Stochastisches Verfahren zur Simulation von
Breitbandschall in Triebwerkfans
vorgelegt von
Dipl.-Ing.
Attila Wohlbrandt
geb. Fritzsch in Berlin
von der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Ennes Sarradj
Prof. Dr. rer. nat. Lars Enghardt
Prof. Dr.-Ing. Jan Delfs
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 10. Oktober 2017
Berlin 2017
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung des Random-Particle-Mesh-
Verfahrens (RPM) zur Simulation von Fanbreitbandschall. Aus zeitgemittelten, turbulen-
ten Größen erzeugt das Verfahren zeitabhängigen Fluktuationen, die zur Vorhersage der
Schallentstehung hinreichend sind. Es wird isotrope, freie Turbulenz in Form von diver-
genzfreien Geschwindigkeitsfluktuationen synthetisiert. Die Untersuchungen sind ohne
Beschränkung der Allgemeinheit auf zwei Raumdimensionen beschränkt.
Es wird ein hybrides Verfahren vorgeschlagen, das dem RPM-Verfahren eine Strömungs-
lösung auf Basis der (U)RANS-Gleichungen voranstellt und eine zeitgleiche Ausbreitungs-
rechnung durch Lösen der linearisierten Euler Gleichungen im Zeitbereich vorsieht. Die
freie Turbulenz wird störungsfrei in das Ausbreitungsgebiet einkoppelt; der eigentliche
Schallentstehungsmechanismus ist so Teil der Ausbreitungsgleichungen.
Um die Vergleichbarkeit des RPM-Verfahrens mit Messungen zu gewährleisten, wird ein
effizientes Verfahren vorgestellt, das es erlaubt, realistische isotrope Spektren zu realisieren.
Dieses Verfahren bedient sich der Superposition mehrerer Gauss-Spektren, um analytisch
ein Zielspektrum zu realisieren. Dadurch wird die Beschränkung des RPM-Verfahren auf
Gauss-Spektren aufgehoben.
Das vorgeschlagene hybride Verfahren wird zunächst bei stationärer Anregung für die
Vorhersage von Vorderkanteninteraktionsschall erfolgreich an der analytischen Lösung zur
harmonischen und zur breitbandigen Turbulenz-Schaufel-Interaktion validiert. Die Erwei-
terung auf stochastisch realisierte Turbulenz wird in zwei Anwendungen für Vorderkan-
teninteraktionsschall – ein lastfreies NACA0012-Profil und ein angestelltes NACA65(12)-
10-Profil im Freistrahl – nachgerechnet und erfolgreich gegen Messungen verglichen.
Das bis dato stationäre Verfahren wird zur Anwendung auf Fans erweitert, wobei die
Hintergrundströmung und die mittleren, turbulenten Größen sich periodisch ändern. Die
resultierenden Fluktuationen sind damit zyklostationär. Die mittleren Größen werden hier-
für aus einer URANS-Simulation entnommen. Durch das vorgestellte Verfahren können
die Teilaspekte der Zyklostationarität einzeln untersucht werden. Ausgehend von einer
Stromlinie in der Kanalmitte, wird die Statorschaufelreihe als 2D-Kaskade modelliert.
Die Turbulenzsynthetisierung und CAA-Simulation erfolgen in 2D. Dadurch kann effi-
zient die abgestrahlte Gesamtschallleistung des Breitbandschalls stromauf und stromab
der Statorreihe vorhergesagt werden. Bei einer Validierung gegen Messungen am NASA
SDT-Modellfan sind die Trends wiedergegeben und die Abweichungen der Schallleistung
liegen innerhalb von 5 dB. Abschließend werden die einzelnen Effekte der Zyklostatio-
narität hierarchisch und exemplarisch am DLR-UHBR-Fan untersucht. Es wird gezeigt,
dass die Quellen zur Schallentstehung an den verschiedenen Statorschaufeln unkorreliert
sind. Wird in der Kaskade nicht die volle Schaufelanzahl berücksichtigt, werden im Spek-
trum Cut-on-Frequenzen sichtbar. Davon abgesehen, sind die Pegel und der Trend des
Spektrums einer vollen Kaskade wiedergegeben. Der Einfluss der Zyklostationarität auf
die mittleren akustischen Spektren scheint vernachlässigbar, obwohl die Zeitsignale sich
deutlich unterscheiden. Ausschließlich die Berücksichtigung der periodischen Hintergrund-
strömung ändert das Spektrum signifikant. Ursachen dafür werden diskutiert, aber können
nicht abschließend geklärt werden.
iii
Abstract
This thesis deals with the application of the Random-Particle-Mesh (RPM) method for
fan broadband noise predictions. The RPM method generates time-varying turbulent fluc-
tuations on the basis of time-averaged turbulent characteristics. These fluctuations are
fully sufficient for the prediction of acoustic noise. Free, isotropic turbulence is synthesised
as divergence free velocity fluctuations. Without loss of generality the investigations in the
thesis are restricted to two spacial dimensions.
A hybrid method is proposed, which complements the RPM method by a preceding flow
solver, solving the (U)RANS equations, and a synchronous CAA solver, solving the linea-
rised Euler equations in time domain. Two robust coupling methods of the synthesised
fluctuations into the CAA domain are used. The fluctuations are noiselessly coupled as
free turbulence upstream of the source region. In this way the sound generation mecha-
nisms are part of the CAA.
An efficient method, realising realistic isotropic spectra, is derived to achieve comparability
with measurements. This method utilises a superposition of multiple Gaussian spectra
to analytically realise a target spectrum. In this way the limitation of the RPM method
to Gaussian spectra is removed.
Initially the suggested hybrid method is applied for stationary excitation. The leading
edge noise due to the impingement of harmonic and broadband gusts onto an infinitely-
thin, finite-long airfoil is successfully predicted and validated by the analytical solution.
Two isolated-airfoil applications for leading edge noise – an unloaded NACA0012 profile
and a loaded NACA65(12)-10 profile in a free stream – are recomputed and successfully
compared to the measurements.
The stationary method is extended to the application on fans by taking the periodic
variation of the background flow and of the mean turbulent characteristics into account.
The resulting fluctuations are therefore cyclostationary. The periodic mean values are
taken from a URANS simulation. The presented method allows to investigate the different
aspects of cyclostationarity separately. Based on a streamline in the duct centre a stator
blade row is modelled as a 2D cascade. The turbulence synthetisation and CAA simulation
are carried out in 2D. This allows to efficiently predict the radiated acoustic power of the
broadband noise upstream and downstream of the stator blade row. A validation against
measurements of the NASA-SDT fan reproduces the trends. The deviation of the sound
power levels are within 5 dB. Finally the different effects of the cyclostationarity are
hierarchically and exemplarily investigated on the DLR-UHBR fan. It is shown that the
sound sources at the different stator blades are uncorrelated. If not all stator blades are
taken into account in the cascade, cut-on frequencies can be identified in the spectrum.
Apart from that the levels and trends are reproduced by the reduced cascade. The influence
of the cyclostationarity on the average acoustic spectra appears negligible even though the
time signal differ significantly. Solely the consideration of the periodic background flow
changes the spectrum significantly. Reasons are discussed, but cannot be concluded so
far.
v
Danksagung
Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter in der
Abteilung Triebwerksakustik, Institut Antriebstechnik des Deutschen Zentrum für Luft-
und Raumfahrt e.V. (DLR). Ich danke all meinen Kolleginnen und Kollegen dieser Abtei-
lung für ihre offene und unbürokratische Mithilfe am Gelingen dieser Arbeit und den
Erhalt der (Zwischen-)Menschlichkeit in dieser intensiven Zeit.
Insbesondere möchte ich meinem Betreuer und Gruppenleiter Sébastien Guérin für seine
ehrliche Weisung und geduldige Hilfe danken. Außerdem danke ich meinem Abteilungslei-
ter Lars Enghardt für sein strategisches und organisatorisches Geschick.
Den Kolleginnen und Kollegen meiner Gruppe Numerik und Prognose und auf dem
Sunset Blvd gebührt besonderer Dank: Alessandro Bassetti, Antoine Moreau, Axel Hole-
wa, Benjamin Pardowitz, Carolin Kissner, Christian Weckmüller, Friedrich Bake, Jakob
Hurst, Martin Staggat, Maximilian Behn, Mirko Spitalny, Robert Jaron und Robert Meier
zu Ummeln – Danke! Die fachliche und persönliche Nähe ist geprägt durch Ehrlichkeit und
Authentizität, so durfte man ohne Sorgen auch die Dinge ansprechen, die nicht funktioniert
haben. Speziell möchte ich Christian Weckmüller für das Heranführen an das nachhaltige
Programmieren danken, das mich sehr geprägt hat, und Carolin Kissner für ihre Bereit-
schaft, als Beta-User für ”mein” Verfahren herzuhalten. Da Carolin nun meine Arbeit
fortführt, begegne ich meiner Zukunft mit weniger Wehmut. Es seien auch meine wech-
selnden Zimmergenossen Roland Bauers, André Fischer, Martin Staggat und Maximilian
Behn dankend erwähnt. Durch spontane Diskussionen und Herleitungen am Whiteboard
konnte ich stets Abstand zur eigenen Arbeit gewinnen und über den Tellerrand schauen.
Ich danke auch den Kolleginnen und Kollegen der Abteilung Technische Akustik aus dem
Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik. Für ein halbes Jahr durfte ich bei ihnen
am Institut arbeiten und wurde in ihren Kreis aufgenommen. Besonders danke ich Roland
Ewert für seine konstruktive, präzise und ideenreiche Art. Unsere Diskussionen waren der
fachliche Nährboden dieser Arbeit. Auch Oliver Kornow, Jürgen Dierke und Nils Reiche
möchte ich meinen Dank als Schatzmeister der Software Piano und RPM aussprechen.
Weiterhin danke ich Christophe Schram und dem Forscherteam für die Zeit im EU-Projekt
IDEALVENT, der Abteilung Numerische Methoden für die Entwicklung und den Support
bzgl. der Software TRACE und Edmane Envia und John Coupland für die Organisation
der AIAA Fan Broadband Noise Workshops und die Bereitstellung der Messdaten.
Nicht zuletzt danke ich meiner geliebten Frau Marie – du musstest so manches abfedern
und ertragen – und meinen geliebten Kindern Liliana, Moritz und Amelie – durch euch
fiel es mir weniger schwer, meine Arbeit im Büro zu lassen.
ix
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis xiii
Tabellenverzeichnis xv
Konventionen und Notationen xvii
AnmerkungendesAutors ..............................xvii
Nomenklatur .....................................xix
Abkürzungen.....................................xxiii
Publikationen xxv
I Einleitung 1
II Grundlagen 11
1 Verwendetes hybrides Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Schallentstehung durch Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Turbulenzspektren ................................ 16
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens 21
1 RANS-Simulation für Hintergrundströmung und mittlere Turbulenz . . . . 21
2 CAA zur numerische Ausbreitung der Schwankungsgrößen . . . . . . . . . . 26
3 Stochastische Turbulenzrealisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Kopplungen zwischen den Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IV Analytische Rekonstruktion von isotropen Modellspektren mittels Gauss-
Transformation 43
1 Gewichtsfunktion................................. 43
2 Gewichtung der Geschwindigkeitsspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Zweidimensionale Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Diskretisierung .................................. 48
5 RealisierunginRPM............................... 48
6 Örtlich und zeitlich veränderliche Längenskalen . . . . . . . . . . . . . . . . 49
V Zyklostationarität 51
1 Ausbreitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Stochastische Turbulenzrealisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Vorgehen bei 2D-Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Kopplungen.................................... 57
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung 63
1 Numerische Realisierung der Geschwindigkeitsspektren . . . . . . . . . . . . 63
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1HarmonischeAnregung ........................... 65
2.2 Stochastische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
xi
Inhaltsverzeichnis
3 Isolierte NACA-Schaufeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Einflussgrößen der Schallentstehung bei
Turbulenz-Schaufel-Interaktion - Literaturübersicht . . . . . . . . . . . 74
3.2 Unbelastete NACA0012-Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Belastete NACA65(12)-10-Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Zusammenfassung ................................ 88
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung 89
1 Testkonfigurationen ............................... 89
2 RC2-Fan...................................... 91
3 UHBR-Fan .................................... 98
4 Zusammenfassung ................................111
VIII Zusammenfassung und Ausblick 113
Literatur 117
A Herleitungen und vertiefendes Material 132
1 Statistische Lärmtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2 Kreuzkovarianz bei turbulentem Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 Konventionen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 Geschwindigkeitsspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Korrekturen von 2D zu 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Schließungsansätze................................139
7 SpektraleLücke..................................141
8 Akustische Perturbationsgleichungen (APE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9 WeißesRauschen.................................143
10 Durch das RPM-Verfahren realisierte Korrelationsfunktionen . . . . . . . . 144
11 Weitere Kopplungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12 Stromröhren-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13 Analytischer Ausdruck für Vorderkanteninteraktionslärm an einer ebenen
Platte .......................................152
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen 157
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.1 Harmonischer Anregung einer ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.2 Stochastische Anregung einer ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3 Isolierte NACA-Schaufeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1.4Zusammenfassung ..............................181
2 Zusätzliche Abbildungen zur UHBR-Fan-Simulation . . . . . . . . . . . . . 182
xii
Abbildungsverzeichnis
1 Schematische Darstellung der verwendeten Koordinatensysteme . . . . . . . . xvii
2 Veranschaulichung der verschiedenen Schallquellen am Triebwerk . . . . . . . 1
3 Breitbandschallquellen im Triebwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Veranschaulichung eines räumlichen hybriden Ansatzes . . . . . . . . . . . . . 6
5 Verwendeter hybrider Ansatz zur Berechnung des Breitbandschalls. Die
Seitenangaben in blau verweisen auf die zyklostationären Erweiterungen. . . 12
6 Darstellung der Energiespektrumfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Turbulente kinetische Energie in einer RANS-Simulation mit Mischungsebene 23
8 Turbulente kinetische Energie in einer URANS-Simulation . . . . . . . . . . . 23
9 Setup für RANS-Simulationen der isolierte Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . 25
10 Schematische Darstellung der Problematik zwischen Abstrahlrandbedingung
und periodischer Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
11 Strategien zur Verteilung der Dämpfungsspots entlang einer Schaufel oder
Platte ........................................ 31
12 Darstellung des Prozessablaufs des RPM-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . 35
13 Skizze zum Zusammenspiel von Partikeln, kartesischem RPM-Gebiet und
CAA-Gebiet..................................... 36
14 Realisierte Korrelationsfunktionen durch Vertauschen der Reihenfolge von
FilterungundSkalierung.............................. 37
15 Kinetische Energie an der Vorderkante einer Schaufel mit und ohne
Wandhaftbedingung ................................ 40
16 Analytischen Gewichtsfunktionen für das von Kármán-, das Liepmann-
und das modifizierte von Kármán-Spektrum ................ 45
17 Schritte zur Transformation eines Fans in eine 2D-Kaskade . . . . . . . . . . 53
18 Gemessene turbulente Eigenschaften zwischen Rotor und Stator. . . . . . . . 54
19 Skizze zur Bestimmung der Schallleistung einer 2D-Kaskadensimulation . . . 56
20 Einkoppeln von zyklostationärer Turbulenz im Statorbezugssystem . . . . . . 58
21 Einkoppeln von stationärer Turbulenz im Rotorbezugssystem resultiert in
zyklostationärer Turbulenz im Statorbezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . 61
22 Realisierung der periodischen Ränder in einer 2D-Kaskaden-Simulation mit
bewegtemRPM-Gebiet .............................. 62
23 Numerische Realisierung des Gauss-Geschwindigkeitsspektrums . . . . . . . . 63
24 Analytische Realisierung des von Kármán-Energiespektrums durch
Überlagerung von Gauss-Spektren........................ 64
25 Numerische Realisierung des von Kármán-Geschwindigkeitsspektrums . . . 64
26 Simulationsaufbau und Gitter für die harmonische Anregung einer
unendlichdünnenPlatte ............................. 65
27 Numerische Realisierungen der auftretenden Singularitäten . . . . . . . . . . 67
28 Instantane Darstellung der stromauf einkoppelnden Verfahren . . . . . . . . . 68
29 Darstellung des resultierenden Schalldrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
xiii
Abbildungsverzeichnis
30 Darstellung des resultierenden Oberflächendrucks . . . . . . . . . . . . . . . . 69
31 Parametervariation für die LEE-Relaxationskopplung . . . . . . . . . . . . . . 70
32 Setup für die stochastische Anregung einer unendlich dünnen Platte . . . . . 71
33 Ergebnisse bei verschiedenen Abständen der Beobachterpositionen zur Platte 72
34 Ergebnisse bei Variation der Gitterauflösung in der Nähe der unendlich
dünnenPlatte.................................... 73
35 Setup für die unbelastete NACA0012-Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
36 Theoretische Realisierung des von Kármán-Energiespektrums . . . . . . . . 77
37 Numerische Realisierung des lateralen von
Kármán-Geschwindigkeitsspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
38 Vergleich der simulierten Schallabstrahlung mit der Messung . . . . . . . . . 79
39 Skizze des Setups für die belastete NACA65(12)-10-Schaufel . . . . . . . . . . 80
40 Setup für die belastete NACA65(12)-10-Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . 81
41 Darstellung des RPM-Gebietes der Sponge-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . 82
42 Oberflächendruckkoeffizient verglichen mit der Messung . . . . . . . . . . . . 85
43 Gesamtschallleistung verglichen mit der Messung . . . . . . . . . . . . . . . . 85
44 Schalldruck im Fernfeld verglichen mit der Messung . . . . . . . . . . . . . . 86
45 Instantane Aufnahmen der Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
46 3D-Darstellung und Schnittbilder der untersuchten Fans . . . . . . . . . . . . 90
47 Setup des CAA-Gebietes für den RC2-Testfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
48 Verteilung der Dämpfungsspots entlang der Schaufel . . . . . . . . . . . . . . 94
49 Schallleistungspegel für den RC2-Testfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
50 Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen für den
RC2-Testfall. .................................... 97
51 Darstellung der Strömungseigenschaften und der turbulenten Eigenschaften
im Rotor- und im Statorgebiet der RANS des UHBR-Fans . . . . . . . . . . . 99
52 Setup des CAA-Gebietes für den UHBR-Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
53 Instantane periodische Hintergrundströmung der Konfiguration #38-3 . . . . 104
54 Instantanes Feld der Wirbelstärke- und der Druckschwankungen ermittelt
mit den C-CC Konfigurationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
55 Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit
den C-PC Konfigurationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
56 Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit
der P-PC Konfiguration #38-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
57 Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit
den C-PP Konfigurationen (bewegtes RPM-Gebiet). . . . . . . . . . . . . . . 108
58 Schallleistungsspektren für die reduzierte Kaskade . . . . . . . . . . . . . . . 109
59 Schallleistungsspektren für die volle Kaskade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
60 Skizze zur Bestimmung des Drucks im Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
61 Geschwindigkeitsspektren über dimensionslose Wellenzahl k1/ke........135
62 Korrekturen der Spektren von 2D und 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
63 Übersicht über die verschiedenen Kopplungsmöglichkeiten der Quellen aus
dem RPM-Modul in die CAA-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
64 Skizze einer unendlich dünnen, endlich langen Platte . . . . . . . . . . . . . . 153
65 Simulationsaufbau für die harmonische Anregung einer unendlich dünnen
Platte mit alternativen Kopplungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
66 Instantane, qualitative Darstellung der mit der Referenzlösung
übereinstimmenden Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
xiv
67 Instantane, qualitative Darstellung der mit der Referenzlösung nicht
übereinstimmenden Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
68 Normierte Quellstärke auf dem RPM-Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
69 Darstellung des resultierenden Schalldrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
70 Darstellung des resultierenden Oberflächendrucks . . . . . . . . . . . . . . . . 162
71 Instantane, laterale Geschwindigkeitskomponente im RPM-Gebiet . . . . . . . 163
72 Setup für die stochastische Anregung einer unendlich dünnen Platte mit
alternativen Kopplungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
73 Ergebnisse der Sponge-Kopplung und der Goldstein-korrigiertem
RHS-Kopplung ...................................165
74 Ergebnisse der Wand-Kopplungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
75 Ergebnisse bei Variation des Zerfallsmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
76 Kreuz-Korrelationsfunktion der 1- und 2-Parameter-Langevin-Modelle . . . 167
77 Ergebnisse bei Variation der Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
78 Ergebnisse der Schallentstehung ohne Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
79 Setup für die Untersuchung zu den Kopplungen bei Euler-Strömung . . . . 169
80 Details der Gitter an der NACA-Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
81 Vergleich mit der Simulation von Lockard und Morris (1998) . . . . . . . . . 172
82 Ergebnisse verschiedener Kopplungsverfahren für die NACA0012-Schaufel in
Euler-Strömung .................................173
83 Ergebnisse der Biot-Savart-Kopplung für die NACA0012-Schaufel in
Euler-Strömung .................................174
84 Veranschaulichung der Diskrepanz in der Konvektionsgeschwindigkeit auf
demRPM-Gitter..................................174
85 Skizze von RPM- und CAA-Gitter an einer Schaufelvorderkante . . . . . . . . 175
86 Ergebnisse der Goldstein-korr. RHS-Kopplung für die NACA0012-
Schaufel in Euler-Strömung ...........................176
87 Theoretisch perfektes RPM-Gebiet für die RHS-Kopplung . . . . . . . . . . . 177
88 Mittlere turbulente Eigenschaften aus RANS-Simulationen im Staupunkt . . 178
89 Skizze der Turbulenz-Schaufel-Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
90 Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-1b . 182
91 Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-2a . . 182
92 Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-2a und #4-2b . 183
93 Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-4 . . 183
94 Schalleistungsspektren für die volle Kaskade, Konf. #38-1 und #38-2 . . . . . 184
95 Schalleistungsspektren für die volle Kaskade, Konf. #38-1 und #38-4 . . . . . 184
96 Schalleistungsspektren für die volle Kaskade, Konf. #38-1 und #38-3 . . . . . 185
Tabellenverzeichnis
VI.1 Werte zur Scherschichtkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VII.1 Fancharakteristiken der beiden Fangeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . 91
VII.2 Randbedingungen für die beiden Fangeometrien . . . . . . . . . . . . . . . 91
VII.3 Zusammenfassung der simulierten Konfigurationen des RC2-Fans . . . . . 92
VII.4 Zusammenfassung der simulierten Konfigurationen am UHBR-Fan . . . . . 100
B.1 Rechenzeiten verschiedener Kopplungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 176
xv
Konventionen und Notationen
Anmerkungen des Autors
ez
ex
ey
(a) Turbomaschinen-
Korrdinatensystem
e1
e3
e2
u0
(b) Koordinatensystem für
Betrachtungen zur freien
Turbulenz
e1
e3
e2
u0
(c) Koordinatensystem für
Betrachtungen an der Platte
Abb. 1:
Schematische Darstellung der
verwendeten Koordinatensys-
teme
Verwendete Koordinatensysteme: Im Allgemeinen wird
ein kartesisches Koordinatensystem mit Einheitsvektoren
ex,eyund in 3D zusätzlich ezverwendet. Hierbei zeigt die
x-Achse nicht zwingend in Strömungsrichtung. Für Betrach-
tungen in der Turbomaschine entspricht die x-Achse der
Maschinenachse (Abb. 1(a)). Die theoretischen Betrachtun-
gen zu freier Turbulenz verwenden das Koordinatensystem
in Abb. 1(b) mit Einheitsvektoren e1in Strömungsrichtung
und e2quer zur Strömungsrichtung. Für die Betrachtun-
gen an der Platte wird das Koordinatensystem in Abb. 1(c)
verwendet; der Einheitsvektor e2ist hierbei senkrecht auf
der Platte und e3zeigt in Spannweitenrichtung. Diese drit-
te Komponente wird für 2D-Betrachtungen vernachlässigt.
Verwendung von Fachbegriffen: Die Arbeit ist in deut-
scher Sprache verfasst. Da die gängige Kommunikations-
sprache in der Wissenschaft Englisch ist, sind auch etablier-
te Begriffe nur im Englischen zu finden und können nur
schlecht oder missverständlich übersetzt werden. Ich wer-
de daher Fachbegriffe aus dem Englischen direkt verwendet
ohne sie zu übersetzen. Entsprechende Begriffe sind kursiv
gesetzt.
Lärm als Synonym für Noise:Der Begriff Lärm wird in
dieser Arbeit ohne negative Konnotation verwendet. Er wird
mit gleicher Bedeutung verwendet, wie das englischen Wort
noise, das sowohl Geräusch, Rauschen, Krach, Unruhe und eben Lärm bedeutet.
Englische Schreibweise von Zahlen: Es wird der Punkt ”.” als Abtrennung der Nach-
kommastellen verwendet. Das hat seine Ursache vorallem im Textsatzprogramm und den
verwendeten Werkzeugen, die diese Schreibweise benutzen.
Abkürzungen: Die Abkürzungen und Subskripte werden ebenfalls aus den englischen
Begriffen abgeleitet, um die Leserlichkeit und den Wiedererkennungswert zu erhöhen und
sprachliche Missverständnisse zu umgehen.
xvii
Nomenklatur
Kennzahlen
MMach-Zahl
Re Reynolds-Zahl
St Strouhal-Zahl
Referenzgrößen
ˆ
Lm Referenzlänge ist immer identisch 1 angenommen und wird weg-
gelassen
c0m/s Schallgeschwindigkeit der ungestörten Grundströmung
ρ0kg/m3Dichte der ungestörten Grundströmung
Latein
a(ex)
ij - Extraanisotropie, Gl. (153)
AdDämpfungsamplitude
ˆ
AAmplitude der synthetisierten Fluktuation, Gl. (41)
bm Halbe Schaufellänge b=1
2c
B- Anzahl der Blätter im gerechneten, periodischen Gebiet
cm Schaufellänge (Sehnenlänge)
c/s -Solidity, Bedeckungsgrad, Kehrwert des Teilungsverhältnisses
c0m/s Schallgeschwindigkeit
cp- Oberflächendruckkoeffizient, Gl. (114)
C- Empirische Konstanten, Modell- und Skalierungsparameter (Cλ,
Cµ,CRe,Cτ,Cl,Cω,CTl,CTτ )
d- Anzahl der berücksichtigten, räumlichen Dimensionen
dm Spannhalbweite d=1
2L
˜
DDämpfungsoperator
EEnergiespektrumsfunktion, Energie-Modellspektrum
Eii m2/s2Eindimensionale Geschwindigkeitsautospektren im Wellenzahl-
raum (In der Literatur wird auch oft Φii(k1)verwendet1.)
e- Normierte Energiespektrumsfunktion E, Gl. (63)
ex- Einheitsvektor in x-Richtung, siehe auch Anmerkungen auf S. xvii
Eh- Homogene Ausbreitungsgleichungen, Gl. (5)
f- Gewichtsfunktion, Gl. (60)
fHz Frequenz
f- Longitudinale Korrelationsfunktion isotroper Turbulenz
fBPF Hz Blattfolgefrequenz des Rotors, S.52
F-Fresnel-Integral, Gl. (200)
gFlügelantwortsfunktion, airfoil response function, Gl. (194)
g- Laterale Korrelationsfunktion isotroper Turbulenz
ˆga-Greensche Funktion im Frequenzbereich
G- Örtlicher Filterkern, Gl. (41)
G- Mischfunktion, Gl. (64)
G-Gauss-Transformation, Gl. (67)
hm Kaskadenhöhe, Abstand der periodischen Ränder der Kaskade
* Variierende Einheiten
xix
Konventionen und Notationen
H(1)
0-Hankel-Funktion
i- Imaginäre Zahl mit der Eigenschaft i2=−1
IW/m2Schallintensität
k1/m Wellenzahlvektor, Abschnitt II.3.1
k11/m Konvektive Wellenzahl
k1/m Betrag der Wellenzahl k, Abschnitt II.3.1
kd,ke1/m Charakteristische Wellenzahlen, Abschnitt II.3.1.
ktm2/s2turbulente kinetische Energie
K- Anzahl an Umdrehungen
l3m Laterale Korrelationslänge (S.138)
lim Längenskala der i-ten Gauss-Realisierung, Gl. (60)
lpm Pseudolängenskala, Gl. (26)
lsm Längenskala der Kreuzkovarianz, z.B. in Gl. (9), die auch mit dem
RPM-Verfahren realisiert wird
Lm Spannweite der Platte oder Schaufel
LpdB Schalldruckpegel mir einer Referenz von 4×10−10 Pa2
LWdB Schallleistungspegel mir einer Referenz von 1×10−12 W, Gl. (104)
LAeroakustischen Transferfunktion, Gl. (194)
LWellenoperator, Gl. (4)
LLaplace-Transformation
m- Azimutalmodenordnung
˙mkg/s Massenstrom
Mx- Axiale Mach-Zahl
Mtip - Blattspitzen-Mach-Zahl im Absolutsystem
Mtip,rel - Relative Rotorblattspitzenmachzahl Mtip,rel =M2
x+M2
tip
n- Zählvariable ∈N
n- Normalenvektor auf einer Fläche, nach außen zeigend
nRPM U/min Drehgeschwindigkeit des Rotors
N- Menge ∈N
Nq- Anzahl an unkorrelierten Quellen
NB- Anzahl an Rotorblättern, S.52
NM- Anzahl an Mikrophonen
NV- Anzahl an Statorblättern
N-Gauss-Distribution mit verschwindendem Mittelwert, Gl. (64)
NBereich der natürlichen Zahlen
OOrdnung
pPa Druck
p- Generische, symmetrische Distribution, Gl. (64)
p∞Pa Mittlerer, statischer Druck im Fernfeld
ptPa Totaldruck
PW Schallleistung
PTurbulente Produktion, Gl. (152)
Pref Pa Pref = 2 ×10−5Pa. Als Referenzschallpegel für die Normierung
des Schalldruckpegels wird die Hörschwelle verwendet
q* Quelle
rm Betrag von r
rm Radiale Koordinate im Polar-, oder Zylinderkoordinatensystem
r∗m Abstand zur Quelle unter Berücksichtigung der Mach-Zahl
rm Abstandsvektor zwischen zwei Raumpunkten, örtliche Verschie-
bungsvariable in der Korrelationsfunktion
Rm Abstand zur Quelle
xx
Rm Rohrradius
R,Rij - Kreuz-Korrelation
R* Kreuz-Kovarianz
ˆ
R* Varianz
Ram Außenradius des Kanals
Rdm Halbbreite eines Dämpfungsspots
Rim Innenradius des Kanals
ℜRealteil einer komplexen Zahl
sm Schaufelabstand (Pitch)
sJ/K Entropie
Sm2Querschnittsfläche des Kanals
Sij * Kreuzspektren im Frequenzraum, als Subskript werden
uu, uv, vv, pp etc. verwendet um die entsprechenden physika-
lischen Komponenten zu bezeichnen
Sij * Mittlerer Dehnungsgeschwindigkeitstensor, Gl. (149)
Tij Lighhillscher Schubspannungstensor
ts Zeitkoordinate
Ts Abtast-/Sampling-Dauer
Ts Periodendauer
TK Temperatur
T′′ K Temperaturvarianz
Tu% Turbulenzintensität
TtK Totaltempertatur
um/s Mittlere Geschwindigkeit
u0m/s Geschwindigkeit der Hintergrundströmung (nicht zwingend zeit-
lich konstant)
upm/s Translatorische Geschwindigkeit des RPM-Gebietes
utm/s mittlere, turbulente Schwankungsgeschwindigkeit
Ui-i-dimensionales, weißes Rauschen, Gl. (41)
vpm/s Einzige von Null verschiedene Komponente der translatorischen
Geschwindigkeit des RPM-Gebietes up
VsmdQuellvolumen in 3D oder Quellfläche in 2D
Wi-i-dimensionales, weißes Rauschen, unkorreliert zu Ui
xm Ortskoordinaten (x, y, z)
y+- Normierter Wandabstand
Griechisch
α0rad Anstellwinkel, Angle of Attack (AoA)
β- Dämpfungsexponent
β-β2= 1 −M2, verwendet in Gl. (193)
γ- Isentropenexponent
Γ- Gammafunktion Γ(n)=(n−1)!
δm Scherschichtdicke
δ- Delta-Distribution
δij -Kronecker-Delta, vgl. Schade und Neemann (2009)
∆m Gitterweite, richtungsunabhängig
∆ts Zeitschrittweite
ϵtm2/s3turbulente Dissipation
1Deutlichkeitshalber wird in dieser Arbeit explizit zwischen eindimensionalen Wellenzahlspektren Eii(k1)
und mehrdimensionalen Φij (k)unterschieden
xxi
Konventionen und Notationen
ϵi,j,k -ϵ-Tensor, vgl. Schade und Neemann (2009)
θrad Abstrahlwinkel, Polarwinkel
ϑrad Abstrahlwinkel, Winkelkoordinate im Polar- oder Zylinderkoordi-
natensystem
λm Akustische Wellenlänge
Λm Integrales turbulentes Längenmaß, auch -skala
µ- Zeitskalenverhältnis des 2-Parameter-Langevin-Verfahrens
µ- Dimensionslose Wellenzahl, Gl. (197)
µtkg/ms Dynamische Viskosität
νASD - Dämpfungsstärke der selektiven, künstlichen Dämpfung
νtm2/skinematische Viskosität νt=µt
ρ
ξ- Normierte Ortskoordinate
Π- Fan-Druckverhältnis Π = pt,2/pt,1der Totaldrücke am Einlass pt,1
und Auslass pt,2des Fans
ρkg/m3Dichte
σ(m2/s) Dämpfungsstärke der Dämpfungsfunktion in der Spongezone
(S. 28), Relaxationsparameter (S. 28)
τs Differenz zwischen zwei Zeitpunkten, zeitliche Verschiebungsvaria-
ble in der Korrelationsfunktion
τss Zeitskala / Zerfallsrate des Turbulenzzerfalls
τ2s Zweite Zeitskala des 2-Parameter-Langevin-Modells
ϕ* Beliebige primitive Variable, Gl. (1)
Φij m2s2Geschwindigkeitsspektrumstensor im Wellenzahlraum, entweder
abhängig von dem gesamten Wellenzahlvektor koder durch Inte-
gration von nur 2 Komponenten k1, k2. Für das eindimensionale
Wellenzahlspektrum wird Eii(k1)verwendet
ψ- Beliebige synthetisierte Fluktuation
Ψ* Stromfunktion
ωrad/sKreisfrequenz
ω1/sWirbelstärke ω=∇×u
ωt1/sspezifische turbulente Dissipationsrate ωt=ϵt
kt
Ωij 1/s2Wirbelstärketensor, Gl. (151)
Ωr1/s Winkelgeschwindigkeit des Rotors, S.52
Tiefgestellte Indices
(·)′Schwankungsgrößen (turbulente, akustische und entropische)
(·)0Hintergrundströmung (nicht zwingend zeitlich konstant)
(·)iVektorkomponente in die i-Richtung
(·)kBezogen auf die Partikel
(·)pBezogen auf das RPM-Gebiet (engl. Patch)
(·)sBezogen auf das Quellgebiet (aus dem Engl. für source)
(·)pp Auto-korrelation /-spektren des fluktuierenden Druckes p
(·)uu Auto-korrelation /-spektren der Komponente uder Geschwindigkeitsfluk-
tuation, wird in dieser Arbeit identisch mit der Komponente in Strömungs-
richtung benutzt
(·)vv Auto-korrelation /-spektren der Komponente vder Geschwindigkeitsfluk-
tuation, wird in dieser Arbeit identisch mit der Komponente quer zur Strö-
mung benutzt
(·)BDes Rotors (engl. Blade)
(·)VDes Stators (engl. Vane)
xxii
Mathematische Symbole und Operatoren
∇Gradient
∇× Rotation
∇· Divergenz
∆Laplace-Operator
LWellenoperator, Gl. (4)
D
DtMaterielle Ableitung
·Skalarprodukt
×Kreuzprodukt
∗Faltung
·=<·>Mittelwert
(·)∗Komplex-konjugieren
ˆ
·Im Frequenzbereich
Abkürzungen
2D, 3D Im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum
AFR Absolute Frame of Reference – Ruhendes Bezugssystem
APE Acoustic Perturbation Equations (S.27)
ASD Artificial Selective Damping – Künstliche, selektive Dämpfung
AoA Angle of Attack – Anstellwinkel der Schaufel
BEM Boundary Element Method – Randwertemethode, eine numerische
Methode zur Lösung partieller Differenzialgleichungen
BPF Blade-passing frequency – Blattfolgefrequenz
CAA Computational Aero Acoustics – numerische Lösung aeroakustischer Pro-
blemstellungen, hier im Speziellen verstanden als die numerische Lösung
der LEE
CAD Computer-aided Design
CFD Computational Fluid Dynamics – numerische Lösung aerodynamischer
Problemstellungen
CFL Courant, Friedrichs und Lewy sind Namensgeber für die CFL-Zahl in
Gl. (29)
DES Detached Eddy Simulation – Grobstruktursimulation ähnlich der LES,
nur werden die wandnahen Bereiche durch eine RANS gelöst
DNS Direct Navier Stokes – Direkte Lösung der Navier-Stokes-
Gleichungen
DRP Dispersion Relation Preserving Scheme – symmetrisches, 7-Punkte-
Stern finite-Differenzen-Verfahren
EARSM Explicit Algebraic Reynolds Stress Modell, ein höherwertiger Schlie-
ßungsansatz (S. 21)
FFT Fast-Fourier-Transformation – schnelle Fourier-Transformation, ein
Verfahren, um Zeitsignale in den Frequenzraum zu transformieren
FLADD Forced Linear Advection Diffusion Dissipation-Gleichungen
fRPM Fast Random Particle Mesh-Verfahren, wird in dieser Arbeit redundant
mit RPM verwendet
HB Harmonic Balance – URANS im Frequenzbereich
LDDRK Low-dissipation and Low-dispersion Runge-Kutta-Verfahren
LE Leading Edge – Vorderkante
xxiii
Konventionen und Notationen
LEE Linear Euler Equations – Linearisierte Euler-Gleichungen in Schwan-
kungsform
LES Large Eddy Simulation – Grobstruktursimulation
LHS Left-hand side – Linke Seite der Gleichungen
MFR Moving Frame of Reference – Mitbewegtes Bezugssystem
PPL Punkte pro Längenskala, Maß für die räumliche Auflösung der Turbulenz
PPP Punkte pro (zeitlicher) Periodendauer, Maß für die zeitliche Auflösung
PPW Punkte pro Wellenlänge, Maß für die räumliche Auflösung der Akustik
PPZ Partikel pro Zelle
PSD Power Spectral Density – Leistungsspektraldichte
PWL Schallleistungspegel
RANS Reynolds Averaged Navier Stokes
RB Randbedingung
RDT Rapid Distortion Theory
RHS Right-hand side – Rechte Seite der Gleichungen
RMS Root mean square – Quadratisches Mittel der Schwankungsgrößen
RPM Random Particle Mesh-Verfahren – Methode zur Synthetisierung von
Turbulenz. Wird in dieser Arbeit redundant mit fRPM verwendet
RSTM Reynolds Stress Transport Modell
SNGR Stochastic Noise Generation and Radiation – Methode zur Synthetisie-
rung von Turbulenz
SPL Sound Pressure Level – Schalldruckpegel
TE Trailing Edge – Hinterkante
TI Turbulente Intensität
TKE Turbulente kinetische Energie
TLS Turbulente integrale Längenskala
UHBR Ultra High Bypass Ratio
URANS unsteady RANS – instationäre Lösung der RANS-Gleichungen
(U)RANS Bezieht sich sowohl auf RANS, als auch auf URANS
xxiv
Publikationen
Im Rahmen dieser Arbeit sind folgende Publikationen entstanden:
A. M. Wohlbrandt, N. Hu, S. Guérin und R. Ewert (2016a). „Analytical recon-
struction of isotropic turbulence spectra based on the Gaussian transform“. In: Com-
puters & Fluids.issn: 00457930. doi:10.1016/j.compfluid.2016.03.023
A. M. Wohlbrandt, S. Guérin und R. Ewert (2015). „Extension of the Random
Particle Mesh method to periodic turbulent flows for fan broadband noise pre-
diction“. In: 21st AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference. Dallas, Texas: American
Institute of Aeronautics und Astronautics, S. 2383–2407. isbn: 978-1-62410-367-4.
doi:10.2514/6.2015-2383
A. M. Wohlbrandt, S. Guérin und R. Ewert (2013). „Simultaneous Computation
of Surface and Volume Sources for Fan Broadband Noise with the Random-Particle-
Mesh Method“. In: 19th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference. Berlin, Germany:
American Institute of Aeronautics und Astronautics, S. 2119–2137. doi:10.2514/
6.2013-2119
Unveröffentlicht:
A. Wohlbrandt, C. Kissner und S. Guérin (2017). „Impact of cyclostationarity on
fan broadband noise prediction“. In: arXiv:1706.00248 [physics.flu-dyn] Submitted
to Journal of Sound and Vibration. url:https://arxiv.org/abs/1706.00248
Weitere Publikationen:
A. M. Wohlbrandt, C. Weckmüller und S. Guérin (2016b). „A robust extension
to the triple plane pressure mode matching method by filtering convective pertur-
bations“. In: International Journal of Aeroacoustics 15.1, S. 41–58. issn: 1475-472X,
2048-4003. doi:10.1177/1475472X16630842
R. Ewert, A. Neifeld und A. M. Wohlbrandt (2012). „A three-parameter Langevin
model for hot jet mixing noise prediction“. In: 18th AIAA/CEAS Aeroacoustics Con-
ference. Colorado Springs, CO: American Institute of Aeronautics und Astronautics,
S. 2238. doi:10.2514/6.2012-2238
R. Ewert, A. Neifeld und A. M. Fritzsch (2011b). „A 3-D modal stochastic jet
noise source model“. In: 17th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (32nd AIAA
Aeroacoustics Conference). Portland, Oregon: American Institute of Aeronautics und
Astronautics, S. 2887. doi:10.2514/6.2011-2887
A. M. Fritzsch, S. Guérin, C. Weckmüller und L. Enghardt (2010). „Numerical
investigation of transmission, reflection and scattering of sound waves through a
blade row“. In: Proceedings of the DAGA 2010 International Conference on Acou-
stics, S. 209
A. M. Fritzsch (2009). „Numerische Untersuchung der Transmission, Reflexion und
Streuung von Schallwellen an einem Schaufelgitter“. Diplomarbeit. Berlin: Techni-
sche Universität Berlin
C. Weckmüller, A. M. Fritzsch und S. Guérin (2009b). „Extended Multi-Plane
Pressure Mode Matching for CFD/CAA Coupling“. In: Proceedings of the NAG/DA-
GA 2009 International Conference on Acoustics. Rotterdam, Netherland, S. 1244–
1247
xxv
Publikationen
P. Toth, A. M. Fritzsch und M. M. Lohasz (2008). „Application of computational
fluid dynamics softwares for 2d acoustical wave propagation“. In: Gepeszet, S. 29–30
xxvi
I Einleitung
Einordnung
Vom Auto bis hin zum Flugzeug, vom Windrad bis hin zum thermischen Kraftwerk sind
Turbomaschinen Kernteil der mechanischen Leistungswandler. Ihrer hohen Effizienz steht
allerdings die Umweltbelastung durch Abgase und Lärm gegenüber. Die Vision-2020-
Ziele (Europäische Kommission, 2001) des Beirats für Luftfahrtforschung und -innovation
in Europa (ACARE von engl.: Advisory Council for Aviation Research and Innovation in
Europe) geben für Fluglärm vor, dass der wahrgenommene Schall bis 2020 um 10 EPNdB1
je Vorgang reduziert werden soll, ausgehend von einem typischen neuen Flugzeug im Jahr
2000. Das entspricht einer Halbierung des wahrgenommenen Schalls. Die Vorgaben der
ACARE im Flightpath 2050 (Europäische Kommission, 2011) sieht vor, die wahrgenom-
mene Schallemission eines fliegenden Flugzeugs bis zum Jahr 2050 um weitere 5 EPNdB
pro Vorgang zu reduzieren.
Noch in den 70er Jahren war die Hauptschallquelle des Fluglärms durch den Strahllärm
gegeben (Leylekian et al., 2014)2. Durch stetig wachsende Nebenstromverhältnisse ist in
aktuellen Entwürfen der Fanlärm in allen Betriebspunkten eine dominante Schallquelle
(Abb. 2).
5 dB
Fan
Verdichter
Brennk.
Turbine
Strahl
Triebwerk
Zelle
Flugzeug
(a) Start (take-off )
5 dB
Fan
Verdichter
Brennk.
Turbine
Strahl
Triebwerk
Zelle
Flugzeug
(b) Landeanflug (approach)
Abb. 2: Veranschaulichung der verschieden Schallquellen am Triebwerk für Start- und Landeanflug
eines aktuellen Flugzeugs (Leylekian et al., 2014, Abb.4). Brennk. steht als Abkürzung für Brenn-
kammer. Der jeweils letzte Balken repräsentiert den Gesamtschall des Flugzeugs resultierend aus
Triebwerk und Flugzeugzelle (Airframe).
Bei der Reduktion von Fanlärm sind besonders im tonalen Bereich in den letzten Jahren
große Fortschritte erzielt worden. Durch die großen Nebenstromverhältnisse sind bereits
die Blattspitzengeschwindigkeit und das Druckverhältnis reduziert. Auch die Veränderung
der Verhältnisse der Schaufelanzahlen zum Erreichen eines Cut-off -Designs von bestimm-
ten Fantönen, die Erhöhung des Blattabstandes, das Anschrägen und Pfeilen der Schaufeln
1Effectively Perceived Noise - Effektiv wahrgenommener Schallpegel
2Leylekian et al. (2014) gibt einen umfassenden Überblick über alle relevanten Schallquellen und die
Möglichkeiten der Reduktion am gesamten Flugzeug.
1
I Einleitung
Zuströmturbulenz-
Rotor-Interaktionslärm
Rotor-Eigenlärm Rotor-Stator-
Interaktionslärm
Stator-Eigenlärm
Grenzschicht-Schaufel-
Interaktionslärm
Blattspitzenlärm
Abb. 3: Breitbandschallquellen im Triebwerk. Zeichnung in Anlehnung an W. Lord von Pratt &
Wittney, S.441 (Tam und Cleveland, 2000).
und passive Schalldämpfung durch Liner bieten Reduktionspotentiale. Aber selbst wenn
alle Töne reduziert sind, ist eine Reduktion über 1.5 EPNdB nicht zu erwarten (Glie-
be et al., 1995). Eine signifikantere Reduktion von 3 bis 4 EPNdB wird jedoch durch
Entwicklungen im Bereich der breitbandigen Fanlärmanteile vorhergesagt. In Abb. 3 sind
die verschiedenen Breitbandschallquellen in einem Triebwerkseinlauf dargestellt. Sie lassen
sich in zwei Hauptkategorien unterteilen: (1) Eigenlärm und (2) Interaktionslärm. In ver-
schiedenen Untersuchungen hat sich gezeigt, dass im Fan der Interaktionslärm zwischen
Rotor und Stator dominiert (Ganz et al., 1998; Envia et al., 2008; Peake und Parry, 2012).
Einlaufstörung-Rotor-Interaktion ist nur bei hohen Mach-Zahlen (Moreau und Oertwig,
2013) und Eigenlärm nur für niedrige Mach-Zahlen relevant (Moreau und Roger, 2007).
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Schallentstehung durch Rotor-Stator-
Interaktion. Dieser Mechanismus hat sowohl eine tonale, als auch eine breitbandige Kom-
ponente. Während sich die Tonhöhe aus der Anzahl der Schaufeln und der Rotations-
geschwindigkeit deterministisch ergeben, ist der Breitbandlärm durch die relevanten tur-
bulenten Strukturen charakterisiert. Eine aufschlussreiche und detaillierte Vorhersage der
Schallemission ist von großer Wichtigkeit, da bereits bei der aerodynamischen Auslegung
die Schallemission eine Rolle spielen muss. Die Anforderungen an nachträgliche Maßnah-
men, wie passive und aktive Schalldämpfung, sind für breitbandige Komponenten höher
als für tonale.
Erste umfangreiche Messungen von Fanbreitbandlärm wurden Mitte der 90er Jahre von
Gliebe etal. (1995, 2000) und Ganz etal. (1998) veröffentlicht. Die Messung und die
Trennung der Schallquellen ist sehr aufwändig. Die Messung am NASA-SDT Fan ist die
umfangreichste Datenbasis, die bisher zur Verfügung steht (Envia und Branch, 2002). Um
Rotoreigenlärm von dem Interaktionslärm zu trennen, kann dieser Fan auch ohne Statoren
betrieben werden. Durch eine eingebaute Prallplatte wird außerdem der abgestrahlte Schall
stromauf und stromab separiert. Trotz eingehender Hitzdrahtmessungen im Fan ist eine
Charakterisierung der Schallquellen weiterhin schwierig (Woodward et al., 2002). Daher
werden, beginnend in den 70er Jahren (Fink, 1975; Paterson und Amiet, 1976), auch heute
noch isolierte Schaufeln vermessen (Paruchuri et al., 2015; Geyer et al., 2016), um einen
Einblick in die komplexen Schallentstehungsmechanismen zu erhalten und den Einfluss
der Geometrien und Strömungsbedingungen untersuchen zu können. Dabei müssen aber
2
die Installations- und Kaskadeneffekte der Schaufeln und die Relativbewegungen der ver-
schiedenen Schaufelreihen vernachlässigt werden. Eine Literaturübersicht über Messungen
an der isolierten Schaufel erfolgt gesondert in Abschnitt VI.3.1.
Rotor-Stator-Interaktionslärm ohne Messungen vor der Fertigung vorherzusagen, ist von
großem Interesse. Die Spannbreite der bekannten Verfahren reicht von analytischen Model-
len bis hin zu skalenauflösenden Simulationen.
Auf der einen Seite gibt es empirische oder analytische Verfahren, die auf Grundlage von
restriktiven Modellannahmen sehr schnelle Vorhersagen zulassen. Die Güte der Ergeb-
nisse hängt hierbei maßgeblich davon ab, ob alle relevanten Quellen richtig modelliert
wurden. Eine Literaturübersicht von analytischen Verfahren zur Vorhersage von Rotor-
Stator-Interaktionslärm ist weiter unten gegeben.
Auf der anderen Seite sind die (teil-)skalenauflösenden, numerischen Verfahren, die eine
hochgenaue Abbildung der Mechanismen im Triebwerkseinlauf und Nebenstromkanal
erlauben. Die Ergebnisse dieser Simulationen sind von hoher Qualität und reproduzieren
Messungen sehr genau (Shur et al., 2016). Die Nachteile sind:
(1) Die komplexen Wirkmechanismen können nur schwer separiert, gewichtet und ent-
schlüsselt werden.
(2) Es kann dabei aus Speicherplatzgründen nur eine beschränkte Menge an Informa-
tionen abgespeichert werden.
(3) Auf absehbare Zeit ist diese Art von Simulation nicht wirtschaftlich.
Eine Aufwandsabschätzung und Literaturübersicht von (teil-)skalenauflösenden Verfahren
zur Vorhersage von breitbandigem Rotor-Stator-Interaktionslärm ist weiter unten gege-
ben.
Es ist also notwendig, zwischen dem analytischen und dem (teil-)skalenauflösenden Ansatz
einen Mittelweg zu finden, der eine genaue Aussage zu den relevanten physikalischen Grö-
ßen und Quellmechanismen zulässt, so dass Anwendungen auf unbekannte Konfigurationen
oder neue Ideen mit robusten Aussagen möglich sind. Ziel dieser Verfahren ist es auch,
die Quellmechanismen zu trennen und einzeln zu untersuchen. Erkenntnisse aus solchen
Untersuchungen sind sowohl richtungsweisend für die Identifikation von neuen Konzepten
– im Flightpath 2050 (Europäische Kommission, 2011) wird ein technologischer Durch-
bruch postuliert, ohne den die Vorgaben zur Lärmreduktion nicht zu erreichen sind –, als
auch für die analytische Modellbildung interessant.
Diese Lücke schließt die Klasse der hybriden Verfahren. Hybride Verfahren bezeichnen
Ansätze, die zur Lösung des Problems auf mehrere Methoden zurückgreifen. Dabei ist jede
Methode besonders auf ihr Anwendungsfeld spezialisiert. Neben den klassischen Ansätzen
der Fernfeldextrapolation ist im Bereich der Vorhersage von Rotor-Stator-Interaktionslärm
in den letzten fünf Jahren eine rasante Entwicklung von konkurrierenden Methoden unter
Verwendung synthetischer Turbulenz entstanden. Eine Übersicht über den aktuellen Stand
der hybriden Verfahren zur Vorhersage von breitbandigem Rotor-Stator-Interaktionslärm
ist weiter unten gegeben. Das in dieser Arbeit verwendete Random-Particle-Mesh (RPM)
Verfahren (Ewert et al., 2011a) sortiert sich in diese Klasse der hybriden Verfahren ein.
Es wird im vorliegenden Rahmen erstmals zur Vorhersage von Fanlärm angewendet und
erweitert. Nach der folgenden Literaturübersicht werden die Ziele formuliert.
3
I Einleitung
Literaturübersicht
Analytische Ansätze
Von Kármán und Sears (1938) präsentierten den ersten Ansatz zur Lösung von Turbulenz-
Platte-Interaktion für eine inkompressible Strömung und eine unendlich dünne Platte.
Eine erste umfassende Vorhersage von Akustik wurde von Sears (1941) veröffentlicht3.
Der Schallentstehungsmechanismus ist hiernach die Unterbindung der wandnormalen
Geschwindigkeitsfluktuation durch die Anwesenheit der Schaufel. Daraus resultiert eine
instationäre Auftriebskraft der Schaufel, die wiederum ein Druckfeld emittiert, welches
sich mit Schallgeschwindigkeit dipolartig ausbreitet. Eine Erweiterung auf hohe Frequen-
zen, kompressible Strömung und die Berücksichtigung der Kutta-Bedingung folgte von
Amiet (1976b), der die Lösung einer Helmholtz-Gleichung mit der Schwartzschild-
Technik verwendete. Die Anregung stellte dabei eine sinusförmige, divergenzfreie und kon-
vektive Geschwindigkeitsfluktuation dar, die im Weiteren mit dem englischen Wort Gust
bezeichnet wird. Das Verfahren von Amiet wird nach Reboul (2010) in dieser Arbeit als
Referenz verwendet. Basierend auf den Annahmen der Rapid-Distortion-Theorie (Batche-
lor und Proudman, 1954; Savill, 1987) präsentierte Goldstein (1978) ein Verfahren mit
dem, ausgehend von einer Störung, die an an einem stationären Körper beliebiger Form
vorbei konvektiert, die Schallabstrahlung berechnet werden kann. Anwendungen auf die
Turbulenz-Schaufel-Interaktion wurden von Atassi et al. (1993) sowie Myers und Kerschen
(1995; 1997) durchgeführt, wohlbemerkt mit unterschiedlichen Schlussfolgerungen (Glegg
et al., 2006). Paruchuri et al. (2015) schlossen nach umfangreichen Messungen, dass ein
einzelner Parameter, wie etwa die Sehnenlänge, für die Berücksichtigung der Geometrien
nicht hinreichend sei, wohingegen Atassi und Vinogradov (2007) den Einfluss von realisti-
schen Schaufelgeometrien als klein einstuften.
Zur Anwendung im Fan sind verschiedene Genauigkeiten der analytischen Modellierung
zu beobachten. So verwenden Moreau etal. (2015; 2016) z.B. für die Vorhersage von
Rotor-Stator-Interaktionslärm lediglich die Sears-Funktion (Sears, 1941, Gl. (21)) und
die sogenannte Strip-Theorie, bei der das Verfahren streifenweise an einer diskreten Anzahl
von radialen Positionen angewendet wird. Ein ähnliches Verfahren wurde von Grace etal.
(2012; 2015) entwickelt. Ziel dieser Verfahren ist keine perfekte Übereinstimmung dieser
einen Lärmquelle, sondern eine umfassende Analyse aller Quellen im Fan. Dazu ist eine
sehr hohe Robustheit der einzelnen analytischen Quellterme notwendig. Dennoch sind die
Übereinstimmungen mit Messungen vielversprechend (Envia und Coupland, 2015). Ande-
re argumentieren, dass die Berücksichtigung der benachbarten Schaufeln signifikant für
die Vorhersage ist (Koch, 1971; Glegg, 1999; Evers und Peake, 2002; Posson et al., 2010;
Morin, 2010). Hier ist die Schaufelpassage als eine abgerollte lineare Kaskade betrachtet.
Mithilfe der Wiener-Hopf-Technik lässt sich dies analytisch lösen und durch die Strip-
Theorie wieder auf den Fan anwenden. Auch eine direkte Berücksichtigung eines Ringgit-
ters (annular cascade) erscheint zumindest für hohe Frequenzen möglich (Envia, 1998).
Ein viel versprechender Ansatz wurde erst kürzlich von Bouley et al. (2015) gemacht, der
durch den Abgleich verschiedener Regime mit Rohrmoden eine direkte analytische Lösung
im Rohr ermöglichte. Erweiterungen auf angestellte und gekrümmte Schaufeln sind in
Arbeit.
Erweiterungen auf komplexere Konfigurationen bieten semi-analytische Verfahren, die z.B.
die Strömung und mittlere Turbulenz aus einer stationären Strömungssimulation gewin-
nen (Nallasamy und Envia, 2005; Jurdic et al., 2007; Jaron et al., 2015). Ist der instationä-
re Auftrieb der Schaufeln numerisch bestimmt, können diese Fluktuationen in analytische
3Details hierzu bei Goldstein (1976).
4
Modelle, wie beispielsweise akustische Analogien, eingebettet werden. Diese Verfahren wer-
den als hybride Verfahren aufgefasst und weiter unten vorgestellt.
Da die analytischen Verfahren so effizient sind, werden Optimierungen auf bestimmte De-
signparameter möglich. Basierend auf einer stationären RANS und einem analytischen
Verfahren haben Moreau et al. (2016) erstmals eine breitbandige, akustische Schaufel-
optimierung am Fan durchgeführt. Namgoong (2014) hat an einem offenen, gegenläufi-
gen Rotor Optimierungssimulationen durchgeführt. Er benutzt auch RANS-Simulationen
jeweils einer Rotor-Schaufel und minimiert die entstandene Entropie hinter dem ersten
Rotor. Dies funktioniert unter der Annahme, dass eine kleine Entropie einen schmalen
Nachlauf bedeutet und wiederum auf niedrige Breitbandschallpegel schließen lässt.
Skalenauflösender Ansatz
Der skalenauflösende Ansatz, d.h. die direkte, numerische Lösung der Navier-Stokes-
Gleichungen, ist aktuell und auf absehbare Zeit für realistische Anwendungen nicht mög-
lich. Der Aufwand der direkten, numerischen Simulation (DNS) abhängig von der Rey-
nolds-Zahl Re wird von Rung (2003, S.29) auf Anzahl Knotenpunkte ∝Re2.25 und
von Choi und Moin (2012) auf Anzahl Knotenpunkte ∝Re2.64 abgeschätzt. Die Rey-
nolds-Zahl bei realistischen Fan-Geometrien sind in der Größenordnung von Re = 105
bis Re = 107.
Bei einer Grobstruktursimulation (LES) werden nicht alle Skalen aufgelöst. Die kleinen
Skalen werden mit einem Turbulenzmodell, einem so genannten Subgridscale-Modell, abge-
bildet, um den Energietransport zwischen den Skalen zu realisieren. Die groben Strukturen
werden komplett aufgelöst. Dies spart erheblichen Simulationsaufwand, ist allerdings den-
noch sehr rechenintensiv und aktuell vor allem von wissenschaftlichem Interesse (Rung,
2003). Choi und Moin (2012) schätzen die Anzahl an nötigen Gitterpunkten für eine LES
mit Wandmodell auf ∝Re1.0und mit aufgelöster Wandgrenzschicht auf ∝Re1.85. Es ist
interessant, dass sich diese Abschätzung kaum von der von Chapman (1979) unterscheidet,
sondern nur genauer geworden ist.
Anwendungen auf Rotor-Stator-Interaktionslärm: Es sind bisher keine DNS für Rotor-
Stator-Interaktionslärm bekannt. Für die breitbandige Simulation der Rotor-Stator-Inter-
aktion muss der volle Kranz von Schaufeln betrachtet werden, da zwischen den Passa-
gen die akustischen Moden unterschiedliche Phasenlagen aufweisen (Clair et al., 2012).
Dennoch zeigen Greschner und Thiele (2012) die Ergebnisse einer LES aus Gründen der
Machbarkeit für die Rotor-Stator-Interaktion in einer einzelnen Passage. Eine LES für eine
Kaskade aus flachen Platten wurde von Said (2007) untersucht. Kuehnelt et al. (2014)
benutzen eine zonale LES gekoppelt mit einer analytischen Fernfeldextrapolation, um den
Breitbandlärm eines Propellers mit fünf Schaufeln vorherzusagen. Shur et al. (2016) haben
erst kürzlich eine DES-Simulation eines Ventilators präsentiert. Dies war möglich, da es
sich um einen kleinen Fan mit ca. 30 cm Radius und niedrige Strömungsgeschwindigkeiten
handelt, außerdem war die Auflösung auf 3500 Hz beschränkt. Die Ergebnisse innerhalb
des Rohres stimmen in diesem Bereich mit Messungen sehr gut überein. Wie typischer-
weise die Information aus der LES-Simulation in das Fernfeld extrapoliert wird, ist bei
Farassat und Casper (2012) zu finden. Polacsek et al. (2009) stellen ein Verfahren vor,
bei dem die Quellen aus einer instationären CFD-Simulation des Fans mittels einer Über-
lagerung von Monopolquellen in eine CAA-Simulation eingekoppelt werden, anstatt das
modale Feld über eine Randbedingung einzukoppeln. Obwohl für tonalen Lärm gedacht,
5
I Einleitung
wird auch eine Erweiterung auf Breitbandlärm vorgestellt, vorausgesetzt, dass das Breit-
bandschallfeld an der Kopplungsebene bekannt ist, z.B. durch eine LES-Simulation. An
dieser Stelle sei auf einen vielversprechenden, alternativen Ansatz hingewiesen, der unter
Verwendung eines Lattice-Boltzmann-Verfahrens die Breitbandschallentstehung von
Triebwerken vollständig vorhersagt (Casalino et al., 2016).
Hybride Ansätze
Da (teil)-skalenauflösende Verfahren auf absehbare Zeit unwirtschaftlich sind, muss auf
andere Verfahren zurückgegriffen werden. Im Allgemeinen ist es nicht notwendig, eine
”Methode für Alles” zu verwenden. Hybride Verfahren bezeichnen Ansätze, die zur Lösung
des Problems auf mehrere Methoden zurückgreifen. Dabei ist jede Methode besonders auf
ihr Anwendungsfeld spezialisiert. Eine gute Definition und einen umfassenden Überblick
über hybride Verfahren zur tonalen Schallvorhersage gibt Weckmüller (2013) in der Ein-
leitung. Im Folgenden wird speziell auf hybride Verfahren zur Breitbandschallvorhersage
eingegangen.
