Experimentelle Untersuchungen des dynamischen
Verhaltens von Gasfolienlagern und dessen
konstruktive Beeinflussbarkeit
vorgelegt von
M. Sc.
Gervais Cédric Djoko Kayo
an der Fakultät V - Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
-Dr.-Ing.-
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing Henning Meyer
Erster Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Robert Liebich
Zweiter Gutachter: Prof. Dr.-Ing dr.techn. livre-docente Ilmar F. Santos
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 28. Januar 2022
Berlin 2022
Kurzfassung
Gasfolienlager (aus dem Englischen Gas Foil Bearing, kurz GFB) sind aufgrund ihres Aufbaus
sowie ihres Schmiermediums umweltfreundliche, verlustarme und kostengünstige Maschinen-
komponenten, die besonders bei leichten und schnellen Rotoren Anwendung finden. Dank ihrer
elastischen Lagerwand können sie im Gegensatz zu Gleitlagern leichte Druckschwankungen im
Schmierfilm während des Betriebs selbst regulieren. Diese Lagertechnologie wurde jedoch noch
nicht ausreichend erforscht. Daher ist das Hauptziel dieser Arbeit die experimentelle Untersuchung
von GFBs sowie von GFB-gelagerten Rotoren.
Die elastische Lagerwandstruktur, die, wie bereits erwähnt, die Besonderheit der GFBs darstellt,
ist das erste Untersuchungsobjekt in dieser Arbeit. Dabei wird das Strukturverhalten sowohl
numerisch simuliert als auch experimentell untersucht. Es werden im analytischen Teil statische
sowie dynamische Modelle nach Iordanoff, Heshmat sowie Le Lez implementiert und einander
gegenübergestellt. Dabei zeigt das Modell von Le Lez gute Ergebnisse und wird als Strukturmodell
für den weiteren numerischen Teil bevorzugt.
Die experimentellen Versuche an der elastischen Lagerwand werden statisch sowie dynamisch
durchgeführt. Bei der statischen Untersuchung wird das GFB von einer statischen Kraft belastet,
um den Weg-Kraft-Verlauf aufzunehmen. Die Messung wird an einem mit Shims modifizier-
ten sowie einem nicht modifizierten Lager durchgeführt. Es handelt sich bei den Shims um
metallischen Lehrenbleche, die zwischen Bumpfolie und Gehäuse hineingebracht werden. Diese
Modifikation des Lagers sorgt für einen Anstieg der Lagersteifigkeit und eine Reduzierung des
Nominalspalts. Bei der dynamischen Messung gilt das Interesse dem Verhalten der Struktur in
Abhängigkeit der Erregerfrequenz, der Schwingungsamplituden und der statischen Lagerlast.
Das Lagerstrukturverhalten wird anschließend hinsichtlich Steifigkeit und Dämpfung analysiert.
Die Versuche zeigen bei zunehmenden Frequenzen eine Erhöhung der Steifigkeit, während die
Dämpfung abnimmt. Dieses Verhalten ist unabhängig von den Schwingungsamplituden.
Im realen Betrieb setzt sich jedoch die Steifigkeit und die Dämpfung von GFBs sowohl aus der
elastischen Lagerwandstruktur als auch aus dem Schmierfilm zusammen. Zur Bestimmung dieser
Lagerparameter werden Versuche bei unterschiedlichen konstanten Drehzahlen durchgeführt. Die
Ergebnisse zeigen, dass durch den dabei aufgebauten Schmierfilm die Steifigkeit des Lagers sinkt.
Außerdem lässt sich ein Anstieg der Lagersteifigkeit durch die Modifizierung des Lagers mit
Shims beobachten.
Die Untersuchungen zur Bestimmung der Lagerparameter sind zeit- und kostenintensiv. Daher
ist die Reproduktion dieser Versuche durch numerische Simulationen anzustreben. Dabei werden
sowohl der Schmierfilm als auch die elastische Lagerwandstruktur modelliert. Ein Vergleich mit
den experimentellen Ergebnissen deutet darauf hin, dass das Modell etwas konservativer ist,
denn die Lagerparameter werden ein wenig unterschätzt. Dennoch liefert das Modell eine gute
Vorhersage für die Auslegung von GFBs.
Beim letzten Experiment wird untersucht, wie ein mit GFB-gelagerter Rotor auf reale Ein-
flüsse, wie Beschleunigungsänderung oder Unwucht, reagiert. Dabei liegt der Fokus auf den
subharmonischen Schwingungen, die bei GFB-gelagerten Systemen im höheren Drehzahlbereich
auftreten. Aufgrund der niedrigen Dämpfung der GFBs können diese Schwingungen nicht aus-
reichend gedämpft werden. Solche Schwingungen können zur Lagerversagen führen, wenn ihre
Amplitude ausreichend hoch ist. Im Rahmen dieser rotordynamischen Untersuchung wird durch
passive Maßnahmen (Shims) die Entstehung von subharmonischen Schwingungen beeinflusst.
Diese Maßnahme zeigt positiven Effekte auf das rotordynamische Verhalten unter anderem die
Reduzierung der Schwingwege und die Unterdrückung der subharmonischen Schwingungen im
niedrigen Drehzahlbereich.
Es wurden somit diverse Parameter von GFBs untersucht und deren Einflüsse qualitativ und
quantitativ zusammengefasst.
i
Abstract
Due to their structure and their lubricant, gas foil bearings (GFBs) are environmentally friendly,
low-loss and low-cost machine components, which are used particulary for lighter and faster
rotors. Thanks to their compliant structure, in contrast to plain bearings, they can regulate
slight pressure fluctuations in the lubricating film themselves during operation. However, the
GFB technology has not been sufficiently researched. Therefore, the main goal of this work is
the experimental investigation of GFBs as well as of GFB-supported rotors.
The compliant structure, which, as already mentioned, is the special feature of the GFBs, is
the first object of investigation in this work. Therefore the structure is modeled numerically
and examined experimentally. Static and dynamic models according to Iordanoff, Heshmat and
Le Lez are implemented and compared in the numerical work. The Le Lez’s model shows good
results and is preferred as the structural model for further numerical work.
The experimental tests on the compliant structure are carried out statically and dynamically.
During the static examination, the GFB is loaded with a static force in order to record the
force-displacement curve. The measurement is performed on a GFB modified with shims and on
an unmodified GFB. The shims are metallic feeler gauge tapes that are inserted between the
bump foil and the housing. This modification of the bearing increases the stiffness of the structure
and reduces the nominal gap. In the case of dynamic measurements, there is an interest in the
behavior of the structure depending on the excitation frequency, the vibration amplitudes and the
static bearing load. The bearing structure behavior is then analyzed regarding its stiffness and
damping. The tests show an increase in stiffness with increasing frequencies, while the damping
decreases. This behavior is independent of the vibration amplitudes.
In real operation however, the stiffness and damping of GFBs derive from both the compliant
structure and the lubricating air film. In order to determine these bearing parameters, tests are
carried out at various constant speeds. The results show that the bearing stiffness is lower in the
presence of the developing lubricating air film. Furthermore, an increase of the bearing stiffness
can be observed by the modification of the bearing with shims.
The investigations to determine the bearing parameters are time and cost intensive. Therefore,
today’s aim is to replace these tests with numerical simulations. For this purpose both the lubrica-
ting film and the compliant bearing structure are modeled. A comparison with the experimental
results suggests that the model is a little conservative, because the bearing parameters are slightly
underestimated. Nevertheless, the model provides a good prediction for the design of GFBs.
The last experiment investigations how a rotor mounted with GFBs reacts to realistic influences
such as changes in acceleration or unbalance. In this investigation the focus lies on the subharmonic
vibrations that occur in systems with GFBs in the higher speed range. Due to the low damping
of the GFBs, these vibrations cannot be damped sufficiently. Such vibrations can lead to bearing
failure if their amplitude is sufficiently high. In the course of this rotordynamic investigation, the
generation of these vibrations is influenced by passive measures (shims). This measure shows
positive effects on the dynamic behavior of the rotor, such as the reduction of the vibration
amplitude and the suppression of subharmonic vibrations in the low speed range.
Thus, various parameters on GFBs were examined and their influences recorded qualitatively
and quantitatively.
ii
Inhaltsverzeichnis
Kurzfassung i
Abstract ii
Inhaltsverzeichnis iii
Nomenklatur vii
Abbildungsverzeichnis xiii
1 Einleitung 1
1.1 Ziel............................................ 2
1.2 AufbauderArbeit ................................... 3
2 Stand der Technik 5
2.1 Biographische Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Numerische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Modellierung des Schmierfilms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Experimentelle Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Struturuntersuchung.............................. 8
2.3.2 Identifikation von Lagerparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Rotordynamische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur 13
3.1 Theoretische Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Diskretisierung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Steifigkeitsmatrix................................ 19
3.2.3 Modellierung der Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Validierung des statischen Lagerstrukturmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Dynamisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Dynamisches Reibungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur 33
4.1 Lagerherstellung .................................... 33
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1
Versuchsdurchführung zur statischen Untersuchung der elastischen Lager-
wandstruktur.................................. 37
4.2.2
Datenaufbereitung und Datenauswertung aus der statischen Untersuchung
der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3
Ergebnisse aus der statischen Untersuchung der elastischen Lagerwand-
struktur..................................... 42
4.2.4
Messunsicherheit zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwand-
struktur..................................... 50
iii
Inhaltsverzeichnis
4.2.5 Teilzusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . 52
4.3.1
Versuchsdurchführung zur dynamischen Untersuchung der elastischen La-
gerwandstruktur ................................ 55
4.3.2
Datenaufbereitung und Datenauswertung aus der dynamischen Untersu-
chung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3
Ergebnisse aus der dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwand-
struktur..................................... 61
4.3.4
Messunsicherheit zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lager-
wandstruktur.................................. 68
4.3.5 Teilzusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter 71
5.1 MechanischesModell.................................. 71
5.2 Modellierung des Schmierfilms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Ermittlung der Lagerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation 83
6.1 Inbetriebnahme des Prüfstands zur Ermittlung von Gasfolienlagerparametern . . 83
6.1.1 Schwingungsanalyse der Spindeleinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Modalanalyse der Messvorrichtung zur Parameteridentifikation . . . . . . 86
6.1.3 Kalibrierung der Kraftmessdose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2
Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen Lagerparamete-
ridentifikation...................................... 91
6.2.1 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.2 Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation . . . 96
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen . . . . . . 99
6.4 Messunsicherheit ....................................107
6.5 Teilzusammenfassung..................................108
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung 109
7.1 Inbetriebnahme des rotordynamischen Prüfstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.1.1 Prüfstandsaufbau................................109
7.1.2 Modalanalyse der Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.3 Wuchten der Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung . . . . . . . . . . 118
7.3.1 Einfluss der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3.2 Einfluss der Lagerlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.3 Einfluss der Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3.4 Einfluss der elastischen Lagerstruktursteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3.5 EinflussvonShims...............................128
7.3.6 Einfluss des subambienten Drucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 Zusammenfassung 131
8.1 Ausblick.........................................133
8.1.1 Voruntersuchungen...............................133
8.1.2 Aufbau des Forschungprojekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Literaturverzeichnis XIII
iv
Inhaltsverzeichnis
A Anhang XIX
A.1 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . XIX
A.1.1 Berechnung der Federsteifigkeiten nach Le Lez . . . . . . . . . . . . . . . XIX
A.2 Berechnung linearisierten Lagerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
A.2.1
Jacobi-Matrix zur Berechnung der Reynolds-Differentialgleichung 0. Ordnung
XXIII
A.3 Experimentelle Lagerparameteridentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIV
A.3.1 Spezifikation des Asynchronmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIV
A.3.2 Messunsicherheit zur experimentellen Ermittlung von Lagerparametern . XXVI
A.4 Ergebnisse der rotordynamischen Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIX
v
vi
Nomenklatur
Abkürzungen
Abkürzung Bedeutung
ACM Air Cycle Machine
CAD Computer-Aided Design
CO2Kohlendioxid
DGL Differentialgleichung
EO Erregerordnung
FDM Finite Differenzen Methode
FEM Finite Elemente Methode
FVM Finite Volumen Methode
FFT Schnelle Fourier-Transformation engl. Fast Fourier Transform
GFB Gasfolienlager engl. Gas Foil Bearing
NASA National Aeronautics and Space Administration
MoS2Molybdändisulfid
MTI Mechanical Technology Inc.
MSI Mechanical Solutions Inc.
SEFM Simple Elastische Foundation
Tol. Toleranz
bzw. beziehungsweise
z.B. zum Beispiel
insbes. insbesondere
vii
Inhaltsverzeichnis
Indizes tiefgestellt
Symbol Bedeutung
USB unteres Seitenband
bBump
ddynamisch
iIndexzähler; innen
jIndexzähler
linear lineare Größe
mv Messvorrichtung
mModulation
min Minimum
max Maximum
nIndexzähler
rGleitreibung
rRotor
sstatisch
tTopfolie
xin Richtung der x-Koordinate
yin Richtung der y-Koordinate
zin Richtung der z-Koordinate
αβ in Richtung der αmit Anregung in Richtung der βwobei α, β ={x, y}
θin Umfangsrichtung
Mathematische Größen und Symbole
Symbol Bedeutung
f(x),g(x)Funktionen von der Größe x
H(ω)Übertragungsfunktion im Komplexbereich
[A]eckige Klammer und fette Buchstaben bezeichnen Matrizen
{a}geschweifte Klammer und fette Buchstaben bezeichnen Vektoren
[I]Einheitsmatrix
Re(...)Realteil einer komplexen Größe
Im(...)Imarginärteil einer komplexen Größe
O(...)Ordnung
( ˙...)Ableitung nach der Zeit
∂a/∂b partielle Ableitung von a nach b
∂2a/∂b2zweifache partielle Ableitung von a nach b
|...|Betrag
∆(...)Differenz
[A]−1Inverse einer Matrix
HfdAOberflächenintegral
viii
Inhaltsverzeichnis
Vektoren
Symbol Bedeutung
{P}dimensionsloser Vektor des Druckfelds
{F}Kraftvektor
{N}Normalkraftvektor
{U}Verschiebungsvektor
{Pα}dimensionsloser Stördruckvektor mit α=x, y
{H}dimensionsloser Vektor der Filmfunktion
{∆P}dimensionsloser Vektor der Druckdifferenz
{∆H}dimensionsloser Differenzvektor der Filmfunktion
{ε}dimensionsloser Exzentrizitätsvektor
{∆ε}dimensionsloser Differenzvektor der Exzentrizität
Matrizen
Symbol Bedeutung
[C]Dämpfungsmatrix
[J]Jacobimatrix
[K]Steifigkeitsmatrix
[Ks0]Steifigkeitsmatrix nach Le Lez
[K]Eig Eigensteifigkeitsmatrix
[K]kopp Koppelsteifigkeitsmatrix
[Z]komplexe Impedanzmatrix
ix
Inhaltsverzeichnis
Symbol Einheit Bedeutung
c[Ns/m] Dämpfungskonstante
cα,β [Ns/m] Dämpfungsparameter α, β =x, y
ct[−]Anpassungskoeffizient Petrov-Modell
C0[µm]nominaler Lagerspalt
Cg[−]Messmittelfähigkeitsindex
ei[mm] Exzentrizität in Richtung i
Epot [J] potentielle Energie
f[Hz] Frequenz
fi[mm2]Le Lez-Funktion mit i={1,··· ,22}
fi,0[Hz] Eigenfrequenz der selbsterregten kritischen i-ten Mode
fs[Hz] Störfrequenz
fT[Hz] Trägerfrequenz
fUSB [Hz] untere Seitenbandfrequenz
fOSB [Hz] obere Seitenbandfrequenz
fM[Hz] Modulationsfrequenz
g[m/s2]Erdbeschleunigung
h[µm] Schmierfilmdicke
hs[µm] nachgiebiger Anteil der elastischen Struktur
∆h[µm] vertikale Verschiebung der elastischen Struktur
∆h0[µm] statische vertikale Verschiebung der elastischen Struktur
∆ˆ
h[µm] Amplitude der vertikalen Verschiebung der elastischen Struktur
hb[mm] Bump-Höhe
k[N/m] Steifigkeit
kα,β [N/m] Steifigkeitsparameter α, β =x, y
k1[N/m] schräge Federsteifigkeit des Le Lez-Modells
k2[N/m] untere horizontale Federsteifigkeit des Le Lez-Modells
k3[N/m] obere horizontale Federsteifigkeit des Le Lez-Modells
k4[N/m] horizontale Federsteifigkeit des Le Lez-Modells am Fixed End
k1bis [N/m] schräge Federsteifigkeit des Le Lez-Modells am Free End
k3bis [N/m] horizontale Federsteifigkeit des Le Lez-Modells am Free End
kd[N/m] dynamische Struktursteifigkeit
kstat [N/m] statische Struktursteifigkeit
kt[N/m] Kontaktsteifigkeit Petrov-Modell
l[mm] Länge
∆li[µm] Federauslenkung
l[mm] Lagerlänge
lb[mm] halbe Bumplänge
m[kg] Masse
mr[kg] Rotormasse
Pe [−]Peclet-Zahl
R[mm] Radius
rb[mm] Bumpradius
p[bar] Druck
pa[bar] Umgebungsdruck
sb[mm] Bumpspannweite
x
Inhaltsverzeichnis
Symbol Einheit Bedeutung
T[s] Periodendauer
tb[mm] Dicke der Bumpfolie
tt[mm] Dicke der Topfolie
t[s] Zeit
ˆui[gmm] Wuchtsetzung i= 1,2
ux[−]Messunsicherheit der Messgröße x
Z[−]normierte z-Koordinate Z=z/R
νk[m2/s] kinematische Viskosität
ν[−]Poisson-Zahl
ω[1/s] Kreisfrequenz
vi,˙
i[m/s] Geschwindigkeit in Richtung i
vi,˙
i[m/s] Geschwindigkeit in Richtung i
vSB [m/s] Stribeck-Geschwindigkeit
x[mm] kartesische Koordinate
xs[mm] Borstenauslenkung des Petrov-Modells
y[mm] kartesische Koordinate
z[mm] kartesische Koordinate
zα,β [Ns/m] Impedanzparameter α, β =x, y
Griechische Buchstaben
Symbol Einheit Bedeutung
Γi[−]i-te Ansatzfunktion
Λ [−]Lagerschnelllaufzahl (Kompressionszahl) engl. bearing speed number
Ω [1/s ] Drehkreisfrequenz
Φ [−]Transportgröße
γ[−]Strukturverlustfaktor
δ[mm]virtuelle Verschiebung
ε[−]dimensionslose Exzentrizität
η[−]Frequenzverhältnis
θ[rad]Polarwinkel
λ[1/s] Eigenwert
µ[Pas] dynamische Viskosität
µr[−]Reibungskoeffizient
π[−]Kreiszahl
ρ[kg
m3]Dichte
σ[−]Lagerschnelllaufzahl (Kompressionszahl) engl. squeeze film number
τ[−]dimensionslose Zeit τ=tωs
xi
xii
Abbildungsverzeichnis
1.1 Schematische Darstellung eines Gasfolienlagers der ersten Generation . . . . . . . 1
2.1 Lager der Firma Thomson-Houston,1928[1]..................... 5
2.2 Gasfolienlager mit vorgespannter Topfolie [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3
(a) Hydresil foil bearing [
3
], (b) Revesed Multilayer foil bearing [
3
], (c) Revesed
Multilpad foil bearing [
3
], (d) GFB der 1.Generation, (e) GFB der 2.Generation
[4],(f) GFB der 3.Generation [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 (a) Metal mesh foil bearing [5], (b) GFB mit Spiralfeder [6] . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Elastische Lagerwandstruktur unter Druckbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Diskretisierung der elastischen Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Verformung des elastischen Lagerwandstrukturmodells . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4
Programmablauf zur Bestimmung der Richtung der Reibungskräfte und zur Be-
rechnung des Verschiebungsvektors {U}....................... 21
3.5
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr=0 ....................... 24
3.6
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr=0,1 ...................... 25
3.7
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr=0,5 ...................... 26
3.8 Kontaktinteraktion einer rauen Oberfläche nach Petrov und Ewins [7] . . . . . . 27
3.9 Approximation der Funktion 2
πsign(ctx)....................... 28
3.10 Programmablauf zur Berechnung der dynamischen Lagerstrukturverformungen . 31
4.1 Gesenkbiegen der Bumpfolie an der hydropneumatischen Presse . . . . . . . . . . 33
4.2
Häufigkeitsverteilung der Messdaten zur optischen Vermessung der Stifte der
Radien 1 mm,1,5 mm,2 mm,2,5 mm,3 mm sowie 4 mm .............. 34
4.3
Bumpgeometrie der Lager TU3, TU8, TU10, sowie MSI über die relative Länge
x/L 35
4.4
(a) Ein am Fachgebiet selbsthergestelltes Gasfolienlager und die dazu angefertigte
(b)Lageraufnahme................................... 36
4.5 Prüfstand zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwand . . . . . . . . . 37
4.6
Messprinzip zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur am
Beispiel der Winkelposition 90◦-270◦......................... 38
4.7 Schematische Darstellung eines mit Shims modifizierten Gasfolienlagers . . . . . 39
4.8
Programmablauf zur Bestimmung von statischen Lagerkenngrößen aus den expe-
rimentellen Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9
Typische Verläufe einer statischen Weg-Kraft-Messung von GFBs: (a) Weg-Kraft-
Messung, (b) ermittelte Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.10
Steifigkeitskennlinie der elastischen Lagerwandstruktur der Lager MSI1, MSI3,
TU3, TU7, TU8 sowie TU10 bei der Messung mit der Welle D1......... 43
4.11
Experimentell ermittelte statische lineare Steifigkeiten der Lager TU3, TU8,
TU10, MSI1 und MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung von Wellen mit
unterschiedlichen Durchmessern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
xiii
Abbildungsverzeichnis
4.12
Steifigkeitskennlinie der elastischen Lagerwandstruktur der Lager MSI3, TU3,
TU7, TU8 sowie TU10 bei der Messung mit der Welle
D1
und unter Verwendung
vonShims........................................ 45
4.13
Experimentell ermittelte Nomialspalte der Lager TU3, TU8, TU10, MSI1 und
MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung von Wellen mit unterschiedlichen
Durchmessern. (Bei der Messung mit den Wellen
D2
und
D3
ist bei einigen Lagern
kein nominaler Lagerspalt mehr vorhanden und deren Verlauf überdeckt sich auf
derNulllinie) ...................................... 47
4.14
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor der Lager TU3, TU8, TU10, MSI1
und MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung der Wellen D1,D2und D3. . . 48
4.15
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor
γ
der mit Shims modifizierten
Lager TU3, TU8, TU10 und MSI3 über den Umfang unter Verwendung der Welle
D1............................................ 49
4.16
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor
γ
des mit Shims modifizierten
Lagers MSI3 über den Umfang unter Verwendung der Wellen D1,D2und D3. . 50
4.17
Messunsicherheit der experimentell ermittelten statischen linearen Steifigkeiten der
Lager TU3, TU8, TU10, MSI1 und MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung
von Wellen mit unterschiedlichen Durchmessern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.18 Prüfstand zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . 53
4.19 Messaufbau zur Modalanalyse am Prüfstand zur dynamischen Untersuchung der
elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.20
Ergebnisse der experimentellen Modalanalyse des Prüfstands zur dynamischen
Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.21 Messaufbau zur Modalanalyse des Wellenbocks mit Modalhammer . . . . . . . . 55
4.22
Ergebnisse der experimentellen Modalanalyse des Wellenbocks des Prüfstands zur
dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . . . . . . . . . . 55
4.23 Messprinzip zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur . 55
4.24
Beispielhafte Ergebnisse einer dynamischen Untersuchung einer Lagerwandstruktur
einesGasfolienlagers .................................. 57
4.25
Programmablauf zur Auswertung der dynamischen Untersuchungen der elastischen
Lagerwandstruktur nach den Auswertungsverfahren 1 und 2 . . . . . . . . . . . . 59
4.26
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen an den Winkeln
90◦
und
180◦
des
Lagers TU10 bei einer Schwingungsamplitude von
2µm
und einer statischen Last
von 27 N ermittelt aus Auswertungsverfahren 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.27
Phasen- und Amplitudengang der Übertragungsfunktion, ermittelt aus der experi-
mentellen dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur an den
Winkeln
90◦
und
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungsamplitude von
2µm 61
4.28
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen am Winkel
180◦
des Lagers TU10 bei
einer Schwingungamplituden von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einen Frequenzbe-
reich von 30 Hz bis 1000 Hz und einer statischen Last von 27 N .......... 62
4.29
Hysteresen am Winkel
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungamplitude von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einen Frequenzbereich von
60 Hz
bis
320 Hz
und
einer statischen Last von 27 N ............................. 63
4.30
Dynamische Steifigkeit und Dämpfung am Winkel
180◦
des Lagers TU10 bei einer
Schwingungamplitude von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einem Frequenzbereich
von
60 Hz
bis
630 Hz
sowie
60 Hz
bis
1000 Hz
und unter den statischen Lasten von
27 N und 37 N ...................................... 64
xiv
Abbildungsverzeichnis
4.31
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen an den Winkeln
90◦
,
135◦
sowie
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungamplitude von (a)
2µm
, (b)
6µm
sowie (c)
10 µm
über einen Frequenzbereich von
60 Hz
bis
660 Hz
sowie
60 Hz
bis
1000 Hz
und unter der statischen Last von 27 N ........................ 66
4.32
Wasserfalldiagramm aus der dynamischen Untersuchung des Lagers TU10 bei
einer Schwingungsamplitude von
6µm
und unter einer statischen Belastung von
27 N ........................................... 67
4.33
Wasserfalldiagramm aus der dynamischen Untersuchung des Lagers TU10 bei
einer Schwingungsamplitude von
10 µm
und unter einer statischen Belastung von
27 N ........................................... 67
4.34
Messunsicherheit zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruk-
tur bei den Schwingungsamplituden von (a) 2µm, (b) 6µm und (c)10 µm . . . . 69
5.1 Schematische Darstellung eines GFBs gelagerten Rotors . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Diskretissierungsnetz.................................. 73
5.3 Programablauf zur Lösung der Reynolds.Differentialgleichung der 0.Ordnung . . 77
5.4 Grafische Darstellung des Simplex-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 Programmablauf zur Bestimmung der Gleichgewichtslage . . . . . . . . . . . . . 81
6.1
Antrieb des Parameteridentifikationsprüfstands, (a) Antriebseinheit, (b) Motor-
kennlinie (siehe Anhang A.3.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Parameteridentifikationsprüfstand aus dem Jahr 2015 . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3
Schwingungsuntersuchung der mit Kippsegmenten gelagerten Spindeleinheit: (a)Messaufbau
zur Spektralanalyse der Spindeleinheit, (b) Wasserfalldiagramm der Spindeleinheit
beieinerHochfahrt................................... 85
6.4 Rotorbruch aufgrund der weichen Aufhängung des Lagers . . . . . . . . . . . . . 85
6.5
Wasserfalldiagramm der mit Spindellagern gelagerten Spindeleinheit bei einer
Hochfahrt........................................ 86
6.6
Parameteridentifikationsprüfstand nach den Umbaumaßnahmen und messtechni-
scheInstrumente .................................... 87
6.7 Experimentelle Modalanayse der Messvorrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.8 Mechanisches Ersatzmodell der Messvorrichtung zur Lagerparameteridentifikation 88
6.9 (a) Experimentell ermittelte Übertragungsfunktion aus der Modalanalyse an der
Messvorrichtung, (b) dynamische Steifigkeiten der Messvorrichtung über einem
Frequenzbereich von 30 Hz bis 900 Hz ......................... 90
6.10 Messaufbau zur Bestimmung der Offset-Kraft der statischen Lagerlast . . . . . . 91
6.11 Kraft-Weg-Kennlinie der Messvorrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.12
(a) Experimenteller Messaufbau und (b) mechanisches Modell zur Ermittlung von
linearenLagerparametern ............................... 92
6.13Multifrequenz-Signal.................................. 94
6.14Pseudorandom-Signal ................................. 95
6.15
Programmablauf zur Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridenti-
fikation ......................................... 98
6.16
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbereich
von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft
von
30 N
bei einer Drehzahl von (a)
0 min−1
, (b)
10 000 min−1
und (c)
15 000 min−1101
6.17
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbe-
reich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer
Erregerkraft von
30 N
bei einer Drehzahl von (a)
20 000 min−1
, (b)
25 000 min−1
und (c) 30 000 min−1.................................. 102
xv
Abbildungsverzeichnis
6.18
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbereich
von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von (a)
10 N
sowie (b)
15 N
und
unter einer Erregerkraft von 30 N bei der Drehzahl von 15 000 min−1.......103
6.19
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbereich
von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von (a)
10 N
sowie (b)
15 N
und
unter einer Erregerkraft von 30 N bei der Drehzahl von 25 000 min−1.......104
6.20
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter (a) eines nicht-modifizierten
Lagers sowie (b) eines mit Shims modifizierten Lagers über dem Frequenzbereich
von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft
von 30 N bei der Drehzahl von 15 000 min−1....................105
6.21
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter (a) eines nicht-modifizierten
Lagers sowie (b) eines mit Shims modifizierten Lagers über dem Frequenzbereich
von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft
von 30 N bei der Drehzahl von 25 000 min−1....................106
6.22
Vergleich der experimentell ermittelten Parameter der elastischen Lagerwand-
struktur eines nicht-modifizierten Lagers mit den eines mit Shims modifizierten
Lagers über dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last
von 10 N und unter einer Erregerkraft von 30 N bei der Drehzahl von 0 min−1. . 107
6.23
Messunsicherheit über dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der expe-
rimentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von 30 000 min−1ohneShims.................. 108
7.1 Aufbau des rotordynamischen Prüfstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Messinstrumente zur rotordynamischen Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3
Geometrische Daten der im Rahmen der rotordynamischen Untersuchungen ver-
wendetenRotoren ...................................112
7.4 Ergebnisse der Modalanalyse der Hohlwelle mit dem Modalhammer . . . . . . . . 112
7.5 Ergebnisse der Modalanalyse der Vollwelle mit dem Modalhammer . . . . . . . . 113
7.6 Messaufbau zum Auswuchten der Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.7 Mit Shims modifiziertes Gasfolienlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.8 Programmablauf zur Herstellung von Wasserfalldiagrammen . . . . . . . . . . . . 117
7.9
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
des Lagers MSI3 ohne zusätzliche Testgewichte am Rotor (Vollwelle) bei Hoch-
undRunterfahrt ....................................118
7.10
Ordnung der dominanten subharmonischen Schwingungen über der Drehzahl aus
den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen des Lagers MSI3 ohne
zusätzliche Testgewichte am Rotor (Vollwelle) bei Hoch- und Runterfahrt . . . . 119
7.11
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der im Lager MSI3 gelagerten a) Vollwelle und b) Hohlwelle (Bei den Diagrammen
handelt es sich um Runterfahrtvorgänge ohne zusätzliche Testgewichte) . . . . . 120
7.12
a) Ordnung sowie b) Amplitude der dominanten subharmonischen Schwingungen
über der Drehzahl aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen des
Lagers MSI3 mit der Vollwelle und der Hohlwellle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.13
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der im Lager MSI3 gelagerten Vollwelle, an der Testgewichte angebracht sind . . 122
7.14
Frequenzmodulation am Beispiel der experimentellen Untersuchung der im Lager
MSI3 gelagerten Vollwelle mit einer statischen Unwucht von 6 gmm ........123
7.15
Experimentell ermittelte statische Lagerstruktursteifigkeit der Lager MSI1, MSI3,
TU3sowieTU10 ....................................125
xvi
Abbildungsverzeichnis
7.16
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der Vollwelle bei Lagern mit unterschiedlichen Lagerspalten . . . . . . . . . . . . 126
7.17
Wasserfalldiagramm (a) aus der rotordynamischen Untersuchung der Vollwelle
gelagert im Lager TU A3 mit veränderter Bumpfixierung(b). . . . . . . . . . . . 127
7.18
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der Vollwelle gelagert im mit Shims modifizierten MSI3 Lager . . . . . . . . . . . 129
7.19
Schematische Darstellung eines GFB-gelagerten Rotors unter Berücksichtigung
der (a) Gümbel-Randbedingung und (b) Nicht-Gümbel-Randbedingung . . . . . 130
7.20
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der Vollwelle gelagert im TU3-Lager bei (a) Gümbel-Randbedingung und bei (b)
Nicht-Gümbel-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.1
Experimentell ermittelte (a) lineare Steifigkeit, (b) Nominalspalt und (c) Struk-
turverlust der Lager TU3, TU7 und MSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der Vollwelle gelagert in den Lagern (a) TU3 und (b) TU10 bei Runterfahrt . . . 135
8.3
Vorschlag eines Forschungsprojekts zur Bestimmung der Lagerparameter unter
Berücksichtigung der Fertigungsfehler und der Temperatur . . . . . . . . . . . . . 136
A.1
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der experi-
mentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und
einer Drehzahl von (a) 0 min−1, (b) 10 000 min−1und (c) 15 000 min−1ohne ShimsXXVI
A.2
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der expe-
rimentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von (a)
20 000 min−1
, (b)
25 000 min−1
und (c)
30 000 min−1
ohneShims .......................................XXVII
A.3
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der expe-
rimentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von (a) 15 000 min−1und (b) 25 000 min−1mit Shims . . . . XXVIII
A.4
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
mit der Vollwelle ohne zusätzliche Testgewichten am Rotor beim Hochfahrt . . . XXIX
xvii
xviii
1 Einleitung
Die ständige Suche nach neuen fossilen Energiequellen, die fortwährend zu Konflikten in der
Welt führt, zwingt die Menschheit über ihren Energieverbrauch und alternative Energiequellen
nachzudenken, denn diese Energieform ist nicht unerschöpflich. Im Bereich des Verkehrswesens
wird eine Rationalisierung des Energieverbrauchs durch Gewichtsreduktion und Optimierung der
Maschinenleistung erreicht. Die mechanische Leistung einer Maschine ist als das Produkt von
Drehzahl und Moment definiert. Diese Maschineneigenschaft lässt sich durch Erhöhung einer
oder beider Faktoren steigern. Zu dieser Problematik bieten sich die Gasfolienlager (aus dem
Englischen Gas Foil Bearing, kurz GFB ) als mögliche Lösung an.
3
4
1
2
1 Topfolie
2 Bumpfolie
3 Geh¨ause
4 Rotor
1
Abb. 1.1: Schematische Darstellung eines Gasfolienlagers der ersten Generation
Es handelt bei diesen Maschinenelementen um Gas-geschmierte Lager, die nach dem fluiddy-
namischen Schmierfilmprinzip funktionieren. Ihre Tragfähigkeit erhalten sie durch das schnelle
Drehen des Lagerzapfens, das im Bereich des niedrigsten Lagerspalts einen Überdruck her-
vorruft. Daher finden GFBs bei leichteren und schnell drehenden Rotoren Anwendung. GFBs
sind aufgrund ihres Aufbaus, der aus einer oder mehren Bumpfolien sowie einer oder mehreren
Topfolien besteht, verhältnismäßig leichte Maschinenelemente. Je nach Design ihrer Bumpfolie
werden GFBs in unterschiedliche Generationen unterteilt. Allerdings werden im Rahmen dieser
Arbeit allein GFBs der ersten Generation untersucht (siehe Abb. 1.1). Grund dafür ist deren
bereits weitverbreitete Anwendung im Vergleich zu anderen Generationen. Außerdem besteht für
GFBs der 1. Generation in der Literatur eine umfangreiche experimentelle Datengrundlage für
den Vergleich mit den hier gewonnenen Messergebnissen. Die Bumpfolie verleiht die bei allen
GFB-Generationen dem Lager eine elastische Wandstruktur, wodurch es in der Lage ist, leichte
Druckänderungen sowie Fluchtungsfehler der Wellen auszugleichen. Die Top- und die Bumpfolie
werden aus Blech mit einer Stärke unter
200 µm
hergestellt. Dadurch sind GFBs relativ leichte
Maschinenkomponenten im Vergleich zu herkömmlichen Wälzlagern. Darüber hinaus werden bei
ihrer Herstellung weniger Energie und nur wenig Ressourcen benötigt. Durch die Anwendung
von GFBs kann daher eine Massenreduzierung und eine bessere Energiebilanz eines Systems
erreicht werden. Dies liegt nicht nur an ihrem Aufbau bzw. ihrer Herstellung, sondern auch an
der Einsparung eines Öl-Systems zur Schmierung des Lagers. Somit wird weder zur Herstellung
dieser Komponenten noch zum Betrieb von Ölpumpen Energie benötigt oder verbraucht, was
1
1 Einleitung
insgesamt zu einer Reduzierung des
CO2
-Ausstoßes führt, was ein weltweites dringliches Anliegen
ist [8].
Hinsichtlich der Leistung sind die GFBs aufgrund der relativ geringen Viskosität ihres Schmier-
stoffs verlustarme Maschinenelemente. Dadurch lassen sich bei Maschinen höhere Drehzahlen und
weiterhin ein Leistungsanstieg erzielen. Im höheren Drehzahlbereich ist außerdem die Auswahl
an Wälzlagern sehr begrenzt aufgrund ihrer schnelleren Überhitzung sowie ihrer geringeren
Lebensdauer. Um gegen eine solche Temperaturentwicklung vorzubeugen, wird bei wälzgelagerten
Systemen die Temperatur des Lagers überwacht und mit einem Kühlsystem reguliert. Eine solche
Anlage entfällt bei GFB-gelagerten rotordynamischen Systemen, wodurch diese an Effizienz
gewinnen. Eine weitere Lagerungstechnologie im Bereich der schnell drehenden Rotoren sind
Magnetlager. Es handelt sich um berührungslose und wartungsarme Lagersysteme, die allerdings
eine Regelung und eine Stromversorgung benötigen. Dafür sind sie energetisch weniger effizient
als GFBs. In Magnetlagern gelagerte Systemen benötigen außerdem zusätzliche Fanglager.
Die Schmierung von GFBs mit Gas, insbes. mit Luft hat einen weiteren Vorteil, der die
Einsatzorte von GFBs erweitert. So lassen sie sich im Bereich der Medizintechnik oder der
Energiegewinnung (Brennstoffzellen, Turbolader), wo Öl-Kontaminationen vermieden werden
sollen, einsetzen.
Dennoch bringt die Luft-Schmierung einen Nachteil mit sich. Aufgrund der geringeren Viskosität
der Luft im Vergleich zum Öl besitzen GFBs eine relativ niedrige Dämpfung, die sie prinzipiell
aus der Reibung ihrer einzelnen Elemente untereinander beziehen. Diese niedrige Dämpfung
führt dazu, dass GFBs subharmonische
1
Schwingungen nicht ausreichend dämpfen können. Diese
Schwingungen können je nach ihren Amplituden zum Lagerversagen führen. Daher empfiehlt
sich ein gut gewuchteter Rotor bei der Anwendung von GFBs, wie die Arbeit von Hoffmann et
al. [
9
] zeigt. Durch diese Maßnahme lässt sich die Anregung dieser nichtlinearen Schwingungen
beschränken. Ein weiterer Nachteil bei der Anwendung von GFBs ist die Reibung zwischen
Rotor und Topfolie bei Hoch- und Runterlauf, die zum Verschleißen beider Bauteile führt. Dieses
Problem lässt sich jedoch durch die Beschichtung der Topfolie mit reibungsarmen Stoffen, wie
zum Beispiel Teflon oder MoS2, beheben.
GFBs sind also umweltfreundliche Lösungsbeiträge zu heutigen Energie- und Umweltproblemen.
Dennoch sind die Erkenntnisse über diese Lagertechnologie noch beschränkt.
1.1 Ziel
Das Vorhaben der vorliegenden Arbeit ist prinzipiell die systematische Durchführung von ex-
perimentellen Untersuchungen an GFBs zur Erhebung von Messdaten, die zur Validierung von
numerischen Modellen verwendet werden können.
Die Messdaten sollen als Datengrundlage der Forschung im Bereich der GFBs dienen. Sie
erfassen somit einen realen Einblick in das rotordynamische Verhalten sowie das Strukturver-
halten des Lagers. Dabei werden transienten und stationären Messungen an GFB-gelagerten
Rotoren sowie statische und dynamischen Untersuchungen an der elastischen Lagerwandstruktur
durchgeführt. Diese experimentellen Erkenntnisse werden anschließend genutzt, um numerische
Modelle zu optimieren.
1
Subharmonische Schwingungen sind Schwingungen mit einer Frequenz, die um ein Vielfaches kleiner ist als die
ursprüngliche Erregerfrequenz. Nichtlineare Systeme antworten meistens auf harmonische Anregungen mit
subharmonischen Schwingungen.
2
1.2 Aufbau der Arbeit
1.2 Aufbau der Arbeit
BKapitel 2
präsentiert zuerst die geschichtliche Entwicklung, die die GFBs über die Jahre
erfahren haben. Weiterhin wird der Stand der Forschung hinsichtlich der numerischen
Modellierungen der Schmierspaltströmung sowie der elastischen Lagerwandstruktur und
der experimentellen Untersuchungen dargestellt. Die experimentellen Arbeiten, die hier
vorgestellt werden, befassen sich prinzipiell mit der Strukturuntersuchung von GFBs, der
Parameteridentifikation und der rotordynamischen Untersuchung.
BKapitel 3
befasst sich mit der Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur. Es wird ein
statisches sowie ein dynamisches Lagerwand-Modell nach Le Lez et al. [
10
,
11
] implementiert.
Ziel der Modellierung ist es, durch mathematische Formulierung das Verhalten der GFB-
Lagerwand bei statischen und dynamischen Belastungen wiederzugeben. Außerdem wird
dieses Strukturmodell bei der numerischen Beschreibung des Schmierfilms benötigt.
BKapitel 4
zeigt das Verhalten von GFBs bei statischen und dynamischen Belastungen. Im
Rahmen der statischen Untersuchung werden Lagerparameter, wie zum Beispiel Nominal-
spalt, Steifigkeit und Verlustfaktor, experimentell ermittelt. Die dynamische Untersuchung
verschafft Einblick in das dynamische Steifigkeitsverhalten und das Dämpfungsverhalten von
GFBs bei verschiedenen Amplituden (
2µm
,
6µm
und
10 µm
) und über den Frequenzbereich
von
30 Hz
bis
1000 Hz
. In diesem Kapitel wird außerdem untersucht, ob die Entstehung der
in der rotordynamischen Untersuchung beobachteten subharmonischen Schwingungen auf
die GFB-Struktur zurückzuführen ist [12].
BKapitel 5
beschreibt die Modellierung des Schmierfilms. Dabei wird die Reynolds-Differen-
tialgleichung diskretisiert, um eine numerische Lösung zu bestimmen. Außerdem werden
mit dem Störansatz Lagerparameter Steifigkeit und Dämpfung bestimmt.
BKapitel 6
beschäftigt sich mit der experimentellen Ermittlung der linearen Lagerparameter
über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
. Weiterhin wird untersucht, welchen Einfluss
die Drehzahlen, die Lagerlast oder eine Lagermodifikation durch Einsatz von Shims auf die
linearen Lagerparameter haben. Die Ergebnisse aus dieser Untersuchung werden außerdem
mit denen des numerischen Modells aus Kapitel 5 verglichen.
BKapitel 7
beschreibt die experimentelle rotordynamische Untersuchung an einem Rotor,
gelagert in zwei Gasfolienlagern. Es wird der Einfluss von Beschleunigung, Lagerlast sowie
Unwucht auf das rotordynamische Verhalten untersucht.
BKapitel 8
resümiert alle Ergebnisse und Erkenntnisse, die im Rahmen dieser Arbeit aus
den numerischen sowie experimentellen Untersuchungen gewonnen wurden und schlägt
weitere Forschungsansätze vor.
3
4
2 Stand der Technik
2.1 Biographische Untersuchung
1
Abb. 2.1: Lager der Firma
Thomson-Houston,1928 [1]
Die ersten Konzepte von Folienlagern sind aus
dem Jahr 1928 und sind vom Briten Pollock
der Firma Thomson-Houston patentiert [
1
].
Die Lager von Pollock bestanden aus einer
vorgespannten Folie, einem Vorspannmecha-
nismus und einem Gehäuse (siehe Abb. 2.1).
Allerdings werden sie mit Öl geschmiert und
funktionieren alle nach dem gleichen Prinzip
wie die Gasfolienlager (GFB, von engl. Gas
Foil Bearing). Dank ihrer Vorspannvorrichtun-
gen ließen sich die Steifigkeit und nominalen
Spalte einstellen. In den 1950er Jahren werden
sie von Block et al. [
13
] untersucht und weiter
optimiert. Diese optimierten luftgeschmierten
Lager (Abb. 2.2) werden im Jahr 1968 von Wisenschaftlern der NASA, Licht und Eshel, getestet
[
2
]. Zur gleichen Zeit erkannte die Firma Garrett AiResearch
1
das Potential der Gasfolienlager. Im
Jahr 1969 setzten sie Gasfolienlager ein bei der Entwicklung ihrer ersten Belüftungsanlage (ACM:
Air Cycle Machine) mit schnell drehendem Rotor zum Heizen, Kühlen und zur Druckregulierung
der DC-10 ECS
2
Flugzeugkabine [
3
]. Die Gasfolienlager erfahren in dieser Zeit eine weitere Entwi-
ckung, denn um ein höheres Dämpfungsniveau sowie geringere Fluchtungsfehler zu erreichen, wird
auf das Vorspannen der Folie der vorherigen Generation verzichtet. 1972 baute AiResearch für die
NASA einen mit Gasfolienlagern gelagerten Turbo-Kompressor mit einer Leistung von
125 kW
.
Im Bereich der Luft- und Raumfahrtechnik bekamen Gasfolienlager ein höheres Ansehen, denn
nicht nur die NASA interessierte sich in den 1970er Jahren für diese Technologie. 1974 erfuhren
GFBs ihren Einsatz an Board des A7E Navy-Flugzeugs und machten einige Flugtests während
des Vietnamkriegs. Fünf Jahre später machte Boeing den ersten Schritt im Zivilbereich und
verwendete das erste Mal GFBs in einem Passagierflugzeug, der Boeing 767/757. Der Erfolg des
GFBs weckte auch bei anderen Firmen Interessen, so begannen Hamilton und MTI (Mechanical
Technology Inc.) auf dem Gebiet zu forschen. Einige Zeit später ließ MTI ihr eigenes Lager
mit dem Namen Hydresil (Abb. 2.3a) patentieren. Hamilton kaufte Rechte für die Verwendung
des Hydresil-Lagers und setzte es erfolgreich von 1975 bis 1979 in der Belüftungsanlage der
Boeing 747 ein. Die Lager wiesen eine mittlere Lebensdauer von
100 000 Stunden
auf. Hamilton
entwickelte über die Jahre weitere Lager und bracht 1993 ein Multilayer-Lager (Abb. 2.3b) für
die Boeing 777 heraus. Zeitgleich entwickelte Giri Agrawal Gründer der Firma R&D Dynamics,
einen weiteren Typ von Lager (Abb. 2.3c).
1
Garrett AiResearch war ein US-amerikanischer Hersteller von Turboladern und wurde 1968 Teil von Signal
Companies, die in den 1980ern mit Allied Corparation zu AlliedSignal fusionierten.
2
MD DC-10 ist ein in den 1970er Jahren gebautes, dreistrahliges Flugzeug des Flugzeugbauers McDonnell
Douglas.
5
2 Stand der Technik
Clamp
Journal
Guide
Foil
Lock
Foil
Guide
1
Abb. 2.2:
Gasfolienlager mit vorge-
spannter Topfolie [2]
Mit der Zeit haben sich sogenannte Bump-Lager
durchgesetzt, die wiederum eine große Ähnlichkeit zum
Hydresil-Lager aufweisen. Seit der Patentierung des La-
ger der 1. Generation (Abb. 2.3d) im Jahr 1977 haben
sich die Bump-Lager weiterentwickelt. Diese Optimie-
rung ist bereits bei den 2. Generationen bemerkbar, denn
in den Jahren 1982 und 1998 werden zwei Lager der 2.
Generation patentiert. Bei der 3. Generation präsentiert
die Bumpfolie eine komplexe perforierte Struktur. Dies
sorgt für höhere Steifigkeit.
Seit dem ersten Entwurf von Pollock aus dem Jahr
1928 haben sich die Gasfolienlager in Design und Leis-
tung stark verändert. Sie verloren ,wie schon erwähnt,
ihre vorgespannte Struktur im Austausch für eine flexiblere Struktur, was eine Selbstzentrie-
rung ermöglicht. Außerdem können sich Lagerelemente dank der nachgiebigen Struktur relativ
zueinander bewegen und sorgen dadurch für Energiedissipation. Dies verleiht dem Lager seine
Dämpfung. Um dem Lager noch mehr Dämpfung zu verleihen, präsentierten San Andrés et al.
1
3
2
5
4
1
(a)
20
23
4
5
1
(b)
3
5
2
4
20
1
(c)
23
4
5
Ω
1
1
(d)
4
3
2
1
(e)
4
1
3
2
5
1
(f)
(1) Welle (2) Topfolie (2’) zweite Topfolie
(3) Bumpfolie (4) Gehäuse (5) Befestigungspunkt
Abb. 2.3:
(a) Hydresil foil bearing [
3
], (b) Revesed Multilayer foil bearing [
3
], (c) Revesed
Multilpad foil bearing [
3
], (d) GFB der 1.Generation, (e) GFB der 2.Generation
[4],(f) GFB der 3.Generation [4]
[
5
] in ihrer Publikation 2010 einen neuen Lagertyp mit einem Metallschwamm als elastische
Dämpfungsstruktur (Abb. 2.4a). Zwar haben sich die rotordynamischen Eigentsschaften von
GFBs verbessert und reale Einsätze bezeugen ihre Leistungsfähigkeit, allerdings lassen im Betrieb
6
2.2 Numerische Untersuchungen
auftretene nichtlineare Effekte ihre Stabilität schwer vorhersagen. Den Verzicht auf die Bumpfoli-
en wie San Andrés haben auch weitere Autoren versucht. In der Abb. 2.4b ist das Gasfolienlager
von Song und Kim [
6
], bei dem statt einer Bumpfolie eine Spiralfeder eingesetzt wird. Trotz
dieser Entwicklung sind Lager der ersten, zweiten sowie dritten Generation bis heute sehr stark
im Fokus der Forschung geblieben. Das Interesse für diese Lagergeneration liegt wahrscheinlich an
2
430
1
(a)
42
1
1
(b)
Abb. 2.4: (a) Metal mesh foil bearing [5], (b) GFB mit Spiralfeder [6]
ihrer relativ leichten Herstellung und an der größeren Anzahl an veröffentlichten experimentellen
Untersuchungen im Vergleich zur neuen Generationen. Mit dem Anstieg der Computerleistung
wird versucht, diese experimentellen Untersuchungen durch numerischen Modellen zu beschreiben.
