Transmissionsphasengitter zur adaptiven
Dispersionskompensation in hochbitratigen
optischen ¨
Ubertragungssystemen
vorgelegt von
Diplom-Ingenieur
Fabian Kerbstadt
aus Berlin
von der Fakult¨
at IV - Elektrotechnik und Informatik
der Technischen Universit¨
at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurswissenschaften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. H. Henke
Berichter: Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Berichter: Prof. Dr.-Ing. P. Meissner
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 03.02.2006
Berlin 2006
D 83
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
1.1 Motivation................................... 5
1.2 Chromatische Dispersion in optischen ¨
Ubertragungssystemen . . . . . . . 6
1.3 Kompensation der chromatischen Restdispersion . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Konzepte zur adaptiven Dispersionskompensation . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Optische Filter als FIR/IIR-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1.1 FIR/IIR-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1.2 Zusammenhang zwischen FIR/IIR-Filtern und optischen
Filterstrukturen....................... 11
1.4.1.3 Beispiel: einstufiges Mach-Zehnder-Interferometer mit ein-
stellbarerPhase....................... 12
1.4.1.4 Schlussfolgerungen f¨
ur FIR-Filter . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 FIR/IIR-Strukturen zur adaptiven Dispersionskompensation . . . 17
1.4.2.1 Kaskadierte Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . . 17
1.4.2.2 Ringresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2.3 Etalons ........................... 20
1.4.2.4 Arrayed-Waveguide-Gratings (AWGs) . . . . . . . . . . 21
1.4.2.5 Doppel-AWGs und VIPA-Konzept . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Andere Filterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3.1 Faser-Bragg-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 ZielederArbeit................................ 26
2 Berechnungsmethoden f¨
ur die optische Feldausbreitung 28
2.1 Grundlagen .................................. 28
2.2 Der Schichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Methode der effektiven Brechzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 BPM-Methode ................................ 33
2.4.1 Prinzipielle Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Das Kirchhoff-Huygens-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Fourier-Optik ................................. 38
2.7 Fouriertransformation............................. 40
3 Material und Wellenleiterkonzepte 41
3.1 Streifenwellenleiter in Glas und thermooptischer Phasenschieber . . . . . 41
3.2 Rippenwellenleiter auf SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
Inhaltsverzeichnis 3
4 Das Einfach-AWG 45
4.1 Aufbau und Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Steuerung der Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Berechnung von 3dB-Bandbreite und Dispersion mit dem FIR-
Filteransatz.............................. 50
4.3.2 Berechnung der Transmission mittels Fourier-Optik . . . . . . . . 59
4.4 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Numerische Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 N¨
aherungen in den analytischen Berechnungen und ihre Auswirkungen . 66
4.6.1 Annahme unendlich vieler Gitterwellenleiter . . . . . . . . . . . . 66
4.6.2 Vernachl¨
assigung der benachbarten Ordnungen des Bildes in der
Fokalebene bei der Analytik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.3 Zusammenfassung........................... 71
4.7 Steuerung von Phasenkr¨
ummung und Ausleuchtung . . . . . . . . . . . . 71
4.7.1 Berechnung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.2 Zusammenfassung........................... 78
4.8 Steuerung der Phasenkr¨
ummung....................... 78
4.8.1 Berechnung der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.9 Ein Beispiel aus der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Das Doppel-AWG 84
5.1 Aufbau und Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.1 Struktur und Funktionsweise ohne Linse . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2 Die intrinsische Dispersion der Komponente . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Die Wirkungsweise der Linse in der Fokalebene . . . . . . . . . . 87
5.1.4 Doppel-AWG mit verteilter Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion mittels Fourieroptik . . . . . . . . 89
5.2.1 Allgemeines .............................. 89
5.2.2 Ausbreitung durch die zweite Freistrahlzone mit Linse . . . . . . . 90
5.2.3 Ausbreitung durch das zweite AWG zur dritten Freistrahlzone . . 97
5.2.4 Ausbreitung durch die dritte Freistrahlzone . . . . . . . . . . . . 98
5.2.5 Dispersion und Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.6 Verluste der Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.7 Quadratische Phasensignatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Numerische Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.1 Modell mit Linienlinse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2 Modell mit verteilter Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.3 Vergleich der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Beispiele f¨
ur D-AWGs und Linse mit quadratischer Phasensignatur . . . 107
5.4.1 Ein Beispiel aus der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.1.1 Die Parameter der Komponente . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.1.2 Numerische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.1.3 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Inhaltsverzeichnis 4
5.4.2 BeispielaufSOI............................113
5.4.2.1 Die Parameter der Komponente . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.2.2 Numerische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.2.3 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Zusammenfassung 117
Anhang 118
A Der Mehrschichtwellenleiter 119
B Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion des Einfach-AWG mittels Fourier-
optik 122
B.1 DieBerechnung................................122
C Symbolverzeichnis 131
D Abk¨
urzungsverzeichnis 134
E Eigene Ver¨
offentlichungen und Vortr¨
age 136
F Patente 137
G Danksagungen 138
Literaturverzeichnis 138
1 Einleitung
1.1 Motivation
In den 90er Jahren des 20. Jahrhunderts erlebte das Internet ein gewaltiges Wachstum
von 70% bis 200% pro Jahr. Dieser Trend wurde beg¨
unstigt durch die 1993 freigegebe-
ne WWW-Technologie (World Wide Web), die die Pr¨
asentation von Informationen im
Internet stark vereinfachte.
Ende der 90er Jahre endete dieser Boom und wurde durch ein weniger starkes Wachstum
abgel¨
ost. Doch auch ein weniger starkes Wachstum ist ein Wachstum und der weltweite
Datenverkehr und die entsprechenden Anforderungen an die ¨
Ubertragungsbandbreiten
steigen immer noch und werden dank neuer Anwendungen wie z.B. interaktives Fernse-
hen, Video-On-Demand und Video-Mails weiter wachsen.
Nur die optische Kommunikationstechnik wird die entsprechenden Bandbreiten zur
Verf¨
ugung stellen k¨
onnen. So wurden im Laborversuch 100 Wellenl¨
angenkan¨
ale mit je-
weils 12,4 Gb/s spektral dicht gepackt (ultradense WDM, wavelength division multiplexing)
¨
uber 1200 km Standard-Einmodenfaser ¨
ubertragen [1]. In [2] wurde durch Verwendung
des RZ-DQPSK Modulationsformates (return-to-zero differential quadrature phase shift
keying), Polarisationsmultiplex und 40 Wellenl¨
angenkan¨
alen mit je 40 G-Symbolen pro
Sekunde eine Datenrate von 5.94 Tb/s ¨
uber 324 km ¨
ubertragen. Auch Versuche, in de-
nen bereits verlegte Fasern verwendet wurden, verliefen erfolgreich. So wurde in [3] ein
160 Gb/s-OTDM Signal (optical time domain multiplexing) ¨
uber 275 km verlegte Faser
¨
ubertragen.
Steigende Datenraten und die Verwendung mehrstufiger Modulationsformate verringern
die Dispersionstoleranz des ¨
Ubertragungssystems [4, 5]. In den ¨
Ubertragungssystemen
wird die chromatische Dispersion durch Verwendung von dispersionskompensierenden
Fasern (DCF, dispersion compensating fiber) kompensiert. Die chromatische Disper-
sion der Strecke ist jedoch nicht konstant. Durch tages- und jahreszeitliche Tempe-
raturschwankungen, denen die ¨
Ubertragungsfaser ausgesetzt ist, schwankt auch deren
Dispersion [6–9]. Damit schwankt die Restdispersion am Ende der ¨
Ubertragungsstrecke.
Damit diese kompensiert werden kann, wird eine Komponente ben¨
otigt, deren chroma-
tische Dispersion einstellbar ist: ein adaptiver Dispersionskompensator. Im Abschnitt
1.4.2 werden verschiedene Konzepte vorgestellt.
5
1 EINLEITUNG 6
1.2 Chromatische Dispersion in optischen
¨
Ubertragungssystemen
Bei den modernen optischen ¨
Ubertragungssystemen wird die zu ¨
ubertragende Nach-
richt zun¨
achst meist bin¨
ar codiert und das Signal mit Hilfe eines Lasers als Infrarot-
licht in eine Glasfaser abgestrahlt. Diese Glasfaser ist ein einmodiger im Querschnitt
runder Wellenleiter f¨
ur elektromagnetische Wellen der entsprechenden Wellenl¨
ange. Der
f¨
ur die optische Nachrichtentechnik verwendete Wellenl¨
angenbereich (C-Band) ist λ=
1530 nm . . . 1565 nm. Innerhalb dieses Bereiches, bei λ= 1550 nm, weist die D¨
ampfung
der Glasfaser ein Minimum von ca. αdB,MIN = 0,2 dB/km auf [10, S.58].
Das Signal breitet sich als elektromagnetische Welle innerhalb des einmodigen Wellen-
leiters, den die Faser darstellt, aus. Da es nur einen Mode gibt, kann keine Modendi-
spersion auftreten. An dieser Stelle wird von einer perfekt runden Faser ausgegangen,
so dass keine Polarisationsmodendispersion auftritt. Die Ausbreitung wird dabei durch
die Ausbreitungskonstante βbeschrieben:
−*
E=−*
E(r, ϕ)·exp nj(ωt −βz)−α
2zo.(1.1)
Dabei ist −*
Edas elektrische Feld in der Faser. Es wird ¨
ortlich durch Zylinderkoordinaten
r,ϕund zbeschrieben. Dabei ist −*
E(r, ϕ) das Modenprofil des elektrischen Feldes in
der Faser abh¨
angig von den Koordinaten rund ϕ, die die Querschnittsfl¨
ache der Faser
beschreiben. Als weitere Gr¨
oßen treten die D¨
ampfungskonstante α, die Zeit t, die Kreis-
frequenz ωund die bereits erw¨
ahnte Ausbreitungskonstante βauf.
Die Ausbreitungskonstante βist im Allgemeinen von der Kreisfrequenz ωabh¨
angig und
wird um eine zentrale Kreisfrequenz ωCin eine Taylor-Reihe entwickelt:
β(ω) = β0+β1(ω−ωC) + 1
2β2(ω−ωC)2+1
6β3(ω−ωC)3+. . . (1.2)
Dabei ist
βm=µ∂mβ
∂ωm¶¯¯¯¯¯ω=ωC
.(1.3)
Weiterhin ist
β1=1
vGR
(1.4)
1 EINLEITUNG 7
und vGR die Gruppengeschwindigkeit eines Pulses, die die Geschwindigkeit der Ausbrei-
tung der Einh¨
ullenden eines optischen Pulses ist [11, S.9].
Mit β2wird die Abh¨
angigkeit der Gruppengeschwindigkeit vGR von der Kreisfrequenz ω
beschrieben. Diese Abh¨
angigkeit wird chromatische Dispersion genannt und β2ist der
GVD-Parameter (GVD, von engl. ’group velocity dispersion’). Chromatische Dispersion
bewirkt, dass sich ein optischer Puls w¨
ahrend der Ausbreitung durch eine Faser zeitlich
verbreitert [11, S.10].
Der Parameter β3beschreibt, wie stark sich wiederum die chromatische Dispersion mit
der Kreisfrequenz ¨
andert und wird als Dispersionssteigung bezeichnet. Dieser Parameter
muss ber¨
ucksichtigt werden, wenn β2≈0 oder der betrachtete Frequenzbereich sehr groß
ist [11, S.11].
Im Falle von Wellen leitenden Strukturen wird h¨
aufig statt der Ausbreitungskonstan-
te βWL eines Modes auch der effektive Brechungsindex neff,WL angegeben, der wie folgt
definiert ist:
neff,WL =βWL
k0
(1.5)
mit k0=2π
λ0und λ0ist die Vakuumwellenl¨
ange [12, S.55].
Mit Hilfe der bekannten Gruppengeschwindigkeit vGR kann ein Ausdruck f¨
ur die Grup-
penlaufzeit τGR gefunden werden. Ein Puls, der sich mit der Gruppengeschwindigkeit vGR
durch ein St¨
uck Faser der L¨
ange Lbewegt, wird daf¨
ur die Zeit τGR ben¨
otigen, wobei mit
Gl. (1.3) und (1.4) gilt:
τGR =L
vGR
=L·β1=L·∂β
∂ω =∂(L·β)
∂ω =∂(−ϕ)
∂ω =−∂ϕ
∂ω (1.6)
=−∂ϕ
∂λ ·µ∂λ
∂ω¶=λ2
C
2πc0·∂ϕ
∂λ .(1.7)
Hierbei ist ϕ=−β·Ldie Phase der optischen Welle. Die Gruppenlaufzeit kann durch
die erste Ableitung der Phase ϕder optischen Welle nach der Kreisfrequenz ωberechnet
werden.
Wie stark die Gruppenlaufzeit τGR von der Wellenl¨
ange λabh¨
angt, wird durch den
Dispersionsparameter Dbeschrieben, der proportional zu dem bereits erw¨
ahnten GVD-
Parameter β2ist. Mit Gl. (1.6) gilt zun¨
achst:
D=∂τGR
∂λ =∂
∂λ ·µ−∂ϕ
∂ω¶=−∂
∂λ ·∂ϕ
∂λ ·∂λ
∂ω (1.8)
=λ2
C
2πc0·∂2ϕ
∂λ2.(1.9)
1 EINLEITUNG 8
Dabei ist c0die Vakuumlichtgeschwindigkeit und λCdie betrachtete Wellenl¨
ange [11,
S.11].
Gleichung (1.9) beschreibt, wie sich der Dispersionsparameter D¨
uber die zweite Ablei-
tung der Phase ϕnach der Wellenl¨
ange λberechnen l¨
asst.
F¨
ur den Dispersionsparameter Deines Faserst¨
uckes der L¨
ange Lgilt mit den Gleichun-
gen (1.3) und (1.6) weiterhin:
D=∂τGR
∂λ =L·∂β1
∂λ =L·∂β1
∂ω ·∂ω
∂λ
=−β2·L·2πc0
λ2
C
.(1.10)
Gleichung (1.10) zeigt, dass der Dispersionsparameter Dund der GVD-Parameter β2f¨
ur
eine feste Wellenl¨
ange λCzueinander proportional sind [11, S.11].
Glasfasern, die in optischen ¨
Ubertragungssystemen eingesetzt werden, sind neben der
D¨
ampfung insbesondere auch durch ihre Dispersion D0pro Strecke charakterisiert. Diese
setzt sich aus zwei Anteilen D0
Mund D0
Wzusammen [10, S.41]:
D0=D0
M+D0
W.(1.11)
Dabei ist D0
Mdie Materialdispersion, deren Ursache die Abh¨
angigkeit des Materialbre-
chungsindex nder Faser von der Kreisfrequenz ωist. Der Anteil D0
Wist die Wellenlei-
terdispersion und wird durch die L¨
osung der Wellengleichung f¨
ur die jeweilige Fasergeo-
metrie bestimmt, die wellenl¨
angen- bzw. frequenzabh¨
angig ist.
1.3 Kompensation der chromatischen Restdispersion
Die f¨
ur optische ¨
Ubertragungssysteme h¨
aufig eingesetzte Standard-Einmodenfaser (SSMF,
von engl.: ’standard single-mode fiber’) weist eine Dispersion pro Strecke von ca. D0
SSMF =
18 ps
nm·km auf [10, S.45]. Nachdem ein Signal eine Strecke Ldurch eine SSMF zur¨
uckge-
legt hat, ist seine Form durch den Einfluss der Dispersion verzerrt. Diese Verzerrung
wird durch den Einsatz einer Faser mit negativer Dispersion (DCF, von engl. ’dispersion
compensating fiber’) kompensiert. Eine solche Faser zu realisieren ist m¨
oglich, weil die
oben erw¨
ahnte Wellenleiterdispersion D0
Wvon der Fasergeometrie abh¨
angt. Durch ent-
sprechende Wahl dieser Geometrie kann die Gesamtdispersion der Faser in einem gewis-
sen Bereich eingestellt werden.
Ein stark vereinfachtes optisches ¨
Ubertragungssystem zeigt Abb.1.1. Das ¨
Ubertragungs-
system besteht aus Sender, SSMF, DCF und Empf¨
anger. Die Dispersion, die in der SSMF
1 EINLEITUNG 9
o p t i s c h e r
S e n d e r
o p t i s c h e r
E m p f ä n g e r
L
S S M F D C F
D
0
D»
s
DT
Abbildung 1.1: Vereinfachte schematische Darstellung eines optischen ¨
Ubertragungssystems
mit Sender, ¨
Ubertragungsfaser, dispersionskompensierender Faser und Empf¨
anger. Auf die
¨
Ubertragungsfaser wirken die tages- und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen ein und
¨
andern damit deren Dispersion.
¨
uber der Strecke ansteigt, wird durch die DCF kompensiert, so dass am Empf¨
anger der
Wert Null erreicht wird.
Auf die SSMF wirken die tages- und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen ein und
die Dispersion der SSMF ist temperaturabh¨
angig [6–9]. Dadurch wird die Kompensation
der Dispersion der SSMF durch die DCF, deren Dispersion konstant ist, nicht perfekt
sein. Es wird sich ein geringer, zeitlich schwankender Wert der Dispersion vor dem op-
tischen Empf¨
anger einstellen.
Um eine Vorstellung ¨
uber die Gr¨
oßenordnung dieser Restdispersion zu geben, wird ein
Zahlenbeispiel betrachtet. Mit den Annahmen, dass die ¨
Ubertragungsstrecke L=500 km,
die tages- und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen ∆T≈ ±30 Kund die ¨
Ande-
rung der Dispersion der ¨
Ubertragungsfaser mit der Temperatur ∂D
∂T =−3·10−3ps
nm·km /K
[9] betragen, folgt, dass die Restdispersion am Ende der ¨
Ubertragungsstrecke eine Schwan-
kung von ca. ∆D=±45 ps
nm aufweist.
Um diese zeitabh¨
angige Restdispersion zu kompensieren, wird eine Komponente ben¨
otigt,
deren Bandbreite groß genug f¨
ur das Signalspektrum des gesendeten Signales und deren
Dispersion innerhalb des berechneten Bereiches einstellbar ist. Die M¨
oglichkeiten der
Realisierung einer solchen Komponente zu betrachten und zu bewerten ist Gegenstand
der vorliegenden Arbeit.
1 EINLEITUNG 10
1.4 Konzepte zur adaptiven Dispersionskompensation
1.4.1 Optische Filter als FIR/IIR-Filter
1.4.1.1 FIR/IIR-Filter
Die Abk¨
urzung ’FIR’ steht f¨
ur ’finite impulse response’. Damit werden Filter bezeichnet,
deren Impulsantwort endlich ist. Entsprechend bedeutet ’IIR’ ’infinite impulse response’
und bezeichnet Filter deren Impulsantwort theoretisch unendlich lang ist. Diese Filter-
konzepte sind aus der Digitaltechnik bekannt, wo die zu verarbeitenden Signale meist
aufgrund einer Abtastung eines kontinuierlichen Signals zeitdiskret vorliegen und die Si-
gnalverarbeitung ebenfalls zeitdiskret erfolgt. Die Abtastperiode mit der das zeitdiskrete
Signal erzeugt wird, wird ∆τtast genannt. Die Signale liegen dann als Folge von Zahlen-
werten vor, zwischen denen jeweils die Zeitdifferenz ∆τtast liegt. Ein digitales Filter, das
eine Folge x[n] als Eingangssignal erh¨
alt, erzeugt daraus ein Ausgangssignal, das durch
die Folge y[n] beschrieben wird. Dabei ist neine ganze Zahl und beschreibt zusammen
mit der Gr¨
oße ∆τtast den Zeitpunkt, zu dem z.B. das Eingangssignal den Wert x[n] auf-
weist.
Die Generierung des zeitdiskreten Ausgangssignales beispielhaft f¨
ur das Folgenglied y[n]
geschieht durch die Bildung einer gewichteten Summe ¨
uber die (M+ 1) vorhergehenden
Folgenglieder der Eingangsfolge x[n] und Nvorhergehende Folgenglieder der Ausgangs-
folge y[n]. Dies kann als Gleichung formuliert werden [13, S.353]:
y[n] =
M
X
k=0
bk·x[n−k] +
N
X
k=1
ak·y[n−k] (1.12)
Abb. 1.2 veranschaulicht Gleichung (1.12) als Blockdiagramm.
Dem Blockdiagramm kann einerseits die Vorschrift zur Berechnung der Ausgangsfolge
y[n] bei bekannter Eingangsfolge x[n] entnommen werden, andererseits liefert es auch die
prinzipielle Strukur einer Realisierung des betreffenden Filters in Hardware. Es m¨
ussen
Strukturen zum speichern der vorhergehenden Eingangs- und Ausgangsfolgenglieder vor-
handen sein. Alternativ dazu und besonders im Hinblick auf eine Realisierung als optische
Wellenleiterstruktur m¨
ussen Strukturen vorhanden sein, die das physikalisch vorliegen-
de und sich durch die Struktur ausbreitende Signal zeitlich verz¨
ogern. Darauf wird im
Abschnitt 1.4.1.2 noch einmal eingegangen.
Wenn alle Koeffizienten akin Gl.(1.12) bzw. in Abb. 1.2 den Wert Null annehmen, be-
deutet dies, dass es keine R¨
uckkopplung von Ausgangswerten zum Eingang gibt. Jeder
Ausgangswert ist daher eine Linearkombination aus dem aktuellen Eingangswert und
Mvorhergehenden Eingangswerten. Die Impulsantwort ist damit endlich und das Filter
wird als FIR-Filter (’finite impulse response’) bezeichnet [14, S.183].
Filter bei denen die Koeffizienten akungleich Null sind und demnach eine R¨
uckkopplung
1 EINLEITUNG 11
+
+
+
D
t
t a s t
D
t
t a s t
D
t
t a s t
D
t
t a s t
D
t
t a s t
D
t
t a s t
+
+
+
x [ n ] y [ n ]
x [ n - 1 ]
x [ n - 2 ]
x [ n - M ]
y [ n - 1 ]
y [ n - 2 ]
y [ n - N ]
0
b
1
b
M - 1
b
M
b
1
a
N - 1
a
N
a
D
tt a s t : E i n h e i t s v e r z ö g e r u n g s g l i e d
Abbildung 1.2: Blockdiagrammdarstellung f¨
ur die Differenzengleichung 1.12, die den Zusam-
menhang zwischen der Eingangsfolge x[n]in ein Filter und der generierten Ausgangsfolge y[n]
beschreibt. Abbildung aus [13, S.353].
vom Ausgang zum Eingang aufweisen, haben im Allgemeinen eine unendliche Impuls-
antwort und werden deshalb als IIR-Filter (’infinite impulse response’) bezeichnet [14,
S.191].
1.4.1.2 Zusammenhang zwischen FIR/IIR-Filtern und optischen
Filterstrukturen
Alle FIR/IIR-Filter-Strukturen sind aus denselben wenigen Grundbausteinen aufge-
baut. Diese sind Teiler, Kombinierer und Verz¨
ogerungsleitung [12, S.xi]. Die L¨
angen der
Verz¨
ogerungsleitungen sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheitsverz¨
ogerung.
Die in Abschnitt 1.4.2 vorgestellten optischen Filterstrukturen bestehen ausschließlich
aus diesen Grundbausteinen z.B. kaskadierte Mach-Zehnder-Interferometer und AWGs.
Die Eigenschaften dieser Filter lassen sich gut mit Hilfe des FIR/IIR-Filter-Konzeptes
beschreiben. Um diesen Zusammenhang n¨
aher zu erl¨
autern und den Begriff des frei-
en Spektralbereiches zu erkl¨
aren, wird das folgende einfache Beispiel f¨
ur ein spezielles
optisches FIR-Filter betrachtet.
1 EINLEITUNG 12
1.4.1.3 Beispiel: einstufiges Mach-Zehnder-Interferometer mit einstellbarer
Phase
Es wird die Wellenleiterstruktur aus Abb. 1.3 betrachtet. Es handelt sich um ein einstu-
figes Mach-Zehnder-Interferometer (MZI). Zwei optische Richtkoppler ’Koppler 1’ und
’Koppler 2’ schließen eine asymmetrische Mach-Zehnder-Sektion ein. Diese besteht aus
einem kurzen und einem langen Wellenleiter, wobei bei dem langen Wellenleiter die
M¨
oglichkeit gegeben ist, eine Phasenverschiebung von ∆ΦMZI aufzubringen. Die unter-
schiedlich langen Wellenleiter der Mach-Zehnder-Sektion verursachen unter Vernachl¨
assi-
gung der Dispersion eine Laufzeitdifferenz von ∆τMZI. Die ¨
Ubertragungseigenschaften der
Struktur werden durch eine Transfermatrix (TGES) beschrieben, die die Anregungskoef-
fizienten der ein- und auslaufenden Wellen im Frequenzbereich zueinander in Beziehung
setzt:
µEGES,aus,o
EGES,aus,u¶= (TGES)·µEGES,ein,o
EGES,ein,u¶.(1.13)
Dabei ist (TGES) eine 2 ×2-Matrix deren Elemente im Folgenden bestimmt werden. Die
a s y m m e t r i s c h e s M Z I m i t Dt b z w . DL
K o p p l e r 1 m i t k
P h a s e n s c h i e b e r m i t D F
M Z I
M Z I
E
k 1 , e i n , u
E
k 1 , e i n , o
E
k 1 , a u s , u
E
k 1 , a u s , o
E
M Z I , e i n , u
E
M Z I , a u s , o
E
M Z I , a u s , u
E
M Z I , e i n , o
E
k 2 , e i n , u
E
k 2 , e i n , o
E
k 2 , a u s , u
E
k 2 , a u s , o
E
G E S , e i n , u
E
G E S , e i n , o
E
G E S , a u s , u
E
G E S , a u s , o
1
K o p p l e r 2 m i t k
2
k
1
k
2
Dt
M Z I
D F
M Z I
,
M Z I
Abbildung 1.3: Einfaches Mach-Zehnder-Interferometer bestehend aus zwei Richtkopplern
’Koppler 1’ und ’Koppler 2’ mit den Koppelkoeffizienten κ1und κ2und der Mach-Zehnder-
Sektion, die durch eine L¨
angendifferenz ∆LMZI der beiden Wellenleiter eine Laufzeitdifferenz
von ∆τMZI realisiert und eine Phasenverschiebung von ∆ΦMZI aufbringt.
Transfermatrix der Koppler wird am Beispiel von ’Koppler 1’ betrachtet. Die Funktion
des Richtkopplers, der in diesem Fall durch den Koppelkoeffizienten κ1charakterisiert ist,
besteht darin, eine beispielsweise am oberen Eingang mit dem Anregungskoeffizienten
1 EINLEITUNG 13
Ek1,ein,oeingespeiste Welle mit dem Koppelfaktor κ1multipliziert an den oberen Aus-
gang mit dem Anregungskoeffizienten Ek1,aus,oweiterzuleiten. Der Rest der eingespeisten
Leistung wird als Welle mit dem Anregungskoeffizienten Ek1,aus,uund mit 90◦Phasen-
verschiebung an den unteren Ausgang abgegeben. F¨
ur die Transfermatrix des ’Koppler
1’ ergibt sich [12, S.72]:
(Tk1) = ·κ1jp1−κ2
1
jp1−κ2
1κ1¸.(1.14)
Bei der Mach-Zehnder-Sektion sind ausschließlich der obere Eingang mit dem oberen
Ausgang und der untere Eingang mit dem unteren Ausgang verbunden. Es wird jeweils
nur eine Phasenverschiebung aufgebracht, die durch die L¨
ange der Wellenleiter bestimmt
ist. Wird wie schon erw¨
ahnt die Dispersion vernachl¨
assigt, weiterhin die Laufzeit durch
den unteren k¨
urzeren Wellenleiter ebenfalls und so nur die Laufzeitdifferenz ∆τMZI zwi-
schen den beiden Wellenleitern und die Phasenverschiebung ∆ΦMZI ber¨
ucksichtigt, ergibt
sich folgende Transfermatrix f¨
ur die Mach-Zehnder-Sektion:
(TMZI) = ·ej(ω·∆τMZI+∆ΦMZI)0
0 1 .¸(1.15)
Wie in Abb. 1.3 angedeutet, kann die Transfermatrix (TGES) der gesamten Anordnung
als Produkt aus den Einzeltransfermatrizen berechnet werden, wobei die Reihenfolge der
Matrizen in diesem Produkt umgekehrt zur Anordnung der entsprechenden Einzelstruk-
turen ist:
(TGES) = (Tk2)·(TMZI)·(Tk1) (1.16)
="κ2jp1−κ2
2
jp1−κ2
2κ2#··ej(ω·∆τMZI+∆ΦMZI)0
0 1 ¸··κ1jp1−κ2
1
jp1−κ2
1κ1¸.(1.17)
Es wird nun beispielhaft die ¨
Ubertragungsfunktion vom oberen Eingang zum unteren
Ausgang (siehe Abb. 1.3) der gesamten Struktur betrachtet. Diese wird beschrieben
durch das Matrixelement TGES,21, so dass gilt:
EGES,aus,u=³j·κ1p1−κ2
2·ej(ω·∆τMZI+∆ΦMZI)+j·κ2·p1−κ2
1´
| {z }
TGES,21
·EGES,ein,o.(1.18)
An dieser Gleichung (1.18) ist die wesentliche Aussage dieses Abschnittes bereits gut
zu erkennen. Die ¨
Ubertragungsfunktion der Struktur ist im Frequenzbereich periodisch.
Dies ist an dem Auftreten der Kreisfrequenz ωals Argument der Exponentialfunktion zu
1 EINLEITUNG 14
erkennen. Die Periodenl¨
ange soll nun bestimmt werden. Wird von einer Kreisfrequenz
ω1ausgehend diese erh¨
oht, bis das Argument der Exponentialfunktion um den Wert 2π
angestiegen ist, so wurde genau eine Periode ¨
uberstrichen. Wird der erreichte Wert der
Kreisfrequenz ω2genannt, so gilt:
ω2∆τMZI + ∆ΦMZI =ω1∆τMZI + ∆ΦMZI + 2π(1.19)
⇔ω2∆τMZI =ω1∆τMZI + 2π(1.20)
⇔ω2=ω1+2π
∆τMZI
(1.21)
⇔ω2−ω1=2π
∆τMZI
.(1.22)
Die Differenz von ω2und ω1ist das gesuchte Periodizit¨
atsintervall und wird als freier
Spektralbereich (FSR, von engl.: free spectral range) bezeichnet. Mit ∆ωFSR =ω2−ω1
und ∆fFSR =∆ωFSR
2πals entsprechendem Intervall der Frequenz gilt:
∆ωFSR =2π
∆τMZI
(1.23)
⇔∆fFSR =1
∆τMZI
.(1.24)
Allgemein kann ein Frequenzintervall ∆fmit der Mittenfrequenz fCin ein Wellenl¨
angen-
intervall ∆λmit der entsprechenden Mittenwellenl¨
ange λCumgerechnet werden. Falls
∆f¿fCgilt, und das ist bei allen folgenden Betrachtungen der Fall, gilt n¨
aherungs-
weise
∆λ≈λ2
C
c0·∆f . (1.25)
F¨
ur den freien Spektralbereich als Wellenl¨
angenintervall ∆λFSR ergibt sich mit Gl.(1.24)
und (1.25)
∆λFSR =λ2
C
c0·1
∆τMZI
.(1.26)
Ein weiterer n¨
utzlicher Zusammenhang ergibt sich, wenn die Phasendifferenz ∆ϕMZI
betrachtet wird, die sich aus der L¨
angendifferent ∆LMZI bzw. der Laufzeitdifferenz ∆τMZI
der beiden Wellenleiter der Mach-Zehnder-Sektion ergibt. F¨
ur diese gilt:
1 EINLEITUNG 15
∆ϕMZI =ωC·∆τMZI (1.27)
= 2π·cW
λC,W·∆τMZI .(1.28)
Dabei ist cWdie Gruppengeschwindigkeit der optischen Welle in dem optischen Wel-
lenleiter der Mach-Zehnder-Sektion. Die zugeh¨
orige Zentralwellenl¨
ange ist λC,W. F¨
ur die
Gruppenlaufzeit ∆τMZI gilt:
∆τMZI =∆LMZI
cW
.(1.29)
Wird Gl. (1.28) in Gl. (1.29) eingesetzt, ergibt sich:
∆ϕMZI = 2π·∆LMZI
λC,W
.(1.30)
Die L¨
angendifferenz ∆Lund die Zentralwellenl¨
ange λCbzw. die Zentralwellenl¨
ange im
Wellenleiter λC,Wsind so aufeinander abgestimmt, dass der Quotient aus beiden in Gl.
(1.30) ganzzahlig ist. Dieser Quotient ist die Ordnung des Filters und wird mit mbe-
zeichnet. Mit m=∆LMZI
λC,Wergibt sich:
∆ϕMZI = 2π·m . (1.31)
Verwendung der Gleichungen (1.26), (1.28) und (1.31) f¨
uhrt zu folgendem einfachen
Zusammenhang:
∆λFSR =λC
m.(1.32)
Aus einer gegebenen Zentralwellenl¨
ange λCeines Filters und der Filterordnung ml¨
asst
sich der freie Spektralbereich ∆λFSR berechnen.
1 EINLEITUNG 16
1.4.1.4 Schlussfolgerungen f¨
ur FIR-Filter
In diesem Abschnitt werden die erreichbaren Obergrenzen f¨
ur Dispersion und Bandbreite
gegebener FIR-Filterstrukturen abgesch¨
atzt.
Es wird eine optische FIR-Filterstruktur betrachtet, die aus MStufen besteht, die jeweils
eine Zeitverz¨
ogerung von ∆τMZI aufweisen. Die maximale Laufzeitdifferenz, die zwischen
zwei Spektralkomponenten eines Signales liegen kann, betr¨
agt dann
∆τMAX =M·∆τMZI .(1.33)
F¨
ur die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB gilt, dass sie maximal so groß werden kann wie der
freie Spektralbereich: ∆λ3dB ⩽∆λFSR. Unter der Annahme, dass die Komponente durch
geeignete Maßnahmen einen einstellbaren ¨
uber der Wellenl¨
ange linearen Verlauf der
Gruppenlaufzeit bzw. eine einstellbare Dispersion aufweist, kann die maximal erreichbare
Dispersion DMAX abgesch¨
atzt werden:
DMAX =∆τMAX
∆λ3dB
.(1.34)
Einsetzen von Gl. (1.26) und (1.33) in Gl. (1.34) ergibt:
DMAX =λ2
C
c0·M
∆λ3dB ·∆λFSR
(1.35)
⇔DMAX ·∆λ3dB ·∆λFSR =M·λ2
C
c0
(1.36)
⇔M=c0
λ2
C·DMAX ·∆λ3dB ·∆λFSR .(1.37)
Die linke Seite von Gl. (1.36) kann als Kriterium dienen, mit dem sich verschiedene Filter
miteinander vergleichen lassen, weil es die beiden entscheidenden Gr¨
oßen Dispersion und
Bandbreite, die beide gewisse Werte nicht unterschreiten d¨
urfen, mit einbezieht und nicht
etwa nur eine der beiden Gr¨
oßen ber¨
ucksichtigt.
Mit Hilfe von Gl. (1.37) kann f¨
ur die Parameter einer zu entwickelnden Komponente
zur adaptiven Dispersionskompensation die minimal notwendige Anzahl Filterstufen M
bestimmt werden.
Gleichung (1.36) kann noch umgeformt werden:
DMAX ·∆λ2
3dB =M·λ2
C
c0·µ∆λ3dB
∆λFSR ¶.(1.38)
1 EINLEITUNG 17
Die linke Seite von Gl. (1.38) wird in dieser Arbeit als Dispersions-Bandbreite-Produkt
bezeichnet (obwohl die Bandbreite im Quadrat auftritt) und als Kriterium zum Vergleich
verschiedener Komponenten zur adaptiven Dispersionskompensation verwendet. Dieser
Vergleich ist sinnvoll, wenn sich f¨
ur die verschiedenen Komponenten der Quotient aus
3 dB-Bandbreite und freiem Spektralbereich nicht zu stark unterscheidet.
1.4.2 FIR/IIR-Strukturen zur adaptiven Dispersionskompensation
1.4.2.1 Kaskadierte Mach-Zehnder-Interferometer
Optische Filter dieser Bauart bestehen aus einer Hintereinanderschaltung einer gewissen
Anzahl von Mach-Zehnder-Interferometern.
Ein Mach-Zehnder-Interferometer entsteht aus der Hintereinanderschaltung zweier Richt-
koppler, indem die beiden Ausg¨
ange des ersten mit den beiden Eing¨
angen des zweiten
Richtkopplers mittels zweier Wellenleiter verbunden werden. Je nachdem, ob die Ver-
bindungswellenleiter zwischen den beiden Richtkopplern gleich oder unterschiedlich lang
sind, handelt es sich um ein symmetrisches oder asymmetrisches MZI (siehe Abb.1.4).
Ein symmetrisches MZI aus zwei 3dB-Kopplern mit einem beispielsweise thermoop-
tisch realisierten Phasenschieber auf einem oder beiden Verbindungswellenleitern hat
die Funktion eines einstellbaren Kopplers [12, S.168].
Ein asymmetrisches MZI erlaubt es, einen Teil des Signals zeitlich gegen¨
uber dem ande-
ren zu verz¨
ogern. Mit einem Phasenschieber auf dem einem der Verbindungswellenleiter,
meist dem l¨
angeren, kann zudem noch die Phase vor dem n¨
achsten Koppelvorgang ein-
gestellt werden.
Unter einem kaskadierten MZI (CMZI, von engl.: cascaded Mach-Zehnder-interferometer)
wird meist eine Hintereinanderschaltung von einstellbaren Kopplern und asymmetri-
schen MZIs verstanden (siehe Abb. 1.4). Wird die Anzahl asymmetrischer MZIs als N
bezeichnet, so hat die gesamte Struktur (2N+ 1) Freiheitsgrade in Form der einstellba-
ren Phasenverschiebungen in den Wellenleitern. Mit Hilfe dieser Freiheitsgrade kann die
¨
Ubertragungsfunktion der Anordnung innerhalb des freien Spektralbereiches beeinflusst
werden. Der freie Spektralbereich des Filters ist ∆fFSR =1
T, wobei Tdie Laufzeitdifferenz
im asymmetrischen MZI ist. Um die einstellbare Dispersion zu erh¨
ohen, muss die Anzahl
der Stufen bzw. der asymmetrischen MZIs ebenfalls erh¨
oht werden. Um die Bandbreite
zu erh¨
ohen, muss der freie Spektralbereich vergr¨
oßert werden bzw. Tverringert werden,
wodurch wiederum die Dispersion verringert wird. Werden eine hohe Bandbreite und
eine hohe Dispersion gefordert, ist eine große Anzahl von Filterstufen mit entsprechend
vielen Freiheitsgraden notwendig, deren Steuerung wiederum aufw¨
andig ist (siehe auch
Gl.(1.37)). Zwischen diesen Gr¨
oßen - Bandbreite, Dispersion und Anzahl Stufen - muss
ein Kompromiss gefunden werden.
1 EINLEITUNG 18
a s y m m e t r i s c h e s M Z I
s y m m e t r i s c h e s M Z I
3 d B - K o p p l e r
e i n s t e l l b a r e r K o p p l e r
t h e r m o o p t i s c h e r
P h a s e n s c h i e b e r
M Z I : M a c h - Z e h n d e r - I n t e r f e r o m e t e r
Abbildung 1.4: Schematische Darstellung eines integrierten kaskadierten Mach-Zehnder-
Interferometers (CMZI).
Die ¨
Ubertragungsfunktion dieser Strukturen kann durch Transfermatrizen einfach be-
schrieben werden. Jedes Element der Struktur - z.B. Richtkoppler, zwei gleich lange
Verbindungswellenleiter mit einem Phasenschieber oder zwei unterschiedlich lange Ver-
bindungswellenleiter mit einem Phasenschieber - wird durch eine Transfermatrix be-
schrieben. Die Gesamttransfermatrix der Struktur ergibt sich durch Multiplikation der
Einzelmatrizen.
