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L¨

osungen f¨

ur Anwendungsf¨

alle der

Fahrzeugeinsatzplanung im

offentlichen Personennahverkehr

DISSERTATION

zur Erlangung des akademischen Grades

doctor rerum politicarum (dr. rer. pol.)

im Fach Wirtschaftsinformatik

eingereicht an der

Fakult¨

at f¨

ur Wirtschaftswissenschaften der

Universit¨

at Paderborn

Paderborn

von Dipl.-Wirt.-Inf. Stefan Bunte

Dekan der Fakult¨

at f¨

ur Wirtschaftswissenschaften:

Prof. Dr. Peter F. E. Sloane

Gutachter:

1. Jun.-Prof. Dr. Natalia Kliewer

2. Prof. Dr. Ludwig Nastansky

Paderborn, im M¨

arz 2009

Danksagungen

Die vorliegende Arbeit entstand w¨

ahrend meiner T¨

atigkeit als wissenschaftlicher

Mitarbeiter am Decision Support & Operations Research Lab (DS&OR Lab) der

Universit¨

at Paderborn. Ich m¨

ochte mich an dieser Stelle bei allen bedanken, die

zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

Zuerst gilt mein besonderer Dank meinen wissenschaftlichen Betreuern Jun.-

Prof. Dr. Natalia Kliewer und Prof. Dr. Leena Suhl, die mir die T¨

atigkeit als wis-

senschaftlicher Mitarbeiter erm¨

oglicht haben und durch ihre wissenschaftlichen

und sozialen Kompetenzen eine konstruktive, offene und freundliche Arbeitsat-

mosph¨

are geschaffen haben.

Ich m¨

ochte mich bei allen Kollegen am Lehrstuhl f¨

ur die gute Zusammenar-

beit bedanken. Aufgrund der außerordentlich kompetenten und freundschaftli-

chen Unterst¨

utzung hat mir die Arbeit am DS&OR Lab viel Freude gemacht.

Insbesondere danke ich meinen B¨

urokollegen Philipp Christophel, Viktor D¨

uck,

Ingmar Steinzen und J¨

org Wiese f¨

ur die angenehme Zeit und die interessanten

Diskussionen.

Des Weiteren m¨

ochte ich allen danken, die zugeh¨

ort, kritisiert, hinterfragt oder

mich in anderer Form unterst¨

utzt haben.

Mein besonderer Dank gilt meinen Freunden und meiner Familie, die meiner

Arbeit viel Verst¨

andnis und Geduld entgegengebracht haben. Insbesondere danke

ich meinen Eltern daf¨

ur, dass sie mir mein Studium erm¨

oglicht haben und mich

immer bedingungslos unterst¨

utzt haben.

Schließlich gilt mein wichtigster Dank Nicole, die mich immer begleitet hat und

mit der ich alle meine Freuden, Sorgen und W¨

unsche teilen konnte.

Stefan Bunte

Paderborn, M¨

arz 2009

iii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr 5

2.1 Fahrzeugeinsatzplanung im Planungsprozess des ¨

OPNV . . . . . . 5

2.2 Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Operative Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Taktische Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Strategische Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Integrierte Planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Fahrzeugumlaufplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Fahrzeugumlaufplanung mit einem Depot . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Umlaufplanung mit mehreren Depots und Fahrzeugtypen . 17

2.3.4 Umlaufplanung mit Fahrzeugtypen . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.5 Umlaufplanung mit Zeitfenstern . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.6 Umlaufplanung mit Routenrestriktionen . . . . . . . . . . 21

2.3.7 Weitere praxisrelevante Anforderungen . . . . . . . . . . . 22

3 Grundlegende Optimierungstechniken 23

3.1 Mathematische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 ColumnGeneration.......................... 28

3.3 Lagrange Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Meta-Heuristiken ........................... 33

3.4.1 Lokale Suchverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2 Evolution¨

are Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung 39

4.1 Busumlaufplanung mit einem Depot . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 Einfache Flussmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 Mehrg¨

uterModelle...................... 51

4.2.3 Set Partitioning Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.4 Modellunabh¨

angige Ans¨

atze................. 56

4.2.5 Eigenschaften gel¨

oster Instanzen . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Busumlaufplanung mit mehreren Depots und Fahrzeugtypgruppen 62

4.4 Busumlaufplanung mit Zeitfenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Busumlaufplanung mit Routenrestriktionen . . . . . . . . . . . . . 71

4.6 Planungssysteme mit Komponenten zur Busumlaufoptimierung . . 74

4.7 Ver¨

offentlichungen mit ¨

Ubersichten und Klassifizierungen . . . . . 77

5 Handlungsbedarf und Zielsetzung 79

6 Probleminstanzen und Eigenschaften 83

6.1 Ursprung der Instanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1 RealeInstanzen........................ 84

6.1.2 K¨

unstliche Instanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.1 Qualit¨

at der LP-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2.2 Kennzahl zur Modellauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2.3 Eigenschaften der Mehrg¨

uter Flussmodelle . . . . . . . . . 102

6.2.4 Absch¨

atzung der Komplexit¨

at................ 105

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme 111

7.1 Heuristischer L¨

osungsansatz ..................... 113

7.2 Bestimmung unterer Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2.1 Untere Schranken durch Modellaggregation . . . . . . . . . 120

7.2.2 Untere Schranken durch Langrange Relaxationen . . . . . 121

7.2.3 Warmstart der Simplexmethoden . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3.1 Initialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.3.2 MasterProblem........................ 135

7.3.3 Pricing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.3.4 Ganzzahlige L¨

osungen .................... 139

7.4 Systemintegration und Preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.5 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.5.1 Optimierung mit Standardoptimierungssoftware . . . . . . 146

7.5.2 Initialisierungsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.5.3 Verbesserungsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.5.4 Zusammenfassung und Bewertung . . . . . . . . . . . . . . 161

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern 165

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern . . . . . . . . . . . . . 165

8.1.1 Organisatorische Aspekte und Anforderungen . . . . . . . 165

8.1.2 Modellierung ......................... 167

8.1.3 L¨

osungsmethoden....................... 168

8.1.4 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.1 Sortierheuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.2 Fix&Optimize Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.2.3 Adaption von VRP-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.2.4 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9 Zusammenfassung und Ausblick 187

Abbildungsverzeichnis 194

Tabellenverzeichnis 195

Algorithmenverzeichnis 197

Literaturverzeichnis 199

vii

1 Einleitung

In einer globalisierten Welt steigt stetig die Nachfrage nach Mobilit¨

at von Waren

und Menschen. Durch eine begrenzte Kapazit¨

at des Verkehrsaufkommens kommt

dem ¨

offentlichen Verkehr (¨

OV), unter dem alle allgemein zug¨

angliche Mobilit¨

ats-

und Verkehrsdienstleistungen (z.B. G¨

uterverkehr, Personenverkehr, etc.) gefasst

sind, eine wachsende Bedeutung zu. Vor allem der ¨

offentliche Personennahverkehr

(¨

OPNV) spielt eine zentrale gesellschaftliche wie auch wirtschaftliche Rolle. Zu

ihm geh¨

oren alle Dienstleistungen im Stadt- und Regionalverkehr, die im Durch-

schnitt eine Fahrtstrecke von 50 km oder eine Fahrtdauer von einer Stunde nicht

uberschreiten (vgl. [Destatis, 2008a]). Insgesamt nutzen 68% der deutschen pri-

vaten Haushalte den ¨

OPNV und beanspruchten ihn im Jahr 2007 ca. 10,5 Mrd.

mal (vgl. [Destatis, 2008b]).

Neben seiner gesellschaftlichen Relevanz stellt der ¨

OPNV auch f¨

ur die Volks-

wirtschaft einen wichtigen Faktor dar. So erwirtschafteten die von 2650 Verkehrs-

unternehmen mit ca. 250.000 Besch¨

aftigten im Jahr 2007 Bef¨

orderungseinnahmen

von ¨

uber 10,5 Mrd. Euro (vgl. [Destatis, 2008b]). In 2590 dieser Unternehmen

werden Busse zur Erbringung des Angebots verwendet. Insgesamt sichert dies

allein in Deutschland direkt oder indirekt ca. 750.000 Arbeitspl¨

atze (Stand 2007,

[BMVBS, 2007]).

Seit der Strukturreform des ¨

offentlichen Verkehrs in Deutschland und der fort-

schreitenden Privatisierung der Verkehrsunternehmen unterliegen die angebote-

nen Dienstleistungen im ¨

OPNV einem st¨

arkeren Wettbewerb. Der ¨

OPNV ist in

Deutschland so organisiert, dass die Erstellung des Angebots sowie die Sicherstel-

lung der Finanzierung in der Verantwortung der L¨

ander und Kommunen ist. Auf

der Basis des erstellten Angebots werden Linien oder B¨

undel von Linien ¨

offentlich

ausgeschrieben. Aufgrund der zum Teil nicht gegebenen Wirtschaftlichkeit einzel-

ner Linien leisten die Kommunen und L¨

ander Ausgleichszahlungen oder Subven-

tionen. Verkehrsunternehmen in privater oder ¨

offentlicher Hand k¨

onnen Angebote

f¨

ur die Bedienung der ausgeschriebenen Linien abgeben. Der g¨

unstigste Anbieter

erh¨

alt den Auftrag. Zur Erm¨

oglichung eines kosteng¨

unstigen Angebots ist der

effiziente Einsatz von Fahrzeugen und Personal von wesentlicher Bedeutung. Die

Kosten f¨

ur den Fahrzeugeinsatz entstehen zum einen durch die Bereitstellung von

Fahrzeugen, die neben dem Kauf oder der Miete auch Wartungskosten beinhal-

1 Einleitung

tet. Zum anderen fallen f¨

ur die Bedienung der Linien betriebsabh¨

angige Kosten

(z.B. f¨

ur Kraftstoff) an.

Eine im Auftrag des Deutschen Verkehrsforums erstellte Studie, die auf der

Einsch¨

atzung von Experten aus Wirtschaft und Wissenschaft basiert, stellt die

erwarteten Entwicklungen des ¨

OPNV bis zum Jahre 2015 vor. Demnach ist

ein zunehmender Kostendruck f¨

ur die Verkehrsunternehmen zu erwarten, da die

F¨

orderung mit Geldern aus der ¨

offentlichen Hand dem aktuellen Trend folgend

weiter abnehmen wird. Allerdings werden auf der Seite der Verkehrsunterneh-

men Potentiale zur Kostensenkung von 11,4 % gesehen, ohne dass der Umfang

der angebotenen Diestleistungen reduziert werden muss. Die gr¨

oßten Potentia-

le werden unter anderem in der Verbesserung der betrieblichen Effizienz und der

Nutzung von Synergien durch Kooperationen und Fusionen gesehen. Die Effizienz

kann laut Studie neben einer automatisierten Abrechnung vor allem durch Effizi-

enzsteigerungen bei vorhandenen Technologien zur Fahrzeugeinsatzplanung und

Disposition gesteigert werden (vgl. [Lasch et al., 2005]). F¨

ur die Unterst¨

utzung der

Einsatzplanung von Verkehrsunternehmen werden mathematische Optimierungs-

methoden eingesetzt, die seit vielen Jahren in der Wissenschaft erforscht werden

und in Planungssoftware f¨

ur den ¨

OPNV integriert sind (vgl. [Wren, 2003]).

Durch den Zusammenschluss oder Verkauf von Unternehmen werden laut Stu-

die wenige große Verkehrsbetriebe entstehen, so dass neben der effizienteren Pla-

nung auch weitere Optimierungspotentiale durch Freiheitsgrade in der Planung

gr¨

oßerer Betriebe entstehen. Daher kommt der Optimierung des Fahrzeugein-

satzes und der Sicherstellung der Realisierung geplanter Kostenersparnisse eine

wesentliche Rolle f¨

ur die nachhaltige Wettbewerbsf¨

ahigkeit von Verkehrsunter-

nehmen zu (vgl. [Lasch et al., 2005]).

Die Fahrzeugeinsatzplanung erfolgt durch die Erstellung von Uml¨

aufen f¨

Fahrzeuge, so dass ein gegebener Fahrplan mit Linienfahrten bedient wird. Dabei

spielt in der Praxis eine Reihe von zus¨

atzlichen Aspekten eine Rolle, die weitere

Einsparpotentiale erm¨

oglichen (z.B. m¨

ogliche Leerfahrten zwischen Haltestellen)

oder zus¨

atzliche Nebenbedingungen abdecken (z.B. Einschr¨

ankung der m¨

oglichen

Fahrzeugtypen f¨

ur Linienfahrten).

Zur Bestimmung optimaler Uml¨

aufe existiert eine Vielzahl von Ans¨

atzen aus

der Forschung. Die Mehrzahl dieser Methoden ist allerdings durch die theoretische

Komplexit¨

at der Problemstellung motiviert, so dass wichtige und in der Praxis

relevante Erweiterungen außer Acht gelassen werden. Dar¨

uber hinaus validieren

viele Autoren ihre Optimierungsans¨

atze durch Tests auf k¨

unstlich generierten

Instanzen, von denen unklar bleibt in welchem Grad sie mit realen Problemstel-

lungen vergleichbar sind.

Die Problemstellung der Umlaufplanung wird in der Literatur allein unter

der Zielsetzung einer operativen Einsatzplanung von Fahrzeugen betrachtet. Al-

lerdings lassen sich dar¨

uber hinaus weitere Anwendungsf¨

alle identifizieren, mit

denen der Planungsprozess im ¨

OPNV (z.B. bei strategischen Entscheidungen)

zus¨

atzlich unterst¨

utzt werden kann. Jeder Anwendungsfall erfordert dabei eine

spezielle Ausrichtung der L¨

osungsmethoden hinsichtlich individueller Anforde-

rungen.

Die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit besteht in der Entwicklung von Op-

timierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung, die an den realen Anforderun-

gen der Planungsaufgaben im ¨

OPNV ausgerichtet sind. Dies beinhaltet neben der

Ber¨

ucksichtigung m¨

oglichst vieler praxisrelevanter Restriktionen auch die Analyse

realer Problemdaten und ihrer Eigenschaften hinsichtlich spezifischer Eigenschaf-

ten. F¨

ur die Entwicklung dieser Methoden kann auf dem Modellierungsansatz von

Kliewer (vgl. [Kliewer, 2005]) aufgebaut werden, der aufgrund einer deutlichen

Verringerung der zu betrachtenden Modellgr¨

oßen eine geeignete Grundlage f¨

die Entwicklung effizienter Methoden darstellt.

Das zweite Ziel dieser Arbeit ist die erstmalige Identifikation und Beschrei-

bung weiterer Anwendungsf¨

alle zur Unterst¨

utzung des Planungsprozesses

im ¨

OPNV durch den Einsatz von Umlaufoptimierungsmethoden. Durch die Un-

terst¨

utzung der individuellen Planungsanforderungen k¨

onnen die Planer effekti-

ver unterst¨

utzt werden, der Einsatz von Optimierungsmethoden im Rahmen des

Planungsprozesses erweitert werden und bessere Planungen ¨

uber den gesamten

Planungsprozess hinweg Kosteneinsparungen erm¨

oglichen.

Vor dem Hintergrund zu erwartender gr¨

oßerer Problemstellungen ist das drit-

te Ziel die Unterst¨

utzung bei der Planung komplexer Fragestellungen.

Neben einer kurzen Laufzeit der Optimierung geh¨

ort dazu auch die schnelle Be-

reitstellung von Informationen zur Laufzeit, um ein Black-Box-Verhalten zu ver-

meiden, bei dem ein Planer eine nicht absch¨

atzbare Zeit auf eine optimale L¨

osung

wartet. Zu diesen Informationen geh¨

oren neben der Absch¨

atzung der Optimie-

rungsdauer auch die Bereitstellung von guten, aber nicht bewiesen optimalen,

Umlaufpl¨

anen und eine Einsch¨

atzung der L¨

osungsqualit¨

at durch untere Schran-

ken, so dass Planer parallel zu Optimierungen mit L¨

osungsvorschl¨

agen arbeiten

k¨

onnen.

Die Arbeit gliedert sich in neun Kapitel. In Kapitel 2 wird die Planung des

Fahrzeugeinsatzes im ¨

OPNV beschrieben. Dazu wird der gesamte Planungspro-

zess dargestellt und erl¨

autert, welche Planungsphasen durch eine Umlaufpla-

nungsoptimierung unterst¨

utzt werden k¨

onnen. Die Umlaufplanung kann eine Rei-

he von relevanten Aspekten beinhalten, die je nach Planungssituation auftreten.

Die unterschiedlichen Anwendungsf¨

alle mit Anforderungen werden erl¨

autert und

die formalen Problemstellungen klassifiziert.

1 Einleitung

F¨

ur die im Laufe der Arbeit folgenden methodischen Beschreibungen sind ei-

nige Kenntnisse des Operations Research erforderlich. Kapitel 3 erl¨

autert die

notwendigen Inhalte und verweist auf weiterf¨

uhrende Literatur.

Kapitel 4 diskutiert f¨

ur die zuvor abgegrenzten Problemstellungen den aktuel-

len Stand der Technik. Neben der Beschreibung und Einordnung unterschiedlicher

Modelle und L¨

osungsmethoden werden eingesetzte Planungssysteme vorgestellt.

Auf der Basis der Anforderungen aus Kapitel 2 und dem Stand der Technik aus

Kapitel 4 wird in Kapitel 5 der Forschungsbedarf abgeleitet und die Zielsetzung

sowie das Vorgehen zur Erreichung dieser Ziele konkretisiert.

In Kapitel 6 werden die Eigenschaften unterschiedlicher realer und k¨

unstlich

generierter Problemdaten f¨

ur die Umlaufplanung analysiert. Es werden die Aus-

wirkungen dieser Eigenschaften auf die Struktur des mathematischen Modells und

das L¨

osungsverhalten gezeigt sowie Kennzahlen entwickelt, um die Eignung von

alternativen Modellen zu motivieren und die Komplexit¨

at von Probleminstanzen

abzusch¨

atzen.

In Kapitel 7 wird eine Methode zur L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen

unter besonderer Ber¨

ucksichtigung der praxisrelevanten Anwendungsf¨

alle vorge-

schlagen. Die Methode ist durch einen modularen Aufbau und ein iteratives Vor-

gehen sowohl f¨

ur die Anwendung f¨

ur operative als auch f¨

ur strategische Frage-

stellungen geeignet. Anhand von umfassenden numerischen Untersuchungen wird

die Methode validiert und gezeigt, dass auch Problemstellungen von Großst¨

adten

gel¨

ost werden k¨

onnen.

Eine Erweiterung des Umlaufplanungsproblems sieht einen m¨

oglichen Eingriff

in die Abfahrtszeiten eines gegebenen Fahrplans vor. In Kapitel 8 werden neue

Methoden vorgestellt, die diese Anforderung unter Ber¨

ucksichtigung der relevan-

ten Anwendungsf¨

alle erm¨

oglichen.

Kapitel 9 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick

auf weitere m¨

ogliche Forschungsaktivit¨

aten in dem Bereich der Umlaufplanung.

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen

Personennahverkehr

Die Planungsaufgabe der Erstellung von Uml¨

aufen f¨

ur Fahrzeuge stellt ein wich-

tiges und komplexes Entscheidungsproblem f¨

ur Verkehrsunternehmen des ¨

offent-

lichen Personennahverkehrs (¨

OPNV) dar. Um die Entscheidungen innerhalb der

Planungsprozesse des ¨

OPNV zu erl¨

autern, wird in Abschnitt 2.1 der f¨

ur diese

Arbeit relevante Prozess sowie die jeweiligen Aufgaben und Freiheitsgrade be-

schrieben. Durch die stark heterogenen Rahmenbedingungen unterschiedlicher

St¨

adte und Verkehrsbetriebe ergeben sich f¨

ur die Umlaufplanung unterschied-

liche Restriktionen und Zielsetzungen. Neben diesen bestehen unterschiedliche

Szenarien der Anwendung von L¨

osungsmethoden f¨

ur Umlaufplanungsprobleme.

Die Einsatzgebiete und ihre spezifischen Anforderungen an L¨

osungsmethoden zur

Einsatzplanung werden in Abschnitt 2.2 beschrieben. In Abschnitt 2.3 werden die

formalen Anforderungen beschrieben, die in der Umlaufplanung betrachtet wer-

den.

2.1 Fahrzeugeinsatzplanung im Planungsprozess

des ¨

OPNV

In der Planung von Verkehrsleistungen des ¨

OPNV m¨

ussen eine Vielzahl von stra-

tegischen, taktischen sowie operativen Fragestellungen beantwortet werden, die

unterschiedliche Ziele und Planungszeitr¨

aume betreffen. Durch die enorme Kom-

plexit¨

at der gesamten Planungsaufgabe und der zum Teil zeitlich unterschied-

lichen Planungsfrequenz der Probleme wird der Planungsprozess typischerweise

in unterschiedliche Teilprobleme zerlegt, die in sequentieller Abfolge gel¨

ost wer-

den. Eine Optimierung ¨

uber den gesamten Prozess kann daher in der Praxis nicht

durchgef¨

uhrt werden. Der im Folgenden beschriebene Prozess orientiert sich u.a.

an den Ausf¨

uhrungen von [Desaulniers und Hickman, 2006]. Abbildung 2.1 zeigt

eine ¨

Ubersicht ¨

uber die unterschiedlichen Planungsschritte.

In der Netzplanung werden strategische Entscheidungen f¨

ur den Ausbau der

Netztopologie – das Netzdesign – getroffen. Auf der Basis einer Nachfragestudie,

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

Netzplanung

Dienstreihen-

folgeplanung

Umlaufplanung

Dienstplanung

Fahrplan-

erstellung

Linienplanung

NetzplanO-D-Matrix

Frequenzplanung

Linienplan

Fahrplan

Umlaufplan

Dienstplan

Einsatzplan

Fuhrpark

Dienst-

regeln

AngebotsplanungProduktionsplanung

StrategischTaktischOperativ

Abbildung 2.1: Sequentieller Planungsprozess im ¨

OPNV

deren Ergebnis die Origin-Destination-Matrix (O-D-Matrix) ist, werden vermu-

tete Passagierstr¨

ome geplant. Die O-D-Matrix beinhaltet eine quantitative Gr¨

oße

uber die erwartete Nachfrage zwischen zwei Orten. Typischerweise kann ein Ort

in diesem Sinn ein Verkehrsknotenpunkt oder das Zentrum einer Region (z.T.

Stadtteil) sein. Ergebnis ist der Netzplan, der neben der O-D-Matrix als Grund-

lage f¨

ur die Linienplanung dient. Ziel ist es die Linien f¨

ur das Verkehrsnetz zu

bestimmen. Linien sind definiert ¨

uber ihren Routenverlauf (Linienf¨

uhrung) sowie

der Frequenz in welcher sie bedient werden sollen (vgl. [Bornd¨

orfer et al., 2004]).

Sowohl die Netzplanung als auch die Linienplanung geh¨

oren zu den strategi-

schen Entscheidungsproblemen, deren Ergebnis im Normalfall ¨

uber viele Jahre

Bestand hat. Als Ziel haben die strategischen Fragestellungen die Maximierung

des Serviceangebots und damit einen Aspekt der Kundenzufriedenheit. Neben der

Erm¨

oglichung einer nachgefragten Route werden weitere Aspekte wie die Anzahl

von Umsteigevorg¨

angen oder die Routenl¨

ange betrachtet. Je mehr Ressourcen

eingesetzt werden, um zum Beispiel zus¨

atzliche Servicefahrten anzubieten oder

2.1 Fahrzeugeinsatzplanung im Planungsprozess des ¨

OPNV

5Hauptbahnhof Westerntor Maspernplatz Nordbahnhof Ingolstädter Weg

MONTAG BIS FREITAG

Stunde 5 6 7-19 20 21-22 23

Hauptbahnhof 25 55 25 53 23 53 23 30 20

Westerntor 27 57 27 55 25 55 25 32 22

Neuhäuser Tor 28 58 28 57 27 57 27 33 23

Michaelstraße 29 59 29 58 28 58 28 34 24

Maspernplatz 30 00 30 00 30 00 30 35 25

Bischofsteich 31 01 31 01 31 01 31 36 26

Tegelweg 32 02 32 02 32 02 32 37 27

Nordbahnhof 34 04 34 04 34 04 34 38 28

Schützenplatz Nord 35 05 35 05 35 05 35 39 29

Ausbesserungswerk 36 06 36 06 36 06 36 40 30

Pirolweg 37 07 37 07 37 07 37 41 31

Haustenbecker Straße 38 08 38 08 38 08 38 42 32

Schleswiger Weg 39 09 39 09 39 09 39 43 33

TÜV 40 10 40 10 40 10 40 43 33

Friesenweg 41 11 41 11 41 11 41 44 34

An der Talle 42 12 42 12 42 12 42 45 35

Ingolstädter Weg 43 13 43 13 43 13 43 46 36

Württemberger Weg 44 14 44 14 44 14 44 47 37

Bonifatiusweg 45 15 45 15 45 15 45 48 38

SAMSTAG

Stunde 6 7-15 16 17-20 21-22 23

Hauptbahnhof 25 53 23 53 23 23 30 20

Westerntor 27 55 25 55 25 25 32 22

Neuhäuser Tor 28 57 27 57 27 27 33 23

Michaelstraße 29 58 28 58 28 28 34 24

Maspernplatz 30 00 30 00 30 30 35 25

Bischofsteich 31 01 31 01 31 31 36 26

Tegelweg 32 02 32 02 32 32 37 27

Nordbahnhof 34 04 34 04 34 34 38 28

Schützenplatz Nord 35 05 35 05 35 35 39 29

Ausbesserungswerk 36 06 36 06 36 36 40 30

Pirolweg 37 07 37 07 37 37 41 31

Haustenbecker Straße 38 08 38 08 38 38 42 32

Schleswiger Weg 39 09 39 09 39 39 43 33

TÜV 40 10 40 10 40 40 43 33

Friesenweg 41 11 41 11 41 41 44 34

An der Talle 42 12 42 12 42 42 45 35

Ingolstädter Weg 43 13 43 13 43 43 46 36

Württemberger Weg 44 14 44 14 44 44 47 37

Bonifatiusweg 45 15 45 15 45 45 48 38

SONN- UND FEIERTAG

Stunde 9 11 13-20 21-22 23

Hauptbahnhof 23 23 23 30 20

Westerntor 25 25 25 32 22

Neuhäuser Tor 27 27 27 33 23

Michaelstraße 28 28 28 34 24

Maspernplatz 30 30 30 35 25

Bischofsteich 31 31 31 36 26

Tegelweg 32 32 32 37 27

Nordbahnhof 34 34 34 38 28

Schützenplatz Nord 35 35 35 39 29

Ausbesserungswerk 36 36 36 40 30

Pirolweg 37 37 37 41 31

Haustenbecker Straße 38 38 38 42 32

Schleswiger Weg 39 39 39 43 33

TÜV 40 40 40 43 33

Friesenweg 41 41 41 44 34

An der Talle 42 42 42 45 35

Ingolstädter Weg 43 43 43 46 36

Württemberger Weg 44 44 44 47 37

Bonifatiusweg 45 45 45 48 38

Gültig ab 28.09.2008

Abbildung 2.2: Fahrplan einer Linie der PaderSprinter (Paderborn)

gr¨

oßere zeitliche Puffer zur Sicherung von Linienanschl¨

ussen einzurichten, desto

h¨

oher sind die erwarteten Kosten f¨

ur den Betrieb des Verkehrsnetzes. Aus diesem

Grund werden bereits in der strategischen Planung die erwarteten Kosten f¨

ur den

Betrieb eines Liniennetzes grob abgesch¨

atzt und ber¨

ucksichtigt. Die Absch¨

atzung

dieser Kosten erfolgt ¨

uber einfache analytische Methoden. Zum Beispiel wird

die Anzahl der angebotenen Servicefahrten als Maß f¨

ur die erwarteten Kosten

verwendet. Die Linienplanung kann somit als Maximierung des Serviceangebots

unter Ber¨

ucksichtigung einer Kostenrestriktion oder als bikriterielles Optimie-

rungsproblem interpretiert werden. Ergebnis der Linienplanung und strategische

Grundlage f¨

ur die weiteren Planungsschritte ist der Linienplan.

Die anschließende Phase der Fahrplanerstellung geh¨

ort zu den taktischen Auf-

gaben, die je nach Verkehrsbetrieb in einer Frequenz von wenigen Wochen bis zu

einigen Monaten durchgef¨

uhrt werden. Auf der Basis der definierten Linien wird

eine Fahrtenmenge erstellt, in der jede Fahrt einer Linie zugeordnet ist. Abbil-

dung 2.2 zeigt einen Fahrplan f¨

ur eine Linie. Jede Linie verl¨

auft ¨

uber eine Abfolge

von Haltepunkten. Da das Fahrzeug und Personal nicht in den Zwischenstationen

gewechselt werden, werden f¨

ur die Servicefahrten nur die Endhaltestellen betrach-

tet. Jede Spalte des dargestellten Fahrplans entspricht daher einer Servicefahrt,

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

die von einer Endhaltestelle (z.B. Hauptbahnhof) ¨

uber eine Menge von Zwischen-

stationen zu der anderen Endhaltestelle der Linie (z.B. Bonifatiusweg) f¨

uhrt. F¨

jede Servicefahrt sind die Abfahrts- und Ankunftszeiten im Fahrplan festgelegt.

Die erste Spalte der Abbildung 2.2 entspricht daher einer Servicefahrt beginnend

ab Hauptbahnhof um 5:25 Uhr und ankommend an der Haltestelle Bonifatiusweg

um 5:45 Uhr.

Ein Fahrplan kann dar¨

uber hinaus weitere, nicht getaktete Fahrten enthal-

ten. Dies sind zum Beispiel Verst¨

arkungsfahrten zur Erh¨

ohung der Kapazit¨

oder Sonderfahrten f¨

ur Schulbusse. Die im Rahmen der strategischen Planung

getroffenen Entscheidungen ¨

uber die Frequenzen der Linien k¨

onnen von den pro-

gnostizierten Nachfragestr¨

omen abweichen, da diese auf Stichproben und Erfah-

rungswerten basieren. Aus diesem Grund wird das Angebot evaluiert, indem die

erwartete Nachfrage mit der realen Nachfrage verglichen wird, und die in der Li-

nienplanung getroffenen Entscheidungen angepasst. Da der Linienverlauf in der

Regel nicht ver¨

andert werden soll, wird in der Frequenzplanung die Frequenz der

Linien ¨

uberarbeitet, um auf dieser Grundlage einen neuen Fahrplan zu erstellen.

Mit der Fahrplanerstellung ist die strategisch-taktische Phase des Planungs-

prozesses abgeschlossen. Diese Phase konzentriert sich, unter Ber¨

ucksichtigung

von globalen Kostenaspekten, auf die Bereitstellung eines m¨

oglichst hohen Ser-

vicegrads (Angebotsplanung). In der folgenden operativen Planung werden die

Ressourcen, die f¨

ur die Realisierung des definierten Angebots ben¨

otigt werden,

vorgeplant (Produktionsplanung).

Die beschriebenen strategischen und taktischen Planungsaufgaben liegen in der

kommunalen Hand, die nach Abschluss der Planungen Linien zur Ausschreibung

freigibt, auf die sich Verkehrsunternehmen bewerben k¨

onnen. Die Ausschreibung

erfolgt in einzelnen Linien oder Linienb¨

undeln, die durch eine Mischung finanziell

attraktiver und weniger attraktiver Linien eine Vergabe des gesamten Netzes

sicherstellen soll. Ziel der Verkehrsunternehmen ist es, die erworbenen Linien mit

einem m¨

oglichst kostenminimalen Ressourcenaufwand zu bedienen.

In der Umlaufplanung werden die Fahrzeuge auf der Basis eines zu planen-

den oder bereits bestehenden Fuhrparks sowie unterschiedlicher Depotstandorte

verplant. Auf weitere Nebenbedingungen und Zielsetzungen der Umlaufplanung

wird detaillierter in Abschnitt 2.3 eingegangen. Ergebnis der Umlaufplanung ist

ein Umlaufplan mit der Zuweisung von Fahrzeugen zu Fahrten sowie den zu fah-

renden Routen. Nach der Einplanung der Fahrzeuge wird das Fahrpersonal ein-

geplant. Da die Dienstplanung im Gegensatz zur Umlaufplanung einer Vielzahl

von gesetzlichen und organisatorischen Regeln unterliegt, ist die Planungsaufga-

be erheblich komplexer und wird in zwei Schritten gel¨

ost: Im ersten Schritt, der

Dienstplanung, werden anonyme Dienste gebildet, die den gesetzlichen Regularien

2.2 Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung

entsprechen, und den Fahrplan vollst¨

andig abdecken. Den ermittelten Diensten

werden daraufhin in der Dienstreihenfolgeplanung konkrete Fahrer zugewiesen.

Die operativen Phasen der Ressourceneinsatzplanung werden klassisch in der

beschriebenen Reihenfolge durchgef¨

uhrt, allerdings ist auch eine integrierte Be-

trachtung oder eine abweichende Reihenfolge der Planungsschritte, insbesondere

f¨

ur die Ausnutzung der Optimierungspotentiale, m¨

oglich (vgl. [Gintner, 2008]).

2.2 Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung

Nachdem im vorherigen Abschnitt die Planungsschritte des ¨

OPNV und die Ein-

bettung der Umlaufplanung in diesen Prozess beschrieben wurden, sollen im Fol-

genden die m¨

oglichen Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung innerhalb dieses Pro-

zesses vorgestellt werden. Diese Anwendungsf¨

alle stellen zum einen eine unter-

schiedliche Planungssituation innerhalb des gesamten Planungsprozesses dar, die

die Problemdimensionen und die erforderliche L¨

osungsqualit¨

at beeinflussen. Zum

Anderen werden weitere Bedingungen an die L¨

osungsmethoden gestellt, wie eine

maximal zul¨

assige Laufzeit zur L¨

osung oder der f¨

ur den Planer m¨

ogliche Grad

an L¨

osungsinformationen zur Laufzeit. Insgesamt werden sechs Anwendungsf¨

alle

unterschieden, deren Zielsetzung in der folgenden ¨

Ubersicht gegeben ist:

1. Operative Planung ohne Zeitfenster: Erstellung operativer Umlaufpl¨

ane zu

einem festen Fahrplan

2. Operative Planung mit Zeitfenstern: Erstellung von operativen Umlauf-

pl¨

anen mit abweichenden Fahrtzeiten

3. Taktische Planung ohne Zeitfenster: Bestimmung von geeigneten Linien-

b¨

undeln zur Ausschreibung

4. Taktische Planung mit Zeitfenstern: Analyse der Fahrplanpotentiale zur

Einsparung von Fahrzeugen

5. Strategische Planung: Absch¨

atzung von Ressourcenkosten f¨

ur strategische

Szenarien

6. Integrierte Planung: Gleichzeitige L¨

osung von Umlauf- und Dienstplanung

Im Folgenden sollen die identifizierten Anwendungsf¨

alle vorgestellt werden. Die

aufgef¨

uhrten Anforderungen und Annahmen wurden – soweit nicht anders an-

gegeben – in einer im Zuge dieser Arbeit durchgef¨

uhrten Praxiskooperation mit

einem Hersteller f¨

ur Umlaufplanungssoftware und den Erfahrungen mit Verkehrs-

unternehmen ermittelt.

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

2.2.1 Operative Planung

Im Zuge der operativen Planung werden Fahrzeuge kostenminimal zur Bedie-

nung eines festgelegten Fahrplans eingeplant. Dieses stellt den klassischen An-

wendungsfall der Umlaufplanung dar, bei dem der Fokus eindeutig auf der Erzie-

lung einer optimalen oder m¨

oglichst guten L¨

osung des Umlaufplanungsproblems

liegt, um alle zul¨

assigen Freiheitsgrade zur Minimierung der geplanten Kosten

auszunutzen. Die Umlaufplanung stellt – im Sinne der operativen Planung –

zumeist keinen zeitkritischen Prozess dar, da die Fahrpl¨

ane im Normalfall f¨

einen l¨

angeren Zeitraum (z.B. mehrere Monate) mit gewissem Vorlauf erstellt

werden. Der Planer muss allerdings die durch die L¨

osung des Problems entstehen-

den Umlaufpl¨

ane manuell anpassen oder nachbearbeiten, da nicht s¨

amtliche An-

forderungen in der modellierten Problemstellung ber¨

ucksichtigt werden k¨

onnen

oder weitere nicht formalisierbare Einfl¨

usse relevant sind (z.B. Expertenwissen

uber Sonderbehandlungen von Fahrzeugen/Linien). Daher sollte eine Methode

zur L¨

osung von (operativen) Umlaufplanungsproblemen den Fokus auf die Errei-

chung einer m¨

oglichst optimalen L¨

osung haben. Die Laufzeit der L¨

osungsmethode

sollte jedoch im Bereich von maximal zehn Stunden liegen, damit der Planer die

Optimierung ggf. ¨

uber Nacht starten kann und am darauf folgenden Tag den resul-

tierenden Umlaufplan zur Verf¨

ugung hat. In anderen F¨

allen w¨

are aus Sicht eines

Planers eine L¨

osungsmethode w¨

unschenswert, die bereits zur Laufzeit der Opti-

mierung Informationen sowie m¨

ogliche (heuristische) L¨

osungen ausgibt. Dadurch

wird der Planer in die Lage versetzt, bereits parallel zur Optimierung m¨

ogliche

L¨

osungsvorschl¨

age in Betracht zu ziehen, w¨

ahrend das System die Suche nach

besseren L¨

osungen fortsetzt. In beiden F¨

allen sollte ein Black-Box-Verhalten ver-

mieden werden, indem m¨

oglichst zu Beginn des Verfahrens Informationen zur

Absch¨

atzung der L¨

osung sowie eine n¨

aherungsweise Dauer der Laufzeit ausge-

geben wird und w¨

ahrend der Optimierung der Status der L¨

osungsmethode aus-

gegeben wird. Dar¨

uber hinaus sollte bei Abbruch der Optimierung durch den

Planer eine m¨

oglichst gute g¨

ultige L¨

osung verf¨

ugbar sein. Da sich die konkreten

Anforderungen der Planer bez¨

uglich der Informationsf¨

ulle stark unterscheiden

k¨

onnen, besteht daher die Anforderung einer L¨

osungsmethode, die flexibel auf

die konkreten Anforderungen des Planers angepasst werden kann.

Das operative Umlaufplanungsproblem entspricht je nach Struktur des Ver-

kehrsunternehmens und des zu planenden Fahrplans einem Problem mit einem

Depot, mit mehreren Depots und/oder mit mehreren Fahrzeugtypgruppen. In

Einzelf¨

allen k¨

onnen zudem Anforderungen an den Aufbau von Uml¨

aufen vorhan-

den sein. Dies ist zum Beispiel eine Beschr¨

ankung der Anzahl unterschiedlicher

Linien, die in einem Umlauf bedient werden, um einen Plan weniger anf¨

allig f¨

2.2 Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung

die Auswirkungen von St¨

orungen einzelner Linien zu machen und dadurch die

Robustheit der Planung zu erh¨

ohen. In der Regel spielen die Routenrestriktionen

in der operativen Umlaufplanung eine untergeordnete Rolle, so dass eine Betrach-

tung als weiche Restriktion (nach Optimierung der geplanten Kosten) ausreichend

ist. Der vorgestellte Anwendungsfall sei im Folgenden als Operative Planung ohne

Zeitfenster bezeichnet.

Die Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Servicefahrten spielt in der operati-

ven Planung eine besondere Rolle. Da die Fahrplan- bzw. Frequenzplanung bereits

in der taktischen Planung des ¨

OPNV durchgef¨

uhrt wird und dadurch der Fahr-

plan zum Zeitpunkt der Umlaufplanung bereits feststeht, k¨

onnen in der operati-

ven Planung in der Regel keine Eingriffe in den Fahrplan mehr get¨

atigt werden.

Um dennoch die Potentiale, die durch eine Verschiebung von Fahrten innerhalb

des Fahrplans erm¨

oglicht werden, zu nutzen, k¨

onnen sehr kleine Zeitfenster f¨

ur die

im Fahrplan ausgezeichneten Taktfahrten erlaubt werden (z.B. ±2 Minuten). Ei-

ne Ausnahme stellen Sonderfahrten wie Schul- oder Verst¨

arkungsfahrten dar, die

nicht im ver¨

offentlichten Fahrplan ausgezeichnet sind. F¨

ur diese Fahrten kann da-

her eine gr¨

oßere Verschiebung erlaubt werden (z.B. ±10 Minuten) (vgl. z.B. [Bo-

kinge und Hasselstr¨

om, 1980]). Ein m¨

ogliches Vorgehen der Verkehrsunternehmen

ist es, die Freiheitsgrade durch Zeitfenster ohne ¨

Anderung der Fahrteninforma-

tionen im ver¨

offentlichten Fahrplan auszunutzen. Dies wird von den Fahrg¨

asten

als Versp¨

atung oder eine zu fr¨

uhe Bedienung wahrgenommen, was zu einer Sen-

kung der Kundenzufriedenheit f¨

uhren kann. Da eine verfr¨

uhte Bedienung dazu

f¨

uhren kann, dass ein Fahrgast den Bus nicht mehr erreicht und auf den n¨

achsten

Bus warten muss, werden zum Teil Zeitfenster erlaubt, die lediglich eine Ver-

sp¨

atung der Servicefahrten erlauben (z.B. + 2 Minuten). Alternativ werden die

ge¨

anderten Abfahrts- und Ankunftszeiten im Fahrplan ver¨

offentlicht. Dabei kann

die Anforderung bestehen, dass die Servicefahrten einer Linie nur gemeinsam ver-

schoben werden k¨

onnen, so dass die Taktung der Fahrten erhalten bleibt. Um die

im Fahrplan vorgenommenen ¨

Anderungen gering zu halten, besteht zudem die

Anforderung an die L¨

osungsmethoden, dass Fahrten ausschließlich dann verscho-

ben werden, wenn dadurch eine Einsparung eines Fahrzeugs erm¨

oglicht wird. Es

sollen also keine Fahrten verschoben werden, wenn ausschließlich operative Kos-

ten gespart werden k¨

onnen. Bez¨

uglich der akzeptierten Optimierungsdauer und

dem Informationsgrad der Methode zur Laufzeit gelten die gleichen Anforderun-

gen wie bei der operativen Planung ohne Zeitfenster. Dieser Anwendungsfall sei

als Operative Planung mit Zeitfenstern bezeichnet.

Der Anwendungsfall der operativen Planung ohne und mit Zeitfenstern ist

ausf¨

uhrlich in [Kliewer, 2005] beschrieben.

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

2.2.2 Taktische Planung

Im Rahmen der taktischen Planung spielt die L¨

osung von Umlaufplanungspro-

blemen eine Rolle, wenn nach dem operativen Betrieb eines Fahrplans die auf

Nachfragesch¨

atzungen basierende Frequenzplanung revidiert und erneut durch-

gef¨

uhrt wird (s. Abschnitt 2.1). F¨

ur die Erstellung eines angepassten Fahrplans

k¨

onnen Erkenntnisse ¨

uber das Einsparungspotential in der Umlaufplanungsphase

ber¨

ucksichtigt werden, die der Planer bei der Anpassung ber¨

ucksichtigen kann.

Die Potentiale k¨

onnen durch What-If-Analysen aufzeigt werden. Durch dieses

Vorgehen ist es m¨

oglich, innerhalb der taktischen Planung die operative Zielset-

zung (vor allem eine Reduzierung der ben¨

otigten Fahrzeuganzahl) teilweise zu

ber¨

ucksichtigen und die beiden Planungsebenen zu integrieren. Die oben genann-

ten What-If-Analysen k¨

onnen mit unterschiedlich großen Zeitfenstern (z.B. ±5

bis ±20 Minuten) f¨

ur alle Servicefahrten durchgef¨

uhrt werden, um m¨

ogliche Po-

tentiale zu identifizieren. Da dieser Anwendungsfall eine Planungsunterst¨

utzung

der Frequenzplanung darstellt, ist die akzeptierte Laufzeit f¨

ur die Erstellung ei-

ner L¨

osung stark abh¨

angig von der Planungssituation des Planers. Des Weite-

ren f¨

uhrt die Ber¨

ucksichtigung von großen Zeitfenstern in der Umlaufplanung zu

sehr komplexen Optimierungsmodellen, so dass eine optimale L¨

osung f¨

ur reale

Problemstellungen nicht oder nur mit sehr großem Laufzeitaufwand m¨

oglich ist

(vgl. [Bunte et al., 2005]). Daher sollte der Fokus bei den auf diese Problem-

stellung ausgerichteten L¨

osungsmethoden auf einer m¨

oglichen parametrisierten

Skalierbarkeit von L¨

osungsqualit¨

at und Laufzeit sein. Um die Frequenzplanung

zu unterst¨

utzten sollte neben einer m¨

oglichen Skalierung auch die Generierung

von L¨

osungen zur Laufzeit m¨

oglich sein. Dadurch kann der Planer neu gefun-

dene Potentiale in der Fahrplanerstellung direkt in seine Planungen integrieren.

Dieser Anwendungsfall sei im Folgenden als Taktische Planung mit Zeitfenstern

bezeichnet.

Neben dem Einsatz in der Frequenzplanung besteht die M¨

oglichkeit die Aus-

schreibung der Linien bzw. Linienb¨

undel durch Methoden der Umlaufplanung zu

unterst¨

utzen. So k¨

onnen What-If Analysen m¨

oglicher Zusammenstellungen zei-

gen, welche Linien sich erg¨

anzen und welche Ressourcenkosten f¨

ur diese B¨

undel

zu erwarten sind. Zus¨

atzlich kann eine Verkehrsunternehmen Analysen ¨

uber eine

potentielle Erweiterung der bestehenden Linien durchf¨

uhren. So kann die Kalku-

lation f¨

ur die Abgabe eines Angebots unterst¨

utzt werden und das Verkehrsun-

ternehmen eine fundierte Entscheidung treffen. Wie bei der taktischen Planung

mit Zeitfenstern sollte eine Optimierungsmethode skalierbar sein, da sich die ak-

zeptierte Laufzeit je nach Situation unterscheidet. Dieser Anwendungsfall sei im

Folgenden als Taktische Planung ohne Zeitfenster bezeichnet.

2.2 Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung

2.2.3 Strategische Planung

In der strategischen Planung werden, wie in Abschnitt 2.1 gezeigt, bereits bei

der Bestimmung des Netzplans die erwarteten Ressourcenkosten des Plans ab-

gesch¨

atzt und ber¨

ucksichtigt, indem die nachfolgenden Planungsstufen rudiment¨

gel¨

ost werden. Dabei werden f¨

ur unterschiedliche Netzpl¨

ane Szenarien durch-

gef¨

uhrt. Die Kosten f¨

ur den Fahrzeugeinsatz werden innerhalb dieser Szenari-

en durch einfache Methoden abgesch¨

atzt. Aktuelle Entwicklungen von Produk-

ten zur strategischen Planung zeigen eine zunehmend detaillierte Integration der

operativen Aspekte. [Friedrich und N¨

okel, 2003] beschreiben die Betrachtung von

einfachen Umlaufplanungsaspekten innerhalb der strategischen Planungssoftwa-

re VISUM (vgl. [Friedrich und Mott, 1998]) und verweisen auf die m¨

ogliche In-

tegration spezieller Umlaufplanungsverfahren, die unabh¨

angig von den strate-

gischen L¨

osungsverfahren in Planungssoftware eingebettet werden k¨

onnen. Me-

thoden zur Optimierung von Umlaufplanungsproblemen k¨

onnen daher auch f¨

Absch¨

atzungen von operativen Kosten in der strategischen Planung dienen (vgl.

[Friedrich und N¨

okel, 2004]). Aufgrund der in dieser Stufe vorhandenen unschar-

fen Rahmenbedingungen ist es ausreichend, wenn zur Absch¨

atzung ein ungef¨

ahrer

Kostenaufwand berechnet werden kann (z.B. Kostenbereich durch obere und un-

tere Schranke). In der strategischen Planung des Angebots arbeitet ein Planer

in der Regel intensiv mit einem Planungssystem und muss eine Vielzahl unter-

schiedlicher Szenarien zur Einsch¨

atzung m¨

oglicher Konsequenzen, die mit einem

Angebot einhergehen, berechnen. Daher muss eine L¨

osungsmethode zur Kosten-

absch¨

atzung des Fahrzeugressourceneinsatzes in kurzer Zeit L¨

osungen bereitstel-

len k¨

onnen. Im Gegensatz zur operativen Planung ohne Zeitfenster kann nicht

f¨

ur jedes Szenario mehrere Stunden auf eine L¨

osung gewartet werden. Dieser

Anwendungsfall sei im Folgenden als Strategische Planung bezeichnet.

2.2.4 Integrierte Planung

In der integrierten Umlauf- und Dienstplanung werden die nach dem klassischen

Vorgehen getrennten Planungsschritte zur Ressourceneinsatzplanung gemeinsam

betrachtet. Statt der Berechnung des kostenminimalen Umlaufplans kann auf

Kostenoptimalit¨

at teilweise verzichtet werden, sofern es zugunsten der effiziente-

ren Dienstplanung sinnvoll ist. Dies geschieht in einem integrierten Ansatz, bei

dem beide Aufgaben in einem Optimierungsproblem gel¨

ost werden. Aufgrund der

gr¨

oßeren Komplexit¨

at einer gemeinsamen Betrachtung k¨

onnen mit spezialisier-

ten Methoden Problemstellungen mit bis zu 653 Servicefahrten und 4 Depots

(heuristisch) gel¨

ost werden (vgl. [Gintner, 2008]).

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

In den aktuellen L¨

osungsans¨

atzen zur integrierten Planung werden die Modelle

in einem iterativen Vorgehen gel¨

ost, bei der der L¨

osung von Umlaufplanungspro-

blemen als Unterprobleme eine entscheidende Rolle zukommt (vgl. [Gintner et al.,

2006], [Steinzen, 2008]). Daher k¨

onnen neue Methoden f¨

ur die Umlaufplanung

gleichzeitig zur Steigerung der L¨

osungseffizienz von integrierten Problemen ein-

gesetzt werden. Dieser Anwendungsfall sei im Folgenden als Integrierte Planung

bezeichnet.

2.3 Problemstellungen

Nach der Vorstellung der m¨

oglichen Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung, werden

im folgenden Abschnitt die Problemstellungen der Umlaufplanung beschrieben

und formal definiert. Die Aufstellung der unterschiedlichen Problemstellungen

basiert zum einen auf der vorhandenen wissenschaftlichen Literatur zur Busum-

laufplanung (s. Kapitel 4). Des Weiteren sind durch eine im Rahmen dieser Arbeit

durchgef¨

uhrte Kooperation mit einem Anbieter f¨

ur ¨

OPNV-Planungssoftware die

Anforderungen und Hinweise von Planern und Anwendern mit eingeflossen. Die

folgende Aufstellung spiegelt daher insbesondere den Bedarf der unterschiedlichen

praxisrelevanten Problemstellungen wider. Eine ¨

Ubersicht ¨

uber weitere Detailan-

forderungen ist in [Kliewer, 2005] gegeben.

2.3.1 Fahrzeugumlaufplanung

Das Ziel des Fahrzeugumlaufplanungsproblems (engl: vehicle scheduling problem)

(VSP) ist die kostenminimale Planung von Fahrzeugen, um einen definierten

Fahrplan bedienen zu k¨

onnen. Das VSP umfasst alle Anforderungen, die als

Grundlage f¨

ur die in den nachfolgenden Abschnitten beschriebenen Erweiterun-

gen dienen, und stellt somit das grundlegende Problem der Umlaufplanung dar.

Voraussetzung f¨

ur die Planung ist ein Fahrplan, der eine Menge von den zu be-

dienenden Fahrten (Servicefahrten) enth¨

alt. Eine Servicefahrt entspricht einer zu

einer festgelegten Zeit zu fahrenden Linienroute zwischen zwei Endhaltestellen. In

der Umlaufplanung werden die Fahrten auf der Granularit¨

atsebene vollst¨

andiger

Linienfahrten betrachtet, da w¨

ahrend der Bedienung einer Linie ein Fahrzeug-

wechsel ausgeschlossen ist. Jede Servicefahrt ist definiert durch eine Abfahrtshal-

testelle sowie eine Abfahrtszeit, die Ort und Zeit f¨

ur den Beginn der Servicefahrt

definieren. Entsprechend definiert die Ankunftshaltestelle in Verbindung mit der

Ankunftszeit das Ende der Servicefahrt.

Der Planungshorizont der in der Umlaufplanung betrachteten Fahrtenmenge

entspricht in der Regel einem Tag, da zu einem Zeitpunkt des Tages (typischer-

2.3 Problemstellungen

100

120

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl'Fahrzeuge

Uhrzeit

100

120

140

160

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl'Fahrzeuge

Uhrzeit

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl'Fahrten

Uhrzeit

Abbildung 2.3: Auslastungskurven f¨

ur reale Fahrpl¨

ane

weise in den fr¨

uhen Morgenstunden) keine Servicefahrten zu bedienen sind und

dadurch die einzelnen Fahrplantage unabh¨

angig voneinander betrachtet werden

k¨

onnen. In der Regel sind reale Fahrpl¨

ane von der Eigenschaft gepr¨

agt, dass in

Zeiten von hoher Nachfrage durch Schul- und Berufspendler die weitaus meis-

ten Fahrten zu bedienen sind. Die Auslastungskurve, die die Anzahl der Fahrten

uber die Zeit anzeigt, weist durch diesen Effekt in vielen F¨

allen zwei deutliche

Spitzen auf. Exemplarisch sind in Abbildung 2.3 Beispiele f¨

ur Auslastungskurven

von realen Fahrpl¨

anen gezeigt.

Ergebnis der Umlaufplanung ist ein Umlaufplan, der eine Menge von Uml¨

aufen

enth¨

alt. Ein Umlauf entspricht einer zul¨

assigen Sequenz von Fahrten, die von

einem Fahrzeug bedient werden k¨

onnen. Die prim¨

are Zielsetzung der Umlauf-

planung ist die Minimierung der geplanten Kosten zur regul¨

aren Bedienung des

Fahrplans. Es werden zwei unterschiedliche Kostenarten unterschieden: die ope-

rativen Kosten entsprechen dem betriebsbedingten Aufwand einer zu fahrenden

Strecke (z.B. Kraftstoff). Sie werden abh¨

angig von der L¨

ange und/oder Dauer der

zu fahrenden Wege berechnet. H¨

aufig werden auch Wartezeiten, die an Endhalte-

stellen außerhalb eines Depots anfallen, in die operativen Kosten mit einbezogen.

Dar¨

uber hinaus fallen fixe Kosten (auch: Fixkosten) f¨

ur die Verwendung eines

Fahrzeugs an. Sie stellen Abschreibungskosten f¨

ur den Kauf eines Fahrzeugs und

den einsatzunabh¨

angigen Erhalt des Fahrzeugs dar (z.B. Wartung). In der Praxis

werden die Gesamtkosten mit einer Kombination aus operativen und fixen Kosten

bewertet. Da der Kauf bzw. das Vorhalten eines Fahrzeugs f¨

ur ein Verkehrsunter-

nehmen einen betr¨

achtlichen Kostenaufwand bedeutet, sind die fixen Kosten in

der Regel erheblich h¨

oher als die operativen Kosten. Daraus resultierend werden

im Rahmen der Umlaufplanung ohne Beschr¨

ankung der Allgemeinheit prim¨

die fixen Kosten (Anzahl der Fahrzeuge) minimiert und sekund¨

ar die operativen

Kosten.

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

2.3.2 Fahrzeugumlaufplanung mit einem Depot

Das Fahrzeugumlaufplanungsproblem mit einem Depot (engl: single depot vehic-

le scheduling problem) (SD-VSP) stellt die Erweiterung des Problems um die

Ber¨

ucksichtigung eines Depots dar, in dem die Fahrzeuge ¨

uber Nacht stationiert

sind. Dieses entspricht im SD-VSP einem Standort (z.B. Stellplatz oder Garage),

von dem aus die Fahrzeuge zur Abfahrtshaltestelle der ersten Fahrt ausr¨

ucken

und zu dem sie nach Abschluss des Umlaufs zur¨

uckkehren. Die durch diese Wege

bedingten zus¨

atzlichen Leerfahrten werden Ausr¨

uckfahrten bzw. Einr¨

uckfahrten

oder allgemein Depotfahrten genannt. In der Umlaufplanung mit einem Depot

wird von einer homogenen Fahrzeugflotte, in der jedes Fahrzeug f¨

ur die Bedie-

nung aller Servicefahrten des Fahrplans ausgelegt ist, ausgegangen.

Die Komplexit¨

at der Umlaufplanung ist vor allem durch die M¨

oglichkeit gege-

ben, dass Fahrzeuge auch zwischen der Bedienung von zwei Servicefahrten eine

Leerfahrt (Umsetzfahrt) machen k¨

onnen, um die Endhaltestelle zu wechseln. Die-

se Anforderung wird auch als Deadheading bezeichnet. Durch eine Umsetzfahrt

entstehen auf der einen Seite h¨

ohere operative Kosten, andererseits k¨

onnen die

Fahrzeuge effizienter eingesetzt werden, so dass tendenziell insgesamt weniger

Fahrzeuge zur Bedienung des Fahrplans ben¨

otigt werden und dadurch fixe Kos-

ten (und operative Kosten durch weniger Aus-/Einr¨

uckfahrten) verringert werden

k¨

onnen.

Die oben beschriebene Problemstellung des SD-VSP wird im Folgenden formal

definiert: Sei Sdie Menge aller Endhaltestellen und Tdie Menge aller Service-

fahrten des zu bedienenden Fahrplans. Der Beginn einer Servicefahrt t∈Tist

definiert durch die Abfahrtshaltestelle gt∈Sund die Abfahrtszeit et. Das En-

de ist durch die Ankunftshaltestelle ht∈Sund die Ankunftszeit ftgegeben.

Entsprechend seien die Haltestellen und Zeitpunkte f¨

ur Umsetz- und Depotfahr-

ten definiert. Sei dij die Dauer einer Umsetzfahrt zwischen den Endhaltestellen

i, j ∈S. Die Umsetzfahrt ist g¨

ultig bzw. die Servicefahrten sind zueinander kom-

patibel (i α j), wenn gilt:

fi+di.j ≤ej,f¨

ur i6=j(2.1)

fi≤ej,f¨

ur i=j(2.2)

Andernfalls sind die Fahrten nicht-kompatibel (i

α j) und k¨

onnen nicht von

einem Fahrzeug bedient werden. Ein g¨

ultiger, nicht-leerer Umlauf uaus einem

Umlaufplan U(u∈U) mit |U|Uml¨

aufen ist definiert als eine Sequenz von

Fahrten mit dem regul¨

aren Ausdruck (vgl. [Friedl, 2003])

A S (S|(U S))∗E

2.3 Problemstellungen

wobei f¨

ur alle Servicefahrten i, j ∈ugilt: (i α j) oder (j α i). Der Ausdruck

gibt die g¨

ultige Kombination der Ausr¨

uckfahrten (A), Servicefahrten (S), Um-

setzfahrten (U) und Einr¨

uckfahrten (E) an.

Die Anzahl der im Depot vorhandenen Fahrzeuge ist limitiert durch die Kapa-

zit¨

at w. Seien cseq

udie operativen Kosten eines Umlaufs u∈Uund cveh die fixen

Kosten f¨

ur ein Fahrzeug. Die geplanten Kosten eines Umlaufplans Usind f¨

ur das

SD-VSP:

ctotal =X

u∈U

cseq

| {z }

u∈U

cveh

| {z }

operative Kosten fixe Kosten

Das Umlaufplanungsproblem (SD-VSP) kann daher definiert werden als das

Finden einer Zuweisung von Fahrten zu Fahrzeugen, so dass

•jede Fahrt des Fahrplans bedient wird,

•jedes Fahrzeug eine g¨

ultige Route f¨

ahrt und

•die – gewichteten operativen und fixen – Kosten minimiert werden.

Das SD-VSP ist von seiner Komplexit¨

at her als einfach zu bezeichnen, da es in

polynomieller Zeit optimal gel¨

ost werden kann. Allerdings werden in der Praxis

neben den oben beschriebenen Anforderungen z.T. weitere Bedingungen an die

Umlaufplanung gestellt, die Erweiterungen des SD-VSP darstellen. Diese werden

in den folgenden Abschnitten beschrieben und treten in der Praxis einzeln oder

in Kombination unterschiedlicher Erweiterungen auf.

2.3.3 Umlaufplanung mit mehreren Depots und

Fahrzeugtypen

Viele Verkehrsunternehmen verf¨

ugen ¨

uber mehrere Depotstandorte, die indivi-

duelle Kapazit¨

aten f¨

ur Fahrzeuge haben. Diese k¨

onnen durch eine unzureichende

Kapazit¨

at in einem einzelnen Depotstandort begr¨

undet sein. Ein weiterer Moti-

vationsgrund zur Unterhaltung mehrerer Depotstandorte liegt aber auch darin,

dass durch die Erm¨

oglichung k¨

urzerer Ein- und Ausr¨

uckfahrten eine Senkung der

operativen Kosten erreicht werden kann. Da die Umlaufplanung in der Regel f¨

einen Tag durchgef¨

uhrt wird, muss sichergestellt werden, dass die Belegung der

Depots am Ende des Tages der Ausgangssituation entspricht. Das heisst, dass ein

Fahrzeug am Ende seines Umlaufs in das gleiche Depot zur¨

uckkehren muss, von

dem aus es gestartet ist. Dadurch wird sichergestellt, dass die Fahrzeugbelegung

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

am Ende des Tages der Ausgangssituation entspricht, so dass die Planung f¨

einen oder mehrere Tage wiederverwendet werden kann. Die hier beschriebene

Problemstellung geht von bereits bestehenden Depotstandorten aus.

Das um die oben beschriebenen Anforderungen erweiterte SD-VSP ist als

Mehrdepot-Umlaufplanungsproblem (engl: multiple depot vehicle scheduling pro-

blem) (MD-VSP) bekannt. Die in Abschnitt 2.3.1 aufgestellte formale Definition

des SD-VSP kann durch folgende Erweiterungen als MD-VSP definiert werden:

Sei Ddie Menge aller Depots und wdmit d∈Ddie individuellen Depotkapa-

zit¨

aten. Die geplanten operativen Kosten f¨

ur einen Umlauf sind abh¨

angig von dem

Standort des Depots, da sich l¨

angere Aus- und Einr¨

uckfahrten ergeben k¨

onnen.

Seien Udalle Uml¨

aufe des Depots d∈D. Daraus ergeben sich die zu minimieren-

den geplanten Kosten f¨

ur das MD-VSP:

ctotal =X

d∈DX

u∈Ud

cseq

u,d +X

u∈U

cveh

Das MD-VSP geh¨

ort f¨

ur |D| ≥ 2 zu der Problemklasse der NP-schweren Pro-

blemstellungen, Die theoretische Komplexit¨

at ist in [Bertossi et al., 1987] gezeigt.

2.3.4 Umlaufplanung mit Fahrzeugtypen

Neben der Zugeh¨

origkeit zu einem Depot k¨

onnen sich die Fahrzeuge auch in ihren

Eigenschaften – wie Geschwindigkeit, Gr¨

oße oder Kosten – unterscheiden. Eine

festgelegte Kombination von Eigenschaften eines Fahrzeugs wird im Folgenden

Fahrzeugtyp genannt. F¨

ur den Fall, dass sich die Fahrzeuge in ihren Typen un-

terscheiden, aber jede Servicefahrt von einem beliebigen Fahrzeug(typen) bedient

werden darf, m¨

ussen die Uml¨

aufe einem Depot und einem Fahrzeugtypen zuge-

wiesen werden. Aufgrund der nicht eingeschr¨

ankten Bedienung aller Fahrten kann

jede Kombination aus Depot und Fahrzeugtyp als ein Depot angesehen werden,

dessen Kapazit¨

at die Kapazit¨

at des Fahrzeugtypen in dem entsprechenden Depot

ist. Zur Vereinfachung der Erkl¨

arungen wird f¨

ur die weiteren Ausf¨

uhrungen dieser

Arbeit der Begriff ”Depot“ als Kombination aus Fahrzeugtyp und Depotstandort

verwendet.

F¨

ur den Fall, dass s¨

amtliche Fahrplanfahrten mit einem beliebigen Fahrzeug-

typen bedient werden k¨

onnen, kann das Problem als MD-VSP gel¨

ost werden,

bei dem die typabh¨

angigen Kosten einbezogen werden. Die operativen und fixen

Kosten sind abh¨

angig von dem verwendeten Fahrzeugtyp, da zum Beispiel der

Verbrauch und die Investitionskosten aufgrund unterschiedlicher Bauweise vari-

ieren k¨

onnen. Aufgrund der M¨

oglichkeit einer gleichartigen Betrachtung wird das

MD-VSP mit Fahrzeugtypen und ohne Einschr¨

ankung der Bedienung f¨

ur Ser-

2.3 Problemstellungen

vicefahrten f¨

ur den weiteren Verlauf dieser Arbeit unter der Problemstellung des

MD-VSP ber¨

ucksichtigt.

Neben der Ber¨

ucksichtigung unterschiedlicher Depotstandorte und Fahrzeugty-

pen existieren allerdings h¨

aufig weitere Einschr¨

ankungen f¨

ur Servicefahrten, die es

nur einer Teilmenge von Fahrzeugtypen erlaubt eine Fahrt zu bedienen. Zum Bei-

spiel k¨

onnen auf Linien, die an Krankenh¨

ausern oder Altenheimen entlang f¨

uhren,

nur Fahrzeugtypen mit einer behindertengerechten Bauweise (z.B. Niederflurbus-

se) verwendet werden. H¨

aufig f¨

uhren auch streckenbedingte Engp¨

asse, wie Tunnel

oder Engstellen der Straße, dazu, dass einige Fahrzeugtypen (z.B. Gelenkbusse)

nicht f¨

ur die Bedienung einer Servicefahrt geeignet sind. Die Einschr¨

ankung der

Fahrzeugtypen ist nicht ausschließlich von der Route einer Linie abh¨

angig, son-

dern kann auch von den Bedienzeiten abh¨

angen. So kann es z.B. auf einer Linie,

die tags¨

uber ein hohes Fahrgastaufkommen hat (z.B. durch Gesch¨

aftszeiten), in

den Nachtstunden zu einer Ver¨

anderung der Fahrzeugtypeinschr¨

ankungen kom-

men (vgl. [Gr¨

otschel et al., 1997]).

Eine Fahrt kann in der Problemstellung der Umlaufplanung mit Fahrzeugtyp-

gruppen (engl: multiple vehicle type group vehicle scheduling problem) (MVTG-

VSP) ausschließlich von einem Fahrzeug einer Fahrzeugtypgruppe bedient werden,

wobei eine Fahrzeugtypgruppe eine Teilmenge aller Fahrzeugtypen ist. Die ma-

ximal verf¨

ugbaren Fahrzeuge (Kapazit¨

at) sind je Depotstandort und Fahrzeug-

typ gegeben. Aus diesem Grund k¨

onnen die Fahrten in der Problemstellung des

MVTG-VSP nur von einer Untermenge aller Depots – im Sinne einer Kombina-

tion von Depotstandort und Fahrzeugtyp – bedient werden.

Seien Uddie Menge der Uml¨

aufe aus Depot d∈D. Formal kann das in Ab-

schnitt 2.3.3 beschriebene MD-VSP zum MVTG-VSP erweitert werden, indem

f¨

ur jede Servicefahrt t∈Tdie Menge der zul¨

assigen Depots Vt⊆Ddefiniert wird.

Als zus¨

atzliche Nebenbedingung ist f¨

ur die G¨

ultigkeit eines Umlaufs, neben der

Kompatibilit¨

at der Fahrten, die Einhaltung der Fahrzeugtypgruppen erforderlich.

Das heisst, f¨

ur alle Servicefahrten eines Umlaufs m¨

ussen die die Fahrzeugtypgrup-

pen mindestens einen gemeinsamen Fahrzeugtypen enthalten:

t∈U

Vt6=∅,∀U∈Ud,∀d∈D

Dieser Umstand ist f¨

ur die Konzeption von Methoden zur L¨

osung des MVTG-

VSP wichtig, da nicht jede Sequenz aus kompatiblen Fahrten g¨

ultig ist. Auch die

theoretische Komplexit¨

at des MVTG-VSP ist durch Betrachtung unterschied-

licher Fahrzeugtypen im allgemeinen Fall NP-schwer (vgl. [Lenstra und Kan,

1981]).

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

Haltestelle 1

Haltestelle 2

a c

b (±2 Minuten)

Haltestelle 1

Haltestelle 2

a cb

Zeit

vorher

nachher

Abbildung 2.4: Reduzierung der ben¨

otigen Fahrzeuge durch Zeitfenster

2.3.5 Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Wie in in Abschnitt 2.1 beschrieben wurde, wird die Umlaufplanung auf der Basis

eines bestehenden Fahrplans durchgef¨

uhrt und ist somit eine von der Fahrplaner-

stellung unabh¨

angige Planungsaufgabe. Bei der L¨

osung der Umlaufplanung mit

Zeitfenstern (engl: vehicle scheduling problem with time windows) (VSP-TW)

sollen durch die zeitliche Verschiebung der Servicefahrten in einem individu-

ell begrenzten Intervall weitere Einsparpotentiale erm¨

oglicht werden. Durch die

Ver¨

anderung der Abfahrts- und Ankunftszeiten einer Fahrt k¨

onnen – unter Bei-

behaltung der Fahrtdauer – neue Anschl¨

usse erm¨

oglicht werden. Diese k¨

onnen

sowohl ¨

uber eine direkte Anschlussm¨

oglichkeit an einer Endhaltestelle als auch

durch zus¨

atzliche Kompatibilit¨

aten von Fahrten mittels Umsetzfahrten erreicht

werden. Der Umfang der m¨

oglichen zeitlichen Verschiebung von Servicefahrten

wird auch Zeitfenster genannt. Die durch Zeitfenster erm¨

oglichten Anschl¨

usse

k¨

onnen neben der Reduzierung der operativen Kosten auch zu einer Einsparung

von Fahrzeugen und resultierend zu geringeren fixen Kosten f¨

uhren. Abbildung

2.4 zeigt schematisch die durch Zeitfenster m¨

ogliche Reduzierung ben¨

otigter Fahr-

zeuge: die obere Abbildung stellt einen Fahrplan mit drei Servicefahrten (a, b

und c) als Pfeile ¨

uber Zeit (horizontal) und Ort (vertikal) dar. Der urspr¨

ungliche

Fahrplan kann durch die zeitliche ¨

Uberschneidung von Fahrten a und b nicht

von einem Fahrzeug bedient werden. Bei Zulassung einer zeitlichen Verschiebung

(z.B. um zwei Minuten f¨

ur Fahrt b) k¨

onnen alle Fahrten, wie in der unteren Abbil-

dung dargestellt, durch ein Fahrzeug abgedeckt werden. Obwohl die Verwendung

2.3 Problemstellungen

von Zeitfenstern in der Umlaufplanung hohe Potentiale f¨

ur die Kosteneinsparung

bedeuten, sind die Anwendungsszenarien durch die Auswirkungen auf den Origi-

nalfahrplan in der Praxis stark eingeschr¨

ankt. M¨

ogliche Anwendungsf¨

alle werden

in Abschnitt 2.2 n¨

aher erl¨

autert.

