Analyse der Faltenbildung in Membranen aus
unterschiedlichen Materialien
von
Dipl.-Ing. J¨
org Hornig
Von der Fakult¨
at V
Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universit¨
at Berlin
zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor–Ingenieur
genehmigte Dissertation
Berlin 2004
D 83
Promotionsausschuß:
Vorsitzender: Professor Dr.-Ing. G. Brunk
Berichter: Professor Dr.-Ing. H. Schoop
Professor Dr.-Ing. J. Thorbeck
Tag der Einreichung: 03. 11. 2003
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 30. 01. 2004
Vorwort
Diese Arbeit entstand in der Zeit von Dezember 1998 bis November 2003 w¨
ahrend
meiner T¨
atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut f¨
ur Mechanik der TU
Berlin.
Herrn Prof. Schoop gilt f¨
ur seine Unterst¨
utzung und F¨
orderung meiner Arbeit so-
wie f¨
ur die angenehme Zusammenarbeit mein herzlicher Dank. Durch die Weitergabe
seiner reichhaltigen Erfahrung hat er entscheidenden Einfluß auf die Entwicklung die-
ser Arbeit genommen.
Herrn Professor Thorbeck danke ich f¨
ur die ¨
Ubernahme des zweiten Berichtes und
f¨
ur die wertvolle Anregung zum experimentellen Teil dieser Arbeit, der zweifellos eine
große Bereicherung ist.
Prof. Brunk war stets zum fachlichen und pers¨
onlichen Gespr¨
ach bereit. Hierf¨
ur
und f¨
ur die ¨
Ubernahme des Vorsitz im Promotionsausschuß danke ich ihm vielmals.
F¨
ur die angenehme Atmosph¨
are am Institut f¨
ur Mechanik bedanke ich mich bei
allen Kollegen. Besonders meinem Freund und Kollegen Thomas Wenzel geb¨
uhrt f¨
ur
die zahlreichen Besprechungen und intensiven Diskussionen sowie f¨
ur das prima Kli-
ma in unserem B¨
uro mein herzlicher Dank. Uwe Herbrich hat mit seiner Studienarbeit
zur thermischen Faltung den Fortgang dieser Arbeit unterst¨
utzt. Johannes Thaten und
Roland Koll standen mir bei der Durchf¨
uhrung der Experimente mit Rat und Tat zur
Seite. Ihnen danke ich sehr f¨
ur ihr Engagement und ihre kompetente Unterst¨
utzung.
I
II
Zusammenfassung
Am Institut f¨
ur Mechanik der TU Berlin werden seit vielen Jahren Verfahren f¨
ur die
Analyse des strukturmechanischen Verhaltens von Fl¨
achentragwerken entwickelt. Die
numerische Simulation von Membranstrukturen, insbesondere von Segelkonstruktio-
nen, war hierbei ein Schwerpunkt der Forschung. An diese Forschungen m¨
ochte die
vorliegende Arbeit ankn¨
upfen.
Die numerische Simulation des Tragverhaltens einer Membran bei Ber¨
ucksichti-
gung des Faltungsph¨
anomens ist das Thema dieser Arbeit. Es werden Berechnungs-
methoden vorgestellt, die in der Lage sind, geometrische Nichtlinearit¨
aten, inelastische
Effekte sowie thermische Einfl¨
usse zu ber¨
ucksichtigen.
Als Ausgangspunkt dient hierbei die von Roddeman eingef¨
uhrte Korrektur der
Membrankinematik. In Kapitel 3 wird eine referenzbezogene Problemformulierung
angegeben.
Kapitel 4 behandelt die Membranfaltung im Falle einer linearen Spannungs–
Dehnungs Beziehung. Analytische Betrachtungen werden durchgef¨
uhrt.
Die Analyse inelastischer Effekte und deren Auswirkungen auf das Tragverhalten
einer gefalteten Membran ist Gegenstand des Kapitels 5. Auf Grundlage der multipli-
kativen Zerlegung des Deformationsgradienten wird eine Neuformulierung des Falten-
kriteriums vorgenommen. Im Falle eines inelastischen Materialverhaltens wird beson-
deres Augenmerk auf die Ermittlung geeigneter Startwerte f¨
ur den Faltenalgorithmus
gelegt.
Von der Faltungsanalyse inelastischer Membranen ausgehend wird der Algorith-
mus derart erweitert, daß eine Ber¨
ucksichtigung von Temperaturdehnungen m¨
oglich
ist. Die hier entwickelten Methoden werden in einem FE–Programm eingesetzt. In
numerischen Strukturanalysen und im Experiment werden die Anwendbarkeit der vor-
gestellten Verfahren und die Grenzen der Faltentheorie gezeigt.
III
IV
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Zum Stand der Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 ¨
Uber diese Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Numerische Behandlung der Membran 5
2.1 Greensche Verzerrungen im finiten Element . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Knotenkr¨
afte und Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Faltentheorie 13
3.1 Faltenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Homogene Membranfaltung nach Roddeman . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Faltenkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 Faltenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Transformation der Faltenkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Transformation der Faltenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Numerische L¨
osung der Faltenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Konsistente Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Beispiel: Einfache Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7.1 Einfache Scherung bei linearem, orthotropem Material . . . . 27
3.7.2 Einfache Scherung bei nichtlinearem, orthotropem Material . 30
3.8 Faltenalgorithmus mit 3D–Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Faltung bei linearem Materialverhalten 35
4.1 Die Faltungsrichtung α......................... 36
4.2 Das Faltungsmaß β........................... 37
4.3 Analytische L¨
osungen der Faltenbedingung . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1 Sonderf¨
alle verschwindender Koeffizienten k0bzw. k4. . . . 38
4.3.2 Isotrope Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.3 Orthotrope Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Faltung bei inelastischem Materialverhalten 47
5.1 Plastische Deformation einer Membran . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Faltenkriterium bei plastischen Deformationen . . . . . . . . . . . . . 48
V
VI
Inhaltsverzeichnis
5.3 Faltenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Beispiel: Einfache Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Wie findet man gute Startwerte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.1 Transformation der Faltenkinematik in die Zwischenkonfigu-
ration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5.2 Transformation der Faltenbedingung in die Zwischenkonfigu-
ration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Thermische Faltung 57
6.1 Thermische Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Membrankr¨
afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Faltenkriterium und Faltenalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Beispiel: Einfache Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 Strukturanalysen 63
7.1 Airbag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Luftschiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3 Sonnensegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Verdrillung einer Kreisringmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Schlußbemerkungen 87
9 Anhang 89
9.1 Vektor- und Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Beschreibung des Deformationszustandes . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 Membrankr¨
afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5 Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.6 Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.6.1 Linear–elastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . 98
9.6.2 Ein orthotropes, nichtlinear elastisches Material . . . . . . . . 100
9.6.3 Elastisch–plastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . 101
10 Symbolverzeichnis 107
10.1 Lateinische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 Griechische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Literaturverzeichnis 111
Kapitel 1
Einleitung
Die vorliegende Arbeit besch¨
aftigt sich mit der Analyse von geometrisch und physi-
kalisch nichtlinearen Membranen unter Ber¨
ucksichtigung der Membranfaltung.
Aus den vielf¨
altigen Anwendungen von Membranen resultieren verschiedene Be-
deutungen des Begriffs Membran. So wird die Bezeichnung Membran in vielen Zu-
sammenh¨
angen, z.B. in der Biologie, der Chemie und der Mechanik verwendet. In
dieser Arbeit ist unter einer Membran ein strukturmechanisches, idealisiertes Schalen-
modell zu verstehen. In diesem idealisierten Schalenmodell dominieren planare Effek-
te. Biegeeffekte werden wegen der D¨
unnwandigkeit vernachl¨
assigt.
Unter Membranfaltung soll in dieser Arbeit das bei Druckbeanspruchungen auftre-
tende Ausweichen der Membran in eine andere Gleichgewichtslage verstanden wer-
den. Dieses Instabilit¨
atsph¨
anomen wird Rahmen der Schalentheorie als “Beulen” be-
zeichnet. Bei einer Membran kann dieser Instabilit¨
atseffekt dadurch ber¨
ucksichtigt
werden, daß man nur Zugspannungen zul¨
aßt (Zugfeldtheorie). Damit ist es m¨
oglich,
das Tragverhalten der Membranstruktur mit Faltungseinfluß zu beschreiben.
Membranen verf¨
ugen h¨
aufig ¨
uber eine große Tragf¨
ahigkeit bei geringer Masse.
Das gibt ihnen die F¨
ahigkeit, große Fl¨
achen zu ¨
uberspannen. In der Architektur bzw.
im Bauwesen werden vorgespannte Membranen bei Zeltdachkonstruktionen oder bei
Traglufthallen verwendet. Bei Architekten erfreuen sich Membrankonstruktionen aus
gewissen ¨
asthetischen Gr¨
unden einiger Beliebtheit. In [26] zeigt F. Otto Beispiele f¨
ur
solche Konstruktionen. Durch ihre hohe Tragf¨
ahigkeit bei gleichzeitig geringem Ge-
wicht sind Membranen sehr gut f¨
ur Leichtbaukonstruktionen geeignet. Beispiele f¨
ur
große Leichtbaukonstruktionen sind die wieder in Mode kommenden Luftschiffe, wie
der Zeppelin NT oder der Entwurf des Cargolifter CL 160, die eine Membranh¨
ulle
als tragende Struktur nutzen. Ballons, Ultraleichtflugzeuge und Drachenflieger sind
weitere Beispiele f¨
ur im Leichtbau verwendete Membranen. Membranen sind wegen
der geringen Biegesteifigkeit sehr flexibel. Durch diese Flexibilit¨
at k¨
onnen Membra-
nenkonstruktionen leicht an unterschiedliche Bedingungen oder Arbeitszust¨
ande an-
gepaßt werden, wie das z.B. bei der Steuerung von Paraglidern oder beim Trimmen
von Segeln der Fall ist. Da Membranen sehr flexibel sind, k¨
onnen sie auf kleinem
Raum verstaut und bei Bedarf entfaltet werden. Die popul¨
arste Membranstruktur, die
1
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
von dieser Eigenschaft Gebrauch macht, d¨
urfte der Airbag sein. Desweiteren kommen
Membranen in der Raumfahrt zum Einsatz. So wurden bei der Landung der Marssonde
Pathfinder Airbags verwendet, um einen Teil des Landestoß aufzunehmen. Ein anderes
Beispiel ist das solar sail project des DLR, welches das Antriebskonzept f¨
ur Satelliten
mittels Sonnensegel bei Ausnutzung des sogenannten Sonnenwindes erprobt. Neben
diesen Anwendungen kann die Membrantheorie unter Umst¨
anden zur Simulation von
Umformprozessen d¨
unner Bleche verwendet werden. Weitere Anwendungsgebiete der
Membrantheorie sind die Medizintechnik und die Biomechanik.
1.1 Zum Stand der Entwicklung
Wegen der zahlreichen Anwendungen ist das Interesse an Berechnungsverfahren f¨
ur
Membranstrukturen sehr groß. In der Vergangenheit wurden Verfahren zur Analyse
komplexer Membranstrukturen entwickelt. Dabei nimmt die finite Elemente Methode
(siehe [2], [44], [48]) einen zentralen Platz ein. Aber auch mit anderen numerischen
Methoden wie der Randelemente–Methode, (siehe z.B. [15]) k¨
onnen Membranen er-
folgreich analysiert werden. F¨
ur den Zeitraum bis 1996 gibt Jenkins in [14] einen ¨
Uber-
blick ¨
uber den Stand der Technik bei der Analyse statisch und dynamisch belasteter,
nichtlinearer Membranen.
Bei der strukturmechanischen Betrachtung von Membranen muß dem Ph¨
anomen
der Membranfaltung Aufmerksamkeit geschenkt werden. Membranen sind sehr effek-
tiv bei Zugbeanspruchung, k¨
onnen jedoch wegen der sehr geringen Biegesteifigkeit
kaum Druckbeanspruchung ertragen. In der Vergangenheit war die Membranfaltung
Gegenstand einer Vielzahl von Untersuchungen. Wagner [42] und Reissner [29] f¨
uhr-
ten die Idee eines Zugfeldes ein. In den darauf folgenden Jahren analysierten zahlrei-
che Autoren das Faltungsph¨
anomen. Dabei wurden im Prinzip drei Wege beschritten.
Als erstes ist die naheliegende Idee zu nennen, das Materialgesetz zu modifizieren.
Dieses Konzept ist jedoch in der Regel auf isotrope, linear elastische Membranen be-
schr¨
ankt. Zum zweiten gibt es Methoden, die auf Betrachtungen der Form¨
anderungs-
energie basieren. Als dritte Herangehensweise ist die Modifizierung der Membranki-
nematik zu nennen.
Modifizierung des Materialgesetzes: Die ersten Analysen von Membranen mit Fal-
tung beschr¨
ankten sich auf linear elastisches Materialverhalten und geometrisch li-
neare F¨
alle. Den Arbeiten von Wagner [42] und Reissner [29] aus den Jahren 1929
bzw. 1938 folgte unter anderem 1961 eine Arbeit von Stein & Hedgepeth. Auf dieser
Theorie bauten Miller & Hedgpeth [23] sowie Miller, Hedgepeth, Weingarten, Das &
Kahayi [24] auf. Die Faltung wird hier durch eine Modifikation des Materialgesetzes
ber¨
ucksichtigt. Oelbermann analysierte 1982 in [25] die Faltung plastisch deformierter
Membranen durch einen ingenieurm¨
aßigen Eingriff in das plastische Materialgesetz.
Er wendete dieses Verfahren auf Formgebungsprozesse z.B. f¨
ur Parabolspiegel großer
Antennen an. Contri & Schrefler stellen 1988 in [9] einen geometrisch nichtlinearen
1.2. ¨
UBER DIESE ARBEIT
3
Faltenalgorithmus f¨
ur ein Material ohne Druckspannungen (no–compression material
model) vor. Stanuszek nutzt in [38] zur Simulation der Faltung die Seilanalogie und
wertet die L¨
angung oder Stauchung der Seiten des finiten Elementes aus.
Energetische L¨
osungsans¨
atze: Mansfield formulierte 1970 in [22] eine geome-
trisch lineare Theorie zur Bestimmung des Zugfeldes in Membranen. Das Zugfeld
wird aus der Forderung bestimmt, daß die Verzerrungsenergie einen Extremwert an-
nimmt. 1986 zeigte Pipkin in [27], daß die Zugfeldtheorie durch eine Modifikation
der Verzerrungsenergiedichte in die herk¨
ommlichen Membrantheorie eingeordnet wer-
den kann. Diese modifizierte Verzerrungsenergiedichte (relaxed energy density) stellt
sicher, daß in der Membran keine Druckspannungen auftreten. Die von Pipkin ein-
gef¨
uhrte Idee einer modifizierten Verzerrungsenergiedichte wurde 2001 von Epstein
& Forcinito [10] aufgegriffen. Ziegler, Wagner & Bletzinger stellten in [46] bzw. [47]
einen auf energetischen Betrachtungen basierenden Faltenalgorithmus vor, der analog
zu L¨
osungsverfahren plastischer Materialgesetze funktioniert.
Kinematische L¨
osungsans¨
atze: Eine Manipulation der Membrankinematik zur
Erzeugung eines einachsigen Membrankraftzustandes wird erstmals von Wu [45]
eingef¨
uhrt. Roddeman entwickelte 1987 in [30] eine Faltentheorie, in der die Faltung
durch eine Korrektur des Deformationsgradienten ber¨
ucksichtigt wird. Diese Theorie
kommt ohne Annahmen zum Materialverhalten aus und ist somit weitgehend an-
wendbar. In der Folgezeit sind auf Grundlage der Roddemanschen Theorie weitere
Arbeiten erschienen. Taenzer [39] wendete bei der Simulation von Segeln das Rod-
demansche Verfahren auf die Schnittmustermethode von Schoop [33] an. Seokwoo
& Seyoung [37], Lu, Accorsi & Leonard (2001 [18]) und Schoop, Taenzer & Hornig
[34], [35] geben jeweils referenzbezogene Formulierungen eines Faltenalgorithmus
auf Grundlage der Roddemanschen Theorie an. Ebenfalls auf einem kinematischen
Ansatz basiert die Arbeit von Wiedemann [43]. Chiu, Benson, Fiscella & Burns
stellten 1994 in [8] auf Grundlage der Roddemanschen Theorie ein Verfahren vor, daß
Temperatureinfl¨
usse auf die Faltung von Polymermembranen ber¨
ucksichtigt.
Allen diesen Theorien ist gemein, daß sie das Tragverhalten der Membran bei Fal-
tung bestimmen k¨
onnen. Die gefaltete Lage selbst bleibt unbestimmt, w¨
ahrend die
mittlere Lage ermittelt werden kann. Um eine Absch¨
atzung der gefalteten Lage zu ge-
ben,f¨
uhren Liu, Jenkins & Schur [17] nach der Ermittlung des Membrankraftzustandes
lokal eine Analyse zur Bestimmung der Wellenl¨
ange und Amplitude der Falten durch,
bei der die Biegeeigenschaften in Rechnung gestellt werden.
1.2 ¨
Uber diese Arbeit
Ziel dieser Arbeit ist es, Algorithmen zur Analyse der Faltung bei geometrisch und
physikalisch nichtlinearen Membranen zu entwickeln und anzuwenden. Grundlage
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG
hierf¨
ur ist die Faltentheorie nach Roddeman aus [30] und [31] in der referenzbezo-
genen Darstellung von Schoop, Taenzer & Hornig [35]. Die neu entwickelten Algo-
rithmen sollen Effekte wie Plastizit¨
at und Thermoelastizit¨
at ber¨
ucksichtigen k¨
onnen.
F¨
ur linear elastisches Materialverhalten wird das Faltungsproblem analytisch betrach-
tet. Die Betrachtungen in dieser Arbeit beschr¨
anken sich auf die Membranstatik.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut:
Kapitel 2 befaßt sich mit der L¨
osung von strukturmechanischen Problemen, ins-
besonderen bei Membranen. Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist das in die-
ser Arbeit verwendete numerische Verfahren, mit welchem die Randwertprobleme der
Membranstatik gel¨
ost werden. Kapitel 2 gibt eine kurzen ¨
Uberblick ¨
uber die hier ver-
wendeten finiten Elemente.
In Kapitel 3 wird das Faltungsph¨
anomen, die Roddeman Theorie und deren Trans-
formation aus der Momentankonfiguration in die Referenzkonfiguration beschrieben.
Eine konsistente Linearisierung f¨
ur den FE-Algorithmus wird angegeben. Dieses Ka-
pitel bildet die Grundlage f¨
ur die neu entwickelten Faltenalgorithmen.
Mit der Membranfaltung bei einem linear elastischen Materialverhalten besch¨
aftigt
sich das Kapitel 4. In diesem Fall sind weitgehend analytische Betrachtungen m¨
oglich.
F¨
ur einfache Beispiele werden L¨
osungen angegeben.
Ein L¨
osungsverfahren f¨
ur Faltung bei Auftreten von plastischen Deformationen
wird in Kapitel 5 vorgestellt. Dabei wird das Konzept der multiplikativen Zerlegung
des Deformationsgradienten genutzt. Das Faltenkriterium muß modifiziert werden.
Große Beachtung ist in diesem Falle den Startwerten f¨
ur die Iteration des Faltenal-
gorithmus zu schenken. Hierbei kann man auf Ergebnisse aus Kapitel 4 zur¨
uckgreifen.
Aus dem Faltenalgorithmus f¨
ur inelastische Membranen kann ein Verfahren abgelei-
tet werden, das thermische Einfl¨
usse auf die Membranfaltung ber¨
ucksichtigt. Dieses
Verfahren wird in Kapitel 6 vorgestellt.
Beispiele f¨
ur numerische Strukturberechnungen werden in Kapitel 7 gegeben. Das
Vorgehen bei diesen Berechnungen wird erl¨
autert. Die Leistungsf¨
ahigkeit und die
Grenzen des vorgestellten Verfahrens sollen in einem Vergleich von Rechnung und
Experiment f¨
ur das Beispiel der verdrillten Kreisringmembran aufgezeigt werden.
Im Anhang (Kapitel 9) werden die mathematischen und kontinuumsmechanischen
Grundlagen dargelegt. Die verwendete Notation wird, sofern sie nicht eindeutig ist,
erl¨
autert. Auf die Beschreibung von Fl¨
achen, des Deformations- und Membrankraft-
zustandes sowie auf das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (P.d.v.V.) als eine Form
der Gleichgewichtsbedingungen wird eingegangen. Die in dieser Arbeit zur Anwen-
dung kommenden Materialgesetze werden vorgestellt.
Kapitel 2
Numerische Behandlung der
Membran
Zur Bearbeitung komplexer strukturmechanischer Problemstellungen hat sich die fini-
te Elemente Methode als ein Standardverfahren etabliert. In diesem Kapitel wird die
Formulierung von Membranelementen (constant strain Dreiecks- und bilineares Vier-
eckselement) beschrieben. Auf die L¨
osungsverfahren zur Bestimmung der Gleichge-
wichtslage einer Membranstruktur wird kurz eingegangen. Im Rahmen dieser Arbeit
wird auf Elementformulierungen von Schoop [33] und Taenzer [39] zur¨
uckgegriffen.
Diese Elemente basieren auf der Schnittmustermethode. Details zur Elementformu-
lierung findet man auch bei Verhoeven [41] und L¨
ubcke [19]. F¨
ur die Ermittlung der
Elementsteifigkeiten und der Knotenkr¨
afte wird bei den hier gew¨
ahlten Elementfor-
mulierungen der Membrankraftzustand und die Membransteifigkeit ben¨
otigt. Diese
k¨
onnen durch die Membranfaltung beeinflußt sein. Die im weiteren vorgestellten Fal-
tenalgorithmen lassen sich ohne Probleme in die vorhandenen Elementformulierungen
einf¨
ugen und liefern dem finiten Element die ben¨
otigten Membrankr¨
afte und Steifig-
keiten entsprechend des Faltungszustandes.
Bei der Herstellung zahlreicher Membranstrukturen wird aus ebenen, nach einem
Schnittmuster gefertigten Bahnen eine r¨
aumlich gekr¨
ummte Membran zusammenge-
setzt. Auf die finite Elemente Methode ¨
ubertragen heißt das, daß es eine aus mehre-
ren Teilen bestehende, ebene Referenzkonfiguration (RKF) der Membranstruktur gibt.
Diese ebenen Einzelteile werden in der r¨
aumlichen, aktuellen Lage (oder Momen-
tankonfiguration, MKF) zusammengef¨
ugt. Programmtechnisch geschieht diese Ver-
kn¨
upfung der einzelnen Membranteile zur gesamten Membranstruktur durch je eine
Knoten- und Elementnumerierung f¨
ur die Referenzkonfiguration und die Momentan-
konfiguration. Hierdurch k¨
onnen unterschiedliche Knoten in der RKF einem Knoten
in der MKF zugewiesen werden. Die Knotenanzahl in der RKF und der MKF ist in
der Regel unterschiedlich. Der Grundgedanke der Schnittmustermethode ist in Abbil-
dung 2.1 veranschaulicht. Bei der Umsetzung dieser Idee ist darauf zu achten, daß
an den R¨
andern zweier Teile, die in der MKF eine gemeinsame Nahtstelle bilden,
die RKF–Knotenabst¨
ande jeweils gleich oder zumindest fast gleich sind. Besteht eine
5
6
KAPITEL 2. NUMERISCHE BEHANDLUNG DER MEMBRAN
PSfrag replacements
ebene Referenz
X1
X2
3D-Membran, MKF
x1
x2
x3
Abbildung 2.1: Ebenes Schnittmuster und r¨
aumliche Membran
kleine Differenz in der RKF, so bedeutet dies, daß die Dehnungen l¨
angs dieser Seite in
den zwei angrenzenden finiten Elementen unterschiedlich sind. Das entspr¨
ache einer
“Stoffzugabe” in einem realen Fertigungsprozeß.
Ausgangspunkt der FE-Formulierung bildet hier das Prinzip der virtuellen Ver-
schiebungen (P.d.v.V)
δAi=δAa(2.1)
mit den inneren bzw. ¨
außeren virtuellen Arbeiten δAiund δAa.
Die virtuelle ¨
außere Arbeit eines Elementes: F¨
ur ein Element lautet die virtuelle
¨
außere Arbeit der Fl¨
achenlasten pund des Gewichts q
δAa
el =Za
p·δxda +ZA
q·δxdA (2.2)
=Za
piδxida +ZA
qiδxidA (2.3)
Hierbei sind
•pder Vektor Fl¨
achenlast auf der Membran,
•qder Vektor Gewichtslast der Membran
•dA, A das Fl¨
achendifferential bzw. die Elementfl¨
ache in der RKF
•da, a das Fl¨
achendifferential bzw. die Elementfl¨
ache in der MKF
Der Index iverweist auf die Richtungen ei. F¨
ur iund andere lateinische Indizes gilt
in der Regel i= 1,2,3. Ausnahmen sind Knotenindizes eines finiten Elementes. Grie-
chische Indizes k¨
onnen die Werte 1 und 2 annehmen, so daß z.B. α= 1,2gilt.
2.1. GREENSCHE VERZERRUNGEN IM FINITEN ELEMENT
7
Die virtuellen Verschiebungen δx(bzw. die Variation der Koordinaten der Mem-
branfl¨
ache) werden mit den noch einzuf¨
uhrenden Ansatzfunktionen interpoliert. Somit
geht die Variation δxin eine Variation der diskreten Knotenfreiwerte δxn¨
uber.
Desweiteren sind die an einem Rand sder Membran wirkenden Randlasten PCzu
ber¨
ucksichtigen. Die statisch gleichwertige Aufteilung der linienhaft verteilten Rand-
last auf Knoteneinzelkr¨
afte erfolgt durch Anwendung der noch einzuf¨
uhrenden In-
terpolationsvorschriften auf die virtuellen Verschiebungen δxim Arbeitsausdruck der
Randlasten entsprechend Gleichung 9.41:
δAa
Rand =Zs
δx·PCds (2.4)
F¨
ur Details wird z.B. auf Zienkiewicz [48] verwiesen.
Die virtuelle innere Arbeit eines Elementes ist:
δAi
el =ZA
S··δDdA =ZA
Sαβ δDβα dA (2.5)
Zur Beschreibung der virtuellen inneren Arbeit ist eine Formulierung der Verzerrun-
gen in Abh¨
angigkeit von den Elementfreiheitsgraden, d.h. der Knotenkoordinaten xik
notwendig. Die Indizes der Knotenkoordinaten xik haben die folgende Bedeutung:
•i – Richtungsindex, er kennzeichnet die drei Koordinatenrichtungen ei
•k – Knotenindex, er l¨
auft ¨
uber die lokalen Knotennummern des Elementes
F¨
ur die Referenzkoordinaten Xαk gilt Gleiches mit den Referenzrichtungen e1und
e2. Die eingef¨
uhrte lokale Knotennumerierung wird in den Abbildungen 2.2 und 2.3
gezeigt.