Durch die Analogie der CMZI-Struktur zu den digitalen FIR-Filtern k¨
onnen die Algo-
rithmen aus der FIR-Filterentwurfstechnik ebenfalls zum Entwurf der optischen CMZI-
Strukturen verwendet werden [12,13].
In Referenz [15–17] wurde eine Struktur wie oben beschrieben verwendet, um die Dis-
persion bzw. die Dispersionssteigung zu kompensieren. Dabei zeigt sich, dass es relativ
kompliziert ist, die Phasen in den einzelnen Umwegwellenleitern zun¨
achst zu messen und
dann korrekt einzustellen.
In [18] und [19] wird beschrieben, wie mit Hilfe einer MSE-Strategie (MSE, von engl.:
minimim-mean-square-error) die ¨
Ubertragungsfunktion eines CMZI adaptiv eingestellt
werden kann. Insbesondere wird dabei deutlich, dass es relativ aufw¨
andig ist, eine solche
Struktur zu steuern.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die CMZIs, wenn Sie nur aus gen¨
ugend
vielen Stufen bestehen, viele Anforderungen an die ¨
Ubertragungsfunktion - z.B. hohe
Bandbreite und Dispersion - prinzipiell erf¨
ullen k¨
onnen (siehe Gl.(1.37)), die Vermessung
und sp¨
ater adaptive Steuerung der Komponente jedoch mit großem Aufwand verbunden
ist.
1.4.2.2 Ringresonatoren
Ein Ringresonator ist ein in sich geschlossener, ringf¨
ormiger, integriert optischer Wel-
lenleiter. Das Licht gelangt ¨
uber Richtkoppler in den Ring. Auf dem Ringwellenleiter
befindet sich ein z.B. thermooptischer Phasenschieber (siehe Abb.1.5).
Abbildung 1.5 zeigt beispielhaft eine denkbare Kaskade von 3 Ringresonatoren. Jeder
der drei Ringe mit Radius Rist ¨
uber einen Richtkoppler mit dem Koppelfaktor κnan
1 EINLEITUNG 19
einen geraden Wellenleiter gekoppelt, in den das Licht eingespeist wird. Innerhalb eines
jeden Ringes kann ¨
uber eine Anordnung zur Phasensteuerung die Phase ϕneingestellt
werden. Die Ringe sind nicht miteinander gekoppelt. W¨
ahrend die Phasen ϕnin den
Ringen die Freiheitsgrade sind, mit denen die ¨
Ubertragungsfunktion der Struktur adap-
tiv angepasst werden kann, sind die Koppelfaktoren κnder Richtkoppler nur einmal im
Herstellungsprozess einstellbar und danach fest.
Der freie Spektralbereich der Struktur ergibt sich aus dem Kehrwert der Zeit TU, den das
Licht f¨
ur einen Ringumlauf braucht: ∆fFSR =1
TU. Unter Vernachl¨
assigung der Verluste in
den Ringen sind Ringresonatoren Allpass-Filter, deren Phasengang flexibel der jeweiligen
Anwendung angepasst werden kann ohne den Amplitudengang zu ver¨
andern [20,21].
k1k2k3
j2
j1j3
R
Abbildung 1.5: Schematische Darstellung einer Kaskade von 3 Ringresonatoren mit den
Koppelfaktoren κ1,κ2und κ3. Die Phasenverschiebungen ϕ1,ϕ2und ϕ3in den Ringen kann
¨
uber thermooptische Phasenschieber eingestellt werden.
Ringresonatoren sind eine integriert optische Realisierung eines IIR-Filters. Der Entwurf
dieser Strukturen kann deshalb mit Hilfe der aus der Digitaltechnik bekannten Algorith-
men vorgenommen werden [12, Kap.5.1] [13]. Wie bei den CMZIs gibt es auch f¨
ur die
Ringresonatoren die M¨
oglichkeit diese durch Transfermatrizen zu beschreiben [22].
Adaptive Dispersionskompensatoren, die auf Ringresonatoren basieren, wurden von C.K.
Madsen gezeigt [23–26]. Das Problem bei dieser Art Filter besteht darin, dass, um einen
großen FSR zu erreichen, kleine Radien f¨
ur die Ringresonatoren notwendig sind, die
technologisch schwierig zu realisieren sind. So ist es zu erkl¨
aren, dass der in [23–26]
maximal erreichte FSR bei ∆fFSR = 75 GHz lag. Die Bandbreite des damit realisierten
Filters liegt insbesondere f¨
ur hohe Dispersionswerte deutlich unter dem FSR, z.B. in [24]
bei 34 GHz.
F¨
ur einen kreisf¨
ormigen Ringresonator gilt:
∆fFSR =c0
2π·R·neff
.(1.39)
Dabei ist c0die Vakuumlichtgeschwindigkeit, Rder Radius des Ringresonators und neff
die effektive Brechzahl gem¨
aß Gl.(1.5) im Ringwellenleiter. Um beispielsweise in Glas
(SiO2) mit neff = 1,45 einen FSR von ∆f= 100 GHz zu erreichen, m¨
usste der Ring
einen Radius von .330µm haben. Weiterhin tritt auch das Problem auf, das schon bei
den CMZIs aufgetreten ist: Um bei einer hohen Bandbreite auch eine hohe Dispersion
1 EINLEITUNG 20
realisieren zu k¨
onnen, werden viele Filterstufen mit vielen kompliziert zu steuernden
Freiheitsgraden ben¨
otigt. In [27] wurden 8 Ringe kaskadiert, um eine Bandbreite von
25 GHz und einen Stellbereich der Dispersion von −760 ps
nm . . .+ 760 ps
nm zu erreichen. Um
einen optischen Kanal mit einer Datenrate von 40Gb/s zu kompensieren, reicht diese
Bandbreite nicht aus.
Die Radien der realisierten Ringe konnten allerdings deutlich verringert werden. So wur-
den in [28,29] Ringe im Materialsystem InP-InGaAsP mit Radien von 150µm und 160µm
gefertigt. Damit wurde ein FSR von ∆fFSR = 85 GHz bzw. ∆fFSR = 80 GHz erreicht.
Im Materialsystem Siliziumnitrid auf Glas (Si3N4/SiO2) wurden in [30] Radien von
R= 100µm bzw. FSRs von ∆fFSR = 241 GHz erreicht.
Ein erstaunlich kleiner Ringresonator wurde in [31] in Silizium auf Glas (SOI, von engl.:
Silicon-On-Insulator) realisiert. Es wurde ein Radius von 5µm erreicht. Der FSR betrug
ca. ∆fFSR = 2322 GHz. Dieser Ringresonator wird f¨
ur die Anwendung als adaptiver Dis-
persionskompensator weniger relevant sein, sollte aber der Vollst¨
andigkeit halber hier
erw¨
ahnt werden.
An technologisch nicht realisierbaren Ringradien wird das Konzept eines Dispersions-
kompensators mit Ringresonatoren nicht scheitern. Wie bei den CMZIs sind jedoch viele
Filterstufen notwendig, um gleichzeitig eine hohe Bandbreite und eine hohe Dispersion
m¨
oglich zu machen. Damit verbunden ist eine große Anzahl von Freiheitsgraden, die ge-
steuert werden m¨
ussen. Der Aufwand hierf¨
ur ist hoch und es lohnt sich nach Konzepten
zu suchen, die weniger Freiheitsgrade und eine einfachere Steuerung bei sonst gleichen
Leistungsmerkmalen haben.
1.4.2.3 Etalons
Ein Etalon ist eine Mikrooptische Resonatorstruktur aus - im einfachsten Fall - zwei
einander gegen¨
uberliegenden ganz oder teilweise verspiegelten Fl¨
achen. In dem hier be-
trachteten Fall ist eine der Resonatorendfl¨
achen teilweise und die andere vollst¨
andig
verspiegelt. Die Struktur wird dann ’Gires-Tournois-Etalon’ (GTE) genannt und ist das
mikrooptische ¨
Aquivalent zu den oben betrachteten Ringresonatoren. Entwurf und Be-
rechnung der Eigenschaften der Struktur funktionieren v¨
ollig analog. Wie die Ringre-
sonatoren sind die GTEs optische Realisierungen des aus der Digitaltechnik bekannten
IIR-Filtertyps und k¨
onnen dementsprechend entworfen werden [13].
Die Verwendung von mikrooptischen GTEs statt integriert optischen Ringresonatoren
f¨
uhrt zu dem Problem, dass zur Kaskadierung mehrerer Filterstufen teure Zirkulatoren
ben¨
otigt werden. Wie schon bei den Ringresonatoren und den CMZIs ist eine gewisse
Anzahl von Stufen n¨
otig, um hohe Dispersionswerte innerhalb einer gew¨
unschten Band-
breite zu realisieren. In [32, 33] wurden Strukturen realisiert, die relativ geringe Band-
breiten von 25 GHz und 30 GHz aufweisen. In [34] wurde eine Bandbreite von 80 GHz
und ein Stellbereich der Dispersion von −220 ps
nm . . . + 200 ps
nm erreicht. Diese Struktur ist
jedoch relativ komplex: Sie besteht aus 3 Etalons, die ¨
uber 3 GRIN-Linsen hintereinan-
der geschaltet sind, einem Spiegel und einem Zirkulator.
GRIN-Linsen (GR-IN, von engl.: graded index) sind Linsen, die ihre Funktion durch
1 EINLEITUNG 21
einen sich allm¨
ahlich radial (RGRIN) oder axial (AGRIN) ¨
andernden Brechungsindex
erhalten.
Das Licht durchl¨
auft die 3 Etalons, wird an dem Spiegel reflektiert und l¨
auft densel-
ben Weg zur¨
uck. Die Etalons bestehen dabei aus mehreren Kavit¨
aten, die thermisch
abstimmbar sind.
Mit Etalons sind die Anforderungen an einen adaptiven Dispersionskompensator nur
mit komplexen, aus vielen Einzelteilen bestehenden Strukturen zu realisieren. Die nicht
integrierte Form der Komponente macht die Fertigung kompliziert und teuer.
1.4.2.4 Arrayed-Waveguide-Gratings (AWGs)
Die Funktionsweise eines AWG und seine Eignung als adaptiver Dispersionskompensator
werden in Kapitel 4 dieser Arbeit beschrieben. Deshalb werden an dieser Stelle sein
Aufbau, sein Funktionsprinzip und die h¨
aufigste Verwendung nur kurz umrissen.
L
W e l l e n l e i t e r g i t t e r
E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
1 . F r e i s t r a h l z o n e
dw
2 . F r e i s t r a h l z o n e
Abbildung 1.6: Schematische Darstellung eines AWG. Die Struktur besteht aus einem Ein-
und einem Auskoppelwellenleiter, zwei identischen Freistrahlzonen und dem Wellenleitergitter,
das die beiden Freistrahlzonen miteinander verbindet.
Ein AWG ist ein Phasentransmissionsgitter, das in einer hohen Beugungsordnung betrie-
ben wird. Es werden auch die Bezeichnungen ’Phased Array’ [35], ’PHASAR’ [36] und
’Waveguide Grating Router’ (WGR) [37] verwendet. Abbildung 1.6 zeigt eine schema-
tische Darstellung eines AWG. Seine Funktionsweise ist die eines Gitterspektrographen.
In [38, Kap.14.3.5], [12, Kap.4.4.2], [39, Kap.8] und [36] sind das AWG, seine Eigenschaf-
ten, seine Berechnung und Verwendung gut dargestellt.
Der Ursprung des AWG liegt in dem Artikel [35] von Meint K. Smit, der als erster die
Anordnung beschrieben und realisiert hat. Durch die Verwendung in einer hohen Beu-
gungsordnung ist die Wellenl¨
angenaufl¨
osung des AWG sehr hoch. Es wird deshalb in
WDM-Systemen h¨
aufig eingesetzt, um die verschiedenen Wellenl¨
angenkan¨
ale zu trennen
(Demultiplexer) oder zu vereinen (Multiplexer) [40–48]. Weiterhin gibt es die M¨
oglich-
keit, die Komponente als Wellenl¨
angenrouter einzusetzen [37,48–51].
Auch beim AWG kann eine Analogie zu den Digitalfiltern hergestellt werden: Das AWG
ist wie das CMZI eine integriert optische Realisierung eines FIR-Filters. Die Verz¨
oge-
rungsleitungen sind nicht wie beim CMZI hintereinander angeordnet, sondern parallel.
1 EINLEITUNG 22
In [52] und [53] werden die ¨
Ubertragungseigenschaften von AWGs analytisch untersucht.
Durch Toleranzen beim Herstellungsprozess entstehen Phasenfehler im Wellenleitergit-
ter, deren Auswirkungen auf das ¨
Ubertragungsverhalten in [54–57] untersucht werden.
In [58] wird allgemein eine Theorie planarer Spektrographen vorgestellt. Untersuchun-
gen, die sich auf die Abbildungseigenschaften und insbesondere Abbildungsfehler von
AWGs und die Geometrie der Gitterlinie beziehen, wurden in [59–61] angestellt.
Wie in Abschnitt 4.3 noch gezeigt werden wird, hat das AWG normalerweise eine Dis-
persion von Null. Durch geeignete Phasenverschiebungen in den Gitterwellenleitern kann
jedoch eine Dispersion eingestellt werden. Dies wird in [62–66] theoretisch gezeigt. In [67]
wurde ein AWG zur Dispersionsteuerung realisiert und gemessen. Details dazu und Un-
tersuchungen zur Eignung eines AWG zur Dispersionskompensation werden in Kapitel
4 dieser Arbeit gezeigt.
1.4.2.5 Doppel-AWGs und VIPA-Konzept
Die Abk¨
urzung ’VIPA’ steht f¨
ur ’virtually imaged phased array’. Damit wird eine mikro-
optische Anordnung bezeichnet, bei der eine auf der einen Seite vollst¨
andig verspiegelte
und auf der anderen Seite teildurchl¨
assige Kavit¨
at die Funktion eines Phasengitters
erh¨
alt (siehe Abb. 1.7).
a u f e i n e r S e i t e v o l l v e r s p i e g e l t e u n d
a u f d e r a n d e r e n S e i t e t e i l d u r c h l ä s s i g e
G l a s p l a t t e
a )
b )
Abbildung 1.7: Teilabbildung (a)zeigt die komplette VIPA-Anordnung, bei der die Glasplatte
das wichtigste Element ist, denn sie erzeugt durch Mehrfachreflexionen in ihrem Inneren und
teilweise Auskopplung nach jeder Reflexion ein virtuelles Phasengitter. Im Teil (b)ist schema-
tisch dargestellt, wie sich aus den mehrfachen Reflexionen in und Teilauskopplungen aus der
Glasplatte die Funktion eines Phasengitters ergibt. Diese Abbildung wurde aus Abbildungen
in [68] und [69] zusammengestellt.
1 EINLEITUNG 23
Dieses Phasengitter ist das mikrooptische ¨
Aquivalent zum integriert optischen AWG.
Wie das AWG nimmt das VIPA eine r¨
aumliche Trennung der Wellenl¨
angen des einge-
speisten Lichtes vor.
Im Gegensatz zum AWG, der in dieser Form als Multiplexer oder Demultiplexer in
WDM-Systemen zur Anwendung kommt, besteht die Anwendung des VIPA meist in ei-
ner Anordnung zur Dispersionskompensation. Durch das VIPA werden die Wellenl¨
angen
eines optischen Kanals r¨
aumlich getrennt, mit Hilfe eines r¨
aumlichen Filters - in die-
sem Fall ein gew¨
olbter Spiegel - werden die Phasen der verschiedenen Wellenl¨
angen
unterschiedlich moduliert, in das VIPA zur¨
uck reflektiert und wieder zusammengefasst.
Wird die Phasensteuerung geeignet vorgenommen, kann eine konstante Dispersion f¨
ur
die ¨
Ubertragungsbandbreite der Komponente eingestellt werden. Der Aufbau der gesam-
ten Anordnung ist dabei sehr aufw¨
andig und erfordert insbesondere zwei speziell hierf¨
ur
angefertigte Teile: einen f¨
ur die besonderen Anforderungen konstruierten Schrittmotor
und einen Spiegel, dessen W¨
olbung in der einen Richtung sich in der anderen Richtung
¨
andert. F¨
ur die Details wird auf die Literatur [68–77] verwiesen.
L
2 L
L
m i t t l e r e F o k a l e b e n e
m i t L i n s e
E i n g a n g s -
W e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
W e l l e n l e i t e r
1 . F P R 3 . F P R
2 . F P R
1 . A W G 2 . A W G
F P R : F r e i s t r a h l z o n e ( v o n e n g l . : f r e e p r o p a g a t i o n r e g i o n )
Abbildung 1.8: Schematische Darstellung der Struktur des Doppel-AWG (D-AWG). Die Wel-
lenl¨
angen des optischen Signales werden vom 1.AWG in der mittleren Fokalebene r¨
aumlich
getrennt, von der Linse in ihrer Phase wellenl¨
angenabh¨
angig gesteuert, vom 2.AWG wieder
zusammengefasst und dem Auskoppelwellenleiter zugef¨
uhrt.
Die beschriebene Funktion des VIPA l¨
asst sich auch integriert optisch realisieren. Die
entsprechende Komponente wird in dieser Arbeit ’Doppel-AWG’ (D-AWG) genannt.
Sie ist Untersuchungsgegenstand der vorliegenden Arbeit. Die Struktur wird Doppel-
AWG genannt, weil die ersten Realisierungen als einstellbarer Dispersionskompensator
in Transmission funktionierten und daher zwei AWGs ben¨
otigten (siehe Abb.1.8) [78–80].
Das r¨
aumliche Filter bestand in diesen F¨
allen aus einer thermisch einstellbaren Linse
(siehe Abb.5.4 und 5.5). In einer anderen Ausf¨
uhrungsform wurde auch die integrierte
Struktur in Reflexion betrieben [81]. Die Dispersion wurde dabei mit Hilfe eines ver-
1 EINLEITUNG 24
formbaren Spiegels eingestellt. Dieses Konzept erwies sich als leistungsf¨
ahig, hat aber
den Nachteil, nicht mehr vollst¨
andig integriert optisch zu sein, was die Herstellung kom-
pliziert und teuer macht. Durch das Vorhandensein beweglicher Teile erh¨
oht sich die
Anf¨
alligkeit gegen ¨
außere St¨
orungen wie z.B. Ersch¨
utterungen.
Es wurden schon vor den oben zitierten Arbeiten derartige Strukturen zur Signalverar-
beitung realisiert. In [82–86] wurden AWGs mit FSRs von einigen THz realisiert. Diese
waren nicht einstellbar, sondern dienten zur Kompensation der Dispersion oder Disper-
sionssteigung eines Faserstreckenabschnittes f¨
ur mehrere WDM-Kan¨
ale.
Das VIPA-Konzept ist leistungsf¨
ahig, sein mikrooptischer Aufbau jedoch kompliziert
und mechanisch anf¨
allig. Die integriert optische Version - das Doppel-AWG - wird in
Kapitel 5 dieser Arbeit auf seine Eignung als Dispersionskompensator untersucht.
In [87] wurde vom Autor ein Konzept vorgestellt, bei dem zun¨
achst integriert optisch
die Doppel-AWG Struktur gefertigt wird. Die Phasensteuerung in der Fokalebene der
Struktur geschieht dann ¨
uber eine feste und eine verschiebbare Phasenplatte mit spezi-
ellen Phasensignaturen, die in den Lichtweg innerhalb der integriert optischen Struktur
eingebracht werden m¨
ussen.
1.4.3 Andere Filterstrukturen
1.4.3.1 Faser-Bragg-Gitter
Ein Bragg-Gitter ist eine Struktur, die eine periodische Variation des effektiven Bre-
chungsindex gem¨
aß Gl.(1.5) aufweist. Der effektive Brechungsindex eines optischen Wel-
lenleiters kann variieren, weil der Brechungsindex des Materials variiert oder weil sich
die Geometrie des Wellenleiters periodisch ¨
andert. Bei den hier betrachteten Faser-
Bragg-Gittern (FBG) liegt eine Variation der Materialbrechzahl im Faserkern entlang
der Ausbreitungsrichtung vor. Die ¨
Anderung der Brechzahl ist ¨
ublicherweise klein, ty-
pischerweise zwischen 10−5und 10−2[38, S.428]. Bei den Fasern handelt es sich meist
um Einmodenfasern. Durch die periodische Brechzahlschwankung werden im FBG der
vor- und r¨
uckw¨
arts laufende Grundmode miteinander verkoppelt. An jeder Sprungstelle
der Brechzahl entsteht eine kleine Fresnel-Reflexion. Die Reflexionen an den einzelnen
Sprungstellen ¨
uberlagern sich nach Betrag und Phase und interferieren in der Summe
meist destruktiv, so dass das Gitter f¨
ur die meisten Wellenl¨
angen transparent ist. Nur in
der Umgebung der sogenannten Bragg-Wellenl¨
ange λBist die Interferenz der Einzelre-
flexionen konstruktiv und f¨
uhrt zu einem hohen Reflexionsfaktor des Gitters. In diesem
Fall ist die Periodenl¨
ange Λ gerade so groß, dass die Phasenverschiebung zwischen den
reflektierten optischen Wellen zweier aufeinanderfolgender Perioden 2πbetr¨
agt:
Λ = λB
2·neff
.(1.40)
1 EINLEITUNG 25
Um eine dispersionskompensierende Funktion f¨
ur das FBG zu erhalten, wird das FBG
meist in Reflexion betrieben [12, S.295]. Dadurch wird der Einsatz eines Zirkulators not-
wendig, um das Eingangs- und Ausgangssignal voneinander zu trennen. Um unterschied-
liche Laufzeiten f¨
ur die verschiedenen Wellenl¨
angen eines optischen Kanals zu erreichen,
wird die Gitterperiode ¨
uber der Position auf dem Gitter in Ausbreitungsrichtung va-
riiert. Diese Gitter nennt man ’gechirpt’ [12, 88]. Die Chirp-Rate Cgibt an, wie groß
die ¨
Anderung der Gitterperiode pro L¨
angeneinheit des Gitters ist. ¨
Uber die Chirp-Rate
und die L¨
ange des Gitters lassen sich Bandbreite und Dispersion in gewissen Grenzen
einstellen.
Gleichung (1.41) beschreibt die Brechzahl¨
anderung δn im FBG allgemein in Abh¨
angig-
keit vom Ort:
δn (x, y, z) = δnDC (x, y, z) + δnAC (x, y, z)·cos ·2π
Λ·z+φ(z)¸.(1.41)
Dabei ist δnDC die ¨
Anderung des mittleren Brechungsindex im FBG, δnAC die Amplitude
der periodischen Brechzahl¨
anderung, Λ eine konstante Periode und φ(z) eine Funktion,
die es erm¨
oglicht die Periode der Brechzahl¨
anderung ¨
uber dem Ort ebenfalls variabel zu
gestalten, d.h. das Gitter zu chirpen.
Um weiterhin die Einstellbarkeit der Dispersion zu realisieren sind weitere Maßnahmen
notwendig. Eine Einstellung der Dispersion wird dadurch erreicht, dass der Chirp des
Gitters g¨
andert wird. Meist wird ein gechirptes FBG hergestellt und dieser intrinsische
Chirp f¨
ur die adaptive Anpassung ver¨
andert. Dies kann durch Aufbringen eines Tem-
peraturgradienten geschehen [89–97] oder durch mechanische Beeinflussung des Gitters
wie Ziehen oder Dr¨
ucken [98–102]. Eine Steuerung mit Hilfe von Magnetfeldern wurde
in [103,104] gezeigt.
Z i r k u l a t o r
lm a x lm i n
L( z )
Abbildung 1.9: Schematische Darstellung eines gechirpten FBGs zur Dispersionskompensa-
tion.
Je nachdem, mit welcher Methode der Chirp des FBG zur Dispersionsstellung ge¨
andert
wird, treten unerw¨
unschte Effekte wie z.B. eine Verschiebung der Zentralwellenl¨
ange,
eine ¨
Anderung der Bandbreite oder eine Dispersionssteigung auf. Um diese Effekte zu
kompensieren, k¨
onnen mehrere FBGs durch Verwendung eines oder mehrerer Zirkulato-
ren kaskadiert werden [105–107].
Um die Dispersion mehrerer WDM-Kan¨
ale mit FBGs kompensieren zu k¨
onnen, werden
1 EINLEITUNG 26
die f¨
ur jeden einzelnen Kanal notwendigen FBGs hintereinander in eine Faser geschrieben
(engl.: sampled grating) und die Brechzahlschwankung des entstandenen ’Super-Gitters’
mit einer geeigneten Apodisierungsfunktion gewichtet (engl.: super-grating apodizati-
on) [12, S.295]. Derartige Gitter wurden gefertigt und in Systemexperimenten getes-
tet [108–121].
Um die Reflektivit¨
at und Transmittivit¨
at der FBGs zu berechnen, kann die Theorie
der gekoppelten Moden verwendet werden [122–125]. Im Falle von Gittern ohne Chirp
und mit konstanter mittlerer Brechzahl existiert eine analytische L¨
osung, die in Form
einer Transfermatrix angegeben werden kann [12, S.290] [122]. Diese analytische L¨
osung
erm¨
oglicht es, ein gechirptes Gitter mit variierender mittlerer Brechzahl zu berechnen,
indem dieses Gitter durch eine Kaskade vieler kurzer Gitter ohne Chirp und mit kon-
stanter mittlerer Brechzahl approximiert wird. Die Transfermatrix des Gesamtgitters
ergibt sich dann aus dem Produkt der Transfermatrizen der Einzelgitter, die analytisch
bestimmbar sind. Verschiedene theoretische Methoden f¨
ur den Entwurf und die Berech-
nung der Eigenschaften von FBGs werden in [126–133] behandelt.
Einen guten Gesamt¨
uberblick ¨
uber FBGs, ihre Anwendung, Berechnung und Herstel-
lung liefert [88].
Faser-Bragg-Gitter sind keine integrierten Komponenten und ben¨
otigen als Dispersions-
kompensator immer mindestens einen Zirkulator. Der entsprechende Herstellungsprozess
ist aufw¨
andig und teuer.
In [134] wurde vom Autor eine integriert optische Variante eines auf Bragg-Gittern ba-
sierenden adaptiven Dispersionskompensators vorgestellt, die keine Zirkulatoren f¨
ur den
Betrieb ben¨
otigt.
1.5 Ziele der Arbeit
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, mit Hilfe analytischer und numerischer Untersuchun-
gen die Funktionsweise von AWGs und D-AWGs als adaptive Dispersionskompensatoren
zu erkl¨
aren und die Konzepte auf ihre Verwendbarkeit in dieser Hinsicht zu ¨
uberpr¨
ufen.
Daraufhin soll eine Struktur entworfen werden, die als Dispersionskompensator geeignet
ist und die folgenden Spezifikationen erf¨
ullt:
Die Komponente soll die chromatische Restdispersion eines optischen Wellenl¨
angenka-
nales mit einer Datenrate von 40 Gb/s kompensieren. In dem Zahlenbeispiel aus Ab-
schnitt 1.3 wurde gezeigt, dass als ein typischer Wert f¨
ur die Schwankung der Restdi-
spersion am Ende der ¨
Ubertragungsstrecke ∆D=±45 ps
nm angenommen werden kann.
Um den Stellbereich f¨
ur die Komponente nicht zu knapp zu kalkulieren, wird hier ein
Stellbereich von ∆D=±100 ps
nm angestrebt. F¨
ur die 3 dB-Bandbreite der Komponente
wird ∆f3dB = 60 GHz bzw. ∆λ3dB = 0,5nm festgelegt. F¨
ur das Dispersions-Bandbreite-
Produkt ergibt sich damit ein Wert von D·(∆λ3dB)2= 25 ps ·nm. Die genannten Werte
f¨
ur Dispersion, Bandbreite und Dispersions-Bandbreite-Produkt sind f¨
ur die folgenden
Untersuchungen der relevante Maßstab.
1 EINLEITUNG 27
Die Arbeit gliedert sich wie folgt:
Im Kapitel 2 werden die verwendeten Methoden zur Berechnung der optischen Feldaus-
breitung vorgestellt. In Kapitel 3 werden die f¨
ur eine Realisierung in Frage kommenden
Wellenleiterkonzepte vorgestellt. Das Kapitel 4 behandelt analytisch und numerisch das
Einfach-AWG. Die Ergebnisse werden anhand einer realisierten Komponente aus der
Literatur verifiziert. Das Doppel-AWG wird im Kapitel 5 betrachtet. Seine Eignung als
Dispersionskompensator wird untersucht und ebenfalls mit einem Beispiel aus der Li-
teratur untermauert. Weiterhin wird der Entwurf einer Komponente auf der Basis von
SOI vorgestellt. Die Arbeit endet mit einer Zusammenfassung.
2 Berechnungsmethoden f¨
ur die optische
Feldausbreitung
In diesem Kapitel werden zun¨
achst die allen in dieser Arbeit angestellten Berechnungen
zugrunde liegenden Gleichungen - die Maxwellschen Gleichungen - eingef¨
uhrt und die
get¨
atigten Annahmen und ihre Konsequenzen erl¨
autert.
Anschließend werden die verwendeten analytischen und numerischen L¨
osungsverfahren
vorgestellt.
2.1 Grundlagen
Alle makroskopischen elektromagnetischen Ph¨
anomene werden durch die Maxwellschen
Gleichungen beschrieben [135, S.33]:
∇×−*
H=−*
J+∂−*
D
∂t (2.1)
∇×−*
E=−∂−*
B
∂t (2.2)
∇·−*
B= 0 (2.3)
∇·−*
D=% . (2.4)
Dabei ist −*
Hdie magnetische Feldst¨
arke, −*
Jdie elektrische Stromdichte, −*
Ddie dielek-
trische Verschiebung, −*
Edie elektrische Feldst¨
arke, −*
Bdie magnetische Induktion und %
die Raumladungsdichte. Weiterhin gelten die Materialgleichungen:
−*
D=ε0εr−*
E(2.5)
−*
B=µ0µr−*
H . (2.6)
Dabei ist ε0= 8,8543·10−12 As
V m die Dielektrizit¨
atskonstante des Vakuums, εrdie relative
Dielektrizit¨
atszahl des betreffenden Materials, µ0= 4π·10−7V s
Am die Permeabilit¨
atskon-
stante des Vakuums und µrdie relative Permeabilit¨
atszahl des betreffenden Materials.
28
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 29
Die relativen Dieltrizit¨
ats- und Permeabilit¨
atszahlen sind im Allgemeinen nicht skalarer,
sondern tensorieller Natur.
In vielen F¨
allen und auch im vorliegenden Fall, in dem integriert optische Strukturen und
Materialien betrachtet werden, sind εrund µrSkalare. F¨
ur die relative Permeabilit¨
atszahl
wird die Annahme µr= 1 gemacht. Weiterhin gilt f¨
ur die folgenden Untersuchungen, dass
keine Raumladungen und keine elektrischen Str¨
ome auftreten, d.h. %= 0 und −*
J=−*
0 .
F¨
ur den Fall einer harmonischen Zeitabh¨
angigkeit (−*
H(t) = Re{−*
H·exp (jωt)}) mit der
Kreisfrequenz ωkann aus den Maxwellschen Gleichungen die vektorielle Helmholtzglei-
chung f¨
ur die magnetische Feldst¨
arke −*
Habgeleitet werden:
∇×hε−1
r·³∇×−*
H´i=k2
0·−*
H . (2.7)
Dabei ist k0=ω√ε0µ0die Wellenzahl des freien Raumes.
F¨
ur die numerische Berechnung der Moden in einem optischen Wellenleiter ist die Ver-
wendung der Helmholtzgleichung des −*
H-Feldes vorteilhaft, weil die transversalen Kom-
ponenten des magnetischen Feldes an dielektrischen Grenzfl¨
achen stetig ¨
ubergehen und
sich die longitudinale Feldkomponente aus der Forderung nach Quellenfreiheit des ma-
gnetischen Feldes (∇·−*
H= 0) ergibt [39, Kap.3.2.1].
In der integrierten Optik wird ¨
ublicherweise nicht mit der relativen Dielektrizit¨
atszahl
εrgearbeitet, sondern mit dem Brechungsindex n, wobei n2=εrgilt.
F¨
ur ein homogenes Medium der Brechzahl nlassen sich aus Gl.(2.1) und Gl.(2.2) die
vektoriellen Helmholtzgleichung des freien Raumes f¨
ur das elektrische und magnetische
Feld ableiten:
4−*
E+k2
0n2−*
E= 0 (2.8)
4−*
H+k2
0n2−*
H= 0 .(2.9)
2.2 Der Schichtwellenleiter
Der einfachste Fall eines Wellenleiters in kartesischen Koordinaten ist der Schichtwellen-
leiter. Abbildung 2.1 zeigt einen asymmetrischen Schichtwellenleiter, dessen Schichten
parallel zur y-z-Ebene sind. Die Wellen leitende Schicht hat die H¨
ohe hund den Bre-
chungsindex nf. Die beiden Schichten, die die Wellen leitende Schicht einschließen, sind
das Substrat, das in (-x)-Richtung unendlich weit ausgedehnt ist und den Brechungsin-
dex nshat sowie die Deckschicht (engl.: cladding), die in (+x)-Richtung unendlich weit
ausgedehnt ist und den Brechungsindex nchat. Dabei gilt nf> ncund nf> nsgilt.
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 30
y
z
x
n
n
n
f
c
s
h
Abbildung 2.1: Asymmetrischer Schichtwellenleiter in kartesischen Koordinaten.
Um die Feldl¨
osungen in dieser Struktur zu finden, wird davon ausgegangen, dass sich
das Feld in der y-z-Ebene ausbreitet. Es gibt damit einen Freiheitsgrad f¨
ur die Richtung
der Ausbreitung. Deshalb wird an dieser Stelle die z-Richtung als die Ausbreitungsrich-
tung festgelegt und die y-Richtung als diejenige Richtung, von der alle Feldl¨
osungen
unabh¨
angig sein sollen ( ∂
∂y = 0). F¨
ur die Ausbreitung in z-Richtung wird eine Ausbrei-
tungskonstante βangenommen:
−*
E(x, y, z) = −*
Et(x, y)·exp (−jβz) (2.10)
−*
H(x, y, z) = −*
Ht(x, y)·exp (−jβz).(2.11)
Einsetzen von Gl.(2.10) und (2.11) in (2.8) und (2.9) ergibt mit 4t=∂2
∂x2+∂2
∂y2
4t−*
Et+¡k2
0n2−β2¢·−*
Et= 0 (2.12)
4t−*
Ht+¡k2
0n2−β2¢·−*
Ht= 0 .(2.13)
Gem¨
aß [136, Kap.2.2.3] setzen sich alle L¨
osungen von Gl.(2.12) und (2.13) im Schichtwel-
lenleiter aus zwei Moden zusammen. Es treten TE-Moden (von engl.: transverse electric)
auf, die keine Longitudinalkomponente des elektrischen Feldes aufweisen (Ez= 0), und
TM-Moden (von engl.: transverse magnetic), die keine Longitudinalkomponente des ma-
gnetischen Feldes aufweisen (Hz= 0).
Mit den bisherigen Ans¨
atzen ergibt sich f¨
ur den TE-Mode Ez=Ex=Hy= 0. F¨
ur das
elektrische Feld existiert nur die y-Komponente, f¨
ur die sich Gl.(2.12) vereinfacht:
∂2Ey
∂x2+k2
x·Ey= 0 ,(2.14)
wobei kx=p(k2
0n2−β2) ist.
Gleichung (2.14) hat L¨
osungen der Form
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 31
Ey(x) = A·exp (−j·kx·x) + B·exp (+j·kx·x),(2.15)
wobei die Koeffizienten Aund Bzun¨
achst noch unbestimmt sind. Ist Eybestimmt,
ergeben sich die beiden fehlenden Feldkomponenten nach Gl.(2.2) zu
Hx=−β
ωµ0
Ey(2.16)
Hz=j
ωµ0·∂Ey
∂x .(2.17)
Die Feldl¨
osung f¨
ur die gesamte Struktur setzt sich aus drei Teill¨
osungen f¨
ur die einzelnen
Schichten zusammen. Die f¨
ur jede Schicht unbekannten Koeffizienten Aund Bsowie die
Ausbreitungskonstante βwerden durch die Forderung nach stetigem ¨
Ubergang der tan-
gentialen Feldkomponenten und nach exponentiellem Abklingen der Felder in Substrat
und Deckschicht bestimmt.
Die Vorgehensweise zur Berechnung der TM-Moden funktioniert v¨
ollig analog. Zusam-
mengefasst ergeben sich folgende Gleichungen:
∂
∂y = 0, Ey=Hx=Hz= 0 .
Vom magnetischen Feld existiert nur eine y-Komponente. Gleichung (2.13) vereinfacht
sich zu:
∂2Hy
∂x2+k2
x·Hy= 0 ,(2.18)
Gleichung (2.18) hat L¨
osungen der Form (2.15).
Die fehlenden Feldkomponenten ergeben sich mit Gl.(2.1) zu
Ex=β
ωε0n2Hy(2.19)
Ez=−j
ωε0n2·∂Hy
∂x .(2.20)
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 32
2.3 Methode der effektiven Brechzahl
”Die Methode der effektiven Brechzahl ist ein N¨
aherungsverfahren, das die Eigenmoden
eines schwach f¨
uhrenden Streifenwellenleiters liefert.“ [38, S.468] Die effektive Brechzahl
neff eines Wellenleiters mit der Ausbreitungskonstanten βist gem¨
aß Gl.(1.5) neff =β
k0.
Das Auffinden der N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die effektive Brechzahl einer Wellenleiterstruktur
geschieht in zwei Schritten.
n1n2
n3
y
y
x
n3 , e f f
n2 , e f f
n1 , e f f
nS , e f f ( y )
ne f f
n ( x , y ) 2 - d i m e n s i o n a l e s
B r e c h z a h l p r o f i l
1 - d i m e n s i o n a l e s
B r e c h z a h l p r o f i l
" P r o j e k t i o n "
B e r e c h n u n g d e s e f f e k t i v e n B r e c h u n g s i n d e x m i t d e r
T r a n s f e r m a t r i x m e t h o d e
Abbildung 2.2: Graphische Veranschaulichung der Vorgehensweise bei der Methode der ef-
fektiven Brechzahl. Abb. mit Modifikationen aus [38, S.468].
Abbildung 2.2 veranschaulicht die Vorgehensweise. Die Wellenleiterstruktur ist durch die
Brechzahlverteilung n(x, y) ihrer Querschnittsgeometrie beschrieben. Im ersten Schritt
wird das 2-dimensionale Brechzahlprofil n(x, y) auf die y-Achse projeziert. Dabei wird
jedem festen Punkt yfein Brechzahlprofil n(x, yf) zugeordnet. Dieses Brechzahlprofil
n(x, yf) wird als das Brechzahlprofil eines Schichtwellenleiters aufgefasst, dessen Ausbrei-
tungskonstante βund damit effektive Brechzahl ns,eff (yf) mit Hilfe der in Abschnitt A
beschriebenen Transfermatrixmethode bestimmt wird. Dieses im ersten Schritt bestimm-
te nun 1-dimensionale Brechzahlprofil ns,eff (y) wird im zweiten Schritt wiederum als das
Brechzahlprofil eines Schichtwellenleiters aufgefasst und dessen Ausbreitungskonstante
bzw. effektive Brechzahl neff bestimmt. Die in diesem zweiten Schritt erhaltene effektive
Brechzahl neff ist die gesuchte N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur den urspr¨
unglichen Streifenwellen-
leiter. Der hybriden Natur der Wellenleitermoden wird dadurch Rechnung getragen, dass
im ersten Schritt TE- und im zweiten TM-Moden und umgekehrt bestimmt werden. Es
ergeben sich so die N¨
aherungsl¨
osungen f¨
ur HE- und EH-Moden. [38, S.468]
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 33
2.4 BPM-Methode
2.4.1 Prinzipielle Vorgehensweise
Die BPM-Methode (von engl.: beam-propagation-method) ist ein numerisches Verfah-
ren, das in seiner einfachsten Form eine N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die skalare Helmholtzglei-
chung liefert. Dabei wird davon ausgegangen, dass eine Anfangsfeldverteilung an der
Stelle z= 0 gegeben ist und die Ausbreitung im Wesentlichen in z-Richtung stattfindet.
