Pro-endliche Grupp en
1
Franz Lemmermeyer
4. August 1999
1
Zweist
undige Vorlesung an der Universit
at Bonn, Sommersemester 1999.
ii PRO-ENDLICHE GRUPPEN
4.8.1999
Inhaltsverzeichnis
1 Galoistheorie unendlicher Erweiterungen 3
1.1 Top ologische Grupp en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Die Krullsche Top ologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Bemerkungen ............................ 12
2 Pro jektive Limites 19
2.1 Galoisgruppen............................ 19
2.2 Funktorielle Eigenschaften des pro jektiven Limes . . . . . . . . 23
2.3 Eigenschaften pro-endlicher Grupp en . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Kohomologiegrupp en niedriger Dimension 33
3.1 Diskrete
G
-Moduln ......................... 33
3.2 Das Schlangenlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Die Tateschen Grupp en
b
H
0
und
b
H
1
................ 46
3.5 Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orper........... 47
4 Die lange Kohomologiesequenz 53
4.1 Die lange exakte Kohomologiesequenz . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Ination und Restriktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Induzierte Mo duln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Direkte Limites von Kohomologiegrupp en . . . . . . . . . . . . 67
2 Inhaltsverzeichnis
4.8.1999
Kapitel 1
Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
Problemstel lung
Wir b eginnen damit, einige Begrie der Galoistheorie zu wiederholen. Sei
L=K
eine K
orp ererweiterung. Ein
2
L
heit
algebraisch
ub er
K
, wenn es ein
(oBdA normiertes
1
) Polynom
f
2
K
[
X
] gibt mit
f
(
) = 0; ist
f
irreduzib el
in
K
[
X
], so heit es Minimalp olynom. Weiter nennt man ein algebraisches
2
L
separab el, wenn die Nullstellen des Minimalp olynoms alle einfach sind;
Standardb eispiel eines nicht separablen Elements ist
=
T
1
=p
ub er
K
=
F
p
[
T
]:
dessen Minimalp olynom ist ersichtlich
X
p
T
2
K
[
X
], und wegen
X
p
T
=
(
X
)
p
ist
eine
p
-fache Nullstelle.
Die Erweiterung
L=K
heit algebraisch (separab el), wenn jedes
2
L
al-
gebraisch (separab el)
ub er
K
ist. Jede endliche Erweiterung eines endlichen
K
orp ers o der von
Q
ist separab el. Schlielich nennt man
L=K
normal
, wenn
die Erweiterung algebraisch ist und jedes in
K
irreduzible Polynom, welches
in
L
eine Nullstelle hat,
ub er
L
in Linearfaktoren zerf
allt. Ist
L=K
normal, so
nennt man die Grupp e Gal (
L=K
) aller Automorphismen von
L
, welche
K
ele-
mentweise fest lassen, die Galoisgrupp e von
L=K
. Man nennt die Erweiterung
galoissch, wenn sie normal und separab el ist. Bekanntlich gilt
Prop osition 1.1.
Ist
L=K
normal und separabel, so ist
K
der Fixk
orper von
Gal (
L=K
)
.
Um dies zu b eweisen, m
ussen wir f
ur jedes
2
L
n
K
einen Automorphis-
mus
2
Gal (
L=K
) konstruieren mit
(
)
6
=
. Dazu brauchen wir blo einen
entsprechenden Isomorphismus von
K
(
) \ho chzuheb en". Das wiederum ge-
schieht mit den n
achsten b eiden Lemmata.
1
d.h. der Koezient des Termes h
ochsten Grades ist 1.
4 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
Lemma 1.2.
Sei
L=K
galoissch und
:
L
!
L
ein
K
-Isomorphismus. Dann
ist
2
Gal (
L=K
)
.
Beweis.
Zu zeigen ist, da der
K
-Isomorphismus ein Automorphismus von
L
,
d.h. surjektiv ist. Da jedes
2
L
in einem endlichen normalen Teilk
orp er
liegt, gen
ugt es zu zeigen, da die Einschr
ankung von
auf jede endliche nor-
male Teilerweiterung von
L=K
surjektiv ist. Das folgt ab er aus der endlichen
Galoistheorie.
Lemma 1.3.
Sei
L=k
galoissch,
K
ein Zwischenk
orper von
L=k
, und
:
K
!
L
ein
k
-Isomorphismus. Dann existiert ein
e
2
Gal (
L=k
)
mit
e
j
K
=
.
Beweis.
Sei
S
die Menge aller Paare (
F ;
) mit
K
F
L
, so da
:
K
!
L
ein
k
-Isomorphismus ist. Wegen (
L;
)
2
S
ist
S
nicht leer. Wir f
uhren
auf
S
eine partielle Ordnung ein durch (
F
1
;
1
)
(
F
2
;
2
) falls
F
1
F
2
und
2
j
F
1
=
1
. Wir b ehaupten, da
S
damit induktiv geordnet ist, d.h. da jede
total geordnete Teilmenge
f
(
F
i
;
i
)
g
ein Maximum b esitzt. Dazu setzen wir
e
F
:=
[
i
F
i
und denieren einen Automorphismus
e
von
F
durch
e
(
) =
i
(
),
wenn
2
F
i
ist. Wegen der Totalordnung ist dies wohldeniert.
Nach dem Lemma von Zorn b esitzt dann
S
ein maximales Element (
L
0
;
e
).
Wir b ehaupten, da
L
0
=
L
gilt. Andernfalls g
ab e es n
amlich ein
2
L
n
L
0
,
und wir k
onnten den Automorphismus
e
auf
L
0
(
) ho chheb en: das widerspricht
ab er der Maximalit
at von (
L
0
;
e
).
Ist
L=K
eine endliche galoissche Erweiterung, so stellt der Hauptsatz der
Galoistheorie eine ordnungsumkehrende Bijektion zwischen Untergrupp en von
Gal (
L=K
) und Teilk
orp ern von
L=K
her. F
ur unendliche normale Erweite-
rungen ist dies falsch, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel.
Sei
K
=
F
p
der K
orp er mit
p
Elementen, und
F
=
S
n
1
F
p
n
sein
algebraischer (= separabler) Abschlu. Oensichtlich ist
F
=
F
p
normal; sei
G
=
Gal (
F
=
F
p
) seine Galoisgrupp e. Dieses enth
alt den Frob eniusautomorphismus
:
7!
p
; sei
H
=
h
i
die von
erzeugte Untergrupp e. Jetzt gilt:
1. Der Fixk
orp er von
G
ist
F
p
;
2. Der Fixk
orp er von
H
ist
F
p
;
3.
H
6
=
G
.
Insb esondere gibt es zwei voneinander verschiedene Untergrupp en von
G
mit
demselb en Fixk
orp er.
Nun zum Beweis der Behauptungen. Sei
2
F
und
(
) =
, also
Null-
stelle von
X
p
X
2
F
p
[
X
]. Dieses Polynom hat die
p
Elemente von
F
p
als
Nullstellen; da
F
p
ein K
orp er ist, sind dies schon alle, und es folgt
2
F
p
.
Das zeigt 2. Wegen
H
G
folgt daraus 1. Zum Beweis von 3 m
ussen wir ein
2
Gal (
F
=
F
p
) konstruieren, das keine Potenz von
ist.
4.8.1999
1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen 5
Die Idee ist einfach: wir konstruieren uns einen geeigneten K
orp er
L
mit
F
p
L
( F
und w
ahlen ein
2
Gal (
F
=L
)
n f
1
g
. W
are
H
=
G
, so folgte
=
n
f
ur ein
n
2
N
(notfalls ersetze man
durch
1
); also liee
n
den
K
orp er
L
elementweise fest, und
L
w
are im Fixk
orp er
F
p
n
von
n
enthalten.
Dies liefert einen Widerspruch, falls
L
unendlich viele Elemente enth
alt.
Unsere Aufgab e ist es daher, einen echten Teilk
orp er von
F
mit unendlich
vielen Elementen zu konstruieren. Das ist ab er einfach: man nehme die Erwei-
terung
L
=
S
n
0
F
p
2
n
.
Bei obigem Beweis hab en wir stillschweigend einige Aussagen der Galois-
theorie b enutzt, deren Beweis wir no ch nachzutragen hab en. Zum einen hab en
wir b enutzt, da
F
=L
galoissch ist; dies folgt aus
Lemma 1.4.
Ist
K
ein Zwischenk
orper der algebraischen (normalen, sepa-
rablen, galoisschen) Erweiterung
L=F
, so ist auch
L=K
algebraisch (normal,
separabel, galoissch).
Beweis.
Da
L=K
algebraisch ist, ist oensichtlich wegen
F
[
X
]
K
[
X
]. Sei
nun
L=F
normal und
f
2
K
[
X
] irreduzib el. Ist dann
2
L
eine Nullstelle von
f
, so ist zu zeigen, da
f
in
L
in Linearfaktoren zerf
allt. Sei dazu
h
2
F
[
X
]
das Minimalp olynom von
ub er
F
. Der euklidische Algorithmus in
K
[
X
] gibt
h
=
f q
+
r
f
ur ein
r
2
K
[
X
] mit deg
r <
deg
f
; auerdem ist
r
(
) = 0.
Daraus folgt ab er mit der Irreduzibilit
at von
f
, da
r
= 0 ist, und somit ist
f
Teiler von
h
. Da ab er
h
in
L
in Linearfaktoren zerf
allt, folgt die Behauptung.
Genauso b ehandelt man die Separabilit
at, und wegen galoissch = normal und
separab el ist alles gezeigt.
Zweitens hab en wir folgende Tatsache verwendet:
Lemma 1.5.
Sei
F
0
F
1
F
2
:::
eine Folge von quadratischen Erwei-
terungen und
L=F
0
eine kubische Erweiterung. Dann ist
L
nicht in
F
1
=
S
n
0
F
n
enthalten.
Beweis.
Sei
L
=
F
(
); w
are
2
F
1
, so g
ab e es ein
n
2
N
mit
2
F
n
. Ab er
(
F
n
:
F
) = 2
n
ist nicht durch 3 = (
L
:
F
) teilbar.
Das obige Problem b eim Hauptsatz der Galoistheorie f
ur unendliche Erwei-
terungen
L=K
kommt daher, da es Grupp en
H
gibt, deren Fixk
orp er gleich
K
ist, ohne da
H
schon die ganze Galoisgrupp e ist. Die Frage, wie man
den Hauptsatz abzu
andern hat, hat Krull Ende der 20er Jahren b eantwortet:
man top ologisiert die Galoisgrupp e und erh
alt dann eine Bijektion zwischen
abgeschlossenen Untergruppen
der Galoisgrupp en und den Teilk
orp ern der Er-
weiterung. In unserem obigen Beispiel ist der Abschlu der von
erzeugten
Grupp e schon die ganze Galoisgrupp e, und alles l
ost sich in Wohlgefallen auf.
4.8.1999
6 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
1.1 Top ologische Grupp en
Eine Menge
G
, die mit einer Grupp enstruktur und einer Top ologie versehen
ist, heit
topologische Gruppe
, wenn sich Top ologie und Grupp enstruktur ver-
tragen; genauer sollen Multiplikation und Inversenbildung
stetige
Abbildungen
sein, d.h. es wird verlangt:
Die Abbildung
G
G
!
G
: (
x; y
)
7!
xy
ist stetig, wob ei
G
G
mit
der Pro dukttop ologie versehen ist;
Die Abbildung
G
!
G
:
x
7!
x
1
ist stetig.
Beispiele f
ur top ologische Grupp en gibt es unz
ahlige: jede (endliche) Grup-
p e ist, versehen mit der diskreten Top ologie, eine top ologische Grupp e. Die
additive Grupp e der rationalen (reellen, komplexen) Zahlen ist eine top ologi-
sche Grupp e b ez
uglich der gew
ohnlichen Top ologie, die von der euklidischen
Metrik induziert wird. Daneb en ist
Q
auch top ologische Grupp e b ez
uglich der
p
-adischen Top ologien. Weiter ist
R
mit der
ublichen Metrik eine top ologi-
sche Grupp e, und was wegen
R
= GL
1
(
R
) f
ur
n
= 1 gilt, kann man nat
urlich
auch auf GL
n
(
R
)
ub ertragen.
Ubung.
Man versehe
Z
mit folgender Top ologie: eine Teilmenge
X
Z
heie
oen, wenn 0
=
2
Z
o der
Z
n
X
endlich ist. Man
ub erzeuge sich davon, da dies
wirklich eine (hausdorsche) Top ologie ist, und da
Z
mit dieser Top ologie
keine top ologische Grupp e bildet.
Bemerkung.
Man versehe
Z
mit der Top ologie, deren Basis die arithmeti-
schen Progressionen bilden. Eine Menge
U
Z
ist daher oen, wenn jedes
ihrer Elemente in einer ganz in
U
liegenden arithmetischen Progression vor-
kommt. Jede oene Menge ist damit abgeschlossen, weil das Komplement einer
arithmetischen Progression die Vereinigung endlich vieler solcher ist. Man b e-
trachte nun die Mengen
A
p
=
p
Z
, wo
p
eine Primzahl ist; diese sind oen und
abgeschlossen. Die Vereinigung aller
A
p
ist
Z
n f
1
g
; da diese Menge nicht
oen ist, ist
S
A
p
nicht abgeschlossen. Also kann
S
A
p
nicht die Vereinigung
endlich vieler
A
p
sein, folglich mu es unendlich viele Primzahlen geb en.
Die Literatur
ub er top ologische Grupp en ist immens; gl
ucklicherweise kom-
men wir mit ganz wenig aus:
Lemma 1.6.
Sei
G
topologische Gruppe und
L
a
:
G
!
G
die Multiplikation
mit
a
2
G
von links. Dann ist
L
a
Hom
oomorphismus. Insbesondere ist eine
Teilmenge
A
G
genau dann oen (abgeschlossen), wenn
aA
dies ist.
Beweis.
Die Homomorphieeigenschaft von
L
a
ist klar, die Stetigkeit folgt dar-
aus, da
L
a
die Komp osition der b eiden stetigen Abbildungen
G
!
G
G
:
g
7!
(
a; g
) und von
G
G
!
G
: (
a; g
)
7!
ag
ist. Die Umkehrabbildung
L
a
1
ist aus demselb en Grund stetig.
4.8.1999
1.1 Top ologische Grupp en 7
Lemma 1.7.
Sei
G
topologische Gruppe und
A; B
G
Teilmengen von
G
.
Dann ist
A
B
AB
,
A
1
=
A
1
, und
g A
=
g A
f
ur jedes
g
2
G
.
Beweis.
Sei
x
2
A
und
y
2
B
, und sei
U
eine Umgebung von
xy
. Wegen der
Stetigkeit der Multiplikation gibt es eine Umgebung
V
der 1, so da
xV
y V
xy U
gilt. Da
x
im Rand von
A
liegt, gibt es ein
a
2
xV
\
A
, und analog ein
b
2
y V
\
B
. Dann ist
ab
2
AB
\
xy U
, d.h. jede Umgebung von
xy
schneidet
AB
. Also ist
xy
2
AB
.
Zum Beweis von
A
1
=
A
1
b etrachten wir den Hom
oomorphismus
I
:
G
!
G
:
g
7!
g
1
. Wegen
A
1
A
1
=
I
(
A
) ist die rechte Seite ab-
geschlossen, folglich mu auch
A
1
A
1
sein. Andererseits ist
A
1
A
1
,
somit
A
A
1
1
=
I
(
A
1
). Wieder ist die rechte Seite abgeschlossen, also
A
A
1
1
und damit
A
1
A
1
.
Schlielich zu
g A
=
g A
. Wegen
g A
g A
mu
g A
g A
sein (dasselb e
Argument wie eb en, nur da statt
I
der Hom
oomorphismus
L
g
verwendet
wird). Umgekehrt folgt aus
A
g
1
g A
wieder
A
g
1
g A
und damit
g A
g A
.
Prop osition 1.8.
Sei
G
topologische Gruppe und
H
eine Untergruppe von
G
.
Dann ist
H
bez
uglich der Relativtopologie eine topologische Gruppe, und die
Einbettung
H ,
!
G
ist stetig. Mit
H
ist auch der topologische Abschlu
H
von
H
eine Untergruppe von
G
.
Beweis.
Die Multiplikation
H
H
!
H
ist als Einschr
ankung einer stetigen
Abbildung eb enfalls wieder stetig, und dasselb e gilt f
ur Bildung des Inversen.
Zu zeigen ist lediglich, da
H
eine Grupp e bildet. Nach dem obigen Lemma ist
ab er
H
H
H
H
=
H
und
H
1
=
H
1
=
H
, somit
H
eine Grupp e.
Prop osition 1.9.
Oene Untergruppen topologischer Gruppen sind gleichzei-
tig abgeschlossen.
Beweis.
Es ist oenbar
G
n
H
=
S
g =
2
H
g H
; da mit
H
auch alle
g H
oen sind,
ist
G
n
H
oen. Also ist
H
abgeschlossen.
Ubung.
Sei
G
top ologische Grupp e und
H
eine Untergrupp e von
G
. Zeige:
Ist
G
hausdorsch und
H
ab elsch, dann ist auch
H
ab elsch.
Es folgen no ch einige Bemerkungen zur Top ologie von Faktorgrupp en. Sei
(
G;
O
) eine top ologische Grupp e,
H
G
eine Untergrupp e,
G=H
die Menge
der Linksneb enklassen, und
:
G
!
G=H
die kanonische Pro jektion. Dann
wird durch
O
0
=
f
U
G=H
:
1
(
U
)
2 O g
eine Top ologie auf
G=H
deniert,
b ez
uglich der
stetig und oen ist. In der Tat sind
?
und
G=H
oen wegen
?
=
1
(
?
) und
G
=
1
(
G=H
). Sind weiter
A
i
2 O
0
, also
1
(
A
i
)
2 O
,
so ist
1
(
S
A
i
) =
S
1
(
A
i
)
2 O
und damit
S
A
i
2 O
0
. Eb enso folgt, da
der Durchschnitt endlich vieler oener Mengen wieder oen ist. Weiter ist
4.8.1999
8 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
p er denitionem stetig, und zum Beweis der Oenheit sei
U
2 O
; dann ist
1
(
(
U
)) =
U H
. Mit
U
ist ab er auch
U H
oen.
Sei ab jetzt
H
ein Normalteiler von
G
. Dann ist
G=H
eine Grupp e, die
wir eb en mit einer Top ologie versehen hab en. In der Tat wird
G=H
damit
zur top ologischen Grupp e. Um die Stetigkeit der Multiplikation einzusehen,
sei
W
eine Umgebung von
g
1
g
2
H
2
G=H
. Dann ist
1
(
W
) eine oene Um-
gebung von
g
1
g
2
, und nach der Stetigkeit der Multiplikation in
G
existieren
Umgebungen
U
j
von
g
j
mit
U
1
U
2
1
(
W
). Da
oen ist, sind dann
(
U
j
)
Umgebungen von
g
j
H
, und es ist
(
U
1
)
(
U
2
) =
(
U
1
U
2
)
W
. Die Stetigkeit
der Inversenbildung folgt analog, und wir hab en gezeigt:
Prop osition 1.10.
Ist
H
Normalteiler einer topologischen Gruppe, so wird
G=H
mit der Quotiententopologie ebenfal ls zu einer topologischen Gruppe, und
die kanonische Projektion
:
G
!
G=H
ist stetig und oen.
Damit hab en wir folgende top ologische Version eines b ekannten Isomorphie-
satzes:
Prop osition 1.11.
Seien
G
1
,
G
2
topologische Gruppen und
:
G
1
!
G
2
ein oener und stetiger Epimorphismus. Dann induziert
:
G
1
=
ker
!
G
2
einen topologischen Isomorphismus
G
1
=
ker
'
G
2
.
Beweis.
Da
Grupp enisomorphismus ist, ist klar. Zu zeigen ist, da
stetig
und oen ist. Sei dazu
U
2
G
2
oen; da
stetig ist, ist
1
(
U
2
) oen in
G
1
,
folglich
1
(
U
2
) =
(
1
(
U
2
)) oen, weil
oen ist. Also ist
stetig.
Sei nun
U
G
1
=
ker
oen. Dann ist
U
1
:=
1
(
U
) oen in
G
1
, also
(
U
) =
(
U
1
) oen in
G
2
, weil
oen ist.
1.2 Die Krullsche Top ologie
Sei
L=K
galoissch; die Menge
O
=
f
Gal (
L=F
) :
F =K
ist endlich und normal
g
deniert eine Umgebungsbasis der 1. Mit anderen Worten: eine Menge
U
G
= Gal (
L=K
) ist oen, wenn es zu jedem
2
G
eine endliche normale
Erweiterung
F =K
gibt, so da
Gal (
L=F
)
U
gilt.
Ist
L=K
endlich, so ist jedes Element von
G
oen (man braucht ja nur immer
H
= Gal (
L=L
) =
f
1
g
zu w
ahlen).
Beginnen wir nun mit dem Nachweis, da
O
eine Top ologie deniert. Zuerst
einmal sind
?
und
G
oen. Sind weiter
H
i
= Gal (
L=F
i
)
2 O
f
ur
i
= 1
;
2, so
ist
H
1
\
H
2
= Gal (
L=F
1
F
2
)
2 O
, da mit
F
1
und
F
2
auch das Komp ositum
F
1
F
2
eine endliche normale Erweiterung von
K
ist. Ist
f
H
i
g
eine ganze Familie
solcher oener Untergrupp en von
G
, so ist
S
i
H
i
= Gal (
L=
T
F
i
)
2 O
, da der
Durchschnitt b eliebig vieler endlicher normaler Erweiterungen von
K
wieder
eine solche ist. Damit ist Gal (
L=K
) ein top ologischer Raum.
4.8.1999
1.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie 9
Ist Gal (
L=K
) ab er auch eine top ologische Grupp e? Dazu m
ussen wir die
Vertr
aglichkeit der Top ologie mit der Grupp enop eration nachweisen. Betrach-
ten wir also die Abbildung
i
:
7!
1
. Um die Stetigkeit nachzuweisen,
gen
ugt es zu zeigen, da das Urbild der oenen Basisumgebung
H
= Gal (
L=F
)
mit
F =K
endlich und normal wieder eine oene Menge enth
alt. Weil ab er
H
eine Grupp e ist, ist
i
1
(
H
) =
H
und damit alles klar. Die Stetigkeit der Multi-
plikation folgt eb enso leicht: sei
H
=
Gal (
L=F
) eine oene Basisumgebung
von
. Dann sind
H
und
H
oene Umgebungen von
bzw.
, und es ist
H
H
=
H
H
=
H
. Dab ei hab en wir erstens b enutzt, da
H
Normal-
teiler von
G
ist, und zweitens, da wegen der Grupp eneigenschaft
H
H
=
H
gilt.
Also ist (
G;
O
) top ologische Grupp e. Als n
achstes b ehaupten wir, da die
Top ologie hausdorsch ist. Seien dazu
;
2
G
mit
6
=
. Gesucht sind
U; V
2 O
mit
U
\
V
=
?
. Dazu w
ahlen wir ein
2
L
mit
(
)
6
=
(
); dann
ist der normale Abschlu
F
von
K
(
) eine endliche normale Erweiterung von
K
, somit
H
= Gal (
L=F
)
2 O
. W
are
H
\
H
nicht leer, so folgte
2
H
: das
kann ab er nicht sein, da
H
den K
orp er
F
elementweise fest l
at, andererseits
2
F
gilt.
Damit ist Gal (
L=K
) f
ur jede Galoiserweiterung eine hausdorsche top olo-
gische Grupp e. Wenn nicht ausdr
ucklich anders erw
ahnt, wird im folgenden
Gal (
L=K
) immer mit der Krullschen Top ologie versehen sein. Weiter ist ein-
fach einzusehen, da Gal (
L=K
) total unzusammenh
angend ist, w
ahrend der
Nachweis, da Gal (
L=K
) kompakt ist, etwas mehr M
uhe b ereitet (f
ur einen
direkten Beweis siehe Artin [2]; Lorenz [8] b enutzt den Satz von Tychono
plus die Interpretation von Gal (
L=K
) als pro jektiver Limes, McCarthy [10]
dagegen Ultralter und Bourbaki. Da wir die Kompaktheit demn
achst in einer
allgemeineren Situation via Tychono b ekommen werden, verzichten wir hier
auf den Beweis; f
ur den Hauptsatz der Galoistheorie ist dieses Wissen ohnehin
nicht erforderlich.
1.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie
Zur Formulierung des Krullschen Hauptsatzes der Galoistheorie denieren wir
b ei gegeb ener galoisscher K
orp ererweiterung
L=K
Abbildungen und durch
(
F
) = Gal (
L=F
) f
ur Zwischenerweiterungen
F =K
von
L=K
und (
H
) =
L
H
:=
f
2
L
:
=
8
2
H
g
f
ur Untergrupp en
H
von
G
= Gal (
L=K
).
Der Hauptsatz der endlichen Galoistheorie b esagt, da
und
die
identischen Abbildung sind. Die letztere der b eiden Relationen gilt aus forma-
len Gr
unden und ist daher auch f
ur unendliche Galoiserweiterungen richtig:
ist n
amlich
K
F
L
, so gilt ((
F
)) = (Gal (
L=F
)), und das ist die
Menge aller
2
L
, welche von Gal (
L=F
) fest gelassen werden. Da mit
L=K
auch
L=F
galoissch ist, ist der Fixk
orp er von Gal (
L=F
) ab er
F
. Die Bezie-
4.8.1999
10 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
hung
= id ist dagegen f
ur unendliche Erweiterungen nur dann richtig,
wenn man
G
mit der Krullschen Top ologie versieht und auf abgeschlossene
Untergrupp en einschr
ankt.
Satz 1.12.
Sei
L=K
eine (end liche oder unend liche) Galoiserweiterung mit
G
= Gal (
L=K
)
. Die Abbildung
, die einem Zwischenk
orper
F
die Grup-
pe
Gal (
L=F
)
zuordnet, stiftet eine Bijektion zwischen dem Verband der Zwi-
schenk
orper von
L=K
und den abgeschlossenen Untergruppen von
G
. Ist
H
irgendeine Untergruppe von
G
und
F
ihr Fixk
orper, so ist
Gal (
L=F
) =
H
der topologische Abschlu von
H
. Weiter ist
F =K
genau dann normal, wenn
Gal (
L=F
)
ein Normalteiler von
G
ist; in diesem Fal l haben wir einen topo-
logischen Isomorphismus
Gal (
F =K
)
'
Gal (
L=K
)
=
Gal (
L=F
)
, wenn die Fak-
torgruppe mit der Quotiententopologie versehen wird.
Beweis.
Wir b eginnen mit dem Nachweis, da Gal (
L=F
) = (
F
) abgeschlos-
sen ist (ist
F =K
endlich, so ist Gal (
L=F
) sogar oen und damit nichts zu
zeigen). Im allgemeinen Fall sei
2
G
n
Gal (
L=F
). Dann existiert ein
2
F
mit
6
=
. Sei
N
der normale Abschlu von
K
(
)
=K
. Dann ist
U
=
Gal (
L=N
) oen, und f
ur
2
U
gilt
(
) =
(
)
6
=
. Dies impliziert ab er
U
\
Gal (
L=F
) =
?
.
Als n
achstes zeigen wir
= id, also Gal (
L=L
H
) =
H
. F
ur oene Unter-
grupp en
H
ist das
ubrigens gar kein Problem: dann ist n
amlich
H
= Gal (
L=F
)
f
ur eine endliche Erweiterung
F =K
, folglich
(
H
) =
((
F
)) = (
F
) =
H
. Das Problem b esteht darin, dasselb e f
ur alle abgeschlossenen Untergrupp en
H
zu zeigen.