2.2 Numerische Untersuchungen
2.2.1 Modellierung des Schmierfilms
Das dynamische Verhalten von Gasfolien-gelagerten Systemen wird definiert durch die Interaktion
zwischen Rotor, Fluid und Struktur. Die Modellierung des Schmierfilms wird im Wesentlichen,
wie bei klassischen Gleitlagern, durch die Reynolds-Differentialgleichung [14] bestimmt.
∂
∂x ph3
12µ
∂p
∂x!+∂
∂y ph3
12µ
∂p
∂y !=ΩR
2
∂(ph)
∂y +∂(ph)
∂t (2.1)
Die Reynolds-Differentialgleichung 2.1 besitzt keine analytische Lösung [
15
], daher wird die
Lösung durch numerische Methoden angenähert. Zu diesen Methoden zählen:
•
Die Finite-Elemente-Methode (FEM), die von Bonneau et al. in 1993 [
16
] zur Berechnung
der Reynolds-Differentialgleichung bei der numerischen Analyse von axialen Gleitlagern
angewendet wird. In der Arbeit wird ausführlich die Berechnung des Druckfelds erläutert.
2013 wird die Methode von Larsen und Santos [
17
] zur Berechnung des Drucks sowie der
Höhe des Schmierfilms bei Gasfolienlagern verwendet. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen
zeigen global betrachtet eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Messungen
von Ruscitto et al. [18] aus der Jahr 1978.
•
Die Finite-Differenzen-Methode (FDM) wird von Feng und Kaneko [
19
] zur Lösung der
Reynolds-Differentialgleichung eingesetzt. Es wird hier bei der Bestimmung der Lösung
auch die Temperatur berücksichtigt. Das Schmierfilmmodell wird mit einem Strukturmodell
zur Vorhersage der Temperatur im Schmierfilm in Abhängigkeit zur Lagerlast gekoppelt.
Beim Vergleich der numerischen Ergebnisse mit der Untersuchung von Radil und Zeszotek
7
2 Stand der Technik
[
20
] aus dem Jahr 2004 erklären die Autoren die Abweichung des numerischen Modells
durch die unterschiedlichen Messpunkte und den Unterschied beim Lagertyp.
•
Der Finite-Volumen-Methode (FVM) widmen Arghir et al. [
21
] ein ganzes Paper. In der
Veröffentlichung beschäftigen sich die Wissenschaftler mit den unterschiedlichen Aspekten
der FVM zur numerischen Lösung der Reynolds-Differentialgleichung bei Gasfolienlagern.
Dabei präsentieren sie das upwind-Verfahren zur Stabilisierung der Lösung bei Berechnungen
mit höheren Drehzahlen. Das Verfahren lässt sich auch bei der FDM anwenden. Es werden
außerdem ungleichmäßige Gitter zur Erhöhung der Genauigkeit verwendet. Weiterhin
entwickeln sie eine nichtlineare Methode zur Berechnung von dynamischen Parametern, die
bei größeren Schwingungswegen angewendet werden kann.
Zusammenfassend ist also festzuhalten, dass es mindestens drei erfolgreiche numerische Methoden
zur Berechnung der Reynolds-Differentialgleichung gibt. Dank der heutigen Computerleistung
sind alle diese Diskreisierungsmethoden in der Lage ausreichende Ergebnisse zu liefern.
2.2.2 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
Die erste bekannte Arbeit zur Modellierung der elastischen Lagerstruktur ist von Walowit und
Anno [
22
] aus dem Jahr 1975. Seitdem sind zahlreiche Strukturmodelle implementiert, um die
grundlegenden Eigenschaften dieser Struktur mathematisch zu beschreiben. Die Strukturmodelle
unterscheiden sich in Hinblick der physikalischen Struktureigenschaften, die sie in der Lage sind,
wiederzugeben. Das Modell von Heshmat und Walowit [
23
,
24
], das in zwei ihrer Arbeiten zur
Berechnung von Lagerparametern implementiert wird, ist ein sehr einfach gehaltenes Struktur-
modell. Dieses Modell wird in der Literatur Simple Elastic Foundation (SEFM) genannt. Die
Topfolie wird dabei gar nicht und die Bumpfolie lediglich als gleichmäßige Struktur berücksichtigt,
in der jeder Bump die gleiche konstante Steifigkeit besitzt. Dennoch wird bei der Berechnung
der Steifigkeit jedes Bumps die Geometrie der Bumpfolie berücksichtigt. Eine ähnliche einfache
Betrachtung der elastischen Lagerstruktur wird auch von Iordanoff [
25
] gemacht. Es wird jedoch
hier unterschieden, ob der Bump ein freies Ende besitzt oder nicht. Komplexe FEM-Modelle
[
26
,
27
,
28
,
29
] werden auch implementiert, um das Verhalten der elastischen Struktur zu mo-
dellieren. Diese liefern sehr gute Ergebnisse, lassen sich jedoch nur mit sehr viel Aufwand oder
teilweise gar nicht in weiteren Fluidmodellen einbetten. Sie werden jedoch häufig verwendet, um
diskrete Modelle mit weniger Knoten zu validieren oder zu entwickeln. Diesen Weg gingen Le
Lez et al. [
10
,
11
], als sie an ihrem sowohl statischen als auch dynamischen Modell arbeiteten.
Das Modell von Le Lez berücksichtigt neben der Reibung zwischen den Elementen sowie der
Geometrie der Bumpfolie auch die Interaktionen, die jeder Bump mit seinen Nachbarn hat. Einige
Jahre später zeigen Feng und Kaneko [
30
] in ihrer Arbeit die Bedeutung dieser Interaktion der
Bumps miteinander wieder auf und präsentieren ein weiteres Strukturmodell, das diesen Aspekt
ebenfalls berücksichtigt.
2.3 Experimentelle Untersuchungen
2.3.1 Struturuntersuchung
Wie bereits erwähnt, ziehen Gasfolienlager ihren großen Vorteil gegenüber herkömmlichen Gleit-
lagern aus ihrer elastischen Lagerwandstruktur, die über die Zeit immer weiter entwickelt wird.
Diese elastische Struktur dient dazu, die Lagerparameter, wie Steifigkeit und Dämpfung, auf
den jeweiligen Betrieb zu optimieren. Daher werden experimentelle Untersuchungen durchge-
führt, um Erkenntnisse über das Verhalten der Lagerwand zu gewinnen. Im Jahre 1993 führen
Ku und Heshmat [
31
] Untersuchungen an der Bumpfolie durch, um herauszufinden, wie diese
8
2.3 Experimentelle Untersuchungen
sich hinsichtlich ihrer Steifigkeit und Dämpfung bei unterschiedlichen Reibungskoeffizienten,
Folienstärken sowie Belastungen verhält. Bei diesem Experiment wird ein Ende einer nicht
gekrümmten Bumpfolie auf einem flachen Untergrund fixiert. Die Topfolie wird dann über einer
Platte auf die Bumpfolie gedrückt und die daraus resultierenden vertikalen sowie horizontalen
Verschiebungen werden optisch erfasst. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen ergeben, dass die
Steifigkeit der Bumpfolie mit steigenden Reibungskoeffizienten steigt und die Schmierung der
Folien einen relativ kleinen Einfluss auf die Steifigkeit hat, dies gilt auch für die Folienstärke
des Bumps, solange die Materialpaarung gleich ist. Einen sehr großen Einfluss hat jedoch der
Bumpabstand auf die Steifigkeit der Bumpfolie, denn bei abnehmenden Bumpabstand steigt
die Steifigkeit an. Eine weitere Abhängigkeitsgröße ist die Art der Belastung. Es lassen sich bei
einer gleichmäßigen Flächenbelastung der Bumpfolie höhere Steifigkeiten als bei einer steigen-
den Flächenbelastung erreichen. Allerdings untersuchen die Wissenschaftler allein das statische
Verhalten der Bumpstruktur.
Eine dynamische Untersuchung der Bumpfolie wird von Larsen et al. [
32
] durchgeführt. Im
Rahmen der Untersuchung wird die Bumpfolie zwischen zwei Platten eingebracht, von denen
die obere durch senkrechte Bewegung die Bumpfolie anregt. Die Autoren wollen mit diesem
Experiment in erster Linie ihre numerischen Modelle validieren. Zu diesem Zweck messen sie
Hysteresen, die bei der dynamischen Anregung von Bumpfolien entstehen. Die Folie wird mit
einer Frequenz von
1 Hz
bei unterschiedlichen Amplituden angeregt und die Schwingungsantwort
dabei gemessen. Die experimentelle Untersuchung zeigt eine Abhängigkeit der Steifigkeit von der
Bumpanzahl. Eine Abhängigkeit der Lagersteifigkeit sowie Dämpfung von der Frequenz präsentiert
die Arbeit von Salehi et al. [
33
], wobei ein halbiertes Gasfolienlager der 1. Generation von einer
dynamischen Kraft angeregt wird. Die Ergebnisse zeigen eine Abnahme der Lagerdämpfung bei
zunehmenden Frequenzen. Ähnliche Ergebnisse zeigt die Arbeit von Rubio und San Andrés [
34
],
jedoch mit einem anderen Prüfstand. Er besteht aus einem Gasfolienlager der 1. Generation,
montiert auf einer nichtrotierenden und beheizten Welle. Mit Hilfe eines Shakers wird das Lager
angeregt. Die zugeführte Wärme über die Welle (von
25 ◦C
zu
75 ◦C
) sorgt für die Aufweitung
dieser Welle und somit für eine Vorspannung des Lagers. Dies hatte jedoch keinen signifikanten
Einfluss auf die dynamischen Lagerparameter.
Wissen über die Koppelsteifigkeit und Koppeldämpfung sowie ihr Verhältnis zu direkten
Parametern liefert die Publikation von Ku und Heshmat [
35
], die ein Gasfolienlager der 2.
Generation dynamisch untersuchen. Montiert auf einem nicht rotierenden Rotor wird das Lager
mit Hilfe von zwei Shakern waagerecht und senkrecht angeordnet angeregt. In der waagerechten
Richtung wirkt eine statische Kraft. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, ebenso wie das
numerische Modell, dass Steifigkeit und Dämpfung mit zunehmender statischer Last steigen.
Allerdings sind die Koppelsteifigkeit und die Koppeldämpfung kaum von der statischen Last
abhängig. Sie sind jedoch geringer als die direkte Steifigkeit. Weiterhin zeigen die Ergebnisse,
dass die direkte Steifigkeit und Dämpfung mit zunehmender dynamischer Amplitude abnehmen.
2.3.2 Identifikation von Lagerparametern
In diesem Kapitel werden Messprinzipien und dazugehörige Prüfstände zur Identifikation von
Lagerparametern aus der Literatur vorgestellt. Bei den Lagerparametern handelt es sich um
Steifigkeiten und Dämpfungen des kompletten Lagers, also bezogen auf die Kombination von
Schmierfilm und Struktur, die bei vorgegebenen konstanten Drehzahlen gemessen werden. Diese
Parameter unterteilen sich in direkte Parameter und Koppelparameter. Die direkte Steifigkeit und
Dämpfung berechnen sich aus der Auslenkung, beziehungsweise aus der Auslenkungsgeschwindig-
keit der Rotors, die von einer gleich gerichteten Kraft verursacht wird. Bei der Koppelsteifigkeit
und -dämpfung wird die Auslenkung von einer Kraft, die senkrecht zu Auslenkungsrichtung der
Struktur steht, verursacht. Zur experimentellen Bestimmung dieser Größen wird ein Prüfstand
9
2 Stand der Technik
benötigt, der die Auslenkungen sowie die dynamischen Anregungen in waagerechter sowie senk-
rechter Richtung parallel erfassen kann. Zwei prinzipielle Messkonzepte haben sich zu diesem
Zweck hinsichtlich des Prüfstands etabliert:
•
Bei dem ersten Messprinzip besteht der Prüfstand aus einem in zwei Lagern schwimmend
gelagerten Rotor. Es werden dabei entweder zwei Testlager [36, 37, 38] oder ein Testlager
und ein Lager mit bereits bekannten Parametern verwendet. Der Vorteil dieses Konzepts
ist, dass der Prüfstand wesentlich höhere Drehzahlen erreichen kann, denn die einzige
Drehzahlbegrenzung ist hier durch die Resonanz des Rotors gegeben. Außerdem lassen
sich mit diesem Konzept Lagerparameter näher an der Realität messen, wenn der Rotor
entsprechend konstruiert ist. Dadurch lassen sich die daraus ermittelten Parameter ohne
nötige Anpassung am realen Betrieb anwenden. Einer der Nachteile dieses Konzept ist,
dass die statische Last sich nicht leicht variieren lässt, denn als einzige statische Last wirkt
das Gewicht des Rotors.
•
Als zweites Messprinzip gelten Prüfstände, die aus einem fest- und los-gelagerten Rotor
und einem Testlager bestehen, das schwimmend auf dem Rotor gelagert ist [
39
,
40
]. Die
Verwendung von Wälzlagern zur Lagerung des Rotors führt häufig zu schnellerer Überhit-
zung bei höheren Drehzahlen und somit sind Messungen bei diesen Drehzahlen begrenzt.
Dennoch bietet dieses Konzept den Vorteil, dass beliebige statische Lasten angebracht
werden können. Es ist hier sogar möglich eine Messung ohne statische Last zu realisieren.
Um das Wechseln des Testlagers zu erleichtern, wird häufig eine einseitige Rotorlagerung
eingesetzt [41, 42, 43].
Eine weitere Unterteilung des Versuchsaufbaus zur Identifikation der Lagerparameter lässt sich
auch in Bezug auf die dynamische Anregung machen:
•
Die Methode mit dem wohl geringsten Aufwand ist die Anregung durch Selbsterregung.
Dabei wird ein Rotor mit definierter Unwucht verwendet. Bei dieser Art der Anregung
lassen sich nur drehzahlsynchrone Lagerparameter bestimmen. Eine Messung bei einer
konstanten Drehzahl und veränderter Anregungsfrequenz ist also nicht möglich.
•
Eine zweite Methode zur Anregung der Lagerstruktur ist die Verwendung eines Modal-
hammers [
36
,
37
]. Der Vorteil hier ist, dass sich ein breiteres Frequenzspektrum bei einer
Messung abdecken lässt. Allerdings ist bei einer solche Anregung die Leistung jeder einzel-
nen Frequenz manchmal so gering, dass keine Schwingung auftritt. Außerdem lässt sich eine
Messung nach dem ersten Messprinzip nur mit Änderungen am Modalhammer realisieren.
Es ist weiterhin schwer zu gewähren, dass beim Hammerschlag auf den Rotor die Drehzahl
konstant bleibt. Rudloff verwendete zur Bestimmung der Lagerparameter von Gaslagern
dieses Messprinzip und dabei wird die Spitze des Modalhammers mit einer Rolle bestückt
[36]. Dies sollte das Abbremsen des Rotors reduzieren.
•
Zur Anregung des Systems eignen sich auch Shaker [
42
]. Dank ihrer frei einstellbaren
Frequenz sowie Amplitude bieten sie die optimale Lösung bei der Identifikation von
Lagerparametern. Sie lassen sich am besten im zweiten Messprinzip implementieren.
2.3.3 Rotordynamische Untersuchungen
Die rotordynamischen Untersuchungen dienen dazu, das dynamische Verhalten von Gasfolien-
gelagerten Systemen unter möglichst realen Bedingungen zu beobachten. Dabei wird die Stabilität
sowie die Leistung des Systems unter bestimmten vordefinierten Einflüssen untersucht. Es werden
häufig zu diesem Zweck Prüfstände verwendet, die aus einem in zwei GFB gelagerten Rotor
10
2.3 Experimentelle Untersuchungen
bestehen. Zum Antrieb des Rotors steht eine Luftturbine [
44
,
45
,
46
,
47
] oder ein Elektromotor
[
12
] zur Verfügung. Zur Beurteilung des Rotorverhaltens wird sein Orbit im Lagerbereich gemessen
und analysiert. Die Störungen bzw. Einflüsse, die auf den Rotor aufgebracht werden, können von
unterschiedlicher Natur sein:
•
Die Unwucht verstärkt bei Gasfolienlagern aufgrund der Selbsterregung die subharmonischen
Schwingungen. Ihre Amplitude steigt mit der Größe der Unwucht. Eine Methodik zur
Klassifizierung dieser nichtlinearen Schwingungen in GFB-gelagerten Systemen wird von
Hoffmann et al. realisiert [
9
]. Diese Klassizierung basiert auf erzwungenen Schwingungen,
die aus der Rotorunwucht hervorgerufen werden. Die Ergebnisse aus dieser Untersuchung
sind sehr ähnlich zu denen von Balducchi [1].
•
Die statische Last entspricht dem statischen Anteil der Lagerbelastung. Sie wird auf
unterschiedliche Weise verändert, um den Einfluss auf das rotordynamische Verhalten der
Lager zu untersuchen. Eine Variation der Lagerlasten lässt sich zum Beispiel durch die
Verwendung von Rotoren mit unterschiedlichen Gewichten [
9
,
1
] realisieren. Bei beiden
Studien werden eine Hohlwelle und eine Vollwelle als Rotor verwendet. Die Ergebnisse
aus beiden Untersuchungen zeigen kaum Unterschiede bei der Frequenz, bei der die erste
subharmonische Schwingung beobachtet wird.
•
Die Temperatur ist ein sehr wichtiger Faktor im Angesicht der Tatsache, dass ein möglicher
Einsatzort der Gasfolienlager der Turbolader ist, wo Temperaturen über
300 ◦C
herrschen.
2011 untersuchten San Andrés et al. [
48
] das rotordynamische Verhalten eines bis
400 ◦C
beheizten Rotors. Der Rotor wird von zwei Gasfolienlagern der 2. Generation gelagert.
Die Ergebnisse zeigen eine Abnahme der Schwingungsamplitude im Bereich der Lager
bei zunehmender Temperatur. Dies könnte an der Ausdehnung des Rotors, der zu einer
Abnahme des Lagerspalts führt, oder an der mit der Temperatur steigenden Viskosität der
Luft liegen. Beides sorgt für einen Anstieg der Steifigkeit.
•
Die Fehlausrichtung ist erreicht, wenn die Achse der Lager mit der des Rotors nicht koaxial
ausgerichtet ist. Es wird auch von “nicht gefluchtet“ gesprochen und ist ein Zustand,
den viele Maschinen im Betrieb aufweisen. 2008 baute Howard [
46
] einen Prüfstand mit
beweglichem Lagerbock zur Untersuchung der Fehlausrichtung bei Gasfolienlagern. Bei den
Versuchen verstellt er dreimal eines der Lager und misst beim Herunterfahren des Rotors
die Temperatur in den Lagern sowie die Schwingungsamplituden des Rotors. Beim Vergleich
der Ergebnisse mit Untersuchungen mit Schrägkugellagern zeigen die Gasfolienlager eine
bessere Leistung hinsichtlich der Schwingungsamplituden, denn Gasfolienlagern gelingt es
bei kleiner Fehlausrichtung sich selbst auszurichten.
11
12
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
3.1 Theoretische Untersuchung
Die Modellierung der elastischen Lagerstruktur hat sich über die Jahre immer weiter entwickelt
und die Modelle unterscheiden sich wesentlich durch ihre Anzahl an Freiheitsgraden, die Interak-
tion zwischen den Bumps sowie die Modellierung und die Berücksichtigung von physikalischen
und geometrischen Randbedingungen. Seit der ersten Veröffentlichung über die Modellierung
der elastischen Struktur im Jahr 1975 von Walowit und Arno hat sich das Strukturmodell der
Lagerwandstruktur weiter entwickelt. Im Zusammenarbeit mit Walowit und Pinkus setzte Hesh-
mat in 1983 dieses Modell an, zur Berechnung von Parametern des axialen [
24
] und radialen [
23
]
Lagers. Dabei wird jeder Bump mit einer einzigen Feder und ohne Berücksichtigung von Reibung
modelliert. Seine Steifigkeit hängt allein von der Geometrie und vom Material der Bumpfolie ab.
Dieses Modell von Heshmat et al. wird aufgrund seiner Simplizität häufig verwendet [
49
,
50
,
51
].
Im Jahre 1996 bearbeitete Iordanoff [
52
], [
25
] dieses Modell und brachte einigen Änderungen in
der Berechnung der Steifigkeit der Bumps. In seinem Modell wird unterschieden, ob eines der
Enden des Bumps an dem Gehäuse fixiert oder frei ist. Der Bump mit einem Fixende besitzt
eine höhere Steifigkeit. Es wird außerdem die Reibung zwischen den Elementen beachtet. Die
Interaktionen zwischen den Bumps werden bei den Modellen von Heshmat sowie Iordanoff jedoch
nicht berücksichtigt.
1992 entscheiden Ku und Heshmat [
53
] sich, diesen Aspekt auch in ein Modell einzubeziehen. So
implementieren sie ein Modell, das die Reibung zwischen den einzelnen Elementen, die Geometrie
der Bumps sowie die Interaktionen zwischen den Bumps betrachtet. Dies führt zu einer besseren
Betrachtung der Lastverteilung auf die Bumpstruktur. Dabei wird die Last auf die Bumpspitzen
ausgeübt. Weiterhin wird davon ausgegangen, dass die Bumps sich nicht vom Gehäuse abheben.
Der Topfolie wird bei der Modellierung weniger Aufmerksamkeit geschenkt. Es wird lediglich
vorausgesetzt, dass keine relative Verschiebung zwischen Topfolie und Bumpfolie möglich ist
und ihre Verformung der des Bumps folgt. Eine etwas genauere Betrachtung der Topfolie und
ihres Einflusses bei der Vorhersage der Lagersteifigkeit sowie Dämpfung machen Carpino et al.
im Jahre 1993 [
26
] und bedienen sich der Finite-Elemente-Methode, um die Verformung der
Topfolie sowie den Druck des Schmierfilms zu berechnen. Bei der Bumpfolie wird jeder Bump
durch eine Feder mit einer konstanten Steifigkeit ersetzt. In späteren Arbeiten implementiert
Carpino mit der Unterstützung von Peng und Talmage Formeln beziehungsweise Methoden in
der zur Modellierung der Gasfolienlager [
54
] verwendeten Finite-Elemente-Methode [
55
,
56
]. Le
Lez et al. betonen in ihrer Arbeit von 2007 [
10
,
11
] die Wichtigkeit der Interaktion der Bumps
miteinander. Sie entwickeln daher ein Modell der Lagerwandstruktur mit drei Freiheitsgraden. Bei
der Modellierung wird nicht nur die Interaktion der Bumps miteinander beachtet, sondern auch
die Richtung der Reibungskräfte, denn im Gegensatz zu dem Modell von Ku und Heshmat [
53
]
können hier die Reibungskräfte an den Bumpfüßen
1
unterschiedliche Richtungen annehmen. Jeder
Bump wird dabei mit drei Federn modelliert. Drei Jahre später präsentieren Feng und Kaneko
[
30
] ein neues analytisches Modell der elastischen Lagerwandstruktur, das neben der Betrachtung
der Bumpinteraktion sowie der Reibungskräfte die lokale Verformung der Topfolie berücksichtigt.
Dieses Strukturmodell wird von Hoffmann im Rahmen seiner Dissertation implementiert und
zur Berechnung der Lagerparameter angewendet [
57
,
58
,
59
]. Anders als alle hier vorgestellten
Modelle wird bei Feng und Kaneko jeder Bump durch zwei Stäbe modelliert. Zwischen diesen
1Kontaktpunkt zwischen Bumpfolie und Lagergehäuse
13
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
ist eine Feder mit einer konstanten Steifigkeit angebracht. Die Topfolie wird dabei mit der
Finite-Elemente-Methode modelliert, wodurch sich die Berechnungszeit erhöht.
In den Tabellen 3.1 und 3.2 sind die in der Literatur häufig vorkommenden Modelle zur
theoretischen Betrachtung der elastischen Lagerwandstruktur im Bereich des GFBs aufgelistet.
Der Unterschied bei den statischen und dynamischen Strukturmodellen liegt allein in der Art
der Belastungen, die auf die elastische Struktur aufgebracht werden. Handelt sich um eine
schwingende Kraftbelastung, wird das dynamische Strukturmodell verwendet.
Auf Grund ihrer Simplizität und ihrer relativ kurzen Berechnungszeit werden die Modelle
von Heshmat und Walowit [
23
] sowie von Iordanoff [
25
] bei der rotordynamischen Vorhersage
gern verwendet. Die Betrachtung jedes Bumps als einzelne lineare Feder ist allerdings eine grobe
Tab. 3.1: Statische Lagerwandmodelle
Autor Eigenschaften
Walowit,Arno, - keine Betrachtung von Reibungskräften
Heshmat [23] + gleiche lineare Feder als Ersatzmodell für alle Bumps
Jahr: 1983 - keine Betrachtung der Topfolie
- keine Interaktion zwischen Bumps
Ku, Heshmat [53]
++
Betrachtung von Reibungs- und Haftkräften
Jahr: 1992
++
Interaktion zwischen Bumps
+ gleiche lineare Feder als Ersatzmodell für alle Bumps
+ horizontale Verschiebung der Bumps allein in der
Richtung des freien Bumps
- keine Betrachtung der Topfolie
Peng, Carpino + Betrachtung der Reibungskräfte
Talmage [54] + Betrachtung der Topfolie
Jahr: 1997 + gleiche lineare Feder als Ersatzmodell für alle Bumps
- Finite-Elemente-Modell (FE-Modell)
- keine Interaktion zwischen Bumps
Iordanoff [25] + Betrachtung der Reibungskräfte
Jahr: 1999 + höhere Steifigkeit bei dem Bumps mit einem Festende
- keine Interaktion zwischen Bumps
+ lineare Feder als Ersatzmodell für alle Bumps
- keine Betrachtung der Topfolie
Le Lez [10]
++
Betrachtung von Reibungs- und Haftkräften
Jahr: 2007
++
Interaktion zwischen Bumps
++
horizontale Verschiebung der Bumps in Richtung des Fest-
sowie Freiendes möglich
++
drei Ersatzfedern pro Bump
++
drei Freiheitsgrade zur Beschreibung der Verformung jedes Bumps
Vereinfachung der Realität, denn solche Modelle berücksichtigen nicht die Interaktion der Bumps
miteinander, die, wie manche Untersuchungen zeigen [
53
,
60
], eine wesentliche Rolle spielt bei der
Strukturmodellierung. Es wird daher im Rahmen dieser Arbeit das Modell von Le Lez et al. als
Lagerwandstrukturmodell aufgrund seiner Betrachtung der Reibung, der Berücksichtigung der
Interaktion zwischen den Bumps und seiner relativ leichten Implementierbarkeit zur Modellierung
der elastischen Lagerwand vorgezogen.
14
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
Tab. 3.2: Dynamische Lagerwandmodelle
Autor Eigenschaften
Ku, Heshmat [53]
++
Betrachtung der Reibungs- und Haftkräfte
Jahr: 1992
++
Berechnung der Steifigkeit jedes Bumps
- keine Betrachtung der Topfolie
++
Interaktion zwischen Bumps
++
horizontale Verschiebung der Bumps in Richtung des Fest-
sowie Freiendes möglich
+ zwei Freiheitsgrade zur Beschreibung der Verformung jedes Bumps
Peng, Carpino [54, 55] + Feder-Dämpfer-Element als Ersatzmodell für jeden Bump
Jahr:1997, 2003 + Betrachtung der Reibungskräfte
- gleiche Federkonstante für alle Bumps
- Vernachlässigung der Reibung zwischen Top- und Bumpfolie
- Betrachtung allein der radialen Verschiebungen
Le Lez et al. [11]
++
Betrachtung von Reibungs- und Haftkräften
Jahr: 2008
++
Interaktion zwischen Bumps
++
horizontale Verschiebung der Bumps in Richtung der Fest-
sowie Freiendes möglich
++
drei Ersatzfedern pro Bump
++
drei Freiheitsgrade zur Beschreibung der Verformung jedes Bumps
Feng, Kaneko [30]
++
zwei starre Stäbe und eine Feder als Ersatzmodell pro Bump
Jahr: 2010
++
Betrachtung von Reibungs- und Haftkräften
+ Finite-Elemente-Modell für die Topfolie (hohe Berechnungszeit)
++
horizontale Verschiebung der Bumps in Richtung der Fest-
sowie Freiendes möglich
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
3.2.1 Diskretisierung der elastischen Lagerwandstruktur
Im Jahre 2007 führten Le Lez et al. numerische Untersuchungen der elastischen Lagerwandstruktur
durch. Diese wurden zuerst mit einer kommerziellen FEM-Software realisiert [
61
]. Dabei wurden
die Topfolie sowie die Bumpfolie als Schalenelement modelliert und sind beide an einem Ende
fest gelagert. An den Kontaktpunkten wird eine gleitende Bewegung vorausgesetzt. Die Reibung
wird von einem klassischen Coulomb-Modell modelliert. Beim Vergleich dieser Ergebnisse mit
den Arbeiten von Heshmat [
23
] und Iordanoff [
25
] lässt sich feststellen, dass deren Modelle
zu sehr vereinfachend sind und weder die Reibung noch die Interaktion zwischen den Bumps
berücksichtigen.
Eine weitere Erkenntnis aus der Untersuchung ist der erhebliche Zeitaufwand, den eine solche
Berechnung in Anspruch nimmt. Daher implementierten Le Lez et al. ein neues numerisches
Modell, das die Interaktion zwischen den Bumps berücksichtigt. Außerdem soll das Modell durch
seine geringere Knotenanzahl eine relativ kurze Berechnungszeit aufweisen. Daher entschieden
sich Le Lez et al. ein neues Strukturmodell zu implementieren. Die Grundidee dabei war, ein
Modell zu entwerfen, das in der Lage wäre, das FE-Modell zu ersetzen. Dabei soll das Modell
ähnliche Ergebnisse mit einem geringeren Zeitaufwand liefern. Dies soll durch die Reduzierung
der Knoten möglich gemacht werden. Ein weiterer besonders wichtiger Punkt für die Autoren
ist die Modellierung der Interaktion zwischen den Bumps. Dieses Vorhaben wird bereits von
Ku und Heshmat 1992 verfolgt [
53
] und das Modell zeigt eine gute Übereinstimmung mit den
15
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
experimentellen Daten. Ihr Modell, an dem die Arbeit von Le Lez sich teilweise orientiert, ist
jedoch sehr komplex, besitzt eine relativ höhere Berechnungszeit und lässt sich nicht in weitere
Modelle einbetten.
In der Abb. 3.1 ist die elastische Lagerwandstruktur unter Belastung eines Drucks
p
darge-
stellt, wobei die Lagerwandstruktur aus Gründen der Übersicht auf zwei Bumps reduziert wird.
p
1
Abb. 3.1: Elastische Lagerwandstruktur
unter Druckbelastung
Bei dem Modell von Le Lez et al. wird jeder Bump
mit drei Federn und zwei Knoten modelliert, wie es
in der Abb. 3.2 zu sehen ist. Weiterhin in der Abb.
3.2 zu sehen sind die Bedingungen, die an den Kno-
ten gestellt werden. Dabei lassen die Knoten an der
Bumpspitze sowie die zwischen zwei Bumps keine
Rotation zu. Diese Bedingung gilt jedoch nicht
beim letzten Bump, wie es beim Knoten 3 und
4 zu sehen ist. Die Berechnung der Steifigkeiten
der Ersatzfeder wird mit Hilfe der Energiemetho-
de durchgeführt. Es wird bei der Betrachtung der
Struktur davon ausgegangen, dass die Höhe des Bumps kleiner als sein Radius ist. Außerdem wird
die Krümmung der Bumpsfolie vernachlässigt. In Tab. 3.3 sind die Schritte zur Diskretisierung der
elastischen Lagerwandstruktur sowie die Freischnitte, die zu der Berechnung der Federsteifigkeiten
verwendet werden, dargestellt. Dabei steht die lineare Feder
k1
für die Steifigkeit des Bumps.
Durch die Befestigung der Struktur am Gehäuse leistet der Bump an dieser Stelle ein Momenten-
Keine Verdrehung
13
4
2
k2
k4k3
Verdrehung
Verdrehung
Verdrehung
Keine Verdrehung
k2
k1
k1
k1
1
Abb. 3.2: Diskretisierung der elastischen Struktur
widerstand. Es wird außerdem davon ausgegangen, dass an der Spitze des Bumps sowie zwischen
zwei Bumps keine Verdrehung möglich ist. Dort herrschen eigentlich winkelabhängige Momente.
Die Implementierung dieser Momente würde zu einem nichtlinearen Strukturmodell führen. Daher
werden sie mit den Federn
k4
,
k2
und
k3
modelliert. Die Berechnung der Federsteifigkeit erfolgt
zuerst durch die Ermittlung der potentiellen Energie. Im Fall der linearen Feder
k1
lautet die
potentielle Energie wie folgt:
Epot =
θ0
Z0 Ms(θ)2
2kml+Ns(θ)2
2EA !rBdθ, wobei km=Et3
B
12(1 −ν2), A =tBl . (3.1)
Aus dem Freischnitt (siehe Abb. 3.3) lassen sich die Schnittgrößen
Ms
(
θ0
)und
Ns
(
θ0
)berechnen.
Ms(θ) = LV L ·x−LHL ·y
=LV L ·rBsin θ0
2−sin θ0
2−θ−LHL ·rBcos θ0
2−θ−cos θ0
2(3.2)
Ns(θ) = LV L sin θ0
2−θ+LHL cos θ0
2−θ(3.3)
16
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
Aus der Gleichgewichtsbedingung lassen sich
LHL
sowie
LV L
in Abhängigkeit von
H
und
V
ermitteln.
LHL =H, LV L =−V(3.4)
Aus der Gl. (3.1) ergibt sich
Epot =rB
2lKSf1θ0
2H2+f2θ0
2HV +f3(θ0)V2
+rB
2EA f4θ0
2H2+f5θ0
2V2.(3.5)
Die Funktionen
(f1, f2, f3, f4, f5)
wurden bereits in der Arbeit von Le Lez et al. [
10
] ermittelt
und sind im Anhang A.1.1 zu finden. Bei der Anwendung des Satzes von Castigliano lassen sich
Verschiebungen
δ
in Richtung
H
berechnen, während es in Richtung
V
keine Verschiebung gibt.
0 = ∂Epot
∂V (3.6)
δ=∂Epot
∂H (3.7)
Aus der Gl. (3.6) lässt sich die Kraft Vin Abhängigkeit von Hermitteln.
V=−f2/lKs
2 (f3/lKs+f5/EA)H=C1H(3.8)
Durch Einsetzen von Gl. (3.8) in Gl. (3.7), nachdem diese abgeleitet wurde, kann die Verschiebung
δberechnet werden.
δ=rB
21
lKs
(2f1+f2C1) + 2
AE f4H=1
k1
H(3.9)
Aus 3.9 lässt sich dann die Steifigkeit
k1
bestimmen. Auf diese Weise werden alle weiteren
Steifigkeiten ermittelt. Allein der letzte Bump wird beim Freischnitt anders betrachtet, denn
dort gelten andere physikalische Bedingungen, wie es in den Freischnitten aus Tab. 3.3 zu sehen
ist. Die Federn
k1
und
k3
besitzen daher dort andere Steifigkeiten und werden
k1bis
sowie
k3bis
genannt. Der Index bis ist aus der Arbeit von Le Lez übernommen worden. Die Berechnungen
ihrer Steifigkeiten sowie die von weiteren Federn sind im Anhang A.1.1 zu finden.
17
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
Tab. 3.3: Diskretisierung der elastischen Struktur nach Le Lez et al. [10]
Ersatzmodell Freischnitt
k1
H
k1
δ
keine Verdrehung
Verdrehung
1
x
yH
V
LV L
LHL
LMR
Ms(θ)Ns(θ)
θ0/2
θ
LV L
LHL
rB
1
k2
H
k2
δ
Verdrehung
1
H
LV L
LHL
θ0
Ms(θ)Ns(θ)
x
y
θ
rB
1
k3
keine Verdrehung
k3H
δ
1
Hy
rB
rB
LHL
LMR
LML
θ0/2
θ
Ms(θ)
Ns(θ)
1
k4
H
k4
δ
keine Verdrehung
Verdrehung
1
H
LV L
LHL
LMR
y
θ0/2
θ
Ms(θ)
Ns(θ)
rB
1
k1bis
H
k1
δ
Verdrehung
Verdrehung
1
x
yH
V
LV L
LHL
Ms(θ)Ns(θ)
θ0/2
θ
LV L
LHL
rB
1
k3bis
keine Verdrehung
k3H
δ
1
Hy
rB
rB
LHL
LML
θ0/2θ
Ms(θ)
Ns(θ)
1
18
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
3.2.2 Steifigkeitsmatrix
F1F2
(k1,∆l7)
(k3,∆l5)
(k4,∆l1)
u1
v1
u3
v3
u4
u2
θdθdθdθd
(k1,∆l2)
(k2,∆l4)
(k2,∆l8)
(k1,∆l3)
(k1,∆l6)
1
2F1
1
2µr(F1+F2)
1
2F2
1
2(F1+F2)
1
2µrF2
µrF2
µrF1
1
Abb. 3.3: Verformung des elastischen Lagerwandstrukturmodells
Zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix ist zunächst die Bestimmung der potentiellen Energie
der elasstischen Lagerwandstruktur erforderlich. Zu diesem Zweck wird die in der Abb. 3.3
dargestellte Struktur betrachtet. Die Beschränkung der elastischen Struktur auf zwei Bumps hat
allein einen didaktischen Grund. Die Steifigkeitsmatrix besitzt schließlich keine Begrenzung, was
die Anzahl an Bumps angeht. Die potentielle Energie der Struktur unter Belastung der Kräfte
F1und F2lässt sich wie folgt berechnen:
EStruktur =1
2hk1∆l2
2+ ∆l2
3+ ∆l2
6+ ∆l2
7+k2∆l2
4+ ∆l2
8+k3∆l2
5+k4∆l2
1i.(3.10)
Die Federsteifigkeiten werden als linear angenommen und ihre Auslenkungen werden, wie folgt,
ermittelt:
∆l1=u1
∆l2=u1c−v1s
∆l3=u2c−u1c−v1s
∆l4=u2
∆l5=u3−u1
∆l6=u3c−v3s−u2c
∆l7=u4c−u3c−v3s
∆l8=u4−u2
(3.11)
mit c= cos(θ0)und s= sin(θ0).
Beim Einsetzen der Gl. (3.11) in Gl. (3.10) lässt sich die potentielle Energie als Funktion der
Verschiebungen (ui, vi)darstellen:
EStruktur =1
2hk12u2
1c2+ 2v2
1s2+ 2u2
2c2+ 2u2
3c2+ 2v2
3s2+u2
4c2−2u1u2c2−2v1u2cs
+k1−2u2u3c2+ 2u2v3cs −2u3u4c2−2v3u4cs+k22u2
2+u2
4−2u2u4
+k3u2
1−2u1u3+u2
3+k4u2
1i(3.12)
Aus der Ableitung der potentiellen Energie können Kräfte, die in den jeweiligen Koordinaten-
richtungen wirken, berechnet werden. Aus dieser Gleichung lässt sich auch die Steifigkeitsmatrix
19
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
identifizieren.
2c2k1+k3+k40−c2k1−k30 0
0 2s2k1−csk10 0 0
−c2k1−csk12c2k1+ 2k2−c2k1csk1−k2
−k30−c2k12c2k1+k30−c2k1
0 0 csk10 2s2k1−csk1
0 0 −k1−c2k1−csk1c2k1+k2
u1
ν1
u2
u3
ν3
u4
={F}
(3.13)
[Ks0]{U}={F}(3.14)
Die Matrix
[Ks0]
aus der Gl. (3.14) entspricht der statischen Steifigkeitsmatrix einer Lagerwand-
struktur mit zwei Bumps. Bei einer Generalisierung des Modells auf eine Struktur mit
n
Bumps
kann die Steifigkeitsmatrix in zwei Matrizen zerlegt werden.
[Ks0] = [K]Eig + [K]Kopp (3.15)
Wobei
[K]Eig =
2c2k10
2s2k1−csk1
0
−c2k1−csk1c2k1+k2
−c2k10
0
00
0 0
0 0 0
.
.
.
2c2k10
2s2k1−csk1
0
−c2k1−csk1c2k1+k2
−c2k1
2c2
bisk1bis 0
2s2
bisk1bis −cbissbisk1bis
0
−c2
bisk1−cbissbisk1bis c2
bisk1bis +k2
−c2
bisk1bis
0
000
0 0
0 0 0
1
2N
1
(3.16)
1
N-1
1
.
(3.17)
In der Matrix
[K]Eig
stehen die Eigensteifigkeiten jedes einzelnen Bumps ohne die Terme, die
aus den Interaktionen der Bumps miteinender entstehen (siehe Gl. (3.16)), während die Matrix
20
3.2 Statisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
[K]Kopp
der Steifigkeit entspricht, die die Bumps aufgrund ihrer Kopplung miteinander entwickelt.
Der verallgemeinerte Verschiebungsvektor lautet:
{U}={u1, v1, u2, ... u2n−1, v2n−1, u2n}T.(3.18)
3.2.3 Modellierung der Reibungskräfte
Wie in vielen bereits veröffentlichen Modellen wird auch hier das Coulomb-Reibungsmodell [
53
,
62
]
verwendet. Dabei ist die Reibungskraft proportional zur Normalkraft, die am entsprechenden
Knoten wirkt. Zur Bestimmung der Richtung der Reibungskraft entwickeltet Le Lez einen
Algorithmus, der in der Abb. 3.4 dargestellt ist.
Initialisierung:
{F}={Fu1, Fv1, Fu2,··· , Fu2n−1, Fv2n−1, Fu2n}
={−µrF1, F1,−µr(F1+F2)/2,··· ,−µrFn, Fn,−µrF2n/2}
status = 0; i= 0; Sign(uk) = pos.
mit k={2,3,··· ,2n−1,2n}
Verschiebung berechnen:
{U}= [Ks0]−1{F}
status ≤1
Sign(u2i+1)neu =
Sign(u2i+1)alt
i≥n
Ende
Richtung ¨andern:
Fu2i+1 =−Fu2i+1
status =status + 1
Freiheitsgrade u2i+1
entfernen
status = 0
i=i+ 1
status = 0
Nein
Ja
Nein
Ja
Nein
Ja
1
Abb. 3.4:
Programmablauf zur Bestimmung der Richtung der Reibungskräfte und zur
Berechnung des Verschiebungsvektors {U}
Zu Beginn der statischen Berechnungen werden alle Knotenverschiebungen positiv betrachtet,
also in Richtung uiausgerichtet. Nach der Auflösung der Gleichung
[Ks0]{U}={F}(3.19)
mit {F}={−µrF1, F1,−µr(F1+F2)/2,··· ,−µrFn, Fn,−µrF2n/2}(3.20)
21
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
werden die Richtungen, beziehungsweise die Vorzeichen, der Verschiebungsvektoren überprüft. Die
Überprüfung geht vom Bump mit dem Festende bis zum Bump mit dem Freiende und wird beim
ersten Knoten abgebrochen, bei dem Richtung bzw. Vorzeichen der berechneten Verschiebung
sich entgegen initialen Wert zurückverändert hat. Im Kraftvektor
{F}
wird die Richtung der
entsprechenden Reibungskraft umgekehrt und die Gl. 3.19 wird erneut berechnet. Falls im
Anschluss dieser zweiten Berechnung die Verschiebungsrichtung dieser Knoten erhalten bleibt,
wird die Überprüfung der nächsten Knoten durchgeführt. Falls jedoch der Verschiebungsvektor
seiner Richtung nochmal verändert hat, ist davon auszugehen, dass die Reibungskraft, die
an diesem Knoten wirkt, höher ist als die von den Federn ausgeübten Kräfte. Dieser Knoten
wird aufgrund der Haftreibung als fester Punkt betrachtet. Das System verliert daher einen
Freiheitsgrad und der Vektor
{U}
wird neu definiert, bevor die Gl. (3.19) wieder berechnet wird.
Diese Prozedur wird bis zum letzten Bump durchgeführt und auf dieser Art wird der Vektor
{U}bestimmt.
3.3 Validierung des statischen Lagerstrukturmodells
Zur Validierung des statischen Lagerstrukturmodells wird sein Verhalten der elastischen Lager-
wandstruktur unter vordefinierten Bedingungen untersucht und mit einem FE-Modell verglichen.
Bei diesem Vergleich geht es darum zu untersuchen, inwiefern das Le Lez Modell die Struk-
tureigenschaft der elastischen Struktur wiedergeben kann. Das FE-Modell, das als Referenz
für die Validierung gilt, besteht aus einem starren Untergrund, worauf sich eine Bumpfolie
gleitend bewegt. Aufgrund des relativ kleinen Bumpradius im Vergleich zum Lagerradius wird
die Krümmung der Bumpfolie vernachlässigt. Im Rahmen der FE-Untersuchung, wie auch in der
Arbeit von Le Lez, besteht die Bumpfolie aus 10 Bumps und wird von einer Topfolie bedeckt.
Beide Folien sind an einer ihrer Extremitäten befestigt, sodass die Bumpfolie auf einer Seite
einen festen Bump und auf der anderen Seite einen freien besitzt. Die Gleitbewegungen der
Bumpfolie auf dem starren Untergrund sind reibungsbehaftet und dabei wird das Coulombsche
Reibungsmodell angewendet.
Es werden zur Validierung der statischen Lagerstruktur Ergebnisse aus der FE-Simulation mit
dem Strukturmodell von Le Lez, Heshmat [
23
], sowie Iordanoff [
25
] verglichen. Dabei wird die
elastische Struktur von vier unterschiedlichen Druckprofilen belastet und die daraus resultierenden
Verformungen werden festgehalten. Bei den Belastungen handelt es sich um ein konstantes, ein
steigendes, ein fallendes sowie ein steigendes und fallendes Druckprofil. Die auf die Struktur
wirkende Kraft bleibt für alle diese Profile gleich und entspricht der Kraft eines konstanten Druck-
feldes von
2·105Pa
. Weiterhin werden bei den Berechnungen dieser Druckprofile unterschiedliche
Reibungskoeffizienten betrachtet. Für die Berechnung aller Modelle werden Lagerdaten aus der
Tab. 3.4 verwendet.
Tab. 3.4: Lagerdaten zur Validierung des statischen Modells
Parameter Wert
Bumpfoliendicke tb[mm] 0,102
Bumpspannweite sb[mm] 4,572
Bumphöhe hb[mm] 0,508
Halbe Bumplänge lb[mm] 0,508
E-Modul E[GPa] 214
Poisson-Zahl ν[ ] 0,29
Bumpbreite L[mm] 38,1
Anzahl Bumps L[mm] 5
22
3.3 Validierung des statischen Lagerstrukturmodells
In den Abb. 3.5, 3.6 und 3.7 sind Ergebnisse aus der FE-Simulation sowie aus der Modellbe-
rechnung von Le Lez, Heshmat und Iordanoff dargestellt. In der Abszisse steht die Reihenfolge
der Bumps, wobei der Bump Nummer 1 der feste Bump und Nummer 10 der freie ist. Der
Wert auf der Ordinate entspricht der Verschiebung bzw. der Verformung des jeweiligen Bumps.
Dabei werden hier allein die Verschiebungen der Knoten an den Bumpspitzen in Richtung
v
dargestellt (siehe Abb. 3.3). Die Koordinate
v
ist senkrecht zur Bumpfolie ausgerichtet und
Knotenverschiebungen ins Bumpinnere werden positiv gezählt. Weiter in den Abb. 3.5, 3.6 und
3.7 zu sehen ist eine Illustration des Druckprofils, das auf die elastische Struktur wirkt.
Das Modell von Heshmat zeigt bei gleichmäßig verteiltem Druck unabhängig von den Rei-
bungskoeffizienten eine identische Strukturverformung. Dies liegt daran, dass bei diesem Modell
Reibungsverlust außer Acht gelassen wird. Außerdem besitzen alle Bumps die gleiche lineare Feder-
steifigkeit, daher ist die Verformung für alle Bumps identisch. Im Gegensatz zum Heshmat-Modell
besitzt der Bump am Festende beim Modell von Iordanoff eine höhere Steifigkeit. Die restlichen
Bumps weisen dennoch die gleiche lineare Steifigkeit auf. Daher unterscheiden sich die Verläufe
unter einem konstanten Druckfeld bei den Modellen von Heshmat und Iordanoff beim Bump mit
dem Festende. Außerdem zeigt das Iordanoff-Modell eine abnehmende Strukturverformung bei
zunehmenden Reibungskoeffizienten, denn bei der Modellierung von Iordanoff wird zwar jeder
Bump als eine linearer Feder angenähert, die mit ihrem Nachbar nicht interagiert, dennoch fließt
in die Berechnung ihrer Steifigkeit der Reibungskoeffizient. Daher ist die Strukturverformung beim
Iordannof-Modell näher am FE-Modell als das Heshmat-Modell. Das Le Lez-Modell zeigt beim
konstanten Druckprofil bessere Ergebnisse als die beiden bereits erwähnten Modelle. Abgesehen
vom letzten Bump, wo der Unterschied zum FE-modell minimal ist, spiegelt das Le Lez-Modell
relativ gut das Verhalten der elastischen Lagerwandstruktur wider.