Allgemeine Unterteilung von hybriden Ansätzen
Es gibt zwei gängige hybride Ansätze: (1) den räumlichen Ansatz und (2) den skalenba-
sierten Ansatz, wobei sich die Ansätze nicht gegenseitig ausschließen.
Räumliche hybride Ansätze: Das Simulationsgebiet lässt sich in drei räumliche Berei-
che unterteilen: Das Quellgebiet, das Ausbreitungsgebiet und das Fernfeld. Dies wird in
Abb. 4 für einen Fan veranschaulicht. Das Quellgebiet beinhaltet alle relevanten Quel-
Ausbreitungs-
gebiet
Quellgebiet
Ausbreitungs-
gebiet
FernfeldFernfeld
Abb. 4: Veranschaulichung eines räumlichen hybriden Ansatzes, wie er z.B. bei Weckmüller (2013)
für die Schallausbreitung von tonalen Fangeräuschen verwendet wird. Die gestrichelten Linien deu-
ten die Position der Kopplungsebenen zwischen den Gebieten an, ausgegraut sind vernachlässigte
Gebiete. Skizze angelehnt an Ovenden und Rienstra (2004).
len und das Verfahren muss den Schallentstehungsmechanismus abbilden. Es muss aber
auch die dissipations- und dispersionsfreie Schallausbreitung realisieren. Durch ein Inter-
face wird das Ausbreitungsgebiet angeschlossen. In diesem deutlich größeren Bereich muss
die Schallausbreitung realisiert, aber auch Interaktionen mit Oberflächen und komplexen
Strömungen abgebildet werden - dies ist das Hauptwirkgebiet der CAA. Im Fernfeld kann
auf eine analytische Funktion zurückgegriffen werden, um den Schall zu einer beliebigen
Beobachterposition zu extrapolieren.
6
Skalenbasierte hybride Ansätze: Bei der zeitlichen Skala ist eine Unterscheidung in eine
mittlere Strömung und Fluktuationen sinnvoll. So kann etwa die Hintergrundströmung
als stationär simuliert und die mittlere Turbulenz separat berücksichtigt werden. Bei den
räumlichen Skalen ist eine Unterscheidung in große und kleine Skalen möglich, wie z.B.
bei der bereits erwähnten Grobstruktursimulation. Hier ist auch eine Unterscheidung in
der Physik der Skalen sinnvoll. Akustische Wellenlängen bei gleicher Frequenz sind größer
als die turbulenten Strukturen.
Hybride Ansätze für Vorderkanteninteraktionslärm
Für Simulationen der Schallentstehung ist nicht die korrekte Simulation der Turbulenz und
all ihrer Wechselwirkungen relevant, sondern ausschließlich deren statistischer Einfluss auf
die Breitbandschallentstehung (II.2.3). Für die lineare Akustik sind darüber hinaus nur die
turbulenten Eigenschaften bei gleicher Frequenz relevant. Es sind also Verfahren hinrei-
chend, welche die turbulenten Eigenschaften nicht komplett abbilden, sondern lediglich die
vorgegebenen, statistischen Eigenschaften rekonstruieren. Somit sinken die Anforderungen
und der Aufwand drastisch.
Theoretisch sind viele Kombinationsmöglichkeiten der spezifischen Verfahren in ihren
Wirkbereichen möglich. Im Folgenden wird eine Unterteilung auf Basis der Anregung vor-
genommen. Zuerst werden semi-analytische Verfahren, basierend auf einer harmonischen
Anregung, vorgestellt und in einem zweiten Schritt wird auf die stochastischen Verfahren
eingegangen.
Harmonischer Gust:Es wird jeweils von einer harmonischen, deterministischen Anre-
gung ausgegangen. CAA-Simulationen in zwei Raumdimensionen mit harmonischer Anre-
gung sind bereits etabliert (Scott und Atassi, 1995; Lockard und Morris, 1998; Golubev
et al., 2005; Hixon et al., 2006). Die ersten Anwendungen in drei Raumdimensionen sind
von Atassi et al. (2004; 2010) und Hixon et al. (2011) veröffentlicht worden. Lau et al.
(2013) verwenden harmonische Anregung in 3D-CAA, um wellige Vorderkanten zu unter-
suchen. Auch Randelemente-Verfahren (BEM, engl. Boundary Element Method) werden
hier eingesetzt, so z.B. von Glegg und Devenport (2010), um Wirbel-Schaufel-Interaktion
in einer Potentialströmung vorherzusagen. Santana (2014; 2015) leitet analog zur analyti-
schen Lösung von Amiet (1976b) eine iterative Lösung für beliebige Schaufelprofile ab. Sie
beruht auf der aufeinanderfolgenden Lösung dreier Randwertprobleme zur Bestimmung
des akustischen Potentials. Santana zeigt gute Übereinstimmung mit der analytischen
Lösung, aber auch den Effekt von NACA-Schaufeln verschiedener Dicke im Vergleich zu
Messungen eines Prüfstandes.
Synthetisierte Turbulenz: Bei dieser Gruppe von Verfahren werden die turbulenten Fluk-
tuationen aus den mittleren Eigenschaften einer turbulenten Strömungssimulation rekon-
struiert. Es sind im Allgemeinen zwei stochastische Ansätze hierfür bekannt: Fourier-
Moden-basierte Verfahren und Filter-Methoden.
Fourier-Moden-basierte Methode: Die Stochastic Noise Generation and Radiation
(SNGR) Methode wurde von Bechara et al. (1994), basierend auf der Arbeit von Kraichnan
(1970), für CAA-Simulationen begründet. Die Methode geht von einem Satz an Fou-
rier-Moden aus, die so superponiert werden, dass sie ein vorgegebenes Modellspektrum
realisieren.
7
I Einleitung
Die Anwendung im Fan ist in den letzten fünf Jahren gut vorangekommen: Das Verfahren
wurde von Clair etal. (2012; 2013) eingesetzt, um den Effekt von gewellten Vorderkanten
vorherzusagen und den Einfluss von Kaskaden auch in drei Dimensionen zu berücksich-
tigen. Gill etal. (2013; 2014) simulierten mit diesem Verfahren realistische, symmetrische
Flügelprofile ohne Anstellwinkel, um den Einfluss der Schaufeldicke zu untersuchen. Haeri
et al. (2014) erweiterten die Anwendung von Lau et al. (2013) auf wellige Vorderkanten um
die Fourier-Modenanregung. Yao et al. (2015) koppelten die synthetisierte Turbulenz in
eine BEM zur Schallausbreitung, um Lärmminderungsmaßnahmen an einer Landeklappe
zu untersuchen.
Filter-Methoden: Ein Nachteil des Fourier-Moden-Verfahrens zur Anwendung im
Zeitbereich ist, dass es nur diskrete Frequenzen realisiert, bei einer breitbandigen Betrach-
tung mit (unendlich) vielen Frequenzen ist dies nicht wirtschaftlich. Bei inhomogenen
Quellstärkeverteilung ist das Verfahren auf Bereiche mit konstanter Konvektionsgeschwin-
digkeit beschränkt und Turbulenz kann daher nur stromauf eingekoppelt werden. Eine
Realisierung von zeitlichem Zerfall ist nicht möglich und die Realisierung von Anisotropie
ist nicht mehr divergenzfrei. Die Random Particle Mesh (RPM) Methode (Ewert et al.,
2011a) kennt solcherlei Einschränkungen nicht. Sie wurde erstmals von Ewert und Emunds
(2005) als Solenoidal-Digital-Filter Methode vorgestellt, dann aber unter dem jetzigen
Namen verwendet(Ewert, 2006). Ausgehend von der stochastischen Methode zur Generie-
rung von Zuströmturbulenz in Grobstruktursimulationen von Klein et al. (2003) synthe-
tisiert sie Turbulenz im Zeitbereich durch das Filtern von örtlichem, weißem Rauschen.
Dabei können sowohl komplexe Strömung und Geometrien berücksichtigt, als auch eine
Modellierung von zeitlicher Entwicklung und Anisotropie der Turbulenz umgesetzt wer-
den. Die Erweiterung auf rekursive Filter von Siefert und Ewert (2009) beschleunigt das
Verfahren erheblich. Ewert und sein Team haben das Verfahren bereits an vielen Fällen
angewendet (Ewert etal., 2012 - 2016) und auch andere Wissenschaftler nutzen es (Cozza
et al., 2012).
Eine Anwendung des Verfahrens auf Rotor-Stator-Interaktionslärm ist vor 2012 nicht
bekannt. Eine erste Untersuchung zur Vorhersage von Vorderkantenlärm einer unendlich
dünnen Platte wurde mit diesem Verfahren von Dieste und Gabard (2012) veröffentlicht.
Die Untersuchung fokussiert sich auf die Erweiterung der Formulierung auf beliebige Spek-
tren und ist auf eine unendlich dünne, homogen angeströmte Platte beschränkt. Der unter-
suchte Einfluss von Wirbelzerfall auf die Interaktion schien vernachlässigbar zu sein. Kim
und Haeri (2015) haben eine umfassende Publikation des RPM-Verfahrens zur Vorhersage
von Vorderkantenlärm herausgegeben und auf der Konferenz im selben Jahr (Kim et al.,
2015) für wellige Vorderkanten angewendet. Sie beschränken sich auf die Realisierung der
Turbulenz stromauf der isolierten Schaufeln. Auch Hainaut et al. (2015) verwenden aktuell
dieses Verfahren, um den Effekt der Interaktion mit der Schaufel numerisch zu untersu-
chen. Mittels des RPM-Verfahrens koppeln sie die Quellen stromauf in die LEE ein. Sie
untersuchten den Einfluss der Schaufelparameter auf die Verzerrung der Turbulenz im
Staupunkt, also inwiefern sich die laterale Komponente der Turbulenz durch die Interakti-
on veränderte (Hainaut et al., 2016). Signifikante Veränderungen des Spektrums sind aus-
zumachen in Abhängigkeit von allen geometrischen und strömungsbezogenen Parametern.
Heo etal. (2013; 2015) verwenden das RPM-Verfahren mit einer BEM im Rotorsystem, um
Zentrifugalverdichterlärm vorherzusagen. Gea-Aguilera et al. (2015) haben ein Verfahren
vorgestellt, indem sie Gauss-Wirbel gleicher Stärke und zufälligem Drehsinn äquidistant
superponieren. Dieses Verfahren ist theoretisch identisch mit dem RPM-Verfahren, wobei
es lediglich die Filterung des weißen Rauschens durch das Induzieren von Gauss-Wirbeln
ersetzt. Das ist allerdings rechenintensiver als der Filterschritt und bei weitem weniger
8
flexibel. Im darauf folgenden Jahr haben sie den Einfluss von Zuströmanisotropie unter-
sucht (Gea-Aguilera et al., 2016).
Ziele
Das Ziel dieser Arbeit ist es, das RPM-Verfahren auf die Simulation von Rotor-Stator-
Interaktionslärm zu erweitern und anzuwenden. Es soll dabei nicht die ”eine große Simu-
lation” im Fokus stehen, sondern die Teilaspekte des Verfahrens eingehend beleuchtet
werden. Daher werden die Untersuchungen auf zwei Raumdimensionen beschränkt, die
Erweiterung auf 3D ist im Verfahren inhärent enthalten.
Es wird eine Methode für die Vorhersage von Rotor-Stator-Interaktionslärm entwickelt
und der Einfluss von zyklostationärer Turbulenz und periodischer Hintergrundströmung
auf die Schallentstehung numerisch an zwei realistischen Fan-Geometrien untersucht. Die
Rotor-Stator-Interaktion ist durch periodische Prozesse charakterisiert. Diese können als
Zyklostationarität aufgefasst werden (Jurdic et al., 2009; Gardner et al., 2006). Trotz ste-
tiger Entwicklungen an synthetischer Turbulenzerzeugung existiert keine Methode, um
hochauflösend aber kostengünstig Breitbandschall in Triebwerken vorherzusagen. Bisher
wird in der Literatur von stationären mittleren Größen ausgegangen. Erste Untersuchun-
gen des Einflusses von zyklostationärer Turbulenz von Dieste und Gabard (2012) sind
akademischer Natur. Es wird aber ein Verfahren benötigt, welches die Anwendung im Fan
bei realistischer Strömung zulässt.
Um die Vergleichbarkeit des RPM-Verfahrens mit Messungen zu gewährleisten, wird ein
effizientes Verfahren entwickelt, das es erlaubt, realistische, isotrope Spektren umzusetzen.
Dieses Verfahren bedient sich der Superposition mehrerer Gauss-Spektren, um analy-
tisch ein Zielspektrum zu realisieren. Das RPM-Verfahren ist bisher auf Gauss-Spektren
beschränkt gewesen. Diese sind zwar sehr effizient, haben aber wenig mit realistischen
Spektren gemein. Es existierte zuvor nur eine rechenaufwändige Alternative durch Filter-
kerne für realistische Turbulenzspektren (Dieste und Gabard, 2012).
Diese Arbeit stellt eine Pilotanwendung für die Vorhersage von Vorderkanteninteraktions-
lärm mithilfe von stochastischen Verfahren dar. Es war zunächst wichtig einen Überblick
über die Möglichkeiten der Methode zu bekommen. Durch analytische Validierungsfälle
und den Vergleich mit Messungen von isolierten Schaufeln wird die Prozesskette getes-
tet. Die relevanten Simulationsparameter werden identifiziert und robuste Einstellungen
gefunden.
Der Fokus der Arbeit liegt auf der freien Einkopplung der Zuströmturbulenz. In aus-
giebigen Vorstudien wurde zwar die stochastische Quellmodellierung für Vorderkanten-
interaktionslärm mittels einer akustischen Analogie untersucht, es hat sich aber keines
der Verfahren als praktikabel erwiesen. Der Vorteil gegenüber der Realisierung durch
Zuströmturbulenz wäre die Lokalität und damit einhergehend eine bessere Kontrolle über
die berücksichtigten Schallentstehungsmechanismen. Entsprechende Vorstudien und eine
umfassende Diskussion über die Lücken der Quellmodellierung sind im Anhang B.1 zu
finden.
Struktur der Arbeit
Im Kapitel II wird zunächst das verwendete hybride Verfahren vorgestellt. Zudem sind die
theoretischen Grundlagen erklärt, die zu diesem Verfahren und der Idee der Turbulenz-
9
I Einleitung
synthetisierung führen. Es gibt außerdem einen Überblick über isotrope Turbulenzspek-
tren. Im Kapitel III werden die einzelnen Bestandteile des hybriden Verfahrens detailliert
besprochen. Das sind die (U)RANS-Simulation4, die Schallausbreitungssimulation und
das RPM-Verfahren zur Turbulenzsynthetisierung. Abschließend wird auf die Kopplung
zwischen den einzelnen Komponenten des hybriden Verfahrens eingegangen. Im Kapi-
tel IV werden zur besseren Vergleichbarkeit mit Messung die analytischen Gewichtsfunk-
tionen zur Realisierung von verschiedenen isotropen Modellspektren auf Grundlage von
Gauss-Spektren hergeleitet. Kapitel V zeigt die notwendigen Schritte zur Erweiterung und
Anwendung des hybriden Verfahrens auf periodische Hintergrundströmung und zyklosta-
tionäre Turbulenz. In dem Kapitel VI wird das Verfahren an einer isolierten, unendlich
dünnen Platten gegen die analytische Lösung verifiziert und an Messungen verschiedener
NACA-Schaufeln validiert. Die Validierung und Anwendung der zyklostationären Erwei-
terungen folgt letztlich im Kapitel VII anhand von zwei verschiedenen Fangeometrien.
4Die Abkürzung (U)RANS wird verwendet, wenn sowohl die RANS, als auch die URANS gemeint sind.
10
II Grundlagen
In diesem Kapitel sollen die theoretischen Grundlagen dargelegt werden, auf denen die
Breitbandschallvorhersage mittels numerischer Simulation beruhen. Für den Überblick
wird als Erstes das verwendete hybride Verfahren beschrieben. Danach wird auf die Zerle-
gung in Quelle und Schallausbreitung eingegangen. Durch die statistische Lärmtheorie wird
darauf folgend begründet, welche Eigenschaften der realisierten Turbulenz für die Schall-
vorhersage erfüllt sein müssen. Außerdem wird auf isotrope Modellspektren eingegangen,
die durch die stochastische Quellmodellierung realisiert werden. Im nächsten Kapitel wer-
den die einzelnen Bestandteile des hybriden Verfahrens detailliert beschrieben.
1 Verwendetes hybrides Verfahren
Es wird ein skalenbasiertes hybrides Verfahren verwendet, d.h. die Teilverfahren werden
bezogen auf die aufzulösenden Orts- und Zeitskalen ausgewählt. Dabei werden die primi-
tiven Variablen ϕohne Beschränkung der Allgemeinheit unterteilt in
ϕ=ϕ0+ϕ′,(1)
ϕ=ϕ0+ϕt+ϕa.(2)
Dies geschieht ohne Einschränkung und ist nicht als Linearisierung zu verstehen. Der Index
0bezeichnet die Hintergrundströmung, der Index ′alle Schwankungsgrößen, der Index t
nur die turbulenten und anur die akustischen Fluktuationen. In linearen Betrachtungen
sind turbulente Fluktuationen rotationsbehaftet und divergenzfrei sowie akustische Fluk-
tuationen rotationsfrei und divergenzbehaftet. Es werden diese Anteile jeweils separat
durch ein eigenes Verfahren ermittelt.
Zur Berechnung der Hintergrundströmung ϕ0ist meist eine zeitgemittelter Ansatz (RANS)
oder eine Beschränkung auf periodische Strömung (URANS) hinreichend, so dass die tur-
bulenten Orts- und Zeitskalen nicht aufgelöst werden müssen. Die aufgelösten Skalen sind
einzig durch die Geometrien und die Strömungsgradienten gegeben. Die turbulenten Cha-
rakteristika werden dabei (zyklo-)stationär berücksichtigt, um eine richtige Vorhersage
der mittleren Strömungsgrößen zu gewährleisten. Zur Vorhersage von tonalem Lärm in
Triebwerken ist die URANS Simulation hinreichend.
Unter der Voraussetzung, dass der Ansatz der (U)RANS physikalisch korrekte Turbu-
lenzstatistiken liefert, ist die Rekonstruktion der turbulenten Schwankungen ϕtaus den
gemittelten turbulenten Größen mittels stochastischer Verfahren möglich.
Die Ausbreitung der akustischen Schwankungen ϕaist lediglich auf die akustischen Skalen
beschränkt. Diese sind für kleine Mach-Zahlen weit gröber, als die turbulenten Struktu-
ren.
Somit zeichnet sich ein hybrider Ansatz ab, der in Abb. 5 dargestellt ist:
•Als Eingangsparameter sind der Betriebspunkt und die Geometrie des Fans gegeben.
Zusätzlich muss nur die Form der Zwei-Punkt-Korrelationen bekannt sein.
11
II Grundlagen
RPM
(S. 32 ff, 52 f)
CAA
PIANO
(S. 26 ff, 51 f)
(U)RANS
TRACE
(S. 21 ff)
Hintergrund-
strömung
(S. 39 ff, 57)
Betriebspunkt
& Geometrie
Form der Korre-
lationsfunktion
(S. 15 ff, 33 ff)
Schallfeld
(S. 55 f)
Turbulenz-
charakteristik
(S. 37 ff, 57)
Stochastische
Fluktuationen
(S. 41 ff, 57 ff)
OutputInput Hybrides Verfahren
Abb. 5: Verwendeter hybrider Ansatz zur Berechnung des Breitbandschalls. Die Seitenangaben in
blau verweisen auf die zyklostationären Erweiterungen.
•Die mittleren / periodischen Strömungs- und Turbulenzeigenschaften werden aus
einer (U)RANS-Simulation bestimmt (III.1).
•Die stochastischen Fluktuationen werden mithilfe der turbulenten Eigenschaften und
der Hintergrundströmung aus der (U)RANS synthetisiert und stromauf in die CAA
eingekoppelt (III.3).
•Die Strömungseigenschaften und Geometrien aus der (U)RANS-Simulation werden
für die Schwankungsrechnung mittels CAA im Zeitbereich verwendet (III.2).
•Daraus resultiert das Schallfeld überall im CAA-Gebiet.
In dieser Arbeit wird bewusst auf eine sich anschließende Fernfeldextrapolation verzichtet,
um die Prozesskette kurz zu halten. Wenn mit Fernfelddaten verglichen wird, so entweder
über die Betrachtung der Energieflüsse oder die CAA-Simulation breitet das Schallfeld bis
in das Fernfeld aus. Da hier nur 2D-Simulationen betrachtet werden, ist der Mehraufwand
überschaubar.
Die Kopplungen zwischen den Verfahren werden in Abschnitt III.4 beschrieben. Die vor-
liegende Arbeit beschränkt sich auf die Einkopplung der Zuströmturbulenz. Ausgiebige
Voruntersuchungen zur expliziten Quellmodellierung von Vorderkanteninteraktionslärm
haben gezeigt, dass dieser Ansatz am robustesten funktionert.
2 Schallentstehung durch Turbulenz
Wenn sich ein turbulenter Ballen unter Annahme der Taylor-Hypothese1ungestört durch
homogene Strömung ausbreitet, entsteht in der linearen Theorie kein Schall. Schall entsteht
erst durch
•Interaktion der Turbulenz mit Oberflächen,
1Die Taylor-Hypothese (Taylor, 1938; Pope, 2000; Fiedler, 2003) besagt, dass
∂
∂t =−¯u∂
∂xam festen Ort
.(3)
Wenn Turbulenz als eingefroren betrachtet werden kann, können die Orts- und die Zeitabhängigkeit
(der Korrelationen) redundant in einander umgerechnet werden. Diese Annahme gilt näherungsweise
für homogene Turbulenz mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit ¯u, wenn ¯u >> u′.
12
2 Schallentstehung durch Turbulenz
•Interaktion der Turbulenz mit Strömungsgradienten oder
•Zerfall der Turbulenz.
Es wird vorerst angenommen, dass Fluktuationen aus den mittleren, turbulenten Eigen-
schaften so synthetisiert werden können, dass sie für die Vorhersage von Schall hinreichend
sind. Diese Fluktuationen beschreiben die Turbulenz, wobei es an dieser Stelle noch nicht
von Bedeutung ist, auf welche physikalischen Größen sich diese synthetisierten Fluktua-
tionen beziehen. Um aus diesen Fluktuationen, den resultierenden Schall zu bestimmen,
sind verschiedene Ansätze möglich.
In dieser Arbeit wird nur der Ansatz der impliziten, akustischen Quelle verwendet, indem
die Turbulenz stromauf der Schaufeln eingekoppelt wird. Für die Einordnung dieses Ver-
fahrens ist dennoch ein Überblick über die alternativen Ansätze gegeben.
2.1 Explizite akustische Quelle
Es wird eine eindeutige Kausalität zwischen Turbulenz und Akustik postuliert. Die turbu-
lenten Fluktuationen werden als akustische Quelle aufgefasst ohne Rückwirkung auf die
Turbulenz. In diesem Bereich sollen nachfolgend zwei Verfahren erwähnt werden. Durch
die Entkopplung lässt sich das resultierende Schallfeld direkt angeben.
2.1.1 Akustische Analogie
Die erste akustische Analogie wurde von Lighthill (1952) vorgestellt. Lighthill sortierte die
homogenen Navier-Stokes-Gleichungen im mit dem Medium mitbewegten Bezugssys-
tem so um, dass die Terme auf der linken Seite (LHS, engl. left-hand side) die Wellenglei-
chung der Schwankungsdichte ρ′ergeben. Die auf der rechten Seite (RHS, engl. right-hand
side) verbliebenen Terme wurden von ihm als Quellen dieser Wellengleichung aufgefasst.
Dies lässt sich für den Schwankungsdruck schreiben als:
Lp′(x, t) = qa(x, t),(4)
mit L, dem Wellenoperator der Wellengleichung. Die Quellen qaenthalten alle akustischen
Quellen. Die Form der Gl. (4) ist allgemein gültig und es wurden viele akustische Analogien
dieser Form hergeleitet, so z.B. die Analogie von Curle (1955), die Pridmore-Brown-
Analogie (Goldstein, 2001), die Lilley-Analogie und die Möhring-Analogie (Delfs, 2014).
Die akustischen Perturbationsgleichungen (APE) in der APE-4 Formulierung von Ewert
(2002) stellen eine akustische Analogie dar (S. 27). Anschaulich ist der gesamte Schall
durch den Quellterm qader RHS hervorgerufen. Für die Lighthill-Analogie folgen die-
se Quellen ohne Näherungen aus den nichtlinearen Navier-Stokes-Gleichungen und
sind durch den Lighthillschen Schubspannungstensor Tij gegeben (Ehrenfried, 2003,
Gl. (7.1.22) ff.). Für subsonische, kalte Strömung und bei hoher Reynolds-Zahl ist die
Hauptschallquelle gegeben durch den Reynolds-Spannungstensor uiuj.
2.1.2 Äquivalente Quelle
Anstelle der Umformung von Ausbreitungsgleichungen zu einer akustischen Analogie wer-
den Quellen rein phänomenologisch auf der rechten Seite der sonst homogenen Ausbrei-
tungsgleichung Ehhinzugefügt. Diese Ausbreitungsgleichungen sind in der vorliegenden
Arbeit durch die LEE gegeben. Der Ansatz der äquivalenten Quelle wird z.B. von Tam
13
II Grundlagen
und Auriault (1999) zur Vorhersage von Strahllärm verwendet. Allgemein lässt sich für
die äquivalenten Quellen qeschreiben:
Eh(p′,x, t) = qe(x, t).(5)
Wie genau die äquivalenten Quellen aussehen, ist unabhängig von den Ausbreitungsglei-
chungen und folgt phänomenologisch und durch Dimensionsbetrachtungen. Der Begriff der
äquivalenten Quelle wird mitunter auch anders verwendet. Er bezieht sich dann darauf,
dass die Quellen qader Gl. (4) als Gesamtes modelliert werden, anstelle die primitiven
Variablen zu modellieren.
2.2 Implizite akustische Quelle
Die akustische Quelle wird nicht direkt modelliert. Stattdessen werden die synthetisier-
ten Fluktuationen ψdurch Randbedingungen (RB) störungsfrei, d.h. ohne Erzeugung von
Schall, am Rand δEhin die homogenen Ausbreitungsgleichungen Eh(p′,x, t)=0eingekop-
pelt. Dies lässt sich so schreiben:
Eh(p′,x, t)=0,mit δEh=ψ. (6)
Diese Ausbreitungsgleichungen müssen dazu in der Lage sein, die Fluktuationen auszubrei-
ten und die Schallentstehungsmechanismen abzubilden. Die Veränderung der Fluktuatio-
nen und die daraus resultierende Schallausbreitung folgen dann durch (numerisches) Lösen
der homogenen Ausbreitungsgleichung mit Randbedingungen. Dieser Ansatz beinhaltet
auch eine Rückkopplung der Akustik auf die Turbulenz.
2.3 Statistische Lärmtheorie und stochastische Schallquellmodellierung
Ewert et al. (2011a) etablierten den Begriff der statistischen Lärmtheorie (Statistical Noi-
se Theory) für eine Gruppe von Ansätzen, die die breitbandigen Anteile der Akustik
auf Grundlage der turbulenten Strömungseigenschaften vorhersagen sollen. Diese Theorie
ist im Anhang A.1 beschrieben. Sie zeigt, dass für die Bestimmung des Fernfelddrucks
nur die Greensche Funktion und die zeitgemittelte Zwei-Punkt-Statistik der Turbulenz
nötig sind. Auf die Zwei-Punkt-Statistik wird im nächsten Abschnitt eingegangen. Die
Greensche Funktion ist nur für generische Fälle bekannt. Besonders in dem hier unter-
suchten Anwendungsgebiet des Fans, wo komplexe Strömungen und Geometrien berück-
sichtigt werden müssen, ist dies aber nicht gegeben.
Deshalb ist ein alternativer numerischer Ansatz sinnvoll, welcher als stochastische Quell-
modellierung bezeichnet wird. Durch die direkte Lösung der Ausbreitungsgleichung mittels
CAA im Zeitbereich ist keine Greensche Funktion notwendig. Die Quellen qmüssen aller-
dings bekannt sein und werden durch einen stochastischen Ansatz, wie z.B. das in dieser
Arbeit verwendete RPM-Verfahren, synthetisiert.
Es gibt grundlegend zwei Ansätze der Quellmodellierung. Zum Einen wird die Fluktuati-
on der primitiven Variablen selbst modelliert und die Quelle qergibt sich dann durch die
explizite Berücksichtigung von Ableitungen, z.B. beim Lighthill-Tensor Tij (Ehrenfried,
2003, Gl. (7.1.22) ff.) Zum Anderen kann die Quelle qinklusive der Ableitungen direkt
modelliert werden. Dadurch sinken die Anforderungen an die Modellierung erheblich, aber
die ersten und zweiten statistischen Momente der Quelle qsind nicht direkt messbar. In
der Literatur ist zu beobachten, dass die Verfechter des Ansatzes der akustischen Analo-
gie eher die primitiven Variablen realisieren und die äquivalente Quelle mit der direkten
14
2 Schallentstehung durch Turbulenz
Modellierung der Quelle einher geht. Für die freie Turbulenz ist es üblich, die primitiven
Variablen zu realisieren, da hierfür die Randbedingungen existieren.
Da in der vorliegenden Arbeit nur freie Turbulenz realisiert wird und nicht explizite akus-
tische Quellen, ist nur die Modellierung der primitiven Variablen sinnvoll. Dafür wird das
Source-A-Modell (III.3) verwendet, da es direkt die Geschwindigkeitsfluktuationen reali-
siert.
Die statistische Lärmtheorie und die stochastische Schallquellmodellierung generieren das-
selbe akustische Spektrum, wenn
(i) die Ausbreitungsgleichungen der Greenschen Funktion entsprechen und
(ii) die stochastisch generierten Quellen die gleiche Zwei-Punkt-Kreuz-Kovarianz erzeu-
gen.
Die Bedingung (i) ist durch die Verwendung des hybriden Verfahrens erfüllt. Die Realisie-
rung der Bedingung (ii) wird eingehend in Abschnitt III.3 gezeigt. Im Folgenden wird der
Begriff der Zwei-Punkt-Kreuz-Kovarianz beleuchtet.
2.4 Zwei-Punkt-Kreuz-Kovarianz der Turbulenz
Eine Zwei-Punkt-Kovarianz R(xs,r, ts, τ)lässt sich als das Produkt der Varianz ˆ
R(xs),
also die Stärke der Auslenkung, und der Korrelationsfunktion R(xs,r, τ)schreiben:
R(xs,r, ts, τ) = ˆ
R(xs)R(xs,r, τ).(7)
Für stationäre Turbulenz existiert keine Abhängigkeit der Korrelation vom Zeitpunkt ts.
Im Allgemeinen ist Kreuzkorrelationsfunktion eines Skalars Ψdefiniert als
R(x,r, t, τ) = <Ψ(x, t)Ψ(x+r, t +τ)>
<Ψ(x, t)2>< Ψ(x+r, t +τ)2>.(8)
Wird die Form der Korrelationfunktion als bekannt vorausgesetzt, reduziert sich das Pro-
blem auf die Bestimmung einiger weniger Formparameter und auf die Bestimmung der
Varianz ˆ
R(xs). Für isotrope Turbulenz sind dies zwei bis drei freie Parameter, welche sich
z.B. aus einer zeitgemittelte RANS-Simulation oder Messung bestimmen lassen. Sie defi-
nieren die turbulente Fluktuation vollständig. Je nachdem, welches Quellmodell verwendet
wird, kann sich die Korrelation auf verschiedene Größen beziehen.
Die Zwei-Punkt-Korrelationen R(xs,r, τ)in einer realen Strömung im Quellgebiet zu mes-
sen, ist aufwändig. Pope (2000, S.223) schlägt zwar das Flying-hot-wire-Verfahren vor, bei
dem eine Hitzdrahtsonde ”möglichst schnell” durch die Strömung gezogen werden muss -
dies kann nur eine grobe Richtlinie sein. Höherwertige nicht-invasive Verfahren wie z.B.
Stereo-PIV versprechen eine bessere Bestimmung und auch skalenauflösende Simulatio-
nen lassen die Bestimmung der Korrelationen zu, diese sind jedoch sehr kostenintensiv.
Unter der Annahme der Taylor-Hypothese können anstelle von Zwei-Punkt-Messungen
einfach Ein-Punkt-Zeit-Messungen verwendet werden. Es wird daher auf generische Turbu-
lenzmodelle zurückgegriffen. Bei anisotroper Turbulenz sind Varianz und freie Parameter
richtungsabhängig.
Im Folgenden wird also die Korrelation als bekannt vorausgesetzt. Dazu wird eine generi-
sche Zwei-Punkt-Raum-Zeit-Korrelationsfunktion in Form einer Gauss-Funktion gewählt.
Die Kovarianz ist somit:
R(xs,r, τ) = ˆ
R(xs)exp −π(r−ucτ)2
4l2
s,(9)
15
II Grundlagen
wobei lseine Raumskala darstellt und ucdie Konvektionsgeschwindigkeit am Ort xsder
Korrelation ist.
Die Wahl der Korrelation sollte der physikalisch gemessenen entsprechen. Dennoch wird
die Korrelation in Gl. (9) für die Betrachtungen in dieser Arbeit fest gewählt. Es wird
sich zeigen, dass diese Korrelationsfunktion, da sie eine Gauss-Funktion ist, mathematisch
viele Vorteile hat. Die daraus resultierende Beschränkung auf Gauss-Spektren wird durch
das Verfahren der analytischen Gewichtung mehrerer Gauss-Realisierungen im Rahmen
dieser Arbeit aufgehoben (S.34).
Die Kovarianz in Gl. (9) gilt nur für ”eingefrorene Turbulenz” und berücksichtigt keinen
zeitlichen Zerfall der turbulenten Ballen. Bei hohen Mach-Zahlen und heißer Strömung
muss der zeitliche Zerfall als Quelle berücksichtigt werden, dazu kann diese Kovarianz auf
verschiedene Arten erweitert werden, siehe Anhang A.2.
Die vorgestellte Kovarianz beschränkt sich auf isotrope Turbulenz. Für die Erweiterung
auf Anisotropie müssen Varianzen und Längenskalen in jede Raumrichtung und auch die
Kreuzterme berücksichtigt werden. Die Varianz ˆ
R, die Längenskala lsund bei turbulentem
Zerfall gegebenenfalls die Zeitskalen sind die verbleibenden freien Parameter und leiten
sich aus dem gewählten Quellmodell ab. Sie können aus den mittleren Größen einer RANS-
Simulation bestimmt werden (III.3).
3 Turbulenzspektren
Es wird eine Übersicht über die analytischen Modellspektren gegeben, die mit dem Ver-
fahren realisiert werden sollen.
3.1 Energiespektren
Der volle Geschwindigkeitsspektrumtensor Φij(k)mit dem Wellenzahl-Vektor2kenthält
alle direktionalen Informationen der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen. Im All-
gemeinen ist es notwendig, den vollen Tensor zu verwenden, um die turbulente Charakte-
ristik zu beschreiben. Für isotrope Turbulenz ist dazu bereits die Energiespektrumfunktion
E(k)mit k=|k|ausreichend. Die Energiespektrumfunktion ist so normalisiert, dass
kt=∞
0
E(k)dk, (11)
mit der turbulenten kinetischen Energie (TKE) kt. Für isotrope Turbulenz ist die turbu-
lente kinetische Energie aus den turbulenten Geschwindigkeiten gegeben:
kt=3
2u2
t.(12)
In dieser Arbeit wird auch für die 2-D CAA-Simulation diese Definition verwendet, da die
turbulente kinetische Energie aus 3D-CFD-Simulationen stammt. Streng genommen gilt
bei 2-D Turbulenz aber, dass kt,2D=u2
t.
2Es ist anzumerken, dass der Wellenzahl-Vektor sich in zwei und drei Dimensionen unterscheidet:
k=(k1, k2, k3)T(3D),
(k1, k2)T(2D), .(10)
16
3 Turbulenzspektren
Abb. 6: Darstellung der Energiespektrumfunktionen
Die am häufigsten verwendeten Energie-Modellspektren für isotrope Turbulenz sind das
von Kármán-, das Liepmann-, das modifizierte von Kármán- und das Gauss-
Spektrum. Sie sind in Abb. 6 dargestellt und werden im Folgenden kurz vorgestellt.
Die Modellspektren sind durch die mittlere turbulente Schwankungsgeschwindigkeit ut=
|ut|und die turbulente, integrale Längenskala (TLS) Λcharakterisiert. Erstere ist durch
die Turbulenzintensität Tuund der Grundströmungsgeschwindigkeit u0gegeben als u2
t=
(Tu·u0)2. Letztere ergibt sich nach Pope (2000) aus der Korrelationsfunktion in Gl. (8)
zu
Λ = ∞
0
R(r, τ = 0)dr. (13)
Ein Energie-Modellspektrum lässt sich in drei Bereiche zerlegen (Hinze, 1975, Abb. 3-
13):
(1) den der großen Strukturen von permanentem Charakter,
(2) den der energietragenden Strukturen mit der charakteristischen Wellenzahl ke, die
das Maximum des Spektrums beschreibt, und
(3) den Bereich des universalen Gleichgewichts mit der Kolmogorov-Wellenzahl kd,
die die kleinsten Strukturen charakterisiert.
Das von Kármán-Spektrum ist gemessenen Spektren im Triebwerk am ähnlichs-
ten (Atassi und Logue, 2008). Es erfüllt das Energieverteilungsgesetz (energy law dis-
tribution) von (kΛ)4für große Wirbel, die die meiste Energie besitzen, und reproduziert
das -5/3-Gesetz in dem kleinskaligen Turbulenzbereich (inertial subrange):
EK(ˆ
k) = 55
9πu2
tΛˆ
k4
(1 + ˆ
k2)17/6,(14)
mit der reduzierten Wellenzahl ˆ
k=k/kemit ke=√πΓ(5/6)
ΛΓ(1/3) .
Das Liepmann-Spektrum: Liepmann hat longitudinale Korrelationskoeffizienten der
Turbulenz bestimmt und festgestellt, dass sie durch eine Exponentialfunktion f(x) =
17
II Grundlagen
exp−x
Λapproximiert werden können. Daraus ergibt sich für isotrope Turbulenz das
Modellspektrum (Atassi und Logue, 2008; Hinze, 1975):
EL(k∗) = 8u2
tΛ
π
k∗4
(1 + k∗2)3(15)
mit k∗=kΛ.
Das modifizierte von Kármán-Spektrum ist eine von Bechara et al. (1994) vorgeschla-
gene Erweiterung des von Kármán-Spektrums, um den gesamten Wellenzahlraum abzu-
bilden, indem sie auch den dissipativen Turbulenzbereich (dissipative subrange) mitbe-
rücksichtigen:
EM(ˆ
k) = EK(ˆ
k)exp −2k2
k2
d.(16)
Dabei ist kd=ϵt
ν3
t1/4die Kolmogorov-Wellenzahl, gegeben durch die turbulente Dis-
sipation ϵtund die kinematische Viskosität νt=µt/ρ.
Das Gauss-Spektrum ergibt sich, wenn ein räumliches weißes Rauschen mit einem
Gauss-Filterkern der Längenskala Λgefiltert wird:
EG(k) = 4u2
tΛ
π3k∗4e−k∗2
π.(17)
Unterschiede der Spektren: Atassi und Logue (2008) haben untersucht, welche Modell-
spektren am besten mit Messungen übereinstimmen und festgestellt, dass das von Kár-
mán-Spektrum und das Liepmann-Spektrum sehr ähnliche Verläufe haben. Obwohl das
von Kármán-Spektrum das physikalischere Verhalten in hohen Frequenzen von k−5/3
aufweist, haben sie sich für das Liepmann-Spektrum ausgesprochen, da es mathematisch
einfacher formuliert ist. Da in der Realisierung der Modellspektren durch die analytischen
Gewichtsfunktionen, die im Folgenden vorgestellt werden, dieser Vorteil vernachlässigbar
ist, werden in dieser Arbeit ausschließlich von Kármán-Spektren verwendet, wenn mit
Messungen verglichen wird.
3.2 Geschwindigkeitsspektren
Aus den Energiespektren im letzten Abschnitt lassen sich die Geschwindigkeitsspektren
ableiten.
Für dreidimensionale Turbulenz kann die eindimensionale Leistungsspektraldichte der
Geschwindigkeitsfluktuationen Eii(k1), bezogen ausschließlich auf die longitudinale Wel-
lenzahlkomponente k1, also die Wellenzahlkomponente in Strömungsrichtung e1, berechnet
werden durch
Eii(k1)=2∞
−∞
Φii(k1, k2, k3)dk3dk2,(18)
18
3 Turbulenzspektren
wobei k1=ω/u0mit u0=e1u0. Der Geschwindigkeitsspektrumtensor Φij(k)ist für
dreidimensionale isotrope Turbulenz vollständig durch die Energiespektrumfunktion E(k)
beschrieben:
Φij =E(k)
4πk2(δij −(kikj)/k2),(19)
wobei k=|k|und k1=e1k.
Bei isotroper Turbulenz liefert die Auswertung von Gl. (18) und Gl. (19) für die longitu-
dinale Komponente (Pope, 2000):
E11(k1) = ∞
k1
E(k)
k1−k2
1
k2dk(20)
und für die laterale Komponente:
E22(k1) = 1
2E11(k1)−k1
dE11(k1)
dk1.(21)
Für zweidimensionale Turbulenz ist die longitudinale Geschwindigkeitsspektrumfunk-
tion E11(k1)identisch zu der dreidimensionalen, da auch die longitudinalen Korrelations-
funktionen identisch sind3. Analog zu den lateralen Korrelationsfunktionen in Fußnote 3
folgt, dass Gl. (21) für zweidimensionale Turbulenz gegeben ist als:
E2D
22 (k1) = −k1
dE11(k1)
dk1
.(22)
Geschwindigkeitsspektrum im Wellenzahl- und im Frequenzraum: Für ein Geschwin-
digkeitsfeld u0(x, t)in e1-Richtung ist unter der Annahme der Taylor-Hypothese
das Wellenzahlgeschwindigkeitsspektrum Eii(k1)und die Frequenztransformation des
Geschwindigkeitsfeldes Sii(f)über die Kreuzkovarianz Rii(r, τ) = R(r, τ) = ˆ
RR(r, τ)aus
Gl. (7) und Gl. (8) verbunden. Das eindimensionale Wellenzahlgeschwindigkeitsspektrum
ist nach Pope (2000) als das Doppelte der Fourier-Transformation der Korrelationsfunk-
tion definiert. Für das Frequenzspektrum entfällt dieser Faktor, weil nur ein einseitiges
Spektrum verwendet wird. Es gilt:
Sii(f) = 1
2π
∞
−∞
ˆ
RRii(r= 0, τ)e−i2πfτ dτ(23)
und
Eii(k1) = 1
π
∞
−∞
ˆ
RRii(r, τ = 0)e−ik1rdr. (24)
3Für isotrope Turbulenz gelten besondere Beziehungen zwischen der longitudinalen Korrelationsfunktion
f(r)und der lateralen Korrelationsfunktion g(r)(Pope, 2000). Die longitudinale Korrelationsfunktionen
f(r)ist identisch in zwei- und dreidimensionaler Turbulenz. Die laterale Korrelationsfunktion unter-
scheidet sich und lässt sich in Abhängigkeit zur longitudinalen Korrelationsfunktion schreiben (Ewert,
2008):
g(r) =
f(r) + rdf(r)
dr=d(rf(r))
dr2D
f(r) + r
2
df(r)
dr=1
2f(r) + d(rf(r))
dr3D .
19
II Grundlagen
Die Konventionen der Fourier-Transformation sind im Anhang A.3 gegeben. Eine Rück-
transformation der Gl. (23) und Gl. (24) liefert Gleichungen für Rii(r= 0, τ)und
Rii(r, τ = 0). Diese können unter Hinzunahme der Taylor-Hypothese, dass r=u0τ
ist, und mit k1=2πf
u0umgestellt werden zu
Sii(f)=2Eii(k1)2π
u0
.(25)
Die konkreten Geschwindigkeitsspektren sind im Anhang A.4 aufgelistet und in Abb. 61
dargestellt.
3.3 Korrekturen von 2D zu 3D
Um Untersuchungen im zweidimensionalen Raum mit analytischen Lösungen und Messun-
gen vergleichen zu können, werden Korrekturen benötigt. Die verschiedenen Korrekturen
sind im Anhang A.5 vorgestellt. In der vorliegenden Arbeit werden die Korrektur der
Turbulenzspektren in Gl. (138) und die Korrektur nach Dieste in Gl. (139) verwendet.
20
III Die Bestandteile des stationären hybriden
Verfahrens
In diesem Kapitel wird auf die einzelnen Bestandteile des verwendeten stationären hybri-
den Verfahrens und die Kopplungen zwischen den Bestandteilen eingegangen.
1 RANS-Simulation für Hintergrundströmung und mittlere
Turbulenz
1.1 TRACE-Löser
Die (U)RANS-Simulationen werden mit dem hauseigenen Löser TRACE (Becker et al.,
2010) durchgeführt. TRACE ist für kompressible Strömungen mit dem Fokus auf Turbo-
maschinen konzipiert. Es wird seit den späten 80er Jahren am Institut für Antriebstechnik
in der Abteilung Numerische Methoden entwickelt. Der Code basiert auf finiten Volumen
für strukturierte und unstrukturierte Gitter. Er löst neben der klassischen RANS auch die
URANS-Gleichungen im Zeitbereich, die zeitlinearisierten URANS-Gleichungen adjungiert
und im Frequenzbereich (Haromic Balance - HB) und führt zudem Detached-Eddy Simu-
lationen durch (Wellner et al., 2011). Alle Modelle sind mindestens 2. Ordnung genau
in Ort und Zeit (Franke et al., 2010). In der vorliegenden Arbeit werden mit TRACE
RANS-, HB- und (U)RANS-Simulationen durchgeführt. Die hier relevanten Punkte dieser
Verfahren werden im Folgenden dargestellt.
1.2 Verwendete Turbulenzmodelle
Im Laufe dieser Arbeit hat sich herausgestellt, dass das verwendete Turbulenzmodell und
der Schließungsansatz einen großen Einfluss auf die turbulenten Charakteristiken beson-
ders im Staupunkt haben. Die Turbulenz im Staupunkt ist aber für die Vorhersage der
Vorderkantenschallabstrahlung äußerst relevant. Ein Überblick über lineare Schließungsan-
sätze, Staupunktanomalien und höhere Schließungsansätze ist im Anhang A.6 gegeben.
Es werden in der Arbeit die Zwei-Gleichungsmodelle von Wilcox (1988) und von Men-
ter (1994) mit linearem Schließungsansatz jeweils mit der Schwarzschen Ungleichung
als Staupunktanomaliekorrektur eingesetzt. Während das Modell von Wilcox die origi-
nale Formulierung basierend auf den k-ω-Turbulenztransportgleichungen darstellt, ver-
wendet das Modell von Menter eine Blendfunktion mittels des Wandabstandes, um die
k-ω-Gleichungen in Wandnähe und k-ϵ-Gleichungen im Freifeld zu verwenden.
Es wird außerdem das explizit algebraische Reynolds-Spannungsmodell (EARSM) von
Hellsten (2005) in der Implementierung von Franke et al. (2010) benutzt. Dieser Ansatz
stellt einen Schließungsansatz höherer Ordnung dar, führt aber nur dazu, dass eine explizit
algebraische Gleichung zusätzlich zu lösen ist. Aus dieser zusätzlichen Gleichung lassen sich
alle Einträge des Reynolds-Spannungstensors bestimmen. Der Vorteil gegenüber dem
linearen Schließungsansatz ist, dass keine Staupunktanomalie mehr existiert und somit
die Turbulenz an der Vorderkante besser vorhergesagt wird.
21
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
1.3 Unsteady Reynolds-Averaged-Navier-Stokes (URANS) Gleichungen
Bei URANS-Simulationen werden die vollständigen instationären Navier-Stokes-Glei-
chungen gelöst und gleichzeitig wird auf einen Schließungsansatz zurückgegriffen. Die
Absicht dahinter ist, nur die Längen- und Zeitskalen aufzulösen, die viel größer sind als
die turbulenten Skalen (McLean, 2012). In einem Fan sind dies die Zeitskalen bezogen auf
die Umdrehung.
Es gibt in diesem Kontext eine zähe Diskussion, ob die sogenannte spektrale Lücke zwi-
schen URANS- und Turbulenzskalen überhaupt nötig ist. Eine Zusammenfassung der
Standpunkte ist im Anhang A.7 gegeben. Aus dieser Diskussion lässt sich kein eindeutiges
Fazit ziehen, allerdings zeigen die manigfaltigen, erfolgreichen Entwicklungen und Anwen-
dungen insbesondere im Bereich der tonalen Turbomaschinenakustik (Holewa et al., 2014;
Weckmüller, 2013; Schnell, 2004b), dass dieses Verfahren für vorliegende Untersuchungen
einsetzbar ist.
Harmonic Balance: Beim Harmonic-Balance-Verfahren (HB) werden die URANS-Glei-
chungen Fourier-transformiert verwendet (Frey et al., 2014). Anstelle des aufwändigen
Zeitschrittverfahrens der URANS wird nur ein bestimmter Satz an Harmonischen im Fre-
quenzbereich berechnet. Die diskreten Frequenzen ergeben sich aus der Geometrie und
der Anzahl an Schaufeln im Fan. Der Energieübertrag zwischen den Frequenzen geschieht
hauptsächlich an den Kopplungsebenen zwischen Passagen mit unterschiedlichen Rela-
tivgeschwindigkeiten, aber auch nichtlineare Kopplungen zwischen den Frequenzen wer-
den berücksichtigt. Der klare Vorteil gegenüber der URANS-Simulation ist, dass die HB-
Simulation zehnmal schneller ist und die Randbedingungen, die im Folgenden beschrieben
werden, wie Phase-lag und 3D nicht-reflektierende Ränder aufgrund der Frequenzformu-
lierungen erheblich besser funktionieren. Nachteil ist, dass die turbulenten Größen aktuell
nur stationär berücksichtigt werden. Außerdem birgt die Betrachtung einer kleinen Anzahl
diskreter Frequenzen das Risiko, wichtige Phänomene abzuschneiden.
1.4 Randbedingungen
Es wird im Folgenden nicht erschöpfend auf die Randbedingungen eingegangen, sondern
lediglich die relevanten und besonderen für die durchgeführten Simulationen erwähnt.
Mischungsebene: Für stationäre Simulationen werden die verschiedenen Bezugssysteme
durch eine Mischungsebene verbunden. Basierend auf einer Flussmittelung in Umfangs-
richtung werden die primitiven Variablen und turbulenten Charakteristiken nur abhängig
vom Radius übermittelt. Abb. 7 zeigt dies exemplarisch für eine RANS-Simulation am
UHBR-Fan (VII.1.2). Aus der Abbildung ist die Ausmischung der Rotornachläufe ersicht-
lich.
Periodische Ränder: Für stationäre Fan-Simulationen wird in Umfangsrichtung eine
periodische Randbedingung verwendet, so dass nur jeweils eine Schaufel pro Passage
gerechnet werden muss.
22
1 RANS-Simulation für Hintergrundströmung und mittlere Turbulenz
Mischungsebene
kt[m2/s2]
x[m]
rϑ[m]
Abb. 7: Verteilung der turbulenten kinetischen Energie (TKE) in einer RANS-Simulation mit
Mischungsebene; DLR-UHBR-Fan an einer Stromlinie nah zur Kanalmitte.
ℜ{kt,1}[m2/s2]
x[m]
rϑ[m]
(a) Harmonische #1 (1×BPF im Statorbezugssys-
tem)
ℜ{kt,2}[m2/s2]
x[m]
rϑ[m]
(b) Harmonische #2 (2×BPF im Statorbezugssys-
tem)
ℜ{kt,3}[m2/s2]
x[m]
rϑ[m]
(c) Harmonische #3 (3×BPF im Statorbezugssys-
tem)
ℜ{kt,4}[m2/s2]
x[m]
rϑ[m]
(d) Harmonische #4 (4×BPF im Statorbezugssys-
tem)
Abb. 8: Realteil der Fourier-Koeffizienten der turbulenten kinetischen Energie von einer URANS-
Simulation; DLR-UHBR-Fan im Zylinderschnitt an einer Stromlinie nah zur Kanalmitte. Der kon-
stante Anteil der TKE ist sehr ähnlich zu den Ergebnissen der RANS-Simulation aus Abb. 7. Die
harmonischen Anteile im Rotorbezugssystem sind kleiner als die Farbskala.
23
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
Phase-lag: Um auch bei instationären Fan-Simulationen für jede Passage nur eine Schau-
fel berechnen zu müssen, wird anstelle der periodischen Randbedingung die Phase-lag-
Randbedingung in Umfangsrichtung angewendet, die von Schnell (2004a) in TRACE
implementiert wurde. Dadurch wird der Phasenversatz zwischen den Rändern in Umfangs-
richtung mittels einer Umfangs-Fourier-Transformation berücksichtigt. Dies ist in Abb. 8
gut zu sehen; für die entsprechenden Harmonischen passen die Umfangsränder im Stator-
system scheinbar nicht zusammen, dennoch ist nur jeweils eine Passage simuliert worden.
Es ist zu erwähnen, dass für URANS nur eine reduzierte Anzahl an Umfangsharmonischen
berücksichtigt werden kann und somit ein gewisser, systematischer Fehler auftritt. Schnell
(2004a) zeigt aber im Vergleich mit experimentellen Daten, dass dieser Fehler vernachläs-
sigbar ist. Auch bei HB-Simulationen wird die Phase-lag-Randbedingung eingesetzt. Diese
Randbedingung ist hier sogar exakt, da aus geometrischen Gründen nur jene Frequenzen
berücksichtigt werden, die auch die Randbedingung exakt erfüllen.
Einlass: Am Einlass werden der Totaldruck, die Totaltemperatur und die turbulenten
Größen vorgegeben. In TRACE wird zur Definition der Zuströmturbulenz eine Längen-
skala lp, eine Mach-Zahl Mund ein Turbulenzgrad Tugefordert. Dabei ist zu beach-
ten, dass das geforderte Längenmaß dem Pseudolängenmaß nach (Pope, 2000) entspricht.
Intern rechnet TRACE aber mit den turbulenten Größen (kt,ωt,νt). Da die Zuströmtur-
bulenz der Hauptschallentstehungsmechanismus ist, muss diese richtig eingestellt werden.
Folgende Beziehungen gelten zwischen Pseudolängenmaß lpund integralem Längenmaß
Λ:
lp=Cµ
CRe
Λ = √kt
ωt
(26)
mit dem Modellparameter Cµ= 0.09 und einem von der Reynolds-Zahl abhängigen
Skalierungsparameter CRe. Dieser geht für hohe Reynolds-Zahlen asymptotisch gegen
CRe = 0.43 (Pope, 2000, S. 244), genauere Betrachtungen der Reynolds-Zahlabhängigkeit
sind bei Maunus et al. (2013) und Jaron et al. (2017) zu finden.
1.5 Vorgehen bei Simulationen
In der vorliegenden Arbeit wird die örtliche Diskretisierung durch ein Fromm-Schema
zweiter Ordnung mit Van Albada-Flux-Limiter und der Zeitschritt mittels der Predictor-
Corrector-Methode realisiert, vgl. z.B. Hirsch (2007). Standardmäßig wird die CFL-Zahl,
angefangen bei 1, innerhalb von 100 Iterationsschritten auf 50 hochgefahren und konstant
gehalten.
1.5.1 Strömung für isolierte Schaufeln
Zur Berechnung der Hintergrundströmung und der turbulenten Größen für die 2D-Simula-
tionen von isolierten Schaufeln wird folgendes Vorgehen benutzt. Für die Strömungssimu-
lation wird mithilfe von g3DHexa (Weber, 2011) ein Netz generiert, das in die spannweitige
z-Richtung nur eine oder zwei Zellen hat. Sollen die RANS-Strömungsgleichungen gelöst
werden, so wird das Gitter in der Nähe von Oberflächen die Grenzschicht mit Wandabstand
y+<1auflösen. Auf Wandfunktionen kann somit verzichtet werden. Für Simulationen
ohne Wandhaftbedingung, wie im Beispiel, oder für Euler-Strömungslösungen ist dies
nicht nötig, da sich keine Grenzschicht ausbildet. Eine exemplarische Darstellung ist in
Abb. 9 anhand einer NACA65(12)-10 Schaufel (VI.3.3) gegeben.
24
1 RANS-Simulation für Hintergrundströmung und mittlere Turbulenz
Auslass
Einlass
Symmetrie
Fernfeld
Abb. 9: Setup für RANS-
Simulationen der isolierten
Schaufel am Beispiel einer
NACA65(12)-10 Schaufel (VI.3.3).
Die Spannrichtung ist um einen
Faktor 10 vergrößert, um die
Oberflächen sichtbar zu machen.
Auf den Fernfeldrändern ist das
Gitter angedeutet; auf Einlass,
Auslass und Schaufeloberfläche
(ohne Wandhaftbedingung) ist
die Mach-Zahl abgetragen. Die
Stromlinien sind zufällig verteilt
und dienen nur der Veranschauli-
chung der Umlenkung durch die
Schaufel.
Am Einlass werden der Totaldruck, die Totaltemparatur und die turbulenten Größen vor-
gegeben, am Auslass wird der statische Gegendruck gesetzt. In Spannweitenrichtung wird
eine Symmetrierandbedingung benutzt. An den Rändern normal zur Strömungsrichtung
werden Fernfeldrandbedingungen gesetzt. Im Beispiel wird ein Strahl simuliert, hier wird
auch an den Seiten, an denen keine Strömung existiert, auf Fernfeldrandbedingungen
zurückgegriffen. An Fernfeldrändern sind neben dem statischen Druck auch eine Mach-
Zahl, die Strömungsrichtung und die Turbulenzgrößen gefordert. Um den Einfluss dieser
Randbedingungen zu minimieren, werden die Fernfeldrandbedingungen weit entfernt von
der Schaufel gesetzt.
1.5.2 Strömung für Fans
3D-RANS-Simulation: Die in dieser Arbeit durchgeführten RANS-Simulationen werden
mit je einem Rotor- und einem Statorsegment durchgeführt, die mit einer Mischungsebene
verbunden sind. In Umfangsrichtung wird eine periodische Randbedingung verwendet. Das
Gitter ist so gestaltet, dass der Wandabstand auf den Schaufeloberflächen von y+<1mit
low-Reynolds und auf den Rohrwänden von y+>25 mit einer Modellwandfunktion
modelliert werden. Außerdem wird im Nachlaufbereich des Rotors das Gitter verfeinert,
um den Nachlauf mit mindestens 15 Punkten in Umfangsrichtung aufzulösen. Es wird voll
turbulent gerechnet und keine Transition berücksichtigt. Es wird das explizit algebraische
Reynolds-Spannungsmodell von Hellsten (2005) verwendet.
Instationäre RANS-Simulation: Für die Untersuchung am NASA SDT-Fan (VII.1.1)
wird keine URANS-Simulation benötigt, um Zyklostationaritäten zu berücksichtigen. Für
den DLR UHBR-Fan (VII.1.2) wird eine Harmonic-Balance-Simulation durchgeführt, um
die periodischen Anteile der Hintergrundströmung zu erhalten. Hierfür wird das Gitter
der RANS-Simulation verwendet und 15 Harmonische im Stator- und 5 Harmonische im
Rotorsystem berücksichtigt. Voruntersuchungen haben gezeigt, dass unter Verwendung
von weniger als 15 Harmonischen der Nachlauf nicht hinreichend aufgelöst wird und Arte-
fakte besonders an der Verbindung zwischen Rotor- und Statorsystem auftreten.
25
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
2 CAA zur numerische Ausbreitung der Schwankungsgrößen
Computational Aeroacoustics (CAA) wird in dieser Arbeit als der Teil des hybriden Ansat-
zes verstanden, der Schwankungsgrößen auf einer zuvor ermittelten Hintergrundströmung
ausbreitet. Dies wird mittels des DLR-eigenen CAA-Lösers PIANO (Delfs et al., 2008)
realisiert, der in der Abteilung technische Akustik des Instituts für Aerodynamik und
Strömungstechnik entwickelt wird. Die verwendete Zeitbereichsformulierung ist besonders
für breitbandige Simulationen von Vorteil, da im Zeitbereich die Frequenzen kontinuierlich
sind, wohingegen bei einer Formulierung im Frequenzbereich diskrete Frequenzen einzeln
gerechnet werden müssten.
2.1 Grundgleichungen
Abhängig von den zu berücksichtigenden Effekten werden andere Grundgleichungen, auch
Ausbreitungsgleichungen genannt, benötigt. Durch den Ansatz der hybriden Verfahren ist
es möglich, bestimmte Effekte wie Viskosität und Nichtlinearitäten in gewissen Bereichen
zu vernachlässigen.
Die Ausbreitungsgleichungen sind im Zeitbereich in der Schwankungsform nach Gl. (1)
gegeben, d.h. alle primitiven Variablen ϕ= (ρ, ui, p)werden in die Hintergrundströmung
ϕ0(t)und die Schwankungsgrößen ϕ′(t)zerlegt. Die Hintergrundströmung wird als bekannt
vorausgesetzt und ist z.B. durch eine vorgeschaltete (U)RANS gegeben. Die Schwankungs-
größen fluktuieren um diese Hintergrundströmung. Es ist anzumerken, dass abhängig von
den Ausbreitungsgleichungen die Hintergrundströmung nicht zeitlich konstant und der
Gleichanteil der Schwankungsgrößen nicht identisch Null sein muss. Für die Übersichtlich-
keit wird die Hintergrundströmung erst als konstant angenommen und als
¯
ϕ=< ϕ0(t) + ϕ′(t)>(27)
notiert. In Kapitel V wird separat auf instationäre Hintergrundströmungen eingegangen.