Wegen
H
Gal (
L=L
H
) und weil Gal (
L=L
H
)
L
L
H
F
@
@
@
L
H
F
@
@
@
L
H
\
F
K
abgeschlossen ist, gilt sicherlich
H
Gal (
L=L
H
),
so da nur Gal (
L=L
H
)
H
zu zeigen ist. Sei
dazu
2
Gal (
L=L
H
); wir m
ussen zeigen, da
Gal (
L=F
)
\
H
6
=
?
ist f
ur jedes endliche nor-
male
F =K
. Die Idee b esteht darin, ein
2
H
zu nden mit
j
F
=
j
F
: dann ist n
amlich
1
2
Gal (
L=F
) und folglich
2
Gal (
L=F
)
\
H
. Dies
macht man so: wir b etrachten die Restriktion
:
Gal (
L=L
H
)
!
Gal (
L
H
F =L
H
). Der Fixk
orp er
von
(
H
) ist dann immer no ch
L
H
: denn w
urde
2
L
H
F
n
L
H
von jeder Einschr
ankung eines Au-
tomorphismus aus
H
festgelassen, dann auch von
deren Lifts. Also ist
L
H
der Fixk
orp er von
(
H
) in
der
end lichen
Galoiserweiterung
L
H
F =L
H
. Nach
dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie ist da-
mit
(
H
) = Gal (
L
H
F =L
H
)
'
Gal (
F =F
\
L
H
). Also entsteht jeder Automor-
phismus von
F =F
\
L
H
als Einschr
ankung eines Automorphismus von
H
auf
F
, und insb esondere existiert ein
2
H
mit
j
F
=
j
F
. Das war zu zeigen.
4.8.1999
1.3 Der Hauptsatz der Galoistheorie 11
Schlielich m
ussen wir uns no ch um den top ologischen Isomorphismus
Gal (
F =K
)
'
Gal (
L=K
)
=
Gal (
L=F
)
k
ummern, der gelten soll, wenn
L=F =K
ein galoisscher Turm ist, also
L=K
und
F =K
galoissche Erweiterungen sind.
Dazu b etrachten wir die Restriktion
: Gal (
L=K
)
!
Gal (
F =K
); deren
Kern b esteht gerade aus Gal (
L=F
). Um den top ologischen Isomorphismus zu
b ekommen, m
ussen wir nur nachweisen, da
oen und stetig ist (vgl. Prop.
1.11). Zur Stetigkeit: sei
H
Gal (
F =K
) eine oene Basisumgebung der 1,
also
H
= Gal (
F =N
) mit einer endlichen normalen Teilerweiterung
N =K
von
F =K
. Dann ist
1
(Gal (
F =N
)) = Gal (
L=N
) oen in Gal (
L=K
), also
stetig.
Die Umkehrung gilt aus genau demselb en Grund.
Schlielich geb en wir no ch eine Charakterisierung der oenen und abge-
schlossenen Untergrupp en von Galoisgrupp en:
Prop osition 1.13.
Sei
L=K
galoissch und
G
= Gal (
L=K
)
; dann sind die
oenen Untergruppen von
G
genau die Gruppen
Gal (
L=F
)
, wo
F =K
end lich
ist. Die abgeschlossenen Untergruppen sind genau die Durchschnitte oener
Gruppen.
Beweis.
Sei
F =K
endlich, und
e
F =K
der normale Abschlu von
F =K
in
L=K
.
Dann ist Gal (
L=
e
F
)
Gal (
L=F
)
G
, somit Gal (
L=F
) =
S
Gal (
L=
e
F
)
[die Vereinigung geht
ub er alle
2
Gal (
L=F
)] oen, da alle Neb enklassen
Gal (
L=
e
F
) dies sind.
Sei nun umgekehrt
H
eine oene Untergrupp e von
G
. Die Oenheit b e-
sagt, da es eine endliche normale Teilerweiterung
e
F =K
von
L=K
gibt mit
Gal (
L=
e
F
)
H
. Wir b etrachten nun den durch die Restriktion von
2
G
auf
e
F
denierten Epimorphismus
:
G
!
Gal (
e
F =K
). Dann ist ker
=
Gal (
L=
e
F
); weiter ist das Bild
(
H
) als Untergrupp e der endlichen Galois-
grupp e Gal (
F =K
) nach dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie gleich ei-
nem Gal (
e
F =F
). Nun ist
(
)
2
(
H
) genau dann, wenn
2
H
ker
ist;
wegen ker
H
ist dies
aquivalent zu
2
H
. Andererseits b esteht
(
H
)
aus denjenigen Automorphismen von
e
F =K
, die auf
F
trivial sind. Also folgt
H
= Gal (
L=F
).
Nun zu den abgeschlossenen Grupp en. Da oene Grupp en abgeschlossen
sind, sind Durchschnitte oener Grupp en abgeschlossen. Ist umgekehrt
H
eine
abgeschlossene Untergrupp e von
G
, so ist
H
enthalten im Durchschnitt der
Grupp en
H U
, wo
U
die oenen Untergrupp en von
G
durchl
auft. Tats
achlich
ist
H
gleich diesem Durchschnitt: ist n
amlich
2
T
U
H U
, so ist
U
\
H
6
=
?
,
folglich
2
H
=
H
. Da die Untergrupp en
H U
alle oen sind, folgt die
Behauptung.
4.8.1999
12 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
Noch ein Beispiel
Ein Beispiel einer Galoiserweiterung, an dem das Problem der Verallgemeine-
rung des Hauptsatzes auf unendliche Erweiterung vielleicht no ch leichter zu
sehen ist als am algebraischen Abschlu von
F
p
, ist folgendes: man b etrachte
L
=
Q
(
p
N
) =
Q
(
p
2
;
p
3
;
p
5
;:::
)
:
Ein Automorphismus von
L=
Q
ist durch seine Op eration auf den
p
p
festgelegt.
Sei
p
derjenige Automorphismus von
L=
Q
, welcher
p
p
auf
p
p
abblidet
und alle
p
q
mit
q
6
=
p
festl
at. Sei
H
die Untergrupp e von
G
= Gal (
L=
Q
),
welche von diesen
p
erzeugt wird. Dann ist klar, da der Fixk
orp er von
H
gleich
Q
ist: wird n
amlich
2
L
von allen
p
festgelassen, so ist
in einem
K
n
=
Q
(
p
p
1
;::: ;
p
p
n
) enthalten und wird von allen Einschr
ankungen der
p
festgelassen (diese erzeugen oenbar ganz Gal (
K
n
=
Q
)). Also ist
2
Q
.
Andererseits gibt es oensichtlich Automorphismen von
L=
Q
, welche nicht in
H
enthalten sind: Man b etrachte nur das Element
, welches alle
p
p
auf
p
p
abbildet: w
are es ein Element von
H
, so w
are es ein endliches Pro dukt von
p
's und k
onnte deswegen h
ochstens endlich viele Quadratwurzeln b ewegen.
Obwohl die
p
's also die Galoisgrupp e
G
niemals algebraisch erzeugen k
on-
nen, sind sie do ch top ologische Erzeugende in dem Sinne, da
H
=
G
gilt.
Dazu ist nur nachzuweisen, da es zu jeder oene Umgebung
U
eines
2
H
ein
2
U
\
H
gibt. Das ist ab er nicht schwer: oBdA sei
U
=
Gal (
L=K
) f
ur
eine endliche normale Teilerweiterung
K =
Q
von
L=K
. Die Einschr
ankung von
auf
K
ist dann Pro dukt gewisser
p
j
K
. Dieses Pro dukt der
p
ist dann ein
Element von
H
, und es liegt auch in
U
=
Gal (
L=K
), weil ja der Quotient
von
und dem Pro dukt der
p
ein Element von
G
ist, welches
K
elementweise
festl
at und somit in Gal (
L=K
) liegt.
Wir k
onnen auch leicht einsehen, da
G
ub erabz
ahlbar ist (insb esondere
ist Abz
ahlbarkeit keine Eigenschaft, die b ei der Bildung des top ologischen
Abschlusses erhalten bleibt): jedes
2
G
ist festgelegt durch seine Op eration
auf den
p
p
; die Elemente
2
G
werden also b eschrieb en durch \Vektoren"
(
a
2
; a
3
;::: ;a
p
;:::
) mit durch
p
p
1
= (
1)
a
p
denierten Elementen
a
p
2
f
0
;
1
g
, und jeder solche Vektor deniert einen Automorphismus von
G
. Diese
Vektoren hab en dieselb e M
achtigkeit wie die bin
ar geschrieb enen reellen Zahlen
im Intervall [0
;
1] und sind damit
ub erabz
ahlbar.
Man kann weiter zeigen, da
G
ub erabz
ahlbar viele Untergrupp en vom Index
2 b esitzt. Andererseits ist die Anzahl der entsprechenden Fixk
orp er (quadra-
tische Erweiterungen von
Q
) nat
urlich abz
ahlbar.
1.4 Bemerkungen
Ein Groteil der Zahlentheorie dieses Jahrhunderts kann man auassen als
Studium der absoluten Galoisgrupp e
G
Q
= Gal (
Q
=
Q
). Die \klassische" Me-
4.8.1999
1.4 Bemerkungen 13
tho de, diese Grupp e in den Gri zu b ekommen, b esteht in der Untersuchung
von Darstellungen dieser Grupp e. Dazu l
at man
G
Q
auf irgendwelchen
K
-
Vektorr
aumen op erieren, d.h. man b etrachtet Homomorphismen
:
G
Q
!
GL
n
(
K
); dab ei b eschr
ankt man sich auf stetige Homomorphismen, wob ei die
Grupp en GL
n
(
K
) auch dann mit der diskreten Top ologie versehen werden,
wenn sie wie im Falle
K
=
C
eine nat
urliche Top ologie tragen (das Problem ist,
da es in zusammenh
angenden Grupp en wie
C
zu wenig oene Untergrupp en
gibt). Damit ist dann
f
1
g 2
GL
n
(
K
) oen, folglich ker
wegen der Stetigkeit
eb enfalls oen, und damit von endlichem Index, n
amlich ker
= Gal (
Q
=K
)
f
ur eine endliche normale Erweiterung
K =
Q
.
Betrachten wir nun eindimensionale stetige Darstellungen
:
G
Q
!
C
=
GL
1
(
C
). Da jeder Homomorphismus einer Grupp e in eine ab elsche Grupp e die
Kommutatorgrupp e enth
alt, ist
K =
Q
sogar ab elsch. Wegen im
'
G
Q
=
ker
ist im
endlich, und endliche Untergrupp en von
C
sind von Einheitswurzeln
erzeugte zyklische Grupp en. Eindimensionale stetige Darstellungen von
G
Q
entsprechen also endlichen zyklischen Erweiterungen von
Q
. Deren Studium
b egann mit Gau und umfat Resultate wie den Dirichletschen Primzahlsatz
o der den Satz von Kronecker-Web er, wonach alle ab elschen Erweiterungen von
Q
in einem Kreisteilungsk
orp er enthalten sind.
Das Studium zweidimensionaler stetiger Darstellungen b egann mit Web er.
Man erh
alt solche Ob jekte n
amlich in nat
urlicher Weise, indem man
G
Q
auf
den Torsionspunkten elliptischer Kurven op erieren l
at. Eichler und Shimura
hab en in diesem Jahrhundert gezeigt, da man auch gewissen Mo dulformen
solche Darstellungen zuordnen kann, und Shimura und Taniyama hab en wei-
ter vermutet, da die Darstellungen, welche man elliptischen Kurven
ub er
Q
zuordnen kann, von solchen Mo dulformen herkommen. Insb esondere ist also
der Satz von Wiles ein kleiner Schritt hin auf ein b esseres Verst
andnis von
G
Q
.
Geschichtliche Bemerkungen
Da der Hauptsatz der Galoistheorie f
ur unendliche Erweiterungen schief geht,
hat b ereits Dedekind [3] gesehen. Sp
ater hat E. Stiemke
2
[13] Dedekinds Ide-
altheorie auf unendliche Zahlk
orp er ausgedehnt. Emmy No ether hat sich
ub er
diese Arb eit wie folgt ge
auert:
Aller Rechnung fern, nur an den Begrien selbst sich orientierend,
mit wunderbarem Blick f
ur das Wesentliche der Dinge { so hat
dieser Zweiundzwanzig j
ahrige eine Arb eit geschaen, die durch die
seitherige Entwicklung an keiner Stelle
ub erholt ist.
2
E. Stiemke, 12.04.1892 { 10.09.1915; ist im ersten Weltkrieg gefallen. Seine 1914 fertiggestellte Doktor-
arb eit wurde erst 1926 publiziert.
4.8.1999
14 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
Von dieser Arb eit Stiemkes angeregt, hat sich Wolfgang Krull
3
mit diesem
Thema b esch
aftigt, und b ereits 1928 konnte er zeigen, da der Hauptsatz der
Galoistheorie b estehen bleibt, wenn man die Galoisgrupp e top ologisiert. Dab ei
b erief er sich auf das Lehrbuch der Top ologie von Hausdor.
4
Dedekinds Gegenbeispiel
Im folgenden b esprechen wir Dedekinds Arb eit [3]. Wir b eginnen mit einigen
Erl
auterungen Dedekindscher Begrie. Sein Begri eines \K
orp ers" stimmt
nur insofern mit dem unseren
ub erein, als Dedekind darunter ein \System
:::
von reellen o der komplexen Zahlen" versteht, also einen Teilk
orp er von
C
.
Ist
L=K
eine K
orp ererweiterung, so nennt Dedekind
L
ein
Multiplum
von
K
und
K
einen
Divisor
von
L
. Dab ei b ezeichnet er
Q
(\ein gemeinsame Divisor
:::
aller K
orp er") mit
R
und
C
(\ein gemeinsames Multiplum aller K
orp er")
mit
Z
. F
ur den Grad der Erweiterung
L=K
schreibt Dedekind (
L; K
), und er
erw
ahnt die Formel (
M
:
K
) = (
M
:
L
)(
L
:
K
) f
ur T
urme
M =L=K
.
Als
Permutation
von
L
b ezeichnet Dedekind eine Abbildung
L
!
C
mit
folgenden Eigenschaften:
(
u
+
v
)
=
u
+
v
;
(
u
v
)
=
u
v
;
(
uv
)
= (
u
)(
v
);
u
v
=
u
v
.
Man b eachte, da Dedekind seine Automorphismen von rechts op erieren l
at.
Weiter b emerkt er, da mit
K
auch
K
ein K
orp er ist und da die rationalen
Zahlen von
festgelassen werden.
Ist
L=K
eine Erweiterung und op eriert
auf
L
, so heit die Einschr
ankung
von
auf
K
der Divisor
von
, w
ahrend
ein Multiplum
von
heit. Ist
P
ein System von Permutationen auf
L
und hat ein
t
2
L
genau
n
verschiedene
Bilder, so heit
t
eine b ez
uglich
P
n
-wertige Zahl. Dedekinds erster, \leicht zu
b eweisender Satz" b esagt
Satz 1.14.
Ist
P
ein System von K
orper-Permutationen
, so bildet die Ge-
samtheit al ler zu
P
einwertigen Zahlen einen K
orper
A
; die Permutationen
haben al le einen und denselben auf
A
bez
uglichen Divisor
, und jeder gemein-
same Divisor der Permutationen
ist Divisor dieser Permutation
.
3
W. Krull, 26.08.1899 (Baden-Baden) { 12.04.1971 (Bonn).
4
Felix Hausdor, 8.11.1869 (Breslau) { 26.01.1942 (Bonn). Hausdor promovierte in Leipzig und arbeitete
ab 1910 in Bonn. 1935 wurde er von den Nazis entlassen, und als 1942 die Einweisung in ein Lager b evorstand,
b eging er mit seiner Frau und deren Schwester Selbstmord.
4.8.1999
1.4 Bemerkungen 15
Dedekind nennt
A
den K
orp er von
P
, in heutiger Nomenklatur ist das der
Fixk
orp er des Systems
P
. Sein zweiter Satz b ehandelt das Liften von Auto-
morphismen:
Satz 1.15.
Ist der K
orper
B
ein end liches Multiplum des K
orpers
A
und
eine Permutation von
A
, so ist der Grad
(
B ; A
)
auch die Anzahl al ler ver-
schiedenen Permutationen
von
B
, welche Multipla von
sind; zugleich ist
A
der K
orper, und
der Rest des Systems
P
dieser Permutationen.
Springen wir jetzt in den letzten Paragraphen; er b eginnt so:
Wir hab en gesehen, da der aus allen algebraischen Zahlen b este-
hende K
orp er
H
unendlich viele Permutationen
!
b esitzt, und da
er durch jede von ihnen in sich selbst
ub ergeht; diese Permutationen
!
bilden daher eine unendliche Grupp e, die wir mit
G
b ezeichnen
wollen, und wir fragen, ob wohl auch hier eine gegenseitig eindeu-
tige Korresp ondenz zwischen den algebraischen K
orp ern
A
(den
Divisoren von
H
) und den in
G
enthaltenen Grupp en
A
b esteht.
Etwas sp
ater schreibt er
:::
ab er es fehlt der Nachweis, da
:::
die K
orp er zweier ver-
schiedener Grupp en auch verschieden sind. Dies hab e ich anfangs
f
ur sehr wahrscheinlich gehalten, und erst nach mehreren vergebli-
chen Versuchen, es zu b eweisen, ist es mir gelungen, mich von der
Unrichtigkeit dieser Vermutung durch ein Beispiel zu
ub erzeugen,
welches ich zum Schlu dieser Arb eit jetzt no ch mitteilen will.
Im folgenden sollen Dedekinds Argumente in mo derner Notation nachvollzo-
gen werden. Sei
p
eine feste Primzahl,
K
n
=
Q
(
p
n
) der K
orp er der
p
n
-ten Ein-
heitswurzeln, und
L
=
S
n
1
K
n
. Jeder Automorphismus
"
von
L=
Q
induziert
via Restriktion einen Automorphismus
"
n
von
K
n
, und die Kette
"
1
; "
2
; "
3
;:::
hat die Eigenschaft, da jedes
"
n
die Einschr
ankung
jedes
"
n
+
s
f
ur
s
0 ist. Ist
umgekehrt eine Kette von Automorphismen mit dieser Eigenschaft gegeb en,
so existiert ein Automorphismus
"
von
L
, dessen Einschr
ankung auf
K
n
gerade
"
n
ergibt:
Nun ist ein
"
n
vollst
andig b estimmt durch die Angab e eines
u
n
2
(
Z
=p
n
Z
)
mit
"
n
p
n
=
u
n
p
n
. Setzen wir (
n; "
) =
u
n
. Aus
"
p
n
= (
"
p
n
+1
)
p
folgt dann (
n; "
)
(
n
+ 1
; "
) mo d
p
n
. Jeder Automorphismus
"
deniert uns also eine Folge von
Zahlen (
n; "
)
2
(
Z
=p
n
Z
)
mit der Vertr
aglichkeitseigenschaft (
n; "
)
(
n
+
s; "
) mo d
p
n
f
ur alle
s
0. Schreib en wir (
n; "
) in der Form (
n; "
) =
a
0
+
a
1
p
+
a
2
p
2
+
:::
+
a
n
1
p
n
1
, so b edeutet die Vertr
aglichkeit, da die Entwicklung von
(
n
+
s; "
) genauso b eginnt. Ist Umgekehrt eine vertr
agliche Folge solcher Zahlen
gegeb en, wird dadurch ein
"
2
Gal (
L=
Q
) deniert. Mit anderen Worten: es
gibt eine Bijektion zwischen den Automorphismen von
L=
Q
und den
p
-adischen
4.8.1999
16 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
Zahlen
Z
p
, wob ei die Op eration von
a
=
a
0
+
a
1
p
+
a
2
p
2
+
:::
auf
p
n
durch
p
n
7!
p
n
mit
a
mo d
p
n
deniert ist.
Dedekind kennt die
p
-adischen Zahlen anscheinend nicht (sie wurden 1897
von Hensel entdeckt, ab er erst um 1920 herum hinreichend b ekannt). Nach-
dem er im wesentlichen Gal (
L=
Q
)
'
Z
p
gezeigt hat, fragt er nach den end-
lichen Untergrupp en von
Z
p
und ndet, da es f
ur
p
6
= 2 genau
p
1 Au-
tomorphismen endlicher Ordnung gibt. Wir schreib en das heute in der Form
Z
p
'
Z
=
(
p
1)
Z
Z
p
, wob ei
Z
=
(
p
1)
Z
die Untergrupp e der in
Z
p
enthaltenen
Einheitswurzeln ist.
Dedekind macht das so: er setzt (1
; "
) =
a
f
ur ein
a
2
(
Z
=p
Z
)
(das sind
genau
p
1 M
oglichkeiten) und setzt (
n; "
)
(1
; "
)
p
n
1
mo d
p
n
. Wegen der
Vertr
aglichkeit ist damit ein Automorphismus
"
von
L=K
deniert, der p er
Konstruktion
"
p
1
= 1 gen
ugt (Dedekind konstruiert hier nat
urlich den
p
-
adischen Grenzwert
= lim
a
p
n
in
Z
p
).
Nun sei
g
eine Primitivwurzel mo dulo
p
2
und damit mo dulo
p
n
f
ur alle
n
1.
Sei
derjenige Automorphismus von
L=
Q
, welcher
p
n
auf
g
p
n
abbildet, und
sei
H
die von
algebraisch erzeugte Grupp e. Dann ist
Q
der Fixk
orp er von
H
, da
jedes endliche Gal (
K
n
=
Q
) erzeugt; andererseits kann
H
nicht gleich
der ganzen Galoisgrupp e sein, da b eispielsweise
H
keine endlichen Elemente
enth
alt und
G
'
Z
=
(
p
1)
Z
Z
p
ist.
Abschlieend no ch ein Zitat Dedekinds aus seinem Brief an Frob enius vom
18. April 1897:
F
ur die unendlichen K
orp er hat bisher ein \Noli me tangere"
5
ge-
golten; nur deshalb m
ochte ich gern einmal von ihnen sprechen.
Literatur
Wenn man B
ucher
ub er Galoistheorie empehlt, sollte man den Namen Emil
Artin nicht vergessen. Zwar enth
alt der Klassiker [1] nur die endliche Version,
daf
ur ist die Galoistheorie unendlicher Erweiterungen in [2] so gut, da Moreno
[12] daraus abgeschrieb en hat. Das Dover-Buch von McCarthy [10] ist nicht
schlecht (in seiner schw
abischen Bedeutung) und recht billig (das kommt der
schw
abischen Sparsamkeit eb enfalls entgegen). Das Lehrbuch von Morandi ist
eine empfehlenswerte mo derne Quelle. Der
Ub ersichtsartikel von Jarden [6]
schlielich zeigt, wo die Reise hingeht.
Einf
uhrungen in das Gebiet top ologischer Grupp en bieten Lutz [9] und Higg-
ins [5].
1. E. Artin,
Galoissche Theorie
, Harri Deutsch 1988
2. E. Artin,
Algebraic numbers and algebraic functions
, Gordon and Breach
1967
5
\R
uhr mich nicht an".
4.8.1999
1.4 Bemerkungen 17
3. R. Dedekind,
Uber die Permutationen des K
orpers al ler algebraischen
Zahlen
, Festschrift G
ott. Ges. Wiss., Berlin 1901; Ges. Werke, ??
4. F. Hausdor,
Mengenlehre
, Leipzig 1914, 3. Au. 1935; j
ungste Auage
1991 in englischer
Ub ersetzung
5. P.F. Higgins,
Topological Groups
, London Math. So c. 1974
6. M. Jarden,
Innite Galois theory
, in: Handb o ok of algebra, Vol. 1, 269{
319, North-Holland, Amsterdam, 1996
7. W. Krull,
Galoissche Theorie der unend lichen algebraischen Erweiterun-
gen
, Math. Ann.
100
(1928), 687{698
8. F. Lorenz,
Einf
uhrung in die Algebra I
, Sp ektrum 1997
9. D. Lutz,
Topologische Gruppen
, B.I. 1976
10. P.J. McCarthy,
Algebraic Extensions of Fields
, Dover 1976
11. P. Morandi,
Field and Galois theory
, Graduate Texts in Mathematics,
167. Springer-Verlag, New York, 1996
12. C.J. Moreno,
Advanced analytic number theory. I: Ramication theoretic
methods
, Contemp. Math. 15, 190 p. (1983)
13. E. Stiemke, Math. Z.
25
(1926), 9{39
4.8.1999
18 1. Galoistheorie unendlicher Erweiterungen
4.8.1999
Kapitel 2
Pro jektive Limites
2.1 Galoisgrupp en
Sei
L=K
eine unendliche Galoiserweiterung. Dann ist
L
=
L
@
@
@
F
2
F
3
@
@
@
F
1
S
F
die Vereinigung von endlichen normalen Teilerweite-
rungen
F =K
. Zu jedem solchen System hab en wir nat
urli-
che Homomorphismen
F
: Gal (
L=K
)
!
Gal (
F =K
),
n
amlich die Restriktionen. Sind
F
j
=K
(
j
= 1
;
2
;
3) Tei-
lerweiterungen mit
F
1
F
2
\
F
3
, dann sind die Homo-
morphismen
j
: Gal (
L=K
)
!
Gal (
F
j
=K
) kompatib el
in dem Sinne, da
1
=
2
;
1
2
=
3
;
1
3
ist, wob ei
j;
1
die Restriktion Gal (
L=F
1
)
!
Gal (
F
j
=F
1
) b ezeich-
net. Diese Situation l
at sich nun so formalisieren, da
unendliche Galoisgrupp en eb enso wie b eispielsweise die
p
-adischen Zahlen
Z
p
erfat werden.
Dazu nennen wir eine partiell geordnete Indexmenge
I
gerichtet
, wenn es
zu allen
i; j
2
I
ein
k
2
I
gibt mit
i
k
und
j
k
. Zu jedem Index
i
2
I
sei nun eine Grupp e
G
i
gegeb en, und zu jedem Indexpaar mit
i
j
ein Grupp enhomomorphismus
j i
:
G
j
!
G
i
mit der Eigenschaft, da
ii
die
Identit
at ist und weiter
j i
k j
=
k i
f
ur alle
i
j
k
gilt. Ein solches
System (
I ;
;
f
G
i
g
;
j i
) heit
projektives System
von Grupp en.
Jedem solchen pro jektiven System kann man eine Untergrupp e des direkten
Pro duktes
G
=
Q
G
i
zuordnen, n
amlich die Teilmenge der \vertr
aglichen"
Elemente: wir setzen
lim
G
i
=
f
(
::: ;g
i
;:::
)
2
G
:
k j
(
g
k
) =
g
j
;
falls
i
k
g
:
20 2. Pro jektive Limites
Dies ist in der Tat eine Untergrupp e: zum einen ist das System (1
;
1
;
1
;:::
) ver-
tr
aglich, also Element (und zwar neutrales) von lim
G
i
(insb esondere ist lim
G
i
nie leer), zum andern ist mit
g
= (
::: ;g
i
;:::
)
2
lim
G
i
und
h
= (
::: ;h
i
;:::
)
2
lim
G
i
auch
g h
= (
::: ;g
i
h
i
;:::
)
2
lim
G
i
. Dazu ist nachzurechnen, da
g h
wirklich vertr
aglich ist. Wegen
k j
(
g
k
h
k
) =
k j
(
g
k
)
k j
(
h
k
) =
g
j
h
j
ist das ab er
in Ordnung.