2.1 Greensche Verzerrungen im finiten Element
Ziel ist im folgenden, die Greenschen Verzerrungen
D=Dαβ eα◦eβ=1
2(FiαFiβ −δαβ)eα◦eβ(2.6)
im Membranelement zu bestimmen.
8
KAPITEL 2. NUMERISCHE BEHANDLUNG DER MEMBRAN
PSfrag replacements
ebene Referenz
e1
e2
1
2
34
ξ
η
Abbildung 2.2: Viereckselement in der Referenzebene
Viereckselement: Zur Beschreibung der Membranfl¨
ache werden die Fl¨
achenkoor-
dinaten qΛ(mit Λ = 1,2)
q1=ξ q2=η(2.7)
verwendet. Die Position der Membran in der Referenzkonfiguration wird zwischen den
Elementknoten bilinear interpoliert:
X=hkXkoder Xα=hkXαk (2.8)
Es soll ein isoparametrisches Element verwendet werden, so daß f¨
ur die Momentan-
konfiguration der Ansatz
x=hkxkoder xi=hkxik (2.9)
gilt. Die Funktionen f¨
ur die bilineare Interpolation lauten:
h1=1
4(1 + η) (1 + ξ)(2.10)
h2=1
4(1 −η) (1 + ξ)(2.11)
h3=1
4(1 −η) (1 −ξ)(2.12)
h4=1
4(1 + η) (1 −ξ)(2.13)
Mit den eingef¨
uhrten Beschreibungen der Fl¨
achen in der Referenz und der aktuellen
Lage kann nun der Deformationsgradient Fiα
Fiα =∂xi
∂Xα
=∂xi
∂qΛ
∂qΛ
∂Xα
(2.14)
bestimmt werden. Die Ableitung
∂xi
∂qΛ=∂hkxik
∂qΛ(2.15)
kann aus den gegebenen Ansatzfunktionen ermittelt werden, so daß mit der Jacobi
Matrix bzw. der inversen Jacobi Matrix
JΛα=∂hkXαk
∂qΛJ−1
Λα=∂qΛ
∂hkXαk
(2.16)
2.1. GREENSCHE VERZERRUNGEN IM FINITEN ELEMENT
9
auch der Deformationsgradient bestimmt ist:
Fiα =∂hk
∂qΛxikJ−1
Λα(2.17)
Die Greenschen Verzerrungen ergeben sich dann aus Gleichung 2.6.
Dreieckselement: Zur Beschreibung der Membranfl¨
ache werden wieder die
Fl¨
achenkoordinaten qΛverwendet.
q1=ξ q2=η(2.18)
PSfrag replacements
ebene Referenz
e1
e2
1
2
3
ξ
η
Abbildung 2.3: Dreieckselement in der Referenzebene
Die Ansatzfunktionen f¨
ur das Dreiknotenelement sind
L1= 1 −ξ−η(2.19)
L2=ξ(2.20)
L3=η(2.21)
Mit den Knotenkoordinaten und den Interpolationsfunktionen werden die Referenz-
konfiguration
X=LkXkoder Xα=LkXαk (2.22)
und die Momentankonfiguration
x=Lkxkoder xi=Lkxik (2.23)
beschrieben. Der Deformationsgradient
Fiα =∂xi
∂Xα
=xik
∂Lk
∂Xα
(2.24)
ist relativ leicht zu bestimmen, da die Gleichung 2.22 einfach invertiert werden kann.
ξ=1
2A[(X23 −X21)X1+ (X11 −X13)X2+ (X13X21 −X11X23)] (2.25)
η=1
2A[(X21 −X22)X1+ (X12 −X11)X2+ (X11X22 −X12X21)] (2.26)
10
KAPITEL 2. NUMERISCHE BEHANDLUNG DER MEMBRAN
Die f¨
ur den Deformationsgradienten notwendigen Ableitungen
∂Lk
∂Xα
=∂Lk
∂qΛ
∂qΛ
∂Xα
(2.27)
k¨
onnen somit direkt gebildet werden. Ist der Deformationsgradient bekannt, so ergeben
sich die Greenschen Verzerrungen aus Gleichung 2.6.
2.2 Knotenkr¨
afte und Steifigkeitsmatrix
Sind die Verzerrungen bestimmt, so ergeben sich die Membrankr¨
afte Sαβ aus dem Ma-
terialgesetz. Die Variation der Dehnungen in der virtuellen inneren Arbeit (Gleichung
2.5) geht durch die Diskretisierung in eine Variation der Knotenkoordinaten xik ¨
uber
und man erh¨
alt
δAi
el =ZA
Sαβ
∂Dβα
∂xik
dA δxik =fi,el
ik δxik (2.28)
Dabei sind
fi,el
ik =ZA
Sαβ
∂Dβα
∂xik
dA (2.29)
die inneren Knotenkr¨
afte des Elementes. Analog verf¨
ahrt man auch mit den ¨
außeren
Lasten in Gleichung 2.3. Durch Ableitung der Elementknotenkr¨
afte nach den Element-
freiheitsgraden erh¨
alt man die Elementsteifigkeitsmatrix (hier ohne den Laststeifig-
keitsanteil):
Ki,el
ik mn =∂fi,el
ik
∂xmn
(2.30)
=ZAµ∂Sαβ
∂Dγδ
∂Dγδ
∂xmn
∂Dβα
∂xik
+Sαβ
∂2Dβα
∂xik∂xmn ¶dA (2.31)
Die notwendigen Integrationen werden beim Viereckselement numerisch mit der Gauß
Integration ausgef¨
uhrt (siehe z.B. [2], [28], [48]). Beim Dreieckselement ist der Inte-
grand konstant.
In den Knotenkr¨
aften und Elementsteifigkeiten Gleichungen 2.29 und 2.31 ist der
Einfluß der Membranfaltung auf die Gr¨
oßen Sαβ bzw. ∂Sαβ
∂Dγδ zu ber¨
ucksichtigen.
Globales Knotengleichgewicht: F¨
ur die gesamte Struktur ergeben sich die diskre-
tisierten Gleichgewichtsbedingungen. Randlasten werden durch Auswertung der Be-
ziehung 2.4 in den ¨
außeren Kr¨
aften ber¨
ucksichtigt. Geometrische Randbedingungen
2.2. KNOTENKR ¨
AFTE UND STEIFIGKEITSMATRIX
11
gehen durch vorgeschriebenen Knotenverschiebungen oder z.T. in Form von Neben-
bedingungen (hierzu siehe Taenzer [39]) in die Analyse ein. Die globalen inneren und
¨
außeren Knotenkr¨
afte m¨
ussen die Bedingung
fi(a)−fa(a) = 0(2.32)
erf¨
ullen. Die Vektoren fiund faenthalten die gesamten an den Knoten wirkenden inne-
ren bzw. ¨
außeren Kr¨
afte und werden aus den Elementknotenkr¨
aften zusammengesetzt.
Im Vektor asind alle unbekannten Knotenkoordinaten zu einem Vektor zusammen-
gefaßt. Wird zum Auffinden der Gleichgewichtslage das Newton Raphson Verfahren
verwendet, so ist das Gleichungssystem
K(a)·∆a=fa(a)−fi(a)(2.33)
zu l¨
osen. Kist die Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystems, die in der Regel von der
Momentankonfiguration abh¨
angig ist. Aus dem Inkrement ∆aergeben sich die neuen
Knotenkoordinaten im Rahmen des Iterationsprozesses
aneu =a+ ∆a(2.34)
12
KAPITEL 2. NUMERISCHE BEHANDLUNG DER MEMBRAN
Kapitel 3
Faltentheorie
Membranen sind sehr d¨
unne Fl¨
achentragwerke mit geringer, vernachl¨
assigbarer Bie-
gesteifigkeit. Bekanntlich treten bei Fl¨
achentragwerken unter gewissen Umst¨
anden In-
stabilit¨
atserscheinungen auf. Wegen der sehr geringen Biegesteifigkeit wird hier ange-
nommen, daß Membranen nur Zugkr¨
afte ¨
ubertragen k¨
onnen. Die Faltetheorie bzw. der
Faltenalgorithmus soll diesem Umstand Rechnung tragen und sicherstellen, daß bei
numerischen Simulationen in der Membranstruktur ein Zugfeld bestimmt wird. Einem
Ansatz Roddemans folgend werden in dieser Arbeit die vom finiten Element vorge-
gebenen Dehnungen so korrigiert, daß gerade ein einachsiger Membrankraftzustand
hervorgerufen wird. In diesem Kapitel werden die Membran- und die Schalentheorie,
deren M¨
oglichkeiten sowie die in beiden Theorien verwendeten Begriffe gegen¨
uberge-
stellt. Die Roddemansche Faltentheorie wird erl¨
autert, eine Transformation der Falten-
kinematik und der Faltenbedingung in die Referenzkonfiguration durchgef¨
uhrt sowie
eine konsistente Linearisierung f¨
ur die FE–Methode angegeben. Dar¨
uber hinaus wird
eine Variante des Faltenalgorithmus f¨
ur 3D–Formulierungen des Materialgesetzes vor-
gestellt.
¨
Ublicherweise werden Instabilit¨
atserscheinungen bei Fl¨
achentragwerken mit Hil-
fe der Schalentheorie analysiert. Eine Gegen¨
uberstellung der Schalentheorie mit der
Membrantheorie bzw. Faltentheorie soll der ¨
Ubersichtlichkeit bei den hier verwende-
ten Begriffen dienen.
Schalentheorie: Hierbei wird die Biegesteifigkeit des Tragwerks ber¨
ucksichtigt und
Biegeeffekte in Rechnung gestellt. Zur Beschreibung des Tragwerks werden die Ko-
ordinaten einer Bezugsfl¨
ache und Rotationsfreiheitsgrade (oder gleichwertige Frei-
heitsgrade) verwendet. Instabilit¨
aten treten bei Erreichen einer kritischen Last auf.
Prinzipiell ist mit der Schalentheorie eine Analyse des ¨
uberkritischen Strukturverhal-
tens m¨
oglich. Aus einer Nachbeulanalyse k¨
onnen detaillierte Informationen ¨
uber den
Deformations- und den Spannungszustand gewonnen werden.
Membrantheorie: In der Membrantheorie bleiben Biegeeffekte unber¨
ucksichtigt.
Die Biegesteifigkeit des Tragwerks wird vernachl¨
assigt. Zur Beschreibung der Mem-
branstruktur sind die Koordinaten einer Bezugsfl¨
ache ausreichend. Auf Rotationsfrei-
13
14
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
heitsgrade kann verzichtet werden. Somit wird die Problemformulierung deutlich ein-
facher als bei der Schalentheorie. Aus der Vernachl¨
assigung der Biegeeffekte resul-
tieren allerdings auch Einschr¨
ankungen in der Leistungsf¨
ahigkeit der Membrantheo-
rie. So ist die genaue Lage der gefalteten (gebeulten) Membran nicht bestimmbar. Es
wird hier mit einer fiktiven Konfiguration gearbeitet. Die Aussagen zum Membran-
kraftzustand tragen globalen Charakter. Eine detaillierte Analyse des Deformationszu-
standes ist mit der Membrantheorie f¨
ur eine gefaltete Membran im allgemeinen nicht
m¨
oglich. Trotzdem ist die Membrantheorie gut geeignet, Aussagen zum Tragverhalten
von Membranstrukturen zu treffen.
Schalentheorie Membran- bzw. Faltentheorie
Tragwerk mit Biegesteifigkeit, Bie-
geeffekte werden voll erfaßt Tragwerk ohne Biegesteifigkeit,
Biegeeffekte werden vernachl¨
assigt
kritische Last Faltenkriterium
Nachbeulanalyse Faltenbedingung
Berechnung der Beulform m¨
oglich keine Berechnung der gefalteten
Lage m¨
oglich, Betrachtung einer
”fiktiven” Konfiguration
Tabelle 3.1: Gegen¨
uberstellung von Schalen- und Membrantheorie
3.1 Faltenkriterium
Es werden drei Zust¨
ande einer Membran unterschieden:
•die straffe Membran
•die regellos gefaltete oder schlaffe Membran und
•die homogen gefaltete Membran.
Das Faltenkriterium soll Auskunft dar¨
uber geben, ob bei den gegebenen Umst¨
anden
Faltung eintritt. In der Vergangenheit wurden einige Faltenkriterien formuliert. Die-
se Faltenkriterien basieren auf der Auswertung entweder des Membrankraftzustandes
(siehe Otto & Trostel [26]) oder des Dehnungszustandes (siehe Miller et al. [24]).
Einen guten ¨
Uberblick ¨
uber die Entwicklung des Faltenkriteriums findet man bei Zieg-
ler [47]. In dieser Arbeit wird das gemischte Faltenkriterium von Roddeman aus [30]
verwendet. Dieses Faltenkriterium nutzt Informationen sowohl ¨
uber den Membran-
kraftzustand als auch ¨
uber den Dehnungszustand, (hier mit den 2. Piola Kirchhoff
Membrankr¨
aften und den Greenschen Verzerrungen formuliert):
•Straffer Zustand: Eine Membran ist straff, wenn die Hauptmembrank¨
afte SIund
SII gr¨
oßer Null sind, d.h. wenn SI>0und SII >0gilt.
3.1. FALTENKRITERIUM
15
PSfrag replacements
Referenz
straff
voll tragf¨
ahig nicht tragf¨
ahig auch tragf¨
ahig
regellose Faltung homogene Faltung
Abbildung 3.1: Die drei Zust¨
ande einer Membran
•Schlaffer Zustand: Eine Membran ist schlaff (oder regellos gefaltet), wenn der
Dehnungszustand ausschließlich durch Stauchungen gekennzeichnet ist, d.h.
wenn f¨
ur die Hauptdehnung DI<0und DII <0gilt. Im schlaffen Zustand
sind die Membrankr¨
afte gleich Null. Die Membran besitzt in diesem Zustand
keine Steifigkeit.
•Homogen gefaltete Membran: Wenn eine Membran weder straff noch schlaff ist,
tritt der homogen gefaltete Zustand auf. Dieser Zustand ist durch einen einach-
sigen Membrankraftzustand gekennzeichnet. Die homogene Faltung und deren
Auswirkungen auf die Membransteifigkeit wird in Kapitel 3.2 untersucht.
Dieses Faltenkriterium gilt nicht nur f¨
ur linear elastisches Material, sondern f¨
ur al-
le hyperelastischen Materialien, sofern keine Materialinstabilit¨
at auftritt. Wiedemann
weist in [43] darauf hin, daß die regellose Faltung bei vorhandenen Fl¨
achenlasten wie
Gewicht oder Luftdruck nicht auftritt.
F¨
ur eine isotrope Membran sind die Bereiche der m¨
oglichen Zust¨
ande in Abbil-
dung 3.2 im Hauptdehnungsraum dargestellt. Hierbei wird DI> DII angenommen.
Die Grenze zwischen dem straffen und dem gefalteten Zustand ist durch die Linie
DII =−ν DI, d.h. SI> SII >0, gegeben. Dehnungszust¨
ande oberhalb dieser Linie
f¨
uhren zu einer straffen Membran. Die vertikale Linie DI= 0 kennzeichnet die Gren-
ze zwischen dem gefalteten und dem schlaffen Zustand. Interessant ist die Gerade
DII =−ν DI. Unterhalb dieser Geraden gilt 0> SI> SII . Bei dem mit Mem-
brankr¨
aften formulierten Faltenkriterium (siehe [26]), welches das Auftreten von zwei
negativen Hauptmembrankr¨
aften als einen schlaffen Zustand interpretiert, wird diese
Linie als Grenze zwischen dem gefalteten und dem schlaffen Zustand angenommen.
Da hier mit einem zweiachsigen Materialgesetz gearbeitet wird, jedoch der Membran-
kraftzustand aufgrund der Faltung einachsig ist, ist diese Annahme 0> SI> SII f¨
ur
den schlaffen Zustand nicht korrekt. Der Bereich, in dem dieser Effekt auftreten kann,
ist grau markiert. Solange eine Hauptdehnung positiv ist, kann bei stabilem Material-
verhalten regellose Faltung ausgeschlossen werden.
16
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
PSfrag replacements
DI=DII
DII =−ν DI
DII =−1
νDI
DI
DII
straff
schlaff gefaltet
schlaff bei Faltenkriterium aus [26]
Abbildung 3.2: Fallunterscheidung bei einer isotropen Membran im Hauptdehnungs-
raum
3.2 Homogene Membranfaltung nach Roddeman
Wagner [42] und Reissner [29] f¨
uhren die Idee eines Zugfeldes, in dem ein einachsiger
Membrankraftzustand herrscht, ein. Die Richtung der Zugkraft in der Membran wird
durch den Einheitsvektor n⊥gekennzeichnet. Senkrecht zur Zugrichtung (oder auch
Faltenrichtung) ist die Faltungsrichtung n.
3.2.1 Faltenkinematik
Um einen einachsigen Membrankraftzustand bei einem vorgegebenen, vom finiten
Element ermittelten Dehnungszustand zu gew¨
ahrleisten, schl¨
agt Roddeman [30] eine
Korrektur der Membrankinematik vor. Hierzu werden die folgenden Konfigurationen
mit zugeh¨
origem Deformationsgradienten eingef¨
uhrt. Die Konfigurationen sind in Ab-
bildung 3.3 dargestellt.
•Der Deformationsgradient ˜
Fbildet die Membran von der Referenz in die tat-
s¨
achlich bestehende, gefaltete Lage ab. Diese gefaltete Lage kann mit der Mem-
brantheorie nicht bestimmt werden. Allerdings ist zur Analyse des Tragverhal-
tens die Kenntnis der komplizierten Abbildung ˜
Fnicht notwendig.
•Die Abbildung Fbeschreibt den ¨
Ubergang der Membran von der Referenz in
3.2. HOMOGENE MEMBRANFALTUNG NACH RODDEMAN
17
PSfrag replacements
x1
x1
x1
x2
x2
x2
x3
x3
x3
X1
X2
b
b
b
`
`0
`0
n
n
n
n⊥
n⊥
n⊥
fiktive Konfiguration
mittlere Lage
gefaltete Membran
F
˜
F
F0
Referenz
Abbildung 3.3: Faltenkinematik der homogenen Faltung
eine mittlere Lage. Diese Lage wird z.B. durch die Interpolationsfunktionen der
finiten Elemente beschrieben. Die L¨
ange `dieser Mittelfl¨
ache in Faltungsrich-
tung nist k¨
urzer als die entlang dieser Richtung tats¨
achlich vorhandene L¨
ange
`0. Somit sind die aus dieser Konfiguration ermittelten Dehnungen nicht f¨
ur eine
korrekte Bestimmung des Membrankraftzustandes geeignet.
•Denkt man sich die gefaltete Membran in die durch nund n⊥aufgespannte Ebe-
ne abgewickelt, so erh¨
alt man die fiktive Konfiguration. In dieser Konfiguration
stimmt die L¨
ange in Faltungsrichtung nmit der wirklichen L¨
ange `0der gefalte-
ten Membran ¨
uberein. Die aus dieser Konfiguration ermittelten Dehnungen sind
f¨
ur die Membrankraftbestimmung geeignet. Der zugeh¨
orige Deformationsgradi-
ent wird mit F0bezeichnet.
18
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
Die Breite bist in allen drei Konfigurationen gleich. Die L¨
ange der mittleren Lage `
und die tats¨
achliche L¨
ange der gefalteten Membran `0werden durch das Roddeman-
sche Faltungsmaß βRin Beziehung gesetzt:
`0= (1 + βR)`(3.1)
PSfrag replacements
gefaltete Membran mit L¨
ange `0
mittlere Lage mit L¨
ange `
n
Abbildung 3.4: L¨
angen der gefalteten und der mittleren Konfiguration entlang der Fal-
tungsrichtung
Roddeman ber¨
ucksichtigt die Faltung dadurch, daß ein Korrekturterm im Defor-
mationsgradient eingef¨
uhrt wird:
F0= (E3+βRn◦n)·F(3.2)
(.)0kennzeichnet im weiteren Gr¨
oßen, die sich auf die korrigierte Kinematik 3.2 be-
ziehen. E3ist der r¨
aumliche Einheitstensor. Somit wird bei der Abbildung eines Lini-
enelementes aus der Referenz in die aktuelle Lage in Faltungsrichtung neine um den
Faktor (1 + βR)gr¨
oßere L¨
ange ber¨
ucksichtigt, als die mittlere Lage vorgibt. F0gibt
somit die tats¨
achliche L¨
ange richtig wieder. In einer homogen gefalteten Membran
herrscht ein einachsiger Membrankraftzustand. Bei der von Roddeman eingef¨
uhrten
Korrektur des Deformationsgradienten F0in Gleichung 3.2 sind nun die Faltungsrich-
tung nund das Faltungsmaß βRso zu w¨
ahlen, daß ein einachsiger Membrankraftzu-
stand erzeugt wird. Zun¨
achst soll jedoch die Bedingung des einachsigen Membran-
kraftzustandes formuliert werden.
3.2.2 Faltenbedingung
In der Membran herrscht ein einachsiger Membrankraftzustand. Das heißt, daß an ei-
nem Schnitt entlang der Zugrichtung n⊥der aus der Membran austretende Kraftvek-
tor dkC(siehe Kapitel 9.4) verschwindet. Roddeman formuliert die Bedingung des
einachsigen Membrankraftzustandes mit den Cauchy Membrankr¨
aften SC:
0=n·SC(F0)(3.3)
Gleichung 3.3 wird Faltenbedingung genannt. Die vektoriell formulierten Faltenbe-
dingungen k¨
onnen auch durch zwei skalare Gleichungen ausgedr¨
uckt werden, in dem
Gleichung 3.3 mit nbzw. n⊥skalar multipliziert wird:
0 = n·SC(F0)·n(3.4)
0 = n·SC(F0)·n⊥(3.5)
3.3. TRANSFORMATION DER FALTENKINEMATIK
19
Die Erf¨
ullung der Faltenbedingungen stellt einen einachsigen Membrankraftzustand
sicher. Der verbleibende, von Null verschiedene Membrankrafthauptwert, muß positiv
sein, um eine physikalisch sinnvolle L¨
osung des Faltenproblems zu ergeben.
3.3 Transformation der Faltenkinematik
Die von Roddeman eingef¨
uhrte Faltenkinematik und Faltenbedingung sind mit den
Gr¨
oßen βR,nund SC(F0)formuliert, die sich s¨
amtlich auf die aktuelle Lage beziehen.
Es ist mit Hinblick auf die FE–Formulierung und im Falle eines anisotropen Material-
verhaltens zweckm¨
aßig, diese auf die aktuelle Tangentialebene bezogenen Gleichun-
gen in die Referenzebene zu transformieren. Im folgenden soll diese Formulierung auf
referenzbezogene Gr¨
oßen entsprechend des von Schoop, Taenzer & Hornig in [35]
vorgestellten Verfahrens hergeleitet werden. Die M¨
oglichkeit einer solchen Darstel-
lung wurde auch von Seokwoo & Seyoung in [37] sowie von Lu, Accorsi & Leonard in
[18] gezeigt. Einen Ansatz zur Transformation findet man ebenfalls bei Taenzer [39].
Taenzer f¨
uhrt die polare Zerlegung des Deformationsgradienten F=R·Uin den
Strecktensor Uund den Drehtensor Rdurch und bildet die orthogonalen Richtungen
nund n⊥mit dem Drehtensor Rin ein Paar orthogonaler Einheitsvektoren in die Re-
ferenzebene ab. Diese Grundidee wird hier aufgegriffen und modifiziert. Dem Vektor
nwird durch die Umkehrung der materiellen Abbildung Fein in der Referenzebene
liegender Vektor hzugeordnet (siehe Abbildung 3.5):
n=F·h=h·FT(3.6)
h=F−1·n=n·F−T(3.7)
Im allgemeinen ist hkein Einheitsvektor. Der korrigierte Deformationsgradient F0
PSfrag replacements
x1
x2
x3
F
h
n
RKF
MKF
Abbildung 3.5: R¨
ucktransformation der aktuellen Faltenrichtung in die Referenz
Gleichung 3.2 kann mit Gleichung 3.6 umgeschrieben werden:
F0=¡E3+βRn◦h·FT¢·F(3.8)
Mit dem rechten Cauchy Green Verzerrungstensor Cder mittleren Konfiguration
C=FT·F(3.9)
20
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
erh¨
alt F0die Form
F0=F+βRn◦(h·C)(3.10)
Die korrigierten Greenschen Dehnungen
D0=1
2³F0T·F0−E´(3.11)
ergeben sich somit zu
D0=1
2£¡FT+βRh·C◦n¢·(F+βRn◦C·h)−E¤(3.12)
=D+µβR+β2
R
2¶h·C◦C·h(3.13)
Der Vektor C·hliegt in der Referenzebene. Es ist zweckm¨
aßig, einen neuen Einheits-
PSfrag replacements
x1
x2
x3
N
h
n
α
RKF
MKF
Abbildung 3.6: Vektoren n,hund Nzur Beschreibung der Faltenrichtung
vektor Nin der Referenzebene sowie ein neues Faltenmaß βeinzuf¨
uhren. Nhat die
gleiche Richtung wie der Vektor C·h. Der korrigierte Greensche Verzerrungstensor
schreibt sich nunmehr als
D0=D+βN◦N(3.14)
Durch Vergleich der beiden Darstellungsformen f¨
ur die Dehnungen nach Gleichung
3.13 und 3.14 erh¨
alt man die Beziehungen zwischen den Roddemanschen Gr¨
oßen βR,
nund den referenzbezogenen Gr¨
oßen β,N. Die Richtungen der Vektoren Nund C·h
sind identisch. Folglich ist βein Vielfaches von ³βR+β2
R
2´, d.h. es gilt z.B.
