems h¨

aufig ein stochastisches

Modell, das sich auf messtechnisch ermittelte ¨

Ubertragungsfunktionen und auf

Gauß-Markov-Prozesse st¨

utzt. Ein solches Modell erlaubt zwar eine Beur-

teilung der Algorithmen, l¨

asst jedoch nur eingeschr¨

ankte R¨

uckschl¨

usse auf das

Verhalten zu, wenn sich die Verfahren in einem physikalischen System unter

realen Betriebsbedingungen zu bew¨

ahren haben. Dieses Dilemma wird in die-

Einf¨

uhrung 3

ser Arbeit durch den Einsatz eines physikalisch motivierten mathematischen

Modells eines R¨

ohrensystems vermieden, welches den Bezug zu einer konkreten

praktischen Anwendung herstellt. F¨

ur einen zu simulierenden aktiven Abgas-

schalld¨

ampfer ist zu untersuchen, ob mit den neuen Ans¨

atzen h¨

ohere St¨

orsig-

nald¨

ampfungen als mit den etablierten Verfahren erzielt werden k¨

onnen.

Ubersicht zur Arbeit

Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil thematisiert die Model-

lierung des akustischen ¨

Ubertragungsverhaltens von R¨

ohrensystemen f¨

ur eine

Schallausbreitung im Grundmodus. Die Betrachtungen beschr¨

anken sich nicht

nur auf die f¨

ur die Simulation ben¨

otigten mathematischen Modelle. Losge-

l¨

ost von der Intention des zweiten Teils leistet der erste auch Beitr¨

age zur

Modellierung eines akustischen Wellenleiters auf der Grundlage des Ausbrei-

tungsmaßes, die bisher formal nicht pr¨

asentiert worden sind.

Fundiert auf den Arbeiten von Kirchhoff werden die aus der Literatur be-

kannten sowie die erarbeiteten Approximationen f¨

ur das Ausbreitungsmaß vor-

gestellt. Diese erlauben die Charakterisierung der Schallausbreitung in kreis-

runden R¨

ohren mit konstanter Querschnittsfl¨

ache unter Ber¨

ucksichtigung der

an den W¨

anden geforderten Randbedingungen. Diesbez¨

uglich sind insbesonde-

re nicht-ideal schallharte W¨

ande durch die Randbedingungen zu modellieren.

Die Bewertung der approximativen Ausbreitungsmaße erfolgt mit Hilfe von

Referenzl¨

osungen, die sich aus der exakten L¨

osung von Kirchhoff bestim-

men lassen.

Im n¨

achsten Schritt werden R¨

ohrensysteme betrachtet, die ver¨

anderliche

Querschnittsfl¨

achen, Abzweigungen oder ein str¨

omendes Medium enthalten

k¨

onnen. Die Modellierung des akustischen ¨

Ubertragungsverhaltens der R¨

oh-

rensysteme basiert auf einer Zweitorbeschreibung, f¨

ur die das Ausbreitungs-

maß essenziell ben¨

otigt wird. Mit der Validierung eines mathematischen R¨

oh-

renmodells anhand eines physikalischen R¨

ohrensystems endet der erste Teil.

Im zweiten Teil der Arbeit stehen Algorithmen im Mittelpunkt, die sich auf

der Grundlage einer adaptiven Signalverarbeitung zur aktiven Schalld¨

amp-

fung in R¨

ohrensystemen eignen. Es werden Ans¨

atze mit einer gleichzeitigen

Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads pr¨

asentiert, die mit Hilfe eines Ko-

varianzmanagements eine einfachere Abstimmung der Adaptationsparameter

erm¨

oglichen und dar¨

uber hinaus f¨

ur Anwendungen pr¨

adestiniert sind, die hohe

Anforderungen an das Tracking stellen.

F¨

ur die simulationstechnischen Untersuchungen erfolgt die Einbettung der

Algorithmen in den Kontext eines aktiven Abgasschalld¨

ampfers. Die daf¨

erforderlichen Stimulussignale sind in einem Abgasstrang eines PKWs f¨

ur un-

terschiedliche Fahrzyklen gemessen oder abgesch¨

atzt worden. Ein Vergleich

der etablierten Konzepte mit den neuen Ans¨

atzen sowie eine Bewertung der

Simulationsergebnisse beschließen diese Arbeit.

4 Einf¨

uhrung

TEIL I

Akustische Modellierung

KAPITEL 1

Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Der Schallausbreitung in R¨

ohren widmeten zahlreiche Forscher ab Mitte des

Neunzehnten Jahrhunderts ihre Aufmerksamkeit. So stand zun¨

achst bei den

Untersuchungen des Mathematikers Stokes und des Physikers Helmholtz

der Einfluss der Viskosit¨

at bei der Schallausbreitung in R¨

ohren im Mittel-

punkt ihres Interesses [Stok45,Helm63]. Neben der Viskosit¨

at gelang es dem

Physiker Kirchhoff schließlich, den Einfluss der W¨

armeleitung eines Gases in

einer R¨

ohre mit einer kreisrunden Querschnittsfl¨

ache ebenfalls zu ber¨

ucksich-

tigen [Kirc68,Rayl68]. Das Ergebnis wird h¨

aufig als Theorie von Kirchhoff

bezeichnet, w¨

ahrend das von Kirchhoff zu Grunde gelegte Differenzialglei-

chungssystem oft als Navier-Stokes-Fourier-Modell referenziert wird. Die

Kirchhoff-L¨

osung des Differenzialgleichungssystems besitzt unter den folgen-

den Pr¨

amissen G¨

ultigkeit:

•kleine ¨

Anderungen der Schallfeldgr¨

oßen um den Gleichgewichtszustand,

•sinusf¨

ormige Zeitabh¨

angigkeit der Schallfeldgr¨

oßen,

•ruhendes und ideales Gas als Medium,

•Schallausbreitung im Grundmodus,

•kreisrunde und konstante Querschnittsfl¨

ache bei unendlicher R¨

ohrenl¨

ange,

•ideal schallharte und isotherme W¨

ande,

•Tangentialkomponente der Schallschnelle verschwindet an den W¨

anden.

Um die Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur die F¨

alle zu erschließen, wo die obigen

Bedingungen nicht erf¨

ullt werden k¨

onnen, sind zahlreiche Anstrengungen un-

ternommen worden. Auch wenn in dieser Arbeit die Betrachtung einer Schall-

ausbreitung im Grundmodus ausreicht, ist zu erw¨

ahnen, dass es etwa ab Mitte

des Zwanzigsten Jahrhunderts mit dem von Cremer eingef¨

uhrten Konzept

gelang, ebenfalls h¨

ohere Schallfeldmoden f¨

ur kreisrunde und rechteckige Quer-

schnittsfl¨

achen einzubeziehen [Crem48]. Sein Ansatz st¨

utzt sich auf eine Zerle-

gung des Schallfelds in einen prim¨

aren Schallfeldanteil, der das freie Schallfeld

8 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

repr¨

asentiert, sowie in zwei weitere Feldanteile zur Beschreibung der durch Vis-

kosit¨

at und W¨

armeleitung begr¨

undeten Ausgleichsvorg¨

ange. Die Verkn¨

upfung

der Feldanteile erfolgt schließlich ¨

uber Randbedingungen, welche sich auch

mit dem von Cremer vorgestellten Konzept der akustischen Grenzschicht

mit Hilfe einer Wandadmittanz formulieren lassen. Diese Grenzschicht bildet

sich aufgrund der Viskosit¨

at und der W¨

armeleitung des Fluids1in Wandn¨

ahe

aus, so dass der Begriff in Anlehnung an die sich bei Str¨

omungen ausbildende

Prandtl-Grenzschicht gew¨

ahlt worden ist [POW84].

Die Arbeiten von Cremer stellten die Grundlage f¨

ur verallgemeinerte An-

s¨

atze dar, das Schallfeld durch Superposition der akustischen Moden des pri-

m¨

aren Schallfelds, den Wirbelmoden zur Erfassung der viskosen Effekte und

den Entropiemoden zur Beschreibung der durch W¨

armeleitung bedingten Ein-

fl¨

usse analytisch zu formulieren [Kova53,Pier81]. Erste Arbeiten zur Schall-

ausbreitung von h¨

oheren Moden sind unter anderem [Beat50] zu entnehmen,

die einerseits den Weg f¨

ur raffinierte L¨

osungsvarianten ebneten und anderer-

seits das Verhalten h¨

oherer Moden im Bereich ihrer Grenzfrequenz sowie die

Interaktion mit der akustischen Grenzschicht genauer er¨

orterten [BBHK87,

Hudd88,Sche04]. In [Sche05] wurden zus¨

atzlich die Betrachtungen auf reale

Gase erweitert, w¨

ahrend in [Sche04] auch Effekte durch eine endliche R¨

ohren-

l¨

ange Ber¨

ucksichtigung fanden.

Die Berechnung des Ausbreitungsmaßes mit der klassischen L¨

osung von

Kirchhoff erfordert einen hohen mathematischen Aufwand. Daher wurden

in der Literatur zahlreiche vereinfachte Modelle angegeben, die sich in zwei

Klassen einteilen lassen [Tijd75]. Eine Klasse basiert auf der analytischen Ap-

proximation der Kirchhoff-L¨

osung [Kirc68,West53,Rayl68,Keef84,Stin91].

Ans¨

atze auf der Grundlage von vereinfachten Differenzialgleichungen, f¨

ur die

analytische [ZK49,Iber50,FCCW81,Munj87] oder nummerische L¨

osungen be-

stimmt werden k¨

onnen [Tsao68], z¨

ahlen dagegen zur anderen Klasse. Weitere

Approximationen f¨

ur das Ausbreitungmaß zur Ber¨

ucksichtigung von Effek-

ten, die von den Kirchhoff-Hypothesen abweichen, finden sich beispielsweise

in [West53,FCCW81].

In dieser Arbeit soll das akustische ¨

Ubertragungsverhalten von R¨

ohrensys-

temen in Analogie zu einer elektrischen Leitung auf der Grundlage des Aus-

breitungsmaßes und einer Zweitormodellierung charakterisiert werden. Dieses

Kapitel thematisiert daf¨

ur zun¨

achst die verlustbehaftete Schallausbreitung in

einem akustischen Wellenleiter mit kreisrunder und konstanter Querschnitts-

fl¨

ache im Grundmodus. Die Publikationen zu dieser Thematik widmeten sich

haupts¨

achlich einem durch die Randbedingung an den W¨

anden zu ber¨

ucksich-

tigenden Effekt und erarbeiteten f¨

ur diesen eine analytische Approximation

des Ausbreitungsmaßes. Dagegen sind im Folgenden, fundiert auf den Arbei-

ten von Stinson [Stin91], approximative und analytische Ausdr¨

ucke f¨

ur das

1Auch wenn ein Fluid sowohl Fl¨

ussigkeiten als auch Gase bezeichnet, sind in dieser

Arbeit nur gasf¨

ormige Fluide relevant.

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre 9

Ausbreitungsmaß auf der Basis der Kirchhoff-L¨

osung zu pr¨

asentieren, die

eine Ber¨

ucksichtigung der Randbedingungen

•isotherme und ideal schallharte W¨

ande,

•isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande,

•nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande

erlauben. Die folgenden Betrachtungen beschr¨

anken sich demnach nicht nur

auf die im zweiten Teil der Arbeit ben¨

otigten mathematischen Modelle, son-

dern sie sollen auf der Grundlage des Ausbreitungsmaßes weitere Ans¨

atze zur

Beschreibung der Schallausbreitung in R¨

ohren f¨

ur Randbedingungen themati-

sieren, die in dieser Form bisher nicht pr¨

asentiert worden sind.

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre

Die Viskosit¨

at und die W¨

armeleitf¨

ahigkeit eines Fluids sind eine Konsequenz

aus der molekularen Zusammensetzung. Die W¨

armeleitung basiert moleku-

larkinetisch auf der Diffusion von kinetischer Energie innerhalb des Fluids.

Dagegen entsteht die Viskosit¨

at durch einen Impulsaustausch zwischen den im

Fluid vorhandenen Molek¨

ulen. Die Viskosit¨

at l¨

asst sich daher molekularkine-

tisch als Diffusion des mechanischen Impulses deuten [MI86].

Gleiten Fluidschichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinan-

der entlang, findet eine Wechselwirkung zwischen den Molek¨

ulen statt. Mole-

k¨

ule aus Schichten mit einer hohen mittleren freien Wegl¨

ange beschleunigen

Teilchen aus Schichten mit einer geringeren mittleren freien Wegl¨

ange. Als

Resultat entsteht eine Scherung oder Schubspannung. Infolge dieser Reibungs-

vorg¨

ange der Teilchen untereinander kommt es zu einer Erw¨

armung des Fluids.

Die Viskosit¨

at spielt deshalb vor allem in der N¨

ahe von starren W¨

anden eine

große Rolle. Die Molek¨

ule außerhalb des Wandbereichs besitzen eine endliche

Tangentialgeschwindigkeit, w¨

ahrend die von der Wand zur¨

uckprallenden Mo-

lek¨

ule eine regellose Bewegung mit der mittleren Tangentialgeschwindigkeit

von null ausf¨

uhren und somit bedingt durch die kleine mittlere freie Wegl¨

ange

scheinbar an der Wand haften bleiben [MN79,POW84,MI86,Zier93].

Aufgrund der Viskosit¨

at und der W¨

armeleitung kommt es bei der Schall-

ausbreitung in einem Gas, das als Fluid die Schallenergie transportiert, zu

einer D¨

ampfung der Schallwelle. Die viskosen und w¨

armeleitenden Eigenschaf-

ten des Gases sind im freien Schallfeld, also in weiter Entfernung von be-

grenzenden W¨

anden, im h¨

orbaren Frequenzbereich eher zu vernachl¨

assigen.

Dagegen sollten diese bei der Schallausbreitung in einer R¨

ohre nicht ignoriert

werden [Crem48].

10 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

1.1.1 Vorbemerkungen

F¨

ur die folgenden Betrachtungen wird f¨

ur den Druck P, die Dichte , die

Temperatur Tsowie die Schallschnelle veine Zeitabh¨

angigkeit der Form

P(t) = P0+ ˜p=P0+ Reˆpejωt,(1.1a)

(t) = ρ0+ ˜ρ=ρ0+ Reˆρejωt,(1.1b)

T(t) = T0+˜

T=T0+ Reˆ

Tejωt,(1.1c)

v(t) = ˜

v= Reˆ

vejωt(1.1d)

angenommen. Die Gr¨

oßen P0,ρ0und T0bezeichnen die Werte im thermody-

namischen Gleichgewicht2, also ohne Anregung. Dagegen stellen ˆp, ˆρund ˆ

Tals

komplexe Amplituden die Abweichung von den Gleichgewichtsgr¨

oßen infolge

einer Schallausbreitung dar. Mit

P0≫ |˜p|und ρ0≫ |˜ρ|sowie T0≫ |˜

T|(1.2)

werden kleine ¨

Anderungen um den Gleichgewichtszustand vorausgesetzt.3F¨

die komplexen Amplituden ˆp, ˆρ,ˆ

Tund ˆ

vliegt eine Ortsabh¨

angigkeit und

eine Frequenzabh¨

angigkeit vor, wobei im Weiteren f¨

ur eine bessere ¨

Ubersicht-

lichkeit auf die Angabe der Argumente verzichtet werden soll. Es wird somit

eine lineare Schallausbreitung vorausgesetzt, so dass die Gesetze der linearen

Akustik zum Einsatz kommen k¨

onnen. Der Ansatz mit den Gleichungen (1.1),

der auch von Kirchhoff verwendet wurde, stellt eine Approximation erster

Ordnung dar, da die Gr¨

oßen P,und Tnur durch ein zeit- und ortsabh¨

an-

giges Reihenglied beschrieben werden. Dabei w¨

are es ebenfalls denkbar, die

Gr¨

oßen des Schallfelds durch h¨

ohere Ordnungen zu approximieren und mit

den zus¨

atzlichen Reihengliedern bisher vernachl¨

assigte Effekte zu ber¨

ucksich-

tigen [Mawa54].

Schallausbreitung im homogenen Medium

Die Kirchhoff-L¨

osung setzt eine Schallausbreitung in einem homogenen Fluid

voraus. Somit m¨

ussen nach [Tijd75] die Wellenl¨

ange des Schalls und der R¨

oh-

renradius rwgroß gegen¨

uber der mittleren freien Wegl¨

ange im Medium sein. In

Anlehnung an [Stin91] k¨

onnen daher mit Luft als Medium f¨

ur die Frequenz f

und den R¨

ohrenradius rwzun¨

achst die groben Absch¨

atzungen

f < 108Hz und rw>10−2mm (1.3)

angegeben werden.

2Die Temperaturabh¨

angigkeit der Dichte ρ0kann f¨

ur ein ideales Gas dem Anhang A

entnommen werden.

3Der Gleichanteil P0wird auch als statischer Druck bezeichnet, w¨

ahrend es sich bei

dem zeitlich ver¨

anderlichen Anteil ˜pum den Schalldruck handelt.

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre 11

Schallausbreitung im Grundmodus

Schall breitet sich in einem gasf¨

ormigen Medium als Longitudinalwelle aus.

Deshalb ist der Grundmodus, im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen in

Hohlleitern, bei allen Frequenzen ausbreitungsf¨

ahig. H¨

ohere Schallmoden sind

nur oberhalb einer vom Querschnitt abh¨

angigen Grenzfrequenz ausbreitungs-

f¨

ahig [Lodw97].

In einem kreisrunden Wellenleiter mit dem Radius rwstellt der Azimutal-

modus den ersten Modus mit der niedrigsten Grenzfrequenz dar. Dieser ist

β0rw=t1,0= 1,841 ⇔f1,0≥0,293 c

(1.4)

ausbreitungsf¨

ahig, der erste Radialmodus dagegen f¨

β0rw=t0,1= 3,832 ⇔f0,1≥0,61 c

.(1.5)

Die Gr¨

oße tm,n bezeichnet die Nullstelle n+1 der Ableitung dJm(tm,n)/dtm,n

der Bessel-Funktion erster Art mit der Ordnung m[Kutt04]. Unterhalb der

jeweiligen Grenzfrequenz besitzen die Moden evaneszentes Verhalten.

Um eine Schallausbreitung im Grundmodus f¨

ur einen kreisrunden Wellen-

leiter zu gew¨

ahrleisten, darf f¨

ur einen vorgegebenen Radius rwkeine Anregung

oberhalb der Grenzfrequenz des ersten Azimutalmodus erfolgen.

1.1.2 Zustandsgleichung f¨

ur ein ideales Gas

Die Theorie von Kirchhoff setzt ein ideales Gas als Fluid voraus. Bei dieser

Modellvorstellung bestehen keine Anziehungskr¨

afte zwischen den Gasmolek¨

len und ihr Eigenvolumen kann vernachl¨

assigt werden, so dass sie sich als

Punktmassen interpretieren lassen [LJS03]. Ein ideales Gas wird durch die

Zustandsgleichung

P=RT =P0

ρ0T0

T (1.6)

beschrieben, wobei Rdie individuelle Gaskonstante bezeichnet [SSSM05].

Linearisierung der Zustandsgleichung

Im Rahmen der linearen Akustik werden nur kleine ¨

Anderungen der Schall-

feldgr¨

oßen vom Gleichgewichtszustand betrachtet. Das wurde bereits mit den

Gleichungen (1.1) angedeutet. Dort setzen sich die Gr¨

oßen aus den Gleichan-

teilen P0,ρ0und T0sowie den kleinen Schwankungen ˜p, ˜ρund ˜

Tzusammen.4

4Bei der Darstellung der Schallschnelle in Gleichung (1.1d) wird davon ausgegangen,

dass sich das Fluid im Ruhezustand V0=0befindet und sich die Gasteilchen mit ˜

vum

den Gleichgewichtszustand bewegen.

12 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Zur Linearisierung der Zustandsgleichung (1.6) kann diese mit =ρ0+ ˜ρ

und T=T0+˜

Tin eine Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt ρ0und T0

entwickelt werden, die nach dem ersten Reihenglied abgebrochen wird. Man

erh¨

alt zun¨

achst

P=P0+P0

ρ0T0ρ0˜

T+T0˜ρ,(1.7)

wobei sich mit ˜p=P−P0die linearisierte Zustandsgleichung eines idealen

Gases auch mit den komplexen Amplituden in der Form

ˆp=P0

ρ0T0ρ0ˆ

T+T0ˆρ(1.8)

angeben l¨

asst.

1.1.3 Die Kontinuit¨

atsgleichung

Nach dem Erhaltungssatz der Masse muss die Dichte¨

anderung im Volumen

gleich dem Massenfluss durch die Oberfl¨

ache des betrachteten Volumens sein.

Diesen Erhaltungssatz beschreibt in der Hydrodynamik die Kontinuit¨

atsglei-

chung [Pier81,POW84,MI86,LL91,Spur96]

∂

∂t + div{v}= 0.(1.9)

Linearisierung der Kontinuit¨

atsgleichung

Setzt man f¨

ur die Dichte und die Schallschnelle vdie Definitionen (1.1) in

die Kontinuit¨

atsgleichung (1.9) ein, f¨

uhrt das zun¨

achst auf

∂

∂t (ρ0+ ˜ρ) + div{[ρ0+ ˜ρ]˜

v}= 0.(1.10)

Vernachl¨

assigt man f¨

ur eine Approximation erster Ordnung den Mischterm ˜ρ˜

erh¨

alt man schließlich f¨

ur die komplexen Amplituden die linearisierte Konti-

nuit¨

atsgleichung [Pier81,MI86]

jωˆρ+ρ0div ˆ

v= 0.(1.11)

1.1.4 Die Navier-Stokes-Gleichung

Die Impulserhaltung in einem viskosen und kompressiblen Fluid mit der ¨

ortlich

konstanten Viskosit¨

at5ηund Volumenviskosit¨

at6ζl¨

asst sich durch die heute

5Die Viskosit¨

at wird auch als Scherviskosit¨

at, dynamische Viskosit¨

at oder Z¨

ahigkeit be-

zeichnet. Die Viskosit¨

at bezeichnen Hydrodynamiker nach dem Vorbild englischer Forscher

ublich mit µ, w¨

ahrend Physiker dagegen f¨

ur die Viskosit¨

at meist ηverwenden [POW84].

Die Temperaturabh¨

angigkeit der Viskosit¨

at ηkann f¨

ur ein ideales Gas dem Anhang A

entnommen werden.

6Die Volumenviskosit¨

at wird auch als zweite Z¨

ahigkeit bezeichnet. Im deutschen Sprach-

gebrauch werden ebenfalls die Bezeichnungen Druckviskosit¨

at oder Kompressionsviskosit¨

verwendet [Knes49].

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre 13

gebr¨

auchliche Form der Navier-Stokes-Gleichung

∂v

∂t + (v·∇)v=−∇P+η△v+ζ+1

3ηgrad div v(1.12)

beschreiben [Pier81,MI86,LL91]. Dabei stellt ∂v/∂t+(v·∇)vdie substanzielle

Ableitung Dv/Dtdar. Sie gibt die Geschwindigkeits¨

anderung eines sich im

Raum mit der Str¨

omung mitbewegenden Teilchens an und kann demnach als

Beschleunigung in einem mitbewegten System interpretiert werden [LL91]. Die

Gr¨

oßen auf der rechten Seite von Gleichung (1.12) beschreiben die Druckkr¨

afte

und die Reibungskr¨

afte, die auf das betrachtete Volumenelement wirken.

Linearisierung der Navier-Stokes-Gleichung

In Analogie zur Herleitung der linearisierten Kontinuit¨

atsgleichung kann auch

eine Linearisierung der Navier-Stokes-Gleichung (1.12) erfolgen. Das Ein-

setzen der Definitionen (1.1) f¨

uhrt zun¨

achst auf

[ρ0+ ˜ρ]∂˜

∂t + (˜

v·∇)˜

v=−∇[P0+ ˜p] + η△˜

v+ζ+1

3ηgrad div ˜

v.(1.13)

F¨

ur eine Approximation erster Ordnung lassen sich Mischterme und Ausdr¨

ucke

h¨

oherer Ordnung sowie der Term (˜

v·∇)˜

vvernachl¨

assigen, so dass sich mit

den komplexen Amplituden die linearisierte Navier-Stokes-Gleichung zu

jωρ0ˆ

v=−∇ˆp+η△ˆ

v+ζ+1

3ηgrad div ˆ

=−∇ˆp+ζ+4

3ηgrad div ˆ

v−ηrot rot ˆ

(1.14)

angeben l¨

asst [Pier81,MI86].

1.1.5 Die W¨

armeleitungsgleichung

Die W¨

armeleitung eines Fluids mit einer ¨

ortlich konstanten thermischen Leit-

f¨

ahigkeit7κkann allgemein mit Hilfe der spezifischen Entropie szu

T ∂s

∂t + (v·∇)s=Dv(ζ, η, v) + κ△T(1.15)

formuliert werden [Pier81,MI86,LL91]. Der Term auf der linken Seite be-

schreibt die vom Fluid aufgenommene W¨

armemenge pro Volumeneinheit. Die

7Die Temperaturabh¨

angigkeit der thermischen Leitf¨

ahigkeit κkann f¨

ur ein ideales Gas

dem Anhang Aentnommen werden.

14 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

nichtlineare Funktion Dv(ζ, η, v) stellt die viskose Verlustrate dar und er-

fasst die Energie, welche infolge der Viskosit¨

at in W¨

arme umgewandelt wird.8

Die durch die W¨

armeleitung ins Volumen eingebrachte W¨

arme ber¨

ucksich-

tigt der Ausdruck κ△T[LL91]. F¨

ur die spezifische Entropie9seines idealen

Gases gilt mit der im Gleichgewichtszustand vorhandenen spezifischen Entro-

pie S0[SSSM05]

s=S0+Cvln T

T0−[Cp−Cv] ln 

ρ0

.(1.16)

Die Gr¨

oßen Cpund Cvsind die spezifische W¨

armekapazit¨

at oder spezifische

W¨

arme bei konstantem Druck beziehungsweise Volumen.10

Die Kontinuit¨

atsgleichung, die Navier-Stokes-Gleichung sowie die W¨

ar-

meleitungsgleichung werden auch als Navier-Stokes-Fourier-Modell f¨

ur ein

kompressibles Fluid bezeichnet.

Linearisierung der W¨

armeleitungsgleichung

Zur Linearisierung l¨

asst sich zun¨

achst die zeitliche ¨

Anderung der Entropieglei-

chung (1.16) zu

∂s

∂t =Cv

T0+˜

∂T

∂t −[Cp−Cv]

ρ0+ ˜ρ

∂

∂t (1.17)

angeben. Mit T0≫ |˜

T|und ρ0≫ |˜ρ|folgt T0+˜

T≈T0sowie ρ0+ ˜ρ≈ρ0, so

dass man obige Gleichung zun¨

achst durch

∂s

∂t =Cv

∂T

∂t −[Cp−Cv]

ρ0

∂

∂t (1.18)

approximieren kann.

F¨

ur eine Approximation erster Ordnung sind der Ausdruck (v·∇)sund

die nichtlineare Funktion Dv(ζ, η, v) in Gleichung (1.15) zu vernachl¨

assigen.

Das dortige Einsetzen der Gleichung (1.18) f¨

uhrt mit den Definitionen (1.1)

und der Vernachl¨

assigung von Mischtermen sowie von Ausdr¨

ucken h¨

oherer

Ordnung bez¨

uglich der komplexen Amplituden auf die linearisierte W¨

armelei-

tungsgleichung

jωρ0Cvˆ

T−T0[Cp−Cv] ˆρ=κ△ˆ

T, (1.19)

8Eine detaillierte Angabe der Funktion ist etwa in [Pier81,MI86,LL91] zu finden,

wobei f¨

ur die weitere Herleitung aus Gr¨

unden der ¨

Ubersichtlichkeit die Zusammenfassung

der viskosen Verluste durch die Funktion Dv(ζ, η, v) ausreicht.

9Die Entropie stellt eine thermodynamische Zustandsgr¨

oße dar. An der Entropie¨

ande-

rung ∆s =s−S0eines adiabatischen Systems ist erkennbar, ob der Prozess reversibel

(∆s = 0), irreversibel (∆s > 0) oder unm¨

oglich (∆s < 0) ist [MS89]. Alle Prozesse bei

denen Reibung auftritt, sind irreversibel. Bei einer adiabatischen Zustands¨

anderung wird

keine W¨

armeenergie zu- oder abgef¨

uhrt [SSSM05].

10Die Temperaturabh¨

angigkeit der spezifischen W¨

armekapazit¨

at Cpbei konstantem

Druck kann f¨

ur ein ideales Gas dem Anhang Aentnommen werden.

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre 15

die auch als Kirchhoff-Fourier-Gleichung bezeichnet wird. Den Begriff der

Entropie benutzten weder Kirchhoff noch Fourier. Den linken Term in der

Gleichung (1.15) beschrieb Fourier durch den Ausdruck Cp∂T/∂t. Unter

Vernachl¨

assigung von Dv(ζ, η, v) l¨

asst sich damit die W¨

armeleitungsgleichung

beziehungsweise Diffusionsgleichung zu Cp∂T/∂t =κ△Tangeben [Four55].

Die Herleitung von Kirchhoff entspricht dagegen der linearisierten W¨

arme-

leitungsgleichung (1.19) [Kirc68].

1.1.6 L¨

osung der Navier-Stokes-Fourier-Gleichungen

In diesem Abschnitt wird die Kirchhoff-L¨

osung des partiellen Differenzial-

gleichungssystems zur Beschreibung der Schallausbreitung in einer R¨

ohre mit

kreisrundem Querschnitt f¨

ur ein ideales Gas mit der Viskosit¨

at ηund der

thermischen Leitf¨

ahigkeit κvorgestellt. Die folgenden Ausf¨

uhrungen st¨

utzen

sich im Wesentlichen auf die Herleitungen in [Kirc68,West53,Rayl68,Stin91].

Dabei erfolgt zun¨

achst auch eine Ber¨

ucksichtigung der Volumenviskosit¨

at ζ.

~er

~ez

Abbildung 1.1: Die Schallausbreitung innerhalb der R¨

ohre mit dem Radius rwfindet

in ~ez-Richtung in einem Fluid mit der Viskosit¨

at ηsowie der W¨

arme-

leitf¨

ahigkeit κstatt. Die radiale Richtung ist durch ~ervorgegeben.

Die R¨

ohre, in der eine Schallausbreitung in ~ez-Richtung stattfindet, besitzt

nach Abbildung 1.1 den Radius rw. Der Schallschnellenvektor setzt sich aus

den Komponenten

v= ˆvr~er+ ˆvz~ez(1.20)

zusammen. Das Einsetzen der Zustandsgleichung (1.8) eines idealen Gases und

der nach ˆρumgeformten Kontinuit¨

atsgleichung (1.11) in die Navier-Stokes-

Gleichung (1.14) f¨

uhrt mit der kinematischen Viskosit¨

at ν=η/ρ0auf

jωˆ

v=−P0

ρ0T0∇ˆ

T+P0

jωρ0

+4

3+ζ

ηνgrad div ˆ

v−νrot rot ˆ

v.(1.21)

16 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Setzt man die nach ˆρumgeformte Kontinuit¨

atsgleichung (1.11) in die W¨

arme-

leitungsgleichung (1.19) ein, ergibt sich dar¨

uber hinaus mit

ν′=κ

ρ0Cv

(1.22)

die Gleichung

jωˆ

T+T0Cp

Cv−1div ˆ

v=ν′△ˆ

T. (1.23)

Mit dem Verh¨

altnis der spezifischen W¨

armekapazit¨

aten Cpv =Cp/Cvund der

adiabatischen Schallgeschwindigkeit11 c=pCpvP0/ρ0l¨

asst sich das Differen-

zialgleichungssystem zu

jωˆ

v=−c2

T0Cpv ∇ˆ

T+c2

jωCpv

+4

3+ζ

ηνgrad div ˆ

v−νrot rot ˆ

v,(1.24a)

ν′△ˆ

T= jωˆ

T+T0[Cpv −1] div ˆ

v(1.24b)

formulieren.12 Die L¨

osung des Differenzialgleichungssystems lautet f¨

ur eine mit

dem Ausbreitungsmaß13 γfortschreitende Welle

ˆvz=AQ −γA1Q1jω

λ1−ν′−γA2Q2jω

λ2−ν′eγz,(1.25a)

ˆvr=



−γA

jω

ν−γ2

dr−A1jω

λ1−ν′dQ1

dr−A2jω

λ2−ν′dQ2

dr



eγz,(1.25b)

T=[Cpv −1] T0[A1Q1+A2Q2] eγz.(1.25c)

F¨

ur die Funktionen Q,Q1und Q2gilt

Q= J0rpγ2−jω/ν,(1.26a)

Q1= J0rpγ2−λ1,(1.26b)

Q2= J0rpγ2−λ2.(1.26c)

Bei J0(·) handelt es sich um die Bessel-Funktion erster Art mit der Ordnung

null, w¨

ahrend sich λ1und λ2aus der Nullstellengleichung

λ2ν′c2

jωCpv

+4

3+ζ

ηνν′−λc2+ jω4

3+ζ

ην+ν′−ω2= 0 (1.27)

11Die Temperaturabh¨

angigkeit der Schallgeschwindigkeit ckann f¨

ur ein ideales Gas dem

Anhang Aentnommen werden.

12Das Differenzialgleichungssystem (1.24) ist f¨

ur ein ideales Gas allgemein g¨

ultig und

nicht an die Querschnittsfl¨

achenform des Wellenleiters gebunden.

13Die Bezeichnungen Ausbreitungskoeffizient oder Ausbreitungskonstante sind ebenfalls

gebr¨

auchlich.

1.1 Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre 17

mit der Zuordnung |λ1|<|λ2|ergeben. Die L¨

osung (1.25) enth¨

alt mit den

Konstanten A,A1und A2sowie dem Ausbreitungsmaß γzun¨

achst vier unbe-

kannte Gr¨

oßen, die aus den Randbedingungen zu ermitteln sind.

Die L¨

osung (1.25) f¨

uhrt zum einen mit der linearisierten Kontinuit¨

atsglei-

chung (1.11) auf die Dichte

ˆρ=−ρ0A1Q1ν′λ1

jω−1+A2Q2ν′λ2

jω−1eγz (1.28)

und zum anderen mit der Zustandsgleichung (1.8) auf den Schalldruck

ˆp=−P0A1Q1ν′λ1

jω−Cpv+A2Q2ν′λ2

jω−Cpveγz.(1.29)

Relaxation und Volumenviskosit¨

In mehratomigen Gasen treten neben den durch Viskosit¨

at und W¨

armelei-

tung bedingten klassischen D¨

ampfungsmechanismen weitere molekulare Effek-

te in Erscheinung, die eine zus¨

atzliche D¨

ampfung der Schallwelle verursachen.

Nach der kinetischen Gastheorie setzt sich die Gesamtenergie eines Gases aus

den Einzelenergien der im betrachteten Volumen vorhandenen Gasmolek¨

ule

zusammen. Ein Gasmolek¨

ul kann sich als Ganzes bewegen oder um seinen

Schwerpunkt rotieren, w¨

ahrend zus¨

atzlich die einzelnen Atome Schwingungen

gegeneinander ausf¨

uhren k¨

onnen. Im Gleichgewichtszustand ist die gesamte

durch Translation, Rotation und Schwingungen pr¨

asente Bewegungsenergie

eines Molek¨

uls entsprechend auf die einzelnen Freiheitsgrade verteilt.

F¨

uhrt man einem Gas pl¨

otzlich durch Kompression Energie zu, wird sie

zun¨

achst als Translationsenergie aufgenommen und durch Zusammenst¨

oße der

Molek¨

ule verz¨

ogert auf die anderen Freiheitsgrade verteilt, bis sich ein neuer

Gleichgewichtszustand eingestellt hat. Bei schnellen periodischen Zustands-

anderungen ist aufgrund des verz¨

ogerten Energietransfers keine vollst¨

andige

Umverteilung m¨

oglich. Die nicht transferierte Energie bedingt eine innere W¨

ar-

meleitung, die wie die klassische W¨

armeleitung zu Verlusten bei der Schallaus-

breitung f¨

uhrt. Dieser Vorgang wird als thermische Relaxation bezeichnet und

ist durch die Relaxationszeit charakterisiert [CM75,Pier81,Kutt04].

Die Relaxationsd¨

ampfung h¨

angt unter anderem von der Temperatur sowie

der Gasart und der Zusammensetzung des Gases ab, so dass vor allem bei

Gasgemischen, wie beispielsweise Luft, komplizierte Abh¨

angigkeiten vorliegen.

Die einzelnen Bestandteile beeinflussen sich gegenseitig. Bereits geringe Ver¨

an-

derungen in der Zusammensetzung, wie etwa des Feuchtigkeitsgehalts, k¨

onnen

daher die Relaxationsd¨

ampfung deutlich beeinflussen [Pier81,GA99].

Der Einfluss der Relaxation kann in der Kirchhoff-L¨

osung durch eine

komplexe frequenzabh¨

angige spezifische W¨

armekapazit¨

at Cpber¨

ucksichtigt

werden [SLW65]. Der Relaxationsprozess l¨

asst sich in der Navier-Stokes-

Gleichung jedoch auch durch die Volumenviskosit¨

at ζber¨

ucksichtigen [Tisz42].

18 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Diese kann als Maß f¨

ur den Widerstand interpretieren werden, den ein Gas

Kompressions- oder Expansionskr¨

aften entgegensetzt. Je gr¨

oßer die Relaxati-

onszeit, desto gr¨

oßer ist die Volumenviskosit¨

at [Wald58]. Nach der Hypothe-

se von Stokes wird die Volumenviskosit¨

at in der Navier-Stokes-Gleichung

h¨

aufig auch f¨

ur mehratomige Gase vereinfachend zu null gesetzt [GA99].

Die Beschreibung der Relaxationsprozesse durch die Volumenviskosit¨

at er-

scheint nur f¨

ur die Schallfrequenzen geeignet, die sehr viel kleiner als die ein-

zelnen reziproken Relaxationszeiten des Gases sind [CM75]. Bei mehratomi-

gen Gasen ist die Schwingungsenergie gegen¨

uber den Energien der ¨

ubrigen

Freiheitsgrade wesentlich kleiner. Folglich wird zum Erreichen des Gleichge-

wichtszustands eine gr¨

oßere Anzahl von St¨

oßen ben¨

otigt. Deshalb weist der

Schwingungsfreiheitsgrad im Vergleich zu den anderen Freiheitsgraden eine

gr¨

oßere Relaxationszeit auf [Tisz42]. Dagegen sind f¨

ur Frequenzen f < 1 MHz

Relaxationsprozesse bei den Translations- und Rotationsfreiheitsgraden eher

zu vernachl¨

assigen. Im h¨

orbaren Frequenzbereich k¨

onnen jedoch bereits gr¨

ßere D¨

ampfungen durch Relaxation der Schwingungsfreiheitsgrade verzeichnet

werden [MI86].

Mit zunehmendem R¨

ohrenradius reduziert sich der Einfluss der klassischen

D¨

ampfungsmechanismen. Diese sind durch die R¨

ohrenw¨

ande und der deswe-

gen entstehenden akustischen Grenzschicht bedingt und lassen sich durch die

Viskosit¨

at und W¨

armeleitung im Medium begr¨

unden. Eigene Untersuchun-

gen basierend auf den in [BSZ+95] angegebenen Gleichungen zur Berech-

nung der Relaxationsd¨

ampfung in Luft zeigten, dass unter dem Atmosph¨

rendruck von P0= 101325 Pa die Relaxationsd¨

ampfung bei einer Temperatur

von T0= 293,15 K sowie einer relativen Luftfeuchtigkeit von 20% f¨

frw≤100 m/s (1.30)

gegen¨

uber der klassischen D¨

ampfung in einer R¨

ohre im Mittel mehr als zehn

mal kleiner ausf¨

allt, wobei sich f¨

ur Temperaturen T0>293,15 K das Verh¨

alt-

nis erwartungsgem¨

aß weiter vergr¨

oßert.14 Daher erscheint es unter der obigen

Pr¨

amisse gerechtfertigt, den Einfluss von Relaxationsprozessen zu vernachl¨

as-

sigen, weil die klassischen D¨

ampfungsmechanismen in einer R¨

ohre den gr¨

oßeren

Einfluss aus¨

uben. F¨

ur die Volumenviskosit¨

at kann ζ= 0 angesetzt werden und

eine Modifikation der Kirchhoff-L¨

osung entf¨

allt.15

In Abbildung 1.2 sind abschließend die D¨

ampfungsverl¨

aufe exemplarisch

dargestellt, wobei der R¨

ohrenradius zu rw= 100 mm gew¨

ahlt worden ist.

F¨

ur f < 1 kHz kann der Einfluss der Relaxation gegen¨

uber den klassischen

D¨

ampfungsmechanismen bei der Schallausbreitung in einer R¨

ohre als gering

14F¨

ur die in dieser Arbeit zu untersuchenden R¨

ohrensysteme ist Gleichung (1.30) erf¨

ullt.

15Die Volumenviskosit¨

at wird nur in der Nullstellengleichung (1.27) der Kirchhoff-

L¨

osung ben¨

otigt. Werden die Nullstellen dieser Gleichung durch N¨

aherungen beschrieben,

wie das bei den noch vorzustellenden vereinfachten Modellen der Fall sein wird, ist eine

explizite Kenntnis nicht erforderlich. Ansonsten l¨

asst sich nach [Gree59] f¨

ur Luft die Volu-

menviskosit¨

at ζ= 0,6ηverwenden.

1.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande 19

10−6

10−4

10−2

100

102

0,01 0,1 1 10 100

f/kHz

D¨

ampfung in dB/m

a) R¨

ohre c) Freifeld

b) Relaxation

Abbildung 1.2: a) Klassische D¨

ampfung in einer R¨

ohre mit dem Radius rw= 100 mm

nach [Stin91], b) Relaxationsd¨

ampfung f¨

ur Luft bei einer relativen

Luftfeuchtigkeit von 20% nach [BSZ+95] und c) klassische D¨

ampfung

im Freifeld nach [Pier81] jeweils f¨

ur T0= 293,15 K und P0= 101325 Pa

bewertet werden. Das entspricht f¨

ur den gew¨

ahlten R¨

ohrenradius gem¨

aß der

Absch¨

atzung (1.30) einer oberen Frequenzgrenze von f= 1 kHz. F¨

ur f >

10 kHz wird die Relaxationsd¨

ampfung sogar gr¨

oßer als die klassisch bedingte

D¨

ampfung in der R¨

ohre, so dass die Relaxation f¨

ur eine genaue Berechnung

nicht vernachl¨

assigt werden sollte. Im Freifeld ist dagegen die klassische D¨

amp-

fung f¨

ur die betrachteten Frequenzen durchgehend kleiner als die Relaxations-

d¨

ampfung.

1.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande

Kirchhoff setzte nach seiner Hypothese die Randbedingungen

ˆvr,ˆvz,ˆ

Trw,z0= 0 (1.31)

an. Die Randbedingungen {ˆvr,ˆ

T}|rw,z0= 0 f¨

ur ideal schallharte sowie isother-

me W¨

ande werden in den Abschnitten zur Ber¨

ucksichtigung von nicht-ideal

schallharten oder nicht-isothermen W¨

anden modifiziert, w¨

ahrend die Bedin-

gung ˆvz|rw,z0= 0 in dieser Arbeit aufrecht erhalten bleibt. Das erscheint ge-

rechtfertigt, da der Effekt des Gleitens der Gasmolek¨

ule entlang der R¨

ohren-

w¨

ande vernachl¨

assigbar ist [West53].

Eine direkte Konsequenz der Randbedingung ˆ

T|rw,z0= 0 ist, dass f¨

ur die

W¨

armeleitf¨

ahigkeit der R¨

ohrenw¨

ande κw→ ∞ gelten muss. Zur Berechnung

der Schallfeldgr¨

oßen lassen sich f¨

ur die obigen Randbedingungen die Konstan-

ten in der Kirchhoff-L¨

osung (1.25) zu

A= jωγA1

Q1w

Qw1

λ1−1

λ2und A2=−A1

Q1w

Q2w

(1.32)

20 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

berechnen. Die Konstante A1kann bei Bedarf aus einer zus¨

atzlichen Rand-

bedingung ermittelt werden. Die explizite Bestimmung der Konstanten A1ist

f¨

ur diese Arbeit jedoch nicht erforderlich. Zudem l¨

asst sich mit

B=d ln Qw

drw

=−1

Qwpγ2−jω/ν J1rwpγ2−jω/ν,(1.33a)

B1=d ln Q1w

drw

=−1

Q1w pγ2−λ1J1rwpγ2−λ1,(1.33b)

B2=d ln Q2w

drw

=−1

Q2w pγ2−λ2J1rwpγ2−λ2(1.33c)

die Bestimmungsgleichung f¨

ur das Ausbreitungsmaß zu

jωγ2

jω

ν−γ21

λ2−1

λ1B−jω

λ1−ν′B1+jω

λ2−ν′B2= 0 (1.34)

angeben. Die Gr¨

oßen Qw,Q1w und Q2w bezeichnen die bei r=rwausgewer-

teten Funktionen aus den Gleichungen (1.26). Die Bestimmung von γbasiert

demnach auf einer nummerischen L¨

osung von Gleichung (1.34).

Wie anhand der Gleichungen (1.27) und (1.34) ersichtlich ist, liegt der Be-

rechnung des Ausbreitungsmaßes auf der Grundlage der exakten Kirchhoff-

L¨

osung ein großer Aufwand zu Grunde.16 F¨

ur die meisten Anwendungen ist

dieser Aufwand zu groß. Setzt man jedoch ein Gas wie Luft als Fluid voraus,

lassen sich N¨

aherungen f¨

ur das Ausbreitungsmaß herleiten. Im Folgenden wer-

den einige der etablierten N¨

aherungen bez¨

uglich der Randbedingungen (1.31)

vorgestellt, die auf einer Approximation der Kirchhoff-L¨

osung basieren. Wei-

tere mathematische Modelle zur Beschreibung einer dissipativen Schallausbrei-

tung in R¨

ohren finden sich dagegen in [ZK49,West53,Flan72,Mais94,Terh98].

1.2.1 Vereinfachtes Modell nach Kirchhoff

Das von Kirchhoff vorgeschlagene vereinfachte Modell besitzt f¨

ur akustische

Grenzschichten G¨

ultigkeit, die klein gegen¨

uber dem R¨

ohrenradius sind. Die

Dicken der viskosen und thermischen Grenzschicht lassen sich durch

dvisko =r2η

ωρ0

und dtherm =s2κ

ωρ0Cp

(1.35)

absch¨

atzen [Pier81,MI86]. Da beide f¨

ur Luft ungef¨

ahr in den gleichen Gr¨

oßen-

ordnungen liegen, sind durch unterschiedliche Dicken hervorgerufene Effekte

zu vernachl¨

assigen. F¨

ur die in dieser Arbeit zu betrachtenden R¨

ohrenradien

16Der Begriff exakt bezieht sich in diesem Zusammenhang auf die L¨

osung des Differen-

zialgleichungssystems (1.24). Das Differenzialgleichungssystem stellt dagegen eine Appro-

ximation, wie bereits erw¨

ahnt, erster Ordnung dar.

1.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande 21

und Frequenzen erscheint die Annahme von d¨

unnen Grenzschichten erlaubt.

Vereinfachte Modelle, die auch die Ber¨

ucksichtigung von großen Grenzschicht-

dicken erm¨

oglichen, die sich beispielsweise bei niedrigen Frequenzen oder in

sehr d¨

unnen R¨

ohren ausbilden, finden sich etwa in [ZK49,Rayl68,Tijd75].

Der von Kirchhoff verwendete Ansatz zur Vereinfachung des Ausbrei-

tungsmaßes beruht auf einer Approximation der Bessel-Funktionen in den

Gr¨

oßen Qw,Q1w und Q2w. Mit den N¨

aherungen

λ1≈ −ω2/c2und λ2≈jωCpv/ν′(1.36)

folgt f¨

ur die Argumente der Bessel-Funktionen zum einen

γ2−λ1≪1 (1.37)

und zum anderen mit |γ2| ≪ |λ2|ebenfalls

γ2−λ2≈ −λ2.(1.38)

Setzt man zus¨

atzlich |γ2| ≪ |jω/ν|voraus, f¨

uhrt dies auf

γ2−jω/ν ≈ −jω/ν. (1.39)

Da bei kleinen Grenzschichtdicken respektive großen R¨

ohrenradien oder hohen

Frequenzen f¨

ur die Argumente

rwp−jω/ν≫1 und rw√−λ2≫1 (1.40)

angenommen werden kann, lassen sich die Bessel-Funktionen in Qwund Q2w

mit Hilfe der asymptotischen Approximation J0(jx)≈ex/√2πx vereinfachen.

Dagegen kann Q1w mit

rwpγ2−λ1≪1 (1.41)

durch die abgebrochene Reihe J0(x)≈1−x2/4 approximiert werden [AS72].

F¨

ur die logarithmischen Ableitungen der vereinfachten Bessel-Funktionen

erh¨

alt man mit den eingef¨

uhrten N¨

aherungen insgesamt die Approximationen

B≈rjω

νund B1≈ −rw

2γ2−λ1sowie B2≈√λ2.(1.42)

Kirchhoff traf zus¨

atzlich die Annahmen

1/λ1≫1/λ2und jω/λ1≫ν′,(1.43)

die unter Verwendung von γ2≈ −ω2/c2im linken Term von Gleichung (1.34)

mit den eingef¨

uhrten N¨

aherungen auf die Bestimmungsgleichung

νω2

c2λ1rjω

ν+jω

λ1

2γ2−λ1+jω

λ2−ν′√λ2= 0 (1.44)

22 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

bez¨

uglich γf¨

uhren. Das vereinfachte Ausbreitungsmaß kann mit der Kreiswel-

lenzahl17 β0=ω/c zu

γKi = jβ0s1 + 2

rw√jω√ν+ [Cpv −1] rκ

ρ0Cp(1.45)

formuliert werden. Mit √1 + x≈1+x/2 f¨

ur |x|<1 gab Kirchhoff zus¨

atzlich

die Vereinfachung

γKi = jβ01 + 1

rw√jω√ν+ [Cpv −1] rκ

ρ0Cp (1.46)

an. Mit p2/j = 1 −j ist f¨

ur eine Interpretation der obigen Gleichung eine

Zerlegung gem¨

aß

γKi =αKi + jβKi (1.47)

m¨

oglich. Das D¨

ampfungsmaß αKi ergibt sich zu

αKi =β0

rw√2ω√ν+ [Cpv −1] rκ

ρ0Cp,(1.48)

w¨

ahrend sich das Phasenmaß βzu

βKi =β01 + 1

rw√2ω√ν+ [Cpv −1] rκ

ρ0Cp (1.49)

definieren l¨

asst.18,19

Mit der N¨

aherung 1/[1 + x]≈1−xf¨

ur |x| ≪ 1 l¨

asst sich die Phasenge-

schwindigkeit cp=ω/βKi zu

cp=c1−1

rw√2ω√ν+ [Cpv −1] rκ

ρ0Cp (1.50)

angeben. Die Phasengeschwindigkeit cpkann als die Geschwindigkeit inter-

pretiert werden, mit der sich eine sinusf¨

ormige Schallwelle fortpflanzt. Da cp

von der Frequenz abh¨

angt, liegt ein dispersives Medium vor. Bei der Schall-

ausbreitung in einer R¨

ohre mit einem dissipativen Fluid ist cpkleiner als im

Freifeld.

