Größeneffekt in der Elastizität –
Experimentelle, analytische und
numerische Untersuchungen
vorgelegt von
Dipl.-Ing.
Christian Liebold
geb. in Berlin
von der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
-Dr.-Ing.-
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Utz von Wagner
Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Jürgen Villain
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 02. April 2015
Berlin 2015
Technische Universität Berlin
Fakultät V, Verkehrs
- und Maschinensysteme
Institut für Mechanik
Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
Sekr. MS2
Einsteinufer 5
D
-10587 Berlin
Promotionsausschuss
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Utz von Wagner
Technische Universität Berlin
Institut für Mechanik
Fachgebiet Mechatronische Maschinendynamik
Sekr. MS2
Einsteinufer 5
D-10587 Berlin
Erstgutachter: Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller
Technische Universität Berlin
Institut für Mechanik
Fachgebiet Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
Sekr. MS2
Einsteinufer 5
D-10587 Berlin
Zweitgutachter: Prof. Dr.-Ing. Jürgen Villain
Hochschule Augsburg
Fakultät für Elektrotechnik
Kompetenzzentrum Mechatronik
An der Hochschule 1
D-86161 Augsburg
Eingereicht am: 19. Februar 2015
D 83
„Man muss sich durch die kleinen Gedanken, die einen ärgern,
immer wieder hindurchfinden zu den großen Gedanken,
die einen stärken.“
Dietrich Bonhoeffer
Kontakt
v
Danksagung
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Institut für Mechanik der Technischen Universität Berlin am
Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie. Die erzielten Ergebnisse
sind im Rahmen des von der Deutschen Forschungsgemeinschaft finanzierten
Projekts DFG MU 1752/33-1 erarbeitet worden. Für diese Aufgabe und Förderung
sei an dieser Stelle herzlichst gedankt. Ich möchte hier die Chance ergreifen, den
Personen zu danken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Ganz besonders herzlich möchte ich mich vor allem bei meinem Doktorvater,
Herrn Prof. Wolfgang H. Müller, bedanken für die intensive, aufrichtige und stets
fachkundige Betreuung.
Für die wertvollen Gespräche im Projektverlauf und für die Übernahme des
zweiten Gutachtens danke ich herzlich Herrn Prof. Jürgen Villain und Herrn Prof.
Utz von Wagner für die Übernahme des Vorsitzes.
Für den fachlichen Gedankenaustausch sei ein großer Dank ausgesprochen an die
Herren Prof. Dr. Victor A. Eremeyev, Felix Reich, Emek Abali, Paul Lofink,
Benjamin Schmorl, Aaron Lewis und Frau Andjela Vuckovic dos Reis. Für das
zur Verfügung stellen von Proben danke ich sehr herzlich Herrn M. Sc. Markus
Wöhrmann vom Fraunhofer Institut IZM Berlin, Herrn Dr. Francisco García-
Moreno von der TU-Berlin und Herrn Uwe Brand von der Physikalisch
Technischen Bundesanstalt PTB Braunschweig.
Ich möchte ebenso allen noch nicht genannten Kollegen und Mitarbeitern des
Instituts meinen Dank aussprechen, vor allem: Arion Juritza, Mohamad Sbeiti,
Bärbel Minx, Guido Harneit, Christina Völlmecke, Ralf Wille, Anton Köllner,
Marco Lisicki, Andreas Lehn und Ronald Koll.
Nicht zuletzt bedanke ich mich liebevoll bei meiner ganzen Familie, insbesondere
meiner Freundin und meinem Sohn für das entgegengebrachte Verständnis, die
Unterstützung und die Ermutigung.
Berlin, im
Dezember 2014
Christian Liebold
vi
vii
Kurzfassung
Eine fortlaufende Miniaturisierung mechanischer Bauteile erfordert verfeinerte
Berechnungsmodelle und die Kenntnis darin enthaltener erweiterter Werkstoff-
parameter. Erreichen äußere Abmaße die Größenordnung der inneren Struktur des
Materials, so kann der Einfluss des inneren Aufbaus durch geeignete Homo-
genisierungsverfahren berücksichtigt werden. Um dabei nicht die Vorteile der
Kontinuität der Materie zu verlieren, werden sog. generalisierte Kontinuums-
modelle vorgestellt, die es ermöglichen, analytisch, als auch numerisch fließende
Übergänge in der Abhängigkeit der Materialcharakteristika abzubilden. In
Experimenten zur Biegesteifigkeit von Balkenstrukturen wird die Methode des
Größeneffekts angewendet, wonach ausgewählte Materialkonstanten bei sich
ändernden äußeren Abmaßen auf konventioneller Basis gemessen werden. Im
Umfeld der linearen Elastizitätstheorie werden in dieser Arbeit die Elastizitäts-,
bzw. Strukturmoduln für die Werkstoffe: SU-8 (ein epoxidbasierter nagativ-
Fotolack), Epoxidharz, einkristallines Silizium, amorphes Siliziumnitrid,
verschiedene Aluminiumschäume und künstlich heterogenisiertes Aluminium in
jeweils mindesten drei verschiedenen Probengrößen mit unterschiedlicher
Balkenhöhe untersucht. Die in Frequenzanalysen und atomkraftmikroskopischen
Versuchen teils deutlich auftretenden Größeneffekte im elastischen Bereich
werden mit Hilfe erweiterter Kontinuumstheorien (Mikropolartheorie, Momenten-
spannungstheorie, Dehnungsgradiententheorie und Oberflächenelastizitätsthe-
orie) modelliert und der jeweils höhere Materialparameter extrahiert. Mit Hilfe der
Mikro-RAMANspektroskopie werden die auftretenden Biegedehnungen in der
Oberfläche von einkristallinem Silizium bestimmt und die Lasereindringtiefe über
die größenabhängigen Messwerte quantifiziert. Die erweiterten Theorien sowie
die experimentellen Apparaturen werden in ihrem Wesen besprochen und ihre
Details in der Anwendung dargelegt. Im Ergebnis stehen mit der Größe
abweichende Biegesteifigkeiten des SU-8s und Epoxidharzes um das 1,6- bzw.
2,1-fache im Vergleich zur konventionellen Theorie.
viii
ix
Abstract
A continual miniaturization of mechanical components requires refined mathe-
matical models and the knowledge of the respective additional material
parameters. If the outer dimensions arrive at the size of an internal inhomogeneity
of the material, the influence of the internal structure has to be addressed by
appropriate homogenization methods. Generalized continuum theories can be used
in order not to lose the benefits of continuity of matter. This work will present
analytical as well as numerical models, which achieve a smooth transition in the
dependence of the material characteristics of different scales. The method of size
effect is applied to bending rigidities of beam structures and selected higher order
material constants are measured in own experiments at varying outer dimensions.
In the context of linear elasticity theory, the elastic modulus of the materials: SU-
8, epoxy, silicon, silicon nitride, aluminum foam and aluminum with artificially
heterogeneities are investigated using at least three different sample sizes, re-
spectively. The size effect, that significantly occurs in the analysis of flexural
frequencies and in bending tests in an atomic force microscope, is modeled by
advanced continuum theories (micropolar theory, couple stress theory, strain
gradient theory and surface elasticity theory) and higher order material parameters
are extracted. Mechanical strains, which occur in the surface of the bend silicon
micro-cantilevers were determined with the help of micro-RAMANspectroscopy
and the laser penetration depth was quantified using the size-dependent behavior
of the strain values. Higher order theories as well as experimental apparatuses will
be discussed and details in their application will be presented. As a result, bending
rigidities of SU-8 and epoxy increase by the factor of 1.6 and 2.1, respectively,
while beam thicknesses decrease.
x
xi
Inhaltsverzeichnis
Danksagung ................................................................................................... v
Kurzfassung ................................................................................................ vii
Abstract ........................................................................................................ ix
Inhaltsverzeichnis ........................................................................................ xi
1 Einleitung ......................................................................................... 1
1.1 Motivation und Fragestellung .................................................. 2
1.2 Stand der Forschung ................................................................ 3
1.3 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit ......................................... 7
2 Experimente zum Größeneffekt .................................................. 9
2.1 Frequenzanalyse (FA) ........................................................... 9
2.1.1 Theoretische Grundlagen der E-Modulbestimmung mittels
FA ..................................................................................... 11
2.1.2 FA an Aluminium mit künstlicher Heterogenität ............. 14
2.1.3 FA an Aluminiumschäumen ............................................. 16
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM) ........................................... 19
2.2.1 Aufbau des laserreflektiven AFMs .................................. 20
2.2.2 Kraftkalibrierung der AFM-Nadel ................................... 22
2.2.3 Biegeexperimente an SU-8 ............................................... 25
2.2.4 Biegeexperimente an Epoxidharz ..................................... 30
2.2.5 Biegeexperimente an Siliziumnitrid ................................. 34
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS) .................................. 37
2.3.1 Aufbau des AFM-integrierten Ramanspektrometers ....... 38
2.3.2 Theoretische Grundlagen der MRS .................................. 41
2.3.3 Biege- und Dehnungsmessungen an Silizium .................. 47
3 Analytische Größeneffektmodellierung ................................... 53
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik....................................... 53
3.1.1 Grundlagen der Kinematik ............................................... 54
3.1.2 Bilanzgleichungen ............................................................ 58
3.1.3 Materialgesetze – Prinzipien der rationalen Mechanik .... 65
3.1.4 Balkenbiegung nach EULER und BERNOULLI ................... 68
Inhaltsverzeichnis
xii
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP) .................... 72
3.2.1 Erweiterung der Freiheitsgrade ........................................ 74
3.2.2 Bilanzgleichungen der MP-Theorie ................................. 75
3.2.3 Zu konstitutiven Gleichungen in der MP-Theorie ........... 81
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG) ........... 84
3.3.1 Herleitung konstitutiver Abhängigkeiten ......................... 85
3.3.2 Erweiterte Kinematik ....................................................... 87
3.3.3 Modifizierte Dehnungsgradiententheorie (MDG) ............ 89
3.3.4 Balkenbiegung mit der MDG-Theorie ............................. 91
3.4 Die Momentenspannungstheorie als Sonderfall (MS) ...... 96
3.4.1 Bilanzen in der MS-Theorie ............................................. 97
3.4.2 Balkenbiegung mit der MS-Theorie ............................... 100
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF) ........................ 102
3.5.1 Wichtige Größen der OF-Theorie .................................. 103
3.5.2 Balkenbiegung mit der OF-Theorie ............................... 106
4 Numerische Größeneffektmodellierung ................................ 111
4.1 FE-Variationsformulierung der
Momentenspannungstheorie ................................................ 112
4.2 3D-Implementierung der MS-Theorie im FEniCS-Projekt . 115
4.3 Untersuchung des numerischen Modells ............................. 117
4.4 Vergleich numerischer und analytischer
Größeneffektmodellierung ................................................... 125
5 Auswertung und Diskussion ..................................................... 127
5.1 Numerische Methoden der Koeffizientenanpassung ...... 130
5.2 Bestimmung erweiterter Materialparameter der
Frequenzmessungen .......................................................... 132
5.2.1 Aluminium mit künstlicher Heterogenität ...................... 132
5.2.2 Aluminiumschäume ....................................................... 134
5.3 Bestimmung erweiterter Materialparameter der AFM-
Messungen .......................................................................... 135
5.3.1 SU-8 Polymer ................................................................. 136
5.3.2 Epoxidharz ..................................................................... 138
5.3.3 Einkristallines Silizium .................................................. 139
5.3.4 Amorphes Siliziumnitrid ................................................ 142
5.4 Diskussion der Ergebnisse und Ausblick ......................... 143
Inhaltsverzeichnis
xiii
Anhang ...................................................................................................... 149
Abkürzungsverzeichnis ............................................................................ 155
Symbolverzeichnis .................................................................................... 158
Abbildungsverzeichnis ............................................................................. 163
Tabellenverzeichnis .................................................................................. 168
Literaturverzeichnis ................................................................................. 169
1.1 Motivation und Fragestellung
1
1 Einleitung
Die mechanische Charakterisierung von Werkstoffen ist eminent wichtig beim
Entwerfen und Modellieren von mechanischen Bauteilen oder auch bei ihrer
Beurteilung, z. B. hinsichtlich ihrer Lebensdauer. In Experimenten konnte gezeigt
werden, dass das Verhalten von Werkstoffen auf verschiedenen Größenebenen
von den Vorhersagen der klassischen Kontinuumsmechanik abweichen kann. Die
einheitliche mechanische Charakterisierung von Materialien auf verschiedenen
Größenebenen ist ein ausgesprochenes Ziel der generalisierten Kontinua. „Is it
possible to construct continuum theories that can predict physical phenomena on
the atomic, molecular, or nano scales?” (A. C. ERINGEN, 2009, im Vorwort zu
„Mechanics of Generalized Continua“, [61]). Diese Fragestellung beinhaltet
einerseits das Aufstellen als auch das Verifizieren neuartiger Kontinuumstheorien,
welche benötigt werden, um experimentelle Ergebnisse zu beschreiben, die nicht
durch die konventionelle Kontinuumstheorie abgedeckt werden können. Zu
beidem, dem Aufstellen und dem Verifizieren erweitereter Theorien, soll mit
dieser Arbeit ein Beitrag geleistet werden. Zu den angesprochenen
„physikalischen Phänomenen“ zählt beispielsweise der Größeneffekt in der
Elastizität und in der Plastizität, die Bildung von Scherbändern, die Spannungs-
berechnung an Rissspitzen, als auch die Verzweigung der Dispersionsrelationen
bei der Wellenausbreitung in Festkörpern (siehe [104]). Viele Experimente aus
dem späten 20. Jahrhundert, einige von ihnen werden im Abschnitt 1.2
herausgestellt, belegen diese Phänomene.
Der Begriff Größeneffekt bezeichnet ein von der konventionellen Kontinuums-
theorie abweichendes mechanisches Verhalten von Körpern unter sich ändernden
äußeren Abmaßen, auch wenn diese unter Einhaltung von Ähnlichkeitskenn-
werten (wie der CAUCHY-Zahl) skalierten wurden. Historisch belegte Unter-
suchungen dazu reichen bis in das 15. Jahrhundert zu LEONARDO DA VINCI zurück,
der bereits den Größeneffekt auf die Festigkeit von Seilen diskutierte, welche in
seinen Versuchen eine Abhängigkeit von der Seillänge ergaben. Das mechanische
Verhalten eines Werkstoffs kann mit charakteristischen Größen der Elastizität
sowie der Plastizität beschrieben werden und muss zur Beschreibung des
Größeneffekts auf verschiedenen Skalen untersucht werden. Geeignete höhere
kontinuumstheoretische Grundlagen wurden in der Mitte des 20. Jahrhunderts
vorgestellt, initiiert durch das Werk der Brüder E. und F. COSSERAT (1909) [17]
vor nun mehr über einhundert Jahren. Der Anwendungsbereich dieser Theorien
1 Einleitung
2
und das Wissen um den Größeneffekt umfasst diverse Größenordnungen. Von der
Beschreibung von Mauerwerk (der Größenordnung einiger Meter) [9], [60], [77],
über Metallschäume und granulare Werkstoffe, wie z. B. Aluminiumschaum und
Beton (in der Größenordnung Zentimeter und Millimeter) [25] und [99], weiter
über Polymere und Metalle (der Größenordnung einiger Mikrometer) [52], bis hin
zu Halbleitern und besonderen Werkstoffen, wie CNTs (Carbon Nanotubes, in der
Größenordnung Mikro- bis Nanometer) [85] und [86] können erweiterte
Kontinuumstheorien angewendet werden. Als ein besonders wichtiger Bereich für
das Miteinbeziehen des Größeneffekts muss die Mikro- und Nanosystemtechnik
herausgestellt werden, da der Entwurf von Bauteilen für mikro- und nano-
elektromechanische Systeme (MEMS/NEMS) der besonderen Kenntnis der
Materialcharakteristika auf der Mikro- und Nanoskala bedarf, in der nach
heutigem Kenntnisstand für diverse Werkstoffe ein Größeneffekt zu vermuten ist.
1.1 Motivation und Fragestellung
Die Kenntnis um erweiterte Kontinuumstheorien wird in der allgemeinen uni-
versitären Ausbildung nur randständig vermittelt und findet in der experimentellen
Forschung wenig Gewicht. Demgegenüber existiert eine Vielzahl von Veröffent-
lichungen hinsichtlich rein theoretischer Ausarbeitungen innerhalb diverser
höherer Theorien. Es liegen nur sehr wenige experimentelle Daten vor, die auf
einen Größeneffekt schließen lassen oder interpretatorisch mit dem Größeneffekt
in Verbindung gebracht werden. Die Motivation dieser Arbeit ist darin begründet,
durch eigene Experimente die Datensätze zur Quantifizierung des Größeneffekts
der Elastizität zu erweitern, verschiedene höhere Kontinuumstheorien in ihrem
Wesen zu untersuchen und darzulegen, und für eine einfache ingenieurstechnische
Problemstellung der Elastostatik eine analytische sowie numerische Lösung zu
erarbeiten. Durch diese Herangehensweise soll eine Basis geschaffen werden, von
der aus es ermöglicht werden soll, durch gezielte, geeignete Experimente weitere
Indizien für die Anwendbarkeit der jeweiligen höheren Theorie auf verschiedene
Materialien, Materialklassen, Größenordnungen oder Verhältnisse zur Mikro-
struktur zu erlangen.
Die vorhandene messtechnische Ausrüstung, auf der der eigene experimentelle
Teil dieser Arbeit beruht, kann bevorzugt für Experimente in der Elastizität, d. h.
1.2 Stand der Forschung
3
mit reversibler und kleiner Verformung, genutzt werden. Dabei stehen dieser
Arbeit drei Apparaturen zur Verfügung. Unter anderem kann eine Frequenzmess-
einrichtung zur Aufnahme von Eigenfrequenzen elastischer Biegung, ein laser-
reflektives Atomkraftmikroskop (AFM), welches es erlaubt, Kräfte im Bereich
weniger Mikronewton (µN) punktgenau zu applizieren und zeitgleich die dortige
Verformung in der Kraftwirkungsrichtung zu messen und ein daran ange-
schlossenes Mikro-RAMANspektroskop, mit dem einachsige Dehnungszustände in
Halbleitermaterialien mit einer Ortsauflösung von ca. einem Mikrometer gemes-
sen werden können, genutzt werden.
Die sich daraus ergebenden Fragestellungen dieser Arbeit sind:
x Lässt sich für ausgewählte Materialien und mit der vorhandenen
Messtechnik ein Größeneffekt bestimmen?
x Was sind die in Frage kommenden erweiterten Kontinuumstheorien,
woraus genau besteht die Erweiterung und was sind geeignete
Vereinfachungen dieser?
x Wie lässt sich ein konkretes Randwertproblem mit den höheren
Theorien analytisch oder numerisch lösen?
x Wie kann die Materialparameterbestimmung durchgeführt werden
und welche Werte liefert sie für die ausgewählten Materialien?
1.2 Stand der Forschung
Wie in der Einleitung angeklungen ist, berufen sich viele Literaturquellen der
Entstehungsgeschichte der generalisierten Kontinua auf das Initialwerk von E. und
F. COSSERAT (1909) [17], in dem erstmalig ein polarer Charakter materieller
Punkte dargestellt wurde. Erst Jahre später rekapitulierte die Fachwelt diese Idee
und verweist auf Fachbeiträge wie die von GÜNTHER (1958) [42] und SCHAEFER
(1967) [88]. Die linearisierte COSSERAT-Theorie wurde u. a. geprägt durch
ERINGEN ([30], [29], [31], [32] und [33]), TOUPIN (1962) [100], KOITER (1964)
[49], MINDLIN und TIERSTEN (1962) [64], MINDLIN (1964) [65], MINDLIN und
ESHEL (1968) [66], NOWACKI (1972) [73], um nur einige zu nennen. Es gibt
darüber hinaus eine Vielzahl anderer Autoren, die sich mit diesem Themengebiet
1 Einleitung
4
beschäftigten. Eine tiefgründigere bibliographische Übersicht der Entstehungs-
geschichte generalisierter Kontinuumstheorien ist in einer Arbeit von den Brüdern
ALTENBACH & ALTENBACH und EREMEYEV (2010) [2] enthalten.
BECKER und BÜRGER (1975) [6] zufolge seien höhere Kontinuumstheorien
physikalisch begründbar mit „einer erhöhten Reichweite der Wechselwirkungs-
kräfte“ und anwendbar auf „Materialien mit körniger oder faseriger Mikro-
struktur“. GREVE (2003) [41] führt den EINSTEIN-DE-HAAS Effekt an, um für
„para- und ferromagnetische Materialien im Magnetfeld“ den Einfluss intrin-
sischer Rotationen auf die Bewegung des Gesamtkörpers zu zeigen.
Beim Studium dieser Theorien sind zwei Strömungen ersichtlich. Die Sichtweise
der mikromorphen Theorie betrachtet allgemein deformierbare materielle Partikel,
d. h. eine Art Unterkontinuum zur bestehenden translatorischen Beschreibung. In
der allgemeinen Dehnungsgradiententheorie hingegen, werden höhere Gradienten
des weiterhin translatorischen Kontinuums gebildet, interpretiert und in der
Dehnungsenergie gewichtet. Beide Sichtweisen lassen sich argumentativ verein-
fachen und in Teilen ineinander überführen (siehe Übersicht, Abbildung 1.1). Eine
Reduzierung der mikromorphen-, ist die mikropolare Theorie. Eine Simplifi-
zierung der Dehnungsgradiententheorie ist die modifizierte Dehnungsgradienten-
theorie.
Abbildung 1.1: Hierarchische Übersicht ausgewählter erweiterter Kontinuums-
theorien zur Modellierung des Größeneffekts der Elastizität.
Ober-
flächen-
spannung
G
IBBS
-
Model
Ober-
flächen-
schicht-
model
Mikropolare
Theorie
Modifizierte
Dehnungs-
gradiententheorie
Momenten-
spannungs-
theorie
1.2 Stand der Forschung
5
Zusätzlich zu den genannten generalisierten Kontinuumstheorien, soll die
phänomenologisch motivierte allgemeine Oberflächentheorie hier zum Kreis der
erweiterten Kontinuumstheorien zählen. Die Mechanik materieller Flächen ist
zurückzuführen auf die Werke von u. a. SHUTTLEWORTH (1950) [91], OROWAN
(1970) [75] und GURTIN & MURDOCH (1975) [44] und basiert auf dem Grund-
gedanken, dass das Materialverhalten der den Festkörper umgebenden Oberfläche
von dem seines Volumens zu separieren ist.
Neben den hier genannten Theorien existieren weitere kontinuumsmechanische
Modelle, die es erlauben, einen Größeneffekt zu beschreiben. Dazu zählen z. B.
die nicht-lokale Kontinuumstheorie (engl. „non-local continuum theory“) sowie
das Modell der fraktionellen Ortsableitungen (engl. „fractional calculus“).
Es existieren einige experimentelle Belege zum Größeneffekt, welcher sowohl im
plastischen, als auch im elastischen Bereich auftreten kann. Viele dieser Daten
zeigen eine starke Ausprägung der Größenabhängigkeit bei der Messung plas-
tischer Koeffizienten (wie z. B. der Bruchspannung oder der Torsionsver-
festigung) an Metallen oder Polymeren, [34], [59], [81], [97], [93], [94], [106],
[40] oder [43]. So beobachteten FLECK et al. (1994) [34] einen Anstieg der
Torsionsverfestigung dünner Kupferdrähte um den Faktor drei, während die
Durchmesser der Drähte von 170 µm auf 12 µm verringert wurden. MA et al.
(1995) beobachteten einen Anstieg der Härte bei Nanoindentationsprüfungen an
monokristallinem Silber um einen Faktor von mehr als zwei, als die Eindringtiefen
des Indenters von 2,0 µm auf 0,1 µm verringert wurden. In VILLAIN et al. (2002)
[106] und SIMONS et al. (2004 [94], 2006 [93]) ist gezeigt, dass in Zugversuchen
an Walzkupfer eine Abnahme der Bruchdehnung von 20 % auf 0,2– 0,5 %
gemessen werden konnte, als die Dicke der Kupferfolie von 250 µm auf 10 µm
abnahm.
Für einen Größeneffekt im elastischen Bereich sind experimentelle Daten rar. Die
in dieser Arbeit recherchierten inneren Längenparameter oder erweiterten Ma-
terialkoeffizienten sind in Tabelle 1.1 zusammengefasst. Eine oft verwiesene
Quelle ist das Ergebnis der elastostatischen Biegeversuche von CHONG [16] und
LAM et al. [52] aus den Jahren 2002 und 2003, die mit einem Nanoindenter an
miniaturisierten Balken aus Epoxid eine ca. 2,4-fach erhöhte Biegesteifigkeit
nachweisen konnten, wenn die Balkenhöhe von 120 µm auf 20 µm reduziert wird.
Ähnliche Abweichungen in den elastischen Biegesteifigkeiten stellten bereits
1 Einleitung
6
CUENOT et al. (2000) [18] und MCFARLAND et al. (2005) [62] an Mikrobalken aus
Polypropylen fest.
Parameter
erweiterter Theorien
Material
Theorie
Messmethode bzw.
Modellansatz
Referenz
"=9,4 µm Epoxid
MS
Biegung im Nano-
indenter
mit ν=0
am
EULER
-BERNOULLI
(EB)
Balkenmodell
[16]
1,
[52]1
"=17,6 µmEpoxid
MS
Biegung mit Quer-
kontraktionskopplung
am O’MALLEY
-
Balkenmodell
[16]
,
[52]
"=3,0 µm Kupfer
MDG
Torsion
[110]
"=7,0 nm Zinkoxid
MDG
Torsion
[96]
"=57,0 nm Polypyrrole
Nanoröhrchen
MDG
Biegung
[18]
E
b
= 169 GPa
E
S
= 12,14 N/m
einkristall. Silizium
OF
Biegung
[85]
1
E
S=5,8 N/m
Silber OF
Biegung am AFM
[47]
1
E=72,37 GPa
"
=9,61 nm
Silber
MS
Biegung (ν=0
, EB)
[47]
1
"=3,2 nm
Einwändige Kohlenstoff
Nanoröhrchen (CNT)
DG
Biegung am AFM
[47]
,
[86]
E=119,5 GPa
"
=3,5 nm
CNT
MS
Biegung am AFM
(ν=0, EB)
[86]
1
"=5,7 nm
Mehrwändige Kohlen-
stoff Nanoröhrchen
DG
Biegung am AFM
[47]
,
[87]
E=630 GPa
"=1,4 nm
Mehrwändige CNT
MS
Biegung am AFM
(ν=0, EB)
[87]
1
"=9,3 nm Mehrwändige
CNT
DG
Elektrostatische
Biegung
[47]
,
[80]
E=15,0 GPa
"
=17,7 nm
Blei
MS
Biegung am AFM
(ν=0, EB)
[19]
1
Tabelle 1.1: Literaturquellen zu experimentellen Daten1 des Größeneffekts
in der Elastizität.
1 Die Literaturquelle beinhaltet in Teilen experimentelle Daten, mit denen der jeweilige erweiterte
Koeffizient, mit den in dieser Arbeit vorgestellten Modellen extrahiert wurde.
1.3 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit
7
Einige Experimentatoren messen eine direkte Größenabhängigkeit des E-Moduls,
und zwar beispielsweise an Kohlenstoffnanoröhrchen (CNTs) [18], Silber und
Blei [19], Kupfer [110] und Zinkoxid [96], [20]. Tabelle 1.1 ist eine Auflistung
recherchierter oder extrahierter höherer Materialparameter der Elastizität.
1.3 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit
Das Ziel dieser Arbeit ist es, erweiterte Parameter der linearen, isotropen Elastizi-
tät für künstlich heterogenisiertes Aluminium, verschiedene Aluminiumschäume,
das Polymer SU-8, Epoxid, einkristallines Silizium und Siliziumnitrid, zu messen.
Die jeweilige Messmethode soll erläutert und die theoretischen Herleitungs-
schritte für die Parameterbestimmung samt ihrer Annahmen detailliert dargelegt
werden. An einkristallinem Silizium soll zudem die Auswirkung der Verringerung
der äußeren Abmaße auf die Messung von Dehnungen untersucht werden.
Der Aufbau dieser Arbeit gliedert sich in die Bereiche der experimentellen,
analytischen und numerischen Untersuchungen. Die experimentellen Techniken
umfassen Frequenzanalysen von Biegeschwingungen (Abschnitt 2.1), die Biegung
von Mikrobalken im Atomkraftmikroskop (Abschnitt 2.2), als auch die Mikro-
RAMANspektroskopie (Abschnitt 2.3) zur Bestimmung von Dehnungen an ge-
eigneten Probekörpern ausgewählter Materialien. Der analytische Bereich umfasst
die Beschreibung der Grundlagen der klassischen und der erweiterten Kontinu-
umstheorien bis hin zur Auswertung des EULER-BERNOULLIschen Verschiebungs-
feldansatzes (EB) für die modifizierte Dehnungsgradiententheorie (Abschnitt
3.3.4), die Momentenspannungstheorie (Abschnitt 3.4.2) und die Oberflächenelas-
tizitätstheorie (Abschnitt 3.5.2). Im Bereich der numerischen Größeneffekt-
modellierung (Kapitel 4) wird die Variationsformulierung der Momenten-
spannungstheorie aufgestellt, am konkreten Beispiel rechnergestützt gelöst und
die Ergebnisse mit der analytischen Lösung verglichen. Im Kapitel der
Auswertung (Kapitel 5) werden nach den Erläuterungen zur numerischen Koeffi-
zientenanpassung die Resultate der Messungen präsentiert und diskutiert.
1 Einleitung
8
9
2 Experimente zum Größeneffekt
In der linearen Elastizitätstheorie isotroper Werkstoffe ist der Elastizitätsmodul
eine zentrale charakteristische Größe, die i. A. über alle Skalen hinweg konstant
ist und durch standardisierte Messverfahren, wie dem einachsigen Zugversuch,
Eigenschwingungsanalysen oder der einfachen Balkenbiegung quantifiziert wer-
den kann. Von einem Größeneffekt kann gesprochen werden, wenn der auf einer
konventionellen Theorie basiernd gemessene Elastizitätsmodul von den äußeren
Abmaßen des Körpers abhängt. Aus diesem Grund konzentrieren sich die
folgenden experimentellen Analysen auf die Bestimmung des E-Moduls unter
konventioneller Herangehensweise. Zusätzlich dazu werden sensible äußere
Abmaße wie die Höhe (in Teilen auch die Länge) eines Biegebalkens sukzessive
reduziert, um Ergebnisse verschiedener Größenskalen zu erhalten. Diese Vor-
gehensweise wurde in LAKES (1995) [51] als eine experimentelle „Methode des
Größeneffekts“ beschrieben, die es ermöglicht, mit Hilfe einer geeigneten Koeffi-
zientenanpassungsmethode die Materialparameter der erweiterten Theorien zu
bestimmen. Im Folgenden werden die experimentellen Messapparaturen, die
untersuchten Materialien, die Prozesse der Probenherstellung und die reinen
Messergebnisse dargelegt, um für die späteren Auswertungen in den besagten
Theoriemodellen im Kapitel 5 zur Verfügung zu stehen.
2.1 Frequenzanalyse (FA)
Im Umfeld der einfachen Elastizitätstheorie kann der E-Modul anhand eines
stabförmigen Probenkörpers aus der Kenntnis der Eigenfrequenzen seiner Biege-
schwingungen berechnet werden (vgl. Normenwerk: DIN-1048, ASTM C-1259).
Der Formalismus und die darin enthaltenen Annahmen dazu sollen im an-
schließenden Kapitel hergeleitet werden. Um Frequenzen, speziell die erste Eigen-
frequenz (Grundschwingung) einer stabförmigen Probe zu messen, muss diese
geeignet gelagert und zum Schwingen angeregt werden. Da die in dieser Arbeit
untersuchten Probenlängen im Bereich zwischen 50–800 mm liegen, kann die
Lagerung auf handelsüblichen Schaumstoffträgern erfolgen (siehe Abbildung
2.2). Besondere Lagerungs-, Anregungs- und Messpunkte für die Grundschwing-
ung ergeben sich in den Knotenpunkten der Biegelinie und den Punkten ihrer
2 Experimente zum Größeneffekt
10
größten Amplitude (siehe Abbildung 2.1). Die Anregung erfolgt über das An-
schlagen der Probe mittels sog. „Hämmer“. Dies bezeichnet eine, am Ende eines
längeren Stabes angebrachte Masse, welche aufgrund verschiedener Material-
auswahlen verschiedene Anregungsfrequenzen in den Probenkörper eintragen
kann.
Abbildung 2.1: Darstellung der Biegeline der Grundschwingung einer
stabförmigen Probe der Länge L.
Die Messaufnahme erfolgt per Mikrofon. D. h., die durch die Anregung des Stabes
vom Stab selbst ausgesendete Schallwelle wird nach möglichst kurzer Distanz in
ein analoges elektrisches Signal umgewandelt. Dieses Signal wird durch die im
Messgerät der Firma Grindosonic© von Lemmens N. V., enthaltene Messelektro-
nik analysiert. Innerhalb der ersten Sekunde nach dem Anschlag der Probe zeigt
das Gerät einen Frequenzwert an. Dabei filtert die vorhandene Messelektronik
nach der stärksten Eigenfrequenz. Zusätzlich zum Grindosonic©-Gerät wurde im
Messaufbau ein herkömmliches „Audio-Analyzer“-Programm auf einem Rechner
parallel hinzugeschaltet, um mit Hilfe der Funktion Fast-Fourier-Transformation
(FFT) das betreffende Frequenzspektrum zu überblicken. Im Frequenzspektrum
des Messsignals können mehrere Eigenfrequenzen unterschiedlicher Amplitude
abgebildet werden, wodurch die Entscheidung zur Auswahl des Anschlags-
hammers sowie der ersten Eigenfrequenz besser getroffen werden konnte.
2.1 Frequenzanalyse (FA)
11
Abbildung 2.2: Darstellung des gesamten Messaufbaus zur Frequenzanalyse.
2.1.1 Theoretische Grundlagen der E-Modulbestimmung mittels FA
Dieses Kapitel stellt den skalaren Zusammenhang zwischen der Frequenz der
Grundschwingung einer stabförmigen Probe und dem E-Modul des Proben-
materials bereit. Als Ausgangspunkt der Herleitung dient die partielle Biege-
differentialgleichung für Balkenschwingungen nach EULER und BERNOULLI:
,
0)()(
2
xw
c
A
EI
xw IV
U
,
(2.1)
worin w(x) die Auslenkung der Biegelinie an der Stelle x in die Richtung z darstellt
(vgl. Abbildung 2.1). Deren zeitliche Ableitung soll mit Punkten und deren
Ableitung in x-Richtung mit römischen Ziffern (oder bis zur dritten Ableitung mit
Strichen) gekennzeichnet werden. E bezeichnet den Elastizitätsmodul, I das
Flächenträgheitsmoment, ρ die Dichte und A die Querschnittsfläche des be-
trachteten Stabes, wobei die eben genannten Größen in c2 substituiert werden
sollen. Eine analytische Lösung kann über das sog. Separationsverfahren nach
BERNOULLI:
)()()( xXtTxw
herbeigeführt werden (vgl. MÜLLER und FERBER,
2005 [68], S. 330). Damit ergibt sich:
Frequenzmessgerät
Fast Fourier Transformation (FFT)
Probenlagerung in den
Knotenpunkten
2 Experimente zum Größeneffekt
12
0)()(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
:
2
xX
c
xX
xX
xX
c
tT
tT
IV
IV
Z
Z
,
(2.2)
wobei die eigentliche partielle Differentialgleichung (2.1) zerlegt wird in einen
zeitlichen- und einen örtlichen Anteil. Der mathematische Charakter der ge-
wöhnlichen Differentialgleichung (2.2)2 (dem örtlichen Anteil) beschreibt eine
ungedämpfte Schwingungsgleichung mit ω als Schwingungskonstante. Die all-
gemeine Lösung samt ihrer nötigen Ableitungen lautet:
.sinhcoshsincos)(
coshhcossin)(
sinhcoshsincos)(
coshsinhcossin)(
sinhcoshsincos)(
2
2
2
2
2
2
2
2
3333
4321
4321
4321
4321
4321
sin
xAxAxAxAxX
xAxAxAxAxX
xAxAxAxAxX
xAxAxAxAxX
xAxAxAxAxX
c
c
c
c
c
c
c
c
IV
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
ccc
c
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZZ
Z
ccc
cc
c
(2.3)
Die Konstanten A1,…, A4 werden über die vier Randbedingungen:
0),0(
cc tw
,
0),0(
ccc tw
,
0),(
cc tLw
und
0),(
ccc tLw
vollständig eliminiert und es bleibt die
sog. Frequenzfunktion im Ergebnis:
.mit,
coscosh
sinh
sinhsincoscosh0
sin
L
c
n
nn
nn
nnnn
n
Z
O
OO
OO
OOOO
(2.4)
Der Index n wird eingeführt, da die erhaltene Funktion aufgrund ihrer tri-
gonometrischen Anteile unendlich viele verschiedene Lösungen hat. Mit Hilfe
spezieller Lösungen dieser Gleichung kann bei bekannten Materialparametern und
Geometriedaten die spezielle Eigenfrequenz berechnet werden (daher die
Begrifflichkeit „Frequenzfunktion“). Kennt man einen der Parameter nicht, dafür
aber die Frequenz, so kann man durch leichtes algebraisches Umstellen den
unbekannten Parameter erhalten. Die Gleichung (2.4) wird zunächst mittels der
Software Mathematica© auf numerische Lösungen untersucht, wobei diejenigen
n
O
-Werte gefunden werden sollen, die die Gleichung erfüllen (z. B.
,7300,4
1
O
,8532,7
2
O
usw.). Zur besseren Veranschaulichung ist die Gleichung (2.4) in der
2.1 Frequenzanalyse (FA)
13
Abbildung 2.3 über einige λn-Werte geplottet, wobei alle Nullstellen Lösungen der
Gleichung sind.
Abbildung 2.3: Plot der Frequenzfunktion über ein erwähltes
n
O
-Intervall
in willkürlicher Einheit (a. u.).
Drückt man die Kreisfrequenz ωn mit 2πfn aus, wobei fn die Eigenfrequenzen sind
und geht von einem Rechtecksquerschnitt (
12
3
BHI
und A=BH ) aus, wobei B
für die Breite und H für die Höhe des Balkens stehen, so erhält man:
.
π48
π2
2
2
4
4
2
n
n
n
n
f
H
L
EL
A
EI
f
U
O
U
O
(2.5)
Durch gezieltes Messen der Grundschwingung ist diese Formel vereinfachbar zu:
2
1
2
4
94645.0 f
H
L
E
U
.
(2.6)
Diese Gleichung beruht vollständig auf den Annahmen der EULER-BERNOULLI
Biegetheorie, welche ihre Gültigkeit ab einem Längen- zu Höhenverhältnis von
L/H ≥ 20 hat. Unterschreitet man dieses Verhältnis in der Probengeometrie, so
erzielt man genauere Ergebnisse unter Anwendung der nächst höheren
Balkentheorie, z. B. der Balkentheorie nach TIMOSHENKO (vgl. [89]). Um dennoch
die Formel (2.6) über ihre Grenzen hinaus anwenden zu können, ist in den
Normenwerken DIN-1048 oder ASTM C-1259 ein Korrekturfaktor hinterlegt,
010 20 30
x
2
1
0
1
2
a. u.
n
O
2 Experimente zum Größeneffekt
14
welcher vom Höhen- zu Längenverhältnis H/L und der Querkontraktionszahl ν
abhängig ist. In der Veröffentlichung [83] ist der Korrekturfaktor K mit:
.
))(536,11408,01(338,61
))(173,22023,01(34,8
868,0
8109,00752,01585,61
22
42
4
2
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
LH
LH
L
H
L
H
K
QQ
QQ
QQ
(2.7)
angegeben und wird im Folgenden Beachtung finden.