Bei der Belastung der Struktur durch ein steigendes oder fallendes Druckprofil ist zu erwarten,
dass die maximale Verformung vom Bump mit der höchsten Druckbelastung erreicht wird. Im
Fall des steigenden Druckprofils wirkt der maximale Druck auf den Bump Nummer 10 bzw.
auf den Bump mit dem Freiende. Bumps an diesem Ende können sich relativ frei nach außen
bewegen und entwickeln eine geringere Steifigkeit (siehe Abb. 3.5), denn sie können Belastungen
durch horizontale Verschiebungen leicht abbauen. Diese horizontalen Verschiebungen werden bei
ansteigendem Reibungskoeffizient zunehmend behindert (siehe Abb. 3.6 und 3.7) und bei höherem
Anpressdruck auf die Bumps können diese sich nicht mehr bewegen. In diesem Fall werden die
Bumps aktiv und ihre Steifigkeit erhöht sich. Die Aktivierung eines Bumps ist charakterisiert
durch einen plötzlichen Anstieg seiner Steifigkeit. Dies ist der Fall, wenn der Bump nicht mehr
in der Lage ist, sich in der Umfangsrichtung zu bewegen oder zu verformen. Dadurch wird der
Bump steifer.
Bei nicht zu hoher Reibung bewegen sich die Bumps relativ leicht, bevor sie haften. Dies führt zu
einer Stauchung der Bumps im Bereich der Einspannung (Bump Nummer 1) und dort zu einer
Anhebung der Bumpspitze, wie die negativen Verschiebungen aus den Le Lez- und FE-Modellen
in der Abb. 3.6 zeigen. Bumps mit negativen Verschiebungen sind gestaucht, jedoch ohne den Kon-
takt mit dem Gehäuse zu verlieren. Beim Stauchen kommen die Bumpfüße zusammen wodurch
die Bumpspitze sich anhebt. Bewegungen in diese Richtung (also nach oben) werden negativ
gezählt. Das Le Lez-Modell zeigt außerdem im Gegensatz zum Heshmat- sowie Iordanoff-Modell
eine gute Modellierung der Interaktion der Bumps miteinander. Dies bleibt weiterhin der Fall
bei fallendem Druckfeld. Hier wirkt der maximale Druck beim Bump mit dem Festende und
nimmt bis zum letzten Bump ab. Der Bump Nummer 1 besitzt eine höhere Steifigkeit aufgrund
der Festeinspannung auf einer Seite und einer Bumpreihe auf der anderen Seite, die aufgrund der
noch hohen Druckbelastung unbeweglich ist. Daher kann hier die maximale Verformung nicht
erreicht werden. Dies wird auch von dem Iordanoff-Modell wiedergegeben. Das steigende und
fallende Druckprofil stellt einen eher praktischen Fall dar im Vergleich zu den bisher betrachteten
23
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
Profilen und alle Modelle zeigen einen qualitativ ähnlichen Verlauf zum FE-Modell. Das Iordanoff-
und Heshmat-Modell zeigen bei
µr
= 0 einen fast deckungsgleichen Verlauf, bevor dies mit zuneh-
mendem Reibungskoeffizienten auseinander geht. Dennoch bleiben die Verformungen bei beiden
Modellen höher als die des FE-Modells. Das Le Lez-Modell bildet dagegen die FEM-Verläufe
auch quantitativ sehr gut ab.
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0
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60
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1
Verformung [µm]
p
1
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1
Bump
Verformung [µm]
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p
1
Bump
Le Lez FE-Modell Heshmat Iordanoff
1
Abb. 3.5:
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr= 0
Es lässt sich also schlussfolgern, dass die Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur als
einfache Struktur, bei der jeder Bump durch eine lineare Feder ersetzt wird, aufgrund seiner
Simplizität sowie die leichte Einbettung in weitergehende multiphysikalische Simulationsmodelle
eine gute Alternative zu numerisch aufwendigen FE-Strukturmodellen ist. Dabei erreicht das
Modell von Iordanoff durch Berücksichtigung von Reibungskoeffizienten und Versteifung des
Bumps mit dem Festende bessere Ergebnisse als das Heshmat-Modell. Diese Modelle können
jedoch ohne weitere Anpassungen das Verhalten der elastischen Struktur nicht genau wiedergeben.
Beim Le Lez-Modell werden sowohl die Reibung als auch die Festeinspannung der Bumpfolie
berücksichtigt. Außerdem wird die Interaktion von Bumps miteinander modelliert, die, wie die hier
betrachteten Fälle (siehe Abb. 3.5, 3.6 und 3.7) zeigen, eine sehr wichtige Rolle bei dem Verhalten
der Struktur spielt. Dieses Strukturmodell ist jedoch etwas komplexer als die Iordanoff- und
Heshmat-Modelle aufgrund seiner Nichtlinearität bei der Beschreibung der Strukturverformung
und seines iterativen Charakters bei der Bestimmung der Richtung der Reibungskraft (siehe
Abschnitt 3.2.3). Daher wird bei der Betrachtung von Systemen, die unter Störungen mit kleinen
Amplituden stehen, oft auf das Modell von Iordanoff zurückgegriffen [
14
]. Dabei werden alle
weiteren Energieverluste durch den Strukturverlustfaktor, der in Abschnitt 4.2.2 erläutert wird,
berücksichtigt.
Bei der Modellierung des statischen Strukturverhaltens zeigt das Modell von Le Lez eine bessere
Übereinstimmung mit der FE-Simulation als das Modell von Iordanoff und Heshmat. Daher wird
24
3.3 Validierung des statischen Lagerstrukturmodells
−20
0
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1
Verformung [µm]
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Bump
Verformung [µm]
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1
Bump
Le Lez FE-Modell Heshmat Iordanoff
1
Abb. 3.6:
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr= 0,1
dieses Modell bei der Berechnung der Gleichgewichtslage im Rahmen der Parameteridentifikation
verwendet.
25
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
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1
Verformung [µm]
p
1
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Bump
Verformung [µm]
2 4 6 8 10
p
1
Bump
Le Lez FE-Modell Heshmat Iordanoff
1
Abb. 3.7:
Vertikale Verformung des statischen Modells unter diversen Lastprofilen und bei
einem Reibungskoeffizienten von µr= 0,5
3.4 Dynamisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
Das dynamische Lagerstrukturmodell von Le Lez et al. basiert auf dem bereits vorgestellten
statischen Modell (siehe Kapitel 3.2). Daher wird auch hier die Geometrie des Lagers sowie
die Interaktion der Bumps miteinander berücksichtigt, die einen bedeutsamen Einfluss auf die
Lagerparameter besitzen [
61
]. Bei der Erweiterung des Modells auf dynamische Fälle werden
zwei Annahmen gemacht. Die erste Annahme geht davon aus, dass die kinetische Energie der
Struktur Null sei. Aufgrund der geringeren Masse der Bumpfolie ist ihre kinetische Energie im
Vergleich zur potentiellen Energie vernachlässigbar klein, daher wird sie nicht betrachtet. Die
zweite Annahme betrifft die Dämpfung. Es wird angenommen, dass die Lagerstrukturdämpfung
allein auf die Coulombsche Reibung zurückzuführen ist. Daher ist die Strukturdämpfung zu
vernachlässigen. Die Gleichung, die das dynamische Modell beschreibt, lautet:
[Ks0]{U}={F}(3.21)
mit
{U}={u1, v1, u2, ... u2n−1, v2n−1, u2n}T(3.22)
{F}=Fr1, N1, Fr2, ... Fr2n−1, N2n−1Fr2nT.(3.23)
Eine Betrachtung der Reibungskräfte wie bei dem statischen Modell (siehe Abb. 3.4) lässt sich
hier nicht umsetzen, denn die Reibungskräfte sind im Fall des dynamischen Modells geschwindig-
keitsabhängig und nicht linear. Außerdem würde ein solches Unternehmen von einer höheren
Berechnungszeit begleitet. Eine neue Betrachtung der Reibungskräfte ist daher notwendig.
26
3.4 Dynamisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
3.4.1 Dynamisches Reibungsmodell
Aufgrund seiner Simplizität wird häufig das Modell von Coulomb zur Modellierung von Reibungs-
kräften gewählt [
56
,
63
,
64
,
65
,
66
]. Dieses lässt sich durch die Gleichung (3.24) mathematisch
beschreiben.
Fri=µrNisign(˙
us
i)(3.24)
˙
us
i
beschreibt die relative Geschwindigkeit zwischen dem Objekt und der Oberfläche, auf der es
sich bewegt. Daher eignet sich die Beschreibung der Reibungskraft aus der Gl. (3.24) besonders
gut für gleitende Objekte, denn die Funktion
sign
lässt sich bei einer relativen Geschwindigkeit
von Null nicht eindeutig definieren (siehe Gl. (3.25)). Die Modellierung von stick-slip-Effekten,
die bei experimentellen Untersuchungen von GFBs zu beobachten sind [
67
,
68
], lassen sich daher
mit diesem Modell nicht modellieren.
−1≤sign(0) ≤1(3.25)
Aus der Gl. (3.25) lässt sich die Gl. (3.24) wie folgt umschreiben:
Fri=(µrNisign(˙
us
i),˙
us
i6= 0,Gleiten
−µrNi≤Fri≤µrNi,˙
us
i= 0,Haften (3.26)
Zur Berechnung der Reibungskraft laut Gl. (3.24) ist eine Bestimmung der Verschiebungsrichtung
˙ui
notwendig. Ein Algorithmus für diesen Zweck wurde bereits im Kapitel 3.2.3 entworfen. Eine
solche Vorgehensweise würde beim dynamischen Modell zu Konvergenzproblemen führen.
Um diese Probleme zu umgehen, wird das Modell von Petrov und Ewins aus dem Jahre 2004 zu
Hilfe genommen [
7
]. Bei der Modellierung der Coulombschen Reibungskraft nehmen die Autoren
an, dass aufgrund der Rauigkeit an der Kontaktstelle die Oberflächenverformungen, die dort
stattfinden, elastisch und linear seien. Es entsteht daher eine Federkraft:
Fri=kt[ui(t)−us
t(t)] .(3.27)
Zur Erläuterung sowie zur Herleitung der Gl. (3.27) verwendeten die Autoren die Abb. 3.8.
u
ν
ui
us
i
(ui−us
i)
kt(ui−us
i)
N
1
Abb. 3.8: Kontaktinteraktion einer rauen Oberfläche nach Petrov und Ewins [7]
Neben dem Punkt
us
i
wird der Punkt
ui
eingeführt, der im Gegesatz zu
us
i
bekannt ist. Um
weitere Unbekannte aus der Gl. (3.27) zu bestimmen, vergleichen die Autoren sie mit der Gl.
(3.24). Bevor dieser Vergleich realisiert werden kann, wird die Funktion sign von einer anderen
Funktion approximiert, die bei einer relativen Geschwindigkeit von Null stetig ist.
sign(˙
us
i)≈2
πarctan(ct˙
us
i)(3.28)
27
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
Dank des Parameters
ct
kann die Approximation der Funktion
sign
gesteuert werden, wie es in
der Abb. 3.9 zu sehen ist. Beim Einsetzen der Gl. (3.28) in Gl. (3.24) lässt sich die Größe
us
i
−2−1 0 1 2
−1
−0.5
0
0.5
1
x
2
πarctan(ctx)
ct= 10
ct= 100
ct= 1000
1
Abb. 3.9: Approximation der Funktion 2
πsign(ctx)
herleiten:
Fri=µrNi2
πarctan(ct˙uis)⇒˙
us
i=1
ct
tan Frπ
2µrNi.(3.29)
Die Ableitung der Gl. (3.27) ergibt nach Einsetzen der Gl. (3.29) die Gl. (3.30). Das Modell
von Petrov und Ewins ermöglicht so die Beschreibung von dynamischen Reibungskräften und
bietet eine stetige Definition der Reibung für alle reellen Werte, wodurch auch stick-slip-Effekte
berücksichtigt werden können.
˙
Fri=kt"˙ui(t)−1
ct
tan πFri
2µfNi!# (3.30)
Um die Implementierung der Gl. (3.30) in die dynamische elastische Lagerwandstruktur zu
erleichtern, wird sie ein wenig umgeschrieben.
gi=g(Fri, Ni) = kt
ct
tan πFri
2µfNi!(3.31)
˙
Fri=kt˙ui(t)−gi(3.32)
Nun wird die Ableitung der Gl. (3.21) betrachtet.
[Ks0]{˙
U}={˙
F}(3.33)
mit
{˙
U}={˙u1,˙v1,˙u2, ... ˙u2n−1,˙v2n−1,˙u2n}T(3.34)
{˙
F}=n˙
Fr1,˙
N1,˙
Fr2, ... ˙
Fr2n−1,˙
N2n−1˙
Fr2noT.(3.35)
Wie bereits in der Gl. (3.32) gezeigt wurde, lässt sich die Reibungskraft in zwei Anteile aufteilen.
Diese Tatsache lässt sich auch in der Gl. (3.33) umsetzen.
[Ks0]{˙
U}+ [A]{˙
U}={D}(3.36)
28
3.4 Dynamisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
Wobei
[A] =
kt0 0
0 0 0
0 0 kt...
kt0 0
0 0 0
0 0 kt
,{D}=
g1
˙
N1
g2
.
.
.
g2n−1
˙
N2n−1
g2n
(3.37)
Die Geschwindigkeiten der Knoten können dann berechnet werden.
{˙
U}= ([Ks0]+[A])−1{D}(3.38)
Zur Bestimmung der Reibungskraft sind jedoch die Geschwindigkeiten in der Richtung
ui
relevant.
Um allein diese Größe zu berechnen, wird die Matrix [C]in Gl. (3.38) eingesetzt.
˙u1
˙u2
.
.
.
˙u2n−1
˙u2n
=
1 0 0
0 0 1
...
100
001
·
˙u1
˙v1
˙u2
.
.
.
˙u2n−1
˙v2n−1
˙u2n
(3.39)
{X}= [C]{˙
U}(3.40)
Daraus ergibt die Gl. (3.38) Folgendes:
{˙
X}= [C] ([Ks0]+[A])−1{D}.(3.41)
Das Beziehen der Gl. (3.32) auf das gesamte System und bei Berücksichtigung der Gl. (3.41)
lässt die Ableitung der Reibungskräfte in Matrixform zu:
˙
Fr1
˙
Fr2
.
.
.
˙
Fr2n−1
˙
Fr2n
=
kt0
0kt...
kt0
0kt
·
˙u1
˙u2
.
.
.
˙u2n−1
˙u2n
−
g1
g2
.
.
.
g2n−1
g2n
(3.42)
{˙
Fr}=[B] [C] ([K]+[A])−1−[C]{˙
D}= [G]{˙
D}.(3.43)
Das Differentialgleichungssystem (3.43) besteht aus 2
n
-Gleichungen und besitzt einen relativ
geringen Stabilitätsbereich, wodurch es bei der Lösung der Gleichung zu Konvergenzproblemen
kommen kann. Dieses Problem lässt sich durch die Berechnung der Jacobi-Matrix beheben, die
nur einmal bestimmt werden muss, da die Matrix [G]zeitlich unabhängig ist.
[J]=[G] [M](3.44)
29
3 Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur
Durch die Verwendung der Jacobi-Matrix
[J]
lässt sich außerdem die Lösung der Gl. (3.43)
beschleunigen.
[M] =
∂g1
∂Fr1
0
0 0
0∂g2
∂Fr−2...
∂g2n−1
∂Fr2n−1
0
0 0
0∂g2n
∂Fr2n
(3.45)
Dabei lauten die Normalkräfte, die durch dynamische Druckbelastung an den Bumpspitzen
hervorgerufen werden, wie folgt:
(Ni= (p0+psin(ωt)) sbl
˙
Ni= (pω cos(ωt)) sbl, mit i={1,3,··· ,2n−1}(3.46)
Die Kräfte an den Bumpfüßen wurden bereits in der Abb. 3.3 ermittelt.
(Ni= (Ni−1+Ni+1)/2mit i={2,4,··· ,2n−2}
Ni= (Ni−1)) /2mit i= 2n(3.47)
Die Reibungskräfte werden aus der Gl. (3.43) berechnet. Als initiale Werte bei der numerischen
Lösung dieser Gleichung sind alle Reibungskräfte gleich Null .
Fri(t= 0) = 0 (3.48)
In der Abb 3.10 wird der Berechnungsablauf zur Bestimmung der dynamischen Strukturverfor-
mung dargestellt.
30
3.4 Dynamisches Lagerstrukturmodell nach Le Lez et al.
Initialisierung
:
{Fr}
nach Gl. (3.48)
[G]
nach Gl. (3.43),
{D}
nach Gl. (3.37)
{Fr}berechnen
:
{Fr}
aus der Gl.(3.43) ermittelt
{F}aufbauen
:
{F}
nach Gl. (3.46) , (3.47), (3.48)
Verschiebunng berechnen
:
{U}
=
[Ks0]−1{F}
Abb. 3.10:
Programmablauf zur Berechnung der dynamischen Lagerstrukturverformungen
31
32
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.1 Lagerherstellung
Im Jahr 2008 veröffentlichte DellaCorte [
69
] eine Anleitung zur Herstellung von Gasfolienlagern
der ersten und zweiten Generation, um dadurch die Forschung in diesem Bereich zu fördern. Diese
Anleitung wurde und wird auch noch heute von zahlreichen Forschungsinstituten verwendet.
Begleitet von dieser Anleitung werden die Gasfolienlager für die vorliegende Arbeit hergestellt. Aus
einer
100 µm
Inconel X750 Folie werden zuerst Bump- und Topfolie auf Maß herausgeschnitten.
Die Bumpfolie erhält danach ihre wellige Struktur durch wiederholte Pressvorgänge mit einer
hydropneumatischen Presse (siehe Abb. 4.1). Dabei wird die Folie zwischen einen Stahlstempel
1
2
3
4
1 Hydropneumatische Presse
3 Stempel
2 Matrix
4 Gummimatten
1
Abb. 4.1: Gesenkbiegen der Bumpfolie an der hydropneumatischen Presse
und eine Kunststoffmatrix platziert und in der Presse zusammen gepresst. Bei der Verwendung
einer Kunststoffmatrix statt einer Metallmatrix, wie es in der Abb. 4.1 zu sehen ist, wird die
Abnutzung der Stempel reduziert. Nach jedem Pressvorgang wird eine Kontrollmessung der Folie
zur Überprüfung des Bumpsradius durchgeführt, bis die gewünschte Geometrie erreicht ist. Die
Bumpfolie ist in dieser Phase der Herstellung noch relativ weich, daher wird sie berührungslos
vermessen. Es wird zu diesem Zweck ein optisches Messverfahren entwickelt. Dieses beinhaltet
im Wesentlichen eine digitale Kamera mit einem Vergrößerungsfaktor von 20 bis 200. Zur
Unterstützung dieser Hardware, beziehungsweise zur Verarbeitung der Bilder wird ein Matlab-
Skript implementiert, das auf Bildbearbeitungsverfahren basiert. Nachdem eine Aufnahme des zu
messenen Bumpradius erfolgt ist, werden durch Farbkontrast Körperkanten erkannt und in ein
Schwarz-Weiß-Bild umgewandelt. Durch das Auswählen von Kanten im Bild werden Bumpradius
sowie Bumphöhe ermittelt. Zur Bestimmung der Genauigkeit des Verfahrens werden Zylinderstifte
mit bekannten, unterschiedlichen Durchmessern vermessen. Dabei werden wiederholt Stifte der
Durchmesser
2 mm
,
3 mm
,
4 mm
,
5 mm
sowie
8 mm
fotografiert und ihre Radien mit dem optischen
Messverfahren ermittelt. Die Ergebnisse dieser Messkampagne sind in der Abb. 4.2 in einem
Histogramm dargestellt.
Die Daten zeigen in guter Näherung eine Normalverteilung. Zur Beurteilung des Messprozesses
33
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0,99 1,04
0
2
4
6
8
10
H¨aufigkeit
R: 1 mm
1,44 1,48
Gemessener Radius [mm]
R: 1,5 mm
1,93 1,96
R: 2 mm
2,4 2,62
0
2
4
6
H¨aufigkeit
R: 2,5 mm
2,85 3,3
Gemessener Radius [mm]
R: 3 mm
3,72 4,78
R: 4 mm
1
Abb. 4.2:
Häufigkeitsverteilung der Messdaten zur optischen Vermessung der Stifte der
Radien 1 mm,1,5 mm,2 mm,2,5 mm,3 mm sowie 4 mm
werden die Messmittelfähigkeitsindizes Cgund Cgk berechnet [70, 71]:
Cg=(Rmax −Rmin)
6σR
=2∆Rs
6σR
=∆Rs
3σR
(4.1)
Cgk =∆Rs−∆¯
R
6σR
,wobei ∆¯
R=
1
2(Rmax −Rmin) + ¯
R.(4.2)
Die Terme
∆¯
R
,
¯
R
,
σR
entsprechen jeweils dem Toleranzfeld, dem arithmetischen Mittelwert der
Wiederholmessungen und der Standardabweichung. In der Tab. 4.1 sind die Fähigkeitsindizes der
jeweiligen Stifte festgehalten. Das Verfahren gilt als fähig, wenn die Indizes
Cg
und
Cgk
folgende
Bedingungen erfüllen:
Cg>1,33 und Cgk >1,33 (4.3)
In diesem Fall liegt der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von
99,73 %
innerhalb des
Vertrauensbereichs (
[R−Tol., R +Tol.]
), dessen Amplitude von der Toleranz (
Tol.
) abhängig
ist. Wie die Ergebnisse aus der Tab. 4.1 zeigen, bleibt die Messmittelfähigkeit des Messsystems
nur bei zunehmender Toleranz erfüllt. Diese Abnahmen der Genauigkeit mit steigenden Radien
liegen an den Abbildungsfehlern des optischen Aufnahmegeräts. Die Kamera zeichnet aufgrund
der Krümmung ihrer Linse im Randbereich mit Verzerrung. Es findet außerdem dort chromatische
Aberration
1
und Vignettierung
2
statt, die die Erkennung von Körperkanten erschweren. Dies
1
Die chromatische Aberration ist ein Abbildungsfehler, bei dem Licht unterschiedlicher Wellenlänge durch das
Objektiv stark gebrochen wird.
2Die Vignettierung ist die Abdunklung an den Bildrändern.
34
4.1 Lagerherstellung
ließe sich durch die Anschaffung einer hochwertigeren Mikroskopkamera beheben.
Tab. 4.1:
Messmittelfähigkeitsindizes des optischen Messverfahrens zur Vermessung von
Bumpradien
R[mm] CgCgk¯
RTol. [mm]
1 2,35 1,94 1,01 0,08
1,5 2,71 1.67 1,47 0,08
2 5,74 1,88 1,95 0,15
2,5 1,38 1,36 2,50,25
3 1,54 1,3 3,10,55
4 1,53 1,33 4,13 1
Es werden bei der Herstellung des Lagers Bumpfolien mit Radien unter
2,5 mm
gefertigt. In
diesem Messbereich beträgt der maximale absolute Messfehler
0,25 mm
. Diese Genauigkeit
genügt im Angesicht der Tatsache, dass nur sehr begrenzte Mittel zur Fertigung des Lagers zur
Verfügung stehen und so eine höhere Fertigungsgenauigkeit nur mit mehr Aufwand und der
Beschaffung von präziseren Fertigungsgerät erreichbar ist. Dazu gehört eine Presse mit einem
höheren Anpressdruck sowie einer höher auflösenden Mikroskop-Kamera.
Nach dem Pressvorgang und Vermessung der Geometrie der Bumps wird die Bumpfolie mit
der Topfolie 4 Stunden bei
640 ◦C
wärmebehandelt. Dies erhöht die Steifigkeit beider Folien
[
69
]. Nach der Wärmebehandlung wird die Bumpfolie noch einmal vermessen. In Abb. 4.3 sind
diese geometrischen Daten über die Länge der Bumpfolie aufgetragen, die hier normiert (
x/L
)
ist. In den Abbildungen sind neben geometrischen Daten der am Fachgebiet hergestellten Lager
die Bumpradien des Lagers der Firma MSI Inc (Mechanical Solutions Inc.), die im bereits
aufgebauten Zustand (Bump- und Topfolie wurden schon im Gehäuse geschweißt.) gemessen
wurden, dargestellt. MSI Inc ist eine amerikanische Firma, die neben ihrer Beratungstätigkeit im
Bereich der Rotordynamik Gasfolienlager herstellt und verkauft. Wie es hier zu sehen ist, streuen
0 20 40 60 80 100
2
4
6
8
10
x/L [%]
Bumpradius [mm]
Bumpradien ¨uber die L¨ange
0 20 40 60 80 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x/L [%]
Bumph¨ohe [mm]
Bumph¨ohe ¨uber die L¨ange
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI
1
Abb. 4.3:
Bumpgeometrie der Lager TU3, TU8, TU10, sowie MSI über die relative Länge
x/L
die Radien des MSI-Lagers relativ stark über die Länge. Diese Ergebnisse sind jedoch mit Vorsicht
zu betrachten, denn in diesem Messbereich ist die Toleranz des Messverfahrens relativ groß,
35
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Tab. 4.2:
Geometrische und physikalische Daten der Lager MSI, TU3, TU7, TU8 sowie
TU10
Parameter Werte
Lagerradius R19,05 mm
Lagerlänge l38,1 mm
Topfoildicke tt0,102 mm
Bumpfoildicke tb0,102 mm
E-Modul E2,07 ·108N/mm2
Poisson-Zahl ν0,29
Lager MSI TU3 TU7 TU8 TU10
Bumpspannweite sb4,57 mm 3,06 mm 3,12 mm 3,02 mm 2,53 mm
Bumpradius rb8,08 mm 2,26 mm 2 mm 1,72 mm 1,7 mm
Bumphöhe hb0,5 mm 0,365 mm 0,45 mm 0,5 mm 0,3 mm
Bumpanzahl Nb26 38 38 38 38
rb
tb
sb
tthb
1
nämlich
1 mm
. Nach der Wärmebehandlung werden die Folien gereinigt und in das Lagergehäuse
geklebt (siehe Abb. 4.4a). Um die Montage der Lager in weiteren Prüfständen zu erleichtern,
wird das GFB in einer Lageraufnahme montiert (siehe Abb. 4.4b). Das Lager wird anschließlich
mit zwei Madenschrauben arretiert (siehe Abb. 4.4b Position 2). Neben den Bohrungen zur
Arretierung des Lagers sind in Abständen von
45◦
weitere M4-Gewindebohrungen vorhanden,
um Messinstrumente zu befestigen oder durchzuführen, wie zum Beispiel Thermoelemente. Auf
diese Weise kann die statische und dynamische Steifigkeitskennlinie des Lagers in
45◦
-Schritten
über den Umfang gemessen werden.
Die geometrischen und physikalischen Daten der Lager, die im Rahmen der Untersuchung der
3
4
1
2
4 Klebeverbindung
1 Topfolie
2 Bumpfolie
3 Geh¨ause
1
(a)
2
1
45◦
1 M4-Gewindebohrung
2 M3-Gewindebohrung
1
(b)
Abb. 4.4:
(a) Ein am Fachgebiet selbsthergestelltes Gasfolienlager und die dazu angefertigte
(b) Lageraufnahme
elastischen Lagerwandstruktur verwendet werden, sind in der Tab. 4.2 zu finden.
36
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.2.1 Versuchsdurchführung zur statischen Untersuchung der elastischen
Lagerwandstruktur
Der experimentelle Prüfstand zur Messung der statischen Steifigkeit der elastischen Lagerwand ist
in der Abb. 4.5 dargestellt. Der gesamte Prüfstand befindet sich auf einer Drehbank und besteht
aus einer Kraftmessdose (Position 3), einem Wegsensor (Position 4) und einer in einem Drehfutter
(Position 5) eingespannten Welle (Position 2). Die Welle besteht aus 42CrMo4 (1.7225) und
hat eine geschliffene Oberfläche. Sie wird zusätzlich auf der gegenüberliegenden Seite von einem
Reitstock (Position 6) so gehalten, dass die Welle fluchtend mit der Drehachse der Drehbank
positioniert ist. Dadurch wird gewährleistet, dass die auf das Lager ausgeübte statische Kraft
F0
senkrecht zur Lagerachse ausgerichtet ist und schneiden sich. Die Ausübung der statischen
Kraft auf das Lager wird durch das Verfahren des Werkzeugschlittens (Position 7) erreicht. Zur
7
1
3
5
4
2
6
Fo
1 Gasfolienlager
2 Welle
3 Kraftmessdose
4 Wegsensor
5 Drehfutter
6 Reitstock
7 Werkzeugschlitten
1
Abb. 4.5: Prüfstand zur statischen Untersuchung der
elastischen Lagerwand
Erfassung der statischen Kraft wird zwischen Werkzeugschlitten und Lager (Position 1) die
Kraftmessdose angebracht. Die aus der Lagerbelastung resultierende Verschiebung wird auf der
gegenüberliegenden Seite vom einem Wegsensor erfasst. Die Daten aus der Kraftmessdose sowie
aus dem Wegsensor werden mit einer Abtastfrequenz von
6000 Hz
vom NI 9215 Messmodul der
Firma National Instruments erfasst. Bei einer statischen Untersuchung, wie sie hier durchgefurcht
wird, ist eine so höhere Abtastfrequenz nicht unbedingt nötigt. Es lassen sich allerdings dadurch
Messwerte besser filtern bzw. glätten. Bei einer Reduzierung der Messdaten auf 1 Hz werden
6000 Messpunkte, die in einer Sekunde aufgenommen wurden, gemittelt, um einen Messpunkt
zu bekommen. Dadurch lassen sich Störungen reduzieren. Die Spezifikationen der verwendeten
messtechnischen Instrumente sind in der Tab. 4.3 zu finden. Beim Aufbau des Prüfstands wird,
nachdem das zu vermessene Lager in der Lageraufnahme angebracht wird, die Kraftmessdose an
der Lageraufnahme auf der zu untersuchenden Winkelposition montiert. Danach wird das Lager
samt Messtechnik auf die Welle geschoben. Am anderen Ende der Kraftmessdose wird ein Dorn
angeschraubt. Über diesen Dorn, der an den Werkzeugschlitten montiert wird, wird während des
Versuchs die statische Last eingeleitet. Zur Positionerung und zur Stabilisierung der Welle wird
sie mit dem Reitstock festgeklemmt. Schließlich wird der Wegsensor in Position gebracht.
Bei einer Winkelposition werden gleichzeitig zwei gegenüberliegende Winkel gemessen. In
der Abb. 4.6 wird als Beispiel die Messung an der Winkelposition
90◦
-
270◦
illustriert. Sie lässt
sich in zwei Phasen durchführen. Zunächst wird der Werkzeugschlitten hereingefahren bis die
Kraftmessdose
−150 N
anzeigt, das ist der Beginn der
1. Phase
. Bei dieser 1. Phase wird der
Werkzeugschlitten langsam herausgefahren, was für die Kraftmessdose einer Belastung mit einer
37
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Tab. 4.3: Messtechnische Instrumente zur statischen Untersuchung der elastischen
Lagerwand
Messinstrument Hersteller Bezeichnung Messbereich Genauigkeit
Kraftmessdose burster Typ 8417 −500 N:500 N 2,5 N
USB-Sensor-Interface burster Typ 9206 - 24 Bit
Wirbelstromsensor eddylab T05-G-KA 0 mm:0,5 mm 30 nm
Wirbelstromsensor eddylab TX2 - -
Basismodul
Analoges National NI 9215 −10 V:10 V 2 mV
Spannungseingangsmodul Instruments
Zugkraft entspricht. Die Verschiebungen aus dieser Belastung werden vom Wirbelstromsensor
erfasst und bis
150 N
weitergeführt. In dieser Phase wird die Kennlinie des Lagers am Winkel
90◦
bei Entlastung und am Winkel
270◦
bei Belastung aufgenommen. Diese Kennlinie ist in der
Abb. 4.6 rot gekennzeichnet. Bei der
2. Phase
ist die statische Kraft sowie die Fahrtrichtung
des Werkzeugschlittens umgekehrt gerichtet. Es werden nun der Winkel
90◦
bei zunehmender
Kraft und der Winkel
270◦
bei abnehmender Kraft gemessen. Diese Vorgänge werden bei jeder
Winkelposition von jeder einzelnen Messkampagne 5 Mal wiederholt. Die Messdaten aus den
wiederholten Messungen werden gemittelt, bevor sie auswertet werden. Dadurch werden nicht-
systematische Fehler reduziert.
Aus diesen beiden Messphasen wird ein in Abb. 4.6 ähnlich dargestellter Weg-Kraft-Verlauf
erhalten. Dabei wird z.B. der Winkel
90◦
bei der
1. Phase
mit einer zunehmenden Kraft
[−150 N
,
0 N] und bei der 2. Phase mit einer abnehmenden Kraft [0 N,−150 N] belastet.
Die statische ist Last auf
[−150 N
,
150 N]
begrenzt, um eine Zerstörung des Lagers zu verhin-
dern.
45◦
135◦
0◦
270◦
Phase 1
Phase 2
F0
315◦
225◦
180◦
x
ØD1, D2, D3
−100 0 100
−100
0
100
90◦
270◦
Verformung, x[ m]
Last, F0[N]
1
Abb. 4.6:
Messprinzip zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur am
Beispiel der Winkelposition 90◦-270◦
Die statische Untersuchung der elastischen Lagerstruktur wird an 5 Gasfolienlagern durchge-
führt. Dabei werden drei verschiedene Wellen mit unterschiedlichen Durchmessern verwendet.
Die Verwendung von unterschiedlichen Wellen ermöglicht eine Variation des Nominalspaltes und
somit die Untersuchung des Einflusses dieser Größe auf die Steifigkeit sowie auf den Strukturver-
lustfaktor des Lagers. Ein weiterer Aspekt der Untersuchung ist der Einfluss von Shims auf die
38
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
300◦
180◦
60◦
1
4
5
2
3
1 Shim
2 Topfolie
3 Bumpfolie
4 Geh¨ause
5 Welle
1
Abb. 4.7: Schematische Darstellung eines mit Shims modifizierten Gasfolienlagers
Steifigkeit (siehe Abb. 4.7). Es handelt sich bei den Shims um metallische Lehrenbleche mit einer
Breite von
12,5 mm
und einer Dicke, die sich über einen Bereich von
10 µm
zu
1 mm
erstreckt.
Die Shims werden in Abständen von
120◦
zwischen Bumpfolie und Gehäuse platziert. In der Tab.
4.4 sind die im Rahmen der Untersuchung durchgeführten Messkampagnen aufgelistet.
Tab. 4.4: Messkampagnen zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwand
Welle Shims Winkelposition Lager
D1=37,95 mm
-0◦-180◦;45◦-225◦MSI1, MSI3, TU3
90◦-270◦;135◦-315◦TU7, TU8, TU10
25 µm0◦-180◦;45◦-225◦MSI1, MSI3, TU3
90◦-270◦;135◦-315◦TU7, TU8, TU10
D2=38,05 mm -0◦-180◦;45◦-225◦MSI1, MSI3, TU3
90◦-270◦;135◦-315◦TU7, TU8, TU10
D3=38,105 mm -0◦-180◦;45◦-225◦MSI3, TU3
90◦-270◦;135◦-315◦TU7, TU8, TU10
Die statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur wird parallel mit den rotordy-
namischen Versuchen, die im Kapitel 7 präsentiert werden, durchgeführt. Im Rahmen der
rotordynamischen Untersuchung des Lagers MSI1 wird das Lager beschädigt, daher fehlen hier
Ergebnisse der statischen Versuche des Lagers MSI1 mit der Welle D3.
4.2.2 Datenaufbereitung und Datenauswertung aus der statischen Untersuchung der
elastischen Lagerwandstruktur
Die Aufbereitung und die Auswertung der Messdaten aus der statischen Untersuchung der
elastischen Lagerwandstruktur werden nach dem Schema des in Abb. 4.8 vorliegenden Struk-
turgramms durchgeführt. Die Rohdaten werden zunächst mit Hilfe eines digitalen Filters vom
Messrauschen befreit. Aus den gefilterten Daten lassen sich Hystereseverläufe, wie es in der Abb.
4.9a zu sehen ist, darstellen. Es wird außerdem daraus die Weg-Kraft-Kennlinie (Abb. 4.9a,
rote Linie) berechnet. Bei der Ermittlung der Kennlinie werden zuerst die Messdaten aus der 1.
Phase (
Fan, xan
)und 2. Phase (
Fab, xab
)der Messung (aus Abschnitt 4.2.1) in kleinen Intervallen
[
F0
; ∆
F
+
F0
]mit gleichen Lastamplituden aussortiert. Die Amplitude der Intervalle wird für
39
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Messdaten:
(Fan,xan), (Fab,xab)
Weg-Kraft-Kennlinie:¯
Fi, ¯xi
¯
Fi=Pn
j=1 Fan,j +Pm
l=1 Fab,l
n+m
¯xi=Pn
j=1 xab,j +Pm
l=1 xab,l
n+m
{Fan,j , Fab,l} ∈ [F0,∆F+F0]
Steifigkeit:
kstat(¯x) = ∂¯
F
∂¯x=¯
Fi+1−¯
Fi
¯xi+1−¯xi
Nominaler Spalt:
C0=XCo,max −XCo,min
wobei
XCo,min =min{¯x(ki< ktol)}
XCo,max =max{¯x(ki< ktol)}
Lineare Steifigkeit:
klinear(α) = −¯
F(¯xmin)
¯x0−¯xmin
klinear(α+ 180) = ¯
F(¯xmax)
¯xmax−¯x0
mit ¯
F( ¯x0)=0
Verlustfaktor:
γ=HF dx
∆E
1
Abb. 4.8:
Programmablauf zur Bestimmung von statischen Lagerkenngrößen aus den
experimentellen Untersuchungen
alle Messkampagnen auf ∆
F
=
3 N
festgesetzt. Danach werden die Messdaten aus allen Intervallen
gemittelt (siehe Gl. 4.4).
¯
Fi=Fan,1+···+Fan,n +Fab,1+···+Fab,m
m+n,{Fan,1. . . Fan,n} ∈ [F0; ∆F+F0]
¯xi=xan,1+···+xan,n +xab,1+···+xab,m
m+n,{Fab,1. . . Fab,m} ∈ [F0; ∆F+F0]
(4.4)
m und n sind die Anzahl an Messpunkten aus dem Intervall [
F0
; ∆
F
+
F0
], die jeweils aus der 1.
Phase und 2. Phase der Messung entstanden sind.
i
steht für den Reihenindex der Elemente aus
der Steifigkeitskennlinie. Aus der Steifigkeitskennlinie (¯
F, ¯x)lassen sich dann die wegabhängige
Steifigkeit (siehe Abb. 4.9b) sowie die lineare Steifigkeit des Lagers am entsprechenden Winkel
ermitteln (siehe Abb. 4.9a). Die Linearisierung der Steifigkeit wird für jeden Winkel realisiert, wie
in der Abb. 4.9a dargestellt ist. Die lineare Steifigkeit entspricht der Verbindungslinie im Weg-
Kraft-Verlauf zwischen der Nullpunkt-Last und dem Punkt mit der Maximal- oder Minimallast,
je nachdem an welchem Winkel dies gerade ermittelt wird. Im Fall der Maximallast ist die lineare
Steifigkeit die des Winkels
α
+
180◦
(siehe Gl. 4.6) und bei einer Minimallast entspricht sie der
des Winkels α(siehe Gl. 4.5).
klinear(α) = −¯
F(¯xmin)
¯x0−¯xmin
(4.5)
klinear(α+ 180◦) = ¯
F(¯xmax)
¯xmax −¯x0
,wobei ¯
F(¯x= 0) = ¯
F(¯x0)=0 (4.6)
40
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Die statische Steifigkeit der Lagerwandstruktur in Abhängigkeit der Verformung wird durch das
Ableiten der statischen Last nach dem Weg erhalten, wie in der Gl. 4.7 definiert ist.
kstat( ¯xi) = ∂¯
F
∂¯x=¯
Fi+1 −¯
Fi
¯xi+1 −¯xi
(4.7)
Die Abb. 4.9b illustriert den typischen Steifigkeitsverlauf der elastischen Lagerwand eines Gasfoli-
enlagers über dem Weg, bzw. über der Verformung der Struktur. Bei einer Verformung unterhalb
−90 µm
und oberhalb
45 µm
zeichnet sich die Struktur durch einen relativ schnellen Abfall
respektive Anstieg ihrer Steifigkeit aus. Innerhalb dieses Bereichs ist der Verlauf der Steifigkeit
relativ flach. Es werden trotz relativ großer Verformung der Struktur kaum Laständerungen
gemessen. Daher wird dieser Bereich Nominallagerspalt oder kurz Nominalspalt genannt. In der
Literatur wird von bearing clearance
C0
gesprochen. Diese Größe entspricht also keiner räumlichen
−160 −80 0 80
−200
−100
0
100
200
ansteigende Last
abfallende Last
Kennlinie
Klinear(α+ 180◦)
Klinear(α)
Verformung, x[
µ
m]
Last, F0[N]
Weg-Kraft-Messung
1
(a)
−160 −80 0 80
0
2
4
6
8
Steifigkeit kstat( ¯xi)
ktol
C0
Verformung, x[
µ
m]
Steifigkeit, kstat[MN/m]
Steifigkeit ¨uber dem Weg
1
(b)
Abb. 4.9:
Typische Verläufe einer statischen Weg-Kraft-Messung von GFBs: (a) Weg-Kraft-
Messung, (b) ermittelte Steifigkeit
Entfernung, die sich mit einem Messschieber oder dergleichen messen lässt. Es handelt sich um
die Verformung, die das GFB erfährt, bevor die Bumps aktiv werden. Die Aktivierung der Bumps
ist deutlicher bei der Betrachtung des Steifigkeitsverlaufs über dem Weg (Abb. 4.9b) durch einen
plötzlichen Anstieg der Steifigkeitskurve zu erkennen. Eine deutliche Definition des Nominal-
spalts ist jedoch in der Literatur nicht zu finden. Daher wird eine Definition des Nominalspalts
formuliert, um eine Basis für einen systematischen, qualitativ und quantitativ besseren Vergleich
aller Messkampagnen zu erschaffen. Der Nominalspalt ist daher im Rahmen dieser Arbeit der
Bereich, in dem die Steifigkeit der Lagerwandstruktur kleiner als die Steifigkeit
ktol
ist. Nach der
Analyse mehrerer Messergebnisse wird die Konstante auf
ktol
=
0,5 MN/m
festgelegt. Eine weitere
Größe, die in dieser Untersuchung betrachtet wird, ist der Strukturverlustfaktor
γ
. Dieser Faktor
drückt das Verhältnis von irreversibler Energie zu reversibler Energie aus. Dabei entspricht die
irreversible Energie der Fläche, die von der Hysterese umschlossen ist (siehe Abb. 4.9a), während
die reversible Energie der potenziellen Energie einer Feder mit der gleichen Steifigkeit, wie der
linearen Steifigkeit des Lagers, entspricht.
γ=HFdx
∆Ewobei ∆E=Ekin =1
2¯
klinear(xmax −xmin)2(4.8)
41
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Die hier verwendete Steifigkeit
¯
klinear
erstreckt sich über die gesamte Hysterese und ist wie folgt
definiert:
¯
klinear =¯
Fmax −¯
Fmin
¯xmax −¯xmin
.(4.9)
Dabei sind
¯
Fmax
und
¯
Fmin
jeweils das Maximum und das Minimum aus der Weg-Kraft-Kennlinie
mit den entsprechenden Verformungen ¯xmax und ¯xmin.
4.2.3 Ergebnisse aus der statischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
In diesem Abschnitt werden die Lager mit den Parametern, die in Abschnitt 4.2.2 vorgestellt
wurden, ausgewertet. Die hier dargestellten Messergebnisse sind bereits die Mittelwerte aus 5
wiederholten Messungen jeder Messkampagne.
Statische Steifigkeitskennlinie
In der Abb. 4.10 sind Steifigkeitskennlinien der elastischen Lagerwandstruktur der Lager MSI1,
MSI3, TU3, TU7, TU8 und TU10 bei der Messung mit der Welle
D1
dargestellt. Um die Ergebnisse
besser beurteilen zu können, werden die Kennlinien aller Messkampagnen so verschoben, dass
sie alle den gleichen Ursprung bei Null besitzen. Dies hat keinerlei Einfluss auf die Ergebnisse,
denn die Verformung ist keine koordinatenfeste Größe. Bei Betrachtung der Ergebnisse ist
festzustellen, dass die Kennlinien der Winkelpositionen keiner Systematik folgen, wie es auch in
der Arbeit Rubio und San Andrés zu sehen ist [
34
]. Beide Autoren führten im Jahr 2004 ähnliche
Untersuchungen durch, wie hier dargestellt, allerdings an einem Gasfolienlager der 2. Generation
(GFBs der 2. Generation wurden bereits in Abschnitt 2.1 vorgestellt). Im Rahmen jener Arbeit
behaupteten sie, dass die Steifigkeit der elastischen Lagerwandstruktur niedriger sei in der Nähe
des festen Bumps, wenn das Lager niedrig belastet ist. In den hier vorgestellten Messergebnissen
nimmt die Steifigkeit jedoch beim Annähern des freien Endes der Bumpsfolie zu. Es ist nicht
klar in welcher Größenordnung sich diese niedrige Belastung befinden soll. (Der feste Bump bzw.
Festbump ist der, an der die Bumpfolie mit dem Gehäuse verbunden ist und wird in der Literatur
als Fixed End bezeichnet. In dieser Arbeit befindet sich das Fixed End am Winkel
0◦
und das
freie Ende der Bumpfolie knapp vor dem Winkel
360◦
. Dieses Ende der Bumpfolie wird Free End
genannt.) Dieses Verhalten der Lagerwand ändert sich jedoch laut den beiden Wissenschaftlern
bei steigender Last. In der Nähe des festen Bumps würde das Lager steifer als im Bereich des
Bumps mit dem freien Ende. Diese Aussage kann aus der Untersuchung des Lagers TU3 mit der
Welle
D1
bestätigt werden. Dennoch lässt sie sich bei weiteren Lagern nicht mehr wiederholen.
Bei dem Lager MSI1 ist zu beobachten, dass die elastische Struktur bei der Winkelposition
90◦
-
270◦
eine höhere Steifigkeit als bei der Winkelposition
135◦
-
315◦
aufweist. Das Lager MSI3
zeigt währenddessen ein anderes Verhalten im Vergleich zu MSI1. Die Lagerwandstruktur besitzt
hier bei der Winkelposition
45◦
-
225◦
eine höhere Steifigkeit als bei der Winkelposition
135◦
-
315◦
sowie bei der Winkelposition
0◦
-
180◦
. Andere Beobachtungen lassen sich bei den Lagern TU7,
TU8 und TU10 anstellen.
Um den Aussagen der beiden Wissenschaftler genau auf dem Grund zu gehen, wird die
lineare Steifigkeit jedes einzelnen Winkels ausgewertet. In der Tab. 4.5 sind die Steifigkeiten
der Lager an den Winkeln
0◦
und
315◦
festgehalten. Die Messdaten zeigen, dass die elastische
Lagerwandstruktur tendenziell beim Winkel
0◦
höhere Werte als bei
315◦
aufweist. Dies bestätigt
die Aussage von Rubio und San Andrés hinsichtlich der Belastung eines GFBs mit steigender
Kraft und unterstützt außerdem die von Iordanoff im Jahr 1999 durchgeführte Untersuchung
[
25
]. Dabei wurde herausgefunden, dass die Steifigkeit der elastischen Struktur am Fixed End
höher als am Free End ist.
42
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0 80 160 240
−100
0
100
Kraft [N]
MSI1
0 80 160 240
−100
0
100
MSI3
0 80 160 240
−100
0
100
Kraft [N]
TU3
0 80 160 240
−100
0
100
TU7
0 80 160 240
−100
0
100
Verformung [
µ
m]
Kraft [N]
TU8
0 80 160 240
−100
0
100
Verformung [
µ
m]
TU10
0◦-180◦45◦-225◦90◦-270◦135◦-315◦
1
Abb. 4.10:
Steifigkeitskennlinie der elastischen Lagerwandstruktur der Lager MSI1, MSI3,
TU3, TU7, TU8 sowie TU10 bei der Messung mit der Welle D1
Diese Eigenschaft der Struktur wird auch von der Strukturmodellierung von Le Lez wieder-
gegeben. Weiterhin geht Iordanoff davon aus, dass allein der Bump am Fixed End eine höhere
Steifigkeit besitzt und die Steifigkeiten aller anderen Bumps gleich und konstant sind. Dies
kann anhand der hier vorliegenden experimentellen Ergebnisse nicht bestätigt werden, denn
bei der Betrachtung der Messergebnisse unter einem anderen Winkel lässt sich eine gewisse
Tendenz erkennen. In der Abb. 4.11 sind die winkelabhängigen linearen Steifigkeiten dargestellt,
die nach den Gl. 4.5 und 4.6 ermittelt wurden. Es kann bei der Messung mit der Welle
D1
beobachtet werden, dass zwischen den Winkeln
135◦
und
270◦
die Steifigkeit der elastischen
43
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Tab. 4.5:
Experimentell ermittelte statische Steifigkeit an den Winkeln
0◦
(Fixed End) und
315◦(Free End)
lineare Steifigkeit [kN/m]
Welle Winkel MSI3 TU3 TU7 TU8 TU10
D10◦2569 1202 2527 684 1979
315◦1420 710 3219 2552 2496
D20◦2364 1296 3438 1414 4893
315◦1864 842 2988 734 2388
D30◦4939 2238 16682 3073 13116
315◦5163 1066 17062 1273 10926
0 90 180 270
0
2
4
6
8
Winkel
klinear [MN/m]
D1: 37,95 mm
0 90 180 270
0
2
4
6
8
Winkel
D2: 38,05 mm
0 90 180 270
0
5
10
15
Winkel
klinear [MN/m]
D3: 38,105 mm
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI1 MSI3
1
Abb. 4.11:
Experimentell ermittelte statische lineare Steifigkeiten der Lager TU3, TU8,
TU10, MSI1 und MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung von Wellen mit
unterschiedlichen Durchmessern
Lagerwandstruktur ansteigt, bevor sie wieder abnimmt. Dieses Verhalten ist jedoch nicht der Fall
bei den Lagern MSI1 und MSI3. Allerdings wird dieser Trend bei zunehmender Vorspannung der
Struktur bzw. zunehmendem Durchmesser deutlich. Dieser Bereich der höheren Steifigkeit deckt
sich mit der mittleren Linie der Bumpfolie. Wird die Struktur mit zunehmenden Durchmessern
vorgespannt, so werden Bumps in diesem Winkelbereich von beiden Seiten gestaucht, was dem
44
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Lager eine höhere Steifigkeit verleiht.