17Die Kreiswellenzahl wird auch als Wellenzahl bezeichnet.

18Die Gr¨

oßen αund βwerden auch als D¨

ampfungskonstante und Phasenkonstante be-

zeichnet, obwohl sie nicht konstant, sondern Funktionen von ωsind. Ebenfalls gebr¨

auchli-

che Bezeichnungen sind D¨

ampfungskoeffizient und Phasenkoeffizient.

19Die Berechnung des D¨

ampfungsmaßes mit dem Konzept der Grenzschichtadmittanz

von Cremer f¨

uhrt ebenfalls zum Ergebnis in Gleichung (1.48) [Crem48].

1.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande 23

1.2.2 Vereinfachtes Modell nach Munjal

Zur Herleitung eines Ausbreitungsmaßes zur Charakterisierung der Schallaus-

breitung in einem viskosen Fluid verfolgte Munjal einen anderen Ansatz als

Kirchhoff [Munj87]. Seine N¨

aherung basierte auf der Kontinuit¨

atsgleichung

und der Navier-Stokes-Gleichung sowie auf thermodynamischen Betrachtun-

gen, die eine konstante Entropie voraussetzten. Das Ausbreitungsmaß wurde

mit dem D¨

ampfungsmaß

αMu =1

rwcrω˜η

2ρ0

(1.51)

γMu = jβ01 + αMu

β0

[1 −j](1.52)

formuliert. Die Viskosit¨

at ohne eine W¨

armeleitung im Fluid wird durch ˜ηer-

fasst. Die Gleichungen (1.51) und (1.52) f¨

uhren zun¨

achst unter Verwendung

der komplexen Umformung 1 −j = p2/j auf

γMu = jβ01 + 1

rw√jωr˜η

ρ0.(1.53)

Die Ber¨

ucksichtigung der W¨

armeleitung innerhalb des Fluids wird schließ-

lich durch eine Modifikation von ˜ηerm¨

oglicht. Um f¨

ur ˜ηden modifizierten Aus-

druck zu bestimmen, griff Munjal auf das Ausbreitungsmaß von Kirchhoff

zur¨

uck. Durch einen Vergleich der Gleichungen (1.46) und (1.53) l¨

asst sich

schließlich der Koeffizient ˜ηzur gleichzeitigen Ber¨

ucksichtigung einer W¨

arme-

leitung zu

˜η=η1 + [Cpv −1] rκ

ηCp2

(1.54)

bestimmen, wobei dieser Ausdruck ebenfalls in [Rsch63] zu finden ist.20 An-

hand von Gleichung (1.54) ist ersichtlich, dass sich der Koeffizient ˜ηinfolge

einer W¨

armeleitung im Fluid erh¨

oht. Ohne W¨

armeleitung gilt in einem visko-

sen Medium dagegen ˜η=η.

1.2.3 Vereinfachtes Modell nach Stinson

Auf der Grundlage der Kirchhoff-L¨

osung betrachtete Stinson R¨

ohrenradien

sowie Frequenzen, f¨

ur die mit Luft als Fluid die N¨

aherungen (1.36) g¨

ultig sind

und weiterhin

γ2≪jω/νund 1/λ1≫1/λ2sowie jω/λ1≫ν′(1.55)

20Der Ausdruck in Gleichung (1.54) wurde gegen¨

uber [Munj87] bez¨

uglich Cpkorrigiert.

24 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

vorausgesetzt werden kann.21 Mit diesen Annahmen reduziert sich die Bestim-

mungsgleichung (1.34) f¨

ur das Ausbreitungsmaß auf

−νγ21

λ1

B−jω

λ1

B1+jω

λ2−ν′B2= 0.(1.56)

Gegen¨

uber dem Ansatz von Kirchhoff wurden von Stinson die Bessel-

Funktionen nicht asymptotisch angen¨

ahert und dann die logarithmischen Ab-

leitungen bestimmt, sondern die Argumente der Bessel-Funktionen mit den

bereits vorgestellten N¨

aherungen approximiert. Lediglich f¨

ur B1kam die N¨

herung aus Gleichung (1.42) zum Einsatz. Die Approximationen lassen sich

mit

rv=rwpω/ν und rt=rwpωCpv/ν′(1.57)

B≈ −rv√−j

J1rv√−j

J0rv√−j,(1.58a)

B1≈ −rw

2γ2−λ1,(1.58b)

B2≈ −rt√−j

J1rt√−j

J0rt√−j(1.58c)

angeben. Durch das Einsetzen der obigen Ausdr¨

ucke in Gleichung (1.56) und

durch Umformung nach γkann f¨

ur das Ausbreitungsmaß nach Stinson schließ-

lich mit

CSt ="1−2

rv√−j

J1rv√−j

J0rv√−j#−1

,(1.59a)

DSt = 1 + [Cpv −1] 2

rt√−j

J1rt√−j

J0rt√−j(1.59b)

der Ausdruck

γSt = jβ0√CStDSt (1.60)

angeben werden.22

F¨

ur die Schalldruckgleichung (1.29) erh¨

alt man mit den N¨

aherungen (1.36)

und den Absch¨

atzungen Q1≈1 sowie |jων′/c2| ≪ Cpv den vereinfachten

Ausdruck

ˆp≈A1P0CpveγStz,(1.61)

f¨

ur den keine Abh¨

angigkeit von rvorliegt. Die Gr¨

oße A1l¨

asst sich beispiels-

weise aus der Randbedingung ˆp|z0= ˆp0eγStz0bestimmen.

21Stinson betrachtete mit rw>10−2mm den Bereich rwf3/2<107mm s−3/2[Stin91].

22Obwohl bereits etwa in [Iber50,Bena68] die Ausdr¨

ucke in Gleichung (1.59) zu finden

sind, wird im Weiteren diese Approximation als Modell von Stinson referenziert.

1.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande 25

Vereinfachung f¨

ur kleine Grenzschichtdicken

F¨

ur kleine Grenzschichtdicken gilt rv≫1 sowie rt≫1 und die Bessel-

Funktionen k¨

onnen asymptotisch approximiert werden. Das f¨

uhrt auf [AS72]

J1(jx)

J0(jx)= jI1(x)

I0(x)≈j.(1.62)

1.2.4 Vereinfachtes Modell nach Keefe

Von Keefe wurden Approximationen f¨

ur die Gr¨

oßen CSt und DSt angegeben,

die f¨

ur kleine Argumente der Bessel-Funktionen auf einer abgebrochenen Po-

tenzreihenentwicklung und f¨

ur große Argumente auf einer asymptotischen Ent-

wicklung der Bessel-Funktionen basieren [Keef84]. F¨

ur kleine Grenzschicht-

dicken ergibt sich das vereinfachte Ausbreitungsmaß nach Keefe gem¨

aß

γKe = jβ0√CKeDKe (1.63)

auf der Grundlage einer asymptotischen Entwicklung aus

CKe =C1+C2und DKe =D1+D2(1.64)

mit

C1=−j√2r−1

v+3

√2r−2

v+15

8r−3

v,(1.65a)

C2= 1 + √2r−1

v−1

√2r−3

v,(1.65b)

D1=−j√2 [Cpv −1] r−1

t−1

√2r−2

t−1

8r−3

t,(1.65c)

D2= 1 + √2 [Cpv −1] r−1

t+1

8r−3

t.(1.65d)

Diese Approximation wurde in [Sche04] mit dem Resultat einer St¨

orungs-

rechnung in Form einer Mehrskalenentwicklung in Kombination mit einer an-

gepassten asymptotischen Entwicklung best¨

atigt [CDF+92].

1.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande

Bei der Interpretation des menschlichen Geh¨

organgs oder Vokaltrakts als R¨

oh-

rensystem mit abschnittsweise konstanter Querschnittsfl¨

ache liegen keine ide-

al schallharten W¨

ande vor [Flan72,HE98b]. Die Modellierung von nicht-ideal

schallharten W¨

anden besitzt somit eine große praktische Relevanz. In [Flan72]

erfolgte daher mit Hilfe von vereinfachten Differenzialgleichungen unter Be-

achtung eines w¨

armeleitenden Mediums und f¨

ur isotherme W¨

ande zun¨

achst

26 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

~er

~ez

Abbildung 1.3: R¨

ohre mit der Wandimpedanz Zwbei r=rw. Die Schallausbreitung

findet in ~ez-Richtung in einem Gas mit der Viskosit¨

at ηsowie der

W¨

armeleitf¨

ahigkeit κstatt. Die radiale Richtung ist durch ~ervorge-

geben.

die Beschreibung einer viskosen Schallausbreitung. Zur Ber¨

ucksichtigung von

nicht-ideal schallharten W¨

anden wurde eine Modifikation des dort erarbeiteten

Leitungsmodells der akustischen R¨

ohre angegeben, jedoch diese Modifikation

nicht mathematisch begr¨

undet.

Bei nicht-ideal schallharten Innenw¨

anden verschwindet die radiale Vektor-

komponente ˆvrder Schallschnelle bei r=rwnicht. Das soll gem¨

aß Abbil-

dung 1.3 im Weiteren durch einen ¨

ortlich bei r=rwangeordneten Impedanz-

belag Zwder Dicke dZw→0 ber¨

ucksichtigt werden.23 Die radiale Komponente

ist ¨

uber die Wandimpedanz

Zw=ˆp

ˆvrrw,z0

(1.66)

mit dem Schalldruck an der Innenwand verkn¨

upft. Setzt man weiterhin iso-

therme W¨

ande voraus, gelten die Randbedingungen

ˆvrrw,z0

=ˆp

Zwrw,z0

und ˆvz,ˆ

Trw,z0

= 0.(1.67)

Zur Vereinfachung bietet sich die Verwendung der bei z=z0ausgewerte-

ten Schalldruckgleichung ˆp≈A1P0Cpveγz0an. Die Randbedingung f¨

ur die

radiale Schallschnelle ˆvrf¨

uhrt mit den Konstanten Aund A2aus den Glei-

chungen (1.32) auf die implizite Gleichung

A1Q1w







jωγ2

jω

ν−γ21

λ2−1

λ1B−jω

λ1−ν′B1+jω

λ2−ν′B2



=ˆp

(1.68)

23Bei ideal schallharten W¨

anden gilt Zw→ ∞, w¨

ahrend dagegen f¨

ur ideal schallweiche

W¨

ande Zw= 0 angenommen werden kann.

1.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande 27

zur Bestimmung des Ausbreitungsmaßes. Der obige Ausdruck l¨

asst sich in

Analogie zur Herleitung von Stinson mit den N¨

aherungen (1.55) und (1.58)

vereinfachen. Das Ausbreitungsmaß kann schließlich mit

Dw=DSt +2P0Cpv

jωrwZw

(1.69)

und den Gr¨

oßen Cw=CSt und DSt aus den Gleichungen (1.59) zu

γw= jβ0√CwDw(1.70)

formuliert werden.

ZFin Ns/m3

Aluminiuma17 ·106

Edelstahla44 ·106

Gummia2,8·106

Kupfera42 ·106

Messingb35 ·106

PVCc2,4·106

Luftabei 20◦C 413

Tabelle 1.1: ¨

Ubersicht der Schallkennimpedanzen f¨

ur Longitudinalwellen von aus-

gew¨

ahlten Materialien im Vergleich zu Luft aus a[FKS84], b[Pier81]

und c[St¨

oc98]

Die Modellvorstellung einer ¨

ortlich konzentrierten Wandimpedanz setzt die

Bedingung |Zw| ≫ ZF,L=ρ0cvoraus, damit dem Schallfeld nur geringe Ener-

gie durch Zwentzogen wird und folglich der Großteil des Energietransports

weiterhin im Bereich r < rwerfolgt [Male69]. Bei der Definition von Zwgem¨

aß

Gleichung (1.66) handelt es sich um eine Schallkennimpedanz.24 In Tabelle 1.1

sind einige Materialien und Luft bez¨

uglich ihrer Schallkennimpedanz charak-

terisiert.

Geh¨

organg als nicht-ideal schallharte R¨

ohre

Von Hudde et al. wurde das D¨

ampfungsmaß des menschlichen Geh¨

organgs

aus den messtechnisch ermittelten Eingangsimpedanzen gesch¨

atzt [HE98b]. Es

zeigte sich, dass die D¨

ampfung durchschnittlich ungef¨

ahr dreimal so groß ist,

wie die D¨

ampfung in einer akustischen R¨

ohre aus Messing.

24Die Schallkennimpedanz wird auch als Schallfeldimpedanz, akustische Feldimpedanz

oder spezifische Schallimpedanz bezeichnet. W¨

ande mit großer Schallkennimpedanz ZF,

wie beispielsweise Stahl, werden als schallhart bezeichnet, w¨

ahrend W¨

ande mit niedriger

Schallkennimpedanz, wie etwa biologisches Gewebe, als schallweich anzusehen sind.

28 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Das den Geh¨

organg auskleidende Gewebe ist als nicht-ideal schallhart sowie

nicht-ideal glatt anzusehen und begr¨

undet damit haupts¨

achlich die h¨

oheren

Verluste. Zur Modellierung dieses Sachverhalts kann zum einen beispielsweise

das Ausbreitungsmaß nach Gleichung (1.60) gem¨

aß

γHu = 3Re{γSt}+ jIm{γSt}(1.71)

an die dreimal h¨

oheren Verluste angepasst werden. Zum anderen bietet sich das

Konzept einer Wandimpedanz Zwan, bei der die nicht in γSt ber¨

ucksichtigten

Verluste durch Zwerfasst werden k¨

onnen. Der Wert von Zwl¨

asst sich aus einer

Minimierung des Fehlerquadrats

k=1 |γHu(fk)−γw(fk)|2(1.72)

f¨

ur Frequenzen f1≤fk≤fLbestimmen [PTVF07]. Unter Vorgabe einer

frequenzunabh¨

angigen und reellen Wandimpedanz f¨

uhrt das Optimierungs-

verfahren f¨

ur den h¨

orbaren Frequenzbereich, dem mittleren Geh¨

organgsradius

von rw= 37 mm aus [SL89] sowie einer K¨

orpertemperatur von T0= 310,15 K

bei P0= 101325 Pa auf einen Wert von

Zw,1= 1,3·105Ns/m3.(1.73)

Setzt man dagegen eine Frequenzabh¨

angigkeit der Form Zw=¯

Zw/√ωvoraus,

liefert die Optimierung

Zw,2=1,7·107

√ω

√sNs/m3.(1.74)

a) b)

0,10,111 1010

30 2

1,75

1,5

1,25

f/kHzf/kHz

D¨

ampfung in dB/m

β/β0

γHu Zw=Zw,1Zw=Zw,2

Abbildung 1.4: a) Mittlere D¨

ampfung im menschlichen Geh¨

organg und b) normiertes

Phasenmaß jeweils approximiert nach Gleichung (1.71) sowie unter

Verwendung der Wandimpedanz Zwbei r=rwnach Gleichung (1.70)

1.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande 29

In Abbildung 1.4 sind die Ergebnisse der Optimierung vergleichend zum

Ausbreitungsmaß aus Gleichung (1.71) dargestellt. Die Annahme einer fre-

quenzabh¨

angigen Wandimpedanz erscheint f¨

ur den Geh¨

organg durchaus ge-

rechtfertigt und das in Abschnitt 1.3 vorgestellte Konzept dar¨

uber hinaus ge-

eignet, R¨

ohren mit nicht-ideal schallharten W¨

anden zu modellieren.

1.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande

ρwCwκw

in kg/m3in Ws/[kgK] in W/[mK]

Aluminiuma2707 897 237

Edelstahlb7600 . . . 7900 460 15

Gummib1000 . . . 1300 1100 . . . 2000 0,14 ...0,16

Kupferb8900 385 390

Messinga8522 385 113

PVCa1380 900 0,16

Tabelle 1.2: ¨

Ubersicht exemplarisch ausgew¨

ahlter Wandmaterialien bez¨

uglich ihrer

Eigenschaften bei Raumtemperatur aus a[St¨

oc98] und b[Pier81]

Isotherme Randbedingungen setzen voraus, dass wegen ˆ

T|rw,z0= 0 keine

Erw¨

armung der W¨

ande erfolgt und dass κw→ ∞ gelten muss. In der Pra-

xis ist die W¨

armeleitf¨

ahigkeit der W¨

ande endlich. Erh¨

oht sich die Temperatur

des Fluids, erw¨

armen sich auch die W¨

ande. Das kann durch nicht-isotherme

Randbedingungen ber¨

ucksichtigt werden. Die W¨

armeverluste sind f¨

ur nicht-

isotherme W¨

ande geringer, da der Temperaturgradient im Wandbereich ge-

gen¨

uber isothermen Betrachtungen kleiner ausf¨

allt. In der Tabelle 1.2 sind

einige Wandmaterialien bez¨

uglich ihrer thermischen Eigenschaften dargestellt.

Auf der Grundlage der klassischen Kirchhoff-L¨

osung wurde in [Mawa54]

mit T=T0+˜

T1+¯

T2eine Approximation zweiter Ordnung f¨

ur die W¨

arme-

leitungsgleichung angesetzt. Die Gr¨

oße ¯

T2erlaubt die Ber¨

ucksichtigung von

Effekten, die durch eine Approximation erster Ordnung nicht erfasst werden.

Dagegen erfolgte in [AV89] die Berechnung des Schallfelds in einem zweidi-

mensionalen Wellenleiter durch Superposition der Wirbel- und Entropiemoden

sowie der akustischen Moden. Durch Einbettung einer Impedanz wurde die

endliche W¨

armeleitf¨

ahigkeit der Berandung ber¨

ucksichtigt. In Abh¨

angigkeit

von einem Parameter kann die Impedanz den Bereich von einer unendlichen

W¨

armeleitung bis zu einer vollst¨

andigen W¨

armeisolation modellieren.

Im Folgenden soll die Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur die Modellierung von nicht-

isothermen W¨

anden modifiziert werden. Betrachtet wird dazu die kreisrunde

R¨

ohre mit der Wanddicke din Abbildung 1.5. F¨

ur den Bereich r≤rwl¨

asst

sich die W¨

armeleitung durch Gleichung (1.19) beschreiben, w¨

ahrend f¨

ur die

30 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

~er

~ez

T=ˆ

Tw= 0

Abbildung 1.5: R¨

ohre mit der Wanddicke dund unterschiedlichen Temperaturen an

der Innen- und Außenwand. Die W¨

ande weisen die Leitf¨

ahigkeit κw

auf. Die Schallausbreitung findet in ~ez-Richtung in einem Gas mit der

Viskosit¨

at ηsowie der W¨

armeleitf¨

ahigkeit κstatt. Die radiale Rich-

tung ist durch ~ervorgegeben.

W¨

ande mit rw≤r≤rw+ddie W¨

armeleitungsgleichung

jωρwCwˆ

Tw=κw△ˆ

Tw(1.75)

g¨

ultig ist. Die L¨

osung der obigen Gleichung lautet

Tw=A3J0rp−jωρwCw/κw+A4Y0rp−jωρwCw/κweγz.(1.76)

Bei Y0(·) handelt es sich um die Bessel-Funktion zweiter Art mit der Ord-

nung null. Die beiden W¨

armeleitungsgleichungen sind bei r=rw¨

uber die

Randbedingungen

Trw,z0

=ˆ

Twrw,z0

und κdˆ

drrw,z0

=κw

dˆ

drrw,z0

(1.77)

miteinander verkn¨

upft, wobei letztere die Stetigkeit der W¨

armestromdichten

voraussetzt. Zus¨

atzlich sollen die Randbedingungen

Twrw+d,z0= 0 und ˆvzrw,z0= 0 (1.78)

gelten. Auf der Grundlage der vier Randbedingungen k¨

onnen die Konstanten

in der Kirchhoff-L¨

osung (1.25) sowie der L¨

osung (1.76) zur Beschreibung

der W¨

armeleitung in den W¨

anden mit

A2,1=Q4w

dQ5w

drw−Q6w

dQ3w

drw

,(1.79a)

A2,2=Q3wQ6w −Q4wQ5w (1.79b)

1.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande 31

A=A1γjω

λ1−ν′Q1w

+A2γjω

λ2−ν′Q2w

,(1.80a)

A2=−A1

κwA2,1Q1w +κA2,2

dQ1w

drw

κwA2,1Q2w +κA2,2

dQ2w

drw

,(1.80b)

A3=−A4

Q6w

Q4w

,(1.80c)

A4=−T0[Cpv −1] A1Q1wQ4w +A2Q2wQ4w

A2,2

(1.80d)

bestimmt werden. Weiterhin ergeben sich mit

x1=rwp−jωρwCw/κwund x2= [rw+d]p−jωρwCw/κw(1.81)

die bisher nicht erw¨

ahnten Funktionen zu

Q3w = J0(x1),(1.82a)

Q4w = J0(x2),(1.82b)

Q5w = Y0(x1),(1.82c)

Q6w = Y0(x2).(1.82d)

Vereinfachung der Konstanten

Die Argumente der Bessel-Funktionen in den Gleichungen (1.82) sowie in den

Ableitungen

dQ3w

drw

=−x1

J1(x1) und dQ5w

drw

=−x1

Y1(x1) (1.83)

nehmen f¨

ur die in dieser Arbeit relevanten Wandmaterialien und R¨

ohrenradien

betragsm¨

aßig große Werte an, so dass diese auch durch die asymptotischen

Approximationen

Jm(xi)≈r2

πxi

cos xi−π

4[2m+ 1],(1.84a)

Ym(xi)≈r2

πxi

sin xi−π

4[2m+ 1](1.84b)

repr¨

asentiert werden k¨

onnen [AS72]. Die Verwendung der asymptotischen Ap-

proximationen zur Vereinfachung der Gleichungen (1.79) f¨

uhrt nach algebra-

ischen Umformungen zun¨

achst auf die Konstante

A2≈ −A1

κw

rwhej2x1d/rw+ 1iQ1w + jκhej2x1d/rw−1idQ1w

drw

κw

rwhej2x1d/rw+ 1iQ2w + jκhej2x1d/rw−1idQ2w

drw

.(1.85)

32 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Durch eine Aufteilung der Form ej2x1d/rw= e−a+jamit a > 0 wird ersichtlich,

dass sich f¨

ur die zu betrachtenden Frequenzen und Wanddicken sowie f¨

ur die

Wandmaterialien aus Tabelle 1.2 die Absch¨

atzung |ej2x1d/rw| ≪ 1 anbietet.

Mit |γ2−λ1| ≪ 1 gilt zudem



κw

Q1w≫

κdQ1w

drw

(1.86)

und A2kann schließlich durch

A2≈ −A1

κw

Q1w

κw

Q2w −jκdQ2w

drw

(1.87)

approximiert werden. F¨

ur die Herleitung des Ausbreitungsmaßes ist die Glei-

chung (1.25b) bez¨

uglich der Randbedingung

ˆvrrw,z0= 0 (1.88)

auszuwerten. In diese Bestimmungsgleichung f¨

ur das Ausbreitungsmaß sind

die Gr¨

oßen Aund A2aus den Gleichungen (1.80a) und (1.87) einzusetzen. Mit

Hilfe der N¨

aherungen aus dem Abschnitt 1.2.3 sowie unter Verwendung von

Q1w ≈1 und dQ1w

drw≈ −rw

2γ2−λ1(1.89)

ist die Bestimmungsgleichung zu vereinfachen. Die Vereinfachungen f¨

uhren mit

den Gr¨

oßen

C1n ="1−jrρ0Cpκ

ρwCwκw

J1rt√−j

J0rt√−j#−1

,(1.90a)

C2n = 1 + C1n

ω2

c2[Cpv −1] rw

rt√−j2

,(1.90b)

Cn="1−2

rv√−j

J1rv√−j

J0rv√−jC2n#−1

,(1.90c)

Dn= 1 + C1n [Cpv −1] 2

rt√−j

J1rt√−j

J0rt√−j(1.90d)

letztendlich zum Ausbreitungsmaß

γn= jβ0√CnDn.(1.91)

1.5 Bewertung der Approximationen 33

1.4.1 Vereinfachtes Modell nach Franken et al.

Die Herleitung von Franken et al. st¨

utzt sich ebenfalls wie die L¨

osung von

Kirchhoff auf das linearisierte Navier-Stokes-Fourier-Modell [FCCW81].

Jedoch wurde von ihnen ein R¨

ohrenelement der L¨

ange dzbetrachtet, so dass

die Differenzialgleichungen bez¨

uglich des Laplace-Operators deutlich verein-

facht werden k¨

onnen.

Auf der Grundlage des im vorherigen Abschnitt erarbeiteten Modells l¨

asst

sich mit C2n ≈1 und der daraus resultierenden Absch¨

atzung Cn≈CSt in

Kombination mit Dnaus Gleichung (1.90d) das auf der Approximation von

Franken et al. basierende Ausbreitungsmaß zu

γFr = jβ0√CStDn(1.92)

angeben. Damit k¨

onnen unterschiedliche L¨

osungsans¨

atze formal zu identischen

Resultaten f¨

uhren.

1.4.2 Vereinfachtes Modell nach Keefe

Ein vereinfachter Ausdruck f¨

ur die Gr¨

oße Dnaus Gleichung (1.90d) wurde von

Keefe angegeben [Keef84]. Seine Herleitung basiert auf der Tatsache, dass f¨

die meisten Gase sowie unter anderem f¨

ur die Wandmaterialien in Tabelle 1.2

die Beziehung

ǫw=rρ0Cpκ

ρwCwκw≪1 (1.93)

g¨

ultig ist. Eine Potenzreihenentwicklung in ǫwsowie eine asymptotische Ent-

wicklung der Bessel-Funktionen f¨

ur rt≫1 f¨

uhren schließlich mit

Cpv,n−1 = Cpv −1

ǫw+ 1 (1.94)

auf den Ausdruck

DKe,n= 1 + [Cpv,n−1] 2

rt√−j

J1rt√−j

J0rt√−j.(1.95)

Zur Ber¨

ucksichtigung von nicht-isothermen W¨

anden ist die Gr¨

oße Cpv also

nur durch die modifizierte Konstante Cpv,nzu ersetzen. Das Ausbreitungsmaß

l¨

asst sich damit zu

γFr = jβ0pCStDKe,n(1.96)

formulieren.

34 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

1.5 Bewertung der Approximationen

In den vorherigen Abschnitten wurden zahlreiche Modelle f¨

ur die Approxima-

tion des Ausbreitungsmaßes unter Ber¨

ucksichtigung von verschiedenen Rand-

bedingungen vorgestellt. Wie genau diese Modelle im Vergleich zur exakten

Kirchhoff-L¨

osung arbeiten, wird im Folgenden untersucht.

Neben den Eigenschaften des Mediums h¨

angt das Ausbreitungsmaß von

der Frequenz und dem R¨

ohrenradius ab. Daher erscheint es f¨

ur eine allge-

meine Betrachtung w¨

unschenswert, beide Parameter durch Einf¨

uhrung eines

neuen Parameters ˜rw=rw√ωzusammenzufassen und das Ausbreitungsmaß

in Abh¨

angigkeit von ˜rwzu formulieren. Das ist f¨

ur den Großteil der vorge-

stellten Modelle m¨

oglich, w¨

ahrend dies bei der Kirchhoff-L¨

osung mit der

Einf¨

uhrung eines zus¨

atzlichen Parameters verbunden ist [Tijd75].

Damit entzieht sich die Kirchhoff-L¨

osung einer anschaulichen Beschrei-

bung auf der Grundlage eines einzigen Parameters und ein direkter Vergleich

mit den erarbeiteten Approximationen ist auf diese Weise nicht ohne Weiteres

m¨

oglich. Die Untersuchungen erfolgten daher f¨

ur ausgew¨

ahlte R¨

ohrenradien in

Abh¨

angigkeit von der Frequenz, die sich gem¨

aß Gleichung (1.4) bis zur Grenz-

frequenz des ersten Azimutalmodus erstreckt.

1.5.1 Vorbetrachtungen und Fehlermaße

Zur nummerischen Bestimmung des implizit in der Kirchhoff-L¨

osung ent-

haltenen Ausbreitungsmaßes kam ein Gauß-Newton-Verfahren zum Einsatz,

bei dem die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten approximiert

worden sind [SK06]. Die bereits in [Tijd75] verwendeten Startwerte γ0= jβ0

erwiesen sich ebenfalls f¨

ur die Nullstellenbestimmung als geeignet.

Die Untersuchungen erfolgten f¨

ur die exemplarisch ausgew¨

ahlten R¨

ohren-

radien rw,i ={2,4,30,100}mm mit P0= 101325 Pa und T0= 293,15 K,

wobei die daraus resultierenden Gaseigenschaften dem Anhang Aentnommen

werden k¨

onnen. Die relativen Betragsfehler der D¨

ampfungs- und Phasenmaße

berechnen sich f¨

ur die einzelnen R¨

ohrenradien rw,i zu

eα,i =

Re{γref,i}−Re{γapp,i}

Re{γref,i}

,(1.97a)

eβ,i =

Im{γref,i}−Im{γapp,i}

Im{γref,i}

.(1.97b)

Die Fehlermaße sind mit f1,i ≤fk,i ≤fL,i Funktionen von fk,i. Die Anga-

be des Arguments erfolgt im weiteren Verlauf nur dort, wo das notwendig

erscheint. Die aus der exakten Kirchhoff-L¨

osung nummerisch bestimmten

Ausbreitungsmaße γref,i stellen die Referenzl¨

osungen dar, w¨

ahrend γapp,i die

1.5 Bewertung der Approximationen 35

dazugeh¨

origen Approximationen kennzeichnet. Mit Hilfe der einzelnen relati-

ven Betragsfehler wurden die mittleren relativen Betragsfehler

(¯eα

¯eβ)=1

i=1

k=1 (eα,i(fk,i)

eβ,i(fk,i))(1.98)

f¨

ur das D¨

ampfungs- und Phasenmaß im Bereich f1,i ≤fk,i ≤fL,i mit L= 100

zur Bewertung der Approximationen ermittelt. Zus¨

atzlich zu diesen Fehlerma-

ßen werden im Folgenden die Verl¨

aufe des Fehlers eα,i grafisch pr¨

asentiert.

1.5.2 Isotherme und ideal schallharte W¨

ande

γapp Modell Gleichung ¯eαin % ¯eβin %

γKi Kirchhoff (1.45)1,19 9,08 ·10−4

γMu Munjal (1.53)0,78 3,08 ·10−3

γSt Stinson (1.60)0,34 4,03 ·10−6

˜γSt Stinson (1.60) mit (1.62)0,39 9,38 ·10−3

γKe Keefe (1.63)0,35 4,61 ·10−3

Tabelle 1.3: Mittlere relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur isotherme und

ideal schallharte W¨

ande

Die Abweichungen zwischen den auf der Grundlage von Gleichung (1.27)

gem¨

aß Gleichung (1.34) nummerisch bestimmten Ausbreitungsmaßen γref,i

und den Approximationen γapp,i sind f¨

ur isotherme und ideal schallharte W¨

an-

de in Tabelle 1.3 zusammengefasst und in Abbildung 1.6 dargestellt.

Die geringsten Abweichungen gegen¨

uber der Referenzl¨

osung weisen die Ap-

proximationen von Stinson und Keefe auf. Verglichen mit dem Berechnungs-

aufwand stellen die Approximationen ˜γSt und γKe eine gute Alternative zum

Ausbreitungsmaß γSt dar. Besonders f¨

ur tiefe Frequenzen und kleine Radien

treten bei den N¨

aherungen von Kirchhoff und Munjal sowie bei Verwen-

dung von asymptotisch approximierten Bessel-Funktionen im Ausbreitungs-

maß ˜γSt gr¨

oßere Ungenauigkeiten auf. Diese sind gr¨

oßtenteils durch die verwen-

deten Vereinfachungen bez¨

uglich der in den Gleichungen (1.33) angegebenen

Gr¨

oßen Bund B2begr¨

undet. Die Verwendung von asymptotisch angen¨

aherten

Bessel-Funktionen erscheint f¨

ur kleine Radien und niedrige Frequenzen nicht

gerechtfertigt.

Bei allen Modellen ist ab einer bestimmten Frequenz ein kontinuierlicher

Anstieg des Fehlers eα,i zu beobachten. Diesbez¨

ugliche Untersuchungen zeig-

ten, dass sich dieser Anstieg durch die Approximation B1≈ −rw[γ2−λ1]/2

in Kombination mit der Annahme λ1≈ −ω2/c2begr¨

unden l¨

asst. Mit steigen-

der Frequenz verlieren diese Annahmen zunehmend ihre Berechtigung, wobei

36 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

0,750,75

0,50,5

0,250,25

1010 2020 30 40 50 15 255

1,21,82,43 1

0,2 0,40,60,60,8

f/kHz f/kHz

eα,1in %

eα,2in %

eα,3in %

eα,4in %

rw= 2 mm rw= 4 mm

rw= 30 mm rw= 100 mm

f/kHz f/kHz

Re{γKi}Re{γMu}Re{γSt}Re{˜γSt}Re{γKe}

Abbildung 1.6: Relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur isotherme und ideal

schallharte W¨

ande

der Fehleranstieg f¨

ur die untersuchten Frequenzbereiche als tolerierbar ein-

zustufen ist. Es ¨

uberrascht, dass die N¨

aherung von Munjal gegen¨

uber der

von Kirchhoff approximierten L¨

osung zu besseren Resultaten f¨

uhrt, obwohl

Munjal eine zus¨

atzliche Approximation des Wurzelausdrucks verwendet hat.

Zus¨

atzlich sei angemerkt, dass die Fehler ¯eβbez¨

uglich des Phasenmaßes f¨

alle untersuchten Modelle vernachl¨

assigbare Gr¨

oßenordnungen aufweisen.

1.5.3 Isotherme und nicht-ideal schallharte W¨

ande

Die nummerische L¨

osung der Gleichungen (1.27) und (1.68) f¨

uhrte auf die Refe-

renzl¨

osung zur Berechnung des Fehlers. Da sich die Konstante A2in der einzu-

setzenden Schalldruckgleichung (1.29) auch f¨

ur nicht-ideal schallharte W¨

ande

gem¨

aß Gleichung (1.32) berechnet, muss schließlich A1f¨

ur die Bestimmung

des Ausbreitungsmaßes nicht ausgewertet werden.

γapp Gleichung ¯eαin % ¯eβin %

γw(1.70)0,26 8,31 ·10−4

˜γw(1.70) mit (1.62)0,22 2,00 ·10−2

Tabelle 1.4: Mittlere relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur isotherme und

nicht-ideal schallharte W¨

ande

1.5 Bewertung der Approximationen 37

0,6

1,2

1,8

2,4

0,2

0,4

0,8

0,50,5

1,51,5

0,30,3

0,20,2

0,10,1

100100

400400

700700

10001000

eα,1in %

eα,2in %

eα,3in %

eα,4in %

rw= 2 mm rw= 4 mm

rw= 30 mm rw= 100 mm

Zw/ZF,LZw/ZF,L

f/kHz

Abbildung 1.7: Relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur isotherme und nicht-

ideal schallharte W¨

ande in Abh¨

angigkeit von Zw

0,6

1,2

1,8

2,4

0,2

0,4

0,8

0,50,5

1,51,5

0,30,3

0,20,2

0,10,1

100100

400400

700700

10001000

eα,1in %

eα,2in %

eα,3in %

eα,4in %

rw= 2 mm rw= 4 mm

rw= 30 mm rw= 100 mm

Zw/ZF,LZw/ZF,L

f/kHz

Abbildung 1.8: Relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur isotherme und nicht-

ideal schallharte W¨

ande in Abh¨

angigkeit von Zwbei Verwendung von

asymptotisch approximierten Bessel-Funktionen

38 Kapitel 1 Schallausbreitung in kreisrunden R¨

ohren

Die Modellierung von nicht-ideal schallharten W¨

anden erfolgte durch eine

reelle Wandimpedanz, die zwischen 100 ≤Zw/ZF,L≤1000 variieren sollte.25

Die Fehlermaße wurden f¨

ur Wandimpedanzen Zw,1≤Zw,n ≤Zw,N sowie f¨

Frequenzen f1,i ≤fk,i ≤fL,i zu

(¯eα

¯eβ)=1

4NL

i=1

n=1

k=1 (eα,i(fk,i, Zw,n)

eβ,i(fk,i, Zw,n))(1.99)

mit N= 20 und L= 200 definiert und sind in Tabelle 1.4 zusammengefasst.

Die Fehlerverl¨

aufe f¨

ur das Ausbreitungsmaß γwk¨

onnen der Abbildung 1.7

entnommen werden, w¨

ahrend die Fehlerverl¨

aufe f¨

ur das asymptotisch appro-

ximierte Ausbreitungsmaß ˜γwin Abbildung 1.8 dargestellt sind.

F¨

ur steigende Wandimpedanzen nehmen die Fehler eα,i geringf¨

ugig zu und

konvergieren f¨

ur Zw→ ∞ gegen die Betragsfehler f¨

ur ideal schallharte W¨

ande.

Die Genauigkeit der untersuchten Approximationen kann als akzeptabel einge-

stuft werden. F¨

ur zunehmende Frequenzen ist bei γwein st¨

arkeres Ansteigen

des Fehlers zu beobachten. Daf¨

ur liegen bei ˜γwim unteren Frequenzbereich

gr¨

oßere Ungenauigkeiten vor, da die Annahme von kleinen Grenzschichtdicken

dort nicht gerechtfertigt erscheint. Nichtsdestotrotz stellt die asymptotische

N¨

aherung durch den reduzierten Berechnungsaufwand insgesamt eine attrak-

tive Methode zur Modellierung von nicht-ideal schallharten W¨

anden dar.

1.5.4 Nicht-isotherme und ideal schallharte W¨

ande

γapp Modell Gleichung ¯eαin % ¯eβin %

γnvorgestelltes (1.91)0,34 6,07 ·10−6

γFr Franken et al. (1.92)0,34 7,30 ·10−6

˜γFr Franken et al. (1.92) mit (1.62)0,39 9,35 ·10−3

γKe Keefe (1.96)0,32 1,70 ·10−3

Tabelle 1.5: Mittlere relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur nicht-isotherme

und ideal schallharte W¨

ande aus PVC

Die Betrachtungen erfolgten exemplarisch f¨

ur R¨

ohren aus PVC mit einer

Wanddicke von di=rw,i/10. Die Referenzl¨

osung berechnet sich auf der Grund-

lage von Gleichung (1.27) und der Kirchhoff-L¨

osung (1.25b), wobei dort die

Konstanten Aund A2aus den Gleichungen (1.80) einzusetzen und die Rand-

bedingung ˆvr|rw,z0= 0 auszuwerten sind. Die mittleren relativen Betragsfehler

des D¨

ampfungs- und Phasenmaßes sind in Tabelle 1.5 angegeben.

Gem¨

aß Abbildung 1.9 verlaufen die relativen Betragsfehler eα,i bez¨

uglich

der Approximationen γnund γFr identisch. Die N¨

aherung Cn≈CSt hat damit

25Die Schallkennimpedanz von Luft betr¨

agt bei den vorgegebenen Umgebungsbedingun-

gen ZF,L= 413 Ns/m3.

1.5 Bewertung der Approximationen 39

0,50,5

1,51,5

0,40,4

0,30,3

0,20,2

0,10,1

1010 2020 30 40 50 15 255

1,21,82,43 1

0,2 0,40,60,60,8

f/kHz f/kHz

eα,1/%

eα,2/%

eα,3/%

eα,4/%

rw= 2 mm rw= 4 mm

rw= 30 mm rw= 100 mm

f/kHz f/kHz

Re{γn}Re{γFr}Re{˜γFr}Re{γKe}

Abbildung 1.9: Relative Betragsfehler der Approximationen f¨

ur nicht-isotherme und

ideal schallharte W¨

ande aus PVC

beim Modell von Franken et al. nahezu keinen Einfluss auf die Genauigkeit,

so dass γFr wegen des geringeren Berechnungsaufwands zu pr¨

aferieren ist. Die

beiden Modelle zeigen das gleiche charakteristische Verhalten wie etwa γSt

aus Abschnitt 1.5.2. Mit steigender Frequenz nehmen die Abweichungen dort

aus demselben Grund zu, wie zuvor erl¨

autert. Diese sind jedoch insgesamt

durchgehend als gering einzustufen.

Bei Verwendung der asymptotisch angen¨

aherten Bessel-Funktionen in ˜γFr

treten zus¨

atzlich in den unteren Frequenzbereichen gr¨

oßere Ungenauigkeiten

auf, da dort die Verwendung einer asymptotischen Darstellung der Bessel-

Funktionen nicht gerechtfertigt ist. Nichtsdestotrotz stellt ˜γFr wegen des ver-

gleichsweisen geringen Berechnungsaufwands eine gute Alternative zu den an-

deren Modellen dar. Wird eine genaue Modellierung im unteren Frequenzbe-

reich gew¨

unscht, ist hingegen das Modell von Franken et al. zu bevorzugen.

Die Erweiterung der Untersuchungen auf die anderen in Tabelle 1.2 aufge-

f¨

uhrten Materialien zeigten, dass die Fehlerverl¨

aufe eα,i kaum von den Wand-

eigenschaften beeinflusst werden. Damit erscheint auch die bei der Herleitung

von γnund γFr getroffene Annahme |ej2x1d/rw| ≪ 1 gerechtfertigt.

KAPITEL 2

Modellierung von R¨

ohrensystemen

Auf der Grundlage der im vorherigen Kapitel pr¨

asentierten Approximationen

f¨

ur das Ausbreitungsmaß wird in diesem Kapitel die akustische Modellierung

von R¨

ohrensystemen durch Zweitore vorgestellt. Die Modelle sollen eine Be-

r¨

ucksichtigung der folgenden Punkte erlauben:

•ver¨

anderliche Querschnittsfl¨

ache,

•endliche R¨

ohrenl¨

ange mit entsprechendem Abschluss,

•Abzweigungen,

•nicht-ideale Schallquellen,

•str¨

omendes Medium.

Mit Hilfe der Zweitormodelle k¨

onnen R¨

ohrensysteme bez¨

uglich ihres ¨

Uber-

tragungsverhaltens charakterisiert werden. Das ¨

Ubertragungsverhalten ist bei-

spielsweise in der Klima- oder Abgastechnik zur Auslegung von Schalld¨

ampfer-

elementen von Interesse [Munj87]. Dar¨

uber hinaus lassen sich der menschliche

Geh¨

organg sowie Blasmusikinstrumente ebenfalls als R¨

ohrensystem interpre-

tieren. Solche Modelle bieten sich daher auch f¨

ur die Auslegung von H¨

orger¨

aten

oder zur Konzeption von Musikinstrumenten an [CKL84,Bern99,HEL99].

In dieser Arbeit sollen Zweitore zur Modellierung eines aktiven Abgas-

schalld¨

ampfers eingesetzt werden. Dazu sind die ben¨

otigten mathematischen

Modelle zu erl¨

autern und anhand eines realen physikalischen R¨

ohrensystems

zu validieren. Die Betrachtungen setzen zun¨

achst ein ruhendes Medium vor-

aus, w¨

ahrend im n¨

achsten Kapitel die Modelle zur Erfassung eines str¨

omenden

Mediums erweitert werden.

2.1 Leitungsmodell f¨

ur einen akustischen Wellenleiter

Ein akustischer Wellenleiter in Form einer R¨

ohre l¨

asst sich in Analogie zu einer

elektrischen Leitung mit Hilfe des Ausbreitungsmaßes und der charakteristi-

schen Impedanz modellieren. Betrachtet wird im Folgenden ein Leitungsele-

2.1 Leitungsmodell f¨

ur einen akustischen Wellenleiter 41

nq+

p−

nq−

z= 0 z=ln

ZL,n

γn

pn+1

qn+1

Abbildung 2.1: a) Akustischer Wellenleiter und b) Zweitordarstellung

ment nder L¨

ange lnmit dem Radius rn, welches durch das Zweitor in Ab-

bildung 2.1 b) beschrieben werden soll.1Die Wellenl¨

angen seien im Vergleich

zum R¨

ohrendurchmesser als groß einzustufen, so dass lediglich der Grundmo-

dus vorhanden ist.

F¨

ur das Leitungsmodell sind zun¨

achst die Schallfeldgr¨

oßen ¨

uber die kreis-

runde Querschnittsfl¨

ache an den Toren zu mitteln. Am Tor ngilt somit exemp-

larisch [Pier81,Stin91]











hˆvz,ni

hˆpni

hˆρni











πr2

nZrn

2πr 









ˆvz,n(r)

ˆpn(r)

ˆρn(r)











dr. (2.1)

Durch die Mittelung entf¨

allt die Ortsabh¨

angigkeit von rund an jedem Tor l¨

asst

sich auf diese Weise eine Ebene mit konstanten Schallfeldgr¨

oßen definieren.

Dies f¨

uhrt auf ein eindimensionales Modell, bei dem nur eine Abh¨

angigkeit

von zvorliegt.

F¨

ur eine ¨

ubersichtlichere Darstellung werden die Mittelwertgr¨

oßen der kom-

plexen Amplituden an einem Tor nim Folgenden durch

vn=hˆvz,niund pn=hˆpnisowie ρn=hˆρni(2.2)

pr¨

asentiert. Neben dem Schalldruck pnsoll der Schallfluss qn, der durch die

kreisrunde Querschnittsfl¨

ache Anstr¨

omt, gem¨

aß

qn=vnAn=vnπr2

n(2.3)

1Die Indizes dienen im weiteren Verlauf der Zuordnung zum entsprechenden Tor oder

R¨

ohrenelement.

42 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

elektrisch akustisch

Potenzialgr¨

oße Spannung Schalldruck

Flussgr¨

oße Strom Schallfluss

Tabelle 2.1: Zusammenhang zwischen elektrischen und akustischen Leitungsgr¨

oßen

als weitere Torgr¨

oße zum Einsatz kommen. Die Potenzialgr¨

oße pnist mit der

Flussgr¨

oße qn¨

uber die Impedanz

Zn=pn

(2.4)

verkn¨

upft.2Zwischen den elektrischen und akustischen Gr¨

oßen besteht der in

Tabelle 2.1 angegebene Zusammenhang.

2.1.1 Charakteristische Impedanz

In Anlehnung an Abbildung 2.1 a) berechnet sich die charakteristische Impe-

danz3des Leitungselements aus dem Quotienten

ZL,n =p+

=p−

q−

(2.5)

der hin- und r¨

ucklaufenden Wellen der Potenzial- und Flussgr¨

oßen. Mit der

Definition (2.5) kann ¨

uber das akustische Potenzial [Male69,Skud71]

φn(z, t) = φ+

n+φ−

n=C+e−γnz+C−eγnzejωt,(2.6)

wobei die Konstanten C+und C−nicht genauer spezifiziert seien, exemplarisch

f¨

ur die hinlaufenden Wellen die charakteristische Impedanz mit

nejωt =ρ0

∂φ+

∂t = jωρ0C+e−γnzejωt,(2.7a)

nejωt =−An

∂φ+

∂z =AnγnC+e−γnzejωt (2.7b)

ZL,n =p+

=jωρ0

Anγn

=ZL0,n

jβ0

γn

(2.8)

bestimmt werden [Hudd88].4F¨

ur die charakteristische Impedanz eines verlust-

freien Wellenleiters gilt

ZL0,n =ρ0c

πr2

.(2.9)

2Die Gr¨

oße Znwird auch als akustische Impedanz oder Flussimpedanz bezeichnet.

3Die charakteristische Impedanz wird auch als Wellenimpedanz bezeichnet.

4Aus Gr¨

unden der ¨

Ubersichtlichkeit wurde in den Gleichungen (2.6) und (2.7) auf die

Angabe des Realteiloperators Re{·} verzichtet.

2.1 Leitungsmodell f¨

ur einen akustischen Wellenleiter 43

H¨

aufig findet sich in der Literatur eine Zerlegung des Ausbreitungsmaßes in

eine L¨

angsimpedanz Zund eine Queradmittanz Y[Bena68,Flan72,Keef84].

Mit dieser Zerlegung erfolgt die Beschreibung des Wellenleiters durch das klas-

sische Ersatzschaltbild einer Leitung, f¨

ur das sich die Wellenausbreitung durch

die bekannte Telegrafengleichung beschreiben l¨

asst [Hoff97]. Die charakteristi-

sche Impedanz ergibt sich dann zwangsl¨

aufig aus ZL,n =pZ/Y und weicht

damit von Gleichung (2.8) ab. Eine Zerlegung in Zund Ynur mit der Kenntnis

des Ausbreitungsmaßes ist nicht eindeutig. Demnach k¨

onnen sich in Abh¨

an-

gigkeit von der gew¨

ahlten Aufteilung auch unterschiedliche charakteristische

Impedanzen ergeben. Daher erscheint es geeigneter, f¨

ur die Berechnung der

charakteristischen Impedanz die Gleichung (2.8) zu Grunde zu legen.

2.1.2 Zweitormodellierung

Das akustische Leitungselement stellt wie ihr elektrisches ¨

Aquivalent mit den

Eingangsgr¨

oßen pnund qnbei z= 0 sowie den Ausgangsgr¨

oßen pn+1 und qn+1

bei z=lngem¨

aß Abbildung 2.1 b) ein Zweitor dar. Die Ausgangsgr¨

oßen lassen

sich in Abh¨

angigkeit von den Eingangsgr¨

oßen zu

pn+1 =pncosh (γnln)−qnZL,n sinh (γnln),(2.10a)

qn+1 =qncosh (γnln)−pn

ZL,n

sinh (γnln) (2.10b)

formulieren [Flan72,Terh98]. F¨

ur das Zweitor kann mit den Gleichungen (2.10)

eine Kettenmatrixdarstellung der Form

"pn

qn#=Kn"pn+1

qn+1#(2.11)

mit der Kettenmatrix

Kn=





cosh (γnln)ZL,n sinh (γnln)

ZL,n

sinh (γnln) cosh (γnln)



(2.12)

angeben werden. Ebenso l¨

asst sich die Impedanzmatrix

Zn=ZL,n 





coth (γnln)1

sinh (γnln)

sinh (γnln)coth (γnln)







(2.13)

44 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

f¨

ur ein R¨

ohrenelement definieren, wobei mit der in Abbildung 2.1 b) eingef¨

uhr-

ten Z¨

ahlpfeilrichtung f¨

ur die Kettenmatrixdarstellung der Zusammenhang

"pn

pn+1#=Zn"qn

−qn+1#(2.14)

gilt. Da die Bedingung ZT

n=Znbeziehungsweise det{Kn}= 1 erf¨

ullt ist,

handelt es sich bei dem akustischen Leitungselement um ein ¨

ubertragungs-

symmetrisches und damit reziprokes Zweitor.

2.2 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache

K¨

onnen zur Berechnung der Schallausbreitung in akustischen Wellenleitern

mit ver¨

anderlicher Querschnittsfl¨

ache keine analytischen L¨

osungen der parti-

ellen Differenzialgleichungen angegeben werden, kommen zur nummerischen

L¨

osung h¨

aufig Finite-Elemente-Verfahren oder Randelemente-Verfahren zum

Einsatz [CB91,CDF+92,HM95,Vorl08].