2.1.2 FA an Aluminium mit künstlicher Heterogenität
Um den Einfluss einer inneren Struktur auf die mechanischen Eigenschaften bei
sich ändernder Größe zu erfahren, wurden aus drei unterschiedlich dicken
Aluminiumstangen sechs verschieden lange Balken gesägt (siehe Tabelle 2.1).
Von jeweils zwei gleich langen Balken wurde einer mit durchgängigen Löchern
mit der in Abbildung 2.4b) präzisierten Anordnung versehen (vgl. [10]). Eine
EDX-Analyse in den Laboren des Kompetenzzentrums für Mechatronik der
Hochschule Augsburg ergab, dass es sich bei dem verwendeten Ausgangsmaterial
um die Aluminiumlegierung AlMgSi0,5 mit der Bezeichnung EN AW-6060 mit
der Werkstoffnummer 3.3206 handelte, wobei die durchschnittliche prozentuale
Verteilung der Bestandteile Aluminium, Magnesium und Silizium bei 0.38 %,
99.14 % und 0.48 % lag.
Referenzbalken Lochbalken
Länge:
in mm
123
83,5
46
123
83,5
46
Höhe=Breite:
in mm
9,57
6,61
3,48
9,52
6,61
3,37
Dichte:
in kg/m
3
2700
2
680
2
620
1760
1780
1900
Frequenz:
in Hz
3208
4760
8190
3091
4822
8615
E-Modul in GPa:
(inkl.
4
%
Korrektur)
68,35
66,99
66,25
-
-
-
Strukturmodul in
GPa: (inkl. 4
%
Korrektur)
-
-
-
41,76
45,36
55,39
Tabelle 2.1: Daten zur Untersuchungsreihe der Balken mit künstlicher Heterogenität.
2.1 Frequenzanalyse (FA)
15
Insgesamt entstanden so drei Balken mit einer künstlichen Heterogenität (siehe
Abbildung 2.4a)) und parallel drei Referenzbalken aus dem Vollmaterial
Aluminium. Künstlich heterogen bedeutet, dass dem zuvor homogenen
Vollmaterial künstlich und in definierter Anordnung Material entnommen
(herausgebohrt) wurde. Das auf diese Weise veränderte Material mit innerer
Struktur soll später seinerseits als homogenes Material mit den erweiterten
Methoden der Kontinuumsmechanik modelliert werden. Der Begriff des
Strukturmoduls S wird eingeführt, um den des Elastizitätsmoduls E für Materialien
mit einer ausgeprägten inneren Struktur zu ersetzen. Der Strukturmodul findet
damit Anwendung bei der Beschreibung des elastischen Verhaltens von
Strukturwerkstoffen, wie etwa den Metallschäumen oder andersartig künstlich
heterogenisierten Werkstoffen. Durch ihn werden die Beziehungen der konven-
tionellen Kontinuumstheorie auf die Materialklasse der Strukturwerkstoffe
anwendbar, wobei in allen kontinuumsanalytischen Ausführungen dieser Arbeit
das Symbol E und S kongruieren.
Die Grundschwingung wurde im rechten Winkel zur Bohrungsrichtung mit der in
Kapitel 2.1 beschriebenen Messmethode gemessen. Der E-Modul wurde daraus
mittels der Gleichung (2.6) bestimmt. Wegen des konstant zu kleinen Längen- zu
Höhenverhältnisses der Proben von L/H ≈ 13 wurde ein Korrekturfaktor K von
4 % beaufschlagt, siehe Gleichung (2.7). Dies entspricht dem Mittelwert des
Korrekturfaktors (3,8–4,3 %) bei zugrundeliegenden Querkontraktionszahlen
zwischen 0,15 bis 0,4, welche für das gewählte Material realistisch sind. Die
jeweilige Dichte wurde anhand des Gewichtes im Verhältnis zum äußeren
Volumen ermittelt. Es wurden mindestens 10 Einzelmessungen zur Bestimmung
einer Frequenz gemittelt. Die Ergebnisse der gesamten Untersuchungsreihe sind
in Tabelle 2.1 und in Abbildung 2.4c) gezeigt und man erkennt einen sog. positiven
Größeneffekt bei den Messdaten des Lochmaterials, d. h. der betreffende Struktur-
modul steigt bei sinkenden Abmaßen, wobei die Messdaten des Vollmaterials nur
leicht sinken bei kleiner werdenden Abmaßen. Letzteres kann mit einhergehenden
Fertigungs- und Messungenauigkeiten erklärt werden, sowie einem möglichen
Einfluss der Rauheit der Metalloberfläche. Die mittlere Rauheit Ra wurde am
Kompetenzzentrum für Mechatronik der Hochschule Augsburg exemplarisch an
der größten Referenzprobe vermessen und beträgt an vier unterschiedlichen
2 Experimente zum Größeneffekt
16
Messstellen 0,58 µm, 0,99 µm, 0,37 µm und 0,20 µm. Die Unterschiede in den
Werten für die mittlere Rauheit beruhen auf den Bearbeitungstechniken und
– werkzeugen die zur Formgebung eingesetzt wurden (z. B. verschiedene Fräser).
Abbildung 2.4: a) Ein Bild der drei Probebalken mit künstlicher
Heterogenität. b) Dimensionen und Anordnungen der
Bohrungen. c) Plot der Strukturmodulergebnisse.
2.1.3 FA an Aluminiumschäumen
In einer zweiten Untersuchungsreihe wurden verschieden große Balken aus dem
Werkstoff Aluminiumschaum verwendet. Poröse Metallschäume erfahren derzeit
ein großes Forschungsinteresse, vor allem auf dem Gebiet des Leichtbaus. Sie
haben aufgrund ihrer Poren und Hohlräume eine geringe Dichte und dabei eine
hohe spezifische Steifigkeit. Im Herstellungsprozess unterscheidet man u. a.
zwischen „gegossenem“ und „geschäumtem“ Metallschaum. Der Gegossene wird
durch Zugabe von Zusätzen wie Al2O3 in die geschmolzene Aluminumlegierung
unter Durchströmung von Gas realisiert, wobei sich der eigentliche Schaum an der
Oberfläche der Schmelze sammelt und mit geeigneter Technik abgekühlt und zum
Erstarren gebracht wird. Der sog. geschäumte Metallschaum stammt aus einer
pulvermetallurgischen Herstellung, in der Aluminiumpulver unter Beigabe eines
Treibmittels wie Titandihydrid (TiH2) durch Pulverstrangpressen zu einem
Rohling verarbeitet wird, welcher bei hoher Temperatur und Druck durch innere
Gasbildung aufschäumt. Von beiden Varianten wurden Probenkörper der Länge
30
35
40
45
50
55
60
65
70
2 4 6 8 10 12 14
E-Modul in GPa
Probenhöhe in mm
Messdaten Vollmaterial
Messdaten Lochmaterial
a)
b)
c)
Strukturmodul, E-Modul in GPa
E-Modul (Vollmaterial)
Strukturmodul (Lochmaterial)
Balkenhöhe in mm
2.1 Frequenzanalyse (FA)
17
150–800 mm für die Frequenzvermessung hergestellt (siehe Abbildung 2.5). Die
durchschnittlichen Porengrößen variieren zwischen 2–5 mm. Aufgrund von
Dichteunterschieden zwischen den beiden Herstellungsvarianten von ca.
250 kg/m3 für den gegossenen Schaum zu ca. 400 kg/m3 für den Geschäumten,
wurde diese Reihe in jeweils zwei verschiedene Werkstoffe eingeteilt, um die
Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu gewährleisten. Wegen der geringen Dichte
sind die Frequenzen der Grundschwingung sehr niedrig und betragen nur einige
hundert Hertz. Durch die verkürzte Schwingungsdauer wurde die Messbarkeit
erschwert. Es wurden rund 20 Einzelmessung gemittelt, um eine Frequenz pro
Stab zu erhalten.
Abbildung 2.5: Verschiedenartige Aluminiumschaumbalken zur
Frequenzbestimmung.
Zur Auswertung wurden nur diejenigen Balken herangezogen, deren Längen- zu
Höhenverhältnis L/H = 20 beträgt. Die Abmaße und Dichten der Probebalken und
die Ergebnisse der Frequenzmessung sowie der Strukturmodulbestimmung sind in
Tabelle 2.2 und Abbildung 2.6 gezeigt und man erkennt einen sog. negativen
Größeneffekt. D. h. der Materialkennwert sinkt bei verringerten Abmaßen.
2 Experimente zum Größeneffekt
18
Schaumart
Länge
in mm
Höhe
in mm
Breite
in mm
Dichte
in kg/m3
Frequenz
in Hz
Strukturmodul
in GPa
gegossen
801
39,8
80,1
236
129,6
0,975
802
39,8
80,6
235
128,4
0,959
139
6,6
39
279
568,8
0,732
139,8
6,6
13
275
588,4
0,791
139
6,6
13,2
281
503,3
0,577
139
6,8
13
268,6
556,5
0,636
138
6,8
10,3
258,7
623,2
0,746
299
14,9
30,3
268,9
307,4
0,866
300
14,9
30,8
273,8
297,9
0,839
geschäumt
126,2
6,85
13
436,02
802,85
1,438
125,85
7,6
14
418,21
761
0,996
801
43,41
80,7
403,45
200,5
3,353
800
44
81,7
403,36
204,2
3,368
300
14,5
30
409,20
406
2,459
300
13,6
30
424,84
384,2
2,599
300
14
43,5
398,47
392,3
2,399
Tabelle 2.2: Daten der Untersuchung der Aluminiumschaumbalken.
Abbildung 2.6: Strukturmodulwerte der zwei verschiedenen Aluminium-
schaumsorten bei unterschiedlichen Balkenhöhen.
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
0.4
0.9
1.4
1.9
2.4
2.9
3.4
5 10152025303540455055
Strukturmodul
[GPa]
, geschäumtes Al
Balkenhöhe in mm
geschäumter Al-Schaum
gegossener Al-Schaum
Strukturmodul
[GPa]
,
gegossenes Al
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
19
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
Im Gegensatz zu den vorangegangenen Proben, deren Abmessungen makros-
kopisch waren, sollen in diesem Kapitel mikroskopisch kleine Proben auf den
Größeneffekt hin untersucht werden, wobei der Begriff „mikroskopisch“ in dem
Sinne verwendet wird, dass relevante Abmaße und Größen nur noch durch die
Anwendung eines Mikroskops erfasst werden können. Der Höhenbereich der so
geprüften Mikrobalken umfasst dabei Werte zwischen 0,2–170 µm. Um den
Elastizitätsmodul von Werkstoffen in dieser Größenordnung zu messen, werden
primär einfache statische Biegeversuche an freistehenden Mikrobalken durchge-
führt. Die Belastung erfolgt dabei mit Hilfe eines Atomkraftmikroskops (AFM).
Weitere Bezeichnungen dieser Messapparatur sind: Rasterkraftmikroskop RKM,
scanning force microscope SFM, oder scanning probe microscope SPM. Diese Art
der Mikroskopie wurde um 1981 mit der Erprobung des scanning tunnel
microscopes STM in der Schweiz erfunden, wofür 1986 der Nobelpreis für Physik
an Gerd Binnig und Heinrich Rohrer vergeben wurde. Dieses Verfahren
verwendet im Gegensatz zur Licht- oder Elektronenmikroskopie die Kraftin-
formation die zwischen der zu betrachtenden Probenoberfläche und einer sog.
AFM-Nadel wirkt. Die AFM-Nadel ihrerseits besteht aus einem einseitig fest
eingespannten Mikrobalken, an dessen freiem Ende eine vielfältig geartete Spitze
angebracht ist, welche einen Spitzenradius von typischerweise 10 nm aufweisen
kann. Die in der Nähe einer Probenoberfläche wirkenden Kräfte führen zu einer
Biegung der AFM-Nadel, die wiederum über verschiedene Methoden, z. B. durch
optische Interferometrie, Laserreflektion, Piezoelektrizität oder Piezowiderstands-
messung, detektiert werden kann. Diese Kraftinformation wird in vielfältiger
Weise dazu genutzt, bei der lateralen Bewegung der Probe oder der Spitze, ein
Profilbild der Probenoberfläche und damit ein vergrößertes Abbild der Probe zu
erstellen. Sowohl die laterale als auch die vertikale Bewegung wird mit Hilfe von
kalibrierten Piezostellelementen ermöglicht. Unter optimalen Bedingungen ist
diese Technik in der Lage, die Position einzelner Oberflächenatome zu detektieren
und gar zu beeinflussen. Für die Zwecke dieser Arbeit soll die (hier laserreflektiv
gewonnene) Biegeinformation der AFM-Nadel kraftkalibriert werden, um für rein
punktuelle Kraftexperimente an Mikrobalken entsprechende Kraft-Durch-
biegungszusammenhänge herzustellen.
2 Experimente zum Größeneffekt
20
2.2.1 Aufbau des laserreflektiven AFMs
Das verwendete AFM-System ist ein etabliertes Modell der Firma Nanonics
Imaging Ltd., Jerusalem, Israel (www.nanonics.co.il), mit der Bezeichnung
Multiview1000TM. Es basiert auf einer laserreflektiven Detektion der Biegung der
verwendeten AFM-Nadel, welche die Besonderheit aufweist aus Glas gefertigt zu
sein (Optical Fiber AFM-Probes). Der seitlich vom System ausgesendete Laser-
strahl wird durch einen der Nadel vorgelagerten Spiegel direkt auf den „Hals“ der
Nadel geleitet. Die im Halsbereich mit Chrom beschichtete zylindrische Nadel
reflektiert den ursprünglich punktförmigen Laserspot linienartig. Der so
aufgefächerte Lichtstrahl trifft im sog. PSD (den photosensitiven Dioden) auf
(siehe Abbildung 2.7).
Abbildung 2.7: Links: Schematisches Schnittbild des MV1000TM-Systems.
Rechts: Konventionelle Makrofotografie der AFM-Glasnadel
vor einem im Hintergrund befindlichen Millimetermaßstab.
Im PSD verursacht das eintreffende Laserlicht eine Änderung des elektrischen
Widerstands der beleuchteten Dioden. Das PSD besteht aus vier solcher Dioden,
die als WHEATSTONEsche Vollbrücke zusammengeschaltet sind. In einem be-
grenzten Auslenkungsbereich ist die elektrische Spannung zwischen den
parallelen Leitungsteilern der WHEATSTONEschen Brücke ein Maß für die Biegung
der AFM-Nadel (siehe schematische Abbildung 2.8).
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
21
Abbildung 2.8: Links: Schematischer Zusammenhang zwischen der Aus-
lenkung der AFM-Nadel und der Messspannung U im PSD.
Rechts: Mikroskopische Aufnahme des freien Endes der
AFM-Glasnadel.
Die Reflektionsgeometrie des Laserstrahlengangs ist über die Ausrichtung des
Lasers selbst, über die Position und den Winkel des Spiegels und über die Position
des PSDs innerhalb gewisser Grenzen frei einstellbar. Der Reflektionspunkt auf
der AFM-Nadel sollte bei ca. zwei Drittel ihrer Länge liegen, gemessen von der
Einspannung aus (siehe Handbuch MV1000TM, Nanonics, 2007). Man kann aber
auch kürzere Abstände wählen, um damit eine größere Biegung der Nadel zuzu-
lassen. Im unbelasteten Zustand der Nadel sollte der Strahlengang so eingestellt
sein, dass die im PSD auftreffende Laserlinie sich in der Mitte des PSD und damit
im linearen Messbereich befindet.
Die Probe wird auf einem geeigneten Probenhalter befestigt und in den direkt unter
der AFM-Nadel befindlichen sog. Flatscanner eingelegt (siehe Unterbau in
Abbildung 2.7, links). Der Flatscanner ist ein dreidimensional piezobetriebener
Feinpositionierungstisch, welcher erlaubt, die Probe um ca. 90 µm lateral und ca.
70 µm vertikal zu bewegen, wobei vom Hersteller eine laterale Auflösung von
0,005 nm und vertikale Auflösung von 0,002 nm angegeben wird. Die vertikale
Bewegung wird dabei durch ein Feingewinde übersetzt (siehe Abbildung 2.9,
rechts). Ein Hochspannungskontrollmodul (siehe Abbildung 2.9, links) verbindet
den Flatscanner mit einem Computer, auf dem die entsprechendende Treiber-
software, hier Quartz©, installiert ist.
+2
-2
0
tip deflection
U
[mV]
U
[mV]
Biegung der Nadel
auftreffende Laserlinie
linearer Messbereich
überschrittener Messbereich
30µm
2 Experimente zum Größeneffekt
22
Abbildung 2.9: Links: Die Kontrollmodule des MV1000TM. Rechts:
Schema des Flatscanners (Feinpositionierungstisch).
Nachdem die Nadel rein manuell in einige Millimeter Entfernung zur Proben-
oberfläche gebracht ist, geschieht die Annäherung (engl. „approach“) in mehreren
Schritten: Als erstes wird die Probe mit Hilfe des Flatscanners automatisch in die
maximale Höhenposition gebracht. Mit dem sog. „stepper motor“ (zu dt. Schritt-
motor) wird dann der obere Aufbau des AFMs abgesenkt, wodurch sich die Nadel
und die Probe schnell annähern. Sobald eine detektierbare Auslenkung der Nadel
vom System registriert wird, stoppt der Schrittmotor, die Probe wird im Flat-
scanner auf Minimalposition gebracht und von dieser ausgehend relativ langsam
und mit hoher Genauigkeit von unten her gegen die AFM-Spitze gehoben. Das
Anheben der Probe stoppt wiederum automatisch bei einer im Vorfeld
einstellbaren prozentualen Abweichung der Nadelbiegung. Der so einstellbare
Kontaktabstand ist im Folgenden der Ausgangs- und Nullpunkt für die Belastungs-
experimente.
2.2.2 Kraftkalibrierung der AFM-Nadel
Um die Kraft F zwischen der AFM-Nadel und der Probenoberfläche zu be-
stimmen, bedient man sich dem einfachen Federgesetz: F=k wSpitze. Dabei ist k die
Federkonstante der Nadel und wSpitze ihre Durchbiegung am Ort der Kraftüber-
tragung, wobei wSpitze direkt oder indirekt im AFM gemessen werden kann. Der
lineare Zusammenhang geht auf die Theorie kleiner Biegungen von langen,
schlanken EULER-BERNOULLI Balken zurück. Es sollen im Folgenden drei
Methoden vorgestellt werden, einen quantitativen Wert für die Federkonstante
(auch im Folgenden als Kraftkonstante bezeichnet) einer AFM-Nadel zu erhalten.
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
23
Für einfache Geometrien lässt sich die Kraftkonstante theoretisch bestimmen. Für
gerade Balken mit konstanter Querschnittsfläche erhält man z. B., vgl. [58]:
3
3L
EI
k
.
(2.8)
Diese Methode ist allerdings als ungenau anzusehen, da die exakte Kenntnis der
Abmaße der Nadel Voraussetzung ist. Vor allem die Abmessung der Höhe liegt
oft unterhalb eines Mikrometers, was einen enormen Messaufwand bedeutet. Die
nächst bessere Kraftkalibrierung kann, ähnlich zu der im Kapitel 2.1 dargelegten
Frequenzanalyse, durch Messung der ersten Eigenfrequenz der Nadel erfolgen.
Hierbei lautet die Berechnungsformel langer, schlanker Balken mit konstantem
Rechtecksquerschnitt z. B. wie folgt, vgl. [58]:
E
fBLk
3
3
1
3
307,59
U
.
(2.9)
Diese Formel ist unabhängig von der kritischen Messung der Nadelhöhe und die
Bestimmung der ersten Eigenfrequenz der Nadel ist prinzipiell gut möglich.
Dennoch bewähren sich beide Messmethoden nicht zur Bestimmung der Kraft-
konstante von speziellen AFM-Nadeln, wie der Glasnadel, da diese zwar lang und
schlank ist, aber über ihre Länge hinweg keinen konstanten Querschnitt aufweist
(siehe Abbildung 2.8, rechts).
Die für diese Arbeit genutzte Kalibrierungsmethode ist das Verfahren des Ab-
gleichens, vgl. VARENBERG et al. (2005) [103]. Danach wird ein bekannter Kraft-
Weg Zusammenhang eines sog. Biegenormals mit ähnlichem Biegewiderstand
(siehe Abbildung 2.10) genutzt, um auf die Kraftkonstante der AFM-Nadel
zurückzuschließen, ohne ihre Geometrie bestimmt haben zu müssen.
2 Experimente zum Größeneffekt
24
Abbildung 2.10: Das Silizium-Biegesteifigkeitsnormal der PtB in
makroskopischer Aufnahme (links) und mikro-
skopischer Aufnahme des freien Endes (rechts).
Das Normal besteht aus einem ca. 3000 µm langen, 100 µm breiten und 25 µm
hohen Balken aus Silizium mit plateauförmiger Spitze, der auf einem Metall-
plättchen mit 30 mm Durchmesser aufgeklebt ist. Das Metallplättchen ist in seiner
Mitte um ca. 0,1 mm vertieft. Der kalibrierte Punkt befindet sich in der Mitte des
Plateaus (siehe Abbildung 2.10, rechts). Die dort herrschende vertikale Biege-
steifigkeit wurde mit einer Mikrokraftmesseinrichtung der PTB, bestehend aus der
Nanokompensationswaage Mettler Toledo SAG245 und dem Nanopositionierer
Pifoc721 von PI, unter Anwendung eines sphärischen Indenters gemessen. Dem
vorliegenden Bericht (Berichtszeichen: KEN11 PTB12) ist eine gemessene
Kraftkonstante von kPtB=4,072±0,085 N/m zu entnehmen, welcher durch eine
lineare Regression der Kraft-Weg Kurve im Bereich zwischen 3 µN bis 160 µN
bestimmt wurde und gemäß ISO (1995) zu 95 % im angegebenen Werteintervall
liegt. Der Abgleich zur verwendeten AFM-Glasspitze erfolgt nun in zwei
Schritten, bei denen die Kurven der elektrischen Spannung des PSD gegenüber
dem Piezohub des Flatscanners aufgezeichnet werden (siehe Abbildung 2.11). Zu-
nächst wird die Messkurve an einem Ort auf der Probe mit fester Oberfläche
bestimmt, um das alleinige Biegeverhalten der AFM-Nadel zu rekordieren. Im
Anschluss wird am Ort des kalibrierten Punktes in der Mitte des Plateaus
gemessen, bei dem sich nun das Siliziumnormal plus die AFM-Nadel gleichzeitig
biegen. Aus direkter Subtraktion der Wegdaten dieses Experiments bestimmt sich
sowohl die Durchbiegung der AFM-Spitze wSpitze (Abbildung 2.11, blauer
Bereich) als auch die Verbiegung des Si-Normals selbst wBalken (Abbildung 2.11,
grüner Bereich).
20 μm
20 μm
3mm
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
25
Abbildung 2.11: Typische Messkurven der elektrischen Spannung im PSD
gegenüber des vertikalen Piezohubs. Links: Originaldaten.
Rechts: Zum Nullpunkt verschobene Daten. Blau: Bereich der
Nadelbiegung. Grün: Bereich der Biegung des Si-Normals.
Mit der Kenntnis der Nadeldurchbiegung wSpitze, der Verbiegung des Si-Normals
wBalken und dessen Kraftkonstante kPtB, lässt sich folgender Zusammenhang zur
Kraftkonstante der Nadel herstellen:
Spitze
Balken
PtB
Spitze
w
w
k
k
.
(2.10)
Die mit der Methode des Abgleichs ermittelte Kraftkonstante, der für alle
folgenden Untersuchungen benutzten AFM-Spitze, wurde quantitativ zu
kSpitze=31,4 ± 0,2 N/m bestimmt.
2.2.3 Biegeexperimente an SU-8
SU-8 ist ein negativ-Fotolack aus der Mikrosystemtechnik, vgl. [56] bestehend aus
den drei Bestandteilen: Grundharz (auf Basis von Bisphenol-A), Lösungsmittel
und fotoempfindlicher Komponente. Im Folgenden werden die Verarbeitung und
die Experimentierdurchführung des NanoTM-SU-8 der Firma MicroChem
erläutert. Die Verarbeitung erfolgte in dankenswerter Zusammenarbeit mit Herrn
M. Wöhrmann, M.Sc. am Fraunhofer Institut für Zuverlässigkeit und Mikro-
integration (IZM) in den folgenden vom Hersteller definierten Arbeitsschritten:
2 Experimente zum Größeneffekt
26
x Ein 4-Inch-Silizium-Wafer wurde zum Zweck einer späteren
Trennschicht mit einem Metall beschichtet.
x Der zunächst in Lösungsmittel gelöste, viskose Resist wurde mit
Hilfe einer konventionellen Schleuderbeschichtungsmaschine auf
den metallbeschichteten Silizium-Wafer aufgetragen. Die Rotations-
geschwindigkeit der Schleudermaschine betimmte maßgeblich die
Dicke der so aufgebrachten homogenen Schicht (zw. 8–40 µm).
x Der Großteil des Lösungsmittels verdampfte im Rotationsprozess,
der Rest wurde bei einer anschließenden Trocknung bei 60 °C
und 95 °C ausgedampft, wonach der Werkstoff endgültig seine
Festigkeit erhielt.
x Die Strukturierung in verschiedene kammartige Mikrobalken
erfolgte über einen LDI (Laser Direkt Imager). Dieser spezielle UV-
Laser rasterte vorgegebene Bereiche ab, welche sich durch die
Einwirkung des Lichts chemisch umwandelten und für den später
zum Einsatz kommenden Entwickler löslich wurden.
x Nach dem Belichten erfolgte eine zusätzliche Temperaturbe-
handlung bei wiederum 60 °C und 95 °C, um die chemische Re-
aktion nach der Belichtung weiter zu unterstützen.
x Nach nur kurzer Zeit im Entwicklerbad löste sich das belichtete
SU-8 vom Unbelichteten und die Balkenstrukturen wurden frei-
gelegt.
x Durch anschließendes chemisches Ätzen, welches nicht das SU-8
angreift, wurde die Metallschicht am Si-Wafer aufgelöst und die
kammartig strukturierten Folien endgültig abgelöst. Sie wurden in
einem Wasserbad gesammelt und zur Aufbewahrung aufgefädelt
(siehe Abbildung 2.12, links).
Im finalen Vorbereitungsschritt für die Belastungstests im AFM wurden die
strukturierten Folien im Labor des LKM mittels eines sehr dünnflüssigen
Klebemittels derart an scharfkantige Ränder von Abdeckgläsern angebracht, das
lediglich die Mikrobalken überstehen (siehe Abbildung 2.12, rechts).
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
27
Abbildung 2.12: Probenpräparation der strukturierten SU-8 Folien. Links:
Verklebung einzelner Folien mit überstehenden Prüf-
strukturen. Rechts: Einzelner Mikrobalken samt Ein-
spannungsbedingung nahe der Glaskante und Kraft-
applikation durch die AFM-Spitze.
Die Abmaße der geprüften Balken wurden auf mehrere Art und Weisen bestimmt.
Breite und Länge wurden ausschließlich lichtoptisch im Lichtmikroskop des
AFMs gemessen (siehe Tabelle 2.5), wobei sich die Länge vom Punkt der
Kraftaufbringung bis hin zur Glaskante erstreckte und durch die Positionierung
der AFM-Nadel jeweils separat eingestellt werden konnte. Da die Höhe einer der
einflussreichsten Werte für die spätere Auswertung ist, wurde sie anhand zwei
verschiedener Lichtmikroskope, einem sog. DEKTAK-System und mehrerer
REM-(Rasterelektronenmikroskop)-Aufnahmen gemittelt, wobei jedes System
spezifische Ungenauigkeiten aufweist. Die Bezeichnung „DEKTAK“ bezieht sich
auf ein Oberflächenprofilometer, welches die Oberfläche von Proben mechanisch
abtastet. Bei dem Verfahren wird ein Metallstift mit einer Diamantspitze über die
Oberfläche der Messprobe gezogen und die dabei ermittelte Höheninformation
ähnlich wie im AFM in Verbindung mit der Weginformation ausgewertet (siehe
Abbildung 2.13c)). Das Verfahren der Rasterelektronenmikroskopie nutzt einen
fokussierten und lenkbaren Elektronenstrahl, um einen Probenbereich abzurastern
und mit den jeweiligen Rückstreuinformationen pro Rastpunkt ein kontrastreiches
Bild zu erzeugen (siehe Abbildung 2.13a)). Dadurch erlangt man eine deutlich
strukturierte Folien,
aufgefädelt
einzelne strukturierte Folie
überstehend verklebte,
strukturierte SU-8 Folie
Glaskante
Kleber
AFM-Spitze
100µm
2 Experimente zum Größeneffekt
28
höhere örtliche Auflösung und Tiefenschärfe als bei der herkömmlichen Licht-
mikroskopie.
Abbildung 2.13: Vermessung der Höhe der Mikrobalken mittels:
a) REM, b) Lichtmikroskop-I, c) DEKTAK-System
und d) Lichtmikroskop-II, gezeigt an verschiedenen
exemplarischen SU-8 Mikrobalken.
Ein nahe des Messgerätes installiertes Hygrometer überwachte die Werte der
relativen Luftfeuchtigkeit, die über die gesamte Mess- und Lagerungsdauer
hinweg zwischen 30–40 % lag. Die eigentlichen Untersuchungen begannen,
indem eine jeweils auf ihre Höhe, Breite und Länge vermessene Struktur zur Be-
lastung im AFM unterhalb der AFM-Spitze positioniert wurde. Die
Biegesteifigkeiten der SU-8 Mikrobalken wurden mit der Methode des
Abgleichens bestimmt. Zunächst wurde die Kurve der elektrischen Spannung des
PSD gegenüber dem Piezohub des Flatscanners an einem Ort fester SU-8
Oberfläche aufgezeichnet. Durch die im Abschnitt 2.2.2 erläuterte Kraft-
kalibrierung der AFM-Nadel konnte die Skala der elektrischen Spannung des PSD
direkt in eine Skala der applizierten Kräfte umgewandelt werden. Die eigentliche
a)
b)
c)
d)
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
29
Belastung erfolgte an einem Punkt ausgewählter Länge, wobei das im Abschnitt
2.2.2 beschriebene Subtraktionsverfahren beider Kurven den Zusammenhang
zwischen aufgebrachter Kraft und der Durchbiegung des Mikrobalkens an der
Stelle der AFM-Spitze hervorbringt. Für kleine Auslenkungen, wobei „klein“ hier
über den maximalen Biegewinkel:
q
¸
¹
·
¨
©
§q
10
π
180
2
2
EI
FL
D
(2.11)
begrenzt werden soll [15], errechnet sich der konventionelle E-Modul isotroper
Materialien, vorgreifend auf den Abschnitt 3.1.4, aus:
3
3
4
wBH
FL
E
,
(2.12)
wobei F die Kraft, L die Länge, w die Durchbiegung, B die Breite und H die Höhe
ist. Die Ergebnisse der einzelnen Prüfungen sind in Abbildung 2.14 dargestellt.
Abbildung 2.14: Rohdaten der E-Modulwerte aller untersuchten
SU-8 Mikrobalken.
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
0 102030405060
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
2 Experimente zum Größeneffekt
30
Länge
in µ
m
Breite
in µm
Höhe
in µm
E-Modul in
GPa
Länge
in µ
m
Breite
in µm
Höhe
in µm
E-Modul in
GPa
80
82
8,4
4,62
110
81
24,2
4,58
160
4,71
248
4,88
164
5,64
435
4,49
176
6,36
375
4,99
200
7,59
590
5,05
240
5,18
530
4,7
430
7,02
454
120
24,2
4,05
430
7,62
471
4,83
403
6,85
443
3,12
416
7,06
455
3,07
485
7,37
456
3,76
82
80
8,4
3,93
369
5,52
160
6,35
535
3,5
240
6,68
370
64
39,0
4,24
317
5,73
328
4,24
400
7,18
373
86
39,0
3,32
135
122
14,4
4,08
535
3,91
139
3,65
512
3,47
270
4,52
540
124
39,0
4,41
273
4,74
763
4,01
405
4,93
768
4,5
408
5,0
979
3,59
534
4,99
600
4,37
540
5,24
920
4,38
675
6,07
679
5,62
810
6,75
817
6,88
Tabelle 2.3: Abmaße und Messdaten der untersuchten SU-8 Mikrobalken.
2.2.4 Biegeexperimente an Epoxidharz
Epoxidharz ist ein künstliches Harz, welches Epoxidgruppen beinhaltet und in
Verbindung mit einem speziellen Härter zu einem duroplastischen Kunststoff
umgesetzt werden kann. Epoxidharze sind Polyether mit in der Regel zwei
endständigen Epoxidgruppen, die durch das sog. Härten aufgetrennt werden. In
Abbildung 2.15b) ist das Schema eines gehärteten Kunststoffes auf Epoxid-
harzbasis gezeigt, worin die n-fachen Polyethergruppen mit [R-O]n gekennzeich-
net und über den Härter (rot markiert) verbunden sind. Die Aushärtezeit ist
abhängig vom verwendeten Härter und der Verdünnung und kann bei Raum-
temperatur erfolgen. Die Herstellung von Mikrobalken verschiedener Höhen
wurde wie folgt realisiert:
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
31
Abbildung 2.15: a) Handelsübliches härtbares Epoxidharz. b) Schema des
gehärteten Kunststoffes auf der Polyetherbasis [R-O]n.
c) Zwischen Abstandshaltern mittig aufgetragenes Harz,
eingepresst zwischen zwei Präparationsgläsern.
Das kommerziell erhältliche Kunstharz HT 2 der Firma PoxySystems® (siehe
Abbildung 2.15a)), bestehend aus Bisphenol-F-diglycidylether und 4,4‘ Methylen-
diphenyldiglycidylether wurde im Verhältnis 100:48 mit dem dazugehörigen
Härter angerührt und innerhalb der 45-minütigen Verarbeitungszeit zwischen zwei
Präparationsgläsern aufgebracht (siehe Abbildung 2.15c)). Als Abstandshalter
dienten je nach gewünschter Schichtdicke Abdeckgläser oder herkömmliche
Aluminiumfolie. Auf diese Weise konnten Schichtdicken von 17–170 µm erzielt
werden. Nach einer Aushärtezeit (bei Raumtemperatur) von mindestens
24 Stunden wurden die Präparationsgläser auseinandergehebelt und die gehärtete
Epoxidfolie abgezogen.
O
a) b)
c)
N
N
N
O
O
O
O
O
R
R
R
N
N
N
OO
R
[ ]
n
O
R
HO
HO
HO
HO
HO
OH
HO HO
OH
HO
O
[ ]
n
[ ]n
[ ]
n
[ ]
n
N
N
2 Experimente zum Größeneffekt
32
Abbildung 2.16: a) Seitliche Aufnahme des Schneid- bzw. Stanzwerkzeuges.
b) Überstehend verklebte Epoxidstreifen. c) Probenhalter
zur Fixierung der verklebten Gesamtprobe.
Aus den abgelösten, unterschiedlich dicken Epoxidfolien wurden mit Hilfe eines
Schneid- bzw. Stanzwerkzeuges die Mikrobalken abgetrennt. Das Werkzeug
besteht aus handelsüblichen Nassrasierklingen, welche wahlweise ohne und mit
einer dünnen Abstandshalterschicht aneinander geschraubt wurden. Nassrasier-
klingen sind ca. 0,1 mm dick und genügend scharf, um die Epoxidfolien zu durch-
trennen. In Abbildung 2.16a) ist das Schneid- bzw. Stanzwerkzeug vergrößert mit
einer Lage Papier als Abstandshalterschicht gezeigt. Durch die Abstands-
halterschicht konnte die Breite der hergestellten Mikrobalken im Bereich von
ca. 100–400 µm variiert werden. Die durch vertikalen Druck und leichte Seit-
wärtsbewegungen herausgestanzten Balkenstreifen wurden unter einem
Mikroskop so auf die Kanten von Deckgläsern verklebt, dass ca. zwei Drittel der
Streifen frei überstehen (siehe Abbildung 2.16b)). Ein spezieller Probenhalter zur
Fixierung der verklebten Gesamtprobe ist in Abbildung 2.16c) gezeigt. Dieser
fixiert punktuell das Glasplättchen, auf dem der Mikrobalken angebracht ist und
kann direkt in die Probenkammer des AFMs eingelegt werden, um den darauf
befindlichen Mikrobalken zu prüfen.
a) b)
c)
ca. 0,5mm
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
33
Abbildung 2.17: Links: Lichtmikroskopische Messung der Breite eines
exemplarischen Mikrobalkens aus Epoxid. Rechts:
Exemplarische Messung der Höhe der Epoxidschicht.
Die Vermessung der Breite, der Höhe und der Länge der Proben erfolgte an einem
kalibrierten Lichtmikroskop für jeden geprüften Mikrobalken einzeln (siehe
Tabelle 2.4). Exemplarische Aufnahmen dieser Messreihe sind in Abbildung 2.17
dargestellt.
Die Biegesteifigkeiten der Mikrobalken aus Epoxid wurden mit der Methode des
Abgleichens bestimmt. Zunächst wurde die Kurve der elektrischen Spannung des
PSD gegenüber dem Piezohub des Flatscanners an einem Ort fester Epoxid-
oberfläche aufgezeichnet. Durch die im Abschnitt 2.2.2 erläuterte Kraftkali-
brierung der AFM-Nadel konnte die Skala der elektrischen Spannung des PSD
direkt in eine Skala der applizierten Kräfte umgewandelt werden. Die eigentliche
Belastung erfolgte an einem Punkt ausgewählter Länge L, wobei das im Abschnitt
2.2.2 beschriebene Subtraktionsverfahren beider Kurven den Zusammenhang
zwischen aufgebrachter Kraft und der Durchbiegung des Mikrobalkens an der
Stelle der AFM-Spitze hervorbringt. Für kleine Auslenkungen, wobei „klein“ hier
über den maximalen Biegewinkel gemäß Formel (2.11) begrenzt wurde, errechnet
sich der konventionelle E-Modul des als isotrop angenommenen Materials gemäß
der Formel (2.12) aus der Kraft F, der Länge L, der Durchbiegung w, der Breite B
und Höhe H. Die Ergebnisse der einzelnen Prüfungen sind in Abbildung 2.18
dargestellt.
2 Experimente zum Größeneffekt
34
Abbildung 2.18: Rohdaten der E-Modulwerte der untersuchten Mikro-
balken aus Epoxid.
Länge
in µ
m
Breite
in µm
Höhe
in µ
m
E
-
Modul in
GPa
Länge
in µ
m
Breite
in µm
Höhe
in µm
E
-
Modul in
GPa
1997
343
170
3,361
178
116
20
7,41
2237
3,36
328
7,93
2803
3,59
508
7,34
2995
4,25
682
7,47
3396
4,0
852
7,5
3797
4,27
994
8,2
4125
4,19
236
104
17,5
5,91
4375
3,89
350
8,22
4460
4,2
407
6,98
819
237
63
3,87
594
9,28
1158
4,02
685
9,64
1494
4,56
943
10,51
1770
5,23
Tabelle 2.4: Abmaße und Messdaten zur Untersuchungsreihe aus Epoxid.