Linearisierte Euler-Gleichungen (LEE): Die klassischen LEE werden, ausgehend von
den Bilanzgleichungen der Hydrodynamik (Schade et al., 2007), unter der Vernachlässi-
gung von Nichtlinearitäten und viskosen Effekten und für zeitlich konstante Hintergrund-
strömung hergeleitet. Sie ermöglichen die Ausbreitung von akustischen Moden, Entro-
piemoden und Wirbelmoden und modellieren den Energietransport von einer Mode zur
anderen. Ewert et al. (2014) haben gezeigt, dass dieselben Gleichungen auch aus den Navi-
er-Stokes-Gleichungen in Schwankungsform folgen. D.h. es gelten weiterhin die LEE-
Gleichungen für die Schwankungen, unabhängig davon, welchen Gleichungen die Grund-
strömung ¯
ϕfolgt, z.B. auch RANS-Gleichungen. Anschaulich breiten sich die linearen,
reibungsfreien Schwankungen auf u.U. reibungsbehafteter, nichtlinearer Hintergrundströ-
mung aus. Die LEE sind gegeben als
∂ρ′
∂t +∂
∂xiρ′¯ui+ ¯ρu′
i= 0 (28a)
∂u′
i
∂t + ¯uj
∂u′
i
∂xj
+u′
j
∂¯ui
∂xj
+1
¯ρ∂p′
∂xi
+ρ′¯uj
∂¯ui
∂xj= 0 (28b)
∂p′
∂t + ¯ui
∂p′
∂xi
+u′
i
∂¯p
∂xi
+γp′∂¯ui
∂xi
+ ¯p∂u′
i
∂xi= 0.(28c)
26
2 CAA zur numerische Ausbreitung der Schwankungsgrößen
Akustische Perturbationsgleichungen (APE): Die LEE-Gleichungen können instabil
werden, da sie hydrodynamische Instabilitäten anregen, aber nicht dämpfen können. Dies
liegt an der fehlenden Rückkopplung mit der Hintergrundströmung und der Vernachläs-
sigung der Viskosität und der Nichtlinearitäten. Ewert (2002) hat ein Gleichungssystem
hergeleitet, dass ausschließlich die akustischen Moden ausbreitet und analytisch bewie-
sen, dass dieses Gleichungssystem dauerhaft stabil ist. Damit werden nicht-akustische
Störungen nicht angefacht, sondern immer gedämpft. Es sind also weder Entropie- noch
Wirbelmoden ausbreitungsfähig. Da die aktuelle Arbeit auf Zuströmturbulenz fokusiert
ist und die Grundgleichungen die Turbulenz ausbreiten müssen, können die APE nicht
verwendet werden. Da sie für die alternativen Kopplungen (A.11) verwendet wurden, sind
sie im Anhang A.8 beschrieben.
2.2 Diskretisierung
Um die Ausbreitungsgleichungen zu lösen, werden diese im Raum und in der Zeit numerisch
diskretisiert.
Ortsdiskretisierung: In PIANO werden die räumlichen Gradienten durch das disper-
sionserhaltende, symmetrische 7-Punktestern-finite-Differenzen-Verfahren (DRP) vierter
Ordnung von Tam und Webb (1993) bestimmt. Dies ist gültig für gekrümmte, (block-
)strukturierte Gitter. Um mit diesem Verfahren eine numerische Dämpfung und Disper-
sion der akustischen Wellen zu vermeiden, ist den Autoren zufolge eine Auflösung von
mindestens 4.5 Punkten pro Wellenlänge (PPW) notwendig. (De Roeck et al., 2004) emp-
fehlen eine Auflösung von 5.4 PPW. Zur Konvektion von Wirbelmoden ist eine Auflösung
von vier Punkten pro Längenskala (PPL) hinreichend (Grimm et al., 2014).
Zeitdiskretisierung: Für die zeitliche Diskretisierung wird das bewährte alternierende 5-
6 Stufen LDDRK-Schema (vom engl. low-dispersion low-dissipation Runge-Kutta) von
Hu et al. (1996) verwendet. Durch die Alternation wird die Dissipation und Dispersion
reduziert, ohne die Stabilität zu beeinflussen; dadurch können größere Zeitschrittweiten
verwendet werden. Die Stabilitätsgrenze, gegeben durch den größtmöglichen Zeitschritt-
weite ∆tCFL, ist bei Delfs et al. (2008) angegeben als
∆tCFL =Clmin
π(1 + M)c0
mit lmin =min
∂x
∂ξmi,j,k,m
,(29)
und C= 2.83 aus einer Stabilitätsanalyse. Dieses leitet sich aus der Courant-Friedrichs-
Lewy Zahl (CFL) und der Dispersionsrelation her, wie von Richter und Zhuang (2008) an
einer ähnlichen Diskretisierung gezeigt.
2.3 Randbedingungen
Es wird in Abschnitt III.4 auf Randbedingungen eingegangen, die eine Kopplung zwi-
schen den einzelnen numerischen Verfahren ermöglichen. Im Folgenden werden allgemein
Randbedingungen dieses CAA-Verfahrens diskutiert.
27
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
Wände: In dieser Arbeit wird ausschließlich die wandnormale, adiabate Wandrandbe-
dingung (adiabatic slip wall) verwendet, wobei
u′·nwand = 0 und p′
ρ′wand
=c2
0.(30)
Daraus folgend ergibt sich eine Bedingung an den Druckgradienten (Delfs et al., 2008,
Gl. (4.6)). Es existiert demnach kein Transport durch die Wand hindurch. Die alternative
Randbedingung von Tam und Dong (1994) verzichtet auf die Adiabatenbedingung, was
zur Folge hat, dass die Gleichungen an der Wand unterbestimmt sind und Instabilitäten
in der Dichtefluktuation anwachsen können.
Abstrahlbedingungen: Die Radiations- oder Abstrahlrandbedingung und die Ausström-
randbedingung nach Tam und Webb (1993) werden verwendet. Ausgehend von einem Refe-
renzpunkt Xref nehmen diese Randbedingungen eine monopolartige, akustische Abstrah-
lung an. Je näher die akustischen Moden dieser Annahme folgen, umso besser funktioniert
die Randbedingung. Zusätzlich sind in der Ausströmrandbedingung konvektive Moden
berücksichtigt, die das Rechengebiet in Strömungsrichtung verlassen.
Dämpfungszone: Um in PIANO einen reflexionsfreien Abschluss zu realisieren, wird
zusätzlich zu den Abstrahlbedingungen eine Dämpfungszone eingesetzt. Eine Dämpfungs-
zone ist ein Gebiet, indem eine unphysikalische Dämpfung über eine bestimmte Anzahl
von Zellen in der Nähe der Randbedingung vorgenommen wird. In der Dämpfungszone
wird die numerische, zu dämpfende Störung ϕp= [ρ′,u′, p′]räumlich zu jeder Zeit gegen
eine Referenzlösung ϕref gedämpft, indem der Term S(ξ)(ϕp−ϕref)von der rechten Seite
des Gleichungssystems abgezogen wird (Delfs et al., 2008). Dabei ist S(ξ)gegeben als
S(ξ) = σ1−cos(πξ)
2β
(31)
mit der Dämpfungsstärke σund dem Dämpfungsexponenten β. Die normierte Koordinate
ξist 0 und entsprechend S(ξ) = 0 am Übergang des Rechen- ins Dämpfungsgebiet und
1 am Rand und damit S(ξ) = σ. Wird die Referenzlösung ϕref = 0 gesetzt, so werden
die Fluktuationen in diesem Gebiet vollständig gedämpft. Eine eingehende Studie hierzu
wurde von Fritzsch (2009) durchgeführt. In der vorliegenden Arbeit wird die Randbedin-
gung ausschließlich auf äquidistantem Gitter eingesetzt und somit der Dämpfungsexponent
auf β= 1 gesetzt. Die Dämpfungsstärke σkann allerdings weit größer gewählt werden,
als bei Fritzsch (2009) untersucht wurde. Für die Simulationen in dieser Arbeit sind die
Anforderungen an die Dämpfungszone weitaus geringer als bei Fritzsch (2009). Durch die
Anregung nur einer Schaufel und damit einer klar definierten Quellposition funktioniert
die Radiationsrandbedingung so gut, dass akustische Wellen, die nicht von der Dämp-
fungszone gedämpft werden, dennoch nicht zu Reflektionen neigen. Im 3D-Rohr existieren
akustische Moden, die nahe der Cut-off -Grenze quasi quer zum Rand durch die Dämp-
fungszone streichen. Diese Moden lassen sich besonders schwer reflektionsfrei dämpfen.
Eine Verwendung des Perfectly-Matched–Layer-Verfahrens (Hu, 2005) könnte dieses Pro-
blem beheben.
LEE-Relaxation: Alternativ zur Dämpfungszone ist die LEE-Relaxation erst vor kurzem
von Ewert et al. (2014) vorgestellt worden. Diese Methode ermöglicht das Einkoppeln und
Dämpfen von solenoidalen Geschwindigkeitsfluktuationen ohne Einfluss auf die Entropie
28
2 CAA zur numerische Ausbreitung der Schwankungsgrößen
oder akustischen Moden. Sie benutzt in der Impulsgleichung der LEE-Gl. (28) einen Rela-
xationsterm auf der rechten Seite:
∂u′
i
∂t +···=ϵijk
∂
∂xjσω′
k−ωref
k,(32)
wobei σder Relaxationsparameter ist. Er hat die Einheit einer Viskosität m2/s. Die Wir-
belstärke ω′
iist durch die Geschwindigkeitsfluktuation der linken Seite gegeben als
ω′
i=ϵijk
∂u′
k
∂xj
(33)
und ωref
iist eine extern aufgeprägte Wirbelstärke. Wird ωref
i= 0 gesetzt, so filtert dieses
Verfahren ausschließlich die wirbelbehafteten Fluktuationen aus dem Rechengebiet, wobei
rotationsfreie Anteile, wie die akustischen Moden und Entropiemoden, unberührt bleiben.
Es existiert inzwischen auch eine Modifikation dieser Randbedingung als akustische Rela-
xation (Bernicke et al., 2016). Mit dieser werden nur divergente Anteile der Fluktuationen,
also ausschließlich die Akustik, beeinflusst.
Es ist anzumerken, dass für die Verwendung der Relaxation das alternierende 5-6 Stufen
LDDRK Schema nicht implementiert ist. Somit wird für alle Relaxations-Simulationen der
Zeitschritt halbiert und auf das 4-Stufen Runge-Kutta-Verfahren zurückgegriffen.
Stabilität: Für großen Relaxationsparameter σzeigt sich, dass die LEE instabil wer-
den. Es hat sich in Untersuchungen gezeigt, dass eine empirische Stabilitätsgrenze, ausge-
hend von einer Gitter-Reynolds zahl Re∆, angegeben werden kann:
Re∆=∆turb ·|u0|
σ<1(34)
mit der Gitterweite ∆turb des CAA Gitters im überlappenden Bereich mit dem RPM-
Gebiet und |u0|=u2
0,i dem Geschwindigkeitsbetrag im selben Bereich (Wohlbrandt
et al., 2015). Diese Bedingung ermöglicht ein stabiles Einkoppeln des Referenzwirbelfel-
des. Sie ist allerdings nicht hinreichend, um zu gewährleisten, dass die im CAA-Gebiet
eingekoppelte Wirbelstärke ω′der Referenzwirbelstärke ωref entspricht, wie die Untersu-
chungen in Abschnitt VI.2.1.3 zeigen.
Eine weitreichendere Bedingung der Stabilität lässt sich nach Moghadam (2012) aus fol-
genden Betrachtungen ableiten: Da mathematisch für konstantes σgilt
∇×(σ∇×ω′) = −σ∆ω′,(35)
ist dieser Term identisch mit dem viskosen Term in der inkompressiblen Wirbeltrans-
portgleichung. Somit ist die Diskussion von Moghadam (2012) bezüglich der Stabilität
von viskosen Termen qualitativ und quantitativ auf das vorliegende Problem übertrag-
bar. Der Relaxationsterm ist damit als viskoser Term zu interpretieren und für explizite
Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung findet er in Analogie zu Pletcher et al. (1997, S.627,
Gl. (9.14)) folgende Formel bzgl. des stabilen Zeitschritts:
∆t≤C∆tCF L
1 + 2
Re∆
(36)
mit einem Sicherheitsfaktor C≈0.9, der stabilen Zeitschrittweite ∆tCF L, folgend aus der
nicht-viskosen CFL Bedingung in Gl. (29), und der Gitter-Reynolds-Zahl in Gl. (34).
29
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
Abstrahl-RB
periodische RB
Xref
ˆ
Xref
Abb. 10: Schematische Darstellung der Problematik zwi-
schen Abstrahl-RB (schwarz) und periodischer RB (blau).
Gestrichelte Linien sind virtuelle Wiederholungen des
Rechengebiets. Grüne Pfeile stellen die Abstrahlrichtung
vom Referenzpunkt Xref dar. Es zeigt sich, dass genau
dort, wo sich Abstrahlbedingung und periodische Randbe-
dingung berühren, die Referenzen zu einer Ungenauigkeit
in den Randbedingungen führen.
Energieerhaltung: Zusätzlich zur Stabilität gibt es Größen, die beeinflussen, ob die
Energie der Referenzlösung ωref der eingekoppelten Energie der Wirbelfluktuationen ω′
entspricht. Der Relaxationsparameter σund die Länge der Kopplungsebene Lzur Wel-
lenlänge λsind bei einer Untersuchung in Abschnitt VI.2.1.3 identifiziert worden. Daraus
resultiert, dass σbei unverändertem Zeitschritt so groß wie möglich gewählt wird und die
Ausdehnung der Kopplungsebene mindestens zwei Wellenlängen entsprechen sollte.
Eine analytische Voraussage über die nötige Ausdehnung des Gebiets und die Höhe des
Relaxationsparameters könnte aus der Erweiterung der Betrachtungen in Ewert et al.
(2014, Kapitel D) folgen. Für eine konstante, unendlich ausgedehnte, stochastische Anre-
gung zeigt sich ein all-pass Verhalten. Für eine räumlich beschränkte Anregung ωref
j, z.B.
einer Heaviside-Funktion, wird erwartet, dass diese Erweiterung das beobachtete Hoch-
passverhalten zeigt.
Periodische Randbedingung: Für die Kaskadensimulationen wird auf die periodische
Randbedingung zurückgegriffen. In PIANO ist diese identisch zu einer inneren Blockgrenze
implementiert und stellt somit keine Einschränkung in der Genauigkeit dar.
Eine Ausnahme ist, dass genau dort, wo sich Abstrahlbedingung und periodische Randbe-
dingung berühren, die Referenzen zu einer Ungenauigkeit in den Randbedingungen führen.
Abb. 10 zeigt eine schematische Darstellung der Problematik.
2.4 Numerische Dämpfung
Globale, selektive, künstliche Dämpfung: Diskrete Verfahren können unteraufgelöste
Wellenlängen nicht physikalisch darstellen. Besonders Finite-Differenzen-Verfahren hoher
Ordnung tendieren dazu, hochfrequente Störwellen zu verursachen, da es keine signifi-
kante numerische Dämpfung im Verfahren gibt. Diese Wellen führen zu Instabilitäten,
die die eigentliche Simulation überlagern. Daher wird die künstliche, selektive Dämpfung
von Tam et al. (1993) eingesetzt. Der Dämpfungsoperator ˜
Dist direkt auf die RHS der
Grundgleichungen eingebaut:
RHS =−νASD ˜
D(ϕ′),(37)
wobei νASD der Dämpfungskoeffizient ist. Dieser Koeffizient ist in Simulation dieser Arbeit
standardmäßig auf νASD = 0.05 überall im Gebiet gesetzt. Wenn nötig, wird zusätzlich
lokale Dämpfung eingesetzt.
In PIANO sind alternativ auch Filtermethoden zur Unterdrückung von Störwellen ver-
fügbar. Sowohl Filterung als auch Dämpfung haben eine sehr ähnliche Wirkung auf die
30
2 CAA zur numerische Ausbreitung der Schwankungsgrößen
Störwellen. Im Gegensatz zur Dämpfung werden bei der Filterung nicht die Grundglei-
chungen geändert. Die Filterung wird zwischen den Zeitschritten durchgeführt, wodurch
die Filterung nicht in jedem Zeitschritt durchgeführt werden muss. Allerdings gibt es in
der aktuellen Implementierung keine Möglichkeit einer lokalen Gewichtung der Filterinten-
sität, was sie unflexibel macht. Die Stärke definiert sich ausschließlich durch die Ordnung
des Filters. Besonders in der Nähe von Oberflächen haben die Filter große Probleme, die
Störwellen zu unterdrücken. Änderungen an der Ordnung der Filter und der Häufigkeit
der Filterung wirken sich jedoch auf das gesamte Gebiet aus.
Lokale Dämpfung: Die Dämpfungsstärke νASD ist eine Feldgröße und kann lokal vari-
iert werden. In PIANO sind zusätzlich zur konstanten globalen Dämpfungsstärke ver-
schiedene Möglichkeiten implementiert, die Dämpfung lokal einzustellen. In dieser Arbeit
werden lokale Dämpfungsspots verwendet. Die Form der Spots ist über eine Gauss-
Glockenfunktion definiert:
νspot(xi) = Adexp−ln 2(xi−xd,i)2
R2
d.(38)
Hierbei ist Addie Dämpfungsstärke, xd,i die Position des Spots und Rddie Halbwertsbrei-
te.
Dämpfung an Oberflächen: Es gibt bisher keine Möglichkeit in PIANO, nur in der
Nähe von Oberflächen zu dämpfen. Deshalb werden Dämpfungsspots so verteilt, dass sie
an der Oberfläche der Schaufeln ein möglichst gleichmäßiges Dämpfungsfeld ergeben. Im
Folgenden werden 3 Konfigurationen verwendet, die hier zusammengefasst und in Abb. 11
gezeigt sind. Es wird die Halbbreite Rd=1
2(Nd−1)cgesetzt, wobei Nddie Anzahl der ver-
wendeten Spots ist und cdie Sehnenlänge. Die Dämpfungsstärke Adwurde während der
meisten Untersuchungen auf Ad= 0.5gesetzt. Zum Ende der Arbeit hat sich herausge-
stellt, dass eine geringere Stärke an der Vorderkante hinreichend ist, um Instabilitäten zu
unterdrücken. Da an der Hinterkante das hohe Dämpfungsmaß trotzdem nötig ist, wurde
eine Dämpfungsstärke mit linear aufsteigender Amplitude von Vorder- zur Hinterkante
verwendet. Es sei darauf hingewiesen, dass die Konvektion von Wirbeln durch Gradienten
von Adhindurch Störschall erzeugen können (Delfs et al., 1999).
Abb. 11: Verschiedene Strategien zur Verteilung der Dämpfungsspots entlang einer Schaufel oder
Platte, normiert auf die Sehnenlänge cmit Vorderkante (LE) bei x= 0 und Hinterkante (TE) bei
x= 1.
31
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
2.5 Allgemeines Vorgehen
Für jedes Gitter wird ein Test durchgeführt, um dieses auf Effektivität der nicht-reflek-
tierenden Randbedingungen und Stabilität zu untersuchen. Ähnlich einem Dirac-Impuls
wird eine Druckverteilung in Form einer Gauss-Glocke der Halbbreite einer Zelle als
Anfangsbedingung auf das Gitter aufgeprägt und die Systemantwort beobachtet. Dadurch
werden Instabilitäten sichtbar, die zuerst durch zusätzliche Veränderungen am Gitter und
der Glättung der Hintergrundströmung und später durch zusätzliche Dämpfungsspots
behoben werden. Beobachtete Reflektionen oder artifizielle Quellen werden durch Ver-
änderungen an den Randbedingungen minimiert, bis sie um mehrere Größenordnungen
kleiner sind als die abgestrahlten Wellen.
3 Stochastische Turbulenzrealisierung
Es soll in diesem Abschnitt darauf eingegangen werden, wie die freie Turbulenz syntheti-
siert wird.
3.1 Turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen durch Modellierung der
Stromfunktion - Source-A-Modell
Das wirbelbezogene Geschwindigkeitsfeld muss folgende Bedingungen erfüllen, um reprä-
sentativ für (isotrope) turbulente Fluktuationen zu sein:
•Zu jeder Zeit erfüllt es die vorgegebenen Zwei-Punkt-Korrelationen.
•Es ist solenoidal, also divergenzfrei, wenn auch nicht rein rotatorisch.
Der naheliegende Ansatz die turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen direkt zu rekon-
struieren, ist nicht wirtschaftlich, da die Erfüllung der Bedingungen zusätzlich gewährleis-
tet werden müsste (Ewert et al., 2011a). Um diese Bedingungen zu realisieren, modellieren
Ewert et al. (2011a) stattdessen die Stromfunktion Ψk. Die Geschwindigkeitsfluktuationen
u′ergeben sich daraus
u′=∇×Ψ(39)
oder in Tensorschreibweise
u′
i=ϵij
∂Ψ
∂xj
(2D), u′
i=ϵijk
∂Ψk
∂xj
(3D),(40)
wobei ϵij der 2D und ϵijk der 3D ϵ-Tensor sind (Schade und Neemann, 2009). Ewert (2008)
zeigt, dass die Geschwindigkeitsfluktuationen die Anforderungen an (isotrope) Turbulenz
erfüllen. Hiermit kann direkt die freie Turbulenz realisiert werden.
3.2 Stochastische Realisierung mit dem Random Particle Mesh Verfahren
Es wird das Random-Particle-Mesh-Verfahren (Ewert et al., 2011a) verwendet, um die
Turbulenz zu realisieren.
Die turbulenten Fluktuationen werden durch eine Anzahl Nivon fluktuierenden Feldern
Ψirealisiert. Für die Modellierung über eine Stromfunktion ist Ni= 1 in 2D und Ni= 3
32
3 Stochastische Turbulenzrealisierung
in 3D. Wie bei Ewert et al. (2011a) nachzulesen, wird eine synthetische Fluktuation Ψi
durch Faltung eines örtlichen weißen Rauschens Uimit einem Filterkern erzeugt:
Ψi(x, t) = Vd
s
ˆ
AG(x−x′)Ui(x′, t)ddx′,(41)
wobei Gder örtliche Filterkern ist, ddie Dimension des Problems, Vd
sdas Realisierungsge-
biet und ˆ
Adie Amplitude, die so definiert sein muss, dass sie die Varianz der Fluktuation
Ψieinstellt.
3.2.1 Weißes Rauschen
Durch die Art der Definition des weißen Rauschens Uiin Gl. (41) können zeitliche Korrelati-
onseffekte modelliert werden. Für eingefrorene Turbulenz, wie in der Korrelationsfunktion
in Gl. (9) gegeben, ist das weiße Rauschen als
⟨Ui(x, t)⟩= 0,(42)
⟨Ui(x, t)Uj(x+r, t)⟩=1
ρ0(x)δijδ(r),(43)
D0Ui(x, t)
Dt= 0,(44)
definiert, wobei D0
Dt=∂
∂t +u0·∇ die materielle Ableitung mit der Konvektionsgeschwin-
digkeit u0ist, ρ0die Strömungsdichte, δ(r)die Dirac-Deltafunktion und δij ist das Kro-
necker-Deltasymbol. Gl. (42) besagt, dass das Ensemble-Mittel1jeder Fluktuation Null
ist, Gl. (43), dass das weiße Rauschen gegenseitig unkorreliert ist und Gl. (44) realisiert,
dass das weiße Rauschen unverändert mit der Strömung konvektiert wird. Letzteres ent-
spricht gerade der Taylor-Hypothese.
Durch alternative Definitionen des weißen Rauschen können auch turbulenter Zerfall und
Haystacking2modelliert werden, siehe Anhang A.9.
3.2.2 Filterkern
Um Gl. (41) zu realisieren, wird neben dem weißen Rauschen auch ein Filterkern benötigt.
Verschiedene Filterkerne realisieren andere Korrelationsfunktionen und demzufolge auch
andere spektrale Eigenschaften der Turbulenz. In der vorliegenden Arbeit werden der
rekursive Purser-Filter (Purser et al., 2003) und der Young-van-Vliet-Filter (Young
und van Vliet, 1995) eingesetzt, um Gauss-Spektren zu realisieren. Um die Vergleich-
barkeit mit Messungen zu gewährleisten, wird die Gewichtung mehrerer Gauss-Filter zur
Realisierung von von-Kármán-Spektren (Kapitel IV) verwendet.
1Der Ensemble-Mittelwert ist wie folgt definiert (Delfs, 2014, Gl. (19)):
< p > (t) := lim
N→∞
1
N
N
n=0
pn(t).(45)
Hierbei ist pn(t)die n-te Realisierung (Messung) des Prozesses p(t). Für den Schalldruck p′=p−< p >
lässt sich schreiben < p′>= 0.
2Haystacking: Ein tonales Geräusch besteht aus exakt einer Frequenz. Durch die Ausbreitung durch tur-
bulente Strukturen hindurch, z.B. durch Scherschichten, entsteht eine Frequenzstreuung (Refraktion),
die im Spektrum eine Anhäufung von Energie in der Nähe des Tons bewirkt. Aufgrund der Asso-
ziation zu einem Heuhaufen wird das Berücksichtigen von diesen Refraktionseffekten als Haystacking
(Heuaufhäufen) bezeichnet.
33
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
Gauss-Filter: Basierend auf der Gauss-Funktion hat der Gauss-Filter
G(x−x′) = exp−π
2|x−x′|2
l2
s(46)
gegenüber allen anderen bekannten, örtlichen Filtern folgende Vorteile:
•Er ist glatt und sowohl Ableitung als auch Integral sind wieder Gauss-Funktionen.
Das hat zur Folge, dass sowohl die realisierte Korrelationsfunktion als auch das
resultierende Spektrum Gauss-Funktionen sind.
•Der Gauss-Filter ist effizient und weit verbreitet: Die Filteroperationen in die ein-
zelnen Raumrichtungen sind entkoppelt, d.h. der Aufwand skaliert mit O(d·n).
Außerdem existieren schnelle, rekursive Filtermethoden, wie z.B. der
–Young-van-Vliet-Filter, der auf konstante Längenskalen beschränkt ist, oder
der
–Purser-Filter, der auf langsam veränderliche Längenskalen beschränkt ist. Sie-
fert3gibt an, dass für einen stabilen Purser-Filter der Faktor i∂ls
∂xi2klei-
ner als 1 sein muss.
Alternativen: Nachteil des Gauss-Filters ist, dass in vielen Anwendungen Gauss-Spek-
tren nicht den physikalischen Spektren entsprechen. Es sind zwei Möglichkeiten bekannt,
diesen Nachteil zu überwinden.
Nicht-Gauss-Filter: Der erste Ansatz ist, andere Filterkerne als den Gauss-Filter
zu verwenden. Dieser Ansatz wurde eingehend von Dieste und Gabard (2012) studiert.
Sie haben Filterkerne hergeleitet, die von Kármán- und Liepmann-Korrelationsfunk-
tionen direkt realisieren. Die resultierenden Kerne sind äußerst komplex und auf eine
Wiederholung wird deshalb hier verzichtet. Der grundsätzliche Unterschied zu dem Gauss-
Filterkern ist, dass dies in die Raumrichtungen voll gekoppelte Formulierungen sind, was
zu einem erheblichen Mehraufwand in der numerischen Realisierung führt. Dieste zeigt in
ihrer Dissertation (Dieste, 2011), dass der Zeitaufwand dafür um ca. 20% steigt. Das ist
ein sehr optimistisches Ergebnis, denn der Filteraufwand bei gekoppelten Filtern liegt bei
O(nd). Bei zwei Dimensionen (d= 2) und kleinen Gebieten ist n2≈2·nund bestätigt ihr
Ergebnis. Für 3 Dimensionen und/oder größere Gebiete wird der Filteraufwand erheblich.
Deshalb ist dieser Ansatz zwar gangbar, aber praktisch kaum anwendbar.
Gewichtung mehrerer Gauss-Filter: Im Rahmen dieser Arbeit wird ein analytischer
Ansatz vorgestellt, um mit der Superposition mehrerer, gewichteter Gauss-Realisierungen
verschiedener Längenskalen libeliebige Korrelationen und Spektren realisieren zu können.
Dieser Ansatz wird in Kapitel IV im Detail beschrieben.
3.2.3 Diskretisierung
Um Gl. (41) numerisch zu berechnen, wird das Integral in eine Anzahl Nnicht-über-
lappende Kontrollvolumina δVkunterteilt (Ewert et al., 2011a). Die Mittelpunkte dieser
Volumina werden als Partikel kbezeichnet. Um die Filterung zu beschleunigen, wird ein
kartesisches Gitter eingeführt, das die fluktuierenden Werte Ψiauf einem Knotenpunkt
3Inoffizielle Anleitung zu fast RPM
34
3 Stochastische Turbulenzrealisierung
(m, n)in 2D oder (m, n, l)in 3D hält. Im Allgemeinen werden die Knotenpunkte des karte-
sischen RPM-Gebietes nicht mit dem CAA-Gitter übereinstimmen. Das kartesische Gitter
dient ausschließlich der Beschleunigung der Filterung. Dafür muss aber eine Interpolation
hoher Ordnung vom Partikel kauf das kartesische Gitter und vom kartesischen Gitter
auf das CAA-Gitter erfolgen. Ersteres erfolgt durch eine Aufteilung des Filters in zwei
Filteroperationen. Mathematisch gesehen handelt es sich dabei um eine Faltung von zwei
Filterkernen: (1) dem Gauss-Filter aus Gl. (46) und (2) einem multidimensionalen Filter-
kern, der die Information von den Partikel kauf die kartesischen Knotenpunkte projiziert.
Näheres hierzu findet sich bei Ewert et al. (2011a).
Vor der Realisierung der Filterung auf einem kartesischen Gitter wurde eine Diskreti-
sierung entlang von Stromlinien verwendet (Ewert, 2008). Diese ist auf 2D beschränkt
und führt zu Problemen in Rezirkulationsgebieten. Dieses Verfahren ist ursprünglich als
RPM bekannt, wohingegen das Verfahren der Diskretisierung auf kartesischen Gittern
den Zusatz fast – schnell – erhielt. In dieser Arbeit werden diese Begriffe nicht weiter
unterschieden.
3.2.4 Prozesskette
Verteile Partikel mit
einem zufälligen
Wert zwischen
-1 & 1 an einem
zufälligen Ort
im RPM-Gebiet
Projiziere die Werte
von den Partikeln
auf das RPM-Gitter
Skaliere mit
lokaler Varianz ˆ
R.
Filtere auf dem
RPM-Gitter
mit lokaler
Längenskala ls
Interpoliere die
gefilterten Werte
auf das CAA-Gebiet
Bewege die
Partikel entlang
der Stromline
Initialisierung
In jedem
Zeitschritt
Abb. 12: Darstellung des Prozessablaufs des RPM-Verfahrens
Zusammenfassend soll noch einmal der RPM-Prozess in seinen einzelnen Schritten darge-
stellt werden. Diese sind in Abb. 12 zu einem Prozess angeordnet, das Zusammenspiel der
einzelnen Komponenten ist in Abb. 13 veranschaulicht.
•Initialisierung:
–Verteile die Partikel mit einer zufälligen, normierten Amplitude an einer zufäl-
ligen Position im RPM-Gebiet.
•Für jeden Zeitschritt:
(1) Projiziere die Werte von den Partikeln auf das kartesische RPM-Gitter,
(2) Skaliere die Werte entsprechend der lokalen Varianz,
(3) Filtere die Werte auf dem RPM-Gitter entsprechend der lokalen Längenskala,
35
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
e1
e2
e3
Stromlinie
Partikel
RPM-Gebiet
CAA-Gebiet
Abb. 13: Skizze zum Zusammenspiel von Partikeln, kartesischem RPM-Gebiet und CAA-Gebiet
(4) Interpoliere die gefilterten Werte auf das CAA-Gebiet,
(5) Bewege die Partikel ein Stück entlang einer Stromlinie durch die Grundströ-
mung und platziere Partikel, die aus dem Gebiet gelaufen sind, an einer zufälli-
gen Position am Einlass des RPM-Gebietes mit einem zufälligen Wert zwischen
-1 & 1.
Die Punkte 2. und 3. sind vertauschbar, d.h. es kann auch erst gefiltert und dann skaliert
werden mit einem anderen Ergebnis. Dies wird im nächsten Abschnitt diskutiert.
3.2.5 Skalierung
In Abb. 12 ist der Prozess zur Synthetisierung der Turbulenz gezeigt. Das RPM-Verfahren
erzeugt normiertes weißes Rauschen, dem die Korrelationseigenschaften durch die Filte-
rung aufgeprägt werden. Die Varianz kann in diesem Prozess zu verschiedenen Zeitpunkten
aufgeprägt werden. Für homogene Varianz und örtlich konstante Längenskalen sind die
Vorgehen identisch und folglich ist für langsam veränderliche Turbulenzcharakteristik der
Unterschied vernachlässigbar. In einer Grenzschicht, Scherschicht, einem Nachlauf oder in
einem Staupunkt ist diese Bedingung aber verletzt. Zum besseren Verständnis wurde die
Korrelationsfunktion aus Gl. (9) in Abb. 14 für die verschiedenen Skalierungsmöglichkei-
ten exemplarisch für eine quadratische Varianzverteilung in Abb. (a) und eine Verteilung
via Wurzelfunktion (b) dargestellt.
Skalierung vor Filterung: Die erste Möglichkeit ist auch im Prozess in Abb. 12 darge-
stellt. Hier wird erst die lokale Varianz (∆in Abb. 14) auf die Partikel übertragen und
danach wird mit der lokalen Längenskala gefiltert. Wird ein isoliertes Partikel betrachtet,
so bewirkt dieses Vorgehen, dass nach der Gauss-Filterung der resultierende turbulente
Ballen unabhängig von der Varianzverteilung weiterhin einer Gauss-Funktion entspricht
(−··− in Abb. 14). Es wird also immer die vorgegebene Korrelation realisiert. In RPM
wird dafür der Parameter frpm_norm stochastic_field verwendet.
Im Rahmen dieser Arbeit ist eine weitere Möglichkeit implementiert worden, die die Vari-
anz direkt beim Erzeugen der Partikel berücksichtigt. Dadurch ist die Varianz für jedes
Partikel fest und ändert sich nicht mit dem Ort des Partikels. Hierfür wird der Parameter
frpm_norm particles verwendet.
36
3 Stochastische Turbulenzrealisierung
(a) Quadratische Varianzvertei-
lung
(b) Varianzverteilung als Wurzel-
funktion
Abb. 14: Die realisierte Korrelationsfunktionen durch Vertauschen der Reihenfolge von Filterung
und Skalierung wird an zwei beispielhaften Varianzverteilungen gezeigt. Die normierte Gauss-
Funktion (–) entsteht durch Filterung ohne Skalierung. Wird erst danach mit der lokalen Vari-
anzverteilung (- -) skaliert, entsteht eine Verteilung (−·−), die die gedachte Randbedingung
R(0,2) = 0 bei r/ls= 2 erfüllt. Wird erst mittels der Varianz in der Partikelposition (∆) skaliert
und danach gefiltert, entspricht die Realisierung (− · ·−) dafür auch nach der Skalierung einer
Gauss-Korrelation.
Filterung vor Skalierung: Wird erst gefiltert und danach skaliert, bedeutet dies für ein
isoliertes Partikel, dass je nach vorgegebener Varianzverteilung die Gauss-Glocke verzerrt
werden kann. Vergleiche hierzu −·−in Abb. 14(a) und (b). Die vorgegebene Korre-
lationsfunktion wird somit in Bereichen mit starken Gradienten nicht realisiert und die
erzeugte Turbulenz ist hier nicht isotrop. Dafür ist es mit diesem Vorgehen möglich, eine
Null-Varianz z.B. an Oberflächen zu realisieren. Dies ist in der Abbildung bei r/ls= 2
dargestellt. In RPM wird hierfür frpm_norm filtered_field verwendet.
3.2.6 Partikeldichte
Das RPM-Verfahren baut auf der Konvektion von Partikeln auf. Lediglich zur Filterung
wird die Information auf das kartesische Gitter interpoliert. Erfahrungen zeigen, dass 5
Partikeln pro Gitterzelle hinreichend sind. Die Partikeldichte ρk, die für die RPM-Methode
notwendig ist, kann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden: (1) Sie kann aus der
lokalen Anzahl an Partikeln in der Zelle bestimmt werden oder (2) sie kann global über
alle Zellen gemittelt angegeben werden. Die Methode (1) ist für steigende Anzahl an Par-
tikeln exakter. Ein Nachteil ist aber, dass die Varianz eines isoliert betrachteten Partikels
sich von Zelle zu Zelle sprunghaft ändert. Das führt zu einer hochfrequenten Störung des
Signals. Der zweite Nachteil ist, dass Instabilitäten oder unkontrolliertes Verhalten auf-
treten können. Zum Beispiel dann, wenn zufällig gerade gar kein Partikel in der Zelle ist
oder wenn sich Partikel in einem Rezirkulationsgebiet stauen.
Aus diesen Überlegungen heraus wird in der gesamten Arbeit mit einer globalen Partikel-
dichte gearbeitet.
3.3 Skalierung der Varianz auf Turbulenz aus RANS
Bisher wurde gezeigt, wie turbulente Fluktuationen synthetisiert werden (III.3.2), die die
Korrelationsfunktion (II.2.4) realisieren können. Im ersten Schritt wird dies nun für eine
direkt modellierte Fluktuation bewiesen. Daraus lassen sich darauf folgend die freien Para-
meter ˆ
Rund lsbestimmen.
37
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
3.3.1 Eigenschaften einer direkt modellierten turbulenten Fluktuation
Es wird gezeigt, dass die Kovarianz in Gl. (9) aus dem stochastischen Ansatz in Gl. (41)
folgt. Verwendet wird dazu der Gauss-Filterkern in Gl. (46) und die Definition des weißen
Rauschens in Gl. (42), Gl. (43) sowie Gl. (44) für eingefrorene Turbulenz.
Es wird ein inkompressible Strömung ρ0=const, eine konstante Längenskala lsund
eingefrorene Turbulenz angenommen. Die daraus realisierte Kreuzkovarianz Rist im
Anhang A.10.1 für eine skalare Fluktuation Ψhergeleitet. Unter Verwendung der Charak-
teristik in Gl. (163), die besagt, dass die Komponenten unabhängig voneinander sind, ist
eine Erweiterung auf 3D mit einer vektorwertigen Fluktuation Ψimöglich. Es folgt für die
Kreuzkovarianz Rij =Rδij für eingefrorene Turbulenz
R(xs,r, τ) = ˆ
A(xs)ˆ
A(xs+r)
ρ0
ln
sexp−π
4l2
s|r−u0τ|2.(47)
Für inhomogene Strömung sind ρ0,lsund τsabhängig von der Position xs. In diesem Fall
sind diese Formeln nicht mehr exakt, aber für widerspruchsfreie Turbulenzstatistiken kann
angenommen werden, dass die Werte sich nur langsam ändern und damit die Formeln nah
an den tatsächlich realisierten Kovarianzen sind.
Die Varianz der Fluktuationen ˆ
Rδij =ˆ
Rij ist gegeben durch
ˆ
Rij =⟨Ψi(x, t)2⟩=Rij(xs,0,0) = ˆ
A2ln
s
ρ0
δij.(48)
Wenn also eine Varianz ˆ
Rvorgegeben werden soll, so muss
ˆ
A(xs) = ˆ
Rρ0
ln
s
.(49)
Die Kreuzkorrelation Rij =Rδij, wobei Rdefiniert ist in Gl. (8), ergibt sich für die
Kovarianz in Gl. (9) für eingefrorene Turbulenz zu
R(xs,r, τ) = Rii(xs,r, τ) = exp −π
4l2
s|r−u0τ|2.(50)
Die örtliche Korrelation ist dabei vollständig durch den Filterkern Gl. (46) beschrieben.
Über die Integration der Korrelationsfunktion in Gl. (13) folgt für das Längenmaß
Λ=Λi=∞
0
Rii(r, 0)dr=ls,(51)
d.h. die Längenskala lsist identisch zu dem integralen Längenmaß Λfür jedes fluktuierende
Feld Ψi.
3.3.2 Turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen durch Modellierung der
Stromfunktion - Source-A-Modell
Varianz: Für das Source-A-Modell (III.3.1) wird die Stromfunktion Ψmodelliert.
Die Geschwindigkeitsschwankungen sind als Rotation der Stromfunktion gegeben, siehe
Gl. (39). In 2D hat die Stromfunktion nur eine Komponente Ψ= Ψ. Da die Stromfunk-
tion modelliert wird, gilt für die Kovarianz RΨder Stromfunktion Ψdie Gl. (47). Aus
38
4 Kopplungen zwischen den Verfahren
Gl. (40) folgt unter der Annahme von homogener Turbulenz für die Kovarianzen Rij der
Geschwindigkeitsfluktuationen, dass
Rij =−ϵikϵjl
∂2Rψ
∂rk∂rl
(52)
für 2D (Ewert, 2007). Die konkrete Herleitung der Kovarianzen Rij und der daraus resul-
tierenden Korrelationsfunktionen Rij ist im Anhang A.10.2 gezeigt. Es ergibt sich die
Varianz ˆ
Rij der Geschwindigkeiten in 2D zu
ˆ
R=ˆ
Rij =Rij(xs,0,0) = π
2l2
sRψ(0,0) = ˆ
A(xs)2π
2ρ.(53)
Die Varianz der Geschwindigkeitsfluktuationen ist aus physikalischen Überlegungen für
isotrope Turbulenz
ˆ
R=ˆ
Rij =Rij(xs,0,0) = u2
t.(54)
Durch Gleichsetzen von Gl. (53) und Gl. (54) kann die Amplitude ˆ
Abestimmt werden.
Durch Modellierung der Stromfunktion in RPM, skaliert mit dieser Amplitude, können
also isotrope, solenoidale Geschwindigkeitsfluktuationen realisiert werden. Die Varianz der
realisierten Stromfunktion kann durch Einsetzen in Gl. (49) mithilfe von Gl. (12) angege-
ben werden als (Ewert et al., 2008)
ˆ
R=24−dl2
s
3πkt.(55)
Längenmaß: Wie bereits in Gl. (51) motiviert, ist die Längenskala lsidentisch zur inte-
gralen Längenskala Λ. Dieses lässt sich wiederum unter Annahme von Isotropie aus den
turbulenten Größen einer RANS bestimmen:
ls=Λ=CRe/Cµ
√kt
ωt
.(56)
4 Kopplungen zwischen den Verfahren
Eine Übersicht der Verfahren ist in Abb. 5 auf Seite 12 gegeben und danach wurden
alle Verfahren einzeln vorgestellt. Im Folgenden wird auf die Schnittstellen zwischen den
Verfahren eingegangen, da sie grundlegend für die Funktionsweise des hybriden Ansatzes
sind.
4.1 Kopplung der Hintergrundströmung
Die aus der (U)RANS-Simulation resultierende Strömung wird für die RPM-Simulation
und die CAA-Simulation als Hintergrundströmung verwendet. Auf dieser Hintergrundströ-
mung breiten sich die akustischen Schwankungen mit Schallgeschwindigkeit aus und die
hydrodynamischen Schwankungen, wie Wirbelstärke und Entropie, konvektieren mit der
Strömung.
39
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
(a) Mit Wandhaftbedingung (b) Ohne Wandhaftbedingung
Abb. 15: Vergleich der turbulenten kinetischen Energie an der Vorderkanten eines NACA0012
mit und ohne Wandhaftbedingung (Menter SST mit Schwarz-Korrektur, M= 0.1,c= 1m,
Λ = 0.07m,Tu = 3%).
Interpolation der Hintergrundströmung: Die Hintergrundströmung wird mittels einer
trilinearen Interpolation in 3D oder bilinearen Interpolation in 2D vom (U)RANS-
Gitter auf das CAA-Gitter interpoliert. Wenn das CAA-Gebiet größer ist als das
(U)RANS-Gebiet, wird die Strömung durch das Nearest-Neighbour-Verfahren extrapo-
liert. Bei periodischer Hintergrundströmung werden alle Fourier-Komponenten einzeln
vom (U)RANS-Gitter auf das CAA-Gitter interpoliert.
Vernachlässigen der Grenzschicht: Da in der vorliegenden Arbeit der Fokus auf der
Vorderkantenschallsimulation liegt, spielt die Grenzschicht eine vernachlässigbare Rolle.
Aktuell wurde der Einfluss der Grenzschicht für die Simulation von Vorderkantenlärm nur
von Hainaut et al. (2015) untersucht. Sie zeigen, dass der Unterschied einer Schallaus-
breitungssimulation auf einer viskosen oder reibungsfreien Hintergrundströmung für die
resultierenden Fernfelddaten vernachlässigbar ist. CAA-Simulationen zur Bestimmung des
breitbandigen Hinterkantenschalls lösen die Grenzschicht so weit auf, dass das Maximum
der turbulenten kinetischen Energie aufgelöst ist (Ewert, 2008; Cozza et al., 2012), welches
die Hauptschallquelle darstellt. In CAA-Simulationen von Linern in Rohrströmungen hat
zwar die Grenzschicht einen maßgeblichen Einfluss, aber die Auflösung der Grenzschicht
ist nicht rentabel (Richter, 2009). Stattdessen wird die Grenzschicht im Liner-Modell
berücksichtigt, z.B. mithilfe der Ingard-Myers-Randbedingung (Myers, 1980).
Die Anwendung bei Vorderkantenlärmsimulationen lässt sich in zwei Effekte zerlegen.
(1) Die Grenzschicht selbst bewirkt eine Verdrängung der Strömung weg von der Schau-
feloberfläche: Durch diese Verdrängung bewirkt Zuströmturbulenz keinen Hinterkan-
tenschall. Durch Vernachlässigung der Grenzschicht streifen die Zuströmturbulenzen
an der Hinterkante vorbei und erzeugen Schall. Wird diese als spitze Hinterkante
modelliert und damit das Staugebiet auf einen Punkt reduziert, ist diese ungewoll-
te Schallentstehung vernachlässigbar. Das zeigen auch alle bisherigen Publikationen
von CAA-Simulationen von Vorderkantenlärm, die alle an NACA-Profilen erfolgt
sind, siehe z.B. (Hainaut et al., 2015).
In Abschnitt VI.2.1 wird diskutiert, welche besonderen numerischen Maßnahmen
notwendig sind, um den erzeugte Schall an der Hinterkante vernachlässigbar klein
40
4 Kopplungen zwischen den Verfahren
zu machen. Für stumpfe Hinterkanten zeigt sich eine Verstärkung des abgestrahlten
Schalls durch die Vernachlässigung der Grenzschicht (VII.2.2).
(2) Abb. 15 zeigt exemplarisch den Unterschied einer (U)RANS-Simulation mit und ohne
Wandhaftbedingung an der Vorderkante: Die turbulente kinetische Energie ist nur
in unmittelbarer Nähe der Wand unterschiedlich und wird ohne Wandhaftbedingung
auf der Oberfläche überschätzt. Für Simulationen mit stromauf eingekoppelter Tur-
bulenz wird die TKE an der Vorderkante nicht verwendet. Erst wenn ein Verfahren
die lokale TKE benötigt, ist der Einfluss gegeben, siehe Anhang B.1.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass auf Grenzschichteffekte in dieser Arbeit verzichtet
wird. Dazu wird die Grundströmung stets ohne Wandhaftbedingung berechnet. Somit
bildet sich die Grenzschicht nicht aus und die Auflösung des CAA-Gitters ist auch in
Schaufelnähe ausschließlich durch die Wellenlängen der Zuströmturbulenz und Akustik
definiert.
Glättung der Hintergrundströmung: Es wird durch mehrfache Filterung niedriger Ord-
nung der Hintergrundströmung auf dem CAA-Gitter sichergestellt, dass nur die vom CAA-
Gitter aufgelösten Strömungseigenschaften berücksichtigt werden. Dadurch werden Insta-
bilitäten verhindert.
Vernachlässigen der Strömungsgradienten: In einer Scherschicht entstehen hydrodyna-
mische Instabilitäten (Ewert et al., 2009b). Um diese Instabilitäten zu verhindern, werden,
wenn nötig, die Strömungsgradienten in den LEE vernachlässigt zu Kosten der exakten
Abbildung von Refraktion der Schallwellen in der Scherschicht. Ewert et al. (2009b) geben
an, dass der Fehler für Strouhal-Zahlen
St =f
ω0
=fδ
∆u0
>10−1(57)
nicht signifikant ist. Hierbei ist fdie Frequenz der akustischen Welle und ω0ist eine
charakteristische Wirbelstärke in der Scherschicht, gegeben durch den Quotienten aus dem
Unterschied der mittleren Strömungsgeschwindigkeit auf den zwei Seiten der Scherschicht
∆u0und der Scherschichtdicke δ.
4.2 Kopplung der mittleren Turbulenz
Die aus der (U)RANS-Simulation resultierenden mittleren turbulenten Eigenschaften wer-
den im RPM-Verfahren verwendet, um zeitliche Fluktuationen zu synthetisieren. Diese
Kopplung wurde bereits eingehend in Abschnitt III.3.3 diskutiert.
4.3 Kopplung der stochastischen Fluktuationen
Die im RPM-Verfahren synthetisierte Turbulenz muss in die CAA Simulation eingekop-
pelt werden. Aus den synthetischen Fluktuationen entsteht in diesem Kopplungsprozess
Schall, der mittels der CAA propagiert wird. In Vorstudien wurden viele Kopplungsver-
fahren untersucht. Für die Simulation von Vorderkanteninteraktionslärm hat sich nur die
implizite akustische Quelle mittels Einkopplung stromauf des Quellgebietes bewährt. Die-
se Verfahren sind im Folgenden beschrieben. Eine Übersicht über untersuchte, alternative
Kopplungsverfahren ist im Anhang A.11 zu finden und in Abb. 63 in einem Baumdia-
gramm dargestellt.
41
III Die Bestandteile des stationären hybriden Verfahrens
Radiationsrandbedingung: Die Radiationsrandbedingung (III.2.3) wird so modifiziert,
dass die fluktuierenden Geschwindigkeiten innerhalb der Randbedingung urad der Differenz
zwischen dem Feld im Rechengebiet u′und einem Referenzfeld uref entspricht:
urad =u′−uref.(58)
Wird als Referenzfeld die synthetisierte Geschwindigkeitsfluktuation verwendet, ist diese
Methode der einfachste Ansatz, um Turbulenz stromauf in das CAA-Gebiet einzukoppeln.
Um die Amplitude der Zielfluktuationen zu realisieren, wird in der vorliegenden Arbeit
diese Randbedingung nur in Kombination mit einer Dämpfungszone verwendet. Es ist
anzumerken, dass die verwendete Implementierung nicht exakt ist, da die Ableitungen aus
dem Referenzfeld nicht ermittelt werden können. Dieses Defizit ist zu überwinden, wenn
die Ableitungen innerhalb von RPM bestimmt und an PIANO übergeben werden.
Sponge: Die Sponge- oder Dämpfungszone (III.2.3) wird verwendet, um die Störungen
uteinzukoppeln, indem die Referenzlösung Uref =utgesetzt wird. Es ist anzumerken,
dass für den Sponge alle primitiven Variablen (ρ′, u′
i, p′)vorgegeben werden müssen. Da auf
annähernd homogener Strömung für die turbulenten Fluktuationen ρt≈0und pt≈0gilt,
ist das keine kritische Einschränkung. Herauslaufende akustische Wellen werden weiter-
hin gedämpft. Die Spongezone wird in Kombination mit einer Radiationsrandbedingung
verwendet, um am Rand des Rechengebietes eine glatte Lösung zu realisieren.
LEE-Relaxation: Analog zum Sponge kann auch eine LEE-Relaxationsformulierung ver-
wendet werden, um die einfallenden Geschwindigkeitsfluktuationen utin die LEE-Glei-
chungen einzukoppeln. Dafür wird ωref =∇×utgesetzt. Der Relaxationsparameter muss
theoretisch unendlich groß gesetzt werden, ist aber für explizite Runge-Kutta-Verfahren
numerisch durch Gl. (36) beschränkt, da es sonst instabil wird. Der theoretisch maximale
Relaxationsparameter ergibt sich durch Umstellen der Gl. (36) zu
σ≤C∆tCF L
∆t−1∆turb ·|u0|
2.(59)
In der Anwendung zeigt sich aber, dass σnoch höher gewählt werden muss, um alle Fre-
quenzen verlustfrei einzukoppeln. Zu kleine σfungieren als Hochpassfilter. Unter Umstän-
den muss sogar ∆tangepasst werden.
42
IV Analytische Rekonstruktion von isotropen
Modellspektren mittels Gauss-Transformation
Durch Superposition mehrerer Gauss-Spektren EG(k, li)aus Gl. (17) verschiedener Län-
genskalen likönnen andere isotrope Modellspektren E(k, Λ) zum integralen Längenmaß
Λrealisiert werden:
E(k, Λ) ≈
i
f(li,Λ)EG(k, li)∆l, (60)
wobei f(li,Λ) eine unbekannte Gewichtsfunktion ist.
Diese Gewichtsfunktion kann empirisch bestimmt werden. Einen solchen Ansatz verwen-
deten z.B. Siefert und Ewert (2009), um ein Kolmogorov-Spektrum zu realisieren und
erst kürzlich Gea-Aguilera et al. (2015) für von Kármán-Spektren. Auch Kim und Hae-
ri (2015) benutzten einen ähnlichen Ansatz, um mit 15 empirischen Parametern ein von
Kármán-Spektrum nachzubilden. Sie griffen auf eine Kombination aus Gauss-Filtern und
Mexican Hat-Filtern zurück, da erstere besonders im tieffrequenten Bereich, letztere aber
im hochfrequenten Bereich von Nutzen seien.
Im Folgenden wird die Gewichtsfunktion analytisch für das von Kármán-Spektrum in
Gl. (14), das Liepmann-Spektrum in Gl. (15) und das modifizierte von Kármán-
Spektrum in Gl. (16) hergeleitet, indem die diskrete Summe in Gl. (60) als Integral
geschrieben wird:
E(k, Λ) = ∞
0
f(l, Λ)EG(k, l)dl, (61)
wobei f(l, Λ) die entsprechende analytische Gewichtsfunktion zum Zielspektrum E(k, Λ)
ist. Daraus lassen sich mithilfe der Gauss-Transformation von Alecu et al. (2005) analyti-
sche Ausdrücke für die Gewichtsfunktion herleiten. Die Inhalte dieses Abschnittes wurden
bereits veröffentlicht (Wohlbrandt et al., 2016a).
1 Gewichtsfunktion
Das Gauss-Spektrum in Gl. (17) wird aus Gründen der Übersichtlichkeit normiert:
∞
0
eG(k)dk= 1 ⇒EG(k) = 3
2u2
teG(k).(62)
Es wird die unbekannte Gewichtsfunktion f(l, Λ) gesucht, die ein bestimmtes Spektrum
e(k)
e(k, Λ) = ∞
0
f(l, Λ)eG(k, l)dl.
43
IV Analytische Rekonstruktion von isotropen Modellspektren mittels Gauss-
Transformation
der integralen Längenskala Λdurch Superposition mit Gauss-Spektren eGder Längen-
skala lrealisiert. Durch Einsetzen von Gl. (17) und Gl. (62) ergibt sich:
e(k, Λ) = ∞
0
f(l, Λ) 8
3π3l5k4exp−k2l2
πdl. (63)
Es ist anzumerken, dass nur die Gewichtsfunktion f(l, Λ) vom integralen Längenmaß Λ
abhängt, nicht aber die Gauss-Spektren eG. Im folgenden wird aber auf die explizite
Erwähnung von Λim Ausdruck der Gewichtsfunktion fverzichtet und nur f(l, Λ) = f(l)
geschrieben.
Um diese Formulierung mit der Gauss-Transformation von Alecu et al. (2005) zusammen-
zubringen wird eine Variable σin Gl. (63) angewendet. Diese hat folgende Eigenschaften:
l2=π
2σ2und dl
dσ2=−√π
2√2σ3.
Gl. (63) ist dann:
e(k)
k4
p(k)
=∞
0
fπ
2
1
σ√π
3√2σ7
G(σ2)
1
√2πσ2exp−k2
2σ2
N(k|σ2)
dσ2.(64)
Laut Alecu et al. ist p(k)eine generische, symmetrische Distribution mit verschwindendem
Mittelwert, G(σ2)ist die Mischfunktion und N(k|σ2)ist die Gauss-Distribution mit
verschwindendem Mittelwert. Die Gauss-Transformation Gist als der Operator definiert,
der p(k)in G(σ2)transformiert. Die inverse Gauss-Transformation G−1(G(σ2)) = p(k)
ist einfach gegeben durch Gl. (64).
Aus Gl. (64) folgt die Gewichtsfunktion f(l)als
fl=π
2
1
σ=3√2σ7
√πG(σ2).(65)
1.1 Von Kármán-Gewichtsfunktion
Für das von Kármán-Spektrum in Gl. (14) ergibt sich die linke Seite der Gl. (64) zu
p(k) = 110
27πΛk5/3
e
1
(k2
e+k2)17/6.(66)
Dies kann mithilfe der direkten Gauss-Transformation von Alecu et al. (2005, Gl.(4))
gelöst werden:
G(σ2) = G(p(k)) = 1
σ2π
2σ2L−1p(√s)(t)t=1
2σ2
,(67)
wobei L−1die inverse Laplacetransformation ist. Mithilfe der Beziehung
L−11
(p−α)n(t) = eαttn−1
Γ(n),(68)
44
1 Gewichtsfunktion
Abb. 16: Die Gewichtsfunktion f(l)wird dazu
verwendet typische Turbulenzspektren der Län-
genskala Λzu realisieren. Dazu werden Gauss-
Spektren variierender Längenskalen lsuper-
poniert. Die Abbildung zeigt die analytischen
Gewichtsfunktionen für das von Kármán- (−),
das Liepmann- (−−) und das modifizierte
von Kármán- (−·) Spektrum.
mit der Gammafunktion Γ(n)=(n−1)! lässt sich Gl. (66) lösen
G(p(k)) = 55
54√πΓ(17/6)
3
Λ3k5
e
2σ20 exp−k2
e
2σ2(69)
Somit ist die Gewichtsfunktion für das von Kármán-Spektrum gegeben durch
fK(l) = 55
18Γ(17/6)√π
3
Λ3k5
e
πl exp −k2
el2
π.(70)
Abb. 16 zeigt die entsprechende Gewichtsfunktion aufgetragen über dem Längenmaß.
1.2 Liepmann-Gewichtsfunktion
Für das Liepmann-Spektrum in Gl. (15) wird Gl. (64) zu
p(k) = 16Λ4
3π1
Λ25/2
(1
Λ2+k2)3.(71)
Eine direkte Lösung ist nicht notwendig, da dies bereits in der Form der generalisierten
Cauchy-Distribution mit ν= 2.5und b=1
Λ, die im Anhang bei Alecu et al. (2005) zu
finden ist:
p(k) = 16Λ4
3π
√πΓ(2.5)
2pC
k(k|ν= 2.5, b =1
Λ),(72)
mit pC
k(k|ν, b)der generalisierten Cauchy-Distributionswahrscheinlichkeitsdichtefunktion
gegeben durch:
pC
k(k|ν, b) = Γ(ν+ 1/2)
√πΓ(ν)
b2ν
(b2+k2)ν+0.5.(73)
Die Gauss-Transformation von pC
k(k|ν, b)ist bei Alecu et al. (2005) gegeben als
GK|ν,b(σ2) = b2νΓ(ν+ 0.5)
σ2√2σ2Γ(ν)F−1pC
kb2+iω−ν−0.5(t)t=1
2σ2
.(74)
Also ist die Gauss-Transformation von p(k)
G(σ2) = 2
3Λσ6√2πσ2e−1
2Λ2σ2.(75)
Letzlich folgt daraus die Gewichtsfunktion für das Liepmann-Spektrum als
fL(l) = 2
πΛe−l2
πΛ2.(76)
Diese Funktion ist ebenfalls in Abb. 16 dargestellt.
45
IV Analytische Rekonstruktion von isotropen Modellspektren mittels Gauss-
Transformation
1.3 Gewichtsfunktion des Modifizierten von Karman-Spektrums
Für das modifizierte von Kármán-Spektrum in Gl. (16) schreibt sich Gl. (64) als
p(k) = 1
k4
2EM(k)
3u2
t
=110
27πΛk5/3
e
1
(k2
e+k2)17/6exp−2k2
k2
d(77)
Die direkte Gauss-Transformation ist wieder durch Gl. (67) gegeben und es ergibt sich
G(p(σ)) = 1
σ2π
2σ2L−1
1/J(p)
110
27π
Λk5/3
e
(k2
e+k2)17/6
·exp−2k2
k2
d(t)
H(p)
t=1
2σ2
(78)
Dies kann analytisch mittels der Partialbruchzerlegung gelöst werden (Bronstein et al.,
2008, p.783). Die Bildfunktion ist definiert als F(p) = H(p)/J(p)mit J(p)einem Polynom
von p. Als erstes werden die inversen Laplace-Funktionen zu H(p)und 1/J(p)bestimmt.
Danach folgt die inverse Laplace-Funktion für F(p)durch das Faltungstheorem.
Die inverse Laplace-Funktion für 1/J(p)ist bereits durch Gl. (68) gegeben
L−1(1/J(p)) = L−1
p1
(p−α)17/6(t)(79)
=eαtt11/6
Γ(17/6).(80)
Die inverse Laplacefunktion für H(p)ist
L−1(H(p)) = L−1
pexp(−2p
c2)(t)(81)
=
δt−2
c2wenn t≥2
c2
0sonst. (82)
Durch Faltung folgt
L−1(H(p)/J(p)) = L−1(1/J(p)) ∗L−1(H(p)) (83)
=
1
Γ(17/6)(t−2
c2)11/6exp[α(t−2
c2)] wenn t≥2
c2
0sonst.
Endlich vereinfacht sich Gl. (78) zu
G(p(σ)) =
110Λk5/3
e
27√2πΓ(17/6)
1
σ31
2σ2−2
k2
d11
6
·exp−k2
e1
2σ2−2
k2
d wenn 1
2σ2≥2
k2
d
0sonst.
(84)
46
2 Gewichtung der Geschwindigkeitsspektren
Somit ist die Gewichtsfunktion für das modifizierte von Kármán-Spektrum
fM(l) =
55π
18Γ(17/6)Λk5/3
e
1
l4l2
π−2
k2
d11
6
·exp−k2
el2
π−2
k2
d wenn l≥√2π
kd
0sonst.