Die Grupp e lim
G
i
nennt man den pro jektiven (o der auch inversen) Limes
des Systems (
I ;
;
f
G
i
g
;
j i
). Neb en der Grupp e lim
G
i
erh
alt man als Zugab e
no ch Pro jektionen
j
: lim
G
i
!
G
j
, die durch die Pro jektionen
Q
G
i
!
G
j
induziert werden.
Setzen wir nun voraus, da alle
G
i
kompakte hausdorsche top ologische
Grupp en sind (z.B. endliche Grupp en mit der diskreten Top ologie), so ist das
Pro dukt
Q
G
i
mit der Pro dukttop ologie (die gr
obste Top ologie, in der die
Pro jektionen
j
stetig sind) nach dem Satz von Tychono eb enfalls kompakt.
Wenn wir zeigen k
onnen, da lim
G
i
abgeschlossen in
Q
G
i
ist, folgt, da lim
G
i
eine kompakte top ologische Grupp e ist. Das geht in der Tat:
Prop osition 2.1.
Ist jedes
G
i
hausdorsch, und sind die Homomorphismen
j i
stetig, dann ist
lim
G
i
abgeschlossen in
G
=
Q
G
i
(bez
uglich der Relativto-
pologie).
Beweis.
Sei
g
= (
: : : ; g
i
;:::
)
2
G
n
lim
G
i
, so gibt es ein Paar (
i; f
) mit
j
i
und
j i
(
g
j
)
6
=
g
i
. Da die
G
i
hausdorsch sind, gibt es oene Umgebungen
U
0
j
von
j i
(
g
j
)
2
G
i
und
U
i
von
g
i
2
G
i
mit
U
0
j
\
U
i
=
?
. Da
j i
stetig ist, ist
U
j
=
1
j i
(
U
0
j
) eine oene Umgebung von
g
j
2
G
j
. Dann ist
U
=
U
i
U
j
Y
k
6
=
i;j
G
k
eine oene Umgebung von
g
2
G
. Nun ist ab er
U
\
lim
G
i
=
?
, denn nach
Konstruktion hab en
j i
(
U
j
)
U
0
j
und
U
i
leeren Schnitt. Jedes
g
2
G
n
lim
G
i
b esitzt folglich eine Umgebung, die lim
G
i
nicht schneidet. Also ist
G
n
lim
G
i
oen und damit lim
G
i
abgeschlossen.
Pro jektive Limites endlicher diskreter Grupp en nennen wir pro-endliche
Grupp en. Da alle
G
i
endlich mit der diskreten Top ologie, also kompakt, haus-
dorsch und total unzusammenh
angend sind, gilt dies auch f
ur das direkte
Pro dukt (nur die Kompaktheit, die von Tychono garantiert wird, ist schwie-
rig), und damit wegen der Abgeschlossenheit von lim
G
i
in
Q
G
i
auch f
ur die
pro-endliche Grupp e lim
G
i
. Damit hab en wir das
4.8.1999
2.1 Galoisgrupp en 21
Korollar 2.2.
Pro-end liche Gruppen sind kompakte hausdorsche und total
unzusammenh
angende topologische Gruppen.
Bemerkung.
Die Umkehrung gilt
ubrigens auch: Pro-endliche Grupp en lassen
sich also top ologisch charakterisieren.
Wir b emerken auerdem, da die zu
G
= lim
G
i
geh
origen Pro jektionen
i
:
G
!
G
i
automatisch stetig sind, wenn das f
ur die
j i
gilt (insb esondere
also im Falle pro-endlicher Grupp en).
Die Standardb eispiele pro-endlicher Grupp en sind:
endliche Grupp en: ist
G
endlich, so deniert (
I ;
; G
i
;
j i
) mit
I
=
f
1
g
,
G
i
=
G
und
11
= id ein pro jektives System mit Limes
G
.
Galoisgrupp en: Sei
L=K
eine galoissche Erweiterung; durchl
auft
F =K
die endlichen normalen Teilerweiterungen, so bilden die Galoisgrupp en
Gal (
F =K
) zusammen mit den Restriktionen ein pro jektives System. Ins-
b esondere ist
G
= lim
Gal (
F =K
) eine pro-endliche Grupp e. Tats
achlich
gilt
G
= Gal (
L=K
): denn jeder Automorphismus
2
Gal (
L=K
) de-
niert auf oensichtliche Weise ein vertr
agliches System und ist damit in
G
enthalten, umgekehrt kann man jedes vertr
agliche System als Auto-
morphismus von
L=K
auassen.
Die
p
-adischen Zahlen
Z
p
: Sei
G
n
=
Z
=p
n
Z
und
mn
:
Z
=p
m
Z
!
Z
=p
n
Z
die nat
urliche Pro jektion. Dann ist
Z
p
= lim
Z
=p
n
Z
der Ring der ganzen
p
-adischen Zahlen (pro jektive Limites von Ringen bilden wieder einen
Ring). Die pro-endliche Konstruktion der
p
1 Einheitswurzeln in
Z
p
verl
auft wie folgt: sei
a
2
Z
n
p
Z
; dann ist (
a
n
)
2
Q
Z
=p
n
Z
mit
a
n
=
a
p
n
+
p
n
+1
Z
ein vertr
agliches System: dazu ist nur zu zeigen, da
a
p
m
a
p
n
mo d
p
n
+1
gilt f
ur alle
m
n
. Ab er nach Division durch
a
p
n
ist dies
gleichb edeutend mit 1
a
p
m
p
n
mo d
p
n
+1
, und da
p
m
p
n
=
p
n
(
p
m
n
1)
durch
p
n
(
p
1) =
(
p
n
+1
) teilbar ist, ist dies in der Tat richtig. Ist
a
das dadurch denierte Element von
Z
p
, so folgt
a
p
1
= 1, weil dies auf
jedem endlichen Niveau richtig ist.
Bei diesen Beispielen ist nat
urlich no ch nachzuweisen, da die pro-endliche
Top ologie mit der Krullschen bzw. von der
p
-adischen Metrik induzierten To-
p ologie
ub ereinstimmt. Dazu b enutzen wir folgenden
Hilfssatz 2.3.
Sei
(
I ;
;
f
G
i
g
;
j i
)
1
ein projektives System end licher Gruppen
und
G
= lim
G
i
die dadurch denierte pro-end liche Gruppe. Dann bilden die
Mengen
f
ker (
G
!
G
i
) :
I
2
I
g
eine oene Umgebungsbasis der
1
in
G
.
1
K
unftig werden wir das etwas schlampiger in der Form (
G
i
;
j i
) schreib en. Man beachte auch, da f
ur
eine endliche Grupp e
G
gilt lim
G
i
=
G
, wenn
G
i
=
G
und
j i
= id ist, dagegen lim
G
i
= 0, wenn man f
ur
die
j i
die Nullabbildungen w
ahlt.
4.8.1999
22 2. Pro jektive Limites
Beweis.
Da die
G
i
endlich und mit der diskreten Top ologie versehen sind, ist
f
1
g
eine oene Umgebungsbasis der 1 in
G
i
. Nach Denition der Pro duktto-
p ologie von
Q
G
i
(fast
ub erall alles, an endlich vielen Stellen etwas oenes)
und der Relativtop ologie von
G
Q
G
i
bilden die Mengen
G
\
Y
j
2
J
f
1
g
Y
i
2
I
n
J
G
i
eine Umgebungsbasis der 1 in
G
; hierb ei durchl
auft
J
die endlichen Teilmengen
von
I
. Nun ist ab er
G
\
Y
j
2
J
f
1
g
Y
i
2
I
n
J
G
i
=
\
J
I
ker (
G
!
G
i
)
;
und die Behauptung folgt jetzt aus der Beobachtung, da es wegen der End-
lichkeit von
J
und der Tatsache, da
I
gerichtet ist, ein
k
2
I
gibt mit
j
k
f
ur alle
j
2
J
: damit ist n
amlich
ker (
G
!
G
k
)
\
J
I
ker (
G
!
G
i
)
;
d.h. die Kerne der Pro jektionen
i
bilden in der Tat eine oene Umgebungs-
basis der 1 in
G
.
Damit ist es ein Leichtes, die pro-endliche und die Krull-Top ologie von
G
= Gal (
L=K
) zu identizieren: eine oene Umgebungsbasis der 1 in der
Krulltop ologie von
G
b esteht aus den Grupp en
G
i
= Gal (
F
i
=K
), wob ei
F
i
=K
endlich und normal ist. Andererseits ist
G
= lim
G
i
, und ker (
G
!
G
i
) b e-
steht aus allen Automorphismen, deren Einschr
ankung auf
F
i
trivial ist, d.h.
es ist ker (
G
!
G
i
) = Gal (
L=F
i
).
Genauso einfach ist es, die Top ologie der
p
-adischen Zahlen mit der pro-
endlichen Top ologie von lim
Z
=p
n
Z
zu identizieren: b ekanntlich bilden die
Grupp en
p
n
Z
p
eine oene Umgebungsbasis der 1
2
Z
p
; auf der andern Seite
ist oenbar ker (
Z
p
!
Z
=p
n
Z
) =
p
n
Z
p
.
Ist (
R
i
;
j i
) ein pro jektives System von Ringen (alle Ringe mit 1, die
j i
Ringhomomorphismen, also
j i
(1) = 1), dann ist auch
R
= lim
R
i
ein Ring mit
1, und es gilt
R
= lim
R
i
. Insb esondere ist
Z
p
= lim
(
Z
=p
n
Z
)
'
lim
Z
=
(
p
1)
Z
(
Z
=p
n
1
Z
)
. Nun ist das Bilden des pro jektiven Limes mit dem direkten
Pro dukt (von Grupp en, Ringen,
:::
) vertr
aglich, somit
Z
p
'
Z
=
(
p
1)
Z
Z
p
.
Dab ei hab en wir lim
Z
=
(
p
1)
Z
'
Z
=
(
p
1)
Z
verwendet, und das m
ussen wir
no ch b egr
unden.
Ist n
amlich
G
irgendeine endliche Grupp e, und setzen wir
I
=
N
,
G
i
=
G
und
j i
= 0, so ist lim
G
i
= 0. Im obigen Beispiel ist also nachzuweisen, da die
von
mn
: (
Z
=p
m
Z
)
!
(
Z
=p
n
Z
)
induzierte Abbildung
mn
:
Z
=
(
p
1)
Z
!
Z
=
(
p
1)
Z
die Identit
at ist. Das ist ab er klar, sobald man aufschreibt, was
passiert.
4.8.1999
2.2 Funktorielle Eigenschaften des pro jektiven Limes 23
2.2 Funktorielle Eigenschaften des pro jektiven Limes
Eine Teilmenge
J
I
einer gerichteten Menge
I
heit conal, wenn es zu
jedem
i
2
I
ein
j
2
J
mit
i
j
gibt. Man
ub erzeugt sich leicht davon,
da mit (
I ;
; G
i
;
i
0
i
) auch (
J;
; G
j
;
j
0
j
) ein pro jektives System ist, und da
lim
G
i
= lim
G
j
gilt.
Der Punkt, der uns als n
achstes b esch
aftigen wird, kann etwas salopp mit
\pro jektive Limites von Surjektionen sind surjektiv" b eschrieb en werden {
mit der Einschr
ankung im Hinterkopf, da das nur f
ur pro jektive Systeme
kompakter R
aume gilt, insb esondere also im pro-endlichen Fall. Beim Beweis
dieser Tatsache sind schon ganz andere als ich zu Ho chform aufgelaufen:
Moreno: the surjectivity of the
j i
implies the surjectivity of
i
;
Rib es [p. 36]: verweist auf B
3
,
x
9, Prop. 8;
Ko ch: verweist auf Pontrjagin;
Poitou [3]: auf die L
ucke in seinem Beweis gehen wir no ch genauer ein.
Nun zum Beweis: der wesentliche Punkt ist die Behauptung, da die zu
b eweisende Aussage in der Kategorie der Mengen richtig ist. Das Problem ist
n
amlich, da die Urbilder von Elementen (man mu ja zeigen, da diese im
Limes nicht leer sind) keine Grupp en sind und man so automatisch aus der
Kategorie endlicher Grupp en herausf
allt.
Prop osition 2.4.
Sei
(
X
i
;
j i
)
ein projektives System nichtleerer hausdor-
scher topologischer R
aume. Sind die
j i
al le surjektiv und ist das Urbild jedes
Punktes kompakt, dann sind die Projektionen
i
: lim
X
i
!
X
i
ebenfal ls
surjektiv, und insbesondere ist
lim
X
i
6
=
?
.
Beweis.
Da die Menge
J
=
f
j
2
I
:
j
i
g
conal in
I
ist, d
urfen wir
I
durch
J
ersetzen. Sei ein
x
i
2
X
i
gegeb en; wegen der Surjektivit
at der
j i
gibt
es f
ur alle
j
2
J
ein
x
j
mit
j i
(
x
j
) =
x
i
, und damit ist dann (
::: ;x
j
;:::
)
2
Q
j
2
J
1
j i
(
x
i
) =:
Y
. Da die Urbilder von Punkten nach Voraussetzung kompakt
ist, ist
Y
nach Tychono eb enfalls kompakt. F
ur jedes Paar (
j; k
)
2
J
J
mit
j
k
b etrachten wir nun die Teilmenge
F
j k
=
f
(
::: ;x
j
;:::
)
2
Y
:
x
j
=
j k
(
x
k
)
g
von
Y
. Dann ist jedes
F
j k
abgeschlossen, und jeder endliche
Durchschnitt solcher Mengen ist nicht leer: wir brauchen ja nur einen Index
n
2
J
zu nehmen, der gr
oer ist als diejenigen, die in den Indizes der endlich
vielen
F
j k
auftauchen, w
ahlen ein
x
n
und denieren
x
k
=
nk
(
x
n
) f
ur alle
k
n
. Wegen der Kompaktheit von
Y
sind dann auch b eliebige Durchschnitte
nicht leer, insb esondere gibt es ein
x
, welches im Durchschnitt aller
F
j k
, also
in lim
X
i
liegt. Damit ist dann
i
(
x
) =
x
i
.
4.8.1999
24 2. Pro jektive Limites
Diese Surjektivit
at ist uns b ereits im letzten Kapitel b egegnet: b etrachte eine
unendliche Galoiserweiterung
L=K
und schreib e Gal (
L=K
) = lim
Gal (
F =K
),
wo
F =K
die endlichen normalen Teilerweiterungen durchl
auft. Die zu solchen
endlichen Erweiterungen
F
1
F
2
L
geh
origen Pro jektionen Gal (
F
2
=K
)
!
Gal (
F
1
=K
) sind nach der endlichen Galoistheorie alle surjektiv; Prop osition
2.4 b esagt, da auch die Restriktionen Gal (
L=K
)
!
Gal (
F =K
) surjektiv
sind, d.h. da man jeden Automorphismus von
F =K
zu einem solchen von
L=K
liften kann. Das Auswahlaxiom, das wir in Kapitel 1 b enutzt hab en, ist
hier nat
urlich im Satz von Tychono versteckt.
Manchmal
2
werden pro-endliche Grupp en deniert als pro jektive Limites
endlicher Grupp en
G
i
, b ei denen die Homomorphismen
j i
s
amtlich surjektiv
sind. Das folgende Resultat scheint zu zeigen, da dies keine Einschr
ankung
ist:
Lemma 2.5.
Sei
(
I ;
;
f
G
i
g
;
j i
)
projektives System end licher Gruppen. Dann
existiert ein projektives System
(
I ;
;
f
H
i
g
;
j i
)
mit
lim
G
i
'
lim
H
i
derart, da
al le
j i
surjektiv sind. Insbesondere sind die Projektionen
j
: lim
H
i
!
H
i
surjektiv.
Beweis.
Sei
H
i
=
T
k
i
im
k i
; dann ist
H
i
G
i
, und die Einschr
ankung von
j i
:
G
j
!
G
i
deniert einen surjektiven Homomorphismus
j i
:
H
j
!
H
i
(man mu nachrechnen, da
j i
in
H
i
landet und surjektiv ist; b eides ist
mehr o der weniger oensichtlich). Eb enso leicht
ub erzeugt man sich davon,
da lim
G
i
'
lim
H
i
gilt (algebraisch): das liegt daran, da mit (
::: ;g
i
;:::
)
2
lim
G
i
automatisch jedes
g
i
2
H
i
liegt. Bleibt no ch, die Top ologien zu ver-
gleichen: es ist ab er ker (
G
!
G
i
) = ker (
H
!
H
i
) wegen
j i
=
j i
, wo
:
H
i
!
G
i
die Einb ettung von
H
i
in
G
i
ist. Die letzte Behauptung folgt aus
Prop osition 2.4.
Nun wieder zur
uck zur Frage der Surjektivit
at.
Prop osition 2.6.
Sei
F
ein kompakter hausdorscher Raum und
(
i
)
ein
Morphismus des projektiven Systems
(
F ;
1)
in das projektive System
(
G
i
;
j i
)
von hausdorschen R
aumen derart, da die induzierte Abbildung
:
F
!
lim
G
i
stetig ist. Sind dann al le
i
surjektiv, so auch
.
Beweis.
Sei
g
= (
g
i
)
2
G
= lim
G
i
und
K
i
:=
1
i
(
g
i
). Ist
i
j
, so gilt
K
i
K
j
: also ist jeder endliche Durchschnitt der
K
i
nicht leer. Wegen der
Kompaktheit von
F
enth
alt dann der Durchschnitt
ub er alle
K
i
ein
f
2
F
,
und damit ist
i
(
f
) =
g
i
, folglich
(
f
) =
g
.
2
Z.B. im Buch von Moreno (sh. Kapitel 1).
4.8.1999
2.2 Funktorielle Eigenschaften des pro jektiven Limes 25
Satz 2.7.
Seien
(
G
i
;
j i
)
und
(
H
i
;
j i
)
projektive Systeme von Gruppen, und
seien
G
bzw.
H
die entsprechenden pro-end lichen Gruppen; f
ur jedes
i
2
I
m
oge ein Homomorphismus
i
:
G
i
!
H
i
existieren, welcher mit den
j i
und
den
j i
vertr
aglich ist, d.h. f
ur welchen
G
j
j i
!
G
i
j
?
?
y
?
?
y
i
H
j
j i
!
H
i
(2.1)
kommutiert. Dann induziert das System
f
i
g
einen Homomorphismus
:
G
!
H
, f
ur den das Diagramm
G
i
!
G
i
?
?
y
?
?
y
i
H
i
!
H
i
(2.2)
kommutiert. Sind al le
i
injektiv, dann auch
.
Sind dar
uberhinaus al le
G
i
und
H
i
kompakt und die Homomorphismen
j i
,
j i
und
i
stetig (z.B. im Fal le end licher diskreter Gruppen), so ist
stetig; sind
weiter al le
i
surjektiv, so auch
.
Insbesondere ist also der projektive Limes stetiger surjektiver Abbildungen
zwischen kompakten hausdorschen R
aumen wieder surjektiv.
Beweis.
Sei
g
= (
: : : ; g
i
;:::
)
2
G
. Wir k
onnen jedes
g
i
mit
i
auf ein
h
i
2
H
i
abbilden und
(
g
) =
h
:= (
::: ;h
i
;:::
)
2
Q
H
i
setzen. Damit gilt dann
h
2
H
: f
ur
i
j
ist n
amlich
j i
(
h
j
) =
j i
j
(
g
j
), und die Kommutati-
vit
at von (2.1) gibt
j i
j
(
g
j
) =
i
j i
(
g
j
) =
i
(
g
i
) =
h
i
. Also bilden
die
h
i
ein vertr
agliches System, und es ist
h
2
H
.
(
g
0
g
) =
(
g
)
(
g
0
): dies ist klar, da die
i
Homomorphismen sind.
Das Diagramm (2.2) kommutiert: ist
h
=
(
g
) und
h
i
=
i
(
h
), so ist
h
i
=
i
(
g
i
) nach Denition von
, und
g
i
=
i
(
g
).
Seien nun die
i
injektiv und
(
g
) = 1. Dann ist
h
i
= 1 f
ur alle
i
2
I
, und
wegen
i
(
g
i
) =
h
i
= 1 folgt
g
i
= 1 f
ur alle
i
2
I
, also
g
= 1.
Nun zur Surjektivit
at. Nehmen wir zuerst an, die
j i
seien surjektiv. Dann
sind nach Prop osition 2.4 die Pro jektionen
i
surjektiv, somit auch die Abbil-
dungen
i
i
:
G
= lim
G
i
!
H
i
. Nach Prop osition 2.6 ist dann auch der
davon induzierte Homomorphismus
G
!
H
= lim
H
i
surjektiv.
Soweit der Beweis von Poitou [3] im Falle, da alle
j i
surjektiv sind. Der
allgemeine Beweis wird mit der Bemerkung abgetan, man k
onne die
G
i
durch
4.8.1999
26 2. Pro jektive Limites
die
e
G
i
=
\
im
j i
ersetzen. Das kann man in der Tat, nur sind dann die
Einschr
ankungen der
i
auf
e
G
i
!
H
i
im allgemeinen nicht mehr surjektiv,
und der Beweis geht nicht mehr durch. In der Tat mu man hier etwas mehr
tun.
Wir hab en vertr
agliche Abbildungen
j
=
j
j
:
G
!
H
i
. Wir er-
setzen die pro jektiven Systeme (
G
i
;
j i
) und (
H
i
;
j i
) mit Lemma 2.5 durch
(
tG
i
;
e
j i
) (
e
H
i
;
e
j i
), wob ei die
e
j i
surjektiv sind. Wir b ehaupten, da wir durch
Einschr
anken von
i
:
G
i
!
H
i
einen surjektiven Homomorphismus
e
j
:
e
G
i
!
e
H
i
erhalten.
e
G
-
G
-
H
e
H
G
i
i
?
i
-
H
i
i
?
G
I@
@
@
@
@
H
e
G
i
e
i
?
e
i
-
e
H
i
e
i
?
Dazu ist erst einmal zu zeigen, da
e
i
in
e
H
i
landet. Nach Denition der
e
G
i
existiert zu jedem
g
i
2
e
G
i
f
ur jedes
k
i
ein
g
k
2
G
k
mit
g
i
=
k i
(
g
k
). Also
folgt
i
(
g
i
) =
i
k i
(
g
k
) =
k i
k
(
g
k
)
2
im
k i
, und wir sehen im
i
e
H
i
.
Weiter ist nachzuweisen, da
e
i
surjektiv ist. Sei also
h
i
2
e
H
i
. Dann ist
h
i
=
e
j i
(
h
j
), wegen der Surjektivit
at von
j
ist
h
j
=
j
(
g
j
) f
ur ein
g
j
, somit
h
i
=
e
j i
j
(
g
j
) =
i
(
j i
(
g
j
)). Also ist
h
i
2
i
(
T
im
j i
) =
i
(
e
G
i
), und das
war zu zeigen.
Wenden wir das b ereits b ewiesene auf die Systeme
e
G
i
und
e
H
i
an, so folgt
die Behauptung im allgemeinen Fall.
Seien (
A
i
;
j i
), (
B
i
;
j i
) und (
C
i
;
j i
) pro jektive Systeme endlicher Grupp en;
wir sagen, das System von Sequenzen
1
!
(
A
i
)
!
(
B
i
)
!
(
C
i
)
!
1
sei exakt, wenn f
ur jedes
i
2
I
die Sequenz
1
!
A
i
!
B
i
!
C
i
!
1
4.8.1999
2.2 Funktorielle Eigenschaften des pro jektiven Limes 27
exakt ist, und wenn die Diagramme
1
!
A
j
!
B
j
!
C
j
!
1
j i
?
?
y
j i
?
?
y
j i
?
?
y
1
!
A
i
!
B
i
!
C
i
!
1
f
ur alle Paare
i; j
2
I
mit
i
j
kommutieren. Damit hab en wir
Satz 2.8.
Sei
1
!
(
A
i
)
i
!
(
B
i
)
i
!
(
C
i
)
!
1
ein exaktes projektives System end licher Gruppen; dann ist auch
1
!
lim
A
i
!
lim
B
i
!
lim
C
i
!
1
exakt.
Beweis.
Es ist nur no ch die Exaktheit an der Stelle lim
B
i
zu zeigen. Sei also
b
= (
::: ;b
i
;:::
)
2
im
. Dann ist
b
i
=
i
(
a
i
) und folglich
(
b
i
) = 1, also
(
b
) = 1 und
b
2
ker
. Ist umgekehrt
b
2
ker
, so gilt
b
i
=
i
(
a
i
) f
ur gewisse
a
i
2
A
i
. Zu zeigen ist, da
a
= (
::: ;a
i
;:::
)
2
A
gilt. Dazu b etrachten wir das
kommutative Diagramm
A
j
j i
!
A
i
j
?
?
y
i
?
?
y
B
j
j i
!
B
i
und rechnen
i
j i
(
a
j
) = (
i
j i
)(
1
j
(
b
j
)) =
j i
j
(
1
j
(
b
j
)) =
j i
(
b
j
) =
b
i
.
Also ist
j i
(
a
j
) =
1
i
(
b
i
) =
a
i
, und das war zu zeigen.
Der Satz bleibt richtig, wenn man ihn in der Kategorie der pro-endlichen
Grupp en b etrachtet: pro jektive Limites pro-endlicher Grupp en sind n
amlich
wieder pro-endlich (h
atten wir die Charakterisierung pro-endlicher Grupp en
als kompakte hausdorsche und total unzusammenh
angende Grupp en, w
are
dies klar; andererseits l
at sich die Behauptung hier wohl auch mit einem
Argument a la Cantorsches Diagonalverfahren b eweisen).
Andererseits wird er falsch, wenn man ihn auf (unendliche) ab elsche Grup-
p en anwendet: b etrachten wir das exakte System, dessen
n
-te Zeile gegeb en
ist durch
0
!
p
n
Z
!
Z
!
Z
=p
n
Z
!
0
:
Dab ei hat man rechts f
ur
m
n
die kanonischen Surjektionen
Z
=p
m
Z
!
Z
=p
n
Z
, in der Mitte die identischen Abbildungen, und links die durch
a
4.8.1999
28 2. Pro jektive Limites
p
m
Z
!
(
ap
m
n
)
p
n
Z
denierten Einb ettungen. Das pro jektive System die-
ser Grupp en (nicht Ringe! Die Pro jektionen in der linken Spalte sind keine
Ringhomomorphismen) ist trivial, folglich ergibt sich im Limes die Sequenz
0
!
0
!
Z
!
Z
p
!
0
;
die rechts ersichtlich nicht mehr exakt ist.
Hier zeigt sich auch eine wesentliche Schw
ache der Denition pro jektiver
Systeme, b ei welcher die Pro jektionen surjektiv sind: wir k
onnen in exakten
Systemen wie ob en im allgemeinen nicht ein pro jektives System so durch ein
anderes ersetzen, da die
j i
surjektiv werden
und
das ganze no ch vertr
aglich
ist.
2.3 Eigenschaften pro-endlicher Grupp en
Oene Untergrupp en pro-endlicher Grupp en hab en immer endlichen Index:
Prop osition 2.9.
Ist
G
kompakt und
H
oene Untergruppe, so ist
(
G
:
H
)
end lich.
Beweis.
Es ist
S
g
2
G
g H
eine oene
Ub erdeckung von
G
, und
G
ist kompakt.
Prop osition 2.10.
Abgeschlossene Untergruppen
H
von pro-end lichen Grup-
pen
G
sind pro-end lich.