Die Struktur, durch die die Ausbreitung stattfindet, wird durch die Brechzahlverteilung
n(x, y, z) beschrieben. Durch Ber¨
ucksichtigung einer mittleren Phasenverschiebung im
L¨
osungsansatz wird die r¨
aumlich sehr schnell variierende Phase aus der gesuchten Funk-
tion herausgezogen, wodurch der Abstand der Gitterpunkte des Berechnungsgitters in
Ausbreitungsrichtung groß gegen¨
uber der Wellenl¨
ange gew¨
ahlt werden kann. Die Aus-
breitung wird schrittweise berechnet, d.h. ausgehend von einer Position zwird das Feld
an der Position z+ ∆zberechnet.
2.4.2 Numerische Verfahren
Es gibt zwei bekannte Methoden, den beschriebenen Schritt rechnerisch durchzuf¨
uhren:
den Fourier-Split-Step-Algorithmus (FFT-BPM) und die Methode der finiten Differen-
zen (FD-BPM).
Beim Fourier-Split-Step-Algorithmus wird der Operator, der die Ausbreitung durch den
inhomogenen Raum zwischen zund z+ ∆zbeschreibt, in zwei Operatoren zerlegt. Die-
se Vorgehensweise ist mathematisch nicht exakt und f¨
uhrt zu einem Fehler, der umso
kleiner ist, je kleiner ∆zist. Der erste der beiden genannten Operatoren beschreibt eine
Freiraumausbreitung, der andere kann als die Wirkung einer d¨
unnen Linse interpretiert
werden, die den Einfluß der Brechzahlinhomogenit¨
at beschreibt [137–141].
D
z
D
z
D
z
D
z
2
z
Abbildung 2.3: Graphische Veranschaulichung der Vorgehensweise bei der FFT-BPM [137].
Abbildung 2.3 veranschaulicht die Vorgehensweise bei der FFT-BPM.
Die Freiraumausbreitung kann besonders effizient berechnet werden, wenn das Feld an
der Position zdurch eine Fourierreihe dargestellt wird. Es k¨
onnen dann die Fourierko-
effizienten des Feldes an der Position z+ ∆zbesonders einfach berechnet werden [137].
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 34
Durch diese Vorgehensweise ist ein st¨
andiger Wechsel zwischen Ortsraum und Fourier-
raum notwendig, der der Methode ihren Namen gab. Die Berechnung der Fourierkoeffi-
zienten wird durch eine FFT realisiert.
Bei der FD-BPM wird zun¨
achst die beschreibende Differentialgleichung vereinfacht. Da-
bei wird davon ausgegangen, dass, nachdem die sehr schnelle zeitliche und auch r¨
aumliche
Variation der Phase aus der gesuchten L¨
osung durch einen entsprechenden Ansatz her-
ausgezogen worden ist, die verbleibende gesuchte L¨
osung eine nur langsam variierende
Einh¨
ullende des gesuchten Feldes ist. Deshalb wird in der Differentialgleichung die zweite
Ableitung in Ausbreitungsrichtung vernachl¨
assigt (engl.: slowly varying envelope appro-
ximation). Die verbleibende Gleichung ist ein Anfangswertproblem erster Ordnung und
kann durch Integration in Ausbreitungsrichtung gel¨
ost werden. Das bekannte Feld an
der Position zwird in transversaler Richtung diskretisiert und in Ausbreitungsrichtung
wird nur ein Schritt mit der L¨
ange ∆zvorgesehen. Die Differentialgleichung wird nach
dem Crank-Nicolson-Schema diskretisiert [142] und das resultierende lineare Gleichungs-
system gel¨
ost. Damit ist das Feld an der Position z+ ∆zbekannt. Diese Vorgehensweise
wird so lange fortgesetzt, bis das Feld in der gesamten Struktur bekannt ist.
Es hat sich herausgestellt, dass die FD-BPM der FFT-BPM hinsichtlich Rechenzeit und
Genauigkeit ¨
uberlegen ist [138,141].
In der Literatur wird verschiedenen Aspekten der BPM besondere Aufmerksamkeit ge-
widmet. Die Behandlung der Randbedingungen wurde viel diskutiert und insbesondere
versucht, eine absorbierende oder transparente Randbedingung zu implementieren. Dies
ist notwendig, um k¨
unstliche Reflexionen am Rand des Rechenfensters zu vermeiden.
Bei einer absorbierenden Randbedingung wird der Rand des Rechenbereiches virtuell
mit einem absorbierenden Material versehen, um Reflexionen zu vermeiden [143,144].
Bei der Implementierung einer transparenten Randbedingung wird aus dem aktuellen
Rechenschritt auf die notwendige Bedingung f¨
ur Transparenz im n¨
achsten Schritt ge-
schlussfolgert und diese dann umgesetzt [145–148].
Die FD-BPM, wie oben beschrieben, ist nur f¨
ur den paraxialen Fall geeignet. Sobald
die Winkelabweichung von der vorgesehenen Ausbreitungsrichtung zu groß wird, versagt
die Methode. Die Ursache hierf¨
ur liegt in der Vernachl¨
assigung der zweiten Ableitung
in Ausbreitungsrichtung. Diese bedingt auch die Beschr¨
ankung der Methode auf gerin-
ge Brechzahlunterschiede. Um diese beiden Beschr¨
ankungen zu entspannen wurden die
’wide-angle’ Algorithmen entwickelt [149–153]. Dabei wird der exakte Helmholtzoperator
durch eine Pad´e-Approximation dargestellt. Die Pad´e-Reihe ist eine gebrochen rationale
Funktion mit einem Z¨
ahler- und einem Nennerpolynom. Je h¨
oher die Polynomgrade,
umso besser die Approximation. Bei einer Pad´e-2-2-Approximation haben Z¨
ahler- und
Nennerpolynom den Grad 2. In dieser Arbeit wird in Abschnitt 5.3 eine BPM mit Pad´e-2-
2-Approximation verwendet. Diese Vorgehensweise erlaubt h¨
ohere Winkelabweichungen
von der optischen Achse und gr¨
oßere Brechzahlkontraste.
Viele der urspr¨
unglichen Beschr¨
ankungen der BPM wurden inzwischen von erweiterten
und verbesserten Algorithmen aufgehoben, so dass es heute Verfahren gibt, um die vekto-
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 35
rielle Helmholtzgleichung unter Ber¨
ucksichtigung beider Polarisationen und eventueller
Reflexionen (bidirectional BPM) zu l¨
osen [139]. Spezielle Verfahren und Anwendungen
werden in [154–158] diskutiert.
2.5 Das Kirchhoff-Huygens-Integral
Die Ausbreitung von Licht im freien Raum geschieht unter dem Einfluss der Beugung
und wird durch die skalare Helmholtzgleichung beschrieben:
∇2ψ+k2ψ= 0 .(2.21)
Gilt weiterhin
∇2G+k2G=δ³−*
r−−*
r0´,(2.22)
wobei Geine Greensche Funktion des Problems ist, kann die G¨
ultigkeit folgender Glei-
chung gezeigt werden [159, Kap.2.2]:
ψ³−*
r0´=ZCµψ(r)∂G (r)
∂n −G(r)∂ψ (r)
∂n ¶dC , (2.23)
wobei r=|−*
r−−*
r0|(siehe Abb. 2.4).
Abbildung 2.4 veranschaulicht die Bedeutung von Gl.(2.23) f¨
ur den hier relevanten zwei-
dimensionalen Fall. Die Integration ist eine Wegintegration ¨
uber die geschlossene Kurve
C. Mit ¡∂
∂n ¢wird die Richtungsableitung einer Funktion senkrecht zur Kurve bezeich-
net. Wenn die Greensche Funktion G, die Funktion ψund deren erste Ableitungen in
Normalenrichtung auf einer geschlossenen Kurve Cbekannt sind, kann die Funktion ψ
an jedem Punkt (x0, z0) innerhalb von Cberechnet werden.
F¨
ur den Fall eines 2-dimensionalen Problems ist die zugeh¨
orige Greensche Funktion die
Hankelfunktion zweiter Gattung und Nullter Ordnung H(2)
0. Es gilt:
G(r) = j
4H(2)
0(kr),(2.24)
wobei r=p(x−x0)2+ (z−z0)2ist (siehe auch Abb. 2.4).
Damit kann die L¨
osung des 2-dimensionalen Beugungsproblems angegeben werden:
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 36
z
xr '
r
C
n
r
( x , z )
( x ' , z ' )
Abbildung 2.4: Graphische Veranschaulichung von Gl.(2.23) f¨
ur den 2-dimensionalen Fall.
ψ¡x0, z0¢=j
4ZCµψ(r)·∂H(2)
0(kr)
∂n −H(2)
0(kr)·∂ψ (r)
∂n ¶dC . (2.25)
Um die Auswertung von Gl.(2.25) zu vereinfachen, wird eine N¨
aherung gemacht, die
darauf basiert, dass die Wellenl¨
ange in der Optik meist viel kleiner ist als die betrach-
teten Abst¨
ande r. Dadurch wird das Argument der Hankelfunktion sehr groß und es
kann folgende asymptotische N¨
aherung f¨
ur die Hankelfunktion verwendet werden [159,
Kap.2.2]:
H(2)
0(kr)≈r2
πkr e−j(kr−π
4).(2.26)
Einsetzen von Gl.(2.26) in Gl.(2.25) liefert:
ψ¡x0, z0¢=e−jπ
4
√8πk ·ZC½∂ψ (r)
∂n ·e−jkr
√r−ψ(r)∂
∂n µe−jkr
√r¶¾dC . (2.27)
Gleichung (2.27) wird nun auf den Fall angewendet, dass ein optischer Wellenleiter in
einen Schichtwellenleiter abstrahlt. Abbildung 2.5 zeigt die Anordnung. Das Ende des
Wellenleiters befindet sich im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Die Ab-
strahlung findet in z-Richtung statt. F¨
ur den Wellenleitermode wird eine von der Mitte
zum Rand abklingende Funktion ψ(x) angenommen. Weiterhin ist die Berandung ge-
zeigt, ¨
uber die die Integration von Gl.(2.27) stattfindet. Dabei wird angenommen, dass
auf der gesamten Berandung, abgesehen von dem als ’Integrationsintervall’ bezeichneten
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 37
u n e n d l i c h F e r n e H ü l l e
z
x
y( x )
( x ' , z ' )
r
a b s t r a h l e n d e r
W e l l e n l e i t e r
W e l l e n l e i t e r m o d e
n
I n t e g r a t i o n s i n t e r v a l l
Q
x = +
D
x
x = -
D
x
Abbildung 2.5: Berechnung der Abstrahlung eines Wellenleiters mit dem Kirchhoff-Huygens-
Integral.
Teilst¨
uck, die Funktion ψsowie deren Ableitung in Normalenrichtung Null sind. Die In-
tegration reduziert sich damit zu einem Wegintegral in x-Richtung. F¨
ur diese Integration
gilt somit ∂
∂n =−∂
∂z . Mit r=p(x−x0)2+ (z−z0)2kann folgende Zwischenrechnung
gemacht werden:
∂
∂z µe−jkr
√r¶=(z0−z)e−jkr
2r2.5+jk (z0−z)e−jkr
r1.5,(2.28)
wobei k=2π
λ·nslab und nslab ist der effektive Brechungsindex des Schichtwellenleiters, in
den die Abstrahlung stattfindet. F¨
ur den Wellenleitermode gilt:
ψ(x, z) = ψ(x)·e−jkz f¨
ur z⩽0
⇒ −∂ψ (x, z)
∂z =jk ·e−jkz ·ψ(x),(2.29)
wobei k=2π
λ·nWL und nWL ist der effektive Brechungsindex des abstrahlenden Wellen-
leiters. Wird weiterhin die Annahme gemacht, dass nslab ≈nWL ≈n, ergibt sich mit den
Gl.(2.27), (2.28) und (2.29) f¨
ur das Feld in einem beliebigen Punkt (x0, z0):
ψ¡x0, z0¢=e−jπ
4
4π·rλ
n
+∆x
Z
x=−∆x½ψ(x)·e−jkr
√rµjk +(z0−z)
2r2+jk (z0−z)
r¶¾dx . (2.30)
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 38
Wird f¨
ur den Wellenleitermode ψ(x) eine Gauß-Funktion angenommen, kann Gl.(2.30)
nicht analytisch gel¨
ost werden. Gleichung (2.30) ist jedoch f¨
ur eine numerische Auswer-
tung geeignet und wird im Rahmen dieser Arbeit f¨
ur die numerische Berechnung der
Abstrahlung in die Freistrahlzone eines Arrayed-Waveguide-Gratings benutzt.
2.6 Fourier-Optik
Um einen analytischen Zugang zu Gl.(2.30) zu erhalten, wird der in Abb. 2.6 schematisch
dargestellte Fall betrachtet. Es wird die Abstrahlung eines Wellenleiters in z-Richtung
betrachtet. Das Nahfeld wird durch die Funktion ψN(x) und das Fernfeld durch ψF(x)
beschrieben. In Abb. 2.6 sind exemplarisch ein Quellpunkt (x/z = 0) f¨
ur die Integration
und ein Aufpunkt (x0/z0) eingezeichnet. An diesem Aufpunkt wird das Fernfeld berech-
net. Weiterhin wird hier der paraxiale Fall betrachtet, bei dem |x0| ¿ Lund r≈Lgilt.
z
x
y ( x )
a b s t r a h l e n d e r
W e l l e n l e i t e r
x
y ( x )
( x / z = 0 )
( x ' / z ' = L )
r
L
N
F
Abbildung 2.6: Schematische Darstellung zur Fernfeldberechnung mit dem Fourier-Integral.
In Gl.(2.30) wird zun¨
achst (z0−z) = Langewendet und weiterhin wird die N¨
aherung
gemacht, dass in allen Termen außer dem Exponentialterm r≈Lgilt. Es ergibt sich:
ψF¡x0¢=e−jπ
4
4π·rλ
n·1
√L·
+∆x
Z
x=−∆x½ψN(x)·e−jkr ·³2jk +1
2L
|{z}
≈0´¾dx . (2.31)
In Gl.(2.31) wird der Term 1
2Lgegen¨
uber 2jk vernachl¨
assigt. Mit k=2π
λnergibt sich:
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 39
ψF¡x0¢=e−jπ
4
4π·rλ
n·1
√L·2j2π
λn·
+∆x
Z
x=−∆xnψN(x)·e−jkrodx . (2.32)
Zusammenfassung der Terme in (2.32) und Vernachl¨
assigung der konstanten Phasenter-
me e−jπ
4und jergibt:
ψF¡x0¢=rn
λ·L·
+∆x
Z
x=−∆x
ψN(x)·e−jkr dx . (2.33)
F¨
ur den Radius im Exponentialterm von Gl.(2.33) wird folgende N¨
aherung gemacht:
r=qL2+ (x−x0)2
≈L·
1 + 1
2·(x−x0)2
L2−1
8·(x−x0)4
L4+. . .
| {z }
≈0
≈L·"1 + 1
2L2·Ãx02−2·x·x0+x2
|{z}
≈0!#.(2.34)
Verwendung von Gl.(2.34) in Gl.(2.33) f¨
uhrt zur Fresnel-N¨
aherung, wenn der x2-Term
ber¨
ucksichtigt wird und zur Fraunhofer-N¨
aherung, wenn x2≈0 gen¨
ahert wird [160,
Kap.4]. An dieser Stelle wird die Fraunhofer-N¨
aherung verwendet und f¨
uhrt durch Ein-
setzen von Gl.(2.34) in Gl.(2.33) zu
ψF¡x0¢=rn
λ·L·exp µ−jπ·n·x02
λ·L¶·
+∆x
Z
x=−∆x
ψN(x)·exp µ+j2πn·x0
λ·L·x¶dx . (2.35)
Mit Gl.(2.35) hat sich die Fernfeldberechnung zur Berechnung einer ¨
ortlichen Fourier-
transformierten reduziert und ist f¨
ur den in dieser Arbeit relevanten Fall eines Gauß-
f¨
ormigen Nahfeldes analytisch l¨
osbar.
2 BERECHNUNGSMETHODEN F ¨
UR DIE OPTISCHE FELDAUSBREITUNG 40
2.7 Fouriertransformation
Da in dieser Arbeit an verschiedenen Stellen von der Fouriertransformation Gebrauch
gemacht wird, wird sie an dieser Stelle zun¨
achst definiert. Obwohl die Fouriertransfor-
mation in dieser Arbeit meist vom Ortsbereich in den Bereich der Ortsfrequenz vorge-
nommen wird, wird die Definition der Fouriertransfomation in diesem Abschnitt in der
gewohnten Schreibweise als Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich gezeigt.
Die Fouriertransformierte U(jω) einer Zeitfunktion u(t) ist folgendermaßen definiert [12,
S.98]:
U(jω) = F{u(t)}=
+∞
Z
t=−∞
u(t)·exp (−jω ·t)dt . (2.36)
Die inverse Fouriertransformation ist definiert als [12, S.98]:
u(t) = F−1{U(jω)}=1
2π
+∞
Z
ω=−∞
U(jω)·exp (+jω ·t)dω . (2.37)
Mit Gl.(2.36) und Gl.(2.37) kann der Faltungssatz der Fouriertransformation gezeigt
werden [12, S.99]:
F{u(t)·v(t)}=1
2π·U(jω)? V (jω).(2.38)
Dabei ist ’?’ das Faltungssymbol.
3 Material und Wellenleiterkonzepte
In diesem Abschnitt werden die beiden im Verlaufe dieser Arbeit betrachteten Wellen-
leiterkonzepte vorgestellt.
Im Abschnitt 3.1 wird der Streifenwellenleiter in Glas vorgestellt, f¨
ur den auch ein ein-
faches Prinzip zum Verschieben der Phase im Wellenleiter existiert. Im Abschnitt 3.2
wird der Rippenwellenleiter auf SOI (von engl.: silicon-on-insulator) beschrieben.
Es werden jeweils die Querschnittsgeometrie der Wellenleiter, die verwendeten Materia-
lien und ihre Eigenschaften, die Herstellung und die optischen Eigenschaften der Wel-
lenleiter gezeigt.
3.1 Streifenwellenleiter in Glas und thermooptischer
Phasenschieber
Abbildung 3.1 a zeigt die Querschnittsgeometrie des in diesem Abschnitt betrachteten
optischen Wellenleiters. Der Wellenleiter ist im Querschnitt rechteckig und besteht aus
Glas ( SiO2) der Brechzahl n2, welches von Glas der Brechzahl n1umgeben ist. Dabei ist
durch geeignete Dotierung n2> n1. Der Bereich der Brechzahl n2wird ’Kern’ genannt.
Die optischen Eigenschaften werden von der H¨
ohe h, der Breite bund der relativen
Brechzahldifferenz ∆ = n2−n1
n2des Wellenleiters bestimmt. Die Parameter werden so
gew¨
ahlt, dass der Wellenleiter einmodig wird.
n1n1n1
n2n2
n2
n1
bh
b ) c )
a )
m e t a l l i s c h e r H e i z s t r e i f e n
Abbildung 3.1: Streifenwellenleiter (a), Streifenwellenleiter mit thermooptischem Phasen-
schieber (b) und Schichtwellenleiter (c) in Glas ( SiO2).
¨
Ublicherweise ist der Kern quadratisch mit Kantenl¨
angen zwischen 3 µm und 8 µm. Ty-
pische relative Brechzahldifferenzen liegen zwischen 0,25% (’low delta’) und 0.75% (’high
delta’) [161,162].
Die Herstellung derartiger Wellenleiter erfolgt in mehreren Schritten. Die wichtigsten
dabei sind der Flammenhydrolyseprozess (FHD, von engl.: flame hydrolysis deposition)
41
3 MATERIAL UND WELLENLEITERKONZEPTE 42
und das reaktive Ionen¨
atzen (RIE, von engl.: reactive ion etching) [161]. Die Einstellung
der Brechzahl geschieht durch Dotierung des Glases z.B. mit Germanium, Phosphor oder
Titan [12, Kap.2.5.1].
F¨
ur eine Wellenl¨
ange von λ= 1,52952 µm betr¨
agt der Brechungsindex von Glas n=
1,44427 [163]. Der thermooptische Koeffizient betr¨
agt ∂n
∂T = 1 ·10−5K−1[12, Kap.2.5.1].
Der thermooptische Effekt l¨
aßt sich nutzen, um die Phasenlage in den Wellenleitern
zu steuern bzw. Phasenmodulatoren zu realisieren. Zu diesem Zweck wird auf der Wa-
feroberfl¨
ache ¨
uber dem Wellenleiter ein Heizstreifen aus Metall aufgebracht, der durch
Stromfluss erhitzt wird (siehe Abb. 3.1 b). Die Kriterien, nach denen ein solcher Pha-
senschieber beurteilt wird, sind die elektrische Leistung Pπ, die notwendig ist um eine
Phasenverschiebung von πrad hervorzurufen, und die Zeit tπ, die der Vorgang dauert.
Typische Werte sind Pπ= 0,5W . . . 1Wund tπ= 0,8ms . . . 2ms [161, 164]. Zwischen
einer kleinen Leistung Pπund einer kurzen Schaltzeit tπgilt es, einen f¨
ur die jeweilige
Anwendung geeigneten Kompromiss zu finden.
Beispielhaft wird ein konkretes Wellenleiterdesign betrachtet. Die sich ergebenden cha-
rakteristischen Gr¨
oßen zeigt Tab.3.1:
Tabelle 3.1: Materialparameter f¨
ur Glas und f¨
ur einen Streifenwellenleiter in Glas
Materialbrechzahl,undotiert nSiO2=1,44427 [163]
thermooptischer Koeffizient ∂n
∂T =1 ·10−5[12, Kap.2.5.1]
Abmessungen des Wellenleiters b=h= 8 µm
relative Brechzahldifferenz ∆=0,25%
Kern −Brechzahl n1=1,45
umgebende Brechzahl n2=1,453625
effektiver Brechungsindex des TE/TM −Modes neff,TE/TM =1,4513266 [165]
1
e−Modenfeldradius wG=3,8µm [165]
Da der Wellenleiter quadratisch ist, haben der TE- und der TM-Mode dieselbe Ausbrei-
tungskonstante bzw. denselben effektiven Brechungsindex. Der effektive Brechungsindex
des TE/TM-Modes wurde mit Hilfe eines kommerziellen Mode-Solvers [165] gefunden.
In der Realit¨
at weisen auch diese Wellenleiter durch herstellungsbedingte mechanische
Verspannungen Materialbrechzahlschwankungen auf und es stellt sich eine Doppelbre-
chung im Bereich von B=|neff,TE −neff,TM|= 10−4ein [12, Kap.2.5.1].
Der Mode des Wellenleiters ist nahezu rund und kann im Profil gut durch eine Gauß-
Funktion angen¨
ahert werden. Durch die Angabe desjenigen Radius wG, bei dem die
Feldst¨
arke auf 1
e-tel der Mittenfeldst¨
arke abgefallen ist, kann das angen¨
aherte Moden-
feld beschrieben werden.
3 MATERIAL UND WELLENLEITERKONZEPTE 43
3.2 Rippenwellenleiter auf SOI
Abbildung 3.2 zeigt den in diesem Abschnitt betrachteten Rippenwellenleiter. Die Welle
wird in der Rippe der gezeigten oberen Silizium-Schicht zwischen Luft und Siliziumdioxid
gef¨
uhrt. Silizium hat f¨
ur eine Wellenl¨
ange von λ= 1,55 µm einen Brechungsindex von
n= 3,5 [12, Kap.2.5.1]. Damit betr¨
agt der Brechzahlunterschied zur Siliziumdioxid-
Schicht unter dem Silizium ca. 2 und zur Luft dar¨
uber ca. 2.5. Die Welle wird lateral
stark gef¨
uhrt. Typische Werte f¨
ur die Abmessungen des Wellenleiters sind folgende:
Dicke der vergrabenen Siliziumdioxid-Schicht s= 1 µm, H¨
ohe der Rippe H= 4 µm,
Breite der Rippe b= 3.2µm und H¨
ohe des Schichtwellenleiters h= 2 µm. Trotz dieser
großen Abmessungen ist der Wellenleiter einmodig [166,167].
S i
S i
S i O 2
S c h i c h t w e l l e n l e i t e rR i p p e n w e l l e n l e i t e r
d
hH
b
s
Abbildung 3.2: Rippenwellenleiter und Schichtwellenleiter auf SOI.
Die Herstellung dieser Wellenleiter geschieht durch Strukturieren der oberen Silizium-
schicht und ist daher einfacher als die Herstellung der Wellenleiter aus Abschnitt 3.1.
Die wesentlichen Schritte sind die Erstellung einer strukturierten Lackschicht mittels
Photolithographie und anschließendes reaktives Ionen¨
atzen (RIE). An den Stellen, an
denen wegen des Lackes nicht ge¨
atzt wurde, bleiben die Rippen stehen.
Eine Steuerung der Phasenlage innerhalb des Wellenleiters kann durch Injektion freier
Ladungstr¨
ager und Ausnutzung des eintretenden Plasmaeffektes erreicht werden [168–
171]. Hierzu werden hoch dotierte p+- und n+-Regionen nahe dem Wellenleiter er-
zeugt, die eine PIN-Diode definieren, deren i-Zone die wellenleitende Rippe ist. Ein
Stromfluss durch die PIN-Diode senkt den Brechungsindex des Siliziums isotrop ab [38,
Kap.15.2.3.3] und verschiebt damit die Phase der optischen Welle. In [171] wurde eine
elektrische Leistung von Vπ= 93.2mW ben¨
otigt, um eine Phasenverschiebung von π
rad zu erzeugen.
Der thermooptische Koeffizient von Silizium betr¨
agt ∂n
∂T = 1,86·10−4K−1[12, Kap.2.5.1].
Er ist damit um den Faktor 18 gr¨
oßer als der von Glas. Trotzdem ist der thermoopti-
sche Effekt nicht geeignet, um die Phase im Wellenleiter zu steuern. Der Grund hierf¨
ur
ist die hohe thermische Leitf¨
ahigkeit von Silizium, die einen Wert von λSi = 130 W
m·K
hat [38, S.9]. Diese hohe thermische Leitf¨
ahigkeit f¨
uhrt dazu, dass ein hoher Tempe-
raturgradient in Silizium zeitlich nicht lange Bestand hat. Um einen hohen Tempera-
turgradienten dauerhaft aufrecht zu erhalten, w¨
are eine hohe elektrische Heizleistung
notwendig.
Trotz der Form des Rippenwellenleiters kann die Feldverteilung im Querschnitt gut als
3 MATERIAL UND WELLENLEITERKONZEPTE 44
Tabelle 3.2: Materialparameter f¨
ur Silizium und f¨
ur einen Rippenwellenleiter in Silizium
Materialbrechzahl,undotiert nSi =3,5 [12, Kap.2.5.1]
thermooptischer Koeffizient ∂n
∂T =1,86 ·10−4[12, Kap.2.5.1]
thermische Leitf¨ahigkeit λSi =150 W
m·K[38, S.9]
Breite der Rippe b=3,2µm
H¨ohe der Rippe H=4 µm
H¨ohe des Schichtwellenleiters h=2 µm
H¨ohe der vergrabenen SiO2−Schicht s=1 µm
effektiver Brechungsindex des TE −Modes neff,TE =3,439822995 [165]
effektiver Brechungsindex des TM −Modes neff,TM =3,439607663 [165]
Doppelbrechung B=|neff,TE −neff,TM|= 2,1·10−4
1
e−Modenfeldradius wG=1,3µm [165]
rund angen¨
ahert werden. Im Profil kann, wie auch beim Streifenwellenleiter, n¨
aherungs-
weise eine Gauß-Form angenommen werden, die in diesem Fall einen Modenfeldradius
von wG= 1,3µm aufweist.
Tabelle 3.2 zeigt zusammengefasst die wichtigsten Daten von Silizium und dem be-
schriebenen Silizium-Rippenwellenleiter. Die effektiven Brechungsindices f¨
ur den TE-
und den TM-Mode wurden mit Hilfe eines kommerziellen Mode-Solvers bestimmt [165].
Die aus diesen idealen Werten bestimmte Doppelbrechung liegt in der Gr¨
oßenordnung
von B= 10−4. Wenn, wie im betrachteten Fall, keine Deckschicht verwendet wird, kann
diese Gr¨
oßenordnung erreicht werden. Bei Verwendung einer Deckschicht entstehen me-
chanische Spannungen und deren Auswirkungen auf die Doppelbrechung k¨
onnen sehr
unterschiedlich sein [172].
4 Das Einfach-AWG
Der Begriff ’Einfach-AWG’ wird im Rahmen dieser Arbeit verwendet, wenn das einfache
AWG, wie es im Folgenden beschrieben wird, vom Doppel-AWG besonders deutlich
unterschieden werden soll. Wenn im Folgenden nur vom ’AWG’ die Rede ist, ist ebenfalls
das einfache AWG gemeint.
In diesem Kapitel wird das AWG zun¨
achst anschaulich beschrieben. Sein Aufbau und
sein Funktionsprinzip werden erl¨
autert. Es werden dann einige prinzipielle Betrachtun-
gen zu FIR-Filtern angestellt. Die ¨
Ubertragungsfunktion der Komponente wird analy-
tisch und numerisch berechnet und insbesondere die Dispersion betrachtet. Auf Grund
dieser Berechnungen wird die Eignung des AWG als adaptiver Dispersionskompensator
mit verschiedenen Methoden der Steuerung diskutiert. Den Schluss des Kapitels bildet
die Diskussion eines realisierten und gemessenen Beispieles aus der Literatur. Es werden
dabei die Messergebnisse mit Simulationsergebnissen verglichen.
4.1 Aufbau und Funktionsweise
Ein AWG ist eine integriert optische Komponente, bei der eine Anordnung von Wellen-
leitern die Funktion eines Phasentransmissionsgitters erh¨
alt. Aufgrund seiner Struktur
kann das AWG in sehr hohen Beugungsordnungen betrieben werden, womit eine hohe
Wellenl¨
angenaufl¨
osung erreichbar ist. Deshalb ist die h¨
aufigste Verwendung dieser Kom-
ponente die als Multiplexer oder Demultiplexer f¨
ur WDM-Systeme [40,41,50,52,63].
L
G i t t e r l i n i e
F o k a l l i n i e
W e l l e n l e i t e r g i t t e r
E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
F r e i s t r a h l z o n e
L2
dw
+ 2
+ 1
0
- 1
- 2
I n d e x d e s
G i t t e r w e l l e n l e i t e r s
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung eines AWG.
45
4 DAS EINFACH-AWG 46
Abb.4.1 zeigt eine schematische Darstellung eines AWG. Es besteht aus einem Eingangs-
wellenleiter, einem Ausgangswellenleiter, zwei Freistrahlzonen und einer Anordnung von
Wellenleitern, die die beiden Freistrahlzonen verbindet - dem Wellenleitergitter oder auch
Phasengitter. Zwischen zwei benachbarten Wellenleitern besteht eine konstante L¨
angen-
differenz ∆LAWG, die f¨
ur eine bestimmte Wellenl¨
ange, die Zentralwellenl¨
ange λC, einer
Phasenverschiebung von ∆ϕAWG =m·2πbzw. einem Laufzeitunterschied von ∆τAWG
entspricht. Dabei ist m die Beugungsordnung des AWG. F¨
ur den Laufzeitunterschied
∆τAWG gilt analog zu Gl.(1.24) beim MZI ∆τAWG = 1/∆fFSR.
F¨
ur die L¨
angendifferenz ∆LAWG zwischen benachbarten Gitterwellenleitern gilt analog
zu den Gl.(1.30) und (1.31) beim MZI und unter Verwendung der effektiven Brechzahl
neff gem¨
aß Gl.(1.5)
∆LAWG =m·λC
neff
.(4.1)
Mit Gl.(4.1) folgt f¨
ur die Laufzeitdifferenz ∆τAWG zwischen benachbarten Gitterwellen-
leitern:
∆τAWG =∆LAWG ·neff
c0
(4.2)
=m·λC
c0
.(4.3)
Ein Lichtstrahl, der aus dem Eingangswellenleiter in die erste Freistrahlzone eintritt,
wird sich dort aufweiten und die Wellenleiter des Phasengitters beleuchten. Das auf die
Gitterwellenleiter auftreffende Fernfeld wird dabei durch die ¨
ortliche Fouriertransfor-
mierte des Nahfeldes beschrieben.
Die Anfangspunkte der Gitterwellenleiter liegen auf einer Linie, der Gitterlinie (siehe
Abb. 4.1), die ein Kreis mit dem Radius List, dessen Mittelpunkt der Einkoppelpunkt
des Eingangswellenleiters in die erste Freistrahlzone ist. Die Phasenfront des Fernfel-
des ist ebenfalls n¨
aherungsweise kreisf¨
ormig, was dazu f¨
uhrt, dass die Anregung in den
Gitterwellenleitern gleichphasig ist. Die Mittelpunkte zweier Gitterwellenleiter auf der
Gitterlinie haben einen Abstand dWvoneinander.
Durch die Wegunterschiede im Wellenleitergitter werden die Phasen in den einzelnen
Wellenleitern ortsabh¨
angig gegeneinander verschoben.
Das Wellenleitergitter endet auf der Gitterlinie der zweiten Freistrahlzone. In dieser in-
terferieren die von den einzelnen Gitterwellenleitern ausgehenden und sich aufweitenden
Strahlen. Auf der Fokallinie entsteht ein Beugungsbild (siehe Abb.4.2).
Da die Phasenverschiebung im Wellenleitergitter wellenl¨
angenabh¨
angig ist, ist der Ort
des Beugungsbildes auf der Fokallinie ebenfalls wellenl¨
angenabh¨
angig. F¨
ur die Zentral-
wellenl¨
ange λCist die Phasenverschiebung zwischen zwei benachbarten Wellenleitern ein
ganzzahliges Vielfaches von 2π. Deshalb ist in diesem Fall die Phasenfront am Ende
4 DAS EINFACH-AWG 47
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
F r e i s t r a h l z o n e
dw
G i t t e r -
w e l l e n l e i t e r
P h a s e n f r o n t
m - t e O r d n u n g
( m - 1 ) - t e O r d n u n g
( m + 1 ) - t e O r d n u n g
l < l c
qa
o p t i s c h e A c h s e A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
F r e i s t r a h l z o n e
dw
P h a s e n f r o n t
m - t e O r d n u n g
( m - 1 ) - t e O r d n u n g
( m + 1 ) - t e O r d n u n g
l = l c
q = 0
a
o p t i s c h e A c h s e
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
F r e i s t r a h l z o n e
dw
P h a s e n f r o n t
m - t e O r d n u n g
( m - 1 ) - t e O r d n u n g
( m + 1 ) - t e O r d n u n g
l > l c
q
a
o p t i s c h e A c h s e
F e r n f e l d e i n h ü l l e n d e F e r n f e l d e i n h ü l l e n d e
F e r n f e l d e i n h ü l l e n d e
a ) b )
c )
Abbildung 4.2: Schematische Darstellung der zweiten Freistrahlzone f¨
ur verschiedene Wel-
lenl¨
angen
4 DAS EINFACH-AWG 48
des Wellenleitergitters parallel zur Gitterlinie (siehe Abb.4.2b). Das Beugungsbild wird
dadurch direkt vor dem Ausgangswellenleiter entstehen. In Abb.4.2 sind zur Verdeutli-
chung die Gitterlinie und die Fokallinie als Geraden dargestellt. Das Beugungsbild auf
der Fokallinie ist bei guter Ausleuchtung der Gitterwellenleiter ein Abbild des Eingangs-
wellenleitermodes. Es treten jedoch neben der m-ten Beugungsordnung auch weitere,
insbesondere die Nachbarordnungen, die (m+ 1)-te und (m−1)-te Beugungsordnung
auf. Alle Bilder der verschiedenen Beugungsordnungen liegen unter einer Gauß-f¨
ormigen
Kurve, der Fernfeldeinh¨
ullenden.
Wird die Wellenl¨
ange z.B. gr¨
oßer als die Zentralwellenl¨
ange, so ¨
andert sich das Pha-
senportrait auf der Gitterlinie der zweiten Freistrahlzone, wie in Abb.4.2c gezeigt. Die
Phasenfront wird um den Winkel θaverkippt und das Beugungsbild entsteht nicht mehr
direkt vor dem Auskoppelwellenleiter, sondern um eine Strecke ∆xverschoben. Analoges
gilt f¨
ur eine Wellenl¨
ange, die kleiner als die Zentralwellenl¨
ange ist (Abb.4.2a).
Die in Abb.4.1 gezeigten Freistrahlzonen werden gitterseitig durch die Gitterlinie be-
grenzt. Ein- bzw. ausgangsseitig werden die Freistrahlzonen durch die Fokallinie be-
grenzt. Die Geometrie dieser Fokallinie ist ein Kreis, der Rowlandkreis [173], mit dem
Radius L/2. Der Rowlandkreis tangiert die Gitterlinie in ihrem Scheitelpunkt. Dieser
Scheitelpunkt liegt gegen¨
uber vom Ein- bzw. Auskoppelwellenleiter. F¨
ur den Fall meh-
rerer Eingangs- oder Ausgangswellenleiter w¨
urden diese auf dem Rowlandkreis enden
bzw. beginnen und auf ihm senkrecht stehen. Diese spezielle Geometrie minimiert die
Bildfehler der Anordnung [39, S.279].
4.2 Steuerung der Dispersion
Die Komponente, wie sie bisher beschrieben wurde, ist dispersionsfrei. Abb.4.3 zeigt
noch einmal das AWG, diesmal mit einer Einrichtung zur Steuerung der Phasen in den
Gitterwellenleitern.
L
G i t t e r l i n i e
F o k a l l i n i e
W e l l e n l e i t e r g i t t e r
E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
F r e i s t r a h l z o n e
L2
dw
P h a s e n s t e u e r u n g
Abbildung 4.3: Schematische Darstellung eines AWG mit Anordnung zur Phasen- und damit
Dispersionsstellung.
4 DAS EINFACH-AWG 49
Wie in den folgenden Kapiteln im Detail gezeigt wird, ist dadurch eine Steuerung der
Dispersion m¨
oglich. Gem¨
aß [62,64] f¨
uhrt eine zum Zentralwellenleiter symmetrische qua-
dratische Phasenverschiebung in den Gitterwellenleitern zu einer chromatischen Disper-
sion der Komponente. Dabei wird in jedem Gitterwellenleiter die Phase des Lichtes in
Abh¨
angigkeit vom Index rdes Wellenleiters und vom Parameter averschoben. Der Pa-
rameter aist reell und beschreibt die Kr¨
ummung der parabolischen Phasenverschiebung.
Wird die Indexierung vorgenommen, wie in Abb.4.1 gezeigt, so dass der Zentralwellen-
leiter den Index r= 0 erh¨
alt, gilt f¨
ur die Phasenverschiebung ϕQD:
ϕQD (r) = a·r2.(4.4)
F¨
ur Parameter asind dabei beide Vorzeichen zugelassen. Von ihm h¨
angt die Dispersion
der Komponente ab. Wird die Phasenverschiebung beispielsweise durch Erhitzen des
Wellenleiters und damit verbundene Erh¨
ohung des Brechungsindex erreicht, so kann da-
durch nur eine negative Phasenverschiebung erzeugt werden. Abb.4.4 zeigt beispielhaft,
wie die zwei m¨
oglichen Vorzeichen eines parabolischen Phasenprofils trotzdem umgesetzt
werden k¨
onnen. Das AWG im Beispiel hat M= 11 Gitterwellenleiter.
P h a s e n v e r s c h i e b u n g i n r a d
P h a s e n v e r s c h i e b u n g i n r a d
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
0
- 2
- 4
- 6
- 8
- 1 0
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
0
- 2
- 4
- 6
- 8
- 1 0
I n d e x r d e s G i t t e r w e l l e n l e i t e r sI n d e x r d e s G i t t e r w e l l e n l e i t e r s
1 0
2 5
a
= +
1 0
2 5
a
= -
Abbildung 4.4: ¨
Uber dem Index rist f¨
ur jeden Gitterwellenleiter, beispielhaft f¨
ur ein para-
bolisches Phasenprofil, die Phasenverschiebung als gr¨
uner Balken aufgetragen. Das AWG hat
M= 11 Gitterwellenleiter.