(85)
Diese Funktion ist in Abb. 16 dargestellt. In der Grafik ist ersichtlich, dass die Gewichts-
funktion des modifizierten von Kármán- und des von Kármán-Spektrums in den
Bereichen identisch sind, die größer sind als die Kolmogorov-Skala. Ausgehend von
der Gewichtsfunktion des modifizierten von Kármán-Spektrums kann eine Cut-off -
Bedingung für die kleinsten relevanten Längenskalen abgeleitet werden:
kd≥√2π
l.(86)
2 Gewichtung der Geschwindigkeitsspektren
Ausgehend von Gl. (18) und Gl. (19) ergibt sich für isotrope Turbulenz das eindimensionale
Geschwindigkeitsspektrum in Abhängigkeit von der Energiespektrumfunktion E(k)(Pope,
2000, Gl. (6.214)):
Eii(k1) = ∞
−∞
E(k)
2πk21−k2
i
k2dk2dk3.(87)
Da diese Integrale unabhängig von der integralen Längenskala sind und die Gewichts-
funktion unabhängig von den Wellenzahlen kiist, ist die Realisierung beliebiger isotro-
per Geschwindigkeitsspektren ohne weiteres gegeben durch die Kombination der Gl. (63)
undGl. (87) zu
Eii(k1,Λ) = ∞
0
f(l, Λ)EG
ii (k1, l)dl. (88)
3 Zweidimensionale Turbulenz
Die Herleitung wurde bisher in drei Raumdimensionen gemacht, aber die Herleitung für
zweidimensionale Turbulenz ist analog. Die axiale Korrelationsfunktion ist identisch in 2D
und in 3D und selbes gilt auch für das axiale Geschwindigkeitsspektrum E11(k1)(II.3.2,
insbesondere Gl. (130)). Somit kann die Gewichtsfunktion f(l)ohne Modifikationen für
2D Turbulenz verwendet werden. Es ist allerdings zu beachten, dass die transversale Kor-
relationsfunktion entsprechend auch das transversale Geschwindigkeitsspektrumfunktion
E22(k1)und die Energiespektrumfunktion E(k)natürlich entsprechend anders sind als in
3D (II.3).
47
IV Analytische Rekonstruktion von isotropen Modellspektren mittels Gauss-
Transformation
4 Diskretisierung
Die Motivation der Verwendung von Gewichtsfunktionen ist es, beliebige Spektren E(k)
einer Längenskala Λdurch Superpositon mit einer begrenzten Anzahl an Gauss-Spektren
EGder Längenskalen lm∈Nmit 0≤m≤Mzu realisieren. Dafür wird das Integral in
Gl. (61) diskretisiert
E(k) = ∞
0
f(l)EG(k, l)dl(89)
≈
M
m=0
f(lm)EG(k, lm)∆lm(90)
mit dem Abstand ∆lm.
Für eine effiziente Realisierung muss Mso klein wie möglich sein. Da viele Größenord-
nungen der Wellenzahl kabgedeckt sein müssen, ist eine exponentielle Verteilung der
Längenskalen lmsinnvoll. Es wird lmwie folgt diskretisiert
lm=l0qm, q =lM
l01
M, m = 0. . . M (91)
mit der minimalen Längenskala l0und der maximalen Längenskala lM. Um den Abstand
∆lmzu definieren wird auf die Trapezregel zurückgegriffen:
(∆l)0=l1−l0
2,(∆l)p=lp+1 −lp−1
2,(∆l)M=lM−lM−1
2.(92)
Dies stellt nur eine mögliche Diskretisierung dar, sie hat sich allerdings als sehr effizient
herausgestellt. Ein Beispielanwendung ist in Abschnitt VI.1.2 dargestellt.
Die kleinste Längenskala l0wird so gewählt, dass die höchste, interessante Wellenzahl auf-
gelöst ist, Aber sie muss nie kleiner sein, als die Kolmogorov-Längenskala ld=2π
kd. Für
niedrige Wellenzahlen unterhalb des Maximums der hier vorgestellten Modellspektren sind
zusätzliche Gauss-Spektren nur bishin zur größten Längenskala lM≥4Λ notwendig. Dies
liegt daran, dass sowohl das Gauss-Spektrum als auch die anderen betrachteten Modell-
spektren E(k)∼k4im tiefen Wellenzahlraum sind. Für die in dieser Arbeit erzeugten
Spektren hat sich gezeigt, dass 5 Gauss-Realisierungen pro Größenordnung des aufge-
lösten Wellenzahlraums hinreichend sind, um glatte Spektren zu erzeugen. Solange die
Modellspektren als valide betrachtet werden können, sind diese Erkenntnisse problem-
unabhängig. Die Werte sind dennoch abhängig von der angestrebten Genauigkeit – eine
andere Diskretisierung und andere Anzahl an Realisierungen kann dafür in Frage kommen.
Eine Quantifizierung des Fehlers könnte hier Aufschluss geben.
5 Realisierung in RPM
Die analytischen Gewichtsfunktionen werden im Folgenden auf das RPM-Verfahren ange-
wendet. Die Varianz der Fluktuationen für das RPM-Verfahren ist in Gl. (49) gegeben.
Um die diskretisierten Modellspektren von Gl. (70),Gl. (76) oder Gl. (85) mit der ange-
strebten kinetische Energie ktund integralen Längenskala Λzu realisieren, müssen die
48
6 Örtlich und zeitlich veränderliche Längenskalen
Gauss-Energiespektren EG(k, lm)mit f(lm)·∆lmgewichtet und so superponiert wer-
den, wie in Gl. (90) angegeben. Also unter Verwendung der Gl. (90), Gl. (49), Gl. (51),
und Gl. (55) muss jede diskrete, gewichtete Gauss-Realisierung mdie Amplitude
ˆ
Am=ρ0
ld−2
m
24−dkt
3π(93)
aufweisen, um das Zielspektrum zu realisieren.
Die aus dem RPM-Verfahren realisierten Korrelationen der Geschwindigkeitsfluktuatio-
nen passen exakt auf den kompletten Korrelationstensor für isotrope Turbulenz (Ewert,
2008, Gl. (9)). Somit realisieren die abgeleiteten Modellspektren auch isotrope, solenoidale
Turbulenz, da sie eine Superposition der Gauss-Spektren sind.
6 Örtlich und zeitlich veränderliche Längenskalen
Sowohl der klassische Gauss-Filter als auch der Purser-Filter sind auf langsame Ände-
rungen der integralen Längenskala beschränkt. Hinter Rotoren unterscheiden sich die Län-
genskalen im Nachlauf und in der Hintergrundströmung zuweilen um mehrere Größenord-
nungen und die Gradienten sind sehr steil. Durch die Umsetzung der Gewichtung für ört-
lich konstante Längenskalen kann auch auf den schnelleren und robusteren Young-van-
Vliet-Filter zurückgegriffen werden. Wenn die Gewichtsfunktionen f(li,Λ(x, t)) als orts-
und zeitabhängig betrachtet werden, können so beliebige örtliche und zeitliche Längenska-
lenverteilungen realisiert werden. Das Vorgehen für zeitabhängige Gewichtsfunktionen ist
im Folgenden kurz umrissen:
(1) Bei Initialisierung
a) Es wird zu Beginn der Simulation für jeden Raumpunkt des RPM-Gebietes
die über alle Zeiten kleinste und größte zu erwartende integrale Längenskala
Λmin(x)und Λmax(x)identifiziert.
b) Es werden Mörtlich konstante Längenskalen lizwischen der global größten
integralen Längenskala Λmax →→ lM−1und der durch die Gitterweite ∆→→ l0
gegebene kleinstmögliche Längenskala l0realisiert.
(2) In jedem Zeitschritt t:
a) Es wird Λ(x, t) = l0in Bereichen angenommen, in denen die Längenskala nicht
aufgelöst wird, also wo Λmin(x)≤Λ(x, t)< l0.
b) Abhängig von der orts- und zeitabhängigen integralen Längenskala Λ(x, t), wird
je nach verwendetem Modellspektrum die Gewichtsfunktion f(li,Λ(x, t)) nach
Gl. (70), Gl. (76) oder Gl. (85) in jedem Zeitschritt neu ermittelt.
Vorteil dieses Verfahrens ist, dass räumlich und zeitlich konstante Längenskalen realisiert
werden. Die Inhomogenität und Zyklostationarität werden dabei alleine durch die räumlich
und zeitlich veränderliche Gewichtsfunktion f(li,Λ(x, t)) und der Varianz kt(t)berücksich-
tigt. Somit ist ein robustes Verfahren gefunden, bei dem auf hocheffiziente Young-van-
Vliet-Filter zurückgegriffen werden kann.
49
V Zyklostationarität
Ein zyklostationäres Signal ist ein zufälliges Signal, dessen statistische Eigenschaften sich
periodisch in der Zeit verändern (Jurdic et al., 2009). Bei zyklostationärer Strömung, die
z.B. in einer rotierenden Maschine vorliegt, ist also Ensemble und zeitlicher Mittelwert
nicht gleich. Durch einen zeitlichen Mittelwert werden alle Informationen in den Nachläu-
fen ausgemischt. Eine auf die Rotorposition synchronisierte Erfassung der Daten ermög-
licht es zwar, die mittleren Größen, also die ersten statistischen Momente, zu messen, gibt
aber keine Auskunft über höhere Momente, zu denen auch die Korrelationen und damit
Längenskalen zählen. Eine Messung im rotierenden Bezugssystem ist bisher in der Lite-
ratur nicht zu finden, vermutlich weil nicht nur die Verkabelung aufwändig wäre, sondern
auch die Messsonden großen Kräften und Vibrationen ausgesetzt wären. Es ist dennoch ein
Verfahren notwendig, dass die Bestimmung von höheren statistischen Momenten erlaubt.
Jurdic et al. (2009) verwenden dazu das Verfahren der zyklostationären Analyse. Dieses
geht zurück auf Gardner et al. (2006), die den Ensemble-Mittelwert (siehe Fußnote 1 auf
S. 33) durch den periodischen Mittelwert (cycle average) ersetzen. Jedes Messsegment ist
gemittelt mit dem entsprechenden Segment eine Periode entfernt. Analog zur Definition
der Ergodizität1kann mithilfe dieses Mittelwertes eine Zykloergodizität definiert werden,
d.h. dass das periodische Mittel durch das zeitliche Mittel ersetzt werden kann:
⟨···(t)⟩= lim
K→∞
1
K
K
0···(t+kT)dt, (95)
wobei die Anzahl an Umdrehungen Kgroß sei. Unter dieser Annahme gelten die vor-
angehenden Betrachtungen auch für zyklostationäre Prozesse. Im Folgenden werden alle
Unterschiede herausgestellt.
1 Ausbreitungsgleichungen - LEE für periodische
Hintergrundströmung
Den linearisierten Euler-Gl. (28) liegt eine zeitgemittelte Hintergrundströmung ¯
ϕzugrun-
de. In Turbomaschinen ist allerdings eine periodisch-veränderliche Hintergrundströmung
ϕ0(t) = ϕ0(t+nT)∀n∈Nmit Tder Periodendauer gegeben. Aus einer URANS-
Simulation z.B. folgen Favre-gemittelte2, periodisch-instationäre Größen. Ausgangspunkt
für die Herleitung der Ausbreitungsgleichungen sind die Navier-Stokes-Gleichungen in
1Fiedler (2003, S.41): ”Ein stochastischer Prozeß ist dann ergodisch, wenn alle Zustände in einem Ensem-
ble von Systemen auch in jedem System des Ensembles auftreten.” In anderen Worten kann ein Signal
p′(t), dem ein statistisch stationärer Prozess zugrunde liegt, in neinzelne Teile p′
n(t) := p′(t+n∆T)
zerlegt werden, die als unabhängige Realisierungen den Prozess abbilden. Somit sind das zeitliche Mittel
und das Ensemble-Mittel gleich
⟨· · · ⟩ = lim
Texp →∞
1
Texp Texp
0
· · · dt(94)
2Rung (2003, S.17): "Favre-Mittelung ist eine rein mathematische Vereinfachung. Sie degeneriert unter
Beschränkung auf schwach kompressible Medien zur Reynolds-Mittelung."
51
V Zyklostationarität
Schwankungsform von Ewert et al. (2014), die keinerlei Annahmen an Grundströmung und
Schwankungsgrößen stellen. Unter Vernachlässigung der turbulenten Spannungen, der vis-
kosen Effekte, der Wärmestromdichte und der nicht-linearen Terme in den Schwankungs-
größen, lassen sich die linearen Euler-Gleichungen für zeitlich veränderlichen Hinter-
grundströmung herleiten zu
∂ρ′
∂t +∂
∂xiρ′u0,i +ρ0u′
i= 0 (96)
∂u′
i
∂t +u0,j
∂u′
i
∂xj
+u′
j
∂u0,i
∂xj
+1
ρ0∂p′
∂xi−ρ′
ρ0
∂p0
∂xi= 0 (97)
∂p′
∂t +u0,i
∂p′
∂xi
+u′
i
∂p0
∂xi
+γp′∂u0,i
∂xi
+p0
∂u′
i
∂xi= 0.(98)
Für die Gültigkeit der Linearisierung muss gelten, dass ϕ0(t)>> ϕ′(t). Diese Gleichungen
sind nicht auf periodische Hintergrundströmung beschränkt. Es wurden zur Herleitung
keine Annahme über die Zeitskala der Hintergrundströmung getroffen. Es gibt also keine
Anforderungen an eine spektrale Lücke. Die Zeitskalen der Hintergrundströmung und der
Schwankungen können somit auch in der gleichen Größenordnung liegen. Es sei angemerkt,
dass dieselben Gleichungen auch aus den Euler-Gleichungen durch die Linearisierung um
die zeitveränderliche Strömung unter der Annahme T(u0)>> T(u′)folgen, wobei Thier
die charakteristische Zeitskala beschreibt.
Zusätzlich kann die Periodizität der Hintergrundströmungsgrößen ϕ0(t)ausgenutzt wer-
den, wodurch nur die Fourier-Koeffizienten ˆ
ϕkbekannt sein müssen, um die Strömung
in jedem beliebigen Zeitpunkt tdurch einfache Summation und ohne Interpolation zu
rekonstruieren:
ϕ0(t) = ∞
k=0
ˆ
ϕke−ikΩrt.(99)
Dabei ist ˆ
ϕkdie kte Harmonische zu der Grundfrequenz fBPF,k= 0 der Index des sta-
tionären Anteils ˆ
ϕ0=¯
ϕ, und Ωr= 2πfBPF die Winkelgeschwindigkeit des Rotors. Die
Grundfrequenz fBPF =nRPMNB
60 ergibt sich aus der Drehgeschwindigkeit des Rotors nRPM
in Umdrehungen pro Minute und der Anzahl der Rotorschaufeln NB. Dadurch müssen
nur die Fourier-Koeffizienten ˆ
ϕkbekannt sein, um die Strömung in jedem beliebigen
Zeitpunkt tdurch einfache Summation und ohne Interpolation zu rekonstruieren.
2 Stochastische Turbulenzrealisierung
Die Herleitung des RPM-Verfahrens (III.3) von Ewert et al. (2011a) ist nicht auf eine
konstante Hintergrundströmung oder turbulente Charakteristiken beschränkt. Der Ansatz,
die Geschwindigkeit u=u0+u′in Grundströmung u0und Schwankungsanteil u′zu
zerlegen, ist auch dann gültig, wenn die Grundströmung von der Zeit abhängt. In diesem
Sinne kann u′als die Schwankung im mitbewegten Bezugssystem verstanden werden. Die
einzige Voraussetzung an die Grundströmung ist, dass sie bereits im Voraus bekannt sein
muss und daraus folgt natürlich, dass die Grundströmung nicht durch die Schwankungen
u′beeinflusst werden kann.
Skalierung der Turbulenz: Die linearen Euler-Gleichungen vernachlässigen Dissipa-
tions- und Diffusionseffekte, die durch die Berücksichtigung der lokalen turbulenten Eigen-
schaften im RPM-Verfahren dennoch berücksichtigt werden können. Außerhalb des Kopp-
lungsbereichs werden diese Effekte vernachlässigt. Es wird somit unter Verwendung der
52
3 Vorgehen bei 2D-Simulationen
1 2
3 4 5
Abb. 17: Transformation des Fans ausgehend von der Geometrie (1) bis zur 2D-Kaskade (5). Die
Simulationsebene zeigt jeweils die mittlere, axiale Strömungsgeschwindigkeit in [m/s] im entspre-
chenden Bezugssystem.
Stromauf-Einkopplung auch innerhalb der Kopplungsebene die Varianz eines Partikels
nicht verändert und die Skalierung frpm_norm particles verwendet (III.3.2.5). Hierbei
wird jedem Partikel am Einlass des RPM-Gebietes die Varianz fest zugeordnet. Die Vari-
anz am Einlass kann hierbei von der Zeit abhängen und ändert sich so von Partikel zu
Partikel.
Zeitlich veränderliche Längenskala: Im Rahmen dieser Arbeit wurden zeitlich verän-
derliche Längenskalen nur durch eine Realisierung von zeitlich konstanten, räumlich ver-
änderlichen Längenskalen im Rotorbezugssystem realisiert. Eine alternative Möglichkeit
ist in Abschnitt IV.6 dokumentiert.
3 Vorgehen bei 2D-Simulationen
3.1 Simulationsvorbereitung
Die Berechnung mit dem RPM-Verfahren erfolgt über eine Mittelschnittsimulation in einer
2D-Kaskade. Eine Anwendung des Verfahrens auf die volle 3D-Geometrie ist zwar prinzi-
piell möglich, war aber nicht im Fokus der Arbeit. Das Gewicht liegt mehr auf der richtigen
Modellierung des Schallentstehungsmechanismus. Da der Kennwert des Teilungsverhält-
nisses (Solidity)c/s größer als 1 und somit der Kaskadeneffekt nicht zu vernachlässigen
ist, müssen dennoch alle Schaufeln berücksichtigt werden.
Das Vorgehen zur Transformation der 2D-Röhre in eine 2D-Kaskade ist im Folgenden
beschrieben. Die Zahlen der einzelnen Schritte beziehen sich auf die Abb. 17 und auf fett
Gedrucktes wird nachträglich tiefer eingegangen.
53
V Zyklostationarität
(a) Turbulente kinetische Energie. (b) Turbulentes integrales Längenmaß.
Abb. 18: Von Podboy et al. (2003) mit Hitzdraht gemessene, turbulente Eigenschaften aus dem
Benchmark (Envia und Coupland, 2015) an zwei Messebenen zwischen Rotor und Stator, nähere
Informationen zu dem Testfall sind in Abschnitt VII.1.1 gegeben.
(1) Ausgehend von der CAD-Geometrie
(2) wird eine (U)RANS-Simulation durchgeführt.
(3) Aus dieser wird eine Stromröhre bei 50% Kanalhöhe extrahiert und auf Vollkranz
erweitert.
(4) Die Strömung aus dem mitbewegten Bezugssystem am Rotor wird in das absolute
Bezugssystem des Stators transformiert. Dadurch wird der Rotornachlauf ausgemit-
telt. Instationaritäten werden, wenn nötig, in Form von komplexen Feldern abge-
speichert. Der Rotor wird entfernt und die Strömung stromab des Rotors wird
stromauf extrapoliert.
(5) Die Geometrie und die Strömung werden mithilfe der Stromröhren-Transforma-
tion in eine 2D-Kaskade transformiert.
Als Stromröhre versteht sich hier ein Kanalsegment, das aus zwei nahe beieinander lie-
genden, umfangsgemittelten Stromlinien gebildet wird. In den Untersuchungen wird
dafür ein Segment mit 1% des Gesamtmassenstroms verwendet.
Die Kanalhöhe bei 50% der Schaufelvorderkantenlänge wird als im Mittel repräsentativ
angenommen. Auch in der Messtechnik bei akustischen Inrohrmessungen wird nach
ISO 5136 (1990) für Mikrophonen mit kugelförmiger Richtcharakteristik eine radiale
Höhe von 50% verwendet Arnold (1999, S.82). Die Wiederholung der Simulation bei
verschiedenen Kanalhöhen würde im Sinne einer Strip-Theorie ein genaueres Ergeb-
nis liefern. Abb. 18 zeigt exemplarisch an 2 Messebenen zwischen Rotor und Stator
im Benchmark Testfall (Envia und Coupland, 2015), dass die mittleren turbulenten
Eigenschaften generell nicht sensibel auf die Kanalhöhe in der Kanalmitte sind. Nähe-
re Informationen zu dem Testfall sind in Abschnitt VII.1.1 gegeben. Das Maximum
der turbulenten kinetische Energie im Außenbereich ist auf den Blattspitzenwirbel
des Rotors zurückzuführen. Eigentlich ist die relevante akustische Energie im Außen-
bereich des Rohres zu finden, siehe Diskussion über den Caustic-Radius von Moreau
et al. (2009). Die Erfahrung zeigt aber, dass diese Höhe ein guter Kompromiss zwi-
schen verschiedenen, störenden Effekten ist. Zum einen wird der Blattspitzenwirbel
vom Rotor sehr weit in das Rohrinnere gezogen, wodurch die verwendeten turbulen-
ten Eigenschaften verfälscht würden und zum anderen kommt es im Außenbereich
des Rohres eher zu Ablösungen am Stator. Der Einfluss dieser Effekte kann zwar
54
3 Vorgehen bei 2D-Simulationen
auch untersucht werden, kann aber durch die Wahl der Kanalhöhe bei 50% in den
verwendeten Konfigurationen vernachlässigt werden.
Die Vernachlässigung des Rotors ist aktuell nötig, da in der verwendeten Implementie-
rung von PIANO keine Möglichkeit existiert, Blöcke mit verschiedenen Relativ-
geschwindigkeiten zu koppeln. Der Abschirmeffekt des Rotors wird damit aktuell
vernachlässigt. Diese Vernachlässigung ist für subsonische, stoßfreie Betriebspunkte
legitim (Moreau und Guérin, 2015; Bouley et al., 2015).
Die Extrapolation der Strömung wird verwendet, um ein größeres akustisches Gebiet für
die Schallausbreitung und insbesondere für die Implementierung von Dämpfungszo-
nen zu haben. Bei instationärer Strömung werden die Real- und Imaginärteile der
komplexen Felder einzeln extrapoliert. Dadurch wird die Phase nicht berücksichtigt
und es kommt zu Streifen (vgl. Abb. 53 auf Seite 104). Die Lösung ist aber dennoch
kontinuierlich und hat keinen Einfluss auf die lineare Ausbreitung der Akustik.
Die Stromröhren-Transformation wird im Anhang A.12 eingehender beschrieben. Der
Vorteil dieser Transformation ist, dass der Umfang, also der Abstand der periodi-
schen Ränder der Kaskade, unabhängig vom axial veränderlichen Radius konstant
ist. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind dabei transformationsinvariant.
3.2 RPM-Gebiet
Das RPM-Gebiet wird stromauf einer Schaufel platziert, es wird in der vorliegenden Arbeit
ausschließlich auf die LEE-Relaxationskopplung eingegangen, da sie sich in den Anwen-
dungen als die robusteste und effizienteste Kopplungsmöglichkeit herausstellt. Die ver-
schiedenen Kopplungen sind im Abschnitt V.4.3 erläutert.
3.3 Datenanalyse
Um die akustische Energie, die durch die Turbulenz-Kaskaden-Interaktion entsteht, bewer-
ten und mit Messdaten vergleichen zu können, wird die Schallleistung Pim Rohr berech-
net.
Die Simulation berücksichtigt nur die Interaktion mit einer Schaufel, woraus die Schall-
leistung ˜
Pfolgt. Um also die Gesamtschallleistung Pin einem Rohr zu bestimmen muss
mit der Anzahl an unkorrelierten Quellen Nqmultipliziert werden:
P=Nq˜
P. (100)
Die Schallleistung Pist nach Morfey (1971) definiert als
P=S
niIidS, (101)
mit der Integrationsfläche S, dem Flächennormalenvektor niund der akustischen Intensi-
tät
Ii=< pui>+u0,i
ρ0c0
< pp > +u0,iu0,j
c2
0
< puj>+ρ0u0,j < uiuj> . (102)
55
V Zyklostationarität
Ix∆S
ex
ey
ex
ey
ez
Abb. 19: Skizze zur Bestimmung der Schallleis-
tung einer 2D-Kaskadensimulation. Oben links
ist die 2D-Kaskade und die Mikrophonpositionen
(blau) angedeutet. Durch Wiederaufrollen dieser
Kaskade unter der Annahme konstanter Intensi-
tät auf jedem Mikrophonsegment ∆Skann die
Schallleistung im gesamten Rohr bestimmt wer-
den.
Anstelle des RMS-Wertes < ab > kann in der linearen Theorie die Betrachtung pro
Frequenzband erfolgen. Dazu wird der RMS-Wert durch die Kreuzspektraldichtefunkti-
on Sab(ω)ersetzt:
< ab >→→ Sab(ω).(103)
Der Schallleistungspegel LWergibt sich aus der Schallleistung Pdurch
LW= 10log10 P
1×10−12 W.(104)
Der Faktor 10 folgt aus der gewählten Einheit Dezibel (dB).
Die Integrationsfläche dS wird in den 2D-Kaskaden-Simulationen durch die diskreten
Kreissegmente ∆Sersetzt. Dieses ist in der Skizze in Abb. 19 veranschaulicht. Oben
links ist die Kaskade und die Mikrophonpositionen angedeutet. Entlang dieser Linie in
y-Richtung, die dem abgerollten Umfang rϑ entspricht, wird die Schallintensität Ixermit-
telt. Unter der Annahme, dass diese Intensität repräsentativ für ein Tortenstück ∆Sist,
kann die Schallleistung im gesamten Rohr durch alle Quellen Nqmit folgender Formel
bestimmt werden:
P=Nq
Nm
m=1
Ix,m∆Sm(105)
mit NMder Anzahl an Mikrophonen und ∆Sm=S/NM=π
NM(Ra−Ri)2mit Innen- und
Außenradius Riund Raund somit
P=NqS
NM
NM
m=1
Ix,m.(106)
Um mit Messdaten vergleichen zu können, ist zusätzlich die Korrektur der 2D-Turbulenz
zur 3D-Turbulenz nach Gl. (138) erforderlich.
Stromab der Schaufeln kann die Schallleistung durch die turbulenten Geschwindigkeitsfluk-
tuationen derartig gestört sein, dass die Pegel nicht mehr die akustische Energie repräsen-
tieren, sondern die Wirbelenergie. Um dennoch verwertbare Ergebnisse zu erhalten, sind
verschiedene Möglichkeiten gegeben:
Vernachlässigen der gestörten Signale: Es werden alle Sensorpositionen vernachlässigt,
die im wirbelbehafteten Feld liegen. Für die meisten Konfigurationen sind nur die wenigen
Sensoren betroffen, die stromab des RPM-Gebietes liegen. Für die Fälle mit RPM-Gebieten
im Rotorbezugssystem sind das alle stromab befindlichen Sensoren; diese Auswertung kann
hier nicht angewendet werden.
56
4 Kopplungen
Vernachlässigen der Geschwindigkeitsfluktuationen: Alternativ kann der Schallleistungs-
pegel unter Vernachlässigung aller Geschwindigkeitsfluktuationen in Gl. (102) ermittelt
werden. Daraus ergibt sich ein Schallleistungspegel Lp:
LP= 10log10 S
ni
u0,i
ρ0c0
SppdS.(107)
LEE-Relaxation: Durch den Einsatz des LEE-Relaxationsansatzes mit Referenzwir-
belstärke ωref = 0 stromab der Schaufeln und stromauf der Sensoren werden die wirbelbe-
hafteten Anteile herausgefiltert.
4 Kopplungen
Dieser Abschnitt behandelt nur die Kopplungen, die sich durch die Zyklostationarität
ergeben. Die stationären Kopplungen sind in Abschnitt III.4 beschrieben. Die im Folgen-
den vorgestellten Kopplungen beziehen sich im Speziellen auf die 2D-Kaskade, wie sie in
Abb. 17 Schritt (5) skizziert ist. Die (U)RANS-Simulation betrachtet die Komponenten
in ihrem jeweiligen Bezugssystem. Das Bezugssystem der CAA ist in der aktuellen Unter-
suchung auf das stehende Bezugssystem beschränkt. Für die Realisierung der Turbulenz
werden zwei Klassen vorgestellt: zum einen die Realisierung im stehenden Statorbezugs-
system und zum anderen die Realisierung im rotierenden Rotorbezugssystem.
4.1 Kopplung der Hintergrundströmung in die CAA
Bei periodischer Hintergrundströmung werden zusätzlich zu den konstanten Termen die
Fourier-Koeffizienten der höheren Harmonischen aus der CFD an die CAA übergeben.
Strömungsgrößen aus dem Rotorbezugssystem werden in das Statorbezugssystem mittels
m-Ω-Transformation übertragen (Weckmüller, 2013). Die Anzahl an Harmonischen wird
auf 15 beschränkt. Der Real- und Imaginärteil jeder Harmonischen werden dabei einzeln
auf das CAA-Gitter interpoliert. So kann jeder beliebige Zeitschritt in der CAA aus den
Fourier-Koeffizienten rekonstruiert werden.
4.2 Kopplung in RPM
Ausgehend von einer URANS werden die Fourier-Koeffizienten der Hintergrundströ-
mungskomponenten, der turbulenten kinetischen Energie und der spezifischen Dissipa-
tionsrate an RPM übergeben. Unterscheidet sich das Bezugssystems des RPM-Gebietes
von dem zugrundeliegenden CFD-Gebiet, ist ebenfalls eine m-Ω-Transformation notwen-
dig. RPM kann zu jedem Zeitpunkt die instantanen mittleren Komponenten rekonstruie-
ren.
4.3 Kopplung der stochastischen Fluktuationen
Wenn die Hintergrundströmung und die mittleren turbulenten Größen Funktionen der Zeit
sind, ergeben sich verschiedene Möglichkeiten, diese im CAA-Gebiet umzusetzen. Durch
das vorliegende Verfahren ist es möglich, verschiedene Grade an Komplexität der Zyklosta-
tionaritäten zu untersuchen. Das Ziel ist es, festzustellen, welchen Einfluss die periodische
57
V Zyklostationarität
Hintergrundströmung und die periodischen, turbulenten Charakteristiken auf den erzeug-
ten Schall haben. Alle diese Verfahren können im stehenden Bezugssystem durch Zeitrekon-
struktion der nötigen zyklostationären Komponenten umgesetzt werden. Bei einer Anwen-
dung des RPM-Gebietes im Rotorbezugssystem ist zur Umsetzung der zyklostationären
Turbulenz bei konstanter Hintergrundströmung eine RANS-Strömung hinreichend.
4.3.1 RPM-Gebiet im Statorbezugssystem
Die Turbulenz wird in diesem Fall identisch zur stationären Realisierung in das CAA
Gebiet eingekoppelt. Die Rekonstruktion des aktuellen Zeitschrittes erfolgt aus den Fou-
rier-Koeffizienten der Hintergrundströmung und turbulenten Größen ktund ωt. In
Abb. 20 sind die verschiedenen Kopplungsverfahren schematisch dargestellt, die im Fol-
genden vorgestellt werden.
kt=const
ls=const
u0=const
(a) C-CC: konstante Hintergrundströmung,
TKE und TLS.
kt=f(t)
ls=const
u0=const
(b) C-PC: konstante Hintergrundströmung, pe-
riodische TKE aber konstante TLS. ktin der
Hintergrundturbulenz ist als klein angenom-
men und nicht dargestellt.
kt=f(t)
ls=const
u0=f(t)
(c) P-PC: periodische Hintergrundströmung und
TKE aber konstante TLS. ktin der Hinter-
grundturbulenz ist als klein angenommen und
nicht dargestellt.
kt=f(t)
ls=f(t)
u0=f(t)
(d) P-PP: periodische Hintergrundströmung,
TKE und TLS. ktin der Hintergrundtur-
bulenz ist dargestellt, um die verschiedenen
Längenskalen zu veranschaulichen.
Abb. 20: Einkoppeln von zyklostationärer Turbulenz verschiedener Komplexität im Statorbezugs-
system. Die rote Box stellt das RPM-Gebiet dar und die Stromlinie ist in blau markiert.
58
4 Kopplungen
C-CC: konstante Hintergrundströmung mit uniformer konstanter TKE und TLS,
siehe Abb. 20(a). Diese Konfiguration entspricht der Realisierung homogener, stationä-
rer Turbulenz, die auf eine Statorschaufel trifft. Die RANS-Lösung stammt hierbei aus
einer stationären RANS-Rechnung mit einer Mischungsebene an der Schnittstelle zwischen
Rotor und Stator. Durch die Mischungsebene werden die Rotornachläufe ausgemischt, so
dass Strömung und Turbulenzstatistiken (TKE und TLS) quasi konstant sind kurz vor dem
Stator (siehe auch das Beispiel in Abb. 7). Dieser Ansatz ist identisch zu den Ansätzen
für stationäre Strömung in III.4.
C-PC: konstante Hintergrundströmung mit periodischer TKE, aber uniformer kon-
stanter TLS, siehe Abb. 20(b). Die erste Erweiterung des Testfalles C-CC beinhaltet
die Periodizität der Varianzstatistik, z.B. der turbulenten kinetischen Energie kt, ohne
das Geschwindigkeitsdefizit im Nachlauf oder die Umfangsvariation der integralen Län-
genskala zu berücksichtigen. Es ist anzumerken, dass dieses Problem von Dieste und
Gabard (2012) analytisch untersucht wurde. Im stehenden Bezugssystem werden die Fou-
rier-Koeffizienten der TKE auf dem RPM-Gebiet benötigt. Diese können entweder direkt
aus einer URANS extrahiert werden, siehe beispielhaft Abb. 8, oder aber durch m−Ω-
Transformation der Nachläufe im Rotorsystem ins Statorsystem; dafür ist eine RANS-
Simulation bereits hinreichend.
P-PC: Periodische Hintergrundströmung mit periodischer TKE, aber uniformer kon-
stanter TLS, siehe Abb. 20(c). Die Komplexität kann weiter erhöht werden, indem auch
die Periodizität in der Hintergrundströmung sowohl auf dem RPM-Gebiet als auch in der
CAA berücksichtigt wird. Dafür ist eine URANS-Lösung im Stator notwendig. Dadurch
kann der Einfluss des Geschwindigkeitsdefizits im Nachlauf auf die Schallerzeugung unter-
sucht werden. Es ist anzumerken, dass auch bei dieser Konfiguration keine tonalen Kom-
ponenten auftreten können, da die periodischen Geschwindigkeiten als Teil der Hinter-
grundströmung der zeitveränderlichen LEE aus Gl. (96) modelliert sind.
P-PP: Periodische Hintergrundströmung mit periodischer TKE und TLS, siehe
Abb. 20(d). Diese letzte Möglichkeit mit RPM-Gebiet im Statorsystem bildet die Rea-
lität am besten ab, da die Periodizität der Rotornachläufe vollständig berücksichtigt wird.
Wie bereits diskutiert, ist eine Realisierung einer zeitlich-veränderliche Längenskala in die-
ser Arbeit nicht berücksichtigt. Da die Längenskala im Nachlauf und außerhalb sich stark
unterscheiden, bestand mittels der existierenden Filter zum Zeitpunkt der Durchführung
keine robuste Möglichkeit, Längenskalenvariationen zwischen Nachlauf und Hintergrund-
strömung zu berücksichtigen. Der Young-van-Vliet-Filter ist auf konstante Längenska-
len beschränkt und der Gauss-Filter und der Purser-Filter sind beschränkt auf langsame
Änderungen der Längenskala. Das in Abschnitt IV.6 vorgestellte Verfahren der analytische
Gewichtung kann für zeitlich veränderliche Längenskalen verwendet werden, ist aber im
Rahmen dieser Arbeit nicht untersucht worden.
4.3.2 RPM-Gebiet im Rotorbezugssystem
Im mitbewegten Bezugssystem ist der Rotornachlauf bereits in der RANS-Simulation abge-
bildet. Dies ist gut zu sehen in Abb. 8, wo keine Fourier-Koeffizienten der turbulenten
Charakteristiken in den Harmonischen sichtbar sind. Daher ist der Ansatz naheliegend, die
Turbulenz auch im Rotorbezugssystem zu realisieren. Dieser Ansatz wurde bereits von Heo
59
V Zyklostationarität
et al. (2013; 2015) für Zentrifugalverdichter angewandt. Der Vorteil gegenüber der Rea-
lisierung im Statorsystem ist, dass der Speicheraufwand für die Fourier-Koeffizienten
entfällt. Die resultierenden Möglichkeiten sind in Abb. 21 skizziert. Die RPM-Gebiete
im Rotorbezugssystem sind oben in der Abbildung dargestellt. Alle gezeigten Möglich-
keiten resultieren aus stationären Realisierungen in diesem Bezugssystem nur durch die
unterschiedliche Betrachtung der örtlichen Auflösung. Durch eine translatorische Bewe-
gung mit der Geschwindigkeit vperfolgt die Transformation in das Statorbezugssystem.
Hier weist die Turbulenz zyklostationäre Eigenschaften auf, wie sie bereits im letzten
Abschnitt beschrieben wurden. Auf eine erneute, detaillierte Diskussion wird darum hier
verzichtet. Es ist allerdings anzumerken, dass für eine periodische Hintergrundströmung
(P-PP) eine URANS-Simulation notwendig ist, da auch im CAA-Gebiet die Strömung
entsprechend periodisch betrachtet werden muss.
Das RPM-Gebiet bewegt sich translatorisch mit der Geschwindigkeit vp= ΩrRpin y-
Richtung, wobei Rpder Radius an der RPM-Gebietsposition (vor der Stromröhrentrans-
formation) und Ωrdie Winkelgeschwindigkeit des Rotors ist. Im Folgenden wird auf die
Details dieser Transformation eingegangen.
Berücksichtigung in der CAA: Die Implementierung ist so umgesetzt, dass das RPM-
Verfahren die Turbulenz im Rotorbezugssystem realisiert und an das CAA-Gebiet an einer
initialen Position übergibt (Abb. 22(a)). Die CAA transformiert die Geschwindigkeits-
fluktuationen, wie nachfolgend beschrieben, in das stehende System und berücksichtigt
dabei die Verschiebung der Position des RPM-Gebietes beim Einkoppeln der Turbulenz,
ohne das RPM-Gebiet tatsächlich zu bewegen. Periodische Ränder werden berücksichtigt,
indem eine zweite Instanz des RPM-Gebietes genau im Abstand der periodischen Ränder
angenommen wird, wie in Abb. 22(b) skizziert. Nach einer Periode ist die Ausgangskonfi-
guration wiederhergestellt (Abb. 22(c)).
Geschwindigkeit des RPM-Gebietes: Es gibt zwei mögliche Ansätze, die Translations-
geschwindigkeit des RPM-Gebietes zu bestimmen:
Strömungsinvariant: Das RPM-Gebiet in der 2D-Kaskade wird entsprechend der
Rotordrehgeschwindigkeit bewegt, d.h. die Translationsgeschwindigkeit vpresultiert aus
geometrischen Überlegungen für eine gleichförmige Kreisbewegung. Sie entspricht der Tan-
gentialgeschwindigkeit up=vpeymit
vp=rΩr,(108)
wobei der Radius rdem Referenzradius der Stromröhrentransformation RLE entspricht
und die Winkelgeschwindigkeit des Rotors Ωr.
Frequenzinvariant: Es wird eine konstante Translationsgeschwindigkeit ˜vpso ausge-
wählt, dass die Periodendauer der Drehfrequenz des Rotors entspricht: Tp=1
fBPF . Nach
einer Lauflänge hhat sich das RPM-Gebiet einmal vollständig durch das CAA-Gebiet
bewegt. Daraus ergibt sich die notwendige Translationsgeschwindigkeit aus
Tp=h
˜vp
.
60
4 Kopplungen
vp
kt=f(x)
ls=f(x)
˜u0=f(x)
kt=f(t)
ls=f(t)
u0=f(t)
RotorbezugssystemStatorbezugssystem
(a) C-PC: konstante Hintergrundströmung,
periodische TKE aber konstante TLS. ktin
der Hintergrundturbulenz ist als klein ange-
nommen und nicht dargestellt.
vp
kt=f(x)
ls=f(x)
˜u0=f(x)
kt=f(t)
ls=f(t)
u0=f(t)
RotorbezugssystemStatorbezugssystem
(b) C-PP: periodische Hintergrundströmung,
TKE und TLS. ktin der Hintergrundtur-
bulenz ist dargestellt, um die verschiedenen
Längenskalen zu veranschaulichen.
vp
kt=f(x)
ls=f(x)
˜u0=f(x)
kt=f(t)
ls=f(t)
u0=f(t)
RotorbezugssystemStatorbezugssystem
(c) P-PP: periodische Hintergrundströmung,
TKE und TLS. ktin der Hintergrundtur-
bulenz ist dargestellt, um die verschiedenen
Längenskalen zu veranschaulichen.
Abb. 21: Einkoppeln von stationärer Turbulenz
verschiedener Komplexität im Rotorbezugssys-
tem (oben) resultiert in zyklostationärer Turbu-
lenz im Statorbezugssystem (unten). Die grüne
Box stellt das RPM-Gebiet im Rotorbezugssys-
tem dar, wobei die rote Box dasselbe RPM-Gebiet
nach der Transformation ist, die Position des
Letzteren ändert sich zu jedem Zeitpunkt. Die
Strömungsvektoren sind in orange im Rotorsys-
tem und die Stromlinien in blau im Statorsystem
markiert.
61
V Zyklostationarität
a
a′
ex
ey
t= 0
(a) Ausgangsposition: RPM-
Gebiet aan initialer Position.
a
a′t=T
2
(b) Die zweite Instanz a′gewähr-
leistet ein über den periodi-
schen Rand stetiges Feld.
a
a′
t=T
(c) Nach einer Periode wird
das RPM-Gebiet wieder
an die Ausgangspositionen
verschoben.
Abb. 22: Ein RPM-Gebiet ist für die CAA gleichzeitig an zwei Positionen aund a′, um die
periodischen Ränder in der 2D-Kaskaden-Simulation zu realisieren.
Diskrepanz: Durch die Stromröhrentransformation wird das System gerade so trans-
formiert, dass der Abstand der periodischen Ränder h, der dem Umfang des Rohres ent-
spricht, unabhängig vom axialveränderlichen Radius konstant ist. Ändert sich also der
Radius entlang der Achse, ensteht eine Diskrepanz der Laufzeiten und -längen. Da bzgl.
der Stromröhrentransformation die Strömungsgeschwindigkeiten transformationsinvariant
sind, gilt weiterhin Gl. (108), aber die Umlaufdauer Tpändert sich abhängig vom Ver-
hältnis des tatsächlichen Radius an der axialen Position des RPM-Gebietes Rpund des
Normierungsradius RLE, der laut der verwendeten Definition dem Radius an der Stator-
vorderkante entspricht.
TLE =h
vp
.(109)
Tp=h
˜vp
=2πRLE
2πRpf=RLE
Rp
TLE.(110)
Nur wenn Rp=RLE ist, gilt TLE =Tp.
Für eine konsistente Kopplung müssen die lokalen Geschwindigkeitsfelder, die aus der
URANS-Simulation kommen, im bewegten RPM-Gebiet ˜
u0und im CAA-Gebiet u0jeder-
zeit zusammenpassen:
˜
u0=vpey+u0.(111)
Somit ist die einzige Möglichkeit ein konsistentes System zu erzielen, die Umlaufdauer und
somit die Frequenz anzupassen. Es wird also im folgenden die Frequenz
f=1
TLE
=vp
h
zur Rekonstruktion der Zeitsignale aus den Fourier-Koeffizienten verwendet. Eine Kor-
rektur der Frequenzen, gegeben durch das Verhältnis RLE
Rp, erfolgt nachträglich. Es ist an
dieser Stelle anzumerken, dass der Radius Rpvor der Stromröhrentransformation ermittelt
werden sollte, da er durch die Transformation ansonsten irreversibel verloren geht.
62
VI Validierung und Anwendung für stationäre
Strömung
In diesem Kapitel wird zunächst die Realisierung der Modellspektren durch das RPM-
Verfahren validiert. Danach wird das hybride Verfahren für eine harmonische Quelle und
für stationäre Turbulenz gegen eine analytische Lösung an einer unendlich dünnen Platte
validiert. Im Vergleich mit Messdaten wird das Verfahren abschließend auf eine unbelastete
und eine belastete isolierte Schaufel angewendet.
1 Numerische Realisierung der Geschwindigkeitsspektren
1.1 Gauss-Geschwindigkeitsspektren
Abb. 23:
Die numerische Realisierung des Gauss-
Geschwindigkeitsspektrums für M= 0.362,
Λ = 0.07m und kt= 1m2/s2gemessen im
RPM-Gebiet wird verglichen mit dem analy-
tischen Spektrum. Diese Realisierung wird in
Abschnitt VI.2.2 verwendet.
Durch die Verwendung eines Gauss-
Filterkerns realisiert das RPM-Verfahren
Gauss-Spektren. Abb. 23 zeigt 2D-
Geschwindigkeitsspektren, die sich aus
dem Source-A-Modell ergeben, im Ver-
gleich zu den analytischen Lösungen aus
Gl. (20) und Gl. (22) mithilfe der Taylor-
Hypothese aus Gl. (25).
Da nur die Turbulenz realisiert und das
CAA-Gebiet nicht mitgerechnet wurde,
konnte sehr schnell über 400 Fenster gemit-
telt werden, um die Konvergenz deutlich zu
machen. In Kombination mit der Ausbrei-
tungssimulation ist dies nicht nötig oder
wirtschaftlich, da schon nach 40 Realisie-
rungen klare Tendenzen zu sehen sind.
1.2 von Kármán-Geschwindigkeitsspektren
Es wird das von Kármán-Modellspektrum verwendet, das mithilfe der gewichteten
Gauss-Spektren realisiert wird. Für das in Kapitel VI.3.3 verwendete Geschwindigkeits-
spektrum, das die Messung an einem NACA-Profil (Envia und Coupland, 2014) nachbilden
soll, wird im Folgenden exemplarisch gezeigt, wie diese Realisierungen aussehen.
Es soll ein Frequenzband von 100 Hz ≤f≤10 kHz aufgelöst werden. Um dieses Band mit
einem von Kármán-Spektrum der integralen Längenskala λ= 8 ×10−3mabzudecken,
werden 10 Gauss-Realisierungen logarithmisch von l0=1
5Λbis l9= 4Λ verwendet. In
Abb. 24(a) ist dieser Fall mit zwei exemplarischen Variationen der maximal und minimal
verwendeten Längenskalen verglichen. Die maximale Längenskala ist in allen Realisie-
rungen des von Kármán-Spektrums als lN−1 = 4Λ hinreichend, da der asymptotische
Verlauf hin zu tiefen Frequenzen identisch ist im Gauss- und im von Kármán-Spektrum.
63
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
(a) Analytische Realisierung mit N= 10 Gauss-
Spektren verschiedener Längenskalen l0bis l9.
(b) Variation der Anzahl an Gauss-Realisierung mit
konstanten Längenskalen l0bis lN−1. Die grüne
Box zeigt den Achsenbereich der Abb. (c).
(c) Detailansicht aus Abb. (b). Die Ordinatenachse
ist hier linear aufgetragen.
Abb. 24: Analytische Realisierung des von
Kármán-Energiespektrums durch Überlage-
rung von mehreren, analytisch gewichteten
Gauss-Spektren aufgetragen über die Frequenz.
Es werden die Längenskalenbereiche in (a) und
die Anzahl der verwendeten Gauss-Spektren in
(b)-(c) variiert, um den Frequenzbereich von
100 Hz bis 10 kHz aufzulösen.
Die Anzahl der Spektren wird in Abb. 24(b) zu N= 6 variiert. Der Ausschnitt der grü-
nen Box ist in Abb. (c) gesondert gezeigt, um auf Details hinzuweisen. Weniger Spektren
für den verwendeten Fall resultieren in einer sichtbaren Welligkeit des realisierten Spek-
trums. Dieser Fall ist in höheren Frequenzen näher an der analytischen Lösung, da die
Gewichtung den größeren Abstand zwischen den diskreten Realisierungen berücksichtigt.
Eine stärkere Gewichtung der kleinsten Längenskala würde demzufolge auch eine besse-
re Auflösung von höheren Frequenzen bedeuten. Eine Anpassung der Diskretisierung ist
denkbar, wurde hier aber wegen des Grenzübergangs zum integralen Gewicht nicht wei-
ter erwogen. Die Realisierung mit mehr als 10 Spektren wird nicht gezeigt, da dies keine
sichtbare Veränderung des resultierenden Spektrums bewirkt.
Die numerische Umsetzung mit RPM ist in Abb. 25 für die Geschwindigkeitsspektren
gezeigt und mit der Messung (Envia und Coupland, 2014) verglichen. Es zeigt sich, dass
im RPM-Gebiet die Übereinstimmung im Frequenzband sehr gut ist. Die Übereinstimmung
im CAA-Gebiet ist etwas schlechter, da hier durch die Sponge-Kopplung Energie verloren
geht. Eine eingehende Diskussion dieses Testfalls ist in Abschnitt VI.3.3 zu finden.
(a) Axiales Geschwindigkeitsspektrum (b) Laterales Geschwindigkeitsspektrum.
Abb. 25: Numerische Realisierung des von Kármán-Geschwindigkeitsspektrums mit N= 10
Gauss-Spektren verglichen mit der analytischen Lösung in Gl. (128) und Gl. (131) mithilfe der
Taylor-Hypothese aus Gl. (25) und der Messung aus dem Benchmarkworkshop (Envia und Cou-
pland, 2014).
64
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte
Um das RPM-Verfahren zu validieren, wird auf ein analytisches Model für Vorderkanten-
interakionslärm zurückgegriffen, bekannt unter dem Namen unsteady thin airfoil-Theorie.
Die analytischen Modelle gehen davon aus, dass ein Gust eine unendlich dünne, endlich
lange Platte trifft. Die analytische Lösung ist im Anhang A.13 beschrieben und in 2D
letzlich durch Gl. (202) gegeben.
2.1 Harmonische Anregung
Es wird zunächst eine Validierung mittels einer harmonischen Anregung untersucht, so
dass keine stochastische Turbulenzrealisierung nötig ist, sondern die konvektive Geschwin-
digkeitsfluktuation als harmonischer Wirbel vorgegeben wird.
Als Referenzlösung wird der Fall 6 des CAA-Benchmarking Workshops (Hardin et al.,
1994) verwendet. Die Referenzlösung ist als RMS des Schalldruckes drei Sehnenlängen
entfernt von der Schaufeloberfläche gegeben. Atassi (Hardin et al., 1994, S. 291f.) gibt
zusätzlich die Oberflächendruckverteilung an, die mit der analytischen Lösung von Amiet
(1976b) zusammenpasst.
Das Ziel ist es, das hybride Verfahren zu untersuchen. Außerdem zeigt sich, wie mit den
Singularitäten an Vorder- und Hinterkante der unendlich dünnen Platte verfahren werden
muss, um eine Übereinstimmung mit der analytischen Lösung zu finden. Untersuchungen
der alternativen Kopplungsverfahren an dieser Testkonfiguration sind im Anhang B.1.1
dokumentiert.
(a) Der Testfall und der Simulationsaufbau sind dargestellt.
∆=1
0.1≤∆≤1
(b) Die verwendeten Gitterweiten sind dar-
gestellt, oben das grobe Gitter mit
konstanter Gitterweite und unten das
feine Gitter mit einer feineren Auflö-
sung an der Platte. Die Grafiken zeigen
jeweils die Vorderkante der Platte bei
x= [−15,0].
Abb. 26: Darstellung der Testanordnung und der verwendeten Gitter.
65
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
2.1.1 Testfallbeschreibung
Der Testfall ist in Abb. 26(a) dargestellt. Es handelt sich um ein zweidimensionales Gitter,
in dessen Mitte eine Schaufel der Länge c= 30 bei −15 ≤x≤15 und y= 0 durch eine
adiabate, nicht-viskose Wand (adiabatic slipwall) definiert ist. Die Strömung ist uniform
in x-Richtung mit Mach-Zahl M= 0.5. Alle Größen sind entdimensionalisiert durch die
Referenzlänge L, die Dichte ρ0und die Schallgeschwindigkeit c0.
Die Grundströmung konvektiert einen harmonischen Wirbel (Gust) mit einer Geschwin-
digkeitskomponente ausschließlich in y-Richtung:
v= 0.1sin ωx
M−t (112)
mit der Kreisfrequenz ω=π/8. Dies entspricht einer Strouhal-Zahl St =fc/M =
3.75.
Es soll ¯p2, der quadrierte RMS-Wert des Schalldruckpegels, entlang der Linien x=±95
und y=±95 bestimmt werden und mit den Ergebnissen aus dem Benchmark verglichen
werden. Diese Linien sind in Abb. 26(a) für die obere Halbebene farblich dargestellt.
2.1.2 Simulationsaufbau
Der Simulationsaufbau des Testfalls ist in Abb. 26(a) gezeigt. Die schwarze Linie in der
Mitte zeigt die Position der Platte. Die roten, grünen und blauen Linien zeigen die Posi-
tionen, an denen der abgestrahlte Schalldruck ausgewertet wird. Grau-unterlegte Berei-
che zeigen die zusätzliche Dämpfungszone, die an der Zuströmseite als RPM-Gebiet für
die Sponge-Kopplung verwendet wird. Für die LEE-Relaxationskopplung wird ein RPM-
Gebiet in der Nähe der Schaufel eingesetzt und in der Abbildung in magenta umrandet
dargestellt.
Das Gebiet wurde über die Auswertelinien hinaus auf −135 ≤x≤135 und −150 ≤
y≤150 vergrößert, um eine Dämpfungszone (grau) einzubauen. Die Dämpfungsstärke
ist σ= 1 und die Tiefe entspricht zwei akustischen Wellenlängen. Zusätzlich sind am
Ausströmrand bei xmax eine Ausströmrandbedingung und die anderen drei Ränder eine
Radiationsrandbedingung gesetzt.
Es wird eine selektive, künstliche Dämpfung mit einer globalen Dämpfungsstärke von
νASD = 0.05 und mit lokalen Dämpfungspunkten an Vorder- und Hinterkante der Stärke
0.5 mit einem Radius von 20% der Sehnenlänge verwendet. Aufgrund der Singularitä-
ten reagiert die CAA sehr sensibel auf Änderungen an den Charakteristika der lokalen
Dämpfungspunkten. Sie werden in allen Rechnungen konstant gehalten.
Gitterauflösung: Es wurden zwei Gitterweiten untersucht, die exemplarisch an der Vor-
derkante in Abb. 26(b) gezeigt sind. Das grobe Gitter verwendet eine konstante Gitterauf-
lösung von ∆=1. Die akustischen Wellen sind mit 16 Punkten pro Wellenlänge (PPW)
und die aerodynamische Wellenzahl kx=ω/M mit 8 PPW aufgelöst. Das feine Gitter
wurde mit ∆min = 0.1in beide Raumrichtungen um die Platte herum verfeinert. Durch
eine konstante Gitterstreckung von 5% ist das Gitter eine Schaufellänge entfernt wie das
grobe Gitter durch ∆max = 1 aufgelöst.
Datenauswertung: Durch die Mittelung über eine Periode werden die RMS-Werte zur
Datenanalyse generiert.
66
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte
A
B
C
D
(a) Ohne Bearbeitung der Singularitäten: An der
Singularität existieren für den physikalisch
selben Punkt verschiedene Werte in den vier
Blöcken abhängig von der Kommunikations-
reihenfolge.
A
B
C
D
(b) Eindeutige Randbedingung: Die letzte Zelle
der Blöcke A und B ist auch als Wand defi-
niert. Diese RB wird im Folgenden für Vor-
derkanten verwendet.
A
B
C
D
(c) Singulärwertbehandlung: Die verschiedenen
Werte an der Singularität werden gemittelt.
Die RB wird im Folgenden für Hinterkanten
verwendet.
Abb. 27: Numerische Realisierungen der auftre-
tenden Singularitäten bei unendlich dünnen Wän-
den am Beispiel der Vorderkante. Vier Blöcke
umschließen die Singularität an der Vorderkante.
Die inneren RB (−−♢−) zwischen den Blöcken
A und B und die feste Wand RB (−□−) zwi-
schen den Blöcken C und D werden unterschied-
lich realisiert. Die Zellweite wurde exemplarisch
auf ∆=1gesetzt und für mehrfach definier-
te Punkte das Gitter verzerrt, um die doppelte
Definition eines materiellen Punktes erkennbar zu
machen.
Physikalische Randbedingung der unendlich dünnen Platte: Die Modellierung der
singulären Punkte an der Vorder- und der Hinterkante muss den analytischen Model-
len entsprechen, um die numerischen Ergebnisse vergleichbar zu machen. Die Umset-
zung von Singularitäten mit dem 7-Punkte-Finite-Differenzen-Diskretisierungsschema des
CAA-Verfahrens erfordert besondere Aufmerksamkeit. Die verwendete analytische Lösung
basiert auf der iterativen Methode von Amiet (1976b). Der Drucksprung zwischen den zwei
Seiten der Platte ist geprägt durch ein singuläres Maximum an der Vorderkante, erfüllt
aber an der Hinterkante die instationäre Kutta-Bedingung1, indem der Druckunterschied
hier identisch Null ist.
In PIANO wird das folgendermaßen modelliert:
Vorderkante: An der Vorderkante ist der Drucksprung entscheidend. Dies wird durch eine
Präzisierung der ursprünglichen Randbedingung realisiert. PIANO verwendet stan-
dardmäßig die in Abb. 27(a) gezeigte Topologie, d.h. die Randbedingung zwischen
den Nachbarblöcke A & B, bzw. C & D ist am selben physikalischen Punkt ver-
schieden. Durch eine zusätzliche Definition der Wand-RB in dem ersten Punkt der
stromaufliegenden Blöcke A & B ist die Randbedingung eindeutig, wie in Abb. 27(b)
gezeigt.
Hinterkante: An der Hinterkante wird eine Mittelung über alle Gitterpunkte desselben
1Die Kutta-Bedingung wird als mathematische Annahme postuliert, ist allerdings nicht eindeutig. So
ist z.B. für die Herleitungen von Amiet (1976b) die Randbedingung, den Drucksprung an der Hinter-
kante eines stumpfen Flügelprofils für alle Zeiten zu Null zu setzen, als Kutta-Bedingung beschrieben.
Für die Herleitung von Hinterkantenlärm wird diese Annahme aber gerade nicht getroffen, sondern
der Drucksprung an der Hinterkante ist ausschlaggebend und nur eine endliche Geschwindigkeit wird
postuliert (Amiet, 1976c). Die Bezeichnung geht ursprünglich zurück auf Crighton (1985), der damit
das Entfernen einer Geschwindigkeitssingularität konnotiert.
67
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
materiellen Punktes angewendet, um die instationäre Kutta-Bedingung zu erfüllen
(Abb. 27(c)).
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(a) Sponge-Kopplung
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(b) LEE-Relaxationskopplung
Abb. 28: Instantane Darstellung auf dem feinen Gitters. In schwarz-weiß ist der instantane Druck
und in gelb-rot die instantane Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Platte zu sehen. Letztere
ist beim unteren Limit der Skala abgeschnitten.
2.1.3 Ergebnisse
Sponge-Kopplung: Für das Einkoppeln der Wirbel stromauf wird die Dämpfungszone
bei xmin verwendet. Das instantane Feld ist in Abb. 28(a) zu sehen. Um eine störungsfreie
Einkopplung zu gewährleisten, wurde ein sinusförmiges Fading2von 7 Wellenlängen in
laterale Richtung berücksichtigt. Die Dämpfungsstärke wurde auf σ= 20 gesetzt, um die
Energie vollständig einzukoppeln.
LEE-Relaxationskopplung: Alternativ wird kurz vor der Vorderkante ein RPM-Gebiet
für die LEE-Relaxations-Methode verwendet. Das sich ergebende instantane Feld ist in
Abb. 28(b) zu sehen. Der Relaxationsparameter σwurde durch Variation so bestimmt,
dass die Simulation gerade noch stabil läuft, ohne den Zeitschritt zu variieren. Daraus
ergibt sich für den vorliegenden Fall σ= 0.5. Diese Methode wurde nur auf dem feinen
Gitter angewendet. Im nächsten Abschnitt auf Seite 70 ist die Variation des Relaxations-
parameters dargelegt.
68
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte
Abb. 29: Quadratische Amplitude des Schalldrucks p2
RMS entlang der Auswertelinien in Abb. 26(a)
verglichen mit der Referenzlösung von Hardin et al. (1994).
Abb. 30: Oberflächendruck verglichen mit der analytischen Lösung von Amiet (1976b). Die Abbil-
dungen an den Seiten zeigen die Details an der Vorder- und Hinterkante.
69
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
RMS-Werte: Abb. 29 zeigt den Vergleich mit der Referenzlösung und Abb. 30 zeigt die
entsprechenden Oberflächendrücke.
Es zeigt sich, dass beide Kopplungsverfahren die Referenzlösung gut nachbilden. In Abb. 30
ist zu sehen, dass alle Simulationen eine zusätzliche Druckspitze an der Hinterkante auf-
weisen, die nicht Teil der analytischen Lösung ist. Dieste und Gabard (2012) haben darum
die analytische Lösung für Vorderkanteninteraktionslärm von Amiet (1976b) durch den
Hinterkantenquellterm von Amiet (1976a) erweitert. Analytisch ist bei homogener Strö-
mung der Hinterkantenlärm inexistent, da die instationäre Kutta-Bedingung gilt. Diese
Druckspitze ist auch bei Clair et al. (2012) zu sehen und scheint wiederum durch die
steife numerische Umsetzung der Singularitäten verursacht zu sein. Im Sinne der Über-
sichtlichkeit wird ausschließlich die analytische Lösung (Amiet, 1976b) verwendet und
der Unterschied zur numerischen Lösung hingenommen. Ein Vergleich mit dem gröberen
Gitter zeigt, dass die bessere Auflösung der Singularitäten die Genauigkeit des abgestrahl-
ten Schalls verbessert. Insbesondere wird die Welligkeit im Fernfeld (gut zu sehen bei
60 ≤x≤95 in Abb. 29) reduziert.
Abb. 31: Parametervariation für die LEE-Relaxationskopplung
Relaxationsparameter der LEE-Relaxationskopplung: Um zu untersuchen, wie die Para-
meter bei der Einkopplung mittels der LEE-Relaxationskopplung zu wählen sind, wurde
eine Parameterstudie zu verschiedenen Relaxationsparametern σgemacht. Abb. 31 zeigt
für verschiedene σdas Maximum des Betrags der instantanen Geschwindigkeit |v|über
dem Abstand zum RPM-Gebietsrand in Wellenlängen λ. Wenn der Wert bei |v|= 1
liegt ist die Geschwindigkeitsfluktuation perfekt eingekoppelt. Es ist ersichtlich, dass mit
steigendem σdie Güte der Einkopplung zunimmt. Für σ= 0.5(−△) ist die Welle bei
gegebenem Zeitschritt nach einer Lauflänge von 1.5λvoll eingekoppelt. Für kleineres σ
(−−△,−·△und −··△) geht die Amplitude aber asymptotisch gegen einen kleiner Wert
als eins. Somit würde auch eine längeres RPM-Gebiet nicht immer die gesamte Energie
einkoppeln. Für größere σals 0.5 ist bei gegebenem Zeitschritt die Simulation instabil,
wie bereits aus Gl. (36) bekannt ist. Durch Reduzieren des Zeitschrittes ∆tkönnen somit
höhere Relaxationsparameter realisiert werden (-▽-). Der Relaxationsparameter σhängt
von der Wellenlänge ab. Ist die Wellenlänge doppelt so groß, so verdoppelt sich auch auch
die benötigte Lauflänge (-▷-).