β=1
k2µβR+β2
R
2¶(3.15)
Dann folgt aus den Gleichungen 3.13 und 3.14
1
k2N◦N=h·C◦C·h(3.16)
3.3. TRANSFORMATION DER FALTENKINEMATIK
21
woraus wiederum der Schluß
1
kN=h·C=C·h(3.17)
gezogen werden kann. Es wird nun von der Beziehung h=F−1·n=n·F−T(Glei-
chung 3.7) Gebrauch gemacht. Das f¨
uhrt auf die Beziehung
1
kN=n·F=FT·n(3.18)
oder
n=1
kN·F−1=1
kF−T·N(3.19)
Das Skalarprodukt der linken bzw. rechten Seite mit sich selbst liefert einen Ausdruck
f¨
ur k2
k2=N·C−1·N(3.20)
Die Gleichung 3.15 kann nach βRaufgel¨
ost werden (unter Ber¨
ucksichtigung von
βR>0)
βR=p(1 + 2βk2)−1(3.21)
Die Umrechnung von referenzbezogenen Gr¨
oßen in Roddemansche Gr¨
oßen in zu-
sammengefaßter Form:
n=1
kN·F−1(3.22)
h·C=1
kN(3.23)
βR=p(1 + 2βk2)−1(3.24)
mit
k=√N·C−1·N
An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, daß trotz der Tatsache, daß
die tats¨
achliche, gefaltete Lage der Membran nicht ermittelt werden kann, eine
Absch¨
atzung der Faltenh¨
ohe fm¨
oglich ist. Dies geschieht unter der Annahme einer
sinusf¨
ormigen Falte
w(x) = fsin µ2π
`x¶
F¨
ur die Bogenl¨
ange `0ist das Integral
`0=
`
Z0s1 + µdw
dx ¶2
dx
zu l¨
osen. F¨
ur Abbildung 3.7 ist das Integral numerisch bestimmt worden. Die Grafik
zeigt die Faltenmaße βR=¡`0
`−1¢sowie βf¨
ur die Werte k= 1.0und k= 1.1in
Abh¨
angigkeit vom Verh¨
altnis f2
`2.
22
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
0
0.5
1
1.5
2
PSfrag replacements
f2
`2
βR
βf¨
ur k= 1
βf¨
ur k= 1.1
1
36
1
25
1
16
1
9
Abbildung 3.7: Zusammenhang zwischen der maximalen Auslenkung fund der Fal-
tenmaße
3.4 Transformation der Faltenbedingungen
Es soll hier ein Materialgesetz f¨
ur die 2. Piola Kirchhoff Membrankraft verwendet
werden.
S0=S(F0)(3.25)
Hierzu ist bei Verwendung des korrigierten Deformationsgradienten die Transformati-
on 9.38
SC(F0) = dA
da F0·S0·F0T
auf die Faltenbedingung Gleichung 3.3
0=n·SC(F0)
anzuwenden. Da der von Null verschiedene Faktor dA
da f¨
ur die Erf¨
ullung der Faltenbe-
dingung unwesentlich ist, geht Gleichung 3.3 in
0=n·F0·S(F0)·F0T(3.26)
¨
uber. Der Term n·F0soll im folgenden genauer untersucht werden. Dieses Produkt
wird mittels der Darstellung des korrigierten Deformationsgradienten 3.10 zu
n·F0=n·(F+βRn◦(h·C)) = n·F+βR(h·C)(3.27)
3.4. TRANSFORMATION DER FALTENBEDINGUNGEN
23
Nach Anwendung von Gleichung 3.18 auf den Term n·Fund von Gleichung 3.23 auf
den Term h·Cergibt sich
n·F0=1
k(1 + βR)N(3.28)
Wiederum ist f¨
ur die Erf¨
ullung der Faltenbedingung der Faktor (1 + βR)in Gleichung
3.28 unwesentlich. Als Zwischenergebnis kann die Faltenbedingung
N·S0·F0T=0(3.29)
notiert werden. Die Faltenbedingung 3.29 kann analog zu den Gleichungen 3.5 durch
zwei skalare Gleichungen ausgedr¨
uckt werden. Hierzu wird Gleichung 3.29 skalar mit
den Vektoren nbzw. n⊥multipliziert.
0 = N·S0·F0T·n(3.30)
0 = N·S0·F0T·n⊥(3.31)
Es kann nun wieder von der Beziehung 3.28 Gebrauch gemacht werden und man erh¨
alt
aus Gleichung 3.30
0 = N·S0·N(3.32)
Der Vektor F0T·n⊥liegt in der Referenzebene. F¨
ur diesen in der Referenzebene lie-
genden Vektor ist eine Darstellung in der Form
F0T·n⊥=λN+κN⊥(3.33)
m¨
oglich. Setzt man dieses in Gleichung 3.31 ein und beachtet, daß wegen der Glei-
chung 3.32 ein Anteil verschwindet, so erh¨
alt man die zweite Faltenbedingung in der
referenzbezogenen Darstellung
0 = N·S0·N⊥(3.34)
Der Einheitsvektor N⊥liegt in der Referenzebene und steht senkrecht auf N. Die Ma-
terielle Richtung von N⊥ist im allgemeinen verschieden von der materiellen Richtung
des Vektors n⊥, d.h. N⊥und n⊥zeigen entlang unterschiedlicher materieller Fasern
der Membran. Mit
0 = N·S0·N
0 = N·S0·N⊥
haben die Faltenbedingungen eine referenzbezogene Darstellung erhalten, die formal
¨
ahnlich zur Roddemanschen Formulierung (Gleichungen 3.4 und 3.4) ist.
24
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
3.5 Numerische L¨
osung der Faltenbedingungen
Ziel des Faltenalgorithmus soll es sein, eine L¨
osung der Faltenbedingung 3.32 und
3.34 zu ermitteln. Zur Beschreibung der Einheitsvektoren Nund N⊥wird der Winkel
αeingef¨
uhrt, der von der e1–Achse aus zum Vektor Nz¨
ahlt (siehe Abbildung 3.6).
N= cos αe1+ sin αe2(3.35)
N⊥=−sin αe1+ cos αe2(3.36)
Die korrigierten Greenschen Verzerrungen (Gleichung 3.14) lauten in Matrixschreib-
weiseµD0
11 D0
12
D0
12 D0
22 ¶=µD11 D12
D12 D22 ¶+βµcos2αsin αcos α
sin αcos αsin2α¶(3.37)
bzw. nach Anwendung von Additionstheoremen
µD0
11 D0
12
D0
12 D0
22 ¶=µD11 D12
D12 D22 ¶+β
2µ(1 + cos 2α) sin 2α
sin 2α(1 −cos 2α)¶(3.38)
Die Faltenbedingungen 3.32 und 3.34 haben die Form
0 = N·S(D0)·N=f1(α, β)(3.39)
0 = N·S(D0)·N⊥=f2(α, β)(3.40)
Da die Membrankr¨
afte bei vorgegebenen Dehnungen Dnur von αund βabh¨
angen,
sind die Gleichungen 3.39 und 3.40 zwei algebraische Gleichungen f¨
ur αund β. Sie
sind im allgemeinen gekoppelt und nichtlinear. Nach Ausf¨
uhrung der skalaren Mul-
tiplikationen und Anwendung von Additionstheoremen lauten die Faltenbedingungen
schließlich
f1(α, β) = S0
11 +S0
22
2+S0
11 −S0
22
2cos 2 α+S0
12 sin 2 α= 0 (3.41)
f2(α, β) = −S0
11 −S0
22
2sin 2 α+S0
12 cos 2 α= 0 (3.42)
Die L¨
osung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mit dem Newton Verfahren.
W¨
ahrend des Iterationsprozesses werden αund βmit den Inkrementen 4αund 4β
aktualisiert:
αneu =α+4α(3.43)
und
βneu =β+4β(3.44)
Die Inkremente 4αund 4βerh¨
alt man aus
µf1,α f1,β
f2,α f2,β ¶µ4α
4β¶=µ−f1
−f2¶(3.45)
3.6. KONSISTENTE LINEARISIERUNG
25
Hierbei sind f1,α,f1,β usw. die partiellen Ableitungen der Faltenbedingungen f1und
f2nach αbzw. β. Im Einzelnen sind diese Ableitungen:
1
2
∂f1
∂α =1
2(C11γδ +C22γδ)∂D0
γδ
∂2α+1
2(C11γδ −C22γδ)∂D0
γδ
∂2αcos 2α+
+C12γδ
∂D0
γδ
∂2αsin 2α+f2(3.46)
1
2
∂f2
∂α =−1
2(C11γδ −C22γδ)∂D0
γδ
∂2αsin 2α+C12γδ
∂D0
γδ
∂2αcos 2α+
−S0
11 −S0
22
2cos 2α−S0
12 sin 2α(3.47)
∂f1
∂β =1
2(C11γδ +C22γδ)∂D0
γδ
∂β +1
2(C11γδ −C22γδ)∂D0
γδ
∂β cos 2α+
+C12γδ
∂D0
γδ
∂β sin 2α(3.48)
∂f2
∂β =−1
2(C11γδ −C22γδ)∂D0
γδ
∂β sin 2α+C12γδ
∂D0
γδ
∂β cos 2α(3.49)
mit den Membransteifigkeiten Cαβγδ =∂S0
αβ
∂D0
γδ , die f¨
ur den Dehnungszustand D0
γδ vom
Materialgesetz her bekannt sind, und den Ableitungen der korrigierten Dehnungen
Gleichung 3.38
∂D0
γδ
∂2α=β
2µ−sin 2αcos 2α
cos 2αsin 2α¶(3.50)
und
∂D0
γδ
∂β =1
2µ(1 + cos 2α) sin 2α
sin 2α(1 −cos 2α)¶(3.51)
Sind αund βbekannt, so ist praktisch auch der Membrankraftzustand S(D0)bekannt.
Lu et al. geben in [18] einen Bereich an, in dem die Faltungsrichtung αliegen muß.
Diese Information kann zur Erlangung einer Vorsch¨
atzung f¨
ur das Newton Verfahren
genutzt werden.
3.6 Konsistente Linearisierung
Im Rahmen der Newton Iteration des FE–Algorithmus (Gleichung 2.31) wird die Ab-
leitung der Membrankr¨
afte S(D0)nach den vom Element vorgegebenen Verzerrungen
Dben¨
otigt.
26
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
Bei ¨
Uberg¨
angen vom gefalteten in den straffen Zustand usw. kann nicht davon
ausgegangen werden, daß diese Ableitung ¨
uberhaupt existiert. F¨
ur den Großteil der In-
tegrationspunkte kann aber angenommen werden, daß bei einer kleinen ¨
Anderung der
Momentankonfiguration der jeweilige Membranzustand beibehalten wird und somit
die Ableitung gebildet werden kann. Mit der Kettenregel erh¨
alt man zun¨
achst
dSαβ ¡D0
ξη¢
dDγδ
=∂S0
αβ
∂D0
κλ
dD0
κλ
dDγδ
(3.52)
Die Ableitung ∂S(D0)
∂D0ist f¨
ur einen ermittelten Dehnungszustand D0aus dem Mate-
rialgesetz her bekannt. Bei der Bildung der Ableitung dD0(D,α,β)
dDist zu ber¨
ucksichti-
gen, daß neben dem direkten Einfluß von Dauf die korrigierten Dehnungen D0auch
Auswirkungen auf die Faltungsrichtung αund das Faltenmaß βbestehen. Die totale
¨
Anderung von D0
κλ lautet:
dD0
κλ
dDγδ
=∂D0
κλ
∂Dγδ
+∂D0
κλ
∂α
dα
dDγδ
+∂D0
κλ
∂β
dβ
dDγδ
(3.53)
Zur Bestimmung der Ableitungen von αund βwird angenommen, daß die homogene
Faltung nicht nur im Dehnungszustand Dγδ besteht, sondern auch in einem Nachbarzu-
stand. Das heißt, es gibt bei einer kleinen ¨
Anderung der mittleren Lage keinen ¨
Uber-
gang zu den anderen Membranzust¨
anden straff oder schlaff. Dieser Nachbarzustand
erf¨
ullt somit auch die Faltenbedingungen Gleichung 3.39 und 3.40. Die Zuw¨
achse dfi
m¨
ussen demnach verschwinden:
dfi=∂fi
∂Dγδ
dDγδ +∂fi
∂α dα +∂fi
∂β dβ = 0 (3.54)
mit i= 1,2. Teilt man Gleichung 3.54 durch dDγδ so ergibt sich das lineare Glei-
chungssystem
µf1,α f1,β
f2,α f2,β ¶
dα
dDγδ
dβ
dDγδ
=
∂f1
∂Dγδ
∂f2
∂Dγδ
(3.55)
Die 2 x 2 Matrix auf der linken Seite entspricht der aus Gleichung 3.45. Die Ableitun-
gen der rechten Seite sind
∂f1
∂Dγδ
=1
2(C11γδ +C22γδ) + 1
2(C11γδ −C22γδ) cos 2α+C12γδ sin 2α(3.56)
und
∂f2
∂Dγδ
=−1
2(C11γδ −C22γδ) sin 2α+C12γδ cos 2α(3.57)
Nach dem L¨
osen des Gleichungssystems 3.55 k¨
onnen die Membransteifigkeiten bei
homogener Faltung mittels Gleichung 3.53 und Gleichung 3.52 ermittelt werden.
3.7. BEISPIEL: EINFACHE SCHERUNG
27
3.7 Beispiel: Einfache Scherung
In diesem Abschnitt wird der Faltenalgorithmus auf einen vorgegebenen Dehnungszu-
stand der mittleren Lage angewendet. Eine quadratische Membran erf¨
ahrt eine einfa-
che Scherdeformation. Der Deformationsprozeß wird durch die Eckpunktverschiebung
vbeschrieben. Bei einer Membranbreite aherrscht der Dehnungszustand
D11 =1
2³v
a´2(3.58)
D22 = 0 (3.59)
D12 =1
2
v
a=D21 (3.60)
PSfrag replacements
v
e1
e2
a
Abbildung 3.8: Einfache Scherdeformation einer quadratischen Membran
Als Geometriewerte werden gew¨
ahlt:
•Breite a= 100 mm
•Membrandicke h= 1 mm
3.7.1 Einfache Scherung bei linearem, orthotropem Material
Die Untersuchungen werden mit dem linearen, orthotropen Material entsprechend
Gleichung 9.56 durchgef¨
uhrt. Die Materialkennwerte sind
•E–Modul E= 100 N
mm2
•ν= 0.3
Der Orthotropieparameter fwird variiert.
28
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
Isotrope Membran: Zun¨
achst wird der Fall f= 1 betrachtet. Das Material ist iso-
trop. Abbildungen 3.9 und 3.10 zeigen die Gr¨
oßen der referenzbezogenen Darstellung
(α, β) im Vergleich zu den Roddemanschen Gr¨
oßen (αR, βR). Da in diesem Beispiel
die aktuelle Tangentialebene der mittleren Lage und die Referenzebene der Membran
identisch sind, ist ein Vergleich der Faltungsrichtungen m¨
oglich. αRbeschreibt die
Richtung des Roddemanschen Vektors nvon der e1–Achse aus gez¨
ahlt. Zu Beginn
2.15
2.25
2.35
2.45
2.55
0 20 40 60 80 100
PSfrag replacements
α,αR[rad]
v[mm]
α
αR
Abbildung 3.9: Einfache Scherung einer isotropen Membran, Vergleich der Faltungs-
richtung
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0 20 40 60 80 100
PSfrag replacements
β,βR
v[mm]
β
βR
Abbildung 3.10: Einfache Scherung einer isotropen Membran, Vergleich der Falten-
maße
des Deformationsprozesses (hier werden nichtlineare Effekte noch nicht wirksam) ist
die Faltungsrichtung in beiden Darstellungsformen 2.356 rad oder 135◦. Dieser Win-
kel beschreibt die Richtung der verschwindenden Membrankraft SII . Folglich wirkt
3.7. BEISPIEL: EINFACHE SCHERUNG
29
die Zugkraft SIanfangs unter einem Winkel von 45◦, was den Erwartungen entspricht.
Die unterschiedlichen Darstellungen der Faltungsrichtung durch die Maße αRund α
f¨
uhren zu unterschiedlichen Verl¨
aufen der Kurven in Abbildung 3.9. W¨
ahrend der
tats¨
achliche Faltungswinkel αRmit der Scherung w¨
achst (was unmittelbar plausibel
ist), sinkt α. Eine anschauliche Deutung dessen ist m¨
oglich, wenn man sich in Erin-
nerung ruft, daß die Verzerrungen einer in der Referenz zur e1–Richtung ausgerichte-
ten Faser quadratisch anw¨
achst. Somit drehen sich auch die Hauptdehnungsrichtungen
der Greenschen Verzerrungen bei steigender Scherverformung mehr zur e1–Achse hin.
Die Faltenmaße βund βRwachsen zu Beginn der Scherverformung an. Dabei ist βR
gr¨
oßer als β, was unmittelbar aus Gleichung 3.24 folgt. F¨
ur gr¨
oßere Verzerrungen je-
doch sinken die Faltenmaße. Das ist ein Effekt, der durch die Querkontraktion des
Materials hervorgerufen wird.
Orthotrope Membran: Es wird nun der Einfluß der Orthotropie des Materials auf
die Faltung untersucht. Abbildung 3.11 zeigt die Faltungsrichtung αf¨
ur eine Mem-
bran aus isotropem bzw. orthotropem Material mit f= 10 und f= 20. Wie bei
der isotropen Membran w¨
achst das Faltenmaß βzun¨
achst an, sinkt jedoch bei großen
Dehnungen wieder ab. Es gibt einen ¨
Ubergang vom gefalteten Zustand zum straffen
Zustand. Dies kann wieder mit der Querkontraktion der Membran erkl¨
art werden. Der
¨
Ubergang geschieht bei einer Eckpunktverschiebung von v= 42 mm f¨
ur (f= 10)
und bei v= 30 mm f¨
ur (f= 20).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 20 40 60 80 100
PSfrag replacements
α[rad]
v[mm]
f= 1
f= 10
f= 20
Abbildung 3.11: Einfache Scherung, Faltungsrichtung bei variiertem Orthotropiepara-
meter f
30
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 20 40 60 80 100
PSfrag replacements
β
v[mm]
f= 1
f= 10
f= 20
Abbildung 3.12: Einfache Scherung, das Faltenmaß βbei variiertem Orthotropiepara-
meter f
3.7.2 Einfache Scherung bei nichtlinearem, orthotropem Material
Eine Membran aus nichtlinearem, orthotropem Material (siehe Abschnitt 9.6.2) wird
betrachtet. Die 13 Materialkonstanten a1bis a12 und Gsind
a1= 4.5833788617464097 103N/mm
a2= 5.3246302438914472 103N/mm
a3= 4.7373511015620670 103N/mm
a4= 2.3829785670827889 104N/mm
a5= 2.6911041299716388 104N/mm
a6= 2.6804476706876583 104N/mm
a7= 2.7628374255494393 104N/mm
a8= 1.1694449446391579 105N/mm
a9= 1.8425863486021743 105N/mm
a10 = 3.3106277485927223 105N/mm
a11 = 1.1316881082253151 105N/mm
a12 = 9.8739830023017115 104N/mm
G= 200.00N/mm
Dieses Material war w¨
ahrend eines fr¨
uhen Entwicklungsstadiums in der Auswahl f¨
ur
einen Luftschiffentwurf. F¨
ur den Test des Faltenalgorithmus soll es hier zur Anwen-
dung kommen. Das nichtlineare Material zeigt das aus den voran gegangenen Unter-
suchungen bereits bekannte Verhalten. Allerdings tritt der ¨
Ubergang vom gefalteten
in den straffen Zustand bereits sehr fr¨
uh ein. Verl¨
aufe der Faltungsrichtung αund des
Faltenmaßes βsind in Abbildung 3.13 bzw. 3.14 dargestellt. Bei allen Berechnungen
3.8. FALTENALGORITHMUS MIT 3D–MATERIALGESETZ
31
erwies sich der Faltenalgorithmus als sehr robust. Numerische Probleme traten nicht
auf.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10
PSfrag replacements
α[rad]
v[mm]
Abbildung 3.13: Einfache Scherung, Faltungsrichtung f¨
ur ein nichtlineares Material
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
0 2 4 6 8 10
PSfrag replacements
β
v[mm]
Abbildung 3.14: Einfache Scherung, Faltenmaß βf¨
ur ein nichtlineares Material
3.8 Faltenalgorithmus mit 3D–Materialgesetz
Bei den bisherigen Betrachtungen wurde das Materialverhalten der Membran mit einer
2D–Formulierung beschrieben, d.h. mit einer Beziehung zwischen planaren Dehnun-
gen Dαβ und Membrankr¨
aften Sαβ. Die Bedingung des ebenen Spannungszustandes
(ESZ) war a priori erf¨
ullt. In einigen F¨
allen (siehe z.B. Kapitel 9.6) liegt das Material-
gesetz jedoch in einer 3D–Form vor. Im weiteren erfolgt die Beschreibung des Materi-
32
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
als mit den dreidimensionalen Greenschen Dehnungen Dij und den 2. Piola Kirchhoff
Spannungen Tij (siehe Gleichung 9.27) wobei i, j = 1,2,3gilt.
In diesem Falle ist Bedingung des ebenen Spannungszustandes T0
33 = 0 nicht
ohne Weiteres erf¨
ullt. Neben den Faltenbedingungen ist somit auch noch die ESZ–
Bedingung zu befriedigen. Die Faltenbedingungen selber werden mit den planaren
Spannungen Tαβ formuliert. F¨
ur den Dehnungszustand einer Membran gilt
Dij b=
D11 D12 0
D12 D22 0
0 0 D33
(3.61)
Die Problemformulierung erfolgt nun f¨
ur die Gr¨
oßen α,βund die Dickenverzerrung1
D=D0
33.
f1(α, β, D) = T0
11 +T0
22
2+T0
11 −T0
22
2cos 2 α+T0
12 sin 2 α= 0 (3.62)
f2(α, β, D) = −T0
11 −T0
22
2sin 2 α+T0
12 cos 2 α= 0 (3.63)
f3(α, β, D) = T0
33 = 0 (3.64)
Die Dickenverzerrung Dwird in diesem Zusammenhang als von αund βunabh¨
angig
aufgefaßt. Die L¨
osung des nicht linearen Gleichungssystems erfolgt wie in Abschnitt
3.5 mit dem Newton Verfahren. Die Inkremente 4α,4βund 4Dergeben sich aus
dem lineare Gleichungssystem
f1,α f1,β f1,D
f2,α f2,β f2,D
f3,α f3,β f3,D
4α
4β
4D
=−
f1
f2
f3
(3.65)
Die Komponenten der Jacobi Matrix lauten:
1
2
∂f1
∂α =1
2̶T0
11
∂D0
γδ
+∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂2α+1
2̶T0
11
∂D0
γδ −∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂2αcos(2α) +
+∂T0
12
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂2αsin(2α) + f2(3.66)
1
2
∂f2
∂α =−1
2̶T0
11
∂D0
γδ −∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂2αsin(2α) + ∂T0
12
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂2αcos(2α) +
−1
2(T0
11 −T0
22) cos(2α)−T0
12 sin(2α)(3.67)
1Aufgrund der Faltenkorrektur der planaren Dehnungen sind bei gefordertem ebenen Spannungszu-
stand die zugeh¨
origen Dickenverzerungen D33 und D0
33 nicht identisch.
3.8. FALTENALGORITHMUS MIT 3D–MATERIALGESETZ
33
1
2
∂f3
∂α =∂T0
33
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂2α(3.68)
∂f1
∂β =1
2̶T0
11
∂D0
γδ
+∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂β +1
2̶T0
11
∂D0
γδ −∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂β cos(2α) +
+∂T0
12
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂β sin(2α)(3.69)
∂f2
∂β =−1
2̶T0
11
∂D0
γδ −∂T0
22
∂D0
γδ !∂D0
γδ
∂β sin(2α) + ∂T0
12
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂β cos(2α)(3.70)
∂f3
∂β =∂T0
33
∂D0
γδ
∂D0
γδ
∂β (3.71)
∂f1
∂D =1
2µ∂T0
11
∂D0
33
+∂T0
22
∂D0
33 ¶+1
2µ∂T0
11
∂D0
33 −∂T0
22
∂D0
33 ¶cos(2α) +
+∂T0
12
∂D0
33
sin(2α)(3.72)
∂f2
∂D =−1
2µ∂T0
11
∂D0
33 −∂T0
22
∂D0
33 ¶sin(2α) + ∂T0
12
∂D0
33
cos(2α)(3.73)
∂f3
∂D =∂T0
33
∂D0
33
(3.74)
F¨
ur die partiellen Ableitungen ∂D0
γδ
∂2αund ∂D0
γδ
∂β gelten wieder die Gleichung 3.50 bzw.
3.51. Die partiellen Ableitungen ∂T 0
ij
∂D0
kl sind hier die Materialsteifigkeiten, die mit den
Membransteifigkeiten Cαβγδ nicht identisch sind.
Die konsistente Linearisierung f¨
ur den FE–Algorithmus erfolgt in der selben Art
und Weise wie in Abschnitt 3.6. Hierzu werden die Materialsteifigkeiten ∂T 0
ij
∂D0
kl auf den
ebenen Spannungszustand umgerechnet.
Die ESZ–Materialsteifigkeiten erh¨
alt man mit Standardtechniken der konsistenten
Linearisierung. Da der ebene Spannungszustand
T0
33 = 0 (3.75)
34
KAPITEL 3. FALTENTHEORIE
gefordert wird, ist nun die Dickenverzerrung D0
33 keine unabh¨
angige Gr¨
oße mehr. Die
¨
Anderung von T0
33 bei einer ¨
Anderung des planaren Dehnungszustandes muß ver-
schwinden, da immer die Gleichung 3.75 gilt. In anderen Worten: das totale Diffe-
rential dT0
33 ist Null.
dT0
33 =∂T0
33
∂D0
kl
dD0
kl =∂T0
33
∂D0
αβ
dD0
αβ +∂T0
33
∂D0
33
dD0
33 = 0 (3.76)
Hierbei wurde der Dehnungszustand der Membran (Gleichung 3.61) bereits ber¨
uck-
sichtigt. Somit lautet das totale Differential der Dickenverzerrung
dD0
33 =−1
³∂T 0
33
∂D0
33 ´∂T0
33
∂D0
αβ
dD0
αβ (3.77)
Mit dieser Beziehung kann dD0
33 aus den totalen Differentialen der planaren Spannun-
gen
dT0
αβ =∂T0
αβ
∂D0
kl
dD0
kl =∂T0
αβ
∂D0
γδ
dD0
γδ +∂T0
αβ
∂D0
33
dD0
33 (3.78)
eliminiert werden und es ergibt sich
dT0
αβ =
∂T0
αβ
∂D0
γδ −1
∂T 0
33
∂D0
33
∂T0
αβ
∂D0
33
∂T0
33
∂D0
γδ
dD0
γδ (3.79)
Aus Gleichung 3.79 folgt mit Gleichung 9.29 die Membransteifigkeit C(hist die
Membrandicke).