4.3 Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion
In diesem Abschnitt wird die ¨
Ubertragungsfunktion des Einfach-AWG mit Phasensteue-
rung berechnet. Mit Hilfe des FIR-Filteransatzes werden analytische Ausdr¨
ucke f¨
ur die
3 dB-Bandbreite und die Dispersion der Komponente abgeleitet. Um die Transmission
zu berechnen wird im Abschnitt 4.3.2 die Feldausbreitung in der ersten Freistrahlzone
mit Hilfe der Fourier-Optik berechnet.
4 DAS EINFACH-AWG 50
4.3.1 Berechnung von 3dB-Bandbreite und Dispersion mit dem
FIR-Filteransatz
F¨
ur lineare und zeitunabh¨
angige Systeme, zu denen auch das hier betrachtete Einfach-
AWG geh¨
ort, gilt die Aussage, dass die ¨
Ubertragungsfunktion die inverse Fouriertrans-
formierte der Impulsantwort des Filters ist [13, 174]. Wenn die Impulsantwort bekannt
ist, kann die ¨
Ubertragungsfunktion berechnet werden. Weiterhin kann gezeigt werden,
dass eine reelle achsen- oder punktsymmetrische Impulsantwort zu einer ¨
Ubertragungs-
funktion geh¨
ort, die keine Dispersion aufweist beziehungsweise deren Dispersion Null
ist [13, Abschn. 5.7]. Bei dem hier betrachteten Einfach-AWG kann die Impulsantwort
der Geometrie (siehe Abb. 4.5) entnommen werden. F¨
ur ein Einfach-AWG - zun¨
achst
ohne quadratische Phasenverschiebung in den Gitterwellenleitern - wird die Impulsant-
wort unter Vernachl¨
assigung der Laufzeit im Zentralwellenleiter mit dem Index r= 0
durch folgende Gleichung beschrieben:
h1(t) =
+N
X
r=−N
A2(r)·δ(t−r·∆τAWG).(4.5)
Die Impulsantwort h1(t) ist als Summe ¨
uber die verschiedenen Wege, die das Licht durch
die Komponente nimmt, beschrieben. Der Index rin der Summe z¨
ahlt ¨
uber alle Gitter-
wellenleiter. Es gibt M= 2N+ 1 Gitterwellenleiter. Der Laufzeitunterschied zwischen
benachbarten Gitterwellenleitern betr¨
agt ∆τAWG. Zu jedem Gitterwellenleiter rgeh¨
ort
ein Koeffizient A(r). Dieser Koeffizient ist der Koppelfaktor in der Freistrahlzone vom
Einkoppelwellenleiter zum Gitterwellenleiter mit dem Index r. Da die erste und zweite
Freistrahlzone dieselbe Geometrie aufweisen, sind die Koppelfaktoren in den beiden Frei-
strahlzonen aufgrund der vorliegenden Reziprozit¨
at gleich. Aus diesem Grund tritt der
Faktor A(r) in Gl.(4.5) quadriert auf (siehe auch Abb. 4.5). F¨
ur die Funktion A(r) wird
eine Gauß-Funktion angenommen. Dies resultiert aus der ¨
Uberlegung, dass der Wellenlei-
termode des Einkoppelwellenleiters Gauß-f¨
ormig und die Fernfeldverteilung proportional
zur ¨
ortlichen Fouriertransformierten des Nahfeldes ist (siehe auch Abschnitt 2.5). Da,
wie in Abschnitt 4.1 erw¨
ahnt, die Einkopplung in die Gitterwellenleiter gleichphasig ist,
wird A(r) reell angesetzt:
A(r) = A0·exp ¡−g2·r2¢.(4.6)
Dabei ist A0ein konstanter Vorfaktor. Der Parameter gist reell und beschreibt die
Ausleuchtung der Gitterwellenleiter. Gleichung (4.6) eingesetzt in Gl.(4.5) f¨
uhrt auf:
h1(t) =
+N
X
r=−N
A2
0·exp ¡−2·g2·r2¢·δ(t−r·∆τAWG).(4.7)
4 DAS EINFACH-AWG 51
W e l l e n l e i t e r g i t t e r
E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
w e l l e n l e i t e r
1 . F r e i s t r a h l z o n e 2 . F r e i s t r a h l z o n e
r - t e r G i t t e r w e l l e n l e i t e r
Abbildung 4.5: Schematische Darstellung eines AWG ohne zus¨
atzliche Phasensteuerung im
Wellenleitergitter. In rot ist beispielhaft der Lichtweg durch den r-ten Wellenleiter des Wel-
lenleitergitters markiert. Die Koppelfaktoren A(r)der ersten und zweiten Freistrahlzone auf
diesem Lichtweg und der Delta-Impuls mit der Zeitverz¨
ogerung um r·∆τAWG, aus denen sich
unter Vernachl¨
assigung der Laufzeit im Zentralwellenleiter mit dem Index r= 0 die Impuls-
antwort zusammensetzt, sind markiert.
Diese Impulsantwort ist reell und achsensymmetrisch bez¨
uglich des Zeitpunktes t= 0.
Die Dispersion der beschriebenen Komponente ist daher Null [13, Abschn. 5.7]. Um eine
Dispersion zu erhalten, wird die schon erw¨
ahnte quadratische Phasenverschiebung auf
die Gitterwellenleiter aufgebracht. Dass diese Maßnahme zu der gew¨
unschten Dispersion
f¨
uhrt, wird im Folgenden gezeigt werden. Zun¨
achst wird die quadratische Phasenverschie-
bung und die resultierende Impulsantwort h2(t) folgendermaßen beschrieben:
h2(t) =
+N
X
r=−N
A2
0·exp ¡−2·g2·r2¢·exp ¡−j·a·r2¢·δ(t−r·∆τAWG).(4.8)
Der neue Parameter ain Gl.(4.8) ist reell und beschreibt die Kr¨
ummung der quadra-
tischen Phasenverschiebung auf den Gitterwellenleitern. Die Impulsantwort, die durch
Gl.(4.8) beschrieben wird, ist wiederum symmetrisch bez¨
uglich t= 0, aber nicht mehr
reell sondern komplex. Damit ist die Bedingung f¨
ur Dispersionsfreiheit nicht mehr erf¨
ullt.
Ausgehend von Gl.(4.8) wird die ¨
Ubertragungsfunktion des Einfach-AWG mit quadra-
tischer Phasenverschiebung durch Bildung der inversen Fouriertransformierten berech-
net:
H(jω) =
+N
X
r=−N
A2
0·exp ¡−2·g2·r2¢·exp ¡−j·a·r2¢·exp (−jω ·∆τAWG ·r).(4.9)
4 DAS EINFACH-AWG 52
Dies wird umgestellt zu
H(jω) = A2
0·
+N
X
r=−N
exp ¡−r2·¡2·g2+j·a¢¢·exp (−jω ·∆τAWG ·r).(4.10)
Um die Summe in Gl.(4.10) in einen einfacher handhabbaren Ausdruck umstellen zu
k¨
onnen, wird nun folgende N¨
aherung gemacht:
H(jω)≈A2
0·
+∞
X
r=−∞
exp ¡−r2·¡2·g2+j·a¢¢·exp (−jω ·∆τAWG ·r).(4.11)
Bei dieser N¨
aherung wird die Anzahl der Gitterwellenleiter von Mauf eine unendliche
Anzahl erh¨
oht. Diese N¨
aherung ist dann mit nur kleinen Fehlern verbunden, wenn die
Anzahl Mmindestens so groß ist, dass die Mittenfeldst¨
arke im Randwellenleiter um den
Faktor 1
ekleiner ist als im Zentralwellenleiter. Im Hinblick auf die reale AWG-Struktur
ist es ohnehin sinnvoll, diese Bedingung zu erf¨
ullen, denn sie nicht zu erf¨
ullen w¨
urde
bedeuten, dass die Komponente hohe Verluste h¨
atte. Die beschriebene N¨
aherung ist
zul¨
assig, wenn gilt:
2·g2·µM
2¶2
À1.(4.12)
Gleichung (4.11) wird nun mit Hilfe einer Deltakamm-Distribution in folgende Integral-
darstellung umgeformt:
H(jω) = A2
0·
+∞
Z
t=−∞
exp Ã−µt
∆τAWG ¶2
·¡2·g2+j·a¢!
×exp µ−jω ·∆τAWG ·µt
∆τAWG ¶¶·δ∆τAW G (t)dt . (4.13)
Dabei ist δ∆τAW G (t) definiert als:
δ∆τAW G (t) =
+∞
X
k=−∞
δ(t−k·∆τAWG).(4.14)
Gleichung (4.13) wird umgestellt nach:
4 DAS EINFACH-AWG 53
H(jω) = A2
0·
+∞
Z
t=−∞
exp Ã−µt
∆τAWG ¶2
·¡2·g2+j·a¢!·δ∆τAW G (t)
×exp (−jω ·t)dt . (4.15)
Unter Verwendung von Gl.(2.36) kann Gl.(4.15) als Fouriertransformierte folgenderma-
ßen dargestellt werden:
H(jω) = A2
0·F(exp Ã−µt
∆τAWG ¶2
·¡2·g2+j·a¢!·δ∆τAW G (t)).(4.16)
Mit dem Faltungssatz der Fouriertransformation gem¨
aß Gl.(2.38) wird Gl.(4.16) umge-
formt zu:
H(jω) = A2
0·1
2π·F(exp Ã−µt
∆τAWG ¶2
·¡2·g2+j·a¢!)?F{δ∆τAW G (t)}.(4.17)
Dabei ist ’?’ das Faltungssymbol.
Die Fouriertransformierte des Exponentialtermes in Gl.(4.17) wird analytisch bestimmt.
F¨
ur die Fouriertransformierte der Deltakamm-Distribution gilt
F{δ∆τAW G (t)}=2π
∆τAWG ·δ2π
∆τAW G
(ω).(4.18)
Damit ergibt sich aus Gl.(4.17):
H(jω) = A2
0·√π
p2·g2+j·a
| {z }
=V0
·exp µ−ω2·∆τ2
AWG
4·(2 ·g2+j·a)¶
| {z }
=R(jω)
?δ 2π
∆τAW G
(ω).(4.19)
Dabei ist V0ein Vorfaktor, der die Transmission beschreibt. Auf diesen Vorfaktor wird
im Folgenden genauer eingegangen.
Weiterhin ist die ¨
Ubertragungsfunktion H(jω) Gauß-f¨
ormig ¨
uber der Kreisfrequenz ω
und periodisch mit einer Periode ∆ωFSR =2π
∆τAW G . Dieses Intervall ist der freie Spektral-
bereich der ¨
Ubertragungsfunktion.
Zur Veranschaulichung wird Gl.(4.19) unter Verwendung von ∆ωFSR,V0und R(jω) in
eine Summe umformuliert:
4 DAS EINFACH-AWG 54
w
Abbildung 4.6: Schematische Darstellung des Betrages der ¨
Ubertragungsfunktion |H(jω)|
als Summe ¨
uber unendliche viele um ∆ωFSR gegeneinander verschobene Gauß-Kurven
|R(j(ω−k·∆ωFSR)) |.
H(jω) = V0·
k=+∞
X
k=−∞
R(j(ω−k·∆ωFSR)) .(4.20)
Gleichung (4.20) wird durch Abb. 4.6 veranschaulicht. Der Betrag der ¨
Ubertragungs-
funktion ist eine Summe unendlich vieler um ∆ωFSR gegeneinander verschobener Gauß-
Funktionen. Jeder Summand von Gl.(4.20) repr¨
asentiert eine Ordnung kder ¨
Ubert-
ragungsfunktion. Zu jeder Ordnung kgeh¨
ort eine zentrale Kreisfrequenz. In dem hier
diskutierten Fall geh¨
ort zur Ordnung k=mdes AWG eine zentrale Kreisfrequenz ωC.
An dieser Stelle wird die N¨
aherung gemacht, dass zur Bestimmung der Eigenschaften
der ¨
Ubertragungsfunktion die Betrachtung nur einer Ordnung, der Ordnung mausreicht.
Von der Summe in Gl.(4.20) wird daher nur der Summand k=mbetrachtet. Die Kreis-
frequenz ωwird als Summe der zentralen Kreisfrequenz ωCund einer Abweichung ∆ω
von dieser dargestellt:
ω=ωC+ ∆ω . (4.21)
F¨
ur die zur Ordnung mgeh¨
orende zentrale Kreisfrequenz gilt
ωC=m·∆ωFSR .(4.22)
Mit den Gleichungen (4.21) und (4.22) wird eine Funktion Rm(∆ω) definiert:
4 DAS EINFACH-AWG 55
Rm(∆ω) = R(ω−m·∆ωFSR) (4.23)
= exp µ−∆ω2·∆τ2
AWG
4·(2 ·g2+j·a)¶.(4.24)
Um im Folgenden die 3 dB-Bandbreite und die chromatische Dispersion zu bestimmen,
gen¨
ugt es die Funktion Rm(∆ω) zu betrachten. Diese wird zun¨
achst nach Betrag und
Phase getrennt und es ergibt sich:
Rm(∆ω) = exp µ−2·g2·∆τ2
AWG ·∆ω2
4·(4 ·g4+a2)¶
| {z }
=B(∆ω)
·exp
+j·∆τ2
AW G ·∆ω2·a
4·(4 ·g4+a2)
| {z }
=ϕ(∆ω)
.(4.25)
Dabei beschreibt B(∆ω) den Betrag - abgesehen von dem konstanten Vorfaktor V0-
und ϕ(∆ω) die Phase der ¨
Ubertragungsfunktion.
F¨
ur die 3 dB-Bandbreite ∆ω3dB gilt:
Bµ∆ω3dB
2¶=1
√2(4.26)
⇔exp
−2·g2·∆τ2
AWG ·³∆ω3dB
2´2
4·(4 ·g4+a2)
=1
√2(4.27)
⇔−2·g2·∆τ2
AWG ·∆ω2
3dB
16 ·(4 ·g4+a2)= ln µ1
√2¶(4.28)
⇔g2·∆τ2
AWG ·∆ω2
3dB
4·(4 ·g4+a2)= ln (2) (4.29)
⇔∆ω2
3dB =4·ln (2) ·¡4·g4+a2¢
g2·∆τ2
AWG
(4.30)
⇔∆ω3dB =2·pln (2)
g·∆τAWG ·p4·g4+a2.(4.31)
Zu dieser 3 dB-Bandbreite, angegeben als Intervall der Kreisfrequenz ω, wird das zu-
geh¨
orige Wellenl¨
angenintervall ∆λ3dB angegeben. Dieses ist abh¨
angig von der betrachte-
ten Zentralwellenl¨
ange λC, die in der Mitte des betreffenden Wellenl¨
angenintervalls liegt.
Mit Gl.(1.25) folgt:
4 DAS EINFACH-AWG 56
∆λ3dB =λ2
C·pln (2)
π·c0·g·∆τAWG ·p4·g4+a2.(4.32)
Unter Verwendung von Gl.(1.9) kann aus der Phase ϕ(ω) der ¨
Ubertragungsfunktion
gem¨
aß Gl. (4.25) die Dispersion berechnet werden. Es ergibt sich:
D=π·c0·∆τ2
AWG ·a
λ2
C·(4 ·g4+a2).(4.33)
Um zu einer besseren Anschauung der hergeleiteten Gleichungen zu gelangen, werden
die Parameter aund g, die die Kr¨
ummung der quadratischen Phasenverschiebung und
die Ausleuchtung beschreiben, geeignet auf die Anzahl Mder Gitterwellenleiter nor-
miert. Abb. 4.7 zeigt schematisch die erste Freistrahlzone, den Eingangswellenleiter und
den sich ausbreitenden Gauß-Strahl, der die Gitterwellenleiter beleuchtet. Der neue Pa-
G i t t e r w e l l e n l e i t e r
0
- N
- 1
+ 1
q
L
N × dw
M o d e d e s
E i n g a n g s w e l l e n -
l e i t e r s
G a u ß - S t r a h l
+ N
Abbildung 4.7: Schematische Darstellung der Freistrahlzone eines AWG mit Gauß-f¨
ormigem
Mode des Einkoppelwellenleiters, resultierendem Gauß-Strahl und M= 2 ·N+ 1 Gitterwellen-
leitern.
rameter bsoll beschreiben, wie groß die Zentralfeldst¨
arke in den Randwellenleitern des
Phasengitters im Vergleich zur Zentralfeldst¨
arke im Mittenwellenleiter ist. Es gilt daher
n¨
aherungsweise:
exp Ã−g2·µM
2¶2!≈exp (−b) (4.34)
⇔g2·µM
2¶2
=b(4.35)
⇔g2=4·b
M2.(4.36)
4 DAS EINFACH-AWG 57
Der neue Parameter ϕAsoll beschreiben, wie groß die zus¨
atzliche Phasenverschiebung in
einem Randwellenleiter des Phasengitters ist. Es gilt daher n¨
aherungsweise:
ϕA≈a·µM
2¶2
(4.37)
⇔a=4·ϕA
M2.(4.38)
Abb. 4.8 veranschaulicht die Bedeutung des neuen Parameters b. Je gr¨
oßer bist, umso
weniger Wellenleiter werden ausgeleuchtet. Andererseits n¨
ahert sich die Funktion, durch
die die Ausleuchtung beschrieben wird, immer mehr einer Gauß-Kurve an, je gr¨
oßer b
wird. Dies hat Einfluss auf das Bild in der Fokalebene und damit auf die ¨
Ubertragungs-
funktion, wie in Abschnitt 4.6.1 noch erl¨
autert wird.
O r t x a u f d e r A p e r t u r i n µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
2
Y2 , F P R
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y2 , F P R
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y2 , F P R
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y2 , F P R
- ( 1 / 2 )
/ µ m
O r t x a u f d e r A p e r t u r i n µ m
2
O r t x a u f d e r A p e r t u r i n µ m
2
O r t x a u f d e r A p e r t u r i n µ m
2
-200 -100 0 100 200
0 , 0 0
0 , 0 5
0 , 1 0
-200 -100 0 100 200
0 , 0 0
0 , 0 5
0 , 1 0
0 , 1 5
-200 -100 0 100 200
0 , 0 0
0 , 0 4
0 , 0 8
-200 -100 0 100 200
0 , 0 0
0 , 0 1
0 , 0 2
0 , 0 3
b = 1
L = 7 6 8 µ m
b = 5
L = 3 4 3 µ m
b = 0 . 0 1
L = 7 6 7 8 µ m
b = 0 . 2
L = 1 7 1 7 µ m
Abbildung 4.8: F¨
ur eine feste Anzahl Gitterwellenleiter von M= 11 wurde f¨
ur vier Wer-
te von bdie zugeh¨
orige L¨
ange L der Freistrahlzonen berechnet und die normierte Feldst¨
arke
Ψ2,FPR(x2)auf der Apertur der Gitterwellenleiter dargestellt. Die gr¨
unen Balken zeigen die
Positionen der Gitterwellenleiter an. Die H¨
ohe entspricht der auf die Gitterwellenleiter auf-
treffenden normierten Feldst¨
arke.
Die Verwendung der Parameter bund ϕAergibt neue Ausdr¨
ucke f¨
ur Bandbreite und
Dispersion des AWG. Werden die Gleichungen (4.36) und (4.38) in Gl.(4.32) eingesetzt,
ergibt sich f¨
ur die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB:
∆λ3dB (ϕA, b) = 2·λ2
C·pln (2)
π·c0·√b·∆τAWG ·M·p4·b2+ϕ2
A.(4.39)
4 DAS EINFACH-AWG 58
Unter Verwendung der Beziehungen (1.32) und (4.3) l¨
asst sich das Quadrat der 3 dB-Bandbreite
darstellen als:
∆λ2
3dB (ϕA, b) = 4·ln (2) ·∆λ2
FSR
π2·M2·¡4·b2+ϕ2
A¢
b.(4.40)
F¨
ur die Dispersion ergibt sich mit den Gleichungen (4.36) und (4.38) zun¨
achst:
D(ϕA, b) = π·c0·∆τ2
AWG ·M2
4·λ2
C·ϕA
(4 ·b2+ϕ2
A).(4.41)
Mit (4.3) ergibt sich:
D(ϕA, b) = π·M2·m2
4·c0·ϕA
(4 ·b2+ϕ2
A).(4.42)
Mit den Gleichungen (4.40) und (4.42) sind die 3 dB-Bandbreite und die Dispersion in
Abh¨
angigkeit von ϕAund bbeschrieben.
Allein ¨
uber die D¨
ampfung wurde bisher keine Aussage gemacht. In Gl.(4.19) wird der
Vorfaktor V0eingef¨
uhrt, der die Transmission der Komponente in Abh¨
angigkeit von a
und gbeschreibt:
V0=A2
0·√π
p2·g2+j·a.(4.43)
F¨
ur ein beliebiges A0und a= 0 l¨
asst sich immer ein gfinden, f¨
ur das V0>1 wird, was f¨
ur
eine passive Komponente nicht m¨
oglich ist. Hieraus wird deutlich, dass mit dem bisher
verwendeten Ansatz die Transmission nicht korrekt beschrieben wird. In Gl.(4.43) muss
der Faktor A0unter Ber¨
ucksichtigung der Geometrie beschrieben werden. Dazu wird die
Feldausbreitung in der ersten Freistrahlzone mit Hilfe der Fourier-Optik berechnet.
4 DAS EINFACH-AWG 59
G i t t e r w e l l e n l e i t e r
L
M o d e d e s
E i n g a n g s w e l l e n -
l e i t e r s
Y (
x
)
G a u ß - S t r a h l
E i n g a n g s w e l l e n -
l e i t e r
x
1
x
2
1
W G
Y (
x
)
2
2 , F P R
r = 0
r = + 1
r = + 2
r = + 3
r = - 1
r = - 2
r = - 3
I n d e x r d e r G i t t e r w e l l e n l e i t e r
Abbildung 4.9: Schematische Darstellung der Freistrahlzone eines AWG mit Gauß-f¨
ormigem
Mode des Einkoppelwellenleiters und resultierendem Gauß-Strahl. Mit der Ortskoordinate x1
wird der Mode des Eingangswellenleiters ΨWG an der Einkoppelstelle in die erste Freistrahl-
zone beschrieben. Das Feld Ψ2,FPR, das auf die Apertur des Wellenleitergitters trifft wird mit
der Ortskoordinate x2beschrieben. Die Berechnung des Koppelintegrales zwischen Ψ2,FPR(x2)
und dem Mode des zentralen Gitterwellenleiters liefert den gesuchten Koeffizienten A(0) zur
Bestimmung der Transmission der Komponente.
4.3.2 Berechnung der Transmission mittels Fourier-Optik
Um korrekte Ausdr¨
ucke f¨
ur die Koppelfaktoren A(r), die in der ersten und zweiten Frei-
strahlzone auftreten, zu erhalten, wird die Feldausbreitung in der ersten Freistrahlzone
unter Ber¨
ucksichtigung der vorliegenden Geometrie berechnet.
Den hier relevanten Ausschnitt dieser Geometrie zeigt schematisch Abb. 4.9. Die reale
dreidimensionale Geometrie der Struktur wird gem¨
aß Abschnitt 2.3 als zweidimensionale
Struktur modelliert. Alle Wellenleiter der Struktur sind im Modell einmodig und werden
als Gauß-f¨
ormig angenommen.
Die Analyse beginnt mit dem Mode im Eingangswellenleiter. Dieser wird als Gauß-Mode
mit dem 1/e-Modenfeldradius wGangenommen.
Der Begriff ’Modenfeldradius’ ist an dieser Stelle nicht ganz korrekt, da das Modenprofil
nicht rund ist. Mit ’Modenfeldradius’ ist die H¨
alfte derjenigen Strecke gemeint, nach
der, vom Maximum der den Mode beschreibenden eindimensionalen Gauß-Verteilung
ausgehend, der Wert der Funktion um den Faktor (1/e) gesunken ist. Der Einfachheit
halber wird der Begriff ’Modenfeldradius’ weiterhin in dem erl¨
auterten Sinne benutzt.
Der Mode des Eingangswellenleiters wird beschrieben durch:
f(x1) = C·ΨWG (x1).(4.44)
4 DAS EINFACH-AWG 60
Dabei ist Ceine Konstante, die proportional zur Quadratwurzel der eingespeisten Leis-
tung ist. ΨWG ist eine auf die Leistung normierte Gauß-Funktion:
ΨWG (x1) = 4
s2
π·w2
G·exp Ã−µx1
wG¶2!.(4.45)
’Leistungsnormiert’ bedeutet f¨
ur die reelle Funktion ΨWG die G¨
ultigkeit folgender Glei-
chung:
+∞
Z
−∞
Ψ2
WG (x1)d(x1) = 1 .(4.46)
Die Ausbreitung durch die erste Freistrahlzone wird mit dem Fourierintegral nach Gl.(2.35)
berechnet:
Ψ2,FPR (x2) = rn
λC·L·
+∞
Z
−∞
ΨWG (x1)·exp µ+j·2π·n·x2
λC·L·x1¶d(x1).(4.47)
Die ’2’ in der Indexierung ’2,FPR’ besagt, dass die Funktion Ψ2,FPR in der Ebene der
Koordinate x2definiert ist und auch von dieser abh¨
angt. Das K¨
urzel ’FPR’ bedeutet
’Freistrahlzone’ (von engl.: free propagation region) und besagt, dass die Funktion Ψ2,FPR
das Feld in der Freistrahlzone beschreibt, bevor es in das Wellenleitergitter einkoppelt.
Im Gegensatz dazu wird das Feld in der Ebene der Koordinate x2kurz hinter der Apertur
des Wellenleitergitters durch die Funktion Ψ2,PA beschrieben. Das K¨
urzel ’PA’ bedeutet
dabei ’Wellenleitergitter’ (von engl.: phased array).
Die Integration in Gl.(4.47) l¨
asst sich analytisch l¨
osen, und es ergibt sich:
Ψ2,FPR (x2) = 4
√2π·rwG·n
λC·L·exp Ã−µwG·π·n·x2
λC·L¶2!.(4.48)
Dieses Feld trifft auf die Apertur des Phasengitters und regt die Moden in den Gitter-
wellenleitern an. Die Anregungskoeffizienten A(r) f¨
ur die einzelnen Wellenleiter werden
durch die Berechnung des ¨
Uberlappintegrales gefunden:
A(r) =
+∞
Z
−∞
Ψ2,FPR (x2)·ΨWG (x2−r·dW)d(x2).(4.49)
4 DAS EINFACH-AWG 61
Dabei ist rder Index des betrachteten Wellenleiters und wird in positiver x2-Richtung
gez¨
ahlt (siehe Abb.4.9).
Mit der Annahme, dass das anregende Feld Ψ2,FPR n¨
aherungsweise konstant ¨
uber einem
Modenfelddurchmesser ist, ergibt sich mit den Gleichungen (4.45) und (4.49):
A(r)≈Ψ2,FPR (r·dW)·4
p2π·w2
G.(4.50)
Verwendung der Gleichungen (4.48) und (4.50) mit r= 0 ergibt:
A(0) = s2π·w2
G·n
λC·L.(4.51)
In Gl. (4.19) wurde die Gr¨
oße V0definiert. Diese beschreibt die D¨
ampfung des AWG in
Abh¨
angigkeit von den Parametern gund aund einem konstanten Vorfaktor A0. Dieser
konstante Vorfaktor A0wird mit Gl. (4.51) ersetzt. Die Parameter gund awerden mit
den Gleichungen (4.36) und (4.38) durch die Gr¨
oßen bund ϕAersetzt. Die resultierende
Gr¨
oße ist von bund ϕAabh¨
angig und wird deshalb umbenannt in V(ϕA, b) und es ergibt
sich:
V(ϕA, b) = 2π·w2
G·n
λC·L·q8b
M2+j4ϕA
M2
.(4.52)
Gleichung (4.52) beschreibt die Transmission des AWG in Abh¨
angigkeit von b,ϕA,L
und M. Die Gr¨
oßen b,Lund Mstehen in einem festen Verh¨
altnis zueinander, das
durch die Geometrie der Freistrahlzonen gegeben ist. Abb. 4.7 verdeutlicht die folgende
¨
Uberlegung an deren Ende eine Gleichung steht, die die genannten Gr¨
oßen miteinander
verbindet und mit deren Hilfe der Ausdruck f¨
ur die Transmission des AWG in Gl. (4.52)
vereinfacht werden wird.
Das Verh¨
altnis der Mittenfeldst¨
arke im Zentralwellenleiter zur Mittenfeldst¨
arke in einem
Randwellenleiter betr¨
agt exp(−b). F¨
ur ein gegebenes bund eine gegebene L¨
ange der
Freistrahlzonen Lkann die ben¨
otigte Anzahl Wellenleiter Mberechnet werden. Aus der
Geometrie (siehe Abb.4.7) ergibt sich zun¨
achst:
N·dW
L= tan (θ)≈θ . (4.53)
4 DAS EINFACH-AWG 62
F¨
ur den Winkel θ0, der beim Gauß-Strahl denjenigen Winkel beschreibt, unter dem im
Fernfeld die Feldst¨
arke um den Faktor 1
eabgefallen ist, gilt [159, S.232]:
θ0=λC
n·π·wG
.(4.54)
Wenn das Verh¨
altnis zwischen der Mittenfeldst¨
arke im Zentral- zu der in einem Rand-
wellenleiter e−bist, gilt:
exp Ã−µθ
θ0¶2!= exp(−b).(4.55)
Aus Gl.(4.55) folgt zun¨
achst unter Verwendung der Gl.(4.53) und Gl.(4.54):
N·dW
L
λC
n·π·wG
2
=b(4.56)
⇔N·dW·n·π·wG
L·λC
=√b(4.57)
⇔N=L·√b·λC
dW·wG·n·π.(4.58)
Mit Gl.(4.58) folgt dann f¨
ur die Anzahl Mder Gitterwellenleiter:
M= 2 ·N+ 1 = 2·L·√b·λC
dW·wG·n·π+ 1 (4.59)
≈2·L·√b·λC
dW·wG·n·π(4.60)
⇔L≈M·dW·wG·n·π
2·√b·λC
.(4.61)
Gleichung (4.61) stellt den gesuchten Zusammenhang zwischen L,Mund bher. Einset-
zen von Gl.(4.61) in Gl.(4.52) liefert:
V(ϕA, b) = 2·wG·√π
dW·q2 + jϕA
b
(4.62)
⇒ |V(ϕA, b)|2=4·w2
G·π
d2
W·q4 + ¡ϕA
b¢2.(4.63)
4 DAS EINFACH-AWG 63
Mit Gl.(4.63) ist die Transmission des AWG analytisch beschrieben.
Gleichung (4.63) verdeutlicht noch folgendes: wenn f¨
ur den Fall ϕA= 0 der Quotient
(wG
dW)>1
√2πwird, dann wird |V(ϕA, b)|>1. Dieser Fall ist unphysikalisch und ver-
deutlicht, dass Gl.(4.63) eine N¨
aherung darstellt, die umso schlechter wird, je gr¨
oßer der
Quotient (wG
dW) wird. Die N¨
aherung hat ihren Ursprung in dem unendlich ausgedehn-
ten Integrationsintervall in Gl.(4.49). Diese Vorgehensweise f¨
uhrte zu den gew¨
unschten
analytischen Ausdr¨
ucken auf Kosten der numerischen Genauigkeit.
Im folgenden Abschnitt werden die Ergebnisse diskutiert.
4.4 Diskussion der Ergebnisse
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse des verhergehenden Abschnittes 4.3 dis-
kutiert. Es wird veranschaulicht und diskutiert wie sich 3 dB-Bandbreite, Dispersion,
Dispersions-Bandbreite-Produkt und die Transmission in Abh¨
angigkeit von bund ϕA
¨
andern und Konsequenzen f¨
ur den Einsatz des AWG als adaptiver Dispersionskompen-
sator gezogen.
Das Dispersions-Bandbreite-Produkt D·∆λ2
3dB ergibt sich mit Gl.(4.40) und Gl.(4.42)
zu:
D·∆λ2
3dB =ln (2) ·λ2
C
π·c0·³ϕA
b´.(4.64)
Das Dispersions-Bandbreite-Produkt ist unabh¨
angig von der Anzahl Mder Gitterwel-
lenleiter und unabh¨
angig vom freien Spektralbereich ∆λFSR.
Wenn der Quotient ¡ϕA
b¢konstant ist, ist auch das Dispersions-Bandbreite-Produkt kon-
stant. Die Linien konstanten Dispersions-Bandbreite-Produktes in der (ϕA, b)-Ebene sind
Ursprungsgeraden.
Die D¨
ampfung, beschrieben durch Gl.(4.63), ist, wie das Dispersions-Bandbreite-Produkt,
unabh¨
angig von der Anzahl Mder Gitterwellenleiter und unabh¨
angig vom freien Spek-
tralbereich ∆λFSR. Die Linien konstanter D¨
ampfung in der (ϕA, b)-Ebene sind ebenfalls
Ursprungsgeraden.
Aus den obigen Betrachtungen folgt, dass ein bestimmtes Dispersions-Bandbreite-Produkt
unabh¨
angig von der Anzahl Mder Gitterwellenleiter und unabh¨
angig vom freien Spek-
tralbereich ∆λFSR mit einer bestimmten Transmission verkn¨
upft ist. Aus den Gl.(4.63)
und (4.64) ergibt sich:
|V(ϕA, b)|2=4·w2
G·π
d2
W·r4 + ¡D·∆λ2
3dB¢2·hπ·c0
ln(2)·λ2
Ci2.(4.65)
4 DAS EINFACH-AWG 64
Gleichung (4.65) verdeutlicht, dass die D¨
ampfung, wie beschrieben, vom Dispersions-
Bandbreite-Produkt direkt abh¨
angt. Es gibt jedoch keine Abh¨
angigkeit vom FSR oder
der Anzahl der Gitterwellenleiter.
0
2,75
4,13
5,50
6,88
8,25
9,63
11,0
12,4
13,8
16,5
19,3
24,8
30,3
35,8
46,8
52,3
55,0
-40 -20 0 20 40
10
20
30
40
0
0,63
1,3
1,9
3,0
5,0
10
15
20
30
40
50
50
-40 -20 0 20 40
10
20
30
40
-0,15
-0,10
-0,075
-0,050
-0,037
-0,025
-0,019
-0,013
-0,0063
0
0,0063
0,013
0,019
0,025
0,037
0,050
0,075
0,10
0,15
0,15
-40 -20 0 20 40
10
20
30
40
in rad
A
0
0,35
0,70
1,0
1,4
1,8
2,1
2,5
2,8
3,2
3,5
3,9
4,2
4,5
4,9
5,2
5,6
5,9
7,0
-40 -20 0 20 40
10
20
30
40
in rad
A
in rad
A
in rad
A
b
b
b
b
2
4 c D
m 2
0 M
2 ln(2)
3dB
FSR
D c
0
3dB
2
ln(2) 2
C
a) b)
c) d)
)
d
w
W
G
2
V 2 (
M
Abbildung 4.10: Dispersion (a), 3dB-Bandbreite (b), Dispersions-Bandbreite-Produkt (c) und
D¨
ampfung (d) in normierter Form. Vorgreifend auf folgende Kapitel sei an dieser Stelle an-
gemerkt, dass die hier graphisch dargestellten analytischen Ausdr¨
ucke einen eingeschr¨
ankten
G¨
ultigkeitsbereich haben und nicht in der gesamten (ϕA, b)-Ebene korrekte Werte liefern. De-
tails werden im Abschnitt 4.6 diskutiert.
Abb.4.10 zeigt die Verl¨
aufe von Dispersion, 3 dB-Bandbreite, Dispersions-Bandbreite-
Produkt und D¨
ampfung ¨
uber der (ϕA, b)−Ebene in normierter Form.
Die Linien konstanter 3 dB-Bandbreite sind Ellipsen in der (ϕA, b)−Ebene, deren Mittel-
punkt immer auf der b-Achse liegt und die alle durch den Punkt (ϕA= 0, b = 0) gehen.
Die Linien konstanter Dispersion sind ebenfalls Ellipsen oder vielmehr Halbellipsen, de-
ren Mittelpunkte aber auf der ϕA-Achse liegen und die alle im Punkt (ϕA= 0, b = 0)
beginnen oder enden. Dieser Punkt ist f¨
ur die Dispersion eine Polstelle - die Dispersion
wird dort unendlich groß und weist das Vorzeichen von ϕAauf.
F¨
ur die Komponente und ihre Steuerung der Dispersion bedeutet dieses Ergebnis, dass
4 DAS EINFACH-AWG 65
das ’Entlanglaufen’ auf einer Linie konstanter 3 dB-Bandbreite nur durch eine Variation
beider Parameter - ϕAund b- m¨
oglich w¨
are. Die Einstellbarkeit von ϕAwar ohnehin
im Konzept enthalten; aber eine Einstellbarkeit des Parameters bist vermutlich tech-
nologisch problematisch. Wenn in den folgenden Betrachtungen weiterhin die Einstell-
barkeit von bvorausgesetzt wird, so ist dies als theoretische Untersuchung, die von den
bestm¨
oglichen Bedingungen ausgeht, zu verstehen.
Die genauen Auswirkungen der analytischen Ergebnisse auf die Realisierbarkeit eines
adaptiven Dispersionskompensators werden in den Abschnitten 4.7 und 4.8 diskutiert.
4.5 Numerische Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion
Wie schon bei der Analytik wird auch bei den numerischen Berechnungen von einem
Gauß-f¨
ormigen Wellenleitermode ausgegangen. F¨
ur die Untersuchung eines AWG als De-
multiplexer w¨
urde die Annahme eines Gauß-f¨
ormigen Wellenleitermodes die Ergebnisse
f¨
ur das Nebensprechen verf¨
alschen, im vorliegenden Fall interessiert das Nebensprechen
aber nicht. Der Fokus dieser Untersuchungen liegt auf dem Verlauf der ¨
Ubertragungs-
funktion im Passband. Die Annahme von Gauß-Moden vereinfacht also die Berechnungen
erheblich, aber verringert die Qualit¨
at der Ergebnisse kaum.
Der Gauß-f¨
ormige Wellenleitermode weitet sich in der ersten Freistrahlzone wie der be-
kannte Gauß-Strahl [159, Kap. 6] auf. Die Ausbreitung durch die Freistrahlzone wird
jedoch nicht durch die Verwendung des Gauß-Strahles berechnet, sondern mit dem
Kirchhoff-Huygens-Integral nach Gl.(2.30). Dieses numerisch aufw¨
andigere Integral wird
verwendet, weil die paraxiale N¨
aherung des Gauß-Strahles hier versagt und die Phasen
der Koppelfaktoren zu den Gitterwellenleitern falsch werden, wenn der Gauß-Strahl ver-
wendet wird. Die Ausbreitung wird als verlustlos angenommen.
Es wird dann der Koppelfaktor zu den Moden in den einzelnen Gitterwellenleitern be-
rechnet. Dieses wird numerisch durch eine Simpson-Integration [175, Kap.4.1] umgesetzt.
Bei diesen Berechnungen wird die bei realen AWGs meist vorliegende Anordnung der
Gitterwellenleiter auf einer kreisf¨
ormigen Gitterlinie ber¨
ucksichtigt.
Die Ausbreitung durch die einzelnen Gitterwellenleiter wird als verlustfrei angenom-
men. Eine weitere Annahme besteht darin, dass die Wellenleitermoden nicht miteinander
koppeln. Der einzige ber¨
ucksichtigte Effekt ist die Phasendrehung in den Gitterwellen-
leitern.
F¨
ur die zweite Freistrahlzone wird festgestellt, dass die Koppelfaktoren von den Git-
terwellenleitern zum Ausgangswellenleiter auf Grund der hier vorliegenden Reziprozit¨
at
denen der ersten Freistrahlzone entsprechen.
Der ¨
Ubertragungsfaktor wird nun in einem gewissen Wellenl¨
angenintervall - meist ist
dies der freie Spektralbereich symmetrisch zur Zentralwellenl¨
ange - mit einer gen¨
ugend
4 DAS EINFACH-AWG 66
großen Anzahl Punkte diskret abgetastet. Vom dann numerisch vorliegenden Phasen-
gang der ¨
Ubertragungsfunktion werden dann numerisch die erste und zweite Ableitung
gebildet und damit Gruppenlaufzeit und Dispersion bestimmt.