2.2.5 Biegeexperimente an Siliziumnitrid
Siliziumnitrid wird heutzutage wegen seiner hohen Stabilität und präzisen
Herstellbarkeit als Grundmaterial für AFM-Nadeln für diverse Anwendungen
eingesetzt. Aus diesem Grund existieren kommerziell viele unterschiedliche
Siliziumnitridbalken, welche in einem überaus kleinen Höhenbereich realisiert
werden. Drei verschiedene Höhen sind in dieser Arbeit auf ihr Biegeverhalten hin
geprüft worden (200 nm, 600 nm und 800 nm). Das fertig strukturierte Material
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
2.2 Atomkraftmikroskopie (AFM)
35
wurde von kommerziellen Lieferanten erworben und ist laut Herstellerangaben
durch einen speziellen Aufdampfprozess einer Silizium-Stickstoff Gasmischung
entstanden. Einzelheiten des Aufdampfprozesses sowie des Mischverhältnisses
der Gase konnten nicht bekannt gegeben werden. Es handele sich nach der Ab-
scheidung um amorphes SixNx, welches einseitig zusätzlich metallbedampft
wurde. Die Metallschichtdicke liege dabei im Bereich 5–15 nm. Aufgrund dessen,
dass die Höhen dieser Testobjekte im Submikrometerbereich liegen, sind sie in
konventionellen Lichtmikroskopen kaum noch zu vermessen. Aufschluss über die
Höhe gaben zum einen Bilder aus dem REM (Rasterelektronenmikroskop), siehe
Abbildung 2.19, und zum anderen die Herstellerangabe mit einer bezifferten
Genauigkeit von ±10 %. Eine Winkelkorrektur der REM-Aufnahmen wurde nicht
berücksichtigt, da der Anstellwinkel bei allen Messungen zwischen 75°– 90° lag
und die Messungenauigkeit somit unterhalb von 3 % liegt. Zudem konnte im REM
die Dicke der Metallschicht nicht aufgelöst werden. Die Herstellerangaben zur
Höhe der Balken aber konnten bestätigt werden.
Abbildung 2.19: Links: Exemplarische REM-Aufnahme eines SixNx-
Mikrobalkens. Rechts: Vermessung der Balkenhöhe.
Das Höhen- zu Längenverhältnis in dieser Untersuchungsreihe übertraf deutlich
den Grenzwert für schlanke Balken von 1:20 und erreichte im Maximum einen
Wert von 1:140. Die Belastung erfolgte gemäß der in Abschnitt 2.2.2 be-
schriebenen Prozedur der Subtraktion der Kraft-Weg-Daten der AFM-Nadel, die
auf einer festen Oberfläche positioniert wurde, von den Daten, bei der die AFM-
Nadel auf einem freistehenden Mikrobalken operierte. Durch das Auswerten der
Messdaten für Kraft, Durchbiegung und der äußeren Abmaße wurde der E-Modul
212 nm
2 Experimente zum Größeneffekt
36
gemäß der Formel (2.12) berechnet und ist in Tabelle 2.5 und im Plot der
Abbildung 2.20 dargestellt.
Länge
in µ
m
Höhe
in µ
m
Breite
in µ
m
E
-
Modul
in GPa
Länge
in µ
m
Höhe
in µ
m
Breite
in µ
m
E
-
Modul
in GPa
43
0,8
18
375
29
0,2
16
236
83
0,8
38
383
29
0,2
16
243
93
0,8
38
300
29
0,2
16
275
123
0,8
38
455
29
0,2
16
282
168
0,8
40
243
29
0,2
16
289
80
0,6
37,5
260
29
0,2
16
306
80
0,6
37,5
208
29
0,2
16
323
80
0,6
37,5
308
29
0,2
16
344
91
0,6
37,2
249
29
0,2
16
349
91
0,6
37,2
332
29
0,2
16
379
91
0,6
37,2
333
29
0,2
16
395
167
0,6
37,2
335
167
0,6
37,2
362
167
0,6
37,2
342
173
0,6
37
345
173
0,6
37
345
173
0,6
37
349
Tabelle 2.5: Abmaße und Messdaten der Untersuchung der SixNx-Mikrobalken.
Abbildung 2.20: Plot der ermittelten E-Modulwerte der SixNx-
Mikrobalken.
100
200
300
400
500
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
37
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
Die Messung mechanischer Dehnungen mit Hilfe der RAMANspektroskopie wurde
seit Entdeckung der RAMAN-Streuung durch den indischen Physiker und Nobel-
preisträger Sir C. V. RAMAN (Chandrasekhara Venkata Raman) im Jahre 1928
weiter erforscht und etablierte sich durch die Erfindung des Lasers zu einer
gängigen Untersuchungsmethode der modernen Physik. Die spektralen Analysen
der von einer Probe reflektierten Laserstrahlung eignen sich besonders für
Forschungsfelder wie etwa der Untersuchung molekularer Zusammensetzungen
und Bindungseigenschaften und die darauf wirkenden Einflüsse von Temperatur,
chemischer Zusammensetzung, elektrischer Eigenschaften oder der Dotierungs-
güte von Kristallen. In Abgrenzung zu den chemisch geprägten Analysen bietet
die RAMANspektroskopie die Möglichkeit, mechanische Dehnungen an der Ober-
fläche opaker Festkörper zu vermessen. Eine Anwendung für diese Art der
Dehnungsmessung findet man z. B. in der Mikrosystemtechnik oder Halbleiterin-
dustrie und -forschung, in denen häufig Aussagen über den Verspannungszustand
des betrachteten Werkstoffes, z. B. während des Herstellungsprozesses gewünscht
werden, um Qualität, Haltbarkeit und Zuverlässigkeit der daraus entstehenden
Bauteile zu beurteilen (z. B. für Mikrochips, Mikrosensorik und -aktuatorik).
Derartige Bauteile, vorrangig auf Siliziumbasis, finden eine breite Anwendung in
der Mobilfunk-, Automobil-, Unterhaltungs- und Luftfahrtindustrie (u. a. bei der
Verbesserung der allg. Chiptechnologie oder der Beschleunigungssensoren zur
Erfassung einer Fahrsituation oder der Lage eines Objektes im Raum).
Der der RAMANspektroskopie zugrundeliegende physikalische Effekt beruht auf
der Modulierung der auf ein Probenmaterial eingestrahlten elektromagnetischen
Welle durch die Molekülschwingungen dieses Materials. Der dabei für die
Dehnungsmessung maßgebliche Effekt, der sog. „Morphic Effect“ [38], beruht
zusätzlich auf der spektralen Verschiebung der ansonsten konstanten Modula-
tionswelle, wenn das Probenmaterial mechanischen Spannungen ausgesetzt ist.
Dieser zu beobachtende Zusammenhang wird in erster Näherung in linearer Weise
auf Verzerrungen, resp. Dehnungen zurückgeführt, die durch äußere aufgebrachte
Kräfte und Momente, aber auch durch andere Ursachen (wie z. B. Temperatur-
wechsel) entstehen können. Der Durchmesser des dabei verwendeten Laserstrahls
wird mit entsprechenden optischen Linsen auf einen Wert von ca. einem
2 Experimente zum Größeneffekt
38
Mikrometer fokussiert. In diesem Falle spricht man von der Mikro-RAMAN-
spektroskopie, welche in der Lage ist, Verzerrungen in opaken Materialien mit
kleiner lateraler Ortsauflösung zu detektieren.
2.3.1 Aufbau des AFM-integrierten Ramanspektrometers
Die Arbeiten wurden an einem RAMAN-Gerät der Firma Renishaw© durchgeführt
(Modell InViaTM, siehe Abbildung 2.21), dessen Aufbau am Strahlengang in
Abbildung 2.22 weiter erläutert ist.
Abbildung 2.21: Komponenten des Renishaw© RAMAN-Gerätes InVia.
Wahlweise steht Laserlicht der Wellenlänge 633 nm (Laser Nr. 1), oder 532 nm
(Laser Nr. 2) zur Verfügung. Diese werden über steuerbare Spiegel in den
Hauptstrahlengang eingekoppelt. Ein elektronisch ansteuerbares Drehrad mit
verschiedenen Filtern erlaubt, die Laserleistung je nach Filtersufe abzuschwächen.
Durch ein spezielles Bauteil, genannt „Beam Expander“ (zu dt.: Strahlen-
aufweiter), wird der Querschnitt des Laserstrahls mit Hilfe von Ausgleichs-
spiegeln „geformt“, mit dem Ziel, ihn kreisförmig und in homogener Intensität
über den Strahlenquerschnitt zu erhalten. Als nächste Bauteile des Strahlengangs
folgen der Polarisator des einfallenden Lichtes, der halbdurchlässige Spiegel, ein
manuelles Shutterrad, die optischen Linsen zur Fokussierung und schließlich die
Probentisch Licht-
mikroskop Gehäuse CCD-
Kamera
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
39
Ebene der Probenoberfläche. In dieser Ebene kann das vollständig integrierbare
Atomkraftmikroskop (siehe Abschnitt 2.2.1) installiert werden, ohne den eigent-
lichen Laserstrahlengang zu beeinflussen. Das von der Probe in einem Winkel von
180° zurückgestreute Licht passiert prinzipiell die selben Bauteile wie das ein-
fallende Licht, wird jedoch durch den halbdurchlässigen Spiegel in horinzontaler
Richtung selektiert. Nach dieser Selektion kann eine erneute Polarisation des
Rückstreulichtes erfolgen, bevor die Bestandteile: Blende, Frequenzkantenfilter,
optisches Beugungsgitter und schließlich die CCD-Kamera folgen. Durch diese
Bauteile wird der Strahl von Streulicht befreit, die Anregungswellenlänge aus
Intensitätsgründen ausgeblendet, die verbleibenden enthaltenen Wellenlängen
gebeugt und dadurch getrennt abgebildet und schließlich in der Kamera
digitalisiert. Detaillierte Funktionsweisen und Hintergründe zu den einzelnen
Bauteilen des verwendeten RAMANspektroskops sowie der Benutzeroberfläche
Wire® sind in der Diplomarbeit [53] und im Handbuch des Gerätes dargelegt.
Abbildung 2.22: Schematischer Aufbau des RAMAN-Geräts: 1) einfache Kamera 2)
halbdurchlässiger Spiegel 3) Polarisator des rückgestreuten Lichtes 4)
Schlitzblende 5) Kantenfilter 6) optisches Gitter 7) CCD Kamera 8)
Filterrad der Laserleistung 9) automatischer Shutter 10) Strahlen-
aufweiter 11) λ/2-Verzögerungsplatte 12) XYZ-Verstelltisch 13)
Objektivlinsen 14) manuelles Shutterrad 15) LASER Nr. 1 (633 nm) 16)
LASER Nr. 2 (532 nm)
2 Experimente zum Größeneffekt
40
Eine nachträglich installierte Neonlichtquelle zwischen dem Polarisator (3) und
der Schlitzblende (4) sorgt für eine stabilere Kalibrierung der absoluten Wellen-
längen. Neonlicht weist mehrere scharfkantige Peaks über ein großes Spektrum
hinweg auf, welche von der spektralen Lage her unabhänig vom opto-
mechanischen Aufbau der RAMAN-Apparatur sind. Ein Neonpeak, der der
Siliziumlinie am nächsten liegt (siehe Abbildung 2.24), wird in den Messungen
als Referenzpunkt genutzt, um optomechanische Einflüsse (siehe Abbildung
2.23), wie Temperaturausdehnungen an den Haltern der Umlenkspiegel, usw.
auszugleichen. Die Einheit der in der CCD-Kamera detektierten Intensitäten ist
willkürlich (engl.: „arbitrary units, a. u.“).
Abbildung 2.23: Optomechanischer Drift der Siliziumlinie am RAMAN-Gerät.
Abbildung 2.24: Die gemessene RAMAN-Linie von Silizium zusammen mit
der Neonreferenzlinie.
Diese Linien, oder Intensitätsverläufe, werden nach der Messung programmintern
mit einem GAUSSschen Verlauf angenähert, wobei das numerische Verfahren der
Minimierung der Fehlerquadrate R:
Zeit in Minuten
Messpunkte
polynom. Fit
Raman Verschiebung in cm
-1
Intensität (a. u.)
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
41
¦¦
n
i
i
i
n
i
i
i
yA-AAyfR
0
2
2
321
0
2
)(-exp)(
X
X
(2.13)
angewendet wird.
i
X
stellen dabei die Wellenzahlen, die in einem vorgegebenen
Bereich in n Intervalle aufgeteilt sind, dar.
)(
i
f
X
sind berechnete Intensitäten und
i
y
die an den selben Stellen gemessenen Vergleichswerte. Insbesondere beschreibt
hierbei der Parameter A3 die interessierende Position des GAUSSförmigen Peaks
auf der Wellenzahlenskala und wird vom Steuerungsprogramm errechnet.
2.3.2 Theoretische Grundlagen der MRS
Einige Grundlagen der allgemeinen RAMANspektroskopie und in dem Sinne auch
der Mikro-RAMANspektroskopie (MRS) sind in den Büchern von BRANDMÜLLER
und MOSER (1962) [14], oder PELLETIER (1999) [78] zu finden. Da die MRS für
die Zwecke dieser Arbeit ausschließlich für Dehnungsmessungen genutzt wird,
sind die Veröffentlichungen von ANASTASSAKIS [4], VOIGT [107], NARAYANAN
[71], LOECHELT [54], OSSIKOVSKI [76], BONERA [13], POBORCHII [79]
grundlegend und die Arbeiten von DE WOLF ([21], [22], [23] und [24]) und
BECKER ([7] und [8]) herauszustellen. Darin werden die Zusammenhänge der
spektralen Verschiebung der sog. RAMAN-Bande von Halbleitermaterialien und
der mechanischen Spannungen untersucht und beschrieben. In diesem Unter-
kapitel soll dieser tensorielle Zusammenhang auf einen Skalaren herunter-
gebrochen werden. Die Notation dabei markiert einen Tensor erster Stufe (Vektor)
mit einem einfachen und einen Tensor zweiter Stufe mit einem doppelten
Unterstrich. Die eintreffende elektromagnetische Welle (das Laserlicht) kann
durch folgende Wellengleichung ausgedrückt werden:
)(cos
E
E
0
trkEE
Z
,
(2.14)
wobei
0
E
die Wellenamplitude,
E
k
den Wellenvektor,
r
den Ortsvektor,
E
Z
die
Kreisfrequenz der Schwingung und t die Zeit darstellt. Diese Welle verursacht eine
periodisch schwingende Polarisation P der Dipole der Moleküle des Materials:
2 Experimente zum Größeneffekt
42
)cos(),( E
E
0trkPtrP
Z
.
(2.15)
Unter Vernachlässigung der Gitterschwingungen der Moleküle oszilliert die
Polarisation mit derselben Kreisfrequenz wie die eintreffende Welle,
E
Z
. Die
Intensität dieser Polarisation
2
0
PI
ist eine Funktion der Amplitude
0
P
, welche
wiederum abhängig von der Polarisierbarkeit, dem sog. Suszeptibilitätstensors
,
F
und der Amplitude der eintreffenden Welle
0
E
ist:
00
))(( EtQP
r
F
.
(2.16)
Da die Suszeptibilität stark vom Bindungsabstand der Moleküle abhängt, ändert
sich diese mit den Gitterschwingungen (Phononen) des Materials. Im Falle
kristalliner Halbleiter wird diese Schwingung in sog. „Normalkoordinaten“
)(cos)(
0
t
r
q
QtQ
rrr
Z
ausgedrückt, wobei
0r
Q
die Amplitude der
normalisierten Gitterschwingung,
q
den Wellenvektor der Phononen,
r
Z
deren
Kreisfrequenz und der Index r die jeweilige Kristallachse beschreibt. In der
allgemeinen RAMANspektroskopie ist der Wellenvektor der beobachtbaren
Phononen durch den Einsatz der Lasertechnologie beschränkt auf sehr kleine
Werte und man findet häufig den Begriff der „
0|
q
- Phononen“. Über die
Annahme kleiner linearisierter Änderungen der Molekülabstände, kann, unter
Beachtung der EINSTEINschen Summenkonvention die Formel (2.16) in eine
TAYLOR-Reihe bis zum ersten Glied expandiert werden:
(2.17)
wobei
IND
P
für die induzierte Polarisation und
S
P
für die rückgestreute Polari-
sation gleicher Wellenlänge wie die eintreffende Welle steht. Die Intensität der
induzierten Polarisation ist dabei:
,)cos(
)cos(
)cos(
,)cos()(
IND
S
EE
0
0
0
EE
0
0
EE
0
0
0
P
trk
t
r
q
E
Q
Q
P
trkEP
trkEtQ
Q
P
rr
r
r
r
Z
Z
F
Z
F
Z
F
F
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
°
¿
°
¾
½
°
¯
°
®
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
43
¦¦
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
v
3
1
2
0
3
1
2
0
0
2
IND
IND
r
r
rr
ERCE
Q
CPI
F
,
(2.18)
worin
r
R
den sog. RAMAN-Tensor bezeichnet. Mit Hinblick auf die Gruppen-
theorie der Kristalle lauten die RAMAN-Tensoren für kubische Einheitszellen
(r=1, 2, 3) nach LOUDON (1964) [57]:
,
000
00
00
,
00
000
00
,
00
00
000
321
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
d
d
R
d
d
R
d
dR
(2.19)
wobei d eine nicht näher spezifizierte Größe der Rückstreueffizienz darstellt. Die
letzten beiden Gleichungen führen zu den „RAMAN-Auswahlregeln“, die be-
schreiben, in welcher Polarisationskonfiguration welche der Moden r auftritt. Die
Polarisationskonfiguration ergibt sich aus den Anordnungsmöglichkeiten der
Polarisationsvektoren der einfallenden Welle
I
e
und der rückgestreuten Welle
.
e
S
Die Auswahlregeln sind in der Literatur für verschiedene Kristallsymmetrie-
klassen tabelliert und z. B. für das verwendete Material Silizium in Tabelle 2.6
aufgeführt.
Oberfläche
eintreffende
P
olarisation,
I
e
gestreute
Polarisation,
S
e
Mode
r
(001)
[110]
[110]
3
[110]
[110]
-
[100]
[100]
-
[010]
[100]
3
(110)
[001]
[001]
-
[110]
[001]
1,2
[110]
[110]
3
Tabelle 2.6: RAMAN-Auswahlregeln für einkristallines Silizium nach SIEGLE, [92].
Gemäß GANESAN, et al. (1970) [38] ordnet man den Kristallgitterschwingungen
eine „effektive harmonische Kraftkonstante“
eff
k
zu und kann so die Bewegungs-
gleichungen der Moleküle für die Gitterschwingung aufstellen:
2 Experimente zum Größeneffekt
44
1
eff
effeffeff ˆ
mit,0
ˆ
MKKaKa
,
(2.20)
worin a die Elongation der effektiven Masse,
eff
M
die effektive Massenmatrix
und
eff
K
die effektive Kraftkonstantenmatrix ist. Mit dem Standardansatz
)exp()(
0
0
tiata
Z
zur Lösung des Differentialgleichungssystems (2.20), lautet die
Bestimmungsgleichung für ω0:
0
ˆ
det
2
0
eff
¸
¹
·
¨
©
§IK
Z
,
(2.21)
wobei
I
den Einheitstensor und
0
Z
die dreifach entartete Eigenkreisfrequenz der
Lösung symbolisiert. Durch Kalibrierungsmessung an ungedehntem Silizium lässt
sich diese Eigenkreisfrequenz, genannt RAMANshift und angegeben in relativen
Wellenzahlen, mit dem RAMANspektrometer bestimmen, und zwar zu rund
520 cm-1, [21]. Der RAMANshift ist vom Prinzip her unabhängig von der Frequenz
des eingestrahlten Lichtes. Aus Konventionsgründen arbeitet man zur Be-
schreibung der Kreisfrequenzen mit sog. „relativen Wellenzahlen“. Relative
Wellenzahlen und Kreisfrequenzen rechnen sich folgendermaßen um:
>@
>@
m
1
s
m
103,
s
1
, π2π2π2undmit
8
X
ZX
O
QZ
cc
c
f
,
(2.22)
wobei
f
Q
für die Schwingfrequenz, c für die Lichtgeschwindigkeit,
O
für die
Wellenlänge und
X
für die „(relative) Wellenzahl“ steht. Relative Wellenzahlen
sind die Differenz reziproker Wellenlängen zwischen Anregungs- und Gitter-
schwingungswellenlänge
E
O
und
Ph
O
:
2
E
1
Ph
1
E
11
'
|
O
O
OO
X
.
(2.23)
Für Silizium werden in der o. g. Literatur beispielsweise folgende Zahlenwerte
genannt:
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
45
.
nzahlKreiswellecm3283
Wellenzahlcm521m52100
FrequenzTHz7,15
enzKreisfrequTHz5,98
1
0
0
11
0
0
0
|
|
|
|
c
k
Z
X
Q
Z
(2.24)
Durch den von GANESAN, et al. (1970) [38] beschriebenen „Morphic Effect“ wird
die normalisierte effektive Kraftkonstantenmatrix in linearer Weise durch die
Anwesenheit von Dehnungen, ausdrückbar mit dem linearisierten Dehnungstensor
H
, beeinflusst (erste Näherung):
][
ˆˆ
4
eff
0
eff
H
²¢
PKK
,
(2.25)
worin
²¢4
P
den Tensor der Phononendeformationspotentiale beschreibt. Der PDP
Tensor ist ein Tensor vierter Ordnung und kann mit Hilfe der VOIGTschen
Notation, bzw. dem Indizierungsschema: 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 →
5, 12 → 6 für einkristallines Silizium folgendermaßen aufgeschrieben werden, [7]:
06.061.1
06.097.1
06.049.1
,
00000
00000
00000
000
000
000
2
0
4
r
r
r
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
²¢
r
q
p
r
r
r
pqq
qpq
qqp
P
Z
.
(2.26)
Die Kombination von Gleichung (2.21) und (2.25) führt zur veränderten
Eigenwertgleichung der RAMANspektroskopie:
0][det
4
¸
¹
·
¨
©
§
²¢
IP
OH
,
(2.27)
bei der die Eigenwerte
O
ausgedrückt werden mit
ZZZZO
'| 0
2
0
22)(
, wobei
nun
0
Z
die Eigenkreisfrequenz des ungedehnten und ω die Eigenkreisfrequenz
des gedehnten Systems ist. Ein skalarer Zusammenhang zwischen der Ver-
schiebung der Eigenkreisfrequenz aufgrund von Dehnung kann nur herbeigeführt
2 Experimente zum Größeneffekt
46
werden, wenn die Anzahl unbekannter Dehnungstensorkomponenten nicht größer
ist als die Anzahl der messbaren Schwingungsmoden im Kristall. In Vorgriff auf
die Experimentierführung sei die Einschränkung der Dehnungstensorkompo-
nenten in einem festen Koordinatensystem folgendermaßen gegeben:
0,, yzxzxyxxzzzxxyyy
HHHHQHHQH
.
(2.28)
Die entsprechenden Querkontraktionszahlen
064,0
y
Q
und
279,0
z
Q
, der
ebenfalls im Experiment bekannten Kristallachsenorientierung, sind durch
Literaturwerte aus der Veröffentlichung [48] gegeben. Aus dem Grund, dass die
Kristallachsenorientierung im Experiment nicht mit dem festen Koordinaten-
system koinzidiert ((001)-Oberfläche und [110] als Balkenlängsrichtung), wird
der PDP Tensor mit Hilfe des tensoriellen Zusammenhangs:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
c
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
,
4
π
4
π
4
π
4
π
ijmnoplpkojnimijkl
APAAAAP
(2.29)
(unter Beachtung der EINSTEINschen Summenkonvention) gedreht. Unter Ver-
wendung der so justierten Komponenten des PDP Tensors ergibt sich die
veränderte Eigenwertgleichung der RAMANspektroskopie unter Einbeziehung
aller bisherigen Annahmen zu:
00
0
00
0
0
det
c
c
c
c
OQQH
OQQH
OQQH
qqp
qpq
qqp
yzxx
zyxx
zyxx
.
(2.30)
Mit Hilfe der Kenntnis der Kristallorientierung im Experiment und der Einstellung
der Polarisatoren am Gerät, gemäß der Vektoren:
>@
0,1,1
e
eS
I
, wird die dritte
Mode der Gitterschwingungen in dieser Polarisationskonfiguration selektiert,
wodurch sich folgender skalare Zusammenhang zwischen den RAMAN-Frequenz-
verschiebungen und der Dehnung in x-Richtung aufstellen lässt:
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
47
0
Raman
04.1
2
Z
Z
H
QQ
ZZ
H
'
'
xx
yz
xx qqp
.
(2.31)
Diese Formel ist zur Übersichtlichkeit mit dem Superskript „Raman“ versehen und
gilt für konstante Dehnungen in x-Richtung im Streuvolumen des Rückstreuortes
des Laserstrahls von der Probe.
2.3.3 Biege- und Dehnungsmessungen an Silizium
Einkristallines Silizium ist ein gängiger Werkstoff in der Mikrosystemtechnik.
Aufgrund seiner sehr genau untersuchten physikalischen und chemischen Eigen-
schaften, lässt er sich auch im sub-Millimeterbereich mit hoher Genauigkeit
strukturieren. Konventionelle Atomkraftmikroskope arbeiten mit miniaturisierten
Federbalken aus Silizium, die oft nur einige Mikrometer hoch sind. Die Biege-
und Dehnungsmessungen dieser Arbeit wurden an solchen kommerziellen AFM-
Balken im Höhenbereich von 1,0 –7,0 µm durchgeführt. Zunächst sollen die
Biegeprüfungen dargelegt werden:
Abbildung 2.25: Exemplarischer AFM-Biegebalken mit dazugehörigem
Koordinatensystem.
Der Kraftapplikationspunkt kann in Mikroskopbildern jeweils als grauer
schattiger Punkt, wie im oberen Bild von Abbildung 2.25 auf der linken Seite
erkennbar, ausgemacht werden. Von diesem aus wurde die jeweilige Länge L
lichtoptisch bis zur Einspannstelle (dem Übergang zum Vollmaterial) gemessen.
2 Experimente zum Größeneffekt
48
Die Belastung erfolgte gemäß der in Abschnitt 2.2.2 beschriebenen Prozedur der
Subtraktion der Kraft-Weg-Daten der AFM-Nadel, die auf einer festen Oberfläche
positioniert wurde, von den Daten, bei der die AFM-Nadel auf dem freistehenden
Mikrobalken operierte. Durch das Auswerten der Messdaten für Kraft, Durch-
biegung und der äußeren Abmaße wurden die E-Modulwerte gemäß der Formel:
tr
3
3Iw
FL
E
,
(2.32)
berechnet, wobei das Flächenträgheitsmoment eines trapezförmigen Querschnittes
mit der kleinsten Breite B1 und der größten Breite B2 lautet:
21
2
221
2
1
3
tr
4
36 BB
BBBBH
I
.
(2.33)
Die Ergebnisse sind an Silizium mit einer Kristallachsenorientierung einer (001)-
Oberfläche und [110]-Richtung entlang der Balkenlängsrichtung aufgenommen
worden und in der Abbildung 2.26 sowie der Tabelle 2.7 dargestellt.
Abbildung 2.26: Rohdaten der E-Modulwerte der untersuchten
Mikrobalken aus einkristallinem Silizium.
140
150
160
170
180
190
200
012345678
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
49
Länge
in µm
Höhe
in µm
Breite B
1
(B
2
)
in µm
E-Modul
in GPa
140
6,9
17 (41)
166
175
6,6
17 (41)
165
130
2,7
18 (30)
172
130
2,8
18 (30)
165
90
2,9
18 (30)
167
50
1,0
40 (44)
166
130
1,0
40 (44)
169
120
1,0
49
173
150
1,0
49
171
Tabelle 2.7: Abmaße und Messdaten der untersuchten Mikro-
balken aus Silizium.
Im Folgenden soll der Ablauf der Dehnungsmessung an dem ca. 7 µm hohen
Siliziumbalken beschrieben werden:
x Unter Einhaltung der am Anfang des Kapitels genannten Ko-
ordinatensysteme und Kristallachsenorientierungen der Probe wurde
der ca. 200 µm lange Balken mit seiner Längsachse in Richtung der
x-Komponente des XYZ-Mikroskoptisches in die Probenaufnahme
des AFMs gelegt und so positioniert, dass die AFM-Nadel am
freistehenden Ende (bei genau L=191 µm) eine über die Zeit kon-
stante Kraft applizieren kann.
x Der Laserstrahl der Anregungswellenlänge von 532 nm wurde auf
die Siliziumoberfläche fokussiert und die RAMANlinie mit je sechs
Sekunden Belichtungszeit der CCD-Kamera pro Rasterpunkt aufge-
zeichnet.
x Die Rasterpunkte verliefen dabei zum einen bei einer Last von
250 µN vom Lastpunkt aus entlang der Balkenachse in einer Linie
bis kurz hinter die Einspannung (genannt: „Linienscan“) und zum
anderen bei einer Last von 185 µN schlängelförmig über eine Fläche
in der Nähe der Einspannung (genannt: „Flächenscan“). Jeweils
nach jedem 50sten Rasterpunkt wurde eine automatische Re-
fokussierung des Laserspots durchgeführt, als Ausgleich für die
Biegung der Siliziumoberfläche von einigen Mikrometern.
2 Experimente zum Größeneffekt
50
x Die Rasterpunkte wurden im ersten Schritt ohne eine Aufbringung
der Last gemessen, um eine Grundlage für die RAMAN-Banden des
unbelasteten Siliziums zu erhalten. Im jeweils zweiten Schritt
wurden dieselben Rasterpunkte, nun jedoch unter Belastung des
Mikrobalkens, abgefahren.
Abbildung 2.27: Rohdaten der RAMANshifts entlang der Balkenachse eines
191 µm langen Mikrobalkens aus einkristallinem
Silizium.
Die reinen Messwerte der spektralen Lage sind ohne Berücksichtigung der Neon-
lichtkorrektur für den Linienscan in Abbildung 2.27 geplottet. Direkt zu erkennen
sind die sprunghaften Einflüsse auf die Messwerte durch den Auto-Fokus
Algorithmus zum Fokussieren des Laserspots alle 50 µm. Der Einfluss des opto-
mechanischen Drifts ist an dem durchschnittlichen Abstand der Messwerte im
Bereich der Einspannung zwischen 250–300 µm zu erkennen. Diese sind jeweils
am Anfang und am Ende der Messprozedur aufgenommen worden, zwischen dem
eine zeitliche Differenz von etwa eine Stunde lag. Darüber hinaus ist schon am
unbelasteten Balken ein leichter Drift der Messwerte entlang der Balkenachse
bemerkbar. Dieser überschreitet den Drift des optomechanischen Aufbaus wie in
Abbildung 2.23 dargestellt bei Weitem und zeigte in diversen Untersuchungen
520,2
520,3
520,4
520,5
520,6
520,7
520,8
520,9
521
0 50 100 150 200 250 300
ω,ω
0
in cm
-1
position in μm
ω
ω0
ω
0
Position in µm
2.3 Mikro-Ramanspektroskopie (MRS)
51
eine positive Korrelation zur Laserenergie. Dies weist auf einen direkten
Temperatureinfluss durch die eingestrahlte Laserenergie auf das sehr kleine
Balkenvolumen hin und sollte in zukünftigen Forschungsarbeiten mit der
RAMANspektroskopie an sehr kleinen Volumen näher untersucht werden. Im
vorliegenden Fall wird davon ausgegangen, dass die Dehnungsmessung aufgrund
der Differenzbildung von unbelastetem zu belastetem Mikrobalken nicht
beeinflusst wird, da die Dehnungen aufgrund von Temperaturunterschieden
sowohl den unbelasteten als auch den belasteten Fall überlagern und von der
Größenordnung her klein sind.
Abbildung 2.28: Dehnungsmesswerte entlang der Balkenachse eines
191 µm langen Mikrobalkens aus einkristallinem
Silizium.
Nach der Neonlichtkorrektur der Messwerte und Auswertung nach der Glei-
chung (2.31) entstand die Darstellung der Dehnungswerte des Linienscans gemäß
Abbildung 2.28. Die Ausgleichsgerade zeigt und bestätigt den linearen Zusam-
menhang zwischen der Balkenkoordinate und der Dehnung der oberen Faser. Der
Messverlauf zeigt aber auch einen nicht sprunghaften Abfall der Dehnungen im
Bereich der Einspannung. Für den Flächenscan sind die Messwerte der
-0,0002
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0,0014
0
,
0016
0 50 100 150 200 250 300
position in μm
beam theory
measurements
corr
xx
H
Ausgleichsgerade
Dehnungsmesswerte
Position in µm
2 Experimente zum Größeneffekt
52
Dehnungen unter Berücksichtigung der Neonlichtkorrektur nach Gleichung (2.31)
in Abbildung 2.29 farblich über die gemessene Fläche aufgetragen.
Abbildung 2.29: Farblich dargestellte Dehnungsmesswerte am 191 µm
langen Mikrobalken aus einkristallinem Silizium.
εxx
0.0
0.00107
53
3 Analytische Größeneffektmodellierung
Zur Modellierung der in einigen oben gezeigten Experimenten auftretenden
Abhängigkeit der Biegesteifigkeit von den äußeren Abmaßen sollen im Folgenden
höhere kontinuumstheoretische Modelle erarbeitet werden, die es erlauben
werden, das konventionelle Modell der Balkenbiegung mit konstanter Biege-
steifigkeit zu verfeinern. Ziel der verschiedenen Ansätze soll es jeweils sein,
diskrete Gleichungen zur Verformungsberechnung bereitzustellen. Die verschie-
denen Ansätze umfassen zusätzlich zur klassischen Kontinuumsmechanik die
mikropolare Kontinuumstheorie, die Dehnungsgradiententheorie, die Momenten-
spannungstheorie und die Oberflächentheorie.
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
Basierend auf den Werken von beispielsweise BECKER und BÜRGER [6],
ALTENBACH und ALTENBACH [1], GREVE [41], BERTRAM [11] oder MÜLLER [69],
werden in diesem Kapitel die Grundlagen der Kontinuumsmechanik erklärt und
dabei im Besonderen diejenigen Aspekte herausgestellt, an die die „höheren“
Theorien anknüpfen können. Die Kontinuumstheorie ist eine Feldtheorie, sie gilt
als Teilgebiet der Mechanik und birgt im Allgemeinen eine phänomenologische
Herangehensweise. Sie erlaubt, ausgehend von Beobachtungen zur Deformation
von Körpern aufgrund äußerer Belastung, ein Modell zu kreieren, welches den
Beobachtungen sehr nahe kommen soll. Der Begriff „Kontinuum“ ist dabei ein
Verweis auf die Vorstellung, dass die betrachtete Materie aus sog. „materiellen
Punkten“ besteht, die im EUKLIDischen Raum kontinuierlich verteilt sind und
beliebig genau identifiziert werden können. Als einen Körper versteht man
demnach eine kompakte, zusammenhängende Menge solcher materiellen Punkte.
Die Kontinuumsmechanik wird als Feldtheorie bezeichnet, da in ihr klassischer-
weise die Größen Massendichte, Temperatur und die drei Komponenten der
Geschwindigkeit in jedem materiellen Punkt gesucht werden. In höheren Kontinua
kann die Anzahl der Feldgrößen zum Beispiel zunehmen.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
54
3.1.1 Grundlagen der Kinematik
Die Kinematik beschreibt die reine Geometrie der Bewegung materieller Punkte
ohne die Ursache zu berücksichtigen. Damit wird man in die Lage versetzt, den
Ort, die Bewegung und die Deformation eines Körpers K über die Zeit t zu
erfassen. Als Konfiguration des Körpers bezeichnet man eine Platzierung im
EUKLIDischen Raum
3
, die definiert ist durch eine stetige ein-eindeutige
Zuordnung von Ortsvektoren
i
x
zu den materiellen Punkten P und umgekehrt. Die
stetige zeitliche Aufeinanderfolge von Konfigurationen heißt die Bewegung
i
F
vom Körper K. In Deformationsprozessen wird eine Referenzkonfiguration B0
des Körpers als bekannt vorausgesetzt und auch als materielle oder
LAGRANGEsche Konfiguration bezeichnet. Dessen Ortsvektoren seien mit Xi
gekennzeichnet (mit i, j, k, l, m, n, o, p, r, s, A, B, C=1, 2, 3). Eine Konfiguration zum
Zeitpunkt t wird Momentankonfiguration Bt und auch räumliche oder EULERsche
Konfiguration genannt. Dessen Ortsvektoren heißen
)(tx
i
(vergleiche Abbildung
3.1). Ab diesem Kapitel wird die Indexschreibweise von Vektoren und Tensoren
unter Anwendung der Summationsregel bei doppelter Indizierung (EINSTEINsche
Summenkonvention) verwendet.
Abbildung 3.1: Referenz- und Momentankonfiguration eines
deformierbaren Körpers.
1
e
)(tu
i
i
X
)(tx
i
B0
Bt
0
N
t
N
K
P
i
F
3
e
2
e
P
P
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
55
Es lassen sich dabei folgende Zusammenhänge erkennen:
),( tXx
iii
F
(3.1)
und (nach [11]):
.:)),((:),(
)(:
)(:
0
1
0
3
3
00
tti
tt
tt
,t
BB
B
B
o
NNF
N
N
K
K
(3.2)
Die Differenz der Ortsvektoren aus der Referenz- und der Momentanplatzierung
ist der Verschiebungsvektor ui:
iiiii
XtXtXu ),(),(
F
.
(3.3)
Zeitliche Ableitungen einer Feldgröße ψ können in der materiellen (LA-
GRANGEschen) Darstellung mit dem Subskript „L“:
,
0
d
d),(),(
d
dLL
w
w
w
w
t
X
X
tX
t
tX
t
i
i
ii
\\
\
\
,
(3.4)
oder in der räumlichen (EULERschen) Darstellung mit dem Subskript „E“:
i
ii
i
iiii
t
tXx
x
tx
t
tx
t
ttXx
t
X
\\\
\
w
w
w
w
d
),(d),(),(
d
)),,((d
d
d
EEE
,
(3.5)
wobei
i
X
die Geschwindigkeit des beobachteten Punktes ist, geschrieben werden.
Die EULERsche Beschreibung setzt sich aus einem lokalen und einem konvektiven
Anteil zusammen. Aus den Gleichungen (3.4) und (3.5) ist der Zusammenhang
beider Schreibweisen ableitbar:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
56
i
i
xtt
X
\\\
w
w
w
w
w
w
EEL
.
(3.6)
Ortsableitungen einer Feldgröße ψ sind ebenfalls in der materiellen
(LAGRANGEschen) Darstellung:
i
i
iX
X
tX d
),(
dL
Lw
w
\
\
,
(3.7)
oder in der räumlichen (EULERschen) Darstellung:
i
i
i
x
x
tx d
),(
d
E
E
w
w
\
\
(3.8)
beschreibbar und werden in diesem Kontext als Gradienten bezeichnet. Ein für die
Kontinuumsmechanik wichtiger Gradient ist der der Bewegung χi. Der materielle
Gradient der Bewegung ist definiert als Deformationsgradient Fij:
j
i
j
ii
ij X
x
X
tX
Fw
w
w
w
),(
F
,
(3.9)
wobei die Namensgebung irreführend ist, denn er beinhaltet auch die starre
Rotation des Körpers (bei der sich dieser nicht deformiert). Der Deformations-
gradient verknüpft vielmehr Linien-, Flächen- und Volumenelemente (dXi, dAi
und dV) aus der Referenz- mit Linien-, Flächen- und Volumenelementen (dxi, dai
und dv) aus der Momentankonfiguration und umgekehrt:
.mit,dd
,dd
,dddd
6
1
1
1
kCjBiAijkABC
jjii
jijijiji
FFFJVJv
AFJa
xFXXFx
(3.10)
Der in der Gleichung (3.10)3 benutzte Tensor dritter Stufe wird als Epsilon-
Tensor, vollständig antisymmetrischer Tensor, Permutationssymbol, oder nach
dem italienischen Mathematiker LEVI-CIVITA-Symbol benannt und ist im
kartesischen Koordinatensystem definiert als:
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
57
°
¯
°
®
kjkiji
kji
kji
ijk
;;für 0
3,1,2;1,2,3;2,3,1,,für 1
2,1,3;1,3,2;3,2,1,,für 1
.
(3.11)
Die Determinante des Deformationsgradienten wird auch als JACOBI-Determi-
nante J bezeichnet und steht in diesem Kontext für die Volumenänderung bei
Deformation.
Verzerrungstensoren werden im Folgenden hergeleitet, um einheitliche Maße
für die Gestaltänderung zu finden. Dazu sei zunächst der materielle Gradient der
Verschiebung definiert als:
ijij
j
i
j
ii
j
ii
ij
F
X
X
X
tXx
X
tXu
H
G
w
w
w
w
w
w
),(),(
,
(3.12)
wobei
ij
G
das KRONECKER Symbol (den Einheitstensor) symbolisiert. Bildet man
die Differenz des Skalarproduktes zweier Linienelemente zwischen der Referenz-
(dXi und dYi) und der Momentanplatzierung (dxi und dyi), lässt sich mit Hilfe der
Transformation (3.10)1 der sog. GREENsche Verzerrungstensor
G
ij
E
definieren:
.