Ein weiterer Aspekt der Untersuchung ist es, herauszufinden, welchen Einfluss eine passive
Änderung des Lagers durch Einsatz von Shims auf die elastische Lagerwandstruktur haben
kann. Daher werden Messkampagnen mit der Welle
D1
an den mit Shims modifizierten Lagern
durchgeführt. Die Steifigkeitskennlinien der Lager mit und ohne Modifikation werden in der Abb.
4.12 verglichen. Durch die Modifikation des Lagers gewinnt die Steifigkeitskennlinie des GFBs an
Linearität und es zeigt sich eine Erhöhung der Steifigkeit an jeder Winkelposition.
0 80 160 240
−100
0
100
Kraft [N]
MSI3
0 80 160 240
−100
0
100
TU3
0 30 60 90
−100
0
100
Kraft [N]
TU7
0 100 200 300
−100
0
100
TU8
0 50 100 150
−100
0
100
Verformung [
µ
m]
Kraft [N]
TU10
mit Shims
ohne Shims
0◦-180◦45◦-225◦90◦-270◦135◦-315◦
1
Abb. 4.12:
Steifigkeitskennlinie der elastischen Lagerwandstruktur der Lager MSI3, TU3,
TU7, TU8 sowie TU10 bei der Messung mit der Welle
D1
und unter Verwendung
von Shims
45
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Bei dem Lager TU7 zeigt die Kennlinie an den Winkelpositionen
0◦
-
180◦
und
90◦
-
270◦
ein
lineares Verhalten. Die Erhöhung der Steifigkeit ist jedoch ungleichmäßig, denn die drei Shims
befinden sich allein an den Winkeln
60◦
,
180◦
und
300◦
. Dies führt zu einer ungleichmäßigen
Vorspannung der elastischen Lagerwandstruktur und zu höherer Steifigkeit an der jeweiligen Stelle.
Bei der Position (
45◦
-
225◦
) des Lagers TU10 erreicht die Lagermodifizierung eine Erhöhung der
linearen Steifigkeit um bis zu
40 %
. Weiterhin sorgt die Lagermodifizierung für eine Reduzierung
der Nichtlinearität, wie es aus den Hysteresen zu sehen (Abb. 4.12) ist. Besonders ausgeprägt ist
dies beim Lager TU7. Die Reduzierung der Nichtlinearität beruht darauf, dass durch den Einsatz
von Shims die Struktur vorgespannt wird und die Anzahl an aktiven Bumps steigt. Ein Bump ist
aktiv, wenn er kaum Verschiebung in der Umfangsrichtung des Lagers zulässt, wodurch seine
Steifigkeit in der radialen Richtung zum Tragen kommt.
Nominaler Lagerspalt
Die Abb. 4.13 stellt die Nominalspalte der Lager TU3, TU7, TU8, TU10, MSI1 und MSI3 über
dem Lagerumfang dar. Die Ermittlung der Nominalspalte wird bei den Wellen
D1
,
D2
sowie
D3
nach der Formulierung, die in Abschnitt 4.2.2 erläutert wurde, durchgeführt. Es ist bei diesen
Ergebnissen festzustellen, dass die Lager MSI1 und MSI3 trotz des gleichen Fertigungsstandards
unterschiedliche nominale Lagerspalte bei der Messung mit der Welle
D1
aufweisen. Dies liegt
vermutlich an der Anordnung der Folien im Gehäuse: Top- und Bumpfolie besitzen aufgrund
des Aufbaus des Lagers eine einzelne Befestigungslinie mit dem Gehäuse. Dadurch kann nicht
gewährleistet werden, dass es systematisch bei jeden Lagern Kontakt zwischen Top- und Bumpfolie
sowie Bumpfolie und Gehäuse besteht. Daher sind selbst Lager aus der gleichen Fertigungslinie
unterschiedlich vorgespannt.
Die Ergebnisse der Messung mit der Welle
D2
zeigen eine Reduzierung des Nomialspalts.
Die Abnahme des Nomialspalts ist jedoch nicht bei jeder Winkelposition gleich. So ist zum
Beispiel beim Lager TU8 eine Reduzierung des Nominalspalts bei der Winkelposition
0◦
-
180◦
um
ungefähr
50 µm
gegenüber die Messung mit der Welle
D1
festzustellen, während diese bei weiteren
Winkelpositionen weniger als
40 µm
beträgt. Diese Ergebnisse zeigen weiter, dass der Nominalspalt
kein physikalischer Abstand ist. Er ist aufgrund seiner Definition von der Lagersteifigkeit abhängig
und variiert daher mit der Anzahl der aktiven Bumps. Der Nominalspalt ist außerdem ein Indiz
für die Nichtlinearität der Struktur hinsichtlich ihrer Steifigkeit, denn je kleiner der Nominalspalt
ist, umso linearer ist die Lagersteifigkeit. Diese Größe ist mehr mit der Aktivierung der Bumps
verbunden, denn ihre Definition basiert auf dem Steifigkeitsniveau des Lagers. Bei der Messung
mit der Welle
D2
wird die elastische Lagerwandstruktur über dem Lagerumfang vorgespannt,
wodurch die Anzahl an aktiven Bumps steigt. Dies führt zu einer Reduzierung des nominalen
Spalts und einer geringeren Streuung desselben über dem Lagerumfang. Die Vorspannung der
Struktur wird bei D3weiter fortgesetzt, bis der nominale Spalt komplett verschwindet.
46
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0
50
100
D1: 37.95 mm
0
20
40
60
80
Nominaler Lagerspalt C0, [µm]
D2: 38.05 mm
0◦−180◦
45◦−225◦
90◦−270◦
135◦−315◦
0
20
40
D3: 38.105 mm
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI1 MSI3
1
Abb. 4.13:
Experimentell ermittelte Nomialspalte der Lager TU3, TU8, TU10, MSI1 und
MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung von Wellen mit unterschiedlichen
Durchmessern. (Bei der Messung mit den Wellen
D2
und
D3
ist bei einigen
Lagern kein nominaler Lagerspalt mehr vorhanden und deren Verlauf überdeckt
sich auf der Nulllinie)
Statischer Strukturverlustfaktor
Aktive Bumps charakterisieren sich durch die Tatsache, dass sie geringere Verschiebungen in
Umfangsrichtung erfahren, was zur Erhöhung der Steifigkeit in radialer Richtung führt. Darüber
hinaus präsentieren Lager mit einer höheren Anzahl an aktiven Bumps eine Hysterese mit einer
geringeren Nichtlinearität. Bei nicht-aktiven Bumps jedoch sind die tangentialen Verschiebungen
größer als die radiale Verformung. Diese Verschiebungen sind reibungsbehaftet und führen
zu Energieverlusten. In der Abb. 4.14 liegen die Strukturverlustfaktoren der Testlager bei der
Messung mit den Wellen
D1
,
D2
und
D3
vor. Die Ergebnisse zeigen, dass der Strukturverlustfaktor
im Bereich des Fixed End (
0◦
-
180◦
) für alle Lager tendenziell gering ist. Dies ist begründet in der
47
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
10
20
30
D1: 37.95 mm
10
20
30
Strukturverlustfaktor γ, [%]
D2: 38.05 mm
0◦−180◦
45◦−225◦
90◦−270◦
135◦−315◦
10
20
30
D3: 38.105 mm
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI1 MSI3
1
Abb. 4.14:
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor der Lager TU3, TU8, TU10,
MSI1 und MSI3 über ihren Umfang unter Verwendung der Wellen
D1
,
D2
und
D3
eingeschränkten Bewegung der Bumps im Winkel
0◦
, wo sie sich nicht in Richtung des Festbumps
ausdehnen können. Am Free End der Bumpfolie allerdings sind die Bumps in der Lage, sich nach
außen zu bewegen. Bei dieser Bewegung der Bumps wird durch Reibung Energie dissipiert. Daher
ist der Strukturverlustfaktor bei den Winkelpositionen
90◦
-
270◦
und
135◦
-
315◦
maximal. Eine
Erhöhung der dissipierten Energie bzw. des Strukturverlustfaktors lässt sich entweder durch eine
Vergrößerung der Reibungswege oder Erhöhung der Reibungspunkte erreichen. Bei zunehmendem
Durchmesser und damit größerer Vorspannung wird die Anzahl der Kontaktpunkte der Bumpfolie
mit dem Gehäuse sowie mit der Topfolie erhöht. Dadurch steigt der Strukturverlustfaktor, wie
die Messergebnisse aus der Untersuchung mit der Wellen
D2
und
D3
zeigen. Die Vorspannung
der elastischen Lagerwandstruktur lässt sich auch durch die Verwendung von Shims erreichen.
Dabei kann, wie es in der Abb. 4.15 zu sehen ist, gezielt der Strukturverlustfaktor verändert
48
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0◦−180◦
45◦−225◦
90◦−270◦
135◦−315◦
0
10
20
30
γ[%]
D1: 37,95 mm, Shims:25 µm
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI3
1
Abb. 4.15:
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor
γ
der mit Shims modifizierten
Lager TU3, TU8, TU10 und MSI3 über den Umfang unter Verwendung der
Welle D1
werden. Bei der Modifikation der Lager werden die Shims an den Winkeln
60◦
,
180◦
und
300◦
angebracht. An diesen Stellen findet die maximale Änderung des Strukturverlustfaktors statt.
Durch die Lagermodifikation lässt sich allerdings effektiver ein Anstieg des Strukturverlustfaktors
als bei einer Vergrößerung des Wellendurchmessers erreichen. Bei der Messung am Winkel
180◦
mit der Welle
D1
erhöht sich der Strukturverlustfaktor durch die Lagermodifikation um
31 %
, wahrend bei der Änderung des Wellendurchmessers von
D1
zu
D2
eine Verbesserung
des Strukturverlustfaktors nur um
10 %
erreicht werden kann. Am Winkel
315◦
erreicht dieser
Unterschied
98 %
(Lagermodifikation) zu
17 %
(Durchmesseränderung). Der Grund für dieses
Verhalten kommt vermutlich daher, dass durch die Vergrößerung des Wellendurchmessers die
elastische Struktur über den gesamten Umfang vorgespannt wird. Dadurch können sich Bumps
sehr begrenzt bewegen. Bei der Verwendung von Shims wird ein Mischzustand erreicht. Die
Struktur wird geringfügig vorgespannt, sodass die Bumps sich noch relativ frei ausdehnen können.
Aufgrund der leicht erhöhten Normalkraft wird mehr Energie dissipiert.
49
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0◦−180◦
45◦−225◦
90◦−270◦
135◦−315◦
10
20
30
40
γ[%]
ohne Shims, Shims:25 µm
D1D2D3
1
Abb. 4.16:
Experimentell ermittelter Strukturverlustfaktor
γ
des mit Shims modifizierten
Lagers MSI3 über den Umfang unter Verwendung der Wellen
D1
,
D2
und
D3
4.2.4 Messunsicherheit zur statischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Wie bereits in Abschnitt 4.2.1 wird jede Messung 5 Mal wiederholt. Durch diese wiederholte
Messungen ist es möglich eine Aussage über die Güte des Messverfahrens zu tätigen.
Bei der Betrachtung der Messfehler wird davon ausgegangen, dass die Messergebnisse normal
verteilt sind. Daher wird zur Berechnung der Messunsicherheit aufgrund der endlichen Wie-
derholungsanzahl (
n
= 5) die Verteilung der Messergebnisse auf Student-Verteilung angelehnt.
Bei einer statistische Messunsicherheit von
95 %
ist der Erweiterungsfaktor
c
= 2
,
57. Dieser
Faktor ist von der Anzahl der wiederholten Messreihen abhängig und wird aus der t-Verteilung
entnommen [71]. Die Messunsicherheit uˆxist wie folgt definiert:
uˆx=cσx
√n,mit σx=v
u
u
t1
n−1
n
X
i=1
(xi−¯x).(4.10)
Dabei steht
x
für den Strukturparameter, deren Messunsicherheit berechnet wird.
¯x
und
σx
sind jeweils der Mittelwert und die Standardabweichung des Parameter
x
aus der wiederholten
Messreihe.
In der Abb. 4.17 ist die Messunsicherheit aus der experimentellen Ermittlung der linearen
Lagersteifigkeit der Lager TU3, TU7, TU8, TU10, MSI1 und MSI3 dargestellt. Die Messun-
sicherheit ist prozentual auf der Ordinate und die jeweilige Winkelposition auf der Abszisse
aufgetragen. Es lässt sich feststellen, dass die Messunsicherheit aus der Messung mit der Welle
D3
allgemein geringer als die mit der Welle
D1
sowie
D2
ist. Der Grund für diese relativ geringe
Messunsicherheit ist die Abnahme der Nichtlinearität, deren Effekte aufgrund der Vorspannung
der Lagerwandstruktur sinken. Dies ist weiterhin der Grund für die geringe Messunsicherheit bei
der Winkelposition
0◦
unabhängig vom Welldurchmesser und vom Lager. Die lineare Steifigkeit
beschreibt daher bei 0◦gut die Steifigkeit des Lager.
In Anbetracht der Tatsache, dass es bei der Ermittlung der Steifigkeit darum geht, die
Struktursteifigkeit mit einer linearen Steifigkeit zu approximieren, ist das Messverfahren bei einer
50
4.2 Statische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
maximalen Messunsicherheit von 17 % relativ zuverlässig.
0
5
10
15
20
D137,95 mm
0
5
10
15
20
Messunsicherheit klinear, [%]
D238,05 mm
0 90 180 270
0
5
10
15
20
Winkel
D338,105 mm
TU3 TU7 TU8 TU10 MSI1 MSI3
1
Abb. 4.17:
Messunsicherheit der experimentell ermittelten statischen linearen Steifigkei-
ten der Lager TU3, TU8, TU10, MSI1 und MSI3 über ihren Umfang unter
Verwendung von Wellen mit unterschiedlichen Durchmessern
4.2.5 Teilzusammenfassung
Die statische Untersuchung der elastischen Lagerwand konnte zeigen, dass nur eine beschränkte
Aussage über die lineare Steifigkeit der Lagerwand bei der Betrachtung der Hysterese formuliert
werden kann. Dies liegt daran, dass die Hysterese das Ergebnis aus der Messung von zwei Winkeln
ist. Daher ist die lineare Steifigkeit der gesamten Hysterese eine Approximation aus der Steifigkeit
beider Winkel. Durch die Ermittlung der linearen Steifigkeit jedes Winkels konnte festgestellt
werden, dass die lineare Steifigkeit der elastischen Struktur nicht stetig vom Free End (
360◦
) zum
Fixed End (
0◦
) ansteigt. Die Messergebnisse zeigen zwar einen Anstieg der Steifigkeit von
360◦
bis circa
180◦
, jedoch fallen die Werte zwischen
180◦
und
0◦
(siehe Abb. 4.11
D1
und
D2
). Diese
Messergebnisse stehen zu keinem Widerspruch mit dem Erkenntnis aus der Literatur [
25
,
52
,
23
],
51
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
die besagt, dass die Steifigkeit der Lagerwand höher beim Fixed End als Free End ist, wie die
Tab. 4.5 zeigt. Allerdings ist die Steifigkeit zwischen Fixed End und Free End nicht konstant.
Die experimentelle Ermittlung des Nominalspalts, der zwar ein gängiger Parameter im Bereich
der GFBs ist, wurde bis jetzt nicht genau definiert, wie im Rahmen dieser Arbeit festgestellt
wurde. Daher wurde hier eine Auswertungsverfahren zur experimentellen Ermittlung dieses
Parameters implementiert und systematisch bei allen Lagern angewendet (siehe Abschnitt 4.2.2).
Aus den Ergebnissen lässt sich erkennen, dass der Nominalspalt keine Größe ist, die sich mit einem
üblichen Messinstrument wie einem Messschieber oder einer Bügelmessschraube erfassen lässt. Es
handelt sich dabei mehr um die Verformung, die die elastische Wandstruktur erfährt, bevor diese
ihre Steifigkeit entfaltet. Aufgrund des Aufbaus des Lager mit einer einzigen Befestigungslinie
für die Top- und Bumpfolie am Gehäuse ist der Nominalspalt über dem Lagerumfang ungleich
verteilt. Dies kommt daher, dass die Topfolie nicht gleichmäßig auf der Bumpfolie diese letzte
auch nicht gleichmäßig auf der Gehäuseinnenwand liegt. Diese Tatsache führt dazu, dass Lager
aus der gleichen Produktion nicht den gleichen Nominalspalt aufweisen, wie die Messergebnisse
aus den Lagern MSI1 und MSI3 zeigen (siehe Abb. 4.14).
Der experimentell ermittelte Strukturverlustfaktor zeigt ein Verhalten, das zu dem des Nomi-
nalspalts umgekehrt ist. Bei steigenden Durchmessern nimmt der Strukturverlustfaktor zu. Dies
lässt aus der Tatsache erklären, dass der Strukturverlustfaktor von der Verlustenergie abhängig
ist. Diese Verlustenergie wird prinzipiell durch Reibung verursacht. Bei Anstieg des Wellendurch-
messers, mit dem die Messung durchgeführt wird, erhöhen sich die Kontaktpunkte zwischen Top-
und Bumpfolie sowie zwischen Bumpfolie und Gehäuse. Dadurch steigt die Verlustenergie und
somit auch der Strukturverlustfaktor.
Die statische Untersuchung hat weiterhin gezeigt, dass die Modifikation des Lagers mit Shims
sich positiv auf die Strukturparameter auswirkt. Es wird dadurch ein höherer Strukturverlustfaktor
als durch Änderung der Wellendurchmesser erreicht (98% zu 17% beim Winkel
315◦
). Auch bei
der linearen Steifigkeit sorgt der Einsatz von Shims für eine Erhöhung der Steifigkeit.
Die letzte Erkenntnis aus dieser Untersuchung betrifft die selbst hergestellten GFBs hinsichtlich
ihrer Messergebnisse, denn im Verlauf dieser Untersuchung lieferten sie gut wiederholbare
Ergebnisse, die teilweise eine niedrigere Messunsicherheit als die gekauften MSI-Lager aufweisen.
Es bestehen allerdings in der Herstellung noch weitere Verbesserungsmöglichkeiten die zur
Produktion von noch hochwertigeren Lagern führen können.
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Das Ziel der hier durchgeführten experimentellen Untersuchungen ist die Ermittlung der dynami-
schen Steifigkeit und Dämpfung der elastischen Lagerwandstruktur über den Frequenzbereich von
30 Hz
bis
1000 Hz
. Zu diesem Zweck wird der in der Abb. 4.18 abgebildete Prüfstand aufgebaut.
Der Prüfstand besteht aus einer Welle des Durchmessers
37,95 mm
, die in zwei Wellenböcken
montiert ist. Das zu untersuchende Gasfolienlager wird als erstes auf der Welle angebracht bevor
diese in den Böcken befestigt wird. Zum Prüfstand zählen außerdem zwei Wirbelstromsensoren
zur Erfassung von Schwingwegen, ein Beschleunigungssensor, eine Kraftmessdose zur Bestimmung
der aufgebrachten statischen Last, ein Kraftsensor zur Messung der dynamischen Kraft und
schließlich ein Shaker. Der Beschleunigungssensor wird am Testlager angebracht und erfasst
die Beschleunigung, die das Lager erfährt. Die Kraftmessdose, die zwischen Shaker und Lager
montiert wird, misst die vom Shaker ausgeübte dynamische Kraft. Um mögliche äußere Störungen
zu reduzieren, wird der gesamte Prüfstand auf ein schwingungsisoliertes Maschinenbett montiert.
In der Tab. 4.6 sind Spezifikationen und Bezeichnungen von allen verwendeten Messinstrumenten
aufgelistet. Um weitere Einflüsse aufgrund der Prüfstands-eigenen Eigenschaften zu erfahren,
wird eine Modalanalyse durchgeführt. In der Abb. 4.19 ist der Testaufbau zur Modalanalyse dar-
52
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
1
2
3
4
5
6
7
6
8
F0
F(t)5
1 Gasfolienlager
2 Welle
3 Kraftsensor
4 Beschleunigungssensor
5 Kraftmessdose
6 Wegsensoren
7 Shaker
8 Wellenbock
1
Abb. 4.18: Prüfstand zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Tab. 4.6:
Messtechnische Instrumente zur dynamischen Untersuchung der elastischen La-
gerwandstruktur
Messinstrument Hersteller Bezeichnung Messbereich Genauig.
Kraftsensor PCI Piezotronics - ±444,8 N -
Beschleunigungssensor PCI Piezotronics - ±490 m/s2-
Kraftmessdose burster Typ 8417 ±500 N 2,5 N
USB-Sensor-Interface burster Typ 9206 - 24 Bit
Wirbelstromsensor eddylab T05-G-KA 0:0,5 mm 30 nm
Wirbelstromsensor eddylab TX2 - -
Basismodul
Analoges National NI 9215 ±10 V 2 mV
Spannungseingangsmodul Instruments
gestellt. Dabei wird das GFB aus dem Prüfstand zur dynamischen Untersuchung der elastischen
Lagerwandstruktur entfernt. Es wird außerdem auf einer Viertellänge der Welle in waagerechter
Richtung ein Beschleunigungsaufnehmer platziert. An den Punkten
P
1,
P
2und
P
3wird das
System mit dem Modalhammer angeregt und seine Antwort darauf wird vom Beschleunigungs-
sensor mit einer Abtastfrequenz von
12 000 Hz
erfasst. Anregungs- und Antwortsignal werden
zuerst mit einem Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz von
2000 Hz
gefiltert und durch eine
Fourier-Transformation [
72
] in den Bildbereich überführt. Auf Grund der Amplitudendämpfung
des Tiefpassfilters im Bereich seiner Sperrfrequenz und der maximalen im Signal vorhandene
Frequenz stellte die Frequenz von
2000 Hz
sich als geeignete Grenzfrequenz für den Filter dar.
Die Übertragungsfunktion, die sich aus dem Quotienten vom Anregungssignal zum Antwortsignal
berechnen lässt, zeigt den Amplituden- und Phasengang in Abb. 4.20. Der Amplitudengang weist
für alle Erregungspunkte bei ungefähr
1050 Hz
einen Amplitudenanstieg auf. Dieser plötzliche
Amplitudenanstieg zeigt jedoch bei dem Phasengang nicht den typischen
180◦
-Phasensprung,
der Resonanzstellen charakterisiert. Zudem zeigt der Amplitudengang eine relativ niedrige Am-
plitude. Weiterhin stellt diese Amplitudenerhöhung kein Problem für die Messungen dar, denn
die Untersuchung der Lagerwandstruktur beschränkt sich auf den Frequenzbereich von
30 Hz
bis
53
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
P3
P1P2
2
1
1 Welle
2 Wellenbock
PHammerschlag
1
Abb. 4.19:
Messaufbau zur Modalanalyse am Prüfstand zur dynamischen Untersuchung
der elastischen Lagerwandstruktur
1000 Hz
. Der Grund dafür sind die mit den Frequenzen zunehmenden dynamischen Kräfte, die
die elastische Lagerstruktur zerstören konnten.
200 400 600 800 1000 1200
0
0.2
0.4
0.6
Frequenz [Hz]
Amplitude [1/Kg]
Amplitudengang
P1
P2
P3
200 400 600 800 1000 1200
−2
0
2
Frequenz [Hz]
Phase [rad]
Phasengang
1
Abb. 4.20:
Ergebnisse der experimentellen Modalanalyse des Prüfstands zur dynamischen
Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Nach der Durchführung der ersten Messung an der elastischen Lagerwandstruktur zeigen die
Ergebnisse Auffälligkeiten im Bereich von
300 Hz
bis
400 Hz
im Steifigkeits- und Dämpfungsverlauf.
Um diesen Auffälligkeiten auf den Grund zu gehen, wird eine weitere und genauere Untersuchung
des Prüfstands durchgeführt. Dabei wird der gesamte Prüfstand auseinander genommen und jedes
einzelne Bauteil modal analysiert. Bei der Modalanalyse des Wellenbocks zeigen Amplituden-
und Phasengang eine Resonanz bei
360 Hz
. Diese Resonanz konnte bei der ersten Untersuchung
des Zusammenbaus womöglich nicht herausgefunden werden, weil die Energie, die durch den
Hammerschlag in den gesamten Prüfstand eingeleitet wurde, nicht ausreichend war, um diese
Resonanzfrequenz anzuregen.
Aus diesen Voruntersuchungen lässt sich schlussfolgern, dass keine eindeutige Interpretation
der Messergebnisse aus der Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur im Bereich von
300 Hz bis 400 Hz geliefert werden kann.
54
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
1
2
1 Wellenbock
2 Beschleunigungssensor
1
Abb. 4.21: Messaufbau zur Modalanalyse des Wellenbocks mit Modalhammer
200 400 600 800 1000 1200
0
5
10
15
Frequenz [Hz]
Amplitude [1/Kg]
Amplitudengang
200 400 600 800 1000 1200
−2
0
2
Frequenz [Hz]
Phase [rad]
Phasengang
1
Abb. 4.22:
Ergebnisse der experimentellen Modalanalyse des Wellenbocks des Prüfstands
zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.3.1 Versuchsdurchführung zur dynamischen Untersuchung der elastischen
Lagerwandstruktur
F0
F(t)
1
2
4
5
6
3
x
1 Gasfolienlager
3 Kraftsensor
4 Beschleunigungsensor
5 Kraftmessdose
6 Wegsensor
2 Welle
1
Abb. 4.23:
Messprinzip zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Die Abb. 4.23 illustriert das experimentelle Messprinzip zur Bestimmung der dynamischen
Parameter der elastischen Lagerwandstruktur. Nachdem das Testlager sowie alle Sensoren
angebracht sind, wird auf das Lager eine statische Kraft
F0
in horizontale Richtung ausgeübt.
55
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Dies spannt die elastische Struktur des Lagers vor und vertritt das Gewicht des Rotors in einem
normalen Betrieb. Ein weiterer Grund für das Anbrigen der statischen Kraft
F0
ist, dafür zu
sorgen, dass bei der Anregung der elastischen Struktur mit der Kraft
F
(
t
)die Lagerwand sich
nicht von der Welle löst. Ein solches Verhalten im Verlauf der Untersuchung würde die Ergebnisse
negativ beeinflussen und unbrauchbar machen. Zudem würde es zu ständigen Stößen kommen
und dadurch zur Anregung von nichtgewünschten Frequenzen führen. Außerdem würde die
Untersuchung nicht nur die elastische Lagerwandstruktur betreffen, sonder auch den Luftspalt,
der sich zwischen Welle und Lagerwand befindet. Die Kraft
F0
wird im Verlauf der Experimente
von der Kraftmessdose erfasst und bleibt für jede Messkampagne konstant. Die Kraft
F
(
t
)ist
die dynamische Anregung, die vom Shaker auf das Testlager ausgeübt wird. Es handelt sich
dabei um eine monofrequente harmonische Kraft, deren Amplitude so eingestellt beziehungsweise
geregelt wird, dass der Schwingungsweg je nach Messkampagne
2µm
,
6µm
oder
10 µm
beträgt.
Seine Frequenz wird im Verlauf einer Messung konstant gehalten und geht über die gesamte
Messkampagne von
30 Hz
bis zu
1000 Hz
. Bei steigender Frequenz steigt auch die Amplitude der
Kraft
F
(
t
). Dies liegt daran, dass eine Erhöhung der Frequenz bei einem konstant gehaltenen
Schwingungsweg zu einem Anstieg der Beschleunigung führt. Der Shaker erhöht deswegen die
dynamische Kraft
F
(
t
). Daher werden bei den Messkampagnen mit den Schwingungswegen
von
6µm
die Versuche bei
600 Hz
und bei den Messkampagnen mit den Schwingungswegen
von
10 µm
bei
570 Hz
abgebrochen. Dadurch sollte eine Zerstörung der Bumpfolie und eine
Abhebung des Lagers von der Welle bei der Anregung verhindern werden. Bei der Messung, die
8 s
dauert, wird das Gasfolienlager mit einer Kraft
F
(
t
)angeregt und die zeitliche Amplitude
der Kraft wird vom Kraftsensor erfasst. Die aus der Anregung resultierenden Wege sowie
Beschleunigungen werden dann von den jeweiligen Sensoren gemessen. Die Messdaten werden mit
einer Abtastfrequenz von
12 000 Hz
gemessen. Der Grund für die relative hohe Abtastfrequenz
ist auf das Auswertungsverfahren zur Ermittlung der Strukturparameter, das im nächsten
Abschnitt erläutert wird, zurückzuführen. Die Messkampagnen werden aufgrund des erheblichen
Messaufwands allein an dem Lager TU10 durchgeführt und sind in der Tab. 4.7 zu finden. Die
Tab. 4.7:
Messkampagne zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Messstelle 90◦,135◦,180◦,225◦,270◦
Statische Kraft 27 N 37 N
Anregungsfrequenz [Hz] 30 - 1000 30 - 600 30 - 560 30 - 1000 30 - 600 30 - 560
Schwingweg 2µm6µm10 µm2µm6µm10 µm
Messkampagne an einem Winkel besteht daher aus mehren Messungen, die jeweils
8 s
dauern, und
während denen die Schwingungsamplitude konstant gehalten wird und die Anregungsfrequenz
nach jeder Messung um
10 Hz
erhöht wird. Der Zeitaufwand für das Messen sowie das Ausrichten
des Prüfstands bei jeder Messstelle beträgt durchschnittlich 5 Tage.
Die Messkampagne aus der Tab. 4.7 ist eine Erweiterung der von Hoffmann durchgeführten
Messung, die sich auf den Messfrequenzbereich
25 Hz
bis
125 Hz
beschränkt (sehe Tab. 4.8).
Dieser Messfrequenzbereich wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit von
30 Hz
bis zu
1000 Hz
ausdehnt.
Tab. 4.8:
Messkampagne zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Messstelle 90◦,135◦,180◦
Statische Kraft 30 N 50 N
Anregungsfrequenz [Hz] 25 - 125 25 - 125 25 - 125 25 - 125
Schwingweg 2µm4µm2µm4µm
56
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.3.2 Datenaufbereitung und Datenauswertung aus der dynamischen Untersuchung der
elastischen Lagerwandstruktur
380 390 400
−50
0
50
2∆x
2∆F
HFdx
Verschiebung, x[
µ
m]
Kraft, F(t) [N]
1
Abb. 4.24:
Beispielhafte Ergebnisse einer dynamischen Untersuchung einer Lagerwand-
struktur eines Gasfolienlagers
Zur experimentellen Bestimmung der dynamischen Steifigkeit und Dämpfung der elastischen
Lagerwandstruktur werden prinzipiell in der Literatur zwei Auswertungsverfahren der Messdaten
angewendet [68, 73, 67].
Auswertungsverfahren 1
Es handelt sich bei dieser Methode um ein grafisches Verfahren zur Bestimmung der Steifigkeit und
der Dämpfung welches häufig im Bereich der Gasfolienlager anzutreffen ist [
68
]. Zur Erläuterung
dieser Methode wird die in der Abb. 4.24 darstellte Hysterese betrachtet. Dies ist der typische
Verlauf einer Weg-Kraft-Messung bei einem GFB und wurde beim Lager TU10 am Winkel
90◦
bei
470 Hz
aufgenommen. Auf der Abszisse sind die Verschiebungen bzw. die Verformungen der
Struktur aufgetragen, die die elastische Struktur unter der Belastung der dynamischen Kraft
(Ordinate) erfährt. Die gestrichelte Linie steht für die Steifigkeitskennlinie und die Steifigkeit
kd,1
lässt sich wie folgt berechnen.
kd,1=∆F
∆x(4.11)
∆
x
und ∆
F
sind jeweils die Amplituden der Schwingungswege respektive die dynamische
Anregungskraft. Bei der Ermittlung der Dämpfung wird die Fläche betrachtet, die von der
Hysterese umschlossen wird. Diese Fläche entspricht der irreversiblen Energie, die innerhalb einer
Periode dissipiert wird. Aus dieser Fläche lässt sich eine viskose Dämpfung
cd,1
ermitteln, deren
Verlustenergie äquivalent zur von der Hysterese umschlossenen Fläche ist.
cd,1=HFdx
πωx2(4.12)
Bei der Berechnung des Flächenintegrals
HFdx
bietet die Trapezregel aufgrund der relativ hohen
Abtastfrequenz (
12 000 Hz
) eine sehr gute Approximation, denn die Genauigkeit dieses Verfahrens
ist von der Schrittauflösung abhängig. Die Indizes der Parameter
kd,1
und
cd,1
stehen für das
jeweilige Auswertungsverfahren.
57
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Auswertungsverfahren 2
Bei diesem Verfahren wird zur Ermittlung der dynamischen Steifigkeit und Dämpfung der
elastischen Lagerwandstruktur das Schwingungssystem als ein Einmassenschwinger modelliert.
Diese Methode wurde bereits von anderen Autoren angewendet. Im Jahre 2007 ermittelten von
Rubio und San Andres die Steifigkeit und Dämpfung von Gasfolienlagern unter Verwendung
eines Einmassenschwingers als Modell [
73
]. Dies wird von Kim et al. zwei Jahre später wiederholt
[67].
m¨x(t) + cd,2·˙x(t) + kd,2·x(t) = F0+F(t)(4.13)
Dabei ist
m
das Gewicht des Gasfolienlagers inklusive der an ihm angebrachten Messinstrumente
sowie die Lageraufnahme.
cd,2
und
kd,2
sind jeweils die Dämpfung und die Steifigkeit der elastischen
Lagerwandstruktur. Die Kräfte
F0
und
F
(
t
)sind die in Abb. 4.23 dargestellten Kräfte und
entsprechen jeweils den statischen sowie den dynamischen Kräften, die auf die Lagerwandstruktur
wirken. Die Überführung der Gleichung 4.13 durch die Fourier-Transformation in den Bildbereich
ergibt Folgendes:
−mω2X(ω) + iωcd,2X(ω) + kd,2X(ω) = F(ω).(4.14)
X
(
ω
)und
F
(
ω
)sind jeweils die Fourier-Transformationen der Schwingweg
x
(
t
)und der dyna-
mischen Kraft
F
(
t
)bei der Frequenz
ω
. Aus der Gl. 4.14 kann schließlich für jede Frequenz
Steifigkeit und Dämpfung berechnet werden.
kd,2= Re F(ω)
X(ω)+mω2;cd,2=1
ωIm F(ω)
X(ω)(4.15)
Die Abb. 4.25 zeigt den Programmablauf zur Bestimmung der dynamischen Steifigkeit und
Dämpfung der elastischen Lagerwandstruktur sowohl aus dem Auswertungsverfahren 1 als auch 2.
Die Auswertung der Daten beginnt mit der Aufbereitung der Daten. Dies beinhaltet die Filterung
der Messdaten mit einem Tiefpassfilter, um das Signal von möglichen Störfrequenzen zu befreien.
Danach werden die Daten im Fall der Parameterbestimmung nach Auswertungsverfahren 1
in Perioden zerlegt. Aus diesem einzelnen Zeitfenster, das einer Hysterese entspricht, werden
Kraft- und Wegamplitude ermittelt und schließlich die Steifigkeit berechnet. Bei Ermittlung
der Dämpfung wird zuerst darauf geachtet, dass genügend Messpunkte vorhanden sind. Dies
ist meistens nicht der Fall bei höheren Anregungsfrequenzen. Dies liegt an der kurzer Dauer
der Schwingungsperiode, wodurch weniger Messpunkte in diesem Zeitfenster erfasst werden.
Es werden daher durch kubische Spline Interpolationsverfahren weitere Punkte generiert. Wie
bereits erwähnt, spielt die Anzahl an Punkten bei der Flächenberechnung eine wichtige Rolle, was
die Genauigkeit des Verfahrens angeht. Aus der Hysteresefläche lässt sich dann die Dämpfung
berechnen.
Bei der Ermittlung der Steifigkeit und Dämpfung nach dem Auswertungsverfahren 2 werden
die gefilterten Messdaten mit einem Hanning-Fenster gewichtet. Dies vermeidet Leakage-Effekte
bei der Fourier-Transformation, die anschließend folgt [
72
]. Aus der Bewegungsgleichung können
dann die Steifigkeit und Dämpfung berechnet werden.
58
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Messdaten:
Froh(t), xroh(t)
Filtern und Offset entfernen:
Butterworth-Filter
|H(jω)|=1
√1+ω2k
⇒F(t), x(t)
Zerlegung in Schwingungsperiode:
F(t) = {Floop[1]; Floop[2]; ···;Floop[m]}
x(t) = {xloop[1]; xloop[2]; ···;xloop[m]}
mit xloop[1] = x1, x2,···, xn
Fensterung:
Hanning-Fenster
w[n] = 0.51−cos 2πn
Nfft
⇒FHan(t), xHan(t)
Fourier-
Transfomation:
F(ω) =
Nfft
P
l=1
F[l]·e−jlωT
X(ω) =
Nfft
P
l=1
x[l]·e−jlωT
Steifigkeit und
D¨ampfung bestimmen:
kd,2=Re F(ω)
X(ω)+mω2
cd,2=1
ωIm F(ω)
X(ω)
n≥100
Interpolation:
Floop[1] = F1,¯
F1,1,¯
F1,2,···F2,¯
F2,1,¯
F2,2···, Fn
xloop[1] = x1,¯x1,1,¯x1,2,···x2,¯x2,1,¯x2,2···, xn
Steifigkeit und
D¨ampfung bestimmen:
kd,1=∆F
∆x
cd,1=HF dx
πωx2
Nein
Ja
1
Abb. 4.25:
Programmablauf zur Auswertung der dynamischen Untersuchungen der elasti-
schen Lagerwandstruktur nach den Auswertungsverfahren 1 und 2
Ergebnisvergleich aus Auswertungsverfahren 1 und 2
Die Abb. 4.26 stellt Steifigkeiten und Dämpfumgen dar, die an den Winkeln
90◦
und
180◦
des
Lagers TU10 bei einem Schwingweg von
2µm
gemessen wurden. Bei der Auswertung dieser
Messungen werden sowohl das Verfahren 1 als auch das Verfahren 2 angewendet. Beide Metho-
den zeigen über den gesamten Frequenzbereich
30 Hz
und
1000 Hz
eine gute Übereinstimmung
hinsichtlich der Dämpfung sowohl bei
90◦
als auch bei
180◦
. Bei den Steifigkeiten ist allerdings
ein gewisser Unterschied festzustellen. Im niedrigen Frequenzbereich zwischen
30 Hz
und
400 Hz
besteht zwar keine Übereinstimmung zwischen beiden Verfahren jedoch eine relativ geringe
Abweichung. Diese Abweichung verstärkt sich allerdings bei zunehmenden Frequenzen, bis dies
einen maximalen Wert von 145 % erreicht.
Um herauszufinden, bei welchem Verfahren die daraus ermittelten Parameter das dynamische
Verhalten der elastischen Struktur besser wiedergegeben werden, wird die Übertragungsfunktion
zur Überprüfung der Parameter verwendet. Bei der Übertragungsfunktion handelt es sich um
das Verhältnis zwischen dem Eingangsignal beziehungsweise dem Kraftsignal und dem Aus-
gangssignal. Dabei wird das Signal aus dem Beschleunigungssensor, der am Lager befestigt ist,
als Ausgangssignal verwendet. Dieses Signal wird bei der Auswertung von Steifigkeiten und
59
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
Frequenz [kHz]
Steifigkeit [MN/m]
90◦Verf.1
180◦Verf.1
90◦Verf.2
180◦Verf.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.6
1.2
1.8
Frequenz [kHz]
D¨ampfung [kNs/m]
1
Abb. 4.26:
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen an den Winkeln
90◦
und
180◦
des
Lagers TU10 bei einer Schwingungsamplitude von
2µm
und einer statischen
Last von 27 N ermittelt aus Auswertungsverfahren 1 und 2
Dämpfungen nicht verwendet. Es besteht daher keine Redundanz. Die Übertragungsfunktion
lautet:
H(ω) = A(ω)
F(ω),(4.16)
wobei
A
(
ω
)die Fourier-Transformation der Beschleunigung ist. Die Strukturparameter (
cd,j
und
kd,j
) beschreiben daher das dynamische Verhalten der Struktur, wenn folgende Gleichung erfüllt
ist:
H(ω)!
=ω2
(mω2−kd,j) + ωicd,j
mit i=√−1j={1,2}(4.17)
Die Abb. 4.27 zeigt Amplituden- sowie Phasengang der Übertragungsfunktion aus Kraft- und
Beschleunigungssignal an den Winkeln
90◦
und
180◦
bei einer Schwingungsamplitude von
2µm
.
Weiterhin in der Abbildung zu sehen sind berechnete Übertragungsfunktionen aus den Steifigkeiten
und Dämpfungen, die aus den Auswertungsverfahren 1 und 2 ermittelt wurden. Die simulierten
Übertragungsfunktionen zeigen beim Amplitudengang eine relativ gute Übereinstimmung im
niedrigen Frequenzbereich sowohl bei
90◦
als auch bei
180◦
. Im höheren Frequenzbereich zeigt
jedoch der Amplitudengang aus Verfahren 1 eine Abweichung, die über das Dreifache der
experimentell ermittelten Amplitude geht. Beim Phasengang zeigen beide Verfahren allgemein
eine relativ gute Übereinstimmung, jedoch besitzt das Verfahren 1 eine bessere Deckungsgleiche
unterhalb von 400 Hz. Es besteht dennoch bei den Verfahren hinsichtlich der Phase kein großer
Unterschied. Ein möglicher Grund für die Abweichung des Auswertungsverfahren 1 ist die relativ
geringe Anzahl an Messpunkten im höheren Frequenzbereich trotz der höheren Abtastfrequenz.
Das Interpolationsverfahren, das dort angewendet wird, kann, wie die Ergebnisse zeigen, diese
Mangel nicht komplett ausgleichen.
Die berechnete Übertragungsfunktion aus dem Auswertungsverfahren 2 zeigt also im Vergleich
zum Auswertungsverfahren 1 eine geringere Abweichung von der experimentellen Übertra-
gungsfunktion. Für weitere Auswertungen der dynamischen Untersuchungen der elastischen
Lagerwandstruktur wird daher das Verfahren 2 verwendetet. Dabei wird auf den Index verzichtet.
60
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0
2
4
6
8
90◦
Amplitude [1/Kg]
Amplitudengang
−4
−2
0
2
4
90◦
Phase [rad]
Phasengang
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
180◦
Frequenz [kHz]
Amplitude [1/Kg]
0.2 0.4 0.6 0.8 1
−4
−2
0
2
4
180◦
Frequenz [kHz]
Phase [rad]
experimentell simuliert Verf. 1 simuliert Verf. 2
1
Abb. 4.27:
Phasen- und Amplitudengang der Übertragungsfunktion, ermittelt aus der
experimentellen dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
an den Winkeln
90◦
und
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungsamplitude
von 2µm
4.3.3 Ergebnisse aus der dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Die dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur dient dazu, Erkenntnisse über
das dynamische Verhalten der Struktur zu gewinnen. Daher wird ihre Schwingungsantwort unter
diversen Einflüssen analysiert.
Einfluss der Schwingungsamplituden
Die in der Abb. 4.28 vorliegenden Messergebnisse sind Steifigkeiten und Dämpfungen, die am
Winkel
90◦
des Lagers TU10 bei Schwingungswegen von
2µm
,
6µm
und
10 µm
ermittelt wurden.
Bei der Schwingungsamplitude von
2µm
bleiben die Amplituden der Anregungskräfte während
des Versuchs relativ gering, so dass das Lager über einen Frequenzbereich von
30 Hz
bis
1000 Hz
(Abszisse in der Abb. 4.28) untersucht werden kann. Anders sieht es allerdings bei den
6µm
und
10 µm
Messungen aus. Dort sind Anregungskräfte mit einer Frequenz über
600 Hz
aufgrund
ihrer höheren Amplituden, die zur Zerstörung des Lagers geführt hätten, nicht mehr für die
Messungen zulässig. Dennoch lässt sich aus diesen Messkampagnen feststellen, dass die Steifigkeit
61
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
5
6
180◦
Frequenz [kHz]
kd[MN/m]
Steifigkeit
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
180◦
Frequenz [kHz]
cd[kNs/m]
D¨ampfung
(2 µm) (6 µm) (10 µm)
1
Abb. 4.28:
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen am Winkel
180◦
des Lagers TU10
bei einer Schwingungamplituden von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einen Fre-
quenzbereich von 30 Hz bis 1000 Hz und einer statischen Last von 27 N
im niedrigen Frequenzbereich (
30 Hz
bis
200 Hz
) mit zunehmenden Schwingungsamplituden
abnimmt. So ist die Steifigkeit bei der
2µm
-Messung höher als bei der
10 µm
-Messung. Diese
Tendenz ändert sich jedoch im höheren Frequenzbereich. Oberhalb der 200 Hz versteift sich die
Struktur mit zunehmenden Schwingwegen. Die Dämpfung zeigt dagegen einen klaren Trend. Hier
steigt die dissipierte Energie mit abnehmenden Schwingungsamplituden. Dies liegt daran, dass
die Anregungskräfte bei steigenden Schwingwegen zunehmen. Dabei nehmen die Normalkräfte,
die auf den Bump wirken, sowie die Anzahl an aktiven Bumps zu. Ein Bump ist aktiv, wenn die
auf ihn wirkende Normalkraft so hoch ist, dass die Bumpfüße sich kaum noch in Umfangsrichtung
verschieben lassen. Es wird in der Literatur von Bump stick gesprochen [
67
,
11
,
61
]. In diesem Fall
ist der Bump nicht mehr in der Lage, Energie durch Reibung zu dissipieren, denn dies kann nur
bei Bewegung stattfinden. Weiterhin ist der aktive Bump in der Lage, seine gesamte Steifigkeit
zu entfalten, wie es bei der Steifigkeitskurve in der Abb. 4.28 oberhalb der Frequenz von
200 Hz
zu sehen ist. Ab dieser Frequenz wird die Anzahl an aktiven Bumps aufgrund der zunehmenden
Anregungskraft steigen. Dadurch versteift sich die Struktur mit zunehmender Frequenz.
Dämpfungs- und Steifigkeitsverlauf zeigen neben der Resonanz, die bereits im Abschnitt 4.3
untersucht und zugeordnet wurde, eine weitere Auffälligkeit im Bereich von
170 Hz
bis
210 Hz
.
Dort erfährt die Steifigkeit unabhängig von der Schwingungsamplitude einen plötzlichen Anstieg,
während die Dämpfung sinkt. Dieser Peak deutet auf eine Resonanz hin, die möglicherweise
auf die elastische Struktur zurückzuführen ist. Um diese Vermutung zu überprüfen, werden
Hysteresen innerhalb dieses Bereichs untersucht. In der Abb. 4.29 werden die Hysteresen, die bei
60 Hz
bis
320 Hz
gemessen wurden, dargestellt. Es kann eine Drehung der Hysterese von
190 Hz
zu
200 Hz
festgestellt werden. Außerdem verschwindet die Fläche, die die Hysterese umschließt, mit
zunehmenden Frequenzen peu à peu, was auf die in der Abb. 4.28 gezeigte geringere Dämpfung
hindeutet. Dieses Verhalten der Struktur ist unabhängig von den Schwingwegen und wiederholt
sich nicht im Bereich von
300 Hz
bis
400 Hz
, wo ebenfalls ein Anstieg der Steifigkeit festzustellen
ist. Daher ist davon aus zu gehen, dass die Resonanz der Struktur sich zwischen
190 Hz
und
62
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
−20
0
20
40
60 Hz 160 Hz 180 Hz 190 Hz 200 Hz 220 Hz 320 Hz
Verschiebung
F(t) [N]
2µm 6 µm 10 µm
1
Abb. 4.29:
Hysteresen am Winkel
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungamplitude
von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einen Frequenzbereich von
60 Hz
bis
320 Hz
und einer statischen Last von 27 N
220 Hz befindet.
Die gesamten Ergebnisse aus dieser Messkampagne zeigen eine Ähnlichkeit mit der Arbeit
von Rubio und San Andrés [
73
] sowie der Publikation von Saheli et al. [
33
], die auch zu
dem Schluss kamen, dass die Steifigkeit und die Dämpfung der elastischen Lagerwandstruktur
frequenzabhängig ist. Bei diesen Untersuchungen sinkt ebenso die Dämpfung mit zunehmenden
Frequenzen, während die Steifigkeit steigt. Aus der vorliegenden Untersuchung kann weiterhin
eine Wegabhängigkeit der Parameter festgestellt werden, wobei der Unterschied zwischen der
6µm- und der 10 µm-Messung hinsichtlich der Steifigkeit sowie Dämpfung relativ gering ist.
Einfluss der statischen Last
Bei der Messkampagne zur Untersuchung des Einflusses der statischen Last auf Steifigkeit
sowie Dämpfung wird die elastische Lagerwandstruktur mit unterschiedlicher statischer Kraft
F0
vorgespannt. In der Abb. 4.30 liegen die Ergebnisse der Messungen am Winkel 180◦des Lagers
TU10 bei den Schwingungsamplituden von
2µm
,
6µm
und
10 µm
vor. Dabei wird die Struktur
mit statischen Lasten von
27 N
und
37 N
belastet. Der Einfluss der Lagerlast ist relativ gering.
Dennoch wird bei einer Lagerlastdifferenz von
10 N
unabhängig von den Schwingungsamplituden
ein Anstieg der Dämpfung bei zunehmender Lagerlast beobachtet (siehe Abb. 4.30). Die Steifigkeit
verhält sich währenddessen anders. Sie nimmt bei der Erhöhung der statischen Last ab. Dieses
Verhalten der elastischen Struktur liegt vermutlich daran, dass bei der Erhöhung der statischen
Lagerlast die Anzahl an Bumps, die am Schwingungsprozess teilnehmen, zunehmen. Diese Bumps
sind nicht alle aktiv und daher in der Lage, Energie durch Reibung bei der Bewegung der
Bumpfüße zu dissipieren, wodurch die Dämpfung ansteigt. Diese Tatsache führt weiterhin dazu,
dass durch die Verdrängung der Struktur in Umfangrichtung durch die dynamischen Kräfte die
Steifigkeit sinkt. Das heißt, die Energie, die bei der Anregung in das System eingespeichert wird,
wird zum großen Teil durch die Dämpfung dissipiert. Wenn Bumps sich mehr in Umfangsrichtung
als in radiale Richtung bewegen, ist von Bump slip die Rede [11, 61].