Um den Phasengang aus den Abtastpunkten korrekt rekonstruieren zu k¨
onnen, ist es
wichtig, eine gen¨
ugend große Anzahl Abtastpunkte zu w¨
ahlen, weil sonst die Phase
m¨
oglicherweise unterabgetastet wird und eine Phasendifferenz zwischen zwei Punkten
von mehr als 2πnicht mehr als solche erfasst wird.
4.6 N¨
aherungen in den analytischen Berechnungen und
ihre Auswirkungen
Der Vergleich von analytischen Ergebnissen mit numerischen Berechnungen hat gezeigt,
dass die Analytik einen eingeschr¨
ankten G¨
ultigkeitsbereich hat. Die Ursachen daf¨
ur lie-
gen in N¨
aherungen und Vernachl¨
assigungen, die im Rahmen der analytischen Berech-
nungen gemacht wurden. Die numerischen Berechnungen haben den Vorteil, dass viele
N¨
aherungen der Analytik bei der Numerik nicht notwendig sind z.B. die Annahme, dass
das Phasengitter aus unendlich vielen Wellenleitern besteht.
In diesem Abschnitt wird gekl¨
art, welche N¨
aherungen bei der Analytik gemacht wurden
und wie sich diese auf das Ergebniss auswirken. Dabei wird auch der G¨
ultigkeitsbereich
der analytischen Ausdr¨
ucke ermittelt. Hierzu werden anlytische und numerische Ergeb-
nisse f¨
ur einen konkreten Parametersatz eines Einfach-AWG miteinander verglichen und
die Unterschiede und ihre Ursachen betrachtet.
Die bei der Analytik vorgenommenen N¨
aherungen wirken sich meist auf das in der
Fokalebene vor dem Auskoppelwellenleiter entstehende Beugungsbild aus. Die folgen-
den Erl¨
auterungen beziehen sich immer auf dieses Bild in der Fokalebene, das bisher
noch nicht betrachtet wurde. Die bisherigen Herleitungen mit dem FIR-Filteransatz
kamen ohne dieses Bild aus. Aus diesem Grund ist im Kapitel B im Anhang die ¨
ubertra-
gungsfunktion des Einfach-AWG mit Phasensteuerung noch einmal komplett mit Hilfe
der Fourier-Optik hergeleitet. Die erhaltenen Ausdr¨
ucke f¨
ur Dispersion, Bandbreite und
Transmission sind identisch mit denen aus dem Abschnitt 4.3. Die Auswirkungen der
N¨
aherungen der Analytik lassen sich jedoch anhand dieser Herleitung und durch Be-
trachtung des dabei berechneten Bildes in der Fokalebene besser verstehen.
4.6.1 Annahme unendlich vieler Gitterwellenleiter
Bei der Herleitung der analytischen Ausdr¨
ucke f¨
ur 3 dB-Bandbreite, chromatische Dis-
persion und Transmission wurde davon ausgegangen, dass die Ausleuchtung der Gitter-
wellenleiter durch den Eingangswellenleiter Gauß-f¨
ormig ist bzw. dass unendlich viele
Gitterwellenleiter vorliegen. Die Einf¨
uhrung der Anzahl Mder Gitterwellenleiter und
des Parameters bin Gl.(4.59) und Gl.(4.61), der die Ausleuchtung der Gitterwellenleiter
beschreibt, hat daran nichts ge¨
andert.
4 DAS EINFACH-AWG 67
In der Realit¨
at ist die Anzahl der Gitterwellenleiter immer endlich und die Ausleuchtung
hat daher immer die Form einer ’beschnittenen’ Gauß-Funktion (siehe auch Abb.4.8).
Dies wirkt sich auf das Bild des Eingangswellenleitermodes in der Fokalebene vor dem
Auskoppelwellenleiter aus. Je kleiner der Parameter bwird, umso mehr wird von der
Gauß-Form der Ausleuchtung ’abgeschnitten’ und umso mehr weicht das Bild in der Fo-
kalebene vom idealen Gauß-Mode des Eingangswellenleiters ab. Abb.4.11 zeigt das Bild
des Eingangswellenleitermodes in der Fokalebene f¨
ur verschiedene Werte von b. Diese
verschiedenen Werte des Parameters bwurden durch Variation der L¨
ange der Freistrahl-
zone eingestellt. Abgesehen davon, dass die der Hauptbeugungsordnung benachbarten
Beugungsordnungen vernachl¨
assigt sind - darauf wird in Abschnitt 4.6.2 n¨
aher einge-
gangen - stimmen analytische und numerische Ergebnisse f¨
ur b= 5 gut ¨
uberein und
es gibt keine sichtbaren Nebenmaxima. F¨
ur b= 1 wird der Abstand der benachbar-
ten Beugungsordnungen zur Hauptordnung gr¨
oßer. Nebenmaxima treten auf und der
Spitzenwert der normierten Feldst¨
arke ist f¨
ur numerische und analytische Berechnung
unterschiedlich. Diese Effekte werden umso deutlicher, je kleiner bwird. Auf das analy-
tisch berechnete Bild hat die Variation von bkeinen Einfluss. Es sieht f¨
ur alle Werte von
bgleich aus.
b = 5
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
: N u m e r i k
: A n a l y t i k
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
b = 1
b = 0 . 5 b = 0 . 1
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
Abbildung 4.11: Bild in der Fokalebene f¨
ur ϕA= 0 und verschiedene Werte von bgem¨
aß
Gl.(B.24). Weitere Parameter waren: freier Spektralbereich ∆fFSR = 100 GHz, Beugungsord-
nung m= 1934, Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius wG= 3 µm, Mittenabstand der
Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex n= 3,5.
In der Realit¨
at bedeutet ein sinkender Wert von bbei einer festen Anzahl Mder Gitter-
wellenleiter eine steigende L¨
ange Lder Freistrahlzonen (siehe Gl.(4.61)). Eine l¨
angere
Freistrahlzone f¨
uhrt dazu, dass immer mehr Licht rechts und links am Wellenleitergitter
vorbei strahlt und der Teil der Leistung, der in das Gitter einkoppelt, immer kleiner
4 DAS EINFACH-AWG 68
wird. Die Verluste der Komponente nehmen zu. Von der Numerik wird dies erfasst - von
dem vereinfachten analytischen Modell nicht.
Um dies numerisch zu motivieren, wurde die Transmission einer Komponente f¨
ur den
Fall ∆λ= 0 und ϕA= 0 analytisch und numerisch in Abh¨
angigkeit von b berechnet
(siehe Abb.4.12).
D l = 0
j = 0
A
0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0
- 9
- 8
- 7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
N u m e r i k
A n a l y t i k
T r a n s m i s s i o n i n d B
b
Abbildung 4.12: Transmission in dB f¨
ur ∆λ= 0 und ϕA= 0 in Abh¨
angigkeit vom Parameter
b. Die rote Kurve zeigt den analytischen Wert gem¨
aß Gl.(4.63). Die 6 schwarzen Kurven
zeigen die Werte f¨
ur die Ordnungen m= 967 und m= 1934 mit jeweils 11, 21 und 41
Gitterwellenleitern. Weitere Parameter sind: Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius
wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex
n= 3,5.
Die Analytik (Gl.(4.63)) liefert einen von b unabh¨
angigen Wert von ca. -2,4 dB. Die nu-
merischen Berechnungen wurden f¨
ur die Gitterordnungen m= 967 und m= 1934 und
jeweils f¨
ur 11, 21 und 41 Gitterwellenleiter durchgef¨
uhrt. Die gew¨
ahlten Gitterordnun-
gen entsprechen bei einer Zentralwellenl¨
ange von λC= 1,55 µm freien Spektralbereichen
von 200 GHz und 100 GHz. Die entsprechenden 6 Kurven in Abb.4.12 sind kaum zu un-
terscheiden. Dies soll die Feststellung motivieren, dass die D¨
ampfung der Komponente
f¨
ur ∆λ= 0 und ϕA= 0 von der Gitterordnung mund der Anzahl Gitterwellenleiter
unabh¨
angig ist.
F¨
ur Werte von bgr¨
oßer als zwei ist die Differenz zwischen Numerik und Analytik klein.
Wird b kleiner als zwei, so wird die Differenz deutlich gr¨
oßer. Ab etwa b= 1 ist der Un-
terschied so groß, dass die Analytik f¨
ur Werte von b < 1 als ung¨
ultig bezeichnet werden
muss.
4 DAS EINFACH-AWG 69
4.6.2 Vernachl¨
assigung der benachbarten Ordnungen des Bildes in
der Fokalebene bei der Analytik
Bei der Berechnung des Bildes Ψ4(x4,∆λ) in der Fokalebene wurden die der m-ten
Ordnung benachbarten Ordnungen des Bildes vernachl¨
assigt. Dies ist zul¨
assig, wenn ei-
nerseits die Bilder der einzelnen Ordnungen durch die parabolische Phasenverschiebung
in den Gitterwellenleitern nicht zu stark verbreitert sind und andererseits die Bilder
nicht zu dicht beieinander stehen. Dies ist der Fall, wenn der Parameter der quadra-
tischen Phasenverschiebung ϕAund der Parameter der Ausleuchtung beinen gewissen
Maximalwert nicht ¨
uberschreiten.
Die Abbildungen 4.13 und 4.14 illustrieren, wie sich das Bild des Wellenleitermodes auf
der Fokalebene vor dem Auskoppelwellenleiter ver¨
andert, wenn ϕAoder bhohe Werte
annehmen. Beide Abbildungen zeigen jeweils die von der Analytik (rot) und Numerik
(schwarz) gelieferten Bilder und verdeutlichen, wie f¨
ur hohe Werte von ϕAund bAnaly-
tik und Numerik immer weiter voneinander abweichen.
j = 0
A
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
: N u m e r i k
: A n a l y t i k
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
j = 8
A
j = 1 6
Aj = 2 5
A
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
Abbildung 4.13: Das Bild in der Fokalebene vor dem Auskoppelwellenleiter f¨
ur b= 10 und
verschiedene Werte von ϕAgem¨
aß Gl.(B.24). Weitere Parameter sind: freier Spektralbereich
∆fFSR = 100 GHz, Beugungsordnung m= 1934, Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius
wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex
n= 3,5.
Abbildung 4.13 zeigt das Bild auf der Fokalebene f¨
ur b= 10 und vier verschiedene
Werte von ϕA. Mit steigendem ϕAwerden die drei Ordnungen des Bildes des Eingangs-
wellenleitermodes immer breiter. Der Abstand bleibt konstant. Im Falle ϕA= 25 ist die
4 DAS EINFACH-AWG 70
Abweichung zwischen numerisch und analytisch berechnetem Bild der Hauptordnung
deutlich.
b = 2
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
: N u m e r i k
: A n a l y t i k
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
b = 1 0
b = 2 0 b = 4 5
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
n o r m i e r t e F e l d s t ä r k e
Y4
- ( 1 / 2 )
/ µ m
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
Abbildung 4.14: Das Bild in der Fokalebene vor dem Auskoppelwellenleiter f¨
ur ϕA= 0 und
verschiedene Werte von b. Weitere Parameter sind: freier Spektralbereich ∆fFSR = 100 GHz,
Beugungsordnung m= 1934, Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius wG= 3 µm,
Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex n= 3,5.
In Abbildung 4.14 ist der Fall ϕA= 0 f¨
ur verschiedene Werte von bgezeigt. F¨
ur steigende
Werte von br¨
ucken die Nachbarordnungen immer n¨
aher an die Hauptordnung heran.
Sie behalten dabei jedoch ihre Form und Breite bei. Erst f¨
ur einen hohen Wert von b,
hier f¨
ur b= 45, sind die Abst¨
ande der Nachbarordnungen zur Hauptordnung so klein,
dass sich die Bilder ¨
uberlappen und das analytische vom numerischen Ergebnis stark
abweicht.
Die bisher getroffenen Aussagen sind sehr ungenau. Um die bisher gemachten Aussagen
zu best¨
atigen und zu pr¨
azisieren, wurden Dispersion, Transmission, 3 dB-Bandbreite,
Gruppenlaufzeit- und Amplituden-Ripple f¨
ur eine konkrete Komponente in Abh¨
angig-
keit von ϕAund bnumerisch berechnet. Die Parameter sind die bisher verwendeten:
freier Spektralbereich ∆fFSR = 100 GHz, Beugungsordnung m= 1934, Anzahl Wellen-
leiter M= 11, Modenfeldradius wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf
der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex n= 3,5.
Abbildung 4.15 zeigt die Ergebnisse. Diese Abbildung kann nun mit Abb.4.10 vergli-
chen werden, die ebenfalls Dispersion, Transmission und 3 dB-Bandbreite analytisch
berechnet und in normierter Form zeigt. Der Vergleich der beiden Abbildungen, ins-
besondere der beiden Teilabbildungen b), die die 3 dB-Bandbreite zeigen, soll belegen,
dass Analytik und Numerik in dem Parameterbereich gut ¨
ubereinstimmen, in dem die
4 DAS EINFACH-AWG 71
3 dB-Bandbreite ∆λ3dB kleiner als die H¨
alfte des freien Spektralbereiches ∆λFSR ist. In
Abb.4.15 betr¨
agt der freie Spektralbereich ∆λFSR = 0,8nm. Die ∆λ3dB-¨
Aquilinie f¨
ur den
Wert ∆λ3dB = 0,39 nm markiert den Bereich guter ¨
Ubereinstimmung zwischen Analy-
tik und Numerik. Zwei Extrempunkte am Rande dieses Bereiches zeigen Abb.4.14 und
Abb.4.13. Beiden F¨
allen ist gemein, dass sich die Bilder der Hauptordnung und die der
Nachbarordnungen so weit ¨
uberlagern, dass der Einfluss der Nachbarordnungen auf die
¨
Ubertragungsfunktion f¨
ur ∆λ3dB =∆λFSR
2so groß wird, dass die Analytik ung¨
ultig wird.
Wie aber ebenfalls an Abb.4.15c)-e) zu erkennen ist, ist der Bereich, in dem die Analytik
ung¨
ultig ist, ohnehin f¨
ur den Betrieb der Komponente ungeeignet. Die Verluste sind dort
hoch - ca. 7 dB und mehr. Auch Gruppenlaufzeit- und Ampituden-Ripple sind in diesem
Bereich hoch.
4.6.3 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde zun¨
achst die Vorgehensweise bei der numerischen Berechnung
der ¨
Ubertragungsfunktion der Komponente erl¨
autert.
Weiterhin wurden Abweichungen zwischen analytischen und numerischen Ergebnissen
durch die Betrachtung des Bildes des Eingangswellenleitermodes in der Fokalebene vor
dem Ausgangswellenleiter erkl¨
art. Dies geschah anhand eines Spezialfalles, der numerisch
berechnet wurde. Von diesem Spezialfall wurde auf folgende allgemeing¨
ultige Aussage
geschlossen: Die Analytik versagt, wenn die 3 dB-Bandbreite der Komponente die H¨
alfte
des freien Spektralbereiches ¨
uberschreitet oder wenn b < 1 wird. Die Eigenschaften der
Komponente sind in diesen F¨
allen aber so schlecht, dass sie ohnehin nicht von Interesse
sind.
In dem f¨
ur unsere Untersuchungen relevanten Bereich des Parameterraumes kann die
Analytik zur Untersuchung der Eigenschaften der Komponente verwendet werden.
4.7 Steuerung von Phasenkr¨
ummung und
Ausleuchtung
In diesem und dem folgenden Kapitel wird untersucht, wie die Parameter ϕAund b
gesteuert werden m¨
ussen und wie die anderen Parameter zu w¨
ahlen sind, um die Anfor-
derungen an die Komponente zu erf¨
ullen.
In diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass die Parameter ϕAund bunabh¨
angig
voneinander gesteuert werden k¨
onnen.
4.7.1 Berechnung der Parameter
Wenn ϕAund beinstellbar sind, bietet es sich an, sich im Parameterraum (ϕA, b) auf
einer Bandbreite-¨
Aquilinie zu bewegen. Abbildung 4.16 zeigt schematisch eine solche
4 DAS EINFACH-AWG 72
A in rad A in rad
A in rad
A in rad
A in rad
b
b
b
b
b
a) b)
c) d)
e)
0
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,0
10,0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10
10
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
0,39
0,55 0,55
0
0,050
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,38
0,39
0,40
0,41
0,43
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
-3,25
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-9,00
-8,00
-7,00
-6,00
-5,00
-4,00
-3,75
-3,63
-3,50
-3,25
-3,00
-2,75
-2,50
-2,00
-1,00
0
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
-30,0
30,0
-30,0
-280
-200
-120
-90,0
-60,0
-40,0
-30,0
-20,0
-10,0
-5,00
0
5,00
10,0
20,0
30,0
40,0
60,0
90,0
120
200
280
280
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
Abbildung 4.15: Dispersion, Bandbreite, Gruppenlaufzeit-Ripple, Transmission und
Amplituden-Ripple eines Einfach-AWG mit folgenden Parametern: freier Spektralbereich
∆fFSR = 100 GHz, Beugungsordnung m= 1934, Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius
wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex
n= 3,5.
4 DAS EINFACH-AWG 73
Linie in der (ϕA, b)-Ebene. Auf der Linie betr¨
agt die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB,soll. Der
minimal zul¨
assige Wert f¨
ur bist b= 1 (siehe Abschnitt 4.6.3). Der Parameter bwird
an dieser Stelle minimiert, um den im Folgenden zu untersuchenden Bereich auf der
Bandbreite-¨
Aquilinie zu maximieren.
Um f¨
ur b= 1 auf der ∆λ3dB,soll-¨
Aquilinie zu sein, muss der Parameter ϕAentweder den
Wert ϕA= +ϕA0 oder ϕA=−ϕA0 annehmen. F¨
ur ϕA= 0 geht die ¨
Aquilinie durch den
Punkt (ϕA= 0, b =b0).
j
+ j
- j A
A 0
A 0
b
b = b
b = 1
0
D l = D l 3 d B , s o l l3 d B
b = b
2
0
P
Q
D = 0
D m a x i m a l
Abbildung 4.16: ∆λ3dB-¨
Aquilinie in (ϕA, b)-Ebene.
Im Folgenden werden f¨
ur eine als gegeben angenommene 3 dB-Soll-Bandbreite ∆λ3dB,soll
eine gew¨
unschte Dispersion Dund einen gegebenen freien Spektralbereich ∆λFSR die
Parameter ϕAund b0bestimmt und Schlussfolgerungen f¨
ur die notwendige Anzahl Git-
terwellenleiter M, das Dispersions-Bandbreite-Produkt D·∆λ2
3dB und die D¨
ampfung V
gezogen.
F¨
ur ϕA= 0, b=b0und ∆λ3dB = ∆λ3dB,soll ergibt sich aus Gl.(4.40):
M=4·pln (2)
π·pb0·µ∆λFSR
∆λ3dB,soll ¶.(4.66)
Damit ist die Anzahl Mder Wellenleiter in Abh¨
angigkeit von b0, das im Folgenden erst
noch ermittelt werden muss, bestimmt.
F¨
ur ϕA=ϕA0,b= 1 und ∆λ3dB = ∆λ3dB,soll ergibt sich aus Gl.(4.40)
ϕA0 =s∆λ2
3dB,soll
∆λ2
FSR ·M2·π2
4·ln (2) −4.(4.67)
Einsetzen von Gl.(4.66) in Gl.(4.67) liefert
4 DAS EINFACH-AWG 74
ϕA0 = 2 ·pb0−1.(4.68)
Durch Einsetzen von Gl.(4.68) in Gl.(4.42) und Benutzung von Gl.(1.32) ergibt sich f¨
ur
ϕA=ϕA0 und b= 1
D=2·ln (2) ·λ2
C
c0·π·∆λ2
3dB,soll ·pb0−1.(4.69)
Umformen von Gl.(4.69) ergibt
b0=µc0·π
2·ln (2) ·λ2
C·¡D·∆λ2
3dB,soll¢¶2
+ 1 (4.70)
≈µc0·π
2·ln (2) ·λ2
C·¡D·∆λ2
3dB,soll¢¶2
.(4.71)
Durch Gl.(4.71) ist der Parameter b0bestimmt.
Durch die N¨
aherung, die beim Schritt von Gl.(4.70) nach Gl.(4.71) gemacht wurde, gelten
die folgenden Betrachtungen nur dann, wenn in Gl.(4.71) b0À1. Damit der Fehler bei
diesem Schritt kleiner oder gleich 10 Prozent ist, muss gelten
µc0·π
2·ln (2) ·λ2
C·¡D·∆λ2
3dB,soll¢¶2
⩾9 (4.72)
⇔¡D·∆λ2
3dB,soll¢⩾10,6ps ·nm . (4.73)
Diese Bedingung ist f¨
ur unsere Zielparameter erf¨
ullt, da wir ein Dispersions-Bandbreite-
Produkt von D·∆λ2
3dB,soll = 25 ps ·nm fordern.
Einsetzen von Gl.(4.71) in Gl.(4.66) ergibt
M=2·c0
λ2
C·ln (2) ·(D·∆λFSR ·∆λ3dB,soll).(4.74)
Mit Gl.(4.74) ist die notwendige Anzahl Mder Gitterwellenleiter bestimmt.
Einsetzen von Gl.(4.68) und Gl.(4.71) in Gl.(4.63) liefert die Transmission am Punkt
(ϕA0, b = 1), an dem das geforderte Dispersions-Bandbreite-Produkt vorliegt:
4 DAS EINFACH-AWG 75
|V|2=4·ln (2) ·λ2
C
c0·w2
G
d2
W·1
D·∆λ2
3dB,soll
.(4.75)
Gleichung 4.75 l¨
asst sich unter der Annahme, dass Gl.(4.73) erf¨
ullt ist direkt als N¨
ahe-
rung von Gl.(4.65) ableiten. Weiterhin f¨
allt auf, dass die Transmission der Komponente
f¨
ur ϕA=ϕA0 und b= 1 unabh¨
angig von der Anzahl Mder Wellenleiter und vom frei-
en Spektralbereich ∆λFSR ist. Allerdings sind die Anzahl der Wellenleiter und der freie
Spektralbereich bei der hier beschriebenen Vorgehensweise proportional zueinander (sie-
he Gl.(4.74)). Die Transmission, aufgetragen ¨
uber dem Dispersions-Bandbreite-Produkt
D·∆λ2
3dB, zeigt Abb.4.17. Die Abbildung macht deutlich, dass f¨
ur ein Dispersions-
Bandbreite-Produkt von D·(∆λ2
3dB) = 25 ps ·nm die D¨
ampfung des AWG ¨
uber 10 dB
liegt.
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
T r a n s m i s s i o n i n d B
D ( D l )
2
i n p s n m
3dB
Abbildung 4.17: Transmission nach Gl.(4.75) ¨
uber dem Dispersions-Bandbreite-Produkt
D·(∆λ2
3dB). Weitere Parameter sind: Anzahl Wellenleiter M= 11, Modenfeldradius wG=
3µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW= 10 µm, Brechungsindex
n= 3,5.
Abb.4.18 zeigt an einem konkreten Beispiel, wie sich Transmission und Dispersion ¨
andern,
wenn auf der 0,39 nm-¨
Aquilinie ’entlanggelaufen’ wird. Der Parameter, ¨
uber dem die bei-
den Gr¨
oßen aufgetragen sind, ist der Winkel Θ in der (ϕA, b)-Ebene (siehe Abb.4.16).
Wenn auch, wie bisher gezeigt, die Verluste, die ein bestimmtes Dispersions-Bandbreite-
Produkt mit sich bringt, unabh¨
angig vom freien Spektralbereich bzw. der Anzahl Wel-
lenleiter sind, so sollte eine Vergr¨
oßerung des freien Spektralbereiches und damit ent-
sprechende Erh¨
ohung der Anzahl Wellenleiter eine Verbesserung der Eigenschaften der
Komponente bewirken. Dies verdeutlicht Abb.4.19. Diese Abbildung zeigt f¨
ur drei ver-
schiedene Werte des freien Spektralbereiches und zugeh¨
orige Anzahl Wellenleiter den
4 DAS EINFACH-AWG 76
- 1 0 0 - 5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
- 4 0 0
- 3 0 0
- 2 0 0
- 1 0 0
0
100
200
300
400
Q
i n G r a d
D i s p e r s i o n i n p s / n m
T r a n s m i s s i o n i n d B
Abbildung 4.18: Analytische Werte f¨
ur Dispersion und Transmission ¨
uber dem Winkel Θ.
Folgende Parameter wurden verwendet: M= 11,∆λ3dB,soll = 0,39 nm und ∆λFSR = 0,8nm.
Verlauf von Transmission und Gruppenlaufzeit ¨
uber der Abweichung ∆λvon der Zen-
tralwellenl¨
ange λC. Die allen drei F¨
allen zugrunde liegenden Parameter sind b= 1,
D= 100 ps
nm und ∆λ3dB,soll = 0,39 nm. Es werden jeweils analytische und numerische
Ergebnisse gezeigt, die mehr oder weniger miteinander ¨
ubereinstimmen. Die Transmis-
sion f¨
ur die Zentralwellenl¨
ange betr¨
agt ca. −11 dB, und die Dispersion betr¨
agt in allen
F¨
allen D= 100 ps
nm .
F¨
ur den Fall ∆λFSR = 0,8nm ist ein starker Amplituden- und Gruppenlaufzeitripple zu
erkennen, der dazu f¨
uhrt, dass die Komponente nicht brauchbar ist.
Wird der FSR auf ∆λFSR = 1,6nm erh¨
oht, gehen Amplituden- und Gruppenlaufzei-
tripple deutlich zur¨
uck. Die Verdopplung der Anzahl der Wellenleiter bei konstant ge-
haltenem Faktor berfordert eine Verdopplung der L¨
ange der Freistrahlzonen. Dadurch
wird der Abstand der einzelnen Ordnungen in der Bildebene vor dem Auskoppelwellen-
leiter ebenfalls verdoppelt. Da b= 1, ϕA= 14,14 rad und M∼∆λFSR f¨
ur alle gezeigten
F¨
alle gilt, bleibt die Form - insbesondere auch die Breite - des Bildes in der Fokalebene
gleich (siehe A(∆λ) in Gl. (B.32)). Wenn die Breite der Bilder der einzelnen Ordnun-
gen in der Fokalebene gleich bleibt, sich deren Abstand aber verdoppelt, so wird der
Einfluss der der Hauptordnung mbenachbarten Ordnungen kleiner werden. Dieser sich
verringernde Einfluss der Nachbarordnungen in der Fokalebene bewirkt den R¨
uckgang
des Amplituden- und Gruppenlaufzeitripples, wenn der FSR von ∆λFSR = 0,8nm auf
∆λFSR = 1,6nm erh¨
oht wird. Eine weitere Verdopplung des FSR auf ∆λFSR = 3,2nm
verringert den Amplituden- und Gruppenlaufzeitripple nur noch unwesentlich.
Obwohl der Einfluss der Nachbarordnungen f¨
ur ∆λFSR = 1,6nm und ∆λFSR = 3,2nm
kaum noch vorhanden ist, bleibt ein kleiner aber deutlicher Amplituden- und Gruppen-
laufzeitripple erkennbar. Die Ursache dieses Ripples ist die nicht perfekte Ausleuchtung
der Gitterwellenleiter. Der Faktor f¨
ur die Ausleuchtung ist b= 1. Das heißt, die Ausleuch-
tung der Gitterwellenleiter ist eine deutlich beschnittene Gauß-Form (siehe Abb.4.8).
Diese Beschneidung der Gauß-Form bewirkt, dass das resultierende Fernfeld - d.h. das
4 DAS EINFACH-AWG 77
D l =
F S R 0 . 8 n m
Df =
F S R 1 0 0 G H z
Û
M = 1 2
D l =
F S R 1 . 6 n m
Df =
F S R 2 0 0 G H z
Û
M = 2 4
D l =
F S R 3 . 2 n m
Df =
F S R 4 0 0 G H z
Û
M = 4 8
T r a n s m i s s i o n i n d B
G r u p p e n l a u f z e i t i n p s
D l i n n m D l i n n m
D l i n n m
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 2 0
- 1 8
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 2 0
- 1 8
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 2 0
- 1 8
- 1 6
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
6 0
8 0
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
- 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
N u m e r i k
A n a l y t i k
Abbildung 4.19: Einfluss des FSR auf Transmission und Gruppenlaufzeit der Komponente.
F¨
ur alle gezeigten F¨
alle gilt: b= 1,ϕA= 14,14 rad,D= 100 ps
nm und ∆λ3dB,soll = 0,39 nm.
4 DAS EINFACH-AWG 78
Bild Modes des Einkoppelwellenleiters in der Fokalebene vor dem Auskoppelwellenleiter
- Nebenzipfel aufweist, die f¨
ur die erw¨
ahnte Abweichung der Numerik von der Analytik
in Abb.4.19 verantwortlich sind (siehe Abb.4.11, b= 1).
4.7.2 Zusammenfassung
Prinzipiell sind alle Werte f¨
ur das Dispersions-Bandbreite-Produkt einstellbar. Allerdings
h¨
angt die D¨
ampfung von diesem Produkt und den Parametern wGund dWab. Von diesen
wird angenommen, dass sie durch die Technologie weitgehend vorgegeben und h¨
ochstens
in einem kleinen Rahmen einstellbar sind.
F¨
ur wG= 3 µm,dW= 10 µm und D·∆λ2
3dB = 25ps ·nm ergibt sich eine D¨
ampfung
von ca. 11 dB, weshalb dieses Konzept nicht geeignet ist, die in Abschnitt 1.5 definierten
Parameter umzusetzen.
Davon abgesehen besteht weiterhin das oben erw¨
ahnte Problem, den Parameter bin der
Komponente einstellbar zu machen.
4.8 Steuerung der Phasenkr¨
ummung
In diesem Abschnitt wird die Steuerung der Komponente allein durch die parabolische
Phasenverschiebung ϕAin den Gitterwellenleitern betrachtet. Diese Steuerung ist leichter
umzusetzen als die Steuerung, die im vorhergehenden Abschnitt beschrieben wurde. Es
gibt aus diesem Grunde in der Literatur auch ein Beispiel ( [67]) f¨
ur eine gefertigte und
gemessene Komponente, welches im Abschnitt 4.9 genauer betrachtet wird.
4.8.1 Berechnung der Parameter
In Abb.4.20 ist der Bereich, in dem die Komponente ausgesteuert werden soll, in der
(ϕA, b)-Ebene der 3 dB-Bandbreite dargestellt. F¨
ur einen festen Wert des Parameters der
Ausleuchtung b=b0wird die Phasenverschiebung ϕAim Intervall [−ϕA,max ,+ϕA,max]
ver¨
andert.
Abb.4.21 zeigt die normierte 3 dB-Bandbreite und die normierte Dispersion f¨
ur verschie-
dene Werte von bin Abh¨
angigkeit von ϕA. Der Abbildung kann entnommen werden,
dass die 3 dB-Bandbreite gr¨
oßer wird, wenn der Betrag von ϕAsteigt. Weiterhin kann
festgestellt werden, dass der Verlauf der Dispersion ein absolutes Minimum und ein
absolutes Maximum aufweist. Innerhalb eines festen Intervalls f¨
ur ϕAkann daher die
Dispersion zwischen ihrem Minimum und ihrem Maximum gesteuert werden, ohne dass
die 3 dB-Bandbreite dabei unter ihren minimalen Wert bei ϕA= 0 f¨
allt.
F¨
ur eine gew¨
unschte minimale 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB,soll an der Stelle (ϕA= 0, b =b0)
ergibt sich mit Gl.(4.40)
4 DAS EINFACH-AWG 79
j
+ j
- j A
A , m a x
A , m a x
b
D l = D l
13 d B
D l = D l
23 d B
b0
Abbildung 4.20: Steuerbereich der Komponente in der (ϕA, b)-Ebene der 3 dB-Bandbreite.
ji n r a d
Aji n r a d
A
- 1 0 - 5 0 5 1 0
2
4
6
8
1 0
1 2
- 1 0 - 5 0 5 1 0
- 0 , 3
- 0 , 2
- 0 , 1
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
b = 1
b = 2
b = 4
Abbildung 4.21: Normierte 3 dB-Bandbreite und normierte Dispersion ¨
uber ϕAf¨
ur verschie-
dene Werte von bgem¨
aß Gl.(4.40) und Gl.(4.42).
4 DAS EINFACH-AWG 80
∆λ2
3dB,soll =4·ln (2) ·∆λ2
FSR ·4·b0
M2·π2(4.76)
⇔b0=∆λ2
3dB,soll ·M2·π2
∆λ2
FSR ·16 ·ln (2) .(4.77)
Um die Extrempunkte der Dispersion zu finden, wird von Gl.(4.42) die erste Ableitung
nach ϕAgebildet:
∂D
∂ϕA
=m2·M2·π
4·c0·¡4b2−ϕ2
A¢
(4b2+ϕ2
A).(4.78)
Durch Nullsetzen der ersten Ableitung werden die Extrempunkte der Dispersion be-
stimmt:
ϕA,max =±2b . (4.79)
Der Betrag der maximal erreichbaren Dispersion wird durch Auswertung von Gl.(4.42)
an der Stelle (ϕA=ϕA,max =±2b0, b =b0) berechnet. Verwendung von Gl.(1.32) ergibt:
|Dmax|=λ2
C·M2·π
∆λ2
FSR ·4·c0·1
4·b0
.(4.80)
Auswertung von Gl.(4.40) an der Stelle (ϕA=ϕA,max =±2b0, b =b0) ergibt die maximale
3 dB-Bandbreite:
∆λ2
3dB,max =4·ln (2) ·∆λ2
FSR ·8·b0
M2·π2(4.81)
= 2 ·∆λ2
3dB,soll .(4.82)
Gl.(4.82) sagt aus, dass die 3 dB-Bandbreite f¨
ur den Fall maximalen Betrages der Dis-
persion um den Faktor √2 gr¨
osser ist als f¨
ur den Fall, in dem die Dispersion Null ist.
Es ist bemerkenswert, dass dieser Faktor unabh¨
angig von der Geometrie, dem freien
Spektralbereich und der Wahl von b0ist.
Es ist nun sinnvoll, ein Dispersions-Bandbreite-Produkt zu bilden in der Art, dass die
maximal erreichbare Dispersion am Punkt (ϕA=ϕA,max =±2b0, b =b0) multipliziert
wird mit dem Quadrat der minimalen 3 dB-Bandbreite am Punkt (ϕA= 0, b =b0).
4 DAS EINFACH-AWG 81
Die minimale 3 dB-Bandbreite ist diejenige 3 dB-Bandbreite, die in keinem Fall unter-
schritten wird. Wenn aber dieser Fall eintritt, ist die Dispersion Null. Das Dispersions-
Bandbreite-Produkt wie oben beschrieben, ist also f¨
ur die untersuchte Komponente ein
aussagekr¨
aftiger Wert.
Mit Gl.(4.80) und Gl.(4.82) ergibt sich:
|Dmax|·∆λ2
3dB,soll =λ2
C·ln (2)
c0·π.(4.83)
Dieses Produkt ist die wesentliche Aussage dieses Abschnittes. Es ist unabh¨
angig von
der Geometrie, dem freien Spektralbereich, der Anzahl Wellenleiter und der Wahl von
b0. Wenn die Zentralwellenl¨
ange bekannt ist, kann dieses Produkt ausgewertet werden.
F¨
ur λC= 1,55 µm ergibt sich
|Dmax|·∆λ2
3dB,soll = 1,768 ps ·nm . (4.84)
Dieser Wert ist um mehr als den Faktor 10 kleiner als der in Abschnitt 1.5 geforderte
Wert von 25 ps ·nm. F¨
ur eine vorgegebene 3 dB-Bandbreite von ∆λ3dB = 0,5nm ergibt
sich eine maximal erreichbare Dispersion von nur Dmax = 7 ps
nm .
Im Abschnitt 4.9 sollen die bisher erl¨
auterten Zusammenh¨
ange an einem Beispiel aus
der Literatur best¨
atigt werden.
4.9 Ein Beispiel aus der Literatur
In [67] wurde das beschriebene Einfach-AWG mit Steuerung der Phasenverschiebung ϕA
in den Gitterwellenleitern realisiert und gemessen. Die Komponente wurde in SiO2auf
Silizium realisiert.
Tab. 4.1 zeigt die Parameter, die dem Artikel entnommen werden konnten.
Tabelle 4.1: Parameter des in [67] realisierten AWGs
freier Spektralbereich ∆fFSR =200 GHz
freier Spektralbereich ∆λFSR =1,6nm
Fokall¨ange L=1148 µm
Anzahl Gitterwellenleiter M=30
Mittenabstand der Gitterwellenleiter in der Apertur dW=15 µm
effektive Brechzahl in der Freistrahlzone n=1,48
4 DAS EINFACH-AWG 82
D l = 0 . 1 2 n m
3 d B , s o l l
Abbildung 4.22: Transmission ¨
uber der relativen Wellenl¨
ange. Entnommen aus [67]. Rote
Markierungen zum Ablesen der 3 dB-Bandbreite und roter Text wurden im Rahmen dieser
Arbeit hinzugef¨
ugt.
Abb.4.22 zeigt die Messergebnisse f¨
ur die Transmission der Komponente ¨
uber der re-
lativen Wellenl¨
ange ∆λ=λ−λC. Die roten Markierungen und der rote Text wurden
im Zuge dieser Arbeit eingef¨
ugt. Mit der Annahme, dass die Kurve mit der h¨
ochsten
Transmission bei der Zentralwellenl¨
ange diejenige ist, bei der die Dispersion Null ist,
kann der Wert f¨
ur ∆λ3dB,soll abgelesen werden. Es ergibt sich etwa ∆λ3dB,soll = 0,12 nm.
Gl.(4.77) liefert nun den Parameter b0, der f¨
ur die Komponente gew¨
ahlt wurde. Es ergibt
sich b0= 4,5.
Mit Gl.(4.80) ergibt sich die maximale Dispersion zu |Dmax|= 122,8ps
nm , was zwischen
den beiden im Artikel genannten Werten der erreichbaren Dispersion von (−80 ps
nm ) und
(+140 ps
nm ) liegt.
Mit Hilfe von Gl.(4.63) kann der Modenfeldradius wGermittelt werden, der notwendig
ist, um die in Abb.4.22 abzulesenden minimalen Verluste zu realisieren. Um die relativ
kleinen Verluste von 1,5dB auch in der Simulation zu erreichen, muss ein Modenfeldra-
dius von wG= 5,0µm verwendet werden. Dieser Modenfeldradius scheint etwas zu hoch
zu sein f¨
ur einen vermutlich quadratischen Wellenleiter mit einer Querschnittsfl¨
ache von
6,5µm (siehe [67]). In der analytischen Berechnung und auch in der Simulation wurde
davon ausgegangen, dass alle Wellenleiter der Komponente - Eingangs-, Ausgangs- und
Gitterwellenleiter - denselben Modenfeldradius haben. Die Realit¨
at k¨
onnte anders ausse-
hen. Es w¨
are beispielsweise sinnvoll, die Gitterwellenleiter zur Apertur hin aufzutapern,
um die Verluste zu verringern. Die geringen Verluste der Komponente in [67] geben An-
lass zu der Vermutung, dass dies dort geschehen ist.
Obige ¨
Uberlegungen haben weitere Parameter der Komponente geliefert, die eine nu-
merische Simulation der in [67] gemessenen Komponente erm¨
oglichen. Diese weiteren
Parameter sind zun¨
achst in Tabelle 4.2 zusammengefasst.