2Als Fading wird eine räumliche Blendfunktion, Rampe, ober Abklingfunktion bezeichnet.
70
2 Unendlich dünne, endlich lange Platte
2.2 Stochastische Anregung
Nachdem das hybride Verfahren mit harmonischer Anregung untersucht wurde, soll nun
validiert werden, dass auch die in RPM generierte Turbulenz und das daraus resultierende
Schallfeld der analytischen Lösung für Vorderkanteninteraktionslärm (A.13) entsprechen.
Dieses Kapitel beschränkt sich auf die Realisierung von Gauss-Spektren. Teile dieses
Kapitels wurden bereits veröffentlicht (Wohlbrandt et al., 2013).
Testfallbeschreibung: Der Testfall ist angelehnt an die Messungen und analytische
Lösung von Amiet (1975a) und Dieste und Gabard (2012), skaliert auf eine Schaufellänge
von c= 1.0m. Daraus resultiert folgende Testkonfigurationen:
c= 1.0m, M = 0.362,Λ=0.07 m.(113)
Die turbulente kinetische Energie wurde auf kt= 1m2/s2gesetzt. Nachfolgend werden
exemplarisch der Nahfeldeffekt und die Gitterauflösung untersucht, auf eine Variation der
physikalischen Parameter wird in dieser Arbeit aber verzichtet, da dies bereits vielfach ana-
lytisch untersucht wurde und die numerische Umsetzung an einer unendlich dünnen Platte
keine neuen physikalischen Erkenntnisse liefert. Der Vergleich der analytischen Ergebnisse
mit Messungen wurde z.B. von Amiet (1975a) veröffentlicht und der Vergleich mit nume-
rischen Simulationen hier (Reboul, 2010; Dieste und Gabard, 2012; Clair et al., 2012;
Wohlbrandt et al., 2013). Eine umfassende Literaturübersicht zu Messungen und Simula-
tionen von Profilen mit endlicher Dicke folgt in Abschnitt VI.3.1.
Simulationsaufbau: Für alle Simulationen im folgenden Abschnitt ist die Gitterauflö-
sung konstant auf ∆ = 0.01m gesetzt. Somit sind die Turbulenz mit 7 PPL und die
akustischen Wellen bis zu einer Frequenz von 3400 Hz mit 10 PPW aufgelöst. Da die
Gauss-Spektren bei einer Mach-Zahl von M= 0.362 für Frequenzen über 1000Hz schnell
abfallen, ist dieses Gitter hinreichend. Das Setup ist in Abb. 32 dargestellt.
Es wird ein RPM-Gebiet zur Umsetzung der Sponge-Kopplung verwendet. Für die im Fol-
genden gezeigten Simulationen wurde die Position und Größe des RPM-Gitters und die
Abb. 32: Simulationsaufbau von
Turbulenz-Platte Interaktion an
einer unendlich dünnen Platte.
Die Platte ist als schwarze Linie
in der Mitte zu sehen, graue
Bereiche am Rand markieren den
Bereich der Dämpfungszone und
die rosa Punkte sind die Aus-
wertepositionen. In grün ist das
Gebiet für die Sponge-Kopplung
als Überlagerung der Dämpfungs-
zone verwendet.
71
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 33: Ergebnisse bei verschiedenen
Abständen der Beobachterpositionen zur
Platte. In Pfeilrichtung wird der Abstand
R= [1.5m,3.0 m,5.0m] der Beobachterpositio-
nen zur Schaufelmitte variiert. Die numerischen
Ergebnisse der drei Gittergrößen 5 x 4 m (–··),
9 x 8 m (– –) und 13 x 12 m (- -) werden jeweils
mit analytischer Lösung verglichen.
Tiefe des Fading leicht variiert, es zeigt sich aber keine Abhängigkeit von diesen Para-
metern im Bereich der Variation. Die Gitterauflösung entspricht der Auflösung des CAA-
Gebietes und die Varianz und Längenskala sind konstant auf dem Gebiet. Das Fading
am Rand war immer mindesten 2 Längenskalen tief und die Partikeldichte mindestens
4 PPZ.
Die Zeitschrittweite wird mit ∆t= 2.30 ×10−5sauf 61.5% der CFL-Zeitschrittweite aus
Gl. (29) gesetzt. Die Einstellungen bzgl. der Dämpfung und der Berücksichtigung der Sin-
gularitäten sind aus dem Abschnitt VI.2.1 übernommen. Zusätzlich zur Radiation- und
Ausströmrandbedingung wird eine Dämpfungszone mit 50 Zellen Tiefe und Dämpfungs-
stärke σ= 1 angewendet, um Reflektionen zu verhindern. Die Simulationen liefen jeweils
24 h, daraus ergaben sich ca. 85 Fensterungen mit Hanning-Fenstern bei einer Frequenz-
auflösung von f= 21.3Hz.
Es wird das turbulente Spektrum verwendet, das bereits in Abschnitt VI.1.1 beschrieben
wurde.
Im Anhang B.1.2 sind weitere Untersuchungen zu alternativen Kopplungsverfahren zu
finden. Durch die volumetrische Kopplung kann auch der turbulente Zerfall berücksichtigt
werden.
Einfluss des Nahfeldes: Für eingefrorene Turbulenz wird mittels der Sponge-Kopplung
eine Studie über den Einfluss des Nahfeldes gemacht. Drei verschiedene Gitter werden
untersucht, wobei die Zellgrößen konstant gehalten werden:
•Kleines Gitter mit 5m ×4m bis R= 1.5 m
•Mittleres Gitter mit 9m ×8 m bis R= 3.0 m
•Großes Gitter mit 13m ×12m bis R= 5.0 m
Hierbei ist Rder Abstand der Beobachterposition zur Schaufelmitte. Die Geschwindig-
keitsfluktuationen werden mittels der Sponge-Kopplung vorgegeben. Das RPM-Gebiet ist
72
3 Isolierte NACA-Schaufeln
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 34: Variation der Gitterauflösung in der
Nähe der unendlich dünnen Platte von ∆=0.01
(– –) auf ∆=0.0025 (–··) für Abstrahlwinkel
ϑ= [60o,90o,120o]werden jeweils mit der ana-
lytischen Lösung verglichen.
so lokalisiert, dass es die Dämpfungszone jeweils überlagert und die Geschwindigkeitsfluk-
tuationen in der Dämpfungszone aus dem RPM-Gebiet vorgibt. Für die größeren Gitter
ist die Tiefe der Dämpfungszone verdoppelt worden, um zu verifizieren, dass das kleinste
Gitter auch reflektionsfrei ist. Für das kleine Gitter ragt das RPM-Gebiet vom xmin-Rand
1.0m in das CAA-Gebiet, für die größeren beiden 1.5m, damit sie die Dämpfungszone
vollständig überlagern.
Die Ergebnisse in Abb. 33 zeigen eine gute Übereinstimmung der Simulationen miteinander
und mit der analytischen Lösung. Die sichtbaren Fluktuationen in der numerischen Lösung
sind durch die Singularität zu erklären (VI.2.1). Bei einem Abstrahlwinkel von 120oist die
analytische Lösung im Nahfeld durch die Simulation leicht überschätzt und die Minima
sind nicht so ausgeprägt.
Variation der Gitterauflösung: Es wird eine lokale Verfeinerung des Gitter untersucht.
Auf der Schaufel ist die Auflösung um den Faktor 4 in jede Raumrichtung verfeinert
also ∆nah = 0.0025. Diese wird mithilfe einer Gitterstreckung von 5% ins Fernfeld zu
∆fern = 0.01 expandiert. Alle anderen Einstellungen bleiben erhalten. Die Auflösung des
RPM-Gebietes entspricht der halben Auflösung des CAA-Gitters im Nahfeld und somit
ergeben sich vierfache RPM-Zellanzahlen und Partikelzahlen gegenüber der ursprünglichen
Simulation. Bei Parallelisierung ist weiterhin die Berechnung des RPM-Prozessors nicht
das langwierigste, sondern die Berechnung des CAA-Gebietes durch 6 weitere Prozessoren.
Somit erzeugt dies keine zusätzliche Rechenzeit. Der Unterschied in den Fernfelddaten ist
in Abb. 34 für die Abstrahlwinkel von 60o, 90ound 120ozu sehen. Er ist marginal.
3 Isolierte NACA-Schaufeln
In diesem Abschnitt wird beginnend mit einer Literaturübersicht zur Schallentstehung an
einer isolierten Schaufel das verwendete hybride Verfahren zunächst an einer unbelasteten,
73
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
dann an einer belasteten, isolierten NACA-Schaufel validiert. Die Untersuchungen alter-
nativer Kopplungsverfahren bei Euler-Strömung und eine Diskussion zu offene Fragen
dieser Kopplungen sind im Anhang B.1.3 hinterlegt.
3.1 Einflussgrößen der Schallentstehung bei Turbulenz-Schaufel-Interaktion -
Literaturübersicht
Die Strömungs- und Geometrierandbedingungen in einem realistischen Turbofan sind sehr
komplex und die Schallentstehungsmechanismen dabei schwer zu separieren. Daher werden
Messungen isolierter Schaufeln in kontrollierter Zuströmung zur Bestimmung der Schal-
lenstehung an Vorderkanten durchgeführt, beginnend mit Sharland (1964) und anhaltend
bis heute (Paruchuri et al., 2015; Geyer et al., 2016).
Paterson und Amiet (1977) zeigen, dass die Schallentstehung durch Zuströmturbulenz eine
wichtige Schallquelle darstellt. Ihre Stärke hängt von der Intensität und Korrelationslänge
der Turbulenz ab. Sie beobachten, dass das instationäre Druckfeld auf der Schaufeloberflä-
che maximal an der Vorderkante ist. Mithilfe von Kreuzkorrelationen der Oberflächendrü-
cke mit dem Fernfeldschall erkennen sie, dass alle Bereiche der Oberfläche Schall abstrah-
len. Sowohl dies, als auch der Einfluss der Kompressibilität und der Nicht-Kompaktheit
der Quelle sind entscheidend für die richtige Vorhersage der Abstrahlcharakteristik und
Amplitude.
Es war lange schwierig, ein einheitliches Bild der Einflussgrößen der Vorderkanteninterak-
tion zu gewinnen (Glegg et al., 2006).
Anstellwinkel: Obwohl bei Tonallärm der Einfluss des Anstellwinkels hoch ist (Evers und
Peake, 2002) zeigen bereits Paterson und Amiet (1977), dass eine Erhöhung des Anstell-
winkels nur eine relativ kleine Erhöhung des abgestrahlten Breitbandschalls bewirkt. Ver-
schiedene Messungen an isolierten Schaufeln mit isotroper Zuströmturbulenz bestätigen
diese Beobachtungen (Staubs, 2008; Paruchuri et al., 2015). Glegg et al. (2006) sehen
zusätzlich eine Reduktion des abgestrahlten Schalls bei hohen Frequenzen. Dem gegenüber
stehen die Untersuchungen von Mish (2003). Er zeigt für große turbulente Längenskalen
der Zuströmung von Λ=0.13c, dass für tiefe Frequenzen die instationäre Druckfluktua-
tion auf der Schaufeloberfläche mit steigendem Anstellwinkel um bis zu 7 dB geringer
ausfallen kann. Dieser Effekt tritt nicht auf, wenn das turbulente Längenmaß kleiner ist.
Im Gegenteil zeigt er, dass für hohe Frequenzen der instationäre Oberflächendruck mit
steigendem Anstellwinkel um bis zu 10 dB steigt.
Schaufelgeometrie: Paruchuri et al. (2015) zeigen, dass der geometrische Parameter
mit dem größten Einfluss auf den abgestrahlten Schall die Schaufeldicke ist. Weiterhin ist
der Vorderkantenradius besonders für dünne Schaufeln und hohe Frequenzen signifikant.
Als Ähnlichkeitsparameter bestätigen sie auch für komplexere Geometrien die Strouhal-
Zahl St =fc
u0, denn es ergibt sich für eine bestimmte Geometrie über alle Frequenzen ein
konstanter Pegelabstand zur analytischen Lösung von Amiet.
Kompressibilität: Aus diesem Zusammenhang schließen Paruchuri et al. (2015) weiter,
dass Kompressibilitätseffekte, die bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten auftreten, keine
weiteren Schallquellen einbringen.
74
3 Isolierte NACA-Schaufeln
Wellige Vorderkanten: Alle Untersuchungen zeigen ein großes Potential von welligen
Vorderkanten von bis zu 4dB Reduktion. Messungen zu welligen Vorderkanten sind im
Bereich der breitbandigen Schallentstehung von Clair et al. (2012), Clair et al. (2013),
Narayanan et al. (2014) und Chong und Siddiqi (2015) durchgeführt worden. Numerische
Untersuchungen haben in den letzten Jahren stark zugenommen: Anfänglich mit harmoni-
scher Anregung von Lau et al. (2013) und kurz darauf mit breitbandiger Anregung (Clair
et al., 2013; Haeri et al., 2014; Kim et al., 2015).
Anisotropie: Der Einfluss der Anisotropie wurde bisher nicht systematisch untersucht.
Eine erste Studie stellen kürzlich Geyer et al. (2016) vor. Die Untersuchung zeigt, dass der
Einfluss der Anisotropie für die gewählte Konfiguration klein ist, allerdings räumen sie ein,
dass die verwendete Anisotropie nur schwach ist. Experimentell eine größere, kontrollierte
Anisotropie anzuregen ist bisher nicht gelungen. Auch in den numerischen Methoden ist
Anisotropie erst kürzlich ein Thema. Die Ergebnisse von Gea-Aguilera et al. (2016) zeigen,
dass für dünne Schaufeln die Anisotropie vernachlässigbar ist, da nur das laterale Spektrum
Einfluss auf den abgestrahlten Schall nimmt. Für eine NACA0012 Schaufel zeigen sich
deutlich anisotrope Effekte, da hier auch die longitudinale Geschwindigkeitskomponente
Einfluss auf den abgestrahlten Schall nimmt.
Periodische Anströmung: Mish (2003) hat eine Kaskade unter periodischer Anströmung
untersucht, indem er einen Wirbelgenerator an einer beweglichen Wand angebracht hat.
Der Fokus der Arbeit liegt auf der Untersuchung der daraus resultierenden, qualitative
Veränderung des Blattspitzenwirbels.
3.2 Unbelastete NACA0012-Schaufel
In den Arbeiten von Paterson und Amiet (1976, 1977) wird ein NACA0012 Profil von
c= 0.23m Länge in einer freien Anströmung betrachtet und mit der analytischen Lösung
von Amiet (1976b) verglichen. Im Folgenden soll diese Messung für die Geschwindigkeiten
60m/sund 120m/snachgerechnet werden. Dieser Testfall wurde erst kürzlich mit einem
ähnlichen Verfahren von Gea-Aguilera et al. (2015) nachgerechnet.
Die Messung benutzt ein Turbulenzgitter, um isotrope Turbulenz von Λ = 0.03m zu
erzeugen. Die Turbulenzintensität ist mit 3.9% für 60m/s, bzw. 4.1% für 120m/sgegeben.
Es werden die Ergebnisse in einer Entfernung von 2.25 m senkrecht über der Vorderkante
(bei 90o) verglichen.
3.2.1 Simulationsaufbau
Der Simulationsaufbau ist in Abb. 35 dargestellt. Es wird eine spezielle Topologie verwen-
det, die eine einseitige Ausbreitung in das Fernfeld zulässt. Zentriert um die Vorderkante,
sind die Mikrophone in einem Kreisbogen zwischen 36ound 136oin 2oAbständen positio-
niert, wobei 0oauf der positiven x-Achse liegt.
75
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
(a) Gesamtansicht
(b) Detailansicht zu Abb. (a)
Abb. 35: Der Simulationsaufbau ist
dargestellt. In blau bei (0,0) ist
die NACA0012-Schaufel zu sehen,
die Falschfarben zeigen die mittlere,
axiale Geschwindigkeit für den lang-
samen Fall mit u0= 60m/s. Strom-
auf der Schaufel liegt rot umrandet
das RPM-Gebiet, dahinter ist gelb
umrandet ein alternatives RPM-
Gebiet unter Berücksichtigung einer
lateralen Einblendzone zu sehen. Der
graue Rand des CAA-Gebietes zeigt
die Dämpfungszone und die Punkte
im Fernfeld stellen die Mikrophon-
positionen dar.
RPM-Gebiet: Es wird das von Kármán-Modellspektrum verwendet. Das RPM-Gebiet
ist mit einer Auflösung ∆=3.75 ×10−3mso ausgelegt, dass es die Turbulenz bis zu einer
Frequenz von f= 3000Hz (für u0= 60 m/s) bzw. f= 6000Hz (für u0= 120 m/s) auflöst.
Für den vorliegenden Fall werden 7 Gauss-Spektren konstanter, logarithmisch verteilter
Längenskalen von l0= 2∆ bis l6= 4Λ verwendet. Es hat sich gezeigt, dass die kleinste
Längenskala l0zwar selbst nicht mehr aufgelöst ist, aber das Spektrum dadurch in den
hohen Frequenzen um 4 PPL noch die gesamte Energie repliziert. Siehe hierzu exempla-
risch den analytischen Vergleich in Abb. 36. Das analytische von Kármán-Spektrum (–)
wird mithilfe mehrerer gewichteter Gauss-Spektren (– –) realisiert. Je nachdem wie vie-
le Gauss-Spektren verwendet werden, ergibt sich eine unterschiedliche Auflösung in den
hohen Frequenzen, hier angedeutet mit der gestrichelten senkrechten Linie.
Abb. 37 zeigt das numerisch realisierte, laterale Geschwindigkeitsspektrum gemessen im
RPM-Gebiet. Um dieses Bild zu erzeugen, wurde eine separate RPM-Simulation mit zehn-
facher Anzahl an Zeitschritten durchgeführt und über 100 Fenster gemittelt.
Zur Filterung wird der Young-van-Vliet-Filter verwendet. Es hat sich im Rahmen dieser
Anwendung gezeigt, dass mit dem Young-van-Vliet-Filter, im Gegensatz zum Purser-
Filter, auf die Einblendzone in lateraler Richtung verzichtet werden kann. Vergleiche das
rot umrandete mit dem gelb umrandeten RPM-Gebiet in Abb. 35. Wird für den Fall mit
Einblendzone die Skalierung und Normierung bereits auf den Partikeln vorgenommen, sind
die Ergebnisse exakt gleich. Auf den Vergleich der Ergebnisse wird daher im Folgenden
verzichtet.
76
3 Isolierte NACA-Schaufeln
(a) Realisierung mit 7 Gauss-Spektren der Längenskalen l0= 2∆ bis
l6= 4Λ.
(b) Realisierung mit 6 Gauss-Spektren der Längenskalen l0= 4∆ bis
l5= 4Λ.
Abb. 36: Die Energiespektrumfunktion ist über der Strouhal-Zahl für c= 0.23m aufgetragen,
zur besseren Orientierung ist für u0= 60m/sauch die Frequenzachse gezeigt. Das analytische
von Kármán-Spektrum (–) wird mithilfe mehrerer, analytisch gewichteter Gauss-Spektren (– –)
realisiert. Die Güte der Realisierungen (–) hängt von der Anzahl und der Verteilung der Gauss-
Spektren ab.
Abb. 37: Die numerische Realisierung des lateralen von Kármán-Geschwindigkeitsspektrums für
u0= 60m/s,Λ = 0.03 m und ut= 2.34m/sgemessen im RPM-Gebiet wird verglichen mit dem
analytischen Spektrum.
77
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
CAA-Gebiet: Aufgrund der Topologie ist die kleinste Zelle an der Vorderkante mit
∆=2.7×10−4mzu finden. Daraus ergibt sich die verwendete Zeitschrittweite zu
∆t= 5.9×10−7s, das entspricht 84% der CFL-Zeitschrittweite bei 60m/sund 87% bei
120m/s.
Das Nahfeld ist ebenso wie das RPM-Gebiet mit einer Zellgröße von ∆ = 0.00375 m
aufgelöst. Im Fernfeld sind die größten Zellen mit ∆=0.0135m so ausgelegt, dass die Fre-
quenzen bis 2500Hz mit mind. 10 PPW aufgelöst werden. Im Übergang zwischen Fernfeld
und Nahfeld wird eine Gitterstreckung von nicht mehr als 5% angewendet. Es ergibt sich
ein Gitter für das CAA-Gebiet mit insgesamt ca.350000 Zellen. Diese werden blockpar-
allelisiert auf drei Prozessoren gerechnet, ein vierter Prozessor ist für das RPM-Gebiet
zuständig. Die Simulation lief 24 h auf einer Workstation.
Kopplung: Es wird ausschließlich die LEE-Relaxationskopplung betrachtet. Der Rela-
xationsparameter wird durch Gl. (34) im Grenzfall berechnet. Daraus ergeben sich σ=
4.47 ×10−4und σ= 8.94 ×10−4entsprechend für 60m/s, bzw. 120 m/s. Die ersten und
letzten 6 Zellen sind mit einem sinusförmigen Fading auf Null versehen. Das RPM-Gebiet
beinhaltet die größte Längenskala l5= 0.12m in lateraler Richtung 1.9 mal und in axialer
Richtung 3.8 mal. Daraus ergibt sich eine RPM-Gebietsgröße von 123 x 61 Zellen und mit
einer Partikeldichte von 5 Partikeln pro Zelle sind 38000 Partikel notwendig.
Auswertung: Es werden 250000 Zeitschritte gerechnet, wodurch sich eine Gesamtabtast-
dauer von 0.15s ergibt. Es wird aus Speicherplatzgründen nur alle 200 Zeitschritte abgetas-
tet. Die ersten 15000 Zeitschritte (75 Sample) werden als Einschwingphase vernachlässigt
und die Autospektren durch eine Mittelung über 58 Hanning-gewichteter Fenster mit
50% Überlappung und 64 FFT-Punkten pro Fenster ermittelt. Daraus ergibt sich eine
Frequenzauflösung von 103.85Hz, die ungefähr der Auflösung der Messung entspricht.
Verwendete Strömung: Die Strömung wurde mittels TRACE unter Vernachlässigung
der Wandhaftbedingung berechnet. Es wurde das Hellsten-Turbulenzmodell verwendet,
um auf eine Staupunktanomalie-Korrektur zu verzichten (III.1.2). Da hier ausschließlich
mittels LEE-Relaxationskopplung gerechnet wird, wäre dies allerdings nicht nötig gewe-
sen, da die primitiven Größen im Staupunkt aus der RANS auch durch ein einfacheres
Turbulenzmodell quasi identisch vorhergesagt werden können.
Korrekturen der Simulation: Die Simulation wird in zwei Raumdimensionen unter Ver-
nachlässigung der Scherschicht durchgeführt. Somit sind folgende Korrekturen notwendig,
um mit Messungen vergleichbar zu sein:
Scherschichtkorrektur: Es wird die Scherschichtkorrektur von Amiet (1975b) ange-
wandt. Die selbe Korrektur wird auch von Paterson für die analytische Lösung verwendet,
so dass die Werte in Tab. VI.1 einfach aus den Graphen in Paterson und Amiet (1976,
Abb. 9, S. 76) abgelesen werden konnten.
2D-3D-Korrektur: Außerdem werden die Simulationsergebnisse mittels der Dieste-
Korrektur für von Kármán-Spektren in Gl. (141) von 2D-Schallausbreitung und Turbu-
lenz auf 3D-Schallausbreitung und Turbulenz transformiert. Die verwendete Funktion für
u0= 60m/sist in Abb. 62(b) auf Seite 137 gezeigt.
78
3 Isolierte NACA-Schaufeln
Tab. VI.1: Verwendete Werte für die Scherschichtkorrektur, abgelesen aus Paterson und Amiet
(1976, Abb. 9, S. 76).
Winkel Amplitudenkorrektur
Testfall der Messung ohne Scherschicht Simulation →Messung
u0= 60m/s90.0o81.0o-0.13 dB
u0= 120m/s90.0o73.3o-0.70 dB
Abb. 38: Die Messwerte (□und ▷) sind aus (Paterson und Amiet, 1976, Abb. 13) digitalisiert und
mit den Simulationen verglichen.
3.2.2 Ergebnisse
Abb. 38 vergleicht die Messungen bei 90ound 2.25 m Abstand zur Schaufel mit den kor-
rigierten Simulationen. Es ist eine gute Übereinstimmung innerhalb von wenigen dB zu
sehen. Im tieffrequenten Bereich unterhalb von 1000 Hz weichen die Simulationsergebnisse
allerdings ab. Dies liegt an der LEE-Relaxationskopplung: Der Relaxationsparameter σ
wurde in diesen Simulationen ausschließlich mittels des Stabilitätskriteriums aus Gl. (34)
ermittelt und nicht weiter iteriert. Wie auf Seite 29 diskutiert, ist diese Bedingung nicht
ausreichend, um auch tiefe Frequenzen einzukoppeln. Eine Iteration mit steigendem σwür-
de das Problem beheben (VI.2.1.3). Für höhere Frequenzen liegt der langsame Fall sehr
genau auf der Messung, wobei für die höhere Hintergrundgeschwindigkeit die Abweichung
innerhalb von 3dB liegt. Diese Trends sind identisch zu den Simulationsergebnissen von
Gea-Aguilera et al. (2015).
3.3 Belastete NACA65(12)-10-Schaufel
3.3.1 Prüfstandsbeschreibung
Eine weitere Anwendung wird am Beispiel des NACA65(12)-10 demonstriert. Dieser Test-
fall wurde als ”Fundamental Test Case 1” (FC1) im Benchmark Workshop auf der AIAA
2014 (Envia und Coupland, 2014) von Coupland (2014) eingebracht. Das Ziel des Work-
shops war es, blind die abgestrahlte Schallleistung als Summe aller verfügbaren Mikropho-
ne vorherzusagen.
Dieser Testfall basiert auf Daten, die im offenen Strahl beim ISVR, University of Sout-
hampton in England gemessen wurden. Genaueres zur Messung lässt sich bei Chong et al.
(2013) und Gruber et al. (2011) nachlesen. Der Testaufbau ist in Abb. 39 dargestellt. Es
79
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
ist eine angestellte Schaufel im Potentialkern der offenen Strahlsektion vermessen worden,
wobei sich im Auslass des Strahls ein Turbulenzgitter befindet. Im Fernfeld außerhalb
des Strahls wurde mittels eines Mikrophonrechens der abgestrahlte Schall gemessen. Das
Array ist zentriert um die Hinterkante in einem Abstand von 1.2 m und besteht aus 18
Mikrophonen zwischen 50ound 135o, wobei 0oder Strömungsrichtung entspricht.
Der Düsenhöhe ist 0.150m und die Düsenspannweite ist 0.450m. Die Schaufelspannweite
ist L= 0.450m. Die Spannweitenrichtung ist normal zur Ebene in Abb. 39. Die Düsenaus-
trittsgeschwindigkeit ist 60m/s, wobei angenommen wird, dass die Strömung rein axial ist.
Die Turbulenz wurde im freien Strahl ohne Schaufel an der Stelle ermittelt, wo die Schau-
felvorderkante wäre. Unter der Annahme von homogener, isotroper Turbulenz ergeben sich
dabei durch eine Anpassung an ein von Kármán-Modellspektrum ein Turbulenzgrad von
Tu = 0.017 und eine integrale Längenskala von Λ=0.008 m.
Die Schaufel ist ein angestelltes NACA65(12)-10-Profil mit einer Sehnenlänge von c=
0.150m. Es wurden zwei Rauhigkeitsstreifen auf die Oberfläche zwischen 0.1cund 0.2c
geklebt, um eine turbulente Umströmung des Profils zu garantieren. Die Geometrie des
angestellten Profils war gegeben. Darüber hinaus war der zeitgemittelte Oberflächendruck-
koeffizient
cp=p−p∞
1
2ρu2
0
(114)
gegeben, um die Strömungslösung zu validieren. Dabei ist pder mittlere, statische Ober-
flächendruck, p∞= 1 atm der mittlere, statische Druck im Fernfeld, ρ= 1.2kg/m3die
Fluiddichte und u0= 60 m/sdie Strahlgeschwindigkeit. Eben so ist die mittlere Geschwin-
digkeit und der RMS der turbulenten Geschwindigkeiten stromab der Schaufel an 2 axialen
Positionen gegeben.
3.3.2 Simulationsaufbau
Das Vorgehen ist identisch zum letzten Kapitel, wobei nun eine andere Schaufel verwendet
wird. Der Aufbau ist in Abb. 40 gezeigt, (a) für die Sponge-Kopplung und (b) für die LEE-
Relaxationskopplung. Die Falschfarben zeigen die axiale Geschwindigkeitskomponente, die
von der RANS-Simulation auf das CAA-Gitter interpoliert sind. Ausgegraute Bereiche
zeigen die Dämpfungsgebiete und die grüne Box ist das jeweilige RPM-Gebiet. In der LEE-
Relaxationskopplungssimulation werden zusätzliche LEE-Relaxationsgebiete (rote Boxen)
verwendet, um die wirbelbehafteten Anteile aus dem CAA-Gebiet zu filtern und damit
hydrodynamische Störungen zu vermeiden. Die Kreuze zeigen die Sampling-Postionen,
schwarz für die Turbulenz und rosa für die Akustik.
Düse
Turbulenzgitter
Mikrophonrechen
Strömung
Abb. 39: Setup des FC1 Tests. Ange-
lehnt an (Coupland, 2014, Abb. 1).
80
3 Isolierte NACA-Schaufeln
(a) Gesamtes CAA-Gebiet.
(b) Für Sponge-Kopplung überlagert das RPM-
Gebiet (grüne Box) die Dämpfungszone. Um
hydrodynamische Störungen zu vermeiden, wer-
den die Strömungsgradienten in der Scherschicht
vernachlässigt.
(c) Für die LEE-Relaxationskopplung ist das RPM-
Gebiet (grüne Box) innerhalb des Freistrahls
platziert. Zusätzliche LEE-Relaxationsgebiete
(rote Boxen) dämpfen die Wirbelfluktuationen.
Abb. 40: CAA-Gebiet für den FC1-Testfall. Die axiale Geschwindigkeitskomponente in [m/s] ist
in Falschfarben dargestellt, Dämpfungsgebietsränder sind durch weiße Linien gekennzeichnet und
die Kreuze markieren die Sensorpostionen.
81
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
zone
Dämpfungs-
Gebiet
CAA-
(a) Axiale Mach-Zahl auf dem RPM-Gebiet. Es ist
die obere Hälfte des Freistrahleinlaufs zu sehen.
Für x < −0.15 m ist die Strömung extrapoliert.
(b) Instantane laterale Geschwindigkeitsfluktuation
vin m/s.
Abb. 41: Details zum verwendeten RPM-Gebiet der Sponge-Kopplung, wobei nur die obere Hälfte
des Gebietes gezeigt ist. Die untere Hälfte ist identisch. In Abb. (a) ist die Strömung und in
Abb. (b) die Varianz dargestellt. Die Längenskala ist auf dem gesamten Gebiet konstant. Da das
RPM-Gebiet über das Sponge-Gebiet hinausragt, ist kein Fading notwendig.
Strömung: Da die turbulenten Größen bereits aus der Messung bekannt sind, ist es nicht
nötig, diese aus der RANS zu ermitteln. Somit kann die Hintergrundströmung mit einem
einfachen Turbulenzmodell ermittelt werden. Die Strömung wird unter Verwendung des
Menter-SST Modells mit Schwarz-Korrektur berechnet (III.1.5.1). Die Grenzschicht
wird vernachlässigt. Das CAA-Gebiet ist stromauf der Schaufel größer als der Abstand
zur Düse. Die Strömung im Fernfeld sowie am Einlass der Düse für x < −0.150m werden
extrapoliert, letzteres ist in Abb. 41(a) dargestellt.
RPM-Gebiet: Es wird die in Abschnitt VI.1.2 verwendete Realisierung des von Kár-
mán-Spektrums verwendet. Es soll ein Frequenzband von 100 Hz ≤f≤10 kHz aufgelöst
werden. Um diese Band mit einem von Kármán-Spektrum der integralen Längenskala
Λ = 8 ×10−3mabzudecken, werden 10 Gauss-Realisierungen logarithmisch von l0=
1.6×10−3m = 1
5Λbis l9= 32 ×10−3m = 4Λ verwendet. Abb. 25 auf Seite 64 zeigt den
Vergleich mit der Messung von Envia und Coupland (2014). Die Übereinstimmung ist im
gesamten Frequenzband von 100 Hz ≤f≤10 kHz gut. Darüber fällt der Pegel schnell
ab.
Auflösung: Das RPM-Gebiet wird stromauf der Schaufel platziert, wie durch die grü-
ne Box in Abb. 40 angedeutet. Es wird zum einen die Sponge-Kopplung in Verbindung mit
der Radiations-Kopplung betrachtet und zum anderen die LEE-Relaxationskopplung.
Wie in Abb. 40(b) zu sehen, wird die Turbulenz durch eine Sponge-Kopplung in die
Dämpfungszone eingekoppelt. Das RPM-Gebiet ragt über die Dämpfungszone hinaus, um
Gebietsrandeffekte zu umgehen. Die Auflösung ist so gewählt, dass die kleinste Längen-
skala l0= 1.6×10−3mmit 4 PPL aufgelöst ist, woraus sich eine Gitterauflösung von
∆=0.4×10−3mergibt. Die Varianz ist als konstant angenommen und auf 1 normiert,
die turbulente Intensität von 1.7% wird als Skalierungsfaktor über die Parameterdatei
vorgegeben. Abb. 41(a) zeigt die axiale Komponente der oberen Hälfte des Strahls. Die
Partikel sollen nur innerhalb des Strahls konvektiert werden. Dazu wird die Varianz bei
82
3 Isolierte NACA-Schaufeln
|y|>0.06m abrupt auf 0 gesetzt. Das heißt, dass ein Partikel frei konvektiert, während
das Nächste quasi nicht existiert. Durch die Filterung nach der Normierung werden die
turbulenten Ballen am Rand vollständig und isotrop realisiert, wie in Abb. 41(b) gezeigt.
Dadurch wird Störschall vermieden. Die laterale mittlere Strömungskomponente wurde
hierzu auf Null gesetzt. Eine robustere Umsetzung ist möglich, wenn die Normierung als
Partikeleigenschaft mitgeführt würde, diese Implementierung war zu dem Zeitpunkt die-
ser Simulation noch nicht verfügbar. Um laterale Gebietsrandeffekte zu vermeiden, ist der
Rand 0.04m weit vom Sprung weg. Das entspricht dem Erfahrungswert von mindestens
einer Längenskala l9. Für die axiale Ausdehnung sollte die größte Längenskala l9zweimal
in die Kopplungszone passen, um die Energie vollständig einkoppeln zu können. Zusätzlich
überlappt das RPM-Gebiet die Kopplungszone, um auch hier Gebietsrandeffekte, erzeugt
durch den Purser-Filter, zu vermeiden. Aus diesen Überlegungen resultiert eine RPM-
Gebietsgröße und Varianzverteilung, wie sie in Abb. 41 zu sehen ist. Das Gitter misst 285
x 535 Punkte und verwendet 800000 Partikel.
Die Simulation mit LEE-Relaxationskopplung in Abb. 40(c) wurde erst später hinzuge-
fügt und neu gewonnene Erkenntnisse angewendet. Die Gitterauflösung wird identisch zum
Sponge-Fall gewählt, allerdings wird die kleinste Längenskala nun um einen Faktor zwei
kleiner gewählt, l0= 0.8×10−3m, und nur mit 2 PPL aufgelöst. Dadurch wird die Rea-
lisierung des von Kármán-Spektrums bei der oberen Grenzfrequenz verbessert. Es wird
der Young-van-Vliet-Filter verwendet, wodurch die laterale Ausdehnung des RPM-
Gebietes der tatsächlichen Breite des Strahls ohne zusätzliche Pufferbereiche entspricht.
Das RPM-Gebiet ist in Abb. 40(c) als grüne Box markiert. Die Varianz und Längenska-
la sind konstant auf dem gesamten Gebiet; der Relaxationsparameter ist mit 7 Zellen
Fading stromauf und stromab versehen. Dieses Gitter misst 274 x 314 Punkte und ver-
wendet 430000 Partikel. Zusätzlich werden drei LEE-Relaxationsgebiete (rote Boxen in
Abb. 40(c)) mit jeweils 7 x 7 Punkten verwendet, um wirbelbehaftete Anteile geräuschfrei
aus dem CAA-Gebiet zu entfernen. Für alle drei Gebiete wurde der Relaxationsparame-
ter zu σ= 7.3×10−5entsprechend der maximalen Gitter-Reynolds-Zahl Re∆= 1 in
Gl. (34) berechnet und nicht weiter variiert. Für das einkoppelnde RPM-Gebiet wurde
der Relaxationsparameter variiert und bei Gitter-Reynolds-Zahl Re∆= 0.1belassen, so
dass die Simulation stabil läuft, ohne die Zeitschrittweite verändern zu müssen.
CAA-Gebiet: Das CAA-Gitter ist mit derselben Topologie erzeugt wie in
Abschnitt VI.3.2. Im Fernfeld bei einem Abstand von 1.2m ist eine Abstrahlung im
Winkel von 50obis 135ozu realisieren. Dazu werden die kleinen Zellen im Nahfeld zur
Auflösung der Turbulenz so gestreckt, dass sie im Fernfeld nur die Akustik auflösen. Die
Auflösung ist wie folgt:
Im Nahfeld müssen die turbulenten Größen aufgelöst werden. Dazu wird die Auflösung
des RPM-Gebietes übernommen.
Die Scherschicht ist mit derselben Anzahl an Zellen aufgelöst wie das Nahfeld.
Das Fernfeld löst die akustischen Wellen der höchsten Frequenz mit 10 PPW auf. Zwi-
schen Scherschicht und Fernfeld wird eine Gitterstreckung von maximal 10% ver-
wendet. Durch die verwendete Topologie ist auch im Fernfeld das Seitenverhältnis
unter 3.
Die Grenzschicht auf der Schaufel wird in dieser Simulation vernachlässigt und nicht
aufgelöst, da sie nicht wesentlich zur Schallentstehung beiträgt.
83
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
Die Zeitschrittweite erfüllt die CFL-Bedingung und ist auf ∆t= 2.9×10−7sgesetzt. Es
werden Dämpfungsspots an Vorder- und Hinterkante angewendet, um die Simulationen zu
stabilisieren.
Randbedingungen: Es werden Radiations- und Auslassrandbedingungen verwendet
mit dem Referenzpunkt im Koordinatenursprung. Zusätzlich dazu werden Sponge-Gebiet
am Rand des CAA-Gitters mit einer Tiefe von mindestens 2×l9angewendet. Die ver-
schiedenen Tiefen an den unterschiedlichen Rändern resultieren aus dem Umstand, dass
im Spongegebiet auf Gitterstreckung verzichtet wird.
3.3.3 Berücksichtigung der Scherschicht
In der Simulation mit Sponge-Kopplung wird die Scherschicht vernachlässigt, da sie zu
massiven konvektiven Druckstörungen führt, die die eigentlichen Simulationsergebnisse
unbrauchbar machen. In einem Gittertest mit 3 Wirbeln verschiedener Größe als Anfangs-
bedingung wurde ersichtlich, dass zwar die Reflektionen an den nichtreflektierenden Rand-
bedingungen vernachlässigbar sind, sich aber ein konvektives Druckfeld in der Scher-
schicht bildet. Die in Abschnitt III.4.1 angegebene Abschätzung zum Einfluss der Ver-
nachlässigung der Strömungsgradienten resultiert hier für den Frequenzbereich von 100
Hz bis 10 kHz, einer Scherschichtdicke δ > 0.01 m und einer charakteristischen mittleren
Scherschichtwirbelstärke von ω0<6000/sin einen typischen Strouhal-Zahlbereich von
St100Hz >1.7×10−2und St10kHz >1.7. Es sind Abweichungen für tiefe und mittlere Fre-
quenzen zu erwarten. Es ist zu betonen, dass nur die Strömungsgradienten vernachlässigt
werden, nicht aber die lokalen Geschwindigkeiten. Somit ist die Scherschicht selbst zwar
nicht berücksichtigt, aber die Veränderung der Hintergrundströmung zwischen Strahl und
Umgebung.
In der Simulation mit LEE-Relaxationskopplung werden zusätzliche Gebiete verwendet,
die die wirbelbehafteten Anteile aus dem CAA-Gebiet filtern. Dadurch treten keine wir-
belinduzierten Druckstörungen in der Scherschicht auf und es können die Strömungsgra-
dienten in der Scherschicht berücksichtigt werden.
3.3.4 Ergebnis
Die endgültige Simulation lief 300000 Zeitschritte, was einer Abtastdauer von T= 0.09s
entspricht. Jeder 80te Zeitschritt wurde abgetastet und die ersten 300 Samples vernachläs-
sigt. Das Spektrum wurde mit 18 Fenstern und einer Frequenzauflösung von ∆f= 83.1Hz
ermittelt. Es wird die Dieste-Korrektur verwendet (II.3.3). Auf eine Scherschichtkor-
rektur für die Sponge-Kopplungssimulation wurde verzichtet, da bei einer Strömungsge-
schwindigkeit von 60m/sUnterschiede kleiner als 1 dB zu erwarten waren, wie aus der
Scherschichtkorrektur in Tab. VI.1 auf Seite 79 hervorgeht.
Validierung der CFD-Simulation: Die zeitgemittelten Oberflächendruckkoeffizienten
der CFD-Simulation und der Messung sind in Abb. 42 verglichen. Es ist eine gute Über-
einstimmung festzustellen, wobei ein konstanter Versatz in der Simulation besteht. Dies ist
auf die Vernachlässigung der Grenzschicht, wodurch die Druckverluste reduziert werden,
und den q3D-Ansatz in der Simulation zurückzuführen.
84
3 Isolierte NACA-Schaufeln
Abb. 42: Zeitgemittelter Oberflächendruckkoeffizient cpaus der CFD-Simulation (grüne Linien)
wird verglichen mit der Vorgabe (blaue Linien) von Coupland (2014).
Abb. 43: Gesamtschallleistung ermittelt mit Gl. (115) und verglichen mit der Messung von Envia
und Coupland (2014).
Abgestrahlte Gesamtschallleistung: In Abb. 43 ist die Gesamtschallleistung gemäß der
Formel (Coupland, 2014, Gl. (1))
PWL(f) = 10 log10 Lr∆θ
ρ0c0W0
N
i=1
Spp,i(f),(115)
dargestellt mit der Spannweite L= 0.45 m, dem Abstand zum Mikrophonrechen r=
1.2m, dem Abstand der Mikrophone ∆θ= 5o, der Strömungsdichte ρ0= 1.2 kg/m3,
der Schallgeschwindigkeit c0= 340 m/s, der Referenzleistung W0= 1 ×10−12 W, dem
quadratischen Mittel der Druckfluktuation Spp,i zum Mikrophon iund der Anzahl der
Mikrophone N.
Es zeigt sich für die Ergebnisse der Sponge-Kopplung und der LEE-Relaxationskopplung
mit Re∆= 0.1eine Unterschätzung der Messung. Der verwertbare Bereich der Mes-
sung wird bei Hainaut et al. (2015) zwischen 1024Hz und 5600 Hz angegeben. In diesem
Bereich ist die Vorhersage bis zu 5 dB unterhalb der Messung. Dieser Trend wurde aber
auch von den anderen Teilnehmern im Workshop vorhergesagt. Der Unterschied zwischen
LEE-Relaxationskopplung und Sponge-Kopplung kann aus der unterschiedlichen Berück-
sichtigung der Scherschicht erklärt werden. Es werden zusätzlich die Ergebnisse der LEE-
Relaxationskopplung mit Re∆= 1 gezeigt, um zu veranschaulichen, wie durch den zu
klein gewählten Relaxationsparameter die tieffrequenten Anteile des Spektrums durch die
Kopplung verloren gehen.
85
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
(a) 70o. (b) 90o.
(c) 110o. (d) 130o.
Abb. 44: Die Autospektren des abgestrahlten Schalldruckes der Simulationen mit Sponge-Kopplung
und LEE-Relaxationskopplung mit Re∆= 0.1sind für verschiedene Abstrahlwinkel den Messungen
von Paruchuri (Hainaut et al., 2015) gegenübergestellt.
Fernfelddruck: Für den Workshop wurden ausschließlich die abgestrahlten Leistungs-
spektren verglichen. Ein genauerer Einblick in die Übereinstimmung ist durch die Mess-
daten des ISVR-Prüfstandes, aufgenommen von Paruchuri und veröffentlicht in (Hainaut
et al., 2015), möglich. Für verschiedene Abstrahlwinkel sind die Autospektren des Druckes
bei einem Abstand von 1.2m in Abb. 44 dargestellt.
Der verwertbare Bereich der Messung wird bei Hainaut et al. (2015) zwischen 1024 Hz
und 5600 Hz angegeben. Darunter dominieren die Strahl- und Gittergeräusche und darüber
dominiert das Eigengeräusch der Schaufel. In dem betrachteten Fenster wird der Trend
durch die Simulationen gut wiedergegeben. Die Pegel weichen bis zu 5 dB von den Mes-
sungen ab, wobei die Simulation die Messung stets unterschätzt. Im Gegensatz zur Simu-
lation mit LEE-Relaxationskopplung berücksichtigt die Simulation mit Sponge-Kopplung
die Scherschicht nicht. Beide Simulationen sind aber quasi deckungsgleich. Daraus lässt
sich schließen, dass die Vernachlässigung der Strömungsgradienten für diese Strömungsge-
schwindigkeit legitim ist.
In Abb. 45 werden die instantanen Aufnahmen der beiden Simulationen verglichen. In
Abb. (a) und (b) sind für die Sponge-Kopplung und die LEE-Relaxationskopplung das
gesamte Simulationsgebiet gezeigt, wobei in schwarz-weiß die Druck- und in orange-rot die
Wirbelstärkefluktuationen dargestellt sind. Abb. (c) und (d) zeigen jeweils eine Detail-
aufnahme der Turbulenz um die Schaufel. Die jeweils verwendeten RPM-Gebiete sind in
blau markiert.
86
3 Isolierte NACA-Schaufeln
(a) Simulation mit Sponge-Kopplung. (b) Simulation mit LEE-Relaxationskopplung.
(c) Detailansicht von Abb. (a). Die Skala der Wir-
belstärkefluktuation wurde verändert, um weite-
re Details sichtbar zu machen.
(d) Detailansicht von Abb. (b). Die Skala der Wir-
belstärkefluktuation wurde verändert. Die roten
Boxen zeigen die Ausdehnung der Gebiete, die
wirbelbehaftete Anteile filtern.
Abb. 45: Instantane Aufnahmen der beiden Simulationen. Die instantane Druckfluktuation in
schwarz-weißer Sequenz ist durch den Betrag der instantanen Wirbelstärkefluktuation |Ω|in
orange-roter Sequenz überlagert. Letztere ist beim unteren Limit der Skala abgeschnitten. Der
Eindruck einer unterschiedlichen Quellstärke zwischen den RPM-Gebieten resultiert daraus, dass
die kleinste Längenskala mit der LEE-Relaxationskopplung zweimal kleiner ist. Die Mikrophonpo-
sitionen im Fernfeld (magenta) und die verwendeten RPM-Gebiete (blau) sind angedeutet.
87
VI Validierung und Anwendung für stationäre Strömung
Für die Simulation mit Sponge-Kopplung in Abb. (a) und (c) sind Störquellen an der Ein-
kopplungsebene auszumachen, die ein hochfrequentes Rauschen in das Fernfeld abstrahlen.
Am Rand des Wirbelfeldes verzerrt die Scherschicht die isotropen Wirbel, dieser Effekt
erzeugt in dieser Simulation aber keine hydrodynamischen Druckfluktuationen, da die Strö-
mungsgradienten in den Gebieten der Scherschicht vernachlässigt werden. Dass stromab
der Schaufel die kleinskalige Turbulenz verschwindet, liegt an den anwachsenden Zell-
größen. Durch die Verwendung der LEE-Relaxationskopplung in Kombination mit dem
Young-van-Vliet-Filter ist eine störungsfreie Einkopplung möglich. Für die Simula-
tion mit LEE-Relaxationskopplung ist die Turbulenz kleinskaliger, als bei der Sponge-
Kopplung. Das liegt daran, dass l0um einen Faktor zwei kleiner gewählt wurde. Die
drei zusätzlichen LEE-Relaxationsgebiete (rote Boxen in Abb. (d)) führen dazu, dass die
Turbulenz störungsfrei aus dem CAA-Gebiet gefiltert werden kann. Somit werden in der
Scherschicht die hydrodynamischen Druckstörungen unterdrückt, ohne die Strömungsgra-
dienten zu vernachlässigen. Damit können in dieser Simulation die Brechungseffekte der
akustischen Welle an der Scherschicht besser abgebildet werden. Haystacking (siehe Fuß-
note 2 auf S. 33) wurde allerdings nicht berücksichtigt. Leichte konvektive Druckstörungen
sind dennoch am oberen Rand des Wirbelfeldes bei x≈[0.2 m,0.0m] auszumachen. Bei
einer Simulation ohne diese zusätzlichen LEE-Relaxationsgebiete werden diese konvektiven
Anteile in Amplitude und Ausdehnung so groß, dass die Ausströmrandbedingung versagt
und sie Störschall generieren, der das gesamte Nahfeld überlagert.
4 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde zu erst die numerische Realisierung der Geschwindigkeitsspek-
tren demonstriert. Die stochastische Turbulenzrealisierung (III.3) erzeugt das gewünschte
isotrope Gauss-Spektrum. Durch die Superposition von einer geringe Anzahl an ana-
lytisch gewichteten Gauss-Realisierungen kann das von Kármán-Spektrum erfolgreich
nachgebildet werden. Im zweiten Schritt wurde das hybride Verfahren (III) gegen eine
analytische Lösung für Turbulenz-Platte-Interaktion verifiziert. Die Prozesskette wurde
zuerst mit einer harmonischen Quelle untersucht, um zu zeigen, dass die verwendeten
Kopplungsverfahren unabhängig von der Turbulenzsynthetisierung funktionieren. Danach
wurde die Turbulenzsynthetisierung durch das RPM-Verfahren verwendet und eine Über-
einstimmung mit der analytischen Lösung festgestellt. Im letzten Teil dieses Kapitels wurde
das Verfahren an zwei Messungen von isolierten Schaufeln validiert.
88
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre
Strömung
Die Erweiterung des RPM-Verfahrens auf Fans soll im Folgenden angewendet werden. Es
wird das Vorgehen für stationäre Turbulenz gegen Messungen am SDT-Fan verglichen und
an dem DLR-UHBR-Fan werden die unterschiedlichen Ansätze zur Berücksichtigung der
Zyklostationarität untersucht.
Das vorgestellte Verfahren wurde chronologisch erst am UHBR-Fan angewendet. Auf
Lücken in dessen Setup, die im RC2-Fall später behoben werden konnten, wird an ent-
sprechender Stelle besonders hingewiesen.
1 Testkonfigurationen
1.1 Realistic Test Case 2
Das vorgestellte Verfahren wird am ”Realistic Test Case 2” (RC2) des Fanbreitbandlärm-
Benchmark-Workshops 2015 (Envia und Coupland, 2015) validiert. Der Workshop wurde
dazu konzipiert, die verschiedenen analytischen und numerischen Verfahren zu Fanbreit-
bandlärmvorhersage mit Messdaten und miteinander zu vergleichen und eventuelle Defi-
zite der Verfahren aufzudecken. Wie schon bei dem Workshop von 2014 sollte eine blinde
Vorhersage erfolgen.
Der RC2 ist hier von besonderer Bedeutung, da er die Anwendung an einer realistischen
Fanstufe ermöglicht. Da der Stator ausgebaut werden kann, kann der Rotoreigenlärm aus
der Messung herausgerechnet werden. So ist ein Vergleich der Vorhersage des Rotor-Stator-
Interaktionslärms mit Messungen möglich.
Die Geometrie und die aerodynamischen Eingangsparameter sind vorgegeben. Die Strö-
mung zwischen Rotorvorderkante und Statorhinterkante ist nicht gegeben.
Prüfstandsbeschreibung: Der Prüfstand ist der Source Diagnostic Test (SDT) Fan, der
im NASA Low-Speed Acoustic Wind Tunnel betrieben wird. NASA hat bereits früher
Untersuchungen an diesem Prüfstand unternommen, siehe dazu z.B. Woodward et al.
(2002). Der Fan ist in Abb. 46(a) gezeigt und ein Schnittbild in Abb. 46(b). An den Mes-
sebenen 1 und 2 sind die mittleren Strömungs- und die Schwankungsgeschwindigkeiten
durch Hitzdrahtmessungen bestimmt worden und von Envia und Coupland (2015) gege-
ben. Sie wurden bereits in Abb. 18 auf Seite 54 gezeigt. Der Fan besteht aus 22 Rotor-
und 54 Statorschaufeln. Als Betriebspunkt ist der Anflugreferenzpunkt (approach) gewählt
worden. Die relevanten Fancharakteristiken sind in Tab. VII.1 und die verwendeten Rand-
bedingungen für die Simulation in Tab. VII.2 aufgelistet.
89
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
(a) 3D-Darstellung des NASA SDT-Fans (b) Schnittbild des NASA SDT-Fans. Die Messebe-
nen 1 und 2 sind eingetragen.
(c) 3D-Darstellung des UHBR-Fans (d) Schnittbild des UHBR-Fans
Abb. 46: Aus dem jeweiligen CFD-Gitter erzeugte 3D-Darstellung und Schnittbilder der unter-
suchten Fans. Der Bereich stromauf des Spinners ist eigentlich ein Hohlrohr. Um das Gitter einfach
zu halten, wird dies aber in der CFD-Simulation vernachlässigt.
1.2 UHBR-Fan
Um den Treibstoffverbrauch zu reduzieren und die Schallemission zu reduzieren, werden
Turbofans mit ultra-hohem Nebenstromverhältnis (ultra-high-bypass ratio - UHBR) ent-
wickelt. In der Abteilung Fan und Verdichter des DLR-Instituts Antriebstechnik existiert
ein solcher UHBR-Fan mit einem Bypass-Ratio von 12 (Kaplan et al., 2006). Der Fan
ist in Abb. 46(c)-(d) gezeigt. Die vorliegende Untersuchung wurde an dieser Geometrie
durchgeführt, da sie einer realistischen Turbomaschine entspricht. Neben der Geometrie
liegen bereits URANS-Simulationen für den Betriebspunkt Approach in hoher Qualität von
Weckmüller et al. (2009a) vor. Die relevanten Charakteristiken des Fans sind in Tab. VII.1
und die verwendeten Randbedingungen für die Simulation in Tab. VII.2 aufgelistet.
90
2 RC2-Fan
Tab. VII.1: Fancharakteristiken der beiden Fangeometrien
RC2-Fan UHBR-Fan
Fandurchmesser 0.56m 0.8m
Rotorblattanzahl NB22 22
Statorblattanzahl NV54 38
Design
Fan-Druckverhältnis Π1.48 1.38
Axiale Mach-Zahl Mxin der Rotorebene 0.59 0.63
Relative Rotorblattspitzen-Mach-Zahl Mtip,rel 1.39 1.13
Approach
Fan-Druckverhältnis Π1.15 1.05
Axiale Mach-Zahl Mxin der Rotorebene 0.31 0.25
Relative Rotorblattspitzen-Mach-Zahl Mtip,rel 0.8 0.47
Tab. VII.2: Randbedingungen für den Betriebspunkt Approach der beiden Fangeometrien. Alle
Werte sind bei 50% Kanalhöhe aus der Simulation extrahiert mit Ausnahme der turbulenten
Eigenschaften zur Rotor-Stator-Interaktion-Simulation (RSI) des RC2-Fans, hier werden direkt
die Werte aus der Hitzdrahtmessung an der Messebene 2 (Statorvorderkante) verwendet.
RC2-Fan UHBR-Fan
Drehgeschwindigkeit nRPM 7808 rpm 3187 rpm
RANS-Einlass
Massenstrom ˙m26.92kg/s 47.33kg/s
Totaldruck pt101332.5Pa 101325 Pa
Totaltemperatur Tt288.16 K 288.15 K
Mach-Zahl MI0.312 0.22
TKE kt,I 0.11m2/s22.94m2/s2
TLS ΛI1.3×10−3m 4.5×10−4m
Für RSI
TKE kt32.57m2/s29.24m2/s2
TLS Λ 5.1×10−3m 3.3×10−3m,
(lp= 6.9×10−4m)1
q3D
Rotorblattabstand2sB0.055m 0.0981 m
Statorblattabstand2sV0.024m 0.059 m
Statorsehnenlänge c0.039m 0.081 m
Statorsolidity c/s 1.63 1.37
2 RC2-Fan
Das Verfahren wird zunächst an Messungen am RC2-Fan validiert, bevor der Einfluss der
Zyklostationarität am UHBR-Fan eingehend untersucht wird.
2.1 Vorgehen
Während die RANS-Simulation mit jeweils einem Rotor und einem Stator-Segment durch-
geführt wird, wird die CAA-Simulation in einer 2D-Kaskade durchgeführt. Es ist prinzipiell
auch eine 3D-CAA-Simulation möglich, allerdings liegt der Fokus dieser Untersuchungen in
der Berücksichtigung von Zyklostationarität. Dafür ist eine schnelle Simulation von Vorteil,
1In der Untersuchung am UHBR-Fan wird die Pseudolängenskala lpverwendet, nicht die integrale Län-
genskala Λ.
2An der radialen Position der Mischungsebene des q3D-Gitters.
91
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
Tab. VII.3: Zusammenfassung der simulierten Konfigurationen des RC2-Fans. Die Abkürzungen
sind in Abschnitt V.4.3 erklärt.
Variante #
Veränderliche
Grundströmung
Veränderliche
TKE
Veränderliche
TLS
Anmerkungen
RC2-Fan
volle Kaskade
C-CC 54-1a □□□
C-CC 54-1b □□□Berücksichtigung der
Grenzschicht
C-PC (Rotorbezugssys-
tem) 54-4 □ □
✓□∗
*TLS konstant ent-
sprechend der Mes-
sung
um Parametervariationen durchführen zu können. Die Erzeugung der RANS-Simulation
wurde bereits in Abschnitt III.1.5.2 beschrieben und die Extraktion der Strömung für die
2D-CAA in Abschnitt V.3.1.
(U)RANS-Simulation: Die 3D-RANS-Simulation wurde auf einem Gitter mit 3.14 Mil-
lionen Zellen für das Rotorsystem und 3.06 Millionen Zellen für das Statorsystem durchge-
führt. Eine URANS-Simulation des RC2-Fans wird hier nicht benötigt, da keine Konfigu-
ration mit periodischer Hintergrundströmung geplant war. Aus der 3D-RANS-Simulation
wurde daher direkt auf das CAA-Gitter interpoliert. Für die CAA werden zwei RANS-
Hintergrundströmungen mit und ohne Grenzschicht untersucht.
2.1.1 Umgesetzte Konfigurationen
Für den RC2-Fan wurden drei Konfigurationen simuliert. Eine Übersicht ist in Tab. VII.3
gegeben. Alle Konfigurationen wurden mit 54 Statorschaufeln durchgeführt
Die Konfigurationen #54-1a und #54-1b verwenden eine konstante Hintergrundströmung
und konstante Turbulenzstatistiken. Die Konfiguration #54-1b berücksichtigt die Grenz-
schicht an den Schaufeln.
Die Simulationen #54-4 verwendet den Ansatz eines bewegten RPM-Gebiets (V.4.3.2)
und realisiert den Ansatz in Abb. 21(a) auf Seite 61. Dabei sind im Rotorbezugsystem
alle Größen zeitlich konstant. Die TKE ist örtlich variabel realisiert, wohingegen die Hin-
tergrundströmung durch Umfangsmittelung örtlich konstant umgesetzt wurde. Auch die
TLS wird als örtlich konstant angenommen und direkt aus der Messung verwendet.
2.1.2 CAA-Gittererzeugung
Wie in Abschnitt V.3.1 beschrieben, wird die 3D-Geometrie an einem Mittelschnitt bei
50%-Kanalhöhe durch Stromröhrentransformation in eine 2D-Kaskade transformiert. In
dieser Untersuchung weist der Stator eine Solidity über 1 auf, so dass der Einfluss der Kas-
kade (blade-to-blade interaction) nicht a priori vernachlässigt werden kann. Somit müssen
benachbarte Schaufeln berücksichtigt werden. Um das zu erreichen, müssen alle Schaufeln
in der Kaskade mit einer periodischen Randbedingung an den zwei lateralen Gebietsrän-
dern gleichzeitig berechnet werden.
92
2 RC2-Fan
(a) Konfiguration der vollen
Kaskade mit 54 Statorschau-
feln (1.3Millionen Knoten).
Die blauen Linien oben
und unten markieren die
periodischen Ränder.
(b) Die Detailansicht zeigt zusätzlich die instantane Wirbelstärke der
Fluktuationen auf dem einkoppelnden RPM-Gebiet in einer gelb-
rot-Skala, Werte kleiner als 1000/ssind nicht dargestellt.
Abb. 47: RC2-Fan-Setup des CAA-Gebietes – die rote und cyane
Box zeigen die Position der RPM-Gebiete und schwarze Linien
markieren die Schaufeln. In Magenta sind die Mikrophone mar-
kiert, die direkt am Rand der Dämpfungszone platziert sind. Der
Betrag der Mach-Zahl ist in einer Grau-Skala dargestellt.
Am Eintritt und Austritt ist das Rechengebiet durch Abstrahl- und Ausströmrandbedin-
gung beschränkt. Die Schaufeloberflächen sind mit Hilfe adiabater Slip-Randbedingungen
definiert.
Das CAA-Gebiet ist in Abb. 47(a) für die gesamte Kaskade mit 54 Schaufeln darge-
stellt. Die Gitter wurden so gestaltet, dass sie für das von der CAA verwendete Finite-
Differenzen-Verfahren hoher Ordnung geeignet sind. Das heißt, die Gitterstreckung ist
<10%, die Seitenverhältnisse <2 und die Scherung so klein wie möglich in fast allen Punk-
ten des Gitters (außer direkt an singulären Knoten). Die Grenzschicht wurde, bis auf für
Konfiguration #54-1b, bereits in der RANS-Simulation vernachlässigt (III.4.1).