Cαβγδ =∂S0
αβ
∂D0
γδ
=h
∂T0
αβ
∂D0
γδ −1
∂T 0
33
∂D0
33
∂T0
αβ
∂D0
33
∂T0
33
∂D0
γδ
(3.80)
Diese Membransteifigkeit muß verwendet werden, um die Ableitungen der Membran-
kr¨
afte nach den Dehnungen der mittleren Lage ∂S(D0)
∂Dzu ermitteln.
Kapitel 4
Faltung bei linearem
Materialverhalten
Die Faltenbedingungen sind gekoppelte, nichtlineare Gleichungen, deren L¨
osung im
allgemeinen nur numerisch erfolgen kann. Ein weitgehend analytischer Zugang kann
jedoch f¨
ur den Fall einer linearen Beziehung zwischen Membrankr¨
aften und den Deh-
nungen gefunden werden. In diesem Kapitel wird f¨
ur den Fall linearen Materialver-
haltens eine Bestimmungsgleichung f¨
ur die Faltungsrichtung αformuliert. Dies ist
m¨
oglich, da sich das Faltenmaß βeliminieren l¨
aßt. Bereits in [18] wurde von dieser
M¨
oglichkeit Gebrauch gemacht. In dieser Arbeit wird die Bestimmungsgleichung f¨
ur
αals Gleichung vierten Grades formuliert. Hierdurch wird ein weitgehend analytischer
Zugang zur Faltenproblematik m¨
oglich. Einige Beispiele werden analysiert.
Es soll hier die vektorielle Formulierung der Faltenbedingung verwendet werden.
N·S0=0(4.1)
Bei Anwendung der Faltenkinematik 3.14 auf das Materialgesetz 9.47 kann eine Auf-
spaltung des Membrankrafttensors S0in einen unkorrigierten Anteil und einen Falten-
anteil vorgenommen werden:
S0=C··D+C··βN◦N=S+C··βN◦N(4.2)
Die Faltenbedingung 4.1 kann ebenfalls in entsprechende Anteile zerlegt werden.
N·S
|{z}
a
+βN·C··N◦N
| {z }
b
=0(4.3)
Mit den eingef¨
uhrten Abk¨
urzungen lautet die Faltenbedingung also
a+βb=0(4.4)
35
36
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
4.1 Die Faltungsrichtung α
Wegen β > 0m¨
ussen die Vektoren aund bantiparallel sein, d.h. es muß in jedem Fall
a×b=0(4.5)
gelten. Die Vektoren aund bliegen in der Referenzebene. Bei der Bildung des Kreuz-
produktes sind die Anteile in e1–Richtung und e2–Richtung a priori Null. Nun muß
zus¨
atzlich auch noch die e3–Komponente verschwinden:
0 = a1b2−a2b1
0 = (NαSα1)³Nβˆ
Cβ2γδNγNδ´−(NαSα2)³Nβˆ
Cβ1γδNγNδ´(4.6)
F¨
uhrt man alle Operationen aus, sortiert nach Potenzen von N1und N2und nutzt
die Symmetrie des Membrankrafttensors und des Elastizit¨
atstensors aus, so bekommt
Gleichung 4.6 diese Form:
0 = N4
1{S11C1211 −S12C1111}+
+N3
1N2{S11 (2C1212 +C2211) + S12 (C1211 −2C1112 −C2111)−S22C1111}
+N2
1N2
2{S11 (C1222 + 2C2212)−S22 (2C1112 +C2111)
+S12 (2C1212 +C2211 −C1122 −2C2112)}
+N1N3
2{S11C2222 +S12 (C1222 + 2C2212 −C2122)−S22 (C1122 + 2C2112)}
+N4
2{S12C2222 −S22C2122}(4.7)
Es ist an dieser Stelle zweckm¨
aßig auf die Voigt Notation (siehe Gleichung 9.50,
9.51 und 9.52) ¨
uberzugehen. Die Vektorkomponenten von Nsind N1= cos αund
N2= sin α.
0 = cos(α)4{σ1V13 −τV11}+
+ cos(α)3sin(α){σ1(2V33 +V12)−2τV13 −σ2V11}+
+ cos(α)2sin(α)2{3σ1V23 −3σ2V13}+
+ cos(α) sin(α)3{σ1V22 + 2τV23 −σ2(2V33 +V12)}+
+ sin(α)4{τV22 −σ2V23}(4.8)
Die Koeffizienten der trigonometrischen Ausdr¨
ucke werden mit k0bis k4abgek¨
urzt.
k0={σ1V13 −τV11}(4.9)
k1={σ1(2V33 +V12)−2τV13 −σ2V11}(4.10)
k2={3σ1V23 −3σ2V13}(4.11)
k3={σ1V22 + 2τV23 −σ2(2V33 +V12)}(4.12)
k4={τV22 −σ2V23}(4.13)
4.2. DAS FALTUNGSMASS
β37
Mit den eingef¨
uhrten Abk¨
urzungen lautet Gleichung 4.8 nun
k0cos(α)4+k1cos(α)3sin(α) + k2cos(α)2sin(α)2+
+k3cos(α) sin(α)3+k4sin(α)4= 0 (4.14)
Multipliziert man Gleichung 4.14 mit 1
cos(α)4und substituiert ξ= tan(α), so bekommt
man eine Gleichung 4. Ordnung (der Fall cos α= 0 bzw. k4= 0 wird in Kapitel 4.3.1
gesondert diskutiert).
k0+k1ξ+k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4= 0 (4.15)
Diese Gleichung 4. Ordnung f¨
ur ξkann prinzipiell analytisch gel¨
ost werden. Die
L¨
osung der Gleichung 4.15 gibt Aufschluß ¨
uber die Faltungsrichtung. Man muß al-
lerdings beachten, daß die L¨
osung nicht eindeutig ist. Zum einen, da Gleichung 4.15
vier L¨
osungen besitzt. Zum anderen, da sich eine Mehrdeutigkeit der L¨
osung durch
die Substitution ξ=tan(α)ergibt. Die richtige L¨
osung des Faltenproblems muß
1. β > 0
2. σII = 0 und σI>0(positive Hauptmembrankraft)
gew¨
ahrleisten. Selbstverst¨
andlich muß f¨
ur eine physikalisch sinnvolle L¨
osung ξreell
sein.
4.2 Das Faltungsmaß β
Da hier ein linear elastisches Material betrachtet wird, tritt das Faltungsmaß βin der
Faltenbedingung 4.3 als ein linearer Faktor auf. Das Faltenmaß βkann somit bei be-
kannter Faltungsrichtung leicht ermittelt werden. Dazu wird die Vektorgleichung 4.3
mit dem Vektor Nskalar multipliziert.
0 = N·S·N+βN·C··N◦N·N(4.16)
Die Gleichung 4.16 lautet in Indexschreibweise
NγNδSγδ +βNκNλNµNνCκλµν = 0 (4.17)
Durch einfache Umformungen erh¨
alt man das Faltenmaß
β=−NγNδSγδ
NκNλNµNνCκλµν
(4.18)
bzw. bei Verwendung der Voigt-Notation
β=(4.19)
−σ1N2
1+σ2N2
2+ 2τN1N2
V11N4
1+V22N4
2+ 2 (2V33 +V12)N2
1N2
2+ 4V13N3
1N2+ 4V23N1N3
2
38
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
4.3 Analytische L¨
osungen der Faltenbedingung
F¨
ur ein lineares Material k¨
onnen die Faltungsrichtung αund das Faltenmaß βim Prin-
zip analytisch bestimmt werden. Die Faltungsrichtung αfolgt aus einer L¨
osung von
Gleichung 4.15. In [7] sind die L¨
osungen einer Gleichung 4. Ordnung angegeben. Da
diese L¨
osungen f¨
ur allgemeine F¨
alle nur schwer zu notieren sind, wurden sie in Fort-
ran implementiert. F¨
ur nichtlinear elastische Membranen k¨
onnen die so gewonnenen
Werte f¨
ur αund βals Vorsch¨
atzung f¨
ur das Newton Verfahren dienen. Im folgenden
werden einige Spezialf¨
alle untersucht.
4.3.1 Sonderf¨
alle verschwindender Koeffizienten k
0bzw. k4
k4= 0:F¨
ur den ¨
Ubergang von Gleichung 4.14 nach Gleichung 4.15 wurde k46= 0
gefordert. Dies stellt sicher, daß cos(α) = 0 keine L¨
osung von Gleichung 4.14 sein
kann. Bei k4= 0 wird Gleichung 4.14 zu
0 =cos(α){k0cos(α)3+k1cos(α)2sin(α) +
+k2cos(α) sin(α)2+k3sin(α)3}(4.20)
Somit enth¨
alt cos(α) = 0 m¨
ogliche L¨
osungen, die auf ihre Zul¨
assigkeit gepr¨
uft werden
m¨
ussen. Weitere m¨
ogliche L¨
osungen ergeben sich aus der kubischen Gleichung, die
aus Gleichung 4.20 resultiert.
k0+k1ξ+k2ξ2+k3ξ3= 0 (4.21)
k0= 0:In diesem Fall kann Gleichung 4.15 als
ξ{k1+k2ξ+k3ξ2+k4ξ3}= 0 (4.22)
geschrieben werden. M¨
ogliche L¨
osungen folgen aus ξ= tan(α) = 0 und aus der ver-
bleibenden kubischen Gleichung. Die L¨
osung ξ= tan(α) = 0 kann f¨
ur k0= 0 ohne
Probleme aus der Gleichung 4. Ordnung 4.15 gewonnen werden. Deshalb sind im Ge-
gensatz zum Fall k4= 0 hier keine zus¨
atzlichen ¨
Uberlegungen notwendig.
4.3.2 Isotrope Membran
Bei einem isotropen, linear elastischen Material (Kappus–Material) gilt f¨
ur die Stei-
figkeitswerte der Voigt Matrix
V11 =V22 = 2V33 +V12 =Viso
V12 =νV11 =νV22 =νViso sowie
V13 =V23 = 0
4.3. ANALYTISCHE L ¨
OSUNGEN DER FALTENBEDINGUNG
39
mit der Querkontraktionszahl ν. Das Problem vereinfacht sich dadurch erheblich. Glei-
chung 4.8 lautet nun n¨
amlich
0 = {τ¡sin(α)4−cos(α)4¢+ (σ1−σ2)¡cos(α)3sin(α) + cos(α) sin(α)3¢}Viso
Aus dieser Gleichung erh¨
alt man nach Anwendung von einigen Additionstheoremen
mit den Zwischenergebnissen
sin(α)4−cos(α)4=−cos(2α)(4.23)
cos(α)3sin(α) + cos(α) sin(α)3=1
2sin(2α)(4.24)
die Beziehung f¨
ur die Faltungsrichtung α
0 = −τcos(2α) + (σ1−σ2)1
2sin(2α)(4.25)
oder
tan(2α) = 2τ
σ1−σ2
(4.26)
Das heißt zum Ersten, daß die Faltungsrichtung unabh¨
angig von der Membransteifig-
keit ist, was man bei Isotropie auch erwarten kann, und zum Zweiten, daß die Fal-
tungsrichtung αmit einer Hauptrichtung des Membrankrafttensors oder, wegen der
Koaxialit¨
at bei Isotropie, des Dehnungstensors identisch ist. Aus Gleichung 4.19 re-
sultiert der Faltenparameter β
β=−σ1cos(α)2+σ2sin(α)2+ 2τcos(α) sin(α)
Viso{cos(α)4+ sin(α)4+ cos(α)2sin(α)2}(4.27)
=−σII
Viso
=−εII −νεI(4.28)
dargestellt mit der Hauptmembrankraft σII , den Hauptdehnungen der mittleren Lage
εI,εII und der Querkontraktionszahl ν. Dieses Ergebnis ist bereits aus [35] bekannt.
4.3.3 Orthotrope Membran
Es wird im weiteren ein lineares, orthotropes Material mit
V=
V11 V12 0
V12 V22 0
0 0 V33
betrachtet. In der Gleichung 4.8 verschwindet der Koeffizient k2. Die restlichen Koef-
fizienten vereinfachen sich etwas und man erh¨
alt
k0+k1ξ+k3ξ3+k4ξ4= 0 (4.29)
40
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
bzw.
0 = −cos(α)4{τV11}+
+ sin(α)4{τV22}+
+ cos(α)3sin(α){σ1(2V33 +V12)−σ2V11}+
+ cos(α) sin(α)3{σ1V22 −σ2(2V33 +V12)}(4.30)
F¨
ur eine allgemeine L¨
osung der Gleichung sind diese Vereinfachungen zwar unbedeu-
tend, jedoch k¨
onnen einige Sonderf¨
alle untersucht werden.
Zug und Druck in den Orthotropierichtungen: F¨
ur diesen Deformationszustand
gilt γ= 0 bzw. τ= 0. Die Richtungsgleichung 4.30 vereinfacht sich somit nochmals.
0 = cos(α) sin(α){cos(α)2{σ1(2V33 +V12)−σ2V11}+
+ sin(α)2{σ1V22 −σ2(2V33 +V12)}(4.31)
M¨
ogliche Faltungsrichtungen ergeben sich zun¨
achst aus cos(α) = 0 und sin(α) = 0.
Das entspricht den Winkeln 0,π
2,π,...Der Faltenparameter βist dann
β=−σ1
V11
f¨
ur sin(α) = 0 (4.32)
oder
β=−σ2
V22
f¨
ur cos(α) = 0 (4.33)
Da βpositiv sein muß, ist die Druckrichtung also auch die Faltungsrichtung.
Zur Erf¨
ullung der Richtungsgleichung 4.31 ist es ebenfalls denkbar, daß die rechte
Klammer zu Null wird. Diese L¨
osungen scheinen unanschaulich1. Das Problem ist
bereits in [13] diskutiert worden.
Der Fall einer kombinierten Zug- und Druckbelastung einer orthotropen Membran
wird an einem konkreten Beispiel betrachtet. Eine quadratische Membran der Breite
a= 100 mm verformt sich entsprechend der in Grafik 4.1 gezeigten Weise. Bei einer
zweiachsigen Streckung der Membran ergeben sich die Greenschen Verzerrungen
ε1=1
2"µu+a
a¶2
−1#(4.34)
ε2=1
2"µv+a
a¶2
−1#(4.35)
1Zu beachten ist hierbei, daß der Faltenalgorithmus lediglich den einachsigen Membrankraftzustand
sicherstellt und keinerlei Gleichgewichts- und Randbedingungen ber¨
ucksichtigt.
4.3. ANALYTISCHE L ¨
OSUNGEN DER FALTENBEDINGUNG
41
PSfrag replacements
a= 100
X1
X2
v
u
Abbildung 4.1: Deformationszustand der Membran
F¨
ur weitere Untersuchungen wird die Verschiebung v= 10 mm festgelegt. Die Ver-
schiebung uist variabel. Die Koordinatenachsen X1und X2sind zugleich die Ortho-
tropierichtungen. Die Steifigkeitsmatrix ist
V=
V11 200
3
N
mm 0
200
3
N
mm 200 N
mm 0
0 0 200
3
N
mm
(4.36)
Im weiteren soll die Steifigkeit V11 variiert werden. Damit ist auch die Querkontrakti-
onszahl
ν2=ν1
V22
V11
(4.37)
variabel, w¨
ahrend ν1=1
3gilt. Im vorliegenden Fall ist die Faltungsrichtung α= 0.
Der Faltenparameter βist durch die Gleichung 4.32 festgelegt.
β=−σ1
V11
=−(εII +ν2εI)(4.38)
Mit den Greenschen Verzerrungen 4.34 und 4.35 ist βdann
β=−1
2"µu+a
a¶2
−1#−ν2
1
2"µv+a
a¶2
−1#(4.39)
Der Beginn der Faltung tritt bei einem uvon
u(β=0) =a
s(1 + ν2)−ν2µv+a
a¶2
−1
(4.40)
auf. Die Steifigkeit V11 nimmt im folgenden Werte von 100N/mm bis 400N/mm
an. Das entspricht einem Bereich der Querkontraktionszahl ν2von 1/6(bei
V11 = 400N/mm) bis 2/3(bei V11 = 100N/mm). Abbildung 4.2 zeigt βin
42
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
PSfrag replacements
u[mm]
β
ν2=2
3
ν2=1
3
ν2=2
9
ν2=1
6
Abbildung 4.2: Membran unter zweiachsiger Belastung (Zug und Druck)
Abh¨
angigkeit von der Verschiebung u. Die Querkontraktionszahl ν2ist hierbei ein
Parameter. Aus der Grafik ist ersichtlich, daß die Faltung je eher beginnt, desto kleiner
die Querkontraktionszahl ν2ist. Die Zahlenwerte f¨
ur die Verschiebung u(β=0) sind
u(β=0) =−7.26 mm f¨
ur ν2= 2/3
u(β=0) =−3.56 mm f¨
ur ν2= 1/3
u(β=0) =−2.36 mm f¨
ur ν2= 2/9
u(β=0) =−1.77 mm f¨
ur ν2= 1/6
Sucht man das lokale Extremum der Gleichung 4.39 auf, so sieht man, daß das Extre-
mum wegen
dβ
du =−1
aµu+a
a¶= 0 (4.41)
bei uex =−aauftritt und zwar unabh¨
angig von den Materialwerten. Es wird darauf
hingewiesen, daß bei diesem Verformungsprozeß große unkorrigierte Dehnungen auf-
treten, die korrigierten Dehnungen jedoch sehr klein sind. Die korrigierte Dehnung ε0
1
ist
ε0
1=ε1+β(4.42)
=−ν2
1
2"µv+a
a¶2
−1#(4.43)
Bei den gegebenen Werten a= 100 mm,v= 10 mm und ν2=1
6. . . 2
3liegen die
4.3. ANALYTISCHE L ¨
OSUNGEN DER FALTENBEDINGUNG
43
korrigierten Dehnungen
ε0
1=−ν2
1
2"µv+a
a¶2
−1#=−ν20.105 (4.44)
im Bereich von ε0
1=−0.07 und ε0
1=−0.0175.
Reiner Schub: Die Membran wird durch eine reine Schubverformung deformiert,
d.h. es gilt ε1=ε2= 0. Das Materialgesetz 9.53 mit den Orthotropieachsen e1und
e2wird verwendet. Da es keinerlei Normaldehnungen gibt, gilt zugleich σ1=σ2= 0.
PSfrag replacements
a
X1
X2
v
Abbildung 4.3: Reine Schubverformung einer quadratischen Membran
Die Gleichung 4.30 erh¨
alt dadurch eine sehr einfache Form.
0 = sin(α)4{τV22}−cos(α)4{τV11}(4.45)
Die Faltungsrichtung αkann aus der Beziehung
tan(α)4=V11
V22
(4.46)
ermittelt werden. Den Faltenparameter βbestimmt man mit Gleichung 4.19, die sich
im vorliegenden Fall wie folgt vereinfacht
β=−2V33γcos (α) sin (α)
V11 cos (α)4+V22 sin (α)4+ 2 (2V33 +V12) cos (α)2sin (α)2(4.47)
¨
Uber das Vorzeichen von βund damit ¨
uber die Zul¨
assigkeit der Faltenrichtung αent-
scheidet ¨
ubrigens nur der Term
−γcos (α) sin (α)(4.48)
im Z¨
ahler des Bruchs. Dieses Beispiel soll an einem konkreten Deformationszustand
untersucht werden. Es wird eine quadratische Membran mit a= 100 mm (siehe Ab-
bildung 4.3) betrachtet. Der Dehnungszustand in der Membran ist
ε1=ε2= 0 (4.49)
γ=v
a(4.50)
44
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
Die Materialwerte entsprechen denen aus Gleichung 4.36. Hier wird zun¨
achst V11 =
100 N/mm gesetzt und die Scherverschiebung in einem Bereich v= 0 mm bis
v= 50 mm variiert. Die Faltungsrichtung ist α= 2.4424 rad ≈139.9◦. Abbildung
4.4 gibt die Roddemansche Faltungsrichtung αRnach Gleichung 3.22 und das refe-
renzbezogene Richtungsmaß αwieder. Der referenzbezogene Winkel αist bei einer
2.4
2.45
2.5
2.55
2.6
2.65
2.7
2.75
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
PSfrag replacements
v[mm]
αR, α [rad]
α
αR
Abbildung 4.4: Reine Scherung, Faltungsrichtungen αund αRbei V11 = 100 N/mm
reinen Scherung weitgehend unabh¨
angig vom Schubwinkel γ(siehe Gleichung 4.46).
Lediglich das Vorzeichen von γgeht hier mit ein (siehe Gleichung 4.47). Die tats¨
achli-
che Faltungsrichtung αRw¨
achst mit zunehmendem Schubwinkel, was plausibel ist. In
Abbildung 4.5 ist dieses Ph¨
anomen veranschaulicht. Gleichung 4.47 zeigt eine lineare
Abh¨
angigkeit des Faltenparameters βvon γund somit von v. In Abbildung 4.6 wird
dieses Verhalten deutlich.
PSfrag replacements
X1
X2
Nn
α
αR
Referenz
aktuelle Lage
Abbildung 4.5: Illustration der Faltungsrichtungen αund αRbei reiner Scherung
4.3. ANALYTISCHE L ¨
OSUNGEN DER FALTENBEDINGUNG
45
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
PSfrag replacements
v[mm]
β
Abbildung 4.6: Reine Scherung, Faltenmaß βbei V11 = 100 N/mm
Die Membrankr¨
afte sind in Abbildung 4.7 dargestellt. Bei homogener Faltung tre-
ten trotz ε1=ε2= 0 Normalkr¨
afte auf, die einen einachsigen Membrankraftzustand
erzeugen.
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
PSfrag replacements
v[mm]
[N/mm]
S0
11
S0
22
S0
12
Abbildung 4.7: Reine Scherung, Membrankr¨
afte bei Faltung f¨
ur V11 = 100 N/mm
Die Abbildungen 4.8 und 4.9 zeigen die Abh¨
angigkeit der Faltungsrichtung αbzw.
des Faltenmaßes βvom Steifigkeitsquotienten V11
V22 .
46
KAPITEL 4. FALTUNG BEI LINEAREM MATERIALVERHALTEN
2.3
2.32
2.34
2.36
2.38
2.4
2.42
2.44
2.46
0.6 0.8 1 1.2 1.4
PSfrag replacements
V11
V22
α
Abbildung 4.8: Reine Scherung, Faltungsrichtung αin Abh¨
angigkeit vom Steifigkeits-
quotienten V11
V22
0.0325
0.035
0.0375
0.04
0.6 0.8 1 1.2 1.4
PSfrag replacements
V11
V22
β
α
Abbildung 4.9: Reine Scherung, Faltenmaß βin Abh¨
angigkeit vom Steifigkeitsquoti-
enten V11
V22
Kapitel 5
Faltung bei inelastischem
Materialverhalten
Treten in einer Membran inelastische Dehnungen auf, so kann das Einfluß auf den
Faltungszustand haben. Die Ermittlung des Membrankraftzustandes bei inelastischem,
insbesondere elastisch-plastischem Materialverhalten soll Gegenstand dieses Kapitels
sein. In den Faltenbedingungen sowohl in Roddemanscher Formulierung (Gleichung
3.3) als auch in der referenzbezogenen Darstellung (Gleichungen 3.32 und 3.34) sind
keine Annahmen bez¨
uglich des Materialverhaltens enthalten. Diese Bedingungen blei-
ben also unver¨
andert g¨
ultig. Allerdings muß bei Auftreten von bleibenden Verzerrun-
gen das Faltenkriterium aus Kapitel 3.1 neu formuliert werden. Ebenso muß der Wahl
geeigneter Startwerte f¨
ur die Newton Iteration besondere Aufmerksamkeit geschenkt
werden, um numerische Probleme zu vermeiden. In diesem Kapitel wird eine Methode
zur Ermittlung der Startwerte vorgestellt, die sich als effizient erwiesen hat.
5.1 Plastische Deformation einer Membran
In dieser Arbeit wird das Konzept einer Zwischenkonfiguration (siehe Kapitel 9.6.3)
verwendet. Der Deformationsgradient der Membran Fwird in einen plastischen Anteil
ˆ
Fund einen elastischen Anteil Feaufgespalten (siehe Abbildung 5.1). Das geschieht
in Analogie zur multiplikativen Zerlegung in Kapitel 9.6.3:
F=Fe·ˆ
F(5.1)
Es werden die rechten Cauchy Green Strecktensoren und Greenschen Verzerrungsten-
soren der plastischen Deformation
ˆ
C=ˆ
FT·ˆ
F(5.2)
ˆ
D=1
2³ˆ
C−E´(5.3)
47
48
KAPITEL 5. FALTUNG BEI INELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN
PSfrag replacements
Referenz
Zwischenkonfiguration
Momentankonfiguration
Fe
ˆ
F
F
Abbildung 5.1: Die Kinematik elastisch–plastischer Deformation einer Membran
sowie der elastischen Deformation
Ce=FT
e·Fe(5.4)
De=1
2(Ce−E)(5.5)
eingef¨
uhrt. Zwischen diesen Gr¨
oßen besteht der Zusammenhang
C=ˆ
FT·Ce·ˆ
F(5.6)
D=ˆ
D+ˆ
FT·De·ˆ
F(5.7)
Aus den Beziehungen der Invarianten f¨
ur die 3D–Verzerrungen Gleichung 9.73 und
9.74 k¨
onnen analoge Beziehungen f¨
ur die planaren Verzerrungen abgeleitet werden.
Somit gilt
I1=Ce··E=³ˆ
C−1·C´··E(5.8)
I2=Ce··Ce=³ˆ
C−1·C´··³ˆ
C−1·C´(5.9)
Diese rein geometrischen Beziehungen sind bei einer Neuformulierung des Faltenkri-
teriums f¨
ur den Fall plastischer Dehnungen hilfreich.
In gleicher Weise kann die polare Zerlegung f¨
ur den korrigierten Deformationsgra-
dienten F0(Gleichung 3.2) durchgef¨
uhrt werden.
5.2 Faltenkriterium bei plastischen Deformationen
Die Frage, welcher Membranzustand sich bei einer vorgegebenen mittleren Lage ein-
stellt, ist beim Auftreten von bleibenden Deformationen nicht ohne Weiteres zu beant-
worten. Das Faltenkriterium muß neu formuliert werden.
5.2. FALTENKRITERIUM BEI PLASTISCHEN DEFORMATIONEN
49
•Straffer Zustand: Zun¨
achst bleibt g¨
ultig, daß die Membran straff ist, sofern die
Hauptmembrankr¨
afte gr¨
oßer Null sind, d.h. wenn gilt
SI>0und SII >0(5.10)
•Schlaffer Zustand: Desweiteren wird angenommen, daß bei einem stabilen
Materialverhalten die Membran einen schlaffen Zustand einnimmt, wenn aus-
schließlich elastische Stauchungen auftreten. F¨
ur die Hauptwerte von Debzw.