4 DAS EINFACH-AWG 83
Mit den Parametern aus den Tabellen 4.1 und 4.2 wurde die ¨
Ubertragungsfunktion
der Komponente berechnet. Es wurden drei Dispersionswerte betrachtet: D= 0, D=
+Dmax = 122,8ps
nm und D=−Dmax =−122,8ps
nm . Abb.4.23 zeigt die Messergebnisse
aus [67] und farbig ¨
uberlagert die zugeh¨
origen Ergebnisse der numerischen Berechnun-
gen. F¨
ur die Transmission ist die ¨
Ubereinstimmung sehr gut. F¨
ur die Gruppenlaufzeit ist
die ¨
Ubereinstimmung schlecht. Die Simulationsergebnisse f¨
ur die Gruppenlaufzeit ¨
uber
der Wellenl¨
ange sind nahezu perfekte Geraden der entsprechenden Steigung. Dies ist in
der Realit¨
at nicht zu erreichen. Die Gruppenlaufzeit ist stark von der ¨
Ubertragungspha-
se abh¨
angig und diese ist sehr empfindlich gegen¨
uber Toleranzen im Herstellungsprozess
z.B. Schichtdickenschwankungen der Kernschicht beim Flammenhydrolyseprozess [161].
Die Ursachen f¨
ur die Abweichung der Messergebnisse von den Simulationsergebnissen
k¨
onnten Herstellungstoleranzen sein.
: D = 0 p s
n m : D = 1 2 2 . 8 p s
n m : D = - 1 2 2 . 8 p s
n m
Abbildung 4.23: Den Messergebnissen aus [67] wurden die in der vorliegenden Arbeit erstell-
ten Ergebnisse der numerischen Berechnungen zum Vergleich farbig ¨
uberlagert.
Anhand dieses Beispieles wurde gezeigt, dass die theoretischen Vorhersagen der letzten
Abschnitte nicht nur durch numerische Berechnungen, sondern auch durch Messungen
an realisierten Strukturen tendenziell best¨
atigt werden. Insbesondere das sehr kleine
Dispersions-Bandbreite-Produkt des ¨
uber ϕAgesteuerten AWG aus Abschnitt 4.8 wurde
best¨
atigt.
Tabelle 4.2: Weitere Parameter des in [67] realisierten AWGs
3 dB −Soll −Bandbreite ∆λ3dB,soll =0,12 nm
Parameter der Ausleuchtung b0=4,5
maximale Dispersion Dmax =122,8ps
nm
Modenfeldradius wG=5,0µm
5 Das Doppel-AWG
In diesem Kapitel wird eine andere Struktur untersucht - das Doppel-AWG. Zun¨
achst
wird die Geometrie der Struktur beschrieben. Dann werden mit Hilfe eines vereinfach-
ten Modells das Funktionsprinzip, die intrinsische Dispersion der Komponente und die
Wirkungsweise der Linse, die in dieser Struktur vorkommt, erkl¨
art.
Die ¨
Ubertragungsfunktion der Komponente wird analytisch hergeleitet. Weiterhin wird
erkl¨
art, wie die ¨
Ubertragungsfunktion numerisch berechnet wird.
Den Schluss des Kapitels bilden zwei Beispiele f¨
ur eine Komponente zur adaptiven Dis-
persionskompensation. Eines stammt aus der Literatur. Das zweite Beispiel ist der Ent-
wurf einer Komponente auf SOI-Materialbasis, deren Realisierung geplant ist.
5.1 Aufbau und Funktionsweise
5.1.1 Struktur und Funktionsweise ohne Linse
Abbildung 5.1 zeigt die in diesem Kapitel untersuchte Struktur in der ¨
Ubersicht und die
f¨
ur die Funktion der Komponente relevante mittlere Freistrahlzone im Detail.
Zwei AWGs sind miteinander ¨
uber eine gemeinsame Freistrahlzone - im Folgenden wird
diese ’mittlere Freistrahlzone’ genannt - verbunden. Die Mittelebene dieser mittleren
Freistrahlzone ist eine Symmetrieebene der Struktur. Bez¨
uglich dieser Ebene ist die
Struktur achsensymmetrisch.
Der Weg des Lichtes geht vom Eingangswellenleiter in die erste Freistrahlzone (1. FPR)
und in das erste Wellenleitergitter. Das Wellenleitergitter hat konstanten L¨
angen- bzw.
Laufzeitunterschied zwischen benachbarten Wellenleitern. Auf der Fokalebene in der Mit-
te der mittleren Freistrahlzone (2. FPR) wird das Licht durch Interferenz fokussiert, und
es entstehen dort Bilder der Eingangsfeldverteilung (siehe Abb.5.2). Wie beim AWG zur
Kanaltrennung ist die Position des Bildes der Eingangsfeldverteilung auf der Fokalebe-
ne abh¨
angig von der Wellenl¨
ange. Die Zentralwellenl¨
ange λCwird an der Stelle x4= 0
abgebildet (f¨
ur x4siehe Abb.5.1). Bei steigender Wellenl¨
ange bewegt sich das Bild in
(−x4)-Richtung, bei sinkender Wellenl¨
ange in (+x4)-Richtung. Vom Bild in der Fokal-
ebene ausgehend weitet sich das bis dahin fokussierte Licht wieder auf, beleuchtet die
Apertur des zweiten AWG und koppelt in die Wellenleiter des 2. AWGs ein.
Abb.5.2 zeigt die Phasenfront der Welle vor der Fokalebene. Es wird deutlich, dass
die verschiedenen Wellenl¨
angen nicht nur an verschiedenen Positionen abgebildet wer-
den, sondern dass die zugeh¨
origen ’lokalen’ Phasenfronten verschieden ausgerichtet sind.
84
5 DAS DOPPEL-AWG 85
L
2 L
L
x = 0
m i t t l e r e F o k a l e b e n e
m i t L i n s e
E i n g a n g s -
W e l l e n l e i t e r
A u s g a n g s -
W e l l e n l e i t e r
1 . F P R 3 . F P R
2 . F P R
D
L
x1
x2
x3
x4x5
x6
x7
D
L1 . A W G 2 . A W G
2 L
x
4
D j
( x
4
L i n s e
)
d
W
0
x = 0
4
1
2
3
- 1
- 2
- 3
0
1
- 1
- 2
- 3
I n d e x d e s
W e l l e n l e i t e r s
3
2
D
x
F S R
D
x
L i n s e
»
I n d e x d e s
W e l l e n l e i t e r s
P h a s e n s i g n a t u r
Abbildung 5.1: Das Doppel-AWG in der ¨
Ubersicht und mit einer Detailansicht der mittleren
Freistrahlzone.
P h a s e n f r o n t
L
2 L
x
4
W
d
l - D l
C
l
C
l + D l
C
Abbildung 5.2: Verhalten des Lichtes verschiedener Wellenl¨
angen in der mittleren Frei-
strahlzone des D-AWG. Die Abbildung zeigt einerseits zusammen- und auseinanderlaufende
Gauß-Strahlen, die das Wellenbild repr¨
asentieren und andererseits zugeordnete Strahlen der
geometrischen Optik.
5 DAS DOPPEL-AWG 86
In einem einfachen Modell, es wird hier das ’Wellen-Strahlen-Modell’ genannt, f¨
uhrt
folgende Vorstellung zu guten Vorhersagen: Es wird angenommen, dass das Licht je-
der Wellenl¨
ange sich als Lichtstrahl vom Einkoppelpunkt des Zentralwellenleiters des
ersten AWG in die mittlere Freistrahlzone durch den Punkt, an dem die betreffende
Wellenl¨
ange fokussiert wird, geradlinig durch die mittlere Freistrahlzone ausbreitet bis
es auf die Apertur des zweiten AWG trifft (siehe Abb.5.2). Der Punkt, an dem dieser
im Wellen-Strahlen-Modell vorgestellte Lichtstrahl auf die Apertur des zweiten AWG
trifft, ist der Punkt, an dem das in der Realit¨
at vom divergierenden Lichtstrahl erzeugte
n¨
aherungsweise Gauß-Profil der Feldst¨
arke sein Maximum hat. Mit Hilfe dieses Modelles
wird weiter unten die intrinsische Dispersion und die Wirkungsweise der Linse in der
Fokalebene erkl¨
art.
Das Licht koppelt in den zweiten AWG ein, durchl¨
auft diesen, wird in der dritten Frei-
strahlzone (3. FPR) fokussiert und in den Ausgangswellenleiter eingekoppelt. Hierbei ist
wichtig, dass das Licht unabh¨
angig von der Wellenl¨
ange in den Ausgangswellenleiter
eingekoppelt wird.
5.1.2 Die intrinsische Dispersion der Komponente
L
2 L
x
4
l - D l
C
l
C
l + D l
C
x
5
Abbildung 5.3: Mittlere Freistrahlzone des D-AWG. Mit dem Wellen-Strahlen-Modell wird
in dieser Abbildung die Entstehung der intrinsischen Dispersion der Komponente erkl¨
art.
Abbildung 5.3 zeigt noch einmal die im Wellen-Strahlen-Modell beschriebenen ange-
nommenen Lichtstrahlen in der mittleren Freistrahlzone f¨
ur drei Wellenl¨
angen. Aus
Abschnitt B, Gl.(B.25) ist bekannt, dass eine relative Wellenl¨
ange ∆λan der Stelle
x4(∆λ) = −m·L·∆λ
n·dWauf der Fokalebene fokussiert wird. Nach dem Ursprungspunkt ist
dieser Punkt dann der zweite, durch den der gedachte Lichtstrahl der relativen Wel-
lenl¨
ange ∆λbeschrieben wird. Der Punkt, an dem dieser Lichtstrahl auf die Apertur
des zweiten AWG trifft, hat die Koordinate
5 DAS DOPPEL-AWG 87
x5(∆λ) = −2·m·L·∆λ
n·dW
.(5.1)
Der Position x5(∆λ) l¨
asst sich nun der Index eines Gitterwellenleiters zuordnen und
diesem wiederum eine zugeh¨
orige Laufzeitdifferenz bez¨
uglich des Zentralwellenleiters.
Der Quotient aus relativer Wellenl¨
ange ∆λund der zugeh¨
origen Laufzeitdifferenz ergibt
eine Dispersion - die intrinsische Dispersion der Komponente. Es ergibt sich:
∆τ(∆λ) = x5(∆λ)
dW
| {z }
Index des
Wellenlei-
ters
·∆τAWG .(5.2)
Mit Gl.(5.1) und unter Verwendung von Gl.(1.24) und Gl.(4.3) ergibt sich
∆τ(∆λ) = −2·m2·L·∆λ·λC
n·d2
W·c0
.(5.3)
Wird Gl.(5.3) durch ∆λgeteilt, ergibt sich die intrinsische Dispersion der Komponen-
te:
Dintr =∆τ(∆λ)
∆λ
=−2·m2·L·λC
n·d2
W·c0
.(5.4)
Im Abschnitt 5.2 wird Gl.(5.4) noch einmal durch die Berechnung der ¨
Ubertragungs-
funktion mit Hilfe der Fourier-Optik verifiziert.
5.1.3 Die Wirkungsweise der Linse in der Fokalebene
Das Wellen-Strahlen-Modell ist nicht nur geeignet, um die intrinsische Dispersion zu
bestimmen, sondern auch um anschaulich zu beschreiben, wie eine in der Fokalebene
angebrachte Linse die ¨
Ubertragung beeinflusst.
Abbildung 5.4 zeigt die mittlere Freistrahlzone f¨
ur drei F¨
alle. Abbildung 5.4a) zeigt den
intrinsischen Fall ohne Linse. In Abb.5.4b) wurde in die Fokalebene eine Sammellinse
eingef¨
ugt, die die Strahlen in der Art bricht, dass die verschiedenen Wellenl¨
angen an
demselben Ort der Apertur des zweiten AWG ankommen, deren Gruppenlaufzeit damit
gleich und die Dispersion deshalb Null ist. In Abb.5.4c) wurde die Brennweite der Linse
5 DAS DOPPEL-AWG 88
gegen¨
uber der in Abb.5.4b) verringert. Die Strahlen werden st¨
arker gebrochen und das
Vorzeichen der Dispersion kehrt sich gegen¨
uber dem intrinsischen Fall um.
Im Abschnitt 5.2.7 wird analytisch gezeigt werden, dass eine Linse mit quadratischer
Phasensignatur eine Dispersionsteuerung erm¨
oglicht.
Prinzipiell kann zun¨
achst von einer allgemeinen Phasensignatur der Linse ausgegangen
werden. Das erste AWG bildet die verschiedenen Wellenl¨
angen an verschiedenen Orten ab
und durch die Phasensignatur der Linse werden die einzelnen Wellenl¨
angen verschieden
stark in ihrer Phase gedreht.
L
x4L
x4
b ) c )
p s
D = 0 n m
i n t r .
D = - D
L
x4
i n t r .
D = D
a )
P h a s e n f r o n t e n :
Abbildung 5.4: Mittlere Freistrahlzone des D-AWG. Mit dem Wellen-Strahlen-Modell wird
die Wirkungsweise der Linse in der Fokalebene erkl¨
art. Kurz vor und hinter der Linse sind die
zu den Strahlen geh¨
orenden Phasenfronten gezeigt.
Dadurch wird die Phasenfront hinter der Linse verformt und der Lichtweg ¨
andert sich.
In Abb.5.4 ist diese Wirkung der Linse an dem im Folgenden relevanten Fall der Linse
mit parabolischem Brechzahlprofil veranschaulicht.
5.1.4 Doppel-AWG mit verteilter Linse
So wie bis hierher beschrieben, hat die Linse in der Fokalebene keine oder nur eine kleine
Ausdehnung in Ausbreitungsrichtung. In [79] wurde das D-AWG mit einstellbarer Linse
in der Fokalebene gefertigt und gemessen. In diesem Fall hatte die Linse eine Ausdehnung
in Ausbreitungsrichtung, die die Abmessung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung um ein
Vielfaches ¨
uberschreitet. Es wurde das Konzept einer verteilten thermisch einstellbaren
Linse umgesetzt.
5 DAS DOPPEL-AWG 89
Bei diesem Konzept wird die Phasensignatur der Linse als Brechzahlsignatur mit einer
gewissen Ausdehnung in Ausbreitungsrichtung realisiert. Die Brechzahlsignatur wieder-
um wird von einer entsprechenden Temperaturverteilung senkrecht zur Ausbreitungs-
richtung unter Ausnutzung des thermooptischen Effektes erzeugt. Die Temperaturver-
teilung wird von einer Anordnung aus parallelen Heizstreifen unterschiedlicher Breite
erzeugt.
2 L
x
Dx
F S R
4
x = 0
4
x
3
x
5
LL i n s e
Dn ( x )
x = 0
4
x
4
Dx
F S R
4
Abbildung 5.5: Konzept der verteilten Linse. Das Gebiet innerhalb der mittleren Freistrahl-
zone mit der Brechzahlverteilung, die die Linse erzeugt, ist blau gef¨
arbt. Daneben ist die Brech-
zahlverteilung ∆n(x4)¨
uber x4aufgetragen.
Die Eigenschaften einer verteilten Linse werden sich von denen einer Linse ohne Aus-
dehnung in Ausbreitungsrichtung unterscheiden. Wie sich dieser Unterschied bemerkbar
macht wird in Abschnitt 5.4.1 erl¨
autert.
5.2 Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion mittels
Fourieroptik
In diesem Abschnitt wird die ¨
Ubertragungsfunktion des D-AWG mit Hilfe der Fourier-
Optik berechnet [176]. Die Vorgehensweise entspricht zum großen Teil der aus [53] zur
Berechnung der Eigenschaften eines Einfach-AWG bzw. der aus Abschnitt B dieser Ar-
beit. Der Schwerpunkt der folgenden Betrachtungen wird daher auf der mittleren Frei-
strahlzone und der in dieser enthaltenen Linse liegen.
5.2.1 Allgemeines
Um sowohl die numerischen als auch die analytischen Berechnungen zu vereinfachen,
wird die Betrachtung der realen dreidimensionalen Struktur gem¨
aß Abschnitt 2.3 auf
die Betrachtung einer zweidimensionalen Struktur reduziert.
Um die Struktur zu berechnen, muss die Ausbreitung der optischen Welle durch die Frei-
strahlzonen und die Gitterwellenleiter berechnet werden. Wie im Abschnitt B.1 genauer
erl¨
autert wird, wird bei der Berechnung der Ausbreitung durch die Gitterwellenleiter
5 DAS DOPPEL-AWG 90
von der Struktur des Wellenleiters oder der Ausbreitungskonstanten v¨
ollig abstrahiert.
Als einziger Effekt wird die Phasendrehung in den Gitterwellenleitern ber¨
ucksichtigt, die
durch die Beugungsordnung mgegeben ist.
Bei der Ausbreitung in den Freistrahlzonen wird der effektive Brechungsindex im Schicht-
wellenleiter auf SOI (siehe Abschnitt 3.2) verwendet, von dem angenommen wird, dass
er n¨
aherungsweise der Materialbrechzahl entspricht, d.h. n≈neff,slab ≈3,5.
Die beschriebene Vorgehensweise f¨
uhrt dazu, dass bei den Berechnungen die Polarisa-
tionsabh¨
angigkeit in keiner Weise ber¨
ucksichtigt wird. Reale AWGs zeigen eine starke
Polarisationsabh¨
angigkeit. Da der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit auf den prin-
zipiellen M¨
oglichkeiten der Strukturen liegt, wird die Polarisationsabh¨
angigkeit ver-
nachl¨
assigt.
Bei der Berechnung der Ausbreitung vom Einkoppelwellenleiter in die Freistrahlzone und
der Kopplung von der Freistrahlzone in die Gitterwellenleiter muss eine Annahme zum
Modenfeld in den Wellenleitern gemacht werden. Wie im Abschnitt 3 bereits erw¨
ahnt,
k¨
onnen die Modenfelder n¨
aherungsweise durch die Angabe des 1
e-Modenfeldradius wG
beschrieben werden. Bei realen Strukturen werden die Wellenleiter, bevor sie auf die
Freistrahlzone treffen, aufgetapert. Die f¨
ur die Berechnung relevanten Modenfeldradien
sind diejenigen, die an der Koppelstelle vorliegen. Um in den Simulationen D¨
ampfungs-
werte zu erhalten, die denen von realen Strukturen n¨
aherungsweise entsprechen, wurde
f¨
ur alle folgenden Berechnungen ein Modenfeldradius von wG= 3,0µm festgelegt.
5.2.2 Ausbreitung durch die zweite Freistrahlzone mit Linse
Abb.5.1 zeigt eine schematische Darstellung des D-AWG. Mit den Koordinaten x1bis
x7sind sieben Ebenen innerhalb der Struktur bezeichnet, auf denen im Folgenden die
normierten elektrischen Felder berechnet werden.
Da die Berechnung vom Eingangswellenleiter-Mode ΨWG bis zum Ende des 1. AWG mit
Ψ3(x3,∆λ) v¨
ollig mit der entsprechenden Berechnung f¨
ur den Einfach-AWG in Abschnitt
B¨
ubereinstimmt, wird die Berechnung f¨
ur den D-AWG erst ab dieser Stelle gezeigt.
Da beim D-AWG keine zus¨
atzliche Phasenverschiebung in den Gitterwellenleitern ein-
gef¨
ugt wird, ist der Parameter ain Gl.(B.20) gleich Null. F¨
ur die Funktion Ψ3(x3,∆λ)
ergibt sich dann gem¨
aß Gl.(B.21) und unter Verwendung von Gl.(B.2), Gl.(B.5) und
Gl.(B.19):
Ψ3(x3,∆λ) = 4
p2π·w2
G
סΨ2,FPR (x3)·ΦPA (x3,∆λ)·δdW(x3)¢?ΨWG (x3).(5.5)
Die weitere Ausbreitung durch die sich anschließende zweite Freistrahlzone bis zur Linse,
die als linienf¨
ormig angenommen wird, wird mit Hilfe des Kirchhoff-Huygens-Integrales
5 DAS DOPPEL-AWG 91
nach Gl.(2.35) bestimmt. Anders als beim Einfach-AWG wird hier die kreis- bzw. para-
belf¨
ormige Phasenfront der Welle ber¨
ucksichtigt, die an dieser Stelle nicht vernachl¨
assig-
bar ist. Durch Verwendung von Gl.(2.35) ergibt sich f¨
ur das Feld in der Mitte der zweiten
Freistrahlzone:
Ψ4(x4,∆λ) = rn
λC·L·exp µ−j·π·n·x2
4
λC·L¶
×
+∞
Z
−∞n4
p2π·w2
G·¡Ψ2,FPR (x3)·ΦPA (x3,∆λ)·δdW(x3)¢?ΨWG (x3)o
×exp µ+j·2π·n·x4
λC·L·x3¶d(x3).(5.6)
Anwendung des Faltungsatzes der Fouriertransformation und Ber¨
ucksichtigung nur der
m-ten Beugungsordnung f¨
uhrt zu folgender analytischer L¨
osung:
Ψ4(x4,∆λ) =
4
p8π·w2
G
dW·
t1
z }| {
exp µ−j·π·n·x2
4
λC·L¶
×exp Ã−µλC·L·m·∆λ
(λC+ ∆λ)·n·dW·wG
+x4
wG¶2!
| {z }
t2
(5.7)
×exp Ã−µwG·π·n·x4
λC·L¶2!
| {z }
t3
.
Der Term t1in Gl.(5.7) beschreibt die kreisf¨
ormige Phasenfront der Welle mit einer
parabolischen N¨
aherung (siehe Abb.5.7).
Der Term t2in Gl.(5.7) beschreibt das Feld des Eingangswellenleiter-Modes. Die Posi-
tion des Feldmaximums x4M h¨
angt von der relativen Wellenl¨
ange ∆λab. F¨
ur den Fall
λCÀ∆λ, der in der Praxis meist gegeben ist, ergibt sich mit Gl.(5.7):
x4M (∆λ)≈−m·L·∆λ
n·dW
(5.8)
und weiterhin
t2≈exp Ã−µx4−x4M (∆λ)
wG¶2!.(5.9)
5 DAS DOPPEL-AWG 92
0
4
x
4 a
x
F e r n f e l d - E i n h ü l l e n d e
m i t t l e r e F o k a l e b e n e
B i l d d e s E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r m o d e s
f ü r
G a u s s - S t r a h l
5
x
0
0
P h a s e n f r o n t
0
5 a
x
2 . A W G
W
d
4
x =
4 M
x(
D l
)
l > lc
Abbildung 5.6: Bild des Modes des Eingangswellenleiters auf der Fokalebene f¨
ur λ > λCund
der zugeh¨
orige Gauß-Strahl, der die Apertur des zweiten Wellenleitergitters beleuchtet.
Der Term t3in Gl.(5.7) beschreibt die Fernfeld-Einh¨
ullende der Bilder des Eingangswellenleiter-
Modes auf der Fokalebene f¨
ur verschiedene Wellenl¨
angen (siehe Abb.5.6).
Um die folgenden ¨
Uberlegungen zu vereinfachen, werden zun¨
achst einige N¨
aherungen
gemacht.
Im Term t3in Gl.(5.7) wird die Variable x4durch x4M(∆λ) ersetzt. Die Abh¨
angigkeit vom
Ort wird durch einen konstanten Wert ersetzt, der jedoch von der relativen Wellenl¨
ange
∆λabh¨
angt. Dies ist m¨
oglich mit der Annahme, dass die Fernfeldeinh¨
ullende nahezu
konstant ¨
uber einem Wellenleitermode des entsprechenden Gitterwellenleiters ist.
Weiterhin wird das Feld auf der Fokalebene nicht mehr mit der Koordinate x4, sondern
x4a beschrieben. Die Koordinate x4a unterscheidet sich von x4nur durch die Position
des Koordinaten-Nullpunktes. Der Koordinaten-Nullpunkt der Koordinate x4a liegt auf
dem Feldmaximum des Bildes des Eingangswellenleiter-Modes auf der Fokalebene x4=
x4M (∆λ) (siehe Abb.5.6). Es wird definiert:
x4a (∆λ) = x4−x4M (∆λ).(5.10)
Der Phasenterm t1aus Gl.(5.7) wird in eine Taylorreihe entwickelt. Von dieser werden
nur der konstante und der lineare Term ber¨
ucksichtigt. Anwendung von Gl.(5.8) und
Gl.(5.10) f¨
uhrt zu
5 DAS DOPPEL-AWG 93
t1=−j·π·n·x2
4
λC·L
=−j·π·n·(x4a +x4M)2
λC·L
≈−j·π·n
λC·L·x2
4M +(−j)·π·n
λC·L·2·x4M ·x4a
=−j·π·m2·L·∆λ2
λC·n·d2
W
+j·2π·m·∆λ·x4a
λC·dW
.(5.11)
Weiterhin wird ein Phasenterm eingef¨
ugt, durch den der Einfluss der Linse in der Fokal-
ebene ber¨
ucksichtigt wird. Die Phasensignatur der Linse wird um den Punkt x4=x4M (∆λ)
in eine Taylorreihe entwickelt und von dieser nur der konstante und lineare Term ber¨
uck-
sichtigt. Mit
∆ϕLINSE (x4)≈∆ϕLINSE (x4)¯¯¯x4=x4M
| {z }
ϕL,0(∆λ)
+∂(∆ϕLINSE (x4))
∂x4¯¯¯¯x4=x4M
| {z }
ϕL,1(∆λ)
·(x4−x4M)
| {z }
x4a
(5.12)
ergibt sich
∆ϕLINSE (x4a) = ϕL,0(∆λ) + ϕL,1(∆λ)·x4a .(5.13)
Die Anwendung der obigen ¨
Uberlegungen f¨
uhrt zu der folgenden Gleichung, die die
Feldverteilung auf der Fokalebene ’hinter’ der Linse beschreibt:
Ψ4a (x4a,∆λ) = F4a (x4a,∆λ)·exp Ã−µwG·π·m·∆λ
λC·dW¶2!
| {z }
t4
×exp µ−j·π·m2·L·∆λ2
λC·n·d2
W¶
| {z }
t5
·exp (+j·ϕL,0(∆λ))
| {z }
t6
(5.14)
mit
5 DAS DOPPEL-AWG 94
F4a (x4a,∆λ) =
4
p8π·w2
G
dW·
t7
z }| {
exp Ã−µx4a
wG¶2!
×exp µ+j·2π·m·∆λ·x4a
λC·dW¶
| {z }
t8
(5.15)
×exp (+j·ϕL,1(∆λ)·x4a)
| {z }
t9
.
Der Term t4in Gl.(5.14) beschreibt, wie der Term t3in Gl.(5.7), die Fernfeldeinh¨
ullende
der Bilder auf der Fokalebene (siehe Abb.5.6). Der Term t4h¨
angt nicht mehr von x4
oder x4a ab, sondern von ∆λ. Der Term t5ist der konstante Term der oben erw¨
ahnten
Taylor-Entwicklung des Termes t1(siehe Abb.5.11)). Der Term t6ist das konstante Glied
der Taylor-Entwicklung der Phasensignatur der Linse (siehe Gl.(5.12)).
Der Term t7in Gl.(5.15) beschreibt das Bild des Eingangswellenleiter-Modes in Abh¨
angig-
keit von der Koordinate x4a. Der Term t8in Gl.(5.15) ist das lineare Glied der oben
erw¨
ahnten Taylor-Entwicklung des Termes t1(siehe Gl.(5.11)). Der Term t9in Gl.(5.15)
ist das lineare Glied der Taylor-Entwicklung der Phasensignatur der Linse (siehe Gl.(5.12)).
Um die Feldverteilung Ψ5,FPR (x5,∆λ), die auf der Apertur des zweiten Wellenleitergit-
ters entsteht, zu erhalten (siehe Abb.5.6), wird wieder Gl.(2.35) verwendet. Es wird ein
Zwischenschritt gemacht, bei dem die Koordinate x5a verwendet wird. Dieses Koordi-
natensystem entsteht durch eine Verschiebung des Koordinatensystems von x5um den
Wert x4M (∆λ) in x5-Richtung, analog zu x4a (siehe Abb.5.6). Es wird definiert:
x5a (∆λ) = x5−x4M (∆λ).(5.16)
Die Verwendung der Koordinaten x4a und x5a f¨
uhrt zur Feldverteilung auf der Apertur
des zweiten AWG:
5 DAS DOPPEL-AWG 95
Ψ5,FPR (x5a,∆λ) = rn
λC·L·exp µ−j·
φ5(x5a)
z }| {
π·n·x2
5a
λC·L¶·exp Ã−µwG·π·m·∆λ
λC·dW¶2!
×exp µ−j·π·m2·L·∆λ2
λC·n·d2
W¶·exp (+j·ϕL,0(∆λ)) (5.17)
×
+∞
Z
−∞
F4a (x4a)·exp µ+j·2π·n·x5a
λC·L·x4a¶d(x4a)
| {z }
Γ5(x5a)
.
Die Funktion φ5(x5a) beschreibt die kreisf¨
ormige Phasenfront der Welle. F¨
ur das Integral
in Gl.(5.17) existiert eine analytische L¨
osung. F¨
ur die Funktion Γ5(x5a) ergibt sich:
Γ5(x5a,∆λ) =
4
p8π3·w6
G
dW·exp Ã−w2
G
4·µg(x5a)
λC·dW·L¶2!(5.18)
mit
g(x5a,∆λ) = 2π·m·L·∆λ+ϕL,1(∆λ)·λC·dW·L+ 2π·n·dW·x5a .(5.19)
Die Verwendung von Gl.(5.16) ergibt die Funktionen φ5(x5), Γ5(x5) und Ψ5,FPR (x5). Die
Funktion Γ5(x5) ist rein reell.
Die Funktion φ5(x5) wird um den Punkt x5= 0 in eine Taylor-Reihe entwickelt und nur
der konstante und lineare Term ber¨
ucksichtigt.
Abb.5.7 zeigt das Bild des Eingangswellenleiter-Modes auf der Fokalebene f¨
ur den Fall
λ>λC, den dazugeh¨
orenden Gauß-Strahl und die Phasenfronten, die auf die Apertur
des zweiten AWG treffen. Die Apertur und die Phasenfront sind beide kreisf¨
ormig. Die
Phasenfront und die Apertur sind jedoch nicht parallel, sondern schließen einen kleinen
wellenl¨
angenabh¨
angigen Winkel ∆ϕ(∆λ) ein. Aus diesem Grund kann die Phase der
Welle auf der Apertur abh¨
angig von x5mit einem konstanten und einem linearen Term
beschrieben werden. Verwendung von Gl.(5.8), Gl.(5.16) und Gl.(5.17) f¨
uhrt zu
φ5(x5,∆λ) =
π·n·³x5+m·L·∆λ
n·dW´2
λC·L(5.20)
≈π·m2·L·∆λ2
λC·n·d2
W
+2π·m·∆λ·x5
dW·λC
.(5.21)
5 DAS DOPPEL-AWG 96
0
4
x
m i t t l e r e F o k a l e b e n e
G a u s s - S t r a h l
P h a s e n f r o n t e n
5
x= 0
2 . A W G
W
d
B i l d d e s E i n g a n g s -
w e l l e n l e i t e r m o d e s
f ü r
4
x =
4 M
x(
D l
)
l
>
lc
D j ( D l )
Abbildung 5.7: Bild des Eingangswellenleiter-Modes auf der Fokalebene f¨
ur λ > λC, dazu
geh¨
origer Gauß-Strahl und die Phasenfronten, die auf die Apertur des zweiten AWG treffen.
Obige ¨
Uberlegungen und Gl.(5.21) f¨
uhren zu:
Ψ5,FPR (x5,∆λ) = rn
λC·L·
t10,intr Dispersion
z }| {
exp µ−j·2π·m2·L·∆λ2
λC·n·d2
W¶·exp Ã−µwG·π·m·∆λ
λC·dW¶2!
×exp (+j·ϕL,0(∆λ))
| {z }
t11,Dispersion wg.Linse
·exp µ−j·2π·m·∆λ·x5
dW·λC¶
| {z }
t12,Verkippung der Phasenfront
·Γ5(x5).(5.22)
Der Term t10 in Gl.(5.22) beschreibt eine wellenl¨
angenabh¨
angige Phase, die von der
Linse unabh¨
angig ist. Diese Phase ist die Ursache f¨
ur die intrinsische Dispersion der
Komponente.
Der Term t11 in Gl.(5.22) beinhaltet den Term ϕL,0, welcher der konstante Term der
Taylor-Entwicklung der Phasensignatur der Linse ist. Durch ihn wird die Dispersion
beschrieben, die durch die Linse verursacht wird.
Der Term t12 in Gl.(5.22) beschreibt eine wellenl¨
angenabh¨
angige Verkippung der Pha-
senfront gegen¨
uber der Apertur des zweiten AWG (siehe Abb.5.7). Diese Verkippung
wird vom zweiten AWG kompensiert und das Bild des Eingangswellenleiter-Modes wird
- unabh¨
angig von der Wellenl¨
ange - ¨
uber dem Ausgangswellenleiter liegen.
5 DAS DOPPEL-AWG 97
5.2.3 Ausbreitung durch das zweite AWG zur dritten
Freistrahlzone
Die folgende Berechnung der Ausbreitung durch das zweite AWG ist zur Berechnung der
Ausbreitung durch das erste AWG v¨
ollig analog. Der Vollst¨
andigkeit halber wird sie hier
trotzdem gezeigt, denn wenn auch die Vorgehensweise analog ist, so sind die Resultate
f¨
ur die Anregungskoeffizienten der einzelnen Wellenleiter des AWG hier andere als beim
ersten AWG, und sie sind wellenl¨
angenabh¨
angig.
Um zu berechnen, wieviel Leistung in die einzelnen Wellenleiter des zweiten AWG ein-
koppelt, muss das ¨
Uberlappintegral zwischen dem anregenden Feld Ψ5,FPR und dem Wel-
lenleitermode des Gitterwellenleiters nach Gl.(4.45) berechnet werden:
Ar2 (r) =
+∞
Z
−∞
Ψ5,FPR (x5)·ΨWG (x5−r·dW)d(x5).(5.23)
Hierbei ist ’r’ der Index des betrachteten Gitterwellenleiters. Dabei wird der Index ’r’ in
positiver x5-Richtung gez¨
ahlt (siehe Abb.5.1). Mit Ar2 (r) wird der Anregungskoeffizient
des Modes im r-ten Gitterwellenleiter bezeichnet. Mit der Annahme, dass die Funktion
Ψ5,FPR konstant ¨
uber einem Modenfelddurchmesser ist, ergibt sich mit Gl.(4.45) und
Gl.(5.23):
Ar2 (r)≈Ψ5,FPR (r·dW)·4
p2π·w2
G.(5.24)
Mit Gl.(5.24) kann die Feldverteilung auf der Apertur des zweiten AWGs wie folgt
angegeben werden:
Ψ5,PA (x5) = 4
p2π·w2
G·¡Ψ5,FPR (x5)·δdW(x5)¢?ΨWG (x5).(5.25)
Um den Effekt des zweiten AWG zu beschreiben, wird an dieser Stelle wieder sinngem¨
aß
die Funktion aus Gl.(B.19) ΦPA (x6) verwendet (f¨
ur x6siehe Abb.5.1):
ΦPA (x6) = exp µ−j·2π
(λC+ ∆λ)·λC·m·x6
dW¶.(5.26)
Um die Feldverteilung Ψ6(x6) am Ende des zweiten AWG in Abh¨
angigkeit von x6zu
erhalten, wird Gl.(5.26) eingesetzt in Gl.(5.25). Es ergibt sich:
5 DAS DOPPEL-AWG 98
Ψ6(x6) = 4
p2π·w2
G·¡Ψ5,FPR (x6)·ΦPA (x6)·δdW(x6)¢?ΨWG (x6).(5.27)
Die Funktion Ψ6(x6) enth¨
alt den Phasenterm ΦPA (x6) und den Term t12 aus Gl.(5.22),
der die oben erw¨
ahnte wellenl¨
angenabh¨
angige Verkippung der Phasenfront auf der Aper-
tur des zweiten AWG beschreibt. Die beiden Terme werden addiert, der resultierende
(∆λ)2-Term vernachl¨
assigt, und es ergibt sich damit:
t12 (x6)·ΦPA (x6) = exp µ−j·2π·m·∆λ·x6
dW·λC¶·exp µ2π
(λC+ ∆λ)·λC·m·x6
dW¶
= exp µ−j·µ2π·m·∆λ·x6
dW·λC
+2π
(λC+ ∆λ)·λC·m·x6
dW¶¶
≈exp µ−j·2π·m·x6
dW¶.(5.28)
Gl.(5.28) besagt, dass am Ende des zweiten AWG keine Verkippung der Phasenfront
auf der Apertur vorliegt - unabh¨
angig von der Wellenl¨
ange. Das sich von dort ausbrei-
tende Feld wird demnach ein Bild des Modes des Eingangswellenleiters direkt vor dem
Auskoppelwellenleiter bei x7= 0 erzeugen.
5.2.4 Ausbreitung durch die dritte Freistrahlzone
Um die Feldverteilung Ψ7auf der Ausgangs-Fokalebene in Abh¨
angigkeit von x7zu be-
rechnen, wird wieder Gl.(2.35) verwendet. Das Bild auf der Ausgangs-Fokalebene wird
auf Grund der Tatsache, dass keine Verkippung der Phasenfront am Ende des zweiten
AWG vorliegt bei x7= 0 liegen - ¨
uber dem Ausgangswellenleiter. Deshalb wird der
quadratische Phasenterm in Gl.(2.35) vernachl¨
assigt. Es ergibt sich:
Ψ7(x7) = rn
λC·L·
+∞
Z
−∞
Ψ6(x6)·exp µ+j·2π·n·x7
λC·L·x6¶d(x6).(5.29)
Mit Ψ6aus Gl.(5.27) und unter Verwendung von Gl.(5.28) und dem Faltungssatz der Fou-
riertransformation kann das Integral in Gl.(5.29) analytisch gel¨
ost werden. Vernachl¨
assi-
gung eines der resultierenden Terme und Ber¨
ucksichtigung nur der m-ten Beugungsord-
nung f¨
uhrt zu folgendem Ausdruck f¨
ur Ψ7:
5 DAS DOPPEL-AWG 99
Ψ7(x7) = 2·4
p2π3·w6
G
d2
W·exp Ã−µx7
wG¶2!(5.30)
×exp Ã−µwG
dW¶2
·µπ·m·∆λ
λC¶2!·exp (−j·ϕ7(x7,∆λ))
mit
ϕ7(x7,∆λ) = 4π·m·∆λ·x7
λC·dW
(5.31)
+ (ϕL,1(∆λ)·x7+ϕL,0(∆λ)) + 2π·m2·L·∆λ2
λC·d2
W·n.
Gl.(5.30) verdeutlicht, dass das Bild auf der Ausgangs-Fokalebene dem Gauß-f¨
ormigen
Eingangswellenleiter-Mode entspricht. Dessen Maximum befindet sich bei x7= 0 - an
der Position des Ausgangswellenleiters. Es tritt eine wellenl¨
angenabh¨
angige D¨
ampfung
auf. Weiterhin treten verschiedene Phasenterme auf, die die intrinsische Dispersion, die
Dispersion, die durch die Linse verursacht wird, und eine wellenl¨
angenabh¨
angige Ver-
kippung der Phasenfront beschreiben.
Der letzte Schritt um die ¨
Ubertragungsfunktion zu erhalten besteht darin, den An-
regungskoeffizienten des Grundmodes im Ausgangswellenleiter zu bestimmen. Dieser
wellenl¨
angenabh¨
angige Anregungskoeffizient ist die gesuchte ¨
Ubertragungsfunktion. Er
wird durch das ¨
Uberlappintegral zwischen der anregenden Feldverteilung Ψ7und dem
Ausgangswellenleitermode ΨWG (siehe Gl.(4.45)) berechnet:
H(∆λ) =
+∞
Z
−∞
Ψ7(x7)·ΨWG (x7)d(x7) (5.32)
=2π·w2
G
d2
W·exp µb(∆λ)
8·n·λ2
C·d2
W¶·exp (+j·ϕ(∆λ)) (5.33)
mit
b(∆λ) = −8π·w2
G·n·m·∆λ·λC·dW·ϕL,1(∆λ)
| {z }
t13
−24π2·w2
G·m2·n·∆λ2
| {z }
t14
(5.34)
−w2
G·n·λ2
C·d2
W·ϕ2
L,1(∆λ)
| {z }
t15
5 DAS DOPPEL-AWG 100
und
ϕ(∆λ) = −2π·L·m2·∆λ2
n·λC·dw2+ϕL,0(∆λ).(5.35)
Die Gl.(5.33), Gl.(5.34) und Gl.(5.35) stellen das Endergebnis der gezeigten Berechnung
dar. Wie in Gl.(5.7) am Anfang der Berechnung wird bei diesem Ergebnis nur die m-te
Beugungsordnung ber¨
ucksichtigt. Daher ist es nur f¨
ur einen FSR um die Zentralwel-
lenl¨
ange λCg¨
ultig.