2
dd
ddd
dddddddd
G
jl
jlilijlj
jlilijj
jjliljijjjii
E
FFYX
YYFFX
YXYFXFYXyx
G
(3.13)
Dieser spezielle Tensor ist dimensionslos und durch den Deformationsgradienten
bestimmt. Durch Substituieren des Deformationsgradienten mit dem Verschie-
bungsgradienten aus Gleichung (3.12), nämlich:
ljliijijijljliij HHHHFFE 2
1
2
1
G
G
,
(3.14)
kann der geometrisch lineare Anteil dieses Verzerrungsmaßes definiert werden,
indem der letzte Summand, bestehend aus dem quadratischen Teil des Verschie-
bungsgradienten bei angenommenen kleinen Verzerrungen verschwinden soll.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
58
Auf diesem Wege erhält man den Verzerrungstensor kleiner Deformationen:
),(
2
1
2
1
2
1
ji
i
j
j
i
i
j
j
i
ijijij
u
x
u
x
u
X
u
X
u
HH
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
H
,
(3.15)
wobei zwischen materiellen und räumlichen Ortsableitungen nicht mehr
unterschieden wird, da sich die Ortsvektoren der Referenz- und der Momentanlage
gemessen an der charakteristischen Größe des Körpers kaum mehr unterscheiden.
Man schreibt:
ii
xX w
w
|
w
w )()(
.
(3.16)
Dieses Argument spielt vor allem bei der geometrischen Linearisierung in
späteren Abschnitten eine wesentliche Rolle. Damit seien die kinematischen
Grundlagen für die Zwecke dieser Arbeit dargelegt. Der Spannungstensor wird
eingeführt, nachdem der Begriff der Kraft im Umfeld der Impulsbilanz erläutert
wird.
3.1.2 Bilanzgleichungen
Eine Aufgabe der Kontinuumsmechanik ist es, die Feldgleichungen der
Bewegung, der Dichte und der Temperatur eines kontinuierlichen Körpers
bereitzustellen [41]. Dies gelingt über die kombinierte Auswertung von Massen-,
Impuls-, Drehimpuls- und Energiebilanz in Verbindung mit geeigneten Material-
gleichungen. Zum Aufstellen der speziellen Bilanzen für abgeschlossene Systeme
wird von der allgemeinen Volumenbilanz ausgegangen. Im betrachteten Volumen
V bleibt die Masse M zeitlich konstant (da abgeschlossen), die Form aber ist
zeitabhängig V=V(t). Nun werden beliebige skalar-, vektor-, oder tensorwertige
Feldgrößen
),( tx
i
<
auf ihre zeitliche Veränderung über dem Volumen
untersucht, wobei eine Bilanzgleichung in der Momentankonfiguration folgende
allgemeine Struktur aufweist:
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
59
ZPF
t
VzVpVnfV
tttt
ii
t
<
³³³³ w
d
d
bzw.,dddd
d
d
)()()()( VVVV
\
.
(3.17)
Darin ist ni die nach außen gerichtete Einheitsnormale des Randes
)(tVw
des
Volumens. Die zeitliche Änderung der untersuchten Feldgröße kann dabei beein-
flusst werden durch:
x den Fluss F durch die Oberfläche des Volumens ( fi ni ist der
spezifische Oberflächenfluss),
x die Produktion P der Feldgröße im Volumen (mit p als volumen-
spezifische Produktion) und
x der Zufuhr Z im Inneren des Volumens (mit z als volumen-
spezifische Zufuhr).
Fortan seien räumliche Ortsableitungen in der EULERschen oder der LAGRANGE-
schen Schreibweise durch ein Komma getrennte kleine, bzw. große Indizes
symbolisiert ( j, A=1,2,3):
A
A
j
j
Xx
,,
)(
)(
bzw.,)(
)(
w
w
w
w
.
(3.18)
Unter Anwendung des REYNOLDSschen Transporttheorems ([68], S. 301, ff.):
AnV
t
V
tt
ii
tt
ddd
d
d
)()()( ³³³ w
w
w
VVV
X\
\
\
,
(3.19)
mit
i
X
als Geschwindigkeitsfeld, und dem GAUSSschen Integralsatz für glatte
Funktionen ψ:
V
x
An
ti
t
i
dd
)(
)( ³³
w
w
wV
V
\
\
,
(3.20)
lässt sich eine allgemeine lokale Bilanzgleichung der Form:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
60
pzf
x
tii
i
w
w
w
w
\X
\
,
(3.21)
herleiten.
Die Massenbilanz materieller Körper in globaler und lokaler Form ergibt sich,
indem die Feldgröße ψ mit der Dichte ρ(t) ersetzt wird:
.0und
0d
d
d
)(
w
w
w
w
³
i
i
t
x
t
V
t
UX
U
U
V
(3.22)
In einem abgeschlossenen, materiellen System ist die Zufuhr z, die Produktion p
und der Fluss fi ni von Massendichte unzulässig. Für inkompressible Materialien
erhält man sofort:
0
w
w
i
i
x
X
.
(3.23)
Die Impulsbilanz ergibt sich durch das Ersetzen der Feldgröße ψ mit der
Linearimpulsdichte ρυi. Seit NEWTON ist bekannt, dass sich der Impuls durch
Krafteinwirkung ändert. Folgt man dem allgemein akzeptierten, sog. Spannungs-
prinzip von EULER und CAUCHY, so lassen sich die auf einen Körper wirkenden
Kräfte in Oberflächen- und Volumenkräfte aufteilen. Es sei an dieser Stelle darauf
hingewiesen, u. a. durch die Ausführungen von W. NOLL [72] und R. FOSDICK
[37], dass auch sog. Linienkräfte eingeführt werden könnten. Dies hätte jedoch
solch weitreichende Folgen gegenüber den klassischen Formulierungen, dass es
zukünftiger Forschung obliegt, eine Interpretation dieser Folgen zu liefern. Die
allgemein akzeptierte Aufteilung der Kräfte ist:
AtVbVTBK
t
i
t
i
t
iiii
ddd
)()()(
³³³
w
VVV
UXU
.
(3.24)
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
61
Ki ist die Gesamtkraft, Bi ist die Volumenkraft (bzw. bi der spezifische Volumen-
kraftsvektor) und Ti die Oberflächenkraft (bzw. ti der Oberflächenkrafts- oder der
sog. Spannungsvektor). Mit Hilfe des CAUCHYschen Tetraederargumentes lässt
sich zeigen, dass es einen Tensor gibt, dessen Anteile in die Oberflächen-
normalenrichtung den Spannungsvektor darstellen:
jiji
nt
V
.
(3.25)
Der Tensor
ij
V
wird als CAUCHYscher Spannungstensor bezeichnet, dessen
Symmetrie innerhalb dieses Kapitels besprochen wird. Durch das Einsetzen von
Gleichung (3.25) in Gleichung (3.24) und durch Anwenden des GAUSSschen
Integralsatzes zur Umwandlung von Oberflächen- in Volumenintegrale, erhält
man:
j
ji
ii
x
bw
w
V
UXU
(3.26)
die Impulsbilanz in ihrer lokalen Form.
Die Drehimpulsbilanz kann herbeigeführt werden, indem man das Kreuzprodukt
zwischen dem Linearimpuls und dem Ortsvektor ausführt, welches in Index-
notation mit dem LEVI-CIVITA-Symbol geschrieben werden kann als:
kjijk
xx
XUXU
u
.
(3.27)
Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße. Bilanziert man die zeitliche Änderung
des lokalen Drehimpulses über das gesamte materielle Volumen und beachtet
dabei, dass die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses gleich der Wirkung
der von den äußeren Kräften (vgl. Gleichung (3.24)) stammenden Momenten ist,
so sieht man:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
62
>
@
.d0
d0
dd
d)(d
ddd
d
d
)(
,
)(
)(
,
)(
)(
,
)()(
V
Vbx
VxbxVx
Vxbxmxx
AtxVbxmx
t
jkijk
t
jkijkllkk
t
kjijk
t
llkjijkkjijkkjijk
t
kjijk
t
llkjijkkjijk
M
kjijkkjijk
t
kjijk
t
kjijk
M
kjijk
V
VVUXU
VVUXU
VUXX
UX
³
³
³³
³³
³³³
w
V
V
VV
V
VV
(3.28)
Dabei ist bei den Umformungen mit eingeflossen, dass:
0
kjijk
x
X
,
l
lk
k
nt
V
,
jllj
x
G
,
und
0
, l
lk
kk b
VUXU
. Letzteres ist die in Gleichung (3.26) auf-
gestellte Linearimpulsbilanz. Durch das Aufspalten des Spannungstensors in
seinen symmetrischen
ymS
kj
V
und antisymmetrischen Anteil
Asym
kj
V
, besagt die
lokale Form der betrachteten Bilanz (3.28)5,
0
jk
ijk
V
, dass der antisymmetrische
Anteil des Spannungstensors null sein muss, um die Drehimpulserhaltung zu
garantieren:
.
0
ymAs
ymAsymSjk
ijk
jkjk
ijk
jk
ijk
V
VV
V
(3.29)
Der Axialteil eines symmetrischen Tensors ist gleich null (was leicht durch
ausmultiplizieren aller Indizes nachvollzogen werden kann). Damit muss der
CAUCHYsche Spannungstensor in der klassischen Theorie symmetrisch
jk
kj
VV
sein (im Gegensatz zur mikropolaren Theorie).
Die Bilanz der Gesamtenergiedichte besteht additiv aus der zeitlichen Änderung
der inneren Energiedichte u sowie der kinetischen Energiedichte
2/
2
i
UX
. Auch sie
ist eine Erhaltungsgröße ohne Produktionsterm. Eine Änderung der Gesamtenegie
eines Körpers gelingt durch die Zufuhr von Wärme qi (dem Wärmeflussvektor),
der Leistung der Oberflächen- und Volumenkräfte (ti und bi) und einer Strahlung
r (der spezifischen Strahlungsdichte). Man schreibt in globaler Form:
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
63
VrbAnnqmu
t
t
ii
t
jjiijj
M
i
ddd
2
d
d
)()(
2
³³³
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
wVV
UUXVX
X
.
(3.30)
Nach Anwendung des GAUSSschen Integralsatzes, der Produktregel bei der zeit-
lichen Ableitung in Gleichung (3.30) und der Massenbilanz in lokaler Form, erhält
man die lokale Form der Bilanz der Gesamtenergie zu:
rbqu
ii
j
jiij
i
UUXVX
X
UU
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
x
,
2
2
.
(3.31)
Betrachtet man den Fall ohne einen Wärmefluss und ohne eine Energiezufuhr aus
Strahlung, und führt die Produktregel der zeitlichen Ableitung und die Kettenregel
bei der Differentiation in (3.31) aus, so ergibt sich durch geeignetes Umstellen:
.
)nzImpulsbila(0
,,
ij
ji
ii
ji
ji
bu
UVXUXVXU
(3.32)
Mit der Beziehung (3.3) lässt sich der Geschwindigkeitsgradient durch die Ver-
schiebungen ui ausdrücken, und die Nachdifferentiation nach Xk bringt:
.
d
d
)
(
1
1
,,,
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
kjikji
j
k
k
i
ji
kj
j
k
ik
k
i
ji
j
k
i
k
ji
i
j
ji
j
i
ji
j
ii
ji
j
i
ji
FH
x
X
X
u
t
F
x
X
H
X
u
t
x
X
t
u
X
t
u
x
t
u
t
X
u
t
x
u
V
VVV
VVVVU
(3.33)
Die partielle zeitliche Ableitung geht in eine vollständige über, da:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
64
-
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
k
i
k
i
l
k
i
lk
i
X
u
t
t
t
X
u
t
t
X
X
u
XX
u
td
d
0
d
d
d
d
.
(3.34)
Durch die geometrische Linearisierung gemäß Gleichung (3.16) ergibt sich:
-
.dd
d
d
,
,
,
ji
ji
ji
ij
kj
j
k
ki
k
i
ji
uu
u
x
x
u
x
u
t
u
VU
V
G
VU
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
(3.35)
Mittels einfacher Tensoralgebra kann die infinitesimale Änderung des Ver-
schiebungsgradienten dui,j in du(i,j)=dεij (der infinitesimalen Änderung des
symmetrischen Anteils des Verschiebungsgradienten) umgewandelt werden, siehe
hierzu Anhang A1. Diese ausführliche Herleitung hat gezeigt, dass für kleine
Verformungen der Geschwindigkeitsgradient mit der Dehnungsrate ersetzt
werden kann:
ijj
i
HX
|
,
, vgl. MÜLLER (2011) [69], ff. S. 144. Unter zusätzlich
angenommener linearer Abhängigkeit der Spannungen von den Dehnungen,
)(
ijijij
HVV
(lineare Elastizität, oder auch physikalische Linearisierung genannt),
ergibt sich nach Integration von (3.35)2:
,
2
1
~
d)
~
(d
klass
~
0
~
)(
)(
1
0
ijij
ijijij
tu
tu
u
u
ijij
ij
HV
HHVU
HH
H
³³
(3.36)
wobei uklass=ρ(u(t1)-u(t0)) nun die Änderung der spezifischen inneren Energie der
Verformung ist: die Formänderungsenergiedichte der klassischen Theorie.
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
65
3.1.3 Materialgesetze – Prinzipien der rationalen Mechanik
Für die Klasse der nicht-mikromorphen Kontinua (Punktkontinua) sind die im
Abschnitt 3.1 vorgestellten Bilanzgleichungen universell [6], d. h. sie konnten
unabhängig von weiteren Materialannahmen aufgestellt werden. Um das Ziel der
Kontinuumsmechanik zu erreichen, die Gleichungen für die Dichte, die Tempera-
tur und der Bewegung bereit zu stellen, fehlen sog. konstitutive Gleichungen
(Materialgleichungen) für die verbleibenden Unbekannten: die innere Energie, der
Wärmefluss und die mechanischen Spannungen. In dieser Arbeit werden rein
mechanische Materialgesetze behandelt. Der allgemeinste Zusammenhang für ein
Materialgesetz für die mechanischen Spannungen in dem betrachteten Punkt xn,
welche abhängen von den Zielfunktionen: Massendichte ρ, Bewegung
l
F
und
Temperatur θ, lautet (vgl. [67], S. 43, ff.):
>@
nl
s
X
nij xstXstXstXtx ;,,,,,, 0
F f
T
F
UV
V
+
,
(3.37)
in der sich zudem die Abhängigkeit aller Punkte X des Körpers K zu allen Zeiten
t-s in dem Funktional Fσ äußert. Ein Funktional ist eine Funktion die ihrerseits auf
Funktionen angewendet wird. Durch das Prinzip des Determinismus ist die
zeitliche Abhängigkeit des Funktionals auf die aktuelle, auf die vergangenen, nicht
aber auf zukünftige Konfigurationen beschränkt. Das Prinzip der Lokalität
besagt, dass die Spannungen eines materiellen Punktes von der Bewegung einer
finiten Nachbarschaft des Punktes xn beeinflusst werden können. Beeinflussen
weiter entfernte Nachbarschaftspunkte das Materialverhalten des betreffenden
Punktes, nennt man dies eine nicht-lokale Theorie. Eine TAYLOR-Reihe der
räumlichen Fortsetzung überführt die Abhängigkeit von allen Punkten X des
Körpers in eine Abhängigkeit der Gradienten der jeweiligen Variablen:
^`
.,,),(,,,,),(,,,,),(),(
,,,
,,
0
ˆ
F
AnABiAiniABAn
s
nij
xxxtx
TWTFFWFUUWUV
V
f
(3.38)
τ ist dabei eine Substitution von t-s. Im Folgenden wird gezeigt, wie die Anzahl
der Variablen und ihrer Gradienten verringert werden kann. Die zeitliche Ab-
hängigkeit des Funktionals wird darüber hinaus auf Materialien ohne Gedächtnis
3 Analytische Größeneffektmodellierung
66
eingeschränkt, so dass ausschließlich die Momentankonfiguration zum Zeitpunkt
t die Spannungen determiniert, was zur Folge hat, dass das Funktional Fσ in eine
Funktion
V
ˆ
übergeht. Das Prinzip der Lokalität für einfache Materialien
begrenzt den Einfluss materieller Punkte auf die einer infinitesimalen
Nachbarschaft, wodurch die Ableitungsordnung der TAYLOR-Reihenentwicklung
der Variablen beschränkt werden kann auf Ableitungen ausschließlich erster
Ordnung:
^`
,,),(,,),(,,),(
ˆ
),(
,
,
,AnAiniAnnij
txtxtxtx
TTFFUUVV
.
(3.39)
Durch das Umschreiben der Massenbilanz lässt sich die Dichte sowie der Gradient
der Dichte mit Hilfe des Deformationsgradienten ausdrücken (
)(
det
0ij
F
UU
). In
diesem Sinne ist damit das Funktional nicht mehr direkt abhängig von der Dichte,
als vielmehr vom Deformationsgradienten. Der Gradient der Bewegung kann per
Definition (3.9) mit dem Deformationsgradienten ersetzt werden. Eine
Temperaturabhängigkeit soll für die hier behandelten Materialien vernachlässigt
werden. Mit Hilfe der Prinzipien der EUKLIDischen Invarianten, wie dem
Prinzip der materiellen Objektivität oder der Invarianz bei überlagerter Starr-
körperbewegung ([11], S. 155, ff.), lässt sich zeigen, dass die Bewegung an sich
keinen Einfluss auf die Spannung hat. Damit bleibt als einzige Variable für die
konstitutive Gleichung der mechanischen Spannungen der Deformationsgradient
erhalten und damit die reduzierte Funktion:
^`
),(
ˆ
),( txFtx
nijnij
VV
.
(3.40)
Das Prinzip der Invarianz bei überlagerter Starrkörperbewegung bietet darüber
hinaus den Vorteil, vom Beobachter unabhängige Funktionen aufzubauen. Wie
oben erwähnt, ist Fij kein einheitliches Maß der Verzerrung unter EUKLIDischer
Transformation. Erst durch das Nutzen spezieller Verzerrungsmaße, wie z. B. dem
GREENschen Verzerrungstensor, lassen sich beobachterunabhängige Formen, so
genannte reduzierte Formen aufstellen.
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
67
),(),( G2PK txEktxT nijnij
.
(3.41)
2PK
ij
T
bezeichnet dabei den zweiten PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor (ein
materielles Spannungsmaß). Unter Verzicht des Hinweises auf die örtliche und
zeitliche Abhängigkeit des Spannungs- und Verzerrungstensors ist die allge-
meinste linear-elastische (hier physikalisch2 linearisierte) konstitutive Beziehung
das ST. VENANT-KIRCHHOFF Gesetz:
G2PK
klijklij
EHT
,
(3.42)
wobei Hijkl ein konstanter Steifigkeitstensor vierter Ordnung ist. Nach geo-
metrischer Linearisierung (
ijij
E
H
o
G
, siehe Gleichung (3.15)), bleibt das allg.
anisotrope HOOKEsche Gesetz:
klijklij
C
HV
,
(3.43)
wobei Cijkl der Tensor der elastischen Konstanten ist. Mit Hilfe hier nicht
vorgeführter Symmetrieüberlegungen, lassen sich die Komponenten von Cijkl
schrittweise verringern. Im isotropen Fall, d. h. für volle Symmetrie, erhält man
folgendes linear-elastisches Materialgesetz für kleine Verformungen:
>@
.2
)(
ijijkk
kl
jkiljlikklij
ij µ
HPGHO
H
GGGGGGO
V
(3.44)
Die Materialkonstanten λ und μ sind die LAMÉschen Konstanten, mit den
folgenden Beziehungen zum Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl ν:
2 Physikalische Linearisierung meint die Beschränkung auf einen linearen Spannungs-Dehnungs-
zusammenhang.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
68
)21)(1(
und
)1(2
QQ
Q
O
Q
P
EE
.
(3.45)
Damit ist eine simple aber weit verbreitete Materialgleichung (3.44) in der
Elastizität von Festkörpern motiviert und es ist aufgezeigt worden, welche
grundlegenden Annahmen darin enthalten sind.
3.1.4 Balkenbiegung nach EULER und BERNOULLI
Dieses Kapitel skizziert den Einsatz der Mittel der Kontinuumsmechanik, um eine
skalarwertige Funktion für die Größen der einfachen Balkenbiegung zu
generieren. Ein „Balken“ ist hierbei ein Festkörper, dessen Länge um ein
vielfaches größer ist, als seine Höhe oder Breite. Er soll im Unterschied zum Stab
nur Kräfte senkrecht zu seiner Balkenachse aufnehmen können, weswegen er auch
als „Träger“ bezeichnet wird. Ab einem Längen- zu Höhenverhältnis von mehr als
20 kann man von einem schlanken Balken sprechen. Die zu berechnenden Größen
am Balken sind: die Durchbiegung an jedem Ort der Balkenachse (die Biegelinie),
der Biegewinkel und die Krümmung an jedem Ort sowie die dort herrschenden
Dehnungen und Spannungen infolge von Lasten. Die Balkenhypothese nach
EULER und BERNOULLI beschreibt dabei das bei der Biegung „gedachte“ Ver-
schiebungsfeld ui, welches unter den folgenden Annahmen gilt:
x kleine Dehnungen,
x linear elastisches Material,
x isotropes Materialverhalten,
x keine Volumenkräfte,
x Statik,
x keine Querkontraktionskoppelung (ν=0),
x die Schwerachse ist der gedachte Lastangriffspunkt,
x die Last wirkt senkrecht zur unverformten Schwerachse,
x alle Lasten wirken in einer Ebene,
x die Schwerachse ist die zentrale Verformungsgröße,
x die Querschnittsflächen bleiben eben,
x die Querschnittsflächen bleiben rechtwinklig zur Biegeachse.
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
69
Aus den verschiedenen Lagerungsfällen die ein Träger erfüllen kann, wird der des
einseitig fest eingespannten Kragarms gewählt, der, wie in Abbildung 3.2 gezeigt,
an seinem freien Ende mit der Einzelkraft F belastet wird und eine Linienlast q(x)
entlang der Balkenachse aufnehmen kann. Ziel ist es nun, die EULER-
BERNOULLIsche Biegedifferentialgleichung aufzustellen und sie mit geeigneten
Randbedingungen des angegebenen Lagerungsfalls zu lösen.
Abbildung 3.2: Koordinatensystem, Kraft, Abmaße, Querschnitt und
Biegelinie eines einseitig fest eingespannten Trägers.
Die Länge des Balkens sei L, sein Querschnitt A, seine vollständigen Material-
konstanten E und ν, und sein Flächenträgheitsmoment um die y-Achse Iyy:
³
A
yy
AzI d
2
.
(3.46)
Die Auslenkung der Schwerachse in z-Richtung sei mit w bezeichnet und ist nur
abhängig von der Balkenkoordinate x. Das „gedachte“ Verschiebungsfeld ui eines
EULER-BERNOULLI Balkens ist festgelegt durch (i, j=x, y, z):
)(,0,
d
)(d xwuu
x
xw
zu
zyx
.
(3.47)
Es erfüllt alle eingangs getroffenen Annahmen und beschreibt den ebenen
Verzerrungszustand (EVZ) aufgrund dessen, dass jegliche Verschiebung in y-
Richtung zu null gesetzt ist. Ableitungen nach x sollen durch gestrichene Größen
gekennzeichnet sein. Mit dem angegebenen Verschiebungsfeld lässt sich all-
gemein der Verzerrungstensor kleiner Deformationen, gemäß Formel (3.15)
auswerten:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
70
0,)(
,,
2
1
cc
yzxzxyzzyyxxijjiij
xwzuu
HHHHHHH
.
(3.48)
Durch den gewählten Verschiebungsansatz betrachtet man lediglich Dehnungen
in x-Richtung. Alle anderen Dehnungstensorkomponenten verschwinden. Mit dem
HOOKEschen Materialgesetz gemäß Formel (3.44), ergeben sich die Spannungs-
tensorkomponenten zu:
.0,)(
,0,)(
,0,)()2(
cc
cc
cc
xyzz
xzyy
yzxx
xwz
xwz
xwz
VOV
VOV
VPOV
(3.49)
Der Ausdruck (λ+2μ) kann mit Hilfe der Zusammenhänge aus (3.45) in ein
Elastizitätsmodul E umgeschrieben werden, wobei das Vernachlässigen der Quer-
kontraktion dazu führt, dass die LAMÉsche Konstante λ gleich null wird. Damit
verbleiben auch bei den Spannungskomponenten nur solche in x-Richtung. Es
wird im Folgenden der Vergleich herausgearbeitet zwischen der Arbeit der
(klassischen) äußeren Kräfte und Momente Kklass und der Änderung der inneren
Energie U
klass der klassischen Theorie. Es besteht keine direkte zeitliche Ab-
hängigkeit dieser Größen und es soll keine Dissipations- oder Wärmeenergie
geben. Mit dem Prinzip der Variation der Minimierungsfunktion Π erhält man:
.0
,
klassklass
klassklassklassklass
KU
KUKU
GGG
GGG
o3
3 3
(3.50)
Die inneren Energie U
klass lässt sich mit Hilfe von Gleichung (3.36) aufstellen zu:
,d
2
dd
2
ddd
2
dd
0
22
2
2
2
2
1
2
1
klass
xw
EI
xw
I
Az
E
xyzwz
E
VVU
L
x
yy
x
yy
zyzyx
xxxxijij
³³³³³³³
³³
cc
cc
cc
VV
HVHV
(3.51)
und dessen Variation lautet folglich:
3.1 Klassische Kontinuumsmechanik
71
.d
dd
2
00
0
0
0
0
2klass
L
yy
L
yy
L
x
yy
L
x
yy
L
yy
L
x
yy
wwEIwwEIxwwIE
xwwEIwwEIxw
EI
U
ccc
ccc
cccc
cccc
ccc
cc
³
³³
GGG
GGGG
(3.52)
Die Variation der Arbeit Kklass der äußeren Kräfte Q, q(x) und Momente M lautet:
LL
L
x
xwMxwQxxwxqK 00
0
klass )()(d)()( c
³
GGGG
,
(3.53)
womit sich durch den Vergleich von (3.52)2 und (3.53) die allgemein bekannten
Differentialgleichungen:
Lxx
MxwEI
QxwEI
LxxqxwEI
yy
yy
IV
yy
°
¿
°
¾
½
cc
ccc
~
oder0
~
)
~
(
)
~
(
],0[,)()(
(3.54)
samt ihren Randbedingungen ergeben. Im vorliegenden Fall soll es keine Linien-
last q(x) und keine äußeren Momente M geben. Dann erhält man durch vierfache
Integration der Differenzialgleichung (3.54)1 das unbestimmte Polynom:
.
26
)( 43
2
2
3
1CxC
x
C
x
CxwEIyy
(3.55)
Die Integrationskonstanten C1, C2, C3 und C4 werden über die vier Randbe-
dingungen:
FLw
ccc )(
,
0)0( w
,
0)0(
c
w
und
0)(
cc Lw
bestimmbar, womit
die Biegelinie w(x) für den Fall des einseitig fest eingespannten EULER-
BERNOULLI Trägers lautet:
»
¼
º
«
¬
ª 62
)(
32
klass xLx
EI
F
xw
yy
.
(3.56)
Der Superskript „klass“ verdeutlicht die Herleitung aus der klassischen Theorie.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
72
Eine Aussage über den Biegewinkel bekommt man durch einmaliges Ableiten der
Biegeline. Dehnungen in x-Richtung ergeben sich gemäß Gleichung (3.48) zu:
>@
xL
EI
zF
zx
yy
xx ),(
klass
H
.
(3.57)
Die letzten beiden Formeln stellen die ersten analytischen Ausdrücke in dieser
Arbeit dar, mit denen die vorangegangenen Biegeexperimente am AFM sowie die
Dehnungsexperimente am Mikro-RAMANspektroskop abgeglichen werden
können. Die Bestimmungsgleichung für den Elastizitätsmodul bei einer Ver-
schiebungsmessung an der Stelle x=L lautet:
yy
Iw
FL
Eklass
3
3
.
(3.58)
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
Die mikropolare Kontinuumstheorie ist einzuordnen in die mikromorphe Theorie,
welche konzeptionell der Frage nachgeht, ob es möglich ist, „eine Kontinuums-
theorie zu konstruieren, die physikalische Phänomene auf der atomistischen,
molekularen oder der Nanoskala vorhersagen kann“ (A. C. ERINGEN, 2009, im
Vorwort von [61]). Die mikromorphe Theorie (auch Mikrokontinuum genannt)
wird nach ERINGENs Auffassung als eine Art kontinuierliche Ansammlung
deformierbarer Punktpartikel beschrieben. Der kontroverse Bergiff „Punkt-
partikel“ (im Folgenden nur mit Partikel abgekürzt) wurde deshalb gewählt, weil
diese besonderen materiellen Punkte in ihrer Größe infinitesimal sind und nicht
die Annahme der Kontinuität der Materie verletzen sollen. Die Beschreibung der
intrinsischen Deformation des Partikels gelingt über sogenannte Direktoren. Dies
sind Vektoren, die dem materiellen Punkt angehängt sind und so die Orientierung
und Deformation des Partikels abbilden können. Direktoren in der Referenz-
platzierung seien mit Di, und solche in der Momentanplatzierung mit di
symbolisiert. Die Bewegungsänderung des Punktes wird weiterhin über den
Deformationsgradienten Fij erfasst. Die Änderung der Direktoren allerdings wird
in dem zusätzlichen Tensor Qij abgebildet.
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
73
Abbildung 3.3: Spezialfälle des mikromorphen Kontinuums nach A. C.
ERINGEN [32].
Unterliegen die Direktoren der zusätzlichen Bedingung der Orthogonalität
(Rechtwinkligkeit), können dabei aber ihre Länge verändern, so spricht man vom
Mikrostreckungskontinuum (engl. „micro-stretch continuum“). Unterliegen die
Direktoren darüber hinaus der zusätzlichen Bedingung, ihre Länge nicht ändern
zu dürfen, so spricht man vom mikropolaren Kontinuum, weil in diesem Fall durch
Qij lediglich die Orientierung (die Rotation) des Partikels im Raum abgebildet
wird. Dabei muss die Determinante von Qij stets plus eins sein, um Dreh-
spiegelungen auszuschließen (Analoges gilt im Mikrostreckungskontinuum für
den Rotationsanteil von Qij bei polarer Zerlegung). Ist Qij gleich null, so geht das
Mikromorphe- in das CAUCHY-Kontinuum über. Inspiriert durch das Werk von E.
und F. COSSERAT (1909) [17] und dem damit veröffentlichten Konzept von
Punktmomenten (engl. „point couples“), wurden mikropolare- (MP) Theorien
maßgeblich durch z. B. ERINGEN ([30], [32], [31] und [33]), TOUPIN [100],
MINDLIN und TIERSTEN [64], NOWACKI [73] und KOITER [49] entwickelt.
mikromorphes Kontinuum:
beliebige Direktoren
Mikrostreckungskontinuum:
nur streckbare Direktoren
mikropolares Kontinuum:
feste Direktoren
klassisches C
AUCHY
Kontinuum:
keine Direktoren
3 Analytische Größeneffektmodellierung
74
3.2.1 Erweiterung der Freiheitsgrade
Um den Charakter des Partikels P in der Mikropolartheorie als infinitesimalen
Festkörper näher zu erläutern, sei folgende Rechnung aus der Festkörpermechanik
hilfreich:
Abbildung 3.4: Schema zur Kinematik einer Starrkörpertranslation und
-rotation um den Massenschwerpunkt C.
CX
i
CX
kjijk
C
ii
CX
i
C
ii xxxxx
ZXX
,
(3.59)
in der
C
ii xx ,
und
CX
i
x
die Ortsvektoren zu X, C und
CX
sind, wobei die zeitliche
Änderung zwischen den Punkten C und X konstant bleiben soll (
0
CX
i
x
) damit
der Partikel selbst die Annahme eines Starrkörpers erfüllt.
j
Z
ist die Winkelge-
schwindigkeit, die im folgenden Zusammenhang zum Orientierungstensor Qij
steht, vgl. [28]:
kjkiijn
n
QQ
2
1
Z
.
(3.60)
Stellt man für diesen Fall die kinetische Energie auf, so erhält man:
1
e
C
i
x
P
3
e
2
e
i
x
CX
i
x
C
X
i
Z
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
75
,
dd
dd
d
reStarrkörpfür0
dd
d
d
rotkin
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
CX
2
1
2
1
kin
EE
msm
mm
mxxmxm
mxx
mE
C
M
ll
M
C
i
C
i
M
ljlj
M
C
i
C
i
M
CX
mllmi
CX
kjijk
M
CX
kjijk
C
i
M
C
i
C
i
M
mllmi
C
i
CX
kjijk
C
i
M
ii
³³
³³
³³³
³
³
ZXX
ZTZXX
ZZZXXX
ZXZX
XX
(3.61)
wobei
jl
T
das konstante Inertialmoment (Massenträgheitsmoment) und sl die
spezifische Spindichte des Partikels ist:
nl
kjkiijn
klkl
QQ
s
TTZ
2
1
.
(3.62)
Es sei an dieser Stelle betont, dass der Spin als rotatorische Größe kinematisch
unabhängig von der translatorischen Bewegung des Partikels ist. Der Spin übt
Einfluss auf das Deformationsverhalten über die im nächsten Abschnitt zu
zeigenden Bilanzgleichungen in Kombination mit einer entsprechenden konsti-
tutiven Gleichung.
3.2.2 Bilanzgleichungen der MP-Theorie
Im Mikropolarkontinuum führen die zusätzlichen rotatorischen Freiheitsgrade zur
Unabhängigkeit der Drehimpulsbilanz von der Linearimpulsbilanz. Aus Über-
lieferungen (vgl [101]) kann interpretiert werden, dass schon in den frühen Tagen
der Mechanik, nämlich in der Mitte des 18ten Jahrhunderts, bereits EULER,
BERNOULLI und LAGRANGE über die Unabhängigkeit der Drehimpulsbilanz
diskutierten. TRUESDELL [102] kann dazu mit den Worten zitiert werden: „[We]
do not regard the principle of moment of momentum as a consequence of the
principle of linear momentum“. Durch die Existenz der zusätzlichen rotatorischen
Freiheitsgrade muss ein Maß für die Änderung dieser Größe eingeführt werden,
3 Analytische Größeneffektmodellierung
76
sowie Kraftgrößen, die zu dieser Änderung führen. Zuerst seien die Oberflächen-
und Volumenkräfte eingeführt, die den Spin beeinflussen.
Abbildung 3.5: Schema zur Aufteilung von Volumen- und Oberflächen-
kräften in der Mikropolartheorie.
Im Volumen V wirken die Volumenkräfte fi und die Volumenmomente li (siehe
Abbildung 3.5). An der Oberfläche des Volumens wirken die volumenspe-
zifischen Oberflächenkräfte tj und die Oberflächenmomente mj. Mit Hilfe des an
dieser Stelle nicht aufgeführten CAUCHYschen Tetraedersatzes lässt sich sowohl
die Existenz eines Feldes des (Kraft-) Spannungstensors
),( tx
k
ij
V
, als auch in
analoger Weise die Existenz eines Feldes des Momentenspannungstensors
),( tx
k
ij
P
beschreiben:
jjiij
ji
inmnt
PV
und
.
(3.63)
Der Kraftspannungstensor ist hier nicht, wie in der klassischen Kontinuums-
mechanik verlangt, symmetrisch
)(
ji
ij
VV
z
, worauf innerhalb dieses Abschnitts
weiter eingegangen werden soll.
Die Massenbilanz der MP-Theorie bleibt von den zusätzlichen Freiheitsgraden
unberührt und in ihrer ursprünglichen Form erhalten (siehe Formel (3.22)).
i
n
j
t
i
n
j
m
i
l
i
f
Vw
V
V∂V
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
77
Die Impulsbilanz der MP beschreibt die zeitliche Änderung des Linearimpulses
des gesamten Körpers:
VfAtm
tkk
M
kddd
d
d
³³³
w
VV
UX
.
(3.64)
Unter Anwendung der Beziehung (3.63)1 und des GAUSSschen Integralsatzes zur
Umwandlung von Oberflächen- in Volumenintegrale ergibt sich global und lokal:
.0
undd)(d
,
,
³³
k
l
lk
k
k
l
lk
k
f
VfV
U
V
XU
U
V
XU
VV
(3.65)
Die Spinbilanz beschreibt nun die zeitliche Änderung des intrinsischen Dreh-
impulses der Partikel im gesamten Körper:
VelAmms
tkkk
M
kd)(dd
d
d ³³³ wVV
U
,
(3.66)
wobei gesehen werden muss, dass ein Axialvektor des antisymmetrischen Anteils
des Kraftspannungstensors
k
e
als Produktionsterm zum intrinsischen Drehimpuls
im Volumen beiträgt. Dies kann durch die Überlegung motiviert werden, wie sich
ein materielles Partikel verhält, wenn z. B. im Ungleichgewicht stehende Scher-
komponenten des Kraftspannungstensors existieren würden: Es würde zu einem
Ungleichgewicht von Momenten führen. Die zusätzlich eingeführten Freiheits-
grade können dieses aber im Gegensatz zur klassischen Theorie in ein Gleich-
gewicht bringen, indem entsprechende Drehmomente angreifen. Die Struktur des
Axialvektors des antisymmetrischen Anteils des Kraftspannungstensors kann über
Momentenbetrachtungen am infinitesimalen Volumenelement verdeutlicht
werden.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
78
Abbildung 3.6: Darstellung der Scherspannungsvektoren am infinitesimalen
Volumenelement.
Bildet man die Summe der wirkenden volumenspezifischen Momente m am
Einheitswürfel (Abbildung 3.6), so erhält man in Vektorschreibweise sinngemäß:
.
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
3
3
12
21
2
1
23
32
1
2
31
31
1
31
2
32
1
31
3
12
3
21
2
23
2
31
3
2
1
1
32
3
2
1
3
31
2
2
1
1
12
22
21
13
23
1
)31(
3
)32(
3
)13(
2
)12(
2
)21(
1
)23(
1
i
jk
ijk
i
i
e
ee
e
e
e
e
e
e
eee
eee
eeeeee
eeeeee
tetete
tetetem
V
VVVVVV
VVV
VVV
VVV
VVV
uuu
uuu
uuu
uuu
¦
(3.67)
Letzteres birgt die Komponentenschreibweise des zu beschreibenden Axialvektors
ei. Die Gleichgewichtsbedingungen der Mikropolartheorie sind aber nicht nur
durch Normal- und Querkräfte N und Q bestimmt, sondern auch durch Momente
M (siehe Abbildung 3.7), die beim Übergang zum infinitesimal kleinen Volumen-
element verbleiben können, wenn eine charakteristische Abmessung a des
Volumens infinitesimal klein wird.
2
e
1
e
)21(
t
3
e
)23(
t
)32(
t
)31(
t
)12(
t
)13(
t
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
79
Abbildung 3.7: Darstellung einiger Kraft- und Momentenspannungs-
komponenten am infinitesimalen Volumenelement in
der Mikropolartheorie.