Cegilt somit
De,I <0und De,II <0(5.11)
also
Ce,I <1und Ce,II <1(5.12)
Zur Auswertung dieser Bedingung wird die Gleichheit der Invarianten von Ce
und ˆ
C−1·Causgenutzt. Aus der Deformationsgeschichte sind die plastischen
Verzerrungen ˆ
Cder Membran bekannt. Die Cauchy Green Dehnungen Csind
vorgegeben. Die Invarianten des planaren Tensors Cebzw. ˆ
C−1·Ck¨
onnen mit
den Gleichungen 5.8 und 5.9 berechnet werden. Als Invarianten eines planaren
Tensors k¨
onnen auch der Radius rund der Mittelpunktswert Mdes Mohrschen
Kreises aufgefaßt werden, d.h. Radius und Mittelpunkt des Mohrschen Kreises
k¨
onnen mit den Invarianten I1und I2beschrieben werden:
M=1
2I1(5.13)
r=1
2q2I2−I2
1(5.14)
Die Hauptwerte von Cekann man aus Abbildung 5.2 abgelesen:
Ce,I =M+r Ce,II =M−r(5.15)
PSfrag replacements
M
rCe,I
Ce,II
1
Abbildung 5.2: Mohrscher Dehnungskreis f¨
ur Ceeiner schlaffen Membran
50
KAPITEL 5. FALTUNG BEI INELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN
Bei der praktischen Umsetzung dieser Betrachtungen, werden die planaren, in-
versen plastischen Verzerrungen ˆ
BA
αβ des letzten Lastschrittes (siehe Kapitel
9.6.3) und die neuen Cauchy Green Verzerrungen Cder mittleren Lage ver-
wendet. Das ist eine pragmatische N¨
aherung.
•Homogen gefaltete Membran: Homogene Faltung tritt auf, wenn die Membran
weder straff noch schlaff ist.
5.3 Faltenbedingung
Die Faltenbedingung, d.h. die Forderung eines einachsigen Membrankraftzustandes,
sowohl in der Roddemanschen als auch in der transformierten Form, bleiben auch
bei inelastischem Materialverhalten im Prinzip unver¨
andert g¨
ultig. Zu beachten ist,
daß jetzt plastische Deformationen bei der Bestimmung des Membrankraftzustan-
des ber¨
ucksichtigt werden m¨
ussen. Der Membrankraftzustand h¨
angt vom plastischen
Dehnungszustand ˆ
Cund der ¨
uber den Deformationsprozeß akkumulierten plastischen
Dehnung ˆϕ(siehe Gleichung 9.84) ab:
0 = N·S³D0,ˆϕ, ˆ
C´·N(5.16)
0 = N·S³D0,ˆϕ, ˆ
C´·N⊥(5.17)
5.4 Beispiel: Einfache Scherung
Das Verhalten einer Membran unter einfacher Scherdeformation soll hier betrach-
tet werden. Die Geometriedaten entsprechen denen aus Kapitel 3.7. Das elastisch-
plastische Materialgesetz aus Kapitel 9.6.3 mit dem Verfestigungsgesetz Gleichung
9.83 und der Faltenalgorithmus in der 3D–Formulierungen aus Kapitel 3.8 werden
angewendet. In Kapitel 5.5 werden Hinweise zur Durchf¨
uhrung dieser Rechnung ge-
geben. Die Materialwerte sind
•E-Modul E= 70000 N
mm2
•Querkontraktion ν= 0.3
•Fließdehnung y0= 0.002
Das entspricht in etwa den Werten einer Aluminiumlegierung. Die Deformation wird
mit der Eckverschiebung vbeschrieben. Es wird ein Zyklus der Eckverschiebung von
v= 0 mm bis v= 10 mm und zur¨
uck auf v= 0 mm betrachtet. In den Abbildungen
5.3 bis 5.6 sind die Faltungsrichtung α, das Faltenmaß β1, die Hauptmembrankraft
1F¨
ur den schlaffen und den straffen Zustand ist die Angabe einer Faltenrichtung αund eines Falten-
maßes βnicht sinnvoll. Solche Bereiche sind in den Grafiken mit einer gestrichelten Linie markiert.
5.4. BEISPIEL: EINFACHE SCHERUNG
51
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10
PSfrag replacements
v[mm]
α[rad]
Abbildung 5.3: Einfache Scherung, Faltungsrichtung α
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0246810
PSfrag replacements
v[mm]
β
Abbildung 5.4: Einfache Scherung, Faltenmaß β
SIund die akkumulierte plastische Dehnung ˆϕ(siehe Gleichung 9.84) dargestellt. Zu
Beginn des Deformationsprozesses tritt elastische Faltung auf. Die Faltungsrichtung
ist zu Beginn α= 2.356 rad ≈135◦und f¨
allt bei wachsender Verschiebung vleicht
ab. Ab etwa v= 0.5mm treten plastische Verformungen auf. Zu erkennen ist das
am Verlauf der Kurven f¨
ur ˆϕund SI. Nach Umkehr der Scherbewegung findet eine
Entlastung auf dem elastischen Pfad statt. Es treten zun¨
achst keine neuen plastischen
Deformationen auf. Bei Erreichen von v= 9.5mm geht die Membran in den schlaffen
Zustand ¨
uber. Dieser Zustand h¨
alt bis v= 4.5mm an. Danach kommt es erneut zu
elastischer, homogener Faltung. Die Faltungsrichtung ist jetzt α= 0.752 rad ≈58◦.
Ab v= 4.0mm treten erneut plastische Deformationen auf.
Bei der numerischen Analyse zeigt sich, daß beim ¨
Ubergang vom schlaffen zum
gefalteten Zustand w¨
ahrend des umgekehrten Scherprozesses Konvergenzprobleme
52
KAPITEL 5. FALTUNG BEI INELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10
PSfrag replacements
v[mm]
S0
I[N/mm]
Abbildung 5.5: Einfache Scherung, Hauptmembrankraft SI
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 2 4 6 8 10
PSfrag replacements
v[mm]
ˆϕ
Abbildung 5.6: Einfache Scherung, akkumulierte plastische Dehnung ˆϕ
auftreten. Wie diese Konvergenzprobleme ¨
uberwunden werden und der Faltenalgo-
rithmus f¨
ur komplexe Strukturanalysen tauglich gemacht werden kann, ist Thema des
folgenden Kapitels.
5.5 Wie findet man gute Startwerte?
Ziel ist es, f¨
ur das Newton Verfahren des Faltenalgorithmus eine Vorsch¨
atzung zu fin-
den, welche die auftretenden plastischen Dehnungen in geeigneter Weise ber¨
ucksich-
tigt. Hierzu werden einige Annahmen getroffen, die eine Transformation der Faltenki-
nematik und der Faltenbedingung in die Zwischenkonfiguration erm¨
oglichen. Mittels
der Kenntnisse aus Kapitel 4 gelingt es dann, eine Vorsch¨
atzung zu gewinnen. Mit
5.5. WIE FINDET MAN GUTE STARTWERTE?
53
folgenden Hypothesen wird im weiteren gearbeitet:
•Der ¨
Ubergang von der Referenz- zur Zwischenkonfiguration erfolgt ohne Starr-
k¨
orperrotationen, nur durch plastische Verzerrungen, d.h. ˆ
F=ˆ
U. Diese Annah-
me geht auf Haupt zur¨
uck (siehe [11]).
•Die Korrektur der Faltenkinematik zur Manipulation des Membrankraftzustan-
des beeinflußt prim¨
ar den elastischen Verzerrungszustand. Neue plastische Ver-
zerrung werden zun¨
achst außer Acht gelassen.
5.5.1 Transformation der Faltenkinematik in die Zwischenkonfi-
guration
Gegeben sind die Cauchy Green Verzerrungen Cder mittleren Lage und die plasti-
schen Verzerrungen ˆ
Cbzw. ˆ
Uaus der Deformationsgeschichte. Ausgangspunkt ist
die Faltenkinematik
D0=D+βN◦Nbzw. C0=C+ 2βN◦N(5.18)
Es wird der Ansatz von Haupt [11] verfolgt. Hierbei ist der ¨
Ubergang von der
Referenz- zur Zwischenkonfiguration ˆ
Fnur durch den plastischen Strecktensor
ˆ
F=ˆ
U(5.19)
bestimmt. Mit der multiplikativen Zerlegung in elastische und plastische Deformati-
onsanteile kann die Faltenkinematik auch als
C0=ˆ
U·Ce·ˆ
U+ 2βN◦N(5.20)
geschrieben werden (siehe Gleichung 5.6). Andererseits ist es denkbar, eine Korrektur
zur Beeinflussung des Membrankraftzustandes direkt auf der Ebene der elastischen
Dehnungen anzusetzen:
C0=ˆ
U·C0
e·ˆ
U(5.21)
Es werden die Faltungsrichtung ˆαbzw. ˆ
N(ˆα)sowie das Faltenmaß ˆ
βder Zwischen-
konfiguration eingef¨
uhrt und die Faltenkinematik analog zu Gleichung 5.18 formuliert:
C0
e=Ce+ 2ˆ
βˆ
N◦ˆ
N(5.22)
Mit Gleichung 5.21 erh¨
alt man
C0=ˆ
U·Ce·ˆ
U+ 2ˆ
βˆ
U·ˆ
N◦ˆ
N·ˆ
U(5.23)
Ein Vergleich der Beziehungen 5.20 und 5.23 f¨
uhrt auf
βN◦N=ˆ
βˆ
U·ˆ
N◦ˆ
N·ˆ
U(5.24)
54
KAPITEL 5. FALTUNG BEI INELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN
Somit k¨
onnen die Faltenparameter der Zwischenkonfiguration mit den Faltenparame-
tern der Referenzkonfiguration identifiziert werden:
β=ˆ
β
ˆ
k2(5.25)
N=ˆ
kˆ
U·ˆ
N=ˆ
kˆ
N·ˆ
U(5.26)
mit
ˆ
k2=1
ˆ
N·ˆ
C·ˆ
N(5.27)
5.5.2 Transformation der Faltenbedingung in die Zwischenkonfi-
guration
Die Faltenbedingungen liegen in der Form
0 = N·S(D0)·N(5.28)
0 = N·S(D0)·N⊥(5.29)
vor. In Gleichung 5.28 und Gleichung 5.29 kann der Vektor Nmit Gleichung 5.26
substituiert werden. Es ergibt sich f¨
ur die erste Faltenbedingung
0 = ˆ
N·ˆ
U·S0·ˆ
U·ˆ
N(5.30)
Da ˆ
k2ungleich Null ist, spielt der Faktor bei Erf¨
ullung der Faltenbedingung keine
Rolle. Der Vektor N⊥wird ¨
ahnlich dem Verfahren aus Gleichung 3.33 in eine Form
N⊥=ˆ
U·³λˆ
N+κˆ
N⊥´(5.31)
gebracht. Zu beachten ist hierbei, daß ˆ
Uein planarer Tensor ist. Da Gleichung 5.30
gilt, fallen einige Terme weg und man erh¨
alt als zweite Faltenbedingung
0 = ˆ
N·ˆ
U·S0·ˆ
U·ˆ
N⊥(5.32)
Eine Transformation der Membrankr¨
afte S0auf die Zwischenkonfiguration erfolgt
nach dem Vorbild von Gleichung 9.38 und es gilt
ˆ
S0=dA
dˆ
A
ˆ
U·S0·ˆ
U(5.33)
In Kapitel 6.2 sind hierzu weitere Betrachtungen ausgef¨
uhrt. Der von Null verschiede-
ne Faktor dA
dˆ
Aist f¨
ur die Erf¨
ullung der Faltenbedingungen 5.30 und 5.32 unwesentlich,
so daß man schließlich die auf die Zwischenkonfiguration transformierten Faltenbe-
dingungen erh¨
alt.
0 = ˆ
N·ˆ
S0·ˆ
N(5.34)
0 = ˆ
N·ˆ
S0·ˆ
N⊥(5.35)
5.5. WIE FINDET MAN GUTE STARTWERTE?
55
L¨
osungen dieses Gleichungssystems sind die transformierte Faltungsrichtung ˆαund
das Faltungsmaß ˆ
β.
Eine Vorsch¨
atzung f¨
ur die Dickenverzerrung erh¨
alt man mit den aus ˆαund ˆ
βer-
mittelten elastischen planaren Faltendehnungen C0
eund den aus vorhergehenden Last-
schritten bekannten plastischen Dickenverzerrungen ˆ
U33. Die elastische Dickenverzer-
rung
Ce0
33 = 1 −ν
1−ν(Ce0
11 +Ce0
22 −2) (5.36)
folgt aus dem linearen, isotropen Teilstoffgesetz und der ESZ–Bedingung. Weiter wird
die Hypothese von Haupt auch f¨
ur die 3D–Dehnungen angewendet, so daß sich die
Dickenverzerrung der Membran
C0
33 =ˆ
U33 Ce0
33 ˆ
U33 (5.37)
ergibt.
Zur Ermittlung der Vorsch¨
atzung ist zusammenfassend Folgendes zu sagen:
•Unter den genannten Voraussetzungen ist die Faltenkinematik auf die Zwischen-
konfiguration transformiert worden: C0
e=Ce+ 2ˆ
βˆ
N◦ˆ
N. Die neuen Gr¨
oßen ˆα
und ˆ
βwurden eingef¨
uhrt.
•Mit den Gleichungen 5.34 und 5.35 liegen auch die Faltenbedingungen in trans-
formierter Form vor.
•Das Teilstoffgesetz aus Kapitel 9.6.3 ist eine lineare Beziehung zwischen den
Spannungen ˆ
Tij und den Dehnungen Ce
ij (siehe hierzu auch Tietze [40]). Zudem
ist das elastische Verhalten richtungsunabh¨
angig. Die Faltenbedingung k¨
onnen
also auf Ebene der Zwischenkonfiguration entsprechend des in Kapitel 4 vor-
gestellten Verfahrens behandelt und die L¨
osungen f¨
ur ˆαund ˆ
βanschließend mit
Gleichung 5.25 sowie Gleichung 5.26 in die Referenzkonfiguration zur¨
ucktrans-
formiert werden.
•Eine Vorsch¨
atzung der Dickenverzerrung kann man aus den Gleichungen 5.36
und 5.37 gewinnen.
Es zeigt sich, daß mit den so gewonnenen Vorsch¨
atzungen Konvergenz innerhalb weni-
ger Newtoniterationen erreicht wird, d.h. in der Regel 2 bis 4 Iterationen. In dem Fall,
daß keine neuen plastischen Deformationen auftreten, ist diese Vorsch¨
atzung zugleich
die exakte L¨
osung.
56
KAPITEL 5. FALTUNG BEI INELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN
Kapitel 6
Thermische Faltung
In Kapitel 5 ist das Konzept einer spannungsfreien Zwischenkonfiguration verwendet
worden, um inelastische Effekte bei der Membranfaltung zu beschreiben. Dabei han-
delt es sich um eine Hintereinanderschaltung von inelastischen und elastischen Defor-
mationen. Dieses Konzept ist ebenfalls dazu geeignet, thermische Dehnungen in die
Faltenanalyse zu integrieren. Thermische Einfl¨
usse auf die Membranfaltung wurden
bereits von Chiu, Benson, Fiscella & Burns [8] auf Grundlage der Roddemanschen
Theorie untersucht. Sie weisen darauf hin, daß bei den von ihnen betrachteten Poly-
mermembranen die Temperaturdehnungen nicht mehr in jedem Fall als klein ange-
nommen werden k¨
onnen.
In diesem Kapitel wird ein Verfahren vorgestellt, das in der Lage ist, Tempera-
tureinfl¨
usse auf die Membranfaltung zu erfassen. Im Gegensatz zu [8] basiert es auf
der referenzbezogenen Formulierung der Faltenkinematik und der Faltenbedingung.
Die Hintereinanderschaltung von Deformationen wird auf die von Haupt in [11] vor-
geschlagene Art und Weise interpretiert und eine Beschreibung der thermischen und
mechanischen Deformationen sowie der Membrankr¨
afte angegeben. Als ein Beispiel
dient die in den vorangegangenen Kapiteln bereits untersuchte einfache Scherung.
6.1 Thermische Dehnungen
Ausgangspunkt der kinematischen Betrachtungen ist die multiplikative Zerlegung des
Deformationsgradienten Gleichung 5.1.
F=Fe·ˆ
F
Abbildung 5.1 veranschaulicht diese Zerlegung. Der ¨
Ubergang von der Referenzkon-
figuration in die Zwischenkonfiguration ist nicht eindeutig bestimmt und kann unter-
schiedlich interpretiert werden. An dieser Stelle wird auf die Hypothese von Haupt
[11] zur¨
uckgegriffen. Der ¨
Ubergang von der RKF zur ZKF ist somit allein durch den
Strecktensor ˆ
U=ˆ
Fbestimmt und es ergibt sich f¨
ur die multiplikative Zerlegung
F=Fe·ˆ
U(6.1)
57
58
KAPITEL 6. THERMISCHE FALTUNG
ˆ
Uwird hier als thermischer Strecktensor aufgefaßt. Es folgen die Zusammenh¨
ange f¨
ur
die Dehnungen:
Ce=FT
e·Fe(6.2)
ˆ
C=ˆ
U·ˆ
U(6.3)
C=ˆ
U·Ce·ˆ
U(6.4)
Als einfachste Beschreibung des thermischen Strecktensors ˆ
Uwird ein linearer Zu-
sammenhang mit der Temperatur¨
anderung 4Tangenommen.
ˆ
U=E+α114Te1◦e1+α224Te2◦e2(6.5)
α11 und α22 sind die linearen Ausdehnungskoeffizienten eines orthotropen Materials.
Prinzipiell k¨
onnen auch andere Beschreibungen f¨
ur das Materialverhalten bei Tempe-
raturdehnungen genutzt werden.
Sind die Temperaturdehnungen klein, so kann auch eine additive Aufspaltung der
Greenschen Verzerrungen in thermische und mechanische Anteile vorgenommen wer-
den. Das Verfahren vereinfacht sich in diesem Fall etwas. Derartige Analysen sind von
Herbrich [12] durchgef¨
uhrt worden.
6.2 Membrankr¨
afte
Die Membrankr¨
afte ˆ
Svom 2. Piola Kirchhoff Typ (bezogen auf die Zwischenkonfi-
guration) ergeben sich aus einer Tensorfunktion in Abh¨
angigkeit von den elastischen
Dehnungen Ce.
ˆ
S=ˆ
S(Ce)(6.6)
F¨
ur diese Beziehung k¨
onnen z.B. die elastischen Materialgesetze aus Kapitel 9.6
gew¨
ahlt werden. Die Frage ist zu kl¨
aren, wie die 2. Piola Kirchhoff Membrankr¨
afte S
in Abh¨
angigkeit von den Dehnungen Cund den thermischen Streckungen ˆ
Ubeschrie-
ben werden k¨
onnen. Hierzu wird auf die Transformation Gleichung 9.38 zur¨
uckgegrif-
fen:
SC=dA
da F·S·FT
Eine analoge Beziehung gilt f¨
ur die Membrankr¨
afte ˆ
Sund SC:
SC=dˆ
A
da Fe·ˆ
S·FT
e(6.7)
Hierbei ist dˆ
Adie Fl¨
ache eines Fl¨
achenelementes der Zwischenkonfiguration. Aus die-
sen beiden Beziehungen folgt mit Gleichung 6.1 der Zusammenhang zwischen den
Membrankr¨
aften Sund ˆ
S.
S=dˆ
A
dA ˆ
U−1·ˆ
S·ˆ
U−1(6.8)
6.3. FALTENKRITERIUM UND FALTENALGORITHMUS
59
Das Verh¨
altnis der Fl¨
achenelemente der RKF und der ZKF ist noch zu bestimmen. F¨
ur
den Fl¨
achenvektor dˆ
Ader Zwischenkonfiguration gilt
dˆ
A=dˆx1×dˆx2=³ˆ
U·dX1´×³ˆ
U·dX2´(6.9)
=³ˆ
Uα1dX1eα´×³ˆ
Uβ2dX2eβ´(6.10)
=³ˆ
U11 ˆ
U22 −ˆ
U12 ˆ
U21´dX1dX2e1×e2(6.11)
= det ³ˆ
U´dA(6.12)
Da die Linienelemente dˆxαder Zwischenkonfiguration als Folge von Gleichung 5.19
in der Referenzebene positioniert sind, haben beide Fl¨
achenvektoren dˆ
Aund dAdie
Richtung e3. Das Fl¨
achenverh¨
altnis ist f¨
ur diesen Fall
dˆ
A
dA = det ³ˆ
U´(6.13)
und es ergibt sich f¨
ur die Transformation der Membrankr¨
afte schließlich
S= det ³ˆ
U´ˆ
U−1·ˆ
S·ˆ
U−1(6.14)
Die Membrankr¨
afte ˆ
Sh¨
angen vom Dehnungstensor Ceab, der mit Gleichung 6.4
durch Cund ˆ
Ubeschrieben werden kann. Die 2. Piola Kirchhoff Membrankr¨
afte lau-
ten nun
S= det( ˆ
U)ˆ
U−1·ˆ
S(ˆ
U−1·C·ˆ
U−1)·ˆ
U−1(6.15)
6.3 Faltenkriterium und Faltenalgorithmus
F¨
ur die Bestimmung des Membranzustandes kann das in Kapitel 5.2 formulierte Fal-
tenkriterium verwendet werden. Die thermischen Streckungen ˆ
Usind aus Gleichung
6.5 her bekannt. Die Cauchy Green Dehnungen Cwerden vom finiten Element vorge-
geben. Durch Verwendung der korrigierten Dehnungen C0=C+ 2βN◦Nin Glei-
chung 6.15 an Stelle von Cerh¨
alt man die korrigierten Membrankr¨
afte S0. Das Auffin-
den der Faltungsrichtung αund des Faltenmaßes βgeht entsprechend der in Kapitel 3
vorgestellten Verfahrensweise vonstatten. Die Startwerte der Newtoniteration des Fal-
tenalgorithmus k¨
onnen entsprechend der Methode aus Kapitel 5.5 gew¨
ahlt werden.
6.4 Beispiel: Einfache Scherung
Das Beispiel einer quadratischen Membran mit einfacher Scherdeformation aus Ka-
pitel 3.7 wird nun unter Einwirkung einer Temperaturdifferenz 4Tbetrachtet. Die
Geometrie- und Materialdaten entsprechen den Werten der isotropen Membran aus
Kapitel 3.7.1:
60
KAPITEL 6. THERMISCHE FALTUNG
•Breite a= 100 mm
•Membrandicke h= 1 mm
•E–Modul E= 100 N
mm2
•Querkontraktionszahl ν= 0.3
•lineare Ausdehnungskoeffizienten α11 =α22 = 0.0001 1
K
Untersucht werden die Temperaturzust¨
ande 4T=∓100 Kund 4T= 0 K. Die
Abbildungen 6.1 bis 6.3 zeigen die Faltungsrichtung α, das Faltenmaß βbzw. die
Hauptmembrankraft S0
Iin Abh¨
angigkeit von der Scherverschiebung vf¨
ur verschiede-
ne, vorgegebene Temperaturdifferenzen 4T. Es zeigt sich, daß, vom Anfangsbereich
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
PSfrag replacements
v[mm]
α[rad]
4T=−100K
4T= 100K
Abbildung 6.1: Einfache Scherung, Faltungsrichtung α
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
PSfrag replacements
v[mm]
β
4T=−100K
4T= 100K
4T= 0K
Abbildung 6.2: Einfache Scherung, Faltenmaß β
6.4. BEISPIEL: EINFACHE SCHERUNG
61
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
PSfrag replacements
v[mm]
S0
Iin [N/mm]
4T=−100K
4T= 100K
4T= 0K
Abbildung 6.3: Einfache Scherung, Hauptmembrankraft S0
I
abgesehen, die Faltungsrichtung αf¨
ur die betrachteten Temperaturen gleich ist. Das
entspricht den Erwartungen, da die Membran Isotropie hinsichtlich sowohl der ther-
momechanischen als auch der mechanischen Eigenschaften aufweist. Ein wesentli-
cher Unterschied besteht im Beginn der Faltung. Aufgrund der Temperaturdehnungen
herrscht bei 4T=−100 Kzun¨
achst ein straffer Zustand, der bei v= 4 mm in einen
homogen gefalteten Zustand ¨
ubergeht. Bei 4T= 100 Kist die Membran anfangs
schlaff und wechselt bei v= 2 mm in den gefalteten Zustand. Der Graph des Falten-
maßes βzeigt f¨
ur alle betrachteten Temperaturen prinzipiell den selben Verlauf. Bei
einer Erw¨
armung muß die kinematische Korrektur wegen der thermischen Ausdeh-
nung der Membran allerdings gr¨
oßer und bei einer Abk¨
uhlung der Membran aufgrund
der thermischen Kontraktion entsprechend kleiner ausfallen als bei einer Membran
ohne Temperatureinwirkung. Deshalb liegt die Kurve f¨
ur 4T= 100 K¨
uber und die
Kurve f¨
ur 4T=−100 Kunter der 0K– Kurve. Die Membrankraft S0
Ider erw¨
arm-
ten Membran ist bei vorgegebenem Deformationszustand erwartungsgem¨
aß kleiner,
die der abgek¨
uhlten Membran ist gr¨
oßer, und weichen von der 0K– L¨
osung um etwa
±3% ab. In der abgek¨
uhlten Membran herrscht bei v= 0 mm ein straffer Membran-
zustand. Somit treten bereits bei v= 0 mm von Null verschiedene Membrankr¨
afte
auf.
62
KAPITEL 6. THERMISCHE FALTUNG
Kapitel 7
Strukturanalysen
In diesem Kapitel werden Beispiele f¨
ur die Anwendung des Faltenalgorithmus auf
Membranstrukturen pr¨
asentiert. Die bei den numerischen Strukturanalysen angewen-
dete Verfahrensweise wird kurz erl¨
autert.