Beweis.
Sei
G
= lim
G
i
und
U
i
= ker (
G
!
G
i
). Wir b ehaupten, da
die Grupp en
H U
i
=U
i
ein pro jektives System bilden. Zuerst einmal ist die
Ordnung von
H U
i
=U
i
durch die Ordnung von
GU
i
=U
i
=
G=U
i
'
G
i
nach
ob en b eschr
ankt, und da
G
i
endlich ist, gilt dies auch f
ur
H U
i
=U
i
. Es gen
ugt
daher,
H
'
lim
H U
i
=U
i
(als top ologischer Isomorphismus) zu zeigen. Die
surjektiven Pro jektionen
H
!
H U
i
=U
i
liefern uns eine stetige Surjektion
:
H
!
lim
H U
i
=U
i
; diese ist injektiv: ist n
amlich
h
= (
::: ;h
i
;:::
)
2
ker
,
so liegt
h
i
im Kern von
i
, d.h. es ist
i
(
h
i
) =
h
+
H
\
U
i
trivial, somit
h
2
H
\
U
i
f
ur alle
i
. Da die
U
i
eine Umgebungsbasis der 1 bilden und
G
hausdorsch ist, gilt
T
U
i
=
f
1
g
, folglich ist
h
= 1 und
ein Isomorphis-
mus. Da die Umgebungsbasen der 1
ub ereinstimmen, ist dieser Isomorphismus
top ologisch.
Man b eachte, da wir im letzten Kapitel gesehen hab en, da dies f
ur nicht
abgeschlossene Untergrupp en nicht gilt: ist
G
die pro-endliche Galoisgrupp e
von
F
p
=
F
p
und
H
die vom Frob eniusautomorphismus
erzeugte Untergrupp e
von
G
, so ist
H
'
Z
keine pro-endliche Grupp e.
Analog gilt
4.8.1999
2.3 Eigenschaften pro-endlicher Grupp en 29
Prop osition 2.11.
Ist
H
eine abgeschlossene Untergruppen der pro-end lichen
Gruppe
G
, so ist auch
G=H
pro-end lich; genauer ist
G=H
'
lim
G=H U
i
, wo
G
= lim
G
i
und
U
i
= ker(
G
!
G
i
)
ist.
Wie im Falle endlicher Grupp en kann man auch b ei pro-endlichen Grupp en
einen Indexb egri denieren. Dazu nennt man ein formales Pro dukt
Q
p
p
n
(
p
)
eine sup ernat
urliche Zahl, wenn 0
n
(
p
)
1
f
ur alle Primzahlen
p
ist. Solche
sup ernat
urlichen Zahlen kann man zwar nicht addieren (f
ur Indexrechnungen
ist das auch gar nicht notwendig), ab er die Multiplikation ist auf oensichtliche
Weise deniert. Weiter kann man
ggT (
m; n
) =
Y
p
p
min
f
m
(
p
)
;n
(
p
)
g
und kgV (m
;
n) =
Y
p
p
max
f
m(p)
;
n(p)
g
setzen. Dasselb e geht nat
urlich f
ur b eliebig viele Elemente.
Ist
G
eine pro-endliche Grupp e,
U
i
das System der oenen Normalteiler von
G
, und
H
eine abgeschlossene Untergrupp e von
G
, so ist
G
= lim
G=U
i
, und
man setzt
(
G
:
H
) = kgV (
G=U
i
:
H U
i
=U
i
)
:
Die Indizes (
G=U
i
:
H U
i
=U
i
) sind endlich und damit wohldeniert. Weiter setzt
man #
G
= (
G
: 1). Beispielsweise ist #
Z
p
=
p
1
: die oenen Normalteiler von
Z
p
sind die
U
i
=
p
i
Z
p
, somit ist
G=U
i
'
p
i
Z
, und das kgV aller
p
i
= #
p
i
Z
ist
p er denitionem
p
1
.
Ist
f
U
j
g
(
j
2
J
I
) irgendeine aus oenen Normalteilern b estehende Um-
gebungsbasis der 1, so ist
J
conal in
I
, und man
ub erzeugt sich sofort davon,
da dann auch (
G
:
H
) = kgV (
G=U
j
:
H U
j
=U
j
) ist.
Prop osition 2.12.
Ist
G
eine pro-end liche Gruppe, und sind
K
H
G
abgeschlossene Untergruppen, dann ist
(
G
:
K
) = (
G
:
H
)(
H
:
K
)
.
Beweis.
Sei
f
U
i
g
wie in der Denition von (
G
:
H
); dann ist
(
G=U
i
:
K U
i
=U
i
) = (
G=U
i
:
H U
i
=U
i
)(
H U
i
=U
i
:
K U
i
=U
i
)
:
(2.3)
Weiter bilden die
V
i
=
U
i
\
H
eine aus oenen Normalteilern b estehende
Umgebungsbasis der 1 in
H
; also ist
(
H
:
K
) = kgV (
H =V
i
:
K V
i
=V
i
)
:
Wegen
H =V
i
=
H =H
\
U
i
'
H U
i
=U
i
und
K V
i
=V
i
'
K =K
\
V
i
=
K =K
\
U
i
'
K U
i
=U
i
ist daher
(
H
:
K
) = kgV (
H U
i
=U
i
:
K U
i
=U
i
)
:
Daraus folgt die Behauptung.
4.8.1999
30 2. Pro jektive Limites
Ganz entsprechend zeigt man
Prop osition 2.13.
Ist
G
i
;
j i
ein projektives System, und sind al le
j i
sur-
jektiv, so gilt
#
G
= kgV #
G
i
.
Damit kann man die ganze Sylowtheorie endlicher Grupp en auf pro-endliche
Grupp en
ub ertragen: eine pro-endliche Grupp e
G
heit pro-
p
-Grupp e, wenn sie
pro jektiver Limes von endlichen
p
-Grupp en ist o der, was dasselb e ist, wenn #
G
eine
p
-Potenz ist. Beispielsweise ist
Z
p
eine pro-
p
-Grupp e. Eine abgeschlossene
Untergrupp e
H
einer pro-endlichen Grupp e
G
heit
p
-Sylowgrupp e, wenn
H
eine pro-
p
-Grupp e und (
G
:
H
) nicht durch
p
teilbar ist. Damit gelten die ganz
gew
ohnlichen Sylows
atze:
Satz 2.14.
Sei
G
pro-end liche Gruppe. Dann existiert zu jeder Primzahl
p
ei-
ne
p
-Sylowgruppe
G
p
, und je zwei
p
-Sylowgruppen sind konjugiert. Jede pro-
p
-
Untergruppe von
G
ist in einer
p
-Sylowgruppe enthalten. Schlielich ist
#
G
=
Q
p
#
G
p
.
Ist
L=K
eine algebraische K
orp ererweiterung; dann kann man (
L
:
K
) de-
nieren als das kgV aller (
F
:
K
), wob ei
F =K
die endlichen Teilerweiterungen
von
L=K
durchl
auft. Die folgende Idee funktioniert dagegen nicht: w
ahle ei-
ne normale Erweiterung
N =K L
N
, und setze (
L
:
K
) = (Gal (
N =K
) :
Gal (
N =L
)): das liegt daran, da Quotienten sup ernat
urlicher Zahlen nicht
wohldeniert sind. Ab er f
ur galoissche
L=K
gilt nat
urlich # Gal (
L=K
) = (
L
:
K
).
No ch einige weitere Denitionen: ein Element
g
einer top ologischen Grupp e
G
heit top ologische Erzeugende, wenn der Abschlu der von
g
algebraisch
erzeugten Grupp e schon ganz
G
ist. Eine pro-endliche Grupp e
G
heit pro-
zyklisch, wenn sie pro jektiver Limes von zyklischen Grupp en ist; man kann
zeigen, da dies genau die pro-endlichen Grupp en sind, die von einem Element
top ologisch erzeugt werden. Die Grupp e
Z
p
ist pro-zyklisch.
Literatur
Das erste Kapitel des Buchs [2] von Ko ch gibt eine knapp e Zusammenfas-
sung von pro jektiven Limites und pro-endlichen Grupp en in der Sprache der
Kategorientheorie. Eine ausf
uhrliche Diskussion pro-endlicher Grupp en ndet
man im Skript von Rib es [5], das auf einer Vorlesung von Neukirch basiert.
Etwas gedr
angter ist die Darstellung in Shatz [4], und in Wilson [6] ndet
man relativ viele Details. Wegen seiner Klarheit sei hier ausdr
ucklich die von
Poitou herausgegeb ene Sammlung [3] erw
ahnt. Grupp entheoretische Proble-
me, die pro-endliche Grupp en b etreen (davon gibt es mehr als man glaubt),
werden in [1] angespro chen.
1. J.D. Dixon, M.P.F. du Sautoy, A. Mann, D. Segal,
Analytic pro-
p
groups
,
Cambridge Univ. Press 1991
4.8.1999
2.3 Eigenschaften pro-endlicher Grupp en 31
2. H. Ko ch,
Galoissche Theorie der
p
-Erweiterungen
, Springer 1970
3. G. Poitou (ed.),
Cohomologie galoisienne des modules nies
, Sem. Inst.
Math. Lille, 1967
4. Stephen S. Shatz,
Pronite groups, arithmetic, and geometry
, Annals of
Math. Studies. 67, 1972
5. L. Rib es,
Introduction to pronite groups and Galois cohomology
, Kings-
ton 1970
6. John S. Wilson, Pronite groups. London Mathematical So ciety Mono-
graphs, 1998
4.8.1999
32 2. Pro jektive Limites
4.8.1999
Kapitel 3
Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
3.1 Diskrete
G
-Mo duln
Eine ab elsche Grupp e heit ein
R
-Mo dul, wenn
R
ein kommutativer Ring mit
1 ist und eine Abbildung
R
A
!
A
: (
r; a
)
7!
r a
existiert mit folgenden
Eigenschaften:
1
a
=
a
f
ur alle
a
2
A
;
(
r s
)
a
=
r
(
sa
) f
ur alle
r; s
2
R
,
a
2
A
;
r
(
a
+
a
0
) =
r a
+
r a
0
f
ur alle
r
2
R
,
a; a
0
2
A
.
Insb esondere ist jede ab elsche Grupp e ein
Z
-Mo dul.
Ist
G
eine Grupp e, so heit
A
ein
G
-Mo dul, wenn
A
ein
Z
[
G
]-Mo dul ist, wo
Z
[
G
] den Grupp enring b ezeichnet. Statt \
A
ist ein
G
-Mo dul" sagt man auch,
G
op eriere auf
A
.
Sei
L=K
eine endliche Galoiserweiterung. Dann op eriert Gal (
L=K
) z.B. auf
L
, auf
L
, auf dem Ring ganzer Zahlen
O
L
in
L
, dessen Einheitengrupp e
E
L
usw. usf. Geht man von
L
zu einer gr
oeren Erweiterung
N =K
ub er, op eriert
Gal (
N =K
) auf diesen Grupp en, und b ei jeder weiteren Erweiterung mu man
die op erierende Grupp e eb enfalls gr
oer machen. Technisch einfacher ist es,
stattdessen gleich Gal (
K =K
) auf diesen Mo duln op erieren zu lassen, wo
K
der separable Abschlu von
K
ist. Diese ob en b etrachteten Mo duln liegen in
endlichen Erweiterungen von
K
, und das hat zur Folge, da die Op eration von
G
= Gal (
K =K
) auf ihnen
ub er einer oenen Untergrupp e
N
faktorisiert: ist
z.B.
L=K
endlich, so ist
U
= Gal (
K =L
) eine oene Untergrupp e von
G
, die
auf
L
(o der
L
,
O
L
,
E
L
etc.) trivial op eriert.
Tats
achlich funktioniert die Theorie etwas allgemeiner: man braucht nur, da
die Op eration von
G
auf einem mit der diskreten Top ologie versehenen Mo dul
34 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
A
stetig ist. Wir wollen daher eine ab elsche Grupp e
A
einen diskreten
G
-Mo dul
nennen, wenn die durch die Op eration denierte Abbildung
G
A
!
A
stetig
ist, wob ei
A
die diskrete und
G
A
die Pro dukttop ologie tr
agt.
Man zeigt nun leicht
Lemma 3.1.
Sei
G
pro-end liche Gruppe und
A
abelsch; dann sind
aquivalent:
i)
A
ist diskreter
G
-Modul;
ii) der Stabilisator
G
a
=
f
2
G
:
a
=
a
g
von
a
2
A
ist oen in
G
;
iii) es ist
A
=
S
U
A
U
, wobei
A
U
=
f
a
2
a
:
a
=
a
8
2
U
g
ist.
Beweis.
i) =
)
ii): Sei
:
G
A
!
A
stetig; dann ist auch die Einschr
ankung
:
G
f
a
g !
A
stetig, folglich
G
a
f
a
g
=
1
(
a
) oen in
G
f
a
g
und
damit
G
a
oen in
G
.
ii) =
)
iii): Sei
a
2
A
; da
G
a
oen ist, enth
alt es einen oenen Normalteiler
U
. Folglich ist
a
=
A
G
a
A
U
.
iii) =
)
i): Sei (
; a
)
2
G
f
a
g
und
a
=
b
; nach Voraussetzung ist
b
2
A
U
f
ur einen oenen Normalteiler
U
. Dann ist
U
f
a
g
eine oene Umgebung
von (
; a
) und
(
U
f
a
g
) =
b
: also ist
stetig.
Faktorisiert die Op eration von
G
auf einer ab elschen Grupp e
ub er einem
oenen Normalteiler, so ist die Op eration trivialerweise stetig. Weiter sieht
man, da Untermo duln und Quotientenmo duln diskreter Mo duln wieder dis-
kret sind. Dab ei ist ein Untermo dul
B
von
A
eine Untergrupp e von
A
, welche
gegen
ub er der Op eration von
G
abgeschlossen ist; wegen ii) ist sicher auch
B
diskret. Ist
B
ein Untermo dul, so op eriert
G
auf der ab elschen Grupp e
M
=
A=B
durch
(
aB
) =
(
a
)
B
; wegen
S
(
A=B
)
U
=
S
(
A
U
=B
) =
A=B
sind
auch Quotienten diskreter Mo duln wieder diskret.
Ein Homomorphismus zwischen
G
-Mo duln heit
G
-Homomorphismus, wenn
er mit der Op eration von
G
vertr
aglich ist, wenn also
(
a
) =
(
a
)
gilt. Die
Kategorie der diskreten
G
-Mo duln wird mit Mo d (
G
) b ezeichnet; ihre Mor-
phismen sind
G
-Homomorphismen ab elscher Grupp en.
Da wir es weiter unten mit stetigen Abbildungen pro-endlicher Grupp en in
diskrete Mo duln zu tun hab en werden, geb en wir hier no ch eine Charakteri-
sierung der Stetigkeit:
Prop osition 3.2.
Sei
G
pro-end liche Gruppe und
A
ein diskreter topologi-
scher Raum. Eine Abbildung
f
:
G
!
A
ist genau dann stetig, wenn es eine
oene normale Untergruppe
N
von
G
gibt, soda
f
auf den Nebenklassen
G=N
konstant ist.
Beweis.
Sei
f
stetig. Dann ist
f
f
1
(
a
) :
a
2
A
g
eine oene
Ub erdeckung von
G
; da
G
kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge
B
von
A
derart, da
G
schon von
f
f
1
(
a
) :
a
2
B
g
ub erdeckt wird. F
ur jedes
g
2
f
1
(
a
) ist
g
1
f
1
(
a
)
4.8.1999
3.2 Das Schlangenlemma 35
eine oene Umgebung der 1 in
G
und enth
alt folglich einen oenen Normalteiler
V
g
. Damit ist
g V
g
f
1
(
a
), und weil
f
1
(
a
) abgeschlossen ist, gen
ugen endlich
viele Mengen
g V
g
zur
Ub erdeckung. Der Durchschnitt der dab ei auftretenden
oenen Normalteiler
V
g
sei
N
. Wegen
g V
g
f
1
(
a
) ist erst recht
g N
f
1
(
a
),
also
f
(
g N
) =
a
.
Sei umgekehrt
N
eine oene normale Untergrupp e von
G
und
f
auf den Ne-
b enklassen
G=N
konstant. Dann ist
f
1
(
a
) eine Vereinigung gewisser (oenen)
Mengen
g N
und damit oen. Also ist
f
stetig.
Da oene Normalteiler pro-endlicher Grupp en immer endlichen Index b esit-
zen, hab en stetige Abbildungen wie ob en also immer nur endlich viele Funk-
tionswerte. Das legt auch folgende Konstruktion eines nicht diskreten Mo duls
nahe: wir setzen
L
=
Q
(
p
N
) und
G
= Gal (
L=
Q
); dann op eriert die pro-
endliche Grupp e
G
auf dem direkten Pro dukt
A
=
Q
p
Q
(
p
p
), wo das Pro dukt
ub er alle Primzahlen geht. W
are die Op eration stetig, so m
ute die Restriktion
G
f
a
g !
A
der Op eration eine stetige Abbildung sein, insb esondere d
urfte
ein Element
a
2
A
nur endliche viele Bilder unter der Op eration von
G
hab en.
Das Element
a
= (
p
2
;
p
3
;
p
5
;:::
) hat ab er deren unendlich viele.
3.2 Das Schlangenlemma
Ein in Anwendungen oft auftretendes Problem ist folgendes: gegeb en ist eine
exakte Sequenz diskreter
G
-Mo duln
0
!
A
!
B
!
C
!
0
;
und man interessiert sich f
ur die Fixmo duln; man zeigt leicht, da die Sequenz
0
!
A
G
!
B
G
!
C
G
(3.1)
immer exakt ist. Rechtsexaktheit gilt allerdings nicht immer: sei z.B.
K
=
Q
(
p
3 ),
G
= Gal (
K =
Q
) und
O
K
=
Z
Z
p
3. Jedes Element
2
K
deniert
ein Hauptideal (
), und man erh
alt die exakte Sequenz von
G
-Mo duln
0
!
E
K
!
K
!
H
K
!
0
;
wo
H
K
die Grupp e der Hauptideale
6
= (0) b ezeichnet. Die Fixmo duln von
E
K
und
K
sind oensichtlich
E
Q
=
f
1
g
und
Q
, w
ahrend
H
G
K
strikt gr
oer ist
als
H
Q
: b eispielsweise sind die Hauptideale (
p
3 ) und (1 +
p
3 ) b eide invariant
unter
G
; b ei (
p
3 ) ist das oensichtlich, b ei (1 +
p
3 ) folgt dies aus 1
p
3 =
(1 +
p
3 )(1
p
3 )
(1 +
p
3 ). Solche Ideale nennt man in der algebraischen
Zahlentheorie
ubrigens verzweigt.
Kann man den Kokern der Abbildung
B
G
!
C
G
angeb en? Die Antwort
lautet: fast. Die Idee ist, ein kommutatives Diagramm zu konstruieren, so da
die Sequenz (3.1) der Anfang dessen ist, was uns das Schlangenlemma liefert.
4.8.1999
36 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
Satz 3.3.
(Das Schlangenlemma) Sei ein kommutatives Diagramm
A
f
!
B
g
!
C
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
A
0
f
0
!
B
0
g
0
!
C
0
(3.2)
abelscher Gruppen (von
G
-Moduln) mit exakten Reihen gegeben. Dann existiert
ein Homomorphismus (
G
-Homomorphismus)
: ker
h
!
coker
f
derart, da
die Sequenz
0
!
ker
f
!
ker
!
ker
!
ker
?
?
y
0
coker
g
0
coker
coker
coker
abelscher Gruppen (von
G
-Moduln) exakt wird.
Der Beweis ist, vermutlich bis auf die Exaktheit an Anfangs- und Endter-
men, b ekannt. Konstruieren wir also die Injektion ker
f
!
ker
. Sei dazu
a
2
ker
f
; dann ist
(
f
(
a
)) = 0 wegen
f
(
a
) = 0. Die Kommutativit
at des
Diagramms gibt
f
0
(
(
a
)) = 0, und da
f
0
injektiv ist, folgt
(
a
) = 0, d.h.
a
2
ker
. Die Konstruktion des Epimorphismus coker
!
coker
g
0
sowie
die Exaktheit and den Stellen ker
f
und coker
g
0
sind eb enso leicht, der Rest
ist ohnehin b ekannt.
Diese Version des Schlangenlemmas ist oft einfacher anzuwenden als die
gew
ohnliche. Hier ist ein Beispiel:
Korollar 3.4.
Seien
:
A
!
B
und
:
B
!
C
Homomorphismen; dann
gibt es eine exakte Sequenz
0
!
ker
!
ker (
)
!
ker
?
?
y
0
coker
coker (
)
coker
Beweis.
Wende das Schlangenlemma auf folgendes Diagramm an:
A
!
B
!
coker
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
C
id
!
C
!
0
4.8.1999
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e 37
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e
Zur
uck zum eigentlichen Thema. Unser Ziel ist, aus einer exakten Sequenz
0
!
A
!
B
!
C
!
0
(3.3)
diskreter
G
-Mo duln ein kommutatives exaktes Diagramm
0 0 0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
A
G
B
G
C
G
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
A
!
B
!
C
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
C
1
(
G; A
)
!
C
1
(
G; B
)
!
C
1
(
G; C
)
(3.4)
von (nicht notwendig diskreten)
G
-Mo duln zu konstruieren; wir m
ussen dazu
aus einem diskreten
G
-Mo dul
A
einen
G
-Mo dul
C
1
(
G; A
) basteln, sowie einen
G
-Homomorphismus
A
!
C
1
(
G; A
) konstruieren derart, da der Kern genau
aus
A
G
b esteht. Das Schlangenlemma (angewandt in der Kategorie der
G
-
Mo duln) w
urde dann
C
G
in den Kokern von
A
!
C
1
(
G; A
) abbilden; um
an Hinweise zu kommen, wie wir
C
1
(
G; A
) zu konstruieren hab en, sollten wir
uns also den Cokern von
:
B
G
!
C
G
genauer ansehen. Sei dazu ein
c
2
C
G
gegeb en; wegen der Surjektivit
at von
ist
c
=
(
b
) f
ur ein
b
2
B
.
Um die Tatsache
c
2
C
G
auszunutzen, lassen wir
2
G
darauf los und nden
(
b
) =
(
b
)
=
c
=
c
=
(
b
). Also ist
(
b
b
) = 0, somit wegen der
Exaktheit von (3.3)
b
b
2
A
(hier hab en wir
A
mit
(
A
) identiziert).
Was zeigt uns das? Wir hab en jedem
c
2
C
G
eine Abbildung
f
c
:
G
!
A
zugeordnet, n
amlich diejenige, welche
2
G
auf
b
(
b
)
2
A
abbildet. Diese
Abbildung
:
c
7!
f
c
ist stetig: weil
ein Homomorphismus ist, gen
ugt es,
die Stetigkeit an der Stelle 0 zu zeigen. Das Urbild der 0 b esteht ab er aus allen
, welche
b
fest lassen, d.h. es ist
f
1
c
(0) =
G
b
der Stabilisator von
b
, und der ist
oen, weil
A
diskreter
G
-Mo dul ist. Was ist
f
c
(
)? Das kann man ausrechnen:
f
c
(
) =
b
(
b
) =
b
(
b
) +
(
b
)
(
b
) =
(
f
c
(
)) +
f
c
(
). Das einzige
Ungl
uck ist, da
(
c
) nicht wohldeniert ist: w
ahlt man n
amlich ein anderes
b
0
2
B
mit
(
b
0
) =
c
, so ist
b
b
0
=:
a
f
ur ein
a
2
A
, mit
0
(
c
) =
b
0
(
b
0
) folglich
0
(
c
) =
(
c
) + (
a
(
a
)). Daher ist
(
c
) nur bis auf Abbildungen
G
!
A
vom
Typ
7!
a
(
a
) deniert.
Die Idee ist daher,
C
1
(
G; A
) =
f
f
:
G
!
A
stetig :
f
(
) =
f
(
) +
f
(
)
g
4.8.1999
38 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
zu setzen und zu schauen, ob
C
1
(
G; A
) unsere Erwartungen erf
ullt. Zuerst
einmal ist
C
1
(
G; A
), wie jede Menge von Abbildungen in eine additive Grup-
p e, eb enfalls eine solche: wir erkl
aren durch (
f
+
g
)(
) :=
f
(
) +
g
(
) ei-
ne Addition, die Nullabbildung 0(
) = 0 liefert das neutrale Element, und
(
f
)(
) :=
f
(
) ist das zu
f
inverse Element. Falls
G
trivial auf
A
op eriert,
ist
C
1
(
G; A
) = Hom
c
(
G; A
) gleich der Grupp e der (stetigen) Homomorphismen
von
G
nach
A
. Die Elemente von
C
1
(
G; A
) nennt man daher auch verschr
ankte
Homomorphismen.
Weiter hab en wir b ereits gesehen, wie wir einen Homomorphismus
:
A
!
C
1
(
G; A
) b ekommen k
onnen: wir denieren
(
a
) als diejenige stetige Abbil-
dung
f
a
:
G
!
A
, welche
auf
a
(
a
) abbildet. Diese Abbildung ist in
der Tat ein verschr
ankter Homomorphismus (nachrechnen). Damit ist
ein
Grupp enhomomorphismus, und sein Kern b esteht aus allen
a
2
A
, f
ur welche
[
7!
a
(
a
)] die Nullabbildung ist, d.h. es ist ker
=
A
G
.
Damit bleibt no ch,
C
1
(
G; A
) zu einem
G
-Mo dul zu machen. Dazu b eachten
wir, da nicht nur
A
, sondern auch
G
selbst ein
G
-Mo dul ist, auf dem ein
2
G
durch Konjugation op eriert:
c
:
!
1
. Wegen
c
(
) =
1
1
=
c
(
c
(
)) ist dies in der Tat eine Op eration (b ei Op eration von rechts hat man
das Inverse auf die linke Seite zu schreib en). Wie soll nun
2
G
auf einer
Abbildung
f
:
G
!
A
op erieren? Wir b ehaupten, da
f
:=
f
1
eine
sinnvolle Denition ist. Zuerst einmal ist mit
f
auch
f
stetig:
f
ist n
amlich
Komp osition der stetigen Abbildungen
G
1
!
G
f
!
A
!
A:
Weiter deniert dies wirklich eine
G
-Mo dulstruktur wegen
f
(
) =
(
f
(
1
1
)) =
(
f
)(
1
) = (
(
f
))(
)
:
Als n
achstes gilt es zu zeigen, da
f
die Kozykelrelation erf
ullt: es ist ab er
f
(
) =
f
(
1
) =
f
(
1
1
)
=
f
(
1
) +
1
f
(
1
) =
f
(
) +
f
(
)
:
Schlielich wird damit der Homomorphismus
:
A
!
C
1
(
G; A
), welcher
a
auf
f
a
:
7!
a
a
abbildet, zu einem
G
-Homomorphismus: es ist n
amlich
(
a
)(
) =
f
(
a
)
(
) =
(
a
)
(
a
) und
(
a
)
(
) =
f
a
(
) =
f
a
(
1
) =
(
a
)
1
(
a
) =
(
a
)
(
a
).
Wir b ehaupten dagegen nicht, da der eb en konstruierte
G
-Mo dul
C
1
(
G; A
)
diskret ist; das ist kein Beinbruch: die lange exakte Kohomologiesequenz macht
auch f
ur nicht diskrete
G
-Mo duln Sinn. Warum dann die ganze M
uhe mit der
Stetigkeit? Die Antwort ist einfach: Kohomologiegrupp en f
ur nichtstetige
G
-
Mo duln lassen sich zwar einfach denieren, ab er praktisch kaum b erechnen.