Bei den Finite-Elemente-Verfahren findet eine Diskretisierung des zu be-

trachtenden Raumvolumens in finite Elemente statt. Mit Hilfe einer integralen

Mittelwertbildung werden die Differenzialgleichungen in ein Gleichungssystem

uberf¨

uhrt, das nummerisch gel¨

ost wird. Die Randelemente-Verfahren basieren

im Gegensatz dazu auf einer Diskretisierung der Oberfl¨

ache des zu betrach-

tenden Raumvolumens. Die Differenzialgleichungen werden unter Ber¨

ucksichti-

gung der Randbedingungen in Integralgleichungen ¨

uberf¨

uhrt, die ¨

ahnlich dem

Finite-Elemente-Verfahren nummerisch zu l¨

osen sind. Beide Methoden f¨

uh-

ren bei entsprechender Diskretisierung zu genauen Resultaten, denen jedoch

ein hoher Berechnungsaufwand zu Grunde liegt. Im Folgenden kommen daher

keine dieser nummerischen Verfahren zum Einsatz.

Eine weitere M¨

oglichkeit zur Berechnung der Schallausbreitung in R¨

ohren

mit ver¨

anderlicher Querschnittsfl¨

ache basiert auf einer Vereinfachung der zu

Grunde liegenden partiellen Differenzialgleichungen. Dieser Ansatz f¨

uhrt unter

anderem auf die Webster-Gleichung [Webs19].

2.2.1 Die Webster-Gleichung

Die Schallausbreitung in einer R¨

ohre mit ver¨

anderlicher Querschnittsfl¨

ache und

die Schwingung einer Saite mit ver¨

anderlicher Dicke in transversaler Rich-

tung lassen sich durch ¨

ahnliche Differenzialgleichungen beschreiben. Diesen

Zusammenhang zwischen der linearen Elastizit¨

at einer Saite und den Eigen-

schaften eines Gases in einer R¨

ohre mit ver¨

anderlicher Querschnittsfl¨

ache er-

kannten Lagrange und Euler zur Mitte des Neunzehnten Jahrhunderts. Zu

Beginn des Zwanzigsten Jahrhunderts griffen Rayleigh und Webster die

2.2 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache 45

Essenz der Arbeiten von Lagrange und Euler unabh¨

angig voneinander wie-

der auf. Auch wenn andere Forscher die Pionierarbeit geleistet haben, wird

h¨

aufig die Gleichung zur Schallausbreitung in einem Trichter mit Webster

in Verbindung gebracht und als Webster-Gleichung oder Trichtergleichung

bezeichnet [Camp84].

Bei der Schallausbreitung in einer R¨

ohre liegt eine Abh¨

angigkeit der Schall-

feldgr¨

oßen von den drei Raumdimensionen vor. Unter der Voraussetzung, dass

der Schalldruck auf einer entsprechenden Koordinatenfl¨

ache konstant ist, h¨

angt

die von Webster vorgestellte Trichtergleichung n¨

aherungsweise nur von einer

Dimension ab. Das ist unter anderem dann der Fall, wenn die betrachteten

Wellenl¨

angen erheblich gr¨

oßer als der Durchmesser der R¨

ohre sind. Unter die-

ser Annahme liegt ausschließlich eine Schallausbreitung im Grundmodus vor,

die haupts¨

achlich von der Gr¨

oße der Querschnittsfl¨

ache, nicht jedoch durch die

Querschnittsfl¨

achenform beeinflusst wird [Hudd83,HM05]. Zus¨

atzlich darf sich

die Querschnittsfl¨

ache nur langsam ¨

andern, so dass sprunghafte ¨

Anderungen

nicht zul¨

assig sind. Die Webster-Gleichung l¨

asst sich f¨

ur eine Schallausbrei-

tung in z-Richtung bez¨

uglich des akustischen Potenzials zu

d2φ

dz2+1

A(z)

∂A(z)

∂z

dφ

dz+β2

0φ= 0 (2.15)

formulieren. Die ver¨

anderliche Querschnittsfl¨

ache wird durch die Querschnitts-

fl¨

achenfunktion A(z) erfasst [Hudd89]. Querschnittsfl¨

achen, die senkrecht zu

einer gekr¨

ummten Mittelachse angeordnet sind, lassen sich durch eine Para-

metrisierung der Webster-Gleichung modellieren [KS85,FFR02].

In der urspr¨

unglichen Webster-Gleichung (2.15) werden keine Verluste

bei der Schallausbreitung erfasst [Flan72]. Diese lassen sich zum einen f¨

kleine Grenzschichtdicken durch eine Modifikation der Trichtergleichung ein-

betten [Pier81] oder zum anderen approximativ durch Verwendung eines ver-

lustbehafteten Ausbreitungsmaßes in der L¨

osung ber¨

ucksichtigen [Hudd89].

Durch eine weitere Modifikation der Trichtergleichung kann ebenfalls der Ein-

fluss eines str¨

omenden Mediums erfasst werden [Pier81].

F¨

ur die Webster-Gleichung lassen sich nur f¨

ur einige Spezialf¨

alle, wie

beispielsweise den Kegel- oder Exponentialtrichter, analytische L¨

osungen an-

geben [Lodw97]. In [Putl96] wurde die Trichtergleichung daher mit Hilfe eines

Finite-Differenzen-Verfahrens nummerisch gel¨

ost. Die dazu erforderliche Dis-

kretisierung der ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

achenfunktion entlang der Mittel-

achse kann auch als eine stufenweise Approximation von A(z) durch hinter-

einander geschaltete R¨

ohren mit unterschiedlichen Querschnittsfl¨

achen inter-

pretieren werden [Hudd89]. Dieses Prinzip wurde in dieser Arbeit zur Mo-

dellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache herangezogen, da es einen

akzeptablen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Berechnungsaufwand dar-

stellt.

46 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

2.2.2 Stufenweise Approximation

kontinuierliche Querschnittsfl¨

achenfunktion A(z)

stufenweise Approximation

rnrn+1 rn+2 rn+3

lnln+1 ln+2 ln+3

ZnZn+1 Zn+2 Zn+3

ZQ,n ZQ,n+1 ZQ,n+2

Abbildung 2.2: a) Prinzip der stufenweisen Approximation von kontinuierlichen Quer-

schnittsfl¨

achen¨

anderungen durch hintereinander geschaltete R¨

ohren-

elemente mit konstantem Querschnitt und b) Zweitordarstellung mit

den Sprungimpedanzen ZQ,n

Das Konzept der stufenweisen Approximation ist in Abbildung 2.2 a) dar-

gestellt. Die Unterteilung muss nicht notwendigerweise ¨

aquidistant erfolgen.

Die Genauigkeit des Modells h¨

angt von den gew¨

ahlten L¨

angen lnder R¨

oh-

renelemente und der Gr¨

oße der Querschnitts¨

anderung ab. Untersuchungen

zeigten, dass mit L¨

angen von ln≈λ/10 akzeptable Resultate erzielt wer-

den k¨

onnen [Lodw97]. Die Kettenmatrix eines aus NElementen bestehenden

R¨

ohrensystems ergibt sich mit den einzelnen Kettenmatrizen (2.12) zu

n=1

Kn.(2.16)

Das Ausbreitungsmaß γnsollte bei einer stufenweisen Approximation in

jedem R¨

ohrenelement gleich sein, so dass es sich bei einer verlustbehafteten

Schallausbreitung anbietet, einen mittleren Radius zur Berechnung von γnzu

verwenden [Hudd89]. In der Literatur finden sich jedoch ebenfalls Ans¨

atze, die

f¨

ur jedes R¨

ohrenelement den dazugeh¨

origen Radius rnbei der Bestimmung

von γnzu Grunde legen [HE98a,HE98c].

Bei der Verkettung von R¨

ohrenelementen mit unterschiedlichen Radien

gem¨

aß Gleichung (2.16) ergeben sich jedoch nur f¨

ur kleine Querschnittsspr¨

unge

zufriedenstellende Resultate. Untersuchungen in [Solo03] haben gezeigt, dass

2.2 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache 47

ein Querschnittssprung unter Vernachl¨

assigung von evaneszenten Moden nur

f¨

ur einen eingeschr¨

ankten Frequenzbereich deutlich unterhalb des ersten Ra-

dialmodus zu genauen Ergebnissen f¨

uhrt. Bei gr¨

oßeren Querschnittsspr¨

ungen

sollte, auch wenn ausschließlich der Grundmodus ausbreitungsf¨

ahig ist, der

Einfluss von evaneszenten Moden ber¨

ucksichtigt werden.

Mit dem Streumatrizenkonzept von Hudde et al. aus [HL85] wurde von

Hudde eine stufenweise Approximation auch f¨

ur Frequenzen untersucht, f¨

die h¨

ohere Moden ebenfalls ausbreitungsf¨

ahig sind [Hudd89]. Da rotations-

symmetrische Querschnitts¨

anderungen im Mittelpunkt standen, erfolgte nur

die Ber¨

ucksichtigung von Radialmoden, wobei sich Azimutalmoden ebenfalls

in das Konzept einbetten lassen. Das Verfahren erlaubt eine genaue akustische

Modellierung von Querschnitts¨

anderungen nicht nur f¨

ur den Grundmodus.

Jedoch erfordert das Verfahren einen hohen Berechnungsaufwand, da selbst

f¨

ur eine Bestimmung der Schallfeldgr¨

oßen des Grundmodus die Streumatrizen

ebenfalls bez¨

uglich der h¨

oheren Moden ausgewertet werden m¨

ussen.

In dieser Arbeit kann aufgrund der vorliegenden R¨

ohrengeometrien und der

zu betrachtenden Frequenzen davon ausgegangen werden, dass nur der Grund-

modus ausbreitungsf¨

ahig ist. Damit bieten sich auch vereinfachte L¨

osungsan-

s¨

atze an, die den Einfluss der am Querschnittssprung evaneszent angeregten

Moden auf der Grundlage einer Sprungimpedanz ber¨

ucksichtigen.

Sprungimpedanz von Karal

a) b)

pn+1

qn+1

z= 0

rn+1

pn+1

qn+1

ZQ,n

Abbildung 2.3: a) Querschnittssprung von rnauf rn+1 bei z= 0 und b) Modellierung

durch die Sprungimpedanz ZQ,n

Betrachtet wird der in Abbildung 2.3 a) dargestellte Querschnittssprung

vom Radius rnauf rn+1 am Ort z= 0. Zur Erf¨

ullung der dortigen Randbe-

dingungen sind neben dem ausbreitungsf¨

ahigen Grundmodus auch evaneszen-

te Moden einzubeziehen, die an der Unstetigkeitsstelle zwangsl¨

aufig angeregt

werden. F¨

ur die komplexen Amplituden des Schalldrucks im Grundmodus gilt

48 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

bei z= 0

pnz=0 −pn+1z=0 =pHM.(2.17)

Der Schalldruck ist am Querschnittssprung nicht stetig, sondern springt um

den Anteil pHM, der die evaneszenten h¨

oheren Moden erfasst. Dagegen l¨

asst

sich f¨

ur den Schallfluss zeigen, dass f¨

ur diesen bei z= 0 mit

qnz=0 =qn+1z=0 =qQ,n (2.18)

Stetigkeit vorliegt. Den Anteil der h¨

oheren Moden beschrieb Karal durch

pHM =ZQ,nqQ,n (2.19)

mit Hilfe der Sprungimpedanz ZQ,n [Kara53]. Diese Sprungimpedanz zur Be-

r¨

ucksichtigung eines Querschnittssprungs setzt sich genau genommen aus zwei

unendlichen Reihen zusammen, wobei ein Reihenterm aus Gr¨

oßen besteht, die

sich aus einem unendlichen linearen Gleichungssystem berechnen lassen. F¨

die meisten Anwendungen kann nach Karal dieser Reihenterm vernachl¨

assigt

werden, so dass er schließlich die Impedanz zu

ZQ,n = jω4ρ0rn+1

πr2

∞

i=1

1(t0,irn/rn+1)

0,iJ2

0(t0,i)(2.20)

angegeben hat.5Dabei bezeichnet t0,i die Nullstelle i+ 1 von J1(t0,i). F¨

akzeptable Ergebnisse kann die Reihe bereits nach dem zwanzigsten Glied ab-

gebrochen werden [Peat88]. Die Einbettung der Sprungimpedanz in die Zwei-

tormodellierung ist in Abbildung 2.3 b) dargestellt.

F¨

ur den Wert der Sprungimpedanz ist es nicht relevant, ob rn> rn+1

oder rn< rn+1 vorliegt. Eine Aufweitung und eine Verengung besitzen damit

identische Sprungimpedanzen. Folglich liegt Reziprozit¨

at vor. Daher bezeich-

net im Weiteren rnden kleineren und rn+1 den gr¨

oßeren Radius und das

dazugeh¨

orige Verh¨

altnis sei zu α=rn/rn+1 definiert.

Untersuchungen zur Sprungimpedanz von Karal

Auf der Grundlage des Streumatrizenkonzepts gaben Hudde et al. ein ¨

aqui-

valentes Zweitor an, dass f¨

ur den Grundmodus die Effekte durch Anregung von

evaneszenten Moden ber¨

ucksichtigt [HL85]. Die L¨

angsimpedanz des Zweitors

wurde mit der Sprungimpedanz von Karal f¨

ur große und kleine Querschnitts-

anderungen verglichen. Dabei zeigte sich, dass die Sprungimpedanz von Karal

f¨

ur kleine Querschnittsspr¨

unge ungenau ist. F¨

ur kleine ¨

Anderungen ist der

Wert der Sprungimpedanz ohnehin gering, so dass der Fehler tolerierbar er-

scheint.

5Bei der Gr¨

oße ZQ,n handelt es sich um eine akustische Induktivit¨

at, die auch als

akustische Sprungmasse bezeichnet wird [ZZ93].

2.2 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache 49

Zus¨

atzlich wurde von Hudde f¨

ur einen stufenweise zu approximierenden

Wellenleiter das ¨

Ubertragungsverhalten zum einen mit dem Streumatrizen-

konzept als Referenzl¨

osung ermittelt. Zum anderen erfolgte mit Hilfe der Ket-

tenmatrizen (2.12) die Berechnung sowohl mit als auch ohne Sprungimpedanz

von Karal [Hudd89]. Mit der Sprungimpedanz reduzierten sich die Abwei-

chungen zur Referenzl¨

osung. Jedoch waren diese nur f¨

ur einen eingeschr¨

ank-

ten Frequenzbereich deutlich unterhalb der Grenzfrequenz des ersten ausbrei-

tungsf¨

ahigen Modus akzeptabel. Eine obere Frequenzgrenze, f¨

ur die mit der

Sprungimpedanz zufriedenstellende Resultate erzielt werden k¨

onnen, l¨

asst sich

dagegen nicht eindeutig definieren.

Die Sprungimpedanz von Karal erlaubt keine genaueren Ergebnisse, da

frequenzabh¨

angige Terme bei der Herleitung vernachl¨

assigt oder durch kon-

stante Ausdr¨

ucke approximiert worden sind [Peat88]. Das wird deutlich, wenn

man die Sprungimpedanz mit einer Impedanz vergleicht, die f¨

ur eine Schall-

abstrahlung eines kreisrunden Kolbens in eine kreisrunde R¨

ohre mit gr¨

oßerem

Durchmesser g¨

ultig ist [Ing˚a48]. Da beide identisch sind, beschreibt die Sprung-

impedanz von Karal eine ebene Schallabstrahlung in eine R¨

ohre mit einem

gr¨

oßeren Durchmesser, bei der nur auf einer Seite h¨

ohere Moden Ber¨

ucksich-

tigung finden. Bei einem Querschnittssprung werden jedoch auf beiden Seiten

h¨

ohere Moden evaneszent angeregt, die es in ihrer Gesamtheit zu ber¨

ucksich-

tigen gilt.

Sprungimpedanz von Peat

F¨

ur die Herleitung einer genaueren Sprungimpedanz, die einen Querschnitts-

sprung bis zur Grenzfrequenz des ersten Radialmodus modellieren soll, wird

das Schallfeld zun¨

achst mit analytischen [KG87] oder nummerischen Methoden

ermittelt [Peat88,SMR95]. Auf dieser Grundlage erfolgt dann die approxima-

tive Bestimmung einer ¨

aquivalenten Impedanz in analytischer Form. Mit der

Vorgehensweise lassen sich ebenfalls nicht-achsensymmetrische Querschnitts-

spr¨

unge modellieren [SMR95].

In dieser Arbeit kam die Sprungimpedanz von Peat zur Beschreibung von

achsensymmetrischen Querschnittsspr¨

ungen zum Einsatz [Peat88]. Sie basiert

auf der doppelten Tschebyscheff-Reihe

ZQ,n = jω8ρ0

3π2rn

i=0

j=0

Ai,j Ti2β0rn+1 −3,9

3,3Tj2α−1,1

0,9(2.21)

und approximiert die Referenzl¨

osung eines Finite-Elemente-Verfahrens. Die

Koeffizienten sind in Tabelle 2.2 zusammengefasst, w¨

ahrend es sich bei Tn(·)

um Tschebyscheff-Polynome erster Art mit der Ordnung nhandelt. Die

Approximation ist f¨

ur 0,1≤α≤1 und 0,3≤β0rn+1 ≤3,6 g¨

ultig.

50 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

HHH

j0 1 2 3 4 5

00,4316 −0,5031 0,0238 0.0558 −0.0084 0,0005

10,1275 −0,1287 −0,0419 0,0579 −0,0104 −0,0049

20,0649 −0,0659 −0,0215 0,0316 −0,0062 −0,0033

30,0301 −0,0311 −0,0097 0,0157 −0,0034 −0,0019

40,0155 −0,0162 −0,0046 0,0083 −0,0020 −0,0010

50,0078 −0,0082 −0,0022 0,0043 −0,0011 −0,0006

Tabelle 2.2: Koeffizienten Ai,j der doppelten Tschebyscheff-Reihe zur Approxima-

tion der Sprungimpedanz von Peat [Peat88]. Gegen¨

uber seiner Darstel-

lung sind die Koeffizienten A0,0,Ai,0und A0,j bereits skaliert [Basu73].

Verkettung der R¨

ohrenelemente

Zur Ber¨

ucksichtigung von Querschnittsspr¨

ungen sind zwischen benachbarten

R¨

ohrenelementen die dazugeh¨

origen Sprungimpedanzen ZQ,n gem¨

aß Abbil-

dung 2.2 b) anzuordnen. Die Verbindung von benachbarten R¨

ohrenelementen

erfolgt damit ¨

uber ein Zweitor mit der Kettenmatrix

KQ,n ="1ZQ,n

0 1 #.(2.22)

Vernachl¨

assigt man den Einfluss von evaneszenten Moden, gilt ZQ,n = 0

und KQ,n wird zur Einheitsmatrix. Das entspricht einer direkten Verkettung

der R¨

ohrenelemente, welche zu Beginn des Abschnitts vorgestellt worden ist.

2.3 Modellierung einer endlichen R¨

ohrenl¨

ange

Die Terminierung eines R¨

ohrensystems bei z=zTkann im Zweitormodell

durch die Abschlussimpedanz ZTber¨

ucksichtigt werden. Eine fortschreitende

Schallwelle wird am Ende des letzten R¨

ohrenelements Ngem¨

aß dem Reflexi-

onsfaktor

RT=ZT−ZL,N

ZT+ZL,N

=−|RT|e−j2β0LT(2.23)

reflektiert. F¨

ur die Querimpedanz ZTergibt sich die Kettenmatrix zu

KT="1 0

1/ZT1#.(2.24)

Bei einer verschlossenen R¨

ohre stellt ZTdie Wandimpedanz des Verschlus-

ses dar. Mit einer offenen Terminierung gestaltet sich dagegen die Bestimmung

2.3 Modellierung einer endlichen R¨

ohrenl¨

ange 51

z=zT

a) b)

Abbildung 2.4: a) Kreisrunde R¨

ohre ohne Flansch (unflanged) und b) kreisrunde R¨

oh-

re mit unendlich ausgedehntem Flansch (flanged)

einer ¨

aquivalenten Impedanz ZTaufw¨

andiger, da die M¨

undungsform die An-

regung von h¨

oheren Moden beziehungsweise die Schallabstrahlung ins Freifeld

beeinflusst.

In dieser Arbeit sind nur solche M¨

undungen relevant, die keinen oder einen

unendlich ausgedehnten Flansch gem¨

aß Abbildung 2.4 aufweisen. N¨

aherungen

f¨

ur andere Flansche finden sich f¨

ur den Bereich deutlich unterhalb der Grenz-

frequenz des ersten Radialmodus beispielsweise in [DNJ01]. Die Berechnung

des Schallfelds außerhalb der R¨

ohre ist im Weiteren nicht erforderlich und kann

daher etwa [LS48,Pier81,Munj87] entnommen werden.

2.3.1 M¨

undung ohne Flansch

Erste Arbeiten zur Beschreibung der Reflexion und Schallabstrahlung an einer

M¨

undung ohne Flansch wurden von Levine et al. durchgef¨

uhrt [LS48]. Ihre

Betrachtungen beschr¨

ankten sich exemplarisch auf den Bereich bis zur Grenz-

frequenz des ersten Radialmodus. Der von Levine et al. hergeleitete Aus-

druck f¨

ur den Reflexionsfaktor ist nicht elementar integrierbar. Daher wurde

von Norris et al. zun¨

achst der Reflexionsfaktor nummerisch bestimmt und

schließlich diese nummerische L¨

osung analytisch approximiert [NS89]. Die Ap-

proximation von Norris et al. ergibt sich f¨

ur 0 < β0rN<3,8 zu

|RT,0|=1 + 0,2β0rN−0,084 [β0rN]2

1 + 0,2β0rN+ 0.416 [β0rN]2,(2.25a)

LT,0= 0,6133rN

1 + 0,044 [β0rN]2

1 + 0,19 [β0rN]2.(2.25b)

Um die Genauigkeit von LT,0bei tiefen Frequenzen zu erh¨

ohen, wurde

von Dalmont et al. ein Korrekturterm hinzugef¨

ugt [DNJ01]. Die modifi-

52 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

zierte N¨

aherung l¨

asst sich f¨

ur den Bereich 0 < β0rN<1,5 zu

LT,0= 0,6133rN1 + 0,044 [β0rN]2

1 + 0,19 [β0rN]2−0,02 sin2(2β0rN)(2.26)

angeben. Bei sehr niedrigen Frequenzen gilt |RT,0| ≈ 1 und die wirksame R¨

oh-

renl¨

ange vergr¨

oßert sich gegen¨

uber der geometrischen um LT,0≈0,6133 rN.

2.3.2 M¨

undung mit unendlich ausgedehntem Flansch

F¨

ur M¨

undungen mit einem unendlich ausgedehnten Flansch kann der von

Norris et al. erarbeitete Ausdruck f¨

ur den Reflexionsfaktor ebenfalls nur

nummerisch bestimmt werden [NS89]. Die nummerische L¨

osung ist daher wie-

der analytisch approximiert worden. Diesbez¨

uglich erscheint jedoch die von

Dalmont et al. zu

|RT,∞|=1 + 0,323β0rN−0,077 [β0rN]2

1 + 0,323β0rN+ 0,923 [β0rN]2,(2.27a)

LT,∞= 0,8216rN1 + 0,77β0rN

1 + 0,77β0rN+ [0,77β0rN]2(2.27b)

angegebene Approximation f¨

ur 0 < β0rN<3,5 nach eigenen Untersuchungen

praktikabler [DNJ01]. Im Gegensatz zur N¨

aherung von Norris et al. weist

diese im approximierten Frequenzbereich keine Polstelle auf. F¨

ur sehr niedrige

Frequenzen f¨

uhrt ein offenes Ende zu einer Vergr¨

oßerung der effektiv wirksa-

men R¨

ohrenl¨

ange um LT,∞≈0,8216 rN.

2.4 Modellierung von Abzweigungen

In den bisher publizierten Arbeiten zur akustischen Modellierung von R¨

oh-

rensystemen mit Abzweigungen standen rechteckige Querschnittsfl¨

achen im

Vordergrund. Weisen Hauptr¨

ohre und Abzweigung dieselbe r¨

aumliche Tiefe

auf, reduziert sich bei der Anregung mit einer eindimensionalen Schallwel-

le die Darstellung auf ein zweidimensionales Problem. Zur Untersuchung der

Schallausbreitung kamen sowohl analytische Herleitungen [Mile47] als auch

nummerische Verfahren zum Einsatz [Tang04].

An einer Abzweigung wird ein Teil der einfallenden Schallwelle reflek-

tiert [KFCS00]. ¨

Ahnlich wie bei einem Querschnittssprung l¨

asst sich die Re-

flexion durch eine Korrektur der wirksamen L¨

ange der Abzweigung sowie des

davor angeordneten R¨

ohrensystems ber¨

ucksichtigen. Die f¨

ur einen rechtecki-

gen Querschnitt erforderliche Korrektur der L¨

angen wurde in [Tang04] mit

einem nummerischen Verfahren f¨

ur unterschiedliche Terminierungen bis zur

Grenzfrequenz des ersten h¨

oheren Modus bestimmt.

2.4 Modellierung von Abzweigungen 53

F¨

ur R¨

ohren mit kreisrunder Querschnittsfl¨

ache gestaltet sich dagegen die

Modellierung von Abzweigungen wesentlich komplizierter. Anders als beim

rechteckigen Wellenleiter liegt dort ein dreidimensionales Problem zu Grunde.

Somit bieten sich einerseits zun¨

achst nur nummerische Verfahren an. Ande-

rerseits erscheint es m¨

oglich, auf der Grundlage von nummerischen Methoden

Zweitore zu bestimmen, die den Einfluss von h¨

oheren Moden im Bereich einer

Abzweigung f¨

ur eine Schallausbreitung im Grundmodus modellieren. In dieser

Arbeit wurde ein anderer Ansatz gew¨

ahlt, der im Folgenden pr¨

asentiert wird.

Zweitormodellierung einer Abzweigung

pn+1

qn+1

z=zB

rnrn+1

a) b)

pn+1

qn+1

Z11,B

Abbildung 2.5: a) Kreisrunde R¨

ohre mit rechtwinkliger Abzweigung und b) Modellie-

rung durch die Impedanz Z11,B

Wie in Abbildung 2.5 a) dargestellt, weist die Abzweigung bei z=zBden

Radius rBauf, w¨

ahrend die Hauptr¨

ohre den Radius rn=rn+1 besitzt. Die

Betrachtungen setzen Wellenl¨

angen voraus, die im Vergleich zu rBgroß sind.

Damit werden Frequenzen betrachtet, die deutlich unterhalb der Grenzfre-

quenz des ersten Azimutalmodus liegen. Zus¨

atzlich wird rn> rBgefordert.

Durch diese Voraussetzungen soll sichergestellt werden, dass nur in einem klei-

nen Bereich um die Abzweigung die Anregung von evaneszenten Moden erfolgt.

Unter dieser Pr¨

amisse erscheint der Einfluss dieser h¨

oheren Moden gering und

es erlaubt, das Schallfeld auch im Bereich der Abzweigung als n¨

aherungsweise

eindimensional anzunehmen. Der Schalldruck ist dann bei z=zBmit

pnz=zB=pn+1z=zB=pB(2.28)

stetig, w¨

ahrend sich der Schallfluss gem¨

aß der Kontinuit¨

atsgleichung zu

qnz=zB=qn+1z=zB+qB(2.29)

ergibt. Durch Einf¨

uhrung der Eingangsimpedanz

Z11,B=pB

=pn

(2.30)

54 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

der Abzweigung, lassen sich schließlich die Kettenmatrix

KB="1 0

1/Z11,B1#(2.31)

und das Zweitor in Abbildung 2.5 b) zur Modellierung einer Abzweigung an-

geben [Reyn81]. F¨

ur die Ber¨

ucksichtigung der Abzweigung ist bei z=zB

die Querimpedanz Z11,Bim Zweitormodell anzuordnen. Das zur Abzweigung

geh¨

orende R¨

ohrensystem kann ebenfalls mit Hilfe der vorgestellten Modelle

beschrieben werden.

pn−1

qn−1

pn+1

qnqn+1

qn+2

pn+2

ZT,B

ZnZn+1

Abbildung 2.6: Zweitormodellierung eines R¨

ohrensystems mit Abzweigung

Abschließend ist in Abbildung 2.6 das resultierende Zweitormodell nach

Einbettung einer Abzweigung dargestellt. Die Zweitore Znund Zn+1 erfas-

sen nur die Eigenschaften der Hauptr¨

ohre. Der Einfluss der Abzweigung wird

durch das mit ZT,Babgeschlossene Zweitor ZBmodelliert, dessen Eingangsim-

pedanz Z11,Bdurch Gleichung (2.30) definiert ist.

2.5 Modellierung von nicht-idealen Schallquellen

Nicht-ideale Schallquellen lassen sich f¨

ur eine Schallausbreitung im Grund-

modus durch die ¨

aquivalenten Netzwerke in Abbildung 2.7 modellieren. Die

Quellenparameter und Lastimpedanzen sind frequenzabh¨

angig, wobei auf die

Angabe des Arguments verzichtet wird. Die Lastimpedanz Znentspricht der

2.5 Modellierung von nicht-idealen Schallquellen 55

a) b)

pnpn

Abbildung 2.7: a) Norton-Quelle mit Urschallflussquelle q0und Innenadmittanz Y0

sowie b) Th´

evenin-Quelle mit Urschallquelle p0und Innenimpe-

danz Z0, beide jeweils mit der Lastimpedanz Znabgeschlossen

Eingangsimpedanz des von der Quelle angeregten R¨

ohrensystems. Beide Er-

satzschaltungen sind mathematisch eindeutig ineinander ¨

uberf¨

uhrbar. Die wei-

teren Betrachtungen erfolgen daher exemplarisch f¨

ur eine Th´

evenin-Quelle6.

Die Quellenparameter eines Lautsprechers werden im Folgenden f¨

ur die

Validierung eines mathematischen R¨

ohrenmodells ben¨

otigt. Zus¨

atzlich soll im

zweiten Teil der Arbeit der Lautsprecher zur Erzeugung des Gegenschallsignals

auf der Grundlage dieser Parameter modelliert werden, um realit¨

atsnahe simu-

lationstechnische Untersuchungen durchf¨

uhren zu k¨

onnen. Der Lautsprecher

kann dazu als lineares und zeitinvariantes System angesehen werden. Die Quel-

lenparameter von Verbrennungsmotoren zeigen dagegen h¨

aufig nicht-lineares

und zeitvariantes Verhalten [Bod´e91,PI01,Peat02,JI03,RB07].

Bestimmung der Quellenparameter

Die Bestimmung der Quellenparameter kann mit direkten oder indirekten Ver-

fahren erfolgen. Die direkten Verfahren verwenden eine zus¨

atzliche Hilfsschall-

quelle zur Parameterbestimmung [RC83,Munj87,Bod´e95]. Diese Methoden

sind daher in der Praxis aufw¨

andig und fehleranf¨

allig und kommen deshalb

in dieser Arbeit nicht zum Einsatz. Die indirekten Verfahren ben¨

otigen dage-

gen keine zus¨

atzliche Hilfsquelle. Sie basieren auf Schalldruckmessungen bei

sukzessiver Belastung der Schallquelle mit unterschiedlichen Lastelementen.

Dazu m¨

ussen die Impedanzen der Lastelemente bekannt sein und sich diese

zus¨

atzlich im relevanten Frequenzbereich hinreichend voneinander unterschei-

den [Bod´e95,Lodw97].

Offene Lastelemente

F¨

ur die Bestimmung der Quellenparameter von L¨

uftern oder Verbrennungs-

motoren kommen h¨

aufig R¨

ohren mit einem offenen Abschluss zum Einsatz,

die auch durch zus¨

atzliche geschlossene Abzweigresonatoren erg¨

anzt werden

k¨

onnen [Bod´e95]. Die Kenntnis der Parameter von solchen Schallquellen ist

f¨

ur die Auslegung von passiven Schalld¨

ampfern erforderlich [Pras87,RB07].

6Die Th´

evenin-Quelle wird auch als Helmholtz-Quelle bezeichnet.

56 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

Bei offenen Lastelementen unterscheiden sich die Realteile der Eingangsim-

pedanzen auch f¨

ur unterschiedliche R¨

ohrenl¨

angen nur gering voneinander. Das

kann zu nummerischen Problemen bei der Parameterbestimmung f¨

uhren. Dies-

bez¨

uglich verbesserte Methoden finden sich daher etwa in [Bod´e95,JI00]. F¨

die Methode aus [JI00] wurden dar¨

uber hinaus in [JI02] Ans¨

atze zur Reduzie-

rung des Einflusses von Messfehlern untersucht.

Schallhart abgeschlossene Lastelemente

Handelt es sich bei der Schallquelle um einen Lautsprecher, finden bevorzugt

R¨

ohren mit schallhartem Abschluss Verwendung. Die Eingangsimpedanzen

dieser Lastelemente unterscheiden sich, im Gegensatz zu R¨

ohren mit offenem

Ende, bei entsprechend gew¨

ahlten L¨

angen hinreichend voneinander [Lodw97].

Theoretisch sind zwei Schalldruckmessungen zur Parameterbestimmung aus-

reichend. Praktisch werden jedoch h¨

aufig mehr als zwei Lastelemente verwen-

det, so dass ein ¨

uberbestimmtes Gleichungssystem zu l¨

osen ist. Die Parameter-

bestimmung mit Hilfe eines ¨

uberbestimmten Gleichungssystems, beispielsweise

durch Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers, erlaubt die Kompen-

sation von Temperaturabweichungen zwischen dem realen Aufbau und den bei

der Berechnung der Lastimpedanzen zu Grunde gelegten Gaseigenschaften.

Das f¨

uhrt zu genaueren Resultaten [KLB92,Lodw97,Sanb98].

Die praktische Parameterbestimmung f¨

ur einen Lautsprecher mit Trich-

tervorbau, der mit Hilfe einer Th´

evenin-Quelle modelliert werden soll, wird

basierend auf [KLB92] im Anhang Bvorgestellt.

2.6 Untersuchungen zur Modellierung eines R¨

ohrensystems

PC mit

Soundkarte

Verst¨

arker

uM,B

Mikrofon

Earthworks OM1

Lautsprecher

Abbildung 2.8: Schematischer Messaufbau zur Untersuchung eines R¨

ohrenmodells

Den Untersuchungen lag ein R¨

ohrensystem aus PVC mit kontinuierlichen

und sprunghaften Querschnitts¨

anderungen sowie einer Abzweigung physika-

lisch zu Grunde. Von Interesse ist, wie genau das ¨

Ubertragungsverhalten dieses

2.6 Untersuchungen zur Modellierung eines R¨

ohrensystems 57

R¨

ohrensystems mit Hilfe des dazugeh¨

origen mathematischen Zweitormodells

abgesch¨

atzt werden kann. Mit der schematischen Darstellung in Abbildung 2.8

und den Beziehungen p0=k0uV=K0uV/k und uM,B=kpBl¨

asst sich die f¨

Frequenzen f1≤fk≤fLgemessene ¨

Ubertragungsfunktion zu

Hm=uM,B

(2.32)

angeben. Die ¨

Ubertragungsfunktion beziehungsweise die Empfindlichkeit des

Mikrofons kennzeichnet k, w¨

ahrend k0das ¨

Ubertragungsverhalten des Laut-

sprechers erfasst. Mit dem Zweitormodell sollte die ¨

Ubertragungsfunktion

Hs=uM,B

=K0

(2.33)

abgesch¨

atzt werden. Alle beteiligten Gr¨

oßen sind frequenzabh¨

angig, wobei auf

die Angabe des Arguments verzichtet wird. Gem¨

aß Abbildung 2.9 ergeben sich

die f¨

ur die Berechnung von

Hs=K0H0H1HB(2.34)

ben¨

otigten Teil¨

ubertragungsfunktionen mit

Z2,B1 =ZE,2ZE,B1

ZE,2+ZE,B1

,(2.35a)

ZE,1=p1

=K11,1+K12,1/Z2,B1

K21,1+K22,1/Z2,B1

,(2.35b)

ZE,2=p2

=K11,2+K12,2/ZT

K21,2+K22,2/ZT

,(2.35c)

ZE,B2 =pB

=K11,B2 +K12,B2/ZT,B

K21,B2 +K22,B2/ZT,B

,(2.35d)

ZE,B1 =p2

=K11,B1 +K12,B1/ZE,B2

K21,B1 +K22,B1/ZE,B2

(2.35e)

H0=p1

=ZE,1

ZE,1+Z0

,(2.36a)

H1=p2

K11,1+K12,1/Z2,B1

,(2.36b)

HB=pB

K11,B1 +K12,B1/ZE,B2

.(2.36c)

Die messtechnische Bestimmung der f¨

ur die Simulation ben¨

otigten Quel-

lenparameter K0und Z0kann dem Anhang Bentnommen werden. Die for-

male ¨

Aquivalenz der Gleichung (2.32) und (2.33) erlaubt den direkten Ver-

gleich zwischen dem gemessenen und dem simulierten ¨

Ubertragungsverhalten.

58 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

kp1p2

q2q3

ZT,B

Z1Z2

ZB1

ZB2

Abbildung 2.9: Zweitormodell des untersuchten R¨

ohrensystems mit Abzweigung

Die Messung erfolgte bei Raumtemperatur bis zur Grenzfrequenz des ersten

Azimutalmodus. Da die Aufweitung des R¨

ohrensystems mit rA= 100 mm den

gr¨

oßten Radius aufwies, ergibt sich die obere Frequenzgrenze zu fL= 1 kHz.

Die in der Simulation verwendeten mathematischen Modelle sind in Tabelle 2.3

zusammengefasst, w¨

ahrend der schallharte Abschluss mit ZT→ ∞ modelliert

worden ist.

Modell Gleichung

Ausbreitungsmaß γwvorgestelltes mit Zw= 2,4·106Ns/m3(1.70)

Ausbreitungsmaß γSt Stinson (1.60)

Sprungimpedanz ZQ,n Peat (2.21)

M¨

undung ZT,Bohne Flansch Norris et al. (2.25)

Tabelle 2.3: Mathematische Modelle

2.6 Untersuchungen zur Modellierung eines R¨

ohrensystems 59

2.6.1 Validierung

Zwischen dem gemessenen und berechneten ¨

Ubertragungsverhalten sind gem¨

aß

Abbildung 2.10 in einigen Frequenzbereichen gr¨

oßere Abweichungen zu ver-

zeichnen. Die Ursache daf¨

ur scheint in dem Zweitormodell der Abzweigung

und der Vernachl¨

assigung von evaneszenten Moden begr¨

undet. ¨

Ahnlich wie

bei einem rechteckigen Querschnitt in [Tang04] wurden daher mit einer Kor-

rektur der L¨

angen lBund lEim simulierten Geometriemodell die Abweichungen

reduziert. Eine Optimierung f¨

uhrt f¨

ur das untersuchte R¨

ohrensystem auf

lB,opt ≈1,08 lBund lE,opt ≈0,98 lE.(2.37)

Mit den optimierten L¨

angen lassen sich die ¨

Ubertragungsfunktionen in Ab-

bildung 2.11 pr¨

asentieren. F¨

ur f < 0,7 kHz kann eine bessere ¨

Ubereinstimmung

zwischen den gemessenen und berechneten Verl¨

aufen festgestellt werden. Da-

gegen ist im oberen Frequenzbereich keine Verbesserung zu verzeichnen. Die

Untersuchung bez¨

uglich der verwendeten Geometriedaten zeigte, dass sich die

Abweichungen dort durch gezielte Modifikation weiterer L¨

angen reduzieren las-

sen. Jedoch kann dies mit einer Verschlechterung im restlichen Frequenzbereich

verbunden sein. Um die Korrektur auf lBund lEzu beschr¨

anken, wurde daher

auf eine nummerische Optimierung zus¨

atzlicher L¨

angen im Geometriemodell

verzichtet.

Der Einfluss der in der Simulation zu Grunde gelegten Wandeigenschaften

ist bez¨

uglich der Ausbreitungsmaße γwund γSt mit Hilfe des relativen Fehlers

eH=

Hm−Hs(γ, lB, lE)

Hm

(2.38)

untersucht worden. Wie Abbildung 2.12 zu entnehmen, f¨

uhrt die Ber¨

ucksich-

tigung von nicht-ideal schallharten W¨

anden aus PVC mit Hilfe des Ausbrei-

tungsmaßes γwzu einer Reduzierung des relativen Fehlers.

2.6.2 Bewertung

Obwohl die relativen Abweichungen zwischen den gemessenen und simulierten

Ubertragungsfunktionen zun¨

achst groß erscheinen, sind diese deutlich geringer

einzustufen, als die in [KT93] bez¨

uglich eines geometrisch einfacher aufgebau-

ten R¨

ohrensystems pr¨

asentierten Resultate. Daher ist bereits ohne L¨

angen-

korrektur die Genauigkeit zur Absch¨

atzung des charakteristischen ¨

Ubertra-

gungsverhaltens durch die Zweitormodelle als akzeptabel zu bewerten. Nach

einer Korrektur von lBund lEist die Absch¨

atzung aller Resonanzen im Be-

reich f < 0,7 kHz mit einer verbesserten Genauigkeit m¨

oglich. Die allgemeine

Bestimmung von korrigierenden L¨

angen oder von einzubettenden Zweitoren

zur Erfassung des Einflusses von evaneszenten Moden im Bereich von Ab-

zweigungen bleibt in Analogie zum Konzept einer Sprungimpedanz weiteren

Untersuchungen vorbehalten.

60 Kapitel 2 Modellierung von R¨

ohrensystemen

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

−20

−40

−60

−80

−100

ohne L¨

angenkorrektur

ohne L¨

angenkorrektur

f/kHz

|H|in dB

f/kHz

arg{H}in rad

Messung Berechnung mit γw

Abbildung 2.10: Betrag und Phase der gemessenen und ohne L¨

angenkorrektur berech-

neten ¨

Ubertragungsfunktion

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

−20

−40

−60

−80

−100

mit L¨

angenkorrektur lB,opt und lE,opt

mit L¨

angenkorrektur lB,opt und lE,opt

f/kHz

|H|in dB

f/kHz

arg{H}in rad

Messung Berechnung mit γw

Abbildung 2.11: Betrag und Phase der gemessenen und mit L¨

angenkorrektur berech-

neten ¨

Ubertragungsfunktion

2.6 Untersuchungen zur Modellierung eines R¨

ohrensystems 61

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

ohne L¨

angenkorrektur

mit L¨

angenkorrektur lB,opt und lE,opt

f/kHz

Berechnung mit γwBerechnung mit γSt

Abbildung 2.12: Vergleich der relativen Fehler bei Berechnung mit den Ausbreitungs-

maßen γwund γSt

Die Annahme von ideal schallharten W¨

anden erscheint f¨

ur W¨

ande aus PVC

nicht gerechtfertigt. Mit dem im Abschnitt 1.3 vorgestellten Ausbreitungsmaß

zur Ber¨

ucksichtigung von nicht-ideal schallharten W¨

anden konnte daher ge-

gen¨

uber dem Modell von Stinson f¨

ur ideal-schallharte W¨

ande eine h¨

ohere

Genauigkeit erzielt werden. Es sind jedoch unter dem quantitativen Aspekt

weitere validierende Untersuchungen zu empfehlen.

Im zweiten Teil der Arbeit liegt zur Modellierung eines aktiven Schalld¨

amp-

fers ein anderes Geometriemodell zu Grunde. Auch wenn f¨

ur dieses keine Va-

lidierung erfolgte, ist zu erwartet, dass mit den vorgestellten Zweitormodellen

auch ohne Korrektur einzelner L¨

angen das qualitative ¨

Ubertragungsverhalten

mit ausreichender Genauigkeit abgesch¨

atzt werden kann. Daf¨

ur ist allerdings

noch der Einfluss eines str¨

omenden Mediums in die bisherigen Zweitormodelle

einzubetten.

KAPITEL 3

Str¨

omung im R¨

ohrensystem

Bei der Schallausbreitung in einem R¨

ohrensystem sind unter dem Einfluss

eines str¨

omenden Mediums neben der durch Viskosit¨

at und W¨

armeleitung des

Mediums bedingten D¨

ampfung weitere D¨

ampfungsmechanismen wirksam. So

sind beispielsweise im Bereich der W¨

ande beziehungsweise in der sich dort

ausbildenden Grenzschicht turbulente Reibungsverluste zu verzeichnen. Zur

akustischen Modellierung eines aktiven Schalld¨

ampfers ist zus¨

atzlich zu diesen

D¨

ampfungsmechanismen auch der konvektive Einfluss einer Str¨

omung in die

bisherigen Zweitormodelle einzubetten.

Ein str¨

omendes Medium bewirkt ebenfalls eine Verringerung der Grenzfre-

quenzen, ab denen h¨

ohere Moden ausbreitungsf¨

ahig werden. F¨

ur die zu unter-

suchende Geometrie des Schalld¨

ampfers liegt, mit Ausnahme der Abzweigung

zur Ankopplung des Lautsprechers zur Erzeugung des Gegenschallsignals, Ro-

tationssymmetrie vor. Damit werden keine Abzweigungen durchstr¨

omt und es

erscheint erlaubt, die Anregung von Azimutalmoden zu vernachl¨

assigen. Be-

trachtet man ein Medium, das mit der Geschwindigkeit Vndurch eine R¨

ohre

mit dem Radius rnstr¨

omt, sind f¨

ur Mach-Zahlen Mn=Vn/c Radialmoden

f¨

β0rn=t0,mp1−M2

n⇔f0,m ≥c

2πrn

t0,mp1−M2

n(3.1)

ausbreitungsf¨

ahig [Morf71,Peat88]. Dabei bezeichnet t0,m die Nullstelle m+1

der Ableitung dJ0(t0,m)/dt0,m. F¨

ur den ersten Radialmodus ergibt sich die

Grenzfrequenz zu

β0rn= 3,832p1−M2

n⇔f0,1= 0,61 c

rnp1−M2

n.(3.2)

Dem aktiven Schalld¨

ampfer liegt ein R¨

ohrensystem zu Grunde, das Ab-

messungen von rn≤100 mm aufweist und f¨

ur Frequenzen f≤1 kHz sowie

f¨

ur Str¨

omungen mit Mach-Zahlen Mn<0,2 modelliert werden soll. F¨

ur die

Grenzfrequenz des ersten h¨

oheren Modus gilt damit f0,1>1 kHz und die Be-

trachtung einer Schallausbreitung im Grundmodus ist weiterhin gerechtfertigt.

F¨

ur Mn<0,2 ist zus¨

atzlich die Annahme einer inkompressiblen Str¨

omung er-

laubt [Munj87,GEM95].

3.1 D¨

ampfungsmaß 63

3.1 D¨

ampfungsmaß

In einem str¨

omenden Medium oder bei großen Amplituden der Schallfeldgr¨

ßen entstehen durch die Anregung von Turbulenzen zus¨

atzliche Verluste. Sie

k¨

onnen einerseits durch hohe Amplituden der Schallfeldgr¨

oßen oder anderer-

seits, unabh¨

angig von der Gr¨

oße der Amplituden, durch die Wechselwirkung

des Schalls mit den Wirbeln der Str¨

omung hervorgerufen werden [IS74]. Das

Ausbreitungsmaß in einem Leitungselement nkann zun¨

achst allgemein durch

γn=αges,n + jβn(3.3)

dargestellt werden [Munj87]. In einem durchstr¨

omten Wellenleiter setzt sich

das D¨

ampfungsmaß

αges,n =αn+αt,n (3.4)

zum einen aus der durch Viskosit¨

at und W¨

armeleitung verursachten D¨

amp-

fung αnsowie zum anderen aus dem durch Turbulenzen bedingten Anteil αt,n

zusammen [Munj87,JI98]. Setzt man ideal schallharte W¨

ande voraus, kann das

D¨

ampfungsmaß αn=αMu und das Phasenmaß βn=β0+αMu mit rw=rn

aus Abschnitt 1.2.2 zum Einsatz kommen.1F¨

ur das turbulente D¨

ampfungsmaß

kann f¨

ur eine kreisrunde R¨

ohre die Absch¨

atzung

αt,n ≈MnFn

(3.5)

angeben werden [IS74,JI98]. F¨

ur Reynolds-Zahlen Rn<4·105l¨

asst sich der

Reibungsfaktor durch

Fn= 0,0072 + 0,612

R0,35

(3.6)

approximieren, w¨

ahrend sich die Reynolds-Zahl2aus

Rn=2rnVnρ0

η(3.7)

errechnet [Munj87]. Die durch Turbulenzen hervorgerufene D¨

ampfung ist in

dieser Formulierung, im Gegensatz zu der durch Viskosit¨

at und W¨

armeleitung

bedingten D¨

ampfung, nicht frequenzabh¨

angig.

1F¨

ur die Ber¨

ucksichtigung von W¨

anden, die mit absorbierendem Wandmaterial zur pas-

siven Schalld¨

ampfung ausgekleidet sind und im Bereich der Klima- und Abgastechnik Ver-

wendung finden, sei auf [Munj87,Mech04,PM05] verwiesen.

2Bei großen Reynolds-Zahlen Rn>2000 ist die Str¨

omung in einer R¨

ohre turbulent.

In der Grenzschicht liegt eine ungeordnete Bewegung der Teilchen vor, w¨

ahrend in der

Hauptstr¨

omung die Teilchen die gleiche Bewegungsrichtung aufweisen. Der ¨

Ubergang von

der laminaren zur turbulenten Str¨

omung erfolgt nicht sprunghaft und h¨

angt von vielen Fak-

toren ab, so dass der zuvor angegebene Werte eher als Anhaltspunkt zu sehen ist [St¨

oc98].

64 Kapitel 3 Str¨

omung im R¨

ohrensystem

Die Herleitung von αt,n basiert auf quasi-statischen Annahmen und ist des-

halb streng genommen nur f¨

ur sehr niedrige Frequenzen g¨

ultig [IS74,Croc98].

Mit Hilfe von αt,n kann keine exakte Analyse der Wechselwirkung zwischen

den Schallfeldgr¨

oßen und der turbulenten Str¨

omung erfolgen. Daf¨

ur w¨

are ne-

ben den Turbulenzen ebenfalls die Str¨

omungsverteilung im Querschnitt zu be-

trachten. Daher ist αt,n gem¨

aß Gleichung (3.5) als N¨

aherung anzusehen, die

nichtsdestotrotz im Weiteren zur Absch¨

atzung der durch Turbulenzen beding-

ten D¨

ampfung Verwendung finden soll.

3.2 Zweitormodellierung eines durchstr¨

omten Wellenleiters

nq+

p−

nq−

z= 0 z=ln

ZL,n

γ+

nγ−

Abbildung 3.1: Akustischer Wellenleiter, der von einem Medium mit der Mach-

Zahl Mndurchstr¨

omt wird.

Betrachtet man den in Abbildung 3.1 dargestellten akustischen Wellenlei-

ter, ergeben sich mit dem Vektorpotenzial (2.6) die komplexen Amplituden

der Schallfeldgr¨

oßen zu

pn(z) = p+

n+p−

n=C+e−γ+

nz+C−eγ−

nz,(3.8a)

qn(z) = q+

n−q−

n=1

ZL,n C+e−γ+

nz−C−eγ−

nz,(3.8b)

wobei die Konstanten C+und C−nicht n¨

aher spezifiziert seien. In einem mit

der Geschwindigkeit Vnstr¨

omenden Medium ver¨

andert sich die Geschwindig-

keit cder Schallausbreitung nicht, da diese relativ zu den Teilchen im Medi-

um stattfindet. Betrachtet man ein mit Vnin positive z-Richtung str¨

omendes

Medium, bewegt sich eine in dieselbe Richtung fortschreitende Welle mit der

Geschwindigkeit c+Vnauf einen ruhenden Betrachter zu, w¨

ahrend sich eine

in negative z-Richtung ausbreitende Welle mit c−Vnfortpflanzt.3Die hin-

und r¨

ucklaufenden Wellen besitzen damit f¨

ur einen ruhenden Betrachter un-

terschiedliche Geschwindigkeiten. Mit diesem Sachverhalt kann das Ausbrei-

tungsmaß der hin- und r¨

ucklaufenden Wellen zu

γ+

n=γn

1 + Mn

=γc

n[1 −Mn] und γ−

n=γn

1−Mn

=γc

n[1 + Mn](3.9)

3Die komplexen Amplituden pn,ρnund vnsind unabh¨

angig vom gew¨

ahlten Bezugs-

system. Das gilt auch f¨

ur die Schallschnelle vn, da sie eine Geschwindigkeitsdifferenz be-

schreibt. Die absolute Geschwindigkeit h¨

angt dagegen vom Bezugssystem ab.