Globale Gleichgewichtsiteration: Bei der numerischen Analyse werden die in Ka-
pitel 2 beschriebenen finite Elemente f¨
ur die Schnittmustermethode verwendet. Ei-
ne r¨
aumlich gekr¨
ummte Membranstruktur setzt sich hierbei aus einer Anzahl von
urspr¨
unglich ebenen Teilen zusammen. Im allgemeinen macht das unterschiedliche
Knoten- und Elementnumerierungen f¨
ur die Referenz- und die Momentankonfigu-
ration erforderlich. Die Verbindung der einzelnen Teile in der MKF wird durch ei-
ne entsprechende Numerierung der Knoten und Elemente sichergestellt. Die ebenen
Membranteile sind zu Beginn der Gleichgewichtsiteration in eine r¨
aumliche Lage
(Vorsch¨
atzung) zu bringen, welche die Gleichgewichtsbedingungen allerdings nicht
erf¨
ullen muß. Die Wahl dieser Vorsch¨
atzung hat bei einigen Beispielen sehr sorgf¨
altig
zu geschehen, um Konvergenzprobleme zu vermeiden. Zweckm¨
aßig ist es, Ergebnisse
aus vorangegangenen Rechnungen als Vorsch¨
atzung zu verwenden. Bei der Schnittmu-
stermethode ist es im allgemeinen nicht m¨
oglich, die Referenzlage als Ausgangskon-
figuration f¨
ur die Newton–Iteration zu nutzen. Bei einigen Beispielen zeigt sich, daß
das Newton Verfahren nur schlecht konvergiert. In diesen F¨
allen wird auf das quasi–
ged¨
ampfte Newton Verfahren von Kr¨
oplin zur¨
uckgegriffen. Details hierzu findet man
in [36].
Interne Iteration des Faltenalgorithmus: Bei der Bestimmung des Membrankraft-
zustandes im finiten Element wird der Membranzustand in jedem Integrationspunkt
analysiert. Dies geschieht mit den Faltenkriterien, wie sie in den Kapiteln 3.1 und 5.2
beschrieben wurden. Findet man eine homogen gefalteten Membran vor, so m¨
ussen
die L¨
osungen der Faltenbedingungen 3.41 und 3.42 bestimmt und so der herrschende
einachsige Membrankraftzustand ermittelt werden. Sofern nicht auf die weitgehend
analytische Beschreibung des Faltenproblems zur¨
uckgegriffen werden kann (siehe Ka-
pitel 4), wird das nichtlinearen Gleichungssystem mit dem Newton Verfahren gel¨
ost.
63
64
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
Zur Wahl der Startwerte der Iteration f¨
ur die Faltungsrichtung αund das Faltenmaß β
bieten sich verschiedene M¨
oglichkeiten an:
•Als Startwerte werden die L¨
osungen des ”linearen” Problems (siehe Kapitel 4 )
verwendet.
•Man w¨
ahlt den Mittelwert der von Lu, Accorsi & Leonard [18] angegebenen
Grenzwinkel der Faltungsrichtung als Startwert f¨
ur α.
•Bei plastischem Materialverhalten k¨
onnen die Startwerte entsprechend des Ver-
fahrens aus Kapitel 5.5 bestimmt werden. Dies geschieht in Verbindung mit der
L¨
osung des linear elastischen Problems auf der Ebene der Zwischenkonfigurati-
on.
Es zeigt sich, daß das Newton Verfahren bei einer geeigneten Wahl des Startwertes
gut konvergiert. Im Verlauf der globalen Gleichgewichtsiteration, kann die Membran
jedoch Konfigurationen einnehmen, welche unphysikalisch sind und dem Faltenalgo-
rithmus Schwierigkeiten bereiten. In solchen F¨
allen werden die Membrankr¨
afte und
-steifigkeiten willk¨
urlich gesetzt. Bew¨
ahrt hat sich, unkorrigierte Membransteifigkei-
ten zu verwenden und die Membrankr¨
afte gleich Null zu setzen. Zu beachten ist, daß
diese Zust¨
ande nicht in einer ausiterierten Gleichgewichtslage auftreten d¨
urfen. Ins-
besondere gilt das f¨
ur Rechnungen mit Plastizit¨
at, da hier die Deformationsgeschichte
Einfluß auf das Ergebnis hat. In solch einem Fall muß die Rechnung mit einem neuen
Startwert oder ver¨
anderter Lastschrittgr¨
oße wiederholt werden.
7.1 Airbag
Untersucht wird ein Airbag. Dieses Beispiel findet man z.B. bei Bauer [3], Contri &
Schrefler [9] und Ziegler, Wagner & Bletzinger [46]. Der Airbag besteht aus einer obe-
ren und einer unteren Membran. In der Referenzkonfiguration ist die Membran qua-
dratisch (siehe Abbildung 7.1). Die Membran besteht aus isotropen, linear elastischen
Material mit der in Gleichung 9.57 beschriebenen Voigt Matrix. Aus der Literatur sind
die Geometrie- und Materialdaten entnommen:
•Breite a= 848.53 mm
•Dicke h= 0.6mm
•E-Modul E= 588 MPa
•Querkontraktionszahl ν= 0.4
Die Membran ist mit einem Innendruck pibelastet. Da die Struktur symmetrisch
bez¨
uglich der drei durch die Koordinatenachsen aufgespannten Ebenen ist, gen¨
ugt es,
nur ein Achtel der Membran zu betrachten (als Konsequenz k¨
onnen nur symmetrische
7.1. AIRBAG
65
Konfigurationen analysiert werden). Es kommen bilineare Membranelemente in einem
10 x 10 Netz zur Anwendung. Die ¨
außeren R¨
ander sind nur in vertikaler Richtung ge-
fesselt und in der x1-x2Ebene frei verschieblich. In Abbildung 7.1 sind die Referenz-
konfiguration und die Lagerbedingungen skizziert. Abbildung 7.2 zeigt die aktuelle
PSfrag replacements
X1
X2
1
2a
1
2a
M
Symmetrie Symmetrie
vertikal unverschieblich
Abbildung 7.1: Referenzkonfiguration eines Achtels des Airbags
Lage des Airbags bei einem Innendruck von pi= 0.005 MPa. Die bei Ber¨
ucksich-
tigung der Faltung gewonnenen Werte f¨
ur die vertikale Mittelpunktverschiebung wM
bei einem Innendruck pi= 0.005 MPa und entsprechende Resultate aus der Literatur
sind
•wM= 216.3mm, vorliegende Arbeit
•wM= 217 mm, Contri & Schrefler [9]
•wM= 216 mm, Ziegler, Wagner & Bletzinger [46].
Es zeigt sich, daß die erzielten Ergebnisse mit den Werten aus der Literatur sehr gut
¨
ubereinstimmen.
In Abbildung 7.3 ist die Mittelpunktverschiebung in Abh¨
angigkeit vom Innendruck
piwiedergegeben. Dargestellt sind die Verl¨
aufe aus Rechnungen mit und ohne Ber¨
uck-
sichtigung der Membranfaltung. Es ist zu erkennen, daß die Membran bei Ber¨
uck-
sichtigung der Faltung weicher wird. F¨
ur einen kleinen Innendruck zeigen sich relativ
große Differenzen. Die Abweichung, bezogen auf die Ergebnisse mit Faltung, liegt
hier bei bis zu 7%. Mit zunehmenden Innendruck stellt sich in der Membran immer
mehr ein straffer Zustand ein, so daß die Verschiebungen f¨
ur beide F¨
alle ab einem In-
nendruck von pi= 0.2MPa praktisch gleich sind. In den Abbildungen 7.4 und 7.5 ist
der Faltungszustand f¨
ur einen Innendruck von pi= 0.005 MPa bzw. pi= 0.2MPa
wiedergegeben. Die Faltungsrichtung in der aktuellen Lage, d.h. die Richtung ver-
schwindender Membrankr¨
afte, ist durch Linien in den Integrationspunkten wiederge-
geben. Die L¨
ange dieser Linien repr¨
asentiert die Gr¨
oße des Faltenmaßes. Man sieht
66
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
deutlich, daß bei pi= 0.005 MPa ein Großteil der Membran homogen gefaltet ist.
Bei pi= 0.2MPa tritt Faltung nur am Rand und in der Ecke auf. Ansonsten ist die
Membran straff. Deshalb verschwinden Unterschiede zur Rechnung ohne Faltenmo-
dell.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
050 100 150 200 250 300 350 400
0
50
100
150
200
250
PSfrag replacements
x1
x2
x3
M
Abbildung 7.2: Entfalteter Airbag bei einem Innendruck pi= 0.005 MPa (Abmes-
sungen in mm )
7.1. AIRBAG
67
200
210
220
230
240
250
260
0 0.05 0.1 0.15 0.2
PSfrag replacements
pi[MPa]
wM[mm]
mit Faltung
ohne Faltung
Abbildung 7.3: Mittelpunktverschiebung wMf¨
ur Airbag mit und ohne Membranfal-
tung
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
PSfrag replacements
x1[mm]
x2[mm]
schlaff
gefaltet
Abbildung 7.4: Deformations- und Faltungszustand eines Airbags bei
pi= 0.005 MPa
68
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
PSfrag replacements
x1[mm]
x2[mm]
schlaff
gefaltet
Abbildung 7.5: Deformations- und Faltungszustand eines Airbags bei pi= 0.2MPa
7.2. LUFTSCHIFF
69
7.2 Luftschiff
Ein einfaches Modell eines Luftschiffes wird im folgenden untersucht. Die Luft-
50 100 150 200 250
-30
-20
-10
10
20
30
PSfrag replacements
x1
x3
Abbildung 7.6: Sollform des Luftschiffes, Maße in [m]
schiffstruktur besteht aus einer Membranh¨
ulle. Andere Strukturelemente des Luft-
schiffes werden zum Teil durch entsprechende Randbedingungen modelliert oder ver-
nachl¨
assigt. Das Luftschiff ist durch einen Innendruck p0und den aerostatischen Auf-
trieb belastet. Der Auftrieb wird mit einer in vertikaler Richtung linear ver¨
anderlichen
Druckverteilung simuliert. F¨
ur die Druckbelastung des Luftschiffes gilt
pi=p1x3+p0mit
p0= 0.65 N
m2
p1= 0.01 N
m3
Das Eigengewicht der Membranh¨
ulle wird vernachl¨
assigt. Da die Struktur und die Be-
lastung symmetrisch sind, reicht es aus, eine H¨
alfte des Luftschiffes zu berechnen.
Das Luftschiff besitzt einen Kielbalken. Zwischen dem Kielbalken und der oberen
Luftschiffh¨
ulle besteht eine Verbindung durch Seile. Die Deformationen des Kielbal-
kens und der Seile werden außer Acht gelassen und der Kielbalken sowie die Seil-
verbindungen mit der Oberseite durch Lager modelliert. In der Symmetrieebene sind
somit Verschiebungen in x2- und x3-Richtung verhindert. Die Nase des Luftschiffes ist
in alle Richtungen unverschieblich gelagert. Andere Strukturelemente wie z.B. Leit-
werke werden hier nicht betrachtet. In der Abbildung 7.7 sind die Lagerbedingungen
dargestellt. Die Luftschiffh¨
ulle wird aus 12 ebenen Bahnen zusammengesetzt. Abbil-
dung 7.7 zeigt die Anordnung der betrachteten sechs Bahnen. Die Elementierung einer
solchen Bahn ist in Abbildung 7.8 dargestellt. F¨
ur das Lufftschiff wird die Sollform
dadurch gewonnen, daß eine Kurve x3=x3(x1)um die x1–Achse rotiert. Einem Vor-
schlag von Gertler folgend wird f¨
ur diese Erzeugendenkurve die Quadratwurzel eines
Polynoms 6. Ordnung gew¨
ahlt.
x3(x1) = lv
u
u
t6
X
i=1
ci(x1)i(7.1)
70
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
Bei einer L¨
ange l= 260 mund den Koeffzienten
c1= 1.0
c2= 2.1496
c3=−17.7735
c4= 36.7166
c5=−33.5113
c6= 11.4185
ergibt sich die in Abbildung 7.6 dargestellte Sollform. Die Bahnen werden so be-
stimmt, daß diese Form gut approximiert wird. Das FE-Modell besteht aus 960 bi-
linearen Membranelementen mit 2913 Knoten in der Momentankonfiguration. Die
Membran weist nichtlineares Materialverhalten entsprechend Gleichung 9.59 mit den
bereits in Kapitel 3.7.2 verwendeten 13 Materialkonstanten auf.
PSfrag replacements
x1
x2
x3x3frei in x1–Richtung
frei in x1–Richtung
fest
Symmetrieebene
Abbildung 7.7: Randbedingungen der Membranh¨
ulle des Luftschiffes
-10
0
10
0 50 100 150 200 250
PSfrag replacements
X1[m]
X2[m]
Abbildung 7.8: FE-Diskretisierung einer Bahn in der ebenen Referenzkonfiguration
7.2. LUFTSCHIFF
71
Abbildung 7.9: Faltungszustand in der Luftschiffh¨
ulle; Vorderansicht
Abbildung 7.10: Faltungszustand in der Luftschiffh¨
ulle; R¨
uckansicht
72
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
Momentankonfiguration und Faltungszustand des Luftschiffes sind in den Abbil-
dungen 7.9 und 7.10 in der Vorder- und in der R¨
uckansicht zu sehen. Die Faltungsrich-
tung, d.h. die Richtung mit verschwindender Hauptmembrankraft, ist durch Linien in
den Integrationspunkten der finiten Elemente gekennzeichnet. Die L¨
ange dieser Linien
repr¨
asentiert die Gr¨
oße des Faltenmaßes.
Durch den aerostatischen Auftrieb und die hier angewendeten Lagerungen be-
kommt das Luftschiff einen Herzformquerschnitt. Starke Faltung findet am Bug und
am Heck des Luftschiffes statt. Dieser Bereich wird jedoch bei einer realen Konstruk-
tion mit einer biegesteifen Kappe versehen. Desweiteren tritt Faltung im Bugbereich
an den Nahtlinien der Bahnen auf. Hier f¨
uhrt die erzwungene Kompatibilit¨
at zwischen
den Randkurven der ehemals ebenen Bahnen zu Stauchungen. Dieser Effekt verringert
sich in Bereichen, in denen die Membran weniger stark gekr¨
ummt ist. Im mittleren Be-
reich des Luftschiffes treten keine Falten mehr auf.
Abbildung 7.11 und 7.12 zeigen den Membrankraftzustand f¨
ur die Druckkennwer-
te p0= 0.65 N
m2und p1= 0.01 N
m3. Die 2. Piola-Kirchhoff Membankr¨
afte S11 und S22
sind in den Abbildungen durch eine Grau-Skalierung von Schwarz (0N/m) bis Weiß
(18.6N/m f¨
ur S11 bzw. 22.9N/m f¨
ur S22) wiedergegeben. Man erkennt, daß die Mem-
brankr¨
afte an den Nahtstellen der Bahnen geringer sind als im Inneren der Bahnen.
Abbildung 7.11: Membrankraftzustand in der Luftschiffh¨
ulle; S11 in £N
m¤
7.3. SONNENSEGEL
73
Abbildung 7.12: Membrankraftzustand in der Luftschiffh¨
ulle; S22 in £N
m¤
7.3 Sonnensegel
Sonnensegel zum Antrieb von Satelliten scheinen f¨
ur Missionen innerhalb des Sonnen-
systems und dar¨
uber hinaus sehr geeignet zu sein. Das hier betrachtete Sonnensegel f¨
ur
einen Kleinsatelliten war Gegenstand eines Projektes des Instituts f¨
ur Luft- und Raum-
fahrt der Technischen Universit¨
at Berlin. Das Sonnensegel wird als Membran model-
liert, die an den Eckpunkten und am Mittelpunkt in allen Richtungen unverschieblich
gelagert ist. Im Ausgangszustand ist die Membran eben und quadratisch. Geometrie
und Lagerungsbedingung des Sonnensegels sind in Abbildung 7.13 skizziert. Als Ma-
terial kommt eine Polyamidfolie zur Anwendung. Die Folie verf¨
ugt ¨
uber isotropes
Materialverhalten entsprechend Gleichung 9.57 und Gleichung 6.5. Das Sonnensegel
ist durch den Sonnendruck p= 0.92·10−5N/mm2und durch die Temperaturdifferenz
4T=±100 Kbelastet. Der Sonnendruck wird bei der Rechnung wie ein Luftdruck
behandelt. Geometriedaten, Materialwerte und die Belastung des Sonnensegels sind:
•Breite a= 10000 mm
•Membrandicke h= 7.6·10−3mm
•E–Modul E= 2000 N
mm2
•Querkontraktionszahl ν= 0.3
74
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
•lineare Ausdehnungskoeffizienten α11 =α22 = 8.0·10−51
K
•Sonnendruck p= 0.92 ·10−5N
mm2
•Temperaturdifferenz 4T=±100 K
PSfrag replacements
a
a
fest
fest
fest
wp
Abbildung 7.13: Geometrie und Lagerung des Sonnensegels
Die Abbildungen 7.14 bis 7.16 zeigen den Faltungszustand f¨
ur die mit Sonnendruck
belastete Membran bei Temperaturdifferenzen von 4T= 0 Kbzw. 4T=±100 K.
Die Faltung ist in den Integrationspunkten durch Linien entlang der Faltungsrichtung
(Richtung mit Hauptmembrankraft gleich Null) gekennzeichnet. Integrationspunkte
mit einem schlaffen Membranzustand sind durch Rauten markiert. In allen F¨
allen tritt
im Bereich der Diagonalen Faltung auf. Die Abk¨
uhlung reduziert die Faltung. Der
zentrale Bereich des Sonnensegel ist bei 4T=−100 Kstraff. Bei der erw¨
armten
Membran entstehen auch im Zentrum Falten. Die Verschiebung wPdes Seitenmittel-
punktes (siehe Abbildung 7.13) soll hier zum Vergleich als ein Kennwert herangezo-
gen werden. Diese Verschiebung w¨
achst mit zunehmender Temperatur. F¨
ur die drei
Temperaturzust¨
ande ergeben sich folgende Werte:
•wP= 733.9mm bei 4T=−100 K
•wP= 890.3mm bei 4T= 0 K
•wP= 1050.9mm bei 4T= 100 K
7.3. SONNENSEGEL
75
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
−6000 −4000 −2000 0 2000 4000 6000
PSfrag replacements
x1[mm]
x2[mm]
Abbildung 7.14: Aktuelle Lage (Draufsicht) und Faltungszustand des Sonnensegels
bei 4T=−100 K
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
−6000 −4000 −2000 0 2000 4000 6000
PSfrag replacements
x1[mm]
x2[mm]
Abbildung 7.15: Aktuelle Lage (Draufsicht) und Faltungszustand des Sonnensegels
bei 4T= 0 K
76
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
−6000 −4000 −2000 0 2000 4000 6000
PSfrag replacements
x1[mm]
x2[mm]
Abbildung 7.16: Aktuelle Lage (Draufsicht) und Faltungszustand des Sonnensegels
bei 4T= 100 K
7.4. VERDRILLUNG EINER KREISRINGMEMBRAN
77
7.4 Verdrillung einer Kreisringmembran
Die Verdrillung einer Membran ist ein Beispiel, f¨
ur das bei elastischem Materialver-
halten in der Literatur numerische L¨
osungen angegeben werden (siehe z.B. Roddeman
[31], Schoop, Taenzer & Hornig [35]). Hier sollen nun auch plastische Effekte ber¨
uck-
sichtigt werden. Zur ¨
Uberpr¨
ufung der numerischen Analyse wurde ein Experiment
durchgef¨
uhrt. Dies gibt die M¨
oglichkeite den berechneten Faltungszustand einer qua-
litativen Beurteilung zu unterziehen und die Leistungsf¨
ahigkeit der numerischen Me-
thode anhand einfacher Stukturkennwerte zu bewerten. Als Strukturkennwerte wer-
den hier der Drehwinkel ϑund das Drillmoment MDam Innenrand der Membran
gew¨
ahlt. Eine Kreisringmembran wird, wie in Abbildung 7.17 skizziert, am Außen-
PSfrag replacements
ri
ra
verdreht
fest
Membran
Abbildung 7.17: Geometrie der Kreisringmembran
rand festgehalten. Der Innenrand wird um den Winkel ϑverdreht. Dabei bleiben der
Innenradius riund der Außenradius raunver¨
andert. Die Verdrillbewegung wird bei
ϑ= 1.82◦= 0.03176 rad umgekehrt und anschließend der Innenkreis auf ϑ= 0◦
zur¨
uckgedreht. Die Membran besteht aus einer handels¨
ublichen Aluminiumfolie und
hat in etwa die Daten:
•E–Modul E= 70000 N
mm2
•Querkontraktionszahl ν= 0.3
•Fließdehnung y0= 0.002
•Membrandicke h= 0.01 mm
•Innenradius ri= 45 mm
•Außenradius ra= 125 mm
78
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
Numerische Simulation: Zur Anwendung kommen 10 x 40 bilineare Membranele-
mente. Es wird das Materialgesetz von Besdo (siehe Kapitel 9.6.3) mit dem Verfe-
stigungsgesetz Gleichung 9.83 verwendet. W¨
ahrend der Rechnung f¨
ur die r¨
uckw¨
arts
gerichtete Drehbewegung traten numerischen Proble auf. Durch die Verwendung eines
ged¨
ampften Newton Verfahrens (siehe [36]) konnten diese Schwierigkeiten ¨
uberwun-
den werden.
Experimentelle Analyse: Neben der numerischen Simulation ist die Verdrillung der
Kreisringmembran auch in einem einfachen Experiment untersucht worden. Abbil-
dung 7.18 zeigt den Versuchsaufbau. Eine Hydropulsanlage der Firma Schenk mit
Torsionszylinder kam zum Einsatz. Die Folie wurde am Außenrand auf einem an der
Pr¨
ufmaschine befestigten, kreisringf¨
ormigen Tr¨
ager und in der Kreismitte auf einem
drehbaren Aluminiumstempel aufgeklebt. Der Stempel ist durch einen hydraulisch ar-
beitenden Aktuator verdreht und das sich einstellende Moment durch eine Momenten-
meßdose bestimmt worden.
In den Abbildungen 7.19 bis 7.24 sind f¨
ur ausgew¨
ahlte Meßpunkte die rechnerisch
bzw. experimentell ermittelten Faltungszust¨
ande dargestellt. F¨
ur numerische Ergeb-
nisse sind in den Integrationspunkten die Falten durch Linien entlang der aktuellen
Faltungsrichtung markiert, d.h. die von Null verschiedene Hauptmembrankraft wirkt
senkrecht zu dieser Linie. Die L¨
ange dieser Linien ist ein Maß f¨
ur den Faltenparame-
ter βR. Die Linienl¨
ange ist auf das maximale Faltenmaß βRdes jeweilig betrachteten
Zustandes bezogen worden. Integrationspunkte mit schlaffem Zustand werden durch
rautenf¨
ormige Punkte markiert. Der rechnerisch ermittelte Faltungszustand wird in ei-
nem Kreisausschnitt von 36◦dargestellt.
Abbildung 7.19 und 7.20 zeigen die Membran beim maximalen Drehwinkel von
ϑ= 0.03176 rad. Es tritt eine starke, kurzwellige Faltenbildung am Innenrand der
Membran auf, die sich mit wachsendem Radius verringert und langwelliger wird. Ex-
periment und Rechnung zeigen eine gute ¨
Ubereinstimmung bei der qualitativen Be-
schreibung dieses Faltungszustandes. Eine Absch¨
atzung mittels Abbildung 3.7 ergibt
f¨
ur βR= 0.311 einen Wert von etwa f
`=1
5. In Abbildung 7.20 findet man ¨
uber den
halben Umfang circa 20 Falten am Innenrand verteilt. Die abgesch¨
atzte Faltenh¨
ohe
liegt damit etwas ¨
uber einem Millimeter, was auch die beobachtbare Gr¨
oßenordnung
ist.
Abbildung 7.21 und 7.22 zeigen die Membran w¨
ahrend der R¨
uckw¨
artsbewegung
bei einem Drehwinkel von ϑ= 0.0244 rad. Die numerische Rechnung sagt hier einen
kr¨
aftefreien, schlaffen Zustand am Innenrand voraus. Da w¨
ahrend der Verdrillung
plastische Dehnungen auftraten, entstehen bei der r¨
uckw¨
artsgewandten Drehbewe-
gung des Membraninnenrandes elastische Stauchungen. Der Faltenalgorithmus ermit-
telt hier einen schlaffen Zustand. In der Mitte des Kreisringes tritt in der Simulation
Faltung auf, was auf Eigenspannungen zur¨
uckgef¨
uhrt werden kann. Im Experiment
weist der Bereich am Innenrand starke Faltenbildung auf. Die Faltungsrichtung ist
die gleiche wie beim Verdrillprozeß. Es handelt sich hierbei um bleibende Verfor-
7.4. VERDRILLUNG EINER KREISRINGMEMBRAN
79
mungen der Membran aus der Deformationsgeschichte. Die Folie hat eine bleibende,
kurzwellige Struktur erhalten und besitzt somit eine Biegesteifigkeit. Deshalb kann sie
in diesem Bereicht in gewissem Umfang Druckkr¨
afte aufnehmen. Dieser Effekt kann
durch eine Faltentheorie nicht beschrieben werden. Das Tragverhalten wird in diesem
Zustand durch den Faltenalgorithmus dennoch gut erfaßt. Dies wird sp¨
ater im Zusam-
menhang mit Abbildung 7.25 diskutiert werden. In der restlichen Folie gibt es eine
leichte Faltenbildung mit einer zu den Falten am Innenrand nahezu senkrecht stehen-
den Richtung, wie in Abbildung 7.22 zu sehen ist. Ursache hierf¨
ur ist die F¨
ahigkeit der
Folie, Kr¨
afte vom Innenrand zum Außenrand zu ¨
ubertragen, die aus der am Innenrand
entstandenen Biegesteifigkeit herr¨
uhrt. Hierin unterscheiden sich die experimentellen
Ergebnisse von den durch Simulation erzielten Resultaten.
In Abbildung 7.23 und 7.24 ist der Faltungszustand bei der R¨
uckstellbewegung f¨
ur
einen Drehwinkel von ϑ= 0.007 rad wiedergegeben. Die numerische L¨
osung zeigt
wieder eine starke Faltenbildung am Innenrand, die zum Außenrand hin schnell gerin-
ger wird. Die Faltungsrichtung ist dabei etwa senkrecht zur Faltungsrichtung beim Ver-
drillungsprozeß (siehe Abbildung 7.19). Das ist eine Folge der plastischen Streckung
der Membran. Qualitativ stimmt der berechnete mit dem experimentell ermittelten Fal-
tungszustand gut ¨
uberein. Die plastischen Falten am Innenrand, wie sie in Abbildung
7.22 zu erkennen waren, sind verschwunden. Die Membran hat sich in der urspr¨
ungli-
chen Faltungsrichtung gestreckt und faltet sich nun in etwa senkrecht zu dieser Rich-
tung.