63
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
5
6
180◦
Steifigkeit kd[MN/m]
27 N 37 N
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
180◦
D¨ampfung cd[kNs/m]
27 N 37 N
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
180◦
Frequenz [kHz]
Steifigkeit kd[MN/m]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
180◦
Frequenz [kHz]
D¨ampfung cd[kNs/m]
(2 µm) (6 µm) (10 µm)
1
Abb. 4.30:
Dynamische Steifigkeit und Dämpfung am Winkel
180◦
des Lagers TU10 bei
einer Schwingungamplitude von
2µm
,
6µm
sowie
10 µm
über einem Frequenz-
bereich von
60 Hz
bis
630 Hz
sowie
60 Hz
bis
1000 Hz
und unter den statischen
Lasten von 27 N und 37 N
Einfluss der Winkellage
Die hier unternommene Analyse hat zum Zweck, den Einfluss der Festeinspannung der Bumpfolie
auf die dynamischen Strukturparameter herauszufinden. Weiterhin sollte überprüft werden, ob
das dynamische Verhalten der Lagerwand sich mit der Annahme, die bei der Modellierung
der statischen Lagerwandstruktur getroffen wird, auch deckt. Es wird angenommen, dass die
Lagerwandstruktur eine höhere Steifigkeit in der Nähe des Bumps mit dem Festende besitzt.
Diese Befestigungslinie der Bumpfolie mit dem Gehäuse befindet sich im Rahmen dieser Arbeit
bei
0◦
. Es werden daher die Messungen, die bei den Winkeln
90◦
,
135◦
sowie
180◦
durchgeführt
wurden, gegenübergestellt (siehe Abb. 4.31).
Bei den Schwingungsamplituden von
2µm
ist noch kein Trend zu erkennen. Dies zeigt sich
jedoch peu à peu bei
6µm
und wird bei
10 µm
deutlich erkennbar. Dabei steigt die Steifigkeit
mit Nähe zum Winkel
0◦
, während die Dämpfung mit der Entfernung von diesem zunimmt.
Dies lässt sich durch folgende Tatsache erklären. Durch die Belastung der Struktur in der Nähe
der Festeinspannung stauchen sich die Bumps in diesem Bereich, denn diese sind nicht in der
64
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Lage, sich frei in Umfangsrichtung zu bewegen. Die Struktur wird dadurch gestaucht und ihre
Steifigkeit steigt. Aufgrund dieser Bewegungsbeschränkung der Struktur kann keine Energie
durch reibungsbehaftete Bewegungen vernichtet werden, wodurch die Dämpfung sinkt, wie es in
der Abb. 4.31c zu sehen ist.
Es lässt sich also daraus schließen, dass die Annahme, die bei der Modellierung der stati-
schen elastischen Lagerwandstruktur getroffen wird, durch die dynamischen experimentellen
Untersuchungen verifiziert wird.
Im niedrigen Frequenzbereich (
60 Hz
bis circa
250 Hz
) ist allerdings ein anderes Verhalten
zu beobachten. Mit der Nähe zum Fixed End sinkt hier die dynamische Struktursteifigkeit.
Dieses Verhalten unterstützt die Aussage von Rubio und San Andrés [
34
]. Sie behaupten, dass
bei niedriger Belastung die Steifigkeit mit der Nähe zur Festeinspannung des Bumps abnimmt.
Im Fall der dynamischen Anregungen steigt die Anregungskraft mit zunehmenden Frequenzen,
wodurch diese Untersuchung die Behauptung von Rubio und San Andrés validiert.
65
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
3
4
5
6
7
Frequenz [kHz]
Steifigkeit kd[MN/m]
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
Frequenz [kHz]
D¨ampfung cd[kNs/m]
90◦135◦180◦
1
(a) 2µm
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
1
2
3
Frequenz [kHz]
Steifigkeit kd[MN/m]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [kHz]
D¨ampfung cd[kNs/m]
90◦135◦180◦
1
(b) 6µm
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Frequenz [kHz]
Steifigkeit kd[MN/m]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [kHz]
D¨ampfung cd[kNs/m]
90◦135◦180◦
1
(c) 10 µm
Abb. 4.31:
Dynamische Steifigkeiten und Dämpfungen an den Winkeln
90◦
,
135◦
sowie
180◦
des Lagers TU10 bei einer Schwingungamplitude von (a)
2µm
, (b)
6µm
sowie (c)
10 µm
über einen Frequenzbereich von
60 Hz
bis
660 Hz
sowie
60 Hz
bis 1000 Hz und unter der statischen Last von 27 N
66
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Analyse der Schwingungsphänomene
600
Frequenz [Hz]
2+
400
A +
200
0
200
Anregung [Hz]
400
600
4
6
0
2
Amplitude [7m]
Abb. 4.32:
Wasserfalldiagramm aus der dynamischen Untersuchung des Lagers TU10 bei
einer Schwingungsamplitude von
6µm
und unter einer statischen Belastung
von 27 N
600
Frequenz [Hz]
2+
400
A +
200
0
100
200
300
Anregung [Hz]
400
500
0
5
10
Amplitude [7m]
Abb. 4.33:
Wasserfalldiagramm aus der dynamischen Untersuchung des Lagers TU10 bei
einer Schwingungsamplitude von
10 µm
und unter einer statischen Belastung
von 27 N
Zahlreiche Untersuchungen haben bereits gezeigt, dass in GFBs gelagerte Systeme meistens
67
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Subjekt von subharmonischen Schwingungen sind [
74
,
75
,
44
,
9
]. Es handelt sich dabei um
Schwingungen mit einer Periode um das Vielfache der Hauptschwingungen. Im Fall eines ro-
tordynamischen Systems entspricht die Frequenz der Hauptschwingung der Drehfrequenz und
die Subharmonischen haben eine Schwingfrequenz um das Vielfache kleiner als die Drehfrequenz.
Das Ziel dieser Untersuchung ist es, herauszufinden, ob dieses Schwingungsverhalten von in GFBs
gelagerten Systemen auf die elastische Lagerwandstruktur zurückzuführen ist. Zu diesem Zweck
wird eine Frequenzanalyse der Lagerschwingung durchgeführt.
Die Ergebnisse dieser Analyse werden in Form von Wasserfalldiagrammen präsentiert (siehe Abb.
4.32 und 4.33). Das Wasserfalldiagramm stellt in der Ebene die Frequenz der Anregungskraft auf
der Ordinate und auf der Abszisse die während der Anregungsphase herrschenden Schwingungs-
frequenzen des Lagers mit ihren jeweiligen Amplituden in der Applikate dar. In den Diagrammen
sind Hauptfrequenz Ωbzw. die erste Erregerfrequenz sowie die zweite Erregerfrequenz 2Ω zu
sehen. Es sind dennoch auf der linken Seite der Hauptfrequenz Ωweder bei der Messung mit der
Schwingungsamplitude
6µm
noch bei
10 µm
subharmonische Schwingungen zu beobachten. In
früheren rotordynamischen Untersuchungen, die in Zusammenarbeit mit Hoffmann [9] durchge-
führt wurden, wurden aber subharmonische Frequenzen bereits bei der Drehfrequenz von
333 Hz
gemessen.
Es lässt sich also schlussfolgern, dass die in den rotordynamischen Untersuchungen beobachteten
subharmonischen Schwingungen allein vom Schmierfilm induziert werden.
4.3.4 Messunsicherheit zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Zur Erhöhung der Messgenauigkeit wird bei jeder monofrequenten Anregungsphase das System
8 s
lang vermessen, bevor die nächste Frequenz eingestellt wird. Das Messsignal lässt sich dann bei
der Auswertung aufgrund der relativ hohen Messzeit in 5 Zeitfenster unterteilen. Die ermittelten
Parameter aus diesen 5 Zeitfenstern (
n
= 5) zeigen dabei eine gute Wiederholbarkeit. Bei
der Berechnung der Messunsicherheit wird von einer Normalverteilung der Lagerparameter
ausgegangen. Weiterhin wird aufgrund der endlichen Anzahl der Messwiederholungen, die unter
200 liegt, die Ermittlung des Vertrauensbereichs der Student-Verteilung angesetzt. Die statistische
Sicherheit beträgt dabei
95 %
(
c
= 2
,
57) und bei der Berechnung der Messunsicherheit wird die
Gl. 4.10 angewendet.
In der Abb. 4.34 werden die Messunsicherheiten zur Ermittlung der dynamischen Steifigkeit
sowie Dämpfung der elastischen Lagerwandstruktur bei den Schwingungswegen von
2µm
,
6µm
und
10 µm
dargestellt. Dabei sind in der Abszisse die Anregungsfrequenzen und in der Ordinate
die Messunsicherheit der jeweiliger Frequenz aufgetragen. Die maximale Messunsicherheit wird
bei der Messung der Steifigkeit am Winkel
135◦
, unabhängig von den Schwingungsamplituden,
erreicht. Diese Messunsicherheit entspricht bei der Untersuchung mit
6µm
Schwingungsweg
10 %
der dort gemessenen Steifigkeit. Bei der Dämpfung ist die Messunsicherheit am Winkel
180◦
maximal und entspricht aufgrund der höheren Dämpfung, die dort gemessen wird, 5 %.
Allgemein betrachtet bleibt die Messunsicherheit dennoch relativ klein und beträgt im Durch-
schnitt
28,5 kN/m
bei der Steifigkeit und
8,5 Ns/m
bei der Dämpfung. Daher gelten die hier
präsentierten Messdaten als relativ zuverlässig.
68
4.3 Dynamische Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit kd[MN/m]
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit cd[kNs/m]
90◦135◦180◦225◦270◦
1
(a) 2µm
0.2 0.4 0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit kd[MN/m]
0.2 0.4 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit cd[kNs/m]
90◦135◦180◦225◦270◦
1
(b) 6µm
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit kd[MN/m]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Frequenz [kHz]
Messunsicherheit cd[kNs/m]
90◦135◦180◦225◦270◦
1
(c) 10 µm
Abb. 4.34:
Messunsicherheit zur dynamischen Untersuchung der elastischen Lagerwand-
struktur bei den Schwingungsamplituden von (a)
2µm
, (b)
6µm
und (c)
10 µm
69
4 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
4.3.5 Teilzusammenfassung
Aus den Untersuchung geht hervor, dass die Struktursteifigkeit sowie die Dämpfung wegabhängig
ist, auch wenn dies relativ gering ist. Im höheren Frequenzbereich steigt die Steifigkeit der Struktur
mit zunehmenden Schwingwegen während die Dämpfung abnimmt. Diese ist auf das Ansteigen
der auf den Bump wirkenden Normalkräfte bei zunehmenden Schwingwegen zurückzuführen.
Dabei steigt die Anzahl an aktiven Bumps(Bump stick).
Weiterhin hat die Lagerlast einen relativ geringen Einfluss auf die elastische Struktur. Anders
als bei zunehmenden Schwingwegen nimmt die Steifigkeit bei steigenden Lagerlasten ab. Die
Dämpfung der Struktur nimmt dagegen zu. Dies liegt wahrscheinlich an dem zunehmenden Bump
slip, wodurch die Bumps nicht mehr in der Lage sind ihre gesamte Steifigkeit zu entfalten.
Die dynamische Steifigkeit der elastischen Struktur zeigt außerdem eine Winkelabhängigkeit.
Diese Abhängigkeit ist allerdings bei den Schwingungsamplituden von
2µm
nicht besonders
ausgeprägt. Ein Trend wird jedoch bei zunehmenden Schwingwegen erkennbar. Die Steifigkeit
steigt mit der Nähe zum Winkel
0◦
(Fixed End), während die Dämpfung mit der Entfernung von
diesem zunimmt.
Eine Untersuchung zu den Einflüssen der Lagermodifikation auf die Lagereigenschaften ist in
der Arbeit von Hoffmann [
57
] zu finden. Die experimentellen Versuche werden an dem in Abb. 4.18
dargestellten Prüfstand durchgeführt. Es wird ein GFB der ersten Generation eingesetzt mit einem
Frequenzbereich von
25 Hz
bis
125 Hz
. Es werden Messkampagnen mit Schwingungsamplituden
von
2µm
und
4µm
durchgeführt. Das
38,1 mm
GFB wird mit drei Shims der Stärke
50 µm
modifiziert. Die Messergebnisse zeigen, dass die Modifikation des Lagers zur einer Erhöhung der
Lagersteifigkeit führt. Besonders ausgeprägt ist der Anstieg des Verlustfaktors.
Die letzte Untersuchung der elastische Struktur dient dazu herauszufinden, ob die subharmoni-
schen Schwingungen, die bei GFB-gelagerten Systemen beobachten werden, auf die elastischen
Lagerwandstruktur zurückzuführen sind. Die Frequenzanalyse der Strukturschwingung zeigt
jedoch keine subharmonische Schwingungen. Es ist also zu vermuten, dass diese Schwingungen
von dem Schmierfilm hervorgerufen werden und dann von der Struktur verstärkt.
70
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
Die numerischen Simulationen in dieser Arbeit beruhen auf Vorarbeiten von [
76
,
77
]. Die
verwendeten Skripte wurden von Michel [
77
] implementiert. Wie bereits erwähnt funktionieren
co
ex
ey
θ
Wx
x
y
Wy
Ω
R
hs(z, θ)
Rotor
Geh¨ause
Bumpfolie
Topfolie
p(z, θ)
g
1
Abb. 5.1: Schematische Darstellung eines GFBs gelagerten Rotors
GFBs nach dem Prinzip des Schmierfilms. Dieses Funktionsprinzip wird im Fall von starren
Gleitlagern von der Reynolds-Differentialgleichung bestimmt. Bei GFBs spielt nicht nur der
Schmierfilm eine wichtige Rolle, sondern auch die elastische Struktur. Daher wird bei der
numerischen Betrachtung von GFB gelagerten Systemen die Interaktion Rotor-Schmierfilm-
elastische Struktur in den Fokus gestellt. Die elastische Struktur wurde bereits im Kapitel 4
behandelt. In diesem Kapitel wird zuerst die Bewegungsgleichung des Rotors formuliert, danach
wird die Schmierspaltströmung modelliert und schließlich werden die Lagerparameter aus dem
Störansatz-Verfahren [78] ermittelt.
5.1 Mechanisches Modell
Das System, das hier zur Modellierung steht, besteht aus einem starren symmetrischen aufgebau-
ten Rotor, der in zwei identischen GFBs gelagert ist. Der Rotor hat ein Gewicht von 2
mr
. Zweck
des mechanischen Modells ist es, die räumliche sowie zeitliche Position des Lagerzapfens zu be-
schreiben. Aufgrund des symmetrischen Aufbaus des Systems genügt es, die Bewegungsgleichung
des Lagerzapfens in einem Lager zu beschreiben.
"mr0
0mr#( ¨ex
¨ey)=(Fx
Fy)+(Wx
0)(5.1)
Es wird außerdem bei der Gl. 5.1 allein die Zylindermodebewegung betrachtet. Dabei ist
Wx
die
auf dem Rotor wirkende statische Last, unter anderem die Gewichtskraft und die Kräfte
Fx
und
71
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
Fy
werden von dem im Schmierfilm herrschenden Druck hervorgerufen und lassen, wie folgt, sich
rechnen: (Fx
Fy)=R
2π
Z0
l
Z0
(p(z, θ)−pa)(cos(θ)
sin(θ))dzdθ . (5.2)
Die Koordinaten (
ex, ey
)aus der Gl. (5.1) beschreiben die Lage des Lagerzapfens und haben
dadurch ein Einfluss auf die Schmierfilmhöhe. Die Gl. (5.1) beschreibt somit die Interaktion
Rotor-Schmierfilm.
5.2 Modellierung des Schmierfilms
Die Abb. 5.1 beschreibt die Funktionsweise eines GFBs, an Beispiel eines GFBs der 1. Generation.
Durch die Drehung des Rotors wird die Luft im unteren Bereich des Rotors komprimiert. Die
ungleichmäßige Verteilung des Lagerspalts sorgt für eine Druckerhöhung (
p−pa
), wodurch der
Rotor auf einer Höhe
h
von der Lagerwand schwebt. Der Druck
p
sowie die Höhe
h
wird von der
Reynolds-Differentialgleichung 5.3 bestimmt.
∂
∂z ph3
12µ
∂p
∂x!+∂
∂y ph3
12µ
∂p
∂y !=ΩR
2
∂(ph)
∂y +∂(ph)
∂t .(5.3)
wobei hSchmierfilmdicke
pDruck im Schmierfilm
RLagerradius
µdynamische Viskosität
ΩDrehkreisfrequenz
xKoordinate in Richtung der Schwerkraft
yKoordinate senkrecht zur Schwerkraft
zKoordinate in axiale Richtung
Die Schmierfilmdicke entspricht dem Spalt, der sich zwischen dem Rotor und der Topfolie im
Betrieb bildet. Aufgrund der nachgiebigen Lagerwand hängt diese Größe nicht nur von der
Position des Rotors ab, sondern auch von der Steifigkeit der elastischen Lagerwand. Daher
besteht die Schmierfilmdicke zum einen aus der Bewegung des Rotors
hr
und zum anderen aus
der elastischen Struktur hs.
h(z, θ) = hr(z, θ) + hs(z, θ)=(c0+excos(θ) + eysin(θ)) + hs(z, θ)(5.4)
hs
(
z, θ
)entspricht der radiale Verformung der elastische Lagerwandstruktur und wird vom
Strukturmodell aus dem Kapitel 4 berechnet. Die Gl. (5.3) ist eine bereits auf den Fall der GFBs
angepasste Reynolds-Differentialgleichung und gilt allein unter bestimmten Voraussetzungen:
•Es handelt sich beim Fluid um ein Newtonsches Fluid.
•Die Strömung im Spalt ist laminar.
•Die Krümmung im Spalt wird vernachlässigt.
•Die Trägheitsfaktoren werden im Vergleich zu den viskosen Termen vernachlässigt.
•Die dynamische Viskosität µgilt als konstant über den Spalt.
•Die Schmierfilmdicke ist hsehr klein gegenüber den Radius des Lagers h
R10−3[60] .
72
5.2 Modellierung des Schmierfilms
•Die Strömung ist isotherm.
•Der Druck wird als konstant über die Schmierfilmdicke angenommen.
Neben diesen Voraussetzungen werden vier Randbedingungen zur Lösung Gl. (5.3) gestellt. Am
Lagereinlass und Lagerauslass herrscht Umgebungsdruck
p(z= 0, θ) = pa, p(z=l, θ) = pa, p(z, θ = 0) = pa, p(z, θ =θend) = pa.(5.5)
Es wird weiterhin kein subambientes Druckfeld bei der Berechnung der Strukturverformung
zugelassen. Dies beruht auf der Tatsache, dass die Luft Zugkräfte, die aufgrund des subambienten
Drucks hervorgerufen werden, schlecht übertragen kann. Es wird in diesem Unterdruckbereich
lediglich zu einer Abhebung der Topfolie und somit zu einem Ausgleich der Druckdifferenz führen.
Diese Randbedingung wird Gümbel-Randbedingung genannt.
p(z, θ)⩾pa, θ ∈[0,2π](5.6)
Aus Bequemlichkeitsgründen wird die Gl. (5.3) in Polarkoordinaten überführt.
∂
∂z ph3
12µ
∂p
∂z !+1
R2
∂
∂θ ph3
12µ
∂p
∂θ!=Ω
2
∂(ph)
∂θ +∂(ph)
∂t .(5.7)
Für einen besseren Vergleich mit bereits veröffentlichten Arbeiten wird die Gl. (5.7) in eine
dimensionslose Gleichung umgeschrieben und dabei neue Konstanten eingeführt.
∂
∂Z PH3∂P
∂Z +∂
∂θ PH3∂P
∂θ = Λ∂(PH)
∂θ +σ∂(PH)
∂τ (5.8)
mit
Z=z
R, P =p
pa
, H =h
c0
, τ =ωt, Λ = 6ΩR2µ
pac2
0
, σ =12ωR2µ
pac2
0
pa
steht für den ambienten Druck und
ω
ist die Anregungskreisfrequenz bzw. Störkreisfrequenz.
c0
entspricht dem Nominalspalt beim unbelasteten Lager. Λund
σ
werden in der Literatur
[23, 14] entsprechend bearing speed number und squeeze film number genannt.
Die Reynolds-Differentialgleichung (Gl. (5.8)) besitzt jedoch keine analytische Lösung im Bereich
Z
θ
j
1
1
i
Nθ
NZ
1
Abb. 5.2: Diskretissierungsnetz
der GFBs, daher werden zur Lösung dieser Differentialgleichung numerische Verfahren angewendet.
Die häufig in der Literatur vorkommenden numerische Methoden wurden bereits im Kapitel 2
vorgestellt. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde die FDM verwendet. Die FEM, FVM
73
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
und FDM unterscheiden sich hinsichtlich der numerischen Fehler kaum voneinander. Botte [
79
]
zeigt in seiner Arbeit aus dem Jahren 2000, dass die FDM weniger konservativ als die FVM ist.
Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Anzahl an Knoten relativ gering gewählt ist. Dies
heißt jedoch nicht, dass FDM weniger genauer ist. Es lässt sich mit beiden Methoden die gleiche
Fehlerordnung erreichen.
Vor der Verwendung der FDM wird zuerst ein Gitter auf das untersuchte Gebiet gelegt (siehe Abb.
5.2). Dabei beschreibt der Index
i
Schritte in der axialen Richtung, während
j
Schritte in der
Umfangsrichtung zählt. Aufgrund des geringeren Abschneidefehlers gegenüber der Vorwärts- und
Rückwärtsdifferenz wird die zentrale Differenz zur Approximierung von Ableitungen verwendet.
Die 1. und 2. Ableitung einer Funktion
f
an den Gitterpunkt bei Vollschritten ∆
Z
ist dann, wie
folgt, definiert
∂f
∂Z i,j
=fi+1,j −fi−1,j
2∆Z+O(∆Z2,∆Z3, . . .)(5.9)
∂
∂Z ∂f
∂Z i,j
=1
2∆Z ∂f
∂Z i+1,j −∂f
∂Z i−1,j!(5.10)
=fi−2,j −2fi,j +fi+2,j
(2∆Z)2+O(∆Z2,∆Z3, . . .).(5.11)
O
(∆
Z2,
∆
Z3, . . .
)wird Abschneidefehler genannt und entspricht den höheren Termen der Ta-
lorreihenentwicklung. Die Gl. (5.11) zeigt, dass bei der zweiten Ableitung mit Vollschritten am
Knoten
i
die direkten Nachbarknoten Knoten
i−
1sowie
i
+ 1 nicht berücksichtigt werden. Daher
werden Halbschritte zur Berechnung von Ableitungen verwendet, wobei diese Zwischengitterpunk-
te durch lineare Interpolation von direkten Nachbarn berechnet werden. Eine zweiter Aspekt,
den es noch zu berücksichtigen gilt, sind die hohen Druckgradienten an den Lagerändern, was zu
einem Konvergenzproblem führen kann. Das Netz wird daher in
z
- und
θ
-Richtung ungleichmäßig
verteilt. Es wird außerdem an den Lagerändern ein anderes Diskretisierungsverfahren verwendet,
das später genau erläutert wird. Die 1. und 2. Ableitung der Funktion
f
mit Halbschritten lauten:
∂f
∂Z i,j ≈fi+1/2,j −fi−1/2,j
(Zi+1/2−Zi−1/2)=2
(Zi+1 −Zi−1)fi+1
2,j −fi−1
2,j(5.12)
∂
∂Z ∂f
∂Z i,j ≈2
(Zi+1 −Zi−1)fi+1,j −fi,j
Zi+i−Zi−fi,j −fi−1,j
Zi−Zi−1(5.13)
mit fi+1/2,j =fi+1,j +fi,j
2fi−1/2,j =fi−1,j +fi,j
2.
Die Diskretisierung der Gl. (5.8) für den stationäre Fall (σ= 0) ergibt
2
(Zi+1 −Zi−1) (PH3)i+1/2,j (Pi+1,j −Pi,j)
Zi+i−Zi−(PH3)i−1/2,j (Pi,j −Pi−1,j)
Zi−Zi−1!
+2
(θj+1 −θj−1) (PH3)i,j+1/2(Pi,j+1 −Pi,j)
θj+i−θj−(PH3)i,j−1/2(Pi,j −Pi,j−1)
θj−θj−1!
−2
(θj+1 −θj−1)Λ(PH)i,j−1/2−(PH)i,j+1/2
=gi,j (5.14)
für i∈ {2,3, . . . , NZ−1}j∈ {2,3, . . . , Nθ−1}
(
P, H
)sind Lösungen der Reynolds-Differentialgleichung, wenn
gi,j
verschwindet,bzw
gi,j
= 0. Es
gilt daher die Gl. (5.14) zu minimieren.
74
5.2 Modellierung des Schmierfilms
Dank des Newton-Verfahrens lässt sich die Gleichung Gl. (5.14) linearisieren und minimieren,
dabei wird allein Pals unbekannt betrachtet.
gi,j =gi,j (Pi−1,j, Pi,j, Pi+1,j, Pi,j−1, Pi,j+1)(5.15)
gn+1
i,j =gn
i,j + ∂gi,j
∂Pi+1,j !nPn+1
i+1,j −Pn
i+1,j+ ∂gi,j
∂Pi−1,j !nPn+1
i−1,j −Pn
i−1,j
+ ∂gi,j
∂Pi,j !nPn+1
i,j −Pn
i,j+ ∂gi,j
∂Pi,j+1 !nPn+1
i,j+1 −Pn
i,j+1
+ ∂gi,j
∂Pi,j−1!nPn+1
i,j−1−Pn
i,j−1(5.16)
gn+1
i,j
ist der Wert der
n
+ 1 Iteration. Es wird angestrebt, dass
gn+1
i,j
= 0. Bei der ersten Iteration
befindet sich der Rotor im Zentrum des Lager (
εx
= 0 und
εy
= 0) und es herrscht im Schmierspalt
Umgebungsdruck. Da kein Überdruck besteht, bleibt die elastische Lagerwandstruktur unbelastet
Hs(z, θ)=0. Die Gl. 5.16 lässt sich, wie folgt, im Matrixform schreiben.
[Jn]{∆}={gn}(5.17)
Der Aufbau der Jacobi-Matrix und des Druckdifferenzvektors sind im Anhang A.2.1 zu finden.
Nach jeder Iteration wird das Druckfeld berechnet.
Pn+1
i,j = ∆i,j +Pn
i,j (5.18)
Bei der Ermittelung der Schmierfilmdicke
Hn+1
i,j
wird zuerst die aus dem Druckfeld resultierende
Strukturverformung Hsberechnet.
Hn+1
i,j = 1 + εxcos(θj) + εysin(θj) + Hn+1
s(Zi, θj)(5.19)
Dabei wird das Strukturmodell von Le Lez aus dem Kapitel 4 verwendet. Die neu berechnete
Parameter
Hn+1
i,j
und
Pn+1
i,j
werden dann wieder für die Berechnung von [
Jn+1
]und
{gn+1}
verwendet.
[Jn+1] = Jn+1({Pn+1},{Hn+1}){gn+1}=gn+1({Pn+1},{Hn+1})(5.20)
Dies wird solange durchgeführt, bis folgende Toleranz erreicht ist.
|∆|./Pn<Toleranz wobei Toleranz = 10−6(5.21)
Das heißt, die Druckdifferenz bei jedem der Gitterpunkte sollte nicht höher als 10−4%sein.
Wie bereits erwähnt wird am Lagereinlass und Lagerauslass das Druckfeld aufgrund des hohen
Druckgradienten mit einem anderen Diskretisierungsverfahren berechnet, das in der Literatur
unter der Namen upwind bzw. Aufwindverfahren bekannt ist [
21
,
60
]. Es handelt sich um eine
einseitige Differenz, bei der je nach Strömungsrichtung
ϑx
entweder eine Vorwärts- oder eine
Rückwärtsdifferenz durchgeführt wird.
∂Φ
∂x ≈Φi−Φi−1
xi−xi−1
ϑx>0(5.22)
∂Φ
∂x ≈Φi+1 −Φi
xi−1−xi
ϑx<0(5.23)
mit Φ : allgemeine x-abhängige Größe
75
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
Am Lagereinlass ist der Druckgradient immer positiv und es werden Vorwärtsdifferenzen an-
gewendet, während am Auslass Rückwärtsdifferenzen aufgrund des negativen Druckgradienten
durchgeführt werden. Es wird daher für das gesamte Volumen wie folgt diskretisiert:
•Für i<n
1
(Zi−Zi−1)2(PH3)i,j −(PH3)i−1,j(Pi,j −Pi−1,j)
+1
(Zi+1 −Zi)Pi+1,j −Pi,j
Zi+1 −Zi−Pi,j −Pi−1,j
Zi−Zi−1(PH3)i,j
+2
(θj+1 −θj−1) (PH3)i,j+1/2(Pi,j+1 −Pi,j)
θj+i−θj−(PH3)i,j−1/2(Pi,j −Pi,j−1)
θj−θj−1!
−2
(θj+1 −θj−1)Λ(PH)i,j−1/2−(PH)i,j+1/2
=gi,j (G2)
•Für n<i<Nz−(n+ 1)
2
(Zi+1 −Zi−1) (PH3)i+1/2,j (Pi+1,j −Pi,j)
Zi+i−Zi−(PH3)i−1/2,j (Pi,j −Pi−1,j)
Zi−Zi−1!
+2
(θj+1 −θj−1) (PH3)i,j+1/2(Pi,j+1 −Pi,j)
θj+i−θj−(PH3)i,j−1/2(Pi,j −Pi,j−1)
θj−θj−1!
−2
(θj+1 −θj−1)Λ(PH)i,j−1/2−(PH)i,j+1/2
=gi,j (G1)
•Für i>Nz−(n+ 1)
1
(Zi+1 −Zi)2(PH3)i+1,j −(PH3)i,j(Pi+1,j −Pi,j)
+1
(Zi+1 −Zi)Pi+1,j −Pi,j
Zi+1 −Zi−Pi,j −Pi−1,j
Zi−Zi−1(PH3)i,j
+2
(θj+1 −θj−1) (PH3)i,j+1/2(Pi,j+1 −Pi,j)
θj+i−θj−(PH3)i,j−1/2(Pi,j −Pi,j−1)
θj−θj−1!
−2
(θj+1 −θj−1)Λ(PH)i,j−1/2−(PH)i,j+1/2
=gi,j (G3)
Zur Bestimmung des Gitterpunkts
n
wird die Peclet-Zahl
Pei,j
[
80
] berechnet, die das Verhältnis
von konvektiven zu diffusiven Flüssen darstellt.
Pei,j = Λ ∆zi
(PH2)i,j
(5.24)
Das upwind-Verfahren wird dann angewendet, sobald die Peclet-Zahl eines Gitterpunktes grö-
ßer als 2 ist
Pei,j >
2. Der Programmablauf zur Bestimmung des Druckfelds
{P}
und der
Schmierfilmdicke {H}wird in der Abb. 5.3 dargestellt.
76
5.3 Ermittlung der Lagerparameter
n= 1, {P}n={P}ini,
{H}n={H}ini
Pe = Λ ∆z.
PnHn2
max(Pe)<2
{g}nach Gl. (G2)-(G3),
[J]{g}nach Gl. (G1),
[J]
{∆}= [J]−1{g}
{P}n+1 ={P}n+{∆}
n=n+1
{H}n+1 = 1 + εxcos(θ) + εysin(θ) + {Hs}
|∆i|./Pn
i>
Toleranz
stop
nein
ja
ja
nein
1
Abb. 5.3: Programablauf zur Lösung der Reynolds.Differentialgleichung
der 0.Ordnung
5.3 Ermittlung der Lagerparameter
Bei der Bestimmung von linearen Lagerparametern wird ein Lager-Rotor-System, wie im Kapitel
5.1 beschrieben, betrachtet, das in seiner Gleichgewichtslage gestört wird. Die Störung verursacht
Schwingungen mit kleinen Amplituden um die Gleichgewichtslage. Daher geht es in erster Linie
77
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
darum, die Ruhelage des Systems zu bestimmen.
Bestimmung der Gleichgewichtslage
Zur Bestimmung der Gleichgewichtslage muss die Gl. (5.1) für den stationären Fall gelöst werden.
Die Gleichung lässt sich dann, wie folgt, schreiben.
{G}=(Gx
Gy)=(Wx+Fx
Fy)!
=(0
0)(5.25)
Die Lagerkräfte
Fx
und
Fy
berechnen sich aus dem Druckfeld, wie es in der Gl. (5.2) formuliert ist.
Dabei wird die stationäre, ungestörte Reynolds-Differentialgleichung (siehe Gl. (5.14)) betrachtet.
In der Literatur wird von der Reynoldsgleichung 0.ter Ordnung gesprochen [
14
,
17
]. Bei der
Bestimmung der Gleichgewichtlage geht es darum, das Druckfeld
P0
, die Schmierfilmdicke
H0
sowie die Lagerzapfenposition (
εx, εy
)zu bestimmen, für die die Gl (5.25) im Rahmen einer
Toleranz erfüllt ist. Aufgrund des nicht explizit ermittelbaren Drucks, der bei der Berechnung
der Kräfte auftaucht, wird die Ermittlung diese Parameter numerisch durchgeführt. Dabei lässt
sich wieder das Newton-Verfahren anwenden.
[Jg]{∆ε}={G}(5.26)
Bei der Diskretisierung der Jacobi-Matrix [
Jg
]werden zentrale Differenzen angewendet und
dabei werden zur Erhöhung der Genauigkeit und Beschleunigung der Konvergenz Terme bis zur
4.-Ordnung berücksichtigt.
[Jg] =
∂Gx
∂x
∂Gx
∂y
∂Gy
∂x
∂Gy
∂y
(5.27)
Zur Berechnung der Elemente der Jacobi-Maitrix [
Jg
]werden Druckfelder im Fall einer zentralen
Differenzen 2.-Ordnung für vier Exzentrizitätpunkte (
ex
+ ∆
e, ey
),(
ex−
∆
e, ey
),(
ex, , ey
+ ∆
e
)
und (ex, , ey−∆e)benötigt, wie die Gl.(5.28) zeigt.
[Jg]≈
Gx(ex+∆e,ey)−Gx(ex−∆e,ey)
2∆e
Gx(ey,ey+∆e)−Gx(ey,ey−∆e)
2∆e
Gy(ex+∆e,ey)−Gy(ex−∆e,ey)
2∆e
Gy(ey,ey+∆e)−Gy(ey,ey−∆e)
2∆e
(5.28)
Es wird daher für eine einmalige Berechnung der Matrix [
Jg
]8-mal die Reynold-Differentialgleichung
iterativ gelöst. Dies führt zu einer erheblichen Berechnungszeit. Aus dem Grund wird hier Das
Simplex-Verfahren nach Nelder-Mead angewendet [
81
]. Es handelt sich um ein ableitungsfreies
Suchverfahren, das üblicherweise zur Bestimmung von Minima eingesetzt wird. Dabei werden
zur Minimierung einer Funktion f, die wie folgt definiert ist:
f: IR2−→ IR; f({e}) = qG2
x((ex, ey)) + G2
y((ex, ey)) = q(Wx+Fx)2+F2
y(5.29)
drei Punkte gewählt. Bei der Auswahl dieser Punkten wird darauf geachtet, dass die Ungleichung
(5.30) erfüllt ist.
fmin < fv< fmax (5.30)
wobei fmin =f({emin}); fv=f({ev}); fmax =f({emax})
Die Exzentrizitätpunkte
{emin}
,
{ev}
und
{emax}
bilden ein Simplex, bzw, eine Punktemenge,
78
5.3 Ermittlung der Lagerparameter
{emin}
{emax}{ev}
{er}
{em}
1
(a) Spiegelung
{emin}
{emax}{ev}
{ee}
{em}
1
(b) Expansion
{emin}
{emax}{ev}
{ec,a}
{em}
1
(c)
äußere
Kontraktion
{emin}
{emax}{ev}
{em}
{ec,i}
1
(d)
innere
Kontraktion
{emin}
{emax}{ev}
1
(e) Kompression
Abb. 5.4: Grafische Darstellung des Simplex-Verfahren
die nach bestimmten Kriterien eine Spiegelung (Abb. 5.4a), Expansion (Abb. 5.4b), Kontraktion
(Abb. 5.4c, 5.4d) oder Kompression (Abb. 5.35) erfahren kann,um sich dem Minimum anzunähern.
Nachdem die zuerst gewählten Punkte aussortiert wurden (siehe Gl. (5.30)), wird als erstes
überprüft, ob eine Fortbewegung des Simplex durch eine Spiegelung möglich ist.
{er}={em}+α({emax}−{em})(5.31)
Dabei ist
α
ein positiver Steuerfaktor und wird Reflexionskoeffizient genannt [
81
]. Der Punkt
{em}ist das Baryzentrum der guten Punkte.
{em}=1
2({ev}+{emin})(5.32)
Um die Güte des neuen Punkt zu evaluieren, wird seine Abbildung, bzw., das von ihm abgebildete
Minimum (f({er}) = fr) mit den bis jetzt vorhandenen Minima verglichen.
Ifr< fmin
Der Reflexionspunkt
{er}
ist in diesem Fall der beste Minimierungspunkt. Weiterhin wird
überprüft, ob aus dem Reflexionspunkt einen Expansionspunkt erreichbar ist.
({ee}={em}+γ({er}−{em})
f({ee}) = fe
(5.33)
Es wird nun überprüft, ob der neue Punkt {ee}übernommen oder verworfen wird.
•fe< fr
: Weil der Expansionspunkt besser als der Reflexionspunkt ist, nimmt er den
Platz des schlechtesten Punkts ({ee}, fe)−→ ({emax}, fmax)ein.
•fe> fr
: Im diesem Fall wird der Expansionspunkt zugunsten des Reflexionspunkts
({er}, fr)−→ ({emax}, fmax)verworfen.
79
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
Falls die Abbruchbedingung noch nicht erfüllt sind, wird die nächste Iteration gestartet.
Ifr> fmin
Durch die Spiegelung konnte kein besseres Minimum gefunden werden. Es besteht jedoch
die Möglichkeit, dass dieser neue Punkt näher zum Minimum als die beiden anderen Punkte
{ev},{emax}liegt.
•fr< fmax: Der Reflexionspunkt ist hier besser als der schlechteste Punkt
({ee}, fr)−→ ({emax}, fmax).
•fr> fmax
: Die Fortbewegung des Simplex durch Spiegelung führt zu keiner Verbes-
serung. Das Simplex wird daher zusammengedrückt. Es handelt sich dabei um eine
Kontraktion. ({ec}={emax}−β({emax}−{em})
f({ec}) = fc
(5.34)
Der kontraktionskoeffizient
β
wird in dem Intervall [0
,
4; 0
,
6] zur Steuerung der
Kontraktion gewählt.
∗fc< fmax
: Bei einer Verbesserung durch die Kontraktion ersetzt der Kontrakti-
onspunkt den schlechtesten Punkt ({ec}, fc)−→ ({emax}, fmax).
∗fc> fmax
: Hat die Kontraktion zu einer Verschlechterung des Minimums geführt,
wird das Simplex eine Kompression erfahren.
({ei}={emax}+{emin}
2
{ej}={ev}+{emin}
2
(5.35)
Die Funktionswerte
f
(
{ei}
),
f
(
{ej}
)und
fmin
werden aussortiert und die nächste
Iteration wird gestartet.
Die Umsetzung des Simplex-Verfahren zur Bestimmung der Gleichgewichtslage wird in der Abb.
5.5 dargestellt. Es ist zu erwähnen, dass bei jeder Berechnung des Funktionswerts
f
(
{e}
)die
Reynolds-Differentialgleichung 0. Ordnung numerisch gelöst wird. Außerdem wird nach der
Bestimmung des Druckfelds
P
sowie der Schmierfilmdicke
H
überprüft, ob diese neue Parameter
zulässig sind (H > 0und P > 1). Ist dies nicht der Fall, wird das Programm abgebrochen.
80
5.3 Ermittlung der Lagerparameter
Initialisierung
:
(
{emin}, fmin
)
,
(
{ev}, fv
)
,
(
{emax}, fmax
)
mit
fmin < fv< fmax
Spiegelung
nach Gl. (5.31)
fr< fmin
Minimun
erreicht ?
stop
Expansion
nach Gl. (5.33)
fe< fr
{er} −→ {emax} {ee} −→ {emax}
fr< fm
fr< fmax
Kontraktion
nach Gl. (5.34)
fc< fmax
{ec} −→ {emax}
Kompression
nach Gl. (5.35)
nein
ja
nein
nein ja
nein ja
ja
nein
ja
nein ja
Abb. 5.5: Programmablauf zur Bestimmung der Gleichgewichtslage
Bestimmung der linearisierten Lagerparameter
Zur Bestimmung der linearen Lagerparameter wird der Störansatz nach Lund [
78
] angewendet.
Dabei wird davon ausgegangen, dass das System auf Störungen mit kleinen Amplituden wie ein
Feder-Dämpfer-System reagiert. Das Druckfeld und der Schmierfilm aus der Ruhelage werden
81
5 Berechnung linearisierter Lagerparameter
von harmonischen Störungen überlagert [14].
P=P0+ (Px∆εx+Py∆εx)eiτ =P0+ ∆Peiτ (5.36)
H=H0+ (∆εxcos(θ)+∆εycos(θ) + Hsx∆εx+Hsy∆εy)eiτ =H0+ ∆Heiτ (5.37)
Aufgrund der kleinen Störungsamplituden lässt sich das Systemverhalten linearisieren. Es werden
daher Terme mit einer Ordnung höher als Eins vernachlässigt
PH3∂P
∂β = (P0+ ∆P)(H3
0+ 3H2
0∆H+
≈0
z}| {
3H0∆H2+ ∆H3)∂P
∂β (5.38)
= (P0H3
0+ 3P0H2
0∆H+ ∆PH3
0+
≈0
z}| {
3∆PH2
0∆H)∂P0
∂β +∂∆P
∂β (5.39)
= (P0H3
0+ 3P0H2
0∆H+ ∆PH3
0)∂P0
∂β
+∂∆P
∂β P0H3
0+∂∆P
∂β 3P0H2
0∆H+∂∆P
∂β ∆PH3
0
|{z }
≈0
(5.40)
= (P0H3
0+ 3P0H2
0∆H+ ∆PH3
0)∂P0
∂β +∂∆P
∂β P0H3
0(5.41)
mit β={Z, θ}.
Die Reynolds-Differentialgleichung ist im Fall der Störungen nicht mehr stationär (
σ6
= 0), und
wird Reynolds-Differentialgleichung 1.ter Ordnung genannt:
∂
∂Z P0H3
0
∂Pα
∂Z +PαH3
0
∂P0
∂Z +∂
∂θ P0H3
0
∂Pα
∂θ −ΛH0Pα+PαH3
0
∂P0
∂θ −iσ(PαH0)
=∂
∂θ −3P0H2
0Hα
∂P0
∂θ + ΛH0Pα−∂
∂Z 3P0H2
0Hα
∂P0
∂Z +iσ(HαP0).(5.42)
Wobei α={x, y}, Hx= cos(θ) + Hsx, Hy= sin(θ) + Hsy und i=√−1(5.43)
Die Gl. (5.42) wird sukzessive numerisch gelöst. Dabei werden zwei Fälle betrachtet. Das heißt,
es wird der Fall berechnet, bei dem die harmonische Störung allein in
x
-Richtung wirkt und
dabei einen Druck
Px
hervorruft. Im zweiten Fall ist die Störung allein in
y
ausgerichtet und der
Druck
Py
stellt sich dabei ein. Diese beiden Gleichungen werden mit dem numerischen Ansatz,
der bereits im Kapitel 5.2 vorgestellt, gelöst.
Schließlich lassen sich die Lagerparameter, wie folgt, ermittelt [14]
"kxx kxy
kyx kyy #+iωs"cxx cxy
cyx cyy #=−paR2
2π
Z0
l
Z0"Pxcos(θ)Pycos(θ)
Pxsin(θ)Pysin(θ)#dZdθ . (5.44)
Die Parameter (
kαβ, cαβ
)) entsprechen der Steifigkeit und Dämpfung in
α
-Richtung bei einer
Störung in
β
-Richtung.
ωs
ist die Störfrequenz. Die hiermit numerisch ermittelten Lagerparameter
werden im Kapitel 6.3 präsentiert.
82
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
6.1 Inbetriebnahme des Prüfstands zur Ermittlung von Gasfolienlagerparametern
Der Prüfstand zur Identifikation von Lagerparametern (siehe Abb. 6.1a), der bereits von Robert
Hoffmann [
57
] im Rahmen seiner Dissertation verwendet wurde, besteht aus einem Asynchronmo-
tor (1) der Firma ATE GmbH & Co. KG als Antriebseinheit mit einem maximalen Drehmoment
von
2,9 Nm
und einem Drehzahlbereich von
0 min−1
bis
50 000 min−1
(siehe Abb. 6.1b). Es wird
jedoch auf Grund von höheren Schwingungsamplituden und Überhitzungsgefahr vom Hersteller
abgeraten eine Drehzahl von
45 000 min−1
zu überschreiten. Die zweite Einheit des Prüfstands
ist die Spindel (3). Der Rotor war im ursprünglichen Aufbau von 2015 in Kippsegementlagern
gelagert und konnte im Drehzahlbereich bis
50 000 min−1
als starr betrachtet werden. An dem
herausragenden Rotor (4) wird dann das Testlager angebracht. Die Leistungsübertragung von
Rotor zu Spindel wird über eine Kupplung (2) realisiert. Zusammen sind Motor und Spindeleinheit
auf einem schwingungsisolierten Maschinenbett montiert. Ein geregeltes Wasserkühlungssystem
mit einer Soll-Temperatur von
20 ◦C
schützt den Motor vor Überhitzung. Zur Überwachung der
Temperaturen im Motor sind zwei Pt100-Temperatursensoren im Bereich der Wicklung eingebaut.
Das GFB wird in einem Lagerbock eingebaut und fliegend am Rotor (4) gelagert (siehe Abb.
6.2). Mit Hilfe von zwei Shakern wird das GFB dynamisch angeregt. Die dynamischen Erreger-
kräfte werden von einem Kraftsensor erfasst und die daraus resultierenden Verschiebungen und
Beschleunigungen werden jeweils von optischen Wegsensoren und Beschleunigungsaufnehmern
erfasst. Die Shaker werden am Prüfstand über vier Federn angebracht (siehe Abb. 6.2)). Durch
die sehr geringen Steifigkeiten der Federn im Vergleich zum restlichen Prüfstandsaufbau sind die
Eigenfrequenzen der Aufhängung sehr weit von den Anregungsfrequenzen entfernt. Die Auswir-
kungen der Aufhängung auf das modale Verhalten des Prüfstands sind damit vernachlässigbar.
Vor Beginn der Untersuchungen wurden zur Charakterisierung des dynamischen Verhaltens des
Prüfstands Voruntersuchungen durchgeführt.
12
34
1
(a) Messaufbau
0 1 2 3 4 5
·104
0
4
8
12
Drehzahl [min−1]
Leistung [kW]
0
1
2
3
Moment [Nm]
1
(b) Motorkennlinie
Abb. 6.1:
Antrieb des Parameteridentifikationsprüfstands, (a) Antriebseinheit, (b) Motor-
kennlinie (siehe Anhang A.3.1)
83
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
6.1.1 Schwingungsanalyse der Spindeleinheit
Ziel dieser Voruntersuchung ist es, herauszufinden, welchen Einfluss der Prüfstand auf die Mess-
ergebnisse haben kann. Dabei wird das Schwingungsverhalten des Rotors bei transienten Fahrten
analysiert. Die Abb. 6.3a zeigt den ursprünglichen Aufbau der experimentellen Schwingungsun-
tersuchung an der Spindel. Im Rahmen dieser Untersuchung wurde das GFB abgenommen und
zwei optische Wegsensoren (2) sowie ein Drehzahlsensor (3) wurden direkt auf den Rotor (1)
ausgerichtet. Die Wegsensoren messen jeweils Schwingungswege des Rotors in waagerechter und
senkrechter Richtung. Zur Erfassung der Drehzahl wird am Rotor ein Marker (4) angebracht,
Abb. 6.2: Parameteridentifikationsprüfstand aus dem Jahr 2015
der dem Drehzahlsensor ermöglicht, die Drehzahlen zu messen. Die daraus gewonnen Messdaten
werden dann aufbereitet. Dabei wird das Signal aus dem Wegsensor zuerst gefiltert, dann mit
einem Hanningfenster gewichtet, um Leakage-Effekte zu vermeiden. Schließlich wird das Signal
in den Frequenzbereich überführt (FFT-Analyse), um die Frequenzen und Amplituden der im
Signal vorhandenen Schwingungen zu identifizieren. Die Ergebnisse lassen sich im Form von
Wasserfalldiagrammen darstellen. Das Wasserfalldiagramm aus der Abb. 6.3b wurde bei der
ersten Hochfahrt des Prüfstands aufgenommen und dauerte
20 s
. Aufgetragen sind die Drehzahlen
(Ordinate) über den Schwingfrequenzen (Abszisse) und farblich die zugehörigen Schwingungsam-
plituden. Das Diagramm weist auf superharmonische Schwingungen der ersten bis zur sechsten
Ordnung hin. Dabei wird eine Rotorauslenkung von über
45 µm
gemessen. Diese Rotorauslenkung
resultiert aus der Überlagerungen aller Schwingungen, die im Wasserfalldiagramm aus der Abb.
6.3b zu sehen sind. Weitere Untersuchungen zeigen, dass die superharmonischen Schwingungen
auf die Kippsegmentlager zurückzuführen sind.
Tab. 6.1: Messkampagne zur Lagerparameteridentifikation
Drehzahl [min−1]21 600 min−135 400 min−1
Last [N]30 N 40 N 30 N 40 N
Eine umfangreiche Dokumentation der Inbetriebnahme sowie zur Voruntersuchung des Prüf-
stands sowie zur GFB-Vermessung ist in der Arbeit von Deghela [
82
] aus dem Jahr 2015 zu
84
6.1 Inbetriebnahme des Prüfstands zur Ermittlung von Gasfolienlagerparametern
finden. Diese Arbeit ist von Hoffmann [
57
] betreut worden, der den Prüfstand konzipierte. Zusam-
men führten sie erste Messungen bei
21 600 min−1
und
35 400 min−1
über einen Frequenzbereich
von
100 Hz
bis
500 Hz
durch. In der Tab. 6.1 ist die Messkampagne aus dieser Untersuchung
zusammengefasst.