3.3 Konvektive Schallfeldgr¨

oßen 65

formuliert werden. Mit dem konvektiven Ausbreitungsmaß

γc

n=γn

1−M2

(3.10)

folgt aus den Gleichungen (3.8)

pn(z) = eMnγc

nzC+e−γc

nz+C−eγc

nz,(3.11a)

qn(z) = eMnγc

ZL,n C+e−γc

nz−C−eγc

nz.(3.11b)

Damit l¨

asst sich die Kettenmatrix des durchstr¨

omten akustischen Leitungs-

elements nder L¨

ange lnmit den Eingangsgr¨

oßen pnund qnsowie den Aus-

gangsgr¨

oßen pn+1 und qn+1 gem¨

aß

"pn

qn#=Kc

n"pn+1

qn+1#(3.12)

schließlich zu

n= e−Mnγc

nln





cosh (γc

nln)ZL,n sinh (γc

nln)

ZL,n

sinh (γc

nln) cosh (γc

nln)



(3.13)

angeben [Munj87]. Den Ausf¨

uhrungen in [Munj87] folgend, wird ZL,n von

den turbulenten Reibungsverlusten, jedoch nicht von der Konvektion beein-

flusst. Deshalb erscheint es erlaubt, den im Abschnitt 2.1.1 eingef¨

uhrten Aus-

druck ZL,n =ZL0,njβ0/γnmit γn=αges,n + jβnf¨

ur die charakteristische

Impedanz zu verwenden.

3.3 Konvektive Schallfeldgr¨

oßen

Eine Str¨

omung beeinflusst den akustischen beziehungsweise str¨

omungsakusti-

schen Leistungsfluss im Wellenleiter [MD88]. Dieser Einfluss kann ber¨

ucksich-

tigt werden, indem die konventionellen Schallfeldgr¨

oßen pnund qn, die eine

Anderung um den statischen Luftdruck bei einem ruhenden Medium beschrei-

ben, durch die konvektiven Gr¨

oßen pc

nund qc

n, welche ¨

Anderungen gegen¨

uber

dem Gesamtdruck und dem Gesamtschallfluss erfassen, ersetzt werden [SM00].

Die komplexe Amplitude des konvektiven Schalldrucks setzt sich aus

n= [P0+pn] + ρ0

2[Vn+vn]2−hP0+ρ0

2V2

ni(3.14)

zusammen [Munj75]. Die Terme ρ0[Vn+vn]2/2 und ρ0V2

n/2 kennzeichnen die

durch die Str¨

omung bedingten Druckanteile. Eine Approximation erster Ord-

nung f¨

uhrt schließlich auf die Vereinfachung

n=pn+ρ0Vnvn=pn+MnZL0,nqn.(3.15)

66 Kapitel 3 Str¨

omung im R¨

ohrensystem

F¨

ur die Herleitung der komplexen Amplitude des konvektiven Schallflusses

wird zun¨

achst der konvektive Massenfluss

n=An[[ρ0+ρn] [Vn+vn]−ρ0Vn](3.16)

durch eine R¨

ohre mit der Querschnittsfl¨

ache Anbetrachtet [Munj75,Munj87].

Dieser l¨

asst sich durch eine Approximation erster Ordnung zu

n=An[ρnVn+ρ0vn] (3.17)

vereinfachen. Der ¨

Ubergang zum konvektiven Schallfluss qc

n=mc

n/ρ0f¨

uhrt

mit ρn=pn/c2auf den gesuchten Zusammenhang

n=Mn

ZL0,n

pn+qn.(3.18)

Eine Umrechnung ist schließlich durch die Transformation

"pc

n#="1MnZL0,n

Mn/ZL0,n 1#"pn

qn#(3.19)

m¨

oglich. Zwischen den konventionellen und den str¨

omungsakustischen Schall-

feldgr¨

oßen besteht also ein linearer Zusammenhang, der ¨

uber die Mach-Zahl

hergestellt wird [SM00].4

Wie zu Beginn des Abschnitts erw¨

ahnt, ver¨

andert sich mit einem str¨

omen-

den Medium die ¨

ubertragene akustische Wirkleistung. Diese ergibt sich mit

einem str¨

omenden Medium zu

Pc=1

2Repc

n{qc

n}∗,(3.20)

w¨

ahrend in einem ruhendem Medium weiterhin

P=1

2Repn{qn}∗(3.21)

gilt [Munj75].

Umrechnung der Abschlussimpedanzen

Bei einem durchstr¨

omten R¨

ohrensystem sind die im Abschnitt 2.3 vorgestellten

Abschlussimpedanzen an den konvektiven Einfluss einer Str¨

omung anzupassen.

Die konvektive Abschlussimpedanz eines aus NElementen bestehenden R¨

oh-

rensystems ist allgemein durch

T=pc

(3.22)

4Durch den ¨

Ubergang von den konventionellen Schallfeldgr¨

oßen zu den konvektiven

Gr¨

oßen bleibt die Kettenmatrix in Gleichung (3.13) unbeeinflusst.

3.4 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache 67

definiert. Durch Einsetzen der konvektiven Gr¨

oßen (3.19) erh¨

alt man schließ-

lich mit ZT=pN/qNdie gesuchte Umrechnung [Munj75,Munj87]

T=pN+MNZL,N qN

ZL,N

pN+qN

=ZT+MNZL,N

MNZT

ZL,N

+ 1

(3.23)

mit der dazugeh¨

origen Kettenmatrix

T="1 0

1/Zc

T1#.(3.24)

3.4 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache

Die Analyse der Schallausbreitung in einer R¨

ohre mit ver¨

anderlicher Quer-

schnittsfl¨

ache gestaltet sich mit einem str¨

omenden Medium aufw¨

andiger als oh-

ne Str¨

omung. Ein Grund daf¨

ur ist unter anderem die sich in Abh¨

angigkeit von

der Querschnittsfl¨

ache entlang der R¨

ohre ¨

andernde Mach-Zahl. Analytische

L¨

osungen f¨

ur inkompressible Str¨

omungen existieren nur f¨

ur einige rechteckige

Querschnittsfl¨

achen. Neben einer Segmentierung einzelner R¨

ohrenabschnitte,

f¨

ur die analytische L¨

osungen angegeben werden k¨

onnen, kommen daher h¨

aufig

nummerische L¨

osungsverfahren zum Einsatz [GEM95].

3.4.1 Stufenweise Approximation nach Gupta et al.

F¨

ur die Einbettung in das Konzept einer stufenweisen Approximation bietet

sich der von Gupta et al. erarbeitete Ansatz an [GEM95]. Dieser ber¨

ucksich-

tigt eine isentrope5und kompressible Str¨

omung, so dass ihre Methode auch f¨

Mach-Zahlen Mn>0,2 geeignet ist. Dagegen lassen sich Effekte, die durch

evaneszente Anregung von h¨

oheren Moden entstehen, nicht ber¨

ucksichtigen.

Die Bestimmung der sich entlang der R¨

ohrenelemente ¨

andernden Mach-Zahl

erfolgt beim Ansatz von Gupta et al. nummerisch. An der Verbindung zweier

benachbarter R¨

ohrenelemente stellt ein Zweitor die Einhaltung der Zustands-

gleichungen f¨

ur eine isentrope und kompressible Str¨

omung sicher.

Bei der Herleitung setzten Gupta et al. geringe Ver¨

anderungen der Quer-

schnittsfl¨

ache voraus. Damit k¨

onnen Verluste an den fiktiven Querschnitts-

spr¨

ungen vernachl¨

assigt werden und die Annahme einer isentropen Str¨

omung

ist gerechtfertigt. Das Verfahren eignet sich aufgrund dieser Voraussetzungen

jedoch nicht zur Modellierung von gr¨

oßeren Querschnittsspr¨

ungen in Form von

5¨

Andert sich die Entropie eines Teilchens in reibungs- und w¨

armeleitungsfreier Str¨

mung nicht, liegt eine isentrope Str¨

omung vor. Ist die Entropie zus¨

atzliche homogen ver-

teilt, spricht man von einer homentropen Str¨

omung [Spur96].

68 Kapitel 3 Str¨

omung im R¨

ohrensystem

Aufweitungen oder Verengungen. Diese gilt es jedoch im zweiten Teil der Ar-

beit bez¨

uglich des aktiven Schalld¨

ampfers zu modellieren. Daf¨

ur bietet sich der

von Munjal erarbeitete Ansatz an [Munj87].

3.4.2 Modellierung von Querschnittsspr¨

ungen nach Munjal

Aufweitung rn≤rn+1 K=1−r2

n/r2

n+12

Verengung rn≥rn+1 K=1−r2

n+1/r2

Tabelle 3.1: Verlustkoeffizient zur Modellierung von Querschnittsspr¨

ungen

Die an einem Querschnittssprung auftretenden str¨

omungsakustischen Ver-

luste wurden von Munjal ebenfalls mit Hilfe eines Zweitors ber¨

ucksichtigt,

das zwischen zwei benachbarten R¨

ohrenelementen einzubetten ist. Die dazu-

geh¨

orige Kettenmatrix l¨

asst sich mit

Mn+1 =Mn

n+1

(3.25)

Q,n =





1−KM2

n+1

1−M2

n+1

KMn+1ZL,n+1

1−M2

n+1

[Cpv −1] KM3

n+1

1−M2

n+1ZL,n+1

1−[Cpv −1] KM2

n+1

1−M2

n+1







(3.26)

angeben [Munj87]. Der Verlustkoeffizient Kist der Tabelle 3.1 zu entnehmen.6

Dieser stellt ein Maß f¨

ur die str¨

omungsakustischen Verluste dar, die an einem

Querschnittssprung in W¨

arme umgewandelt werden. Eine N¨

aherung f¨

ur die

obige Kettenmatrix l¨

asst sich f¨

ur M2

n+1 ≪1 zu

Q,n ≈"1KMn+1ZL,n+1

0 1 #(3.27)

angeben. Die Kettenmatrix des gesamten R¨

ohrensystems ergibt sich aus dem

Produkt der Teilmatrizen

Kc="N−1

n=1

nKc

Q,n#Kc

N.(3.28)

6F¨

ur die Verengung stellt der Verlustkoeffizient eine Approximation etwa der in [VS75]

angegebenen Messwerte dar. Dagegen wurde der von Munjal angegebene Verlustkoeffizient

f¨

ur die Aufweitung gem¨

aß [SWB98] korrigiert.

3.4 Modellierung einer ver¨

anderlichen Querschnittsfl¨

ache 69

Die Unstetigkeit des Schalldrucks an dem Querschnittssprung wird bei die-

sem Ansatz durch eine entsprechende Ver¨

anderung der Entropie ausgeglichen

und durch den str¨

omungsakustischen Widerstand KMn+1ZL,n+1 in der Ket-

tenmatrix ber¨

ucksichtigt. Die evaneszente Anregung von h¨

oheren Moden an

der Sprungstelle findet damit ebenfalls keine Beachtung. Dazu bietet sich das

bereits erl¨

auterte Konzept einer Sprungimpedanz an.

Sprungimpedanz von Peat

Von Peat wurde die Sprungimpedanz ebenfalls f¨

ur ein inkompressibel str¨

mendes Medium angegeben [Peat88]. Nach seinen Ergebnissen beeinflusst eine

Str¨

omung unwesentlich den reaktiven Anteil der Sprungimpedanz, der den

Einfluss von evaneszenten Moden ber¨

ucksichtigt. Damit bietet sich f¨

ur den re-

aktiven Anteil auch die f¨

ur Mn= 0 approximierte Sprungimpedanz ZQ,n aus

Abschnitt 2.2.2 als N¨

aherung f¨

ur Mn>0 an. F¨

ur ein str¨

omendes Medium l¨

asst

sich die Approximation der Sprungimpedanz insgesamt zu

Q,n =Rc

Q,n +ZQ,n

=ρ0c

πr2

n−Mn+1

πr2

n+1 

+ZQ,n

(3.29)

angeben [Peat88].7Der resistive Anteil Rc

Q,n ist f¨

ur eine Aufweitung und die

entsprechende Verengung identisch. Dem Konzept von Munjal liegen dage-

gen unterschiedliche Verlustkoeffizienten zu Grunde. Da die am Querschnitts-

sprung durch die Str¨

omung bedingten Verluste durch Rc

Q,n zu erfassen sind,

erscheinen die von Peat getroffenen isentropen Annahmen f¨

ur eine Aufwei-

tung nur unzureichend erf¨

ullt. Zusammenfassend sind weitere Untersuchungen

zu empfehlen, um eine genaue Modellierung der Str¨

omungsverluste sowie des

Einflusses von evaneszenten Moden im Bereich des Querschnittssprungs zu

erm¨

oglichen.

Da Radialmoden bez¨

uglich der zu untersuchenden R¨

ohrengeometrien erst

deutlich oberhalb von f > 1 kHz ausbreitungsf¨

ahig sind, werden sich evanes-

zente Moden im Verh¨

altnis zu den str¨

omungsakustischen Verlusten an einem

Querschnittssprung vermutlich geringer auswirken. Daher wurde in dieser Ar-

beit auf den etablierten Ansatz von Munjal zur Beschreibung eines Quer-

schnittssprungs zur¨

uckgegriffen.

7Der resistive Anteil Rc

Q,n wurde gegen¨

uber [Peat88] bez¨

uglich eines Vorzeichens kor-

rigiert und durch den Betrag abgesch¨

atzt.

70 Kapitel 3 Str¨

omung im R¨

ohrensystem

TEIL II

Algorithmen f¨

ur die aktive Schalld¨

ampfung

KAPITEL 4

Aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen

Passive Schalld¨

ampfer nutzen zur L¨

armminderung dissipative oder reflektive

Effekte aus [Munj87,HM95,MT07]. Die dissipative Schalld¨

ampfung basiert

auf dem Prinzip der Schallabsorption. Durch Verwendung absorbierender Ma-

terialien wird der eindringenden Schallwelle Energie entzogen. Diese Methode

erlaubt eine relativ breitbandige D¨

ampfung, ist jedoch zur Minderung tieffre-

quenten L¨

arms ungeeignet [Han96]. In reflektiven beziehungsweise reaktiven

Schalld¨

ampfern reflektieren dagegen Querschnittsspr¨

unge den Schall innerhalb

des R¨

ohrensystems. Lediglich die nicht reflektierten Schallanteile werden durch

den Auslass abgestrahlt. Die geometrische Gestaltung der Querschnittsspr¨

unge

bestimmt die D¨

ampfungscharakteristik. Meistens sind sowohl dissipative als

auch reflektive Mechanismen an der D¨

ampfung beteiligt [Han96].

Eine Alternative oder eine Erg¨

anzung zu den passiven Methoden stellt

die aktive Schalld¨

ampfung dar [ME89]. Mit aktiven Verfahren l¨

asst sich tief-

frequenter L¨

arm effektiver mindern und die erforderlichen geometrischen Aus-

maße des D¨

ampfers k¨

onnen reduziert werden [KM96,Trim03,KCJ05]. Bei den

aktiven Verfahren strahlen ein oder mehrere Lautsprecher ein zum St¨

orschall

gegenphasiges Schalldrucksignal ab, das sich am gew¨

unschten Ort der L¨

arm-

minderung destruktiv mit dem St¨

orschall ¨

uberlagert. Die Grundidee wurde im

Jahr 1933 von Lueg vorgestellt [Lueg33]. Mit der Verf¨

ugbarkeit von schnellen

digitalen Signalprozessoren konnten die bis dahin verwendeten analogen Fil-

ter zur Erzeugung des Gegenschallsignals durch digitale Filter effizient ersetzt

werden. Den Weg zu einer nahezu selbstst¨

andigen Anpassung an ver¨

anderliche

Umgebungsbedingungen ebnete die adaptive Signalverarbeitung.

4.1 Blockschaltbild eines ANC-Systems

In Abbildung 4.1 ist ein ANC-System1zur aktiven D¨

ampfung des St¨

orschalls u

schematisch und blockweise dargestellt. Die akustischen Pfade werden durch

die ¨

Ubertragungsfunktionen P1(z), R1(z) sowie F1(z) im z-Bereich repr¨

asen-

1Active-Noise-Control-System

74 Kapitel 4 Aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen

physikalisches System

ANC-System

Prim¨

arpfad

Sekund¨

arpfad

R¨

uckkopplungspfad

Lx,s

P1(z)R1(z)

F1(z)

S1(z)

W(z)

Hx(z)He(z)

x(n)

u(n)

ep(n)

e(n)

y(n)

y1(n)

MxMe

Algorithmus

Verst¨

arker

Lautsprecher

Abbildung 4.1: a) schematische Darstellung der aktiven Schalld¨

ampfung in einem

R¨

ohrensystem und b) dazugeh¨

origes Blockschaltbild eines physikali-

sches Systems nach Einbettung des ANC-Systems [KM96]

tiert. Das ¨

Ubertragungsverhalten der Mikrofone sowie der Analog-Digital-

Umsetzer mit Anti-Alias-Filtern beschreiben die Gr¨

oßen Hx(z) und He(z).

Das ¨

Ubertragungsverhalten des Lautsprechers und des Verst¨

arkers sowie der

ansteuernden Peripherie, die sich aus dem Digital-Analog-Umsetzer und dem

dazugeh¨

origen Tiefpassfilter zusammensetzt, erfasst dagegen S1(z).

4.1 Blockschaltbild eines ANC-Systems 75

Ein im weiteren Verlauf zu spezifizierender Algorithmus berechnet mit dem

messtechnisch erfassten Referenzsignal xund Fehlersignal edie optimalen Ko-

effizienten des Filters ˆ

W(z). Das Ausgangssignal ydes Filters wird verst¨

arkt

und ¨

uber den Lautsprecher abgestrahlt, so dass sich schließlich die ged¨

ampfte

Schallwelle epin der R¨

ohre fortpflanzt.

P(z)

S(z)

F(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

ys(n)

Adaptations-

algorithmus

Abbildung 4.2: Vereinfachtes Blockschaltbild eines ANC-Systems mit den zusammen-

gefassten ¨

Ubertragungsfunktionen des physikalischen Systems [KM96]

Die in Abbildung 4.1 b) dargestellten Teil¨

ubertragungsfunktionen k¨

onnen

f¨

ur eine strukturelle Vereinfachung gem¨

aß

P(z) = P1(z)R1(z)He(z),(4.1a)

S(z) = S1(z)R1(z)He(z),(4.1b)

F(z) = F1(z)S1(z) (4.1c)

zusammengefasst werden, so dass sich das Blockschaltbild in Abbildung 4.2

angeben l¨

asst.2Den Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfad repr¨

asentieren P(z) und S(z),

w¨

ahrend F(z) den R¨

uckkopplungspfad kennzeichnet.

F¨

ur die Bewertung der Schalld¨

ampfung bietet sich bei den simulationstech-

nischen Untersuchungen die Verwendung des Fehlers ep(n) als Qualit¨

atskrite-

rium an. Im zusammengefassten Blockschaltbild in Abbildung 4.2 ist ep(n)

allerdings nicht explizit enthalten. Diese Gr¨

oße l¨

asst sich jedoch mit

ep(n) = r1(n)∗[p1(n)∗u(n) + s1(n)∗y(n)] (4.2)

berechnen. Bei r1(n), p1(n) und s1(n) handelt es sich um die Impulsantworten

der ¨

Ubertragungspfade R1(z), P1(z) und S1(z), w¨

ahrend das Symbol ∗die

diskrete Faltung symbolisiert.

2H¨

aufig wird dem Summierer in Abbildung 4.2 die Gr¨

oße ysmit negativem Vorzeichen

zugef¨

uhrt. In dieser Arbeit wird jedoch die gew¨

ahlte additive Darstellung bevorzugt, da

bei der praktischen Umsetzung keine Anschl¨

usse umgepolt werden m¨

ussen.

76 Kapitel 4 Aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen

4.1.1 Feedforward- und Feedback-Verfahren

Das in den Abbildungen 4.1 und 4.2 dargestellte ANC-System basiert auf

einem Feedforward-Verfahren. Zur D¨

ampfung nicht-periodischer beziehungs-

weise nicht-station¨

arer St¨

orsignale muss die Laufzeit des Schalls vom Refe-

renzmikrofon zum Ort der destruktiven Schall¨

uberlagerung gr¨

oßer sein, als die

Laufzeit, die das Filter ˆ

W(z) mit seiner Peripherie zur Ausgabe des Gegen-

schallsignals ben¨

otigt. Mit der Abtastfrequenz fSsollte f¨

ur den Abstand des

Referenzmikrofons zum Lautsprecher damit

Lx,s >c

(4.3)

gelten. Kann diese Bedingung nicht erf¨

ullt werden, bieten sich Ans¨

atze aus

der Multiratenverarbeitung an. Eine Multiratenverarbeitung verwendet zur

Abtastung der Mikrofonsignale und zur Ausgabe des Lautsprechersignals die

erh¨

ohte Abtastfrequenz NfS, w¨

ahrend die eigentlichen Algorithmen mit der

reduzierten Frequenz fSarbeiten [BLL02,L¨

uck08].

Das Feedback-Verfahren kommt dagegen ohne eine messtechnische Bestim-

mung des Referenzsignals aus. Es l¨

asst sich auch als Feedforward-Verfahren

interpretieren, welches auf der Grundlage von intern verf¨

ugbaren Signalen

das Referenzsignal selbst generiert [KM96]. Jedoch eignet sich dieser Ansatz

nur zur Unterdr¨

uckung periodischer St¨

orsignale. Da im Folgenden ebenfalls

nicht-periodische Signale zu d¨

ampfen sind, empfiehlt sich das Feedforward-

Verfahren.

4.1.2 Optimale ¨

Ubertragungsfunktion

Die optimale ¨

Ubertragungsfunktion f¨

ur das Filter ˆ

W(z) l¨

asst sich f¨

ur eine

vollst¨

andige Schallausl¨

oschung am Ort des Fehlermikrofons mit Abbildung 4.2

und der Bedingung E(z) = 0 zu

Wopt(z) = −P(z)

Hx(z) [S(z)−P(z)F(z)] (4.4)

angeben.3Eine korrekt abgestimmte Sekund¨

arquelle bewirkt mit ˆ

Wopt(z) am

Ort des Lautsprechers einen akustischen Kurzschluss. Die Sekund¨

arquelle f¨

uhrt

damit zu einer Reflexion der von der Prim¨

arquelle erzeugten akustischen Ener-

gie [ME88].

In der Praxis l¨

asst sich keine vollst¨

andige Schallausl¨

oschung erreichen, da

beispielsweise der oder die Lautsprecher keine dem St¨

orsignal r¨

aumlich voll-

st¨

andig komplement¨

are Schalldruckverteilung erzeugen k¨

onnen. Zus¨

atzlich ist

die Approximation von ˆ

Wopt(z) nur mit einer endlichen Genauigkeit m¨

oglich.

3Ist der Nenner Hx(z) [S(z)−P(z)F(z)] nicht minimalphasig, f¨

uhrt nur die Inverse des

minimalphasigen Anteils auf eine stabile ¨

Ubertragungsfunktion.

4.2 Sensorik und Aktorik 77

4.1.3 Energetische Betrachtungen

Zur aktiven Schalld¨

ampfung ist dem System zun¨

achst sekund¨

are Energie zuzu-

f¨

uhren. Kritiker f¨

uhren als Argument gegen das aktive Konzept deshalb h¨

aufig

an, dass sich durch das Zuschalten der Sekund¨

arquellen die Energie des Schall-

felds vergr¨

oßert und sich nicht reduzieren l¨

asst. Beruht die Schalld¨

ampfung auf

Ausl¨

oschung durch Interferenz, ist dieser Einwand gerechtfertigt, da eine lokale

Schalld¨

ampfung mit einer Erh¨

ohung des Schalldrucks anderenorts verbunden

sein kann [Guic07].

Theoretische und praktische Untersuchungen zeigten jedoch auch, dass die

Sekund¨

arquellen mit einer geeigneten Anordnung und Ansteuerung die pri-

m¨

are Schallenergie absorbieren und dar¨

uber hinaus ebenfalls die von der Pri-

m¨

arquelle abgestrahlte Energie beeinflussen k¨

onnen [SH89,OBN92,FH99]. Al-

lerdings erlauben Lautsprecher, die in R¨

ohren koaxial zur Schallausbreitungs-

richtung angeordnet sind, nur eine teilweise Absorption, da das den Laut-

sprechern nachfolgende R¨

ohrensystem eine vollst¨

andige Impedanzanpassung

verhindert. Dagegen bietet ein Lautsprecher, der das R¨

ohrensystem an einem

Ende abschließt, zumindest theoretisch die M¨

oglichkeit einer vollst¨

andigen Ab-

sorption der einfallenden Schallwelle [Guic07].

4.2 Sensorik und Aktorik

Um sicherzustellen, dass an den Messorten eine ebene Schallausbreitung vor-

liegt, sollten sich die Mikrofone nicht im Nahbereich des Lautsprechers befin-

den, da dort auch evaneszente h¨

ohere Moden angeregt werden [Trin83,NE95].

Zus¨

atzlich wird im Weiteren vorausgesetzt, dass sich die Sensorik und die Ak-

torik des ANC-Systems durch lineare Systeme beschreiben lassen. Es existieren

aber ebenfalls Methoden und Algorithmen, die f¨

ur den Einsatz in nichtlinear

arbeitenden ANC-Systemen zugeschnitten sind.

Zur Reduzierung nichtlinearer Verzerrungen von elektrodynamischen Laut-

sprechern bieten sich zum einen Verfahren an, die auf der Grundlage eines ma-

thematischen Modells ein linearisierendes Signal berechnen [Waßm00,Balk02],

mit dem der Lautsprecher des ANC-Systems angesteuert wird. Zum anderen

kann der nichtlineare Charakter der ¨

Ubertragungsstrecken im ANC-System

durch Volterra-Reihen beschrieben beziehungsweise durch Polynomfilter be-

r¨

ucksichtigt werden [Math91,DD07].

4.2.1 Referenzsignalerfassung

Das vom Referenzmikrofon erfasste Signal xsetzt sich in der Regel aus dem

L¨

arm der St¨

orquelle sowie aus dem vom Lautsprecher zur¨

uckgekoppelten Ge-

genschall zusammen. In [EAM+94,ELA99] wurden daher adaptive Konzepte

vorgestellt, die auch eine D¨

ampfung der akustischen R¨

uckkopplung erm¨

ogli-

78 Kapitel 4 Aktive Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen

chen. Allerdings ist dort die Stabilit¨

at in Abh¨

angigkeit von der Mikrofon- und

Lautsprecheranordnung nicht immer sichergestellt [EB90]. Der Einfluss einer

R¨

uckkopplung sollte daher zun¨

achst durch gezielte Maßnahmen am Aufbau

oder bez¨

uglich der Messwerterfassung reduziert werden.

Zu den Maßnahmen, mit denen sich akustische R¨

uckkopplungen reduzieren

lassen, z¨

ahlt beispielsweise die Verwendung eines unidirektionalen Referenz-

mikrofons oder einer Lautsprecheranordnung, die den Schall nur in Richtung

des Auslasses abstrahlt [WB01]. Alternativ dazu kann der Lautsprecher auch

uber eine angewinkelte R¨

ohrenverzweigung an die Hauptr¨

ohre angekoppelt

werden [KT93]. Ebenfalls l¨

asst sich das Schallfeld mit zus¨

atzlichen Mikrofo-

nen und einem Algorithmus zur Aufbereitung der Mikrofonsignale in eine hin-

und r¨

ucklaufende Welle zerlegen. Als Referenz- und Fehlersignal dienen schließ-

lich jeweils nur die hinlaufenden Wellen [YF99,LYF02]. Zur D¨

ampfung von

L¨

arm, den rotierende Maschinen oder Motoren erzeugen, bietet sich dagegen

wegen der schmalbandigen Zusammensetzung h¨

aufig auch ein Drehratensen-

sor f¨

ur die Referenzsignalerzeugung an [KM96]. Durch die Verwendung eines

nicht-akustischen Sensors bleibt das Referenzsignal von akustischen R¨

uckkopp-

lungen unbeeinflusst.

M¨

ogliche akustische R¨

uckkopplungen werden in dieser Arbeit bei den si-

mulationstechnischen Untersuchungen nicht betrachtet und es wird f¨

ur den

R¨

uckkopplungspfad F(z) = 0 vorausgesetzt. Das erscheint gerechtfertigt, da

sich akustische R¨

uckkopplungen zun¨

achst auch durch die erw¨

ahnten Maßnah-

men reduzieren lassen.

4.2.2 Fehlersignalerfassung

In [ZH93,CPHZ05] hat sich die Methode, auf der Grundlage von zwei r¨

aumlich

entsprechend auseinander liegenden Mikrofonen eine Minimierung des akusti-

schen Leistungsflusses durchzuf¨

uhren, zur Generierung eines Fehlersignals als

effektiv erwiesen. Ist dagegen L¨

arm an einem vom physikalischen Fehlersensor

entfernten Ort zu d¨

ampfen, bietet sich das Prinzip der virtuellen Messwert-

erfassung an. Mit Hilfe r¨

aumlich verteilter Mikrofone wird dazu die virtuelle

Mikrofonposition durch Interpolation bestimmt [MCKH03,PZCH05].

In dieser Arbeit finden diese Methoden keine Verwendung, da das Fehler-

signal auf der klassischen Auswertung eines Sensorsignals basieren soll. Die

Einbettung einer modifizierten Fehlersignalbestimmung in die zu thematisie-

renden Algorithmen w¨

are jedoch problemlos m¨

oglich.

4.2.3 Str¨

omungsinduzierter St¨

orschall

Durch ein str¨

omendes Medium entstehen an den Messorten Turbulenzen, de-

ren zeitlich ver¨

anderliche Schalldr¨

ucke vom Mikrofon erfasst werden [MI86].

Da ein adaptives Feedforward-Verfahren die Korrelation zwischen dem Re-

4.2 Sensorik und Aktorik 79

Mikrofon

absorbierendes

Material

str¨

omendes Medium

Abbildung 4.3: Mechanische Abschirmung des Mikrofons vor turbulenten Str¨

omungs-

einfl¨

ussen [KM96]

ferenzsignal und dem Fehlersignal zur Adaptation der Filterkoeffizienten aus-

nutzt, verschlechtern str¨

omungsbedingte nicht-korrelierte Signalanteile das Re-

sultat der aktiven Schalld¨

ampfung [KM96]. Die Generierung des Referenz-

und Fehlersignals mit Hilfe von zus¨

atzlichen r¨

aumlich verteilten Mikrofonen

stellt eine M¨

oglichkeit zur Reduzierung der str¨

omungsinduzierten Schallan-

teile dar [SLC89,Nish91,LB06]. Kosteng¨

unstiger und weniger aufw¨

andig ist

dagegen gem¨

aß Abbildung 4.3 die mechanische Abschirmung des Mikrofons.

Bei den simulationstechnischen Untersuchungen der erarbeiteten Algorith-

men werden str¨

omungsinduzierte Schallanteile ber¨

ucksichtigt, die realit¨

atsnah

zus¨

atzlich von der Str¨

omungsgeschwindigkeit des Mediums abh¨

angen sollen. Es

wird angenommen, dass sich die Turbulenzen durch weißes Rauschen model-

lieren lassen, wobei die Rauschprozesse unkorreliert vorgegeben sein werden.

KAPITEL 5

Adaptive Digitalfilter

H¨

aufig ¨

andern sich im Betrieb die ¨

Ubertragungseigenschaften des Systems und

die Statistiken der beteiligten Signale oder sie sind bei der Auslegung des ANC-

Systems nur unzureichend bekannt. Daher wird ein System ben¨

otigt, das sich

selbstst¨

andig an die vorliegende Situation anpasst. Dazu bieten sich zeitvari-

ante Systeme in Form von adaptiven Filtern an, deren Filterkoeffizienten ver-

anderbar sind. Die Berechnung der optimalen Koeffizienten erfolgt mit Hilfe

eines Adaptationsalgorithmus auf der Grundlage eines gemessenen Referenz-

und Fehlersignals. Das adaptive Filter und der Algorithmus lassen sich f¨

ur die

praktische Anwendung digital auf Signalprozessoren realisieren.

P(z)

S(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

ys(n)

Adaptations-

algorithmus

Abbildung 5.1: Blockschaltbild f¨

ur die Herleitung der Algorithmen

Die Betrachtungen in diesem Kapitel setzen voraus, dass die ¨

Ubertragungs-

funktion S(z) des Sekund¨

arpfads bekannt ist. Dar¨

uber hinaus findet keine

akustische R¨

uckkopplung vom Lautsprecher zum Referenzmikrofon statt, so

dass F(z) = 0 gilt. Den weiteren Betrachtungen liegt das Blockschaltbild in

Abbildung 5.1 zu Grunde. Im n¨

achsten Kapitel wird f¨

ur S(z) ebenfalls zeit-

variantes Verhalten zugelassen. Die Annahme F(z) = 0 bleibt dagegen, wie

bereits erw¨

ahnt, in dieser Arbeit aufrecht erhalten.

5.1 Konvergenz und Tracking 81

Die Adaptation der Filterkoeffizienten kann im Zeitbereich oder mit einer

blockweisen Datenverarbeitung im Frequenzbereich erfolgen. Die Adaptation

im Frequenzbereich erfordert, dass sich die ¨

Ubertragungseigenschaften des zu

adaptierenden Systems w¨

ahrend der Aufnahme eines Datenblocks nicht ver-

andern. Diese Voraussetzung erscheint f¨

ur einen Abgasschalld¨

ampfer auch f¨

kurze Blockl¨

angen nicht immer sichergestellt, so dass im Folgenden Verfahren

pr¨

aferiert werden, die im Zeitbereich arbeiten.

Setzt sich das St¨

orsignal nur aus schmalbandigen Komponenten zusam-

men, k¨

onnen f¨

ur jede dieser Frequenzanteile auch separate adaptive Filter mit

verk¨

urzter Filterl¨

ange verwendet werden [KM96,KGM07,XMKI07]. Da im

Weiteren sowohl breit- als auch schmalbandiger L¨

arm zu d¨

ampfen ist, kom-

men diese Schmalband-ANC-Systeme nicht zum Einsatz.

5.1 Konvergenz und Tracking

Unter station¨

aren Bedingungen ver¨

andert sich die optimale L¨

osung bez¨

uglich

der Filterkoeffizienten nicht und der Adaptationsalgorithmus hat die Aufga-

be, das Minimum iterativ zu finden. In nicht-station¨

arer Umgebung ist die

optimale L¨

osung dagegen zeitvariant.1Der Algorithmus hat demnach die Auf-

gabe, die Filterkoeffizienten entsprechend der optimalen L¨

osung nachzuf¨

uhren.

Dieser Vorgang wird als Tracking bezeichnet.

Obwohl zwischen dem Konvergenz- und Tracking-Verhalten eine Bezie-

hung besteht, kennzeichnen beide zwei v¨

ollig unterschiedliche Eigenschaften

eines adaptiven Verfahrens. Algorithmen mit gutem Konvergenzverhalten wei-

sen trotzdem h¨

aufig ebenfalls gute Tracking-Eigenschaften auf, wobei die Um-

kehrung ebenfalls zutreffen kann. Obwohl in der Literatur h¨

aufig das Kon-

vergenzverhalten bei adaptiven ANC-Systemen im Mittelpunkt steht, kommt

dem Tracking-Verhalten dort eigentlich die gr¨

oßere Bedeutung zu [LP99].

Die Algorithmen lassen sich bez¨

uglich des Tracking-Verhaltens sowohl theo-

retisch [HSZ+97,YS01] als auch auf der Grundlage von Simulationen untersu-

chen [Bron93]. Die simulationstechnische Untersuchung kann zum einen durch

Vorgabe einer abrupten ¨

Anderung der zu adaptierenden Parameter erfolgen,

w¨

ahrend die Reaktion des adaptiven Filters, beispielsweise in Form des Feh-

lerverlaufs oder der Parameterabweichung, als Qualit¨

atskriterium ausgewertet

wird. Zum anderen bieten sich auch stochastische Modelle zur Simulation von

zeitvariantem Systemverhalten an. Bei diesen Modellen gehen die Parameter

des zu erzeugenden zeitvarianten Systems aus einer Tiefpassfilterung von un-

abh¨

angigen Gauß-Prozessen hervor. Die Wahl der Grenzfrequenzen bestimmt

das Maß des nicht-station¨

aren Systemverhaltens, welches mit steigender Grenz-

frequenz zunimmt [Bron93].

1Nicht-station¨

are Bedingungen liegen vor, wenn das ¨

Ubertragungsverhalten eines Sys-

tems zeitvariant ist, wobei die beteiligten Signale station¨

are oder nicht-station¨

are Eigen-

schaften aufweisen k¨

onnen [HSZ+97,YS01,Hayk02].

82 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

Eine einfache Form der Systembeschreibung erh¨

alt man, wenn f¨

ur die Tief-

passfilter jeweils die gleichen ¨

Ubertragungsfunktionen gew¨

ahlt werden und alle

Rauschprozesse die gleiche Varianz aufweisen. F¨

ur diesen Fall ergeben sich die

Parameter des zeitvarianten Systems zu

w(n) =

i=0

birw(n−i) +

k=1

akw(n−k).(5.1)

Die Gr¨

oße rw(n) beschreibt einen vektoriellen Gauß-Prozess, dessen Dimen-

sion mit der Anzahl der Systemparameter ¨

ubereinstimmt. Durch die Wahl

von bi=δ(i) und ak=aδ(k−1) erh¨

alt man einen Tiefpass erster Ordnung

und die dazugeh¨

origen Ausgangssignale beziehungsweise die Parameter des

zeitvarianten Systems entsprechen einem vektoriellen Gauß-Markov-Prozess

erster Ordnung der Form [Bron93,Hayk02]

w(n+ 1) = aw(n) + rw(n).(5.2)

In dieser Arbeit kommt bei den simulationstechnischen Untersuchungen

nicht das Markov-Modell (5.2) zum Einsatz, sondern das Tracking-Verhalten

0,2 0,30,40,50,60,70,8 0,91

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0a) V0= 0 m/s

f/kHz

|P|in dB

ϑ0= 20◦Cϑ0= 50◦Cϑ0= 80◦C

0,20,30,40,50,60,70,8 0,9 1

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0b) ϑ0= 20◦C

f/kHz

|P|in dB

V0= 0 m/sV0= 5 m/sV0= 10 m/s

Abbildung 5.2: Normierte Amplitudeng¨

ange des Prim¨

arpfads in einem R¨

ohrensystem

in Abh¨

angigkeit von a) der Gastemperatur ϑ0und b) der Str¨

omungs-

geschwindigkeit V0des Mediums

5.2 Transversale Filterstruktur 83

wird im Kontext eines mathematischen Modells untersucht, das den Bezug zu

einem aktiven Abgasschalld¨

ampfer herstellt. Die Vorgabe der Temperatur und

der Str¨

omungsgeschwindigkeit des Abgases erfolgt dementsprechend, so dass

die Strecken zeitvariantes ¨

Ubertragungsverhalten zeigen. F¨

ur den Prim¨

arpfad

des aktiven Schalld¨

ampfers ist das exemplarisch in Abbildung 5.2 verdeut-

licht. W¨

ahrend unterschiedliche Gastemperaturen zu einer Verschiebung der

Resonanzen f¨

uhren, fallen mit einer zus¨

atzlichen D¨

ampfung der Resonanzen

die Auswirkungen einer ver¨

anderlichen Str¨

omungsgeschwindigkeit des Gases

dagegen geringer aus. Die Filterkoeffizienten sind mit dem Ziel einer hohen

Schalld¨

ampfung, die maßgeblich vom Tracking-Verhalten beeinflusst wird, zu

adaptieren.

5.2 Transversale Filterstruktur

Am h¨

aufigsten findet die Transversalfilterstruktur bei adaptiven Filtern Ver-

wendung. Bei einem FIR-Filter2ergibt sich mit dem Eingangssignalvektor

x(n) = [x(n)x(n−1) . . . x(n−L+ 1)]T(5.3)

und dem Parametervektor

w(n) = [ ˆw0(n) ˆw1(n)... ˆwL−1(n)]T(5.4)

sowie der Impulsantwort ˆw(n) des adaptiven Filters das Ausgangssignal zu

y(n) = ˆw(n)∗x(n) =

L−1

i=0

ˆwi(n)x(n−i) = ˆ

wT(n)x(n).(5.5)

Die folgenden Betrachtungen setzen reellwertige Signale und Filterkoeffi-

zienten voraus. Aufgabe des Algorithmus ist es, die Filterkoeffizienten ˆ

w(n)

adaptiv so zu bestimmen, dass ein aus dem Fehler

e(n) = d(n) + s(n)∗ˆ

wT(n)x(n)(5.6)

gebildetes Fehlermaß minimiert wird. Bei s(n) handelt es sich um die Impuls-

antwort des Sekund¨

arpfads S(z), w¨

ahrend sich das Eingangssignal mit der

Impulsantwort hx(n) des Referenzsensors zu

x(n) = hx(n)∗u(n) (5.7)

ergibt. Den weiteren theoretischen Betrachtungen liegt zur formalen Verein-

fachung die Annahme hx(n) = δ(n) beziehungsweise x(n) = u(n) zu Grunde,

w¨

ahrend in der Simulation des aktiven Abgasschalld¨

ampfers die ¨

Ubertragungs-

funktion Hx(z) durch einen Bandpass modelliert wird.3

2Finite-Impulse-Response-Filter

3Mit einem ad¨

aquaten Referenzsensor erscheint die N¨

aherung x(n)≈kxu(n) erlaubt.

Der Proportionalit¨

atsfaktor kxl¨

asst sich bei einer praktischen Implementierung durch eine

Skalierung von entsprechenden Signalen im ANC-System ber¨

ucksichtigen oder dieser wird

direkt durch den Koeffizientenvektor ˆ

w(n) adaptiert.

84 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

5.3 Rekursive Filterstruktur

Das Ausgangssignal einer rekursiven Filterstruktur ergibt sich mit den Filter-

koeffizienten

a(n) = [ˆa1(n) ˆa2(n)... ˆaK(n)]T,(5.8a)

b(n) = [ˆ

b0(n)ˆ

b1(n)... ˆ

bL−1(n)]T(5.8b)

sowie x(n) aus Gleichung (5.3) und dem Ausgangssignalvektor

y(n) = [y(n−1) y(n−2) . . . y(n−K)]T(5.9)

y(n) =

L−1

i=0

bi(n)x(n−i) +

k=1

ˆak(n)y(n−k)

=ˆ

bT(n)x(n) + ˆ

aT(n)y(n).

(5.10)

Besitzt das rekursive Filter eine unendlich lange Impulsantwort, spricht

man von einem IIR-Filter4. Nicht jedes rekursive Filter muss zwangsl¨

aufig eine

unendlich lange Impulsantwort aufweisen. Um die Stabilit¨

at des Filters sicher-

zustellen, m¨

ussen die Nullstellen des Nennerpolynoms zK[1 −PK

k=1 ˆak(n)z−k]

im Einheitskreis liegen.

Obwohl rekursive Filterstrukturen bei der Implementierung h¨

aufig eine ge-

ringere Filterordnung als Transversalfilter erfordern und der rekursive Anteil

auch zur D¨

ampfung von akustischen R¨

uckkopplungen eingesetzt werden kann,

kommen rekursive Filterstrukturen in der adaptiven Signalverarbeitung selte-

ner zum Einsatz. Gr¨

unde daf¨

ur sind:

•Stabilit¨

at ist w¨

ahrend des Adaptationsprozesses sicherzustellen,

•Fehlerfunktion enth¨

alt gew¨

ohnlich lokale Minima,

•unter Umst¨

anden h¨

oherer Implementierungsaufwand und Komplexit¨

at.

Zur Koeffizientenbestimmung eines adaptiven rekursiven Filters bietet sich

im einfachsten Fall das Verfahren von Feintuch an [Fein76]. Obwohl das Ver-

fahren im Mittelpunkt zahlreicher Diskussionen stand [JL77,WM77,CS97]

und auf eine Stabilit¨

atskontrolle verzichtet, hat sich der Algorithmus trotz-

dem im praktischen Einsatz bew¨

ahrt, da dieser dazu tendiert, die Polstellen

vom Einheitskreis in Richtung des Koordinatenursprungs zu adaptieren.

Soll die Stabilit¨

at jedoch explizit w¨

ahrend des Adaptationsprozesses si-

chergestellt werden, bietet sich beispielsweise eine Implementierung des rekur-

siven Filters als Lattice-Ladder-Struktur nach Gray und Markel an [GM73,

4Infinite-Impulse-Response-Filter

5.4 Gradientenverfahren 85

GM75,Rega94,Laro99]. Auf der Grundlage dieser Struktur wurden Algorith-

men mit einem reduzierten Implementierungsaufwand beziehungsweise einer

reduzierten Komplexit¨

at vorgestellt [RFM91,NA98,LSQX03]. Zus¨

atzlich emp-

fehlen sich ebenfalls Ans¨

atze, die auf dem Konzept der Hyperstabilit¨

at basieren

und deren Urspr¨

unge der Theorie zur Regelung von nichtlinearen zeitvarianten

Systemen entstammen [LTJ80,Rega94,H¨

ans01]. Die folgenden Betrachtungen

werden sich auf transversale Filterstrukturen beschr¨

anken.

5.4 Gradientenverfahren

Das Gradientenverfahren, das auch als Verfahren des steilsten Abstiegs be-

zeichnet wird, ist ein h¨

aufig angewendeter Algorithmus zur rekursiven Pa-

rametersch¨

atzung. Dieser sucht die von der Fehlerfunktion

ξ(n) = Ee2(n)(5.11)

gebildete Fehlerfl¨

ache der Dimension L+ 1 auf ihr Minimum ab, wobei der

Erwartungswertoperator durch E{·} kennzeichnet ist. H¨

aufig wird ξ(n) auch

als Kostenfunktion bezeichnet, die es zu minimieren gilt. In jedem Zeitschritt

erfolgt nach der Rekursionsvorschrift

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−µ

2∇ξ(n) (5.12)

mit der Schrittweite µ > 0 die Bestimmung eines neuen Koeffizientenvektors.

Zur Berechnung von ∇ξ(n) ist nach Gleichung (5.6) die Impulsantwort s(n)

des Sekund¨

arpfads erforderlich, so dass diese vorab (offline) oder w¨

ahrend

des Adaptationsprozesses (online) zu sch¨

atzen ist. Die Approximation dieser

Impulsantwort sei im Weiteren durch ˆs(n) gekennzeichnet. Verwendet man in

Gleichung (5.6) die N¨

aherung s(n)≈ˆs(n), l¨

asst sich mit

x(n) = ˆs(n)∗x(n)

= [˜x(n) ˜x(n−1) ... ˜x(n−L+ 1)]T(5.13)

der Gradient zu

∇ξ(n) = 2 E˜

x(n)e(n)(5.14)

angeben.

Wird der mittlere quadratische Fehler zur Gradientenbestimmung heran-

gezogen, spricht man vom MSE-Algorithmus5. F¨

ur ergodische Signale kann der

Erwartungswert auch durch eine zeitliche Mittelung der entsprechenden Gr¨

oße

5Mean-Square-Error-Algorithmus

86 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

abgesch¨

atzt werden [PP02]. Wird dagegen der Erwartungswert direkt durch

den Momentanwert dargestellt, f¨

uhrt das schließlich mit

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−µ˜

x(n)e(n) (5.15)

auf den FxLMS-Algorithmus6. Die Bezeichnung ist durch die Tatsache begr¨

un-

det, dass zur Gradientenbestimmung unter anderem eine Filterung der Ein-

gangsgr¨

oße x(n) mit der ¨

Ubertragungsfunktion des Sekund¨

arpfads durchge-

f¨

uhrt werden muss und dass dieser auf dem von Widrow und Hoff vorge-

stellten klassischen LMS-Algorithmus7basiert [WH60].

Der klassische LMS-Algorithmus setzt ˆs(n) = δ(n) und damit ˜x(n) = x(n)

voraus. Da das statistische Fehlermaß in Form des Erwartungswerts durch den

Momentanwert abgesch¨

atzt worden ist, konvergiert das LMS-Verfahren nur im

stochastischen Sinn. Die auf diese Weise ermittelten Filterkoeffizienten stim-

men nur im Scharmittelwert mit der optimalen L¨

osung des Wiener-Filters

uberein. F¨

ur ergodische Prozesse werden f¨

ur kleine Schrittweiten nach hinrei-

chend langer Mittelungsdauer die optimalen Parameter approximiert [Bron93].

5.4.1 Schrittweite

Die Schrittweite hat einen entscheidenden Einfluss auf die Konvergenz. Ist µzu

klein gew¨

ahlt, ergibt sich eine langsame Konvergenz, w¨

ahrend ein zu großes µ

instabiles Verhalten zur Folge haben kann. Die Eigenwertspreizung der Auto-

korrelationsmatrix von ˜x(n) diktiert bei den LMS-basierten Algorithmen eine

obere Grenze f¨

ur die Schrittweite µ. Damit weisen diese Verfahren eine signal-

abh¨

angige Konvergenz auf, die sich vor allem bei schmalbandigen Signalen

mit großen Unterschieden in der spektralen Zusammensetzung auswirkt. Bei

station¨

aren Signalen sind die Auswirkungen weniger gravierend als bei nicht-

station¨

aren [Bron93,KM96,Hayk02].

Zur Erh¨

ohung der Konvergenzgeschwindigkeit bietet es sich an, die Schritt-

weite an das Signal ˜

x(n) = ˆs(n)∗x(n) zu koppeln. Eine Normalisierung l¨

asst

sich mit 0 < α < 2 zu

µ(n) = α

β+˜

xT(n)˜

x(n)(5.16)

angeben.8Die Wahl von 0 < β < 1 verhindert, dass der Algorithmus f¨

kleine Signalvarianzen divergiert. Die Verwendung von β= 0 f¨

uhrt schließlich

auf den NLMS-Algorithmus9. Die Rekursionsgleichungen eines normalisierten

LMS-Verfahrens sind im Anhang Czusammengefasst.

6Filtered-x-Least-Mean-Square-Algorithmus

7Least-Mean-Square-Algorithmus

8Die obere Grenze von αist als oberer Richtwert zu interpretieren, die in Abh¨

angigkeit

von den Eigenschaften des Sekund¨

arpfads nach unten zu korrigieren ist.

9Normalized-Least-Mean-Square-Algorithmus

5.4 Gradientenverfahren 87

5.4.2 FxLMS-Algorithmus

Der FxLMS-Algorithmus, dessen Einbettung in ein ANC-System der Abbil-

dung 5.3 zu entnehmen ist, stand im Mittelpunkt zahlreicher Untersuchungen.

Es l¨

asst sich res¨

umieren, dass sich mit einem Sekund¨

arpfad, f¨

ur den s(n)6=δ(n)

gilt, das Konvergenz- und Tracking-Verhalten in nicht-station¨

arer Umgebung

verschlechtert. Es sind kleine Schrittweite vorzugeben, um bei Abweichungen

zwischen ˆs(n) und s(n), welche durch Zeitvarianzen oder Ungenauigkeiten bei

der vorab durchgef¨

uhrten Modellierung des Sekund¨

arpfads begr¨

undet sein k¨

on-

nen, die Stabilit¨

at des Algorithmus zu gew¨

ahrleisten [LP04,SGK05,KS05a].