Im klassischen Kontinuum verschwindet das in Abbildung 3.7 dargestellte
Moment M, wenn a infinitesimal klein wird. In der Mikropolartheorie bleibt dieses
dagegen erhalten. Der antisymmetrische Anteil des Kraftspannungstensors bildet
sich aus dem Axialvektor des antisymmetrischen Anteils des Kraftspannungs-
tensors
k
e
wie folgt:
k
lm
klmijk
ji
ijji
e
VVVV
2
1
Asym
,
(3.68)
was sich durch Ausmultiplizieren aller Indizes leicht nachvollziehen lässt. Unter
Anwendung der Beziehung (3.63)2 und des GAUSSschen Integralsatzes zur Um-
wandlung von Oberflächen- in Volumenintegrale ergibt sich die Spinbilanz global
und lokal zu:
.0
undd)(d
,
,
³³
lm
klmkllkk
lm
klmkllkk
ls
VlVs
VUPU
VUPU
VV
(3.69)
Die Drehimpulsbilanz der MP-Theorie beschreibt die zeitliche Änderung der
Momentendichte
XU
ux
und s über den gesamten Körpers, und gilt als Erhaltungs-
größe:
11
P
22
P
33
P
11
V
22
V
33
V
N
Q
M
a
3 Analytische Größeneffektmodellierung
80
.d)(dd
d
d³³³
wVV
VlfxAmtxmsx
t
ikjijkikjijk
M
ikjijk
UX
(3.70)
Unter Anwendung der Beziehungen (3.63) und des GAUSSschen Integralsatzes zur
Umwandlung von Oberflächen- in Volumenintegrale ergibt sich:
(3.71)
Im direkten Vergleich zur lokalen Form der Drehimpulsbilanz aus Gleichung
(3.41)5 wird in Gleichung (3.71)5 erkenntlich, dass ein in der MP-Theorie
möglicher antisymmetrischer Teil des Spannungstensors zur Produktion von Spin
führt. Gerade wegen diesem Produktionsterm stellt der Spin selbst keine
Erhaltungsgröße dar. Die Drehimpulsbilanz der MP-Theorie ist demzufolge keine
simple Konsequenz aus der Impulsbilanz, wie dies im noch klassischen Kontinu-
um der Fall war. Dies haben bereits TRUESDELL [102], [101] und SZABÓ [98] zur
Disposition gestellt, mit der Frage nach der Unabhängigkeit der Drehimplusbilanz
vom NEWTONschen Bewegungsgesetz.
Folgt man der Hierarchie der Bilanzen dieses Kapitels, ohne weitere Freiheits-
grade einzuführen, kann man geneigt sein, eine Bilanz über das Moment des Spins
>@>@
.
Spinbilanz
0nzImpulsbila
0d
0d)(d)(
wegen,0
d)(d)(
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
il
li
i
jk
ijk
illi
jk
ijkik
l
lk
kjijk
ikjijklli
l
lk
jijk
jk
ijkikjijk
ikjijklli
l
lk
jijk
lk
ljijkikjijk
jj
ikjijkllil
lk
jijkikjijkkjijk
M
ls
lsfx
V
lfxxsx
VlfxxxVsx
x
Vlfxxmsxx
UPU
V
UP
V
UU
V
XU
UUP
VV
UXU
UUP
VV
UXU
X
UUP
V
XX
³
³³
³³
V
VV
V
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
81
zu erstellen, wie es YANG, et al. 2002 [110] beschrieben haben. Dies führt in
globaler und lokaler Formulierung zu:
.
Spinbilanz
stermProduktion
d
Zufuhrterm
d
Flussterm
dd
d
d
,
lk
ilkkjijk
lkilk
lm
klmkl
lk
kjijkkjijk
lm
klmjijkkjijklkljijk
M
kjijk
s
lsxs
VxVlxAnxmsx
t
PXU
P
V
UPUXU
V
UP
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
³³³³
w
VVV
(3.72)
Daraus ließe sich analog zur Symmetrie des Spannungstensors in der klassischen
Theorie, Gleichung (3.28)5, die Symmetrie des Momentenspannungstensors im
statischen Fall (
0
j
X
) ableiten. Dies ist in der aktuellen Literatur jedoch nicht
abschließend geklärt, wird aber letzten Endes als Schlüsselargument bei der
Formulierung der modifizierten Dehnungsgradiententheorie, Abschnitt 3.3.3, ge-
nutzt. Eine andere hier nicht diskutierte Herangehensweise zeigt die Anti-
symmetrie des Momentenspannungstensors, [45].
3.2.3 Zu konstitutiven Gleichungen in der MP-Theorie
Der allgemeinste Zusammenhang für ein Materialgesetz für die Kraft- und
Momentenspannungen der Mikropolartheorie, welche abhängen von den Ziel-
funktionen: Massendichte ρ, Bewegung χl, Orientierung Qij und Temperatur θ in
dem betrachteten Punkt xn, lauten:
>@
>@
.;,,,,,,,,
;,,,,,,,,
0
0
F
F
nijl
s
nij
nijl
s
X
nij
xstXstXQstXstXtx
xstXstXQstXstXtx
X
f
f
TFUP
TFUV
P
V
+
+
(3.73)
Die Abhängigkeit aller Punkte X des Körpers K zu allen Zeiten t-s äußert sich in
den Funktionalen Fσ, μ. Durch das Prinzip des Determinismus ist die zeitliche
3 Analytische Größeneffektmodellierung
82
Abhängigkeit der Funktionale auf die aktuelle, auf die vergangenen, nicht aber auf
zukünftige Konfigurationen beschränkt. Das Prinzip der Lokalität besagt, dass
in diesem Fall die Kraft- und Momentenspannungen eines materiellen Punktes
(hier Partikels) xn vom Zustand einer finiten Nachbarschaft des Punktes beeinflusst
werden können. Eine TAYLOR-Reihe der räumlichen Fortsetzung überführt die
Abhängigkeit von allen Punkten X des Körpers in eine Abhängigkeit der
Gradienten der jeweiligen Variablen:
^`
^`
,,,),(,,),(,,,),(,,,),(),(
,,),(,,),(,,,),(,,,),(),(
,,,
,
0
ˆ
,,,
,
0
ˆ
F
F
A
n
A
ijnij
A
ini
A
n
s
nij
AnAijnijAiniAn
s
nij
xQxQxxtx
xQxQxxtx
TWTWFWFUWUP
TWTWFWFUWUV
P
V
f
f
(3.74)
wobei τ die Substitution von t-s ist. Es sollen auch in diesem Zusammenhang
ausschließlich Materialien ohne Gedächtnis behandelt werden, so dass die
Momentankonfiguration zum Zeitpunkt t die Spannungen determiniert. Dies hat
zur Folge, dass die Funktionale Fσ, μ in die Funktionen
V
~
und
P
ˆ
übergehen. Des
Weiteren soll auf die Temperaturabhängigkeit verzichtet werden. Das Prinzip der
Lokalität für einfache Materialien begrenzt den Einfluss materieller Punkte auf
die einer infinitesimalen Nachbarschaft, wodurch die Ableitungsordnung der
TAYLOR-Reihenentwicklung der Variablen beschränkt werden kann auf Ab-
leitungen ausschließlich erster Ordnung:
^`
^`
.,),(,,),(,,),(
ˆ
),(
,),(,,),(,,),(
~
),(
,,
,
,,
,
AijnijAiniAnnij
AijnijAiniAnnij
QtxQtxtxtx
QtxQtxtxtx
FFUUPP
FFUUVV
(3.75)
Das Umschreiben der Massenbilanz resultiert in dem Ausdruck
).(
det
0ij
F
UU
In
diesem Sinne sind die Materialfunktionen dadurch nicht mehr direkt von der
Dichte, als vielmehr vom Deformationsgradienten abhängig. Der Gradient der
Bewegung kann per Definition (3.9) mit dem Deformationsgradienten ersetzt
werden. Wie bereits im Abschnitt der klassischen Kontinuumsmechanik 3.1
erwähnt, lässt sich mit Hilfe der Prinzipien der EUKLIDischen Invarianten
zeigen, dass die Bewegung an sich keinen Einfluss auf die Spannungen hat. Damit
verbleiben als einzige Variablen für die konstitutiven Gleichungen der
mechanischen Kraft- und Momentenspannungen der Deformationsgradient, die
3.2 Grundzüge der mikropolaren Theorie (MP)
83
Orientierung und der Orientierungsgradient erhalten und damit die reduzierten
Funktionen:
^`
^`
.,,
ˆ
),(
,,
~
),(
,
,
Aijijijnij
Aijijijnij
QQFtx
QQFtx
PP
VV
(3.76)
Durch das Prinzip der Invarianz bei überlagerter Starrkörperbewegung lassen
sich vom Beobachter unabhängige Funktionen aufbauen. Wie weiter oben
erwähnt, ist Fij kein einheitliches Maß der Verzerrung unter EUKLIDischer
Transformation, ebenso Qij. Erst durch das Nutzen spezieller Verzerrungsmaße,
wie z. B. dem relativen Streckungstensor
Q
ij
E
und dem relativen Orientierungs-
tensor
ij
Γ
(vgl. EREMEYEV 2013, [28]):
,
,
2
1
AjrAmirmij
ijjkki
Q
ij
QQΓ
FQE
G
(3.77)
lassen sich beobachterunabhängige Formen, so genannte reduzierte Formen,
aufstellen:
,,),(
,),(
PK2
ij
Q
ijnij
ij
Q
ijnij
ΓEKtxM
ΓEktxT
(3.78)
wobei Mij einen materiellen Momentenspannungstensor darstellt. Eine
physikalisch linearisierte Formänderungsenergiedichte uMP isotroper mikro-
polarer Materialien lautet dann (vgl. [28]):
ijijijijkkii
Q
ji
Q
ji
Q
ij
Q
ji
Q
kk
Q
ii ΓΓΓΓΓΓEEEEEEu 321321
MP
2
EEEDDD
,
(3.79)
wobei
321321 und
,,,,
EEEDDD
sechs zu bestimmende Materialkonstanten sind.
Unter der Annahme kleiner Deformationen und Nutzung des vorher eingeführten
Dehnungstensors kleiner Deformationen lässt sich Gleichung (3.79) in die für das
COSSERAT-Kontinuum bekannte lineare Form (vgl. LAKES, 1995 [51]) isotroper
Materialien umschreiben:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
84
.
,)()2(
,3,2,1 ijjiijrrij
kkijkijijkkij
µ
µ
IJIJGIJ
IMNHNGOHV
(3.80)
321 ,,
JJJ
sowie κ sind die sogenannten COSSERATschen elastischen Konstanten,
wobei letztere oft als Kopplungszahl beschrieben wird. Der Rotationsvektor der
Mikrorotation ϕi ist kinematisch unabhängig vom Rotationsvektor der Makro-
rotation φi. RAMÉZANI, et al. (2012) [82] haben unter Einbeziehung der sechs
elastischen Konstanten das Biegeverhalten eines mikropolar modellierbaren
Materials analysiert und dabei den Größeneffekt explizit bemerkt. Da für die in
dieser Arbeit geprüften Werkstoffe keine Daten aller elastischen Konstanten
vorliegen und eine Messung der vier COSSERATschen elastischen Konstanten in
diesem Rahmen nicht möglich ist, sollen weitere Vereinfachungsmöglichkeiten in
den Materialgleichungen aufgezeigt werden. Eine direkt anknüpfende Verein-
fachung der Mikropolartheorie liefert die Momentenspannungstheorie in Ab-
schnitt 3.4. Da die MP-Theorie auch Berührungspunkte mit der Dehnungs-
gradiententheorie aufweist, wird diese im Folgenden zuerst beschrieben.
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
Der Ursprung sogenannter Dehnungsgradiententheorien ist schwer festzumachen.
In der Zeit der der frühen 1960er Jahre, in denen die Ideen der Brüder COSSERAT
als Inspiration dienten, wurden in diversen Arbeiten Momentenspannungstheorien
entwickelt, z. B. durch TOUPIN (1962) [100], MINDLIN und TIERSTEN (1962) [64],
KOITER (1964) [49] und MINDLIN and ESHEL (1968) [66]. Darin enthalten sind
zweite Ableitungen von Verschiebungen zur Beschreibung von Krümmung,
Rotation, etc.. Diesen höheren Ableitungen wurde im Zuge dessen gesondertes
Interesse zuteil. Anfang der 1970er Jahre wurde begonnen, vornehmlich durch
A. C. ERINGEN, die generalisierte Kontinuumsmechanik zu beschreiben, geleitet
durch die Frage: „Is it possible to construct continuum theories that can predict
physical phenomena on the atomic, molecular, or nano scales?“ (Zitat von
A. C. ERINGEN, 2009, im Vorwort zu [61]). Demnach wurden formell mindestens
zwei Herangehensweisen etabliert: Erstens, die Nutzung erweiterter Freiheits-
grade der Punktpartikel (mikromorphe Theorie, siehe Abschnitt 3.2) und zweitens,
die Annahme von Materialien zweiter Ordnung (engl.: „non-simple materials of
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
85
gradient type“, A. C. ERINGEN [32]). Letzteres führt in der Kaskade der Identi-
fizierung allgemeiner Materialgleichungen der rationalen Mechanik direkt zu den
Abhängigkeiten von höheren Ableitungen in der Deformation (vgl. A. BERTRAM,
2013 [12]). Der Begriff Gradientenkontinuum erscheint dafür an dieser Stelle
sinnvoll.
3.3.1 Herleitung konstitutiver Abhängigkeiten
Das Ziel soll die Herleitung konstitutiver Gleichungen für isotrope, linear
elastische Materialien zweiter Ordnung sein. Der Ausgangspunkt soll die Formu-
lierung der allgemeinen Abhängigkeiten der inneren Energie der rationalen
Mechanik solcher Materialien sein:
>@
,;,,,,,, 0
Fnl
s
X
u
nxstXstXstXtxu f
TFU
"
(3.81)
wobei die Dichte ρ, Bewegung χl und Temperatur θ in dem betrachteten Punkt xn
die klassischen Grundvariablen sind. Die Abhängigkeit aller Punkte X des Körpers
K zu allen Zeiten t-s äußert sich in dem Funktional Fu. Durch das Prinzip des
Determinismus ist die zeitliche Abhängigkeit des Funktionals auf die aktuelle,
auf die vergangenen, nicht aber auf die zukünftigen Konfigurationen beschränkt.
Das Prinzip der Lokalität besagt, dass die innere Energie eines materiellen
Punktes vom Zustand einer finiten Nachbarschaft des Punktes xn beeinflusst
werden kann. Eine TAYLOR-Reihe der räumlichen Fortsetzung überführt die
Abhängigkeit von allen Punkten des Körpers in eine Abhängigkeit der örtlichen
Gradienten der jeweiligen Variablen:
^`
,,),(,,,),(,,,),(),( ,,
,
0
FAnAiniAn
s
u
nxxxtxu
TWTFWFUWU
f
,
(3.82)
wobei τ die Substitution von t-s ist. Im Weiteren sollen ausschließlich Materialien
ohne Gedächtnis behandelt werden, so dass die Momentankonfiguration zum
Zeitpunkt t die Spannungen determiniert. Durch diese Einschränkung geht das
Funktional Fu in die Funktion
u
ˆ
über. Des Weiteren wird auf die Temperaturab-
hängigkeit verzichtet. Nun folgt das Prinzip der Lokalität für Materialien
zweiter Ordnung. Dieses Prinzip begrenzt den Einfluss aller materiellen Punkte
3 Analytische Größeneffektmodellierung
86
auf solche einer infinitesimalen Nachbarschaft zu xn, und die Ableitungsordnung
der TAYLOR-Reihenentwicklung der Variablen beschränkt sich auf Ableitungen
bis zur zweiten Ordnung:
^`
ABi
AiniABAnn
txtxutxu
,
,
,,
,,),(,,,),(
ˆ
),(
FFFUUU
.
(3.83)
Das Umschreiben der Massenbilanz resultiert in dem Ausdruck
)(
det
0ij
F
UU
.
In diesem Sinne ist damit das Funktional nicht mehr direkt abhängig von der
Dichte, als vielmehr vom Deformationsgradienten. Der Gradient der Bewegung
kann per Definition (3.9) mit dem Deformationsgradienten ersetzt werden. Wie
bereits im Abschnitt der klassischen Kontinuumsmechanik 3.1 erwähnt, lässt sich
mit Hilfe der Prinzipien der EUKLIDischen Invarianten zeigen, dass die Be-
wegung an sich keinen Einfluss auf die Spannungen hat, was zu folgender
reduzierten Funktion führt:
^`
Aijijn
FFutxu
,
,
ˆ
),(
.
(3.84)
Damit verbleiben als einzige Variablen für die konstitutive Gleichung der inneren
Energie der Deformationsgradient und der Gradient des Deformationsgradienten
erhalten. Dies wird schematisch in Abbildung 3.8 verdeutlicht und soll als
Gegenüberstellung zu Abbildung 3.3 den Unterschied zwischen der MP- und der
DG-Theorie aufzeigen.
Abbildung 3.8: Verdeutlichung der Funktionsvariablen (dem Deformations-
gradient und dem Gradient des Deformationsgradienten) bei
der Verformung im Gradientenkontinuum.
Gradientenkontinuum:
keine Direktoren
txFtxF nAijnij ,,, ,
B0
Bt
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
87
Durch das Prinzip der Invarianz bei überlagerter Starrkörperbewegung lassen
sich vom Beobachter unabhängige Funktionen aufbauen. Wie schon erwähnt, ist
Fij kein einheitliches Maß der Verzerrung unter EUKLIDischer Transformation.
Erst durch das Nutzen spezieller Verzerrungsmaße, wie dem GREENschen
Verzerrungstensor
G
ij
E
und dem Verzerrungstensor höherer Ordnung
k
ij
K
(vgl.
A. BERTRAM 2013, [12]):
,
,
1
2
1
G
k
lj
ilijk
ijjkkiij
X
F
FK
FFE
w
w
G
(3.85)
kann die reduzierte Form der Funktion aufgestellt werden:
ijkij
KEuu ,
~
G
.
(3.86)
Mit der Annahme der Existenz einer spezifischen elastischen Energie, [12]:
>@
ijkijkijij
KSETp
GPK2
2
1
0
1
:
U
,
(3.87)
können die arbeitskonjugierten Spannungsmaße definiert werden als:
ijk
ijk
ij
ij
K
u
S
E
u
Tw
w
w
w
~
und
~
G
PK2
.
(3.88)
Darin enthalten sind der zweite PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor
PK2
ij
T
und der
materielle Spannungstensor höherer Ordnung Sijk, genannt Hyperspannungstensor
(engl.: „material hyper stress, or double stress tensor“, [12]). Bis hierhin sind die
Ausführungen i. A. für große Deformationen gültig und sollen im anschließenden
Abschnitt unter der Annahme kleiner Deformationen weitergeführt werden.
3.3.2 Erweiterte Kinematik
Die in MINDLIN und ESHEL (1968) [66] aufgelisteten kinematischen Variablen des
Gradientenkontinuums für die lineare Elastizität kleiner Verformungen werden
hier übernommen:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
88
(3.89)
Es sei an dieser Stelle betont, dass der Rotationsvektor φi ohne weitere Argumen-
tation als makroskopischer Rotationsvektor gewählt wurde. Die dadurch gewollte
Interpretationsmöglichkeit von intrinsischen Drehungen materieller Punkte er-
öffnet so eine Brücke zur Mikropolartheorie, wie in späteren Abschnitten ver-
wiesen wird. Mit den Gleichungen (3.89) lassen sich die sogenannten drei Formen
der spezifischen Formänderungsenergiedichten u in MINDLINs Dehnungsgra-
diententheorie postulieren:
),,()
~
,(),(
IIIIIIDG
ijkijijijkijijkij
uuuu
KKHKHKH
.
(3.90)
In der Literatur werden die erste und zweite Form leicht favorisiert verwendet. Die
arbeitskonjugierten Spannungsmaße der ersten Form werden folgendermaßen ge-
wonnen:
ijk
ijk
ij
ij
uu
K
P
H
V
w
w
w
w
II
und
,
(3.91)
wobei μijk den Hyperspannungs-, oder Spannungstensor höherer Ordnung (engl.:
„hyper stress, or double stress tensor“) für kleine Deformationen darstellt, und
symmetrisch in „ij“ ist (Satz von SCHWARTZ). Für isotrope Materialien (genauer:
isotrope Materialien zweiter Ordnung) ergibt sich die lineare Formän-
derungsenergiedichte weiter zu (vgl. [66]):
.radientenRotationsgdesAnteilsym.
radientRotationsg
ektorRotationsvschermakroskopi
Ordnung2tergradienten
-ngsVerschiebudesAnteilsym.
)(
DehnungderGradient
)(
~
OrdnungzweitertngsgradienVerschiebu
nsorDehnungste
,,
4
1
S
,
2
1
,
2
1
,,,
3
1
,,,
2
1
,
,,
2
1
i
lk
jlkljkilk
ij
jlkijk
l
i
j
kijk
i
kijjkiijkijk
ikjkijjikijk
ijkijk
ijjiij
uu
χ
u
u
uuu
uu
u
uu
K
M
K
H
K
K
H
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
89
.
)(
2
543
21321
I
ijkijkikkijjkjjiik
jjkiikijkijkmmkkijij
ijkijkijij
u
KKEKKEKKE
KKEKKEHHDHHDD
KPHV
(3.92)
Aus Gründen der Symmetrie des Dehnungstensors lassen sich
1
D
und
2
D
zusammenfassen. Aus
)( 21
DD
und
3
D
gehen die LAMÉschen Konstanten hervor
und
51
,,
EE
verbleiben als zusätzliche Materialparameter der DG-Theorie der
linearen Elastizität isotroper Materialien. Da für die in dieser Arbeit geprüften
Werkstoffe keine Daten dieser elastischen Konstanten vorliegen und eine
Messung der fünf zusätzlichen elastischen Konstanten in diesem Rahmen nicht
möglich ist, sollen weitere Vereinfachungsmöglichkeiten in den Material-
gleichungen aufgezeigt werden. Eine direkt anknüpfende Vereinfachung der DG-
Theorie liefert die modifizierte DG-Theorie, welche im nächsten Abschnitt
eingeführt wird.
3.3.3 Modifizierte Dehnungsgradiententheorie (MDG)
Die Anzahl der Komponenten eines Tensors dritter Stufe ist 27. Der Verschie-
bungsgradient zweiter Ordnung hat aufgrund seiner Symmetrie in zwei Indizes 18
unabhängige Komponenten. Eine Vereinfachung der „vollen“ DG-Theorie (z. B.
zu MINDLINs erster Form) wird erreicht, wenn man erstens, wie in Gleichung
(3.89)5 dargestellt, eine Verschiebungsgradientenformulierung für intrinsische
Drehungen wählt und zweitens, das in Gleichung (3.72) erarbeitete Argument der
Symmetrie des Momentenspannungstensors annimmt. Letzteres erlaubt die
Nutzung eines ebenso symmetrischen Dehnungsmaßes für die Rotation, den
symmetrischen Rotationsgradienten χij aus Gleichung (3.89)7. LAM, et al. (2003)
[52] zeigen ausführlich die daraus folgende Reduktion der zusätzlichen Material-
parameter von fünf auf drei, indem der Verschiebungsgradient zweiter Ordnung
ηijk nach folgendem Schema zerlegt wird:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
90
Abbildung 3.9: Schema der Aufspaltung des Verschiebungs-
gradienten zweiter Ordnung in der MDG-Theorie.
S
ijk
K
ist der symmetrische Teil des Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung,
A
ijk
K
der antisymmetrische Anteil.
(1)
ijk
K
ist der Deviator des symmetrischen Teils des
Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung und
(O)
ijk
K
der Kugelteil, der als Gra-
dient der Spur des Dehnungstensors
imm,
H
dargestellt werden kann.
l
i
K
ist der
Rotationsgradient und
S
ij
F
der symmetrische- und
A
ij
F
der antisymmetrische Teil.
Nach FLECK und HUTCHINSON (1997) [35] lässt sich der Rotationsgradient in den
antisymmetrischen Anteil des Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung folgen-
dermaßen überführen:
lijklljikl
ijk
KK
K
3
2
A
.
(3.93)
Damit sind die Funktionsvariablen der Formänderungsenergiedichte der MDG-
Theorie reduziert zu (siehe eingekreiste Tensoren in Abbildung 3.9):
),,,(
S)1(
,
MDGMDG
ijijkimmij
uu
FKHH
(3.94)
und sie kann explizit geschrieben werden als:
.
SS2
2
)1()1(2
1,,
2
0
2
1
S
2
1)1(
2
1
,
2
1
2
1MDG
ijijijkijkinnimmijijjjii
ijijijkijkinnijiij
pu
FFPKKPHHPHHPHOH
FPKPHHV
"""
(3.95)
pi, μijk und μij sind die jeweiligen höheren Spannungsmaße und "0, "1 und "2 die
jeweiligen zusätzlichen Materialparameter, die sogenannten inneren Längen-
parameter des Materials (engl.: „material length scale parameters“). Der Deviator
des symmetrischen Teils des Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung ist in
Verschiebungsschreibweise gegeben als, [52]:
ijk
K
S
ijk
K
A
ijk
K
(1)
ijk
K
(O)
ijk
K
il
K
S
ij
F
A
ij
F
imm,
H
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
91
>@
.)()()( ,,,,,,
15
1
,,,
3
1
)1(
jmmmmjkiimmmmijkkmmmmkij
kijjkiijkijk
uuuuuu
uuu
GGG
K
(3.96)
Die letzte Vereinfachung der Dehnungsgradiententheorie, die hier getroffen
werden soll und ohne weitere Angabe von Gründen in der Literatur vorzufinden
ist, ist die der Gleichsetzung der inneren Längenparameter des Materials
"0="1="2=".
3.3.4 Balkenbiegung mit der MDG-Theorie
Um eine Balkenbiegedifferentialgleichung für die modifizierte Dehnungsgra-
diententheorie herzuleiten, wird der EULER-BERNOULLIsche Verschiebungsfeld-
ansatz aus Gleichung (3.47) zur Auswertungen konventioneller Dehnungen und
Spannungen, und das Prinzip der Variation der Minimierungsfunktion Π (Glei-
chung (3.50)) benutzt. Neu aufgestellt werden muss die innere Energie U
MDG mit
Hilfe der Gleichung (3.95):
³
V
VpU
ijijijkijkinnijiij
d)(
S)1(
,
2
1
MDG
FPKPHHV
.
(3.97)
Der Gradient der Spur des Dehnungstensors
imm,
H
ergibt sich zu:
.)(,0,)(
,)(
,,,
,
,
,
xwxwz
xwz
znnynnxnn
i
i
zzyyxxinn
cc
ccc
cc
HHH
HHHH
(3.98)
Dessen Spannungsmaß pi hat die Komponenten:
)(2,0,)(2 22 xwppxwzp zyx cc
ccc
""
PP
.
(3.99)
Die von null verschiedene Komponente des symmetrischen Rotationsgradienten
und dessen Spannungsmaß ist:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
92
)()(
2
2
1
xwxw
xy
S
xy
cc
cc
"
PPF
.
(3.100
)
Die von null verschiedenen Komponenten des symmetrischen Teils des Ver-
schiebungsgradienten zweiter Ordnung sind, [50]:
2
2
)1(
333
3
3
)1(
331
2
2
)1(
322
3
3
)1(
313
2
2
)1(
311
2
2
)1(
232
2
2
)1(
223
3
3
)1(
221
3
3
)1(
212
3
3
)1(
133
3
3
)1(
122
2
2
)1(
113
3
3
)1(
111
5
1
5
1
15
1
5
115
4
15
1
15
15
1
5
1
5
15
1
15
4
5
2
x
w
x
w
z
x
w
x
w
z
x
w
x
w
x
w
x
w
z
x
w
z
x
w
z
x
w
z
x
w
x
w
z
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
K
KKK
KKK
KKK
KK
K
(3
.
101)
und die entsprechenden höheren Spannungsmaße:
.
5
2
5
2
15
2
5
215
8
15
2
15
25
2
5
2
5
25
2
15
8
5
4
2
2
2
333
3
3
2
331
2
2
2
322
3
3
2
313
2
2
2
311
2
2
2
232
2
2
2
223
3
3
2
221
3
3
2
212
3
3
2
133
3
3
2
122
2
2
2
113
3
3
2
111
x
w
x
w
z
x
w
x
w
z
x
w
x
w
x
w
x
w
z
x
w
z
x
w
z
x
w
z
x
w
x
w
z
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
"
"""
"""
"""
"""
PP
PPPPPP
PPPPPP
PPPPPP
PPPPPP
(3
.
102)
Die Skalarmultiplikationen im Integranden in Gleichung (3.97) führen zu:
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
93
2
2
0
2
2
2
2
2
1
MDG
5
14
,
225
718
,d
5
14
225
718
"
"
"
"
IK
AEIN
xw
K
Iw
N
AEIU
L
P
P
PP
ccc
¸
¹
·
¨
©
§
cc
¸
¹
·
¨
©
§
³
(3
.
103)
und dessen Variation inklusive dreimaliger partieller Integration:
>@
.
d
dd
000
00
0
MDG
00
MDG
LL
IV
L
LL
V
L
VIIV
LL
wwKwKwwwN
wwNwKwxwKwNwU
xwwKxwwSU
ccccc
c
ccc
ccc
cccccc
cccc
³
³³
GGG
GGGG
GGG
(3
.
104)
Der Vergleich der hier postulierten Variation der Arbeit der äußeren Kräfte
,
MDG
A
G
welche aus den Kräften q(x) und V, den Momenten M und höheren Momenten M h
besteht:
LLL
L
wMwMwVxwxqA 0
h
00
0
MDG d)( cc
c
³
GGGGG
,
(3
.
105)
mit der Variation der inneren Energie, bringt folgende Balkenbiegedifferential-
gleichung der MDG-Theorie samt Randbedingungen hervor:
.,0
~
)
~
(
)
~
()
~
(
)
~
()
~
(
],0[,)()()(
h
Lx
MxwK
MxKwxwN
VxwNxKw
LxxqxKwxNw
IV
V
VIIV
°
¿
°
¾
½
ccc
cc
ccc
(3
.
106)
Die Substitutionen N und K sollen entgegen der in der Literatur zu findenden
Herangehensweise in dieser Arbeit ohne Einfluss der Querkontraktion (siehe
Annahmen zum EULER-BERNOULLIschen Verschiebungsfeld, ν=0) und für aus-
schließlich rechteckige Balkenquerschnitte der Höhe H, Breite B und dem
Flächenfägheitsmoment I=BH
3/12 umgeformt werden zu:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
94
2
5
7
225
4308
,1 2
2
"
"
EIKIEN
H
.
(3
.
107)
Die Lösung der homogenisierten Differentialgleichung (q(x)=0) gelingt über die
Substitution
)()()( 1xwKNxwxa cc
und der daraus folgenden allgemeinen
Lösung:
0
26
)(0)(
43
2
2
3
1
AxAx
A
x
A
xaxa
IV
.
(3
.
108)
Die letzte Gleichung stellt wiederum eine Differentialgleichung dar, mit dessen
homogener Lösung (a(x)=0) die allgemeine Lösung der Hauptdifferential-
gleichung (3.106) lautet:
.ee
26
ee)(
6543
2
2
3
1
43
2
2
3
1
65
MDG
xKNxKN
xx
CCCxCxCxC
AxAx
A
x
A
AAxw
K
N
K
N
¸
¹
·
¨
©
§
(3
.
109)
Zur Lösung dieses Ansatzes dienen Randbedingungen, die aus dem speziellen
Lagerungs- und Belastungsfall gewonnen werden. Zu der Anwendung der vier
folgenden klassischen Randbedingungen des einseitig fest eingespannten
Balkens:
FLVLwNLKw
V
ccc
)()()(
,
0)0( EIw
,
0)0(
c
wEI
und
0)()()(
cc LMLKwLwN IV
, kommen zwei weitere hinzu, da sechs Konstanten
zu bestimmen sind. Eine der zwei weiteren Randbedingungen betrifft die
Momentenfreiheit der höheren Momente an der Stelle x=L:
.0)()(
h
ccc LMLwK
Für das Aufstellen der letzten Randbedingung bleibt nach KONG, et al. (2009) [50]
die Wahl zwischen der Momentenfreiheit der klassischen (RB1)- oder der höheren
Momente (RB2) an der Stelle x=0:
.0)0()0(:2RB
0)0()0(:1RB
klass
h
cc
ccc
MwEI
MwK
(3
.
110)
Die Konstanten lauten für die Wahl der Randbedingung RB1:
3.3 Grundzüge der Dehnungsgradiententheorie (DG)
95
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
N
-K
FC
N
-K
FC
N
FC
N
L
FC
N
K
FC
N
K
FC
ee
e1
,
ee
e1
,
6
1
,
2
,,
ee
2ee
2
5
2
3
2
5
2
3
2
5
2
3
65
43
2
21
(3
.
111)
und für die Wahl von RB2:
.
ee
e
,
ee
e
,
6
1
,
2
,
ee
2ee
,
2
5
2
5
2
1
65
43
2
2
2
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
N
N
NLKK
FC
N
NLKK
FC
N
FC
N
L
FC
N
KNLNLK
F
C
N
KL
FC
(3
.
112)
Bei dieser komplex anmutenden Lösung sei erinnert, dass N und K vom inneren
Längenparameter des Materials abhängen, was letztendlich zum Größeneffekt
führt. Die Auswirkungen auf den Unterschied beider höherer Randbedingungen
auf die zur klassischen Theorie normierte Durchbiegung ist in Abbildung 3.10
dargestellt und beträgt maximal vier Prozent.
Abbildung 3.10: Normierte Durchbiegungen über zur Balkenhöhe H
normierte innere Längenparameter der MDG-Theorie.
0 5 10
6
0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003
l_0,1,2 in m
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fuaBEetreimrongnugeibhcruD
H
"
0 1
1
0
klass
MDG
w
w
RB1
RB2
3 Analytische Größeneffektmodellierung
96
Es ist zu erkennen, dass bei verschwindendem inneren Längenparameter die
MDG-Theorie in die klassische
)1/(
klassMDG
ww
übergeht und die Auswirkungen
der Wahl der Randbedingungen auf die Durchbiegung nicht stark ausgeprägt ist.
Insgesamt ist durch Formel (3.109)2 in Kombination mit (3.111) oder (3.112) die
Biegelinie bestimmt und kann zur Auswertung in Abschnitt 5.1 genutzt werden.
3.4 Die Momentenspannungstheorie als Sonderfall (MS)
Wie schon im Vorfeld angeklungen ist, eröffnet die Nutzung des Rotationsvektors
makroskopischer Rotationen die Überlagerung der Mikropolar- und der
Dehnungsgradiententheorie. Die MS-Theorie stellt damit einen Sonderfall beider
Theorien dar. Aus Sicht der DG-Theorie gelangt man zur MS-Theorie durch
Postulieren einer Formänderungsenergiedichte uMS, die zusätzlich zum Dehnungs-
tensor vom Rotationsgradiententensor abhängt und der Annahme, dass letzterer
symmetrisch sei (wie durch Gleichung (3.72) motiviert):
SMSMS
,
ijij
uu
FH
.
(3
.
113)
Dies würde die Verwendung der Annahme von Materialien zweiter Ordnung
inkludieren. Aus Sicht der MP-Theorie wiederum gelangt man zur MS-Theorie
durch Gleichsetzen des Mikro- mit dem Makrorotationsvektor,
ii
IM
, obgleich
die MP-Theorie auf der Annahme von Materialien erster Ordnung (einfache
Materialien) beruht. Die konstitutiven Gleichungen der linearen isotropen
Elastizität mikropolarer Materialien (COSSERAT-Kontinuum), Gleichung (3.80),
ergeben dann sofort:
.2
,2
S2
ijij
ijijkkij
µ
µ
FP
HGOHV
"
(3
.
114)
Die Kopplungszahl κ verschwindet und die Materialkonstante γ1 fällt aufgrund der
Spurfreiheit von
S
ij
F
heraus
.)0( S
kk
F
γ2 und γ3 lassen sich aufgrund der
Symmetrie von
ij
P
zusammenfassen zu dem Ausdruck 2µ"2. Der Kraft-
spannungstensor stellt sich in Gleichung (3.114)1 als symmetrisch dar, was im
anschließenden Abschnitt durch das Auswerten der Gesamtenergiebilanz gezeigt
werden kann. Die MS-Theorie als Konstrukt ist in der Literatur bekannt als
3.4 Die Momentenspannungstheorie als Sonderfall (MS)
97
Momentenspannungstheorie (engl.: „couple stress theory“), Pseudo-COSSERAT
Kontinuum oder „indeterminate COSSERAT model“ und stellt die am weitesten
vereinfachte Erweiterung des CAUCHY-Kontinuums dar.
3.4.1 Bilanzen in der MS-Theorie
Die Massen- und Impulsbilanz bleiben auch in der Momentenspannungstheorie
unberührt. In der Spinbilanz fällt der nicht-symmetrische Teil des Kraftspannungs-
tensors gegenüber der Mikropolartheorie weg, da durch Betrachtungen der
Gesamtenergiebilanz gezeigt werden kann, dass lediglich der symmetrische Teil
des Kraftspannungstensors in die Änderung der Gesamtenergie einfließt. Die
Spinbilanz lautet somit verkürzt:
.0
undd)(d
,
,
³³
kllkk
kllkk
ls
VlVs
UPU
UPU
VV
(3
.
115)
Die Drehimpulsbilanz ergibt global und lokal:
>@>@
.
0
Spinbilanz0nzImpulsbila
d)(dd
d
d
,
,
,
il
li
i
il
li
ik
llk
kjijk
ikjijkikjijk
M
ikjijk
ls
lsfx
VlfxAmtxmsx
t
UPU
UPUU
V
XU
UX
³³³ w
VV
(3
.
116)
Die Bilanz der Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer (Ekin)- und innerer
Energie (U), wobei sich die kinetische Energie in rotatorische- und translatorische
Anteile spaltet, lautet global:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
98
.
stermVersorgung
d
Flussterm
d)(d
d
d
d
d
2
1
2
1
kin
Vlxf
Amxtmus
t
UE
t
V
kkkk
kk
V
kk
M
iiii
³
³³
w
MUU
MMXX
(3
.
117)
In den folgenden Ausführungen soll gezeigt werden, dass durch die Verwendung
des makroskopischen Rotationsvektors φi nach Gleichung (3.89)5 der nicht-
symmetrische Anteil des Kraftspannungstensors
kj
V
nicht zur Änderung der
Gesamtenergie beiträgt. Nach der Anwendung des GAUSSschen Satzes zur
Umwandlung von Oberflächen- zu Volumenintegralen lautet die Gesamtenergie-
bilanz unter der Miteinbeziehung des nicht-symmetrischen Kraftspannungstensors
in lokaler Form:
(3
.
118)
Durch das Überführen der letzten Gleichung in die differentielle Schreibweise und
dem Ersetzen von dxi mit dui (kinematische Bedingung), folgt:
lklkkopkoplklk µuu ,, dddd
MMVVU
.
(3
.
119)
Durch Einsetzen des differentiellen Rotationsvektors
j
k
ijk
iu,
2
1d
d
M
und Auf-
spaltung des Kraftspannungstensors in seinen symmetrischen- und anti-
symmetrischen Teil
AS
ijijij
VVV
, wobei
ijij
VV
{
S
, ergibt sich:
.
MPausSpinbilanz
0nzImpulsbila
,,
,,,,
lklkkopkoplklk
lklk
k
kllkkklklkkllkkk
µxu
µlµsxfu
e
MMVVU
MUUMVUVXUXU
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
3.4 Die Momentenspannungstheorie als Sonderfall (MS)
99
.ddd
dddd
,
,
,,
A
2
1
,
AS
lk
lk
ij
ij
lklkji
ij
opkopkijijijij
µuu
µuuu
MVU
M
V
VVVU
(3
.
120)
Durch Ausmultiplizieren aller Indizes ist nachvollziehbar, dass:
opkopkijij
VV
2
1
A
.
(3
.
121)
Dadurch ist in Gleichung (3.120) gezeigt, dass ein antisymmetrischer Teil des
Kraftspannungstensors nicht zur Änderung der Gesamtenergie beiträgt. Die
Symmetrie des Momentenspannungstensors kann analog zur Herleitung der
Symmetrie in der MP-Theorie, Gleichung (3.72), hergeleitet werden. Aufgrund
der Symmetrie der Spannungsmaße
ij
V
und
ij
P
können wie im Anhang A1
gezeigt, für den Verschiebungs- und den Rotationsgradienten ebenfalls
symmetrische Tensoren (εij und
S
ij
F
) genutzt werden. Nach rückführender
Integration der Differentialschreibweise vom Anfang (A) bis zum Ende (E) eines
Prozesses, lautet die Änderung der inneren Energie eines linear elastischen
mikropolaren Körpers in der Momentenspannungstheorie:
.