1
2
34
1 Rotor
2 Wegsensoren
3 Drehzahlsensor
4 Marker
1
(a) Messaufbau (b) Wasserfalldiagramm
Abb. 6.3:
Schwingungsuntersuchung der mit Kippsegmenten gelagerten Spindeleinheit:
(a)Messaufbau zur Spektralanalyse der Spindeleinheit, (b) Wasserfalldiagramm
der Spindeleinheit bei einer Hochfahrt
Durch weitere Schwingungsanalysen der Spindel bei konstanten Drehzahlen (stationäre Mes-
sungen) konnten Drehzahlen identifiziert werden, bei denen die Schwingungsamplitude des Rotors
relativ gering für die GFB-Vermessung war. Bei der ersten GFB-Untersuchung musste festge-
stellt werden, dass die weiche Shakeraufhängung zwar Schwingungsentkopplung des Prüfstands
ermöglicht, jedoch die Ausrichtung von GFB und Rotor erschwert. Aufgrund der weichen Auf-
hängung kann sich das GFB leicht verstellen. Außerdem besitzt das Lager durch die schwebende
Aufhängung zwei unerwünschte Kippfreiheitsgrade. Diese beide Faktoren können zur Zerstörung
des Lagers und sogar des Rotors führen. Dies geschah im Lauf des ersten Betriebs. Das Lager
verlor dabei seine initiale Position und verdrehte sich um die zur Spindel senkrechten Achse.
Aufgrund dieser Verdrehung verkeilte sich der Rotor, der dabei das GFB zerstörte und brach
(siehe Abb. 6.4).
Bruchstelle
Schleifspur
1
Abb. 6.4: Rotorbruch aufgrund der
weichen Aufhängung des Lagers
Um dies bei weiteren Untersuchungen zu
verhindern, mussten Freiheistgrade des Lagers
durch Baumaßnahmen beschränkt werden. Ein
weiter Aspekt, der zur Verbesserung der Mes-
sungen führt, ist die Reduzierung der super-
harmonischen Schwingungen sowie der Schwin-
gungsamplituden des Rotors. Dies sind Effekte,
die von den Kippsegmentlagern hervorgerufene
werden. Daher wurden am Prüfstand folgende
Baumaßnahmen vorgenommen:
•
Die Verwendung von Hochpräzisionsspindellagern statt der Kippsegmentlager zur Lagerung
der Spindeleinheit, um den Rundlauf zu verbessern.
•Die Befestigung der Shaker direkt am Gerüst zur Verbesserung der Lagerpositionierung.
85
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
Nach der Umsetzung dieser Maßnahmen wurde eine zweite Schwingungsanalyse des Prüfstandes
durchgeführt. Der Messaufbau ist ähnlich zur ersten Untersuchung (siehe Abb. 6.3a). Allein die op-
tischen Wegsensoren wurden durch Wirbelstromwegsensoren mit einer geringeren Empfindlichkeit
gegen Schmutz ersetzt. Die Untersuchung zeigt eine deutliche Verbesserung des rotordynamischen
Verhaltens des Prüfstandes, denn der Rotor weist nun eine maximale Auslenkung von
1µm
auf.
Abb. 6.5:
Wasserfalldiagramm der mit Spindellagern gelagerten Spindeleinheit bei einer
Hochfahrt
Dieses Amplitudenniveau blieb konstant trotz der Erhöhung der Fahrdauer, was dem System
mehr Zeit gibt, sich einzuschwingen. Außerdem wurde der Rotor während dieser Untersuchung
bis zu einer Drehzahl von
45 000 min−1
betrieben. Die Abb. 6.5 zeigt die Messergebnisse einer
Hochfahrt, die
50 s
dauerte. Aufgrund der niedrigen Schwingungsamplituden wurde bei der
Erstellung des Wasserfalldiagramms (siehe Abb. 6.5) das Signal aus den Wegsensoren um den
Faktor 50 verstärkt, um superharmonische Schwingungen im Wasserfalldiagramm sichtbar zu
machen. Das Diagramm zeigt eine deutliche Reduzierung von superharmonischen Schwingungen
und die verbliebenen Schwingungen besitzen eine geringere Amplitude. Durch den Austausch der
Kippsegmentlager gegen Spindellager konnte also ein besseres Schwingungsverhalten und höherer
Rundlauf der Spindel erreicht werden.
Die direkte Befestigung des Shakers am Gerüst ermöglicht eine einfachere Positionierung des
Lagers, welche zu einer Zeitersparnis bei der Lagerumrüstung um das Vierfache führt. Durch das
Anbringen von Dämpfungsmatten zwischen Shaker und Gerüst lassen sich unerwünschte Schwin-
gungen dämmen. Allerdings führt die neue Befestigung des Shakers zu einer leichten Versteifung
der Achsen. Somit ist eine Modalanalyse der Messvorichtung unabdingbar, um Steifigkeit und
Dämpfung der jeweilige Achse zu ermitteln. Außerdem ist durch die neue Lagerung des Shakers
eine neue Kalibrierung der Kraftmessdose nötig.
6.1.2 Modalanalyse der Messvorrichtung zur Parameteridentifikation
Durch die Modalanalyse der Messvorichtung werden Erkenntnisse über ihr dynamisches Verhalten
gewonnen. Dieses Verhalten ist abhängig von der Mode beziehungsweise von der Resonanzfrequenz.
Eine schnelle und in der Praxis bewährte Methode zum Herausfinden der Resonanzfrequenzen ist
die Modalanalyse mit dem Modalhammer. Dabei wird das zu untersuchende System mit einem
Hammerschlag in Schwingung versetzt und mit Hilfe eines Schwingungsaufnehmers wird die
Antwort des Systems erfasst. Bei der Anregung handelt es sich um einen Dirac-Impuls, welcher in
der Theorie eine Kraftanregung mit einem unendlich breiten Frequenzbereich ist. In der Praxis ist
86
6.1 Inbetriebnahme des Prüfstands zur Ermittlung von Gasfolienlagerparametern
x
y
¯
y
¯
x
3
7
7
5
6
4
8
1
2
1 GFB
2 Rotor
3 Kraftsensor
4 Wegsensor
5 Beschleunigungssensor
6 Drehzahlsensor
7 Pyrosensor
8 D¨ampfungsmatte
Ω
1
Abb. 6.6:
Parameteridentifikationsprüfstand nach den Umbaumaßnahmen und messtechni-
sche Instrumente
der Frequenzbereich des Dirac-Stoßes endlich und weist eine steile Abnahme der Kraftamplitude
über dem Frequenzbereich auf. Daher wurde bei der Untersuchung nur ein Drittel des angeregten
Frequenzbereichs betrachtet, denn nur dieser Bereich besitzt genügend Energie um das Sytem
anzuregen. Um bestmöglich das Betriebsverhalten des Prüfstands zu erhalten, wurden bei der
Modalanalyseuntersuchung kaum Änderungen an Prüfstandaufbau und Konfiguration gegenüber
dem späteren Versuchsbetrieb vorgenommen. Die einzige Änderung betrifft das Entfernen des
Lagers aus dem Lagerbock (siehe Abb. 6.7a), um eine Kollision zwischen Lager und Rotor bei
Hammerschlag zu vermeiden. Das Entfernen des Lagers hat aufgrund seines im Vergleich zum
Rest der Messvorrichtung relativ geringen Gewichts kaum Einfluss auf die Resonanz.
Die Abb. 6.7a stellt den Versuchsstand zur Modalanalyse mit dem Modalhammer dar. Bei der
Untersuchung der jeweiligen Achse wird die Messvorrichtung in der entsprechenden Richtung mit
einem Hammerschlag angeregt. Beschleunigungssensoren, die in der gleichen Richtung eingebaut
sind, nehmen dann die Systemantwort auf. Auf die Messdaten der Beschleunigungssensoren wird,
nachdem sie gefiltert wurden, ein Hanning-Fenster gelegt, um einen Leakage-Effekt zu vermeiden
[
72
]. Aufgrund des schnellen Abklingens des Kraftsignals eignet sich dazu ein Rechteckfenster. Da
jedoch ein Rechteckfenster bereits in der FFT angewendet wird, kann bei dem Kraftsignal auf die
Fensterung verzichtet werden. Die Übertragungsfunktion wird nach dem Prinzip der Korrelati-
onsmessung berechnet, um Messrauschen zu reduzieren. Außerdem werden bei der Untersuchung
jeweils fünf Messungen gemacht und danach gemittelt. Die Ergebnisse sind in der Abb. 6.7 (b)
im Form von Amplituden- und Phasengang dargestellt. Sie entsprechen jeweils dem Verhältnis
a
F
vom Ausgangssignal (Beschleunigungssignal) zum Eingangssignal (Kraft) über der Frequenz
und dem Phasenwinkel zwischen Ein- und Ausgangssignal im Frequenzbereich. Aufgrund des
symmetrischen Aufbaus der Messvorrichtung sind die Ergebnisse in beiden Richtungen (
X
,
Y
)
sehr ähnlich, daher werden allein Ergebnisse der X-Achse dargestellt.
87
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
Hammerschlag
Beschleunigungssensor
Messvorrichtung
1
(a)
0.5 1 1.5 2 2.5
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Frequenz [kHz]
Amplitude [1/Kg]
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Phase [rad]
1
(b)
Abb. 6.7: Experimentelle Modalanayse der Messvorrichtung
Es kann im Diagramm bei ungefähr
1800 Hz
ein plötzlicher Anstieg der Amplitude sowie eine
Drehung der Phase um
180◦
beobachtet werden. Dies deutet auf eine Resonanz hin. Die La-
gerparameteridentifikation wird bis zu einer Frequenz von
700 Hz
durchgeführt, somit liegt die
Resonanzfrequenz außerhalb des Versuchsbereichs und hat keinen Einfluss auf die Messergebnisse.
Die Modalanalyse mit dem Hammer ermöglicht in der Praxis die Untersuchung von einem
relativ breiten Frequenzbereich mit geringem Aufwand und somit eine schnelle Bestimmung
der Resonanzfrequenz. Jedoch ist die Identifikation von physikalischen Größen, wie Dämpfung
und Steifigkeit, weit von der Resonanzstelle mit diesem Verfahren nicht besonders genau. Diese
Parameter sind allerdings relevant für die Ermittlung der Lagerparameter wie die Gl. 6.1 zeigt.
Messvorrichtung
z}| {
"mmv,¯x0
0mmv,¯y#( ¨
¯x
¨
¯y)+"Cmv,¯x0
0mmv,¯y#( ˙
¯x
˙
¯y)+"Kmv,¯x0
0Kmv,¯y#( ¯x
¯y)
+"Cxx Cxy
Cyx Cyy #( ˙
˜x
˙
˜y)+"Kxx Kxy
Kyx Kyy #( ˜x
˜y)
|{z }
GFB
=(fx
fy)(6.1)
Daher wird eine zweite Modalanalyse durchgeführt, bei der Shaker zur Anregung verwendet
werden. Durch die Verwendung von Shakern ist das Verhältnis vom Messsignal zum Mess-
rauschen (SNR) höher als bei einer Hammeranregung. Ein weiter Vorteil dieser Methode
ist es, das System allein mit den gewünschten Frequenzen anregen zu können. Im Fall der
fy(t)fx(t)
Cmv,¯xCmv,¯y
Kmv,¯x
Kmv,¯y
1
Abb. 6.8: Mechanisches Ersatzmodell
der Messvorrichtung zur
Lagerparameteridentifikation
Messvorrichtung wird das System in der jeweilige
Achse mit einer monofrequenten dynamischen Kraft
angeregt. Die Antwort des Systems wird von Be-
schleunigungssensoren erfasst.
Bei der Betrachtung des Schwingungsverhaltens
der Messvorrichtung unterhalb der ersten Re-
sonanzfrequenz lässt sich das System als Ein-
Massenschwinger modellieren. Das entsprechende
mechanische Ersatzmodell ist in der Abb. 6.8 darge-
stellt. Die Masse von
2,054 kg
der Messvorrichtung
wird auf dem Lagerbock konzentriert. Die Bestim-
88
6.1 Inbetriebnahme des Prüfstands zur Ermittlung von Gasfolienlagerparametern
mung der Steifigkeiten sowie der Dämpfungen wird
im Frequenzbereich von
30 Hz
bis
900 Hz
durchge-
führt. Im Rahmen der Untersuchung wird ein Lager
ohne Bumpfolie und Topfolie eingesetzt, um mögliche Einflüsse durch das Anregen der elastischen
Bumpfolie zu vermeiden und einen möglicherweise größeren Schwingungsweg zuzulassen. Daher
reduziert sich die Gleichung (6.1) zu (6.2).
"mmv,¯x0
0mmv,¯y#( ¨
¯x
¨
¯y)+"Cmv,¯x0
0Cmv,¯y#( ˙
¯x
˙
¯y)+"Kmv,¯x0
0Kmv,¯y#( ¯x
¯y)=(fx
fy)
(6.2)
Die Transformation der Gleichung (6.2) in den Frequenzbereich ergibt:
" mmv,¯x0
0mmv,¯y#−i
ω"Cmv,¯x0
0Cmv,¯y#−1
ω2"Kmv,¯x0
0Kmv,¯y#!( ¯
Ax
¯
Ay)=(Fx
Fy)
(6.3)
" mmv,¯x0
0mmv,¯y#−1
ω2"Zmv,¯x0
0Zmv,¯y#!( ¯
Ax
¯
Ay)=(Fx
Fy)(6.4)
−1
ω2(Zmv,¯x·¯
Ax
Zmv,¯y·¯
Ay)=(Fx
Fy)−(mmv,¯x·¯
Ax
mmv,¯y·¯
Ay)(6.5)
wobei ¯
Ax=−ω2X(ω),¯
Ay=−ω2Y(ω)
Zmv,¯x=Kmv,¯x+iωCmv,¯x, Zmv,¯y=Kmv,¯y+iωCmv,¯y.
Das Messsignal aus den Beschleunigungssensoren wird zuerst gefiltert und dann mit der Han-
ningfunktion gefenstert, bevor es Fourier-transformiert wird. Schließlich werden die Impedanzen
(
Zmv,¯x
,
Zmv,¯y
) berechnet und aus ihrem Imaginär- und Realanteil werden Steifigkeit und Dämp-
fung ermittelt.
Kmv,¯x=Real(Zmv,¯x), Cmv,¯x=1
ωImag(Zmv,¯x)(6.6)
In der Abb. 6.9 sind Übertragungsfunktionen sowie Steifigkeiten der
X
- und
Y
-Achsen über der
Frequenz dargestellt. Die Steifigkeiten der Messvorrichtung zeigen einen quadratischen Anstieg
über der Frequenz. Die Ähnlichkeit der Kurven in
X
- und
Y
-Richtung sowohl bei der Steifigkeit
als auch bei der Übertragungsfunktion ist auf den symmetrischen Aufbau der Messvorrichtung
zurückzuführen. Die Untersuchung zeigt weiterhin, dass das System eine relativ geringe Dämpfung
besitzt. Es wurde in
X
eine Dämpfung von
32 Ns/m
ermittelt und in
Y214 Ns/m
. Diese
Dämpfungswerte verändern sich kaum über der Frequenz. Zur Verifizierung der ermittelten
Parameter werden in Abb. 6.9a neben den experimentell ermittelten Übertragungsfunktionen
berechnete Übertragungsfunktionen aus den Parametern dargestellt. Es lässt sich eine gute
Übereinstimmung feststellen.
89
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600 800
0.5
0.6
Frequenz [Hz]
[1/Kg]
Amplitudengang:
X-Richtung, Y-Richtung
gemessen
berechnet
1
(a)
200 400 600 800
0
20
40
Frequenz [Hz]
Kmv,¯x,Kmv,¯y[MN/m]
Steifigkeit
X-Achse
Y-Achse
1
(b)
Abb. 6.9:
(a) Experimentell ermittelte Übertragungsfunktion aus der Modalanalyse an der
Messvorrichtung, (b) dynamische Steifigkeiten der Messvorrichtung über einem
Frequenzbereich von 30 Hz bis 900 Hz
6.1.3 Kalibrierung der Kraftmessdose
Wie bereits in Abschnitt 6.1.1 beschrieben, wird jeder Shaker am Prüfstand über vier Federn
aufgehängt (siehe Abb. 6.2). Um das zu untersuchende Gasfolienlager auf dem Rotor fluchtend
auszurichten, müssen die Shaker über Gewinde-Seilspanner hoch- oder heruntergeschraubt werden.
Die Ausrichtung des Lagers ist dadurch mit viel Zeit und Aufwand verbunden und verstellt sich
relativ schnell im Betrieb mit manchmal destruktiven Konsequenzen (siehe Abb. 6.4). Aufgrund
der relativ geringen Steifigkeit der Federn im Vergleich zu der elastischen Lagerwand stimmen die
Messdaten aus der Kraftmessdose gut überein mit der statischen Lagerlast, wenn beim Einrichten
des GFBs die Topfolie am Rotor anliegt.
Durch die Umbaumaßnahme beziehungsweise Befestigung der Shaker am Gerüst entsprechen
die Messdaten aus dem statischen Kraftsensor jedoch nicht mehr der tatsächlichen statischen
Lagerlast, die auf das Lager ausgeübt wird. Wie die schematische Darstellung der Abb. 6.10 zeigt,
muss, bevor das Lager belastet werden kann, der Spalt zwischen Rotor und Lager überwunden
werden. Dabei wird eine gewisse Kraft benötigt, um die Messvorrichtung anzuheben. Diese Kraft
entspricht der Offset-Kraft der Kraftmessdose und wird experimentell ermittelt. Der experi-
mentelle Messaufbau zu diesem Zweck ist in der Abb. 6.10 dargestellt. Über einen Flaschenzug
wird auf die Messvorrichtung eine stetig steigende Kraft
F0
ausgeübt. Diese Kraft wird von der
Kraftmessdose (3) erfasst. Parallel dazu wird die Verschiebung des Lagerbocks (2) von einem
Wegsensor gemessen. Um das Spiel zwischen Lager und Rotor (4) zu erhöhen, wird ein Lager ohne
Bumpfolie und Topfolie eingesetzt. Dadurch lässt sich neben der Offset-Kraft auch die Steifigkeit
der Messvorrichtung in Richtung der statischen Last ermitteln. Beim Erreichen der Offset-Kraft
hebt sich die Messvorrichtung. Dieser Zustandspunkt ist erkennbar im Kraft-Weg-Diagramm
(Abb. 6.11) durch den plötzlichen Anstieg des Weges und liegt bei
13 N
. Über die Offset-Kraft
hinaus besitzt die Messvorrichtung eine lineare Kraft-Weg-Kennlinie mit einer Steifigkeit von
kmv,stat =10,5 N/mm.
Nun wird der Fall betrachtet, dass es bei der Einstellung der statischen Lagerlast zu einem
Fehler kommt. Dabei wird davon ausgegangen, dass nachdem die Messvorrichtung angehoben
wurde, trotzdem ein Spalt ∆
x
zwischen Rotor und Lager besteht. Beim Durchlaufen dieses Spalts
wird bereits an der Kraftmessdose eine zusätzliche statische Kraft ∆
F
gemessen, ohne dass das
90
6.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation
1
2
3
5
4
𝐹
0
5
1 Lagerbock 4 Rotor
2 Wegsensor 5 Shaker
3 Kraftmessdose
Abb. 6.10:
Messaufbau zur Bestim-
mung der Offset-Kraft
der statischen Lagerlast
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
12
14
16
18
20
22
Offset: 13 N
Verschiebung [mm]
Kraft [N]
Messung
Approximation
1
Abb. 6.11:
Kraft-Weg-Kennlinie der
Messvorrichtung
Lager diese Belastung erfahren hat. ∆
F
stellt den Fehler, der bei der Einstellung der statischen
Last aufgrund der Steifigkeit der Messvorrichtung in dieser Richtung gemacht werden kann, dar.
Bei der Abschätzung dieser Messfehler werden die Messungen des Nominalspalts (siehe Kapitel
4) herangezogen, die zeigen, dass der Nominalspalt aller gemessenen Lager unter
100 µm
liegt.
Um jedoch den extremen Fall zu betrachten, wird ∆
x
=
100 µm
bei der Berechnung der Kraft
∆Feingesetzt.
∆F=kmv,stat ·∆x= 10,5 N/mm ·0,1 mm = 1,05 N (6.7)
Somit ist der maximale mögliche Messfehler bei der Einstellung der statischen Lagerlast
1,05 N
.
6.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen
Lagerparameteridentifikation
6.2.1 Versuchsdurchführung
Datenakquisition
In der Tab. 6.2 sind die durchgeführten Messkampagnen zur Ermittlung der Lagerparameter in
Abhängigkeit der Drehzahl aufgelistet. Die Messabläufe für alle diese Messkampagnen werden
auf die gleiche Art und Weise durchgeführt. Diese Standardisierung der Messkampagne erlaubt
einen guten Vergleich der Ergebnisse.
Tab. 6.2: Messkampagne zur Lagerparameteridentifikation
Drehzahl [min−1] 0 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000
Last 10 N ohne Shims X X X X X X
Shims 20 µmX-X-X-
Last 15 N ohne Shims - - X-X-
Bei der Durchführung dieser Messungen wird das GFB auf dem Rotor angebracht und über
91
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
zwei Stangen mit den Shaker verbunden. Dabei wird darauf geachtet, dass das GFB und der La-
gerzapfen fluchtend ausgerichtet sind. Nachdem dies gewährleistet ist, wird das Testlager bei einer
stationären Drehzahl mit einer statischen Lagerlast
F0
sowie dynamischen Kräften (
Fx
(
t
)
, Fy
(
t
))
gemäß Abb. 6.12a belastet. Dabei sind (
x, y
)sowie (
¯x, ¯y
)Raumfestkoordinatensysteme (siehe
Abb. 6.12b). (
¯x, ¯y
)entspricht der Rotation des Koordinatensystems (
x, y
)um
−π/
4und wird
eingeführt, um die Berechnung zu erleichtern. Dies gilt auch für das relative Koordinatensystem
x
yΩ
3
1
2
4
5
4
1 GFB
2 Rotor
3 Wegsensor
4 Beschleunigungssensor
5 Kraftsensor
3
5
1
(a)
F¯y(t)
Ω
x
Z¯xy
Z¯yx
Z¯yy
Z¯xx
F0
F¯x(t)
¯y
y
¯x
˜y˜x
1
(b)
Abb. 6.12:
(a) Experimenteller Messaufbau und (b) mechanisches Modell zur Ermittlung
von linearen Lagerparametern
(
˜x, ˜y
), das genutzt wird, um die relative Position des Lagers bezüglich des Rotors zu beschreiben.
Diese relative Entfernung lässt sich experimentell von zwei Wirbelstromsensoren (siehe Abb.
6.12a Position 3) messen, die in der jeweiligen Richtung (siehe Abb. 6.12b) eingebaut sind.
Parallel dazu erfassen vier Beschleunigungssensoren (siehe Abb. 6.12a Position 4) die absolute
Beschleunigung des Lagers in (
¯x, ¯y
). Pro Richtung sind zwei Beschleunigungssensoren im Einsatz,
um die Genauigkeit der Messung zu erhöhen, denn durch die Mittlung der Messdaten aus den
in der gleichen Richtung eingesetzten Sensoren lässt sich das Messrauschen reduzieren. Die
dynamischen Kräfte (
F¯x
(
t
)
, F¯y
(
t
)), die von Shakern ausgeübt werden, werden von Kraftsensoren
(siehe Abb. 6.12a Position 5) gemessen. Mit einer Frequenz von
12 800 Hz
werden alle Sensoren
abgetastet. Die Abtastfrequenz wird von den NI-Messmodulen definiert. Bei der Berechnung
wird dies durch die Formel aus der Gl. 6.8, die vom Hersteller vorgegeben ist, berücksichtigt.
fs=fM/255
n, n = 1,··· ,31 (6.8)
fM
ist die interne CPU-Frequenz des Messmoduls und wird auch internal master timebase genannt
und
n
ist ein frei wählbarer Parameter. Im Rahmen der Untersuchung ist die zu erwartende
maximale Frequenz
700 Hz
und kommt aus den Shakern. Daher wird n auf 4 gesetzt und eine
Abtastfrequenz von
fs
=
12 800 Hz
ermittelt. Eine Schwingung mit der Frequenz von
700 Hz
lässt sich dadurch gut aus 18 Zeitpunkten abbilden. In der Tab 6.3 sind alle zur Bestimmung der
Lagerparameter verwendeten Messinstrumente aufgelistet.
92
6.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation
Tab. 6.3: Messtechnische Instrumente zur experimentellen Bestimmung der
Lagerparameter
Instrumente Hersteller Bezeichnung Messbereich Genauig.
Wirbelstromsensor
(Wegsensor) eddylab T05-G-KA 0- 0,5 mm 30 nm
Wirbelstromsensor eddylab TX2 - -
Basismodul
Drehzahlsensor Monarch
Instrument IRS-P 1 - 999 990 min−1-
Pyrosensor PCE
Instruments PCE-IR 10 −40 - 600 ◦C1◦C
Drehzahl
-Signalwandler
Monarch
Instrument F2A1X-3-1-xxx 5 - 600 000 min−130 min−1
Analoges
Spannungseingangsmodul
National
Instruments NI 9215 ∓10 V 2 mV
Schall und
Schwingungsmessmodul
National
Instruments NI 9234 ∓5 V 0,3 mV
Temperaturmessmodul National
Instruments NI 9213 ∓78,125 mV 0,25 ◦C
Kraftmessdose burster Typ 8417 ∓500 N 2,5 N
USB-Sensor-Interface burster Typ 9206 - 24 Bit
Thermoelemente Omega Typ T −200 - 350 ◦C3◦C
Pseudorandomfrequenz-Anregung
Zur Bestimmung der Lagerparameter wird von einem linearen Modell ausgegangen. Diese Annah-
me ist nur berechtigt, wenn die Schwingwege um den Gleichgewichtspunkt nur einige Mikrometer
betragen. Daher muss bei der Anregung des Lagers dafür gesorgt werden, dass die Schwingampli-
tuden nicht zu groß werden. Um die Dauer der Messung zu reduzieren, werden die Shaker, die für
die dynamische Anregung zuständig sind, mit einem Multifrequenz-Signal angesteuert. Dadurch
lässt sich ein relativ großer Frequenzbereich in nur einer Messung untersuchen. Mit dieser Art
der Anregung lässt sich nicht nur Zeit sparen, sondern auch Ressourcen. Eine Reduzierung
der Anzahl an Messungen bedeutet einen geringeren Verschleiß des Lagers sowie des Rotors
durch Hoch- und Herunterfahrvorgänge. Ein Multifrequenz-Signal ist eine reine Überlagerung
aus harmonischen Signalen, wobei die Gesamtamplitude aufgrund der Amplitudensummierung
des einzelnen Signalanteils relativ hoch ist. Eine Anregung des Testlagers mit einem solchen
Signal würde ohne weitere Anpassungen eine höhere Kraft hervorrufen, deren Betrag außer-
halb des Messbereichs der Kraftsensoren liegen würde. Dies ist allerdings nicht der primäre
Grund für die Anwendung der Pseudorandomfrequenz-Anregung. Bei einer Anregung mit einem
Multifrequenz-Signal resultieren aus der höheren Kraftanregung größere Schwingwege, die somit
die Anwendung der linearen Theorie verletzen würden. Um diese Problematik kurz zu erläutern,
wird das Multifrequenz-Zeitsignal
g
(
t
)betrachtet. In der Abb. 6.13 sind der Zeitverlauf sowie
das Frequenzspektrum des Signals
g
(
t
)dargestellt, das sich mit der Gleichung (6.9) beschreiben
lässt.
g(t) =
N
X
k=4
akcos (2πfmkt),mit fm= 20 Hz ak= 1, k ∈ {4,··· ,19}(6.9)
Das Signal besteht aus 16 harmonischen Funktionen in einem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
380 Hz
mit einem Frequenzschritt von
20 Hz
und jeweils mit einer Amplitude von
ak
= 1. Durch
93
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
die Überlagerung der harmonischen Funktionen wird ein Multifrequenz-Zeitsignal mit einer um
ein Vielfaches höheren Amplitude als die der einzelnen harmonischen Signale erzeugt. Im hier
0 0.03 0.06 0.09
−8
0
8
16
Zeit[s]
Amplitude
Zeitsignal von g(t)
100 200 300 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [Hz]
Amplitude
FFT von g(t)
1
Abb. 6.13: Multifrequenz-Signal
betrachteten Fall erreicht das Signal eine Amplitude (
gmax −gmin
) von
23,4,
wobei die positiven
Amplituden zweimal größer als die negativen Amplituden sind. Eine Lageranregung mit einem
solchen Signal würde große Wege hervorrufen und somit wäre eine Anwendung der linearen
Theorie nicht zulässig.
Mit dieser Problematik bei der Generierung von Multifrequenz-Signalen beschäftigte sich
Schröder [
83
] in den 1970er Jahren und schlug als Lösung sowohl eine Frequenzmodulation als
auch eine Phasenmodulation bei der Überlagerung der harmonischen Signale vor. Daraus entsteht
ein Pseudorandom-Signal auch bekannt als weißes Rauschen. Die mathematische Beschreibung
des Pseudorandom-Signals r(t)ist in Gl. (6.10) dargestellt.
r(t) =
N
X
k=1 pk
21
2cos 2πkt
T+θk=
N
X
k=1
akcos(ψ(t)),mit
N
X
k=1
pk= 1 (6.10)
Dabei ist der Frequenzschritt
fm
=
1
T
und entspricht der fundamentalen Frequenz oder Frequenz-
modulation. Bei der Wahl der Phase
θk
müssen zwei Voraussetzungen erfüllt werden. Als erste
sollte die Phase des Signals r(t)stückweise linear sein.
s(t) = cos(ψ(t)) wobei ψ(t) =
t
Z0
˙
ψ(τ)dτ (6.11)
mit
˙
ψ(τ) = 2πk
T= 2πfmk;tk−1< t < tk;k={1,··· , N}(6.12)
Das Intervall
tk−tk−1
entspricht der Dauer der harmonischen Funktion mit der Frequenz
fm·k
während einer Periode
T
des Signal
r
(
t
), um eine relative Amplitude von
pk
im Frequenzbereich
zu erhalten. Die Intervallgrenzen tksind dann gleich:
tk=T
k
X
l=1
pl, l ={1,··· , N}(6.13)
Aus der Gl. (6.11) folgt:
ψ(t) = φk+2πk
Tt;tk−1< t < tk(6.14)
94
6.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation
Dabei ist
φk
die Winkelphase der
k
-ten Komponente von
s
(
t
). Als zweite Voraussetzung sollte
ψ(t)an der Stelle t=tn−1stetig sein. Das heißt:
φn+2πn
Ttn−1=φn−1+2π(n−1)
Ttn−1
φn=φn−1−2π
Ttn−1
φn=φ1−2π
T
n−1
X
k=1
tk(6.15)
Aus Gl. (6.13) folgt:
φn=φ1−2π
n−1
X
k=1
k
X
l=1
pl(6.16)
Bei gleich verteilten Amplituden über den Frequenzbereich ist
pk=1
N;k={1,··· , N}(6.17)
und die Gl. (6.16) lässt sich vereinfachen
φn=φ1−2π
n−1
X
k=1
k
N=φ1−π(n−1)2
N(6.18)
Aus der Gl. 6.18 und 6.14 lässt sich die Formulierung von r(t)wie folgt vereinfachen:
r(t) =
N
X
k=1
akcos 2πk
Tt−π(n−1)2
N!,(6.19)
φ1wird dabei auf Null gesetzt.
0 0.03 0.06 0.09
−5
0
5
Zeit[s]
Amplitude
Zeitsignal von r(t)
100 200 300 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenz [Hz]
Amplitude
FFT von r(t)
1
Abb. 6.14: Pseudorandom-Signal
Die Abb. 6.14 stellt das Zeitsignal sowie das Frequenzspektrum des Signals
r
(
t
)dar. Dabei
zeigt das Pseudorandom-Signal trotz einer halb so großen Amplitude (rmax −rmin) wie die des
Multifrequenz-Signals das gleiche Frequenzspektrum. Das Pseudorandom-Signal von Schröder
ermöglicht es so, GFB-Lager anzuregen, ohne jedoch größere Schwingungswege hervorzurufen,
wodurch sich das lineare Modell bei der Bestimmung von Lagerparametern anwenden lässt. Diese
95
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
Art der Anregung wurde bereits von Burrows et al. [
84
] im Jahr 1981 bei der dynamischen
Untersuchung von Lagerschmierfilmen angewendet. Um die Amplitude des Signals im Rahmen der
Untersuchung von GFBs weiter zu reduzieren, wird das Erregersignal aus nur 10 harmonischen
Funktionen moduliert. Eine Messkampagne bei einer konstanten Drehzahl wird daher in drei
Messungen unterteilt, um den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
durch die Anregungskraft
abzudecken. Bei der ersten Messung ist das Anregungssignal eine Modellierung aus dem Fre-
quenzbereich von [
80 Hz
,
260 Hz
]. Die zweite Anregungskraft spannt sich über den Bereich von
[
280 Hz
,
460 Hz
]auf und bei der letzten Messung wird den Bereich von [
480 Hz
,
660 Hz
]abdeckt.
6.2.2 Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation
Wie bereits in Abschnitt 6.1.2 erläutert, wird der Prüfstand als Zwei-Massen-Schwinger model-
liert. Die Massen sind über ihre Steifigkeiten und Dämpfungen gekoppelt. Die mathematische
Systembeschreibung lautet:
Messvorrichtung
z}| {
"mmv,¯x0
0mmv,¯y#( ¨
¯x
¨
¯y)+"Cmv,¯x0
0mmv,¯y#( ˙
¯x
˙
¯y)+"Kmv,¯x0
0Kmv,¯y#( ¯x
¯y)
+"C¯xx C¯xy
C¯yx C¯yy #( ˙
˜x
˙
˜y)+"K¯xx K¯xy
K¯yx K¯yy #( ˜x
˜y)
| {z }
GFB
=(F¯x(t)
F¯y(t))+√2
2(F0
F0)(6.20)
Dabei steht die physikalische Größe
K¯xx
für die Lagersteifigkeit in Richtung-
¯x
aufgrund einer
Anregung in Richtung-
¯x
und
K¯xy
für die Lagersteifigkeit in
¯x
bei einer Anregung in
¯y
. Dies gilt
ebenso für Dämpfungen (
C¯
jl j, l
=
{¯x, ¯y}
). Die Parameter
Kmv,¯x
,
Kmv,¯y
,
Cmv,¯x
,
Cmv,¯y
aus der
Messvorrichtung wurden bereits im Kapitel 6.1.2 durch eine experimentelle Modalanalyse ermittelt.
Weiterhin Unbekannte sind die 8 Lagerparameter aus dem [2
×
2]-Gleichungssystem (6.20). Um
dieses Gleichungssystem eindeutig zu lösen, werden weitere Gleichungen benötigt. Daher wird
im Rahmen der experimentellen Untersuchung jeweils nur eine Achse angeregt. Die Gl. (6.20)
bleibt dabei erhalten. Allein der Erregervektor bekommt dadurch zwei Zustände
{F¯x
(
t
)
,
0
}T
und
{
0
, F¯y
(
t
)
}T
. Aus dem Zwei-Gleichungssystem wird ein Vier-Gleichungssystem. Durch die Fourier-
Transformation und das Einführen der Größe
Z¯
jl
wird das Vier-Gleichungssystem vereinfacht.
mmv,¯x·A¯xx
mmv,¯y·A¯yx
mmv,¯x·A¯xy
mmv,¯y·A¯yy
+
Zmv,¯x·¯
XX
Zmv,¯y·¯
Y X
Zmv,¯x·¯
XY
Zmv,¯y·¯
Y Y
+
Z¯xx Z¯xy 0 0
0 0 Z¯yx Z¯yy
Z¯xx Z¯xy 0 0
0 0 Z¯yx Z¯yy
¯
XX
¯
Y X
¯
XY
¯
Y Y
=
F¯x(ω)
0
0
F¯y(ω)
(6.21)
Dabei sind
¯
XX
,
¯
Y X
,
¯
XY
und
¯
Y Y
jeweils die Fourier-Transformationen von
¯xx
,
¯yx
,
¯xy
und
¯yy
.
Z¯
jl
wird Impedanz genannt und setzt sich aus der Steifigkeit und Dämpfung der jeweiligen Achse
in den Koordinaten (¯x, ¯y)zusammen.
Z¯
jl =K¯
jl +ω·iC¯
jl wobei j, l ={x, y}(6.22)
Durch Umstellung des Gleichungssystems (6.21) lassen sich die Impedanzen bestimmen:
Z¯xx
Z¯xy
Z¯yx
Z¯yy
=
¯
XX ¯
Y X 0 0
0 0 ¯
XY ¯
Y Y
¯
XX ¯
Y X 0 0
0 0 ¯
XY ¯
Y Y
−1
Fx(ω)−Fmv, ¯xx
−Fmv, ¯yx
−Fmv, ¯xy
Fy(ω)−Fmv, ¯yy
(6.23)
96
6.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteridentifikation
Die Eigendynamik der Messvorrichtung wird in den Kräften Fmv,¯
jl zusammengefasst.
Fmv,¯
jl =mmv,¯
j·A¯
jl +Zmv, ¯
jl·¯
JL wobei j, l ={x, y}(6.24)
Die Impedanzen
Z¯
jl
lassen sich durch eine Rotation der Impedanzmatrix um den Winkel
α
=
π/
4
in die Koordinaten (x, y)überführen.
"Zxx Zxy
Zyx Zyy #="cos(α)−sin(α)
sin(α) cos(α)#" Z¯xx Z¯xy
Z¯yx Z¯yy #" cos(α) sin(α)
−sin(α) cos(α)#(6.25)
In der Abb. 6.15 wird der Programmablauf zur Bestimmung der Lagerparameter aus den
experimentellen Daten beschrieben. Nach Akquisition der Messdaten werden diese erst vom Mess-
rauschen befreit und dann in gleich große Zeitintervalle beziehungsweise Zeitfenster aufgeteilt. Um
einen Leakage-Effekt zu vermeiden, wird jedes Zeitfenster mit einem Hanning-Fenster gewichtet,
danach Fourier-transformiert. Nachdem die Gl. 6.23 gelöst ist, werden die Lagerparameter aus
allen Zeitfenstern gemittelt. Das Ergebnis aus einer Messkampagne ist somit der Mittelwert aus
4 Messzeitfenstern.
97
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
Messdaten:
{[¨
¯xx]; [ ¨
¯yx]; [xx]; [yx]; [fx]}roh {[¨
¯xy]; [ ¨
¯yy]; [xy]; [yy]; [fy]}roh
wobei
[xx]roh ={xxroh[1], xxroh[2],...,xxroh[m]}
Filtern und Offset entfernen:
Butterworth-Filter
|H(jω)|=1
√1+ω2k
Initialisierung:
k= 0
Zeitfenster definieren:
{[¨
¯xx]; [ ¨
¯yx]; [xx]; [yx]; [fx]}k{[¨
¯xy]; [ ¨
¯yy]; [xy]; [yy]; [fy]}k
wobei
[xx]k={xx[1 + k·Nff t],...,xx[(1 + k)Nfft]}
Fensterung:
Hanning-Fenster
w[n]=0.51−cos 2πn
Nfft
FFT-Berechnung:
XX(ω) =
Nfft
P
l=1
xx[l]·e−jlωT
{A¯xx;A¯yx;XX;Y X;Fx}k
{A¯xy ;A¯yy;XY ;Y Y ;Fy}k
Bewegungsgleichung aufl¨osen:
Zxx
Zxy
Zyx
Zyy
k
=
¯
XX ¯
Y X 0 0
0 0 ¯
XY ¯
Y Y
¯
XX ¯
Y X 0 0
0 0 ¯
XY ¯
Y Y
−1
k
Fx(ω)−Fmv, ¯xx
−Fmv, ¯yx
−Fmv, ¯xy
Fy(ω)−Fmv, ¯yy
k
Lagerparameter:
Kjl,k =Re(Zjl,k)Cjl,k =Im(Zjl,k)
ω
mit j, l ={x, y}
k+ 1 ≥m
Nfft
inkrement:
k=k+ 1
Mittelwert:
Kjl =
k
P
i=0 Kjl,l
k+1 Cjl =
k
P
i=0 Cij,l
k+1
mit j, l ={x, y}
Ja
Nein
1
Abb. 6.15:
Programmablauf zur Datenauswertung der experimentellen Lagerparameteri-
dentifikation
98
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen
In diesem Abschnitt werden Ergebnisse aus der experimentellen sowie aus der theoretischen
Untersuchung zur Bestimmung der Lagerparameter dargestellt. Weiterhin wird untersucht,
welchen Einfluss die Drehzahlen, die Lagerlast oder eine Lagermodifikation durch Einsatz von
Shims auf die Parameter haben.
Einfluss der Drehzahl
Die Abb. 6.16 und 6.17 stellen die Lagerparameter dar, die jeweils bei einer konstanten Drehzahl
von
10 000 min−1
,
15 000 min−1
,
20 000 min−1
,
25 000 min−1
sowie
30 000 min−1
und unter einer
statischen Last von
10 N
ermittelt wurden. Dabei ist jede hier vorliegende Kurve eine Mittelung
aus 4 sukzessiven Messungen. In den Diagrammen sind auf der Abszisse die Erregerfrequenzen
bzw. die Störfrequenzen nach Lund, und auf der Ordinate die Steifigkeiten oder die Dämpfungen
aufgetragen. Die Anregung spannt sich über einen Bereich von
80 Hz
bis
660 Hz
aus. In der
Abb. 6.16a liegen die Ergebnisse der Messung bei einem nicht-rotierenden Rotor vor. Dies
entspricht den Steifigkeiten und Dämpfungen des Lagers ohne Schmierfilm. Diese Parameter
konnten daher aufgrund des fehlenden Schmierfilms nicht simuliert werden. Diese Messung
zeigt hinsichtlich der Hauptsteifigkeiten (
Kxx
,
Kyy
) einen Anstieg über der Frequenz, während
die Hauptdämpfung (
Cxx
,
Cyy
) bei zunehmenden Frequenzen abnimmt. Die Parameter (
Kxx
,
Kyy
,
Cxx
,
Cyy
) erreichen dabei höhere Werte als bei Messungen mit rotierendem Rotor. Diese
Ergebnisse sind weiterhin eine Bestätigung, dass die Frequenzabhängigkeit der Lagerparameter
bereits aus der elastischen Lagerwand vorhanden ist. Diese Ergebnisse unterstützen somit die
Untersuchung, die im Kapitel 4 auf einem anderen Teststand realisiert wurde. Wie bereits in
jenem Kapitel erläutert, liegt die Abnahme der Hauptdämpfungen über den Frequenzen daran,
dass Lagerdämpfung beziehungsweise Energiedissipation prinzipiell durch Reibung stattfindet
und daher wegabhängig ist. Bei zunehmenden Frequenzen verkürzen sich die Reibungswege
und somit nimmt die Dämpfung über der Frequenz ab. Weiterhin sind in der Abb. 6.16a
die Koppelsteifigkeiten (
Kxy
,
Kyx
) sowie die Koppeldämpfungen (
Cxy
,
Cyx
) aufgetragen, die
niedrigere Werte im Vergleich zu ihren jeweiligen Haupttermen (
Kxx
,
Kyy
,
Cxx
,
Cyy
) aufweisen
und teilweise negative Werte annehmen. Dies ist auch in früheren experimentellen Untersuchungen
zu sehen [
42
,
43
]. Der Größenunterschied der Lagerparameter, der hier bei rotierenden und
nicht-rotierenden Systemen zu beobachten ist, lässt sich auf den Schmierfilm zurückführen,
denn bei einem rotierenden System resultiert die Steifigkeit des Lagers aus der Kopplung
zwischen der elastischen Lagerwandstruktur und dem Schmierfilm. Aufgrund der relativ geringen
Steifigkeit, die sich durch die komprimierte Luft im Schmierfilm eingestellt hat, sinkt die gesamte
Steifigkeit des Lagers. Eine weitere Tatsache ist, dass bei einer Kopplung von zwei Federn in
einer Reihenschaltung mit unterschiedlichen Steifigkeiten die Feder mit der geringeren Steifigkeit
die größte Verformung erfährt. Daher wird die elastische Lagerwandstruktur in Anwesenheit des
Schmierfilms relativ geringfügig verformt. Aufgrund dieser geringen Verformung der Struktur sinkt
die durch Reibung verursachte Verlustenergie und hat eine Abnahme der Hauptdämpfungen zur
Konsequenz, wie ein Vergleich mit anderen Abbildungen (6.16b, 6.16c und 6.17) zeigt. Außerdem
kann die Luft aufgrund ihrer geringen Viskosität nicht wesentlich zur Dämpfung des Systems
beitragen.
Für Abb. 6.16b wird der Prüfstand auf eine Drehzahl von 10 000 min−1gebracht. Die Haupt-
steifigkeiten zeigen hier weiterhin eine große Ähnlichkeit zu der Untersuchung aus Abb. 6.16a.
Dies liegt vermutlich daran, dass der Schmierfilm sich im Lager noch nicht aufgebaut hat, bzw.
noch kein Abheben des Rotors stattgefunden hat. Daher weicht die numerische Berechnung
hier besonders von den experimentellen Werten im Vergleich zu Messungen bei höheren Dreh-
zahlen ab. Bei weiter zunehmender Drehzahl sinken sowohl die Hauptsteifigkeiten im höheren
99
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
Frequenzbereich als auch die Hauptdämpfungen im niedrigen Frequenzbereich geringfügig. Dieses
Verhalten wird durch die numerische Simulation bestätigt.
Die Steifigkeits- und Dämpfungswerte weisen für alle Drehzahlen eine gute Übereinstimmung mit
dem theoretischen Modell auf. Eine gewisse Abweichung besteht jedoch bei den Hauptsteifigkeiten
im Bereich der höheren Frequenzen. Dort werden die Hauptsteifigkeiten vom Modell unterschätzt.
Ebenso weichen die Hauptdämpfungen im niedrigen Frequenzbereich von den theoretischen
Untersuchungen ab.
Es lässt sich also schließen, dass eine Drehzahlabhängigkeit der Lagerparameter besteht.
Dabei nehmen die Hauptsteifigkeiten im höheren Frequenzbereich ab, während dies bei den
Hauptdämpfungen im niedrigen Frequenzbereich stattfindet. Dieses Verhalten stimmt mit dem
numerischen Modell überein.
100
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Experiment
xx xy yx yy
1
(a) 0 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) 10 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(c) 15 000 min−1
Abb. 6.16:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbe-
reich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer
Erregerkraft von
30 N
bei einer Drehzahl von (a)
0 min−1
, (b)
10 000 min−1
und (c) 15 000 min−1101
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(a) 20 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) 25 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(c) 30 000 min−1
Abb. 6.17:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenzbe-
reich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer
Erregerkraft von
30 N
bei einer Drehzahl von (a)
20 000 min−1
, (b)
25 000 min−1
und (c) 30 000 min−1
102
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen
Einfluss der statischen Last
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(a) 10 N,15 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) 15 N,15 000 min−1
Abb. 6.18:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenz-
bereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von (a)
10 N
sowie (b)
15 N
und unter einer Erregerkraft von
30 N
bei der Drehzahl von
15 000 min−1
In den Abb. 6.18 und 6.19 werden Ergebnisse aus den Untersuchungen bei den Drehzahlen von
15 000 min−1
sowie
25 000 min−1
für unterschiedliche statische Lagerlasten (
10 N
,
15 N
) gezeigt.
Der Vergleich dieser Ergebnisse soll Aufschluss darüber geben, inwiefern eine Änderung der
statischen Last die Lagerparameter beeinflusst. Es wird bei der Betrachtung der Ergebnisse
festgestellt, dass eine Erhöhung der Lagerbelastung prinzipiell zu einer Steigerung der Haupt-
steifigkeiten führt. Es wird beim Anstieg der statischen Last von
10 N
auf
15 N
eine Erhöhung
der Steifigkeit
Kxx
um
5 %
erreicht. In
y
-Richtung steigt die Steifigkeit
Kyy
um
10 %
. Diese
Änderung verbessert die Hauptdämpfungen (
Cxx
,
Cyy
) um circa
10 %
. Dieser Trend ist auch beim
theoretischen Modell zu sehen. Auch die Ergebnisse von Rudloff et al. [
42
] aus dem Jahr 2011
zeigen eine Erhöhung der Steifigkeit beim Anstieg der statischen Last. In jener Arbeit konnten
103
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(a) 10 N,25 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) 15 N,25 000 min−1
Abb. 6.19:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter über dem Frequenz-
bereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von (a)
10 N
sowie (b)
15 N
und unter einer Erregerkraft von
30 N
bei der Drehzahl von
25 000 min−1
höhere Werten bei einer Laständerung um
10 N
erreicht werden. Bei den Koppeltermen wird aus
den hier vorliegenden Ergebnissen kein deutlicher Trend erkennbar. Während ein leichter Anstieg
von Kxy und Cxy gemessen wird, sinken die Steifigkeit Kyx sowie Dämpfung Cyx.
Bei der Erhöhung der Lagerlast, die zu einer Vorspannung der elastischen Lagerstruktur führt,
steigen hauptsächlich die Hauptparameter. Die Erhöhung der Lagerlast ist jedoch durch die
Leistung der Antriebsmaschine, sowie die Lagertragfähigkiet begrenzt. Aufgrund des relativ
geringen Drehmoments des zur Verfügung stehenden Elektromotors konnte im Rahmen der
Untersuchung eine maximale statische Last von 15 N erreicht werden.
104
6.3 Ergebnisse aus den numerischen und experimentellen Untersuchungen
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(a) Shims 0µm, 15 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) Shims 20 µm, 15 000 min−1
Abb. 6.20:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter (a) eines nicht-
modifizierten Lagers sowie (b) eines mit Shims modifizierten Lagers über
dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft von 30 N bei der Drehzahl von 15 000 min−1
Einfluss der Shims
Der Einsatz von Shims zur Verbesserung des rotordynamischen Verhaltens von mit GFBs
gelagerten Sytemen wird bereits seit Jahren erprobt [
47
,
85
]. Ihr Einfluss auf die Lagerparameter
wird hier beleuchtet. Dabei werden die vorliegenden Messergebnisse (siehe Abb. 6.20 und 6.21),
die bei den Drehzahlen von 15 000 min−1sowie 25 000 min−1ermittelt wurden, untersucht.