Um die in den vorhergehenden Abschnitten beschriebenen Umlaufplanungs-

probleme mit Zeitfenstern f¨

ur Servicefahrten zu erweitern, seien qtbzw. ptdie

Angaben der m¨

oglichen zeitlichen Verschiebung von Fahrt t∈Tnach vorne bzw.

nach hinten. Die f¨

ur Servicefahrt tm¨

ogliche Abfahrtszeit etw

tkann durch eine

relative Verschiebung innerhalb des individuell vorgegebenen Intervalls liegen:

etw

t∈[et−qt;et+pt]∀t∈T

Die Ankunftszeit der Servicefahrt ist aufgrund der als konstant angenommenen

Fahrtdauer gegeben durch ftw

t=ft−(et−etw

t). Zwei Servicefahrten iund jsind

dementsprechend kompatibel (i α j), wenn gilt: ftw

i+dij ≤etw

Das VSP-TW geh¨

ort der Problemklasse der NP-vollst¨

andigen Probleme an,

da es durch Betrachtung von einem Fahrzeug und einem Depot auf das Hand-

lungsreisendenproblem (engl: traveling salesman problem) (TSP) mit Zeitfenstern

reduziert werden kann (vgl. [Savelsbergh, 1985]).

2.3.6 Umlaufplanung mit Routenrestriktionen

Unter der Umlaufplanung mit Routenrestriktionen (engl: vehicle scheduling pro-

blem with route constraints) (VSP-RC) werden allgemein Problemstellungen ver-

standen, bei denen das VSP weiteren Restriktionen unterliegt, die eine Begren-

zung der umlaufabh¨

angigen Kapazit¨

at darstellen. Dies kann zum Beispiel eine

zeitliche Restriktion sein, die die Umlaufdauer begrenzt oder eine maximale Weg-

strecke, die durch eine begrenzte Reichweite der Fahrzeuge begr¨

undet ist. Eine

weitere Umlaufrestriktion (auch Ressource genannt) kann die Anzahl unterschied-

licher Linien oder Linienwechsel eines Umlaufs darstellen, die aufgrund von tech-

nischen oder organisatorischen Rahmenbedingungen begrenzt sein soll. In der

Praxis werden diese Routenrestriktionen h¨

aufig als weiche Restriktionen betrach-

tet und als eine, den Kosten untergeordnete, Zielgr¨

oße betrachtet. Im VSP-RC

werden sie allerdings als harte Restriktion einbezogen und k¨

onnen daher im Ver-

gleich zum VSP ohne Routenrestriktionen zu einer Erh¨

ohung der geplanten Kos-

ten f¨

uhren.

Das VSP-RC geh¨

ort zu der Problemklasse der NP-schweren Probleme (vgl.

[Lenstra und Kan, 1981]).

2 Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr

2.3.7 Weitere praxisrelevante Anforderungen

Neben den beschrieben Problemstellungen werden an die Erstellung von Umlauf-

pl¨

anen weitere Anforderungen gestellt wie z.B. die Ber¨

ucksichtigung von Vorbe-

reitungs- und Wendezeiten f¨

ur Fahrten, eine R¨

uckkehr ins Depot zur Erm¨

oglich-

ung von Pausenzeiten, tageszeitabh¨

angige Verbindungsangaben oder die Ber¨

uck-

sichtigung einer Mindestausnutzung von Depotkapazit¨

aten. Eine Vielzahl dieser

Anforderungen ist in [Kliewer, 2005] beschrieben und soll an dieser Stelle nicht

weiter diskutiert werden, da sie in der Modellierung ber¨

ucksichtigt werden k¨

onnen

und keine Anpassung der L¨

osungsmethoden erfordern. Die in den nachfolgenden

Kapiteln vorgestellten Methoden k¨

onnen diese Erweiterungen wie in [Kliewer,

2005] gezeigt ber¨

ucksichtigen.

3 Grundlegende

Optimierungstechniken

In den nachfolgenden Kapiteln werden Modelle und Verfahren f¨

ur die Busumlauf-

planung vorgestellt. Um die Verst¨

andlichkeit der Ausf¨

uhrungen sicherzustellen,

sollen in diesem Kapitel die notwendigen theoretischen Grundlagen erl¨

autert wer-

den. F¨

ur eine weiterf¨

uhrende Diskussion der Details wird an den entsprechenden

Stellen auf geeignete Literatur verwiesen.

3.1 Mathematische Optimierung

Seit ¨

uber 50 Jahren werden Methoden der mathematischen Optimierung (engl.:

mathematical programming) f¨

ur die L¨

osung realer Planungsprobleme verwendet

(vgl. [Bixby, 2002]). Dazu wird die reale Problemstellung in der Form eines

mathematischen Modells formuliert. Das Modell besteht aus einer Zielfunktion

(engl: objective function), in der gewichtete Entscheidungsvariablen (engl: deci-

sion variables) maximiert oder minimiert werden sowie zus¨

atzlicher Restriktio-

nen (engl: constraints), die bei der Bestimmung der Variablenauspr¨

agungen zu

ber¨

ucksichtigen sind (vgl. [Suhl und Mellouli, 2006]).

Lineare Optimierung Im Falle ausschließlich linearer Restriktionen und einer

linearen Zielfunktion nennt man ein mathematisches Modell lineares Optimie-

rungsproblem (engl: linear program) (LP) (vgl. [Chvatal, 1983]). Die Entschei-

dungsvariablen k¨

onnen reelle Werte annehmen. F¨

ur die L¨

osung von LPs existie-

ren effiziente Algorithmen, die eine exakt optimale L¨

osung f¨

ur das Problem fin-

den k¨

onnen. Dies sind zum Beispiel Innere-Punkte-Verfahren (vgl. [Karmarkar,

1984]), die einen polynomiellen Laufzeitaufwand haben, oder Simplex-Methoden

(vgl. [Dantzig et al., 1955]). F¨

ur gegebene Vektoren der Entscheidungsvariablen

xund der Kostenfaktoren csowie gegebener Restriktionen Ax =blautet ein

lineares Optimierungsproblem mit Minimierung der Zielfunktion (vgl. [Wolsey,

1998]):

min cx, s.t. Ax =b, x ≥0 (3.1)

3 Grundlegende Optimierungstechniken

(Gemischt)-ganzzahlige Optimierung Im Falle der zus¨

atzlichen Bedingung,

dass alle (bzw. ein Teil der) Entscheidungsvariablen ausschließlich ganzzahlige

Wertauspr¨

agungen annehmen d¨

urfen, handelt es sich um ein ganzzahliges Opti-

mierungsproblem (engl: integer program) (IP) (bzw. gemischt-ganzzahliges Op-

timierungsproblem (engl: mixed integer program) (MIP)). Die Formulierung des

LPs aus (3.1) als ganzzahliges Optimierungsproblem lautet:

min cx, s.t. Ax =b, x ∈R(3.2)

Im Gegensatz zu den LPs geh¨

oren diese Modelle zu der Klasse der NP-harten

Probleme (vgl. [Wolsey, 1998]). Da f¨

ur diese Klasse keine Algorithmen bekannt

sind, die in polynomieller Zeit eine optimale L¨

osung finden, basieren typische

Verfahren auf der impliziten Enumerierung m¨

oglicher Auspr¨

agungen der Ent-

scheidungsvariablen. Bei diesen wird zur Laufzeit durch Ausnutzung von unteren

Schranken eine Vielzahl an L¨

osungen ausgeschlossen. Zu diesen Verfahren geh¨

oren

LP-basierte Branch & Bound (B&B) oder Branch & Cut Verfahren (B&C), die

auch in kommerziellen Optimierungs-Bibliotheken eingesetzt werden (vgl. z.B.

[Suhl, 2000], [ILOG, 2007]). Hier wird nach Berechnung der LP-Relaxation – al-

so der L¨

osung des MIPs unter Vernachl¨

assigung der Ganzzahligkeitsbedingungen

– die L¨

osung auf fraktionelle Variablenwerte untersucht. Im B&B-Algorithmus

wird das Problem auf der fraktionellen L¨

osung einer Entscheidungsvariable in

zwei Unterprobleme geteilt. Im B&C werden dem Modell zus¨

atzliche Restriktio-

nen hinzugef¨

ugt, die die Formulierung verst¨

arken sollen. Die L¨

osung einer LP-

Relaxation, bei der die Variablen fraktionelle Werte annehmen d¨

urfen, liefert eine

untere Schranke f¨

ur die L¨

osung des MIPs (vgl. [Nemhauser und Wolsey, 1999]).

Total unimodulare Matrizen Eine besondere Eigenschaft einiger MIPs kann

die L¨

osung des ganzzahligen Problems vereinfachen: sei Adie (n×m) - Matrix,

die die Koeffizienten der n Entscheidungsvariablen f¨

ur alle m Restriktionen eines

MIPs enth¨

alt. Besitzt diese Koeffizientenmatrix Adie Eigenschaft der totalen

Unimodularit¨

at, so besteht eine optimale L¨

osung der LP-Relaxation ausschließ-

lich aus ganzzahligen Werten und ist somit auch eine optimale L¨

osung f¨

ur das

MIP. Das MIP kann also in polynomieller Zeit optimal gel¨

ost werden.

Eine Matrix Aist total unimodular, wenn jede quadratische Teilmatrix von

Aeine Determinante von 1, -1 oder 0 hat. F¨

ur den Nachweis zur totalen Uni-

modularit¨

at von Matrix Amit Koeffizienten aij gilt als hinreichende Bedingung

(vgl. [Wolsey, 1998]):

•alle Koeffizienten der Matrix sind aus {−1,0,1},

•jede Spalte der Matrix enth¨

alt maximal zwei Koeffizienten ungleich 0,

3.1 Mathematische Optimierung

•es existiert eine Aufteilung (M1, M2) der Zeilen von A, so dass jede Spal-

te j, die zwei Koeffizienten ungleich 0 enth¨

alt, folgende Gleichung erf¨

ullt:

Pi∈M1aij −Pi∈M2aij = 0.

Ausgew¨

ahlte Optimierungsprobleme

Zum besseren Verst¨

andnis der in den nachfolgenden Kapiteln vorgestellten An-

s¨

atze sollen an dieser Stelle einige, f¨

ur die L¨

osung von Busumlaufplanungspro-

blemen relevante, Optimierungsprobleme vorgestellt werden. Da viele mathema-

tischen Modelle zur Optimierung der Umlaufplanung die Ber¨

ucksichtigung von

ganzzahligen Variablen erfordern, wird insbesondere auf diese Anforderung ein-

gegangen.

Umladeproblem Das Umladeproblem (engl: minimum cost flow problem) (MCF)

geh¨

ort zu der Klasse der Netzwerkprobleme. Bei diesen basiert die Formulierung

der Problemstellung auf einem Netzwerk. Anwendung finden sich zum Beispiel

h¨

aufig bei Problemstellungen aus den Bereichen Logistik und Transport.

Sei G= (N, A) ein gerichtetes Netzwerk mit den Mengen der Knoten Nund

Kanten A(A⊆N×N). Jeder gerichteten Kante (i, j)∈Aist ein Kostenwert cij

pro Flusseinheit zugewiesen sowie eine minimale (maximale) Kapazit¨

at lij (uij).

In einer g¨

ultigen L¨

osung darf die Flussgr¨

oße diese Kapazit¨

at nicht unterschrei-

ten (¨

uberschreiten). Zu jedem Knoten j∈Nist ein Bedarf bjan Flusseinheiten

gegeben. Ein positiver Bedarf entspricht einem Angebot von Flusseinheiten, ein

negativer einer Nachfrage. Die Knoten werden dementsprechend in folgender Wei-

se benannt:

bj





<0 : Bedarfsknoten,

= 0 : Umladeknoten,

>0 : Angebotsknoten. ∀j∈N

Gesucht ist im MCF eine kostenminimale Flussl¨

osung, die alle Knotenbedarfe

erf¨

ullt und deren Kantenfl¨

usse innerhalb der individuellen Kapazit¨

aten liegen. In

der mathematischen Formulierung werden die Kantenfl¨

usse als Entscheidungsva-

riablen abgebildet:

min X

(i,j)∈A

cijxij (3.3)

s.t. X

i:(i,j)∈A

xij −X

i:(j,i)∈A

xji =bj∀j∈N(3.4)

lij ≤xij ≤uij ∀(i, j)∈A(3.5)

3 Grundlegende Optimierungstechniken

In der Zielfunktion (3.3) werden die gesamten Flusskosten minimiert. Restriktio-

nen (3.4) stellen die Erf¨

ullung der Bedarfe sicher, indem die Summe aller ein-

gehenden Fl¨

usse abz¨

uglich der Summe aller ausgehenden Fl¨

usse eines Knotens

dem Bedarf entsprechen m¨

ussen. (3.5) garantiert die Einhaltung der individuellen

Kantenkapazit¨

aten.

Unter der Voraussetzung, dass die Bedarfe f¨

ur alle Knoten (bi∈N,∀i∈N)

und alle Kantenkapazit¨

aten ganzzahlig sind (lij ∈N∧uij ∈N,∀(i, j)∈A),

nehmen die Werte einer optimalen L¨

osung auch ganzzahlige Werte an, da die

Koeffizientenmatrix des Optimierungsproblems total unimodular ist (vgl. [Wol-

sey, 1998]). Das MCF kann daher mit Methoden f¨

ur die Optimierung von LPs

in polynomieller Zeit gel¨

ost werden. Dar¨

uber hinaus kann die Netzwerk-Struktur

des MCF in spezialisierten Algorithmen ausgenutzt werden, um die L¨

osungsge-

schwindigkeit gegen¨

uber allgemeinen LP-Methoden zu verbessern. Beispiele f¨

Algorithmen dieser Art sind Netzwerk-Simplex-Methoden oder Primal-Duale Me-

thoden (vgl. [Ahuja et al., 1993]).

Transportproblem Das Transportproblem (engl: transportation problem) (TP)

ist ein Spezialfall des MCF. Die Knotenmenge Nbesteht aus einer Menge von

Angebotsknoten N1mit Angeboten ai∀i∈N1sowie einer Menge von Bedarfs-

knoten N2mit Bedarfen bj∀j∈N2. Jeder Knoten des Netzwerks geh¨

ort zu einer

der beiden Mengen, so dass keine Umladeknoten vorhanden sind. Es existieren

keine Kanten zwischen zwei Angebotsknoten (bzw. zwei Bedarfsknoten). Somit

ist G= (N, A) mit N=N1∪N2ein bipartiter Graph mit O(|N1|·|N2|) Kanten

und das TP kann wie folgt formuliert werden:

min X

(i,j)∈A

cijxij (3.6)

s.t. X

j:(i,j)∈A

xij =ai∀i∈N1(3.7)

i:(i,j)∈A

xij =bj∀j∈N2(3.8)

Die Zielfunktion (3.6) minimiert die Summe der Flusskosten. Restriktionen (3.7)

bzw. (3.8) stellen die Erf¨

ullung der Angebote bzw. Bedarfe sicher. Bedarfe und

Angebote sind in dieser Darstellung bewusst getrennt, um die zugrunde liegen-

de Struktur eines bipartiten Graphen besser zu verdeutlichen. Diese Struktur

kann in spezialisierten Methoden (z.B. der MODI-Methode) zur Verbesserung

der L¨

osungsgeschwindigkeit genutzt werden (vgl. [Domschke und Drexl, 2005]).

3.1 Mathematische Optimierung

Mehrg¨

uter Flussproblem Im Gegensatz zu den oben vorgestellten Problemen,

in denen homogene Typen von Flusseinheiten betrachtet werden, wird im Mehr-

g¨

uter Flussproblem (engl: multicommodity flow problem) (MCCF) der Transport

von unterschiedlichen G¨

utern innerhalb eines Netzwerks betrachtet. Sei Kdie

Menge dieser unterschiedlichen G¨

uter, dann ist das MCCF gegeben durch:

min X

k∈KX

(i,j)∈A

ijxk

ij (3.9)

s.t. X

i:(i,j)∈A

ij −X

i:(j,i)∈A

ji =bk

j∀j∈N, ∀k∈K(3.10)

k∈K

ij ≤Uij ∀(i, j)∈A(3.11)

ij ≤xk

ij ≤uk

ij ∀(i, j)∈A, ∀k∈K(3.12)

Die Gesamtkosten ¨

uber alle G¨

uter werden in der Zielfunktion (3.9) minimiert.

Restriktionen (3.10) stellen die Erf¨

ullung der Knotenbedarfe f¨

ur jedes Gut k∈

Ksicher. Neben den minimalen und maximalen Kapazit¨

aten einer Kante pro

Gut (3.12) sind die G¨

uterfl¨

usse ¨

uber B¨

undelrestriktionen (engl: bundle cons-

traints) (3.11) miteinander verbunden. Diese stellen sicher, dass die Summe al-

ler G¨

uterfl¨

usse einer Kante (i, j) eine globale Gesamtkapazit¨

at von Uij nicht

uberschreitet. Die Koeffizientenmatrix eines MCCF ist nicht total unimodular,

sobald zwei oder mehr G¨

uter betrachtet werden.

F¨

ur den Fall, dass eine ganzzahlige L¨

osung erforderlich ist, kann das Modell

um folgende Restriktionen erweitert werden:

xij ∈N∀(i, j)∈A(3.13)

Das resultierende Ganzzahlige Mehrg¨

uter Flussproblem (engl: integer multicom-

modity flow problem) (IMCCF) ist aufgrund der B¨

undelrestriktionen und der da-

mit nicht mehr total unimodularen Koeffizientenmatrix NP-vollst¨

andig (vgl. [Ga-

rey und Johnson, 1979]).

Im Falle von unabh¨

angigen G¨

uterfl¨

ussen kann f¨

ur jedes Gut k∈Kein MCF

formuliert werden und die entstehenden Unterprobleme jeweils durch Verfahren

mit polynomieller Laufzeit gel¨

ost werden.

Set Partitioning Problem Im Set Partitioning Problem (SPP) wird eine Men-

ge von Entscheidungsm¨

oglichkeiten Nbetrachtet, von der jedes Element eine

Teilmenge aller Eigenschaften Mabdeckt. Eine g¨

ultige L¨

osung enth¨

alt eine Teil-

menge gew¨

ahlter Entscheidungsm¨

oglichkeiten, so dass durch sie jede Eigenschaft

3 Grundlegende Optimierungstechniken

genau einmal abgedeckt ist. Ziel der Optimierung ist das Finden einer g¨

ultigen

L¨

osung mit minimalen Kosten cj∀j∈N. In der mathematischen Formulierung

repr¨

asentieren die Entscheidungsvariablen die unterschiedlichen M¨

oglichkeiten N:

min X

j∈N

cjxj(3.14)

s.t. X

j∈N

aijxj= 1 ∀m∈M(3.15)

xj∈ {0,1} ∀ j∈N(3.16)

Die Zielfunktion (3.14) minimiert die Gesamtkosten. Alternativ k¨

onnen Gesamt-

kosten durch individuelle Kostenfaktoren cjminimiert werden. In (3.15) wird

sichergestellt, dass jede Eigenschaft i∈Mgenau einmal abgedeckt wird. Die

diskrete Modellierung einer Entscheidungswahl ist durch die Definition als (0,1)-

Variablen in (3.16) modelliert. Das SPP geh¨

ort zu der Klasse der NP-harten

Probleme (vgl. [Garey und Johnson, 1979]).

3.2 Column Generation

Das Column Generation Verfahren ist eine Methode zur L¨

osung von linearen

Problemen mit einer großen Anzahl an Entscheidungsvariablen. Motiviert ist die

Methode durch das Prinzip der Dantzig-Wolfe-Dekomposition, durch die zu einem

Modell eine ¨

aquivalente Formulierung mit einer großen Anzahl an Variablen, aber

weniger Restriktionen, gebildet werden kann (vgl. [Dantzig und Wolfe, 1960]). Sei

Pein beliebiges lineares Problem mit einer großen Anzahl von Variablen und sei

Pgegeben durch:

min X

j∈N

cjxj(3.17)

s.t. X

j∈N

aijxj=bi∀i∈M(3.18)

xj≥0∀j∈N(3.19)

Anstatt das vollst¨

andige LP zu l¨

osen wird im Column Generation Verfahren

eine Sequenz von Unterproblemen (restricted master problems) (RMPs) gel¨

ost.

Diese beinhalten jeweils nur eine (in der Regel vergleichsweise kleine) Untermenge

der Variablen von P. Nach jeder L¨

osung eines RMPs wird im pricing problem

(PP) ¨

uber die Aufnahme einer die L¨

osung potentiell verbessernden Variable in das

3.2 Column Generation

Algorithmus 3.1 : Column Generation Verfahren

(Schritt 1) Initialisierung

W¨

ahle initiale Untermenge von Variablen N0⊂N

t= 0

(Schritt 2) L¨

osung des restricted master problem

L¨

ose RMP(Nt) und speichere duale Werte πt

(Schritt 3) L¨

osung des pricing problem

L¨

ose PP(πt) zur Identifikation einer aufzunehmenden

Variable n0mit cn0<0

Wenn cx≥0∀x /∈Nt, dann Abbruch

(Schritt 4) Aktualisierung des restricted master problem

Nt+1 =Nt∪n0

t=t+ 1

Gehe zu Schritt 2

RMP entschieden. Der generische Ablauf eines Column Generation Verfahrens ist

in Algorithmus 3.1 dargestellt und wird im Folgenden n¨

aher erl¨

autert.

In Schritt 1 wird das erste RMP so initialisiert, dass das Problem l¨

osbar und

beschr¨

ankt ist. Dies kann zum Beispiel durch die Identifikation geeigneter Va-

riablen durch eine Heuristik f¨

ur das Gesamtproblem geschehen. Alternativ kann

durch das Einf¨

ugen von k¨

unstlichen Variablen mit sehr hohen (dominierenden)

Kosten die L¨

osbarkeit sichergestellt werden. Sollten nach Beendigung des Co-

lumn Generation Verfahrens k¨

unstliche Variablen in der L¨

osung sein, so ist das

Gesamtproblem nicht l¨

osbar, da – die Dominanz der k¨

unstlichen Variablenkos-

ten vorausgesetzt – keine L¨

osung ohne k¨

unstliche Variablen existiert. Durch die

L¨

osung des RMPs in Schritt 2 werden die dualen Werte (π) der Restriktionen

berechnet. Da eine Untermenge des Gesamtproblems betrachtet wird, stellt der

Zielfunktionswert des RMPs zum Zeitpunkt t(Z(RMPt)) eine obere Schranke f¨

den optimalen Zielfunktionswert des Gesamtproblems dar: Z(RMPt)≥Z(P).

In Schritt 3 wird nach einer Variable n0gesucht, die nicht in der Variablenmenge

des aktuellen RMPs vorhanden ist (n0/∈Nt) und negative reduzierte Kosten cn0

hat. Die reduzierten Kosten k¨

onnen mit Hilfe der dualen Werte aus Schritt 2 f¨

jede Variable wie folgt berechnet werden:

cn0=cn0−X

i∈M

aijπi

Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Strategien zur Auswahl einer Variable mit

negativen reduzierten Kosten. H¨

aufige Anwendung findet das Dantzig Pricing, bei

3 Grundlegende Optimierungstechniken

Initialisierung

Restricted Master

Problem

impl. / expl.

Pricing Problem

Column Generation Verfahren

Optimale LP-Lösung

Branch & Bound

! heuristische Lösung

Branch & Price

! optimale Lösung

Neue Variable(n)

Duale Werte

Neue Variable(n)

Abbildung 3.1: Column Generation f¨

ur MIPs

dem die Variable mit den geringsten reduzierten Kosten ausgew¨

ahlt wird. Sollte

im PP keine Variable mit negativen reduzierten Kosten gefunden werden, so stellt

die L¨

osung des aktuellen RMPs eine optimale L¨

osung f¨

ur P dar. Andernfalls wird

die identifizierte Variable n0dem aktuellen RMP hinzugef¨

ugt und die n¨

achste

Iteration durchgef¨

uhrt (Schritt 4).

Da das Hinzuf¨

ugen von nur einer Variable je Iteration zu einer hohen An-

zahl von Iterationen des Algorithmus f¨

uhrt, k¨

onnen zur Beschleunigung mehrere

Variablen im PP identifiziert und hinzugef¨

ugt werden (multiple pricing). Eine

weitere Strategie zur Beschleunigung des Algorithmus ist die Eliminierung von

Variablen mit hohen reduzierten Kosten aus den RMPs. Dadurch kann die Mo-

dellgr¨

oße der RMPs verkleinert werden und durch eine k¨

urzere L¨

osungszeit der

RMPs die L¨

osungsdauer des gesamten Algorithmus reduziert werden. Es existiert

eine Vielzahl von weiteren Beschleunigungstechniken f¨

ur das Column Generation

Verfahren, die in [Desaulniers et al., 2002] ausf¨

uhrlich beschrieben werden.

Der Ablauf des Column Generation Verfahrens ist in Abbildung 3.1 zusam-

menfassend dargestellt. Nach der Initialisierung werden im Wechsel das RMP

und das PP gel¨

ost. Es existieren Modelle, die aufgrund ihrer sehr großen Anzahl

von Variablen nicht im Speicher gehalten werden k¨

onnen. In diesen F¨

allen ist

eine implizite Suche nach verbessernden Variablen im PP notwendig (implizites

Column Generation). Wenn dagegen alle Variablen im Speicher gehalten werden

3.3 Lagrange Relaxation

k¨

onnen und somit alle reduzierten Kosten berechnet werden k¨

onnen, wird das

Verfahren explizites Column Generation genannt.

Die theoretische Problemkomplexit¨

at des Column Generation Verfahrens ist

abh¨

angig von der Methode zur L¨

osung des Pricing Problems, da das RMP in der

Komplexit¨

atsklasse Pist (vgl. [Desrosiers und L¨

ubbecke, 2005]).

In der Literatur gibt es eine Vielzahl von Beschreibungen der unterschiedlichen

Anwendungen sowie weiterer Anpassungen des Column Generation Verfahrens.

Ubersichten sind in [Desaulniers et al., 2005] und [Desrosiers und L¨

ubbecke, 2005]

zu finden. Wenn das Problem Pein MIP ist und somit ganzzahlige Variablen

enth¨

alt, kann das Problem zur L¨

osung des initialen LPs im B&B Verfahren ver-

wendet werden. F¨

ur die im letzten RMP enthaltenen Variablen wird eine MIP-

L¨

osung bestimmt. Da die LP-L¨

osung des Column Generation Verfahrens zwar

optimal bez¨

uglich kontinuierlicher Variablen ist, aber in einer optimalen MIP-

L¨

osung auch Variablen enthalten sein k¨

onnen, die im letzten RMP nicht vorhan-

den waren, gibt dieses Vorgehen keine Garantie f¨

ur eine optimale MIP-L¨

osung.

Um diese unter Verwendung des Column Generation Verfahrens zu bestimmen,

haben [Barnhart et al., 1998] das Branch & Price (B&P) Verfahren entwickelt,

bei dem im Suchbaum des B&B m¨

ogliche, verbessernde Variablen nachgeneriert

werden (s. Abb. 3.1).

3.3 Lagrange Relaxation

Methoden zur L¨

osung von MIPs k¨

onnen durch untere Schranken beschleunigt

werden (vgl. [Wolsey, 1998]). Ein g¨

angiges Verfahren ist die Bestimmung durch

Relaxation der Ganzzahligkeitsbedingungen (LP-Relaxation). Obwohl Methoden

zur L¨

osung von LPs mit polynomieller Laufzeit existieren, sind die Verfahren f¨

viele Problemstellungen ineffizient, die zum Beispiel eine große Anzahl an Ent-

scheidungsvariablen enthalten und/oder die aufgrund komplexer Restriktionen

schwierig zu l¨

osen sind.

Eine weitere Methode zur Bestimmung unterer Schranken ist die Lagrange Re-

laxation, bei der statt der Relaxation der Ganzzahligkeitsbedingungen einige oder

alle Restriktionen des Modells relaxiert werden. In vielen praxisrelevanten Pro-

blemstellungen kann eine Untermenge der Restriktionen identifiziert werden, die

das Problem schwierig zu l¨

osen macht, so dass nach Relaxation dieser Restrik-

tionen ein einfacheres – bestenfalls mit einer unimodularen Koeffizientenmatrix

und damit in polynomieller Zeit zu l¨

osendes – MIP entsteht (vgl. [Beasley, 1993].

Sei Pdas zu l¨

osende MIP:

3 Grundlegende Optimierungstechniken

P: min X

j∈N

cjxj(3.20)

s.t. X

j∈N

aijxj=di∀i∈M1(3.21)

j∈N

bijxj=ei∀i∈M2(3.22)

xj∈N∀j∈N(3.23)

Sei M=M1∪M2die Menge der Restriktionen und M1∩M2=∅. Sei weiter-

hin M1die Menge der ”schwierigen“ Nebenbedingungen. Durch Relaxation der

Restriktionen M1und der Einf¨

uhrung eines Vektor λist das Lagrange Problem

LR(λ) zu Pwie folgt definiert:

LR(λ) : min X

j∈N

cjxj+X

i∈M1

λi(di−X

j∈N

aijxj) (3.24)

s.t. X

j∈N

bijxj=ei∀i∈M2(3.25)

xj∈N∀j∈N(3.26)

Die Zielfunktion ist f¨

ur jede relaxierte Restriktion i∈M1um einen Strafwert

λi(di−Pj∈Naijxj) erg¨

anzt. Sollte die Restriktion in einer L¨

osung erf¨

ullt sein,

so betr¨

agt der Strafwert 0. Andernfalls ist die H¨

ohe der Bestrafung abh¨

angig vor

Abweichung von Restriktion und dem Straffaktor λi. Die in Vektor λenthaltenen

Koeffizienten werden Lagrange Multiplikatoren genannt. Die L¨

osung von LR(λ)

ist eine untere Schranke f¨

ur das urspr¨

ungliche Problem P.

Um eine m¨

oglichst gute untere Schranke zu bekommen, m¨

ussen die Lagrange

Multiplikatoren λgeeignet gew¨

ahlt werden. Daher sollte das Lagrange Problem

LR(λ) – und damit die untere Schranke – maximiert werden. Das resultierende

Problem wird als das Lagrange Dual Problem (LDP) bezeichnet:

LDP : max LR(λ) (3.27)

Die Qualit¨

at der bestimmten unteren Schranke ist abh¨

angig von dem definierten

Lagrange Problem: hat LR(λ) eine unimodulare Koeffizientenmatrix und somit

die Ganzzahligkeitseigenschaft, so ist die optimale L¨

osung des LDP gleich der LP-

Relaxation von P. Wenn das Lagrange Problem diese Eigenschaft nicht erf¨

ullt,

so ist die untere Schranke besser oder gleich der LP-Relaxation von P:

LR(λ) unimodular →LP∗=LDP∗

LR(λ) nicht unimodular →LP∗≤LDP∗

3.4 Meta-Heuristiken

Zur Bestimmung guter oder optimaler Lagrange Multiplikatoren kann zum Bei-

spiel das Subgradientenverfahren verwendet werden (vgl. [Held et al., 1974]). Die

durch dieses Vorgehen bestimmten Multiplikatoren k¨

onnen auch als duale Werte

innerhalb des Column Generation Verfahrens verwendet werden (vgl. [Huisman

et al., 2005]). F¨

ur weitere Details zur Lagrange Relaxation sei auf [Geoffrion,

1974] verwiesen.

3.4 Meta-Heuristiken

In der Praxis auftretende Planungsprobleme enthalten h¨

aufig eine ausgepr¨

agte

kombinatorische Komplexit¨

at und/oder schwierige Nebenbedingungen. Viele pra-

xisrelevante Problemstellungen lassen sich aus diesem Grund mit exakten Metho-

den der mathematischen Optimierung nicht oder nur mit einem hohen zeitlichen

Aufwand optimal l¨

osen. Daher spielen Heuristiken zur Bestimmung von g¨

ultigen

L¨

osungen eine wichtige Rolle. Neben spezialisierten Verfahren, die auf die L¨

osung

einer bestimmten Problemstellung ausgerichtet sind (z.B. [Lin und Kernighan,

1973] zur L¨

osung des traveling salesman problem (TSP)) existiert die Methoden-

klasse der Meta-Heuristiken. Diese Verfahren stellen ein problemunabh¨

angiges

und abstraktes Prinzip zur heuristischen L¨

osung von komplexen Optimierungs-

problemen dar, das (theoretisch) auf alle Optimierungsprobleme anwendbar ist

(vgl. [Michalewicz und Fogel, 2000]). Viele Meta-Heuristiken basieren auf der

Analogie zu einem in der Natur auftretenden Ph¨

anomen und gestalten die Infor-

mationsauswertung und Steuerung der L¨

osungssuche durch die Adaption dieses

nat¨

urlichen Verhaltens. Meta-Heuristiken basieren nach [Michalewicz und Fogel,

2000] auf den Konzepten der

•Darstellung des Problems (engl: representation),

•dem Ziel der Optimierung (engl: objective) und

•der Bewertungsfunktion (engl: evaluation function).

Die Darstellung eines Problems definiert die Art und Gr¨

oße des L¨

osungsraums

f¨

ur die Meta-Heuristik. Das Ziel wird durch einen eindeutigen Ausdruck der

bestm¨

oglichen L¨

osung definiert. Die Bewertungsfunktion bestimmt zu jedem m¨

og-

lichen Punkt im L¨

osungsraum einen kardinalen Wert, der die Qualit¨

at der L¨

osung

misst. Neben der Bewertung der G¨

ute kann die Funktion auch Bestrafungs- oder

Steuerungsfunktionen enthalten, die mit der Qualit¨

atsfunktion gewichtet wer-

den. Anhand dieser Konzepte kann eine Meta-Heuristik die Suche nach guten

L¨

osungen steuern.

3 Grundlegende Optimierungstechniken

Durch Kombination der Prinzipien verschiedener Meta-Heuristiken k¨

onnen wei-

tere Verfahren (hybride Meta-Heuristiken) entwickelt werden. Weiterf¨

uhrende

Ubersichten und Erl¨

auterungen sind in [Michalewicz und Fogel, 2000] und [Blum

und Roli, 2003] zu finden. Die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Meta-

Heuristiken sollen im Folgenden grundlegend beschrieben werden.

3.4.1 Lokale Suchverfahren

Die im Folgenden beschriebenen Meta-Heuristiken geh¨

oren der Klasse der lokalen

Suchverfahren an, die den Ansatz verfolgen, dass ein L¨

osungsraum mit einer end-

lichen Anzahl von L¨

osungen durch eine Sequenz von L¨

osungen intelligent durch-

sucht werden kann. Diese Sequenz basiert auf der Definition der Nachbarschaft

N(x) einer L¨

osung x, die eine Menge von L¨

osungen mit ¨

ahnlichen Eigenschaften

enth¨

alt. Durch die Suche in der Nachbarschaft einer aktuellen L¨

osung nach ei-

ner besseren L¨

osung k¨

onnen iterativ bessere L¨

osungen gefunden werden. Dieser

Vorgang wird auch Intensivierung der Suche genannt und findet im Hill-climber

Algorithmus Anwendung (vgl. Algorithmus 3.2).

Algorithmus 3.2 : Hill-climber Algorithmus

(Schritt 1) Initialisierung

t= 0

W¨

ahle zuf¨

allige L¨

osung xt

(Schritt 2) Nachbarschaftsl¨

osung bestimmen

t=t+ 1

xt= min

x∈N(xt−1)f(x)

(Schritt 3) L¨

osung aktualisieren

Wenn f(xt)< f(xt−1), dann gehe zu Schritt 2

Der Algorithmus bestimmt jeweils die Nachbarschaft der aktuellen L¨

osung

(Schritt 2) und startet die n¨

achste Iteration auf der Basis der durch Auswertung

der Bewertungsfunktion f(x) besten gefundenen L¨

osung. Sobald keine bessere

L¨

osung gefunden werden kann, endet der Algorithmus. Die so bestimmte L¨

osung

wird lokales Optimum genannt, da sie innerhalb ihrer Nachbarschaft die beste

L¨

osung darstellt.

Um der Stagnation in lokalen Optima zu entgehen, bedarf es einer Strategie,

mit der durch die Intensivierung nicht betrachtete Regionen des L¨

osungsraums

in die Suche einbezogen werden k¨

onnen. Diese Erweiterung wird Diversifizierung

3.4 Meta-Heuristiken

genannt. Ein Beispiel f¨

ur eine Diversifizierungsstrategie ist der Neustart des Hill-

climber Algorithmus in einem zuf¨

alligen Punkt des L¨

osungsraums, sobald ein

lokales Optimum erreicht ist.

Die richtige Balance von Intensivierung und Diversifizierung stellt einen kriti-

schen Erfolgsfaktor f¨

ur lokale Suchverfahren dar. Die im Folgenden vorgestellten

Meta-Heuristiken bieten unterschiedliche Strategien f¨

ur eine geeignete Intensi-

vierung und Diversifizierung der lokalen Suche an (vgl. [Michalewicz und Fogel,

2000]).

Variable Nachbarschaftssuche Die Variable Nachbarschaftssuche (engl: varia-

ble neighborhood search (VNS) stellt eine einfache und effektive Form der lokalen

Suche dar (vgl. [Hansen und Mladenovi´c, 2001]). Sie bedient sich dem Vorgehen

der Hill-climber Methode, verwendet allerdings eine Menge von unterschiedlich-

en Nachbarschaftsdefinitionen Nk. Die Methode betrachtet eine andere Nachbar-

schaft sobald ein lokales Optimum nachgewiesen werden kann (vgl. [Mladenovi´c

und Hansen, 1997]). Die Variable Nachbarschaftssuche ist in Algorithmus 3.3

dargestellt.

Algorithmus 3.3 : Variable Nachbarschaftssuche

(Schritt 1) Initialisierung

t= 0

k= 1

W¨

ahle zuf¨

allige L¨

osung xt

(Schritt 2) Nachbarschaftsl¨

osung bestimmen

t=t+ 1

xt= min

x∈Nk(xt−1)f(x)

(Schritt 3) L¨

osung aktualisieren

Wenn f(xt)< f(xt−1), dann gehe zu Schritt 2

Wenn k6=|N|, dann k=k+ 1 und gehe zu Schritt 2

Nach dem zum Bergsteiger Algorithmus analogen Vorgehen in den Schritten

1 und 2 wird die n¨

achste definierte Nachbarschaft verwendet, sobald der Algo-

rithmus in einem lokalen Optimum angelangt ist (Schritt 3). Alternativ zu dem

dargestellten Vorgehen kann die Nachbarschaftsauswahl auch so h¨

aufig fortlau-

fen, bis eine L¨

osung erreicht ist, f¨

ur die nach Durchsuchung aller Nachbarschaften

keine bessere L¨

osung gefunden werden kann.

3 Grundlegende Optimierungstechniken

Tabu Suche Die Tabu Suche wurde von Fred Glover (vgl. [Glover, 1986]) ent-

wickelt. Als Strategie zur Diversifizierung wird die Auswahl der L¨

osungssequenz

abh¨

angig von der Nachbarschaft und einer Historie des Suchvorgangs durch-

gef¨

uhrt. Z¨

uge bzw. Attribute, die in einem Schritt get¨

atigt bzw. ge¨

andert werden,

werden f¨

ur eine bestimmte Dauer tabu gesetzt und d¨

urfen bei der Suche nach

einer neuen L¨

osung nicht beachtet werden. Neben diesem Prinzip der Neuheit

(engl: recency) kann als Kriterium auch die H¨

aufigkeit (engl: frequency) eines

get¨

atigten Zuges beachtet werden. Dadurch k¨

onnen bisher nicht get¨

atigte Z¨

uge

h¨

aufiger get¨

atigten Z¨

ugen vorgezogen werden, so dass unbekannte Bereiche des

L¨

osungsraums durchsucht werden. Neben dem strikten Verbot von tabu-gesetzten

L¨

osungen, k¨

onnen Aspirationskriterien definiert werden, die das Verbot der Aus-

wahl einer tabu-gesetzten L¨

osung ¨

ubergehen k¨

onnen, sofern ein deutlicher Vorteil

dieser Auswahl ersichtlich ist. Der Ablauf der Tabu Suche ist in Algorithmus 3.4

dargestellt.

Algorithmus 3.4 : Tabu Suche

(Schritt 1) Initialisierung

t= 0

Initialisiere Historie H

W¨

ahle zuf¨

allige L¨

osung xt

xbest =xt

(Schritt 2) Nachbarschaftsl¨

osung bestimmen

t=t+ 1

xt= min

x∈N(H,xt−1)f(x)

Wenn Kriterium erreicht, dann Abbruch

(Schritt 3) L¨

osung aktualisieren

Aktualisiere H

Wenn f(xt)< f(xbest), dann xbest =xt

gehe zu Schritt 2

Nach der Initialisierung der Startl¨

osung und der Historie (Schritt 1) wird die

beste L¨

osung der Nachbarschaft N(H, x) einer L¨

osung xunter Ber¨

ucksichtigung

der Tabu-Informationen aus Hausgew¨

ahlt. Diese L¨

osung wird unabh¨

angig von

der L¨

osungsqualit¨

at ¨

ubernommen, so dass auch schlechtere L¨

osungen als die aktu-

elle ¨

ubernommen werden. Deshalb wird in xbest die global beste gefundene L¨

osung

gespeichert (Schritt 3). Eine ¨

Ubersicht ¨

uber weitere Literatur sowie Anpassungen

der Tabu Suche ist in [Glover und Laguna, 1993] zu finden.

3.4 Meta-Heuristiken

3.4.2 Evolution¨

are Algorithmen

In den evolution¨

aren Algorithmen wird der L¨

osungsraum nicht auf der Basis

von Nachbarschaftsl¨

osungen durchsucht. Stattdessen wird die Suche durch die

Identifizierung und Nutzung guter Eigenschaften von L¨

osungen gestaltet. Die

Darstellung findet in Form einer Genstruktur statt. Jede L¨

osung ist durch ein

Chromosom fester L¨

ange definiert. Es enth¨

alt Gene, die jeweils eine Eigenschaft

der L¨

osung festlegen. Die Auspr¨

agung eines Gens wird als Allel bezeichnet, die

Position innerhalb des Chromosoms als Locus. Da in einem Chromosom die Ei-

genschaften einer L¨

osung codiert sind, werden die Codierung (Genotyp) und ih-

re Interpretation (Phenotyp) unterschieden. Zum Beispiel kann ein Element des

Wertebereichs einer Funktion die Zahl ”5“ sein (Phenotyp), die innerhalb eines

genetischen Algorithmus in ihrer bin¨

aren Darstellung als ”101“ codiert ist (Ge-

notyp).

Die evolution¨

aren Algorithmen adaptieren die Prinzipien der nat¨

urlichen Evo-

lution. Sie betrachten daher nicht einzelne L¨

osungen, sondern eine Menge (Popu-

lation) von L¨

osungen. Die Bewertung eines Individuums (= L¨

osung) wird daher

auch als Fitness bezeichnet. Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt bestehende

Population wird Generation genannt. Analog zu der Evolutionstheorie von [Dar-

win, 1859] entwickelt sie sich in drei Schritten zu einer neuen Generation weiter.

Algorithmus 3.5 zeigt den Ablauf eines evolution¨

aren Algorithmus. Die Reihen-

folge der Schritte 2 bis 4 ist variablel und kann daher in anderen Darstellungen

abweichen.

Algorithmus 3.5 : Evolution¨

arer Algorithmus

(Schritt 1) Initialisierung

t= 0

Initialisiere Population Pt

(Schritt 2) Bewertung

Bewerte Pt

(Schritt 3) Selektion

t=t+ 1

selektiere Pt⊆Pt−1

(Schritt 4) Variation

Variiere Pt

Wenn Kriterium erreicht, dann Abbruch, sonst gehe zu

Schritt 2

3 Grundlegende Optimierungstechniken

Eine initiale Population wird in Schritt 1 aufgebaut. Diese Population sollte aus

Individuen mit stark unterschiedlichen Eigenschaften gebildet werden, um eine

ausreichende Diversifizierung zu erm¨

oglichen. Nach der Bewertung der Fitness der

Individuen (Schritt 2) werden in der Selektion (Schritt 3) nach dem Prinzip des

”Survival of the Fittest“ Individuen mit guten Eigenschaften ausgew¨

ahlt. Durch

Kreuzung der ausgew¨

ahlten Individuen werden in der Variation neue Individuen

auf der Basis der identifizierten guten Eigenschaften generiert (Schritt 4). Durch

die zuf¨

allige Einstreuung von Unregelm¨

aßigkeiten in der Kreuzung (Mutation)

werden die Eigenschaften und somit die Suche zus¨

atzlich diversifiziert.

Zum theoretischen Hintergrund und Beweis der Eigenschaftenerhaltung ¨

uber

die Generationen sei auf [Holland, 1975] verwiesen. Eine ¨

Ubersicht ¨

uber Erweite-

rungen und Anwendungsbeispiele der evolution¨

aren Algorithmen ist in [Reeves,

1993] zu finden.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand

der Forschung

Die Planung von Busuml¨

aufen stellt durch ihre hohe Praxisrelevanz bereits seit

ca. 40 Jahren ein vielfach betrachtetes Thema in der internationalen Forschung

dar. In diesem Kapitel soll der aktuelle Stand der Forschung beschrieben und ein

Uberblick ¨

uber die existierenden Modelle und Verfahren f¨

ur die unterschiedlichen

Problemstellungen gegeben werden.

Das Kapitel ist nach den unterschiedlichen Problemstellungen unterteilt, die

in Kapitel 2 beschrieben wurden. Die vorliegende Arbeit thematisiert die allge-

meinste Variante der Problemstellungen unter Kombination aller Erweiterungen,

das multiple depot multiple vehicle type group vehicle scheduling problem with

time windows and route constraints (MD-MVTG-VSP-TW-RC). Die im Folgen-

den vorgestellten Ans¨

atze stellen daher jeweils einen Sonderfall dieser Problem-

stellung dar. Aufgrund der chronologischen Entwicklung der Forschung und der

untereinander gegebenen Abh¨

angigkeit vieler Ans¨

atze wird der Stand der For-

schung beginnend mit dem theoretisch einfachsten und am l¨

angsten erforschten

Problem begonnen.

In Abschnitt 4.1 werden die Ans¨

atze zur L¨

osung des Umlaufplanungsproblem

mit einem Depot (SD-VSP) vorgestellt. Nachdem in 4.2 die Ans¨

atze f¨

ur die

Ber¨

ucksichtigung von mehreren Depots (MD-VSP) vorgestellt werden, fokussiert

Abschnitt 4.3 die Ber¨

ucksichtigung von Fahrzeugtypgruppen (MVTG-VSP). Die

bereits genannten Problemstellungen k¨

onnen jeweils um die Ber¨

ucksichtigung

von Zeitfenstern erweitert werden (VSP-TW), was in Abschnitt 4.4 vorgestellt

wird. In 4.5 werden die bestehenden Ans¨

atze f¨

ur die Ber¨

ucksichtigung von all-

gemeinen oder speziellen Umlaufrestriktionen (VSP-RC) betrachtet. Abschnitt

4.6 pr¨

asentiert eine ¨

Ubersicht ¨

uber Planungssysteme, in die die vorgestellten For-

schungsergebnisse eingeflossen sind, sowie praktische Erfahrungen mit den Sys-

temen. In 4.7 werden Ver¨

offentlichungen vorgestellt, die das VSP innerhalb einer

Ubersicht oder Klassifizierung behandeln.

Die Abfolge der vorgestellten Ans¨

atze innerhalb der Abschnitte richtet sich

grunds¨

atzlich an der chronologischen Reihenfolge der Ver¨

offentlichungen aus, wo-

bei Inhalte gleicher Str¨

omungen zum besseren Verst¨

andnis zusammengefasst wer-

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

den. Die mathematischen Formulierungen orientieren sich zur besseren Vergleich-

barkeit nicht an den Ausf¨

uhrungen der jeweiligen Autoren, sondern werden ein-

heitlich in der in Kapitel 2 vorgestellten Notation pr¨

asentiert.

4.1 Busumlaufplanung mit einem Depot

Das SD-VSP ist ein in polynomieller Laufzeit l¨

osbares Problem. Da es – wie

sp¨

ater gezeigt wird – allerdings in vielf¨

altiger Weise als Unterproblem zur L¨

osung

erweiterter Problemstellungen verwendet wird, werden bis in die heutige Zeit

spezialisierte Ans¨

atze zur L¨

osung dieser Problemstellung entwickelt. In diesem

Abschnitt werden die unterschiedlichen Ans¨

atze zur L¨

osung des SD-VSP vorge-

stellt.

Dekompositionsmodell Der erste Ansatz zur (exakten) L¨

osung des SD-VSP

wurde in [Saha, 1970] vorgestellt und kann als Dekompositionsmodell (engl: mi-

nimum decomposition model) bezeichnet werden. In dieser Ver¨

offentlichung wird

das VSP allerdings ohne Ber¨

ucksichtigung m¨

oglicher Umsetzfahrten, Depots so-

wie operativer Kosten, so dass eine vereinfachte Problemstellung vorliegt.

Die Servicefahrten werden als teilsortierte Menge (engl: partial ordered set)

definiert. Das heißt, dass eine Sortierung hinsichtlich der Abfahrtszeit der Ser-

vicefahrten vorgenommen wird (ei< ej→i < j, ∀i, j ∈T) und die An-

kunftszeiten nicht bei der Sortierung ber¨

ucksichtigt werden (fi< fj



→i<j).

Unter Verwendung des Dilworth Theorems f¨

ur teilsortierte Mengen (vgl. [Dil-

worth, 1950]) zeigt Saha, dass die gr¨

oßte Menge von paarweise inkompatiblen

Fahrten gleich der minimalen Anzahl von Uml¨

aufen ist. Das resultierende Ma-

ximierungsmodell zur Bestimmung dieser Menge enth¨

alt eine Entscheidungsva-

riable xij f¨

ur jede Fahrtenkombination i, j ∈T, wobei die Kosten definiert sind

durch cij = 1, wenn fi≤ej, sonst cij =−∞:

max

i=1

j=1

cijxij (4.1)

s.t. X

xij ≤1∀i∈T(4.2)

xij ≤1∀j∈T(4.3)

xij ≥0∀i, j ∈T(4.4)

Das Modell wird durch eine Anpassung des Labelling Algorithmus von Dantzig

und Hoffmann (vgl. [Dantzig und Hoffman, 1956]) gel¨

ost.

4.1 Busumlaufplanung mit einem Depot

1''

2''

3''

n-1'

n-1''

n''

...

!""

Abbildung 4.1: Zuweisungsmodell f¨

ur das SD-VSP

Bodin und Rosenfield erweitern den Ansatz, indem sie m¨

ogliche Umsetzfahrten

betrachten (Deadheading) und zus¨

atzlich m¨

ogliche Depotfahrten so ber¨

ucksich-

tigen, dass ein Fahrzeug auch w¨

ahrend eines Umlaufs ggf. ins Depot zur¨

uckkehren

kann (vgl. [Bodin und Rosenfield, 1976]). Da das Modell zu komplex f¨

ur eine ex-

akte Optimierung ist, pr¨

asentieren sie eine Heuristik mit zwei Phasen. In der

ersten Phase werden nur Kompatibilit¨

aten zwischen zeitlich nah beieinander lie-

genden Fahrten (z.B. maximal 20 Minuten zwischen Bedienzeiten) ber¨

ucksichtigt

und das Problem gel¨

ost. Die Uml¨

aufe der L¨

osung werden fixiert und als Fahrten

f¨

ur eine Optimierung mit allen m¨

oglichen Kompatibilit¨

aten in der zweiten Phase

verwendet.

Das Dekompositionsmodell ist der erste Ansatz zur L¨

osung des SD-VSP, kann

allerdings weder operative Kosten noch eine Kapazit¨

at f¨

ur die Fahrzeuganzahl in

die Optimierung mit einbeziehen.

Zuweisungsmodell In [Orloff, 1976] wird das SD-VSP als ein Set Covering Pro-

blem formuliert, in dem f¨

ur jeden m¨

oglichen Umlauf eine Entscheidungsvariable

definiert wird und ¨

uber die Menge aller Uml¨

aufe die kostenminimale Menge ge-

sucht wird, die alle Fahrten mindestens einmal abdeckt. Dieser Ansatz war al-

lerdings mit der zu der Zeit vorhandenen Technik nicht l¨

osbar, da die große

Zahl von Variablen nicht im Speicher gehalten werden konnte. Deshalb formu-

liert Orloff das SD-VSP alternativ als ein Zuweisungsmodell (engl: assignment

model), bei dem jede Servicefahrt t∈Tdurch einen Ankunftsknoten t0∈N0

und einen Startknoten t00 ∈N00 repr¨

asentiert wird. Die m¨

oglichen Verbindungen

zwischen kompatiblen Fahrtenpaaren (i,j) werden jeweils durch eine Kante von

i0nach j00 modelliert und haben die operativen Kosten der Umsetzfahrten. Die-

se Kosten k¨

onnen zudem m¨

ogliche Wartekosten f¨

ur Haltestellen außerhalb des

Depots beinhalten. Alle nicht g¨

ultigen Verbindungen werden durch eine Kante

repr¨

asentiert, deren Kosten die Verwendung eines weiteren Fahrzeugs sowie die

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

operativen Kosten f¨

ur Depotfahrten beinhaltet. Somit ist das zugrunde liegende

Netzwerkmodell ein vollst¨

andiger bipartiter Graph, dessen Struktur in Abbildung

4.1 verdeutlicht wird. Zur L¨

osung des SD-VSP wird ein Optimierungsproblem auf

diesem Graphen definiert, das bei Minimierung der Kantenkosten die Bedienung

einer Servicefahrt durch Zuweisungsrestriktionen sicherstellt:

min

i=1

j=1

cijxij (4.5)

s.t. X

xij = 1 ∀i∈N0(4.6)

xij = 1 ∀j∈N00 (4.7)

xij ≥0∀i∈N0,∀j∈N00 (4.8)

Im Gegensatz zum Dekompositionsmodell k¨

onnen im Zuweisungsmodell operative

Kosten ber¨

ucksichtigt werden. Allerdings kann eine feste oder maximale Anzahl

von vorhandenen Fahrzeugen nicht modelliert werden.

Transportmodell Gavish und Shlifer betrachten eine Vielzahl von Problemen,

die alle auf Zuweisungsproblemen basieren, und pr¨

asentieren das Transportmodell

(engl: transportation model), in dem die zuvor vorgestellte Struktur des Zuwei-

sungsmodells f¨

ur das SD-VSP aufgenommen und erweitert wird (vgl. [Gavish und

Shlifer, 1979]). In dem bipartiten Graphen werden ausschließlich die Kanten zwi-

schen kompatiblen Fahrten eingef¨

ugt, die die operativen Kosten der Verbindungen

beinhalten. Zus¨

atzlich werden zwei Knoten zur Modellierung der Depotank¨

unfte

(n+ 10) und Depotabfahrten (n+ 100) modelliert. Vom Knoten f¨

ur die Depo-

tabfahrt n+ 10modellieren Kanten zu den Abfahrtsknoten der Servicefahrten

m¨

ogliche Depotausr¨

uckfahrten. Entsprechend f¨

uhren Kanten von den Ankunfts-

knoten der Fahrten zum Depotankunftsknoten. Neben den operativen Kosten f¨

die Depotfahrten enthalten diese Kanten auch die fixen Kosten – jeweils den hal-

ben Teil – f¨

ur ein Fahrzeug. Die Autoren formulieren ein Transportproblem mit

einem Angebot von einer Einheit auf allen Abfahrtsknoten und einem Bedarf von

einer Einheit auf allen Ankunftsknoten der Servicefahrten. Die Abfahrtsknoten

bzw. Ankunftsknoten des Depots haben ein Angebot bzw. einen Bedarf in der

H¨

ohe der Anzahl an verf¨

ugbaren Fahrzeugen. F¨

ur den Fall, dass keine festgelegte

Fahrzeuganzahl, sondern eine obere Schranke oder keine Begrenzung vorliegt, ist

eine Kante mit Kosten von 0 zwischen den beiden Depotknoten modelliert. Das

Modell kann daher mit einem großen Depotangebot Mdefiniert werden, da nicht

4.1 Busumlaufplanung mit einem Depot

ben¨

otigte Flusseinheiten keine zus¨

atzlichen Kosten verursachen und damit die

L¨

osbarkeit der Problemstellung gew¨

ahrleistet werden kann. Die Modellformulie-

rung wird auch als Quasi-Zuweisungsproblem (engl: Quasi Assignment Problem)

bezeichnet, da das mathematische Modell ein Zuweisungsproblem ist, dass um

lediglich zwei Restriktionen (f¨

ur die Depotknoten) erweitert ist:

min

n+1

i=1

n+1

j=1

cijxij (4.9)

s.t.

n+1

j=1

xij = 1 ∀i∈N(4.10)

n+1

i=1

xij = 1 ∀j∈N(4.11)

n+1

j=1

xn+1,j =M(4.12)

n+1

i=1

xi,n+1 =M(4.13)

xij ≥0∀i, j ∈N(4.14)

Die besondere Struktur des Modells wurde in [Paixao und Branco, 1987] ausge-

nutzt, um die ungarische Methode (engl. Hungarian Method) (vgl. [Kuhn, 1955])

zur L¨

osung des SD-VSP anzupassen.

In [Paixao und Branco, 1990] wird das Modell in der Hinsicht erweitert, dass

im Falle einer durch eine zu geringe Fahrzeugkapazit¨

at ung¨

ultigen Problemstel-

lung m¨

oglichst viele Fahrten bedient werden. Dazu wird f¨

ur alle Servicefahrten

eine Kante vom Abfahrtsknoten zum Ankunftsknoten eingef¨

ugt, die dominierend

hohe Kosten hat und somit nur im Falle eines unl¨

osbaren Modells gew¨

ahlt wird.

Die in einer L¨

osung gew¨

ahlten Kanten repr¨

asentieren somit Fahrten, die mit dem

berechneten Umlaufplan nicht bedient werden k¨

onnen. Der um diese Kanten er-

weiterte Graph des Transportmodells ist in Abbildung 4.2 dargestellt.

In [Song und Zhou, 1990] wird ein erweiterter Iterative K¨

urzeste-Wege-Algo-

rithmus (engl: Successive-Shortest-Path-Algorithm) vorgestellt, der allgemein zur

L¨

osung des Quasi-Zuweisungsproblems und speziell zur L¨

osung des SD-VSP ver-

wendet werden kann. Es werden keine Ergebnisse pr¨

asentiert, aber es wird ange-

merkt, dass der Grundalgorithmus im Gegensatz zu der in [Paixao und Branco,

1987] erweiterten ungarischen Methode besser f¨

ur die L¨

osung des Zuweisungsmo-

dells geeignet ist und die Autoren nach Anpassung des Verfahrens sehr positive

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

2''

3''

n-1'' n''

...

n+1''

n+1'

1''

1' n-1'

!""

Abbildung 4.2: Transportmodell f¨

ur das SD-VSP

Resultate bekommen haben (”... and (we) obtain very positive results“).

Silva et al. ber¨

ucksichtigen innerhalb des Transportmodells weitere praxisre-

levante Problemstellungen (z.B. eine Pr¨

aferenz von Verbindungen) und stellen

ein iteratives Verfahren vor, in dem ein initiales Modell mit ausschließlich ”kurz-

en“1Kanten gel¨

ost wird und anschließend alle nicht ber¨

ucksichtigten Kanten mit

negativen reduzierten Kosten hinzugef¨

ugt werden (vgl. [Silva et al., 1999]). Die

Transportprobleme werden mit dem Out-of-Kilter-Verfahren gel¨

ost (vgl. [Fulker-

son, 1961]) bis in einer Iteration keine Kante mit negativen reduzierten Kosten

mehr gefunden wird.

Freling et al. pr¨

asentieren weitere Verfahren zur L¨

osung des Zuweisungsmodells

(vgl. [Freling et al., 2001]). Sie pr¨

asentieren unter anderem Auktionsalgorithmen

und weitere Verfahren, die zur Optimierung – ¨

ahnlich wie in [Silva et al., 1999] –

auf die iterative L¨

osung von kleineren Modellen zur¨

uckgreifen.

Netzwerkflussmodell In [Bodin et al., 1983] wird ein Netzwerkflussmodell (engl:

network flow problem) f¨

ur das SD-VSP pr¨

asentiert. Der Ansatz ist von einer

fr¨

uhen Modellierung des Tankerplanungsproblems als Flussproblem motiviert

(vgl. [Dantzig und Fulkerson, 1954]). Jede Servicefahrt ist durch zwei Knoten

– f¨

ur Abfahrt und Ankunft – repr¨

asentiert, die durch eine Fahrtkante, die die

operativen Kosten der Servicefahrt enth¨

alt, verbunden sind. F¨

ur alle kompati-

blen Fahrtenpaare existieren gerichtete Kanten zwischen dem Abfahrtsknoten

der fr¨

uheren und dem Ankunftsknoten der sp¨

ateren Fahrt. Zwei Depotknoten

sind durch Kanten mit operativen Kosten f¨

ur Aus- und Einr¨

uckfahrten mit den

entsprechenden Knoten der Servicefahrten verbunden. Die Fixkosten f¨

ur Fahr-

zeuge werden durch eine gerichtete Kante zwischen dem Ankunftsknoten und

Abfahrtsknoten des Depots modelliert (s. Abbildung 4.3).

1Als ”kurze“ Kanten werden allgemein Verbindungskanten bezeichnet, die zwei Servicefahrten

so verbinden, dass an einer Haltestelle keine lange unproduktive Wartezeit entsteht. Die

4.1 Busumlaufplanung mit einem Depot

1''

2''

3''

n-1'

...

n-1''

n''

n+1' n+1''

Abbildung 4.3: Netzwerkflussmodell f¨

ur das SD-VSP

Ein Weg vom Abfahrtsknoten (n+ 10) zum Ankunftsknoten (n+ 100) des De-

pots entspricht einem g¨

ultigen Umlauf. Das SD-VSP wird durch Formulierung

eines Umladeproblems (s. Abschnitt 3.1) gel¨

ost, das ausschließlich Umladeknoten

enth¨

alt. Damit sichergestellt ist, dass alle Servicefahrten bedient werden, sind

die unteren und oberen Schranken der Servicefahrt-Kanten gleich 1. Die obe-

re Schranke f¨

ur die zur¨

uckf¨

uhrende Kante zwischen den beiden Depotknoten ist

gleich der maximal verf¨

ugbaren Anzahl von Fahrzeugen. Das resultierende Modell

lautet:

min X

(i,j)∈A

cijxij (4.15)

s.t. X

i:(i,j)∈A

xij −X

i:(j,i)∈A

xji = 0 ∀j∈N(4.16)

1≤xij ≤1∀(i, j)∈T(4.17)

xij ≥0∀(i, j)∈A(4.18)

In [L¨

obel, 1996] wird ein angepasster Netzwerk-Simplex Algorithmus (engl: net-

work simplex algorithm) (vgl. [Dantzig, 1951]) f¨

ur das Netzwerkflussmodell be-

schrieben, der auf die L¨

osung von sehr großen Instanzen des SD-VSP ausgelegt

ist.

Modellunabh¨

angige Heuristiken Die folgenden Ans¨

atze basieren nicht auf ei-

ner der zuvor vorgestellten Modellierungen des SD-VSPs, sondern stellen alter-

native heuristische L¨

osungsmethoden dar.

genaue Definition ist je nach Autor unterschiedlich.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Wren beschreibt eine heuristische Methode, bei der in einer ersten Phase so

viele Fahrzeuge eingesetzt werden, wie die maximale Fahrtenauslastung des Fahr-

plans aufzeigt (vgl. [Wren, 1972]). Die Fahrten werden sukzessiv einem Fahrzeug

zugeteilt, solange der Umlauf des Fahrzeugs nicht ung¨

ultig wird. Diese L¨

osung

beinhaltet in der Regel viele nicht bediente Fahrten, die vorl¨

aufig dem ersten

Fahrzeug zugeteilt werden. In der zweiten Phase wird ein Verbesserungsverfah-

ren angewendet, bei dem ung¨

ultige Verbindungen innerhalb eines Umlaufs in der

Kostenfunktion bestraft werden. Auf der Basis dieser Kostenfunktion wird ein

2-opt Verfahren angewendet, bei dem jeweils zwei Verbindungen darauf gepr¨

uft

werden, ob durch einen Tausch der durch sie verbundenen Umlaufteile eine bes-

sere L¨

osung entstehen kann. Dieses Tauschverfahren wird solange durchgef¨

uhrt

bis keine zwei Verbindungen mehr existieren, die durch einen Tausch eine Verbes-

serung der L¨

osung bringen w¨

urden. Diese L¨

osung wird 2-optimal genannt. Wenn

die L¨

osung noch ung¨

ultige Uml¨

aufe enth¨

alt, wird in einer dritten Phase so lange

ein Fahrzeug hinzugef¨

ugt und die zweite Phase wiederholt, bis die L¨

osung g¨

ultig

ist.

In [Rattadilok und Wren, 2006] wird dieser Ansatz dadurch erweitert, dass

die Pr¨

ufungen in Phase 2 nicht statisch durch den 2-opt durchgef¨

uhrt werden,

sondern auch mehr Verbindungen in die Pr¨

ufung mit einbezogen werden k¨

onnen

und die Anzahl durch einen dynamischen Parameter λgesteuert wird. Diese λ-

opt-Heuristik ist von der Suchmethodik her vergleichbar mit dem Algorithmus

aus [Lin und Kernighan, 1973] f¨

ur das TSP.

In [Stern und Ceder, 1981] und [Ceder und Stern, 1981] wird die allgemein feh-

lende Akzeptanz von Optimierungsmethoden in der Umlaufplanung beschrieben,

da nicht alle praxisrelevanten Nebenbedingungen betrachtet werden und große

Probleme nicht gel¨

ost werden k¨

onnen. Konkret berichten sie von diesem Verhalten

bei dem Einsatz der in [Gavish et al., 1978] vorgeschlagenen L¨

osungsmethode. Die

Autoren schlagen daher eine graphisch-analytische Methode als Entscheidungs-

unterst¨

utzung vor. Sie soll die Grundlage einer Interaktion zwischen System und

Planer sein und eine schnelle Darstellung der Auswirkungen von ¨

Anderungen

erm¨

oglichen. Der Methodik liegt der Deficit Function Approach aus [Gertsbach

und Gurevich, 1977] zugrunde. Der Ansatz erm¨

oglicht die Berechnung und Analy-

se von unteren Schranken f¨

ur die ben¨

otigte Fahrzeuganzahl ¨

uber den Tagesverlauf

und verwendet dazu das Fleet Size (Lower Bound) Theorem aus [Bartlett, 1957].

Dieses Theorem gibt eine untere Schranke f¨

ur die ben¨

otigte Fahrzeugkapazit¨

an einer Endhaltestelle zu einem Zeitpunkt an (vgl. [Salzborn, 1972]). Das Ver-

fahren ber¨

ucksichtigt die Betrachtung von Verbindungsm¨

oglichkeiten heuristisch

oder durch den Benutzer. In [Stern und Ceder, 1983] wird die Berechnung der

unteren Schranken unter Einbeziehung der Verbindungsm¨

oglichkeiten verbessert.

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

Ver¨

offentlichung Fahrtenanzahl Laufzeit (Min.)

[Saha, 1970] 319 30

[Gavish und Shlifer, 1979] 1407 114

[Paixao und Branco, 1987] 1300 4

[Paixao und Branco, 1990] 412 2

[Silva et al., 1999] 2732 -1

[Freling et al., 2001] 1500 1

[L¨

obel, 1996] 4225 5

1keine Angaben

Tabelle 4.1: Eigenschaften gel¨

oster SD-VSP Probleminstanzen

Ceder erweitert den Ansatz um eine Entscheidungsunterst¨

utzung zur Kostenein-

sparung durch die Verschiebung von Fahrten (vgl. [Ceder, 2004]).

Tabelle 4.1 zeigt eine ¨

Ubersicht ¨

uber die Problemgr¨

oße von SD-VSP Instan-

zen, die – sofern angegeben – von den unterschiedlichen Ans¨

atzen gel¨

ost werden

konnten.

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

Das Umlaufplanungsproblem mit mehreren Depots (MD-VSP) geh¨

ort zu den

schwer zu l¨

osenden Problemstellungen (s. Abschnitt 2.3.3). Daher gibt es eine

Vielzahl von heuristischen Ans¨

atzen zur L¨

osung dieses Problems. Allerdings exis-

tieren auch eine Reihe von exakten Modellen, die zur L¨

osung verwendet werden.

Da viele – sowohl exakte als auch heuristische – Verfahren auf den Ideen un-

terschiedlicher Modellierungsans¨

atze basieren, werden die drei grunds¨

atzlich un-

terschiedlichen Modellarten und die existierenden L¨

osungsmethoden in den Ab-

schnitten 4.2.1 bis 4.2.3 vorgestellt und in Abschnitt 4.2.4 die modellunabh¨

angigen

Heuristiken diskutiert. Da das MD-VSP einen Spezialfall des MVTG-VSP dar-

stellt, werden die Ans¨

atze aus der Literatur, die beide Problemstellungen be-

trachten nur kurz erw¨

ahnt und ausf¨

uhrlicher in Abschnitt 4.3 erl¨

autert.