Wir werden das weiter unten no ch genauer sehen.
4.8.1999
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e 39
Bemerkung.
Man b eachte, da wir
G
von links auf der additiv geschrieb enen
Grupp e
A
op erieren lassen. W
urden wir
A
multiplikativ schreib en, so m
uten
wir
f
(
) =
f
(
)
f
(
) fordern (wob ei
G
immer no ch von links op eriert, trotz
der nun exp onentiellen Schreibweise). Lassen wir allerdings
G
von rechts auf
der multiplikativen Grupp e
A
op erieren, so wird daraus
f
(
) =
f
(
)
f
(
). Es
ist also allergr
ote Vorsicht angebracht, will man unsere Formeln auf Rechts-
mo duln
ub ertragen!
Die Zuordnung
A
!
C
1
(
G; A
) ist funktoriell in folgendem Sinne: ist
:
A
!
B
ein
G
-Homomorphismus diskreter
G
-Mo duln, so induziert
einen
Homomorphismus
:
C
1
(
G; A
)
!
C
1
(
G; B
) :
f
7!
(
f
) =
f
. Damit
gilt dann
Lemma 3.5.
Ist
0
!
A
!
B
!
C
!
0
eine exakte Sequenz diskreter
G
-Moduln, so ist
0
!
C
1
(
G; A
)
!
C
1
(
G; B
)
!
C
1
(
G; C
)
eine exakte Sequenz von
G
-Moduln.
Beweis.
Ist
f
2
C
1
(
G; B
) die Nullabbildung, so ist wegen der Injektivit
at
von
b ereits
f
die Nullabbildung, also
injektiv.
Ist
f
2
C
1
(
G; A
), so ist
f
die Nullabbildung, weil
(
a
) = 0 f
ur alle
a
2
A
ist. Sei umgekehrt
g
2
ker
, also
g
(
) = 0 f
ur alle
2
G
. Zu jedem
2
G
gibt es daher ein
a
2
A
mit
g
(
) =
(
a
). Wir denieren
f
:
G
!
A
durch
f
(
) =
a
. Was ist
f
(
)? Wir wissen
g
(
) =
g
(
) +
g
(
), somit
(
a
) =
(
a
) +
(
a
) =
(
a
+
a
) und damit
f
(
) =
a
=
a
+
a
.
Also ist
f
2
C
1
(
G; a
).
Damit ist die Konstruktion des Diagramms (3.4) komplett. Das Bild des
G
-Homomorphismus
A
!
C
1
(
G; A
) nennt man
B
1
(
G; A
); seine Elemente
heien
zerfal lende verschr
ankte Homomorphismen
o der 1-Kor
ander von
G
mit
Werten in
A
. Der Kokern der Abbildung
A
!
C
1
(
A
) ist damit gleich der
Faktorgrupp e H
1
(
G; A
) :=
C
1
(
G; A
)
=B
1
(
G; A
), die man die
erste Kohomolo-
giegruppe
von
G
mit Werten in
A
nennt. Wendet man das Schlangenlemma
auf das Diagramm (3.4) an, so erh
alt man
Prop osition 3.6.
Zu jeder exakten Sequenz diskreter
G
-Moduln
0
!
A
!
B
!
C
!
0
existiert eine exakte Sequenz abelscher Gruppen
0
!
A
G
!
B
G
!
C
G
!
H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G; B
)
!
H
1
(
G; C
)
:
Die Abbildungen in der zweiten Sequenz kommen alle aus dem Schlangen-
lemma; insb esondere ist
:
C
G
!
H
1
(
G; A
) der Verbindungshomomorphis-
mus. Damit ist die Sequenz 0
!
A
G
!
B
G
!
C
G
!
0 sicher dann
4.8.1999
40 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
exakt, wenn H
1
(
G; A
) = 0 trivial ist. Allerdings ist dies keine notwendige Be-
dingung: notwendig und hinreichend f
ur die Exaktheit ist vielmehr, da der
Homomorphismus H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G; B
) injektiv ist.
Da einen die
G
-Mo dulstruktur der Kohomologiegrupp en nicht vom Ho cker
reissen wird kann man schon an H
0
(
G; A
) =
A
G
sehen: das sind triviale
G
-
Mo duln. Dasselb e gilt, wie wir sp
ater sehen werden, f
ur alle H
q
(
G; A
) mit
q
0.
Wir wollen no ch einige elementare, ab er hilfreiche Bemerkungen
ub er die
erste Kohomologiegrupp e machen. Ist
A
ein trivialer
G
-Mo dul (d.h. op eriert
G
trivial auf
A
), so ist
C
1
(
A
) = Hom
c
(
G; A
) sowie
B
1
(
A
) = 0, und folglich
H
1
(
G; A
)
'
Hom
c
(
G; A
)
'
Hom
c
(
G=G
0
; A
) (Letzteres, da
A
ab elsch, jeder
Homomorphismus
G
!
A
daher
G
0
auf die 0 abbildet). Ist insb esondere
A
=
Q
=
Z
, so ist H
1
(
G;
Q
=
Z
)
'
Hom
c
(
G;
Q
=
Z
) =
X
(
G
) die Charaktergrupp e
von
G
.
Prop osition 3.7.
Ist
f
:
A
!
B
ein
G
-Homomorphismus von
G
-Moduln,
so induziert
f
einen Homomorphismus
f
: H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G; B
)
.
Beweis.
Das kann man einmal direkt nachrechnen: sei
x
2
C
1
(
G; A
), also
x
(
) =
x
(
) +
x
(
) f
ur alle
;
2
G
. Wir b ehaupten, da dann
f
x
2
C
1
(
G; B
) ist. In der Tat gilt n
amlich (
f
x
)(
) =
f
(
x
(
) +
x
(
)) =
(
f
x
)(
) + (
f
x
)(
), Letzteres, da
f
ein
G
-Homomorphismus ist. Eb enso rechnet
man nach, da
f
x
2
B
1
(
G; B
) ist, wenn
x
2
B
1
(
G; A
) gilt: in der Tat
ist (
f
x
)(
) =
f
(
x
(
)) =
f
(
a
(
a
)) =
f
(
a
)
f
(
a
). Damit folgt nun,
da
f
einen Homomorphismus
f
der Faktorgrupp en
C
1
(
G; A
)
=B
1
(
G; A
)
!
C
1
(
G; B
)
=B
1
(
G; B
) induziert, und das war b ehauptet.
Andererseits folgt dies auch p er Schlangenlemma: dazu bildet man die zu
f
:
A
!
B
geh
origen exakten Sequenzen 0
!
ker
f
!
A
!
im
f
!
0
und 0
!
im
f
!
B
!
coker
f
!
0, bildet die entsprechenden Ko-
homologiesequenzen und setzt dann die daraus resultierenden Abbildungen
H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G;
im
f
) und H
1
(
G;
im
f
)
!
H
1
(
G; B
) einfach zusam-
men.
Die erste Kohomologiegruppe f
ur end liche
G
Bevor wir loslegen, weisen wir darauf hin, da die Werte eines
x
2
C
1
(
G; A
) an
der Stelle 1 durch die Kozykelb edingung festgelegt ist: es gilt n
amlich
x
(1) =
x
(1
1) =
x
(1) + 1
x
(1), also
x
(1) = 0; wird
A
multiplikativ geschrieb en, ist
entsprechend
x
(1) = 1.
Prop osition 3.8.
Sei
G
end liche Gruppe der Ordnung
n
; dann ist
H
1
(
G; A
)
eine Torsionsgruppe: sie wird von
n
annul liert.
Beweis.
Sei
x
2
C
1
(
G; A
) gegeb en; wir m
ussen zeigen, da
nx
2
B
1
(
G; A
) gilt.
Nun ist
x
(
) =
x
(
1
) =
x
(
1
) +
1
x
(
); addiert man diese Gleichungen
4.8.1999
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e 41
ub er alle
2
G
auf und setzt
a
=
P
2
G
x
(
1
), so ndet man
nx
(
) =
a
+
X
2
G
1
x
(
) =
a
+
X
2
G
(
)
1
x
(
)
:
Mit
durchl
auft nat
urlich auch
ganz
G
; weiter ist 0 =
x
(1) =
x
(
1
) =
1
x
(
) +
x
(
1
), also
1
x
(
) =
x
(
1
) und
P
2
G
1
x
(
) =
a
. Also
folgt
nx
(
) =
a
a
f
ur alle
2
G
, und somit
nx
2
B
1
(
G; A
).
Eine ab elsche Grupp e
M
heit dividierbar, wenn es f
ur jedes
m
2
M
und
jedes
n
2
N
ein
m
0
2
M
gibt mit
m
=
nm
0
. Man nennt
M
eindeutig dividierbar,
falls dieses
m
0
eindeutig b estimmt ist.
Die Grupp e (
Q
;
+) ist eindeutig dividierbar,
Q
=
Z
zwar dividierbar, ab er
nicht eindeutig: es ist n
amlich 0 +
Z
= 2
(0 +
Z
) = 2
(
1
2
+
Z
). Eb enso ist
Q
,
die multiplikative Grupp e des algebraischen Abschlusses von
Q
, dividierbar
(weil man
n
-te Wurzeln ziehen kann), ab er nicht eindeutig (wegen der
n
-ten
Einheitswurzeln).
Korollar 3.9.
Ist
G
end lich und
A
eindeutig dividierbar (also die Gleichung
ny
=
a
f
ur al le
a
2
A
und
n
2
N
eindeutig l
osbar), so ist
H
1
(
G; A
) = 0
.
Beweis.
Die kurze exakte Sequenz
0
!
A
n
!
A
!
0
!
0
liefert
0
!
H
1
(
G; A
)
n
!
H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G;
0) = 0
;
d.h. Multiplikation mit
n
induziert einen Automorphismus von H
1
(
G; A
); da
H
1
(
G; A
) Torsionsgrupp e ist, mu H
1
(
G; A
) = 0 sein.
Eine
auerst wichtige Beobachtung ist die folgende, die f
ur zyklische Grup-
p en
G
sehr oft die Berechnung der do ch etwas unhandlichen Grupp e H
1
(
G; A
)
erlaubt; dazu setzen wir
= 1 +
+
:::
+
n
1
(wo
n
die Ordnung von
G
b e-
zeichnet), und denieren
A
=
f
a
2
A
:
a
= 1
g
als den Teilmo dul von
A
, der
von der `Norm'
(eigentlich ist
ja die Spur; da in den meisten Anwendun-
gen ab er
A
eine multiplikative Grupp e ist, ist dieser Sprachmissbrauch recht
gel
aug) annulliert wird. Oenbar ist
A
1
=
f
a
1
:
a
2
A
g
ein Teilmo dul von
A
, und wir k
onnen den Faktormo dul
b
H
1
(
G; A
) =
A=A
1
denieren (in der
Tat kann man diesen Mo dul als eine
1
te
Kohomologiegrupp e im Tateschen
Sinne interpretieren). Jetzt gilt
Prop osition 3.10.
Ist
G
zyklisch und end lich, so gilt
H
1
(
G; A
)
'
A=I
G
A
.
Beweis.
Sei
eine Erzeugende von
G
(der zu konstruierende Isomorphismus
wird von der Wahl von
abh
angen, ist also nicht kanonisch). Wir b ehaupten,
da
:
C
1
(
G; A
)
!
A
:
x
7!
x
(
) in
A
landet. In der Tat ist n
amlich
4.8.1999
42 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
x
(
k
) =
x
(
) +
x
(
k
1
) =
:::
=
P
k
1
j
=0
j
x
(
), also insb esondere
x
(
) =
x
(
n
) =
x
(1) = 0. Damit induziert
einen Homomorphismus
:
C
1
(
G; A
)
'
A=I
G
A
. Zu zeigen ist, da der Kern gerade
B
1
(
G; A
) und da
surjektiv ist.
Ist
x
2
B
1
(
G; A
), also
x
(
) =
a
(
a
), so ist oenbar
(
x
) =
a
(
a
)
2
I
G
A
.
Gilt umgekehrt
(
x
)
2
I
G
A
, also
x
(
) =
a
(
a
) f
ur die Erzeugende
von
G
,
so folgt induktiv
x
(
2
) =
x
(
) +
x
(
) =
(
a
(
a
)) +
a
(
a
) =
a
2
(
a
)
etc., also
x
(
) =
a
(
a
) f
ur alle
2
G
und damit
x
2
B
1
(
G; A
).
Zur Surjektivit
at: sei
a
2
A
gegeb en. Gesucht ist ein
x
mit
x
(
) =
a
. Dies
verwenden wir als Denition; damit wird n
amlich
x
(
2
) =
x
(
)
1+
=
a
1+
,
:::
,
und schlielich
x
(
n
) =
a
1+
+
:::
+
n
1
=
a
= 1, was wegen 1 =
x
(1) =
x
(
n
)
auch gut so ist. Jetzt mu man no ch nachrechnen, da die dadurch denierte
Abbildung
G
!
A
ein 1-Kozykel ist: das ist ab er nicht schwer. Ist z.B.
i
+
j < n
, so folgt
x
(
i
j
) =
a
1+
+
:::
+
i
+
j
, andererseits gibt
x
(
i
)
i
x
(
j
) genau
dasselb e. Die F
alle
i
+
j
=
n
und
i
+
j > n
b ehandelt man genauso.
Es ist klar, da jeder Versuch, Prop osition 3.10 auf pro endliche Grupp en zu
ub ertragen, scheitern mu, weil
P
2
G
f
ur nichtendliche
G
keinen groen Sinn
macht. Dagegen ist die Behauptung, H
1
(
G; A
) sei Torsionsgrupp e, durchaus
sinnvoll, und tats
achlich gilt:
Prop osition 3.11.
Sei
G
eine pro-end liche Gruppe und
A
ein diskreter
G
-
Modul; dann ist
H
1
(
G; A
)
eine Torsionsgruppe.
Beweis.
Der Beweis ist derselb e wie im endlichen Fall, zuz
uglich eines kleinen
Tricks: wir nehmen wie ob en ein
x
2
C
1
(
G; A
) her und b eachten, da
x
stetig
ist. Folglich existiert ein oener Normalteiler
N
von
G
derart, da
x
(
) =
x
(
N
) f
ur alle
2
G
gilt. Die Addition
ub er alle
2
G
wird hier
ub er alle
2
G=N
gef
uhrt, und mit
n
= (
G
:
N
) folgt wie im endlichen Fall, da
nx
2
B
1
(
G; A
) liegt. Man b eachte ab er, da
n
von
x
abh
angt; es ist also nicht
gesagt, da es eine nat
urliche Zahl gibt, welche H
1
(
G; A
) annulliert!
Ein Beispiel
Sei
K
=
Q
(
p
m
) ein reellquadratischer Zahlk
orp er mit Ring ganzer Zahlen
O
K
; die Einheitengrupp e
E
K
=
O
K
hat nach Dirichlet (bzw. Pell und Fermat)
die Struktur
E
K
=
h
1
i h
"
i
, wob ei
"
eine Fundamentaleinheit heit. Da
Einheiten die ganzen Elemente der Norm 1 sind, gilt
N "
= +1 o der
N "
=
1,
und b eide F
alle kommen vor: f
ur
m
= 3 ist
"
= 2 +
p
3, f
ur
m
= 5 dagegen
"
=
1
2
(1 +
p
5 ).
Was k
onnen wir nun
ub er die Kohomologiegrupp e H
1
(
G; E
K
) sagen, wo
G
= Gal (
K =
Q
) =
f
1
;
g
die Galoisgrupp e von
K =
Q
ist? Ihre Vertreter sind
verschr
ankte Homomorphismen
f
:
G
!
E
K
. Wir hab en b ereits gesehen,
da
f
(1) = 1 gelten mu, daher ist
f
durch seinen Wert an der Stelle
festgelegt. Setzen wir also an
f
(
) = (
1)
a
"
b
mit 0
a
1 und
b
2
Z
.
Welche dieser Abbildungen liefern verschr
ankte Homomorphismen? Oenbar
4.8.1999
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e 43
mu 1 =
f
(1) =
f
(
2
) =
f
(
)
f
(
) = (
1)
a
"
b
(
1)
a
"
b
=
"
(1+
)
b
gelten. In
der Tat ist dies auch hinreichend daf
ur, da
f
verschr
ankter Homomorphismus
ist, weil die andern Relationen
f
(1
) =
f
(
) =
f
(
1) automatisch erf
ullt
sind.
Ist daher
N "
=
"
1+
= +1, so deniert
f
(
) = (
1)
a
"
b
immer einen ver-
schr
ankten Homomorphismus, im Falle
N "
=
1 dagegen genau dann, wenn
b
gerade ist.
Die Grupp e
C
1
(
G; E
K
) ist also recht gro (sie enth
alt
Z
); andererseits ist
B
1
(
G; A
) fast eb enso gro: diese Grupp e b esteht aus Abbildungen, die die
1
2
G
auf die 1
2
E
K
und
7!
1
f
ur ein
2
E
K
abbilden. Da man
1
=
"
b
(1
)
schreib en kann, und da weiter
"
1
=
"
2
="
1+
gilt, hab en wir
f
(
) =
"
2
b
mit
b
2
Z
im Falle
N "
= +1, und
f
(
) = (
"
2
)
b
mit
b
2
Z
im Falle
N "
=
1. Es ist jetzt eine leichte
Ubung, daraus H
1
(
G; E
K
) zu b erechnen:
Prop osition 3.12.
Sei
K
reel lquadratischer Zahlk
orper mit Einheitengrup-
pe
E
K
,
G
= Gal (
K =
Q
)
seine Galoisgruppe und
"
seine Fundamentaleinheit.
Dann ist
H
1
(
G; E
K
)
'
(
Z
=
2
Z
fal ls
N "
=
1
;
Z
=
2
Z
Z
=
2
Z
fal ls
N "
= +1
:
Tats
achlich h
atten wir das viel billiger hab en k
onnen: da
G
zyklisch ist,
gilt H
1
(
G; E
K
) =
N
E
K
=E
1
K
, und wir erhalten dasselb e Ergebnis ohne groe
Rechnung. Wir b emerken eb enfalls, da wir das Ergebnis unserer Rechnung in
der Form
#H
1
(
G; E
K
) = 2(
E
Q
:
N E
K
) (3.5)
zusammenfassen k
onnen.
Ubrigens ist die Grupp e
E
Q
=N E
K
=
E
G
Q
=N E
K
'
b
H
0
(
G; E
K
) die nullte Kohomologiegrupp e im Tateschen Sinne (sh. unten). Als
Ubungsaufgab e zeige man H
1
(
G; E
K
)
'
Z
=
2
Z
, falls
K
ein imagin
arquadrati-
scher Zahlk
orp er ist. Dessen Einheiten b estehen aus den in
K
liegenden Ein-
heitswurzeln
W
K
, und es ist #
W
K
= 4
;
6 o der 2, je nachdem disc
K
=
4,
3
o der
<
4 ist.
Das Berechnen der ersten Kohomologie der Einheitengrupp e galoisscher (ja
sogar nur zyklischer) Erweiterungen von Zahlk
orp ern ist ein
zentrales Problem
der algebraischen Zahlentheorie, genauer der Klassenk
orp ertheorie. Die Kraft
solcher Resultate wird in folgendem Beispiel
ub erhaupt nicht deutlich: sei
K
wie ob en; dann erhalten wir aus
1
!
E
K
!
K
!
H
K
!
1
mit Hilb ert 90 die Kohomologiesequenz
Q
!
H
G
K
!
H
1
(
G; E
K
)
!
1
;
4.8.1999
44 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
also den Isomorphismus
H
G
K
=H
Q
'
H
1
(
G; E
K
). Mit anderen Worten: H
1
(
G; E
K
)
mit die Abweichung der
G
-invarianten Hauptideale in
K
von denjenigen, wel-
che von rationalen Zahlen erzeugt werden. Im Falle
K
=
Q
(
p
3 ) hatten wir
b ereits gesehen, da (
p
3 ) und (1 +
p
3 ) Ideale sind, deren Klassen in
H
G
K
=H
Q
nichttrivial sind; das obige Ergebnis b esagt, da alle solchen Ideale Pro dukte
von Potenzen dieser b eiden Ideale sind.
Kummertheorie
Ein wichtiges (und gleichzeitig das
alteste) Ergebnis der Galoiskohomologie ist
Hilb erts Satz 90: dieses taucht f
ur Erweiterungen
Q
(
p
)
=
Q
b ereits als Hilfssatz
b ei Kummer auf; Hilb ert hat es dann in seinem Zahlb ericht in den Rang eines
Satzes erhob en (den 90. seines Berichts). Die folgende Formulierung wird in
s
amtlichen Quellen Emmy No ether zugeschrieb en; Falko Lorenz hat sich k
urz-
lich die entsprechende Arb eit einmal angesehen und festgestellt (siehe [2]), da
No ether dab ei auf eine Arb eit von Andreas Sp eiser verweist, in der die entspre-
chenden Resultate
ub er verschr
ankte Pro dukte (sogar in etwas allgemeinerer
Form als b ei No ether) enthalten sind.
Prop osition 3.13.
Hilberts Satz 90: Sei
L=K
eine normale K
orpererweite-
rung mit
G
= Gal (
L=K
)
. Dann ist
H
1
(
G; L
) = 1
.
Beweis.
Sei zuerst
L=K
endlich. Da
L
eine multiplikative Grupp e ist, ge-
hen wir f
ur den
G
-Mo dul
L
zu einer multiplikativen Schreibweise
ub er. Sei
x
2
C
1
(
G; L
), und b etrachte
b
=
P
2
G
x
(
)
(
c
) f
ur
c
2
L
. Da die Autmor-
phismen von
L=K
unabh
angig sind, existiert ein
c
2
L
, f
ur welches
b
6
= 0 ist.
Damit ist dann (b eachte, da wegen der multiplikativen Schreibweise von
L
nun
x
(
) =
x
(
)
x
(
) gilt)
b
=
X
2
G
x
(
)
(
c
) =
X
2
G
x
(
)
x
(
)
1
(
c
) =
x
(
)
1
b;
also
x
(
) =
b
1
und damit
x
2
B
1
(
G; L
).
Die Mo dikation f
ur unendliche Erweiterungen sollte klar sein: da
L
ein
diskreter
G
-Mo dul ist, gibt es zu
x
2
C
1
(
G; L
) einen oenen Normalteiler
N
,
so da
x
auf den Neb enklassen von
G=N
konstant ist. Statt
ub er alle
2
G
bildet man das Pro dukt
ub er alle
2
G=N
.
Hilb erts urspr
ungliche (auf Kummer zur
uckgehende) Version lautet
Korollar 3.14.
Sei
L=K
eine end liche zyklische Erweiterung, und
eine Er-
zeugende von
G
= Gal (
L=K
)
. Dann ist genau dann
N
L=K
= 1
, wenn es ein
2
L
mit
=
b
1
gibt.
Beweis.
Da
G
endlich und zyklisch ist, gilt 1 = H
1
(
G; L
)
'
H
1
(
G; L
)
'
N
L
=
(
L
)
1
nach Prop osition 3.10; daraus folgt die Behauptung sofort.
4.8.1999
3.3 Die erste Kohomologiegrupp e 45
Kummertheorie f
ur end liche Erweiterungen
Wir wollen zum Vergleich einmal die Kummertheorie einmal f
ur endliche Er-
weiterungen, dann mit Hilfe pro-endlicher Grupp en herleiten.
Eine K
orp ererweiterung
L=K
heit kummersch, wenn
L=K
ab elsch mit einer
Galoisgrupp e
G
vom Exp onenten
n
ist, und wenn
K
die Grupp e
n
der
n
-ten
Einheitswurzeln enth
alt. Damit ist gemeint, da die Grupp e
n
aller
n
-ten
Einheitswurzeln Ordnung
n
hat; insb esondere folgt, da die Charakteristik von
K
entweder 0 o der kein Teiler von
n
ist: ist n
amlich
p
eine
p
-te Einheitswurzel
in einem K
orp er der Charakteristik
p
, so folgt aus (
x
p
)
p
=
x
p
1 = (
x
1)
p
,
da
p
= 1 ist! Insb esondere op eriert
G
trivial auf
n
, folglich ist
X
(
G
) =
Hom(
G;
n
) = H
1
(
G;
n
). Erheb en von
2
L
in die
n
te
Potenz liefert eine
exakte Sequenz
1
!
n
!
L
n
!
(
L
)
n
!
1
;
welche die folgende Kohomologiesequenz induziert:
K
n
!
L
n
\
K
!
H
1
(
G;
n
)
!
H
1
(
G; L
)
:
Aufbrechen der Sequenz liefert wegen H
1
(
G; L
) = 1
1
!
K
n
!
L
n
\
K
!
H
1
(
G;
n
)
!
1
;
also den Isomorphismus (
L
n
\
K
)
=K
n
'
H
1
(
G;
n
) =
X
(
G
). Dab ei rech-
net man ohne weiteres nach, da die Neb enklasse
aK
n
2
(
L
n
\
K
)
=K
n
auf den Charakter
a
(
) = (
)
1
abgebildet wird, wob ei
a
=
n
ist und die
Wahl der
n
-ten Wurzel b eliebig ist, da
G
trivial auf den
n
-ten Einheitswurzeln
op eriert. In der Tat, hab en wir ein solches Element in (
L
n
\
K
)
=K
n
gege-
b en, so m
ussen wir dessen Bild unter dem Verbindungshomomorphismus
des
Schlangenlemmas nden; das dazugeh
orige Diagramm ist
1
!
n
!
K
!
L
n
\
K
?
?
y
?
?
y
?
?
y
1
!
n
!
L
!
L
n
!
1
?
?
y
0
?
?
y
?
?
y
1
!
Hom(
G;
n
)
!
C
1
(
G; L
)
!
C
1
(
G; L
n
)
[Man
ub erzeuge sich davon, da die Abbildung
n
!
C
1
(
G;
n
) = Hom(
G;
n
)
wirklich die Nullabbildung ist!] Wir starten mit
a
2
L
n
\
K
und schreib en
a
=
n
mit
2
L
(jetzt sind wir in der mittleren Reihe in
L
n
). Zur
uck-
gehen auf
L
b edeutet,
2
L
herzunehmen, und dieses
wird jetzt nach
Hom(
G; L
) abgebildet, indem man ihm den Homomorphismus
:
7!
4.8.1999
46 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
1
zuordnet. Dies ist in der Tat ein Homomorphismus wegen
(
)
(
) =
(
)
(
)
=
1
=
(
)
:
Insb esondere ist
(
)
n
=
(
n
) = 1,
folglich sogar
(
)
2
n
und damit
2
Hom(
G;
n
) wie erwartet.
Der Rest der Kummertheorie wird wie
ublich abgewickelt.
Prop osition 3.15.
Ist
L=K
eine Kummererweiterung mit
G
= Gal (
L=K
)
,
so ist
X
(
G
)
'
(
L
n
\
K
)
=K
n
. Teilerweiterungen von
L=K
entsprechen dabei
Untergruppen von
(
L
n
\
K
)
=K
n
.
Kummertheorie f
ur beliebige Kummererweiterungen
Hier sei
K
irgendein
K
orp er, welcher eine primitive
n
-te Einheitswurzel
n
enth
alt. Sei weiter
K
der separable Abschlu von
K
und
G
= Gal (
K =K
). Die
zugrundegelegte exakte Sequenz ist hier
1
!
n
!
K
n
!
K
!