80
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
Abbildung 7.18: Versuchsaufbau
7.4. VERDRILLUNG EINER KREISRINGMEMBRAN
81
PSfrag replacements
x1
x2
Abbildung 7.19: Berechneter Faltungszustand der Membran bei der maximalen Ver-
drehung ϑ= 0.03176 rad mit max. βR= 0.311
Abbildung 7.20: Faltungszustand der Folie bei der maximalen Verdrehung
ϑ= 0.03176 rad
82
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
PSfrag replacements
x1
x2
Abbildung 7.21: Berechneter Faltungszustand der Membran w¨
ahrend der R¨
uckkehr-
bewegung bei einer Verdrehung ϑ= 0.0244 rad mit max. βR= 0.042
Abbildung 7.22: Faltungszustand der Folie zu Beginn der Umkehrbewegung bei
ϑ≈0.0244 rad
7.4. VERDRILLUNG EINER KREISRINGMEMBRAN
83
PSfrag replacements
x1
x2
Abbildung 7.23: Berechneter Faltungszustand der Membran w¨
ahrend der R¨
uckkehr-
bewegung bei einer Verdrehung ϑ= 0.007 rad mit max. βR= 0.289
Abbildung 7.24: Faltungszustand der Folie w¨
ahrend der Umkehrbewegung bei
ϑ≈0.007rad
84
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
PSfrag replacements
MD[Nm]
ϑ[rad]
Experiment
ohne Faltung
mit Faltung
Abbildung 7.25: Drehmoment MDam Innenrand bei vorgegebenen Drehwinkel ϑ
Die Abbildung 7.25 zeigt das sich am Innenrand einstellende Drehmoment MDin
Abh¨
angigkeit vom vorgegebenen Drehwinkel ϑ. Hierbei werden den experimentellen
Daten Ergebnisse aus den Rechnungen mit und ohne Faltenalgorithmus gegen¨
uberge-
stellt. Pfeile geben die Prozeßrichtung im Diagramm an.
Verdrillung: Die Charakteristiken der drei MD–ϑ–Verl¨
aufe sind hier im wesentli-
chen gleich. Zu Beginn ist ein kurzer elastische Bereich mit einem starken Anstieg
der Kurven zu erkennen, an den sich ein Bereich mit plastischen Deformationen an-
schließt. Im Anfangsbereich zeigen die experimentellen Daten starke Schwankungen.
Verglichen mit dem Experiment wird f¨
ur die Rechnung mit Faltenmodell eine zu ge-
ringe Steigung der Kurve w¨
ahrend des elastischen Prozesses ermittelt. Das gilt auch
f¨
ur die Entlastung nach der Umkehr der Drehbewegung. Die MD–Werte aus den Rech-
nungen sind im Allgemeinen zu hoch. Sie weisen Abweichungen bezogen auf expe-
rimentelle Werte von 38% (mit Faltenalgorithmus) und 62% (ohne Ber¨
ucksichtigung
der Membranfaltung) auf.
Entdrillung: Bei der Durchf¨
uhrung des Experimentes waren bei einem Drehwinkel
von ϑ≈1.8◦≈0.0317 rad in der Folie an zwei Stellen Anf¨
ange einer Rißbildung
zu erkennen. Daraufhin wurde die Drehbewegung umgekehrt. Im Diagramm ist eine
elastische Gerade beim Entlastungsprozeß, sowohl f¨
ur das Experiment als auch f¨
ur
die Simulationen zu erkennen. Die drei Graphen unterscheiden sich jedoch in ihrer
Steigung. Daran anschließend zeigt sich ein Bereich mit einem relativ kleinen, nahezu
konstanten Moment MD. Die Simulation mit Faltenalgorithmus sagt f¨
ur diesen Be-
reich ein Verschwinden des Momentes voraus. Die Ursachen f¨
ur dieses Verhalten der
Folie wurde bereits im Zusammenhang mit dem Faltenzustand (Abbildungen 7.22 und
7.22) diskutiert. Die numerische Analyse ohne Faltenalgorithmus kann dieses Ver-
7.4. VERDRILLUNG EINER KREISRINGMEMBRAN
85
halten ¨
uberhaupt nicht darstellen. Sie folgt dem elastischem Pfad bis zum erneuten
Fließen und ermittelt ein v¨
ollig ¨
ubertriebenes Moment. Im weiteren Verlauf zeigen
die experimentellen Daten ein Ansteigen des Momentenbetrages. Kurz vor Erreichen
des Nullwinkels setzte erneut Rißbildung ein. Die Rechnung mit Faltenmodell weist
bei ϑ= 0.015 rad ebenfalls ein Wachsen des Momentenbetrages auf. Die Simulation
ermittelt f¨
ur den Winkelbereich von ϑ= 0.015 rad bis ϑ= 0.008 rad in zahlreichen
Integrationspunkten ¨
Uberg¨
ange vom schlaffen zum gefalteten Zustand einerseits und
erneutem Fließen andererseits. Diese Wechselwirkungen f¨
uhren zu dem stufenf¨
ormi-
gen Verlauf der Kurve. Ab ϑ= 0.008 rad bleibt der von der Rechnung bestimmte
Faltungszustand vom Prinzip her unver¨
andert. Das Moment wird von der Rechnung
deutlich zu hoch eingesch¨
atzt. Das ist unter anderem darauf zur¨
uckzuf¨
uhren, daß mit
dem Materialgesetz nur eine isotrope Verfestigung beschrieben wird.
Diskussion der Ergebnisse: Der Vergleich der Simulation mit dem Experiment
zeigt, daß der Faltenalgorithmus prinzipiell in der Lage ist, das Tragverhalten der pla-
stisch deformierten Membranstruktur wiederzugeben. Auch die Analyse des Faltungs-
zustandes zeigt ¨
Ubereinstimmungen mit dem Experiment. Die Faltentheorie trifft al-
lerdings auch an ihre Grenzen. Durch die plastische Faltung entsteht eine bleibende
Welligkeit der Folie, die ihr in gewissem Umfang eine Biegesteifigkeit verleiht. Die
daraus folgende F¨
ahigkeit der Membran Druckkr¨
afte in Richtung der Falten aufneh-
men zu k¨
onnen, kann die hier benutzte Faltentheorie nicht abbilden. Das Tragverhalten
der Membran in dieser Situation wird dennoch gut wiedergegeben. Quantitativ treten
allerdings signifikante Unterschiede zwischen Experiment und Simulation auf. Die
folgenden Punkte k¨
onnten hierbei eine Erkl¨
arung geben:
•Randbedingungen werden vom Faltenalgorithmus nicht erfaßt. Die vertikale
Verschiebung an den R¨
andern ist im Experiment verhindert, und somit die Mem-
branfaltung am Rand unterdr¨
uckt sowie in der Umgebung des Randes vermin-
dert. Diese Tatsache findet bei der Bestimmung des Membrankraftzustandes
durch den Faltenalgorithmus keine Ber¨
ucksichtigung.
•Mit der Zugfeldtheorie wird der Membrankraftzustand nicht detailiert ermittelt.
Bei der numerischen Analyse kann das Auswirkungen auf den Beginn des pla-
stischen Fließens haben.
•Einfluß von Imperfektionen beim Experiment: Bei der Durchf¨
uhrung des Expe-
rimentes traten nat¨
urlich einige Abweichungen von der beabsichtigten Situation
auf. So erwies es sich als schwierig, die Folie in einem glatten Zustand auf dem
Tr¨
ager zu befestigen. Teile der Folie waren deshalb schon im Ausgangszustand
in geringem Maße gestaucht bzw. leicht gefaltet. Da die Folie auf dem Tr¨
ager
aufgeklebt wurde, war eine sp¨
atere Korrektur nicht mehr m¨
oglich. Dies ist eine
m¨
ogliche Ursache f¨
ur die Schwankungen im Anfangsbereich der Momentenkur-
ve Abbildung 7.25.
86
KAPITEL 7. STRUKTURANALYSEN
•Das Materialgesetz: Eine Ursache f¨
ur die Abweichung der numerischen Ergeb-
nisse vom Experiment liegt im Materialgesetz, speziell in der Beschreibung der
Verfestigung. Es wird isotrope Verfestigung modelliert. Der Bauschingereffekt
kann nicht wiedergeben werden. Das erkl¨
art insbesondere, daß die w¨
ahrend der
R¨
uckstellbewegung berechneten Momente ¨
uber den experimentellen Werten lie-
gen.
•Einfluß von Biegeeffekten: Durch plastische Faltung erh¨
alt die Membran eine
gewellte Struktur und somit eine Biegesteifigkeit. Damit kann der Einfluß der
Biegung wachsen. Dieser Effekt wird durch die Faltentheorie nicht erfaßt.
Kapitel 8
Schlußbemerkungen
Ein Forschungsgegenstand des Instituts f¨
ur Mechanik der TU Berlin ist seit Jahren die
numerische Simulation von Membranstrukturen, insbesondere von Segelkonstruktio-
nen. Dabei spielt die Analyse des Faltungsph¨
anomens eine wichtige Rolle.
In der vorliegenden Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Behandlung der
Membranfaltung entwickelt und vorgestellt worden. Das Verfahren ist in der La-
ge, geometrische und physikalische Nichtlinearit¨
aten sowie thermische Einfl¨
usse zu
ber¨
ucksichtigen. Ausgangspunkt ist hierbei das Roddemansche Konzept (siehe [30])
zur Behandlung der homogenen Faltung. In Kapitel 3 ist die Roddemansche Formulie-
rung auf die Referenzkonfiguration transformiert worden, was f¨
ur die hier verwende-
ten finiten Elemente vorteilhaft ist. Anhand von Beispielrechnungen zeigt sich, daß der
Faltenalgorithmus auch bei nichtlinearem Materialverhalten zuverl¨
assig arbeitet. Eine
konsistente Linearisierung f¨
ur die Anwendung des Verfahrens im Rahmen einer FE–
Analyse wurde angegeben. Auf Grundlage der referenzbezogenen Darstellung der Fal-
tentheorie konnten analytische Untersuchungen zur Membranfaltung f¨
ur den Fall eines
linearen Materialverhaltens, d.h. f¨
ur den Fall einer linearen Spannungs–Dehnungs–
Beziehung, durchgef¨
uhrt werden. In Kapitel 4 sind L¨
osungen f¨
ur einfache Deformati-
onszust¨
ande aufgef¨
uhrt. Die Ber¨
ucksichtigung inelastischer Effekte in einer gefalteten
Membran erfolgte auf Grundlage der multiplikativen Zerlegung des Deformationsgra-
dienten, d.h. des Konzeptes einer Zwischenkonfiguration. Eine Neuformulierung des
Faltenkriteriums wurde vorgenommen. Um geeignete Startwerte f¨
ur den Faltenalgo-
rithmus bei inelastischen Deformationen zu erhalten, sind die Faltenbedingungen bei
Verwendung einiger Annahmen in die Zwischenkonfiguration transformiert worden.
Auf der Ebene der Zwischenkonfiguration k¨
onnen mittels der Faltenanalyse f¨
ur lineare
Spannungs–Dehnungs–Relationen Startwerte f¨
ur den Faltenalgorithmus ermittelt wer-
den. Dieses Verfahren hat sich als sehr zuverl¨
assig und effizient erwiesen. Ausgehend
von den Betrachtungen der Membranfaltung im Falle inelastischer Deformationen ist
eine Ber¨
ucksichtigung von Temperaturdehnungen m¨
oglich. Der Faltenalgorithmus ist
entsprechend erweitert worden. In Beispielen wurde die Anwendbarkeit des vorge-
stellten Verfahrens auf reale Strukturen unter Beweis gestellt und dessen Grenzen auf-
gezeigt.
87
88
KAPITEL 8. SCHLUSSBEMERKUNGEN
Kapitel 9
Anhang
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Membrantheorie aufgef¨
uhrt, beginnend
mit der hier verwendeten Vektor- und Tensoralgebra sowie der Differentialgeometrie
zur Beschreibung von Fl¨
achen. Desweiteren widmet sich dieses Kapitel der Beschrei-
bung des Deformations- und des Membrankraftzustandes. Das Prinzip der virtuellen
Verschiebungen (P.d.v.V.) ist in dieser Arbeit Ausgangspunkt f¨
ur die numerische Ana-
lyse von Membranstrukturen. Schließlich werden die in dieser Arbeit verwendeten
Materialgesetze vorgestellt. Es wird dabei nur insofern auf die Sachverhalte eingegan-
gen, wie sie f¨
ur das Verst¨
andnis dieser Arbeit wichtig sind.
9.1 Vektor- und Tensoralgebra
Die Vektor- und Tensoralgebra ist weitgehend bekannt und in zahlreichen Lehrb¨
uchern
ausf¨
uhrlich beschrieben (siehe z.B. Schade [32]). Da aber in der Literatur f¨
ur einige
Operatoren zum Teil unterschiedliche Definitionen zu finden sind, werden die in dieser
Arbeit verwendeten hier aufgef¨
uhrt. Es wird sowohl die symbolische Schreibweise
(z.B. Vektor a, Tensor B) als auch die Indexschreibweise (z.B. Vektor ai, Tensor Bij
mit ibzw. j= 1,2f¨
ur die Ebene und ibzw. j= 1,2,3f¨
ur den Raum) verwendet. Es
gilt die Summenkonvention. Die Formulierung in Index-Notation erfolgt zun¨
achst mit
ko- und kontravarianten Komponenten (bei Verwendung einer kartesischen Basis ist
die Unterscheidung in ko- und kontravarianten Komponenten allerdings hinf¨
allig). Im
folgenden werden einige Entsprechungen gegen¨
uber gestellt.
Skalarprodukt von zwei Vektoren aund b:
a·bb=aibi=c(9.1)
Dyadisches Produkt von zwei Vektoren aund b:
a◦bb=aibj=Cij (9.2)
89
90
KAPITEL 9. ANHANG
Vektorprodukt zweier Vektoren:
a×bb=εijk ajbk=ci(9.3)
mit dem Permutationssysmbol εijk (siehe Schade [32]).
Skalarprodukt eines Vektors amit einem Tensor B:
a·Bb=aiBij =cj(9.4)
B·ab=Bij aj=di(9.5)
Skalarprodukt von zwei Tensoren Aund B:
A·Bb=Aik Bkj =Cj
i(9.6)
Doppelskalarprodukt von zwei Tensoren Aund B:
A··Bb=Aij Bji =c(9.7)
Doppelskalarprodukt eines Tensors vierter Stufe Cmit einem Tensor A:
B=C··Ab=Cijkl Akl =Bij (9.8)
9.2 Differentialgeometrie
Eine Voraussetzung zur Analyse eines Fl¨
achentragwerkes ist die mathematische Be-
schreibung der Bezugsfl¨
ache des Tragwerks in seinen wesentlichen Eigenschaften. In
der Literatur zur Schalentheorie findet man ausf¨
uhrliche Erl¨
auterungen zu diesem The-
ma (siehe z.B. Basar & Kr¨
atzig [1]). Zur Beschreibung einer Fl¨
ache kann der Ortsvek-
tor in Abh¨
angigkeit von zwei Fl¨
achenkoordinaten q1und q2eingef¨
uhrt werden:
x¡q1, q2¢(9.9)
Basisvektoren und Metriktensor: Durch Ableitung des Ortsvektors nach den Fl¨
a-
chenkoordinaten erh¨
alt man die kovariante Basis der Fl¨
ache.
g1=∂x
∂q1g2=∂x
∂q2(9.10)
Diese Basisvektoren liegen tangential zu den Koordinatenlinien, wie in Abbildung 9.1
skizziert ist. Zur Beschreibung der L¨
angenverh¨
altnisse auf einer Fl¨
ache dient der Me-
triktensor. So gilt f¨
ur das Quadrat eines differentiellen Linienelementes ds auf einer
Fl¨
ache
ds2=gαβ dqαdqβ(9.11)
9.2. DIFFERENTIALGEOMETRIE
91
PSfrag replacements
g1
g2
q1=const
q2=const
x(q1, q2)
e1
e2
e3
Abbildung 9.1: Fl¨
achenkoordinaten, Koordinatenlinien und kovariante Basis einer
Fl¨
ache
Die griechischen Indizes laufen ¨
uber die Werte 1 und 2. gαβ sind die kovarianten Kom-
ponenten des symmetrischen Metriktensors der Fl¨
ache, die sich folgendermaßen be-
rechnen lassen:
gαβ =gα·gβ(9.12)
Die Determinante des Metriktensors ist
det (gαβ) = g11g22 −g12g21 (9.13)
F¨
ur die sogenannten kontravarianten Komponenten des Metriktensors gilt die Defini-
tion
gαγ gγβ =δβ
α(9.14)
Man kann eine weitere Basis, die kontravariante Basis gα, definieren, die ebenfalls in
der Tangentialebene der Fl¨
ache liegt:
gα·gβ=δα
β(9.15)
Der Nabla-Operator: Bezogen auf die Koordinaten der Fl¨
ache qαmit der zugeh¨
ori-
gen kontravarianten Basis gαlautet der planare Nabla-Operator
∇=gα∂
∂qα(9.16)
Fl¨
achenelement: Ein differentielles Fl¨
achenenlement, das durch die gerichteten Li-
nienelemente
ds1=g1dq1ds2=g2dq2(9.17)
92
KAPITEL 9. ANHANG
PSfrag replacements
g1
g2
en
ds1
ds2
dA
x(q1, q2)
e1
e2
e3
Abbildung 9.2: Fl¨
achenelement
aufgespannt wird (siehe Abbildung 9.2) soll beschrieben werden. F¨
ur ein gerichtetes
Fl¨
achenelement (oder auch Fl¨
achenvektor)
dA=dA en(9.18)
mit dem Normaleneinheitsvektor der Fl¨
ache engilt
dA=ds1×ds2=qdet (gαβ)dq1dq2en(9.19)
Der Fl¨
acheninhalt des Fl¨
achenelementes ist
dA =qdet (gαβ)dq1dq2(9.20)
9.3 Beschreibung des Deformationszustandes
Zur Analyse des Deformationszustandes einer Membran wird die Momentankonfigu-
ration (MKF) und eine Referenzkonfiguration (RKF) betrachtet. Es soll hier von ei-
ner ebenen Referenzkonfiguration ausgegangen werden. Dies ist zwar nicht zwingend
erforderlich, im Hinblick auf die Herstellung von Membranstrukturen mittels Schnitt-
muster, jedoch sehr zweckm¨
aßig.
Ein gerichtetes materielles Linienelement der Referenz dXgeht durch Bewegungs-
prozesse in ein Linienelement dxin der Momentankonfiguration ¨
uber.
Deformationsgradient: Dieser Bewegungsprozeßwird durch den Deformationsgra-
dienten Fbeschrieben (eine Starrk¨
orpertranslation ist in Fnicht enthalten).
dx=F·dXbzw. dxi=FiαdXα(9.21)
Es gilt f¨
ur i, und im weiteren f¨
ur alle anderen der lateinischen Indizes, i= 1,2,3.
Griechische Indizes k¨
onnen die Werte 1 und 2 annehmen, d.h hier α= 1,2. Der
Deformationsgradient ist definiert als
F=x◦∇ (9.22)
9.3. BESCHREIBUNG DES DEFORMATIONSZUSTANDES
93
PSfrag replacements
dX
dx
F
e1
e2
e3
Referenz
MKF
Abbildung 9.3: Abbildung eines Linienelementes von der Referenz in die Momentan-
konfiguration
Da die Abbildung aus der Ebene in den Raum erfolgt, hat die Komponentenmatrix des
Deformationsgradienten die Dimension 3 x 2.
Wie in der Kontinuumsmechanik ¨
ublich (siehe z.B. Malvern [21], Becker & B¨
urger
[4]), kann eine polare Zerlegung des Deformationsgradienten in einen Drehtensor R
und einen Strecktensor vorgenommen werden:
F=R·U=V·Rbzw. Fiα =RiβUβα =VijRjα (9.23)
Die polare Zerlegung ist in Abbildung 9.4 illustriert. Wie der Deformationsgradient F,
so hat auch Reine Komponentenmatrix von der Dimension 3 x 2.
PSfrag replacements
ebene Referenz
MKF
dX
dx
U
V
R
R
e1
e2
e3
Abbildung 9.4: Interpretation der polaren Zerlegung des Deformationsgradienten
Dehnungsmaße: Die Strecktensoren sind unter den Bezeichnungen rechter Streck-
tensor Ubzw. linker Strecktensor Vbekannt. Es lassen sich nun weitere Dehnungsma-
ße definieren (siehe Krawietz [16]). Die in dieser Arbeit verwendeten Dehnungsmaße
94
KAPITEL 9. ANHANG
werden hier aufgef¨
uhrt. Bei den im folgenden in Indexschreibweise notierten Dehnun-
gen beziehen sich die Komponenten auf die kartesische Basis der Referenz eα. Der
rechte Cauchy Green Dehnungstensor C:
C=FT·F=U·Ubzw. Cαβ =FiαFiβ =UαγUγβ (9.24)
Der Greensche Verzerrungstensor D:
D=1
2¡FT·F−E¢=1
2(C−E)
bzw.
Dαβ =1
2(FiαFiβ −δαβ) = 1
2(Cαβ −δαβ)(9.25)
Eist der planare Einheitstensor, der sich in Indexschreibweise als δαβ schreibt. Sowohl
Uαβ als auch Cαβ und Dαβ beziehen sich auf die kartesische Basis der Referenzebene
eα.
9.4 Membrankr¨
afte
In einer Membran treten als einzige Schnittlasten Membrankr¨
afte auf. Querkr¨
afte und
Momente werden im Rahmen der Membrantheorie vernachl¨
assigt. Außerdem wird der
ebene Spannungszustand (ESZ) angenommen. Als Spannungsmaße werden hier die
wahren Spannungen oder auch Cauchy Spannungen (bezogen auf ein nat¨
urliches Ba-
sissystem analog zu Abbildung 9.5)
TC
ij b=
TC
11 TC
12 0
TC
12 TC
22 0
0 0 0
(9.26)
und die 2. Piola Kirchhoff Spannungen (bezogen auf eine kartesische Basis in der
RKF)
Tij b=
T11 T12 0
T12 T22 0
0 0 0
(9.27)
mit i, j = 1,2,3verwendet. Wegen des ebenen Spannungszustandes sind die planaren
Anteile der Spannungstensoren ausreichend, um den Spannungszustand zu beschrei-
ben. Aus dem planaren Anteil dieser dreidimensionalen Spannungstensoren ergeben
sich die Schnittlasten der Membran und zwar der Cauchy Membrankrafttensor SC
(hier mit Bezug auf die kontravariante Basis gαder Fl¨
ache in der Momentankonfigu-
ration angegeben)
SC=SC
αβ gα◦gβ=˜
h TC
αβ gα◦gβ(9.28)
9.4. MEMBRANKR ¨
AFTE
95
PSfrag replacements
e1
e2
g1
g2
Referenz MKF
Abbildung 9.5: Kartesische Basis der RKF und kovariante Basisvektoren in der MKF
und der 2. Piola Kirchhoff Membrankrafttensor S(hier mit Bezug auf die kartesische
Basis der ebenen Referenz eα, siehe Abbildung 9.5)
S=Sαβ eα◦eβ=h Tαβ eα◦eβ(9.29)
˜
hund hsind die Membrandicken in der aktuellen Lage bzw. in der Referenz.
Die Frage ist zu kl¨
aren, welcher Zusammenhang zwischen den oben eingef¨
uhrten
Membrankrafttensoren besteht. Abbildung 9.6 stellt den Kraftvektor dkCdar, der aus
dem Linienelement ds einer Schnittlinie in der Momentankonfiguration austritt. Der
Vektor eM⊥liegt in der Tangentialebene der Membran und steht senkrecht auf der
Schnittlinie.
PSfrag replacements
eR⊥
eM⊥
dkc
Referenz MKF
ds
dS
Abbildung 9.6: Membranschnittlasten in der Referenz- und der Momentankonfigura-
tion
Der Kraftvektor kann durch den Cauchy Membrankrafttensor wie folgt ausge-
dr¨
uckt werden:
dkC=ds eM⊥·SC(9.30)
Ein weiterer Membrankrafttensor kann definiert werden, in dem man die Schnittkraft
dkCauf die L¨
ange dS und die Richtung eR⊥der Referenzkonfiguration bezieht (siehe
Abbildung 9.6):
dkC=dS eR⊥·S1P K (9.31)
96
KAPITEL 9. ANHANG
Bei der Gr¨
oße S1P K handelt es sich um die 1. Piola-Kirchhoff Membrankr¨
afte. Bauer
gibt in [3] die Transformation der Vektorgr¨
oßen dS eR⊥und ds eM⊥an:
ds eM⊥=da
dA dS eR⊥·F−1(9.32)
bzw.
dS eR⊥=dA
da ds eM⊥·F(9.33)
Hierbei ist da ein Fl¨
achenelement der aktuellen Lage und dA ein Fl¨
achenelement in der
Referenzkonfiguration. Zu beachten ist, daß es sich bei Gleichung 9.32 bzw. 9.33 nicht
um die Transformation eines materiellen Linienelementes handelt. Aus Gleichung 9.31
und 9.33 erh¨
alt man die Beziehungen zwischen den beiden Membrankraftgr¨
oßen SC
und S1P K
S1P K =da
dAF−1·SC(9.34)
bzw.
SC=dA
da F·S1P K (9.35)
Multipliziert man den 1. Piola Kirchhoff Membrankrafttensor rechtsseitig skalar mit
F−T, so erh¨
alt man den symmetrischen 2. Piola Kirchhoff Membrankrafttensor
S=S1P K ·F−T(9.36)
Die Cauchy Membrankr¨
afte und die 2. Piola Kirchhoff Membrankr¨
afte verhalten sich
somit wie folgt zu einander:
S=da
dA F−1·SC·F−T(9.37)
bzw.
SC=dA
da F·S·FT(9.38)
9.5 Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (P.d.v.V.) ist eine den statischen Gleichge-
wichtsbedingungen ¨
aquivalente Aussage, Sie wird in dieser Arbeit der Ausgangspunkt
f¨
ur die numerische Behandlung von Membranstrukturen mittels FEM sein. Das Prinzip
lautet
δAi=δAa(9.39)
9.5. DAS PRINZIP DER VIRTUELLEN VERSCHIEBUNGEN
97
F¨
ur eine Membran mit der Referenzfl¨
ache Aist die virtuelle innere Arbeit bei Verwen-
dung des 2. Piola Kirchhoff Membrankrafttensors und den hierzu energetisch konsi-
stenten Greenschen Verzerrungen (siehe [3], [20])
δAi=ZA
S·· δDdA (9.40)
Die virtuelle ¨
außere Arbeit von Fl¨
achenlasten und Randlasten bez¨
uglich der Fl¨
achen-
und L¨
angenmaße der deformierten Membran wird mit
δAa=Za
p·δxda +Iδx·dkC=Za
p·δxda +Iδx·PCds (9.41)
beschrieben. Hierbei sind
•pder Vektor Fl¨
achenlast auf der Membran
•da,adas Fl¨
achendifferential und die Fl¨
ache in der MKF
•PCVektor einer Linienlast entlang der Gebietsberandung von amit
dkC=PCds (9.42)
•ds ein Bogenl¨
angendifferential in der MKF
Die virtuelle ¨
außere Arbeit kann in einer referenzbezogenen Darstellung angegeben
werden. Hierzu wird der auf die Bogenl¨
ange dS des unverformten Gebietsrandes be-
zogene Randlastvektor Peingef¨
uhrt
P=ds
dS PC(9.43)
der sich zum Kraftvektor dkCfolgendermaßen verh¨
alt:
dkC=PdS (9.44)
Desweiteren werden die Fl¨
achenlasten auf die Referenzfl¨
ache umgerechnet
q=da
dA p(9.45)
und es ergibt sich f¨
ur die virtuelle ¨
außere Arbeit
δAa=ZA
q·δxdA +Iδx·PdS (9.46)
F¨
ur einige Belastungsarten z.B. Gewichtsbelastung kann diese Darstellung sehr
zweckm¨
aßig sein.