4.2.1 Einfache Flussmodelle

Die einfachen Flussmodelle modellieren das MD-VSP auf der Basis des Netz-

werkflussmodells f¨

ur das SD-VSP – das heisst s¨

amtliche Fahrten werden als Fluss

eines Gutes in einem Netzwerk betrachtet. F¨

ur die Ber¨

ucksichtigung von mehre-

ren Depots im gleichen Netzwerk, m¨

ussen die zus¨

atzlichen Nebenbedingungen des

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

n-1

...

Abbildung 4.4: Einfaches Flussmodell f¨

ur das MD-VSP

MD-VSP daher explizit in der mathematischen Formulierung beachtet werden.

Jede Fahrt sowie jedes Depot wird als Knoten dargestellt. Kompatible Fahrten

werden durch Verbindungskanten miteinander verbunden. Zus¨

atzlich modellieren

Kanten zwischen jedem Depot und jeder Fahrt m¨

ogliche Aus- und Einr¨

uckfahrten.

Der resultierende Graph G= (A, N) ist daher definiert durch die Knotenmenge

N=T∪Dund die Kantenmenge A= Ψ ∪(D×T)∪(T×D) mit den Kanten

Ψ zwischen kompatiblen Fahrten (Ψ = Siαj(i, j),∀i, j ∈T). Abbildung 4.4

veranschaulicht den Graphen mit zwei Depots.

Auf der Basis des Graphen Gexistieren zwei unterschiedliche Formulierungen

des MD-VSP, die sich in der Ber¨

ucksichtigung der Nebenbedingungen f¨

ur die

R¨

uckkehr der Fahrzeuge in das gleiche Depot unterscheiden und im Folgenden

vorgestellt werden.

Flussmodell mit Teiltour Eliminierung Carpaneto et al. pr¨

asentieren mit der

folgenden Formulierung das erste exakte Verfahren zur L¨

osung des MD-VSP

(vgl. [Carpaneto et al., 1989]). In der Zielfunktion werden die Gesamtkosten ¨

uber

alle Kanten minimiert und durch Nebenbedingungen wird die Flusserhaltung im

Netzwerk sowie die einmalige Bedienung jeder Servicefahrt sichergestellt. Um die

R¨

uckkehr eines Fahrzeugs in sein Startdepot zu modellieren werden Restriktionen

zur Eliminierung von Teiltouren eingef¨

uhrt. Diese verbieten s¨

amtliche Pfade im

Netzwerk, die mehr als ein Depot beinhalten bzw. nicht an einem Depot starten

und enden (FP). Da die Anzahl der m¨

oglichen ung¨

ultigen Pfade sehr groß ist,

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

kann das Modell nicht direkt gel¨

ost werden. Stattdessen wird in [Carpaneto et al.,

1989] ein Branch & Bound Verfahren vorgeschlagen, bei dem Unterprobleme ohne

die Restriktionen zum Verbot der Subtouren gel¨

ost werden. Im Falle einer nicht

g¨

ultigen L¨

osung des Unterproblems werden im weiteren Verlauf die Restriktio-

nen eingef¨

ugt, die die ung¨

ultige L¨

osung verbieten. Neben dem Verfahren stellen

die Autoren einen Instanzengenerator vor, der auf Basis m¨

oglichst realistischer

Annahmen reale VSP-Instanzen nachbilden soll. Der Generator wird in der Li-

teratur zur Erstellung von Instanzen h¨

aufig verwendet und soll daher an dieser

Stelle erw¨

ahnt werden (s. Kapitel 6 f¨

ur eine Einsch¨

atzung der auf diese Weise

k¨

unstlich generierten Instanzen).

Fischetti et al. erweitern das Verfahren aus [Carpaneto et al., 1989], indem

sie das Branch & Bound-Verfahren zur Laufzeit durch st¨

arkere Restriktionen zur

Subtour Eliminierung erg¨

anzen (vgl. [Fischetti et al., 1999]). F¨

ur dieses Branch

& Cut Verfahren pr¨

asentieren die Autoren einen Separationsalgorithmus zur Ab-

leitung der verst¨

arkenden Restriktionen sowie weitere Beschleunigungstechniken.

In [Fischetti et al., 2001b] werden weitere valide Ungleichungen f¨

ur den Einsatz

innerhalb des Branch & Cut Verfahrens vorgestellt. In Verbindung mit der sp¨

ater

vorgestellten Heuristik aus [Dell’Amico et al., 1993] erm¨

oglichen diese die L¨

osung

gr¨

oßerer Problemstellungen.

Die drei Ans¨

atze verwenden leicht unterschiedliche Modelle, verfolgen allerdings

alle das Prinzip der Subtour Eliminierung. Zum Beispiel werden in [Carpaneto

et al., 1989] die Depotkapazit¨

aten durch die Modellierung von Knoten und zu-

geh¨

origen Kanten f¨

ur jedes m¨

ogliche Fahrzeug ber¨

ucksichtigt. In [Fischetti et al.,

1999] und [Fischetti et al., 2001b] wird die Fahrzeuganzahl pro Depot durch wei-

tere Restriktionen begrenzt. Zum besseren Verst¨

andnis soll an dieser Stelle das

Modell aus [Fischetti et al., 2001b] gezeigt werden:

min X

(i,j)∈A

cijxij (4.19)

s.t. X

i:(i,j)∈A

xij =X

i:(j,i)∈A

xji ∀j∈N(4.20)

j:(i,j)∈A

xij = 1 ∀i∈T(4.21)

(i,j)∈P

xij ≤ |P|−1∀P∈ FP (4.22)

j:(i,j)∈A

xij ≤wd∀d∈D(4.23)

xij ∈N∀(i, j)∈A(4.24)

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

In der Zielfunktion (4.19) werden die Kosten ¨

uber alle Kanten minimiert. Restrik-

tionen (4.20) stellen den Erhalt des Flusses im Netzwerk sicher und (4.21) sichern

die einmalige Bedienung jeder Servicefahrt. In (4.22) werden alle ung¨

ultigen Pfa-

de verboten, indem der Fluss ¨

uber alle Kanten dieses Pfads beschr¨

ankt wird. In

(4.23) werden die Depotkapazit¨

aten ber¨

ucksichtigt und (4.24) definiert die ganz-

zahligen Variablen auf den Kanten.

Flussmodell mit Zuweisungsvariablen Mesquita und Paixao pr¨

asentieren einen

alternativen Ansatz auf der Basis des einfachen Netzwerkflussgraphen (vgl. [Mes-

quita und Paixao, 1992]). Die G¨

ultigkeit der Uml¨

aufe wird im Gegensatz zu den

Ans¨

atzen mit Subtour Eliminierung durch zus¨

atzliche Variablen yid erreicht, die

angeben, ob eine Servicefahrt i∈Tvon einem Fahrzeug aus Depot d∈D

bedient wird:

min X

(i,j)∈A

cijxij (4.25)

s.t. X

j:(i,j)∈A

xij = 1 ∀i∈T(4.26)

i:(i,j)∈A

xij = 1 ∀j∈T(4.27)

xdj −yjd ≤0∀j∈T, ∀d∈D(4.28)

xid −yid ≤0∀i∈T, ∀d∈D(4.29)

yid +xij −yjd ≤1∀i, j ∈T, ∀d∈D(4.30)

d∈D

yid = 1 ∀i∈T(4.31)

j:(d,j)∈A

xdj ≤wd∀d∈D(4.32)

xij ∈ {0,1} ∀ (i, j)∈A(4.33)

yid ∈ {0,1} ∀ i∈T, ∀d∈D(4.34)

Wie in den anderen Modellen werden auch hier (ausschließlich) die Kosten

der Flussvariablen minimiert (4.25). Restriktionen (4.26) und (4.27) stellen die

Bedienung jeder Fahrt dadurch sicher, dass bei jedem Fahrtknoten genau eine

Flusseinheit ankommt bzw. abgeht. In den Restriktionen (4.28) bis (4.30) werden

die Variablengruppen miteinander verbunden. Dadurch kann in (4.31) sicherge-

stellt werden, dass jede Fahrt genau von einem Depot bedient wird. Restriktio-

nen (4.32) modellieren die Depotkapazit¨

aten und (4.33) bzw. (4.34) definieren die

Fahrt- bzw. Depot-Variablen.

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

Y-Achse

depot n

depot 2

depot 1

Abbildung 4.5: Mehrg¨

uter Flussmodell f¨

ur das MD-VSP

In [Mesquita und Paixao, 1992] wird das Modell durch Umformulierung und

Relaxation der Bedingungen (4.28) bis (4.30) gel¨

ost. Dadurch entstehen zwei un-

abh¨

angige Unterprobleme f¨

ur die jeweilige Gruppe von Variablen, die leichter

zu l¨

osen sind. Die Autoren verwenden auf der Basis dieser Relaxation eine Sub-

gradientenmethode zur Berechnung von unteren Schranken und pr¨

asentieren ein

Verfahren zur Ableitung einer g¨

ultigen L¨

osung, das Fahrtketten von ung¨

ultigen

Uml¨

aufen vertauscht und solange rekombiniert bis die L¨

osung g¨

ultig ist.

4.2.2 Mehrg¨

uter Modelle

Die im Folgenden vorgestellten Mehrg¨

uter Modelle (engl: multicommodity models)

zur L¨

osung des MD-VSP unterscheiden bereits in der Netzwerkmodellierung ex-

plizit die unterschiedlichen Depots. Es k¨

onnen innerhalb dieser Modellierungsart

das Mehrg¨

uter Flussmodell und das Mehrg¨

uter Matching Modell unterschieden

werden.

Mehrg¨

uter Flussmodell Das Mehrg¨

uter Flussmodell (engl: multicommodity flow

problem) erweitert das Netzwerkflussmodell (s. Abschnitt 4.1), indem f¨

ur jedes

Depot ein Netzwerk – im Folgenden Schicht oder Netzwerkschicht genannt – ver-

wendet wird. In dem entstehenden Multigraphen ist der Fluss innerhalb einer

Netzwerkschicht unabh¨

angig von Fl¨

ussen in anderen Schichten. Als einzige Ver-

bindung m¨

ussen die Kanten f¨

ur die Servicefahrten so verkn¨

upft werden, dass jede

Fahrt ¨

uber alle Depots genau einmal bedient wird. Abbildung 4.5 illustriert den

Schichtaufbau des Mehrg¨

uter Flussmodells. Sei Nd⊂Ndie Menge der Knoten

aus Netzwerkschicht d∈D. Bodin et al. formulieren ein mathematisches Modell

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

f¨

ur das oben beschriebene Netzwerk ohne ein theoretisch exaktes Verfahren zu

nennen (vgl. [Bodin et al., 1983]):

min X

(i,j)d∈A

ijxd

ij (4.35)

s.t. X

i:(i,j)d∈A

ij −X

i:(j,i)d∈A

ji = 0 ∀j∈Nd,∀d∈D(4.36)

d∈D

t= 1 ∀t∈T(4.37)

xd≤wd∀d∈D(4.38)

ij ∈N∀(i, j)d∈A(4.39)

Die Entscheidungsvariablen xd

ij sind fortan definiert als Flussgr¨

oße zwischen i

und jin der Netzwerkschicht von Depot d. Unter Minimierung der Gesamtkos-

ten (4.35) werden f¨

ur alle Knoten des Netzwerks lokale Bedingungen zur Flus-

serhaltung definiert (4.36). In Restriktion (4.37) werden die in unterschiedlichen

Schichten vorhandenen Kanten einer Servicefahrt ¨

uber so genannte ¨

Uberdeckungs-

restriktionen (engl: cover constraints) verbunden und die einmalige Bedienung

jeder Servicefahrt sichergestellt. Die Depotkapazit¨

aten werden durch eine obe-

re Schranke auf der jeweiligen R¨

uckflusskante eines Depots formuliert (4.38). Die

Flussvariablen werden in (4.39) als ganzzahlige Variablen definiert. An dieser Stel-

le soll angemerkt werden, dass je nach konkreter Modellierungsart eine Vielzahl

der Variablen als (0,1)- oder kontinuierliche Variablen definiert werden kann.

Lamatsch formuliert auf der Basis des SD-VSPs Modells aus [Desrosiers et al.,

1982] ein Mehrg¨

uter Flussproblem und pr¨

asentiert die erste theoretisch exakte

L¨

osungsmethode (vgl. [Lamatsch, 1992]). Durch Umformulierung und Lagrange-

Relaxation von Restriktionen entsteht ein einfaches Unterproblem, so dass nicht

jedes Fahrzeug in seinem Startdepot ankommen muss. Durch Anpassung der dua-

len Werte f¨

ur die relaxierten Restriktionen ¨

uber ein Subgradientverfahren kann

die L¨

osung dieser Relaxation verbessert werden. Der Autor pr¨

asentiert dar¨

uber

hinaus einen Algorithmus zur Herstellung der primalen G¨

ultigkeit, um ¨

ahnlich

wie in [Mesquita und Paixao, 1992] heuristische L¨

osungen abzuleiten.

Forbes et al. verwenden eine ¨

ahnliche Lagrange-Relaxation, um das MD-VSP

in einem 3 Phasen-Algorithmus zu l¨

osen (vgl. [Forbes et al., 1994]). Dieser sowie

die Ans¨

atze aus [L¨

obel, 1997] und [Kliewer, 2005] sollen allerdings aufgrund der

Betrachtung der erweiterten Problemstellung MVTG-VSP erst in Abschnitt 4.3

n¨

aher erl¨

autert werden.

In [Banihashemi und Haghani, 2000] werden die Servicefahrten so in drei Men-

gen (Morgens-, Mittags- und Abendfahrten) geteilt, dass es f¨

ur jede Kombination

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

aus Morgen- und Abendfahrt g¨

unstiger ist, ¨

uber das Depot zu fahren und dort

zu pausieren, anstatt eine direkte Verbindungsfahrt durchzuf¨

uhren und eine lan-

ge Wartezeit in einer Haltestelle zu verursachen. Durch diese Modellierung kann

das Netzwerk um bis zu 40% aller Verbindungskanten reduziert werden. Das Op-

timierungsproblem kann aufgrund der geringeren Anzahl von Variablen durch

Standardoptimierungssoftware gel¨

ost werden.

Mehrg¨

uter Matchingmodell Das Mehrg¨

uter Matchingmodell (engl: multicom-

modity matching model) ist im Unterschied zum Mehrg¨

uter Flussproblem auf ei-

nem bipartitem Multigraphen definiert. F¨

ur jedes Depot ist ein bipartiter Graph

definiert, bei dem jede Fahrt durch zwei Knoten f¨

ur Ankunft und Abfahrt model-

liert ist. Der Graph ist wie beim Zuweisungsmodell f¨

ur das SD-VSP vollst¨

andig,

wobei die Kosten der Kanten abh¨

angig von der Kompatibilit¨

at der jeweiligen

Fahrten sind (s. Abbildung 4.1). Zus¨

atzlich repr¨

asentieren zwei Knoten sowie

Kanten zu und von allen Fahrten das Depot des Teilgraphen. F¨

ur nicht kompati-

ble Fahrten enthalten die Kosten auf der Verbindungskante die Fixkosten f¨

ur die

Verwendung eines weiteren Fahrzeugs.

Bertossi et al. stellen das Modell in Verbindung mit einer Formulierung auf,

bei der die Zuweisung von einer Fahrt i∈Tzu einem Depot d∈D¨

uber eine

weitere Gruppe von Variablen yd

igeregelt wird (vgl. [Bertossi et al., 1987]):

min X

(i,j)d∈A

ijxd

ij (4.40)

s.t. X

j:(i,j)d∈A

ij =yd

i∀i∈T, ∀d∈D(4.41)

i:(i,j)d∈A

ij =yd

j∀j∈T, ∀d∈D(4.42)

d∈D

t= 1 ∀t∈T(4.43)

(i,j)d∈A|i

αj

ij ≤wd∀d∈D(4.44)

ij ∈ {0,1} ∀ (i, j)d∈A(4.45)

In der Zielfunktion (4.40) werden die Gesamtkosten minimiert. Durch Restrik-

tionen (4.41) bzw. (4.42) werden jeder Fahrt ein Nachfolger bzw. ein Vorg¨

anger

sowie die Zugeh¨

origkeit zu einem Depot zugeteilt. In (4.43) wird sichergestellt,

dass jede Fahrt genau von einem Depot bedient wird. Die Obergrenze f¨

ur verwen-

dete Fahrzeuge eines Depots wird in Restriktion (4.44) durch die Beschr¨

ankung

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

der Flusssumme aller Verbindungskanten zwischen nicht kompatiblen Fahrten

sichergestellt.

Die Autoren stellen eine Heuristik vor, die auf Basis dieser Formulierung Re-

striktionen (4.43) relaxiert und das resultierende Lagrange Maximierungsproblem

durch ein Subgradientenverfahren l¨

ost. Eine g¨

ultige L¨

osung wird durch die Ver-

wendung einer Greedy-Methode auf einer L¨

osung der Lagrange Relaxation er-

stellt.

Mesquita und Paixao l¨

osen das Mehrg¨

uter Matchingmodell mit einem Branch

& Bound Verfahren und zeigen die unterschiedlichen Qualit¨

aten der L¨

osungen von

LP-Relaxationen verschiedener Modellierungsans¨

atze (vgl. [Mesquita und Paixao,

1999]).

Huisman et al. verwenden eine ¨

ahnliche Formulierung zur L¨

osung des MD-VSP

als Unterproblem einer dynamischen Optimierung (vgl. [Huisman et al., 2001] und

[Huisman et al., 2004]). Die Autoren verwenden Standardoptimierungssoftware

zur L¨

osung der Modelle.

4.2.3 Set Partitioning Modelle

Die zuvor vorgestellten Ans¨

atze f¨

ur das MD-VSP haben gemeinsam, dass inner-

halb des Modells Entscheidungsvariablen f¨

ur einzelne Servicefahrten verwendet

werden und dadurch die Servicefahrten explizit als Aktivit¨

aten ber¨

ucksichtigt

werden. Ein alternativer Ansatz soll in diesem Abschnitt vorgestellt werden, der

vollst¨

andige Uml¨

aufe als Entscheidungsgrundlage betrachtet. Im Folgenden wer-

den diese Ans¨

atze auch als Fahrt- oder Umlauf-basierte Modelle unterschieden.

Bereits in [Orloff, 1976] ist die Formulierung des MD-VSPs als Set Covering

Problem (SCP) angesprochen, aber nicht weiter ausgef¨

uhrt. Erst Ribeiro und Sou-

mis formulieren das MD-VSP als Set Partitioning Modell (SPP), das sie durch

Dantzig-Wolfe-Dekomposition vom Mehrg¨

uter Flussmodell ableiten (vgl. [Ribeiro

und Soumis, 1994]). Die Autoren zeigen, dass die optimalen Zielfunktionswerte

der LP-Relaxationen nicht schlechter sind als die LP-Relaxationen der einfachen

Flussmodelle (s. Abschnitt 5). Im Set Partitioning Modell wird f¨

ur jeden Umlauf

raus der Menge aller g¨

ultigen Uml¨

aufe Ωddes Depots d∈Deine Entschei-

dungsvariable definiert, deren Matrixkoeffizienten air angeben, ob Servicefahrt i

von Umlauf rbedient wird (air = 1, sonst air = 0).

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

min X

d∈DX

r∈Ωd

rxd

r(4.46)

s.t. X

d∈DX

r∈Ωd

airxr= 1 ∀i∈T, ∀d∈D(4.47)

r∈Ωd

xr≤wd∀d∈D(4.48)

xr∈ {0,1} ∀ r∈Ωd,∀d∈D(4.49)

Die Zielfunktion (4.46) minimert die Kosten der gew¨

ahlten Uml¨

aufe ¨

uber alle

Depots. In (4.47) ist sichergestellt, dass jede Fahrt genau durch einen gew¨

ahlten

Umlauf abgedeckt wird. Die Depotkapazit¨

aten werden in Restriktion (4.48) be-

achtet, indem die Anzahl der gew¨

ahlten Uml¨

aufe pro Depot beschr¨

ankt werden.

In (4.49) wird f¨

ur jeden m¨

oglichen Umlauf je Depot eine Entscheidungsvariable

definiert.

Da die Formulierung bereits f¨

ur kleine Problemstellungen eine sehr große An-

zahl von Variablen beinhaltet, wird die LP-Relaxation des SPPs in [Ribeiro und

Soumis, 1994] mittels implizitem Column Generation gel¨

ost, bei dem das Un-

terproblem zur Bestimmung der aufzunehmenden Variablen ein K¨

urzeste Wege

Problem ist. Sie verwenden daf¨

ur die generische Column Generation Software

GENCOL (vgl. [Sanso et al., 1990]).

In [Bianco et al., 1994] wird ein alternativer Weg zur L¨

osung des SPPs vorge-

schlagen, bei dem im ersten Schritt die optimale Fahrzeuganzahl durch L¨

osung

eines SD-VSP mit einem k¨

unstlichen Depot berechnet wird. Es wird ein Theorem

pr¨

asentiert, dass auf der Basis der reduzierten Kosten und einer unteren Schranke

Variablen aus der zu betrachtenden Menge aller g¨

ultigen Uml¨

aufe ausschließen

kann. Dieses Theorem kann ausgenutzt werden, indem das duale Modell heuris-

tisch gel¨

ost wird und die dadurch entstehende untere Schranke zur Ausschlie-

ßung von Variablen verwendet werden kann. Die Autoren stellen acht verschiede-

ne Heuristiken vor und verwenden diese in einem iterativen L¨

osungsprozess des

dualen Modells. Die Anzahl der Variablen kann durch dieses Verfahren f¨

ur die be-

trachteten Problemstellungen so weit reduziert werden, dass das Modell mit den

verbleibenden Variablen mit einem LP-basierten B&B Verfahren gel¨

ost werden

kann.

Hadjar et al. erweitern den GENCOL-Algorithmus aus [Ribeiro und Soumis,

1994] durch Strategien zur Fixierung von Variablen und zur Definition und St¨

ar-

kung von validen Ungleichungen innerhalb eines Branch & Cut Verfahrens (vgl.

[Hadjar et al., 2006]).

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

In [Oukil et al., 2004] und [Oukil et al., 2007] wird ein stabilisiertes Column

Generation Verfahren beschrieben. Bei diesem werden die dualen Werte des Mas-

ter Problems in der Hinsicht stabilisiert, dass sie durch geeignete Strafkosten f¨

Abweichungen nicht von Iteration zu Iteration extrem unterschiedliche Werte an-

nehmen, sondern stabil bleiben. Die Aussagequalit¨

at der dualen Werte und damit

die Konvergenz des Column Generation kann durch diese Erweiterung vor allem

f¨

ur stark degenerierte Problemstellungen verbessert werden.

4.2.4 Modellunabh¨

angige Ans¨

atze

Neben den in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Modellen und Verfah-

ren f¨

ur das MD-VSP existiert eine Reihe von heuristischen L¨

osungsans¨

atzen, die

unabh¨

angig von den Modellierungsarten sind.

Das erste heuristische Verfahren zur L¨

osung des MD-VSPs wurde in [Gavish

et al., 1978] vorgestellt. Es wird eine 2-Phasen-Heuristik pr¨

asentiert, bei der in

der ersten Phase anonyme Uml¨

aufe gebildet werden, indem das SD-VSP mit-

tels eines angepassten Netzwerk-Simplex-Algorithmus f¨

ur ein k¨

unstliches Depot

gel¨

ost wird. In der zweiten Phase wird ein Zuweisungsproblem gel¨

ost, welches –

basierend auf den unterschiedlichen Kosten von Aus-/Einr¨

uckfahrten und ggf. un-

terschiedlichen Fahrzeugkosten – jeden berechneten Umlauf einem Depot zuteilt.

Diese Heuristik wird auch als Schedule-First-Cluster-Second-Heuristik (SFCS-

Heuristik) bezeichnet. In [Hoffstadt, 1981] wird das gleiche Vorgehen pr¨

asentiert,

wobei das SD-VSP in der ersten Phase als Zuweisungsmodell gel¨

ost wird.

Bodin et al. stellen eine Greedy-Heuristik vor, bei der die Servicefahrten nach

ihren Abfahrtszeiten sortiert werden und nacheinander in bestehende Uml¨

aufe

oder einen neuen Umlauf einsortiert werden, so dass die Zusatzkosten je Fahrt

minimal sind (vgl. [Bodin et al., 1983]). Außerdem zeigen sie eine 2-Phasen Heu-

ristik, die zuerst jede Fahrt zu einem Depot zuteilt und anschließend jedes Depot

als SD-VSP optimiert. Die Methodik – auch als Cluster-First-Schedule-Second-

Heuristik (CFSS-Heuristik) bezeichnet – stellt das nat¨

urliche manuelle Vorgehen

vieler Verkehrsunternehmen zu dieser Zeit dar, wird aber von den Autoren das

erste Mal formalisiert. Als weitere Methode erweitern sie den Ansatz aus [Wren,

1972] f¨

ur das SD-VSP, indem jeweils zwei Uml¨

aufe gew¨

ahlt werden und diese bei

einem zuf¨

alligen Zeitpunkt getrennt und rekombiniert werden. Es werden aller-

dings keine numerischen Ergebnisse pr¨

asentiert.

El-Azm verwendet die SFCS-Heuristik als Startheuristik und verbessert die

L¨

osung durch ein 2-opt-Verfahren (vgl. [El-Azm, 1985]). Auch in [Daduna und

Mojsilovic, 1988] wird die SFCS-Heuristik zur L¨

osung des MD-VSPs verwendet.

Die Methode ber¨

ucksichtigt individuelle Kosten f¨

ur m¨

ogliche Verbindungen und

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

wird innerhalb des Systems HOT II eingesetzt (s. Abschnitt 4.6).

In [Rousseau et al., 1990] wird eine CFSS-Heuristik vorgeschlagen, damit in rea-

len Planungssituationen operative Restriktionen von Fahrzeugen in Verbindung

mit unterschiedlichen Depots besser ber¨

ucksichtigt werden k¨

onnen. Die SD-VSP

in der zweiten Phase werden durch eine Netzwerkflussmodellierung gel¨

ost, bei der

die Fahrten und Haltestellen in einem Time-Space-Netzwerk modelliert werden,

allerdings keine Aggregation der abgebildeten Aktivit¨

aten im Netzwerk vorge-

nommen wird (vgl. [Desrosiers et al., 1982]).

Dell’Amico et al. pr¨

asentieren eine 3-Phasen Heuristik, bei der in der ersten

Phase das MD-VSP als einfaches Flussmodell mit Teiltour Eliminierung verwen-

det wird (vgl. [Dell’Amico et al., 1993]). Unter Relaxation dieser Restriktionen zur

Teiltour Eliminierung wird das Problem gel¨

ost, so dass ein Umlaufplan entsteht,

bei dem die Uml¨

aufe in unterschiedlichen Depots starten und enden k¨

onnen. Die

L¨

osung der Relaxation bestimmt die optimale Anzahl von Fahrzeugen, so dass

in der zweiten Phase die nicht verwendeten Kanten analysiert werden k¨

onnen.

Wenn die reduzierten Kosten einer Kante zeigen, dass sie die L¨

osung um Kos-

ten f¨

ur ein weiteres Fahrzeug steigern w¨

urde, kann diese als ”verboten“ markiert

werden. In Phase 3 wird von einem Depot, dessen Fahrzeugkapazit¨

at noch nicht

ausgesch¨

opft ist, ein k¨

urzester Weg durch das Netzwerk gesucht, so dass weder

”verbotene“ Kanten verwendet noch andere Depotknoten besucht werden. Das

Verfahren ¨

ubernimmt bereits g¨

ultige Uml¨

aufe aus Phase 2 und versucht iterativ

die L¨

osungen der restlichen Uml¨

aufe zu verbessern.

Pepin et al. zeigen die ersten Ans¨

atze, bei denen Meta-Heuristiken zur L¨

osung

des MD-VSP verwendet werden (vgl. [Pepin et al., 2006]). Die Autoren entwickeln

eine Large Neighborhood Search Methode (LNS), in der in jeder Iteration ein Teil

der g¨

ultigen L¨

osung reoptimiert wird, sowie eine Tabu Suche (s. Abschnitt 3.4.1)

und vergleichen die Methoden mit bestehenden Heuristiken, die auf LP-Modellen

der Mehrg¨

uter Flussmodellierung basieren.

4.2.5 Eigenschaften gel¨

oster Instanzen

Viele der vorgestellten L¨

osungsans¨

atze aus der Literatur werden anhand von

k¨

unstlich generierten Instanzen validiert. Diese werden zu einem Großteil mit

Hilfe des in [Carpaneto et al., 1989] pr¨

asentierten Verfahrens erstellt. Gerade die

Ver¨

offentlichungen der letzten Jahre zeigen, dass sich diese Methode zu einem

Quasi-Standard f¨

ur die Betrachtung von k¨

unstlichen Probleminstanzen entwi-

ckelt hat. So werden die durch diese Vorgehensweise erstellen Daten zum Bei-

spiel in [Dell’Amico et al., 1993], [Forbes et al., 1994], [Ribeiro und Soumis,

1994], [Bianco et al., 1994], [Fischetti et al., 2001b], [Hadjar et al., 2006], [Pepin

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

et al., 2006] und [Oukil et al., 2007] verwendet. Die Methode generiert Fahrpl¨

ane

sowie weitere ben¨

otigte Informationen zur Definition von Umlaufplanungsproble-

men mit mehreren Depots (MD-VSP). Eine Betrachtung von Erweiterungen der

Problemstellung ist in der Ver¨

offentlichung nicht vorgesehen. Das Ziel der Au-

toren war es, den Generator so zu konzipieren, dass reale Planungssituationen

von Verkehrsunternehmen des ¨

offentlichen Verkehrs simuliert werden. F¨

ur eine

Analyse der Unterschiede zu realen Fahrpl¨

anen sei an dieser Stelle auf Abschnitt

6.2.2 verwiesen.

Im Folgenden wird das Verfahren zur Erstellung einer Probleminstanz beschrie-

ben. Dabei wird die in Abschnitt 2.3 eingef¨

uhrte formale Definition f¨

ur die Pro-

blembeschreibung verwendet. Eingangsgr¨

oßen f¨

ur die Generierung einer Proble-

minstanz sind die Anzahl der zu erstellenden Servicefahrten |T|sowie die Anzahl

der Depots |D|. Die relevanten Orte werden auf einer quadratischen Topologie

mit einer Seitenl¨

ange von 60 Entfernungseinheiten bestimmt. F¨

ur die Bildung der

Endhaltestellen Svon Servicefahrten wird die Anzahl durch einen zuf¨

alligen Wert

zwischen |T|

3und |T|

2bestimmt. Jeder Endhaltestelle wird eine zuf¨

allig bestimmte

Koordinate innerhalb des 60 x 60 - Quadrats zugewiesen. F¨

ur die Auswahl der

Depotstandorte schlagen die Autoren zwei unterschiedliche Methoden vor. Im

ersten Fall werden sie auf die gleiche Weise wie die Standorte der Endhaltestel-

len bestimmt. Die so generierten werden als Instanzen der Klasse A betrachtet.

Alternativ (Klasse B) werden zwei Depots an den ¨

außersten Positionen des Qua-

drats platziert und ein drittes Depot zuf¨

allig gew¨

ahlt. Die Fahrzeugkapazit¨

aten

der Depots werden zuf¨

allig zwischen 3 + |T|

3|D|und 3 + |T|

2|D|bestimmt. Durch die-

se Wahl k¨

onnen Instanzen generiert werden, bei denen die Depotkapazit¨

aten zu

gering sind, so dass keine g¨

ultige L¨

osung existiert. Dieser Fall ist allerdings un-

wahrscheinlich.

Die Entfernung zwischen zwei Orten iund j∈D∪Swird durch die euklidi-

sche Distanz zwischen den Koordinaten von iund jbestimmt. Die Dauer einer

Verbindungsfahrt zwischen diesen Punkten entspricht ebenfalls der euklidischen

Distanz in Minuten. Daher entspricht eine Entfernungseinheit der Strecke, die ein

Fahrzeug innerhalb von einer Minute zur¨

ucklegen kann. Die Dauer ist unabh¨

angig

von der Art der Fahrt (Service-, Umsetz- oder Depotfahrt). Die Definition der

Verbindungsmatrix kann auf diese Weise f¨

ur alle Kombinationen von Endhalte-

stellen bestimmt werden.

F¨

ur die Generierung der Servicefahrten werden zwei unterschiedliche Fahrten-

typen betrachtet. Auf der einen Seite sollen ”lange“ Fahrten gebildet werden,

die den Service von außerst¨

adtischen Linien oder eine Kette von innerst¨

adtischen

Servicefahrten darstellen soll. Diese langen Fahrten haben die gleiche Haltestelle

als Abfahrts- und Ankunftshaltestelle. Diese wird zuf¨

allig aus der Menge aller

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

Haltestellen bestimmt. Die Abfahrtszeit f¨

ur eine lange Fahrt wird zuf¨

allig zwi-

schen 5:00 Uhr und 20:00 Uhr bestimmt. Die Fahrtdauer betr¨

agt zwischen 3

und 5 Stunden, so dass die sp¨

ateste m¨

ogliche Ankunftszeit um 01:00 Uhr des

folgenden Tages w¨

are. Neben den langen Fahrten werden auch ”kurze“ Fahrten

gebildet. Diese sollen zus¨

atzliche innerst¨

adtische Fahrten repr¨

asentieren, die in

den Stoßzeiten (Berufs-, Schul- und Pendlerverkehr) vermehrt auftreten. F¨

ur die-

se Fahrten werden Abfahrts- und Ankunftshaltestellen unabh¨

angig voneinander

zuf¨

allig gew¨

ahlt. Die Abfahrtszeit ist zwischen 7:00 Uhr und 18:00 Uhr, wobei die

Stoßzeiten eine h¨

ohere Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Die Abfahrt findet mit

einer Wahrscheinlichkeit von 15% zwischen 7:00 Uhr und 8:00 Uhr statt. Genau-

so wird die Abfahrtszeit zu 15% zwischen 17:00 Uhr und 18:00 Uhr gew¨

ahlt. Zu

70% findet die Abfahrt zwischen 8:00 Uhr und 17:00 Uhr statt, was einer Wahr-

scheinlichkeit von 7,8% je Stunde entspricht. Die Fahrtdauer betr¨

agt unabh¨

angig

von dieser Auswahl die Verbindungszeit zwischen den beiden Haltestellen und

einer zuf¨

alligen Auswahl zwischen 5 und 40 Minuten. F¨

ur jede zu generierende

Servicefahrt besteht eine Wahrscheinlichkeit von 60%, dass sie als lange Fahrt

modelliert wird, andernfalls als kurze Fahrt.

Die Fixkosten f¨

ur die Verwendung eines Fahrzeugs werden mit 10.000 Kosten-

einheiten modelliert. Die operativen Kosten einer Depotfahrt werden mit dem

zehnfachen der Verbindungszeit modelliert. Bei einer Verbindungsfahrt wird zu-

s¨

atzlich zu diesen Kosten noch das zweifache der Wartezeit kalkuliert. Die Ser-

vicefahrten werden nicht mit Kosten versehen. Um dieses Kostenmodell in eine

lineare Abh¨

angigkeit von Entfernungs- und zeitabh¨

angigen Daten zu ¨

uberf¨

uhren,

k¨

onnen die Kosten pro Distanzeinheit auf 8 Kosteneinheiten gesetzt werden und

die Kosten f¨

ur eine Zeiteinheit außerhalb des Depots auf 2 Kosteneinheiten. Durch

diese Modellierung werden auch die Servicefahrten mit Kosten versehen, aller-

dings stellen diese Zusatzkosten lediglich eine Verschiebung der Zielfunktion dar,

da in jeder g¨

ultigen L¨

osung f¨

ur die generierte Probleminstanz jede Fahrt bedient

sein muss.

Das Verfahren zur Generierung der k¨

unstlichen Probleminstanzen ist in Al-

gorithmus 4.1 dargestellt. Die Koordinaten eines Ortes iwerden durch (xi, yi)

dargestellt, wobei xidie Auspr¨

agung der horizontalen Dimension und yidie ver-

tikale Dimension des Quadrates darstellt. Die zeitlichen Angaben sind als Minu-

tenanzahl nach 0:00 Uhr des betrachteten Tages gegeben. Der Operator i∈[a;b]

bedeutet in der Darstellung, dass f¨

ur die Variable iein zuf¨

alliger, diskreter Wert

aus der Gleichverteilung zwischen aund bbestimmt wird. Analog definiert i∈[a;b]

die Bestimmung eines kontinuierlichen Wertes. Die Kostendefinitionen sind nicht

explizit im Algorithmus gezeigt, da sie keine variable Gr¨

oße f¨

ur die Generierung

einer Instanz darstellen. Der Algorithmus bildet Depotstandorte nach Klasse A.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Algorithmus 4.1 : Instanzengenerator nach [Carpane-

to et al., 1989]

(Schritt 1) Endhaltestellen und Depots festlegen

w¨

ahle |S| ∈ h|T|

3;|T|

for i= 1,...,|S|do

xi∈[0; 60]

yi∈[0; 60]

S=S∪[xi, yi]

for j= 1,...,|D|do

xj∈(0; 60)

yj∈(0; 60)

D=D∪(xj, yj)

(Schritt 2) Verbindungsmatrix aufbauen

for i= 1,...,|S|;j= 1, . . . |S|do

dij =q(xi−xj)2+ (yi−yj)2

(Schritt 3) Servicefahrten generieren

for i= 1,...,|T|do

z0∈[0; 1]

if z0≤0,4then

gi∈S

hi∈S

z00 ∈[0; 1]

if z00 ≤0,15 then

ei∈[420; 480]

else if z00 ≤0,70 then

ei∈[480; 1020]

else

ei∈[1020; 1080]

fi∈[ei+dgi,hi+ 5; ei+dgi,hi+ 40]

else

gi∈S

hi=gi

ei∈[300; 1200]

fi∈[ei+ 180; ei+ 300]

(Schritt 4) Depotkapazit¨

aten bestimmen

for i= 1,...,|D|do

wi∈h3 + |T|

3|D|; 3 + |T|

2|D|i

4.2 Busumlaufplanung mit mehreren Depots

Ver¨

offentlichung |D| |T|Z G I

[Gavish et al., 1978] - 1200 - - A

[Bertossi et al., 1987] 3 50 - opt A

[Carpaneto et al., 1989] 2 70 - opt C

[Carpaneto et al., 1989] 3 60 - opt C

[Mesquita und Paixao, 1992] 3 200 26 1,50 A

[Lamatsch, 1992] 2 215 1128 3,00 R

[Dell’Amico et al., 1993] 10 1000 9 1,0 C

[Forbes et al., 1994] 3 200 329 opt C

[Ribeiro und Soumis, 1994] 6 300 56 0,001 C

[Bianco et al., 1994] 6 250 24 0,2 C

[Fischetti et al., 1999] 5 463 19 opt R

[Mesquita und Paixao, 1999] 4 352 11 opt R

[Fischetti et al., 2001b] 5 300 52 0,03 C

[Fischetti et al., 2001b] 5 580 166 0,02 R

[Haghani und Banihashemi, 2002] 4 500 1810 opt R

[Hadjar et al., 2006] 4 500 230 opt C

[Pepin et al., 2006] 8 1500 52 0.8 C

[Oukil et al., 2007] 3 500 - - C

Tabelle 4.2: Eigenschaften gel¨

oster MD-VSP Probleminstanzen

Neben den durch diesen Algorithmus generierten k¨

unstlichen Instanzen wurden

in mehreren Ver¨

offentlichungen auch reale Problemstellungen betrachtet. Eine

Ubersicht ¨

uber die Gr¨

oße der Problemstellungen, die durch die in den vorher-

gegangenen Abschnitten vorgestellten Verfahren gel¨

ost werden konnten, ist in

Tabelle 4.2 gegeben. In den meisten Ver¨

offentlichungen ist eine Vielzahl von un-

terschiedlichen Problemgr¨

oßen gel¨

ost. Die angegeben Problemgr¨

oßen sind die je-

weils gr¨

oßten gel¨

osten Instanzen einer Ver¨

offentlichung. Die hier angegeben Werte

sind stark abh¨

angig von der Wahl der Parameter und der genauen Modellierung

unterschiedlicher Annahmen und Kosten. Deshalb stellt diese ¨

Ubersicht keine Be-

wertung der Verfahren dar, sondern soll einen ¨

Uberblick ¨

uber die betrachteten

Modellgr¨

oßen wiedergeben. Die Anzahl der Servicefahrten sowie die Anzahl der

betrachteten Depots stellt die wichtigste Einflussgr¨

oße f¨

ur die Einsch¨

atzung der

Komplexit¨

at einer Instanz dar. Dar¨

uber hinaus spielt die Struktur der Proble-

minstanzen eine wichtige Rolle, da z.B. die Anzahl der m¨

oglichen Verbindungen

zwischen Fahrten stark von ihr abh¨

angig ist.

In den Spalten |D|und |T|ist die Anzahl der Depots und Fahrten gegeben.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Spalte Zgibt die Laufzeit in Minuten an, die ben¨

otigt wurde, um die Instanz

bis zu einem in Spalte Gangegebenen Gap zu optimieren. Der Gap definiert den

Abstand der besten g¨

ultigen L¨

osung UB zur besten bekannten unteren Schranke

LB in Prozent (G=UB−LB

LB ∗100) bzw. ”opt“, wenn die L¨

osung bewiesen optimal

ist. Spalte Igibt die Art der verwendeten Instanzen an (C f¨

ur die k¨

unstlich

generierten Instanzen auf der Basis des Generators aus [Carpaneto et al., 1989],

R f¨

ur reale Instanzen und A f¨

ur andere Instanzen unbekannter Herkunft). Im

Falle eines ”-“ wurden von den Autoren keine Angaben gemacht.

Die Tabelle zeigt, dass in den aufgef¨

uhrten Ver¨

offentlichungen, die ausschließ-

lich das MD-VSP betrachten, reale und k¨

unstlich generierte Instanzen mit bis zu

4 Depots und 500 Fahrten optimal gel¨

ost wurden. Unter Verwendung von heuris-

tischen L¨

osungsmethoden wurden Instanzen bis zu 8 Depots und 1500 Fahrten

mit einem Fehler von unter 1% gel¨

ost.

4.3 Busumlaufplanung mit mehreren Depots und

Fahrzeugtypgruppen

Das Umlaufplanungsproblem mit Fahrzeugtypgruppen (MVTG-VSP) stellt ei-

ne ¨

ubergeordnete Problemklasse dar, von der das zuvor vorgestellte MD-VSP

ein Spezialfall ist. Aus diesem Grund sind s¨

amtliche in diesem Abschnitt be-

schriebenen Verfahren auch zur L¨

osung des MD-VSPs geeignet. Aufgrund der

besonderen Anforderung, dass eine Fahrt nur von einer Untermenge aller Depots

(im Sinne der Kombination von Depotstandort und Fahrzeugtyp) bedient werden

darf (s. Abschnitt 2.3), bedarf es spezieller Modelle und Verfahren zur L¨

osung.

Die L¨

osungsans¨

atze werden in chronologischer Reihenfolge dargestellt.

Das in [Bodin et al., 1983] vorgestellte Greedy-Verfahren zur L¨

osung des MD-

VSP kann auch Fahrzeugtypgruppen ber¨

ucksichtigen, da bei der regelbasierten

Einteilung von Fahrten in Uml¨

aufe ung¨

ultige Fahrzeugtypen ausgeschlossen wer-

den k¨

onnen. Auch die CFSS-Heuristik kann f¨

ur das MVTG-VSP erweitert wer-

den, indem in der ersten Phase die Zuteilung von Fahrten zu Depots unter

Ber¨

ucksichtigung der Fahrzeugtypgruppen durchgef¨

uhrt werden kann. Im Ge-

gensatz zur CFSS-Heuristik ist die SFCS-Heuristik nicht ¨

ubertragbar, da die in

der ersten Phase erstellten Uml¨

aufe hinsichtlich der erlaubten Fahrzeugtypen

ung¨

ultig sein k¨

onnen. Bodin et al. erweitern das in [Wren, 1972] vorgestellte

2-opt Verfahren um die Ber¨

ucksichtigung von Fahrzeugtypgruppen, indem eine

Uberpr¨

ufung g¨

ultiger Depotzugeh¨

origkeit in den Algorithmus eingef¨

ugt wird.

In [El-Azm, 1985] wird die f¨

ur das MD-VSP vorgestellte Methode an die Pro-

blemstellung angepasst, indem die Fahrten hinsichtlich ihres Freiheitsgrades der

4.3 Busumlaufplanung mit mehreren Depots und Fahrzeugtypgruppen

Zuordnungsm¨

oglichkeiten unterschieden werden. Zuerst werden f¨

ur einen Fahr-

zeugtyp Uml¨

aufe mit den exklusiv von ihm zu bedienenden Servicefahrten erstellt.

Anschließend werden diesen Uml¨

aufen m¨

oglichst viele Fahrten hinzugef¨

ugt, die

von dem Typ bedient werden d¨

urfen und kein weiteres Fahrzeug erfordern. Die-

ses Vorgehen wird f¨

ur alle Fahrzeugtypen durchgef¨

uhrt. Sollten Servicefahrten

anschließend noch nicht zu einem Umlauf zugewiesen sein, werden f¨

ur diese mit-

tels einer Greedy-Heuristik weitere Uml¨

aufe gebildet.

In [Ceder, 1993] wird eine spezielle Definition (hierarchisches Modell) der Fahr-

zeugtypgruppen verwendet, indem die Regel angenommen wird, dass mit Sortie-

rung der Depots nach d∈ {1, . . . |D|}gilt: d∈Vt→(d+1) ∈Vt,∀t∈T. Unter

dieser Annahme wird eine iterative Heuristik pr¨

asentiert, die auf der graphischen

Analyse der Deficit Function basiert (s. Abschnitt 4.1).

Forbes et al. l¨

osen das MVTG-VSP mit Hilfe des Mehrg¨

uter Flussmodells

(vgl. [Forbes et al., 1994]). Da die unterschiedlichen Depots in den unabh¨

angigen

Netzwerkschichten modelliert werden, k¨

onnen die Zugeh¨

origkeiten von Fahrten

zu Fahrzeugtypen direkt im Netzwerkaufbau ber¨

ucksichtigt werden. Die Schich-

ten haben daher f¨

ur das MVTG-VSP unterschiedliche Knoten- und Kantenmen-

gen, aber das mathematische Modell bleibt bestehen. Die Autoren verwenden ei-

ne Lagrange-Relaxation Restriktionen zur Erhaltung des Netzwerkflusses in den

Depotknoten, um das MD-VSP in einem 3 Phasen-Algorithmus zu l¨

osen: in der

ersten Phase wird die angesprochene Relaxation gel¨

ost. In der zweiten Phase

wird die LP-Relaxation des Gesamtmodells gel¨

ost, indem die L¨

osung aus Pha-

se 1 als Startbasis f¨

ur den dualen Simplex-Algorithmus ¨

ubergeben wird. In der

dritten Phase wird auf der Basis der optimalen LP-L¨

osung ein LP-basiertes B&B

Verfahren durchgef¨

uhrt.

In [Costa et al., 1995] wird die Erweiterung der drei unterschiedlichen Modellie-

rungsans¨

atze aus Abschnitt 4.2 um die Ber¨

ucksichtigung von Fahrzeugtypgruppen

diskutiert. Wie bereits in [Forbes et al., 1994] beschrieben, kann das Mehrg¨

uter

Flussmodell die Fahrzeugtypgruppen im Netzwerkaufbau ber¨

ucksichtigen. Das

einfache Flussmodell mit Zuweisungsvariablen kann durch eine geeignete Anpas-

sung der mathematischen Formulierung zur L¨

osung des MVTG-VSP verwendet

werden. Die Autoren pr¨

asentieren eine Erweiterung des Set Partitioning Modell,

f¨

ur das die implizite Enumeration der m¨

oglichen Uml¨

aufe angepasst werden muss.

Es werden die Laufzeiten und Eigenschaften von drei L¨

osungsmethoden f¨

ur die

Modelle verglichen, von denen ein Set Partitioning Ansatz (vgl. [Ribeiro und Sou-

mis, 1994]) die besten Ergebnisse zeigt. Allerdings verwenden die Autoren sehr

kleine Instanzen mit weniger als 100 Servicefahrten, so dass keine Aussagen zum

L¨

osungsverhalten bei gr¨

oßeren Problemstellungen m¨

oglich ist.

L¨

obel l¨

ost das MVTG-VSP mit einem Column Generation Verfahren auf der

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Formulierung des Mehrg¨

uter Flussproblems, da f¨

ur große Problemstellungen das

Mehrg¨

uter Flussmodell zu viele Variablen hat, um sie im Speicher zu halten

oder das Modell zu l¨

osen (vgl. [L¨

obel, 1998]). Durch die starke Degeneration

großer MVTG-VSP-Modelle m¨

ussen sehr viele Spalten generiert werden, um die

LP-L¨

osung im RMP zu verbessern. Da das Verfahren durch diese Schwierig-

keit nur sehr langsam konvergieren w¨

urde, pr¨

asentiert der Autor eine spezielle

Pricing-Methode, die er Lagrangean Pricing nennt: zur Bestimmung der zu ge-

nerierenden Spalten werden Lagrange-Relaxationen mit den reduzierten Kosten

einer LP-L¨

osung auf den Kanten gel¨

ost und alle in einer L¨

osung vorhandenen

Kanten generiert. Hierzu verwendet der Autor die Relaxation der Depoterhal-

tungsbedingungen sowie die Relaxation der ¨

Uberdeckungsrestriktionen. Das je-

weilige Lagrange-Maximierungsproblem wird mit einer in [Kokott und L¨

obel,

1996] beschriebenen Subgradientenmethode gel¨

ost. Zur Bestimmung der initialen

Kantenmenge f¨

ur das RMP werden zwei unterschiedliche Er¨

offnungsheuristiken

vorgestellt. Die erste ist eine CFSS-Heuristik, bei der die Servicefahrten in der

ersten Phase dem n¨

achstgelegenen Depot zugeteilt werden. Die zweite Heuris-

tik ist eine SFCS-Heuristik, bei der die in Phase 1 entstehenden Uml¨

aufe als

Absch¨

atzung f¨

ur die ben¨

otigte Fahrzeuganzahl dienen und in der zweiten Phase

m¨

oglichen Depots zugeteilt werden k¨

onnen. Nachgelagert werden je Depot alle

ihm zugewiesenen Fahrten als SD-VSP optimiert. F¨

ur den Fall der Verletzung

von Depotkapazit¨

aten werden so lange einige in der L¨

osung verwendete Kanten

im Netzwerk verboten und der Prozess erneut durchgef¨

uhrt bis die L¨

osung g¨

ultig

ist (vgl. [L¨

obel, 1997]). Der Column Generation Prozess wird so lange mit dem

Lagrangean Pricing durchgef¨

uhrt bis der Algorithmus konvergiert. Anschließend

wird durch Einsatz des Dantzig Pricing die Optimalit¨

at der L¨

osung bewiesen. Zur

L¨

osung der RMP verwendet dieser Ansatz den primalen Simplex-Algorithmus von

CPLEX und f¨

uhrt kein LP-Preprocessing durch, um in jeder Iteration von der

optimalen Basis der vorherigen Iteration starten zu k¨

onnen (vgl. auch [L¨

obel,

1999]).

In [Huisman et al., 2004] wird das Mehrg¨

uter Matchingmodell zur L¨

osung von

MVTG-VSP innerhalb eines Ansatzes zur dynamischen Umlaufplanung verwen-

det. Zur L¨

osung der mathematischen Modelle wird CPLEX verwendet.

Kliewer verwendet die mathematische Formulierung des Mehrg¨

uter Flussmo-

dells und stellt eine alternative Modellierung des dazu verwendeten Netzwerks

auf (vgl. [Kliewer, 2005]). Sie nutzt dabei die Eigenschaft des Fahrplans, dass

die Definition der Kompatibilit¨

at von Fahrten transitiv ist. Das heisst f¨

ur drei

Servicefahrten i, j, k ∈Tgilt:

(i α j)∧(j α k)→(i α k)∀i, j, k ∈T

4.3 Busumlaufplanung mit mehreren Depots und Fahrzeugtypgruppen

Y-Achse

Depot n

Depot 2

Y-Achse

Haltestelle 2

Depot 1

Haltestelle 1

...

Abbildung 4.6: Time-Space-Netzwerk f¨

ur das MVTG-VSP

Diese implizite Definition der Kompatibilit¨

at von Servicefahrten verwenden die

Autoren, um alle Umlaufm¨

oglichkeiten in einem aggregierten Time-Space-Netz-

werk zu modellieren. In diesem werden die Haltestellen als Zeitschienen (Ti-

melines) betrachtet, zwischen denen Servicefahrten get¨

atigt werden m¨

ussen und

Umsetz- oder Ein-/Ausr¨

uckfahrten stattfinden k¨

onnen. Durch zus¨

atzliche War-

tekanten innerhalb der Zeitlinien kann die oben vorgestellte Transitivit¨

at sicher-

gestellt werden. Somit ist die maximale Anzahl der f¨

ur jede Servicefahrt zu be-

trachtenden Umsetzm¨

oglichkeiten durch die Anzahl der Endhaltestellen |S|und

Servicefahrten |T|(O(|T|·|S|) statt der quadratischen Anzahl der Servicefahr-

ten O(|T| · |T|)) nach oben begrenzt. Dies f¨

uhrt auf realen Instanzen zu einer

Einsparung von 97% - 99% der in den anderen Modellen notwendigen Verbin-

dungskanten ohne die optimale L¨

osung des MVTG-VSPs zu verlieren. Die Kno-

ten des Netzwerks k¨

onnen aggregiert werden, wodurch die Anzahl der ben¨

otigten

Restriktionen zur Flusserhaltung reduziert werden kann. Der Aufbau eines Time-

Space-Netzwerks ist in Abbildung 4.6 illustriert.

Die mathematische Formulierung ¨

andert sich nur in der Definition der Va-

riablen, die nun allgemein ganzzahlig sein m¨

ussen (xd

ij ∈N), da durch die

Aggregation der Fluss von mehr als einer Flusseinheit auf einer Kante (außer

einer Servicefahrt-Kante) m¨

oglich ist. Die Autoren l¨

osen das vollst¨

andige mathe-

matische Modell mit Hilfe eines MIP-Solvers (MOPS oder CPLEX), da durch

das aggregierte Netzwerk die Anzahl der Variablen ausreichend reduziert werden

konnten. Die L¨

osung entspricht einer Flussl¨

osung, die mehrere Flusseinheiten pro

Kante enthalten kann. Aus diesem Grund werden in einem nachgelagerten Schritt

die Uml¨

aufe als Wege einzelner Flusseinheiten aus den Fl¨

ussen extrahiert. Da ein

aggregierter Netzwerkknoten mehrere eingehende Flusseinheiten enthalten kann,

k¨

onnen durch unterschiedliche Zuordnung der eingehenden zu den ausgehenden

Flusseinheiten unterschiedliche Umlaufpl¨

ane mit gleichen Gesamtkosten gebildet

werden. Dies bietet den Vorteil, dass nach der Optimierung eine Vielzahl von

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Ver¨

offentlichung ∅D|T|Z G I

[El-Azm, 1985] - 400 190 - -

[Forbes et al., 1994] 1,31 600 90 opt R

[L¨

obel, 1998] 1,56 24906 591 -1R

[Huisman et al., 2004] 1,71 1104 2 opt R

[Kliewer, 2005] 6,5 11062 5132opt R

[Gintner et al., 2005] 6,5 11062 303 0,0043R

1Optimale Fahrzeuganzahl, aber keine Aussage zum Gap der

operativen Kosten

2Laufzeit zur L¨

osung der LP-Relaxation

3Gap der operativen Kosten

Tabelle 4.3: Eigenschaften gel¨

oster MVTG-VSP Probleminstanzen

kostenminimalen L¨

osungen zur Auswahl steht, aus denen in der Dekomposition

eine oder mehrere geeignete auszuw¨

ahlen sind. Die Autoren pr¨

asentieren unter-

schiedliche Strategien zur Auswahl, die je nach Zielsetzung und Einsatzgebiet

unterschiedlich sind (vgl. auch [Kliewer et al., 2002] und [Kliewer et al., 2006b]).

Gintner et al. pr¨

asentieren einen heuristischen Ansatz, der auf der aggregierten

Time-Space-Netzwerk Formulierung aus [Kliewer et al., 2006b] basiert und ein

zweistufiges Verfahren zur L¨

osung sehr großer MVTG-VSPs darstellt (vgl. [Gint-

ner et al., 2005]). In der ersten Phase werden Unterprobleme erstellt, die alle

Servicefahrten beinhalten, aber deren Komplexit¨

at durch die Betrachtung von

einem oder nur einigen Depots/Fahrzeugtypen erheblich verringert ist. Diese Pro-

blemstellungen werden in der ersten Phase unabh¨

angig voneinander gel¨

ost und

es werden mit unterschiedlichen Dekompositionsstrategien Uml¨

aufe erstellt. An-

schließend werden die Fahrtenverbindungen, die in allen Umlaufpl¨

anen auftreten,

fixiert und die so entstehenden Fahrtketten als eine Fahrt f¨

ur die L¨

osung des

MVTG-VSPs mit allen Depots/Fahrzeugtypen betrachtet. Durch die Anzahl der

in Phase 1 zu erstellenden Umlaufpl¨

ane kann das Verh¨

altnis von L¨

osungsqualit¨

zu Laufzeit geregelt werden, da mit einer großen Anzahl von erstellten Umlauf-

pl¨

anen tendenziell weniger Verbindungen fixiert werden k¨

onnen, aber die L¨

osung

n¨

aher am Optimum liegt und umgekehrt. In der Regel sind die L¨

osungen sehr

nah am Optimum, so dass sie aus praktischer Sicht als quasi-optimal betrachtet

werden k¨

onnen.

Die in der Literatur pr¨

asentierten Ergebnisse zur L¨

osung von MVTG-VSPs

unterscheiden sich stark in Bezug auf Struktur und Problemgr¨

oße der Problem-

stellungen, da jeweils unterschiedliche reale Daten f¨

ur die numerischen Ergeb-

4.4 Busumlaufplanung mit Zeitfenstern

nisse verwendet wurden. Im Gegensatz zum MD-VSP ist die Anzahl der Depots

kein aussagekr¨

aftiger Parameter zur Einsch¨

atzung der Komplexit¨

at, da nicht je-

de Fahrt von jedem Depot bedient werden kann. Vielmehr gibt die Kennzahl der

durchschnittlichen Gruppengr¨

oße ∅Dden Grad der kombinatorischen Komple-

xit¨

at in der Dimension der Depotzuteilung an. Konkret gibt die Kennzahl an, von

wie vielen unterschiedlichen Depot-Fahrzeugtyp-Kombinationen eine Servicefahrt

durchschnittlich bedient werden kann. Tabelle 4.3 gibt eine ¨

Ubersicht ¨

uber die

gr¨

oßten in den Ver¨

offentlichungen betrachteten Problemstellungen, sofern dazu

Angaben gemacht wurden (s. Tabelle 4.2).

4.4 Busumlaufplanung mit Zeitfenstern

Das Umlaufplanungsproblem mit der Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Ser-

vicefahrten ist – wie in Abschnitt 2.3.5 vorgestellt – eine hochgradig praxisre-

levante Problemstellung. Aus diesem Grund reichen die Anf¨

ange der Optimie-

rungsans¨

atze f¨

ur das VSP-TW bis in die fr¨

uhen 1970er Jahre zur¨

uck. In diesem

Abschnitt werden zuerst die Ans¨

atze f¨

ur das VSP-TW mit einem Depot und

anschließend die kombinierte Betrachtung von weiteren Problemstellungen auf-

gezeigt. Die Ans¨

atze werden innerhalb ihrer Kategorie in chronologischer Reihen-

folge pr¨

asentiert.

VSP-TW mit einem Depot Martin-L¨

of schl¨

agt eine Flussformulierung auf der

Basis eines rudiment¨

aren Time-Space-Netzwerks vor (vgl. [Martin-L¨

of, 1970]).

Dabei beachtet der Autor weder die M¨

oglichkeit von Umsetzfahrten noch von

Depotfahrten. Die Zeitfenster f¨

ur Fahrten werden durch die Einteilung der Zeitli-

nien einer Haltestelle in diskrete Zeitpunkte betrachtet. Es wird ein Flussproblem

formuliert, das f¨

ur jeden m¨

oglichen (diskreten) Zeitpunkt die Flusserhaltung in

jeder Haltestelle sicherstellt. Zus¨

atzlich werden ¨

Uberdeckungsrestriktionen ein-

gef¨

uhrt, die gew¨

ahrleisten, dass f¨

ur jede Fahrt ein Zeitpunkt gew¨

ahlt wird, an

dem sie innerhalb ihres Zeitfensters abf¨

ahrt. Ein Branch & Bound Algorithmus

wird zur L¨

osung des Modells vorgestellt.

In [Levin, 1971] wird die Ber¨

ucksichtigung von diskreten Zeitfenstern f¨

ur das

Flugzeugplanungsproblem (engl: aircraft rotation problem) (ohne Deadheading

und Depots) modelliert, indem in ein Netzwerkflussmodell f¨

ur jede m¨

ogliche Aus-

pr¨

agung des Zeitfensters eines Fluges Kanten-Duplikate mit den entsprechenden

Abflugszeiten eingef¨

ugt werden. Die originale Flugkante sowie ihre Duplikate wer-

den durch zus¨

atzliche ¨

Uberdeckungsrestriktionen miteinander verbunden und es

wird sichergestellt, dass genau eine in einer g¨

ultigen L¨

osung gew¨

ahlt wird. Die-

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

ser Ansatz ist nicht explizit zur L¨

osung von Busuml¨

aufen ver¨

offentlicht worden,

allerdings kann das Prinzip dieser Modellierung f¨

ur die Busumlaufplanung mit

Zeitfenstern ¨

ubernommen werden.

Orloff formuliert ein Set Covering Problem zur L¨

osung des VSP-TW und

schl¨

agt valide Ungleichungen zur Verst¨

arkung der LP-Relaxation vor (vgl. [Or-

loff, 1976]). Da das Modell zu viele Spalten enthalten w¨

urde, um es im Speicher

halten zu k¨

onnen, verwerfen die Autoren den Ansatz und schlagen stattdessen

eine Divide & Conquer Heuristik vor, bei der jeweils zwei Servicefahrten gew¨

ahlt

werden und deren Anschluss fixiert wird. Dieses Vorgehen wird mit bereits fixier-

ten Reihen von Servicefahrten weitergef¨

uhrt bis keine g¨

ultigen Anschl¨

usse mehr

gefunden werden. Anschließend wird das f¨

ur das TSP entwickelte 3-opt Verfahren

aus [Lin und Kernighan, 1973] auf die Verbindungen angewendet.

In [Bokinge und Hasselstr¨

om, 1980] wird eine Heuristik vorgestellt, die zuerst

ein SD-VSP l¨

ost, bei dem die Fahrten bei ihrer durch die Zeitfenster zugelasse-

nen sp¨

atest m¨

oglichen Abfahrt beginnen und bei ihrer fr¨

uhest m¨

oglichen Ankunft

enden. Die L¨

osung stellt eine untere Schranke f¨

ur das VSP-TW dar. Beginnend

mit den Fahrten mit den kleinsten Zeitfensterintervallen werden die Abfahrtszei-

ten iterativ so fixiert, dass m¨

oglichst wenig Fahrten gleichzeitig stattfinden. Das

durch die fixierten Abfahrtszeiten definierte SD-VSP wird optimiert und der Pro-

zess wird iterativ bis zur Konvergenz des Algorithmus fortgesetzt. Die Autoren

verwenden zur L¨

osung des SD-VSP eine Netzwerkflussmodellierung mit einem

Time-Space-Netzwerk, bei dem die Depot-Knoten innerhalb des Netzwerks f¨

Zeitscheiben von 30 Minuten eigef¨

ugt werden. Das resultierende Netzwerkfluss-

problem wird mit dem primalen Netzwerk-Simplex Algorithmus PNET optimiert

(vgl. [Glover et al., 1974]).

Desrosiers et al. formulieren das VSP-TW als Set Partitioning Problem, wobei

die Menge der g¨

ultigen Uml¨

aufe durch alle durch die Verwendung der Zeitfenster

erm¨

oglichten Uml¨

aufe erweitert wird (vgl. [Desrosiers et al., 1984]). Sie l¨

osen die

LP-Relaxation mit einem Column Generation Verfahren, bei dem als Unterpro-

blem ein K¨

urzeste Wege Problem mit Zeitfenstern (engl: shortest path problem

with time windows) zu l¨

osen ist. Die Autoren verwenden den Ford-Bellman Al-

gorithmus zur L¨

osung des Unterproblems und die Simplex-Methode f¨

ur das Mas-

terproblem. Eine optimale L¨

osung wird auf Basis der LP-Relaxation mit einem

Branch & Cut Algorithmus bestimmt.

In [El-Azm, 1985] wird eine untere Schranke f¨

ur das VSP-TW durch Verk¨

ur-

zung der Fahrten wie in [Bokinge und Hasselstr¨

om, 1980] bestimmt. Auf dieser

Relaxation wird im Anschluss ein Branch & Bound Algorithmus ausgef¨

uhrt, der

f¨

ur jede ung¨

ultige Verbindung zwei Unterprobleme bildet, in der Verwendung die-

ser Verbindung erzwungen bzw. verboten wird. Dadurch bedarf es in der L¨

osung

4.4 Busumlaufplanung mit Zeitfenstern

der Unterprobleme keiner weiteren Restriktionen, sondern es m¨

ussen ausschließ-

lich SD-VSP gel¨

ost werden.

In [Desrosiers et al., 1985] wird das VSP-TW als SD-VSP mit zus¨

atzlichen Va-

riablen und Restriktionen f¨

ur die Abfahrtszeiten der Servicefahrten modelliert.

Auf der Relaxation der zus¨

atzlichen Nebenbedingungen wird ein Branch & Bound

Verfahren ausgef¨

uhrt, f¨

ur das verschiedene Branching-Strategien aufgezeigt wer-

den.

Ferland und Fortin beschreiben eine heuristische Methode zur L¨

osung des

VSP-TW sowie einer erweiterten Problemstellung, in der Gruppen von Fahrten

zus¨

atzlich innerhalb eines Zeitfensters verschoben werden k¨

onnen (vgl. [Ferland

und Fortin, 1989]). Diese Verschiebung muss allerdings um den gleichen Betrag

f¨

ur alle Fahrten einer Gruppe gelten. Durch diese zus¨

atzliche Verschiebung von

Fahrtengruppen sollen externe Einfl¨

usse (z.B. Schulschl¨

usse) modelliert werden.

Zur L¨

osung eines initialen SD-VSPs (ohne Zeitfenster) verwenden die Autoren

eine Netzwerk-Simplex Methode auf dem Netzwerkflussmodell. Die reduzierten

Kosten in der optimalen L¨

osung werden analysiert und vielversprechende Fahrten

werden auf eine andere Zeit fixiert. Das Wechselspiel von Optimierung, Analy-

se und Fixierung der Abfahrtszeiten wird iterativ fortgesetzt bis das Verfahren

konvergiert.

Daduna et al. betrachten das VSP-TW mit Fokus auf die Sichtweise eines Be-

nutzers (vgl. [Daduna et al., 1993] und [Daduna und V¨

olker, 1997]). Sie l¨

osen das

SD-VSP mit Hilfe des Zuweisungsmodells und ermitteln somit die optimale An-

zahl der ben¨

otigten Fahrzeuge ohne Zeitfenster. Anschließend werden neue Ver-

bindungsm¨

oglichkeiten innerhalb des Modells zugelassen (zu h¨

oheren Kosten),

die durch die Verwendung von Zeitfenstern erlaubt sind. Das Modell wird mit

der zus¨

atzlichen Restriktion, dass nur die um eins verringerte optimale Anzahl

an Fahrzeugen erlaubt ist, gel¨

ost. Dadurch erreichen die Autoren die Einsparung

eines Fahrzeugs mit m¨

oglichst wenigen ¨

Anderungen im Fahrplan, da die opera-

tiven Kosten f¨

ur die durch Zeitfenster hergestellten Verbindungen h¨

oher sind.

Die so ermittelten Fahrtenverschiebungen, die zu der Einsparung eines Fahrzeugs

f¨

uhren w¨

urden, werden dem Benutzer pr¨

asentiert und zu jeder in der L¨

osung

verschobenen Fahrt wird abgefragt, ob die Verschiebung zul¨

assig ist.

In [Ceder, 2001] wird ein Ansatz zur integrierten Fahrplanerstellung und Um-

laufplanung pr¨

asentiert. Das Verfahren verwendet die Deficit Function um nach

der Erstellung eines Fahrplans Uml¨

aufe zu bilden. In einem iterativen Prozess

werden der Fahrplan und der Umlaufplan angepasst bis eine f¨

ur den Benutzer

zufriedendstellende Abw¨

agung zwischen Kosten und Servicegrad erreicht ist.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

6.2 Verschiebeintervalle für Fahrten 107

Haltestelle 1

Haltestelle 2

1 32

Abbildung 6.6: Verwendung von Zeitfenster-Kanten

nächsten Abschnitt wird die Erweiterung des Netzwerkmodells aus dem Kapitel 4

beschrieben.

6.2.1 Erweiterung des Netzwerkmodells

Um die möglichen Fahrtenverschiebungen im Netzwerkmodell abzubilden, wird ein

neuer Typ von Kanten für das Netzwerk definiert: die so genannten Zeitfenster-

Kanten. Wenn eine Servicefahrt-Kante in einem vorgegebenen Zeitfenster ver-

schiebbar sein soll, werden mehrere Zeitfenster-Kanten in die Umgebung der Service-

fahrt-Kante eingefügt. Für eine Zeitfenster-Kante, die eine Verfrühung der Ser-

vicefahrt ermöglichen soll, werden die Abfahrts- und Ankunftszeiten entsprechend

vermindert; bei einer potentiellen Bedienung zu einem späteren Zeitpunkt entspre-

chend erhöht.

Dabei ist ein Einfügen der Zeitfenster-Kanten in einem Minutenraster ausrei-

chend, wenn der Fahrplan minutengenau geplant ist. Das Beispiel in Abbildung

6.6 zeigt die Modellierung eines Zeitfensters von ±2Minuten für die Servicefahrt

2. Innerhalb des Netzwerks werden die Zeitfenster-Kanten genau wie die nor-

malen Servicefahrt-Kanten behandelt. Bei der Optimierung kann zwischen einer

Servicefahrt-Kante und einer der dazugehörigen Zeitfenster-Kanten gewählt wer-

den. Dadurch ist es möglich, eine bessere Lösung im Bezug auf die Anzahl benö-

tigter Fahrzeuge zu finden.