~
d
~
d
ddd
S
2
1
2
1
MS
~
0
~
S
~
0
~
AE
S
SS
S
kl
klklkl
klklklkl
klklklkl
µu
µuu
µu
klkl
kl
klkl
kl
FHV
FHVU
FHVU
FF
F
HH
H
³³
(3
.
122)
3 Analytische Größeneffektmodellierung
100
3.4.2 Balkenbiegung mit der MS-Theorie
Um die Balkenbiegedifferentialgleichung in der Momentenspannungstheorie
herzuleiten, wird der EULER-BERNOULLIsche Verschiebungsfeldansatz aus
Gleichung (3.47) zur Auswertung bezüglich konventioneller Spannungen und
Dehnungen, und das Prinzip der Variation der Minimierungsfunktion Π
(Gleichung (3.50)) benutzt. Neu aufgestellt werden muss die innere Energie U
MS
mit Hilfe der Gleichung (3.122):
³
V
kl
klklkl
V
µ
Ud)(
S
2
1
SM
FHV
.
(3
.
123)
Die von null verschiedenen Komponenten des symmetrischen Rotations-
gradienten und dessen Spannungsmaß sind identisch zu den Ausführungen in
Gleichung (3.100). Es ergibt sich für die innere Energie:
,d)(
d)(
d)(
0
2
2
2
1
2
22
2
1
SS
2
1
SM
³
³
³
cc
cc
L
V
V
x
y
x
yxyxy
xx
xx
xwAIE
VwzE
V
µµ
U
"
"
P
P
FFHV
(3
.
124)
und dessen Variation mit vierfach partieller Integration:
,)()(d)(
d)()(
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
1
SM
LL
L
IV
L
wwAIEwwAIExwwAIE
xwAIEU
ccc
ccc
cc
³
³
GPGPGP
GPG
"""
"
(3
.
125)
wobei I=Iyy ist. Der direkte Vergleich zur Variation der Arbeit Kklass der äußeren
Kräfte F, q(x) und Momente M, Gleichung (3.53), bringt die folgende Differential-
gleichung:
3.4 Die Momentenspannungstheorie als Sonderfall (MS)
101
Lxx
MxwµAEI
QxwµAEI
LxxqxwµAEI
IV
°
¿
°
¾
½
cc
ccc
~
oder0
~
)
~
(
)
~
(
],0[,)()(
2
2
2
"
"
"
(3
.
126)
samt ihrer Randbedingungen hervor. Im vorliegenden Fall soll es keine Linienlast
q(x) und keine äußeren Momente M geben. Dann erhält man durch vierfache
Integration der Differenzialgleichung (3.126)1 das unbestimmte Polynom:
.
26
)(
43
2
2
3
1
2
CxC
x
C
x
CxwµAEI "
(3
.
127)
Die Integrationskonstanten C1, C2, C3 und C4 werden über die vier Randbe-
dingungen:
FLw
ccc )(
,
0)0( w
,
0)0(
c
w
und
0)(
cc Lw
bestimmbar, womit
die Biegelinie w(x) für den Fall des einseitig fest eingespannten EULER-
BERNOULLI Trägers in der MS-Theorie lautet:
»
¼
º
«
¬
ª
62)(
)(
32
2
MS
xLx
µAEI
F
xw "
.
(3
.
128)
Die Kraftkonstante (oder Federkonstante) eines Balkens kann aus dem Verhältnis
aus einer aufgebrachten Einzellast zu der daraus resultierenden Durchbiegung an
der Stelle der Kraftaufbringung errechnet werden:
)(Lw
F
D
L
.
(3
.
129)
Vergleicht man die Kraftkonstante eines EULER-BERNOULLI Balkens aus der
klassischen Theorie D0=F/wklass, mit wklass aus Gleichung (3.56), mit der aus der
Momentenspannungstheorie DMS=F/wMS, so zeigt sich:
EI
µAEI
D
D
L
L
3
3
3
2
3
0
MS
)( "
.
(3
.
130)
Die LAMÉsche Konstante µ kann mit Hilfe von Gleichung (3.45) unter Ver-
wendung der Querkontraktionszahl ν und des E-Moduls umgeschrieben werden.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
102
In der Literatur führen einige Autoren an dieser Stelle die Querkontraktionszahl
wieder ein, obwohl in der Herleitung, durch die Anwendung des EULER-
BERNOULLIschen Verschiebungsfeldes, diese bereits zu null gesetzt wurde. In
dieser Arbeit soll ν weiterhin, gemäß der getroffenen Annahmen, unbeachtet
bleiben, wodurch µ=E/2 wird. Geht man des Weiteren von einem rechteckigen
Balkenquerschnitt und dem sich daraus ergebenden Flächenträgheitsmoment
I=AH 2/12 aus, wobei H die Höhe des Balkens bezeichnet, ergibt sich das
Verhältnis der Biegewiderstände zu:
2
2
0
MS
61 H
D
D"
.
(3
.
131)
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF)
Die Oberfläche eines Festkörpers zeigt typischerweise Eigenschaften, die von
denen des Volumens abweichen können. Diese Unterschiede werden etwa durch
Oberflächenoxidation, Alterung, Beschichtung, Atom- und Molekülumlagerung
und letztendlich dem Abschluss der Atom- und Molekülbindungen (siehe
Abbildung 3.11) in vergleichsweise dünnen Grenzschichten hervorgerufen.
Abbildung 3.11: Der Abschluss der Molekülbindungen mit resul-
tierenden intermolekularen Kräften (rote Pfeile)
als Ursache von Molekülumlagerungen.
Es gibt zwei Hauptansätze, um die Eigenschaften von Oberflächen und Grenz-
flächen zu untersuchen:
Oberflächengrenzschicht
Volumen
Oberflächengrenzschicht
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF)
103
x die (geometrische) GIBBS-Methode, in der eine Oberflächenlage mit
der Dicke von null eingeführt wird, um zusätzliche Größen des
Oberflächenmaterials zu erfassen, und
x die Schicht-Methode, bei der eine Oberflächenlage mit endlicher
Dicke eingeführt wird.
Der GIBBSschen Thermodynamik folgend, wurden viele Beschreibungen der
Oberflächengrößen vorgestellt, z. B. von SHUTTLEWORTH (1950) [91] und
OROWAN (1970) [75]. Die etablierte kontinuumsmechanische Beschreibung eines
Oberflächenspannungstensors ist auf GURTIN & MURDOCH (1975) [44] zurückzu-
führen und wird in aktuellen Arbeiten, wie MILLER & SHENOY (2000) [63], JAVILI
et al. (2013) [46], WANG et al. (2010) [108] oder RU (2010) [84] besprochen. Darin
ist ausgehend vom kinematischen Modell materieller Oberflächen eine lineare
Elastizitätstheorie inklusive Eigenspannungen (das sog. GURTIN-MURDOCH Mo-
dell) vorgestellt, welches in dieser Arbeit Anwendung auf die einfache Balken-
biegung finden soll. Dabei behalten alle klassischen Gleichungen und konstitu-
tiven Beziehungen der linearen Elastizität innerhalb des Vollmaterials ihre
Gültigkeit. Nach einer kurzen Einführung zur Koordinatentransformation auf
Oberflächenkoordinaten und weiterer wichtiger Größen der Oberflächen-
elastizität, wird in dieser Arbeit ein simplifiziertes, von der EULER-BERNOULLI
Theorie ausgehendes Beispiel gerechnet.
3.5.1 Wichtige Größen der OF-Theorie
Ausgehend vom allgemeinsten Fall einer beliebig gekrümmten, glatten und
parametrisierten Fläche seien die Flächenkoordinaten z1 und z2 sowie der Begriff
der ko- und kontravarianten Komponentendarstellung eingeführt (siehe
Abbildung 3.12). Dazu werden kartesische Komponenten (aus dem x-System)
eines Vektors zum Punkt A mit „(x)“, und Komponenten aus dem z-System mit
dem Zusatz „(z)“ versehen. Als kovariant werden in der beispielhaften Abbildung
3.12 solche Komponenten bezeichnet, die in einem rechten Winkel zu den Achsen
des z-Systems gemessen werden. Im Gegensatz dazu werden in diesem Beispiel
kontravariante Komponenten an einer Parallelkonstruktion des z-Systems gemes-
sen.
3 Analytische Größeneffektmodellierung
104
Abbildung 3.12: Zweidimensionales Beispiel ko- und kontravarianter
Vektorkomponenten.
Die Komponenten des Vektors
i
x
A
)(
lassen sich in die ko- und kontravarianten
Komponenten bzgl. der krummlinigen Basis z durch Differentiation der Koor-
dinaten umrechnen, [69]:
k
x
k
i
i
z
k
x
i
k
i
zA
x
z
AA
z
x
A)()()()( .bzw,w
w
w
w
.
(3
.
132)
Bei Ortsableitungen von Vektorfeldern muss zudem folgender Zusammenhang
genutzt werden, [69]:
nk
s
s
l
l
kn
n
z
l
kn
k
l
z
l
k
z
zz
x
x
z
ΓAΓ
z
A
Aww
w
w
w
w
w
2
)(
)(
;
)(
mit,
.
(3
.
133)
Man nennt Letzteres die kovariante Ableitung der kontravarianten Komponenten
von Ai, mit Γ als Christoffelsymbol. Die Ortsableitung gemischter Tensoren
gelingt wie folgt:
n
r
z
r
pl
r
p
z
n
lr
l
n
p
z
n
lp
zBΓBΓ
z
B
B)()(
)(
;
)(
w
w
.
(3
.
134)
Diese Darstellungs- und Ableitungsregeln sind in der allgemeinen Oberflächen-
elastizität zu verwenden und zu beachten.
1
)(x
A
A
x-System z-System
x-System
z-System
2
)(x
A
1
)(z
A
2
)(z
A
1
)(z
A
2
)(z
A
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF)
105
Wichtige Oberflächengrößen werden im Folgenden mit „s“ (engl.: „surface“)
gekennzeichnet und vektorielle als auch tensorielle Größen aufgrund der Zwei-
dimensionalität der Oberfläche mit den Indizes α,β,γ,δ=1,2 behaftet. Der zu einem
materiellen Oberflächenpunkt führende Ortsvektor x, die Tangentialvektoren sα
sowie die Flächennormale n, welche senkrecht zu beiden Tangentialvektoren
steht, werden im kartesischen Inertialsystem ei (x-System) beschrieben (siehe
Abbildung 3.13).
Abbildung 3.13: Kartesisches Inertialsystem und krummlinige
Flächenkoordinaten.
Die unnormierten Tangentialvektoren sowie die Oberflächenidentität ergeben sich
aus:
E
D
D
E
D
D
G
sse
z
x
s
i
i
w
w
sowie,
.
(3
.
135)
Die Komponenten des Krümmungstensors καβ der Oberfläche sind dabei definiert
als (vgl. FLÜGGE, 1972, ff. 131, [36]):
iii
inxn
zz
x
DE
ED
DE
N
,
2
ww
w
.
(3
.
136)
Ein CAUCHYscher Oberflächenspannungstensor ταβ kann mit Hilfe der Idee einer
freien GIBBSschen Oberflächenenergie beschrieben werden als [105]:
3 Analytische Größeneffektmodellierung
106
w
w
DE
J
G
D
E
D
E
H
HV
GVW
S
S
)(
,
(3
.
137)
wobei
S
DE
H
der Oberflächendehnungstensor,
DE
G
die Oberflächenidentität und σ
die Oberflächenenergiedichte ist. Der Oberflächendehnungstensor für kleine
Oberflächendeformationen kann angegeben werden als (vgl. FLÜGGE, 1972, [36]):
ED
DE
E
D
H
S
;
S
;
2
1
Suu
.
(3
.
138)
Verhält sich die Oberfläche elastisch isotrop, so lässt sich ταβ darstellen als:
E
DD
E
J
J
D
E
D
E
HGHOGJW
SSSS
0
2µ
,
(3
.
139)
worin γ0 die Eigenspannungen, λS und μS die LAMÉschen Konstanten der
Oberfläche und
JJ
H
S
die Spur des Oberflächendehnungstensors in ko- und
kontravarianter Schreibweise darstellen. Eine Formänderungsenergie(-dichte)
der materiellen Oberfläche von linear elastischen einfachen Materialien
DE
DE
DE
HWHJ
S
2
1
S
0
Surf
),(u
ist dann gegeben durch:
DE
DE
GG
J
J
HHHHOJ
w
³
SSSSSS
0
2
1
SurfSurfSurf )(,d µuAuU
B
.
(3
.
140)
Der Gebrauch krummliniger Koordinaten und der damit zusammenhängenden ko-
und kontravarianten Schreibweise vektorieller und tensorieller Größen vereinfacht
sich enorm bei der Beschreibung ebener Flächen, auf denen die Flächen-
koordinaten sα stets rechtwinkelig zueinander stehen.
3.5.2 Balkenbiegung mit der OF-Theorie
Im Folgenden wird ein schlanker EULER-BERNOULLI-Balken mit rechteckigem
Querschnitt und nicht gekrümmten, ebenen Oberflächen (siehe Abbildung 3.14),
mit Hilfe der erweiterten Gleichungen der Oberflächentheorie analytisch unter-
sucht. Folgende Annahmen werden zusätzlich zu den bestehenden des klassischen
EULER-BERNOULLI Balkens getroffen:
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF)
107
x stückweise glatte Oberflächen,
x ebene Oberflächen,
x orthogonale Tangentialvektoren sα,
x keine Eigenspannungen
)0(
0
J
,
x keine Querkontraktionskopplung auf der Oberfläche (νS=0).
Durch die Ebenheit der Oberflächen entsprechen sich ko- und kontravariante
Komponenten, z. B. des Oberflächendehnungstensors:
DE
DE
HH
SS
,
(3
.
141)
und der Krümmungstensor verschwindet
)0(
DE
N
. Der Oberflächendehnungs-
tensor ergibt sich in diesem Fall zu:
S
,
S
,
2
1
S
),(
S
DEEDEDDE
H
uuu
.
(3
.
142)
Wegen der fehlenden Querkontraktionskopplung verschwindet zudem die
LAMÉsche Konstante λS der Oberfläche und aufgrund der Eigenspannungsfreiheit
)0(
0
J
reduziert sich die Formänderungsenergiedichte der Oberflächen ins-
gesamt zu:
DEDE
HH
SSSSurf µu
,
(3
.
143)
wobei µS=ES/2. ES ist der Oberflächenelastizitätsmodul.
Abbildung 3.14: Kartesisches Koordinatenystem und Oberflächen-
numerierung am EULER-BERNOULLI Balken.
x
y
z
1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
*
L
H
3 Analytische Größeneffektmodellierung
108
Zu dem dreidimensionalen Verschiebungsfeld
xwzu
x
d/d
, uy=0 und uz=w(x)
kommen die sich daraus ergebenden Verschiebungsfelder der jeweiligen Ober-
flächen hinzu:
.)(,
d
)(d
,)(,
d
)(d
,)(,0
,0,
d
)(d
2
,)(,0
,0,
d
)(d
2
66
55
44
33
22
11
SS
SS
SS
SS
SS
SS
xwu
x
xw
zu
xwu
x
xw
zu
xwuu
u
x
xwH
u
xwuu
u
x
xwH
u
zx
zx
zy
yx
zy
yx
**
**
**
**
**
**
(3
.
144)
Die von null verschiedenen Komponenten der jeweiligen Oberflächendehnungs-
tensoren (pro Fläche) lauten:
.,
,,
65
31
SS
2
S
2
S
wzwz
ww
xxxx
H
xx
H
xx
cc
cc
cc
cc
*
*
**
HH
HH
(3
.
145)
Die Dehnungstensorkomponenten des Vollmaterials ergeben sich in Analogie zu
denen aus Gleichung (3.48). Die gesamte Formänderungsenergie dieses Balken-
modells UOF besteht aus der Superposition von USurf aus Gleichung (3.144) und
UKlass aus Gleichung (3.51):
3.5 Grundzüge der Oberflächentheorie (OF)
109
,d
dddd
ddddddd
dd
b
2
1
SS
S
2
1
SS
S
2
1
SS
S
2
1
SS
S
2
1
KlassSurfSurfSurfSurfSurfSurf
KlassSurfKlassSurfFO
1 653
465321
VE
A
E
A
E
A
E
A
E
VuAuAuAuAuAuAu
VuAuUUU
xxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
³
³³³³
³³³³³³³
³³
****
******
w
B
B
BB
HH
HHHHHHHH
(3
.
146)
worin Eb den E-Modul des Vollmaterials bezeichnet (engl.: b=„bulk“). Multi-
pliziert man in der letzten Gleichung die Dehnungen aus und führt die Integra-
tionen über die jeweiligen Gebiete durch, so erhält man:
,d)(
2
d
)(
d
d)(
4
ddddd
dddd
8
dd
8
0
2
b
0
2
FO
2
0
S
2
2S
22
b
2
1
22
S
2
1
22
S
2
1
2
2S
2
2S
FO
2
2
6
153
x
xw
IE
x
xw
I
zzE
xxw
B
HE
zyx
wz
Exz
wz
E
xz
wz
E
xyw
HE
xyw
HE
U
L
x
yy
L
x
z
z
L
x
H
H³³³³
³³
³³³
*
***
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
B
(3
.
147)
mit IOF als Umfangsträgheitsmoment der Oberflächentheorie (engl.: „perimeter
moment of inertia“; ähnlich dem Flächenträgheitsmoment Iyy). Im vorliegenden
Fall integriert sich IOF zu H
3/12 und Iyy zu BH
3/12. Die Variation von Gleichung
(3.147) ergibt:
.d
1262
d)(
2124
0
3
b
3
S
2
S
0
2
b
3
S2S
FO
x
ww
BH
E
H
E
BH
E
x
w
IE
H
E
B
HE
U
L
x
L
x
yy
³
³
cccc
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
cc
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
G
GG
(3
.
148)
Da das Integral in Gleichung (3.148) dem in Gleichung (3.52) entspricht, kann die
Biegedifferentialgleichung der vorliegenden Oberflächentheorie mit Hilfe der
3 Analytische Größeneffektmodellierung
110
Lösung aus der klassischen Theorie angeben werden, indem man lediglich die
Konstante vor dem Integral ersetzt:
.
~
oder0
~
)
~
(
1262
)
~
(
1262
],0[,)()(
1262
3
b
3
S
2
S
3
b
3
S
2
S
3
b
3
S
2
S
Lxx
Mxw
BH
E
H
E
BH
E
Qxw
BH
E
H
E
BH
E
Lxxqxw
BH
E
H
E
BH
EIV
°
°
¿
°
°
¾
½
cc
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ccc
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
(3
.
149)
Da die gleichen Einspannungs- und Belastungsbedingungen wie bei der
klassischen Lösung angewendet werden sollen, ergibt sich die Lösung der Biege-
differentialgleichung ebenso durch den Austausch der Integralkonstante zu:
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
26
1262
)(
23
3
b
3
S
2
S
OF
Lxx
BH
E
H
E
BH
E
F
xw
.
(3
.
150)
Ein direkter Vergleich der Integralkonstanten resultiert in dem größenabhängigen
E-Modul:
,
26
126212
S
b
3
b
3
S
2
S
3
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
BH
E
EE
BH
E
H
E
BH
E
BH
E
(3
.
151)
was identisch der von MILLER & SHENOY (2000) [63] und WANG et al. (2010)
[108] gezeigten Lösung ist. Im Grenzfall eines verschwindenden Oberflächen-
einflusses (ES=0) geht die OF-Theorie in die klassische Theorie über. Ein
positiver, als auch negativer Größeneffekt kann modelliert werden, wenn, wie der
angegebenen Arbeit [63] zu entnehmen ist, der Oberflächenelastizitätsmodul ES
sowohl positive als auch negative Werte annehmen darf. Der physikalische
Widerspruch negativer E-Moduln sollte allerdings im jeweiligen Anwendungsfall
beachtet werden.
111
4 Numerische Größeneffektmodellierung
Das allgemeine Ziel numerischer Untersuchungen ist es, quantitative Größen (wie
Kräfte, Verformungen, Spannungs- und Dehnungstensorkomponenten) für
beliebig geformte, dreidimensionale Bauteile unter vielseitig vorgegebener
Belastung zu berechnen, ohne vorherige Annahmen eines Verschiebungsfeldes
(z. B. dem EULER-BERNOULLIschen Verschiebungsfeld) zu treffen. In der
numerischen Analyse, speziell des Größeneffekts, können vom Prinzip her alle in
dieser Arbeit aufgeführten erweiterten Theorien umgesetzt werden. Zu diesem
Zweck soll die Methode der finiten Elemente (FEM) genutzt werden. Sie ist ein
weit verbreitetes Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen auf
einem Grundgebiet, welches in beliebig viele Elemente geteilt (diskretisiert) wird.
Die analytische Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion. Beim
numerischen Lösungsverfahren soll die gesuchte Funktion in einem vorgegebenen
Intervall bestmöglich angenähert werden. Das Grundprinzip der FEM ist dabei,
die Differentialgleichung zusammen mit den Anfangs-, Rand- und Übergangs-
bedingungen auf jedem Element des Grundgebietes mit Hilfe geeigneter
Ansatzfunktionen zu lösen, wobei deren Funktionsparameter an den Diskre-
tisierungsstellen (Knoten) bestimmt werden. Aus diesen Parametern lassen sich
im sog. Post-Processing die angenäherte Lösungsfunktion (z. B. die Funktion der
Verschiebung) sowie aus ihr abgeleitete Größen (z. B. Dehnungs- und Spannungs-
tensorkomponenten) berechnen. Die folgenden Schritte sind bei der FEM zu
beachten:
x das Herleiten der Variationsformulierung der zu
lösenden Differentialgleichung,
x das Erstellen der Geometrie, der Randbedingungen und
der Diskretisierung (Unterteilung des Rechengebietes),
x das Aufstellen und Lösen des zugehörigen linearen
Gleichungssystems,
x das Auswerten des gefundenen Parametersatzes der
Ansatzfunktionen (Berechnung und Visualisierung
gesuchter Größen).
4 Numerische Größeneffektmodellierung
112
Dieses Verfahren ist für große Systeme (mit vielen Freiheitsgraden) programmier-
technisch sehr komplex und für verschiedene Problemstellungen im Umkreis der
Thermodynamik in Form kommerzieller Software verfügbar (ABAQUS©,
ANSYS©, usw.). Zur Berechnung von Problemen auf der Grundlage erweiterter
Kontinuumstheorien kann derzeit ausschließlich auf akademisch/wissen-
schaftliche Software zurückgegriffen werden, die es erlaubt, die Variations-
formulierung und Materialgesetze der entsprechenden Theorie zu berücksichtigen.
Viele Arbeiten, wie etwa die von AMANTIDOU & ARAVAS 2002 [3], GAO & PARK
2007 [39], SOH & WANJI (2004) [95], SHU et al. (1999) [90], ODEN et al. (1970)
[74], WEI (2006) [109] oder ENGEL et al. (2002) [27] nutzen eine der drei Formen
von MINDLIN’s Dehnungsgradiententheorie zur Definition geeigneter Elementen-
formulierungen. Im folgenden Abschnitt soll die Anwendung der numerischen
Methode der finiten Elemente auf die Momentenspannungstheorie bezogen und
mittels des open-source Software Packets FEniCS© (siehe LOGG et al., 2012 [55])
implementiert werden.
4.1 FE-Variationsformulierung der
Momentenspannungstheorie
Zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung (DGL) auf einem Grund-
gebiet nutzt man ihre sog. schwache Formulierung, mit der die Ableitungsordnung
der DGL um eins gesenkt werden kann. Die Impulsbilanz und die unabhängige
Drehimpulsbilanz der MS-Theorie, Gleichungen (3.26) und (3.116), lauten ohne
Einflüsse von Volumenkräften fi und -momenten li für den statischen Fall
)0/)(( ww t
:
³³
VV
0dund0d
,,
VV
jjijji
PV
,
(4.1)
bei dem beide Spannungsmaße symmetrisch sind. Die Zielfunktion in diesem Satz
von Differentialgleichungen ist das Verschiebungsfeld ui, welches in den
Materialgleichungen der angegebenen Spannungsmaße vorkommt und mit
entsprechenden Materialparametern gewichtet wird. Die Materialgleichungen der
linearen Elastizität in der MS-Theorie lauten:
4.1 FE-Variationsformulierung der Momentenspannungstheorie
113
S2
2und2
ijijijijkkij
µµ
FPHGOHV
"
,
(4.2)
worin
ij
H
und
S
ij
F
jeweils den symmetrischen Verschiebunsgradienten und den
symmetrischen Rotationsgradienten (siehe Gleichung (3.89)7) kleiner Ver-
formungen darstellen. In Verschiebungsschreibweise lauten die letzten beiden
Gleichungen wie folgt:
kiljlkljkilk
ijjiijkkij uu
µuµu ,,
2
2
1
),(, und2
"
PGOV
.
(4.3)
Die höchste Ordnung der angegebenen Differentialgleichung (4.1)2 bezüglich der
Zielfunktion ui beträgt drei, was durch Einsetzen der Materialgleichungen in
Verschiebungsschreibweise leicht zu sehen ist:
³
³
VV
.0
d
und0d)2(
,,
2
2
1
,
),(,
V
uu
µVuµu
j
kiljlkljjkilk
j
jiij
kj
k
"
GO
(4.4)
Die schwache Formulierung dieser DGL wird durch Heranmultiplizieren
jeweiliger Verschiebungs- bzw. Rotationsfelder herbeigeführt:
³³
VV
0dund0d
,,
VVu
ijijijij
GMPGV
.
(4.5)
Wegen der Beliebigkeit und Unabhängigkeit der sog. Testfunktionen
i
u
G
und
i
GM
ändert sich die in den Gleichungen (4.5) enthaltene Information nicht durch eine
Summation dieser:
³³
VV
0dd
,
,
VVu
ijjii
jji
GMPGV
.
(4.6)
Die Anwendung der partiellen Integration:
4 Numerische Größeneffektmodellierung
114
³³³
³³³
VVV
VVV
VVV
VuVuVu
jijijijiijji
jijijijiijji
dd)(d
,dd)(d
,,,
,,,
GMPGMPGMP
GVGVGV
(4.7)
und des GAUSSschen Integralsatzes zur Umwandlung von Volumen- in Ober-
flächenintegrale in seiner verallgemeinerten Form inklusive Sprungtermen, [69]:
>>@@
>>@@
³³³
³³³
w
w
e
e
,dd)(d)(
,dd)(d)(
e,
e,
A
jijijijijiji
A
jijijijijiji
AnVnV
AnuAnuVu
MGPGMPGMP
GVGVGV
VV
VV
(4.8)
auf die Gleichung (4.6) ergibt:
>>@@
>>@@
.
ddd)(
ddd)(0
dd)(dd)(0
,e
,e
,,,,
e
e
³³³
³³³
³³³³
w
w
V
V
VV
VVVV
VA
n
µ
Vn
VuAnuAnu
VVVuVu
ji
ji
A
jiji
ji
ji
jiji
A
jijijiji
jijijijijijijiji
GMP
M
G
GMP
GVGVGV
GMPGMPGVGV
(4.9)
Ae bezeichnet hierbei singuläre Flächen, die sich durch das Volumen V ziehen und
sich durch die Elementierung ergeben (engl.: e=„element“). nj ist in diesem
Kontext die Flächennormale von Ae. Die Sprungterme:
>@>@
>@>@
rkrkkrkrkrk
rkrkkrkrkrk
nµµnµ
nuunu
MMM
VVV
δδδ
undδδδ
(4.10)
sorgen dabei im Wesentlichen für die Kontinuität der jeweiligen Testfunktion. Da
bei der späteren Implementierung in FEniCS© vorgefertigt sog. CG-Elemente
(engl.: „continuous LAGRANGE“-Elemente) genutzt werden, zwischen denen die
Zielfunktion ui als kontinuierlich definiert ist, führt die Sprungbedingung (4.10)1
4.2 3D-Implementierung der MS-Theorie im FEniCS-Projekt
115
zu numerischen Problemen, da sie per Elementendefinition bereits erfüllt ist. Die
Sprungbedingung des Verschiebungsfeldes wird daher an dieser Stelle nicht
implementiert. Im Weiteren wird
j
ji
n
V
mit dem Kraftspannungsvektor ti ersetzt.
Der Momentenspannungsvektor mi wird aufgrund ungeklärter Applizierbarkeit in
der Realität zu null gesetzt, μjinj=mi=0. Ferner wird die Variation des makros-
kopischen Rotationsvektors:
jkijki
u
,
2
1
GGM
(4.11)
benutzt, um die folgende, sog. schwache Formulierung zu erhalten:
>> @@
.
dd
dd0
,
2
1
e
,
2
1
,
e
³³
³³
w
V
VV
V
u
An
u
VuAut
j
l
k
k
l
i
ji
A
j
l
kkli
ji
ji
ji
ii
G
P
G
P
GVG
(4.12)
Aufgrund der Symmetrie der enthaltenen Spannungsmaße können mit Argu-
menten einfacher Tensorrechnung auch die Dehnungs- und Rotationsmaße
symmetrisiert werden, siehe Anhang A1, und es ergibt sich die folgende
Variationsformulierung der MS-Theorie in Hinblick auf die FEM:
>> @@
.
d
dd0
e
e
,
2
1
³
³³
wA
j
l
kkli
ij
ii
j
i
ij
ijij
An
u
AutV
G
P
G
F
G
P
HGV
VV
(4.13)
4.2 3D-Implementierung der MS-Theorie im FEniCS-
Projekt
Das FEniCS Projekt ist eine Sammlung freier Softwarepakete mit einer
umfangreichen Liste von Befehlen für die automatisierte, effiziente Lösung
von Differentialgleichungen. Nach der Herleitung der Variationsformulierung
der zu lösenden Differentialgleichung folgt nun das Erstellen der Geometrie,
der Randbedingungen, der Belastung, der Diskretisierung, das Aufstellen und
Lösen des zugehörigen linearen Gleichungssystems und das Auswerten der
approximierten Lösung.
4 Numerische Größeneffektmodellierung
116
Die Geometrie ist gemäß Abbildung 3.14 erstellt worden und kann in der
Länge, Breite und Höhe variiert werden. Aufbauend auf einer konventionellen
dreidimensionalen elastostatischen Modellierung eines einseitig fest einge-
spannten Balkens lautet die implementierte DIRICHLET-Randbedingung auf
dem Randgebiet
4
*
(vgl. Abbildung 3.14):
4
,0,0,0)( * nni xxu
,
(4.14)
dass jegliche Verschiebung aller sich auf dem entsprechenden Randgebiet
befindenden Punkte zu null gesetzt werden (siehe Programmiercode im Anhang
A2). Die Belastung erfolgt über die Definition des Kraftspannungsvektors auf der
Fläche
2
*
:
2
,/,0,0)( *
nni
xAFxt
,
(4.15)
wobei F die Kraft auf die Fläche A darstellt (siehe Programmiercode im Anhang
A2). Die Vernetzung erfolgt mittels (in der Basisfunktion ui) kontinuierlicher
GALERKIN-Elemente (auch LAGRANGE- oder Tetraeder-Elemente genannt) mit
einem Polynomansatz der Ordnung zwei, um der zweifachen Ableitungen von ui
in der schwachen Formulierung Rechnung zu tragen.
Abbildung 4.1: Qualitative Darstellung eines LAGRANGE- (oder
Tetraeder-) Elements zweiter Ordnung.
Die Elementengröße und darüber die Netzdichte kann frei angepasst werden (siehe
Programmiercode im Anhang A2). Es wurde dabei eine ausschließlich äqui-
distante Vernetzung gewählt. Die Variationsformulierung der anzunähernden
Differentialgleichung wird in Anteile des Volumenintegrals, des Oberflächen-
integrals und des Integrals über die Elementenflächen getrennt und dem Programm
in symbolischer Schreibweise übergeben. Das Aufstellen der Systemmatrix
4.3 Untersuchung des numerischen Modells
117
(Assemblieren) und das Lösen selbiger ist in dem „solve“-Befehl vor-
programmiert. Dabei wird das aufgestellte lineare Gleichungssystem über eine
reduzierte LR-Zerlegung (engl.: „sparse lower/upper decomposition“) oder über
das GAUSSsche Eliminationsverfahren vollständig gelöst. Im Lösungsvektor sind
dann die Parameter der Basisfunktionen aller Elemente enthalten. An auswähl-
baren Auswertungspunkten liefern diese im Nachhinein die dreidimensionalen
Knotenverschiebungen und deren Ableitungen. Die Materialkonstanten wurden in
Übereinstimmung mit den in CHONG (2002) [16] und LAM et al. (2003) [52] ange-
gebenen Daten aus experimentellen Messungen gewählt: E=3,8 GPa, ν=0,38 und
"=9,4 µm, wobei der innere Längenparameter mit der in Kapitel 5 vorgestellten
Modellfunktion bestimmt wurde. Die Belastung am freien Ende betrug F=1.0 µN.
Abbildung 4.2: Beispielhafte Darstellung eines diskretisierten Biege-
balkens vor und nach der Berechnung. L=10H=10B.
4.3 Untersuchung des numerischen Modells
Zum Testen des hier aufgestellten numerischen Modells der dreidimensionalen
Balkenbiegung wurden folgende Untersuchungen durchgeführt:
x Die Konvergenz bei "=0 (Netzverfeinerung).
x Zug- und Scherversuche eines Elementes bei variierendem
inneren Längenparameter.
x Die Konvergenz bei "=25 µm (Netzverfeinerung).
x Die Biegelinie bei "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
x Die Dehnungen in x-Richtung und die Vergleichsdehnung
bei "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
4 Numerische Größeneffektmodellierung
118
x Die Rotation und der Rotationsgradient um die y-Achse,
sowie die entstehenden Vergleichsmomentenspannungen bei
"=0 µm, 8 µm und 19 µm.
Soweit möglich, wird mit den analytischen Ergebnissen aus Abschnitt 3.1.4 und
3.4.2 verglichen. Zunächst wurde der innere Längenparameter des Materials" zu
null gesetzt, um den Übergang zur klassischen Theorie zu untersuchen und zudem
die korrekte Arbeitsweise des Programmiercodes zu überprüfen.
Abbildung 4.3: Das Konvergenzverhalten des numerischen Modells
eines unterschiedlich fein diskretisierten Biege-
balkens. L=18H=18B, H=59 µm, "=0 µm.
Dabei ergab sich bei der gröbsten Elementierung von nur einem Element in
Höhenrichtung, einem Element in Breitenrichtung und 18 Elementen in Längen-
richtung eine Abweichung von ca. 2,3 % zur klassischen analytischen EULER-
BERNOULLI Lösung (siehe Abbildung 4.11). Eine Verfeinerung hin zu fünf
Elementen in Höhenrichtung, fünf Elementen in Breitenrichtung und 90
Elementen in Längenrichtung verkleinerte die prozentuale Abweichung auf ca.
0,45 %. Dies ist für numerische Simulationen als äußerst gut zu werten. Da ein
solches Ergebnis in analoger Weise auch für geänderte Balkenabmaße und
Materialkonstanten erreicht werden konnte, ist von der korrekten Arbeitsweise des
Programms hinsichtlich der klassischen Theorie auszugehen.
0.0303
0.0305
0.0307
0.0309
0.0311
0.0313
0.0315
0.0317
0.0319
0 10000 20000 30000 40000
50000
max. Biegung in mm
Systemfreiheitsgrade (DOF)
konventionelle FE Strategie
Euler-Bernoulli Analytik
4.3 Untersuchung des numerischen Modells
119
Qualitative Zug- und Scherversuche eines einzelnen Elementes bei variierendem
inneren Längenparameter ergaben die in der MS-Theorie prognostizierten
Tendenzen. In der Simulation des reinen Zuges existiert keine Korrelation zum
inneren Längenparameter des Materials. Dies kann derart interpretiert werden,
dass bei reinem Zug weder Rotationen, noch Dehnungsgradienten zum Tragen
kommen. Simulationen des Scherversuchs hingegen zeigten eine negative
Korrelation zum inneren Längenparameter. Je größer dieser gewählt wurde (bei
gleichbleibender Größe und Scherbelastung des Elementes), desto kleiner die
resultierende Verschiebung. Dieses Verhalten ist eingangs als positiver Größen-
effekt definiert worden.
Die Konvergenz eines numerischen Modells eines Biegebalkens mit einer Höhe
von 59 µm bei einem konstanten inneren Längenparameter von "=25 µm (H/"≈2)
ist in Abbildung 4.4 dargestellt. Bei der gröbsten Elementierung von nur einem
Element in Höhenrichtung, einem Element in Breitenrichtung und 18 Elementen
in Längenrichtung wird eine Abweichung von ca. 2,3 % zur analytischen Lösung
der Momentenspannungstheorie erreicht. Bei weiterer Verfeinerung konvergiert
die numerische Lösung qualitativ zur analytischen Lösung der klassischen
Theorie.
Abbildung 4.4: Das Konvergenzverhalten des numerischen Modells
eines unterschiedlich fein diskretisierten Biege-
balkens. L=18H=18B, H=59 µm, "=25 µm.
0.015
0.017
0.019
0.021
0.023
0.025
0.027
0.029
0.031
0.033
0 10000 20000 30000 40000
50000
max. Biegung in mm
Systemfreiheitsgrade (DOF)
Euler-Bernoulli Analytik
MS-Analytik, l=25µm
MS-FE Strategie, l=25µm
"=25 µm
"=25 µm
4 Numerische Größeneffektmodellierung
120
Dies erscheint insoweit ungewöhnlich, als dass eine höhere Netzdichte i. A. die
Approximationsgüte hinsichtlich der zu Grunde liegenden Differentialgleichung
verbessert. Zudem gilt das mathematische Prinzip, dass die Lösungsfunktionen
elliptischer Differentialgleichungen durch die finite Elemente Methode
approximiert werden können. Offensichtlich wird mit dem vorliegenden Modell
im Umfeld der vorgegebenen Softwarepakete aus FEniCS weiterhin die Lösung
der klassischen Theorie angenähert.
Zur näheren Untersuchung dieser Tatsache soll folgende numerische Testreihe
dienen. Unter konstantem inneren Längen- und konstanter restlicher Material-
parameter wurden die äußeren Abmaße sowie die Elementenanzahl von ein bis
drei Elemente in der Höhe geändert.
Abbildung 4.5: Die drei unterschiedlich vernetzten numerischen
Modelle zur speziellen Untersuchung der Abhängigkeit
der Elementengröße. L=18H=18B, "=25 µm.
19 numerische Einzelergebnisse der maximalen Durchbiegung wurden dabei in
ihr prozentuales Verhältnis zu den jeweiligen, im Abschnitt 3.4.2 vorgestellten
analytischen Ergebnissen der MS-Theorie gesetzt (siehe Abbildung 4.6). Ein
prozentuales Verhältnis von null bedeutet in diesem Fall beste Übereinstimmung.
4.3 Untersuchung des numerischen Modells
121
Abbildung 4.6: Die prozentuale Abweichung der Biegewerte dreier
unterschiedlich vernetzter numerischer Modelle zu den
jeweiligen analytischen Werten. L=18H=18B, "=25 µm.
Auffällig ist, dass die jeweils beste Annäherung an die analytischen Werte der MS-
Theorie bei einem jeweils ähnlichen Verhältnis von innerem Längenparameter "
zur Elementenkantenlänge helem liegt. D. h., die tatsächliche Größe der äquidistant
verteilten Elemente hat einen erheblichen Einfluss auf die Ergebnisse. Dieser
Einfluss liefert jeweils gute Ergebnisse (Ergebnisse unterhalb von 2,4 %
Abweichung), wenn die Elementenkantenlänge etwa dem Vierfachen des inneren
Längenparameters entspricht, helem≈ 4". Ein solcher Zusammenhang könnte in der
FEniCS internen Transformation der Elemente in den Einheitsraum und dortiger
Evaluierung der Elementenformulierung entstehen, was sich für weitere Unter-
suchungen dem Einflussbereich des Nutzers der Software entzieht.