Durch die Modifikation des Lagers mit Shims, die auf
60◦
,
180◦
und
300◦
bezüglich des
Festbumps angebracht sind (siehe Abb. 4.7), verändert sich das Druckfeld im Lager. Es entstehen
neben dem Druckgebiet bei
180◦
zwei zusätzliche Gebiete mit einem Überdruck aufgrund
der Veränderung des Nominalspalts in diesen Bereichen. Dies führt zu einer Anhebung der
Steifigkeiten. Diese ist besonders signifikant im Bereich von
260 Hz
bis
520 Hz
. Dabei erhöht
105
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(a) Shims 0µm, 25 000 min−1
200 400 600
−2
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
Simulation, Experiment
200 400 600
−1
0
1
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
Simulation, Experiment
xx xy yx yy
1
(b) Shims 20 µm, 25 000 min−1
Abb. 6.21:
Numerisch und experimentell ermittelte Lagerparameter (a) eines nicht-
modifizierten Lagers sowie (b) eines mit Shims modifizierten Lagers über
dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft von 30 N bei der Drehzahl von 25 000 min−1
sich der Wert von
Kxx
um
12 %
und von
Kyy
um
4 %
bei der Drehzahl von
25 000 min−1
. Bei
der Drehzahl von
15 000 min−1
ist die Steifigkeitserhöhung bei
Kxx
und
Kyy
kaum ausgeprägt.
Bei den Koppelsteifigkeiten lässt sich keine deutliche Tendenz aufzeigen. Die Ergebnisse zeigen
außerdem, dass die Lagermodifikation zu keiner signifikaten Verbesserung bei den Dämpfungen,
sowohl Haupt- als auch Koppeldämpfungen, beigetragen hat.
Dieses Verhalten des modifizierten Lagers wird nicht vom numerischen Modell abgebildet.
Dies liegt daran, dass sich die Modifikation des Lagers durch die Shims im Modell auf den
Nominalspalt beschränkt. Daher werden die Änderungen, die die Lagermodifikation auf die
elastische Lagerwandstruktur herbeiführt, wie die Abb. 6.22 zeigt, nicht in der Modellierung
betrachtet. Eine Änderung der elastischen Lagerwandstruktur durch die Shims wird besonders in
den Hauptrichtungen erreicht. Die Dämpfungen
Cyy
und
Cxx
besitzen im niedrigen Frequenz-
106
6.4 Messunsicherheit
bereich höhere Werte. Diese nehmen mit zunehmenden Frequenzen die Werte des Lagers ohne
Shims an und fallen dann ab. Bei den Hauptsteifigkeiten versteift sich das Lager in
y
-Richtung
und wird ein wenig nachgiebiger in
x
-Richtung. Aufgrund der statischen Last, die in Richtung
x
wirkt, ist die Lagerwandstruktur in
x
vor der Lagermodifikation bereits vorgespannt, bzw. sind
Bumps bereits aktiv. Daher sind die Änderungen hier hinsichtlich der Steifigkeit sowie Dämpfung
relativ gering. Anders ist es allerdings in
y
-Richtung. Dort ist die Struktur kaum vorgespannt
und das Anbringen der Shims sorgt für eine Aktivierung der Bumps. Dies führt, wie hier zusehen
ist, zu erhöhten Energieverlusten sowie einer höheren Steifigkeit.
200 400 600
0
2
4
6
Frequenz [Hz]
Steifigkeit [MN/m]
0µm, 20µm
200 400 600
0
1
2
Frequenz [Hz]
D¨ampfung [kNs/m]
0µm, 20µm
xx xy yx yy
1
Abb. 6.22:
Vergleich der experimentell ermittelten Parameter der elastischen Lagerwand-
struktur eines nicht-modifizierten Lagers mit den eines mit Shims modifizierten
Lagers über dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei einer statischen
Last von
10 N
und unter einer Erregerkraft von
30 N
bei der Drehzahl von
0 min−1
6.4 Messunsicherheit
Es wurde zur experimentellen Ermittlung der Lagerparameter ein bestimmtes Messprotokoll
ausgearbeitet, das im Rahmen der Messungen stets eingehalten wird. Dies hat zum Zweck,
Fehler beim Aufbau des Teststands sowie bei der Messung unabhängig vom Experimentator
zu vermeiden und die Wiederholbarkeit der Messungen zu garantieren. So wird vor Beginn
jeder Messkampagne die Funktionalität aller Messinstrumente überprüft. Dabei werden alle
Instrumente einzeln getestet. Weiterhin wird der Elektromotor auf die für die Untersuchung
benötigte Drehzahl gebracht und
10 min
lang betrieben, um ein thermisches Gleichgewicht vor
der Messung im Antrieb zu erreichen.
Zur Ermittlung aller Lagerparameter wird jede Messung 4 Mal wiederholt und die Ergebnisse
gemittelt. Es wird angenommen, dass Messergebnisse normalverteilt sind. Aufgrund der endlichen
Stichproben (
n
=4) eignet sich die Student-Verteilung zur Berechnung der Messunsicherheit. Die
Formel dazu wurde bereits in der Gleichung 4.10 vorgestellt. Dabei wird die statistische Sicherheit
auf
95 %
(
c
= 2
,
776) gesetzt. Im Diagramm aus der Abb. 6.23 sind Messunsicherheiten der
Lagerparameter dargestellt. Es handelt sich dabei beispielhaft um die Messung bei
30 000 min−1
unter der statischen Last von
10 N
, die Ähnlichkeit mit den anderen Messkampagnen zeigt. Die
107
6 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
Abb. 6.23:
Messunsicherheit über dem Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der
experimentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N und einer Drehzahl von 30 000 min−1ohne Shims
Messunsicherheiten der weiteren Messkampagnen sind im Anhang A.3.2 zu finden. Bei der hier
vorliegenden Messkampagne tritt die maximale Messunsicherheit bei den Hauptsteifigkeiten
uKyy
auf. Dies entspricht einem möglichen Messfehler von
25 %
und wird allein bei einer Anregung
von
500 Hz
erreicht. Dieser plötzliche Anstieg der Messunsicherheit tritt jedes Mal auf, wenn sich
ein Vielfaches der Drehfrequenz mit einer Frequenz aus der Anregungskraft deckt. Dies lässt sich
bei der Betrachtung der Messunsicherheit beim nicht-rotierenden Rotor (siehe Anhang A.3.2,
Abb. A.1a) oder bei
25 000 min−1
(siehe Anhang A.3.2, Abb. A.2b) bestätigen. Werden diese
Frequenzstellen ausgeschlossen, liegen die Messunsicherheiten unter
4 %
bei den Steifigkeiten und
unter 7 % bei den Dämpfungen.
6.5 Teilzusammenfassung
Die Untersuchung zur experimentellen Lagerparameteridentifikation zeigt, dass eine Drehzahlab-
hängigkeit der Lagerparameter besteht. Dabei nehmen die Hauptsteifigkeiten bei zunehmenden
Drehzahlen im höheren Frequenzbereich ab, während dies bei den Hauptdämpfungen im niedrigen
Frequenzbereich stattfindet. Dieses Verhalten deckt sich mit dem numerischen Modell.
Es wird außerdem eine Abhängigkeit der Lagerparameter bezüglich der Lagerlast festgestellt.
Die Erhöhung der Lagerlast bewirkt eine Vorspannung der elastischen Lagerwandstruktur sowie
eine Reduzierung des Nominalspalt, wodurch hauptsächlich die Hauptparameter steigen.
Die Modifikation des Lager durch den Einsatz von Shims zeigt positive Wirkungen auf
die Lagerparameter. Durch diese Modifikation verändert sich lokal (
60◦
,
180◦
und
300◦
) der
Nominalspalt. Dadurch wird die Lagerwandstruktur vorgespannt und es bilden sich zwei weitere
hohe Druckgebiete im Schmierfilm. Eine Erhöhung der Hauptsteifigkeiten wird beobachtet, wobei
dieser Anstieg in Richtung
x
(Richtung der Schwerkraft) etwas höher ist. Die experimentellen
Ergebnisse zeigen außerdem, dass die Lagermodifikation zu keiner signifikaten Verbesserung bei
den Dämpfungen, sowohl Haupt- als auch Koppeldämpfungen, beigetragen hat. Das Verhalten
des modifizierten Lagers weicht ein wenig vom theoretischen Modell ab. Dies liegt daran, dass bei
der Modellierung die Änderung des Nominalspalts mehr gewichtet wird, als die Strukturänderung
durch den Einsatz von Shims.
108
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
7.1 Inbetriebnahme des rotordynamischen Prüfstands
7.1.1 Prüfstandsaufbau
y
x
Ω
z
1
2
6
7
46
3
8
5
8
2
1 Rotor
2 Gasfolienlager
3 Druckverteiler
4 Druckluft
5 Entl¨uftung
6 Wegsensoren
7 Drehzahlsensor
8 Lagerbock
1
Abb. 7.1: Aufbau des rotordynamischen
Prüfstands
Bei der rotordynamischen Untersuchung wird das Verhalten eines in GFBs gelagerten starren
Rotors analysiert. Dabei wird das System unterschiedlichen Einflüssen ausgesetzt. Zu diesem
Zweck wurde der in Abb. 7.1 dargestellte Prüfstand gebaut. Es handelt sich um einen symmetrisch
aufgebauten
Rotor
(1), angetrieben von einer Gleichdruckturbine, eine Pelton-Turbine. Das
Laufrad befindet sich in der Mitte des Rotors und besitzt zwölf Paare Becherschaufeln, die direkt
in das Rad gefräst sind. Ein
Druckverteiler
(3), der um das Laufrad montiert ist, versorgt die
Turbine mit
Druckluft
(4). Um unterschiedliche Drehzahlniveaus und Drehmomente zu erreichen,
stehen zwei Druckverteiler mit jeweils acht und zwölf Lavaldüsenpaaren zur Verfügung. Aufgrund
ihrer relativ einfachen Herstellung wurde der Pelton-Turbine gegenüber anderen Turbinen wie z.B.
der Kaplan-Turbine der Vorzug gegeben. Sie besitzt außerdem einen höheren Wirkungsgrad [
86
]
als die Kaplan-Turbine und durch die richtige Anordnung und Gestaltung der Becherschaufeln
heben sich axiale Kräfte auf. Die zu untersuchenden
GFBs
(2) werden in gleichen Abständen zum
Laufrad in den
Lagerböcken
(8) montiert. Die Lagerböcke fungieren zugleich als Gehäusedeckel,
die genau auf das Gehäuse mit Positionierungsstiften ausgerichtet und schließlich angeschraubt
werden.
Zur messtechnischen Instrumentierung (siehe Abb. 7.2) gehören zwei optische
Wegsensoren
(6) pro Lager, die in senk- und waagerechte Richtung montiert sind und mit einer Genauigkeit
von 2µm auflösen (siehe Tab. 7.1). Ihre Aufgabe ist es, Verschiebungen bzw. die Schwingungen
109
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
des Rotors im Lagerbereich in der jeweiligen Richtung zu erfassen. Diese Schwingungen sind
meistens drehzahlabhängig, daher die Notwendigkeit auch diese Größe aufzuzeichnen. Zu diesem
Zweck ist ein
Drehzahlsensor
(7) senkrecht zum Rotor montiert. Es handelt sich um einen
Fotodioden-basierten Sensor, dessen Aufgabe es ist, den am Rotor angebrachten Marker zu
detektieren. Das daraus resultierende Transistor-Transistor-Logik-Signal (TTL-Signal) wird mit
einem Drehzahl-Signalwandler in eine Drehzahl umgewandelt. Es handelt beim TTL-Signal
um ein Signal, das nur zwei Spannungsniveaus (High und Low) annehmen kann. Die High-
Spannung wird am Sensorausgang gemessen, wenn der Marker erfasst wird. Weiterhin sind
Thermoelemente
(10) zur Temperaturüberwachung im Lagergehäuse eingebettet. Aufgrund des
geringeren Nominalspalts des GFBs kann eine thermische Ausdehnung des Rotors zu erheblicher
Reduzierung der Spalte bis zur Vollbremsung des Prüfstandes und somit zur Zerstörung des
Lagers führen. Um das zu verhindern, überwacht ein
Pyrosensor
(11) die Temperatur des Rotors.
Ein weiterer Grund für die Verwendung des Pyrosensors ist das Anliegen, den Nominalspalt des
jeweiligen GFBs für alle Messkampagnen konstant zu halten. Dadurch kann bei der Analyse
aller Messkampagnen dieser thermische Aspekt ausgeschlossen werden. Weitere unerwünschte
Einflüsse sind äußere Schwingungen. Sie lassen sich allerdings durch die Verwendung eines
schwingungsisolierten Maschinenbetts, auf dem der Prüfstand aufgebaut wurde, dämmen. In der
Tab. 7.1: Messtechnische Instrumente zur rotordynamischen Untersuchung
Instrument Hersteller Bezeichnung Messbereich Genauigk.
Optischer
Wegsensor
PHILTEC
ING RC62-C1EQT9 2 mm 2 µm
Drehzahlsensor Monarch
Instrument IRS-P 1 - 999 990 min−1-
Thermoelemente Omega Typ T -200 - 350 ◦C3◦C
Pyrosensor PCE
Instruments PCE-IR 10 -40 - 600 ◦C1◦C
Drehzahl
-Signalwandler
Monarch
Instrument F2A1X-3-1-xxx 5 - 600 000 min−130 min−1
Analoges
Spannungseingangsmodul
National
Instruments NI 9215 ∓10 V 2 mV
Temperaturmessmodul National
Instruments NI 9213 ∓78,125 mV 0,25 ◦C
Tab. 7.1 sind alle im Rahmen dieser Untersuchung verwendeten messtechnischen Instrumente
sowie ihre Eigenschaften aufgelistet.
Vor Beginn der rotordynamischen Untersuchungen werden einige Voruntersuchungen durchge-
führt. Um sicherzustellen, dass es sich im Rahmen der Betriebsdrehzahl (
0 min−1
bis
80 000 min−1
)
bei den hier eingesetzten Rotoren tatsächlich um einen starren Rotor handelt. Ein Rotor gilt
als starr, wenn seine Betriebsdrehzahl weit unter seiner ersten Resonanzfrequenz liegt. Daher
werden zur Bestimmung der ersten Resonanzfrequenz die Rotoren einer Modalanalyse unterzogen.
Weiterhin werden die Rotoren gewuchtet, um somit auch ihre Wuchtgüte zu bestimmen.
110
7.1 Inbetriebnahme des rotordynamischen Prüfstands
7
4
11
6
10
6
12
1
Abb. 7.2: Messinstrumente zur rotordynamischen Untersuchung
7.1.2 Modalanalyse der Rotoren
Bei der hier durchgeführten Modalanalyse der Rotoren geht es allein darum, ihre Resonanzfre-
quenzen herauszufinden. Weitere Modalgrößen wie Dämpfung und Steifigkeit sind also nicht von
Relevanz. Daher fällt die Entscheidung bei der Analyse auf die Modalanalyse mit Hammer. Das
Verfahren ermöglicht eine Untersuchung des Systems über einen großen Frequenzbereich mit
einem relativ geringeren Aufwand im Vergleich zu anderen Verfahren, wie z.B. die Modalanalyse
mit einem Shaker. Bei dieser Analyse lassen sich Steifigkeiten und Dämpfungen genauer ermitteln.
Der experimentelle Messaufbau besteht aus zwei Nylonsaiten mit einem Durchmesser von
1 mm
,
einem Beschleunigungssensor und einem Modalhammer. Bei dem Modalhammer handelt es sich
um einen Hammer, der mit einem Kraftsensor bestückt ist. Die Rotoren werden an beiden Enden
mit den Nylonsaiten aufgehängt. Dadurch können die Rotoren ungefesselt schwingen und somit
lässt sich eine Los-Los-Lagerung realisieren. Um einer Mode ihre jeweilige Resonanzfrequenz
zuzuordnen, werden die Rotoren an mehreren Punkten durch Hammerschlag angeregt und die
Antwort wird gemessen. Die Modalanyse setzt voraus, dass die Übertragungsfunktion erhalten
bleibt, d.h. dass die Übertragungsfunktion sich nicht verändert, wenn Anregung und Antwort
örtlich vertauscht sind [
87
]. Aus praktischen Gründen bleibt der Schwingungsaufnehmer an einem
Punkt fest (siehe Abb. 7.3 blauer Punkt auf der linken Seite des Rotors). Es wird außerdem
darauf geachtet, dass der Sensor sich nicht an einem Knotenpunkt der ersten sowie zweiten
Moden befindet. Diese befinden sich bei der ersten Mode auf 1/4 sowie 3/4 der Wellenlänge und
bei der zweiten Mode auf 1/6, 1/2 und 5/6 der Wellenlänge.
Mit dem Hammer wurde dann an 10 Punkten (rote Punkte in der Abb. 7.3) angeregt. Um die
Genauigkeit der Untersuchung zu erhöhen, wird die Messung an jedem Punkt jeweils fünfmal
wiederholt. Nach der Auswertung dieser 5 Versuche werden die Ergebnisse gemittelt.
Bei der Auswertung werden die Signale aus dem Beschleunigungssensor sowie die aus dem Kraft-
sensor zuerst mit einem Hochpassfilter gefiltert, dann mit einer Fensterfunktion gewichtet und
schließlich Fourier-transformiert. Dank der Fourier-Transformation lassen sich das Eingangssignal
sowie das Ausgangssignal in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen. Die Übertragungsfunktion
drückt dadurch das Verhältnis des Antwortsignals zum Anregungssignal im Frequenzbereich aus.
H(ω) = AAntwort(ω)
FAnregung(ω)(7.1)
Dabei steht
AAntwort
(
ω
)für die Beschleunigungsamplitude des Rotors bei der Frequenz
ω
als Folge
der Kraftanregung mit der Amplitude
FAnregung
(
ω
)bei der gleichen Frequenz. Die Abb. 7.4 und
7.5 stellen den Amplitudengang (Bild rechts) sowie die ersten beiden Moden (Bild links) der Hohl-
respektive Vollwelle dar. Im hier dargestellten Amplitudengang sind die Übertragungsfunktionen
111
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
lr
hr
dr1
dr3
dr2
Lr
1. Ebene
2. Ebene
1
Rotor Masse Oberfl. Rz Lrlrdr1dr2dr3
Vollwelle 2,148 kg 2,5µm 208 mm 96 mm 70 mm 38,1 mm -
Hohlwelle 1,469 kg 24 mm
1
Abb. 7.3:
Geometrische Daten der im Rahmen der rotordynamischen Untersuchungen
verwendeten Rotoren
−10
0
10
[µm]
1. Mode
0 50 100 150 200
−4
−2
0
2
Anregungspunkt [mm]
[µm]
2. Mode
0 2 4 6 8 10 12
−50
−25
0
25
50
Frequenz [kHz]
[dB]
Amplitudengang
1
Abb. 7.4: Ergebnisse der Modalanalyse der Hohlwelle mit dem Modalhammer
aller 10 angeregten Punkte dargestellt. Da die Übertragungsfunktionen an allen Punkten einen
ähnlichen Amplitudengang aufweisen, wird auf eine Legende hier verzichtet.
Die Ergebnisse werden in der Ordinate logarithmisch und über den Frequenzbereich (Abszisse)
von
0 Hz
bis
12 000 Hz
dargestellt. Es lässt sich bei der Hohlwelle sowie bei der Vollwelle eine
erste Resonanzfrequenz jeweils bei 3743 Hz respektive 3700 Hz erkennen. Die Schwingungen bei
112
7.1 Inbetriebnahme des rotordynamischen Prüfstands
diesen Frequenzen entsprechen denen der 1. Mode aus den Abb. 7.4 und 7.5. Dabei stehen die
Punkte in der Grafik für die experimentell ermittelten Verschiebungen. Die Linien sind berechnete
Kurvenanpassungen zu den Messdaten. Die zweite Resonanz und die zugehörige 2. Mode wird
bei ungefähr 8800 Hz für die Hohlwelle und bei 8890 Hz für die Vollwelle erreicht.
Bei den rotordynamischen Untersuchungen werden die Wellen auf eine maximale Drehzahl von
80 000 min−1
gebracht. Dies entspricht einer Betriebsanregung über einen Frequenzbereich von
0 Hz
bis
1334 Hz
. Dieser Bereich liegt jedoch weit unter den ersten Resonanzfrequenzen beider
Rotoren. Daher gelten sie im Rahmen der rotordynamischen Versuche als starre Rotoren über
diesen Betriebsbereich [15].
−10
−5
0
5
[µm]
1. Mode
0 50 100 150 200
−4
−2
0
2
Anregungspunkt [mm]
[µm]
2. Mode
0 2 4 6 8 10 12
−50
−25
0
25
50
Frequenz [kHz]
[dB]
Amplitudengang
1
Abb. 7.5: Ergebnisse der Modalanalyse der Vollwelle mit dem Modalhammer
7.1.3 Wuchten der Rotoren
Aufgrund der im Betrieb herrschenden hohen Drehzahlen ist aus Sicherheitsgründem und außer-
dem zur besseren Beurteilung der Messergebnisse ein Auswuchten der Rotoren unerlässlich. Das
Ziel ist es, die Massenverteilung eines rotierenden Körpers zu verbessern, damit seine zentrale
Hauptträgheitsachse mit der Drehachse zusammenfällt. Dadurch stehen alle am Körper wirkenden
Fliehkräfte miteinander im Gleichgewicht [
88
]. Allerdings ist dieser Zustand rein theoretisch,
denn es ist praktisch nicht möglich, einen rotierenden Körper absolut zu wuchten. Daher werden
Rotoren nach ihrer zulässigen Restunwucht klassifiziert. Es geht also darum, den Unwuchtzustand
zu ermitteln, diesen Zustand mit berechneten Ausgleichsunwuchten zu korrigieren und schließlich
die Restunwucht zu messen zur Ermittlung der Auswuchtgüte.
Zum Auswuchten der Rotoren des rotordynamischen Prüfstands wird das Wuchtverfahren „starrer
Rotor in weichen Lagern“ ausgewählt, das dem Aufbau der rotordynamischen Untersuchung aus
der Abb. 7.6 entspricht. Das Auswuchten findet an der Auswuchtmaschine R16 der Firma Schenck
statt (siehe Abb. 7.6), die mit einem Frequenzumrichter der Firma Mitsubishi E500 stufenlos
über einen Frequenzbereich von
0 Hz
bis
60 Hz
angesteuert wird. Jedoch sollte diese maximale
Frequenz aus Sicherheitsgründen nicht zu lange gefahren werden. Die Leistung wird an den zu
untersuchenden Rotor durch einen Antriebsriemen weitergeleitet. Aufgrund der unterschiedlichen
Durchmesser zwischen Motor und Rotor entsteht eine Untersetzung von ungefähr 1:2,3. Der
Rotor wird in der Wuchtmaschine in zwei weichen Lagerböcken gelagert. Die Lagerböcke sind
113
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
1
2
3
4
5
6
2
Ω
1 Rotor
2 Lagerbock
3 Kontrastsensor
4 Marker
5 Motor
6 Antriebsriemen
1
Abb. 7.6: Messaufbau zum Auswuchten der Rotoren
mit Tauchspulen ausgestattet und liefern somit im Betrieb ein Signal, das proportional zur
Schwinggeschwindigkeit des Rotorzapfens ist. Zur Sensorik gehört auch ein Kontrastsensor, der
den am Rotor angebrachten Marker detektiert. Der Marker markiert die 0◦-Position.
Das Auswuchten wird in 3 Schritten beziehungsweise 3 Läufen durchgeführt. Der erste Lauf, der
so genannte 0-Lauf, hat zum Ziel, die Urunwucht zu messen. Dabei wird das Schwingverhalten
des Rotors ohne Testgewichtssetzung bei einer konstanten Drehkreisfrequenz Ω
M
aufgenommen.
Am Frequenzumrichter wird eine Frequenz von
50 Hz
eingestellt. Dank der Untersetzung des
Riemenstriebs von 1:2,3 erreicht der Rotor eine Drehzahl von
6900 min−1
. Der zweite Lauf ist
der 1-Lauf. Er soll Erkenntnisse über den Einfluss einer Testgewichtssetzung in der 1. Ebene
geben. Die 1. und 2. Ebene sind Ebenen, die sich an beiden Wellenenden befinden und quer zur
Wellenachse liegen. Um den Rotor auszuwuchten, sind an diesen beiden Enden des Rotors jeweils
8 M2-Gewindebohrungen vorgesehen (siehe Abb. 7.2, Position 12). Die Testgewichtssetzungen
werden in Form von Beilagscheiben, Madenschrauben und Schrauben in der jeweiligen Ebene
angebracht. Beim 1-Lauf wird am Rotor eine Testgewichtssetzung in der 1. Ebene angebracht,
bevor dieser auf eine Drehkreisfrequenz von Ω
M
hochgefahren wird und die Antwort auf diese
Unwucht wird im Lagerbereich gemessen. Ähnlich zum 1-Lauf wird der 2-Lauf durchgeführt.
Allerdings wird, nachdem die Testgewichtssetzung aus der 1. Ebene entfernt wurde, die Testge-
wichtssetzung in der 2. Ebene platziert. Durch diese 3 Messläufe sind weitere Kenntnisse über die
physikalischen Eigenschaften des Prüfstands nicht mehr relevant, wie die Gl. 7.2 bis 7.7 zeigen
[15]. (ˆvL
ˆvR)1
=(ˆvL
ˆvR)0
+nˆ
b1;ˆ
b2o(ˆuTest
1
0)(7.2)
Die Gl. 7.2 stellt die Differenz des 1-Laufs und des 0-Laufs dar. Dabei sind die Elemente von
(ˆvL
ˆvR)1
jeweils die Messungen der Geschwindigkeiten am linken und rechten Lagerbock beim
1-Lauf. Ähnlich dazu entspricht
(ˆvL
ˆvR)0
der Messung beim 0-Lauf. Die Matrix
nˆ
b1;ˆ
b2o
ist
die Messmatrix und der Vektor ˆ
b1lässt sich aus der Gleichung 7.2 ermitteln.
ˆ
b1= ( ˆvL
ˆvR)1−(ˆvL
ˆvR)0!1
ˆuTest
1
.(7.3)
114
7.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung
ˆ
b2lässt sich aus der Differenz des 2-Laufs und des 0-Laufs berechnen.
(ˆvL
ˆvR)2
=(ˆvL
ˆvR)0
+nˆ
b1;ˆ
b2o(0
ˆuTest
2)(7.4)
ˆ
b2= ( ˆvL
ˆvR)2−(ˆvL
ˆvR)0!1
ˆuTest
2
(7.5)
Der Rotor gilt schließlich als gewuchtet, wenn die Geschwindigkeiten an den Lagerböcken gleich
Null sind: (0
0)=(ˆvL
ˆvR)0
+nˆ
b1;ˆ
b2o(ˆu1
ˆu1)Ausgleich
(7.6)
⇒(ˆu1
ˆu1)Ausgleich
=nˆ
b1;ˆ
b2o−1(ˆvL
ˆvR)0
(7.7)
In der Tab. 7.2 sind die Ergebnisse bzw. die Gewichte und Winkel, die sich aus dem Aus-
wuchtverfahren ergeben, eingetragen. Diese Ergebnisse zeigen, dass die Rotoren mit einer hohen
Genauigkeit angefertigt wurden. Die Gewichte, die angebracht werden müssen, sind so gering,
dass es mit der vorhandenen Apparatur nicht möglich ist, sie zu wiegen. Daher wurden die
Gewichte nicht angebracht. Die Gütestufe der Rotoren wird nach der DIN ISO 21940-11 [
89
]
Tab. 7.2: Ergebnisse des Rotor-Wuchtens
Rotor 1. Ebene 2. Ebene
Gewicht[mg]
Winkel[◦]
Gewicht[mg]
Winkel[◦]
Hohlwelle 7,331 32,7 3,951 -73,21
Vollwelle 1,907 286,78 1,629 337,27
ermittelt, die sich mit der Festlegung und Prüfung der Unwuchttoleranz, sowie der Abweichung
bei Unwuchten befasst. Bei der Festlegung der Gütestufe wird die Restunwucht mit der zulässigen
Unwucht verglichen. Dies ergibt im vorliegenden Fall der Hohl- und Vollwelle die Güte G0,4, die
der Gütestufe von Spindeln und Antrieben von Präzisionsmaschinen entspricht [89].
7.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung
Die hier durchgeführten Versuche haben zum Ziel, Erkenntnisse über das Schwingungsverhalten
von in GFBs gelagerten Systemen in Abhängigkeit von Drehzahl, Art der Beschleunigung, Art
der Unwucht und Lagerlast zu liefern. Die Drehzahlabhängigkeit wird durch mehre transiente
Hoch- und Runterfahrten realisiert. Zugleich kann der Einfluss der Beschleunigung beobachtet
werden. Um Messungen mit unterschiedlichen Lagerlasten zu realisieren, werden zwei Rotoren,
eine Hohlwelle und eine Vollwelle, mit unterschiedlichen Gewichten gefertigt. Mit Testgewichten
werden Zustände von schlecht gewichteten Rotoren simuliert. Dabei werden die Rotoren bezüglich
statischer und dynamischer Unwuchten untersucht. Diese Tests ermöglichen die Analyse von
selbsterregten Schwingungen.
In der Tab. 7.3 sind die Parameter aller durchgeführten Messkampagnen sowie die untersuch-
ten Lager auflistet. Bei jedem Versuch werden simultan zwei Lager vermessen. Aufgrund des
symmetrischen Aufbaus des Prüfstands ist es irrelevant, auf welcher Seite die Lager eingebaut
werden. Daher wird auf diese Information hier verzichtet. Bei den Messungen mit Testgewichten
handelt es sich in der Tabelle um die gesamte Unwucht, die an beiden Rotorenden angebracht
115
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
Tab. 7.3: Gesamte durchgeführte Messkampagne zur rotordynamischen Untersuchung
Rotor Shims Test-Unwucht [gmm]Lager
[µm] statisch dynamisch
Hohlwelle
- - - MSI1, MSI3, TU3, TU8, TU10
-6 ; 12 - MSI1 , MSI3
- - 4,5 ; 6 ; 9 MSI
25 - - MSI
Vollwelle
- - - MSI1, MSI3, TU10
-6 ; 12 - MSI
- - 6 ; 9 ; 12 MSI
25 - - MSI
1
3
2
120◦
1 Shims
2 Gasfolienlager
3 Klebeband
1
Abb. 7.7: Mit Shims modifiziertes Gasfolienlager
sind. Bei der statischen Unwucht werden die Testgewichte in Form von Unterlegscheiben und
Schrauben an den Rotorenden auf der gleichen Winkelposition angebracht, so dass dies beim
Betrieb die Zylindermode begünstigt. Anders ist es bei der dynamischen Unwucht, dort werden
Testgewichte an den Rotorzapfen an unterschiedlichen Positionen mit einem Versatz von
180◦
zueinander platziert, was hier die Kegelmode verstärken könnte. Durch eine Lagermodifikation
mit Shims wird untersucht, inwiefern unerwünschte Schwingungen passiv unterdrückt werden
können. In der Abb. 7.7 ist ein mit Shims modifiziertes Lager dargestellt. Die Modifikation des
Lagers wird durch das Anbringen von drei metallischen Lehrenblechen (Shims) zwischen Bumps
und Gehäuse in gleichen Abständen realisiert. Mit Klebeband werden diese in Position gehalten.
Bei jeder Messkampagne (siehe Tab. 7.3) werden die Versuche 10 Mal wiederholt, um Genauigkeit
und Wiederholbarkeit zu gewährleisten.
Die Speicherung der Daten erfolgt bei jedem Fahrvorgang, so dass es bei der Auswertung möglich
ist, Hoch- und Runterfahrt auseinanderzuhalten. Die Auswertung der Messdaten läuft nach dem in
Abb. 7.8 dargestellten Programmablauf ab. Als erstes werden die Daten aus den Wegsensoren mit
einem Butterworth-Tiefpass gefiltert. Der Butterworth-Filter bietet selbst bei höherer Ordnung
eine gute Stabilität und eine relativ starke Amplitudenunterdrückung bei der Grenzfrequenz.
Diese ist halb so groß wie die experimentelle Abtastfrequenz. Der Wert der Grenzfrequenz folgt
dem Nyquist-Theorem, auch bekannt unter dem Namen Abtasttheorem, denn ein Signal lässt
sich nur fehlerhaft rekonstruieren, wenn die im Signal vorhandene maximale Frequenz mehr
als halb so hoch wie die Abtastfrequenz ist [
72
]. Diese Vorbehandlung des Signals findet im
Aufbereitungsmodul des Drehzahlsensors bereits analog statt, so dass dies im Auswertungsskript
nicht mehr nötig ist. Nach der Aufbereitung der Signale werden sie in Zeitfenster von
0,1 s
116
7.2 Versuchsdurchführung und Datenauswertung
Messdaten:
Xroh ={xroh(1), ..., xroh(m)}
Yroh ={yroh[1], ..., yroh[m]}
Messdaten:
D={d(1), ..., d(m)}
Filtern:
Butterworth-Filter
|H(jω)|=1
√1+ω2k
Zeitfenster definieren:X,Y,D
wobei
X=
x(1), x(2),··· x(N)
x(1 + e), x(2 + e),··· x(N+e)
:··· :
x(1 + (m−1)e), x(2 + (m−1)e),··· x(N+ (m−1)e)
Gr¨oße {X, Y, D}=m×N,eN
Fensterung:
Hanning-Fenster
FFT-Berechnung: XF F T ,YF F T
wobei
XF F T =
N−1
P
n=0
X1,(n+1)·e−j2π0·n
N,··· N−1
P
n=0
X1,(n+1)·e−j2π(N−1)·n
N
:··· :
N−1
P
n=0
Xm,(n+1)·e−j2π0·n
N,··· N−1
P
n=0
Xm,(n+1)·e−j2π(N−1)·n
N
Gr¨oße {XF F T , YF F T }=m×N
Mittlere Drehzahl: ¯
D
¯
D=
N−1
P
n=0
D1,(n+1)
:
N−1
P
n=0
Dm,(n+1)
Gr¨oße ¯
D=m×1
Ergebnisse darstellen
Wasserfalldiagramm, ...
1
Abb. 7.8: Programmablauf zur Herstellung von Wasserfalldiagrammen
fragmentiert. Das erste Fenster besteht aus
N
Messdaten. Dabei wird
N
als Zweier-Potenz
gewählt, um die Fourier-Transformation [
72
] zu beschleunigen. Die weiteren Fenster entstehen
durch Verschiebung der vorherigen Zeitfenster um
e
Messdaten. Das heißt, es wird das Zeitinter-
vall
[t1, te]
durch
[tN+1, tN+e]
ersetzt. Dadurch wird eine relativ kleine Änderung der Drehzahl
erreicht. Der Drehzahlverlauf bleibt so stetig und die Drehzahlachse ist gut aufgelöst. Jedes
Zeitfenster aus dem Wegsignal wird vor der Fourier-Transformation mit einem Hanning-Fenster
gewichtet. Dadurch werden Leakage-Effekte vermieden, die sonst bei der Überführung des Signals
in den Frequenzbereich durch die Fourier-Transformation zu Geisterfrequenzen geführt hätten.
Parallel dazu wird der Mittelwert des Drehzahlsignals aus dem jeweiligen Zeitfenster berechnet.
Sobald dieser Vorgang für alle Zeitfenster durchgeführt ist, werden die Ergebnisse in Form von
Wasserfalldiagrammen dargestellt.
Um signifikante Effekte besser sichtbar zu machen, werden alle Wasserfalldiagramme aus einer
Messkampagne gemittelt. Die in dieser Arbeit dargestellten Diagramme sind also gemittelte
Messkampagnen.
117
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
Die rotordynamischen Untersuchungen geben einen Einblick über das Verhalten von in GFB-
gelagerten rotordynamischen Systemen. Das dynamische System wird daher unterschiedlichen
Einflüssen ausgesetzt und seine Antwort auf diese Änderungen analysiert.
7.3.1 Einfluss der Beschleunigung
Abb. 7.9 stellt die Ergebnisse aus der Frequenzanalyse der Hoch- und Runterfahrt der Voll-
welle ohne Testgewichte am Rotor dar. Aufgetragen sind die Drehzahlen (Ordinate) über den
Schwingfrequenzen (Abszisse) und farblich die zugehörigen Schwingungsamplituden. Neben dem
Fahrstrahl (1
.
Ω) sind in beiden Wasserfalldiagrammen subharmonische Frequenzen zu sehen.
Subharmonische Schwingungen (1
/
2
.
Ω,1
/
3
.
Ω, ...) sind Schwingungen mit einer Frequenz um
ein Vielfaches kleiner als die Hauptfrequenz (1
.
Ω) und werden aufgrund der Nichtlinearität
des Systems hervorgerufen [
90
]. Im niedrigen Drehzahlbereich ist zuerst die subharmonische
(a) Hochlauf (b) Runterlauf
Abb. 7.9:
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
des Lagers MSI3 ohne zusätzliche Testgewichte am Rotor (Vollwelle) bei Hoch-
und Runterfahrt
Schwingung 1
/
3
.
Ωdominant, bevor dies in die 1
/
4
.
Ωübergeht. Bei genauer Betrachtung der
Abbildungen 7.9a (Hochlauf) und 7.9b (Runterlauf) fällt auf, dass die subharmonischen Schwin-
gungen bei beiden bei unterschiedlichen Drehzahlen auftreten. Beim Hochfahren bzw. bei einer
positiven Beschleunigung werden die subharmonischen Schwingungen erst bei der Drehzahl
nsub,Hoch
dominant, während sie beim Runterfahren bei
nsub,Runter
verschwinden. Dabei ist
nsub,Hoch > nsub,Runter
. Diese Tatsache ist in den Abb. 7.10 deutlich zu erkennen. Beim Dia-
gramm handelt es sich um Ergebnisse aus der Frequenzanalyse der Wegsensoren, in der die
Frequenzordnung der im Signal herrschenden Schwingung über die Drehzahl ermittelt wird. Die
Erregerordnung (Ordinate) ist hier als Vielfaches der Grundschwingung bzw. des Fahrstrahls
zu erkennen. Somit entsprechen 0
,
25 und 0
,
5jeweils 1
/
4
.
Ωund 1
/
2
.
Ω. Die Frequenzanalyse
der Schwingungswege des Rotorzapfens im Bereich des Lagers MSI3 zeigt, dass
nsub,Hoch
bei
18 700 min−1
und
nsub,Runter
bei
15 200 min−1
liegen. Das rotordynamische System zeigt so ein
sehr ähnliches Verhalten zum Duffing-Schwinger, bei dem Amplitudensprünge abhängig von der
Beschleunigungsrichtung stattfinden. Diese Nichtlinearität, die bei GFB-gelagerten Systemen
118
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
beobachtet wird, wird von den elastischen Lagerstrukturen sowie vom Gasfilm hervorgerufen.
Die Untersuchungen an der elastischen Lagerstruktur (siehe Kapitel 4) lassen jedoch vermuten,
dass die subharmonischen Schwingungen prinzipiell auf den Gasfilm zurückzuführen ist. Bei der
Untersuchung der Lagerwand wurde die elastische Lagerwandstruktur mit einer monofrequenten
harmonischen Kraft angeregt, deren Frequenz von
30 Hz
bis
1000 Hz
erhöht wurde. Die Analyse
der Schwingungssignal konnte keine subharmonische Frequenz zeigen.
2 4 6
−0.5
−0.33
−0.25
−0.1
Drehzahl [104.min−1]
Erregerordnung
Hochfahrt, Runterfahrt
1
Abb. 7.10:
Ordnung der dominanten subharmonischen Schwingungen über der Drehzahl
aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen des Lagers MSI3
ohne zusätzliche Testgewichte am Rotor (Vollwelle) bei Hoch- und Runterfahrt
Im Wasserfalldiagramm 7.9 (a) sind im Bereich der
−
1
/
4
.
Ωzwei Frequenzenstrahlen nah
beieinander zu beobachten. Dieser Effekt ist auf die Mittlung der Messungen zurückzuführen
und liegt daran, dass die Drehzahlverläufe sich bei Hochfahrten des Prüfstands nicht absolut
decken. Aus diesem Grund sowie aufgrund der Dauer der Runterfahrt, die dadurch eine größere
Menge an gewonnenen Informationen im Vergleich zur Hochfahrt enthält, werden im Weiteren
allein Runterfahrtvorgänge dargestellt. Jedoch werden im Anhang A.4 Hoch- und Runterfahrten
aller Messungen dargestellt.
7.3.2 Einfluss der Lagerlast
Wie bereit erwähnt, werden im Rahmen der Untersuchung unterschiedliche Lagerlasten durch
die Verwendung von Rotoren mit unterschiedlichen Gewichten erreicht. Dabei werden Untersu-
chungen mit einer Hohl- sowie einer Vollwelle durchgeführt, ohne jedoch weitere Änderungen
am Prüfstand sowie am Messprotokoll vorzunehmen. Dies erlaubt einen besseren Vergleich der
daraus entstandenen Messergebnisse mit weiteren Messungen. In Abb. 7.11 sind diese Ergebnisse
dargestellt. Die erste Auffälligkeit beim Vergleich dieser Diagramme ist das höhere Drehzahlniveau
bei der Messung mit der Hohlwelle, das fast
80 000 min−1
erreicht. Außerdem deutet die Messung
mit der Hohlwelle auf einen ruhigen Lauf hin, denn die subharmonischen Schwingungen, die
zwischen
−
1
/
4
.
Ωund
−
1
/
3
.
Ωliegen, erreichen eine maximale Schwingungsamplitude von
25 µm
.
Weiterhin lässt die Abb. 7.11b vermuten, dass die subharmonischen Schwingungen
−
1
/
2
.
Ω
und 1
/
2
.
Ωausgeprägter sind als bei der Vollwelle. Dies ist jedoch nicht der Fall. In Abb. 7.11a
wurde die Farbskala umskaliert, um niedrigere Schwingwege darstellen zu können. Wird das
berücksichtigt, wird klar, dass die Wege bei der Vollwelle größer sind als bei der Hohlwelle. Bei
genauer Betrachtung der Abb. 7.12a, die die dominante Frequenz im Schwingungssignal darstellt,
119
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
(a) Vollwelle (b) Hohlwelle
Abb. 7.11: Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchun-
gen der im Lager MSI3 gelagerten a) Vollwelle und b) Hohlwelle (Bei den
Diagrammen handelt es sich um Runterfahrtvorgänge ohne zusätzliche Testge-
wichte)
2 4 6 8
−1
−0.5
−0.25
0
0.25
0.5
1
Drehzahl [104.min−1]
Erregerordnung
Vollwelle, Hohlwelle
1
(a)
2 4 6 8
0
20
40
60
80
Drehzahl [104.min−1]
Amplitude
Vollwelle, Hohlwelle
1
(b)
Abb. 7.12:
a) Ordnung sowie b) Amplitude der dominanten subharmonischen Schwingun-
gen über der Drehzahl aus den experimentellen rotordynamischen Untersu-
chungen des Lagers MSI3 mit der Vollwelle und der Hohlwellle
lässt sich feststellen, dass es bei niedrigen Lagerlasten zu vermehrten Frequenzsprüngen als bei
höheren Lagerlasten kommt. Bei der Drehzahl von
20 710 min−1
findet der erste Frequenzsprung
statt. Dabei löst die Frequenz 1
/
2
.
Ωdie 1
.
Ωab und bestimmt das Schwingungsverhalten bis zu
einer Drehzahl von
32 700 min−1
. Dort klingen die subharmonische Schwingung (1
/
2
.
Ω) ab. Erst
bei
50 700 min−1
besitzt das rotordynamische System mit der Hohlwelle wieder genügend Energie
um ein weiteres Mal eine subharmonische Schwingung anzuregen. Dabei wird die Schwingung
von der Frequenz 1
/
3
.
Ωdominiert. Die Frequenz der subharmonischen Schwingung wird dann
120
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
bei steigenden Drehzahlen zu 1/4.Ωhinüber gehen.
Dagegen sind die subharmonische Schwingungen bei höherer Lagerlast bereits bei
15 200 min−1
dominant. Ihre Frequenzen gehen mit zunehmende Drehzahl von 1
/
3
.
Ωzu 1
/
5
.
Ω. Dabei erreichen
ihre Schwingungsamplituden ganz rasant höhere Werte (siehe Abb. 7.12b). Die Abb 7.12b stellt
die Amplituden der entsprechenden Erregerordnung aus Abb. 7.12a dar.
Die Lagerlast hat also einen Einfluss auf die Schwingungsamplituden und auf die Entstehung von
subharmonischen Schwingungen. Diese Untersuchung zeigt weiter, dass GFBs sich bei leichteren
Rotoren besser eignen. Solche GFB-gelagerte Systeme sind zwar anfällig für Frequenzsprünge,
jedoch bleiben Schwingungsamplituden des Lagerzapfens relativ klein. Dadurch kann der Rotor
höhere Drehzahlen erreichen.
7.3.3 Einfluss der Unwucht
In der Tab. 7.4 sind die experimentell ausgeführten Messkampagnen zur Untersuchung von
Selbsterregungen eines GFB-gelagerten rotordynamischen Systems aufgelistet. Die Selbsterregung
wird aufgrund der Testgewichte, die an jedem Rotorzapfen angebracht sind, hervorgerufen. Ihre
Anordnung ist in der jeweiligen Spalte der Tab. 7.4 illustriert. Die Testgewichte werden in Form
von Unterlegscheiben sowie Schrauben angebracht. Es handelt sich außerdem in dieser Tabelle um
die gesamte am Rotor angebrachte Unwucht. Das heißt, die Summe der Unwuchten aus beiden
Lagerzapfen. Die Wasserfalldiagramme aus diesen experimentellen Versuchen sind in der Abb.
7.13 dargestellt. Aufgrund der Ähnlichkeiten der Effekte in den Ergebnissen der rotordynamischen
Tab. 7.4:
Experimentelle rotordynamische Messkampagne des Lagers MSI3 beim unge-
wuchteten Rotor
dynamisch statisch
Vollwelle 6 gmm,9 gmm,12 gmm 6 gmm,12 gmm
Hohlwelle 4,5 gmm,6 gmm,9 gmm 6 gmm,12 gmm
Untersuchung mit der Hohl- sowie Vollwelle wird in diesem Abschnitt auf die Darstellung der
Ergebnisse mit der Hohlwelle verzichtet. Diese werden jedoch im Anhang A.4 präsentiert.
Die Ergebnisse der rotordynamischen Untersuchungen mit ungewuchtetem Rotor zeigen eine
Erhöhung der subharmonischen Frequenzen, wie es zwischen
−
1
.
Ωund 1
.
Ωzu sehen ist. Neben
der Verstärkung von subharmonischen Frequenzen sind weitere nichtlineare Effekte wie eine
Frequenzmodulation zu beobachten.
121
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
(a) U=6 gmm, statisch (b) U=12 gmm, statisch
(c) U=6 gmm, dynamisch (d) U=9 gmm, dynamisch
(e) U=12 gmm, dynamisch
Abb. 7.13: Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchun-
gen der im Lager MSI3 gelagerten Vollwelle, an der Testgewichte angebracht
sind
122
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
Die Frequenzmodulation ist eine der typischen Antworten von nichtlinearen Systemen auf
Anregungen mit höheren Amplituden. Dies tritt bei der rotordynamischen Untersuchung mit
höheren Drehzahlen, sowie bei höherer Unwucht oder bei einer Kombination von beiden auf.
f2
fUSB1
fUSB2
2fm
f1fOSB1
fm
1
Abb. 7.14:
Frequenzmodulation am Beispiel der experimentellen Untersuchung der im
Lager MSI3 gelagerten Vollwelle mit einer statischen Unwucht von 6 gmm
In der Abb. 7.14 wird dieser Effekt deutlich dargestellt. Es handelt sich hier um die Ergeb-
nisse der Untersuchung des schlecht gewuchteten Rotors mit einer Unwucht von
6 gmm
. Zur
Erläuterung dieses Effekts wird ein schwingungsfähiges System in Betracht gezogen, für das die
Übertragungsfunktion H(x(t), ε)wie folgt definiert ist [91].
y(t) = H(x(t), ε) = H0·(x+ε1x2+ε2x3) = H0x+ (H0ε1x2+H0ε2x3)
=Hlinear +Hnichtlinear (7.8)
x
(
t
)ist die Eingangsgröße beziehungsweise die Anregung und
y
(
t
)die Systemantwort.
H0
,
ε2
sowie
ε1
sind Konstanten und es gilt
ε2ε1H0
. Der nichtlineare Term
Hnichtlinear
steigt mit
zunehmender Anregung
x
(
t
). Angenommen
x
(
t
)sei monofrequent. Das heißt
x
(
t
) =
x0cos
(Ω
t
).
Die Systemantwort lautet dann
Hnichtlinear(x(t), ε) = H0ε1x02cos2(Ωt) + H0ε2x03cos3(Ωt)
=1
2H0ε1x02(cos(2Ωt) + 1) + 1
4H0ε2x03(3 cos(Ωt) + cos(3Ω)),(7.9)
wobei cos3(Ωt) = 1
4(3 cos(Ωt) + cos(3Ω)).
Wie mit diesem kleinen Beispiel gezeigt, kann eine Frequenz aufgrund der Nichtlinearität um ihr
Vielfaches moduliert werden. Häufig ist jedoch die Anregung nicht monofrequent. Daher wird
nun folgende Eingangsgröße
x
(
t
) =
x1cos
(Ω
1t
) +
x2cos
(Ω
2t
)betrachtet. Der nichtlineare Term
ε1x2ergibt dann:
ε1x2=H0ε1[x12cos2(Ω1t)+2·x1cos(Ω1t)·x2cos(Ω2t) + x22cos2(Ω2t)]
=H0ε1h1
2x12(cos(2Ω1t) + 1) + 1
2x22(cos(2Ω2t) + 1) + x1x2(cos(Ω1−Ω2) + cos(Ω1+ Ω2))i
(7.10)
123
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
Die Gl. 7.10 zeigt, dass ein nichtlineares System auf eine multifrequente harmonische Anregung,
deren Frequenzen aus den Frequenzen
f1
und
f2
besteht, mit einer harmonischen Antwort reagiert,
deren Frequenzanteil aus dem der Anregung sowie aus der Modulation des selbigen besteht.