5.2.5 Dispersion und Gruppenlaufzeit
Mit Gl.(1.7), Gl.(1.9) und Gl.(5.35) ergeben sich Gruppenlaufzeit und Dispersion der
Komponente:
τGR (∆λ) = Dintr ·∆λ
| {z }
t16
+λ2
C
2π·c0·∂ϕL,0(∆λ)
∂(∆λ)(5.36)
D(∆λ) = Dintr +λ2
C
2π·c0·∂2ϕL,0(∆λ)
(∂(∆λ))2(5.37)
mit
Dintr =−2·L·m2·λC
c0·n·d2
W
.(5.38)
Dabei ist Dintr die intrinsische Dispersion der Komponente. Gl.(5.38) stimmt mit Gl.(5.4)
aus Abschnitt 5.1.2 ¨
uberein.
Der Term t16 in Gl.(5.36) beschreibt eine intrinsische Gruppenlaufzeit der Welle. F¨
ur
∆λ= 0 ist diese intrinsische Grupenlaufzeit Null. Die Ursache hierf¨
ur ist die Ver-
nachl¨
assigung der realen L¨
angen innerhalb der Komponente.
Durch Verwendung von Gl.(5.8) und Gl.(5.12) kann die Abh¨
angigkeit von ϕL,0von ∆λ
ersetzt werden durch eine Abh¨
angigkeit von ∆ϕLINSE von x4. F¨
ur die Gruppenlaufzeit
ergibt sich:
5 DAS DOPPEL-AWG 101
τGR (∆λ) = Dintr ·∆λ(5.39)
+µλ2
C
2π·c0¶·µ−m·L
n·dW¶·∂(∆ϕLINSE (x4))
∂(x4)¯¯¯¯x4=x4M(∆λ)
.
F¨
ur die chromatische Dispersion ergibt sich:
D(∆λ) = Dintr (5.40)
+µλ2
C
2π·c0¶·µ−m·L
n·dW¶2
·∂2(∆ϕLINSE (x4))
(∂(x4))2¯¯¯¯x4=x4M(∆λ)
.
Die Gl.(5.39) und Gl.(5.40) beschreiben den Zusammenhang zwischen der Phasensigna-
tur der Linse, der Gruppenlaufzeit und der Dispersion der Komponente.
5.2.6 Verluste der Komponente
Die Verluste der Komponente werden durch Gl.(5.33) und Gl.(5.34) beschrieben. Der
Term t14 beschreibt einen intrinsischen Verlust, der unabh¨
angig von der Linse ist.
Die Terme t13 und t15 beschreiben Verluste, die von der ersten Ableitung der Phasensi-
gnatur der Linse nach dem Ort und von der Wellenl¨
ange abh¨
angen.
Konkretere Aussagen werden m¨
oglich, wenn eine spezielle Phasensignatur betrachtet
wird.
5.2.7 Quadratische Phasensignatur
F¨
ur die Verwendung der Struktur als Komponente mit einstellbarer Dispersion liegt es
auf Grund von Gl.(5.40) nahe, eine quadratische Phasensignatur der Linse zu betrach-
ten:
∆ϕLINSE (x4) = a2·x2
4.(5.41)
In Gl.(5.41) ist a2ein reeller Parameter, der die St¨
arke der Linse bzw. die Kr¨
ummung
der quadratischen Phasensignatur beschreibt. Mit Gl.(5.40) und Gl.(5.41) ergibt sich f¨
ur
die Dispersion:
5 DAS DOPPEL-AWG 102
D(∆λ) = Dintr +λ2
C·m2·L2·a2
π·c0·n2·d2
W
.(5.42)
Gl.(5.42) besagt, dass die Dispersion unabh¨
angig von der Wellenl¨
ange ist. Daher ist die
Dispersionssteigung Null. Werden f¨
ur a2beide Vorzeichen zugelassen, kann prinzipiell
jeder Dispersionswert eingestellt werden.
Gl.(5.42) kann umgestellt werden, um den f¨
ur eine geforderte Dispersion Dsoll notwendi-
gen Parameter a2zu bestimmen. Es ergibt sich:
a2=(Dsoll −Dintr)·π·c0·n2·d2
W
λ2
C·m2·L2·.(5.43)
In Gl.(5.43) wird die Variable Dsoll verwendet statt vorher nur D. Damit soll gekenn-
zeichnet werden, dass dies ein Dispersionswert ist, der vom Anwender gew¨
unscht wird
und aus dem dann weitere Parameter der Komponente theoretisch abgeleitet werden,
wie hier z.B. der Parameter a2. In den folgenden Abschnitten wird dann zwischen der
gew¨
unschten Dispersion Dsoll und der Dispersion Dist, die die Komponente dann aufweist,
unterschieden. Diese beiden Werte werden sich unterscheiden, was an der entsprechenden
Stelle begr¨
undet wird.
Die Verluste der Komponente werden durch den Betrag der ¨
Ubertragungsfunktion darge-
stellt. Diese wiederum wird durch die Gl.(5.33) und Gl.(5.34) beschrieben. Verwendung
von Gl.(5.12), Gl.(5.33), Gl.(5.34), Gl.(5.38), Gl.(5.41) und Gl.(5.43) f¨
uhrt zu folgender
Formulierung des Betrages der ¨
Ubertragungsfunktion:
|H(∆λ)|=2π·w2
G
d2
W·exp µq(∆λ)
2·λ4
C·d2
W·m2·L2¶(5.44)
mit
q(∆λ) = −w2
G·∆λ2·π2·¡2·m4·λ2
C·L2+c2
0·n2·d4
W·D2
soll¢.(5.45)
Verwendung der Gl.(1.32) und Gl.(4.61) liefert:
|H(∆λ)|=2π·w2
G
d2
W·exp (s(∆λ)) (5.46)
mit
5 DAS DOPPEL-AWG 103
s(∆λ) = µ∆λ
∆λFSR ¶2
·
−µwG·π
dW¶2
−2·Ãc0
λ2
C·√b·Dsoll ·∆λ2
FSR
M!2
.(5.47)
Es ist bemerkenswert, dass die ¨
Ubertragungsfunktion in dieser Darstellung unabh¨
angig
von der L¨
ange Lder Freistrahlzonen und der Gitterordnung mist. Weiterhin kann den
Gl.(5.46) und Gl.(5.47) entnommen werden, dass die Verluste der Komponente bei der
Zentralwellenl¨
ange einzig vom Quotienten der Parameter wGund dWabh¨
angen. F¨
ur
wG= 3 µm und dW= 10 µm betragen die Verluste beispielsweise 4,95 dB.
F¨
ur die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB l¨
asst sich aus Gl.(5.47) ein Ausdruck ableiten:
∆λ3dB =v
u
u
u
t
2·ln (2) ·(λ2
C·dW·∆λFSR ·M)2
(λ2
C·wG·π·M)2+ 2 ·³√b·c0·dW·Dsoll ·∆λ2
FSR´2.(5.48)
F¨
ur den Fall, dass die gew¨
unschte Dispersion Dsoll = 0 ps
nm ist, vereinfacht sich der Aus-
druck und es ergibt sich:
∆λ3dB¯¯¯¯Dsoll=0
=p2·ln (2) ·µdW
π·wG¶·∆λFSR .(5.49)
F¨
ur die oben verwendeten Parameter wG= 3 µm und dW= 10 µm ergibt sich mit
Gl.(5.49) eine 3 dB-Bandbreite, die gr¨
oßer ist als der freie Spektralbereich. Das bedeutet,
dass innerhalb eines freien Spektralbereiches der ¨
Ubertragungsfunktion die Transmission
um weniger als 3 dB abf¨
allt.
An Gl.(5.48) l¨
asst sich gut erkennen, welchen Einfluss der Parameter bauf die 3 dB-Bandbreite
der Komponente hat. Je kleiner bwird umso gr¨
oßer wird die Bandbreite. In Abschnitt
4.6.1 wurde erl¨
autert, dass f¨
ur Werte von b < 1 die Verluste des einfachen AWG hoch
werden. Die Verluste beim einfachen AWG f¨
ur b < 1 treten bei der Kopplung von den
Freistrahlzonen in das Wellenleitergitter auf. Dies ist auch beim D-AWG der Fall, wenn
b < 1 ist. Ein g¨
unstiger Wert f¨
ur b, bei dem einerseits die Verluste gering sind und
die Bandbreite hoch ist, ist b= 1. Dieser Wert wird bei allen folgenden Berechnungen
verwendet.
Abb.5.8a) zeigt beispielhaft die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB in Abh¨
angigkeit von der Anzahl
der Gitterwellenleiter M, wenn die weiteren Parameter vorgegeben sind.
Mit steigender Anzahl Gitterwelleneiter Mstrebt die 3 dB-Bandbreite gegen einen Grenz-
wert, der durch Gl.(5.49) gegeben ist.
Durch Gl.(5.48) ist implizit auch das Dispersions-Bandbreite-Produkt D·∆λ2
3dB gegeben
und kann numerisch berechnet werden. Abb.5.8b) zeigt dieses Produkt in Abh¨
angigkeit
5 DAS DOPPEL-AWG 104
A n z a h l G i t t e r w e l l e n l e i t e r M
3 d B - B a n d b r e i t e D l i n n m
3 d B
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
A n z a h l G i t t e r w e l l e n l e i t e r M
D
D l
i n p s n m
3 d B
2
a ) b )
Abbildung 5.8: 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB (a) und Dispersions-Bandbreite-Produkt D·∆λ2
3dB (b)
in Abh¨
angigkeit von der Anzahl Gitterwellenleiter M. Weitere Parameter sind: freier Spektral-
bereich ∆λFSR = 1,6nm, Modenfeldradius wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter
auf der Apertur dW= 10 µm, Zentralwellenl¨
ange λC= 1,55 µm und b= 1.
von der Anzahl Gitterwellenleiter M. Mit einer relativ geringen Anzahl Gitterwellenleiter
von z.B. M= 50 sind f¨
ur das Produkt D·∆λ2
3dB Werte erreichbar, die die Anforderungen
aus Abschnitt 1.5 weit ¨
ubertreffen.
Eine weitere aussagekr¨
aftige Darstellung ergibt sich durch Auswertung von Gl.(5.48),
wenn f¨
ur eine feste Anzahl Gitterwellenleiter Mdie 3 dB-Bandbreite ¨
uber der Dispersion
aufgetragen wird.
3 d B - B a n d b r e i t e D l i n n m
3dB
D i s p e r s i o n D i n p s / n m
s o l l
- 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0 M = 1 0
M = 2 0
M = 3 0
M = 4 0
Abbildung 5.9: 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB in Abh¨
angigkeit von der Dispersion Dsoll bei fester
Anzahl Gitterwellenleiter M. Weitere Parameter sind: freier Spektralbereich ∆λFSR = 1,6nm,
Modenfeldradius wG= 3 µm, Mittenabstand der Gitterwellenleiter auf der Apertur dW=
10 µm, Zentralwellenl¨
ange λC= 1,55 µm und b= 1.
Je mehr Wellenleiter verwendet werden, umso gr¨
oßer wird der Bereich in dem die Disper-
sion eingestellt werden kann, ohne dass eine gewisse Mindestbandbreite unterschritten
wird.
5 DAS DOPPEL-AWG 105
5.3 Numerische Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion
In diesem Kapitel wird erkl¨
art, wie die ¨
Ubertragungsfunktion des D-AWG numerisch
berechnet wird. F¨
ur die erste und dritte Freistrahlzone des D-AWG entspricht die Vor-
gehensweise der f¨
ur den einfachen AWG. Lediglich auf die mittlere Freistrahlzone, die die
Linse enth¨
alt, wird in diesem Abschnitt n¨
aher eingegangen. Dabei werden zwei unter-
schiedliche Modelle betrachtet: Beim ersten Modell hat die Linse keine Ausdehnung in
Ausbreitungsrichtung. Im zweiten Fall wird die in Abschnitt 5.1.4 vorgestellte verteilte
Linse betrachtet.
5.3.1 Modell mit Linienlinse
Das erste betrachtete Modell entspricht dem Modell, das auch f¨
ur die Analytik verwendet
wurde: eine Linse ohne Ausdehnung in Ausbreitungsrichtung - dies wird im Folgenden
’Linienlinse’ genannt.
2 L
x
D
x
FSR
4
D j ( x 4
L i n s e )
x = 0
4
x
3
x
5
K H I K H I
M u l t i p l i k a t i o n m i t D j ( x 4
L i n s e )
K H I : K i r c h h o f f - H u y g e n s - I n t e g r a l
Abbildung 5.10: Mittlere Freistrahlzone des D-AWG mit Linienlinse.
Abb.5.10 zeigt die mittlere Freistrahlzone des D-AWG mit Linienlinse. Die Berechnung
der Ausbreitung des Lichtes wird in drei Schritten vorgenommen: Ausgehend von der
Feldverteilung am Ende des ersten AWG wird mit Hilfe des Kirchhoff-Huygens-Integrales
die Ausbreitung durch den Schicht-Wellenleiter bis zur Fokalebene, auf der sich die Linse
befindet, berechnet. Es wird dabei Gl.(2.30) aus Abschnitt 2.5 ohne N¨
aherungen verwen-
det. Die Integration wird numerisch unter Verwendung der Simpson-Methode [175, Kap.
4.1] durchgef¨
uhrt. Das Feld auf der Fokalebene wird dann mit der Phasensignatur der
Linse multipliziert. Im n¨
achsten Schritt wird die Ausbreitung von der Fokalebene bis
zur Apertur des zweiten AWG wie vorher mit dem Kirchhoff-Huygens-Integral und der
Simpson-Methode berechnet. Im letzten Schritt wird die Berechnung der ¨
Uberkopplung
5 DAS DOPPEL-AWG 106
in die Wellenleiter des zweiten AWG vorgenomen. Ab diesem Punkt ist das Vorgehen
analog zu dem beim einfachen AWG.
5.3.2 Modell mit verteilter Linse
Abb.5.11 zeigt die mittlere Freistrahlzone des D-AWG mit einer verteilten Linse (siehe
auch Abb.5.5 in Abschnitt 5.1.4).
2 L
x
D
x
FSR
4
x = 0
4
x
3
x
5
K H I K H I
B P M
LL i n s e
K H I : K i r c h h o f f - H u y g e n s - I n t e g r a l
B P M : ( e n g l . : B e a m - P r o p a g a t i o n - M e t h o d )
hh '
Abbildung 5.11: Mittlere Freistrahlzone des D-AWG mit verteilter Linse.
Die Berechnung der Ausbreitung des Lichtes durch die verteilte Linse wird mit der
BPM-Methode vorgenommen. Auf Grund der, abh¨
angig von den genauen Parametern,
m¨
oglichen großen Abweichungen der Ausbreitungsrichtung von der optischen Achse wird
eine BPM mit Pad´e-(2,2)-Approximation verwendet.
Im ersten Schritt wird wiederum, ausgehend von der Feldverteilung am Ende des ersten
AWG, mit Hilfe des Kirchhoff-Huygens-Integrales nach Gl.(2.30) die Ausbreitung bis
zur Koordinate hberechnet, bei der die Linse beginnt. Wie bei der Linienlinse wird
das Integral numerisch mit Hilfe der Simpson-Methode berechnet [175, Kap. 4.1]. Die
Ausbreitung durch die folgende Linse wird mit der BPM berechnet. Vom Ende der Linse
bei der Koordinate h0wird die Ausbreitung bis zur Apertur des zweiten AWG mit dem
Kirchhoff-Huygens-Integral berechnet.
5.3.3 Vergleich der Modelle
Berechnungen, die mit dem Modell mit Linienlinse vorgenommen werden, kosten viel
weniger Rechenzeit, als diejenigen mit der verteilten Linse. Die Berechnung der Linien-
linse ist einfach eine Multiplikation. Beim Modell mit verteilter Linse muss f¨
ur jede Wel-
lenl¨
ange eine zeitaufw¨
andige BPM-Berechnung durchgef¨
uhrt werden. Die beiden Modelle
unterscheiden sich in der Rechenzeit ca. um den Faktor 120.
5 DAS DOPPEL-AWG 107
Die Ergebnisse des Modells mit Linienlinse stimmen nahezu perfekt mit den analytischen
Berechnungen ¨
uberein. Einzig die Verluste sind bei der Numerik etwas h¨
oher, weil die
endliche Anzahl der Gitterwellenleiter ber¨
ucksichtigt wird. Die hohe ¨
Ubereinstimmung
war zu erwarten, denn bei der Analytik wird ebenfalls von einer Linienlinse ausgegangen.
Daher wurde das Modell mit Linienlinse im Anfangsstadium der Arbeit verwendet, um
die prinzipielle Vorgehensweise bei der Numerik zu best¨
atigen und sp¨
ater nicht mehr.
Wenn eine m¨
oglichst hohe ¨
Ubereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der Realit¨
at
erreicht werden soll, muss das Modell mit verteilter Linse verwendet werden. Die Be-
rechnungen dauern lange, zeigen aber gute ¨
Ubereinstimmung mit Messergebnissen (siehe
Abschnitt 5.4.1). Alle numerischen Ergebnisse dieser Arbeit wurden deshalb mit Hilfe
des Modelles mit verteilter Linse berechnet.
5.4 Beispiele f¨
ur D-AWGs und Linse mit quadratischer
Phasensignatur
Nach den Erkenntnissen aus Abschnitt 5.2.7 kann die Dispersion eines D-AWG gesteu-
ert werden, wenn die Kr¨
ummung einer quadratischen Phasensignatur in der Fokalebene
eingestellt werden kann.
In diesem Abschnitt werden zwei Beispiele f¨
ur ein D-AWG mit quadratischer Phasensi-
gnatur zur Dispersionskompensation n¨
aher erl¨
autert. Zun¨
achst wird ein realisiertes und
gemessenes Beispiel aus der Literatur untersucht. Die ¨
Ubertragungsfunktion wird be-
rechnet und das Resultat mit den Messergebnissen verglichen.
Weiterhin wird der Entwurf einer Komponente auf der Materialbasis SOI vorgestellt,
dessen Realisierung am Institut f¨
ur Hochfrequenztechnik der TU-Berlin geplant ist.
5.4.1 Ein Beispiel aus der Literatur
In [79] wurde ein D-AWG wie oben beschrieben realisiert und die ¨
Ubertragungsfunktion
gemessen. In diesem Abschnitt werden die Messergebnisse mit den Simulationsergebnis-
sen verglichen. Deshalb wurden aus dem Artikel [79] die Parameter der Komponente
extrahiert. Einige Parameter der Komponente k¨
onnen direkt dem Artikel entnommen
werden. Andere k¨
onnen aus Ersteren direkt abgeleitet werden.
5.4.1.1 Die Parameter der Komponente
Die Komponente wurde in Glas auf Silizium realisiert. Der effektive Brechungsindex des
Schichtwellenleiters der Freistrahlzonen betr¨
agt daher ca. nS= 1,45.
Die Phasensignatur der Linse wird mit einer Anordnung aus Heizstreifen erzeugt. Diese
5 DAS DOPPEL-AWG 108
erzeugen ein n¨
aherungsweise parabolisches Temperaturprofil. Durch den thermoopti-
schen Effekt resultiert daraus ein entsprechendes Brechzahlprofil, welches dann die Pha-
sensignatur realisiert. Mit dieser Anordnung kann nur ein Vorzeichen der Kr¨
ummung
der parabolischen Phasensignatur realisiert werden.
Dieses Vorzeichen legt fest, in welche Richtung die Dispersion ver¨
andert werden kann
(siehe Gl.(5.42)). Es ist sinnvoll, eine positive Kr¨
ummung zu w¨
ahlen, weil dann, ausge-
hend von der negativen intrinsischen Dispersion der Komponente, diese erh¨
oht werden
kann. Es ist dann m¨
oglich, die Dispersion in einem Bereich um Null herum einstellbar
zu machen.
Es wird also eine positive Kr¨
ummung gew¨
ahlt, d.h. es wird eine Sammellinse mit ein-
stellbarer Brennweite erzeugt.
Der Stellbereich der Dispersion soll D0=±200 ps
nm sein. D.h. die intrinsische Dispersion
soll Dintr =−200 ps
nm betragen. Mit Hilfe der thermischen Linse kann dieser Wert nur
erh¨
oht werden.
Die Komponente hat einen freien Spektralbereich von ∆fFSR = 200 GHz bzw.
∆λFSR = 1,6nm. Daraus folgt eine Gitterordnung von m= 967.
Die Zentralwellenl¨
ange betr¨
agt λC= 1,5552 µm (siehe Abb.5.13).
Der Mittenabstand der Gitterwellenleiter in der Apertur betr¨
agt dW= 22,5µm.
Die beiden AWGs bestehen aus jeweils M= 30 Gitterwellenleitern.
Die Linse hat eine L¨
ange von LLINSE = 5500 µm. Die Breite der Linse wird im Artikel
mit BLINSE = 350 µm angegeben. Allerdings wird auch derjenige Bereich der ¨
Ubertra-
gungsfunktion angegeben, in dem die Gruppenlaufzeit einen linearen Verlauf hat. Dieser
betr¨
agt ∆fGDBW = 88 GHz. Diese Angabe und die Vermutung, dass nicht die ganze Breite
der thermischen Linse einen nahezu parabolischen Phasenverlauf erzeugen wird, geben
Anlass dazu, in der Simulation die Breite der Linse auf BLINSE = 316,8µm festzulegen.
Das ist genau die Breite, ¨
uber die sich das Bild in der Fokalebene bewegt, wenn sich die
Frequenz um 88 GHz ¨
andert.
Aus den bisherigen Angaben l¨
asst sich mit Gl.(5.38) die L¨
ange der Freistrahlzonen be-
rechnen. Diese betr¨
agt L= 15182 µm. Die L¨
ange des mittleren Stern-Kopplers, der die
Linse enth¨
alt, ist dann 2L.
Diese L¨
ange L, die in der bisherigen Beschreibung auch die L¨
ange der 1. und 3. Frei-
strahlzone f¨
ur die Ein- und Auskopplung ist (siehe Abb.5.1), ist viel zu groß, als dass dies
hier der Fall sein k¨
onnte. Die Verluste w¨
aren zu groß. Offensichtlich wurde eine gerin-
gere L¨
ange f¨
ur die 1. und 3. Freistrahlzone gew¨
ahlt. An dieser Stelle wird die Annahme
gemacht, dass die Wellenleiter in den Aperturen der 1. und 3. Freistrahlzonen den oben
genannten Abstand dW= 22,5µm haben und der Parameter bder Ausleuchtung b= 1
sein soll. Es ergibt sich damit als L¨
ange der 1. und 3. Freistrahlzone LEIN/AUS = 3769 µm.
F¨
ur die 1
e-Breite des Wellenleitermodes wurde empirisch ein Wert von wG= 7,22 µm
ermittelt. Dies ist der Wert, den die aufgetaperten Wellenleiter an der Apertur aufwei-
sen.
In Tabelle 5.1 sind die Parameter f¨
ur den D-AWG noch einmal zusammengefasst.
5 DAS DOPPEL-AWG 109
Tabelle 5.1: Parameter des in [79] realisierten D-AWGs
freier Spektralbereich ∆fFSR =200 GHz
freier Spektralbereich ∆λFSR =1,6nm
Zentralwellenl¨ange λC=1,5552 µm
Gitterordnung m=967
effektiver Brechungsindex im Schichtwellenleiter nS=1,45
L¨ange der mittleren Freistrahlzone L=15182 µm
Mittenabstand der Gitterwellenleiter in der Apertur dW=22,5µm
Modenfeldradius wG=7,22 µm
intrinsische Dispersion Dintr =−200 ps
nm
Anzahl Gitterwellenleiter M=30
L¨ange der Linse LLINSE =5500 µm
Breite der Linse BLINSE =316,8µm
Bereich mit linearer Gruppenlaufzeit ∆fGDBW =88 GHz
L¨ange der 1.und 3.Freistrahlzone LEIN/AUS =3769 µm
5.4.1.2 Numerische Berechnung
Um die Ergebnisse des Simulationsprogramms f¨
ur den D-AWG zu verifizieren, werden die
Messergebnisse aus [79] mit den Simulationsergebnissen verglichen. In [79] werden Mess-
kurven der Transmission und Gruppenlaufzeit ¨
uber der Wellenl¨
ange f¨
ur drei verschiedene
Dispersionswerte gezeigt: f¨
ur die intrinsische Dispersion, f¨
ur den Fall Dsoll = 0 ps
nm und den
Fall Dsoll =−Dintr. Konkret bedeutet das, dass die F¨
alle Dsoll =−200 ps
nm ,Dsoll = 0 ps
nm
und Dsoll = +200 ps
nm gemessen wurden.
- 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
P h a s e n v e r s c h i e b u n g i n r a d
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
Abbildung 5.12: Phasensignaturen der thermischen Linse des D-AWG aus [79] f¨
ur drei ver-
schiedene Dispersionswerte.
Um diese F¨
alle nachzusimulieren, werden zun¨
achst drei Werte f¨
ur Dsoll bestimmt, die
5 DAS DOPPEL-AWG 110
f¨
ur die Simulation zu verwenden sind. Diese Werte sind: Dsoll =−200 ps
nm ,Dsoll = 0 ps
nm
und Dsoll = +300 ps
nm . Warum f¨
ur den letzten Wert Dsoll = +300 ps
nm gew¨
ahlt wurde statt
Dsoll = +200 ps
nm , wird im Folgenden erl¨
autert werden.
Aus diesen drei Werten f¨
ur Dsoll werden dann mit Gl.(5.43) die zugeh¨
origen Werte f¨
ur a2
bestimmt und die entsprechenden Phasensignaturen der thermischen Linse berechnet.
Abb.5.12 zeigt die berechneten Phasensignaturen f¨
ur den D-AWG. Die Phasensignatur
ist nur im Intervall [−BLINSE
2,+BLINSE
2] parabolisch und sonst konstant. Insbesondere der
maximale Wert der Phasenverschiebung f¨
ur den Fall Dsoll = +300 ps
nm , der knapp 25 rad
betr¨
agt, stimmt gut mit dem im Artikel [79] genannten Wert von 6.5π rad ≈20,4rad
¨
uberein.
Durch die oben beschriebene Vorgehensweise sind nun alle Parameter bekannt und die
¨
Ubertragungsfunktion wird f¨
ur die drei genannten Dispersionswerte, wie in Abschnitt
5.3.2 beschrieben, berechnet. Abb.5.13 zeigt die Messergebnisse aus [79] und die Simu-
lationsergebnisse.
- 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6
- 2 0
- 1 5
- 1 0
- 5
T r a n s m i s s i o n i n d B
G r u p p e n l a u f z e i t i n p s
D l i n n m
D l i n n m
- 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6
200
250
300
350
400
a ) b )
Abbildung 5.13: Vergleich von Mess- und Simulationsergebnissen. Teil (a) der Abbildung
zeigt die Messergebnisse der Komponente aus [79]. Teil (b) der Abbildung zeigt die zugeh¨
origen
Simulationsergebnisse.
5.4.1.3 Diskussion der Ergebnisse
Die Gruppenlaufzeit in der Simulation (siehe Abb.5.13b)) hat f¨
ur alle Dispersionswerte
innerhalb eines Intervalls von ca. 0,6nm einen nahezu linearen Verlauf. Innerhalb dieses
Wellenl¨
angenintervalls durchl¨
auft das Licht beim Durchqueren der zweiten Freistrahlzo-
ne die Linse. F¨
ur die Wellenl¨
angen außerhalb des genannten Intervalls trifft dies nicht
zu und die Linse ist f¨
ur das Licht dieser Wellenl¨
angen unwirksam. Die Gruppenlaufzeit
folgt daher außerhalb dieses Intervalls dem intrinsischen Verlauf.
5 DAS DOPPEL-AWG 111
Die Steigung des linearen Verlaufes der Gruppenlaufzeit ist die Dispersion der Kompo-
nente. Die erhaltenen Dispersionswerte Dist in der Simulation stimmen nicht mit den
geforderten Werten Dsoll ¨
uberein, sondern sind immer kleiner als die geforderten Werte.
Die Differenz zwischen Dsoll und Dist ist umso gr¨
oßer, je gr¨
oßer die geforderte Dispersion
ist. Die Ursache f¨
ur diesen Effekt liegt in der Ausdehnung der Linse in Ausbreitungs-
richtung, die im analytischen Modell nicht ber¨
ucksichtigt wurde. Eine anschauliche Er-
kl¨
arung gibt Abb.5.14. Dort ist die normierte elektrische Feldst¨
arke in der Farbe codiert
¨
uber dem Ort innerhalb der Linse aufgetragen. Es wurde erstens der Fall der intrinsi-
schen Dispersion Dsoll =Dintr =−200 ps
nm betrachtet, bei dem die Linse ausgeschaltet ist.
Zweitens wurde der Fall einer sehr hohen Soll-Dispersion Dsoll = +400 ps
nm betrachtet, bei
dem die Linse eine hohe Kr¨
ummung der quadratischen Phasensignatur aufweist. F¨
ur je-
den dieser beiden F¨
alle wurden wiederum drei Wellenl¨
angen betrachtet: ∆λ=−0,3nm,
∆λ= 0 und ∆λ= +0,3nm (vergleiche mit Abb.5.4a) und c)).
0
0,01125
0,02250
0,03375
0,04500
0,05625
0,06750
0,07875
0,09000
-2000 -1000 0 1000 2000
-400
-300
-200
-100
0
100
-2000 -1000 0 1000 2000
-300
-200
-100
0
100
200
300
-2000 -1000 0 1000 2000
-100
0
100
200
300
400
-2000 -1000 0 1000 2000
-400
-300
-200
-100
0
100
-2000 -1000 0 1000 2000
-300
-200
-100
0
100
200
300
-2000 -1000 0 1000 2000
-100
0
100
200
300
400
Ort z in µm
Ort x in µm
4
D = +400ps/nm
= -0.3nm
D = +400ps/nm
= 0
D = +400ps/nm
= +0.3nm
D = -200ps/nm
= -0.3nm
D = -200ps/nm
= 0
D = -200ps/nm
= +0.3nm
Ort x in µm
4
Ort z in µm
Ort z in µm
Ort x in µm
4
Ort z in µm
Ort x in µm
4
Ort x in µm
4
Ort z in µm
Ort z in µm
Ort x in µm
4
soll
soll
soll
soll
soll
soll
Abbildung 5.14: Die Abbildungen zeigen in der Farbe codiert die Verteilung der normierten
Feldst¨
arke ¨
uber dem Ort innerhalb der Linse. Die drei linken Abbildungen zeigen den Fall der
aktivierten Linse f¨
ur eine Soll-Dispersion von Dsoll = 400 ps
nm . Die drei rechten Abbildungen
zeigen den intrinsischen Fall einer ausgeschalteten Linse.
F¨
ur die beiden F¨
alle mit ∆λ= 0 tritt das Licht an der Stelle x4= 0 in die Linse ein,
durchl¨
auft sie geradlinig und tritt an der Stelle x4= 0 wieder aus der Linse aus. F¨
ur alle
F¨
alle mit Dsoll =Dintr ist der Verlauf des Lichtes durch die Linse ein geradliniger (verglei-
che auch Abb.5.2). Die beiden interessanten F¨
alle sind diejenigen mit Dsoll = +400 ps
nm
und ∆λ=±0,3nm. Betrachten wir zum Beispiel den Fall ∆λ=−0,3nm. Mit Gl.(5.8)
ergibt sich als Position x4(∆λ), an der das Licht auf der Fokalebene bei z= 0 fokussiert,
x4(∆λ) = +140 µm. W¨
urde das Licht auf dieser H¨
ohe waagerecht durch die Linse laufen,
w¨
urde es genau die theoretisch berechnete Phasenverschiebung erfahren. Es l¨
auft aber
5 DAS DOPPEL-AWG 112
nicht waagerecht durch die Linse, sondern der Lichtweg beschreibt einen Bogen, der so-
gar immer unterhalb von x4(∆λ) = +140 µm verl¨
auft. Die Phasenverschiebung, die das
Licht dadurch erf¨
ahrt, ist also kleiner als der in der Theorie berechnete Wert. Dasselbe
gilt somit auch f¨
ur die Dispersion. Der Effekt ist umso st¨
arker, je st¨
arker die Kr¨
ummung
der quadratischen Phasensignatur ist bzw. je gr¨
oßer die Soll-Dispersion ist.
In [80] wurde ein weiterer Effekt beschrieben, der bewirkt, dass die gemessene Disper-
sion kleiner ist als erwartet. Dieser ’self-flattening-effect’ der thermischen Linse entsteht
dadurch, dass sich der spezifische Widerstand der Heizstreifen der thermischen Linse mit
der Temperatur ¨
andert und die verschiedenen Heizstreifen aber im Betrieb unterschied-
liche Temperaturen aufweisen. Das erzeugte parabolische Temperaturprofil der Linse
wird dadurch flacher als aufgrund der zugef¨
uhrten Leistung erwartet. Die messbare Aus-
wirkung des ’self-flattening-effect’ ist dieselbe wie die des oben beschriebenen Effektes
der langen Linse. Es handelt sich aber um zwei verschiedene Effekte mit unterschiedli-
chen Ursachen.
Die simulierten Verl¨
aufe der Transmission zeigen prinzipiell eine große ¨
Ahnlichkeit mit
den gemessenen Verl¨
aufen. Es gibt aber auch starke Abweichungen. Die Werte der Trans-
mission bei der Zentralwellenl¨
ange liegen bei den gemessenen Werten bei ca. −7dB bis
−9dB. Die entsprechenden Werte der Simulation sind ca. −4,5dB. Dieser Unterschied
wird in [80] mit durch den Herstellungsprozess bedingten Phasenfehlern im Wellenlei-
tergitter begr¨
undet. Weiterhin sind in der Simulation keine Verluste wie z.B. Wellenlei-
terverluste oder Koppelverluste bei der Faser-Chip-Kopplung ber¨
ucksichtigt.
Ein weiterer Unterschied zwischen Messung und Simulation ist die Phasensignatur. F¨
ur
die Simulation wurde eine ideale Parabel angenommen, die in dem Bereich außerhalb der
Linse, auf einen konstanten Phasenverlauf abknickt (siehe Abb.5.12). Die Phasensignatu-
ren der realen thermischen Linse werden nicht so aussehen. Die realen Phasensignaturen
werden qualitativ den Verlauf des von den Heizstreifen erzeugten Temperaturprofils auf-
weisen. Dieses Profil wird im relevanten Bereich, in der Mitte der Linse, parabolisch sein,
wie gefordert, am Rande jedoch den Verlauf einer abklingenden Exponentialfunktion auf-
weisen statt pl¨
otzlich auf einen konstanten Verlauf abzuknicken. Dieser Unterschied in
den Phasensignaturen macht sich insbesondere bemerkbar im Simulationsergebnis f¨
ur
den Fall Dsoll = +300 ps
nm . Die gemessene und die simulierte Transmissionskurve zeigen
zwar eine gute qualitative ¨
Ubereinstimmung mit den kleinen ¨
Uberh¨
ohungen des Verlaufes
am Rande; quantitativ gibt es jedoch große Abweichungen, die durch die unterschiedli-
chen Phasensignaturen in der Realit¨
at und der Simulation erkl¨
art werden k¨
onnen.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die numerischen Berechnungen gute
¨
Ubereinstimmung mit der Messung zeigen. Diese k¨
onnte vermutlich noch verbessert
werden, wenn der Verlauf der Phasensignatur der thermischen Linse der Realit¨
at besser
angepasst werden w¨
urde.
5 DAS DOPPEL-AWG 113
5.4.2 Beispiel auf SOI
In diesem Abschnitt wird der Entwurf einer Komponente vorgestellt, deren Realisierung
am Institut f¨
ur Hochfrequenztechnik und Halbleiter-Systemtechnologien der Technischen
Universit¨
at Berlin geplant ist.
5.4.2.1 Die Parameter der Komponente
Die Materialbasis, auf der die Komponente realisiert werden soll, ist SOI. Der Brechungs-
index innerhalb des Schichtwellenleiters der Freistrahlzonen betr¨
agt daher nS= 3,5.
F¨
ur den freien Spektralbereich wird ∆fFSR = 200 GHz bzw. ∆λFSR = 1,6nm gew¨
ahlt.
Daraus ergibt sich die Gitterordnung m= 967.
Die Zentralwellenl¨
ange betr¨
agt λC= 1,55 µm.
Durch die Technologie vorgegeben sind die Werte f¨
ur den Modenfeldradius wG= 3 µm
und den Abstand der Gitterwellenleiter in der Apertur wG= 10 µm.
An dieser Stelle wird statt einer 3 dB-Bandbreite, die die Komponente aufweisen soll,
die intrinsische Dispersion vorgegeben: Dintr =−100 ps
nm .
Aus den bisher gegebenen Werten l¨
asst sich nun mit Gl.(5.38) die L¨
ange Lder Frei-
strahlzonen berechnen. Es ergibt sich L= 3738,4µm.
Verwendung von Gl.(4.61) liefert mit der Annahme b= 1 die ben¨
otigte Anzahl der
Gitterwellenleiter: M= 35.
Eine Linsenbreite BLINSE = 160 µm f¨
uhrt dazu, dass die Linse f¨
ur den gesamten freien
Spektralbereich von ∆fFSR = 200 GHz bzw. ∆λ= 1,6nm wirksam ist. In Anlehnung an
Abschnitt 5.4.1 folgt dann f¨
ur den Bereich der ¨
Ubertragungsfunktion in dem ein linearer
Verlauf der Gruppenlaufzeit erwartet wird: ∆fGDBW = 200 GHz. Eine Halbierung der
Breite der Linse auf BLINSE = 80 µm w¨
urde diesen Bereich ebenfalls auf ∆fGDBW =
100 GHz halbieren. Dies ist f¨
ur ein 40 Gb/s-Signal v¨
ollig ausreichend. F¨
ur die folgende
numerische Untersuchung werden deshalb diese beiden F¨
alle betrachtet.
Bevor die L¨
ange LLINSE bestimmt werden kann, werden zun¨
achst die Phasensignatu-
ren berechnet, die zum Einstellen bestimmter Dispersionswerte erforderlich sind. Mit
Gl.(5.43) werden die jeweiligen Koeffizienten a2berechnet. Die Ergebnisse zeigt Abb.5.15.
Hier erst ist deutlich der Vorteil der schmaleren Linse zu erkennen. Um eine Disper-
sion von Dsoll = +100 ps
nm einzustellen, ist bei der breiten Linse eine maximale Pha-
senverschiebung von ∆ϕmax = 50 rad notwendig. Bei der schmalen Linse sind es nur
∆ϕmax = 12,5rad. Da die Phasensignaturen mit Hilfe eines Temperaturgradienten unter
Ausnutzung des thermooptischen Effektes erzeugt werden sollen, bedeutet eine kleinere
maximale Phasenverschiebung eine geringere Temperaturdifferenz zwischen Rand und
Mitte der Linse. Die notwendige Temperaturdifferenz h¨
angt von der notwendigen Pha-
senverschiebung und der L¨
ange der Linse ab. Es gilt:
5 DAS DOPPEL-AWG 114
- 1 0 0 - 5 0 0 5 0 1 0 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
- 1 0 0 - 5 0 0 5 0 1 0 0
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
P h a s e n v e r s c h i e b u n g
D j
i n r a d
P h a s e n v e r s c h i e b u n g
D j
i n r a d
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
O r t x a u f d e r F o k a l e b e n e i n µ m
4
a ) b )
: D = - 1 0 0 p s / n m
s o l l
: D = 0 p s / n m
s o l l
: D = + 1 0 0 p s / n m
s o l l
Abbildung 5.15: Phasensignaturen f¨
ur die breite (a) und die schmale (b) Linse. Es sind die
Phasensignaturen f¨
ur jeweils drei verschiedene Dispersionswerte gezeigt.