Wegen der Reproduzierbarkeit der Abhängigkeit der Elementengröße auch bei
anderen Größendimensionen und Kräften, und der gut angenäherten Ergebnisse
(unterhalb 2,4 %), wurde im Folgenden darauf geachtet, dass die Elementen-
kantenlänge in etwa 4" beträgt, was nicht immer genau möglich war. Unter dieser
Voraussetzung wurden die Verschiebungen in z-Richtung uz entlang der Mittel-
achse der Balkengeometrie nach der Berechnung ausgelesen und entlang der x-
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Abweichung in %
Höhe H
in µm
Elemente in Höhenrichtung: 1
Elemente in Höhenrichtung: 2
Elemente in Höhenrichtung: 3
H/"=4 H/"=8
H/"=12
40 80 120 160 200 240 280 320 360
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
4 Numerische Größeneffektmodellierung
122
Achse aufgetragen. Die daraus ersichtliche Biegelinie wurde für die drei verschie-
denen inneren Längenparameter "=0 µm, "=8 µm und "=19 µm ausgewertet.
Abbildung 4.7: Die Biegelinie. L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
Wegen der Tatsache, dass die zweiten Ableitungen der Verschiebung auf dem
gesamten Element konstant sind, im Folgenden aber ebenso deren Verläufe über
die Balkenkoordinate gezeigt werden sollen, wurde die Balkenlänge für diese
Simulationen auf L/H=40 erhöht. Jeder Punkt im Plot entspricht dabei einem
Auswertungspunkt in jeweils einem Element. Die Biegelinien bei sich ändernden
inneren Längenparametern zeigen einen positiven Größeneffekt. Die Dehnungen
in x-Richtung sowie die Vergleichsdehnungen:
ijijxxxx u
HHHH
cc
3
2
VGL,und
,
(4.16)
wobei
ij
H
c
den Deviator des Dehnungstensors darstellt:
ijkkijij
GHHH
3
1
c
,
(4.17)
wurden im Post-Prozessorteil des Programmcodes durch entsprechende Ab-
leitungen der gefundenen Lösung ui gesondert berechnet und in Abbildung 4.8
entlang der Balkenachse geplottet.
u
z
in mm
Balkenkoordinate x/L
4.3 Untersuchung des numerischen Modells
123
Abbildung 4.8: Der Dehnungs- und Vergleichsdehnungsverlauf.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
Als interessant hervorzuheben ist der Verlauf der Dehnungen in x-Richtung
(Abbildung 4.8, links), da dieser bei größer werdendem inneren Längenparameter
nicht-linear wird und eine Dehnung direkt am freien Ende entsteht. Der sprung-
artige Verlauf der Dehnungen an der Einspannstelle ist auf den komplexeren
Dehnungszustand zurückzuführen, da die Querkontraktionskopplung in diesem
Bereich zu hohen Dehnungen in y- und z-Richtung führt.
Abbildung 4.9: Der Rotations- und Rotationsgradientenverlauf.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
ε
xx
ε
VGL
Balkenkoordinate x/L Balkenkoordinate x/L
φ
y
χ
yx
Balkenkoordinate x/L Balkenkoordinate x/L
4 Numerische Größeneffektmodellierung
124
Die Komponente des Rotationsvektors φi, welche die Rotation um die y-Achse
beschreibt sowie dessen Gradient in x-Richtung, wurden wie folgt aus der
numerischen Lösung ui berechnet:
¸
¹
·
¨
©
§ iyjxijixjyijyxjkyjkyuuu ,,
4
1
,
2
1und
FM
.
(4.18)
Am Punkt der Einspannung ist die Rotation um die y-Achse gleich null, steigt
absolut gesehen mit laufender Balkenkoordinate erst stark an und konvergiert dann
zu einem endgültigen Rotationswert am freien Ende. Am Gradienten der Rotation
erkennt man weiterführend, dass die Änderung der Rotation am freien Ende in
jedem Fall zu null strebt.
Geht man davon aus, dass es auch für den Momentenspannungstensor ein Ver-
gleichsmaß gibt, die Vergleichsmomentenspannung µVGL:
ijij
PPP
2
3
VGL
,
(4.19)
wobei ausgenutzt wurde, dass der Momentenspannungstensor deviatorisch ist, so
ergibt sich für die Vergleichsmomentenspannung entlang der Balkenachse der in
Abbildung 4.10 gezeigte Verlauf.
Abbildung 4.10: Der Verlauf der Vergleichsmomentenspannung.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm.
µ
VGL
Balkenkoordinate x/L
4.4 Vergleich numerischer und analytischer Größeneffektmodellierung
125
Die Vergleichsmomentenspannung verhält sich linear über der Balkenachse und
verschwindet am freien Ende des Balkens. Für "=0 µm ist die Vergleichsmomen-
tenspannung über den gesamten Balken gleich null, was in Übereinstimmung mit
der klassischen Theorie steht.
4.4 Vergleich numerischer und analytischer
Größeneffektmodellierung
Für einen Vergleich des Größeneffekts aus der numerischen Simulation zur
analytischen Lösung der Momentenspannungstheorie für die einfache Balken-
biegung wurden die experimentellen Ergebnisse aus den Veröffentlichungen von
CHONG (2002) [16] und LAM et al. (2003) [52] als Orientierung verwendet. Darin
sind vier verschieden hohe Mikrobalken (der Höhen 20 µm, 38 µm, 75 µm und
115 µm) aus Epoxidharz gefertigt und auf ihre Biegesteifigkeit hin geprüft worden.
Das Längen- zu Höhenverhältnis lag bei L/H=10 und die separat getesteten
klassischen Materialparameter bei E=3,8 GPa und ν=0,38.
Abbildung 4.11: Plot von Biegesteifigkeitsverhältnissen aus Experiment
(*CHONG, 2002 [16]), Analytik und Simulation.
"=9,4 µm.
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Biegesteifigkeit D/D
0
Balkenhöhe, H [µm]
Dh/Do - EulerBernoulli + couple stress
Dh/Do - FEniCS + couple stress
Do - EulerBernoulli, classical
Exp. Lam, 2003
D
MS
/D
0
Analytik
D
MS
/D
0
FEniCS, FEM
D
0
klassische Lösung
experimentelle Ergebnisse*
4 Numerische Größeneffektmodellierung
126
In den angegebenen Experimenten ist eine Biegesteifigkeitserhöhung gemessen
worden, die auf einen inneren Längenparameter von "=9,4 µm schließen lässt,
wenn die in Kapitel 5 vorgestellte Modellfunktion der MS-Theorie zugrunde
gelegt wird. Die Biegesteifigkeiten wurden gemäß der Formel (3.131) aus der
Momentenspannungstheorie ausgewertet.
Es zeigt sich qualitativ sowie quantitativ eine gute Übereinstimmung zwischen
Experiment, Analytik und Simulation. Der in den besagten Experimenten
ermittelte positive Größeneffekt kann mittels der vorgestellten Erweiterung der
finiten Elemente Methode modelliert werden. Die gemittelte Abweichung
zwischen den diskreten FE-Werten und der analytischen Funktion beträgt dabei
unter vier Prozent.
127
5 Auswertung und Diskussion
In diesem Kapitel sollen die verschiedenen eigenen experimentellen Ergebnisse
mit den dazu hergeleiteten Theorien verknüpft werden. Die höheren Material-
parameter sollen mittels numerischer Methoden aus den experimentellen Werten
gewonnen werden. Im Abschnitt 5.4 soll die Diskussion aller Ergebnisse erfolgen,
die in dieser Arbeit erlangt wurden.
Um eine Reihe von Messwerten
)
ˆ
(
ii
xy
aus einem definierten experimentellen
Versuch an einen analytischen Zusammenhang
);
ˆ
(
ri
xf
D
anzupassen, d. h. einen
oder mehrere Koeffizienten im analytischen Zusammenhang bestmöglich zu
bestimmen, wird der jeweilige Fehler zwischen einem betrachteten Messwert zu
der analytischen Lösung herangezogen. Diese Einzelfehler sollen dabei im Mittel
über alle Messwerte minimal werden. Man schreibt mit i=1,…,n und
(r,k,l)=1,…,m:
mnxyxf
iiri
r
! ,)
ˆ
();
ˆ
(min
2
D
D
,
(5.1)
wobei αr die Koeffizienten der analytischen Funktion sind. Die Modellfunktionen
f sollen im Folgenden für die:
x modifizierte Dehnungsgradiententheorie (MDG),
x die Momentenspannungstheorie (MS) und
x die Oberflächentheorie (OF)
hergeleitet werden. Da es sich bei der Frequenzanalyse (FA) und bei den AFM
Messungen um Biegeexperimente an schlanken Balken handelt, und dies in den
zugrunde liegenden Verschiebungsfeldern für die Analytik zum Tragen kommt,
sind die Materialkoeffizienten aus statischer Biegung und dynamischer Frequenz-
messung identisch. Typische Messreihen bestehen aus dem E-Modul, der Länge
L, der Höhe H und der Breite B des Balkens (E,L,H,B). Aus den AFM-Messungen
wird der E-Modul gemäß Gleichung (2.12) bestimmt, wohingegen er bei der FA
aus der Gleichung (2.6) gewonnen wird. Um die jeweiligen Messreihen an die
Lösung der Balkenbiegung aus der MDG-Theorie anzupassen, wird die Modell-
funktion f mit Hilfe der Gleichung (3.109) in Kombination mit den Rand-
bedingungen RB2 aus Gleichung (3.112) wie folgt gewonnen:
Auswertung und Diskussion
128
.e
ˆ
e
ˆˆˆˆˆ
)(
e
ˆ
e
ˆˆˆˆˆ
ee)(
ˆ
ˆ
6
ˆ
ˆ
543
2
2
3
1
MDG
ˆ
ˆ
6
ˆ
ˆ
543
2
2
3
1
6543
2
2
3
1
MDG
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
KSLKSL
KSLKSL
KSLKSL
CCCLCLCLC
ILw
F
E
CCCLCLCLC
EI
F
CCCLCLCLCLw
(5
.2
)
Aus den Konstanten C1,…,C6 und den Substitutionen S und K werden die Größen
F/EI ausgeklammert, wodurch die so entstandenen Ausdrücke mit einem Dach
versehen werden. Der Ausdruck
)(/ MDG LwF
wird durch i-fach gemessene Größen
nach Gleichung (2.12) ersetzt:
.
),;,(
e
ˆ
e
ˆˆˆˆˆ
3
,e
ˆ
e
ˆˆˆˆˆ
3
MDG
1
ˆ
ˆ
6
ˆ
ˆ
543
2
2
3
1
3
Mess
ˆ
ˆ
6
ˆ
ˆ
543
2
2
3
1
3
Mess
"HLEf
CCCLCLCLC
LE
E
CCCLCLCLC
L
E
E
KSLKSL
iii
i
i
KSLKSL
iii
i
i
ii
ii
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
(5
.3
)
Mit der beschriebenen Modellfunktion f
MDG und dem Lösungsvektor
Mess
ii Ey
liefert eine entsprechende numerische Methode der Koeffizientenanpassung aus
dem folgenden Abschnitt die bestmöglichen Werte für E und ". Dabei gehen die
Größen Länge und Höhe, nicht aber die Breite mit ein.
Um die jeweiligen Messreihen an die Lösung der Balkenbiegung aus der MS-
Theorie anzupassen, wird die Modellfunktion mit Hilfe der Gleichung (3.128) wie
folgt gewonnen (Annahmen: Rechtecksquerschnitt und keine Querkontratktions-
kopplung):
.
)61()(3
)(3
)(
2
2
MS
3
2
2
1
3
MS
H
ILw
FL
E
EAEI
FL
Lw
"
"
(5
.4
)
Der Ausdruck
)(/
SM
LwF
wird durch i-fach gemessene Größen nach Gleichung
(2.12) ersetzt:
5 Auswertung und Diskussion
129
.
);,(
)61(
)61(3
3
MS
2
2
Mess
3
3
Mess
2
2
"
"
"
HEf
H
EE
I
L
L
IE
E
i
i
H
i
i
i
i
(5
.5
)
Mit der beschriebenen Modellfunktion f
MS und dem Lösungsvektor
Mess
ii Ey
liefert eine entsprechende numerische Methode der Koeffizientenanpassung aus
dem folgenden Abschnitt die bestmöglichen Werte für E und ". Dabei geht die
Höhe, nicht aber die Breite und die Länge mit ein.
Um die jeweiligen Messreihen an die Lösung der Balkenbiegung aus der
Oberflächentheorie anzupassen, wird die Modellfunktion mit Hilfe der Gleichung
(3.151)2 wie folgt gewonnen:
.
),;,(
26
S
b
FO
S
b
Mess
BHEEf
BH
E
EE
ii
i
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
(5
.6
)
Mit der beschriebenen Modellfunktion f
OF und dem Lösungsvektor
Mess
ii Ey
liefert eine entsprechende numerische Methode der Koeffizientenanpassung aus
dem folgenden Abschnitt die bestmöglichen Werte für Eb und ES. Dabei gehen die
Größen Breite und Höhe, nicht aber die Länge mit ein.
Auswertung und Diskussion
130
5.1 Numerische Methoden der Koeffizientenanpassung
Zur bestmöglichen und automatisierten Koeffizientenanpassung kommen haupt-
sächlich zwei Methoden zum Einsatz. Die erste Methode beschreibt eine weit-
gehend analytische Minimierung der quadratischen Funktion des Fehlers und die
zweite eine direkt numerische Minimierung der Funktion des Fehlers. Beide
Methoden sollen hier kurz vorgestellt werden. Im allgemeinen linearen Fall, wenn
sich eine Modellfunktion schreiben lässt als:
.
)
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
();
ˆ
(
1
1100
rir
m
r
irrimmiiri
A
xxxxxf
D
\D\D\D\DD
¦
(5.7)
ergibt sich das folgende Minimierungsproblem in Matrixform:
.
)(
2min
min);
ˆ
(min
22
r
iiirirlilrir
iririri
R
yyyAAA
yAyxf
r
rr
D
DDD
DD
D
DD
(5.8)
Das Extremum von R(αr) wird bestimmt über die Ableitung nach den
Koeffizienten:
.
22
2
2)(
2)(
2)()(0
,,,
,,
yα
yα
T
T
T
T
iiklilik
iikrikirlilik
ikrirlkrlrkilir
ikrirklrlkrilir
ikrirklrilirr
AAA
AAA
yAAA
yAAAAA
yAAA
yAAA
yAAAR
k
w
w
D
DD
GGDDG
DDDDD
DDDD
D
(5.9)
Auswertung und Diskussion
131
Die Matrix A ist eine (nxm)-Matrix. Es lässt sich zeigen (hier ohne Beweis), dass
ATA positiv definit und somit das gefundene Extremum ein Minimum ist. Die
Lösung eines solchen linearen Gleichungssystems kann mit Hilfe der Software
MATLAB© berechnet werden, wobei dort eine QR-Zerlegung von ATA
implementiert ist, die über Householdertransformationen erzeugt wird. Der so
gefundene Lösungsvektor αr beinhaltet die gesuchten Koeffizienten. Dieses
Verfahren kommt zum Einsatz bei der Koeffizientenanpassung in für die MS-
Theorie und die OF-Theorie.
Ist die anzunähernde Modellfunktion f nicht allgemein linear, so gelingt das
Aufbauen der Matrix A nach Gleichung (5.7) nicht. In einem solchen Fall soll das
Minimum des quadratischen Fehlers iterativ gefunden werden. Da ein solches
Verfahren in dieser Arbeit für eine Modellfunktion mit zwei Koeffizienten
verwendet wird, kann man für den Fehler e bei gewählten α1 und α2 schreiben:
¦
n
i
ii yxfe
1
2
2121 ),;
ˆ
(),(
DDDD
.
(5.10)
Eine Variation von α1 und α2 in einem N-fach unterteilten Intervall I1 für α1 und
einem M-fach unterteilten Intervall I2 für α2, führt zu
MNK
Fehlerwerten:
2211
1
2
2121
,,),;
ˆ
(),( IIyxfe
MN
n
i
iMNiMNK
¦
DDDDDD
,
(5.11)
wobei der kleinste Eintrag im Fehlervektor eK mit Hilfe einfachster numerischer
Befehle gefunden werden kann. Das diesem Eintrag zugehörige Koeffizientenpaar
(α1,α2) stellt entsprechend den gewählten Intervallunterteilungen das bestmögliche
Ergebnis der Anpassung dar. Dieses Verfahren kommt zum Einsatz bei der
Koeffizientenanpassung in für die MDG-Theorie.
Auswertung und Diskussion
132
5.2 Bestimmung erweiterter Materialparameter der
Frequenzmessungen
Die zu bestimmenden erweiterten Materialparameter ergeben sich aus der
modifizierten Dehnungsgradiententheorie (MDG), der Momentenspannungs-
theorie (MS) und der Oberflächentheorie (OF). Sie werden durch die Auswertung
der Modellfunktionen der jeweiligen Theorie in Kombination mit den entsprech-
enden Messwerten aus den Abschnitten 2.1.2 und 2.1.3 gewonnen.
5.2.1 Aluminium mit künstlicher Heterogenität
Die auf ihre erste Eigenschwingfrequenz hin geprüften Balken aus künstlich
heterogenisiertem Aluminium zeigen Strukturmodulwerte mit erkennbarem
positiven Größeneffekt. Die mit den Werten aus Tabelle 2.1 durchgeführte
Koeffizientenanpassung ergibt für die verschiedenen Theorien folgende Werte:
Theorie Koeffizient-
1
Koeffizient-
2
Momentenspannungstheorie
S=39,8 GPa
"=0,92 mm
Modifizierte
Dehnungsgradiententheorie
S=39,8 GPa
"=0,51 mm
Oberflächentheorie
Eb=34,1 GPa
ES
=9,15 GN/m
Tabelle 5.1: Materialparameter aus den Untersuchungen der
Aluminiumbalken mit künstlicher Heterogenität.
Auswertung und Diskussion
133
Abbildung 5.1: Ergebnisse der Strukturmodulmessung an Aluminium
mit künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der MS-Theorie mit angepassten Koeffizienten.
Abbildung 5.2: Ergebnisse der Strukturmodulmessung an Aluminium
mit künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der MDG-Theorie mit angepassten Koeffizienten.
35
40
45
50
55
60
65
2 4 6 8 101214161820
Strukturmodul in GPa
Balkenhöhe in mm
Messdaten
Fitfunktion der MS-Theorie
"=0,92 mm
S=39,8 GPa
35
40
45
50
55
60
65
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Strukturmodul in GPa
Balkenhöhe in mm
Messdaten
Fitfunktion der MDG-Theorie
"
0
="
1
="
2
=0,51 mm
S=39,8 GPa
Auswertung und Diskussion
134
Abbildung 5.3: Ergebnisse der Strukturmodulmessung an Aluminium
mit künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der OF-Theorie mit angepassten Koeffizienten.
5.2.2 Aluminiumschäume
Die auf ihre erste Eigenschwingfrequenz hin geprüfen Balken aus Aluminium-
schäumen zeigen Strukturmodulwerte mit erkennbarem negativen Größeneffekt.
Die mit den Werten aus Tabelle 2.2 durchgeführte Koeffizientenanpassung kann
lediglich mit der OF-Theorie erfolgen, welche als einzigste der hier vorgestellten
Theorien in der Lage ist, den negativen Verlauf des Größeneffekts zu beschreiben.
Die analytische Minimierung der quadratischen Funktion des Fehlers mit der
Modellfunktion der OF-Theorie die Werte:
Material Koeffizient-
1
Koeffizient-
2
Gegossener
Aluminiumschaum der
Dichte
ρ
≈255 kg/m3
Eb=1,01 GPa
E
S
= 0,303 MN/m
Geschäumtes
Aluminium der Dichte
ρ≈415 kg/m3
Eb=3,74 GPa
E
S
= 2,555 MN/m
Tabelle 5.2: Materialparameter der Untersuchungsreihe der
Aluminiumschäume.
35
40
45
50
55
60
65
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Strukturmodul in GPa
Balkenhöhe in mm
Messdaten
Fitfunktion der OF-Theorie
E
b
=34,1 GPa
E
S
=9,15 GN/m
Auswertung und Diskussion
135
Abbildung 5.4: Ergebnisse der Strukturmodulmessungen beider Aluminium-
schäume und den Modellfunktionen der OF-Theorie mit
jeweils angepassten Koeffizienten.
Der negative Größeneffekt ist an den negativen Vorzeichen der Oberflächen-
elastizitätsmoduln in Tabelle 5.2 zu erkennen. Negative E-Modulwerte sind i. A.
nicht physikalisch, führen jedoch unter den hier angenommenen Voraussetzungen
zu einer Beschreibbarkeit des experimentell beobachteten Effekts.
5.3 Bestimmung erweiterter Materialparameter der AFM-
Messungen
Die zu bestimmenden erweiterten Materialparameter ergeben sich durch An-
wendung der in Kapitel 5.2 beschriebenen numerischen Methoden auf die modi-
fizierten Dehnungsgradiententheorie (MDG), der Momentenspannungstheorie
(MS) und der Oberflächentheorie (OF). Sie werden durch die Auswertung der
Modellfunktionen der jeweiligen Theorie in Kombination mit den entsprechenden
Messwerten aus den Abschnitten 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 und 2.3.3 gewonnen.
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
3.25
3.50
3.75
0 102030405060708090100110120
Balkenhöhe in mm
Surface elasticity FIT 12345
Surface elasticity FIT ABCD
Alu 12345
Alu ABCD
Mittelwerte-1234
Mittelwerte-ABCD
Strukturmodul in GPa
Fitfunktion der OF-Th.
Fitfunktion der OF-Th.
Messung geschäumtes Al.
Messung gegossenes Al.
Mittelw. geschäumtes Al.
Mittelw. gegossenes Al.
Auswertung und Diskussion
136
5.3.1 SU-8 Polymer
Die auf den E-Modul hin geprüften Mikrobalken aus dem Polymermaterial SU-8
zeigen Steifigkeitswerte mit erkennbarem positivem Größeneffekt. Die numerisch
durchgeführte Koeffizientenanpassungen nach Abschnitt 5.1 ergibt für die ver-
schiedenen Theorien folgende Werte:
Theorie Koeffizient-
1
Koeffizient-
2
Momentenspannungstheorie
E=4,13 GPa
"=2,5 µm
Modifizierte
Dehnungsgradiententheorie
E=4,14 GPa
"=1,39 µm
Oberflächentheorie
Eb=3,36 GPa
E S=3,95 k
N/m
Tabelle 5.3: Materialparameter aus den Untersuchungen des SU-8
Polymers.
Abbildung 5.5: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-8 und
die Modellfunktion der MDG-Theorie mit angepassten
Koeffizienten.
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
0 102030405060
70
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
"0="1="2=1,39 µm
E=4,14 GPa
Fitfunktion der MDG-Th.
Messmittelwert
mit Standardabweichung
Auswertung und Diskussion
137
Abbildung 5.6: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-8 und
die Modellfunktion der OF-Theorie mit angepassten
Koeffizienten.
Abbildung 5.7: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-8 und
die Modellfunktion der MS-Theorie mit angepassten
Koeffizienten.
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
0 102030405060
70
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
OF
Eb=3,362 GPa
ES=3,95 kN/m
Fitfunktion der OF-Theorie
Messmittelwert
mit Standardabweichung
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
0 102030405060
70
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
MS
"=2,5 µm
E=4,13 GPa
Fitfunktion der MS-Th.
Messmittelwert
mit Standardabweichung
Auswertung und Diskussion
138
5.3.2 Epoxidharz
Die auf den E-Modul hin geprüften Mikrobalken aus dem Material Epoxid zeigen
Steifigkeitswerte mit erkennbarem positiven Größeneffekt. Die numerisch durch-
geführte Koeffizientenanpassungen nach Kapitel 5.1 ergibt für die verschiedenen
Theorien folgende Werte:
Theorie Koeffizient-
1
Koeffizient-
2
Momentenspannungstheorie
E=3,93 GPa
"=7,75 µm
Modifizierte
Dehnungsgradiententheorie
E=3,93 GPa
"=4,34 µm
Oberflächentheorie
Eb=3,22 GPa
E S
=14,13 kN/m
Tabelle 5.4: Materialparameter der Untersuchungsreihe des Epoxids.
Abbildung 5.8: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an Epoxid
und die Modellfunktionen der MS-, MDG- und OF-
Theorie.
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
11.5
0 25 50 75 100 125 150 175 200
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
Messmittelwerte
Fit nach MS-Theorie
Fit nach MDG-Theorie
Fit nach OF-Theorie
Auswertung und Diskussion
139
5.3.3 Einkristallines Silizium
Bei den statischen Belastungstests mit einkristallinem Silizium wurde über alle
geprüften Balkenhöhen gemittelt ein durchschnittlicher E-Modul von
E=168,2 GPa bestimmt (arithmetisches Mittel der Messwerte aus Tabelle 2.7).
Dies entspricht dem in der Literatur bekannten Wert des E-Moduls von Silizium
der [110]-Richtung von ca. 169 GPa (vgl. [48]). Der Anstieg der bereichsweise
gemittelten E-Moduln zwischen den drei untersuchten Höhen betrug ca. das 1,026-
fache, was im Bereich der Messungenauigkeit liegt. Ein Einfluss der Höhe, und
damit ein Größeneffekt, kann innerhalb der betrachteten Dimensionen nicht ver-
messen werden. Mit den exemplarisch für die MS-Theorie numerisch bestimmten
Materialkoeffizienten ist dies anhand des geringen Unterschiedes der E-Modul-
werte zwischen höherer Theorie und dem einfachen arithmetischen Mittel sowie
einem vergleichsweise kleinen inneren Längenparameter zu erkennen.
Theorie Koeffizient-
1
Koeffizient-
2
Momentenspannungstheorie
E=166,8
GPa
"=0,05 µm
Arithmetisches Mittel
E=168,2
GPa
–
Tabelle 5.5: Materialparameter des untersuchten Siliziums.
Abbildung 5.9: Ergebnisse der E-Modulmessung an einkristallinem
Silizium und der Modellfunktion der klassischen Theorie
(arithmetisches Mittel).
140
150
160
170
180
190
200
01234567
8
E-Modul in GPa
- Fitfunktion klassische Theorie
E=168,2 GPa
Balkenhöhe in µm
Auswertung und Diskussion
140
Bei den RAMANspektroskopischen Untersuchungen der Dehnungen an der
Oberfläche der belasteten Mikrobalken kann als Auswertungsgröße die Eindring-
tiefe des Laserlichtes in das Material abgeschätzt werden. Dabei muss ange-
nommen werden, dass, wie in den Biegeexperimenten an den gleichen Proben
beobachtet, auch in den Dehnungsexperimenten kein Größeneffekt auftritt. Unter
dieser Annahme lassen sich die gemessenen Dehnungen mit denen der klassischen
Theorie verbinden. Die Dehnungen an der Oberseite der verschieden großen
Mikrobalken sind gemäß der Gleichung (2.31) der RAMANtheorie bestimmt
worden. Die analytische Beschreibung der Dehnungen in x-Richtung an der
Oberseite (z=H/2) der Einspannung (x=0) lautet gemäß Gleichung (3.57):
>@
tr
2
klassklass
2
),0(),( EI
FHL
Lx
EI
zF
zx
H
xx
yy
xx
HH
.
(5.12)
Bei den Messungen der maximalen Dehnung an der Einspannstelle der einzelnen
Mikrobalken mit bekannten Abmaßen ist die durch die AFM-Nadel aufgebrachte
Kraft F konstant und wegen der Kraftkalibrierung bestimmt. Somit lässt sich
Gleichung (5.12)2 jeweils auswerten. Das Verhältnis von berechneten zu ge-
messenen maximalen Dehnungen soll als Korrekturfaktor f bezeichnet werden:
Raman
klass
mess
xx
xx
f
H
H
.
(5.13)
Im Idealfall ist der Korrekturfaktor konstant und eins. In den durchgeführten
Messungen variiert dieser jedoch stark bei sehr dünnen Siliziumbalken. Ein
Deutungsversuch dieses Effektes ist es, der Dehnungsmessung eine gleichbleiben-
de Eindringtiefe des Laserlichts zuzusprechen. Das hieße, dass jeder Dehnungs-
messpunkt im Inneren des Balkens liegt, und zwar im Schnitt bei der Hälfte der
Eindringtiefe dp des Laserlichts. Nimmt man, wie in folgender Abbildung gezeigt,
einen linearen Verlauf der Dehnungen in x-Richtung entlang der z-Achse an,
wobei sie in der neutralen Faser verschwinden, lässt sich der Zusammenhang
zwischen der Balkenhöhe H und der Eindringtiefe dp rein geometrisch herstellen.
Die neutrale Faser zneutral berechnet sich bei trapezförmigen Querschnitten aus:
Auswertung und Diskussion
141
21
21
neutral
2
3BB
BB
H
z
,
(5.14)
und befindet sich bei allen Prüfbalken aus einkristallinem Silizium bei ca.
zneutral≈0,562 H.
Abbildung 5.10: Veranschaulichung des linearen Dehnungsverlaufs
entlang der z-Achse bei einem trapezförmigen
Querschnitt und des Dehnungsmesspunktes bei
halber Eindringtiefe.
Ein höhenabhängiger Korrekturfaktor fH ergibt sich danach aus Geometriegründen
zu:
p
124,1
124,1
dH
H
fH
.
(5.15)
Aus physikalischen Gründen muss die Balkenhöhe nach unten hin beschränkt
werden auf die Eindringtiefe des Laserlichts (H ≥ dp), da ansonsten das Licht an
der unteren Seite des Mikrobalkens austritt was das Streuvolumen verringern
würde und weitere, geometrisch kompliziertere Fälle betrachtet werden müssten.
Die letzte Gleichung dient zugleich als Modellfunktion zur numerischen Koeff-
izientenanpassung in Zusammenhang mit den Lösungswerten
i
ify mess
. Die so
bestimmte Eindringtiefe beträgt hier rund dp=900 nm.
Die auf diese Art und Weise gemessene Eindringtiefe findet in der Literatur [21]
und [5] Bestätigung. Mit der darin aufgezeigten Berechnungsmethode mit Hilfe
z
H562,0
2
p
d
ε
max
ε=0 0
H
ε
p
d
H
B
1
B
2
Auswertung und Diskussion
142
optischer Parameter des Materials und des verwendeten Laserlichts der Wellen-
länge 532 nm lässt sich die Eindringtiefe auf ca. 950 nm abschätzen und kommt
der in dieser Arbeit gemessenen sehr nahe.
Abbildung 5.11: Plot gemessener und abgeschätzter Eindringtiefen-
faktoren.
Balkenhöhe
,
H
fmess
f
H (900
nm)
1 µm
4,2
5,02
6,3
3 µm
1,71
1,36
1,78
7 µm
1,19
1,29
Tabelle 5.6: Auswertung von gemessenem und analytischem
Korrekturfaktor.
5.3.4 Amorphes Siliziumnitrid
Bei den statischen Belastungstests an amorphem Siliziumnitrid wurde über alle
geprüften Balkenhöhen hinweg ein durchschnittlicher E-Modul von E=319 GPa
gemessen (aus dem arithmetischen Mittel der Messwerte aus Tabelle 2.5). Die
numerische Auswertung der Koeffizientenanpassung der MS-Theorie ergibt für
den inneren Längenparameter die numerische Null, wodurch der mittels
0
1
2
3
4
5
6
7
8
012345678
Eindringtiefenfaktor f
Balkenhöhe Hin µm
f
H
,
dp
=
900 nm
f
mess
Auswertung und Diskussion
143
Koeffizientenanpassung ermittelte E-Modul nahezu den arithmetischen Mittel von
319 GPa entspricht. Als Anhaltspunkt für den Literautrwert des E-Moduls für
amorphes SiXNX kann der Wert von 255 GPa für Si3N4 aus der Literaturquelle [26]
dienen. Innerhalb der betrachteten Dimensionen kann kein Einfluss der Höhe und
damit kein Größeneffekt vermessen werden. Dies deutet, ähnlich wie bei den
Ergebnissen des einkristallinen Siliziums darauf hin, dass sich die Nanostruktur
des jeweiligen Werkstoffs gegenüber der äußeren Abmaßen als sehr dicht gepackt
und homogen erweist.
Abbildung 5.12: Ergebnisse der E-Modulmessung an amorphem Silizium-
nitrid und der Modellfunktion der klassischen Theorie.
5.4 Diskussion der Ergebnisse und Ausblick
Im Rahmen dieser Forschungsarbeit über ausgewählte erweiterte Kontinuums-
theorien, bestehend aus den generalisierten Kontinua (Dehnungsgradiententheorie
und Mikropolartheorie) und der Oberflächentheorie, wurde aufgezeigt, wie der
Größeneffekt in der Elastizität abgeleitet werden kann. Analytische und nu-
merische Ansätze wurden beispielhaft am einseitig fest eingespannten schlanken
Balken hergeleitet und einer Methode der Koeffizientenanpassung der Ma-
terialgesetze zugeführt. Eigene Experimente im Umfeld der Bestimmung des
Elastizitätsmoduls wurden bei unterschiedlicher charakteristischer Objektgröße
(200 nm bis 80 cm) mittels Eigenfrequenzmessungen (FA) und miniaturisierten
Biegeversuchen (AFM) erfolgreich durchgeführt. So zeigten die Materialien
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1 000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
E-Modul in GPa
Balkenhöhe in µm
- Fitfunktion klassische Theorie
E=319 GPa
Auswertung und Diskussion
144
SU-8 sowie Epoxid einen deutlich positiven Größeneffekt. Die gemessenen E-
Modulwerte des Epoxids nahmen um das ca. 2,1-fache zu, während die
Balkenhöhe von 170 µm auf 17,5 µm verringert wurde und die des SU-8s um das
ca. 1,6-fache, während die Balkenhöhe von 39 µm auf 8,4 µm verringert wurde.
Die durch Bohrungen künstlich hergestellte Heterogenität der Aluminiumbalken
führte zu einer Zunahme des Strukturmoduls um das ca. 1,33-fache, während die
Stabhöhen von 9,5 mm auf 3,4 mm abnahmen. Für den gegossenen Alu-
minuimschaum ergab sich eine Verringerung des Strukturmoduls um das ca. 1,4-
fache, als die Stabhöhe zwischen 40 mm und 6,6 mm reduziert wurde, wohin-
gegen die Verringerung des Strukturmoduls beim geschäumten Aluminium das
ca. 2,83-fache betrug, wenn die Stabhöhe von 44 mm auf 6,9 mm verkleinert
wurde. Für einkristallines Silizium in den Balkenhöhen zwischen 7,0 µm bis
1,0 µm sowie Siliziumnitrid zwischen 800 nm bis 200 nm, lag die Änderung der
E-Modulwerte im Bereich der Ungenauigkeit des Messsystems.
Die Reproduzierbarkeit der Messung einzelner Frequenzen bei der Frequenz-
analyse war sehr hoch. Die Standardabweichung vom Messmittelwert betrug
jeweils unter zwei Prozent, was einerseits auf stabiles Eigenschwingverhalten der
Proben als auch auf eine stabile Messdatenaufnahme deutet. Die leichte Streuung
der Frequenzwerte kann auf die manuelle Impulsgebung durch den Anschlags-
hammer und auf Ungenauigkeiten in der Lagerung an den Knotenpunkten der
ersten Grundschwingung zurückgeführt werden. Die weit größere Ungenauigkeit
bei der Frequenzanalyse ist in der Homogenität der Mikrostruktur der verschie-
denen Proben zueinander zu sehen. Nicht jede Aluminumschaumprobe weist die
gleiche Verteilung von Probengrößen auf, weswegen sich die unterschiedlichen
Werte für den E-Modul ergeben. Dadurch betrug auch bei Proben mit nahezu
gleichen äußeren Abmaßen die maximale Streuuung der Messwerte ca. ±10 %.
Die Fehlerquellen bei der Messmethode mit Hilfe des Atomkraftmikroskops sind
weitaus vielschichtiger. Auch dort unterlagen die einzelnen Proben trotz ähnlicher
Abmaße einer möglichen inhomogenen Verteilung der Mikrostruktur, welche
aufgrund der Miniaturisierung der Balken nicht weiter untersucht, aufgeschlüsselt
und bewertet werden konnte. Darüber hinaus birgt die bloße Messung der äußeren
Abmaße auf dieser Skala eine gewisse Ungenauigkeit. Die SU-8 Balken wurden
Auswertung und Diskussion
145
daher mit insgesamt vier Messwerkzeugen vermessen (Lichtmikroskop I, Licht-
mikroskop II, Rasterelektronenmikroskop REM und einem DEKTAK System),
wobei sich für die kleinste Probengeometrie eine Längenabweichung von ca.
±10 % zwischen den verschiedenen Messmethoden ergab. In der Auswertung
wurde mit dem entsprechenden arithmetischen Mittel für den Wert der Höhe
gearbeitet. Zusammen mit der Ungenauigkeit bei den Längenbestimmungen
zwischen der Einspannung und dem Kraftapplikationspunkt, und den allgemeinen
Toleranzen bei der Messaufnahme durch das AFM (z. B. durch das PSD) ergab
sich für die Messungen an den SU-8 Mikrobalken eine maximale Streuung der E-
Modulwerte von ca. ±27 %. Die maximale Streuung unter den Messwerten lag für
Epoxid bei ca. ±22 %, für einkristallines Silizium in der [110]-Orientierung bei ca.
±3 % und bei amorphem Siliziumnitrid bei ca. ±27 %. Bei den Polymermaterialien
(SU-8 und Epoxid) wurden die Moleküllänge, -dichte, -masse und -verteilung
unter Betrachtung identischer Herstellungsweise als homogen angenommen.
Auch das für Polymere bekannte leicht viskose Materialverhalten wurde in dieser
Arbeit dahingehend untersucht, dass eine zeitliche Abhängigkeit des Ma-
terialverhaltens bei den unterschiedlichen Belastungsgeschwindigkeiten von
0,1 µm s-1 bis 20 µm s-1, um lediglich 1,7 % streuende Ergebnisse der Durch-
biegungen ergab, wobei für die E-Moduluntersuchungen mit konstanter
Belastungsgeschwindigkeit gearbeitet wurde.
Trotz dieser relativ groß anmutenden Fehlerwerte tritt der Größeneffekt teils
signifikant in Erscheinung. Das in der Literatur häufig zitierte experimentelle
Ergebnis von CHONG (2002) [16] konnte in dieser Arbeit nachvollzogen werden.
Der in der vorliegenden Arbeit gemessene innere Längenparameter des Materials
Epoxid von "=7,75 µm ist um rund 17 % niedriger als der Literaturwert von
"=9,4 µm. Neben den messtechnischen Abweichungen, kommen zudem Unter-
schiede im Verfahren der Epoxidherstellung zum Tragen. Des Weiteren scheinen
die gewählten Verschiebungsfeldannahmen bei der analytischen Modellierung der
Balkenbiegung einen deutlichen Einfluss auf die Größe des inneren
Längenparameters auszuüben. Innerhalb der Momentenspannungstheorie wurde
in der vorliegenden Arbeit mit den Annahmen des EULER-BERNOULLI
Balkenmodells gerechnet, wobei sich die Arbeiten von CHONG [16], LAM et al.
[52] und KONG [50] auf einen Verschiebungsfeldansatz nach O’MALLEY
Auswertung und Diskussion
146
beziehen, wodurch der Wert des inneren Längenparameters bei vernachlässigter
Querkontraktionskopplung um das
2
-fache unterscheidet und für
5,00
Q
weiter steigt. Auf diese Weise extrahieren die genannten Autoren den inneren
Längenparameter von Epoxid zu "=17,6 µm. Durch die Unabhängigkeit von
Verschiebungsfeldansätzen untermauert das vorliegende finite Elemente Modell
der MS-Theorie die Anwendung des EULER-BERNOULLI Balkenmodells, selbst bei
vernachlässigter Querkontraktion.