1
:
Hier hab en wir b enutzt, da Potenzieren mit
n
auf
K
ein Epimorphismus mit
Kern
n
ist! Die exakte Kohomologiesequenz plus Hilb erts Satz 90 liefert
K
n
!
K
!
H
1
(
G;
n
)
!
1
;
also den Isomorphismus Hom
c
(
G;
n
)
'
K
=K
n
.
Ein anderer Zugang ist folgender: wir starten mit einem stetigen Charakter
von
G
= Gal (
L=K
) mit Werten in
K
, also einem Homomorphismus
:
G
!
K
. Da
G
trivial auf
K
op eriert, ist
(
) =
(
)
(
) =
(
)
(
)
ein verschr
ankter Homomorphismus in
C
1
(
G; L
). Da die erste Kohomologie
von
L
trivial ist, mu
2
B
1
(
G; L
) sein, d.h. es gibt ein
2
L
mit
(
) =
1
. Wegen 1 =
(
)
n
= (
n
)
1
mu
n
2
K
sein.
Mit
A
=
f
2
L
:
n
2
K
g
hat also jeder stetige Charakter
2
X
(
G
)
die Form
=
f
ur ein geeignetes
2
A
. Umgekehrt ist
f
ur jedes
2
A
ein stetiger Charakter: die Homomorphieeigenschaft hab en wir b ereits einmal
vorgerechnet, und die Stetigkeit ist klar, weil
auf Gal (
L=K
(
)) trivial ist.
Setzt man (
a;
) :=
1
, so deniert dieses Symb ol eine Paarung
A
G
!
n
, die b ekannte Kummer-Paarung.
3.4 Die Tateschen Grupp en
b
H
0
und
b
H
1
Ist
G
eine endliche Grupp e und
A
ein
G
-Mo dul, und b ezeichnet
N
=
P
2
G
die Norm (bzw. die Spur, falls
A
additiv geschrieb en wird). Mit
N
A
b ezeichnen
wir den Untermo dul von
A
, der von
N
annulliert wird. Ist
1
!
A
!
B
!
C
!
1
(3.6)
4.8.1999
3.5 Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orp er 47
eine exakte Sequenz von
G
-Mo duln und setzt man H
0
(
G; A
) :=
A=I
G
A
, so
rechnet man nach, da auch die Sequenz
H
0
(
G; A
)
!
H
0
(
G; B
)
!
H
0
(
G; C
)
!
1
exakt ist. Damit k
onnen wir das Schlangenlemma auf das Diagramm
H
0
(
G; A
)
!
H
0
(
G; B
)
!
H
0
(
G; C
)
!
1
?
?
y
N
?
?
y
N
?
?
y
N
1
!
A
G
!
B
G
!
C
G
!
im
anwenden und erhalten so die exakte Sequenz
N
A=I
G
A
!
N
B =I
G
B
!
N
C =I
G
C
!
A
G
=N A
!
B
G
=N B
!
C
G
=N C
!
im
!
1
:
Setzen wir also
b
H
1
(
G; A
) =
N
A=I
G
A
und
b
H
0
(
G; A
) =
A
G
=N A
, und verkleb en
wir die eb en erhaltene Sequenz mit
1
!
im
!
H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G; B
)
!
: : : ;
so hab en wir gezeigt:
Prop osition 3.16.
Ist
G
eine end liche Gruppe, so existiert zu jeder exakten
Sequenz (3.6) von
G
-Moduln eine lange exakte Sequenz
b
H
1
(
G; A
)
!
b
H
1
(
G; B
)
!
b
H
1
(
G; C
)
!
b
H
0
(
G; A
)
!
b
H
0
(
G; B
)
!
b
H
0
(
G; C
)
!
H
1
(
G; A
)
!
H
1
(
G; B
)
!
H
1
(
G; C
)
:
Selbstverst
andlich lassen sich die Aussagen von Prop. 3.7 und 3.8 problemlos
auf die b eiden Tateschen Kohomologiegrupp en der Dimensionen 0 und
1
ausdehnen. Da wir uns damit sp
ater ganz allgemein b efassen werden, sei dies
dem Leser hier als
Ubungsaufgab e
ub erlassen. Im n
achsten Abschnitt zeigen
wir die kleinen Kohomologiegrupp en in Aktion.
3.5 Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orp er
Bevor wir loslegen, stellen wir zwei kleine Ergebnisse b ereit:
Prop osition 3.17.
Ist
L=K
eine end liche normale Erweiterung von Zahlk
or-
pern mit
G
= Gal (
L=K
)
, so ist
b
H
1
(
G; I
L
) = 1
.
4.8.1999
48 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
Beweis.
b
H
1
(
G; I
L
) ist die Faktorgrupp e der Grupp e der Ideale mit Relativ-
norm (1) mo dulo der Grupp e von Idealen der Form
a
=
b
1
1
1
b
1
t
t
. Wir
schreib en
a
2
N
I
L
als Quotienten
a
=
b
=
c
ganzer Ideale
b
;
c
; ist
P
ein Primide-
al, welches
b
teilt, so mu ein zu
P
konjugiertes Primideal
c
teilen, d.h. es gibt
ein
2
G
mit
P
j
c
. Also ist
b
=
Pb
0
,
c
=
P
c
0
, und
a
=
P
1
b
0
=
c
0
. Indem
wir so fortfahren, nden wir schlielich, da
a
die gew
unschte Form b esitzt:
das Verfahren mu n
amlich abbrechen, weil ein ganzes Ideal nur endlich viele
Primideale als Teiler b esitzt.
Ist
L=K
eine normale Erweiterung mit
G
= Gal (
L=K
), so ist der Fixmo dul
von
L
,
L
o der
E
L
nat
urlich
K
,
K
, bzw.
E
K
. Dagegen gilt f
ur Ideale
Prop osition 3.18.
Sei
L=K
eine normale Erweiterung mit
G
= Gal (
L=K
)
;
dann ist
I
G
L
=I
K
'
L
Z
=e
p
Z
, wo
e
p
den Verzweigungsindex eines Primideal
p
in
L=K
bezeichnet.
Beweis.
Sei
A
2
I
G
L
; ist
P
ein Primideal, welches
A
teilt, dann mu
A
durch alle
Konjugierten von
P
teilbar sein. Ist
p
O
L
= (
P
1
P
g
)
e
p
die Primidealzerle-
gung von
p
in
O
L
, so mu also
A
= (
P
1
P
g
)
B
f
ur ein ganzes Ideal
B
2
I
G
L
gelten. Induktion zeigt dann, da wir
A
als Pro dukt
A
=
Q
p
(
P
1
P
g
)
a
p
schreib en k
onnen, und jetzt b ehaupten wir, da cl :
A
I
K
7!
(
::: ;a
p
+
e
p
Z
;:::
) ein wohldenierter Homomorphismus cl :
I
G
L
=I
K
!
L
Z
=e
p
Z
ist.
In der Tat, ist
p
2
I
K
, so wird
p
O
L
= (
P
1
P
g
)
e
p
auf 0 abgebildet.
Schlielich b esteht ker cl aus all denen Idealen
A
, f
ur die
a
p
=
e
p
f
ur alle
Primideale
p
2
I
K
gilt. Dies sind ab er genau die Ideale aus
I
K
, d.h. cl ist
injektiv. Da cl oensichtlich surjektiv ist, folgt die Behauptung.
Nun zum eigentlichen Thema: sei
K
ein quadratischer Zahlk
orp er und
G
=
Gal (
K =
Q
) seine Galoisgrupp e, weiter
I
K
die Grupp e der Ideale (also die
Halbgrupp e der Ideale in
O
K
, die z.B. durch Einf
uhrung k
unstlicher Inver-
sen zur Grupp e gemacht wird),
H
K
die Untergrupp e der Hauptideale, und
Cl(
K
) =
I
K
=H
K
die Idealklassengrupp e. Per denitionem ist die Sequenz
1
!
H
K
!
I
K
!
Cl(
K
)
!
1
exakt, und bilden der Kohomologie liefert
I
G
K
!
Cl(
K
)
G
!
H
1
(
G; H
K
)
!
H
1
(
G; I
K
)
Da
G
=
h
i
zyklisch ist, gilt H
1
(
G; I
K
) =
N
I
K
=I
1
K
, wo
N
= 1 +
die Norm
b edeutet. Jetzt gilt Hilb erts Satz 90 f
ur Ideale, und es folgt dann
1
!
I
G
K
=H
G
K
!
Cl
G
K
!
H
1
(
G; H
K
)
!
1
;
und damit also
#Cl
G
K
= (
I
G
K
:
H
G
K
)#H
1
(
G; H
K
)
:
(3.7)
4.8.1999
3.5 Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orp er 49
Den ersten Index formen wir um:
(
I
G
K
:
H
G
K
) =
(
I
G
K
:
H
Q
)
(
H
G
K
:
H
Q
)
=
(
I
G
K
:
I
Q
)(
I
Q
:
H
Q
)
(
H
G
K
:
H
Q
)
=
2
t
(
H
G
K
:
H
Q
)
;
(3.8)
wob ei wir (
I
G
K
:
I
Q
) aus Prop osition 3.18 b ekommen und (
I
Q
:
H
Q
) = 1 aus der
Tatsache, da
Q
Klassenzahl 1 hat. Weiter lesen wir aus der exakten Sequenz
1
!
E
Q
!
Q
!
H
G
K
!
H
1
(
G; E
K
)
!
1
ab, da (
H
G
K
:
H
Q
) = #H
1
(
G; E
K
) = #
b
H
1
(
G; E
K
) ist, und diese Ordnung
hab en wir zu #
b
H
1
(
G; E
K
) = 2(
E
Q
:
N E
K
) b erechnet. Also ist
(
H
G
K
:
H
Q
) = 2(
E
Q
:
N E
K
)
:
(3.9)
Zusammenfassend hab en wir damit
#Cl
G
K
=
2
t
1
(
E
Q
:
N E
K
)
#H
1
(
G; H
K
)
:
Um den letzten Faktor zu verarzten, b enutzen wir ersten die Tatsache, da
H
1
(
G; H
K
)
'
b
H
1
(
G; H
K
) ist, weil
G
zyklisch ist, und zur Berechnung von
#
b
H
1
(
G; H
K
) b euten wir die Sequenz
b
H
1
(
G; K
)
!
b
H
1
(
G; H
K
)
!
b
H
0
(
G; E
K
)
!
b
H
0
(
G; K
)
aus (wo die herkommt, ist nicht schwer zu sehen). Da
G
zyklisch ist, gilt
b
H
1
(
G; K
)
'
H
1
(
G; K
) = 1 mit Hilb ert 90, folglich #
b
H
1
(
G; H
K
) gleich
dem Quotienten von #
b
H
0
(
G; E
K
) mo dulo der Ordnung des Bilds der Abbil-
dung [
b
H
0
(
G; E
K
)
!
b
H
0
(
G; K
)]. Wie sieht dieses aus?
Betrachten wir ganz allgemein Untergrupp en
A
und
D
einer ab elschen Grup-
p e
B
und fragen, wie das Bild von
A
unter der Pro jektion
B
!
B =D
aus-
sieht. Bekanntlich hab en die Untergrupp en von
B =D
die Form
U D =D
, wo
U
die Untergrupp en von
B
durchl
auft; insb esondere ist das Bild von
A
damit
gleich
AD =D
.
Im Falle
b
H
0
(
G; E
K
) =
E
G
K
=N E
K
=
E
Q
=N E
K
und
b
H
0
(
G; K
) =
Q
=N K
ist dann
im [
b
H
0
(
G; E
K
)
!
b
H
0
(
G; K
)] =
E
Q
N K
=N K
'
E
Q
=E
Q
\
N K
;
folglich #
b
H
1
(
G; H
K
) = (
E
Q
:
N E
K
)
=
(
E
Q
:
E
Q
\
N K
) und damit endlich
#Cl
G
K
=
2
t
1
(
E
Q
:
N E
K
)
#H
1
(
G; H
K
) =
2
t
1
(
E
Q
:
E
Q
\
N K
)
:
Wir hab en b ewiesen (der imagin
arquadratische Fall ist wieder eine einfache
Ubungsaufgab e):
4.8.1999
50 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
Satz 3.19.
Sei
K =
Q
eine quadratische Erweiterung, und sei
t
die Anzahl der
verzweigten Ideale, also der Primteiler der Diskriminante
disc
K
. Dann gilt
#Cl
G
K
=
(
2
t
1
;
fal ls
K
imagin
ar
;
2
t
1
(
E
Q
:
E
Q
\
N K
)
;
fal ls
K
reel l
also
#Cl
G
K
= 2
t
1
fal ls
disc
K
negativ oder Summe zweier Quadrate ist, und
#Cl
G
K
= 2
t
2
sonst.
In der Tat: ist
1 Norm einer Zahl aus
K
, also
1 =
x
2
dy
2
, so ist
(
1
=p
) = +1 f
ur jeden ungeraden Primteiler
p
von
d
, also
d
Summe zweier
Quadrate; ist umgekehrt
d
=
a
2
+
b
2
, so ist
1 die Norm von (
a
+
p
d
)
=b
.
Wir b emerken auerdem, da der ganze Beweis auch f
ur zyklische Erweite-
rungen von Primzahlgrad
p
durchgeht: das einzige Problem ist die Bestimmung
von #H
1
(
G; E
K
).
No ch eine kleine Beobachtung:
Lemma 3.20.
Sei
G
=
h
i
eine Gruppe der Ordnung
2
und
A
ein end licher
G
-Modul, welcher von
1 +
annul liert wird. Dann ist
#
A
G
= (
A
:
A
2
)
.
Beweis.
Wir b etrachten die exakte Sequenz
1
!
A
G
!
A
!
A
1
!
1
:
Da 1 +
angewandt auf
A
alles annulliert, op eriert
wie
1, folglich ist
A
1
=
A
2
. Jetzt folgt die Behauptung.
Sei nun
p
1 mo d 4 prim. Dann gibt es genau ein verzweigtes Primideal in
K
=
Q
(
p
p
), folglich ist Cl
G
K
= 1. Da die Norm 1+
jedes Ideal zum Hauptideal
macht, mu nach dem Lemma (Cl
K
: Cl
2
K
) = 1 sein, d.h. Quadrieren ist ein
Automorphismus von Cl
K
. Also hat Cl
K
ungerade Ordnung
h
.
Ist jetzt
q
eine ungerade Primzahl mit (
p=q
) = +1, so ist
q
in
K
zerlegt:
q
O
K
=
qq
0
(in der Tat: sei
p
x
2
mo d
q
; dann ist
q
= (
q ; x
+
p
p
) ein Primide-
al, welches
q
teilt). Damit ist
q
h
=
1
2
(
r
+
s
p
p
) Hauptideal, und Normenbildung
liefert
q
h
=
(
r
2
ps
2
)
=
4. Reduziert man diese Gleichung mo dulo
p
, so folgt
q
h
r
2
mo d
p
. Wegen (
1
=p
) = +1 und weil
h
ungerade ist, folgt daraus
ab er (
q =p
) = +1. Mit anderen Worten: ist
p
1 mo d 4 und (
p=q
) = +1, so
folgt (
q =p
) = +1. Das ist ein Sp ezialfall des quadratischen Reziprozit
atsge-
setzes; die anderen F
alle k
onnen analog b ewiesen werden (ein vollst
andiger
Beweis, allerdings in der Sprache der Idealklassengrupp e im engeren Sinne
geschrieb en, steht in meinem Skript
ub er quadratische Zahlk
orp er). F
ur Prim-
zahlen
p
3 mo d 4 b enutzt man, da
Q
(
p
p
) ungerade Klassenzahl hat.
Eine andere M
oglichkeit ist diese: seien
p
q
3 mo d 4 prim. Dann ist
1
keine Norm aus
K
=
Q
(
p
pq
), weil
x
2
pq y
2
=
z
2
mit (
x; y ; z
) = 1 sofort
(
x=z
)
2
1 mo d
p
impliziert, was wegen
p
3 mo d 4 nicht sein kann. Also
ist (
E
Q
:
E
Q
\
N E
K
) = 2, somit die Klassenzahl
h
von
K
ungerade. Nun ist
4.8.1999
3.5 Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orp er 51
ab er mit
p
= (
p;
p
pq
) verzweigt:
p
2
= (
p
2
; p
p
pq ; pq
) =
p
(
p;
p
pq ; q
) = (
p
). Da
p
2
ein Hauptideal und die Klassenzahl ungerade ist, mu schon
p
Hauptideal
sein. Also gibt es
X ; y
2
Z
mit
4
p
=
X
2
pq y
2
. Mit
X
=
px
gibt das
4 =
px
2
q y
2
. Das Vorzeichen ist b estimmt durch
1 = (
p=q
), wie man
durch Reduktion mo dulo
q
sofort feststellt. Reduktion mo dulo
p
liefert dagegen
(
q =p
) =
1, und es folgt (
p=q
) =
(
q =p
).
Dieser Beweis geht auf den zweiten Gauschen Beweis zur
uck, der in der
Sprache der bin
aren quadratischen Formen geschrieb en ist; die Formel f
ur Cl
G
K
entspricht dort die Formel f
ur die Anzahl der Geschlechter quadratischer For-
men.
Literatur
Als erste Einf
uhrung in die Kohomologie von Grupp en ist Weiss [4] zu empfeh-
len; deutlich sparsamer in Details sind dagegen die B
ucher von Lang [1] und
Serre [3].
Einen analytischen Zugang zur Geschlechtertheorie quadratischer Zahlk
orp er
bietet Zagier [5]. Die vorhandenen B
ucher
ub er die klassische Theorie bin
arer
quadratischer Formen sind durch die Bank schlecht.
1. S. Lang,
Topics in cohomology of groups
, Springer-Verlag, Berlin, 1996;
frz. Original
Rapport sur la cohomologie des groupes
, Benjamin, Inc. 1967
2. F. Lorenz,
Ein Scholion zum Satz 90 von Hilbert
, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg
68
(1998), 347{362
3. Jean-Pierre Serre,
Galois cohomology
, Springer 1997;
Cohomologie Ga-
loisienne
, Lecture Notes Math. 5, 1973
4. E. Weiss,
Cohomology of groups
, Academic Press, New York-London 1969
5. D. Zagier,
Zetafunktionen und quadratische K
orper. Eine Einf
uhrung in
die h
ohere Zahlentheorie
, Springer-Verlag 1981
4.8.1999
52 3. Kohomologiegrupp en niedriger Dimension
4.8.1999
Kapitel 4
Die lange Kohomologiesequenz
In diesem Kapitel geht es darum, etwas mehr kohomologische Maschinerie
b ereitzustellen.
4.1 Die lange exakte Kohomologiesequenz
Die Entwicklungen in diesem Abschnitt sind rein formal; alle Aussagen gel-
ten sowohl f
ur b eliebige
G
-Mo duln, Abbildungen, Kozykeln etc. wie auch f
ur
diskrete
G
-Mo duln und stetige Abbildungen, Kozykeln etc.
Eine Sequenz von
G
-Mo duln
:::
!
V
n
1
!
d
n
V
n
!
d
n
+1
V
n
+1
!
:::
heit ein Kokettenkomplex
V
, wenn
d
n
+1
d
n
= 0 f
ur alle
n
2
Z
gilt; man
schreibt hierf
ur auch kurz
dd
= 0. Wegen im
d
n
ker
d
n
+1
k
onnen wir die
Faktormo duln H
n
(
V
) = ker
d
n
+1
=
im
d
n
denieren; diese werden die Koho-
mologiemo duln von
V
genannt. Die Menge
f
d
n
g
der Mo dulhomomorphismen
heit das Dierential des Komplexes
V
.
Komplexe sind uns b ereits wohlb ekannt: jede exakte Sequenz
0
!
A
!
B
!
C
!
0
(4.1)
k
onnen wir n
amlich via
:::
!
0
!
A
!
B
!
C
!
0
!
:::
als Komplex auassen (indem wir z.B.
V
0
=
A
setzen), der eb en nur an drei
Stellen nichttrivial ist. Bildet man die zu (4.1) geh
orige Sequenz der Fixmo duln
:::
!
0
!
A
G
{
!
B
G
!
C
G
!
0
!
;:::
54 4. Die lange Kohomologiesequenz
so ist auch dies ein Komplex, wenn auch vielleicht kein exakter. Tats
achlich
messen die dazugeh
origen Kohomologiegrupp en die Abweichung des Komple-
xes von der Exaktheit: mit
V
0
=
A
G
wird n
amlich H
0
(
V
) = ker
{=
0 = 0,
H
1
(
V
) = ker
=
im
{
= 0, sowie H
2
(
V
) =
C
G
=
im
= coker
. Die Kohomo-
logiegrupp en dieses Komplexes sind also h
ochstens an der Stelle
C
G
nichttri-
vial; und zwar ist H
2
(
V
) = 0 genau dann, wenn der Komplex exakt ist.
Jetzt wollen wir darangehen, die Kohomologiegrupp en H
n
(
G; A
) f
ur alle
n
2
N
zu konstruieren. Dazu setzen wir K
n
(
G; A
) = Abb
c
(
G
n
; A
) f
ur
n
1, wo
Abb
c
(
G
n
; A
) die additive Grupp e der stetigen Abbildungen
G
n
!
A
ist,
und K
0
(
G; A
) =
A
(d.h. ein
x
2
Abb
c
(
G
0
; A
) wird mit dem Bild
x
(
) =
a
identiziert). F
ur alle
n
0 konstruieren wir jetzt Homomorphismen
d
n
+1
:
K
n
(
G; A
)
!
K
n
+1
(
G; A
) via
(
d
n
+1
x
)(
1
;::: ;
n
+1
) =
1
x
(
2
;::: ;
n
+1
)
+
n
X
i
=1
(
1)
i
x
(
1
;::: ;
i
i
+1
;
i
+2
;::: ;
n
+1
)
+ (
1)
n
+1
x
(
1
;::: ;
n
)
:
Insb esondere ist
d
1
x
(
) =
x
(
)
x
(
) =
(
a
)
a
: dies sind gerade zerfallende
1-Kozyklen (abgesehen von einem Vorzeichen, das nat
urlich keine Rolle spielt),
deren Kern der Fixmo dul
A
G
ist. Weiter ist (
d
2
x
)(
;
) =
x
(
)
x
(
) +
x
(
),
d.h. ker
d
2
sind gerade die verschr
ankten Homomorphismen.
Alles h
angt jetzt davon ab nachzuweisen, da
0
d
0
!
K
0
(
G; A
)
d
1
!
K
1
(
G; A
)
d
2
!
K
2
(
G; A
)
d
3
!
:::
ein Komplex ist, d.h. da
d
n
+1
d
n
= 0 ist. Hab en wir das getan, so k
onnen
wir die Kohomologiegrupp en dieses Komplexes einfach durch H
n
(
G; A
) :=
ker
d
n
+1
=
im
d
n
denieren. Damit ist dann
H
0
(
G; A
) = ker
d
1
=
im
d
0
=
A
G
, da im
d
0
= 0 ist;
H
1
(
G; A
) = ker
d
2
=
im
d
1
=
f
verschr
ankte Homomorphismen
g
f
zerfallende verschr. Homomorphismen
g
in
Ub ereinstimmung mit unseren fr
uheren Denitionen. Der Interpretation von
H
2
(
G; A
) werden wir den n
achsten Abschnitt widmen, so da wir uns jetzt um
den Nachweis von
dd
= 0 k
ummern k
onnen.
Es ist nat
urlich m
oglich, dies mit roher Gewalt direkt nachzurechnen; ein
klein wenig M
uhe kann man sich jedo ch sparen, wenn man die Kohomologie-
grupp en durch homogene Koketten b eschreibt. Wir setzen dazu
K
n
h
(
G; A
) =
f
x
:
G
n
+1
!
A
j
x
(
0
;::: ;
n
) =
x
(
0
;::: ;
n
)
g
:
4.8.1999
4.1 Die lange exakte Kohomologiesequenz 55
Oenbar ist K
n
h
(
G; A
) eine Untergrupp e von K
n
+1
(
G; A
), die wir die Grupp e
der
homogenen Koketten
nennen werden. F
ur diese denieren wir Korand-
Op eratoren
@
n
+1
: K
n
h
(
G; A
)
!
K
n
+1
h
(
G; A
) durch
(
@
n
+1
x
)(
0
;::: ;
n
+1
) =
n
+1
X
i
=0
(
1)
i
x
(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
n
+1
)
;
wob ei die Tarnkapp e
ub er
b
i
b edeuten soll, da diese (
i
te
) Ko ordinate ausge-
lassen wird. Damit ist z.B.
(
@
1
x
)(
0
;
1
) =
x
(
1
)
x
(
0
),
(
@
2
x
)(
0
;
1
;
2
) =
x
(
1
;
2
)
x
(
0
;
2
) +
x
(
0
;
1
).
Der Nachweis von
@ @
= 0 ist hier nicht so schwer:
(
@
n
+1
@
n
x
)(
0
;::: ;
n
+1
) =
n
+1
X
i
=0
(
1)
i
@
n
x
(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
n
+1
)
:
Nun ist ab er
@
n
x
(
0
;::: ;
b
i
; : : : ;
n
+1
) =
X
j <i
(
1)
j
x
(
0
;::: ;
b
j
;::: ;
b
i
;::: ;
n
+1
)
+
X
j >i
(
1)
j
1
x
(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
b
j
;::: ;
n
+1
)
;
also (
@
n
+1
@
n
x
)(
0
;::: ;
n
+1
) =
n
+1
X
i
=0
(
1)
i
X
j <i
(
1)
j
x
(
0
;::: ;
b
j
;::: ;
b
i
;::: ;
n
+1
)
+
n
+1
X
i
=0
(
1)
i
X
j >i
(
1)
j
1
x
(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
b
j
;::: ;
n
+1
)
:
In dieser Summe kommt jedes
x
(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
b
j
;::: ;
n
+1
) genau zweimal
vor, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Also ist wie b ehauptet
@ @
= 0
und
K
h
ein Komplex.
F
ur den Nachweis, da auch
dd
= 0 ist, gen
ugt es, Isomorphismen
n
:
K
n
(
G; A
)
!
K
n
h
(
G; A
) bzw.
n
: K
n
h
(
G; A
)
!