Anhand des in Kapitel 4gegebenen Beispiel-Fahrplans sollen an dieser Stelle

die Änderungen des Netzwerkaufbaus gezeigt werden. Da sich mit den gewählten

Beispiel-Verschiebeintervallen keine Änderungen an der ersten Schicht des Netz-

werks ergeben, wird nachfolgend nur die zweite Netzwerkschicht behandelt. Dazu

wird die Fahrt fdes Fahrplans mit einem Verschiebeintervall versehen, wie in der

Tabelle 6.3 gezeigt wird. Die Fahrt darf bis zu einer Minute nach vorne verschoben

oder bis zu einer Minute nach hinten verschoben werden.

Fahrt Von Nach Abf.-zeit Ank.-zeit Intervall Linie Depots

fh1h28 10 ±1Minute 5 d2

Tabelle 6.3: Servicefahrt mit Zeitfenstern

Abbildung 4.7: Modellierung diskreter Zeitfenster nach [Kliewer, 2005]

VSP-TW mit mehreren Depots Mingozzi et al. erweitern den SPP-Ansatz

aus [Bianco et al., 1994] um die Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Fahrten,

indem sie das Pricing Problem als K¨

urzeste Wege Problem mit Zeitfenstern (engl:

shortest path problem with time windows) l¨

osen (vgl. [Mingozzi et al., 1995]).

In [Desaulniers et al., 1998] wird das VSP-TW mit mehreren Depots und nicht-

linearen Kostenstrukturen (z.B. exponentielle Kostenfunktion f¨

ur Wartekosten)

betrachtet. Die Autoren formulieren ein nicht-lineares Mehrg¨

uter Netzwerkfluss-

problem und formen es in ein SPP-Modell um. Als L¨

osungsverfahren wird ein

Column Generation Verfahren verwendet, bei dem die Zeitfenster ¨

ahnlich wie

in [Desrosiers et al., 1984] ber¨

ucksichtigt werden.

Hadjar und Soumis erweitern das Column Generation Verfahren f¨

ur das SPP

Modell, indem das Unterproblem mit einem spezialisierten Algorithmus der dyna-

mischen Programmierung gel¨

ost wird (vgl. [Hadjar und Soumis, 2005]). Außerdem

werden Beschleunigungstechniken pr¨

asentiert, die durch die Fixierung von Ser-

vicefahrten auf feste Abfahrtszeiten oder L¨

oschung von Verschiebem¨

oglichkeiten

zu einer Verringerung der kombinatorischen Komplexit¨

at f¨

uhren.

VSP-TW mit Fahrzeugtypgruppen Ferland und Michelon betrachten das VSP-

TW mit Fahrzeugtypgruppen und erweitern unterschiedliche Heuristiken und ex-

akte Verfahren f¨

ur das MVTG-VSP aus der Literatur um die Ber¨

ucksichtigung

von Zeitfenstern f¨

ur Servicefahrten (vgl. [Ferland und Michelon, 1988]). Sie zeigen

die Erweiterung f¨

ur die Heuristiken aus [Levin, 1971], [Orloff, 1976] und [Bodin

et al., 1983] sowie f¨

ur die exakten Ans¨

atze aus [Desrosiers et al., 1984] und [Des-

rosiers et al., 1985], f¨

uhren allerdings keine numerischen Tests zur Evaluierung

der unterschiedlichen Ans¨

atze durch.

Kliewer erweitert das Modell zur L¨

osung von MVTG-VSP um die Ber¨

ucksichti-

gung von Zeitfenstern (vgl. [Kliewer, 2005]). In das aggregierte Time-Space-

Netzwerk werden f¨

ur alle diskreten Auspr¨

agungen der jeweiligen Zeitfenster Du-

plikate der Fahrtkanten eingef¨

ugt (s. Abbildung 4.7). Die Kanten einer Fahrt

werden ¨

uber alle Zeitfensterauspr¨

agungen und alle Depots in die ¨

Uberdeckungs-

restriktionen integriert, um die einmalige Bedienung jeder Servicefahrt sicher-

4.5 Busumlaufplanung mit Routenrestriktionen

zustellen. Die Komplexit¨

at der durch die weiteren Kanten erzeugten Verbin-

dungsm¨

oglichkeiten wird zum einen durch die Aggregation des TSN und zum

anderen durch ein Verfahren zur Identifizierung und L¨

oschung redundanter Kan-

ten verringert. Zur L¨

osung von großen Problemen mit der Ber¨

ucksichtigung von

Zeitfenstern pr¨

asentieren die Autoren zwei Verfahren, um kritische Fahrten zu

identifizieren, die f¨

ur eine Einsparung von Fahrzeugen am vielversprechensten

sind. Unter ausschließlicher Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur die identifi-

zierten Fahrten kann das Problem heuristisch gel¨

ost werden. Die Identifikations-

verfahren basieren zum einen auf der Analyse einer Optimierung mit verk¨

urzten

Fahrten und zum anderen auf der Analyse der Fahrtenauslastung ¨

uber den Ta-

gesverlauf.

4.5 Busumlaufplanung mit Routenrestriktionen

Die L¨

osung von VSP unter Ber¨

ucksichtigung von weiteren Restriktionen auf ge-

samten Uml¨

aufen (VSP-RC) wird im Falle von verschiedenen praktischen Rah-

menbedingungen relevant. So werden die Anforderungen wie die Beschr¨

ankung

der Umlaufdauer, eine maximale Anzahl von Linienwechseln oder eine durch

Treibstoff beschr¨

ankte L¨

ange der Fahrtstrecke allgemein zu Routenrestriktionen

zusammengefasst. Die Ans¨

atze zur L¨

osung dieser allgemeinen oder einer speziellen

Problemstellung werden in diesem Abschnitt vorgestellt, wobei die Erweiterung

des Ein- und Mehrdepotproblems getrennt behandelt wird.

SD-VSP mit Routenrestriktionen Bodin et al. pr¨

asentieren eine Erweiterung

der in Abschnitt 4.2.4 vorgestellten Greedy-Heuristik um die Betrachtung belie-

biger Routenrestriktionen, indem bei der Zuweisung einer Fahrt zu einer Route

neben dem ¨

ubrigen Regelwerk auch die Verletzung einer Routenrestriktion ausge-

schlossen wird (vgl. [Bodin et al., 1983]). Dar¨

uber hinaus stellen die Autoren ein

mathematisches Modell zur L¨

osung des VSP-RCs auf, indem sie jede Fahrt als

einen Knoten definieren und f¨

ur m¨

ogliche Paare von kompatiblen Servicefahrten

(i, j ∈Tmit i α j) Kanten mit den operativen Fahrzeugkosten einf¨

ugen. Die

Einhaltung der Routenrestriktionen wird ¨

uber R¨

uckkanten sichergestellt. Diese

werden als entgegengesetzte Kanten (j, i) mit den Fixkosten f¨

ur die zus¨

atzliche

Verwendung eines weiteren Fahrzeugs eingef¨

ugt, wenn die Bedienung beider Fahr-

ten keine Routenrestriktion verletzt. Das mathematische Modell stellt die Flus-

serhaltung sowie die Bedienung jeder Fahrt sicher und enth¨

alt zus¨

atzliche Re-

striktionen, die gew¨

ahrleisten, dass jeder g¨

ultige Umlauf maximal eine R¨

uckkante

enth¨

alt. Diese Restriktionen sichern die Einhaltung der Routenrestriktionen.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

n+1Depot

Abbildung 4.8: Multilevel Modell f¨

ur das VSP-RC

In [Bodin et al., 1985] wird ein Verfahren beschrieben, in dem beliebige Routen-

restriktionen durch eine konstruktive Heuristik ber¨

ucksichtigt werden. Die Ser-

vicefahrten werden so in Gruppen aufgeteilt, dass jede m¨

ogliche Zusammenstel-

lung von Fahrten in einer Gruppe keine Routenrestriktion verletzt. Diese Fahr-

tengruppen werden jeweils als SD-VSP gel¨

ost. Anschließend wird durch die Zu-

sammenlegung mehrerer Uml¨

aufe versucht die L¨

osung unter Einhaltung der Rou-

tenrestriktionen zu verbessern.

Freling und Paixao pr¨

asentieren zwei Modellierungsans¨

atze f¨

ur das VSP-RC

(vgl. [Freling und Paixao, 1995]). Das erste Modell basiert auf einem speziellen

Graphen, der einen Depotknoten und daran angeschlossen einen Fahrtknoten f¨

jede Servicefahrt enth¨

alt. Diese Fahrtknoten repr¨

asentieren den Beginn eines Um-

laufs mit der jeweiligen Fahrt. Angeschlossen an den Fahrtknoten der Servicefahrt

iist jeweils ein Teilgraph mit allen Fahrten (und den entsprechenden kompatiblen

Kanten), die in einem mit ibeginnenden Umlauf enthalten sein k¨

onnen ohne eine

Routenrestriktion zu verletzen. Von jedem Knoten f¨

uhrt eine R¨

uckkante zum De-

potknoten zur¨

uck, so dass eine Route vom Depotknoten ¨

uber einen oder mehrere

Fahrtknoten zur¨

uck zum Depotknoten einen g¨

ultigen Umlauf darstellt. Ein Bei-

spiel f¨

ur einen solchen Graphen – auch Multilevel Modell genannt – mit |T|= 4

ist in Abbildung 4.8 dargestellt. In dem Beispiel ist ein Umlauf beginnend mit

Fahrt 1 m¨

oglich, der auch Fahrten 2 und 3 bedient. Durch eine Routenrestriktion

ist die zus¨

atzliche Bedienung von Fahrt 4 nicht m¨

oglich. Beginnend mit Fahrt 2

ist die Bedienung von Fahrt 4 allerdings m¨

oglich, da die Routenrestriktion nicht

verletzt ist.

4.5 Busumlaufplanung mit Routenrestriktionen

Vehicle Scheduling Problem

Models for the Single Depot Case

Models for the Multiple Depot Case

Practical Extensions

Multiple Vehicle Types (-MVT)

Time Windows (-TW)

Route Time Constraints (-RTC)

SDVSP-RTC

Multi commodity model

Idea

Independent network flows for all possible

vehicles

variables duplicated for all vehicles

vehicle estimation by heuristic

procedure

let W contain all (i,j) that violate time

restriction

Literature

Freling, Paixão (1993): Lagrangean and

LP-Relaxation and heuristic procedure

1n+1

min

k=1!

(i,j)∈A

cij xk

s.t.!

ij −!

ji =0∀i∈I;k=1,...,n

k=1!

ji =1∀i∈I

i∈I

n+1,i≤1∀k=1,...,n

j,n+1+xk

n+1,i≤1∀(i,j)∈W;k=1,...,n

ij ∈{0,1}∀(i,j)∈A;k=1,...,n

Bunte, Kliewer, Suhl Overview: Vehicle Scheduling Models

Abbildung 4.9: R¨

uckkanten Modell f¨

ur das VSP-RC

Der zweite Ansatz aus [Freling und Paixao, 1995] nimmt die Idee der R¨

uckkan-

ten auf und modelliert das VSP-RC als Netzwerk mit einem Depotknoten, zu dem

R¨

uckkanten von allen Fahrtknoten f¨

uhren. Im Gegensatz zum Multilevel Modell

muss die Ber¨

ucksichtigung der Routenrestriktionen explizit durch zus¨

atzliche Re-

striktionen in der mathematischen Formulierung sichergestellt werden. Der Graph

des Modells mit R¨

uckkanten ist f¨

ur das Beispiel aus Abbildung 4.8 in Abbildung

4.9 illustriert.

MD-VSP mit Routenrestriktionen In [Mingozzi et al., 1995] wird der An-

satz aus [Bianco et al., 1994] erweitert, indem die Routenrestriktionen innerhalb

des Set Paritioning Modells ber¨

ucksichtigt werden. Die Einschr¨

ankung der Rou-

tenm¨

oglichkeiten f¨

uhrt innerhalb der Column Generation Methode zur Anpas-

sung des Pricing Problems, in dem neue Variablen gesucht werden. Statt einen

k¨

urzesten Pfad zu suchen, muss ein Ressourcen-beschr¨

anktes K¨

urzeste Wege Pro-

blem (engl: ressource constrained shortest path problem) gel¨

ost werden, bei dem

jede Routenrestriktion ¨

uber eine Pfad-Ressource abgebildet wird.

Haghani und Banihashemi erweitern ihr in Abschnitt 4.2.2 vorgestelltes Modell

zur L¨

osung des MD-VSPs um Nebenbedingungen, die jeden m¨

oglichen Umlauf,

der eine Routenrestriktion verletzt, durch eine Restriktion explizit ausschließen

(vgl. [Haghani und Banihashemi, 2002]). Da dieses Modell nicht praktikabel zu

l¨

osen ist, l¨

osen sie das MD-VSP iterativ und f¨

ugen jeweils nur die verletzten Rou-

tenrestriktionen ein. Die Autoren stellen fest, dass der Gap zwischen optimalen

L¨

osungen des MD-VSPs und des VSP-RTCs sehr klein ist. Deshalb schlagen sie

eine Heuristik vor, bei der innerhalb des Verfahrens die bereits g¨

ultigen Uml¨

aufe

fixiert werden und aus ung¨

ultigen Uml¨

aufen der gr¨

oßtm¨

ogliche g¨

ultige Teil fi-

xiert wird. Eine alternative Heuristik l¨

ost statt der MIP-Formulierung die LP-

Relaxation des Modells und fixiert nicht fraktionale Variablen in der optimalen

LP-L¨

osung.

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

In [Haghani et al., 2003] wird f¨

ur das Modell eine Heuristik vorgeschlagen, die

jede Fahrt einem Depot zuweist und anschließend mehrere VSP-RC mit jeweils

einem Depot l¨

ost. Als Zuweisung der Fahrten zu Depots schlagen die Autoren

eine Entscheidung des Planers oder eine Bestimmung durch L¨

osen eines MD-

VSPs (ohne Routenrestriktionen) vor.

Kliewer et al. diskutieren die Beachtung von Routenrestriktionen f¨

ur die Mo-

dellierung des MVTG-VSPs mit einem aggregierten Time-Space-Netzwerk (vgl.

[Kliewer et al., 2004]). F¨

ur die Betrachtung der Routenbedingungen – in die-

sem Fall die Reduktion der Anzahl an Linienwechseln oder der Anzahl unter-

schiedlicher Linien pro Fahrzeugumlauf – als weiche Bedingung werden unter-

schiedliche Methoden zur Dekomposition der kostenoptimalen Flussl¨

osung vor-

gestellt. Neben regelbasierten Entscheidungsstrategien, die alle Netzwerkknoten

unabh¨

angig voneinander betrachteten, werden auch globale Dekompositionsal-

gorithmen pr¨

asentiert. Zum Beispiel kann durch die L¨

osung eines Set Partitio-

ning Problems zur Dekomposition des Flusses in die Uml¨

aufe die bestm¨

ogliche

Erf¨

ullung von Routenrestriktionen bei optimalen Kosten gefunden werden. Zur

weiteren Betrachtung der Anzahl der Linienwechsel pro Umlauf als Routenre-

striktion pr¨

asentieren die Autoren eine Modellerweiterung des aggregierten Time-

Space-Netzwerks. Durch das Einf¨

ugen von so genannten Linienkanten, die von

einer Ankunft einer Servicefahrt zu der n¨

achsten Fahrt der gleichen Linie f¨

uhren

und negative Kosten haben, wird die Verwendung von gleichen Linien innerhalb

eines Umlaufs belohnt. Dadurch kann die Linienheterogenit¨

at bei leichter Anhe-

bung der geplanten Kosten weiter reduziert werden.

In [Vanitchakornpong et al., 2008] wird eine lokale Suchmethode vorgestellt, die

auf einer Matrix mit den Dimensionen der Servicefahrten und der verf¨

ugbaren

Fahrzeuge basiert. In jeder Iteration des Verfahrens wird f¨

ur eine zuf¨

allig be-

stimmte Fahrt die m¨

ogliche Einordnung in die Uml¨

aufe anderer Fahrzeuge un-

tersucht und bewertet. Neben den fixen und operativen Kosten verwendet die

Methode eine Gewichtung unterschiedlicher harter und weicher Restriktionen zur

Berechnung der Kosten. Das Verfahren kann daher beliebig komplexe Nebenbe-

dingungen f¨

ur VSP ber¨

ucksichtigen (z.B. Routenrestriktionen).

4.6 Planungssysteme mit Komponenten zur

Busumlaufoptimierung

Die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Ver¨

offentlichungen haben einen

Fokus auf die Modellierung und L¨

osung von Busumlaufplanungsproblemen als

wissenschaftliche Fragestellung. Allerdings gibt es auch aus der Sichtweise des

4.6 Planungssysteme mit Komponenten zur Busumlaufoptimierung

praktischen Einsatzes von Optimierungsverfahren zur Busumlaufplanung eine

Reihe von Ver¨

offentlichungen. Diese lassen sich in der Regel einem konkreten

Entscheidungsunterst¨

utzungssystem zur Planung von Busuml¨

aufen zuordnen. Des-

halb sollen im Folgenden die wichtigsten Softwaresysteme zur Busumlaufplanung

vorgestellt werden. Eine Vielzahl der beschriebenen Systeme beinhaltet neben

der Komponente zur L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen auch weitere Modu-

le und Funktionen. Da es in dieser Arbeit um die L¨

osung von VSP geht, wird

allerdings ausschließlich auf die Umlaufplanungskomponenten der Systeme ein-

gegangen. Die Systeme werden in alphabetischer Reihenfolge pr¨

asentiert.

AUTOBUS / OPTIBUS Das System AUTOBUS ist ein graphisches System,

das durch einen hohen Grad an Interaktion zwischen Mensch und Maschine ver-

sucht, den Planer bei seinen Entscheidungen zu unterst¨

utzen. Die VSP-Kompo-

nente wird in [Ceder und Stern, 1985] beschrieben und verwendet das Deficit

Function Verfahren aus [Ceder und Stern, 1981]. Ende der 1980er Jahre ist aus

dem AUTOBUS-System ein erweitertes Planungssystem mit dem Namen OPTI-

BUS hervorgegangen. In [Ceder et al., 1990] wird die erweiterte Funktionalit¨

hinsichtlich der Erstellung von Fahr-, Umlauf- und Dienstpl¨

anen beschrieben.

Das Verfahren f¨

ur die Umlaufplanung bleibt methodisch unver¨

andert.

BERTA Das in [L¨

obel und Strubbe, 1995] vorgestellte Verfahren auf der Ba-

sis des Mehrg¨

uter Flussmodells wird als Optimierungsmodul f¨

ur VSP innerhalb

des Planungssytems BERTA der Berliner Verkehrsbetriebe (BVG) eingesetzt. Die

Autoren beschreiben dar¨

uber hinaus praxisrelevante Anforderungen und Zielset-

zungen, die von einem VSP-System gefordert werden.

DIVA Das ”Dialoggesteuerte Verkehrsmanagement- und Auskunftssystem (DI-

VA)“ umfasst die Unterst¨

utzung einer Vielzahl von Planungsentscheidungen f¨

Verkehrsbetriebe. Innerhalb der Komponente zur Planung der Busuml¨

aufe wird

das Mehrg¨

uter Flussmodell aus [L¨

obel, 1997] verwendet.

HASTUS Das Planungssystem HASTUS beinhaltet eine Umlaufoptimierung

mit automatisierter Planung von Fahrern (vgl. [Rousseau und Blais, 1985]). Das

System verwendete zur L¨

osung der VSP anfangs die in [Scott, 1985] beschriebene

Methode, die sp¨

ater durch den in [Blais und Rousseau, 1990] beschriebenen Set

Partitioning Ansatz des Moduls MINIBUS ersetzt wird. Die Erweiterung der ver-

wendeten Methoden durch die M¨

oglichkeit einer Betrachtung von Linienwechseln

pro Block, Linienb¨

undeln, Mehrdepotplanung und Zeitfenstern f¨

ur Fahrten wird

in [Hamer und Seguin, 1992] vorgestellt (vgl. auch [Hanisch, 1999]).

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

HOT Das System HOT wurde f¨

ur die Fahrzeugeinsatzplanung bei der Ham-

burger Hochbahn entwickelt (vgl. [Hoffstadt, 1981]). Der Nachfolger HOT II wird

in [Daduna und Mojsilovic, 1988] beschrieben und umfasst eine interaktive Heu-

ristik zur Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Servicefahrten (vgl. auch [Daduna

et al., 1993]).

INTERPLAN / MOBILE-PLAN Das in [Kliewer, 2005] vorgestellte Mehrg¨

uter

Flussmodell auf der Basis eines aggregierten Time-Space-Netzwerks wurde in die

operative Planungssoftware INTERPLAN der Firma PTV AG integriert. Anfang

2008 ist das Produkt von der INIT AG ¨

ubernommen worden und wird seitdem

innerhalb des Produkts MOBILE-PLAN weitergef¨

uhrt.

MICROBUS Das Softwaremodul MICROBUS (vgl. [Bertram und Winckler,

1990]) beinhaltet eine Optimierungskomponente auf der Basis des Mehrg¨

uter

Flussmodells aus [L¨

obel, 1997] und wird innerhalb des professionellen Planungs-

systems f¨

ur den ¨

offentlichen Personennahverkehr IVU.suite eingesetzt.

RUCUS Das vom US-amerikanischen Amt f¨

ur Verkehr beauftragte Planungs-

systems f¨

ur Umlauf- und Dienstplanung RUCUS f¨

uhrte laut [Bennington und

Rebibo, 1975] aufgrund fehlender Interaktivit¨

at und unverst¨

andlicher Sprache zu

wenig Akzeptanz innerhalb der Verkehrsunternehmen. Aus diesem Grund wurde

der Nachfolger RUCUS II entwickelt (vgl. [Luedtke, 1985]), der unter Verwen-

dung einer modellunabh¨

angigen Heuristik eine weite Verbreitung innerhalb der

USA erreichte.

UCOST In [Bodin et al., 1978] wird das Planungssystem UCOST beschrieben,

mit dem eine Linien- und Umlaufplanung sowie eine Absch¨

atzung der ben¨

otigten

Fahrer durchgef¨

uhrt werden kann. Die Autoren gehen vor allem auf die Hand-

habung unterschiedlicher Kosten ein. Als Optimierungsverfahren zur L¨

osung von

VSP wird die in [Bodin und Rosenfield, 1976] beschriebene Heuristik verwendet.

VAMPIRES / TASC / BUSMAN / BOOST Das in England entwickelte

System VAMPIRES verwendet laut [Smith und Wren, 1981] den L¨

osungsansatz

aus [Wren, 1972]. Das System kann unterschiedliche Fahrzeugtypen beachten und

schl¨

agt dem Benutzer im Falle ung¨

ultiger Verbindungen die Verschiebung von

Servicefahrten vor. In [Smith und Wren, 1981] wird das zun¨

achst unabh¨

angige

System TASC zur Planung von Fahr- und Umlaufpl¨

anen beschrieben. Da es f¨

den Planer sehr einfach zu bedienen ist, findet es eine erheblich bessere Akzep-

tanz, obwohl der Planungsalgorithmus eine – aus methodischer Sicht einfache –

4.7 Ver¨

offentlichungen mit ¨

Ubersichten und Klassifizierungen

Konstruktionsheuristik ist. Die beiden Systeme werden in dem Entscheidungsun-

terst¨

utzungssystem BUSMAN zusammengef¨

uhrt (vgl. [Williamson, 1985]). Die

Heuristik aus TASC wird als Analysewerkzeug zur Durchf¨

uhrung von Szenari-

en verwendet und der Algorithmus aus VAMPIRES wird zu MINI-VAMPIRES

umbenannt und in das Planungssystem integriert, so dass die Daten aus anderen

Planungsphasen direkt f¨

ur die Busumlaufoptimierung verf¨

ugbar sind. Das System

BUSMAN II beinhaltet Weiterentwicklungen, die allerdings nicht die Optimie-

rungsmethode betreffen (vgl. [Wren und Chamberlain, 1990] und [Chamberlain

und Wren, 1992]). In [Kwan und Rahin, 1999] wird die ¨

Uberf¨

uhrung des Systems

und der Algorithmen von der prozeduralen in die objektorientierte Program-

mierung dokumentiert und das resultierende System BOOST beschrieben (vgl.

auch [Wren und Kwan, 1999]).

Volvo Traffic Planning Package Der in [Bokinge und Hasselstr¨

om, 1980] vor-

gestellte Algorithmus zur L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen mit Zeitfenstern

f¨

ur Servicefahrten kommt innerhalb des Systems ”Volvo Traffic Planning Packa-

ge“ zum Einsatz.

4.7 Ver¨

offentlichungen mit ¨

Ubersichten und

Klassifizierungen

Mehrere Autoren haben in der Vergangenheit ¨

Ubersichten oder Klassifizierungen

von Umlaufplanungsthemen mit unterschiedlichen Schwerpunkten ver¨

offentlicht.

In [Magnanti, 1981] und [Desrosiers et al., 1995] werden Umlaufplanungspro-

bleme als ein Anwendungsfall von allgemeinen Problemen im Bereich Transport

betrachtet.

Wren gibt eine Zusammenfassung von Verfahren zur L¨

osung des Umlaufpla-

nungsproblems ohne bzw. mit einem Depot (vgl. [Wren, 1981]). Der Autor geht

vor allem auf den Stand der Technik hinsichtlich praktischer Erfahrungen ein.

Lenstra und Kan geben einen ¨

Uberblick ¨

uber NP-harte Problemstellungen

aus dem Bereich Transport und diskutieren das Laufzeitverhalten verschiedener

L¨

osungsans¨

atze (vgl. [Lenstra und Kan, 1981]).

In [Bodin und Golden, 1981] wird eine Taxonomie pr¨

asentiert, anhand derer

allgemeine Problemstellungen aus den Bereichen Routing, Scheduling sowie Rou-

ting and Scheduling kategorisiert werden k¨

onnen. Die Autoren betrachten das

Umlaufplanungsproblem als ein Beispiel f¨

ur ein Scheduling Problem. In [Bodin

et al., 1983] ist eine ausf¨

uhrliche Klassifikation von Routing, Scheduling sowie

4 Umlaufplanungsprobleme: Stand der Forschung

Routing and Scheduling Problemen gegeben. Es werden die zu damaliger Zeit

bekannten Modelle und L¨

osungsmethoden vorgestellt.

In [Carraresi und Gallo, 1984] werden verschiedene Modelle f¨

ur Umlauf- und

Dienstplanungsprobleme aufgezeigt. Die Autoren stellen die Formulierungen vor

und diskutieren Zusammenh¨

ange von Zuweisungs- und Matchingmodellen.

Daduna und Paixao geben eine ¨

Ubersicht ¨

uber typische Anforderungen, Re-

striktionen und Zielsetzungen von Umlaufplanungsproblemen (vgl. [Daduna und

Paixao, 1995]). Sie unterscheiden das MD-VSP und erweiterte Problemstellungen

und schildern Erfahrungen mit dem Einsatz von Planungssystemen.

In [Mesquita und Paixao, 1999] wird eine ¨

Ubersicht ¨

uber die verschiedenen

Formulierungen des MD-VSPs sowie die Qualit¨

at der jeweiligen LP-Relaxationen

gezeigt.

Wren gibt eine ausf¨

uhrliche ¨

Ubersicht ¨

uber die Fortschritte in den Bereichen

der Umlauf- und Dienstplanung (vgl. [Wren, 2003]). Er geht vor allem auf die

englischen Systeme und Anforderungen ein und schildert Erfahrungsberichte und

Einsch¨

atzungen von Anwendern.

In [Bunte und Kliewer, 2006] wird eine Literatur¨

ubersicht ¨

uber die Modellie-

rungsans¨

atze f¨

ur Umlaufplanungsprobleme pr¨

asentiert. Die Modelle werden an-

hand der unterschiedlichen formalen Problemstellungen klassifiziert und beschrie-

ben.

5 Handlungsbedarf und Zielsetzung

Wie in Kapitel 4 gezeigt wurde, kommt der Erforschung und dem Einsatz von

Optimierungsverfahren zur Unterst¨

utzung der Busumlaufplanung im ¨

OPNV be-

reits seit ¨

uber 40 Jahren eine große Bedeutung zu. Gerade durch die Arbeiten der

letzten Jahre konnten die Modelle und Methoden zur L¨

osung von VSP deutlich

verbessert werden. Trotz der Fortschritte in diesen Bereichen gestaltet sich der

Einsatz der Optimierungsverfahren in die Praxis h¨

aufig schwierig. Auf der Basis

der identifizierten Anforderungen an Umlaufplanungsmethoden (s. Kapitel 2) und

dem Stand der Technik (s. Kapitel 4) wird im Folgenden der Handlungsbedarf

abgeleitet und die Zielsetzung dieser Arbeit aufgestellt.

Handlungsbedarf

Die Erforschung von L¨

osungsans¨

atzen zur Optimierung von Umlaufplanungspro-

blemen richtet sich zu einem Großteil an der Problemstellung mit mehreren De-

pots (MD-VSP) aus, da dieses bereits eine schwere theoretische Komplexit¨

at hat

und daher f¨

ur die Validierung theoretisch motivierter Methoden ausreicht (s. Ab-

schnitt 4.2). Aus diesem Grund wird in einer Vielzahl von Ver¨

offentlichungen ma-

thematischer Optimierungsmethoden nur diese Problemstellung ber¨

ucksichtigt.

Die in der Praxis relevanten Erweiterungen, wie zum Beispiel die Betrachtung

von Fahrzeugtypgruppen, wird in diesen Ans¨

atzen nicht betrachtet (s. Abschnitt

2.3). Zudem werden die meisten L¨

osungsans¨

atze an Probleminstanzen validiert,

die k¨

unstlich generiert wurden oder deren Ursprung unbekannt ist. Dabei bleibt

unklar, ob qualitative Unterschiede zwischen realen und k¨

unstlichen Instanzen

existieren (s. Abschnitt 4.2.5). Es besteht daher der Handlungsbedarf der Aus-

richtung der Forschung auf reale Problemstellungen, um die Eignung von

Optimierungsmethoden f¨

ur den Einsatz in Verkehrsunternehmen sicherzustellen.

Das Umlaufplanungsproblem wird in der Literatur unter dem Anwendungsfall

der operativen Fahrzeugeinsatzplanung oder unabh¨

angig von dem Anwendungs-

fall als theoretische Problemstellung betrachtet. Im Rahmen des Planungspro-

zesses im ¨

OPNV existieren allerdings eine Reihe von weiteren Anwendungsf¨

allen

f¨

ur den Einsatz von Optimierungsmethoden der Umlaufplanung. Diese Anwen-

dungsf¨

alle k¨

onnen sowohl andere Planungsphasen (z.B. die strategische Planung)

5 Handlungsbedarf und Zielsetzung

als auch erweiterte Zielsetzungen in der operativen Planung betreffen (z.B. die in-

tegrierte Dienstplanung). Abh¨

angig von einem konkreten Anwendungsfall werden

andere Anforderungen an Optimierungsmethoden gestellt, wie zum Beispiel die

maximale Laufzeit oder die Ber¨

ucksichtigung zus¨

atzlicher Restriktionen (s. Ab-

schnitt 2.2). Um die Planung im ¨

OPNV durch Optimierungsmethoden bestm¨

oglich

zu unterst¨

utzen, bedarf es daher neben der Ber¨

ucksichtigung aller praxisrelevan-

ten Problemerweiterungen auch einer Ausrichtung auf die unterschiedlichen

Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung.

Exakte Optimierungsmethoden zur L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen wur-

den unter der Zielsetzung entwickelt, mit m¨

oglichst kurzer Laufzeit eine optimale

L¨

osung zu finden. Die Dauer einer Optimierung ist bei diesen Methoden aller-

dings nicht im voraus bekannt, so dass Planer eine nicht vorhersehbare Zeitspanne

auf Ergebnisse warten oder die Optimierung ohne Ergebnis abbrechen m¨

ussen.

F¨

ur einen effektiven Einsatz von Optimierungsmethoden in der Fahrzeugeinsatz-

planung besteht daher der Bedarf dieses Black-Box-Verhalten zu vermeiden

und den Planer durch die Ausgabe zus¨

atzlicher Informationen zur Laufzeit, wie

die erwartete numerische Komplexit¨

at oder vorl¨

aufige L¨

osungen, zu unterst¨

utzen.

Wie in einer Studie zum ”¨

OPNV-Markt der Zukunft“ gezeigt wird (vgl. [Lasch

et al., 2005]), kann aufgrund der aktuellen und in der Zukunft erwarteten Ent-

wicklungen im Bereich des ¨

OPNV mit einer zunehmenden Gr¨

oße der zu pla-

nenden Fahrpl¨

ane gerechnet werden, da aufgrund von erwarteten ¨

Ubernahmen

und Fusionen von Verkehrsunternehmen oder gemeinsamer Planung kooperie-

render Unternehmen gr¨

oßere Liniennetze geplant werden k¨

onnen (s. Kapitel 1).

Auf der anderen Seite k¨

onnen bereits heute einige große Probleminstanzen auch

durch die fortschrittlichsten L¨

osungsans¨

atze nicht optimal gel¨

ost werden. Vor

dem Hintergrund dieser Entwicklungen werden effiziente Optimierungsme-

thoden ben¨

otigt, die die L¨

osung realer Problemstellungen der Umlaufplanung

erm¨

oglichen.

Es besteht daher der Handlungsbedarf, einen L¨

osungsansatz zur Optimierung

von Umlaufplanungsproblemen zu entwickeln, der die Kombination aller auf-

gef¨

uhrten Anforderungen erf¨

ullt.

Ziele

Zur Erf¨

ullung des im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Handlungsbe-

darfs werden im Folgenden die Ziele dieser Arbeit aufgef¨

uhrt:

1. Um eine Ausrichtung der Forschung auf die L¨

osung realer Problemstellun-

gen zu erm¨

oglichen, ist ein Ziel dieser Arbeit die Analyse realer und

k¨

unstlich generierter Probleminstanzen hinsichtlich unterschiedlicher

Eigenschaften und die Kl¨

arung der Frage, ob qualitative Unterschiede in

der Beschaffenheit der Instanzen bestehen. Auf Basis der gefundenen Ei-

genschaften soll eine Einsch¨

atzung gegeben werden, welche Modellierung

f¨

ur die L¨

osung realer Probleminstanzen geeignet ist.

2. Um den aufgef¨

uhrten Handlungsbedarf f¨

ur den Einsatz von Optimierungs-

methoden zur Fahrzeugeinsatzplanung im ¨

OPNV erf¨

ullen zu k¨

onnen, soll im

Rahmen dieser Arbeit die Konzeption und Entwicklung von L¨

osungs-

methoden durchgef¨

uhrt werden, die innerhalb eines L¨

osungsframeworks

zusammengefasst werden. Die Methoden sollen die unterschiedlichen Kom-

binationen der praxisrelevanten Problemstellungen effizient l¨

osen

k¨

onnen.

3. Unter Verwendung dieses L¨

osungsframeworks sollen Strategien zur Be-

r¨

ucksichtigung der unterschiedlichen Anwendungsf¨

alle innerhalb des

Planungsprozesses des ¨

OPNV entwickelt werden. Diese Strategien sollen

durch die Kombination und Parametrisierung geeigneter Methoden oder

die Verwendung spezialisierter Methoden die Anforderungen aller Anwen-

dungsf¨

alle erf¨

ullen.

4. Die L¨

osungsstrategien sollen die Vermeidung eines Black-Box-Verhal-

tens bei dem Einsatz der Optimierungsmethoden sicherstellen. Dazu soll

eine Absch¨

atzung der erwarteten Optimierungslaufzeit m¨

oglich sein und

die Option bestehen, dass dem Planer bereits zur Laufzeit der Optimie-

rung sowie bei vorzeitigem Abbruch m¨

oglichst mehrere g¨

ultige L¨

osungen

bereitgestellt werden.

Umsetzung

Die Ausf¨

uhrungen zur Erreichung der genannten Ziele werden in drei Kapitel

aufgeteilt. In Kapitel 6 werden reale und k¨

unstlich generierte Instanzen beschrie-

ben und hinsichtlich ihrer Eigenschaften analysiert. Die Auswirkungen dieser Ei-

genschaften auf g¨

angige Modellierungsarten werden gezeigt und Kennzahlen zur

Messung der Eigenschaften entwickelt, so dass die Wahl einer Modellierung f¨

ur die

L¨

osung realer Probleme begr¨

undet werden kann. Zur Absch¨

atzung der zu erwar-

tenden L¨

osungszeit wird eine Kennzahl entwickelt und anhand der vorliegenden

realen Instanzen validiert.

In den folgenden Kapiteln 7 und 8 wird die Konzeption neuer Methoden zur

L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen mit Ausrichtung auf die Anwendungsf¨

alle

vorgestellt. Die Methoden werden die spezifischen Eigenschaften realer Instanzen

5 Handlungsbedarf und Zielsetzung

ausnutzen, um eine m¨

oglichst effiziente Optimierung zu erm¨

oglichen. Dar¨

uber

hinaus wird durch eine flexible M¨

oglichkeit der Parametrisierung seitens des Pla-

ners der Grad der Informationen zur Laufzeit bestimmbar sein. F¨

ur die L¨

osung

m¨

oglicher LP- und MIP-Unterprobleme wird auf den Einsatz von Standardop-

timierungssoftware zur¨

uckgegriffen, sofern kein alternatives L¨

osungsverfahren zu

einer signifikant besseren Laufzeit f¨

uhrt. Dadurch k¨

onnen der Argumentation

aus [Kliewer, 2005] folgend die fortschreitenden Entwicklungen der Standard-

optimierungssoftware zur nachhaltigen Effizienzsteigerung der in dieser Arbeit

entwickelten Methoden f¨

uhren. Die Verfahren werden anhand ausf¨

uhrlicher nu-

merischer Tests auf realen Probleminstanzen validiert und sofern m¨

oglich mit

alternativen Verfahren verglichen.

6 Probleminstanzen und

Eigenschaften

Nach der in Kapitel 4 vorgenommenen Vorstellung der Modellierungs- und L¨

sungsans¨

atze f¨

ur die unterschiedlichen Problemstellungen der Busumlaufplanung,

widmet sich das folgende Kapitel der Diskussion unterschiedlicher Probleminstan-

zen und ihrer Eigenschaften.

Wie in Tabellen 4.2 und 4.3 gezeigt wurde, verwenden die in der Literatur vor-

gestellten Ans¨

atze unterschiedliche Instanzen zur Validierung einer vorgestellten

Methode. Es werden reale und k¨

unstlich generierte Instanzen unterschieden. Bei

der Verwendung von realen Instanzen werden die Daten in der Regel im Rah-

men einer Kooperation mit einem Verkehrsunternehmen oder einem Anbieter f¨

Planungssoftware erhoben. Aufgrund von rechtlichen und/oder organisatorischen

Restriktionen werden diese Instanzen in der Regel nicht ver¨

offentlicht, so dass

eine standardisierte Menge realer Probleminstanzen nicht verf¨

ugbar ist. Dane-

ben existiert eine Reihe von Ver¨

offentlichungen, die ihren Ansatz anhand von

k¨

unstlich generierten Instanzen validieren. Das von Carpaneto et al. vorgestellte

Verfahren zur Generierung k¨

unstlicher Instanzen f¨

ur das MD-VSP wird in den

meisten dieser Arbeiten verwendet und gilt somit als Quasi-Standard f¨

ur die Be-

trachtung k¨

unstlich generierter VSP-Problemstellungen (vgl. [Carpaneto et al.,

1989]).

Da in den Ver¨

offentlichungen aus der Literatur die Eigenschaften der Instan-

zen und ihre Auswirkungen auf die Wahl eines geeigneten Modellierungs- und

L¨

osungsansatzes nicht oder nur wenig thematisiert sind, wird in diesem Kapitel

eine Analyse k¨

unstlicher und realer Instanzen durchgef¨

uhrt. Der Ursprung der im

Rahmen dieser Arbeit betrachteten Instanzen wird in Abschnitt 6.1 beschrieben.

Aufbauend auf der Analyse der Instanzen werden in Abschnitt 6.2 Kennzahlen

entwickelt, die neben offensichtlichen Eigenschaften der Instanzen (z.B. Fahrten-

anzahl) auch weitere Struktureigenschaften ber¨

ucksichtigen. Auf der Basis dieser

Kennzahlen werden die Eigenschaften der unterschiedlichen Modellierungsans¨

atze

aufgezeigt und eine Absch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

at und der damit

verbundenen Optimierungslaufzeit diskutiert.

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

6.1 Ursprung der Instanzen

Im Folgenden werden die Probleminstanzen vorgestellt, die im weiteren Verlauf

dieser Arbeit betrachtet werden. In Abschnitt 6.1.1 werden zuerst die realen In-

stanzen diskutiert, die aus bestehenden Ver¨

offentlichungen verf¨

ugbar sind oder

im Rahmen einer Kooperation mit einem Hersteller f¨

ur Planungssoftware erhoben

wurden. Anschließend wird in Abschnitt 6.1.2 der Algorithmus zur Generierung

von MD-VSP Instanzen vorgestellt. Beide Abschnitte enthalten zudem eine De-

finition einer f¨

ur die weitere Diskussion relevanten Instanzenmenge.

6.1.1 Reale Instanzen

In einer Vielzahl von Ver¨

offentlichungen zu L¨

osungsans¨

atzen f¨

ur VSP testen

die jeweiligen Autoren die Verfahren auf Probleminstanzen, die aus realen Da-

ten gewonnen wurden. Soweit dem Autor dieser Arbeit bekannt ist, sind diese

Instanzen bis auf eine Ausnahme nicht ¨

offentlich zug¨

anglich oder f¨

ur die For-

schung verf¨

ugbar. Aus diesem Grunde wurden im Rahmen dieser Arbeit ver-

schiedene Forschungseinrichtungen bzw. Forscher angefragt, um eine m¨

ogliche

Verf¨

ugbarkeit der Daten zu erfragen. Aufgrund von rechtlichen und/oder organi-

satorischen Gr¨

unden (z.B. sensible Kosten- und Planungsinformationen) konnten

die Instanzen allerdings nicht zur Verf¨

ugung gestellt bzw. f¨

ur eine Ver¨

offentlichung

verwendet werden.

Eine Ausnahme bildet die Ver¨

offentlichung von [Fischetti et al., 2001b], in der

die Autoren neben k¨

unstlich generierten Instanzen auch reale Instanzen eines

italienischen regionalen Verkehrsunternehmens f¨

ur numerische Tests verwendet

haben. Diese Instanzen wurden im Internet zur Verf¨

ugung gestellt (vgl. [Fischet-

ti et al., 2001a]). Die Instanzen enthalten Angaben zu den Fahrten sowie die

Kosten f¨

ur eine Verbindung von zwei Servicefahrten. Die Daten beinhalten aller-

dings keine zeitlichen Angaben der Service- oder Verbindungsfahrten. Da diese

Informationen eine Voraussetzung f¨

ur die in den folgenden Abschnitten betrach-

teten Modelle darstellen, werden die Instanzen im Verlauf dieser Arbeit nicht

weiter betrachtet.

Durch eine Kooperation mit einem Hersteller f¨

ur operative Planungssoftware

f¨

ur den ¨

OPNV stehen zur Validierung der, in dieser Arbeit vorgestellten, Konzep-

te reale Planungsdaten von mehreren großen deutschen St¨

adten zur Verf¨

ugung.

Die Daten wurden zum Teil bereits in [Kliewer, 2005] verwendet, allerdings ist

die Instanzenmenge um einige Problemstellungen erweitert worden. In Tabelle

6.1 sind die f¨

ur diese Arbeit verf¨

ugbaren realen Umlaufplanungsinstanzen mit

ihren charakteristischen Kennzahlen aufgef¨

uhrt. Die Instanzen sind aufsteigend

6.1 Ursprung der Instanzen

Name Alias1|S| |T|#Lin. #Dep. #Typ. #Gr. ∅DKap.

real 1 monheim 34 424 1 1 1 1 1,0 –

real 2 – 44 426 9 1 1 1 1,0 –

real 3 – 207 867 58 2 3 3 2,0 –

real 4 – 88 1296 38 1 3 3 1,3 –

real 5 mun28 70 1808 36 13 1 1 13,0 –

real 6 hal 21 2047 19 2 3 3 3,2 X

real 7 mun18 96 2394 47 12 1 1 12,0 –

real 8 mun14 44 2452 23 2 1 1 2,0 –

real 9 – 67 2633 17 3 1 1 3,0 –

real 10 mun15 73 2825 45 2 1 1 2,0 –

real 11 – 209 3067 64 1 5 5 1,0 –

real 12 – 351 9124 65 4 15 11 11,2 X

real 13 mun2 140 10710 74 3 12 6 7,1 X

real 14 – 156 10710 74 19 12 6 30,6 X

real 15 mun1-kap 161 11062 75 19 12 12 6,5 X

1Ggf. entsprechender Name aus [Kliewer, 2005]

Tabelle 6.1: Reale Probleminstanzen

nach der Anzahl der Servicefahrten sortiert. Die Spalte Alias gibt den in [Kliewer,

2005] verwendeten Namen der Instanz an, sofern sie in der Arbeit betrachtet wur-

de. Allerdings k¨

onnen sich die Kennzahlen und Komplexit¨

aten der Instanzen ab-

weichen, da f¨

ur die in dieser Arbeit untersuchten Instanzen eine nicht vollst¨

andig

gegebene Verbindungsmatrix nach der Dreiecksregel vervollst¨

andigt wurde. Da-

durch ist die Anzahl der m¨

oglichen Verbindungen zwischen Endhaltestellen im

Vergleich deutlich gestiegen (s. Tabelle 6.1). Die Spalten |S|und |T|geben die

Anzahl der Endhaltestellen und Servicefahrten an. Spalte #Lin. nennt die An-

zahl der im Fahrplan vorhandenen Linien. Spalten #Dep. und #Typ. geben die

Anzahl der betrachteten Depotstandorte und unterschiedlichen Fahrzeugtypen

an. In #Gr. wird die Anzahl der Fahrzeugtypgruppen genannt. Die Spalte ∅D

nennt die durchschnittliche Gruppengr¨

oße wie in Abschnitt 4.3 definiert. Spalte

Kap. gibt an, ob eine Instanz Daten f¨

ur Kapazit¨

aten enth¨

alt (X) oder beliebig

viele Fahrzeuge in jedem Depot verf¨

ugbar sind (−).

Da die realen Instanzen zum Teil unterschiedliche Fahrzeugtypen und Fahr-

zeugtypgruppen enthalten und somit zu der Problemkategorie der MVTG-VSPs

angeh¨

oren, lassen sie sich nicht, oder nur schlecht, mit den im folgenden Abschnitt

vorgestellten k¨

unstlich generierten Instanzen vergleichen, da diese der Problem-

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Name |S| |T|#Lin. #Dep. #Typ. #Gr. ∅DKap.

konv 1 34 424 1 1 1 1 1,0 –

konv 2 44 426 9 1 1 1 1,0 –

konv 3 207 867 58 2 1 1 2,0 –

konv 4 88 1296 38 1 1 1 1,0 –

konv 5 70 1808 36 13 1 1 13,0 –

konv 6 21 2047 19 2 1 1 2,0 X

konv 7 96 2394 47 12 1 1 12,0 –

konv 8 44 2452 23 2 1 1 2,0 –

konv 9 67 2633 17 3 1 1 3,0 –

konv 10 73 2825 45 2 1 1 2,0 –

konv 11 209 3067 64 1 1 1 1,0 –

konv 12 351 9124 65 4 1 1 4,0 X

konv 13 140 10710 74 3 1 1 3,0 X

konv 14 156 10710 74 19 1 1 19,0 X

konv 15 161 11062 75 19 1 1 19,0 X

Tabelle 6.2: Konvertierte Probleminstanzen

klasse der MD-VSPs angeh¨

oren. Um die beiden Instanzenmengen in der folgen-

den Diskussion miteinander vergleichen zu k¨

onnen, wurden die realen Instanzen

zu MD-VSP konvertiert. Dazu wurden zum einen die Fahrzeugtypen und Fahr-

zeugtypgruppen zu jeweils einem Typ und einer Gruppe zusammengefasst. Zum

anderen wurde eine Verwendung des Fahrzeugtyps aus jedem Depot erm¨

oglicht.

Im Vergleich zu den urspr¨

unglichen MVTG-VSP Instanzen treten bez¨

uglich der

Komplexit¨

atsver¨

anderung daher zwei Effekte auf:

1. Durch die Zusammenfassung der Fahrzeugtypen reduziert sich die Zahl der

Depot-Fahrzeugtyp-Kombinationen, wodurch die durchschnittliche Grup-

pengr¨

oße verringert und das Problem daher weniger komplex wird.

2. Durch das Entfernen der Fahrzeugtypgruppen kann jede Servicefahrt von

jedem Depot bedient werden. Je nach der Struktur der Fahrzeugtypgruppen

kann daher die durchschnittliche Gruppengr¨

oße und damit die kombinato-

rische Komplexit¨

at steigen.

Welcher Effekt bei der Konvertierung einer Instanz gr¨

oßer ist, ist daher von der

Struktur der Fahrzeugtypen und Fahrzeugtypgruppen abh¨

angig und von Instanz

zu Instanz unterschiedlich. Zum Beispiel ist die durchschnittliche Gruppengr¨

oße

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

von konv 14 kleiner als in der realen Instanz, aber von konv 15 gr¨

oßer. Die re-

sultierenden Instanzen sind analog zu Tabelle 6.1 in Tabelle 6.2 dargestellt.

Sowohl die realen wie auch die konvertierten Probleminstanzen sind mit einer

Spezifikation im Internet ver¨

offentlicht (vgl. [Kramkowski und Bunte, 2008]). Die

Namen, Entfernungsangaben und Kosten wurden dazu aus Datenschutzgr¨

unden

verf¨

alscht, so dass die Angaben keinen realistischen Werten entsprechen, aber das

Verh¨

altnis erhalten bleibt.

6.1.2 K¨

unstliche Instanzen

Die in der aktuellen Literatur verwendeten k¨

unstlich generierten Instanzen wer-

den zu einem Großteil mit Hilfe des in [Carpaneto et al., 1989] pr¨

asentierten

Verfahrens erstellt. Die Methode generiert Fahrpl¨

ane sowie weitere ben¨

otigte In-

formationen zur Definition von Umlaufplanungsproblemen mit mehreren Depots

(MD-VSP) und ist in Abschnitt 4.2.5 beschrieben.

F¨

ur die folgenden Diskussionen wurde der beschriebene Algorithmus zur Gene-

rierung von k¨

unstlichen MD-VSP Instanzen verwendet, um f¨

ur die in Abschnitt

6.1.1 beschriebenen realen Instanzen vergleichbare Probleme zu generieren. F¨

die Generierung wurden die gleichen Gr¨

oßen f¨

ur Fahrten- und Depotanzahl ver-

wendet. Um die Auswirkungen von zuf¨

alligen Extremwerten innerhalb der Gene-

rierung auszugleichen, wurden f¨

ur jede Originalinstanz 10 k¨

unstliche Instanzen

erzeugt. Alle Angaben zu den k¨

unstlich generierten Instanzen stellen daher Mit-

telwerte ¨

uber diese dar. Die Instanzen zu einer Originalinstanz real x werden im

Folgenden carp x bezeichnet.

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

Zur Modellierung des MD-VSP und MVTG-VSP existieren – wie in Kapitel 4

gezeigt wurde – unterschiedliche Ans¨

atze. In der Literatur werden die einfachen

Flussmodelle, die Mehrg¨

uter Flussmodelle und die Set Partitioning Modelle un-

terschieden. Auch die Ans¨

atze zur L¨

osung der erweiterten Problemstellungen

(z.B. VSP-TW und VSP-RC) basieren zu einem Großteil auf diesen Model-

len. Daher werden in diesem Abschnitt die Vor- und Nachteile der Modellie-

rungen hinsichtlich der in Abschnitt 6.1 beschriebenen Probleminstanzen disku-

tiert. Auf der Basis dieser Diskussion soll die Auswahl der in den weiteren Ka-

piteln verwendeten Modellierung motiviert werden. Dazu sollen Charakteristika

der unterschiedlichen Probleminstanzen analysiert werden, um neben der Aus-

wahl der Modellierung auch relevante Kennzahlen zum Beispiel zur Absch¨

atzung

der L¨

osungskomplexit¨

at einer Instanz zu entwickeln.

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

6.2.1 Qualit¨

at der LP-Relaxation

Die effizientesten Ans¨

atze zur L¨

osung von VSP haben gemeinsam, dass sie un-

abh¨

angig vom Modell eine LP-basierte L¨

osungsmethode verwenden. Das heisst,

dass durch initiale L¨

osung der LP-Relaxation eine untere Schranke sowie eine –

bis auf die Ganzzahligkeit der Variablen – g¨

ultige L¨

osung bestimmt wird und

anschließend mit einem Branch & Bound oder Branch & Cut Verfahren eine op-

timale L¨

osung gesucht wird. Daher ist die Qualit¨

at der LP-Relaxation – im Sinne

einer m¨

oglichst hohen unteren Schranke – von entscheidender Bedeutung f¨

ur einen

LP-basierten L¨

osungsansatz. Neben der Berechnung einer initialen LP-Relaxation

werden auch innerhalb des Branch & Bound Verfahrens LP-Relaxationen f¨

das ”Abschneiden“ von Teilen des Suchbaums berechnet (s. Abschnitt 3.1). Da,

wie sp¨

ater gezeigt wird, die L¨

osung der LP-Relaxation von realen Busumlauf-

planungsproblemen mit hohem Aufwand verbunden ist, kommt der Qualit¨

at der

Relaxation eine besondere Bedeutung zu, um einen hohen Aufwand f¨

ur die Be-

rechnungen vieler LP-Relaxationen innerhalb des Branch & Bound zu vermei-

den. Je gr¨

oßer die untere Schranke der LP-Relaxation ist, desto mehr Teilb¨

aume

k¨

onnen im B&B abgeschnitten werden.

[Mesquita und Paixao, 1999] betrachten die LP-Relaxationen der unterschied-

lichen Flussmodelle und beweisen, dass der Wert der LP-Relaxation des einfachen

Flussmodells mit Teiltour Eliminierung kleiner (oder gleich) der des Flussmo-

dells mit Zuweisungsvariablen ist. Dar¨

uber hinaus zeigen die Autoren, dass diese

wieder kleiner gleich der LP-Relaxation der Mehrg¨

uter Flussmodelle ist. Zwar

kann die Relaxation durch Hinzuf¨

ugen von g¨

ultigen Ungleichungen verbessert

werden, aber die große Anzahl von ben¨

otigten Restriktionen f¨

uhrt zu einer stei-

genden Komplexit¨

at. Diese ist mit einem zus¨

atzlichen Zeitaufwand zur L¨

osung

der LP-Relaxation verbunden, was dazu f¨

uhrt, dass Verfahren, die diesen Ansatz

verfolgen, gerade f¨

ur große Problemstellungen ineffizient werden. Dieses Verhal-

ten haben bereits die Autoren des zuletzt ver¨

offentlichten L¨

osungsansatzes auf

der Basis eines einfachen Flussmodels angemerkt: ”As expected, when several de-

pots are present the performance of the method deteriorates due to the very large

number of cuts that need to be generated.“ (vgl. [Fischetti et al., 1999]). Aufgrund

dieser Eigenschaft ist die Modellierung als einfaches Flussmodell nicht f¨

ur die

L¨

osung von großen realen Umlaufplanungsproblemen geeignet und wird f¨

ur die

weitere Betrachtung ausgeschlossen.

In [Ribeiro und Soumis, 1994] wird gezeigt, dass die LP-Relaxationen des

Mehrg¨

uter Flussmodells und des Set Partitioning Modells die gleiche untere

Schranke bestimmen. Daher kann anhand der Qualit¨

at der LP-Relaxationen keine

Aussage getroffen werden, welche Modellierungsart einen Vorteil f¨

ur die L¨

osung

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

Set Partitioning

Model

Mehrgüter

Matching /

Flussmodell

Flussmodell mit

Teiltour

Eliminierung

Flussmodell mit

Zuweisungs-

variablen

! ! =

Abbildung 6.1: Qualit¨

at der Schranken durch unterschiedliche LP-Relaxationen

von Busumlaufplanungsproblemen darstellt. Abbildung 6.1 stellt eine ¨

Ubersicht

uber die Qualit¨

aten der unterschiedlichen LP-Relaxationen dar.

6.2.2 Kennzahl zur Modellauswahl

Im Folgenden sollen das Mehrg¨

uter Flussmodell und das Set Partitioning Mo-

dell hinsichtlich ihres Verhaltens f¨

ur reale Problemstellungen untersucht werden.

Dazu wird das Verhalten der Modelle hinsichtlich der Anzahl der Modellvaria-

blen sowie der Modelldegeneration f¨

ur reale und k¨

unstliche Probleminstanzen

betrachtet. Die Komplexit¨

at eines mathematischen Modells ist abh¨

angig von der

Dimension der Problemmatrix. Im Allgemeinen ist, bei gleicher Problemstruk-

tur und gleicher Anzahl von Restriktionen, ein mathematisches Modell umso

schwieriger zu l¨

osen, je mehr Variablen es hat. Die L¨

osungsschwierigkeit zeigt sich

in einer erh¨

ohten L¨

osungszeit von LP-Verfahren. Daher wird im folgenden eine

Absch¨

atzung ¨

uber die Anzahl von Variablen je nach Modellierungsart aufgestellt.

In den folgenden Untersuchungen werden ohne Beschr¨

ankung der Allgemeinheit

MD-VSP als Problemstellungen betrachtet.

Variablenanzahl

Die Anzahl der ben¨

otigten Variablen ist abh¨

angig von der Struktur des Fahr-

plans (z.B. L¨

ange und zeitliche Verteilung der Servicefahrten), da die Anzahl

m¨

oglicher Umsetzfahrten von der Anzahl m¨

oglicher Anschl¨

usse abh¨

angig ist.

Um die Ausf¨

uhrungen zu verdeutlichen werden zwei Beispielfahrpl¨

ane betrach-

tet, die f¨

ur ein Depot und f¨

unf Servicefahrten eine jeweils deutliche Auspr¨

agung

der Struktur annehmen. Es soll angenommen werden, dass die Dauer einer Um-

setzfahrt die halbe Fahrtdauer betr¨

agt. Der in Tabelle 6.3 dargestellte Fahrplan

enth¨

alt Servicefahrten mit einer relativ langen Fahrtdauer (je 2 Stunden), die zwi-

schen zwei Haltestellen mit einer Taktung von einer Stunde geplant sind. Durch

die Fahrtdauer und der Dauer f¨

ur eine Umsetzfahrt ist es nicht m¨

oglich zwei

Servicefahrten innerhalb eines Umlaufs zu bedienen. Es gibt also keine m¨

ogliche

Umsatzfahrt und f¨

ur die Bedienung jeder Fahrt reicht die Verwendung eines Fahr-

zeugs aus. Der in Tabelle 6.4 dargestellte Fahrplan enth¨

alt die gleichen Abfahrts-

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Fahrt Abfahrtsort Ankunftsort Abfahrtszeit Ankunftszeit

1 1 2 07:45 09:45

2 2 1 08:15 10:15

3 1 2 08:45 10:45

4 2 1 09:15 11:15

5 1 2 09:45 11:45

Tabelle 6.3: Beispiel 1 f¨

ur einen Fahrplan

Fahrt Abfahrtsort Ankunftsort Abfahrtszeit Ankunftszeit

1 1 2 07:45 08:05

2 2 1 08:15 08:35

3 1 2 08:45 09:05

4 2 1 09:15 09:35

5 1 2 09:45 10:05

Tabelle 6.4: Beispiel 2 f¨

ur einen Fahrplan

zeiten f¨

ur die Fahrten wie in Beispiel 1. Jedoch betr¨

agt die Fahrtendauer nur

noch 20 Minuten, so dass mit einer Umsetzdauer von 10 Minuten ein Anschluss

zwischen allen Fahrten m¨

oglich ist. Es sind daher 10 Umsetzm¨

oglichkeiten (zwi-

schen allen Fahrtenpaaren) gegeben und alle Servicefahrten des Fahrplans k¨

onnen

durch ein Fahrzeug bedient werden. In Abbildung 6.2 sind die Unterschiede zwi-

schen den Beispielen als Gantt-Diagramm und Treppenfunktion der gleichzeitig

stattfindenden Fahrten graphisch veranschaulicht.

Die Anzahl der m¨

oglichen Umsetzfahrten ist also nicht anhand der Informa-

tion ¨

uber die Anzahl von Servicefahrten und der Endhaltestellen im Fahrplan

bestimmbar. Die Anzahl der in einer mathematischen Modellierung ben¨

otigten

Variablen Nkann daher auch nicht exakt bestimmt werden. Deshalb sollen im

Folgenden Absch¨

atzungen f¨

ur den Fall der mindestens ben¨

otigten (best case) und

maximal ben¨

otigten (worst case) Variablen gegeben werden.

Im SPP ist im Falle des best case, bei dem keine Verbindungsm¨

oglichkeiten zwi-

schen den Fahrten existieren, f¨

ur jede Fahrt und jedes Depot ein Umlauf m¨

oglich.

Unter der Annahme, dass keine Uml¨

aufe betrachtet werden, die von anderen

dominiert werden, gilt: |N|best =|D|·|T|. Bei der Absch¨

atzung des worst case

m¨

ussen alle Uml¨

aufe betrachtet werden, die bei der M¨

oglichkeit von allen Verbin-

dungen zwischen Fahrten m¨

oglich sind. F¨

ur die Bildung eines Umlaufs mit iabge-

deckten Fahrten gibt es |T|

iM¨

oglichkeiten. Da im Set Partitioning Modell Gleich-

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

10:009:008:00 11:00

10:009:008:00

Servicefahrten

10:009:008:00 11:00

Auslastung

10:009:008:00

Auslastung

Beispielfahrplan 1 Beispielfahrplan 2

Abbildung 6.2: Vergleich der Auslastung beispielhafter Fahrpl¨

ane

heitsbedingungen f¨

ur die Abdeckung der Fahrten verwendet werden, m¨

ussen alle

g¨

ultigen Uml¨

aufe gebildet werden. Diese sind f¨

ur jedes Depot zu bilden. Daher

betr¨

agt die Anzahl der Variablen im worst case:|N|worst =|D|·P|T|

i=1 |T|

i.

In der mathematischen Formulierung des (nicht aggregierten) Mehrg¨

uter Fluss-

modells entspricht jede Kante im verwendeten Netzwerkmodell einer Variable. Im

best case (ohne Anschlussm¨

oglichkeiten) existieren in jeder Netzwerkschicht eine

Kante f¨

ur jede Fahrt, zwei Kanten f¨

ur m¨

ogliche Depotfahrten und eine R¨

uckkante

(|N|best =|D| · (3 ·|T|+ 1)). Im Falle von Anschlussm¨

oglichkeiten zwischen al-

len Fahrten, werden zus¨

atzlich zu den oben angesprochenen Kanten nach jeder

Fahrt Verbindungskanten zu allen nachfolgenden Fahrten verwendet. Diese Kan-

ten werden in allen Schichten des Netzwerks eingef¨

ugt, so dass die Gesamtanzahl

der Kanten |N|worst =|D|·3·|T|+1+P|T|

i=1(|T|−i)betr¨

agt. Zusammenfas-

send betr¨

agt die Absch¨

atzung der Variablenanzahl der Modelle:

Set Partitioning Modell: |N|best =|D|·|T|(6.1)

|N|worst =|D|·



|T|

i=1 |T|

i

(6.2)

Mehrg¨

uter Flussmodell: |N|best =|D|·(3 ·|T|+ 1) (6.3)

|N|worst =|D|·

3·|T|+1+

|T|

i=1

(|T|−i)

(6.4)

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Mehrg¨

uter SPP

|T|=t|N| |N| |N| |N|

(Φ = 1) (Φ = t−1) (Φ = 1) (Φ = t−1)

1 4 4 1 1

2 7 8 2 3

3 10 13 3 7

4 13 19 4 15

5 16 26 5 31

6 19 34 6 63

7 22 43 7 127

8 25 53 8 255

9 28 64 9 511

10 31 76 10 1.023

15 46 151 15 32.767

20 61 251 20 1.048.575

Tabelle 6.5: Analyse der Anzahl der Modellvariablen f¨

ur ein Depot

F¨

ur die Einsch¨

atzung der Modellgr¨

oße wird die Kennzahl der Fahrplandichte Φ

definiert, die eine Kennzahl f¨

ur den Grad der strukturellen Komplexit¨

atsauspr¨

gung darstellen soll. Wie in den oben aufgestellten Beispielen erkennbar ist,

tritt der best case in dem Fall ein, dass alle Fahrten von einem Fahrzeug be-

dient werden k¨

onnen. Entsprechend ist der worst case bei einer ben¨

otigten Fahr-

zeuganzahl von |T|. Sei u∗(F) die optimale Anzahl der ben¨

otigten Fahrzeuge

zur Bedienung des Fahrplans F. Sei die Fahrplandichte Φ definiert als die An-

zahl der ben¨

otigten Fahrzeuge im Verh¨

altnis zu der Anzahl an Servicefahrten:

ΦF=u∗(F)

|T|∈[1

|T|; 1]. F¨

ur die oben vorgestellten Beispiele gilt daher: ΦBeispiel1= 1

und ΦBeispiel2= 0,2. Bei der Betrachtung der Variablenanzahl gilt f¨

ur beide Mo-

dellierungsarten, dass die Anzahl der Variablen durch eine gr¨

oßere Anzahl von

Verbindungsm¨

oglichkeiten bei gleicher Fahrtenanzahl ansteigt. Jedoch ist die Zu-

nahmerate im SPP erheblich gr¨

oßer im Vergleich zum Mehrg¨

uter Flussmodell. Die

Fahrplandichte gibt daher eine Tendenz an, wie viele Verbindungen innerhalb des

Fahrplans m¨

oglich sind. F¨

ur Φ = 1 ist die Variablenanzahl gleich der des best case

und f¨

ur kleinere Werte n¨

ahert sich die Anzahl der Variablen dem worst case an.

Da die Anzahl der Depots in alle Berechnungen als gleicher Faktor eingeht, ist

die Anzahl der Variablen beider Modelle in Tabelle 6.5 f¨

ur einen Fahrplan mit bis

zu 20 Servicefahrten und einem Depot dargestellt. Die Spalten enthalten jeweils

die Variablenanzahl im best case (Φ = 1) und worst case (Φ = t−1).

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

Durch den erheblich st¨

arkeren Anstieg der Variablenanzahl im SPP im Ver-

gleich zum Mehrg¨

uter Flussmodell kann an dieser Stelle festgehalten werden,

dass f¨

ur tendenziell niedrige Werte der Fahrplandichte die Mehrg¨

uter Flussmo-

dellierung besser zur L¨

osung von VSP geeignet ist.

Degeneration

Die zuvor definierte Fahrplandichte hat neben der Auswirkung auf die Anzahl von

Modellvariablen auch Einfluss auf den Grad der Degenration der LP-Relaxationen.

Eine Basisl¨

osung eines LP mit mRestriktionen besteht aus mVariablen. Wenn

eine Basis bzw. Basisl¨

osung Variablen enth¨

alt, deren Wert gleich null ist, so ist

die L¨

osung nicht eindeutig, da diese Basisvariablen durch beliebige andere Va-

riablen ersetzt werden k¨

onnen, ohne dass sich der Zielfunktionswert ¨

andert. Je

mehr Variablen in einer Basisl¨

osung gleich null sind, desto h¨

oher ist der Grad

dieser Degeneration. Je st¨

arker ein Modell degeneriert ist, desto schwieriger ist

es f¨

ur LP-Methoden wie der primalen oder dualen Simplexmethode dieses Mo-

dell zu l¨

osen, da ggf. viele Iterationen durchgef¨

uhrt werden m¨

ussen bis sich der

Zielfunktionswert ver¨

andert (vgl. [Chvatal, 1983]). Bei der Betrachtung des De-

generationgrades der Set Partitioning und Mehrg¨

uter Flussmodelle ist festzustel-

len, dass beide Formulierungen indirekt von der Fahrplandichte abh¨

angig sind.

Der Grad der Degeneration entspricht jeweils der Anzahl mder Restriktionen

abz¨

uglich der Anzahl der Variablen, die ungleich null sind.

Das SPP enth¨

alt eine ¨

Uberdeckungsrestriktion f¨

ur jede Servicefahrt sowie eine

Kapazit¨

atsrestriktion f¨

ur jedes Depot (m=|T|+|D|). In einer L¨

osung ist f¨

jeden gew¨

ahlten Umlauf eine Variable ungleich null. Somit ergibt sich der Grad

der Degeneration durch |T|+|D|−v∗Basisvariablen, die ungleich null sind. Je

gr¨

oßer die Fahrplandichte ist, desto mehr Uml¨

aufe befinden sich in einer optima-

len L¨

osung und desto geringer ist der Grad der Degeneration.

Das Mehrg¨

uter Flussmodell enth¨

alt Restriktionen zur Flusserhaltung f¨

ur je-

weils zwei Knoten pro Fahrt sowie zwei Depotknoten. Da jede Netzwerkschicht

diese Knoten enth¨

alt ergibt sich f¨

ur die Anzahl der Restriktionen m= (2 ·|T|+ 3)·

|D|. In einer L¨

osung werden pro bedienter Fahrt zwei Variablen aktiviert (die

Fahrtkante und eine hinf¨

uhrende Kante). Zus¨

atzlich wird jeder Umlauf mit einer

Einr¨

uckfahrt abgeschlossen und f¨

ur alle Depots die R¨

uckkante aktiviert1. Daher

betr¨

agt die Anzahl der in einer L¨

osung vorhandenen Variablen mit einem Wert

gr¨

oßer null: 2 ·|T|+v∗+|D|. Da die Anzahl der Restriktionen mit dem Faktor

|D|w¨

achst, die Anzahl der Basisvariablen ungleich null aber nur wenig steigt, ist

der Grad der Degeneration von Mehrg¨

uter Flussmodellen sowohl von der Anzahl

1falls nicht alle Depots verwendet werden, entsprechend weniger

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

der verwendeten Fahrzeuge, aber vor allem von der Anzahl der Depots abh¨

angig.