Die Mikro-RAMANspektroskopie, speziell zum Messen von Dehnungen an Kleinst-
proben, stößt, wie in dieser Arbeit dargelegt, an eine Grenze. Durch die wellen-
längenabhängige Eindringtiefe des anregenden Laserlichts ist davon auszugehen,
dass es im Streuvolumen zu einer Mischung der dehnungsinduzierten Wellen-
längenmodulation kommt. Sind die Dehnungen innerhalb dieses Streuvolumens
örtlich nicht konstant, so können diese im Gerät nicht weiter aufgelöst werden.
Die charakteristische Größe des Streuvolumens entspricht in erster Abschätzung
der Eindringtiefe des Anregungslichtes, welche in dieser Arbeit für einkristallines
Silizium mit einem unkonventionellen Verfahren zu etwa 900 nm gemessen
worden ist und damit im gleichen Bereich wie der Literaturwert von ca. 950 nm
liegt. Für zukünftige Forschungsvorhaben in diesem Bereich sollte die Eindring-
tiefe deutlich verringert werden, indem kürzere Anregungswellenlängen genutzt
werden (UV-Laser), oder die Tip-Enhanced Ramanspektroskopie TERS einge-
setzt wird.
Der positive Größeneffekt im Elastizitäsmodul einiger hier geprüfter Materialien
lässt sich durch die Modellfunktionen der MDG-, der MS- und der OF-Theorie gut
annähern, wohingegen der negative Größeneffekt im Rahmen der vorgestellten
Modelle lediglich mit der OF-Theorie zu beschreiben ist. Die Anwendung
Letzterer führte auf nicht physikalische Oberflächenelastizitätsmodulwerte mit
dessen Hilfe die experimentell gewonnenen Ergebnisse eines negativen Größen-
effekts modelliert werden konnten. Alternativ könnte eine Ausarbeitung der OF-
Theorie unter Miteinbeziehung von Oberflächeneigenspannungen γ0 eine
physikalisch korrekte Modellierbarkeit auch des negativen Größeneffekts
zulassen. Mit den in dieser Arbeit vorgestellten Methoden analytischer sowie
messtechnischer Art kann in zukünftigen Forschungsvorhaben des Weiteren
erörtert werden, welcher kontinuumstheoretische Ansatz für ein jeweiliges
Auswertung und Diskussion
147
Material geeigneter ist, indem die zusätzlichen Abhängigkeiten von den restlichen
äußeren Abmaßen, der Breite und der Länge, in darüber hinaus zusätzlichen
Testmoden (wie dem einfachen Zug-, oder Torsionsversuch) explizit mit
untersucht werden. Die Modellfunktion der einfachen Balkenbiegung in der
MDG-Theorie zeigte z. B. eine zusätzliche Abhängigkeit von der Länge L (siehe
Gleichung (5.3)2) und die der OF-Theorie eine zusätzliche Abhängigkeit von der
Breite B (siehe Gleichung (5.6)). Modelliert man zudem in der OF-Theorie die
zusätzliche konstante Oberflächenspannung γ0, so ergäbe sich eine neue Modell-
funktion mit gewichteten zusätzlichen Abhängigkeiten von der Länge und der
Breite, [108]. Mit geeigneten Probengeometrien ließen sich diese Zusammen-
hänge weiter untersuchen und die Gültigkeit einzelner Theorien bewerten. Des
Weiteren sollte eine zukünftige Erforschung der mikropolaren Kontinuumstheorie
der Frage nach der Symmetrie des Momentenspannungstensors nachgehen.
Mit dieser Arbeit ist zur Erforschung erweiterter Kontinuumstheorien, speziell bei
der Bestimmung erweiterter Materialkoeffizienten, ein weiterer Beitrag geleistet,
indem die Basis verschiedener Theoriekonstrukte zusammengetragen, dargelegt
und am einfachen Beispiel ausgewertet worden ist.
Auswertung und Diskussion
148
Anhang
149
Anhang
A1
Um zu zeigen, dass bei der Skalarmultiplikation (doppelte Indizeüberschiebung)
zwischen dem symmetrischen Spannungstensor
ij
V
und dem nicht-symmetrischen
Verschiebungsgradienten Hij anstelle des letzteren der Verzerrungstensor kleiner
Deformationen
ij
H
eingesetzt werden kann, seien zunächst zwei beliebige Tenso-
ren Aij und Bij im gleichen orthonormalen Basissystem definiert. Dann bringt die
Zerlegung in symmetrische (S) und antisymmetrische Anteile (A) bei der Skalar-
multiplikation den folgenden Zusammenhang:
>
@>
@
.
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
A
2
1
S
2
1
A
2
1
S
2
1
jijiijjijiijijij
jijiijjijiijijij
jijiijjijiijijij
jiijjiij
jiijjiijjiijjiij
jiijjiijjiijjiij
ij
jiij
ij
jiij
ij
jiij
ij
jiij
ij
ij
BABABABA
BABABABA
BABABABA
BBAA
BBAABBAA
BBAABBAA
B
BB
B
BB
A
AA
A
AA
BA
(A1.1)
Mit Hilfe folgender Umindizierungen:
jijijkjklklkikikijij BABABABABA
(A1.2)
und
ijjikjjkkllkkiikjiij
BABABABABA
(A1.3)
wird aus Gleichung A1.1:
Anhang
150
.
2
1
SS
2
1
S
2
1
S
2
1
ijji
ijij
ijij
ijji
ijij
ij
jiij
ij
jiijij
ij
BABA
B
A
BABA
B
BB
A
AABA
(A1.4)
Sei nun Aij selbst ein symmetrischer Tensor
jiijij
AAA
S
, dann gilt:
.
0
SS
2
1
SSS
ijij
ij
ij
ijij
ijij
ij
ij
B
ABABA
B
ABA
(A1.5)
Übersetzt auf gängige Größen aus der Kontinuumsmechanik kann aus Gleichung
A1.5 gefolgert werden:
.
d
d
dddd ,,
2
1
S
,
,ij
ij
ij
ijjiijjiij
ji
ij uuuu
HV
H
VVV
(A1.6)
A2
Im Folgenden ist der Basisteil des erarbeiteten und genutzten Programmiercodes
für Berechnungen in der Elastostatik der Momentenspannungstheorie bereit
gestellt. Dabei wird im Grundsatz auf die Programmiersprache „Python“ in der
Version 2.6 und die Befehlsbibliothek von FEniCS, genannt „dolfin“ zurück-
gegriffen.
&RXSOH6WUHVVHODVWLFLW\
&/LHEROG%($EDOL:+0XHOOHU
VXSSO\FRGH
BBDXWKRUBB DXWKRUV &/LHEROGFKULVWLDQOLHEROG#WXEHUOLQGH
BBGDWHBB
BBFRS\ULJKWBB &RS\ULJKW&&/LHEROG
BBOLFHQVHBB *18/*3/9HUVLRQRUODWHU
BBDGGUHVVBB KWWSWXEHUOLQGHONP&RPSXWDWLRQDO5HDOLW\
&RS\ULJKW&&/LHEROG
7KLVFRGHLVIUHHVRIWZDUH\RXFDQUHGLVWULEXWHLWDQGRUPRGLI\
Anhang
151
LWXQGHUWKHWHUPVRIWKH*18/HVVHU*HQHUDO3XEOLF/LFHQVHDVSXEOLVKHGE\
WKH)UHH6RIWZDUH)RXQGDWLRQHLWKHUYHUVLRQRIWKH/LFHQVHRU
DW\RXURSWLRQDQ\ODWHUYHUVLRQ
7KLVFRGHLVGLVWULEXWHGLQWKHKRSHWKDWLWZLOOEHXVHIXO
EXW:,7+287$1<:$55$17<ZLWKRXWHYHQWKHLPSOLHGZDUUDQW\RI
0(5&+$17$%,/,7<RU),71(66)25$3$57,&8/$5385326(6HHWKH
*18/HVVHU*HQHUDO3XEOLF/LFHQVHIRUPRUHGHWDLOV
)RUWKH*18/HVVHU*HQHUDO3XEOLF/LFHQVHVHHKWWSZZZJQXRUJOLFHQVHV!
IURPGROILQLPSRUW
LPSRUWQXPS\
GHIFUHDWHBPHVK
IRUFH HP1
]OHQJWK H
H]
[OHQJWK ]OHQJWK
\OHQJWK ]OHQJWK
H[ LQW[OHQJWKH]]OHQJWK
H\ H]
PHVK %R[[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWKH[H]H]
ORDG IRUFH\OHQJWK]OHQJWK 6FKHUVSDQQXQJDPIUHLHQ(QGH
UHWXUQ[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWKPHVKORDGIRUFHH[H\H]
0DWHULDOüGDWD(SR[\>PPNJV@
(QXQXX H
ODPEDGD (QXXQXXQXX
PX (QX
(0 (QXXQXX
PXXX (QXX
GHIFRPSXWH[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWKPHVKORDGH[H\H]
FODVV/LQNV6XE'RPDLQ
GHILQVLGHVHOI[RQBERXQGDU\
UHWXUQQHDU[>@(DQGRQBERXQGDU\
OLQNV /LQNV
FODVV5HFKWV6XE'RPDLQ
GHILQVLGHVHOI[RQBERXQGDU\
UHWXUQQHDU[>@[OHQJWK(DQGRQBERXQGDU\
UHFKWV 5HFKWV
6SDFH 9HFWRU)XQFWLRQ6SDFHPHVK&*GLP
SORWB6SDFH 9HFWRU)XQFWLRQ6SDFHPHVK'*GLP
GX 7ULDO)XQFWLRQ6SDFH =LHOIXQNWLRQ
GHOX 7HVW)XQFWLRQ6SDFH 7HVWIXQNWLRQ
X )XQFWLRQ6SDFH
ERXQGDULHV 0HVK)XQFWLRQXLQWPHVKPHVKWRSRORJ\GLP
ERXQGDULHVVHWBDOO
OLQNVPDUNERXQGDULHV
UHFKWVPDUNERXQGDULHV
GV 0HDVXUHGV>ERXQGDULHV@
EFV >'LULFKOHW%&6SDFH&RQVWDQWERXQGDULHV@
7UDFWLRQ ([SUHVVLRQDDEEFFDD EE FF ORDG
GHOWD ,GHQWLW\
LMNOPRSWQ LQGLFHV
H DVBWHQVRU>
@
Anhang
152
VLJPD DVBWHQVRUODPEDGDGHOWD>PQ@GHOWD>RS@PXGHOWD>PR@GHOWD>QS@GHOWD>PS@
GHOWD>QR@X>R@G[SX>S@G[RPQ
PXFV DVBWHQVRUPXXOHOHH>PSR@X>R@G[SG[QH>QSR@X>R@G[SG[P
PQ
'*/9DULDWLRQDOIRUP
92/ VLJPD>LM@GHOX>M@G[LGHOX>L@G[MG[?
PXFV>UL@H>UMN@GHOX>N@G[MG[LH>LMN@GHOX>N@G[MG[UG[?
H>NLM@GHOX>M@G[LPXFV>RN@H>NLM@GHOX>M@
G[LPXFV>RN@1>R@G6
%'5 7UDFWLRQ>S@GHOX>S@GV
VROYH92/ %'5XEFV
3267352&(6625
8 9HFWRU)XQFWLRQ6SDFHPHVK'*
0 9HFWRU)XQFWLRQ6SDFHPHVK'*
%LHJHOLQLH9HUVFKLHEXQJVIHOG
ILOHBX )LOHVWUOHB&6IDHSYG
ILOHBXX
5RWDWLRQVYHNWRUHUVWHOOHQ
ILOHBSKL )LOHVWUOHB&6IDHBSKLSYG
SKL DVBWHQVRUH>LMN@X>N@G[ML
SKLYHF SURMHFWSKL8LQWHUSRODWH
ILOHBSKLSKLYHF
5RWDWLRQVJUDGLHQWHUVWHOOHQ
YHF DVBWHQVRU
ILOHBFKL )LOHVWUOHB&6IDHBFKLSYG
FKL DVBWHQVRUX>P@P
FKLPHVK SURMHFWFKL0
ILOHBFKLFKLPHVK
[['HKQXQJHUVWHOOHQ
YHF DVBWHQVRU
ILOHBHSV )LOHVWUOHB&6IDHBHSVSYG
HSV DVBWHQVRUX>R@G[SX>S@G[RYHF>R@S
HSVPHVK SURMHFWHSV8
ILOHBHSVHSVPHVK
9HUJOHLFKVGHKQXQJHUVWHOOHQ
HS DVBWHQVRUX>R@G[SX>S@G[RRS
HSVYJO DVBWHQVRUHS>@HS>@HS>@HS>@HS>@HS>@HS>@
HS>@HS>@HS>@HS>@HS>@YHF>L@L
(SVYJOPHVK SURMHFWHSVYJO8
9HUJOHLFKVURWDWLRQVJUDGLHQWHQHUVWHOOHQ
PX DVBWHQVRUPXXOHOHH>PSR@X>R@G[SG[QH>QSR@X>R@G[SG[P
PQ
PXGHYL DVBWHQVRUPX>LM@PX>GG@GHOWD>LM@LM
PXYJO DVBWHQVRUPXGHYL>NU@PXGHYL>NU@YHF>L@L
PXYJOPHVK SURMHFWPXYJO0
SORW[SORWXSORWSKLSORWFKLSORWHSVSORWHSVYJOSORWPXYJO
QXPS\DUDQJH>@>@>@>@>@>@
IRU[BLQSORW[
[ [B[OHQJWK
3 [\OHQJWK]OHQJWK
% [\OHQJWK]OHQJWK
SORWXDSSHQGX3>@
SORWSKLDSSHQGSKLYHF%>@
SORWFKLDSSHQGFKLPHVK%>@
SORWHSVDSSHQGHSVPHVK%>@
SORWHSVYJODSSHQGHSVYJOPHVK%>@
SORWPXYJODSSHQGPXYJOPHVK%>@
UHWXUQXSORWXSORWSKLSORWFKLSORWHSVSORWHSVYJOSORWPXYJOSORW[HSVPHVK
&DOO)XQFWLRQ
IRUOHLQ>(((@
LQIRYDULDWLQJWKHOHQJWKSDUDPHWHUOH VWUOHPLOOLPHWHU
[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWKPHVKORDGHLQIONQRWHQ FUHDWHBPHVKIRUFHOH
GRIV PHVKQXPBYHUWLFHVPHVKWRSRORJ\GLP
LQIRPRGHOFRQVLVWVVWUGRIVGHJUHHVRIIUHHGRP
Anhang
153
XSORWXSORWSKLSORWFKLSORWHSVSORWHSVYJOSORWPXYJOSORW[HSVPHVK
FRPSXWH[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWKPHVKORDGOHHLQIONQRWHQ
'LUHFW2XWSXW
O OH
[OHQ [OHQJWKNQRWHQ
$I \OHQJWK]OHQJWK
,\\ \OHQJWK]OHQJWK]OHQJWK]OHQJWK
ZFV IRUFH(,\\PXXX$IOO[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ
ZHE IRUFH(,\\[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ[OHQ
'R IRUFHZHE
'FVB'R IRUFHZFV'R
'IHPB'R IRUFHX[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWK>@'R
SULQW!(%NODVVLVFKZHEPP
SULQW!&6DQDO\WLVFKZFVPPIXHUO VWUOH
SULQW!)(0)(QL&6X[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWK>@PPIXHU
O VWUOH$EZHLFKJZFVX[OHQJWK\OHQJWK]OHQJWK>@
SULQW!QRUPLHUWH%LHJHVWHLILJNHLW'FV'R 'FVB'R
SULQW!QRUPLHUWH%LHJHVWHLILJNHLW'IHP'R 'IHPB'R
9LVXDOL]DWLRQ
LPSRUWPDWSORWOLES\SORWDVS\ODE
S\ODELRQ
S\ODEFOI
S\ODEFOD
S\ODEUF3DUDPVXSGDWH^IRQWVL]H`
3ORWV
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHOUXB^]`LQPPIRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOHGHIOHFWLRQFXUYH
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWXPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
S\ODESORWSORW[SORWXPDUNHU VPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOVH
S\ODESORWSORW[SORWXPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHOU?YDUSKLB^\`IRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOHURWDWLRQYHFWRU
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWSKLPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
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HOVH
S\ODESORWSORW[SORWSKLPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHO?FKLB^\[`IRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOHURWDWLRQJUDGLHQW
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWFKLPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
S\ODESORWSORW[SORWFKLPDUNHU VPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOVH
Anhang
154
S\ODESORWSORW[SORWFKLPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHO?HSVLORQB^[[`IRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOH[VWUDLQ
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWHSVPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
S\ODESORWSORW[SORWHSVPDUNHU VPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
HOVH
S\ODESORWSORW[SORWHSVPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH OLQHZLGWK
ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHO?HSVLORQB^9*/`IRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOHHTXLYDOHQWVWUDLQ
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWHSVYJOPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
S\ODESORWSORW[SORWHSVYJOPDUNHU VPDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
HOVH
S\ODESORWSORW[SORWHSVYJOPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
S\ODEVXESORW
S\ODE\ODEHO?PXB^9*/`IRQWVL]H
S\ODE[ODEHOD[LDOFRRUGLQDWH[B^`/
S\ODEWLWOHHTXLYDOHQWFRXSOHVWUHVV
S\ODEJULG7UXH
LIOH
S\ODESORWSORW[SORWPXYJOPDUNHU PDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
HOLIOH (
S\ODESORWSORW[SORWPXYJOPDUNHU VPDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
HOVH
S\ODESORWSORW[SORWPXYJOPDUNHU RPDUNHUVL]H OLQHVW\OH
OLQHZLGWK ODEHO O VWUOHPP
S\ODEOHJHQGORF EHVW
S\ODEGUDZ
HQGRIILOHHQGRIILOHHQGRIILOHHQGRIILOHHQGRIILOH
Abkürzungsverzeichnis
155
Abkürzungsverzeichnis
LKM Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
IZM Fraunhofer Institut für Zuverlässigkeit und Mikrointegration
PTB Physikalisch Technische Bundesanstalt
FE Finite Elemente
EB EULER-BERNOULLI Ansatz
FEM Finite Elemente Methode
FA Frequenzanalyse
AFM Atomkraftmikroskop
MRS Mikro-RAMANspektroskopie
MP Mikopolare (Theorie)
DG Dehnungsgradienten(theorie)
MDG Modifizerte Dehnungsgradienten(theorie)
MS Momentenspannungs(theorie)
OF Oberflächen(theorie)
FEniCS Open Source FE-Software
CNT Carbon Nanotubes (Kohlenstoffnanoröhrchen)
MEMS Mikroelektromechanisches System
NEMS Nanoelektromechanisches System
N. V. Aktiengesellschaft (niederländisch)
i. A. im Allgemeinen
u. a. unter anderem
a. u. willkürliche Einheit
bzw. beziehungsweise
d. h. das heißt
Abkürzungsverzeichnis
156
z. B. zum Beispiel
µN Mikronewton
mN Millinewton
kN Kilonewton
MN Meganewton
cm Zenitmeter
mm Millimeter
µm Mikrometer
nm Nanometer
kg Kilogramm
Hz Hertz
kHz Kilohertz
THz Terrahertz
GPa Gigapascal
sog. sogennante
DIN Deutsche Indexnorm
ASTM American Society for Testing and Materials
FFT Fast Fourier Tranformation
RKM Rasterkraftmikroskop
SFM Scanning Force Microscope
SPM Scanning Probe Micrsocope
STM Scanning Tunnel Microscope
PSD Photosensitive Diods
ISO International Organization for Standardization
Si Silizium
LDI Laser Direct Imager
REM Rasterelektronenmikroskop
Abkürzungsverzeichnis
157
CCD Coupled Charged Device
PDP Phononendeformationspotential
E EULER
L LAGRANGE
G GREEN
S Symmetrisch
s Oberfläche
e Element
A Antisymmetrisch
EVZ Ebener Verzerrungszustand
RB Randbedingung
DGL Differentialgleichung
SixNx Siliziumnitrid
DOF Systemfreiheitsgrade (engl.: „Degrees Of Freedom“)
Symbolverzeichnis
158
Symbolverzeichnis
A
i
Xxrx ,,,
Ortsvektoren
X materieller Punkt
i
e
Einheitsvektoren
E Elastizitätsmodul
S Strukturmodul
" Innerer Längenparameter des Materials (höherer
Materialkoeffizient)
U elektrische Spannung, bzw. innere Energie
Uklass Innere Energie in der klassischen Theorie
L, B, H, A Länge, Breite, Höhe, Flächeninhalt
Iyy Flächenträgheitsmoment
Itr Flächenträgheitsmoment bei trapezförmigen Querschnitt
ρ Dichte
w(x) Biegelinie eines Balkens
F Kraft
t, s Zeit
fn, f1 n-te Eigenfrequenz, erste Eigenfrequenz
k Federkonstante
α Biegewinkel
0
E
Wellenamplitude elektromegnetischer Schwingung
E
k
Wellenvektor
0E,
ZZ
Kreisfrequenz der eintreffenden Welle und der Grundschwingung
r
Z
Kreisfrequenz der Gitterschwingung
0
P
Polarisationsamplitude
Symbolverzeichnis
159
))(( tQr
F
Polarisierbarkeits-/ Suszeptibilitätstensor
)(tQ
r
Normalkoordinaten der Gitterschwingung
q
Wellenvektor der Gitterschwingung
IIND Intensität der induzierten Polarisation
r
R
RAMAN-Tensoren
I
e
,
S
e
Polarisationsvektoren des einfallenden und gestreuten Lichts
a Elongation der effektiven Masse
eff
M
effektive Massenmatrix
eff
K
effektive Kraftkonstantenmatrix
ij
I
G
,
Einheitstensor
Q
Querkontraktionszahl
f
Q
Schwingfrequenz
²¢4
P
Tensor der Phononendeformationspotentiale
p, q, r Phononendeformationspotentiale für Si
ij
HH
,
Dehnungstensor kleiner Deformation
ij
H
c
Deviator des Dehnungstensors
G
ij
E
GREENscher Verzerrungstensor
B0 Körper in der Referenzkonfiguration
Bt Körper in der Momentankonfiguration
Ψ beliebige Feldgröße
2PK
ij
T
zweiter PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor
Hijkl Tensor elastischer Konstanten im ST. VENANT-KIRCHHOFF Gesetz
Cijkl Tensor elastischer Konstanten im HOOKEschen Gesetz
ijk
LEVI-CIVITA Symbol
Hij Verschiebungsgradient
Symbolverzeichnis
160
V(t) zeitabhängiges Volumen
K Körper
υi Geschwindigkeitsfeld
bi spezifischer Volumenkraftsvektor
ti Oberflächenkrafts- oder Spannungsvektor
mj Oberflächenmomentenvektor
ij
V
CAUCHYscher Spannungstensor
u innere Energiedichte
qi Wärmeflussvektor
Fij materieller Deformationsgradient
l
F
Komponenten der Bewegung
θ Temperatur
λ, μ LAMÉsche Konstanten
q(x) Linienlast
ui Verschiebungsfeld
Π Minimierungsfunktion
Kklass Arbeit der äußeren Kräfte der klassischen Theorie
Di, di Direktoren in der Referenzplatzierung und Momentanplatzierung
Qij Orientierungstensor
P Partikel
rot
C
kin,EE
kinetische und rotatorische Energie
s, si Spinvektor
jl
T
Massenträgheitsmoment
fi , li Volumenkräfte und -momente
),( tx
k
ij
P
CAUCHYscher Momentenspannungstensor
Symbolverzeichnis
161
ij
M
materieller Momentenspannungstensor
ni Flächennormale
k
e
antisymmetrischen Anteils des Kraftspannungstensors
Q, N, M Normal- und Querkräfte, Momente
),( tx
nij
V
unsymmetrischer CAUCHYscher Kraftspannungstensor
ij
Γ
relativer Orientierungstensor
321 ,,
JJJ
, κ COSSERATsche elastischen Konstanten
ϕi, φi Mikrorotations-, Makrorotationsvektor
k
ij
K
Verzerrungstensor höherer Ordnung
Sijk Spannungstensor höherer Ordnung (Hyperspannungstensor)
S
ijk
K
symmetrische Teil des Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung
(1)
ijk
K
Deviator des symmetrischen Teils des Verschiebungsgradienten
zweiter Ordnung
(O)
ijk
K
Kugelteil symmetrischen Teils des Verschiebungsgradienten
zweiter Ordnung
imm,
H
Gradient der Spur des Dehnungstensors
l
i
K
Rotationsgradient
S
ij
F
,
A
ij
F
symmetrische- und der antisymmetrische Teil des Rotations-
gradienten
pi, μijk, μij höhere Spannungsmaße
MDG
A
G
Variation der Arbeit der äußeren Kräfte der MDG-Theorie
M h höheren Momente
D Biegesteifigkeit
sα Tangentialvektoren
zα
Flächenkoordinaten
καβ Krümmungstensors der Oberfläche
Symbolverzeichnis
162
ταβ CAUCHYscher Oberflächenspannungstensor
S
DE
H
Oberflächendehnungstensor
DE
g
Oberflächenmetrik
DE
G
Oberflächenidentitätstensor
σ Oberflächenenergiedichte
γ0 Eigenspannungen in der Oberfläche
λS, μS LAMÉsche Konstanten der Oberfläche
νS
Querkontraktionszahl der Oberfläche
Eb, ES
Volumen- und Oberflächenelastizitätsmoduln
Ae singuläre Flächen (Elementenflächen)
61 ,, **
Randgebiete eines Volumens
µVGL Vergleichsmomentenspannung
αr Koeffizienten einer Funktion
)
ˆ
(
ii
xy
i-ter Messwert
i
x
ˆ
i-ter Messpunkt
);
ˆ
(
ri
xf
D
Modellfunktion
fH höhenabhängiger Korrekturfaktor
fmess gemessener Korrekturfaktor
zneutral neutrale Faser bei trapezförmigen Querschnitt
Ra mittlere Rauheit
Abbildungsverzeichnis
163
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1.1: Hierarchische Übersicht ausgewählter erweiterter
Kontinuumstheorien zur Modellierung des
Größeneffekts der Elastizität. ............................................................... 4
Abbildung 2.1: Darstellung der Biegeline der Grundschwingung
einer stabförmigen Probe der Länge L................................................ 10
Abbildung 2.2: Darstellung des gesamten Messaufbaus zur
Frequenzanalyse. ................................................................................ 11
Abbildung 2.3: Plot der Frequenzfunktion über ein erwähltes
n
O
-
Intervall in willkürlicher Einheit (a. u.). ............................................. 13
Abbildung 2.4: a) Ein Bild der drei Probebalken mit künstlicher
Heterogenität. b) Dimensionen und Anordnungen
der Bohrungen. c) Plot der Ergebnisse für den E-
Modul. ................................................................................................ 16
Abbildung 2.5: Verschiedenartige Aluminiumschaumbalken zur
Frequenzbestimmung.......................................................................... 17
Abbildung 2.6: E-Modulwerte der zwei verschiedenen
Aluminiumschaumsorten bei unterschiedlichen
Balkenhöhen. ...................................................................................... 18
Abbildung 2.7: Links: Schematisches Schnittbild des MV1000TM-
Systems. Rechts: Konventionelle Makrofotografie
der AFM-Glasnadel vor einem im Hintergrund
befindlichen Millimetermaßstab. ........................................................ 20
Abbildung 2.8: Links: Schematischer Zusammenhang zwischen der
Auslenkung der AFM-Nadel und der Messspannung
U im PSD. Rechts: Mikroskopische Aufnahme des
freien Endes der AFM-Glasnadel. ...................................................... 21
Abbildung 2.9: Links: Die Kontrollmodule des MV1000TM. Rechts:
Schema des Flatscanners
(Feinpositionierungstisch). ................................................................. 22
Abbildung 2.10: Das Silizium-Biegesteifigkeitsnormal der PtB in
makroskopischer Aufnahme (links) und
mikroskopischer Aufnahme des freien Endes
(rechts). ............................................................................................... 24
Abbildung 2.11: Typische Messkurven der elektrischen Spannung im
PSD gegenüber des vertikalen Piezohubs. Links:
Originaldaten. Rechts: Zum Nullpunkt verschobene
Daten. Blau: Bereich der Nadelbiegung. Grün:
Bereich der Biegung des Si-Normals. ................................................ 25
Abbildung 2.12: Probenpräparation der strukturierten SU-8 Folien.
Links: Verklebung einzelner Folien mit
überstehenden Prüfstrukturen. Rechts: Einzelner
Mikrobalken samt Einspannungsbedingung nahe
der Glaskante und Kraftapplikation durch die AFM-
Spitze. ................................................................................................. 27
Abbildungsverzeichnis
164
Abbildung 2.13: Vermessung der Höhe der Mikrobalken mittels:
a) REM, b) Lichtmikroskop-I, c) DEKTAK-System
und d) Lichtmikroskop-II, gezeigt an verschiedenen
exemplarischen SU-8 Mikrobalken.....................................................28
Abbildung 2.14: Rohdaten der E-Modulwerte aller untersuchten SU-
8 Mikrobalken. ....................................................................................29
Abbildung 2.15: a) Handelsübliches härtbares Epoxidharz. b)
Schema des gehärteten Kunststoffes auf der
Polyetherbasis [R-O]n. c) Zwischen
Abstandshaltern mittig aufgetragenes Harz,
eingepresst zwischen zwei Präparationsgläsern. .................................31
Abbildung 2.16: a) Seitliche Aufnahme des Schneid- bzw.
Stanzwerkzeuges. b) Überstehend verklebte
Epoxidstreifen. c) Probenhalter zur Fixierung der
verklebten Gesamtprobe. ....................................................................32
Abbildung 2.17: Links: Lichtmikroskopische Messung der Breite
eines exemplarischen Mikrobalkens aus Epoxid.
Rechts: Exemplarische Messung der Höhe der
Epoxidschicht. .....................................................................................33
Abbildung 2.18: Rohdaten der E-Modulwerte der untersuchten
Mikrobalken aus Epoxid. ....................................................................34
Abbildung 2.19: Links: Exemplarische REM-Aufnahme eines SixNx-
Mikrobalkens. Rechts: Vermessung der
Balkenhöhe. ........................................................................................35
Abbildung 2.20: Plot der ermittelten E-Modulwerte der SixNx-
Mikrobalken. .......................................................................................36
Abbildung 2.21: Komponenten des Renishaw© RAMAN-Gerätes
InVia. ..................................................................................................38
Abbildung 2.22: Schematischer Aufbau des RAMAN-Geräts: 1)
einfache Kamera 2) halbdurchlässiger Spiegel 3)
Polarisator des rückgestreuten Lichtes 4)
Schlitzblende 5) Kantenfilter 6) optisches Gitter 7)
CCD Kamera 8) Filterrad der Laserleistung 9)
automatischer Shutter 10) Strahlenaufweiter 11)
λ/2-Verzögerungsplatte 12) XYZ-Verstelltisch 13)
Objektivlinsen 14) manuelles Shutterrad 15)
LASER Nr. 1 (633 nm) 16) LASER Nr. 2 (532 nm) ..........................39
Abbildung 2.23: Optomechanischer Drift der Siliziumlinie am
RAMAN-Gerät. .....................................................................................40
Abbildung 2.24: Die gemessene RAMAN-Linie von Silizium
zusammen mit der Neonreferenzlinie. ................................................40
Abbildung 2.25: Exemplarischer AFM-Biegebalken mit
dazugehörigem Koordinatensystem. ...................................................47
Abbildung 2.26: Rohdaten der E-Modulwerte der untersuchten
Mikrobalken aus einkristallinem Silizium. .........................................48
Abbildungsverzeichnis
165
Abbildung 2.27: Rohdaten der RAMANshifts entlang der Balkenachse
eines 191 µm langen Mikrobalkens aus
einkristallinem Silizium. ..................................................................... 50
Abbildung 2.28: Dehnungsmesswerte entlang der Balkenachse eines
191 µm langen Mikrobalkens aus einkristallinem
Silizium............................................................................................... 51
Abbildung 2.29: Farblich dargestellte Dehnungsmesswerte am
191 µm langen Mikrobalken aus einkristallinem
Silizium............................................................................................... 52
Abbildung 3.1: Referenz- und Momentankonfiguration eines
deformierbaren Körpers. ..................................................................... 54
Abbildung 3.2: Koordinatensystem, Kraft, Abmaße, Querschnitt
und Biegelinie eines einseitig fest eingespannten
Trägers. ............................................................................................... 69
Abbildung 3.3: Spezialfälle des mikromorphen Kontinuums nach A.
C. ERINGEN [32]. ................................................................................ 73
Abbildung 3.4: Schema zur Kinematik einer Starrkörpertranslation
und -rotation um den Massenschwerpunkt C. .................................... 74
Abbildung 3.5: Schema zur Aufteilung von Volumen- und
Oberflächenkräften in der Mikropolartheorie. .................................... 76
Abbildung 3.6: Darstellung der Scherspannungsvektoren am
infinitesimalen Volumenelement. ....................................................... 78
Abbildung 3.7: Darstellung einiger Kraft- und
Momentenspannungskomponenten am
infinitesimalen Volumenelement in der
Mikropolartheorie. .............................................................................. 79
Abbildung 3.8: Verdeutlichung der Funktionsvariablen (dem
Deformationsgradient und dem Gradient des
Deformationsgradienten) bei der Verformung im
Gradientenkontinuum. ........................................................................ 86
Abbildung 3.9: Schema der Aufspaltung des
Verschiebungsgradienten zweiter Ordnung in der
MDG-Theorie. .................................................................................... 90
Abbildung 3.10: Normierte Durchbiegungen über zur Balkenhöhe H
normierter innerer Längenparameter der MDG-
Theorie. ............................................................................................... 95
Abbildung 3.11: Der Abschluss der Molekülbindungen mit
resultierenden intermolekularen Kräften (rote
Pfeile) als Ursache von Molekülumlagerungen. ............................... 102
Abbildung 3.12: Zweidimensionales Beispiel ko- und
kontravarianter Vektorkomponenten. ............................................... 104
Abbildung 3.13: Kartesisches Inertialsystem und krummlinige
Flächenkoordinaten. ......................................................................... 105
Abbildung 3.14: Kartesisches Koordinatenystem und
Oberflächennumerierung am EULER-BERNOULLI
Balken. .............................................................................................. 107
Abbildungsverzeichnis
166
Abbildung 4.1: Qualitative Darstellung eines LAGRANGE- (oder
Tetraeder-) Elements zweiter Ordnung. ............................................116
Abbildung 4.2: Beispielhafte Darstellung eines diskretisierten
Biegebalkens vor und nach der Berechnung.
L=10H=10B.......................................................................................117
Abbildung 4.3: Das Konvergenzverhalten des numerischen Modells
eines unterschiedlich fein diskretisierten
Biegebalkens. L=18H=18B, H=59 µm, "=0 µm. ..............................118
Abbildung 4.4: Das Konvergenzverhalten des numerischen Modells
eines unterschiedlich fein diskretisierten
Biegebalkens. L=18H=18B, H=59 µm, "=25 µm. ............................119
Abbildung 4.5: Die drei unterschiedlich vernetzten numerischen
Modelle zur speziellen Untersuchung der
Abhängigkeit der Elementengröße. L=18H=18B,
"=25 µm. ...........................................................................................120
Abbildung 4.6: Die prozentuale Abweichung der Biegewerte dreier
unterschiedlich vernetzter numerischer Modelle zu
den jeweiligen analytischen Werten. L=18H=18B,
"=25 µm. ...........................................................................................121
Abbildung 4.7: Die Biegelinie. L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und
19 µm. ...............................................................................................122
Abbildung 4.8: Der Dehnungs- und Vergleichsdehnungsverlauf.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm. ..........................................123
Abbildung 4.9: Der Rotations- und Rotationsgradientenverlauf.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm. ..........................................123
Abbildung 4.10: Der Verlauf der Vergleichsmomentenspannung.
L=40H=40B. "=0 µm, 8 µm und 19 µm. ..........................................124
Abbildung 4.11: Plot von Biegesteifigkeitsverhältnissen aus
Experiment (*CHONG, 2002 [16]), Analytik und
Simulation. "=9,4 µm. .......................................................................125
Abbildung 5.1: Ergebnisse der E-Modulmessung an Aluminium mit
künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der MS-Theorie mit angepassten Koeffizienten. ..............................133
Abbildung 5.2: Ergebnisse der E-Modulmessung an Aluminium mit
künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der MDG-Theorie mit angepassten Koeffizienten. ...........................133
Abbildung 5.3: Ergebnisse der E-Modulmessung an Aluminium mit
künstlicher Heterogenität und der Modellfunktion
der OF-Theorie mit angepassten Koeffizienten. ...............................134
Abbildung 5.4: Ergebnisse der E-Modulmessungen beider
Aluminiumschäume und den Modellfunktionen der
OF-Theorie mit jeweils angepassten Koeffizienten. .........................135
Abbildung 5.5: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-
8 und die Modellfunktion der MDG-Theorie mit
angepassten Koeffizienten. ...............................................................136
Abbildungsverzeichnis
167
Abbildung 5.6: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-
8 und die Modellfunktion der OF-Theorie mit
angepassten Koeffizienten. ............................................................... 137
Abbildung 5.7: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an SU-
8 und die Modellfunktion der MS-Theorie mit
angepassten Koeffizienten. ............................................................... 137
Abbildung 5.8: Gemittelte Ergebnisse der E-Modulmessung an
Epoxid und die Modellfunktionen der MS-, MDG-
und OF-Theorie. ............................................................................... 138
Abbildung 5.9: Ergebnisse der E-Modulmessung an einkristallinem
Silizium und der Modellfunktion der klassischen
Theorie (arithmetisches Mittel). ....................................................... 139
Abbildung 5.10: Veranschaulichung des linearen Dehnungsverlaufs
entlang der z-Achse bei einem trapezförmigen
Querschnitt und des Dehnungsmesspunktes bei
halber Eindringtiefe. ......................................................................... 141
Abbildung 5.11: Plot gemessener und abgeschätzter
Eindringtiefenfaktoren. ..................................................................... 142
Abbildung 5.12: Ergebnisse der E-Modulmessung an amorphem
Siliziumnitrid und der Modellfunktion der
klassischen Theorie........................................................................... 143
Tabellenverzeichnis
168
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1.1: Literaturquellen zu experimentellen Daten1 des
Größeneffekts in der Elastizität. ............................................................6
Tabelle 2.1: Daten zur Untersuchungsreihe der Balken mit
künstlicher Heterogenität. ...................................................................14
Tabelle 2.2: Daten der Untersuchung der Aluminiumschaumbalken. ............................18
Tabelle 2.3: Abmaße und Messdaten der untersuchten SU-8
Mikrobalken. .......................................................................................30
Tabelle 2.4: Abmaße und Messdaten zur Untersuchungsreihe aus
Epoxid. ................................................................................................34
Tabelle 2.5: Abmaße und Messdaten der Untersuchung der SixNx-
Mikrobalken. .......................................................................................36
Tabelle 2.6: RAMAN-Auswahlregeln für einkristallines Silizium nach
SIEGLE, [92]. .......................................................................................43
Tabelle 2.7: Abmaße und Messdaten der untersuchten Mikrobalken
aus Silizium. ........................................................................................49
Tabelle 5.1: Materialparameter aus den Untersuchungen der
Aluminiumbalken mit künstlicher Heterogenität. .............................132
Tabelle 5.2: Materialparameter der Untersuchungsreihe der
Aluminiumschäume. .........................................................................134
Tabelle 5.3: Materialparameter aus den Untersuchungen des SU-8
Polymers. ..........................................................................................136
Tabelle 5.4: Materialparameter der Untersuchungsreihe des Epoxids..........................138
Tabelle 5.5: Materialparameter des untersuchten Siliziums. ........................................139
Tabelle 5.6: Auswertung von gemessenem und analytischem
Korrekturfaktor. ................................................................................142
Literaturverzeichnis
169
Literaturverzeichnis
[1] Altenbach J., Altenbach H.: Einführung in die Kontinuumsmechanik.
Teubner Studienbücher, Stuttgart, 1994.
[2] Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A.: On generalized Cosserat-type
theories of plates and shells: A short review and bibliography. Arch. Appl.
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