Zus¨

atzlich kann die Faltung von x(n) mit ˆs(n) die statistischen Eigenschaf-

ten des zur Koeffizientenbestimmung verwendeten Signals ˜x(n) beeinflussen

und sich damit negativ auf das Konvergenz- und Tracking-Verhalten auswir-

ken [Schi95].

P(z)

S(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

ys(n)

˜x(n)LMS-

Algorithmus

Abbildung 5.3: Blockschaltbild zum FxLMS-Algorithmus [KM96]

Ausgehend von Abbildung 5.3 wird das Referenzsignal x(n) zur Erzeu-

gung des Gegenschallsignals ys(n) zun¨

achst mit ˆw(n) und dann mit s(n) ge-

faltet. Beim FxLMS-Algorithmus erfolgt zur Koeffizientenbestimmung die Fal-

tung jedoch zuerst mit ˆs(n) und dann mit ˆw(n). Unter station¨

aren Bedin-

gungen durchaus legitim, ist die Vertauschung der Faltungsoperationen unter

nicht-station¨

aren Bedingungen unzul¨

assig [TSO06]. Um den dadurch beding-

ten Fehler zu kompensieren und somit die Wahl von gr¨

oßeren Schrittweiten

zu erm¨

oglichen, stellten Bronzel und Flockton unabh¨

angig voneinander

die MFx-Struktur10 vor [Bron93,Floc93,LP04]. Die MFx-Struktur ist im An-

hang Cdargestellt. In diese lassen sich ebenfalls die im Folgenden vorzustel-

lenden Algorithmen einbetten.

10Modified-Filtered-x-Struktur

88 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

Der Einfluss eines vorab ungenau gesch¨

atzten ¨

Ubertragungsverhaltens des

Sekund¨

arpfads kann mit einem entsprechend entworfenen Filter, das in einer

zus¨

atzlichen R¨

uckkopplungsschleife eingebettet ist, reduziert werden [KS05b,

SXC07]. In dieser Arbeit soll die Sch¨

atzung des zeitvarianten Sekund¨

arpfads in

Form der Impulsantwort ˆs(n) jedoch adaptiv erfolgen. Verfahren zur Online-

Modellierung werden dazu im n¨

achsten Kapitel thematisiert.

5.5 LS-Algorithmus

Der LS-Algorithmus11 und seine rekursiven Varianten basieren auf dem Anfang

des Neunzehnten Jahrhunderts von Gauß vorgestellten Verfahren der kleins-

ten Fehlerquadrate [Bron93]. Die Herleitung des LS-Algorithmus erfolgt im

Weiteren auf der Grundlage des Blockschaltbilds in Abbildung 5.1 zun¨

achst

losgel¨

ost vom Kontext eines ANC-Systems im Rahmen einer Systemerken-

nung. Die Gr¨

oßen d(n) und x(n) seien dazu als bekannt vorausgesetzt und der

Sekund¨

arpfad soll durch den Sch¨

atzwert ˆs(n) beschrieben werden. Damit l¨

asst

sich der Fehler mit ˜

x(n) = ˆs(n)∗x(n) und einer Vertauschung der Faltungs-

operationen zu

e(n) = d(n) + ˆ

wT(n)˜

x(n) (5.17)

formulieren.12

Wertet man die obige Fehlergleichung f¨

ur K≥LAbtastwerte im Inter-

vall n−K+ 1 ≤k≤naus, k¨

onnen die KGleichungen mit

e(n) = [e(n−K+ 1) e(n−K+ 2) . . . e(n)]T,(5.18a)

d(n) = [d(n−K+ 1) d(n−K+ 2) . . . d(n)]T,(5.18b)

A(n) = [˜

x(n−K+ 1) ˜

x(n−K+ 2) ... ˜

x(n)]T(5.18c)

auch in der Notation

e(n) = d(n) + A(n)ˆ

w(n) (5.19)

angegeben werden, wobei der Koeffizientenvektor ˆ

w(n) im betrachteten In-

tervall als konstant vorausgesetzt wird. Mit den als bekannt anzusehenden

Wertepaaren (d(n),˜

x(n)) ist der Koeffizientenvektor ˆ

w(n) so zu bestimmen,

dass der Fehler

ξ(n) = 1

KeT(n)e(n) = 1

k=n−K+1

e2(k)(5.20)

11Least-Squares-Algorithmus

12Mit der MFx-Struktur im Anhang Ckann der Fehler, der bei einer Vertauschung der

Faltungsoperationen entsteht, kompensiert werden.

5.6 RLS-Algorithmus 89

minimal wird. F¨

ur die Minimierung l¨

asst sich der Gradient bez¨

uglich ˆ

w(n) mit

den Gr¨

oßen

ϕ(n) = 1

KAT(n)d(n) = 1

k=n−K+1

d(k)˜

x(k),(5.21a)

Φ(n) = 1

KAT(n)A(n) = 1

k=n−K+1

x(k)˜

xT(k) (5.21b)

∇ξ(n) = 2ϕ(n) + 2Φ(n)ˆ

w(n)(5.22)

angeben.13 Die Auswertung von ∇ξ(n) = 0 f¨

uhrt schließlich auf

ϕ(n) = −Φ(n)ˆ

w(n).(5.23)

W¨

ahrend die Matrix A(n) nur f¨

ur K=Lquadratisch ist, handelt es sich

bei Φ(n) = ΦT(n) immer um eine quadratische Matrix der Dimension L×L.

Geht man davon aus, dass Φ(n) nicht singul¨

ar ist, existiert die Inverse und der

optimale Koeffizientenvektor kann zu

w(n) = −Φ−1(n)ϕ(n) (5.24)

bestimmt werden. F¨

ur K > L existieren mehr Gleichungen als Unbekannte.

Die L¨

osung nach dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate f¨

uhrt f¨

ur diesen

Fall auf den Koeffizientenvektor ˆ

w(n), der die Summe des Fehlerquadrats ¨

uber

das gleitende Fenster der L¨

ange Kminimiert.

Da die Wertepaare innerhalb des Rechteckfensters der L¨

ange Kausgewer-

tet werden, h¨

angt ˆ

w(n) auch nur von diesen KWerten ab. Aktuelle Signal-

werte haben f¨

ur große Fensterl¨

angen aufgrund der zeitlichen Mittelung einen

immer geringeren Einfluss auf die Bestimmung von ˆ

w(n). Zus¨

atzlich ist f¨

jedes Berechnungsintervall die Inverse Φ−1(n) zu bestimmen. Das kann mit

einem sehr hohen Berechnungsaufwand verbunden sein. Daher empfehlen sich

rekursive Verfahren, bei denen die neuen Koeffizienten nicht auf der Basis

von Gleichung (5.24) f¨

ur jedes Intervall neu ermittelt werden, sondern durch

eine Korrektur der Koeffizienten aus dem vorherigen Zeitschritt hervorgehen.

Dieser Ansatz f¨

uhrt auf den RLS-Algorithmus14.

13Die Gr¨

oßen ϕ(n) und Φ(n) sind als Summen ¨

uber determinierte Signale definiert.

Da keine statistischen Kenngr¨

oßen ben¨

otigt werden, handelt es sich beim LS-Algorithmus

um ein deterministisches Verfahren. Liegt eine statistische Betrachtung zu Grunde, stel-

len die Gr¨

oßen d(n) und ˜

x(n) Musterfunktionen von ergodischen Zufallsprozessen dar.

Sch¨

atzwerte f¨

ur den Kreuzkorrelationsvektor p(n) = E{d(n)˜

x(n)}und die Autokorrelati-

onsmatrix R(n) = E{˜

x(n)˜

(n)}sind durch die Gr¨

oßen ϕ(n) und Φ(n) gegeben [H¨

ans01].

14Recursive-Least-Squares-Algorithmus

90 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

5.6 RLS-Algorithmus

Neben einem gleitenden Rechteckfenster gem¨

aß der Fehlerdefinition (5.20)

kann auch ein exponentiell gewichtetes Fenster der Form

ξ(n) =

k=1

λn−ke2(k) (5.25)

mit 0 ≪λ≤1 Verwendung finden. F¨

ur λ6= 1 bekommen aktuellere Werte ein

gr¨

oßeres Gewicht zugemessen als l¨

anger zur¨

uckliegende. Mit fortschreitender

Zeit werden ¨

altere Werte quasi vergessen und man bezeichnet λdaher auch

als Forgetting-Faktor. F¨

ur den exponentiell gewichteten LS-Algorithmus lassen

sich die Ausdr¨

ucke

ϕ(n) =

k=1

λn−kd(k)˜

x(k) und Φ(n) =

k=1

λn−k˜

x(k)˜

xT(k) (5.26)

angeben.15 Man sieht, dass eine rekursive Berechnung dieser Gr¨

oßen durch

Φ(n) = λΦ(n−1) + ˜

x(n)˜

xT(n),(5.27a)

ϕ(n) = λϕ(n−1) + d(n)˜

x(n) (5.27b)

gegeben ist [Bron93,Hayk02]. Zur Reduzierung der Komplexit¨

at von O{L3}

auf O{L2}bietet sich die Vermeidung einer direkten Invertierung von Φ(n)

an. Mit dem als Sherman-Morrison-Identit¨

at bezeichneten Lemma l¨

asst sich

eine rekursive Berechnung der inversen Matrix durchf¨

uhren, die sich zu

Φ−1(n) = λ−1Φ−1(n−1) −Φ−1(n−1)˜

x(n)˜

xT(n)Φ−1(n−1)

λ+˜

xT(n)Φ−1(n−1)˜

x(n)(5.28)

ergibt [Bron93]. Die Definition

Φ−1(n) = P(n) (5.29)

erlaubt mit der Kalman-Verst¨

arkung

κ(n) = P(n−1)˜

x(n)

λ+˜

xT(n)P(n−1)˜

x(n)(5.30)

schließlich die Herleitung der kompakteren Darstellung

P(n) = λ−1P(n−1) −κ(n)˜

xT(n)P(n−1).(5.31)

15Interpretiert man d(n) und ˜

x(n) wieder als Musterfunktionen von ergodischen Zu-

fallsprozessen, k¨

onnen ϕ(n) und Φ(n) als entsprechend normierte Sch¨

atzwerte f¨

ur die

Kreuzkorrelation von d(n) und ˜

x(n) sowie die Autokorrelation von ˜

x(n) angesehen werden.

5.6 RLS-Algorithmus 91

Aus der Umformung von Gleichung (5.30) gem¨

aß

κ(n) = λ−1P(n−1) −κ(n)˜

xT(n)P(n−1)˜

x(n) (5.32)

geht nach einem Vergleich mit Gleichung (5.31) die Beziehung

κ(n) = P(n)˜

x(n) (5.33)

hervor [KM96,Hayk02]. Im statistischen Kontext kann P(n) auch als skalierte

Kovarianzmatrix des gesch¨

atzten Koeffizientenvektors ˆ

w(n) gem¨

aß

P(n) = 1

σ2E[ˆ

w(n)−ˆ

wopt(n)] [ ˆ

w(n)−ˆ

wopt(n)]T(5.34)

interpretiert werden, wobei der Skalierungsfaktor σ2nicht n¨

aher spezifiziert

sei [Bron93,Hayk02].

5.6.1 Rekursionsgleichung f¨

ur den Koeffizientenvektor

Ausgangspunkt zur Herleitung der Rekursionsgleichung ist die Gleichung

w(n) = −P(n)ϕ(n).(5.35)

Ziel ist es, den Koeffizientenvektor ˆ

w(n) mit Hilfe von Gr¨

oßen aus dem letzten

Zeitschritt n−1 zu bestimmen. Das Einsetzen von Gleichung (5.27b) f¨

uhrt

zun¨

achst auf

w(n) = −λP(n)ϕ(n−1) −P(n)˜

x(n)d(n).(5.36)

Wird der erste Ausdruck f¨

ur P(n) durch den aus Gleichung (5.31) ersetzt, l¨

asst

sich mit ˆ

w(n−1) = −P(n−1)ϕ(n−1) und der Kalman-Verst¨

arkung (5.33)

die Rekursionsgleichung

w(n) = ˆ

w(n−1) −κ(n)d(n) + ˆ

wT(n−1)˜

x(n)(5.37)

formulieren. Der a priori Fehler

e(n|n−1) = d(n) + ˆ

wT(n−1)˜

x(n) (5.38)

erfasst die Abweichung, die vor einer Aktualisierung des Koeffizientenvektors

zwischen der Gr¨

oße d(n) und dem aus ˆ

w(n−1) sowie ˜

x(n) gebildeten Sch¨

atz-

wert zu beobachten ist. Da dieser auch die Information enth¨

alt, die durch d(n)

und ˜

x(n) neu hinzu kommt, spricht man in diesem Zusammenhang auch von

der Innovation [H¨

ans01]. Der rekursive Algorithmus in Gleichung (5.37) ba-

siert auf dem a priori Fehler, w¨

ahrend dem eigentlichen LS-Algorithmus der

Fehler e(n) zu Grunde liegt.

Im Kontext eines ANC-Systems ist jedoch im Gegensatz zum Fehler e(n)

der a priori Fehler beziehungsweise das Signal d(n) messtechnisch nicht zu-

g¨

anglich. Ersetzt man daher in der Rekursionsgleichung den a priori Fehler

92 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

durch die gemessene Gr¨

oße e(n) und verschiebt f¨

ur eine praktische Implemen-

tierung den Z¨

ahlindex beim Koeffizientenvektor um einen Zeitschritt, erh¨

alt

man die Rekursionsgleichung [KM96]

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−κ(n)d(n) + ˆ

wT(n)˜

x(n)

=ˆ

w(n)−κ(n)e(n).(5.39)

Eine vollst¨

andige Darstellung der zu implementierenden Rekursionsglei-

chungen kann dem Anhang Centnommen werden. Als Startwert f¨

ur P(0)

bietet sich eine Diagonalmatrix der Gestalt

P(0) = c−1IL(5.40)

an. Der Regularisierungsfaktor kann zu c=σ2

˜xgew¨

ahlt werden, wobei σ2

˜xder

Varianz der Gr¨

oße ˜x(n) entspricht.

5.6.2 Eigenschaften des RLS-Algorithmus

Wird beim RLS-Algorithmus P(n) = µILgew¨

ahlt, ergibt sich die Kalman-

Verst¨

arkung zu κ(n) = µ˜

x(n) und man erh¨

alt die Rekursionsgleichung (5.15)

des LMS-Algorithmus. Den LMS-basierten Verfahren unterliegt also die Annah-

me, dass es sich bei ˜x(n) um weißes Rauschen mit der Varianz σ2

˜x=µ−1han-

delt [Hayk02]. Daher besitzt typischerweise der RLS-Algorithmus eine h¨

ohere

Konvergenzgeschwindigkeit als der LMS-Algorithmus und ist dar¨

uber hinaus

gegen¨

uber großen Eigenwertspreizungen bez¨

uglich der Autokorrelationsmatrix

des Referenzsignals unempfindlich [Bron93,HSZ+97]. Zur D¨

ampfung von Sig-

nalen, bei denen monofrequente Signalanteile dominieren, sind RLS-Verfahren

deshalb h¨

aufig geeigneter [SAG93].

Der RLS-Algorithmus weist die Komplexit¨

at O{L2}auf, die f¨

ur einige Real-

zeitanwendungen zu hoch sein kann. Der Einsatz diesbez¨

uglich verbesserter

Varianten mit der Komplexit¨

at O{L}[Alex86,Bron93,SG94,Saye03] ist f¨

diese Arbeit jedoch nicht erforderlich.

Wird die Varianz des Referenzsignals ˜x(n) zu klein, kann h¨

aufig ein Aufklin-

gen von P(n) beobachtet werden. Um den RLS-Algorithmus zu stabilisieren,

bietet sich beispielsweise das Hinzuf¨

ugen eines Rauschsignals zum Referenz-

signal ˜x(n) an. Eine weitere M¨

oglichkeit besteht im ¨

Uberwachen von P(n). Ist

ein Aufklingen zu beobachten, wird P(n) durch eine entsprechend gew¨

ahlte

positiv-definite Matrix ersetzt [Mosc95]

In der Literatur wird h¨

aufig die Ansicht vertreten [Bron93,KM96], dass

lediglich durch Einf¨

uhrung des Wichtungsfaktors λder RLS-Algorithmus in

die Lage versetzt wird, sich an nicht-station¨

are Bedingungen anzupassen. Das

ist jedoch nur bedingt der Fall. Es ¨

uberrascht daher nicht, dass der LMS-

Algorithmus h¨

aufig bessere Tracking-Eigenschaften aufweist [HSZ+97]. Die

Einf¨

uhrung des exponentiellen Wichtungsfaktors l¨

asst sich vielmehr durch die

5.7 ERLS-Algorithmus 93

Tatsache rechtfertigen, dass w¨

ahrend der Adaptation eine m¨

oglicherweise ge-

gen null strebende Kalman-Verst¨

arkung verhindert wird [JC92] und damit

die Tracking-Eigenschaften moderat verbessert werden.

5.7 ERLS-Algorithmus

Mit einer Formulierung im Zustandsraum gelang es Kalman, ein Filterverfah-

ren f¨

ur zeitdiskrete Signale anzugeben, das im Gegensatz zum Wiener-Filter

auch f¨

ur nicht-station¨

are Signale sowie einen endlichen Beobachtungszeitraum

geeignet ist [Kalm60]. Das Filter setzt ein Zustandsraummodell voraus, des-

sen Zustandsvektor mit Hilfe der beobachteten Eingangs- und Ausgangsgr¨

oßen

gesch¨

atzt wird. Der Zustandsvektor kann auch als Koeffizientenvektor ˆ

w(n) in-

terpretiert werden, den es optimal zu sch¨

atzen gilt. Der Sch¨

atzwert ist bei mini-

maler Varianz des Sch¨

atzfehlers erwartungstreu. Die Bestimmung des Sch¨

atz-

werts erfolgt im Gegensatz zum Wiener-Filter rekursiv [H¨

ans01].

Der RLS-Algorithmus stellt eine spezielle Form des Kalman-Filters dar.

Bei entsprechender Skalierung der Gr¨

oßen des RLS-Algorithmus korrespon-

dieren diese mit denen des Kalman-Filters. Diese formale Analogie erlaubt

es, L¨

osungsans¨

atze aus einem Bereich auf den anderen Bereich zu ¨

ubertra-

gen [Hayk02,Saye03,SK94]. Der ERLS-Algorithmus16 basiert ebenfalls auf

einer solchen Analogie zum Kalman-Filter [HSZ+97].

F¨

ur die weiteren Betrachtungen wird davon ausgegangen, dass sich das

lineare zeitvariante System, dessen Parameter zu sch¨

atzen sind, durch ein li-

neares Regressionsmodell mit dem Koeffizientenvektor

w(n) = [w0(n)w1(n). . . wL−1(n)]T(5.41)

modellieren l¨

asst, dem das Zustandsmodell

w(n+ 1) = Fw(n+ 1, n)w(n) + rw(n),(5.42a)

d(n) = uT(n)w(n) + vw(n) (5.42b)

zu Grunde liegt.17 Die ¨

Ubergangsmatrix wird durch Fw(n+1, n) und das Sys-

temrauschen durch rw(n) repr¨

asentiert, w¨

ahrend der Gr¨

oße d(n) das Mess-

rauschen vw(n)¨

uberlagert ist. Die Sch¨

atzwerte dieser Systemgr¨

oßen seien im

Weiteren durch Fˆw(n+ 1, n) und rˆw(n) sowie vˆw(n) symbolisiert.18 Bei rˆw(n)

16Extended-Recursive-Least-Squares-Algorithmus

17Eine Spezifizierung der in Gleichung (5.42) enthaltenen Gr¨

oßen in Zufallsprozesse oder

determinierte Gr¨

oßen erscheint an dieser Stelle nicht notwendig, da zwischen beiden For-

mulierungen eine strukturelle Analogie besteht [Saye03].

18Die Sch¨

atzwerte Fˆw(n+1, n) und rˆw(n) sowie vˆw(n) wurden zur Abgrenzung zwischen

den Gr¨

oßen zur Beschreibung des physikalischen Systems und den Gr¨

oßen zur Koeffizien-

tensch¨

atzung eingef¨

uhrt. Die L¨

ange Ldes zu sch¨

atzenden Koeffizientenvektors ˆ

w(n) wird

h¨

aufig gegen¨

uber der Parameteranzahl Ldes physikalischen Systems k¨

urzer gew¨

ahlt. Zu-

s¨

atzlich erfolgt oft die Approximation von Fw(n+ 1, n) durch eine Konstante.

94 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

und vˆw(n) handelt es sich um zwei unkorrelierte mittelwertfreie weiße Rausch-

prozesse, f¨

ur die

Erˆw(n)rT

ˆw(n)=ˆ

Qˆw(n) und Ev2

ˆw(n)=σ2

ˆw(n) (5.43)

sowie

Erˆw(n)vˆw(n)=0L(5.44)

gelten soll [SK95]. Das Zustandsmodell (5.42) stellt ein Markov-Modell erster

Ordnung dar [Bron93,HSZ+97]. Das Ziel ist es nun, mit Hilfe der messtech-

nisch zug¨

anglichen Gr¨

oßen ˜

x(n) und e(n) = d(n) + ˆ

wT(n)˜

x(n) unter Vorgabe

des Startvektors ˆ

w(0) den Koeffizientenvektor ˆ

w(n) so zu sch¨

atzen, dass der

Fehler

ξ(n) = [ ˆ

w(0) −¯

w]TΠ−1

ˆw[ˆ

w(0) −¯

w] +

k=1

ˆw(k)ˆ

Q−1

ˆw(k)rˆw(k) +

k=1

e2(k)

σ2

ˆw(k)

(5.45)

minimal wird, wobei σ2

ˆw(n) sowie die positiv-definiten Matrizen ˆ

Qˆw(n) und Πˆw

als bekannt vorauszusetzen sind. Durch die Vorgabe von Πˆwund ¯

wlassen

sich a priori Information zur Minimierung des Fehlers ξ(n) einbetten.19 Eine

Minimierung mit Hilfe der Theorie zum klassischen Kalman-Filter, die et-

wa [SK95] entnommen werden kann, f¨

uhrt mit den Startwerten ˆ

w(0) = ¯

und P(0) = Πˆwzun¨

achst auf die Rekursionsgleichungen

re(n) = σ2

ˆw(n) + ˜

xT(n)P(n)˜

x(n),(5.46a)

e(n) = d(n) + ˆ

wT(n)˜

x(n),(5.46b)

κ(n) = Fˆw(n+ 1, n)P(n)˜

x(n)r−1

e(n),(5.46c)

N(n) = P(n)−P(n)˜

x(n)˜

xT(n)P(n)r−1

e(n),(5.46d)

P(n+ 1) = Fˆw(n+ 1, n)N(n)FT

ˆw(n+ 1, n) + ˆ

Qˆw(n),(5.46e)

w(n+ 1) = Fˆw(n+ 1, n)ˆ

w(n)−κ(n)e(n).(5.46f)

F¨

ur das weitere Vorgehen sollen die Vereinfachungen

Fˆw(n+ 1, n) = aˆwILund ˆ

Qˆw(n) = ˆq2

ˆw(n)IL(5.47)

19Mit Π−1

ˆw=cILkann direkt Einfluss auf die Optimierung genommen werden. Vermu-

tet man vorab, dass ¯

wdem tats¨

achlichen ˆ

w(n) sehr nahe kommen wird, ist centsprechend

groß zu w¨

ahlen. Sind dagegen keine verl¨

asslichen a priori Information vorhanden, sollte c

klein oder zu c= 0 gew¨

ahlt werden. Dieser Sachverhalt l¨

asst sich unter statistischen Ge-

sichtspunkten zu

Πˆw=E[ˆ

w(0) −¯

w] [ ˆ

w(0) −¯

w]T



formulieren. F¨

ur rˆw(n) = 0 f¨

uhrt die Gleichung (5.45) zu den so genannten regularisierten

LS-Verfahren [Saye03].

5.7 ERLS-Algorithmus 95

gelten, so dass sich mit

M(n) = 1

σ2

ˆw(n)P(n) und r(n) = re(n)

σ2

ˆw(n)sowie q2

ˆw(n) = ˆq2

ˆw(n)

σ2

ˆw(n)(5.48)

die Rekursionsgleichungen des ERLS-Algorithmus zu

r(n) = 1 + ˜

xT(n)M(n)˜

x(n),(5.49a)

e(n) = d(n) + ˆ

wT(n)˜

x(n),(5.49b)

κ(n) = aˆwM(n)˜

x(n)r−1(n),(5.49c)

Qˆw(n) = q2

ˆw(n)IL,(5.49d)

M(n+ 1) = a2

ˆwM(n)−M(n)˜

x(n)˜

xT(n)M(n)r−1(n)+Qˆw(n),(5.49e)

w(n+ 1) = aˆwˆ

w(n)−κ(n)e(n) (5.49f)

formulieren lassen [Saab95,SK95]. Als Startwerte bieten sich ˆ

w(0) = 0L

und M(0) = c−1

ˆwILan. Eine Darstellung der zu implementierenden Rekur-

sionsgleichungen kann dem Anhang Czusammenfassend entnommen werden.

Der Adaptationsparameter q2

ˆw(n) ist in Abh¨

angigkeit von den am Fehler-

mikrofon str¨

omungsinduzierten Schallanteilen und den zu erwartenden ¨

Ande-

rungen der Systemparameter vorzugeben. Die Abstimmung der Adaptations-

parameter wird auch als Tuning beziehungsweise Fine-Tuning bezeichnet und

im Rahmen eines Kovarianzmanagements im n¨

achsten Kapitel bez¨

uglich einer

gleichzeitigen Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads thematisiert.

Der ERLS-Algorithmus weist ebenfalls wie der RLS-Algorithmus die Kom-

plexit¨

at O{L2}auf. In [Bron93] wurde eine schnelle Variante mit O{L}vor-

gestellt. Diese ist jedoch aufgrund der fehlenden rekursiven Sch¨

atzung der Ko-

varianzmatrix nicht dem vollst¨

andigen ERLS-Algorithmus ¨

aquivalent, so dass

nur suboptimales Verhalten vorliegt. Daher beschr¨

anken sich die folgenden Be-

trachtungen auf den vollst¨

andigen ERLS-Algorithmus in Form der Rekursions-

gleichungen (5.49). Die Reduzierung seiner Komplexit¨

at unter Beibehaltung

der guten Tracking-Eigenschaften bleibt weiteren Arbeiten vorbehalten.

Ein Vergleich der Rekursionsgleichungen (5.49) mit den Gleichungen des

RLS-Algorithmus aus Abschnitt 5.6 zeigt, dass dort zum einen mit q2

ˆw(n) = 0

kein Systemrauschen in den Rekursionsgleichungen ber¨

ucksichtigt wird und

zum anderen das Messrauschen zu σ2

ˆw(n) = 1 angesetzt worden ist. Liegt

dem zeitvarianten physikalischen System jedoch das Zustandsmodell (5.42)

zu Grunde, wird direkt ersichtlich, dass der RLS-Algorithmus mit λ= 1 von

einem Zustands¨

ubergang der Form w(n+ 1) = w(n) ausgeht. Dieser wird

zeitvariantem Verhalten nicht gerecht und begr¨

undet damit im Vergleich zum

ERLS-Algorithmus die m¨

aßigen Tracking-Eigenschaften.

Zum Einsatz des ERLS-Algorithmus in einem adaptiven ANC-System ist

obgleich seiner guten Tracking-Eigenschaften bisher wenig publiziert worden.

96 Kapitel 5 Adaptive Digitalfilter

Diesbez¨

uglich sind speziell die Arbeiten von Bronzel und Lopes et al. zu

erw¨

ahnen, die beide zus¨

atzlich die im Anhang Cdargestellte MFx-Struktur ver-

wendeten [Bron93,LP00]. W¨

ahrend Bronzel bei seinen Untersuchungen einen

zeitinvarianten Sekund¨

arpfad voraussetzte, wurde dagegen von Lopes et al.

ein ERLS-basiertes Verfahren vorgestellt, welches eine Online-Modellierung des

Sekund¨

arpfads erm¨

oglicht.

F¨

ur diese Arbeit sind ebenfalls ANC-Systeme relevant, die eine Online-

Modellierung des Sekund¨

arpfads erlauben. Dazu ist zum einen das Verbesse-

rungspotenzial bei dem Konzept von Lopes et al. mit Hilfe eines Kovari-

anzmanagements auszusch¨

opfen. Zum anderen bietet sich die Einbettung des

ERLS-Algorithmus in ein verbessertes Verfahren zur Online-Modellierung an,

das sich ebenfalls auf ein Kovarianzmanagement st¨

utzt. Die neuen Ans¨

atze sind

schließlich bez¨

uglich ihrer Leistungsf¨

ahigkeit zu untersuchen und zu bewerten.

KAPITEL 6

Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

Die im vorherigen Kapitel vorgestellten adaptiven Konzepte erlauben in einem

ANC-System die Ber¨

ucksichtigung eines zeitvarianten Prim¨

arpfads und set-

zen zus¨

atzlich voraus, dass f¨

ur den Sekund¨

arpfad eine hinreichend genaue

Sch¨

atzung seines ¨

Ubertragungsverhaltens vorliegt. Diese Sch¨

atzung muss vor-

ab (offline) erfolgen. In vielen Anwendungsf¨

allen liegt dem Sekund¨

arpfad je-

doch ebenfalls zeitvariantes Verhalten zu Grunde, so dass sein ¨

Ubertragungs-

verhalten im Betrieb des ANC-Systems zu adaptieren ist.

Einige Konzepte zur Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads basieren auf

einer blockweisen Datenauswertung der messtechnisch zug¨

anglichen Signale im

Frequenzbereich [KS05a,JYXL07]. Aufgrund der blockweisen Verarbeitung in

Kombination mit der Annahme, dass sich das ¨

Ubertragungsverhalten w¨

ahrend

der Aufnahme eines Datenblocks nicht ver¨

andert, eignen sich diese Ans¨

atze

nur f¨

ur die Adaptation langsam ver¨

anderlicher Systemparameter. Daher finden

diese im Weiteren keine Ber¨

ucksichtigung.

Andere Konzepte verwenden gem¨

aß Abbildung 6.1 das zus¨

atzliche adaptive

Filter ˆ

S(z).1Das Ausgangssignal des adaptiven Kompensationsfilters ˆ

W(z)

dient dem adaptiven Sekund¨

arfilter ˆ

S(z) als Anregungssignal zur Sch¨

atzung

des physikalischen Sekund¨

arpfads S(z). Es wird in dieser Arbeit vorausgesetzt,

dass sich ˆ

S(z) durch eine Transversalfilterstruktur mit dem Koeffizientenvektor

s(n) = [ˆs0(n) ˆs1(n). . . ˆsN−1(n)]T(6.1)

beschreiben l¨

asst, wobei ˆs(n) die zugeh¨

orige Impulsantwort kennzeichnet. For-

muliert man mit Hilfe von Abbildung 6.1 die Fehlergleichung

eˆs(n) = [ˆs(n)−s(n)] ∗y(n)−d(n),(6.2)

wird die Problematik bez¨

uglich dieser Form der Online-Modellierung deutlich.

Dem Fehler eˆs(n) ist der St¨

orterm d(n)¨

uberlagert, der eine direkte Identifi-

kation von s(n) erschwert. Dar¨

uber hinaus h¨

angt die Online-Modellierung des

Sekund¨

arpfads von den Eigenschaften des anregenden Signals y(n) ab.

1Auch wenn die aus der Literatur bekannten Verfahren meist keine MFx-Anordnung

verwendeten, soll diese im Anhang Cdargestellte Struktur zur Adaptation von ˆ

W(z) im

Folgenden dort zum Einsatz kommen, wo das m¨

oglich ist.

98 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

P(z)

S(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

ys(n)

eˆs(n)

Adaptations-

algorithmus

MFx-

Algorithmus

Abbildung 6.1: Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads [KM96]

Die robuste Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads sollte unabh¨

angig vom

Signal y(n) und demnach von der Sch¨

atzung von ˆw(n) sein. Zus¨

atzlich darf

der Algorithmus zur Sch¨

atzung von ˆs(z) nicht in den adaptiven Prozess zur

St¨

orsignald¨

ampfung eingreifen. Beide Forderungen schließen sich jedoch ge-

genseitig aus, so dass ein Kompromiss erforderlich ist. In der Literatur wurden

daher verbesserte Konzepte vorgestellt, die sich auf zwei grunds¨

atzliche Prin-

zipien reduzieren lassen. Eine Gruppe von Verfahren verwendet ein zus¨

atzlich

hinzugef¨

ugtes Rauschsignal zur Sch¨

atzung des Sekund¨

arpfads. Die anderen,

so genannten nicht-invasiven Methoden, verzichten auf ein Rauschsignal und

f¨

uhren eine Adaptation mit Hilfe von intern verf¨

ugbaren Signalen durch. Die

Ans¨

atze, die ein hinzugef¨

ugtes Rauschsignal verwenden, tragen im Folgenden

das Akronym AN2, w¨

ahrend die zweite Gruppe von Verfahren durch OM3ge-

kennzeichnet ist.

6.1 AN-Verfahren nach Eriksson et al.

Das Grundprinzip zur Online-Modellierung mit einer zus¨

atzlichen Rauschquel-

le wurde von Eriksson et al. erarbeitet und ist schematisch in Abbildung 6.2

dargestellt [EA89]. Durch das eingekoppelte mittelwertfreie weiße Rauschsig-

nal v(n), welches mit dem St¨

orsignal u(n) unkorreliert ist, soll die Online-

Modellierung des Sekund¨

arpfads ¨

uber den gesamten Frequenzbereich unab-

h¨

angig von dem eigentlichen Adaptationsprozess zur Generierung des Gegen-

schallsignals werden. Da sich der Rauschanteil s(n)∗v(n) dem zu d¨

ampfenden

2Added-Noise

3Overall-Modeling

6.2 AN-Verfahren nach Zhang et al. 99

P(z)

S(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

v(n)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

ys(n)

eˆs(n)

Adaptations-

algorithmus

Rausch-

generator

MFx-

Algorithmus

Abbildung 6.2: Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads mit Hilfe eines zus¨

atzlichen

Rauschgenerators nach Eriksson et al. [EA89]

Signal ¨

uberlagert, ist die Rauschleistung ad¨

aquat vorzugeben. Zur Sch¨

atzung

von ˆs(n) wird der Fehler

eˆs(n) = [ˆs(n)−s(n)] ∗v(n)−d(n)−s(n)∗y(n)

= [ˆs(n)−s(n)] ∗v(n)−ev(n)(6.3)

herangezogen. Die Gr¨

oße ev(n) = d(n) + s(n)∗y(n) st¨

ort die Identifikation

des Sekund¨

arpfads. Dar¨

uber hinaus kann sie die Konvergenzeigenschaften des

Verfahrens beeintr¨

achtigen und zur Divergenz f¨

uhren.

Das Rauschsignal v(n) wirkt sich ebenfalls auf die Sch¨

atzung von ˆw(n) aus,

da der Adaptationsalgorithmus das Fehlersignal

e(n) = d(n) + s(n)∗[y(n) + v(n)]

=ev(n) + s(n)∗v(n)(6.4)

verwendet, dem die Gr¨

oße s(n)∗v(n)¨

uberlagert ist. Liegt der adaptiv ge-

sch¨

atzte Koeffizientenvektor ˆ

w(n) im Bereich der optimalen L¨

osung, wird der

Einfluss von s(n)∗v(n) auf den Fehler e(n) besonders pr¨

agnant [ZLS01]. Die

Beeinflussung l¨

asst sich durch eine Pegelabsenkung von v(n) verringern. Je-

doch reduziert eine kleine Signalleistung die Konvergenzgeschwindigkeit, so

dass ein Kompromiss bei der Abstimmung zu finden ist.

6.2 AN-Verfahren nach Zhang et al.

F¨

ur das Konzept von Eriksson et al. wurden zahlreiche Verbesserungen vor-

gestellt. Diese setzen etwa bei der Kompensation des Fehlerterms ev(n) in der

100 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

P(z)

S(z)

P(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

v(n)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

yˆp(n)

ys(n)

eˆs(n)

eˆw(n)

eˆp(n)

Adaptations-

algorithmus

Adaptations-

algorithmus

MFx-

Algorithmus

Rausch-

generator

Abbildung 6.3: Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads nach Zhang et al. [ZLS01]

Gleichung (6.3) f¨

ur eˆs(n) an. Dazu wird der Einsatz eines dritten adaptiven

Filters ˆ

P(z) notwendig, welches im Weiteren als Prim¨

arfilter bezeichnet wird.

F¨

ur das Prim¨

arfilter ˆ

P(z) mit der dazugeh¨

origen Impulsantwort ˆp(n) soll eine

Transversalfilterstruktur mit den Filterkoeffizienten

p(n) = [ˆp0(n) ˆp1(n). . . ˆpM−1(n)]T(6.5)

zum Einsatz kommen. W¨

ahrend sich das von Kuo et al. erarbeitete Verfah-

ren nur f¨

ur schmalbandige Signale eignet [KV97], empfiehlt sich der Ansatz von

Bao et al. auch f¨

ur breitbandige Signale [BSB93b]. Beide Konzepte widme-

ten sich jedoch nicht der Problematik bez¨

uglich des Terms s(n)∗v(n) in der

Fehlergleichung zur Sch¨

atzung von ˆw(n). Daf¨

ur bietet sich das Verfahren von

Zhang et al. an, das exemplarisch in Abbildung 6.3 dargestellt ist [ZLS01].

Die Bestimmung von ˆp(n) basiert mit s(n)≈ˆs(n) auf der Fehlergleichung

eˆp(n) = ˆp(n)∗x(n)−d(n)−s(n)∗y(n)

= ˆp(n)∗x(n)−ev(n).(6.6)

Bei Konvergenz gilt ev(n)≈ˆp(n)∗x(n) und die Fehlergleichung zur Online-

Modellierung des Sekund¨

arpfads kann zu

eˆs(n) = [ˆs(n)−s(n)] ∗v(n)−ev(n) + ˆp(n)∗x(n)

≈[ˆs(n)−s(n)] ∗v(n)(6.7)

6.3 OM-Verfahren nach Eriksson 101

formuliert werden. Durch die Verwendung des modifizierten Fehlers eˆw(n) re-

duziert sich f¨

ur den optimalen Fall ˆs(n)≈s(n) ebenfalls der Einfluss des

Rauschsignals v(n) auf die Sch¨

atzung von ˆw(n), da mit ˆs(n)≈s(n)

eˆw(n) = e(n)−ˆs(n)∗v(n)

≈d(n) + s(n)∗y(n)(6.8)

gilt. Verbesserte Strategien zur Pegelanpassung von v(n) sind [LZS02,ZLS03]

zu entnehmen. W¨

ahrend die publizierten Untersuchungen zu den AN-Verfahren

meistens auf einer LMS-Kostenfunktion basieren, wobei eine diesbez¨

ugliche

statistische Analyse sowie eine simulationstechnische Untersuchung der so-

eben vorgestellten Verfahren etwa [ZLS05] zu entnehmen sind, lassen sich auch

die weiteren im vorherigen Kapitel erl¨

auterten Algorithmen zur Bestimmung

von ˆ

w(n), ˆ

s(n) und ˆ

p(n) verwenden. F¨

ur andere AN-Konzepte sei abschließend

auf [ZLS00,AAK05,AAK06] verwiesen.

K¨

onnen die Filterkoeffizienten nicht mit der ben¨

otigten Genauigkeit iden-

tifiziert werden, divergieren die AN-Verfahren h¨

aufig unmittelbar. Zur Stabili-

sierung bietet sich die Beschr¨

ankung der Norm von kˆ

w(n)k,kˆ

s(n)kund kˆ

p(n)k

an [ZLS03]. Begr¨

undet dadurch, dass sich die Sch¨

atzungen von ˆ

w(n) und ˆ

s(n)

gegenseitig beeinflussen, weisen AN-basierte Ans¨

atze trotz der zahlreich publi-

zierten Verbesserungen weiterhin inh¨

arent schlechte Tracking-Eigenschaften

auf [ZLS03]. Das best¨

atigten ebenfalls eigene Beobachtungen bez¨

uglich der

simulationstechnisch untersuchten D¨

ampfung in einem R¨

ohrensystem. Daher

wurde der Einsatz von AN-Konzepten in dieser Arbeit nicht favorisiert. Unter

dem Tracking-Aspekt sind die OM-Verfahren als leistungsf¨

ahiger einzustufen.

6.3 OM-Verfahren nach Eriksson

Ahnlich wie die AN-Verfahren kompensieren die OM-basierten Ans¨

atze uner-

w¨

unschte Terme in der Fehlergleichung. Daf¨

ur kommt, wie in Abbildung 6.4

dargestellt, neben ˆ

S(z) das zus¨

atzliche adaptive Prim¨

arfilter ˆ

P(z) zum Einsatz.

Zur Sch¨

atzung von ˆp(n) und ˆs(n) wird bei den OM-Verfahren mit hx(n) = δ(n)

und dem daraus resultierenden Zusammenhang x(n) = u(n) der Fehler

eˆp,ˆs(n) = ˆs(n)∗y(n) + ˆp(n)∗x(n)−e(n)

= [ˆs(n)−s(n)] ∗y(n) + [ˆp(n)−p(n)] ∗x(n)(6.9)

zu Grunde gelegt, w¨

ahrend p(n) die Impulsantwort des Prim¨

arpfads P(z) be-

zeichnet.4Mit der Notation

c(n) = [ ˆ

pT(n)ˆ

sT(n)]T(6.10)

4Wie im Abschnitt 5.2 erw¨

ahnt, erscheint bei ad¨

aquater Auswahl des Referenzsensors

die Absch¨

atzung x(n)≈kxu(n) erlaubt. Der Proportionalit¨

atsfaktor kxl¨

asst sich zum

einen durch eine Skalierung entsprechender Signale im ANC-System ber¨

ucksichtigen oder

zum anderen direkt durch den Koeffizientenvektor ˆ

p(n) beziehungsweise ˆ

w(n) adaptieren.

102 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

P(z)

S(z)

P(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

yˆp(n)

ys(n)

eˆp,ˆs(n)

Adaptations-

algorithmus

MFx-

Algorithmus

Abbildung 6.4: Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads nach Eriksson [Erik91]

und den Signalvektoren

xˆp(n) = [x(n)x(n−1) . . . x(n−M+ 1)]T,(6.11a)

yˆs(n) = [y(n)y(n−1) . . . y(n−N+ 1)]T(6.11b)

l¨

asst sich die Fehlergr¨

oße mit den zusammengesetzten Signalvektoren

z(n) = [xT

ˆp(n)yT

ˆs(n)]T(6.12)

auch als

eˆp,ˆs(n) = ˆ

cT(n)ˆ

z(n)−e(n) (6.13)

formulieren. Die Algorithmen berechnen also unter anderem mit den Eingangs-

gr¨

oßen ˆ

z(n) und eˆp,ˆs(n) den neuen Koeffizientenvektor ˆ

c(n+ 1), so dass die

im Anhang Callgemein formulierte Darstellung der Adaptationsalgorithmen

zum Einsatz kommen kann.

Im Gegensatz zu den AN-Verfahren werden die Unbekannten ˆp(n) und ˆs(n)

auf der Grundlage von nur einer Fehlergleichung gesch¨

atzt und die Bestimmung

von ˆs(n) ist von der spektralen Zusammensetzung von y(n) abh¨

angig. F¨

ur eine

eindeutige Bestimmung der Koeffizientenvektoren ˆ

p(n) und ˆ

s(n) stehen damit

nicht genug Informationen bereit. Die Arbeiten von Saito et al. besch¨

aftig-

ten sich deshalb mit der allgemeinen Frage, unter welchen Pr¨

amissen dennoch

eine eindeutige Identifikation von ˆp(n) und ˆs(n) bei ad¨

aquater Anregung er-

folgen kann [SSIA95,SSIA96]. Eine Identifikation ist m¨

oglich, wenn die L¨

ange

6.4 OM-Verfahren nach Lopes et al. 103

der Filterimpulsantwort ˆw(n) die L¨

ange der Impulsantwort p(n) des Prim¨

ar-

pfads ¨

ubersteigt, wobei f¨

ur den Abschnitt, in dem ˆw(n) die l¨

angere Sequenz

aufweist, mindestens ein Koeffizient ungleich null vorgegeben werden muss. Da

in der Praxis die L¨

ange der Filterimpulsantwort ˆw(n) h¨

aufig k¨

urzer als p(n)

gew¨

ahlt wird, ist eine eindeutige Identifikation gem¨

aß den Ergebnissen von

Saito et al. nicht sichergestellt, so dass die AN-Verfahren h¨

aufig den Vorzug

bekommen [BSB93a,ZLS05].

Die eindeutige Identifikation des zeitvarianten Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfads

durch ˆp(n) und ˆs(n) erscheint in einem ANC-System nicht erforderlich. Viel-

mehr werden f¨

ur die beiden zus¨

atzlich ben¨

otigten adaptiven Filter in Form

von ˆ

p(n) und ˆ

s(n) Sch¨

atzwerte gesucht, die insgesamt zu einer hohen St¨

orsig-

nald¨

ampfung f¨

uhren. Von besonderem Interesse sind im Folgenden die ERLS-

basierten Verfahren. Die Einbettung der ERLS-Verfahren in den Kontext einer

gleichzeitigen Ber¨

ucksichtigung eines zeitvarianten Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfads

wurde von Lopes et al. erarbeitet [LP00].

6.4 OM-Verfahren nach Lopes et al.

Die Sch¨

atzung des Koeffizientenvektors ˆ

w(n) mit dem ERLS-Algorithmus ba-

siert beim Verfahren von Lopes et al. auf dem Blockschaltbild in Abbil-

dung 6.4 und dem Zustandsmodell (5.42) beziehungsweise den Rekursions-

gleichungen (5.49).5Der physikalische Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfad sollen durch

ein lineares Regressionsmodell mit den Koeffizientenvektoren

p(n) = [p0(n)p1(n). . . pM−1(n)]T,(6.14a)

s(n) = [s0(n)s1(n). . . sN −1(n)]T(6.14b)

beschrieben werden. Dann l¨

asst sich mit den Signalvektoren

up(n) = [u(n)u(n−1) . . . u(n−M+ 1)]T,(6.15a)

ys(n) = [y(n)y(n−1) . . . y(n−N + 1)]T(6.15b)

sowie mit den Notationen

c(n) = [pT(n)sT(n)]Tund z(n) = [uT

p(n)yT

s(n)]T(6.16)

in Analogie zum Abschnitt 5.7 die Zustandsbeschreibung

c(n+ 1) = Fp,s(n+ 1, n)c(n) + rp,s(n),(6.17a)

e(n) = zT(n)c(n) + vp,s(n) (6.17b)

5Im Kontext einer Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads empfiehlt sich f¨

ur den Koef-

fizientenvektor jedoch die Initialisierung ˆ

w(0) = [1,0T

L−1]T

104 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

angeben. Im Folgenden werden diese Systemgr¨

oßen durch die Sch¨

atzwerte ˆ

c(n),

Fˆp,ˆs(n+ 1, n), rˆp,ˆs(n) und vˆp,ˆs(n) repr¨

asentiert. F¨

ur die als mittelwertfrei und

unkorreliert angenommenen weißen Rauschprozesse gelte

Erˆp,ˆs(n)rT

ˆp,ˆs(n)=ˆ

Qˆp,ˆs(n) und Ev2

ˆp,ˆs(n)=σ2

ˆp,ˆs(n).(6.18)

Zur weiteren Vereinfachung kommen die Ausdr¨

ucke

Fˆp,ˆs(n+ 1, n) = aˆp,ˆsIM+Nund ˆ

Qˆp,ˆs(n) = ˆq2

ˆp,ˆs(n)IM+N(6.19)

zum Einsatz. Mit einer Skalierung der Kovarianzmatrix der Form

Qˆp,ˆs(n) = 1

σ2

ˆp,ˆs(n)ˆ

Qˆp,ˆs(n) = q2

ˆp,ˆs(n)IM+N(6.20)

lassen sich mit ˆ

c(0) = 0M+Nund R(0) = c−1

ˆp,ˆsIM+Ndie Rekursionsgleichungen

zur Sch¨

atzung des Koeffizientenvektors zu

r(n) = 1 + ˆ

zT(n)R(n)ˆ

z(n),(6.21a)

eˆp,ˆs(n) = ˆ

cT(n)ˆ

z(n)−e(n),(6.21b)

κˆp,ˆs(n) = aˆp,ˆsR(n)ˆ

z(n)r−1(n),(6.21c)

Qˆp,ˆs(n) = q2

ˆp,ˆs(n)IM+N,(6.21d)

R(n+ 1) = a2

ˆp,ˆsR(n)−R(n)ˆ

z(n)ˆ

zT(n)R(n)r−1(n)+Qˆp,ˆs(n),(6.21e)

c(n+ 1) = aˆp,ˆsˆ

c(n)−κˆp,ˆs(n)eˆp,ˆs(n) (6.21f)

formulieren. Zur Erzeugung eines zeitvarianten Systems f¨

ur die simulations-

technische Untersuchung wurde von Lopes et al. das Zustandsmodell (6.17)

auf der Grundlage von Gauss-Markov-Prozessen verwendet, so dass die von

ihnen verwendete Definition von Qˆp,ˆs(n) = q2

ˆp,ˆs(n)IM+Nbei entsprechender

Vorgabe der statistischen Prozesse gerechtfertigt ist.

Liegt jedoch anstelle der Gauß-Markov-Prozesse ein physikalisch moti-

viertes Modell zu Grunde, erscheint das von Lopes et al. verwendete Zu-

standsmodell nur eingeschr¨

ankt geeignet. Vielmehr ist Qˆp,ˆs(n) anders zu spe-

zifizieren. Oder pr¨

aziser ausgedr¨

uckt, die ¨

Anderungen der adaptiv zu bestim-

menden Koeffizienten um den optimalen Wert sind entsprechend durch das

Systemrauschen im Rahmen eines Kovarianzmanagements zu ber¨

ucksichtigen.

Diese Bem¨

uhungen f¨

uhren schließlich zu einem verbesserten und praxistaug-

licheren OM-Verfahren, welches im Abschnitt 6.6 vorgestellt wird, w¨

ahrend

zun¨

achst der folgende Abschnitt auf der Basis einer verbesserten Filteranord-

nung eine weitere OM-Struktur thematisiert.

6.5 OM-Verfahren nach Kohno et al. 105

replacemen

P(z)

S(z)

P(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

yˆp(n)

ys(n)

yˆw(n)

eˆp,ˆs(n)

eˆw(n)

xˆs(n)

Adaptations-

algorithmus

Adaptations-

algorithmus

Adaptations-

algorithmus

Abbildung 6.5: Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads nach Kohno et al. [KS05b]

6.5 OM-Verfahren nach Kohno et al.

Von Kohno et al. wurde ein Konzept zur aktiven Schalld¨

ampfung vorge-

stellt [KS05b], welches zur Gruppe der OM-Verfahren z¨

ahlt [OKOS02,SO03].