Zusammenfassend kann also festgestellt werden, dass die Fahrplandichte im

Falle des Mehrg¨

uter Flussmodells keinen prim¨

aren Einfluss auf den Grad der

Degeneration hat. Im SPP hat sie jedoch einen starken Einfluss auf den Grad der

Degeneration. Je kleiner die Fahrplandichte, desto st¨

arker ist die Degeneration

im SPP. [Oukil et al., 2007] zeigen, dass ein gr¨

oßerer Grad der Degeneration im

Set Partitioning Modell zu einer starken Erh¨

ohung der L¨

osungszeit f¨

uhrt.

Des Weiteren wirkt sich der durch den Wert der Fahrplandichte beschriebene

Strukturunterschied auf die Dichte der Koeffizientenmatrix aus. Da ein Umlauf

aus einer gr¨

oßeren Anzahl von Servicefahrten besteht, enth¨

alt eine Spalte des SPP

mehr Koeffizienten, die ungleich null sind. Diese h¨

ohere Dichte der Koeffizienten-

matrix f¨

uhrt zu einer weiteren Reduzierung der Performanz von Set Partitioning

Methoden: ”... set-partitioning solution approaches ... run into trouble when the

number of nonzero entries of each set partitioning column ... increases.“ (vgl. [Fi-

schetti et al., 1999]).

Modellwahl f¨

ur reale Probleminstanzen

Wie in Kapitel 4 dargestellt wurde, verwenden alle Ans¨

atze, die auf der Set

Partitioning Modellierung basieren, die k¨

unstlich generierten Probleminstanzen

nach [Carpaneto et al., 1989] zur Validierung der Ergebnisse. Auf der anderen

Seite kommt das Mehrg¨

uter Flussmodell zu einem Großteil bei der Verwendung

von realen Problemstellungen zur Anwendung (s. Tabellen 4.2 und 4.3). Die zuvor

aufgestellte Fahrplandichte kann durch die Analyse der realen und k¨

unstlichen

Probleminstanzen eine Begr¨

undung f¨

ur diese Beobachtung geben.

Abbildung 6.3 zeigt die Auspr¨

agung der Fahrplandichte Φ f¨

ur die realen, kon-

vertierten und k¨

unstlich generierten Probleminstanzen, die in Abschnitt 6.1 vor-

gestellt wurden. Die Sortierung folgt der Auflistung in den angegeben Tabel-

len. Zur Bestimmung der optimalen Fahrzeuganzahl der Instanzen wurde die

im n¨

achsten Kapitel vorgestellte Methode verwendet. F¨

ur die k¨

unstlich generier-

ten Instanzen 11-15 konnten keine optimalen Fahrzeuganzahlen, und damit kein

Wert f¨

ur Φ, bestimmt werden (s. Tabelle 6.6). Der Mittelwert f¨

ur die realen sowie

k¨

unstlich generierten Instanzen wird jeweils durch eine horizontale gestrichelte

Linie dargestellt. Im Mittel betr¨

agt die Fahrplandichte f¨

ur die realen Problemstel-

lungen 0,047, f¨

ur die konvertierten 0,046 und f¨

ur die k¨

unstlich generierten 0,208.

Das heisst, dass in den realen Problemstellungen durchschnittlich ca. 19 Fahr-

ten (Φ−1) von einem Umlauf bedient werden k¨

onnen. Dagegen sind die k¨

unstlich

generierten Fahrpl¨

ane so strukturiert, dass im Mittel lediglich weniger als f¨

unf

Fahrten pro Umlauf bedient werden k¨

onnen.

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Reale*Instanzen

Konvertierte*Instanzen

Künstlich*generierte*Instanzen

Abbildung 6.3: Strukturelle Unterschiede von realen, konvertierten und k¨

unstlich

generierten Instanzen

Die unterschiedlichen Strukturen der Instanzenklassen, die durch die Fahrp-

landichte ausgedr¨

uckt werden, f¨

uhren wie oben erl¨

autert wurde zu einer un-

terschiedlichen Komplexit¨

at. Dieser Unterschied liegt in der Anzahl der Varia-

blen der mathematischen Modelle und dem Grad der Degeneration. Um die-

se These zu validieren wurden f¨

ur die konvertierten realen Instanzen und die

k¨

unstlich generierten Instanzen numerische Tests durchgef¨

uhrt. Die Instanzen

wurden mit den identischen Problemgr¨

oßen generiert, so dass sie sich einzig in

der Struktur unterscheiden. F¨

ur die Tests wurde die aggregierte Time-Space-

Netzwerk-basierte Mehrg¨

uter Flussmodellierung nach [Kliewer, 2005] verwendet.

Zur L¨

osung der mathematischen Modelle wurde die Standardoptimierungssoftwa-

re ILOG CPLEX in der Version 11.0.1 verwendet. Da die Laufzeit des B&B oder

B&C Verfahrens ein wesentlicher Teil von der Fraktionalit¨

at der LP-L¨

osungen

sowie geeigneter Branching-Verfahren abh¨

angt und die Standardeinstellungen da-

her zu nicht aussagekr¨

aftigen Aussagen bez¨

uglich der Strukturkomplexit¨

at f¨

uhren

w¨

urden, wurden nur die initialen LP-Relaxationen der Instanzen gel¨

ost. Zur

L¨

osung wurde das Innere-Punkte-Verfahren von CPLEX verwendet. F¨

ur den Fall,

dass innerhalb von 10 Stunden keine optimale LP-L¨

osung gefunden werden konn-

te, wurde die optimale Fahrzeuganzahl mit Hilfe der im Rahmen dieser Arbeit

entwickelten und im n¨

achsten Abschnitt vorgestellten Heuristik berechnet. In

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Tabelle 6.6 sind die Ergebnisse f¨

ur die konvertierten und k¨

unstlichen Instanzen

gegeben.

Die Anzahl der Kanten (= Modellvariablen) sind f¨

ur die verbindungsbasierte

(|AV NB|) und aggregierte TSN-basierte (|AT SN |) Mehrg¨

uter Flussmodellierung

angegeben. Die ben¨

otigte Zeit zur L¨

osung der LP-Relaxation des TSN-basierten

Modells ist in Spalte tLP in Sekunden angegeben. Im Fall der Instanzen carp 14

und carp 15 konnte das Netzwerkmodell trotz einer speicher-effizienten Imple-

mentierung nicht in einem Computer mit 8 Gigabyte Arbeitsspeicher aufgebaut

werden, da die Gr¨

oße der Netzwerke basierend auf dem Verhalten der ¨

ubrigen

Instanzen um 100.000.000 Kanten enthalten w¨

urden und zur Speicherung einer

einzelnen Information f¨

ur jede Kante (double-Wert) bereits 762 Megabyte an

Speicher ben¨

otigt werden.

Die Ergebnisse zeigen, dass im VBN-basierten Mehrg¨

uter Flussmodell auch bei

deutlichen Unterschieden in der Fahrplandichte nur wenig mehr Kanten ben¨

otigt

werden. Im Falle einer SPP-Modellierung w¨

urde die Anzahl der Variablen dagegen

f¨

ur die konvertierten Instanzen um ein Vielfaches ansteigen (s. Tabelle 6.5).

Durch Aufbau des Mehrg¨

uter Flussmodells anhand eines aggregierten Time-

Space-Netzwerks werden erheblich weniger Kanten ben¨

otigt. Die Menge ist ab-

h¨

angig von der Anzahl der Servicefahrten sowie der Endhaltestellen (vgl. [Kliewer,

2005]). Die konvertierten (und realen) Instanzen enthalten im Vergleich zu den

k¨

unstlich generierten Instanzen weniger Endhaltestellen. Die Anzahl betr¨

agt f¨

die konvertierten Instanzen zwischen 1% und 24% der Fahrtenmenge (s. Tabelle

6.2) und f¨

ur die k¨

unstlich generierten laut Definition zwischen 33% und 50% (s.

Algorithmus 4.1). Daher kann die Modellgr¨

oße f¨

ur die konvertierten Instanzen

erheblich st¨

arker verringert werden. Die zur L¨

osung des LP ben¨

otigte Laufzeit

ver¨

andert sich f¨

ur ein Instanzenpaar ¨

uberproportional zur Kantenanzahl.

Die Ergebnisse zeigen bereits f¨

ur die Mehrg¨

uter Flussmodellierung, dass sich

die strukturellen Unterschiede der realen und k¨

unstlich generierten Instanzen in

einer deutlich gr¨

oßeren Variablenanzahl und l¨

angerer Laufzeit niederschlagen.

Diese Unterschiede w¨

urden sich, wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, in ei-

ner erheblich st¨

arkeren Form auf die Komplexit¨

at des Set Partitioning Modells

auswirken.

Da die Set Partitioning Modelle in der Literatur bereits auf den k¨

unstlich ge-

nerierten Instanzen keine klar dominierende Performanz aufweisen und die realen

Problemstellungen wie oben gezeigt eine deutlich h¨

ohere Komplexit¨

at bez¨

uglich

der Kantenanzahl vermuten lassen, ist das Mehrg¨

uter Flussmodell aus Sicht der

Effizienz f¨

ur die L¨

osung realer Problemstellungen vorzuziehen. Ein Vorteil der Set

Partitioning Modellierung liegt allerdings in der M¨

oglichkeit durch die umlauf-

basierte Variablendefinition Routenrestriktionen im Modell zu ber¨

ucksichtigen.

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

Instanz Φ |AV BN | |AT SN |tLP

konv 1 0,07 67.875 4.482 0

carp 1 0,23 70.346 15.213 1

konv 2 0,08 81.572 2.915 0

carp 2 0,24 70.535 14.270 1

konv 3 0,08 720.373 44.068 5

carp 3 0,22 583.626 117.106 16

konv 4 0,04 782.753 25.595 3

carp 4 0,21 648.846 121.931 11

konv 5 0,03 19.360.518 544.449 -1

carp 5 0,21 16.727.293 3.296.395 -1

konv 6 0,06 2.758.279 37.978 8

carp 6 0,20 3.282.519 633.831 239

konv 7 0,03 31.058.285 781.180 -1

carp 7 0,21 26.984.550 5.305.671 -1

konv 8 0,04 5.226.481 101.287 26

carp 8 0,21 4.687.068 913.999 389

konv 9 0,05 8.666.287 133.500 108

carp 9 0,20 8.108.261 1.544.143 1.209

konv 10 0,03 7.133.118 134.122 34

carp 10 0,20 5.160.404 1.083.042 541

konv 11 0,05 4.321.394 85.968 7

carp 11 0,20 3.654.884 678.143 145

konv 12 0,04 153.739.259 3.039.350 -1

carp 12 - 127.638.879 21.068.680 -

konv 13 0,03 162.583.722 1.431.591 -1

carp 13 - 132.290.980 23.442.512 -

konv 14 0,03 973.765.478 10.260.621 -1

carp 14 - Out of Mem Out of Mem -

konv 15 0,03 1.046.908.432 10.818.864 -1

carp 15 - Out of Mem Out of Mem -

1Optimale Fahrzeuganzahl mit Heuristik aus Kapitel 7 be-

rechnet

Tabelle 6.6: Verhaltensunterschiede von k¨

unstlichen und realen Instanzen

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Diese Restriktionen sind im Mehrg¨

uter Flussmodell zwar nicht exakt abbildbar,

k¨

onnen aber – wie h¨

aufig in der Praxis zu beobachten ist – als weiche Restriktio-

nen ber¨

ucksichtigt werden (vgl. [Kliewer et al., 2004]). Daher wird f¨

ur die weitere

Diskussion sowie f¨

ur die Modellierungsauswahl der in den folgenden Kapiteln

konzipierten Methoden die Mehrg¨

uter Flussmodellierung verwendet.

Allgemein kann anhand der vorgestellten Kennzahl der Fahrplandichte Φ eine

Abw¨

agung getroffen werden, ob f¨

ur Instanzen tendenziell ein Set Partitioning

Modell oder Mehrg¨

uter Flussmodell Modell vielversprechend ist.

Substitution von Φ

Zur Diskussion der unterschiedlichen Modelleigenschaften f¨

ur reale und k¨

unstlich

generierte Umlaufplanungsprobleme wurde im vorangegangenen Abschnitt die

Kennzahl der Fahrplandichte Φ verwendet. Diese wird aus der Anzahl von Ser-

vicefahrten im Fahrplan |T|sowie der optimalen Fahrzeuganzahl u∗gebildet.

F¨

ur die Einsch¨

atzung einer bisher nicht gel¨

osten oder ggf. nicht l¨

osbaren Pro-

bleminstanz kann die Fahrplandichte daher nicht berechnet werden. Aus diesem

Grund soll im folgenden Abschnitt diskutiert werden, wie die optimale Anzahl

von Fahrzeugen u∗anhand des Fahrplans abgesch¨

atzt und zur Berechnung von

Φ substituiert werden kann.

Zur Absch¨

atzung der minimal ben¨

otigten Fahrzeuganzahl kann eine untere

Schranke anhand des Auslastungsgraphen der Servicefahrten bestimmt werden.

Der Auslastungsgraph Ψ zeigt zu diskreten Zeitintervallen die Anzahl der zeit-

gleich stattfindenden Servicefahrten an. Die Zeitintervalle werden in der Gr¨

oße

der Planungsgenauigkeit gew¨

ahlt. Dies ist in der Regel eine minutengenaue Pla-

nung. Der Auslastungsgraph kann rekursiv definiert werden, indem zu Beginn

des Planungszeitraums keine Fahrten stattfinden: Ψ0= 0. Die Auslastung je-

des folgenden Zeitintervalls kann durch Aktualisierung des vorigen Zeitintervalls

berechnet werden, indem die zu diesem Zeitpunkt beginnenden Servicefahrten

addiert und die endenden Servicefahrten subtrahiert werden. Zum Zeitintervall t

betr¨

agt die Auslastung daher: Ψt= Ψt−1+{i∈T|ei=t}|−|{i∈T|fi=t}|. Eine

untere Schranke f¨

ur die minimal ben¨

otigte Fahrzeuganzahl stellt das Maximum

des Auslastungsgraphen Ψmax dar, da ein Fahrzeug keine zwei zeitgleichen Fahr-

ten bedienen kann. Abbildung 6.4 zeigt ein Beispiel f¨

ur einen Auslastungsgraphen

und das Maximum des Graphen.

Diese untere Schranke entspricht f¨

ur den Fall, dass keine Umsetzfahrten m¨

oglich

sind oder die Dauer aller m¨

oglichen Umsetzfahrten null ist, auch der optimalen

Fahrzeuganzahl. Mehr Fahrzeuge als das Maximum des Auslastungsgraphen an-

gibt werden ben¨

otigt, wenn zum Beispiel durch notwendige Umsetzfahrten nicht

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

0:00 0 0,03869784 0

0:01 0 0,07056411 0

0:02 0 0,62159625 0

0:03 0 0,70874313 0

0:04 0 0,27623321 0

0:05 0 0,93426751 0

0:06 0 0,96716711 0

0:07 0 0,76905951 0

0:08 0 0,22733926 0

0:09 0 0,63240528 0

0:10 0 0,46210825 0

0:11 0 0,13824065 0

0:12 0 0,53922597 0

0:13 0 0,99234342 0

0:14 0 0,4385538 0

0:15 0 0,31311155 0

0:16 0 0,91339058 0

0:17 0 0,90894725 0

0:18 0 0,75472739 0

0:19 0 0,85863914 0

0:20 0 0,69531864 0

0:21 0 0,0578545 0

0:22 0 0,12592888 0

0:23 0 0,65281503 0

0:24 0 0,77797988 0

0:25 0 0,56775274 0

0:26 0 0,72513007 0

0:27 0 0,20452227 0

0:28 0 0,52756296 0

0:29 0 0,57108094 0

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl Servicefahrten (!)

Uhrzeit

Abbildung 6.4: Auslastungsgraph eines Fahrplans mit Auslastungsspitze Ψmax

alle Fahrzeuge zum Zeitpunkt der maximalen Auslastung stattfindenden Service-

fahrten verf¨

ugbar sind. F¨

ur die Absch¨

atzung einer minimal ben¨

otigten Fahr-

zeuganzahl auf der Basis des Auslastungsgraphen spielt die Dauer f¨

ur Verbin-

dungsfahrten zwischen Haltestellen daher eine wichtige Rolle. Um die erwartete

Zeit f¨

ur eine Umsetzfahrt nach der Servicefahrt zu kalkulieren, kann die durch-

schnittliche Verbindungszeit zwischen allen Endhaltestellen betrachtet werden:

∅d=Pi∈SPj∈S

|S|2dij. Da in einem Fahrplan in der Regel nicht alle Endhal-

testellen gleich h¨

aufig bedient werden, kann dieser Durchschnitt zum Beispiel

durch eine wenig besuchte Endhaltestelle, die weit außerhalb liegt, verzerrt wer-

den. Statt einer gleichverteilten Gewichtung sollten die paarweisen Verbindungen

daher mit der H¨

aufigkeit einer Abfahrt oder Ankunft gewichtet werden. Die re-

sultierende gewichtete durchschnittliche Verbindungsdauer zwischen Haltestellen

∅dkann durch Verwendung der mittleren Gewichte f¨

ur Haltestellenpaare defi-

niert werden:

∅d=X

i∈SX

j∈S

γiγj

2|S|2dij mit γi=|{t∈T|gt=i}|+|{t∈T|ht=i}|

2|T|,∀i∈S

Als alternative Absch¨

atzung der minimalen Fahrzeuganzahl kann daher ein an-

gepasster Auslastungsgraph e

Ψ definiert werden, in dem jede Servicefahrt um die

gewichtete durchschnittliche Verbindungsdauer zwischen Haltestellen verl¨

angert

wird. Die Aktualisierungsfunktion der diskreten Zeitintervalle lautet:

Ψt=]

Ψt−1+{i∈T|ei=t}|−|{i∈T|(fi+f

∅d) = t}|

Reale Fahrpl¨

ane basieren h¨

aufig auf getakteten Linienfahrten, die ¨

uber den Tag

zwischen zwei Endhaltestellen pendeln. Diese Fahrten sind h¨

aufig bereits so ge-

plant, dass eine Bedienung beider Fahrten durch das gleiche Fahrzeug sinnvoll

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

0:00 0 0,90953157 0 0

0:01 0 0,37826752 0 0

0:02 0 0,38413842 0 0

0:03 0 0,89273296 0 0

0:04 0 0,54638453 0 0

0:05 0 0,20455651 0 0

0:06 0 0,77893563 0 0

0:07 0 0,66217712 0 0

0:08 0 0,57123787 0 0

0:09 0 0,91847062 0 0

0:10 0 0,76598523 0 0

0:11 0 0,0411688 0 0

0:12 0 0,60024744 0 0

0:13 0 0,35517763 0 0

0:14 0 0,89914751 0 0

0:15 0 0,90919332 0 0

0:16 0 0,95632714 0 0

0:17 0 0,7646712 0 0

0:18 0 0,38379527 0 0

0:19 0 0,43581764 0 0

0:20 0 0,92200062 0 0

0:21 0 0,33153869 0 0

0:22 0 0,95421056 0 0

0:23 0 0,82607837 0 0

0:24 0 0,65979263 0 0

0:25 0 0,026962 0 0

0:26 0 0,40066659 0 0

0:27 0 0,01537499 0 0

0:28 0 0,19988459 0 0

0:29 0 0,12054219 0 0

0:30 0 0,84977648 0 0

0:31 0 0,48417287 0 0

0:32 0 0,099449 0 0

0:33 0 0,76351626 0 0

0:34 0 0,85048646 0 0

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl Servicefahrten (!)

Uhrzeit

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

0:00

Anzahl Servicefahrten (!)

Uhrzeit

Abbildung 6.5: Unterschiede in Fahrplanstrukturen bei gleicher maximalen

Auslastung

und kostenoptimal ist. Die Annahme der mittleren gewichteten Verbindungs-

dauer kann daher auf realen Fahrpl¨

anen zu einer ¨

Ubersch¨

atzung der optimalen

Fahrzeuganzahl f¨

uhren.

Eine alternative Anpassung von Ψmax kann zu einer besseren Absch¨

atzung der

optimalen Fahrzeuganzahl f¨

uhren. Reale Fahrpl¨

ane zeigen vielfach erh¨

ohte Aus-

pr¨

agungen in den Stoßzeiten, zu denen der Berufs-, Schul- und Pendlerverkehr

stattfindet und vermehrt Unterst¨

utzungsfahrten erfolgen. Die St¨

arke der Aus-

pr¨

agung ist je nach Stadt und Tag unterschiedlich, aber kann einen wesentlichen

Einfluss auf die Anzahl der Fahrzeuge haben. Dieser strukturelle Unterschied kann

bei gleicher H¨

ohe der maximalen Auspr¨

agung von e

Ψ zu großen Unterschieden in

der Anzahl der ben¨

otigten Fahrzeuganzahl f¨

uhren. Abbildung 6.5 veranschaulicht

dieses Verhalten an zwei Beispielen.

Je mehr Servicefahrten zu einem Zeitpunkt kurz vor oder nach der maxima-

len Auspr¨

agung von Ψ stattfinden, desto gr¨

oßer ist die Wahrscheinlichkeit, dass

ein Fahrzeug nicht f¨

ur die Bedienung einer Fahrt im Maximum zur Verf¨

ugung

steht, da es eine Umsetzfahrt t¨

atigt. Fahrten, die zu einem Zeitpunkt stattfin-

den, an dem nur wenige Servicefahrten zeitgleich bedient werden m¨

ussen, bergen

daher ein geringeres Risiko. Um dieser Struktur Rechnung zu tragen, wird zur

100

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

‐30,00%

‐20,00%

‐10,00%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

Ψmax ^

Ψmax Ω(20) Ω( |T|

100)

Abbildung 6.6: Vergleich von Absch¨

atzungen der optimalen Fahrzeuganzahl

Absch¨

atzung der ben¨

otigten Fahrzeuge ein weiterer Wert einbezogen. Damit das

unterschiedliche Risiko der Servicefahrten – je nach Auspr¨

agung des Auslastungs-

graphen – beachtet wird, wird die Auspr¨

agung eines Zeitintervalls im Verh¨

altnis

zum Maximum quadratisch einbezogen. ¨

Uber alle Zeitintervalle des Planungszeit-

raums wird der relative Anteil der aktuell stattfindenen Fahrten zur maximalen

Auslastung berechnet und der Mittelwert aller quadratischen Anteile berechnet.

Dieser wird, skaliert mit dem Faktor ω, als zus¨

atzlicher Summand mit in die

Sch¨

atzung der optimalen Fahrzeuganzahl einbezogen. Resultierend soll Ω(ω) ei-

ne Absch¨

atzung f¨

ur u∗sein, die die Auspr¨

agung der Fahrten und die relative

Fahrtenverteilung mit in die Berechnung einbezieht:

Ω(ω)=Ψmax +ω

|Ψ|X

t∈Ψt

Ψmax 2

Die vorgeschlagenen Absch¨

atzung f¨

ur die optimale Fahrzeuganzahl k¨

onnen als

Absch¨

atzung der Fahrplandichte verwendet werden, indem sie durch die Anzahl

der Servicefahrten geteilt werden. Abbildung 6.6 zeigt die Abweichungen der un-

terschiedlichen Sch¨

atzwerte von der optimalen Fahrzeuganzahl u∗. Die Graphik

zeigt das erwartete Verhalten, dass Ψmax eine Untersch¨

atzung und ]

Ψmax eine

Ubersch¨

atzung der optimalen Fahrzeuganzahl und damit f¨

ur Φ ist. Mit Hilfe der

Funktion Ω(ω) stellt dagegen eine gute M¨

oglichkeit zur Absch¨

atzung dar. Durch

eine Analyse der Parametereinstellung f¨

ur ωhat sich f¨

ur die in dieser Arbeit be-

trachteten Instanzen ein stabiler Wert von 20 ergeben. Eine Beobachtung war,

dass bei der Parametereinstellung ω=|T|

100 eine sehr gute Absch¨

atzung m¨

oglich ist.

101

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Ein m¨

oglicher Grund k¨

onnte die tendentielle Untersch¨

atzung der Fahrzeuganzahl

bei vielen Servicefahrten sein, da durch eine gr¨

oßere Menge von Freiheitsgraden

bessere Verbindungen m¨

oglich sind.

6.2.3 Eigenschaften der Mehrg¨

uter Flussmodelle

Im vorhergehenden Abschnitt wurde gezeigt, dass die Mehrg¨

uter Flussmodellie-

rung f¨

ur die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten L¨

osungsverfahren gut geeignet

ist, da sie f¨

ur die L¨

osung von realen VSP im Vergleich zu alternativen Model-

len eine effiziente Modellierung darstellt. Innerhalb dieser Modellierung k¨

onnen

die verbindungsbasierte und aggregierte Time-Space-Netzwerk-basierte Model-

lierung unterschieden werden. In diesem Abschnitt werden die Unterschiede und

Eigenschaften der Modelle diskutiert, um die Ausrichtung der im Rahmen dieser

Arbeit entwickelten Methoden zu motivieren.

Qualitative Unterschiede

F¨

ur die folgende Diskussion werden die verbindungsbasierte Modellierung (VBN),

in der jede m¨

ogliche Verbindung zwischen zwei Fahrten explizit als eine Kante

(und damit eine Variable in der mathematischen Formulierung) modelliert wird,

und die in [Kliewer et al., 2006b] vorgestellte aggregierte Time-Space-Netzwerk-

basierte Modellierung (TSN) unterschieden. Letztere erreicht durch eine aggre-

gierte Betrachtung von Warte- und Umsetzfl¨

ussen innerhalb des Netzwerks f¨

reale Probleminstanzen eine Reduzierung der ben¨

otigten Kanten zwischen 97%

und 99% ohne dass optimale L¨

osungen des VSP verloren gehen (vgl. [Kliewer,

2005]). Dieser Effekt ist auch in Tabelle 6.6 erkennbar. Eine detailliertere Be-

schreibung der Modelle ist in Kapitel 4 gegeben.

Neben dem unterschiedlichen Aufbau des mathematischen Modells sollen vorab

einige qualitative Unterschiede zwischen VBN und TSN beschrieben werden. Die

Flussl¨

osungen der beiden Modelle unterscheiden sich dahingehend, dass im VBN

obere Flussschranken von 1 f¨

ur alle Kanten sind, da jede Verbindungsm¨

oglichkeit

explizit als Kante im Netzwerk modelliert ist. Durch diese eindeutige Festle-

gung der Anschl¨

usse von Servicefahrten ergibt sich daraus direkt der Aufbau der

Uml¨

aufe. Im TSN dagegen wird durch die Modellierung von Warte- und Umsetz-

aktionen keine direkte Verkn¨

upfung von Servicefahrten vorgenommen, sondern

eine Flussl¨

osung gebildet, die in der Regel mehrere Warte- und Umsetzaktio-

nen beinhaltet. Ein Umlaufplan wird durch Dekomposition dieser Flussl¨

osung

erstellt. Dabei kann durch unterschiedliche Strategien, wie die Fahrten verkn¨

upft

werden, eine Vielzahl von Umlaufpl¨

anen mit identischen Kosten gebildet wer-

102

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

den. Durch diesen zus¨

atzlichen Freiheitsgrad weist das TSN die Vorteile auf, zum

einen weitere weiche Restriktionen (z.B. Routenrestriktionen) in der Wahl der

Dekompositionsstrategie ber¨

ucksichtigen zu k¨

onnen und zum anderen mehrere

alternative Umlaufpl¨

ane zu einer L¨

osung anbieten zu k¨

onnen.

Durch die Aggregation von Umsetzm¨

oglichkeiten im TSN k¨

onnen allerdings

im Gegensatz zum VBN keine paarweisen Verbindungen explizit betrachtet wer-

den. So k¨

onnen zum Beispiel keine Kosten f¨

ur paarweise individuelle Fahrtenver-

kn¨

upfungen modelliert werden, die von der standardisierten Berechnung auf der

Basis von Verbindungsdauer und -l¨

ange abweichen. Eine hybride Modellierung,

die auf dem TSN aufbaut und f¨

ur individuelle Verbindungskosten explizite Kan-

ten einf¨

ugt, ist allgemein nicht m¨

oglich, da im TSN auch ¨

uber mehr als einen

Knoten (z.B. ¨

uber Umsetzfahrten) Verbindungen m¨

oglich sein k¨

onnen, so dass

die explizit modellierten Informationen umgangen werden k¨

onnen. Die Modellie-

rung expliziter Verbindungsinformationen wird allerdings von Planern im ¨

OPNV

in der Regel nicht gefordert.

Fraktionalit¨

at der linearen Relaxation

Bei der LP-basierten L¨

osung von VSP auf der Basis von Mehrg¨

uter Flussmodel-

len wird in einer ersten Phase (LP-Phase) die lineare Relaxation des mathemati-

schen Modells gel¨

ost. Anschließend werden die fraktionalen Variablen der L¨

osung

sukzessiv auf einen ganzzahligen Wert und die LP-Relaxation reoptimiert (IP-

Phase). Innerhalb dieses Branch&Bound Verfahrens kann der Suchraum durch

die Verbesserung von oberen und unteren Schranken eingegrenzt werden bis eine

ganzzahlige L¨

osung gefunden und die Optimalit¨

at bewiesen ist. Die Komplexit¨

von LP-basierten Branch&Bound Verfahren f¨

ur Optimierungsprobleme zeichnet

sich dadurch aus, dass die LP-Phase mit polynomieller Laufzeit gel¨

ost werden

kann und die IP-Phase einen exponentiellen Laufzeitaufwand erfordert. Die meis-

ten Ans¨

atze zur L¨

osung von Optimierungsproblemen konzentrieren methodische

Verbesserungen daher auf die IP-Phase, die in der Regel ein Vielfaches der Ge-

samtlaufzeit ausmacht.

Bei der L¨

osung von Mehrg¨

uter Flussmodellen f¨

ur reale VSP zeigt sich das

besondere Verhalten, dass die L¨

osung der LP-Relaxation nur wenige Entschei-

dungsvariablen aufweist, deren Werte nicht ganzzahlig sind. Dieses Verhalten

wurde in der Literatur bereits von mehreren Autoren beobachtet und scheint vor

allem bei der L¨

osung von realen Problemstellungen aufzutreten. [Forbes et al.,

1994] beschreiben als erste dieses Verhalten, das sie ”near-integrality proper-

ty“ nennen und im folgenden ”Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft“ genannt wird.

In [Hadjar et al., 2006] wird das Verhalten als besondere Eigenschaft deutscher

103

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

IP‐Anteil

LP‐Anteil

Abbildung 6.7: Vergleich der Laufzeiten f¨

ur LP- und IP-Phase

Probleminstanzen interpretiert. Allerdings beschreiben auch Ver¨

offentlichungen,

die nicht-deutsche reale Instanzen betrachten, wie zum Beispiel [Mesquita und

Paixao, 1999] dieses Verhalten. Durch die geringe Anzahl von fraktionellen Varia-

blen in der LP-L¨

osung, erfordert die IP-Phase in den Ver¨

offentlichungen h¨

aufig

nur geringen Aufwand. Auf der anderen Seite stellt die L¨

osung des LP von realen

VSP eine besondere Herausforderung dar, da aufgrund der großen Modelldimen-

sionen von vielen Hunderttausend bis Millionen Variablen und der schwierigen

Modellstruktur Standardverfahren zur L¨

osung von LP an ihre Grenzen stoßen.

Die L¨

osung von realen VSP mit Hilfe von LP-basierten Methoden zeigt daher ein

im Vergleich zu anderen Optimierungsproblemen umgekehrtes Verhalten.

Das Verh¨

altnis der Laufzeiten von LP- und IP-Phase bei der L¨

osung von realen

Probleminstanzen ist in Abbildung 6.7 dargestellt. In der Mehrzahl der Instanzen

uberwiegt der Anteil des Aufwands zur L¨

osung der initialen LP-Relaxation bei

weitem dem der IP-Phase.

Mit zunehmender Gr¨

oße der mathematischen Modelle steigt der Grad der De-

generation bei der Optimierung der LP-Relaxation. Je st¨

arker die Modelle dege-

neriert sind, desto schwieriger ist es f¨

ur Simplex-Verfahren ein Modell zu (re-)

optimieren, da f¨

ur viele Iterationen Basisl¨

osungen gefunden werden, die den glei-

chen Zielfunktionswert enthalten. Aus diesem Grund steigt auch der anteilige

Laufzeitaufwand der IP-Phase f¨

ur sehr große Modelle an, da trotz weniger frak-

tioneller Variablen die Reoptimierung der LP-Probleme im B&B sehr aufw¨

andig

104

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

ist.

Da der Fokus dieser Arbeit auf die Unterst¨

utzung von realen Anwendungsf¨

allen

der Umlaufplanung liegt und die in Abschnitt 6.1.1 vorgestellten sowie ande-

re reale Probleminstanzen die Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft aufweisen, ist die

im n¨

achsten Kapitel vorgestellte Methodik zur L¨

osung von VSP auf die effizi-

ente L¨

osung der LP-Relaxationen ausgerichtet. Sie steht daher im Gegensatz

zu den in der Literatur vorgestellten Methoden zur L¨

osung von k¨

unstlich gene-

rierten Instanzen, die auf die Beschleunigung der IP-Phase (zum Beispiel durch

Cuts oder Branching-Strategien) ausgerichtet sind. Dar¨

uber hinaus wird die Fast-

Ganzzahligkeitseigenschaft in der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Me-

thodik genutzt, um die Planungsanforderungen hinsichtlich der Ausgabe von

L¨

osungen zur Optimierungslaufzeit zu realisieren. Die Methodik setzt auf die

Mehrg¨

uter Flussmodellierung auf der Basis eines aggregierten Time-Space-Netz-

werks auf, da, wie gezeigt, die Modellkomplexit¨

at erheblich verringert werden

kann und die qualitativen Vorteile eine bessere Unterst¨

utzung f¨

ur den Planer

erm¨

oglichen. Bevor die Methodik im n¨

achsten Kapitel vorgestellt wird, soll ab-

schließend eine Diskussion der Komplexit¨

at von Probleminstanzen vorgenommen

werden.

6.2.4 Absch¨

atzung der Komplexit¨

Die Absch¨

atzung der Komplexit¨

at einer realen Umlaufplanungsinstanz ist f¨

ur die

Arbeit des Planers wichtig, damit er das Verhalten einer Optimierungskompo-

nente besser einsch¨

atzen kann und die Auswirkungen von ¨

Anderungen an Pla-

nungsinstanzen versteht. Dar¨

uber hinaus kann eine Absch¨

atzung f¨

ur die automa-

tische Konfiguration von Optimierungsmethoden verwendet werden. Aus diesen

Gr¨

unden soll im Folgenden eine Kennzahl entwickelt werden, die auf der Basis

der in dieser Arbeit vorliegenden Instanzen eine Tendenz f¨

ur den Laufzeitauf-

wand geben kann. Aufgrund der vielfachen Einflussgr¨

oßen bei der L¨

osung von

Optimierungsproblemen kann die Kennzahl keine Voraussage f¨

ur den Laufzeit-

aufwand leisten, sondern soll vielmehr auf der Basis von Problemanalyse und

Erfahrungswerten eine Richtlinie darstellen.

Da die Depots des VSP in der Mehrg¨

uter Flussmodellierung jeweils als ein Gut

modelliert werden, bilden die Netzwerkschichten f¨

ur jedes Depot voneinander

unabh¨

angige Optimierungsprobleme, die ausschließlich ¨

uber die ¨

Uberdeckungs-

restriktionen f¨

ur die Servicefahrten miteinander verbunden sind. Dieses kann als

unabh¨

angiger Bereich in der Entscheidungsmatrix dargestellt werden, der f¨

jeden Knoten in der Netzwerkschicht eine Zeile und f¨

ur jede Kante eine Spalte

enth¨

alt. Die unterschiedlichen Netzwerkschichten ¨

uberschneiden sich weder in den

105

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

|T|

|N|

|A|

Leere Teilmatrix

Koeffizienten der Flusserhaltungrestriktionen

Koeffizienten der Überdeckungsrestriktionen

Abbildung 6.8: Struktur der Entscheidungsmatrix des Mehrg¨

uter Flussmodells

Knoten noch in den Kanten, so dass die Gesamtmatrix eine diagonale Struktur

von kleineren Netzwerkmodellen aufweist (s. Abbildung 6.8). Jeder Bereich steht

dabei f¨

ur ein Depot und stellt alleine betrachtet ein SD-VSP dar. Zus¨

atzlich zu

den Knotenrestriktionen sind in jeder Schicht noch die oberen (und ggf. unteren)

Schranken f¨

ur jede Kante gegeben.

Die Verbindung der einzelnen Matrixbereiche wird ¨

uber die ¨

Uberdeckungs-

restriktionen f¨

ur die Sicherstellung der Bedienung aller Servicefahrten erstellt.

Diese enthalten f¨

ur jede Servicefahrt eine Zeile, die im Falle des MD-VSPs in ei-

ner Spalte jeder Schicht einen Eintrag enth¨

alt. Diese Spalte stellt die Fahrtkante

der Servicefahrt in der jeweiligen Schicht dar. Im Falle des MVTG-VSPs muss

eine Fahrt nicht f¨

ur jede Schicht einen Eintrag haben, sondern durch die Defini-

tion der Fahrzeugtypgruppen nur zu einer Untermenge aller Schichten. Im Falle

der Relaxation der ¨

Uberdeckungsrestriktionen zerf¨

allt das mathematische Modell

in die unabh¨

angigen Matrixbereiche der Schichten und kann daher als mehrere

kleine SD-VSPs gel¨

ost werden. Diese Eigenschaft wird in Abschnitt 7.2.2 f¨

die Berechnung unterer Schranken und in Abschnitt 7.3.3 zur Bestimmung von

l¨

osungsrelevanten Kanten verwendet.

Zur Absch¨

atzung der Komplexit¨

at und der zu erwartenden L¨

osungszeit des LP

kommen aufgrund der besonderen Modellstruktur mehrere Einflussfaktoren zum

tragen:

•Die Anzahl der Servicefahrten |T|stellt zum einen die entscheidende Ein-

106

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

flussgr¨

oße f¨

ur die Variablenanzahl innerhalb einer Netzwerkschicht dar, da

f¨

ur jede Fahrt eine Fahrtkante, Ein- und Ausr¨

uckfahrten und Verbindungs-

fahrten zu potentiellen Anschl¨

ussen modelliert werden. Dar¨

uber hinaus be-

stimmt die Fahrtenmenge die Anzahl der ¨

Uberdeckungsrestriktionen, die

das Modell erst NP-schwer machen.

•Die Anzahl der Kanten in einer Schicht wird mit der Anzahl der Depots

bzw. der durchschnittlichen Gruppengr¨

oße ∅Dvervielfacht, da f¨

ur jede

Depot/Fahrzeugtyp-Kombination ein Matrixbereich hinzukommt. Neben

dem Einfluss auf die Anzahl der Kanten wird durch ∅Ddie durchschnitt-

liche Dichte einer ¨

Uberdeckungsrestriktion definiert. Je gr¨

oßer die Anzahl

der M¨

oglichkeiten der Zuordnung einer Servicefahrt zu einer Schicht ist,

desto schwieriger ist das Modell zu l¨

osen.

•Neben der Anzahl der Servicefahrten und Depots beeinflusst die Fahrplan-

struktur die Gr¨

oße des mathematischen Modells. Je nach Konstellation der

Servicefahrten und der Entfernungsmatrix ist die Anzahl der m¨

oglichen

Verbindungen unterschiedlich. Da die Verbindungskanten auch in der TSN-

basierten Modellierung einen Großteil der Netzwerkkanten ausmachen, hat

dieser Faktor einen großen Einfluss auf die Variablenanzahl. Beispiele f¨

die Auswirkung unterschiedlicher Konstellationen sind in Tabellen 6.3 und

6.4 gegeben.

Um f¨

ur die Einsch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

at nicht das Netzwerk

aufbauen und die Anzahl der Verbindungen berechnen zu m¨

ussen, kann auf die

vorgestellte Kennzahl Φ zur¨

uckgegriffen werden (s. Abschnitt 6.2.2), da diese ¨

uber

die Einsch¨

atzung der ben¨

otigten Fahrzeuge gleichzeitig die Tendenz f¨

ur die An-

zahl der m¨

oglichen Verbindungen angibt. Je gr¨

oßer die optimale Fahrzeuganzahl

ist, desto weniger Fahrten k¨

onnen zur Bedienung innerhalb eines Umlaufs verbun-

den werden und desto geringer ist tendenziell die Anzahl der zu betrachtenden

Kanten.

Auf der Basis der, f¨

ur diese Arbeit gegebenen, Instanzen wurde der Einfluss

der unterschiedlichen Faktoren untersucht und anhand numerischer Tests unter-

schiedliche Konstellationen evaluiert. Anhand empirischer Untersuchungen konn-

te festgestellt werden, dass die im Folgenden vorgestellte Kennzahl Λ zur ten-

denziellen Einsch¨

atzung der erwarteten Laufzeit geeignet ist. Sie bildet auf der

Basis der in dieser Arbeit betrachteten Instanzen einen Vorschlag f¨

ur ein Kom-

plexit¨

atsmaß und erhebt keinen Anspruch auf allgemeine G¨

ultigkeit.

Die Kennzahl wird durch Multiplikation von Fahrtenmenge |T|, durchschnitt-

licher Gruppengr¨

oße ∅Dund umgekehrt proportionaler Fahrplanstruktur 1

Φbe-

107

6 Probleminstanzen und Eigenschaften

Instanz |T|∅DΦ Λ tLP

real 1 424 1,00 0,07 0 0

real 2 426 1,00 0,08 0 0

real 3 867 2,00 0,08 1 2

real 4 1296 1,30 0,04 2 0

real 5 1808 13,00 0,03 4.292 6.187

real 6 2047 3,21 0,06 21 17

real 7 2394 12,00 0,03 3.614 13.185

real 8 2452 2,00 0,04 12 3

real 9 2633 3,00 0,05 32 108

real 10 2825 2,00 0,03 21 13

real 11 3067 1,00 0,06 1 0

real 12 9124 11,18 0,04 8.615 -1

real 13 10710 5,00 0,03 1.212 6.808

real 14 10710 30,57 0,03 276.920 -1

real 15 11062 6,47 0,04 2.374 2.000

1Optimierung wurde nach 36.000 Sekunden Laufzeit ab-

gebrochen

Tabelle 6.7: Absch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

at realer Instanzen

rechnet. Der unterschiedlich starke Einfluss der Faktoren wird durch eine quadra-

tische Ber¨

ucksichtigung der Fahrplanstruktur und einem kubischen Einfluss von

der Gruppengr¨

oße ber¨

ucksichtigt. Um die Kennzahl so zu skalieren, dass sie einen

Richtwert f¨

ur die erwartete L¨

osungszeit auf einem aktuellem Computersystem an-

gibt, wurde der Wert mit dem Faktor 10−6angepasst. Diese Konstante sollte je

nach vorhandenen Ressourcen angepasst werden und stellt einen Richtwert dar.

Die resultierende Kennzahl f¨

ur die Einsch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

einer Instanz lautet daher:

Λ = |T|·∅D3

Φ2·106

In Tabelle 6.7 ist die Kennzahl in Verbindung mit den relevanten Faktoren

und der bei Optimierung der Modelle ben¨

otigten Laufzeit angegeben. Spalte tLP

gibt die Optimierungsdauer zur L¨

osung der lineraren Relaxation der Instanz in

Sekunden an. Zur L¨

osung wurde das jeweils schnellste LP-Verfahren der Standar-

doptimierungssoftware CPLEX 11.0.1 verwendet. Die Ergebnisse zeigen, dass wie

erwartet zwar keine Vorausbestimmung der Laufzeit m¨

oglich ist, aber eine Ten-

denz und Absch¨

atzung der Laufzeit m¨

oglich ist. Da die Einstellung der Einfluss-

108

6.2 Modelleigenschaften und Kennzahlen

faktoren vor allem auf Erfahrungen und Analysen unterschiedlicher Einstellungen

zur¨

uckgeht, sollte die Kennzahl m¨

oglichst anhand weiterer realer Probleminstan-

zen validiert werden.

Zusammenfassung

Die in den vorangegangenen Abschnitten gegebenen Ausf¨

uhrungen zeigen erst-

mals eine Analyse realer und k¨

unstlich generierter Instanzen von Umlaufpla-

nungsproblemen. Es werden Unterschiede in der Fahrplanstruktur dieser Instan-

zentypen aufgezeigt und anhand einer Kennzahl messbar gemacht. Mit dem Fo-

kus auf die L¨

osung realer Umlaufplanungsprobleme werden die unterschiedlichen

Modellierungsans¨

atze untersucht und Vorteile der Mehrg¨

uter Flussmodelle ge-

gen¨

uber alternativen Flussmodellen und dem Set Partitioning Modell gezeigt.

Unter den Mehrg¨

uter Flussmodellen eignet sich die Modellierung auf der Ba-

sis eines aggregierten Time-Space-Netzwerks nach [Kliewer, 2005] in besonderer

Weise, da die Anzahl der zu betrachtenden Variablen im mathematischen Modell

gegen¨

uber der klassischen Modellierung deutlich verringert wird.

Zur Einsch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

at von Instanzen wird erstmals

eine Kennzahl eingef¨

uhrt, die ¨

uber die Ber¨

ucksichtigung der Anzahl von Service-

fahrten und Depots hinaus geht und die Struktur des Fahrplans mit einbezieht.

Auf der Basis der aus den gezeigten Analysen gewonnen Erkenntnisse k¨

onnen

L¨

osungsmethoden konzipiert werden, die in besonderer Hinsicht die Eigenschaf-

ten der Probleminstanzen ber¨

ucksichtigen. Daher werden in den folgenden Ka-

piteln neue Methoden vorgestellt, die durch das Nutzen dieser Erkenntnisse eine

effiziente L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen erm¨

oglichen.

109

7 L¨

osungsmethodik f¨

Busumlaufplanungsprobleme

Die L¨

osung von Problemstellungen im Bereich der Busumlaufplanung (s. Ka-

pitel 2) wird seit vielen Jahren in Forschung und Planungssystemen betrachtet

(s. Kapitel 4). Trotz großer Fortschritte, die in den letzten Jahren im Bereich

der L¨

osung von VSP erreicht wurden, existieren reale Problemstellungen, die un-

ter Ber¨

ucksichtigung praxisrelevanter Anforderungen und Anwendungsf¨

alle nicht

gel¨

ost werden k¨

onnen (s. Abschnitt 5). Wie in Abschnitt 4.1 gezeigt wurde, stellt

die L¨

osung von VSP mit einem Depot und homogener Fahrzeugflotte (SD-VSP)

f¨

ur aktuelle Optimierungssysteme keine Schwierigkeit dar, da auch Instanzen mit

einer sehr großen Anzahl von Fahrten innerhalb von Sekunden oder wenigen Mi-

nuten optimal gel¨

ost werden k¨

onnen. Sobald weitere Freiheitsgrade – wie die

Ber¨

ucksichtigung von mehreren Depots, Fahrzeugtypen bzw. Fahrzeugtypgrup-

pen oder Zeitfenstern f¨

ur Fahrten – hinzukommen, k¨

onnen aktuelle Ans¨

atze zur

exakten L¨

osung von VSP f¨

ur große Probleminstanzen an ihre Grenzen stoßen.

Im Rahmen dieser Arbeit sind daher neue L¨

osungsverfahren entwickelt worden,

die VSP unter besonderer Ber¨

ucksichtigung der in Abschnitt 2.2 beschriebenen

praxisrelevanten Anwendungsf¨

alle l¨

osen k¨

onnen. Gleichzeitig sind die Verfahren

f¨

ur den jeweiligen Anwendungsfall so effizient, dass auch sehr große reale VSP

gel¨

ost werden k¨

onnen.

In diesem Kapitel wird eine neue Methodik zur L¨

osung von VSP mit mehreren

Depots (MD-VSP) und/oder Fahrzeugtypgruppen (MVTG-VSP) vorgestellt. Die

Methode ist aufgrund ihrer Flexibilit¨

at und Anpassbarkeit f¨

ur alle in Abschnitt

2.2 beschriebenen Anwendungsf¨

alle der Planung ohne Zeitfenster einsetzbar. Zur

einfacheren Darstellung ist f¨

ur den weiteren Verlauf dieses Kapitels unter dem

MD-VSP auch die Betrachtung des MVTG-VSP eingeschlossen, sofern die bei-

den Problemstellungen nicht explizit unterschieden werden. Methoden f¨

ur die

Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Fahrten werden in Kapitel 8 pr¨

asentiert.

Eine Anforderung der strategischen Planung und der taktischen Planung ohne

Zeitfenster ist es, die Gesamtkosten des erwarteten operativen Fahrzeugeinsat-

zes in kurzer Zeit absch¨

atzen zu k¨

onnen (s. Abschnitte 2.2.3 und 2.2.2). Die-

se Absch¨

atzung kann durch die Berechnung einer g¨

ultigen L¨

osung und einer

111

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

zul¨

assigen unteren Schranke get¨

atigt werden. Es gilt dabei eine Abw¨

agung zwi-

schen der Laufzeit der Methode und der L¨

osungsqualit¨

at zu beachten. Ein w¨

un-

schenswertes Ziel zur Planung innerhalb dieser Anwendungsf¨

alle ist eine Methode,

die

•eine g¨

ultige L¨

osung mit der optimalen Anzahl der ben¨

otigten Fahrzeuge

und g¨

unstigen operativen Kosten findet,

•eine enge untere Schranke berechnet und

•diese L¨

osungen innerhalb von Sekunden oder bei großen Probleminstanzen

wenigen Minuten berechnet.

Die in diesem Kapitel vorgestellte Methodik ber¨

ucksichtigt diese Zielsetzungen.

Dar¨

uber hinaus k¨

onnen die gewonnenen Erkenntnisse dieser Absch¨

atzung genutzt

werden, um f¨

ur die Anwendungsf¨

alle der operativen Planung ohne Zeitfenster und

der integrierten Planung gute oder optimale L¨

osungen zu finden (s. Abschnitte

2.2.1 und 2.2.4). Dazu schließt sich an eine kurze Initialisierungsphase, in der die

Absch¨

atzungen durchgef¨

uhrt werden, eine Verbesserungsphase an, in der neben

der schrittweisen Verbesserung der L¨

osung auch die weiteren Anforderungen wie

die Vermeidung eines Black-Box-Verhaltens ber¨

ucksichtigt werden. Im Laufe der

Verbesserungsphase k¨

onnen dem Planer g¨

ultige L¨

osungen sowie ggf. weitere In-

formationen gegeben werden. Dadurch kann die Methode so gesteuert werden,

dass im Laufe der zur Verf¨

ugung stehenden Optimierungszeit eine m¨

oglichst gu-

te L¨

osung gefunden werden kann. F¨

ur den Fall einer unbeschr¨

ankten Laufzeit

konvergiert die Methode gegen eine optimale L¨

osung. Abbildung 7.1 zeigt sche-

matisch die Phasen und das Vorgehen der Methodik.

Die einzelnen Bausteine der Methodik werden in diesem Kapitel vorgestellt. Da-

zu werden in den Abschnitten 7.1 und 7.2 zuerst die Verfahren beschrieben, die

innerhalb der Initialisierungsphase zum Einsatz kommen. In Abschnitt 7.1 wird

eine neue Heuristik vorgestellt, die unter Ber¨

ucksichtigung der weiteren Anfor-

derungen eine L¨

osung mit optimaler Anzahl an Fahrzeugen garantieren kann.

Abschnitt 7.2 zeigt Verfahren zur Absch¨

atzung einer unteren Schranke f¨

ur die

Problemstellung. In Abschnitt 7.3 ein Kantengenerierungsalgorithmus vorgestellt,

der auf der Basis der L¨

osungen aus der Initialisierungsphase eine schrittweise Ver-

besserung der g¨

ultigen L¨

osungen erm¨

oglicht.

Durch die Integration weiterer L¨

osungsmodule kann die Anpassbarkeit und die

Effizienz der Methode weiter verbessert werden. Diese Ans¨

atze werden in Ab-

schnitt 7.4 pr¨

asentiert. Zur Evaluierung der Methodik werden in Abschnitt 7.5

die Ergebnisse numerischer Tests f¨

ur die in Abschnitt 6.1 diskutierten realen Pro-

112

7.1 Heuristischer L¨

osungsansatz

Untere Schranke

Gültige Lösungen

Verbesserungsphase

Optimale Lösung

Zeit

Wert der

Zielfunktion Initiali-

sierungs-

phase

Abbildung 7.1: Vorgehen zur Ber¨

ucksichtigung der Anforderungen von Anwen-

dungsf¨

allen ohne Zeitfenster

bleminstanzen vorgestellt. Abschließend wird in Abschnitt 7.5.4 eine Evaluierung

der Methodik vorgenommen und die Erkenntnisse zusammengefasst.

7.1 Heuristischer L¨

osungsansatz

Zur Bestimmung einer g¨

ultigen L¨

osung f¨

ur das MD-VSP sind bereits eine Reihe

von Ans¨

atzen ver¨

offentlicht worden (s. Kapitel 4). In die Konzeption des im Fol-

genden vorgestellten heuristischen L¨

osungsansatzes k¨

onnen verschiedene Aspekte

bestehender Verfahren eingebracht werden, so dass der Ansatz eine Weiterent-

wicklung des Stands der Technik darstellt.

Die Heuristik baut auf der in [Kliewer, 2005] vorgestellten Fahrtketten-Heuristik

auf, in der mehrere vereinfachte Unterprobleme gel¨

ost werden, um anhand der

resultierenden Umlaufpl¨

ane gleiche Ketten von Servicefahrten zu identifizieren.

Diese Ketten werden bei der L¨

osung des Gesamtproblems in einer zweiten Pha-

se fixiert, so dass aufgrund der geringeren numerischen Komplexit¨

at in weniger

Zeit nahezu optimale L¨

osungen gefunden werden k¨

onnen (vgl. [Gintner et al.,

2005]). Dieses Verfahren wird hinsichtlich des Einsatzes zur schnellen Findung

einer g¨

ultigen L¨

osung angepasst und erweitert, so dass

•die Heuristik in m¨

oglichst kurzer Zeit eine g¨

ultige L¨

osung findet,

•die L¨

osung die optimale Anzahl der ben¨

otigten Fahrzeuge enth¨

alt und

•die Heuristik auf die L¨

osung von realen Probleminstanzen ausgelegt ist.

113

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Um die ben¨

otigte Laufzeit innerhalb der ersten Phase gering zu halten, wird

als Spezialfall der Fahrtketten-Heuristik nur ein Unterproblem gebildet, das bei

weitestgehend Reduktion der numerischen Komplexit¨

at die Bestimmung einer

optimalen Fahrzeuganzahl sicherstellen kann. Zur Bildung dieses Unterproblems

wird erstmals ein automatisiertes Vorgehen gezeigt. Die resultierenden Uml¨

aufe

werden jeweils als eine Fahrtkette fixiert, so dass in der zweiten Phase statt

der L¨

osung eines (NP-schweren) MD-VSPs der Spezialfall betrachtet wird, dass

jeder Umlauf genau einem Depot/Fahrzeugtypen zugewiesen werden muss. Das

Verfahren wird durch eine dritte Phase erweitert, in der f¨

ur jedes Depot die

Uml¨

aufe aufgebrochen werden und ein von den anderen Depots unabh¨

angiges

SD-VSP gel¨

ost wird. Hierdurch k¨

onnen die operativen Kosten unter Beibehaltung

der optimalen Fahrzeuganzahl weiter gesenkt werden.

Unabh¨

angig vom Einsatz dieser erweiterten Heuristik zur schnellen Bestim-

mung g¨

ultiger L¨

osungen, kann die Fahrtketten-Heuristik f¨

ur die Reduzierung

der numerischen Komplexit¨

at bei großen Problemstellungen erg¨

anzend eingesetzt

werden, weshalb diese Technik in Abschnitt 7.4 aufgenommen und in die in die-

sem Kapitel vorgestellte Methodik integriert ist.

Die drei Phasen des im Rahmen dieser Arbeit entwickelten heuristischen An-

satzes werden im Folgenden beschrieben.

Phase 1: Berechnung der optimalen Anzahl von Uml¨

aufen

In dieser Phase wird durch Ausnutzung der Komplexit¨

atsstruktur des MD-VSPs

ein vereinfachtes Problem betrachtet, das dennoch die Identifizierung der opti-

malen Umlaufanzahl sicherstellt. Wie in Abschnitt 6.2.3 dargestellt, ist die nu-

merische Komplexit¨

at des MD-VSPs stark von der Anzahl der Depots und Fahr-

zeugtypen abh¨

angig. Daher wird in der ersten Phase der gesamte Fahrplan mit

einer eingeschr¨

ankten Menge an Depots und Fahrzeugtypen betrachtet, deren

automatisierte Bildung im Folgenden gezeigt wird.

Substitution von Fahrzeugtypen Die Fahrzeugtypen k¨

onnen zu einem gewis-

sen Grad substituiert werden, ohne dass die optimale Fahrzeuganzahl ver¨

andert

wird. Die Substitution erfolgt in drei Schritten:

1. Alle Fahrzeugtypen, die eine identische Kostenstruktur (fixe - und operative

Kosten) haben und identischen Fahrzeugtypgruppen zugeteilt sind, k¨

onnen

zusammengefasst werden. Die Typen werden durch einen Fahrzeugtypen

mit gleichen Kosten und gleicher Fahrzeugtypgruppenzuordnung substitu-

iert. Je Depot entsprechen die Kapazit¨

aten f¨

ur den Fahrzeugtyp der Summe

114

7.1 Heuristischer L¨

osungsansatz

aller substituierten Typen. Durch diese Ver¨

anderung bleibt der optimale

Zielfunktionswert unver¨

andert.

2. Die Fahrzeugtypen mit gleicher Zuordnung zu Fahrzeugtypgruppen und un-

terschiedlichen Kosten k¨

onnen zusammengefasst werden, wenn alle Kosten-

werte eines Typs die Kosten der anderen Typen dominieren. Die Fahrzeug-

typen k¨

onnen analog zum ersten Fall durch das Summieren der Kapazit¨

aten

durch einen neuen substituiert werden, dessen Kostenstruktur des Typs mit

den geringsten Kosten entspricht. Durch dieses Ersetzen kann die optimale

L¨

osung der urspr¨

unglichen Problemstellung ver¨

andert werden, da aufgrund

der Kapazit¨

aten nicht alle Uml¨

aufe durch den g¨

unstigsten Typen abgedeckt

werden k¨

onnen. Durch ”gierige“ Verwendung der jeweils g¨

unstigsten Fahr-

zeugtypen kann nach einer Optimierung eine L¨

osung konstruiert werden

(Verwendung des g¨

unstigsten Typs f¨

ur m¨

oglichst viele Uml¨

aufe, danach

den zweitg¨

unstigsten Typen usw.).

3. Fahrzeugtypen, die identischen Fahrzeugtypgruppen zugeordnet sind, aber

unterschiedliche Kostenstrukturen haben, von denen keine die andere do-

miniert, k¨

onnen durch einen neuen Typen ersetzt werden. Diese Ersetzung

kann allerdings nicht mehr den Erhalt einer optimalen L¨

osung der Problem-

stellung garantieren. Die optimale Berechnung der ben¨

otigten Fahrzeugan-

zahl ist allerdings durch die gleiche Gruppenzuordnung der substituierten

Fahrzeugtypen sichergestellt.

In allen drei F¨

allen ist es zur Reduzierung von Fahrzeugtypen erforderlich, dass

die Typen eine gleiche Zuordnung zu Fahrzeugtypgruppen haben. Andernfalls

kann die Berechnung der optimalen Fahrzeuganzahl nicht gew¨

ahrleistet werden.

F¨

ur den Fall, dass ein Fahrzeugtyp aweniger Gruppen zugeordnet ist als Typ

b, k¨

onnen bei Ersetzung von bdurch adie Fahrten nicht abgedeckt werden, die

exklusiv von Typ bzu bedienen sind. Im anderen Fall, dass amehr Gruppen

zugeordnet ist als b, k¨

onnen Uml¨

aufe entstehen, die nur von aaber nicht von b

bedient werden k¨

onnen. Reicht die Kapazit¨

at von anicht aus, um alle ermittelten

Uml¨

aufe zu bedienen, w¨

are die L¨

osung ung¨

ultig.

Die m¨

oglichen Konstellationen zur Ersetzung von Fahrzeugtypen werden an-

hand des in Tabelle 7.1 gegebenen Beispiels veranschaulicht. Jede Zeile entspricht

der Definition eines Fahrzeugtyps mit den Werten f¨

ur die Berechnung der fixen

und operativen Kosten. Des Weiteren ist die Kapazit¨

at des Typs f¨

ur ein De-

pot angegeben. Es seien drei Fahrzeugtypgruppen A, B und Cgegeben. Jeder

Typ ist einer Untermenge dieser Fahrzeugtypgruppen zugeordnet. Anhand des

ersten Ersetzungsschritts k¨

onnen Typen aund bzusammengefasst werden. Die

115

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Fixe Kosten Operative Kosten

Typ je Fahrzeug je Km je Min Kapazit¨

at Gruppenzuordnung

a 5000 10 8 10 A, B

b 5000 10 8 5 A, B

c 6000 10 12 7 A, B

d 6000 8 5 8 A, B

e 5000 10 8 10 A, B, C

f 5000 10 8 10 A

Tabelle 7.1: Beispiel: Definition von Fahrzeugtypgruppen

Gesamtkapazit¨

at des ersetzenden Typs a0betr¨

agt 15. Im zweiten Schritt kann

auch Typ cdurch a0substituiert werden, da bei gleicher Gruppenzuordnung al-

le Kostenwerte von cdie Kostenwerte von a0dominieren. Der resultierende Typ

a00 hat eine Kapazit¨

at von 22. Der dritte Schritt ersetzt auch Typ daufgrund

der identischen Gruppenzuteilung durch a00. Da die Fahrzeugtypen eund feine

abweichende Gruppenzuordnung haben, k¨

onnen sie nicht weiter zusammenge-

fasst werden. Nach den drei Schritten der Aggregation sind von urspr¨

unglich 6

Fahrzeugtypen noch 3 zu betrachten. Dabei entspricht die optimale Anzahl an

Fahrzeugen der der Originalformulierung.

Substitution von Depots Neben der Reduzierung der zu betrachtenden Fahr-

zeugtypen in der ersten Phase der hier vorgestellten Heuristik wird auch die

Anzahl der Depots verringert. Unter der Annahme einer vollst¨

andig gegebenen

Verbindungsmatrix k¨

onnen alle Depots durch ein beliebiges Depot ersetzt werden

ohne die Optimalit¨

at der Fahrzeuganzahl zu verlieren. Dies gilt, da die Verbin-

dungszeiten zwischen den Haltestellen in den betrachteten Modellen unabh¨

angig

vom verwendeten Fahrzeugtyp sind und sich dadurch die G¨

ultigkeit einer Se-

quenz der von einem Fahrzeug bedienbaren Servicefahrten nicht von Depot zu

Depot unterscheidet. Lediglich die Ein- und Ausr¨

uckfahrten k¨

onnen eine un-

terschiedliche Dauer haben. Bei der Betrachtung eines Planungszeitraums von

einem Tag befinden sich die Fahrzeuge zu Beginn des Tages in den Depots. Da-

her m¨

ussten Fahrzeuge aus einem weiter entfernten Depot lediglich fr¨

uhzeitiger

mit der Ausr¨

uckfahrt beginnen bzw. kehren durch eine l¨

angere Einr¨

uckfahrt erst

sp¨

ater in das Depot zur¨

uck. Die Unterschiede w¨

urden sich nur auf die Anzahl der

ben¨

otigten Fahrzeuge auswirken, wenn ein Depot so weit von den Haltestellen

der Servicefahrten entfernt ist, dass sich die Planungen von zwei Fahrplantagen

uberschneiden. Dieser Fall tritt in den betrachteten Praxisproblemen allerdings

116

7.1 Heuristischer L¨

osungsansatz

nicht auf. Die operativen Kosten f¨

ur die Uml¨

aufe k¨

onnen sich neben unterschied-

lichen Ein- und Ausr¨

uckfahrten auch dadurch unterscheiden, dass in einem Fall

eine R¨

uckkehr in ein Depot zwischen zwei Servicefahrten f¨

ur eine Pause m¨

oglich

ist und f¨

ur ein anderes Depot aufgrund l¨

angerer Depotfahrten nicht m¨

oglich ist.

L¨

osung der reduzierten Problemstellung Durch die Reduzierung der zu be-

trachtenden Fahrzeugtypen und Depots kann ein VSP mit einem Depot und

wenigen Fahrzeugtypen aufgestellt werden, das die gleiche optimale Anzahl von

ben¨

otigten Fahrzeugen hat wie die urspr¨

ungliche Problemstellung. Die reduzier-

te Problemstellung wird unter Verwendung der TSN-basierten Modellierung als

Mehrg¨

uter Flussformulierung gel¨

ost. Aufgrund der reduzierten numerischen Kom-

plexit¨

at kann das Optimierungsmodell mit Optimierungsverfahren aus Standard-

bibliotheken in kurzer Zeit optimal gel¨

ost werden, obwohl es mit mehreren Fahr-

zeugtypen noch eine NP-schwere Komplexit¨

at haben kann (s. Abschnitt 7.5).

Phase 2: Bildung von g¨

ultigen Uml¨

aufen mit optimaler Fahrzeuganzahl

Nach der Optimierung der in Phase 1 aufgestellten Problemstellung k¨

onnen die

Uml¨

aufe aus der Flussl¨

osung dekomponiert werden und entsprechend der Fahrt-

ketten-Heuristik aus [Kliewer, 2005] fixiert werden. Wenn neben der Minimierung

der geplanten Kosten weitere Zielsetzungen oder weiche Restriktionen bestehen,

kann der Freiheitsgrad der Dekomposition genutzt werden, um bez¨

uglich der wei-

teren Anforderungen g¨

unstige Fahrtensequenzen zu generieren.

Die L¨

osung des MD-VSPs bei fixierten Fahrtketten ist in diesem Fall einfach,

da durch die Fixierung der Uml¨

aufe bei optimaler Fahrzeuganzahl nur noch eine

Zuweisung jedes Umlaufs auf ein Depot durchgef¨

uhrt werden muss. Vereinfacht

kann diese zweite Phase daher als Problem der Zuweisung der gebildeten Uml¨

aufe

Γ zu den Depots Ddargestellt werden, wobei die Entscheidungsvariablen xij nur

f¨

ur g¨

ultige Zuweisungen (z.B. beschr¨

ankt durch Fahrzeugtypgruppen) definiert

sind (s. Abbildung 7.2).

min X

i∈ΓX

j∈D

cijxij (7.1)

s.t. X

j∈D

xij = 1 ∀i∈Γ (7.2)

i∈Γ

xij ≤wj∀j∈D(7.3)

xij ∈ {0,1} ∀ (i, j)∈A(7.4)

117

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Fahrten-

sequenz 1

Fahrten-

sequenz 2

Fahrten-

sequenz 3

Fahrten-

sequenz 4

Fahrzeug-

typ 1

Fahrzeug-

typ 2

Fahrzeug-

typ 3

Fahrzeug-

typ 1

Fahrzeug-

typ 2

Fahrzeug-

typ 3

Standort 1

Standort 2

Objekt

11 0

LB UB

Abbildung 7.2: Beispiel: M¨

oglichkeiten der Zuweisung von Uml¨

aufen zu Depots

und Fahrzeugtypen

118

7.2 Bestimmung unterer Schranken

Phase 3: Bildung von Uml¨

aufen mit geringen operativen Kosten

Obwohl die in Phase 2 gefundene L¨

osung bereits eine g¨

ultige und bez¨

uglich der

Fahrzeuganzahl optimale L¨

osung darstellt, k¨

onnen die operativen Kosten der

Uml¨

aufe durch einen weiteren Schritt verbessert werden. Diese Erweiterung der

Fahrtketten-Heuristik aus [Kliewer, 2005] kann einige Potentiale der in der ers-

ten Phase stark eingeschr¨

ankten Freiheitsgrade zur Kostensenkung nutzen. Diese

Phase ist daher insbesondere bei dem in diesem Abschnitt gezeigten automati-

sierten Bildung eines Problems mit geringer numerischer Komplexit¨

at sinnvoll.

Alle Depots, denen in Phase 2 mehr als ein Umlauf zugewiesen wurde, k¨

onnen

Optimierungspotentiale aufweisen, da die zugewiesenen Fahrtensequenzen auf der

Basis einer nicht optimalen L¨

osung des MD-VSPs in Phase 1 gebildet wurden.

Um innerhalb eines Depots g¨

unstigere Uml¨

aufe zu finden, kann aus den durch

die Uml¨

aufe bedienten Servicefahrten ein neuer Fahrplan gebildet werden. Dieser

Fahrplan kann f¨

ur jedes Depot als SD-VSP gel¨

ost werden, um innerhalb eines

Depots optimale Uml¨

aufe zu erhalten. Da die Optimierung f¨

ur jedes Depot un-

abh¨

angig durchgef¨

uhrt werden kann, werden in der dritten Phase mehrere einfa-

che Optimierungsprobleme gel¨

ost. Die resultierende L¨

osung ist gleich oder besser

der L¨

osung aus Phase 2. Sie stellt f¨

ur das MD-VSP allerdings noch eine heuris-

tische L¨

osung dar, da durch die Zuweisung der Fahrten auf Depots die Freiheits-

grade in Phase 3 verringert werden.

7.2 Bestimmung unterer Schranken

Im Falle von Anwendungen, in denen eine Vielzahl von Umlaufplanungsproble-

men gel¨

ost werden m¨

ussen (wie zum Beispiel bei der Auswertung unterschiedli-

cher Szenarien oder der L¨

osung von VSP als Unterproblem), ist es erforderlich

zus¨

atzlich zu einer g¨

ultigen L¨

osung eine untere Schranke f¨

ur die Kosten des Pro-

blems berechnen zu k¨

onnen. Nachdem im vorangegangen Abschnitt ein Verfahren

f¨

ur die schnelle Berechnung einer guten g¨

ultigen L¨

osung vorgestellt wurde, wer-

den in diesem Abschnitt verschiedene Methoden zur Generierung einer unteren

Schranke diskutiert.