K
n
(
G; A
) anzugeb en, so da
das folgende Diagramm kommutativ ist:
K
n
(
G; A
)
d
n
+1
-
K
n
+1
(
G; A
)
K
n
h
(
G; A
)
n
?
n
6
@
n
+1
-
K
n
+1
h
(
G; A
)
n
+1
?
n
+1
6
4.8.1999
56 4. Die lange Kohomologiesequenz
In der Tat wird dann wegen
d
n
=
n
@
n
n
1
n
amlich
d
n
+1
d
n
=
n
+1
@
n
+1
n
n
@
n
n
1
=
n
+1
@
n
+1
@
n
n
1
= 0
:
Zur Konstruktion der Isomorphismen setzen wir
(
n
x
)(
1
; : : : ;
n
) =
x
(1
;
1
;
1
2
;::: ;
1
n
) und
(
n
y
)(
0
; : : : ;
n
) =
0
y
(
1
0
1
;
1
1
2
;::: ;
1
n
1
n
)
f
ur
x
2
K
n
h
(
G; A
) und
y
2
K
n
(
G; A
). Zuerst rechnen wir nach, da
n
y
wirklich
homogen ist:
(
n
y
)(
0
;::: ;
n
) =
0
y
(
1
0
1
;::: ;
1
n
1
n
) =
(
n
y
)(
0
;::: ;
n
)
:
Zweitens b ehaupten wir, da
n
n
und
n
n
die identischen Abbildungen
sind. Mit
f
=
n
x
folgt ersteres aus
(
n
n
x
)(
0
;::: ;
n
) = (
n
f
)(
0
;::: ;
n
) =
0
f
(
1
0
1
;::: ;
1
n
1
n
)
=
0
x
(1
;
1
0
1
;::: ;
1
0
n
) =
x
(
0
;::: ;
n
)
;
wob ei wir verwendet hab en, da
x
homogen ist. Mit
g
=
n
y
folgt entsprechend
(
n
n
y
)(
1
;::: ;
n
) = (
n
g
)(
1
;::: ;
n
)
=
g
(1
;
1
;
1
2
;::: ;
1
n
)
= 1
y
(
1
;::: ;
n
)
:
Als n
achstes zeigen wir, da die
n
und
n
mit den Korandop eratoren ver-
tauschbar sind:
(
n
d
n
x
)(
0
;::: ;
n
) =
0
(
d
n
x
)(
1
0
1
;::: ;
1
0
n
)
=
1
x
(
1
1
2
;::: ;
1
n
1
n
)
+
n
1
X
i
=1
(
1)
i
0
x
(
1
0
1
;::: ;
1
i
1
i
+1
;::: ;
1
n
1
n
)
+(
1)
n
0
x
(
1
0
1
;::: ;
1
n
2
n
1
)
;
sowie
(
@
n
n
1
x
)(
0
;::: ;
n
) =
n
X
i
=0
(
1)
i
(
n
1
x
)(
0
;::: ;
b
i
;::: ;
n
)
=
1
x
(
1
1
2
;::: ;
1
n
1
n
)
+
n
1
X
i
=1
(
1)
i
0
x
(
1
0
1
;::: ;
1
i
1
i
+1
;::: ;
1
n
1
n
)
+(
1)
n
0
x
(
1
0
1
;::: ;
1
n
2
n
1
)
;
und da b eide Ausdr
ucke
ub ereinstimmen, folgt unsere Behauptung. Mit
n
d
n
=
@
n
n
1
ist nat
urlich erst recht
n
d
n
n
1
=
@
n
n
1
n
1
=
@
n
, folglich auch
4.8.1999
4.1 Die lange exakte Kohomologiesequenz 57
d
n
n
1
=
n
n
d
n
n
1
=
n
@
n
, d.h. die zweite Vertauschungsrelation ist eine
Folge aus der ersten.
Insb esondere ist damit
dd
= 0. Damit folgt nicht nur, da
K
ein Komplex
ist, sondern dar
ub erhinaus
C
n
(
G; A
) = ker
d
n
+1
'
ker
@
n
+1
=
C
n
h
(
G; A
), sowie
B
n
= im
d
n
'
im
@
n
=
B
n
h
(
G; A
): da b eide Komplexe dieselb en Kohomolo-
giegrupp en denieren, folgt
hieraus
ab er wohl no ch nicht.
Nachdem wir die Kohomologiegrupp en H
n
(
G; A
) f
ur alle
n
0 konstruiert
hab en, weisen wir die Exaktheit der langen Kohomologiesequenz nach. Dazu
gehen wir von einer exakten Sequenz (4.1) aus; damit ist auch
0
!
K
n
(
G; A
)
!
K
n
(
G; B
)
!
K
n
(
G; C
)
!
0 (4.2)
f
ur alle
n
0 exakt: bis auf die Rechtsexaktheit des Funktors K
n
(
G;
) ist
dab ei alles trivial. Sei also ein
h
2
K
n
(
G; C
) gegeb en. Wegen der Surjektivit
at
von
gibt es zu jedem
s
2
G
n
ein
b
2
B
mit
h
(
s
) =
(
b
). Damit k
onnen wir
durch
g
(
s
) =
b
eine Abbildung
g
:
G
n
!
B
denieren (die nat
urlich von der
Auswahl der
b
abh
angt). Zu zeigen ist wegen
g
=
h
nur, da
g
stetig ist.
Nun ist ab er
h
nach Voraussetzung stetig, w
ahrend
eine Abbildung zwischen
diskreten Grupp en ist; damit mu dann auch
g
stetig sein.
Jetzt wenden wir das Schlangenlemma auf das aus (4.2) entstehende exakte
kommutative Diagramm
0
!
K
n
(
A
)
!
K
n
(
B
)
!
K
n
(
C
)
!
0
d
n
+1
?
?
y
d
n
+1
?
?
y
d
n
+1
?
?
y
0
!
K
n
+1
(
A
)
!
K
n
+1
(
B
)
!
K
n
+1
(
C
)
!
0
an (den Bezug auf
G
lassen wir weg, solange die Grupp e fest ist) und nden
die exakte Sequenz
0
!
C
n
(
A
)
!
C
n
(
B
)
!
C
n
(
C
)
?
?
y
0
K
n
+1
(
C
)
im
d
n
+1
K
n
+1
(
B
)
im
d
n
+1
K
n
+1
(
A
)
im
d
n
+1
Ersetzen von
n
durch
n
+ 1 im ob eren und durch
n
1 im unteren Teil dieser
Sequenz gibt uns ein exaktes kommutatives Diagramm
K
n
(
A
)
im
d
n
!
K
n
(
B
)
im
d
n
!
K
n
(
C
)
im
d
n
!
0
d
n
+1
?
?
y
d
n
+1
?
?
y
d
n
+1
?
?
y
0
!
C
n
+1
(
A
)
!
C
n
+1
(
B
)
!
C
n
+1
(
C
)
und das Schlangenlemma liefert
H
n
(
G; A
)
n
!
H
n
(
G; B
)
n
!
H
n
(
G; C
)
?
?
y
n
H
n
+1
(
G; C
)
n
+1
H
n
+1
(
G; B
)
n
+1
H
n
+1
(
G; A
)
4.8.1999
58 4. Die lange Kohomologiesequenz
Setzen wir diese Sequenzen f
ur
n
= 0
;
1
;
2
;:::
zusammen, so nden wir
Satz 4.1.
Sei
G
eine pro-end liche Gruppe und (4.1) eine kurze exakte Sequenz
von diskreten
G
-Moduln. Dann existiert die lange exakte Kohomologiesequenz
0
!
H
0
(
G; A
)
!
H
0
(
G; B
)
!
H
0
(
G; C
)
?
?
y
H
1
(
G; C
)
H
1
(
G; B
)
H
1
(
G; A
)
?
?
y
H
2
(
G; A
)
!
H
2
(
G; B
)
!
H
2
(
G; C
)
!
:::
Faktorensysteme
Da 1-Kozykel, also verschr
ankte Homomorphismen, eine Rolle in der Kum-
mertheorie spielen, hab en wir b ereits gesehen. Die ersten Auftritte von 2-
Kozykeln, auch Faktorensysteme genannt, stammen eb enfalls aus pr
akohomo-
logischen Zeiten: einmal in der Theorie der Grupp enerweiterungen, zum andern
in der Verkleidung als verschr
ankte Pro dukte in der Theorie zentral-einfacher
Divisionsalgebren (Stichwort Brauergrupp en).
Wir wissen, da H
2
(
G; A
) =
C
2
(
G; A
)
=B
2
(
G; A
) ist; hierb ei b esteht
C
2
(
G; A
)
aus stetigen Abbildungen
f
:
G
G
!
A
mit
1
f
(
2
;
3
) +
f
(
1
;
2
3
) =
f
(
1
2
;
3
) +
f
(
1
;
2
)
:
Weiter sind die zerfallenden Faktorensysteme solche
f
:
G
G
!
A
, zu
welchen es ein stetiges
g
:
G
!
A
gibt mit
f
(
1
;
2
) =
1
g
(
2
)
g
(
1
2
) +
g
(
1
)
:
Am einfachsten lassen sich verschr
ankte Pro dukte erkl
aren: diese tauchen in
der Konstruktion gewisser
K
-Algebren
A
auf, also von
K
-Vektorr
aumen mit
Ringstruktur. Die Ausgangsdaten sind eine endliche (!) galoissche Erweiterung
L=K
mit Galoisgrupp e
G
= Gal (
L=K
), sowie ein 2-Kozykel
f
2
C
2
(
G; L
).
Zur Konstruktion der Algebra
A
= (
L=K ; G; f
) b eginnen wir mit einem
K
-
Vektorraum, und dieser ist b ereits deniert durch die Angab e der Basis. Wir
nehmen dazu f
ur jedes
2
G
ein Symb ol
x
und setzen
A
=
L
2
G
Lx
. Dies
ist in oenkundiger Weise ein
L
-Vektorraum; die Multiplikation von Vektoren
wird deniert durch
K
-lineare Fortsetzung der Regeln
x
x
=
f
(
;
)
x
;
x
=
x
f
ur
2
L:
4.8.1999
4.1 Die lange exakte Kohomologiesequenz 59
Da
G
auf
K
trivial op eriert, ist insb esondere
x
a
=
ax
. Die Multiplikation
zweier Elemente von
A
sieht damit so aus:
X
2
G
a
x
X
2
G
a
x
=
X
;
2
G
a
x
b
x
=
X
;
2
G
a
b
x
x
=
X
;
2
G
a
b
f
(
;
)
x
:
Nachzupr
ufen ist selbstverst
andlich, da diese Multiplikation assoziativ ist. In
allen Grupp enstrukturen, die man mit Hilfe von 2-Kozykeln konstruiert, folgt
die Assoziativit
at aus der Kozykelb edingung; insb esondere ist das hier so:
(
x
x
)
x
=
f
(
;
)
x
x
=
f
(
;
)
f
(
;
)
x
;
sowie
x
(
x
x
) =
x
f
(
;
)
x
=
f
(
;
)
x
x
=
f
(
;
)
f
(
;
)
x
:
Damit hab en wir aus
L=K
, der Galoisgrupp e
G
= Gal (
L=K
) und dem 2-
Kozykel
f
2
C
2
(
G; L
) eine
K
-Algebra
A
= (
L=K ; G; f
) konstruiert, die man
auch ein
verschr
anktes Produkt
nennt. Eine leichte
Ubung zeigt, da die Isomor-
phieklasse von
A
nur von der Klasse von
f
in H
2
(
G; L
) abh
angt! Insb esondere
hab en wir eine Abbildung aus der Grupp e H
2
(
G; L
) in Isomorphieklassen von
Algebren. Tats
achlich kann man auch letztere zu einer Grupp e machen (die
Komp osition wird durch das Tensorpro dukt induziert, allerdings mu man von
den Isomorphieklassen no ch zu gr
ob eren
Aquivalenzklassen
ub ergehen), und
dann wird aus dieser Abbildung ein injektiver Homomorphismus; das Bild von
H
2
(
G; L
) in dieser Grupp e nennt man die Brauergrupp e Br(
L=K
). L
at man
L
die endlichen normalen Erweiterungen durchlaufen, erh
alt man ein pro jekti-
ves System, dessen Limes Br(
K
)
'
H
2
(Gal (
K =K
)
; K
) die Brauergrupp e von
K
heit. Diese Brauergrupp e ist eine wichtige Invariante des K
orp ers
K
: die
Aussage Br(
K
) = 0 f
ur endliche K
orp er ist b eispielsweise
aquivalent zum Satz
von Wedderburn, wonach jede endliche Divisionsalgebra b ereits ein K
orp er ist.
Das Ergebnis Br(
K
)
'
Q
=
Z
f
ur endliche Erweiterungen
K
von
Q
p
dagegen ist
im wesentlichen der Kern der lokalen Klassenk
orp ertheorie, und die Bestim-
mung der Brauergrupp e von Zahlk
orp ern enth
alt einen Groteil der globalen
Klassenk
orp ertheorie in algebrentheoretischem Gewand.
Gruppenerweiterungen
Sei
A
eine endliche ab elsche Grupp e,
G
pro-endlich. Eine kurze exakte Sequenz
1
!
A
!
!
G
!
1
heit Grupp enerweiterung von
G
mit
A
. Zwei solche Erweiterungen nennt man
aquivalent, wenn es ein kommutatives Diagramm
1
!
A
!
!
G
!
1
?
?
y
id
?
?
y
?
?
y
id
1
!
A
!
0
!
G
!
1
4.8.1999
60 4. Die lange Kohomologiesequenz
gibt; nach dem Schlangenlemma impliziert dies, da
ein Isomorphismus ist {
allerdings ist die Existenz eines Isomorphismus
:
!
0
nicht hinreichend
f
ur die
Aquivalenz der b eiden Grupp enerweiterungen.
Eine Grupp enerweiterung wird durch zwei Invarianten b eschrieb en:
einem Homomorphismus :
G
!
Aut (
A
);
einem Faktorensystem
f
2
H
2
(
G; A
).
op eriert n
amlich auf dem Normalteiler
A
p er Konjugation, und da
A
ab elsch
ist, op eriert
A
trivial auf sich, d.h. wir erhalten eine Op eration von
G
=
=A
auf
A
, mit anderen Worten einen Homomorphismus :
G
!
Aut (
A
).
Explizit ist diese Op eration gegeb en durch
7!
(
a
7!
u
au
1
). Hier ist
u
:
G
!
ein stetiger Schnitt, also eine stetige Abbildung, die jedem
2
G
ein Urbild
u
2
zuordnet (da man dies auf stetige Art und Weise machen
kann, ist im Falle pro-endlicher Grupp en ein zu b eweisender Satz!).
Wir k
onnen nun jedes Element
2
in der Form
=
au
mit
2
G
und
a
2
A
schreib en. Zu jedem Paar
;
2
G
gibt es dann ein Element
a
;
2
A
mit
u
u
=
a
;
u
. Benutzt man die Assoziativit
at von , so stellt man fest,
da die Abbildung
G
G
!
A
: (
;
)
7!
a
;
ein Faktorensystem ist.
Sind umgekehrt eine Grupp e
G
, ein
G
-Mo dul
A
und ein Faktorensystem
a
2
H
2
(
G; A
) gegeb en, so kann man das kartesische Pro dukt
A
G
zu einer
Grupp e machen, indem man (
a;
)
(
b;
) = (
ab
a
;
;
) setzt. Damit ist
klar, da das triviale Faktorensystem
a
;
= 1 auf das b ekannte semidirekte
Pro dukt f
uhrt; ist dar
ub erhinaus
A
ein trivialer
G
-Mo dul, erh
alt man das
direkte Pro dukt von
G
und
A
.
Unterscheiden sich zwei Faktorensysteme um einen 2-Korand, so sind die
entsprechenden Grupp enerweiterungen
aquivalent (und umgekehrt). Wir ha-
b en also eine Bijektion zwischen den Elementen von H
2
(
G; A
) und den
Aqui-
valenzklassen von Grupp enerweiterungen von
G
mit
A
.
4.2 Ination und Restriktion
Sei
H
abgeschlossene Untergrupp e der pro-endlichen Grupp e
G
und
A
ein
diskreter
G
-Mo dul. Dann ist
A
erst recht ein diskreter
H
-Mo dul, und dies lie-
fert uns einen Homomorphismus res : H
n
(
G; A
)
!
H
n
(
H ; A
) wie folgt: einem
x
2
C
n
(
G; A
), das durch eine Abbildung
f
:
G
n
!
A
repr
asentiert ist, ordnen
wir die Klasse der Einschr
ankung von
f
auf
H
n
!
A
zu. Diese Einschr
ankung
ist nat
urlich eb enfalls wieder stetig und vertr
agt sich mit Randop eratoren, lie-
fert also in der Tat einen Homomorphismus res : H
n
(
G; A
)
!
H
n
(
H ; A
).
Ist andererseits
N
ein abgeschlossener Normalteiler in
G
, so op eriert
G=N
stetig auf dem Fixmo dul
A
N
. Einem Element
x
2
C
q
(
G=N ; A
N
) k
onnen wir ein
x
0
= inf
G
N
x
2
C
q
(
G; A
) zuordnen, indem wir
x
0
(
1
;::: ;
n
) =
x
(
1
N;::: ;
n
N
)
4.8.1999
4.2 Ination und Restriktion 61
setzen. Weil dab ei Cor
ander auf Cor
ander
ub ergehen, induziert dies einen Ho-
momorphismus inf
G
N
: H
q
(
G=N ; A
N
)
!
H
q
(
G; A
), die Ination.
Restriktion und Ination sind Beispiele f
ur eine Konstruktion von Homomor-
phismen zwischen Kohomologiegrupp en, die im n
achsten Abschnitt genauer
untersucht wird.
Kompatible Homomorphismen
Ist
f
:
A
!
B
ein
G
-Homomorphismus diskreter
G
-Mo duln, so wird da-
durch ein Homomorphismus
f
: H
q
(
G; A
)
!
H
q
(
G; B
) induziert: das folgt
b ereits aus entsprechenden funktoriellen Eigenschaften des Schlangenlemmas
und der Tatsache, da wir die Kohomologiegrupp en mit diesem konstruiert ha-
b en. Dies l
at sich nun wie folgt verallgemeinern: sind
G
und
G
0
pro-endliche
Grupp en, welche auf den diskreten Mo duln
A
bzw.
A
0
stetig op erieren, und
sind ein stetiger Homomorphismus
g
:
G
!
G
0
sowie ein Homomorphismus
f
:
A
0
!
A
gegeb en, so heien
f
und
g
kompatib el, wenn
f
(
g
(
)
a
0
) =
f
(
a
0
)
f
ur alle
2
G
und alle
a
0
2
A
0
gilt. Man kann die letzte Bedingung auch so
ausdr
ucken: macht man
A
0
zu einem
G
-Mo dul via
(
a
0
) =
g
(
)(
a
0
), so soll der
Homomorphismus
f
ein
G
-Homomorphismus sein.
Ein kompatibles Paar (
g ; f
) induziert einen Homomorphismus zwischen den
Grupp en (
g ; f
) :
K
q
(
G
0
; A
0
)
!
K
q
(
G; A
), der durch Komp osition
G
q
!
g
G
0
q
!
x
0
A
0
!
f
A
deniert wird, d.h. durch (
g ; f
)
x
0
(
1
;::: ;
q
) =
f
(
x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
q
))). Jetzt
gilt es nachzuweisen, da (
g ; f
) mit den Korandop eratoren kommutiert:
K
q
(
G
0
; A
0
)
!
d
q
+1
K
q
+1
(
G
0
; A
0
)
?
?
y
(
g ;f
)
?
?
y
(
g ;f
)
K
q
(
G; A
)
!
d
q
+1
K
q
+1
(
G; A
)
Sei dazu ein
x
0
2
K
q
(
G
0
; A
0
) gegeb en. Dann ist
q
+1
(
g ; f
)
x
0
(
1
;::: ;
q
+1
) =
1
(
g ; f
)
x
0
(
2
;::: ;
q
+1
)
+
q
X
i
=1
(
1)
i
(
g ; f
)
x
0
(
1
;::: ;
i
i
+1
;::: ;
q
+1
)
+ (
1)
q
+1
(
g ; f
)
x
0
(
1
;::: ;
q
)
=
1
f x
0
(
g
(
2
)
;::: ;g
(
q
+1
))
+
q
X
i
=1
(
1)
i
f x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
i
i
+1
)
;::: ;g
(
q
+1
))
+ (
1)
q
+1
f x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
q
))
;
4.8.1999
62 4. Die lange Kohomologiesequenz
sowie andererseits
(
g ; f
)
q
+1
x
0
(
1
;::: ;
q
+1
) =
f
q
+1
x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
q
+1
))
=
f
h
g
(
1
)
x
0
(
g
(
2
)
;::: ;g
(
q
+1
))
+
q
X
i
=1
(
1)
i
x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
i
)
g
(
i
+1
)
;::: ;g
(
q
+1
))
+ (
1)
q
+1
x
0
(
g
(
1
)
;::: ;g
(
q
))
i
;
und wenn man b eachtet, da
f
und
g
kompatib el und Homomorphismen sind,
so sieht man, da b eide Ausdr
ucke
ub ereinstimmen. Damit k
onnen wir (
g ; f
)
auf die Kohomologiegrupp en fortsetzen und erhalten Homomorphismen
(
g ; f
) : H
q
(
G
0
; A
0
)
!
H
q
(
G; A
)
:
In der Tat induziert (
g ; f
) einen Homomorphismus
C
q
(
G
0
; A
0
)
!
K
q
(
G; A
);
wegen
d
q
+1
(
g ; f
) = (
g ; f
)
d
q
+1
liegt das Bild ab er sogar in
C
q
(
G; A
). Weil aus
demselb en Grund Cor
ander in Cor
ander
ub ergehen, liefert (
g ; f
) wie b ehauptet
einen Homomorphismus auf den Kohomologiegrupp en.
Prop osition 4.2.
Sind
G
i
(
i
= 1
;
2
;
3
) pro-end liche Gruppen,
A
i
(
i
= 1
;
2
;
3
)
diskrete
G
i
-Moduln, und seien stetige Homomorphismen
g
1
:
G
1
!
G
2
,
g
2
:
G
2
!
G
3
,
f
1
:
A
2
!
A
1
und
f
2
:
A
3
!
A
2
gegeben. Sind
(
g
1
; f
1
)
und
(
g
2
; f
2
)
kompatibel, so auch
(
g
2
g
1
; f
1
f
2
)
, und es gilt
(
g
1
; f
1
)
(
g
2
; f
2
) =
(
g
2
g
1
; f
1
f
2
)
.
Die letzte Behauptung folgt direkt aus der Betrachtung der entsprechenden
Diagramme.
Beispiel 1.
Sei
H
abgeschlossene Untergrupp e von
G
,
A
ein diskreter
G
-
Mo dul,
g
:
H
!
G
die Inklusion, und
f
= id die Identit
at auf
A
. Dann
sind
g
und
f
kompatib el wegen
g
(
)
a
=
(
a
) f
ur alle
2
H
. Der von (
g ; f
)
induzierte Homomorphismus H
q
(
G; A
)
!
H
q
(
H ; A
) ist nichts anderes als die
Restriktion. Weiter folgt f
ur abgeschlossene Untergrupp en
U
V
G
die
Eigenschaft
res
V
U
res
G
V
= res
G
U
direkt aus Prop osition 4.2.
Beispiel 2.
Sei
N
ein abgeschlossener Normalteiler einer pro-endlichen Grupp e
G
,
g
:
G
!
G=N
die kanonische Pro jektion und
f
:
A
N
!
A
die Injektion.
Dann sind
g
und
f
kompatib el, und es gilt (
g ; f
) = inf
G
N
.
Satz 4.3.
Sei
N
ein abgeschlossener Normalteiler der pro-end lichen Grup-
pe
G
, und sei
A
ein diskreter
G
-Modul. Dann ist die Inations-Restriktions-
Sequenz
0
!
H
1
(
G=N ; A
N
)
inf
!
H
1
(
G; A
)
res
!
H
1
(
N ; A
)
4.8.1999
4.3 Induzierte Mo duln 63
exakt.
Beweis.
Wir hab en zu zeigen, da inf injektiv ist. Sei dazu
x
:
G=N
!
A
N
ein stetiger 1-Cozykel. Wenden wir die Ination auf
x
an, so hab en wir das Bild
x
0
= inf
x
als 1-Cozykel
G
!
A
aufzufassen via
G
!
G=N
!
A
N
!
A
.
Falls
x
0
Corand ist, so gibt es ein
a
2
A
mit
x
0
(
) =
a
a
. Nun ist
x
0
konstant
auf den Neb enklassen von
G=N
, d.h.es gilt
a
a
=
a
a
f
ur alle
2
N
.
Dies impliziert
a
=
a
f
ur alle
2
N
, also
a
2
A
N
. Damit ist
x
(
N
) =
N a
a
ein 1-Corand.
Der zweite Punkt, der zu zeigen ist, ist im inf = ker res. Wir b eginnen
mit \
": ist
x
:
G=N
!
A
N
ein 1-Cozykel, so ist inf
G
N
x
(
) =
x
(
N
) und
damit res
G
N
inf
G
N
x
(
) =
x
(
N
) f
ur
2
N
. Da
N
das neutrale Element von
G=N
ist und f
ur 1-Cozykel die Gleichung
x
(0) = 0 b esteht, folgt in der Tat
res
G
N
inf
G
N
= 0 und damit die Behauptung.
F
ur die Umkehrrichtung sei
y
:
G
!
A
ein 1-Cozykel, dessen Einschr
ankung
auf
N
ein Corand ist. Dann gibt es ein
a
2
A
mit
y
(
) =
a
a
. Indem wir von
y
den Corand
7!
a
a
subtrahieren, erhalten wir einen 1-Cozykel, der in
derselb en Klasse wie
y
liegt und dessen Einschr
ankung auf
N
verschwindet. Be-
zeichnen wir diesen Cozykel wieder mit
y
, so zeigt
y
(
) =
y
(
) +
y
(
) =
y
(
)
f
ur alle
2
N
, da
y
auf den Neb enklassen von
G=N
konstant ist. Weiter ist
y
(
) =
y
(
) f
ur alle
2
N
und
2
G
, und wegen
=
0
f
ur ein
0
2
N
gilt
y
(
) =
y
(
) =
y
(
0
) =
y
(
), d.h. im
y
2
A
N
. Also ist
y
die Ination
eines 1-Cozykels
G=N
!
A
N
.
Man kann die Kohomologiegrupp en H
q
(
N ; A
) zu einem
G
-Mo dul machen
und zeigen, da
N
dab ei trivial auf H
q
(
N ; A
) op eriert; damit wird H
q
(
N ; A
)
zu einem
G=N
-Mo dul, und es ist nicht schwer zu zeigen, da das Bild der
Restriktion sogar in H
q
(
N ; A
)
G=N
landet. Die Inations-Restriktions-Sequenz
0
!
H
1
(
G=N ; A
N
)
inf
!
H
1
(
G; A
)
res
!
H
1
(
N ; A
)
G=N
ist dann der Anfang der Ho chschild-Serre-Sp ektralsequenz
0
!
H
1
(
G=N ; A
N
)
inf
!
H
1
(
G; A
)
res
!
H
1
(
N ; A
)
G=N
tra
!
H
2
(
G=N ; A
)
inf
!
H
2
(
G; A
)
;
wob ei die Transgression tra auf direktem Weg nur ziemlich umst
andlich de-
niert werden kann (sh. z.B. die fr
uher zitierten B
ucher von Ko ch und Poitou).
Der \richtige" Beweis b enutzt Sp ektralsequenzen (die ndet man z.B. in Rib et
o der Shatz).
4.3 Induzierte Mo duln
Kohomologisch b etrachtet sind induzierte Mo duln ausgespro chen h
ubsche Ob-
jekte: die Tatsache, da deren Kohomologiegrupp en H
q
f
ur alle
q
1 tri-
vial sind, kann man dazu verwenden, die komplette Theorie auf die Grupp e
4.8.1999
64 4. Die lange Kohomologiesequenz
H
0
(
G; A
) zur
uckzuf
uhren. Die zugrundegelegte Technik h
ort auf den Namen
\Dimensionsverschiebung" und ist das zentrale Hilfsmittel in Ko chs Buch
ub er
die Galoissche Theorie der
p
-Erweiterungen.
Sei
G
pro-endliche Grupp e,
H
eine abgeschlossene Untergrupp e, und
A
ein
diskreter
H
-Mo dul. Wir b etrachten die Menge
ind
G
H
(
A
) =
f
f
:
G
!
A
stetig
;
und
f
(
hg
) =
h
f
(
g
) f
ur alle
h
2
H
g
:
Diese ist in oensichtlicher Weise eine additive Grupp e.