Wie in Abbildung 6.5 dargestellt, kommen ebenfalls drei adaptive Filter zum

Einsatz. Durch die spezielle Anordnung der Filter er¨

ubrigt sich jedoch die Ver-

wendung einer MFx-Struktur zur Bestimmung der Koeffizienten ˆ

w(n). Gem¨

aß

Abbildung C.1 im Anhang Csind in einer MFx-Struktur insgesamt drei Fal-

tungsoperationen bez¨

uglich der Koeffizienten ˆ

w(n) und ˆ

s(n) erforderlich. Beim

Konzept von Kohno et al. sind es dagegen nur zwei.

W¨

ahrend der Fehler zur Sch¨

atzung von ˆ

p(n) und ˆ

s(n) mit eˆp,ˆs(n) in

Gleichung (6.9) identisch ist, findet f¨

ur den zu sch¨

atzenden Koeffizientenvek-

tor ˆ

w(n) die Gr¨

oße

eˆw(n) = ˆp(n)∗x(n) + ˆw(n)∗xˆs(n)

= [ˆp(n) + ˆw(n)∗ˆs(n)] ∗x(n)(6.22)

106 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

Verwendung. Die Minimierung der Fehlerquadrate e2

ˆw(n) und e2

ˆp,ˆs(n) erfolg-

te mit Hilfe des NLMS-Algorithmus. Den Ausf¨

uhrungen von Kohno et al.

folgend, lassen sich daher mit

ǫˆp,ˆs(n) = eˆp,ˆs(n)

1 + µˆpkxˆp(n)k2+µˆskyˆs(n)k2,(6.23a)

ǫˆw(n) = eˆw(n)

1 + µˆwkxˆw(n)k2(6.23b)

die Rekursionsgleichungen zu

p(n+ 1) = ˆ

p(n)−µˆpxˆp(n)ǫˆp,ˆs(n),(6.24a)

s(n+ 1) = ˆ

s(n)−µˆsyˆs(n)ǫˆp,ˆs(n),(6.24b)

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−µˆwxˆw(n)ǫˆw(n) (6.24c)

formulieren. Die Signalvektoren setzen sich aus den Gleichungen (6.11) und

xˆw(n) = [xˆs(n)xˆs(n−1) . . . xˆs(n−L+ 1)]T(6.25)

zusammen. Die Erweiterung des Verfahrens von Kohno et al. zur Einbettung

von ERLS-basierten Algorithmen wird im n¨

achsten Abschnitt im Kontext eines

verbesserten OM-Verfahrens vorgestellt.

6.6 Verbessertes OM-Verfahren

In die von Kohno et al. vorgestellte OM-Struktur wurde in dieser Arbeit der

ERLS-Algorithmus eingebettet. Man erh¨

alt die strukturelle Anordnung in Ab-

bildung 6.6. W¨

ahrend die Rekursionsgleichungen (6.21) von Lopes et al. zur

Bestimmung von ˆ

p(n) und ˆ

s(n) g¨

ultig sind, basiert dagegen die Bestimmung

von ˆ

w(n) auf den Rekursionsgleichungen

r(n) = 1 + xT

ˆw(n)M(n)xˆw(n),(6.26a)

eˆw(n) = ˆ

pT(n)xˆp(n) + ˆ

wT(n)xˆw(n),(6.26b)

κ(n) = aˆwM(n)xˆw(n)r−1(n),(6.26c)

M(n+ 1) = a2

ˆwM(n)−M(n)xˆw(n)xT

ˆw(n)M(n)r−1(n)+Qˆw(n),(6.26d)

w(n+ 1) = aˆwˆ

w(n)−κ(n)eˆw(n),(6.26e)

wobei Qˆw(n) zun¨

achst nicht genauer spezifiziert sei. Als Startwerte bieten

sich ˆ

w(0) = [1,0T

L−1]Tund M(0) = c−1

ˆwILan.

Bei dem von Lopes et al. erarbeiteten Konzept sowie bei der soeben vor-

gestellten verbesserten ERLS-basierten OM-Struktur stellt sich die Frage, wie

f¨

ur ein physikalisches System die Matrizen Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n) vorzugeben

sind. F¨

ur die Beantwortung dieser Frage wurde ein Kovarianzmanagement er-

arbeitet, welches eine vereinfachte Abstimmung der Adaptationsparameter er-

laubt.

6.7 MCERLS-Algorithmus 107

replacemen

P(z)

S(z)

P(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

yˆs(n)

yˆp(n)

ys(n)

yˆw(n)

eˆp,ˆs(n)

eˆw(n)

xˆs(n)

ERLS-

Algorithmus

ERLS-

Algorithmus

Abbildung 6.6: Verbessertes OM-Verfahren auf der Grundlage des ERLS-Algorithmus

und der OM-Struktur von Kohno et al.

6.7 MCERLS-Algorithmus

Wie im Abschnitt 5.7 angedeutet, kann beim ERLS-Algorithmus durch Mo-

difikation der Kovarianzmatrizen in Form von Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n) direkt auf

das Tracking-Verhalten und folglich auf die resultierende St¨

orsignald¨

ampfung

Einfluss genommen werden. Dazu sollten das Messrauschen und die Parame-

tervariationen in Form des Systemrauschens a priori bekannt sein. Bei einem

physikalischen System liegen jedoch erfahrungsgem¨

aß vorab nur unzureichende

Informationen diesbez¨

uglich vor.

Das Systemrauschen wurde bei der Herleitung des ERLS-Algorithmus im

Kontext eines Markov-Modells vereinfacht durch weiße Gauss-Prozesse mo-

delliert. Diese Annahme l¨

asst sich in der Praxis h¨

aufig nicht aufrecht erhalten.

Das Systemrauschen kennzeichnet meist unbekannte Effekte, die sprunghaftem

beziehungsweise nicht-station¨

arem Verhalten oder weißen Rauschprozessen ¨

ah-

neln und ebenfalls durch Ungenauigkeiten im Modell begr¨

undet sein k¨

onnen.

Weisen solche Effekte zuf¨

alligen Charakter auf, lassen sie sich vereinfachend

durch farbiges Rauschen beschreiben und mit Hilfe einer entsprechenden ¨

Uber-

108 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

gangsmatrix ber¨

ucksichtigen. Zur Reduzierung des Aufwands geht man jedoch

trotzdem h¨

aufig von weißem Systemrauschen aus und gibt die Diagonalele-

mente von Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n) ungleich null vor [FPW92].

Im Betrieb eines ANC-Systems kann es dar¨

uber hinaus erforderlich wer-

den, die Gr¨

oßen Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n) an die ver¨

anderlichen physikalischen Ge-

gebenheiten anzupassen. Auf der Grundlage von adaptiven Kalman-Filtern

existieren losgel¨

ost vom Kontext eines ANC-Systems im Rahmen einer Sys-

temerkennung allgemeine Ans¨

atze, die es beispielsweise erlauben, die Kovari-

anzmatrix des Systemrauschens ˆ

Qˆw(n) [BO89] oder den bez¨

uglich des Mess-

rauschens skalierten Faktor q2

ˆw(n) zu sch¨

atzen [HL05]. Jedoch sind bisher keine

Ans¨

atze bekannt, die in einem ANC-System mit einer Online-Modellierung des

Sekund¨

arpfads eine gleichzeitige Sch¨

atzung von Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n) erlauben.

Von einem anderen Standpunkt aus betrachtet, steht genau genommen

auch nicht eine korrekte Sch¨

atzung des System- oder Messrauschens im Mit-

telpunkt, sondern vielmehr die Antwort auf die Frage, wie Qˆp,ˆs(n) und Qˆw(n)

vorzugeben sind, damit eine hohe St¨

orsignald¨

ampfung erzielt wird. Fundiert

auf dieser Anforderung wurde daher ein verbessertes Kovarianzmanagement

erarbeitet, welches sich direkt in bestehende OM-Verfahren einbetten l¨

asst,

die auf dem ERLS-Verfahren basieren. Aufgrund der gezielten Modifikation

der Kovarianzmatrizen durch das Kovarianzmanagement kann man auch vom

MCERLS-Algorithmus6sprechen.

6.7.1 Kovarianzmanagement

Ausgangspunkt f¨

ur die folgenden Betrachtungen ist das Zustandsmodell

"p(n+ 1)

s(n+ 1)#=Fp,s(n+ 1, n)"p(n)

s(n)#+"rp(n)

rs(n)#,(6.27a)

e(n) = uT

p(n)p(n) + yT

s(n)s(n) + vp,s(n),(6.27b)

welches gegen¨

uber dem Ansatz von Lopes et al. bez¨

uglich des Systemrau-

schens mit rp,s(n) = [rT

p(n)rT

s(n)]Tmodifiziert worden ist. Die Bestimmung

von ˆ

p(n) und ˆ

s(n) soll dagegen auf den Sch¨

atzwerten Fˆp,ˆs(n+1, n) = aˆp,ˆsIM+N

und rˆp,ˆs(n) = [rT

ˆp(n)rT

ˆs(n)]Tsowie vˆp,ˆs(n) basieren. Somit liegt der Sch¨

atzung

das Zustandsmodell

"ˆ

p(n+ 1)

s(n+ 1)#=aˆp,ˆs"ˆ

p(n)

s(n)#+"rˆp(n)

rˆs(n)#,(6.28a)

e(n) = xT

ˆp(n)ˆ

p(n) + yT

ˆs(n)ˆ

s(n) + vˆp,ˆs(n) (6.28b)

zu Grunde. Zun¨

achst wird das Kovarianzmanagement bez¨

uglich der Online-

Modellierung des Sekund¨

arpfads vorgestellt und schließlich das Ergebnis auf

die adaptive Bestimmung von ˆ

w(n)¨

ubertragen.

6Modified-Covariance-Extended-Recursive-Least-Squares-Algorithmus

6.7 MCERLS-Algorithmus 109

Die Matrix Qˆp,ˆs(n) enth¨

alt die Kovarianzen von rˆp(n) und rˆs(n), die gem¨

aß

Abschnitt 6.4 entsprechend dem als mittelwertfrei angenommenen Messrau-

schen vˆp,ˆsmit der Varianz σ2

ˆp,ˆs(n) = E{v2

ˆp,ˆs(n)}skaliert sind. Das Kovarianz-

management setzt daher bei der Sch¨

atzung von rˆp(n) und rˆs(n) an. Nach dem

Zustandsmodell (6.28) lassen sich diese Gr¨

oßen als Schwankung oder Streuung

der gesch¨

atzten Koeffizienten ˆ

p(n) und ˆ

s(n) um die entsprechenden Mittel-

werte ¯

p(n) und ¯

s(n) interpretieren. Zur Charakterisierung dieser Parameter-

variationen soll im Weiteren mit

Qˆp(n) = diagqˆp(n)und Qˆs(n) = diagqˆs(n)(6.29)

und den Diagonalelementen

qˆp(n) = [q2

ˆp,0(n)q2

ˆp,1(n). . . q2

ˆp,M−1(n)]T,(6.30a)

qˆs(n) = [q2

ˆs,0(n)q2

ˆs,1(n). . . q2

ˆs,N−1(n)]T(6.30b)

eine Diagonalmatrix der Gestalt

Qˆp,ˆs(n) = ε"Qˆp(n)0

0Qˆs(n)#(6.31)

Verwendung finden. Um den unterschiedlichen Parametervariationen des phy-

sikalischen Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfads gerecht zu werden, erfolgt somit ge-

gen¨

uber dem Ansatz von Lopes et al. eine Aufteilung der Matrix Qˆp,ˆs(n).

Durch den Adaptationsparameter ε, der auch als Tuning-Parameter bezeich-

net wird, l¨

asst sich unter anderem der Einfluss des Messrauschens skalierend

ber¨

ucksichtigen. F¨

ur die Matrix Qˆp,ˆs(n) kann mit

[ˆc0(n) ˆc1(n)... ˆcM+N−1(n)]T=ˆ

c(n) = [ ˆ

pT(n)ˆ

sT(n)]T,(6.32a)

[¯c0(n) ¯c1(n)... ¯cM+N−1(n)]T=¯

c(n) = [ ¯

pT(n)¯

sT(n)]T(6.32b)

sowie

[˜c0(n) ˜c1(n)... ˜cM+N−1(n)]T=ˆ

c(n)−¯

c(n)(6.33)

eine Absch¨

atzung der Diagonalelemente

qˆc(n) = [qT

ˆp(n)qT

ˆs(n)]T(6.34)

durch

Qˆp,ˆs(n) = εdiagqˆc(n)

=εdiagE[˜c2

0(n) ˜c2

1(n). . . ˜c2

M+N−1(n)] (6.35)

erfolgen.

110 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

Legt man f¨

ur die beteiligten Gr¨

oßen Ergodizit¨

at zu Grunde, entspricht

der Scharmittelwert dem Zeitmittelwert, so dass sich die f¨

ur eine Berechnung

von qˆc(n) ben¨

otigten Statistiken durch eine zeitliche Mittelwertbildung ¨

uber

einen Datenblock der L¨

ange Kabsch¨

atzen lassen. F¨

ur eine praktikable Im-

plementierung bietet sich jedoch eine rekursive Sch¨

atzung von qˆc(n) an. Mit

den Herleitungen zur rekursiven Sch¨

atzung statistischer Gr¨

oßen im Anhang D

ergeben sich mit der Fensterl¨

ange W > 1 die Rekursionsgleichungen mit den

Definitionen (6.32) zu

c(n) = [[ˆc0(n)−¯c0(n−1)]2... [ˆcM+N−1(n)−¯cM+N−1(n−1)]2]T

,(6.36a)

qˆc(n) = 1−1

Wqˆc(n−1) + 1

W˜

c(n),(6.36b)

c(n) = 1−1

W¯

c(n−1) + 1

Wˆ

c(n).(6.36c)

Die Betrachtungen bez¨

uglich ˆ

c(n) k¨

onnen auch f¨

ur die Bestimmung des

Koeffizientenvektors ˆ

w(n) erfolgen, jedoch mit dem Unterschied, dass dort

keine Aufspaltung der Kovarianzmatrix erforderlich ist. Die Kovarianzmatrix

des Koeffizientenvektors soll mit den Diagonalelementen

qˆw(n) = [q2

ˆw,0(n)q2

ˆw,1(n). . . q2

ˆw,L−1(n)]T(6.37)

und

[ ˜w0(n) ˜w1(n). . . ˜wL−1(n)]T=ˆ

w(n)−¯

w(n)(6.38)

Qˆw(n) = εdiagqˆw(n)

=εdiagE[ ˜w2

0(n) ˜w2

1(n). . . ˜w2

L−1(n)] (6.39)

abgesch¨

atzt werden. Setzt man Ergodizit¨

at voraus, gelten f¨

ur eine rekursive

Bestimmung von qˆw(n) mit

[ ˆw0(n) ˆw1(n). . . ˆwL−1(n)]T=ˆ

w(n),(6.40a)

[ ¯w0(n) ¯w1(n). . . ¯wL−1(n)]T=¯

w(n) (6.40b)

die Rekursionsgleichungen

w(n) = [[ ˆw0(n)−¯w0(n−1)]2... [ ˆwL−1(n)−¯wL−1(n−1)]2]T,(6.41a)

qˆw(n) = 1−1

Wqˆw(n−1) + 1

W˜

w(n),(6.41b)

w(n) = 1−1

W¯

w(n−1) + 1

Wˆ

w(n).(6.41c)

Diese Variante des Kovarianzmanagements wird im weiteren Verlauf durch

das Akronym KM bezeichnet. F¨

ur eine praktische Implementierung l¨

asst sich

der vorgestellte Ansatz vereinfachen.

6.7 MCERLS-Algorithmus 111

6.7.2 Vereinfachtes Kovarianzmanagement

Das vereinfachte Kovarianzmanagement basiert auf drei skalaren Gr¨

oßen, die

zur Skalierung der Matrizen gem¨

aß

Qˆp,ˆs(n) = ε"q2

ˆp(n)IM0

0q2

ˆs(n)IN#und Qˆw(n) = ε q2

ˆw(n)IL(6.42)

eingebettet sind. Die Sch¨

atzung von q2

ˆp(n), q2

ˆs(n) und q2

ˆw(n) kann auf der

Grundlage der dazugeh¨

origen Vektornormen erfolgen. Diesbez¨

uglich lassen sich

die Beziehungen zu







ˆp(n)

ˆs(n)

ˆw(n)





=





E[kˆ

p(n)kk−¯p(n)]2

E[kˆ

s(n)kk−¯s(n)]2

E[kˆ

w(n)kk−¯w(n)]2





(6.43)

definieren.7

Legt man eine rekursive Bestimmung der ergodischen Gr¨

oßen zu Grunde,

ergeben sich den Ausf¨

uhrungen im Anhang Dfolgend die gesuchten Sch¨

atz-

werte aus den Rekursionsgleichungen







ˆp(n)

ˆs(n)

ˆw(n)





=1−1

W









ˆp(n−1)

ˆs(n−1)

ˆw(n−1)





+1

W





[kˆ

p(n)kk−¯p(n−1)]2

[kˆ

s(n)kk−¯s(n−1)]2

[kˆ

w(n)kk−¯w(n−1)]2







,(6.44a)







¯p(n)

¯s(n)

¯w(n)





=1−1

W





¯p(n−1)

¯s(n−1)

¯w(n−1)





+1

W





kˆ

p(n)kk

kˆ

s(n)kk

kˆ

w(n)kk





.(6.44b)

Diese Variante des Kovarianzmanagements wird im weiteren Verlauf durch

das Akronym KM-k·kkgekennzeichnet.

6.7.3 Anmerkungen

Mit Hilfe der erarbeiteten Ans¨

atze zum Kovarianzmanagement vereinfacht sich

die Abstimmung des ANC-Systems drastisch. W¨

ahrend f¨

ur die Koeffizienten-

sch¨

atzung sonst im einfachsten Fall mit qˆp(n), qˆs(n) und qˆw(n) drei Para-

meter vorzugeben w¨

aren, ist mit den neuen Ans¨

atzen nur die Vorgabe eines

7Die k-Norm eines Vektors xmit den Elementen xiund der L¨

ange Nberechnet sich zu

kxkk="N

i=1

|xi|k#1/k

112 Kapitel 6 Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

einzigen Parameters in Form von εerforderlich.8Dieser Parameter ist gem¨

aß

der Anwendung in Abh¨

angigkeit von der Statistik der St¨

orsignale und dem

str¨

omungsinduzierten Rauschen so vorzugeben, dass f¨

ur eine große Schar von

St¨

orsignalen eine hohe mittlere St¨

orsignald¨

ampfung erzielt wird.

8F¨

ur die rekursive Sch¨

atzung sind die Fensterl¨

angen ebenfalls geeignet vorzugeben. Je-

doch ist die Wahl dieser Parameter weitaus unkritischer. In dieser Arbeit hat sich bei-

spielsweise W= 1000 bew¨

ahrt. Es w¨

are ebenfalls m¨

oglich, f¨

ur jedes adaptive Filter unter-

schiedliche Fensterl¨

angen zu definieren.

KAPITEL 7

Simulationstechnische Untersuchungen

Bevor ein Algorithmus auf einem Signalprozessor unter Realzeitbedingungen

in einem ANC-System eingesetzt und erprobt werden kann, sollte der Algorith-

mus realit¨

atsnah simulationstechnisch evaluiert worden sein. Die f¨

ur eine Eva-

luation erforderliche Untersuchung des Konvergenz- oder Tracking-Verhaltens

basiert h¨

aufig, wie im Abschnitt 5.1 erw¨

ahnt, auf einem Markov-Modell erster

Ordnung. Dieses st¨

utzt sich zur Modellierung des zu adaptierenden zeitvari-

anten Systems meist auf weiße Gauß-Prozesse und messtechnisch ermittelte

Ubertragungsfunktionen [Bron93,LP00,Saye03].

Die Verwendung eines Markov-Modells ist zur Untersuchung und Bewer-

tung der Algorithmen sowie wegen der einfachen Implementierung legitim.

Jedoch werden die Parameter¨

anderungen eines physikalischen Systems keinen

weißen Rauschprozessen entsprechen, so dass ein solches Modell begr¨

undet

durch die von physikalischen Gesichtspunkten losgel¨

oste Vorgabe der Para-

meter¨

anderungen nur eingeschr¨

ankte R¨

uckschl¨

usse auf das Verhalten erlaubt,

wenn ein konkretes zeitvariantes physikalisches System zu Grunde liegt. Da-

her wird in dieser Arbeit f¨

ur die simulationstechnischen Untersuchungen direkt

der praktische Bezug zu einem aktiven Schalld¨

ampfer hergestellt, der sich als

Endschalld¨

ampfer im Abgasstrang eines PKWs befinden soll. Die Einbettung

der Modelle und Algorithmen in diesen Kontext erm¨

oglicht zus¨

atzlich eine

praxisnahe Bewertung des Tracking-Verhaltens.

7.1 Aktiver Abgasschalld¨

ampfer

Das durch ver¨

anderliche Str¨

omungsgeschwindigkeiten und Temperaturen der

Abgase bedingte zeitvariante ¨

Ubertragungsverhalten der Strecken ist fortlau-

fend zu adaptieren, so dass die Tracking-Eigenschaften der Algorithmen das

Ergebnis der St¨

orsignald¨

ampfung maßgeblich bestimmen.

Eine direkte Einbettung und Untersuchung der Algorithmen in einem ANC-

System eines realen aktiven Schalld¨

ampfers ist aufgrund des erforderlichen

Motoren- oder Fahrleistungspr¨

ufstands mit einem hohen finanziellen Aufwand

verbunden. Daher empfiehlt es sich, das Potenzial des ANC-Systems zun¨

achst

113

114 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

auf der Grundlage von Simulationen abzusch¨

atzen. Um die Untersuchungen

unter realit¨

atsnahen Bedingungen durchf¨

uhren zu k¨

onnen, liegen in der Simu-

lation Signale zu Grunde, die in einer Abgasanlage bei verschiedenen Lastzyk-

len eines PKWs gemessen respektive abgesch¨

atzt worden sind.1

7.1.1 Ger¨

auschspektrum eines Verbrennungsmotors

Das Ausstr¨

omen der unter ¨

Uberdruck stehenden Abgase w¨

ahrend der ¨

Off-

nungszeiten der Auslassventile erzeugt im Abgasstrang einen ungleichm¨

aßigen

Volumenstrom. Dieser bedingt einen Schalldruck, der ebenfalls die Periodizit¨

der Z¨

undfrequenz aufweist [HM95]. Das typische Ger¨

auschspektrum eines Ver-

brennungsmotors besteht somit aus diskreten Frequenzkomponenten, die von

der Motordrehzahl nD(in min−1), der Zylinderanzahl nZund den Arbeits-

takten nAdes Motors abh¨

angen. Die Grundfrequenz ergibt sich zu

fG= 2 nZ

60 .(7.1)

F¨

ur einen Vier-Zylinder-Vier-Takt-Reihenmotor gilt fG= 2nD/60. Wegen

des Vorfaktors 2nZ/nA= 2 wird fGauch als zweite Motorharmonische bezeich-

net [Erha91]. Neben der zweiten Motorharmonischen existieren im Ger¨

ausch-

spektrum weitere Harmonische, die h¨

aufig weniger stark ausgepr¨

agt sind. Eine

detaillierte Darstellung des Ger¨

auschspektrums erfolgt im Abschnitt 7.2.2. Der

Gesamtschalldruckpegel kann im Abgasstrang nach dem Katalysator Werte

von pmax ≈150 dB erreichen [HM95].

7.1.2 Stand der Forschung und Entwicklung

Aktive Abgasschalld¨

ampfer standen und stehen nach wie vor im Blickpunkt

von Forschungs- und Entwicklungsaktivit¨

aten. Diese weisen gegen¨

uber einem

passiven Konzept die folgenden Vorteile auf [KCJ05]:

•reduzierter Kraftstoffverbrauch durch verringerten R¨

uckstaudruck,

•Auslegung unabh¨

angig von den Eigenschaften der Prim¨

arquelle,

•M¨

oglichkeit des Sound-Designs.

1In dieser Arbeit steht nicht die Entwicklung und Erprobung eines serienreifen Konzepts

eines aktiven Abgasschalld¨

ampfers, der neben Elementen zur Schalld¨

ampfung ebenfalls

Systeme zur Abgasaufbereitung enth¨

alt, im Mittelpunkt. Daher erscheint es im Gegensatz

zu den bisher experimentell erprobten Feedforward-Konzepten erlaubt [EZ93,KHO98], auf

den Einsatz eines Drehratensensors f¨

ur die Referenzsignalerzeugung zu verzichten, obwohl

sich der Einsatz wegen des typischen Ger¨

auschspektrums eines Verbrennungsmotors an-

bieten w¨

urde. Stattdessen wird in der Simulation davon ausgegangen, dass die Erfassung

des Referenzsignals mit einem Mikrofon erfolgen kann und keine akustische R¨

uckkopplung

von der Sekund¨

arquelle zum Referenzsensor vorliegt. Das eigentliche Ziel dieser Arbeit,

die Untersuchung und Bewertung von Algorithmen zur St¨

orsignald¨

ampfung, tangiert diese

Pr¨

amisse nicht.

7.1 Aktiver Abgasschalld¨

ampfer 115

Die gezielte Beeinflussung des Ger¨

auschspektrums durch ein Sound-Design

ist nicht nur dem Abgasstrang vorbehalten, sondern wird zunehmend auch

im Fahrzeuginnenraum erprobt [Bron93,SL00,SSH02]. Die Entwicklung akti-

ver Abgasschalld¨

ampfer stellt aufgrund der hohen technischen Anforderungen

nach wie vor eine Herausforderung dar, erfordern diese unter anderem:

•temperaturbest¨

andige Mikrofone und Lautsprechermembranen;

•Membranantriebe, die hohe Schalldr¨

ucke verzerrungsfrei reproduzieren;

•adaptive Verfahren mit gutem Tracking-Verhalten.

Anfang der Neunziger Jahre wurden beispielsweise von Nishimura und

von Eghtesadi et al. Ans¨

atze zur aktiven Schalld¨

ampfung in einem Abgas-

strang publiziert, die auf einem adaptiven Schmalband-ANC-Verfahren und

einem Drehratensensor zur Generierung des Referenzsignals basierten. Die ak-

tive Abgasschalld¨

ampfung wurde von Nishimura f¨

ur einen Diesel-Generator

untersucht [Nish91], w¨

ahrend Eghtesadi et al. ein PKW-taugliches Konzept

vorstellten, bei dem zwei Lautsprecher koaxial zur Schallausbreitungsrichtung

angeordnet waren [EZ93]. Um mit kleinen Lautsprechern tieffrequente Signale

mit hohen Schalldruckpegeln d¨

ampfen zu k¨

onnen, kam dort zus¨

atzlich hinter

der Lautsprecheranordnung ein Resonator zum Einsatz.

Der aktuelle Entwicklungsstand ist dagegen anhand von Publikationen

oder Pressemitteilungen schwer abzusch¨

atzen, da technische Details der neu-

en Konzepte nur sp¨

arlich ¨

offentlich preisgegeben werden. Die Arbeiten von

Kim et al. und Kr¨

uger et al. geben einen groben ¨

Uberblick.

Konzept von Kim et al.

Von Kim et al. wurde ein adaptives Konzept f¨

ur einen aktiven Abgasschall-

d¨

ampfer eines PKWs vorgestellt, welches auf der Grundlage des AN-Verfahrens

aus [KV97] eine Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads durchf¨

uhrt [KHO98].

Die Auslegung der Geometrie erfolgte mit Hilfe von nummerischen Simulatio-

nen dergestalt, dass sich der St¨

orschall und der Schall des Lautsprechers als

ebene Schallwelle ¨

uberlagern. Das Fehlermikrofon konnte daher außerhalb des

Endrohrs platziert werden, wo die Abgastemperaturen geringer sind. Durch

die gew¨

ahlte Anordnung ist eine aktive D¨

ampfung im Bereich um den Auslass

erzielt worden.

Zur Referenzsignalerzeugung kam ein Drehratensensor zum Einsatz, wobei

durch eine geeignete Signalaufbereitung zwei harmonische Schwingungen syn-

thetisiert werden konnten. Die ersten beiden Harmonischen wurden auf der

Basis eines FxLMS-Verfahrens ged¨

ampft. Dieses Konzept kam in [KHSO99]

auch f¨

ur den Abgasstrang eines LKWs zum Einsatz.

116 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

Konzept von Kr¨

uger et al.

Von Kr¨

uger et al. wurde mit dem Schwerpunkt eines Sound-Designs eben-

falls ein aktiver Abgasschalld¨

ampfer f¨

ur PKWs vorgestellt [KCJ05]. Gem¨

aß

ihren Ausf¨

uhrungen ¨

uberstand der Lautsprecher und das Fehlermikrofon un-

ter realen Betriebsbedingungen die hohen Abgastemperaturen in einem De-

monstrationsfahrzeug unbeschadet. F¨

ur den Lautsprecher wurde dies durch

eine thermische Isolation von der Abgasstr¨

omung sowie durch eine Fahrtwind-

k¨

uhlung erreicht.

Die erzielte Schalld¨

ampfung f¨

allt gegen¨

uber dem Konzept von Kim et al.

deutlich besser aus. Technische Details bez¨

uglich der Adaptationsalgorithmen,

den verwendeten Verfahren zur Sch¨

atzung des Sekund¨

arpfads und zur Gene-

rierung des Referenzsignals wurden jedoch nicht diskutiert.

Anmerkungen zum Tracking

Auff¨

allig bei den publizierten Konzepten zum aktiven Abgasschalld¨

ampfer ist,

dass sich mit konstanter oder langsam variierender Motordrehzahl durchaus

akzeptable D¨

ampfungen erzielen lassen. Bei schnell ver¨

anderlichen Motordreh-

zahlen, die gr¨

oßere ¨

Anderungen bei der Abgastemperatur sowie der Str¨

omungs-

geschwindigkeit des Abgases zur Folge haben und h¨

ohere Anforderungen an

das Tracking stellen, sind dagegen h¨

aufig deutlich schlechtere Resultate zu

verzeichnen.

Ob sich die neuen Algorithmen als Grundlage f¨

ur verbesserte aktive Abgas-

schalld¨

ampfer anbieten, soll im Weiteren nicht diskutiert werden, da f¨

ur den

Einsatz ohnehin eine andere Referenzsignalerzeugung vorzuziehen ist. Dennoch

erlauben die im Folgenden vorzustellenden Ergebnisse R¨

uckschl¨

usse bez¨

uglich

der f¨

ur diese Anwendung zu pr¨

aferierenden Algorithmen.

7.2 Simulationsmodell

Das mathematische Modell des R¨

ohrensystems und die Adaptationsalgorith-

men sind f¨

ur eine simulationstechnische Implementierung in Einklang zu brin-

gen. Die Herleitung der f¨

ur die Implementierung ben¨

otigten Teil¨

ubertragungs-

funktionen kann mit Hilfe der Zweitortheorie auf der Grundlage von Abbil-

dung 7.1 b) erfolgen. Die Elemente der Kettenmatrizen sind Funktionen von

der Kreisfrequenz. Aus Gr¨

unden der ¨

Ubersichtlichkeit wird jedoch auf die An-

gabe des Arguments verzichtet. Die gem¨

aß den Gleichungen (4.1) ben¨

otigten

Teil¨

ubertragungsfunktionen berechnen sich mit

ZR1,S1=ZE,R1ZA,S1

ZE,R1+ZA,S1

und ZP1,R1=ZA,P 1ZE,R1

ZA,P 1+ZE,R1

(7.2)

7.2 Simulationsmodell 117

uep

K0y

yS1

MxMe

V0ϑ0

ZA,1ZP1ZR1

ZS1

ZE,2

KP1KR1

KS1

qS1

qP1qR1qe

Verst¨

arker

Lautsprecher

Adaptations-

algorithmus

Abbildung 7.1: a) Schematische Darstellung eines aktiven Koaxialschalld¨

ampfers und

b) dazugeh¨

orige Zweitormodellierung

und den entsprechenden Elementen der Kettenmatrizen zu

P1=1

K11,P 1+K12,P 1/ZR1,S1

,(7.3a)

R1=1

K11,R1+K12,R1/ZE,2

,(7.3b)

S1=ZE,S1

ZE,S1+Z0

K11,S1+K12,S1/ZP1,R1

.(7.3c)

118 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

Die Impedanzen in den Gleichungen (7.2) setzen sich mit den komplexen Am-

plituden der an den Toren definierten Signale aus

ZE,R1=y1

qR1

=K11,R1+K12,R1/ZE,2

K21,R1+K22,R1/ZE,2

,(7.4a)

ZE,S1=yS1

qS1

=K11,S1+K12,S1/ZP1,R1

K21,S1+K22,S1/ZP1,R1

,(7.4b)

ZA,S1=−y1

=K22,S1+K12,S1/Z0

K21,S1+K11,S1/Z0

,(7.4c)

ZA,P 1=−y1

qP1

=K22,P 1+K12,P 1/ZA,1

K21,P 1+K11,P 1/ZA,1

(7.4d)

zusammen. Das R¨

ohrensystem vor dem Referenzmikrofon wird durch die Im-

pedanz ZA,1beschrieben, w¨

ahrend die Impedanz ZE,2das R¨

ohrensystem cha-

rakterisiert, welches dem Fehlermikrofon folgt.

7.2.1 Implementierung

Der ¨

Ubergang auf eine diskrete Beschreibungsform erfolgt zun¨

achst durch Aus-

wertung des mathematischen R¨

ohrenmodells f¨

ur rechtsseitige diskrete Kreis-

frequenzen ωk, die mit 0 ≤ωk≤ωSdurch die Abtastfrequenz fSbegrenzt

sind.2Das mathematische Modell erlaubt die Berechnung des ¨

Ubertragungs-

verhaltens f¨

ur diskrete Kreisfrequenzen, w¨

ahrend die Algorithmen zur adap-

tiven Signalverarbeitung zeitdiskret implementiert werden sollen. Die Ergeb-

nisse des R¨

ohrenmodells sind daher in den Zeitbereich zu ¨

ubertragen. Dazu

lassen sich zun¨

achst mit 0 ≤ωk≤ωSgem¨

aß Abschnitt 4.1 die rechtsseitigen

Ubertragungsfunktionen

Pr(jωk) = P1,r(jωk)R1,r(jωk)He,r(jωk),(7.5a)

Sr(jωk) = S1,r(jωk)R1,r(jωk)He,r(jωk) (7.5b)

berechnen. Das komplex symmetrische Anf¨

ugen der linksseitigen Spektren

Pl(jωk) = P∗

r(−jωk) und Sl(jωk) = S∗

r(−jωk) (7.6)

f¨

uhrt schließlich zu den ¨

Ubertragungsfunktionen P(jωk) und S(jωk). Durch

Interpretation dieser Gr¨

oßen als ¨

Ubertragungsfunktionen eines zeitdiskreten

Systems k¨

onnen nach der inversen diskreten Fourier-Transformation

p(n) = IDFT{P(jωk)}und s(n) = IDFT{S(jωk)}(7.7)

2Das Ausbreitungsmaß l¨

asst sich bei ωk= 0 f¨

ur nicht-ideal schallharte R¨

ohrenw¨

ande

nicht stetig fortsetzen, so dass durch die Definition γw(ωk= 0) = 0 Stetigkeit zu ge-

w¨

ahrleisten ist. Die W¨

ande des zu simulierenden Schalld¨

ampfers k¨

onnen jedoch als ideal

schallhart vorausgesetzt werden.

7.2 Simulationsmodell 119

u(n)

V0(n)

ϑ0(n)

P1,r(jωk)R1,r(jωk)

S1,r(jωk)R1,r(jωk)

He,r(jωk)

p(n)

s(n)

IDFT{P(jωk)}

IDFT{S(jωk)}

ep(n)

e(n)

mathematisches Modell

des physikalischen R¨

ohrensystems

Simulationsmodell des

ANC-Systems

Abbildung 7.2: Schematische Darstellung des Simulationsmodells

die Impulsantworten angegeben werden, wobei die Anzahl der ¨

aquidistanten

Kreisfrequenzen im Intervall −ωS≤ωk≤ωSdie L¨

ange der Impulsantworten

festlegt. Setzt man eine Transversalfilterstruktur voraus, erh¨

alt man direkt

die f¨

ur eine Implementierung ben¨

otigten Koeffizientenvektoren p(n) und s(n).

Die L¨

angen der Impulsantworten p(n) und s(n) beziehungsweise der Koeffizi-

entenvektoren p(n) und s(n) seien im Weiteren zu Mund Ngew¨

ahlt. Der

Berechnungsablauf ist schematisch in Abbildung 7.2 verdeutlicht.

In der Simulation wird entlang der Str¨

omungsrichtung des Abgases kein

Temperaturgef¨

alle ber¨

ucksichtigt, so dass w¨

ahrend eines Zeitschritts jedem

Segment des R¨

ohrenmodells eine identische Gastemperatur zu Grunde liegt.3

Dar¨

uber hinaus wird vorausgesetzt, dass an Querschnittsver¨

anderungen inner-

halb des R¨

ohrensystems keine Str¨

omungsger¨

ausche erzeugt werden, die sich

dem eigentlichen St¨

orschall ¨

uberlagern. Des Weiteren liegen in der Simulation

f¨

ur das Abgas vereinfachend die thermodynamischen Eigenschaften von Luft

zu Grunde.

7.2.2 Simulationsstimulus

Wie bereits erw¨

ahnt, kommen Signale als Stimulusgr¨

oßen zum Einsatz, die f¨

reale Fahrzyklen eines PKWs im Abgasstrang auf dem Fahrleistungspr¨

ufstand

3Zur Ber¨

ucksichtigung eines Temperaturgradienten w¨

are ebenfalls ein noch zu validie-

render Ansatz denkbar, der auf einer r¨

aumlichen Diskretisierung mit Hilfe von zus¨

atzli-

chen Zweitoren basiert, wobei jedem Zweitor formal eine unterschiedliche Temperatur zu

gewiesen werden k¨

onnte. Abgesehen von dem geringeren Berechnungsaufwand erscheint es

f¨

ur die Bewertung der Algorithmen bez¨

uglich ihres Tracking-Verhaltens ausreichend, einen

r¨

aumlich, jedoch nicht zeitlich konstanten Temperaturverlauf zu betrachten.

120 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

−50 −40 −30 −20 −10

0,80,8

0,60,6

0,40,4

0,20,2

350350

300300

250250

200200

150150

2020

1616

2424

uSin dB

FL-Zyklus RL-Zyklus

fin kHz

ϑ0in ◦C

V0in m/s

t/st/s

Abbildung 7.3: Zeitliche Verl¨

aufe der Stimulussignale von zwei Fahrzyklen

gemessen oder abgesch¨

atzt worden sind. Die Messungen der Schalldruck- und

Temperaturverl¨

aufe erfolgten vor dem passiven Endschalld¨

ampfer und damit

an der Position, wo das aktive Schalld¨

ampferkonzept einzubetten w¨

are. Ausge-

hend von der Leerlaufdrehzahl wurde die Motordrehzahl innerhalb eines Zyklus

kontinuierlich auf die maximale Drehzahl beschleunigt. Stellvertretend f¨

ur eine

Vielzahl von zu Grunde gelegten Fahrzyklen seien der FL-Zyklus4mit einer

kurzen Beschleunigungsphase und der RL-Zyklus5mit einer lang gezogenen

Beschleunigungsphase exemplarisch herausgegriffen.

4Full-Load-Zyklus

5Road-Load-Zyklus

7.2 Simulationsmodell 121

Da den gemessenen Schalldrucksignalen zwangsl¨

aufig str¨

omungsinduzierte

Ger¨

auschanteile ¨

uberlagert waren, die in der Simulation jedoch definiert vor-

gegeben werden sollten, wurden zur Beseitigung des Rauschens die Signale

entsprechend resynthetisiert.

Durch die Verwendung eines Mikrofons als Referenzsensor eignet sich das

vorgestellte adaptive Konzept ebenfalls f¨

ur die Reduzierung von breitbandi-

gem L¨

arm. Diese Tatsache wird ber¨

ucksichtigt, indem bei der Simulation los-

gel¨

ost vom Kontext eines aktiven Abgasschalld¨

ampfers anstelle des typischen

schmalbandigen Ger¨

auschspektrums eines Verbrennungsmotors ein breitban-

diges St¨

orsignal in Form von weißem Rauschen zum Einsatz kommt. Dieses

St¨

orsignal gilt es unter den gleichen Temperatur¨

anderungen und Str¨

omungs-

geschwindigkeiten der Abgase optimal zu d¨

ampfen. Die schmalbandigen St¨

or-

signale werden im Weiteren durch uS(n) bezeichnet, w¨

ahrend die breitbandigen

Signale durch uN(n) repr¨

asentiert werden.

Die Verl¨

aufe f¨

ur die Abgastemperaturen wurden so rekonstruiert, dass die-

se die maximal beobachteten Temperatur¨

anderungen innerhalb eines mehrfach

durchlaufenden Fahrzyklus widerspiegeln. Auf der Basis dieser Temperaturver-

l¨

aufe sowie der Motordrehzahl und der Motorkenngr¨

oßen wurden die zeitlichen

Verl¨

aufe der Str¨

omungsgeschwindigkeiten der Abgase im Abgasstrang f¨

ur die

Fahrzyklen heuristisch abgesch¨

atzt. In Abbildung 7.3 sind die in der Simulation

verwendeten Stimulussignale dargestellt.

7.2.3 Referenz- und Fehlersignal

Dem Referenzsignal x(n) und dem Fehlersignal e(n) werden zur Modellierung

eines endlichen Signal-Rausch-Verh¨

altnisses sowie von str¨

omungsinduzierten

Ger¨

auschen, die im Bereich der Mikrofone entstehen, gezielt unkorrelierte wei-

ße Gauß-Prozesse ¨

uberlagert. Diese Rauschprozesse wurden zu

Ev2

x(n)=σ2

M,x und Ev2

e(n)=σ2

M,e (7.8)

sowie

Ev2

t,x(n, V0)=σ2

t,xV2

0(n) und Ev2

t,e(n, V0)=σ2

t,eV2

0(n) (7.9)

definiert. Die Varianzen von vt,x(n, V0) und vt,e(n, V0) h¨

angen damit quadra-

tisch von der Str¨

omungsgeschwindigkeit V0(n) des Abgases ab. Mit den Im-

pulsantworten hx(n) und he(n) der Mikrofone setzt sich das Referenz- und

Fehlersignal schließlich aus

x(n) = hx(n)∗u(n) + hx(n)∗vt,x(n, V0) + vx(n),(7.10a)

e(n) = he(n)∗ep(n) + he(n)∗vt,e(n, V0) + ve(n) (7.10b)

zusammen.

122 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

7.2.4 Quellenparameter der Sekund¨

arquelle

Bei der Auslegung eines ANC-Systems sind im Gegensatz zur Abstimmung

eines passiven Schalld¨

ampfers keine Kenntnisse bez¨

uglich der Parameter der

Prim¨

arquelle erforderlich [ME88,KCJ05]. Allerdings k¨

onnen sich die Eigen-

schaften der Prim¨

ar- und Sekund¨

arquelle auf das Konvergenz- und Tracking-

Verhalten auswirken. Die optimale ¨

Ubertragungsfunktion des Kompensations-

filters ˆ

Wopt(z) bleibt jedoch von der Prim¨

arquelle unbeeinflusst [ME88]. Des-

halb erscheint es erlaubt, in der Simulation eine ideale Prim¨

arquelle vorauszu-

setzen.

0,20,2

0,40,4

0,60,6

0,80,8

−10

−20

−30

−40

−50

−60

−π

−2π

π/2

−π/2

Quellenparameter K0Quellenparameter K0

Quellenparameter Z0Quellenparameter Z0

f/kHz f/kHz

|K0|in dB

arg{Z0}in rad arg{K0}in rad

|Z0/ZL0|in dB

Abbildung 7.4: Betrag und Phase der transformierten Quellenparameter K0und Z0

Demgegen¨

uber haben die Parameter der Sekund¨

arquelle einen direkten

Einfluss auf ˆ

Wopt(z) [ME88]. Daher soll sie in der Simulation, wie in Ab-

bildung 7.1 b) angedeutet, als Th´

evenin-Quelle modelliert werden. Es bietet

sich an, die im Anhang Bbestimmten Quellenparameter zu Grunde zu le-

gen. Diese beschreiben gem¨

aß Abbildung B.2 den Lautsprecher und das ¨

uber

einen Trichter angekoppelte R¨

ohrensystem bis zum Mikrofon. F¨

ur den Einsatz

im mathematischen Modell des Koaxialschalld¨

ampfers sind die Parameter auf

den Bereich vor dem Trichter zu transformieren. In Abbildung 7.4 sind die

Ergebnisse der Transformation dargestellt.

7.3 Simulationsergebnisse 123

7.3 Simulationsergebnisse

R¨

ohrensystem Abschnitt Anmerkung

Ausbreitungsmaß 1.2.2 und 3.1 Munjal

Querschnittsspr¨

unge 3.4.2 Munjal

M¨

undung ohne Flansch 2.3.1 Norris et al.

Sekund¨

arquelle 7.2.4 Lautsprecher

Gaseigenschaften Anhang ALuft

Parameter Einstellung

Abtastfrequenz fS= 2 kHz

Anzahl der Systemparameter M=N= 1024

Anzahl der Filterkoeffizienten L=M=N= 128

Grenzfrequenzen von Hxund HefG,u= 0,02 kHz, fG,o= 0,9 kHz

Varianz von uS(n) und uN(n)σ2

u= 1

Rauschen Referenzsignal σ2

M,x = 10−4,σ2

t,x = 10−5/[m/s]2

Rauschen Fehlersignal σ2

M,e = 10−4,σ2

t,e = 10−5/[m/s]2

Startwerte ˆ

w(0)=[1,0T

L−1]T,ˆ

p(0)=0M,ˆ

s(0)=0N

Verfahren Abschnitt Algorithmus Abk¨

urzung

AN-Verfahren nach Zhang et al. 6.2 LMS AN-Z

OM-Verfahren nach Kohno et al. 6.5 LMS OM-K

OM-Verfahren nach Lopes et al. 6.4 ERLS OM-L

verbessertes OM-Verfahren 6.6 ERLS OM-V

verbessertes OM-Verfahren 6.6 RLS OM-RLS

verbessertes OM-Verfahren mit KM-k·k16.6 und 6.7.2 MCERLS OM-V-R

Kovarianzmanagement Abschnitt Algorithmus Abk¨

urzung

nicht vereinfacht 6.7.1 MCERLS KM

mit Vektornorm vereinfacht 6.7.2 MCERLS KM-k·kk

St¨

orsignal Abschnitt Abk¨

urzung

schmalbandiges 7.2.2 uS(n)

breitbandiges 7.2.2 uN(n)

Tabelle 7.1: Allgemeine Simulationseinstellungen und Abk¨

urzungen

Als G¨

utemaß zur Bewertung des Tracking-Verhaltens bietet sich die er-

reichte St¨

orsignald¨

ampfung an. Wie im Abschnitt 4.1 angedeutet, k¨

onnen da-

zu das ged¨

ampfte St¨

orsignal ep(n) und die Gr¨

oße d(n), die den Betrieb ohne

aktive D¨

ampfung charakterisiert, gem¨

aß der Absch¨

atzung

D=sMd2(n)

Me2

p(n)(7.11)

124 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

ins Verh¨

altnis gesetzt werden. Der Mittelwertoperator ist durch M{·} gekenn-

zeichnet und sei zu

Mg(n)=1

N−NStart + 1

i=NStart

g(i) (7.12)

definiert. Um bei der Mittelwertbildung Einschwingvorg¨

ange nicht zu ber¨

uck-

sichtigen, beginnt diese ab dem Zeitindex NStart respektive ab einer simulierten

Zeit von tStart =NStart/fS= 5 s.

Neben dem akustischen Qualit¨

atskriterium ep(n) soll auch das Fehler-

maß ξ(n) = E{e2(n)}zur Bewertung der Algorithmen herangezogen werden.

Unter Annahme von Ergodizit¨

at l¨

asst sich die als mittelwertfrei angenommene

Gr¨

oße gem¨

aß den Ausf¨

uhrungen im Anhang Drekursiv durch

ξ(n) = Ee2(n)≈1−1

Wξ(n−1) + 1

We2(n)(7.13)

absch¨

atzen. Die Fensterl¨

ange wurde zu W= 1000 gew¨

ahlt. Da Rauschprozesse

beim Referenz- und Fehlersignal oder als St¨

orsignal zum Einsatz kamen, wur-

den die St¨

orsignald¨

ampfungen Dund die Fehlerverl¨

aufe ξ(n) jeweils f¨

ur zehn

Durchl¨

aufe bei unterschiedlicher Initialisierung der Rauschgeneratoren in der

Simulationsumgebung bestimmt und die Resultate gemittelt.

Die Modellierung des physikalischen Prim¨

ar- und Sekund¨

arpfads erfolgte

durch eine Transversalfilterstruktur. Die L¨

angen der Impulsantworten wurden

so vorgegeben, dass diese im zu Grunde gelegten Zeitraum bereits weitgehend

abgeklungen sind. Das f¨

uhrte auf M=N= 1024. Demgegen¨

uber sind, wie in

der Praxis h¨

aufig ¨

ublich, f¨

ur die adaptiven Filter mit L=M=N= 128 deut-

lich k¨

urzere Filterl¨

angen gew¨

ahlt worden. Die allgemeinen Simulationseinstel-

lungen sowie die definierten Abk¨

urzungen sind der Tabelle 7.1 zu entnehmen.

7.3.1 Kovarianzmanagement

St¨

orsignal Zyklus Verfahren KM KM-k·k1KM-k·k2

ε ε ε

uS(n)FL,RL OM-L 1 5 ·10−31·10−1

OM-V 1 5 ·10−31·10−1

uN(n)FL,RL OM-L 5·10−21·10−45·10−3

OM-V 1·10−11·10−45·10−3

Tabelle 7.2: Gew¨

ahlter Adaptationsparameter εbei den MCERLS-Algorithmen

In Abbildung 7.5 sind exemplarisch f¨

ur das Verfahren OM-V mit dem Ko-

varianzmanagement KM-k·k1die erzielten St¨

orsignald¨

ampfungen in Abh¨

angig-

keit von dem Adaptationsparameter εf¨

ur die Fensterl¨

ange W= 1000 darge-

stellt. Bei den schmalbandigen Signalen wird die h¨

ochste D¨

ampfung f¨

ur beide

7.3 Simulationsergebnisse 125

FL-Zyklus mit uS(n)RL-Zyklus mit uS(n)

Din dB

1·10−5

5·10−5

1·10−4

5·10−4

1·10−3

5·10−3

1·10−2

5·10−2

1·10−1

εε

2020

1515

1010

1·

FL-Zyklus mit uN(n)RL-Zyklus mit uN(n)

Din dB

1·10−5

5·10−5

1·10−4

5·10−4

1·10−3

5·10−3

1·10−2

5·10−2

1·10−1

εε

1515

1010

Abbildung 7.5: Abh¨

angigkeit der St¨

orsignald¨

ampfung vom Adaptationsparameter ε

f¨

ur das Verfahren OM-V mit dem Kovarianzmanagement KM-k·k1

Zyklen mit ε≈5·10−3erreicht, w¨

ahrend es f¨

ur die breitbandigen Signale

mit ε≈1·10−4der Fall ist. Demnach ist der Adaptationsparameter εunter

anderem auf die spektrale Zusammensetzung der vorliegenden St¨

orsignale und

das Messrauschen abzustimmen.

In der Tabelle 7.2 sind die gew¨

ahlten Adaptationsparameter εangegeben,

die f¨

ur beide Zyklen jeweils zu hohen St¨

orsignald¨

ampfungen f¨

uhrten. Es zeigte

sich, dass εf¨

ur jede Variante des Kovarianzmanagement unterschiedlich vor-

zugeben ist.