Wie in Abschnitt 6.2.3 erl¨

autert wurde, haben reale Planungsinstanzen des

MD-VSP die besondere Eigenschaft, dass eine L¨

osung der linearen Relaxation

nur sehr wenige oder keine Variablen mit fraktionellen L¨

osungswerten enth¨

alt.

Dar¨

uber hinaus weicht der optimale Zielfunktionswert f¨

ur das MD-VSP in der

Regel nicht stark vom LP-Optimum ab. Die LP-Relaxation bietet sich daher

als gute untere Schranke an. Allerdings ist eine Optimierung der LP-Relaxation

bereits so schwierig, dass die Berechnung einen großen Laufzeitaufwand erfor-

119

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

dert. Die folgenden Ans¨

atze zur Bestimmung von unteren Schranken verfolgen

daher die Strategie die LP-Relaxation zu vereinfachen, um die ben¨

otigte Opti-

mierungszeit zu verk¨

urzen und gleichzeitig eine m¨

oglichst nahe am optimalen

LP-Zielfunktionswert liegende Schranke zu erhalten. In dem in Abschnitt 7.2.1

pr¨

asentierten Ansatz wird die Anzahl der Variablen im Modell verringert, indem

die Kostenwerte so angepasst werden, dass bei Erhaltung einer g¨

ultigen unteren

Schranke mehrere Variablen aggregiert werden k¨

onnen. Die zweite Strategie ver-

folgt die Relaxation von Restriktionen, die das Modell schwierig zu l¨

osen machen.

Dazu werden in Abschnitt 7.2.2 geeignete Reformulierungen f¨

ur das mathemati-

sche Modell pr¨

asentiert und die L¨

osung der abgeleiteten Optimierungsprobleme

gezeigt. In Abschnitt 7.2.3 wird die M¨

oglichkeit diskutiert die exakte Optimierung

eines MD-VSPs mit Hilfe der vorgestellten unteren Schranken zu unterst¨

utzen.

7.2.1 Untere Schranken durch Modellaggregation

Um eine schnelle untere Schranke f¨

ur das MD-VSP berechnen zu k¨

onnen, muss

die numerische Komplexit¨

at des mathematischen Modells reduziert werden. Wie

in Abschnitt 6.2 gezeigt wurde, ist die numerische Komplexit¨

at stark abh¨

angig

von der Anzahl der betrachteten Depotstandorte und Fahrzeugtypen. In der in

Abschnitt 7.1 vorgestellten Heuristik wurden in der ersten Phase diese Mengen

aggregiert, so dass bei Sicherstellung einer g¨

ultigen und bez¨

uglich der Fahrzeugan-

zahl optimalen L¨

osung m¨

oglichst wenige Depots betrachtet werden m¨

ussen. Die

resultierende Reduktion der numerischen Komplexit¨

at f¨

uhrt, wie in den Ergebnis-

sen in Abschnitt 7.5 gezeigt wird, zu einer kurzen Laufzeit f¨

ur die Optimierung.

Dieser Ansatz kann auf die Bestimmung einer unteren Schranke ¨

ubertragen wer-

den. Anstatt die G¨

ultigkeit einer L¨

osung zu erhalten, muss sichergestellt werden,

dass die Vereinfachungen eine g¨

ultige untere Schranke garantieren. Eine untere

Schranke bleibt bei der Durchf¨

uhrung von Ver¨

anderungen an einem Minimie-

rungsproblem g¨

ultig, die zu einer Verringerung von Kostenwerten und damit den

Gesamtkosten f¨

uhren.

Um m¨

oglichst viele Fahrzeugtypen zusammenzufassen, kann das in Abschnitt

7.1 pr¨

asentierte Verfahren zur Substitution von Fahrzeugtypen in folgender Weise

angepasst werden. Die erste Phase, in der Fahrzeugtypen mit exakt gleichen Kos-

tenwerten f¨

ur fixe und operative Kosten durch einen Typ ersetzt werden, kann

entsprechend ¨

ubernommen werden, da durch eine Addition der jeweiligen Kapa-

zit¨

aten dieser Fahrzeugtypen die optimalen Zielfunktionswerte des urspr¨

unglichen

und angepassten Modells identisch sind. In der vorgestellten Heuristik werden in

dem zweiten und dritten Schritt Fahrzeugtypen mit unterschiedlichen Kostenwer-

ten zusammengefasst. Dieses Vorgehen der Substitution kann f¨

ur das Verfahren

120

7.2 Bestimmung unterer Schranken

zur Bestimmung einer unteren Schranke angepasst werden, indem nach der Iden-

tifikation einer m¨

oglichen Substitution die Kostenwerte des neuen Fahrzeugtypen

so definiert werden, dass f¨

ur alle Kostenarten der jeweils kleinste Wert ¨

uber alle

zu ersetzenden Fahrzeugtypen gew¨

ahlt wird. Durch diese Bildung der Kosten-

strukturen werden alle im Modell abgebildeten Kosten gleich- oder untersch¨

atzt,

wodurch sichergestellt ist, dass der Zielfunktionswert des vereinfachten Modells

eine g¨

ultige untere Schranke f¨

ur das urspr¨

ungliche Problem darstellt.

Wie in der ersten Phase der vorgestellten Heuristik k¨

onnen alle Depotstand-

orte zusammengefasst werden. Durch diese Zusammenlegung wird in der Heuris-

tik zwar sichergestellt, dass die in einer L¨

osung vorhandenen Fahrtensequenzen

g¨

ultig sind, aber der Zielfunktionswert der Modelll¨

osung stellt in der ersten Pha-

se weder eine g¨

ultige untere noch eine obere Schranke der Problemstellung dar.

So k¨

onnen bei der Betrachtung eines Depots Kosten f¨

ur Depotfahrten entstehen,

die unter Verwendung eines anderen Depots geringer w¨

aren. In dem Verfahren

zur Bestimmung einer unteren Schranke m¨

ussen deshalb alle Entfernungsdefini-

tionen zwischen dem Depot und allen anderen Haltestellen angepasst werden.

F¨

ur jede Verbindungsdefinition zwischen einer Haltestelle iund dem Depot d

wird als Entfernung die k¨

urzeste Entfernung aller Verbindungen zwischen iund

dem urspr¨

unglichen Depot j∈Dverwendet. Entsprechend werden alle Verbin-

dungszeiten angepasst. Wie bei dem Zusammenfassen der Fahrzeugtypen werden

alle m¨

oglichen Verbindungskosten zwischen einem Depot und einer Start- bzw.

Endhaltestelle auf diese Weise richtig eingesch¨

atzt oder untersch¨

atzt.

Durch die konsequente Nicht-¨

Ubersch¨

atzung aller anfallenden Kosten, kann

sichergestellt werden, dass mit der gleichen reduzierten numerischen Komplexit¨

wie in der ersten Phase der in Abschnitt 7.1 vorgestellten Heuristik eine g¨

ultige

untere Schranke f¨

ur das urspr¨

ungliche Modell gefunden werden kann. Die Qualit¨

dieser Absch¨

atzung ist abh¨

angig davon wie stark sich die Kostenstrukturen der

Fahrzeugtypen und die Verbindungsentfernungen bzw. -dauern der Depots zu

Haltestellen unterscheiden. Unter der Annahme, dass reale Instanzen in der Regel

nur wenig Varianz in den Kostenstrukturen aufweisen, kann das Verfahren gute

untere Schranken finden. Die durch dieses Vorgehen gefundene untere Schranke

wird im weiteren Verlauf dieser Arbeit als aggregierte untere Schranke (AggrLB)

bezeichnet.

7.2.2 Untere Schranken durch Langrange Relaxationen

Eine alternative M¨

oglichkeit zur Bestimmung von unteren Schranken kann durch

die Lagrange Relaxation, in der ausgew¨

ahlte Restriktionen der Modellformulie-

rung relaxiert werden und als duale Variablen in die Zielfunktion mit einfließen,

121

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

erreicht werden. Eine Erkl¨

arung dieser Methode ist in Abschnitt 3.3 gegeben. F¨

das Mehrg¨

uter Flussmodell des MD-VSPs werden im Folgenden zwei m¨

ogliche

Lagrange Relaxationen betrachtet.

Relaxation der ¨

Uberdeckungsrestriktionen

Ein ¨

ubliches Vorgehen bei der Entscheidung welche Restriktionen relaxiert wer-

den ist die Auswahl ”schwieriger“ Modellrestriktionen. F¨

ur NP-schwere Opti-

mierungsprobleme werden diese (sofern m¨

oglich) so gew¨

ahlt, dass die ¨

ubrigen

Restriktionen ein Optimierungsmodell mit einer unimodularen Entscheidungs-

matrix bilden. Dadurch kann sichergestellt werden, dass die Lagrange Probleme

effizient gel¨

ost werden und der Zielfunktionswert einer optimalen L¨

osung des La-

grange Dual Problems dem Wert der LP-Relaxation entspricht (s. Abschnitt 3.3).

Wie in Abschnitt 6.2.3 gezeigt wurde, besteht die Entscheidungsmatrix des

Mehrg¨

uter Flussmodells aus mehreren unabh¨

angigen Teilen (eine je Netzwerk-

schicht d∈D), die ¨

uber die ¨

Uberdeckungsrestriktionen der Servicefahrten mit-

einander verbunden sind. Das Modell lautet:

MDV SP : min X

(i,j)d∈A

ijxd

ij (7.5)

s.t. X

i:(i,j)d∈A

ij −X

i:(j,i)d∈A

ji = 0 ∀j∈Nd,∀d∈D(7.6)

d∈D

t= 1 ∀t∈T(7.7)

xd≤wd∀d∈D(7.8)

ij ∈N∀(i, j)d∈A(7.9)

Ausgehend von der Mehrg¨

uter Flussformulierung (MDVSP) k¨

onnen die ¨

Uber-

deckungsrestriktionen (7.7) relaxiert werden. Dieses Vorgehen wird zum Beispiel

in [Ahuja et al., 1993] f¨

ur allgemeine Mehrg¨

uter Flussprobleme gezeigt. Das resul-

tierende Lagrange Problem LRcc wird in der Zielfunktion um die dualen Variablen

λterweitert, die die Strafkosten f¨

ur die Verletzung der relaxierten Restriktionen

abbilden. Das Optimierungsproblem hat ohne die ¨

Uberdeckungsrestriktionen eine

unimodulare Matrix (s. Abschnitt 3.1). Die Restriktionen zur Sicherstellung der

Ganzzahligkeit der Variablen (7.9) m¨

ussen deshalb nicht im Lagrange Problem

betrachtet werden, da die Ganzzahligkeit f¨

ur optimale LP-L¨

osung gegeben ist.

Eine g¨

ultige L¨

osung des Lagrange Problems stellt einen Umlaufplan dar, bei dem

nicht alle Fahrten bedient werden und/oder Servicefahrten mehrfach bedient wer-

den. Jede L¨

osung f¨

ur einen festen Vektor λ∈Rstellt eine g¨

ultige untere Schranke

122

7.2 Bestimmung unterer Schranken

f¨

ur MDVSP dar.

LRcc(λ) : min X

(i,j)d∈A

ijxd

ij +X

t∈T

λt(1 −X

d∈D

t) (7.10)

s.t. X

i:(i,j)d∈A

ij −X

i:(j,i)d∈A

ji = 0 ∀j∈T, ∀d∈D(7.11)

xd≤wd∀d∈D(7.12)

Eine Schwierigkeit der Lagrange Relaxation ist die geeignete Wahl des Vektors

λ. Beispielsweise ist die L¨

osung des Lagrange Problem f¨

ur λ= 0 trivial, da keine

negativen Kostenwerte existieren und die L¨

osung mit xd

ij = 0 (∀(i, j)∈A)

g¨

ultig und optimal ist. Mit einem Zielfunktionswert von 0 f¨

uhrt diese Wahl f¨

λallerdings zu keiner guten unteren Schranke. Um die beste m¨

ogliche untere

Schranke der Relaxation zu finden, kann das Lagrange Dual Problems LDPcc

gel¨

ost werden. Durch die Eigenschaft der Unimodularit¨

at ist der Zielfunktionswert

der L¨

osung gleich dem einer optimalen LP-L¨

osung (s. Abschnitt 3.3).

LDPcc :maxλ∈RLRcc(λ)

Zur L¨

osung des Lagrange Dual Problems kann eine Subgradientenmethode ein-

gesetzt werden, die durch ein iteratives Vorgehen versucht geeignete Werte f¨

λzu finden. In jeder Iteration der Subgradientenmethode muss ein Lagrange

Problem mit fixiertem Vektor λgel¨

ost werden. Zur Erreichung einer optimalen

L¨

osung sind in der Regel viele Iterationen notwendig (vgl. [Kokott und L¨

obel,

1996]), so dass diese Relaxation nicht zur schnellen Bestimmung einer unteren

Schranke geeignet. Allerdings kann durch eine Reformulierung des mathemati-

schen Modells eine alternative Lagrange Relaxation gebildet werden, die im Fol-

genden vorgestellt wird.

Relaxation der Depotflusserhaltung

Die Modellierung des MD-VSPs als Mehrg¨

uter Flussmodell verwendet (neben

m¨

oglichen Kapazit¨

atsrestriktionen) zwei Typen von Restriktionen, um auf der

Basis eines Netzwerkmodells die G¨

ultigkeit eines Umlaufplans sicherzustellen.

Durch Knotenrestriktionen wird die Flusserhaltung innerhalb des Netzwerks si-

chergestellt (es gehen keine Flusseinheiten verloren) und durch die ¨

Uberdeckungs-

restriktionen wird die Bedienung jeder Servicefahrt gew¨

ahrleistet. Beispielhaft f¨

eine Servicefahrt t∈Tund zwei Depots (D={d1, d2}) sind im Netzwerkmodell

f¨

ur jedes Depot zwei Knoten gegeben, die die Abfahrt bzw. Ankunft der Service-

fahrt repr¨

asentieren. Ein Abfahrtsknoten (bzw. Ankunftsknoten) einer Service-

fahrt tin der Netzwerkschicht des Depots dwird mit vdd

t(bzw. vad

t) bezeichnet.

123

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 2

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 1

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 2

Depot 1

Abbildung 7.3: Alternative Netzwerkmodellierung von Servicefahrten

Zus¨

atzlich existiert je eine Kante ad

tpro Schicht, die die Bedienung der Service-

fahrt tdurch ein Fahrzeug des Depots dmodelliert (s. Abbildung 8.1a). Un-

abh¨

angig von den m¨

oglichen Verbindungs- und Depotfahrten, die vor oder nach

dem hier beschriebenen Netzwerkausschnitt liegen k¨

onnen, wird diese Konstella-

tion im Mehrg¨

uter Flussmodell mit vier Restriktionen zur Erhaltung des Netz-

werkflusses in den vier Knoten sowie einer ¨

Uberdeckungsrestriktion f¨

ur Fahrt t

modelliert. An dieser Stelle soll angemerkt werden, dass die Netzwerkstruktur

im Falle von Fahrzeugtypgruppen zwar nicht strukturgleich ist, da zum einen

nicht jede Fahrt von jedem Depot aus bedient werden kann und zum anderen die

Verbindungskanten in der aggregierten Time-Space-Netzwerk-basierten Modellie-

rung auf unterschiedliche Weise aggregiert sein k¨

onnen. Die zuvor beschriebene

Knotenkonstellation gilt allerdings auch f¨

ur diesen Fall.

Eine alternative Modellierung kann durch zwei zus¨

atzliche Knoten vdtund

vaterreicht werden, die den Beginn und das Ende der Servicefahrt tdarstellen.

Statt Knoten in den Netzwerkschichten direkt durch eine Fahrtkante zu verbin-

den, modellieren die Kanten add

tzwischen vdd

tund vdt(∀d∈D) den Beginn

der Bedienung von Fahrt tvon Depot d. Entsprechend repr¨

asentieren die Kanten

aad

tzwischen vatund vad

t(∀d∈D) das Ende der Bedienung der Fahrt taus

Depot d. Die Flussgr¨

oße auf einer Kante add

t(bzw. aad

t) entspricht der Entschei-

dungsvariable xd

t0(bzw. xd

t00). Die Kosten auf den neuen Fahrtkanten entsprechen

jeweils den halben Kosten der urspr¨

unglichen Fahrtkante. Die globalen Fahrtkno-

ten vdtbzw. vatwerden nicht wie die anderen Netzwerknoten als Umladeknoten

modelliert, sondern haben einen Bedarf bzw. ein Angebot von einer Flusseinheit.

124

7.2 Bestimmung unterer Schranken

Dadurch kann sichergestellt werden, dass jede Servicefahrt von einem Umlauf be-

gonnen wird und in einem Umlauf endet. Der Aufbau des Netzwerks ist f¨

ur den

beispielhaften Ausschnitt in Abbildung 8.1b illustriert.

Um f¨

ur diese Modellierung die L¨

osbarkeit des MD-VSPs sicherzustellen, m¨

ussen

neben den Knotenrestriktionen zur Flusserhaltung weitere Restriktionen zum ma-

thematischen Modell hinzugef¨

ugt werden. Damit ein g¨

ultiger Umlauf aus der Be-

dienung einer Fahrt t∈Tentsteht, m¨

ussen der Beginn und die Weiterf¨

uhrung

nach der Fahrt dem gleichen Depot zugewiesen sein. Da durch die Knotenbedarfe

sichergestellt ist, dass genau ein Depot pro Fahrt ausgew¨

ahlt wird, ist es je Fahrt

ausreichend f¨

ur alle Depots d∈Ddie Gleichheit der Fl¨

usse beider Fahrtkanten

zu gew¨

ahrleisten: add

t=aad

Seien N0und A0die Mengen der Knoten und Kanten des wie in oben be-

schriebener Weise ver¨

anderten Mehrg¨

uter Flussnetzwerks. Sei NTD0⊂N0die

Menge der zus¨

atzlichen Fahrtknoten vdtund NTA0⊂N0die Menge aller Knoten

vat(∀t∈T). Enthalte zus¨

atzlich die Menge NT0⊂N0alle diese Fahrtkno-

ten (NT0=NTD0∪NTA0) und sei Ndwie zuvor die Menge der Knoten

in Netzwerkschicht d(ohne die globalen Fahrtknoten). Das MD-VSP kann durch

das mathematische Optimierungsmodell MDVSP’ definiert werden. Die optimale

L¨

osung des neuen Modells entspricht einer optimalen L¨

osung der urspr¨

unglichen

Formulierung.

MDV SP0: min X

(i,j)d∈A0

ijxd

ij (7.13)

s.t. X

i:(i,j)d∈A0

ij −X

i:(j,i)d∈A0

ji = 0 ∀j∈Nd,∀d∈D(7.14)

i:(i,j)d∈A0

ij = 1 ∀j∈NTD0(7.15)

i:(j,i)d∈A0

ji = 1 ∀j∈NTA0(7.16)

t0=xd

t00 ∀t∈T, ∀d∈D(7.17)

xd≤wd∀d∈D(7.18)

ij ∈N∀(i, j)d∈A0(7.19)

In der Zielfunktion (7.13) werden, wie in der ausgehenden Formulierung, die

Gesamtkosten ¨

uber alle Netzwerkfl¨

usse minimiert. Die Restriktionen zur Flus-

serhaltung (7.14) gelten f¨

ur alle Knoten bis auf die neuen globalen Fahrtknoten.

Diese m¨

ussen f¨

ur den Fall, dass der Knoten den Beginn einer Servicefahrt re-

pr¨

asentiert, eine Flusseinheit als Zugang haben (Restriktionen 7.15) oder ein

125

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Angebot von einer Flusseinheit bieten (Restriktionen 7.16). Durch (7.17) wird si-

chergestellt, dass dem Beginn und Ende einer Fahrt das gleiche Depot zugewiesen

wird. Die Restriktionen f¨

ur die Depotkapazit¨

aten und die Ganzzahligkeit bleiben

wie in der ausgehenden Formulierung erhalten.

Da die vorgestellte Reformulierung des Mehrg¨

uter Flussmodells bei gleicher

oder schlechterer theoretischen Problemh¨

arte zu einem Optimierungsproblem mit

deutlich mehr Variablen und Nebenbedingungen f¨

uhrt, verspricht diese Formulie-

rung keine Verbesserung bez¨

uglich einer exakten mathematischen Optimierung.

Allerdings ist festzustellen, dass das Modell ohne die Restriktionen (7.17) ein

großes Netzwerkflussmodell des SD-VSPs darstellt (s. Abschnitt 4.2.1), weil die

einzelnen Schichten ¨

uber die globalen Fahrtknoten miteinander verkn¨

upft sind.

Es bietet sich daher an diese Restriktionen zu relaxieren, woraus das Lagrange

Problem LRdf resultiert. Der Vektor πenth¨

alt f¨

ur alle t∈T, d ∈Ddie Lagrange-

Multiplikatoren πtd ∈Rder relaxierten Restriktionen. Aufgrund der unimodula-

ren Koeffizientenmatrix wird die Ganzzahligkeit der LP-Relaxation sichergestellt

und Restriktionen (7.19) k¨

onnen entfallen.

LRdf (π) : min X

(i,j)d∈A0

ijxd

ij −X

d∈DX

t∈T

πtd(xd

t0−xd

t00) (7.20)

s.t. X

i:(i,j)d∈A0

ij −X

i:(j,i)d∈A0

ji = 0 ∀j∈Nd,∀d∈D(7.21)

i:(i,j)d∈A0

ij = 1 ∀j∈NTD0(7.22)

i:(j,i)d∈A0

ji = 1 ∀j∈NTA0(7.23)

xd≤wd∀d∈D(7.24)

Im Falle der Umlaufplanung mit mehreren Depotstandorten und einem Fahr-

zeugtypen entspricht eine g¨

ultige L¨

osung f¨

ur LRdf (π) einem Umlaufplan, bei dem

die Fahrzeuge w¨

ahrend einer Servicefahrt ihre Zuordnung zu einem Depotstand-

ort wechseln k¨

onnen. Dadurch ist nicht mehr gew¨

ahrleistet, dass die Fahrzeuge in

das gleiche Depot zur¨

uckkehren von dem aus sie ihren Umlauf gestartet haben.

Diese Formulierung ist daher eine M¨

oglichkeit die Umlaufplanung mit mehreren

Depots in polynomieller Zeit (als SD-VSP) zu optimieren, sofern das Verkehrsun-

ternehmen auf die Restriktion verzichten kann, dass alle Fahrzeuge in ihr Start-

depot zur¨

uckkehren m¨

ussen. Im Fall mit mehreren Fahrzeugtypen entspricht eine

L¨

osung dieser Relaxation einem Umlaufplan, bei dem die Fahrzeuge neben der

Zuordnung des Depotstandortes auch ihren Fahrzeugtypen ¨

andern k¨

onnen.

126

7.2 Bestimmung unterer Schranken

Die Lagrange Relaxation liefert untere Schranken f¨

ur die urspr¨

ungliche For-

mulierung MDVSP. Da auch LRdf eine unimodulare Entscheidungsmatrix hat,

ist die beste untere Schranke gleich der optimalen LP-Schranke. Das zugeh¨

orige

Lagrange Dual Problem lautet:

LDPdf :maxπ∈RLRdf (π)

Auch in diesem Fall ist die L¨

osung des Lagrange Dual Problems zum Beispiel

mit einem Subgradientenverfahren m¨

oglich. Aufgrund der ver¨

anderten Formulie-

rung stellt allerdings bereits die initiale L¨

osung mit den Lagrange-Multiplikatoren

πtd = 0 eine gute untere Schranke dar, da fixe und operative Kosten f¨

ur jedes

ben¨

otigte Fahrzeug in den Zielfunktionswert mit einfließen. In [Kokott und L¨

obel,

1996] wird eine vergleichbare Relaxation f¨

ur eine verbindungsbasierte Modellie-

rung gezeigt, bei der eine initiale L¨

osung in kurzer Laufzeit eine gute untere

Schranke liefert.

7.2.3 Warmstart der Simplexmethoden

Untere Schranken k¨

onnen neben der Absch¨

atzung der optimalen L¨

osung auch

zur Unterst¨

utzung von Optimierungsmethoden eingesetzt werden. Zum Beispiel

wird in Branch&Bound Algorithmen die Differenz von bekannten unteren und

oberen Schranken daf¨

ur verwendet, Teilb¨

aume der L¨

osungssuche abzuschneiden.

In diesem Abschnitt soll eine spezielle Technik diskutiert werden, mit der die

L¨

osung von LP-Relaxationen f¨

ur MDVSP beschleunigt werden kann.

Zur L¨

osung von LP verf¨

ugen Optimierungsbibliotheken in der Regel ¨

uber Sim-

plexverfahren und Innere-Punkte-Verfahren. Die Simplex-Verfahren optimieren

ein LP durch die iterative Suche nach besseren Basisl¨

osungen des L¨

osungsraums

bis bewiesen wird, dass keine bessere Basisl¨

osung existiert. Unterschieden wer-

den der primale Simplex, der primal g¨

ultige Basisl¨

osungen betrachtet und itera-

tiv versucht die Optimalit¨

atskriterien zu erf¨

ullen, und der duale Simplex, der

dual g¨

ultige Basisl¨

osungen betrachtet bis die L¨

osung g¨

ultig ist (s. Abschnitt

3.1). Da die Algorithmen generisch f¨

ur jegliche Art von linearen Optimierungs-

problemen geeignet sind, werden keine problemspezifischen Informationen in die

L¨

osungssuche mit einbezogen. Einige Implementierungen versuchen ¨

uber so ge-

nannte Crash-Verfahren gute Basisl¨

osungen zu identifizieren, so dass der Algorith-

mus schneller konvergiert (vgl. [Bixby, 1992]). Fortschrittliche Optimierungssys-

teme wie zum Beispiel ILOG CPLEX bieten auch die M¨

oglichkeit Basisl¨

osungen

oder Startwerte f¨

ur die Suche zu ¨

ubergeben (vgl. [ILOG, 2007]). Die im vorigen

Abschnitt vorgestellte Lagrange-Relaxation bietet eine L¨

osung, die bei relaxierten

127

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Restriktionen dual g¨

ultig ist und zus¨

atzlich eine gute untere Schranke liefert. Da-

her bietet sich die ¨

Ubergabe dieser L¨

osung als Startwert f¨

ur den dualen Simplex

Algorithmus an.

Da eine optimale L¨

osung des Lagrange Problems LRdf (π) keine dual g¨

ultige

L¨

osung f¨

ur das urspr¨

ungliche Modell darstellt, m¨

ussen die Startwerte f¨

ur die

Variablen der Originalformulierung aus der optimalen L¨

osung ¨

ubertragen wer-

den. F¨

ur die in beiden Formulierungen verwendeten Entscheidungsvariablen der

Kanten, die keine Servicefahrten repr¨

asentieren, k¨

onnen die L¨

osungswerte des La-

grange Problems als Startwerte f¨

ur den dualen Simplex ¨

ubergeben werden, da die

Modelle f¨

ur diese Kanten eine identische Struktur aufweisen. Zur ¨

Ubergabe der

Startwerte f¨

ur die Entscheidungsvariablen der Fahrtkanten wird der Mittelwert

der L¨

osungswerte von den beiden reformulierten Fahrtkanten verwendet. Da die

L¨

osung von LRdf (π) ganzzahlig ist, existiert je Fahrt eine Kante f¨

ur den Anfang

und das Ende der Fahrt. Daher k¨

onnen zwei F¨

alle auftreten:

1. Beide Variablen geh¨

oren zu derselben Netzwerkschicht: die Variable f¨

ur die

originale Kante wird f¨

ur diese Schicht auf 1 gesetzt, alle anderen auf 0.

2. Durch Verletzung der relaxierten Restriktionen geh¨

oren die zwei Variablen

unterschiedlichen Schichten an: die Variablen f¨

ur die originalen Kanten wer-

den f¨

ur beide Schichten auf 0,5 gesetzt, alle anderen auf 0.

Das Vorgehen stellt ein problemspefizifisches Crash-Verfahren dar und die ermit-

telten Werte k¨

onnen f¨

ur einen Warmstart der dualen Simplexmethode verwendet

werden.

Experimente unter Verwendung des dualen Simplex Algorithmus der Standar-

doptimierungssoftware CPLEX in Version 11 zeigen, dass mit Hilfe des beschrie-

benen Warmstarts in kurzer Zeit eine duale Basisl¨

osung mit dem Zielfunktions-

wert der unteren Schranke gefunden werden kann. Allerdings konvergiert der dua-

le Simplex Algorithmus f¨

ur alle Instanzen nur sehr langsam gegen die optimale

L¨

osung, so dass die L¨

osungszeit mit Hilfe des Warmstarts im Vergleich zur ur-

spr¨

unglichen Optimierung gr¨

oßer oder nur wenig geringer ist. Zum Beispiel konnte

f¨

ur die Instanz real 5, deren LP-L¨

osungszeit mit dem dualen Simplex 10812 Se-

kunden betr¨

agt, innerhalb von nur 18 Sekunden eine untere Schranke gefunden

werden, die fahrzeugoptimal ist und bez¨

uglich der operativen Kosten lediglich um

0,27% von der optimalen L¨

osung abweicht. Es konnte bei ¨

Ubergabe der Start-

werte direkt eine dual g¨

ultige Basis identifiziert werden. Allerdings ben¨

otigt der

Algorithmus durch die langsame Konvergenz insgesamt 10552 Sekunden auf dem

gleichen System bis die optimale LP-L¨

osung bewiesen wurde. Ein Vergleich des

Konvergenzverhaltens abh¨

angig von der Iterationen des dualen Simplex ist in

Abbildung 7.4 gegeben.

128

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

Umlaufplanungsprobleme

Framework

Lösungsansätze

Zusammenfassung / Ausblick

Optimale Lösung

Heuristiken

Ergebnisse

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

300000000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

110000

120000

130000

140000

150000

Iterationen

Zielfunktionswert

Standard

Warmstart

Problem Dep.−Relaxation(Sek.)Infeas.Gap(Fzg/Op)Optimal(Sek.)Warmstart(Sek.)

hal 4 1295/2047 0/0,17 64 140

mun14 2 1232/2452 0/0,0005 17 11

mun14_kap 2 1238/2452 0/0,000068 13 12

mun15 2 1404/2825 0/0,0004 24 14

mun15_kap 2 1424/2825 0/0,000024 19 15

mun28 18 1631/1808 0/0,0027 10812 10554

mun18 28 1970/2394 0/0,0025 − −

mun1 57 6318/11062 0/0,0013 − −

Stefan Bunte Lösungsmethoden Busumlaufplanung

Abbildung 7.4: Konvergenzverhalten bei Warmstart von dualer Basis

Die beschriebene Technik kann f¨

ur die L¨

osung von realen Umlaufplanungs-

problemen mit Hilfe des dualen Simplex-Algorithmus eine geringe Verbesserung

der L¨

osungszeit erm¨

oglichen. Allerdings kann sie ausschließlich in Verbindung

mit dem dualen Simplex eingesetzt werden, der (wie in Abschnitt 7.5 gezeigt

wird) gerade f¨

ur die L¨

osung von großen Problemstellungen nicht geeignet ist.

Da der Warmstart des dualen Simplex zudem bedeutet, dass der weitere LP-

Optimierungsprozess nicht zus¨

atzlich gesteuert werden kann (Black-Box-Verhal-

ten), wird dieser Ansatz nicht weiter betrachtet, wobei nicht ausgeschlossen ist,

dass eine andere Crash-Heuristik besser f¨

ur einen Warmstart geeignet ist. Da

durch eine Reihe von Experimenten allerdings keine Verbesserung des Verhaltens

erreicht wurde, wird im folgenden Abschnitt stattdessen ein alternatives Verfah-

ren zur L¨

osung des MD-VSPs vorgestellt.

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

Die in Abschnitt 7.1 und 7.2 vorgestellten Verfahren zielen auf die schnelle Be-

rechnung von guten heuristischen L¨

osungen und unteren Schranken ab. Sie sind

auf eine schnelle Absch¨

atzung der optimalen L¨

osung ausgerichtet und bilden die

in der Initialisierungsphase ben¨

otigten Algorithmen (s. Abbildung 7.1). In diesem

Abschnitt wird gezeigt, wie unter Verwendung der in der Initialisierung ermit-

telten L¨

osungen die Verbesserungsphase so gestaltet werden kann, dass f¨

ur die

129

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

operative Planung ohne Zeitfenster bessere und ggf. optimale L¨

osungen berechnet

werden k¨

onnen.

Wie in Abschnitt 6.2.3 gezeigt wurde, weisen die in dieser Arbeit betrachte-

ten realen Problemstellungen f¨

ur die Busumlaufplanung besondere Eigenschaf-

ten auf. Die Modellgr¨

oße der zu l¨

osenden Problemstellungen w¨

achst stark mit

dem Umfang des Fahrplans (s. Abschnitt 6.2.2). Zus¨

atzlich sind die Formulie-

rungen stark degeneriert, so dass die lineare Relaxation schwierig zu l¨

osen ist

(s. Abschnitt 6.2.2). Durch die besondere Eigenschaft, dass die LP-L¨

osungen nur

wenig fraktionale Variablenwerte aufweisen, ist die Berechnung einer optimalen

ganzzahligen L¨

osung vielfach mit geringem Laufzeitaufwand m¨

oglich. Aufgrund

des kontr¨

aren Verhaltens der beiden Phasen bez¨

uglich ihrer theoretischen Kom-

plexit¨

at, ist das im Folgenden beschriebene Verfahren auf die L¨

osung des LPs

fokussiert (s. Abschnitt 6.2.3).

Das Verfahren verwendet das Prinzip des Column Generation, dessen Funkti-

onsweise in Abschnitt 3.2 beschrieben ist. Das MD-VSP ist als aggregiertes TSN-

basiertes Mehrg¨

uter Flussmodell aufgebaut, in dem f¨

ur jede Kante eine Variable

im mathematischen Modell definiert wird. Das Column Generation Prinzip be-

trachtet in jedem RMP eine Untermenge aller Kanten und l¨

ost die LP-Relaxation

des MD-VSPs f¨

ur diese Untermenge. Daher werden in jedem RMP eine Vielzahl

von Verbindungsm¨

oglichkeiten, Depotfahrten und die Fahrtenbedienung von ein-

zelnen Depots nicht ber¨

ucksichtigt. Durch das Generieren von neuen Spalten auf

Basis der dualen Werte des RMP werden die Kanten in das Netzwerk aufgenom-

men, die zur Verbesserung der L¨

osung beitragen k¨

onnen. Durch das Verfahren

werden genau die Verbindungen und m¨

oglichen Fahrten identifiziert, die f¨

ur ei-

ne kostenoptimale Bedienung hinsichtlich der LP-L¨

osung notwendig sind. Da die

Kanten nicht zur Laufzeit des Algorithmus generiert werden m¨

ussen, sondern das

Netzwerk vollst¨

andig zu Beginn der Optimierung aufgebaut und gespeichert wer-

den kann, handelt es sich um die Form des expliziten Column Generation. Dieser

spezielle Einsatz des Column Generation wird im Folgenden Kantengenerierung

genannt.

Neben der effizienteren L¨

osung der LP-Relaxation bietet sich die Kantengene-

rierung zur Einbeziehung in eine Methode f¨

ur die operative Planung ohne Zeit-

fenster an, da sie auf die Ber¨

ucksichtigung weiterer Planungsanforderungen (z.B.

der Generierung von L¨

osungen zur Laufzeit) ausgerichtet werden kann. Die be-

sondere Eigenschaft der betrachteten Modelle, dass die LP-L¨

osung nahezu ganz-

zahlig ist, kann in der Kantengenerierung genutzt werden. Die LP-L¨

osungen der

RMP stellen in jeder Iteration Umlaufplanungsprobleme dar, bei denen nicht

alle Freiheitsgrade betrachtet werden. Allerdings k¨

onnen zu den optimalen LP-

L¨

osungen aufgrund der Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft g¨

ultige MIP-L¨

osungen

130

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

gefunden werden, die eine heuristische L¨

osung f¨

ur das Gesamtproblem darstel-

len. Diese L¨

osungen k¨

onnen sobald sie gefunden werden an den Planer ausgegeben

werden, so dass zur Laufzeit immer bessere L¨

osungen angeboten werden k¨

onnen.

Durch die Verwendung des TSN-basierten Modells k¨

onnen durch unterschiedliche

Dekompositionsstrategien eine Vielzahl an Umlaufpl¨

anen mit identischen Kosten

ausgegeben werden. Des Weiteren bietet das Verfahren im Gegensatz zu Stan-

dardoptimierungsmethoden auch bei einem Abbruch der Methode eine g¨

ultige

L¨

osung. Die spezielle Optimierungsmethode in Verbindung mit der Ausnutzung

der modellspezifischen Eigenschaften (z.B. der Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft)

zur Vermeidung eines Black-Box-Verhaltens kann den Planer effektiv bei seiner

Arbeit unterst¨

utzen.

Das Kantengenerierungsverfahren wird im Folgenden beschrieben. Dazu ist ei-

ne ¨

Ubersicht des Ablaufs in Algorithmus 7.1 dargestellt. Die Formulierungen ent-

sprechen den in Abschnitt 3.2 gegebenen Definitionen. Weitere Details zu einzel-

nen Schritten sowie Beschleunigungstechniken werden in separaten Abschnitten

diskutiert.

In Schritt 1 des Algorithmus wird das Verfahren initialisiert. Dazu werden die

zuvor beschriebenen Verfahren zur Bestimmung einer g¨

ultigen und fahrzeugop-

timalen L¨

osung (s. Abschnitt 7.1) sowie einer unteren Schranke (s. Abschnitt

7.2) ausgef¨

uhrt. Anschließend wird eine initiale Kantenmenge ˜

A0bestimmt. Mit

diesen Kanten wird das erste RMP aufgebaut. Um in Schritt 2 duale Werte f¨

die Modellrestriktionen zu erhalten, muss in der Initialisierung sichergestellt wer-

den, dass RMP0g¨

ultig ist. Daf¨

ur m¨

ussen die in ˜

A0enthaltenen Kanten eine

Flussl¨

osung erm¨

oglichen, die einen g¨

ultigen Umlaufplan darstellt.

In Schritt 2 wird die LP-Relaxation des in der aktuellen Iteration betrachte-

ten Master Problems (RMP(At)) optimal gel¨

ost. Aus der optimalen LP-L¨

osung

lassen sich die dualen Werte πtder Restriktionen ablesen. Diese werden f¨

die sp¨

ateren Schritte gespeichert. Der Zielfunktionswert der L¨

osung stellt keine

g¨

ultige untere Schranke f¨

ur das ganzzahlige Modell dar, da nicht alle Freiheits-

grade (Kanten) ber¨

ucksichtigt werden. Aufgrund der relaxierten Ganzzahligkeits-

bedingungen stellt die L¨

osung auch keine g¨

ultige obere Schranke dar.

Um aus der LP-L¨

osung von RMP(˜

At) eine g¨

ultige L¨

osung zu generieren, wird

in Schritt 3 eine Heuristik verwendet, die – motiviert durch die Fast-Ganzzahlig-

keitseigenschaft der Modelle (s. Abschnitt 6.2.3) – versucht, eine g¨

ultige L¨

osung

zu generieren. Die gefundene Flussl¨

osung kann zur Laufzeit dekomponiert werden

und die resultierenden Umlaufpl¨

ane ausgegeben werden.

In Schritt 4 werden auf Basis der in Schritt 2 identifizierten dualen Werte f¨

die Restriktionen die reduzierten Kosten cxf¨

ur alle Kanten x∈Aberechnet.

Aufgrund des expliziten Column Generation werden die reduzierten Kosten f¨

131

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Algorithmus 7.1 : Kantengenerierungsalgorithmus

(Schritt 1) Initialisierung

Berechne g¨

ultige L¨

osung UBbest

Berechne untere Schranke LBbest

Identifiziere initiale Kantenmenge ˜

A0⊂A

Setze t = 0

(Schritt 2) Master Problem

L¨

ose LP-Relaxation des RMP(˜

At)

Speichere duale Werte πt

(Schritt 3) IP Heuristik

Versuche g¨

ultige IP-L¨

osung UBtzu bestimmen

Setze ggf. UBbest =UBt

(Schritt 4) Pricing Problem

L¨

ose PP(πt) und w¨

ahle Kanten zur Aufnahme in ˜

(Schritt 5) Abbruchkriterien

Uberpr¨

ufe Abbruchkriterien

Wenn Kriterium erf¨

ullt, dann gehe zu Schritt 7

(Schritt 6) Spaltenmanagement

Setze t = t + 1

Setze ˜

At=˜

At−1

Eliminiere Kanten aus ˜

F¨

uge in Schritt 4 identifizierte Kanten zu ˜

Athinzu

(Schritt 7) IP Phase

Optimiere RMP(˜

At) als MIP

132

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

alle Kanten berechnet. Eine Kante x∈A, die negative reduzierten Kosten hat

(cx<0) und nicht in der aktuellen Kantenmenge des RMP ist (x /∈˜

At), kann

den Zielfunktionswert der LP-Relaxation verbessern und ist somit ein Kandidat

zur Aufnahme in die aktuelle Kantenmenge ˜

At. Auf Basis dieser Informationen

werden eine oder mehrere Kanten zur Aufnahme in das n¨

achste RMP identifiziert.

Wenn im Pricing Problem keine Kante negative reduzierte Kosten hat, ist die

optimale LP-L¨

osung des aktuellen Master Problems RMP(˜

At) gleichzeitig eine

optimale LP-L¨

osung f¨

ur das Modell mit allen Kanten RMP(A). Neben diesem

Abbruchkriterium k¨

onnen weitere definiert werden, die in Schritt 5 des Kanten-

generierungsalgorithmus gepr¨

uft werden. Zum Beispiel kann das Verfahren nach

einer definierten Anzahl von durchgef¨

uhrten Iterationen oder einer vorgegebenen

maximalen Laufzeit abgebrochen werden. Wenn ein Abbruchkriterium erf¨

ullt ist,

wird der Algorithmus bei Schritt 7 weitergef¨

uhrt und das letzte Master Problem

wird als MIP gel¨

ost. Andernfalls beginnt die n¨

achste Iteration (t=t+ 1).

Zur Vorbereitung der n¨

achsten Iteration wird in Schritt 6 ein Spaltenmana-

gement durchgef¨

uhrt. Die Kantenmenge des letzten Master Problems wird f¨

die Iteration ¨

ubernommen ( ˜

At=˜

A) und um die in Schritt 4 identifizierten Kan-

ten erweitert. Um die Dimension des zu l¨

osenden Master Problems zu begrenzen,

werden zus¨

atzlich Kanten identifiziert, die aus der Kantenmenge entfernt werden.

Dadurch wird sichergestellt, dass die zur L¨

osung des Master Problems erforder-

liche L¨

osungszeit nicht stark ansteigt.

Bei Abbruch des Kantengenerierungsverfahrens in Schritt 5 wird die optimale

LP-L¨

osung von RMP(˜

At) verwendet, um in Schritt 7 mit einem Branch&Cut

Algorithmus eine ganzzahlige L¨

osung f¨

ur die Kantenmenge ˜

Atzu bestimmen. Im

Folgenden werden weitere Details zu einzelnen Schritten des Kantengenerierungs-

algorithmus gegeben.

7.3.1 Initialisierung

F¨

ur die Bestimmung der initialen Kantenmenge ˜

A0k¨

onnen verschiedene Verfah-

ren in Betracht gezogen werden, die sich in Bezug auf Laufzeit, L¨

osungsqualit¨

und L¨

osungseigenschaften unterscheiden. In Hinsicht auf die korrekte Funktions-

weise des Kantengenerierungsalgorithmus ist eine Anforderung an die Identifika-

tion, dass ¨

uber die Kantenmenge eine g¨

ultige Flussl¨

osung f¨

ur das Modell existiert.

Als sekund¨

are Anforderungen f¨

ur das Verfahren lassen sich eine m¨

oglichst kurze

Laufzeit und eine gute L¨

osungsqualit¨

at ableiten, da der Kantengenerierungspro-

zess durch diese Eigenschaften am besten unterst¨

utzt wird. Im Folgenden sollen

m¨

ogliche Strategien zur initialen Kantenidentifizierung kurz vorgestellt und hin-

sichtlich ihrer Eignung diskutiert werden.

133

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

1. Einf¨

ugen von k¨

unstlichen Kanten (Inik): Eine L¨

osung der Mehrg¨

uter

Flussformulierung mit allen Variablenwerten gleich 0 verletzt die ¨

Uber-

deckungsrestriktionen des Modells. Um das Kantengenerierungsverfahren

zu beginnen, kann das RMP daher f¨

ur alle t∈Tum eine k¨

unstliche Va-

riable κterweitert werden, die als eine fehlende Bedienung der Servicefahrt

interpretiert werden kann. Die Variable enth¨

alt in der Koeffizientenmatrix

eine 1 in der ¨

Uberdeckungsrestriktion von Fahrt t. Alle anderen Eintr¨

age

sind gleich 0. Die Variablen erm¨

oglichen daher ohne die Ber¨

ucksichtigung

weiterer Kanten eine g¨

ultige L¨

osung. Die Kosten f¨

ur diese k¨

unstlichen Va-

riablen werden so hoch gesetzt, dass sie alle anderen Kosten klar dominie-

ren. Dadurch entstehen sehr große duale Werte und das Verfahren kann im

Laufe der folgenden Iterationen Kanten generieren, die eine Verwendung

der k¨

unstlichen in einer L¨

osung des RMP ¨

uberfl¨

ussig machen. Die Strategie

verursacht in der Initialisierungsphase keinen Laufzeitaufwand und stellt

die L¨

osbarkeit des initialen RMP sicher.

2. Verwendung von Kanten aus heuristischer Flussl¨

osung (Inih): Bei

dieser Strategie wird zur Berechnung einer guten L¨

osung die in Abschnitt

7.1 vorgestellte Heuristik ausgef¨

uhrt. Anschließend wird die initiale Kanten-

menge aus den Kanten gebildet, die in der heuristischen L¨

osung verwendet

werden. Das initiale RMP enth¨

alt daher bereits eine sehr gute (fahrzeug-

optimale) L¨

osung und das Verfahren kann ausgehend von der L¨

osung nach

weiteren Verbesserungen suchen. Diese Strategie erfordert einen geringen

Laufzeitaufwand zur Durchf¨

uhrung der Heuristik, stellt die L¨

osbarkeit des

Modells sicher und gibt dem Verfahren bereits eine gute Startl¨

osung vor.

3. Verwendung von Kanten aus heuristischer Flussl¨

osung und La-

grange L¨

osungen (Inihlg): Bei der zuvor vorgestellten Strategie fließt

das Wissen aus der heuristischen L¨

osung in die Auswahl der Kanten ein.

Diese Strategie kann dahingehend erweitert werden, dass neben Kanten

einer heuristischen L¨

osung auch Kanten hinzugef¨

ugt werden, die in einer

dual g¨

ultigen L¨

osung verwendet werden. Diese Kombination aus primal

und dual motivierten Kanten kann zu einer besseren Konvergenz der Kan-

tengenerierung f¨

uhren. Der in Abschnitt 7.2.2 beschriebene Algorithmus

zur Bestimmung einer unteren Schranke wird ausgef¨

uhrt und die in der

L¨

osung aktivierten Kanten werden mit in die initiale Kantenmenge f¨

ur das

erste RMP aufgenommen. Diese Strategie erfordert durch die zus¨

atzliche

Bestimmung der unteren Schranke mehr Laufzeitaufwand, aber verspricht

aufgrund der zus¨

atzlichen Kanten eine schnellere Konvergenz des Kanten-

generierungsalgorithmus.

134

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

Numerische Ergebnisse f¨

ur die oben vorgestellten Strategien werden in Ab-

schnitt 7.5 gegeben. Neben den aufgef¨

uhrten Strategien kann flexibel jedes heu-

ristische Verfahren, das eine g¨

ultige L¨

osung f¨

ur die Problemstellung bestimmt,

verwendet werden. Dies stellt einen wichtigen Aspekt f¨

ur die Integration der in

diesem Kapitel vorgestellten Optimierungsmethodik in einen betrieblichen Pla-

nungsprozess dar, da bereits verwendete Methoden oder manuelle L¨

osungen als

Startl¨

osung eingebracht werden k¨

onnen. Das Verfahren kann dadurch mit der be-

reits bekannten L¨

osung beginnen und im Sinne der Zielfunktion bessere L¨

osungen

vorschlagen. Damit kann die Akzeptanz von Planern zur Migration zu einem Ent-

scheidungsunterst¨

utzungssystem mit der vorgestellten Methodik gef¨

ordert wer-

den.

7.3.2 Master Problem

In jeder Iteration des Kantengenerierungsalgorithmus wird ein Mehrg¨

uter Fluss-

modell mit einer Teilmenge der im aggregierten Time-Space-Netzwerk vorhande-

nen Kanten gel¨

ost. Die Komplexit¨

at sowie seine Eigenschaften sind in Kapitel 6

detailliert beschrieben.

Um das RMP in einer Iteration zu l¨

osen, bieten sich eine Vielzahl von m¨

oglichen

L¨

osungsmethoden an. So werden zur Generierung der dualen Werte neben LP-

Methoden auch Subgradienten- oder Bundle-Methoden eingesetzt (vgl. zum Bei-

spiel [Bornd¨

orfer et al., 2004] und [Steinzen, 2008]). In der im Rahmen dieser Ar-

beit entwickelten Methode wird das Master Problem allerdings nicht nur zur Ge-

winnung von dualen Werten ausgef¨

uhrt, sondern auch zur Bestimmung von ganz-

zahligen L¨

osungen verwendet. Dies ist durch die Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft

der LP-L¨

osungen m¨

oglich (s. Abschnitt 6.2.3) und erfordert primale Informa-

tionen, die LP-Methoden bereitstellen. Andere Verfahren zur Bestimmung von

dualen Werten sind aus diesem Grund nicht f¨

ur den Einsatz in der im Rahmen

dieser Arbeit entwickelten Methodik geeignet.

Die L¨

osungsmethoden zur L¨

osung von LPs, Simplex- und Innere-Punkte-Ver-

fahren, bringen f¨

ur die L¨

osung des RMP unterschiedliche Vor- und Nachteile. Da

in jeder Iteration nur ein kleiner Teil aller Modellvariablen angepasst wird, bleibt

die Variablenmenge des Master Problems zu einem Großteil erhalten. Aus diesem

Grund werden in vielen LP-basierten Column Generation Ans¨

atzen in Anwen-

dungsfeldern des Operations Research Simplex-Methoden zur Optimierung des

RMP eingesetzt (vgl. [Desaulniers et al., 2005]). Diese haben den Vorteil, dass

bei Ver¨

anderung der Spaltenmenge des mathematischen Modells nicht von neu-

em optimiert werden muss, sondern von der optimalen Basis der letzten Iteration

aus gestartet werden kann. Diese Reoptimierung f¨

uhrt zu einer Beschleunigung

135

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

der Optimierung. Allerdings kann dieser Vorteil nur ausgenutzt werden, wenn das

gesamte RMP gel¨

ost wird und nicht durch ein Preprocessing ver¨

andert wird, in

dem Variablen entfernt oder angepasst werden.

Der alternative Einsatz eines Innere-Punkte-Verfahrens zur L¨

osung des RMP

wird in den meisten Anwendungen nicht betrachtet, da die optimale L¨

osung der

vorigen Iteration nicht zur Reoptimierung verwendet werden kann und stattdes-

sen jedes RMP neu optimiert werden muss. F¨

ur die L¨

osung des hier betrachteten

RMP hat das Verfahren allerdings einige Vorteile. Im Gegensatz zu Simplex-

Verfahren ist ein Innere-Punkte-Verfahren nicht so stark von dem Grad der De-

generation abh¨

angig. Dar¨

uber hinaus k¨

onnen in Verbindung mit einer erneuten

Ausf¨

uhrung in jeder Iteration die hochentwickelten LP-Preprocessing-Techniken

aktueller Optimierungsbibliotheken genutzt werden, um die Optimierung des ak-

tuellen RMP zu beschleunigen. Zudem ist die L¨

osung eines Simplex-Algorithmus

eine Basisl¨

osung, weshalb die dualen Werte extreme Auspr¨

agungen annehmen.

Dieses Verhalten f¨

uhrt durch die sehr hohe Bewertung einzelner Restriktionen da-

zu, dass im Pricing Problem viele ¨

ahnliche Spalten bzw. Kanten generiert werden

(vgl. [Desrosiers und L¨

ubbecke, 2005]). Ein Innere-Punkte-Verfahren f¨

uhrt nach

der Konvergenz gegen eine optimale LP-L¨

osung einen abschließenden Vorgang

durch (Crossover), um eine optimale Basisl¨

osung zu bekommen. Die Verwendung

von den dualen Werten ohne Ausf¨

uhrung des Crossover kann daher zu einer bes-

seren Auswahl von Kanten und damit einer schnelleren Konvergenz des gesamten

Algorithmus f¨

uhren.

7.3.3 Pricing Problem

Im Pricing Problem werden basierend auf den dualen Werten des RMP die redu-

zierten Kosten f¨

ur alle Kanten berechnet, die nicht in der aktuellen Kantenmenge

vorhanden sind. Diese Berechnung kann sehr effizient durchgef¨

uhrt werden, da je-

de Kante maximal drei Spalteneintr¨

age ungleich 0 aufweist. Jede Kante enth¨

alt

jeweils einen Eintrag mit dem Koeffizienten -1 (bzw. 1) f¨

ur die Restriktion ih-

res Startknotens (bzw. Endknotens). Zus¨

atzlich hat eine Servicefahrt-Kante noch

einen Eintrag (1) in der zugeh¨

origen ¨

Uberdeckungsrestriktion und jede R¨

uckfluss-

Kante einen Eintrag (1) in einer Kapazit¨

ats-Restriktion. Daher wird bei der Be-

rechnung auf das Pr¨

ufen aller Zeileneintr¨

age verzichtet und die Berechnung durch

eine implizite Speicherung der d¨

unn besetzten Entscheidungsmatrix beschleunigt.

F¨

ur das in Abschnitt 7.2.2 gegebene Modell (MDVSP) werden im Folgenden

die dualen Werte definiert. Seien πt

iin Iteration tdie dualen Werte der Flusserhal-

tungsrestriktionen (7.6) f¨

ur alle Knoten i∈N. Entsprechend seien ρt

s(∀s∈T)

und ωt

d(∀d∈D) die dualen Werte der Restriktionen (7.7) und (7.8). F¨

ur alle

136

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

in Iteration tnicht generierten Kanten werden die reduzierten Kosten berechnet:

ij =cij +πt

i−πt

j∀(i, j)∈(A\At) (7.25)

F¨

ur alle Kanten (i, j), die die Bedienung einer Servicefahrt s∈Trepr¨

asentieren,

werden zus¨

atzlich die dualen Werte der ¨

Uberdeckungsrestriktion ρt

sabgezogen.

Entsprechend werden f¨

ur Kanten, die den R¨

uckfluss von Depot d∈Drepr¨

asen-

tieren, die dualen Werte der Kapazit¨

atsrestriktion ωt

dabgezogen.

Mit der expliziten Berechnung der reduzierten Kosten f¨

ur alle (nicht generier-

ten) Kanten, k¨

onnen eine oder mehrere Kanten ausgew¨

ahlt werden, die in das

RMP der n¨

achsten Iteration aufgenommen werden. Theoretisch konvergiert der

Algorithmus durch die Aufnahme der Kante mit den kleinsten (negativen) redu-

zierten Kosten gegen die optimale LP-L¨

osung. Dieses Vorgehen wird auch Dantzig

Pricing (DP) genannt. Aufgrund der sehr großen Anzahl von Kanten und dem

hohen Grad der Modelldegeneration werden beim DP allerdings sehr viele Ite-

rationen durchgef¨

uhrt. Alternativ kann die Konvergenz durch die Verwendung

von Pricing-Strategien, die mehrere Kanten identifizieren, beschleunigt werden.

Die Auswahl von zu vielen Kanten f¨

uhrt zu einem so großen RMP, dass es nicht

mehr effizient zu l¨

osen ist. Eine Pricing-Strategie sollte daher einen geeigneten

Trade-Off zwischen der von der Kantenanzahl abh¨

angigen Laufzeit des RMPs

und der Anzahl ben¨

otigter Iterationen finden. Im Folgenden werden m¨

ogliche

Pricing-Strategien vorgestellt.

1. Multiple Dantzig Pricing (MDP): Bei der Strategie des Multiple Dant-

zig Pricing werden, statt der Auswahl der Kante mit den kleinsten redu-

zierten Kosten, mehrere Kanten ausgew¨

ahlt. Dazu werden die im Pricing

Problem betrachteten Kanten absteigend nach ihren reduzierten Kosten

sortiert und die ersten xKanten ausgew¨

ahlt. Die Anzahl xwird dynamisch

in Abh¨

angigkeit von der Gesamtanzahl der Netzwerkkanten sowie der Gr¨

oße

des aktuellen RMP festgelegt. Dieser Strategie liegt die Annahme zugrunde,

dass Variablen mit den geringsten reduzierten Kosten das gr¨

oßte Potential

zur Verbesserung des RMP haben.

2. Multiple Time Slot Pricing (MTSP): Da die reduzierten Kosten ab-

h¨

angig von den dualen Werten aus dem RMP sind, k¨

onnen extreme Aus-

pr¨

agungen der dualen Werte dazu f¨

uhren, dass viele ¨

ahnliche Kanten im

MDP ausgew¨

ahlt werden. Existiert zum Beispiel eine Knotenrestriktion mit

einem sehr großen dualen Wert, dann werden die Kanten aus allen Netz-

werkschichten ausgew¨

ahlt, die ihn als Endknoten haben. Diese Auswahl

kann dazu f¨

uhren, dass vor allem die M¨

oglichkeiten innerhalb eines kleinen

137

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Zeitraums in das n¨

achste RMP einbezogen werden. Da eine Verbesserung

von Uml¨

aufen meist nicht lokal, sondern durch neue Kombinationen ¨

uber

den gesamten Tagesverlauf entsteht, wird durch das Multiple Time Slot

Pricing eine ausgeglichenere Verteilung der ausgew¨

ahlten Kanten ¨

uber den

Planungszeitraum angestrebt. Der Planungstag wird in gleich große Zeitbe-

reiche aufgeteilt (z.B. Stunden) und jede Kante dem Zeitbereich zugeteilt,

innerhalb dessen die modellierte Aktion (z.B. Fahrt) stattfindet. Endet die

Aktion in einem anderen Intervall als sie anf¨

angt, entscheidet der gr¨

oßere

Anteil ¨

uber die Zuteilung. F¨

ur jeden Zeitbereich wird im Pricing Problem

das MDP durchgef¨

uhrt, wobei f¨

ur jeden Bereich entsprechend weniger Kan-

ten ausgew¨

ahlt werden, so dass die Gesamtzahl der generierten Kanten in

jeder Iteration der des MDP entspricht.

3. Lagrangean Pricing (LRPcc/LRPdf ): Innerhalb des Mehrg¨

uter Fluss-

modells werden die m¨

oglichen Fahrten jeweils von einer Kante modelliert,

die einer Variable im mathematischen Modell entspricht. Bei der Betrach-

tung der reduzierten Kosten von einzelnen Kanten werden daher nur lokale

Verbesserungsm¨

oglichkeiten innerhalb des Netzwerks untersucht. Da das

Ziel des Kantengenerierungsalgorithmus die Verbesserung der Umlaufkos-

ten ist und die Fahrten innerhalb eines Umlaufs voneinander abh¨

angig sind,

kann die gleichzeitige Betrachtung von mehreren Kanten vielversprechend

sein. Im Lagrangean Pricing (vgl. [L¨

obel, 1998]) werden diese Kanten durch

eine L¨

osung des Gesamtproblems identifiziert, bei dem den Kanten statt

der urspr¨

unglichen Kostenwerte die reduzierten Kosten der aktuellen Ite-

ration zugewiesen werden. Durch die Minimierung der Zielfunktion werden

Uml¨

aufe generiert, deren verwendete Kanten insgesamt die kleinsten nega-

tiven Kosten haben. Die Verwendung von Kanten in dieser L¨

osung stellt

ein Indiz f¨

ur die Eignung zur Verbesserung des RMP dar. Zur effizienten

Durchf¨

uhrung dieser Optimierung wird das Problem durch die Relaxation

von Restriktionen vereinfacht. Alle Kanten, die in einer L¨

osung des Hilfs-

problems vorhanden sind und noch nicht im RMP vorhanden sind, werden

zum aktuellen RMP hinzugef¨

ugt. Dabei k¨

onnen Kanten mit positiven Kos-

ten ausgew¨

ahlt werden, die in Kombination mit anderen Kanten insgesamt

negative reduzierte Kosten haben.

F¨

ur die L¨

osung des beschriebenen Hilfsproblems k¨

onnen die in Abschnitt

7.19 vorgestellten Lagrange Relaxationen verwendet werden. Das Lagran-

gean Pricing mit Relaxation der ¨

Uberdeckungsrestriktionen LRcc(λ) wird

daher mit cij =ct

ij und λ= 0 gel¨

ost. Die gezeigte Umformulierung der

Problemstellung in Verbindung mit der Relaxation der Restriktionen zur

138

7.3 L¨

osungen durch Kantengenerierung

Erhaltung der Depoteigenschaft LRdc(π) wird entsprechend mit cij =ct

und π= 0 gel¨

ost. Da die Kanten f¨

ur die Servicefahrten in der Formulierung

durch je zwei Kanten ersetzt wurden, werden die reduzierten Kosten der

Servicefahrten zu gleichen Teilen auf diese Kanten aufgeteilt. Die Strategi-

en werden im Folgenden LRPcc und LRPdf bezeichnet.

Der in jeder Iteration anfallende Laufzeitaufwand f¨

ur das Pricing ist abh¨

angig

von der Anzahl der Kanten, die nicht im RMP sind. Zum einen m¨

ussen f¨

ur je-

de dieser Kanten die reduzierten Kosten berechnet werden und je nach Pricing-

Strategie ein Optimierungsmodell mit diesen Kanten gel¨

ost werden. Zur Beschleu-

nigung des Pricing-Schritts sollte daher die Anzahl der zu betrachtenden Varia-

blen reduziert werden.

Die Variablen der nicht im RMP vorhandenen Kanten entsprechen Nichtbasis-

Variablen, die auf ihre untere Schranke (0) gesetzt sind. Um diese Variablen auf

diesen Wert zu fixieren, so dass die entsprechende Kante nicht weiter betrachtet

werden muss, kann das Reduced Cost Fixing (vgl. [Wolsey, 1998]) angewendet

werden. Sei LB (bzw. UB) eine g¨

ultige untere (bzw. obere) Schranke f¨

ur das

gesamte Modell, dann gilt f¨

ur das vorliegende Minimierungsproblem:

xij ≤UB −LB

cij ∀a∈(A\At) (7.26)

Um eine Variable auf 0 fixieren zu k¨

onnen, muss die rechte Seite der obigen

Ungleichung gleich 0 sein. Da die rechte Seite abgerundet wird, reicht es aus,

wenn sie echt kleiner 1 ist:

UB −LB

cij

<1⇒xij = 0 (7.27)

Durch die Verfahren zur Bestimmung von unteren und oberen Schranken in der

Initialisierungsphase sowie w¨

ahrend der Kantengenerierung kann f¨

ur jede Itera-

tion der Gap (UB −LB) berechnet werden. Da im Pricing f¨

ur jede Variable die

reduzierten Kosten berechnet werden, kann die Pr¨

ufung ohne sp¨

urbaren Lauf-

zeitaufwand f¨

ur jede Variable vorgenommen werden. Eine Variable xij kann dau-

erhaft aus der Betrachtung genommen werden bzw. auf 0 fixiert werden, wenn

die reduzierten Kosten den aktuellen Gap ¨

uberschreiten: cij >(UB −LB).

7.3.4 Ganzzahlige L¨

osungen

In Schritt 2 des Kantengenerierungsalgorithmus von Seite 132 wird die LP-Re-

laxation mit einer Teilmenge der Netzwerk-Kanten des Mehrg¨

uter Flussmodells

139

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

gel¨

ost. Durch die besondere Eigenschaft in dieser Arbeit betrachteten Umlauf-

planungsprobleme, dass in der L¨

osung des LP keine oder nur wenige Variablen

fraktionelle Werte aufweisen (s. Abschnitt 6.2.3), kann sowohl w¨

ahrend der Kan-

tengenerierung (Schritt 3) als auch zur abschließenden L¨

osung des MIP (Schritt

7) genutzt werden.

W¨

ahrend der Kantengenerierung k¨

onnen verschiedene Strategien zur Identifi-

kation von g¨

ultigen L¨

osungen herangezogen werden. Sie unterscheiden sich nach

der Intensit¨

at des Aufwands, der zur Suche nach einer L¨

osung aufgewendet wird.

Je nachdem wie wichtig f¨

ur einen Anwendungsfall die Ausgabe von heuristischen

L¨

osungen w¨

ahrend der Laufzeit ist, kann durch die Auswahl eines Verfahrens der

Trade-Off zwischen Gesamtlaufzeit und gefundenen g¨

ultigen L¨

osungen gesteuert

werden.

1. Im einfachsten Fall werden die Variablen der LP-L¨

osung auf ihre Ganzzah-

ligkeit ¨

uberpr¨

uft und f¨

ur den Fall, dass keine fraktionellen Werte vorhanden

sind, eine g¨

ultige L¨

osung gebildet. Durch diese Strategie entsteht ein mini-

maler Zusatzaufwand, da ggf. nicht nach g¨

ultigen L¨

osungen gesucht wird.

2. Als Erweiterung der ersten Strategie kann bei nicht g¨

ultigen L¨

osungen

ein Rundungsverfahren ausgef¨

uhrt werden, dass zur Bildung einer g¨

ultigen

L¨

osung f¨

uhren kann. Dazu werden die in der L¨

osung vorhandenen Varia-

blenwerte absteigend nach ihrem Grad der Fraktionalit¨

at ξader Kante a

sortiert mit:

ξa=|[xa]−xa| ∀ a∈˜

At(7.28)

Die Variable mit der geringsten Fraktionalit¨

at (mina∈˜

Atξa) wird auf den

n¨

achsten ganzzahligen Wert gerundet. Da durch die Ver¨

anderung die Re-

striktionen verletzt werden, an denen die Variable beteiligt ist, m¨

ussen alle

anderen Variablen entsprechend angepasst werden und mit den in Folge der

Anpassung ung¨

ultigen Restriktionen entsprechend verfahren werden. An-

schließend wird der Grad der Fraktionalit¨

at f¨

ur alle Variablen neu bewertet

und diese Schritte solange wiederholt bis eine g¨

ultige L¨

osung entstanden ist

oder aufgrund von Zeit- oder Ung¨

ultigkeit abgebrochen wird.

3. Eine alternative Strategie ist es, f¨

ur die Suche nach einer g¨

ultigen L¨

osung

auf Standardoptimierungsbibliotheken zur¨

uckzugreifen, die f¨

ur die Suche

nach g¨

ultigen L¨

osungen im ersten Knoten eines Branch&Bound oder ei-

nes Branch&Cut Algorithmus eine Reihe von Techniken implementiert ha-

ben. Diesem so genannten ”Supernode Processing“ kann eine optimale LP-

L¨

osung ¨

ubergeben werden, so dass die Optimierungssoftware f¨

ur eine vor-

gegebene Zeit nach g¨

ultigen L¨

osungen suchen kann. Da die L¨

osung des

140

7.4 Systemintegration und Preprocessing

RMP mit Algorithmen aus Standardoptimierungssoftware gel¨

ost wird (s.

Abschnitt 7.3.2), ist die optimale LP-L¨

osung direkt verf¨

ugbar. Ein weite-

rer Vorteil ist, dass diese Strategie durch die Angabe der verf¨

ugbaren Zeit

flexibel skalierbar ist.

In Schritt 7 des Kantengenerierungsalgorithmus wird das mathematische Mo-

dell des letzten RMPs als MIP gel¨

ost. Dabei wird ausgehend von der optimalen

LP-L¨

osung auf B&B bzw. B&C Algorithmen aus Standardoptimierungssoftwa-

re zur¨

uckgegriffen. Numerische Tests sowie die Parametereinstellungen f¨

ur die

verwendeten Algorithmen sind in Abschnitt 7.5 beschrieben.

7.4 Systemintegration und Preprocessing

F¨

ur den Einsatz eines Optimierungsverfahrens wie des im vorigen Abschnitt vor-

gestellten Kantengenerierungsalgorithmus ist eine Integration der Methode in ein

Planungssystem notwendig. Dieses System stellt unter anderem die Kommunika-

tion zum Planer und die Verwaltung der Daten sicher. Der Optimierungsmethode

werden die notwendigen Informationen ¨

ubergeben, wobei das Datenmaterial in

der Praxis h¨

aufig unvollst¨

andig, redundant oder f¨

ur ein Optimierungsverfahren

in ungeeigneter Weise zusammengestellt ist, so dass vorab eine Bereinigung um

redundante oder nicht relevante Daten erfolgt.

Neben der geeigneten Aufbereitung der Daten k¨

onnen Techniken integriert wer-

den, die zus¨

atzliche Anforderungen des Planers ber¨

ucksichtigen oder durch ein

heuristisches Vorgehen die ben¨

otigte Optimierungslaufzeit senken. Diese Techni-

ken k¨

onnen in Form eines ”Preprocessing“ unabh¨

angig von der L¨

osungsmethode

eingesetzt werden. Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Vorgehen basiert

auf der Ausf¨

uhrung von unterschiedlichen Modulen, die unabh¨

angig voneinander

verwendet werden k¨

onnen. Durch eine vorgegebene Reihenfolge der Ausf¨

uhrung

werden die Module so ineinander verschachtelt, dass sie ohne Kenntnis der in

anderen Modulen durchgef¨

uhrten Ver¨

anderungen die Korrektheit einer L¨

osung

erhalten. Die Module sind dazu in verschiedenen Stufen angeordnet. Auf jeder

k¨

onnen die Daten entsprechend der Module angepasst werden und an die n¨

achste

ubergeben werden bis in der letzten Stufe die Umlaufoptimierung auf Basis der

resultierenden Informationen durchgef¨

uhrt wird. Verschiedene Module k¨

onnen

bewirken, dass die Problemstellung in mehrere voneinander unabh¨

angige Pro-

blemstellungen aufgeteilt wird. Die nachfolgenden Stufen werden dann f¨

ur jedes

Teilproblem getrennt durchgef¨

uhrt, so dass in der letzten Stufe eine Reihe von

Optimierungsproblemen zu der urspr¨

unglichen Problemstellung zu l¨

osen ist. Nach

141

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

der Durchf¨

uhrung der Optimierung werden die Stufen in umgekehrter Reihenfol-

ge durchlaufen und ggf. Anpassungen an den Ergebnissen get¨

atigt, um die Kon-

sistenz wiederherzustellen. Die Einbettung der Kantengenerierungsalgorithmus in

dieses Verfahren ist in Abbildung 7.5 dargestellt. Durch die grau hinterlegten Mo-

dule werden Techniken markiert, die zu einer Ver¨

anderung der L¨

osungsqualit¨

f¨

uhren (Heuristiken). Die weiß hinterlegten Module k¨

onnen die Daten ver¨

andern,

aber erhalten dabei optimale L¨

osungen.