Jetzt denieren wir (
f
)(
) =
f
(
) f
ur
2
G
. Dies deniert zuerst einmal
eine Op eration von
G
auf ind
G
H
(
A
): dazu ist zu zeigen, da (
)
f
=
(
f
) f
ur
;
2
G
gilt. Nun ist ab er [(
)
f
](
) =
f
(
), sowie [
(
f
)](
) = (
f
)(
) =
f
(
).
Mit
f
ist nat
urlich auch
f
stetig, und wir b ehaupten, da
B
= ind
G
H
(
A
)
dadurch zu einem diskreten
G
-Mo dul wird. Dazu m
ussen wir zeigen, da es
zu jedem
f
2
B
einen oenen Normalteiler
U
von
G
gibt mit
f
2
B
U
. Dazu
b eachten wir, da zu
f
einen Normalteiler
N
von
G
gibt, so da
f
auf den
Neb enklassen von
G=N
konstant ist. Damit ist dann
f
(
) =
f
(
) = (
f
)(
)
f
ur alle
2
N
, d.h. mit
U
=
N
ist
f
2
B
U
.
Damit hab en wir zu jeder abgeschlossenen Untergrupp e
H
von
G
und je-
dem diskreten
H
-Mo dul
A
einen diskreten
G
-Mo dul ind
G
H
(
A
) konstruiert. Im
Sp ezialfall
H
= 1 (d.h. wenn
A
eine b eliebige ab elsche Grupp e ist) schreib en
wir
M
G
(
A
) = ind
G
1
(
A
) und nennen
M
G
(
A
) den induzierten Mo dul.
Jeder
G
-Mo dul
A
ist auch
H
-Mo dul, und dieser kann wie folgt als Untermo-
dul von ind
G
H
(
A
) aufgefat werden: die Abbildung
A
!
ind
G
H
(
A
) :
a
7!
f
a
mit
f
a
(
) =
(
a
) f
ur
2
G
(dazu mu
A
ein
G
-Mo dul sein) ist n
amlich oen-
sichtlich injektiv, es ist
f
a
(
) =
(
f
a
(
)) f
ur alle
2
H
, und es gilt
f
a
=
f
a
f
ur alle
2
G
: in der Tat ist
f
a
(
) =
(
a
), sowie
f
a
(
) =
f
a
(
) =
(
a
).
Damit hab en wir insb esondere f
ur jeden diskreten
G
-Mo dul
A
eine exakte
Sequenz
0
!
A
!
M
G
(
A
)
!
C
!
0
;
wo
C
den Quotientenmo dul
M
G
(
A
)
=A
b ezeichnet.
Induzierte Moduln haben triviale Kohomologie
Sei
G
pro-endlich,
A
eine ab elsche Grupp e, und
B
= ind
G
1
(
A
) der induzierte
G
-Mo dul. Wir wollen zeigen, da H
q
(
G; B
) = 0 f
ur alle
q
1 gilt (oenbar ist
H
0
(
G; B
) = (ind
G
1
(
B
))
G
'
A
, wob ei
A
als trivialer
G
-Mo dul aufzufassen ist:
man stellt n
amlich sofort fest, da (ind
G
1
(
B
))
G
nur aus den konstanten Funk-
tionen b esteht, und diese k
onnen wie
ublich mit ihren Bildern identiziert
werden). Dazu b etrachten wir Abb
c
(
G
n
; B
), also die Grupp e der stetigen Ab-
bildungen
G
n
!
B
, und stellen fest, da wir Abb
c
(
G
q
; B
) mit Abb
c
(
G
q
+1
; A
)
identizieren k
onnen: dazu fassen wir ein stetiges
:
G
q
!
B
= Abb (
G; A
) : (
x
1
;::: ;x
q
)
7!
4.8.1999
4.3 Induzierte Mo duln 65
als stetige Abbildung
:
G
q
+1
!
A
: (
x
1
;::: ;x
q
j
x
)
7!
(
x
)
auf: die letzte Ko ordinate von
G
q
+1
gibt also an, an welcher Stelle
, das
Bild der ersten
q
Ko ordinaten, ausgewertet werden soll. Dies erlaubt uns, die
Grupp e der
q
-Koketten als
K
q
(
G; B
) =
f
:
G
q
+1
!
A
stetig
g
aufzufassen.
Jetzt denieren wir f
ur jedes
2
G
einen Homomorphismus
s
q
(
) :
K
q
(
G; B
)
!
K
q
1
(
G; B
) :
[
s
q
(
)](
x
1
;::: ;x
q
1
j
x
) = (
1
x; x
1
;::: ;x
q
1
j
)
:
Damit gilt dann
@
q
s
q
(
) +
s
q
+1
(
)
@
q
+1
=
:
Hier ist das entsprechende Diagramm:
K
q
(
G; B
)
s
q
(
)
!
K
q
1
(
G; B
)
?
?
y
@
q
+1
?
?
y
@
q
K
q
+1
(
G; B
)
s
q
+1
(
)
!
K
q
(
G; B
)
Behauptet ist also: geht man in b eiden Richtungen von links ob en nach rechts
unten und addiert die Ergebnisse auf, so erh
alt man das Ausgangselement
zur
uck.
Wir nden nun in der Tat
[
@
q
s
q
(
)](
x
1
;::: ;x
q
j
x
) =
x
1
s
q
(
)(
x
2
;::: ;x
q
j
x
)
+
q
1
X
i
=1
(
1)
i
s
q
(
)(
x
1
;::: ;x
i
x
i
+1
;::: ;x
q
j
x
)
+ (
1)
q
s
q
(
)(
x
1
;::: ;x
q
1
j
x
);
b eachtet man, auf welche Art wir
M
G
(
A
) zu einem
G
-Mo dul gemacht hab en,
so folgt
x
1
s
q
(
)(
x
2
;::: ;x
q
j
x
) =
s
q
(
)(
x
2
;::: ;x
q
j
xx
1
), also weiter
[
@
q
s
q
(
)](
x
1
;::: ;x
q
j
x
) = (
1
xx
1
; x
2
;::: ;x
q
j
)
+
q
1
X
i
=1
(
1)
i
(
1
x; x
1
;::: ;x
i
x
i
+1
;::: ;x
q
j
)
+ (
1)
q
(
1
x; x
1
;::: ;x
q
1
j
)
;
4.8.1999
66 4. Die lange Kohomologiesequenz
sowie andererseits
s
q
+1
(
)
@
q
+1
(
x
1
;::: ;x
q
j
x
) =
@
q
+1
(
1
x; x
1
;::: ;x
q
j
)
=
1
x
(
x
1
;::: ;x
q
j
)
(
1
xx
1
; x
2
;::: ;x
q
j
)
+
q
1
X
i
=1
(
1)
i
+1
(
1
x; x
1
;::: ;x
i
x
i
+1
;::: ;x
q
j
)
+ (
1)
q
+1
(
1
x; x
1
;::: ;x
q
1
j
)
:
Addieren liefert unter der Beachtung der Op eration von
G
auf
B
[
@
q
s
q
(
) +
s
q
+1
(
)
@
q
+1
](
x
1
;::: ;x
q
j
x
) =
1
x
(
x
1
;::: ;x
q
j
)
= (
x
1
;::: ;x
q
j
x
)
:
Jetzt b ekommen wir
Satz 4.4.
F
ur al le
q
1
ist
H
q
(
G; M
G
(
A
)) = 0
.
Beweis.
Sei
y
2
K
q
(
G; M
G
(
A
)) ein
q
-Kozykel, also
@
q
+1
y
= 0. Wir hab en zu
zeigen, da
y
b ereits ein
q
-Korand ist, also ein
x
2
K
q
1
(
G; M
G
(
A
)) existiert
mit
y
=
@
q
x
. Wegen =
@
q
s
q
(
) +
s
q
+1
(
)
@
q
+1
=
@
q
s
q
(
) f
ur irgendein
2
G
ist dies ab er klar.
Dieses Ergebnis ist
ubrigens ist ein Sp ezialfall von
Satz 4.5 (Lemma von Shapiro).
Ist
H
eine abgeschlossene Untergruppe der
pro-end lichen Gruppe
G
und
A
ein diskreter
G
-Modul, dann gilt f
ur al le
q
0
H
q
(
G;
ind
G
H
(
A
))
'
H
q
(
H ; A
)
:
Der Beweis b eruht auf Dimensionsverschiebung (sh. Ko ch, Kap. 3).
Funktorialit
aten
In diesem Abschnitt wird gezeigt, da ind
G
H
ein exakter Funktor aus der Kate-
gorie der diskreten
H
-Mo duln in die der diskreten
G
-Mo duln ist, und da mit
(
I ; G
i
; A
i
) auch (
I ; G
i
; M
G
i
(
A
i
)) ein induktives System ist. Diese Ergebnisse
werden im folgenden nicht b en
otigt.
Die Konstruktion der induzierten Mo duln ist (selbstverst
andlich) funktori-
ell: sind
A; B
2
Mo d (
H
), und ist
f
:
A
!
B
ein
H
-Homomorphismus, so
induziert
f
einen Homomorphismus
f
: ind
G
H
(
A
)
!
ind
G
H
(
B
), welcher ein
2
ind
G
H
(
A
) auf das Element
f
2
ind
G
H
(
B
) abbildet. Damit wird ind
G
H
zu einem exakten Funktor der Kategorie der diskreten
H
-Mo duln in die der
diskreten
G
-Mo duln:
Prop osition 4.6.
Sei
G
pro-end lich,
H
G
eine abgeschlossene Untergruppe
von
G
, weiter
A; B ; C
2
Mo d (
G
)
. Ist die Sequenz
0
!
A
i
!
B
j
!
C
!
0
4.8.1999
4.4 Direkte Limites von Kohomologiegrupp en 67
exakt, dann auch
0
!
ind
G
H
(
A
)
i
!
ind
G
H
(
B
)
j
!
ind
G
H
(
C
)
!
0
:
Beweis.
Sei
2
ind
G
H
(
A
) und
i
(
) = 0. Da
i
injektiv ist, mu
= 0 sein. Also
ist
i
injektiv.
Ist
2
ind
G
H
(
A
), so gilt
j
i
= 0, folglich
j
i
= 0. Ist umgekehrt
2
ind
G
H
(
B
) und
j
= 0, so existiert zu jedem
2
G
ein
a
2
A
mit
(
) =
i
(
a
). Deniere eine Abbildung
:
G
!
A
durch
(
) =
a
; wegen der
Injektivit
at von
i
ist
wohldeniert. Weiter ist
2
ind
G
H
(
A
), da erstens wegen
(
hg
) =
h
(
g
) =
hi
(
a
) =
i
(
ha
) sicher
(
hg
) =
h
(
g
) ist, und da zweitens
stetig ist, weil
i
=
stetig ist. Dies zeigt Exaktheit an der Stelle ind
G
H
(
B
).
Schlielich ist no ch die Surjektivit
at von
j
zu b eweisen. Sei dazu
2
ind
G
H
(
C
); da
f
ur einen geeigneten oenen Normalteiler
N
auf Neb enklas-
sen
g N
konstant ist, nimmt
nur endlich viele Werte an, sagen wir
(
G
) =
f
c
1
;::: ;c
n
g
. Zu jedem
c
i
k
onnen wir ein
b
i
2
B
nden mit
j
(
b
i
) =
c
i
. F
ur
jedes
i
b etrachten wir nun die Untergrupp e
V
i
=
f
h
2
H
:
hb
i
=
b
i
g
von
H
; als
Stabilisator von
b
i
ist
V
i
oen in
H
und es gibt somit einen oenen Normal-
teiler
U
1
von
G
mit
U
1
\
H
V
i
f
ur die endlich vielen
i
. Wegen der Stetigkeit
von
gibt es einen zweiten oenen Normalteiler
U
2
von
G
mit
f
(
g U
2
) =
f
(
g
).
Sei nun
U
=
U
1
\
U
2
: dann ist mit (
G
:
U
) erst recht
t
= (
G
:
H U
) endlich.
Seien
g
1
;::: ;g
t
Vertreter der Neb enklassen von
G=H U
. Zu jedem
g
i
w
ahlen
wir aus der Menge
f
b
1
;::: ;b
n
g
ein
i
aus mit
f
(
i
) =
f
(
g
i
) und denieren
eine Abbildung
:
G
!
B
, indem wir
g
=
hug
i
schreib en und
(
g
) =
h
i
setzen. Dann ist
wohldeniert und stetig: ist n
amlich
u
2
U
und
g
2
G
,
so ist
(
ug
) =
(
g
), also
konstant auf Neb enklassen von
G=U
. Weiter
ist no ch
(
hg
) =
h
(
g
) f
ur
h
2
H
und
g
2
G
: mit
g
=
h
0
ug
i
ist n
amlich
(
hg
) =
(
hh
0
ug
i
) =
hh
0
i
=
h
(
g
). Schlielich gilt nat
urlich auch
f
=
,
und wir hab en fertig.
Sind
U
H
abgeschlossene Untergrupp en einer pro-endlichen Grupp e
G
und ist
A
ein diskreter
U
-Mo dul, so
ub erzeugt man sich auch leicht davon,
da ind
G
H
ind
H
U
= ind
G
U
gilt.
4.4 Direkte Limites von Kohomologiegrupp en
Wir b eginnen mit einer Erinnerung an direkte Systeme: ist
I
gerichtete Men-
ge, sind
A
i
ab elsche Grupp en, und sind Homomorphismen
j i
:
A
i
!
A
j
gegeb en, so heit (
I ;
;
f
A
i
g
;
j i
) ein direktes System, wenn
ii
= id und
j i
k j
=
k i
ist f
ur alle
i; j; k
2
I
mit
i
j
k
. Sei
A
die disjunkte Vereini-
gung der
A
i
und
a; b
2
A
; dann setzen wir
a
b
, falls
a
2
A
i
,
b
2
A
j
und es
ein
k
2
I
gibt mit
k i
a
=
k j
b
. Die Menge der
Aquivalenzklassen
A=
nennt
man den direkten Limes und schreibt
A=
= lim
!
A
i
. Diesem Ob jekt kann man
4.8.1999
68 4. Die lange Kohomologiesequenz
eine Grupp enstruktur verpassen: sind
a
und
b
die Klassen von
a
i
und
b
j
, so
soll
a
+
b
die
Aquivalenzklasse von
k i
a
i
+
k j
b
j
sein. Das ganze ist, wie man
leicht sieht, wohldeniert.
Sei
I
eine gerichtete Indexmenge, (
f
G
i
g
;
j i
) ein pro jektives System endlicher
Grupp en, (
f
A
i
g
;
j i
) ein direktes System ab elscher Grupp en, wob ei jedes
A
i
ein
G
i
-Mo dul sein soll. Auerdem sollen
j i
:
G
j
!
G
i
und
j i
:
A
i
!
A
j
kompatib el sein. Mit
G
= lim
G
i
und
A
= lim
!
A
i
kann man
A
so zu einem
G
-Mo dul machen, da die kanonischen Abbildungen
A
i
!
A
und
G
!
G
i
kompatib el sind: ist n
amlich
g
= (
g
i
)
2
G
und
a
2
A
, wob ei
a
das Bild von
a
i
2
A
i
ist, so mu man
g a
als das Bild von
g
i
a
i
denieren und nachrechnen,
da dies wohldeniert ist und die kanonischen Homomorphismen
i
:
A
i
!
A
und
i
:
G
!
G
i
kompatib el sind.
Sind nun weiter alle
A
i
diskrete
G
i
-Mo duln, so ist
A
ein diskreter
G
-Mo dul:
zu zeigen ist, da die Abbildung
G
f
a
g !
A
: (
; a
)
7!
(
a
) stetig ist.
Mit
a
=
a
i
f
ur ein
a
i
2
A
i
ist ab er
(
a
) =
j
(
)(
a
i
), und die Op eration von
G
i
auf
A
i
sowie die anschlieende Einb ettung
i
:
A
i
!
A
sind stetig.
Wir nennen nun (
I ;
[
G
i
; A
i
]
;
(
j i
;
j i
)) ein induktives System, wenn (
I ; G
i
;
j i
)
pro jektives System (pro-) endlicher Grupp en, (
I ; A
i
;
j i
) direktes System dis-
kreter
G
i
-Mo duln, und die auftretenden Abbildungen vertr
aglich sind. Im Sp e-
zialfall
G
i
= 1 erh
alt man direkte Systeme ab elscher Grupp en.
Prop osition 4.7.
Sind
(
A
i
;
j i
)
und
(
B
i
;
j i
)
direkte Systeme abelscher Grup-
pen und sind die
i
:
A
i
!
B
i
vertr
agliche Homomorphismen, dann induzie-
ren diese einen Homomorphismus
: lim
!
A
i
!
lim
!
B
i
. Sind al le
i
injektiv
(surjektiv), dann gilt dies auch f
ur
; dar
uberhinaus ist
lim
!
ein exakter Funktor
in der Kategorie der direkten Systeme abelscher Gruppen.
Beweis.
Sei
a
2
A
= lim
!
A
i
und
a
=
a
i
mit
a
i
2
A
i
. Dann denieren wir
(
a
) =
i
(
i
(
a
i
)), wo
i
:
B
i
!
A
wie
ublich erkl
art ist. Ist
a
j
2
A
j
ein
anderer Repr
asentant der Klasse
a
, so gibt es ein
k
i; j
mit
k i
a
i
=
k j
a
j
;
wegen der Vertr
aglichkeit der
j i
, d.h. der Kommutativit
at des Diagramms
A
i
ki
!
A
k
i
?
?
y
k
?
?
y
B
i
ki
!
B
k
;
gilt
k
(
a
k
) =
k
k i
(
a
i
) =
k i
i
(
a
i
), und aus demselb en Grund
k
(
a
k
) =
k j
j
(
a
j
). Also ist
:
A
!
B
wohldenierter Homomorphismus.
Sind nun alle
i
injektiv und gilt
(
a
) = 0 f
ur ein
a
=
a
i
2
A
, so folgt
i
(
a
i
) = 0 und damit
a
i
= 0. Also ist auch
injektiv.
Sind dagegen alle
i
surjektiv und ist
b
=
b
i
2
B
gegeb en, so w
ahlen wir ein
a
i
2
A
i
mit
i
(
a
i
) =
b
i
; dann ist ab er
(
a
i
) =
b
.
4.8.1999
4.4 Direkte Limites von Kohomologiegrupp en 69
Sind schlielich f
ur jeden Index
i
exakte Sequenzen
0
!
A
i
i
!
B
i
i
!
C
i
!
0
gegeb en und die
i
und
i
mit den
j i
,
j i
und
j i
vertr
aglich, die zu den
direkten Systemen der
A
i
,
B
i
und
C
i
geh
oren, so ist auch
0
!
lim
!
A
i
!
lim
!
B
i
!
lim
!
C
i
!
0
exakt: zu zeigen ist nur no ch, da im
= ker
ist. Dies folgt ab er mit dem
b ereits Bewiesenen aus im
i
'
ker
i
und der Tatsache, da auch die im
i
und ker
i
auf nat
urliche Art und Weise direkte Systeme bilden.
Korollar 4.8.
Seien
(
I ;
[
G
i
; A
i
])
,
(
I ;
[
G
i
; B
i
])
und
(
I ;
[
G
i
; C
i
])
induktive Syste-
me und die Sequenz
0
!
A
i
!
B
i
!
C
i
!
0
von
G
i
-Moduln f
ur jedes
i
exakt. Dann ist auch
0
!
lim
!
A
i
!
lim
!
B
i
!
lim
!
C
i
!
0
exakte Sequenz von
G
-Moduln.
Beweis.
Man hat nur no ch die Op eration von
G
auf den direkten Limites zu
installieren.
Schlielich brauchen wir no ch folgendes Lemma, um eine kleine L
ucke in
Ko chs Beweis zu schlieen:
Lemma 4.9.
Ist
(
I ;
[
G
i
; A
i
])
ein induktives System, dann ist auch das System
(
I ;
[
G
i
; M
G
i
(
A
i
)])
induktiv, und mit
G
= lim
G
i
und
A
= lim
!
A
i
gilt
M
G
(
A
) =
lim
!
M
G
i
(
A
i
)
.
Beweis.
Sei
f
i
2
M
G
i
(
A
i
); dann setzen wir
f
=
i
f
i
i
, d.h. wir denieren
eine Abbildung
G
!
A
durch Komp osition der kanonischen Abbildungen
G
!
G
i
!
A
i
!
A
. Mit
f
i
ist auch
f
stetig, insb esondere also Element
von
M
G
(
A
).
Der dadurch denierte Homomorphismus
i
:
M
G
i
(
A
i
)
!
M
G
(
A
) indu-
ziert einen Homomorphismus
: lim
!
M
G
i
(
A
i
)
!
M
G
(
A
), und dieser ist in-
jektiv: aus
f
(
) = 0 mit
= (
::: ;
i
;:::
) und
i
2
G
i
folgt
f
i
(
i
)
0; also
gibt es einen Index
j
i
mit
j i
f
i
(
i
) = 0. Kompatibilit
at der
j i
mit den
j i
zeigt, da
f
j
(
j
) = 0 ist.
Zu zeigen ist no ch, da
surjektiv ist. Dazu sei ein
f
:
G
!
A
aus
M
G
(
A
)
gegeb en; wir hab en dann eine Abbildung
f
k
:
G
k
!
A
k
zu konstruieren
mit
k
(
f
k
) =
f
. Da es nur endlich viele Bilder unter
f
gibt, existiert ein
4.8.1999
70 4. Die lange Kohomologiesequenz
Index
k
, so da im
f
k
(
A
k
) ist. Weiter gibt es einen oenen Normalteiler
N
derart, da
f
auf den Neb enklassen von
G=N
konstant ist; indem wir
N
notfalls verkleinern, k
onnen wir annehmen, da
G
k
homomorphes Bild von
G=N
ist. Da
f
ub er
G
k
faktorisiert und die Bilder in
k
(
A
k
) liegen, k
onnen
wir durch
f
k
(
k
) =
a
k
, wo
f
(
) =
a
k
war, eine stetige (wegen der Endlichkeit
des Bilds) Abbildung
f
k
:
G
k
!
A
k
gewinnen.
Unter den ob en gemachten Voraussetzungen
ub er das System (
I ;
[
G
i
; A
i
])
bildet auch (H
q
(
G
i
; A
i
)
;
j i
) ein direktes System, wob ei wir
j i
= (
j i
;
j i
)
gesetzt hab en. Damit gilt:
Satz 4.10.
Ist
G
= lim
G
i
projektiver Limes pro-end licher Gruppen
A
=
lim
!
A
i
direkter Limes diskreter
G
i
-Moduln, und sind die dazugeh
origen Ab-
bildungen
j i
und
j i
kompatibel, so wird
A
ein diskreter
G
-Modul, und es ist
H
q
(
G; A
) = lim
!
H
q
(
G
i
; A
i
)
f
ur jedes
q
0
.
Beweis.
Wir b eweisen den Satz p er Dimensionsverschiebung mit Induktion.
F
ur
q
= 0 ist zu zeigen, da lim
!
A
G
i
i
=
A
G
gilt. Ist
a
i
2
A
G
i
i
, weiter
=
(
: : :
i
;:::
)
2
G
und gilt
i
a
i
=
a
i
, dann folgt sofort
a
=
a
.
Die Umkehrrichtung ist etwas schwieriger, weil der naive Zugang scheitert:
aus
a
=
a
i
2
A
G
folgt erst einmal nur, da
i
a
i
a
i
gilt. Dies impliziert
ab er die Existenz eines
k
i
mit
k i
i
a
i
=
k i
a
i
. Wegen
i
=
k i
k
b edeutet
dies
k i
a
i
=
k i
k i
k
a
i
, und aus der Kompatibilit
at von
mit
folgt dann
k i
a
i
=
k
k i
a
i
. Dies heit nun ab er nicht, da
a
k
:=
k i
a
i
in
A
G
k
K
liegt: unser
Index
k
h
angt ja von
i
ab. Um f
ur alle
i
2
G
i
einen Index
k
zu nden, der
es tut, mu man die Tatsache b enutzen, da die
A
i
diskrete
G
i
-Mo duln sind.
In der Tat, sind b eispielsweise alle
G
i
endlich, so ist es kein Problem, aus den
endlich vielen Indizes
k
, die zu den
i
geh
oren, einen Index
j
zu nden, der
f
ur alle
i
gut ist. Der allgemeine Fall geht so: da
A
i
diskreter
G
i
-Mo dul ist,
hat
a
i
nur endlich viele Bilder unter der Op eration von
G
i
; diese endlich vielen
Bilder kommen von endlich vielen
i
, und zu diesen endlich vielen ndet man
wie ob en einen globalen Index
k
mit den gew
unschten Eigenschaften.
Sei die Behauptung nun f
ur ein
q
0 b ewiesen. Aus der Existenz des fol-
genden kommutativen Diagramms mit exakten Zeilen
0
!
A
i
!
M
G
i
(
A
i
)
!
C
i
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
A
j
!
M
G
j
(
A
j
)
!
C
j
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
0
!
A
!
M
G
(
A
)
!
C
!
0
:
erhalten wir (unter Ber
ucksichtigung von Lemma 4.9 und der Tatsache, da
der direkte Limes ein exakter Funktor in der Kategorie der ab elschen Grupp en
4.8.1999
4.4 Direkte Limites von Kohomologiegrupp en 71
ist, das exakte kommutative Diagramm
lim
!
H
q
(
G
i
; M
G
i
(
A
i
))
!
lim
!
H
q
(
G
i
; C
i
)
!
lim
!
H
q
+1
(
G
i
; A
i
))
!
0
?
?
y
?
?
y
?
?
y
H
q
(
G; M
G
(
A
))
!
H
q
(
G; C
)
!
H
q
+1
(
G; A
)
!
0
;
Nach Induktionsvoraussetzung sind die Abbildungen in den b eiden linken Spal-
ten Isomorphismen; f
ugt man an das Diagramm rechts no ch eine Spalte Nullen
an, so folgt aus dem F
unferlemma, da auch lim
!
H
q
+1
(
G
i
; A
i
))
!
H
q
+1
(
G; A
)
ein Isomorphismus ist (f
ur
q
1 ist das Argument no ch einfacher, weil die
linke Spalte dann verschwindet).
Literatur
Eine Kohomologie von Grupp en mit Betonung auf Grupp entheorie wird in
Brown [2] pr
asentiert. Die Klassenk
orp ertheorie von Artin und Tate [1] enth
alt
ein ganzes Kapitel (das vorvorletzte)
ub er die Theorie der Grupp enerweiterun-
gen (die im wesentlichen Ende der 20er Jahre von Schreier entworfen wurde). In
der Tat kenne ich keine vergleichbare Diskussion solcher Ob jekte, in denen z.B.
auch auf die Frage eingegangen wird, wie sich kohomologische Abildungen wie
die Ination konkret in der Theorie der Grupp enerweiterungen widerspiegeln.
Eine Einf
uhrung in die Theorie der Brauergrupp en ndet man in Farb &
Dennis [3], eine Monographie
ub er die Dinger hat Ina Kersten [5] geschrieb en.
Eb enfalls zu erw
ahnen sind hier die Algebrab
ande von Jacobson [4].
1. E. Artin, J. Tate,
Class Field Theory
, Addison-Wesley 1967, 1990
2. K.S. Brown,
Cohomology of groups
, Springer GTM 87, 1982, 1994
3. B. Farb, R.K. Dennis,
Noncommutative algebra
, GTM 144, Springer-
Verlag 1993
4. N. Jacobson,
Basic Algebra I, II
, New York, 1989
5. I. Kersten,
Brauergruppen von K
orpern
, Vieweg 1990
4.8.1999