98
KAPITEL 9. ANHANG
9.6 Materialgesetze
9.6.1 Linear–elastisches Materialverhalten
In der geometrisch nichtlinearen Theorie ist die Bezeichnung des Materialverhaltens
mit “linear” nicht eindeutig, da es zahlreiche Spannungs- und Dehnungsmaße gibt, die
miteinanderverkn¨
upft werden k¨
onnen.IndieserArbeitistuntereinemlinearenMateri-
alverhalten eine lineare Beziehung zwischen dem 2. Piola Kirchhoff Spannungstensor
und dem Greenschen Dehnungstensor bzw. dem 2. Piola Kirchhoff Membrankraft-
tensor und den planaren Greenschen Dehnungen zu verstehen. Zur Beschreibung des
Materialverhaltens mit dem Membrankrafttensor und den planaren Dehnungen wird
der Elastizit¨
atstensor C(in Index-Notation Cαβγδ) eingef¨
uhrt:
S=C··D(9.47)
bzw. in Index-Notation
Sαβ =Cαβγδ Dγδ (9.48)
Voigt Notation: Bei der Beschreibung des Materialverhaltens ist die Voigt Notation
σ1
σ2
τ
=
V11 V12 V13
V12 V22 V23
V13 V23 V33
ε1
ε2
γ
(9.49)
h¨
aufig sehr zweckm¨
aßig. Die Beziehungen der Komponenten des Membrankraftvek-
tors und des Dehnungsvektors mit den entsprechenden Tensorkomponenten lauten wie
¨
ublich:
σ1=S11 σ2=S22 τ=S12 (9.50)
ε1=D11 ε2=D22 γ= 2D12 (9.51)
Die Komponenten des Elastizit¨
atstensors und der symmetrischen Voigtschen Matrix
stehen in folgender Beziehung:
V11 =C1111
V22 =C2222
V33 =C1212 =C1221 =C2112 =C2121
V12 =C1122 =C2211
V13 =C1112 =C1121 =C1211 =C2111
V23 =C1222 =C2122 =C2212 =C2221 (9.52)
9.6. MATERIALGESETZE
99
Orthotropes Material: Membranstrukturen bestehen oft aus Geweben, die ortho-
tropes Materialverhalten aufweisen. Im Fall der Orthotropie ist die Voigt Matrix nicht
mehr vollst¨
andig besetzt und es gilt
σ1
σ2
τ
=
V11 V12 0
V12 V22 0
0 0 V33
ε1
ε2
γ
(9.53)
Das Materialverhalten ist mit vier Konstanten beschrieben. Verwendet man zur Be-
schreibung des Materialverhaltens die E–Moduli E1,E2, den Schubmodul G12 und
die Querkontraktionszahlen ν1,ν2mit
E1ν2=E2ν1(9.54)
dann gilt f¨
ur die Membransteifigkeiten Vij
Vij b=
E1h
1−ν1ν2
ν2E1h
1−ν1ν20
ν2E1h
1−ν1ν2
E2h
1−ν1ν20
0 0 G12 h
(9.55)
hist die Membrandicke in der Referenzkonfiguration.
Ein spezielles orthotropes Materialgesetz mit nur drei Materialkonstanten findet
man bei Roddeman [30]. Dieses Materialgesetz soll in dieser Arbeit ebenfalls Anwen-
dung finden.
Vij b=Eh
1−ν2
f ν 0
ν1 0
0 0 1−ν
2
(9.56)
Eist der E–Modul. νist ein Kennwert mit dem Charakter einer Querkontraktionszahl.
fbestimmt das Maß der Anisotropie.
Isotropes Material: Ein isotropes Material wird hier mit dem E–Modul Eder Quer-
kontraktionszahl νbeschrieben. Die Voigt Matrix lautet somit
Vij b=Eh
1−ν2
1ν0
ν1 0
0 0 1−ν
2
(9.57)
F¨
ur den Schubmodul gilt
G=E
2 (1 + ν)(9.58)
100
KAPITEL 9. ANHANG
9.6.2 Ein orthotropes, nichtlinear elastisches Material
Als ein Beispiel f¨
ur nichtlinear elastisches, orthotropes Materialverhalten soll ein Ma-
terial mit der spezifischen Form¨
anderungsenergie der Membran
W=1
2£a1D2
11 + 2a3D11D22 +a2D2
22 +G(D12 +D21)2¤
+a4D3
11 +a5D2
11D22 +a6D2
22D11 +a7D3
22
+a8D4
11 +a9D3
11D22 +a10 D2
11D2
22 +a11 D11D3
22 +a12 D4
22 (9.59)
dienen. G ist der Schubmodul, a1bis a12 sind weitere Materialkonstanten.
Die Membrankr¨
afte erh¨
alt man aus den partiellen Ableitungen der Form¨
anderungs-
energie Wnach den planaren Dehnungen Dαβ
Sαβ =∂W
∂Dαβ
(9.60)
Die Membrankr¨
afte sind im einzelnen:
S11 =a1D11 +a3D22 + 3a4D2
11 + 2a5D11D22 +a6D2
22 +
+ 4a8D3
11 + 3a9D2
11D22 + 2a10 D11D2
22 +a11 D3
22 (9.61)
S22 =a2D22 +a3D11 +a5D2
11 + 2a6D11D22 + 3a7D2
22 +
+a9D3
11 + 2a10 D2
11D22 + 3a11 D11D2
22 + 4a12 D3
22 (9.62)
S12 = 2G D12 (9.63)
Die Membransteifigkeiten f¨
ur dieses Materialgesetz ergeben sich aus den partiellen
Ableitungen der Membrankr¨
afte Sαβ nach den planaren Dehnungen Dγδ
Cαβγδ =∂Sαβ
∂Dγδ
(9.64)
oder in symbolischer Darstellung
C=∂S(D)
∂D(9.65)
9.6. MATERIALGESETZE
101
Die aus der Form¨
anderungsenergie Gleichung 9.59 folgenden, von Null verschiedenen
Steifigkeiten sind hier angegeben:
C1111 =a1+ 6a4D11 + 2a5D22 +
+ 12a8D2
11 + 6a9D11D22 + 2a10 D2
22
C2222 =a2+ 2a6D11 + 6a7D22 +
+ 2a10 D2
11 + 6a11 D11D22 + 12a12 D2
22
C1122 =a3+ 2a5D11 + 2a6D22 +
+ 3a9D2
11 + 4a10 D11D22 + 3a11 D2
22
C2211 =C1122
C1212 =C1221 =G
C2112 =C2121 =G
9.6.3 Elastisch–plastisches Materialverhalten
In dieser Arbeit wird als Beispiel eines elastisch–plastischen Materialverhaltens ein
Materialgesetz von Besdo [5] und Tietze [40] verwendet. Es handelt sich hier-
bei um eine Formulierung der von Mises Plastizit¨
at im Dehnungsraum, die große
plastische Verformungen erfassen kann. Die Beschreibung erfolgt mit dem 3D–
Deformationsgradienten Fij, dem 3D–Verzerrungstensor Cij und dem 2. Piola Kirch-
hoff Spannungstensor Tij. Die Theorie wird mit dem Radial Return Verfahren nume-
risch umgesetzt. Dieses Verfahren ist von Verhoeven [41] f¨
ur diese spezielle Material-
beschreibung modifiziert worden. In dieser Arbeit wird der ebene Spannungszustand
durch einen iterativen Prozeß aus dem 3D–Materialgesetz ermittelt (siehe Kapitel 3.8).
Kinematik plastischer Deformationen: Die Theorie von Besdo und Tietze basiert
auf der multiplikativen Zerlegung des Deformationsgradienten Fij in einen plastischen
Anteil ˆ
Fij und einen elastischen Anteil Fe
ij.
Fij =Fe
ik ˆ
Fkj (9.66)
Das Dach ( ˆ ) kennzeichnet Gr¨
oßen der Zwischenkonfiguration, (e)Gr¨
oßen, die
den ¨
Ubergang von der Zwischen- zur Momentankonfiguration beschreiben. Gleichung
9.66 nimmt hier Bezug auf eine kartesische Basis.
102
KAPITEL 9. ANHANG
PSfrag replacements
Referenz
Zwischenkonfiguration
Momentankonfiguration
Fe
ij
ˆ
Fij
Fij
Abbildung 9.7: Konfigurationen bei elastischer und plastischer Deformation
Mit der multiplikativen Zerlegung von Fij wird eine Zwischenkonfiguration ein-
gef¨
uhrt (siehe Abbildung 9.7), die spannungsfrei ist und somit keinerlei elastische
Deformationen beinhaltet. Dieses Konzept ist in der Literatur viel diskutiert worden
(siehe z.B. [11], [6], [16]).
Auf Grundlage der multiplikativen Zerlegung Gleichung 9.66 k¨
onnen nun formal
die rechten Cauchy Green Strecktensoren und Greenschen Verzerrungstensoren der
plastischen Deformation
ˆ
Cij =ˆ
Fki ˆ
Fkj (9.67)
ˆ
Dij =1
2³ˆ
Cij −δij´(9.68)
und der elastischen Deformation
Ce=Fe
kiFe
kj (9.69)
De=1
2¡Ce
ij −δij¢(9.70)
eingef¨
uhrt werden. Die Zusammenh¨
ange zwischen den Dehnungsgr¨
oßen der drei Kon-
figurationen lauten:
Cij =ˆ
Fki Ce
kl ˆ
Flj (9.71)
Dij =ˆ
Dij +ˆ
Fki De
kl ˆ
Flj (9.72)
Besdo und Tietze zeigen, daß die Invarianten von Ce
ij und ˆ
C−1
ik Ckj gleich sind. Es gilt
somit
Ce
ii =ˆ
C−1
ij Cji (9.73)
Ce
ij Ce
ji =ˆ
C−1
ik Ckj ˆ
C−1
jl Cli (9.74)
Ce
ij Ce
jkCe
ki =ˆ
C−1
ik Ckj ˆ
C−1
jl Clm ˆ
C−1
mnCni (9.75)
Diese Beziehungen folgen aus kinematischen Betrachtungen und sind folglich un-
abh¨
angig vom Materialgesetz.
9.6. MATERIALGESETZE
103
2. Piola Kirchhoff Spannungen: Das elastische Potential des Materials ist
φ=G
4ρ{¡Ce
ij −δij¢¡Ce
ji −δji¢+ν
1−2ν£¡Ce
ij −δij¢δji¤2}(9.76)
(siehe Verhoeven [41]). In einer Formulierung mit dem rechten Cauchy Green Streck-
tensor Cij und den inversen plastischen Dehnungen ˆ
C−1
ij sowie bei Ber¨
ucksichtigung
der Gleichungen 9.73 bis 9.75 kann das Potential mit
φ=G
4ρ{³ˆ
C−1
ik Ckj −δij´³ˆ
C−1
jl Cli −δji´+ν
1−2νh³ˆ
C−1
ik Ckj −δij´δjii2}(9.77)
angegeben werden. Wie ¨
ublich sind Gder Schubmodul und νdie Querkontraktions-
zahl. ρist die Dichte in der Referenzkonfiguration. Das Material ist hinsichtlich sei-
ner elastischen Eigenschaften isotrop. Mit dem elastischen Potential φerh¨
alt man das
elastische Teilstoffgesetz aus partiellen Ableitungen nach Cij . Die 2. Piola Kirchhoff
Spannungen Tij sind
Tij = 2ρ∂φ
∂Cij
=G·ˆ
C−1
il Clk ˆ
C−1
kj −ˆ
C−1
ij +ν
1−2ν³ˆ
C−1
kl Clk −3´ˆ
C−1
ij ¸(9.78)
Mit der Ableitung 2ρ∂φ
∂Ce
ij erh¨
alt man die auf die Zwischenkonfiguration bezogenen
Spannungen ˆ
Tij. Bei einem gegebenen Dehnungszustand Cij ist der Anteil der plasti-
schen Dehnungen anfangs unbekannt, so daß zur Bestimmung des Spannungszustan-
des mit Gleichung 9.78 zuvor die Gr¨
oßen ˆ
C−1
ij ermittelt werden m¨
ussen.
Die Fließbedingung gibt dar¨
uber Auskunft, inwieweit sich plastische Dehnungen
einstellen. Im Dehnungsraum lautet die Fließbedingung (oder auch Konsistenzbedin-
gung)
g=1
4·ˆ
C−1
ik Ckj ˆ
C−1
jl Cli −1
3³ˆ
C−1
ij Cji´2¸−y2(9.79)
Hierbei ist ydie Fließdehnung, analog zur von Misesschen Fließspannung, die hier
im weiteren mit Ybezeichnet wird. Bei der Fließbedingung Gleichung 9.79 sind die
folgenden drei Zust¨
ande zu unterscheiden:
g < 0elastischer Zustand (9.80)
g= 0 plastischer Zustand (9.81)
g > 0unzul¨
assiger Zustand (9.82)
Ziel ist es nun, die inversen plastischen Verzerrungen ˆ
C−1
ij so zu ermitteln, daß eine
Verletzung der Konsistenzbedingung ausgeschlossen wird. Als Gesetz f¨
ur die isotrope
Verfestigung des Materials in Abh¨
angigkeit von der akkumulierten plastischen Deh-
nung ˆϕwird
y=1 + ν
Er2
3Ymit Y=Y0
8
r1 + 2.04 ˆϕE
Y0
(9.83)
104
KAPITEL 9. ANHANG
angenommen (siehe [41]). Es sind Y0die Fließspannung zu Beginn des plastischen
Deformationsprozesses, Ydie Fließspannung des verfestigten Materials und E der E–
Modul. Die akkumulierte plastische Dehnung ˆϕist nach Tietze [40]
ˆϕ=
t
Z
t0r1
6ˆ
Cij ˙
ˆ
C−1
jk ˆ
Ckl ˙
ˆ
C−1
li dˆ
t(9.84)
In Verbindung mit einer Normalenregel wird hier das Radial Return Verfahren zur
Bestimmung von ˆ
C−1
ij verwendet.
Radial Return: Grundidee des Radial Return Verfahrens ist, nach einer Verletzung
der Konsistenzbedingung (d.h. g > 0), die R¨
uckkehr auf die Fließfl¨
ache (g= 0) im
Dehnungsraum in radialer Richtung zu bewerkstelligen (siehe Abbildung 9.8). Dazu
PSfrag replacements
Cij,ˆ
BA
ij
Cij,ˆ
BN
ij
CA
ij ,ˆ
BA
ij
yAyN
Abbildung 9.8: Auffinden der plastischen Dehnungen mit Radial Return
wird bei gegebenen Verzerrungen und bekannten inversen plastischen Dehnungen aus
dem vorangegangenen Lastschritt ein “Abstand” Azur Fließfl¨
ache definiert, der mini-
miert werden soll. Im weiteren soll die Bezeichnung ˆ
Bij f¨
ur die inversen plastischen
Cauchy Green Verzerrungen
ˆ
Bij =ˆ
C−1
ij
verwendet werden. Entsprechend Verhoeven [41] ist
A=1
4{³ˆ
BN
ij −ˆ
BA
ij ´Cjk ³ˆ
BN
kl −ˆ
BA
kl´Cli +ν
1−2νh³ˆ
BN
ij −ˆ
BA
ij ´Cjii2} ⇒ min.
(9.85)
ˆ
BA
ij sind die inversen plastischen Cauchy Green Verzerrungen aus dem letzten Last-
schritt und ˆ
BN
ij die noch zu bestimmenden neuen inversen plastischen Cauchy Green
9.6. MATERIALGESETZE
105
Verzerrungen. Zusammen mit der Konsistenzbedingung ergibt das ein Sattelpunktpro-
blem.
L³ˆ
BN
ij , λ´=
1
4{³ˆ
BN
ij −ˆ
BA
ij ´Cjk ³ˆ
BN
kl −ˆ
BA
kl´Cli +ν
1−2νh³ˆ
BN
ij −ˆ
BA
ij ´Cjii2}+
+λ{1
4·ˆ
BN
ik Ckj ˆ
BN
jl Cli −1
3³ˆ
BN
ij Cji´2¸−y2
N} ⇒ stat. (9.86)
In einem L¨
osungspunkt des Sattelpunktproblems m¨
ussen die partiellen Ableitungen
nach den Unbekannten ˆ
BN
ij und dem Lagrange Multiplikator λverschwinden.
∂L
∂ˆ
BN
rs
=1
2{Csk ³ˆ
BN
kl −ˆ
BA
kl´Clr +ν
1−2νh³ˆ
BN
kl −ˆ
BA
kl´ClkiCsr}+
+λ{1
2·Csk ˆ
BN
kl Clr −1
3³ˆ
BN
kl Clk´Crs¸−∂y2
N
∂ˆ
BN
rs
= 0}(9.87)
∂L
∂λ =g=1
4·ˆ
BN
ik Ckj ˆ
BN
jl Cli −1
3³ˆ
BN
ij Cji´2¸−y2
N= 0 (9.88)
Diese nichtlinearen Gleichungen f¨
ur ˆ
BN
ij und λwerden mit dem Newton Verfahren
gel¨
ost. Die Ableitung ∂y2
N
∂ˆ
BN
rs erh¨
alt man aus dem Verfestigungsgesetz Gleichung 9.83
und aus einer N¨
aherung der akkumulierten plastischen Verzerrung (siehe [41]).
ˆϕN≈ˆϕA+r1
6ˆ
Cij ³ˆ
BN
jk −ˆ
BA
jk´ˆ
Ckl ³ˆ
BN
li −ˆ
BA
li ´(9.89)
Details zur numerischen L¨
osung des Gleichungssystems findet man bei Verhoeven
[41]. F¨
ur die Ermittlung der konsistenten Materialsteifigkeit
∂Tij
∂Dkl
muß beachtet werden, daß neben dem direkten Einfluß einer ¨
Anderung von Dkl bzw.
Ckl auf die Spannungen Tij in Gleichung 9.78 auch Auswirkungen auf die Spannungen
durch Beeinflussung der plastischen Dehnungen ˆ
Cnm auftreten. An dieser Stelle muß
dann auch die Verfestigung des Materials ber¨
ucksichtigt werden. Die Programmierung
der konsistenten Steifigkeit ist relativ aufwendig. F¨
ur Details wird auch hier wieder auf
Verhoeven [41] verwiesen.
106
KAPITEL 9. ANHANG
Kapitel 10
Symbolverzeichnis
Indizes: In dieser Arbeit werden lateinische Indizes in der Regel zur Beschreibung
r¨
aumlicher, dreidimensionaler Gr¨
oßen verwendet, griechische Indizes hingegen f¨
ur
planare, zweidimensionale Gr¨
oßen benutzt. So gilt z.B. i, j, k, m, n = 1,2,3und
α, β, Λ = 1,2. Gelegentlich kennzeichnen lateinische Indizes auch die Knotennum-
mern eines finiten Elementes. In diesem Falle h¨
angt es von der Knotenanzahl des Ele-
mentes ab, welche Werte der Index annehmen kann.
Abk¨
urzungen: Die Abk¨
urzungen RKF, MKF, ZKF verweisen auf die Referenzkon-
figuration, die Momentankonfiguration (aktuelle Lage) bzw. auf die Zwischenkonfigu-
ration (siehe z.B. Abbildung 2.1 oder 5.1). Bei der Beschreibung von Spannungs- bzw.
Membrankraftgr¨
oßen steht das K¨
urzel PK f¨
ur Piola Kirchhoff.
10.1 Lateinische Symbole
Symbol Beschreibung Gl. Seite
A,aElementfl¨
ache in der RKF und der MKF – 6
aMembranbreite – 27
a1. . . a12 Materialkonstanten 9.59 100
ˆ
BA
ij ,ˆ
BN
ij inverse plastische Verzerrungen 9.85 104
Crechter Cauchy Green Strecktensor 2D 9.24 19, 94
ˆ
Cplastische Cauchy Green Verzerrung 2D 5.2 48
Ceelastische Cauchy Green Verzerrung 2D 5.4 48
C0
ekorrigierte, elastische Cauchy Green Dehnung 2D 5.22 53
ˆ
Cij plastische Cauchy Green Verzerrungen 3D 9.67 102
Ce
ij elastische Cauchy Green Verzerrungen 3D 9.69 102
Ce,I ,Ce,II elastische Cauchy Green Hauptmembrandehnung – 49
Cαβγδ,CMembransteifigkeiten 9.47 98
107
108
KAPITEL 10. SYMBOLVERZEICHNIS
Symbol Beschreibung Gl. Seite
DDickenverzerrung D0
33 – 32
D, Dαβ Greenscher Membranverzerrungstensor 2.6 7
ˆ
Dplastischer Greenscher Dehnungstensor 2D 5.3 48
Deelastischer Greenscher Dehnungstensor 2D 5.5 48
D0korrigierte Greensche Membrandehnung 3.11 20
ˆ
Dij plastische Greensche Dehnungen 3D 9.68 102
De
ij elastische Greensche Dehnungen 3D 9.70 102
DI,DII Greensche Hauptmembrandehnungen – 15
De,I ,De,II elastische Greensche Hauptmembrandehnungen – 49
E,E1,E2Elastizit¨
atsmoduli – 99
Eplanarer Einheitstensor – 94
E3r¨
aumlicher Einheitstensor – 18
ei,eαkartesische Basisvektoren 3D und 2D – 6, 91
fOrthotropieparameter 9.56 99
F,Fαi Deformationsgradient der Membran – 8, 93
˜
FDeformationsgradient der gefalteten Membran – 16
ˆ
Fplastische Deformation der Membran 5.1 47
Feelastische Deformation der Membran 5.1 47
F0korrigierter Deformationsgradient der Membran 3.2 16
Fij Deformationsgradient 3D 9.66 101
ˆ
Fij plastische Deformation 3D 9.66 101
Fe
ij elastische Deformation 3D 9.66 101
f1,f2Faltenbedingungen 3.39, 3.40 24
G,G12 Schubmoduli – 99
gFließbedingung 9.79 103
h,˜
hMembrandicke in der RKF bzw. MKF – 95
hVektor der materiellen RKF–Faltungsrichtung 3.6 19
hkInterpolationsfunktionen in Viereckselement 2.13 8
I1,I2Invarianten von Ce5.8, 5.9 48
k0. . . k4Koeffizienten der Richtungsgleichung 4.14 4.14 36
MDDrillmoment – 77
nRoddemansche Faltungsrichtung – 16
n⊥Roddemansche Zugrichtung – 16
NVektor der RKF–Faltungsrichtung 3.17 20
N⊥Vektor der RKF–Zugrichtung 3.33 23
ˆ
NVektor der ZKF–Faltungsrichtung 5.23 53
ˆ
N⊥Vektor der ZKF–Zugrichtung 5.32 54
p, piVektor bzw. Vektorkomponenten des Druckes – 6, 97
PCRandlastvektor der Membran – 7, 97
piInnendruck – –
q, qiVektor bzw. Vektorkomponenten des Gewichts – 6, 97
10.2. GRIECHISCHE SYMBOLE
109
Symbol Beschreibung Gl. Seite
qΛFl¨
achenkoordinaten – 8
RRotation der Membran 9.23 19, 93
S, Sαβ 2. Piola Kirchhoff Membrankrafttensor – 7
SCCauchy Membrankrafttensor – 18, 94
S0korrigierte 2. Piola Kirchhoff Membrankr¨
afte 3.25 22
ˆ
S0korrigierte Membrankr¨
afte in der ZKF 5.33 54
SI,SII 2. Piola Kirchkoff Hauptmembrankr¨
afte – 14
Tij 2. Piola Kirchhoff Spannungen – 94
TC
ij Cauchy Spannungen – 94
T0
ij korrigierte 2. Piola Kirchhoff Spannung – 32
4TTemperaturdifferenz 6.5 58
Urechter Strecktensor 2D 9.23 19, 93
ˆ
Uplastischer bzw. thermischer Strecktensor 2D 5.19, 6.5 53, 58
vScherverschiebung – 27
Vij,VVoigtsche Matrix 9.49 98
WForm¨
anderungsenergie 9.59 100
x, xiOrtsvektor der aktuellen Lage (MKF) – 6
Xαk, xik Knotenkoordinaten in RKF und MKF – 7
y,y0Fließdehnung 9.83 103
Y,Y0Fließspannung 9.83 103
10.2 Griechische Symbole
Symbol Beschreibung Gl. Seite
αreferenzbezogene Faltungsrichtung 3.35 20
α11,α22 thermische Ausdehnungskoeffizienten 6.5 58
αRRoddemansche Faltungsrichtung – 28, 44
ˆαZKF–bezogenene Faltungsrichtung – 53
βreferenzbezogenes Faltenmaß 3.6 20
βRRoddemansches Faltenmaß 3.1 18
ˆ
βZKF–bezogenenes Faltenmaß 5.22 53
γGreensche Schubverzerrung in Voigt Notation 9.51 98
δVariationssymbol – –
δαβ Kronecker Delta – 94
εI,εII Greensche Hauptdehnungen in Voigt Notation – 41
ε1,ε2Greensche Verzerrungen in Voigt Notation 9.51 98
ηFl¨
achenkoordinate – 8
ϑDrillwinkel – 77
ν,ν1,ν2Querkontraktionszahlen – 99
110
KAPITEL 10. SYMBOLVERZEICHNIS
Symbol Beschreibung Gl. Seite
ξFl¨
achenkoordinate – 8
ρDichte in der RKF 9.76 103
σI,σII 2. PK Hauptmembrankr¨
afte in Voigt Notation – 37
σ1,σ22. PK Normalmembrankr¨
afte in Voigt Notation 9.50 98
τ2. PK Schubmembrankraft in Voigt Notation 9.50 98
ˆϕakkumulierte plastische Dehnung 9.84 104
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