Selbst die modulierten Frequenzen können sich gegenseitig modulieren. Die Frequenzmodulation
verfolgt dabei ein bestimmtes Muster. Dazu werden folgende Größen eingeführt.
fm=1
2(f1−f2)fc=1
2(f1+f2),wobei Ω1= 2πf1und Ω2= 2πf2(7.11)
fm
ist die Frequenzmodulation und
fc
die Trägerfrequenz (engl. carrier frequency). Modulierte
Frequenzen, die sich unterhalb von
fc
befinden, werden untere Seitenbänder (USB) genannt und
die oberhalb von
fc
obere Seitenbänder (OSB). Sie werden nach folgender Formel definiert [
91
].
fUSB =
f1−2fm=fc−fm=f2
f1−4fm=fc−3fm= 2f2−f1
f1−6fm=fc−5fm= 3f2−2f1
···
(7.12)
und
fOSB =
f1+ 0fm=fc+fm=f1
f1+ 2fm=fc+ 3fm= 2f1−f2
f1+ 4fm=fc+ 5fm= 3f1−2f2
f1+ 6fm=fc+ 7fm= 4f1−3f2
···
(7.13)
In der Tab. 7.5 sind die aus den experimentellen Untersuchungen ermittelten Frequenzen sowie die
aus den Gl. 7.12 und 7.13 berechneten Frequenzen zusammengefasst. Die berechneten Frequenzen
Tab. 7.5:
Experimentell ermittelte und berechnete modulierte Frequenzen aus der Unter-
suchung des 6 gmm ungewuchteten Rotors
Frequenzen fUSB2fUSB1f2f1fOSB1
experimentell [Hz] -371,1 -244,1 -122,1 122,1 249
berechnet [Hz] -366 -244 - - 244
zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit der experimentellen Untersuchung. Dieser Effekt der
Frequenzmodulation betrifft nicht nur die Systemeingenfrequenzen, wie es hier zu sehen ist. Der
Fahrstrahl bzw. die subharmonischen Frequenzen können mit Systemeingenfrequenzen weitere
Frequenzen modulieren und erzeugen somit parallel zu 1
.
Ωweitere Fahrstrahle (siehe Abb. 7.14).
Abschließend lässt sich sagen, dass ungewuchtete GFB-gelagerte Systeme nichtlineares Verhal-
ten mit steigender Unwucht hervorrufen. Zu diesen nichtlinearen Effekten zählt die Frequenzmo-
dulation. Weiterhin sorgt die Unwucht für eine Vermehrung von subharmonischen Schwingungen
mit steigenden Amplituden so, dass es nicht möglich war, eine Drehzahl von
60 000 min1
zu
erreichen.
7.3.4 Einfluss der elastischen Lagerstruktursteifigkeit
Die Abb. 7.15 stellt die statische lineare Steifigkeit der Lager MSI1, MSI3, TU3 sowie TU10 dar.
Bei den Lagern TU3 und TU10 handelt sich um selbst hergestellte Lager, deren Geometriedaten
bereits in Kapitel 4 vorgestellt wurden. Es wurde bei der Herstellung beider Lager darauf geachtet,
dass die Radien der auf der Bumpfolie aufgeprägten Struktur relativ konstant über die Länge
bleiben. Diese sind außerdem kleiner als die der Firma MSI. Dies führt im Vergleich zu den
MSI-Lagern zu einer reproduzierbaren und relativ höheren statischen linearen Steifigkeit wie es
124
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
0 45 90 135 180 225 270 315
2
4
6
Winkel
klinear [MN/m]
Steifigkeit
MSI1 MSI3 TU3 TU10
1
Abb. 7.15:
Experimentell ermittelte statische Lagerstruktursteifigkeit der Lager MSI1,
MSI3, TU3 sowie TU10
in Abb. 7.15 zu sehen ist. Diese erhöhte Steifigkeit hat, wie die experimentellen Untersuchungen
zeigen (siehe Abb. 7.16), einen Einfluss auf das rotordynamische Verhalten. Aus den Abb. 7.16c
und 7.16d ist ersichtlich, dass die subharmonischen Schwingungen ab einer Drehzahl von ungefähr
55 000 min−1
beim Lager TU3 und ab
48 000 min−1
beim Lager TU10 auftreten. Weiterhin ist
eine kleinere Schwingungsamplitude im Fall der Lager TU3 und TU10 zu beobachten. Dies liegt
möglicherweise daran, dass die Lager TU3 und TU10 eine weniger nachgiebige Wandstruktur als
die der Firma MSI besitzen.
Neben den Radien der Bumpstrukturen bzw. den Steifigkeiten der Lagerwand unterscheiden
die TU-Lager sich weiterhin von den MSI-Lagern durch die Befestigungsart der Folien (Bumpfolie
und Topfolie) am Gehäuse. Beim Lager der Firma MSI sind Bumpfolie und Topfolie mit einer
Schweißverbindung am Gehäuse befestigt, während die am Fachgebiet selbst hergestellten Lager
mit einer Klebeverbindung zusammengehalten werden. Es besteht die Vermutung, dass das
rotordynamische Verhalten, das diese Lager aufweisen, auf die in der Klebeverbindung vorhandene
Dämpfung zurückzuführen ist. Daher werden weitere Tests durchgeführt, bei denen ein neues
Lager verwendet wird, das über eine Schraubverbindung zur Befestigung der Folien verfügt (siehe
Abb. 7.17b). Die Bumpfolie und die Topfolie werden in einen Schlitz hineingeschoben und durch
zwei M3-Madenschrauben (siehe Abb. 7.17b Position 4) fixiert.
Das Wasserfalldiagramm aus der Abb. 7.17a zeigt, dass die Schwingungsamplituden mit der
Schraubverbinndung sehr gering bleiben. Im Fall des Lagers TU A3 (GFB mit der Schraubver-
bindung zur Befestigung der Folien) sind die Schwingwege so gering, dass kaum Nichtlinearität
hervorgerufen wird. Die signifikante Abwesenheit von subharmonischen Schwingungen bei den
rotordynamischen Untersuchungen der Lager TU3 sowie TU10 ist also nicht auf die Klebeverbin-
dung, die die Bump- und Topfolie am Gehäuse hält, zurückzuführen.
Die Steifigkeit der elastischen Lagerwandstruktur hat also einen deutlichen Einfluss auf das
rotordynamische Verhalten des Lagers. Bei zunehmender Struktursteifigkeit verschieben sich
die Drehzahlen, bei denen die subharmonischen Schwingungen auftreten. Außerdem sorgt eine
höhere Steifigkeit der Lagerwandstruktur für kleine Schwingungswege. Die Erhöhung der Struk-
tursteifigkeit gelangt jedoch an ihre Grenze, wenn das Lager aufgrund der starren Lagerwand
nicht mehr in der Lage ist, Druckschwankungen im Schmierfilm selbst zu regulieren.
125
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
(a) MSI1 (b) MSI3
(c) TU3 (d) TU10
Abb. 7.16: Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchun-
gen der Vollwelle bei Lagern mit unterschiedlichen Lagerspalten
126
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
(a) Wasserfalldiagramm des Lagers TU A3
4
3
1
2
1
1 Bumpfolie 2 Topfolie
3 Gehäuse 4 Gewindebohrungen
(b) Lager TU A3
Abb. 7.17:
Wasserfalldiagramm (a) aus der rotordynamischen Untersuchung der Vollwelle
gelagert im Lager TU A3 mit veränderter Bumpfixierung(b).
127
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
7.3.5 Einfluss von Shims
Bei dieser Untersuchung geht es darum, eine passive Lösung zur Unterdrückung der in höheren
Drehzahlen auftretenden subharmonischen Schwingungen zu finden. Wie bereits gezeigt, wird
die Nichtlinearität des GFB-gelagerten Systems, die für die Manifestation von nichtlinearen
Effekten, wie der Überlagerung von subharmonischen Frequenzen im Schwingungssignal des
Rotorzapfens sowie der Frequenzmodulation dieser Frequenzen, durch die Vergrößerung der
Schwingweg verstärkt. Daher war es naheliegend, dass eine Reduzierung der Schwingungswege
zu einer Verbesserung des rotordynamischen Verhaltens des Lagers führen kann. Jedoch würde
ein kleiner nominaler Spalt allein nicht genügen, denn bei höherer Drehzahl besitzt das System
genügend Energie, um die Lagerwandstruktur zu verformen und somit könnte der Rotor wieder
höhere Schwingungswege erreichen.
Durch die Modifikation des Lagers mit der Verwendung von Shims kann sowohl der nominale Spalt
reduziert werden, als auch die elastische Lagerstruktur durch Vorspannung versteift werden. Dank
dieser Maßnahme kann die Manifestation von nichtlinearen Effekten verzögert bzw. unterdrückt
werden. Die Abb. 7.18b und 7.18c sind Ergebnisse der Untersuchungen mit modifizierten Lagern.
Zusätzlich ist die Untersuchung ohne Shims als Vergleich dargestellt. Bei der Untersuchung
werden zuerst bei jedem Lager drei Shims zwischen der Bumpfolie und dem Gehäuse in
120◦
Abstand angebracht (siehe Abb. 7.7), bevor die Lager im Prüfstand eingebaut werden. Diese
Prozedur wird sowohl für die Shims der Stärke
20 µm
als auch für
30 µm
durchgeführt. Um einen
besseren Vergleich der Ergebnisse zu ermöglichen, ist auch das Wasserfalldiagramm aus der
Untersuchung ohne Shims dargestellt (siehe Abb. 7.18a).
Die Diagramme 7.18b und 7.18c zeigen eine Reduzierung der subharmonischen Schwingungen im
niedrigen Drehzahlbereich bei der Verwendung von Shims. Diese Ergebnisse zeigen eine große
Ähnlichkeit zu der Arbeit von San Andrés aus dem Jahr 2016 [
43
]. Dabei führte er Messungen
an einem Gasfolienlager der ersten Generation durch und verwendete Shims der Stärken
30 µm
und
50 µm
. Die Verwendung der Shims zeigte Änderungen des rotordynamischen Verhaltens des
Systems. Bei
30 µm
Shims reduzierte sich der Drehzahlbereich der subharmonischen Schwingungen
sowie ihrer Amplituden, bevor sie bei
50 µm
Shims komplett verschwanden. Der Autor macht
jedoch nicht klar, woran es liegen kann. Er erwähnt aber einen leichten Anstieg der Steifigkeit
und des Strukturverlustfaktors des Lagers.
Es lässt sich aus den Strukturuntersuchungen weiterhin sagen, dass der Nominalspalt sich
durch die Verwendung von Shims ungleichmäßig verändert, wodurch das Lager zwei weitere
Druckgebiete erhält. Diese neue Konstellation sorgt für zusätzliche Stabilität.
Die Modifikation des Lagers mit Shims sorgt neben der Verbesserung des rotordynamischen
Verhaltens für eine gewisse Erwärmung des Rotors. Diese Wärmeentwicklung führt zu einer
Ausdehnung des Lagerzapfens und sollte stets während des Betriebs im Blick gehalten werden,
um ständige Reibung des Rotors auf die Topfolie zu verhindern. Ein solcher Vorfall eignet sich
während der Untersuchung der Lager MSI1 und MSI3. Dabei dehnte sich die Vollwelle so weit,
dass es zu einer Blockierung der Drehbewegung kam. Das Lager MSI1 wurde dabei zerstört.
128
7.3 Ergebnisse der experimentellen rotordynamischen Untersuchung
(a) Shims: 0µm (b) Shims: 20 µm
(c) Shims: 30 µm
Abb. 7.18: Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchun-
gen der Vollwelle gelagert im mit Shims modifizierten MSI3 Lager
7.3.6 Einfluss des subambienten Drucks
Bei der numerischen Modellierung des Schmierfilms aus dem Kapitel 5.2 wurden Annahmen
hinsichtlich des subambienten Drucks getroffen. Diese Randbedingung ist auch unter dem Namen
Gümbel-Bedingung bekannt [
92
,
93
]. Es wird dabei davon ausgegangen, dass im Schmierfilm
kein subambienter Druck herrscht. Dies wird allein der Tatsache geschuldet, dass die Topfolie
sich im Bereich des Unterdrucks abhebt, wodurch es zum Druckausgleich kommt.
Um herauszufinden, welchen Einfluss diese Bedingung auf das rotordynamische Verhalten eines
GFB-gelagerten Systems haben kann, wird das Abheben der Folie im Betrieb unterbunden. Dies
lässt sich realisieren durch das Wechseln der Einbaurichtung des Lagers, wie dies in den Abb. 7.19
illustriert wird. Durch das Einbauen des GFBs wie in der Abb. 7.19b dargestellt, befindet sich
der Unterdruckbereich bei der Festeinspannung der Topfolie und lässt sie somit nicht abheben.
In den Abb. 7.20 sind die Wasserfalldiagramme dargestellt, die an dem Lager TU3 unter
Berücksichtigung der Gümbel-Bedingung (Abb. 7.20a) und ohne Beachtung dieser Randbedingung
129
7 Experimentelle rotordynamische Untersuchung
Ω
1
(a)
Ω
1
(b)
Abb. 7.19:
Schematische Darstellung eines GFB-gelagerten Rotors unter Berücksichtigung
der (a) Gümbel-Randbedingung und (b) Nicht-Gümbel-Randbedingung
(a) Gümbel (b) nicht-Gümbel
Abb. 7.20: Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchun-
gen der Vollwelle gelagert im TU3-Lager bei (a) Gümbel-Randbedingung und
bei (b) Nicht-Gümbel-Randbedingung
(Abb. 7.20b) gemessen sind. Die Messergebnisse zeigen beim herrschenden subambienten Druck
einen Rückgang von subharmonischen Schwingungen im höheren Drehzahlbereich. Bei gültiger
Gümbel-Bedingung treten sie bei
55 000 min−1
auf. In Fall der Nicht-Gümbel-Randbedingung
bleiben sie bis zur Drehzahl von
70 000 min−1
abwesend. Allerdings führt die Nicht-Gümbel-
Bedingung zu einem Anstieg der Amplituden von superharmonischen Schwingungen.
Die Gümbel-Randbedingung hat also einen nicht vernachlässigbaren Einfluss auf das Schwin-
gungsverhalten von GFB-gelagerten Systemen. Es ist wichtig, dass wenn bei der numerischen
Modellierung die Gümbel-Randbedingung gesetzt wird, dies auch experimentell umgesetzt wird.
Es ist jedoch nicht auszuschließen, dass ein weiterer Aspekt für das Verhalten des rotordy-
namischen Systems aus der Abb. 7.20b verantwortlich ist. Es ist zu beachten, dass bei den
beiden Anordnungen des GFB in unterschiedlichen Steifigkeitsverteilungen resultiert. Im Fall der
Nicht-Gümbel-Randbedingung (siehe Abb. 7.20b) befindet sich der steifere Bereich der elastischen
Lagerwand, wo das Druckmaximum aus dem Schmierfilm zu erwarten ist. Dadurch werden kleine
Schwingwege und kaum nichtlineare Effekte hervorgerufen.
130
8 Zusammenfassung
Das Hauptziel des Forschungsprojektes war die Erschaffung einer grundlegenden experimentellen
Datenbank, die über das statische sowie dynamische Verhalten der elastischen Lagerwand und
Lagerparameter von Gasfolienlagern der ersten Generation detaillierte Auskunft gibt. Darüber
hinaus sollten die Ergebnisse rotordynamischer Untersuchungen bei Verwendung dieses Lager-
typs ebenfalls für zukünftige Untersuchungen zur Verfügung gestellt werden. Die Daten dienen
den Forschungsinstituten zur Validierung sowie Optimierung von numerischen Modellen zur
rechnerischen Vorhersage von Gasfolienlagerparametern und des rotordynamischen Verhaltens
von gasfoliengelagerten Systemen. Das rotordynamische Verhalten von Gasfolienlagern lässt sich
generell schwer vorhersagen, da starke Nichtlinearitäten herrschen, die zu einer Vielzahl von
subharmonischen Schwingungen führen. Aus diesem Grund liefert die experimentelle rotordy-
namische Untersuchung unter kontrollierten Bedingungen eine gute Datenbasis über das reale
Schwingungsverhalten und dient damit einer deutlichen Verbesserung zukünftiger Simulations-
modelle. Ein weiteres Ziel der Arbeit war die Untersuchung von Maßnahmen zur Unterdrückung
der subharmonischen Schwingungen, die im Rahmen der Untersuchung am Beispiel der relativ
einfach herzustellenden und zu verwendenden Shims erfolgte.
Bei der Modellierung der elastischen Lagerwandstruktur, mit der der erste Teil der Arbeit
sich befasst, ist das Ziel, durch mathematische Formulierung das Verhalten der GFB-Lagerwand
bei statischen und dynamischen Belastungen wiederzugeben. Es wurden bei dieser theoretischen
Untersuchung unterschiedliche Modelle unter anderen das Strukturmodell von Le Lez [
61
],
Heshmat [
23
], sowie Iordanoff [
25
] betrachtet. Bei den beiden letzteren Modellen wird jeder Bump
mit einer linearen Feder modelliert, wobei keine Interaktion zwischen die einzelnen Feder besteht.
Bei der Modellierung von Le Lez dagegen wird jeder Bump mit drei Federn und zwei Knoten
dargestellt und es besteht zwischen den Bumps eine Interaktion, die eine signifikante Wirkung
auf das Reibungsverhalten und die Steifigkeit der Struktur hat. Die Reibungskräfte werden nach
dem Modell von Petrov und Ewins [
7
] modelliert. Bei der Belastung dieser drei Strukturmodelle
mit unterschiedlichen Druckprofilen konnte die Bedeutung der Interaktion zwischen den Bumps
gezeigt werden, denn das Modell von Le Lez lieferte die beste Übereinstimmung mit dem FEM-
Modell. Das Strukturmodell von Le Lez wurde daher bei der Implementierung rotordynamischen
Modell aus dem Kapitel 5 bevorzugt.
Die experimentelle Untersuchung begann mit der Herstellung von GFBs. Zur Vermessung
und Überprüfung der Lagergeometrie bei der Herstellung wurde ein optisches Messverfahren
implementiert (Kapitel 4.1), das eine Vergrößerungskamera verwendet. Unterstützt wird diese
Hardware von einer Bildbearbeitungsskript, die aus den Aufnahmen der Bumpfolie Radien
und Höhen der Bumps ermittelt. Die Messgenauigkeit des Verfahrens liegt bei
150 µm
. Weitere
Vermessungen des Lagers erfolgten bezüglich der elastischen Lagerwandstruktur.
Die selbst hergestellten GFBs wurden statisch sowie dynamisch untersucht. Bei der statischen
Untersuchung (Abschnitt 4.2) wurde das GFB mit einer statische Last belastet und die daraus
resultierende Verformung wurden gemessen. Das Lager wurde auf diese Weise über seinen gesam-
ten Umfang statisch vermessen. Die Ergebnisse, die in Abschnitt 4.2.3 dargestellt sind, zeigen,
dass die statische lineare Steifigkeit der Lagerwand winkelabhängig ist und besonders im Bereich
von
180◦
dominiert. Außerdem nimmt die Nichtlinearität der elastischen Lagerwandstruktur
mit zunehmender Vorspannung der Struktur ab. Die Vorspannung der Struktur wird bei der
Messung durch die Verwendung von Wellen mit unterschiedlichen Durchmessern erreicht. Dies
sorgt außerdem für einen zunehmenden Strukturverlustfaktor, der auf die dadurch ansteigenden
131
8 Zusammenfassung
Reibungsflächen zurückzuführen ist. Durch die Verwendung von Shims konnten auch an gezielten
Stellen am Lagerumfang ähnliche Effekte erreicht werden, insbesondere der Anstieg der Linearität
bei der Steifigkeit und die Erhöhung des Strukturverlustfaktors.
Bei der dynamischen Untersuchung wurde die elastische Lagerwandstruktur (Abschnitt 4.3) mit
einer monofrequenten Kraft dynamisch belastet. Die Amplitude dieser Kraft wurde so reguliert,
dass bei jeder Messkampagne, die einen Frequenzbereich von
30 Hz
bis
1000 Hz
abdeckt, die
Schwingwege konstant gehalten wurden. Es wurden Messkampagnen mit
2µm
,
6µm
und
10 µm
durchgeführt. Neben der dynamischen Anregung wurde das Lager mit einer statischen Kraft
belastet. Diese statische Belastung sorgte für die Vorspannung der elastischen Struktur und dafür,
dass der Kontakt zwischen Lager und Welle bestehen bleibt. Es ist wichtig, dass der Kontakt
zwischen Lagerwand und Welle bestehen bleibt. Es würde sonst bedeuten, dass es zwischen diesen
Beiden zu ständigen Stößen kommt.
Eine Abhängigkeit von der Frequenz zeigen die Ergebnissen aus den Untersuchungen, denn die
Steifigkeit der elastischen Lagerwandstruktur steigt mit zunehmenden Frequenzen, während die
Dämpfung abnimmt. Geringfügige Änderungen sind bei zunehmenden Schwingwegen hinsichtlich
der Steifigkeit festzustellen. Es ist zwar eine Zunahme der Steifigkeit bei
6µm
sowie
10 µm
zu
beobachten, diese bleibt jedoch unter
10 %
. Die Dämpfung erfährt bei zunehmenden Schwin-
gungsamplituden einen Abfall. Grund für dieses Verhalten ist die zunehmende dynamische Kraft
bei höheren Schingwegen, wodurch die Bumps haften und eine höhere Steifigkeit entwickeln. Die
Dämpfung der elastischen Lagerwandstruktur ist prinzipiell auf Reibung zurückzuführen. Durch
das Haften der Bumps kann weniger Energie durch Reibung dissipiert werden.
Die Analyse der Messergebnissen an unterschiedlichen Winkellagen zeigt, dass die dynamische
Steifigkeit der Lagerwand mit der Entfernung zur Bumpfesteinspannung abnimmt.
Eine weitere Aufgabe der dynamischen Untersuchung an der elastischen Lagerwand war her-
auszufinden (Abschnitt 4.3.3), ob die Entstehung der in der rotordynamischen Untersuchung
beobachteten subharmonischen Schwingungen auf die GFB-Struktur zurückzuführen ist. Zu
diesem Zweck wurden aus den Daten der Messkampagne Wasserfalldiagramme erstellt, die jedoch
diese Vermutung nicht bestätigen konnten.
Die numerische Beschreibung des Schmierfilms erfolgt mit Hilfe der Reynolds-Differentialgleichung.
Dazu wird diese Differentialgleichung mit der Finite-Differenzen-Methode diskretisiert. Bei der
Approximierung der Ableitung wurde prinzipiell das zentrale Differentialverfahren angewendet.
Am Lagereinlass und -auslass wurden allerdings vorwärts- und rückwärts Differenzen angewendet.
Die Lösung der Reynolds-Differentialgleichung wurde mit dem Newton-Verfahren numerisch
approximiert.
Bei der numerischen Bestimmung der Lagerparameter (Steifigkeiten und Dämpfungen) wird
davon ausgegangen, dass das GFB-gelagerte System in seiner Gleichgewichtslage von einer
harmonischen Anregung gestört wird. Auf diese Störung antwortet das System wie ein Feder-
Dämpfer-System. Es handelt bei diesem Verfahren zur Lagerparameteridentifikation um den
Störansatz nach Lund. Die Bestimmung der Gleichgewichtslage geschieht durch das Lösen der
Reynolds-Differentialgleichung 0-Ordnung. Um die Ermittlung dieser Lage zu beschleunigen,
wird das Simplex-Verfahren nach Nelder-Mead angewendet [
81
]. Schließlich wird beim Störansatz
die Reynolds-Differentialgleichung 1-Ordnung gelöst.
Die experimentelle Ermittlung der Lagerparameter (Kapitel 6) erfordert zunächst die In-
betriebnahme des jeweiligen Prüfstands. Dabei wurden zwei bauliche Maßnahmen am bereits
vorhandenen Teststand [
57
] durchgeführt, nämlich das Einbauen von hochpräzisen Spindellagern
zur Reduzierung der Schwingung des Rotorzapfens und zur Sicherung eines starren Rotorver-
haltens sowie eine Modifikation der Lagerung des Lagerbocks, um eine bessere Fluchtung des
Lagers am Rotor zu gewährleisten. Die Umbauten wurden von Untersuchungen begleitet, um
ihren Einfluss auf das Betriebsverhalten zu überprüfen. Die Untersuchungen zur Lagerparamete-
132
8.1 Ausblick
ridentifikation zeigten, dass die direkten Lagersteifigkeiten und -dämpfungen über den gesamten
Anregungsfrequenzbereich größer als die gekoppelten sind. Weiterhin sind die Steifigkeiten und
Dämpfungen im Stillstand, also ohne den Luftschmierfilm, höher als beim rotierenden Rotor.
Dieses Verhalten ist auf die geringere Steifigkeit und Dämpfung der Luft zurückzuführen. Mit
zunehmender Drehzahl nimmt die Lagersteifigkeit ab. Dies liegt vermutlich daran, dass der Luft-
spalt bzw. der Schmierfilm bei steigender Drehzahl zunimmt, wodurch der dynamische Anteil der
elastischen Lagerwand an der gesamten Lagersteifigkeit sinkt. Durch eine Lagermodifikation mit
Shims lässt sich die Steifigkeit erhöhen. Die Dämpfung ändert sich allerdings dabei geringfügig.
Im Verlauf der rotordynamischen Untersuchungen (Kapitel 7) wurden Kenntnisse über das
dynamische Verhalten eines starren, in zwei Gasfolienlager gelagerten Rotors gewonnen. Zu
diesem Zweck wurde ein Prüfstand konstruiert und gefertigt. Der Teststand besteht aus einem
symmetrisch aufgebauten Rotor, angetrieben von einer Gleichdruckturbine (Pelton-Turbine). Eine
Voruntersuchung zur Bestimmung der Resonanz der Rotoren wurde durchgeführt. Die Betriebsun-
tersuchung der Rotorschwingung wurde bei unterschiedlichen Beschleunigungen, Wuchtzuständen,
Lagerlasten sowie mit und ohne Lagermodifikation durchgeführt. Die Ergebnisse aus Hoch- und
Runterfahrt zeigen superharmonische Schwingungen der Ordnung 2Ω und 3Ω sowie subhar-
monische Schwingungen, die bei unterschiedlichen Drehzahlen und abhängig von Hoch- oder
Runterfahrt auftreten. Dieser Effekt ist dem Frequenzsprung sehr ähnlich, der bei dem Duffing-
Schwinger zu beobachten ist. Die beim Duffing-Schwinger auftretende Frequenzmodulation lässt
sich auch beim GFB-gelagerten Rotor beobachten. Um unterschiedliche Wuchtzustände zu errei-
chen, wurden am Rotor zusätzliche Wuchtsetzungen so angebracht, dass eine dynamische sowie
eine statische Unwucht vorhanden war. Zusätzliche statische und dynamische Unwuchtvertei-
lungen riefen subharmonische Schwingungen der Ordnung
1
2
Ω,
1
3
Ωund
1
4
Ωhervor. Die Ursache
für diesen Effekt ist die Erhöhung der Schwingwege, denn dadurch wird die Nichtlinearität des
Systems verstärkt. Unterschiedliche statische Lasten, realisiert über Voll- und Hohlwelle, zeigten
keinen nennenswerten Unterschied im rotordynamischen Verhalten. Die Verwendung von Shims
verschob das Auftreten der subharmonischen Schwingungen in deutlich höhere Drehzahlbereiche.
Ein mögliche Grund dafür ist die Reduzierung des Nominalspalts, wodurch die Schwingungsam-
plituden beschränkt sind. Weiterhin sorgen die Shims für eine Vorspanung der Struktur, wodurch
möglichen Resonanzen in höhere Frequenzbereiche verschoben werden.
Im Fazit lässt sich feststellen, dass die gesetzte Ziele der Arbeit erfolgreich erreichen wurden.
Eine umfangreiche Erhebung an experimentellen Messdaten wurden erreicht. Weitestgehend
konnten die Messdaten die numerischen Simulationsergebnisse bestätigen.
8.1 Ausblick
8.1.1 Voruntersuchungen
Die Erkenntnisse und Ergebnisse, die aus dieser Arbeit gewonnen wurden, ermöglichen die
Beantwortung einiger Fragen im Bereich der Gasfolienlager. Weiterhin deckt diese Arbeit weitere
Aspekte auf, die genauere Untersuchungen erfordern. Hinsichtlich der numerischen Modellierung
ist eine Betrachtung der thermischen Einflüsse, die unter anderem zur Ausdehnung des Rotors
führen kann, von großer Bedeutung. Die Ausdehnung des Rotors hat eine Veränderung des
Nominalspalts und der Lagerparameter zur Konsequenz. Im Bereich der experimentellen Analyse
Tab. 8.1: Durchschnittliche Bumpradis und Bumphöhen der Lager TU3, TU7 und MSI
Lager MSI TU3 TU7
rB8 mm 2,26 mm 2 mm
hB41 µm365 µm451 µm
133
8 Zusammenfassung
wurde bis jetzt kaum Untersuchungen durchgeführt, um herauszufinden, welchen Einfluss die Fer-
tigungstoleranzen auf die elastische Lagerwand, die Lagerparameter sowie das rotordynamischen
Verhalten haben.
Im Rahmen dieser Arbeit erfolgten erste Abschätzungen des Einflusses von Fertigungsfehlern
auf die Lagerparameter. Dabei wurden die Geometrie der Bumpfolien mit dem aus dem Kapitel
4 vorgestellten optischen Messverfahren vermessen. Aufgrund des beschränkten Messbereichs
des Messverfahren war es jedoch nicht möglich die Krümmung der Topfolie zu erfassen. In der
Tab. 8.1 sind sowohl die durchschnittlichen Bumpradien als auch die Bumphöhen der Lager
TU3, TU7 und MSI aufgetragen. Die genauere Verteilung der Bumpradien und Bumphöhen über
die gesamten Bumplänge ist in der Abb. 4.3 dargestellt. Die Werte in der Tab . 8.1 sind allein
Orientierungswerte zur Abschätzung der Lagergeometrie.
TU7 TU3 MSI
2
4
6
8
steigender Bumpradius
klinear [MN/m]
Lineare Steifigkeit
MSI TU3 TU7
2
4
6
8
steigende Bumph¨ohe
klinear [MN/m]
Lineare Steifigkeit
1
(a)
TU7 TU3 MSI
0
50
100
steigender Bumpradius
C0[µm]
Nominaltspalt
MSI TU3 TU7
0
50
100
steigende Bumph¨ohe
C0[µm]
Nominaltspalt
1
(b)
TU7 TU3 MSI
0.1
0.15
0.2
0.25
steigender Bumpradius
γ[%]
Strukturverlust
MSI TU3 TU7
0.1
0.15
0.2
0.25
steigende Bumph¨ohe
γ[%]
Strukturverlust
1
(c)
Abb. 8.1:
Experimentell ermittelte (a) lineare Steifigkeit, (b) Nominalspalt und (c) Struk-
turverlust der Lager TU3, TU7 und MSI
In der Abb. 8.1 wird gezeigt, wie sich die Steifigkeit, der Nominalspalt und der Strukturverlust
bei steigenden Bumpradien bzw. fallenden Bumphöhen verändern. Es handelt bei den Kasten-
grafiken um die Messergebnisse aus der statischen Untersuchung der elastischen Lagerwand an
den Winkeln
0◦
bis
315◦
mit der Welle
D2
. Wie bereits erwähnt, könnte mit dem zur Verfügung
stehenden Messinstrument die Krümmung der Topfolie nicht gemessen werden. Um den Effekt
dieser Größe ein wenig zu reduzieren, werden Messungen bei der Welle
D2
betrachtet. Bei dieser
Messung hat die Topfolie bereit die Krümmung der Welle angenommen und somit haben sich die
Fertigungstoleranzen von Welle und Topfolie teilweise angeglichen.
Hinsicht der statischen linearen Steifigkeit bewirkt eine Abweichung der Bumpradien von
13 %
134
8.1 Ausblick
einen signifikanten Abfall der Steifigkeit um
58 %
(siehe Abb. 8.1a). Dieser Trend lässt sich
allerdings beim Lager MSI nicht fortführen. Die Erklärung für dieses Verhalten ist, dass die
Steifigkeit der elastischen Struktur nicht nur von der Bumphöhe oder Bumpradius sondern auch
von der Anzahl an Bumps abhängig ist. Das MSI-Lager besitzt weniger Bumps als die TU-Lager.
Beim Nominalspalt ist der Effekt der Fertigung noch deutlicher als bei der Steifigkeit, denn hier
wird eine Änderung des Nominalspalt von
97 %
bei einer Fertigungstoleranz von
13 %
beobachtet.
Dieser Wert ist allerdings aufgrund der Schwierigkeit bei der experimentellen Ermittlung des
Nominalspalts mit Vorsicht zu betrachten. Eine Änderung wird auch bei dem Strukturverlustfaktor
beobachtet, welcher um
23 %
abfällt. Dies ist jedoch weniger signifikant als die vorherigen
genannten Parameter.
Um herauszufinden, ob der Effekt der Fertigungsfehlers sich allein auf die elastische Lagerwand-
struktur beschränkt, wurde ein rotordynamischer Versuch mit der Vollwelle gelagert in den Lagern
TU3 und TU10 durchgeführt, die jeweils einen durchschnittlichen Bumpradius von
2,26 mm
und
1,65 mm
besitzen. Die Ergebnisse (Abb. 8.2) zeigen, dass beide Lager unterschiedlichen
Verhalten aufweisen. Beim Lager TU3 entstehen die ersten subharmonische Schwingungen bei
der Drehzahl von
55 000 min−1
, während diese bei TU10 bei
49 000 min−1
auftreten. Ein Einfluss
der Fertigungstoleranz auf das rotordynamische Verhalten ist offensichtlich vorhanden, wie die
Ergebnisse zeigen.
(a) TU3 (b) TU10
Abb. 8.2:
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
der Vollwelle gelagert in den Lagern (a) TU3 und (b) TU10 bei Runterfahrt
8.1.2 Aufbau des Forschungprojekts
Die vorliegende Voruntersuchungen haben gezeigt, dass die Fertigungstoleranzen einen nicht zu
vernachlässigenden Einfluss auf die Messergebnisse und somit auch auf ihre Interpretation haben.
Um eine genauere Kenntnis über den Einfluss von Fertigungstoleranzen auf die Eigentschaften
von GFBs bzw. GFB gelagerter Systeme zu gewinnen, müsste weitere Untersuchungen erfolgen.
Die Abb. 8.3 stellt einen Vorschlag über den Umfang und die Systematik dieser Untersuchungen
dar. Die Herstellung von Lagern sollte in der ersten Etappe der Arbeit standardisiert werden, um
unsystematische Fehler zu begrenzen. Diese Fehler entstehen aufgrund von zufälligen Prozessen
bei dem Herstellungsverfahren. Nach dem Herstellungsprozess sollte die Geometrie der Lager
(Bumphöhe, Bumpradius) möglichst genau erfasst werden, bevor sie experimentell eingesetzt
werden. Die Lagergeometrien bzw. Fertigungsfehler sollten in der Implementierung des elastischen
135
8 Zusammenfassung
Teil I:
Lagerherstellung
Vermessung der Lagergeometrie:
- Bumphöhe
- Bumpradius
- Krümmung der Topfolie
- Bumpanzahl
Teil II:
Experimentelle Strukturuntersuchung:
- statisch
- dynamisch
Strukturmodellierung
unter Berücksichtigung der Fertigungsfehler
Validierung
Teil III:
Thermische Modellierung des
Schmierfilms
Experimentelle Untersuchung:
- Bestimmung der Lagerparameter
- Temperraturmessung
Validierung
Teil IV: Experimentelle rotordynamische
Untersuchung
Abb. 8.3:
Vorschlag eines Forschungsprojekts zur Bestimmung der Lagerparameter unter
Berücksichtigung der Fertigungsfehler und der Temperatur
Lagerwandmodells ebenfalls berücksichtigt werden. Hierfür eignet sich das Modell von Le Lez,
das im Rahmen der vorliegenden Arbeit bereits implementiert wurde, wie die Arbeit von Fatu
und Arghir [
94
] zeigt. Im Jahr 2018 befassten Fatu und Arghir [
94
] sich mit der Modellierung der
elastischen Lagerwandstruktur unter Berücksichtigung der Fertigungsfehler. Dabei verwendeten
die Autoren das Modell von Le Lez. Diese Anpassung des Modells zeigt eine gute Übereinstimmung
mit der experimentellen Untersuchungen.
In der dritte Phase des Projekts werden bei der Modellierung des Schmierfilms thermische
Einflüsse berücksichtigt und bei der experimentellen Ermittlung der Lagerparameter wird parallel
die Temperatur gemessen, um das numerische Modell später zu validieren. Bei der Validierung
kann die Güte des numerischen Modell ermittelt werden. Es ist zu erwarten, dass im Ansschluss
dieser Untersuchungen eine noch bessere Vorhersage über das Verhalten von GFB gelagerten
136
8.1 Ausblick
System möglich ist.
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XVIII
A Anhang
A.1 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
A.1.1 Berechnung der Federsteifigkeiten nach Le Lez
Bei der Disskretizierung der elastischen Lagerwandstruktur nach Le Lez et al. wird zuerst die
Struktur in mehren Segmenten zerlegt (siehe Abb. 3.3). Als nächste geht es darum, die potentielle
Energie, die von diesem Struktursegment unter der Belastung einer Kraft gespeichert werden
kann, zu berechnen. Mit dem Satz von Castigliano werden schließlich die Verschiebung , die die
ausgeübte Kraft bewirkt, und die Steifigkeit dieses Segments ermittelt.
Federsteifigkeit k2
•Schnittgröße:
Ms(θ) = −H·y=−H·rBcos θ0
2−θ−cos θ0
2 (A.1)
Ns(θ) = Hcos (θ0−θ)(A.2)
•Energie:
U=rB
2lKSf1H2+rB
2EA f4H2(A.3)
•Verschiebung und Steifigkeit:
δ=∂U
∂H =rB
lKS
f1+rB
EAf4H=1
k2
H(A.4)
Federsteifigkeit k3
•Schnittgröße:
Ms,Bogen(θ) = H·y+LMR =H·rB(1 −cos (θ0−θ)) + LMR (A.5)
Ns,Bogen(θ) = Hcos (θ0−θ)(A.6)
Ms,Fuß(x) = H·y=H·rB(1 −cos (θ0)) + LMR (A.7)
Ns,Fuß(x) = H(A.8)
•Energie:
U=rB
lKSf6H2+f7LMRH+θ0L2
MR+rB
EA f4
2H2
+1
2lKSf8H2+f9LMRH+lsL2
MR+rB
2EA lsH2(A.9)
XIX
A Anhang
•Verschiebung und Steifigkeit:
0 = ∂U
∂LMR ⇒LMR = −rBf7−f9
2
2rBθ0+ls!H=C2H(A.10)
δ=∂U
∂H
=rB
lKS
(2f6+f7C2) + rB
EA (f4) + 1
2lKS
(2f8+f9C2) + ls
EAH=1
k3
H(A.11)
Federsteifigkeit k4
•Schnittgröße:
Ms(θ) = H·y+LMR =H·rB(1 −cos (θ0−θ)) + LMR (A.12)
Ns(θ) = Hcos (θ0−θ)(A.13)
•Energie:
U=rB
2lKSf6H2+f7HLMR +θ0L2
MR+rB
2EA f4
2H2(A.14)
•Verschiebung und Steifigkeit:
0 = ∂U
∂LMR ⇒LMR =−f7
2θ0H(A.15)
δ=∂U
∂H = rB
2lKS f6−f2
7
2θ0!+rBf4
2EA!H=1
k4
H(A.16)
Federsteifigkeit k1bis
•Schnittgröße:
Ms(θ) = −H·y=−H·rBcos θ0
2−θ−cos θ0
2 (A.17)
Ns(θ) = Hcos θ0
2−θ(A.18)
•Energie:
U=rB
2lKSf1H2+rB
2EA f4H2(A.19)
•Verschiebung und Steifigkeit:
δ=∂U
∂H =rB
lKS
f1+rB
EAf4H=1
k1bis
H(A.20)
Federsteifigkeit k3bis
•Schnittgröße:
Ms,Bogen,R(θ) = H·y+V·x=H·rB(1 −cos (θ0−θ)) + V rBsin (θ0−θ)(A.21)
Ns,Bogen,R(θ) = Hcos (θ0−θ)−Vsin (θ0−θ)(A.22)
XX
A.1 Experimentelle Untersuchung der elastischen Lagerwandstruktur
Ms,Fuß(x) = HrB(1 −cos (θ0)) + V(rBsin (θ0) + x)(A.23)
Ns,Fuß(x) = H(A.24)
Ms,Bogen,L(θ) = Hy2+V(2rBsin (θ0) + ls−x2)
=HrB(1 −cos (θ0−θ)) + V(2rBsin (θ0) + ls−rBsin (θ0−θ))(A.25)
Ns,Bogen,L(θ) = Hcos (θ0−θ) + Vsin (θ0−θ)(A.26)
•Energie:
U=rB
2lKS
a1+rB
2EAa2+1
2lKS
a3+1
2EAa4+rB
2lKS
a5+rB
2EAa6(A.27)
a1=
θ0
Z0
M2
s,Bogen,Rdθ0=f6H2+f10V H +f11V2
a2=
θ0
Z0
N2
s,Bogen,Rdθ0=f4
2H2+f12V H +f5
2V2
a3=
ls
Z0
M2
s,Fußdl =f8H2+f13V H +f14V2
a4=
ls
Z0
N2
s,Fußdl =lsH2
a5=
θ0
Z0
M2
s,Bogen,Ldθ0=f6H2+f15V H +f16V2
a6=
θ0
Z0
N2
s,Bogen,Ldθ0=f4
2H2−f12V H +f5
2V2
(A.28)
•Verschiebung und Steifigkeit:
0 = ∂U
∂LMR
(A.29)
⇒LMR =
−1
2lKS(rBf10 +rBf15 +f13)−rB
2EA (f12 +f8)
1
lKS(rBf11 +rBf16 +f14) + rBf5
EA
H=C3H(A.30)
δ=∂U
∂H (A.31)
=rB
2lKS
(4rBf6+rBf10C3+rBf15C3+ 2f8+f13C3) + 1
EA (rBf4+ls)H
(A.32)
=1
k3bis
H(A.33)
XXI
A Anhang
Funktionen fi
Die Funktionen fiwurden bereits von Le Lez et al. in ihrer Publikation [10] berechnet.
f1(x)=2r2
bx−3r2
b
2sin(2x) + r2
bxcos(2x)(A.34)
f2(x)=4r2
b
x
2cos(x/2) sin(x/2) −4r2
bsin2(x/2) (A.35)
f3(x)=2r2
b
x
2sin2(x/2) −r2
bcos(x/2) sin(x/2) + r2
b
x
2(A.36)
f4(x) = x+1
2sin(2x)(A.37)
f5(x) = x−cos(x) sin(x)(A.38)
f6(x) = r2
b
2cos(x) sin(x) + 3r2
bx
2−2r2
bsin(x)(A.39)
f7(x) = −2rbsin(x)+2rb(A.40)
f8(x) = r2
b(1 −cos(x))2ls(A.41)
f9(x)=2rb(1 −cos(x)) ls(A.42)
f10(x) = r2
b1 + cos2(x)−2 cos(x)(A.43)
f11(x) = r2
b
2(−cos(x) sin(x) + x)(A.44)
f12(x) = −sin2(x)(A.45)
f13(x) = rb(1 −cos(x)) l2
s+ 2r2
bsin(x) (1 −cos(x)) ls(A.46)
f14(x) = l3
s
3+rbsin(x)l2
s+r2
bsin2(x)ls(A.47)
f15(x) = −r2
b+ 4r2
bxsin(x)+2r2
bcos(x)+2rblsx−r2
bcos2(x)−2rblssin(x)−4r2
bsin2(x)
(A.48)
f16(x) = l2
sx−2rbls−4r2
bsin(x)+2rblScos(x)+4rblsxsin(x) + r2
bx
2
+7
2r2
bcos(x) sin(x)+4r2
bxsin2(x)(A.49)
f17(x) = r2
bxcos(x)−3r2
b
2cos(x) sin(x) + r2
bx
2(A.50)
f18(x) = r2
b−2r2
bsin2(x)−2r2
bcos(x) + r2
bcos2(x)+2r2
bxcos(x) sin(x)(A.51)
f19(x)=2rbsin(x)−2rbxcos(x)(A.52)
f20(x)=2rb−2rbxcos(x)−2rbsin(x)(A.53)
f21(x)=3x−3
2sin(2x)−2xsin2(x)(A.54)
f22(x) = −3 sin2(x) + 4 sin2(x/2) + xsin(2x)(A.55)
(A.56)
XXII
A.2 Berechnung linearisierten Lagerparameter
A.2 Berechnung linearisierten Lagerparameter
A.2.1 Jacobi-Matrix zur Berechnung der Reynolds-Differentialgleichung 0. Ordnung
An
:,j =
∂f2,j
∂P2,j
∂f2,j
∂P3,j 0. . . 0
∂f3,j
∂P2,j
∂f3,j
∂P3,j
∂f3,j
∂P4,j
....
.
.
0.........0
.
.
..........∂fNZ−2,2
∂PNZ−1,2
0. . . 0∂fNZ−1,2
∂PNZ−2,2
∂fNZ−1,2
∂PNZ−1,2
,Dim1(An
:,j)=(NZ−2) ×(NZ−2)
Bn
:,j =
∂f2,j
∂Pi,j+1 0. . . . . . 0
0.......
.
.
.
.
...........
.
.
.
.
.......0
0. . . . . . 0∂fNz−1,2
∂PNz−1,j+1
,Dim(Bn
:,j)=(NZ−2) ×(NZ−2)
Cn
:,j =
∂f2,j
∂Pi,j−10. . . . . . 0
0.......
.
.
.
.
...........
.
.
.
.
.......0
0. . . . . . 0∂fNz−1,2
∂PNz−1,j−1
,Dim(Cn
:,j)=(NZ−2) ×(NZ−2)
Jn=
An
:,2Bn
:,20. . . 0
Cn
:,3An
:,3Bn
:,3
....
.
.
0.........0
.
.
..........Bn
:,Nθ−2
0. . . 0 Cn
:,Nθ−1An
:,Nθ−1
,Dim(Jn)=(NZ−2)(Nθ−2)×(NZ−2)(Nθ−2)
(A.57)
∆n=
∆P2,2
.
.
.
∆PNz−1,2
∆P2,3
.
.
.
∆PNz−1,3
.
.
.
∆P2,Nθ−1
.
.
.
∆PNz−1,Nθ−1
=
Pn+1
2,2−Pn
2,2
.
.
.
Pn+1
Nz−1,2−Pn
Nz−1,2
Pn+1
2,3−Pn
2,3
.
.
.
Pn+1
Nz−1,3−Pn
Nz−1,3
.
.
.
Pn+1
2,Nθ−1−Pn
2,Nθ−1
.
.
.
Pn+1
Nz−1,Nθ−1−Pn
Nz−1,Nθ−1
(A.58)
1Dimension der Matrix
XXIII
A Anhang
A.3 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
A.3.1 Spezifikation des Asynchronmotors
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
20.000
40.000
60.000
Drehzahl [1/min]
Spannung
0
2
4
6
8
10
12
14
0
20.000
40.000
60.000
Drehzahl [1/min]
Wellenleistung
0
1
2
3
4
5
0
20.000
40.000
60.000
Drehzahl [1/min]
Drehmoment
S_036 0288 100_AC83_80_2p_131015
XXIV
A.3 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
200
400
600
800
1000
Spannung [V]
Frequenz [Hz]
Y
0
2
4
6
8
10
0
200
400
600
800
1000
Leistung [kW]
Frequenz [Hz]
Y
XXV
A Anhang
A.3.2 Messunsicherheit zur experimentellen Ermittlung von Lagerparametern
200 400 600
0
2
4
6
8·10−2
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
1
2
3
4·10−2
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(a) Shims 0µm,0 min−1
200 400 600
0
0.5
1
1.5
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
5·10−2
0.1
0.15
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(b) Shims 0µm,10 000 min−1
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(c) Shims 0µm,15 000 min−1
Abb. A.1:
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der ex-
perimentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von (a)
0 min−1
, (b)
10 000 min−1
und (c)
15 000 min−1
ohne Shims
XXVI
A.3 Experimentelle Lagerparameteridentifikation
200 400 600
0
0.1
0.2
0.3
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
2
4
6·10−2
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(a) Shims 0µm,20 000 min−1
200 400 600
0
5·10−2
0.1
0.15
0.2
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(b) Shims 0µm,25 000 min−1
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(c) Shims 0µm,30 000 min−1
Abb. A.2:
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der experi-
mentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von (a)
20 000 min−1
, (b)
25 000 min−1
und (c)
30 000 min−1
ohne Shims
XXVII
A Anhang
200 400 600
0
1
2
3
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(a) Shims 20 µm,15 000 min−1
200 400 600
0
4·10−2
8·10−2
0.12
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [MN/m]
Steifigkeit
200 400 600
0
1
2
3·10−2
Frequenz [Hz]
Messunsicherheit [kNs/m]
D¨ampfung
xx xy yx yy
1
(b) Shims 20 µm,25 000 min−1
Abb. A.3:
Messunsicherheit über den Frequenzbereich von
80 Hz
bis
660 Hz
bei der experi-
mentellen Ermittlung von Lagerparametern bei einer statischen Last von
10 N
und einer Drehzahl von (a) 15 000 min−1und (b) 25 000 min−1mit Shims
XXVIII
A.4 Ergebnisse der rotordynamischen Untersuchungen
A.4 Ergebnisse der rotordynamischen Untersuchungen
(a) MSI1 (b) MSI3
(c) TU3 (d) TU10
Abb. A.4:
Wasserfalldiagramm aus den experimentellen rotordynamischen Untersuchungen
mit der Vollwelle ohne zusätzliche Testgewichten am Rotor beim Hochfahrt
XXIX