In der ersten Stufe werden die zur Durchf¨

uhrung einer Umlaufoptimierung not-

wendigen Daten aus einer Schnittstelle zum Entscheidungsunterst¨

utzungssystem

ausgelesen. Diese beinhalten neben den in Kapitel 2 beschriebenen Informatio-

nen zu Fahrplan und Topologie auch die vom Benutzer einstellbaren Parame-

ter zur Steuerung der Optimierung. Nach dem Einlesen werden die Daten hin-

sichtlich m¨

oglicher Redundanzen, ¨

uberfl¨

ussiger Daten oder Unvollst¨

andigkeiten

uberpr¨

uft und entsprechend angepasst. Unter anderem werden nicht verwende-

te Haltestellen, Depots und Fahrzeugtypen gefiltert und die Verbindungsmatrix

vervollst¨

andigt. Dazu wird f¨

ur fehlende Verbindungsangaben ein k¨

urzester-Wege-

Algorithmus (vgl. [Ahuja et al., 1993]) ¨

uber das Netzwerk der Haltestellen mit

den vorhandenen Verbindungsangaben durchgef¨

uhrt. Im letzten Modul dieser

Stufe werden die Fahrzeugtypen entsprechend des in Abschnitt 7.1 vorgestellten

Verfahrens zur Substitution von Fahrzeugtypen zusammengefasst. Das Verfahren

kann unabh¨

angig von der Heuristik zur Anpassung der gesamten Problemstel-

lung eingesetzt werden, wobei je nach Anzahl der durchgef¨

uhrten Phasen der

Substitution eine optimale oder heuristische L¨

osung erm¨

oglicht wird.

In der zweiten Stufe des ”Preprocessing“ k¨

onnen Techniken zur Reduktion der

numerischen Komplexit¨

at bei Planungsproblemen mit Zeitfenstern durchgef¨

uhrt

werden (vgl. [Bunte et al., 2005]). Zus¨

atzlich kann in dieser Stufe eine Heuristik

zur schnellen Fixierung von Linienanschl¨

ussen ausgef¨

uhrt werden. Das Verfah-

ren basiert auf der Beobachtung, dass die Servicefahrten in realen Fahrpl¨

anen

h¨

aufig in einer von der Linien abh¨

angigen Taktung angelegt sind. In den F¨

allen

beginnt eine neue Servicefahrt der gleichen Linie kurz nach der Ankunft der vor-

herigen. Die Heuristik identifiziert Anschl¨

usse, bei denen zwei Servicefahrten, die

die gleiche Linie bedienen an der gleichen Haltestelle verkn¨

upft werden k¨

onnen.

Eine Fixierung dieser Anschl¨

usse f¨

uhrt zum einen zu einer geringeren numeri-

schen Komplexit¨

at des zu l¨

osenden VSPs. Außerdem entstehenden tendenziell

Uml¨

aufe mit weniger Linienwechseln. Allerdings f¨

uhrt die Verkn¨

upfung von Ser-

vicefahrten zu einer Verkleinerung des betrachteten L¨

osungsraums und damit zu

einer heuristischen L¨

osung. Je k¨

urzer die Zeit zwischen der Ankunft der ersten

Fahrt und der Abfahrt der zweiten Fahrt ist, umso weniger Potential geht bei ei-

ner Fixierung dieses Anschlusses verloren. Die Entscheidung ¨

uber eine Fixierung

142

7.4 Systemintegration und Preprocessing

Parameter /

Daten einlesen

Fahrplan

analysieren

und filtern

Fahrzeugtypen

substituieren

Zeitfenster-

komplexität

reduzieren

Anschlüsse

fixieren

Disjunkte

Fahrpläne

aufteilen

Vorgegebene

Linienbündel

aufteilen

Sicherstellung

von Routen-

restriktionen

Stabile

Fahrtketten

fixieren

Kanten-

generierungs-

algorithmus

Teilprobleme

zusammen-

führen

Stabile

Fahrtketten

auftrennen

Fixierte

Anschlüsse

auftrennen

Substituierte

Fahrzeugtypen

zuweisen

Umlaufpläne

und Statistiken

erstellen

Modellanalyse

und Parameter-

anpassung

Stufe 1:

Stufe 2:

Stufe 3:

Stufe 4:

Stufe 5:

Abbildung 7.5: Einbettung des Kantengenerierungsalgorithmus

143

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

erfolgt daher ¨

uber einen Parameter γ, der die akzeptierte Wartedauer zwischen

den Anschl¨

ussen definiert. Zwei Servicefahrten a, b ∈Twerden fixiert, wenn sie

•die gleiche Linie bedienen,

•ohne Verbindungsfahrt verkn¨

upft werden k¨

onnen (ha=gb) und

•innerhalb der akzeptierten Wartezeit stattfinden (eb−fa≤γ).

Alle durch fixierte Anschl¨

usse verbundenen Servicefahrten werden f¨

ur die folgen-

den Stufen als eine lange Fahrt modelliert. Durch Anpassung des Parameters γ

kann ein Planer zwischen linienreinen Uml¨

aufen und Kosteneffizienz abw¨

agen.

In Stufe 3 wird der bereinigte Fahrplan auf die Existenz von unabh¨

angigen

Teilproblemen hin ¨

uberpr¨

uft. Wenn die Menge der Servicefahrten in zwei oder

mehr Teilmengen aufteilbar ist und diese bez¨

uglich Endhaltestellen, Verbindungs-

m¨

oglichkeiten und Depots unabh¨

angig voneinander sind, werden die Fahrpl¨

ane

aufgeteilt und in den sp¨

ateren Stufen getrennt voneinander betrachtet. Neben

dieser Aufteilung k¨

onnen auch vom Planer vorgegebene Mengen von Linien (Li-

nienb¨

undel) getrennt voneinander optimiert werden, indem f¨

ur jedes Linienb¨

undel

ein Fahrplan mit den Servicefahrten der angegebenen Linien erstellt wird. Zus¨

atz-

lich kann in dieser Stufe die maximale Anzahl unterschiedlicher Linien pro Umlauf

ber¨

ucksichtigt werden, indem die Fahrpl¨

ane so aufgeteilt werden, dass keine Ver-

letzung der Restriktion m¨

oglich ist. Die Begrenzung kann dadurch sichergestellt

werden, dass in jedem Unterproblem maximal die vorgegeben Anzahl unterschied-

licher Linien vorhanden ist. An dieser Stelle sei angemerkt, dass durch dieses Vor-

gehen die L¨

osungsqualit¨

at drastisch verschlechtert werden kann, so dass dieses

Modul nur eingesetzt werden sollte, wenn die Einhaltung der Routenrestriktion

zwingend erforderlich ist.

In der vierten Stufe kann ein weiteres Modul zur Verringerung der zu be-

trachtenden Servicefahrten angewendet werden, in dem vereinfachte Problem-

stellungen zur Bildung von stabilen Fahrtketten gel¨

ost werden. Dabei werden

die Anschl¨

usse zwischen zwei Servicefahrten identifiziert, die bei L¨

osung von un-

terschiedlichen vereinfachten Umlaufplanungen in allen L¨

osungen enthalten sind.

Unter Annahme, dass diese Anschl¨

usse auch in einer guten oder optimalen L¨

osung

vorhanden sind, werden sie fixiert und die resultierenden Fahrtketten als jeweils

einzelne lange Fahrt im Fahrplan betrachtet (vgl. [Gintner et al., 2005]).

In der f¨

unften und letzten Stufe werden alle Problemstellungen, die in den vor-

hergehenden Stufen gebildet wurden, analysiert und mit individuell angepassten

Parametern mit dem vorgestellten Verfahren gel¨

ost. Durch die Aufteilung einer

Instanz k¨

onnen sich Problemstellungen ergeben haben, die sehr unterschiedliche

Charakteristika haben. So k¨

onnen Teilprobleme zum Beispiel als SD-VSP, f¨

144

7.5 Numerische Ergebnisse

die die L¨

osung der initialen Heuristik bereits eine optimale L¨

osung liefert. Durch

die Anpassung der Parameter k¨

onnen die spezifischen Besonderheiten daher zur

Steuerung der L¨

osungsmethode verwendet werden.

Alle vorgestellten Module sind unabh¨

angig voneinander einsetzbar. Bei dem

Ubergang in eine andere Stufe des Preprocessings werden allerdings ¨

Anderungen

an der originalen Problemstellung vorgenommen. Nach der Optimierung aller

Unterprobleme m¨

ussen diese ¨

Anderungen in einem Postprocessing ber¨

ucksichtigt

werden, so dass eine g¨

ultige L¨

osung f¨

ur die Originalformulierung gegeben werden

kann. Die in Stufe 4 fixierten stabilen Fahrtketten m¨

ussen dazu wieder in die

urspr¨

unglichen Servicefahrten und zus¨

atzliche Verbindungsfahrten zwischen den

Fahrten aufgespalten werden. Anschließend werden die L¨

osungen der in Stufe 3

gebildeten Teilprobleme in einer L¨

osung zusammengefasst. Entsprechend werden

f¨

ur alle Stufen die Anpassungen ber¨

ucksichtigt, so dass ein g¨

ultiger Umlaufplan

an das Entscheidungsunterst¨

utzungssystem zur¨

uckgegeben wird.

Die beschriebenen Schritte werden aufgrund der dynamischen L¨

osungsgene-

rierung im vorgestellten L¨

osungsverfahren nicht linear ausgef¨

uhrt. Da w¨

ahrend

der Optimierung Informationen und g¨

ultige L¨

osungen an den Planer ausgegeben

werden sollen, werden die nachgelagerten Schritte zur Herstellung der Konsistenz

zur Laufzeit f¨

ur jede g¨

ultige L¨

osung durchgef¨

uhrt. Im Falle von mehreren zu opti-

mierenden Unterproblemen, kann das Verfahren durch eine parallele Ausf¨

uhrung

der L¨

osungsmethoden beschleunigt werden. Die Zusammenfassung und Ausgabe

einer g¨

ultigen L¨

osung muss in diesem Fall von einer zentralen Instanz gesteuert

werden. Die parallele Durchf¨

uhrung von Optimierungen wurde im Rahmen die-

ser Arbeit allerdings nicht implementiert, da die vorliegenden Problemstellungen

ohne Verwendung einer heuristische Aufteilung keine M¨

oglichkeit der Paralleli-

sierung gezeigt haben.

7.5 Numerische Ergebnisse

Im folgenden Abschnitt werden die in den vorhergehenden Abschnitten vorgestell-

ten Methoden validiert. Dazu wurden die beschriebenen Verfahren implementiert

und anhand umfangreicher Tests auf den in Abschnitt 6.1.1 beschriebenen rea-

len Probleminstanzen evaluiert. Der Aufbau des Abschnitts orientiert sich an der

Gliederung der vorgestellten Methodik. Zur Bewertung der L¨

osungsqualit¨

at und

des Laufzeitverhaltens, wurden die Ergebnisse mit der alternativen Optimierung

unter Verwendung aktueller Standardoptimierungssoftware verglichen.

Die Implementierung der Methoden erfolgte in der Programmiersprache C#

und verwendet die Klassen des Microsoft .NET Frameworks in der Version 2.0.

145

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Um eine hochgradig effiziente Implementierung gew¨

ahrleisten zu k¨

onnen, wurde

die Verwendung dieses Frameworks auf die grundlegenden Datenstrukturen sowie

generische Listen beschr¨

ankt. Alle im Folgenden vorgestellten numerischen Tests

wurden auf einem Personal Computer (PC) durchgef¨

uhrt, der mit einem Intel

Core 2 Duo-Prozessor mit zwei auf 2,4 GHz getakteten Prozessorkernen und 8

Gigabyte Arbeitsspeicher ausgestattet war. Die Tests wurden unter dem 64-bit

Betriebssystem Microsoft Windows XP Professional x64 Edition durchgef¨

uhrt.

Alle Tests wurden auf der Basis des Mehrg¨

uter Flussmodells durchgef¨

uhrt (s.

Abschnitt 4.2.2). Tabelle 7.2 zeigt die Auspr¨

agungen der Problemdimensionen

f¨

ur die verbindungsbasierte (VBN) sowie die aggregierte Time-Space-Netzwerk-

basierte (TSN) Modellierung. Die Anzahl der verwendeten Kanten und damit der

Anzahl der Entscheidungsvariablen ist mit |A|T SN (bzw. |A|V BN )¨

uberschrieben.

Die Anzahl der Restriktionen ist durch |M|T SN (bzw. |M|T SN ) gegeben. Das

bereits in [Kliewer et al., 2006b] beschriebene Verhalten einer erheblichen Mo-

dellreduktion durch die Verwendung des TSN kann auch auf den dieser Ar-

beit zugrunde liegenden Instanzen best¨

atigt werden (vgl. Spalte |A|T SN

|A|V BN ). Da-

her wurde f¨

ur die im Folgenden vorgestellten numerischen Tests das mathemati-

sche Optimierungsmodell auf Basis des aggregierten Time-Space-Netzwerks auf-

gebaut. Die m¨

oglichen Aktionen werden durch unterschiedliche Typen von Kan-

ten modelliert. Tabelle 7.3 zeigt f¨

ur die Instanzenmenge die Anteile der Menge

aller Kantentypen an. Es werden die Kanten folgender T¨

atigkeiten unterschie-

den: Durchf¨

uhrung von Servicefahrten (Service), Umsetzfahrten (Deadhead), Ein-

oder Ausr¨

uckfahrten ins Depot (Depot), Repr¨

asentation einer Wartezeit (Warte)

sowie eine R¨

uckflusskante (R¨

uckfluss) pro Schicht.

7.5.1 Optimierung mit Standardoptimierungssoftware

Zum Vergleich der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Verfahren wurden die

mathematischen Modelle mit der f¨

uhrenden Standardoptimierungssoftware ILOG

CPLEX in der Version 11.0.1 gel¨

ost. Zur L¨

osung der initialen LPs wurden f¨

alle Instanzen die Methoden der Standardsoftware primaler Simplex,dualer Sim-

plex und Barrier1verwendet. Dar¨

uber hinaus wurden die Parameter basierend

auf den Erfahrungen aus [Kliewer, 2005] angepasst, so dass die L¨

osungszeit ge-

gen¨

uber den Standardeinstellungen der Software verringert wurde.

Die Ergebnisse f¨

ur die Optimierung mittels der Standardoptimierungssoftware

sind in Tabelle 7.4 gegeben. Im Bereich Optimale Kosten sind die nach fixen und

operativen Kosten aufgeschl¨

usselten Gesamtkosten einer optimalen L¨

osung f¨

alle Instanzen dargestellt. Zus¨

atzlich ist die optimale Anzahl der Uml¨

aufe dar-

1Die Barrier Methode ist eine Implementierung eines Innere-Punkte-Verfahrens.

146

7.5 Numerische Ergebnisse

Instanz |A|T SN |M|T SN |A|V BN |M|V BN |A|T SN

|A|V BN

real 1 4.482 1.409 65.596 1.274 6,8 %

real 2 2.915 1.445 80.898 1.280 3,6 %

real 3 40.291 2.663 559.908 4.347 7,2 %

real 4 25.754 1.458 767.330 4.670 3,4 %

real 5 544.425 6.068 18.941.169 48.842 2,9 %

real 6 56.334 4.461 2.699.067 15.195 2,1 %

real 7 781.180 7.810 30.426.456 59.874 2,6 %

real 8 99.305 7.847 5.150.600 12.264 1,9 %

real 9 134.194 8.610 8.676.615 18.437 1,5 %

real 10 127.462 8.791 7.031.922 14.129 1,8 %

real 11 46.897 4.102 1.498.547 9.211 3,1 %

real 12 4.525.530 231.846 183.753.676 213.174 2,5 %

real 13 2.191.866 161.590 194.977.869 162.610 1,1 %

real 14 12.764.066 653.700 939.389.952 665.556 1,4 %

real 15 1.657.423 17.010 63.437.955 154.300 2,6 %

Tabelle 7.2: Dimensionen der Netzwerke

Instanz Service Deadhead Depot Warte R¨

uckfluss

real 1 424 2.280 826 951 1

real 2 426 675 838 975 1

real 3 1.734 31.629 3.398 3.524 6

real 4 1.684 16.746 3.354 3.967 3

real 5 23.504 419.726 46.722 54.460 13

real 6 6.568 26.412 10.486 12.862 6

real 7 28.728 631.841 56.844 63.755 12

real 8 4.904 74.237 9.478 10.684 2

real 9 7.899 92.692 15.663 17.937 3

real 10 5.650 98.834 11.086 11.890 2

real 11 3.067 30.796 6.071 6.958 5

real 12 101992 4001798 203466 218241 33

real 13 75935 1820068 146228 149620 15

real 14 327367 11166200 633002 637441 56

real 15 71563 1282325 141655 161824 56

Tabelle 7.3: Anzahl modellierter Kanten im TSN

147

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

gestellt. Im Bereich Laufzeiten LP-Phase sind die L¨

osungsdauern (in Sekunden)

der initialen LPs unter Verwendung der unterschiedlichen Verfahren aufgezeigt.

Die Anzahl der Variablen in der LP-L¨

osung mit fraktionellen Werten sowie die

resultierende Laufzeit zur L¨

osung des Branch&Cut Verfahrens in der IP-Phase

sind in den Spalten des Bereichs IP-Phase dargestellt. Die schnellste L¨

osungszeit

f¨

ur eine Instanz ist fett dargestellt.

Alle durchgef¨

uhrten Tests wurden nach einer maximalen Laufzeit von 10 Stun-

den abgebrochen. Dies galt f¨

ur die Instanz real 13, von der das LP gel¨

ost werden

konnte, aber in der anschließenden IP-Phase keine g¨

ultige MIP-L¨

osung gefun-

den wurde. F¨

ur real 12 wurde das LP nicht innerhalb der Zeit gel¨

ost und f¨

real 14 konnte das mathematische Modell aufgrund limitierten Arbeitsspeichers

nicht aufgebaut werden. F¨

ur die verbleibenden Instanzen wurde eine optimale

L¨

osung bestimmt.

Bei der L¨

osung der LPs zeigt sich, dass der duale Simplex f¨

ur die Mehrzahl der

Instanzen die schnellste L¨

osungsmethode ist. Mit dem primalen Simplex k¨

onnen

nur wenige Instanzen, und diese nur mit langer Laufzeit, gel¨

ost werden. F¨

ur In-

stanzen mit großen Modelldimensionen (s. Tabelle 7.2) erweist sich allerdings

tendenziell die Barrier Methode als schneller, so dass große Problemstellungen

wie real 13 nur mit dieser Methode l¨

osbar sind. Eine Ausnahme bilden inner-

halb der betrachteten Instanzenmenge die Probleme real 5 und real 7, bei de-

nen das Barrier Verfahren eine sehr lange Laufzeit aufweist bzw. keine optimale

L¨

osung findet. Bei genauerer Betrachtung dieser Optimierungen zeigt sich, dass

das Innere-Punkte-Verfahren innerhalb der Barrier Methode vergleichbar schnell

konvergiert (nach 385 bzw. 843 Sekunden), aber der Einsatz des primalen Sim-

plex im abschließenden Crossover zur großen Laufzeit f¨

uhrt. Dieses Verhalten

k¨

onnte auf die Struktur dieser Instanzen zur¨

uckzuf¨

uhren sein. Denn bei einer

großen Anzahl an betrachteten Depots in Verbindung mit nur einem Fahrzeug-

typen existiert eine große Anzahl von Kanten, die in allen Schichten (Depots)

gleiche Kostenwerte aufweisen. Dies kann zu einer sehr starken Degeneration der

Basisl¨

osungen im primalen Simplex und damit zu einer schlechten Konvergenz

f¨

uhren.

Wie bereits in Abschnitt 6.2.3 diskutiert wurde, weisen optimale LP-L¨

osungen

der realen Probleminstanzen nur einen geringen Anteil an fraktionellen Variablen

auf. Auff¨

allig ist, dass mit steigender numerischer Komplexit¨

at einer Instanz ne-

ben der ben¨

otigten Laufzeit zur L¨

osung des LP auch der Grad der Fraktionalit¨

steigt. So sind die LP-L¨

osungen von den Instanzen mit geringer Modellgr¨

oße be-

reits g¨

ultig und es ist kein Laufzeitaufwand innerhalb der IP-Phase notwendig.

Bei großen Instanzen f¨

uhrt eine st¨

arkere Fraktionalit¨

at der LP-L¨

osung zu Auf-

wand innerhalb der IP-Phase, der Anteil fraktioneller Variablen bleibt aber f¨

148

7.5 Numerische Ergebnisse

Instanz Optimale Kosten Laufzeiten LP-Phase IP-Phase

Gesamt Fixe Operative #Uml. primal dual barrier #Frak. Laufzeit

real 1 2.942.925 2.900.000 42.925 29 0,2 0,0 0,2 0 0

real 2 1.934.176 1.920.000 14.176 32 0,1 0,0 0,1 0 0

real 3 71.003.097 71.000.000 3.097 71 5 25 0 0

real 4 54.271.201 51.600.000 2.671.201 47 3 02 0 0

real 5 236.494.606 234.300.000 2.194.606 55 –16.187 26.268 3.012 820

real 6 21.432.487 21.300.000 132.487 115 140 62 17 0 0

real 7 347.974.843 345.060.000 2.914.843 81 –113.185 –16.529 1.857

real 8 344.878.979 340.370.000 4.508.979 101 238 326 0 0

real 9 12.649.516 12.500.000 149.516 125 1.508 178 108 371 103

real 10 235.556.882 230.920.000 4.636.882 92 203 13 30 0 0

real 11 273.675.596 265.800.000 7.875.596 173 2 03 0 0

real 12 – – – 3622–1–1–1– –

real 13 – – – 3562–1–16.808 36.954 –1

real 14 – – – 3562–3–3–3– –

real 15 1.494.268.460 1.477.760.000 16.508.460 393 –121.226 2.000 14.668 7.398

1Optimierung wurde nach 36.000 Sekunden Laufzeit abgebrochen.

2Optimale Fahrzeuganzahl wurde durch neue Heuristik berechnet.

3Modell konnte aufgrund unzureichendem Arbeitsspeicher (8 GB) nicht aufgebaut werden.

Tabelle 7.4: Ergebnisse mit Standardoptimierungssoftware

149

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

alle Instanzen unter 1%.

Nach der Vorstellung der Ergebnisse, die mit aktueller Standardoptimierungs-

software erreicht werden konnten, werden in den Folgenden Abschnitten die Aus-

wertungen f¨

ur die in diesem Kapitel pr¨

asentierten Methoden aufgezeigt.

7.5.2 Initialisierungsphase

Im Rahmen Initialisierungsphase der in diesem Kapitel vorgestellten neuen L¨

sungsmethodik werden die in Abschnitt 7.1 beschriebene Heurstik sowie die in

Abschnitt 7.2 pr¨

asentierten Methoden zur Bestimmung von unteren Schranken

ausgef¨

uhrt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.5 dargestellt und werden im Folgen-

den diskutiert.

Heuristik

Unter Verwendung der neuen Heuristik konnten alle betrachteten Instanzen gel¨

ost

werden. Da die Methode die Verwendung der minimalen Anzahl eingesetzter

Fahrzeuge sicherstellt und die Fixkosten der Fahrzeuge f¨

ur reale Probleminstan-

zen die Zielfunktion dominieren, weichen die Kosten aller mit Hilfe der Heuristik

gefundenen L¨

osungen weniger als ein Promille vom Zielfunktionswert optimaler

L¨

osungen ab (s. Spalte Gap (ges.)). Aus diesem Grund sind in den Spalten Gap

(oper.) die Abweichungen der g¨

ultigen L¨

osungen nach Phase 2 und 3 der Heuristik

von den optimalen operativen Kosten gezeigt. Diese konnten f¨

ur kleine Instanzen

optimal bestimmt werden und lagen f¨

ur gr¨

oßere Instanzen maximal 3,8% ¨

uber

den optimalen operativen Kosten.

Die L¨

osungszeiten f¨

ur die Heuristik liegen f¨

ur die meisten Instanzen im Bereich

weniger Sekunden. Lediglich f¨

ur die großen Instanzen, f¨

ur die die Standardopti-

mierungssoftware keine L¨

osung gefunden hat, werden Zeiten von mehreren Minu-

ten ben¨

otigt (bis zu ca. 45 Minuten f¨

ur die gr¨

oßte Instanz). Die L¨

osungsdauern

sind in den Spalten Laufzeiten (Sekunden) aufgeschl¨

usselt f¨

ur die drei Phasen der

Heuristik gegeben.

Untere Schranken

Im Bereich Untere Schranken der Tabelle 7.5 sind die Ergebnisse f¨

ur die Verfah-

ren zur Bestimmung von unteren Schranken mittels Modellaggregation (AggrLB)

und durch Relaxation der Depotflusserhaltung (LRdf (0)) gegeben (s. Abschnitte

7.2.1 und 7.2.2). Da die Verfahren im besten Fall den Zielfunktionswert der LP-

Relaxation erreichen k¨

onnen, sind in den Spalten Gap (zum LP) die relativen Ab-

weichungen der L¨

osungen zum optimalen LP-Zielfunktionswert gegeben. In den

150

7.5 Numerische Ergebnisse

Instanz Heuristik Untere Schranken

Gap (ges.) Gap (oper.) Laufzeit (Sekunden) Gap (zum LP) Laufzeit (Sekunden)

Phase 3 Phase 2 Phase 3 Phase 1 Phase 2 Phase 3 AggrLB LRdf (0) AggrLB LRdf (0)

real 1 0,000% 0,000% 0,000% 0 0 0 0,000% 0,000% 0 0

real 2 0,000% 0,000% 0,000% 0 0 0 0,000% 0,000% 0 0

real 3 0,000% 0,775% 0,000% 2 0 0 0,000% 0,000% 1 1

real 4 0,000% 0,000% 0,000% 2 0 0 0,000% 0,000% 1 0

real 5 0,027% 3,264% 2,914% 1 0 9 0,006% 0,002% 1 15

real 6 0,013% 2,257% 2,135% 5 0 1 5,609% 15,874% 1 1

real 7 0,032% 4,292% 3,763% 1 0 23 0,001% 0,001% 1 24

real 8 0,022% 2,336% 1,715% 1 0 2 0,001% 0,000% 1 1

real 9 0,031% 3,170% 2,630% 1 0 2 0,004% 0,002% 0 7

real 10 0,022% 1,171% 1,128% 1 0 2 0,000% 0,000% 1 2

real 11 0,000% 2,280% 0,000% 3 0 1 0,000% 0,000% 1 1

real 12 –1–1–12.711 1 38 –2–21.423 73

real 13 –1–1–11.451 1 14 0,175% 4,274% 5.069 173

real 14 –1–1–1772 3 13 –2–245 239

real 15 0,020% 2,125% 1,778% 9 2 58 0,030% 0,004% 12 63

1L¨

osung wurde gefunden, aber es ist keine optimale L¨

osung bekannt.

2Untere Schranke wurde berechnet, aber es ist keine optimale LP-L¨

osung bekannt.

Tabelle 7.5: Ergebnisse der Initialisierungsphase

151

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

meisten F¨

allen konnte der LP-Wert oder eine geringe Abweichung zu ihm in weni-

gen Sekunden erreicht werden (s. Spalten Laufzeit (Sekunden)). Eine Ausnahme

bildet die Instanz real 6, bei der die unteren Schranken um mehrere Prozent

vom LP-Optimum abweichen. Ein Grund hierf¨

ur ist die stark unterschiedliche

Kostenstruktur der Fixkosten f¨

ur die unterschiedlichen Fahrzeugtypen. Da die

Methoden zur Bestimmung der unteren Schranken nicht die optimalen Fixkosten

bestimmen, kann diese stark heterogene Kostenstruktur zu schlechten unteren

Schranken f¨

uhren.

Das Verfahren LRdf (0) weist in der Regel eine gr¨

oßere Laufzeit auf als AggrLB,

aber f¨

uhrt bei mehreren Instanzen zu besseren L¨

osungen. F¨

ur schwierige Instan-

zen (z.B. real 6 mit einer heterogenen Struktur der Fixkosten) scheint LRdf (0)

allerdings ungeeignet zu sein. Bei diesen Instanzen liefert AggrLB zum Teil deut-

lich bessere untere Schranken.

7.5.3 Verbesserungsphase

Im Folgenden werden die Ergebnisse der in Abschnitt 7.3 vorgestellten Verbesse-

rungsphase pr¨

asentiert. Da die Heuristik, wie im vorhergehenden Abschnitt dar-

gestellt wurde, bereits f¨

ur die Instanzen real 1,real 2,real 3,real 4, und real 11

optimale L¨

osungen gefunden hat, werden diese in den folgenden Untersuchungen

nicht betrachtet.

Pricing Problem

Zum Vergleich der in Abschnitt 7.3.3 vorgestellten Strategien zur Auswahl neuer

Kanten f¨

ur das Master Problem wurden die Instanzen mit bis auf die Pricing-

Strategie identischen Parametern gel¨

ost. Die Initialisierung des ersten RMP wur-

de mit den Kanten der Heuristik durchgef¨

uhrt. Zur L¨

osung des RMP wurde der

duale Simplex verwendet.

F¨

ur die geeignete Einstellung der jeweiligen Parameter wurden folgende Ein-

stellungen auf Basis empirischer Studien identifiziert. F¨

ur das Multiple Dantzig

Pricing (MDP) wurden maximal 2·|T|Kanten mit den geringsten negativen re-

duzierten Kosten ausgew¨

ahlt. Innerhalb des Multiple Time Slot Pricing (MTSP)

wurde ein Fahrplan in ζ= 25 gleich große Zeitbereiche aufgeteilt und je Zeit-

bereich maximal 3·|T|

ζKanten mit den geringsten negativen reduzierten Kosten

ausgew¨

ahlt. F¨

ur die Strategien des Lagrangean Pricing (LRPcc und LRPdf ) wur-

de nach Konvergenz des Verfahrens auf das Multiple Dantzig Pricing gewechselt

(s. Abschnitt 7.3.3), damit nur noch Kanten mit negativen reduzierten Kosten

in das RMP aufgenommen werden (vgl. [L¨

obel, 1997]). Der Wechsel wurde nach

152

7.5 Numerische Ergebnisse

drei Iterationen durchgef¨

uhrt, in denen sich der optimale Zielfunktionswert des

RMP nicht verbessert hat.

Da mit der Generierung von neuen Kanten in das RMP die Modellgr¨

oße und

damit die notwendige L¨

osungszeit in jeder Iteration ansteigt, werden in jeder Ite-

ration Spalten des aktuellen RMP gel¨

oscht (s. Algorithmus 7.1, Schritt 6). Um

m¨

oglichst die Kanten aus dem RMP zu l¨

oschen, die nicht zur Bildung einer guten

bzw. optimalen L¨

osung notwendig sind, wurde die Entscheidung auf Basis der re-

duzierten Kosten sowie dem aktuell bekannten absoluten Gap zwischen bester be-

kannter g¨

ultiger L¨

osung und unterer Schranke getroffen. Eine Nicht-Basisvariable

xij, deren reduzierte Kosten einen Anteil ηdes aktuellen Gaps ¨

uberschritten, wur-

de gel¨

oscht (cij > η ·(UB −LB)). In den durchgef¨

uhrten Tests wurden Kanten

mit reduzierten Kosten ¨

uber 60% des aktuellen Gaps gel¨

oscht (η= 0,6), aber

maximal die schlechtesten 10% der Variablen im aktuellen RMP. Zudem wurden

die L¨

oschvorg¨

ange gespeichert, damit Variablen, die in fr¨

uheren Iterationen be-

reits drei mal gel¨

oscht (und wieder generiert) wurden nicht mehr gel¨

oscht werden.

Dadurch kann ein Stagnieren des Algorithmus verhindert werden.

Als Abbruchkriterien f¨

ur den Kantengenerierungsalgorithmus wurde zum einen

bei ¨

Uberschreitung der Begrenzungen von 10.800 Sekunden (3 Stunden) oder 100

Iterationen abgebrochen. Dar¨

uber hinaus wurde das Verfahren nach f¨

unf Itera-

tionen ohne Verbesserung des aktuellen Zielfunktionswertes abgebrochen (Kon-

vergenzabbruch).

Die beschriebenen Parametereinstellungen gelten, sofern nicht explizit anders

angegeben, auch f¨

ur die im Weiteren vorgestellten Untersuchungen.

Abbildung 7.6 zeigt das Verhalten der L¨

osungsmethode f¨

ur die vorgestellten

Pricing-Strategien. Die Funktionen verdeutlichen das Verhalten der im Master

Problem gefundenen LP-L¨

osungen ¨

uber die Zeit (Sekunden). Die L¨

osungsqualit¨

ist als relative Abweichung der operativen Kosten zur optimalen LP-L¨

osung an-

gezeigt. Aufgrund der nicht bekannten optimalen LP-L¨

osung der Instanz real 12

sind in der zugeh¨

origen Graphik absolute Werte angegeben. F¨

ur real 14 konnten

die Datenstrukturen zur L¨

osung der Pricing Probleme aufgrund unzureichenden

Arbeitsspeichers nicht aufgebaut werden, so dass f¨

ur die Instanz keine Verbesse-

rungsphase ausgef¨

uhrt werden konnte.

Wie in Abschnitt 7.3.3 diskutiert wurde, f¨

uhrt das MDP nur zu Beginn des

Algorithmus zu deutlichen Verbesserungen und konvergiert sehr langsam. Bei

Verwendung des MTSP konvergiert das Verfahren zu Beginn langsamer, aller-

dings k¨

onnen auch zu einem sp¨

aten Zeitpunkt des Algorithmus noch deutliche

Verbesserungen erreicht werden. Beide Verfahren sind f¨

ur die L¨

osung von großen

Instanzen nicht geeignet, da der Algorithmus abbricht, wenn ¨

uber mehrere Itera-

tionen keine Verbesserungen erreicht werden k¨

onnen. Unter Verwendung des La-

153

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

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MDP

MT SP

LRPcc

LRPdf

Abbildung 7.6: Dominanz der Pricingstrategie LRPcc gegen¨

uber alternativen

Strategien in der Kantengenerierung

154

7.5 Numerische Ergebnisse

grangean Pricing (LRPcc und LRPdf ) k¨

onnen die L¨

osungen f¨

ur alle dargestellten

Instanzen deutlich verbessert werden. Die Verwendung des LRPcc dominiert auf

allen Instanzen die anderen Strategien, so dass f¨

ur die im Weiteren pr¨

asentierten

Untersuchungen nur die Ergebnisse f¨

ur diese Strategie aufgef¨

uhrt werden.

Durch das Reduced Cost Fixing (s. Abschnitt 7.3.3) k¨

onnen je nach Instanz zwi-

schen 1% und 82% aller Netzwerk-Kanten auf 0 fixiert werden. Da diese Kanten

nicht im RMP vorhanden sind, hat die Information keinen Einfluss auf das Mas-

ter Problem. Im Pricing Problem werden die Kanten nicht betrachtet oder auf 0

fixiert. Die resultierende Vereinfachung des Pricing Problems f¨

uhrt allerdings nur

zu einer geringen Reduzierung der Laufzeit.

Master Problem

Zur L¨

osung des Master Problems kommen unterschiedliche Methoden in Fra-

ge (s. Abschnitt 7.3.2). Abbildung 7.7 zeigt die Ergebnisse f¨

ur unterschiedliche

LP-Methoden, die in der Standardoptimierungssoftware ILOG CPLEX (Version

11.0.1) bereitgestellt werden. Neben der primalen Simplex Methode (PS) ist die

duale Simplex Methode mit (DS) und ohne Preprocessing (DS∗) sowie die Barri-

er Methode ohne Durchf¨

uhrung des Crossover (BM) dargestellt. Eine Diskussion

der Vor- und Nachteile der Methoden ist in Abschnitt 7.3.2 aufgef¨

uhrt. Die Dar-

stellung der Konvergenz bei unterschiedlichen L¨

osungsmethode f¨

ur das Master

Problem ist analog zu Abbildung 7.6 aufgebaut.

Die Ergebnisse zeigen, dass bei kleinen Instanzen unabh¨

angig von der Wahl der

L¨

osungsmethode eine Konvergenz zur optimalen L¨

osung erreicht wird. Der duale

Simplex erweist sich, mit und ohne Preprocessing, als beste Wahl zur schnellen

L¨

osung dieser Instanzen, da sowohl der primale Simplex als auch die Barrier

Methode eine l¨

angere Laufzeit pro Iteration ben¨

otigen (s. zum Beispiel real 9).

Bei Instanzen mit einer gr¨

oßeren numerischen Komplexit¨

at (s. Abschnitt 6.2.4)

erreichen der duale Simplex mit Preprocessing und die Barrier Methode eine

schnellere Konvergenz (s. zum Beispiel real 5). Vor allem auf großen Instanzen

dominiert die Barrier Methode die anderen Alternativen. Dieses Verhalten ist

durch das Verhalten des Lagrangean Pricing in Bezug auf die Anzahl der gene-

rierten Kanten pro Iteration zu erkl¨

aren: Durch die Betrachtung des gesamten

Netzwerks im Pricing Problem ist die Anzahl der ausgew¨

ahlten Kanten propor-

tional zur Gesamtanzahl der Kanten. Je komplexer eine Instanz in Bezug auf die

Anzahl an Kanten im Netzwerk ist, desto gr¨

oßer sind also die im RMP zu l¨

osenden

LPs. Wie in Abschnitt 7.5.1 gezeigt, ist die Barrier Methode ohne Ausf¨

uhrung des

Crossover am besten zur L¨

osung großer Instanzen geeignet. Aus diesem Grund

zeigt der Einsatz der Barrier Methode im Kantengenerierungsalgorithmus auf den

155

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

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94:18;48

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P S

DS∗

Abbildung 7.7: Vergleich der Strategien zur L¨

osung des Master Problems in der

Kantengenerierung

156

7.5 Numerische Ergebnisse

großen Instanzen ein performantes Verhalten.

F¨

ur die folgenden Ergebnisse werden nur noch die Ergebnisse des dualen Sim-

plex mit Preprocessing (DS) und der Barrier Methode (BM) dargestellt.

Initialisierung

Zur Initialisierung des Kantengenerierungsalgorithmus k¨

onnen unterschiedliche

Methoden eingesetzt werden, die sicherstellen, dass das initiale RMP mindestens

eine g¨

ultige L¨

osung enth¨

alt (s. Abschnitt 7.3.1).

Bei der Verwendung von zus¨

atzlichen k¨

unstlichen Variablen (Inik), die je-

weils eine Servicefahrt abdecken und mit großen Kosten versehen sind, f¨

uhrte

die Anwendung des Kantengenerierungsalgorithmus zu schlechten Ergebnissen.

Das Verfahren ben¨

otigte f¨

ur alle Instanzen viele Iterationen, um eine L¨

osung

ohne k¨

unstliche Variablen zu finden. F¨

ur große Instanzen konnte keine L¨

osung

gefunden werden. In allen F¨

allen blieb der beste Gap zur optimalen L¨

osung weit

uber dem der in Abschnitt 7.1 vorgestellten Heuristik. Aus diesem Grund werden

im Folgenden nur die Ergebnisse f¨

ur die ¨

ubrigen in Abschnitt 7.3.1 vorgestellten

Strategien dargestellt. Die schlechte Konvergenz des Verfahrens bei Initialisierung

mit k¨

unstlichen Kanten unterstreicht die Wichtigkeit der Heuristik, damit in der

Kantengenerierung gute L¨

osungen gefunden werden k¨

onnen.

Abbildung 7.8 zeigt die Ergebnisse f¨

ur den Kantengenerierungsalgorithmus un-

ter Verwendung des dualen Simplex mit Preprocessing (DS) und der Barrier Me-

thode (BM). Zur Initialisierung wurden jeweils die in der Heuristik verwendeten

Kanten (Inih) oder zus¨

atzlich die in der Lagrange-L¨

osung vorhandenen Kanten

(Inihlg) verwendet (s. Abschnitt 7.3.1). Die verikal eingezeichnete Linie markiert

den Zeitpunkt, an dem die jeweils beste LP-Methode eine optimale LP-L¨

osung

f¨

ur das Modell gefunden hat (s. Tabelle 7.4).

Die Ergebnisse best¨

atigen das im vorhergehenden Abschnitt gezeigte Verhalten,

dass die Barrier Methode bei großen Instanzen eine schnellere Konvergenz auf-

weist. Zwischen den beiden unterschiedlichen Initialisierungen l¨

asst sich dagegen

f¨

ur die meisten Instanzen kein dominierendes Verhalten einer Strategie erken-

nen. Allerdings f¨

uhrt die Verwendung der zus¨

atzlichen Kanten aus der Lagrange

Relaxation bei großen Instanzen zu einer langsameren Konvergenz.

Gegen¨

uber der LP-L¨

osung, die unter Verwendung der jeweils schnellsten Me-

thode aus der Standardoptimierungssoftware berechnet wurde, kann der Kanten-

generierungsalgorithmus f¨

ur viele Instanzen in k¨

urzerer Zeit die optimale L¨

osung

berechnen. Dar¨

uber hinaus ergeben sich weitere Vorteile zur Bestimmung von

g¨

ultigen (MIP-) L¨

osungen, die im folgenden Abschnitt aufgef¨

uhrt werden.

157

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

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/01234567587

94:18;48

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Inih+DS

Inihlg +DS

Inih+BM

Inihlg +DS

LPbest

Abbildung 7.8: Vergleich von Initialisierungsstrategien hinsichtlich der Konver-

genz zur optimalen LP-L¨

osung

158

7.5 Numerische Ergebnisse

0,000%

0,500%

1,000%

1,500%

2,000%

2,500%

3,000%

3,500%

4,000%

02000 4000 6000 8000 10000 12000

Gap$bester$IP‐Lösungen

Laufzeit$(Sekunden)

ganzzahlige3LP‐Lösungen

Supernode3Processing3(0,1)

Supernode3Processing3(0,5)

Abbildung 7.9: Aufhebung des Black-Box-Verhaltens durch den Einsatz von IP-

Heuristiken

Ganzzahlige L¨

osungen

Durch die iterative L¨

osung des RMP und der Fast-Ganzzahligkeitseigenschaft der

Probleminstanzen (s. Abschnitt 6.2.3) f¨

uhrt der Einsatz einer IP-Heuristik zur

Laufzeit des Algorithmus zu ganzzahligen L¨

osungen. Zur Identifikation g¨

ultiger

L¨

osungen wurden die in Abschnitt 7.3.4 pr¨

asentierten Strategien untersucht.

Bereits bei der Anwendung der ersten Strategie, in der jede LP-L¨

osung lediglich

auf Ganzzahligkeit gepr¨

uft wird, werden f¨

ur alle Instanzen g¨

ultige L¨

osungen zur

Laufzeit gefunden.

Bei Verwendung der Heuristik zur Konstruktion ganzzahliger L¨

osungen zeigte

sich, dass nur in sehr seltenen F¨

allen und mit hohem Laufzeitaufwand eine weitere

L¨

osung gefunden werden konnte. Diese Vorgehensweise ist f¨

ur eine effiziente Suche

nach g¨

ultigen L¨

osungen daher nicht geeignet und wird im Folgenden nicht weiter

dargestellt.

Dagegen f¨

uhrte der gesteuerte Einsatz des ”Supernode Processing“ aus dem

Branch&Bound Algorithmus von Standardoptimierungssoftware zu einer geeig-

neten M¨

oglichkeit, g¨

ultige L¨

osungen zu finden. Durch die Begrenzung der Lauf-

zeit f¨

ur das Verfahren ist eine Steuerung des Trade-Offs zwischen L¨

osungsdauer

und der Anzahl gefundener L¨

osungen m¨

oglich. Abbildung 7.9 zeigt das f¨

ur alle

betrachteten Instanzen typische Verhalten dieses Trade-Offs anhand der Instanz

real 7: In den ersten Iterationen des Algorithmus werden in der Regel viele ganz-

159

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Anzahl Variablen IP-Laufzeit (Sekunden)

Instanz Standard Generierung Anteil Standard Generierung

real 5 544.425 85.629 15,7% 820 78

real 6 56.334 21.690 38,5% 0 0

real 7 781.180 116.069 14,9% 1.857 1.727

real 8 99.305 14.694 14,8% 0 0

real 9 134.194 25.764 19,2% 103 96

real 10 127.462 15.418 12,1% 0 0

real 12 4.525.530 290.008 6,4% -1-1

real 13 2.191.866 235.562 10,8% -193

real 15 1.657.423 291.070 17,6% 7.398 2.590

1IP-Phase wurde nach 36.000 Sekunden ohne g¨

ultige L¨

osung abgebrochen

Tabelle 7.6: K¨

urzere Laufzeiten in der IP-Phase des Kantengenerierungs-

algorithmus

zahlige LP-L¨

osungen gefunden, da die Modellgr¨

oße der RMPs relativ klein ist (s.

Abschnitt 7.5.1). Sofern keine IP-Heuristik verwendet wird, k¨

onnen im weiteren

Verlauf des Algorithmus keine oder nur wenige zus¨

atzliche L¨

osungen gefunden

werden bis durch die IP-Phase eine optimale L¨

osung berechnet wird. Bei An-

wendung des ”Supernode Processing“ werden weitere L¨

osungen gefunden, aller-

dings konvergiert das Verfahren erst zu einem sp¨

ateren Zeitpunkt zur optimalen

L¨

osung. Zur Steuerung gibt ein Parameter die maximale Laufzeit als relativen

Anteil der Laufzeit des zuletzt gel¨

osten RMPs an.

Neben der Findung von g¨

ultigen L¨

osungen zur Laufzeit, erm¨

oglicht der Kan-

tengenerierungsalgorithmus eine Verk¨

urzung der L¨

osungszeit f¨

ur die IP-Phase,

da nur die Variablen ber¨

ucksichtigt werden, die im letzten RMP vorhanden sind.

Unter Verwendung dieser Variablenmenge kann eine optimale L¨

osung nicht be-

wiesen werden, aber f¨

ur alle Instanzen, von denen eine optimale L¨

osung bekannt

ist, konnte diese mit der Teilmenge der Variablen gefunden werden.

Die Modellgr¨

oßen sowie die Laufzeiten der Optimierungen sind f¨

ur das jeweils

beste Verfahren aus Standardoptimierungssoftware in Tabelle 7.6 dargestellt. Der

Anteil der pro Instanz generierten Variablen zur Bildung einer optimalen L¨

osung

liegt zwischen 6,4% und 38,5%. Aus diesem Grund reduzieren sich auch die Lauf-

zeiten f¨

ur die abschließende IP-Phase des Kantengenerierungsalgorithmus, so dass

neben einer schnelleren LP-Phase und ganzzahliger L¨

osungen zur Laufzeit des Al-

gorithmus auch die IP-Phase eine k¨

urzere Laufzeit hat.

160

7.5 Numerische Ergebnisse

Einbettung und Preprocessing

Durch die Einbettung des Kantengenerierungsalgorithmus in den in Abschnitt

7.4 pr¨

asentierten Prozess k¨

onnen unabh¨

angig von der Methode zus¨

atzliche Tech-

niken verwendet werden. Auf der einen Seite kann dies die Ber¨

ucksichtigung

zus¨

atzlicher Restriktionen sein (z.B. Definition von Linienb¨

undeln oder Festle-

gung von Anschluss-Bedingungen). Auf der anderen Seite kann die Planungs-

komplexit¨

at durch heuristische Preprocessing-Techniken reduziert werden (z.B.

globale Substitution von Fahrzeugtypen oder Bildung stabiler Fahrtketten).

Durch diese Kombination des Kantengenerierungsalgorithmus mit weiteren

problemspezifischen Techniken k¨

onnen auch sehr komplexe Problemstellungen

gel¨

ost werden. Zum Beispiel kann f¨

ur die Instanz real 14 bei Kombination mit

der Heuristik zur Bildung stabiler Fahrtketten die initiale L¨

osung verbessert wer-

den, was aufgrund zu hoher Speicheranforderungen vorher nicht m¨

oglich war.

7.5.4 Zusammenfassung und Bewertung

Abschließend wird eine Zusammenfassung der in den vorangegangenen Abschnit-

ten dargestellten Ergebnisse gegeben sowie die Eignung des neuen L¨

osungsan-

satzes hinsichtlich der Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung bewertet.

Der im Rahmen dieser Arbeit entwickelte L¨

osungsansatz umfasst eine Initialisie-

rungs- und eine Verbesserungsphase. Zur schnellen Berechnung einer g¨

ultigen

L¨

osung in der Initialisierungsphase wurde eine Heuristik pr¨

asentiert, die durch

L¨

osung von drei vergleichsweise wenig komplexen Optimierungsproblemen eine

L¨

osung findet, die bereits eine optimale Fahrzeuganzahl enth¨

alt (s. Abschnitt

7.1). F¨

ur die betrachteten realen Instanzen konnte in wenigen Sekunden (bzw.

Minuten f¨

ur große Instanzen) eine L¨

osung gefunden werden, von der auch die ope-

rativen Kosten nur wenige Prozent von den optimalen operativen Kosten abwei-

chen. Durch die Heuristik konnten erstmals f¨

ur große Instanzen g¨

ultige L¨

osungen

gefunden werden (s. Abschnitt 7.5.2).

Zur Bestimmung unterer Schranken des optimalen Zielfunktionswertes wurden

zwei Ans¨

atze vorgestellt, die die Problemstellung in unterschiedlicher Form ver-

einfachen und l¨

osen (s. Abschnitt 7.2). Die Verfahren k¨

onnen f¨

ur den Großteil der

Instanzen in wenigen Sekunden gute untere Schranken finden, so dass in Verbin-

dung mit der Heuristik eine enge Absch¨

atzung des optimalen Zielfunktionswertes

m¨

oglich ist (s. Abschnitt 7.5.2). Neben dieser Einsch¨

atzung dienen die ermittelten

Informationen der folgenden Verbesserungsphase als M¨

oglichkeit zur Initialisie-

rung einer g¨

ultigen Kantenmenge und zum Ausschluss ungeeigneter Kanten (s.

Abschnitte 7.3.1 und 7.3.3).

161

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Zur Verbesserung der gefundenen L¨

osungen wurde ein Kantengenerierungsal-

gorithmus vorgestellt, der ausgehend von einer L¨

osung mit einer kleinen Unter-

menge aller Kanten iterativ zus¨

atzliche Kanten in die Optimierung einbezieht

(s. Abschnitt 7.3). Das Verfahren kann durch speziell auf die Problemstellung

ausgerichtete L¨

osungsstrategien bessere g¨

ultige L¨

osungen finden (s. Abschnitte

7.5.3).

Durch die Kombination dieser beiden Phasen und die Einbeziehung weiterer un-

abh¨

angiger Beschleunigungskomponenten (s. Abschnitt 7.4) erf¨

ullt die Methode

alle Anforderungen f¨

ur die Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung ohne Zeitfenster.

Durch die flexible Anpassbarkeit kann das Verfahren von der Berechnung einer

g¨

ultigen L¨

osung in kurzer Zeit (nur Heuristik) bis zur Berechnung einer bewiesen

optimalen L¨

osung (Betrachtung aller Kanten) beliebig skaliert werden. So kann

das Verfahren zum Beispiel auch in einer vorgegebenen Zeit eine m¨

oglichst gu-

te L¨

osung suchen. Durch die Einbeziehung der problemspezifischen Eigenschaft

wenig fraktioneller LP-L¨

osungen k¨

onnen bereits zur Laufzeit g¨

ultige L¨

osungen

ausgegeben werden. Durch die Verwendung eines aggregierten Mehrg¨

uter Fluss-

modells werden je L¨

osung eine Vielzahl von Umlaufpl¨

anen mit gleichen Kosten

dekomponiert, so dass unterschiedliche Alternativen angeboten werden. Die An-

zahl der zur Laufzeit gefundenen g¨

ultigen L¨

osungen kann durch die parametri-

sierte Intensit¨

at der Suche gesteuert werden. Durch diese M¨

oglichkeit vermeidet

das Verfahren ein Black-Box-Verhalten und kann den Planer je nach Anforderung

unterst¨

utzen.

F¨

ur die Zusammenfassung der numerischen Ergebnisse sind die Instanzen, sor-

tiert nach der in Abschnitt 6.2.4 vorgestellten Komplexit¨

atskennzahl Λ, in Ta-

belle 7.7 aufgef¨

uhrt. Die Instanzen sind in drei Kategorien – klein, mittel und

groß – aufgeteilt. Die Tabelle zeigt in den drei letzten Spalten die Laufzeiten (in

Sekunden) f¨

ur die Optimierung mit der besten Einstellung von Standardoptimie-

rungssoftware sowie f¨

ur die Initialisierungsphase und die gesamte neue Methode.

Die zus¨

atzlichen zur Laufzeit gefundenen L¨

osungen sind nicht dargestellt.

Abh¨

angig von der numerischen Komplexit¨

at einer Instanz eignen sich unter-

schiedliche L¨

osungsstrategien. F¨

ur alle Instanzen ist die vollst¨

andige Durchf¨

uhrung

der Initialisierungsphase sinnvoll, da eine schnelle R¨

uckmeldung des Optimie-

rungsverfahrens mit fahrzeugoptimalen L¨

osungen erfolgt und diese f¨

ur alle klei-

nen Instanzen bereits optimal sind. Allerdings ist eine Begrenzung der Laufzeit

f¨

ur die Algorithmen zur Berechnung unterer Schranken sinnvoll, da sie zum Teil

stark schwankende Laufzeiten aufweisen (s. Tabelle 7.5).

F¨

ur das in der Verbesserungsphase zu l¨

osende Pricing Problem hat sich das

Lagrangen Pricing (CC) als effizient gezeigt (s. Abbildung 7.6). Die Auswahl der

effizientesten Methode zur L¨

osung des Master Problems ist dagegen abh¨

angig

162

7.5 Numerische Ergebnisse

Kategorie Instanz Λ tStandard tInitialisierung tGenerierung

klein real 1 0 0 0 0

(Λ ≤5) real 2 0 0 0 0

real 11 1 0 4 4

real 3 1 2 2 2

real 4 2 0 2 2

mittel real 8 12 3 3 24

(0 ≤Λ≤500) real 10 21 13 3 23

real 6 21 17 6 49

real 9 32 211 3 170

groß real 13 1.212 -11.466 5.376

(500 ≤Λ) real 15 2.374 9.398 69 8.788

real 7 3.614 15.042 24 3.788

real 5 4.292 7.007 10 1.682

real 12 8.615 -12.750 36.0002

real 14 276.920 -1788 36.0002

1Optimierung wurde nach 36.000 Sekunden Laufzeit ohne g¨

ultige L¨

osung abgebro-

chen.

2Optimierung wurde nach 36.000 Sekunden Laufzeit mit g¨

ultigen L¨

osungen abge-

brochen.

Tabelle 7.7: Kategorisierung der Instanzen und Zusammenfassung der numeri-

schen Ergebnisse

von der Problemkomplexit¨

at. F¨

ur kleine und mittlere Instanzen ist die Verwen-

dung des dualen Simplex mit LP-Preprocessing, f¨

ur große Instanzen die Barrier

Methode mit LP-Preprocessing und ohne Durchf¨

uhrung des Crossover am besten

geeignet (s. Abbildung 7.7).

Die Einstellung f¨

ur die Intensit¨

at der Suche nach ganzzahligen L¨

osungen ist

abh¨

angig von der gew¨

unschten Anzahl. Ein sinnvoller Kompromiss kann die Ver-

wendung des Supernode Processing mit einer maximalen Laufzeit von 10% der

zuletzt ben¨

otigten RMP-Laufzeit. Durch diese Einstellung investiert das Verfah-

ren nur vergleichsweise wenig Zeit in die IP-Heuristik, aber findet auch zu gering

fraktionellen LP-L¨

osungen eine g¨

ultige IP-L¨

osung (s. Abbildung 7.9).

F¨

ur die L¨

osung sehr großer Instanzen (Λ ≥10.000) ist die Verwendung ei-

ner zus¨

atzlichen Heuristik (z.B. Fahrtketten-Heuristik) sinnvoll, da die exakten

Netzwerk-Modelle andernfalls nicht auf ¨

ublichen PCs aufgebaut werden k¨

onnen

(s. Abschnitt 7.5.3). Der Grenzwert ist stark abh¨

angig von dem verwendeten

System und muss individuell angepasst werden.

163

7 L¨

osungsmethodik f¨

ur Busumlaufplanungsprobleme

Abschließend kann festgestellt werden, dass die identifizierten Anwendungsf¨

alle

der Umlaufplanung ohne Zeitfenster durch den flexibel skalierbaren Einsatz der

im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Methodik abgedeckt werden k¨

onnen. Durch

den Einsatz der L¨

osungsmethode k¨

onnen

•zu allen mit Standardoptimierungssoftware exakt gel¨

osten Instanzen opti-

male L¨

osungen gefunden werden,

•f¨

ur mittlere und große Instanzen schneller fahrzeugoptimale L¨

osungen be-

rechnet werden,

•f¨

ur große und zum Teil mittlere Instanzen schneller optimale L¨

osungen

gefunden werden,

•erstmalig g¨

ultige L¨

osungen zu großen Instanzen gefunden werden und

•eine Vielzahl g¨

ultiger Umlaufpl¨

ane zur Laufzeit ausgegeben werden.

164

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die

Umlaufplanung mit Zeitfenstern

F¨

ur die Umlaufplanung im ¨

offentlichen Personennahverkehr sind die Abfahrts-

und Ankunftszeiten f¨

ur Servicefahrten bereits aus der vorhergehenden Phase der

Fahrplanerstellung gegeben (s. Abschnitt 2.1). Bei der Planung des Fahrzeugein-

satzes werden get¨

atigte Entscheidungen zu Abfahrts- und Ankunftszeiten durch

die Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur Servicefahrten zu einem Teil revidiert.

Die Fahrzeugeinsatzplanung mit Zeitfenstern stellt somit eine Teilintegration der

Fahrplanerstellung mit der Umlaufplanung dar (s. Abschnitt 2.3.5). F¨

ur die Op-

timierung von Problemstellungen mit Zeitfenstern sind in Abschnitt 2.2 zwei

Anwendungsf¨

alle aus operativen und taktischen Planungsphasen dargestellt. F¨

diese werden im Folgenden L¨

osungsans¨

atze pr¨

asentiert, die die identifizierten An-

forderungen der jeweiligen Anwendungsf¨

alle ber¨

ucksichtigen k¨

onnen.

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern

In der operativen Planung mit Zeitfenstern werden Zeitfenster zur Senkung der

geplanten operativen Fahrzeugeinsatzkosten betrachtet. Durch eine zeitliche Ver-

schiebung von Servicefahrten k¨

onnen neue Verbindungsm¨

oglichkeiten entstehen,

so dass weitere Fahrtensequenzen zul¨

assig werden und die Menge zul¨

assiger Um-

l¨

aufe vergr¨

oßert wird. Im Vergleich zur Planung ohne Zeitfenster k¨

onnen diese zu

einer weiteren Reduzierung der geplanten Kosten genutzt werden.

8.1.1 Organisatorische Aspekte und Anforderungen

Der Umfang akzeptierter zeitlicher Ver¨

anderungen im Fahrplan ist abh¨

angig von

den Freiheitsgraden, die ein Verkehrsunternehmen bei der Planung zul¨

asst. Der

Umgang mit den ¨

Anderungen im Fahrplan und die Anforderungen unterschei-

den sich je nach Verkehrsunternehmen. H¨

aufig werden individuelle Zeitfenster

abh¨

angig von der Art der Servicefahrt vergeben. So werden getaktete Fahrplan-

fahrten in der Regel mit keinen oder kleinen Zeitfenstern (z.B. ±2 Minuten) be-

trachtet. F¨

ur nicht regul¨

are Fahrten wie Schul-, Sonder- oder Verst¨

arkungsfahrten,

165

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

die unabh¨

angig von einer Linientaktung ausgef¨

uhrt werden, werden h¨

aufig gr¨

oßere

zeitliche Verschiebungen akzeptiert, da die Erwartungshaltung der Fahrg¨

aste hin-

sichtlich einer p¨

unktlichen Bedienung der Fahrt nicht so stark ausgepr¨

agt ist wie

bei den Linienfahrten.

Unabh¨

angig von der Gr¨

oße der vom Verkehrsunternehmen akzeptierten Zeit-

fenster kann mit den resultierenden Verschiebungen auf unterschiedliche Weise

umgegangen werden. Eine M¨

oglichkeit besteht darin die ¨

Anderungen der ge-

planten Abfahrts- und Ankunftszeiten nicht im ver¨

offentlichten Fahrplan aus-

zuzeichnen. Der zus¨

atzliche Freiheitsgrad in der Planung und damit verbundene

Kosteneinsparungen k¨

onnen dadurch allerdings zu einer Verringerung der Kun-

denzufriedenheit f¨

uhren, da die Fahrzeuge (geplant) weniger p¨

unktlich sind. Da

eine zu fr¨

uhe Bedienung einer Servicefahrt im Gegensatz zu einer Versp¨

atung

zu ungleich gr¨

oßerer Unzufriedenheit f¨

uhrt, werden bei diesem Vorgehen in der

Regel nur zeitliche Verschiebungen nach hinten zugelassen. Alternativ k¨

onnen

die ¨

Anderungen im ver¨

offentlichten Fahrplan ausgezeichnet werden, so dass die

Fahrg¨

aste informiert sind und keine (geplanten) Versp¨

atungen wahrnehmen.

Neben der Ber¨

ucksichtigung individueller Zeitfenster k¨

onnen weitere Anforde-

rungen an die Planung gestellt werden. Aufgrund der unterschiedlichen Verschie-

bung von Servicefahrten k¨

onnen geplante Taktungen (z.B. innerhalb einer Linie)

oder Anschl¨

usse zu anderen Linien verloren gehen. Aus diesem Grund kann die

Anforderung bestehen, dass definierte Mengen von Servicefahrten nur in gleichem

Ausmaß verschoben werden d¨

urfen.

Da der zus¨

atzliche Freiheitsgrad erlaubter Fahrtenverschiebungen auf der einen

Seite die geplanten Kosten senken kann, aber auf der anderen Seite die in der

Fahrplanerstellung geplante Struktur st¨

ort, kann ein Trade-Off zwischen Kos-

tensenkung und Gesamtverschiebung angestrebt werden. So kann zum Beispiel

die Anforderung bestehen, dass eine Verschiebung von Servicefahrten nur dann

zuzulassen wird, wenn ein Fahrzeug eingespart werden kann.

Entsprechend der operativen Planung ohne Zeitfenster zielt die Optimierung

mit Zeitfenstern auf die Generierung eines m¨

oglichst kosteng¨

unstigen Umlauf-

plans ab. Deshalb gelten die in Abschnitt 2.2.1 vorgestellten Anforderungen in

gleicher Weise f¨

ur die operative Planung mit und ohne Zeitfenster (z.B. Akzeptanz

einer langen Optimierungsdauer und Vermeidung eines Black-Box-Verhaltens).

Die folgenden Abschnitte beschreiben Ans¨

atze zur Modellierung der vorge-

stellten Anforderungen der operativen Planung mit Zeitfenstern und zeigen die

Anpassung der in Kapitel 7 vorgestellten Methodik zur L¨

osung der Probleme.

166

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern

8.1.2 Modellierung

Zur Modellierung von Umlaufplanungsproblemen mit Zeitfenstern (VSP-TW)

werden im Rahmen dieser Arbeit Mehrg¨

uter Flussmodelle verwendet, da sie, wie

in Kapitel 6 dargestellt, bei Verwendung realer Instanzen effizient l¨

osbar sind.

Die Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern innerhalb der aggregierten Time-Space

Netzwerk (TSN) basierten Mehrg¨

uter Flussformulierung ist in [Kliewer, 2005]

gegeben. Durch eine diskrete Betrachtung der m¨

oglichen Verschiebungen k¨

onnen

die Auspr¨

agungen als Fahrtkanten im Netzwerk modelliert werden (s. Abschnitt

4.4).

Um die Verschiebung von Fahrten nur f¨

ur große Kosteneinsparungen durch-

zuf¨

uhren, k¨

onnen die Kosten der Zeitfensterkanten abh¨

angig von der H¨

ohe der

zeitlichen Verschiebung mit einem Faktor gewichtet werden. Durch eine flexible

Wahl dieses Faktors kann der Grad der Bestrafung einer Verschiebung vom Planer

gesteuert werden.

Um die gleiche Verschiebung von Servicefahrten zu ber¨

ucksichtigen, kann das

mathematische Modell aus [Kliewer, 2005] um zus¨

atzliche Entscheidungsvaria-

blen yl

k∈ {0,1}erweitert werden, die f¨

ur alle Fahrtenmengen lund den jeweils

zul¨

assigen relativen Verschiebungen kdefiniert werden. Das erweiterte mathema-

tische Modell f¨

ur die Planung mit Zeitfenstern lautet:

V SPTW : min X

(i,j)d∈A

ijxd

ij (8.1)

s.t. X

i:(i,j)d∈A

ij −X

i:(j,i)d∈A

ji = 0 ∀j∈Nd,∀d∈D(8.2)

k=−qtX

d∈D

xd,k

t= 1 ∀t∈T(8.3)

t∈TlX

d∈D

xd,k

t≤yl

kM∀k∈[−˜ql,˜pl], l ∈[1, b] (8.4)

˜pl

k= ˜ql

k= 1 ∀l∈[1, b] (8.5)

xd≤wd∀d∈D(8.6)

ij ∈N∀(i, j)d∈A(8.7)

k∈ {0,1} ∀ k∈[−˜ql,˜pl], l ∈[1, b] (8.8)

Die in [Kliewer, 2005] erweiterten ¨

Uberdeckungsrestriktionen (8.3) stellen si-

cher, dass f¨

ur jede Servicefahrt genau eine Kante im Netzwerk verwendet wird.

167

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Bei der optionalen Ber¨

ucksichtigung von gleichen Verschiebungen aller Fahrten-

mengen l∈[1, b] werden die zus¨

atzlichen Variablen yl

kin Restriktion (8.4) mit

den Entscheidungsvariablen f¨

ur die Servicefahrten verkn¨

upft. Der Wert Mstellt

dabei eine die m¨

ogliche Auspr¨

agung der linken Seite der Restriktion dominieren-

de Konstante dar. In Restriktion (8.5) wird sichergestellt, dass alle Fahrten einer

Menge l∈[1, b] die gleiche Auspr¨

agung innerhalb ihrer zul¨

assigen Verschiebung

[−˜ql,˜pl] haben, indem genau eine Verschiebungsauspr¨

agung zul¨

assig ist.

8.1.3 L¨

osungsmethoden

Die Einbeziehung der Zeitfenster in die Modelle erh¨

oht die numerische Kom-

plexit¨

at je Auspr¨

agung zu einem ¨

ahnlichen Grad wie f¨

ur zus¨

atzliche Service-

fahrten. Durch die Behandlung der Zeitfensterkanten als Fahrtkanten steigt die

Anzahl der zus¨

atzlichen Verbindungs- und Depotkanten. Es werden, im Fall

der Zeitfenster ohne gleiche Verschiebung, zwar keine neuen Restriktionen in

die Formulierung eingef¨

ugt, allerdings steigt die Anzahl der Eintr¨

age in den

Uberdeckungsrestriktionen. Die Umlaufplanungsprobleme mit Zeitfenstern wei-

sen daher verglichen mit den gleichen Problemstellungen ohne Zeitfenster eine

gr¨

oßere numerische Komplexit¨

at auf (s. Abschnitt 8.1.4).

In [Kliewer, 2005] wird zur L¨

osung der TSN-basierten Modelle auf Standard-

optimierungssoftware zur¨

uckgegriffen. Da mittlere und große Instanzen mit Zeit-

fenstern nicht mehr exakt gel¨

ost werden konnten, werden Verfahren verwendet,

die vor der Optimierung die Zeitfenster so einschr¨

anken, dass die Freiheitsgra-

de ohne vielversprechenden Nutzen ausgeschlossen werden. Zum Beispiel wird

in der Schnitt-Heuristik der Auslastungsgraph des Fahrplans analysiert und zur

Minimierung der Fahrzeuganzahl nur Zeitfenster f¨

ur Servicefahrten in Bereichen

hoher Auslastung zugelassen. Durch den Einsatz dieser Heuristiken k¨

onnen auch

Instanzen mittlerer Gr¨

oße gel¨

ost werden.

Um anhand des Mehrg¨

uter Flussmodells auf der Basis eines aggregierten TSNs

auch große Probleme mit Zeitfenstern l¨

osen zu k¨

onnen und gleichzeitig die An-

forderungen der operativen Planung mit Zeitfenstern zu ber¨

ucksichtigen, kann

die in Kapitel 7 vorgestellte Methodik der Kantengenerierung f¨

ur die L¨

osung

von VSP-TW angepasst werden. Die Vorgehensweise und die Vorteile der Metho-

dik entsprechen den im vorangegangenen Kapitel gegebenen Ausf¨

uhrungen, die

in Algorithmus 7.1 zusammengefasst sind. Daher soll im Folgenden nur auf die

notwendigen Anpassungen der Methodik eingegangen werden.

168

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Anpassung des Kantengenerierungsalgorithmus

Bei der Initialisierung des mathematischen Modells muss sichergestellt werden,

dass eine g¨

ultige L¨

osung f¨

ur das erste RMP existiert. Die vorgeschlagenen Initiali-

sierungsstrategien f¨

ur das MD-VSP k¨

onnen ¨

ubernommen werden, da eine g¨

ultige

L¨

osung des MD-VSPs auch f¨

ur das VSP-TW g¨

ultig ist. Allerdings ber¨

ucksichtigt

keines dieser Verfahren die Zeitfenster, so dass der zus¨

atzliche Freiheitsgrad in

der Initialisierung nicht genutzt wird. Da bereits das VSP-TW mit einem De-

pot und keinen Fahrzeugtypen NP-schwer ist (s. Abschnitt 2.3.5), ist die in der

in Abschnitt 7.1 vorgestellten Heuristik durchgef¨

uhrte L¨

osung einer vereinfach-

ten Problemstellung zur Erstellung g¨

unstiger Fahrtensequenzen nicht sinnvoll.