∆ϕ=2π
λC·∆n·LLINSE .(5.50)
Dabei ist ∆ϕdie zwischen Mitte und Rand der Linse bestehende Phasenverschiebung
und ∆nder entsprechende Brechzahlunterschied. In dem hier betrachteten Fall wird
∆ndurch eine Temperaturdifferenz und den thermooptischen Effekt erzeugt. Es gilt
somit:
∆n=∂n
∂T ·∆T . (5.51)
Dabei ist ∂n
∂T der thermooptische Koeffizient und ∆Tdie Temperaturdifferenz, die zu der
geforderten Brechzahldifferenz f¨
uhrt.
Einsetzen von Gl.(5.51) in Gl.(5.50) ergibt:
∆ϕ=2π
λC·∂n
∂T ·∆T·LLINSE (5.52)
⇔LLINSE =∆ϕ·λC
2π·∆T·∂n
∂T
.(5.53)
Wird eine maximal zul¨
assige Temperaturdifferenz ∆Tvorgegeben und ist der thermo-
optische Koeffizient ∂n
∂T bekannt, so kann mit Gl.(5.53) die notwendige L¨
ange der Linse
berechnet werden.
Es wird nun die L¨
ange der breiten Linse berechnet. F¨
ur die maximal zul¨
assige Tem-
peraturdifferenz wird zun¨
achst ∆T= 80 Kgew¨
ahlt. F¨
ur ∆ϕ= 50 rad,λC= 1,55 µm,
5 DAS DOPPEL-AWG 115
∆T= 80 Kund ∂n
∂T = 1,86 ·10−4K−1f¨
ur Silizium ergibt sich eine L¨
ange der Linse
von LLINSE = 829 µm. F¨
ur die folgenden Simulationen wird LLINSE = 800 µm gew¨
ahlt,
was eine korrigierte maximale Temperaturdifferenz von ∆T= 83 Kzur Folge hat. Die
schmale Linse erh¨
alt dieselbe L¨
ange. Da die notwendige maximale Phasenverschiebung
bei der schmalen Linse nur ∆ϕ= 12.5rad betr¨
agt, wird ∆T= 20,7K.
In Tabelle 5.2 sind die Parameter f¨
ur den geplanten D-AWG auf SOI noch einmal zu-
sammengefasst.
Tabelle 5.2: Parameter des geplanten Doppel-AWGs auf SOI.
freier Spektralbereich ∆fFSR =200 GHz
freier Spektralbereich ∆λFSR =1,6nm
Zentralwellenl¨ange λC=1,55 µm
Gitterordnung m=967
effektiver Brechungsindex im Schichtwellenleiter nS=3,45
L¨ange der mittleren Freistrahlzone L=3738,4µm
Mittenabstand der Gitterwellenleiter in der Apertur dW=10 µm
Modenfeldradius wG=3 µm
intrinsische Dispersion Dintr =−100 ps
nm
Anzahl Gitterwellenleiter M=35
L¨ange der Linse LLINSE =800 µm
Breite der Linse BLINSE =80 µm, 160 µm
Bereich mit linearer Gruppenlaufzeit ∆fGDBW =100 GHz, 200 GHz
5.4.2.2 Numerische Berechnung
F¨
ur die beschriebene Komponente wird die ¨
Ubertragungsfunktion, wie in Abschnitt
5.3.2 erl¨
autert, numerisch berechnet. Es werden dabei drei Werte f¨
ur die gew¨
unschte
Dispersion betrachtet: Dsoll =−100 ps
nm ,0ps
nm ,und +100 ps
nm . Mit Gl.(5.43) werden die
entsprechenden Koeffizienten a2f¨
ur die notwendigen Phasensignaturen berechnet. Die
Phasensignaturen f¨
ur die bereite und schmale Linse sind in Abb.5.15 gezeigt.
Die Ergebnisse der Berechnungen zeigt Abb.5.16.
5.4.2.3 Diskussion der Ergebnisse
Die Verl¨
aufe der Transmission und der Gruppenlaufzeit τGR stimmen im Intervall von
∆λ≈ −0,4nm . . . + 0,4nm ¨
uberein. In diesem Intervall sind sowohl die breite als
5 DAS DOPPEL-AWG 116
D = - 1 0 0 p s / n m
s o l l
D l i n n m
T r a n s . i n d B
- 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
- 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
- 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
- 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8
- 1 4
- 1 2
- 1 0
- 8
- 6
T r a n s . i n d B
D l i n n m
D l i n n m
D l i n n m
a ) b )
D = - 9 9 , 9 p s / n m
i s t
:
D = 0 p s / n m
s o l l
D = - 6 , 6 p s / n m
i s t
:
D = + 1 0 0 p s / n m
s o l l
D = + 7 4 , 6 p s / n m
i s t
:
t i n p s
G R
t i n p s
G R
Abbildung 5.16: Transmission und Gruppenlaufzeit τGR f¨
ur den D-AWG auf SOI f¨
ur den
Fall der breiten (a) und der schmalen (b) Linse.
auch die schmale Linse f¨
ur das Licht wirksam. Außerhalb des genannten Intervalls fol-
gen Transmission und Gruppenlaufzeit der Komponente mit der schmalen Linse dem
intrinsischen Verlauf. Die Verl¨
aufe der Gruppenlaufzeit sind im jeweils wirksamen Wel-
lenl¨
angenintervall linear. F¨
ur die Werte der Dispersion gilt hier aus denselben Gr¨
unden
wie schon im Abschnitt 5.4.1, dass der tats¨
achliche Dispersionswert Dist immer kleiner
ist als der gew¨
unschte Wert der Dispersion Dsoll; abgesehen vom intrinsischen Fall. Die
3 dB-Bandbreite betr¨
agt f¨
ur den Fall Dist =−99,9ps
nm ca. ∆λ3 dB = 0,8nm. Diese Band-
breite ist h¨
oher als die in Abschnitt 1.5 geforderte Bandbreite zum ¨
Ubertragen eines
40 Gb/s-Signales. In allen anderen F¨
allen ist die Bandbreite noch h¨
oher.
Diese Simulationsergebnisse lassen die Aussage zu, dass diese Komponente mit den in
Tabelle 5.2 gezeigten Parametern die Forderungen aus Abschnitt 1.5 erf¨
ullt. F¨
ur eine
Realisierung auf SOI am Institut f¨
ur Hochfrequenztechnik und Halbleitersystemtechno-
logien der TU Berlin wurde bereits eine geeignete thermische Linse entworfen.
6 Zusammenfassung
Das Thema dieser Arbeit war die Untersuchung von AWGs und D-AWGs hinsichtlich
ihrer Eignung als Komponente mit einstellbarer chromatischer Dispersion.
Aus den verschiedenen in Kapitel 1.4.2 vorgestellten Konzepten wurden diese beiden
ausgew¨
ahlt, weil sie integriert optisch realisierbar sind und es weiterhin m¨
oglich schien,
mit nur einem Freiheitsgrad f¨
ur die Steuerung, die Dispersion einstellen zu k¨
onnen.
In Kapitel 2 wurden zun¨
achst die Methoden f¨
ur die anzustellenden Berechnungen vor-
gestellt.
F¨
ur die Realisierung geeignete Wellenleiterkonzepte wurden in Kapitel 3 gezeigt.
Im Kapitel 4 wurde das AWG auf seine Eignung als adaptiver Dispersionskompensator
ausf¨
uhrlich untersucht. Zun¨
achst wurde die ¨
Ubertragungsfunktion analytisch mit Hilfe
eines FIR-Filter-Ansatzes berechnet. Dieser lieferte jedoch keine Aussage ¨
uber die Ver-
luste der Komponente. Daher wurde die ¨
Ubertragungsfunktion noch einmal mit Hilfe
der Fourier-Optik berechnet. Um zu kl¨
aren, ob die bei der Herleitung der analytischen
Ausdr¨
ucke gemachten Vernachl¨
assigungen zul¨
assig waren, wurden die analytischen Er-
gebnisse mit numerischen Berechnungen verglichen. Es zeigte sich, dass f¨
ur den interes-
sierenden Bereich des Parameterraumes die analytischen Ergebnisse verwendet werden
k¨
onnen, um g¨
ultige Aussagen zu erhalten. Die wesentliche Aussage war jedoch die, dass
die Verluste der Komponente abh¨
angig sind vom eingestellten Dispersions-Bandbreite-
Produkt nicht aber vom FSR oder der Anzahl der Gitterwellenleiter. F¨
ur das von uns
geforderte Dispersions-Bandbreite-Produkt von 25 ps ·nm und realistischen Technolo-
gieparametern ergaben sich D¨
ampfungswerte von ca. 11 dB. Dieser Wert ist unakzepta-
bel hoch und das Konzept wurde als ungeeignet eingestuft. Weil in der Literatur eine
Komponente, die nach diesem Konzept arbeitet, vorgestellt wurde, wurden die ver¨
offent-
lichten Messwerte der realisierten Komponente mit den numerischen und analytischen
Aussagen dieser Arbeit verglichen und eine gute ¨
Ubereinstimmung festgestellt. Diese
Best¨
atigung durch Messwerte festigte jedoch nur die Aussage, dass das Konzept unge-
eignet ist die geforderten Parameter umzusetzen, denn auch die gefertigte Komponente
konnte diese nicht erreichen.
Da die in Abschnitt 1.5 geforderten Parameter f¨
ur den Dispersionskompensator nicht er-
reicht wurden, wurde in Kapitel 5 das D-AWG untersucht. Zun¨
achst wurden der Aufbau
und das Funktionsprinzip der Komponente erl¨
autert. Es wurden dann analytische Un-
tersuchungen angestellt, die ergaben, dass das D-AWG mit einer parabolischen Phasen-
signatur der Linse in der Mitte der gemeinsamen Freistrahlzone bei entsprechender Wahl
der weiteren Parameter die geforderten Spezifikationen erf¨
ullen kann. Durch eine genaue
numerische Untersuchung der verteilten Linse in der Mitte der gemeinsamen Freistrahl-
zone konnte die Ursache f¨
ur einen Effekt gekl¨
art werden, der bewirkt, dass die numerisch
117
6 ZUSAMMENFASSUNG 118
berechnete Dispersion der Komponente immer etwas kleiner ist als der theoretisch ermit-
telte Wert. Die Messergebnisse einer in der Literatur vorgestellten Komponente konnten
numerisch nachvollzogen werden, wodurch die G¨
ultigkeit der Simulationsergebnisse noch
einmal best¨
atigt wurde. Abschließend wurden geeignete Parameter bestimmt, mit de-
nen ein Dispersionskompensator auf der Basis von SOI gefertigt werden kann. Diese
Technologie liegt am Institut f¨
ur Hochfrequenz- und Halbleitersystemtechnologien der
Technischen Universit¨
at Berlin vor und die Fertigung und Messung der Komponente ist
der n¨
achste geplante Schritt.
A Der Mehrschichtwellenleiter
Das Problem des Schichtwellenleiters aus Abschnitt 2.2 ist erweiterbar auf eine beliebige
Anzahl von Schichten k. Abbildung A.1 zeigt den entsprechenden Mehrschichtwellenlei-
ter. Er besteht wie der oben behandelte Schichtwellenleiter auch aus einer Substrat- und
einer Deckschicht. Zwischen diesen beiden Schichten befinden sich kSchichten mit den
Brechungsindices n1bis nkund den Schichtdicken h1bis hk. Gesucht sind die gef¨
uhrten
Moden der Struktur.
h1
h2
h3
h( k - 1 )
hk
nc
n1
n2
n3
n( k - 1 )
nk
y
z
x
ns
Abbildung A.1: Schematische Darstellung eines Mehrschichtwellenleiters in kartesischen Ko-
ordinaten mit kSchichten. Die Schichten haben die H¨
ohen h1bis hkund die Brechungsindices
n1bis nk. Die unterste Schicht mit dem Brechungsindex nsist das Substrat und die oberste
Schicht mit dem Brechungsindex ncist die Deckschicht.
Bei dieser Struktur gibt es ebenfalls TE- und TM-Moden. Die Vorgehensweise, die gelten-
den Gleichungen und verwendeten Ans¨
atze sind dieselben wie im Abschnitt 2.2. Einzig
die Berechnung der Ausbreitungskonstanten βscheint zun¨
achst etwas unhandlich.
Mit Hilfe der in Abschnitt 2.2 gezeigten Ans¨
atze kann ein Zusammenhang zwischen
den tangentialen Feldkomponenten am Anfang einer Schicht und denen am Anfang der
n¨
achsten Schicht hergestellt werden [177, Kap.3.3]. F¨
ur die TE-Moden gilt:
ÃEy0,(p+1)
Hz0,(p+1) !="cos (kx,php)jωµ0
kx,psin (kx,php)
jkx,p
ωµ0sin (kx,php) cos (kx,php)#
| {z }
MT E,p (β)
·ÃEy0,p
Hz0,p!,(A.1)
119
A DER MEHRSCHICHTWELLENLEITER 120
mit kx,p(β) = pk2
0n2
p−β2.
Dabei sind Ey0,(p+1) und Hz0,(p+1) die tangentialen Feldkomponenten des TE-Modes am
Anfang der (p+1)-ten Schicht. Ey0,pund Hz0,psind dementsprechend die Feldkomponen-
ten am Anfang der p-ten Schicht. Die genannten Feldkomponenten sind ¨
uber die Matrix
MTE,p(β) miteinander verkoppelt. Diese Matrix heißt ’Transfermatrix’ und die hier be-
schriebene Methode wird deshalb auch ’Transfermatrixmethode’ genannt. Die Matrix
MTE,p(β) h¨
angt nur von der Dicke hp, dem Brechungsindex npder p-ten Schicht und der
noch unbekannten Ausbreitungskonstanten βab.
Das Matrizenprodukt der Transfermatrizen aller Schichten gibt einen Zusammenhang
zwischen den Feldgr¨
oßen in Substrat und Deckschicht an. Zun¨
achst wird definiert:
MT E (β)≡"m11 (β)m12 (β)
m21 (β)m22 (β)#=
k
Y
p=1
MT E,p (β).(A.2)
Die Matrix MTE(β) ist die Transfermatrix f¨
ur den gesamten Mehrschichtwellenleiter.
Durch Verwendung des Ansatzes (2.15) in jeder Schicht inklusive Substrat und Deck-
schicht und weiterhin der Forderung nach exponentiell abklingenden L¨
osungen in Sub-
strat und Deckschicht ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung f¨
ur die Ausbreitungs-
konstante β[177, Kap.3.3]:
kx,c(β)m11 (β) + kx,s(β)m22 (β)−kx,c(β)kx,s(β)m12 (β)
ωµ0−ωµ0m12 (β) = 0 (A.3)
mit
kx,c(β) = pk2
0n2
c−β2und kx,s(β) = pk2
0n2
s−β2.
Diese Gleichung ist die Dispersionsrelation f¨
ur die TE-Moden des beschriebenen Mehr-
schichtwellenleiters. Wird in Gl.(A.3) die Kreisfrequenz ωvorgegeben, ist die Ausbrei-
tungskonstante βdie einzige Unbekannte. Die Dispersionsrelation ist eine transzendente
Gleichung, f¨
ur die keine analytischen L¨
osungen existieren. Sie muss deshalb mit einem
numerischen Verfahren zur Nullstellensuche gel¨
ost werden. Wenn βbekannt ist, kann
die komplette Feldl¨
osung im Mehrschichtwellenleiter abgeleitet werden.
F¨
ur die TM-Moden ist die Vorgehensweise analog. Die Transfermatrix einer Schicht f¨
ur
TM-Moden lautet:
ÃHy0,(p+1)
Ez0,(p+1) !="cos (kx,php)jωε0n2
kx,psin (kx,php)
jkx,p
ωε0n2sin (kx,php) cos (kx,php)#
| {z }
MT M,p (β)
·ÃHy0,p
Ez0,p!.(A.4)
A DER MEHRSCHICHTWELLENLEITER 121
F¨
ur die Dispersionsrelation der TM-Moden ergibt sich damit:
kx,c(β)
n2
c
m11 (β)−kx,c(β)kx,s(β)
n2
cn2
sωε0
m12 (β)−ωε0m21 (β) + kx,s(β)
n2
s
m22 (β) = 0 .(A.5)
B Berechnung der ¨
Ubertragungsfunktion des
Einfach-AWG mittels Fourieroptik
In diesem Abschnitt wird die ¨
Ubertragungsfunktion des Einfach-AWG mit Phasensteue-
rung durch Verwendung der Fourier-Optik berechnet [53]. Die hergeleiteten Ausdr¨
ucke
f¨
ur 3 dB-Bandbreite, Dispersion und Verluste sind mit denen aus identisch und bringen
insofern keine neuen Erkenntnisse. Die Vorgehensweise und insbesondere die Betrach-
tung der Feldverteilung in der Fokalebene des AWG vor dem Auskoppelwellenleiter und
die verwendeten N¨
aherungen sollen die Betrachtungen des Abschnittes 4.6 verdeutlichen,
in dem auf die erw¨
ahnten N¨
aherungen eingegangen wird und deren Auswirkungen auf
den G¨
ultigkeitsbereich der Analytik untersucht werden.
Weiterhin ist die hier berechnete Feldverteilung in der Fokalebene Ausgangspunkt f¨
ur
die Berechnungen des Abschnittes 5.2.
Die allgemeinen Hinweise auf die analytischen und auch numerischen Berechnungen aus
Abschnitt 5.2.1 treffen auch f¨
ur die folgenden Berechnungen zu.
Der Anfang der hier gezeigten Berechnung stimmt mit denen aus Abschnitt 4.3.2 ¨
uberein,
wird aber der Vollst¨
andigkeit halber trotzdem noch einmal gezeigt.
B.1 Die Berechnung
Abb.B.1 zeigt eine schematische Darstellung eines Einfach-AWG. Mit den Ortskoordina-
ten x1bis x4sind vier Ebenen bezeichnet, auf denen im Folgenden die Felder berechnet
werden.
Die Analyse beginnt mit dem Mode im Eingangswellenleiter. Es wird ein Gauß-Mode mit
dem 1/e-Modenfeldradius wGangenommen. Der Mode wird dann beschrieben durch
f(x1) = C·ΨWG (x1).(B.1)
Dabei ist Ceine Konstante, die proportional zur Quadratwurzel der eingespeisten Leis-
tung ist. ΨWG ist eine auf die Leistung normierte Gauß-Funktion:
122
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 123
L
x1
1 . F P R
2 . F P R
P h a s e n s t e u e r u n g
x2x3
x4
E i n g a n g s w e l l e n l e i t e r A u s g a n g s w e l l e n l e i t e r
Abbildung B.1: Schematische Darstellung eines AWG mit den verschiedenen Ebenen, an
denen das Feld berechnet wird, mit ihren jeweiligen Koordinatenbezeichnungen.
ΨWG (x1) = 4
s2
π·w2
G·exp Ã−µx1
wG¶2!.(B.2)
’Leistungsnormiert’ bedeutet f¨
ur die reelle Funktion ΨWG die G¨
ultigkeit folgender Glei-
chung:
+∞
Z
−∞
Ψ2
WG (x1)d(x1) = 1 .(B.3)
Die Ausbreitung durch die erste Freistrahlzone wird mit dem Fourierintegral nach Gl.(2.35)
berechnet:
Ψ2,FPR (x2) = rn
λC·L·
+∞
Z
−∞
ΨWG (x1)·exp µ+j·2π·n·x2
λC·L·x1¶d(x1).(B.4)
Dieses l¨
asst sich analytisch l¨
osen, und es ergibt sich:
Ψ2,FPR (x2) = 4
√2π·rwG·n
λC·L·exp Ã−µwG·π·n·x2
λC·L¶2!.(B.5)
Dieses Feld trifft auf die Apertur des Phasengitters und regt die Moden in den Gitter-
wellenleitern an. Die Anregungskoeffizienten A(r) f¨
ur die einzelnen Wellenleiter werden
durch die Berechnung des ¨
Uberlappintegrales gefunden:
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 124
A(r) =
+∞
Z
−∞
Ψ2,FPR (x2)·ΨWG (x2−r·dW)d(x5).(B.6)
Dabei ist rder Index des betrachteten Wellenleiters und wird in positiver x2-Richtung
gez¨
ahlt (siehe Abb.4.9).
Mit der Annahme, dass das anregende Feld n¨
aherungsweise konstant ¨
uber einem Mo-
denfelddurchmesser ist, ergibt sich mit den Gleichungen (B.2) und (B.6):
A(r)≈Ψ2,FPR (r·dW)·4
p2π·w2
G.(B.7)
Mit Gl.(B.7) l¨
asst sich das Feld im Wellenleitergitter direkt hinter der Apertur folgen-
dermaßen darstellen:
Ψ2,PA (x2) = 4
p2π·w2
G·¡Ψ2,FPR (x2)·δdW(x2)¢?ΨWG (x2).(B.8)
Hierbei bezeichnet ’?’ die Faltung, und der Delta-Kamm δdW(x2) ist definiert als:
δdW(x2) =
+∞
X
k=−∞
δ(x2−k·dW).(B.9)
Es wird nun noch eine Funktion ben¨
otigt, die das Phasengitter beschreibt. Die wichtige
Eigenschaft des Phasengitters ist die konstante Laufzeit- bzw. Phasen- bzw. L¨
angen-
differenz benachbarter Gitterwellenleiter. Die absolute L¨
ange der Gitterwellenleiter ist,
von den in der Realit¨
at auftretenden Verlusten einmal abgesehen, irrelevant und kann
deshalb in einer f¨
ur die Analyse und auch die numerische Auswertung g¨
unstigen Weise
gew¨
ahlt werden. An dieser Stelle wird deshalb die L¨
ange des Zentralwellenleiters l(r= 0)
auf Null festgelegt:
l(r= 0) = 0 .(B.10)
Durch diese Festlegung ergibt sich mit Gl.(4.1) f¨
ur die L¨
ange l(r) des Gitterwellenleiters
r:
l(r) = r·m·λC
nWL
.(B.11)
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 125
Dabei ist nWL der effektive Brechungsindex gem¨
aß Gl.(1.5) der Gitterwellenleiter.
Mit der Annahme, dass der effektive Brechungsindex wellenl¨
angenunabh¨
angig ist, ergibt
sich f¨
ur die Ausbreitungskonstante β(λ):
β(λ) = 2π
λ·nWL .(B.12)
Mit
λ=λC+ ∆λ(B.13)
folgt aus Gl.(B.12):
β(∆λ) = 2π
(λC+ ∆λ)·nWL .(B.14)
Mit Gl.(B.11) und Gl.(B.14) ergibt sich f¨
ur die Phasenverschiebung ϕWL (r, ∆λ) im Git-
terwellenleiter r:
ϕWL (r, ∆λ) = −l(r)·β(∆λ) (B.15)
=−2π·m·λC
(λC+ ∆λ)·r . (B.16)
Um die Abh¨
angigkeit vom Index rin eine Abh¨
angigkeit vom Ort x3auf der Apertur
(siehe Abb.B.1) umzuformen, wird die Beziehung
r=x3
dW
(B.17)
benutzt. Es ergibt sich:
ϕWL (x3,∆λ) = −2π·m·λC
(λC+ ∆λ)·µx3
dW¶.(B.18)
Das Phasengitter wird dann mit Gl.(B.18) durch die Funktion ΦPA(x3,∆λ) beschrie-
ben:
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 126
ΦPA (x3,∆λ) = exp (+j·ϕWL (x3,∆λ))
= exp µ−j·2π
(λC+ ∆λ)·λC·m·x3
dW¶.(B.19)
Bei der Ausbreitung durch das Wellenleitergitter ist neben dem Gitter an sich noch die
zus¨
atzliche quadratische Phasenverschiebung gem¨
aß Gl.(4.4) zu ber¨
ucksichtigen. Diese
wird durch die Funktion ΦQD(x3) beschrieben:
ΦQD (x3) = exp µ−j·a·µx3
dW¶
| {z }
Index r des
Wellenlei-
ters
2¶.(B.20)
Dabei beschreibt a, wie oben erw¨
ahnt, die St¨
arke der quadratischen Phasenverschiebung
und kann sowohl positiv als auch negativ sein. Der Term ( x3
dW) ist dabei gem¨
aß Gl.(B.17)
der Index rdes Gitterwellenleiters an der Stelle x3.
Das Feld am Ende des Phasengitters Ψ3(x3,∆λ) wird durch Einsetzen von Gl.(B.19)
und Gl.(B.20) in Gl.(B.8) gefunden:
Ψ3(x3,∆λ) = 4
p2π·w2
G
סΨ2,FPR (x3)·ΦPA (x3,∆λ)·ΦQD (x3)·δdW(x3)¢?ΨWG (x3).(B.21)
Mit Hilfe des Fourierintegrales nach Gl.(2.35) folgt die Berechnung der Ausbreitung
durch die zweite Freistrahlzone:
Ψ4(x4,∆λ) = rn
λC·L·
+∞
Z
−∞
Ψ3(x3,∆λ)·exp µ+j·2π·n·x4
λC·L·x3¶d(x3) (B.22)
=rn
λC·L
×
+∞
Z
−∞ n4
p2π·w2
G·¡Ψ2,FPR (x3)·ΦPA (x3,∆λ)·ΦQD (x3)·δdW(x3)¢?ΨWG (x3)o
×exp µ+j·2π·n·x4
λC·L·x3¶d(x3).(B.23)
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 127
Dieses Integral l¨
asst sich analytisch l¨
osen. Es wird der Faltungssatz der Fouriertransfor-
mation verwendet. Weiterhin wird nur die hier interessierende Ordnung m betrachtet.
Um das folgende Ergebnis zu erhalten, wurde die N¨
aherung
λC
(λC+ ∆λ)≈1
verwendet. Es ergibt sich
Ψ4(x4,∆λ) =
4
p8π·w2
G·n·π·wG
pw2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2·exp
t1
z }| {
Ã−µwG·π·n·x4
λC·L¶2!
×exp Ã−(π·n·dW·x4+π·L·m·∆λ)2
(w2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2)!
| {z }
t2
.(B.24)
Der Exponentialterm mit dem Argument t1beschreibt die Einh¨
ullende des Bildes in der
Fokalebene (siehe Abb.4.2). Der Exponentialterm mit dem Argument t2ist f¨
ur den Fall
a= 0 der Gauß-Mode des Eingangswellenleiters, der mit seinem Maximum zur Position
x4=x4M(∆λ) verschoben ist, wobei
x4M (∆λ) = −m·L·∆λ
n·dW
(B.25)
ist.
Um die noch ausstehende Berechnung des ¨
Uberlappintegrales zu vereinfachen, wird der
Klammerausdruck des Termes t1um den Punkt x4=x4M(∆λ) taylorentwickelt und nur
der konstante Term der Taylorreihe verwendet. Es ergibt sich:
Ψ4(x4,∆λ)≈
4
p8π·w2
G·n·π·wG
pw2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2·exp Ã−µwG·π·m·∆λ
λC·dW¶2!
×exp Ã−(π·n·dW·x4+π·L·m·∆λ)2
(w2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2)!.(B.26)
Durch die Berechnung des ¨
Uberlappintegrales zwischen dem Bild in der Fokalebene
Ψ4(x4,∆λ) und dem Wellenleitermode ΨWG(x4) des Auskoppelwellenleiters ergibt sich
der Anregungskoeffizient η(∆λ) f¨
ur den Wellenleitermode, der wegen der Leistungsnor-
mierung (siehe Gl.(B.3)) dem Amplituden¨
ubertragungsfaktor entspricht:
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 128
η(∆λ) =
+∞
Z
−∞
Ψ4(x4,∆λ)·ΨWG (x4)d(x4).(B.27)
Diese Integration ist analytisch durchf¨
uhrbar und es ergibt sich
η(∆λ) = 2π·n·w2
G·√π
p2w2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2·exp Ã−µwG·π·m·∆λ
λC·dW¶2!
×exp Ã−(π·L·m·∆λ)2
(2w2
G·π2·n2·d2
W+j·a·λ2
C·L2)!.(B.28)
An dieser Stelle werden wie im Abschnitt 4.3 bereits gezeigt die Gr¨
oßen gund amit
Hilfe der Gleichungen (4.36) und (4.38) durch die Parameter bund ϕAersetzt.
Einsetzen von Gl.(4.61) in Gl.(4.38) liefert:
ϕA=µL·λC
dW·wG·n·π¶2
·a·b(B.29)
⇔a=µdW·wG·n·π
L·λC¶2
·ϕA
b.(B.30)
Durch Einsetzen von Gl.(1.32), Gl.(4.61) und Gl.(B.30) in Gl.(B.28) ergibt sich:
η(∆λ) =
V(ϕA, b)
z }| {
2·wG·√π
dW·q2 + j·ϕA
b·
t3(∆λ)
z }| {
exp Ã−µwG·π·∆λ
dW·∆λFSR ¶2!
×exp Ã−(M·π·∆λ)2
4·∆λ2
FSR ·(2b+jϕA)!
| {z }
t4(∆λ)
.(B.31)
Falls √b
M¿1 gilt, was f¨
ur die folgenden Betrachtungen als geltend angenommen wird, ist
die 1
e-Breite von t3(∆λ) viel gr¨
oßer als die 1
e-Breite von t4(∆λ) und f¨
ur die Berechnung
der 3 dB-Bandbreite und der Dispersion reicht die alleinige Betrachtung der Funktion
t4(∆λ).
Das Argument der Exponentialfunktion t4(∆λ) wird zun¨
achst nach Real- und Ima-
gin¨
arteil getrennt. Es ergeben sich Amplituden- und Phasengang der Komponente, wobei
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 129
der D¨
ampfungsterm V(ϕA, b) zun¨
achst vernachl¨
assigt wird. Dieser wird sp¨
ater separat
betrachtet. Es ergibt sich:
t4(∆λ) = exp Ã−(M·π·∆λ)2
4·∆λ2
FSR ·(2b+jϕA)!
= exp Ã−(M·π·∆λ)2·2b
4·∆λ2
FSR ·(4b2+ϕ2
A)!
| {z }
Amplitude, A(∆λ)
·exp µj·(M·π·∆λ)2·ϕA
4·∆λ2
FSR ·(4b2+ϕ2
A)
| {z }
Phase, ϕ(∆λ)
¶.(B.32)
Es k¨
onnen nun Gruppenlaufzeit und Dispersion berechnet werden. F¨
ur die Gruppenlauf-
zeit τGR (∆λ) ergibt sich mit Gl.(1.7)
τGR (∆λ) = λ2
C
2π·c0·2π2·M2·∆λ
4·∆λ2
FSR ·ϕA
(4b2+ϕ2
A).(B.33)
F¨
ur die chromatische Dispersion ergibt sich mit Gl.(1.8)
D=m2·M2·π
4·c0·ϕA
(4b2+ϕ2
A).(B.34)
Mit Hilfe der Funktion A(∆λ) aus Gl.(B.32) kann die 3 dB-Bandbreite ∆λ3dB berechnet
werden. F¨
ur diese muss gelten:
A³∆λ3dB
2´= exp
−³M·π·∆λ3dB
2´2·2b
4·∆λ2
FSR ·(4b2+ϕ2
A)
=1
√2.(B.35)
Es ergibt sich:
∆λ2
3dB =4·ln (2) ·∆λ2
FSR
M2·π2·¡4b2+ϕ2
A¢
b.(B.36)
Aussagen ¨
uber die absolute D¨
ampfung |V(ϕA, b)|2, d.h. die D¨
ampfung der Zentralwel-
lenl¨
ange λCin Abh¨
angigkeit von ϕAund bk¨
onnen getroffen werden, wenn die Funktion
V(ϕA, b) aus Gl.(B.31) umgeformt wird:
B BERECHNUNG DER ¨
UBERTRAGUNGSFUNKTION DES EINFACH-AWG
MITTELS FOURIEROPTIK 130
V(ϕA, b) = 2·wG·√π
dW·q2 + j·ϕA
b
⇒V2(ϕA, b) = 4·w2
G·π
d2
W·¡2 + j·ϕA
b¢(B.37)
⇒ |V(ϕA, b)|2=4·w2
G·π
d2
W·q4 + ¡ϕA
b¢2.(B.38)
Die sich an diesen Abschnitt anschließenden ¨
Uberlegungen sind die des Abschnittes 4.6,
in dem die bei den hier durchgef¨
uhrten Berechnungen verwendeten N¨
aherungen und ihr
Einfluss auf den G¨
ultigkeitsbereich der Analytik untersucht werden.
C Symbolverzeichnis
Symbol Bedeutung
A0Amplitude
A(r) Koppelfaktoren beim AWG
aKr¨
ummung der parabolischen Phasensignatur
A, B Anregungskoeffizienten
BDoppelbrechung
bAusleuchtung beim AWG
−*
BVektor der magnetischen Induktion
CChirp-Rate im FBG
c0Vakuumlichtgeschwindigkeit
−*
DVektor der dielektrischen Verschiebung
dWMittenabstand der Gitterwellenleiter beim AWG
DDispersion
−*
EVektor der elektrischen Feldst¨
arke
GGreensche Funktion
−*
HVektor der magnetischen Feldst¨
arke
H, h Schichtdicken
H(2)
0Hankelfunktion zweiter Gattung und Nullter Ordnung
H(jω)¨
Ubertragungsfunktion
−*
JVektor der elektrischen Stromdichte
jimagin¨
are Einheit √−1
k0Wellenzahl des freien Raumes
kxWellenzahl in x-Richtung
LL¨
ange der Freistrahlzone beim AWG
mBeugungsordnung des AWG
MAnzahl Gitterwellenleiter beim AWG
MT E, MT M Transfermatrizen im Mehrschichtwellenleiter
m11, m12, m21, m22 Matrixelemente der Transfermatrix
131
C SYMBOLVERZEICHNIS 132
Symbol Bedeutung
nBrechungsindex
neff effektiver Brechungsindex
Pπelektr. Leistung f¨
ur π-Phasenverschiebung
RRadius
tπSchaltzeit f¨
ur π-Phasenverschiebung
TTemperatur in K
VD¨
ampfung
wG
1
e-Modenfeldradius
βAusbreitungskonstante
∆ Delta-Operator oder rel. Brechzahldifferenz
δn Brechzahl¨
anderung
∆fFSR,∆ωFSR,∆λFSR freier Spektralbereich
∆ϕAWG Phasenverschiebung beim AWG
∆ϕLINSE Phasensignatur beim D-AWG
∆LAWG L¨
angendifferenz beim AWG
∆xFSR r¨
aumlicher freier Spektralbereich
ε0Dielektrizit¨
atskonstante des Vakuums
εrrelative Dielektrizit¨
atskonstante
κnKoppelfaktor
λWellenl¨
ange
λCZentralwellenl¨
ange im AWG
λBBragg-Wellenl¨
ange
Λ Periode der Brechzahlschwankung im FBG
µ0Permeabilit¨
atskonstante des Vakuums
µrrelative Permeabilit¨
atskonstante
πKreiszahl 3,1415926536
%Raumladungsdichte
τAW G Laufzeitdifferenz beim AWG
τGR Gruppenlaufzeit
ϕAparab. Phasenkr¨
ummung beim AWG
φPhasenverschiebung
ψskalare Feldverteilung
C SYMBOLVERZEICHNIS 133
Symbol Bedeutung
ωKreisfrequenz
∇Nabla-Operator
134
D ABK ¨
URZUNGSVERZEICHNIS 135
D Abk¨
urzungsverzeichnis
Abk¨
urzung Bedeutung
AWG Arrayed Waveguide-Grating
BPM Beam-Propagation-Method
CMZI Cascaded Mach-Zehnder-Interferometer
D-AWG Doppel-AWG
DMUX Demultiplexing, Demultiplexer
FBG Fiber-Bragg-Grating
FD Finite Difference
FFT Fast Fourier Transform
FHD Flame Hydrolysis Deposition
FIR Finite Impulse Response
FPR Free Propagation Region
FSR Free Spectral Range
GRIN Graded-Index
GTE Gires-Tournois-Etalon
IIR Infinite Impulse Response
MSE Mean Square Error
MUX Multiplexing, Multiplexer
MZI Mach-Zehnder-Interferometer
OTDM Optical Time Domain Multiplexing
PHASAR Phased Array
RIE Reaktive Ion Etching
Si Silizium
SiO2Siliziumdioxid
Si3N4Silizium-Nitrid
SOI Silicon-On-Insulator
TE transverse electric
TM transverse magnetic
VIPA Virtually Imaged Phased Array
WDM Wavelength Division Multiplexing
WGR Waveguide Grating Router
E Eigene Ver¨
offentlichungen und Vortr¨
age
1. Fabian Kerbstadt and Klaus Petermann, Dispersionskompensation mit AWGs, ITG-
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Komponenten und Systeme zur Signalentzerrung’ 2002, N¨
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scher Linse, ITG-Fachausschuss 9.1 ’Messverfahren der Informationstechnik’, Dis-
kussionssitzung ’Messung und Modellierung in der optischen Nachrichtentechnik’
(MMONT 2005), Hamburg, 1.-3.6.2005.
136
F Patente
1. Fabian Kerbstadt and Klaus Petermann, Planar Optical Apparatus For Setting The
Chromatic Dispersion In An Optical System, Infineon Technologies AG, US Patent,
Pub. Date: Apr. 28, 2005, Pub.No.: US 2005/0089274 A1.
2. Fabian Kerbstadt, Klaus Petermann, Zhan Gao, Ingo Baumann and Gerhard Heise,
Vorrichtung zur Kompensation der chromatischen Dispersion in optischen Systemen
mit gechirpten Bragg Gittern, Infineon Technologies AG, Deutsches Patent, Anmel-
detag: 31.5.2002, DE 102 25 177 B4.
137
G Danksagungen
An dieser Stelle m¨
ochte ich mich bei allen bedanken, die zum Gelingen dieser Arbeit
beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Petermann f¨
ur die Betreuung der Arbeit und
seine st¨
andige Bereitschaft mit mir ¨
uber Fragen und Probleme zu diskutieren. Von ihm
erhielt ich viele wertvolle Anregungen und Hinweise, die meine Arbeit bereichert haben.
Bei Herrn Prof. Meissner von der Technischen Universit¨
at Darmstadt bedanke ich mich
f¨
ur die ¨
Ubernahme des Korreferates und bei Prof. Henke von der Technischen Universit¨
at
Berlin f¨
ur die ¨
Ubernahme des Vorsitzes im Promotionsausschuss.
Weiterhin bedanke ich mich bei Herrn Dr. Gao, damals Infineon Technologies AG, f¨
ur
die gute Zusammenarbeit.
F¨
ur gute Zusammenarbeit hinsichtlich der hauseigenen Technologie bedanke ich mich
bei meinen Kollegen Herrn Dipl.-Ing. Schnarrenberger, Herrn Dipl.-Ing. Mitze, Herrn
Voigt, MA, Herrn Dr. Zimmermann, Herrn Dr.-Ing. Bruns, Frau Dipl.-Ing. Kranzusch,
Frau Dipl.-Ing. Brose und Herrn Dipl.-Ing. Gruse.
Bei allen weiteren Kolleginnen und Kollegen am Institut bedanke ich mich f¨
ur offene
Gespr¨
ache und erhellende Momente, insbesondere bei Hadrien Louchet, Ralf Hauffe, Li-
Gao Zei, Ulrich Siebel, Wieland Mann, Beate Konrad, Anes Hodˇzi´c, Johannes Fischer,
Miro Malach, Sebastian Randel, Stefan Warm, Christian Weber und Alessandro Marques
de Melo.
F¨
ur viele wichtige Hinweise und konstruktive Kritik bedanke ich mich bei Herrn Dr.-Ing.
Christian Bunge.
Ferner bedanke ich mich bei Herrn Lindner, Herrn Schultz, Frau Hamer, Frau Z¨
otl und
den Werkstattmitarbeitern Herrn Kiekbusch, Herrn Malik und Frau Siebeck.
Meiner Frau Ulrike danke ich f¨
ur die Geduld mit der sie sich stundenlange Monologe
¨
uber AWGs angeh¨
ort hat und f¨
ur die sehr kritische Durchsicht meiner Arbeit.
Berlin, Februar 2006 Fabian Kerbstadt
138
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