Das RPM-Gebiet ist in Abb. 47(a), (b) durch die rote Box markiert. Es ist so dimensioniert,
dass es Turbulenz in nur einer Statorpassage generiert, die anderen Schaufeln der Kaskade
dienen nur der Berücksichtigung der rein akustischen Effekte. Unter der Annahme, dass
die Quellen zur Schallentstehung an verschiedenen Schaufeln unkorreliert sind, kann das
Schallleistungsspektrum aller Schaufeln durch Multiplikation mit der Anzahl der Schaufeln
bestimmt werden.
Die Zellgröße wird anhand der kleinsten akustischen Wellenlänge λund der integralen
Längenskala Λbestimmt. Die CAA-Gitter sollen akustische Wellen bis zu einer Frequenz
von f=20 kHz mit mindestens 10 Punkten pro Wellenlänge (PPW) ausbreiten. Dazu wird
folgende Gitterauflösung verwendet: ∆f≤λ
PPW = 17 ×10−3m.
Zwischen der Position des RPM-Gebietes und der Statorschaufel sind die turbulenten
93
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
Strukturen mit 4 PPL für die kleinste Längenskala l0aufgelöst bei Realisierung eines von
Kármán-Spektrums, siehe nächster Abschnitt. Daraus ergibt sich ein Gitter mit 24 000
Punkten pro Schaufel, also für die ganze Kaskade 1.3 Millionen Punkte. Für die Simulation
mit Grenzschicht wird kein neues CAA-Gitter generiert.
Die magentafarbenen Punkte in Abb. 47(a) markieren die Position der Mikrophone. Sie
sind 3.5 Sehnenlängen von der Schaufel entfernt und befinden sich gerade außerhalb der
Dämpfungszone. Für jede Schaufelpassage wurden je 5 Mikrophone stromauf und stromab
platziert.
Die Dämpfungszonen stromauf und stromab verwenden eine Dämpfungsstärke von σ= 10
und eine Tiefe von 30 Zellen. Es wird eine Schaufel im Zentrum des CAA-Gebietes ange-
regt, um der in Abb. 10 auf Seite 30 gezeigten Problematik der Abstrahlrandbedingung
zu entgehen.
Abb. 48: Verteilung der Dämpfungsspots entlang der Schaufel
Es wird eine globale selektive Dämpfung mit Dämpfungsstärke σ= 5 ×10−2angewendet.
Wie in Abb. 48 gezeigt, werden 5 Dämpfungsspots (III.2.4) konstanter Stärke pro Schaufel
definiert.
2.1.3 RPM-Gebiet
Es wird für alle Konfigurationen auf die LEE-Relaxationskopplung zurückgegriffen. Der
Relaxationsparameter wurde durch Variation an die Stabilitätsgrenze angenähert, ohne
den Zeitschritt zu verändern. Daraus ergibt sich σ= 2.7×10−4. Ein sinusförmiges Fading
des Relaxationsparameters wird für die ersten 6 Zellen in axialer Richtung angewendet.
Das RPM-Gebiet befindet sich eine Sehnenlänge stromauf der Statorvorderkante. Die Aus-
dehnung in Umfangsrichtung misst einen Statorabstand für die Konfigurationen mit RPM-
Gebiet im Statorbezugssystem und einen Rotorabstand für das mitbewegte RPM-Gebiet.
Um die Turbulenz an der Gebietsgrenze ungestört zu erzeugen, wird die Ausdehnung um
zwei integrale Längenskalen erweitert.
Die integrale Längenskala wird aus der Messung von Envia und Coupland (2015) kon-
stant auf dem RPM-Gebiet als Λ=5.1×10−3mvorgegeben. Dies wurde aus der Hitz-
drahtmessung an der Messebene 2 bei 50% Kanalhöhe entnommen, siehe hierzu Abb. 18
auf Seite 54. Diese Messebene befindet sich in unmittelbarer Nähe zur Statorvorderkan-
te. Die turbulenten Eigenschaften sind durch Anpassung eines von Kármán-Spektrums
mit den spektralen Daten aus der Hitzdrahtmessung erfolgt. Somit wird auch hier ein
von Kármán-Spektrum simuliert. Das Vorgehen ist dabei identisch zu dem Vorgehen in
Abschnitt VI.1.2. Es wird eine Simulation mit 6 Gauss-Realisierungen verwendet, wobei
der kleinsten Längenskala l0= 0.5Λ und die größte l5= 4Λ gewählt wird, um den gefor-
derten Frequenzraum aufzulösen. Für die Konfiguration #54-1 ist die TKE konstant aus
der Messung gegeben: ut= 4.66m/s, also kt= 32.57 m2/s2. Für die andere Konfiguration
94
2 RC2-Fan
wird die TKE aus dem Rotorsystem nahe der Mischungsebene extrahiert. Damit ist ein
gewisser Fehler verbunden, da die TKE zwischen Mischungsebene und Statorvorderkante
abnimmt. Die flussgemittelte TKE an dieser Position ist kt= 47.76 m2/s2. Daraus lässt
sich eine Korrektur der Autospektren
∆Spp = 10log10 32.57
47.76=−1.66 dB (116)
ermitteln, der auf die Ergebnisse von #54-4 angewendet wird. Die Werte könnten auch
direkt aus der RANS-Simulation an der Vorderkante verwendet werden. Das birgt aber
Probleme: zum Einen wird durch die Mischungsebene der Rotornachlauf ausgemischt, was
wiederum Einfluss auf die Änderung der turbulenten Größen bis hin zum Stator hat, und
zum Anderen ist die Vorhersage der Längenskala und Varianz gerade in dieser Position
unzuverlässig (B.1.3.2). Jaron et al. (2017) schlagen ein Verfahren vor, um die turbulen-
ten Größen aus dem Rotorgebiet auf die Statorvorderkante zu extrapolieren. In dieser
Untersuchung liegt der Schwerpunkt auf der Validierung der vorgeschlagenen Prozessket-
te, daher wird auf die Messdaten zurückgegriffen. Die Verwendung der RANS-Daten zur
Vorhersage bedarf weiterer Untersuchungen.
Das RPM-Gebiet misst in axialer Richtung 12 integrale Längenskalen, somit passt die
größte Gauss-Längenskala nur 3 mal ins Gebiet. Entsprechend dem Erfahrungswert wer-
den 5 Partikeln pro Zelle verwendet und die kleinste Längenskala mit 4 PPL aufgelöst.
Das Gebiet besteht somit aus 48×99 Zellen mit 25000 Partikeln.
2.1.4 Hintergrundströmung
Die konstante Strömung wird aus der RANS-Simulation interpoliert. Die Strömung im
Bereich des Rotorsystems wird durch Transformation ins stehende System ermittelt. Es
wird nur die Strömung stromab des Rotors berücksichtigt und in Bereichen, wo das CAA-
Gebiet das CFD-Gebiet überragt, wird die Strömung extrapoliert.
2.1.5 Auswertung
Mithilfe der stromauf und stromab positionierten Mikrophone wird die Berechnung der
Schallleistung durchgeführt (V.3.3). Für den Vergleich mit Messungen wird die Korrektur
der Turbulenzspektren nach Gl. (138) angewendet.
Für die stationären Simulationen werden die Mikrophone im Nachlauf der angeregten
Schaufel vernachlässigt, da die Signale durch die Fluktuationen des Wirbelfeldes verun-
reinigt sind. Für die Simulation mit bewegtem RPM-Gebiet #54-4 ist das nicht möglich.
Daher wird für Konfiguration #54-4 nur die stromauf befindlichen Daten mit Messun-
gen verglichen. Eigentlich war zweites LEE-Relaxations-Gebiet als Wirbelfalle vorgese-
hen, siehe die cyane Box in Abb. 47. Dieses reduzierte die Wirbelfluktuationen aber nur
unzureichend. Dieser Ansatz ist vielversprechend, wenn die Gebietsgröße und der Relaxa-
tionsparameter variiert würden.
2.2 Ergebnisse
In Abb. 49 werden die Schallleistungsspektren stromauf und stromab der Kaskade mit der
Messung verglichen. Abb. 50 zeigt instantane Aufnahmen der 3 Konfigurationen.
95
2 RC2-Fan
(a) Konfiguration #54-4.
(b) Detailaufnahme, Konfiguration #54-1a.
(c) Detailaufnahme, Konfiguration #54-1b mit Grenzschicht.
Abb. 50: Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen für den RC2-Testfall.
97
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
Die Ergebnisse der stationären Konfiguration #54-1a sind als rot gestrichelte Linien in
Abb. 49 zu sehen. Stromab zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Simulationen und
der Messung im Bereich bis 20 kHz, darüber hinaus ist das CAA-Gitter unteraufgelöst
(grauer Bereich). Die Ergebnisse stromauf zeigen eine Überschätzung der Simulation um
bis zu 5 dB. Diese Überschätzung ist auch in den anderen numerischen Verfahren des
Workshops zu beobachten gewesen (Envia und Coupland, 2015). Es ist vermutlich durch
die Vernachlässigung des Rotors zu erklären. Dieser hat eine Abschirmwirkung, die in den
aktuellen Simulationen nicht berücksichtigt wird.
Die zyklostationäre Varianz in Konfiguration #54-4 bewirkt eine Erhöhung des Spektrums
um bis zu 3 dB, wobei die Form des Spektrums erhalten bleibt. Die Varianz ist für die-
se Simulation aus der RANS extrahiert und mit -1.66 dB korrigiert worden, so dass der
Mittelwert dem Wert aus der Messung entspricht. Es ist somit schwierig, eine sichere Aus-
sage über den tatsächlichen Einfluss zu treffen. Eine eingehende Analyse wird im nächsten
Abschnitt für den UHBR-Fan durchgeführt.
Die Berücksichtigung der Grenzschicht in Konfiguration #54-1b bewirkt eine Reduktion
des Pegels um bis zu 5 dB. Eine genauerer Vergleich zeigt, dass die Hinterkantenquel-
le durch die Grenzschicht reduziert wurde. Dieser Effekt ist in den bisherigen Unter-
suchungen und auch in der Literatur, siehe z.B. (Hainaut et al., 2015), nicht aufgetre-
ten und scheint mit der stumpfen Hinterkante zusammenzuhängen (III.4.1). Durch die-
se Modifikation ist die Übereinstimmung mit der Messung stromauf besser geworden,
wobei stromab im Bereich unterhalb von 5 kHz das Spektrum unterschätzt wird. Dieses
Ergebnis zeigt, dass die Vernachlässigung der Grenzschicht nicht in allen Vorderkanten-
Interaktionssimulationen ohne Einfluss bleibt. Es ist allerdings anzumerken, dass dasselbe
CAA-Gitter verwendet wurde. Die Grenzschicht ist somit im CAA-Gebiet nicht aufgelöst,
sondern nur die maximal drei wand-nächsten Zellen werden durch die veränderte Grund-
strömung beeinflusst. Der Unterschied im abgestrahlten Schall ist trotzdem signifikant und
bedarf weiterer Analyse.
3 UHBR-Fan
Nachdem das Verfahren an Messungen am RC2-Fan validiert wurde, kann nun der Einfluss
der Zyklostationariät am UHBR-Fan untersucht werden.
3.1 Vorgehen
Das Vorgehen ist identisch zum RC2-Fan, es wird nur auf Unterschiede eingegangen.
(U)RANS-Simulation: Die Details der CFD-Simulation, wie Rechengitter und numeri-
sches Setup, können bei Weckmüller et al. (2009a) nachgelesen werden. Hier wurde aller-
dings das Hellsten-EARSM-Turbulenzmodell (Franke et al., 2010) anstelle des Wilcox-
Turbulenzmodells verwendet. Dazu wurden nach Verändern des Turbulenzmodells erneut
10000 Iterationen gerechnet. Der Einfluss auf die primitiven Variablen ist vernachlässigbar,
aber es verändern sich dadurch die turbulenten Charakteristiken erheblich insbesondere
im Nachlauf und im Staupunkt.
Abb. 51 zeigt verschiedene Strömungsprofile im Rotor- (rot) und im Statorsystem (grün)
jeweils zwei Zellen von der Mischungsebene entfernt über je eine Schaufelpassage. Da hier
eine RANS-Simulation zugrunde liegt, sind die im Rotorsystem sichtbaren Nachläufe durch
98
3 UHBR-Fan
(a) Axiale Strömungsgeschwindigkeit (b) Mach-Zahl-Profil
(c) TKE-Profil (d) TLS-Profils. Die blaue Strichpunktlinie zeigt
das modifizierte TLS-Profil für die Simulatio-
nen #4-4 und #38-4.
Abb. 51: Darstellung der Strömungseigenschaften und der turbulenten Eigenschaften im Rotor-
und im Statorgebiet der RANS des UHBR-Fans. Die Rotornachläufe verschwinden durch die
Mischungsebene im Statorsystem.
die Mischungsebene ausgemischt. An der Mischungsebene werden die primitiven Variablen
und die turbulenten Größen ktund ωtdurch eine Flussmittelung bestimmt.
Die verwendete Längenskala Λwurden identisch zur Pseudolängenskala lpin Gl. (26)
gesetzt, also die Vorfaktoren Cµ
CRe = 1 verwendet. Daraus resultiert eine Skala, die ungefähr
einen Faktor 10 zu klein ist. Dies sollte bei der Interpretation der Ergebnisse berücksichtigt
werden.
3.1.1 Umgesetzte Konfigurationen
Für den UHBR-Fan wurden neun Konfigurationen simuliert. Eine Übersicht ist in
Tab. VII.4 gegeben.
Die ersten fünf Konfigurationen sind für eine reduzierte Kaskade mit 4 Statorschau-
feln durchgeführt worden. Die letzten vier Konfigurationen berücksichtigen mit erhöhtem
Rechenaufwand die volle Kaskade mit 38 Statorschaufeln.
Die Konfigurationen #4-1 und #38-1 verwenden eine konstante Hintergrundströmung und
konstante Turbulenzstatistiken. Diese Konfiguration wurde für den RC2-Testfall gegen
Messungen validiert (VII.2.2) und dient daher als Referenzlösung. Für die reduzierte Kas-
kade wurde zusätzlich ein Test durchgeführt mit einem RPM-Gebiet, das zwei Stator-
99
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
Tab. VII.4: Zusammenfassung der simulierten Konfigurationen am UHBR-Fan. Die Abkürzungen
sind in Abschnitt V.4.3 erklärt.
Variante #
Veränderliche
Grundströmung
Veränderliche
TKE
Veränderliche
TLS
Anmerkungen
UHBR-Fan
reduzierte Kaskade
C-CC 4-1a □□□
C-CC
(größeres RPM-Gebiet) 4-1b □□□RPM-Gebiet über zwei
Schaufeln
C-PC 4-2a □ □
✓□
C-PC (BPF=3803 Hz) 4-2b □ □
✓∗□*BPF um Faktor 3.4
erhöht
C-PP
(bewegtes RPM-Gebiet) 4-4 □ □
✓□
✓∗*TLS modifiziert, sie-
he Abb. 51(d)
volle Kaskade
C-CC 38-1 □□□
C-PC 38-2 □ □
✓□
P-PC 38-3 □
✓□
✓□
C-PP
(bewegtes RPM-Gebiet) 38-4 □ □
✓□
✓∗*TLS modifiziert, sie-
he Abb. 51(d)
schaufeln gleichzeitig anregt (Konfiguration #4-1b), um die Annahme der unkorrelierten
Schaufeln zu validieren, die von allen anderen Konfigurationen verwendet wird.
Die Konfigurationen #4-2a und #38-2 verwenden eine periodische TKE, während Strö-
mung und TLS weiterhin konstant bleiben. Für Simulation #4-2b wurde die Blattfolge-
frequenz um einen Faktor 3.4 erhöht. Diese Frequenzänderung betrifft nur die Turbulenz
- die Grundströmung und damit die Statorlast bleiben unverändert. Sollte durch das peri-
odische Auftreffen von Turbulenz auf die Statorschaufel Charakteristiken im Spektrum
bei der Blattfolgefrequenz auftreten, so zielt diese Veränderung darauf ab, diese besser
zu erkennen und zu beeinflussen. Die Änderung wird einfach erreicht durch die Erhö-
hung der Wellenzahl bei der Rekonstruktion aus den komplexen Fourier-Koeffizienten in
Gl. (99).
Die Simulation #38-3 verwendet eine periodische Hintergrundströmung und TKE, wäh-
rend TLS konstant gehalten wird. Diese Konfiguration kann nur in der vollen Kaskade
angewendet werden, da die Strömung nicht auf 4 Schaufeln periodisch ist. Das Ziel ist, den
Einfluss des Nachlaufgeschwindigkeitsdefizits auf den Breitbandlärm zu untersuchen.
Die Simulationen #4-4 und #38-4 verwenden den Ansatz eines bewegten RPM-Gebiets
(V.4.3.2). Dabei sind im Rotorbezugsystem alle Größen zeitlich konstant. TKE und TLS
sind örtlich variabel realisiert, wohingegen die Hintergrundströmung durch Umfangsmit-
telung örtlich konstant umgesetzt wurde, wie die Konfiguration in Abb. 21(b) auf Seite 61
zeigt. Im Statorbezugsystem resultieren daraus zyklostationäre TKE und TLS und eine
konstante Hintergrundströmung. Dass die Strömung nicht periodisch betrachtet wurde,
hat drei Gründe:
(1) Der Fokus dieser Konfigurationen soll auf der veränderlichen Längenskala liegen,
(2) es ist so möglich auch die reduzierte Kaskade zu simulieren und die Ergebnisse mit
den anderen Konfigurationen der reduzierten Kaskade zu vergleichen und
100
3 UHBR-Fan
(3) der Einfluss der periodischen Hintergrundströmung ist bereits in Konfiguration #38-
3 berücksichtigt.
Zusätzlich ist zu dieser Konfiguration anzumerken, dass das verwendete CAA-Gitter für
die ausgemischte Längenskala ausgelegt wurde und die Längenskalen im Nachlauf nicht
hinreichend aufgelöst werden. Daher wurde das aufgeprägte Profil der turbulenten Län-
genskalen so skaliert, dass die kleinste Längenskala der Gitterauflösung entspricht. Das
resultierende Profil ist in Abb. 51(d) mit der blauen Strichpunktlinie gekennzeichnet.
3.1.2 CAA-Gittererzeugung
Die CAA-Gebiete ist in Abb. 52(a) für die gesamte Kaskade mit 38 Schaufeln dargestellt.
Es wird auch eine reduzierte Kaskade simuliert, die in Abb. 52(e) gezeigt ist. Die redu-
zierte Simulation resultiert in falschen Kaskadeneffekten, benötigt aber einen geringeren
Rechenaufwand. So lange die Hintergrundströmung zeitlich konstant ist, ist es möglich, die
RANS-Lösung zu verwenden, die mit der ursprünglichen Schaufelanzahl erzeugt wurde.
Die Gittereigenschaften sind analog zum RC2-Fan umgesetzt. Eine Detailansicht der Ver-
netzung einer Schaufel ist in Abb. 52(b) gegeben. Die entsprechenden Strömungsfelder,
gezeigt in Abb. 52(c)-(d), weisen eine höhere axiale Geschwindigkeit auf der Saugseite
als auf der Druckseite auf. Durch die Statorschaufeln wird der Drall aus der Strömung
genommen. Für diese komplexen 2D-Kaskadenströmungen ist keine analytische Lösung
bekannt.
Das RPM-Gebiet ist in Abb. 52(a), (e) durch die rote Box markiert. Es ist so dimensioniert,
dass es Turbulenz in nur einer Statorpassage generiert. Die Annahme, dass die Quellen
zur Schallentstehung an verschiedenen Schaufeln unkorreliert sind, wird mittels Simulation
#4-1b überprüft.
Das CAA-Gitter ist wieder so ausgelegt, dass akustische Wellen bis zu einer Frequenz von
f=20 kHz mit mindestens 10 Punkten pro Wellenlänge (PPW) ausgebreitet werden. Die
Auslösung entspricht der Auflösung des CAA-Gitters im RC2-Fan.
Für die Konfiguration mit einer konstanten TLS Λ=1.7×10−3mim Statorbezugssystem
bei Realisierung eines Gauss-Spektrums, ergibt sich die maximale Zellgröße mit 4 PPL zu
∆v≤0.43 ×10−3m.Das resultierende Gitter besteht aus 140000 Zellen pro Statorpas-
sage. Für die volle Kaskade sind das 5.2 Millionen Zellen und für die reduzierte Kaskade
560000 Zellen. Für die Simulation mit aufgelöster Längenskala Λwake = 0.6×10−3mim
Rotornachlauf würde ein Gitter mit 9 mal mehr Zellen resultieren. Daher wurde die Län-
genskala an das Gitter angepasst, anstelle ein neues, feineres Gitter zu erzeugen.
Die Mikrophone (magentafarbene Punkte in Abb. 52(a) und (e)) sind mindesten 2.5 Seh-
nenlängen von der Schaufel entfernt. Für jede Schaufelpassage wurden je 5 Mikrophone
stromauf und stromab platziert.
Die Dämpfungszonen sind mit einer Dämpfungsstärke von σ= 2 und einer Tiefe von 50
Zellen eingestellt. Für diese Einstellungen sind Reflektionen sichtbar (siehe später z.B.
Abb. 54). Deshalb wurde in den später durchgeführten RC2-Simulationen eine höhere
Dämpfungstärke verwendet und eine Schaufel im Zentrum des CAA-Gebietes angeregt.
101
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
(a) Konfiguration der vollen Kaskade mit 38
Statorschaufeln (5.2Millionen Knoten).
Es ist nur jedes dritte Mikrophon gezeigt.
(b) Gitterdetails einer einzelnen Schaufel.
(c) Axiale Strömungsgeschwindigkeit in m/s in der Nähe der
Schaufeln.
(d) Azimutale Strömungsgeschwindigkeit in m/s in der Nähe
der Schaufeln.
RPM-Gebiet
(e) Konfiguration der reduzierten Kaskade mit 4 Schaufeln (0.6Millionen Knoten).
Abb. 52: UHBR-Fan-Setup des CAA-Gebietes – Abb. (a) und (e) zeigen die zwei untersuchten
Setups. Die rote Box zeigt die Position des RPM-Gebietes, blaue Linien markieren die periodischen
Ränder und schwarze Linien die Schaufeln. Die magentafarbenen Punkte zeigen die Mikrophon-
positionen und direkt dahinter beginnt die Dämpfungszone - in Abb. (e) ist sie durch diagonale
Linien markiert. Abb. (b) - (d) zeigen Details des Gitters und der Strömung im Stromröhrenkoor-
dinatensystem.
102
3 UHBR-Fan
3.1.3 RPM-Gebiet
Der Relaxationsparameter der LEE-Relaxationskopplung wurde wieder iteriert und auf
σ= 1.13 ×10−4eingestellt.
Die nötigen turbulenten Charakteristiken (kt,Λ,u0) werden aus der RANS-Simulation
an der Stelle genommen, an der das RPM-Gebiet liegt. Das heißt, dass die Entwicklung
der Turbulenz bis hin zur Vorderkante ohne Dissipation stattfindet. Dies ist hier nicht
problematisch, da keine absoluten Pegel vorhergesagt werden sollen. Dafür werden die
Daten aus dem Rotorbezugssystem in das Stator-System transformiert und die ersten
15 Harmonischen auf das RPM-Gebiet interpoliert. Für die jeweils konstanten Größen
wird daraus nur der konstante Anteil im Statorbezugssystem verwendet. Eine URANS-
Simulation wird nur für die Konfiguration #38-3 benötigt, da hier auch im CAA-Gebiet
die Fourier-Harmonischen der Hintergrundströmung verwendet werden. Die Konfigura-
tionen #4-4 & #38-4 verwenden die konstanten Daten im Rotorbezugssystem, wobei die
Strömung umfangsgemittelt wird.
Es wird das Gauss-Spektrum verwendet, da kein Vergleich mit Messungen angestrebt
ist. Außerdem ist die Form des Spektrums unerheblich für die Untersuchung der Einflüs-
se von Zyklostationaritäten auf die Schallerzeugung. Da das Gauss-Spektrum für hohe
Frequenzen sehr schnell abfällt, bleibt die Frage zu klären, ob das einen Einfluss auf die
Untersuchung haben könnte. Folgende Überlegung zeigt, dass dem nicht so ist und nur
große turbulente Strukturen von Interesse sind. Die Spitze (peak) eines Turbulenzspek-
trums liegt bei kΛ≈1, siehe hierzu z.B. Pope (2000). Mit Strömungsgeschwindigkeiten
im Bereich 85m/s< u0<125m/sergibt sich dafür folgende Frequenzspanne:
kΛ≈1⇔f≈1
2π
u0
Λ=⇒8kHz ≤fpeak ≤12 kHz (117)
In den Bereichen unterhalb dieser Spitze fallen das Gauss- und das von Kármán-
Spektrum wenigstens qualitativ zusammen, siehe z.B. Abb. 6 auf Seite 17. Da die Blatt-
folgefrequenz im vorliegenden Fall bei 1116 Hz liegt, ermöglicht das Gauss-Spektrum eine
Untersuchung bis mindestens zur achtfachen BPF.
Das RPM-Gebiet misst in axialer Richtung 7 integrale Längenskalen (6 für das mitbewegte
RPM-Gebiet). Die Turbulenz ist wieder mit 4 PPL und 5 PPZ aufgelöst. Das Gebiet
besteht somit aus 27×253 Zellen mit jeweils 35000 Partikeln für Konfigurationen #4-4
& #38-4, aus 30×290 Zellen mit 43 500 Partikeln für Konfiguration #4-1b und 30×168
Zellen mit 25 200 Partikeln für alle anderen Konfigurationen.
3.1.4 Hintergrundströmung
Die periodische Strömung der Konfiguration #38-3 wird aus einer Harmonic-Balance-
Simulation der ersten 15 Harmonischen im Stator-System und den ersten 5 Harmonischen
im Rotorsystem extrahiert. Zur Rekonstruktion der Zeitschritte werden die ersten 15 Har-
monischen im Statorsystem verwendet. Da das CAA-Gebiet wegen der Dämpfungszonen
größer ist als das CFD-Gebiet, ist eine Extrapolation der Strömung in axialer Richtung
notwendig. Diese Extrapolation vernachlässigt die Phase für die Fourier-Koeffizienten,
was zu axial ausgerichteten Nachläufen in diesen Bereichen führt. Siehe hierzu exempla-
risch Abb. 53 auf der nächsten Seite bei x < 0.23 m. Für lineare akustische Ausbreitung
ist der Einfluss auf die Ergebnisse vernachlässigbar.
103
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
Abb. 53: Instantane periodische Hintergrundströmung der Konfiguration #38-3. In Grauskala ist
die axiale Strömungsgeschwindigkeit u0,x dargestellt, in Falschfarben das mittlere Wirbelfeld Ω,
das aus dem Hintergrundströmungsfeld resultiert.
3.1.5 Auswertung
Für die Berechnung der Schallleistung (V.3.3) wird auf eine Korrektur der Turbulenzspek-
tren verzichtet.
Für die stationären Simulationen werden die Mikrophone im Nachlauf der angeregten
Schaufel vernachlässigt. Für die Simulationen mit bewegtem RPM-Gebiet #4-4 & #38-4
wird auf Gl. (107) zurückgegriffen.
3.2 Ergebnisse
3.2.1 Charakteristische Frequenzen
In diesem Abschnitt werden verschiedene diskrete Frequenzen untersucht, die in der Simu-
lation zu erwarten sein könnten.
Blattfolgefrequenz: Die offensichtlichste Frequenz ist die Blattfolgefrequenz (BPF) und
deren Vielfache. Es wäre möglich, dass sie in allen Konfigurationen zu finden sind, welche
periodische oder zyklostationäre Eigenschaften abbilden. Die Blattfolgefrequenz ist durch
die Drehgeschwindigkeit des Rotors nRPM und der Anzahl an Rotorblättern Nbgegeben
als
˜
fBPF =nRPM
60 Nb(118)
Für den untersuchten Betriebspunkt ist sie 1168.6 Hz. Aber für die Kaskadensimulation
ist sie gegeben durch
fBPF = 1116.0Hz.
Das liegt an der Stromröhrentransformation, wie bereits in Abschnitt V.4.3.2 diskutiert
wurde. Für Konfiguration #4-2b wurde die BPF um einen Faktor 3.4 höher eingestellt, so
dass hier fBPF#4-2b = 3802.7Hz.
104
3 UHBR-Fan
Cut-on-Kriterium: Oft sind in Fanspektren Spitzen bei Frequenzen sichtbar, bei denen
akustische Rohrmoden der Azimutalmodenordnung mund Radialmodenordnung naus-
breitungsfähig werden (cut-on gehen). Dies ist besonders in analytischen Modellen sicht-
bar. Bei tiefen Frequenzen sind diese Frequenzen auch in den Messungen eminent, da
hier nur wenige Moden cut-on gehen. Die Cut-on-Frequenzen in einem zweidimensionalen
Ringkanal (unendlich dünn) hängen nur von der Azimutalmodenordnung m, der Rohrgeo-
metrie und der Strömungsgeschwindigkeit ab. Für drallbehaftete Strömungen ergeben sich
unterschiedliche Cut-on-Frequenzen für die Moden, die mit bzw. gegen den Drall drehen.
Für eine Mode msind diese Frequenzen durch die Gleichung
fm−=|m|c0
2πR My−1−M2
x,(119a)
fm+=|m|c0
2πR My+1−M2
x(119b)
mit dem Radius R, der Schallgeschwindigkeit c0, der axialen Mach-Zahl Mxund der
Umfangs-Mach-Zahl Mygegeben. Hierbei wird angenommen, dass My<< 1ist. Die
relevanten Mach-Zahlen des vorliegenden Falls sind:
stromauf Mx= 0.27, My= 0.15,und
stromab Mx= 0.25, My= 0.00.
Für die 2D-Kaskade entspricht der Umfang gerade Nvsv, wobei Nvdie Schaufelanzahl und
svder Schaufelabstand ist. Daraus lässt sich der Radius R=NVsV
2πin Gl. (119) ersetzen
und die resultierenden charakteristischen Frequenzen angeben. Für die erste Azimutalmo-
denordnung m=±1ergibt sich:
•reduzierte Kaskade
–stromauf
fm=−1= 1256.7Hz,
fm=+1 = 1715.0Hz, und
–stromab
f|m|=1 = 1493.1Hz,
•volle Kaskade
–stromauf
fm=−1= 132.3Hz,
fm=+1 = 180.5Hz, und
–stromab
f|m|=1 = 157.2Hz.
Charakteristische Geometrie: Es existieren zwei charakteristische Längen in der Kaska-
de, die Sehnenlänge cund der Schaufelabstand sV. Die damit verbundenen Frequenzen
sind durch Vielfache der Strouhal-Zahlen Stc=fc
uund Sts=fsV
ucharakterisiert. Dazu
muss aber die relevante Strömungsgeschwindigkeit gefunden werden. Für die Sehnenlänge
ist die Strömungsgeschwindigkeit durch die Zeit gegeben, die ein turbulenter Wirbel benö-
tigt, um von der Vorderkante zur Hinterkante zu konvektieren. Für den Schaufelabstand
ist diese Geschwindigkeit nicht intuitiv gegeben, daher wird eine Geschwindigkeitspanne
angegeben. Diese charakteristischen Frequenzen sind also Vielfache von:
fchord = 1129.0Hz,mit u= ¯ux,und fpitch =1628.6Hz,mit u=u0,x
1850.6Hz,mit u=|u0|,(120)
wobei u0,x die axiale Geschwindigkeitskomponente und |u0|der Betrag der Geschwindig-
keit ist.
105
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
(a) Volle Kaskade, Konfi-
guration #38-1.
(b) Reduzierte Kaskade, Konfiguration #4-1a.
(c) Reduzierte Kaskade, Konfiguration #4-1b (RPM-Gebiet umfasst 2 Sta-
torblattabstände).
Abb. 54: Instantanes Feld der Wirbelstärke- und der Druckschwankungen ermittelt mit den C-CC
Konfigurationen.
3.2.2 Instantanes Druckfeld
In Abb. 54 bis Abb. 57 ist das Druckfeld zu einem Zeitpunkt tfür die neun verschie-
denen Simulationen gezeigt. Es ist ersichtlich, dass die Turbulenz ohne sichtbare Reflek-
tionen eingekoppelt wird. Aufgrund der konstanten Gitterstreckung von 5% verschwindet
die Turbulenz stromab der Schaufeln, ohne Störschall zu erzeugen. Das Druckfeld zeigt
deutlich Quellen jeweils an der Vorder- und der Hinterkante der angeregten Schaufel mit
Dipolcharakter.
In den Konfigurationen der vollen Kaskade (Abb. 54(a), Abb. 55(a), Abb. 56(a) und
Abb. 57(a)) sind Reflektionen an der unteren rechten Ecke sichtbar. Hier treffen die Aus-
strömrandbedingung und die periodische Randbedingung aufeinander. Die Ausströmrand-
bedingung ist für kompakte Quellen an einer spezifischen Referenzposition konzipiert. In
dieser Untersuchung ist es also naheliegend, diese Position an die Vorderkante der angereg-
ten Schaufel zu platzieren. Schallwellen, die durch die obere periodische Randbedingung
hindurch wandern, werden deshalb nicht richtig berücksichtigt und führen zu Reflektio-
nen, siehe auch Abb. 10 auf Seite 30. Ein zweiter Referenzpunkt, eine tiefere Dämpfungs-
zone oder ein stärkeres lokales Dämpfen können diesen Effekt reduzieren. In den RC2-
Konfigurationen wird eine Schaufel in der Mitte der Kaskade angeregt, wodurch dieser
Effekt vernachlässigbar wurde.
3.2.3 Leistungsspektraldichte
Das Schallleistungsspektrum für die reduzierte und die volle Kaskade sind entsprechend
in Abb. 58 und Abb. 59 dargestellt.
•Anzahl der Zeitschritte: 1 bis 4 Millionen, jeder 500. Zeitschritt gesampelt,
106
3 UHBR-Fan
(a) Volle Kaskade, Konfi-
guration #38-2.
(b) Reduzierte Kaskade, Konfiguration #4-2a.
(c) Reduzierte Kaskade, Konfiguration #4-2b (veränderter Blattfolgefre-
quenz).
Abb. 55: Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit den C-PC
Konfigurationen.
(a) Volle Kaskade, Konfi-
guration #38-3.
(b) Details der fluktuierenden Felder in der Quellregion. Abb. 53 zeigt die
entsprechende instantane Hintergrundströmung.
Abb. 56: Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit der P-PC
Konfiguration #38-3.
107
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
(a) Volle Kaskade, Konfi-
guration #38-4.
(b) Reduzierte Kaskade, Konfiguration #4-4.
Abb. 57: Instantanes Feld der Wirbelstärke- und Druckschwankungen ermittelt mit den C-PP
Konfigurationen (bewegtes RPM-Gebiet).
•Anzahl an FFT-Fenstern: 18 bis 30 Hanning-Fenster mit 50% Überlappung,
•Frequenzauflösung: 82.92 Hz für #4-1a und b & #4-2a und b, 165.84 Hz für alle
anderen.
Im Folgenden wurde angenommen, dass die Ermittlung des gesamten breitbandigen Rotor-
Stator-Interaktionslärms unter der Annahme erfolgen kann, dass die einzelnen Quellgebiete
unkorreliert sind. Die aus der Simulation ermittelten Spektren werden demnach mit einem
Faktor multipliziert, der aus dem Verhältnis der Anzahl an unkorrellierten Quellgebieten
und der Anregungsbreite des RPM-Gebietes resultiert. Für die meisten Spektren ergibt
sich der Faktor zu 38 entsprechend der Anzahl an Statorschaufeln. In Konfiguration #4-1b
mit dem breiteren RPM-Gebiet ist der Faktor 19. Die Konfigurationen #4-4 & #38-4 mit
bewegtem RPM-Gebiet werden durch Multiplikation mit der Anzahl an Rotorschaufeln
(22) ermittelt.
Die charakteristischen Frequenzen (VII.3.2.1) und deren höheren Vielfachen sind durch
Symbole an der Frequenzachse markiert. Es ist anzumerken, dass für die reduzierte Kas-
kade die stromab gültige Cut-on-Frequenz um 5% reduziert wurde auf f|m|=1 = 1418.5Hz,
um der Charakteristik im Spektrum zu entsprechen.
Reduzierte Kaskade: Die zwei akustischen Nachbereitungsmethoden der Daten stromab
der Kaskade geben vergleichbare Ergebnisse. Der Unterschied ist vor allem unterhalb der
Cut-on-Frequenz der ersten höheren Modenordnung |m|= 1 sichtbar. Bei der Verwendung
der Gl. (107), also der Vernachlässigung der Geschwindigkeitsfluktuationen, ist die erste
Spitze ausgeprägter. Im dargestellten Frequenzbereich bis 10 kHz unterscheiden sich die
Spektren der verschiedenen Konfigurationen nur marginal. Für alle diese Konfigurationen
ist die Hintergrundströmung konstant und identisch. Im Folgenden werden die sichtbaren
108
3 UHBR-Fan
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Vernachlässigung der Sensoren im Nachlauf.
(c) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 58: Schallleistungsspektren für die reduzierte Kaskade. Die Symbole zeigen die charakteris-
tischen Frequenzen (VII.3.2.1).
Unterschiede zusammengefasst (siehe hierzu auch die zusätzlichen Darstellungen derselben
Daten im Anhang B.2):
•Die Simulation #4-1b mit dem RPM-Gebiet, das zwei Schaufeln gleichzeitig anregt,
unterscheidet sich nur leicht von der Simulation #4-1a, bei der nur an einer Schaufel
angeregt wird, siehe hierzu Abb. 90 im Anhang. Somit ist die Annahme zulässig,
dass die Schaufeln zueinander unkorrelierte Breitbandschallquellen darstellen.
•Die Spitze um 1.2 kHz, sichtbar in den stromab Spektren aller Simulationen außer
#4-4, kann nicht mit der BPF zusammenhängen, da sie ansonsten nicht in Simu-
lation #4-2a sichtbar sein dürfte. Ihr Fehlen in Simulation #4-4 könnte durch die
gröbere Auflösung des Spektrums erklärt werden. Die Spitze hängt vermutlich mit
der Sehnenlänge der Schaufel zusammen, was wiederum bedeutet, dass Vorder- und
Hinterkantengeräusche korreliert sind. Dieser Effekt müsste somit unter Berücksich-
tigung der Grenzschicht abnehmen.
•Die Einführung einer periodischen Variation der TKE, siehe Abb. 91 im Anhang,
hat keinen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis.
•Trotz der sehr signifikanten Frequenzmodifikation sind die Spektren der Konfigura-
tionen #4-2a und #4-2b mit zwei verschiedenen Periodendauern der TKE-Variation
109
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
fast identisch, siehe Abb. 92. Dieses Ergebnis ist sehr überraschend, da die instanta-
nen Wirbelstärkefluktuationen sich sehr unterscheiden, siehe Abb. 55. In den Spek-
tren sind keine Töne bei den BPF-Frequenzen ersichtlich, die mit der Periodizität
der TKE in Zusammenhang gebracht werden könnten. Es ist anzumerken, dass beide
Konfigurationen den selben Startwert (Random seed) für den Zufallszahlengenerator
verwenden.
•Die Ergebnisse der Konfiguration #4-4 mit dem bewegten RPM-Gebiet unterscheidet
sich nicht signifikant von den anderen Simulationen, siehe Abb. 93. Das bedeutet,
dass der Einfluss der TLS-Variation klein ist. Dieses Ergebnis ist allerdings nicht
überraschend, da außerhalb des Nachlaufs zwar die Längenskala um einen Faktor
4 größer ist, aber dafür die TKE um einen Faktor 9 kleiner ist als innerhalb des
Nachlaufs, siehe Abb. 51(c) und (d). Da durch die Modifikation der mittleren TLS
die TLS innerhalb des Nachlaufs der TLS der anderen Konfigurationen entspricht,
ist es nicht verwunderlich, dass weder Amplituden- noch Frequenzverschiebungen
zu beobachten sind. Es ist anzumerken, dass die FFT-Frequenzauflösung sich durch
einen Faktor 2 von allen anderen 4-Schaufel Konfigurationen unterscheidet.
Volle Kaskade:
•Im Vergleich zu den Konfigurationen der reduzierten Kaskade mit 4 Schaufeln, zei-
gen die Spektren der vollen Kaskade mit 38 Schaufeln vergleichbare Level. Sie sind
allerdings glatter, was wahrscheinlich auf die höhere Anzahl an ausbreitungsfähigen,
akustischen Moden zurückzuführen ist. Außerdem ist die Frequenzauflösung gröber.
•Die Ergebnisse für die Fälle mit konstanter Hintergrundströmung sind sehr ähnlich,
siehe hierzu auch Abb. 94 und Abb. 95. So wie zuvor für die reduzierte Kaskade lässt
sich keine signifikante Änderung durch das Einführen der periodischen Variation der
TKE und TLS feststellen.
•Die Konfiguration #38-3 mit periodischer Hintergrundströmung unterscheidet sich
von allen anderen Simulationen am meisten, siehe Abb. 96. Das Level ist um bis zu 8
dB erhöht über ein großes Frequenzband unterhalb von 6 kHz. Durch die langsame-
re Strömungsgeschwindigkeit innerhalb des Nachlaufs konvektieren die turbulenten
Ballen im Nachlauf langsamer als außerhalb, vergleiche hierzu die linke Seite von
Abb. 56(b). Dieser Effekt erzeugt eine konvektive Drucksignatur, die auf der rechten
Seite der Abb. 56(b) zu sehen ist. Solche Signaturen entstehen immer dann, wenn
Wirbelstärkefluktuationen durch Strömungsgradienten konvektiert werden, so wie in
Scherschichten. Zu einem gewissen Grad ist das ein physikalischer Effekt, aber in den
LEE-Gleichungen existiert kein Mechanismus, diese Signaturen zu dämpfen, was zu
sogenannten konvektiven oder hydrodynamischen Instabilitäten führen kann (Morris
und Boluriaan, 2004; Ewert et al., 2009b). Treffen diese konvektierten Drucksigna-
turen auf die Schaufeln, so entsteht im Prinzip Schall. In wieweit das ein relevanter
Effekt ist, muss in Zukunft weiter untersucht werden.
110
4 Zusammenfassung
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Vernachlässigung der Sensoren im Nachlauf.
(c) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 59: Schallleistungsspektren für die volle Kaskade. Die Symbole zeigen die charakteristischen
Frequenzen (VII.3.2.1).
4 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurde zuerst das Vorgehen zur Simulation von Breitbandschallentste-
hung durch Rotor-Stator-Interaktion mittels einer 2D-CAA-Simulation gegen Messungen
am RC2-Fan validiert. Hierbei zeigt sich, dass sowohl mit als auch ohne Berücksichtigung
der Grenzschicht eine gute Übereinstimmung erzielt werden kann. Eine Berücksichtigung
der periodischen Variation der turbulenten kinetischen Energie zeigt keinen signifikanten
Einfluss auf die Ergebnisse.
Danach wurde die Erweiterung auf Zyklostationarität und periodischer Hintergrundströ-
mung an dem UHBR-Fan angewendet. Es wurden 9 verschiedene Konfigurationen simuliert
und miteinander verglichen. Die Unterschiede der Simulationen waren in allen Fällen nicht
signifikant, außer bei der Simulation mit periodischer Hintergrundströmung. In diesem Fall
sind die Unterschiede zu den anderen Simulationen nicht abschließend untersucht. Eine
vorsichtige Prognose auf laufenden Untersuchungen (Wohlbrandt et al., 2017) lässt die
Aussage zu, dass diese Unterschiede auf numerische Probleme zurückzuführen sind. Der
Einfluss der Variation der integralen Längenskala wurde nur unvollständig untersucht.
Es wurde das TLS-Profil so verändert, dass im Nachlauf die Längenskala nicht kleiner
wird als in den Fällen mit konstanter TLS. Daraus resultiert eine Frequenz- und Ampli-
tudenverschiebung der realisierten Turbulenz. Zum Zeitpunkt der Durchführung wurde
111
VII Validierung und Anwendung für zyklostationäre Strömung
der Anpassung der integralen Längenskala im Nachlauf kein großer Stellenwert beigemes-
sen (Wohlbrandt et al., 2015). Inzwischen ist aber bekannt, dass gerade die Längenska-
la einen erheblichen Einfluss auf den abgestrahlten Schall aufweist (Wohlbrandt et al.,
2017), der durch diese Modifikation kaschiert wurde. Auch unter Verwendung eines feine-
ren Gitters wäre zu dem Zeitpunkt aber eine Berücksichtigung der kleineren Längenskalen
wahrscheinlich nicht möglich gewesen, da die zur Verfügung stehenden Filter (Gauss- und
Purser-Filter) für starke Gradienten der Längenskalen instabil werden.
112
VIII Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigte sich mit der Anwendung des Random-Particle-Mesh-
Verfahrens zur Simulation von Fanbreitbandlärm. Mithilfe des Verfahrens können aus zeit-
gemittelten, turbulenten Größen die zeitabhängigen Fluktuationen so erzeugt werden, dass
sie zur Vorhersage der Schallentstehung hinreichend sind. Die zeitgemittelten, turbulen-
ten Größen können aus einer RANS Simulation extrahiert werden. Für die Akustik rele-
vant sind ausschließlich die Zwei-Punkt-Korrelationen, die richtig modelliert werden müs-
sen. Es wird das ”Source-A”-Modell zur Synthetisierung der Turbulenz als divergenzfreie
Geschwindigkeitsfluktuationen verwendet. Die Untersuchungen waren auf zwei Raumdi-
mensionen beschränkt.
In ausgiebigen Vorstudien konnten zur Vorhersage von Vorderkanteninteraktionslärm zwei
robuste Verfahren zur Kopplung der turbulenten Fluktuationen in die Ausbreitungssimu-
lation identifiziert werden. Sowohl die LEE-Relaxationskopplung als auch die Sponge-
Kopplung koppeln freie Turbulenz stromauf der Vorderkante störungsfrei in das Ausbrei-
tungsgebiet ein. Der eigentliche Schallentstehungsmechanismus ist so Teil der Ausbrei-
tungsgleichungen. Es konnte bisher kein Verfahren zur direkten Modellierung der Vorder-
kantenquellen identifiziert werden, das robust und für komplexe Strömungen die Schall-
entstehung vollständig nachbildet.
Um die Vergleichbarkeit des RPM-Verfahrens mit Messungen zu gewährleisten, wurde ein
effizientes Verfahren vorgestellt, das es erlaubt, realistische, isotrope Spektren zu realisie-
ren. Dieses Verfahren bedient sich der Superposition mehrerer Gauss-Spektren, um analy-
tisch ein Zielspektrum zu realisieren. Dadurch wird die Beschränkung des RPM-Verfahren
auf Gauss-Spektren aufgehoben. Es wurden verschiedene Parameter untersucht und fest-
gestellt, dass fünf logarithmisch verteilte Gauss-Realisierungen pro Größenordnung der
Wellenzahl hinreichend für eine glatte Lösung sind.
Das vorgeschlagene hybride Verfahren wurde zunächst bei stationärer Anregung für die
Vorhersage von Vorderkanteninteraktionslärm erfolgreich an der analytischen Lösung zur
harmonischen und zur breitbandigen Turbulenz-Schaufel-Interaktion validiert. Für eine
Übereinstimmung war eine physikalische Modellierung der Singularitäten an Vorder- und
Hinterkante nötig. Die Erweiterung auf stochastisch realisierte Turbulenz wurde in zwei
Anwendungen für Vorderkanteninteraktionslärm – ein lastfreies NACA0012-Profil und ein
angestelltes NACA65(12)-10 im Freistrahl – nachgerechnet und erfolgreich gegen Messun-
gen verglichen. Für die verwendeten Randbedingungen wurden Parametereinstellungen
vorgeschlagen, die sich auf weitere Simulationen anwenden lassen, um eine robuste Vor-
hersage zu ermöglichen.
Das bis dato stationäre Verfahren wurde zur Anwendung auf Fans erweitert, wobei die
Hintergrundströmung und die mittleren, turbulenten Größen sich periodisch verändern.
Die resultierenden Fluktuationen sind damit zyklostationär. Die mittleren Größen wer-
den hierfür aus einer URANS-Simulation entnommen. Durch das vorgestellte Verfahren
können die Teilaspekte der Zyklostationarität einzeln untersucht werden. Ausgehend von
113
VIII Zusammenfassung und Ausblick
einer Stromlinie in der Kanalmitte, wird die Statorschaufelreihe als 2D-Kaskade model-
liert. Die Turbulenzsynthetisierung und CAA-Simulation erfolgen in 2D. Dadurch kann
effizient die abgestrahlte Gesamtschallleistung des Breitbandlärms stromauf und stromab
der Statorreihe vorhergesagt werden. Bei einer Validierung gegen Messungen am NASA
SDT-Modellfan sind die Trends wiedergegeben und die Abweichungen der Schallleistung
liegen innerhalb von 5 dB. Der Einfluss der Grenzschicht wurde untersucht, wobei sich
die Spektren vor allem im tieffrequenten Bereich um bis zu 5 dB unterscheiden. Danach
wurden die einzelnen Effekte der Zyklostationarität hierarchisch und exemplarisch am
DLR-UHBR-Fan untersucht. Es konnte gezeigt werden, dass die Quellen zur Schallentste-
hung an den verschiedenen Statorschaufeln unkorreliert sind. Wird in der Kaskade nicht
die volle Schaufelanzahl berücksichtigt, werden im Spektrum Cut-on-Frequenzen sicht-
bar. Davon abgesehen, sind die Pegel und der Trend des Spektrums einer vollen Kaskade
wiedergegeben. Der Einfluss der Zyklostationarität auf die mittleren akustischen Spektren
scheint vernachlässigbar, obwohl die Zeitsignale sich deutlich unterscheiden. Ausschließlich
die Berücksichtigung der periodischen Hintergrundströmung ändert das Spektrum signifi-
kant. Ursachen dafür werden diskutiert, aber können nicht abschließend geklärt werden.
Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurden die Grundlagen zur Breitbandschallsimulation von
Rotor-Stator-Interaktionslärm mithilfe des RPM-Verfahrens erzeugt und vorgestellt. Es
gilt nun, diese Simulationstechnik in die Anwendung zu bringen und physikalische Phä-
nomene bzgl. der Rotor-Stator-Interaktion eingehend zu studieren. Daneben sind auch
Erweiterungen des bestehenden Verfahrens sinnvoll. Sie werden hier nach den Zielen die-
ser Arbeit zusammengefasst.
Bisher wurden die zyklostationären Simulationen durch eine stationäre Spektralanalyse
durchgeführt. Dadurch werden Unterschiede in den Simulationsergebnissen vernachläs-
sigt. Eine Untersuchung mithilfe von zyklostationärer Spektralanalyse (Jurdic et al., 2009)
könnte hier weitere Einblicke bringen. Besonders für die Verifizierung dieser Analyse sind
die vorliegenden Daten gut geeignet. Auch für die analytische Modellierung sind hieraus
wichtige Erkenntnisse zu erwarten.
Das in dieser Arbeit vorgestellte 2D-Verfahren gewinnt durch die Verwendung mehrerer
radialer Schnitte an Genauigkeit. Darüber hinaus ist eine Anwendung der zyklostationären
Turbulenzrealisierung auf 3D-Simulationen in Zukunft angestrebt. Ähnlich wie in der 2D-
Kaskade muss für eine korrekte Breitbandschallvorhersage die Simulation alle Schaufeln
beinhalten, auch wenn nur die Interaktion der Wirbel mit einer Schaufel simuliert wird.
Dieses ist aktuell sehr kostspielig, da die strukturierte Vernetzung keine Reduktion der
Zellenanzahl auf den anderen Schaufeln zulässt, obwohl nur an der angeregten Schaufel
die Auflösung fein genug sein muss, um die emittierten turbulenten Strukturen aufzulösen.
Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, diesem Problem zu begegnen.
•Für die Schallentstehung durch Turbulenz-Schaufelinteraktion ist die schaufelnor-
male Komponente der Turbulenz maßgeblich für die Schallentstehung (A.13). Daher
ist es vermutlich möglich in der 3D-Realisierung die radiale Komponente der tur-
bulenten Strukturen sehr viel gröber aufzulösen. Das entspricht im Prinzip der
Realisierung mittels der 2D-Kaskade unter zusätzlicher Berücksichtigung der 3D-
Schallausbreitung. Ein ähnlicher Ansatz wäre denkbar, wenn das RPM-Gebiet nicht
die gesamte Kanalhöhe umfasst, sondern nur einen schmalen Bereich anregt, der
dann entsprechend die Turbulenz auflöst.
114
•Sollte es möglich sein, die Quellen der Rotor-Stator-Interaktion explizit zu modellie-
ren, wäre die Auflösung des gesamten CAA-Gebiets nur durch die akustische Wel-
lenlänge bestimmt.
•Polacsek et al. (2015) haben ein Verfahren vorgestellt, wie mit einer einzelnen, ange-
regten Schaufel mit periodischen Randbedingungen in Umfangsrichtung der emit-
tierte Schall vorhergesagt werden kann. Durch dieses Verfahren ist der innerhalb
der CAA ausgebreitete Schall zwischen allen benachbarten Schaufeln voll korre-
liert. Um dieses zu umgehen, verwenden sie aus der Simulation lediglich die insta-
tionären Oberflächendrücke auf der Schaufel für eine Ffowcs-Williams-Hawkings-
Extrapolation.
•Die benötigte Rechenleistung und -zeit muss reduziert werden. Das Ziel ist es, nur
zwischen Einkopplungsebene und der angeregten Schaufel die Wirbelstrukturen auf-
zulösen. In allen anderen Bereichen ist die Auflösung durch die viel größere akustische
Wellenlänge gegeben.
–Die Verwendung eines CAA-Codes für unstrukturierte Gitter würde ermögli-
chen, nur in den relevanten Bereichen zu verfeinern (Bauer et al., 2011).
–Für strukturierte Vernetzung gibt es mehrere Möglichkeiten, nur lokale Verfei-
nerungen zuzulassen, indem Alternativen zur der 1-zu-1-Konnektivität verwen-
det werden. Darunter die Implementierung von overset methods und patched
multiblocks (Baker, 2005). Ersteres ist auch als Chimera-Methode bekannt und
ermöglicht verschiedene Gitter ohne Einschränkungen zu überlagern (Delfs,
2001). Letzteres Verfahren lässt keine Überlappung der Blöcke zu, aber die
Konnektivität ist nun nicht mehr 1-zu-1. Dazu zählen allgemeine Implemen-
tierungen der bewegten Schnittflächen (sliding interfaces), dessen Spezialfall
der unbewegten Schnittfläche und im Besonderen, da besonders effizient, das
Verfahren der 1-zu-2-Konnektivitäten, Hanging Nodes genannt.
–Außerdem gibt es den Ansatz der immersed boundaries (Bobenrieth Miserda
et al., 2010), der eine gitterlose Realisierung der Schaufeloberflächen ermöglicht.
Das zugrunde liegende Gitter des Rohres bedarf damit keiner komplizierten
Topologie. Auch eine Realisierung einer drehenden Schaufelreihe wäre damit
kostengünstig möglich.
•Eine weitere sinnvolle Erweiterung, um die Performanz der Simulationen zu erhö-
hen, ist die numerische Realisierung von lokalen Zeitschrittweiten (Liu et al., 2010).
Dadurch können räumlich grob aufgelöste Blöcke auch zeitlich grob aufgelöst werden
und es kann so erheblich Rechenzeit eingespart werden.
Die Erweiterung der bestehenden Verfahren auf anisotrope Turbulenz hat zwei Vorteile:
(1) Eine realistischere Zuströmturbulenz und (2) die Berücksichtigung von Anisotropie im
Staupunkt. Der erste Punkt ist besonders interessant, da der Rotornachlauf bekanntlich
starke Anisotropie aufweist. Der zweite Punkt verspricht durch die Abbildung der Verzer-
rungen der Wirbel an der Vorderkante eine bessere explizite Modellierung der Quelle für
die Einkopplung direkt an der Vorderkante. Dazu ist ein besseres RANS-Turbulenzmodell
notwendig.
Eine explizite Quelle zur Vorhersage Vorderkanteninteraktionslärm konnte bisher nicht
gefunden werden. Das verwendete Verfahren der Synthetisierung von Zuströmturbulenz
ist auf eingefrorene Turbulenz beschränkt. Eine lokale Realisierung der Quelle würde es
ermöglichen, turbulenten Zerfall zu berücksichtigen und die Anforderungen an die Auflö-
sung des CAA-Gebietes zu reduzieren.
115
VIII Zusammenfassung und Ausblick
Ewert (2016) hat ein Verfahren vorgestellt, dass durch Einsetzen von Gl. (41) in Gl. (159)
aus dem RPM-Modell eine partielle Differenzialgleichung für die Geschwindigkeitsfluktua-
tionen herleitet. Durch Erweiterung dieser Gleichung mit einem Diffusionsterm kann durch
Vergleich mit den Transportgleichungen der zugrundeliegenden RANS für (1) ktund ωt
und einem Schließungsansatz oder (2) dem vollständigen Reynolds-Spannungstensors als
eine vollständige Repräsentation der Turbulenz im Zeitbereich verwendet werden. Diese
sogenannten ”Forced Linear-Advection-Diffusion-Dissipation”-Gleichungen (FLADD) sind
für Vorderkantenlärm besonders aus einem Grund interessant: im Gegensatz zum bishe-
rigen RPM-Verfahren müssen für die Lösung der partiellen Differentialgleichung Randbe-
dingungen formuliert werden. Durch die Implementierung einer Wandhaft- oder einer Slip-
Bedingung könnte eine Möglichkeit gefunden sein, die solenoidalen Anteile der Geschwin-
digkeitsfluktuationen lokal an der Vorderkante zu erzeugen und als Quelle in die APE
einzugeben. Dadurch ist zwar die Lösung eines zusätzlichen Gleichungssystems notwen-
dig, allerdings ist das auf das Quellgebiet und in den bisherigen Überlegungen auf je eine
Gleichung pro Geschwindigkeitskomponente beschränkt.
116
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131
A Herleitungen und vertiefendes Material
1 Statistische Lärmtheorie
Ewert et al. (2011a) etablierten den Begriff der statistischen Lärmtheorie (Statistical Noi-
se Theory) für eine Gruppe von Ansätzen, die die breitbandigen Anteile der Akustik auf
Grundlage der turbulenten Strömungseigenschaften vorhersagen sollen. Die Idee der sta-
tistischen Lärmtheorie basiert auf den Betrachtungen zum Schalldruck im Fernfeld.
p′(x, t)
q(xs, ts)
ˆga(xs,x, ω)
Vs
Abb. 60:
(Turbulente) Quellen q, die
Übertragungsfunktion gaund
der resultierende Schalldruck p
im Fernfeld.
Diese Betrachtungen sind unabhängig davon, ob die Quel-
le qaus der akustischen Analogie qaoder der äquivalenten
Quelle qefolgt. Abb. 60 zeigt ein Skizze des Sachverhalts.
Sind die Quellen qbekannt und beschränkt auf ein Gebiet
Vs, so kann der Schalldruck im Fernfeld p′(x, t)am Beob-
achterpunkt xangegeben werden als (Goldstein, 1976):
p′(x, t) = 1
2π
Vs
∞
−∞
∞
−∞
ˆga(xs,x, ω)q(xs, ts)
exp[−iω(t−ts)]dtsdωddxs.(121)
Dabei ist ddie Anzahl der berücksichtigten, räumlichen
Dimensionen und ˆga(xs,x, ω)ist die Greensche Funk-
tion im Frequenzbereich bezogen auf den Wellenopera-
tor Laus Gl. (4) oder der homogenen Gleichung Ehin
Gl. (5). Die Fourier-Transformationskonventionen sind
durch Gl. (127a) im Anhang A.3 gegeben.
Der Schwankungsdruck p′im Fernfeld ist demnach nur auf Grundlage der Greenschen
Funktion ˆgaund der Quellen qgegeben. Die Greensche Funktion ˆgaist die Übertra-
gungsfunktion zwischen Quellgebiet und Fernfeld und ist nur in speziellen Fällen exakt zu
bestimmen. Es ist begrenzt möglich Greensche Funktionen zu ”schneidern”, d.h. an Rand-
bedingungen anzupassen, vgl. z.B. Goldstein (1976). Im Allgemeinen ist sie aber unbe-
kannt. Hier ist die Verwendung von numerischen Verfahren unabdingbar. In Abschnitt II.1
werden hybride, numerische Verfahren vorgestellt, die die Bestimmung der Greenschen
Funktion durch die Lösung der Ausbreitungsgleichungen unnötig machen. Auch die Quelle
qist im Allgemeinen unbekannt, obwohl die Ansätze der akustischen Analogie und äquiva-
lenter Quellen a priori von einer bekannten Quelle ausgehen. Entweder wird sie analytisch
beschrieben oder muss numerisch bestimmt werden.
Für breitbandige Signale ist nicht wie in Gl. (121) der Schwankungsdruck im Fernfeld
von Interesse, sondern lediglich das Autospektrum Spp des Schwankungsdrucks. Dieser ist
definiert als
Spp(x, ω) = ∞
−∞ ⟨p(x, t)p(x, t +τ)⟩exp(iωt)dτ, (122)
wobei ⟨···⟩ das Ensemble-Mittel beschreibt. Unter der Annahme von Ergodizität (siehe
Fußnote 1 auf S. 51) sind der Ensemble-Mittelwert und der zeitliche Mittelwert gleich. Bei
132
2 Kreuzkovarianz bei turbulentem Zerfall
isotroper, stationärer Strömung ist der räumliche Mittelwert ebenfalls gleich, was aus der
Taylor-Hypothese folgt.
Wird Gl. (122) auf Gl. (121) angewendet, ergibt sich ein Ausdruck für das Fernfeldspek-
trum in Abhängigkeit von der Quelle:
Spp(x, ω) = ∞
−∞
ˆg∗
a(xs,x, ω)ˆga(xs+r,x, ω)⟨q(xs, ts)q(xs+r, ts+τ)⟩
exp[iωτ] dτdxsddr. (123)
Hierbei sind rund τdie räumlichen und zeitlichen Verschiebungen in den Korrelations-
integralen. Das Fernfeld hängt demnach von der Quelle nur über dessen Statistik ab.
Ausschlaggebend ist ausschließlich die Zwei-Punkt-Kreuzkovarianz der Quelle zwischen
den Punkten xsund xs+rund Zeiten tsund ts+τ:
R(xs,r, ts, τ) = ⟨q(xs, ts)q(xs+r, ts+τ)⟩.(124)
Für die Bestimmung des Fernfelddrucks ist nur die zeitgemittelte Zwei-Punkt-Statistik
nötig. Um aber die turbulenten Strömungen selbst zu beschreiben, sind auch andere Statis-
tiken relevant, z.B. Drei-Punkt-Korrelationen (Oetzel und Vallis, 1997). Es ist zu betonen,
dass das für die abgestrahlte Akustik im Fernfeld ohne Ausnahmen und ohne Näherungen
für jede beliebige akustische Analogie oder äquivalente Quelle gilt.