Statt die m¨

oglichen Freiheitsgrade zu reduzieren, wird daher eine L¨

osung durch

die sequentielle Konstruktion von Uml¨

aufen erstellt. Wie im vorangegangenen

Kapitel werden die Kombinationen aus Depotstandort und Fahrzeugtyp zur Ver-

einfachung als Depots bezeichnet. Der Ablauf des Verfahrens ist in Algorithmus

8.1 dargestellt.

Algorithmus 8.1 : Konstruktionsheuristik f¨

ur VSP-

Sortiere Servicefahrten nach Abfahrtszeit et∀t∈T

Initialisiere U=∅

for t∈Tdo

identifiziere g¨

ultige Depots Dt⊆D

for d∈Dtdo

identifiziere g¨

ultige Uml¨

aufe Ut

berechne Zusatzkosten ct

if Dt=∅then

finde Depots mit freier Kapazit¨

at D0

t⊆Dt

for d∈D0tdo

berechne Kosten ct

df¨

ur neuen Umlauf mit t

erstelle Umlauf in dmit mind∈D0tct

else

f¨

uge tin Umlauf mit minu∈Ut

d, d ∈Dtct

Zur Initialisierung des Verfahrens werden die Servicefahrten nach ihrer Ab-

fahrtszeit sortiert. Anschließend wird f¨

ur jede Fahrt gepr¨

uft, wie sie mit den

geringsten Zusatzkosten in den Umlaufplan eingef¨

ugt werden kann. Dazu werden

zuerst die Depots identifiziert, deren Fahrzeugtyp in der Fahrzeugtypgruppe der

Fahrt enthalten ist, da andernfalls keine g¨

ultige Zuweisung m¨

oglich ist. F¨

ur die

169

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

im bereits aufgebauten Plan vorhandenen Uml¨

aufe wird gepr¨

uft, ob die Fahrt

in einer Auspr¨

agung ihres g¨

ultigen Zeitfensters an den Umlauf angeh¨

angt wer-

den kann (direkt oder durch eine Umsetzfahrt). F¨

ur diese Uml¨

aufe werden die

zus¨

atzlichen Kosten berechnet, die das Einf¨

ugen der Fahrt verursachen w¨

urde.

Falls mindestens ein m¨

oglicher Umlauf existiert, wird die Fahrt in den Umlauf

mit den minimalen Zusatzkosten eingef¨

ugt. Um prim¨

ar die Anzahl der ben¨

otigten

Fahrzeuge zu minimieren, wird die Fahrt so in den Umlauf eingef¨

ugt, dass sie im

Rahmen ihres g¨

ultigen Zeitfensters m¨

oglichst fr¨

uh beginnt. Dadurch wird die

bestm¨

ogliche Ausgangssituation f¨

ur die Einsortierung weiterer Fahrten geschaf-

fen. Sollte kein Umlauf existieren, der die Fahrt aufnehmen kann, werden f¨

ur alle

zul¨

assigen Depots die Kosten berechnet, die ein neuer Umlauf mit der Fahrt ver-

ursachen w¨

urde und der g¨

unstigste von ihnen wird angelegt. Die Fahrt wird in

diesem Fall zu ihrem fr¨

uhstm¨

oglichen Zeitpunkt beginnen. Nach Abschluss der

Einsortierung aller Fahrten, ist der resultierende Umlaufplan eine g¨

ultige L¨

osung

f¨

ur das VSP-TW. Allerdings kann durch die Vorgehensweise der Greedy-Heuristik

keine gesicherte Aussage ¨

uber die Qualit¨

at der L¨

osung gemacht werden.

F¨

ur die L¨

osung des Master Problems und der Findung ganzzahliger L¨

osungen

k¨

onnen die gleichen Methoden eingesetzt werden wie f¨

ur die L¨

osung des MD-

VSPs. Dies gilt nicht f¨

ur das L¨

osen des Pricing Problems. Die reduzierten Kosten

k¨

onnen f¨

ur jede Kante wie zuvor berechnet werden, so dass die Strategien Mul-

tiple Dantzig Pricing (MDP) sowie Multiple Time Slot Pricing (MTSP) geeig-

net sind. Die Anwendung des Lagrangean Pricing ist allerdings nicht vollst¨

andig

ubertragbar.

Bei der in Abschnitt 7.2.2 vorgestellten Umformulierung des Modells, anhand

der die Bedinungen zur Erhaltung der Depotzugeh¨

origkeit relaxiert werden konn-

ten, sind f¨

ur jede Fahrt zwei zus¨

atzliche globale Fahrtknoten angelegt worden.

Durch eine Erweiterung dieser Umformulierung mit Zeitfensterkanten w¨

urde eine

Relaxation der Bedingungen dazu f¨

uhren, dass eine Fahrt neben der Zugeh¨

origkeit

zu einem Depot auch unterschiedliche Verschiebungen der Abfahrts- und An-

kunftszeit erhalten k¨

onnte. Abbildung 8.1a zeigt einen Ausschnitt aus einem TSN

mit zwei Kanten f¨

ur eine Fahrt, die eine geplante Abfahrtszeit und eine um ei-

ne Minute nach hinten verschobene Abfahrt repr¨

asentieren. Der gr¨

un markierte

Fluss kann durch die Verwendung der Zeitfensterkante realisiert werden, so dass

eine neue Verbindungsm¨

oglichkeit entsteht. In Abbildung 8.1b wird das umformu-

lierte Netzwerk dargestellt. Anhand des roten Flusses ist beispielhaft dargestellt,

dass sowohl die zugeordnete Netzwerkschicht als auch die zeitliche Zuordnung

ver¨

andert werden kann. In einer optimalen L¨

osung der Relaxation w¨

urden da-

her viele Fahrten eine verk¨

urzte Fahrtdauer enthalten, so dass die in der L¨

osung

vorhandenen Kanten nicht als vielversprechend f¨

ur die Verbesserung des RMP

170

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 1

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 2

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 1

Haltestelle 1

Haltestelle 2

Depot 2

Abbildung 8.1: Alternative Netzwerkmodellierung f¨

ur Servicefahrten mit

Zeitfenstern

angesehen werden.

Im Gegensatz zur Lagrange Relaxation der Depotflusserhaltung kann das La-

grangean Pricing mit Relaxation der Cover Constraints f¨

ur die Kantengenerierung

verwendet werden. Durch die Relaxation k¨

onnen Fahrten mehrfach oder gar nicht

abgedeckt werden, die Dauer einer Fahrt bleibt aber in jedem Fall erhalten.

Die in Abbildung 7.5 dargestellte Einbettung des Kantengenerierungsalgorith-

mus kann bis auf wenige Anpassungen f¨

ur die Optimierung von VSP-TW ¨

uber-

nommen werden. Die Fixierung von Anschl¨

ussen gleicher Linien (Ebene 2) ist

zwar auch f¨

ur VSP-TW m¨

oglich, allerdings wird der Freiheitsgrad der Zeitfens-

ter durch die fixierten Anschl¨

usse vollst¨

andig vernachl¨

assigt. Das Verfahren kann

daher nur zielf¨

uhrend eingesetzt werden, wenn die Zeitfenster der betroffenen Ser-

vicefahrten die gleichen Gr¨

oßen haben. In diesem Fall kann die neue Servicefahrt,

die die fixierten Servicefahrten ersetzt, das gleiche Zeitfenster bekommen. Auch

die Bildung von stabilen Fahrtketten (Ebene 4) erscheint f¨

ur den Einsatz zur

L¨

osung von VSP-TW nicht sinnvoll, da die innerhalb des Verfahrens zu l¨

osenden

Unterprobleme durch die Zeitfenster der Servicefahrten bereits schwierig zu l¨

osen

sind und somit eine lange Laufzeit ben¨

otigen oder nicht l¨

osbar sind. Die Re-

laxation der Zeitfenster in den Unterproblemen w¨

urde wie bei der L¨

osung des

relaxierten MD-VSPs (s. Abschnitt 7.2.2) zu einer vergleichsweise kurzen Lauf-

zeit f¨

uhren. Da die Fahrtketten allerdings ohne die Ausnutzung der durch die

Zeitfenster entstehenden Freiheitsgrade gebildet werden, resultiert eine schlech-

te L¨

osungsqualit¨

at. Als zus¨

atzliche Komponente k¨

onnen allerdings die in [Klie-

171

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

wer, 2005] vorgestellten Methoden zur Reduktion der Zeitfenster (z.B. Schnitt-

Heuristik) eingebunden werden. Dadurch k¨

onnen diese Methoden gleichzeitig mit

dem Kantengenerierungsalgorithmus verwendet werden.

8.1.4 Numerische Ergebnisse

Der folgende Abschnitt pr¨

asentiert die numerischen Ergebnisse f¨

ur das Opti-

mierungsproblem der operativen Planung mit Zeitfenstern (s. Abschnitt 2.2).

Zur L¨

osung der in Abschnitt 8.1.2 vorgestellten mathematischen Formulierung

V SPTW wird der angepasste Kantengenerierungsalgorithmus verwendet (s. Ab-

schnitt 8.1.3). Um die Eignung dieser L¨

osungsmethode zu validieren, wurden die

mathematischen Modelle der im Rahmen dieser Arbeit betrachteten realen Pro-

bleminstanzen (s. Abschnitt 6.1.1) zus¨

atzlich mit Standardoptimierungssoftware

sowie der Schnitt-Heuristik aus [Kliewer, 2005] gel¨

ost.

Die numerischen Tests wurden auf einem PC durchgef¨

uhrt, der mit einem Intel

Core 2 Duo-Prozessor mit zwei auf 3,16 GHz getakteten Prozessorkernen und 8

Gigabyte Arbeitsspeicher ausgestattet war. Die Tests wurden unter dem 64-bit

Betriebssystem Microsoft Windows XP Professional x64 Edition durchgef¨

uhrt.

Eine Optimierung wurde nach drei Stunden (10.800 Sekunden) abgebrochen.

Alle Instanzen wurden mit unterschiedlich großen Zeitfenstern optimiert, wo-

bei f¨

ur alle Servicefahrten gleich große Verschiebeintervalle g¨

ultig waren. Tabelle

8.1 zeigt die Ergebnisse f¨

ur diskrete Zeitfenster von ±1, ±2 und ±5 Minuten

f¨

ur jede Fahrt. Die Eintr¨

age zeigen den relativen Abstand zur besten bekannten

L¨

osung (Gap) und die Optimierungsdauer in Sekunden (Sek.) f¨

ur die folgenden

L¨

osungsverfahren:

•Exakt: L¨

osung mit Standardoptimierungssoftware ILOG CPLEX in Version

11.0.1 und der Barrier Methode zur L¨

osung des initialen LPs.

•Schnitt: Verwendung der Schnitt-Heuristik aus [Kliewer, 2005] zur Reduzie-

rung der zul¨

assigen Zeitfenster und L¨

osung des reduzierten Problems mit

exaktem Verfahren.

•Generierung: Optimierung mit angepasstem Kantengenerierungsalgorith-

mus aus Abschnitt 8.1.3.

•Gener.+Schnitt: Verwendung der Schnitt-Heuristik aus [Kliewer, 2005] und

L¨

osung mit angepasstem Kantengenerierungsalgorithmus.

F¨

ur die Instanzen real 12 und real 14 sind keine Ergebnisse angegeben, da die

Modelle bereits f¨

ur Zeitfenster von ±1 aufgrund unzureichenden Arbeitsspeichers

nicht aufgebaut werden konnten.

172

8.1 Operative Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Instanz TW Exakt Schnitt Generierung Gener.+Schnitt

Gap Sek. Gap Sek. Gap Sek. Gap Sek.

real 1 ±1 0,0% 2 0,0% 1 0,0% 1 0,0% 1

±2 0,0% 3 3,6% 1 0,0% 1 3,6% 1

±5 0,0% 14 7,8% 5 0,0% 3 7,8% 2

real 2 ±1 0,0% 1 0,0% 1 0,0% 1 0,0% 1

±2 0,0% 2 0,0% 1 0,0% 1 0,0% 1

±5 0,0% 6 0,0% 3 0,0% 3 0,0% 2

real 3 ±1 0,0% 20 0,0% 11 0,0% 4 0,0% 3

±2 0,0% 37 0,0% 18 0,0% 8 0,0% 4

±5 0,0% 186 0,0% 80 0,0% 29 0,0% 10

real 4 ±1 0,0% 10 0,0% 7 0,0% 4 0,0% 4

±2 0,0% 27 0,0% 18 0,0% 7 0,0% 5

±5 0,0% 358 0,0% 144 0,0% 64 0,0% 148

real 5 ±1 - - 0,0% 852 0,0% 11.831 0,0% 13.259

±2 0,0% 6.626 0,0% 2.937 4,0% 353 3,9% 5.824

±5 - - - - 0,2% 842 0,0% 394

real 6 ±1 0,0% 103 0,0% 42 1,7% 383 0,0% 692

±2 - - 0,0% 416 0,0% 3.122 0,0% 3.063

±5 - - - - 0,0% 7.198 0,4% 3.072

real 7 ±1 - - - - 0,0% 306 0,0% 12.774

±2 - - - - 0,0% 573 0,0% 228

±5 - - - - 0,0% 1.432 2,0% 432

real 8 ±1 0,0% 211 0,0% 100 1,2% 169 0,3% 104

±2 0,0% 525 0,0% 306 1,8% 482 0,0% 922

±5 - - - - 0,0% 5.948 7,9% 46

real 9 ±1 0,0% 1.100 0,8% 359 1,9% 936 1,9% 476

±2 0,0% 3.266 0,9% 847 2,4% 2.184 3,0% 1.386

±5 - - 0,0% 5.858 2,8% 10.337 7,9% 111

real 10 ±1 0,0% 224 0,0% 129 0,2% 169 0,0% 15

±2 0,0% 1.124 0,0% 412 0,3% 502 0,0% 25

±5 - - - - 0,0% 811 0,8% 66

real 11 ±1 0,0% 20 0,4% 11 0,0% 6 0,4% 5

±2 0,0% 59 0,4% 27 0,0% 15 0,4% 8

±5 0,0% 647 0,4% 199 0,0% 126 0,4% 35

real 13 ±1 - - - - 0,0% 5.839 0,1% 406

±2 - - - - 0,0% 3.980 0,0% 2.751

±5 - - - - - - - -

real 15 ±1 - - - - 0,5% 649 0,0% 14.752

±2 - - - - 0,0% 2.077 0,1% 578

±5 - - - - - - - -

Tabelle 8.1: Ergebnisse f¨

ur operative Zeitfenster

173

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Die Ergebnisse zeigen, dass mit steigenden Zeitfenstergr¨

oßen die Laufzeit stark

ansteigt. Mit dem exakten Verfahren k¨

onnen die Problemstellungen f¨

ur kleine

Instanzen (z.B. real 1 - real 4) optimal gel¨

ost werden. Bereits f¨

ur mittelgroße

Instanzen ist eine exakte Optimierung mit Zeitfenster von 5 Minuten nicht mehr

m¨

oglich (z.B. real 8 - real 10). Große Instanzen k¨

onnen bereits f¨

ur Zeitfenster

von einer Minute nicht gel¨

ost werden.

Mit der zus¨

atzlichen Verwendung der Schnitt-Heuristik k¨

onnen die Instanzen

aufgrund der reduzierten Zeitfenster schneller gel¨

ost werden, so dass auch die

Optimierung mit gr¨

oßeren Zeitfenstern m¨

oglich ist (real 6 und real 9). Aller-

dings k¨

onnen f¨

ur große Instanzen oder mittlere Instanzen mit Zeitfenstern von

f¨

unf Minuten auch mit dieser Methode keine L¨

osungen innerhalb der zul¨

assigen

Zeit gefunden werden (z.B. real 7). Zudem weicht die L¨

osungsqualit¨

at zum Teil

deutlich von der optimaler L¨

osungen ab (z.B. real 1).

Bei Verwendung des Kantengenerierungsalgorithmus werden optimale L¨

osungen

f¨

ur kleine Instanzen in k¨

urzerer Zeit gefunden (z.B. real 1 - real 4). Zudem k¨

onnen

L¨

osungen f¨

ur weitaus komplexere Problemstellungen gefunden werden, so dass

erstmals auch große Instanzen mit Zeitfenstern gel¨

ost werden k¨

onnen (z.B. re-

al 15). Allerdings zeigen die Ergebnisse f¨

ur mittlere Instanzen zum Teil deutliche

Abweichungen von der optimalen L¨

osung (z.B. real 9). Das Verhalten resultiert

aus einem, im Gegensatz zum MD-VSP, vergleichsweise großen Anteil fraktionel-

ler Variablen in den LP-L¨

osungen, der mit fortschreitender Optimierung tenden-

ziell zunimmt. Daher kann die IP-Heuristik des Kantengenerierungsalgorithmus

w¨

ahrend der LP-Phase keine g¨

ultigen L¨

osungen finden. Zudem ist die Anzahl der

durchgef¨

uhrten Iterationen im Vergleich zur L¨

osung des MD-VSPs gr¨

oßer, da das

initiale RMP keine fahrzeugoptimale L¨

osung enth¨

alt und die Konvergenz daher

l¨

anger dauert. Bei allen Instanzen, zu denen das Verfahren keine optimale L¨

osung

finden kann, ist dieses Verhalten aufgetreten, wodurch die Optimierung aufgrund

begrenzter Laufzeit w¨

ahrend der IP-Phase abgebrochen wurde. Die in Tabelle

8.1 angegeben Werte sind daher g¨

ultige L¨

osungen, die in fr¨

uhen Iterationen ge-

funden wurde. Die Zielfunktionswerte der gefundenen LP-L¨

osungen entsprechen

dagegen den optimalen IP-L¨

osungen, so dass das Verfahren bei zus¨

atzlicher Lauf-

zeit vermutlich eine optimale L¨

osung findet.

Bei der Verwendung der Schnitt-Heuristik vor dem Kantengenerierungsalgo-

rithmus werden die zu betrachtenden Zeitfenster reduziert, so dass der L¨

osungs-

raum kleiner ist. Durch diese Beschr¨

ankung werden allerdings, wie oben beschrie-

ben, in mehreren F¨

allen optimale L¨

osungen ausgeschlossen. Die Ergebnisse zei-

gen, dass bei der Kombination in den meisten F¨

allen vergleichsweise schlechte

L¨

osungen gefunden werden und auch keine zus¨

atzlichen Instanzen gel¨

ost werden

k¨

onnen.

174

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

Der Anwendungsfall der taktischen Umlaufplanung mit Zeitfenstern fordert eine

Ber¨

ucksichtigung von vergleichsweise großen Zeitfenstern zur Analyse von Poten-

tialen zur Fahrzeugeinsparung in einem Fahrplan (s. Abschnitt 2.2.2). Aufgrund

der Fokussierung auf die minimale Anzahl von Fahrzeugen, wird der Fahrplan

unabh¨

angig von Erweiterungen zur Senkung operativer Kosten (z.B. Depots) be-

trachtet. Wie im vorangegangenen Abschnitt f¨

ur reale Probleminstanzen gezeigt

wurde, k¨

onnen sowohl exakte L¨

osungsverfahren als auch heuristische LP-basierte

L¨

osungsans¨

atze, wie der im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Kantengenerie-

rungsalgorithmus, diese Problemstellungen nicht l¨

osen (s. Abschnitt 8.1.4). Da-

her werden im folgenden Abschnitt drei neue Ans¨

atze zur L¨

osung des VSP-TW

mit großen Zeitfenstern vorgestellt. In Abschnitt 8.2.1 wird das Optimierungspro-

blem zur Findung der minimalen Fahrzeuganzahl auf ein Permutationsproblem

zur¨

uckgef¨

uhrt und dieses heuristisch gel¨

ost. Abschnitt 8.2.2 zeigt ein Konzept f¨

einen hybriden Ansatz zur Kombination von Meta-Heuristiken und effizienten

Optimierungsmethoden. Die ¨

Ahnlichkeit vom Umlaufplanungsproblem mit Zeit-

fenstern und dem vehicle routing problem mit Zeitfenstern sowie die Portierung

effizienter Methoden wird in Abschnitt 8.2.3 gegeben.

Die Methoden beschreiben das Vorgehen f¨

ur das Umlaufplanungsproblem mit

einem Depot/Fahrzeugtypen und Zeitfenstern (SD-VSP-TW), da dieses in der

Regel zur Absch¨

atzung von Einsparungen betrachtet wird. Auf die notwendigen

konzeptionellen Erweiterungen der jeweiligen Methode wird kurz eingegangen.

8.2.1 Sortierheuristiken

Der im Folgenden vorgestellte Ansatz zur L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen

mit großen Zeitfenstern basiert auf der Beobachtung, dass unter Verwendung von

Algorithmus 8.1 f¨

ur das VSP-TW ein fahrzeugoptimaler Umlauf entstehen kann.

Aufgrund der lokalen Betrachtung der Freiheitsgrade einer Fahrt wird in der Regel

allerdings keine optimale L¨

osung gefunden. Im Folgenden wird ein Algorithmus

pr¨

asentiert, der angelehnt an Algorithmus 8.1 den Aufbau eines Umlaufplans f¨

das SD-VSP-TW vornimmt. Es wird gezeigt, dass eine Reihenfolge von Fahrten

existiert, f¨

ur die der Algorithmus die optimale L¨

osung ermittelt.

F¨

ur eine beliebig vorgegebene Sortierung der Servicefahrten, kann ein Umlauf-

plan erstellt werden, indem f¨

ur jede Fahrt sukzessive alle bestehenden Uml¨

aufe

gepr¨

uft werden, ob die Fahrt unter Ber¨

ucksichtigung der m¨

oglichen Verschiebe-

intervalle an einen Umlauf angeh¨

angt werden kann. Ist dies der Fall, wird die

Fahrt zum fr¨

uhestm¨

oglichen Zeitpunkt in einen gefundenen Umlauf aufgenom-

175

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

men. Andernfalls wird ein neuer Umlauf erstellt, der die Servicefahrt zu ihrem

fr¨

uhestm¨

oglichen Zeitpunkt enth¨

alt. Dieses Vorgehen ist in Algorithmus 8.2 dar-

gestellt.

Algorithmus 8.2 : Evaluierung f¨

ur Sortierheuristiken

Eingabe : Reihenfolge der Servicefahrten

Initialisiere U=∅

for t∈Tdo

identifiziere zur Aufnahme von tg¨

ultige Uml¨

aufe Ut

if Ut=∅then

erstelle neuen Umlauf umit tm¨

oglichst fr¨

U=U∪{u}

else

f¨

uge tm¨

oglichst fr¨

uh in u∈Utein

Ausgabe : Anzahl ben¨

otigter Uml¨

aufe |U|

Es existiert eine Reihenfolge der Servicefahrten, f¨

ur die der Algorithmus eine

fahrzeugoptimale L¨

osung liefert. Um dies zu zeigen, sei ein optimaler Umlaufplan

U∗angenommen, der |U∗|Uml¨

aufe enth¨

alt. Jeder Umlauf u∗∈U∗beinhaltet

eine Sequenz von Servicefahrten u∗

i= (ti1, ti2, ...),∀i= 1, . . . |U∗|. Dieser op-

timale Umlaufplan kann durch den Algorithmus mit Eingabe der Reihenfolge

(t11, t12, . . . , t21, t22, . . . , t31, t32, . . . ) gebildet werden, da f¨

ur die erste Fahrt des

optimalen Umlaufs t11 ein neuer Umlauf im Algorithmus gebildet wird und jede

folgende Fahrt t1∗aufgrund der m¨

oglichst fr¨

uhen Abfahrt jeder weiteren Service-

fahrt in den Umlauf aufgenommen werden kann. Dies gilt anschließend auch f¨

alle weiteren optimalen Uml¨

aufe, die mit Fahrt t∗1beginnen.

Da in der f¨

ur den Algorithmus vorgegebenen Reihenfolge der Servicefahrten die

Teilsequenzen der optimalen Uml¨

aufe (t∗1, t∗2, . . . ) beliebig kombinierbar sind,

existieren mindestens |U∗|! optimale Reihenfolgen f¨

ur den Algorithmus.

Das SD-VSP-TW mit der Zielsetzung einer minimalen Fahrzeuganzahl kann

auf der Basis der vorangegangenen ¨

Uberlegungen als Permutationsproblem de-

finiert werden: gesucht ist eine Reihenfolge f¨

ur die Servicefahrten T, zu der Al-

gorithmus 8.2 die optimale Fahrzeuganzahl liefert. Es existieren |T|! m¨

ogliche

Kombinationen aller Fahrten, von denen mindestens |U∗|! optimal sind. Der Al-

gorithmus kann f¨

ur eine optimale Reihenfolge allerdings nicht feststellen, dass sie

optimal ist. Mit Hilfe dieses Konzepts k¨

onnen beliebige Verfahren zur intelligenten

Suche nach optimalen Reihenfolgen eingesetzt werden (z.B. Meta-Heuristiken),

um das SD-VSP-TW zu l¨

osen.

Zur Sicherstellung einer korrekten Zuordnung im Falle von Fahrzeugtypgrup-

176

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

pen (MVTG), kann der Algorithmus angepasst werden, so dass eine Fahrt nur in

einem g¨

ultigen Umlauf zugeordnet werden kann. Zudem k¨

onnen Routenrestrik-

tionen (RC) durch den sukzessiven Aufbau jedes Umlaufs exakt innerhalb des

Verfahrens ber¨

ucksichtigt werden. Dazu m¨

ussen bei der Identifizierung m¨

oglicher

Uml¨

aufe die Routenrestriktionen beachtet werden und der Umlauf bei Verletzung

einer Restriktion f¨

ur die Fahrt ausgeschlossen werden.

Exemplarisch wurde im Rahmen dieser Arbeit ein evolution¨

arer Algorithmus

entwickelt, der im Folgenden vorgestellt wird.

Evolution¨

arer Algorithmus f¨

ur Sortierheuristik

Entsprechend der Modellierungskonzepte f¨

ur Meta-Heuristiken (s. Abschnitt 3.4)

definiert die Darstellung die Gr¨

oße des betrachteten L¨

osungsraums. F¨

ur den evo-

lution¨

aren Algorithmus wird diese innerhalb eines Chromosoms kodiert. F¨

ur das

beschriebene Permutationsproblem sei der Genotyp durch eine Sequenz der Zah-

len von 1 bis |T|definiert. Diese Kodierung repr¨

asentiert den Phenotyp, der eine

Sortierung der Servicefahrten darstellt. Jedes Gen gibt den Index einer Service-

fahrt im Fahrplan an (s. Abschnitt 3.4.2). Das Ziel des Algorithmus ist das Finden

einer Sequenz mit der minimalen Auspr¨

agung der Bewertungsfunktion. Als Be-

wertungsfunktion wird das im vorangegangenen Abschnitt vorgestellte Verfahren

zur Konstruktion eines Umlaufplans auf der Basis der Fahrtensequenz verwendet

(s. Algorithmus 8.2).

Neben der Bewertung von L¨

osungen, bei denen die Fitness der Individuen ent-

sprechend der L¨

osung der Bewertungsfunktion gesetzt wird, werden drei weitere

Schritte im evolution¨

aren Algorithmus durchgef¨

uhrt (s. Abschnitt 3.4.2). F¨

die Konzeption des Algorithmus zur L¨

osung des Permutationsproblems f¨

ur das

VSP-TW haben sich nach der Analyse unterschiedlicher Ans¨

atze die folgenden

Techniken als effizient erwiesen:

Zur Initialisierung der ersten Population P0wird ein Individuum erzeugt, bei

dem die Servicefahrten nach ihrer Abfahrtszeit sortiert werden, um eine ver-

gleichsweise gute L¨

osung in der Population zu haben. Die weiteren Individu-

en werden durch eine zuf¨

allige Reihenfolge der Servicefahrten gebildet, damit

m¨

oglichst unterschiedliche Individuen und somit heterogene Chromosome ent-

halten sind. Die Anzahl der Individuen in einer Generation ist konstant und sei

durch |P|gegeben.

Nach der Bewertung der Inidividuen wird in jeder Iteration eine Menge Qt⊂Pt

identifiziert, die nicht in die n¨

achste Population Pt+1 ¨

ubernommen wird. Die-

se Selektion wird durch eine Wettbewerbsselektion (engl: tournament selection)

vorgenommen, bei der je zwei zuf¨

allig bestimmte Individuen miteinander vergli-

177

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

3 1

5 6

4 6 2 7 5

3 1 7 4 2

Bruchstelle 1 Bruchstelle 2

6 2

1 7

7 5 3 1 4

4 3 6 2 5

Abbildung 8.2: Variation zweier Individuen f¨

ur Sortierheuristik

chen werden. Das Individuum mit der besseren Fitness ist ein Kandidat f¨

ur die

n¨

achste Generation und das Individuum mit der schlechteren Fitness wird aus

der Population entfernt. Sofern Qt>Pt

2wird das Verfahren f¨

ur die identifizierten

Kandidaten entsprechend wiederholt. Durch die Wettbewerbsselektion kann die

Ubernahme der besten L¨

osung sichergestellt werden und gleichzeitig eine Diver-

sifikation durch eine m¨

ogliche ¨

Ubernahme schlechter L¨

osungen erreicht werden.

Zur Bildung der n¨

achsten Generation werden die durch die Selektion identi-

fizierten Individuen aufgenommen und |Q|neue Individuen (Kinder) durch Va-

riation der bestehenden gebildet. Die einfache Kreuzung von zwei Chromosomen

uber eine Bruchstelle f¨

uhrt f¨

ur das Permutationsproblem in der Regel zu einer

ung¨

ultigen L¨

osung, da Elemente mehrfach und andere damit nicht enthalten sind.

Aus diesem Grund werden je zwei zuf¨

allig bestimmte Individuen variiert, indem

zwei Bruchstellen identifiziert werden und die Sequenz des ersten Chromosoms

zwischen den Bruchstellen f¨

ur das neue Chromosom ¨

ubernommen wird. Alle nicht

in dieser Sequenz enthaltenen Elemente werden in der Reihenfolge des Chromo-

soms des zweiten Individuums erg¨

anzt, so dass ein zul¨

assiges Individuum entsteht.

Ein zweites Individuum wird analog unter Verwendung der Sequenz des zweiten

Individuums und Erg¨

anzung aus dem Chromosom des ersten gebildet. Das Vorge-

hen der Variation ist in Abbildung 8.2 anhand eines Beispiels mit sieben Fahrten

illustriert. Zus¨

atzlich zur Bildung neuer Individuen wird die Suche nach besseren

L¨

osungen durch Mutation der Population diversifiziert. In jeder Iteration besteht

f¨

ur jedes Individuum eine geringe Wahrscheinlichkeit der Mutation, bei der zwei

zuf¨

allig bestimmte Positionen des Chromosoms miteinander vertauscht werden.

8.2.2 Fix&Optimize Verfahren

Als alternativer Ansatz wird im Folgenden eine Heuristik vorgestellt, die durch die

Arbeit von [Bokinge und Hasselstr¨

om, 1980] inspiriert wurde. Die Autoren kon-

struieren eine L¨

osung f¨

ur das VSP-TW, indem sie ausgehend von einer ung¨

ultigen

178

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

L¨

osung mit verk¨

urzten Fahrtzeiten sukzessive Zeitfenster fixieren und die resul-

tierende Problemstellung als SD-VSP l¨

osen (s. Abschnitt 4.4).

Das Fix&Optimize Verfahren erweitert dieses Vorgehen, indem der g¨

ultige

L¨

osungsraum als Kombination von unterschiedlichen zeitlichen Verschiebungen

von Servicefahrten interpretiert wird und dieser mit Meta-Heuristiken durchsucht

werden kann. F¨

ur eine fixierte Verschiebung einer Fahrt k¨

onnen die Abfahrts- und

Ankunftszeit des originalen Fahrplans angepasst werden und der resultierende

Fahrplan effizient als SD-VSP optimiert werden.

Sei ridie Anzahl der m¨

oglichen Auspr¨

agungen f¨

ur die Verschiebung der Service-

fahrt i∈Teinschließlich der originalen Abfahrtszeit. Durch die m¨

ogliche Kombi-

nation aller diskreten Auspr¨

agungen ist die Anzahl der m¨

oglichen L¨

osungen f¨

ein Fix&Optimize Verfahren: Qi∈Tri. F¨

ur den Fall, dass alle Fahrten bis zu t

Minuten fr¨

uher oder sp¨

ater gefahren werden d¨

urfen, existieren daher (2t+ 1)|T|

g¨

ultige L¨

osungen.

Zur Anwendung des Fix&Optimize Verfahrens kann, wie bei der Sortierheu-

ristik, eine beliebige Meta-Heuristik verwendet werden. Exemplarisch wird im

Folgenden die Konzeption eines evolution¨

aren Algorithmus gezeigt.

Evolution¨

arer Algorithmus f¨

ur Fix&Optimize Verfahren

Im evolution¨

aren Algorithmus ist jede L¨

osung durch die Auspr¨

agung des je Ser-

vicefahrt m¨

oglichen Zeitfenstern definiert. Wie bereits in Abschnitt 8.1 erl¨

autert,

k¨

onnen die m¨

oglichen zeitlichen Verschiebungen von Servicefahrten als diskre-

te M¨

oglichkeiten unterschieden werden, die in Zeiteinheiten von je einer Minute

modelliert sind. Zur Darstellung eines Individuums ist daher ein Chromosom der

L¨

ange |T|gegeben, in dem jedes Gen die Verschiebung einer Servicefahrt rela-

tiv zur Abfahrtszeit im originalen Fahrplan angibt. Jedes Gen enth¨

alt eine ganze

Zahl (Genotyp), die den Umfang der sp¨

ateren Abfahrt in Minuten angibt (Pheno-

typ). F¨

ur negative ganze Zahlen entspricht die Angabe einer fr¨

uheren Bedienung

der Servicefahrt. Die Gene k¨

onnen die f¨

ur eine Servicefahrt erlaubten relativen

Verschiebungen als Auspr¨

agungen annehmen.

Das Ziel der Heuristik ist, wie in der Sortierheuristik, das Finden einer L¨

osung

mit der geringsten Anzahl an notwendigen Fahrzeugen zur Bedienung des Fahr-

plans.

Um die Fitness der Individuen zu berechnen, wird in der Bewertungsfunktion

ein um die relativen Angaben der Verschiebungen angepasster Fahrplan erstellt

und mit einem Algorithmus zur Optimierung von SD-VSP gel¨

ost. Aus dieser

L¨

osung kann die optimale Fahrzeuganzahl f¨

ur die fixierten Zeiten gewonnen wer-

den und der Fitness des Individuums zugewiesen werden.

179

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

!1 1

3 !1

!3 !2 2 !1 2

!3 !1 2 !3 2

0 !3 !3 !2 2 !3 2

Abbildung 8.3: Variation zweier Individuen f¨

ur das Fix&Optimize Verfahren

In der Selektion werden aus der aktuellen Generation Ptdie |Qt|Individuen

mit der schlechtesten Fitness ausgew¨

ahlt und aus der Population entfernt. Die

Gr¨

oße der Population bleibt ¨

uber den Verlauf des Algorithmus konstant.

Um in der Variation die neuen Individuen Qtzu erzeugen, werden f¨

ur die

Bildung eines neuen zwei Eltern zuf¨

allig aus der bestehenden Population gew¨

ahlt.

Die Chromosomen der Eltern werden ¨

uber einen Fusion-Operator kombiniert (vgl.

[Beasley und Chu, 1996]). Die Vorgehensweise wird anhand eines in Abbildung

8.3 illustrierten Beispiels mit sieben Servicefahrten verdeutlicht: Die Gene der

beiden Eltern werden paarweise miteinander verglichen und der Wert des neuen

Gens anhand folgender Entscheidungsregeln bestimmt:

1. Wenn die Auspr¨

agungen der beiden Gene gleich ist, wird der Wert f¨

ur das

neue Gen ¨

ubernommen (gr¨

un dargestellt).

2. Wenn sich die Werte unterscheiden, aber die gleiche Tendenz hinsichtlich

einer fr¨

uheren (≤0) oder sp¨

ateren Bedienung (≥0) der Servicefahrt aufwei-

sen, wird ein zuf¨

allig bestimmter Wert zwischen denen der Eltern bestimmt

(blau dargestellt).

3. Wenn die Auspr¨

agungen der Elterngene eine unterschiedliche Tendenz auf-

weisen (d.h. ein Gen >0 und das andere <0), wird der Wert des neuen

Gens zuf¨

allig im Bereich des zul¨

assigen Zeitfensters bestimmt.

Durch dieses Vorgehen wird aus je zwei Individuen ein neues Individuum mit

generiert, so dass ggf. Individuen mehrfach als Eltern verwendet werden. Da durch

die zuf¨

allige Bestimmung des neuen Wertes in der dritten vorgestellten Entschei-

dungsregel bereits eine Diversifizierung der Suche vorgenommen wird, findet keine

zus¨

atzliche Mutation der L¨

osungen statt.

8.2.3 Adaption von VRP-Methoden

Neben dem VSP existieren eine Vielzahl von weiteren Problemstellungen im Be-

reich der Fahrzeugeinsatzplanung. Ein Beispiel ist das vehicle routing problem

180

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

(VRP) bei dem die Routen f¨

ur Fahrzeuge geplant werden, die von einem zentra-

len Depot unterschiedliche Kunden beliefern und zus¨

atzliche Restriktionen (z.B.

maximale Wegl¨

ange oder Kapazit¨

at) ber¨

ucksichtigen m¨

ussen. Ans¨

atze f¨

ur Opti-

mierungsmethoden zur L¨

osung spezieller VRPs werden bereits seit Beginn der

OR-Forschung entwickelt (vgl. [Dantzig und Ramser, 1959]), so dass sich eine

Vielzahl unterschiedlicher Unterproblemklassen entwickelt haben (vgl. [Lenstra

und Kan, 1981]). Aufgrund der langj¨

ahrigen Forschung und der hohen Praxisre-

levanz der VRP wurden bereits eine Vielzahl unterschiedlicher exakter und heu-

ristischer L¨

osungsmethoden entwickelt (vgl. [Laporte, 1992] und [Cordeau et al.,

2002]).

Die Problemstellungen VSP und VRP beinhalten eine Vielzahl von Gemein-

samkeiten, wenn die Servicefahrten des VSP als Kunden des VRP interpretiert

werden:

•Jede/r Servicefahrt/Kunde muss genau ein mal bedient/beliefert werden.

•Jede Fahrzeugroute muss im gleichen Depot starten und enden.

•Nach der Bedienung/Belieferung von Servicefahrten/Kunden k¨

onnen alle

anderen Haltestellen/Kundenstandorte angefahren werden (Deadheading).

•Durch unterschiedliche Fahrzeugtypen bzw. Fahrzeugtypgruppen k¨

onnen

die Kostenstrukturen f¨

ur Fahrzeuge sowie die zul¨

assige Bedienung/Beliefe-

rung von Servicefahrten/Kunden erforderlich sein.

Neben den Gemeinsamkeiten der Problemstellungen unterscheiden sie sich al-

lerdings in den folgenden Punkten:

•Im Gegensatz zu der Belieferung eines Kunden (VRP) ¨

andert sich bei der

Bedienung einer Servicefahrt sowohl die Zeit (Fahrtdauer) als auch ggf. der

Ort (Abfahrtshaltestelle 6= Ankunftshaltestelle).

•Die Ber¨

ucksichtigung von Kapazit¨

aten f¨

ur Fahrzeuge im VRP entspricht

der Erweiterung des VSP-RCs.

•Die Servicefahrten m¨

ussen zu einem festgelegten Zeitpunkt bedient werden,

die Belieferung der Kunden ist unabh¨

angig von der Zeit.

Die beiden erstgenannten Unterschiede sind hinsichtlich der Konzeption von

Optimierungsmethoden f¨

ur beide Problemstellungen einheitlich modellierbar, da

jeweils ein Spezialfall bei einer Problemstellung auftritt: im ersten Fall entspricht

die Belieferung eines Kunden (VRP) einer Servicefahrt, die die gleiche Abfahrts-

und Ankunftshaltestelle hat und eine Fahrtdauer von 0 Minuten hat. Im zweiten

181

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

Fall enthalten die im VSP verwendeten Fahrzeuge eine unendlich (oder ausrei-

chend große) Kapazit¨

at f¨

ur alle im VRP betrachteten Ressourcen. Dies gilt nicht

f¨

ur den dritten Unterschied, daher werden im Folgenden jeweils spezielle Pro-

blemklassen des VSPs und des VRPs betrachtet, die eine gleiche Betrachtung

der formalen Problemklassen erm¨

oglicht.

Bei der Ber¨

ucksichtigung von Zeitfenstern f¨

ur die Bedienung von Servicefahrten

(VSP-TW) bzw. f¨

ur die Belieferung von Kunden (VRP-TW) entf¨

allt der dritte zu-

vor dargestellte Unterschied der beiden Problemstellungen. F¨

ur das VSP bedeutet

die Einf¨

uhrung von Zeitfenstern eine Aufweichung der festgelegten Fahrtzeiten, so

dass zus¨

atzliche Freiheitsgrade zur Optimierung entstehen. Bei dem VRP f¨

uhren

Zeitfenster dagegen zu einer Einschr¨

ankung der m¨

oglichen Routen, da Kunden

nicht zu einer beliebigen Zeit, sondern innerhalb ihres Zeitfensters bedient werden

m¨

ussen. Daher entspricht das VSP-TW bis auf der Unterscheidung in Servicefahrt

und Kunde dem VRP-TW. Da die innerhalb von VRP-TW betrachteten Zeitfens-

ter in der Regel vergleichsweise groß sind (z.B. mehrere Stunden), ist im Rahmen

dieser Arbeit die Idee entstanden, Konzepte erfolgreicher L¨

osungsmethoden f¨

das VRP-TW auf den Anwendungsfall der taktischen Planung mit Zeitfenstern

zu ¨

ubertragen.

Aufgrund langj¨

ahriger Forschung existieren eine Vielzahl von Ans¨

atzen zur

L¨

osung des VRP-TWs. F¨

ur die Anwendung auf das VSP-TW wurden zwei Me-

thoden ausgew¨

ahlt, die auf Instanzen des VRP-TWs im Vergleich zu anderen

Ans¨

atzen die gr¨

oßte Effizienz zeigen (vgl. [Br¨

aysy und Gendreau, 2005a] und

[Br¨

aysy und Gendreau, 2005b]). Dies ist zum einen die Tabu Suche (s. Abschnitt

3.4.1) von Cordeau, Laporte und Mercier, bei der in jeder Iteration genau ein

Kunde in eine andere Route eingef¨

ugt wird und die durch zus¨

atzliche Techniken

(z.B. Aspirationskriterien und dynamische Bestrafungsfunktionen f¨

ur ung¨

ultige

L¨

osungen) erg¨

anzt ist (vgl. [Cordeau et al., 2001]). Als zweite Methode ist eine

Variable Nachbarschaftssuche (s. Abschnitt 3.4.1) von Polacek, Hartl, Doerner

und Reimann ausgew¨

ahlt worden, in der die Nachbarschaften Kundensequenzen

aus zwei Routen ausw¨

ahlen und diese tauschen. Durch die M¨

oglichkeit einer pa-

rametrisierten Bildung werden im Rahmen der VNS unterschiedlich große Nach-

barschaften verwendet (vgl. [Polacek et al., 2004]).

Die zwei Methoden wurden im Rahmen dieser Arbeit auf der Basis der in den

Ver¨

offentlichungen dargestellten Informationen implementiert. Zus¨

atzlich wur-

den problemspezifische Anpassungen durchgef¨

uhrt, die Effizienz der Methoden

hinsichtlich der L¨

osung von VSP-TW steigern konnten. Hierzu geh¨

orten unter

anderem die Anpassung der Aspirationskriterien, so dass ein tabu gesetzter Zug

bei der Einsparung eines Umlaufs get¨

atigt werden darf. Eine entscheidende Er-

weiterung stellt der Umgang mit so genannten Zielfunktionsplateaus dar, die f¨

182

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

viele ¨

ahnliche L¨

osungen einen gleichen Zielfunktionswert (Anzahl der Uml¨

aufe)

haben, so dass die Methoden die Qualit¨

at dieser L¨

osungen nicht unterscheiden

k¨

onnen. Durch eine Erweiterung der Zielfunktion um eine Steuerungsfunktion,

die die Varianz der Umlaufl¨

angen mit in die Bewertung einbezieht, wird die Bil-

dung von Uml¨

aufen mit wenigen Fahrten bevorzugt, so dass bei einer Verteilung

der wenigen restlichen Fahrten ein Umlauf eingespart werden kann.

8.2.4 Numerische Ergebnisse

F¨

ur die numerischen Tests wurden die in Abschnitt 6.1.1 vorgestellten realen Pro-

bleminstanzen zu SD-VSP konvertiert, da f¨

ur den vorliegenden Anwendungsfall

die Analyse der Fahrplanpotentiale unabh¨

angig von zus¨

atzlichen Nebenbedin-

gungen betrachtet wird. Die Instanzen enthalten nur noch ein Depot und einen

Fahrzeugtypen und werden im Folgenden mit ”konv’ x“1bezeichnet. Die Tests

wurden auf dem in Abschnitt 8.1.4 beschriebenen System ausgef¨

uhrt.

F¨

ur die ¨

Uberpr¨

ufung der in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten

Heuristiken wurden die Instanzen mit großen Zeitfenstern von ±10 und ±20 Mi-

nuten f¨

ur alle Servicefahrten durchgef¨

uhrt. Nach einer maximalen Laufzeit von

einer Stunde (3.600 Sekunden) je Instanz wurden die Verfahren abgebrochen. Die

durch die großen Zeitfenster bedingten komplexen Problemstellungen sind nicht

mehr mit LP-basierten Methoden, wie Algorithmen aus Standardoptimierungs-

software oder dem in Abschnitt 8.1.3 vorgestellten Kantengenerierungsansatz,

l¨

osbar. Aus diesem Grund sind die in den Abbildungen 8.4 und 8.5 dargestellten

Ergebnisse relativ zu einem zuf¨

alligen Suchalgorithmus gegeben. Dieser Algorith-

mus ist eine Sortierheuristik (s. Abschnitt 8.2.1), bei der in jeder Iteration die

Reihenfolge der Servicefahrten zuf¨

allig bestimmt wird.

Die Abbildungen zeigen f¨

ur alle Instanzen den Grad der erreichten Verbesse-

rung. Der evolution¨

are Algorithmus zur Steuerung der Sortierheuristik erreicht

eine Verbesserung von durchschnittlich ca. 20 %. Dies zeigt, dass Ansatz der

Meta-Heuristik f¨

ur das Konzept geeignet ist. Allerdings werden mit den anderen

Verfahren deutlich gr¨

oßere Verbesserungen erreicht. Vor allem der evolution¨

are

Algorithmus f¨

ur die Fix&Optimize Heuristik findet f¨

ur die Mehrzahl der Instan-

zen die vergleichsweise beste L¨

osung. Durch die in der Fix&Optimize Heuristik

notwendige L¨

osung von großen SD-VSPs mit Hilfe von LP-basierten Methoden,

k¨

onnen große mathematische Modelle (real 12 - real 15) aufgrund unzureichen-

den Speichers nicht aufgebaut werden. Die zwei angepassten Verfahren zur L¨

osung

des VRP-TW erreichen f¨

ur Zeitfenster von ±10 in der Regel schlechtere L¨

osungen

als das Fix&Optimize Verfahren, aber k¨

onnen auch die gr¨

oßten Instanzen l¨

osen.

1mit x ∈[1,15] entsprechend der Nummerierung aus Abschnitt 6.1.1

183

8 Optimierungsmethoden f¨

ur die Umlaufplanung mit Zeitfenstern

!"!#

$!"!#

%!"!#

&!"!#

'!"!#

(!"!#

)!"!#

!"#$%&'"()"*+",,"*-./(0-(!$.12345"-*&,%&6

*+,-./,0/1,.2-.3

4.5678-.9.:/

;<=1>*1?0/

@A*

Abbildung 8.4: Ergebnisse f¨

ur taktische Planung mit Zeitfenstern von ±10

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

Relative(Veresserung(zu(Random‐Heuristik

Sortierheuristik

Fix&Optimize

Tabu>Suche

VNS

Abbildung 8.5: Ergebnisse f¨

ur taktische Planung mit Zeitfenstern von ±20

184

8.2 Taktische Fahrplananalyse mit Zeitfenstern

F¨

ur gr¨

oßere Zeitfenster (±20) zeigen die VRP-Methoden ein vergleichsweise bes-

seres Verhalten, so dass sie zu mehreren Instanzen die besten L¨

osungen finden.

Die Tabu Suche erreicht f¨

ur alle Instanzen bessere L¨

osungen im Vergleich zum

VNS.

Zur Einsch¨

atzung der allgemeinen L¨

osungsqualit¨

at der vorgestellten Methoden

wurden kleine Instanzen mit bis zu 350 Fahrten gebildet, f¨

ur die ein exaktes Op-

timum bestimmt werden konnte. F¨

ur diese Instanzen konnte die Fix&Optimize

Heuristik immer die optimale L¨

osung hinsichtlich der Anzahl der Fahrzeuge fin-

den, so dass dies ein Indiz f¨

ur eine hohes Qualit¨

atsniveau der dargestellten Ver-

fahren ist.

Die beschriebenen Beobachtungen k¨

onnen anhand der unterschiedlichen Aus-

richtungen der L¨

osungsverfahren erkl¨

art werden. Das Konzept der Sortierheu-

ristik bietet den Vorteil, dass die Anzahl der m¨

oglichen L¨

osungsdarstellungen

(die m¨

oglichen Sortierungen der Servicefahrten) unabh¨

angig von der Gr¨

oße der

Zeitfenster ist. Aufgrund der vergleichsweise großen Anzahl ist eine Sortierheu-

ristik daher nicht f¨

ur die betrachteten Problemstellungen geeignet. Das Ver-

fahren ist aufgrund der abh¨

angig von der Fahrtenanzahl stark zunehmenden

L¨

osungsraumgr¨

oße nur f¨

ur Problemstellungen mit wenig Servicefahrten und gro-

ßen Zeitfenstern geeignet.

Die vom VRP-TW adaptierten Methoden sind in ihrer Konzeption auf die Be-

trachtung von sehr großen Zeitfenstern ausgelegt. Dadurch ist das tendenziell bes-

sere Verhalten auf den Problemstellungen mit gr¨

oßeren Zeitfenstern zu erkl¨

aren.

Im Gegensatz zum Fix&Optimize Verfahren, das auf den meisten Instanzen die

besten L¨

osungen findet, haben die VRP-Verfahren keine hohen Anforderungen

bez¨

uglich des ben¨

otigten Speichers.

F¨

ur die L¨

osung von Problemen der taktischen Planung mit Zeitfenstern ist

daher das Fix&Optimize Verfahren geeignet, sofern eine L¨

osung der Unterpro-

bleme innerhalb des verf¨

ugbaren Speichers m¨

oglich ist. Sollte das Fix&Optimize

Verfahren nicht anwendbar sein oder noch weitaus gr¨

oßere Zeitfenster betrachtet

werden, ist die vom VRP-TW adaptierte Tabu Suche eine geeignete Wahl.

Durch das Konzept der iterativen Suche nach besseren L¨

osungen, das alle vor-

gestellten Verfahren verfolgen, existiert bei Abbruch der Optimierung zu einem

beliebigen Zeitpunkt eine g¨

ultige L¨

osung. Da bessere L¨

osungen gefunden werden

k¨

onnen, je mehr Laufzeit f¨

ur ein Verfahren verf¨

ugbar ist, kann der Trade-Off zwi-

schen Zeit und Qualit¨

at skaliert werden und somit die erforderliche Flexibilit¨

f¨

ur den Anwendungsfall der taktischen Planung mit Zeitfenstern gew¨

ahrleistet

werden.

185

9 Zusammenfassung und Ausblick

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurden Optimierungsmethoden mit einer

Ausrichtung auf reale Planungssituationen thematisiert. Eine Zielsetzung bestand

in der Identifikation der Anwendungsf¨

alle f¨

ur den Einsatz von Optimierungs-

methoden innerhalb des Planungsprozesses im ¨

OPNV sowie der Analyse realer

Probleminstanzen hinsichtlich besonderer Eigenschaften. Darauf aufbauend soll-

te ein Methodenframework konzipiert und implementiert werden, das effiziente

L¨

osungsmethoden f¨

ur die Optimierung Umlaufplanungsproblemen enth¨

alt. Zur

Anwendung der Methoden auf die identifizierten Anwendungsf¨

alle sollten Stra-

tegien zur Erf¨

ullung individueller Planungsanforderungen entwickelt werden, die

eine effiziente L¨

osung der Problemstellungen unter Einbeziehung aller praxisre-

levanten Nebenbedingungen erm¨

oglichen. Dar¨

uber hinaus sollten erstmalig indi-

viduelle Anforderungen der Anwendungsf¨

alle sowie die Vermeidung eines Black-

Box-Verhaltens der L¨

osungsmethoden explizit ber¨

ucksichtigt werden.

Das klassische Vorgehen innerhalb der Planung im ¨

OPNV umfasst eine Vielzahl

von strategischen bis operativen Planungen, die in Kapitel 3 beschrieben wur-

den. Erstmals wurden im Rahmen dieser Arbeit neue Anwendungsf¨

alle f¨

ur die

L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen gezeigt, die die Planung auch bei strate-

gischen und taktischen Entscheidungen unterst¨

utzen und zu einer effizienteren

Planung beitragen k¨

onnen. F¨

ur die sechs identifizierten Anwendungsf¨

alle wurden

Einsatzm¨

oglichkeiten aufgezeigt und die Anforderungen an Optimierungsmetho-

den beschrieben. Dar¨

uber hinaus wurden unterschiedliche Problemstellungen und

praxisrelevante Erweiterungen aufgezeigt und formal beschrieben.

Unter Verwendung der formalen Problembeschreibung wurde in Kapitel 4 ein

umfassender ¨

Uberblick ¨

uber den Stand der Technik gegeben. Erstmals wurden

die Ver¨

offentlichungen zur Umlaufplanung hinsichtlich der Problemstellung klas-

sifiziert und in einer einheitlichen Notation dargestellt, so dass ein vollst¨

andiger

Uberblick ¨

uber die Forschung aus mehr als 40 Jahren aufgezeigt wurde.

Auf der Basis der aufgestellten Anforderungen an Optimierungsmethoden f¨

die Umlaufplanung und dem Stand der Technik wurden in Kapitel 5 die Hand-

lungsbedarfe dargestellt, um die L¨

ucke zwischen realen Anforderungen und der

bisherigen Forschung zu schließen. Aus den Bedarfen wurden die konkreten Ziele

dieser Arbeit abgeleitet und das Vorgehen zur Umsetzung aufgezeigt.

187

9 Zusammenfassung und Ausblick

Die bestehenden Optimierungsans¨

atze aus der Literatur wurden entweder an-

hand k¨

unstlich generierter oder realer Instanzen validiert. In Kapitel 6 wurden

diese Instanzen miteinander verglichen und ihre Struktur analysiert, wodurch

unterschiedliche Eigenschaften nachgewiesen werden konnten. Die Abh¨

angigkeit

der Effizienz g¨

angiger Modellierungsarten von diesen Eigenschaften wurde nach-

gewiesen und durch geeignete Kennzahlen abgebildet. Zum ersten Mal wurde im

Rahmen dieser Arbeit die Auswahl einer geeigneten Modellierung f¨

ur die Abbil-

dung realer Problemstellungen gezeigt. Einen wichtigen Beitrag stellt eine neu

entwickelte Kennzahl zur Absch¨

atzung der Komplexit¨

at von Umlaufplanungs-

problemen dar, die unter Einbeziehung der Struktureigenschaften von Proble-

minstanzen eine Absch¨

atzung der ben¨

otigten Optimierungslaufzeit erm¨

oglicht.

Die unterschiedlichen Anwendungsf¨

alle der Umlaufoptimierung erfordern je

nach Planungssituation eine stark unterschiedliche Ausrichtung der L¨

osungs-

methoden, zum Beispiel hinsichtlich der akzeptierten Gesamtlaufzeit, einer schnel-

len Absch¨

atzung der L¨

osung oder der Ausgabe g¨

ultiger Umlaufpl¨

ane zur Lauf-

zeit. Aus diesem Grund wurde im Rahmen dieser Arbeit ein neuartiges Me-

thodenframework entwickelt worden, mit dem die Vielzahl dieser Anforderun-

gen ber¨

ucksichtigt werden kann. Auf Basis der in [Kliewer, 2005] vorgestellten

Modellierung mit Hilfe eines aggregierten Time-Space-Netzwerks, konnten Ver-

fahren aus der Literatur angepasst und erweitert werden, so dass eine schnel-

le Berechnung von unteren Schranken und einer g¨

ultigen, sowie bez¨

uglich der

Fahrzeuganzahl optimalen, L¨

osung m¨

oglich war. Basierend auf diesen Methoden

wurde ein Verbesserungsverfahren entwickelt, das durch die Ausnutzung der in

Kapitel 6 identifizierten Eigenschaften realer Instanzen eine effiziente Optimie-

rung erm¨

oglicht. Durch die Konzeption eines iterativen Prozesses, in dem die

L¨

osungsqualit¨

at schrittweise verbessert wird, kann das Verfahren flexibel auf die

Anforderungen eines Anwendungsfalls angepasst werden und gleichzeitig die Kon-

vergenz zu einer optimalen L¨

osung sicherstellen. Durch dieses in Kapitel 7 vorge-

stellte Methodenframework konnten alle Anwendungsf¨

alle der Umlaufplanung oh-

ne Zeitfenster mit geeigneten Strategien unterst¨

utzt werden. Die geeignete Wahl

der Parameter wurde anhand der Ergebnisse numerischer Tests gezeigt, so dass

sich die Methode f¨

ur eine konkrete Planungssituation automatisch auf die Eigen-

schaften der Instanz einstellen kann. Anhand umfangreicher numerischer Tests

wurde die Effizienz der Methode belegt. Es wurde nachgewiesen, dass die Metho-

de im Vergleich zu bestm¨

oglich eingestellter Standardoptimierungssoftware eine

Vielzahl von besseren L¨

osungen findet und die Instanzen optimal l¨

osen kann. F¨

mittlere und große Instanzen konnte die optimale L¨

osung bei Vermeidung eines

Black-Box-Verhaltens sogar in k¨

urzerer Zeit gefunden werden. Durch die Kom-

bination unterschiedlicher L¨

osungstechniken konnten erstmals g¨

ultige L¨

osungen

188

f¨

ur sehr große Instanzen gefunden werden, so dass die vorliegende Arbeit auch

die Optimierung komplexer Fragestellungen, die zum Beispiel in Großst¨

adten mit

einer heterogenen Fahrzeugflotte auftreten, erm¨

oglicht.

F¨

ur die Unterst¨

utzung von Anwendungsf¨

allen der Umlaufplanung, in denen

Zeitfenster f¨

ur Fahrplanfahrten zugelassen werden, sind spezielle Modellanpas-

sungen und L¨

osungsmethoden erforderlich. In Kapitel 8 wurde das Methodenfra-

mework auf das in [Kliewer et al., 2006a] um Zeitfenster erweiterte Modell ange-

passt und um spezielle L¨

osungstechniken erweitert. Zus¨

atzlich wurde das Modell

um die Bedingung einer gleichm¨

aßigen zeitlichen Verschiebung von Fahrten einer

Linie erweitert. Numerische Ergebnisse belegen, dass erstmalig auch f¨

ur große In-

stanzen mit Zeitfenstern L¨

osungen gefunden werden konnten. Um im Rahmen von

Potentialanalysen der taktischen Planung im ¨

OPNV auch Probleme mit großen

Zeitfenstern l¨

osen zu k¨

onnen, wurden in dieser Arbeit neuartige Ans¨

atze vorge-

stellt, die einen Einsatz von Meta-Heuristiken f¨

ur die L¨

osung erm¨

oglichen. Exem-

plarisch konnte durch die Konzeption von zwei evolution¨

aren Algorithmen und

weiteren Meta-Heuristiken das Verhalten und die L¨

osungsqualit¨

at dieser Ans¨

atze

gezeigt werden, die im Vergleich zu einfachen Methoden eine deutliche Verbesse-

rung der L¨

osung erm¨

oglichen.

Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die Ziele der Arbeit wie folgt

erf¨

ullt sind: Durch die umfangreiche Analyse realer Problemstellungen konnten

Eigenschaften identifiziert werden, mit denen die Entwicklung eines effizienten

Methodenframeworks f¨

ur die L¨

osung von Umlaufplanungsproblemen erm¨

oglicht

wurde. Durch die Ausrichtung auf die Anforderungen neu identifizierter realer

Planungssituationen kann der Planungsprozess in vielen Bereichen verbessert wer-

den, so dass Planer besser in ihrer Aufgabe unterst¨

utzt werden und der ¨

OPNV

durch eine kosteneffizientere Planung nachhaltig gest¨

arkt wird.

Die neuartige Ausrichtung der Forschung auf weitere Anwendungsf¨

alle der Um-

laufplanung im ¨

OPNV er¨

offnet die M¨

oglichkeit weiterer Untersuchungen in die-

sem Bereich. So k¨

onnen durch eine konsequente Weiterentwicklung und Integra-

tion von Optimierungsmethoden weitere Planungsprobleme unterst¨

utzt werden.

Durch die erweiterte Einbeziehung von Optimierungskomponenten in Planungs-

software f¨

ur den ¨

OPNV kann der Planungsprozess ¨

uber den bisherigen Grad

hinaus unterst¨

utzt werden.

Eine M¨

oglichkeit der Unterst¨

utzung strategischer Fragestellungen ist der Ein-

satz von Umlaufoptimierungsmethoden in der Planung von Standortentscheidun-

gen f¨

ur Depots. Durch eine integrierte Betrachtung k¨

onnten, ¨

uber die Absch¨

atzung

von Ressourcenkosten f¨

ur Szenarien hinaus, optimale Standortentscheidungen zur

Minimierung der Fahrzeugeinsatzkosten gefunden werden.

Dar¨

uber hinaus besteht Forschungsbedarf in der Sicherstellung von robusten

189

9 Zusammenfassung und Ausblick

Einsatzpl¨

anen. Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Erkenntnisse ¨

uber die

Instanzeneigenschaften k¨

onnen Grundlage neuer Konzepte zur Erh¨

ohung der Ro-

bustheit sein. Dar¨

uber hinaus bieten die neu entwickelten Methoden die M¨

oglich-

keit eine Vielzahl von Unterproblemen effizient zu l¨

osen, so dass iterative Verfah-

ren zur Steigerung der Robustheit entwickelt werden k¨

onnen.

Durch die neuen generischen Konzepte zur L¨

osung von Umlaufplanungspro-

blemen mit großen Zeitfenstern, ist die Verwendung beliebiger Meta-Heuristiken

zur L¨

osung dieser Problemstellung m¨

oglich. Dadurch k¨

onnen im Rahmen wei-

terer Forschungen neue L¨

osungsmethoden entwickelt werden, die ohne Kennt-

nis der Problemeigenschaften eine Verbesserung der L¨

osungsqualit¨

at erm¨

oglichen

k¨

onnen.

190

Abk¨

urzungsverzeichnis

Abk¨

urzung Bedeutung

B&B Branch & Bound Verfahren

B&C Branch & Cut Verfahren

B&P Branch & Price Verfahren

IMCCF Integer Multicommodity Flow Problem

IP Integer Program

LDP Lagrange Dual Problem

LP Linear Program

MCCF Multicommodity Flow Problem

MCF Minimum Cost Flow Problem

MD-VSP Multiple Depot Vehicle Scheduling Problem

MDP Multiple Dantzig Pricing

MTSP Multiple Time Slot Pricing

MVTG-VSP Multiple Vehicletype Group Vehicle Scheduling Problem

O-D-Matrix Origin-Destination-Matrix

OPNV ¨

Offentlicher Personennahverkehr

RMP Restricted Master Problem

SA Simulated Annealing

SCP Set Covering Problem

SD-VSP Single Depot Vehicle Scheduling Problem

SPP Set Partitioning Problem

TP Transportation Problem

TSN Time Space Netzwerk (Modell)

TSP Traveling Salesman Problem

VBN Verbindungsbasiertes Netzwerk (Modell)

VNS Variable Neighborhood Search

VRP Vehicle Routing Problem

VRP-TW Vehicle Routing Problem with Time Windows

VSP Vehicle Scheduling Problem

VSP-RC Vehicle Scheduling Problem with Route Constraints

VSP-TW Vehicle Scheduling Problem with Time Windows

191

Abbildungsverzeichnis

2.1 Sequentieller Planungsprozess im ¨

OPNV .............. 6

2.2 Fahrplan einer Linie der PaderSprinter (Paderborn) . . . . . . . . 7

2.3 Auslastungskurven f¨

ur reale Fahrpl¨

ane ............... 15

2.4 Reduzierung der ben¨

otigen Fahrzeuge durch Zeitfenster . . . . . . 20

3.1 Column Generation f¨

urMIPs .................... 30

4.1 Zuweisungsmodell f¨

urdasSD-VSP ................. 41

4.2 Transportmodell f¨

urdasSD-VSP .................. 44

4.3 Netzwerkflussmodell f¨

urdasSD-VSP ................ 45

4.4 Einfaches Flussmodell f¨

ur das MD-VSP . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Mehrg¨

uter Flussmodell f¨

ur das MD-VSP . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Time-Space-Netzwerk f¨

ur das MVTG-VSP . . . . . . . . . . . . . 65

4.7 Modellierung diskreter Zeitfenster nach [Kliewer, 2005] . . . . . . 70

4.8 Multilevel Modell f¨

ur das VSP-RC . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 R¨

uckkanten Modell f¨

ur das VSP-RC . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1 Qualit¨

at der Schranken durch unterschiedliche LP-Relaxationen . 89

6.2 Vergleich der Auslastung beispielhafter Fahrpl¨

ane ......... 91

6.3 Strukturelle Unterschiede von realen, konvertierten und k¨

unstlich

generierten Instanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4 Auslastungsgraph eines Fahrplans mit Auslastungsspitze Ψmax . . 99

6.5 Unterschiede in Fahrplanstrukturen bei gleicher maximalen Aus-

lastung................................. 100

6.6 Vergleich von Absch¨

atzungen der optimalen Fahrzeuganzahl . . . 101

6.7 Vergleich der Laufzeiten f¨

ur LP- und IP-Phase . . . . . . . . . . . 104

6.8 Struktur der Entscheidungsmatrix des Mehrg¨

uter Flussmodells . . 106

7.1 Vorgehen zur Ber¨

ucksichtigung der Anforderungen von Anwen-

dungsf¨

allen ohne Zeitfenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2 Beispiel: M¨

oglichkeiten der Zuweisung von Uml¨

aufen zu Depots

undFahrzeugtypen.......................... 118

7.3 Alternative Netzwerkmodellierung von Servicefahrten . . . . . . . 124

193

Abbildungsverzeichnis

7.4 Konvergenzverhalten bei Warmstart von dualer Basis . . . . . . . 129

7.5 Einbettung des Kantengenerierungsalgorithmus . . . . . . . . . . 143

7.6 Dominanz der Pricingstrategie LRPcc gegen¨

uber alternativen Stra-

tegien in der Kantengenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.7 Vergleich der Strategien zur L¨

osung des Master Problems in der

Kantengenerierung .......................... 156

7.8 Vergleich von Initialisierungsstrategien hinsichtlich der Konver-

genz zur optimalen LP-L¨

osung.................... 158

7.9 Aufhebung des Black-Box-Verhaltens durch den Einsatz von IP-

Heuristiken .............................. 159

8.1 Alternative Netzwerkmodellierung f¨

ur Servicefahrten mit Zeitfens-

tern .................................. 171

8.2 Variation zweier Individuen f¨

ur Sortierheuristik . . . . . . . . . . 178

8.3 Variation zweier Individuen f¨

ur das Fix&Optimize Verfahren . . . 180

8.4 Ergebnisse f¨

ur taktische Planung mit Zeitfenstern von ±10 . . . . 184

8.5 Ergebnisse f¨

ur taktische Planung mit Zeitfenstern von ±20 . . . . 184

194

Tabellenverzeichnis

4.1 Eigenschaften gel¨

oster SD-VSP Probleminstanzen . . . . . . . . . 47

4.2 Eigenschaften gel¨

oster MD-VSP Probleminstanzen . . . . . . . . . 61

4.3 Eigenschaften gel¨

oster MVTG-VSP Probleminstanzen . . . . . . . 66

6.1 Reale Probleminstanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Konvertierte Probleminstanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3 Beispiel 1 f¨

ureinenFahrplan..................... 90

6.4 Beispiel 2 f¨

ureinenFahrplan..................... 90

6.5 Analyse der Anzahl der Modellvariablen f¨

ur ein Depot . . . . . . 92

6.6 Verhaltensunterschiede von k¨

unstlichen und realen Instanzen . . . 97

6.7 Absch¨

atzung der numerischen Komplexit¨

at realer Instanzen . . . 108

7.1 Beispiel: Definition von Fahrzeugtypgruppen . . . . . . . . . . . . 116

7.2 Dimensionen der Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3 Anzahl modellierter Kanten im TSN . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4 Ergebnisse mit Standardoptimierungssoftware . . . . . . . . . . . 149

7.5 Ergebnisse der Initialisierungsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.6 K¨

urzere Laufzeiten in der IP-Phase des Kantengenerierungsalgorithmus160

7.7 Kategorisierung der Instanzen und Zusammenfassung der numeri-

schenErgebnisse ........................... 163

8.1 Ergebnisse f¨

ur operative Zeitfenster . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

195

Liste der Algorithmen

3.1 Column Generation Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Hill-climber Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Variable Nachbarschaftssuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 TabuSuche............................... 36

3.5 Evolution¨

arerAlgorithmus ...................... 37

4.1 Instanzengenerator nach [Carpaneto et al., 1989] . . . . . . . . . . 60

7.1 Kantengenerierungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.1 Konstruktionsheuristik f¨

urVSP-TW ................. 169

8.2 Evaluierung f¨

ur Sortierheuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

197

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