St¨

orsignald¨

ampfungen und Fehlerverl¨

aufe

Gem¨

aß den Fehlerverl¨

aufen in Abbildung 7.6 klingt mit den schmalbandigen

St¨

orsignalen uS(n) der Fehler nach der Startphase h¨

aufig kurzzeitig wieder

auf. Dieses kurzzeitige Ansteigen des Fehlers ist f¨

ur den FL-Zyklus besonders

signifikant. Im Gegensatz dazu klingen die Verl¨

aufe f¨

ur die breitbandigen St¨

or-

signale uN(n) in Abbildung 7.7 innerhalb der ersten Sequenzh¨

alften direkt ab.

Das abrupte Ansteigen des Fehlers in Abbildung 7.6 erscheint daher durch die

in Abh¨

angigkeit von der Motordrehzahl variierende spektrale Zusammenset-

zung der St¨

orsignale uS(n) bedingt.

126 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

KM KM-k·k1KM-k·k2

FL-Zyklus mit OM-L RL-Zyklus mit OM-L

FL-Zyklus mit OM-V RL-Zyklus mit OM-V

t/ st/ s

ξ(n) in dB

−10−10

−20−20

−30−30

2020

Abbildung 7.6: Fehlerverl¨

aufe f¨

ur die schmalbandigen St¨

orsignale uS(n) mit unter-

schiedlichem Kovarianzmanagement

KM KM-k·k1KM-k·k2

FL-Zyklus mit OM-L RL-Zyklus mit OM-L

FL-Zyklus mit OM-V RL-Zyklus mit OM-V

t/ st/ s

ξ(n) in dB

−10−10

−20−20

2020

Abbildung 7.7: Fehlerverl¨

aufe f¨

ur die breitbandigen St¨

orsignale uN(n) mit unter-

schiedlichem Kovarianzmanagement

7.3 Simulationsergebnisse 127

St¨

orsignal Zyklus Verfahren KM KM-k·k1KM-k·k2

Din dB Din dB Din dB

uS(n)

FL OM-L 11,4 13,7 13,6

OM-V 11,5 12,8 12,4

RL OM-L 18,9 19,1 19,0

OM-V 18,7 19,7 19,8

uN(n)

FL OM-L 11,8 11,7 11,3

OM-V 11,9 11,4 10,8

RL OM-L 12,9 12,5 12,1

OM-V 13,1 12,6 12,3

Tabelle 7.3: St¨

orsignald¨

ampfungen der MCERLS-Algorithmen mit den Adaptations-

parametern in Tabelle 7.2

Im Vergleich zum l¨

angeren RL-Zyklus ¨

andern sich beim FL-Zyklus die Sti-

mulusgr¨

oßen in einer k¨

urzeren Zeitspanne, so dass dieser h¨

ohere Anforderungen

an das Tracking stellt. Die D¨

ampfungen fallen deshalb, wie der Tabelle 7.3 zu

entnehmen, gegen¨

uber dem RL-Zyklus geringer aus. Dagegen unterscheiden

sich mit den breitbandigen St¨

orsignalen uN(n) die in den beiden Zyklen er-

zielten D¨

ampfungen nur geringf¨

ugig voneinander. Diese sind jedoch aufgrund

der breitbandigen Anregung geringer als mit den schmalbandigen St¨

orsigna-

len uS(n). Mit einer Erh¨

ohung der Filterl¨

angen ließe sich eine Verbesserung

erzielen, wobei dadurch der Berechnungsaufwand steigt.

Bei den Fehlerverl¨

aufen f¨

ur die schmalbandigen St¨

orsignale uS(n) kann

jeweils in den letzten Zyklush¨

alften der Trend zu einer leichten kontinuier-

lichen Zunahme des Fehlers beobachtet werden. Begr¨

undet ist der Anstieg

durch die von der Str¨

omungsgeschwindigkeit des Abgases abh¨

angig vorgegebe-

ne Rauschvarianz. Der Einfluss dieses str¨

omungsinduzierten Rauschens wird

im Abschnitt 7.3.4 untersucht.

Bewertung

Es l¨

asst sich res¨

umieren, dass bez¨

uglich des Kovarianzmanagements alle vorge-

stellten Varianten ¨

ahnlich gute D¨

ampfungen erzielen, so dass dementsprechend

keine Variante eindeutig zu pr¨

aferieren ist. Unter dem Aspekt des Berechnungs-

aufwands ist jedoch das Kovarianzmanagement KM-k·k1vorzuziehen. Weiteren

Arbeiten bleibt es vorbehalten, die Nachf¨

uhrung des Adaptationsparameters ε

ebenfalls adaptiv zu gestalten.

F¨

ur das weitere Vorgehen wird das Verfahren OM-V mit dem Kovarianzma-

nagement KM-k·k1stellvertretend als Referenzverfahren herausgegriffen und

durch die erweiterte Abk¨

urzung OM-V-R repr¨

asentiert. Diesbez¨

uglich kommt

weiterhin die bew¨

ahrte Fensterl¨

ange W= 1000 zum Einsatz.

128 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

7.3.2 Vergleich der Verfahren zur Online-Modellierung

In diesem Abschnitt sind die mit dem Referenzverfahren OM-V-R erzielten

St¨

orsignald¨

ampfungen und Fehlerverl¨

aufe mit den Resultaten der etablierten

Verfahren zur Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads gegen¨

uberzustellen und

zu bewerten. Dazu wurde neben den beiden LMS-basierten Verfahren AN-Z

und OM-K das ERLS-basierte Verfahren OM-L verwendet. Dar¨

uber hinaus kam

auf der Grundlage des RLS-Algorithmus das Verfahren OM-RLS zum Einsatz,

welches mit Qˆp,ˆs=0M+Nund Qˆw=0Laus OM-V hervorgeht.

W¨

ahrend beim Verfahren AN-Z zur Pegelanpassung des Rauschsignals die

Strategie aus [ZLS03] Verwendung fand, wurde das Konzept OM-L gem¨

aß Ab-

schnitt 6.4 in seiner publizierten Version implementiert und folglich auf das

erarbeitete Kovarianzmanagement sowie auf eine zus¨

atzliche Aufteilung der

Matrix Qˆp,ˆs(n) verzichtet. Die Vorgabe der Adaptationsparameter bei den

einzelnen Adaptationsalgorithmen erfolgte derart, dass sich f¨

ur beide Stimu-

luszyklen eine hohe mittlere St¨

orsignald¨

ampfung einstellt.

St¨

orsignald¨

ampfungen

St¨

orsignal Zyklus AN-Z OM-K OM-RLS OM-L OM-V-R

Din dB Din dB Din dB Din dB Din dB

uS(n)FL 0,3 1,1 0,3 7,1 12,8

RL 0,3 6,7 0,7 12,9 19,7

uN(n)FL 0,7 5,6 0,6 7,6 11,4

RL 2,4 8,9 2,3 11,1 12,6

Tabelle 7.4: St¨

orsignald¨

ampfungen ausgew¨

ahlter Verfahren zur Online-Modellierung

des Sekund¨

arpfads

Bei den LMS-basierten Verfahren AN-Z und OM-K ist ein direkter Ver-

gleich der konkurrierenden Konzepte zur Online-Modellierung des Sekund¨

ar-

pfads m¨

oglich. Wie den St¨

orsignald¨

ampfungen in Tabelle 7.4 zu entnehmen,

eignen sich die h¨

aufig pr¨

aferierten AN-Verfahren in der untersuchten Form

nicht f¨

ur Anwendungen, die hohe Anforderungen an das Tracking stellen.

Die Resultate des berechnungstechnisch wesentlich aufw¨

andigeren Verfah-

rens OM-RLS fallen gegen¨

uber dem LMS-basierten Konzept OM-K deutlich

schlechter aus. Die Verwendung des RLS-Algorithmus ist damit nicht zwangs-

l¨

aufig ein Garant f¨

ur gutes Tracking-Verhalten.

Die mit den Verfahren OM-L und OM-V-R erreichten D¨

ampfungen ver-

deutlichen, dass durch gezielte Vorgabe beziehungsweise Modifikation der Ko-

varianzmatrizen ein verbessertes Tracking m¨

oglich ist. Die akzeptablen Resul-

tate des Verfahrens OM-L lassen sich mit dem in dieser Arbeit vorgestellten

7.3 Simulationsergebnisse 129

Konzept OM-V-R deutlich ¨

ubertreffen.6Es ist zu betonen, dass neben den

hervorragenden St¨

orsignald¨

ampfungen dieser Ansatz zus¨

atzlich den gerings-

ten Aufwand bei der Abstimmung der Adaptationsparameter erfordert.

Fehlerverl¨

aufe

AN-Z OM-K OM-RLS OM-L OM-V-R

FL-Zyklus mit uS(n)RL-Zyklus mit uS(n)

FL-Zyklus mit uN(n)RL-Zyklus mit uN(n)

t/ st/ s

ξ(n) in dB

−10−10

−15−15

−20−20

−30−30

1010

1515

2020

Abbildung 7.8: Fehlerverl¨

aufe ausgew¨

ahlter Verfahren zur Online-Modellierung des

Sekund¨

arpfads

Die Fehlerverl¨

aufe zeigen bei den schmalbandigen St¨

orsignalen uS(n) eben-

falls kurzzeitige Auf- und Abklingphasen, die gem¨

aß Abbildung 7.8 beim Re-

ferenzverfahren OM-V-R am geringsten ausgepr¨

agt sind. Das kurzzeitige Auf-

klingen erscheint durch die spektrale Zusammensetzung der St¨

orsignale uS(n)

begr¨

undet, da dieses f¨

ur die breitbandigen St¨

orsignale uN(n) in dieser Form

nicht beobachtet werden kann.

Mit dem breitbandigen St¨

orsignal uN(n) ist beim Verfahren OM-K zum En-

de des RL-Zyklus eine Zunahme des Fehlers zu verzeichnen. Dennoch empfiehlt

sich das LMS-basierte Verfahren als Alternative zum Ansatz OM-L, da dieses

mit einer geringeren Komplexit¨

at eine als passabel einzustufende D¨

ampfung

von breitbandigen St¨

orsignalen in beiden Zyklen erlaubt. Allerdings eignet

6Liegt ein physikalisches System zu Grunde, bei dem sich die Variation der Parameter

durch qˆp(n)≈qˆs(n) absch¨

atzen l¨

asst, sind mit den Verfahren OM-L und OM-V-R vergleich-

bare Ergebnisse zu erwarten. Dennoch weist f¨

ur diesen Fall das Verfahren OM-V-R nach

wie vor die einfachere Abstimmung der Adaptationsparameter auf.

130 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

sich das Verfahren OM-K nicht f¨

ur die D¨

ampfung der schmalbandigen St¨

orsig-

nale uS(n). Dies wird besonders beim FL-Zyklus deutlich, der h¨

ohere Anforde-

rungen an das Tracking stellt. F¨

ur h¨

ohere D¨

ampfungen durch ein verbessertes

Tracking ist daher das Verfahren OM-V-R zu pr¨

aferieren.

Grafische Darstellung der St¨

orsignald¨

ampfung

In Abbildung 7.9 sind die aktiven St¨

orsignald¨

ampfungen der ERLS-basierten

Verfahren OM-L und OM-V-R zum Vergleich mit den Ergebnissen einer passi-

ven Schalld¨

ampfung f¨

ur die schmalbandigen St¨

orger¨

ausche uS(n) dargestellt.

F¨

ur tieffrequente Signale unterhalb von f < 0,2 kHz sowie im Frequenzbereich

von 0,4 kHz < f < 0,7 kHz erlauben die durch Querschnittsspr¨

unge bedingten

Reflexionen keine akzeptable passive D¨

ampfung.

Eine aktive D¨

ampfung sorgt dagegen f¨

ur eine deutliche Verbesserung. W¨

ah-

rend mit dem Konzept OM-L zus¨

atzliche tieffrequente Artefakte vorhanden

sind, reduziert das Referenzverfahren OM-V-R dort die St¨

orger¨

ausche deut-

lich. Aufgrund des Kovarianzmanagements und des dadurch bedingten besse-

ren Trackings ist mit dem Referenzverfahren im mittleren Frequenzbereich f¨

beide Zyklen erwartungsgem¨

aß eine h¨

ohere D¨

ampfung zu verzeichnen.

Bewertung

Bei den OM-Verfahren ist von Vorteil, dass f¨

ur die Online-Modellierung des

Sekund¨

arpfads nur eine Fehlergleichung minimiert werden muss. Die h¨

aufig

als Nachteil angef¨

uhrte Tatsache einer nicht sichergestellten Identifikation der

Ubertragungspfade erscheint im Kontext eines ANC-Systems nicht relevant.

Im Vergleich mit den aus der Literatur bekannten Verfahren f¨

uhren die

im Referenzverfahren OM-V-R verwendeten Ans¨

atze zu einer deutlichen Er-

h¨

ohung der St¨

orsignald¨

ampfungen. Auch wenn die ERLS-basierten Konzepte

durch ihr Tracking-Verhalten zu besseren Resultaten f¨

uhren, darf nicht ver-

gessen werden, dass diese mit der Komplexit¨

at O{max{L2,[M+N]2}} bei

einer Implementierung f¨

ur Realzeitanwendungen leistungsf¨

ahige Signalprozes-

soren erfordern. Dennoch ließe sich mit den Anforderungen in Tabelle 7.1 das

Verfahren OM-V-R auf zurzeit aktuellen Signalprozessoren mit Fließkomma-

arithmetik implementieren. F¨

ur h¨

ohere Filterordnungen bietet sich beispiels-

weise die Verteilung des adaptiven Filters zur Erzeugung des Gegenschallsig-

nals und der adaptiven Filter zur Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads auf

zwei Prozessoren an.

Stehen aus wirtschaftlichen Gr¨

unden keine leistungsf¨

ahigen Prozessoren

zur Verf¨

ugung, stellt das Verfahren OM-K eine Alternative dar. Ob jedoch die

Tracking-Eigenschaften zufriedenstellend sind, ist gem¨

aß den Anforderungen

abzuw¨

agen. Zuk¨

unftigen Arbeiten bleibt es daher vorbehalten, die Komple-

xit¨

at der ERLS-basierten Verfahren zu reduzieren, um den Einsatz auch in

kostensensiblen Anwendungen zu erm¨

oglichen.

7.3 Simulationsergebnisse 131

0,8

0,6

0,4

0,2

−50 −40 −30 −20 −10 0

uSin dB

FL-Zyklus RL-Zyklus

FL-Zyklus ohne ANC RL-Zyklus ohne ANC

FL-Zyklus OM-L RL-Zyklus mit OM-L

FL-Zyklus OM-V-R RL-Zyklus mit OM-V-R

fin kHz

t/st/s

Abbildung 7.9: Spektrogramme der erzielten St¨

orsignald¨

ampfungen ohne ANC, mit

dem Verfahren OM-L ohne Kovarianzmanagement sowie mit dem Re-

ferenzverfahren OM-V-R

132 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

Anhand der verwendeten Stimulussignale, die reale Betriebsbedingungen

innerhalb einer PKW-Abgasanlage widerspiegeln, sind mit dem Referenzver-

fahren in der Simulation D¨

ampfungen erzielt worden, die f¨

ur einen realen akti-

ven Abgasschalld¨

ampfer ebenfalls erstrebenswert w¨

aren. Die verbesserte OM-

Struktur empfiehlt sich daher in Kombination mit dem MCERLS-Algorithmus

f¨

ur den praktischen Einsatz in einem ANC-System zur aktiven Abgasschall-

d¨

ampfung, wobei bez¨

uglich einer praxistauglichen Implementierung die Gene-

rierung des Referenzsignals zu modifizieren ist.

7.3.3 Bewertung der Online-Modellierung

0,20,3 0,40,50,60,7 0,80,9 1

−60

−50

−40

−30

−20

−10

f/kHz

|S|in dB

ϑ0= 200◦C

V0= 3 m/s

ϑ0= 270◦C

V0= 16 m/s

ϑ0= 340◦C

V0= 22 m/s

Abbildung 7.10: Normierte Amplitudeng¨

ange des Sekund¨

arpfads f¨

ur ausgew¨

ahlte Ab-

gastemperaturen ϑ0und Str¨

omungsgeschwindigkeiten V0

In Abbildung 7.10 sind zun¨

achst exemplarisch die Amplitudeng¨

ange des in

der Simulation zu Grunde gelegten Sekund¨

arpfads f¨

ur ausgew¨

ahlte Tempera-

turen und Str¨

omungsgeschwindigkeiten des Abgases dargestellt. Idealerweise

sollte der Amplitudengang konstant verlaufen. In einem R¨

ohrensystem weist

dieser jedoch h¨

aufig Welligkeiten in Form von Resonanzen auf, die es durch eine

geeignete geometrische Auslegung im relevanten Frequenzbereich zu reduzie-

ren gilt. Obwohl gem¨

aß Abbildung 7.4 der Amplitudengang der Sekund¨

arquelle

oberhalb von etwa f > 0,4 kHz stark abf¨

allt, konnte durch eine geschickte geo-

metrische Dimensionierung des Koaxialschalld¨

ampfers erreicht werden, dass

sich im wichtigen Frequenzbereich von f < 0,7 kHz, der Amplitudengang des

Sekund¨

arpfads relativ ausgeglichen gestaltet. Die erzielten Verl¨

aufe sind f¨

diesen Bereich als akzeptabel zu bewerten [KT93].

Nachdem das Kovarianzmanagement sowie die verschiedenen Ans¨

atze zur

Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads untersucht worden sind, sollen die er-

zielten St¨

orsignald¨

ampfungen qualitativ und quantitativ eingeordnet werden.

Zur Einordnung bietet sich ein Vergleich der D¨

ampfungen an, die sich zum

einen mit dem Referenzverfahren OM-V-R sowie zum anderen mit S(z) =

S(z) = 1 und einem optimal gesch¨

atzten Sekund¨

arpfad erzielen lassen.

7.3 Simulationsergebnisse 133

St¨

orsignal Zyklus S(z) = ˆ

S(z) = 1 ˆ

S(z) optimal OM-V-R

Din dB Din dB Din dB

uS(n)FL 16,2 15,8 12,8

RL 21,3 20,5 19,7

uN(n)FL 14,5 13,2 11,4

RL 14,8 13,5 12,6

Tabelle 7.5: St¨

orsignald¨

ampfungen mit idealem Sekund¨

arpfad, optimal gesch¨

atztem

Sekund¨

arpfad und mit einer Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads

F¨

ur den optimal gesch¨

atzten Sekund¨

arpfad wurde die L¨

ange der Impuls-

antwort ˆs(n) zu N= 1024 = Ngew¨

ahlt. Die resultierenden St¨

orsignald¨

amp-

fungen sind in Tabelle 7.5 zusammengefasst. Die mit dem Referenzverfah-

ren OM-V-R erzielten D¨

ampfungen erreichen nahezu die unter idealen Bedin-

gungen vorliegenden Werte, wobei erwartungsgem¨

aß f¨

ur S(z) = ˆ

S(z) = 1 die

gr¨

oßten D¨

ampfungen zu verzeichnen sind.

Fehlerverl¨

aufe und Bewertung

Wie den Fehlerverl¨

aufen in Abbildung 7.11 zu entnehmen, sind zum Ende der

Zyklen zunehmende Abweichungen zwischen den idealen Annahmen und der

S(z) = ˆ

S(z) = 1 ˆ

S(z) optimal OM-V-R

FL-Zyklus mit uS(n)RL-Zyklus mit uS(n)

FL-Zyklus mit uN(n)RL-Zyklus mit uN(n)

t/ st/ s

ξ(n) in dB

−10−10

−20−20

−30−30

2020

Abbildung 7.11: Fehlerverl¨

aufe zur Bewertung der Online-Modellierung

134 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads festzustellen. Diese bedingen die etwas

geringeren D¨

ampfungen. Das bisher bei den schmalbandigen Signalen uS(n) zu

beobachtende kurzzeitige sprunghafte Aufklingen des Fehlers kann damit auf

die Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads zur¨

uckgef¨

uhrt werden.

Das Referenzverfahren OM-V-R l¨

asst sich gem¨

aß den Simulationsergeb-

nissen als ein geeignetes Konzept zur aktiven St¨

orsignald¨

ampfung bei einer

gleichzeitigen Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads bewerten. Im Vergleich

mit den anderen untersuchten Verfahren zur Online-Modellierung erreicht das

Referenzverfahren die geringste Diskrepanz gegen¨

uber den Resultaten eines

optimal gesch¨

atzten Sekund¨

arpfads.

7.3.4 Str¨

omungsinduziertes Rauschen

St¨

orsignal Zyklus σ2

t,x =σ2

t,e = 0 σ2

t,x =σ2

t,e = 10−5/[m/s]2

Din dB Din dB

uS(n)FL 18,3 12,8

RL 23,9 19,7

uN(n)FL 11,4 11,4

RL 12,7 12,6

Tabelle 7.6: St¨

orsignald¨

ampfungen mit dem Verfahren OM-V-R unter dem Einfluss

von str¨

omungsinduziertem Rauschen im Referenz- und Fehlersignal

In Tabelle 7.6 sind die Auswirkungen der str¨

omungsinduzierten St¨

orantei-

le auf die D¨

ampfungen dargestellt, wobei die Vorgabe eines endlichen Signal-

Rausch-Verh¨

altnisses mit σ2

M,x =σ2

M,e = 10−4weiterhin Bestand hatte. Es

l¨

asst sich res¨

umieren, dass bei den schmalbandigen St¨

orsignalen uS(n) eine

deutliche Verschlechterung der D¨

ampfung durch das str¨

omungsinduzierte Rau-

schen festgestellt werden kann, w¨

ahrend bei den breitbandigen Signalen uN(n)

die erzielten Resultate davon unbeeinflusst bleiben.

Fehlerverl¨

aufe und Bewertung

Das str¨

omungsinduzierte Rauschen beeinflusst vor allem das Fehlersignal, da

dieses durch die aktive D¨

ampfung zwangsl¨

aufig nur einen geringen Signalpe-

gel aufweist. Kann kein ausreichender St¨

orabstand sichergestellt werden, limi-

tiert das str¨

omungsinduzierte Rauschen, wie zuvor angedeutet und in Abbil-

dung 7.12 f¨

ur die schmalbandigen St¨

orsignalen uS(n) dargestellt, die erreich-

bare St¨

orsignald¨

ampfung.

Bei den breitbandigen St¨

orsignalen uN(n) bleibt dagegen der St¨

orabstand,

begr¨

undet durch die im Vergleich zu den schmalbandigen Signalen uS(n) ge-

ringeren D¨

ampfungen, auch unter turbulentem Str¨

omungseinfluss groß genug,

so dass kein Anstieg des Fehlers verzeichnet werden kann.

7.3 Simulationsergebnisse 135

σ2

t,x =σ2

t,e = 0 σ2

t,x =σ2

t,e = 10−5/[m/s]2

FL-Zyklus mit uS(n)RL-Zyklus mit uS(n)

FL-Zyklus mit uN(n)RL-Zyklus mit uN(n)

t/ st/ s

ξ(n) in dB

−10−10

−20−20

−30−30

−40−40

2020

Abbildung 7.12: Fehlerverl¨

aufe ohne sowie mit str¨

omungsinduziertem Rauschen im

Referenz- und Fehlersignal

F¨

ur eine praktische Implementierung zeigen die Simulationsergebnisse, dass

eine Reduzierung der str¨

omungsinduzierten Anteile durch eine ad¨

aquate Aus-

legung der Messwerterfassung gem¨

aß den Ausf¨

uhrungen im Abschnitt 4.2.3

unbedingt zu empfehlen ist. Schließlich reglementieren die St¨

orabst¨

ande des

Referenz- und Fehlersignals die maximal erreichbaren D¨

ampfungen.

136 Kapitel 7 Simulationstechnische Untersuchungen

Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurden Algorithmen f¨

ur adaptive Digitalfilter zur aktiven

Schalld¨

ampfung in R¨

ohrensystemen vorgestellt und untersucht, die im Rahmen

einer Online-Modellierung zus¨

atzlich die Ber¨

ucksichtigung eines zeitvarianten

Sekund¨

arpfads erm¨

oglichen. Die Algorithmen basierten auf einem erweiterten

Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate. Bei diesen ERLS-Verfahren k¨

onnen

mit Hilfe von Adaptationsparametern die Kovarianzmatrizen und damit das

Tracking-Verhalten beziehungsweise die resultierende St¨

orsignald¨

ampfung di-

rekt beeinflusst werden. Daher wurde ein Kovarianzmanagement erarbeitet,

welches ein verbessertes Tracking erm¨

oglicht und ebenfalls eine vereinfachte

Abstimmung der Adaptationsparameter aufweist.

Die Untersuchung der adaptiven Konzepte erfolgte simulationstechnisch,

da sich auf diese Weise das Potenzial der Verfahren direkt vergleichen und

bewerten l¨

asst. Im Gegensatz zu den bisher zu dieser Thematik durchgef¨

uhr-

ten Arbeiten kam zur Simulation von zeitvariantem Systemverhalten nicht ein

stochastisches Modell auf der Grundlage von messtechnisch ermittelten akus-

tischen ¨

Ubertragungsfunktionen und Gauß-Markov-Prozessen zum Einsatz,

sondern die Algorithmen wurden direkt im Kontext eines Simulationsmodells

eingebunden, dessen zeitvariantes Verhalten einem physikalisch motivierten

mathematischen Modell eines R¨

ohrensystems entspringt. Diesbez¨

uglich sollte

das Konzept eines aktiven Abgasschalld¨

ampfers f¨

ur einen PKW simuliert wer-

den. Die daf¨

ur erforderliche akustische Modellierung von R¨

ohrensystemen the-

matisierte der erste Teil der Arbeit, w¨

ahrend im zweiten Teil die Algorithmen

f¨

ur eine aktive D¨

ampfung von St¨

orger¨

auschen mit Hilfe eines ANC-Systems

im Mittelpunkt standen.

Zusammenfassung zur akustischen Modellierung

Zur Beschreibung der Schallausbreitung in R¨

ohren stellten zun¨

achst die von

Kirchhoff im Neunzehnten Jahrhundert formulierten Gleichungen den Aus-

gangspunkt dar. Diese erlauben eine r¨

aumliche Beschreibung des Schallfelds

in R¨

ohren mit konstanter Querschnittsfl¨

ache f¨

ur den Grundmodus.

137

138 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit war jedoch nicht das genaue r¨

aumliche Schallfeld in der

R¨

ohre von Interesse. Vielmehr sollte das ¨

Ubertragungsverhalten durch ein

akustisches Leitungsmodell auf der Grundlage des Ausbreitungsmaßes charak-

terisiert werden. Das Ausbreitungsmaß wurde approximativ und analytisch

aus der exakten Kirchhoff-L¨

osung f¨

ur unterschiedliche Randbedingungen an

den W¨

anden hergeleitet. Die Betrachtungen beschr¨

ankten sich nicht nur auf

die im zweiten Teil der Arbeit f¨

ur die Simulation ben¨

otigten mathematischen

Modelle, sondern thematisierten ebenfalls bisher in dieser Form nicht pr¨

asen-

tierte Ans¨

atze zur Ber¨

ucksichtigung unterschiedlicher Randbedingungen, wie

beispielsweise die von nicht-ideal schallharten W¨

anden.

Mit den f¨

ur unterschiedliche Randbedingungen approximierten Ausbrei-

tungsmaßen lassen sich im Vergleich mit den berechnungstechnisch wesentlich

aufw¨

andigeren Referenzl¨

osungen von Kirchhoff Resultate mit akzeptabler

Genauigkeit erzielen. Nachdem sich ein akustischer Wellenleiter durch ein an-

gen¨

ahertes Ausbreitungsmaß charakterisieren ließ, wurden Ans¨

atze zur Model-

lierung von R¨

ohrensystemen durch Zweitore vorgestellt, die ¨

Anderungen der

Querschnittsfl¨

ache, nicht-ideale Eigenschaften der Schallquellen, Abzweigun-

gen oder ein str¨

omendes Medium ber¨

ucksichtigen.

Die Validierung eines mathematischen R¨

ohrenmodells erfolgte anhand eines

physikalischen R¨

ohrensystems aus PVC. Dazu wurden die im abgezweigten

Auslass messtechnisch ermittelten ¨

Ubertragungseigenschaften mit den berech-

neten Verl¨

aufen verglichen. Das vorgestellte Modell zur Ber¨

ucksichtigung von

nicht-ideal schallharten W¨

anden erlaubt gegen¨

uber dem Modell f¨

ur ideal schall-

harte W¨

ande eine bessere Absch¨

atzung der Resonanzspitzen. Weitere validie-

rende Untersuchungen sind diesbez¨

uglich allerdings zu empfehlen.

Gem¨

aß dem Ergebnis der Validierung erscheint auf der Basis einer Zwei-

tormodellierung die Absch¨

atzung des charakteristischen ¨

Ubertragungsverhal-

tens eines R¨

ohrensystems mit einer ausreichenden Genauigkeit m¨

oglich. Die

Genauigkeit l¨

asst sich erh¨

ohen, indem der Einfluss von evaneszenten Moden

im Bereich von Abzweigungen durch die Korrektur einzelner L¨

angen im Geo-

metriemodell ber¨

ucksichtigt wird. Liegt ein Zweitormodell zu Grunde, stellen

neben korrigierten L¨

angen auch zus¨

atzlich einzubettende Zweitore eine Alter-

native dar. Die Bestimmung allgemeiner Korrekturgr¨

oßen sowie die strukturel-

le Zusammensetzung der Zweitore bleibt jedoch mit Hilfe von nummerischen

Berechnungsverfahren weiteren Arbeiten vorbehalten.

Zusammenfassung zur aktiven Schalld¨

ampfung

Im zweiten Teil der Arbeit wurden ERLS-basierte Algorithmen f¨

ur die akti-

ve D¨

ampfung von schmal- und breitbandigen St¨

orger¨

auschen untersucht. Die

Untersuchung der Algorithmen bez¨

uglich des Trackings beziehungsweise der

St¨

orsignald¨

ampfung erfolgte simulationstechnisch auf der Basis des mathe-

matischen Modells eines aktiven Abgasschalld¨

ampfers. Die daf¨

ur ben¨

otigten

Zusammenfassung und Ausblick 139

Schalldruck- und Temperaturcharakteristika wurden auf einem Fahrleistungs-

pr¨

ufstand in einem Abgasstrang eines PKWs f¨

ur unterschiedliche Fahrzyklen

gemessen, w¨

ahrend f¨

ur die Str¨

omungsgeschwindigkeit des Abgases heuristische

Absch¨

atzungen zum Einsatz kamen.

Die adaptiven Konzepte sollten neben einer Erzeugung des Gegenschallsig-

nals auch eine gleichzeitige Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads in einer

nicht-station¨

aren Umgebung erm¨

oglichen. Aus der Literatur sind zur Online-

Modellierung zwei Konzepte bekannt. Die AN-Verfahren identifizieren mit Hil-

fe eines Rauschsignals, welches ¨

uber den Lautsprecher abgestrahlt wird, den

Sekund¨

arpfad. Dagegen ben¨

otigen die OM-Verfahren zur Online-Modellierung

des Sekund¨

arpfads kein zus¨

atzliches Rauschsignal. In dieser Arbeit wurden die

OM-Verfahren aufgrund ihrer besseren Tracking-Eigenschaften pr¨

aferiert.

Die auf der Grundlage eines Kovarianzmanagements vorgestellten Ans¨

atze

f¨

uhren im Vergleich mit den aus der Literatur bekannten Verfahren sowohl bei

der Einbettung in bestehende ERLS-basierte OM-Konzepte als auch im Rah-

men eines verbesserten OM-Verfahrens zu den besten Ergebnissen bez¨

uglich

der D¨

ampfung von schmal- und breitbandigen St¨

orsignalen. Zus¨

atzlich weisen

die erarbeiteten Konzepte nur einen Adaptationsparameter auf, so dass sich

die Abstimmung des ANC-Systems wesentlich vereinfacht. Besonders deut-

lich wird die Leistungsf¨

ahigkeit der pr¨

asentierten Konzepte beim Vergleich

mit einem simulierten ANC-System, bei dem der Sekund¨

arpfad als optimal

gesch¨

atzt vorgegeben worden ist. Die mit den verbesserten OM-Verfahren er-

zielten St¨

orsignald¨

ampfungen erreichen nahezu die Resultate der optimalen

Sch¨

atzung. Die bisher h¨

aufig bevorzugten AN-Verfahren eigneten sich dagegen

nicht f¨

ur Anwendungen mit hohen Anforderungen an das Tracking.

Auch wenn die simulationstechnischen Untersuchungen f¨

ur die Randbedin-

gungen in einem PKW-Abgasstrang erfolgten, ist zu betonen, dass die vorge-

stellten Verfahren nicht auf den Einsatz in einem aktiven Abgasschalld¨

ampfer

limitiert sind. Vielmehr empfehlen sich die verbesserten Algorithmen f¨

ur An-

wendungen, bei denen mit den bisherigen Verfahren zur aktiven Schalld¨

amp-

fung und Online-Modellierung kein zufriedenstellendes Tracking geboten wer-

den konnte.

Ausblick zur aktiven Schalld¨

ampfung

Das erarbeitete Kovarianzmanagement st¨

utzt sich zur Abstimmung des ERLS-

Algorithmus auf die Vorgabe eines einzigen Parameters f¨

ur die Adaptation von

drei Filtern. Dieser Adaptationsparameter ist unter anderem in Abh¨

angigkeit

von der spektralen Zusammensetzung des St¨

orschalls und des Messrauschens

zu w¨

ahlen. Es stellt sich die Frage, ob dieser Parameter nicht ebenfalls adaptiv

im Betrieb bestimmt und nachgef¨

uhrt werden kann, um auf diese Weise schließ-

lich dem Wunsch nach einem vollst¨

andig autark arbeitenden ANC-System

nachzukommen.

140 Zusammenfassung und Ausblick

Die ERLS-basierten Verfahren weisen im Gegensatz zum LMS-Verfahren

eine quadratische Komplexit¨

at auf. F¨

ur eine praktische Implementierung wer-

den daher leistungsf¨

ahige Signalprozessoren ben¨

otigt. Weitere Arbeiten sollten

sich deshalb der Reduzierung des Berechnungsaufwands widmen.

Ein Ansatz zur D¨

ampfung von schmalbandigem L¨

arm besteht darin, das

vorgestellte Konzept in den Kontext eines Schmalband-ANC-Systems einzu-

betten. F¨

ur jede zu d¨

ampfende harmonische Schwingung ist ein Kompensati-

onsfilter vorzusehen, f¨

ur das lediglich jeweils zwei Filterkoeffizienten zu adap-

tieren sind. Dies f¨

uhrt in der Gesamtheit zu einer Reduzierung des Berech-

nungsaufwands, wobei die Online-Modellierung des Sekund¨

arpfads effizient zu

integrieren ist. Kommt dar¨

uber hinaus ein nicht-akustischer Sensor zur Erfas-

sung des Referenzsignals zum Einsatz, sind keine Maßnahmen zur Reduzierung

m¨

oglicher akustischer R¨

uckkopplungen erforderlich.

F¨

ur ANC-Anwendungen, bei denen akustische R¨

uckkopplungen nur durch

ein zus¨

atzliches adaptives Filter ged¨

ampft werden k¨

onnen, ist dagegen zu un-

tersuchen, ob sich eine verbesserte aktive Schalld¨

ampfung in Kombination mit

einer ERLS-basierten D¨

ampfung der R¨

uckkopplungen erzielen l¨

asst.

ANHANG A

Thermodynamik von Gasen

A.1 Viskosit¨

Bei Gasen h¨

angen die Viskosit¨

at ηund die thermische Leitf¨

ahigkeit κnur

von der Temperatur ab. Nach [Suth93] l¨

asst sich basierend auf der kinetischen

Gastheorie f¨

ur ein ideales Gas mit idealisierten Molekularkr¨

aften die Viskosit¨

bei der Temperatur T0durch die semi-empirische Formel

η=ηref

Tref +TS

T0+TST0

Tref 3/2

(A.1)

berechnen. Die Referenzviskosit¨

at ηref liegt bei der Referenztemperatur Tref

vor. Die obige Gleichung wird auch als Gesetz von Sutherland bezeichnet.

F¨

ur Luft lassen sich die Konstanten zu

ηref = 1,846 ·10−5kg/[ms],(A.2a)

Tref = 300 K,(A.2b)

TS= 110,4 K (A.2c)

angeben [Pier81]. Die Gr¨

oße TSwird auch als Sutherland-Konstante oder

Sutherland-Temperatur bezeichnet.

A.2 Thermische W¨

armeleitf¨

ahigkeit

F¨

ur ein ideales Gas kann zur Beschreibung einer temperaturabh¨

angigen ther-

mischen Leitf¨

ahigkeit ebenfalls eine semi-empirische Formel zum Einsatz kom-

men. Diese lautet

κ=κref

Tref +TAe−TB/Tref

T0+TAe−TB/T0T0

Tref 3/2

.(A.3)

141

142 Anhang A Thermodynamik von Gasen

Bei der Referenztemperatur Tref besitzt das Gas die thermische Leitf¨

ahig-

keit κref . F¨

ur Luft ergeben sich die Konstanten zu

κref = 2,625 ·10−2W/[mK],(A.4a)

Tref = 300 K,(A.4b)

TA= 245,4 K,(A.4c)

TB= 27,6 K.(A.4d)

A.3 Schallgeschwindigkeit

F¨

ur die Schallgeschwindigkeit liegt eine Temperaturabh¨

angigkeit der Form

c=pCpvRT0(A.5)

vor [Pier81]. F¨

ur Luft ergeben sich die Konstanten zu

Cpv = 1,4,(A.6a)

R= 287.(A.6b)

A.4 Dichte

Mit Gleichung (A.5) und RT0=P0/ρ0kann f¨

ur die Dichte eines idealen Gases

der Zusammenhang

ρ0=CpvP0

c2(A.7)

angeben werden [Pier81]. F¨

ur Luft ergeben sich mit der Schallgeschwindigkeit

aus Gleichung (A.5) die Konstanten zu

Cpv = 1,4,(A.8a)

P0= 101325 Pa,(A.8b)

wobei P0den statischen Luftdruck repr¨

asentiert.

A.5 Spezifische W¨

armekapazit¨

F¨

ur die Temperaturabh¨

angigkeit der spezifischen W¨

arme bei konstantem Druck

l¨

asst sich mit den Konstanten aus den Gleichungen (A.6) die Beziehung

Cp=Cpv

Cpv −1R(A.9)

f¨

ur ein ideales Gas angeben [Pier81].

ANHANG B

Bestimmung der Quellenparameter

B.1 Vorbemerkungen

p0pn

Abbildung B.1: Th´

evenin-Quelle mit dem Urschalldruck p0und der Innenimpe-

danz Z0sowie den Lastimpedanzen Zn

F¨

ur die Bestimmung der Parameter p0und Z0der Th´

evenin-Quelle in

Abbildung B.1 werden 1 ≤n≤MR¨

ohren mit konstantem Querschnitt sowie

einseitig schallhartem Abschluss verwendet. Mit den komplexen Amplituden

der Schalldr¨

ucke l¨

asst sich f¨

ur M > 2 zun¨

achst das Gleichungssystem







Z1−p1

Z2−p2

ZM−pM





"p0

Z0#=





Z1p1

Z2p2

ZMpM







(B.1)

aufstellen. Die beteiligten Gr¨

oßen sind frequenzabh¨

angig, wobei im Weiteren

auf die Angabe des Arguments verzichtet wird. Die Eingangsimpedanzen der

einzelnen Lastelemente ergeben sich aus der Impedanzmatrix (2.13) zu

Zn=ZL,n coth (γnln).(B.2)

Es empfiehlt sich, die L¨

angen lnso zu w¨

ahlen, dass jeweils mindestens ein

Druckminima im relevanten Frequenzbereich ∆f =fL−f1vorhanden ist.

Diese Bedingung f¨

uhrt mit Gleichung (B.2) auf

ln>

2γn≈c

4fL

=λL

4.(B.3)

143

144 Anhang B Bestimmung der Quellenparameter

B.2 Praktische Durchf¨

uhrung

PC mit

Soundkarte

uM,n

uVpn

Mikrofon

Earthworks OM1

Lautsprecher

Abbildung B.2: Schematischer Messaufbau zur Bestimmung der Quellenparameter

mit einem Schieber zur Einstellung der wirksamen L¨

ange lnbei einem

R¨

ohrenradius von rw= 28,5 mm

Bei der praktischen Parameterbestimmung lag der Messaufbau in Abbil-

dung B.2 zu Grunde. Der Lautsprecher wird mit der Spannung uVangeregt

und erzeugt den Schalldruck p0, w¨

ahrend das Mikrofon den erfassten Schall-

druck pnin die Spannung uM,n umwandelt. Der Zusammenhang zwischen den

akustischen und elektrischen Gr¨

oßen kann mit den ¨

Ubertragungsfunktionen k0

und kdurch

p0=k0uVund pn=uM,n

k(B.4)

hergestellt werden. Auf der Basis des gemessenen Schalldrucks pnwird jeweils

die ¨

Ubertragungsfunktion Hn=uM,n/uVf¨

ur Frequenzen f1≤fk≤fLermit-

telt. Die Angabe des Arguments fkerfolgt im Weiteren nur dort, wo dies n¨

otig

erscheint. Der Zusammenhang zwischen p0und pnl¨

asst sich mit K0=k0k

und den ermittelten ¨

Ubertragungsfunktionen Hnzu

Hp=pn

k0uV

uM,n

k=K−1

0Hn(B.5)

formulieren. Nach dem Einsetzen von pn=K−1

0Hnp0in Gleichung (B.1) erh¨

alt

man das Gleichungssystem







Z1−H1

Z2−H2

ZM−HM





"K0

Z0#=





Z1H1

Z2H2

ZMHM







.(B.6)

Die Verwendung der ¨

Ubertragungsfunktion K0erscheint praktikabler, da

diese im Gegensatz zum Urschalldruck

p0=K0

k(B.7)

B.2 Praktische Durchf¨

uhrung 145

ohne Kenntnis der Empfindlichkeit kdes Mikrofons bestimmt werden kann.

Die Bestimmung von Z0ist ebenfalls von kunabh¨

angig. Im betrachteten Fre-

quenzbereich l¨

asst sich kdurch eine reelle Konstante absch¨

atzen.

Die Parameter K0und Z0der Th´

evenin-Quelle ergeben sich f¨

ur die Fre-

quenzen fkdurch eine Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers

n=1 |ZnK0−Z0Hn−ZnHn|2(B.8)

"K0

Z0#=1

∆







n=1 |Hn|2

n=1

Z∗

nHn

n=1

ZnH∗

n=1 |Zn|2













n=1 |Zn|2Hn

−

n=1

Zn|Hn|2







(B.9)

mit

∆=

n=1 |Zn|2

i=1 |Hi|2−

n=1

Z∗

nHn

.(B.10)

B.2.1 L¨

angenoptimierung

Die bei der Berechnung der Eingangsimpedanzen (B.2) verwendeten L¨

angen ln

sowie die Eigenschaften des Mediums ¨

uben einen großen Einfluss auf die Ge-

nauigkeit der Gr¨

oßen K0und Z0aus. Die Bestimmung von lnmit Hilfe der

gemessenen ¨

Ubertragungsfunktionen Hnist der mechanischen Bestimmung

weit ¨

uberlegen.

Die L¨

angen k¨

onnen vor der eigentlichen Parameterbestimmung mit Glei-

chung (B.9) auf der Grundlage von Hndurch Auswertung der Minima ge-

sch¨

atzt werden. Diese treten bei den Frequenzen fmin,k auf, so dass sich mit K

Minima im Bereich ∆f die L¨

angen n¨

aherungsweise zu

ln,min ≈1

k=1

[2k−1] π

2 Im{γn(fmin,k)}(B.11)

berechnen. Zur Erh¨

ohung der Frequenzaufl¨

osung lassen sich Interpolations-

techniken verwenden. Alternativ dazu kann auch die normierte Fehlerfunktion

ˆe=1

fL−f1+ 1

k=1

e(fk)

n=1 |Zn(fk)Hn(fk)|2(B.12)

146 Anhang B Bestimmung der Quellenparameter

zur Bestimmung von lnzum Einsatz kommen [KLB92].1Ein Optimierungs-

verfahren variiert dazu lndergestalt, dass der obige Fehler auf der Grundlage

der diesbez¨

uglich berechneten Eingangsimpedanzen (B.2) sowie der nach Glei-

chung (B.9) bestimmten Quellenparameter iterativ minimiert wird.

B.2.2 Untersuchungen zur Bestimmung der Quellenparameter

Die ¨

Ubertragungsfunktionen Hnwurden f¨

ur L¨

angen 20 mm ≤ln≤290 mm im

aquidistanten Abstand von ∆ln= 10 mm sowie mit einer Frequenzaufl¨

osung

von fres = 1 Hz gemessen. Die Berechnung der Eingangsimpedanzen basierte

auf dem Ausbreitungsmaß von Stinson f¨

ur ideal schallharte und isotherme

W¨

ande aus dem Abschnitt 1.2.3.

F¨

ur die Sch¨

atzung der L¨

angen ln,min mit Hilfe der Schalldruckminima

gem¨

aß Gleichung (B.11) kam eine Spline-Interpolation zur Erh¨

ohung der Fre-

quenzaufl¨

osung zum Einsatz [SK06]. Dar¨

uber hinaus erfolgte die Bestimmung

von ln,opt durch eine Minimierung des Fehlers ˆemit dem Verfahren der kleins-

ten Fehlerquadrate [PTVF07]. Als Startwerte wurden die L¨

angen ln,min ver-

wendet. F¨

ur Lastelemente mit ln<100 mm k¨

onnen f¨

ur fL= 1 kHz keine

Minima ausgewertet werden, so dass dort die mechanisch bestimmten L¨

angen

als Startwerte fungierten.

R¨

ohre mechanische Messung aus Schalldruckminima nach Optimierung

n lnin mm ln,min in mm ln,opt in mm

1 20 −17,8

2 100 97,3 98,2

3 130 127,3 127,5

4 170 165,6 165,2

5 210 203,6 204,2

6 250 244,6 245,7

ˆe8·10−45·10−49·10−5

Tabelle B.1: L¨

angen der Lastelemente bei Bestimmung aus den Schalldruckminima

und nach einer nummerischen L¨

angenoptimierung sowie Angabe des je-

weils verbleibenden Fehlers (B.12)

Die Untersuchung bez¨

uglich des Fehlers ˆezeigte, dass es weniger auf die

Anzahl Mder verwendeten R¨

ohren ankommt, sondern vielmehr auf eine ge-

schickte kombinierte Auswahl der L¨

angen. Eine Erh¨

ohung der an der Para-

meterbestimmung beteiligten Lastelemente f¨

uhrte nicht zwangsl¨

aufig zu einer

1Die optimierten L¨

angen der Lastelemente entsprechen nat¨

urlich nicht exakt den tat-

s¨

achlich mechanisch vorliegenden L¨

angen, sondern sind als ¨

aquivalente Gr¨

oßen zu inter-

pretieren, die unter den real vorliegenden Temperatureinfl¨

ussen den Fehler optimal mini-

mieren.

B.2 Praktische Durchf¨

uhrung 147

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

−10

−20

−30

−40

−50

−π

−2π

−3π

f/kHz

|K0|in dB

f/kHz

arg{K0}in rad

mechanisch Schalldruckminima Optimierung

Abbildung B.3: Betrag und Phase des Quellenparameters K0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

−10

−20

π/2

π/4

−π/4

−π/2

f/kHz

|Z0/ZL0|in dBarg{Z0}in rad

mechanisch Schalldruckminima Optimierung

Abbildung B.4: Betrag und Phase des Quellenparameters Z0

148 Anhang B Bestimmung der Quellenparameter

0,20,3 0,40,50,6 0,70,80,9 1

−20

−40

−60

−80

f/kHz

Hnin dB

l1l2l3l4l5l6

Abbildung B.5: Gemessene ¨

Ubertragungsfunktionen Hn

Verringerung des Fehlers ˆe. Bereits mit 4 ≤M≤6 ließen sich gute Ergebnisse

erzielen. Diese sind f¨

ur die untersuchte Schallquelle f¨

ur M= 6 in Tabelle B.1

angegeben. Wie der Abbildung B.5 zu entnehmen, verteilen sich die ersten

Schalldruckminima ¨

uber den gesamten Frequenzbereich, w¨

ahrend f¨

ur l1kein

Druckminimum in der gemessenen ¨

Ubertragungsfunktion enthalten ist.

B.2.3 Quellenparameter

Die Genauigkeit l¨

asst sich bez¨

uglich des in Tabelle B.1 angegebenen Fehlers ˆe

sowohl durch Auswertung der Druckminima als auch durch eine nummeri-

schen L¨

angenoptimierung gegen¨

uber einer mechanischen L¨

angenmessung er-

h¨

ohen. Die nach Gleichung (B.9) ermittelten Parameter k¨

onnen den Abbil-

dungen B.3 und B.4 entnommen werden.

Aufgrund der unterschiedlich zu Grunde gelegten L¨

angen der Lastelemente

sind im Bereich 0,4 kHz < f < 0,8 kHz Abweichungen zwischen den bestimm-

ten Quellenparametern festzustellen. Die im zweiten Teil der Arbeit f¨

ur die

Modellierung der Sekund¨

arquelle verwendeten Parameter basieren auf den Er-

gebnissen der nummerischen L¨

angenoptimierung.

ANHANG C

MFx-Struktur und Adaptationsalgorithmen

C.1 MFx-Struktur

P(z)

S(z)

W(z)

d(n)

Hx(z)

x(n)

u(n)e(n)

y(n)

ys(n)

˜x(n)dˆw(n)dˆs(n)

ǫ(n)

∆e(n)

Adaptations-

algorithmus

Abbildung C.1: Blockschaltbild der MFx-Struktur [Bron93]

In die MFx-Struktur, welche in Abbildung C.1 dargestellt ist, lassen sich

alle vorgestellten Adaptationsalgorithmen einbetten. Durch die ¨

Uberlagerung

der prim¨

aren und sekund¨

aren Schallfelder steht das zur Korrektur ben¨

otig-

te Signal ys(n) messtechnisch nicht zur Verf¨

ugung. Es kann jedoch auf der

Grundlage einer Modellierung von ˆs(n) durch ein Transversalfilter mit den

Koeffizienten

s(n) = [ˆs0(n) ˆs1(n). . . ˆsN−1(n)]T(C.1)

sowie mit dem Ausgangssignalvektor

yˆs(n) = [y(n)y(n−1) . . . y(n−N+ 1)]T(C.2)

149

150 Anhang C MFx-Struktur und Adaptationsalgorithmen

die N¨

aherung

dˆs(n) =

N−1

i=0

ˆsi(n)y(n−i) = ˆ

sT(n)yˆs(n) (C.3)

formuliert werden. Dagegen ergibt sich das Ergebnis der anderen Faltungsrei-

henfolge zu

dˆw(n) =

L−1

i=0

ˆwi(n)˜x(n−i) = ˆ

wT(n)˜

x(n).(C.4)

Mit dem Differenzfehler

∆e(n) = dˆw(n)−dˆs(n) (C.5)

ist den Adaptationsalgorithmen anstelle von e(n) der korrigierte Fehler

ǫ(n) = e(n) + ∆e(n) (C.6)

zuzuf¨

uhren. Bei einer optimalen Vorgabe von ˆs(n) stellt der MFx-Algorithmus

sicher, dass der Adaptationsprozess nicht von den Eigenschaften des Sekund¨

ar-

pfads abh¨

angt. Um die Stabilit¨

at der in die MFx-Struktur eingebetteten Adap-

tationsalgorithmen sicherzustellen, muss die approximierte Impulsantwort ˆs(n)

mit einer entsprechenden Genauigkeit vorliegen. Kann das aufgrund von zeit-

varianten ¨

Ubertragungsstrecken nicht gew¨

ahrleistet werden, ist ˆs(n) mit den

Verfahren zur Online-Modellierung aus dem Kapitel 6zu sch¨

atzen.