Diese Überlegungen lassen sich auf die quellfreie Modellierung in Gl. (6) übertragen: Da
per Definition die Randbedingungen in quellfreien Bereichen angewendet werden müssen,
ist bei gleicher Ausbreitungsgleichung für Gl. (5) in diesen Bereichen die Quelle qe= 0
und somit die Gl. (5) und Gl. (6) identisch. Die durch die Randbedingung eingekoppelte
Fluktuation ψerfüllt die Ausbreitungsgleichungen. Konvektiert diese Fluktuation in einen
Bereich, wo qe= 0 in Gl. (5), so müssen beide Gleichungssysteme identisch übereinstim-
men, um dieselbe Lösung zu haben. Also ist die Quelle qein Gl. (6) implizit enthalten und
die hier formulierten Anforderungen müssen auch für dieses Gleichungssystem gelten.
Die Anforderungen an die Quelle konnten mittels der statistische Lärmtheorie daraufhin
reduziert werden, dass es hinreichend ist, die zeitgemittelte Zwei-Punkt-Kovarianz zu ken-
nen, um das richtige Fernfeldspektrum vorherzusagen. Allerdings ist es weiterhin nicht tri-
vial, diese zu bestimmen, insbesondere sind die Kovarianzen ortsabhängig. Es ist demnach
eine Modellierung der relevanten Quellen notwendig, auf die noch im Detail eingegangen
wird (III.3).
2 Kreuzkovarianz bei turbulentem Zerfall
Exponentieller Zerfall: Der zeitliche Zerfall wird durch einen exponentiellen Abfall reali-
siert. Dieser wurde von Tam und Auriault (1999) vorgeschlagen und gegen Messun-
gen validiert. Dadurch ändert sich Gl. (9) zu (Ewert, 2008, Gl. (6))
R(xs,r, τ) = ˆ
R(xs)exp −|τ|
τs−π(r−ucτ)2
4l2
s,(125)
hier ist τsdie Zeitskala, also ein Maß für die Zerfallsrate der turbulenten Ballen.
133
A Herleitungen und vertiefendes Material
Zwei Zeitskalen: Durch das Einführen einer zusätzlichen Zeitskala τ2von Siefert und
Ewert (2009) wird die Ableitung der Korrelationsfunktion nach der Zeit auch im
Ursprung stetig differenzierbar:
R(xs,r, τ) = ˆ
R1
1−µexp−|τ|
τs−µexp|τ|
τ2exp π(r−ucτ)2
4l2
s,(126)
wobei µ=τ2
τsdas Verhältnis der Zeitskalen ist.
Höherwertige Modelle: Ewert et al. (2012) haben auch eine Korrelationsfunktion mit
drei Parametern vorgeschlagen, wodurch besonders bei heißer Strömung der zeitliche
Zerfall sehr exakt nachgebildet werden kann.
3 Konventionen der Fourier-Transformation
Folgende Konventionen der zeitlichen und örtlichen Fourier-Transformation werden ver-
wendet (Pope, 2000):
ˆ
f(ω) = 1
2π
∞
−∞
f(t)e−iωtdt, f(t) = ∞
−∞
ˆ
f(ω)eiωtdω, (127a)
ˆ
f(k) = 1
2π
∞
−∞
f(r)e−ikrdr, f(r) = ∞
−∞
ˆ
f(k)eikrdr. (127b)
4 Geschwindigkeitsspektren
Die Geschwindigkeitsspektren sind im Folgenden aufgelistet und in Abb. 61 dargestellt.
von Karman-Spektrum:
E11(k1) = u2
tΛ
π
1
(1 + ˆ
k2
1)5/6(128)
E22(k1) = u2
tΛ
2π
1 + 8
3ˆ
k2
1
(1 + ˆ
k2
1)11/6(129)
Es ergibt sich unter Verwendung von Gl. (22) und E11(k1):1
E2D,K
22 (k1) = 5u2
tΛ
3π
ˆ
k2
1
1 + ˆ
k2
111/6.(131)
1Es sei angemerkt, dass dieses auch folgt, wenn das 2D-Gauss-Geschwindigkeitsspektrum in Gl. (137)
mithilfe der analytischen Gewichtsfunktion fK(l)aus Gl. (70) integriert wird:
E2D,K
22 (k1) = ∞
0
fk(l)E2D,G
22 (k1)dl. (130)
134
4 Geschwindigkeitsspektren
(a) Longitudinale Geschwindigkeitsspekten gültig
in 2D und 3D
(b) Laterale Geschwindigkeitsspekten in 3D
(c) Laterale Geschwindigkeitsspekten in 2D (d) Komponenten des Gauss-Spektrums
(e) Komponenten des von Kármán-Spektrums (f) Komponenten des Liepmann-Spektrums
Abb. 61: Geschwindigkeitsspektren über dimensionslose Wellenzahl k1/ke
135
A Herleitungen und vertiefendes Material
Liepmann-Spektrum:
E11(k1) = Λu2
t
π
1
1+Λ2k2
1
(132)
E22(k1) = u2
tΛ
2π
1 + 3Λ2k2
1
(1 + Λ2k2
1)2(133)
E2D
22 (k1) = u2
tΛ
π
2Λ2k2
1
(1 + Λ2k2
1)2(134)
Gauss-Spektrum:
E11(k1) = u2
tΛ
πe−k2
1Λ2
π(135)
E22(k1) = u2
tΛ
2π1+2k12Λ2
πe−k12Λ2
π(136)
E2D
22 (k1) = 2u2
tΛ3
π2k2
1e−k2
1Λ2
π(137)
5 Korrekturen von 2D zu 3D
Die im Folgenden vorgestellten Korrekturen werden in Abb. 62 dargestellt. In der vorliegen-
den Arbeit werden ausschließlich Untersuchungen im zweidimensionalen Raum gemacht,
alle Verfahren lassen sich jedoch ohne weiteres auf drei Raumdimensionen erweitern. Um
dennoch eine Vergleichbarkeit mit analytischen Lösungen und Messungen zu gewährleisten,
werden Korrekturen benötigt. Die longitudinale Geschwindigkeitskomponente ist identisch
in 2D und 3D, aber alle Korrekturen gehen davon aus, dass der Hauptschallentstehungs-
mechanismus die laterale Geschwindigkeitskomponente ist und dieser unterscheidet sich
stark zwischen 2D und 3D.
Für einen zweidimensionalen Gust ist die Wellenzahl in Spannrichtung e3gegeben durch
k3= 0. Um die zweidimensionale Lösung mit einer dreidimensionalen zu vergleichen, gibt
es verschiedene Ansätze.
5.1 Turbulenzspektren
Die turbulenten Geschwindigkeitsspektren in Strömungsrichtung sind identisch und
in transversaler Richtung gegeben durch den Unterschied der analytischen Spektren
(II.3.2).
Für das von Kármán-Spektrum ergibt sich die Korrektur unter der Annahme, dass nur
die wandnormale Geschwindigkeitskomponente die Schallquelle darstellt, als Quotient aus
E22(k1) = E3D
22 (k1), Gl. (129), und E2D
22 (k1), Gl. (131), zu
E3D
22 (k1)
E2D
22 (k1) =1
10 3ˆ
k−2
1+ 8.(138)
Für hohe Frequenzen sind die 3D-Spektren einen Faktor 0.8kleiner. Bei dimensionslosen
Wellenzahlen kleiner als 1 ist der Term ˆ
k−2
1groß und somit bewirkt die Korrektur eine
Erhöhung des Spektrums.
136
5 Korrekturen von 2D zu 3D
(a) Turbulenz-Korrektur (b) Dieste-Korrektur
(c) Hainaut-Korrektur (d) Ewert-Korrektur
Abb. 62: Vergleich der verschiedenen Korrekturen durch den Quotienten ∆Spp =S3D
pp /S2D
pp in [dB]
exemplarisch für ein von Kármán-Spektrum mit Λ = 0.03m, einer Spannweite von L= 0.53m
bei verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten u0. Dieser Fall entspricht gerade der Messung von
Paterson und Amiet (1976), welche in Kapitel VI.3.2 nachgerechnet wird.
5.2 Fernfelddruckspektrum
Korrektur nach Dieste: Für den Vergleich der Fernfelddruckspektren einer unendlich
dünnen Platte S3D
pp (x, y, 0, ω)in 3D und S2D
pp (x, y, ω)in 2D ist dies von Dieste und Gabard
(2012) hergeleitet zu
S3D
pp (x, y, 0, ω) = kLΦ3D
22 (k1,0)
σE2D
22 (k1)S2D
pp (x, y, ω)(139)
mit σ=x2+ (1 −M2)y2und der Spannweite der Platte L, siehe Abb. 64 auf Seite 153.
Dabei ist Φ3D
22 (k1,0) das zweidimensionale Wellenzahlgeschwindigkeitsspektrum in drei
Raumdimensionen:
Φ3D
22 (k1, k3) = ∞
−∞
Φ22(k1, k2, k3)dk2,(140)
ausgewertet bei k3= 0.
Dieste und Gabard (2012) berücksichtigen dadurch sowohl die Korrektur der 2D- auf die
3D-Geschwindigkeitsspektren als auch die Ausbreitung in das Fernfeld. Diese Formulierung
137
A Herleitungen und vertiefendes Material
leitet sich aus der analytischen Lösung von Amiet (1976b) für Vorderkanteninteraktions-
lärm her und geht davon aus, dass die Schallquelle vollständig durch das laterale Geschwin-
digkeitsspektrum charakterisiert ist. Bei Schaufeln, die sich von der unendlich dünnen
Platte unterscheiden, ist diese Annahme verletzt und diese Korrektur nicht exakt.
Für das von Kármán-Spektrum zum Beispiel ergibt sich die Korrektur durch Einsetzen
von Gl. (14) in Gl. (19), dies wird mittels Gl. (140) integriert und zusammen mit Gl. (131)
ergibt sich für Gl. (139):
S3D
pp (x, y, ω) = kL
σ
11
12√π
Γ(7/3)
Γ(17/6)
1
ke
1
1 + ˆ
k2
1
S2D
pp (x, y, ω).(141)
Korrektur nach Hainaut: Hainaut et al. (2015) haben die Formulierung von Dieste und
Gabard (2012) uminterpretiert zu
S3D
pp (x, y, 0, ω) = kLΦ3D
22 (k1,0)
σE3D
22 (k1)S2D
pp (x, y, ω)(142)
=klz(ω)L
πσ S2D
pp (x, y, ω).(143)
Somit berücksichtigen sie in der Korrektur nicht, dass sich die Form des für die Quelle maß-
geblichen Geschwindigkeitspektrums in 2D und 3D unterscheidet. Stattdessen verwenden
sie die Definition der lateralen Korrelationslänge2, gegeben in Gl. (144). Dies funktio-
niert für ihre Betrachtungen, da sie in ihrer 2D-Simulation durch empirische Gewichtung
ein 3D laterales Geschwindigkeitsfeld realisieren. Dadurch stellt sich jedoch ein falsches
longitudinales Geschwindigkeitsfeld ein.
Wird in der Simulation von den 2D-Geschwindigkeiten eines 3D turbulenten Feldes ausge-
gangen, so ist diese Korrektur unter denselben Annahmen gültig wie die Korrektur nach
Dieste.
Korrektur nach Ewert: Unter der Annahme, dass die Korrelationslänge in Spannrichtung
l3(ω)kleiner ist als die Spannweite Lund diese wiederum kleiner ist als der Abstand
zum Beobachter R, also l3(ω)<L<R, leiten Ewert et al. (2009a) eine Korrektur für
die Abstrahlung von Hinterkantenlärm für eine im zweidimensionalen Raum realisierte
dreidimensionale Turbulenz her:
S3D
pp =kl3(ω)L
2πR S2D
pp (147)
Lp(x, y, 0, ω)|3D=Lp(x, y, ω)|2D+ 10 log C
2π
L
RM∞(148)
2Für 3D-Spektren lässt sich die laterale Korrelationslänge l3als Verhältnis der lateralen Wellenzahlspek-
tren geben
Φ3D
22 (k1,0)/Φ3D
22 (k1) = l3(ω)
π.(144)
Für das von Kármán-Spektrum gibt Reboul (2010) die Korrelationslänge in Spannrichtung l3(ω)
l3(ω) = 8Λ
3Γ(1/3)
Γ(5/6)2ˆ
k2
1
(3 + 8ˆ
k2
1)1 + ˆ
k2
1
.(145)
Für das Gauss-Spektrum ist sie gegeben als
l3(ω) = Λ.(146)
138
6 Schließungsansätze
mit der Freifeld-Machzahl M∞, einem 2D-Polarradiusvektor Rin der Mittelebene der
Spannrichtung z= 0 mit R=x2+y2, der Spannweite Lund einer empirischen Kon-
stante 1.4≤C≤2.1ausgehend von Messungen. Diese Formel beinhaltet die Korrektur
von 2D- auf 3D-Schallausbreitung und von 2D- auf 3D-Turbulenz mit einer lateralen Wel-
lenzahl l3=Cu0
ω.
Ewert et al. (2009a) gehen von den 2D-Geschwindigkeiten auf einer x, y-Ebene aus einem
3D turbulenten Feld aus. Bei 2D-Turbulenz werden Geschwindigkeit nur durch die e3-
Komponente der Wirbelstärke ωinduziert. Bei 3D-Turbulenz sind darüber hinaus auch
Geschwindigkeitskomponenten in der x, y-Ebene anwesend, induziert durch die anderen
Wirbelstärkekomponenten in e1- und e2-Richtung. Ähnlich wie Hainaut et al. (2015) ist die
Ewert-Korrektur also nur eine Korrektur der Schallausbreitung und nicht der Turbulenz
von 2D- auf 3D-Turbulenz.
Diese Korrektur ist zwar für Hinterkantenlärm hergeleitet, ist aber ohne weiteres auf Vor-
derkantenlärm anwendbar, da die Art der Quelle nicht die Herleitung beeinflusst, solange
der Abstand Rvon der Quellposition aus gemessen wird. Für den vorliegenden Fall muss
also der Koordinatenursprung an der Vorderkante gewählt werden. Diese Formel gilt nur
für hohe Frequenzen. Für tiefe Frequenzen ist dieses Verhältnis proportional zur Kreisfre-
quenz ω2.
Vergleich der Korrekturen: Die Dieste-Korrektur ist identisch mit der Hainaut-Kor-
rektur, berücksichtigt aber zusätzlich die Korrektur von 2D- zu 3D-Turbulenz. Die Ewert-
und Hainaut-Korrekturen sind sehr ähnlich und unterscheiden sich lediglich um einen
Faktor 1/2und einen Doppler-Faktor (1 −M2).
Wäre der Hauptschallentstehungsmechanismus der longitudinalen und nicht der lateralen
Komponente zuzuschreiben, so wäre keine Turbulenzkorrektur notwendig, sondern ledig-
lich eine Korrektur der Schallausbreitung. In diesem Fall wären die Korrekturen nach
Hainaut oder Ewert vorzuziehen. In der vorliegenden Arbeit werden aber nur die Dieste-
Korrektur in Gl. (139) und die Turbulenzkorrektur in Gl. (138) verwendet.
6 Schließungsansätze
Lineare Schließungsansätze: Null-, Ein- und Zwei-Gleichungsturbulenzmodelle setzen
für die Wirbelviskosität auf der Boussinesq-Hypothese (Fiedler, 2003) auf. Diese pos-
tuliert, dass der Reynolds-Spannungstensor ρu′
iu′
jproportional zu dem mittleren Deh-
nungsgeschwindigkeitstensor Sij mit
Sij =
1
2∂¯ui
∂xj
+∂¯uj
∂xi2
(149)
ist:
−ρu′
iu′
j= 2µtSij −2
3ρktδij,(150)
wobei µtdie Wirbelviskosität und ktdie turbulente kinetische Energie ist.
Diese Annahme basiert auf der Idee, dass der Effekt der Wirbelviskosität auf die mittle-
re turbulente Strömung derselbe ist, wie der Effekt der molekularen Viskosität auf eine
laminare Strömung. Diese Annahme erlaubt außerdem Skalare für die turbulente Energie
und Dissipation zu verwenden und diese Skalare in Verbindung mit intuitiven Größen, wie
139
A Herleitungen und vertiefendes Material
Turbulenzintensität und turbulente Längenskalen, zu bringen. Diese Annahme ist streng
genommen nur gültig für einfache Strömungen, wie gerade Grenzschichten und Nachläu-
fe. In komplexer Strömung ist diese Annahme verletzt. Dies erklärt wiederum, weshalb
Zwei-Gleichungsmodelle Schwierigkeiten haben, rotierende Strömungen und Strömungen,
an denen Krümmung und Entschleunigung relevant sind, vorherzusagen. Insbesondere gilt
dies für den Staupunkt (Schmitt, 2007).
Staupunktanomaliekorrektur: Aus diesem Grund wurden sogenannte Staupunktanoma-
liekorrekturen eingeführt. Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, seien hier zwei Modelle
erwähnt. Ersteres nur, weil es sehr weit verbreitet ist und letzteres, da es in dieser Arbeit
angewendet wird.
Kato & Launder Modifikation: Aufgrund der Boussinesq-Hypothese wird die turbu-
lente Produktion in Bereichen mit großen Normaldehnungen, z.B. in Staupunkten, über-
schätzt. Kato und Launder (1993) haben eine ad-hoc Modifikation des Produktionsterms
Pder k-Gleichung vorgeschlagen, in dem sie einen der Dehnungsgeschwindigkeitstensoren
Sij aus Gl. (149) durch die Wirbelstärke Ωij
Ωij =
1
2∂¯ui
∂xj−∂¯uj
∂xi2
(151)
ausgetauscht haben. Also anstatt
P=µtSijSji benutzen sie P=µtSijΩji.(152)
Für inkompressible Strömung kommt dies einem Vertauschen des Vorzeichens gleich. Von
diesem Ansatz wird stark abgeraten, da nicht nur die Produktion im Staupunkt einge-
schränkt wird, sondern auch außerhalb (Durbin, 1996; Rung, 2003).
Schwarzsche Ungleichung: Die minimalste Anforderung an ein Turbulenzmodell ist
die Realisierbarkeit (Realisability), d.h. für jede beliebige Strömung müssen die Elemente
der Hauptdiagonale des Reynolds-Spannungstensors jederzeit nicht-negativ sein. Daraus
folgt eine Schwarzsche Ungleichung, die als Limiter implementiert werden kann. Die-
ser Limiter ermöglicht ein physikalisches und numerisch stabiles Verfahren, welches nur
da inkorrekte turbulente Eigenschaften vorhersagt, wo die Boussinesq-Hypothese nicht
gilt.
Schließungsansätze höherer Ordnung - EARSM: Um der Staupunktanomalie zu entge-
hen, können Schließungsansätze höherer Ordnung verwendet werden (Durbin, 1996). Aber
bereits Ansätze der zweiten Ordnung führen dazu, sieben zusätzliche, stark gekoppelte
Transportgleichungen lösen zu müssen, so z.B. bei dem Reynolds-Spannungstransport-
modell (RSTM, von engl. Reynolds-Stress Transport Modell). In der vorliegenden Arbeit
wird daher das explizit algebraische Reynolds-Spannungsmodell (EARSM) von Hellsten
(2005) in der Implementierung von Franke et al. (2010) benutzt. Dies gehört zu der Klas-
se von nicht-linearen Wirbelviskositätsmodellen, die eine Approximation an das RSTM
darstellen. Die Boussinesq-Hypothese aus Gl. (150) wird dabei ersetzt durch
−ρu′
iu′
j= 2µtSij −2
3ρktδij −ρkta(ex)
ij ,(153)
wobei a(ex)
ij die sogenannte Extraanisotropie ist. Dieser Ansatz führt dazu, dass neben
den zwei Transportgleichungen von Menter (1994) zusätzlich nur eine explizit algebraische
140
7 Spektrale Lücke
Gleichung zu lösen ist. Aus dieser zusätzlichen Gleichung lassen sich alle Einträge des
Reynolds-Spannungstensors bestimmen. Dies kann aber nur eine schwache Anisotropie
sein, da nicht wie beim RSTM für jede Komponente der Reynolds-Spannungen eine
Transportgleichung berechnet wird.
Der Vorteil gegenüber dem linearen Schließungsansatz ist, dass keine Staupunktanomalie
mehr existiert und somit die Turbulenz an der Vorderkante besser vorhergesagt wird.
Wie diese Arbeit zeigen wird, ist diese Güte für die lokale Turbulenzsynthetisierung im
Vorderkantenbereich Voraussetzung. Es kann nicht abschließend geklärt werden, ob sie
auch hinreichend dafür sind.
7 Spektrale Lücke
Im Kontext der URANS-Simulationen (III.1.3) exisitert eine Diskussion ob eine spektrale
Lücke zwischen den Skalen der URANS und den Turbulenzskalen überhaupt nötig ist.
Launder (2000) definiert die Bedingung einer spektralen Lücke:
Die benötigte Integrationszeit, die die Reynolds-Spannungen eindeutig defi-
niert, sollte klein sein im Vergleich zu jener, in der die Grundströmung sich
merklich ändert.
Es gibt eine zähe Diskussion, ob die spektrale Lücke zwischen URANS- und Turbulenz-
skalen überhaupt nötig ist. Rung (2003) schreibt, dass bei instationären Strömungen die
statistische Modellierung nur solange zulässig ist, wie von einer spektralen Lücke ausge-
gangen werden kann. Die mittleren Schwankungen sollten demnach ein bis zwei zeitliche
Größenordnungen unterhalb den modellierten turbulenten Schwankungen liegen. Dies ist
bei Triebwerkssimulationen nicht gegeben, weshalb Eulitz (2000) zu Skepsis rät. Rung
(2003) meint weiter, die vielen Schwierigkeiten bei der statistischen Turbulenzmodellie-
rung rührten daher, dass sich die transienten und turbulenten Phänomene im Wellenzah-
lenbereich überlagern. Ein Rücktransfer von Energie aus den Turbulenzmodellen in die
Grundströmung ist so nicht gegeben. Spalart (2000) gibt als Erklärung für den Erfolg
von URANS Simulationen an, dass das Turbulenzmodell in Zonen ohne spektrale Lücke
kaum Zeit hat, die transiente gemittelte Strömung zu manipulieren. Der Fehler der fal-
schen Modellbildung ist damit klein. Für periodische Strömungen, wie in einer URANS, ist
das Energiespektrum der Grundströmung auf einen engen Wellenzahlbereich beschränkt.
Damit ist die Anforderung an die spektrale Lücke reduziert und eine Superposition beider
Anteile möglich. Rung (2003) gibt zur Abschätzung der Güte einer URANS Simulation
mit periodischer Hintergrundströmung folgende Formel an:
Tm
Tt≈γRe1/5
St (154)
mit der Strouhal-Zahl St =fL
U=L
UTm,Tmund Ttdie Periodendauer der mittleren und
der turbulenten Strömung und γ∈[1,10] für Wandgrenzschichten oder γ∈[0.1,1] für
freie Scherschichten.
8 Akustische Perturbationsgleichungen (APE)
Neben dem Vorteil der Stabilität ist auch der Rechen- und Speicheraufwand geringer, da
die Verwendung der Isentropenbeziehung p′=c2
0ρ′zu einer Reduktion des Gleichungs-
systems um eine Gleichung führt. Diese sogenannten Acoustic Perturbation Equations in
141
A Herleitungen und vertiefendes Material
der APE-1 Formulierung sind ein Störgleichungssystem für eine Wellengleichung. Werden
die Navier-Stokes-Gleichungen so umgestellt, dass die linke Seite dem homogenen Anteil
dieser APE-1 Formulierung entspricht, stellt dieses System eine akustische Analogie (vgl.
S. 13) dar. Diese Formulierung wird als APE-4 bezeichnet (Ewert, 2002) und ist gegeben
als:
∂p′
∂t + ¯c2∂
∂xj¯ρu′
j+ ¯uj
p′
¯c2= ¯c2qc(155a)
∂u′
i
∂t +∂u′
j¯uj
∂xi
+∂
∂xi
p′
¯ρ=qm,i (155b)
mit
qc=−∂
∂xjρ′u′
j−ρ′u′
j+¯ρ
cp
Ds′
Dt(156a)
qm,i =−(ω×u)′ei+T′∂
∂xi
¯s−s′∂
∂xi
¯
T−1
2
∂
∂xiu′
ju′
j−u′
ju′
j+1
ρ∂τij
∂xj′,(156b)
der Entropiefluktuation s′und der Wirbelstärke ω=∇ × u. Der Term (ω×u)′ist
bekannt als Lamb-Vektor3. Die linke Seite dieser Formulierung in Gl. (155) ist identisch
zu der APE-1 Formulierung, die nur eine akustische Ausbreitung zulässt. Die rechte Seite
beinhaltet alle von dieser Formulierung abweichenden Terme der nichtlinearen Euler-
Gleichungen. Somit sind Gl. (28) und Gl. (155) bis auf den Umstand identisch, dass die
rechte Seite von Gl. (155) auch nichtlineare Terme beinhaltet. Die Quellen qcund qm
stellen die Gesamtheit aller Quellen der linearen, nichtviskosen Akustik dar.
Wirbelquellen: Für lineare, wirbelbezogene Schallquellen sind nur jene Quellen in
Gl. (156) relevant, die auf die Wirbelfluktuationen Einfluss nehmen. Wird die Rotation
der Impuls-Gl. (155b) betrachtet, so bleibt als Quelle nur der Lamb-Vektor (ω×u)′
bestehen. Durch Linearisierung folgt:
qm,lin,ω =−ω′×u0−ω0×u′.(158)
Dieser Term stellt die Hauptschallquelle für linearen Wirbelschall dar (Ewert, 2002,
S.89).
Strahllärmquellen: Es ist theoretisch möglich, dass auch für Strahl- und Verbrennungs-
lärm der Ansatz der akustischen Analogie verwendet würde. Allerdings ist es dann nicht
mehr ohne weiteres möglich, die Menge an Quellen in Gl. (156) zu reduzieren. Es müss-
ten sowohl Entropiefluktuationen s′als auch Geschwindigkeitsfluktuationen u′modelliert
werden. Daher wird für Strahllärm eher auf den Ansatz der äquivalenten Quellen (S. 13)
zurückgegriffen (Tam und Auriault, 1999). In der numerischen Anwendung mit RPM wird
in der Literatur dafür die LEE verwendet und als Quellen auf der rechten Seite äquivalente
Quellen gesetzt (Ewert et al., 2012).
3
(ω×u)′ei=∂ui
∂xj
uj−∂uj
∂xi
uj′
ei(157)
Da erheblich kompakter, wird im Folgenden für den Lamb-Vektor auf die Tensorschreibweise verzichtet.
142
9 Weißes Rauschen
9 Weißes Rauschen
Für zerfallende Turbulenz: Je nach verwendeter Korrelationsfunktion sind verschiedene
Definitionen des weißen Rauschens Uinotwendig.
1-Parameter-Langevin-Modell: Für den exponentiellen Zerfall in der Korrelationsfunk-
tion in Gl. (125) wird der Zerfall mittels einer Langevin-Gleichung modelliert (Billson
et al., 2003; Siefert und Ewert, 2009). Dazu wird Gl. (44) gegen folgende Definition aus-
getauscht:
D0Ui(x, t)
Dt=−1
τsUi+2
τs
ξi.(159)
Dabei ist τsdie Zeitskala und ξiist ein zweites weißes Rauschen, dass die Definitionen in
Gl. (42)-Gl. (44) erfüllt.
2-Parameter-Langevin-Modell: Für die Realisierung des Zerfalls in der Korrelati-
onsfunktion in Gl. (126) wird Gl. (44) gegen folgende, zweistufige Definition ausge-
tauscht (Dieste und Gabard, 2012, Gl. (5.31)):
D0Ui(x, t)
Dt=−1
τsUi+Wi(160a)
D0Wi(x, t)
Dt=−γWi+2γξi.(160b)
mit γ=1
τ2−1
τs. Es ist also eine Überlagerung des unkorrelierten weißen Rauschens Ui
mit einem in der Strömung konvektierten zweiten weißen Rauschen Wi. Die Zeitskalen τs
und τ2sind bei diesem Prozess austauschbar.
3-Parameter-Langevin-Modell: Ewert et al. (2012) haben ein weiteres Modell publi-
ziert, das das Zerfallsmodell von Tam et al. (2005) für den heißen Strahl realisiert, Ergeb-
nisse werden in dieser Arbeit aber nicht erneut gezeigt. Es basiert auf der Gewichtung des
1-Parameter-Langevin-Modells in Gl. (159) für die Zeitskala τsund des 2-Parameter-
Langevin-Modells in Gl. (160) für die Zeitskalen τsund τ2mittels eines dritten Parame-
ters ξ∈[0,1]:
Ui,mix =ξUi|aus Gl. (159) +1−ξ2Ui|aus Gl. (160) .(161)
Haystacking: Dieses Verfahren ist der Vollständigkeit halber erwähnt, findet hier aber
keine Anwendung. Für Haystacking haben Siefert und Ewert (2009) eine weitere alternative
Definition der Gl. (44) eingeführt:
DUi(x, t)
Dt= 0,(162)
wobei D
Dt=∂
∂t + [u0+ut]·∇ die materielle Ableitung mit der Konvektionsgeschwindig-
keit der Hintergrundströmung u0plus der Fluktuationsgeschwindigkeit utaus der syn-
thetischen Turbulenz selbst ist. Das bedeutet, dass die synthetischen Fluktuationen in
diesem Fall nicht als Quelle in die CAA-Gleichungen eingehen, sondern als veränderliche
Hintergrundströmung. Dadurch verändert sich lokal die Schallgeschwindigkeit und daraus
resultiert die zu modellierende Refraktion.
143
A Herleitungen und vertiefendes Material
10 Durch das RPM-Verfahren realisierte Korrelationsfunktionen
10.1 Korrelationsfunktion einer beliebigen Funktion Ψi
Es wird gezeigt, dass die Kovarianz in Gl. (9) aus dem stochastischen Ansatz in Gl. (41)
folgt. Verwendet wird dazu der Gauss-Filterkern in Gl. (46) und der Definition des wei-
ßen Rauschens in Gl. (42), Gl. (43) und entweder Gl. (44) für eingefrorene Turbulenz
oder Gl. (159) für zerfallende Turbulenz.
Die folgende Herleitung wird in zwei Raumdimensionen für einen Skalar Ψdurchgeführt.
Im 3D-Raum für eine vektorwertige Funktion Ψmit 3 Komponenten folgt die Herleitung
derselben Argumentation unter Berücksichtigung folgender zusätzlicher Charakteristik des
weißen Rauschens:
<Ui(x, t)Uj(x+r, t)>=δijδ(r).(163)
Daraus lässt sich ableiten, dass die jeweiligen Korrelationsfunktionen der drei Komponen-
ten von Ψunabhängig voneinander und identisch zu der Korrelationsfunktion des Skalars
Ψin 2D sind.
Gl. (41) ist in 2D für einen Skalar Ψgegeben als
Ψ(x, t) = Vs
ˆ
AG(x−x′)U(x′, t)d2x′(164)
Die Kreuzkovarianz RΨ(x,r, τ)ist allgemein definiert als (Pope, 2000)
RΨ(x,r, τ) =<Ψ(x, t)Ψ(x+r, t +τ)> . (165)
Einsetzen von Gl. (164) ergibt
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)ˆ
A(x+r) G(x−x′)G(x+r−x′′)
<U(x′, t)U(x′′, t +τ)>d2x′d2x′′.(166)
Für eingefrorene Turbulenz lässt sich die Definition des weißen Rauschens in Gl. (43) und
Gl. (44) zusammenfassen zu (Ewert et al., 2011a)
<U(x′, t)U(x′, t +τ)>=1
ρ0(x′)δ(x′′ −x′−u0τ).(167)
Unter der Annahme eines inkompressiblen Strömungsfeldes, d.h. ∇·(ρ0u0)=0und ρ0=
const, einer konstanten Längenskala ls=const und einer sich nur langsam ändernden
Amplitude ˆ
A(x+r)≃ˆ
A(x), ergibt sich für Gl. (166)
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)2
ρ exp−π
2|x−x′|2
l2
sexp−π
2|x+r−x′′|2
l2
s
δ(x′′ −x′−u0τ)d2x′d2x′′.
Die Lösung des Integrals für die Faltung mit einer Delta-Distribution f(x)δ(x−x′)dx=
f(x′)ergibt nur eine nicht-triviale Lösung , wenn x′′ =x′−u0τund somit folgt weiter
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)2
ρexp−π
2|x−x′|2+|x−x′+r−u0τ|2
l2
sd2x′.
144
10 Durch das RPM-Verfahren realisierte Korrelationsfunktionen
Die verbleibende Integration in beide Raumrichtungen kann separiert werden durch
|x−x′|2+|x−x′+r−u0τ|2=(x1−x′
1)2+ (x2−x′
2)2+
+ (x1−x′
1+r1−u0,1τ)2+ (x2−x′
2+r2−u0,2τ)2
(168)
|x−x′|2+|x−x′+r−u0τ|2=2(x1−x′
1)2+ 2(x1−x′
1)(r1−u0,1τ)+(r1−u0,1τ)2
+ 2(x2−x′
2)2+ 2(x2−x′
2)(r2−u0,2τ)+(r2−u0,2τ)2.
(169)
Daraus folgt
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)2
ρ
×exp−π
2
2(x1−x′
1)2+ 2(x1−x′
1)(r1−u0,1τ)+(r1−u0,1τ)2
l2
sdx′
1
×exp−π
2
2(x2−x′
2)2+ 2(x2−x′
2)(r2−u0,2τ)+(r2−u0,2τ)2
l2
sdx′
2.(170)
Um diese Integrale zu lösen, wird substituiert xi−x′
i=simit dx′
i=dsiund der folgenden
Identität (Bronstein et al., 2008)
∞
−∞
kexp−fx2+gx +hdx=kπ
fexpg2
4f+h.(171)
Unter der zusätzlichen Annahme, dass die Gauss-Halbbreite viel kleiner ist als das Inte-
grationsgebiet V2
s, so dass die Integration über Vsvergleichbar ist zur Integration in ∞,
können die Konstanten identifiziert werden zu
f=π
l2
s
, g =−π
l2
s
(ri−u0,iτ), h =−π
l2
s
(ri−u0,iτ)2
2.(172)
Das Integral in Gl. (170) kann dementsprechend gelöst werden:
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)2
ρl2
sexp−π
4l2
s
(r1−u0,1τ)2−π
4l2
s
(r2−u0,2τ)2.
Daraus ergibt sich die Kreuz-Kovarianz des skalaren Funktion Ψ
RΨ(x,r, τ) = ˆ
A(x)2
ρl2
sexp−π
4l2
s|r−u0τ|2.(173)
Dies ist die Funktion in Gl. (9).
10.2 Korrelationsfunktion der Geschwindigkeitsfunktionen
Im Folgenden wird aus der Kovarianz RΨeiner Stromfunktion Ψin 2D, die Korrelati-
onsfunktionen Rij der Geschwindigkeitsfunktionen abgeleitet. Es gilt Gl. (39) zwischen
Stromfunktion und Geschwindigkeitsfunktionen und entsprechend gilt Gl. (52) für das
Verhältnis der Kovarianzen.
Die Ableitung der Kovarianz der Stromfunktion der Gl. (50) ergibt
∂RΨ
∂ri
=−π
2l2
s
(ri−u0,iτ)RΨ.(174)
145
A Herleitungen und vertiefendes Material
Damit wird Gl. (52) zu
Rij =ϵikϵjl
π
2l2
sδkl −π
2l2
s
(rl−u0,lτ)(rk−u0,kτ)RΨ.(175)
Explizit aufgelöst folgt
R11(x,r, τ) = π
2l2
s1−π
2l2
s
(r2−u0,2τ)2RΨ(x,r, τ),
R22(x,r, τ) = π
2l2
s1−π
2l2
s
(r1−u0,1τ)2RΨ(x,r, τ),
R12(x,r, τ) = π2
4l4
s
(r1−u0,1τ)(r2−u0,2τ)RΨ(x,r, τ).
(176)
Die Varianz der Geschwindigkeitsfluktuationen kann daraus bestimmt werden
ˆ
R=Rij(x,0,0) = π
2l2
sRΨ(x,0,0) = ˆ
A(x)2π
2ρ(177)
Und die Korrelationsfunktionen ergeben sich zu
R11(x,r, τ) = 1−π
2l2
s
(r2−u0,2τ)2RΨ(x,r, τ)
R22(x,r, τ) = 1−π
2l2
s
(r1−u0,1τ)2RΨ(x,r, τ)
R12(x,r, τ) = π
2l2
s
(r1−u0,1τ)(r2−u0,2τ)RΨ(x,r, τ)
(178)
11 Weitere Kopplungsverfahren
Die im RPM-Verfahren synthetisierten Quellen müssen in die CAA Simulation eingekop-
pelt werden. Aus den synthetischen Fluktuationen entsteht in diesem Kopplungsprozess
Schall, der mittels der CAA propagiert wird. Um die Fluktuationen in die Ausbreitungs-
gleichungen einzukoppeln, gibt es zwei Ansätze:
(1) RB-Kopplung – Durch Modifikation der Randbedingungen (RB) in das sonst homo-
gene4Gleichungssystem, dies entspricht einer impliziten Quelle (II.2.2), und
(2) RHS-Kopplung– Als Zwangsbedingungen auf der rechten Seite (RHS) des inhomo-
genen Gleichungssystems, dies entspricht einer expliziten Quelle (II.2.1).
Alle im Folgenden vorgestellten Kopplungsmöglichkeiten sind in Abb. 63 in einem Baum-
diagramm zusammengefasst.
11.1 RB-Kopplung
Die Fluktuationen werden entsprechend Gl. (6) geräuschlos in die Ausbreitungsgleichungen
mittels verschiedener Randbedingungen eingekoppelt. Geräuschlos heißt, dass die Fluk-
tuationen die Ausbreitungsgleichungen erfüllen müssen und die Kopplung selbst keinen
Schall erzeugt. Erst durch die Interaktion der Fluktuationen mit Strömungsgradienten
oder Oberflächen entsteht Schall. Der Schallentstehungsmechanismus ist also Teil der Aus-
breitungsgleichungen und muss nicht modelliert werden. Durch die Wahl von komplexeren
4RHS ist identisch Null.
146
11 Weitere Kopplungsverfahren
Quellkopplung
Durch RB
(implizite Quelle)
Randzellen
Wand
Goldstein
Biot-Savart
Radiation
Volumenzellen
Sponge
Relaxation
Durch RHS
(explizite Quelle)
Quelle ver-
letzt i.A. RB
Skalierung
vor Filterung
Quelle erfüllt RB
Filterung vor
Skalierung
Skalierung vor Filte-
rung und Korrektur
mit Goldstein
Gold-
stein-
Kopplung
Biot-Savart-
Kopplung
Radiation-
Kopplung
Sponge-
Kopplung
LEE-
Relaxations-
kopplung
Originale
RHS-Kopplung
Varianz-
korrigierte
RHS-Kopplung
Gold-
stein-
korrigierte
RHS-Kopplung
Oberflächen-
kopplung
Stromauf-
Einkopplung
Lokale
Einkopplung
Abb. 63: Übersicht über die verschiedenen Kopplungsmöglichkeiten der Quellen aus dem RPM-
Modul in die CAA-Simulation. Es wird hierbei nicht das Quellmodell verändert, sondern lediglich
die Art, wie die Quelle in das CAA-Gebiet eingekoppelt wird. Am rechten Rand steht die im Fol-
genden verwendete Bezeichnung der jeweiligen Kopplung. Die gestrichelten Boxen fassen bestimm-
te Gruppen von Kopplungen zusammen, die LEE-Relaxationskopplung wird in dieser Arbeit als
Stromauf-Einkopplung verwendet, es könnte aber theoretisch auch als lokale Einkopplung verwen-
det werden.
147
A Herleitungen und vertiefendes Material
Ausbreitungsgleichungen, z.B. nichtlinear oder reibungsbehaftet, werden bei gleicher ein-
fallender Quelle auch die entsprechenden Entstehungsmechanismen berücksichtigt. Damit
sind die Anforderungen an das Quellmodell im RPM-Verfahren geringer. Dennoch verliert
dieses Verfahren den Vorteil der Lokalität, d.h. die Kopplung passiert nicht dort, wo der
Schall entsteht. Der Einkopplungsbereich und der Schallentstehungsort dürfen sich nicht
überlagern und dazwischen muss die Gitterauflösung fein genug sein, um die Turbulenz
dissipationsfrei bis zum Schallentstehungsort zu konvektieren. Außerdem können die Fluk-
tuationen, wenn sie einmal eingekoppelt wurden, nicht mehr von außen beeinflusst wer-
den. Dieses letzte Argument ist nicht zutreffend für das LEE-Relaxationsverfahren (Ewert
et al., 2014). Es ermöglicht nur, die rotationsbehafteten Fluktuationen zu beeinflussen,
z.B. können sie gedämpft werden.
Randzellen:
Goldstein-Methode: Diese Methode wird von Goldstein (1976) beschrieben und von
Dieste und Gabard (2012) verwendet. Da Goldstein die Formulierung für homogene Strö-
mung ableitet, ist für inhomogene Strömungen diese Randbedingung nicht mehr als Quelle
aufzufassen.
Für homogene Strömungen werden die einfallenden, ungestreuten Geschwindigkeitsfluk-
tuationen uiauf dem RPM-Gebiet in die Wandrandbedingung (III.2.3) der LEE-Lösung
eingekoppelt. Dadurch wird Gl. (30) zu
u′·nwand =−ui.(179)
Durch das negative Vorzeichen ergibt die Superposition der Lösung auf dem Ausbreitungs-
gebiet mit der Lösung auf dem RPM-Gebiet (für das die Oberfläche nicht existiert) eine
wandnormale Geschwindigkeit gleich Null.
Das turbulente Geschwindigkeitsfeld, das durch das RPM-Verfahren erzeugt wird, wird
mithilfe der Goldstein-Kopplung in die LEE-Simulation eingebracht. Somit ist die wand-
normale Geschwindigkeit un=u′·nim CAA-Gebiet nicht Null, wie bei der Herleitung
der Randbedingung angenommen (Delfs et al., 2008, Kapitel 4.3), sondern eine Funktion
der Zeit:
un=f(t)(180)
Die Herleitung ändert sich damit wie folgt (Änderungen sind in blau dargestellt): Skalar-
multiplikation der Impulsgleichung mit dem Wandnormalenvektor nergibt eine Gleichung
für den Druck in der Geisterschicht (ghost layer):
ρ∂uj
∂t nj+ρui
∂uj
∂xi
nj+nj
∂p
∂xj
= 0.(181)
Mithilfe der Taylor-Reihenentwicklung im Punkt ϵ
(¯ρ+ϵρ′)∂(¯uj+ϵu′
j)
∂t nj+(¯ρ+ϵρ′)(¯ui+ϵu′
i)∂(¯uj+ϵu′
j)
∂xi
nj+nj
∂(¯p+ϵp′)
∂xj
= 0 (182)
Ergibt sich (Delfs et al., 2008, Gl. (4.6)):
∂p′
∂n =nj
∂p′
∂xj
=−nj∂¯uj
∂xiρ′¯ui+ (¯ρ+ϵρ′)u′
i+∂u′
j
∂xiϵ¯ρu′
i+ (¯ρ+ϵρ′)¯ui+(¯ρ+ϵρ′)∂u′
j
∂t
(183)
148
11 Weitere Kopplungsverfahren
Biot-Savart-Methode: Es wird die Biot-Savart-Formel zur Berechnung der durch
ein Wirbelfeld induzierten Geschwindigkeiten verwendet, um die Geschwindigkeiten auf
der Oberfläche zu bestimmen:
ut(x, t) = −∇×Vs
ω(xs, t)
4π|x−xs|ddxs.(184)
Für homogene Strömungen ergibt diese Methode dasselbe Geschwindigkeitsfeld wie die
Goldstein-Methode. Bei inhomogener Strömung gibt sie die sogenannte Pseudo-Upwash-
Geschwindigkeit (Howe, 1998) auf der Oberfläche.
Das Integral Gl. (184) ist numerisch aufwändig zu berechnen, da jeder Volumenpunkt N
auf jeden Oberflächenpunkt MEinfluss nimmt. Dazu kommt, dass der Abstand zwischen
allen Punkten |x−xs|im Speicher gehalten werden muss. Dies ist eine Matrix mit N×M
Einträgen. Durch Umformulierung des Problems mithilfe einer Stromfunktion Ψlässt sich
das gleiche Problem durch die Lösung einer Poisson-Gleichung
∇2Ψ=−ω(x, t)(185)
lösen. Ein effizientes Lösungsverfahren bedient sich einer FFT. Der erste Entwurf dazu kam
von Hockney (1965) für Gebiete mit periodischen Randbedingungen. Erweiterungen zu
dieser Methode existieren z.B. für rechteckige, berandete Gebiete (Colony und Reynolds,
1970) und rechteckige, unberandete Gebiete (Hejlesen et al., 2013).
Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Biot-Savart-Methode nur in der direkten Integration
exemplarisch verwendet.
Radiationsrandbedingung: Wurde bereits auf Seite 42 beschrieben.
Volumenzellen: Diese Klasse von Kopplungen sind streng genommen auch RHS-Kopp-
lungen, da sie, anders als bei einer Manipulation von einer Randbedingung, eine Verän-
derung der Grundgleichungen beinhalten. Sie sind hier dennoch als RB-Kopplung klassi-
fiziert, da sie auf Modifikationen der Grundgleichungen basieren, um geräuschlos Schall
einzukoppeln, und somit eher Randbedingungen darstellen.
Sponge: Wurde bereits auf Seite 42 beschrieben.
LEE-Relaxation: Wurde bereits auf Seite 42 beschrieben. Der Vollständigkeit halber ist
anzumerken, dass die LEE-Relaxationsrandbedingung auch als RHS-Kopplung verwendet
werden kann. Dieser Term ist identisch zu dem viskosen Term in den inkompressiblen
Wirbeltransportgleichungen (III.2.3). Daraus folgt, dass durch Gleichsetzen von σ=νt
dieser Term als Quelle auf der rechten Seite interpretiert wird. Dieser Ansatz wird von
Ewert et al. (2014) vorgeschlagen; im Rahmen dieser Arbeit wurden aber diesbezüglich
keine Untersuchungen gemacht.
149
A Herleitungen und vertiefendes Material
11.2 RHS-Kopplung
Im Sinne der akustischen Analogie in Gl. (4) oder äquivalenter Quellen in Gl. (5) werden die
Fluktuationen in die rechte Seite der APE eingekoppelt. Die Gleichungen propagieren nur
den resultierenden Schall, nicht die turbulenten Fluktuationen. Der Schallentstehungsme-
chanismus ist also nicht Teil der Ausbreitungsgleichungen, sondern basiert auf den Termen
der RHS.
Die Vorteile dieses Ansatzes sind, dass
(1) die Quellmodellierung lokal auf den Bereich reduziert ist, an dem der Schall entsteht,
(2) die Quellen eventuell nicht aufgelöst werden müssen, sondern nur die resultierenden,
akustischen Wellenlängen, und
(3) die Berücksichtigung von Quellen möglich ist, die nicht Teil der Ausbreitungsglei-
chungen sind, z.B. turbulenter Zerfall.
Aber die Quellen müssen richtig und genau modelliert werden, so dass der resultieren-
de Schall die Randbedingungen der Ausbreitungsgleichungen erfüllt, sonst entsteht Stör-
schall.
Originale RHS-Kopplung: Ist die Quelle bekannt, kann sie direkt auf die rechte Seite der
APE-Gleichungen eingekoppelt werden. Dieses Verfahren stellt eine akustische Analogie
dar.
Es hat sich im Laufe der Untersuchungen herausgestellt, dass das Einkoppeln der Quel-
len, so wie sie aus der stochastischen Quellmodellierung kommen, für Vorderkantenlärm
in Verbindung mit dem Source-A-Quellmodell nicht das richtige Schallfeld vorhersagt. Die
Untersuchungen zeigen, dass das aktuelle Modell die Quellen im Bereich der Schaufelvor-
derkante nicht hinreichend beschreibt, da das generierte turbulente Geschwindigkeitsfeld
im Allgemeinen die Randbedingungen nicht erfüllt.
Diese Kopplung ist nur richtig, wenn die Quellen bekannt sind und die Randbedingungen
erfüllen. In den folgenden Abschnitten wird dieses Kopplungsverfahren erweitert, so dass
die Quellen, bevor sie in die RHS eingekoppelt werden, die Randbedingungen erfüllen.
Varianz-korrigierte RHS-Kopplung: Die turbulente kinetische Energie, die für das
Source-A-Quellmodell (III.3.1) als Varianz verwendet wird, ist für realistische Anwen-
dungsfälle auf festen Oberflächen immer exakt null. Das gilt auch für akademische Fälle,
solange die Wandhaftbedingung für die zugrunde liegende (RANS)-Strömung angenom-
men werden kann.
Durch Anwenden der Filterung vor der Skalierung (III.3.3) erfüllt das resultierende fluk-
tuierende Feld zu jeder Zeit die Randbedingung. Allerdings führt das zu einer Verzerrung
der realisierten, turbulenten Ballen, die nicht der vorgegebenen Korrelationsfunktion ent-
sprechen, wie in der Abb. 14 auf Seite 37 dargestellt wurde.
Es ist anzumerken, dass die unterschiedliche Diskretisierung zwischen RPM-Gebiet und
CAA-Gebiet zu Ungenauigkeiten in der Realisierung der Wandrandbedingung führt. Es
wird daher zusätzlich die wandnormale Geschwindigkeitsfluktuation im CAA-Gebiet in
jedem Zeitschritt auf Null gesetzt.
150
12 Stromröhren-Transformation
Goldstein-korrigierte RHS-Kopplung: Da i.A. das Quellfeld die Randbedingungen nicht
erfüllt, ist dieser Ansatz als Korrektur der originalen RHS-Kopplung entwickelt wor-
den. Dabei werden die Geschwindigkeitsfluktuationen aus RPM auf der Wand mittels
einer Goldstein-Kopplung in eine LEE-Simulation eingebracht. Die Superposition dieses
Geschwindigkeitsfeldes mit den Geschwindigkeitsfluktuationen aus RPM erfüllt immer die
Wandrandbedingung und kann in eine APE-Simulation mittels originaler RHS-Kopplung
eingebracht werden. Im Gegensatz zur Varianz-Korrektur, wo lediglich die wandnorma-
len Geschwindigkeitsfluktuationen auf Null gesetzt werden, folgt die Erfüllung der Rand-
bedingung aus dem physikalischen Abscheren von Wirbeln mit umgekehrten Drehsinn
(Wohlbrandt et al., 2013, Abb. 1).
Die in dieser Arbeit verwendete Implementierung geht von identischen LEE- und APE-
Gebieten aus, die zeitgleich berechnet werden. Daraus resultiert eine Verdopplung des
Rechen- und Speicheraufwands gegenüber allen anderen Kopplungsverfahren. Da die LEE
nur zur Wirbelkonvektion verwendet wird, wäre eine Reduktion möglich, wenn statt der
LEE auf Wirbeltransportgleichungen zurückgegriffen oder wenn das berücksichtigte LEE-
Gebiet reduziert würde. Versuche, die LEE durch Wirbeltransportgleichungen auszutau-
schen, waren nicht erfolgreich. Das lag vor allem an der Schwierigkeit, die Randbedin-
gungen für die Wirbelstärke zu definieren und vorzugeben (Davies und Carpenter, 2001;
Fletcher und Brown, 2009).
Wird diese Kopplung auf homogene Hintergrundströmung angewendet, so ist die gesamte
Quelle bereits durch die Goldstein-Kopplung definiert. Bei Anwendung auf beliebige Hin-
tergrundströmungen gilt diese Kopplung weiterhin, auch wenn die Goldstein-Kopplung
selbst keine physikalische Aussage über die abgestrahlte Akustik zulässt. Sollte die origina-
le RHS-Kopplung bereits die Randbedingungen erfüllen, so ist die Goldstein-Korrektur
nicht wirksam.
Zusammengefasst besteht die Korrektur aus folgenden, zu jedem Simulationszeitpunkt
angewendeten Schritten:
(1) Erzeugen der turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen uimittels des Source-A-
Quellmodells analog zur originalen RHS-Kopplung.
(2) Aufprägen der wandnormalen Komponente der turbulenten Geschwindigkeitsfluk-
tuationen uimittels Goldstein-Kopplung in eine LEE Simulation, daraus resultiert
das gestreute Geschwindigkeitsfeld us.
(3) Superponierte Geschwindigkeitsfluktuationen ut=ui+uswerden als Quelle auf die
rechte Seite der APE eingekoppelt.
12 Stromröhren-Transformation
Die Stromröhren-Transformation oder auch m′-ϑ-Transformation (Drela und Youngren,
2008) wird in der Aerodynamik verwendet, um eine Strömung eines dreidimensionalen
Rohres in mehrere, unabhängige, zweidimensionale Flächen zu transformieren. Jede Strom-
röhre kann einem axial veränderlichen Rohrradius zugeordnet werden. Die Transformati-
on erfolgt mithilfe eines umfangsgemittelten Stromfadens unter der Annahme, dass der
Fluss durch die Mantelfläche vernachlässigbar ist. Das ist gleichbedeutend mit der Annah-
me, dass sich in Umfangsrichtung die radiale Geschwindigkeitskomponente der Strömung
nur schwach ändert. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass nicht nur die skalaren Grö-
ßen, sondern auch die vektoriellen Größen, insbesondere die Geschwindigkeiten, durch die
Transformation nicht verändert werden.
151
A Herleitungen und vertiefendes Material
Akustische Wellen breiten sich allerdings in alle Richtungen aus und somit stellt die Trans-
formation eine größere Einschränkung als für die Aerodynamik dar. Diese Einschränkung
lässt sich gleichsetzen mit der Annahme, dass nur die 0-te Radialmodenordnung ausbrei-
tungsfähig ist.
Mit den Turbomaschinenkoordinaten ˜
x, der Turbomaschinenachse definiert in positive
˜x-Richtung und dem Radius r(˜x) = ˜y2+ ˜z2, ist die Transformation in Stromröhrenko-
ordinaten gegeben durch
m′=d˜x2+dr2(˜x)ϑ= tan−1(˜z/˜y)(186)
In der Praxis wird dieses Integral iterativ gelöst mit dem Startwert m′
0= 0 und
m′
i=m′
i−1+2
ri+ri−1(ri+ri−1)2+ (˜xi+ ˜xi−1)2.(187)
Aus dieser Transformation resultieren die dimensionslosen Koordinaten m′und ϑ. Der
Einfachheit halber wird
x=RLEm′, y =RLEϑ, (188)
mit RLE =r(˜xLE), der radialen Position der Stromröhre an der Statorvorderkante bei ˜xLE,
dimensionalisiert. Dadurch ist die Änderung der Sehnenlänge und des Pitch des Stators
durch die Transformation vernachlässigbar. Es ist anzumerken, dass die Transformation
irreversibel ist. Für radial-konstante Strömungen gilt x= ˜xund y=r·ϑ.
13 Analytischer Ausdruck für Vorderkanteninteraktionslärm an
einer ebenen Platte
Um das RPM-Verfahren zu validieren, wird auf ein analytisches Model für Vorderkanten-
interakionslärm zurückgegriffen, bekannt unter dem Namen unsteady thin airfoil-Theorie.
Die analytischen Modelle gehen davon aus, dass ein Gust eine unendlich dünne, endlich
lange Platte trifft, wie in Abb. 64 gezeigt.
Historischer Überblick: Im Jahre 1938 veröffentlichten von Kármán und Sears (1938)
eine Theorie für instationäre Kräfte und Flattern, die ein Flugzeug erfährt, wenn es durch
Wirbel fliegt. Es gab zwar schon zuvor Publikationen, die vorgestellten Theorien waren
aber ”eher kompliziert und zusätzlich [...] nicht sonderlich transparent im Lichte der phy-
sikalischen Beweisführung” (von Kármán und Sears, 1938, aus dem Englischen).
Diese Publikation (von Kármán und Sears, 1938) beginnt bei der Zirkulationstheorie von
Schaufeln und beinhaltet die erste geschlossene Theorie zu Gust-Platte-Interaktionen. Die
Beschränkung auf Gusts mit konstanter perpendikulärer Geschwindigkeit, die die Platte
ähnlich einer Heavyside-Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt treffen, wurde drei
Jahre später von Sears (1941) durch eine sinusförmige Anregung erweitert, die später als
Sears-Gust bekannt wird
v(x, t) = Weiω(t−x/U).(189)
Hierbei ist Wdie Amplitude und ωdie Kreisfrequenz des Gusts. Die Frequenz hängt
mit der Wellenlänge des Gusts l= 2πU/ω zusammen. Unter Verwendung der Herleitung
152
13 Analytischer Ausdruck für Vorderkanteninteraktionslärm an einer ebenen Platte
u0
e1
e3
e2
c= 2b
L= 2d
Abb. 64: Skizze einer unendlich dünnen, endlich langen Platte
von von Kármán und Sears (1938) ergibt sich der inkompressible Auftrieb eines Profils
aufgrund einer Sears-Gust-Anregung als so genannte Sears-Funktion:
L=πρcUWeiωt J0(ν)K1(iν) + iJ1(ν)K0(iν)
K1(iν) + K0(iν)(190)
mit der reduzierten Frequenz ν=ωc
2U=πc/l und der Besselfunktion Jnder Ordnung n.
Kn(z)ist bei Theodorsen (1979) gegeben als Kn(z) = ∞
0e−zcosh tcosh(nt)dt.
Nach dieser Publikation gibt es eine große Lücke bzgl. der Unsteady Thin Airfoil-Theorie.
Die meisten Publikationen befassen sich mit Flattern, Vibrationen oder der Transmissi-
on und Reflektion in einer Schaufelreihe. Es sei an dieser Stelle auf eine Übersicht von
Morfey (1973) verwiesen, der alle Publikationen zu dieser Theorie bis zum Jahre 1973
zusammenfasst.
Die Unsteady Thin Airfoil-Theorie ist wieder von Interesse in den 70er Jahren. Die Autoren
unterscheiden nun den Hinterkantenlärm vom Vorderkantenlärm. Die erste Publikation
bzgl. Vorderkantenlärm findet sich von Osborne (1973) kurz gefolgt von Adamczyk (1974)
und einer jährlichen Publikation von Amiet (1974), Amiet (1975a) und Amiet (1976a).
Außerdem folgen experimentelle Validierungen von Fink (1975) und Paterson und Amiet
(1976).
Verwendete Theorie: Die hier verwendete analytische Lösung basiert auf der instatio-
nären Theorie zur Vorhersage von Gust-Platte-Interaktionslärm von Amiet. Seine Theo-
rie (Amiet, 1974), die zu erst auf tiefe Frequenzen beschränkt war, hat er zwei Jahre später
auf hohe Frequenzen erweitert (Amiet, 1976b). Die Theorie von Amiet wurde gründlich
von Reboul (2010) untersucht. Die hier vorgestellte Theorie basiert auf den Ausführungen
von Reboul.
Wie in Abb. 64 dargestellt, wird eine flache Platte in uniformer Strömung u0=u0e1
endlicher Spannweite L= 2din die e3-Richtung und endlicher Schaufellänge c= 2bin e1-
Richtung angenommen. In e2-Richtung, der Aufwind-Richtung (engl. upwash), trifft ein
Sears-Gust auf die unendlich dünne Platte. Da turbulente Strukturen ausschließlich mit
der Strömung konvektierten, ist die folgende Betrachtung auf mit der Strömung konvek-
tierte Wirbel beschränkt. Die Kreisfrequenz ωund axiale Wellenzahl k1sind daher durch
k1=ω/u0verbunden.
Die Aufwindgeschwindigkeit eines einzelnen harmonischen Wirbels, eines sogenannten 2D-
Sears-Gusts, ist gegeben durch
u2(x1, x2= 0, x3) = −ˆu2ei(ωt−k1x1−k3x3).(191)
Dabei sind kidie Wellenzahlkomponenten der Wellenzahl kund ˆu2ist die Amplitude des
Gusts.
153
A Herleitungen und vertiefendes Material
Für mehrere Gusts verschiedener Wellenzahlen ergibt sich daraus
u2(x1, x2= 0, x3) = −∞
−∞
ˆu2(k)ei(ωt−k1x1−k3x3)dk1dk3.(192)
Unter der Annahme einer großen spannweitigen Ausdehnung L→ ∞ ergibt sich nach
Reboul (2010) die Leistungsspektraldichte im Fernfeld bei einer Beobachterposition xmit
x3= 0:
Spp(x1, x2,0, ω) = kx2ρ0b
r∗22d
u0|L(x1, k1,0)|2l3(ω)E22(k1)(193)
wobei β2= 1 −M2
1. Die aeroakustischen Transferfunktion L(x1, k1,0) ist weiter unten
beschrieben. E22(k1)ist die Leistungsspektraldichte (PSD) der Aufwindgeschwindigkeits-
fluktuationen. Diese ergibt sich aus der Energiespektrumfunktion E(k)(II.3.2). Unter der
Annahme, dass der Koordinatenursprung von (x1, x2, x3)in der Mitte der flachen Platte
liegt, kann r∗≈β2(x2+x3)2+x2
1genähert werden. Die spannweitige Längenskala l3
ist in Gl. (145) gegeben.
Die aeroakustische Transferfunktion L(x1, k1,0) ist durch die Flügelantwortsfunktion
(engl. airfoil response function)g(ξ, k1, k3)definiert:
L(x, k1, k3) = 1
bb
−b
g(ξ, k1, k3)e−ikξ
β2(M1−x/r∗)dξ(194)
Der Ansatz für das Finden der aeroakustischen Transferfunktion Lvon Amiet ist iterativ.
Er zerlegt L=L1+L2, wobei L1die Vorderkanteninteraktion berücksichtigt und L2die
Korrektur erster Ordnung für die Hinterkante darstellt. Durch diese Korrektur wird die
Kutta-Bedingung erfüllt. Korrekturen höherer Ordnung sind nicht berücksichtigt.
Die Lösung kann dennoch nicht geschlossen angegeben werden. Stattdessen wird in sub-
und superkritische Gusts unterteilt. Für einen superkritischen Gust ist k3<M1k1
β, d.h.
grob gesagt, die spannweitige Wellenlänge ist kleiner als die axiale Wellenlänge. Da die
Validierungen sich auf ausschließlich 2D-Simulationen beschränken und dabei die spann-
weitige Wellenlänge immer identisch Null ist, sind alle hier untersuchten Fälle superkri-
tisch. Deswegen ist
L1(x, k1, k3) = 1
π2
(bk1+β2κ)H1F∗(2H1)eiH2(195)
L2(x, k1, k3) = 1
πH12π(bk1+β2κ)eiH2i1−e−i2H1
+ (1 −i)
F∗(4κ)−2κ
κ+µx/r∗e−2iH1F∗(2(κ+µx
bk1
β2
))
(196)
mit
µ=bk1M1
β2, H1=κ−µx/r∗,(197)
κ2=µ2−bk3
β2
, H2=µ(M1−xr∗)−π/4,(198)
k3= 0 (2-D), (199)
154
13 Analytischer Ausdruck für Vorderkanteninteraktionslärm an einer ebenen Platte
Fist das Fresnel-Integral definiert als:
F(x) =
x
0
eit
√2πtdt(200)
und (.)∗ist der komplex konjugierte Wert.
Beschränkung auf 2D: Da in vorliegender Arbeit ausschließlich 2D-Simulationen
gemacht wurden, wird auch die analytische Lösung in 2D formuliert. Dazu wird die Kor-
rektur nach Dieste aus Gl. (139) verwendet und es ergibt sich der Fernfelddruck in 2D
zu
S2D
pp (x1, x2, ω) = σE2D
22 (k1)
kΦ3D
22 (k1,0)Lkx2ρ0b
r∗22d
u0|L(x1, k1,0)|2l3(ω)E22(k1),(201)
S2D
pp (x1, x2, ω) = π
2u0x2ρ0b
r∗2
|L(x1, k1,0)|2E2D
22 (k1)(202)
mit Φ3D
22 (k1,0) = l3(ω)
πE22(k1)und in 2D σ=r∗. Es zeigt sich, dass in 2D die Abhängigkeit
von der lateralen Längenskala l3und von der Schaufelspannweite Lverschwinden.
155
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
Bisherige Verfahren zur Vorhersage von Vorderkantenlärm verwenden ausschließlich homo-
gene Zuströmturbulenz. Die ausgiebigen Vorstudien sind in diesem Abschnitt dokumen-
tiert. Der Fokus liegt auf der stochastischen Quellmodellierung für Vorderkanteninterakti-
onslärm mittels einer akustischen Analogie. Der Vorteil gegenüber der Realisierung durch
Zuströmturbulenz wäre die Lokalität und damit einhergehend eine bessere Kontrolle über
die berücksichtigten Schallentstehungsmechanismen. Es wurde das Source-A-Quellmodell
verwendet und die realisierte Turbulenz mittels verschiedener Kopplungsverfahren (A.11)
versucht, so in die Ausbreitungssimulation einzukoppeln, dass die Schallentstehung voll-
ständig abgebildet wird.
1.1 Harmonischer Anregung einer ebenen Platte
Am Testfall der harmonisch angeregten, unendlich dünnen Platte (VI.2.1) sind alternative
Kopplungen angewendet worden. Abb. 65 zeigt in schwarz die Position des RPM-Gebietes.
Das Setup ist ansonsten unverändert.
Abb. 65: Darstellung der Testanordnung für die alternativen Kopplungsverfahren.
157
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(a) Goldstein-Kopplung
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(b) Goldstein-korr.RHS-Kopplung
Abb. 66: Instantane, qualitative Darstellung der mit der Referenzlösung übereinstimmenden Ver-
fahren. In schwarz-weiß ist der instantane Druck und in gelb-rot die instantane Geschwindigkeits-
komponente senkrecht zur Platte zu sehen. Letztere ist beim unteren Limit der Skala abgeschnitten.
1.1.1 Kopplungsmodelle
Es werden die verschiedenen alternativen Kopplungsmodelle (A.11) kurz vorgestellt.
Abb. 66 und Abb. 67 geben durch eine instantane Aufnahme einen Eindruck über die
verschiedenen Verfahren. Im nächsten Abschnitt werden die Ergebnisse diskutiert und
sukzessive miteinander verglichen.
Goldstein-Kopplung: Durch die Oberflächenkopplung nach Goldstein (1976) werden die
wandnormalen Geschwindigkeitsfluktuationen aus dem einfallenden Wirbelfeld mit umge-
drehtem Vorzeichen als Randbedingung gesetzt. Wie in Abb. 66(a) zu sehen, scheren sich
Wirbel ab. Diese drehen sich genau entgegengesetzt zu dem einfallenden Feld, so dass die
Superposition die Wandrandbedingung erfüllt. Das sich ergebende Schallfeld ist identisch
mit den Verfahren, die stromauf einkoppeln. Es ist anzumerken, dass für homogene Strö-
mungen die Biot-Savart-Kopplung aufgrund der Theorie identische Ergebnisse liefert
und deshalb hier nicht gezeigt wird.
Original RHS-Kopplung: Für die volumetrische Kopplung wird die Platte durch das
RPM-Gebiet überlagert, auf dem analytisch das einfallende Wirbelfeld aufgeprägt wird.
Das RPM-Modul wird nicht verwendet, um Turbulenz zu synthetisieren. Die Dimensionen
des RPM-Gebietes sind −60 ≤x≤60 und −45 ≤y≤45 mit einem sinusförmigen Fading
158
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(a) Originale RHS-Kopplung
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(b) Varianz-korr. RHS-Kopplung
−100 −50 0 50 100
0
50
100
x
y
(c) Varianz-korr. RHS-Kopplung mit mittlerer Geschwindigkeitsvarianz aus Sponge-Kopplung.
Abb. 67: Instantane, qualitative Darstellung der mit der Referenzlösng nicht übereinstimmenden
Verfahren. In schwarz-weiß ist der instantane Druck und in gelb-rot die instantane Geschwindig-
keitskomponente senkrecht zur Platte zu sehen. Letztere ist beim unteren Limit der Skala abge-
schnitten.
159
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) Normierte konstante Varianz (b) Normierte gewichtete Varianz
(c) Details zu Abb. (b) inklusive des Gitters.
Abb. 68: Normierte Varianz, die für die RHS- und Oberflächenkopplungsverfahren verwendet wird.
in y−Richtung von einer Schaufellänge auf Null am Rand des RPM-Gebietes (Abb. 68(a)).
Das resultierende, instantane Druckfeld ist in Abb. 67(a) gezeigt.
Varianz-korr. RHS-Kopplung: Es wird das gleiche RPM-Gebiet wie bei der originalen
RHS-Kopplung verwendet. Der einzige Unterschied ist, dass hier die Geschwindigkeitsfluk-
tuationen an der Oberfläche zu jedem Zeitschritt auf Null gesetzt werden. Das instantane
Druckfeld ist in Abb. 67(b) zu sehen. Alternativ wird die Varianz, wie in Abb. 68(b) zu
sehen, ausgehend von der resultierenden Varianz aus der Simulation mit Sponge-Kopplung
gewichtet. Das instantane Druckfeld ist in Abb. 67(c) gezeigt.
Goldstein-korrigierte RHS-Kopplung: Analog zum Verfahren mit originaler RHS-Kopp-
lung werden die Quellen auf die rechte Seite der APE eingekoppelt. Allerdings wird eine
Korrektur so eingesetzt, dass das als Quelle verwendete Feld die Wandrandbedingungen
erfüllt. Das instantane Feld ist in Abb. 66(b) dargestellt. Die dargestellten Geschwindig-
keitsfluktuationen sind der APE-Simulation entnommen. Die daraus resultierenden Wir-
belstärkefluktuationen werden durch die APE nicht konvektiert und sind nur als Artefakte
sichtbar. Diese Artefakte sagen nichts über die Güte der Modellierung der Quelle aus und
haben keinen Einfluss auf das resultierende Druckfeld bis auf ein sehr tieffrequentes Rau-
schen im Kopplungsbereich.
1.1.2 Ergebnisse:
RMS-Werte: Abb. 69 zeigt den Vergleich aller Verfahren mit der Referenzlösung, wobei
Abb. (a) die mit der Referenzlösung übereinstimmenden und Abb. (b), die nicht über-
einstimmenden Verfahren zeigt. Abb. 70 zeigt die entsprechenden Oberflächendrücke von
ausgewählten Verfahren.
160
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
(a) Mit der Referenzlösung übereinstimmende Verfahren.
(b) Mit der Referenzlösung nicht übereinstimmende Verfahren.
Abb. 69: Quadratische Amplitude des Schalldrucks p2
RMS entlang der Auswertelinien in Abb. 26(a) verglichen mit der Referenzlösung von Hardin et al. (1994).
161
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
Abb. 70: Oberflächendruck verglichen mit der analytischen Lösung von Amiet (1976b). Die Abbil-
dungen an den Seiten zeigen die Details an der Vorder- und Hinterkante.
Es zeigt sich, dass alle Kopplungsverfahren die Referenzlösung gut nachbilden, bis auf die
originale und die Varianz-korr. RHS-Kopplungen, die weiter unten diskutiert werden. Die
Goldstein-korr. RHS-Kopplung überschätzt den senkrecht zur Schaufel abgestrahlten
Schall, obwohl die Oberflächendrücke sich nur leicht unterscheiden. Dieser Unterschied
liegt im Vorderkantenbereich und Variationen im Gitter und in der Auflösung des RPM-
Gebiets verändern diesen Effekt nicht. Die Ursache der Diskrepanz ist unklar.
Aus Abb. 71 wird deutlich, warum die originale und Varianz-korr. Kopplungen nicht den
richtigen Schall abstrahlen. In der Abbildung werden die instantanen Geschwindigkeits-
felder auf dem RPM-Gebiet dargestellt und mit dem instantanen Geschwindigkeitsfeld im
Ausbreitungsgebiet aus einer Simulation mit Stromauf-Einkopplung, gezeigt in Abb. (a),
verglichen. Für den vorliegenden Fall sind akustischen Geschwindigkeitsschwankungen ver-
nachlässigbar, da ansonsten in Abb. (a) eine dipolartige Abstrahlung sichtbar sein müsste.
Für die originale und Varianz-korr. Kopplungen in Abb. 71(b)-(c) erfüllt das Geschwindig-
keitsfeld im ersten Fall nicht und im zweiten Fall nur künstlich die Wandrandbedingung.
Dieses Feld geht direkt in den Lamb-Vektor auf der RHS der akustischen Analogie ein.
Der Unterschied im abgestrahlten Schall zueinander ist marginal, wie Abb. 69(b) zeigt.
Die Felder entsprechen jedoch nicht der Referenzlösung. Eine naheliegende Korrektur ist
für den zweiten Fall der Varianz-korr. RHS-Kopplung angewendet: Es wird anstelle der
ungestreuten Varianz in Abb. 68(a) die Varianz des gestreuten Feldes in Abb. 68(b) zur
Gewichtung verwendet. Wie in der Detailaufnahme in Abb. 68(c) zu sehen ist, zeigt sich
unmittelbar vor der Vorderkante ein Maximum und eine Reduktion der Varianz in der
Nähe der Platte, die zu Null auf der Platte geht. Das so erzeugte Geschwindigkeitsfeld
in Abb. 71(d) ähnelt auf den ersten Blick dem Feld aus der Stromauf-Einkopplung in
Abb. 71(a). Dass trotzdem der abgestrahlte Schall so unterschiedlich ist, lässt sich durch
Betrachtung der Stromlinien verstehen. Obwohl die lateralen Geschwindigkeitskomponen-
ten sich ähneln, ist die axiale Komponente der Stromauf-Einkopplung nicht identisch Null.
Durch die Skalierung mit der lokalen Varianz wird die axiale Komponente aber nicht ver-
ändert und bleibt immer Null.
Im Gegensatz zu den anderen Korrekturen basiert die Goldstein-Korrektur auf einer
zwischengeschalteten LEE-Simulation. Das so erzeugte Geschwindigkeitsfeld ist identisch
zu der Lösung im Ausbreitungsgebiet, vergleiche Abb. 71(e) mit (a). Da die Quelle identisch
ist, ist auch der abgestrahlte Schall identisch.
162
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
−30 −15 0 15 30
−15
0
15
x
y
(a) LEE-Relaxationskopplung
−30 −15 0 15 30
−15
0
15
x
(b) Originale RHS-Kopplung
−30 −15 0 15 30
−15
0
15
x
(c) Varianz-korr. RHS-Kopplung
−30 −15 0 15 30
−15
0
15
x
y
(d) Varianz-korr. RHS-Kopplung mit mittlerer Geschwindig-
keitsvarianz aus Sponge-Kopplung.
−30 −15 0 15 30
−15
0
15
x
(e) Goldstein-korr. RHS-Kopplung
Abb. 71: Instantane, laterale Geschwindigkeitskomponente im RPM-Gebiet im Vergleich zur Geschwindigkeit im Ausbreitungsgebiet in Abb. (a). In schwarz-weiß
ist der instantane Druck, in schwarz-rot die instantane Geschwindigkeitskomponente der Quelle senkrecht zur Platte zu sehen. Letztere ist beim unteren Limit
der Skala abgeschnitten. In cyan sind ausgewählte Stromlinien der instantanen Geschwindigkeitsfluktuationen im RPM-Gebiet dargestellt.
163
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
1.2 Stochastische Anregung einer ebenen Platte
Am Testfall der stochastisch angeregten, unendlich dünnen Platte (VI.2.2) sind alternative
Kopplungen angewendet worden. Abb. 72 zeigt in blau die Position des RPM-Gebietes.
Das Setup ist ansonsten unverändert.
1.2.1 Eingefrorene Turbulenz
Kopplungsverfahren: Im Folgenden werden die Ergebnisse verschiedener Kopplungsver-
fahren untersucht. Eine Untersuchung mit der Relax-Kopplung wurde für diese Konfigu-
ration nicht durchgeführt.
Goldstein-korr. RHS-Kopplung und Sponge-Kopplung: In Abb. 73 sind die Ergebnisse der
Sponge-Kopplung mit der Goldstein-korr. RHS-Kopplung verglichen. Es ist eine gute
Übereinstimmung zu beobachten. Das niederfrequente Rauschen in der Simulation mit
Goldstein-korr. RHS-Kopplung bei Abstrahlwinkeln von 60ound 120oresultiert aus der
Tatsache, dass die Mikrophonpositionen innerhalb des RPM-Gebietes liegen. Auch wenn
die APE-Gleichungen die solenoidalen Anteile nicht konvektiert, entsteht doch ein Stehfeld
des Druckes, das sich durch die Berücksichtigung der Quellen auf der rechten Seite der
APE-Gleichungen ergibt.
Weitere Unterschiede rühren aus der Abtastdauer. Für die Goldstein-Korrektur muss
zeitgleich eine LEE-Simulation zur Korrektur der vom RPM-Verfahren erzeugten Turbu-
lenz und eine APE-Simulation mit der korrigierten Turbulenz als Quelle auf der rechten
Seite durchgeführt werden. Dadurch ist die Rechenzeit dieser Simulation doppelt so hoch
wie bei allen anderen Kopplungsverfahren.
Verbleibende RHS-Kopplung: Andere RHS-Kopplungsverfahren wurden nicht angewen-
det, weil sich bereits in den Untersuchungen mit harmonischer Anregung (VI.2.1) gezeigt
hat, dass sie für homogene Strömung falsche Ergebnisse liefern.
Abb. 72: Simulationsaufbau von
Turbulenz-Platte Interaktion an
einer unendlich dünnen Platte.
Die Platte ist als schwarze Linie
in der Mitte zu sehen, graue
Bereiche am Rand markieren den
Bereich der Dämpfungszone und
die rosa Punkte sind die Auswer-
tepositionen. Die blaue Box zeigt
die Position der RPM-Gebiete
für die alternativen Kopplungs-
verfahren an.
164
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 73: Ergebnisse der Sponge-Kopplung und der Goldstein-korrigiertem RHS-Kopplung bei
M= 0.362 für Abstrahlwinkel ϑ= [60o,90o,120o]verglichen mit der analytischen Lösung aus
Gl. (202).
Oberflächen-Kopplungen: Abb. 74 vergleicht die Goldstein-Kopplung mit der Biot-
Savart-Kopplung. Bei homogener, isotroper Turbulenz ist das Biot-Savart-induzierte
Geschwindigkeitsfeld analytisch identisch zu der lokalen Geschwindigkeit in jedem Raum-
punkt, solange die Integrationsgrenzen als unendlich angenommen werden. Da das RPM-
Gebiet nur eine endliche Ausdehnung aufweist, sind kleine Unterschiede zu erwarten. Dies-
te und Gabard (2012) schreiben, dass für Gauss-Filter der Einfluss jenseits von 2.43 Λ
vernachlässigbar ist. Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Biot-Savart-Integration direkt
ausgeführt, um Unterschiede zur Goldstein-Kopplung zu untersuchen. Diese Implemen-
tierung ist sehr speicher- und zeitintensiv und lässt leider keine detaillierten Untersuchun-
gen zu.
1.2.2 Zerfallende Turbulenz
Der Vorteil der lokalen Kopplungsverfahren gegenüber denen, die stromauf einkoppeln,
liegt in der lokalen Realisierung von Turbulenz. Anders als in der Taylor-Hypothese
angenommen, behält ein turbulenter Ballen seine Form nicht bei. Die Kohärenz im mit der
Strömung mitbewegtem System wird stetig abnehmen. In diesem Kapitel wird ausschließ-
lich die Goldstein-korr. RHS-Kopplung verwendet, die Goldstein-Kopplung ist bereits
eingehend bei Dieste und Gabard (2012) untersucht worden. Als Zerfallsmodell dient hier
der einfache exponentielle Zerfall nach Tam & Auriault, der durch die 1-Parameter- und
2-Parameter-Langevin-Modelle realisiert wird. Im Folgenden wird erst der Vergleich zwi-
schen dem 1- und 2-Parametermodell bei sehr langsam zerfallender Turbulenz gezogen.
Danach werden verschiedene Zerfallsraten für das 2-Parameter-Langevin-Modell vergli-
chen.
Dieste und Gabard (2012) haben festgestellt, dass aufgrund des Knicks der Auto-Korre-
lationsfunktion im Ursprung das 1-Parameter-Langevin-Modell nicht geeignet ist, um
165
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 74: Ergebnisse der Wand-Kopplungsverfahren bei M= 0.362 für Abstrahlwinkel ϑ=
[60o,90o,120o]werden mit der analytischen Lösung aus Gl. (202) verglichen.
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 75: Ergebnisse bei Variation des Zerfallsmodells für τs= 15/c0bei M= 0.362 für Abstrahl-
winkel ϑ= [60o,90o,120o]. Mit analytischer Lösung aus Gl. (202) ohne Berücksichtigung von
Zerfall verglichen.
166
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
(a) Die Kreuzkorrelation bei r = 1 m zeigt, dass
für eine Schaufellänge von 1m die Korrelation
der Turbulenz zwischen Vorder- und Hinterkan-
te noch immer über 0.8 liegt.
(b) Die Detailaufnahme zeigt im Ursprung den
Knick des 1-Parameter-Langevin-Modells und
die glatte Funktion des 2-Parameter-Lange-
vin-Modells.
Abb. 76: Theoretische Kreuz-Korrelationsfunktion R(x, t, r, τ)für 1-Parameter-Langevin-Modell
(gestrichelte Linien) und 2-Parameter-Langevin-Modell (durchgezogene Linien) für M= 0.362,
Λ=0.07 m und Zeitskala τs= 0.0441 s bei verschiedenen Distanzen in Stromabrichtung r=
(r, 0)T. Die Einhüllenden sind durch die Autokorrelation im mitbewegten Bezugssystem R(x, t, r=
(ucτ, 0)T, τ)gegeben.
zerfallende Turbulenz darzustellen. Bei der Anwendung am analytischen Modell ohne
Oberflächen trifft das nicht zu, denn mittels des 1-Parameter-Langevin-Modells konn-
te der exponentielle Zerfall numerisch umgesetzt werden. Abb. 75 zeigt die Autospek-
tren des Druckes bei R= 1.5m an verschiedenen Beobachterpositionen für die 1- und
2-Parameter-Zerfallsmodelle im Vergleich zum Modell ohne Zerfall. Alle drei Verfahren
sollten für die gewählte, große Zerfallsrate annähernd gleich sein. Es ist ersichtlich, dass
das 1-Parametermodell hier versagt. Es wurde eine große Zeitskala τs= 4.41 ×10−2s
gewählt, so dass der Zerfall entlang der Schaufellänge von c= 1m bei M= 0.362 klein
ist. Abb. 76 demonstriert das anhand der Korrelationsfunktionen. Die Zeitskala ist 5.4
mal größer als die Zeit, die ein Wirbel benötigt, um an der Platte vorbei zu konvektieren,
wodurch die Wirbel an Vorder- und Hinterkante noch weitestgehend korreliert sind. Für
das 2-Parameter-Modell wurde eine zweite Zeitskala so gewählt, dass der Knick in der
Auto-Korrelation der Zuströmturbulenz verschwindet τ2=τs
70 = 6.30 ×10−4s. Während
der Verlauf der Autokorrelationsfunktion in Abb. 76(a) weitestgehend gleich bleibt, ist in
der Detailbetrachtung in Abb. 76(b) zu sehen, dass der Knick im Ursprung verschwindet.
Es ist zu beachten, dass diese zweite Skala größer sein muss als der verwendete Zeitschritt,
um einen Effekt zu haben; der Zeitschritt ist mit ∆t= 2.30 ×10−5sum einen Faktor 27.4
kleiner als τ2.
Abb. 77 zeigt die Fernfeldcharakteristiken bei variierter Zeitskala. Je kleiner die Zeitskala
gewählt wird und je höher die Frequenz ist, desto größer wird der Effekt der Volumenquel-
len gegenüber der Schallentstehung durch die Turbulenz-Platte-Interaktion. Die Ergebnisse
in Abb. 78 zeigen das entstehende Druckfeld aufgrund des Zerfalls ohne Berücksichtigung
der Interaktion mit der Platte. Im Vergleich mit Abb. 77 ist eindeutig, dass die Erhöhung
der Pegel über die analytische Lösung hinaus ausschließlich mit dem Zerfall der Wirbel
zusammenhängt. Ein freier Strahl erzeugt Lärm durch den Zerfall von Wirbeln. Wird eine
Platte in den Strahl gehalten, wird zusätzlich Interaktionslärm erzeugt. Da ein lineares
Verfahren verwendet wird, ist der resultierende Schall eine Superposition aus den einzelnen
Effekten.
167
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 77: Ergebnisse bei Variation der Zeitskala τsbei M= 0.362 für Abstrahlwinkel ϑ=
[60o,90o,120o]. Mit der analytischen Lösung aus Gl. (202) ohne Berücksichtigung von Zerfall ver-
glichen.
(a) Abstrahlwinkel ϑ= 60o(b) Abstrahlwinkel ϑ= 90o
(c) Abstrahlwinkel ϑ= 120o
Abb. 78: Ergebnisse der Schallentstehung ohne Platte realisiert durch die originaler RHS-Kopplung
mit der analytischen Lösung aus Gl. (202) ohne Zerfall verglichen.
168
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
1.2.3 Zusammenfassung
In dieser Untersuchung wurden an einer unendlich, dünnen Schaufel in homogener Strö-
mung verschiedene Kopplungsverfahren untersucht und deren Funktionalität verifiziert.
Der turbulente Zerfall kann mithilfe der Goldstein-Kopplung und mithilfe der Gold-
stein-korr. RHS-Kopplungen realisiert werden. Das 1-Parameter-Langevin-Modell ver-
sagt in der Nähe von Oberflächen, es muss auf das 2-Parameter-Langevin-Modell zurück-
gegriffen werden. Stromauf einkoppelnde Verfahren können nur durch die Erweiterung der
Grundgleichungen um die viskosen Terme den Zerfall berücksichtigen.
1.3 Isolierte NACA-Schaufeln
1.3.1 Untersuchung zu den Kopplungen bei Euler-Strömung
Es sollen im Folgenden die verschiedenen Kopplungsmethoden auf nicht-homogene Hin-
tergrundströmung angewendet und verglichen werden. Die Untersuchung wird an einem
NACA0012-Profil, wie in Abschnitt VI.3.2, durchgeführt. Allerdings unterscheiden sich
Sehnenlänge und turbulente Charakteristiken, wodurch keine Messdaten verfügbar sind.
Als Referenz dient die Simulationen mit Zuströmturbulenz, also unter Verwendung der
Sponge- oder LEE-Relaxationskopplung. Diese Verfahren wurde in den letzten Kapiteln
gegen Messungen validiert. Numerische Untersuchungen am NACA-Profil von Lockard
und Morris (1998) werden herangezogen, um die Grundströmung zu validieren und die
S R V
Abb. 79: Anordnung für das NACA0012 Profil in Euler-Strömung mit M= 0.5, α0= 0o. Durch
die Sponge-Kopplung werden die turbulenten Fluktuationen in die Dämpfungszone eingekoppelt
( S ). Das RPM-Gebiet für die Volumen- und Oberflächenkopplungen umschließt das Profil ( V ).
Für die LEE-Relaxationskopplung kann das RPM-Gebiet nah an der Schaufelvorderkante liegen
( R ), da es für den abgestrahlten Schall unsichtbar ist. Der hellgrau unterlegte Bereich ist die
Dämpfungszone am äußeren Rand des CAA-Gebietes, für die Sponge-Kopplung ( S ) wird eine
tiefere Dämpfungszone verwendet (dunkelgrau). Der Halbkreis deutet die Mikrophonpositionen
an.
169
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) Gitter an der Vorderkante (b) Gitter an der Hinterkante
Abb. 80: Details der Gitter an der NACA-Schaufel
akustischen Ergebnisse qualitativ zu vergleichen. Da sie aber eine harmonische Anre-
gung verwenden, ist kein quantitativer Vergleich der abgestrahlten Akustik angestrebt.
Die Vor- und Nachteile der Kopplungsverfahren werden im nächsten Abschnitt diskutiert.
Die Ergebnisse in diesem Abschnitt wurden zu Teilen schon in (Wohlbrandt et al., 2013)
veröffentlicht.
Die Versuchsanordnung ist in Abb. 79 dargestellt. Auf die verschiedenen RPM-Gebiete
in der Darstellung wird später eingegangen. Es wird ein NACA0012-Profil der Sehnenlänge
c= 1m mit einem Anstellwinkel von α0= 0oin einer Euler-Strömung der Mach-Zahl
M= 0.5untersucht.
Turbulente Eigenschaften: Es wird eine konstante turbulente, kinetische Energie kt=
1m2/s2und integrale Längenskala Λ=0.07m gesetzt. Bei einer Messung werden diese tur-
bulenten Eigenschaften ohne Schaufel an der Stelle ermittelt, wo die Schaufel wäre (Pater-
son und Amiet, 1976). Sie werden somit nicht durch die Schaufel beeinflusst und sind also
Größen der mittleren Zuströmturbulenz. Es wird angenommen, dass diese Größen über die
gesamte Schaufelsehne konstant sind (Dissipation und Diffusion werden vernachlässigt).
Die Informationen können für eine Euler-Strömung nicht aus der Simulation gewonnen
werden. Die Verteilung der kinetischen Energie und der Längenskala verändert sich durch
den Einbau der Schaufel. Diese mittlere Gesamtturbulenz könnte mithilfe einer RANS-
Simulation ohne Wandhaftbedingung ermittelt werden, wodurch sich natürlich auch die
mittlere Strömung leicht ändert. Die Differenz der mittleren Gesamtturbulenz zur mittlere
Zuströmturbulenz wird als mittlere, gestreute Turbulenz bezeichnet.
Es wird für diese Untersuchung von einem Gauss-Modellspektrum ausgegangen, da ein
Vergleich mit Messungen nicht vorgesehen ist und das Gauss-Spektrum am effizientesten
zu realisieren ist.
Das CAA-Gebiet erstreckt sich 1.5cin jede Richtung um die Schaufel. Zusätzlich zu
Radiations- und Auslassrandbedingung ist eine Dämpfungszone der Stärke σ= 1 und
einer Tiefe von 16 Zellen eingebaut, um die Reflektionen zu minimieren. Das Gitter ist
im Bereich der Schaufel mit ∆ = 0.002m aufgelöst und im Fernfeld mit ∆ = 0.02 m.
Somit sind Frequenzen bis 1700 Hz mit 10 PPW aufgelöst, das entspricht einem Stro-
uhal-Zahlbereich von 0≤StM=0.5≤10. Der Zeitschritt liegt hier bei 2.87 ×10−6sund
entspricht damit 59% des CFL-Zeitschrittes.
Es wurde bei der Gittererzeugung besonderes Augenmerk auf die Güte des strukturierten
Gitters gelegt, um Fehlereinflüsse zu minimieren. Details an der Vorder- und Hinterkante
sind in Abb. 80 zu sehen. Die Gitterstreckung ist im gesamten Gitter niedriger als 1.1, das
170
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
Seitenverhältnis unter 3 in der Nähe des Profils und die Zellen stehen nahezu senkrecht auf
der Oberfläche mit einer Abweichung unter ±9o. Das ist für die Wand-Kopplungsverfahren
notwendig, um die wandnormale Geschwindigkeitskomponente ohne Gittereinflüsse ein-
koppeln zu können. Es ist anzumerken, dass die Ergebnisse von Wohlbrandt et al. (2013)
mit demselben Gitter bei doppelter Punktezahl in jeder Raumrichtung erzeugt wurden.
Unterschiede der Ergebnisse sind nicht eminent.
Das RPM-Gebiet unterscheidet sich, je nach gewählter Kopplungsmethode:
Für Volumen- und Oberflächenkopplungen umschließt das RPM-Gebiet die Schaufel, V
in Abb. 79. Die Auflösung von ∆=0.0075m ermöglicht eine Auflösung der integralen Län-
genskala von 9 PPL. Die Ausdehnung ist von −0.6m ≤x≤1.6m und −0.6 m ≤y≤0.6 m,
wobei in jede Raumrichtung ein sinusförmiges Fading von 0.3m Tiefe angewendet wur-
de, um Randeffekte zu reduzieren. Das Fading bewirkt Gradienten in den Fluktuationen,
die wiederum Störschall erzeugen. Die Fading-Tiefe wurde variiert und die Größe des
RPM-Gebietes entsprechend erweitert, um die Effekte zu minimieren. Dadurch ist das
RPM-Gebiet in jede Raumrichtung doppelt so groß wie eigentlich benötigt.
Der Kernbereich des RPM-Gebietes löst 4.2 integrale Längenskalen auf, wobei Dieste und
Gabard (2012) festgestellt hat, dass bei Gauss-Spektren Turbulenz im Abstand über 2.43
Längenskalen keinen nennenswerten Einfluss auf den abgestrahlten Schall hat. Mit einer
Auflösung von 260 x 120 Zellen ergibt sich bei 5 PPZ eine Gesamtanzahl von 208000
Partikeln.
Für die Sponge-Kopplung wird das RPM-Gebiet stromauf der Schaufel platziert. Es
sind zwei Implementierungen verfügbar.
Zum einen kann das RPM-Gebiet so platziert werden, dass die Quellen über die Dämp-
fungszone in das CAA-Gebiet eingekoppelt werden ( S in Abb. 79). Hierfür wurde die
Tiefe der Dämpfungszone am Einströmrand auf 41 Zellen erweitert und die Stärke σ= 2
gesetzt. Es wird ein Stufen-Fading verwendet, das bei |y|>0.3m die Varianz sprunghaft
auf Null setzt. Die Ausdehnung in y-Richtung ist groß genug, um Randeffekte auszuschlie-
ßen. Dadurch ist ein störungsfreie Einkopplung gewährleistet. Die Ausdehnung in lateraler
Richtung ist identisch zum Volumengebiet V . In axialer Richtung ist das RPM-Gebiet
etwas größer als die Dämpfungszone, um Randeffekte auch in diese Richtung auszuschlie-
ßen. In axialer Richtung ist die Ausdehnung −2.4 m ≤x≤ −1.4m. Daraus ergeben sich
160 x 160 Zellen mit 128000 Partikeln.
Für die LEE-Relaxationskopplung kann das RPM-Gebiet nah an der Schaufel liegen
( R ), da es für den abgestrahlten Schall unsichtbar ist. Es wird nur ein Fading des Rela-
xationsparameters von 6 Zellen in axialer Richtung angewandt, in lateraler Richtung ist
ein Stufen-Fading identisch zum RPM-Gebiet S benutzt. Der Relaxationsparameter ist
durch Iteration so hoch gewählt, dass bei gleichbleibender Zeitschrittweite das Verfahren
gerade noch stabil ist. Der Wert ist letztlich zu σ= 0.03 gesetzt. Durch eine laterale
Ausdehnung identisch zu den anderen RPM-Gebieten und eine axiale Ausdehnung von
−0.95m ≤x≤ −0.2 m ergeben sich 100 x 160 Zellen mit 80000 Partikeln. Da für die
LEE-Relaxationskopplung das alternierende 5-6 Stufen LDDRK-Schema nicht implemen-
tiert ist, ist für diese Simulationen der Zeitschritt halbiert worden.
171
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) Druckkoeffizienten cpeiner NACA0012-
Schaufel in Euler-Strömung mit M= 0.5und
Anströmwinkel (AoA) α0= 0ound α0= 5o.
(b) RMS der Oberflächendrucke für St = 2.5bei
M= 0.5und α0= 0oim qualitativen Ver-
gleich zu der Simulation von Lockard und Mor-
ris (1998). Pegel sind auf den Maximalwert nor-
miert.
Abb. 81: Validierung der Strömungslösung und der mittleren Druckschwankungen mit der Simu-
lation von Lockard und Morris (1998)
Die Hintergrundströmung wird berechnet (III.1.5.1), wobei als Grundgleichungen die
nicht-linearen, stationären Euler-Gleichungen gelöst werden. In Abb. 81(a) zeigen die
Druckkoeffizienten cpfür M= 0.5für die Anströmwinkel α0= 0ound α0= 5oeine gute
Übereinstimmung mit der Simulation von Lockard und Morris (1998).
Ergebnisse:
Vergleich mit Referenz: Der instationäre Oberflächendruck wird qualitativ für St =
2.5mit den Ergebnissen von Lockard und Morris (1998) in Abb. 81(b) verglichen. Sie
verwenden einen nicht-linearen Navier-Stokes-Löser, um eine harmonischen Gust bei
einer reduzierten Frequenz k=ωc/2
u0= 7.85 anzuregen. Das entspricht einer Strouhal-
Zahl von St =2
2πk= 2.5. Ein quantitativer Vergleich ist aufgrund der Unterschiede der
Quelle, also des einzelnen harmonischen Gusts zu stochastischer Turbulenz, nicht sinnvoll.
Die Form der Oberflächendrücke ähnelt sich und die Positionen der Maxima stimmen
überein.
Direktivitäten: Es werden die Ergebnisse als Direktivitäten der verschiedenen Kopp-
lungsverfahren in Abb. 82 für Strouhal-Zahlen St = 2.0, 4.0, 6.0 und 8.0 gezeigt.
Die Sponge-Kopplung wurde in den letzten Abschnitten erfolgreich gegen Messungen vali-
diert und kann somit als Referenz für diesen Testfall verwendet werden. Es wurden Varia-
tionen mit kleineren RPM-Gebieten durchgeführt, die ein qualitativ gleiches Ergebnis
bei einem niedrigeren Pegel ergaben. Ein größeres Gebiet bewirkt keine Änderung des
Pegels.
Die Direktivität der LEE-Relaxationskopplung ist sehr ähnlich zu der Sponge-Kopplung.
Eine Simulation mit dem LEE-Relaxationsgebiet eine Sehnenlänge weiter stromauf
gibt identische Ergebnisse, wodurch die Unterschiede nicht auf die Nähe des LEE-
Relaxationskopplungsgebiets zur Schaufel zurückzuführen sind.
Die Goldstein-korr. RHS-Kopplung liefert für tiefe Frequenzen (St ≤6.0) qualitativ
dieselbe Direktivität, überschätzt die Ergebnisse aber um bis zu 10 dB. Ähnliches ist für
172
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
(a) St = 2.0(b) St = 4.0
(c) St = 6.0(d) St = 8.0
Abb. 82: Ergebnisse für die verschiedenen Kopp-
lungsverfahren angewendet auf das NACA0012
für Euler-Strömung bei M= 0.5, α0= 0o
die Biot-Savart-Kopplung zu beobachten, wobei die einzelnen Maxima der Direktivität
nicht so ausgeprägt sind. Obwohl die Goldstein-Kopplung für diesen Anwendungsfall
eigentlich nicht mehr gelten sollte, da die Strömung nicht homogen ist, stimmt sie im Pegel
noch immer gut mit den anderen Volumenkopplungen überein. Für höhere Frequenzen
existiert ein Rauschen, das das eigentliche Signal zu überlagern scheint. Dieses Rauschen
ist bei allen untersuchten lokalen und Oberflächenkopplungen zu beobachten.
Ein Einfluss des Fading an den RPM-Gebietsgrenzen kann als Ursache des Rauschens aus-
geschlossen werden. In Abb. 83 wurde die Integrationsgrenze der Biot-Savart-Integration
auf einen Abstand von 2.43Λ beschränkt. Es zeigt sich, dass kein Unterschied zur Integra-
tion des gesamten RPM-Gebietes besteht.
Stattdessen wird das Rauschen wahrscheinlich durch die nicht exakt gleichen Konvektions-
geschwindigkeiten im RPM-Gebiet und im CAA-Gebiet verursacht. Beide Felder werden
von einer zugrundeliegenden RANS interpoliert, da aber die Gitter unterschiedlich sind,
entstehen Diskrepanzen. Das CAA-Gitter folgt der Schaufelkontur und die bilineare Inter-
polation birgt daher keine Schwierigkeiten. Abb. 84(a) zeigt den Betrag der Mach-Zahl
des interpolierten Feldes auf dem CAA-Gebiet. Für das kartesische RPM-Gitter existieren
aber Knoten außerhalb des CFD-Gebietes, siehe hierzu die roten Kreuze in der Skizze
in Abb. 85. Um in Randzellen (grau in der Abbildung) die Partikel mit der richtigen
Geschwindigkeit zu konvektieren, muss also auf diese Knoten extrapoliert werden. Dies
wird hier mittels einer Inverse-Distance-Interpolation durchgeführt, das Resultat ist in
Abb. 84(b) zu sehen. Die Diskrepanz für den vorliegenden Fall ist in Abb. 84(c) darge-
stellt. Anschaulich wird also ein durch die Oberflächenkopplung abgescherter Wirbel mit
einer leicht anderen Konvektionsgeschwindigkeit im CAA-Gebiet konvektiert als im RPM-
Gebiet. Während sich also der Wirbel entlang der Oberfläche ausbreitet, wird er durch
die Kopplung immer wieder in seiner Geschwindigkeit korrigiert. Das erzeugt Störschall.
173
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) St = 2.0(b) St = 4.0
(c) St = 6.0(d) St = 8.0
Abb. 83: Ergebnisse für die Biot-Savart-
Kopplung angewendet auf das NACA0012 für
Euler-Strömung bei M= 0.5, α0= 0o
(a) Betrag der Mach-Zahl auf dem CAA-Gebiet.
Im roten Bereich sind keine Werte vorhanden.
(b) Der Betrag der Mach-Zahl auf dem RPM-
Gebiet ist auch innerhalb der Schaufel definiert.
(c) Differenz des Betrages der Mach-Zahl auf der Schaufeloberfläche
zwischen CAA-Gebiet und RPM-Gebiet.
Abb. 84: Veranschaulichung
der Diskrepanz in der Kon-
vektionsgeschwindigkeit auf
dem RPM-Gitter
Dem kann letztlich auf kartesischen Gittern nur dann entgegengewirkt werden, wenn eine
174
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
genauere Extrapolation möglich wäre. Auf einem feineren CAA- und RPM-Gitter mit
kleinerer Zeitschrittweite zeigt sich das gleiche Problem.
Variation der mittleren Zuströmturbulenz: Ein Teil der Diskrepanz zwischen den lokalen
und Oberflächenkopplungen zu den Stromauf-Einkopplungen lässt sich durch die man-
gelhafte Definition der mittleren Zuströmturbulenz erklären. Bisher wurde von einer kon-
stanten Zuströmvarianz ausgegangen. Um stattdessen die resultierende Varianz vorzuge-
ben, wurde in der Sponge-Kopplungssimulation mithilfe von Sensoren die Varianz der
Geschwindigkeitsfluktuation ermittelt und diese als Varianz auf dem RPM-Gebiet V
vorgegeben. Die daraus resultierende Direktivität ist in Abb. 86 mit der ursprünglichen
Simulation verglichen. Es ist ersichtlich, dass die Ergebnisse sich an die Sponge-Kopplung
annähern. Eine bessere Übereinstimmung ist zu erwarten, wenn die Ermittlung der Vari-
anz ohne Interpolation von den Sensoren direkt auf dem CAA-Gitter erfolgen würde. Eine
Verwendung einer RANS-Simulation mit und ohne Wandhaftbedingung in der CFD ist
denkbar. Eine Diskussion des möglichen weiteren Vorgehens ist im nächsten Abschnitt zu
finden.
Dieselbe Quellvarianz ist auch für die Biot-Savart-Kopplung verwendet worden und wird
in Abb. 83 gezeigt. Auch hier ist derselbe Trend ablesbar.
Rechenaufwand: Die Simulationen liefen mit jeweils 11 Prozessen auf je einem Knoten
eines Clusters. Davon ist jeweils ein Prozessor für das RPM-Gebiet zuständig. Die Dauer
der Simulationen ist in Tab. B.1 zusammengefasst. Es ist deutlich, dass die Goldstein-
korr. RHS-Kopplung um einen Faktor 2 langsamer ist als die Sponge-Kopplung. Das liegt
daran, dass das CAA-Gebiet doppelt berechnet wird, einmal für die Korrektur der Turbu-
lenz mittels LEE und einmal für die Schallausbreitung mittels APE. Aktuell berechnet ein
CAA-Prozess also doppelt so viele Punkte wie bei der Sponge-Kopplung. Der Austausch
von Daten zwischen den CAA-Gebieten ist aber nur im Bereich des RPM-Gebietes nötig.
Eine Parallelisierung der zwei Gebiete ist demzufolge gut möglich und sollte bei doppelter
Anzahl an Prozessoren die Rechenzeit ähnlich zur Sponge-Kopplung reduzieren.
1.3.2 Diskussion zur Realisierung der Kopplungen bei RANS-Strömung
Es konnte im letzten Abschnitt für Euler-Strömung gezeigt werden, dass die vorge-
schlagenen Verfahren den resultierenden Vorderkanteninteraktionslärm auch für endlich
dicke Profile vorhersagen können. Die Stromauf-Einkopplungen sind robust und lassen
eine effektive und effiziente Anwendung zu. Die lokalen und Oberflächenkopplungen sind
aufwändiger, weniger robust und teilweise ungenau. Eine Weiterentwicklung der Verfah-
ren ist allerdings dennoch von großem Interesse, da nur durch die RHS-Kopplung eine
CAA-Gitter
RPM-Gitter
Randzellen
Schaufeloberfläche
Abb. 85: Die Skizze zeigt die Schaufeloberfläche,
das CAA-Gitter und das RPM-Gitter. Da das RPM-
Gitter kartesisch ist, durchdringt es die Schaufel (×).
Die Konvektionsgeschwindigkeiten in den Randzellen
(grau) kann daher nicht exakt vorgegeben werden.
175
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) St = 2.0(b) St = 4.0
(c) St = 6.0(d) St = 8.0
Abb. 86: Ergebnisse für die Goldstein-korr.
RHS-Kopplung angewendet auf das NACA0012
für Euler-Strömung bei M= 0.5, α0= 0o
Tab. B.1: Vergleich der Rechenzeiten für verschiedene Kopplungsverfahren bei der Simulation von
Turbulenz-Schaufel Interaktion.
Konfiguration Kopplungsverfahren Zeit- Rechen- Zeit pro
schritte zeit Schritt
M= 0.1, AoA = 0oGoldstein-korr. RHS-Kopplung 1000000 69.7h 0.25s
Sponge-Kopplung 2000 000 63.0 h 0.11s
M= 0.5, AoA = 0oGoldstein-korr. RHS-Kopplung 500000 36.6 h 0.26 s
Sponge-Kopplung 1000 000 33.6 h 0.12s
M= 0.5, AoA = 5oGoldstein-korr. RHS-Kopplung 1000000 71.1h 0.26s
Sponge-Kopplung 2000 000 59.5 h 0.11s
komplexere Modellierung der Turbulenz möglich ist, ohne die Ausbreitungsgleichungen zu
verändern, also z.B. die Vorhersage von grenzschichtinduziertem Schall und die Schall-
entstehung durch Turbulenzzerfall. Außerdem könnte so die Auflösung des CAA-Gebietes
drastisch reduziert werden.
Für die Stromauf-Einkopplung wurde bereits mit einer RANS-Grundströmung gerechnet
(VI.3.2). Es wird im Rahmen dieser Arbeit keine lokale Einkopplung für eine RANS-
Strömung präsentiert, da immer noch zu viele Unklarheiten bestehen. Im Folgenden wer-
den die gelösten und ungelösten Hürden diskutiert, um dies in Zukunft umzusetzen.
In Abb. 87 ist für den Fall aus Abschnitt VI.3.2 mit u0= 60m/s,Λ=0.03m,Tu = 3.9%
beispielhaft ein RPM-Gebiet auf Grundlage einer RANS-Strömung mit Wandhaftbedin-
gung und höherwertigem Schließungsansatz, dem Hellsten-EARSM-Modell erzeugt wor-
den. Im Folgenden werden an diesem Beispiel verschiedene Überlegungen veranschaulicht.
176
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
(a) Turbulente kinetische Energie in Falschfarben
dargestellt auf dem gesamten RPM-Gebiet.
(b) Integrales Längenmaß in Falschfarben darge-
stellt auf dem gesamten RPM-Gebiet.
(c) Turbulente kinetische Energie an der Vorderkan-
te nach der Interpolation auf das RPM-Gebiet.
(d) Integrales Längenmaß an der Vorderkante.
Abb. 87: Versuch, ein RPM-Gebiet für die RHS-Kopplung zu generieren. Abb (a) und (b) zeigen die
Ausdehnung des gesamten RPM-Gebietes mit der lokalen turbulenten kinetischen Energie und dem
integralen Längenmaß. Abb. (c) und (d) zeigen eine Nahaufnahme der Vorderkante überlagert mit
dem Gitter des RPM-Gebietes. Die Pfeile sind Stromlinien, gestrichelte Linien sind Niveaulinien.
Die Gitterauflösung des RPM-Gebiets aus Abschnitt VI.3.2 ist zur Veranschaulichung eingezeichnet
(−♢). Das ist gerade die benötigte Auflösung der konvektierte Turbulenz stromauf der Schaufel.
Kartesisches Gitter: Das verwendete RPM-Verfahren basiert, wie bereits diskutiert, auf
einem kartesischen Gitter. Daraus resultieren mehrere Nachteile für die Simulation
von Vorderkantenlärm.
RPM-Gitter an geometrischen Rändern: Zum einen ist die Hintergrundströmung
in Randzellen im RPM-Gebiet unterschiedlich zum CAA-Gebiet. Dieser
Umstand wurde bereits auf Seite 173 beleuchtet und wird hier nicht erneut
diskutiert.
Außerdem ist unter Verwendung der lokalen Turbulenz aus einer RANS die-
ses Problem auch für die Partikelskalierung gegeben. Ein Partikel, dass durch
Randzellen konvektiert, wird aufgrund der fehlenden oder mangelhaften Infor-
mation an Knotenpunkten innerhalb der Schaufel (×in Abb. 85 auf Seite 175)
automatisch entsprechend der Gitterauflösung flackern. Dies ist auch gut in
Abb. 87(c) entlang der Schaufeloberfläche sichtbar, wo die turbulente kine-
tischen Energie Sprünge aufweist, bedingt durch die Interpolation vom CFD-
Gebiet. Es ist streng genommen eine Extrapolation notwendig, um den Punkten
außerhalb des CFD-Gebietes, also innerhalb der Schaufel, Werte so zu zuordnen,
dass die Partikel nicht ihre Geschwindigkeit oder Varianz verändern, wenn sie
durch die betroffenen Zellen konvektieren. Durch eine Extrapolation ist aller-
dings nicht zu realisieren, dass die Varianz an der Oberfläche identisch Null
177
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
ist. Ist dies aber nicht gegeben, entsteht bei der RHS-Kopplung massiver Stör-
schall durch die Verletzung der Wand-Randbedingung im CAA-Gebiet, wie in
Abschnitt VI.2.1 für die unkorrigierte Varianz-Kopplung gezeigt wurde.
Eine mögliche Lösung des Problems wäre zum klassischen RPM-Ansatz auf
Stromlinien zurückzukehren. Hier sind aber keine schnellen Filter möglich. Es ist
auch eine Glättung der Zielvarianz denkbar, dadurch werden aber die Maxima
an der Vorderkante, die bereits schlecht aufzulösen sind, verwischt.
Großes Gebiet mit kleinen Zellen: In einem kartesische Gitter sind alle Zellen
gleich groß. Die Zellgröße definiert sich durch die Auflösung der Vorderkante.
Diese sollte kleiner sein, als der Abstand des Maximums der kinetischen Energie
zur Vorderkante, um die gesamte Energie abzudecken. Abb. 88(b) zeigt, dass
dieses Maximum der turbulenten kinetischen Energie sehr nah an der Schaufel-
oberfläche sitzt.
Die Auflösung des Gebietes in Abb. 87 ist so gewählt, dass das Maximum der
turbulenten kinetischen Energie an der Vorderkante gerade noch aufgelöst ist.
Daraus resultiert eine Zellweite von ∆ = 0.000 373 m das entspricht ungefähr
1/100 des integralen Längenmaßes. Die Auflösung für die Modellierung der
Zuströmturbulenz lag bei ∆ = 0.00375 m also einen Faktor 10 gröber. Zur
(a) Integrales Längenmaß entlang der Staupunktstromlinie im
Vergleich zum Wandabstand. Der Verlauf bis hin zur Vor-
derkante (LE) wird von den verschiedenen Turbulenzmo-
dellen unterschiedlich vorhergesagt. In Schaufelnähe ist in
allen Modellen das Längenmaß größer als der Wandab-
stand.
(b) Doppellogarithmische Darstellung der turbulenten kineti-
schen Energie auf der Staupunktlinie.
(c) Wilcox-Modell.
(d) Menter-SST Modell.
(e) Hellsten-Modell.
Abb. 88: Mittlere turbulente Eigenschaften im Staupunkt für u0= 60m/svorhergesagt mit TRA-
CE. Abb. (a) und (b) zeigen das integrale Längenmaß und die turbulente kinetische Energie entlang
der Staupunktlinie. Abb. (c)-(e) sind Falschfarben-Darstellungen des integralen Längenmaßes. Die
Kreise deuten dessen Ausmaße 2×10−2mund 2×10−3mvor der Vorderkante an.
178
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
Veranschaulichung ist diese Auflösung in Abb. (c) und (d) eingezeichnet (−♢).
Würde hier diese Auflösung verwendet werden, wären die turbulenten Eigen-
schaften an der Vorderkante nicht aufgelöst.
Die Gebietsgröße muss die gesamte Schaufel umfassen. Um die Abstrahlcha-
rakteristik vorherzusagen ist es notwendig, die Druckverteilung auf der gesam-
ten Schaufel zu realisieren. Paterson und Amiet (1976, S.37 ff.) haben Korrela-
tionsanalysen zwischen dem Oberflächendruck und dem Fernfelddruck durchge-
führt. Dabei haben sie festgestellt, dass zwar die vorderen 15% der Sehnenlänge
den meisten Schall erzeugen, aber auch der Oberflächendruck auf dem Rest der
Schaufel direkt in das Fernfeld abstrahlt. Daraus lässt sich schließen, dass erst
durch die Gesamtheit der Schaufel die Richtcharakteristik realisiert wird. Auch
die analytischen Lösungen suggerieren dies. Die iterative Schwartzschild-
Lösung zur Bestimmung der instationären Auftriebsfunktion von Amiet (1976b)
berücksichtigt erst in zweiter Ordnung die Kutta-Bedingung. Die Terme ers-
te Ordnung erzeugen zwar bereits einen Großteil des instationären Auftriebs,
würden aber ausschließlich eine dipolare Abstrahlung vorhersagen. Erst durch
die Terme zweiter Ordnung und damit der Berücksichtigung der Sehnenlänge
erhält die Abstrahlung die charakteristischen Nebenkeulen.
Im Beispiel ist die Ausdehnung so gewählt, dass die gesamte Schaufel aufge-
löst ist. Die Ränder sind 5Λ von der Schaufel entfernt. Dies resultiert aus der
Untersuchung von Dieste und Gabard (2012), die eine Mindestausdehnung von
knapp 2.4Λ bestimmt hat. Die zusätzliche Ausdehnung von 2.6Λ war anfäng-
lich als Fading-Bereich vorgesehen, ist aber auch nötig für die Verwendung von
von Kármán-Spektren anstelle von Gauss-Spektren, da bei der Gewichtung
größere Gauss-Längenskalen nötig sind (VI.1).
Da also das RPM-Gebiet die gesamte Schaufel umfassen muss und die kleinste
Zelle durch die Vorderkante definiert ist, wird das RPM-Gebiet schon in 2D zum
Flaschenhals. Im Beispiel folgt eine Gitterauflösung von einer Million Zellen und
entsprechend fünf Millionen Partikeln. Eine Parallelisierung ist also zwingend
notwendig. Eine mögliche Lösung ist es, die Zellen gröber zu wählen und
die Varianz entsprechend zu verschmieren. Dies ist aber kein robuster Ansatz,
sondern folgt eher der Methode des Versuch-und-Irrtum.
Mittlere Turbulenz an Vorderkante: Die aus einer RANS-Simulation resultierende mitt-
lere Turbulenz wurde anfänglich für das vorliegende Verfahren als gegeben ange-
nommen. Es stellte sich aber heraus, dass diese Annahme fahrlässig ist. Die Vor-
hersage der Turbulenz im Staupunkt ist sehr komplex und stark vom verwendeten
Turbulenzmodell, dem Schließungsansatz und der Staupunktkorrektur in der CFD
abhängig. Abb. 88 zeigt für einige CFD-Ansätze die Resultate, veranschaulicht am
NACA0012-Fall. Die Simulationen berücksichtigen die Wandhaftbedingung. Wil-
cox und Menter-SST verwenden die Schwarzsche Ungleichung als Staupunkt-
korrektur. Abb. (a) und (b) zeigen das integrale Längenmaß und die turbulen-
te kinetische Energie entlang der Staupunktlinie. Abb. (c)-(e) sind Falschfarben-
Darstellungen des integralen Längenmaßes. Die Kreise deuten dessen Ausmaße
2×10−2mund 2×10−3mvor der Vorderkante an. Während bei Wilcox und
Menter-SST die turbulenten Ballen im Staupunkt um Größenordnungen kleiner
sind als die der Zuströmturbulenz, tragen sie beim Hellsten-Modell auch kurz vor
der Schaufel noch die Eigenschaften der Zuströmturbulenz. Dieser Unterschied ist in
der Skizze in Abb. 89 veranschaulicht. Anschaulich ist klar, dass die Längenskala bis
kurz vor der Vorderkante konstant bleibt (vgl. Schritte 1-3 in Abb. 89 oben) und die
179
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
Abb. 89: Skizze zur Veranschaulichung
der physikalisch zu erwartenden Turbulenz-
Schaufel-Interaktion (oben) und der aktu-
ell mit dem RPM-Verfahren realisierten
Turbulenz-Konvektion (unten).
Wirbel erst durch die Interaktion mit der Oberfläche zerplatzen und anisotrop wer-
den (Schritte 3 und 4). Unter Verwendung der Wilcox- oder Menter-SST-Modelle
nimmt das integrale Längenmaß schon weit vor der Schaufelvorderkante drastisch ab,
vgl. Abb. 89 unten. Die Ausdehnung der turbulenten Strukturen wird also kleiner,
bevor sie die Schaufel überhaupt bemerken. Werden die linearen Ansätze zur Tur-
bulenzsynthetisierung verwendet und als RHS-Quellmodell in eine CAA-Simulation
eingekoppelt, so ist das resultierende Spektrum zu hochfrequent.
Durch Verwendung von Schließungsansätzen höherer Ordnung, wie dem Hellsten-
Modell ist eine bessere Modellierung der mittleren Turbulenz möglich. Abb. 88(e)
zeigt, dass auch noch 2×10−3mvor der Schaufelvorderkante das integrale Längen-
maß dem Zuströmlängenmaß entspricht (vgl. die Kreise in der Abbildung).
Dieses Modell oder sogar Reynolds-Spannungstransportmodelle sind also notwen-
dig, um eine zuverlässige Vorhersage der nötigen, mittleren turbulenten Eigenschaf-
ten zu machen. Die Verwendung der mittleren kinetischen Energie und des inte-
gralen Längenmaßes sind vermutlich nicht hinreichend, um die Turbulenz an der
Vorderkante zu charakterisieren, da sie nur unter Annahme von isotroper Turbulenz
Aussagekraft haben.
Isotrope Annahme der realisierten Wirbel: Es ist anschaulich so, dass die Wirbel in late-
rale Richtung zerplatzen, aber in axiale Richtung ihre charakteristische Länge unge-
fähr beibehalten müssten, vgl. Abb. 89 oben. Aktuell setzt das Verfahren aber iso-
trope Turbulenz um, wie in der Abbildung unten zu sehen. Anisotropie ist bisher
nicht berücksichtigt worden, auch wenn das RPM-Verfahren prinzipiell dazu in der
Lage ist. Grundlage ist eine CFD-Simulation, die den kompletten, mittleren Rey-
nolds-Spannungstensor < uiuj>und die Längenskalen Lij ermittelt.
Die Anisotropie der Turbulenz an der Vorderkante wurde von Goldstein (1978)
durch Anwendung der Rapid-Distortion-Theorie (RDT) von Batchelor und Proud-
man (1954) analytisch gezeigt. Dabei ist der Begriff der Anisotropie nicht verwendet
worden, sondern es wird die Formulierung der Verzerrung der Turbulenz durch die
Strömung an der Vorderkante verwendet. Diese Theorie zeigt im besonderen, dass
die Wellenlänge der einfallenden Wirbel durch die Interaktion sich stark verändert
und die Amplitude und die Phase beeinflusst sind (Staubs, 2008).
Der Effekt der Interaktion mit der Schaufel wurde erst kürzlich von Hainaut et al.
(2016) numerisch untersucht. Sie injizieren lokale Wirbelquellen in die LEE so, dass
sie isotrope Turbulenz realisieren1. Sie untersuchen mit diesem Verfahren, wie sich
die laterale Komponente der Turbulenz durch die Interaktion veränderte, indem sie
1Die Turbulenz ist streng genommen nicht isotrop, da die empirische Gewichtung der 2D-Gauss-Wirbel
ein 3D-von Kármán-Spektrum als Zielfunktion für die laterale Komponente hat. Die resultierende
axiale Komponente kann damit nicht der Funktion für isotrope Turbulenz entsprechen.
180
1 Untersuchung der alternativen Kopplungen
die Geschwindigkeitsspektren an verschiedenen Orten vor der Schaufel verglichen. Es
sind signifikante Veränderungen des Spektrums auszumachen, die von allen geometri-
schen und strömungsbezogenen Parametern abhängen. Über die axiale Komponente
wird allerdings keine Aussage getroffen. Wie auch bei der RDT wird die Verzer-
rung der Turbulenz auf die Strömung in der unmittelbaren Nähe zur Vorderkante
zurückgeführt.
Für die Stromauf-Einkopplung stellt die Beschränkung auf isotrope Wirbel keine
große Einschränkung dar. Die Anisotropie ist durch das CAA-Verfahren gegeben.
Dies haben erst kürzlich auch Hainaut et al. (2016) gezeigt. Die Goldstein-korr.
RHS-Kopplung verwendet dieselben Ausbreitungsgleichungen. Daher sind die abge-
scherten Wirbel auch nicht mehr zwangsläufig isotrop. Eine Verwendung der lokalen,
integralen Längenskala aus der RANS erscheint aber nicht sinnvoll. Logischer ist, wie
in den letzten Abschnitten, eine konstante integrale Längenskala zu verwenden und
die Interaktion mittels der Goldstein-korr. RHS-Kopplung zu realisieren oder aber
lokale, anisotrope Längenskalen zu verwenden.
Schnelle Änderung der Längenskala: Unter Verwendung des Gauss-Filters oder des
Purser-Filters wird das RPM-Verfahren instabil, wenn sich die Längenskala örtlich
nicht langsam ändert. Diese Einschränkung konnte mittels des Ansatzes der analy-
tischen Gewichtsfunktionen (IV) für beliebige Modellspektren aufgehoben werden.
Dabei werden alle verwendeten diskreten Längenskalen als örtlich konstant ange-
nommen und mittels eines Young-van-Vliet-Filters berechnet. Die Realisierung
des örtlichen integralen Längenmaßes erfolgt dann durch die entsprechende Gewich-
tung.
Berücksichtigung der Grenzschicht: Ausgehend von einer CFD-Simulation mit Wand-
haftbedingung, wie im Beispiel in Abb. 87, und einem RPM-Gebiet, das die gesamte
Schaufel umfasst, entsteht das Problem, dass auch die Grenzschicht Teil des RPM-
Gebietes ist. Anschaulich sollte ein turbulenter Ballen, der auf die Schaufel trifft,
durch diese verdrängt werden, also nicht in die Grenzschicht kommen. Dennoch
muss das Quellmodell hier zusätzlich auch den Schallentstehungsmechanismus für
Eigenlärm richtig abbilden können. Eine Lösung ist natürlich die Vernachlässigung
der Grenzschicht in der CFD-Simulation, wie in dieser Arbeit für RHS-Kopplungen
praktiziert.
1.4 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wurden die alternativen Kopplungsverfahren (A.11) zur Simulation
von Interaktionslärm verschiedener Komplexität untersucht. Der Fokus lag auf der Kon-
nektivität des RPM-Verfahrens zum CAA-Verfahren. Die alternativen Kopplungsverfahren
haben sich hierbei als wenig robust erwiesen und es bleiben viele Fragen offen.
181
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
2 Zusätzliche Abbildungen zur UHBR-Fan-Simulation
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 90: Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-1b
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 91: Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-2a
182
2 Zusätzliche Abbildungen zur UHBR-Fan-Simulation
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 92: Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-2a und #4-2b
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 93: Schalleistungsspektren für die reduzierte Kaskade, Konf. #4-1a und #4-4
183
B Weiterführende Untersuchungen und Abbildungen
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 94: Schalleistungsspektren für die volle Kaskade, Konf. #38-1 und #38-2
(a) PWL stromauf.
(b) PWL stromab unter Verwendung von Gl. (107).
Abb. 95: Schalleistungsspektren für die volle Kaskade, Konf. #38-1 und #38-4
184