C.2 Adaptationsalgorithmen

w(n+ 1)

e(n)

x(n)Adaptations-

algorithmus

Abbildung C.2: Definition der Ein- und Ausgangsgr¨

oßen

Die Algorithmen berechnen mit Hilfe der Eingangsgr¨

oßen x(n) und e(n)

den neuen Koeffizientenvektor ˆ

w(n+ 1), so dass sich mit der Definition in

Abbildung C.2 und anhand der in dieser Arbeit angegebenen Blockschaltbilder

direkt die relevanten Eingangsgr¨

oßen zuordnen lassen. F¨

ur die im Weiteren

verwendeten Vektoren gilt

x(n) = [x(n)x(n−1) . . . x(n−L+ 1)]T,(C.7a)

w(n) = [ ˆw0(n) ˆw1(n)... ˆwL−1(n)]T.(C.7b)

In einer MFx-Struktur ist der Fehler e(n) gem¨

aß Gleichung (C.6) durch die

korrigierende Gr¨

oße ǫ(n) zu ersetzen.

C.2 Adaptationsalgorithmen 151

C.2.1 Normalisierter LMS-Algorithmus

Initialisierung:

w(0) = 0L, 0 < α < 2, 0 < β < 1

Rekursion: n= 0...N

µ(n) = α

β+xT(n)x(n)

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−µ(n)x(n)e(n)

C.2.2 RLS-Algorithmus

Initialisierung:

w(0) = 0L

P(0) = c−1IL, 0 ≪λ≤1

Rekursion: n= 0...N

κ(n) = P(n)x(n)

λ+xT(n)P(n)x(n)

P(n+ 1) = λ−1P(n)−κ(n)xT(n)P(n)

w(n+ 1) = ˆ

w(n)−κ(n)e(n)

C.2.3 ERLS-Algorithmus

Initialisierung:

w(0) = 0L

M(0) = c−1

ˆwIL,aˆw≤1, q2

ˆw(n)

Rekursion: n= 0...N

r(n) = 1 + xT(n)M(n)x(n)

κ(n) = aˆwM(n)x(n)r−1(n)

M(n+ 1) = a2

ˆwM(n)−M(n)x(n)xT

(n)M(n)r−1(n)+q2

ˆw(n)IL

w(n+ 1) = aˆwˆ

w(n)−κ(n)e(n)

ANHANG D

Rekursive Sch¨

atzung statistischer Gr¨

oßen

Die rekursive Sch¨

atzung statistischer Gr¨

oßen ist gegen¨

uber einer Berechnung

mit einem gleitenden Fenster weniger aufw¨

andig. F¨

ur die folgenden Betrach-

tungen sei die ergodische Gr¨

oße x(n) gegeben, f¨

ur die im Intervall 1 ≤k≤n

der Mittelwert ¯x(n) sowie die Varianz σ2

x(n) rekursiv gesch¨

atzt werden sollen.

F¨

ur das Moment der Ordnung igelte [OS89,H¨

ans01]

m(i)

x(n) = Exi(n)≈1

k=1

xi(k).(D.1)

D.1 Rekursive Sch¨

atzung des Mittelwerts

Zur Sch¨

atzung des linearen Mittelwerts ¯x(n) = m(1)

x(n) lassen sich mit

¯x(n) = 1

k=1

x(k) = 1

n"x(n) +

n−1

k=1

x(k)#,(D.2a)

¯x(n−1) = 1

n−1

k=1

x(k) (D.2b)

die Rekursionsgleichungen zu

¯x(n) = 1−1

n¯x(n−1) + 1

nx(n) (D.3)

angeben. Diese Form der Sch¨

atzung basiert auf einer Langzeitmittelung, bei

der alle beobachteten Werte gleich gewichtet werden. Eine Kurzzeitmittelung

ist mit der Fensterl¨

ange W > 1 durch

¯x(n) = 1−1

W¯x(n−1) + 1

Wx(n) (D.4)

152

D.2 Rekursive Sch¨

atzung der Varianz 153

m¨

oglich, wobei der Beobachtungszeitraum n¨

aherungsweise durch Wbestimmt

wird. Bei dieser exponentiellen Gl¨

attung bekommen aktuelle Abtastwerte eine

gr¨

oßere Bedeutung. In dieser Arbeit hat sich W= 1000 bew¨

ahrt. Liegen bez¨

ug-

lich des Startwerts ¯x(0) = E{x(n)}keine verl¨

asslichen a priori Informationen

vor, kann dieser ebenfalls zu ¯x(0) = 0 gew¨

ahlt werden.

D.2 Rekursive Sch¨

atzung der Varianz

Die Varianz kann mit Hilfe des linearen und quadratischen Mittelwerts zu

σ2

x(n) = E[x(n)−¯x(n)]2=m(2)

x(n)−¯x2(n) (D.5)

angegeben werden. Das Einsetzen von Gleichung (D.3) sowie der rekursiven

Beziehung

m(2)

x(n) = 1−1

nm(2)

x(n−1) + 1

nx2(n) (D.6)

in die obige Gleichung (D.5) f¨

uhrt mit

σ2

x(n−1) = m(2)

x(n−1) −¯x2(n−1) (D.7)

schließlich auf die Rekursionsgleichung

σ2

x(n) = 1−1

nσ2

x(n−1) + 1

n[x(n)−¯x(n−1)]2.(D.8)

Diese erm¨

oglicht auf der Grundlage einer Langzeitmittelung die Sch¨

atzung der

Varianz. Eine Kurzzeitmittelung kann dagegen mit

σ2

x(n) = 1−1

Wσ2

x(n−1) + 1

W[x(n)−¯x(n−1)]2(D.9)

und der Fensterl¨

ange W > 1 erfolgen. Eine rekursive Sch¨

atzung der Varianz

erfordert damit ebenfalls eine rekursive Sch¨

atzung des Mittelwerts. Sind be-

z¨

uglich des Startwerts σ2

x(0) = E{[x(n)−¯x(n)]2}keine verl¨

asslichen a priori

Informationen vorhanden, bietet sich auch die Wahl von σ2

x(0) = 0 an.

154 Rekursive Sch¨

atzung statistischer Gr¨

oßen

Literaturverzeichnis

[AAK05] M. T. Akhtar, M. Abe, M. Kawamata: A New Structure for Feed-

forward Active Noise Control Systems With Improved Online Sec-

ondary Path Modeling. IEEE Transactions on Acoustics, Speech,

and Signal Processing 13(5), September 2005, S. 1082–1088.

[AAK06] M. T. Akhtar, M. Abe, M. Kawamata: A New Variable Step Size

LMS Algorithm-Based Method for Improved Online Secondary

Path Modeling in Active Noise Control Systems. IEEE Trans-

actions on Acoustics, Speech, and Signal Processing 14(2), March

2006, S. 720–726.

[Alex86] S. T. Alexander: Adaptive Signal Processing: Theory and Applica-

tions. Springer-Verlag, 1986.

[AS72] M. Abramowitz, I. A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical

Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. U.S.

Government Printing Office, 10. Auflage 1972.

[AV89] M. J. Anderson, P. G. Vaidya: Sound propagation in a waveguide

with finite thermal conduction at the boundary. Journal of the

Acoustical Society of America 86(6), December 1989, S. 2385–

2396.

[Balk02] T. Balkenhol: Adaptive Parametersch¨

atzung f¨

ur die Linearisie-

rung elektrodynamischer Lautsprecher, Diplomarbeit, Universit¨

Paderborn, Dezember 2002.

[Basu73] N. K. Basu: On Double Chebyshev Series Approximation. SIAM

Journal on Numerical Analysis 10(3), June 1973, S. 496–505.

[BBHK87] A. M. Bruneau, M. Bruneau, P. Herzog, J. Kergomard: Boundary

layer attenuation of higher order modes in waveguides. Journal of

Sound and Vibration 119(1), 1987, S. 15–27.

155

156 Literaturverzeichnis

[Beat50] R. E. Beatty, Jr.: Boundary Layer Attenuation of Higher Order

Modes in Rectangular and Circular Tubes. Journal of the Acous-

tical Society of America 22(6), November 1950, S. 850–854.

[Bena68] A. H. Benade: On the Propagation of Sound Waves in a Cylindrical

Conduit. Journal of the Acoustical Society of America 44(2), 1968,

S. 616–623.

[Bern99] D. P. Berners: Acoustics and signal processing techniques for phys-

ical modeling of brass instruments, Dissertation, Stanford Univer-

sity, July 1999.

[BLL02] M. R. Bai, Y. Lin, J. Lai: Reduction of electronic delay in active

noise control systems – A multirate signal processing approach.

Journal of the Acoustical Society of America 111(2), February

2002, S. 916–924.

[BO89] W. L. Brogan, R. L. Olson: On-line tuning methods for adapting

a Kalman filter to unknown noise statistics. IEEE Proceedings of

the 32nd Midwest Symposium on Circuits and Systems 2, August

1989, S. 881–886.

[Bod´e91] H. Bod´en: The multiple load method for measuring the source

characteristics of time-variant sources. Journal of Sound and Vi-

bration 148(3), 1991, S. 437–453.

[Bod´e95] H. Bod´en: On multi load methods for determination of the source

data of acoustic one port sources. Journal of Sound and Vibration

180(5), 1995, S. 725–743.

[Bron93] M. Bronzel: Aktive Beeinflussung nicht-station¨

arer Schallfel-

der mit adaptiven Digitalfiltern, Dissertation, Georg-August-

Universit¨

at zu G¨

ottingen, 1993.

[BSB93a] C. Bao, P. Sas, H. V. Brussel: Comparison of two on-line identifica-

tion algorithms for active noise control. Proceedings of the Second

Conference on Recent Advances in Active Control of Sound and

Vibration, April 1993, S. 38–51.

[BSB93b] C. Bao, P. Sas, H. V. Brussel: Adaptive active control of noise

in 3-D reverberant enclosures. Journal of Sound and Vibration

161(3), 1993, S. 501–514.

[BSZ+95] H. E. Bass, L. C. Sutherland, A. J. Zuckerwar, D. T. Blackstock,

D. M. Hester: Atmospheric absorption of sound: Further develop-

ments. Journal of the Acoustical Society of America 97(1), Janu-

ary 1995, S. 680–683.

Literaturverzeichnis 157

[Camp84] L. M. B. C. Campos: Some general properties of the exact acoustic

fields in horns and baffles. Journal of Sound and Vibration 95(2),

1984, S. 177–201.

[CB91] R. D. Ciskowski, C. A. Brebbia (Hrsg.): Boundary Element Meth-

ods in Acoustics. Computational Mechanics Publications Elsevier

Applied Science, 1991.

[CDF+92] D. G. Crighton, A. P. Dowling, J. E. Ffowcs Williams, M. Heckl,

F. G. Leppington: Modern Methods in Analytical Acoustics: Lec-

ture Notes. Springer-Verlag, 1992.

[CKL84] R. Causs´e, J. Kergomard, X. Lurton: Input impedance of brass mu-

sical instruments – Comparison between experiment and numer-

ical models. Journal of the Acoustical Society of America 75(1),

January 1984, S. 241–254.

[CM75] J. F. Clarke, M. McChesney: Dynamics of Relaxing Gases. But-

terworth & Co. Ltd, 2. Auflage 1975.

[CPHZ05] B. S. Cazzolato, D. Petersen, C. Q. Howard, A. C. Zander: Ac-

tive control of energy density in a one-dimensional waveguide: A

cautionary note (L). Journal of the Acoustical Society of America

117(6), June 2005, S. 3377–3380.

[Crem48] L. Cremer: ¨

Uber die akustische Grenzschicht vor starren W¨

anden.

Archiv der elektrischen ¨

Ubertragung 2, 1948, S. 136–139.

[Croc98] M. J. Crocker (Hrsg.): Handbook of Acoustics. John Wiley & Sons,

1998.

[CS97] D. H. Crawford, R. W. Stewart: Adaptive IIR filtered-v algorithms

for active noise control. Journal of the Acoustical Society of Amer-

ica 101(4), April 1997, S. 2097–2103.

[DD07] Z. Dayong, V. DeBrunner: Efficient Adaptive Nonlinear Filters for

Nonlinear Active Noise Control. IEEE Transactions on Circuits

and Systems I: Regular Papers 54(3), March 2007, S. 669–681.

[DNJ01] J. P. Dalmont, C. J. Nederveen, N. Joly: Radiation impedance of

tubes with different flanges: Numerical and experimental investi-

gations. Journal of Sound and Vibration 244(3), 2001, S. 505–534.

[EA89] L. J. Eriksson, M. A. Allie: Use of random noise for online trans-

ducer modeling in an adaptive active attenuation system. Journal

of the Acoustical Society of America 85(2), February 1989, S. 797–

802.

158 Literaturverzeichnis

[EAM+94] L. J. Eriksson, M. C. Allie, D. E. Melton, S. R. Popovich, T. A.

Laak: Fully adaptive generalized recursive control system for active

acoustic attenuation. IEEE International Conference on Acous-

tics, Speech, and Signal Processing – ICASSP-94 2, April 1994,

S. II-253–II-256.

[EB90] P. R. Enderle, G. R. Batta: Stability of active noise control systems

in ducts. Proceedings of the National Conference on Noise Control

Engineering – Noise-Con 90 68, October 1990, S. 167–172.

[ELA99] L. J. Eriksson, T. A. Laak, M. C. Allie: On-line Secondary Path

Modeling for FIR and IIR Adaptive Control in the Presence of

Acoustic Feedback. Proceedings of ACTIVE 1999 – The 1999 In-

ternational Symposium on Active Control of Sound and Vibration,

1999, S. 949–960.

[Erha91] C. A. Erhard: Str¨

omungsakustische und gasdynamische Untersu-

chungen an 3-Topf-Abgasanlagen, Dissertation, Universit¨

at Kai-

serslautern, 1991.

[Erik91] L. J. Eriksson: Development of the filtered-U algorithm for active

noise control. Journal of the Acoustical Society of America 89(1),

1991, S. 257–265.

[EZ93] K. Eghtesadi, E. Ziegler: Frequency domain adaptive control algo-

rithm for electronic muffler applications. Proceedings of the Second

Conference on Recent Advances in Active Control of Sound and

Vibration, April 1993, S. 574–585.

[FCCW81] H. Franken, J. Cl´ement, M. Cauberghs, K. P. V. D. Woestijne:

Oscillating Flow of a Viscous Compressible Fluid Through a Rigid

Tube: A Theoretical Model. IEEE Transactions on Biomedical

Engineering 28(5), May 1981, S. 416–420.

[Fein76] P. L. Feintuch: An adaptive recursive LMS filter. Proceedings of

the IEEE 64(11), November 1976, S. 1622–1624.

[FFR02] B. L. Farmer-Fedor, R. D. Rabbitt: Acoustic intensity, impedance

and reflection coefficient in the human ear canal. Journal of the

Acoustical Society of America 112(2), August 2002, S. 600–620.

[FH99] J. J. Finneran, M. C. Hastings: Active impedance control within a

cylindrical waveguide for generation of low-frequency, underwater

plane traveling waves. Journal of the Acoustical Society of America

105(6), June 1999, S. 3035–3043.

Literaturverzeichnis 159

[FKS84] W. Fasold, W. Kraak, W. Schirmer: Taschenbuch Akustik, Band 2.

VEB Verlag Technik Berlin, 1984.

[Flan72] J. L. Flanagan: Speech Analysis Synthesis and Perception.

Springer-Verlag, 2. Auflage 1972.

[Floc93] S. J. Flockton: Fast Adaptation Algorithms in Active Noise Con-

trol. Proceedings of the Second Conference on Recent Advances in

Active Control of Sound and Vibration, April 1993, S. 802–810.

[Four55] J. Fourier: The Analytical Theory of Heat. Dover Publications,

Inc., 1955. Translated, with notes, by Alexander Freeman.

[FPW92] G. F. Franklin, J. D. Powell, M. L. Workman: Digital Control of

Dynamic Systems. Addison-Wesley, 1992.

[GA99] R. E. Graves, B. M. Argrow: Bulk Viscosity: Past to Present. Jour-

nal of Thermophysics and Heat Transfer 13(3), July–September

1999, S. 337–342.

[GEM95] V. H. Gupta, V. Easwaran, M. L. Munjal: A modified segmentation

approach for analyzing plane wave propagation in non-uniform

ducts with mean flow. Journal of Sound and Vibration 182(5),

1995, S. 697–707.

[GM73] A. H. Gray, J. D. Markel: Digital Lattice and Ladder Filter Syn-

thesis. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics 21(6),

December 1973, S. 491–500.

[GM75] A. H. Gray, J. D. Markel: A Normalized Digital Filter Structure.

IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing

23(3), June 1975, S. 268–277.

[Gree59] M. Greenspan: Rotational Relaxation in Nitrogen, Oxygen, and

Air. Journal of the Acoustical Society of America 31(2), February

1959, S. 155–160.

[Guic07] D. Guicking: Aktive L¨

arm- und Schwingungsminderung – Von

einer Laborkuriosit¨

at zum technischen Produkt, Manuskript, Drit-

tes Physikalisches Institut der Universit¨

at G¨

ottingen, November

2007.

[Han96] K.-H. Han: Str¨

omungsakustische Untersuchungen an Schalld¨

amp-

ferelementen, Dissertation, Universit¨

at Kaiserslautern, 1996.

[H¨

ans01] E. H¨

ansler: Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.

Springer-Verlag, 2001.

160 Literaturverzeichnis

[Hayk02] S. Haykin: Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall, 4. Auflage 2002.

[HE98a] H. Hudde, A. Engel: Measuring and Modeling Basic Properties

of the Human Middle Ear and Ear Canal. Part I: Model Struc-

ture and Measuring Techniques. Acustica/Acta Acustica 84, 1998,

S. 720–739.

[HE98b] H. Hudde, A. Engel: Measuring and Modeling Basic Properties of

the Human Middle Ear and Ear Canal. Part II: Ear Canal, Middle

Ear Cavities, Eardrum, and Ossicles. Acustica/Acta Acustica 84,

1998, S. 894–913.

[HE98c] H. Hudde, A. Engel: Measuring and Modeling Basic Properties of

the Human Middle Ear and Ear Canal. Part III: Eardrum Impe-

dances, Transfer Functions and Model Calculations. Acustica/Acta

Acustica 84, 1998, S. 1091–1109.

[HEL99] H. Hudde, A. Engel, A. Lodwig: Methods for estimating the sound

pressure at the eardrum. Journal of the Acoustical Society of

America 106(4), October 1999, S. 1977–1992.

[Helm63] H. von Helmholtz: ¨

Uber den Einfluss der Reibung in der Luft auf

die Schallbewegung. Verhandlungen des naturhistorisch-medizini-

schen Vereins zu Heidelberg 3, 1863, S. 16–20.

[HL85] H. Hudde, U. Letens: Scattering matrix of a discontinuity with a

nonrigid wall in a lossless circular duct. Journal of the Acoustical

Society of America 75(5), November 1985, S. 1826–1837.

[HL05] B. Han, X. Lin: Adapt the Steady-State Kalman Gain Using the

Normalized Autocorrelation of Innovations. IEEE Signal Process-

ing Letters 12(11), November 2005, S. 780–783.

[HM95] M. Heckl, H. A. M¨

uller: Taschenbuch der Technischen Akustik.

Springer-Verlag, 2. Auflage 1995.

[HM05] H. Hudde, M. M¨

uller: Einfluss der Geh¨

organgsform auf die Trans-

formationseigenschaften des Geh¨

organgs. 31. Deutsche Jahresta-

gung f¨

ur Akustik – DAGA 2005, M¨

arz 2005, S. 421–422.

[Hoff97] M. Hoffmann: Hochfrequenztechnik. Springer-Verlag, 1997.

[HSZ+97] S. Haykin, A. H. Sayed, J. R. Zeidler, P. Yee, P. C. Wei: Adaptive

Tracking of Linear Time-Variant Systems by Extended RLS Algo-

rithms. IEEE Transactions on Signal Processing 45(5), May 1997,

S. 1118–1128.

Literaturverzeichnis 161

[Hudd83] H. Hudde: Estimation of the area function of human ear canals by

sound pressure measurements. Journal of the Acoustical Society

of America 73(1), January 1983, S. 24–31.

[Hudd88] H. Hudde: The propagation constant in lossy circular tubes near

the cutoff frequencies of higher-order modes. Journal of the Acous-

tical Society of America 83(4), April 1988, S. 1311–1318.

[Hudd89] H. Hudde: Acoustical higher-order mode scattering matrix of circu-

lar nonuniform lossy tubes without flow. Journal of the Acoustical

Society of America 85(6), June 1989, S. 2316–2330.

[Iber50] A. S. Iberall: Attenuation of Oscillatory Pressures in Instrument

Lines. Journal of Research of the National Bureau of Standards

45, July 1950, S. 85–108.

[Ing˚a48] U. Ing˚ard: On the Radiation of Sound into a Circular Tube, with

an Application to Resonators. Journal of the Acoustical Society of

America 20(5), September 1948, S. 665–682.

[IS74] U. Ingard, V. K. Singhal: Sound attenuation in turbulent pipe flow.

Journal of the Acoustical Society of America 55(3), March 1974,

S. 535–538.

[JC92] J. Jiang, R. Cook: Fast parameter tracking RLS algorithm with

high noise immunity. Electronics Letters 28(22), October 1992,

S. 2043–2045.

[JI98] S.-H. Jang, J.-G. Ih: On the multiple microphone method for meas-

uring in-duct acoustic properties in the presence of mean flow.

Journal of the Acoustical Society of America 103(3), March 1998,

S. 1520–1526.

[JI00] S.-H. Jang, J.-G. Ih: Refined multiload method for measuring

acoustical source characteristics of an intake or exhaust system.

Journal of the Acoustical Society of America 107(6), June 2000,

S. 3217–3225.

[JI02] S.-H. Jang, J.-G. Ih: On the selection of loads in the multiload

method for measuring the acoustic source parameters of duct sys-

tems. Journal of the Acoustical Society of America 111(3), March

2002, S. 1171–1176.

[JI03] S.-H. Jang, J.-G. Ih: Numerical investigation and electro acous-

tic modeling of measurement methods for the in-duct acoustical

source parameters. Journal of the Acoustical Society of America

113(2), February 2003, S. 726–734.

162 Literaturverzeichnis

[JL77] C. R. Johnson, Jr., M. G. Larimore: Comments on and Additions

to “An Adaptive Recursive LMS Filter”. Proceedings of the IEEE

65(9), September 1977, S. 1399–1402.

[JYXL07] G. Jin, T. Yang, Y. Xiao, Z. Liu: A simultaneous equation method-

based online secondary path modeling algorithm for active noise

control. Journal of Sound and Vibration 303, 2007, S. 455–474.

[Kalm60] R. E. Kalman: A New Approach to Linear Filtering and Prediction

Problems. Transactions of the ASME, Series D, Journal of Basic

Engineering 82, March 1960, S. 35–45.

[Kara53] F. C. Karal: The Analogous Acoustical Impedance for Discontinu-

ities and Constrictions of Circular Cross Section. Journal of the

Acoustical Society of America 25(2), March 1953, S. 327–334.

[KCJ05] J. Kr¨

uger, F. Castor, R. Jebasinski: Aktive Abgas-Schalld¨

ampfer

f¨

ur PKW – Chancen und Risiken. 31. Deutsche Jahrestagung f¨

Akustik – DAGA 2005, M¨

arz 2005, S. 21–22.

[Keef84] D. H. Keefe: Acoustical wave propagation in cylindrical ducts:

Transmission line parameter approximations for isothermal and

nonisothermal boundary conditions. Journal of the Acoustical So-

ciety of America 75(1), January 1984, S. 58–62.

[KFCS00] L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens, J. V. Sanders: Funda-

mentals of Acoustics. John Wiley & Sons, 1. Auflage 2000.

[KG87] J. Kergomard, A. Garcia: Simple discontinuities in acoustic wave-

guides at low frequencies: Critical analysis and formulae. Journal

of Sound and Vibration 114(3), 1987, S. 465–479.

[KGM07] S. M. Kuo, A. Gupta, S. Mallu: Development of adaptive algo-

rithms for active sound quality control. Journal of Sound and

Vibration 299, 2007, S. 12–21.

[KHO98] H.-S. Kim, J.-S. Hong, J.-E. Oh: Active Noise Control with the Ac-

tive Muffler in Automotive Exhaust Systems. International Jour-

nal of The Japan Society of Mechanical Engineers, Series C 41(2),

1998, S. 178–183.

[KHSO99] H.-S. Kim, J.-S. Hong, D.-G. Sohn, J.-E. Oh: Development of an

active muffler system for reducing exhaust noise and flow restric-

tion in a heavy vehicle. Noise Control Engineering Journal 47(2),

March–April 1999, S. 57–63.

Literaturverzeichnis 163

[Kirc68] G. R. Kirchhoff: ¨

Uber den Einfluss der W¨

armeleitung in einem

Gase auf die Schallbewegung. Annalen der Physik und Chemie

134, 1868, S. 177–193.

[KLB92] D. H. Keefe, R. Ling, J. C. Bulen: Method to measure acoustic

impedance and reflection coefficient. Journal of the Acoustical So-

ciety of America 91(1), January 1992, S. 470–485.

[KM96] S. M. Kuo, D. R. Morgan: Active Noise Control Systems: Algo-

rithm and DSP Implementations. John Wiley & Sons, 1996.

[Knes49] H. O. Kneser: Druck- und Schubviskosit¨

at in Gasen. Annalen der

Physik 6(6), 1949, S. 253–256.

[Kova53] L. S. G. Kovasznay: Turbulence in Supersonic Flow. Journal of

the Aeronautical Sciences 20(10), October 1953, S. 657–674, 682.

[KS85] S. M. Khanna, M. R. Stinson: Specification of the acoustical input

to the ear at high frequencies. Journal of the Acoustical Society of

America 77(2), February 1985, S. 577–589.

[KS05a] B. J. Kim, D. C. Swanson: Linear independence method for system

identification/secondary path modeling for active control. Jour-

nal of the Acoustical Society of America 118(3), September 2005,

S. 1452–1468.

[KS05b] T. Kohno, A. Sano: Direct adaptive active noise control algorithms

in case of uncertain secondary path dynamics. International Jour-

nal of Adaptive Control and Signal Processing 19, January 2005,

S. 153–176.

[KT93] S. M. Kuo, J. Tsai: Arrangements of the Secondary Source on the

Performance of Active Noise Control Systems. IEEE International

Symposium on Circuits and Systems – ISCAS 1993, May 1993,

S. 2431–2434.

[Kutt04] H. Kuttruff: Akustik: Eine Einf¨

uhrung. Hirzel Verlag, 2004.

[KV97] S. M. Kuo, D. Vijayan: A Secondary Path Modeling Technique for

Active Noise Control Systems. IEEE Transactions on Speech and

Audio Processing 5(4), July 1997, S. 374–377.

[Laro99] J. Laroche: A Modified Lattice Structure with Pleasant Scaling

Properties. IEEE Transactions on Signal Processing 47(12), De-

cember 1999, S. 3423–3425.

164 Literaturverzeichnis

[LB06] P. Leistner, K. Bay: Gestaltungs- und Einsatzvarianten aktiver Re-

sonatoren. Mitteilungen aus dem Fraunhofer-Institut f¨

ur Bau-

physik (IBP-Mitteilungen) 33(469), 2006.

[LJS03] K. Langeheinecke, P. Jany, E. Sapper: Thermodynamik f¨

ur Inge-

nieure. Vieweg Verlag, 4. Auflage 2003.

[LL91] L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik,

Band 6. Akademie Verlag, 1991.

[Lodw97] A. Lodwig: Ein System zur Anpassung von H¨

orger¨

aten – Messtech-

nik, patentienbezogene Modellierung, Optimierung der Komponen-

ten, Dissertation, Universit¨

at Bochum, 1997.

[LP99] P. A. C. Lopes, M. S. Piedade: The Kalman Filter in Active Noise

Control. Proceedings of ACTIVE 1999 – The 1999 Internation-

al Symposium on Active Control of Sound and Vibration, 1999,

S. 1111–1122.

[LP00] P. A. C. Lopes, M. S. Piedade: A Kalman filter approach to active

noise control. Proceedings of the X European Signal Processing

Conference – EUSIPCO 2000, September 2000, S. 1859–1862.

[LP04] P. A. C. Lopes, M. S. Piedade: The Behavior of the Modified FX-

LMS Algorithm With Secondary Path Modeling Errors. IEEE

Signal Processing Letters 11(2), February 2004, S. 148–151.

[LS48] H. Levine, J. Schwinger: On the Radiation of Sound from an Un-

flanged Circular Pipe. Physical Review 73(4), February 1948,

S. 383–406.

[LSQX03] J. Lu, C. Shen, X. Qiu, B. Xu: Lattice form adaptive infinite im-

pulse response filtering algorithm for active noise control. Journal

of the Acoustical Society of America 113(1), January 2003, S. 327–

335.

[LTJ80] M. G. Larimore, J. R. Treichler, C. R. Johnson, Jr.: SHARF: An

Algorithm for Adapting IIR Digital Filters. IEEE Transactions

on Acoustics, Speech, and Signal Processing 28(4), August 1980,

S. 428–440.

[L¨

uck08] C. L¨

ucking: Beitr¨

age zur Implementierung einer DSP-basierten

St¨

orsignald¨

ampfung f¨

ur ein Rohrsystem, Diplomarbeit, Universi-

t¨

at Paderborn, 2008.

[Lueg33] P. Lueg: Verfahren zur D¨

ampfung von Schallschwingungen. Deut-

sches Reichspatent Nr. 655508, 1933.

Literaturverzeichnis 165

[LYF02] S. Liu, J. Yuan, K.-Y. Fung: Robust active control of broadband

noise in finite ducts. Journal of the Acoustical Society of America

111(6), June 2002, S. 2727–2734.

[LZS02] H. Lan, M. Zhang, W. Ser: An Active Noise Control System Using

Online Secondary Path Modeling With Reduced Auxiliary Noise.

IEEE Signal Processing Letters 9(1), January 2002, S. 16–18.

[Mais94] J. Maisano: An improved transmission line model for visco-

thermal lossy sound propagation. 96th Convention of the Audio-

Engineering Society 96, 1994.

[Male69] I. Malecki: Physical Foundations of Technical Acoustics. Pergamon

Press, 1969. Translated by Irena Bellert.

[Math91] V. J. Mathews: Adaptive Polynomial Filters. IEEE Signal Pro-

cessing Magazine 8(3), July 1991, S. 10–26.

[Mawa54] O. K. Mawardi: On Acoustic Boundary Layer Heating. Journal of

the Acoustical Society of America 16(5), September 1954, S. 726–

731.

[MCKH03] J. M. Munn, B. S. Cazzolato, C. D. Kestell, C. H. Hansen: Virtual

error sensing for active noise control in a one-dimensional wave-

guide: Performance prediction versus measurement (L). Journal of

the Acoustical Society of America 113(1), January 2003, S. 35–38.

[MD88] M. L. Munjal, A. G. Doige: On uniqueness, transfer and combi-

nation of acoustic sources in one-dimensional systems. Journal of

Sound and Vibration 121(1), 1988, S. 25–35.

[ME88] M. L. Munjal, L. J. Eriksson: An analytical, one-dimensional,

standing-wave model of a linear active noise control system in a

duct. Journal of the Acoustical Society of America 84(3), Septem-

ber 1988, S. 1086–1093.

[ME89] M. L. Munjal, L. J. Eriksson: Analysis of a hybrid noise control

system for a duct. Journal of the Acoustical Society of America

86(2), August 1989, S. 832–834.

[Mech04] F. P. Mechel (Hrsg.): Formulas of Acoustics. Springer-Verlag,

2. Auflage 2004.

[MI86] P. M. Morse, K. U. Ing˚ard: Theoretical Acoustics. Princeton Uni-

versity Press, 1. Auflage 1986.

166 Literaturverzeichnis

[Mile47] J. W. Miles: The Diffraction of Sound Due to Right-Angled Joints

in Rectangular Tubes. Journal of the Acoustical Society of America

19(4), 1947, S. 572–579.

[MN79] E. Meyer, E.-G. Neumann: Physikalische und technische Akustik.

Vieweg Verlag, 3. Auflage 1979.

[Morf71] C. L. Morfey: Sound transmission and generation in ducts with

flow. Journal of Sound and Vibration 14(1), 1971, S. 37–55.

[Mosc95] E. Mosca: Optimal, predictive, and adaptive control. Prentice-Hall,

1995.

[MS89] G. Meyer, E. Schiffner: Technische Thermodynamik. VEB Fach-

buchverlag Leipzig 1989, 4. Auflage 1989.

[MT07] K. Mollenhauer, H. Tsch¨

oke: Handbuch Dieselmotoren. Springer-

Verlag, 3. Auflage 2007.

[Munj75] M. L. Munjal: Velocity ratio-cum-transfer matrix method for the

evaluation of a muffler with mean flow. Journal of Sound and

Vibration 39(1), 1975, S. 105–119.

[Munj87] M. L. Munjal: Acoustics of Ducts and Mufflers. John Wiley &

Sons, 1. Auflage 1987.

[NA98] S. L. Netto, P. Agathoklis: Efficient Lattice Realizations of

Adaptive IIR Algorithms. IEEE Transactions on Signal Processing

46(1), January 1998, S. 223–227.

[NE95] P. A. Nelson, S. J. Elliott: Active Control of Sound. Academic

Press, 1995.

[Nish91] M. Nishimura: Some Problems of Active Noise Control for Practi-

cal Use. International Symposium on Active Control of Sound and

Vibration, April 9–11 1991, S. 157–164.

[NS89] A. N. Norris, I. C. Sheng: Acoustic radiation from a circular pipe

with an infinite flange. Journal of Sound and Vibration 135(1),

1989, S. 85–93.

[OBN92] F. Ordnu˜na-Bustamante, P. A. Nelson: An adaptive controller for

the active absorption of sound. Journal of the Acoustical Society

of America 91(5), May 1992, S. 2740–2747.

Literaturverzeichnis 167

[OKOS02] Y. Ohta, T. Kouno, H. Ohmori, A. Sano: Direct Fully Adaptive

Active Noise Control Algorithms without Identification of Second-

ary Path Dynamics. Proceedings of the 2002 IEEE International

Conference on Control Applications, September 2002, S. 453–458.

[OS89] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing.

Prentice-Hall, 1989.

[Peat88] K. S. Peat: The acoustical impedance at discontinuities of ducts

in the presence of a mean flow. Journal of Sound and Vibration

127(1), 1988, S. 123–132.

[Peat02] K. S. Peat: An analytical investigation of the direct measurement

method of estimating the acoustic impedance of a time-varying

source. Journal of Sound and Vibration 256(2), 2002, S. 271–285.

[PI01] K. S. Peat, J.-G. Ih: An analytical investigation of the indirect

measurement method of estimating the acoustic impedance of a

time-varying source. Journal of Sound and Vibration 244(5), 2001,

S. 821–835.

[Pier81] A. D. Pierce: Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles

and Applications. McGraw-Hill, 1981.

[PM05] S. N. Panigrahi, M. L. Munjal: Comparison of various methods

for analyzing lined circular ducts. Journal of Sound and Vibration

285(4–5), 2005, S. 905–923.

[POW84] L. Prandtl, K. Oswatitsch, K. Wieghardt: F¨

uhrer durch die Str¨

mungslehre. Vieweg Verlag, 8. Auflage 1984.

[PP02] A. Papoulis, S. U. Pillai: Probability, Random Variables, and

Stochastic Processes. McGraw-Hill, 4. Auflage 2002.

[Pras87] M. G. Prasad: A four load method for evaluation of acoustical

source impedance in a duct. Journal of Sound and Vibration

114(2), 1987, S. 347–356.

[PTVF07] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery:

Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge

University Press, 3. Auflage 2007.

[Putl96] G. R. Putland: Modeling of Horns and Enclosures for Loudspeak-

ers, Dissertation, University of Queensland, 1996.

168 Literaturverzeichnis

[PZCH05] D. Petersen, A. C. Zander, B. S. Cazzolato, C. H. Hansen: Optimal

virtual sensing for active noise control in a rigid-walled acoustic

duct. Journal of the Acoustical Society of America 118(5), No-

vember 2005, S. 3086–3093.

[Rayl68] J. W. B. Rayleigh: The Theory of Sound, Band 2. Dover Publica-

tions, 2. Auflage 1968.

[RB07] H. R¨

ammal, H. Bod´en: Modified multi-load method for nonlinear

source characterisation. Journal of Sound and Vibration 299(4–5),

2007, S. 1094–1113.

[RC83] D. F. Ross, M. J. Crocker: Measurement of the acoustic internal

source impedance of an internal combustion engine. Journal of the

Acoustical Society of America 74(1), 1983, S. 18–27.

[Rega94] P. Regalia: Adaptive IIR filtering in signal processing and control.

Marcel Dekker, Inc., 1. Auflage 1994.

[Reyn81] D. D. Reynolds: Engineering Principles of Acoustics: Noise and

Vibration Control. Allyn and Bacon, 1981.

[RFM91] J. A. Rodriguez-Fonollosa, E. Masgrau: Simplified Gradient Cal-

culation in Adaptive IIR Lattice Filters. IEEE Transactions on

Signal Processing 39(7), July 1991, S. 1702–1705.

[Rsch63] S. N. Rschevkin: A Course of Lectures on the Theory of Sound.

Pergamon Press, 1963. Translated from the Russian by O. M.

Blunn.

[Saab95] S. S. Saab: Discrete-Time Kalman Filter under Incorrect Noise

Covariances. Proceedings of the American Control Conference 2,

June 1995, S. 1152–1156.

[SAG93] R. Schirmacher, T. Auspitzer, D. Guicking: Fast algorithms for

active adaptive control of nonstationary sound fields. Journaal

Nederlands Akoestisch Genootschap, (120), November 1993, S. 41–

55.

[Sanb98] P. Sanborn: Predicting hearing aid response in real ears. Journal

of the Acoustical Society of America 103(6), June 1998, S. 3407–

3417.

[Saye03] A. H. Sayed: Fundamentals of Adaptive Filtering. John Wiley &

Sons, 2003.

Literaturverzeichnis 169

[Sche04] S. Scheichl: On the calculation of the transmission line parameters

for long tubes using the method of multiple scales. Journal of the

Acoustical Society of America 204(2), February 2004, S. 534–555.

[Sche05] S. Scheichl: Linear and nonlinear propagation of higher order

modes in hard-walled circular ducts containing a real gas. Journal

of the Acoustical Society of America 117(4), April 2005, S. 1806–

1827.

[Schi95] R. Schirmacher: Schnelle Algorithmen f¨

ur adaptive IIR-Filter und

ihre Anwendung in der aktiven Schallfeldbeeinflussung, Dissertati-

on, Georg-August-Universit¨

at zu G¨

ottingen, September 1995.

[SG94] R. Schirmacher, D. Guicking: Theory and implementation of a

broadband active noise control system using a fast RLS algorithm.

Acta Acustica 2, August 1994, S. 291–300.

[SGK05] Y. Song, Y. Gong, S. M. Kuo: A Robust Hybrid Feedback Active

Noise Cancellation Headset. IEEE Transactions on Speech and

Audio Processing 13(4), July 2005, S. 607–617.

[SH89] S. D. Snyder, C. H. Hansen: Active noise control in ducts: Some

physical insights. Journal of the Acoustical Society of America

86(1), July 1989, S. 184–194.

[SK94] A. H. Sayed, T. Kailath: A State-Space Approach to Adaptive

RLS Filtering. IEEE Signal Processing Magazine 11, July 1994,

S. 18–60.

[SK95] V. Solo, X. Kong: Adaptive Signal Processing Algorithms. Prentice-

Hall, 1995.

[SK06] H. R. Schwarz, N. K¨

ockler: Numerische Mathematik. Teubner Ver-

lag, 6. Auflage 2006.

[Skud71] E. Skudrzyk: The Foundations of Acoustics. Springer-Verlag, 1971.

[SL89] M. R. Stinson, B. W. Lawton: Specification of the geometry of

the human ear canal for the prediction of sound-pressure level

distribution. Journal of the Acoustical Society of America 85(6),

June 1989, S. 2492–2503.

[SL00] R. Schirmacher, R. Lippold: Designing vehicle sound by the use

of ANC and active sound design – theory, application, and prac-

tical experiences. Transactions IMechE European Conference on

Vehicle Noise and Vibration, May 2000, S. 379–385.

170 Literaturverzeichnis

[SLC89] I. C. Shepherd, R. F. La Fontaine, A. Cabelli: The influence of

turbulent pressure fluctuations on an active attenuator in a flow

duct. Journal of Sound and Vibration 130(1), 1989, S. 125–135.

[SLW65] F. D. Shields, K. P. Lee, W. J. Wiley: Numerical Solution for

Sound Velocity and Absorption in Cylindrical Tubes. Journal of

the Acoustical Society of America 37(4), April 1965, S. 724–729.

[SM00] Y. Sathyanarayana, M. L. Munjal: A hybrid approach for aero-

acoustic analysis of engine exhaust system. Applied Acoustics 60,

2000, S. 425–450.

[SMR95] A. D. Sahasrabudhe, M. L. Munjal, S. A. Ramu: Analysis of iner-

tance due to the higher order mode effects in a sudden area discon-

tinuity. Journal of Sound and Vibration 185(3), 1995, S. 515–529.

[SO03] A. Sano, Y. Ohta: Adaptive active noise control without second-

ary path identification. IEEE International Conference on Acous-

tics, Speech and Signal Processing – ICASSP 2003 6, April 2003,

S. VI-213–VI-216.

[Solo03] N. Solokhin: Basic types of discontinuity in circular acoustic wave

guide. Journal of the Acoustical Society of America 114(5), No-

vember 2003, S. 2626–2632.

[Spur96] J. H. Spurk: Str¨

omungslehre. Springer-Verlag, 4. Auflage 1996.

[SSH02] J. Scheuren, R. Schirmacher, J. Hobelsberger: Active Design of

Automotive Engine Sound. Proceedings of the 2002 International

Congress and Exposition on Noise Control Engineering – Inter-

Noise 2002, August 2002.

[SSIA95] N. Saito, T. Sone, T. Ise, M. Akiho: Conditions for Optimal On-line

Identification of Secondary Path in Active Noise Control Systems.

Proceedings of ACTIVE 1995 – The 1995 International Symposi-

um on Active Control of Sound and Vibration, July 1995, S. 1141–

1148.

[SSIA96] N. Saito, T. Sone, T. Ise, M. Akiho: Optimal on-line modeling

of primary and secondary paths in active noise control systems.

Journal of The Acoustical Society of Japan (E) 17(6), 1996, S. 275–

283.

[SSSM05] P. Stephan, K. Schaber, K. Stephan, F. Mayinger: Thermodyna-

mik, Band 1: Einstoffsysteme. Springer-Verlag, 16. Auflage 2005.

Literaturverzeichnis 171

[Stin91] M. R. Stinson: The propagation of plane sound waves in narrow

and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of

arbitrary cross-sectional shape. Journal of the Acoustical Society

of America 98(2), February 1991, S. 550–558.

[St¨

oc98] H. St¨

ocker: Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, ¨

Ubersich-

ten. Verlag Harri Deutsch, 3. Auflage 1998.

[Stok45] G. G. Stokes: On the theories of the internal friction of fluids in

motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids. Trans-

actions of the Cambridge Philosophy Society 8, 1845, S. 75–102.

[Suth93] W. Sutherland: The Viscosity of Gases and Molecular Force. Phil-

osophical Magazine 36, 1893, S. 507–531.

[SWB98] V. L. Streeter, E. B. Wylie, K. W. Bedford: Fluid mechanics.

McGraw-Hill, 9. Auflage 1998.

[SXC07] Y. Song, W. Xiao, X. Chen: An Analogue Compensation Scheme in

Adaptive Active Control System with Significant Secondary Path

Variation. IEEE International Conference on Acoustics, Speech

and Signal Processing – ICASSP 2007 1, April 2007, S. I-101–

I-104.

[Tang04] S. K. Tang: Sound transmission characteristics of Tee-junctions

and the associated length corrections. Journal of the Acoustical

Society of America 115(1), January 2004, S. 218–227.

[Terh98] E. Terhardt: Akustische Kommunikation: Grundlagen mit H¨

orbei-

spielen. Springer-Verlag, 1998.

[Tijd75] H. Tijdeman: On the propagation of sound waves in cylindrical

tubes. Journal of Sound and Vibration 39(1), 1975, S. 1–33.

[Tisz42] L. Tisza: Supersonic Absorption and Stokes’ Viscosity Relation.

Physical Review 61(7–8), April 1942, S. 531–536.

[Trim03] M. Trimpop: Grundlagen zur Ausl¨

oschung von Schallfeldern durch

Antischall unter Verwendung eines zweidimensionalen Ansatzes,

Dissertation, Bergische Universit¨

at Wuppertal, 2003.

[Trin83] M. C. J. Trindler: Active noise control in finite length ducts. Jour-

nal of Sound and Vibration 89(1), 1983, S. 95–105.

[Tsao68] S. Tsao: Numerical Solutions of Transients in Pneumatic

Networks – Transmission-Line Calculations. Transactions of the

American Society of Mechanical Engineers 35, September 1968,

S. 588–595.

172 Literaturverzeichnis

[TSO06] Y. Takenouchi, H. Suzuki, A. Omoto: Behavior of the practically

implemented filtered reference LMS algorithm in an active noise

control system. Acoustical Science and Technology 27(1), 2006,

S. 20–27.

[Vorl08] M. Vorl¨

ander: Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling,

Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality. Springer-

Verlag, 1. Auflage 2008.

[VS75] J. K. Vennard, R. L. Street: Elementary fluid mechanics. John

Wiley & Sons, 5. Auflage 1975.

[Wald58] L. Waldmann: Handbuch der Physik, Band 12. Springer-Verlag,

1958.

[Waßm00] J. Waßmuth: Modellierung und Kompensation nichtlinearer Effek-

te bei elektrodynamischen Lautsprechern, Dissertation, Universit¨

Paderborn, 2000.

[WB01] J.-D. Wu, M. R. Bai: Effects of Directional Microphone and Trans-

ducer in Spatially Feedforward Active Noise Control System. Jap-

anese Journal of Applied Physics 40(10), October 2001, S. 6133–

6137.

[Webs19] A. G. Webster: Acoustical Impedance and the Theory of Horns

and of the Phonograph. Proceedings of the National Academy of

Sciences of the United States of America 5(7), 1919, S. 275–282.

[West53] D. E. Weston: The Theory of the Propagation of Plane Waves in

Tubes. Proceedings of the Physical Society of London 66(B), 1953,

S. 695–709.

[WH60] B. Widrow, M. E. Hoff: Adaptive Switching Circuits. IRE WES-

CON Convention Record, Part 4, 1960, S. 96–104.

[WM77] B. Widrow, J. M. McCool: Comments on “An Adaptive Recursive

LMS Filter”. Proceedings of the IEEE 65(9), September 1977,

S. 1402–1404.

[XMKI07] Y. Xiao, L. Ma, K. Khorasani, A. Ikuta: Performance Analysis

of the FXLMS-Based Narrowband Active Noise Control System

with Online Secondary Path Modeling. IEEE International Con-

ference on Acoustics, Speech and Signal Processing – ICASSP 2007

1, April 2007, S. I-105–I-108.

Literaturverzeichnis 173

[YF99] J. Yuan, K.-Y. Fung: A travelling wave approach to active noise

control in ducts. Journal of Sound and Vibration 219(2), 1999,

S. 307–321.

[YS01] N. R. Yousef, A. H. Sayed: A Unified Approach to the Steady-State

and Tracking Analyses of Adaptive Filters. IEEE Transactions on

Signal Processing 49(2), February 2001, S. 314–324.

[ZH93] A. C. Zander, C. H. Hansen: A comparison of error sensor strat-

egies for the active control of duct noise. Journal of the Acoustical

Society of America 94(2), August 1993, S. 841–848.

[Zier93] J. Zierep: Grundz¨

uge der Str¨

omungslehre. Springer-Verlag, 2. Auf-

lage 1993.

[ZK49] C. Zwikker, C. W. Kosten: Sound Absorbing Materials. Elsevier

Publishing Company, Inc., 1949.

[ZLS00] M. Zhang, H. Lan, W. Ser: An Improved Secondary Path Modeling

Method for Active Noise Control Systems. IEEE Signal Processing

Letters 7(4), April 2000, S. 73–75.

[ZLS01] M. Zhang, H. Lan, W. Ser: Cross-Updated Active Noise Control

System with Online Secondary Path Modeling. IEEE Transactions

on Speech and Audio Processing 9(5), July 2001, S. 598–602.

[ZLS03] M. Zhang, H. Lan, W. Ser: A Robust Online Secondary Path Mod-

eling Method With Auxiliary Noise Power Scheduling Strategy and

Norm Contraint Manipulation. IEEE Transactions on Speech and

Audio Processing 11(1), January 2003, S. 45–53.

[ZLS05] M. Zhang, H. Lan, W. Ser: On Comparison of Online Secondary

Path Modeling Methods With Auxiliary Noise. IEEE Transactions

on Speech and Audio Processing 13(4), July 2005, S. 618–628.

[ZZ93] M. Zollner, E. Zwicker: Elektroakustik. Springer-Verlag, 1993.

174 Literaturverzeichnis

Danksagung

Zum Abschluss der vorliegenden Dissertation, die im Rahmen meiner T¨

atigkeit

als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Fachgebiet Sensorik an der Universit¨

Paderborn entstand, gilt mein Dank:

•Herrn Professor Ulrich Hilleringmann als Leiter des Fachgebiets Sensorik

f¨

ur die M¨

oglichkeit zur Durchf¨

uhrung der Forschungsarbeiten sowie f¨

ur den

mir gew¨

ahrten Freiraum, eigene Vorstellungen zu verwirklichen.

•Herrn Professor Reinhold H¨

ab-Umbach f¨

ur die ¨

Ubernahme des Korreferats

und f¨

ur seine wertvollen Anmerkungen zur Arbeit.

•Herrn Frank Rabe von der Benteler Automobiltechnik GmbH f¨

ur die

Messung und Bereitstellung der Schalldruck- und Temperaturverl¨

aufe.

•Werner B¨

uttner, Thomas Diekmann, Martin Dierkes, Siegbert Dr¨

ue, Heinz

Funke, Torsten Frers, Sebastian Meyer zu Hoberge, Benjamin Ohms, Chris-

toph Pannemann, Sabine Schleghuber, Peter Scholz, Christopher Wiegand

und Karsten Wolff f¨

ur die gute Zusammenarbeit sowie f¨

ur das angenehme

und freundschaftliche Arbeitsklima.

•Christoph L¨

ucking, Ingo Timmermann und Christopher Wiegand f¨

ur ihre

Beitr¨

age in Form von Studien- oder Diplomarbeiten.

•Bernhard Stute f¨

ur die Unterst¨

utzung und die unkomplizierte Leihgabe des

Messmikrofons.

•Markus Schmidt f¨

ur die Durchsicht und die Anmerkungen zum Manuskript.

175